/
Автор: Шуховъ В.Г.
Теги: строительство издательство петроградъ строительные конструкціи сопротивленіе матеріаловъ
Год: 1897
Текст
ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО,
состоящее при ИМПЕРАТОРСКОМЪ Техническомъ Училищѣ.
СТРОПИЛА.
Изысканіе раціональныхъ типовъ прямолинейныхъ
стропильныхъ фермъ и
ТЕОРІЯ АРОЧНЫХЪ ФЕРМЪ.
Дѣйствительнаго члена Политехническаго Общества,
ИНЖЕНЕРЪ-МЕХАНИКА
В. Г. Шухова.
МОСКВА.
Высочайше утвержд. „Русское Т-во печати, и изд. дѣла11. Чистые пруды, соб. д.
1897.
Печатано по распоряженію Совѣта Политехническаго О-ва.
Вице-предсѣдатель О-ва профессоръ /У. Худяковъ.
Отъ вице-предсѣдателя Политехническаго Общества.
Зданія Всероссійской художественно-промышленной выставки 1896
года въ Н.-Новгородѣ не только представляли собою превосходные
образцы художественнаго творчества русскихъ зодчихъ, но и свидѣтель-
ствовали о высокомъ состояніи у пасъ въ Россіи научной и практической
стороны строительнаго искусства.
Наблюдателя поражали какъ легкія арочныя стропила, которыя
перекрывали главное зданіе машиннаго отдѣла и были исполнены
С,~ Петербургскимъ металличеешмъ заводомъ, такъ и оригинальныя по
новизнѣ формы и легкости конструкціи арочныя и висячія сѣтчатыя
покрытія системы Шухова, которыя были впервые введены въ практику
строительнаго дѣла и представлены въ цѣломъ рядѣ зданій выставки
строительной конторой инженера А. В. Бари.
Сѣтчатыя покрытія Шухова обращали на себя особенное вниманіе
потому, что съ одинаковою легкостью и удобствомъ они находили себѣ
примѣненіе при самыхъ разнообразныхъ формахъ зданія въ планѣ и
при самыхъ разнообразныхъ пролетахъ; они были собраны изъ угол-
ковъ и желѣза - зетъ, изъ полосъ съ такими поперечными сѣченіями и
на такихъ взаимныхъ разстояніяхъ, какія мы привыкли встрѣчать только
въ обрѣшетинахъ обыкновенныхъ стропилъ. Такая сѣтчатая поверх-
ность, состоящая, такъ сказать, пзъ одной обрѣшетины, не опиралась
на какія - либо стропильныя фермы, ' а покоилась непосредственно на
стѣнахъ • и колоннахъ зданій, отчего многіе и цазывали эти покрытія
Шухова крышами безъ стропилъ.
Описанію этихъ оригинальныхъ сѣтчатыхъ покрытій мы посвятили
въ свое время небольшую статью, помѣщеипую въ журналѣ „ Техническій
Сборникъ и Вѣстникъ Промышленности* (1896 г., № 5) подъ загла-
віемъ „Новые типы металлическихъ и деревянныхъ покрытіи для зданіи
по системѣ инженера Шухова*,
Культура какой-либо отрасли промышленной дѣятельности должна
(.измѣряться однако не случайной новизной выставочныхъ экспонатовъ,
1
— 4 —
а общимъ состояніемъ разсматриваемой дѣятельности и сознательнымъ
отношеніемъ дѣятелей въ работѣ ихъ на томъ пути, который привелъ
ихъ къ даннымъ нововведеніямъ.
Конструкція сѣтчатыхъ покрытій была удачно создана и закончена,
оригинальность ихъ открыто признавалась всѣми, и преимущества ея
въ смыслѣ малаго вѣса, необычной легкости изготовленія и дешевизны
были провѣрены опытнымъ путемъ па цѣломъ рядѣ примѣровъ при са-
мыхъ разнообразныхъ условіяхъ въ заданіи. Но этимъ закончиться дѣло
не могло.
Интересъ, возбужденный сѣтчатыми покрытіями и съ практической
и съ теоретической стороны, оказался настолько значительнымъ, что
явилась настоятельная потребность имѣть сознательное отношеніе къ этому
вопросу не только одному даровитому конструктору, создавшему систему
сѣтчатыхъ покрытій безъ стропилъ, но и потребителямъ ихъ, и цѣлой
плеядѣ инженеровъ, имѣющихъ прямое и непосредственное отношеніе
къ строительному дѣлу.
Въ силу этого, какъ профессоръ Императорскаго Техническаю
Училища и какъ вице-предсѣдатель Политехническаго Общества, при-
званный стоять на стражѣ интересовъ науки и ея практическихъ при-
мѣненій, въ данномъ случаѣ я счелъ своимъ долгомъ обратиться къ
инженеру А. В. Бари, почетному члену Политехническаго Общества,
съ просьбою—разрѣши^ Обществу опубликованіе тѣхъ трудовъ нашего
уважаемаго сочлена В. р. Шухова, которые имѣютъ непосредственное
отношеніе къ созданной гімъ системѣ сѣтчатыхъ покрытій, явившихся у
него результатомъ самостоятельнаго анализа стропильныхъ фермъ.
А. В. Бари и В. Г. Шуховъ отнеслись къ этой моей просьбѣ
съ полнымъ вниманіемъ и сочувствіемъ. Весь нужный для этого мате-
ріалъ приведенъ былъ В. Г. Шуховымъ въ порядокъ и переданъ мнѣ
для общаго редактированія и напечатанія въ трудахъ Политехническаго
Общества, для которыхъ эта интересная и цѣнная работа, безспорно,
является лучшимъ украшеніемъ.
П. Худяковъ.
12. 1. 97.
ОТЪ АВТОРА.
При составленіи проекта стропилъ первымъ и самымъ важнымъ
вопросомъ явтяется вопросъ о выборѣ топ или другой системы фермъ,
о выборѣ числа ея узловъ или панелей, о расположеніи прогоновъ и,
наконецъ, о выборѣ разстоянія между фермами.
Употребленіе графическаго способа разсчета значительно упрощаетъ,
можно сказать, дѣлаетъ почти автоматическимъ самый процессъ разсчета
усилій въ разныхъ частяхъ фермы, по при этомъ у проектирующаго
сооруженіе не получается отвѣта на вопросъ о паивыгодпѣпшемъ рас-
положеніи связей фермъ и деталей крыши, и составителю проекта не
дается возможности слѣдить за измѣненіемъ вѣса каждой отдѣльной
части фермы въ зависимости отъ ея системы и геометрическаго положе-
нія отдѣльныхъ ея частей.
Въ нижеслѣдующемъ предложенъ выработанный мною аналитиче-
скій разсчетъ стропильныхъ фермъ, который даетъ отвѣтъ па вопросы
объ опредѣленіи усилій, воспринимаемыхъ па себя различными частями
фермы, объ опредѣленіи вѣса этихъ частей и о назначеніи въ проектѣ
наивыгоднѣйшаго геометрическаго расположенія всѣхъ частей фермы,
при которомъ вѣсъ употребленнаго на устройство фермы матеріала былъ
бы наименьшій.
Всестороннее рѣшеніе такой задачи представляетъ большія труд-
ности, благодаря крайнему разнообразію системъ стропильныхъ фермъ,
причемъ это разнообразіе обусловливается не только архитектурными
требованіями и инструктивными особенностями, вытекающими изъ свойствъ
строительнаго матеріала фермъ, но и побочными соображеніями кон-
структора, вносящаго личный художественный вкусъ въ расположеніе
элементовъ проектируемыхъ имъ стропилъ. Поэтому здѣсь ми дѣлаемъ
6 —
попытку разрѣшенія поставленной выше основной задачи въ примѣненіи
ея только къ наиболѣе употребительнымъ въ практикѣ системамъ стро-
пилъ— съ прямолинейнымъ и криволинейнымъ внѣшнимъ абрисомъ кровли,
опирающейся па стѣны прямоугольнаго въ планѣ зданія.
Трудъ редактированія этой работы любезно принялъ на себя вице-
предсѣдатель Политехническаго Общества проф. П. К. Худяковъ.
Вл. Шуховъ.
Форма стропилъ.
Каждая стропильная ферма можетъ быть разсматриваема, какъ
простая треугольная, состоящая изъ двухъ симметрично расположенныхъ
наклонныхъ ногъ, прямыхъ или криволинейно изогнутыхъ въ одной пло-
скости; верхніе концы этихъ ногъ связаны шарниромъ *и образуютъ ко-
некъ крыши, а нижніе опираются на стѣны и соединяются между со-
бою затяжкой для уничтоженія распора стѣнъ.
Будетъ-ли ферма прямая (фиг. 1) или криволинейная (фиг. 2), мы
представимъ ее себѣ нагруженной равномѣрно.
Пусть обозначаютъ:
ц — равномѣрную нагрузку на ферму, отнесенную къ погонной еди-
ницѣ длины горизонтальной проекціи фермы,
Ѵг и Ѵ2 — давленія отъ фермы на опоры,
Н — усиліе горизонтальнаго распора или натяженіе затяжки у фермы,
х — у — координаты произвольнаго сѣченія фермы,
М — сгибающій моментъ въ произвольномъ сѣченіи фермы,
2/ — длина фермы и
/’—высота или подъемъ фермы.
Въ случаѣ равномѣрнаго распредѣленія нагрузки находимъ:
Давленія на опоры
= =4.1.
Моменты всѣхъ силъ справа или слѣва отъ средняго сѣченія С
фермы даютъ:
откуда
..........................*
— 8 —
Въ произвольномъ сѣченіи фермы сгибающій моментъ будетъ пи-
саться такъ:
т2
М=у1.х — — н.у..............2
2
Въ случаѣ прямыхъ ногъ имѣемъ
и тогда
..........................з,
т. е. въ случаѣ прямыхъ ногъ у стропильной фермы сгибающій моментъ
въ произвольномъ ея сѣченіи выражается такъ же, какъ и у прямой балки
длиною /.
При х = получимъ наибольшее значеніе сгибающаго момента.
&
Оно будетъ
I*
8
4.
тах. М=ц
На устройство фермы пойдетъ наименьшее количество матеріала
въ томъ случаѣ, когда М = 0. На основаніи этого изъ формулы 2
получимъ:
Это есть ур-іе параболы, вершина которой лежитъ въ точкѣ С
(фиг. 2). Отсюда слѣдуетъ, что:
1) параболическая ферма есть наивыгоднѣйшая въ случаѣ равно-
мѣрной нагрузки,
2) условію М — О при равномѣрномъ нагруженіи (фермы удовле-
творяетъ только параболическая (форма ея.
Въ случаѣ односторонней нагрузки, равномѣрно распредѣленной
отъ одной изъ опоръ до вершины, папр. отъ А до С (фиг. 1 и 2),
обозначимъ чрезъ нагрузку на погонную единицу длины горизонтальной
проекціи полуфермы.
Вся нагрузка на ферму будетъ . I.
9
Давленія па опоры получаются такъ
Г,= ?.„.<
Взявши моментъ всѣхъ силъ, дѣйствующихъ на ферму справа или
слѣва отъ точки О, найдемъ:
слѣва
а справа
4
Оба эти равенства даютъ
Въ произвольномъ сѣченіи лѣвой нагруженной части фермы сги-
бающій моментъ будетъ писаться такъ:
лг 3 / г 1 Л
М=-рІ.х-р. ^-!/.........................
Въ случаѣ прямыхъ ногъ имѣемъ
и тогда
_. х(1 — .г)
М = р . —-......................Ь.
1 2
Это ур-іе имѣетъ одинаковый видъ съ 3.
I
При х =- получимъ наибольшее значеніе сгибающаго момента. Оно
будетъ
Въ случаѣ односторонне нагруженной параболической фермы, удов-
10
летворяющей условію, выражаемому формулой 5, сгибающій моментъ
назовемъ чрезъ . Тогда изъ формулъ 5 и 7 получимъ:
__ х(1— х)
ЛГ, =р . —-..................10.
I
При х = - получимъ наиоолі.піее значеніе этого момента
р
тах. М—р. .......... 11.
1 6
Въ произвольномъ сѣченіи ненагруженной части фермы, координаты
котораго 7’, и у, причемъ
хх = 21 — х,
сгибающій моментъ для прямой фермы будетъ:
М = Уа . — Н. у, или
1 1 /
М=-.р1.х1--.і>.-.х1.'-=0
для всѣхъ точекъ отъ В до О (фиг. 1). Но такъ какъ стропильная
ферма поперемѣнно и съ правой и съ лѣвой стороны можетъ подвер-
гаться односторонней нагрузкѣ, поэтому обѣ ея половины должны быть
разсчитаны по моменту, наибольшее значеніе котораго дано въ формулѣ 9.
Для параболической фермы, удовлетворяющей условію, выраженному
формулой 5, при одностороннемъ нагруженіи фермы сгибающій моментъ
въ произвольномъ сѣченіи ненагруженной части фермы будетъ
3/, = К2 . (21 - х)- 1 ,р. . (2/.Г - .г2) . С,
ИЛИ
= ^р(2І — X). (/ — х)........................12
з
Наибольшее значеніе этого момента получится при х=- I. Оно
будетъ
тах. М\ = — р . —.......................13
1 16
Слѣдовательно, обѣ стороны параболической фермы должны быть
разсчитаны по сгибающему моменту, наибольшее значеніе котораго равно
г2
''16
11
Разсмотрѣніе формулъ 4, 9, 11 и 13 приводитъ насъ къ слѣдую-
щимъ заключеніямъ:
1) Выраженіе наибольшаго сгибающаго момента, какъ для прямой
фермы, гпакъ гі для параболической, не зависитъ отъ величины ихъ
подъема
2) При односторонней нагрузкѣ на ферму разсчетный сгибающій
моментъ для параболической фермы вдвое менѣе, чѣмъ для прямой
фермы.
Въ случаѣ односторонней нагрузки на ферму, не существуетъ та-
кого вида кривой, при которомъ бы можно было имѣть М = 0.
Въ самомъ дѣлѣ, если приравняемъ нулю общее выраженіе сги-
бающаго момента (см. форм. 7) при односторонней нагрузкѣ, то получимъ:
..._($1 — 2а;).........................іл
Это есть ур-іе параболы, вершина которой однако не совпадаетъ
съ вершиною параболы, представляемой ур-іемъ 5. Если ферма будетъ
имѣть видъ параболы, отвѣчающей ур-ію 14, то моменты для точекъ
нагруженной стороны фермы будутъ равны нулю, но зато понагру-
женная сторона этой фермы будетъ давать отрицательные моменты, абсо-
лютная величина которыхъ больше, чѣмъ дія параболы, построенной по
ур-ію 5; наибольшее значеніе сгибающаго момента для этой новой фермы
получится при = (при началѣ координатъ въ точкѣ В па фиг. 2),
и
и оно будетъ вдвое болѣе, чѣмъ для параболы, представляемой ур-іемъ 5.
Путемъ подобныхъ же выкладокъ и разсужденій не трудно дока-
зать, что всякое отклоненіе отъ параболической фермы, представляемой
ур-іемъ 5, съ цѣлію умсньгаенія слгібаюгцихъ моментовъ нагруженной
стороны, непремѣнно вызоветъ увеличеніе сгибающихъ моментовъ не-
нагруженной стороны фермы, и наоборотъ.
Слѣдовательно, для односторонней равномѣрной нагрузки парабо-
лическая форма стропилъ есть гьаивыгоднѣйгиая.
Назовемъ чрезъ 5—сжимающее усиліе въ произвольномъ сѣченіи
фермы, координаты котораго х и у. При равномѣрной нагрузкѣ у по
всей длинѣ будемъ имѣть (см, фиг. 1).
8 = Н. Со8а + (1\ — у.х).8іпа............15.
У опоры, гдѣ а = 0, сжимающее усиліе будетъ
В . Соз а + к . 8іп а.
— 12
Въ вершинѣ фермы, гдѣ х = 1, сжимающее усиліе будетъ
Н. Со8 а.
Наконецъ, въ сѣченіи наибольшаго сгибающаго момента, т.-е. при
х=~, сжимающее усиліе будетъ
Н. Со8 а + ц. 8іп а.
Во всѣхъ точкахъ прямой фермы будемъ имѣть
ід а—/'. I.
Для параболы же, удовлетворяющей ур-ію 5, получится
іда = ~г = 2р.
сіх
I—х
и въ сѣченіи наибольшаго сгибающаго момента, т.-е. при х =
. и здѣсь
2
также получимъ
іда = ГЛ.
Слѣдовательно, въ сѣченіи нагьвольшачо момента сжимающее уси-
ліе одинаково, какъ въ прямой, такъ и въ параболической фермахъ.
Такимъ образомъ, сравненіе фермъ прямыхъ и криволинейныхъ
показываетъ, что ферма, испытывающая наименьшее напряженіе ма-
теріала, должна при равномѣрной нагрузкѣ имѣть форму параболы.
А потому, если конструктору предоставленъ свободный выборъ поверхно-
сти крыши, то для полученія наименьшаго вѣса стропилъ слѣдуетъ оста-
новиться на фермахъ параболическихъ, и отыскивать какой-либо другой
видъ фермъ меньшаго вѣса въ такихъ случаяхъ безполезно.
Разсмотрѣнныя выше простыя треугольныя фермы могутъ быть сдѣ-
ланы пли изъ сплошныхъ балокъ постояннаго п перемѣннаго сѣченій,
или же, съ цѣлію увеличенія момента сопротивленія, имъ придается
опредѣленная система раскосовъ.
Сплошныя балки могутъ быть употреблены для небольшихъ проле-
товъ. въ случаѣ прямой фермы—пе болѣе 4—5 ті., а для арочныхъ
фермъ —не болѣе 10 —12 ті. При дальнѣйшемъ увеличеніи пролетовъ
необходимо употреблять раскосныя фермы.
При сплошныхъ балкахъ, по найденнымъ разсчетнымъ величинамъ
М и 5 и при выбранномъ допускаемомъ напряженіи матеріала, опре-
дѣляется модуль сопротивленія, по которому и отыскивается соотвѣт-
ственный профиль желѣза въ имѣющихся таблицахъ. Двутавровая форма
— 13 —
профиля является въ этомъ случаѣ наиболѣе выгодною. Вообще же
нужно выбирать такое сѣченіе, которое при данномъ модулѣ даетъ наи-
меньшій вѣсъ.
При разсчетѣ на сжатіе надо вводить поправку отъ длины сжи-
маемыхъ частей.
Въ отношеніи выбора желѣза для ногъ, подверженныхъ сгибанію
и сжатію, изданныя Бѣлелюбскимъ и Богуславскимъ таблицы даютъ пол-
ный матеріалъ для проектированія, и останавливаться на примѣрахъ этого
разсчета здѣсь мы считаемъ излишнимъ.
Прямолинейныя раскосныя стропильныя фермы.
Подраздѣленіе фермъ.
Раскосныя стропильныя фермы съ прямыми ногами могутъ быть
подраздѣлены на 2 класса:
Фермы 1-ГО класса имѣютъ подъ каждой ногой тяги и раскосы,
длина которыхъ увеличивается по мѣрѣ удаленія отъ опоръ къ коньку.
Примѣрами такихъ фермъ могутъ служить англійскія и американскія
фермы, изображенныя на фиг. 3, 4 и 5.
Фермы 2-ГО класса имѣютъ тяги и раскосы, симметрично распо-
ложенные относительно средины ноги. Примѣромъ такихъ фермъ можетъ
служить ферма Поло нео (фиг. 6).
Фермы 1-го класса.
Опредѣленіе усилій, передающихся на раскосы и тяги въ т—ой
панели.
Пусть обозначаютъ:
21 — пролегъ раскосной фермы 1-го класса,
2п — число ея панелей,
<у — равномѣрно распредѣленная нагрузка, приходящаяся на по-
гонную единицу длины въ горизонтальной проекціи фермы.
Тогда на каждый верхній узелъ фермы будетъ передаваться грузъ.
Нагрузка можетъ быть передаваема на ферму двояко:
1) нагрузка можетъ лежать непосредственно на верхнемъ поясѣ
фермы; тогда части пояса, расположенныя между узлами, будутъ испыты-
вать сгибаніе отъ лежащей на нихъ нагрузки; въ этомъ случаѣ обрѣ-
шетина находится непосредственно па верхнемъ поясѣ фермы;
16
2) нагрузка передается въ узлахъ фермы посредствомъ прогоновъ,
на которыхъ покоится обрѣшетина *),
Въ дальнѣйшихъ выводахъ мы будемъ предполагать существованіе
1-го способа передачи нагрузки, т, е. непосредственное распредѣленіе
на верхнемъ поясѣ фермы.
Давленіе на опоры будетъ
ѵ=ч.і.
Пусть обозначаютъ:
с2 с3......—длины раскосовъ,
и1 г/2 и3.....ип Л — сжимающія усилія въ раскосахъ,
х{х2х3........хп _х — проекціи длинъ раскосовъ на горизонталь,
7?2 .......7?п_1 и кп — разстояніе отъ верхнихъ узловъ фермы
до оси затяжки, гдѣ —подъемъ крыши,
<71 б?2 ......— длины тягъ,
і3......— усилія растяженія въ тягахъ,
898І8І3Я......8гі_1—усилія сжатія въ частяхъ верхняго пояса.
Т9Т\ Т2.......усилія растяженія въ частяхъ нижняго пояса.
Длина пояса сжатія будетъ
Введемъ обозначенія
- = 6 и
п
I
—= а
п
Тогда Ь: а = §: 7.
Изъ всей фермы выдѣлимъ ш-ную панель (фиг. 7), ограниченную
частью пояса сжатія съ усиліемъ 8,п} пояса растяженія съ усиліемъ Тт,
расколами ст и и имѣющую тягу гі,п.
Если т-ый узелъ, т.-е. точка е (фиг. 7), отстоитъ отъ опоры фермы
на разстояніе р, гдѣ
I
п
*) Въ этомъ случаѣ ферма воспринимаетъ па себя въ узлахъ сосредоточенные
грузы, а прогоны испытываютъ на себѣ изгибающее дѣйствіе нагрузки.
17
тогда моментъ внѣшнихъ силъ для узла е напишется такъ:
Мт=.-.
&
или
т 2п — т
= » -2» ’
Натяженіе (т—1)-ой части нижняго пояса будетъ опредѣляться
равенствомъ
%т-1 • — Мт,
но
слѣдовательно
т I* 2и — т
Т- 1=4 Г ^7-
Іб.а
Такимъ же образомъ изъ ур-ія моментовъ внѣшнихъ силъ относи-
тельно (?п-|-1)"го узла, т.-е. точки /'(фиг. 7), будемъ имѣть:
Г2 2п — т — 1
Для панели 0 (фиг. 3, 4 и 5), гдѣ 7П—0, усиліе въ нижнемъ поясѣ
будетъ
I2 2п — 1
/о—д'Г ' '“2?
17, а.
Для равновѣсія усилій, дѣйствующихъ на узелъ (фиг. 7), не-
обходимо, чтобы алгебраическая сумма проекцій ихъ на горизонталь
равнялась нулю; слѣдовательно, разность натяженій
Тт-\ Тт = д
I*
2п . /’
і — г т
. . 16.
должна равняться суммѣ горизонтальныхъ проекцій усилій растяженія іт
тяги Лт и сжатія ит раскоса сЯІ, т.-е.
іт. Со87ѵт. Соз&=д
18.
’ 2 п. /*
Изъ чертежа (фиг. 7) видно, что
ит, Со8р:іт. Со87 = х1„:е1 е2
е2: ел е3 = 1іт: = т: (ж + 1)
е3=а— хт.
2
18
Слѣдовательно
ит. Со8@:іт. Со8у=хт.(т-\-1):т(а — хт) . . . . 19.
Рѣшая ур-ія 18 и 19, получимъ:
(ж+1). ж,„
Но
<„.<708
_____ у Р т(а — ж„,)
2п . і т . а 4- ж„,
Со8^ = хт-.см
Со8 у = (а — .гт): йт.
слѣдовательно, усиліе сжатія въ произвольномъ раскосѣ будетъ вычис-
ляться по формулѣ:
и
ді*
2п. /
___<\»__
т •«+
20.
а для опредѣленія усилія растяженія въ произвольной тягѣ получимъ
формулу:
а. р (I
і = -—ѵ. . т .------т,......................21.
2п.] т . а + х
Опредѣлимъ теперь усиліе сжатія въ верхнемъ поясѣ.
