/
Автор: Баклицкий В.К. Бочкарёв А.М. Мусьяков М.П.
Теги: компьютерные технологии радиолокация обработка сигналов аэронавигация
Год: 1986
Текст
МЕТОДЫ
ФИЛЬТРАЦИИ
СИГНАЛОВ
в корреляционно
экстремальных
системах навигации
МЕТОДЫ
ФИЛЬТРАЦИИ
СИГНАЛОВ
в корреляционно
экстремальных
В.К.БАКЛИЦКИИ, А.М.БОЧКАРЕВ, М.П.МУСЬЯКОВ
В.К. БАКЛИЦКИЙ, AM БОЧКАРЕВ, М.П.МУСЬЯНОВ
МЕТОДЫ
ФИЛЬТРАЦИИ
СИГНАЛОВ
в корреляционно-
экстремальных
системах навигации
(g) .
Москва
-«Радио и связь»
198$
ББК 32.95
Б 19
УДК 681.39Ш0.031:т(Г
Рецензенты: чл.-кор. АН СССР А. А. Красовский, д-р.
техн, наук профессор В. 17. Тарасенко
Редакция литературы по конструированию и технологии
РЭА
Баклицкий В. К. и др.
Б 19 Методы фильтрации сигналов в корреляционно-
экстремальных системах навигации/ В. К. Баклиц-
кий, А. М. Бочкарев, М. П. Мусьяков; Под ред.
В. К. Баклицкого — М.: Радио и связь, 1986,—
216 с., ил.
Рассмотрены наиболее распространенные методы обработки про-
странственно-временных сигналов. Основное внимание уделено мето-
дам реализации оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов филь-
трации радиолокационного и оптического полей. Рассмотрена воз-
можность построения распознающей системы на основе совокупности
фильтров корреляционно-экстремального типа. Приведены способы го-
лографической обработки.
z Для инженерно-технических работников, занимающихся иссле-
дованием и проектированием радиотехнических и оптических систем.
„2402020000—045
Б----------------76-86
046(01)-86
ББК 32.95
© Издательство «Радио в связь», 1986
Предисловие
Корреляционно-экстремальные системы навигации
(КЭСН) — это наиболее совершенные системы обработки
информации, которые позволяют автоматически управлять
движением объекта по заданной траектории. Принцип ра-
боты КЭСН основан на сравнении изображения земной по-
верхности или совокупности ориентиров — текущего изо-
бражения (ТИ) с эталонным изображением (ЭИ), полу-
ченным заранее. Рассогласование положения ТИ и ЭИ в
принятой -системе координат позволяет сформировать
команду для удержания объекта управления на заданной
траектории. Текущее и эталонное’ изображения формиру-
ются с помощью различных искусственных и естественных
физических полей. В качестве таких полей могут быть ис-
пользованы оптическое, радиолокационное, радиотепловое,
м-агнитное, гравитационное и другие поля. Например, на
подвижном объекте с помощью бортового локатора полу-
чают текущее радиолокационное изображение земной по-
верхности, которое затем сравнивается с таким же изобра-
жением, полученным заранее и соответствующим движе-
нию подвижного -объекта по требуемой траектории. Сте-
пень отклонения подвижного объекта от этой траектории
характеризуется взаимным положением указанных радио-
локационных изображений, т. е. их смещением относитель-
но друг друга. Это смещение, переведенное на язык
команд, используется так, чтобы вернуть объект навигации
на заданную траекторию. КЭСН, реализующие такой прин-
цип работы, принято называть беспоисковым. Следующий
пример позволяет судить о так называемых поисковых си-
стемах. Представим себе, что на борту подвижного объек-
та имеется набор ЭИ, соответствующих всем его возмож-
ным положениям в процессе полета. Каждое из этих ЭИ
привязано к выбранной системе координат. Если ТИ, по-
лученное в процессе полета, сравнить путем перебора с
имеющимися ЭИ, то по максимальному совпадению ТИ и
одного из ЭИ можно судить о положении подвижного объ-
екта.
3
Сравнение ТИ и ЭИ — это сравнение посредством
функционала, последний принимает экстремальное значе-
ние при совпадении положений ТИ и ЭИ. Из теории изве-
стно, что при некоторых ограничениях таким функциона-
лам является взаимная корреляционная функция. При
совпадении ТИ и ЭИ она должна достигать максимально-
го значения, а ее производная минимального. Поэтому си-
стемы, использующие этот принцип, и получили название
корреляционно-экстремальных [1, 2].
Поскольку получение взаимной пространственной кор-
реляционной функции на борту объекта навигации пред-
ставляет большие -технические трудности, разработаны
различные упрощенные варианты приближенного пред-
ставления этой функции. А так как пространственная кор-
реляционная функция однозначно определяется спектром
пространственных частот изображений, принцип корреля-
ционно-экстремальной обработки реализуется с помощью
различных алгоритмов пространственно-частотной обра-
ботки. Эти алгоритмы в той или иной мере связаны с по-
лучением пространственной взаимной корреляционной
функции ТИ и ЭИ, т. е. определяют возможности осуще-
ствления способов .корреляцибнно-экстремальной навига-
ции.
Идеи о корреляционно-экстремальной обработке сигналов в своих
первоначальных вариантах возникли довольно давно. Так, в 1944 г.,
т. е. задолго до решения задачи оптимальной фильтрации пространст-
венных сигналов, в США был предложен способ определения местопо-
ложения самолетов-бомбардировщиков, совершающих многократные по-
леты к . цели по одному и тому же маршруту [9]. Во время первого
полета картина подстилающей поверхности, получаемая на экране бор-
товой РЛС, фиксировалась с помощью кинокамеры. В последующих по-
летах это изображение местности (оно считалось эталонным) н текущее
радиолокационное изображение проектировались на полупрозрачное
зеркало. Для полета по заданному маршруту летчик должен управлять
самолетом так, чтобы изображения совпадали. Система предназнача-
лась для обеспечения навигации ночью и в сложных метеоусловиях и,
по сути дела, представляла собой первую полуавтоматическую РЛС,
в которой операция сравнения выполнялась человеком. В 50-х гг. было
опубликовано несколько вариантов автоматических КЭСН, основное
различие которых заключалось в способах реализации корреляционно-
экстремальной обработки в устройствах сравнения. Например, было
предложено «устройство для сравнения карт» на графиконе [10], прин-
цип действия другого корреляционного устройства состоял в том, что
световой поток, пропущенный через два негативных изображения, при-
нимал минимальное значение при полном совмещении изображений
[И]. В 40—50-х гг. в США разрабатывалась радиолокационная КЭСН
для наведения ракет «Матадор» и «Мэйс» [46]. В качестве преобразо-
вателя (датчика) ТИ использовалась РЛС переднего обзора с сектором
+60° по азимуту. Текущее изображение поступало на ЭЛТ и оптически
проектировалась на 35-мм кинопленку ЭИ. Совмещение изображений
осуществлялось автоматически с помощью механического перемещения
4
Оптических линз по двум взаимно перпендикулярным осям. Эталонное
изображение получалось с помощью топографических карт. Серьезным
недостатком такого электромеханического устройства корреляции были
сложность и ненадежность. Определенный прогресс был достигнут бла-
годаря применению запоминающих ЭЛТ. Однако механическое переме-
щение линз оказалось препятствием на пути широкого внедрения этой
КЭСН.
Развитие элементной базы, создание нового поколения ЭВМ и воз-
можность построения на их базе различных систем фильтрации про-
странственно-временных сигналов позволили в 60-х гг. приступить
к проектированию КЭСН самых различных типов. Наиболее известными
из них являются поисковые КЭСН по полю рельефа TERCOM и маг-
нитометрическая MAGCOM, радиолокационные КЭСН RADAG и ROG,
оптические SMAC и OMFAC, радиотепловые RAC и MICPAD [13].
Однако развитие технических средств само по себе не
могло обеспечить широкий фронт работ по реализации кор-
реляционно-экстремальной обработки сигналов. Несомнен-
но, основное значение имели успехи в теоретических иссле-
дованиях этих систем. Важный вклад- в теорию КЭСН
внесли советские ученые А. А. Красовский и В. П. Тарасен-
ко, предложившие корреляционно-экстремальные методы
навигации по геофизическим полям Земли и радиолокаци-
онному изображению земной поверхности. Идеи, .положен-
ные в основу этих методов, получили развитие в трудах со-
ветских ученых [1—4]. В 1979 г. вышла фундаментальная
монография [1], подводившая итог почти 20-летнего раз-
вия теории КЭСН. Основное внимание в этой работе уделе-
но КЭСН, построенным на базе оптимальной калмановской
фильтрации временных процессов. В начале 80-х гг. теория
дополняется разработкой методов оптимальной фильтрации
пространственных и пространственно-временных сигналов,
которые позволили окончательно определить корреляцион-
но-экстремальные алгоритмы беспоисковых КЭСН [2,
6—8].
Основное внимание в книге уделяется анализу различ-
ных методов квазиоптимальной фильтрации корреляцион-
но-экстремального типа пространственных сигналов, полу-
чивших наиболее широкое распространение. Масть этих
методов описана' в зарубежных публикациях.
В гл. 1 приводится краткое описание алгоритмов опти-
мальной фильтрации временных и пространственно-времен-
ных процессов. Эти алгоритмы в основцомлзвесткы, одна-
ко их последовательное изложение и краткий сопостави-
тельный анализ способствует, по мнению авторов, лучше-
му усвоению квазиоптимальных методов корреляционно-
экстремальной обработки сигналов, реализуемых на прак-
тике. Большое внимание уделяется так называемой фазо-
5
вой фильтрации, не являющейся строго оптимальной, но
имеющей ряд преимуществ перед классическими методами.
Рассматриваются различные способы сокращения вычисле-
ний при реализации квазиоптимальных алгоритмов и воз-
можные методы компенсации искажений используемых
пространственных сигналов. В заключительной главе при-
водятся сведения по оптическим корреляторам, широко
применяемым при обработке пространственных сигналов.
Главы 1—3 написаны совместно В. К. Баклицким и
А. М. Бочкаревым. Глава 4 и § 1.5 написаны М. П. Мусья-
ковым.
Пожелания и предложения по содержанию книги мож-
но направлять в адрес издательства «Радио и связь»:
101000, Москва, Почтамт, а. я. 693.
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ
СИГНАЛОВ
1.1. Краткие сведения о типах навигационных полей
и методах их воспроизведения
Основной принцип работы корреляционно-экстремаль-
ных систем навигации (КЭСН) заключается в следующем.
Для определения местоположения объекта навигации на
его борту в плоскости наблюдения формируется изображе-
ние совокупности ориентиров (текущее изображение—ТИ),
относительно которых происходит движение. Изображение
этих же ориентиров, полученное в предположении, что дви-
жение происходит по заданной траектории, строится зара-
нее и называется эталонным (ЭИ). Текущее изображение
сравнивается с эталонным, при этом рассогласование в по-
ложении совокупности ориентиров на плоскости наблюде-
ния в том и другом случаях служит мерой отклонения объ-
екта навигации от заданной траектории. Напомним, что
под плоскостью наблюдения понимается некоторая область,
в принятой системе координат. Понятие плоскости наблю-
дения в одних случаях довольно наглядно, в других носит
относительный характер. Так, при использовании оптиче-
ских систем под плоскостью наблюдения понимается фо-
кальная плоскость оптического, приемника, тогда как при
формировании ТИ и ЭИ в виде совокупности отсчетов под
плоскостью наблюдения может пониматься область воз-
можных значений таких отсчетов, привязанная в заданной
системе координат.
Совокупность используемых при решении задачи нави-
гации ориентиров (в том числе область земной поверхно-
сти при навигации летательных аппаратов (ЛА), изобра-
жения звездного неба и т. п.) наблюдается, как правило,
на фоне мешающих отражений и при помехах различного
происхождения. Поэтому эффективность решения навига-
ционной задачи определяется качеством ТИ, т. е. качест-
вом фильтрации полезной части ТИ, несущей информацию
о выбранной для такого решения совокупности ориенти-
ров. '
То, что методы пространственной фильтрации во мно-
го^ определяются . физической природой используемого
7
сигнала, очевидно. Поэтому прежде чем перейти к описа-
нию этих методов, целесообразно провести краткий анализ
пространственных сигналов или полей.
Вообще говоря, в качестве источника, несущего сведе-
ния о положении объекта навигации относительно наблю-
даемого участка земной поверхности либо совокупности
каких-либо других ориентиров (например, звезд), может
служить любое поле, получаемое измерением характери-
стик указанных ориентиров. Такие характеристики, систе-
матизированные определенным образом, могут составить
поле как текущего, так и эталонного изображений. Одна-
ко целесообразно все же остановиться на описании тех
систем пространственной фильтрации (корреляционной об-
работки), которые находят наибольшее применение.
По типу формирования сигнальные поля могут быть
разделены на естественные и искусственные. К естествен-
ным полям относятся аномальное магнитное, гравитацион-
ное поля и поле рельефа (так условно определяется поле,
образованное совокупностью отсчетов рельефа земной по-
верхности), оптическое, тепловое и радиотепловое поля,
являющиеся следствием освещенности земной поверхности
Солнцем, Луной и звездным небом, тектонической деятель-
ности Земли, неодинаковой излучательной способностью
различных неоднородностей земных покровов и местных
предметов, а также поля, порождаемые деятельностью че-
ловека. В последнем случае термин «естественное поле»
несколько условен, поскольку такое поле (не являющееся
результатом целенаправленной деятельности человека)
точнее назвать «вторичным неорганизованным тепловым
полем».
К неорганизованному--полю относится также поле ра-
диосигналов, образуемое излучением различных связных,
радиолокационных и других систем. Это поле является, так
сказать, побочным следствием их функционирования. Кста-
ти, и аномальное магнитное поле частично является вто-
ричным неорганизованным, поскольку его характер может
определяться искусственными сооружениями с большим
включением стальных конструкций (крупный мост, плоти-
на и т. п.).
К искусственным полям относятся поля, образующиеся
при переотражении энергии, направляемой на1 объект на-
блюдения преднамеренно. Такие поля формируются в ре-
зультате облучения земной пове’рхности радиолокационным
передатчиком, лазерным устройством, облучением дна во-
доема с помощью ультразвука и т. п.
Приведенные типы полей обладают различными харак-
8
терйстиками. которые и опре- s,
деляют способ той или иной об-
работки (фильтрации) сигнала.
Кроме того, на способ обра-
ботки существенно влияет тип Х/\/\ £.
преобразователя (датчика), \
с помощью которого наблю- \к
дается сигнал. Поясним это
подробнее.
Как известно, обзор на- Рис 1Л
блюдаемого ориентира или со-
вокупности ориентиров с борта объекта навигации может
быть либо последовательным, либо параллельным. Напри-
мер, в самолетных радиолокационных навигационных си-
стемах обзор наблюдаемого участка поверхности и постро-
ение его изображения большей частью осуществляется ска-
нированием антенны, т. е. последовательным перемещени-
ем ее. При этом в каждый момент времени площадь на-
блюдаемого элемента земной поверхности определяется
шириной диаграммы направленности (ДН) антенны. Та-
кая развертка частично может быть реализована за счет
движения самолета и сканирования антенны перпендику-
лярно траектории его движения (рис. 1.1). Примером па-
раллельной обработки может служить многоэлементный
оптический приемник (матричный приемник), в котором
изображение наблюдаемого объекта строится мгновенно.
.Очевидно, что в первом случае пространственное изобра-
жение трансформируется во временной сигнал, тогда как
во втором случае приходится иметь дело с пространствен-
ным изображением объекта наблюдения. Понятно, что ме-
тоды корреляционной обработки изображения в каждом из
этих случаев будут разными.
Что касается влияния типа датчика поля на способ об-
работки сигнала, то речь идет о следующем. Возьмем, к
примеру, радиолокационный сигнал. Такой сигнал, как пра-
вило (за исключением сверхширокополосной радиолока-
ции), представляет собой относительно узкополосное коле-
бание, прием которого осуществляется с помощью резо-
нансных относительно узкополосных систем (антенн и ли-
нейных трактов приемного устройства).
Точность воспроизведения наблюдаемого участка зем-
ной поверхности (разрешающая способность) определяет-
ся длиной волны радиолокационного сигнала и параметра-
ми приемного устройства (прежде всего шириной ДН ан-
тенной системы). В сантиметровом диапазоне волн разре-
шающая способность бортовых радиолокаторов составляет
9
сотни метров, в миллиметровом диапазоне — десятки ме*
тров [13].
Акустические сигналы представляют собой, как извест-
но, механические колебания. Однако методы их обработки
близки к методам обработки радиолокационных сигналов,
поскольку датчик акустического поля трансформирует аку-
стические колебания в электромагнитные, подобные радио-
локационному видеосигналу. Оптический сигнал (за исклю-
чением лазерного и теплового оптического излучения га-
зов) представляет собой набор множества монохроматиче-
ских колебаний в короткой части электромагнитных волн
(от долей до единиц микрометров), прием которых с по-
мощью резонансных элементов представляет собой слож-
ную техническую задачу.
Основным типом приемного устройства в оптическом
диапазоне является детектор оптического излучения или
интегральный приемник [14]. Существо работы такого при-
емника построено на способности некоторых веществ пре-
образовывать сигналы лучистой энергии в электрические
сигналы. Способы построения оптических приемных
устройств могут быть разными, от приемника, в котором
чувствительный элемент помещается в фокусе вогнутого
зеркала, до многоэлементного, в котором чувствительные
элементы расположены в виде матрицы, образующей пло-
скость изображения наблюдаемого объекта. В силу малой
длины волн электромагнитных колебаний разрешающая
способность навигационных оптических систем достигает
единиц метров.
Лазерные сигналы отличаются от обычных оптических
сигналов тем, что они монохроматичны и допускают воз-
можность когерентной обработки. Это определяет более
высокую помехоустойчивость приемников лазерного излуче-
ния по сравнению с обычными [14].
Радиус корреляции геофизических полей (магнитного и
.гравитационного) зависит от высоты, на которой они на-
.блюдаются. Но даже на малых высотах он достигает вели-
чин сотен метров [15]. Кроме того, в настоящее время не
существует способов построения геомагнитного поля на
борту объекта навигации в виде пространственного сигна-
ла, подобного, например, оптическому, когда такой сигнал
представляется на плоскости наблюдения в виде функции
.оптического контраста от координат. Существующие дат-
.чики геофизических полей позволяют измерять поле в точ-
ке, соответствующей положению объекта навигации в мо-
мент измерения. Совокупность таких дискретных отсчетов,
произведенных в процессе движения, позволяют сформиро-
10
вать некоторую функцию. Эта функция соответствует сече*
нию геомагнитного поля плоскостью, совпадающей с тра-
екторией движения объекта навигации (рис. 1.2). Сравни-
вая полученную таким образом реализацию (образующую
ТИ) с реализациями, соответствующими возможным вари-
антам движения и привязанным к выбранной системе коор-
динат, можно определить местоположение объекта навига-
ции [Ц. Очевидно, что методы фильтрации ТИ в этом слу-
чае должны отличаться от методов фильтрации простран-
ственных сигналов, получаемых в оптическом или радиоло-
кационном диапазонах электромагнитных колебаний.
Текущее изображение рельефа земной поверхности фор-
мируется за счет периодического измерения высоты полета
ЛА. Если речь идет о решении навигационной задачи при
движении по водной поверхности, измеряется глубина. И в
' том, и в другом случае за счет движения объекта навига-
ции ТИ представляется в виде временной функции. Обра-
ботка такой функции подобна обработке временных реа-
лизаций, получаемых при наблюдении геофизического поля.
Таким образом, методы обработки пространственных
сигналов или полей могут быть разделены на пространст-
венные, пространственно-временные и временные.
При пространственных методах обработки (пространст-
венной фильтрации) каждая операция по выделению эле-
ментов, составляющих изображение, производится в один
момент времени. Другими словами, элементы изображения
обрабатываются не последовательно один за другим, а все
вместе, т. е. параллельно. Поэтому пространственные ме-
11
тоды фильтрации являются частным случаем параллель-
ной обработки информации. Пространственные методы
фильтрации используют в том4 случае, когда датчиком
являются матричные (мозаичные) приемные устройства,
особенно распространенные в оптике. В инженерной прак-
тике такие системы часто называют растровыми (от слова
«растр», обозначающего в электронике прямоугольную раз-
вертку на экране ЭЛТ).
Пространственно-временные методы отличаются тем,
что часть изображения обрабатывается параллельно,
часть — последовательно. Примером тому может служить
система, условно изображенная на рис. 1.3. Оптическое
изображение наблюдаемого участка земной поверхности
строится с помощью мозаичного линейного датчика (чувст-
вительные элементы такого датчика размещены в виде ли-
нейки), расположенного по нормали к строительной оси
ЛА. Таким образом, изображение строится за счет смеще-
ния строки растра, формируемой на выходе приемника.
Для временных методов характерны последовательные
во времени способы обзора наблюдаемого изображения.
’Такие способы реализуются путем сканирования поля зре-
ния (диаграммы направленности) датчика. Обзор наблю-
даемого участка может производиться различным образом
(например, по спирали, по типу построчно-кадровой раз-
вертки изображения, за счет движения объекта навигации
при измерении значения поля «в точке» и т. п.). Однако во
всех случаях наблюдаемое изображение представляется в
виде временной функции. Временной метод обработки про-
- Таблица 1.1 странственных изобра- жений принадлежит к ме- тодам последовательной обработки информации, поскольку каждый эле- мент изображения стро- ится последовательно во времени. В табл. 1.1 приведе- ны рассмотренные типы обработки пространст- венно-временных сигна- лов применительно к ос- новным физическим по-
Тип используе- мого поля Метод фильтрации
Геофизическое Временной
Оптическое Пространственный Пространственно- временной Временной
Радиолокацион- ное Пространственно- временной Временной
Радиометричес- кое (радиотепло- вое) Пространстве нно- времеинбй Временной лям, используемым на практике. Следует отметить, что приведенная схема при-
ча
менения методов обработки носит приближенный харак-
тер и отражает скорее предпочтительность того или иного
метода в конкретном случае используемого физического
поля.
Дело в том, что развитие технических средств полу-
чения ТИ позволяет реализовать такие методы обра-
ботки, которые трудно отнести к перечисленным выше ти-
пам. Например, в оптико-электроцных системах широко
используется смешанная система сканирования области на-
блюдения с последующим построением матричного изобра-
жения. Элемент изображения наблюдаемого объекта в такой
системе с помощью инфракрасного объектива проектирует-
ся на внешнюю плоскость зеркала, которое переотражает
оптический сигнал на элемент матрицы чувствительного'
приемника. Выходной сигнал'каждого элемента приемника
после усиления управляет отдельным фотодиодом индика-
торного устройства. Внешняя плоскость зеркала использу-
ется, таким образом, для сканирования теплового изобра-
жения, а внутренняя — для формирования в плоскости
фотодиодов видимого изображения. При быстром сканиро-
вании зеркала из-за инерционности фотодиодов такое изо-
бражение может обрабатываться параллельным методом.
