ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО,
состоящее при ИМПЕРАТОРСКОМЪ Техппчсскомъ Училищ*.
СТРОПИЛА.
Изыскаше рацюнальныхъ типовъ прямолинейныхъ
стропильныхъ фермъ и
ТЕ0Р1Я ДРОЧНЫХЪ ФЕРМЪ.
Д'Ьйствительнаго члена Политехническаго Общества,
ЕНЖЕНЕРЪ-МЕХАНИКД
В. Г. Шухова.
МОСКВА.
Высочайше утвержд. „Русское Т-во печати, и изд. дЬла11. Чистые пруды, соб. д.
1897.

Печатано но распоряжение Совета Полптехнпческаго О-ва.
Вице-председатель О-ва профессор!» Я. Худяков».

Огь вице-председателя Политехническаго Общества.
Здашя Всероссийской художественно-промышленной выставки 1896
года въ Н.-Новгороде не только представляли собою превосходные
образцы художественна™ творчества русскихъ зодчихъ, но и свидетель¬
ствовали о высокомъ состояши у пасъ въ Poccin научной и практической
стороны строительнаго искусства.
Наблюдателя поражали какъ легшя арочныя стропила, который
перекрывали главное здаше машипнаго отдела и были исполнены
С^Петербургскимъ металлическими заводомъ, такъ и оригинальный по
новизне формы и легкости конструкцш арочныя и висячш сетчатыя
покрытая системы Шухова, который были впервые введены въ практику
строительнаго дела и представлены въ целомъ ряде здашй выставки
строительной конторой инженера А. В. Бари.
Сетчатыя покрытая Шухова обращали на себя особенное внимаше
потому, что съ одинаковою легкостью и удобствомъ они находили себе
примепеше при самыхъ разнообразныхъ формахъ здашя въ плане и
при самыхъ разнообразныхъ пролетахъ; они были собраны изъ угол-
ковъ и железа - зетъ, изъ полосъ съ такими поперечными сечешямп и
на такпхъ взаимныхъ разстояшяхъ, как1я мы привыкли встречать только
въ обрешетинахъ обыкновенпыхъ стропиль. Такая сетчатая поверх¬
ность, состоящая, такъ сказать, пзъ одной обрешетины, не опиралась
на как1я - либо стропильный фермы, ' а покоилась непосредственно на
стенахъ • и колоннахъ здашй, отчего мнотае и цазывали эти покрытая
Шухова крышами безъ стропилъ.
Описанпо этихъ оригинальныхъ сетчатыхъ покрытай мы посвятили
въ свое время небольшую статью, помещенную въ журнале „ Технически
Сборникъ и В)ьстнико Промышленности* (1896 г., № 5) подъ загла-
в!емъ ъНовыетмпы металлических» и деревянныхъ покрытий для здан1й
по системгъ инженера Шухова*.
Культура какой-либо отрасли промышленной деятельности должна
(.измеряться однако не случайной новизной выставочныхъ экспонатовъ,
1
— 4 —
а общимъ состояшемъ разсматриваемой деятельности и сознательнымь
отношежемъ деятелей въ работе ихъ на томъ пути, который привелъ
ихъ къ даннымъ нововведешямъ.
Конструкция сетчатыхъ покрыпй была удачно создана и закончена,
оригинальность ихъ открыто признавалась всеми, и преимущества ея
въ смысле малаго веса, необычной легкости изготовлешя и дешевизны
были проверены опытнымъ путемъ на целомъ ряде примеровъ при са-
мыхъ разнообразныхъ услов!яхъ въ задаши. Но этимъ закончиться дело
не могло.
Интересъ, возбужденный сетчатыми покрытиями и съ практической
и съ теоретической стороны, оказался настолько значительным^ что
явилась настоятельная потребность иметь сознательное отношеше къ этому
вопросу не только одному даровитому конструктору, создавшему систему
сетчатыхъ покрытШ безъ стропилъ, но п потребителямъ ихъ, и целой
плеяде инженеровъ, имеющпхъ прямое и непосредственное отношеше
къ строительному делу.
Въ силу этого, какъ профессоръ Императорскаго Техническая
Училища и какъ вице-председатель Политехническая Общества, при¬
званный стоять на страже интересовъ науки и ея практическихъ при-
менешй, въ данномъ случае я счелъ свопмъ долгомъ обратиться къ
инженеру А. В. Бари, почетному члену Политехническая Общества,
съ просьбою—разреши^ Обществу опубликование техъ трудовъ нашего
уважаемая сочтена В. Шухова, которые имеютъ непосредственное
отношеше къ созданной ймъ системе сетчатыхъ покрьтй, явившихся у
него результатомъ самостоятельная анализа стропильныхъ фермъ.
А. В. Бари и В. Г. Шуховъ отнеслись къ этой моей просьбе
съ полнымъ внимашемъ и сочувств!емъ. Весь нужный для этого мате-
рталъ приведенъ былъ В. Г. Шуховымъ въ порядокъ и переданъ мне
для общая редактировашя и напечаташя въ трудахъ Политехническая
Общества, для которыхъ эта интересная и ценная работа, безспорно^
является лучшимъ украшешемъ.
П. Худяновъ
12. 1. 97.

ОТЪ АВТОРА.
При составлены проекта стропить иервымъ п самымъ важнымъ
вопросомъ явтяется вопросъ о выбор'Ь той или другой системы фермъ,
о выбор'Ъ числа ея узловъ или панелей, о расположены прогоновъ п,
паконецъ, о выбор'Ь разстояшя между фермами.
Употреблеше графическая способа разсчета значительно упрощаетъ,
можно сказать, д'Ьлаетъ почти автоматическим!» самый процессъ разсчета
ycinifi въ разныхъ частяхъ фермы, по при этомъ у проектпрующаго
сооружсше не получается ответа на вопросъ о паивыгодп'Ьпшемъ рас¬
положены связей фермъ и деталей крыши, и составителю проекта не
дается возможности следить за пзм'Ьпешемъ в'Ьса каждой отдельной
части фермы въ зависимости отъ ея системы и геометрпческаго ноложе-
1пя отд'Ьльныхъ ея частей.
Въ пижеслЪдующемъ предложенъ выработанный мною аналитиче¬
ский разсчетъ стропильпыхъ фермъ, который даетъ отв'Ьтъ па вопросы
об<> определен! и ycu.iiu, воспринпмаемыхъ па себя различными частями
фермы, определены веса этихъ частей и о назначены в<> проекте
наизыгодненишго геэмезпричеекаго располоэюенгя воь.гъ частей фермы,
при которомъ в'Ьсъ употреблеинаго па устройство фермы матер!ала быть
бы напмепьппй.
Всестороннее рйшеше такой задачи представляетъ больная труд¬
ности, благодаря крайнему разнообразно спстемъ стропильпыхъ фермъ,
нричемъ это разпообраз!е обусловливается не только архитектурными
требовашями и коструктивпымп особенностями, вытекающими изъ свойствъ
строительпаго матер!ала фермъ, но и побочными соображешями кон¬
структора, впосящаго личный художественный вкусъ въ расположено
элементовъ проектируемыхъ имъ стропилъ. Поэтому зд'Ьсь ми д'Ьлаемъ
— 6 —
попытку разр'Ьшешя поставленной выше основной задачи въ примЯшеши
ея только къ наиболее употребительнымъ въ практик^ системамъ стро¬
пиль— съ прямолинейнымъ и криволинейнымъ вн'Ьшнимъ абрисомъ кровли,
опирающейся па ст4ны прямоугольнаго въ плане здашя.
Трудъ редактировашя этой работы любезно принялъ на себя вице-
председатель Политехническаго Общества проф. П. К. Худяковъ.
Вл. Шуховъ.

Форма стропиль.
Каждая стропильная ферма можетъ быть разсматриваема, какъ
простая треугольная, состоящая изъ двухъ симметрично расположенныхъ
наклонныхъ ногъ, прямыхъ или криволинейно изогнутыхъ въ одной пло¬
скости; верхше концы этихъ ногъ связаны шарниромъ *и образуютъ ко-
некъ крыши, а нижше опираются на стены и соединяются между со¬
бою затяжкой для уничтожешя распора ст4нъ.
Будетъ-ли ферма прямая (фиг. 1) или криволинейная (фиг. 2), мы
представимъ ее себе нагруженной равномерно.
Пусть обозначаютъ:
q — равномерную нагрузку на ферму, отнесенную къ погонной еди¬
нице длины горизонтальной проекцш фермы,
Vt и У2 — давления отъ фермы на опоры,
Н — усшне горизонтальна™ распора или натяжеше затяжки у фермы,
х — у — координаты произвольна™ сечешя фермы,
М — сгибающгй моментъ въ произвольномъ сечеши фермы,
2/ — длина фермы и
f—высота или подъемъ фермы.
Въ случае равномЪрнаго распределения нагрузки находимъ:
Давлешя на опоры
Моменты всехъ силъ справа или слева отъ средня™ сечешя С
фермы даютъ:
откуда
и-'‘ 	*•

— 8 —
Въ произвольномъ сйчеши фермы сгибаюпцй моментъ будетъ пи¬
саться такъ:
т2
M=ql. х — q	Н.у	2«
2
Въ случай прямыхъ ногъ имйемъ
и тогда
3?
т. е. въ случай прямыхъ ногъ у стропильной фермы сгибаюпцй моментъ
въ произвольномъ ея сйчеши выражается такъ же, какъ и у прямой балки
длиною /.
При х=\ получимъ наибольшее значеше сгибагощаго момента.
it
Оно будетъ
ша.г. М = q . g	4.
На устройство фермы пойдетъ наименьшее количество матер!ала
въ томъ случай, когда М = 0. На оспованш этого пзъ формулы 2
получимъ:
Это есть yp-ie параболы, вершина которой лежитъ въ точкй С
(фиг. 2). Отсюда слйдуетъ, что:
1)	параболическая ферма есть наивыгоднейшая в* случае равно¬
мерной нагрузки,
2)	условью М — О при равномерном* нагружент (фермы удовле¬
творяет* только параболическая (форма ея.
Въ случай односторонней нагрузки, равномерно распределенной
отъ одной изъ опоръ до вершины, наир, отъ А до С (фиг. 1 и 2).
обозначимъ чрезъ р нагрузку на погонную единицу длины горизонтальной
проекщи полуфермы.
Вся нагрузка на ферму будетъ р. I.

9
Давлены па опоры
получаются такъ
г,=
Г,= ‘.Р.г.
Взявши моментъ вс'Ьхъ сиЛъ, дййствующихъ на ферму справа или
слйва отъ точки С, найдемъ:
слйва
Q	7
- pl.l— Pl.-=zH.f,
а справа
--.pl.l=H.f.
4
Оба эти равенства даютъ
Въ произвольномъ с'Ьченш лйвой нагруженной части фермы сги-
баюпцй моментъ будетъ писаться такъ:
л г 3 /	7,2	1	/2
М=-р1.х-р.^-^р.?. ,,	t.
Въ случай прямыхъ ногъ пмйемъ
У = Х'Т
и тогда
_ .	Х(1 	 .г)	Q
М = р .	—-	S.
1	2
Это yp-ie имйетъ одинаковый впдъ съ 3.
При х =>- получимъ наибольшее значеше сгибающаго момента. Оно
будетъ
пшх. М= р

8
Въ случай односторонне нагруженной параболической фермы, удов-
10
летворяющсй условно, выражаемому формулой 5, сгибающй моментъ
назовемъ чрезъ Mt. Тогда изъ формулъ 5 и 7 получимъ:
__	х(1— х)
Л£, =р .	—-	10.
I
При х = - получимъ наиоолыпее значение этого момента
Z2
max. М—р.		11.
1 6
Въ произвольномъ сФчеши ненагруженной части фермы, координаты
котораго и //, причемъ
= 21 — х,
сгпбающШ моментъ для прямой фермы будетъ:
М = Уа . — Н. у, или
1	1 Z2 /
^-.pl.r.'-^p-.xj--^
для всгЬхъ точекъ отъ В до G (фиг. 1). Но такъ какъ стропильная
ферма попеременно и съ правой и съ левой стороны можетъ подвер¬
гаться односторонней нагрузке, поэтому обе ея половины должны быть
разсчитаны по моменту, наибольшее значеше котораго дано въ формуле 9.
Для параболической фермы, удовлетворяющей условно, выраженному
формулой 5, при одностороннемъ нагружеши фермы сгибаюпцй моментъ
въ произвольномъ сеченш ненагруженной части фермы будетъ
3/, = V2 ,(2l-x)-±.pt (2l.r - .г2) . fTl,
пли
Mi=^p(2l-x).(l-x)
12
з
Наибольшее значеше этого момента получится при х=- I. Оно
Л
будетъ
max. М'= — р
1	16
13
Следовательно, обе стороны параболической фермы должны быть
разсчитаны по сгибающему моменту, наибольшее значеше котораго равно
г2
"•16

11
РазсмотрЪше формулъ 4, 9, 11 и 13 приводить пасъ къ слЪдую-
щимъ заключешямъ:
1)	Выраженье наибольшего сгибающаго момента, какъ для прямой
фермы, такъ и для параболической, не зависать огпъ величины ихъ
подъема f.
2)	При односторонней нагрузюъ на ферму разсчетный сгибаюшлй
момент?» для параболической фермы вдвое менгъе, чгьмъ для прямой
фермы.
Въ случай односторонней нагрузки на ферму, не существует!» та¬
кого вида кривой, при которомъ бы можно было иметь М = 0.
Въ самомъ д'Ьл'Ь, если приравняемъ нулю общее выражеше сгп-
бающаго момента (см. форм. 7) при односторонней нагрузке. то получимъ:
f.^l— 2х)
У= i*

14.
Это есть yp-ie параболы, вершина которой однако не совнадаетъ
съ вершиною параболы, представляемой урчемъ 5. Если ферма будетъ
иметь видъ параболы, отвечающей yp-iio 14, то моменты для точекъ
нагруженной стороны фермы будутъ равны пулю, но зато пенагру-
жевная сторона этой фермы будетъ давать отрицательные моменты, абсо¬
лютная величина которыхъ больше, ч!»мъ дтя параболы, построенной по
yp-iro 5; наибольшее значеше сгибающаго момента для этой новой фермы
и оно будетъ вдвое болн»е, чЪмъ для параболы, представляемой урчемт» 5.
Путемъ подобныхъ же выкладокъ и разсуждешй не трудно дока¬
зать, что всякое отклонение отъ параболической фермы, представляемой
ур-гемъ 5, съ гуълио уменьшенья сгибающих?» моментов?» на груженной
стороны, непременно вызовет?» увеличение сгибающих?» моментов?» це¬
нтру женной стороны фермы, и наоборот?».
Следовательно, для односторонней равномерной нагрузки парабо¬
лическая форма стропил?» есть иаивыгоднььйгиая.
Назовем!» чрезъ 8—сжимающее ycunie въ пропзвольпомъ сЪчеши
фермы, координаты котораго х и у. При равномерной нагрузке q по
всей длине будемъ иметь (см, фиг. 1).
8 = Н. Cos а + ( — q . .г) . Sin а .
У опоры, где .7 = 0, сжимающее уси.пе будетъ
В. Cos а -|—	. Sin а.
15

— 12
Въ вершине фермы, где х = 1, сжимающее усил!е будетъ
Н. Cos а.
Наконецъ, въ сйченш наибольшая сгибающая момента, т.-е. при
х=~, сжимающее усилю будетъ
Н. Cos а + q. Sin а.
Во вс'Ъхъ точкахъ прямой фермы будемъ иметь
tg I.
Для параболы же, удовлетворяющей yp-iio 5, получится
. &У I—х
tga = — = (lf. - р—
ах 1 I-
и въ с'Ъчеши наибольшая сгибающая момента, т.-е. при х — . и здесь
также получимъ
tga>—f\l.
Следовательно, въ сп>ченги нагъбольшаю момента сжимающее уси-
лге одинаково, какъ въ прямой, такъ и въ параболической фермахъ.
Такимъ образомъ, сравнеше фермъ прямыхъ и криволинейныхъ
показываешь, что ферма, испытывающая наименьшее напряжение ма¬
териала, должна при равномньрной нагрузке иметь форму параболы.
А потому, если конструктору предоставленъ свободный выборъ поверхно¬
сти крыши, то для получешя наименьшая в'Ьса стропплъ следуешь оста¬
новиться на фермахъ параболпческихъ, и отыскивать какой-либо другой
видъ фермъ меньшая в'Ьса въ такихъ случаяхъ безполезно.
Разсмотр'Ьнпьтя выше простая треугольныя фермы могутъ быть сде¬
ланы пли пзъ сплошныхъ балокъ постоянная и переменная сечешй,
или же, съ целно увеличешя момента сопротивлешя, имъ придается
определенная система раскосовъ.
С плотный балки могутъ быть употреблены для небольших!» проле-
товъ, въ случае прямой фермы—пе более 4—5 mt., а для арочпыхъ
фермъ —не более 10 —12 mt. При дальпейшемъ увеличеши пролстовъ
необходимо употреблять раскосныя фермы.
При сплопшыхъ балкахъ, по пайдепнымъ разсчетпымъ велпчииамъ
М п 8 и при выбранномъ допускаемомъ папряжеши матер!ала, опре¬
деляется модуль сопротивлешя, по которому и отыскивается соответ¬
ственный профиль железа въ имеющихся таблпцахъ. Двутавровая форма
— 13 —
профиля является въ этомъ случай наиболее выгодною. Вообще же
нужно выбирать такое сйчеше, которое при данномъ модулй даетъ наи-
меньшШ вйсъ.
При разсчетй на сжапе надо вводить поправку отъ длины сжи-
маемыхъ частей.
Въ отношен! и выбора желйза для ногъ, подверженныхъ сгибашю
и сжатпо, изданныя Бйлелюбскимъ и Богуславскимъ таблицы даютъ пол¬
ный матер!алъ для проектировашя, и останавливаться на примйрахъ этого
разсчета здйсь мы считаемъ излишнимъ.

Прямолинейный раскосный стропильный фермы.
ПодраздЪлеже фермъ.
Раскосный стропильный фермы съ прямыми ногами могутъ быть
подразделены на 2 класса:
Фермы 1-ГО класса имеютъ подъ каждой ногой тяги и раскосы,
длина которыхъ увеличивается по м'ЬргЬ удалешя отъ опоръ къ коньку.
Примерами такихъ фермъ могутъ служить апглгйсюя и американстпя
фермы, изображенный на фиг. 3. 4 и 5.
Фермы 2-ГО класса имеютъ тяги и раскосы, симметрично распо¬
ложенные относительно средины ноги. Примеромъ такихъ фермъ можетъ
служить ферма Полонсо (фиг. G).
Фермы 1-го класса.
Определен!© усилю, передающихся на раскосы и тяги въ т—ой
панели.
Пусть обозначаютъ:
21 — пролетъ раскосной фермы 1-го класса,
2п — число ея панелей,
q — равномерно распределенная нагрузка, приходящаяся на по¬
гонную единицу длины въ горизонтальной проекщи фермы.
Тогда на каждый верхшй узелъ фермы будетъ передаваться грузъ.
Нагрузка можетъ быть передаваема на ферму двояко:
1) нагрузка можетъ лежать непосредственно на верхнемъ поясе
фермы; тогда части пояса, расположенный между узлами, будутъ испыты¬
вать сгибаше отъ лежащей на пихъ нагрузки; въ этомъ случае обре¬
шетина находится непосредственно па верхнемъ поясе фермы;

16
2) нагрузка передается въ узлахъ фермы посредствомъ прогоновъ,
на которыхъ покоится обрешетина *),
Въ дальн'Ьйшихъ выводахъ мы будемъ предполагать существоваше
1-го способа передачи нагрузки, т. е. непосредственное распред'Ьлеше
на верхнемъ поясе фермы.
Давлеше на опоры будетъ
Пусть обозначаютъ:
с, с3 с3	—длины раскосовъ,
itt w2 г/3	ип Л — сжимаюпуя усил!я въ раскосахъ,
хх х2 х3	хп — проекцш длинъ раскосовъ на горизонталь,
h2 h3	и hn — разстояше отъ верхнпхъ узловъ фермы
до оси затяжки, где hn—f—подъемъ крыши,
(1Л d2d3	dn i — длины тягъ,
t2 t3	tn^ — усил1я растяжешя въ тягахъ,
	Sn-1—усилю сжатая въ частяхъ верхняго пояса.
T0Tt Т2	7^,— усил!я растяжешя въ частяхъ нижняго пояса.
Длина пояса сжатая будетъ
Введемъ обозначешя
- = 6 и
п
I
—= а
п
Тогда	Ь: а = s: Z.
Изъ всей фермы выделимъ ш-ную панель (фиг. 7), ограниченную
частью пояса сжатая съ усил!емъ Sm, пояса растяжешя съ усил!емъ Тт,
расколами ст и сш_ь1 и имеющую тягу dm.
Если m-ый узелъ, т.-е. точка е (фиг. 7), отстоитъ отъ опоры фермы
на разстояше р, где
I
,
п
*) Въ этомъ случай ферма воспринимает!» па себя въ узлахъ сосредоточенные
грузы, а прогоны испытываютъ на себй изгибающее дЪйств!е нагрузки.

17
тогда моментъ внешнихъ силъ для узла е напишется такъ:
Мт=.-. V'.g-q.^,
&
или
. . 16.
Натяжеше (т—1)-ой части нижняго пояса будетъ определяться
равенствомъ
следовательно
2п — т
Тт 1 q'f ' 2п
16,а
Такимъ же образомъ изъ yp-ia моментовъ внешнихъ силъ относи¬
тельно (ш-|-1)-го узла, т.-е. точки /'(фиг. 7), будемъ иметь:
rr I* 2п—т—1	’
	”•
Для панели 0 (фиг. 3, 4 и 5), где w—О, усил!е въ нпжнемъ поясе
будетъ
Для paBHOB'l.cia усилй, действующихъ на узелъ et (фиг. 7), не¬
обходимо, чтобы алгебраическая сумма проекцй ихъ на горизонталь
равнялась нулю; следовательно, разность натяжетй
должна равняться сумме горизонтальныхъ проекцй усил!й растяжеша fm
тяги dm и сжапя ит раскоса сИ1, т.-е.
18.
Изъ чертежа (фиг. 7) видно, что
ит. Cosft:tm. Cosr = x1lt:ei е2
<\ е2: ел е3 = hm: hm+1 = т: (ж + 1)
е3=а—хт.
2

18
Следовательно
ит. Cosft:tm. Созу=хт.(т4г1у,т(а— хл) . . . . 19.
Р4шая урчя 18 и 19, получимъ:
(ш+1),д;„,
w.«+o;m
VO'S
	 д .У т(а — ж„,)
2п ./ т . и 4- хт
Но
Cos0=xm:c„,
Cos у = (о — ®m): dm.
следовательно, уси.йе сжатая въ пропзвольномъ раскосЬ будетъ вычис¬
ляться по формул^:
2n.f
с
		т
т , а 4- х
■ di
20.
О-1-i).
а для опред’Ьлешя усил!я растяжешя въ произвольной тяг'Ь получимъ
формулу:
Q t IP	гы
t = -—у. . т .	т,		21.
2п. t т . а + хт
Определимъ теперь ycinie сжайя въ верхнемъ поясе.
Горизонтальная слагающая усилгя Sm сжатия верхняго пояса рав¬
няется усилпо (т — 1)-ой части нижняго пояса за вычетомъ горизон¬
тальной слагающей ж-го раскоса *); а само ycinie сжайя будетъ равно
горизонтальной его слагающей, умноженной на s: I; следовательно
«	q»l.s I	(w+1)-2L\
Sm= i	 2n — m — v
2n, f\	m , a + xm /
. 22.
Заметимъ, что для панели, имеющей знакъ О, усил!е сжайя ие
зависптъ отъ положешя раскоса и будетъ определяться по формуле
(см. 17ft):
ф.2»-1

t 2п
Помимо геометрической очевидности, въ этомъ можно убедиться также изъ
разсмотрЪшя моментовъ дЬйствующихъ вн'Ьшнихъ силъ.