Горизонтальная слагающая усилія $т сжатія верхняго пояса рав-
няется усилію (ж — 1)-ой части нижняго пояса за вычетомъ горизон-
тальной слагающей ж-го раскоса *); а само усиліе сжатія будетъ равно
горизонтальной его слагающей, умноженной на з: I; слѣдовательно
« цЛ.81 (^4-1).^ \
$т= і-- 2п — т — -—
2п, т. а + хт >
. 22.
Замѣтимъ, что для панели, имѣющей знакъ О, усиліе сжатія ие
зависитъ отъ положенія раскоса и будетъ опредѣляться по формулѣ
(см. 17а):
ф.2»^....................
і 2п
Помимо геометрической очевидности, въ этомъ можно убѣдиться также и.зъ
разсмотрѣнія моментовъ дѣйствующихъ внѣшнихъ силъ.
19 —
Опредѣленіе вѣса м-ой панели.
При измѣненіи х отъ ж=0 до х~а будутъ измѣняться и усилія
и длина разсмотрѣнныхъ четырехъ частей панели фермы, и задача
прямолинейныхъ фермъ стропилъ сводится въ дальнѣйшемъ къ опредѣ-
ленію такого значенія .г, при которомъ сумма вѣсовъ этихъ четырехъ
частей наименьшая.
Обозначимъ чрезъ
к — коэффиціентъ прочнаго сопротивленія матеріала фермы при
растяженіи,
Л1 —то же при сжатіи въ раскосахъ,
/с2 — то же при сжатіи въ поясахъ.
Если Р будетъ усиліе, растягивающее или сжимающее одну изъ
частей фермы, то общее выраженіе для площади поперечнаго сѣченія
растянутой части будетъ Р\к, а для сжатой—Р :кл или Р\к2.
Если будетъ длина разсчитываемой части, а /—вѣсъ кубической
единицы матеріала, то вѣса матеріала, входящаго въ составъ частей
фермы, будутъ имѣть видъ одного изъ слѣдующихъ выраженій:
Р Р Р
Т • плп 7~ * или ~Т~ •
п ‘
Разбивая ферму на 2п равныхъ по длинѣ частей, опредѣлимъ
вѣсъ, входящій въ составъ той части, которая леягитъ между перпенди-
кулярами Піи и
Пусть
к к
Вѣсъ раскоса будетъ
НО
• кт -1“ хт,
слѣдовательно, пользуясь формулой 20, получимъ для опредѣленія вѣса
раскоса:
Ѵс=. (т 4- 1)• .
2/// ѵ 1 7 т.<(-]-хт к
Такимъ же путемъ вѣсъ тяги Лт при помощи формулы 21 будетъ
вычисляться такъ:
К = . т. ;М-і+(а~О*. Г.
2 и/ ’ т. к
о*
20 —
Вѣсъ т—ой части пояса сжатія будетъ (см. формулу 22):
тг ЦІ8 (
г, = ~. Ь 2 ?г — »і — — '— — —•
2п{ \ т. а -|- хт/ к
Поясъ растяженія съ длиною .гін будетъ имѣть вѣсъ (см. фор-
мулу 16, а):
2п — ш 7
2{ 2п ’ Х"1' к ’
а вѣсъ пояса растяженія съ длиною ехе^ (фиг. 7) при помощи фор-
мулы 17 вычислится такъ:
Соединяя два послѣдніе вѣса въ одно общее выраженіе, получимъ
вѣсъ пояса растяженія между перпендикулярами и т. е. на
длинѣ о. Это будетъ вѣсъ
Полный вѣсъ т—ой панели, не принимая во вниманіе вѣса скрѣп-
леній въ узлахъ, можно написать теперь такъ:
г=-^-/?(я+'в+с+І’>.....................»
гдѣ Л, В, С и Б—слагаемыя, вошедшія въ сумму при образованіи ея
изъ перечисленныхъ и разсмотрѣнныхъ выше четырехъ ея частей:
Л = (т+1)<?
1,1 « +
Д — АМ-1+(Я ,:т)'
т . а + .г,и
О = (2и — т — 1) . а хт.
Опредѣленіе наивыгоднѣйшаго расположенія нижнихъ узловъ фермы.
При измѣненіи х отъ о до а, вѣсъ панели фермы будетъ измѣ-
няться. Найдемъ условіе, которому должно удовлетворять расположеніе
нижнихъ узловъ фермы при наименьшемъ ея вѣсѣ. Для полученія этого
— 21 —
условія надо взять 1-ю производную отъ % по и приравнять ее ну .по.
Отбрасывая постоянныя величины, придется брать 1-ю производную отъ
выраженія дроби, у которой знаменатель равенъ
т . а -|~ !•,
а числитель пишется такъ:
~•*’)2] (т “I" ;/;2)—
— г •(т -Г 1) .г Н- х(т . а + х),
V
Выраженіе 1-й производной, обращенной въ нуль, послѣ первыхъ
преобразованій напишется такъ:
1 Ъ2
і । 2_ । .
.г;2 2.-г ( ' т ' т. сг
т* . а* т.н' (»ь + 1)(/9 + 1)
/? • 1> т , $ Ъ .
\“-т =0......................24
Но Ъ : и = 5 : I
= (ш + IV . = А (т ч -1 ѵ
(г (г . п~ Г2
Вводя значеніе этихъ величинъ въ формулу 24, получимъ,
_х^___. Ъх___/Л
т2 . а2 т . а І2
1 +/Л
т(1 +/9)
0?
откуда
_л_=л;+н(Ггг.і+^)_1
т .а V \ I*/\ т 1 + /9 /
или окончательно
т
кЛ । 1
а 7 V 1 Н----п
I? V ш 14-/9
25.
— 1
Это и есть искомое условіе. Но такъ какъ усилія въ раскосахъ
растутъ съ возрастаніемъ ихъ длины, поэтому для упрощенія послѣд-
22
няго вывода можно было бы принять, что постоянно для всѣхъ рас-
косовъ сжатія и равно /9. При этомъ допущеніи получимъ:
*„,= т . а
ш + 1_!
т
26.
Ферму, удовлетворяющую условію 26, будемъ называть раціоналъ-
ной фермой.
При существованіи условія 26 сравнимъ вѣсъ раціональной фермы
съ вѣсомъ другихъ наиболѣе употребительныхъ типовъ фермъ, а именно
съ вѣсомъ фермъ
съ вертикальными стойками (фиг. 4), гдѣ хт= О
съ вертикальными тягами (фиг. 5), гдѣ жш= а
и съ вѣсомъ фермъ Полонсо при числѣ панелей, равномъ четнымъ сте-
пенямъ 2.
Фермы раціональныя.
Г 8 /ш + 1 -1
X = Ш . О ~1\------------1
* V
Введемъ обозначеніе:
№ — ѵ
2п[
Сводъ всѣхъ данныхъ для разсчета усилій въ этихъ фермахъ пред-
ставляется въ такомъ видѣ:
Сжатіе раскосовъ
ит=Е. (т4- 1)-------
т .а + х
Натяженіе тягъ
і, = Е. т
т . а 4- х
9 Ш
Сжатіе верхняго пояса
8 _ (»і 4" 1) . х
- 2п — т — ------------
IЬ т’ . а 4" х
III
Сжатіе верхняго пояса панели о
80=Е.у(2п— 1).
6
23 —
Натяженіе нижняго пояса
^’,.= #(2» ~ «' — О-
Напряженіе нижняго пояса панели о
7’о = _Е(2н — 1).
Введемъ обозначенія
Вѣсъ ?п-ой части нижняго пояса будетъ по предыдущему:
/ Іт 4~ і
Ѵи = У (2п — 2т — 1 + т . г \ -----
\ V т
Вѣсъ всего ннжняіо пояса получится, взявши сумму п такихъ чле-
новъ, въ которыхъ т будетъ измѣняться отъ о до п—1. Эта сумма
будетъ:
-V • г + 1) + іѴ • п2.............27.
Вѣсъ тп-ой части верхняго пояса по предыдущему будетъ:
/ । і ч г \/'т (т + і) — т
Ъ = ЛТ- г~ V — ('" + і) /—,—?=------------------
ѵ г фп (т 4-1)
= У. г2. /У ^2п — т — (т 4- 1) 4“ у/т (ш + 1)
Вѣсъ всего пояса сжатія получится, взявши сумму п такихъ чле-
новъ, въ которыхъ т будетъ измѣняться отъ о до п — 1. Эта сумма
будетъ:
Л.г.р у/т (ш 4-1) 4- г* -п* • в...............28.
Вѣсъ раскоса по предыдущему найдемъ въ такомъ видѣ
V __ Д! /? Ш + 1 , +^_ _
бб т . а 4-
= ЛГ. ;У [ г (1 4“ ^т(т 4— 1) — 2т(т 4- 1)].
24
Вѣсъ всѣхъ раскосовъ получится, взявши сумму п — 1 такихъ
членовъ, въ которыхъ т будетъ измѣняться отъ 1 до п—1. Эта
сумма будетъ:
У. Гг(1 4- 2т)\/т(т + 1) — 2ш(т -4- 1)]» • 29.
Совершенно подобнымъ же образомъ вѣсъ всѣхъ п — 1 тягъ по-
лучится въ видѣ той же суммы, представляемой формулой 29, только
безъ коэффиціента у. Эта послѣдняя сумма, не написанная здѣсь, пусть
имѣетъ текущій нумеръ 30.
Часть вѣса У.м2 пояса растяженія и У.??2, г2 пояса сжатія
представляютъ собою ту величину вѣса, которую имѣла бы ферма безъ
раскосовъ.
Въ самомъ дѣлѣ, какъ мы видѣли (см. форм. 1), натяженіе тягъ,
связывающихъ подошвы ногъ фермы безъ раскосовъ, равно ц /*: 2 4
длина тягъ — а. п; слѣдовательно, вѣсъ матеріала затяжки будетъ
п.а 2
. у — л. п\
2/’ /г Л
Нога у фермы безъ подкосовъ будетъ разсчитываться по силѣ
сжатія г/./2, г: 2/’, длина ноги а. п. г; слѣдовательно вѣсъ ея будетъ
У./г.г2.^.
При существованіи раскосовъ у фермы, въ поясахъ ея получается
добавочный вѣсъ матеріала
У. г. (т + 1) н
У. г. (у2 +
Эти двѣ послѣднія величины отличаются одна отъ другой только
коэффиціентомъ /У, какъ и вѣса раскосовъ и тягъ (см. форм. 29 и 30).
Но такъ какъ /У выражаетъ собою отношеніе принятыхъ коэффиціентовъ
прочнаго сопротивленія матеріала, слѣдовательно, отличительное свойство
раціональныхъ фермъ заключается въ томъ, что въ нихъ
сумма произведеній усилій на длину раскосовъ сжатія равна
суммѣ произведеній усилій на длину тягъ растяженія-
такое же соотношеніе существуетъ и относительно добавочныхъ
усилій поясовъ.
25
Складывая предыдущія выраженія вѣсовъ отдѣльныхъ частей, не
принимая во вниманіе вѣса скрѣпленій въ узлахъ, получимъ вѣсъ по-
ловины фермы въ слѣдующемъ видѣ:
ѵ = 2.ѵ(і + $[»• 2“ ’’ с+1) (т +1)+2і + е]+
-Ь ,.ѵ. «8(1 + >л. о)..........31.
Съ. точностію, достаточною для цѣлей практики, можно принять, что
=|т+!)•
Тогда
V = 2Л’(1 + ,У) 2"“’ [(» — І)(™ + т *) + г + І)] +
1 Ь \ " О/ |
+ Л\ /г2(1 + г*. /У) ..........32.
Произведя въ формулѣ 32 суммированіе, вмѣсто алгебраической
суммы, имѣющей своимъ коэффиціентомъ 2Л(1-{ ,?), получимъ слѣдую-
щее выраженіе:
('г_1)|з + 4 + ,Г-1)-И-(^^+2) •
Послѣ этого
-=111 + . -.+н» +1) ’-=!({ + & + 0-1) '441 «•
И окончательно послѣднее слагаемое въ скобкѣ предыдущаго вы-
раженія можно написать такъ:
1,5г+2,/(г-1)+- (1 —-/) — . . . 34.
3 \ 1 1 // \ 4 ! п* /
Наивыгодпѣйшее расположеніе раскосовъ было найдено нами для
случая равномѣрной нагрузки, дѣйствующей по всему пролету фермы,
а между тѣмъ стропила, кромѣ такой нагрузки подвергаются еще одно-
стороннему дѣйствію вѣтра.
Усилія въ раскосахъ, какъ это можно прослѣдить по сдѣланному
выводу, не зависятъ отъ того, дѣйствуетъ-ли нагрузка съ одной сто-
роны, или она распространяется по всей фермѣ, такъ какъ разность
натяженій нижняго пояса, по которой опредѣляются усилія въ раско-
сахъ, остается величиной постоянной въ обоихъ случаяхъ.
26
Добавочное натяженіе въ поясахъ фермъ уменьшится при этомъ
на нѣкоторую постоянную величину, которая не войдетъ въ выраженіе
производной при опредѣленіи тіп. вѣса.
Нагрузка отъ вѣтра вообще представляетъ собою сравнительно
небольшую часть общей нагрузки, на которую разсчитываются стропила,
поэтому безъ особой погрѣшности можно принимать для разсчета поя-
совъ нагрузку отъ дѣйствія вѣтра продолженною и на другую сторону.
Въ стропилахъ же съ большимъ подъемомъ дѣйствіе вѣтра слѣ-
дуетъ брать, какъ одностороннюю нагрузку, въ противномъ случаѣ по-
перечные размѣры частей стропилъ выходятъ излишне большими.
Англійскія фермы съ вертикальными раскосами.
;Ѵ = О
фиг. 4
Сводъ всѣхъ данныхъ для разсчета усилій въ этихъ фермахъ по-
лучимъ изъ предыдущихъ общихъ формулъ, полагая въ нихъ
.ѵ = 0.
такъ какъ при
а = -
н
Натяженіе тягъ
Сжатіе верхняго пояса
^Г2 /
—«О-
Сжатіе верхняго пояса панели О
8о~81 = -^- .7 Г (2« — 1) •
27
Натяженіе нижняго пояса
Т . (2п— т — 1).
2п . /’ ѵ
Натяженіе нижняго пояса панели О
То=-/-—(2п — 1)-
0 2н/' ѵ 7
Подобно предыдущему найдемъ и вѣсъ всѣхъ частей.
Вѣсъ нижняго пояса
• 2о“‘ (2п — т ~ *)= Я • п >— Й =
2_).....................35
2/’ 1іУ2 2п'
Вѣсъ верхняго пояса
.V. г3 . $ 2''“‘(2м — т — 1) + .V. г2. /? (2п — 1) =
= 2Ѵ.г2/?(|и» + -2-—1) =
=^:с.г\и(1______-13
2/ ],: \2 2п п3)
36
Вѣсъ стоекъ
&7 ѣ
к ' п
2п
2і' ’«»(«»+1)=
Вѣсъ тягъ
—І7_(п __АѴ . . .
6 к \ П'
37.
9І 7
2/к
9 /
П“ /
2/’ и" \ 6 /
. 38.
Полный вѣсъ полуфермы будетъ
$1* у 3
27 ^І2
, » —1
п3 п3
+1_±4-/У П*~ 1
"Гг2'3п“|”2 бя^з’ п
39.
28
И окончательно
^.І[| + ^Д + С+1{М^ + «±М^+
+ „(,•*— 1)--;,^]...........40
Фермы съ вертикальными тягами.
.г = а............фиг. 5.
Сводъ всѣхъ данныхъ для разсчета усилій въ этихъ фермахъ полу-
чимъ изъ предыдущихъ общихъ формулъ, полагая въ нихъ х=а. Тогда
<-1 =
Сжатіе наклонныхъ раскосовъ
і; - • «''2 •
Чп. /'
Натяженіе вертикальныхъ тягъ
<//
2п
Средняя тяга имѣетъ вдвое большее натяженіе сравнительно съ
тѣмъ, что даетъ эта послѣдняя формула, такъ какъ эта тяга на
фиг. 5) совмѣщаетъ въ себѣ двѣ тяги двухъ полуфермъ.
Сжатіе верхняго пояса
6’ = (2и — т — 1).
2///л
Сжатіе верхняго пояса панели О
*=•&<*-«•
Натяженіе нижняго пояса
•29
Натяженіе нижняго пояса панели О
і; = -7---(2и — і).
0 2п/' ѵ 7
Длина нижняго пояса панели О равна 2а. Вѣсъ нижняго пояса
выразится
такъ
Вѣсъ
у/3
2/- ’ *\2
верхняго пояса
41
Вѣсъ
У
2/' ’ /.•
Вѣсъ
раскосовъ
?13
V
тягъ
-1) =
42
П----- 1 / /’2 7? (2п--------
Н‘
(>
43
^2
к
11 ^7
2п /•
Вѣсъ
/?7 п(1Г — 1) _
к '''
= & 1(п
‘2? к 1? 3\
полуфермы при х = а будетъ
2«2
44
3
ТГ_ 7 3/1 1^2 Л Г • & 1 1 I
Г-^Ц2( + "У) 2м ^ + К:
гдѣ
Г2 / 1\ п - 1 / <2
х=Іе С9 4 1)(2“ - *>+1
_ «— 1 . Г1^-п ^1^1 ГС2—Ц.
1 п~ Г2 \ 3 2 {іп ‘Зп )
И окончательно
\ [1 +г2. /9 ] 1,5 + м (г2- 1) +
+ ^(2,5-гг)-АП....................45.
Фермы 2-го класса.
Въ разсмотрѣнныхъ выше фермахъ раскосы и тяги каждой послѣ-
дующей панели принимаютъ на себя дѣйствіе нагрузокъ всѣхъ преды-
дущихъ панелей. Въ фермахъ 2-го класса (сист. Полонсв, фиг. 6) этого
нѣтъ, такъ какъ онѣ состоятъ изъ ряда симметричныхъ и подобныхъ
треугольныхъ фермъ, опирающихся на узлы слѣдующихъ фермъ числомъ
вдвое меньше, а эти послѣднія опираются на слѣдующій рядъ фермъ
числомъ опять вдвое меньше и т. д. При устройствѣ такихъ фермъ,
совпадающіе по направленію тяги и пояса двухъ послѣдующихъ рядовъ
фермъ совмѣщаются въ одно цѣлое.
Хотя разсмотрѣніе усилій и вѣса для фермъ ІІолонсо можетъ быть
получено указаннымъ выше общимъ путемъ, но проще будетъ для по-
лученія искомыхъ результатовъ воспользоваться отличительнымъ ея гео-
метрическимъ свойствомъ.
Раціональныя фермы 2-го класса.
Каждая элементарная ферма (фиг. 8)—на подобіе фермы ІІолонсо—
состоитъ изъ двухъ панелей. Для полученія наивыгоднѣйшаго располо-
женія раскосовъ въ этомъ случаѣ, надо въ выраженіе я, дающее жш
вѣса и представляемое формулой 26, подставить т = 1. Тогда получимъ
Затѣмъ будемъ имѣть
+ «ж (Г <2 — I)2=2 ѵ/27
= V4//2, + «>„ (2 — г 2/ = а„ V6г2— 4 ф2г
Усиліе стойки
31
Усиліе наклоняй тяги
Вѣсъ стойки
А / у 2
Вѣсъ наклонной тяги
Для средней стойки и тяги о„, = - -Такихъ стоекъ и наклонныхъ
тягъ—по одной.
, I
Для двухъ стоекъ и двухъ тягъ второго порядка имѣемъ ат = - •
Для четырехъ стоекъ и 4-хъ тягъ третьяго порядка имѣемъ о
о
И т. д.
Общій вѣсъ стоекъ будетъ
I р 4/Л » І'іІІ '
Общій вѣсъ наклонныхъ тягъ выразится такъ
/
4’/' к
Натяженіе горизонтальныхъ тягъ, составляющихъ пижній поясъ бу-
детъ равно
1 I
Длина горизонтальной тяги
</т4-.Т = Ош.Г]/2,
за исключеніемъ тяги О, для которой ж=0 и длина которой равна I.
Общее выраженіе вѣса горизонтальной тяги
32
Для тяги 1-й надо положить въ этой формулѣ ат = для вто-
2
рой-----для третьей----------и т. д.
4 о
Для горизонтальной тяги О вѣсъ будетъ
7
к ’ 2/''
Полный вѣсъ горизонтальныхъ тягъ будетъ
І Ш2 + Й^1‘Н2 + ^ + 8+...............)|-
Усиліе лѣвой половины пояса сжатія каждой элементарной фермы
будетъ
1 8 1 I
2 ‘ 2 '‘ а<п’
длина ея
8 =г . а .
Усиліе правой половины пояса сжатія по общей формулѣ равно
Сумма этихъ усилій обѣихъ половинъ верхняго пояса
I 1
и вѣсъ ихъ
Для фермы 1-й въ этихъ
формулахъ надо подставить ат — -
для
I
фермы второй — - для третьей — и т. д.
8
Поясъ сжатія фермы О составляетъ исключеніе. Длина его равна
I. г. усиліе его
и вѣсъ пояса О равенъ
1.^.
2 Г
33
Общій вѣсъ пояса сжатія всѣхъ элементарныхъ фермъ будетъ
ді3
Сумма
гдѣ п—число панелей, кратное степенямъ 2, т. е. 2, 4, 8, 16... и т. д.
Общій вѣсъ всѣхъ частей половины раціональной фермы 2-го класса
будетъ
Г1 +<* • г2+ 21/?+ 1)(^2 - 1)(1 -1)1..............47.
а ] П' гі/
На фиг. 8 изображена раціональная симметричная ферма съ чис-
ломъ панелей 2п=16.
Обыкновенныя фермы Полонсо.
Обыкновенно ферму Полонсо строятъ, придавая стойкамъ направ-
леніе, перпендикулярное къ поясу сжатія (фиг. 6).
Въ этомъ случаѣ
= “т + — г' • <*».
Усиліе стойки
1
Уси.ііе наклонныхъ тягъ
Усилія и длины нижняго пояса равны усиліямъ и длинамъ наклон-
ныхъ тягъ.
Поясъ О имѣетъ то же усиліе, что и въ предыдущемъ случаѣ.
Усиліе 1-ой лѣвой половины пояса сжатія равно
1 8
2 У
з
34 —
Усиліе 2-ой правой половины пояса сжатія
15 /
2 Я ' ®'т*
Сумма обоихъ усилій пояса сжатія дастъ
0-
Поясъ фермы О имѣетъ сжимающее усиліе, какъ и въ предыду-
щемъ случаѣ, равнымъ:
• г.
1 ?2
2 ’27
Вѣса всѣхъ частей, аналогично съ предыдущимъ, получаются въ
слѣдующемъ видѣ:
Вѣсъ стоекъ или раскосовъ
п
Сумма вѣсовъ тягъ и пояса растяженія, исключая панель О, по-
лучается такъ:
Вѣсъ пояса сжатія безъ панели О
Вѣсъ пояса сжатія панели О
Ёі г*
чг' к
Вѣсъ пояса растяженія панели О
о? г
Чі'к '
Сумма вѣсовъ пояса сжатія и стоекъ
2/ к ®\ п.
35
Замѣняя
$2 = г2 • ?,
общій вѣсъ обыкновенной полуфермы Полонсо (фиг. 6), у которой стойки
перпендикулярны къ ногѣ, получимъ равнымъ:
г=і7іР''’+’-!(1+«(1-Э+1]...................«
Не трудно видѣть, что вѣсъ обоихъ видовъ фермъ Полонсо, т. е.
раціональной и обыкновенной, по формуламъ 47 и 48 получится Одина,
ковымъ при условіи
— =>Ѵ2 — 1,
откуда
г = ѵ/2,
т. е. обыкновенная ферма ПОЛОНСО удовлетворяетъ условію ШІП
вѣса только тогда, когда стропильныя ноги составляютъ съ горизон-
томъ уголъ въ 45\
з*
Сводъ данныхъ для опредѣленія усилій въ частяхъ раціональной и
обыкновенной фермъ Полонсо.
Этотъ сводъ данныхъ приведенъ здѣсь для обѣихъ фермъ съ чи-
сломъ панелей 16, т. е. при я = 8. Фермы Полонсо съ числомъ пане-
лей болѣе 16 строить не слѣдуетъ, т. к. онѣ представляются мало
выгодными.