1,2, Основные положения теории оптимальной
фильтрации временных сигналов
Как уже отмечалось, временной или последовательный
метод обработки пространственных сигналов основан на
преобразовании поля во временной сигнал с его последую-
щей фильтрацией. Решение задач навигации, т. е. определе-
ние местоположения объекта навигации, ведется в услови-
ях неопределенности. Эта неопределенность создается сле-
дующими основными факторами: мешающим наблюдению
случайным фоном; внутренним шумом датчика поля; слу-
чайными возмущениями, действующими на объект навига-
ции при его движении; неточным знанием места располо-
жения подлежащих наблюдению ориентиров. Помехи, соз-
даваемые мешающим фоном и внутренними шумами датчи-
ка поля, принято называть сигнальными возмущениями;
возмущения, действующие на объект навигации, называ-
ются прямыми [2]. Неточное знание положения ориенти-
ров, т. е. относительного положения объекта навигации,
принято относить к априорной неопределенности, имею-
щейся к началу измерения его координат.
В результате указанных причин можно говорить только
о некоторой оценке координат объекта навигации, получае-
13
мой тем или иным образом. В случае, когда оценка явля-
ется наилучшей в некотором определенном смысле, она
носит название оптимальной. Таким образом, при навига-
ции основной задачей является получение оптимальной
оценки координат объекта навигации по информации, за-
ключенной в сигналах различной физической природы.
Формирование оптимальных оценок осуществляется так.
Предположим, что имеется информация об интенсивности
и характере прямых и сигнальных возмущений и характере
движения объекта навигации. Тогда, основываясь на изме-
рениях, имеющихся к данному моменту, можно получить
наиболее правдоподобные оценки его координат. Процесс
получения таких оценок называется фильтрацией.
Рассмотрим основные положения теории оптимальной
фильтрации в рамках байесовского подхода к принятию
решений при наличии неопределенности. Сигнал наблюде-
ния, или просто — наблюдение, в общем виде запишем
как
r=Q(A, п). (1.1)
Здесь г — m-мерный вектор наблюдения; Л — п-мерный
вектор параметров координат объекта; п — Z-мерный век-
тор шума (ZsCm).
Физическое соотношение, определяющее полезный сиг-
нал и сигнальный шум, предполагается заданным. При
байесовском подходе считается также заданной плотность
вероятностей совместного распределения да (Л, п). Все, что
можно узнать о составляющих вектора параметров Л после
наблюдения, заключено в условной плотности да(А/г) —
апостериорной плотности распределения вероятностей век-
тора Л. Другими словами, эта плотность содержит всю ин-
формацию, которая может-быть использована для оценки.
Согласно теореме Байеса
w (Л/г)=даря (Л) = дарг(Л)'да(г/Л),/да (г), (1.2)
где дар5(Л) — апостериорная плотность вероятностей;
да (г/Л) — условная плотность вероятностей, описывающая
статистику сигнала наблюдения; дарг(Л) — априорная
плотность распределения вероятностей.
Условное распределение вероятности да (г/Л), рассма-
триваемое в качестве функции Л, называется функцией
правдоподобия S’(Л). Она содержит сведения о статистике
выборочных значений сигнала наблюдения, которые обра-
батываются для формирования оценки вектора параметров
координат объекта Л*. При фиксированных значениях сиг-
нала наблюдения функция правдоподобия дает возмож-
14
ЙОсТь судить, какое из значений Л являетсй наиболее веро-
ятным.
При формировании оценки вектора параметров Л* есте-
ственно стремиться к наилучшей ее форме, т. е. к опти-
мальной оценке. Оптимальность оценки понимается в соот-
ветствии с выбранным критерием оценивания. Не касаясь
подробно вопросов о порядке выбора критериев, остановим-
ся на трех наиболее распространенных типах.
1. Критерий максимума апостериорной плотности рас-
пределения вероятностей wps(A.), При таком критерии ма-
ксимизируется вероятность того, что Л=Л*. Решение Л*=
=мод= Wpa(A) называется наиболее вероятной оценкой
или безусловной оценкой по методу максимума адр8(Л)
(если распределение-одномодово).
2. Критерий минимума среднего значения квадратичной
формы меры, т. е. минимума <(Л—Л*)ТО(Л—А*)>, (угло-
вые скобки означают статистическое усреднение), где О —
положительно определенная матрица, вводимая из практи-
ческих соображений' для приписывания весов составляю-
щим вектора погрешностей ДА—А—А*. Максимум апосте-
риорной вероятности совпадает с минимумом квадратичной
формы меры при некоторых (в частности, нормальных)
распределениях. Решение А*=<Л/г> является оценкой по
минимуму дисперсии. Оно обеспечивает минимальную ши-
рину апостериорного распределения.
3. Критерий, при котором минимизируется среднее зна-
чение абсолютной погрешности. Решение, соответствующее
этому критерию, записывается в форме: А*=Ме wps (Л/г).
Желающим подробнее ознакомиться с выбором и обосно-
ванием критериев оптимальной фильтрации можно реко-
мендовать, например, [16—18].
В качестве иллюстрации нахождения оптимальной оцен-
ки рассмотрим частный случай линейного уравнения (1.1),
полагая для простоты рассматриваемые величины постоян-
ными во времени
г=НА+п; (1.3)
w(A, п) — нормальная плотность . распределения вероят-
ностей; w (А, п)=ад (А) ад (и); <А>=А0; Ао — матрица ко-
вариаций А;
<п> —0; <nnT> = N; N
Л\ . . .0
0.’. -Nm
Вследствие аддитивной помехи плотность .распределе-
15
ния w (г) нормальна с <г>=НД,0 и матрицей ковариаций
HA0HT-|-N. Нетрудно убедиться, что в этом случае апосте-
риорная плотность распределения вероятностей в соответ-
ствии с (1.2):
w (Л)- |HA0H-+N|'/2
(2n)m/2| N p/2 I A0|’/2 X
X exp | - -±- [(A - A0)T (N-1 + HW -H) (A - A,)] +
+ rT [N-1 - (HA0HT + N)-1] r — rTN-*H (A — Ao) —
-(A-A0)TjlTN-lr
(1-4)
где символ «т» означает транспонирование. •
Введем следующие обозначения:
A*=Afl4-KH’N-i(r—НА); (1.5)
K=(A0-I+HTN-iH)-1, (1.6)
Раскрывая скобки в показателе экспоненты (1.4) и исполь-
зуя выражения (1.5), (1.6), имеем
w (Л)= ..IHAoHr + N|'/2__
PS- (2K)m/2|Aop/2|N|l/2
хехр { (А “ Л<7' к " (Л ~
(1.7)
Поскольку апостериорная плотность .(1.6) нормальна, то
все оценки по критерию максимума апостериорной плотно-
сти, минимума дисперсии и минимума погрешности совпа-
дают и равняются условному среднему А*. Выражение для
оценивания параметров определяется равенством (1.5);
для дисперсий ошибки—равенством (1.6) (К=<(Л—Л*) X
X (А—А*)т).
Если априорное распределение wpr(X) неизвестно, его
часто полагают равномерным. Тогда максимизация апосте-
риорной плотности сводится к максимизации функции
правдоподобия, т. е. к формированию оценки, оптимальной
по критерию максимума функции правдоподобия.
Пусть сигнал г представляет собой временной процесс,
наблюдаемый в дискретные моменты времени, взятые че-
рез одинаковые интервалы АЛ Тогда апостериорная плот-
ность вероятностей wps (A) ~w (Л/г), где г= (Гц Гг, ...
..., гр) — выборочные значения вектора сигналов в Мо-
менты времени t{ (i—1, 2, /.., р). Нахождение оптималь-
ной процедуры оценки вектора А для непрерывного сиг-
нала наблюдения производится по тем же правилам с пре-
16
дельным переходом при А/->0. При этом совокупность вы-
борочных значений сигнала наблюдения на отрезке време-
ни (О, Т) заменяется непрерывной реализацией r(t),
а функция правдоподобия — функционалом правдопо-
добия L(A.)— lim Ж(Л).
д /—>0
Для случая аддитивного белого шума функционал прав-
доподобия [16]
L (А)=С ехр (---l- J [г (0 - НА*] N~’ [г (0 - НА*] dt 1,
I т I
где <п(/)п»'(/—t)>=N6(t); C=const. Функционалы, соот-
ветствующие более сложным видам помех, рассматрива-
ются в [2, 18].
Приведенные соотношения для оптимальной оценки по-
стоянного во времени вектора А успешно используются для
получения рекуррентных алгоритмов оптимальной фильтра-
ции векторной функции Л(/) и их предельных непрерыв-
ных аналогов. Наиболее известными из таких алгоритмов
являются алгоритмы линейной и квазиоптимальной филь-
трации Калмана [17] и алгоритм нелинейной оптимальной
фильтрации в гауссовском приближении Р. Л. Стратонови-
ча [19]. Эти алгоритмы завоевали широкую известность не
только из-за физической наглядности, но потому, что они в
конкретном случае целиком определяют структурную схему
и параметры оптимального измерителя вектора параметров
А. При этом не приходится решать сложные интегральные
уравнения типа Винера — Хопфа в линейной задаче и
уравнения с рядами Вольтерра в нелинейной задаче филь-
трации в постановке Винера. Единственным условием, оп-
ределяющим применимость алгоритмов типа Калмана, яв-
ляется необходимость априорного значения закона форми-
рования вектора А. Этот закон, а точнее изменение оцени-
ваемого вектора А во времени, задается стохастическими
дифференциальными уравнениями типа
dA/d/=Q(A, 0+ш(0, (1.8)
где Q(A, t)....?п('А, /)1!т — детерминирован-
ная вектор-функция А и времени; т(/) — векторный бе-
лый шум с заданной матрицей спектральной плотности М;
Л=|1Х1,Л2, ..., ZnllT,
Уравнения типа (1.8) определяют процесс А(/) в виде
марковского процесса и являются традиционными при ис-
следовании систем автоматического управления — САУ
[17]. Напомним, что марковский процесс в обычном смы-
сле не дифференцируем. Поэтому уравнение типа (1.8) по-
2—370 17
йймается как- некоторое условное решение интегрального
уравнения, определяющего марковский диффузионный про-
цесс в смысле Ито. Подробности этого положения читатель
может найти в ряде источников [20, 21] и др. Поэтому ре-
шения задачи оптимизации по типу Калмана особенно
удобны при оптимизации различных измерителей САУ, Ес-
ли при одномерном А, возмущение в правой части выраже-
ния (1.8) представляет собой шум с ограниченным спек-
тром, (1.8) записывается так:
Возмущение формируется из белого шума при помо-
щи дополнительного сглаживания фильтра с постоянной
времени T=\ja.
Итак, пусть наблюдение r(t) представляет собой адди-
тивную смесь полезного сигнала и помехи типа белого шу-
ма с матрицей односторонних спектральных плотностей 2N
(напомним, что под односторонней спектральной плотно-
стью понимается спектральная плотность в области частот
<о^О):
г(0=НА+п(0, .(1-9).
<n(0n(f—t)>=N6(i:),
<п(/)ш(/—т)>=0,
а подлежащий оценке вектор параметров задан в виде нор-
мального узкополосного марковского процесса с помощью
уравнения (1.8), в котором Q(A, /)=QA (Q не зависит от
А и t, т. е. рассматривается строго линейная задача).
Оптимальная в смысле рассмотренных выше критериев
оценка
А* = QA* + KHTN-1 [г (0 — QA*]. (1.10)
K = QK4-KQT- KHTNr’HK-rM. (1.11)
Фильтр, формирующий такую оценку, носит название ли-
нейного фильтра Калмана. Заметим очевидное сходство
алгоритмов (1.10), (1.11) и (1.5), (1.6). Оно закономерно,
поскольку и в том и в рассматриваемом'случаях апостери-
орная плотность вероятности нормальна со средним значе-
нием А* и матрицей ковариаций К. Кстати, один из мето-
дов получения алгоритма (1.10), (1.11) основан на пере-
ходе в соотношениях (1.5), (1.6) от постоянного А к мно-
гошаговому процессу A(ft), i=l, 2, ... [17].
Если полезный сигнал связан с интересующим нас век-
тором параметров нелинейно, т. е.
18
r(/)==S(A, 0+n(0, (112)
а сам вектор параметров задан нелинейным уравнением
(1.12), то используется квазиоптимальный алгоритм Кал-
мана [17]:
A* —Q(A*, /) + KS|TN-l[r(0 — S(A*. /)], (1.13)
K = Q'(A*, 0K + KQ,Ti(A*' O-KS'^S'K + M; (1.14)
Q'(A*. t) =
dqt(A, t)/d\ldql(X, t) d\2.. .dq^X, t)/dln
dq2(X, t) dq2(\, t)/д\2.. .dq2(\, i)/d\n
dqn(X, dqn(X, t)/д\2.. ,dqn(X, t)/dln
S' =
dsjfA, tj/dl.! ds^X, t)/d)\2 ... ds^A, f)/d\>
<?s2(A, 0/д?ч ds2(A, t)/dl2 ... ds2(A, t)/dln
dsm(A, 0Mi д$т(Л> О/Йг ••• dsm(&, t)/dln
Алгоритм вида (1.13), (1.14) называют квазиоптималь-
ным потому, что он получается при использовании в (1.10),
(1.11) линеаризованных функций Q(A, /) и S(A, /) [17].
Основой другого метода нелинейной фильтрации явля-
ется исследование апостериорной плотности, задаваемой
дифференциальным уравнением типа Фоккера—Планка—
Колмогорова [19]. Не вдаваясь в подробности анализа это-
го уравнения, запишем получаемый с его помощью алго-
ритм оптимальной оценки в гауссовском приближении. Са-
мо название этого алгоритма говорит о том, что апостери-
орная плотность полагается гауссовской, т. е. характеризу-
ется двумя первыми моментами — средним значением и
ковариационной матрицей ошибки К [19]:
A*= Q(A*. 0 + K-S'N-l[r(f)~ S(A*, /)], (1.15)
k = Q(A\ ok + kq|t(a*, о + кф"Кт+‘М’ (i-16)
д2Ф/дХх2 д2Ф/дХ1д}2 ... с^Ф/д^дК,,
д2Ф/д~1.2 ... д2Ф/дЛ2№п
д2фММ1 й2ф/йМ?2 ••• д2Ф/д^?
Ф = 5Т(А*, 0N~*r(0.
Уравнения (1.13), (1.14) и (1-15), (1.16) отличаются
лишь тем, что в первом случае для нахождения ковариаци-
онной матрицы ошибок требуется значение первых частных
производных составляющих, сигнала, во втором — вторых
смешанных частных производных. Очевидно, что как при
нелинейной фильтрации Калмана, так и при нелинейной
фильтрации в гауссовском приближении подразумевается
2* 19
существование таких производных (при случайной форме
сигнала — в среднестатистическом смысле).
Приведенные алгоритмы оптимальной фильтрации оп-
ределяют структуры оптимальных измерителей в виде сле-
дящих за изменением вектора параметров Л устройств.
В каждом из таких устройств можно выделить цепь фор-
мирования погрешности измерения и цепь отрицательной
обратной связи, характер которой зависит от априорных
сведений об из-менении вектора параметров во времени.
Коэффициент усиления в канале формирования погреш-
ности тем выше, чем меньше спектральная плотность со-
ставляющей мешающего шума и чем больше дисперсия по-
грешности оценивания. Таким образом, в оптимальном изме-
рителе автоматически реализуется максимальное усиление
при больших дисперсиях погрешностей оценивания (в том
числе при больших начальных значениях диагональных
элементов ковариационной матрицы) й удовлетворяется
противоречивое требование наилучшего сглаживания шу-
мов наблюдения при минимальной динамической погреш-
ности.
В частном случае одномерного сигнала наблюдения ска-
лярного параметра i=0; k(t=to) — 0 оптимальная нелиней-
ная оценка калмановского типа определяется следующим
алгоритмом:
Г = f о,г .9
^0
[г (0 - S (Г, t)]dt-y
a12 = ?V-1a14p.s(r, ОЖТ-
Решение последнего уравнения: o2i=[cr2oi+|ii]_', где =
=сг21 (t=to) — дисперсия априорной погрешности, ц=
=Pdl/N\F — отношение сигнал-шум;
корреляционная функция производной сигнала по*пара-.
метру
AF=1/(Z—10).
Алгоритм оценки в гауссовском приближении отличается
только выражением для дисперсии погрешности, которая
равна
20
где
Р^~t)dt.
*0
Таким образом, как при нелинейной фильтрации Кал-
-мана, так и при нелинейной фильтрации в гауссовском при-
ближении дисперсии оценки тем меньше, чем точнее на-
чальная выставка измерителя и чем больше отно-
шение сигнал-шум. Однако в первом случае под сигналом
понимается квадрат первой производной сигнала наблюде-
ния по оценке X*, т. е. мощность его первой производной,
во втором' произведение (<52s/<5X*2)s(X, /), т. е. взаимная
корреляционная функция сигнала и его второй производ-
ной. И то и другое при малых погрешностях измерения вы-
ражаются через вторую производную корреляционной
. 1 функции [16]:
Pdl=Pd2=— д2В (АХ) /<5АХ2/АХ=0,
АХ=Х—X*; В (АХ) — корреляционная функция сигнала. По-
этому при и малых погрешностях измерения (при
малой интенсивности шума)
(1.17)
где р=В(0)Ж; В (0) =В (АХ=О); R=B (АХ)IB(0) — ко-
эффициент корреляции.
Естественно1, что все сказанное справедливо при интер-
вале наблюдения t— tQ, много большем времени корреляции
сигнала.
Для лучшего пояснения существа работы следящего
измерителя, структура которого соответствует выражению
для оценки (1.13) или (1.15), воспользуемся его линеари-
зованной моделью. Пусть, например, при одномерном сиг-
нале наблюдения измеряется одномерный постоянный па-
раметр Х=0, а его начальное значение Х(/=0)—0. Предста-
вим сигнал s(X*, t) двумя первыми членами степенного ря-
да в точке Х=Х*. Уравнение для оценки в этом случае мож-
но записать так:
X* - Хо N-1 С о2 f° Г AXdf + п,,
J L J
/0
21
ne—N 1 о2
J 1 dl*
где
t) 1 ... ,,
ns
А-о=А,(г‘=/о)—погрешность из-
мерения. Схема, соответствую-
щая последнему выражению,
представляет собой линейную
рис 14 систему с интегратором в цепи
обратной связи, т. е. следящую
линейную систему с астатизмом первого порядка (рис. 1.4).
Такая система при измерений постоянной величины
обеспечивает нулевую погрешность в установившемся
режиме [22]. В то же время в соответствии с принятым
решением она является оптимальной и с точки зрения ми-
нимизации случайной составляющей погрешности измере-
ния пе. При задании измеряемого параметра в более слож-
ном виде A,=cii, а=а2, а2=аз и т. д. линейный эквивалент
оптимального измерителя всегда будет обеспечивать нуле-
вую ошибку от постоянной составляющей входного воздей-
ствия при минимуме случайной составляющей. Ясно, что
таким же свойством обладает и соответствующая ему нели-
нейная модель.
Аналитическое определение коэффициентов матрицы
(1.14), (1.16) в большинстве случаев представляет собой
.довольно сложную задачу. Поэтому для их нахождения ча-
сто используется следующий прием: считается, что изме-
ритель работает в стационарном режиме, когда К—0, а
значения S^N-'S и Ф замещают их средними значениями.
Это позволяет, во-первых, перейти от дифференциальных
уравнений к алгебраическим и, во.-вторых, упростить
решение за счет указанного усреднения и исключения шу-
мовой составляющей.
Рассмотрим следующие примеры реализации приведенных алгорит-
мов. Пусть требуется измерить временную задержку гармонического
сигнала s=u cos со/ (и— известная амплитуда). Положим, для просто-
ты, что эта задержка за время измерения может считаться постоянной,
а ее начальное значение равно нулю. Таким образом, исходная система
уравнений имеет вид
т=0;
r(f) =ucos —r)-j-n(f);
<n(f)n(t—t)>=N6(/); 6(t)—б-функция. Согласно алгоритму нели-
нейной фильтрации Калмана оценки т* формируются по следующему
правилу:
22
т* <= a2N ^иш sin ы (/ — г*) [г — и cos-w (t — т*)];
— a^~lu2 sin2 w (t — г*); (1-18)
=; = <(г-о2>.
Оптимальная нелинейная оценка в гауссовском приближении определя-
ется так же, однако уравнение для дисперсии погрешности измерения
a2 =s — 1 u2w2 cos2<o (t — t*).
Нетрудно убедиться в том, что асимптотические выражения, определяю-
щие дисперсию погрешности в обоих случаях, одинаковы:
а2 = [°о~2 + р-]—1, где ц=и2ы2/2УДА; Д/7=1/(/—/0). Структурная схе-
ма измерителя в соответствии с уравнениями для оптимальной оценки
(1.18) представляет собой следующую за временным запаздыванием
сигнала т систему автоподстройки (рис. 1.5). Алгоритм оптимальной
обработки может быть упрощен исключением в (1.18) второго слагае-
мого ucos со(<—т*). Действительно, при времени наблюдения, много
большем периода колебаний,
т*=ДГ~1иа>о2 sin a(t—
поскольку sin w(/—t*)cos »(/—т*)=_1 sin 2ш(/—т*), а составляющая
двойной частоты подавляется за счет резонансных свойств избиратель-
ных радиотехнических цепей. Структурная схема измерительного устрой-
ства, соответствующего упрощенному алгоритму фильтрации (1.18),
представляет собой фазовый детектор с переменным коэффициентом пе-
редачи, определяемым точностью измерения временной задержки и спек-
тральной плотностью шума N (рис. 1.6).
Устройство носит название фазового детектора, поскольку на его
выходе при малых Дт формируется напряжение, пропорциональное фазе
<о(т—т*). При известной частоте со это равносильно оценке рассогласо-
вания по временному сдвигу между наблюдаемым ncosw(/—т) и опор-
ным и sin (t—т*) сигналами. Напряжение рассогласования использует-
ся для управления интегратором, т. е. для автоматической автопод-
стройки опорного сигнала.
Схема автоматического слежения за временной задержкой сигнала
нашла широкое применение в различных навигационных системах. В част-
ности, она используется при измерении дальности с помощью шумопо-
добных радиосигналов в радиолокации [23]. В этом случае наблюдае-
мый и опорный сигналы могут формироваться, например, за счет сло-
жения гармонических составляющих со случайными амплитудами, фаза-
Рис. 1.5
Рис. 1.6
23
ми И частотами. Если на приемном пункте указанные величины извест-
ны нлн известен закон их формирования, то оптимальный измеритель
представляет собой совокупность фазовых детекторов. Каждый из этих
детекторов извлекает информацию о сдвиге т из одной из гармониче-
ских составляющих сигнала, предварительно выделенных соответствую-
щим фильтром. Совокупность оценок, полученных на выходах фазовых
детекторов, используется для получения некоторой средней величи-
ны т*.