19 —
Определено etca w-ой панели.
При изм'Ьнеши х отъ #=0 до х~а будутъ изменяться и уашя
и длина разсмотр'Ьнныхъ четырехъ частей панели фермы, и задача
прямолинейннхъ фермъ стропить сводится въ дальнййшемъ къ опреде¬
ленно такого значенья .г, при которомъ сумма весовъ этихъ четырехъ
частей наименьшая.
Обозначимъ чрезъ
к — коэффицьентъ прочнаго сопротивления матер!ала фермы при
растяжеши,
7^ — то же при сжатш въ раскосахъ,
/г2 — то же при сжатш въ поясахъ.
Если Р будетъ ycnjie, растягивающее или сжимающее одну пзъ
частей фермы, то общее выражеше для площади поперечнаго сечешя
растянутой части будетъ Р\к, а для сжатой—Р\кх или Р\к2.
Если X будетъ длпна разсчитываемой части, а г—весъ кубической
единицы матер!ала, то веса матер!ала, входящаго въ составь частей
фермы, будутъ иметь видь одного пзъ следующихъ выраженй:
Р	Р	Р
т .	X	. У,	или — . 2 .	или	у- . X . /.
Il	‘	h'x	^2
Разбивая ферму	на	2п	равныхъ	по	длине	частей, определимъ
весь, входяпцй въ составь той части, которая лежитъ между перпенди¬
кулярами П)п п
Пусть
к	к
Весь раскоса будетъ
НО
С™ • km —1“ хт,
следовательно, пользуясь формулой 20, получимъ для определенья веса
раскоса:
7С=Д • (т 4- 1).	■
2/// k ~ 7 чп.а-\-хт к
Такимъ же путемъ весь тяги dm при помощи формулы 21 будетъ
вычисляться такъ:
К=&*_ . т.	+(" — «□*. Г.
2 u f ’ m. a-}-xni к
о*

20 —
В'Ьсъ т—ой части пояса сжатья будетъ (см. формулу 22):
Г, = 2п - ш - (т- +1-)	•
2nf \	т. а -|- xj к
Поясъ растяжешя съ длиною хт будетъ имЪть вгЬсъ (см. фор¬
мулу 16, а):
ql* 2п — ш г
2 f 2п ' Х,п' к ’
а в4съ пояса растяжешя съ длиною ехе% (фиг. 7) при помощи фор¬
мулы 17 вычислялся такъ:
Соединяя два посл4дше в4са въ одно общее выражеше, получимъ
в'Ъсъ пояса растяжешя между перпендикулярами hm и h„^v т. е. на
длин'Ь </. Это будетъ вйсъ
Полный вгЬсъ т—ой панели, не принимая во внпмаше в^са скрЪп-
лешй въ узлахъ, можно написать теперь такъ:
	»
гдЪ А, В, С и D—слагаемыя, вошедппя въ сумму при образованы ея
изъ перечислепныхъ и разсмотр'Ьпрыхъ выше четырехъ ея частей:
А=	(w+1)/?
в_ А;,+1+(« — ' т)°-
т . а + хт
D = (2п — т — 1) . а хт.
ОпредЪлен!е наивыгоднЪйшаго расположежя нижнихъ узловъ фермы.
При изм'Ьнеши х отъ о до а, вйсъ панели фермы будетъ изме¬
няться. Найдемъ услов!е, которому должно удовлетворять расположеше
нижнихъ узловъ фермы при наименыпемъ ея вгЬсе. Для полученья этого

— 21 —
услов!я надо взять 1-ю производную отъ Z по и приравнять ее ну .по.
Отбрасывая постоянныя величины, придется брать 1-ю производную отъ
выраженья дроби, у которой знаменатель равепъ
m . а -|- z,
а числитель пишется такъ:
4" (а ~ г)8] 4'/9 (т +	+;/;2) —
— г • & • /А (т 4~ 1) r 4-	. а +
V
Выражеше 1-й производной, обращенной въ нуль, посл'Ъ первыхъ
преобразован^ напишется такъ:
1	Ъ2
1 I 2_ |
.г;2	2.г ]	' т ' т. сг
т* . а* т.н' (»ь + 1)(/9 + 1)
0 • 1> т , 8 Ь ■
- ~mi ■ а'2\ а ‘1,1 =0	24
Но	Ъ : и = s : I
= (,« +1)*.	= А2 (in j . 1
<Г	(1“ . П“ I*
Вводя значеше этихъ ве.хичинъ въ формуху 24, получимъ,
	.

ПК . (К Hf . ((	1*
1 4- /А
т(1 +/9)
откуда
1 + lYh- г. •+л)_ 1
ж . а V \	12/\ т 14-/?/
или окончательно
т
| 1
<( 7 V 1 Н		—п
J V т 1 Н- /9
25.
— 1
Это и есть искомое услов!е. Но такъ какъ уси.пя въ раскосахъ
растутъ съ возрасташемъ ихъ длины, поэтому для упрощешя посл4д-

22
няго вывода можно было бы принять, что постоянно для всЪхъ рас-
косовъ сжатая и равно /9. При этомъ допущеши получимъ:
*„,= т . а
m + 1

Ш
26.
Ферму, удовлетворяющую условно 26, будемъ называть рацгональ-
ной фермой.
При существовали услов!я 26 сравнимъ в4съ ращональной фермы
съ в'Ьсомъ другихъ наиболее употребительныхъ типовъ фермъ, а именно
съ вйсомъ фермъ
съ вертикальными стойками (фиг. 4), гд4 ./;т= О
съ вертикальными тягами (фиг. 5), гд'Ь xt = а
и съ в'Ьсомъ фермъ Полонсо при числгЪ панелей, равномъ четнымъ сте-
пенямъ 2.
Фермы рацюнальныя.
Г$ /ш + 1 J
х = ш . а -,\	1
L I V т J
Введемъ обозначеше:
<1* — v
2nf
Сводъ всЪхъ данныхъ для разсчета усилШ въ этихъ фермахъ пред¬
ставляется въ такомъ видЪ:
Сжатае раскосовъ
«,=£.(»,+1) —
■m . a + x
Натяжеше тягъ
t= Е. т
d
III
ni. a + x
9 9H
Сжатае верхняго пояса
(in -f- 1). x
2n — m —

т
Сжатае верхняго пояса панели о
SQ=E.8T(2n— 1).
6

23 —
Натяжеше нижняго пояса
2’,„= Е(2п — т — О-
НагГряЖеше нижняго пояса панели о
Т0=Е(2п— 1).
Введемъ обозначешя
В4съ w-ой части нижняго пояса будетъ по предыдущему:
/	Im 1
Va = N ( 2п — 2т — 1 + m . г \

\	V m
Вгъсъ всего нижняго пояса получится, взявши сумму п. такихъ чле-
новъ, въ которыхъ m будетъ изменяться отъ о до п—1. Эта сумма
будетъ:
-V • г	+ 1) + Ат. п2	27.
В'Ьсъ ?н-ой части верхняго пояса по предыдущему будетъ:
/ _	/ I i Ч Г \! 'т	+ 1)

Ъ = ЛТ- г~ V	— ('” + *)	/—z—т=

4	г у m (пг 4-1)
= N. г2. /У (^2п — m — (m 4~ 1) + у/m (m + 1)
Вгъсъ всего пояса сжатья получится, взявши сумму п такихъ чле-
новъ, въ которыхъ т будетъ изменяться отъ о до п — 1. Эта сумма
будетъ:
N.r.	\/ т (ш 4- 1) + N’ .п2. в	28.
Весъ раскоса по предыдущему найдемъ въ такомъ виде
V 	 Д! /? Ш + 1	—
с	а 'т.а-{-хт
= AL zy [ г (1 4“ фп(т 4— 1 > — 2т(т 4- 1)].

24
Впм велъхъ раскосовъ получится, взявши сумму п — 1 такихъ
членовъ, въ которыхъ т будетъ изменяться отъ 1 до п—1. Эта
сумма будетъ:
N. /?	[г(1 + 2т)\/т(т + 1) — 2ш(ш + 1)]-	•	29.
Совершенно подобнымъ же образомъ вгьсъ втьхъ п — 1 тягъ по¬
лучится въ виде той же суммы, представляемой формулой 29, только
безъ коэффищента р. Эта последняя сумма, не написанная здесь, пусть
имеетъ текупцй пумеръ 30.
Часть веса N.n* пояса растяжешя и N.n*. г2 пояса сжапя
представляютъ собою ту величину веса, которую имела бы ферма безъ
раскосовъ.
Въ самомъ деле, какъ мы видели (см. форм. 1), натяжеше тягъ,
связываюгцихъ подошвы ногъ фермы безъ раскосовъ, равно q /2: 2f
длина тягъ — а. следовательно, весъ матер!ала затяжки будетъ
п.а	2
. 7 — N. п\
2f k r
Нога у фермы безъ подкосовъ будетъ разсчптываться по силе
сжатья	длина ноги а,. п. г; следовательно вест, ея будетъ
JV.jr.r2./?.
При существоваши раскосовъ у фермы, въ поясахъ ея получается
добавочный весъ матер!ала
N.r. 2 (т + i) н
Эти две последняя величины отличаются одна отъ другой только
коэффищентомъ /?, какъ и веса раскосовъ и тягъ (см. форм. 29 и 30).
Но такъ какъ р выражаетъ собою отношеше принятыхъ коэффищентовъ
прочпаго сопротивлешя матер!ала, следовательно, отличительное свойство
рацюнальныхъ фермъ заключается въ томъ, что въ нихъ
сумма произведешь усилгй на длину раскосовъ сжаты равна
суммп> произведений усилий на длину тягъ растяжешя-
такое же соотнотеше суи^ествуетъ и относительно добавочных?,
■усилш поясовъ.

25
Складывая предыдущая выражешя в!совъ отд!льныхъ частей, не
принимая во внпмаше в!са скр!плен!й въ узлахъ, получимъ в!съ по¬
ловины фермы въ сл'Ьдующемъ вид!:
к=2х(1 + /?)[>• 2?1 е» +	+ i)+2i >т(т + х)'1+
4- у.«2(1 + №.р)	31.
Съ. точностно, достаточною для ц'Ьлей практики, можно принять, что
2Г'("' +(т + V—S;1 • i |w+1)-
Тогда
V = 2У(1 4- (У)2Г’ k' “ + wl) + rK + i)] +
+ ,v.n2(l + ></?) 	32.
Произведя въ формул! 32 суммироваше, вместо алгебраической
суммы, имеющей своимъ коэффищентомъ 2Л(1-{ ,?), получимъ следую¬
щее выражеше:
('г_1)|з + 4 + ,Г-1)-И-(^^+2) •
Поел! этого
,.=№z|1+,.,,+2(,j+1)^4+£+(,._1)44|.:i,
И окончательно посл!днее слагаемое въ скобк! предыдущая вы¬
ражешя можно написать такъ:
'L±l 1,5г+2//(г-1)+- 1-2'	.	34.
Наивыгодп!йшее расположеше раскосовъ было найдено нами для
случая равномерной нагрузки, действующей по всему пролету фермы,
а между т!мъ стропила, кром! такой нагрузки подвергаются еще одно¬
стороннему д'Ьйствпо в!тра.
Успл1я въ раскосахъ, какъ это можно проследить по сд!лапному
выводу, пе зависать отъ того, д!йствуетъ-ли нагрузка съ одной сто¬
роны, или она распространяется по всей ферм!, такъ какъ разность
натяжешй нпжпяго пояса, по которой определяются усилия въ раско¬
сахъ, остается величиной постоянной въ обоихъ случаяхъ.

26
Добавочное натяжеше въ поясахъ фермъ уменьшится при этомъ
на некоторую постоянную величину, которая не войдетъ въ выражеше
производной при опред'Ьлеши min. в'Ьса.
Нагрузка отъ вйтра вообще представляетъ собою сравнительно
небольшую часть общей нагрузки, на которую разсчитываются стропила,
поэтому безъ особой погрешности можно принимать для разсчета поя-
совъ нагрузку отъ дййствгя вйтра продолженною и на другую сторону.
Въ стропилахъ же съ большимъ подъемомъ дййств!е вЪтра слЪ-
дуетъ брать, какъ одностороннюю нагрузку, въ противномъ случай по¬
перечные размйры частей стропилъ выходятъ излишне большими.
Англшсшя фермы съ вертикальными раскосами.
.V = О
. фиг. 4
Сводъ вейхъ данныхъ для разсчета усилШ въ этихъ фермахъ по¬
лучимъ изъ предыдущихъ общихъ формулъ, полагая въ нихъ
.V = 0.
такъ какъ при
I
и	а = - •
п
Натяжеше тягъ
h"‘+' ■
Сжатие верхняго пояса
ql* /
f г\2н — 'т)-
Сжатие верхняго пояса панели О
• /

27
Натяжен1е нижняго пояса
Т = ----- • (2п — т — 1).
2« . /
Натяжеше нижняго пояса панели О
0 2nf v 7
Подобно предыдущему найдемъ и вЬсъ вс'Ьхъ
В4съ нижняго пояса
частей.
3
2П
п
2,
. .35
В'Ьсъ верхняго пояса
<9 2Г‘(2и — т — 1) + .V. г2. /? (2п — 1) =
>.з
~2f к
36.
В'Ьсъ стоекъ
Чп
к ’ п
6 к
1
п

п
37
В'Ьсъ тягъ
£
2/’
п
+ 1)У*
9
П“
ql у п - 1
‘If Л ц‘
<‘2 • п .
6
38.
Полный в'Ьсъ полуфермы будетъ
у_<№ 7_ 3
‘if' Н2
г2 • /У — 1
2п
г2'# , w —1
п2 п2
1	5 /У и '3 — 1
2“бм + 3
п
39.

28
И окончательно
+1)-.-3П1	4°-
П- I J
Фермы съ вертикальными тягами.
г = а	фиг.	5.
Сводъ вс'Ьхъ данныхъ для разсчета усилй въ этихъ фермахъ полу¬
чимъ пзъ предьгдущихъ общихъ формулъ, полагая въ нихъ х=а, Тогда
d = %
Сжапе наклониыхъ раскосовъ
и -	.
2n.f
Натяжеше вертикальныхъ тягъ
1=—-.
2п
Средняя тяга имЪетъ вдвое большее натяжеше сравнительно съ
тгЬмъ, что даетъ эта последняя формула, такъ какъ эта тяга (rf4 на
фиг. 5) совмЪщаетъ въ себЬ двгЬ тяги двухъ полуфермъ.
Сжапе верхняго пояса
S —	(2н — т — 1).
,n
Сж-aTie верхняго пояса панели О
Натяжеше нижляго пояса

29
Натяжеше нижняго пояса панели О
Т =	(2п — 1)-
0 2nfv 7
Длина нижняго пояса панели О равна 2а. В'Ьсъ нижняго пояса
выразится такъ
Лг(2и — 1)	— т — 1) =
=	1	_ 1А	41.
2f	к\2'2п	п2/
Вйсъ верхняго пояса
=	 42.
‘If /,•	‘ \2	2и/
В*Ьсъ раскосовъ
(i7 п—1(, , р »(2»— 1)\
2/’ к ’	‘	«	/

В^съ тягъ
. <.v-lwl(w+i)=
2п к п	k	’
_ (Л f п(гг— 1) _
'2п2' к '''	3
г а
2f к 1? 3\ п)
В'Ьсъ полуфермы при х = а будетъ
п2 "I" I2 \ 3	2"1"()ю+ 3/г )
И окончательно
г=57? 1+г2./? + ^-Ч1,5 + и(г2—1) +
к L	I
+ ^(2,5-г2)-АП	45.

Фермы 2-го класса.
Въ разсмотр'Ьнныхъ выше фермахъ раскосы и тяги каждой после¬
дующей панели принимаютъ на себя дгЬйств!е нагрузокъ вс'Ьхъ преды-
дущихъ панелей. Въ фермахъ 2-го класса (сист. Полонсо^ фиг. 6) этого
н'Ьтъ, такъ какъ онЬ состоятъ изъ ряда симметричныхъ и подобныхъ
треугольныхъ фермъ, опирающихся на узлы сгЬдующихъ фермъ числомъ
вдвое меньше, а эти последняя опираются на сл'Ьдуюицй рядъ фермъ
числомъ опять вдвое меньше и т. д. При устройстве такихъ фермъ,
совпадаюпце по направленно тяги и пояса двухъ посл'Ьдующихъ рядовъ
фермъ совмещаются въ одно целое.
Хотя разсмотреше усил!й и веса для фермъ Полоисо можетъ быть
получено указаннымъ выше общимъ путемъ, но проще будетъ для по-
лучешя искомыхъ результатовъ воспользоваться отличительнымъ ея гео-
метрическимъ свойствомъ.
Рацюнальныя фермы 2-го класса.
Каждая элементарная ферма (фиг. 8)—на подоб!е фермы Полонсо—
состоитъ изъ двухъ панелей. Для полутени наивыгоднейшаго располо-
жешя раскосовъ въ этомъ случае, надо въ выражеше ж, дающее жш
веса и представляемое формулой 26, подставить т = 1. Тогда получимъ
Затемъ будемъ иметь
<’т = V&* + «ж (г \/2 — 1)г = ат\/3г2— 2 у/2г
+	>/бг2— 4^
Усише стойки

31
Усил1е наклоняй тяги
В'Ьсъ стойки
— 2).
В'Ьсъ наклонной тяги
Для средней стойки и тяги «т = - • Такихъ стоекъ п наклонпыхъ
‘2
тягъ—по одной.
, I
Для двухъ стоекъ и двухъ тягъ второго порядка имъемъ ат = - •
Для четырехъ стоекъ и 4-хъ тягъ третьяго порядка им'Ьемъ
о
и т. д.
ОбщШ вЬсъ стоекъ будетъ
k Р 4f\	/^2	>
ОбщШ в'Ьсъ наклонныхъ тягъ выразится такъ
/
/.•
4/ к
Натяжеше горизонталъныхъ тягъ, составляющихъ пижшй поясъ бу¬
детъ равно
1 I
Длина горизонтальной тяги
за исклточешемъ тяги О, для которой я=0 и длина которой равна I.
Общее выражеше вЬса горизонтальной тяги

32
Для тяги 1-й надо положить въ этой формулЬ ат = для вто-
2
рой	y, для третьей	и т. д.
4	о
Для горизонтальной тяги О вЬсъ будетъ
/
к ' ‘If '
Полный в'Ьсъ горизонтальныхъ тягъ будетъ
У сипе
будетъ
лЬвой половины пояса сжайя каждой элементарной фермы
1	si/
2	• fl ' (,m •	2',J 'f'r'
длина ея
Усил!е
S = r . а 4
HI	Ш •
правой половины пояса сжапя по общей формул'Ь равно
1	/1 , 1 \
+ri/d-
Сумма этпхъ уснпй обпмхъ половин?, верхняго пояса
1
?2
I
q-f
а
in
и в'Ьсъ ихъ
/ z
4 f‘k'V'2
P-r ,
ат
Для фермы 1-й въ этихъ формулахъ надо подставить ат — для
фермы второй — - для третьей — и т. д.
Поясъ сжайя фермы О составляет!» исключен!е. Длина его равна
I. г. yciriie его
1 I2
2*гг’
и в4съ пояса О равенъ
1 ql3
2” f ‘Г

33
Обпцй в'Ьсъ пояса сжатш вс'Ьхъ элементарпыхъ фермъ будетъ
g£3
4?
Сумма
гд'Ь п—число панелей, кратное степенямъ 2, т. е. 2, 4, 8, 16... и т. д.
Обпцй вгЬсъ всЬхъ частей половины рацюнальной фермы 2-го класса
будетъ
f . £[1+,У • г2 + 2|/? + 1)^2 - 1)(1 - 1)1	47.
ы ] П' L	74’/ J
На фиг. 8 изображена рацюнальная симметричная ферма съ чис-
ломъ панелей 2п = 16.
Обыкновенный фермы Полонсо.
Обыкновенно ферму Полонсо строятъ, придавая стойкамъ паправ-
леше, перпендикулярное къ поясу сжатая (фиг. 6).
Въ этомъ случай
	К
= “т +	— Г' ‘ “т
Усн.Не стойки
1
«ж = 7 • “ •
Уси.не наклонныхъ тягъ
Уси.пя и длины нижняго пояса равны усил!ямъ и ддинамъ наклон¬
ныхъ тягъ.
Поясъ О имЬетъ то же устше, что и въ предыдущемъ случай.
Усил1е 1-ой л'Ьвой половины пояса сжатая равно
1	s
2	7 * ат>
3

34 —
У с и.lie 2-ой правой половины пояса сжайя
Is	f
2 * <1 *	Q. * & '
Сумма обоихъ усилий пояса сжат!я дастъ
Поясъ фермы О имйетъ сжимающее усил!е, какъ и въ предыду-
щемъ случай, равнымъ:
В4са всйхъ частей, аналогично съ предыдущимъ, получаются въ
слйдующемъ видй:
В4съ стоекъ или раскосовъ
V	4-lj.l4.l4.	V
с~4 к ’\ +2+4+8+	/
2 к \ п)
Сумма вйсовъ тягъ и пояса растяжешя, исключая панель О, по¬
лучается такъ:
Вйсъ пояса сжайя безъ панели О
Вйсъ пояса сжайя панели О
Ч— ^1 г*
2f' к
В4съ пояса растяжевая панели О
L
4f‘k '
Сумма вйсовъ пояса сжайя и стоекъ

35
Заменяя
s2 = г2 •
обпцй вйсъ обыкновенной полуфермы Полонсо (фиг. 6), у которой стойки
перпендикулярны къ ног-Ь, получимъ равнымъ:
	«•
Не трудно видеть, что в4съ обоихъ видовъ фермъ Полонсо, т. е.
ращональной и обыкновенной, по формуламъ 47 и 48 получится Одина,
ковымъ при условна
г8
— =>•^2 — 1,
а
откуда
>-=А
т. е. обыкновенная ферма ПОЛОНСО удовлетворяешь условью min
вььса только тогда, когда стропильный ноги составляютъ съ горизон-
томъ уголъ въ 45\
з*

Сводъ данныхъ для опредЪлешя усилю въ частяхъ рацюнальной и
обыкновенной фермъ Полонсо.
Этотъ сводъ данныхъ приведенъ здесь для обеихъ фермъ съ чи-
сломъ панелей 16, т. е. при я = 8, Фермы Полонсо съ числомъ пане¬
лей более 16 строить не сл'Ьдуетъ, т. к. оне представляются мало
выгодными.
На фиг. 8 изображена ферма рацюнальная, а на фиг. 9—обыкно¬
венная, у которой стойки перпендикулярны къ пог!; фермы.
Въ треугольникахъ между отдельными элементами фермы поставлены
цифры 1, 2	14, 15, пользуясь которыми весьма удобно делаются
обозначешя различныхъ частей фермы.
Напр., стойка hi па фиг. 8 будетъ носить назваше стойки 10—17,
тяга г к (фиг. 8) будетъ тягою 14—15, поясъ сжапя he (фиг. 8) бу¬
детъ поясомъ 12, поясъ растяжетя к I (фиг. 8) будетъ поясомъ 7 и т. д.
Ферма рацюнальная — фиг. 8, число панелей 2п=16.
Усилия въ пояаъ сжатъя вычисляются по общей формуле вида
где А и В — величины, переменный для различныхъ панелей и
Для панели . . .
1
3
7
15
Величина С...
15 ;
7
3
1
— 1
16 I
8
4
2