На фиг. 8 изображена ферма раціональная, а на фиг. 9—обыкно-
венная, у которой стойки перпендикулярны къ ногѣ фермы.
Въ треугольникахъ между отдѣльными элементами фермы поставлены
цифры 1, 2.......14, 15, пользуясь которыми весьма удобно дѣлаются
обозначенія различныхъ частей фермы.
Напр., стойка кі па фиг. 8 будетъ носить названіе стойки 10—11,
тяга і к (фиг. 8) будетъ тягою 14—15. поясъ сжатія ке (фиг. 8) бу-
детъ поясомъ 12, поясъ растяженія к I (фиг. 8) будетъ поясомъ 7 и т. д.
Ферма раціональная — фиг. 8, число панелей 2п=16.
Усилія въ поясѣ сжатія вычисляются по общей формулѣ вида
гдѣ А и В — величины, перемѣнныя для
различныхъ панелей и
113
15 I 7
16 I 8
Для панели . . .
Величина С...
7 15
3 1
4 2
37
Натяженіе въ тягахъ вычисляется по общей формулѣ вида
[ ѵ г
Для тягъ. .
Величина О
2—3; 9—10: 4—5: 11—12 । 4—7; 10—14 | 6—7; 8-14 । 14—15
± 1 ' А 1
16 8 16 4
11—15 13—15
- I ~
8 16
Силы сжатія стоекъ вычисляются по формулѣ
Для стоекъ .
Величина Е.
7 — 14 3 — 4; 10 —11| 1—2; 5 —6; 8 —9; 12—13
1 1 I 1
2 4 | 8
Ферма обыкновенная — фиг. 9, число панелей 2п=16.
Усилія въ поясѣ сжатіи вычисляются по формулѣ
15 г/?2 у?
Для панели . . . ; 1 2 5 1 6 8 9 12 13
1 1 3 1 5 3 7
Величина Г. . . 0
। 1 1 8 •1 8 2 8 4 8
Усилія въ поясѣ растяженія вычисляются такъ
Н
/
Для панели ... 1 3 7 1 15 1
15 7 3 і 1
Величина Н...
16 8 4 2
Натяженіе въ тяіахъ вычисляется по формулѣ
К ЛІ’
/
Для тягъ . 2—3; 9—10: 4—5; 11—12 4—7; 10—14 6-7; 8—14 14—15 11—15 13—15
1 1 3 1 3 7
Величина К. Тб 16 4 8 Гб
— 38 —
Силы сжатія стоекъ вычисляются по формулѣ
м I
И
г
Для стоекъ . 7 — 14 3 — 4; 10 — 11 1 — 2; 5 —6; 8 — 9; 12 — 13
Величина И. 1 1 1
2 4 8
Данныя для сравненія вѣса фермъ 1-го и 2-го класса.
Въ выраженіяхъ вѣса пяти разсмотрѣнныхъ нами фермъ 1-го и
2-го класса, т. е. въ формулахъ
33, 40, 45, 47 И 48,
имѣется одинъ общій членъ вида
А] Л/
т. е. вѣсъ треугольной фермы безъ раскосовъ и тягъ. Вычитая эту
постоянную величину изъ формулъ вѣса, получцмъ сравнительныя вы-
раженія тѣхъ частей вѣса разныхъ полуфермъ, которыя зависятъ
отъ расположенія ихъ раскосовъ, или добавочную величину къ вѣсу
треугольной фермы безъ раскосовъ и тягъ. Для краткости будемъ назы-
вать эту величину просто добавочнымъ вѣсомъ отъ раскосовъ и тягъ.
Выведемъ обозначеніе:
Нгі............................
Величины добавочнаго вѣса будутъ:
Въ раціональной (фермѣ 1-го класса (см. формулы 33 и 34),
гдѣ х опредѣляется по форм. 26:
ф .^±2(1,5г + 2«(г-1) + -(1 — • -50-
3 \ п\ Ы Н* /
Въ фермѣ х = о (см. форм. 40):
л /Н-V. . « , 1-1-0,5г* , . 4 ,, Зг’\ г.
Ф ч-Н-------------------Ьи(г —!) —тт) •••»!•
О ' И IV <
Въ фермѣ х = а (см. форм. 45):
+ . .58.
— 40
Въ ферміь ІІолонсо раціональной (см. форм. 47):
Ф - 2(/?-!-1)(гч/2 —1)(1 — ........................53.
Въ ферма» ІІолонсо обыкновенной (см. форм. 48):
54
Изъ разсмотрѣнія всѣхъ этихъ формулъ видно, что величины до*,
бавочнаго вѣса во всѣхъ фермахъ пропорціональны (,9 1).
Для нагляднаго сравненія между собою формулъ 50, 51 52, 53
и 54 въ дальнѣйшемъ вычислена величина множителя, который слѣ-
дуетъ за Ф въ каждой формулѣ. Этотъ множитель названъ чрезъ А.
При вычисленіи А принято, что:
1)
Подъемъ крыпіи составляетъ ея пролета 2/, т. е.
о
/_ 1 _
I 2,5
0,4.
2) Числовое значеніе
1,077.
г= 1,16.
3) Отношеніе прочнаго сопротивленія на разрывъ и на сжатіе =1.5.
Въ практикѣ разсчета стропилъ, принимая во вниманіе поправку ко-
эффиціента сжатія по формулѣ Шварцъ-Ранкина, величина колеблется
отъ 1,25 до 1,65. Какъ замѣчено ранѣе, измѣненіевліяетъ однообраз-
нымъ образомъ на измѣненіе добавочнаго вѣса всѣхъ разсмотрѣнныхъ
фермъ.
Принявши въ основаніе разсчета, при сравненіи фермъ между со-
бою, вышеприведенныя числовыя величины, числовое значеніе коэффи-
ціента А будемъ вычислять по формуламъ:
Ферма раціональная:
Л=1<(і,«3«8 + »,385 +^611-А888).
3 \ п п* /
Ферма х = О
Л= Н 4,35 +0,4» + ^.
3 \ и п2 /
41
Ферма г <і
Л = „ (з,75 + 0,4» ~ •
3 \ п пг /
Ферма Полонсо раціональная
А = 2,6144 (1- -)•
\ п!
Ферма Полонсо обыкновенная
А = 2,9 (1 — -У
ѵ п/
Добавочный вѣсъ фермъ
Таблица величинъ А для сравненія между собою добавочнаго вѣса
фермъ.
1 . Фермы перваго класса. Фермы Полонсо. Раціоиаль- | Обыкновен-
п 1 п • 1 1 Раціональ- । ная. 1 х = 0. .г = а.
ная. і ная.
2 1,3077 і 1,65 1,45 | 1,307 1,45
4 1,8387 2,1313 1,9063 1,9607 2,175
8 ; 2,3979 2,6359 2,4172 і 2,2875 2,5375
16 3,420!) ’ 3,6543 3,4434 2,4509 2,7187
Примѣчаніе КЪ таблицѣ величинъ А. Формулы вѣсовъ всѣхъ полу-
фермъ, разсмотрѣнныхъ нами, представляютъ собою точныя выраженія,
за исключеніемъ формулы вѣса для раціональной фермы 1-го класса, при
составленіи которой точный процессъ суммированія замѣненъ прибли-
женнымъ, болѣе простымъ, дающимъ результатъ съ точностью, доста-
точною для цѣлей практики. Но для полученія данныхъ для болѣе точ-
наго сравненія между собою вѣса различныхъ фермъ, въ таблицѣ и для
раціональной фермы высчитаны величины А точнымъ образомъ, не поль-
зуясь данной здѣсь приближенной формулой.
42
Изъ таблицы величинъ А видно, что, при увеличеніи числа панелей
отъ 2 до 8, вѣса добавочныхъ частей фермъ (подкосовъ и тягъ) увели-
чиваются почти въ 1,8 раза.
Вѣсъ полуфермы безъ раскосовъ, при выбранныхъ нами величи-
нахъ /? и г, будетъ
Ф(1 +г2 • /У) = 2,74 • Ф.
Вѣсъ раціональной фермы 1-го класса съ двумя панелями будетъ
Ф(2,74-|-1,31) = 4,05 • Ф,
а съ восемью панелями
Ф(2,74+ 2,40) = 5,14 • Ф.
Отсюда ясно, насколько важенъ вопросъ о выборѣ числа панелей
для даннаго пролета.
Сравненіе добавочныхъ вѣсовъ полуфермъ, приведенныхъ въ таблицѣ
величинъ А, показываетъ, что:
1) вѣса рацІОНа/ІЬНЫХЪ фермъ 1-го и 2-го класса почти одина-
ковы при числѣ панелей до восьми (т. е. до п = 4);
2) при числѣ панелей болѣе 8 раціональныя фермы 2-го класса
легче раціональныхъ фермъ 1-ю класса;
3) изъ остальныхъ фермъ, употребляемыхъ въ практикѣ, фермы
съ вертикальными тягами (х = а) по своему вѣсу ближе всего под-
ходятъ къ раціональнымъ,—и потому именно, что при выбранныхъ нами
величинахъ г и 0 числовое значеніе х близко подходитъ къ а.
Такъ какъ по отношенію къ сборкѣ и установкѣ между разсмот-
рѣнными нами фермами нѣтъ никакой разницы, то въ практическомъ
отношеніи стоимость фермъ можетъ быть принимаема почти пропорціо-
нальною вѣсу употребляемаго на нихъ матеріала. Слѣдовательно, вообще
говоря,
раціональныя стропильныя фермы дешевле, чѣмъ фермы,
обыкновенно употребляемыя въ практикѣ.
Изъ той же таблицы видно, что рѣзкой разницы между вѣсами
фермъ, правильно разсчитанныхъ, не получается, такъ что, въ силу
практическимъ соображеній (подвѣса потолочныхъ балокъ, передачи со-
средоточенныхъ грузовъ и проч.), постановка каждой фермы можетъ быть
оправдана, даже и при нѣсколько увеличенномъ ея вѣсѣ.
— 43 —
Поправки въ теоретической формулѣ вѣса фермы.
Примѣняя вышеприведенныя формулы къ практическимъ разсчетамъ,
необходимо принять въ соображеніе величины коэффиціентовъ /9 и /91?
которые для простоты нашихъ выводовъ были взяты равными. На са-
момъ дѣлѣ, если для разсчета сжатыхъ частей фермы поіьзоваться фор-
мулой Шварцъ-Ранкина, то для фермъ 2-го класса, какъ имѣющихъ
меньшія длины сжатыхъ раскосовъ, коэффиціентъ р будетъ меньше, чѣмъ
для фермъ 1-го класса, слѣдовательно, и вѣсъ сжатыхъ стоекъ первыхъ
фермъ будетъ меньше.
Равнымъ образомъ, при употребленіи готоваго матеріала на издѣліе
стропилъ, нѣтъ иногда практической возможности придавать каждому
раскосу и каждой тягѣ свои отдѣльные размѣры, получающіеся по раз-
счету, вслѣдствіе чего получается отступленіе отъ теоретическаго вѣса;
и это отступленіе для раскосовъ фермъ 1-го класса всегда будетъ больше,
чѣмъ для фермъ Полонсо.
Увеличеніе вѣса противъ высчитанной теоретической его величины
приходится дѣлать, имѣя въ виду слѣдующее:
1) Стыки поясовъ и прикрѣпленія раскосовъ при ^заклепочныхъ
соединепіихъ ослабляютъ рабочее сѣченіе частей, примѣрно, на 15—20%.
Въ случаѣ употребленія шарнирныхъ соединеній этого ослабленія нѣтъ,
но зато работа шарнирныхъ соединеній въ стропилахъ стоитъ гораздо
дороже заклепочныхъ.
2) Невозможность подобрать желѣзо строго пропорціонально уси-
ліямъ, дѣйствующимъ въ пане.іяхъ, заставляетъ употреблять одинако-
выхъ размѣровъ матеріалъ для двухъ и трехъ панелей, несмотря на
разныя усилія, дѣйствующія въ нихъ.
3) Каждый стыкъ для связи поясовъ съ раскосами и тягами тре-
буетъ для себя опредѣленнаго добавочнаго количества матеріала.
Какой бы родъ соединеній ни былъ выбранъ для фермъ, самую
цѣнную часть работы составляетъ выполненіе стыка.
Въ случаѣ заклепочныхъ швовъ, стыки берутся фасонной или пря-
мой формы, выкраиваются изъ листового желѣза и представляютъ собою
наиболѣе трудную часть работы по изготовленію стропилъ. Для малыхъ
размѣровъ фермъ, пролетомъ до 4 саж., стыки дѣлаются изъ листовъ
1 5 Л 3 1
отъ - до — дюйма, при большихъ пролетахъ—отъ - до - д.
4 16 8 2
44
Хотя вѣсъ стыковъ и зависитъ отъ усилій, но эта зависимость вы-
ражается въ слабой степени: при малой величинѣ пролета вѣсъ стыка,
конечно, будетъ меньше, чѣмъ для большого, но зато относительная его
стоимость въ общей цѣпѣ издѣлія стропилъ для большого пролета бу-
детъ меньше, чѣмъ для малаго. Изъ цѣлаго ряда примѣровъ разсчета
стропилъ выяснилось, что вѣсъ добавочнаго матеріала стыковъ надо счи-
тать не менѣе 1 пуда на каждую панель.
Передача нагрузки на фермы.
Стропила, установленныя на мѣсто, принимаютъ на себя нагрузку
передающуюся на кровельный матеріалъ, покоющійся на обрѣшетинахъ.
Передача отъ нихъ давленія на фермы дѣлается пли непосредственно,
если обрѣшетина лежитъ на поясѣ фермы, или же посредствомъ про-
гоновъ, которые принимаютъ па себя равномѣрную нагрузку отъ обрѣ-
шетины, а затѣмъ передаютъ ее на узлы фермы въ видѣ сосредоточен-
ныхъ нагрузокъ.
Въ 1-мъ случаѣ, т. е. когда обрѣшетина лежитъ непосредственно
на фермѣ, поясъ сжатія у фермы подвергается дѣйствію сгибающихъ
моментовъ отъ равномѣрной нагрузки, лежащей между двумя смежными
узлами пояса; при этомъ величина сгибающаго момента каждой панели
верхняго пояса будетъ
если гу0 будетъ нагрузка на квадр. единицу площади крыши,
е — разстояніе между фермами и
I
а —------длина панели.
п
Въ случаѣ прогоновъ, идущихъ вдоль крыши по і/з.шмъ фермъ,
поясъ сжатія ихъ не испытываетъ па себѣ сгибающаго дѣйствія. Опо
передается въ этомъ случаѣ на прогоны, и величина сгибающаго мо-
мента для прогона будетъ
.................................................................
Въ зависимости отъ разстоянія между стропильными фермами можно
рѣшить вопросъ, что будетъ выгоднѣе — ставить-ли прогоны или класть
обрѣшетину непосредственно на верхній поясъ фермы.
— 45 —
Не принимая въ разсчетъ матеріала, который пойдетъ на обрѣ-
шетины, всегда окажется выгоднѣе класть послѣднюю непосредственно
на пояса стропилъ; по если принять во вниманіе также п вѣсъ обрѣ-
шетины, то окажется, что, если разстояніе между узлами фермъ меньше
растоявія между самыми фермами, выгоднѣе ставить продольный про-
гонъ, Но при этомъ вѣсъ матеріала, затраченнаго на прогоны, всегда
будетъ больше, чѣмъ вѣсъ добавочнаго матеріала въ поясѣ сжатія,
появляющагося вслѣдствіе сгибанія пояса нагрузкою.
Опредѣленіе числа панелей фермы.
При данномъ пролетѣ фермы вѣсъ растягиваемыхъ и сжимаемыхъ
частей ея возрастаетъ по мѣрѣ увеличенія числа панелей п. Вѣсъ до-
бавочнаго матеріала въ поясѣ сжатія, появляющагося вслѣдствіе сгиба-
нія пояса нагрузкою, наоборотъ, уменьшается по мѣрѣ увеличенія п\
кромѣ того, одновременно съ этимъ повышается и допускаемая вели-
чина сопротивленія въ поясѣ сжатія, вслѣдствіе уменьшенія длины па-
нелей. И надо выбрать п такимъ образомъ, чтобы стоимость всего
устройства была тіп.
Задача объ опредѣленіи наивыгоднѣйшаго числа панелей въ общемъ
алгебраическомъ видѣ представляетъ большія затрудненія, поэтому здѣсь
мы остановимся на разсмотрѣніи числового примѣра, предполагая, что
обрѣшетина лежитъ непосредственно на верхнемъ поясѣ и состоитъ изъ
сплошныхъ досокъ шириною 6 дюйм.
Нагрузка на крышу отъ вѣтра, снѣга, кровельнаго желѣза и
обрѣшетины, при среднихъ
1 1
уклонахъ крыши отъ до - пролета, вы-
ходить не болѣе 1 пуда на 1 квадр. футъ (около 175 килогр. на
1 кв. ті). Вѣсъ идущаго по крышѣ человѣка (5 пуд.) можно предпо-
ложить передающимся на 2 смежныхъ обрѣшетины, т. е. на полосу
сплошной обрѣшетины шириною въ 12 дм.
Пусть е выражаетъ въ фут. разстояніе между стропильными фер-
мами. Тогда сгибающій моментъ, который передается на полосу обрѣ-
шетины въ 12 дм. шириною, будетъ
еа. 12 , 5е. 12
Л=—5---------1-------— пудо-дм.
о 4
Прочное сопротивленіе дерева сгибанію примемъ въ 30 пуд. на
1 кв. дм. Тогда модуль сопротивленія доски обрѣшетины въ 12 дм.
шириною будетъ
6 20 1 2
— 47
Откуда толщина досокъ въ дюймахъ
/ е* । е
<г-Ѵ40+4’
гдѣ е — въ фут. Принимая вѣсъ 1 куб. фут. дерева—1 пуд., вѣсъ
1 квадр. фута обрѣшетины получимъ равнымъ
1 I е2 . е
12Ѵ40 + 4 пуд'
При в= 7 фут..............д= 1,72 дм.
я е= 10 „ ...........сГ=2,25 „
Обыкновенно обрѣшетина дѣлается не толще 18/4 дм., поэтому и
разстояніе между фермами принимаютъ въ 7 фут.
Если обрѣшетина лежитъ на прогонахъ, то разстояніе между ними
по горизонтали равно разстоянію а между узлами фермы, и вѣсъ
1 квадр.фута обрѣшетины будетъ
Если а болѣе е, то вѣсъ обрѣшетины, лежащей непосредственно
на фермахъ, будетъ меньше, чѣмъ при существованіи прогоновъ; а
если а будетъ менѣе е, тогда, наоборотъ, вѣсъ обрѣшетины, лежащей
на прогонахъ будетъ меньше, чѣмъ безъ нихъ, но зато въ этомъ слу-
чаѣ прибавляется еще вѣсъ прогоновъ.
Съ точностью, достаточною для нашихъ разсужденій, зависимость
меледу величинами сгибающаго момента и вѣсомъ сопротивляющейся
ему балки можетъ быть получена изъ тѣхъ таблицъ, которыя даютъ
вѣсъ и модули сопротивленія разныхъ сортовъ желѣза, употребляемаго
въ поясѣ сжатія.
Разсмотримъ случай примѣненія двутавровыхъ балокъ, нормальные
профили которыхъ, выработанные Обществомъ германскихъ инженеровъ, имѣютъ слѣдующіе модули сопротивленія Ж въ куб. дм. и вѣсъ ѵ въ пуд. на 1 погонный футъ:
балки. 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Ж куб. дм. 1,2 1,6 2,1 2,65 3,36 4,13 5,05 6 7,2 8,5 9,9
ѵ пуд. . 0,12 0,133 0,154 0,18 0,21 0,234 0,266 0,3 0,333 0,368 0,407
— 48 —
Съ достаточною точностію зависимость между вѣсомъ 1 погон.
фута балки и ея модулемъ сопротивленія можетъ быть выражена
формулою
ѵ= 0,12 )/Тѵ...........................57.
Можно было вмѣсто этой найти и болѣе строгую зависимость,
прибавляя во 2-й части нѣкоторое постоянное, причемъ тогда измѣнится,
конечно, и коэффиціентъ 0,12. Но полученное такимъ образомъ болѣе
точное выраженіе не окажетъ никакого вліянія на опредѣленіе числа
панелей, потому что п не измѣняется непрерывно, а должно быть цѣ-
лымъ числомъ.
По форм. 55 величина сгибающаго момента каждой панели верх-
няго пояса будетъ
/2
М= ~ 12 “УДО-Ди-
8 іг
Принимая коэффиціентъ прочнаго сопротивленія желѣза сгибанію
въ 300 пуд. на 1 кв. дм., получимъ
I /-----
г = 0,0084 • — \І. е •
Вѣсъ балки, употребленной на полупролетъ длиною /, получится
0,0084 \/(і. . е..................58.
п
При употребленіи желѣза, имѣющаго въ сѣченіи видъ буквы зенп>,
зависимость между вѣсомъ 1 погон. фута въ пуд. и модулемъ сопро-
тивленія въ куб. дюйм. можетъ быть выражена тою-же формулою 57,
какъ легко усмотрѣть изъ данныхъ слѣдующей ныхъ профилей желѣза-зетъ: таблицы для п ормалъ-
У профиля. . 3 4 5 6 | 1 8 10 12
ТИ куб. дм. . 0,25 : 0,41 0,64 0,9 V і 2,7 4,2
V пуд.. . . 0,061 0.078 ; 0,097 0,114 0Д6 0,207 0,25
Иногда сѣченію стропильной ноги придаютъ однотавровую форму,
образуя ее склепываніемъ двухъ уголковъ и одной вертикальной полосы
между ними. Измѣняя въ этомъ случаѣ размѣры полосы можно измѣ-
— 49 —
нять соотвѣтственно и ТѴ для нея, предполагая, что весь сгибающій мо-
ментъ воспринимается только одною полосою. При высотѣ полосы к и
толщинѣ ея модуль ея будетъ
ттг г
Ж=—— куб. дм.
О
Вѣсъ 1 погоп. фута желѣзной полосы съ размѣрами д X Л будетъ
г? = 0,093 сГ • 1ь= 0,228 у/Т~ у/ІѴ.
Толщина полосы Величина 0,228
5 16 ДМ- 0,127
1 Т п 0,114
3 0,137
Данныя этой таблички показываютъ, что формулу 57 можно при-
мѣнять и въ этомъ случаѣ съ достаточною точностью. Поэтому во всѣхъ
случаяхъ возможно будетъ также примѣненіе и формулы 58. Замѣняя
въ ней
%-ѵ = У,
вѣсу нагрузки, отнесенному къ 1 длины пролета, получимъ вѣсъ балки,
сопротивляющейся дѣйствію сгибающихъ моментовъ, на каждую полу-
ферму—въ видѣ
/2 _
0,0084 --у/а.....................58,а.
п
Пользуясь этимъ выраженіемъ, не трудно рѣшить вопросъ и о наи-
выгоднѣйшемъ расположеніи обрѣшетины, прогоновъ и стропильныхъ
фермъ. Для этого нужно будетъ внести выраженіе 58,а въ формулы
вѣса фермъ, данныя выше, взять 1-го производную вѣса по п и при-
равнять ее нулю.
Выдѣляя постоянныя количества, независящія отъ п и отбрасывая
члены, содержащіе въ себѣ множителемъ величины 1: п и 1: п2, какъ
почти не оказывающія вліянія на вѣсъ полуфермъ, значеніе изслѣдуемой
4
50 —
функціи, отъ которой надо будетъ брать 1-ю производную, для раціо-
нальной формы 1-ю класса получимъ вт такомъ видѣ:
- /2
^=0,13 . Ф . п-\- п-\- 0,00315 . фі . —............59.
Міп этой функціи, а также и вѣса фермы, получится при значе-
ніи п, опредѣляемомъ изъ формулы:
__ 0,0084 4-/'/
~ 14-о,із • Ф~
гдѣ Ф опредѣляется по формулѣ 49.
Принимая, какъ и ранѣе,
е=7 фут.—разстояніе между стропилами,
к = 300 пуд. па 1 кв. дм.—допускаемое напряженіе въ желѣзѣ
на растяженіе,
У = 0,093 пуд.—вѣсъ погоннаго фута полосы желѣза съ сѣченіемъ
ВЪ 1 КВ. дм.,
с[ = 7 пуд. — нагрузку на погонный футъ фермы въ горизонталь-
ной ея проекціи (соотвѣтственно нагрузкѣ въ 1 пудъ на
1 кв. футъ) и
I
- = 2,5, найдемъ
0,093 • 7 Г
ф = -Ьзо(Га = о’оо'27і25і/
0,0084 • І--ф1 = 0,022 • Г.