Измерение дальности, рассмотренное в примере, производится, как
правило, за счет оценки задержки огибающей радиосигнала. Иными
словами, оптимизация измерителя такого типа должна производиться
с учетом фазы несущего сигнала и амплитуды и. Что касается высоко-
частотной фазы, то здесь обычно используется следующее правило: если
информация заключена в Ьгибающей радиосигнала, то задача по извле-
чению этой информации может решаться без учета параметров высоко-
частотной несущей, но в предположении когерентного приема; при этом
спектральная плотность входного шума должна быть удвоена [24].
Другими словами, задача оптимизации может быть решена на основе
анализа только огибающей радиосигнала. Постоянство амплитуды обес-
печивается АРУ и другими методами нормировки [2].
Рассмотрим следующий пример, также относящийся к измерению
постоянной временной задержки. Пусть в качестве носителя информа-
ции используются импульсный сигнал. В этом случае дальность до на-
блюдаемого объекта определяется измерением временной задержки при-
нятого видеоимпульса — огибающей ВЧ-сигнала. Наиболее удобным для
этих целей является импульс прямоугольной формы. Однако на практи-
ке принимаемый импульс претерпевает значительные искажения. Наи-
более удачной аппроксимацией такого искаженного импульса является
его представление в виде колоколообразной функции s(t—т)»=
=иехр [—k(t—т)2], где и—амплитуда, a k—некоторая постоянная.
Дисперсия калмановской оценки в этом случае запишется так:
/ t
j 4ilW~^2 J (J - т)2 exp [~2k(t -i)2] dt + a2,}'1 ,
l о
тогда как дисперсия оценки в гауссовском приближении
а2 = и’А-1
t
—4/г2 J (t — t)2 exp [ — 2k (t — т)2] dt +
о
/ j— 1
+ 2k J exp [ — 2k (t — x)2-] dt + a^2|
о J
При большом времени наблюдения эти равенства могут быть заменены
приближенными соотношениями, которые для первого и второго рас-
смотренных видов фильтрации запишутся соответственно как
я
2 _
1т ~
2 Г Ц । —2
32т ~ [2У У 2 ' ’гч
—i
Оптимальный измеритель, соответствующий рассматриваемому случаю,
представляет' собой схему автоматического слежения за положением
24
принимаемого импульсного сигнала. Подобные схемы (только с постоян-
ными коэффициентами передачи) нашли широкое применение в РЛС
с автоматическим стробированием по дальности наблюдаемого объекта.
В общем случае случайного, стационарного сигнала
s(t—т), дифференцируемого по т*:
1- 1
1пп —
г-*оо Т
dz*
Т-*оо Т
<РВ(Ё)
di? lt=0
= d2B^/d^0-,
Jim
г-*оо Т J dz*2
о
s (t — z)dt =
,1 d2B(i) .
2 ^4=0
где В (£) — корреляционная функция сигнала. Ограничи-
ваясь линейной частью разложения в последнем равенст-
ве, запишем выражения для дисперсий оценки по нелиней-
ному алгоритму Калмана и алгоритму в гауссовском при-
ближении:
(0) + R'" (0) +1<Г’.
где ц — отношение сигнал-шум, равное B(0)/N&F, AF=
=1/Т, 7?—В (Ат)/В (0) — коэффициент корреляции сигнала.
Таким образом, при стационарных сигналах и малых
погрешностях измерения потенциальная точность методов
одинакова. Однако при больших рассогласованиях метод
нелинейной фильтрации Калмана оказывается более гру-
бым. Очевидно, что сказанное справедливо только для вре-
мени наблюдения 7^>тд, где т/г — время корреляции сиг-
нала s(t).
Для иллюстрации на рис. 1.7 приведена зависимость
отношения дисперсий погрешно-
сти измерения нелинейного филь-
тра Калмана а2) и нелинейного Ц) -
фильтра в гауссовском прибли- ’
жении о22 от отношения сигнал-
шум Ti=B (0)/А(АВ, где АВ — по- .'5~
лоса пропускания видеотракта
типовой схемы измерения вре- -------------?----
менной задержки. Равенство 'v 0
<т21«во22 выполняется при т]>2. рис. и
2ч
1.3. Основные положения теории оптимальной
фильтрации пространственно-временных сигналов
В практических случаях приходится иметь дело не
с временными процессами, а с пространственными сигнала-
ми. Примерами таких сигналов могут служить радиолока-
ционное или оптическое изображение местности; функции,
описывающие магнитное или гравитационное поля Земли
[1, 2]. Наконец, к пространственным сигналам относятся
радиосигналы от различных источников искусственного
происхождения. Звездное небо также образует поле про-
странственного сигнала. Описание реальных пространст-
венных процессов связано с их представлением с помощью
пространственно-временных сигналов [2]. Сфера использо-
вания понятия пространственно-временных сигналов чрез-
вычайно широка (достаточно назвать такие научно-техни-
ческие направления, как навигация и наведение или распо-
знавание образов и- анализ сцен). Также, каки во времен-
ной области, наблюдение пространственно-временных сигна-
лов, проводимое с целью получения некоторой информации,
связано с их выделением на фоне пространственно-времен-
ных шумов. Поэтому задачу построения оптимальных филь-
тров приходится решать и в этом случае. Но прежде чем
перейти к изложению основных результатов решения этой
задачи, рассмотрим наиболее употребительные модели
пространственно-временных сигналов.
Форма представления пространственно-временных сиг-
налов, т. е. их аналитическая модель, определяется физи-
ческой природой этих сигналов и теми задачами, в интере-
сах решения которых проводится наблюдение. Одна из наи-
более распространенных моделей соответствует так назы-
ваемому поверхностному потенциалу поля пространствен-
но-временному сигналу типа
[6-8]:
s(x, у, Л, f)=S(X—h*,
у-Ку, t); (1.19)
Л=||ХЖ, Мт-
Положение сигнала s в прямо-
угольной системе координат
х0у на плоскости наблюдения
хОу определяется вектором
параметров Л (рис. 1.8). Про-
екция этого вектора на
оси х, у соответственно опре-
деляет смещение сигнала по
?<!
&Тим осям. Модель поля вида (1.19) условимся называть
моделью первого типа. Области применения модели (1.19)
чрезвычайно разнообразны. Она используется при рассмот-
рении различных навигационных задач, решаемых с помо-
щью оптических и радиолокационных изображений земной
поверхности или отдельных ориентиров; успешно применя-
ется в теории распознавания образов и анализе сцен
и т. п. В частном случае наблюдения совокупности точеч-
ных ориентиров (например, участка звездного неба):
м
S (г, у, Л, О = 2 /1/3 (х ~ Xxi’ lJ~
>=1
где б( •) —б-функции.
В некоторых случаях необходимо знать величину сигна-
ла в заданной точке трехмерного пространства. Такая си-
туация характерна при маршрутной аэромагнитной съемке
аномального магнитного или гравитационного поля Земли,
когда необходимо оценить потенциал или другой параметр
поля [26, 27]. Потенциал поля s(xz) в каждой точке про-
странства xz является линейным-интегральным оператором
поверхностного потенциала:
s (xz) = j g(x, xz)s(x)dx, (1-20)
где g(x, xz) — известная скалярная функция векторных
аргументов (функции Грина), xz — функция времени, ха-
рактеризующая текущее положение носителя датчика поля
и закон сканирования, если оно ведется. Когда при изме-
рении геофизических полей кривизной^ поверхности Земли
можно пренебречь,
1 Xz=(%iz, %2z, X$z)j X=={^Xil Xq)
— прямоугольные координаты на плоскости (рис. 1.9):
00
[(Xi — Xiz)2 + (*2 — X22)2 + x32]3/2
—oo
Если учет формы Земли ведется в сферическом приближе-
нии, сферические координаты xz= (<pz, Az, Hz), х=(<р, X),
где <рг — широта, Xz — долгота, Hz — высота датчика поля
над земной сферой (рис. 1.10). Потенциал
_______s(y, X)cosydydX_____
[1 + (l-p/i)2 —2(1 +/i)cos4f]3/i ’
cos Ф = sin ф sin фгcos cos <рг cos (Z — Яг), h~H]R, R — ра-
диус Земли.
27
S(7,) = <1±^
\ 27 4^
Рис. 1.10
В обоих случаях поле считается постоянным во времени,
что справедливо как для гравитационного, так и для ано-
рмального магнитного полей. Рассмотренную модель поля
(1.20), разработанную А. А. Красовским, будем условно
называть моделью второго типа. Чтобы ею пользоваться,
необходимо определять функцию Грина в каждом конкрет-
ном случае измерений. В частности, когда измеряется одна
составляющая напряженности аномального магнитного
поля или один «градиент» (вторая производная <52s/<5xizX
Xdxjz=d2s/dXjZdXiZ), возможны 10 вариантов, приведенных
в табл. 1.2 [26], где g — функция Грина для потенциала,
eTxi (i—1, 2, 3) — направляющие косинусы между векто-
ром напряженности и осями системы координат. В данном
случае функция, определяющая потенциал поля в прост-
ранстве с поверхностным потенциалом, имеет вид
2* [(Х1 - xlz)2 + (№ - ЭХгг)2 + х! ]3/2
или для случая земной сферы
g (х, xd =---------•*—’— ---------тту.
[1 +(1 +й)2 — 2(1 + A)cos4r]3/2
Пространственно-временной сигнал вида $(х, у, t) часто
представляют в виде суммы гармонических составляющих.
Каждую из них можно рассматривать как монохроматиче-
ское поле, для которого справедливо обратное преобразо-
вание Фурье по всем частотным составляющим [2]:
00
s-*’у' ”»)ехр1Л(о**+ам/~х
X dm.,daiydai = {F (co, co*, co^)}; (1.21)
28
ТАБЛИЦА 1.2
Измеряемая величина Вид оператора Вид результирующего ядра интегрального оператора
Горизонтальная на- д д g (х, хг)
пряженность (7X12 (7Х1г
д д -7 g (*- xz) ^X^z
То же ^22
Вертикальная на- д д 7^8(х'Хг)
пряженность дхзг
3 3
V д VI
Полный модуль L *Txi дХ[г Ztx1 дх[г 8 (х’ Хг) г—1
д2 д2 g (X, XZ)
д2 д2
Х]Х2 ^12^22 дХ1гдх2г 8 (л1’ Л2)
д2 д2
Х1%з дх1гдхзг дХ1гдхзг лг)
д2 д2 g(х, хг) дх^г
д2 д2
%2^3 дХягд^г дх2гдхзг лг)
д2 д3 ч ~~Г g (х, хг) дх^г
Х3Х3 дхзг
00
F(w, шх, Шу) = j J Лш (к, у) ехр [—j (о>л.х Д-— wt)\dxdydt,
—СО
(1.22)
где Лт(х, у) — комплексная амплитуда составляющей поля
на данной частоте со; <ож, (оу — пространственные частоты,
соответствующие направлениям по осям х, у. Для прост-
ранственного сигнала
00
s(r- «^expUKr + o^i/)]^^^
— СО
= $-'{Р(шх, ШУ)}- (1.23)
29
a
№„) = J J S (К, i/)exp[— ](axx-\-w!/y)]dxdy, (1.24)
Напомним, что для существования пары преобразова-
ний Фурье функция 5 (х, у) на всем интервале наблюдения
должна удовлетворять условиям Дирихле: интервал на-
блюдения может быть разбит на конечное число подынтер-
валов, в каждом из которых 5(х, у) непрерывна и монотон-
на; функция s(x, у) должна иметь конечное число конеч-
ных разрывов. Таким образом, для каждой пары значений
пространственных частот <оа, <*>у в обобщенной сумме, соот-
ветствующей первому из определений (1.23), имеется одна
экспонента с весовым коэффициентом £(<ох, а>у). Рассмот-
рим вид такой экспоненты для заданных значений прост-
ранственных частот. Как и при фурье-преобразовании вре-
менных функций, эта экспонента является комплексной
функцией, но из-за двойной зависимости от х и у ее труд-
но изобразить графически. Поэтому для некоторого пред-
ставления о виде этой функции вводят понятие областей
нулевой фазы [29]. Эти области находятся приравнивани-
ем показателя экспоненты величине 2nrjn для всех целых п:
j (ux-\-vy)=2n}h или
у——ux/v-’rQ.nn/v;
и—ах12л', v—a>y/2n.
В соответствии с последним уравнением области нуле-
вой фазы изображаются с помощью прямых параллельных
линий, расположенных на расстоянии пространственного
периода L= (ы2+и2)1/2, их наклон определяется углом ори-
ентации 9—arctg (u/v) (рис. 1.11). Чем выше пространст-
венные частоты, тем чаще расположены линии нулевой фа-
зы. Для пояснения сказанного представим себе, что спектр
пространственных частот по модулю равен нулю всюду,
Рис. 1.12
30
кроме точек щ, Ц] и —и2, vt. Тогда пространственный сиг-
нал аппроксимируется суммой
s(x, у) = {ехр [2л)(«1х-}-ц1«/)]-}-ехр [2jt'/(—щх—Oi«/)']}A/2,
где A=const и представляет собой вещественную величину,
изображаемую в .виде- волнистой поверхности синусоидаль-
ной формы с единичной амплитудой (рис. 1.12), гребни ко-
торой образуют параллельные линии, подобные линиям об-
ластей нулевой фазы.
Поскольку сигнал s(x, у, /) в общем случае является
случайным, для его описания используют статистические
характеристики; среднее значение, дисперсию и корреляци-
онную функцию, которая для однородных (т. е.' стационар-
ных по пространству) и стационарных процессов определя-
ется как
В (Ах, Ay, At)=<s (хф-Ах, уф-Ау, t),s(x, у, t)), (1.25)
а для комплексных сигналов
В (Ах, Ay, At)=(s (х-(-Ах, у-)-Ау, /ф- At)s* (х, у, t)),
(1.26)
где <•> означает статистическое усреднение, а знак ф —
комплексно-сопряженную величину. Корреляционная функ-
ция (1.25), (1.26) называется пространственно-временной.
Если пространственно-временной стационарный и одно-
родный сигнал может быть представлен в виде произведе-
ния составляющих по отдельным йсточникам излучения
s(r, уП^ Sli(x, y)s2l(t), (1.27)
Z=1
где Si,- — распределение амплитуды i-го источника, меня-
ющееся во времени по закону sa, то пространственно-вре-
менная корреляционная функция также записывается как
произведение пространственной и временной составляю-
щих:
В (Ах, Ay, At)=B(Ax, Ay)В (At). (1.28)
Здесь
х у
B(bx, &у)=> lim J" (к, y)s(x-\-Ax, y-\-ky)dxdy —
X, У-*ОО
(1.29)
пространственная составляющая, а
т
B(bt)=\\m^~ \s(t)s(t-\-M)dt.
T-+CQ J
— T
(1.30)
Запись (1.28) справедлива, когда случайные изменения
пространственно-временного сигнала во времени и на пло-
скости хОу независимы.'
Как и в случае временных процессов, в теории прост-
ранственных процессов известны понятия углового спектра
мощности или спектра мощности пространственных частот
G(ax, ау). Для однородного поля этот спектр определяется
через спектр волнового поля [28]
GK, «><,)= Нт |К(шЛ, ш)|г.
X, У-»оо
Спектр мощности пространственных частот однородного
поля связан с пространственной функцией корреляции со- .
отношениями Винера — Хинчина:
00
G(“x, ®у)= Ду) ехр[--j ^^Дхг-ф-ад^Ду)] dAxdAy; (1.31)
— 00
оо
В (Дг, &у) = -J- ( С G (<»Л, Шу) exp [j (со/г 4- ш^Ду)] dwxdwy —
= f «V)].
(1.32)
Для функции корреляции вида (1-28) энергетический
Рис. 1.13
спектр G(ax, а>у, со) равен произ-
ведению углового спектра мощ-
ности и частотного, т. е.
G (<ож, а>у, со) =
G(cox, ay)G(a). (1.33)
Оптимизация измерения век-
тора параметров Л для модели
сигналов первого типа, наблю-
даемых на фоне аддитивного
шума, может быть проведена на
основе определения функцио-
нала правдоподобия для случая
пространственно-временных про-
цессов [2, 30]. Последователь-
ность решения этой задачи тако-
ва. Вначале рассматривается
многомерная плотность вероят-
ности дискретного по прост-
32
.ранству и времени случайного процесса т]. Совокупность
.конкретных значений T](xfc, yi, tm), k, I, tn=\, 2, ..M про-
цесса T) (x, y, t)., называемых выборками, представляет со-
бой отсчеты конкретной реализации, получаемой сечением
т] (х, у, t) плоскостью х=хк для момента времени tm (рис.
1.13). При всех значениях xk, yt и tm, Уь tm) представ-
ляют собой возможные значения процесса, взятые через ин-
. тервалы Дх, Ду и |Д/. Совокупности плотностей вероятно-
стей этих значений при любом М образуют многомерную
плотность вероятностей w<M\ а ее предел определяется как
функционал плотности вероятности пространственно-вре-
менного процесса [30]:
w [т)(х=х1, у=уь
т1(х=х1, y=yi, t=t2) ... k](x=Xi, y=yh t=tM)]
=wh(x=X1, у=уг, t — — y = ylt t—tj...
...ц(х — хм, y = yM, t = tM)]-, lira w(M) =L (r).
bx, by, A6->0
При аддитивной помехе типа белого гауссовского шума в
наблюдении вида (1.12) функционал правдоподобия [2, 30]
—— s)T^'(r —s) dxdydt, (1.34)
x у т
L=^c exp
где
r=r(x, у, /)=|1п(х, У, t) ... rm(x, y, O'|IT;
S=S(x, y, f)=llsi (x, y, t) ... sm(x, y,t) ||T;
X, Y — размеры области наблюдения по осям х и у соот-
ветственно; Со — матрица спектральных плотностей в смы-
сле обычных и пространственных частот; с — нормирую-
щий множитель. Напомним, что под белым гауссовским
пространственно-временным шумом понимается гауссов-
ский процесс с постоянной спектральной плотностью со-
ставляющих Со в смысле обычных и пространственных час-
тот и пространственно-временной корреляционной функ-
цией
В [Дх, Ду, Д/]=Соб(Дх, Ду, Д/).
При одномерном наблюдении (скалярном сигнале)
£=сехр[
ХУТ
dxdydt.
(1.35)
При задании вектора параметров в виде (1.8) знание
функционала правдоподобия позволяет определить опти-
мальный алгоритм нелинейной фильтрации прострацствен-
3—370
1
33
но-временнбго сигнала вида (1.19). Для аддитивного гаус-
совского белого пространственно-временного шума этот ал-
горитм в гауссовском приближении имеет вид [2, 8]
A*==Q(A*. О+К| J S1 "Со-1 [г (г, у, t)-
X Y
—S(x, у, A*, t)]dxdy, (1.36)
где
a=n^, mt;
или
m
V = qx (A*, t) + o№ J f £ o [r. (x> y, t) -
X Y t^l *
— Si(x, y, A*, t)]dxdy\ (1.37)
> tn
V=^(A*. 0+^' y'
X Y y
— Si(x, y, A*, t)]dxdy.
Здесь дисперсии оценок o/ = -<(Xx— VT>> <’/ = <(Л4,—
- V)2> и ^=^=<(X,-V)(^-V)>
являются элементами ковариационной матрицы
к—II ^wll
II Vir
которая определяется дифференциальным уравнением
K = Q'(A*. 0 К + KQ|T (Л*. Уф'ШЛ/К + М, (1.38)
где
ф"^
даФ(х, у, А)
дяФ(х, у, А)
д2Ф(х, у, А)
д\хд\2
даФ(х, у. А)
<Д2а
; (1.39)
ХМ=Х*,/
34
Ф(г, у, A)=ST(v, у, Л, 0Со'г (г, у, t),
еЕсли рассматривается смещение скалярного сигнала толь-
,ко вдоль одной из осей, например х (одномерный пара-
метр), приведенные уравнения упрощаются:
V = q (V- 0 + t) -
Со J УЛ. x
— s(x —V> t)]dx, (1.40)
^'2°x2dq (V- 0Я +
, + <j Wx-V, О.Г(У) t)dx + Mx. (1.41)
J dkx2
Л л
Пусть пределы интегрирования X, Y в (1.36) много
больше интервалов корреляции скалярного сигнала s(x,
У, t):
ДхЛ = J В (Дг, 0)/В(0, 0)</Дх,
О
Дуй= J В(0, Ду)/В(0, О)с?Ду,
О
где В (Дх, Ду) & (ЛУ)-1 j J s (х 4- дг, у Ду) s (г, у) dxdy
х Y
— корреляционная функция сигнала. Тогда интегральные
выражений, входящие в равенства системы (1.37), при ска-
лярном сигнале запишутся следующим образом:
JJs(r, у, Л*, f)[r(x, у, t) — s(x, у, Л*, t)]dxdy =
XY
_ дВ(\х, Ьу) .
С 1 -4-»4 v,
дДх
Л*, t)]dxdy =
дВ(^х, Ьу) । .
---- дЬу
пх= f [ —Х’ У’Л'*' t} П(х, у, t)dxdy;
• J J дкх*
V V л
3*
35
"«= I
X У
n(x, у, t)dxdy,
c = XY.
При написании последних выражений учтено, что случай-
ный процесс и его производная при совпадающих аргумен-
тах независимы, т. е.
J J ds(3C~-yx —s (*- у> Л* 0 <^у °;
х у х
У- A*. l}dxdy^.
if
Алгоритм оптимального оценивания (1.37) запишется так:
V = ^(A*, J Js(r, у, Л*, /)г(г, у, t)dxdy+
_±_ [р(^ У, Л*, t)r(x, у, t)dxdy =
~а /л* V.^B^' Кху дВ(^ *у) +П • (1 421
— <7Х(Л , tj Се бДх — Со д^у -rnx, (1.4Z)
V = ?i/(A* 0 + -^-аГ*-J fs(*- У’ л*> 0г(*- У’ 't)dxdy +
+'%L3r3'у’ А* t)rdKdy^yAA*> 1)~
° х ХУ
rf.dBt&x, Ay) _ кху дВ(Ах, Ау) . - . (1 43)
Се дАу Се оАу Т \ • I
где
— ахг . Кхд
пх=^-р-пх-\-—^-пу\
t-'O ^0
, Кху
пу Св пу> С0 Пх
— шумы измерения.
Матрица ковариаций определяется из (1.38):
K=Q'(A*, /)K+KQ/T(A, /)+КВ"К+М.
Функция В", определяющая моменты апостериорной плот-
ности, запишется так:
36
•хЛ
X Y
В”^Е£Х
Co
d2s(x, у, A*, f)/dX*2 d2s(x, у, A*, t)/d\x*d\y*
d2s(x, у, Л*, t)ld\*yd\*x d2s(x, у, Л*. t)/db*z
X s (к, у, Л*, t)dxdy^
1 1|д2В(Дх, Ду)/дДх2 о2В(Дх, Ду) /дДхдДу
Се ||д2В(Дх, Ду)/дДуйДх о2В(Дх, Ду)/дДу2
(1-44)
Ce=CJXY.