37
Натяжеше въ тягахъ вычисляется по общей формул^ вида
D
Для тягъ. .
Величипа D
2—3; 9—10; 4—5: 11—12 | 4—7; 10—14 |
6—7; 8-14
1 14—15
11—15 13—15
1 1 !
2
1
- I -
16	8
16
4
8	16
Силы сжатья стоек» вычисляются по формул^
Для стоекъ .
Величина Е.
7 — 14 3 — 4; 10 —11| 1—2; 5 —6; 8 —9; 12—13
1	1	I	1
2	4	|	8
Ферма обыкновенная — фиг. 9, число панелей 2п=16.
Усилю в» поясп> сжапия вычисляются по формул^
1»г <lf
		 		 Г 	 г .	.
16 f	г
Для панели . . .
; 1
2
5
1 G
8
9
12
13
Величина F. . .
1
1
3
1
5
3
7
0
|	1
8
•1
8
2
8
4
8
Усилия въ поят растяжешя вычисляются такъ
Для панели ...
1
3
7
1 15
1
15
7
3
!
1
Величина Н...
16
8
4
2
Натяжение въ тяшхъ вычисляется по формул!
/
Для тягъ .
2—3; 9—10: 4—5; 11—12
4—7; 10-14
6-7; 8—14
14—15
11—15
13—15
1
1
3
1
3
7
Величина К.
Тб
Тб
4
8
Гб

— 38 —
Силы сжатля стоекъ вычисляются по формул!)
м I
N q.--
г
Для стоекъ .
7 — 14
3 — 4; 10 — 11
1 — 2; 5 —6; 8 — 9; 12 — 13
Величина N.
1
1
1
2
4
8

Данныя для сравнешя eica фермъ 1-го и 2-го класса.
Въ выражешяхъ в4са пяти разсмотр4нныхъ нами фермъ 1-го и
2-го класса, т. е. въ формулахъ
33, 40, 45, 47 И 48,
имеется одинъ общШ членъ вида
27’*(1+А'?)’
А] tv
т. е. вйсъ треугольной фермы безъ раскосовъ и тягъ. Вычитая эту
постоянную величину изъ формулъ в4са, получцмъ сравнительный вы-
раженгя тпаъ частей в)ьса разныхъ полуфермъ, которыя зависятъ
отъ расположенья ихъ раскосовъ, или добавочную величину къ в4су
треугольной фермы безъ раскосовъ и тягъ. Для краткости будемъ назы¬
вать эту величину просто добавочнымъ вп>сомъ отъ раскосовъ и тягъ.
Выведемъ обозначенге:
-$■1

Величины добавочнаго вгЬса будутъ:
Въ рациональной ферлиъ 1-го класса (см. формулы 33 и 34),
гд4 х определяется по форм. 26:
Ф	-1) + ?(1 -	• • .50.
3	\	п\ 4/ пА/
Въ фермгь х = о (см. форм. 40):
Л ^+4, - «I 1 -1-0,5г4 .	. 4 Зг4\ к.
Ф 1’эг + п +n(r4-l)--rl • • .51.
О '	Н	tv /
Въ ферлиь х = а (см. форм. 45):
Ф.ф(1,1) + ?^■ .53.

— 40
Въ (fiej)Mib Полоню рациональной (см. форм. 47):
Ф .2(^!-i)(^-l)(l-J)	53.
Въ ферма» Полонсо обыкновенной (см. форм. 48):
. . 54.
Изъ разсмотр'Ьшя вс'Ьхъ этихъ формулъ видно, что величины до*,
бавочнаго в'Ьса во всЬхъ фермахъ пропорщональны 1).
Для нагляднаго сравнешя между собою формулъ 50, 51 52, 53
и 54 въ дальн'Ьйшемъ вычислена величина множителя, который слЬ-
дуетъ за Ф въ каждой формул'Ь. Этотъ множитель названъ чрезъ А.
При вычислены А принято, что:
1)
Подъемъ крыши f составляетъ ея пролета 2Z, т. е.
э
2) Числовое значеше
А2+Г__
а~Т~\1 I2 ~
1,077.
г= 1,16.
3) Отношеше прочнаго сопротивлешя на разрывъ и на сжапе =1.5.
Въ практик^ разсчета стропилъ, принимая во внимаше поправку ко-
эффищента сжапя по формул'Ь Шварцъ-Ранкина, величина /9 колеблется
отъ 1,25 до 1,65. Какъ замечено ранЬе, йзм'Ьнеше влгяетъ однообраз-
нымъ образомъ на изм'Ьпеше добавочпаго вЬса вс'Ьхъ разсмотрЬнныхъ
фермъ.
Принявши въ основаше разсчета, при сравнены фермъ между со¬
бою, вышеприведенныя числовыя величины, числовое значеше коэффи¬
циента А будемъ вычислять по формуламъ:
Ферма ращональная:
Л=11(4,«3«8 + »,385 +^613—5-3,85).
3	\	п п* /
Ферма	х = О
Л=Н 4,35 + 0,4« + ^--^4) •
3 \	и п2 /

41
Ферма
о (з,75 + 0,4и	•
□ \	п п* /
Ферма Полонсо ращональная
Л = 2,6144 (1— -) •
\ п1
Ферма Полонсо обыкновенная
Л = 2,9 -(1 — -У
v п/
Добавочный вгЬсъ фермъ
Таблица величинъ А для сравнен!я между собою добавочнаго вЪса
фермъ.
1	.
Фермы перваго класса.
Фермы Полонсо.
Рацюналь- | Обыкновен-
п
In-	1
1 Рацюналь- i
пая.	1
х = 0.
.г = а.
пая.
1 ная.
2
1,3077 i
1,65
1,45	|
1,307
1,45
4
1,8387
2,1313
1,9063
1,9607
2,175
8
; 2,3979
2,6359
2,4172
1 2,2875
2,5375
16
3,4209 ’
3,6543
3,4434
2,4509
2,7187
ПримЪчаше КЪ таблиц^ величинъ А. Формулы вЪсовъ вс'Ьхъ долу-
фермъ, разсмотр'Ьнныхъ нами, представляютъ собою точный выражен!я,
за исключешемъ формулы в'Ьса для ращональной фермы 1-го класса, при
составлены которой точный процессъ суммировашя зам'Ьненъ прибли-
женнымъ, бол'Ье простымъ, дающимъ результатъ съ точностью, доста¬
точною для ц'Ьлей практики. Но для получешя данныхъ для бол'Ье точ-
наго сравнешя между собою вЬса различныхъ фермъ, въ таблиц'Ь и для
ращональной фермы высчитаны величины А точнымъ образом?,, не поль¬
зуясь данной зд^сь приближенной формулой.

42
Изъ таблицы величинъ А видно, что, при увеличети числа панелей
отъ 2 до 8, в4са добавочныхъ частей фермъ (подкосовъ и тягъ) увели¬
чиваются почти въ 1,8 раза.
Вйсъ полуфермы безъ раскосовъ, при выбранныхъ нами величи-
нахъ и г, будетъ
Ф(1 +г2 • 0) = 2,74 • Ф.
В4съ ращональной фермы 1-го класса съ двумя панелями будетъ
Ф(2,74-1-1,31) = 4,05 • Ф,
а съ восемью панелями
Ф(2,74+ 2,40) = 5,14 • Ф.
Отсюда ясно, насколько ваоюенъ вопроса о выборы числа панелей
для даннаго пролета,
Сравнеше добавочныхъ в'Ьсовъ полуфермъ, приведенныхъ въ таблице
величинъ Л, показываетъ, что:
1)	выса рацЮНальнЫХЪ фермъ 1-го и 2-го класса почти одина¬
ковы при числп панелей до восьми (т. е. до п = 4);
2)	при числп панелей болпе 8 рацюналЬНЫЯ фермы 2-го класса
легче рацЮНалЬНЫХЪ фермъ 1-ю класса;
3)	изъ остальныхъ ферма. употребляемыхъ въ практикп, фермы
съ вертикальными тягами (х = а) по своему вгьсу ближе всего под-
ходятъ къ рацгональнымъ,—и потому именно, что при выбранныхъ нами
величинахъ г и 0 числовое значеше х близко подходитъ къ а.
Такъ какъ по отношение къ сборк'Ь и установка между разсмот-
р'Ьнными нами фермами н'Ътъ никакой разницы, то въ практическомъ
отношеши стоимость фермъ можетъ быть принимаема почти пропорщо-
нальною весу употребляемаго на нихъ матер!ала. Следовательно, вообще
говоря,
рацгональныя стропильныя фермы дешевле, чпмъ фермы,
обыкновенно употребляемый въ практики).
Изъ той же таблицы видно, что р.ьзкой разницы между вгьсами
фермъ, правильно разсчитанныхъ, не получается, такъ что, въ силу
практическимъ соображешй (подвеса потолочныхъ балокъ, передачи со-
средоточенныхъ грузовъ и проч.), постановка каждой фермы можетъ быть
оправдана, даже и при несколько увеличенномъ ея весе.

— 43 —
Поправки въ теоретической формул^ вЪса фермы.
Примйняя вышеприведенныя формулы къ практическимъ разсчетамъ,
необходимо принять въ соображеше величины коэффищентовъ /9 и
которые для простоты нашихъ выводовъ были взяты равными. На са-
момъ дйлй, если для разсчета сжатыхъ частей фермы по1ьзоваться фор¬
мулой Шварцъ-Ранкина^ то для фермъ 2-го класса, какъ имйющихъ
менышя длины сжатыхъ раскосовъ, коэффшцентъ р будетъ меньше, чймъ
для фермъ 1-го класса, слйдовательно, и в'Ьсъ сжатыхъ стоекъ первыхъ
фермъ будетъ меньше.
Равнымъ образомъ, при употреблеши готоваго матер!ала на изд4ше
стропилъ, нйтъ иногда практической возможности придавать каждому
раскосу и каждой тягй свои отдельные размеры, получаюпцеся по раз-
счету, вс.гЬдств!е чего получается отступлеше отъ теоретическаго вйса;
и это отступлеше для раскосовъ фермъ 1-го класса всегда будетъ больше,
ч'Ьмъ для фермъ Полонсо.
Увеличеше в'Ьса противъ высчитанной теоретической его величины
приходится д'Ьлать, имйя въ виду следующее:
1)	Стыки поясовъ и прикргЬплен1я раскосовъ при ^заклепочныхъ
соединешихъ ослабляютъ рабочее сйчеше частей, примерно, на 15—20%.
Въ случай употреблешя шарнирныхъ соединений этого ослаблешя нйтъ.
но зато работа шарнирныхъ соедпнешй въ стропилахъ стоить гораздо
дороже заклепочныхъ.
2)	Невозможность подобрать желйзо строго пропорщонально уси-
л!ямъ, дййствующимъ въ панеляхъ, заставляетъ употреблять одинако¬
вые размйровъ матер!алъ для двухъ н трехъ панелей, несмотря на
разный усил!я, действующая въ нихъ.
3)	Каждый стыкъ для связи поясовъ съ раскосами и тягами тре-
буетъ для себя опредйленнаго добавочнаго количества матер!ала.
Какой бы родъ соедпнешй ни былъ выбранъ для фермъ, самую
цйнную часть работы составляетъ выполпеше стыка.
Въ случай заклепочныхъ швовъ, стыки берутся фасонной или пря¬
мой формы, выкраиваются изъ листового желйза и представляютъ собою
наиболйе трудную часть работы по изготовление стропилъ. Для малыхъ
размйровъ фермъ, пролетомъ до 4 саж., стыки дйлаются изъ листовъ
1	5	3	1
отъ - до — дюйма, при болыпихъ пролетахъ—отъ - до - д.
4	16	8	2

44
Хотя в'Ьсъ стыковъ и зависитъ отъ усилШ, но эта зависимость вы¬
ражается въ слабой степени: при малой величине пролета в'Ьсъ стыка,
конечно, будетъ меньше, ч4мъ для большого, но зато относительная его
стоимость въ общей цЗигЬ издМя стропилъ для большого пролета бу¬
детъ меньше, чгЬмъ для малаго. Изъ ц'Ълаго ряда примйровъ разсчета
стропилъ выяснилось, что в'Ьсъ добавочнаго матер!ала стыковъ надо счи¬
тать не мен'Ье 1 пуда на каждую панель.
Передача нагрузки на фермы.
Стропила, установленный на м'Ьсто, прпнпматотъ на себя нагрузку
передающуюся на кровельный матер!алъ, покоюпцйся на обр'Ьшетинахъ.
Передача отъ нихъ давлешя на фермы д'Ьлается пли непосредственно,
если обрешетина лежитъ на поясе фермы, или же посредствомъ про-
гоновъ, которые прпнимаютъ па себя равномерную нагрузку отъ обре¬
шетины, а затемъ передаютъ ее на узлы фермы въ виде сосредоточен-
ныхъ нагрузокъ.
Въ 1-мъ случае, т. с. когда обрешетина лежитъ непосредственно
на ферме, поясъ сжат1я у фермы подвергается действие сгибающпхъ
моментовъ отъ равномерной нагрузки, лежащей между двумя смежными
узлами пояса; при этомъ величина сгибающаго момента каждой панели
верхняго пояса будетъ
если г/0 будетъ нагрузка на квадр. единицу площади крыши,
е — разстояше между фермами и
I
а —	длина панели.
п
Въ случае прогоновъ, идущихъ вдоль крыши по узлам» фермъ,
поясъ сжапя пхъ не испытываетъ па себе сгибающаго действ!я. Опо
передается въ этомъ случае на прогоны, и величина сгибающаго мо¬
мента для прогона будетъ
'/о • « • -у

Въ зависимости отъ разстояшя между стропильными фермами можно
решить вопросъ, что будетъ выгоднее — ставить-ли прогоны или класть
обрешетину непосредственно на верхшй поясъ фермы.

— 45 —
Не принимая въ разсчетъ матер!ала, который пойдетъ на обре¬
шетины, всегда окажется выгоднее класть последнюю непосредственно
на пояса стропиль; по если принять во внимаше также п весъ обре¬
шетины, то окажется, что, если разстояше между узлами фермъ меньше
растоян!я между самыми фермами, выгоднее ставить продольный про-
гонъ, Но при этомъ весъ матер!ала, затраченнаго на прогоны, всегда
будетъ больше, чемъ весъ добавочпаго матер!ала въ поясе сжайя,
появляющагося вследств!е сгибашя пояса нагрузкою.

ОпредЪлен!е числа панелей фермы,
При данномъ пролете фермы в4съ растягиваемыхъ и сжимаемыхъ
частей ея возрастаетъ по м'Ьр'Ь увеличешя числа панелей п. В4съ до-
бавочнаго матер!ала въ поясе сжапя, появляющагося всл4дств!е сгиба-
тя пояса нагрузкою, наоборотъ, уменьшается по м4р4 увеличешя п\
кроме того, одновременно съ этимъ повышается и допускаемая вели¬
чина сопротивлешя въ поясе сжапя, всл4дств!е уменыпешя длины па¬
нелей. И надо выбрать п такимъ образомъ, чтобы стоимость всего
устройства была min.
Задача объ определены наивыгоднййшаго числа панелей въ общемъ
алгебраическомъ виде представляетъ болышя затруднешя, поэтому здесь
мы остановимся на разсмотр'Ьши числового примера, предполагая, что
обрешетина лежнтъ непосредственно на верхнемъ поясе и состоитъ изъ
сплошныхъ досокъ шириною 6 дюйм.
Нагрузка на крышу отъ ветра, снега, кровельнаго железа и
обрешетины, при среднихъ
1 1
уклонахъ крыши отъ до - пролета, вы¬
ходить не более 1 пуда на 1 квадр. футъ (около 175 килогр. на
1 кв. mt). Весъ идущаго по крыше человека (5 пуд.) можно предпо¬
ложить передающимся на 2 смежныхъ обрешетины, т. е. на полосу
сплошной обрешетины шириною въ 12 дм.
Пусть е выражаетъ въ фут. разстояше между стропильными фер¬
мами. Тогда сгибаюпцй моментъ, который передается на полосу обре¬
шетины въ 12 дм. шириною, будетъ
еа. 12 , 5е. 12
Л=—5	1		— пудо-дм.
О	4
Прочное сопротивлеше дерева сгибашю примемъ въ 30 пуд. на
1 кв. дм. Тогда модуль сопротивлешя доски обрешетины въ 12 дм.
шириною будетъ
6	20 1 2

— 47
Откуда толщина досокъ въ дюймахъ
/ е* - е
d-V40 + 4’
гдгЬ е — въ фут. Принимая в'Ъсъ 1 куб. фут. дерева—1 пуд., весъ
1 квадр. фута обрешетины получимъ равнымъ
1	/е2 , в
12V40 + 4 ПУД-
При е = 7 фут	д= 1,72 дм.
„ е= Ю „		d=2,25 „
Обыкновенно обрешетина делается не толще 18/4 дм., поэтому и
разстояше между фермами принимаютъ въ 7 фут.
Если обрешетина лежитъ на прогонахъ, то разстояше между ними
по горизонтали равно разстоянпо а между узлами фермы, и весъ
1 квадр.фута обрешетины будетъ
Если а бо.гЬе е, то вгЬсъ обрешетины, лежащей непосредственно
на фермахъ, будетъ меньше, чемъ при существоваши прогоновъ; а
если а будетъ менее е, тогда, наоборотъ, весъ обрешетины, лежащей
на прогонахъ будетъ меньше, чемъ безъ нихъ, но зато въ этомъ слу¬
чае прибавляется еще весъ прогоновъ.
Съ точностью, достаточною для нашихъ разсуждешй, зависимость
между величинами сгибающаго момента и весомъ сопротивляющейся
ему балки можетъ быть получена изъ техъ таблицъ, который даютъ
весъ и модули сопротивлешя разныхъ сортовъ железа, употребляемаго
въ поясе сжатгя.
Разсмотримъ случай применешя двутавровыхъ балокъ, нормальные
профили которыхъ, выработанные Обществомъ германскихъ гснженеровъ,
имеютъ следуюпре модули сопротивлешя W въ куб. дм. и весъ v
въ пуд. на 1 погонный футъ:
N балки.
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
W куб. дм.
1,2
1,6
2,1
2,65
3,36
4,13
5,05
6
7,2
8,5
9,9
V пуд. .
0,12
0,133
0,154
0,18
0,21
0,234
0,266
0,3
0,333
0,368
0,407

— 48 —
Съ достаточною точностно зависимость между в'Ьсомъ 1 погон,
фута балки и ея модулемъ сопротивленья можетъ быть выражена
формулою
п=о?12 j/W	57.
Можно было вместо этой найти и более строгую зависимость,
прибавляя во 2-й части некоторое постоянное, причемъ тогда изменится,
конечно, и коэффищентъ 0,12. Но полученное такимъ образомъ более
точное выражеше не окажетъ никакого влшшя на опредйлеше числа
панелей, потому что п не изменяется непрерывно, а должно быть цгЬ-
лымъ числомъ.
По форм. 55 величина сгибающаго момента каждой панели верх¬
няго пояса будетъ
__ qn.e F л
	т- 12 пудо-дм.
8 гг
Принимая коэффищентъ прочнаго сопротивленья железа сгибанпо
въ 300 пуд. на 1 кв. дм., получимъ
I .

г = 0,0084 •	. е •
В'Ьсъ балки, употребленной на полупролетъ длиною получится
0,0084 J(J. . е	58.
п
При употреблеши железа, шНпощаго въ с&чеши видъ буквы зетъ,
зависимость между вЪсомъ 1 погон, фута въ пуд. и модулемъ сопро¬
тивленья въ куб. дюйм, можетъ быть выражена тою-же формулою 57,
какъ легко усмотреть изъ данныхъ следующей
ныхъ профилей желпза-зетъ:
таблицы
для п
ормаль-
N профиля. .
3	4	5	:	6
1 8
10
12
W куб. дм. .
0,25	0,41	0,64	0,9	1
V |
2,7
4,2
V пуд.. . .
0,061 0.078 ; 0,097 0,114
0,16
0,207
0,25
Иногда сеченио стропильной ноги придаютъ однотавровую
образуя ее склепывашемъ двухъ уголковъ и одной вертикальной
форму,
полосы
между ними. Изменяя въ этомъ случае размеры полосы можно изме-

— 49 —
нять соответственно и W для нея, предполагая, что весь сгибающШ мо¬
ментъ воспринимается только одною полосою. При высоте полосы h и
толщине ея модуль ея будетъ
TV	Л
W=—— куб. дм.
О
ВгЬсъ 1 погоп. фута железной полосы съ размерами d X будетъ
v = 0,093 d- 0,228
Толщина полосы
d.
Величина 0,228
5
16 ДМ-
0,127
1
Т п
0,114
3
0,137
Данныя этой таблички показываютъ, что формулу 57 можно при¬
менять и въ этомъ случай съ достаточною точностью. Поэтому во всехъ
случаяхъ возможно будетъ также применеше и формулы 58. Заменяя
въ ней
вЬсу нагрузки, отнесенному къ 1 длины пролета, получимъ весъ балки,
сопротивляющейся действие сгибающихъ моментовъ, на каждую полу¬
ферму—въ видЬ
/2 _
0,0084 --у/q	58,а.
п
Пользуясь этимъ выражешемъ, не трудно решить вопросъ и о наи-
выгоднейшемъ расположены обрешетины, прогоновъ и стропильныхъ
фермъ. Для этого нужно будетъ внести выражеше 58,ft въ формулы
веса фермъ, данныя выше, взять 1-го производную веса по п и при¬
равнять ее нулю.
Выделяя постоянный количества, независяпця отъ п и отбрасывая
члены, содержание въ себе множителемъ величины 1: п и 1: п2, какъ
почти не оказываюпця вл!яшя на весъ полуфермъ, значенье наследуемой
4
50 —
функцш, отъ которой надо будетъ брать 1-ю производную, для рацио¬
нальной фермы 1-ю класса получимъ вт такомъ виде:
- Z2
Z=0,13 . Ф.п+ >/-]-0,00315.^.—	59.
Min этой фупкцш, а также и веса фермы, получится при значе-
ши п, опредйляемомъ изъ формулы:
м 0,0084
п~ "" 1+0,13- Ф~
60,
гдЪ Ф определяется по формул^ 49.
Принимая, какъ и ранее,
е=7 фут.—разстояше между стропилами,
к = 300 пуд. па 1 кв. дм.—допускаемое напряжете въ железе
на растяжете,
У = 0,093 пуд.—весъ погоннаго фута полосы железа съ сечешемъ
въ 1 кв. дм.,
q = 7 пуд. — нагрузку на погонный футъ фермы въ горизонталь¬
ной ея проекцш (соответственно нагрузке въ 1 пудъ на
1 кв. футъ) п
I
Г = 2,5, найдемъ
0,093 - 7 V
ф = ~Ь^7 = °’т7125-'
0,0084 • /2-^ = 0,022 • 1-.
Тогда для ращональпой фермы 1-го класса:
22-Z2
П ~ 1000-|-0,35 ■ Г1 '
1	I I I
При 1=7	14 | 21 ; 30 I 42 60 фут.
п=1	2,3145	6
.'II
Если I будетъ очень большая величина, то
_ / 22
п — около У 0	>
. 61.
т.-е. тогда придется взять п = 8. Следовательно, при взятыхъ нами
нагрузкахъ и при разстояши между фермами е = 7 фут., больше 8 па-