Тогда для раціональной фермы 1-го класса:
, 22 Г
П 1000-|-0,35 -I* '
1 I I I
При /=7 14 I 21 ; 30 | 42 60 фут.
п—1 2 , 3 і 4 5 6
.'II
Если I будетъ очень большая величина, то
_ / 22
п — около у 0,35'!
. 61.
т.-е. тогда придется взять п = 8. Слѣдовательно, при взятыхъ нами
нагрузкахъ и при разстояніи между фермами е = 7 фут., больше 8 па-
51
нолей на полупролетѣ строитъ не выгодно, даже и при самыхъ боль-
шихъ пролетахъ.
Не трудно видѣть, что при полу пролетахъ до 40 фут. число па-
нелей пропорціонально 1:7. и это будетъ приб тизительно та цифра,
которую выгоднѣе всего употреблять, какъ величину панели.
При малыхъ пролетахъ, если принимать вѣсъ стековъ менѣе выше-
данной нами величины (1 пудъ на панель), панель выходитъ около
6 фут.
Если бы, при всѣхъ прочихъ одинаковыхъ данныхъ, взять разстоя-
ніе между стропильными фермами въ 14 фут., то нашли бы:
0,13 Ф — 0,0007 • 72
0,0084 •• \/<} = 0,0314 •/2
31-72
п “ —--------------
1000-4-0,7 • 7*
62
Для п = 1 \ 2 3 4 5 6
7 = 5,74 | 11,9 19,1| 28.4 43 79.
I :
Когда 7 будетъ очень большая величина
/ 31 7
п = около у —- , принимаемъ = 7.
Внося въ выраженіе вѣса раціональной фермы 1-го класса
гдѣ I — въ фут., при взятыхъ нами нагрузкахъ, подъемѣ фермы и при
разстояніи между стропилами въ 7 фут., получимъ:
вѣсъ полуфермы 1-го класса рагцоналъной системы
Ѵ = 0,3-7 + 0,011 • 72-;-0,00005 • 73 ......... 63,
гдѣ V — въ пуд., а 7 — въ фут.
Обращаясь теперь къ формулѣ вѣса раціональной фермы 2-го класса,
не трудно видѣть, что здѣсь число панелей оказываетъ незначительное
вліяніе на возрастаніе вѣса. Пренебрегая для краткости* разсужденій
этимъ вліяніемъ вовсе, придемъ къ тому, что здѣсь число панелей зави-
4*
52
ситъ отъ вѣса стыка и вѣса матеріала балки, выносящей на себѣ сги-
бающее дѣйствіе силъ.
Принимая вѣсъ стыковъ на панель въ 1 пудъ и вѣсъ балки пояса
по формулѣ 58,а, изъ выраженія 1-й производной отъ 2Г по п, обра-
щеннаго въ нуль, найдемъ для раціональной фермы 2-го класса:
п = 1> ^0^02^=0,15 -I....................64.
Слѣдовательно, величина панели выходитъ здѣсь равною
«=- = 6,6 фут.
п
Взявши п = ?:6,6, гдѣ I — въ фут.
е = 7 фут.
и принявши тѣ же данныя, что и ранѣе, относительно нагрузокъ п
подъема крыши, получимъ:
вѣсъ полуфермы 2-го класса раціональной системы
Ѵ= 0,25 -г 4- 0.01446 -I*..................65
гдѣ V — въ пуд., а I — въ фут.
Вѣса полуфермъ остальныхъ системъ также могутъ быть приведены
къ формуламъ, подобнымъ 63 и 65. Не останавливаясь на этомъ, за-
мѣтимъ только, что наивьігоднѣйшее значеніе п во всѣхъ разсмотрѣн-
ныхъ здѣсь фермахъ 1-го класса одинаково.
Предыдущія разсужденія велись въ предположеніи, что обрѣшетина
передаетъ дѣйствіе нагрузки непосредственно на верхній поясъ фермы.
Въ случаѣ устройства прогоновъ верхній поясъ не будетъ испытывать
на себѣ сгибающаго дѣйствія силъ, а потому вышеприведенный способъ
опредѣленія п здѣсь надо будетъ примѣнить къ отысканію наивыгоднѣй-
шей комбинаціи вѣса стропилъ и вѣса обрѣшетины.
Въ случаѣ существованія прогоновъ величину панели также нельзя
дѣлать болѣе 7 фут.. такъ какъ при этомъ возрастаніе вѣса обрѣше-
тины и ея стоимости идетъ быстрѣе, чѣмъ уменьшеніе вѣса стропилъ,
обусловливаемое уменьшеніемъ числа панелей. Кромѣ того, если дать
панели большіе размѣры, то верхній поясъ будетъ имѣть болѣе длин-
ныя сжимающіяся части, и это вызоветъ возрастаніе поправочнаго коэф-
фиціента пояса сжатія.
Къ тѣмъ же числовымъ величинамъ длины панели (отъ 6 до 8 фут.)
придемъ и въ случаѣ желѣзной обрѣшетины. Исключеніе составитъ только
— 53 —
случай употребленія волнистаго желѣза въ качествѣ кровельнаго мате-
ріала, когда принятые размѣры его таковы, что оно можетъ выносить
обычную нагрузку на разстояніи 10 —12 фут. Въ этомъ случаѣ и
длину панелей также слѣдуетъ брать отъ 10 до 12 фут.
Если въ стропилахъ нижній поясъ не горизонталенъ, а имѣетъ
слабый уклонъ, то поправка въ опредѣленіи наивыгоднѣйшаго располо-
женія панелей выходитъ очень незначительна, но вѣсъ стропилъ значи-
тельно возрастаетъ, такъ какъ вмѣсто величины / подъема крыши въ
формулы усилій и вѣса войдетъ разность подъемовъ верхняго и нижняго
поясовъ.
Разсчетъ прямолинейной и параболической фермъ безъ
раскосовъ въ случаѣ дѣйствія сосредоточенной на-
грузки.
Сосредоточенными нагрузками являются въ заводскихъ зданіяхъ
контръ-шафты приводовъ, привѣсы подъемныхъ механизмовъ для уста-
ч новкп обрабатываемыхъ предметовъ и т. п.
Если въ точкѣ 1), отстоящей^ опоры А (фпг. 1 п 2) на разстояніи г
дѣйствуетъ сосредоточеннный грузъ Р, то въ произвольномъ сѣченіи,
имѣющемъ координаты х и у и лежащемъ между точками А и Л мо-
ментъ будетъ
ЛГ, = V, .х — Н.у,
а въ сѣченіи, лежащемъ между Л и Л, выраженіе момента напишется
такъ:
.................66.
При этомъ
V = р. —
2 21
Зависимость между у и .ѵ въ прямолинейной фермѣ будетъ
а въ параболической она дается уравненіемъ 5:
. 21.x— х2
55
Внося эти значенія въ выраженія для п Л/2, будемъ имѣть
для прямолинейной фермы между А и С (фиг. 1):
и, = р . х.
V
I — X
А между сѣченіями С и В, гдѣ
ур-іе (і(і обращается въ нуль.
Для параболической фермы
Д = Р • -Р-Х-г- ^7-
ТЬ I---- Г - Х
— 1 . г. — Р. X . г. •
Не трудно видѣть, что и М2 для прямолинейной фермы бу-
дутъ положительны для всякаго х при произвольномъ я; для параболиче-
ской же фермы оба момента могутъ быть и положительны, и отрица-
тельны. Положительными моментами въ разсматриваемомъ случаѣ будутъ
тѣ, которые, деформируя балку, приближаютъ ее къ горизонтали АВ,
а отрицательными—тѣ, которые при деформаціи удаляютъ ось балки
отъ горизонтали АВ.
Положительныя значенія М} для параболической фермы меньше,
чѣмъ для прямолинейной, при произвольномъ г и для всѣхъ х.
Отрицательное значеніе можетъ быть для параболической фермы
только въ случаѣ
„ ѵ 2 7
2 оолѣе - I.
о
Наибольшій положительный моментъ получается въ сѣченіи х = 2,
и величина его будетъ:
для прямой
.....................67
для параболы
Л Г ТІ /Г г> 2 / - &
Хі=м,=р.
— 56
т. е. наибольшій положительный моментъ для параболической фермы
меньше, чѣмъ для прямолинейной.
Взявъ въ случаѣ параболы 1-ю производную отъ М. по х и при-
равнявъ ее нулю, получимъ
3 ,
I и
2
тах. М, = — Р-4-.......................68.
8
Слѣдовательно, если сосредоточенный грузъ дѣйствуетъ на лѣвую
ногу параболической фермы, то наибольшій моментъ вызовется лишь
въ правой ногѣ, и онъ будетъ равенъ
Въ прямой фермѣ въ сѣченіяхъ певагруженной ея ноги мо-
ментъ = О.
Наибольшее отрицательное значеніе въ параболической фермѣ
можетъ имѣть мѣсто только
2
при болѣе — I.
о
Координата этого сѣченія получится, взявъ 1-ю производную отъ
‘ЛГ, по х и приравнявъ ее нулю, что даетъ
Зг — 21 ,
При этомъ значеніи х получимъ
тах. (3.2 - 2/)2.
1 8^
Эта величина тах. будетъ для всѣхъ значеній г менѣе тах. М2,
и только въ случаѣ груза, подвѣшеннаго въ вершинѣ параболы, обѣ
эти величины будутъ равны.
Сравнивая разсчетные моменты для прямолинейной и параболиче-
ской фермы, выражаемые формулами 67—68. видимъ, что они будутъ
8 ,
одинаковы при г — — • I.
У
57
Слѣдовательно, воли сосредоточенный грузъ приложенъ на рая-
• 8 7
стояніи —I отъ опоры, то моментъ, по которому надо разсчиты-
ватъ прямолинейную ферму и параболическую, будетъ одинаковъ.
0
При я менѣе — I моментъ въ параболической фермѣ меньше,
$
чѣмъ въ прямой, при г болѣе — I — обратно.
«7
Въ практикѣ, при устройствѣ мастерскихъ, никогда не приходится
нагружать стропила сосредоточенными грузами близко къ вершинѣ
фермы.
Если же предвидится возможность перемѣщать сосредоточенный
грузъ по всему пролету, то параболическая ферма будетъ легче прямой.
Для послѣдней въ этомъ случаѣ получимъ при г =
тах. М. = Р.--.
1 4
а для параболы при ^=0,423.1.
„ Р-1
тах.ІуГ = —-
1 г»
Въ случаѣ двухъ грузовъ, симметрично расположенныхъ, по-
лучимъ:
для параболы
(2я Ха \
1 — у + у}
/ / _ 2
а для прямой — выраженія Мх и Д/2 остаются тѣ же, что и при
одномъ грузѣ.
АРОЧНЫЯ
параболическія Фермы.
Вѣсъ параболической фермы безъ раскосовъ и наклонныхъ тягъ.
Равномѣрно распредѣленная по всему пролету нагрузка не вызы-
ваетъ въ параболической аркѣ сгибающихъ моментовъ, слѣдовательно,
при такой нагрузкѣ нѣтъ надобности ставить раскосы, имѣющіе цѣлію
уменьшить величину сгибающаго момента.
Натяженіе тяги (см. формулу 1) было найдено равнымъ
Слѣдовательно, вѣсъ половины тяги будетъ
Сжатіе арки въ произвольномъ сѣченіи (см. формулу 15) будетъ:
5 = Н • Соз а — у • г) • 8іп а,
гдѣ Ѵ\ = у • I — давленіе на опору.
Длина элемента дуги кривой есть <1 х: Соз а, и вѣсъ пояса сжатія
полуфермы будетъ
Г [ян-<?(*-*•) •<<?«]•
/V ѵ' 0
Предполагая, что параболическая ферма выполнена раціонально,
т. е. удовлетворяетъ уравненію 5 (см. стр. 8-ю),
,, 21-х— X* г
----р.......................5,
— 60 —
найдемъ
. <і ц і — х
д-Р
Вводя обозначеніе, отмѣченное формулой 49 и не принимая въ
разсчетъ сѣкущихъ усилій, общій вѣсъ половины арочной фермы полу-
чимъ въ такомъ видѣ:
Г=Ф-[1+41+4^)].............. 6».
Параболическія фермы съ раскосами.
Выгодность замѣны раскосовъ системою наклонныхъ тягъ
При односторонней нагрузкѣ (р на 1 длины) въ параболическихъ
аркахъ появляются сгибающіе моменты.
Уменьшеніе этихъ послѣднихъ можетъ быть достигнуто здѣсь
такъ же, какъ и въ прямолинейныхъ фермахъ, т.-е. постановкою раскосовъ.
Какъ опредѣленіе усилій въ раскосахъ, такъ и отысканіе напвы-
годнѣйшаго ихъ направленія, подъ условіемъ наименьшаго вѣса фермы,
можетъ быть выполнено и здѣсь по тому же самому способу, какъ и
ранѣе, въ случаѣ прямолинейныхъ фермъ.
При односторонней нагрузкѣ полупролета давленіе на опоры будетъ
Моментъ внѣшнихъ силъ въ произвольной точкѣ ( г у) нагружен-
ной стороны арки будетъ
1Г 3 . 1 2
М = - р • I • х — - • р • .г.
4^ 2
Для точки г (фиг. 10) въ м-ой панели,
I
при X = ш • о = Ш---
п
61
7^.....................70.
Разстояніе точки г отъ пояса растяженія по уравненію параболы
(см. форм. 5) будетъ:
Натяженіе нижняго пояса въ т-ой панели
. 1^- 7 Р ‘ Зп—2 т
ж: — 2п — т
Натяженіе нижняго пояса въ (т-]-1)-ой панели
__1Г __________р • Зп — 2 т— 2
*’"+1 = <+і: • ~2п_т_1 •
Разность натяженій, по которой опредѣляютъ сжатіе и растяженіе
соотвѣтственныхъ раскосовъ и тягъ, будетъ
( _і — ____________-_______________ . .71.
жЧ“1 4 /* (2 п —т)(2 п — т — 1)
Прп перемѣщеніи нагрузки съ одной половины фермы на другую,
моментъ внѣшнихъ силъ въ той же точкѣ (ж, у) будетъ:
Г = р • I*________
4 • /’ 2 п — т
, «_____________________
'»+* 4 . /• • 2 П — 1)1-1 '
А разсчетная разность натяженій будетъ:
і __I . — Р'.______________п______________. . . .72
”‘+1 4/° *(2п—т)(2?г— т-—1) ’
т.-е. при перенесеніи нагрузки съ одной стороны фермы на другую,
разность натяженіи нижняю пояса въ двухъ смежныхъ панеляхъ мѣ-
няетъ только знакъ, не измѣняя своей величины.
Такъ какъ при разсчетѣ фермы необходимо разсматривать случай
нагрузокъ на каждой ея половинѣ, поэтому каждый раскосъ будетъ
— 62 —
подвергаться дѣйствію одинаковыхъ усилій растяженія и сжатія, смотря
по положенію неравномѣрной нагрузки.
Разность въ усиліяхъ поясовъ двухъ смежныхъ панелей отъ одно-
сторонней нагрузки, сравнительно съ полной величиною усилія въ поя-
сахъ отъ постоянной нагрузки, настолько невелика, что при отысканіи
наивыгоднѣйшаго расположенія раскосовъ можно ограничиться задачею—
отыскать такое расположеніе раскосовъ, при которомъ ихъ вѣсъ былъ
бы іиіп.
Разлагая подобно тому, какъ это дѣлалось для прямолинейныхъ
фермъ, разность усилій по направленію с и (фиг. 10), по-
лучимъ слѣдующее:
если па раскосъ с дѣйствуетъ сжимающее (или растягивающее)
усиліе
«77’
то на раскосъ сі будетъ дѣйствовать растягивающее (или сжимающее),
т. е. обратное усиліе, величина котораго будетъ
гдѣ по фиг. 10
ОС
Вѣсъ раскоса с будетъ пропорціоналенъ
Вѣсъ раскоса сі будетъ пропорціоналенъ
но «*=.«л!74
Слѣдовательно, віьсъ двухъ раскосовъ данной панели будетъ про-
порціоналевъ величинѣ
7^,;’ ; ^к_.г)Ч-Л:.+І]..............73.
"и-Н1-
— 63
Взявши 1-ю производную отъ В по х и приравнявъ ее нулю,
получимъ послѣ алгебраическаго преобразованія, что:
% __У % н л
.......................... ’
т. е. тіѣ вѣса у двухъ раскосовъ данной панели получится тогда,
когда, оба они будутъ наклонены къ поясу растяженія подъ одинако-
вымъ угломъ, или ^==9?! на фиг. 10,
Мы не останавливаемся подробно па развитіи полнаго рѣшенія
вопроса о наивыгоднѣйшемъ проведеніи раскосовъ въ параболической
фермѣ стропилъ по слѣдующимъ соображеніямъ:
Односторонняя нагрузка на стропильныя фермы представляетъ со-
бою слагающую дѣйствія вѣтра, и величина ея гораздо менѣе постоян-
ной нагрузки, т. е. равномѣрно распредѣленной по всему пролету. Эта
постоянная нагрузка состоитъ изъ вѣса стропилъ, обрѣшетины и
подшивки, кровельнаго матеріала и вѣса снѣга. Постоянная же нагрузка
не вызываетъ натяженій въ раскосахъ параболической арки, но она
даетъ наибольшія усилія въ поясахъ. Слѣд., раскосы въ этихъ аркахъ
надо разсчитывать но сравнительно малой величинѣ односторонней на-
грузки, и если принять въ соображеніе, что длина раскосовъ сжатія
въ аркахъ будетъ больше, чѣмъ въ прямолинейныхъ фермахъ, то сдѣ-
лается яснымъ, что употребленіе сжатыхъ частей большой длішы при
слабыхъ усиліяхъ повлечетъ за собою слишкомъ невыгодное употребле-
ніе матеріала. Въ этомъ случаѣ замѣна раскосовъ системою тягъ или
хордъ, связывающихъ разныя точки дуги съ ея подошвами, представитъ
значительныя выгоды, какъ по экономіи матеріала, такъ и по простотѣ
работы.
Если при составленіи проекта, дія большей надежности разсчета
раскосовъ, сдѣлать предположеніе, что часть снѣга лежитъ на одной
сторонѣ фермы, то и въ этомъ случаѣ постановка системы тягъ будетъ
выгоднѣе устройства раскосовъ, такъ какъ пояса фермъ должны быть
разсчитаны, предполагая распредѣленіе нагрузки отъ снѣга по всему
пролету.
Пояснимъ сказанное простымъ примѣромъ на четыреугольной прямо-
линейной фермѣ (фиг. 11).
Пусть узлы ея В п В воспринимаютъ одинаковую нагрузку
подъ дѣйствіемъ которой части АВ, ВВ и ВЕ будутъ сжиматься, а
часть АЕ будетъ растягиваться. Теоретически такая ферма остается
въ покоѣ и безъ хордъ и безъ раскосовъ.
64 —
Снимемъ часть Р нагрузки съ узла 2), тогда усиліе Р на узлѣ I?,
равное снятой части груза съ узла Л, потребуетъ (для сохраненія
равновѣсія фермы) устройства или раскосовъ пли хорды.
На фиг. 11 представленъ случай употребленія раскосовъ, а на
фиг. 12 дано примѣненіе тягъ.
Усиліе раскоса с (фиг. 11) равно Р, вѣсъ его будетъ
^іЗРк,
гдѣ /3 — отношеніе допускаемыхъ напряженій при растяженіи и сжатіи.
На тягу сі будетъ передано усиліе
ГрЛ.
3 к
Вѣсъ тяги Л
7_ 1 р г 1 р п'+кі
к' 3 к к ' 3 ‘ ' к '
Сумма вѣсовъ раскоса с и тяги <1 будетъ
1'“ к ’ ЗЛ
Вопросъ объ измѣненіяхъ усилій сжатія и растяженія частей
А/>\ ВБ, БЕ и ЕА не разсматриваемъ, такъ какъ эти части
должны быть разсчитаны по наибольшимъ и одинаковымъ нагрузкамъ (^.
Въ случаѣ примѣненія тяги АБ (фиг. 12) вмѣсто раскосовъ, она
будетъ имѣть натяженіе
и ея вѣсъ будетъ
'-2 г
* ~ 3 ’ к
1і 3 к 1і
. . .76.
Разность вѣсовъ
г_7 р /З-к' — а'
*~к
к
— 65 —
При обыкновенныхъ данныхъ для разсчета стропилъ величина /9 вы-
ходитъ не менѣе 3*), и разностъ будетъ въ пользу устрой-
х 1 1
ства хорды, если подъемъ фермы составляетъ отъ - до - ея пролета.
5 6
Кромѣ того, при хордѣ избѣгается матеріалъ и работа стыковъ въ
узлахъ В и В1 (фиг. 11 и 12).
Замѣна раскосовъ хордами въ арочныхъ фермахъ значительно упро-
щаетъ работу по изготовленію послѣднихъ. Прикрѣпленіе хорды къ тѣлу
дуги арки (одинъ болтъ) гораздо проще стыка раскосовъ и поясовъ обыкно-
веннаго типа. Кромѣ того, какъ увидимъ далѣе, хорды даютъ возмож-
ность гораздо легче разбить арку па части равнаго сопротивленія по
отношенію къ сгибающимъ моментамъ.
Насколько намъ извѣстно, въ технической литературѣ до сихъ поръ
еще не появилось разсчета арочныхъ стропильныхъ фермъ со многими
тягами, а потому въ дальнѣйшемъ мы остановимся болѣе подробно на
теоретической части такого разсчета. Но прежде чѣмъ дать рѣшеніе
общей задачи при п хордахъ, пояснимъ ходъ разсчета при трехъ тя-
гахъ. Такой пріемъ облегчитъ читателю трудъ — прослѣдить алгебраиче-
скую часть рѣшенія вопроса объ п хордахъ.
:і:) Для примѣра возьмемъ
Л = 5 фут. = 60 дм., а =10 фут., Л^ = 30 фут.;
примемъ одностороннюю нагрузку отъ дѣйствія вѣтра и части снѣга около 0,28 иуд.
па 1 кв. фут. При разстояніи между фермами въ 7 фут., получимъ
Р = О,28 . 7 . 10 = 20 иуд.
Если взять самый малый уголокъ 1 X 1 Хи дм» то дли пего отношеніе длины
о
къ наименьшей ширинѣ сѣченія выходитъ 60, и поправочный коэффиціентъ сжатія
по форм. Ъоеісе (см. таб. 13 изъ табл. Бѣлелюбскаго и Богуславскаго, изданіе 3-е,
1894) выходить 0,3. Поперечное сѣченіе уголка—около і кв. дм. Усиліе, отнесенное
къ сѣченію въ 1 кв. дм , будетъ
20 : 7 = 80 = к,,
4
а напряженіе матеріала длинной стойки будетъ 80:0,3 = около 270 пуд. Слѣдов., брать
желѣзо еще меньшихъ размѣровъ уже нельзя. Въ случаѣ тяги, независимо отъ раз-
мѣровъ ея сѣченія, можно принять напряженіе матеріала при растяженіи равнымъ
к = 350 пуд. и
/9 = к : к{ = 350 : 80 = 4,3.
5
Арочныя фермы съ тремя тягами.
Опредѣленіе натяженій тягъ.
Фиг. 13 изображаетъ схему арочпой фермы съ 3-мя тягами, одной
горизонтальной А В и двумя наклонными А Сх и В С, т.-е. съ 4-мя
шарнирами А, В, С и Сг Расположеніе частей — симметричное, т.-е.
А В = В Вх = а
СВ=С\ В^к.
Для всякаго дѣйствующаго на арку груза Р, приложеннаго на раз-
стояніи х отъ опоры А, можно опредѣлить натяженіе тягъ на основаніи
ур-ія моментовъ.
Обозначимъ чрезъ
Во— натяженіе тяги АВ
Т- „ „ ВС
Т- , „ ЛСХ
Ѵх — Г* — давленія на опоры А и В.
Сумма моментовъ относительно точки Сх даетъ
Ѵ^а^ТС^+Н.-С^,
а относительно точки С
Ѵ2(2І — а) = Ті- СЕ+Н.- СВ.