Вторая производная корреляционной функции реального
сигнала обычно мало меняется в окрестности нуля [2]. По-
этому ее значение при всех Дх, Ду считают постоянными и
равными значению второй производной В(Дх, Ду) при Дх,
Ду=0, т. е. полагают заранее известной величиной, не за-
висящей от результатов измерения.
Таким образом, основная операция по обработке сигна-
ла заключается в определении, максимума интеграла сверт-
ки ТИ г (к, у, t) и ЭИ s(x, у, Л*, i):
I — S(K> У’ Л*, t)r(x> y,'t)dxdy. (1-45)
При X, У, больших интервалов корреляции сигнала, и при
стационарном его характере интеграл свертки (1.45) с точ-
ностью до постоянного коэффициента совпадает с взаимной
корреляционной функцией ТИ и ЭИ (рис. 114). Поиск ма-
ксимума этой функции осуществляется в оптимальном из-
мерителе автоматически, при этом его дискриминационной
характеристикой в канале измерения является производная
. (1.45) по х, а в канале измерения — по у.
, '--а?'’ <1л6>
<1Л7>
Системы, реализующие
описанный алгоритм, на-
зываются корреляцион-
но-экстремальными. По-
скольку выражение (1.45)
определяет взаимную
корреляционную функ-
цию' текущего и эталон-
ного изображений только
Рис. 1.14
37
при указанных выше условиях, функции (1.45) — (1.47)
часто называют критериальными.
При малых погрешностях измерений, т. е. при малом
уровне шума п(х, у, t), критериальные функции (1.46),
(1.47) пропорциональны погрешностям измерения:
1х^>д2В(Ьх, by, t)jdbx2 !Дх=0Лх;
Iy^d2B(U, by, t)/dby2\Ay=0by;
поскольку считается, что в силу некоррелированности сиг-
нала и шума и при малой интенсивности последнего
f Js(x, у, Л*, t)n(x, у, t)dxdyp&Q.
х y .
Корреляционно-экстремальные системы указанного типа
ебычно используются в беспоисковых КЭСН. Смысл этого
определения поясняется так. Применение корреляционно-
экстремальных алгоритмов подразумевает использование
сигналов известной формы. Сравнение наблюдаемого сиг-
нала с неким эталоном, определяемым формой сигнала и
априорными (или известными за счет предыдущих измере-
ний) сведениями о его положении на плоскости наблюде-
ния, дает возможность оценить истинное значение вектора
параметров Л. При этом осуществляется автоматическое
слежение за этим значением. Но основное условие работо-
способности беспоисковой системы заключается в том, что-
бы ТИ г(х, у, t) и ЭИ s(x, у; Л*, t) были коррелированы.
Другими словами, распознавание образа — полезной части
наблюдений s(x, у, Л, t) не предусмотрено. Поисковые си-
стемы измерения вектора параметров сигнала производят
распознавание типа сигнала s(x, у, Л, t) и измерение век-
тора параметров Л*.
Форма определения критериальной функции не исчер-
пывается выражениями (1.45) — (1.47). Например, если
воспользоваться соотношениями (1.31), (1.32), связываю-
щими пространственную корреляционную функцию и
спектр пространственных частот, то критериальная функ-
ция может быть записана так:
/=-тЛг + U-48)
J J
где
00
G(<dx, Шу, t) = B(bx, by, /)exp[—j(coJ.Ax-|-«’tfAz/)] dbxdby.
^-00
38
При написании (1.48) шум принят некоррелированным с
сигналом, а дифференцирование по X** и %*у для простоты
не учитывается.
Приведенные выражения подсказывают так называемый
спектральный метод фильтрации пространственно-времен-
ных сигналов. В соответствии с этим способом обработки
подвергаются не сами ТИ и ЭИ, а их изображения в об-
ласти пространственных частот. В этом случае как ТИ,
так и ЭИ преобразуются согласно (1.24) в спектры про-
странственных частот. При этом спектр s(x—X* я, у—
определяется в соответствии с теоремой смещения как
F(сох, (Лу) ехр[—jwxVsc—jcoyA,*^], а спектр полезной части
ТИ — как
К((Щ, COjJeXpl— jwAe—jcOj/Xj/] .
Критериальная функция (1-48) примет вид
00
/ = У У F (<«х- <°у) F* («\, exp [—>хдх ~ dmxdwy; (1.49)
—со
txx = lx— 1*', Ь.у — 1У—I*,
звездочка у F (ш, coy) означает комплексное сопряжение.
Другими словами, обработка вида (1.48), (1.49) пре-
дусматривает преобразование ТИ в его спектр простран-
ственных частот, формирование произведения комплексно-
сопряженных спектров ТИ и ЭИ и, наконец, выполнение
обратного преобразования Фурье для определения взаим-
ной корреляционной функции s(x, у, t) и з(х, у, Л*, О
с последующим вычислением ее производной в точке
ДЛ=Л—Л*. Казалось бы описанные действия усложняют
алгоритм оптимальной фильтрации. Однако современное
развитие оптических средств преобразования изображений
в аналоговой форме и так называемого быстрого преобра-
зования Фурье для изображений в цифровой форме по-
зволяет утверждать об определенных преимуществах реа-
лизации спектрального метода, по крайней мере, при об-
работке оптических сигналов. Подробнее этот вопрос рас-
сматривается в гл. 3.
В выражениях (1.48) и (1.49) не учитывался аддитив-
ный шум наблюдения п(х, у, t), что, конечно, неверно.
Однако сделано это для того, чтобы нагляднее подчерк-
нуть экстремальный характер целевой функции. В реаль-
ных же условиях все спектральные преобразования ведут-
ся с текущим изображением г(х, у, t).
Поскольку речь пошла о представлении наблюдения в
виде набора гармонических составляющих, то возникает
39
естественный вопрос о возможности применения различ-
ных фильтров пространственных частот подобно тому, как
это делается при фильтрации временных процессов. На
этот вопрос ответ уже дан: определение оптимального, ал-
горитма фильтрации предусматривает определение произ-
водной взаимной корреляционной функции текущего и эта-
лонного изображений, что равносильно пропусканию ТИ
через фильтр пространственных частот с импульсной ха-
рактеристикой
' h(x, y)=s'(x—%*х, у—Х*у) =
=ds(x—h*x, у—1*у)/д%*Х(у).
Действительно, выражение для функций 1Х, /у подобно
интегралу Дюамеля, характеризующему реакцию системы
на внешнее воздействие, Производная ЭИ трактуется в
этом случае как импульсная характеристика согласован-
ного фильтра. Можно использовать фильтр пространст-
венных частот с импульсной характеристикой h(x, у) =
=s(x—у—Х*у), но в соответствии с оптимальным
алгоритмом тогда нужно продифференцировать выходной
сигнал такого фильтра по К*х и Х*у в каждом из каналов из-
мерения кх и Ху соответственно. Для такого последующего
дифференцирования можно применить фильтр верхних
пространственных частот, действие которого аналогично
пространственному дифференцированию.
Расрмотрйм этот вопрос подробнее на примере опреде-
ления смещения сигнала $(х) по оси х, т. е. нахождения
Кх. В соответствии с (1.24) ЭИ s(x—Х*х) есть совокуп-
ность пространственных волн различной длины. Такому
представлению соответствует вполне определенный спектр
пространственных частот. В простейшем случае наблюде-
ния одной пространственной гармоники при сох=<о/:
s (« — 1Х*) = -у ёхр (j«>/r — j<o/V) + ехр,(—jwx’x 4- j‘*>/V)-
В этом случае области нулевых фаз на рис. 1.11 имеют
вид бесконечного числа вертикальных параллельных ли-
ний с 0=0, расположенных на расстоянии х0=1/(о/, а
спектр пространственных частот представления с помощью
S-функции: 716(coje—ф'Д. В более общем случае простран-
ственный сигнал формируется суммой бесконечного числа
пространственных гармоник:
00
S (С - V) = 2 хр — j®*'1**) + ехр +
So
40
co
+ /“xiV') —
i=—00
czexp
Лг
где exp
В тригонометрическом виде
S (X A.COS^X mx^x )•
i=0
Импульсная характеристика согласованного фильтра
пространственных частот, соответствующая последнему
выражению, будет иметь вид
h(xj= £ехР(—КЛ);
I =—оо
= 4г А‘ехр
Критериальная функция с учетом усреднения по интер-
валу наблюдения Х'^>х(Уг—2л/(аХ1 согласно (1.45) имеет
вид
00 00
/x=4f f S Е^ехр
X —оо—оо
S ^ехр S л‘г/2со8(“»-дх);
где Дх = Х —1/; <oxikr= wxif—wxk;
00
л = Ху1 J У] -у cos ^xiK ~ п Wdx 0
X —00
составляю-
щая шума.
Таким образом, для получения критериальной функции
вида (1.45) ТИ достаточно пропустить через фильтр, со-
гласованный с ЭИ. Амплитудная часть частотной характе-
ристики такого фильтра представляет собой совокупность
6-функций: А;6(юж—сок/) (рис. 1.15). Для построения дис-
криминационной характеристики (ДХ), . соответствующей
критериальной функции (1.46), напряжение с выхода со-
гласованного фильтра необходимо подать на фильтр верх-
них частот (ФВЧ), который реализует операцию диффе-
41
ренцирования (пунктирная линия на рис. 1.15). В отсут-
ствие шумов реакция ФВЧ соответствует производной
корреляционной функции между ТИ и ЭН. Действительно,
при Х->оо
1IX J .($ (г — dx) = — дВ (Дх)/д&х,
где Лх=А—А*ж.
Очевидно, что в реальных условиях согласованный фильтр
с приведенной передаточной характеристикой построить
нельзя. Можно говорить только о более или менее удач-
ном приближении к такой передаточной характеристике с
помощью, например,, колоколообразной функции (рис, 1.16)
у- exP [—j — «^V)72cl, (1-50)
i=l
где постоянная с выбирается возможно меньшей.
Заметим, что использование пространственного диффе-
ренцирования равнозначно подчеркиванию контурных ли-
ний, которое задолго до решения задачи оптимальной
фильтрации использовалось на практике для обработки
оптических изображений [29].
Выражение (1.50) позволяет определить описанный
фильтр как гребенчатый фильтр пространственных частот.
Очевидно, что такой фильтр является согласованным лишь
в случае, когда наблюдаемый сигнал есть результат сло-
жения конечного числа пространственных гармоник.
При движении носителя измерительной аппаратуры от-
носительно наблюдаемого изображения области нулевых
фаз смещаются параллельно. Другими словами, изобра-
жение образуется за счет распространяющихся простран-
ственных гармоник с различными пространственными пе-
риодами. Выходное напряжение гребенчатого фильтра не
зависит от параллельных сдвигов наблюдаемого изобра-
42
жения, поэтому такой фильтр и в
этом сл’учае остается согласован-
ным. Однако фильтр критичен к уг-
лу взаимной ориентации 0'=0—0ф
между направлением нормали про-
странственной волны 0 и осью
фильтра 0ф (рис. 1.17). Если им-
пульсную переходную функцию гре-
бенчатого фильтра рассматривать
как эталонное изображение (или его
производную), то предыдущее огра-
ничение говорит о недопустимости
относительных разворотов полезной части текущего
и эталонного изображений. Один из способов смяг-
чения этого требования заключается в заведомом «размы-
тии» передаточных функций фильтрующих элементов гре-
бенчатого фильтра, что обеспечивает его инвариантность
к углу взаимной ориентации. В частности, для одномерно-
го случая (0=0) при использовании п одномерных филь-
трующих элементов в [31] сформулировано следующее
условие сохранения инвариантности к допустимой величи-
не угла взаимной ориентации йдоп^^3-^- бдоп-
В зависимости от характера мешающего наблюдению
аддитивного пространственного шума п(х, у) при опти-
мальной обработке используются различные типы фильтров.
В [2] приведены алгоритмы, определяющие оптималь-
ную обработку для некоторых видов п(х, у), представляю-
щих собой гауссовский узкополосный шум и шум, получае-
мый на выходе пространственно-временного фильтра 2-го
порядка. В частности, при действии узкополосного гаус-
совского шума ni(x, у) критериальная функция в каждом
канале оценки кх, 7-у определяется производной простран-
ственной корреляционной функции производных сигнала,
взятых с весами, обратно пропорциональными ширине
спектра мешающего шума в области пространственных и
обычных частот. Для канала измерения 7.х эта функция
без учета шумовой составляющей равна:
д Гдя(х, у, A) ds(x, у, А*)] |
д\х* L дх дх .
J______д— ГУ' AJ_ ds^ A*) 1 dxdy,
^u2 d^x* I dy dy If
(1-51)
ду
43
где \/ах и 1/ау определяются из выражений для состав-
ляющих (по осям х и у) пространственной корреляцион-
ной функции процесса п(х, у):
ВДх, 0)=В(0, 0)ехр[—а%Д%];
В (Ду, 0)=В(0, 0)ехр[—ауДу].
Аналогичное равенство с соответствующей заменой
на дк*у и дх на ду справедливо для канала измерения Ху.
При оценке одномерного параметра Л выражение (1.51)
упрощается:
ds(x — \x*) 1
д\х* + 2М
д Г ds(x— Z%) ds(x — >.х*)
d'K* L дх дх
(1.52)
Физический смысл операций, предусмотренных выражения-
ми (1.51) и (1.52), состоит в следующем. Как отмечалось,
операция дифференцирования соответствует фильтрации
высоких частот. Поэтому чем шире полоса мешающего
шума, тем в меньшей степени учитываются составляющие
высоких пространственных частот полезного сигнала [2].
И наоборот, если основная энергия шума сконцентрирова-
на в области низких частот, то наиболее достоверной ин-
формацией считается информация, содержащаяся в ВЧ
составляющих сигнала. Если пространственно-временной
шум является широкополосным, так что а*-1—>0, ау-1—>0,
функции (1.51), (1.52) записываются так же, как и в слу-
чае ранее рассмотренного белого пространственного шума.
До сих пор говорилось о пространственно-временной
оптимальной нелинейной фильтрации в гауссовском при-
ближении. Вместе с тем известно, что подобное решение
может быть получено на основе иного методического под-
хода [8]. Рассмотрим основные результаты такого решения,
ограничиваясь для простоты процессами г](х, t), изменяю-
щимися по х и t. I Речь идет об оптимальном измерении
многошаговых процессов
X,=<7i-1 +т]г-1;
<г]/>=0; <y\iX\i)~Ho8ir,
6iz=l при i—l и 6«=0 при
<Л/>=Лг; <(V- X,)>=Afz.
Наблюдение
44
(jlitljy-Cg6ij',
<щ>=0,
где ra=r(Xi, tj); Sij(kj)=s(xi, tj, X/); ni7=n(Xi, t/)~
дискретные выборки непрерывных пространственно-вре-
менных процессов r(x, f), s(x—X, t) и п(х, f) соответствен-
но. Можно показать, что оптимальная в смысле наимень-
ших квадратов
Z=0,5<[(X/-MW+
+ [r/-s/(X*/)I2C0-']>
оценка X*/.определяется как [8]
V = Zy + 0/ “а?2 sif (Z/) [r,7 — stj (Z;*)];
1=1
‘ m
°? = °2_, + 2^//2F + Ho/2F - 0/V 3 Sf. (Z,-).
1=1
где о2/—<(A./—X*,)2>; a20=4FGC0; Xj=<Xj-i>; Co — спек-
тральная плотность непрерывного пространственно-времен-
ного шума п(х, f)' с шириной прямоугольных спектров
временных и пространственных частот 2F и 2G соответст-
венно.
Алгоритм оптимальной фильтрации непрерывных про-
странственно-временных процессов, соответствующий ука-
занному подходу, записывается в виде:
Z* = <z(Z*, t)4-с^сГ1 Jds{x^— (* 0 — s(x — Z*, rt)]dx;
x
(1.53)
0==_w^_!L0=_|_/y 0«су' (1.54)
dl* 10 J L dl* J v ’
x
Фильтры, реализующие алгоритмы типа (1.53), (1.54),
предложено называть пространственно-временными фильт-
рами типа Калмана [8]. Если учесть, что при X, много
большем интервале корреляции процесса s(x, t),
rr &(»->•. ( г)Л.
J L ЙХ* J J
X
то становится очевидным идентичность нелинейного алго-
ритма оптимальной фильтрации в гауссовском приближе-
нии и алгоритма типа (1.53), (1.54).
45
В заключение приведем пример построения пространст-
венно-временного фильтра для одномерного постоянного
X. В соответствии с алгоритмом оптимальной фильтрации
(1.40), (1.41)
i=огс0-' [ г(х’ 0 d>c; (1 -55)
X
•2 1 С 63б(х - X*, 0 / /
о2 — о Со I ------"дх*2---L S
X
Решение последнего уравнения выглядит так:
(1.56)
где (y20=o2(t=to) 5 ц'=В(0)/Се— отношение сигнал-шум;
Ce=Co/X=CoAFAG; AF, AG— полоса пропускания при-
емной аппаратуры в смысле обычных и пространственных
частот- соответственно; Я(Ах) — пространственная корреля-
ционная функция сигнала; /? (Ах) =В (Ах) /В (0)—коэф-
фициент пространетвенной корреляции; /?"(0) =
=<52/?(Ах) /<5Ах2—значение второй производной в точке
Ах=0.
Последнее соотношение хорошо поясняет физику явле-
ний— точность измерения тем выше, чем точнее начальная
выставка измерителя к началу его работы (т. е. чем мень-
ше о2о), чем выше отношение сигнал-шум и чем острее пик
пространственной корреляционной функции сигнала. Адап-
тивные свойства измерителя определяются тем, что в нем
автоматически производится выбор постоянной времени,
обеспечивающей минимальную динамическую погрешность
при максимальном сглаживании шума. Заметим, что ука-
занными свойствами обладает не только приведенная
здесь схема оптимального для 7,=0 фильтра, но и все по-
добные устройства, рассчитанные для более сложных слу-
чаев [2]. Формула (1.56) в некотором смысле идентична
(1.17) с той лишь разницей, что в последней принимается
во внимание время накопления (/—10), тогда как в (1.56)
помимо этого времени аналогичную роль играет интервал
накопления X. , Физически это очевидно: когда мешающий
шум является временным процессом, речь идет о времен-
ном усреднении, если же этот шум представляет собой
пространственно-временную функцию, усреднение произво-
дится не только по времени, но и по пространству наблю-
дения.
46
Нетрудно убедиться в том, что при комплексной^ на-
блюдении, когда параметр X в предыдущем примере изме-
ряется с помощью нескольких сигналов, смещенных отно-
сительно нуля на одинаковое расстояние, алгоритм опти-
мальной нелинейной фильтрации
т
I* = J S [П Z*. 0] dK-,
х z=i
V = {«r4<r[|Br(0)|C,-']r';
в;'(О) = -£-в(Дг)|д1.=о;
С//АЛ
B(AZ);=f $ S(x — Z*. 0ST(x — Z*, t)dxdt
X t—to
—корреляционная диагональная (вследствие некоррелиро-
ванности сигнальных каналов) матрица сигнала S=
=llsj, Si, • •sm||T; Ce=Co/X; Co—диагональная матрица
спектральных интенсивностей векторного шума n(x, t);
tr — след матрицы. Если используемые сигналы стационар-
ны во времени (например, оптические поля), то
о2х= [O20x+tr (| B"s(0) |Се->] (t—t0) ]
Функциональная схема фильтра (1.55) изображена на
рис. 1.18. Входной сигнал r(x, t) проходит через маску,
прозрачность которой пропорциональна производной, эта-
лонного сигнала. Сигнал с выхода интегрального прием-
ника поступает на усилитель с коэффициентом усиления
о2Со-1. Положение маски в координатах плоскости наблю-
дения по оси х определяется двигателем (интегратором),
отрабатывающим ошибку рассогласования:
t
Z* — Zo= Ja2CT'/^;
t0
Zo — Z —10),
r__f 'ds(x — A*, t)
J r(x> 0^-
X
Критериальная функция здесь
пропорциональна производной
пространственной корреляци-
онной функции сигналов ТИ
и ЭИ. При оптических сиг-
налах часто применяют, кри-
47
термальную функцию подобного типа. Для этого использу-
ются специальные устройства, основой которых являются
оптические корреляторы. Методы оптимальной фильтра- f
ции пространственно-временных сигналов с помощью on- j
тических корреляторов изложены в гл. 4.
Алгоритмы оптимальной фильтрации для моделей вто- j
рого типа разработаны в [26, 27]. При скалярном наблю-
дении, когда используется один датчик постоянного во '
времени поля г(х):
ds*(x, t) Xzi t) t (r)— Cg(r', xz)s*(r', t)dx' ;
dt J
X
(1.57) 4
dK(x,^', Q4-Co-^ Хг t} = 0; f
R(x, xz, £) = jg(x', xz\K(x, x', t)dx'-,
X
K(x, x', /) = <[s*(v, t) — s(x)] [s*(x', t) — s(r')]> (1.58)
—корреляционная функция погрешности оценивания.
Для упрощения процедуры определения К, второе из
уравнений (1.57), может быть представлено так:
dRlx, xz, t)/dt -}-C^lR(x, xz, t)^ g(x, xz)R(x', x, xz)dx' = 0.
x
Алгоритм представляет собой по сути аналог линейного
алгоритма фильтрации Калмана и может быть получен за
счет предельного перехода от обычного непрерывного
фильтра Калмана к интегродифференциальным уравнени-
ям в частных производных [26, 27].
При векторном конечномерном, т. е. при комплексном
наблюдении, когда измерение ведется с помощью несколь-
ких измерителей, алгоритм оптимальной фильтрации:
— S*(x, 0 = R(«,
dt
xz, t) Co1
r(r) — j g(x', xz)S*(x', t)dx'
X
— K(x', x', 0 + R(«. xz, /)Cy’RT(r', xz, 0 = 0;
dt
R(x, xz, t) = JgT(x/, xz)K(x, x', t)dx',
X
где Co—матрица спектральных плотностей шумов, дейст-
вующих в каждом из измерителей.