51
нелей на полупролетп» строить не выгодно, даже и при самыхъ боль-
шихъ пролетахъ.
Не трудно вид'Ьть, что при полу пролетахъ до 40 фут. число па¬
нелей пропорционально 1:7. и это будетъ приб тизительно та цифра,
которую выгоднее всего употреблять, какъ величину панели.
При малыхъ пролетахъ, если принимать в'Ьсъ стцковъ мен*е выше-
данной нами величины (1 пудъ на панель), пане.п» выходить около
6 фут.
Если бы, при вс*хъ прочихъ одинаковыхъ данныхъ, взять разстоя-
Hie между стропильными фермами въ 14 фут., то нашли бы:
0,13 Ф — 0,0007 • Z2
0,0084 • Z2 • \/</= 0,0314 •/2
31-/2
31-Z2
ЮОО-т-0,7 • Z2
62
Для п = 1	• 2	3	4
I = 5,74 j 11,9 19,1| 28,4
43
79.
Когда I будетъ очень большая величина
Внося въ выражеше в'Ьса рацюнальной фермы 1-го класса
гд* I — въ фут., при взятыхъ нами нагрузкахъ, подъем* фермы и при
разстояши между стропилами въ 7 фут., получимъ:
в*съ полуфермы 1-го класса рагцональной системы
F= 0,3 + 0,011	0,00005 ?3	63,
гд'Ъ V — въ пуд., а I — въ фут.
Обращаясь теперь къ формул* в*са рацюнальной фермы 2-го класса,
не трудно вид'Ъть, что зд*сь число панелей оказываетъ незначительное
вл1ян1е на возрасташе в*са, Пренебрегая для краткости* разсуждешй
этимъ вл!яшемъ вовсе, придемъ къ тому, что зд*сь число панелей зави-

52
ситъ отъ в'Ьса стыка и в'Ьса матер!ала балки, выносящей на себе сги¬
бающее д4йств!е силъ.
Принимая в4съ стыковъ на панель въ 1 пудъ и вЬсъ балки пояса
по формул'Ь 58,а, изъ выражешя 1-й производной отъ Z по п, обра¬
щенная въ нуль, найдемъ для рацгоналъной фермы 2-го класса:
п = 1- ^/0^022^=0,15 J	64.
Следовательно, величина панели выходить здесь равною
а=- = 6,6 фут.
п
Взявши	= ?: 6,6, гдЬ I — въ фут.
е = 7 фут.
и принявши тй же данныя, что и ранЬе, относительно нагрузокъ и
подъема крыши, получимъ:
в'Ьсъ полуфермы 2-го класса ращональной системы
V= 0,25 •?+ 0.01446 -Z2	65
гдЬ	V — въ пуд., а I — въ фут.
ВЬса полуфермъ остальныхъ системъ также могутъ быть приведены
къ формуламъ, подобнымъ 63 и 65. Не останавливаясь на этомъ, за-
м^тимь только, что наивыгоднгьйшее значение п во воъхъ разсмотрпм-
ныхъ здн>сь фермахъ 1-го класса одинаково.
Предыдупця разсуждешя велись въ предположеши, что обрЬшетина
передаетъ дЬйств!е нагрузки непосредственно на верхшй поясъ фермы.
Въ случай устройства прогоновъ верхшй поясъ не будетъ испытывать
на себ'Ь сгибающая дЬЙств1я силъ, а потому вышеприведенный способъ
опред'Ьлешя п зд'Ьсь надо будетъ применить къ отысканпо наивыгоднйй-
шей комбинащи вЬса стропиль и вЬса обрешетины.
Въ случаЬ существовашя прогоновъ величину панели также нельзя
делать более 7 фут., такъ какъ при этомъ возрасташе веса обреше¬
тины и ея стоимости идетъ быстрее, чемъ уменыпеше веса стропи.гь,
обусловливаемое уменьшешемъ числа панелей. Кром'Ь того, если дать
панели болыше размеры, то верхшй поясъ будетъ иметь бол'Ье длин¬
ный сжимаюпцяся части, и это вызоветъ возрасташе поправочная коэф¬
фициента пояса сжапя.
Къ т'Ьмъ же числовымъ величинамъ длины панели (отъ 6 до 8 фут.)
придемъ и въ случае железной обрешетины. Исключеше составить только
— 53 —
случай употреблешя волнистаго железа въ качеств^ кровельнаго мате-
piaaa, когда принятые размеры его таковы, что оно можетъ выносить
обычную нагрузку на разстояши 10 —12 фут. Въ этомъ случай и
длину панелей также слйдуетъ брать отъ 10 до 12 фут.
Если въ стропилахъ нижшй поясъ не горизонталенъ, а имйетъ
слабый уклонъ, то поправка въ опредйлеши наивыгоднййшаго располо-
жешя панелей выходить очень незначительна, но вйсъ стропиль значи¬
тельно возрастаетъ, такъ какъ вмйсто величины f подъема крыши въ
формулы усилий и вйса войдетъ разность подъемовъ верхняго и нижняго
поясовъ.

Разсчетъ прямолинейной и параболической фермъ безъ
раскосовъ въ случай дЪйств!я сосредоточенной на¬
грузки.
Сосредоточенными нагрузками являются въ заводскихъ здашяхъ
контръ-шафты приводовъ, привесы подъемныхъ механизмовъ для уста-
ч новкп обрабатываемыхъ предметовъ и т. п.
Если въ точкгЬ 7), отстоящей^ опоры А (фиг. 1 п 2) на разстояши z
д'Ьйствуетъ сосредоточеннный грузъ Р, то въ произвольномъ с'Ьчеши,
имЗпощемъ координаты х и у и лежащемъ между точками А и D мо¬
ментъ будетъ
л/, = Vt .х — Н.у,
а въ с'Ьчеши, лежащемъ между D и В, выражеше момента напишется
такъ:
М2 = V^l-.^-H.y	66.
При этомъ
Зависимость между у и х въ прямолинейной фермй будетъ
а въ параболической она дается уравнешемъ 5:
. 21.x— х2

55
Внося эти значешя въ выражешя для п ЛГ2, будемъ имйть
для прямолинейной фермы между А и С (фиг. 1):
Л/, = Р. х .
V
I — X
Л между сйчешями С и В, гдй
yp-ie 66 обращается въ нуль.
Для параболической фермы
M^P.J^-P.x.J-^-
,,		 Г ТЬ I 	 Х
Mi=p.;.-r_p.*.;. — .
Не трудно видйть, что и Jf2 для прямолинейной фермы бу-
дутъ положительны для всякаго х при произвольномъ я; для параболиче¬
ской же фермы оба момента могутъ быть и положительны, и отрица¬
тельны. Положительными моментами въ разсматриваемомъ случай будутъ
тЬ, которые, деформируя балку, приближаютъ ее къ горизонтали АВ,
а отрицательными—тй, которые при деформацш удаляютъ ось балки
отъ горизонтали АВ.
Положительный значешя для параболической фермы меньше,
чймъ для прямолинейной, при произвольномъ z и для всйхъ х.
Отрицательное значеше Мх можетъ быть для параболической фермы
только въ случай
„ . 2 7
z оолйе - I.
о
Наибольшей положительный моментъ получается въ сйчеши x = z,
и величина его будетъ:
для прямой
Mt-.= Mt=P.

67
для параболы
Л Г	TI /Г	г>	2 Z   &
э/1=>,=р.г. —,
— 56
т. е. наибольийй положительный моментъ для параболической фермы
меньше, чгъмъ для прямолинейной.
Взявъ въ случай параболы 1-ю производную отъ М. по х и при-
равнявъ ее нулю, получимъ
3 7
х~ - I и
2
max. М, = — Р-4-	68.
8
Следовательно, если сосредоточенный грузъ дййствуетъ на левую
ногу параболической фермы, то наибольийй моментъ вызовется лишь
въ правой ногй, и онъ будетъ равенъ
_ 7 J J
Въ прямой фермй въ сйчешяхъ певагруженной ея ноги мо¬
ментъ = О.
Наибольшее отрицательное значеше въ параболической ферме
можетъ имйть мйсто только
2
при z болйе — I.
о
Координата этого сйчешя получится, взявъ 1-ю производную отъ
‘Л, по х и приравнявъ ее нулю, что даетъ
Зг — 21 ,
При этомъ значеши х получимъ
max. М. =	— • (32 — 2/)2.
1 8я 4
Эта величина max. будетъ для всйхъ значешй z менйе шах. М2,
и только въ случай груза, подвйшеннаго въ вершине параболы, обе
эти величины будутъ равны.
Сравнивая разсчетные моменты для прямолинейной и параболиче¬
ской фермы, выражаемые формулами 67—68, видпмъ, что они будутъ
8 7
одинаковы при z — — . I.
У

57
СлЪдовательно, если сосредоточенный грузъ приложенъ на раь-
. в 1
стоящи —I отъ опоры, то моментъ, по которому надо разсчиты-
у
ватъ прямолинейную ферму и параболическую, будетъ одинаково.
Q
При £ менйе — I моментъ въ параболической фермй меньше,
g
чймъ въ прямой, при £ болйе — I — обратно.
У
Въ практике, при устройстве мастерскихъ, никогда не приходится
нагружать стропила сосредоточенными грузами близко къ вершинй
фермы.
Если же предвидится возможность перемещать сосредоточенный
грузъ по всему пролету, то параболическая ферма будетъ легче прямой.
Для последней въ этомъ случай получимъ при £ =
max. М. = /< —.
1	4
а для параболы при £=0,423.1.
тах.Мх =
Въ случай двухъ грузовъ, симметрично расположенныхъ, по¬
лучимъ:
для параболы
лг -п (л	\	XZ\
Мх=Р.Х\1		 Ч- ^2 )
/ / 	 z>.\	2
а для прямой — выражешя Мх и Д/2 остаются тй же, что и при
одномъ грузй.

А Р о ч н ы я
параболичесн1я Фермы.
ВЪсъ параболической фермы безъ раскосовъ и наклонныхъ тягъ.
Равномерно распределенная по всему пролету нагрузка не вызы-
ваетъ въ параболической арке сгибающихъ моментовъ, следовательно,
при такой нагрузке пЪтъ надобности ставить раскосы, имеюпце целю
уменьшить величину сгибающаго момента.
Натяжеше тяги (см. формулу 1) было найдено равнымъ
Следовательно, весъ половины тяги будетъ
Сжапе арки въ произвольпомъ сечеши (см. формулу 15) будетъ:
S=H- Cos а (Vi — q • zj • Sin а,
где Ft = q • I — давлеше на опору.
Длина элемента дуги кривой есть d х: Cos а, и весъ пояса сжатая
полуфермы будетъ
К = Г[#+?(/-.<) • tffa] • (te.
Предполагая, что параболическая ферма выполнена ращонально,
т. е. удовлетворяетъ. уравнение 5 (см. стр. 8-ю),
2F х — х2	г
V=f	р		5,

— 60 —
найдемъ
. dif l — x
(J-p
4f
Вводя обозначеше, отмеченное формулой 49 и не принимая въ
разсчетъ сЬкущихъ усилШ, обшдй в'Ьсъ половины арочной фермы полу-
чимъ въ такомъ виде:
Р=Ф-[1+/?(1+4^)]	 69.
Параболически фермы съ раскосами.
Выгодность замШы раскосовъ системою наклонныхъ тягъ
При односторонней нагрузке (р на 1 длины) въ параболическпхъ
аркахъ появляются сгибаюнце моменты.
Умепыпеше этихъ последпихъ можетъ быть достигнуто здесь
такъ же, какъ и въ прямолинейныхъ фермахъ, т.-е. постановкою раскосовъ.
Какъ определеше усилий въ раскосахъ, такъ и отыскаше напвы-
годнейшаго ихъ направлешя, подъ услов!емъ наименыпаго веса фермы,
можетъ быть выполнено и здесь по тому же самому способу, какъ и
ранее, въ случае прямолинейныхъ фермъ.
При односторонней нагрузке полупролета давлеше на опоры будетъ
Моментъ внешнихъ силъ въ произвольной точке ( г у) нагружен¬
ной стороны арки будетъ
3	/	1	2
М = -р -1 • х — - • р • л.
4^	2
Для точки г (фиг. 10) въ м-ой панели,
/
при	X = iU • (I = III

II

61
, r 1	3 m n — 2 w2
M/zzz-• П • Z2	*

m' 4 1	n
. ... 70.
Разстояше точки г отъ пояса растяжешя по уравнение параболы
(см. форм. 5) будетъ:
Натяжеше нижняго пояса въ ш-ой панели
.	1^-	7 Р ‘ Р Зп—2 т
' 2и	 —
Натяжеше нижняго пояса въ (т-|- 1)-ой панели
	1Г L 	р • Z2 Зм — 2ш — 2
*’"+1 = <+1:— -ц • -у№_ш_1 ’
Разность натяжешй, по которой определяюсь сжатае и растяжеше
соотв'Ьтственныхъ раскосовъ и тягъ, будетъ
i > —fi li	-		 . .71.
”,‘и	4 f (2 п —ш)(2 п — т — 1)
Прп перемйщеши нагрузки съ одной половины фермы на другую,
моментъ внйшнихъ силъ въ той же точкгЬ (ж, у) будетъ:
f =1>1*	п

4 • f 2 п — т
_р-1* п
А разечетная разность натяженй будетъ:
/ 	/ _ Р '19		... 72
M‘+1 4f "а(2п—ш)(2п — —1)	’
т.-е. при пвренесеши нагрузки съ одной стороны фермы на другую,
разность натяженги нижняю пояса въ двухъ смежныхъ панеляхъ мн~
няетъ только знакъ, не изменяя своей величины.
Такъ какъ при разсчет4 фермы необходимо разематривать случай
нагрузокъ на каждой ея половин^, поэтому каждый раскосъ будетъ
— 62 —
подвергаться дййствпо одинаковыхъ усилШ растяжешя и сжатая, смотря
по положенно неравномерной нагрузки.
Разность въ усил!яхъ поясовъ двухъ смежныхъ панелей отъ одно¬
сторонней нагрузки, сравнительно съ полной величиною усил!я въ поя-
сахъ отъ постоянной нагрузки, настолько невелика, что при отыскаши
наивыгодн'Ьйшаго расположешя раскосовъ можно ограничиться задачею—
отыскать такое расположеше раскосовъ, при которомъ ихъ вп>съ былъ
бы win.
Разлагая подобно тому, какъ это делалось для прямолинейныхъ
фермъ, разность усилШ tm— по направленно с и <1 (фиг. 10), по¬
лучимъ следующее:
если па раскосъ с действуешь сжимающее (или растягивающее)
ушше
«7г
то на раскосъ d буцеть действовать растягивающее (или сжимающее),
т. е. обратное устше, величина котораго будетъ
где по фиг. 10
Весъ раскоса с будетъ пропорщоналенъ
<?•
В'Ъсъ раскоса d будетъ пропорщоналенъ
Q - nm:h„+l.
Но	С* = .Г* ! Af„.
</*=(«— г) *+л;;,+1.
Сл'Ьдовательно, вн>съ двухъ раскосовъ данной панели будетъ про-
порщоналенъ величине
г)Ч-Л*+11	73.

— 68
Взявши 1-ю производную отъ L по х и приравнявъ ее нулю,
получимъ после алгебраическаго преобразовавши что:
Ж Cl X	л
J 	*4,
"«4-1
т. е. min вп>са у двухъ раскосов» данной панели получится тогда,
когда оба они будутъ наклонены к» поясу растяжения под» одинако¬
вы мъ угломъ, или (р = д\ на фиг. 10,
Мы не останавливаемся подробно па развиты полнаго р'Ьшешя
вопроса о наивыгодн'Ьйшемъ проведены раскосовъ въ параболической
ферме стропилъ по сл'Ьдующимъ соображешямъ:
Односторонняя нагрузка на стропильпыя фермы представляетъ со¬
бою слагающую дЪйств!я ветра, и величина ея гораздо мешЬе постоян¬
ной нагрузки, т. е. равномерно распределенной по всему пролету. Эта
постоянная нагрузка состоитъ изъ веса стропилъ, обрешетины и
подшивки, кровельпаго матер!ала и веса снега. Постоянная же нагрузка
не вызываетъ натяжешй въ раскосахъ параболической арки, но она
даетъ паиболышя уашя въ поясахъ. След., раскосы въ этихъ аркахъ
надо разсчитывать по сравнительно малой величине односторонней на¬
грузки, и если принять въ соображеше, что длина раскосовъ сжапя
въ аркахъ будетъ больше, чгЬмъ въ прямолинейныхъ фермахъ, то сде¬
лается яснымъ, что употреблеше сжатыхъ частей большой длины при
слабыхъ уси.няхъ повлечетъ за собою слишкомъ невыгодное употребле¬
ше матер!ала. Въ этомъ случае замена раскосовъ системою тяг» или
хорд», связывающпхъ разныя точки дуги съ ея подошвами, представитъ
значительный выгоды, какъ по экономы матер!ала, такъ и по простоте
работы.
Если при составлены проекта, для большей надежности разсчета
раскосовъ, сделать предположеше, что часть снега лежитъ на одной
стороне фермы, то п въ этомъ случае постановка системы тягъ будетъ
выгоднее устройства раскосовъ, такъ какъ пояса фермъ должны быть
разсчптаны, предполагая распределеше нагрузки отъ снега по всему
пролету.
Пояспимъ сказанное простымъ примеромъ на четыреугольной прямо¬
линейной ферме (фиг, 11).
Пусть узлы ея В п D воспринимаюсь одинаковую нагрузку Q,
подъ действ!емъ которой части АВ, BD и DE будутъ сжиматься, а
часть АЕ будетъ растягиваться. Теоретически такая ферма остается
въ покое и безъ хордъ и безъ раскосовъ.

64 —
Снимемъ часть Р нагрузки съ узла 2), тогда усил!е Р на узлй I?,
равное снятой части груза съ узла Л, потребуетъ (для сохранены
равнов'Мя фермы) устройства или раскосовъ или хорды.
На фиг. 11 представленъ случай употреблешя раскосовъ, а на
фиг. 12 дано примкнете тягъ.
Усил1е раскоса с (фиг. 11) равно Р, в4съ его будетъ
/м
гдй /9 — отношеше допускаемыхъ напряжешй при растяжешя и сжатпг.
На тягу d будетъ передано усил!е
1,РЛ.
3 h
Вйсъ тяги d
Z 1 р ‘J* —Z 1 p a* + hi
k’t It k ’ 3 ’ ‘ h '
Сумма вйсовъ раскоса с и тяги d будетъ
11— к’ 3/г

Вопросъ объ измйнешяхъ уси.пй сжапя и растяжешя частей
А 77, В D, DE и ЕА не разсматриваемъ, такъ какъ эти части
должны быть разсчитаны по наиболыпимъ и одинаковымъ нагрузкамъ Q.
Въ случай примйнешя тяги A D (фиг. 12) вмйсто раскосовъ, она
будетъ имйть натяжеше
и ея вйсъ будетъ
Разность вйсовъ
V-V-Y.P Р’11'-"'
‘ к	h

— 65 —
При обыкновенныхъ данныхъ для разсчета стропилъ величина 0 вы¬
ходить не меп'Ье 3*), и разностъ — V* будетъ въ пользу устрой-
х	1	1
ства хорды, если подъемъ фермы составляете отъ - до - ея пролета.
5	6
Кром'Ь того, при хорд*Ь избегается матер!алъ и работа стыковъ въ
узлахъ В и В± (фиг. 11 и 12).
Замена раскосовъ хордами въ арочныхъ фермахъ значительно упро¬
щаете работу по изготовление послйднихъ. Прикр'Ьплете хорды къ тгЬлу
дуги арки (одинъ болте) гораздо проще стыка раскосовъ и поясовъ обыкно¬
венна™ типа. Кроме того, какъ увидимъ далее, хорды даютъ возмож¬
ность гораздо легче разбить арку па части равнаго сопротивлешя по
отношение къ сгибающимъ моментамъ.
Насколько намъ известно, въ технической литературе до сихъ поръ
еще не появилось разсчета арочныхъ стропильпыхъ фермъ со многими
тягами, а потому въ дальнейшемъ мы остановимся более подробно на
теоретической части такого разсчета. Но прежде чемъ дать р^шеше
общей задачи при п хордахъ, пояснимъ ходъ разсчета при трехъ тя-
гахъ. Такой прхемъ облегчите читателю трудъ — проследить алгебраиче¬
скую часть р'Ьшешя вопроса объ п хордахъ.
*) Для примера возьмем!»
5 фут. = 60 дм., а =10 фут., Л 2? = 30 фут.;
примомъ одностороннюю нагрузку отъ дЪИспмя вътра и части спЬга около 0,28 иуд.
па 1 кв. фут. При разстояши между фермами въ 7 фут., получимъ
Р=О,28 . 7 . 10 = 20 иуд.
Если взять самый малый уголокъ 1 X 1 Хи ДМ., то для пего отпошеше длины
о
къ наименьшей ширпнъ съчелия выходить 60, и поправочный коэффищентъ сжапя
по форм. Loewe (см. таб. 13 изъ табл. БЪлелюискаго и Богуславскаго, издаше 3-е,
1894) выходить 0,3. Поперечное сЪчешс уголка—около j кв. дм. Усил1е, отнесенное
къ сЪченпо въ 1 кв. дм , будетъ
20 : i = 80 = it|,
4
а напряжете матер!ала длинной стойки будетъ 80:0,3 = около 27о иуд. С.тЬдов., брать
желЪзо еще моныпихъ размЪровъ уже нельзя. Въ случав тяги, независимо отъ раз¬
меров!» ея сЪчешя, можно принять напряжете матер!ала при растяженш равным»
к = 3.50 пуд. и
/9 = к : кх = 350 : 80 = 4,3.
5

Арочныя фермы съ тремя тягами.
ОпредЪлеже натяжен!й тягъ.
Фиг, 13 изображаетъ схему арочпой фермы съ 3-мя тягами, одной
горизонтальной А В и двумя наклонными A и В С, т.-е. съ 4-мя
шарнирами А, В, С и Сг Расположеше частей — симметричное, т.-е.
A D = В Dx = а
GD=C\ D^li.
Для всякая д’Ьйствующаго на арку груза Р, приложенная на раз-
стояши х отъ опоры А, можно определить натяжеше тягъ на основаши
yp-ifl моментовъ.
Обозначимъ чрезъ
Яо — натяжеше тяги АВ
Т-	.	.ВС
Т-	,	„ лсх
Ft — F2 — давлешя на опоры А и В.
Сумма моментовъ относительно точки даетъ
V^a^TC^+H.-C^,
а относительно точки С
V2(2l-a) = T^ CE+H. CD.
Если нагрузка Р будетъ приложена между узлами С и Сх на
разстояши хх отъ опоры Л, то:
Vta=TCtEt+HtCtDt
Vt =	■ CE+HfGD.
Для опредйлешя трехъ неизв'Ьстныхъ Т, Тх и Но этихъ двухъ
ур-н!й недостаточно.
Третье yp-ie получается изъ геометрическая разсмотрйшя поло-
жешя груза Р.