Если нагрузка Р будетъ приложена между узлами С и С, на
разстояніи х1 отъ опоры А, то:
7, .« = 2; • СЕ-\-Нй- СВ.
Для опредѣленія трехъ неизвѣстныхъ Т, Тх и Но этихъ двухъ
ур-ній недостаточно.
Третье ур-іе получается изъ геометрическаго разсмотрѣнія поло-
женія груза Р.
Такъ, ііапр., для всякаго груза, приложеннаго между А и О (фиг. 13),
натяженіе тяги ВС —
Т= О,
такъ какъ въ это время дуга А С Сг будетъ сжата, и точка С откло-
нится вправо. *
Такимъ же разсмотрѣніемъ можно опредѣлить относительное зна-
ченіе натяженія тягъ ВС и С1А въ зависимости отъ положенія на-
грузки между узлами С и Ц. Очевидно, что для грузовъ, приложен-
ныхъ между точкою С и (7, т.-е. вершиною арки, тяга ВС мо-
жетъ быть выкинута, или для нея Т=0.
Такимъ же путемъ можно опредѣлить натяженіе тягъ и при произ-
вольномъ ихъ числѣ. Если дано п тягъ, то всегда получится (п—1)
ур-іе моментовъ, и одно условіе найдется изъ геометрическаго разсмо-
трѣнія положенія дѣйствующаго груза.
Пусть Н и Нх будутъ горизонтальныя слагающія натяженій Т и ,
тогда для удобства вывода можно сдѣлать замѣну:
Т-СХЕІ=Н СХК1=Н -г
тх ‘ СЕ=НІ • СК=НХ
Когда найдены усилія для тягъ, тогда можно составить ур-іе мо-
ментовъ относительно произвольнаго сѣченія арки, изъ котораго и опре-
дѣлится сгибающій моментъ въ этомъ сѣченіи.
Пусть на параболическую арку (фиг. 14) дѣйствуетъ равномѣрно
распредѣленная нагрузка, величина которой на 1 длины пролета будетъ р.
При разсчетѣ стропилъ ведутъ его, предполагая, что нагрузка распро-
страняется отъ одной изъ опоръ до средины арки, напр. отъ А до №.
Величина этой нагрузки будетъ р-1, если длина пролета = 21.
Ур-іе параболы А №В, отнесенное къ началу координатъ въ точкѣ
Л, было представлено формулой 5 (см. стр. 8 и 59), поэтому мы бу-
демъ имѣть (см. фиг. 14):
2 I • а — а*
-----Гі----
а-к I — а
г~' 21 — а—2а’^' Г
Давленія на опоры
68 —
Для принятаго нами расположенія нагрузки тяга В С можетъ отсут-
ствовать, т.-е. Т= 0.
Принимая точку С\ за центръ моментовъ, пишемъ
откуда
Взявъ моменты всѣхъ силъ въ сѣченіи арки, проходящемъ чрезъ
точку С, найдемъ:
Ѵі-а-^г=НІ>П + Н1 -г,
откуда:
л...........ю
1 2«(/ — о) 4^ /’ ’
т.-е. горизонтальная слагающая натяженія тяги А при распредѣ-
леніи равномѣрной нагрузки на половинѣ параболической фермы не
зависитъ отъ велгічины (і и будетъ одинакова при всѣхъ положеніяхъ
тяги.
Въ предѣльномъ случаѣ, когда </ = (). т.-е. въ случаѣ одной гори-
зонтальной тяги, натяженіе ея при нагрузкѣ половины фермы будетъ
выражаться тою же формулою 78, которая совершенно тождественна
съ выведенною нами ранѣе формулою (і.
Примѣчаніе. При равномѣрной нагрузкѣ всего пролета параболи-
ческой фермы, тяги В С и С1 А пе испытываютъ натяженія; тогда все
оно передается на нижнюю тягу, которая будетъ натянута съ усиліемъ
какъ это было найдено при выводѣ формулы 1.
Опредѣленіе сгибающихъ моментовъ въ аркѣ съ 3 тягами и наивы-
годнѣйшаго расположенія тягъ.
Въ произвольномъ сѣченіи В (фиг. 14), отстоящемъ на разстояніи
х отъ опоры А и лежащемъ между А и ^Ѵ, т.-е.
при X отъ О до I
I) •
М=Ѵ1х-1—-----------Н.-и-Н.у,
69
гдѣ Не п Н} должны быть взяты по формуламъ 77 и 78, а
Іі • х п 2Іх— х*— а-х
и=у — — ,--= ! -------7в---
*' 21 — а 1 /8
Внося эти величины въ выраженіе 2ІЛ послѣ преобразованій по-
лучимъ:
лг 1 .. ®(«—':)(? —«) 7<)
-----,і1_а..................™
При г=0 и при я = о...................21= 0.
Въ части арки А С наибольшее значеніе момента будетъ при
х = какъ это видно изъ ур-ія
&
^=0.
а х
Для сѣченія Г (фиг. 15)
1 "'Л—(Iя ЙЛ
...............80.
Отъ точки Л, гдѣ 21= 0, моментъ возрастаетъ до тах въ точкѣ
Г при х = затѣмъ онъ уменьшается и въ точкѣ С снова М = 0.
Далѣе между С и X моментъ дѣлается отрицательнымъ, т.-е. изгибъ
арки идетъ въ противоположномъ направленіи, и въ точкѣ Л7, гдѣ я = 7,
(!-»)•
2/— а
81
Для части дуги Сг X моментъ въ произвольномъ сѣченіи Б будетъ
= Т 2 (2/ - х) - /70. у - /Д . и.
Тождественныя съ предыдущими преобразованія дадутъ
1
4^
.1/,
я:(п — ,т)(1 —
41 — а
81,а,
гдѣ х берется отъ I до (21— а).
Въ точкѣ X, т. е. при х = /, ур-іе 82 даетъ величину (см.
форм. 81), а
при х = 21 — а..........................= 0.
70 —
Наибольшее значеніе получится при значеніи
, 8/’ —5/.« + а*
= 6і_г„---------
которое найдемъ изъ условія
Тогда въ сѣченіи Рх (фиг. 15)
= . -82.
Слѣдовательно, переходя отъ № къ Ц, мы имѣемъ все время
отрицательное значеніе момента; между 2Ѵ и Ег получается сначала
увеличеніе момента, а затѣмъ величина его уменьшается и дѣлается = О
въ С\ при хг = 21 — а.
Для части ВЦ арки моментъ въ произвольномъ сѣченіи ея В2
(фиг. 14) будетъ:
гдѣ х измѣняется отъ (21— а) до 21,
Послѣ преобразованія предыдущее равенство получитъ такой видъ:
ЛГ-1 ............88.
2 4 г 21 — а
При х = 21 — а и при Х-—2І........1/2=0.
Наибольшее значеніе ЛГ2 получится при значеніи
которое найдемъ изъ условія
^• = 0.
Въ сѣченіи Е2 (фиг. 14) будемъ имѣть
71Г 1 7 0.1
.............М.
Слѣдовательно, на протяженіи дуги В С\ моментъ остается отри-
цательнымъ; въ точкахъ В и С1 онъ равенъ нулю, а наибольшаго
71
значенія онъ достигаетъ въ сѣченіи Р2, на разстояніи — отъ опоры В,
т. е. наибольшіе сгибающіе моменты, положительный въ части А С
параболической фермы и отрицательный въ части С1 В относятся
къ сѣченіямъ Р и Р2 (фиг. 15), отстоящимъ отъ опоръ на равныхъ
разстояніяхъ.
Выгибъ арки въ зависимости отъ измѣненія моментовъ, изслѣдо-
ваннаго нами, представленъ на фиг. 15 толстымъ пунктиромъ.
Для арки съ тремя тягами мы получили 3 выраженія тах. М,
представляемыя формулами 80, 82 и 84. Не трудно видѣть, что
тах. М2 всегда больше тах. М.
Для наивыгоднѣйшаго распредѣленія матеріала, сопротивляющагося
сгибающимъ усиліямъ, необходимо, чтобы существовало равенство
тах. — тах. К..........................85.
Удовлетворяя этому условію, найдемъ
2
а = 0,68./, или около — I.................86,
О
причемъ
тах. = тах. = — 0,022 .р.І*....................................87,
тах. М= + 0,0072 .р. /«...................87,а.
Въ случаѣ арки съ одною горизонтальною тягою, полупролетъ ко-
торой нагруженъ равномѣрно, моменты выражались формулами 8 и 12.
Наибольшее ихъ значеніе получалось на разстояніи ~ отъ опоръ и
&
было (см. форм. 11 и 13):
тах. • ?•/*= 0,00625-р-1*.............11
тах. Мг = — 0,00625 . р. I*..................13
Эти формулы, по сравненію ихъ съ 87, показываютъ, что
въ параболической аркѣ съ 3 тягами, расположенными наивыгод-
нѣйшимъ образомъ, разсчетный сгибающій моментъ почти въ 3 раза
менѣе, чѣмъ для арки съ одною тягою.
72 —
Усилія сжатія въ аркахъ съ тремя тягами и съ одной.
Разсмотримъ отдѣльно усилія сжатія въ аркахъ:
1) при нагрузкѣ <7.2/, равномѣрно распредѣленной по всей длинѣ
арки и
2) при односторонней нагрузкѣ р. /, распредѣленной равномѣрно
на половинѣ длины пролета.
На фиг. 16 уголъ касательной въ произвольной точкѣ В съ гори-
зонталью обозначимъ чрезъ а уголъ наклонной тяги съ горизонталью—а.
Индексы р и <? при усиліяхъ обозначаютъ далѣе зависимость этихъ
усилій отъ нагрузокъ р. I и
Усиліе сжатія отъ нагрузки на всемъ пролетѣ (фиг. 16) будетъ:
8Ч= Ѵч. 8іп&-]-НОч. Со8р.
Усиліе сжатія отъ односторонней нагрузки для нагруженной сто-
роны фермы:
8р = Ѵр. 8іп @ . Соз @-|- ТіР. Соз (а -|-
а для ненагруженной стороны фермы
<5р = • 8іп /3 + Н0Р. Соз р.
Эти сжимающія усилія вызываютъ въ сѣченіяхъ арки добавочныя
напряженія къ тѣмъ, которыя получились отъ дѣйствія сгибающихъ мо-
ментовъ.
Въ аркѣ съ 3 тягами наибольшіе сгибающіе моменты дѣйствуютъ
въ двухъ сѣченіяхъ Р и Р2 (фиг. 15), отстоящихъ отъ опоръ на раз-
стояніи и въ сѣчепіп
для этихъ трехъ сѣченій
ваемыя усиліями сжатія.
лежащемъ
и необходимо
около вершины арки. Только
опредѣлить напряженія, вызы-
Изъ ур-ія 5 мы имѣли
„ 1—я
Изъ чертежа (фиг. 14) имѣли ранѣе:
а~ 41 — а /*'
73
Для сѣченія Р (фиг. 15) при =
&
Предполагая подъемъ арки въ — ея пролета, получимъ
Взявши затѣмъ
будемъ имѣть:
8іп 0=0,47 Со8 а= 0.966
Со8 0= 0,882 ід а = 0,266
0,533 Со8 (а — 0) = 0,97.
Для сѣченія Г (фиг. 15):
К, = Ц • I — ц • = 0,67 • у • I.
Гр=^’Р — у = 0,42 •/» • I-
Такимъ же образомъ для сѣченія Р* (фиг. 15):
Г,= 0,67.д. I
Т/2Р = ~ • 7=0,25• 7 •
По формулѣ 87: ' з' •
1 ?). /2
= ^°8 п = ~^ ' ' @<)Я п = 0,645 ,р . I.
По формулѣ 77:
1 I3
По формулѣ 1:
74 —
Внося эти данныя въ формулы сжимающихъ усилій, получимъ
для обѣихъ половинъ арки:
Я,= 1,415.д./
для нагруженной стороны арки
Я,=1,238.2». 3
для ненагруженной стороны арки
8„ = 0,531.2». I-
Для вершины арки, гдѣ уголъ /?=0, получимъ
89=1,25.д.І
5, = 0,47.рг-|- 0,625.2>.г=1,1.2> I.
Полное сжимающее усиліе въ опасныхъ сѣченіяхъ арки будетъ:
5=^+5,.
Для нагруженной стороны арки (сѣченіе Р на фиг. 15) получимъ:
1,415 . <2. г -Н 1,238 . р . I.....88
для ненагруженной стороны (сѣченіе Р2 на фиг. 15):
5=1,415. д./+0,531.2?. I................89
для вершины арки сѣченіе У (на фиг. 15):
5=1,25.^./+1,1.2?./...................90
Такъ какъ сгибающій моментъ въ сѣченіи Р (фиг. 15) значи-
тельно меньше момента въ сѣченіи Р2 (см. формулы 87 и 87,а), то сумма,
напряженій матеріала отъ сгибанія и сжатія для сѣченія Р, гдѣ х = 0,5 . а,
выходитъ всегда меньше, чѣмъ для сѣченія дГа, гдѣ х=2І—0,5 а, а
потому при разсчетѣ арки можно ограничиться разсмотрѣніемъ 5 только
въ сѣченіяхъ X и Р2 на фиг. 15. Если какая-либо изъ этихъ двухъ
величинъ 5, по условіямъ заданной нагрузки, будетъ значительно пре-
вышать другую, то въ такомъ случаѣ полезно перемѣстить наклонныя
тяги настолько, чтобы величина 5 по формуламъ 89 и 90 получилась
почти одинаковой.
Въ случаѣ арокъ съ одной горизонтальной тягой, наибольшій сги-
бающій моментъ по абсолютной величинѣ равенъ
тах. • р • /2
1 о
75 —
и получается для сѣченій, у которыхъ
1 3 7
,г = т И х=--1.
Въ этомъ случаѣ
2 Г
при І<1 /?=-.- = 0,4.
О ѵ
Соз р= 0,928; 8іп (і = 0,372.
Для обѣихъ сторонъ арки
К=—
’ 2‘ а
Для нагруженной стороны арки
ТЛ 3 7 1 7 1 7
Ѵг= — -рІ- — -у 1-=—.р.І,
а для ненагруженной
Затѣмъ по формулѣ 1:
я’=Т'Т=1’25-б//-
а по формулѣ 6:
1
Ир — — • р • у = 0,625 .р.І,
Тогда
8Я = 0,5 . у . 1.8іп & + 1,25 . у . I, Соз р = 1,346 . у . I
8Р= 0,25 .р.І. 8іп 4" 0,625 .р.І. Соз 0 ~ 0,673 .р . I.
Полное сжатіе для обоихъ опасныхъ сѣченій арки съ 1 тягой
будетъ:
6’= 1,346.^7+ 0,673.2?./.
— 76
Сводъ данныхъ для разсчета параболическихъ фермъ съ 1 и 3
тягами.
О
Пролетъ арокъ — 21. Подъемъ /*=—/.
Нагрузка на всемъ пролетѣ — д . 2 I.
Нагрузка на половинѣ пролета — р . 1.
Арка СЪ ОДНОЙ тягой. Моментъ въ опасномъ сѣченіи
Натяженіе горизонтальной тяги
1,25 . д . I0,625 .р.І.
Наибольшее сжимающее усиліе въ опасномъ сѣченіи
1,346.? + + 0,673 .р.І.
77
Арка съ 3 тягами (1 горизонтальная и 2 наклонныхъ).
2 'ІО
Шарниры находятся отъ опоры на разстояніи — I оп горизонтали.
о
Наибольшій сгибающій моментъ
1 73
Натяженіе горизонтальной тяги
1,25 . ц . I + 0,47 ,р. I.
Патяжепіе наклонныхъ тягъ
0,645 .р . I.
Наибольшее сжимающее усиліе въ опасномъ сѣченіи арки:
1,415 . ц. I + 0,532 .р.І,
Сжимающее усиліе въ вершинѣ арки.
1,25 . <1. I + 1,1 . р . /.
Разсчетъ параболической фермы съ произвольнымъ
числомъ тягъ,
Опредѣленіе горизонтальныхъ слагающихъ натяженій тягъ и суммы
этихъ слагающихъ.
На фиг. 17 представленъ эскизъ параболической фермы, дуга ко-
торой соединена съ каждымъ изъ опорныхъ узловъ 2 п тягами. Всѣхъ
наклонныхъ тягъ у фермы — 4п.
Нагрузка распредѣляется отъ лѣвой опоры А до средины фермы,
и п наклонныхъ тягъ, соединяющихъ опорный узелъ А съ нагруженною
стороною арки, обозначены на чертежѣ пунктиромъ, а другія п тягъ,
идущія отъ А къ ненагруженной сторонѣ, нанесены сплошными линіями.
Тяги, соединяющія узелъ В съ 2п точками дуги, вовсе не нанесены
па чертежѣ, чтобы не сдѣлать его слишкомъ пестрымъ *).
Точки прикрѣпленія или узлы наклонныхъ тягъ, обозначенныя на
фиг. 17 цифрами и буквами
1, 2, 3,...........п, п + 1...........2п—1, 2ет,
опредѣляются координатами слѣдующимъ образомъ:
ординаты ихъ названы
^2 ^8...........
причемъ каждая ордината повторяется два раза — на лѣвой сторонѣ и
на правой:
абсциссы же узловъ
"1 "з.............
і:) При нагруженіи одностороннемъ (фиг. 17) всѣ тяги, идущія къ правой опорѣ
В, не будутъ напряжены, т. к. всѣ точки арки при такой нагрузкѣ перемѣщаются
вираво: въ это время вытягиваться и нагружаться будутъ только тяги, идущія къ
опорѣ А, а всѣ остальныя тяги будутъ разгружены.
79 —
для сплошныхъ тягъ отсчитываются отъ опоры В, а для пунктирован-
ныхъ тягъ—отъ опоры А.
По ур-ію параболы (см. форм. 5) имѣемъ
Л. = Л». ...................«1
Давленія на опоры обозначены, какъ и ранѣе, Ѵ1 — на лѣвую,
—на правую.
Горизонтальныя слагающія натяженій наклонныхъ тягъ обозначены
чрезъ
Н, Я2 Н9................Нп Яп+1...........Н2п •
Подобно случаю 3 тягъ, и здѣсь при нахожденіи моментовъ, опре-
дѣляющихъ усилія тягъ, необходимо вводить въ разсмотрѣніе отрѣзки г
(фиг. 13) ординатъ. Чтобы различать эти отрѣзки, введемъ такое условіе:
верхній индексъ справа отъ черты при 2— пусть обозначаетъ на-
именованіе узла, отъ котораго отсчитывается отрѣзокъ, а
нижній индексъ справа отъ черты при 2—нумеръ наклонной тяги.
Такимъ образомъ, напримѣръ, отрѣзокъ ті на фиг. 17 для ш-го
узла и 3-й тяги надо обозначить чрезъ
т
2 .
я
Точно такъ же пд для п-го узла и 1-й тяги будетъ обозначенъ чрезъ
*|” и т. д.
Отрѣзокъ тг для узла т и тяги т — 1 (фиг. 18) геометрически
будетъ опредѣляться такъ:
"» • о 7__п Г
8 '^т Кп-1 • ~ — “72” (2^ а»і)(ат ат—1) ’ ^2.
ж-1 2 6-6
На основаніи этого, для того же узла т (фиг. 18) и тяги к отрѣ-
зокъ тг1 можно написать по аналогіи такъ:
2
т
(2 I ббт) (ат 66Л).
80 —
Называя натяженіе горизонтальной тяги чрезъ и разсматривая
моменты давленія Ѵ2 на опору В относительно узловъ
1 2 3. . . . . п — 1, п
ненагруженной стороны арки, будемъ имѣть слѣдующія равенства:
Для узла 1 (фиг. 17):
,
Для узла 2 (фиг. 17):
=Яо •*.+<•< •
Для узла 3 (фиг. 1-7):
Для узла т (фиг. 17):
-гт тг 1 тт ”* , т I . *!«*
^2 ’ ~ Д; ’ Л»п“І“ ‘ 2 “Ь.........“Н Мл-І ’ *
Для узла п (фиг. 17):
К • «и=Я0 • 2 + • • • • +яш • + • • • • +2/,4-і • * \
Замѣняя величины х и
\ \ кз.............................1і*
ихъ значеніями по формуламъ 91 и 92, мы получимъ слѣдующія н. ур-ій:
Для горизонтальной тяги:
ТЛ 1
Яо—-21. —’
Для 7-й наклонной тяги (А1 на фиг. 17):
Н = ѵ -------------"г---------
Для г2-й наклонной тяги (А2 на фиг. 17):
„=г 2!___________________2г(аз —«. >
"з > • \2/ —«^(2Г-а2)(2/-й3) ’
— 81
Для 5-й наклонной тяги:
Н-Ѵ _______________
* у*' Г' (ъі-а^І-а^І-а^ ’
.............................. . . . и Т. Д.
Для пг-ой. наклонной тяги (Ат на фиг. 17):
ту _ у ____________2 I (а^і-^т-1)_____
м“ а- г•(2/_ат_1)(2г-а,й)(2/-ам+1)' .
...................................И т. д.
Для (п—1)-ой наклонной тяги
тт V ®п—г)
е у'^1- ап_^1-ап_.)(2І -^) '
Эти выраженія показываютъ, что:
• горизонтальная слагающая данной наклонной тяги параболической
фермы равняется постоянному
помноженному на дробь, у которой
ЧИС/ІИТе/ІЬ = разности горизонтальныхъ разстояній между бли-
жайшею къ данному узлу точкою опоры фермы и двумя узлами,
смежными съ даннымъ, т. е. предыдущимъ и послѣдующимъ, а
знаменатель = произведенію трехъ горизонтальныхъ разстояній
между опорою, наиболѣе удаленною отъ даннаго узла, и точками
привѣса трехъ тягъ: данной, предыдущей и послѣдующей.
Не трудно видѣть, что по этому же общему правилу можно напи-
сать и слагающую усилія 1-й тяги:
тг — у . . 21 _________аа а°_________ .
1 2 Г (2І^аі)(2І-а1)(2І-а.)
Это выраженіе приводится къ вышенаписанному для ні9 если въ
него внести а0 =. О.
Дѣйствительное натяженіе каждой хорды или тяги получится пу-
темъ дѣленія горизонтальной слагающей его на косинусъ угла, обра-
зуемаго тягою съ горизонталью.
6
82
Для м-ой тяги (фиг. 18) получимъ:
х? _____________________________________
= 1:./1+21І“Г.......................93.
V ф г*
Сумма всѣхъ величинъ Н отъ Но до Нп_і включительно опредѣ-
ляется такъ:
'5ш-1 н— у . 21___________11________________94.
Г (27-ая)(27-а),_1)
Для опредѣленія величинъ Н для тягъ, идущихъ въ нагруженной
сторонѣ арки, а равно и для тяги п-ой (Ап на фиг. 17), въ ур-іе мо-
ментовъ необходимо вводить, кромѣ момента отъ давленія Ѵ9 на пра-
вую опору, еще моментъ отъ равномѣрной нагрузки, расположенной
между срединою фермы и точкою, которая взята за центръ моментовъ.
Такъ, напр., въ случаѣ п-ой тяги моментъ надо брать относительно узла
(п+1) (фиг. 17), координаты котораго тѣ же, что и для узла п, т.-е.
Ля и ап,
и надо ввести моментъ
% (!-<)*
отъ равномѣрной нагрузки на длинѣ (I— ап).
Величины отрѣзковъ г для всѣхъ точекъ лѣвой половины арки
имѣютъ иное алгебраическое выраженіе, чѣмъ для правой.
Обращаясь къ чертежу (фиг. 18), возьмемъ узелъ (2»?—м?)-ый
съ координатами
и К-
Для произвольной тяги # (фиг. 18 — Ац) правой, ненагруженной
стороны мы имѣемъ координаты
К и %
а величина отрѣзка
2п-»і
г' = 7». — а-1і. • -----=
, т * 21 — а,
= -^(2І-а,-а,)......................95.
— 83
А для тяги (2п — у', идущей къ опорному узлу А отъ лѣвой
нагруженной стороны, имѣемъ координаты тоже
но величина отрѣзка
Л, И (І„
2 п—т
= /»т —Л,
2п — ч
«•(«< —^ж)...............
96.
2
При составленіи ур-ія моментовъ относительно узла (2п — ж)-го
имѣемъ въ виду, что абсцисса узла (п-|-2), напр., есть уже и
что послѣдняя тяга въ этомъ случаѣ будетъ (2п— Тогда
г, • (21—ат) = С . [я,. (21 — вж) + я; . (2/ - ) +.......