48
Алгоритм векторного конечномерного наблюдения наи-
более просто реализуется, когда импульсная характеристи-
ка приемной части измерителя может аппроксимироваться
б-функцией g=8(x—xz), что соответствует, например, раз-
решению оптической аппаратуры [26]:
ds*(~xz, = t) — s*(xz, 0]- 1 (159)
dJjdt = J
°‘ = <[s(xz) — s*(xz, 0]s>-
Из второго уравнения (1.59) имеем:
СГ2= [сго^Ч-Со-Ч#—М]-1, а20=а2(/=М- (1-60)
Интересно сравнить последнюю формулу с выражением
(1.56). По существу, они однотипны и отличаются только
тем, что в (1.56) дисперсия точности измерения положения
сигнала наряду с другими величинами определяется кру-
тизной производной корреляционной функции
(д2В (ДХ)/<ЗДХ2) в районе нуля: чем уже пик корреляцион-
ной функции в нуле, тем точнее измерения. В выражении
(1.60) такой зависимости нет. В основе этого положения
лежит физически наглядная картина: точность измерения
величины потенциала поля в точке не зависит от его харак-
тера и тем точнее, чем острее поле зрения используемого
для измерения прибора. Если же измеряется положение
сигнала, то, естественно, даже при узком поле зрения из-
мерителя возможности повышения точности измерения
ограничены «гладкостью» сигнала: чем больше острых вы-
бросов, т. е. чем шире спектр используемых при измере-
нии пространственных частот, тем меньше дисперсия
ошибки. В [26] проведено оптимальное решение для слу-
чая тонкоструктурного поля, когда разрешение датчика
наблюдения значительно больше интервала корреляции р
погрешности оценивания. При этом
V —itpVCjpg (х, хг)
dt
xz)s*(x', t)dx'
да2(х, О + ^рУС7^2(х, xz) = 0.
Как и в предыдущем случае, корреляционная функция по-
грешности оценивания может быть найдена с помощью
преобразованного уравнения:
4—370
49
Заметим, что в ряде случаев модель второго типа
успешно используется и для получения алгоритмов про-
странственных сигналов, которые называют также алгорит-
мами для бесконечномерного измерения [26, 27]. Практи-
чески бесконечномерный вектор наблюдения характеризу-
ет контраст оптического изображения на выходе мозаич-
ного детектора (приемника) излучения:
г(хг, a)da = j g(x, хг, a) s( г) с?а-ф-л (a) da,
х
где а—вектор, характеризующий положение точки в кадре,
da — площадь элемента мозаичного детектора, л (а)—
белый шум, интенсивность которого зависит от положения
точки в кадре, но шумы различных элементов считаются
некоррелированными. /В этом случае алгоритм оптималь-
ной фильтрации определяется системой скалярных диффе-
ренциальных уравнений в частных производных:
—a)s*(x)dx da;
X
(>К<Х'—Хг' ° + К(х, xz, 0 fc?'(a) х‘ t)dx’;
А X
g(x', хг, a)dr'da = 0.
Подведем основные итоги рассмотрения методов прост-
ранственно-временной фильтрации. Приведенные алгорит-
мы оптимальной обработки пространственно-временных
сигналов условно можно разделить на два класса. Каждый
из них определяется типом исходной модели и характером
измеряемой величины.
К первому классу относятся нелинейные алгоритмы, оп-
ределяющие структуру следящего за положением сигнала
5(х, У, t) измерителя. Такой измеритель оценивает смеще-
ние этого сигнала относительно начала отсчета в системе
координат на плоскости наблюдения. Ошибка рассогласо-
вания формируется за счет получения значения производ-
ной взаимной корреляционной функции текущего г(х, у, /)
и эталонного S(x, у, Л*, t) изображений. Основной опера-
цией при обработке сигнала является определение значе-
ний этой функции, соответствующей погрешности измере-
ния. Таким образом, речь идет о корреляционно-экстре-
50
мальных системах, использующих двумерное изображение
местности или другого наблюдаемого объекта (совокупности
объектов). В имеющейся литературе эти системы носят на-
звание беспоисковых, поскольку априорное значение фор-
мы наблюдаемого сигнала, т. е. наличие ЭИ является од-
ним из основных принципов их работы.
Ко второму классу относятся линейные алгоритмы, оп-
ределяющие структуру линейного измерителя потенциала
трехмерного поля в любой заданной точке пространства.
Принято считать, что такие системы могут работать в по-
исковом режиме. Поэтому они часто носят название поис-
ковых. Существо их работы заключается в том, что в них
анализируется совокупность заранее подготовленных эта-
лонных значений измеряемого поля. Выбор по некоторому
критерию наиболее подходящего ЭИ позволяет решить оп-
ределенную практическую задачу, например определить
местоположение носителя измерительной аппаратуры [1,
26]. При известных пространственных координатах аппа-
ратуры съемки поля алгоритмы типа (1.57), (1.58) могут
быть использованы для получения наиболее «правдоподоб-
ных» эталонов.
Заметим, что при решении ряда навигационных задач
успешно используется подход, основанный на калманов-
ской нелинейной фильтрации [1]. Такой подход предпола-
гает задание интенсивности используемого поля в виде со-
вокупности его значений s(A>, /). При этом мешающий шум
считается случайным процессом, зависящим от времени, а
не от пространства наблюдения. Если априорные сведения
об измеряемом векторе параметров А< задаются уравнени-
ем вида (1.8), для получения оптимальной (точнее, квази-
оптимальной) оценки используется алгоритм вида (1.13),
(1.14). В правой части дифференциальных уравнений
(1.13), (1.14) интегрирование по пространству наблюдения
не используется. Это вызвано тем, что задание наблюдения
r(t) не предусматривает аддитивного пространственно-вре-
менного шума. Так как помеха в этом случае появляется
в виде временного процесса п(/), то и усреднение измере-
ний по пространству наблюдений не ведется. Поэтому
функционал правдоподобия в случае пространственно-вре-
менного белого шума п(х, у, t) со спектральной плотно-
стью Со [2]
L = c exp
----2~ J J J У' У’ Л’
ХУТ
4*
51
ХСоГ[г(г, у, t) — s(r, у, Л,
а для временного шума с матрицей спектральной плотно-
сти N
L = cexpf—^-J[r(Z)—s(A, 0]тN [г (t) — s(A, f)]t#l.
I т J
Для реализации нелинейного алгоритма Калмана при
решении навигационных задач необходим блок памяти, в
нем должны храниться как карта поля, так карта его пер-
вых частных производных (последние могут вычисляться в
процессе получения оценки). Из структуры алгоритма ви-
дим, что в нем используется усредненное по времени значе-
ние произведения сигнала наблюдения г(х, у, t) на сигнал
блока памяти. Это позволяет отнести подобный алгоритм
к корреляционному.
Основные алгоритмы квазиоптимальной фильтрации
временных и пространственно-временных сигналов для слу-
чая аддитивного белого гауссовского шума указаны в
табл. 1.3.
ТАБЛИЦА 1.3
Измерение Алгоритм
Параметра А вре- менного сигнала s(A, f) Нелинейный Калмана (1.13), (1.14) Нелинейный в гауссов- ском приближении (1.15), (1-16)
Параметра А про- странственно-вре- менного сигнала s(x, у, А, 0 Нелинейный пространст- венно-временной фильт- рации в гауссовском при- ближении (1.36), (1.38) Нелинейный пространст- венновременнбй фильт- рации калмачовского типа (1.53), (1.54)
Сигнала s(x, t) Линейный пространственно-временной фильтрации калмановского типа (1.58)
1.4. Оптимальная фильтрация пространственно-временных
сигналов и распознавание образов
Процесс распознавания образов может быть представ-
лен в виде двух этапов. На первом этапе производится из-
мерение определенных оценок со значениями параметров,
принадлежащих к заведомо классифицированному (эталон-
ному) образу. Экстремальное значение выбранного для
32
сравнения критерия с некоторой степенью вероятности по-
зволяет судить о принадлежности наблюдаемого образа к
определенному классу. При этом может быть две ситуации.
В первой из них априорные сведения о том, что мы соби-
раемся увидеть и классифицировать, достаточно скудны.
Поэтому, наблюдая распознаваемый образ, приходится
сравнивать его с большой совокупностью эталонных обра-
зов, определяя степень близости к каждому из них. Вторая
ситуация отличается тем, что используется лишь один эта-
лонный образ, который по совокупности его параметров
сопоставляется с наблюдаемым. В этом случае ответ дает-
ся на вопрос, принадлежит ли наблюдаемый образ к тому
же классу, что и эталон, или нет? Задача распознавания
выглядит несколько сложнее, когда, наблюдая совокуп-
ность образов и имея на руках один эталон, приходится
отвечать на вопрос, есть ли в наблюдаемой совокупности
ожидаемый образ.
Даже такое краткое изложение существа распознавания
образов позволяет говорить, во-первых, об измерении и, во-
вторых, о сравнении наблюдаемого образа с ЭИ путем со-
поставления их параметров-признаков. Причем первое по
смыслу предшествует второму. Но в соответствии с теорией
оптимальной фильтрации оценивание параметров всегда
связано с использованием эталона (эталонного изображе-
ния — ^образа), априорно идентичного наблюдаемому об-
разу. Итак, чтобы измерить параметры текущего изобра-
жения оптимальным образом, необходимо знание формы
наблюдаемого изображения, а следовательно, его принад-
лежности к определенному классу образов. А чтобы решить
вопрос о принадлежности ТИ к определенному классу об-
разов, желательно провести оптимальную (в условиях ап-
риорной неопределенности и шумов) оценку его парамет-
ров-признаков. Попробуем избавиться от этой кажущейся
противоречивости.
Совокупность оценок и отличительных признаков распо-
знаваемого изображения характеризует некоторую точку в
^-мерном пространстве. Например, оценки двух признаков
xlt Х2 могут трактоваться как координаты точки на плоско-
сти хОу. Область возможных или допустимых оценок от-
личительных признаков образует подпространство образа,
относящегося к одному классу. Совокупность других зна-
чений оценок образуют следующую область и т. д.
Наиболее частой формой оценки идентичности изобра-
жений является минимум нормы разности вектора X и не-
которого вектора X*, характеризующего ЭИ. Если компо-
ненты векторов безразмерны (или имеют одинаковые фй-
53
зические размерности), то пользуются невзвешенной сум-
мой квадратов разности компонентов этих векторов:
ДХ= (X—Х*)т (X—X*). (1.61)
Считается, что наблюдаемый образ принадлежит к i-му
классу, если квадратичная форма меры (1.61) для i-ro эта-
лона меньше той же величины для любого другого этало-
на, т. е.
(X—X*i)’(X—X*f) < (X—X*,)’ (X—X;)
для всех j=£i.
Каждый из эталонных образов находится на ^-мерной
сфере радиуса R, т. е. квадрат радиуса R2=XTjX*j для всех
j постоянен. Поэтому рассмотренный метод минимизации
расстояний между векторами X и X*j состоит в том, что
образ, характеризуемый набором признаков хь хг, ..., хд,
принадлежит к i-му кларсу, если ХтХг>ХтХ*;, i=£j.
Поскольку измерения ведутся на фоне мешающих шу-
мов, а допустимые для данного класса изображений оценки
в силу априорной неопределенности устанавливаюжся неточ-
но, границы классов размыты. Это значит, что результат
распознавания, как и оценка отличительных признаков рас-
познаваемого изображения, носит вероятностный характер.
Поэтому в качестве меры сходимости наблюдаемого и эта-
лонного образов целесообразно использовать статистиче-
ские характеристики. При определенных условиях наиболее
удобный в этом смысле является взаимная корреляционная
функция между векторами X и X* [32], т. е. В—<XTX*j>.
Предположим что имеется устройство, измеряющее со-
ставляющие вектора X, каждая из которых представляет
собой какой-либо параметр наблюдаемого объекта — об-
раза. Пусть существует М возможных классов образов.
С каждым классом связана условная плотность вероятно-
сти w (Х/ю<) и априорная плотность вероятности события
w(oji), соответствующего i-му классу образов. Задача рас-
познавания заключается в том, чтобы найти метод обра-
ботки вектора X для определения класса наблюдаемого
образа.
В качестве примера такой задачи рассмотрим задачу
обнаружения сигнала известной формы As(t) с неизвест-
ной амплитудой А и на фоне белого гауссовского шума.
Пусть принимается колебание r—As-\-n, которое ограни-
чено по ширине спектра приемного устройства величиной
Д77 и имеет длительность Т. Требуется вынести решение
о том, присутствует ли в принятом колебании полезный
сигнал 4s(i) (событие оц) либо принимается один шум
54
(событие юг)- Условная плотность вероятности, связанная
с событием mi, может быть определена с помощью функ-
ционала правдоподобия, соответствующего случаю адди-
тивного белого шума [33]:
©(г/®1( Д)=сехр
(1.62)
о
<n{t)n{t — х)> = У8(х),
где с — нормирующий множитель.
Если известна априорная плотность вероятности ампли-
туды ©рг(Л), оптимальный байесов приемник вычисляет
вероятность события так:
©(г/м,)—У©(г/сог A)wps(A)dA. (1.63)
А
Вычисляемое значение ©(r/coi) сравнивается с некоторым
порогом. Если порог превышается, принимается решение о
событии Mi, полезный сигнал есть, если нет — о событии
©г- Таким образом, процесс распознавания требует предва-
рительной оценки амплитуды, что необходимо при вычисле-
нии (1.63). Если полоса приемного устройства ограничена
величиной ДЕ, то на основании принципа дискретизации не-
прерывных сигналов принимаемое колебание может быть
представлено вектором г, состоящим из 2ТДЕ выборочных
значений [33]:
г(1/2ДЕ)
г= г(1/ДЕ) . .
г(Т)
Условная плотность вероятности, связанная с событием <»j,
определяется однозначно
w (Г/.„ Л) = (2МТ'" ехр [ - ,Г-Л‘>;<а7Л*> ].
где
в(1/2ДЕ)
s= s(l/AF)
s(T)
При наблюдении пространственных $(х, у) и простран-
ственно-временных s (х, у, t) сигналов изложенные принци-
пы распознавания выглядят так: на плоскости наблюдения
хОу находят область, в которой функция интенсивности
сходна с некоторой заранее заданной функцией интенсив-
55
ности, называемой эталоном.
Критерием сходства и в данном
случае является квадратичная
форма меры (1.61), которая при
гауссовском характере совмеще-
ния наблюдаемого и эталонного
изображений сводится к корре-
ляционной функции между на-
блюдаемым и текущим изобра-
жениями:
B = <s(x, y)s(x—Kx, у—Ky)),
(1.64)
где Кх и Ку определяют сдвиг эталонного изображения от-
носительно принадлежащему тому же классу изображения
на плоскости наблюдения хОу.
Максимум (1.64) соответствует полному совмещению
этих изображений, при котором Кх, Ку—0. Но поскольку
перемещение эталона по плоскости наблюдения, так ска-
зать, в наших руках, то и его положение в системе коорди-
нат хОу всегда известно (рис. 1.19). Таким образом, ма-
ксимизация значения (1.64) позволяет не только решить
задачу распознавания, но и измерить положение текущего
изображения на плоскости наблюдения. Покажем это.
Пусть полезный пространственно-временной сигнал i-ro
класса $г(х—К, t) наблюдается на фоне пространственно-
временного белого шума п(х, t) со спектральной плотно-
стью Со (для упрощения вторая координата у плоскости
наблюдения хОу не рассматривается). Нужно определить
к какому классу из р возможных принадлежит наблюдае-
мый сигнал. В общем случае распознавание может прово-
диться с помощью р-канального устройства, в каждом ка-
нале которого вычисляется условная плотность вероятности
события со/, соответствующего присутствию /-го сигнала
(/=1, 2, ..., р) [29, 32]:
w(r/<oz) = J w(r/lz, coz)to(lz)(/lz, (1-65)
где г —г (к, t) = st{K—Xt, t)-\-n(x, t);
Ax, t-\-kt)n(x, /)> = C05(Ax, A/);
ay(Xz) — априорная плотность вероятности X?. Полученные
в каждом канале значения w (г/шг) сравниваются с целью
выявления наибольшего, и принятия решения об Z-м собы-
тии. Поэтому задача распознавания в рамках байесова
подхода определяется нахождением условий плотности ве-
роятности w(r/Ki, со/), называемой также функционалом
56
правдоподобия. Для случая пространственно-временного
аддитивного белого шума [2]
<fiz) = cexp (--JJ [r(r, — — t)]*dxdt}.
( ° X т J
(1.66)
При размерах области наблюдения X, много больших
интервала корреляции сигнала si(x, t):
<oz) = cexp [---[Bz + Bz-|-B„—2B;z + 5„z+B„z]],
( z I
(1-67)
где
Bz
X T
\ T
/?2(v’ /)dxcK:
X T
Вп1Г'хт^ |
x т
Bnt f — t>>dKdt-
X T
В приведенных выражениях для взаимной корреляционной
Вц и корреляционной Bz функций под X/ понимается на-
чальная выставка /-го эталона. Поскольку сигнал и шум
не коррелированы, то при постоянной энергии шума Вп=
=const и Bni(/)^0, значение w{rlKi, ед) определяется дву-
мя факторами — близостью эталона sz(x—Хг, /) к наблю-
даемому сигналу st (х—Аг, /) и точностью измерения его по-
ложения Х,. Действительно, включив Вп в постоянную с,
имеем
©(r/lz, <fiz) = cexp
F-(So-Bs)l,
cz j
57
где
B0=Bj=Bi, Ва—Вц.
Экспоненциальная функция изменяется монотонно в зави-
симости от значений своего показателя. Поэтому функции
Во и Bs полностью определяют характер изменения плот-
ности вероятности w(r/ki, a>i). Другими словами, при изве-
стной априорной плотности вероятности w(Ki) определение
подынтегральной функции в (1.67) эквивалентно вычисле-
нию Во и Bs. Очевидно, что максимум этой функции дости-
гается при минимуме разности Bs—Во. Если i=l, т. е. на-
блюдаемый сигнал и эталон принадлежат к одному классу,
а погрешность измерения положения сигнала —Xi
близка к нулю, вероятность правильного распознавания
максимальна. Действительно, при малых погрешностях
выставки эталона и при 1=1
BO—BS^B'SM,
при B's значение производной корреляционной функции в
нуле, ДЛ=Лг—X*/, л*( — текущая выставка эталона, или
оценка смещения наблюдаемого сигнала. Таким образом,
плотность вероятности w(r/!ki, со/) выступает здесь в роли
апостериорной плотности вероятности оценки смещения на-
блюдаемого i-ro сигнала, а распознающее устройство в со-
ответствии с алгоритмом (1.65) представляет собой p-ка-
нальный измеритель, в каждом канале которого использу-
ется свой 1-й эталон с начальной выставкой, определяемой
ожидаемым положением /-го сигнала на плоскости наблю-
дения. Если l-й сигнал-образ присутствует в наблюдении
ir(x, /), то в /-м канале в соответствии с (1.65) производит-
ся оптимальна^ (по максимуму апостериорной плотности
вероятности) .оценка его положения X*/ (рис. 1.20).
Рис. 1.20
58
Пусть прием наблюдаемого сигнала r(x, t)=Si(x—%,•) +
+«(х, t) производится устройством, ширина эквивалент-
ных спектров пространственных и временных частот которо-
го равна соответственно G й F. Тогда принимаемый сигнал
при некоторых ограничениях может быть представлен век-
тором г, состоящим из 2TFx2XG=M выборочных значений
[2]:
г(Д/, Дх)
г(2Д/, Дх)
г(Т, Дх)
г(Т, 2Дх)
=||r/ft||, /- k'=\, 2,..., m\ M = m\
г(Т, X)
где интервалы дискретизации Af=l/2F, Ax=l/2G, меньшие
или равные соответственно временному и пространственно-
му интервалам корреляции процесса s(x, t).
L Пусть априорная плотность вероятности w (Л() нормаль-
на. Тогда
w(r/Zz, coz)w(Zz) = (2rC0FG)-M/2exp [—(г — s)T(r -
- s) (2C/G)-1] (2™2 Г1/2ехр (Zz — Zz)/2of ; (1.68)
h = <^>> & = <&i - V>.
где s — вектор выборочных значений ЭИ, равный .
s(ht, Дх) s(2AZ, Дх)
S—- s(T, Дх) j(T, 2Дх) = 11 w
s(T, X)
Максимизация произведения (1.68) сводится к нахождению
минимума функционала
7= (г—S)т (г—S) (2C0FG) -*+(Хг^) 2о-2.
При задании параметра с помощью уравнения (1.8) ис-
комый минимум обеспечивается при оптимальном нелиней-
ном алгоритме обработки сигнала корреляционно-экстре-
мального типа (1.40), (1.41) [8]:
Xil = (2-il, t) 4- <JiCf 1 [Вц 4~«е] —04"
+ <з2цС^1 {-^—r(x, t)dx; (1.69)
J
x ll
59
°и — 2<7/(Ягц, t) ац -|- ацСеВц -|- — QqJ {Хи, ^)сп~|-
+ °иСо'' [^-r(x, tjdx-J-M,,
где
п 1 f д$1* ; ‘
В и = — I —— S:dx;
1 X .1 д\,, 1
х
')Л:;
X 1
s*l = s,{x — Xu, t); s^Sitx — Xi, t); Ce = C0/X;
, t) •
q('{Xii,t)=---------; Xu — оценка Xi в l-м канале; '
Xu(t = f0)^Xi, ^i{t = t0)^^;
0?z = <(Zt.-^)s>-
Таким образом, сочетание p фильтров, реализующих опти-
мальный алгоритм (1.69), позволяет решать задачу распо-
знавания следующим образом. На вход каждого фильтра
поступает входной сигнал наблюдения r{x, t), представ-
ленный своими дискретными значениями. В каждый же из
них вводится эталонное изображение (также в дискретном
представлении), положение которого определяется в на-
чальный момент времени — априорными сведениями, а за-
тем — оценкой Х,*ц, полученной на предшествующем шаге
наблюдения. Если в /-м канале формируется наименьшее
значение о2ц, то во входном сигнале присутствует образ
того же 1-го класса, что и эталон.
Оптимальное измерение положения сигнала идет одно-
временно с его распознаванием. Структурная схема распо-
знающего устройства, реализующего алгоритм (1.68), изо-
бражена на рис. 1.20. Если за время установившегося ре-
жима измерителей распознающего устройства описанного
типа можно считать, что Х,=0, то оптимальный алгоритм
работы i-ro канала с учетом решения дифференциального
уравнения для о2« запишется так:
60
* j 2
J J c0
“1—1
rdxdt -j- с/ (t — 0)
d2si*
Co J J d\^
u о x “
где c2i(t=Q) соответствует априорной точности начальной
выставки эталонного изображения s*i. Решение о присут-
ствии в наблюдении r(x, t)=r i=l-ro сигнала можно, та-
ким образом, принимать по максимуму второй производной
взаимокорреляционной функции наблюдаемого и эталонно-
го сигналов в одном из каналов распознающего устройст-
ва. Процесс распознавания упрощается, поскольку при'при-
близительно одинаковых априорных <у2г (/=0) нет необхо-
димости рассчитывать значения в каждом канале. До-
статочно определить
тот кайал, где
f J d2s*/dXurdxdt
о x
имеет максимальное
ритель переходит в
кц (рис. 1.21).