Такъ, папр., для всякая груза, приложенная между А и С (фиг. 13),
натяжеше тяги ВС —
Т= О,
такъ какъ въ это время дуга А С Сх будетъ сжата, и точка С откло¬
нится вправо. *
Такимъ же разсмотр'Ьшемъ можно определить относительное зна-
чеше натяжешя тягъ ВС и Ct А въ зависимости отъ положешя на¬
грузки между узлами С и Сг Очевидно, что для грузовъ, приложен-
ныхъ между точкою С и (7, т.-е. вершиною арки, тяга ВС мо¬
жетъ быть выкинута, или для нея Т=0.
Такимъ же путемъ можно определить натяжеше тягъ и при произ-
во льномъ ихъ числе. Если дано п тягъ, то всегда получится (п—1)
yp-ie моментовъ, и одно услов!е найдется изъ геометрическаго разсмо-
трешя положешя действующая груза.
Пусть Н и Нх будутъ горизонтальный слагающая натяжешй Т и Тх,
тогда для удобства вывода можно сделать замену:
ТС\ЕХ=Н СХКХ=Н-2
Тх > СЕ=НХ • CK=fft 2.
Когда найдены усишя для тягъ, тогда можно составить yp-ie мо¬
ментовъ относительно произвольная сечешя арки, изъ котораго и опре¬
делится сгибаюицй моментъ въ этомъ сечеши.
Пусть на параболическую арку (фиг. 14) действуетъ равномерно
распределенная нагрузка, величина которой на 1 длины пролета будетъ р.
При разсчете стропилъ ведутъ его, предполагая, что нагрузка распро¬
страняется отъ одной изъ опоръ до средины арки, напр. отъ А до N.
Величина этой нагрузки будетъ р • I, если длина пролета = 21.
Ур-ie параболы A NB, отнесенное къ началу координатъ въ точке
Л, было представлено формулой 5 (см. стр. 8 и 59), поэтому мы бу-
демъ иметь (см. фиг. 14):
2 I • а — а*
k=f	п

a-h	I — а
г = ,,-2Т^=2,,-Г- — -
Давлешя на опоры

68 —
Для принятаго нами расположения нагрузки тяга В С можетъ отсут¬
ствовать, т.-е. 1= 0.
Принимая точку С\ за цептръ моментовъ, пишемъ
откуда
Взявъ моменты всйхъ силъ въ сйченш арки, проходящемъ чрезъ
точку С, найдемъ:
п • а*
Vt	h +	-z,
откуда:
и iY' -'• i
*	2«(/—«) f f ‘	‘	’
т.-е. горизонтальная слагающая натяжения гпяггг A при распреде¬
лении равномерной нагрузки на половить параболической фермы не
зав-иситъ отъ величины а и будетъ одинакова при всехъ ноложенгяхъ
тяги.
Въ пред'Ьлъномъ случае, когда а = 0, т.-е. въ случае одной гори¬
зонтальной тяги, натяжеше ея при нагрузке половины фермы будетъ
выражаться тою же формулою 78, которая совершенно тождественна
съ выведенною нами ранее формулою (i.
Примечанье. При равномерной нагрузке всего пролета параболи¬
ческой фермы, тяги В С и С{ А пе испытываютъ натяжешя; тогда все
оно передается на нижнюю тягу, которая будетъ натянута съ усил!емъ
какъ это было найдено при выводе формулы 1.
ОпредЪлеже сгибающихъ моментовъ въ аркЪ съ 3 тягами и наивы-
годнЪйшаго расположен тягъ.
Въ произвольномъ сечешп 1) (фиг. 14), отстоящемъ на разстояши
х отъ опоры А и лежащемъ между А и jV, т.-е.
при X отъ О до I
М=^х-‘—	Н.-и-Н.у,

69
гдЪ HQ и Н} должны быть взяты по формуламъ 77 и 78, а
Л • х п 21х— х*— ах
и—у — — .	= f •	,9

J 21 — а 1	Z2
Внося эти величины въ выражеше Jf, посл'Ь преобразован^ по¬
лучимъ:
jf=l. » .	— ")	79.
4	2 I — a
При .r=0 и при х = а	71/’=	0.
Въ части
арки А С наибольшее
значеше момента будетъ при
какъ это видно изъ урчя
dM
0.
Для сЪчешя F (фиг. 15)
1
max • Jf=— р •
о2.? —о3
~21^~а~
80.
Отъ точки А, гд#1 М= 0, моментъ возрастаетъ до max въ точкЪ
F при х = затймъ онъ уменьшается и въ точк'Ъ С снова М ~ 0.
ДалЪе между С и N моментъ д'Ълается отрпцательнымъ, т.-е. изгибъ
арки идетъ въ противоположном?, паправлешп. и въ точкЪ А7, гдЪ х = 1,
2/ — а
81.
Для части дуги С\ N момептъ въ произвольномъ с'Ьченш D будетъ
ЛГ, = Г, (27 - х) - на. у - Щ . и.
Тождественния съ предыдущими преобразованья дадутъ
,,	1		х)(1	о) 1> ,	.	о.
■',‘=41’	21-,,	-	. ■ ■	М,«,
гд’Ь х берется отъ I до (2Z — а).
Въ точк'Ъ N, т. е. при х = /. yp-ie 82 даетъ величину MQ (см.
форм. 81). а
при	х = 21 — а	=	0.

70 —
Наибольшее значеше получится при значеши
, 8ZS —5/.« + а*
’■='■ = —7=7=

которое найдемъ изъ услов!я
Тогда въ сйчеши Ft (фиг. 15)
maa>Mt = — ^-p- (2 Z2 +	~	■ • • • *82.
Следовательно, переходя отъ къ Ц, мы имйемъ все время
отрицательное значеше момента; между У в получается сначала
увеличеше момента, а затймъ величина его уменьшается и делается = О
въ Ct при xt = 2l — а.
Для части BCt арки моментъ въ произвольномъ сйченш ея 2>2
(фиг. 14) будетъ:
Jf,= Ка(2/-.2)-Я0.уа,
гд4 х изменяется отъ (21 — а) до 21,
После преобразовашя предыдущее равенство получитъ такой видъ:
1

2	4 г	21 — а
При х = 21 — а и при Х—21	J/2=0.
Наибольшее значеше ЛГ2 получится при значеши
которое найдемъ изъ услов!я
^■ = 0.
Въ сечеши F2 (фиг. 14) будемъ иметь
IT	1	7 a*
=	27=7,	м-
Следовательно, на протяжеши дуги В С\ моментъ остается отри¬
цательным^ въ точкахъ В и онъ равенъ нулю, а наиболыпаго
71
значешя онъ достигаетъ въ сйчеши F*, на разстоянш — отъ опоры В,
т. е, наибольшее сггебающге моменты, положительный въ части А С
параболической фермы и отрицательный въ части В относятся
къ сгьченгямъ F и F* (фиг, 15), отстоящимъ отъ опоръ на равныхъ
разстоятяхъ,
Выгибъ арки въ зависимости отъ измйнешя моментовъ, изслйдо-
ваннаго нами, представленъ на фиг. 15 толстымъ пунктиромъ.
Для арки съ тремя тягами мы получили 3 выражешя max, М,
представляемый формулами 80, 82 и 84. Не трудно видйть, что
max, М* всегда больше max, М.
Для наивыгоднййшаго распредйлешя матер!ала, сопротивляющагося
сгибающимъ усил!ямъ, необходимо, чтобы существовало равенство
max, — max, К	85.
Удовлетворяя этому условно, найдемъ
2
а = 0,68 J, или около — I	86,
<J
причемъ
max, Л, = max. = — 0,022 ,р . I*	87,
max. М= + 0,0072 .р Л*	87,а.
Въ случай арки съ одною горизонтальною тягою, полупролетъ ко¬
торой нагруженъ равномерно, моменты выражались формулами 8 и 12.
u	.	, I
Наибольшее ихъ значенхе получалось на разстояши — отъ опоръ и
£
было (см. форм. 11 и 13):
max,	0,00625-1*	11
max. Мг = — 0,00625 . р. I*	13
Эти формулы, по сравнение ихъ съ 87, показываютъ, что
въ параболической аркгь съ 3 тягами, расположенными наивыгод-
нтйшимъ образомъ, разсчетный сгибающей моментъ почти въ 3 раза
менгъе, чгьмъ для арки съ одною тягою.

72 —
Уситя сжатая въ аркахъ съ тремя тягами и съ одной.
Разсмотримъ отдельно усилия сжатая въ аркахъ:
1)	при нагрузке #.2Z, равномерно распределенной по всей длине
арки и
2)	при односторонней нагрузке р. Z, распределенной равномерно
на половине длины пролета.
На фиг. 16 уголъ касательной въ произвольной точке D съ гори¬
зонталью обозначимъ чрезъ а уголъ наклонной тяги съ горизонталью—а.
Индексы р и q при усишхъ обозначаютъ далее зависимость этихъ
усилий отъ нагрузокъ р.1 и q. 2 I.
Усипе сжатая отъ нагрузки на всемъ пролете (фиг. 16) будетъ:
Sq= Vq.Sinft-\-HQq. Cos ft.
Усшпе сжатая отъ односторонней нагрузки для нагруженной сто¬
роны фермы:
Sp = Vp. Sin ft -|- Н^р . Cos ft-]- Т1Р. Cos (а -|- ft),
а для ненагруженной стороны фермы
8, = V2P ' Sin 0 + НОР- C°S
Эти сжимающая усилия вызываютъ въ сечешяхъ арки добавочный
напряжешя къ темъ, который получились отъ дейстаия сгибающихъ мо¬
ментовъ.
Въ арке съ 3 тягами яаиболыше сгибаюпце моменты действуютъ
въ двухъ сечсшяхъ F и F2 (фиг. 15), отстоящихъ отъ опоръ на раз-
стояши и въ сечепш
для этихъ трехъ сеченШ
ваемыя усшпями сжатая.
J}, лежащемъ
и необходимо
около вершины арки. Только
определить напряжешя, вызы-
Изъ yp-ifl 5 мы имели
„ I — к
tff 0=2 ■ f- —]Г~
Изъ чертежа (фиг. 14) им'Ьли ранЪе:
.	_• h —г а
^а~ 41 — a ~f' 7*'

73
Для еЬчешя F (фиг. 15) при .г = у
Предполагая подъемъ арки въ — ея пролета, получимъ
Н-'-
Взявши затймъ
«=|г,
будемъ имЪть:
Sin 0=0,4:7	Cos а= 0.966
Cos 0=0,882	tg а = 0,266
tg 0 = 0,533 Cos (g — 0) = 0,97.
Для сФчешя F (фиг. 15):
7t = g7-r^ = 0,67-9-7.
Vp=1~'P —	у = 0,42 -p -I-
Такимъ же образомъ для сЬчешя Ft (фиг. 15):
Fg=0,67.g J
Fs/, = -|--;> •/=(»,25
По формул^ 87: ' '•
1 п. Z2
Ти> = Пп>: Cns « = 4 • у, C()S П = 0,645.р . I.
По формул^ 77:
1	7’
н-= £ '’■до=^ГМ7 '’
По формул^ 1:

74 —
Внося эти данным въ формулы сжимающихъ ушшй, получимъ
для обйихъ половинъ арки:
Sg=l,415.^J
для нагруженной стороны арки
Sp—1,238 .р. Z
для ненагруженной стороны арки
£,= 0,531.р J.
Для вершины арки, гдй уголъ /?=0, получимъ
£g=l,25.^J
£р = 0,47 .pl + 0,625 .р. 1= 1,1.р /.
Полное сжимающее усил!е въ опасныхъ сйчешяхъ арки будетъ:
S=S,+ 5,.
Для нагруженной стороны арки (сйчеше F на фиг. 15) получимъ;
5= 1,415 . q . I + 1,238 . р . I ....... 88
для ненагруженной стороны (сйчеше F2 на фиг. 15):
5=1,415.# J+0,531.p .1	89
для вершины арки сйчеше N (на фиг. 15):
8 = 1,25 .q . Z+ 1,1 .р . I	90
Такъ какъ сгибающй моментъ въ сйчеши F (фиг. 15) значи¬
тельно меньше момента въ сйчеши F^ (см. формулы 87 и 87,а), то сумма,
напряжешй матер!ала отъ сгибашя и сжапя для сйчешя F, гдй х = 0,5 . а,
выходить всегда меньше, чймъ для сйчешя jF9, гдй х =21—0,5 а, а
потому при разсчетй арки можно ограничиться разсмотрйшемъ 8 только
въ сйчешяхъ N и Р2 на фиг. 15. Если какая-либо изъ этихъ двухъ
величинъ 5, по услов!ямъ заданной нагрузки, будетъ значительно пре¬
вышать другую, то въ такомъ случай полезно переместить наклонныя
тяги настолько, чтобы величина 8 по формуламъ 89 и 90 получилась
почти одинаковой.
Въ случай арокъ съ одной горизонтальной тягой, наиболыпй сги-
бающШ моментъ по абсолютной величинй равенъ
max. М=-^т • р • Z2
1 о

75 —
и получается для сЬчешй, у которыхъ
1	3	7
,г = т И х=--1.
Въ этомъ случай
2	f
при f=-/,	t() /?=-,-= 0,4.
О	ъ
Cos ft = 0,928;	Sin ft = 0,372.
Для обйихъ сторонъ арки
V—— -q.l-
’	2‘ а
Для нагруженной стороны арки
TZ 3	7	1	7	1	7
Vt= — -pl~ — -pl——-р-1,
а для ненагруженной
F-p=-^-W.
Затймъ по формулй 1:
я’=Т'Т=1’25-б//-
а по формулй 6:
1 Л
Нг — — • р • у = 0,625 .р.1,
Тогда
Sq= 0,5 . q . I. Sin ft + 1,25 . q .1. Cos ft = 1,346 . q . I
Sp= 0,25 ,p .1. Sin ft 4- 0,625 .p .1. Cos ft ~ 0,673 .p . I.
Полное сжапе для обоихъ опасныхъ сйчешй арки съ 1 тягой
будетъ:
£=1,346,!/J+ 0,673.2?./.

— 76
Сводъ данныхъ для разсчета параболическихъ фермъ съ 1 и 3
тягами.
О
Продеть арокъ — 2 I. Подъемъ f = —I.
Нагрузка на всемъ пролет^ — q . 2 I.
Нагрузка на половин^ пролета — р . 1.
Арка съ ОДНОЙ тягой. Моментъ въ опасномъ сйчети
Натяжеше горизонтальной тяги
1,25	. д . I0,625 .р.1.
Наибольшее сжимающее усише въ опасномъ сочетай
1,346.?.? + 0,673 .р.1.

77
Арка СЪ 3 тягами (1 горизонтальная и 2 ееаклонпыхъ).
2	'1О
Шарниры находятся отъ опоры на разстоянш — I ion горизонтали.
О
Наибольшей сгибающей моментъ
1
40	'! '
Натяжеше горизонтальной тяги
1,25	. q . I + 0,47,p.l,
Натяжеше паклонныхъ тягъ
0,645 .р .1.
Наибольшее сжимающее yciLiie въ опасном!» с'Ьчеиш арки:
1,415 . q. I + 0,532 .р.1.
Сжимающее усилге въ вершин'Ь арки.
1,25	. q .1 + 1,1 .р . I.

Разсчетъ параболической фермы съ произвольнымъ
числомъ тягъ.
Определеже горизонтальныхъ слагающихъ натяжен!й тягъ и суммы
этихъ слагающихъ.
На фиг. 17 представленъ эскизъ параболической фермы, дуга ко¬
торой соединена съ каждымъ изъ опорныхъ узловъ 2 п тягами. Всехъ
паклонныхъ тягъ у фермы — 4 и.
Нагрузка распределяется отъ левой опоры А до средины фермы,
и п паклонныхъ тягъ, соединяющихъ опорный узелъ А съ нагруженною
стороною арки, обозначены на чертеже пунктиромъ, а друпя п тягъ,
идупця отъ А къ ненагруженной стороне, нанесены сплошными линиями.
Тяги, соединявший узелъ В съ 2п точками дуги, вовсе не нанесены
па чертеже, чтобы не сделать его слишкомъ пестрымъ *).
Точки прнкреплетя или узлы наклонныхъ тягъ, обозначенныя на
фиг. 17 цифрами и буквами
1, 2, 3,	и,	п — 1	2п—1, 2w,
определяются координатами следующимъ образомъ:
ординаты ихъ названы
Л2 ЛЯ

причемъ каждая ордината повторяется два раза — на левой стороне и
на правой:
абсциссы же узловъ
'S "2 «з

i:) При narpyaceiiin одностороннем!» (фиг. 17) всъ тяги, идуния къ правой онорЪ
В, не будут!» напряжены, т. к. всЪ точки арки при такой нагрузки неремъщаются
внраво: въ эго время вытягиваться и нагружаться будутъ только тяги, ндущ!я къ
«шорт» А, а всЬ остальныя тяги будутъ разгружены.

79 —
для сплошныхъ тягъ отсчитываются отъ опоры В, а для пунктирован-
ныхъ тягъ—отъ опоры А.
По yp-iio параболы (см. форм. 5) имЬемъ
7, 	г. „ Z ат
	1 *	*	j$		•	.	•	.
Давлешя на опоры обозначены, какъ и ран4е, Vt — на л£вую,
F9—на правую.
Горизонтальный слагаюпця натяжешй наклонныхъ тягъ обозначены
чрезъ
я, я2 я,	нп Яп+1	Н2п .
Подобно случаю 3 тягъ, и зд'Ъсь при нахождеши моментовъ, опре-
д4ляющихъ усиля тягъ, необходимо вводить въ разсмотрйше отрезки z
(фиг. 13) ординатъ. Чтобы различать эти отрезки, введемъ такое услов!е:
верхней индекс* справа отъ черты при z— пусть обозначаетъ на¬
именование узла, отъ котораго отсчитывается отрйзокъ, а
нижнгй индекс* справа отъ черты при z—нумеръ наклонной тяги.
Такпмъ образомъ, наприм*Ьръ, отрйзокъ тг на фиг. 17 для ш-го
узла и 3-й тяги надо обозначить чрезъ
т
Z .
Я
Точно такъ же пр для n-го узла и 1-й тяги будетъ обозначенъ чрезъ
*|” и т. д.
Отр'Ьзокъ тг для узла т п тяги т — 1 (фиг. 18) геометрически
будетъ определяться такъ:
w •	97	а f
г =А, - К_, • 9; „ m^4-(2 I-•	92.
»i-l	Zb	Ь
На основаши этого, для того же узла т (фиг. 18) и тяги к отргЬ-
зокъ тгх можно написать по аналогш такъ:
z
т f
(2	(^Я1	^)*

80 —
Называя натяжеше горизонтальной тяги чрезъ IIQ и разсматривая
моменты давлешя У2 на опору В относительно узловъ
1 2 3. . . . . п — 1, п
ненагруженной стороны арки, будем!» имгЬть слйдуюиця равенства:
Для узла 1 (фиг. 17):
V* ■ а1=н0 • к ■
Для узла 2 (фиг. 17):
Для узла 3 (фиг. 1-7):
72-«3=//0.A3+^^;+^^i:.
Для узла т (фиг. 17):
F-rr ч	тт	wl ,	т I	.
а ’	’ Лт“+“ Нх ’ Z | ~\~Н2 * % +	+	’ ~.w_, *
Для узла п (фиг. 17):
Vira -H^k^+Hi V‘+* • • -+Ям,-^ + - • •	(-
Заменяя величины г и
К \ кз

ихъ значешями по формуламъ 91 и 92, мы получимъ сл'Ьдуюпця >i- yp-ifi:
Для горизонтальной тяги:
тл	1
Я°~ Vi ’ /' '21 — <(, ‘
Для 7-й наклонной тяги (А1 на фиг. 17):
H — V

Для ,2-й наклонной тяги на фиг. 17):
„ = г £	2l(as—at)
f \2l — al)(2l—al)(2l-ai)’

— 81
Для 5-й наклонной тяги:
77—к 11	2?(а4 — аа)

* f‘ {2l-a^(2l-a3)(2l-ai) ’
		 . . . и т. д.
Для m-ой. наклонной тяги (Ат на фиг. 17):
TJ 	 у		2 I (fog.!	^m-1)

w” f •(2Z-a,n_1)(2?-a,M)(2Z-aM1+1)' .
	И т. д.
Для (п—1)-ой наклонной тяги
тг 	 V	^п—г)
"1- ,у(21_ ап_^_ ап_^21	'
Эти выражешя показываютъ, что:
• горизонтальная слагающая данной наклонной тяги параболической
фермы равняется постоянному
помноженному на дробь, у которой
ЧИСЛИТе/lb = разности горизонтальныхъ разстоянгй между бли¬
жайшею къ данному узлу точкою опоры фермы и двумя узлами,
смежными с* даннымъ, т. е. предыдущимъ и последующим^ а
знаменатель = произведение трехъ горизонгпалъныхъ разстоянгй
между опорою, наиболее удаленною отъ данного узла, и точками
привеса трехъ тягъ: данной, предыдущей гь последующей.
Не трудно видеть, что по этому же общему правилу можно напи¬
сать и слагающую усил!я 1-й тяги:
тг — у . J_ . о у		а2 ао

1	2 f (2Z-a2)(2Z-</1)(2Z-«0)
Это выражеше приводится къ вышенаписанному для если въ
него внести aQ = О.
Действительное натяжеше каждой хорды или тяги получится пу-
темъ д'Ьлешя горизонтальной слагающей его на косинусъ угла, обра¬
зуемая тягою съ горизонталью.
6

82
Для m-ой тяги (фиг. 18) получимъ:
fino

=i-.J1+fLK	93.
V ф ?*
Сумма всйхъ величинъ Н отъ Но до Hn_i включительно опреде¬
ляется такъ:
и-— у . И	11			94.
Для определешя величинъ Н для тягъ, идущихъ въ нагруженной
сторон^ арки, а равно и для тяги n-ой (Ап на фиг. 17), въ yp-ie мо¬
ментовъ необходимо вводить, кроме момента отъ давлешя F2 на пра¬
вую опору, еще моментъ отъ равномерной нагрузки, расположенной
между срединою фермы и точкою, которая взята за центръ моментовъ.
Такъ, напр., въ случае n-ой тяги моментъ надо брать относительно узла
(п+1) (фиг. 17), координаты котораго те же, что и для узла п, т.-е.
Лп и ап,
и надо ввести моментъ
f-G-O*
отъ равномерной нагрузки на длине (I— ап).
Величины отрезковъ z для всехъ точекъ левой половины арки
имеютъ иное алгебраическое выражеше, чемъ для правой.
Обращаясь къ чертежу (фиг. 18), возьмемъ узелъ (2 и—т)-ый
съ координатами
и К-
Для произвольной тяги q (фиг. 18 — Aq) правой, ненагруженной
стороны мы имеемъ координаты
К и %
а величина отрезка
2n-m	J
z = Л — a • h. ■		=
,	■ m ’ 21 — а,
=		95.