...•+ Нн. (21 — ат — ап _ 1 )+ Нп • (2/ — — ап) Нп^ • (ап— +
+Нпч-а*(ля_1 — лм)-|-...+Я2п_шч-1 • (ДІ1 + 1—ат) —б/т)*,97.
а
Та часть этого ур-ія, которая представляетъ собою сумму момен-
товъ усилій тягъ ненагруженной стороны, на основаніи формулы 94
преобразуется такъ:
І • ««< Но • (2/-О+Я! .(21—«,„—«,)+.......Н„ .(21—я,„—[ =
V I I
=(. «.. [(«-«.) з; -’я- з;- я-»’=
= ѵ, ---------..............................................98.
(2І — ап_1)(21 — ап)\ 1
Тогда ур-іе 97 приметъ слѣдующій видъ:
7, . Г 2І-ат-ат. ' Г'] = Г*'0"’ ] н« ’ +
I (21—ап_х) (21—а„) ] Р |
~Н Ніц-1 • (Лн О-ш) —|— • . • * * —Ніп.тч-1 ’ (^ш+1" ~.......99*
I
Примѣняя ур-іе 99 къ опредѣленію Нп, беремъ моментъ относи-
тельно узла (п4-1)-го съ’ординатами
А,, и а„;
тогда въ этомъ ур-іи надо отбросить всѣ члены, стоящіе послѣ Н„ въ
6*
84 —
скобкѣ, какъ не ^ходящіе въ составъ момента относительно узла (п-|-1)“Г0г
кромѣ того, надо принять въ этомъ случаѣ
П-ІМ — (Іп,
Тогда,
яп. (? — «„)= к2.
V
21
2І(2І — ап)-ап_1.ап) р_
(21 — ап-і) № — ап) ] 2
Но при распредѣленіи нагрузки на полупролетѣ
Р = ±Ѵ2:1,
поэтому окончательно будемъ имѣть:
ГТ __ V . 1 I 97__________а,‘ а"~1
2 Т '(21 — а„)(2І —
Примѣняя эту общую формулу къ частному
мы должны положить
100.
случаю трехъ тягъ.
а„ = а.
тогда получимъ:
Г.аД1 I
1
4Р'Г
что вполнѣ согласно съ формулой 78.
Совершенно такимъ же
всѣхъ остальныхъ тягъ.
Найденное значеніе Нп
сумму всѣхъ Н отъ Яо до
94 И 100:
образомъ находятся величины Н и для
даетъ теперь возможность опредѣлить-
Нп включительно,
пользуясь формулами
I 31—а,
Г 21=^,
. . 102.
Примѣняя формулу 99 къ узлу (п + 2) - му,
101.
координаты котораго-
<7,1 — 1 и А(1 _ (,
85
. получимъ Нп +1 ивъ выраженія:
г4 [зг-а^ • (2/~^71ХЗд7л,і) + '^4-|(/ - ав)‘=
*• И 41 — ип) ѵ у а
— Нп^ • • а„_і • (ап ап_і),
откуда:
^ = ^4'2^.....................103
ЗГ’Я = 2Г,.1=^-’.................104.
2>.- + и.*,(2г-«.)= 105.
Примѣняя ур-іе 99 къ узлу (п + 3) - му, координаты котораго
^п—2 И V2?
получимъ:
ѵ2
2 Я— «п-2 — 2 а,|_2 •-------------7 --- 4
С
«п-2 — • С — «п-2)‘ =
а
-- ^А»4"2 * 2 * (^'и—1 ^п—2)’
Откуда
Ян+. = 0.................................................106.
Совершенно такимъ же путемъ найдемъ, что и всѣ остальныя
значенія
Нп^.ѵ, Нп^.’Я и т. д.
равны нулю. Слѣдовательно,
проведеніе какихъ бы то ни было тягъ въ промежуткѣ между
узлами п-]-1 и А безполезно, если нагрузка равномѣрно распредѣлена
по лѣвому полупролету.
При иномъ распредѣленіи нагрузки, въ вышеприведенныхъ форму-
лахъ измѣняется только соотношеніе между р и К2, общій же видъ
Ур-ій, опредѣляющихъ натяженіе произвольной тяги, остается тотъ же.
Сравнивая формулы 104 и 1 видимъ, что
сумма горизонтальныхъ проекцій натяженій всѣхъ тягъ при односто-
ронней наьрузкѣ = тому натяженію, какое имѣла бы одна горизон-
86
тальная тяга въ случаѣ параболической фермы, равномѣрно нагру-
женной по всему пролету тою же нагрузкою р на единицу длины
пролета, какъ и при одностороннемъ нагруженіи.
При значеніи
". = I
по формулѣ 103 видимъ, что
Я„+1 = О................... . 107
т. е. еслгі вершина параболической арки является однимъ изъ узловъ
для прикрѣпленія тягъ къ фермѣ, то послѣднею изъ тягъ, приходя-
щихъ въ лѣвый опорный узелъ справа, будетъ тяга, идущая къ вер-
гиингь арки.
Въ этомъ случаѣ формула 101 даетъ:
2;Я=Г,.^=г.^.....................108.
Въ случаѣ арки съ тремя тягами при а=1 найдемъ по форму-
ламъ 77 и 78:
2!я=я.-я.=і>^.....................109
Сравненіе формулъ 104, 108 и 100 показываетъ намъ, что
сумма горизонтальныхъ проекцій натяженій въ тягахъ не зави-
ситъ отъ числа наклонныхъ тягъ, выходягцихъ изъ опернаго узла
параболической фермы.
Опредѣленіе числа наклонныхъ тягъ, подобно опредѣленію числа
панелей въ прямолинейныхъ фермахъ, должно быть сдѣлано въ зависи-
мости отъ разсмотрѣнія величины сгибающихъ моментовъ въ аркѣ .
Опредѣленіе сгибающихъ моментовъ въ сѣченіяхъ арки.
Опредѣленіе величины сгибающихъ моментовъ и ея тах для раз-
ныхъ частей арки, въ случаѣ произвольнаго числа тягъ, дѣлается
тѣмъ же способомъ, какъ и въ случаѣ 3 тягъ.
Взявъ начало координатъ въ точкѣ В (фиг. 17), между узлами
В и 1 будемъ имѣть:
г __Т7- тт тт гг 2/. х — х2
Л у И2 • х — Ѵ2 •
...........................................
87 —
При х = аі и # = 0...............=0.
Наибольшее значеніе Л/, будетъ имѣть мѣсто при
опредѣляемомъ изъ условія
(IX
1Т ^2 111
тах, М. =----/ • —:.................. 111.
1 4 21 — а.
Между узлами 1 и 2 (фиг. 17) при измѣненіи х отъ до аа,
найдемъ:
мг = Ѵг • х-Но • у - Н, {у-\
71/ _____ ___ у . о 7 .
. 112.
При х = а1 и х = а2 ............М2 = 0.
Наибольшее значеніе М2 получится изъ условія
которое даетъ:
^.- = 0,
ах
"г—«I
Л/ —--~-
тах.М* =— Ѵ2 •
(а,—«.)*
(21 — а,)(2г — «2)‘
. 113.
Подобнымъ же образомъ между узлами 2 и 3 для сѣченія, лежа-
щаго на половинѣ горизонтальнаго разстоянія между ними, найдемъ
тах. = — К2 • —
(«а —«,)*
(2І-а3)(2І-аі)'
По аналогіи, для /м-ой части арки, между узлами ея (тп—1) и т
тах М —____V • — . (ат . .114.
тах.Мт- Ѵ2 2 (2/_ат)(2г_аиі)
— 88
Наконецъ, въ послѣдней ненагруженной части арки, между узлами
ея (п — 1) и п получимъ:
<=к2-2Г
(.г — ап)(х — ап_і)
(2І-ап)(2І-ап^
. 115.
При х = ап и х = ап_1.............7Ип==0, а затѣмъ:
тах, Мп = — Г2 • —
(Ч - «„-О2
(2/— ап)(2/— ап_і)
116.
Формула 116 показываетъ намъ, что
наибольшій моментъ въ произвольной части ненагруженной сто-
роны параболической арки равенъ постоянному
умноженному на дробь, у которой
числитель есть квадратъ разности горизонтальныхъ разстояній
узловъ разсматриваемой части арки отъ ближайшей ея опоры, а
знаменатель выражается произведеніемъ горизонтальныхъ раз-
стояній узловъ данной части арки отъ дальней ея опоры.
Дадимъ здѣсь графическое представленіе о максимальномъ моментѣ
Между двумя данными узлами (т—1) и т (фиг. 19). По свойству
параболы, точка е (фиг. 19), лежащая на срединѣ горизонтальнаго раз-
стоянія между узлами, соотвѣтствуетъ и наибольшей стрѣлкѣ О (\
дуги параболы. Мах момента между данными узлами графически пред-
ставляется произведеніемъ стрѣлки О Оі на проекцію давленія Г2,
взятую на направленіе хорды (т, т — 1).
Всѣ моменты ненагруженной стороны арки отрицательны. Это
указываетъ на то, что всѣ части разсматриваемой половины арки
уменьшаютъ радіусъ своей кривизны послѣ нагрузки.
Въ части арки между узлами н и (я + 1) моментъ будетъ имѣть
два разныхъ выраженія, — одно справа отъ вершины I арки (фиг. 17),
а другое слѣва отъ нея, гдѣ въ число дѣйствующихъ силъ вводится
также и равномѣрная нагрузка на аркѣ.
Между точками п и I (фиг. 17), при измѣненіи х
отъ х = ап до х = 1,
89
будемъ имѣть:
М'^=Мп — Н„-г
= Мп — Нп
п
— х}(х — а,).
Величина входящаго въ это равенство отрѣзка я вычислена при-
мѣнительно къ формулѣ 92.
Послѣ алгебраическихъ преобразованій получаемъ:
117.
Наибольшее значеніе этого момента получится, когда
:..................П8.
6 I — 2 ап
Какъ самое выраженіе такъ и значеніе .г, соотвѣтствующее
іш момента не зависятъ отъ числа тягъ и тождественны съ тѣми,
которыя были получены дія случая трехъ тягъ. Тамъ начало координатъ
было взято въ точкѣ А, слѣдовательно, для сравненія полученныхъ ре-
зультатовъ надо въ формулахъ 117 и Ц8 подставить
21 — х вмѣсто х.
Замѣтимъ здѣсь, что при числѣ наклонныхъ тягъ болѣе двухъ от-
рѣзокъ ап выходитъ настолько близкимъ къ /, что безъ особой погрѣш-
ности въ разсчетахъ можно принимать
.г = /
вмѣсто той величины, которую даетъ формула 118. А тогда
тах. ЛГ„+1 ~ — Г .
2/ — л„
119.
Между точками I и (^+1) на фиг. 17 моментъ выразится такъ:
іѴГи+1=М',1+1-
А
причемъ въ этой формулѣ х можетъ измѣняться
отъ х = 1 до х=21— а„.
Внося въ это выраженіе
90
получимъ:
ЛГЯ+1=Д р • х - 2 (х—1)' - (21 - х)(х - а„) 1..120.
Не трудно видѣть, что это выраженіе момента, сохраняя отрица-
тельное значеніе, постепенно уменьшается въ абсолютной величинѣ и
при х = 21 — ап......№''„+1 = 0.
Еслибы тяги (п-(-І)-ой не было проведено, то на всей лѣвой
половинѣ арки, отъ точки I до А на фиг. 17, моментъ выражался бы
формулою 120, величина его все время была бы положительна и
при х= 21.....М"п±1 = 0.
Наибольшее положительное значеніе этого момента получилось бы
тогда
ігри х~2І—
— ..........і2і,
ж. е. этотъ тах момента, въ случаѣ отсутствія (п-'-І)-ой тяги
не зависѣлъ бы вовсе отъ числа тягъ и былъ бы совершенно тожде-
ственъ съ тѣмъ, который мы получили въ случаѣ 3 тягъ (см. форм. 80).
Если же имѣется тяга (п4-1)-я, тогда для всякаго сѣченія с (фиг.
18) между узлами (п-(-1) и А, пользуясь формулой 96, мы напишемъ:
<1+2 = ЛГ'Я+І - Яя+1 • (21 - х)(а„ - 2г +я) = 0.... 122.
т. е. когда (п-\-1)-ая тяга существуетъ, вся дуга, стягиваемая (п^1)-ою
хордою, не испытываетъ на себѣ дѣйствія сгибаюгцихъ моментовъ.
Опредѣленіе наивыгоднѣйшаго расположенія тягъ арочной фермы и
разсчетныхъ моментовъ для нея.
Для правильнаго распредѣленія матеріала и полученія возможно
малаго вѣса фермы, необходимо, чтобы сумма напряженій матеріала отъ
силы сжатія и наибольшаго сгибающаго момента для всѣхъ частей арки
между ея узлами была одинакова. Но такъ какъ усилія сжатія, при
91
небольшихъ подъемахъ арокъ, разнятся другъ отъ друга незначительно,
то для 1-го приближенія къ рѣшенію задачи достаточно опредѣлить
расположеніе тягъ подъ условіемъ равенства наибольшихъ момен-
товъ, т. е.
тах. М1=тах. М2=......... = тах.
что даетъ намъ рядъ слѣдующихъ ур-ій:
«і = _____ (<*» —",)*________
21 (21— (21—€1^(21—а-2) (21 а^(2І а3)
__ (а„ — а„і)2 (I— ап)*
(2/ — ««-О (2?—ап) 21 ан
Если арка по всей своей длинѣ имѣетъ однообразное сѣченіе, то
при подборѣ величинъ ал а2 а3 и т. д., удовлетворяющихъ условію
123, слѣдуетъ при округленіи цифръ брать такія значенія этихъ вели-
чинъ, при которыхъ моменты для частей арки возлѣ опоры В и сред-
нихъ частей фермы оставались бы одинаковыми, а моментъ ЛГ„+1 у
вершины былъ бы немного меньше остальныхъ максимальныхъ момен-
товъ, такъ какъ истинное значеніе тах Мп^_х больше того, которое
дается приближенной формулой 119.
Точное рѣшеніе ур-ій, получаемыхъ изъ условія 123, представ-
ляетъ значительныя алгебраическія трудности. Но для цѣлей практиче-
скаго разсчета данныя, достаточно близкія къ истиннымъ, могутъ быть
получены слѣдующимъ пріемомъ:
Задавшись числомъ тягъ п для полуфермы, идущихъ изъ узла Л,
допустимъ, что
Тогда по формулѣ 119 находимъ абсолютную величину
7ІГ ^-1 Р^ 1
тах. „+1 — 2і)(2п'+і)~“8 ’ (я + 1)(2н + 1)"......126
Затѣмъ ап_х опредѣлимъ изъ ур-ія:
2 — — ..............126
I 21 — ап_х
По найденной величинѣ найдется подобнымъ же образомъ
й».-2 и т. Д- ДО «р Въ результатѣ при такомъ разсчетѣ получатся
92
равные моменты отъ Мп+1 до ЛГ2, и только, моментъ вычисляемый
по формулѣ 111, окажется меньше остальныхъ. Послѣ ѳтого можно
придать за счетъ увеличенія нѣкоторое послѣдовательное уменьше-
ніе всѣхъ моментовъ до Мп включительно.
Этотъ пріемъ рѣшенія ур-ій 123 приводитъ къ слѣдующимъ ре-
зультатамъ:
При П = 2 (у арки 4 наклонныхъ тяги и 1 горизонтальная):
«2 = 0,81.7; 6^= 0,45.7
Разсчетные моменты
ЛГ1 = 2И2=ЛГ3 = і^./>Л’...............127.
1 йѴ
При П = 3 находимъ:
«3 = 0,86.7; «2 =0,625.7; ^=0,335.7.
Разсчетные моменты:
^=^,=^=^=-1-.р.г.........................128.
А 4*1
При П = 4 получимъ:
«4 = 0,89 . 7; «з = 0,72 . 7; «2 =0,51 . 7; ах =0,27 . 7;
Разсчетный моментъ
= ..................129.
ооѴ
При П = 5 найдемъ:
«в = 0,91.7; «4 =0,7 6 6. 7; «3 = 0,605 . 7;
«2 =0,425.7; ал =0,22 . 7.
Разсчетный моментъ
.................|3°-
При п = 1, т. е. въ случаѣ арки о трехъ тягахъ, формула І24
даетъ:
что согласно съ формулой 86.
93
По формулѣ 55 въ прямолинейныхъ фермахъ зависимость разсчет-
наго момента отъ числа панелей дана такою:
Пусть
1
ЛГ: ?. 1* = 1Ѵ.
Полагая р =
товъ для прямолинейной
сравнительныя величины сгибающихъ момен-
и арочной фермы, при одинаковомъ числѣ па-
въ такомъ видѣ:
нелей у нихъ, получимъ
Число панелей п = 2 3 4 5
Въ арочной фермѣ □ 60 _1 672 1 1080 1 1584
Въ прямой фермѣ. №=-^- □ 2 1 ~72 1 128 1 200
Эта таблица показываетъ, что при одномъ и томъ же числѣ па-
нелей и тягъ сгибающій моментъ для арочной фермы выходитъ въ
среднемъ въ восемь разъ меньше, чѣмъ для прямолинейной.
Найденныя величины сгибающаго момента опредѣляютъ размѣры
поперечнаго сѣченія арки, которыя выходятъ одинаковыми по всей длинѣ
арки.
Положительный моментъ тах. опредѣляемый по формулѣ 121
для нагруженной стороны арки при отсутствіи (п -|- 1)-ой тяги, по абсо-
лютной величинѣ меньше тах. М'п^ который вычисляется по фор-
мулѣ 119.
При маломъ числѣ тягъ необходимо дѣлать поправку въ выраже-
ніи тах. №'„+1 (въ форм. 119), опредѣляя абсциссу его сѣченія болѣе
точно по форм. 118, а моментъ по форм. 117.
Если н-я тяга проходитъ чрезъ вершину арки, то
ап = /,
и по формуламъ 119 и 121 находимъ
пгах Л/'и+1 = пг(іх\+і = О,
а по формулѣ 116 получаемъ:
94 —
Тогда указанный выше способъ рѣшенія ур-ій 123 не примѣнимъ.
Въ этомъ случаѣ, также для приблизительнаго рѣшенія, съ достаточной
точностію можно положить:
ѵ ,2_
2 2 I — ап_х 3 4 п* ’
опредѣлить отсюда ап_1 и внести его величину въ ур-іе
(«я-і — __ I
(2 I ~ Дя_|) (2 I—«п-г) 2 и *
изъ котораго можно найти а„._2 и т. д. Этотъ способъ рѣшенія ур-ій
123 даетъ:
При п = 2
а, = 0,586-/; «2 = /
тахМ=тахМ, — тахМ, = V. • ~-= К • —•
1 4 4 Іо ’ 4 • 2
При п = 3.
а, = 0,415-/; а2 = 0,74/
’"“ЛГ=Г.Тб-=Г>'4іР'
При п = 4
^=0,32-2; = 0,58 •/; а8=0,81 •/; а4=/.
I I
тахМ=Ѵі- — = Ѵ^~і.
При односторонней нагрузкѣ
Слѣдовательно, въ случаѣ п тягъ, изъ коихъ послѣдняя проходитъ
чрезъ вершину, въ ненагруженной сторонѣ:
1 Р 1
тахМ= — •
16 п1
Въ прямолинейныхъ стропилахъ, каждая половина фермы которыхъ,
разбита на п панелей, для всякой панели (см. форм. 55):
, , 1 д0 •
тах М=-‘ ц а ,
8 яв
гдѣ ЯО = Ч + Р-
95 —
Усилія сжатія.
Усилія сжатія для фермы съ произвольнымъ числомъ тягъ опредѣ-
ляются тѣмъ же путемъ, какъ и въ случаѣ архи съ 3 тягами, въ тѣхъ
сѣченіяхъ, гдѣ имѣютъ мѣсто наибольшіе сгибающіе моменты.
Бъ ненагруженной половинѣ арки сжатіе, вычисляемое для случая
нагрузки, распредѣленной по всему пролету равномѣрно, увеличивается
по мѣрѣ приближенія отъ вершины къ опорѣ, а сжатіе, вызываемое
односторонней нагрузкой, наоборотъ, уменьшается, идя отъ вершины
арки къ ея опорѣ.
Наибольшее сжатіе отъ односторонней нагрузки, вызываемое у
вершины арки, равняется суммѣ горизонтальныхъ слагающихъ натяже-
ній п тягъ и вычисляется по формулѣ 101:
Принимая въ пользу прочности
получимъ:
«,= 2 Г,4=1> ..............'3‘.
т. е. яамбодьшее сжатье отъ дѣйствія односторонней нагрузки на
арку выходитъ такимъ, какимъ оно было бы, еслибы существовала
нагрузка на всемъ пролетѣ съ тою же величиною нагрузки на 1 длины
(см. форм. 1).
Прибавляя къ этой величинѣ и сжатіе отъ нагрузки 21. ц, равно-
мѣрно распредѣленной по всему пролету, полное сжатіе въ вершинѣ
арки отъ обѣихъ нагрузокъ будетъ:
8=(р + я)-^......................132.
При встрѣчаемыхъ въ практикѣ отношеніяхъ между р и д, сжатіе
въ сѣченіи тах. не превзойдетъ величины, опредѣляемой форму-
лою 132.
Сжатіе въ нагруженной части арки больше, чѣмъ въ ненагружен-
ной, но зато тамъ моментъ меньше, и общее суммарное напряженіе
— 96 —
матеріала, при одинаковой величинѣ сѣченія арки на всемъ ея протя-
женіи, въ нагруженной сторонѣ не превзойдетъ его въ ненагруженной
части.
Наибольшее сжатіе у опоры Я, гдѣ моментъ равенъ О, будетъ:
—т; • ОоЗа + 0_ I • 8іп а= |-7, • 1/1+4-С- .... 133,
А / А / V 6
такъ какъ изъ ур-ія 5:
С •
а возлѣ опоры, гдѣ .т=0,
Сводъ данныхъ для разсчета арки съ произвольнымъ числомъ тягъ.
Всѣхъ тягъ—(2п+1), причемъ одна изъ нихъ горизонтальна.
Постоянная нагрузка на всемъ пролетѣ— • 2 /.
Односторонняя нагрузка на полупролетѣ—р • I.
При выборѣ числа тягъ, соединяющихъ каждую половину арки съ
противоположной опорой, можно руководствоваться слѣдующим данными.
і
Длина пролета. ' Число тягъ и.
Не болѣе 3 саж. (6 ті). ' Наклонныхъ тягъ нѣтъ.
Отъ 3 до 5 саж. (до 10 ті).\ 1 тяга.
Отъ 5 до 8 саж. (до 16 2 тяги.
Отъ 8 до 12 саж. (до 24 ті). 3 ,
і
і
При дальнѣйшемъ увеличеніи пролета за 12 саж., на каждыя до-
бавочныя 3 саж. слѣдуетъ прибавлять 1 тягу.
При числѣ тягъ п = или болѣе съ точностію, вполнѣ достаточ-
ною для практическихъ разсчетовъ, величина разсчетнаго сгибающаго
момента можетъ быть опредѣляема по формулѣ:
,, р I* 1
лг= ——• •-----------------•
8 (п + 1)(2 п + 1)
— 97
Натяженіе горизонтальной тяги
и—}) 1 \
0 /Д2"1 4'21—а^'
Натяженіе произвольной наклонной тяги, соединяющей ?и-ый узелъ
съ опорой:
н,а _________________2Л(«т+1 —Д,,-і)________/1 С. Л* .
Соз ат 4/' ' (21 — ат_і)(2І — V ‘ I*
Натяженіе и-ой тяги, смежной съ вершиной арки:
Яя _ Р.Г. 2 /. 2 г — «п — а*-<______1 .. /1 + С. а*.
С<>8 а„ " (21 — 4,0(21 — ап_х) I V
Сжатіе въ вершинѣ арки:
(.Р + Яо) • у
Сжатіе у опоръ арки:
Вѣсъ арочной фермы съ (2п +1) тягами.
Предположимъ, что дуга арки и ея горизонтальная тяга разсчитаны
на равномѣрную нагрузку
т. е. что нагрузка съ величиною р на погонную единицу длины тоже
равномѣрно распредѣлена по всему пролету. При такомъ предположеніи
вѣсъ арки выйдетъ болѣе истиннаго.