значение. При этом указанный изме-
режим автоматического слежения за
Рис. 1.21
61
' В более общем случае, когда неизвестными являются
положения наблюдаемого сигнала как по оси х, так и по
оси у, алгоритм оценки и в каждом i-м канале распо-
знающего устройства в соответствии с (1.37) записывается
так:
i-xil—QxlkXit, ^yib 0 ~h Cq 1 J"
X У
o2
dsi*
dKcil
dsi*
xyii :
дк
rdxdy;
'yU J
^yll — Qyl (Xi I’ X‘l
J °-
X Y L
ds* i
—— rdxdy;
-51* -~| dxdy + 2K
^xifi^l J
^xll .
^xil %dqxi (Zxil, Ayih t)IdXxilOxil -f-
'ffK ^~+кХуи^^-2кХуАх
x Y L dlxil dlyil
dQxlO'xil' \il< I .< .
xyil Z ГМхГ
d\ii
•2 л^У11^хИ' ^yil’ a2 i r~
Qyil — x, - ^yil -|-Co
dlyil
I jx- d*si*
H- Жху11
У Щ*2
^yil
^Xyil^ll-^-]dxdy +
d^xiidlynj
^‘JyldKil’ ^yil< .
I»
K-xyil — ^xyil
dlxil
дЧх!(^х11> ^yil’
^yil
гг о и~аГ I гг 2 дг8[*
KxyH°xil гКхуЦ°уИ
dKcil
.2 d*Sl*
dt1yl(Xil< *yil’
I -
d2si*
,2 02 1^2 —~\dxdy-\-
xit yil I 'xyii' ».* 1
0Kxil(>Kyil
*1
62
^ylt^-xil’ ^yil' -L 02 ^^xlO^xtl'
^xi °yil ы;(1
где априори
^Xl Qxl (^Xf, hyl, hyl Qljl hxlf t) i ГПу*
(mx (t) mx (t—t) )=Mxfi (t)/2; (my (t) my (t—r) >=AfyZ6 (t)/2;
(mx(f)my(f))=0;
K*xil (f=0) =hxT, k*yii (^=0) =%y[.
Решение о присутствии в сигнале наблюдения l-го сиг-
нала (т. е. сигнала, идентичного эталонному s*i) принима-
ется после окончания установившегося процесса в каждом
из каналов распознавателя, когда оценки X*xi и K*yi стано-
вятся независимыми. При этом значение (о2хц-}-а2уц) ми-
нимально в том канале, где i=/.
Заметим, что в распознающих устройствах рассмотрен-
ного типа не обязательно использование р-канального из-
мерения. При переходе к последовательному методу доста-
точно иметь один канал, реализующий алгоритмы типа
(1.69), но при этом последовательно сравнивать входной
сигнал с р имеющимися эталонами. Естественно, что такой
метод при значительном упрощении общей схемы распозна-
ющего устройства целесообразно использовать при малом
количестве ожидаемых сигналов-образов. В противном слу-
чае процесс распознавания потребует значительного обще-
го времени распознавания, превышающего время распозна-
вания р-канального устройства приблизительно в р раз.
При комплексном наблюдении объект распознавания
характеризуется векторным сигналом. Это имеет место, на-
пример, когда наблюдение ведется с помощью совокупно-
сти оптических сигналов с разной длиной волны. Если при
этом наблюдение описывается как
г(х, у, t)=Si(x, у, А,-, 0+п(*, У> *)
где п(х, у, t) — гауссовский белый шум с матрицей спек-
тральных интенсивностей составляющих Со, то алгоритм
оптимального распознавания для l-го канала записывается
подобно (1.69) из (1.36) и (1.38):
An = Q/(A*/. 0 + ^п У sz' тС?‘г (х, у, t)dxdy,
х Y
K;z = Q/(A*;, ОК^ + ВД'ЧЛ?/, 0 + KnB"K;z + Mz;
63
dslt(x, у, A-f, t)
dsmi(x. у, t)
Кн
dsn(x, у, An, Q
dsmt(x, у, Х'ц, t)
д2Фг
d\^i
д2Ф/
^*yildKil
д2Ф/
д^хН^уН
Р2Фг
гХ*2
oKyil
dxdy\
Ф/ = 8гт(х, у, л'и, ^)Со 'г(х, у, t).
1.5. Особенности формирования оптических сигналов
Эти особенности удобно рассматривать в определенном
порядке, который обусловлен спецификой образования оп-
тических сигналов при навигации. Входной сигнал в виде
характеристик совокупности ориентиров формируется в про-
странстве, называемом предметным. Таким пространством
может быть земная или морская поверхность, космос и т. д.
Информация, полученная от этого пространства, поступает
на борт объекта навигации по каналу, в качестве которого
выступает среда распространения оптических колебаний
и преобразуется первичным фильтром спектрального
состава излучения и пространственных частот—оптической
системой. Оптическая система формирует в плоскости на-
блюдений фрагменты пространства предметов, расположен-
ные в поле зрения — текущее изображение (ТИ). Это изо-
бражение воспроизводится на чувствительном слое прием-
ника лучистой (световой) энергии, от вида которого зависит
метод корреляционной обработки. В такой последова-
тельности и рассмотрим процесс формирования оптическо-
го сигнала. При этом в зависимости от того, в какой обла-
сти спектра преимущественно излучает источник, будем
использовать для его характеристики как энергетические,
так и светотехнические величины. Переход от одних харак-
теристик к другим большого труда не-представляет-
Оптическое пеленгование .основано на использовании
контраста яркости наблюдаемых на. мешающем фоне объ-
ектов (ориентиров). Контраст яркости таких объектов су-
ществует за счет их свойств излучать либо переотражать
энергию электромагнитных колебаний в оптическом диапа-
зоне волн в большей или меньшей степени, чем окружаю-
64
щие их источники мешающего излучения или отражения.
Суммарное излучение объекта обусловливается двумя со-
ставляющими— собственным тепловым излучением и от-
раженным излучением естественных или искусственных
источников (Солнце, Луна, звезды, Земля, атмосфера, мощ-
ные излучатели организованной подсветки и т. п.). Как уже
отмечалось в гл. 1, тип этих источников определяет харак-
тер оптического поля естественного или искусственного
(организованного). Однако следует отметить, что в подав-
ляющем большинстве случаев суммарное поле формирует-
ся под воздействием естественных и искусственных источ-
ников одновременно. Это обстоятельство часто существенно
затрудняет возможности обработки (фильтрации) сиг-
налов в широком диапазоне шкалы оптических длин волн,
что заставляет прибегать к дополнительным мерам, напри-
мер спектральной селекции.
Так, диапазон 0,2. . .3 мкм традиционно рекомендуется
для применения при использовании отраженной и рассе-
янной солнечной радиации, а 10. . .12 мкм — радиации зем-
ной поверхности. Очевиден и тот факт, что перераспределе-
ние энергии между собственным и отраженным излучением
может происходить в течение коротких промежутков вре-
мени и в довольно широких пределах.
Все эти составляющие суммарного излучения объекта
существенным образом зависят от его формы, конструкции,
материала, состояния (ориентации, расположения на мест-
ности, режима работы и т. п. Кроме того большое влияние
на них оказывает состояние внешней среды, положение
внешних источников и много других факторов. Все это обу-
словливает большой разброс характеристик излучения, ко-
торые могут быть определены с помощью статистических
методов. При этом задача описания искусственно создан-
ных объектов-ориентиров может быть упрощена за счет
определенного однообразия формы, размера и материалов,
из которых они изготовлены. В отличие от естественных
образований (фонов), они обладают меньшим разбросом
различных составляющих излучения, меньше зависят от
направления и силы ветра, сезонных условий, которые мо-
гут существенно изменить состояние фонов, например ори-
ентацию и окраску листьев в кронах деревьев, наклон стеб-
лей растений, перенос почвенных частиц, состояние водной
поверхности и т. п. Собственное излучение объекта являет-
ся функцией температуры его поверхности и физических
ее свойств. Оно может быть когерентным и некогерентным.
Когерентным называют свойство электромагнитного из-
лучения сохранять разность фаз в течение времени, до-
5—37° 65
статочного для обнаружения и измерения этой разности.
Очевидно, что в КЭСН в подавляющем большинстве слу-
чаев приходится иметь дело с некогерентными источника-
ми. Наиболее содержательной характеристикой собствен-
ного некогерентного излучения следует считать спектраль-
ную энергетическую яркость нагретого тела, которая
может быть найдена по формуле [109]
Г 1,1.9-Ю4
L,. = .
Xs [ехр( 14388/ХТ) — 1]
где Т — температура источника излучения, К, X — длина
волны, мкм, е% —спектральная степень черноты излучаю-
щей поверхности при заданной температуре и определен-
ном направлении визирования на нее.
Для описания когерентного излучения объектов необхо-
димо учитывать его интерференционные и дифракционные
характеристики.
Характеризуя эффективность собственного излучения
тепловых источников, различают три вида излучателей:
черные тела, серые и селективные излучатели. Величина
ех определяет эффективность излучения на данной длине
волны (иногда ее называют коэффициентом излучения).
Абсолютно черное тело имеет степень черноты ел=1 во
всем диапазоне длин волны; для серого тела в определен-
ном диапазоне длин волн ex=const<l; для селективного
излучателя 0^ех< 1 и может быть однозначной функцией
X того или иного вида. Строго говоря, степень черноты ре-
альных тел всегда есть функция длины волны и температу-
ры ехт, и поэтому постоянной величина е% может быть в оп-
ределенных пределах изменения X и Т. Она зависит также
и от угла поля зрения, однако в системах навигации эти
углы, как правило, малы, и поэтому величину ех в этом слу-
чае можно полагать независимой от этого параметра си-
стемы.
Функционирование большинства объектов связано с
применением энергетических установок, в результате ра-
боты которых выделяется большое количество энергии,
в основном тепловой. Определенная часть этой энергии от-
водится в окружающее пространство, и поэтому объекты
обладают еще-одной особенностью; к собственному излу-
чению поверхности добавляется собственное излучение от-
водимой газовой фазы, которую часто называют факелом
(газовые струи реактивных двигателей, корабельных труб,
выхлопных патрубков и т. д.). Зависимость спектральной
степени черноты от длины волны для таких газообразных
66
источников имеет характер колебаний в отличие от более
плавного характера для твердых металлических тел.
Отражательные свойства объектов зависят от соотно-
шения между размерами неоднородностей структуры их
поверхности и длины волны падающего излучения. Когда
эти размеры значительно меньше длины волны, то говорят
о зеркальном отражении, а если они соизмеримы с длиной
волны, то о рассеянном отражении. Основной характери-
стикой отражательных свойств является коэффициент от-
ражения ро, характеризуемый отношением потока излуче-
ния, отраженного поверхностью к потоку излучения, упав-
шего на эту поверхность. При зеркальном отражении от
плоских поверхностей он равен также отношению яркости
поверхности после отражения излучения к первоначальной
яркости при условии, что пространственный угол, в преде-
лах которого распространяется падающее излучение, со-
храняется после излучения. Это условие не выполняется
при рассеянном отражении, когда пространственный угол,
в котором распространяется отраженное излучение, боль-
ше пространственного угла, в котором распространяется
падающее излучение-
Предельный пространственный угол отражения для
плоской поверхности составляет 2л рад, и в этом случае
поверхность называется диффузно отражающей, а отраже-
ние носит название диффузного или ламбертовского. Яр-
кость такой поверхности одинакова во всех направлениях,
т. е. не зависит от надирного 0 (в меридиональной плоско-
сти) и азимутальной ф (экваториальной плоскости) углов
визирования поверхности, а также от зенитного 0' и ази-
мутального ср' углов положения источника излучения.
Яркость идеально рассеивающей поверхности связана с ее
освещенностью от постороннего источника излучения £(0',
<Р'):
Lo(6', <р')=^(0/> ф')/л.
Таким образом, по своему характеру рассеянное излу-
чение может быть равномерным и неравномерным, когда
распределение яркости в пространстве зависит от направ-
ления визирования и положения источника. Для характе-
ристики свойств такого отражателя вводится понятие ко-
эффициента яркости.
Коэффициентом яркости ря (0, ф, 0', ф') называют отно-
шение яркости участка поверхности объекта в данном на-
правлении к яркости £о(0', фЭ идеально рассеивающей
диффузной поверхности, имеющей коэффициент отраже-
ния, равный единице (абсолютно белая поверхность), и
находящейся в тех же условиях освещения и наблюдения:
S* 67
Ря(в. ?. e\ cp') = L(0', % S', <?')
Поэтому яркость реального объекта в направлении наблю-
дения (визирования) определяется выражением
1(6, ср, 6', <р')= £(6 ’ * ря(8, ср, 6', ср').
7С
Специфика работы навигационных систем, а также свойст-
во объектов избирательно поглощать и отражать излуче-
ние заставляют описывать спектральную отражательную
способность набором коэффициентов спектральной яркости
рях, которые представляют собой отношение спектральных
яркостей объекта и идеально рассеивающей поверхности,
находящихся в одинаковых условиях освещения и наблю-
дения, т. е.
РяЛ6- = ? 9'- ?')/£ох(0'> ?')•
Коэффициенты яркости, следовательно, являются функцией
углов визирования (зенитного и азимутального) при опре-
деленном положении источника радиации (как правило,
Солнца). Выразить эту функцию в аналитическом виде в
большинстве случаев не представляется возможным, по-
этому ее представляют графически в виде полярных диа-
грамм, длины радиусов-векторов которых пропорциональ-
ны величинам коэффициентов яркости в соответствующих
направлениях. Такие диаграммы обычно называют инди-
катрисами отражения или рассеяния.
Графическое представление индикатрис яркости обыч-
но производится в виде сечений индикатрис отражения, по-
строенных в полярной или декартовой системах координат.
Яркость, а следовательно, и коэффициент яркости, яв-
ляются функцией трех координат излучающей точки х, у, z
в пространстве предметов, времени t и длины волны X, что.
существенно затрудняет возможности описания моделей из-
лучения. Однако условия применения оптико-электронной
аппаратуры в составе различных систем, выполняющих
конкретные функции, позволяют упростить эту задачу. Так,
в самолетных навигационных системах обзор наблюдаемо-
го участка поверхности и построение его изображения
большей частью осуществляются с помощью сканирования
локальных диаграммы излучения и приема. Такими же
узкими пространственными диаграммами обладает и мно-
жество других оптико-электронных систем, например при-
боры наблюдения- Это позволяет заменить пространство
предметов при небольшой его глубине и при значительных
68
удалениях от оптического приемника плоскостью, яркость
которой в направлении визирования описывается функцией
двух координат х и у, а также времени и длины волны
L(x, у, t, X). Кроме того, взаимодействие оптико-элект-
ронной системы такого типа с большинством объектов
(практически всех наземных и наводных) происходит в до-
вольно короткие промежутки времени, что позволяет счи-
тать их яркость неизменной во времени, за исключением
быстрого движения объектов или объектов с флуктуирую-
щей яркостью.
Функция распределения яркости по площади объекта
может иметь самый разнообразный вид, однако и при этом
можно упростить задачу ее описания исходя из конкретных
условий применения распознающей оптико-электронной
системы. Одной из особенностей является тот факт, что об-
наружение объекта, как правило, начинается с дистанций,
значительно превышающих его размеры, что заставляет
делать оптическую систему достаточно светосильной. Это
приводит к тому, что ее аберрации с учетом конечного раз-
мера поля зрения и ширины спектрального диапазона не
могут быть сведены к пренебрежимо малым величинам.
Подобная оптическая система оказывается не в состоянии
различить детали формы сильно удаленного объекта и
представляет его в виде точечного излучателя. При этом
основное значение приобретают общие размеры объекта,
а детали его формы играют лишь второстепенную роль.
В этом случае в качестве основной фотометрической едини-
цы количественной оценки излучения используется энерге-
тическая сила излучения /э Вт-ср-1. Она характеризуется
как мощность Фэ, излучаемая точечным (или малым по
сравнению с расстоянием, на котором производится изме-
рение) источником излучения в телесный угол Q, равный
1 ср; J3=d<b3/dQ.
В процессе сближения с объектом условие его угловой
малоразмерности нарушается, и представление в виде то-
чечного источника может привести к большим расчетным
погрешностям. В светотехнической системе используется
для этой цели понятие силы света.
Кратко рассмотрим характеристики и особенности излу-
чения фонов. При решении задачи обнаружения объектов
под фонами обычно понимают естественные образования,
которые ограничивают дальность действия и помехозащи-
щенность оптико-электронных устройств. К этим образова-
ниям относятся атмосфера, облака, водные и земные по-
верхности и их покровы, звезды и т. п. В процессе навига-
ции некоторые из них могут служить в качестве ориентиров
69
и тогда необходимо решать задачу обнаружения их на фо-
не других мешающих воздействий.
Суммарное излучение фонов, также как и объектов, оп-
ределяется двумя составляющими — собственным излуче-
нием и рассеянным от Солнца и других внешних источни-
ков. Характеристики фонов, как отмечалось выше, более
разнообразны, чем характеристики объектов, подлежащих
обнаружению, что связано с рядом особенностей фоновых
образований. Прежде всего, это разнообразие конфигура-
ций и их деталей, часто имеющих разную физическую при-
роду. Протяженность фоновых образований бывает различ-
ной, но, как правило, превосходит размеры объектов. Это
часто заставляет рассматривать формирующие излучение
элементы фонов в трех измерениях, как, например, при ана-
лизе облачных образований. Существенные трудности опи-
сания характеристик фонов возникают из-за непредска-
зуемости появления и чередования различных градаций
фонов и их элементов при сканировании оптико-электрон-
ной системой в процессе ее эксплуатации. Надо отметить и
большую, чем для большинства объектов, изменчивость
характеристик излучения в зависимости от внешних усло-
вий (погодных, сезонных и т. п.). Все это и обусловливает
в общем случае рассмотрение сигнала от фона, как неста-
ционарного случайного процесса.
Полное описание структуры трехмерного случайного
поля фона приводит к многомерным законам распределе-
ния яркостей, что является чрезвычайно трудной задачей,
решение которой не всегда доступно даже для современной
вычислительной техники. Да и с точки зрения наглядности
многомерные распределения явно неудобны. В связи с этим
на практике стараются свести задачу описания характери-
стик случайного поля яркости к более простым обозримым
представлениям, для чего используются различного рода
упрощающие условия. Например, для анализа случайных
полей в виде подстилающих поверхностей — ландшафтов
часто пользуются одномерными законами распределения,
корреляционными функциями и спектральной плотностью-
Этими характеристиками можно оперировать при описа-
нии как одномерных, так и двумерных полей при условии их
стационарности и изотропности, для чего необходимо оце-
нить эти свойства для данного ландшафта. Такая оценка
позволяет выявить степень ошибки описания и тем самым
определить его пригодность для решения той или иной за-
дачи. Кроме того, можно рассматривать распределение яр-
кости как стационарное внутри отдельных характерных зон,
на которые можно разбить общую поверхность. Хаирактер-
70
ность зоны будет определяться, например, однородностью
ее покрова. Иногда удается получить теоретически некото-
рые типичные модели фона как с неслучайными, так и со
случайными параметрами [ПО]. Однако большинство дан-
ных извлекается из экспериментальных исследований
основных характеристик излучения: коэффициентов отра-
жения, яркости и излучательной способности.
В качестве основных характеристик излучения фонов
используются величины е% и ipv Значения этих коэффициен-
тов могут служить основой для графического построения
областей фонов в системе координат первичных признаков
распознавания или пространства» состояний, а в первом
приближении и самими координатами. В последнем случае
могут возникнуть два варианта построения, связанные
с полнотой представления величин и р?1. В качестве пер-
вого варианта можно рассматривать такое положение,
когда задаются статистические характеристики этих коэф-
фициентов—математические ожидания и среднеквадрати-
ческие отклонения. Тогда задача гра»фического. построения
областей фонов решается довольно просто, если известен
вид закона распределения признаков (в данном случае
величин е?. и рх).
Значительно усложняется построение областей при вто-
ром варианте, когда имеется дефицит статистических дан-
ных. Этот вариант в настоящее время является наиболее
типичным, так как, несмотря на довольно большой объем
публикаций, составить удовлетворительную по статистиче-
ской полноте картину излучения и отражения фонов пока
не удается. Это обстоятельство заставляет использовать
целый ряд средств, в той или иной степени позволяющих
последовательно достигать приближения к желаемому
(наиболее полному) описанию.
В качестве одного из таких простейших средств можно
использовать способ последовательного (поэтапного) при-
ближения с привлечением на каждом этапе дополнитель-
ной информации о вариациях выбранных признаков. Гео-
метрическая реализация этого способа, использующего
средние значения спектральных коэффициентов излучения
и отражения в качестве исходных, весьма наглядна. На
графике в координатах средних значений коэффициентов
излучения и яркости наносятся области, соответствующие
различным типам фоновых изображений, и соответствую-
щим образом оконтуриваются. На этом заканчивается пер-
вый этап. На втором этапе производится расширение с по-
следующим оконтуриванием этих областей за счет привле-
чения дополнительных данных. Такими данными могут
71
чаще всего служить результаты экспериментальных иссле-
дований, полученные в различных публикациях, например
по угловым характеристикам излучения. На третьем этапе
происходит дальнейшее уточнение области данного типа
фонового образования за счет условий освещения и т. д.
до момента исчерпания имеющейся информации по всем
параметрам, влияющим на вариации коэффициентов и
рх. Очевидно, что полученные таким образом области не
могут служить эталоном свойств исследуемого образова-
ния, однако во всяком случае остается возможность скор-
ректировать их на последующих этапах, связанных с по-
лучением новой или более достоверной информации.
В связи с тем, что особенностью природных ландшафтов
является связь их статистических характеристик с физико-
географической сущностью, по-видимому, целесообразно
рассматривать сезонные фоновые области для различных
районов земного шара.
На характеристики оптического сигнала большое влия-
ние оказывает среда, в которой функционирует оптико-
электронное устройство. По трассе своего распространения
оптический сигнал испытывает гораздо большую степень
воздействия среды, чем радиосигнал. В общем случае три
основных явления определяют закономерности этого рас-
пространения: поглощение, рассеяние и турбулентность.
Первые два определяют среднее затухание электромагнит-
ного поля при фиксированных атмосферных условиях и
сравнительно медленных изменениях поля при изменении
метеорологических условий. Третье явление-—турбулент-
ность, обусловливает быстрые изменения поля, наблюдаю-
щиеся при любой погоде. Кроме того, из-за турбулентно-
сти, вызывающей многолучевой эффект, структура прини-
маемого луча может существенно изменяться по сравнению
с исходной. Соотношение между прошедшей через слой ат-
мосферы толщиной I и поступившей на пего радиацией
характеризуется коэффициентом ослабления <р, в общем
случае зависящим от длины волны.
Таким образом исходя из вышеизложенного, можно по-
ложить Р = рп + Рр + Рт, где рп — коэффициент молекуляр-
ного поглощения, рр, р;—коэффициенты рассеяния на
частицах и на неоднородностях, вызванных турбулент-
ностью.