— 83
А для тяги (2n — q\ идущей къ опорному узлу А отъ лйвой
нагруженной стороны, им'Ъемъ координаты тоже
но величина отрезка
2
\ и (1„
2 л—т
~ hm ^q
2п — f
am_f
«.(«, —Я,„)

96.
При составлены урчя моментовъ относительно узла (2п — ш)-го
имёемъ въ виду, что абсцисса узла (п-|-2), напр., есть уже и
что последняя тяга въ этомъ случай будетъ (2п —	Тогда
Fe • (2Z—am) =	. (21 — atn) +	. (2Z — am — aA) -p

...•4- Hnj • (21 — am — an _ t)-}- Hn • (21 — am — an) -|- Hn+i • (an—	+
4-Нпч-2*(ля_1 —		+ i + 1—am)	—лт)*.97.
Та часть этого ур-1я, которая представляетъ собою сумму момен¬
товъ усилий тягъ ненагруженной стороны, на основаны формулы 94
преобразуется такъ:
£ • Но • (2/—«,„)+#, .(21—«,„—«,)+	Н„ _t .(21—а,[ =
V	I	I
= fp ■ я.»[(2/ — я,„) 2; ‘ ’ Н- 2"-1 Н. Я ‘ =
= F,.-	а^-}	(21(21-ат)-ап_1.а11'\	98.
(21 — a„_l)(2l—an)\	1
Тогда yp-ie 97 приметь сл'Ьдуюпцй видь:
F, . f 21-ат-ат.	' Г'] = Гга'«-] н«' (2?-ara-a,.) +
L	(2/—a„_x) (21—а„) J I* |
-|-Hll+i • (а„ — (im)+	4’ Н2„_,11+1 • (я,„+1— а,„) 14~ -у.(^—я,„)’	99.
I
Применяя yp-ie 99 къ определенно Нп, беремъ моментъ относи¬
тельно узла (п4-1)-го съ’ординатами
А,, и а„;
тогда въ этомъ ур-ы надо отбросить всЬ члены, стоящее после Н„ въ
6*

84 —
скобке, какъ не йходяпце въ составь момента относительно узла (я-|-1)-го;:
кроме того, надо принять въ этомъ случай
Тогда,
2f	Г
Нп . а„. -i..(I — л„) =vt. 21 — а„ — а„
V
21 (21 — ап)	. gwl
”(2Z-a_l)(2?-aM).|
Но при распред^лешп нагрузки на полупролетй
P = 4V2:l,
поэтому окончательно будемъ иметь:
г.!}*.

f а„ )	(2Z-<«,,)(2Z— «„_i)
21 — ап — а,
100.
Применяя эту общую формулу къ частному
мы должны положить
случаю трехъ тягъ.
а„ = а,
тогда получимъ:
"i-1,	I
что вполне согласно съ формулой 78.
Совершенно такимъ же
всехъ остальныхъ тягъ.
Найденное значеше Нп
сумму всехъ Н отъ Яо до
94 И 100:
образомъ находятся величины Н п для
даетъ теперь возможность определить-
Нп включительно,
пользуясь формулами
«HI	6L.
«„_> = о,
1 Z2
4
I 31—а,
. . 102.
Применяя формулу 99 къ узлу (п + 2) - му,
101.
координаты котораго-
_ I и hn _ 1,

85
. получимъ Нп 4.1 ивъ выражешя:
va	_ |(/ - а„)*=
u	V ( Li V — UnJ	I J-1	&
_ f
	 Hn-^l • -Ji ' fln—I ’ (<ln ^11—i),
откуда:
		"«■
=		104.
2;я-“+я.*>(2г—«.)=’’;■ -у- ■ ■ ■ Ms
Применяя yp-ie 99 къ
узлу (п + 3) - му, координаты котораго
^п—2 И V2?
получимъ:
К
21 — ап_2	2 ан_2
-

7	I (<п—2
!>
2
•2)‘ =
	 Яя4-2 * ^п_2 * (Л’и-1 — ^я-г)*
Откуда
Я„+> = 0	106.
Совершенно такимъ же путемъ найдемъ, что и вей остальныя
значешя
Ям+з, Яп+., Я,1+5 и т. д.
равны нулю. Следовательно,
проведенье какихъ бы то ни было тягъ въ промежутки) между
узлами п-]-1 и А безполезно, если нагрузка равномерно распределена
по левому полупролету.
При иномъ распределен^ нагрузки, въ вышеприведенныхъ форму-
лахъ изменяется только соотношеше между р и F2, обпцй же видъ
Урчй, определяющихъ натяжеше произвольной тяги, остается тотъ же.
Сравнивая формулы 104 и 1 видпмъ, что
сумма горизонтальныхъ проекций натяжений всехъ тягъ при односто¬
ронней наьрузке = тому натяженью, какое имела бы одна горизон¬
86
тальная тяга въ случае параболической фермы, равномерно нагру¬
женной по всему пролету тою же нагрузкою р на единицу длины
пролета, накъ и при односторонкемъ нагружети.
При значенш
".=I
по формул^ 103 видимъ, что
Я„+1 = О		 . 107
т. е. если вершина параболической арки является однимъ изъ узловъ
для прикрепленгя тягъ къ ферме, гпо последнею изъ тягъ, приходя-
щихъ въ левый опорный узелъ справа, будешь тяга, идущая къ вер¬
шить арки.
Въ этомъ случай формула 101 даетъ:
2;Я=Г,.^=г.^	108.
Въ случай арки съ тремя тягами при а=1 найдемъ по форму-
ламъ 77 и 78:
2Я=Я.-Я.=1>^	109
Сравнеше формулъ 104, 108 и 100 показываешь намъ, что
сумма горизонп алъныхъ проекций натяжетй въ тягахъ не зави¬
сишь отъ числа наклонныхъ тягъ, выходягцихъ изъ опорного узла
параболической фермы.
Опредйлеше числа наклонныхъ тягъ, подобно определенно числа
панелей въ прямолинейныхъ фермахъ, должно быть сдйлано въ зависи¬
мости отъ разсмотрйшя величины сгибающихъ моментовъ въ аркй .
ОпредЪлен1е сгибающихъ моментовъ въ сйчежяхъ арки.
Опредйлеше величины сгибающихъ моментовъ и ея мах для раз-
ныхъ частей арки, въ случай произвольна™ числа тягъ, дйлается
тймъ же способомъ, какъ н въ случай 3 тягъ.
Взявъ начало координатъ въ точкй Б (фиг. 17), между узлами
В и 1 будемъ имйть:
г 	TZ	tj- TZ	Tz 2Z. х — х2
= Vi x-Hl-ij = Vi- .с— vt ■
	110

87 —
При х = ах и я = 0	Jfx	=0.
Наибольшее значеше Jff будетъ им^ть мйсто при
ai
x=-t
опред'Ьляемомъ изъ услов!я
^ = 0
ах
,г Г2 а?
max. М.=	-2 •

1	4 21 —at
HI.
Между узлами 1 и 2 (фиг. 17) при изм4неши х отъ at до as
найдемъ:
V2 -x—Hb-y
,	21 —х
li '2l — al
А-	(-27Z.«.t)(2Z_a2)
. . 112.
При x = at
Наибольшее
и х = а2 		М2 = 0.
значеше ЛГ2 получится изъ услов!я
d-^ = o
ах
которое даетъ:
“■
о
2
. . 113.
max. М = — К • - • .. v 2—

2	2 2 (21 — at)(2Z — a2)
Подобнымъ же образомъ между узлами 2 и 3 для сйчешя, лежа-
щаго па половин^ горизонтальна™ разстояшя между ними, найдемъ
(«з —«,)*
По аналог»!, для «г-ой части арки, между узлами ея (т—1) и т
max М —	V • — . (а’п	. 114<
rnax.Mm- V2 2 (2г_ат)(2г_аи1)

— 88
Наконецъ, въ последней ненагруженной части арки, между узлами
ея (п — 1) и п получимъ:
<=К2-2Г
(.т — ап)(х — ап_х)
(21 —ап) (21 —а^
. 115.
При х = ап и х = ап_х	ДГЛ	= О, а затймъ:
тах.Мп = — К2 • —
(Ч - «м 04
(21— fln)(2Z— fln-i)
116.
Формула 116 показываешь намъ, что
наибольшей моментъ въ произвольной части ненагруженной сто¬
роны параболической арки равенъ постоянному
умноженному на дробь, у которой
числитель есть квадратъ разности горизонтальныхъ разстоянг'и
узловъ разсматриваемой части арки отъ ближайшей ея опоры, а
знаменатель выражается произведенгемъ горизонтальныхъ раз-
стояний узловъ данной части арки отъ дальней ея опоры.
Дадимъ здйсь графическое представлеше о максимальномъ моментй
Между двумя данными узлами (т—1) и т (фиг. 19). По свойству
параболы, точка е (фиг. 19), лежащая на средний горизонтальная раз-
стояшя между узлами, соответствуешь и наибольшей стрйлкй О Ot
дуги параболы. Мах момента между данными узлами графически пред¬
ставляется произведешемъ стрйлкй О Ох на проекцпо давлешя Г2,
взятую на направлеше хорды (ш, т — 1).
Вей моменты ненагруженной стороны арки отрицательны. Это
указываешь на то, что вей части разсматриваемой половины арки
уменьшаютъ рад!усъ своей кривизны поелй нагрузки.
Въ части арки между узлами и и (и + 1) моментъ будетъ имйть
два разныхъ выражешя,— одно справа отъ вершины I арки (фиг. 17),
а другое елйва отъ нея, гдй въ число дййствующихъ силъ вводится
также и равномйрная нагрузка на аркй.
Между точками п и I (фиг. 17), при измйнеши х
отъ х = ап до х~1,

89
будемъ иметь:
М'^=Мп — Нп-г
= Jfn — п» •	(21 — х}(х — а,).
это равенство отрезка z вычислена
Величина входящаго въ
мнительно къ формуле 92.
После алгебраическихъ преобразован^ получаемъ:
при-
‘ и' х~(21	а»)
117.
Наибольшее значеше этого момента получится, когда
;r = 4Z8+La"~<f"	118.
6	I — 2 ап
Какъ самое выражеше такъ и значеше х, соответствующее
wax момента не зависятъ отъ числа тягъ и тождественны съ теми,
которыя были получены дтя случая трехъ тягъ. Тамъ начало координатъ
было взято въ точке Л, следовательно, для сравнешя полученныхъ ре-
зультатовъ надо въ формулахъ 117 и Ц8 подставить
2Z — х вместо х.
Заметимъ здесь, что при числе наклонныхъ тягъ более двухъ от-
резокъ ап выходить настолько близкимъ къ I, что безъ особой погреш¬
ности въ разсчетахъ можно принимать
вместо той величины, которую даетъ формула 118. А тогда
тах.М'„+1 = -Гг.{1 “Л
21 — а„
119.
Между точками I и (w-|-l) на фиг. 17 моментъ выразится такъ:
£
причемъ въ этой формуле х можетъ изменяться
отъ х = 1 до х=2/— аи.
Внося въ это выражеше

90
получимъ:
ЛГ„+1 = М . х •	- 2 (х — 0s - (21 - х)(х - а„) 1	120.
v L А* — ап	J
Не трудно видеть, что это выражеше момента, сохраняя отрица¬
тельное значеше, постепенно уменьшается въ абсолютной величинЪ и
при х = 21 — ап	М"„+1 = 0.
Еслибы тяги (п-)-1)-ой не было проведено, то на всей л'Ьвой
половин^ арки, отъ точки I до А на фиг. 17, моментъ выражался бы
формулою 120, величина его все время была бы положительна и
при х = 21	М”п_^ = 0.
Наибольшее положительное значеше этого момента получилось бы
тогда
при х~21—
	131 ■
ж. е. этотъ max момента, въ случать отсутствья (мг1)-ой тяги
не завиыьлъ бы вовсе отъ числа тягъ и былъ бы совершенно тожде-
ственъ съ тгьмъ, который мы получили въ случать 3 тягъ (см. форм. 80).
Если же имеется тяга (п4-1)-я, тогда для всякаго сйчешя с (фиг.
18) между узлами (пЦ-1) и А, пользуясь формулой 96, мы напишемъ:
<+8=ЛГя+1 - Ни+1 • £ • (21 - х)(а„ - 21+ х) = 0.. .. 122.
т. е. когда (п-\-1)-ая тяга существуете, вся дуга, стягиваемая (п-[-1)-ою
хордою, не испытываетъ на себ1ь действья сгибаюгцихъ моментовъ.
ОпредШн!е наивыгоднЪйшаго расположения тягъ арочной фермы и
разсчетныхъ моментовъ для нея.
Для правильная распредйлешя матер!ала и получешя возможно
малая в4са фермы, необходимо, чтобы сумма напряжешй матер!ала отъ
силы сжат1я и наибольшая сгибающаго момента для вс'Ьхъ частей арки
между ея узлами была одинакова. Но такъ какъ усил!я сжапя, при

91
неболыпихъ подъемахъ арокъ, разнятся другъ отъ друга незначительно,
то для 1-го приближешя къ рЗипенпо задачи достаточно определить
расположете тягъ подъ услов!емъ равенства наибольшихъ момен¬
товъ, i\ е.
max. М±=тах. .........= тах.
что даетъ намъ рядъ слйдующихъ yp-iit:
«2	=			 (^8 —"а)а

21 (21— at) (21—61^(2/—(z<2)	(21	a^(2l	а3)
		(ап	ал-1)2	 о	ап)*
(21 — ап_0 (21— ап) 21 — а„
Если арка по всей своей длине имеетъ однообразное сечете, то
при подборе величинъ ал а2 а3 и т. д., удовлетворяющихъ условно
123, следуетъ при округлеши цифръ брать таюя значешя этихъ вели¬
чинъ, при которыхъ моменты для частей арки возле опоры В и сред-
нихъ частей фермы оставались бы одинаковыми, а моментъ Jf„+l У
вершины былъ бы немного меньше остальныхъ максимальныхъ момен¬
товъ, такъ какъ истинное значеше max Мп^.х больше того, которое
дается приближенной формулой 119.
Точное решете yp-ifi, получаемыхъ изъ услов!я 123, представ-
ляетъ значительныя алгебраическая трудности. Но для целей практиче-
скаго разсчета данныя, достаточно близтая къ истиннымъ, могутъ быть
получены следующимъ пр!емомъ:
Задавшись числомъ тягъ п для полуфермы, идущихъ изъ узла Л,
допустимъ, что
Тогда по формуле 119 находимъ абсолютную величину
*« = 2l^-27.+ l) = T ■ 77+W+n 	125
Затемъ ап_х определимъ изъ yp-ia:
2	8	126
I	21 —
По найденной величин^ найдется подобнымъ же образомъ
а„_2 и т. д. до «р Въ результат^ при такомъ разсчет4 получатся
92
равные моменты отъ ЛГп+1 до ЛГа, и только, моментъ вычисляемый
по формул! ill, окажется меньше остальным. Поел! этого можно
придать за счетъ увеличешя некоторое последовательное уменьше-
ше вс!хъ моментовъ до Мп включительно.
Этотъ щиемъ р&шешя yp-ift 123 приводить къ сл!дующимъ ре¬
зультатами
При П = 2 (у арки 4 паклонныхъ тяги и 1 горизонтальная):
ая=0,81./;	= 0,45.2
Разсчетные моменты
—		127.
1 & V
При П = 3 находимъ:
а8 = 0,867; а2 = 0,6257; at =0,3357.
Разсчетные моменты:
МХ=М,=М3 = МК=~-.р.1*	128.
А
При п = 4 получимъ:
а4 = 0,89 . l\ а3 = 0,72 . /; а2 =0,51 . Z; =0,27 . Z;
Разсчстный моментъ
		129.
ООО
При П = 5 найдемъ:
«, = 0,91 . 1-, ак = Ь,1М . «з = 0,605 . 1\
«,=0,425 . Z; «,=0,22 J.
Разсчетный моментъ
г	'»•
При п = 1, т. е. въ случае арки о трехъ тягахъ, формула 124
даетъ:
что согласно съ формулой 86.

93
По формуле 55 въ прямолинейныхъ фермахъ зависимость разсчет-
наго момента отъ числа панелей дана такою:
Пусть
тт	1
Полагая р — - . д,
3
товъ для прямолинейной
нелей у нихъ, получимъ
: q . l* = N.
сравнительный величины сгибающихъ момен-
и арочной фермы, при одинаковомъ числе
въ такомъ виде:
па-
Число панелей
п = 2
Въ арочной ферме jV=-|—
360
Въ прямой ферме. N=—^~
д 2
3
4
5
_1
1
1
672
1080
1584
J.
1
1
~72
128
200
Эта таблица показываетъ, что при одномъ и томъ же чисть па¬
нелей и тягъ сгибающгй моментъ для арочной фермы выходить въ
среднем о въ восемь разъ меньше, чп>мъ для прямолинейной.
Найденныя величины сгибающаго момента опредйляютъ размеры
поперечнаго с^чешя арки, который выходятъ одинаковыми по всей длине
арки.
Положительный моментъ max. 7lfn'+1-, определяемый по формуле 121
для нагруженной стороны арки при отсутствш (п -|- 1)-ой тяги, по абсо¬
лютной величин^ меньше max. М'п+и который вычисляется по фор¬
муле 119.
При маломъ числе тягъ необходимо делать поправку въ выраже¬
ны max. Я1‘п+1 (въ форм. 119), определяя абсциссу его сечешя более
точно по форм. 118л а моментъ по форм. 117.
Если и-я тяга проходить чрезъ вершину арки, то
aft = Z,
и по формуламъ 119 и 121 находимъ
max = тах"п+1 = 0,	• - г. ; ’ '.г>
а по формуле 116 получаемъ:
max М —	<1п~*
тихМ”- 2

94 —
Тогда указанный выше способъ рЪшешя урчй 123 не применимъ.
Въ этомъ случай, также для приблизительна™ решенья, съ достаточной
точностно можно положить:
2	2 I — an_t 9 4 n* ’
определить отсюда an_t и внести его величину въ yp-ie
(аи-! — «._2)*	__ I
(2 I ~ ®п-|) (2 I—«п-г)	2 п*
изъ котораго можно найти a„._s и т. д. Этотъ способъ рФшенш yp-itt
123 даетъ:
При п = 2
«, = 0,586 -I; at=l
maxM=nwaM. =тахМ, = V. V. • —= •
1	4	4 1о *4*2
При п = 3.
«, = 0,415?; аа = 0,74/
“1!ЛГ=Г.-^=Г.'42Р'
При п = 4
a1=0,32 -Z; а2 = 0,58 •/;	а8=0л81 -Z;	a4=Z.
I	I
w^3f= Fr —= Г2
При односторонней нагрузке
К,=|-У-г.
Следовательно, въ случае п тягъ, изъ коихъ последняя проходить
чрезъ вершину, въ ненагруженной стороне:
1 Р 1
тахМ=— *^—5- •
16 п*
Въ прямолинейныхъ стропилахъ, каждая половина фермы которыхъ.
разбита на п панелей, для всякой панели (см. форм. 55):
it 1	•/в
max М=- • ц q ,
8
где
90 = ч + Р-

95 —
Усил!я сжайя.
Усилия сжат для фермы съ произвольнымъ числомъ тягъ опреде¬
ляются тймъ же путемъ, какъ и въ случай архи съ 3 тягами, въ тйхъ
сйчешяхъ, гдй имйютъ мйсто наиболыше сгибаюпце моменты.
Въ ненагруженной половинй арки сжайе, вычисляемое для случая
нагрузки, распределенной по всему пролету равномйрно, увеличивается
по мйрй приближешя отъ вершины къ опорй, а сжайе, вызываемое
односторонней нагрузкой, наоборотъ, уменьшается, идя отъ вершины
арки къ ея опорй.
Наибольшее сжайе отъ односторонней нагрузки, вызываемое у
вершины арки, равняется суммй горизонтальныхъ слагающихъ натяже-
шй п тягъ и вычисляется по формулй 101:
Принимая въ пользу прочности
= Z,
получимъ:
5,= 2-К,.1=г..^	131,
т. е. //амбольшее сжатие отъ дгъйствгя односторонней нагрузки на
арку выходитъ такимъ, какимъ оно было бы, еслибы существовала
нагрузка на всемъ пролети съ тою же величиною нагрузки на 1 длины
(см. форм. 1).
Прибавляя къ этой величинй и сжайе отъ нагрузки 21. q, равно¬
мйрно распредйленной по всему пролету, полное сжайе въ вершинй
арки отъ обйихъ нагрузокъ будетъ:
S=(p + q)-^	132.
При встрйчаемыхъ въ практикй отношешяхъ между р и q, сжайе
въ сйчеши max. не превзойдетъ величины, опредйляемой форму¬
лою 132.
Сжайе въ нагруженной части арки больше, чймъ въ ненагружен¬
ной, но зато тамъ моментъ меньше, и общее суммарное напряжеше
— 96 —
матер!ала, при одинаковой величин!» сйчешя арки на всемъ ея протя-
жеши, въ нагруженной сторон!» не превзойдетъ его въ ненагруженной
части.
Наибольшее сжапе у опоры А, где моментъ равенъ О, будетъ:
— • Oosa + q l-Sina=^-.-Jl-]-4^r .... 133,
а /	а / V	(,
такъ какъ изъ урчя 5:
С •
а возл!» опоры, гд4 .т=0,
Сводъ данныхъ для разсчета арки съ произвольным» числомъ тягъ.
Вс!»хъ тягъ—(2п-|-1), причемъ одна изъ нихъ горизонтальна.
Постоянная нагрузка на всемъ пролет!»— • 2 I.
Односторонняя нагрузка на полупролет!»—р • I.
При выбор!» числа тягъ, соединяющихъ каждую половину арки съ
противоположной опорой, можно руководствоваться следующим данными.
I
Длина пролета. ' Число тягъ w.
Не
бо.гЬе 3
саж.
(6 nit).
Наклонныхъ тягъ н'Ьтъ.
Отъ
3 до 5
саж.
(до 10 mt).\
1 тяга.
Отъ
5 до 8
саж.
(до 16 т0.1
2 тяги.
Отъ
8 до 12
саж.
(до 24 mt).
3 ,
I
i
При дальн'Ьйшемъ увеличеши пролета за 12 саж., на каждыя до¬
бавочный 3 саж. слАдуетъ прибавлять 1 тягу.
При числ!» тягъ п = или болЪе £, съ точностно, вполн!» достаточ¬
ною для практическихъ разсчетовъ, величина разсчетнаго сгибающаго
момента можетъ быть определяема по формул!»:
р • I1 1
8 (п 1) (2 п + 1)

— 97
Натяжеше горизонтальной тяги
И— Р 1	\
0 /Д2-1 4 * 2Z — aj’ ■
Натяжеше произвольной наклонной тяги, соединяющей ?и-ый узелъ
съ опорой:
Нт 	Р 	2		^>>1-1)	 / J } f*
C<>sam~4:f'(2l — am_l)(2l — a„,)(2l—am+y') V ' I*
Натяжеше и-ой тяги, смежной съ вершиной арки:
Нп 	pl* 1 oi 21 — ап — ап_} 1—> пп1 К \fl
Cos ан -474L '* (2l-an)(2l-an^ I \ ’ V
Сжапе въ вершине арки:
I1
(.Р + #о) • у •
Сжапе у опоръ арки:
Btcb арочной фермы съ (2n +1) тягами.
Предположимъ, что дуга арки и ея горизонтальная тяга разсчитаны
на равномерную нагрузку
т. е. что нагрузка съ величиною р на погонную единицу длины тоже
равномерно распределена по всему пролету. При такомъ предположены
весъ арки выйдетъ более истиппаго.
Сумму натяжешй наклонныхъ тягъ, подъ вл!яшемъ односторонней
нагрузки р. I, примемъ равной наибольшей сумме горизонтальныхъ сла-
гающихъ всехъ тягъ (см. форм. 108), т. е.
Р
2?’
Среднюю длину наклонныхъ тягъ примемъ равною 1,5./, что бо¬
лее действительной величины. Тогда весъ н тягъ будетъ:
7