Сумму натяженій наклонныхъ тягъ, подъ вліяніемъ односторонней
нагрузки р. I, примемъ равной наибольшей суммѣ горизонтальныхъ сла-
гающихъ всѣхъ тягъ (см. форм. 108), т. е.
Р.І*
2?’
Среднюю длину наклонныхъ тягъ примемъ равною 1,5./, что бо-
лѣе дѣйствительной величины. Тогда вѣсъ н тягъ будетъ:
7
98 —
При такихъ предположеніяхъ, согласно съ формулами 49 и (И),
вѣсъ арочной полуфермы съ п наклонными тягами, получится:
К„ = Ф.[14-М+/у(14-4^]....134.
тт Р 1
Принимая отношеніе =
получимъ:
Ѵ„ = ф. [1.5 +/у(1+4^)|
..135.
Для сравненія вѣса арочной и прямолинейной фермы, возьмемъ
послѣдній для раціональной фермы 2-го класса (см. форм. 47) при
большомъ числѣ панелей, напр., при п = 8, какъ наиболѣе экономич-
ной изъ остальныхъ прямыхъ фермъ. Это сравненіе для арочной фермы
будетъ наиболѣе неблагопріятно.
Принимаемъ, какъ и ранѣе это дѣлали,
7 2,5 ’
г= 1,077:
/3 ~ 1,5
г2=1,16.
Вѣсъ арочной фермы будетъ:
К = д.Г. 1,25 (1,5 + 2,46) = у • д. Г.1,25.3,96 . . . 13<і-
А: Л*
Вѣсъ раціональной фермы 2-го класса при н~8 получится:
этихъ тягъ выходитъ очень незначительнымъ (отъ
Ѵпр. = Т д-Г • 1,25 (2,74 + 2,23) = 7- в. Л 1,25.5,03...137,
т.-е. отношеніе вѣсовъ матеріала, идущаго на сжатіе и растяженіе
арочной фермы и раціональной прямолинейной фермы 2-ю класса при
числѣ панелей 8, равняется почти 4 : 5, т.-е. послѣдняя тяжелѣе
арочной на 25*/*.
Въ отношеніи матеріала, идущаго на сопротивіепіе сгибающимъ
моментамъ, а равно и употребляемаго на соединеніе частей, арочныя
фермы, какъ было показано, значительно легче прямолинейныхъ.
Въ арочныхъ фермахъ съ наклонными тягами, поперечное сѣченіе
3 5
- до -- дм.) и, какъ
о о
99 —
было сказано выше, для соединенія тягъ съ аркою употребляется очень
простое соединеніе, состоящее или изъ болта съ ушкомъ, служащимъ
для помѣщенія загнутаго конца тяги, или изъ простой петли, которою
заканчивается сама тяга, причемъ эта петля проходитъ въ дыру, про-
сверленную въ тѣлѣ арки.
Количество матеріала и работы, расходуемыхъ на такое соединеніе,
очень не велико, и при разсчетѣ вѣса, оно съ избыткомъ покрывается
той прибавкой въ усиліяхъ и длинѣ наклонныхъ тягъ, какая допущена
была при разсчетѣ приблизительнаго вѣса арокъ. Небольшое количество
излишняго матеріала, но зато съ цѣнной работой, расходуется па
издѣліе стяжекъ, служащихъ для стягиванія хордъ послѣ ихъ сборки и,
кромѣ того, часть добавочнаго матеріала идетъ на проволочное желѣзо
для подвѣса тягъ съ цѣлью уничтожить ихъ провисаніе.
Располагая возможностью увеличивать число наклонныхъ тягъ безъ
особаго увеличенія затраты на матеріалъ и издѣлія ихъ, можно значи-
те.іьно уменьшать -сгибающіе моменты и тѣмъ самымъ облегчать вѣсъ
арки.
Изъ предыдущихъ выводовъ ясно видно, что главная выгода арокъ,
по сравненію съ прямоугольными фермами, заключается въ уменьшеніи
сгибающихъ моментовъ. Какъ слѣдствіе такого вывода, является необхо-
димость располагать обрѣшетину, несущую кровельный матеріалъ, по
направ іенію вдоль оси арочной крыши, т.-е. избѣгать прогоновъ, такъ какъ
при употребленіи прогоновъ равномѣрная нагрузка, передаваемая обрѣ-
шетиной, производитъ сгибающіе моменты въ прогонахъ; послѣдніе въ
свою очередь передаютъ аркѣ приходящуюся на нихъ нагрузку, какъ
рядъ сосредоточенныхъ грузовъ, а эти послѣдніе вызываютъ сгибающіе
моменты въ частяхъ арки, лежащей между прогонами. Такимъ образомъ
при употребленіи прогоновъ потребуется опредѣленное количество мате-
ріала, идущее на сопротивленіе сгибающимъ моментамъ. Если-же на-
грузка передается непосредственно на арку (здѣсь говорится о постоянной
нагрузкѣ), то сгибающихъ моментовъ нѣтъ.
Хотя увеличеніе работы при возрастаніи числа тягъ и не особенно
значительно, но принимая въ разсчетъ, что вѣсъ матеріала, идущаго на
сопротивленіе сгибающимъ моментамъ, уменьшается пропорціонально
корню квадратному изъ величины момента, можно найти извѣстный пре-
дѣлъ, далѣе котораго при данномъ пролетѣ увеличивать число наклон-
ныхъ тягъ не представляется экономичнымъ. Для сравненія вѣса ароч-
ныхъ и прямолинейныхъ фермъ, включая матеріалъ, сопротивляющійся
сгибающимъ моментамъ, мы разсмотримъ тотъ случай, когда число тягъ
7*
— 100 —
таково, что величина сгибающаго момента для арки выходитъ прибли*
зительно въ 4 раза меньше сгибающаго момента для прямолинейныхъ
фермъ.
Принявъ это за основаніе сравнительнаго подсчета теоретическаго-
выраженія вѣсовъ, получимъ:
При разстояніи въ 7 фут. между узлами прямолинейной фермы,
вѣсъ матеріала, сопротивляющагося сгибающимъ моментамъ, будетъ
0,022 -28 -7 = 0,154 -I пуд.
Моментъ въ аркѣ, согласно принятому разсчету, будетъ въ 4 раза,
менѣе; слѣдовательно, вѣсъ идущаго на нее матеріала выйдетъ въ 2 раза,
меньше, т-е. онъ будетъ равенъ 0,077 I пуд.
При разстояніи между фермами въ 7 фут. и 7=1 пуд. на 1 кв.
фут., какъ брали это и ранѣе, формула 136 обращается въ такую:
Ѵа = 0,0107 . I1 пуд.
Полный же вѣсъ матеріала, расходуемаго на арку, будетъ
ѵг = 0,0107 . г*4- 0,077.1................,138
Для раціональной фермы 2-го класса вѣсъ опредѣлялся по фор-
мулѣ 65:
= 0,0145 . /2+ 0,25 . I.
Отношеніе Ѵ2 : Ѵх для большихъ пролетовъ выходитъ око іо 1,5.
При малыхъ пролетахъ треугольная ферма строится безъ раско-
совъ, а ферма арочная — безъ наклонныхъ тягъ. По принятому нами
отношенію нагрузокъ сгибающій моментъ для арочной фермы будетъ,
въ 6 разъ менѣе, чѣмъ для треугольной.
Вѣсъ треугольной фермы безъ раскосовъ будетъ
0,0027 . ?*(1 4-1,5 . 1,16) = 0,0074 . /8 пуд.
Вѣсъ матеріала, сопротивляющагося сгибающимъ моментамъ, ві>
треугольной фермѣ былъ взятъ выше
0,022 . I1 пуд.
Полный вѣсъ треугольной фермы будетъ:
(0,00744-0,022) . /*= 0,0294 . 2е.
— 101 —
Вѣсъ арочной фермы безъ наклонныхъ тягъ будетъ
0,0027 . 1*(1 + 1,5 . 1,64) = 0,00924 . I1 пуд.
Вѣсъ добавочнаго матеріала, сопротивляющагося дѣйствію сгибаю-
щихъ моментовъ, получится
0,009 . I2 пуд.,
такъ что полный вѣсъ арки безъ тягъ будетъ
0,01824. I2.
Отношеніе вѣса треугольной фермы безъ раскосовъ къ вѣсу ароч-
ной фермы безъ наклонныхъ тягъ получается равнымъ
294
-182-= ОКОЛО
Слѣдовательно можно принять вообще, что арочная ферма въ 1,5
раза легче прямолинейной.
Въ предыдущихъ сравненіяхъ прямолинейныхъ и арочныхъ фермъ
было выведено теоретическое количество матеріала, необходимаго для
сопротивленія усиліямъ сжатія, растяженія и сгибанія.
Въ главѣ о прямолинейныхъ фермахъ указывалось, что при издѣ-
ліи этихъ фермъ требуется еще добавочный матеріалъ вслѣдствіе того,
что нѣтъ практической возможности придавать каждой отдѣльной части
стропилъ такое именно сѣченіе, которое соотвѣтствовало-бы дѣйствую-
щимъ въ этой части усиліямъ, и размѣры нѣкоторыхъ частей прихо-
дится увеличивать.
Измѣняя размѣры поясовъ при переходѣ отъ одной панели къ
другой, сообразно дѣйствующимъ усиліямъ, прпшлось-бы ставить каждый
разъ накладки; онѣ требуютъ извѣстнаго количества добавочнаго мате-
ріала; но, кромѣ того, онѣ еще и ослабляютъ полезное сѣченіе частей;
вслѣдствіе этого выгоднѣе, въ смыслѣ работы и экономіи вѣса, употреблять
однообразное сѣченіе въ нѣсколькихъ панеляхъ, разсчитанное по наи-
большему усилію.
Въ сплошныхъ аркахъ, сдѣ тайныхъ изъ прокатнаго желѣза, раз-
счетъ вѣса которыхъ былъ сдѣланъ, исходя изъ однообразнаго сѣченія,
такового излишняго матеріала нѣтъ; какъ самая арка, такъ и ея тяги
имѣютъ по всей ихъ длинѣ однообразное сѣченіе, слѣдовательно, въ
практикѣ отношеніе вѣсовъ арокъ и прямолинейныхъ фермъ будетъ еще
выгоднѣе въ пользу арокъ. Но если арка состоитъ изъ 2-хъ поясовъ,
— 102 —
связанныхъ между собою рѣшеткою, или сплошнымъ листомъ, прикле-
паннымъ къ поясамъ, то при ея устройствѣ также получается нѣкото-
рое опредѣленное количество матеріала, не вошедшее въ разсчетъ вѣса;
кромѣ того, издѣліе такихъ арокъ, составленныхъ изъ склепанныхъ ча-
стей, обходится дороже работы прямолинейныхъ фермъ.
Во всѣхъ разсмотрѣнныхъ нами фермахъ поясъ сжатія сопротив-
ляется сжимающимъ усиліямъ, въ зависимости отъ длины его отдѣль-
ныхъ элементовъ панелей, узлы которыхъ разсматриваются какъ за-
крѣпленные концы сжимаемой части пояса.
Чтобы узлы фермъ представляли собою дѣйствительно закрѣплен-
ныя точки, необходимо употреблять продольныя связи — прямыя и
діагональныя — между стропильными фермами. Это особенно необходимо
въ тѣхъ случаяхъ, гдѣ желѣзныя фермы имѣютъ деревянные прогоны
и деревянную обрѣшетину. Въ случаѣ желѣзной обрѣшетины, прикле-
панной къ поясу сжатія фермы, прямыхъ связей ставить не нужно, но
діагональныя соединенія остаются всетаки необходимыми.
Количество матеріала, употребляемаго при деревянной обрѣшетинѣ,
на продольныя и діагональныя связи, составляетъ не менѣе 10 — 15 °Д
общаго вѣса фермъ, въ зависимости отъ пролета стропилъ.
Комбинаціи разстояній между фермами и обрѣшетиной
и величина панели.
Возьмемъ сперва случай желѣзной обрѣшетины. Наивыгоднѣйшій
профиль желѣза будетъ сѣченіе зенп>. Вѣсъ единицы длины этого про-
филя совершенно точно выражается формулою 57. Зависимость между
вѣсомъ и модулемъ для панели или для прогона можетъ быть выражена
тою же формулою.
Пусть обозначаютъ
е — разстояніе между фермами,
а — длина панели,
с — разстояніе, даваемое практикою между двумя обрѣшетинами;
для кровельнаго желѣза, напр., с=или менѣе 1,4 фут.
Сгибающій моментъ для одной обрѣшетины
7 • с • е2
8 ’
а модуль сопротивленія ея
Ч-Г
Вѣсъ одной обрѣшетины будетъ (см. форм. 57).’
е^ = е-0,12^/1Ѵ=д -е2-^..............139.
гдѣ (Г =0,12
Число обрѣшетинъ по длинѣ панели будетъ а : с.
Слѣдовательно, вѣсъ обрѣшетины, лежащей на площади а • е и при-
ходящейся на каждую панель, выразится чрезъ
а • е2
— 104 —
Вѣсъ панели а выразится чрезъ
сі • а\е- •
Общій вѣсъ матеріала, сопротивляющагося дѣйствію сгибающихъ
моментовъ и приходящагося на площадь а • е, будетъ:
/ П • е* , 2
—,^-Г «
а на единицу площади вѣсъ того же матеріала будетъ
ѵ. = г-(± + ±\.................140.
\ \/с уе ’
Это выраженіе показываетъ, что:
1) вѣсъ матеріала въ покрытіи, сопротивляющагося дѣйствію
сгибающихъ моментовъ, отнесенный къ 1 площади покрытія, умень-
шается съ уменьшеніемъ длгіны панели (і и разстоянія между фер-
мами е;
2) практическій т/ІТІ этою вѣса получится тогда, коіда
а = е = С, т.-е. когда обрѣшетины нѣтъ, а разстояніе между фер-
мами равно разстоянію между обрѣшетинами, причемъ ферма раз-
бита по панели длиною С.
Не трудно обнаружить, что и въ случаѣ деревянной обрѣшетины
или сплошной обшивки изъ дерева, въ цѣляхъ уменьшенія вѣса мате-
ріала, необходимо разбивать ферму на большое число панелей и раз-
стояніе между фермами уменьшать до того предѣла, при достиженіи ко-
тораго дальнѣйшее уменьшеніе толщины дерева дѣлается уже невозмож-
нымъ (напр.. толщина обшивки не должна быть менѣе 1 дюйма). Этимъ
условіемъ и выясняется теоретическій предѣлъ при выборѣ разстоянія
между фермами.
Предыдущій выводъ сохраняетъ свою силу и въ томъ случаѣ, если
ввести въ разсчетъ и сжимающія усилія панелей, такъ какъ эти усилія
(а слѣдовательно, и вѣсъ частей) возрастаютъ незначительно съ увели-
ченіемъ числа панелей. Такъ, напр., при переходѣ отъ 8 къ 16 пане-
лямъ (см. форм. 47 и 48) теоретическій вѣсъ пояса сжатія возрастаетъ
пропорціонально
1-1,
н
7 „ . 15
т.-е. съ - коэффиціентъ пропорціональности переходитъ на —, между
о 16
— 105 —
тѣмъ какъ, полагая а = е и уменьшая величину ихъ вдвое, величину
мы измѣнимъ пропорціонально отношенію
2,414 : 1,2.
Достиженіе этихъ наивыгоднѣйшихъ условій выполненія стропиль-
ныхъ фермъ при обыкновенныхъ, употреблявшихся до сихъ поръ въ
практикѣ, конструкціяхъ стропилъ однако совершенно не возможно, ибо,
съ одной стороны, съ уменьшеніемъ разстоянія между фермами, возра-
стаетъ приходящееся па 1 площади покрытія количество матеріала, ко-
торое идетъ на выполненіе стыковъ, а съ другой стороны, съ уменьше-
ніемъ длины панели возрастаетъ число раскосовъ и число связей между
узлами фермъ.
Единственный практически возможный путъ для уменьшенія
размѣровъ €1 и е въ покрытіяхъ заключается въ примѣненіи устрой-
ства с>ъ начатыхъ поверхностей, которыя, при самыхъ
разнообразныхъ условіяхъ въ заданіи, по составленнымъ мною проектамъ
и были построены конторою А. В. Бари на выставкѣ въ Н.-Новгородѣ*).
Разсчетъ такихъ покрытій дѣлается на основаніи изложенной здѣсь
теоріи арочныхъ покрытій.
*) См. описаніе этихъ покрытій—въ журналъ Техническій Сборникъ и Вѣстникъ
Промышленности за 1896 г., въ .V- 5, въ статьт> профессора II. К. Худякова.
Разсчетъ арочныхъ фермъ, принимая во вниманіе
дѣйствіе вѣтра.
Дѣйствіе вѣтра на арочную ферму. Опредѣленіе давленій на ея
опоры.
Окончательныя формулы для разсчета арочныхъ фермъ бы іи полу-
чены изъ общаго анализа въ томъ предположеніи, что односторонняя
нагрузка равномѣрно распредѣлена на протяженіи отъ одной изъ опоръ
до вершины фермы.
Въ примѣненіи общихъ формулъ къ отысканію величины искомыхъ
усилій растяженія, сжатія и сгибающихъ моментовъ не встрѣтится ни-
какихъ затрудненій и при всякомъ иномъ расположеніи равномѣрной
нагрузки. Но кромѣ нея, подъ вліяніемъ дѣйствія вѣтра, арочныя фермы
подвергаются еще дѣйствію и неравномѣрной нагрузки, которая, при
извѣстныхъ условіяхъ, дѣлаетъ необходимымъ постановку добавочныхъ
тягъ, пли вѣтровыхъ.
Дѣйствіе вѣтра обыкновенно разлагается по направленію нормали
и касательной къ разсматриваемой поверхности. Касательная слагающая,
скользя по поверхности, производитъ слабыя усилія, зависящія отъ
тренія воздуха, — дѣйствіе ея настолько не велико, что можетъ быть
не разсматриваемо. Нормальное же усиліе собственно и принимается,
какъ нагрузка отъ дѣйствія вѣтра.
Изъ многихъ практическихъ формулъ, дающихъ выраженіе нор-
мальной слагающей, наиболѣе вѣроятной, хотя дающей и бблыпія ве-
личины, надо считать формулу Лессля *)
р=Рѵ. 8ін а ......................141.
гдѣ рп — давленіе вѣтра на единицу площади, нормальной къ его на-
правленію, и
*) Формула
р =Ро- 8™* а
при направленіи вѣтра подъ угломъ въ 10° къ горизонту даетъ величины давленій,
гораздо меньшія, чѣмъ формула Лессля для угловъ а болѣе 5°.
— 107 —
а — уголъ, образуемый поверхностью съ направленіемъ вѣтра. На-
правленіе сильнаго вѣтра, на который и разсчитываются стропила, надо
принимать горизонтальнымъ. При такихъ условіяхъ давленіе вѣтра на
элементъ дуги параболы въ произвольной точкѣ Е (фиг. 20) будетъ:
Рѵ 8ш а.(І8— р0 . ід а. сіх.
Приближенное значеніе момента этого усилія относительно точки
А, въ случаѣ небольшого подъема, будетъ:
(I М = р0. ід а. х . Лх................142.
Точное значеніе момента
(IДІ — Ръ . Ід а . (I — гі}. Соз а. сіх......143
По свойству параболы
I — Х = .г. + 2/'. у . - Х,
X
слѣдовательно
(ІМ=р~. 8іп а • рН-2 • у-4(2/я — х*)(1—х)] • (Іх...144.
Если бы принять это точное выраженіе момента, пришлось бы
значительно усложнить всѣ послѣдующіе выводы, поэтому мы ограни-
чиваемся здѣсь приближеннымъ рѣшеніемъ, достаточно вѣрнымъ для
цѣлей практическаго разсчета, замѣняя формулу 144 болѣе простою
142-ою. Это тѣмъ болѣе допустимо, что форм. 141 не представляетъ
собою точнаго математическаго выраженія эффекта отъ дѣйствія
вѣтра.
Производимое моментомъ ЛМ давленіе на опору В будетъ:
2/'
2 I. (IѴ2 = р0. ід а.х. (Іх ~Ро — х).х.(1х........145.
V
Интегрированіе этого ур-ія, при измѣненіи х въ предѣлахъ отъ
о до даетъ:
146
7 г Г
— 108 —
Опредѣленіе натяженій тягъ.
Послѣ того какъ найдены давленія на опоры отъ дѣйствія вѣтра,
зависящія, какъ видно, только отъ подъема [ арки, а не отъ пролета
ея, можно будетъ опредѣіить натяженіе всѣхъ тягъ, до Нп_х включи-
тельно, по даннымъ ранѣе формуламъ, внося въ нихъ новое значеніе
К2, которое устанавливаетъ зависимость всѣхъ натяженій тягъ также
отъ тогда какъ при равномѣрной нагрузкѣ этой зависимости не
существовало.
Упомянутымъ въ общемъ анализѣ путемъ опредѣляется натяженіе
всѣхъ тягъ, причемъ каждый разъ измѣняется лишь выраженіе мо-
мента нагрузки относительно разсматриваемой точки.
При отысканіи натяженія Нп надо ввести моментъ нагрузки при
измѣненіи х отъ I до ап относительно узла (# + 1) на фиг. 17. Ве-
личина этого момента будетъ:
2/’ Г /7 ч/ ч , 2/1 (ап— I)*
’Р^*\ (7 я) (# ом) • сіх——
= 2-7,
. . . . 147.
Внося это значеніе момента въ общую формулу, опредѣляющую
Нп (см. выводъ ф-лы 100), получимъ:
2/ — а„_, — а„______(I — <<„)81.. . 8
(2/ «п-і)(2^ — «„) I* ]
^Пн=ѵг.
V
і \
А I* —
. 140.
Такимъ же образомъ^ какъ и ранѣе было указано, могутъ быть
опредѣлены натяженія и всѣхъ остальныхъ тягъ
отъ Ям+1 до Н,п.
Въ случаѣ равномѣрной нагрузки на полупролетѣ, натяженіе всѣхъ
тягъ, имѣющихъ нумеръ (п-}-2) и выше, равнялось нулю (см. форм. 106),
между тѣмъ какъ при неравномѣрной нагрузкѣ, какъ это видно, сколько бы
ни провести тягъ, соединяющихъ половину дуги арки съ ближайшей
опорой, всѣ эти тяги будутъ имѣть натяженіе. Отсутствіе этихъ тягъ
будетъ вызывать добавочный сгибающій моментъ въ нагруженной части
— 109 —
арки; и если общая величина сгибающихъ моментовъ будетъ здѣсь пре-
восходить опредѣленное выбранное значеніе, то для уменьшенія сги-
бающихъ моментовъ необходимо проводить добавочныя вѣтровыя тяги,
число которыхъ, какъ увидимъ ниже, вообще говоря, должно быть менѣе
числа тягъ, идущихъ къ ненагруженной сторонѣ арки.
Въ дальнѣйшемъ необходимо разсмотрѣть опредѣленіе натяженія
произвольной вѣтровой тяги, взявши для этого моментъ силъ относи-
тельно произвольной точки ненагруженной стороны арки.
Предположимъ, что тяга Нп проходитъ чрезъ вершину арки, т. е.
ип = I. Выберемъ за центръ моментовъ произвольную точку т (фиг. 20)
нагруженной стороны арки, опредѣляемую абсциссой Ът относительно
лѣвой опоры, и составимъ по вышеуказанному способу выраженіе Нп
(см. выводъ форм. 100):
г, • [21-Ъш-Ью• “2 (*-*•»>’]=
*- 4Й & (€'п_ 1 -»
= Нп-^-Ьш(1-Ьт)...................150.
Это выраженіе получается изъ общаго, замѣняя тамъ координату ап
узла тяги чрезъ I (относительно правой опоры), а координату ап центра
моментовъ чрезъ Ът (относительно лѣвой опоры). Послѣ алгебраиче-
скихъ преобразованій получимъ:
151.
Слѣдовательно, при ап=1 для опредѣленія натяженій всѣхъ по-
слѣдующихъ тягъ имѣемъ слѣдующее:
2?’ 2? — Ъ
Г ' I1
152.
, г* зг-2&„,
» /’ і
152,а.