Beличину_то=р/ называют оптической толщей, а вели-
чину ' т == е-?*’= е~т-— коэффициентом пропуска-
ния пли прозрачности. Кроме ухудшения пропускания ра-
диации из-за поглощения, весьма неблагоприятный сточки
зрения нормальной работы навигационных приборов актив-
72
ного типа эффект возникает при так называемом «обрат-
ном» рассеянии. Если излучение источника сосредоточено
в определенном телесном угле, приемник регистрирует не
только отраженную от поверхности радиацию, но и излу-
чение источника, рассеянное частицами в телесном угле
зрения. Эта рассеянная энергия при большой концентра-
ции аэрозольных частиц различного размера в поле зрения
приемной оптической системы может создать недопустимо
большой фон, затрудняющий обнаружение ориентиров.
Математическое описание процесса ослабления излуче-
ния за счет указанных выше факторов очень сложно и ба-
зируется на аппарате квантовой механики, поэтому чаще
всего приходится прибегать к приближенным методам или
пользоваться экспериментальными данными. Подобные
расчетные методики приводятся во многих опубликованных
работах, например в [111, 112].
Оптические системы, применяемые в бортовой навига-
ционной аппаратуре весьма разнообразны по принципиаль-
ным схемам и конструкции. Общим для них является их
основное назначение — формирование изображения, уси-
ление освещенности в пространстве изображений по сравне-
нию с освещенностью на входном зрачке и фильтрация
излучения по энергетическому спектру. Помимо этого, на
оптические системы могут возлагаться и другие функции:
сканирование, разделение или суммирование потоков излу-
чения, фильтрация по степени поляризации, обеспечение
переменного увеличения при различных полях зрения
и т. д.
Поле зрения оптической приемной системы обычно не-
велико, так что угловые координаты отдельных элементов
изображения пропорциональны линейным, взятым в пло-
скостях, перпендикулярных оптической оси приемного
устройства. Поэтому измерение линейного положения на-
блюдаемого объекта равнозначно его пеленгации. Как уже
отмечалось выше, излучение объекта может быть когерент-
ным или некогерентным, поэтому часто и прием оптическо-
го сигнала называют так же. При использовании некоге-
рентного излучения формируется такое распределение
освещенности Е(х, Хх, у, Ау) в пространстве изображе-
ний, при котором эта освещенность пропорциональна ярко-
сти L(x, у), сопряженные точек в предметном пространстве.
Если же излучение является когерентным, то оптическая
система в виде идеальной тонкой положительной линзы
может выполнять операцию преобразования распределен-
ных комплексных амплитуд Е (х, у) в передней фокальной
плоскости в ее двумерный пространственно-частотный
73
спектр Фурье в задней фокальной плоскости. Указанные
операции сопровождаются потерями энергии сигнала и его
искажениями из-за неидеальности оптической системы
(аберрациями). Если искажения отсутствуют, т. е. оптиче-
ская система является идеальной, то при больших даль-
ностях плоскость формирования текущего изображения
совпадает с задней фокальной плоскостью оптической си-
стемы. Таким образом, каждая точка наблюдаемого
объекта с координатами Хж, изображается в фокальной
плоскости точкой с координатами К'х, K'v.
Освещенность, соответствующая формируемой таким
образом полезной части текущего изображения, определя-
ется выражением [ПЗ]
Е(х—Кх, у—Ку) =тосл;£ (х—Кх, у—A,j,)sin2 и',
где L — контраст яркости полезной части наблюдаемого
изображения, определяемый в плоскости входного зрачка
оптической системы; тос — пропускание оптической систе-
мы, и' — задний апертурный угол.
Неидеальной оптической системе свойственны явления
дифракционного рассеяния и аберрации. Они являются
причиной размывания изображения, строящегося в пло-
скости наблюдения. Размытие изображения характеризу-
ется функцией рассеяния h(x, у, Кх, Ку), физический
смысл которой состоит в том, что она представляет собой
облученность в точке (К'х, К'у), когда в точку х', у' на-
правлен ток, равный единице. Это определение поясняет
нормировку функции рассеяния
+ 00
у, Zx, Zv)dxdy=l.
—00
Условие нормировки; весь размытый поток в точке (Кх, Ку)
должен равняться исходному падающему потоку. После
нормирования функция рассеяния обычно называется
функцией веса.
Функция рассеяния связана парой преобразований
Фурье с апертурной функцией, определяющей поле зрения
оптической системы. При бесконечном диаметре оптической
линзы апертурная функция имеет вид прямоугольника
с основанием, стремящимся к бесконечности. Поэтому для
такой линзы функция рассеяния описывается с помощью
б-функции, что соответствует случаю идеальной оптической
системы. В неидеальной оптической системе полная осве-
щенность в точке х', у' на плоскости изображения будет
равна сумме освещенностей с учетом рассеяния потоков,
направленных на все элементы dK'x, dK'y.
74
Если размытость изображения одинакова во всех точ-
ках поля зрения, то
E(x, z/)= Ху — y)h (Zx, Xy)dXxdly.
оО
Во всех случаях оптического наблюдения в КЭСН
используются приемники оптического излучения, обладаю-
щие свойством реагировать на энергию приходящих коле-
баний, т. е. фиксировать контраст лучистости наблюдаемого
объекта. Такое положение вызвано широкополостностью
используемых сигналов и неопределенностью фазы их
частотных составляющих.
По типу приемники оптического излучения, работающие
по контрасту яркости, могут быть разделены на интеграль-
ные, приемники с последовательным просмотром и много-
элементные.
В первом случае суммарная энергия приходящих ко-
лебаний изменяет параметры приемника, что фиксируется
определенным образом. Примером является фоторезистор,
электрическое сопротивление которого изменяется пропор-
ционально падающему на него световому потоку вслед-
ствие внутреннего фотоэффекта.
Приемники второго типа используются для последова-
тельного во времени построения изображения наблюдае-
мого объекта в плоскости наблюдения. Преобразование
двумерного (плоского) изображения объекта в одномерный
электрический сигнал осуществляется с помощью времен-
ной развертки изображения на плоскости наблюдения.
Примерами таких датчиков могут служить телевизионные
передающие устройства с многокадровой построчной раз-
верткой и приемники тепловизионного типа, позволяющие
строить изображение наблюдаемого объекта в инфракрас-
ной части оптического диапазона.
Работа многоэлементных приемников основана на одно-
временном отображении всех излучающих элементов на-
блюдаемого объекта в плоскости формирования его обра-
за. В таких датчиках принято использовать так называе-
мые матричные приемные структуры. Матричная приемная
структура представляет собой совокупность расположен-
ных в одной плоскости элементов, чувствительных к па-
дающему на эту плоскость потоку радиации. Другими
словами, матричная приемная структура строится на осно-
ве множества интегральных приемников с отдельными вы-
ходами. Выходные сигналы приемников по своему уровню
соответствуют той доле энергии общего излучения, кото-
75
рая приходится на занятую им площадь. Примером таких
приемников являются матричные приемники, составленные
из фотоэлементов и ПЗС структур различного типа.
Описание выходного сигнала приемника при известном
входном воздействии в виде, например, освещенности на
его чувствительном слое обязательно включает в себя
характеристику чувствительности. Любую характеристику
чувствительности оценивают по величине приемника, на
монохроматический или сложный поток излучения. Если
реакция оценивается по изменению какого-либо параметра
приемника с изменением величины падающего потока, то
получают интегральную или спектральную чувствитель-
ность. В качестве такого параметра» можно, например, для
приемников первого типа использовать изменение относи-
тельного сопротивления, вызываемое изменением величи-
ны падающего потока излучения. Однако интегральная и
спектральная чувствительности в такой трактовке для це-
лей практики распространения до сих пор не получили.
В большинстве случаев пользуются понятиями инте-
гральной и спектральной , чувствительности по току или
напряжению е(х', /). В соответствии с этими характери-
стиками реакцию приемника оценивают применительно
к реальной схеме его включения. Тогда она представляет
из себя отношение электрического сигнала (напряжения
или тока) на выходе приемника к величине потока излу-
чения обусловившего этот сигнал. Полная реакция опти-
ческого приемника построенного, например, на фотоэле-
ментах с внешним фотоэффектом, равна [113]
U — У' — X)dx’dy'. (1-70)
Последняя формула справедлива при следующих ограни-
чениях: оптический приемник безынерционен, полная реак-
ция U есть сумма реа»кций отдельных элементарных пло-
щадок приемника. Снятие этих ограничений существенно
усложняет расчет реакции приемника.
1.6. Особенности формирования моделей
радиолокационных изображений земной поверхности
Для оценки работоспособности радиолокационной
КЭСН с учетом характера предполагаемых для использова-
ния наземных ориентиров и формирования эталонных изо-
бражений широко используется предварительное радиоло-
кационное картографирование по маршруту движения.
Однако более дешевым и оперативным считается предва-
рительное построение радиолокационных изобра»жений по
трассе с помощью моделей радиолокационного поля.
76
При составлении моделей изображений земной поверх-
ности руководствуются следующими исходными предпо-
сылками, основанными на экспериментальных работах:
амплитуда сигналов, отраженных от фона местности
(степь, лес, па»шня и т. п.), имеет рэлеевское распределе-
ние, а фаза — равномерное 0 ... 2л;
среднее значение и, следовательно, дисперсия ампли-
туды отраженного сигнала определяются удельной эффек-
тивной поверхностью рассеяния фона о0;
удельная эффективная поверхность рассеяния фона по
определяется типом местности (степь, лес, пашня, посевы
различных культур, дороги аэродромные полосы, городские
кварталы и т. п.);
распределение фона на поверхности земли о0(х, у)
определяется конкретной местностью, наблюдаемой с по-
мощью радиолокатора;
наряду с сигналом от равномерных участков фона мест-
ности оо(х, у) существуют одиночные сигналы большой
интенсивности, значительно превышающей средний уро-
вень от фона (отражения от целей типа уголковых отража-
телей, мачт линий электропередач, мостов и т. п.);
распределение амплитуд одиночных сигналов имеет
рэлеевский характер.
Амплитуда сигнала фоновых отражений, т. е. напря-
женность электромагнитного поля, создаваемого фоном,
представляется в виде двух сомножителей, (г, у) = А(х,
у) ]/\, где ]/а0 соответствует фону земли, определяе-
мому средней отражающей способностью участков поверх-
ности а0 в диапазоне волн радиолокационного сигнала.
Размер участков фона с одинаковой или малоизменя-
ющейся отражающей способностью полагается значитель-
но большим размером элемента разрешения выходного
изображения радиолокатора.
В табл. 1.4 [104] приведены средние значения отра-
жающей поверхности, соответствующие сантиметровому |
ТАБЛИЦА 1.4 ТАБЛИЦА 1.1
»о, ДБ Фон °k- м2 Объект
—40.. .4-45 Вода . 1...10 Автомобиль
—30 Бетон 3. ..5 Легкий самолет
—20 Степь 15.. .20 Тяжелый самолет
— 15 Лес 150 Малое транспортное судно
—10...4-Ю Г ород 14-103 Большегрузное судно
77
диапазону. Ширина спектра пространственных частот фо-
на и корреляционная функция определяются типом мест-
ности [2]. Множитель А(х, у) обычно представляет собой
стационарный случайный процесс с дисперсией оа2 и рэ-
леевской плотностью распределения:
. ау(Л)= е_Л!/о’л.
Амплитуды сигналов, отраженных от точечных конт-
растных ориентиров, как правило, могут быть представле-
ны с помощью б-функций, т. е.
n _
s2(x, у) = А{х, у) ^Vokb(x — xk, y — yk),
fe=l
где at — эффективная поверхность рассеяния £-го ориен-
тира с координатами Xk, ук- Значения определяются
типом ориентира (табл. 1.5) [12]. Расположенные вплот-
ную один к другому точечные ориентиры образуют протя-
женные изображения с определенной конфигурацией
(мост, шоссе и т. п.).
Таким образом, общее распределение напряженности
электромагнитного поля без учета диаграммы направлен-
ности непосредственно у поверхности земли можно запи-
сать в виде [104]
s{x, y) = st(x, z/) + s2(r, у) =
N
У) + X У^Цх — xk, y — yk).
= Л(х, у)
(1-71)
fe=l
Оптимальный приемник для фильтрации радиосигнала
с некоторой огибающей имеет ту же структуру, что опти-
мальный приемник, йыделяющий ту же огибающую из ад-
дитивного широкополосного шума. При этом спектральная
плотность удваивается по сравнению со спектральной
плотностью аддитивного ВЧ шума [18]. Это дает право
рассматривать выражение (1.71) в качестве основного при
формировании радиолокационного изображения. Модель
РЛС, формирующей на индикаторе изображение земной
поверхности, можно рассматривать в виде последователь-
но соединенных приемопередающего тракта, системы об-
работок и системы регистрации (рис. 1.22). На выходе при-
емного тракта на огибающую накладывается аддитивный
шум п. По отношению к огибающей приемопередающий
тракт можно представить в виде линейной системы с им-
пульсной характеристикой h(x, у). При обзоре наблюдае-
мого участка земной поверхности амплитуда выходного
сигнала с учетом линейного детектирования
78
Рис. 1.22
Ы (2Х, 2Д— ^2 У/г) %х %k’ У ' ^у Ук)~\~Я>
й=1
(1.72)
Хх, Ку — координаты изображения на плоскости наблюде-
ния хОу, с — коэффициент передачи радиолокационного
тракта.
Функцию h (х, у) можно представить в виде двух со-
множителей h{x) и h(y). Один из них определяется шири-
ной ДН 0о и наклонной дальностью, второй — длитель-
ностью импульсов зондирования ти. Так, при боковом об-
зоре (рис. 1.23), если ось х плоскости наблюдения соот-
ветствует путевой дальности, у — наклонной дальности, а
ДН аппроксимируется гауссовской кривой [104],
h(x, у) =ехр(—ахх2—ауу2),
ax = cjy2eo; ау = с2/хк2,
4'1, сг — постоянные коэффициенты.
Таким образом, результирующее изображение пред-
ставляет собой совокупность ярких отметок, наблюдаемых
на фоне шума. Ширина каждой отметки определяется ко-
эффициентами ах, ау, т. е. шириной ДН 0о и длитель-
ностью импульсов ти- Полезная часть выходного сигнала
за М циклов развертки в соответствии с (1.72) запишется
так:
«м(Ях, 1у) = сМ^ zkA(xk, t/ft)exp[—2«х(х ——xft)2 —
й=1
— 2ау(у— 1у-ук)г].
Критериальная функция (1:45) в этом случае равна:
/ — В (0) ехр (—а А*? “ ау^Ук)> (1.73)
где
в(0) = с2мг2 tek = xk-xk*-,
fe=l z=i
byk ^yk~ У k!-
79
Рис. 1.23
Дискриминационная характеристи-
ка в канале измерения /,х определя-
ется выражением (1.46)
д!/дХх* = В (0) аж2Ах& X
Хехр(—axKxh2—ayNyh2)f (1-74)
а в канале измерения—'выражени-
ем (1.47)
дТ/дКу*—В (0) ay2/\ykX
Xexp(—ax\xh2—ayAyh2). (1.75)
Выражения (1.73) — (1.75) записаны без учета фонового
шума. Это справедливо только для случая панорамных
РЛС с низким потенциалом, когда шумовой фон фактиче-
ски не производится на выходе системы.
Приведенные выражения показывают, что при наблю-
дении точечных ориентиров основную роль при формиро-
вании дискриминационной характеристики при корреля-
ционно-экстремальной обработке радиолокационного сиг-
нала играет форма ДН и длительность зондирующего им-
пульса. На практике указанная зависимость существенно
усложняется. Это объясняется следующими факторами:
1) сильноконтрастный ориентир не всегда может быть
описан источником излучения типа б-функцпи; 2) принятая
линейная модель радиолокационного тракта носит при-
ближенный характер; 3) шумовой фон приводит к размы-
тию наблюдаемой совокупности ориентиров. Наконец, ха-
рактер изображения одного и того же участка существен-
но зависит от погоды (например, величина обратного рас-
сеяния для леса зависит от скорости ветра и влажности
листьев), сезонных изменений покрова земли, направле-
ния наблюдения и т. д.
В основе других методов лежит способ формирования
радиолокационного изображения по топографической кар-
те местности. Топографическая карта позволяет опреде-
лить площади, занятые населенными пунктами, лугами,
лесом и т. д. Энергия, отраженная от площадки, ограни-
ченной величинами сти/2 (с — скорость распространения
радиоволн) и шириной ДН в горизонтальной плоскости,
складывается из энергий, отраженных от различных эле-
ментов этой площадки. При построении изображений ис-
пользуется координатная сетка с расстояниями между го-
ризонтальными ЛИНИЯМИ СТи/2зт<р, <р — угол, под которым
облучается наблюдаемый участок.
Расстояния между вертикальными линиями координат-
80
ной сетки определяются формой ДН в горизонтальной
плоскости. В ряде работ, например в [105], считается
целесообразным расстояние между вертикальными линия-
ми сетки брать равным также сти/2, чтобы клетки коор-
динатной сетки были квадратными. Однако в этом случае
не будет учитываться форма ДН, что не всегда оправда-
но. После измерения площадей, занимаемых конкретными
типами объектов (населенными пунктами с каменными
строениями, деревянными строениями, лесом и т. д.), ре-
зультаты замера записывают для каждой клеточки. После
умножения значений площадей на соответствующие коэф-
фициенты обратного рассеяния для данного угла ср полу-
чают значения эффективной поверхности рассеяния. При
обработке полученных значений и построения радиолока-
ционной карты необходимо учитывать степень затенения
наблюдаемых объектов, расположенных на пересеченной
местности.
Опыт построения радиолокационных изображений по
крупномасштабным топографическим картам (1:25000 и
1 : 50000) показал, что достаточно выделить четыре разно-
видности наблюдаемых объектов: населенные пункты с
каменными строениями; населенные пункты с деревянны-
ми строениями; вода; болота, луга, пашня, кустарник, лес.
Асфальтированные, грунтовые дороги и железнодорожные
линии, небольшие реки и ручьи и другие узкие и длинные
объекты при использовании карт указанного масштаба
описания методика не учитывает.
1.7. Цифровое представление изображений
Широкое использование для наблюдения различных
полей матричных приемников определило естественность
внедрения цифровых методов для обработки их выходных
сигналов. Кроме того, цифровые методы обработки, благо-
даря известным преимуществам, нашли применение для
вычисления критериальных функций вида (1.45) — (1-47)
и в системах с непрерывным сигналом наблюдения. Необ-
ходимой основой для цифровой обработки сигналов явля-
ются две операции. Это, во-первых, дискретизация наблю-
даемого пространственного процесса и, во-вторых, его
квантование.
Дискретизацией называется представление пространст-
венного процесса в виде совокупности отсчетов, соответ-
ствующих выбранным дискретным значениям аргументов
(хь х2,..., Xk', У\, Уз,---, yi). Значения аргументов xhyi
выбираются кратными некоторым интервалам Ах, Ау
6—370 81
•соответственно, называемыми интервалами дискретизации
Если речь идет о пространственно-временном сигнале
s(x, у, t), дискретные выборки по х и у производятся для
фиксированного момента времени. При дискретном пред-
ставлении процесса удобно использовать понятие решет-
чатой функции (рис. 1.24):
00
у, s [гДл:, /Дг/]=2 S s ^х’ 8 ~ *)8 №У ~ У) dxdy- (1 -76)
l.j
Из теории интерполяции непрерывных пространствен-
ных сигналов известно, что по данной решетчатой функции
может быть восстановлена только одна реализация s(x, у),
интервалы корреляции которой Дх0 и Дг/0 по осям х, у связа-
ны с интервалами дискретизации неравенства [2]:
Ах^Дхо; Az/^Az/o. (1-77)
Другими словами, непрерывное случайное изображение
всегда можно представить в дискретном виде, т. е. в виде
решетчатой функции с интервалами дискретизации, удов-
летворяющими условию (1.77). При этом непрерывное
изображение s(x, у) восстанавливается из отсчетов дис-
кретного изображения с помощью интерполяции по фор-
муле [2]
«*(*> У)= S 2 5р('Дг’ — y — jby),
i=—coj=—<X
где f(x; у) —детерминированная интерполяционная функ-
ция.
Считается, что наивысшая достоверность интерполяции
(восстановленное поле и исходное изображение эквива-
лентны в среднестатистическом смысле) достигается в
том случае, когда интерполяционная функция f(x, у) сов-
падает с коэффициентом пространственной корреляцион-
82
ной функции сигнала-оригинала. Если дискретную после-
довательность Sp(iAx./Ay) подать на вход пространствен-
ного фильтра' с импульсной характеристикой f(x, у), то
отклик этого фильтра соответствует исходному изображе-
нию s(x, у) тем точнее, чем f(x, у) ближе к коэффициен-
ту пространственной корреляции этого изображения.
Наиболее удобным и распространенным дискретным
представлением непрерывного изображения является его
представление в виде ступенчатой огибающей решетча-
той функции [106] (рис. 1.25):
S(t, j) =s(х, y)ft(x, у),
где
К L
fd*’ p(x — ikx.~y — jby)
i =1 /=1
представляет собой совокупность K.XL одинаковых пря-
моугольных нормированных импульсов:
оо
У J Р (х. у) dxdy = 1.
До сих пор говорилось о дискретизации изображения
.s(х, у) без учета пространственного шума п(х, у). Пусть
речь идет о дискретизации текущего изображения с адди-
тивным шумовым фоном
r{x, y)=s(x, z/)+h(x, у),
когда интервалы корреляции шума намного меньше ин-
тервалов корреляции сигнала. В этом случае выбор интер-
валов отсчета в соответствии с (1.77) приведет к допол-
нительным искажениям при последующем восстановлении
изображения. Существо этих искажений заключается в
следующем. Пусть, например, полезный случайный в об-
щем виде сигнал s(x) с интервалом корреляции Ах0 на-
блюдается на фоне аддитивного шума с интервалом кор-
реляции Ахта<САх0 (рис. 1.26,а). Если дискретизация ве-
дется с интервалом Дх = Дхо. то после восстановления
имеющейся дискретной последовательности значения ис-
ходной суммы s (х) -\-п (х), находящиеся между значения-
ми отсчетов при х=х1; х2,..., хк, оказываются неучтен-
ными (рис. 1.26,6). Тем самым исключается возможность
усреднения (сглаживания) восстановленной по дискретным
значениям суммы s* (х) -фи* (х), необходимого для наилуч-
шего воспроизведения полезного сигнала. Чтобы исклю-
чить это явление, суммарный сигнал s (х) -\-п (х) до дис-
кретизации необходимо отфильтровать с тем, чтобы су-
зить спектр мешающего шума. При этом интервал корре-
ляции шума становится близким к интервалу корреляции
полезного сигнала. Дискретизация суммы сигнала и шу-
ма не приводит к дополнительному искажению сигнала
после его восстановления.
В практических приложениях пространственно-времен-
ной сигнал s(x, у, t) в фиксированный момент времени,
описываемый решетчатой функцией sp(i’Ax, j&y), i—l,
2,..., К, j —1, 2,..., L, представляется в виде ступенча-
той огибающей этой функции S (i, /) или в виде прямо-
угольной матрицы отсчетов с числом элементов KXL.