98 —
При такихъ предположетяхъ, согласно съ формулами 49 и 69,
в4съ арочной полуфсрмы съ п наклонными тягами, получится:
г-'=Ф-[1+Н+/?(1+4й]	134
тт	Р 1
Принимая отношены =
получимъ:
К = ф.[1.5 +/?(1 + 4^]
185.
Для сравнешя вйса арочной и прямолинейной фермы, возьмемъ
последней для ращональной фермы 2-го класса (см. форм. 47) при
болыпомъ числй панелей, напр., при ю = 8, какъ наиболее экономич¬
ной изъ остальныхъ прямыхъ фермъ. Это сравнеше для арочной фермы
будетъ наиболее неблагопр!ятно.
Принимаемъ, какъ и ранйе это делали,
f_ JL.
1	2,5 ’
г= 1,077:
13 = 1,5
г* = 1,16.
В4съ арочной фермы будетъ:
Va = 7-q.F. 1,25 (1,5 + 2,46) = у • д. Г. 1,25.3,96 . .. 13<>-
К	л
В^съ ращональной фермы 2-го класса при н~8 получится:
Vnp. = т ■ q-F ■ 1,25 (2,74 + 2,23) = 7- ■ q. Is. 1,25.5,03...137,
/С	л
этихъ тягъ выходить очень пезначительнымъ (отъ
т.-е. отношенье высовъ матергала, идущего на сжатье и растяженье
арочной фермы it рациональной прямолинейной фермы 2-го класса при
числгъ панелей 8, равняется почти 4 : 5, т.-е. последняя тяжелые
арочной на 25\.
Въ отношены матер!ала, идущаго на сопротишеше сгпбающимъ
моментамъ, а равно и употребляемаго на соединеше частей, арочпыя
фермы, какъ было показано, значительно легче прямолинейныхъ.
Въ арочныхъ фермахъ съ наклонными тягами, поперечное с'Ьчеше
3	5
- до -- дм.) и, какъ
о	о
99 —
было сказано выше, для соединешя тягъ съ аркою употребляется очень
простое соединеше, состоящее или изъ болта съ ушкомъ, служащимъ
для пом'Ьщешя загнутаго конца тяги, или изъ простой петли, которою
заканчивается сама тяга, причемъ эта петля проходить въ дыру, про¬
сверленную въ т4л4 арки.
Количество матер!ала и работы, расходуемыхъ на такое соединеше,
очень не велико, и при разсчете веса, оно съ избыткомъ покрывается
той прибавкой въ усил!яхъ и длине паклонныхъ тягъ, какая допущена
была при разсчете приблизительная в'Ьса арокъ. Небольшое количество
излишняя матер!ала, но зато съ ценной работой, расходуется па
изд'кие стяжекъ, служащихъ для стягивашя хордъ после ихъ сборки и,
кроме того, часть добавочная матер!ала идетъ на проволочное железо
для подвеса тягъ съ целью уничтожить ихъ провисаше.
Располагая возможностью увеличивать число паклонныхъ тягъ безъ
особая увеличешя затраты на матер!алъ и издйлгя ихъ, можно значп-
те.тьно уменьшать • сгибаюице моменты и т4мъ самымъ облегчать в4съ
арки.
Изъ предыдущихъ выводовъ ясно видно, что главная выгода арокъ,
по сравнешю съ прямоугольными фермами, заключается въ уменьшены!
сгибающихъ моментовъ. Какъ сл4дств!е такого вывода, является необхо¬
димость располагать обрешетину, несущую кровельный матер!алъ, по
направ leniio вдоль оси арочной крыши, т.-е. избегать прогоновъ, такъ какъ
при употреблены прогоновъ равномерная нагрузка, передаваемая обре¬
шетиной, производить сгибаюпце моменты въ проянахъ; последше въ
свою очередь передаютъ арке приходящуюся на нихъ нагрузку, какъ
рядъ сосредоточенныхъ грузовъ, а эти последше вызываютъ сгибаюице
моменты въ частяхъ арки, лежащей между прогонами. Такимъ образомъ
при употреблеши прогоновъ потребуется определенное количество мате-
piaia, идущее на сопротивлеше сгибающимъ момептамъ. Если-же на¬
грузка передается непосредственно на арку (здесь говорится о постоянной
нагрузке), то сгибающихъ моментовъ нетъ.
Хотя увеличен! е работы при возрастав!!! числа тягъ и не особенно
значительно, но принимая въ разсчетъ, что весь матер!ала, идущаго на
сопротивлеше сгибающимъ момептамъ, уменьшается пропорщонально
корню квадратному изъ величины момента, можно найти известный пре-
д4лъ, далее которая при данномъ пролете увеличивать число наклон-
ныхъ тягъ не представляется экономичными Для сравнешя веса ароч-
ныхъ и прямолинейныхъ фермъ, включая матер!алъ, сопротивлявшейся
сгибающимъ момептамъ, мы разсмотримъ тотъ случай, когда число тягъ
7*
— 100 —
таково, что величина сгибающаго момента для арки выходитъ прибли*
зительно въ 4 раза меньше сгибающаго момента для прямолинейных^
фермъ.
Принявъ это за основаше сравнительнаго подсчета теоретическаго*
выражешя в'Ьсовъ, получимъ:
При разстоянш въ 7 фут. между узлами прямолинейной фермы,
в'Ьсъ матер!ала, сопротивляющагося сгибающимъ моментамъ, будетъ
0,022 • Z2- 1 = 0,154 U пуд.
Моментъ въ арке, согласно принятому разсчету, будетъ въ 4 раза,
менее; следовательно, вгЬсъ идущаго на нес матер!ала выйдетъ въ 2 раза,
меньше, т-е. онъ будетъ равенъ 0,077 I пуд.
При разстояши между фермами въ 7 фут. и 7=1 пуд. на 1 кв.
фут., какъ брали это и ранее, формула 136 обращается въ такую:
V(l = 0,0107 . Z® пуд.
Полный же весъ матер!ала, расходуемаго на арку, будетъ
Vt = 0,0107 . Z2 + 0,077.1	 .	138
Для ращональной фермы 2-го класса весъ определялся по фор¬
мул е 65:
У2 = 0,0145 . Z2+ 0,25 . I.
Отношеше F2 : V\ для болыпихъ пролетовъ выходитъ оком 1,5.
При малыхъ пролетахъ треугольная ферма строится безъ раско¬
совъ, а ферма арочная — безъ наклонныхъ тягъ. По принятому нами
отношение нагрузокъ сгибаюпцй моментъ для арочной фермы будетъ.
въ 6 разъ менее, чемъ для треугольной.
Весъ треугольной фермы безъ раскосовъ будетъ
0,0027 . Z«(l 4- 1,5 . 1,16) = 0,0074 . Z2 пуд.
Весъ матер!ала, сопротивляющагося сгибающимъ моментамъ, вт>
треугольной ферме былъ взятъ выше
0,022 . Z2 пуд.
Полный весъ треугольной фермы будетъ:
(0,0074 + 0,022) . Z2= 0,0294 . Z2.

— 101 —
Вйсъ арочной фермы безъ наклонныхъ тягъ будетъ
0,0027 . 1*(1 + 1,5 . 1,64) = 0,00924 . I* пуд.
Вйсъ добавочнаго матер!ала, сопротивляющагося д'Ьйствпо сгибаю-
щихъ моментовъ, получится
0,009 . I2 пуд..
такъ что потный в'Ьсъ арки безъ тягъ будетъ
0,01824. I2.
Отношеше в'Ьса треугольной фермы безъ раскосовъ къ вйсу ароч¬
ной фермы безъ наклонныхъ тягъ получается равнымъ
294
около 1,6.
Следовательно можно принять вообще, что арочная ферма въ 1,5
раза легче прямолинейной.
Въ предыдущихъ сравнен!яхъ прямолинейныхъ и арочныхъ фермъ
было выведено теоретическое количество матер!ала, необходима™ для
сопротивлешя уашямъ сжат!я, растяжешя и сгибашя.
Въ глав'Ь о прямолинейныхъ фермахъ указывалось, что при изд’Ь-
лш этихъ фермъ требуется еще добавочный матер!алъ вслйдств!е того,
что н'Ьтъ практической возможности придавать каждой отдельной части
стропиль такое именно сйчеше, которое соотв'Ьтствовало-бы дййствую-
щимъ въ этой части усил!ямъ, и размеры ыйкоторыхъ частей прихо¬
дится увеличивать.
Изменяя размеры поясовъ при переход'Ь отъ одной панели къ
другой, сообразно дйпствующимъ усил!ямъ, пришлось-бы ставить каждый
разъ накладки; онй требуютъ изв'Ьстнаго количества добавочнаго мате-
piaia; но, кром'Ь того, онй еще и ослабляютъ полезное сйчеше частей;
вслйдств!е этого выгоднее, въ смыслй работы и экономш в'Ьса, употреблять
однообразное с'Ьчеше въ нйсколькихъ панеляхъ, разсчитанное по наи¬
большему усилно.
Въ сплошныхъ аркахъ, сдйтанныхъ изъ прокатнаго жел'Ьза, раз-
счетъ в'Ьса которыхъ былъ сд'Ьлаяъ, исходя изъ однообразна™ сйчеши,
такового излишня™ матер!ала н'Ьтъ; какъ самая арка, такъ и ея тяги
имйютъ по всей ихъ длинЬ однообразное с'Ьчеше, слйдовательно, въ
практик'Ь отношеше в'Ьсовъ арокъ и прямолинейныхъ фермъ будетъ еще
выгоднее въ пользу арокъ. Но если арка состоять изъ 2-хъ поясовъ,
— 102 —
связанныхъ между собою решеткою, или сплошнымъ листомъ, прикле-
паннымъ къ поясамъ, то при ея устройстве также получается некото¬
рое определенное количество матер!ала, не вошедшее въ разсчетъ веса;
кроме того, издел!е такихъ арокъ, составленныхъ изъ склепанныхъ ча¬
стей, обходится дороже работы прямолинейныхъ фермъ.
Во всехъ разсмотренныхъ нами фермахъ поясъ сжапя сопротив¬
ляется сжимающимъ усил!ямъ, въ зависимости отъ длины его отд4ль-
ныхъ элементовъ панелей, узлы которыхъ разсматриваются какъ за¬
крепленные концы сжимаемой части пояса.
Чтобы узлы фермъ представляли собою действительно закреплен¬
ный точки, необходимо употреблять продольный связи — прямыя и
д!агональныя— между стропильными фермами. Это особенно необходимо
въ техъ случаяхъ, где жел4зныя фермы им4ютъ деревянные прогоны
и деревянную обрешетину. Въ случае железной обрешетины, прикле¬
панной къ поясу сжат1я фермы, прямыхъ связей ставить не нужно, но
д!агональныя соединешя остаются всетаки необходимыми.
Количество матер!ала, употребляемаго при деревянной обрешетине,
на продольный и д!агональныя связи, составляетъ не менее 10 — 15 %
общаго веса фермъ, въ зависимости отъ пролета стропилъ.

Комбинацш разстоянш между фермами и обрЪшетиной
и величина панели.
Возьмемъ сперва случай желЬзной обрешетины. НаивыгоднгЬйш1й
профиль жел'Ьза будетъ с'Ьчеше зетъ. В'Ьсъ единицы доны этого про¬
филя совершенно точно выражается формулою 57. Зависимость между
в'Ьсомъ и модулемъ для панели или для прогона можетъ быть выражена
тою же формулою.
Пусть обозначаюсь
е — разстояше между фермами,
а — длина панели,
с — разстояше, даваемое практикою между двумя обр'Ьшетинами;
для кровельнаго жел'Ьза, напр., с=или менЬе 1,4 фут.
Сгибаюпцй моментъ для одной обрЬшетины
q • с • е2
8	’
а модуль сопротивлешя ея
В'Ьсъ одной обр'Ьшетины будетъ (см. форм. 57).*
e^ = e-0,12s/W=d		139.
гд'Ь	d=0,12
Число обр'Ьшетинъ по длинЬ панели будетъ а : с.
Сл4довательно, в'Ьсъ обр'Ьшетины, лежащей на площади а • в и при¬
ходящейся на каждую панель, выразится чрезъ
а • е2

— 104 —
Вйсъ панели а выразится чрезъ
d •	•
Обпцй вйсъ матер!ала, сопротивляющаяся дййствпо сгибающихъ
моментовъ и приходящаяся на площадь а • с, будетъ:
.7 п • е* , г
а на единицу площади в’Ьсъ того же матер!ала будетъ
= -(7= + -^)

\ ус уе ’
Это выражеше показываетъ, что:
1)	вгьсъ матер1ала въ покрытш, сопротгьвляющагося действью
сгибающихъ моментовъ, отнесенный къ 1 площади покрытья, умень¬
шается съ уменьшенгемъ длины панели а и разстоянгя между фер-
мамгг е;
2)	практический mill этого вгъса получится тогда, когда
а = е = С, т.-е. когда обргъшетины нгътъ, а разстоянге между фер¬
мами равно разстоянгю между обргьшетинами, причемъ ферма раз¬
бита по панели длиною С.
Не трудно обнаружить, что и въ случай деревянной обрйшетпны
или сплошной обшивки изъ дерева, въ цйляхъ уменьшешя вйса мате-
р!ала, необходимо разбивать ферму на большое число панелей п раз¬
стояше между фермами уменьшать до того предала, при достижеши ко¬
торая дальн'Ьйшее уменыпеше толщины дерева делается уже невозмож-
нымъ (папр.. толщина обшивки не должна быть менйе 1 дюйма). Этимъ
услов!емъ и выясняется теоретически предйлъ при выборй разстояшя
между фермами.
ПредыдущШ выводъ сохраняешь свою силу и въ томъ случай, если
ввести въ разечетъ и сжимаюпця усил!я панелей, такъ какъ эти усил!я
(а елйдовательно, и вйсъ частей) возрастаютъ незначительно съ увели-
чешемъ числа панелей. Такъ, напр., при переходй отъ 8 къ 16 пане-
лямъ (см. форм. 47 и 48) теоретически вйсъ пояса сжаты возрастаетъ
пропорщонально
1-1,
н
7	Y ¥ .	.	15
т.-е. съ - коэффищентъ пропорщональности переходишь на —, между
о	16
— 105 —
тЬмъ какъ, полагая а = е и уменьшая величину ихъ вдвое, величину v0
мы измйнимъ пропорщонально отношение
2,414 : 1,2.
Достижение этихъ наивыгодн'Ъйшихъ условй выполнешя стропиль-
ныхъ фермъ при обыкновенныхъ, употреблявшихся до сихъ поръ въ
практик^, конструкщяхъ стропилъ однако совершенно не возможно, ибо,
съ одной стороны, съ уменыпешемъ разстояшя между фермами, возра¬
стаешь приходящееся па 1 площади покрыты количество матер!ала, ко¬
торое идетъ на выполнеше стыковъ, а съ другой стороны, съ уменыпе¬
шемъ длины панели возрастаетъ число раскосовъ и число связей между
узлами фермъ.
Единственный практически возможный путь для уменыиешя
размгьровъ а и е въ покрытъяхъ заключается въ примюненгн устрой¬
ства ыътчатыхъ поверхностей, которым, при самыхъ
разнообразныхъ условшхъ въ заданш, по составленнымъ мною проектамъ
и были построены конторою А. В. Бари на выставка въ Н.-Новгород4*).
Разсчетъ такихъ покрытгй делается на основаши изложенной здйсь
теорш арочныхъ покрыйй.
*) См. oinicaiiie этихъ иокрьгпП—въ журналь Технически) Сборникъ и Нытникъ
Промышленности за 1896 г., въ .V 5, въ статьъ профессора II. К. Худякова.

Разсчетъ арочныхъ фермъ, принимая во внимаше
дЪйств1е вЪтра.
Д1йств<е вЪтра на арочную ферму. ОпредЪлеже давлен!й на ея
опоры.
()кончательныя формулы для расчета арочныхъ фермъ бьпи полу¬
чены изъ общаго анализа въ томъ предположеши, что односторонняя
нагрузка равномерно распределена на протяжеши отъ одной изъ опоръ
до вершины фермы.
Въ применен1и общихъ формулъ къ отыскашю величины искомыхъ
усилШ растяжения, сжайя и сгибающихъ моментовъ не встретится ни-
какихъ затруднешй и при всякомъ иномъ расположеши равномерной
нагрузки. Но кроме нея, подъ вл!яшемъ действ!я ветра, арочныя фермы
подвергаются еще действие и неравномерной нагрузки, которая, при
пзвестныхъ услов!яхъ, делаетъ необходимымъ постановку добавочныхъ
тягъ, пли вплпровыхъ.
Действ!е ветра обыкновенно разлагается по направленно нормали
и касательной къ разсматриваемой поверхности. Касательная слагающая,
скользя по поверхности, производить слабыя усил!я, зависяпця отъ
трешя воздуха, — действ!е ея настолько не велико, что можетъ быть
яе разсматриваемо. Нормальное же усил!е собственно и принимается,
какъ нагрузка отъ действ!я ветра.
Изъ многихъ практическихъ формулъ, дающихъ выражете нор¬
мальной слагающей, наиболее вероятной, хотя дающей и бблышя ве¬
личины, надо считать формулу Лессля *)
p=pQ. Sin а .	....... 141
где рп — давлеше ветра на единицу площади, нормальной къ его на¬
правленно, и
*) Формула
р =Ро- а
при направлены вЬтра подъ угломъ въ 10° къ горизонту даетъ величины давлешй,
гораздо менышя, чЪмъ формула Лессля для угловъ а болЬе 5°.

— 107 —
а — уголъ, образуемый поверхностью съ направлешемъ вгЬтра. На-
правлеше сильнаго в4тра, на который и разсчитываются стропила, надо
принимать горизонтальными При такихъ условьнхъ давлеше вйтра на
элсментъ дуги ds параболы въ произвольной точкй Е (фиг. 20) будетъ:
7?0. Sin a. ds — pQ . tg a. dx.
Приближенное значеше момента этого усшпя относительно точки
J, въ случай небольшого подъема, будетъ:
d М = р0. tg а. х . dx	142.
Точное значеше момента
d /V = ръ. tg а . (I — и\ Cos a. dx	143
По свойству параболы
Z — Х = .г. + 2/‘. у . - X,
X
следовательно
dM=p~. Sin а • р’4-2 • y-4(2Zz — х*)(1—л?)] • dx	144.
Если бы принять это точное выражеше момента, пришлось бы
значительно усложнить вей поелйдуюпце выводы, поэтому мы ограни¬
чиваемся здгьсь приближеннымъ рпшьенъемъ, достаточно вйрнымъ для
цйлей практического разечета, заменяя формулу 144 болйе простою
142-ою. Это тймъ болйе допустимо, что форм. 141 не представляет»
собою точного математггческаго выражения эффекта отъ dmuemein
тьтра.
Производимое моментомъ dM давлеше на опору В будетъ:
2f
2 I. d F2 = р^. tg a.x. dx ~pQ — x).x.dx	145.
V
Интегрпроваше этого yp-ifl, при изм4нешп x въ предйлахъ отъ
о до Z, даетъ:
*;=| -P»-f
146.

— 108 —
OnредЪленie натяжешй тягъ.
После того какъ найдены давлешя на опоры отъ действия ветра,
зависяпця, какъ видно, только отъ подъема f арки, а не отъ пролета
ея, можно будетъ опред'Ьтть натяжеше вс'Ьхъ тягъ, до Нп_х включи¬
тельно, по даннымъ ранее формуламъ, внося въ нихъ новое значеше
F2, которое устанавливаешь зависимость вс'Ьхъ натяжешй тягъ также
отъ f\ тогда какъ при равномерной нагрузкЪ этой зависимости не
существовало.
Упомянутымъ въ общемъ анализе путемъ определяется натяжеше
вс/Ьхъ тягъ, причемъ каждый разъ изменяется лишь выражеше мо¬
мента нагрузки относительно разсматриваемой точки.
При отыскаши натяжешя Нп надо ввести моментъ нагрузки при
изменеши х отъ I до ап относительно узла (# + 1) на фиг. 17. Ве¬
личина этого момента будетъ:
2/' С"" п м, . , 2f (ая-0’_
х)(х <tn) • dx—р^ •	—
= 2.F2-^-)-	147.
к
Внося это значеше момента въ общую формулу, определяющую
Нп (см. выводъ ф-лы 100), получимъ:
2/ —а„_, — 	(I — «„)*
(2/	rtn-i)(2? — «„)
1
П I* _|"2Z — a,
. . 149.
и
Такимъ же образомъ; какъ и ранее было указано, могутъ быть
определены натяжешя и вс'Ьхъ остальныхъ тягъ
отъ Ям+1 до Я2п.
Въ случае равномерной нагрузки на полупролет'Ь, натяжеше всехъ
тягъ, им'Ьющихъ нумеръ (п-}-2) и выше, равнялось нулю (см. форм. 106),
между т'Ьмъ какъ при неравномерной нагрузке, какъ это видно, сколько бы
ни провести тягъ, соединяющихъ половину дуги арки съ ближайшей
опорой, вс'Ь эти тяги будутъ иметь натяжеше. Отсутств1е этихъ тягъ
будешь вызывать добавочный сгибаюицй моментъ въ нагруженной части

— 109 —
арки; и если общая величина сгибающихъ моментовъ будетъ здесь пре¬
восходить определенное выбранное значеше, то для уменыпешя сги-
батощихъ моментовъ необходимо проводить добавочныя в4тровыя тяги,
число которыхъ, какъ увидимъ ниже, вообще говоря, должно быть мешЬе
числа тягъ, идущихъ къ ненагруженной стороне арки.
Въ дальнййшемъ необходимо разсмотр^ть определеше натяжел!я
произвольной ветровой тяги, взявши для этого моментъ силъ относи¬
тельно произвольной точки ненагруженной стороны арки.
Предположимъ, что тяга Нп проходить чрезъ вершину арки, т. е.
ип = I. Выберемъ за центръ моментовъ произвольную точку т (фиг. 20)
нагруженной стороны арки, определяемую абсциссой Ът относительно
левой опоры, и составимъ по вышеуказанному способу выражеше Нп
(см. выводъ форм. 100):
У. • [21-ът- Ьт •	_ 2 (/-&,„)’]=
*-	V	 ^н—1	J
=		150.
Это выражеше получается изъ общаго, заменяя тамъ координату ип
узла тяги чрезъ I (относительно правой опоры), а координату ап центра
моментовъ чрезъ Ът (относительно левой опоры). После алгебрапче-
скихъ преобразован^ получимъ:
Или
H,= v2-
ы Г2/-6,,.
f L 1* '
151.
Следовательно, при а„ = 1 для опред'Ьлешя натяженШ всЬхъ по-
сл'Ьдующихъ тягъ имЪемъ следующее:
2Z2 21 — b
f ‘	1»
152.
, £* 3Z-2ft„,
2 ' f' I
152,а.
Если въ вышеупомянутой точке т съ координатой Ът имеется
тяга Н„ь, то, разсматривая выражеше момента относительно центра
моментовъ съ координатой Ьт_х, получимъ общее выражеше:
	153.