Если въ вышеупомянутой точкѣ т съ координатой Ът имѣется
тяга Н„ь, то, разсматривая выраженіе момента относительно центра
моментовъ съ координатой Ьт_}, получимъ общее выраженіе:
Ньт=ѵ2^.^=^.............153.
— по —
Сгибающіе моменты въ аркѣ съ одной горизонтальной тягой (безъ
наклонныхъ).
Въ случаѣ арки съ одной горизонтальной тягой (безъ наклон-
ныхъ), натяженіе ея найдемъ, пользуясь форм. 146:
= .................154.
Моментъ т давленія вѣтра на дугу АЕ (фиг. 20) относительно
точки Е найдемъ, какъ алгебраическую сумму элементарныхъ моментовъ,
выраженіе которыхъ составлено для произвольной точки Б (фиг. 20)
съ абсциссой г такимъ образомъ:
2/1
сила............................................-сіх,
а плечо ея.......................х — г.
Суммируя величины этихъ элементарныхъ моментовъ при измѣне-
ніи 2 въ предѣлахъ отъ о до ж, получимъ:
2/* Г/7 ѵ ч і 2/' І1-*' -И
Ш -р0 • (I — #)(Х — г) • (І2=Ро • ----6 / • • •
Моментъ въ сѣченіи Е (фиг. 20) будетъ:
71/= . х — т — Но. у.
Послѣ алгебраическихъ преобразованій этого ур-ія получимъ:
Наибольшее значеніе М получится при
;Г = -^-(5—^/7) = около 0.4/.
тах М = 0,088 . рп . [.I.................157•
Въ случаѣ прямолинейной фермы, при тѣхъ же данныхъ относи-
тельно дѣйствія вѣтра, и въ той же части арки получимъ:
піах М = і . Рь. /’ • I .............158,
8
— 111 —
т. е. въ параболической аркѣ разсчетный моментъ от7> дѣйствія
вѣтра будетъ въ нагруженной сторонѣ арки въ Iхраза меньше,
чѣмъ въ прямолинейной фермѣ.
Для произвольной точки ненагруженной стороны арки съ одною
горизонтальною тягою будемъ имѣть выраженіе момента:
мх = Ѵі (21 — х) — Но. у, или
- у)...............159.
з
При х = - I получимъ:
тах Мх . рь. /' .1......................160.
Сгибающіе моменты въ аркѣ съ наклонными тягами
Ненагруженная вѣтромъ сторона арки.
Общій видъ выраженій моментовъ тах. Мт въ зависимости отъ
давленія Ѵ2 остается тотъ же самый, который былъ данъ формулой 116.
только значеніе Г2 перемѣняется
1 . 1 .
съ -^р-1 на
и всѣ эти моменты дѣлаются пропорціональными /, подъему крыши,
чего не было при нагрузкѣ, равномѣрно распредѣленной по полупролету.
Нагруженная вѣтромъ сторона арки.
(I. Точки подвѣса тягъ на правой а лѣвой сторонѣ арки распо-
ложены симметрично.
На протяженіи отъ вершины арки до узла (я-|- 1) на фиг. 17,
т.-е. при измѣненіи х
отъ I до ап,
выраженіе момента будетъ писаться такъ (см. форм. 92 и 147):
М^=Мп-Нп. Р. (ЧІ-х}{х-а^-р9 .У.
Послѣ алгебраическихъ преобразованій получимъ:
2.г _ I \
Т 2 1--апГ ‘
161.
— 112 —
На всемъ протяженіи между вершиною арки и узломъ (п + 1) на
фиг. 17 моментъ сохраняетъ отрицательное значеніе, а въ этомъ по-
слѣднемъ узлѣ онъ равенъ нулю.
Наибольшее значеніе этого момента можетъ быть опредѣлено приб-
лиженно, но съ достаточною для практическихъ цѣлей точностію, въ
предположеніи х = 1 подобно тому, какъ это дѣлалось при нагрузкѣ,
равномѣрно распредѣленной на полупролетѣ; тогда
п,ах М’п+1 = ап) №1=^_ -Ч—\ . . . 162.
' I/ и I —
Необходимо, чтобы величина этого момента не превосходила того,
который получается при заданной равномѣрной нагрузкѣ.
Если тяги Нп+1 нѣтъ, то и здѣсь такъ же, какъ и при равномѣрной
нагрузкѣ, сохраняетъ видъ своего выраженія въ предѣлахъ измѣ-
ненія х отъ ап до нуля, причемъ величина момента въ этихъ предѣ-
лахъ остается положительной, а наибольшее его значеніе получится при
ж, опредѣляемомъ изъ ур-ія
с/ ______о
сіх
Оно приводится къ виду.
•г’—/?•«+/= О і
______1 ;
' ЗЛI 2І—ап)\...........................ІвЗ.
Найденную изъ этого ур-ія величину х слѣдуетъ затѣмъ внести
въ форм. 161, тогда и получимъ точное выраженіе тая момента при
данномъ значеніи ап. Но этотъ путь рѣшенія, сопровождаемый цѣлымъ
рядомъ алгебраическихъ выкладокъ, весьма длиненъ. Можно ввести слѣ-
дующія упрощенія:
При значеніяхъ ап, близкихъ или = 2, ур-іе 163 даетъ
Х = 4і ............................164.
□
Эту величину и примемъ для всѣхъ значеній ап, которыя, какъ
извѣстно изъ общей теоріи арочныхъ фермъ, могутъ измѣняться отъ
— 113 —
-- • I,— въ случаѣ одной наклонной тяги, до I — въ случаѣ большого
О
числа тягъ. Тогда по форм. 161 получимъ:
Пшх. Л/„+,^К2 — !'.(з,зз- 1 ). . 165.
4 9 \ / 2 6 -- <і, /
Для болѣе быстрыхъ предварительныхъ разсчетовъ вмѣсто этой
формулы можно пользоваться еще болѣе ^упрощенной 'формулой:
тах. ЛГ„+1== приблизительно И2 • 0,3 ап...........166.
Для сравненія результатовъ вычисленія приводимъ такія данныя:
Если и Величины МпцЛ : • 1, । г Истинное значеніе. По форм. 165.। По форм. 166. 1 „ 0,217 0,213 1 0,20 3 і і : 1 1 0,296 0,296 0,30 і' : мѣетея тяга Н„+], то, начиная отъ точки сч > абсциссой
.!• = ((„ значеніе момента будетъ:
•Л/н+2 — і ' * —
1 1*4-1
---ХнН ^4*4-1 ‘ (^п—1 " %)*
гдѣ х считается отъ опоры А (фиг. 17). Послѣ преобразованій полу-
чаемъ:
Мя^ = 2Ѵі-х((1п~Х)^і~Х)..................167.
V
Величина этого момента между точками съ абсциссами ап и ап_г
отрицательна.
Если тяга Нп+2 отсутствуетъ, то выраженіе. послѣдняго момента
сохраняетъ свой видъ на всемъ протяженіи арки между узлами (>? -ф- 2)
и А (фиг. 17), причемъ знакъ момента измѣняется съ минуса на плюсъ.
8
— 114 —
Нагруженная вѣтромъ сторона арни.
б. Точки подвѣса вѣтровыхъ тягъ расположены несимметрично съ
точками подвѣса тягъ непогруженной стороны.
Опредѣленіе сгибающихъ моментовъ въ нагруженной сторонѣ арки,
имѣющей нѣсколько вѣтровыхъ тягъ, точки привѣса которыхъ располо-
жены несимметрично съ точками привѣса тягъ ненагруженной стороны,
дѣіается такъ же, какъ и ранѣе, т. е. составляя ур-ія моментовъ отно-
сительно выбранныхъ точекъ привѣса тягъ.
Разсмотримъ тотъ случай, когда одна Іізъ вѣтровыхъ тягъ прохо-
дитъ чрезъ вершину с арки (фиг. 20), т. е.ч при опредѣленіи момента,
положимъ ѵ
ам =
въ общей формулѣ, подобной той, изъ которой получилась непосред-
ственно формула 161. Если ближайшая къ вершинѣ тяга будетъ тА
съ координатами точки привѣса ея
1г и Ь ,
т іи»
то сгибающій моментъ въ произвольномъ сѣченіи дуги ст (фиг. 20)
будетъ писаться такъ:
- Нп(21 - х)(1 ~^3,
гдѣ Мп и Нп — величины момента и горизонтальной слагающей натя-
женія тяги при точкѣ с. Послѣ алгебраическихъ преобразованій преды-
дущее равенство обращается въ слѣдующее:
.............168.
Приравнявъ нулю 1-ю производную этого выраженія по с, най-
демъ, что тах момента получится тогда, когда
ѵн и...............
э
При отношеніи I : Ьт, измѣняющемся па практикѣ въ предѣлахъ
отъ 1,25 до 2, выраженіе максимальнаго момента, съ ошибкою менѣе
2°/0, можно представить такой простой формулой:
так.мст=- ...........170.
— 115 —
Пусть слѣдующая точка привѣса вѣтровой тяги будетъ к (фиг. 20)
съ координатами
—1 И
Натяженіе НЬт тяги, идущей изъ узла А въ т (фиг. 20) было
дано формулой 153. Сгибающій моментъ въ произвольномъ сѣченіи
дуги тк будетъ писаться такъ:
• X (Л,м 7?) -
— 2-7 • г, • Ь,“~ Х Ь-т^~ Х...........171.
’ 11
Наибольшее значеніе этого момента, подобно предыдущему, полу-
чится для сѣченія, гдѣ
Хп»к — о - Н “Ь 4" ^ш-1).......^2*
О
Если имѣются лѣвѣе точки к (фиг. 20) еще другія вѣтровыя тяги,
тогда тѣмъ же путемъ будутъ опредѣлены моменты и въ остальныхъ
частяхъ дуги арки, лежащихъ между двумя смежными тягами.
Если же лѣвѣе точки к тягъ болѣе пѣтъ, то и во всей остальной
части дуги, т. е. въ части Ак. выраженіе момента останется то же,
что и между точками т и к, только тах момента будетъ при другомъ
значеніи .т, а именно:
%кА — з (^ні "Н ^ш-1 ^,_]) • . . . 173.
При однообразномъ сѣченіи арки необходимо, чтобы наибольшіе
сгибающіе моменты въ частяхъ ея кА и кт были равны. Это условіе
удовлетворяется при существованіи равенства
^-і=| А...........................П4-
а
Тогда формула 171 приметъ видъ:
>,..» = = 2 V, • х • Ъ-^-Х • .... 175.
V V
8*
—116 —
Наибольшее значеніе этого момента получится:
въ части кт при значеніи
/1 . 1 5,5 ,
'Ц2-|- з)5)— 7
а въ части кА при значеніи
_ /1 1 1,5
7 от.
При этихъ значеніяхъ х, тах момента будетъ
,, „тг 1,5 5,5 2 Ь’
тах.М=±2Ѵ2- ? • ? —
= приблиз. • Ѵі • ~..................176.
Если ту же величину наибольшаго момента удержать и для части
т с, то, на основаніи равенствъ 170 и 176, надо паписать, что:
1 Ѵ Н~ ^>п [I — К ЛНП
10 ' - 1*~ 2‘ 4 А Т >..................
Это ур-іе даетъ приблизительно
і,,--1-.?........................178.
1,41
Принявши это соотношеніе, разсчетный моментъ для всей нагру-
женной вѣтромъ стороны, при двухъ вѣтровыхъ тягахъ (г А и т А), по-
лучимъ въ такомъ окончательномъ -видѣ:
тая. 2И=прибл. -!-• I...................179.
28
Если, кромѣ тягъ сА и т А, будетъ существовать еще тяга кА,
то, аналогично съ предыдущимъ, найдемъ:
г: = 1,78 : 1,41 : 1..............180
и разсчетный моментъ для нагруженной стороны арки
тах, ЛГ = прибл. • И2 • I.............181.
— 117 —
Для предварительныхъ соображеній о числѣ вѣтровыхъ тягъ п
которое надо провести въ нагруженной половинѣ арки, съ достаточною
вѣрностію можно пользоваться слѣдующею приближенною формулою:
тах. М — —~ Ѵ-1........................182.
6 • п\ 1
Число тягъ, идущихъ отъ каждаго опорнаго узла къ дальней и
ближней половинамъ арки.
Вопросъ о числѣ тяіъ рѣшается въ зависимости отъ заданныхъ
нагрузокъ.
При назначеніи данныхъ числовыхъ величинъ для односторонней и
полной нагрузокъ арочныхъ покрытій, надо имѣть въ виду слѣдующее:
Давленіе самаю сильнаго вѣтра (буря) принимается:»
Рь = 125 килогр. на 1 кв. мт.
= 0,7 пуд. на 1 кв. фут.
Слѣдовательно, основное данное для разсчета моментовъ нагружен-
ной стороны давленіемъ будетъ:
если Ѵ2—въ кгр., а —въ мт.
= 0,117 - Г,
если Ѵі—въ пуд., а /’—въ фут.
Эта величина Иа будетъ вычислена примѣнительно къ каждому по-
гонному метру (или футу соотвѣтственно) ширины полосы крыши, пере-
дающей давленіе на стропильную ферму.
Нагрузка отъ снѣга, распредѣленная равномѣрно по всему про-
лету, считается обыкновенно равною
75 кгр. на 1 кв. мт., или
0,42 пуд. на 1 кв, фут.
Неравномѣрное распредѣленіе снѣга по обоимъ скатамъ крыши мо-
жетъ дать одностороннюю нагрузку, величина которой, вообще говоря,
— 118 —
будетъ незначительна. Односторонняя нагрузка снѣга возможна только
въ томъ случаѣ, когда сильный вѣтеръ снесетъ весь снѣгъ съ той сто-
роны крыши, на которую онъ дуетъ.
Такъ какъ цифра 0,42 пуд. на 1 кв. футъ соотвѣтствуетъ накоп-
ленію снѣга за долгій періодъ времени, то нѣтъ вѣроятности предпо-
лагать, что въ теченіе этого долгаго періода времени будетъ падать
снѣгъ въ тихую погоду, и что затѣмъ поднимется вѣтеръ, который
сразу снесетъ весь снѣгъ съ одной стороны, не тронувъ его на про-
тивоположной сторонѣ.
При подъемѣ арокъ, большемъ | ихъ пролета, т. е.
при болѣе ,
□
снѣгъ съ концовъ крыши сползаетъ (уголъ скольженія снѣга считается
около 35°).
Въ случаѣ сильнаго вѣтра, снѣгъ сдувается, какъ съ вершины
арки, такъ и съ той стороны, откуда дуетъ вѣтеръ, такъ что, вообще
говоря, совокупнаго дѣйствія сильнаго вѣтра (особенно урагана) и одно-
сторонней нагрузки снѣга на одну и ту же половину арки быть не
можетъ.
Единственное исключеніе можетъ быть въ случаѣ такъ называе-
маго * мокраго сніьга*, прилипающаго къ крышѣ и наносимаго бурею.
Наибольшая величина такого односторонняго груза можетъ быть около
| полной нагрузки отъ снѣга, т. е.
0,42
ПГ
= 0,14 пуд. на 1 кв. фут.
1
лишь для арокъ, подъемъ которыхъ не превышаетъ - ихъ пролета,
э
Такъ какъ односторонній грузъ снѣга расположенъ на полупро-
летѣ арки равномѣрно, то въ нагруженной сторонѣ онъ не даетъ сги-
бающихъ моментовъ, а моменты ненагруженной стороны будутъ раз-
считываться по добавочной нагрузкѣ (въ пуд.)
* р-1= 0,035 • I,
4
гдѣ I — въ фут.
Слѣдовательно, моменты ненагруженной стороны должны быть
опредѣлены по давленію на опору
Уа = 0,117. Я- 0,035./
— 119 —
на 1 погонный футъ ширины полосы крыши, отнесенной къ одной
фермѣ, если и I — въ фут., а У2 — въ пуд.
Или же
К9 = 21 ./'+ 0,625 .1
на 1 погонный мт, ширины полосы крыши, отнесенной къ 1 фермѣ,
если / и I — въ мг., а И2 — въ кгр.
Для сохраненія однообразныхъ сѣченій въ аркѣ, необходимо, чтобы
разсчетные сгибающіе моменты въ обѣихъ половинахъ арки были равны.
Слѣдовательно, если будемъ обозначать:
н — число тягъ, идущихъ отъ опорнаго узла къ дальней половинѣ
арки, а
нл—къ ближней половинѣ, то должны имѣть:
0,117 . 0,035 . 7 0,117 , (
4 . 6 . п*
тт г 2 1
При / = —, находимъ:
о
..........183.
--= около 1,75.........................184.
Слѣдовательно, число вѣтровыхъ тягъ у арки выходитъ почти въ 2
раза менѣе противъ числа тягъ, соединяющихъ опору съ противополож-
ной половиной дуги; и на практикѣ, даже при самыхъ большихъ про-
летахъ, не приходится ставить болѣе двухъ или трехъ вѣтровыхъ тягъ,
считая въ томъ числѣ и тягу, проходящую чрезъ вершину.
Для большей надежности, имѣя въ виду случайное возможное на-
копленіе снѣга на арочной фермѣ, слѣдуетъ:
1) разсчитывать тяги ненагруженной ея стороны на односторон-
нюю равномѣрную нагрузку, слагающуюся изъ дѣйствія вѣтра, сложен-
наго съ давленіемъ отъ снѣга въ і пуда на 1 кв. футъ;
<5
2) тяги же вѣтровыя должны быть разсчитаны только на дѣйствіе
вѣтра, вовсе не принимая во вниманіе нагрузки отъ снѣга.
На фиг. 21 изображена арочная ферма съ полнымъ числомъ тягъ
при п = 4 и /^=2.
Заключеніе.
Всѣ вышеприведенныя соображенія относительно разсчета арочныхъ
стропилъ были ведены, предполагая существованіе шарнирныхъ соеди-
— 120 —
неній въ мѣстахъ прикрѣпленія тягъ къ дугѣ аріей. Въ дѣйствительно-
сти же арочная ферма представляетъ собою сплошную упругую арку,
почти не ослабленную привѣсомъ тягъ. Но разница между опредѣляе-
мыми по формуламъ и дѣйствительными напряженіями будетъ въ этомъ
случаѣ совершенно аналогична съ таковою же разницею и для прямо-
линейныхъ стропилъ, гдѣ также поясъ сжатія вмѣсто разсматриваемаго
ряда сочлененныхъ шарнирами частей представляетъ собою сплошную
балку. Въ случаѣ сплошныхъ какъ арочныхъ, такъ и прямолинейныхъ
поясовъ, сгибающіе моменты въ частяхъ дугъ и панелей будутъ меньше,
чѣмъ при существованіи шарнировъ. Подробный теоретическій разборъ
разсчета сплошныхъ арокъ съ наклонными тягами потребовалъ бы
весьма сложныхъ выводовъ, которые приведутъ къ конечнымъ форму-
ламъ, скорѣе всего только вѣроятнымъ, чѣмъ вѣрнымъ; а потому го-
раздо надежнѣе будетъ — ограничиться въ разсчетахъ формулами,
основанными на предположеніи, что въ мѣстахъ привѣса тягъ суще-
ствуютъ шарниры.
Примѣненіе вышеприведенныхъ формулъ требуетъ, чтобы одинъ
конецъ фермы могъ свободно скользить по опорѣ, дабы избѣжать до-
бавочныхъ усилій, вызываемыхъ измѣненіями длины частей фермы при
измѣненіяхъ температуры.
При устройствѣ арокъ и ихъ установкѣ необходимо обращать
главное вниманіе на положеніе тягъ. Избыточное натяженіе ихъ можетъ
вызвать появленіе добавочныхъ усилій, па дѣйствіе которыхъ части
фермы не разсчитаны; то же самое можетъ произойти при чрезмѣрномъ
ослабленіи тягъ. Для устраненія возможнаго произвола въ натяженіи
тягъ, полезно употреблять въ этомъ случаѣ для тягь не жесткія стяжки,
а предложенныя нами упругія стяжки.
27 января 1897 г.
Вл. Шуховъ.
Оглавленіе.
Стр.
Отъ вице-предсѣдателя Политехническаго О-ва....................... 3
Отъ автора........................................................ 5
Форма стропилъ.................................................... 7
Прямолинейныя раскосныя фермы.................................... 15
Подраздѣленіе фермъ..................................... —
Фермы 1-го класса.
Опредѣленіе усилій, передающихся на раскосы и тяги въ ж-ой панели. —
Опредѣленіе вѣса ж-ой панели..................................... 19
Наивыгодпѣйіпее расположеніе нижнихъ узловъ фермы................ 20
Сводъ данныхъ для разсчета:
Фермы раціональныя. . . ............................... 22
Англійскія фермы съ вертикальными раскосами—х = 0. ... 26
Фермы съ вертикальными тягами—х = а.............. 28
Фермы 2-го класса.
Раціональныя фермы............................................... 30
Обыкновенныя фермы Полонсо....................................... 33
Сводъ данныхъ для опредѣленія усилій въ частяхъ раціональной и
обыкновенной фермъ Полонсо\
Ферма раціональная..................................... 36
„ обыкновенная...................................... 37
Данныя для сравненія вѣса фермъ 1-го и 2-го класса............... 39
Поправки въ теоретической формулѣ вѣса фермы...........,......... 43
Передача нагрузки на фермы....................................... 44
Опредѣленіе числа панелей фермы.................................. 46
Разсчетъ прямолинейной и параболической фермъ безъ раскосовъ въ слу-
чаѣ дѣйствія сосредоточенной нагрузки....................... 54
Арочныя параболическія Фермы.
Вѣсъ параболической фермы безъ раскосовъ и наклонныхъ тягъ..... 59
Параболическія фермы съ раскосами:
Выгодность замѣны раскосовъ системою наклонныхъ тягъ...... 60
II
Арочныя Фермы съ тремя тягами.
Спгр.
Опредѣленіе натяженій тягъ...................................... 66
Опредѣленіе сгибающихъ моментовъ въ аркѣ и паивы годнѣйшаго распо-
ложенія тягъ............................................... 68
Усилія сжатія для арки съ тремя тягами и съ одной тягой......... 72
Сводъ данныхъ для разсчета параболическихъ фермъ съ одною тягою и
съ тремя тягами............................................ 76
Параболическія Фермы съ произвольнымъ чи-
сломъ тягъ.
Опредѣленіе горизонтальныхъ слагающихъ натяженій тягъ и суммы этихъ
слагающихъ................................................. 78
Опредѣленіе сгибающихъ моментовъ въ сѣченіяхъ арки.............. 86
Опредѣленіе наивыгоднѣйшаго расположенія тягъ арочной фермы и раз-
счетныхъ моментовъ для нея................................. 90
Усилія сжатія .................................................. 95
Сводъ данныхъ для разсчета арки съ произвольнымъ числомъ тягъ.... 96
Вѣсъ арочной фермы съ 2я-|-1 тягами............................. 97
Комбинаціи разстояній между фермами и обрѣшетиной и величина панели. 103
Разсчетъ арочныхъ Фермъ, принимая во внима-
ніе дѣйствіе вѣтра.
Дѣйствіе вѣтра па ферму. Опредѣленіе давленіи на ея опоры..... 106
Натяженія тягъ................................................. 108
Сгибающіе моменты въ аркѣ съ одной горизонтальной тягой......... ПО
„ п „ „ (‘ъ наклонными тягами:
а) Случай симметричнаго подвѣса тягъ на правой и лѣвой
сторонѣ 111
б) Случай несимметричнаго подвѣса.................... 114
Число тягъ главныхъ и вѣтровыхъ................................ 117
Заключеніе..................................................... 119
Замѣченныя опечатки.
Страница. Строка. Напечатано. Слѣдуетъ читать.
16 б снизу расколами. раскосами.
22 3 « — закрыть большую скобку.
25 13 „ ЯІ
26 3 Ж — = и т. д.
54 7 сверху опоры отъ опоры
69 3 снизу ур-іе 82 ур-іе 81,а.
— — Табл. 2, фиг. 16—уголъ при точкѣ Р между каса- тельной и горизонталью = /9.
73 6 снизу По формулѣ 87 По формулѣ 78
2 сверху оп горизонтали по горизонтали
80 6 „ . ах.
83 3 снизу ординатами координатами
93 3 П — тах М%4-1 = 0.
94 6 сверху Въ 1-й скобкѣ знаменателя должно стоять он-і
•(.-----------------------------—.........-...............-......я I -і............................................................. -----.......
Іс,................................................................... >І«-....................-.........-......... -------------------