— по —
Сгибающ1е моменты въ арий съ одной горизонтальной тягой (безъ
нанлонныхъ).
Въ случай арки съ одной горизонтальной тягой (безъ наклон-
ныхъ), наляжете ея найдемъ, пользуясь форм. 146:
Н0=Ггу = ^р,1	154.
Моментъ т давлешя вйтра на дугу АЕ (фиг. 20) относительно
точки Е найдемъ, какъ алгебраическую сумму элементарныхъ моментовъ,
выражеше которыхъ составлено для произвольной точки D (фиг. 20)
съ абсциссой z такимъ образомъ:
2f
сила	Ро'-рУ —
а плечо ея	х	— z.
Суммируя величины этихъ элементарныхъ моментовъ при измене¬
ны z въ предЪлахъ отъ о до ж, получимъ:
^ = -72 'Ро' (l-z)(x—z)-dz=2>o
* Jo
2/‘ il. а-
Т- ■ \ г
г3\
- ) .155.
6 /
Моментъ въ сйченш Е (фиг. 20) будетъ:
М =	. х — т — Но - у.
Послй алгебраическихъ преобразован^ этого yp-ifl получимъ:
„ 1	Ъ1* — Ы.х + 2х*
М= -Pt-f-x

. . 156.
Наибольшее значеше М получится при
— (5—^/7) = около 0.41.
max М = 0,088 .рп .f,l	157•
Въ случай прямолинейной фермы, при тйхъ же данныхъ относи¬
тельно дййств1я вйтра, и въ той же части арки получимъ:
max М .pQ. /’• I
о
158,

— Ill —
т. e. въ параболической арюъ разсчетный моментъ от<> дп>йств!я
вп>тра будетъ въ нагруженной сторона арки въ 71/* раза меньше,
чгъмъ въ прямолинейной фермп».
Для произвольной точки ненагруженной стороны арки съ одною
горизонтальною тягою будемъ иметь выражеше момента:
мг = V, (21 — х) — Но. у, или
Mt=Pp0-f-(2l-x)(i -		159.
з
При х = -1 получимъ:
А
max Мх — - Pvt-I	160-
Сгибаюице моменты въ аркЪ съ наклонными тягами
Недогруженная вЪтромъ сторона арки.
Обпцй видъ выражетй моментовъ max. Мт въ зависимости отъ
давлешя К2 остается тотъ же самый, который былъ данъ формулой 116.
только значеше Г2 переменяется
1 . 1 .
съ --р4 на
и все эти моменты делаются пропорциональными /, подъему крыши,
чего не было при нагрузке, равномерно распределенной по полупролету.
Нагруженная вЪтромъ сторона арки.
ц. Точки подвгьса тягъ на правой а лпвой сторонп» арки распо¬
ложены симметрично.
На протяжеши отъ вершины арки до узла (я-|- 1) на фиг. 17,
т.-е. при -изменеши х
отъ I	до ап,
выражев!е момента будетъ писаться такъ (см. форм. 92 и 147):
М^ = Мп-Нп.	(2l-x)(x-<Q-pa
После алгебраическихъ преобразован^ получимъ:
<«=^•..2^(4-^
2.г _	1	\
-~Г	21 —аяГ ‘
161.

— 112 —
На всемъ протяженш между вершиною арки и узломъ (п + 1) на
фиг. 17 моментъ сохраняетъ отрицательное значеше, а въ этомъ по¬
ел йднемъ узле онъ равенъ нулю.
Наибольшее значеше этого момента можетъ быть определено приб¬
лиженно, но съ достаточною для практическихъ целей точностно, въ
предположеши х = 1 подобно тому, какъ это делалось при нагрузке,
равномерно распределенной на полупролете; тогда
п,ах M'n+l =	«„) (11^_ -Ч—\ . . . 162.
\ t	Z б — t('n'
Необходимо, чтобы величина этого момента не превосходила того,
который получается при заданной равномерной нагрузке.
Если тяги Нп+1 нетъ, то и здесь такъ же, какъ и при равномерной
нагрузке, Мп+1 сохраняетъ видъ своего выражешя въ пределахъ изме¬
нения х отъ ап до нуля, причемъ величина момента въ этихъ преде¬
лахъ остается положительной, а наибольшее его значеше получится при
х, определяемомъ изъ yp-ia
	о
dx
Оно приводится къ виду.
.г*—/?•*+/= О	i
Ч±±^	1	;
' зЧI	21—ап)\	163-
Найденную изъ этого yp-ia величину х следуетъ затемъ внести
въ форм. 161, тогда и получимъ точное выражеше max момента при
данномъ значеши ап. Но этотъ путь решешя, сопровождаемый целымъ
рядомъ алгебраическихъ выкладокъ, весьма длиненъ. Можно ввести сле-
дуюнця упрощешя:
При значешяхъ ап, близкихъ или = 2, yp-ie 163 даетъ
х = Чг	161.
□
Эту величину и примемъ для всехъ значешй ап, который, какъ
известно изъ общей Teopin арочныхъ фермъ, могутъ изменяться отъ
— 113 —
-- • I,— въ случай одной наклонной тяги, до I — въ случай большого
D
числа тягъ. Тогда по форм. 161 получимъ:
пшх. Л/„+,^К2 — !i—!'.(з,зз-'J*1-	1	). • 165.
*	9	\	/	2 L -- и /
Для бол'Ьс быстрыхъ предварительных'!» разсчетовъ вместо этой
формулы можно пользоваться еще бол'Ье^упрощенной ’формулой:
max. J'f„+l = приблизительно • 0,3 • ап	166.
Для сравнешя результатовъ вычисления приводимъ таюя данныя:
Величины М1щЛ: I.
а"'1-.	I 	г

Истинное значеше. По форм. 165.1 По форм. 166.
I	.
0,217	;	0,213	!	0,20
3	i	i
:	I
1 |	0,296	0,296	0,30
i'	:
Если имеется тяга Ян+). то, начиная отъ точки съ абсциссой
х = а„ ,, зпачсше момента будетъ:
^«4-2 — ^4*4-1	11 ’ *	—
п~Н
— Мя+1 — //„+1 ■	■ х — х).
гд'Ь х считается отъ опоры А (фиг. 17). Посл'Ь преобразован^ полу-
чаемъ:
Мя+., = 2Vt-x-(<t"~~		167.
Величина этого момента между точками съ абсциссами ап и an_t
отрицательна.
Если тяга Нп+2 отсутствуешь, то выражеше» посл^дняго момента
сохраняешь свой видъ на всемъ протяжеши арки между узлами (w -j“ 2)
и А (фиг. 17), причемъ внакъ момента изменяется съ минуса на нлюсъ.
8

— 114 —
Нагруженная вЪтромъ сторона арки.
б. Точки подвгьса вгътровыхъ тягъ расположены несимметрично съ
точками подтьса пъягъ непогруженной стороны.
Опредйлеше сгибающихъ моментовъ въ нагруженной сторонЬ арки,
имеющей нисколько в'Ьтровыхъ тягъ, точки привЬса которыхъ располо¬
жены несимметрично съ точками привЬса тягъ ненагруженной стороны,
д'Ь1ается такъ же, какъ и ранЬе, т. е. составляя yp-ia моментовъ отно¬
сительно выбранныхъ точекъ привЬса тягъ.
Разсмотримъ тотъ случай, когда одна Ьзъ в’Ьтровыхъ тягъ прохо¬
дить чрезъ вершину с арки (фиг. 20), т. e.v при опредЬлеши момента,
положимъ	*
an = Z
въ общей формул'Ь, подобной той, изъ которой получилась непосред¬
ственно формула 161. Если ближайшая къ вершинЬ тяга будетъ mA
съ координатами точки прив'Ьса ея
h и Ь .
не не»
то сгибаюпцй моментъ въ произвольномъ сЬчеши дуги ст (фиг. 20)
будетъ писаться такъ:
Mmi - М„	x)(l -х). - 2 V2. ~fi3,
гдЬ Мп и Нп — величины момента и горизонтальной слагающей натя-
жешя тяги при точкЬ с. ПослЬ алгебрапчсскихъ преобразован^ преды¬
дущее равенство обращается въ следующее:
= 2 Vt • х •	• Ьт ~~	168.
и	V
Приравнявъ нулю 1-ю производную этого выражешя по с, най-
демъ, что max момента получится тогда, когда
И	16»-
При отношены I : ft,n, измЬняющемся па практик!; въ прсдЬлахъ
отъ 1,25 до 2, выражеше максимальнаго момента, съ ошибкою мен'Ье
2°/0, можно представить такой простой формулой:
так.Мет=- 73		170.

— 115 —
Пусть следующая точка прив'Ьса ветровой тяги будетъ к (фиг, 20)
съ координатами
A„j_i и
Натяжеше НЬт тяги, идущей изъ узла А въ т (фиг. 20) было
дано формулой 153. Сгибаюнцй моментъ въ произвольном!, с'Ьченш
дуги тк будетъ писаться такъ:
— 2 • V - г, - Ь,п~ Х ■ Ь^~х	171.
’	11
Наибольшее значеше этого момента, подобно предыдущему, полу¬
чится для сйчешя, гдгЬ
— о (^т -1- ^;»-1 +		 Ъщ * Ь»н-1 + ^ш-1)	72.
Если имеются лЪв'Ье точки к (фиг. 20) еще друпя в-Ьтровыя тяги,
тогда гЬмъ же путемъ будутъ определены моменты и въ остальных!»
частяхъ дуги арки, лежащихъ между двумя смежными тягами.
Если же левг1»е точки к тягъ бо.гЬе нгЬтъ, то и во всей остальной
части дуги, т. е. въ части А к. выражеше момента останется то же,
что и между точками т и к, только max момента будетъ при другомъ
зпачеши .т, а именно:
%кЛ — з (^. ~Н	Ъц) ' Ь,„_i	^»,_1) • • • • 173.
При однообразномъ сйчеши арки необходимо, чтобы наиболыше
сгибаюпце моменты въ частяхъ ея кА и кт были равны. Это услов!е
удовлетворяется при существоваши равенства
*...-1=1		174
А
Тогда формула 171 приметь видъ:
= 2 F, • х •	.... 175.
V	V
8*

—116 —
Наибольшее значеше этого момента получится:
въ части кт при значеши
/1 . 1	5,5 .
®*и— Ь.Д2-|- з)5)— 7 '
а въ части кА при значеши
_ /1	1	1,5
j-5J- 7 Ьт.
При этихъ значешяхъ х, max момента будетъ
= приблиз. • F2 • ~	176.
Если ту же величину наибольшая момента удержать и для части
те, то, на основаны равенствъ 170 и 176, надо паписать, что:
1 v &».	тг Н~ ^»i	V	177
10	‘ >	2‘	4	\ Г /'

Это yp-ie даетъ приблизительно
	178-
1,41
Принявши это соотношеше, разсчетный моментъ для всей нагру¬
женной в'Ьтромъ стороны, при двухъ в'Ьтровыхъ тягахъ (г А и т А), по¬
лучимъ въ такомъ окончательномъ вид'Ь:
тая. 2И=прибл. — • F2 I	179.
28
Если, кром'Ь тягъ с А и mA, будетъ существовать еще тяга кА,
то, аналогично съ предыдущимъ, найдемъ:
i:bwl:^-i = l,78:l,41 :1	180
и разсчетный моментъ для нагруженной стороны арки
max. Л£ = прибл. • Fg • I	181.

— 117 —
Для предварительныхъ соображешй о числе в'Ътровыхъ тягъ п
которое надо провести въ нагруженной половине арки, съ достаточною
верностпо можно пользоваться следующего приближенною формулою:
max. М = —~ ■ V-1	182.
6 • nf 2
Число тягъ, идущихъ отъ каждаго опорнаго узла къ дальней и
ближней половинамъ арки.
Вопросъ о числе тягъ решается въ зависимости отъ заданныхъ
нагрузокъ.
При назначеши данныхъ числовыхъ величинъ для односторонней и
полной нагрузокъ арочныхъ покрытой, надо иметь въ виду следующее:
Давление самсио снльнаго вгътра (буря) принимается:*
= 125 килогр. на 1 кв. мт.
= 0,7 пуд. на 1 кв. фут.
Следовательно, основное данное для разсчета моментовъ нагружен¬
ной стороны давлешемъ будетъ:
если —въ кгр., а —въ мт.
^ = 0,117./;
если Vt—въ пуд., a f—въ фут.
Эта величина Ка будетъ вычислена применительно къ каждому по¬
гонному метру (или футу соответственно) ширины полосы крыши, пере¬
дающей давлеше на стропильную ферму.
Нагрузка отъ снгьга, распределенная равномерно по всему про¬
лету, считается обыкновенно равною
75 кгр. на 1 кв. мт., иди
0,42 пуд. на 1 кв, фут.
Неравномерное распределеше снега по обоимъ скатамъ крыши мо-
жетъ дать одностороннюю нагрузку, величина которой, вообще говоря,
— 118 —
будетъ незначительна. Односторонняя нагрузка снега возможна только
въ томъ случай, когда сильный вйтеръ снесетъ весь снйгъ съ той сто¬
роны крыши, на которую онъ дуетъ.
Такъ какъ цифра 0,42 пуд. на 1 кв. футъ соответствуешь накоп-
лешю снега за долпй перюдъ времени, то нйтъ вероятности предпо¬
лагать, что въ течете этого долгаго перюда времени будетъ падать
снегъ въ тихую погоду, и что затймъ поднимется вйтеръ, который
сразу снесетъ весь снегъ
тивоположной стороне.
При подъеме арокъ,
съ одной стороны, не тронувъ его на про-
болыпемъ | ихъ пролета, т. е.
при f болйе ,
□
снйгъ съ концовъ крыши сползаетъ (уголъ скольжешя снега считается
около 35°).
Въ случай сильнаго ветра, снегъ сдувается, какъ съ вершины
арки, такъ и съ той стороны, откуда дуетъ вйтеръ, такъ что, вообще
говоря, совокупнаго действия сильнаго ветра (особенно урагана) и одно¬
сторонней нагрузки снега на одну и ту же половину арки быть по
можетъ.
Единственное исключеше можетъ быть въ случай такъ называе¬
ма™ *мокраю сн1ьгаи, прилипающаго къ крышй и наносима™ бурею.
Наибольшая величина такого односторонняго груза можетъ быть около
| полной нагрузки отъ снега, т. е.
0,42
~з“
Р =
= 0,14 пуд. на 1 кв. фут.
1
лишь для арокъ, подъемъ которыхъ не превышаешь - ихъ пролета,
э
Такъ какъ одностороншй грузъ снега расположенъ на полупро-
летй арки равномерно, то въ нагруженной стороне онъ не даетъ сги-
бающихъ моментовъ, а моменты ненагруженной стороны будутъ раз-
считываться по добавочной нагрузке (въ пуд.)
* р-1= 0,035 • I,
4
где I — въ фут.
Следовательно, моменты ненагруженной стороны должны быть
определены по давлетю на опору
Fa = 0,117. Я- 0,035./
— 119 —
на 1 погонный футъ ширины полосы крыши, отнесенной къ одной
ферме, если f и I — въ фут., a V2 — въ пуд.
Или же
V2 = 21 ./’+ 0,625 .1
на 1 погонный мт, ширины полосы крыши, отнесенной къ 1 ферме,
если / и I — въ мг., а К2 — въ кгр.
Для сохранешя однообразных!, с/Ьчешй въ арке, необходимо, чтобы
разсчетиые сгибаюице моменты въ об'Ьихъ половинахъ арки были равны.
Следовательно, если будемъ обозначать:
н — число тягъ, идущихъ отъ опорнаго узла къ дальней половине
арки, а
—къ ближней половине, то должны иметь:
0,117 . f-\ 0,035 . Z 0,l 17 . f
4 .	6 . n*
rr r 2 1
При / = —, находимъ:
b
	183.
--= около 1,75	184.
"t
Следовательно, число ветровыхъ тягъ у арки выходить почти въ 2
раза мепее противъ числа тягъ, соединяющихъ опору съ противополож¬
ной половиной дуги; и на практике, даже при самыхъ болыпихъ про-
летахъ, не приходится ставить более двухъ или трехъ ветровыхъ тягъ,
считая въ томъ числе и тягу, проходящую чрезъ вершину.
Для большей надежности, имея въ виду случайное возможное на-
коплеше снега на арочной ферме, следуетъ:
1) разсчитывать тяги ненагруженной ея стороны на односторон¬
нюю равномерную нагрузку, слагающуюся изъ действ!я ветра, сложен-
наго съ давлешемъ отъ снега въ i пуда на 1 кв. футъ;
<5
2) тяги же ветровыя должны быть разсчитаны только на действ!е
ветра, вовсе не принимая во внимаше нагрузки отъ снега.
На фиг. 21 изображена арочная ферма съ полнымъ числомъ тягъ
при п = 4 и /^=2.
Заключен! е.
Вс/Ь вышеприведенный соображешя относительно разсчета арочныхъ
стропилъ были ведены, предполагая существоваше шарнирныхъ соеди-
— 120 —
пешй въ мйстахъ прикр'Ьплешя тягъ къ дугЬ арки. Въ действительно¬
сти же арочная ферма представляетъ собою сплошную упругую арку,
почти не ослабленную прив'Ьсомъ тягъ. Но разница между определяе¬
мыми по формуламъ и действительными напряжешями будетъ въ этомъ
случае совершенно аналогична съ таковою же разницею и для прямо-
линейныхъ стропиль, где также поясъ сжайя вместо разсматриваемаго
ряда сочлененныхъ шарнирами частей представляетъ собою сплошную
балку. Въ случае сплошных!» какъ арочныхъ, такъ и прямолинейных!»
поясовъ, сгибаюпце моменты въ частяхъ дугъ и панелей будутъ меньше,
чемъ при существоваяш шарнировъ. Подробный теоретичестпп разборъ
разсчета сплошных!» арокъ съ наклонными тягами потребовал!» бы
весьма сложныхъ выводовъ, которые приведутъ къ конечпымъ форму¬
ламъ, скорее всего только вероятнымъ, чемъ в’Ьрнымъ; а потому го¬
раздо надежнее будетъ — ограничиться въ разсчетахъ формулами,
основанными на предположеши, что въ м'Ьстахъ привеса тягъ суще-
ствуютъ шарниры.
Применен1е вышеприведенпыхъ форму.1ъ треб уста», чтобы одинъ
конецъ фермы могъ свободно скользить по опоре, дабы избежать до-
бавочныхъ усилШ, вызываемыхъ измененшми длины частей фермы при
изменешяхъ температуры.
При устройстве арокъ и ихъ установке необходимо обращать
главное впимаше на положеше тягъ. Избыточное патяжешс ихъ можетъ
вызвать появлеше добавочныхъ уси.ий, па действ!е которых!» части
фермы не разсчитаны; то же самое можетъ произойти при чрезмерном!»
ослабленш тягъ. Для устраненья возможнаго произвола въ натяженш
тягъ, полезно употреблять въ этомъ случае для тягь не жесткая стяжки,
а предложенный нами упруйя стяжки.
27 января 1897 г.
Вл. Шуховъ.

Оглавление.
Стр.
Отъ вице-предсгЬдателя Политехническаго О-ва	 3
Отъ автора	 5
Форма стропиль	 7
Прямолинейный раскосныя фермы	 15
Подразд'Ьлеше фермъ	 —
Фермы 1-го класса.
Опред'Ълеше ушшй, передающихся па раскосы	и	тяги въ ж-ой панели. —
Опред'Ьлеше вЬса ж-ой панели.	 19
НаивыгодпЬйшее расположите пижнихъ узловъ	фермы	 20
Сводъ данныхъ для разсчета:
Фермы рацюнальпыя. . . .	 22
Англшсюя фермы съ вертикальными раскосами—х = 0. ... 26
Фермы съ вертикальными	тягами—х = а	 28
Фермы 2-го класса.
Рацюнальныя фермы	 30
Обыкновенный фермы Полонсо	 33
Сводъ данныхъ для опредЬлешя услл!й въ частяхъ ращоналыюй и
обыкновенной фермъ Полонсо\
Ферма ращональная	 36
„ обыкновенная	 37
Данныя для сравнешя вЬса фермъ 1-го и 2-го класса	 39
Поправки въ теоретической формул!’» вЪса фермы	,	 43
Передача нагрузки на фермы	 44
ОпредЬлеше числа панелей фермы	 46
Разсчетъ прямолинейной и параболической фермъ безъ раскосовъ въ слу-
чаЬ дЬйств!я сосредоточенной нагрузки	 54
Арочныя параболическ1я Фермы.
В'Ьсъ параболической фермы безъ раскосовъ и наклонныхъ тягъ		59
Параболпчесшя фермы съ раскосами:
Выгодность замЬны раскосовъ системою наклонных!» тягъ		60

II
Арочныя Фермы съ тремя тягами.
Стр.
Опредйлеше натяжешй тягъ	 66
Опредйлеше сгибающихъ моментовъ въ аркй и наивыгоднййшаго распо-
ложешя тягъ	 68
Усшия сжатая для арки съ тремя тягами и съ одной тягой	 72
Сводъ данныхъ для разечета параболичеснихъ фермъ съ одною тягою и
съ тремя тягами	 76
Параболическ1я Фермы съ произвольнымъ чи-
сломъ тягъ.
Опредйлеше горизонтальных!» слагающихъ натяжешй тягъ и суммы этихъ
слагающих!,	 78
Опредйлеше сгибающихъ	моментовъ въ ейчешяхъ арки	 86
Опредйлеше наивыгоднййшаго расположешя тягъ арочной фермы и раз-
счетныхъ моментовъ	для	лея	 90
Усюпя сжатая 	 95
Сводъ данныхъ для разечета арки съ произвольнымъ числомъ тягъ....	96
Вйсъ арочной фермы съ 2п-\ -1 тягами	 97
Комбината разсторжй между фермами и обрешетиной и величина панели. 103
Разсчетъ арочныхъ Фермъ, принимая во внима-
н!е дЪйствЮ вЪтра.
Дййстаие вйтра па ферму. Опредйлеше давлешй па ея опоры	 106
Натяжешя тягъ	 108
Сгибаюнце моменты въ аркй съ одной горизонтальной тягой	 ПО
„	п „	„ съ наклонными тягами:
а)	Случай симметричнаго нодвйса тягъ на правой п лйвой
сторопй	 111
б)	Случай	неепмметричваго нодвйса	 114
Число тягъ главныхъ	и	вйтровыхъ	 117
Заключеше	 119

Замеченный опечатки.
Страница.
Строка.
Напечатано.
Слп>дустъ читать.
16
б снизу
расколами.
раскосами.
22
3 „
—
закрыть большую скобку.
25
13	„
gZ3
26
3 Ж
—
sm = И Т. д.
54
7 сверху
опоры
отъ опоры
69
3 снизу
yp-ie 82
yp-ie 81,а.
—
—
Табл. 2, фиг. 16—уголъ при точкЬ D между каса¬
тельной и горизонталью = /9.
73
6 снизу
По формулЪ 87
По формул^ 78
76
2 сверху
оп горизонтали
по горизонтали
80
6 „
Vt . а(.
83
3 снизу
ординатами
координатами
93
3 „
—
max	= 0.
94
6 сверху
Въ 1-й скобкЪ знаменателя должно стоять он-1