Критериальная функция вида (1.45) определяется сле-
дующим образом:
к L
I (т, п) = с $(/, /)г(/ — т, j — n), c = l/KL
i=i/=i
и представляет собой второй смешанный момент цифро-
вого изображения. Если при обработке цифрового изобра-
жения требуются моменты более высоких порядков, они
находятся так [72]:
^22^’0 о-78)
i=I/=I
В том случае, когда средние значения <S(i, j) > и
<r(t, j) > не равны нулю, центральные моменты
i')~S]Plr(i, j) — 7]4, (1.79)
/=1
где S = <S(t, /)>; r = <r{i, j)>. Постоянная с в форму-
лах (1.78), (1.79) часто опускается, поскольку ее значе-
ние при выбранных размерах плоскости наблюдения X,
V всегда известно (с=1/КЕ; К=Л7Дх; L=Y/\y). По ана-
логии с непрерывным энергетическим спектром дискретная
спектральная плотность дискретного стационарного дву-
мерного случайного поля S (i, j):
84
G(.wx, «>,/)= 1/MV У} J (m, л)ехр|_
tn~\ n=l
Представление непрерывного сигнала в дискетном ви-
де может быть проведено в спектральной области {72].
Для этого совокупность 6-функций, используемых при
формировании решетчатой функции (1.76), представим в
виде ряда Фурье
f2(x, у) = yj 3(г— k^x, y—k2by) =
fei = —OO kz~— 00
= £ £ Л<‘.’ ‘Л'чф/6.-£-»)]
ki=—oo A2=— ao
(де A(ki, k2) —коэффициенты ряда Фурье:
Дх/2 Ду/2
AxAj/ J J
—Длг/2—Ag/2
X exp f— j (k1 x-4- k2 dxdy.
L \ Ax Aj/ / j
В последнем выражении функция /2(х, у) в области ин-
тегрирования представлена лишь одной 6-функцией
5(х, у). В силу фильтрующего свойства 6-функции коэф-
фициенты ряда Фурье A(kh k2) = 1/AxA.y, т. е. представля-
ют собой постоянную величину. Следовательно,
—со &2= —03
Спектр этой функции
.F(”" ”«)=тк Е Е Йехр[Ф'ё',:+
&! = —СО ^2 =—00 —со
+ -7^- l/'j ] exp [—j («\х -ф- tu^z/)] dvdy =
&У /J
00 co
fri=—00 ki=Xl
85
югда если спектр дискретизируемого непрерывного изо-
бражения F ((Ох, (Оу) то спектр дискретизованного изобра-
жения
71~ ШУ
— —=
by /
4д2
Ах Аг/
, 2п
Й1Т“. ши
Дх и
Дискретизация непрерывного сигнала предусматривает
представление его в виде совокупности дискретных выбо-
рок определенными значениями. В общем виде таких зна-
чений может быть бесконечное множество, определяемое
всеми возможными значениями дискретизируемого сигна-
ла. Однако цифровое преобразование предусматривает
ограниченное число величин, приписываемых возможному
множеству значений выборок.
Операция квантования непрерывной величины s(x, у)
состоит в том, что континуум ее возможных значений за-
меняется счетным числом значений. В процессе квантова-
ния значение выборки сигнала s(x, у) сравнивается с не-
которым набором пороговых уровней. Если это значение
попадает в интервал между соседними пороговыми уров-
нями, ему приписывается фиксированная величина, соот-
ветствующая данному интервалу.
Пусть пространственный сигнал s(x, у), т. е. поле,
представленное своими значениями на плоскости наблю-
дения хОу, задано плотностью распределения w(s) в об-
ласти возможных значений й. Квантование предполагает
разбиение этой области на Р интервалов квантования
ЙР. При этом всем значениям s(x, у), попадающим в ин-
тервал йр, ставится в соответствие одно оценочное значе-
ние S,. Параметр Р называется объемом квантования, а
sp — уровнем квантования.
Погрешность представления процесса s(x, у) в виде
квантованного определяется обычно с помощью квадра-
тичного критерия точности аппроксимации [108]:
р
е! == У, У (s — Sp)2 w(s)ds.
p=i йр
86
(Если число уровней квантования велико, то плотность
распределения значений квантуемого сигнала на каждом
из интервалов можно считать постоянной, т. е.
р р
= 2 w (sp) J (s — Sp)2 ds = 1 /3 2 w (Sp) l(dp+i — Sp)3 —
p=l Sp p=l
j: — (dp — Sp)’],
14 где dp, dp+i определяют р-й интервал квантования Qp.
’ Известно, что оптимальное положение уровня квантования
sp— (dp+\+dP)/2, то есть, если уровень квантования sp
находится на середине интервала между двумя соседни-
ми уровнями квантования, значение в будет минималь-
,s ным. Оптимальное положение пороговых уровней
%-
% 1а
t dp — (a — b)^ [w(s)]~il3ds I [w(s)]~I!3ds-[-b,
.ь I ь
где ар~р(а-Ь)/Р~[-Ь-, p~l,2, ... ,Р;
где а, b — пределы изменения квантуемого сигнала s.'
Положение пороговых уровней находится с помощью
1 численного интегрирования.
- Когда число уровней квантования невелико, оптималь-
I ные значения пороговых уровней и уровней квантования
находятся численными методами. В частности, эти значе-
ния определены для плотностей распределения Гаусса,
Лапласса, Рэлея и равномерного [107].
у Рассмотренные соотношения определяют неравномер-
| ное квантование, когда интервалы не постоянны. Меж-
I ду тем в практических приложениях из-за простоты реа-
лизации чаще используется равномерное квантование, хо-
< тя оно требует большего Р по сравнению с неравномер-
ным квантованием для одинаковых е2. Если s(x, у) имеет
гауссовскую плотность расширения w(s), е2~(а—Ь)2/12.
При других w (s) объем квантования определяется экспе-
| риментальным цутем. На практике, как правило, прини-
s, мают Р^4.. .5, поскольку дальнейшее увеличение значе-
ния Р слабо уменьшает дисперсию критериальной функ-
.у ции
87
Число уробнеИ
Рис. 1.27
аР2==</2(т, п)> — <1 (т, п)>2.
Для иллюстрации на рис. 1.27 дана
зависимость ар2/а22 от Р, где а22 —
дисперсия критериальной функции
при L — 2.
Читателю, заинтересованному в
подробном решении задачи совместно-
го выбора интервала дискретизации
и объема квантования, можно реко-
мендовать работы [107, 108].
Глава 2. МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ОПТИМАЛЬНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ
СИГНАЛОВ
2.1. Методика синтеза квазиоптимальных
алгоритмов корреляционной обработки
пространственно-временных сигналов
В предыдущей главе показано, что основу структуры
оптимального измерителя координат при определенных
условиях составляет вычисление пространственной корре-
ляционной функции текущего (ТИ) и эталонного (ЭИ)
изображений. Цифровая реализация оптимального метода
корреляционно-экстремальной обработки пространственно-
временных сигналов требует больших Ьычислительных за-
трат, что в ряде случаев ограничивает возможности его
практического использования. В связи с этим разработка
упрощенных алгоритмов, обеспечивающих сокращение вы-
числительных затрат при допустимом уровне точностных
характеристик, является актуальной задачей.
Существующие квазиоптимальные корреляционные ал-
горитмы были разработаны эвристически, что обусловило
различный подход к способам обработки изображений и
представлению результатов. Это затрудняет аналитиче-
ское исследование существующих алгоритмов и проведе-
ние сравнительного анализа при выборе алгоритмов.
Ниже приводятся основные положения разработанной
методики, использование которой позволяет целенаправ-
ленно подходить к синтезу квазиоптимальных алгоритмов,
обеспечивает базу для классификации и сравнительного
анализа алгоритмов. Методика основана на теории фильт-
рации и спектральной теории сигналов.
88
Синтез квазиоптимального корреляционно-экстремаль-
ного алгоритма включает этапы определения:
1) вида предварительной обработки изображений,
2) типа критериальной функции, 3) способа поиска экст-
ремума критериальной функции.
Основное влияние на характеристики синтезируемых
алгоритмов оказывают решения, принятые на первых двух
этапах синтеза. Третий этап не. является специфичным для
квазиоптимальных алгоритмов и поэтому в дальнейшем
не рассматривается.
Первый этап синтеза основан на том, что обрабаты-
ваемые изображения содержат избыточную информацию,
устранение которой при отсутствии помех не влечет за
собой снижения вероятности и точности корреляционной
привязки. Сокращение исходной информации посредством
снижения информативности изображений является одним
из способов уменьшения объема вычислений при корреля-
ционной обработке. Возможный уровень снижения инфор-
мативности изображений определяется допустимой сте-
пенью ухудшения помехоустойчивости системы. Процесс
снижения информативности изображений можно предста-
вить в виде процесса линейной фильтрации. В этом слу-
чае решение задачи синтеза алгоритма на первом этапе
сводится к задаче синтеза передаточной функции фильт-
ра, обеспечивающего заданное преобразование входных
сигналов.
Существует несколько подходов к снижению информа-
ционной избыточности пространственно-временных сигна-
лов. Наиболее распространенным является снижение раз-
решения изображения.
Процесс формирования изображения с более низким
разрешением на й-м уровне включает двумерную фильт-
рацию изображения (k—1)-го уровня с помощью низкоча-
стотного фильтра с последующей дискретизацией отфильт-
рованных данных с частотой, вдвое меньшей частоты дис-
кретизации на (k—1)-м уровне. Передаточная функция
НЧ фильтра имеет вид [34]
//(©.<, (£>у) — [соз(оъ-/2)со?(и,//2)]п,
где п=1, 2,...; сщ, — пространственные частоты.
Последовательное снижение разрешения изображений
положено в основу иерархических корреляционных алго-
ритмов [34]. Недостатком этого подхода является повыше-
ние требований к памяти системы, обусловленное необхо-
димостью хранения набора изображений с различным раз-
решением.
89
При дискретизации, т. е. замене исходного непрерывно-
го изображения отсчетами при дискретных значениях аргу-
ментов, чаще всего используется прямоугольный растр.
При этом значения по каждой из координат отбираются
в эквидистантных точках с частотой Котельникова. Дис-
кретизация по прямоугольному растру является частным
случаем более общей процедуры дискретизации, в соот-
ветствии с которой для выбора значений непрерывного
изображения используется непрямоугольный растр. В ряде
случаев целесообразно использовать, например, гексаго-
нальный растр, что позволяет снизить необходимое число
отсчетов на 13,4% по сравнению с прямоугольной дискре-
тизацией [36].
Существуют и более сложные виды предварительной
обработки, предусматривающие, например, сохранение в
отфильтрованном изображении лишь геометрических фи-
гур определенной формы (прямых, окружностей и т. д.),
что используется в синтаксических алгоритмах, или кон-
турных линий объектов.
Второй этап синтеза квазиоптимального алгоритма —
выбор типа критериальной функции, т. е. характеристики,
позволяющей оценивать степень тесноты стохастической
связи изображений, или, другими словами, определение
меры, с помощью которой будет выноситься решение о
степени сходства сравниваемых изображений (1.47).
Известен ряд характеристик вероятностной связи. В некоторых ра-
ботах для обобщения этих характеристик предприняты попытки сфор-
мулировать перечень требований, которым должны удовлетворять все
характеристики такой связи. Наиболее полный перечень требований при-
веден в [38]:
1. Мера связи Кху определяется для некоторых пар случайных ве-
личин X и Y, ни одна из которых не является постоянной величиной
с вероятностью 1.
2. Мера симметрична: Кху=КУх-
3. Пределы изменения:
4. Значение Кху—^ имеет место тогда и только тогда, когда X и У
независимы.
5. Равенство Кху=1 соответствует строгой функциональной зависи-
мости между X и У, т. е. X=g(Y) или У=/(Х), где §(•) и f(-) —
измеримые функции Бореля.
6. Если измеримые функции Бореля §(•) и ((•) совпадают с дей-
ствительными осями, то
ё(У)\=КхУ.
7. Если распределение вероятностей случайных величин X и У га-
уссовское, то КхУ= где гху — коэффициент корреляции X и У.
Следует заметить, что при всей их кажущейся логич-
ности ни полный перечень требований, ни даже ограни-
ченный не соответствуют всем известным характеристикам
вероятностной связи. В [38] подчеркивается, что некоторые
90
характеристики, успешно применяемые при решении ряда
задач, не отвечают большинству требований. Таким обра-
зом, пока нет общепринятых строго математически сфор-
мулированных требований к критериальным функциям. По-
этому при разработке новых мер связи или анализе изве-
стных можно ориентировочно пользоваться перечисленны-
ми выше требованиями.
В теории случайных процессов используются разнооб-
разные характеристики вероятностной связи, многие из ко-
торых нашли применение в квазиоптимальных корреля-
ционных алгоритмах в качестве критериальных функций.
Использование той или иной критериальной функции обу-
словлено возможностями ее реализации и свойствами об-
рабатываемых сигналов.
Для систематизации и обобщения представим разнооб-
разные критериальные функции в виде групп со сходными
свойствами. Анализ позволил выделить пять групп функ-
ций: корреляционные, разностные, спектральные, парные и
ранговые.
1. Корреляционные критериадьные функции основаны
на вычислении, взаимной корреляционной функции слу-
чайных процессов.
Взаимная корреляционная функция:
АГ,. М = М {{s3 (х) — М [s3 (г)]] [,?т (хД- ах) —
-Al[sT(x-(-«x)]]),
где s3(x), sT(x)—эталонное (ЭИ) и текущее (ТИ) изо-
бражения; М — символ математического ожидания. Функ-
ция Км (ах) представляет собой смешанную центральную
моментную функцию 2-го порядка.
Нормированная взаимная корреляцион-
ная функция:
К, 2 (ах) =--^11£а^)--
где о—оператор среднеквадратического отклонения;
функции Ki.i(ax) и К|.2(Пх) связаны соотношением
К.1.1 (ах) = ff[s3(x) ]о[ .(St (х) ] К|.2 («х) •
Смешанная начальная моментная функ-
ция 2-г опорядка:
АС1.з (Ох) — Af{s3 (х) ST (X-j-Ox)}.
Соотношение между Кы (ах) и Киз(Ох) дает формула
К1.1 (dx) = К1.з (а-') —М [s3 (X) ]Л1 [St (X) ] .
91
Взвешенная моментная функция 2-го по-
рядка К\а- Несмотря на сходную структуру критериаль-
ных функций К\л и К\.з, их свойства существенно отлича-
ются. Проиллюстрируем эти отличия на примере обработ-
ки двоичных изображений (О, 1).
При использовании функции /С1.3 на результаты вычис-
лений влияют только элементы изображения sT(x), имею-
щие яркость, равную единице, которые совпадают с еди-
ничными элементами изображения s3(x). Остальные эле-
менты sT (х) умножаются на элементы s3(x) с нулевой
яркостью и вклада в значение критериальной функции не
вносят. Преимущество данной критериальной функции в
том, что ТИ, полученные в разных условиях освещенно-
сти, дают одинаковые максимальные значения функции
7<1.з при условии, что контуры в ТИ и ЭИ совпадают.
В то же время использование функции /G.g ограничено в
системах, критичных по отношению к ложной тревоге. По-
скольку даже при отсутствии объекта достаточное число
элементов изображения sT(x) с единичной яркостью, обу-
словленной шумами и сложным подстилающим фоном,
может совпадать с единичными элементами s3(x), что при-
ведет к ложной тревоге.
Использование функции Ki.i позволяет снизить вероят-
ность ложной тревоги. Но при этом снижается и вероят-
ность обнаружения [41].
Применение взвешенной моментной функции 2-го по-
рядка обеспечивает получение заданного соотношения
между вероятностью обнаружения объекта и вероят-
ностью ложной тревоги [41]:
Kia (аЛ) =/С1:з(М— аЛфэ (x)]Af[sT(x)],
где O^a^l.
2. Разностные критериальные функции. В общем виде
разностную критериальную функцию можно представить
следующим образом:
Кг.О (Ях) [ | Хэ (х) —St (X-pa^) | р] ,
где р= 1, 2,...
Распространение получили следующие разностные кри-
териальные функции.
Функция среднего квадрата разности:
К.2,1 (ax) =Al[s:j(x) — sT(x+ax)]2. (2.1)
После возведения в квадрат правой части, нетрудно заме-
тить, что первый и третий члены представляют собой пиг-
92
Персии, а второй член — удвоенную критериальную функ-
цию /С1.3- Таким образом,
К2.1 (dx) ——2К1.1з (вх) -)-D [sa (х) j ф-£>[хт (х) ].
Функция среднего модуля разности:
/(2.2 (йх) =Л1 [ | Хэ (X) —St (Х-фйх) | ] •
Заметим, что при обработке бинарных изображений
функции среднего модуля разности и среднего квадрата
разности совпадают.
Функция среднего модуля разности связана с нормиро-
ванной взаимной корреляционной функцией /0.2 (аж) соот-
ношением [38]:
2р.2О [s3(x)J в [ т(Х)1
где ц — коэффициент, зависящий от закона распределения
вероятностей яркостей изображений и равный ф2/л при
гауссовском распределении вероятностей. Достоинства
функции 1^2.2 (ах) состоят в том, что не требует операции
центрирования, а полученные оценки инвариантны относи-
тельно некоторых видов нестационарности [38].
Функция Минковского [42]:
K2.3 (Ox)—[М| Sa (X) —ST (X-J-йх) j '/=] 2.
Функция Камберра [42]:
KUi (ах) = М I ...1^) ~ ;т(х + ах)1 1.
( | s5(x) -фгт(х ах)| (
Функция Чебышева:
.5 (й.г) = max I 4 (v) ST (х 4- ах) |.
Преимуществом разностных критериальных функций
перед корреляционными является то, что в них отсутству-
ет операция умножения. При использовании ЭВМ общего
назначения это позволяет снизить вычислительные затра-
ты в 4. ..10 раз. В то же время при малых отношениях
сигнал-шум (менее трех) характеристики разностных функ-
ций уступают корреляционным. •
Разностные критериальные функции равны нулю при
полном совмещении одинаковых изображений и имеют
большие значения при неточном совмещении изображе-
ний. При использовании разностной критериальной функ-
ции общего вида К2.0 при увеличении параметра р точно-
стные характеристики улучшаются, однако при р^З это
улучшение становится незначительным.
95
Заметим, что в критериальных функциях Кчл..
операция вычисления разности может быть заменена опе-
рацией суммирования.
3. Спектральные критериальные функции. Корреля-
ционная функция в спектральной области:
Кэл (ах) =^’-1{5э(аж)5т* (<ож)} =
(2.2)
где S3(<Ox), St(cox) —спектры ЭИ и ТИ; GT3(cox) —взаим-
ный энергетический спектр; — символ обратного пре-
образования Фурье,* — символ комплексного сопря-
жения.
Функция Рота [45]:
K».!(Oje) = F~1
Дтэ(мх)
^т(юх)
(чаще используют квадрат этой функции).
Функция Henna [45]:
Стэ(«>х)1 Y(№x)la 1
|0тэ(<М1 [1 - I Г
Спектральные критериальные функции основаны на
связи взаимной корреляционной функции и взаимною
энергетического спектра через преобразование Фурье
(1.31). Эти функции дают возможность сократить вычис-
лительные затраты за счет использования алгоритмов бы-
строго преобразования Фурье (БПФ). Кроме того, обра-
ботка сигналов в спектральной области позволяет усили-
вать составляющие тех пространственных частот, на ко-
торых отношение сигнал-шум максимально, и подавлять
составляющие, искаженные шумами.
4. Парные критериальные функции предполагают обра-
ботку изображений в цифровой форме с числом уровней
квантования два и более. Если каждый элемент первого
изображения (при относительном сдвиге изображений
«ж) имеет уровень квантования I, а каждый элемент вто-
рого изображения имеет уровень /, то парная функция
fij(ax), 0<i, /^2n—1, увеличивается на единицу. Здесь
2П — число уровней квантования. Следовательно, функция
Fij(ax) при г=/ равна числу элементов, уровни интенсив-
ности которых совпадают, а при — числу элементов,
интенсивности которых не совпадают. Если изображения
размером N%N идентичны, то
94
2n—l 2n— 1
2 2 =
/=0 1=0
№ при i = J,
0 при
В качестве примера приведем две критериальные функции, постро-
енные с использованием парных функций при многоуровневом квантова-
нии [46]:
п—I
#4.1 («Д = "^ J] («х)>
г = 0
2^—1
П
t=0
Fg (оД
2''—1
/ = 0
(2.3)
Наибольшее распространение парные критериальные функции полу-
чили в системах и алгоритмах, использующих бинарные изображения.
Введем для этого случая следующие обозначения:
Ги(ах)=а; FOi lflx)=b;
FlQ(ax)—c-, F00(ax)=e;
d3, dT — число элементов с единичной интенсивностью в ЭИ и ТИ; fSr
ft — число элементов с нулевой интенсивностью в ЭИ и ТИ.
Запишем известные парные критериальные функции
[40, 42]:
функция Рао:
я 4,3 а-|- Ь + с + е ’
функция Джекарда:
К — а 4'4 a+b + с ’
функция Дейка: IS 4,6 2a-f-b-f-c ’
функция Соукала и Снита:
К а *'4.6 . г> , « . ч > . а 2(6 с)
функция Кулзинского:
функция Роджерса и Танимото (I):
d3 —1~ df — g
95
функция Роджерса и Танимото (II):
-------------------------а_±1----,
функция Соукала и Мишнера:, '
д -j- е
функция Юла:
v ~ ае— Ьс
п ==---------,
ае + 6с
функция Хаммана:
v ____ а-\- е — Ь — с
^4.12 , , . ,
д + о + с + е
Выбор критериальной функции определяется относитель-
ной важностью единичных и нулевых элементов, а также
относительной важностью событий, заключающихся в сов-
падении или несовпадении интенсивностей элементов в
решаемой задаче. Например, функция Дейка Лл.5 придает
вдвое больший вес совпадающим единичным элементам,
а функция Соукала и Снита Юл — несовпадающим эле-
ментам. При равнозначности единичных и нулевых эле-
ментов целесообразно использовать функцию Рао Ю.з.
К парным критериальным функциям относятся также
знаковые функции. Нормированную взаимную корреля-
ционную функцию Л1.2(пж) для стационарных эргодиче-
ских изображений с гауссовским распределением интен-
сивностей можно выразить через вероятности совпадения
знаков следующим образом [38]:
^1.Лах') — ~-coS (aj = — cos2TtF(T7-) (axF
где F^t + } (ах), F^ (ах) —соответственно вероятности
совпадения только положительных и только отрицатель-
ных знаков.
5. Ранговые критериальные функции полагают упоря-
дочение элементов изображений по интенсивности, т. е.
размещение элементов в порядке убывания (или возра-
стания) интенсивности, и присвоение каждому элементу
ранга, который обычно обзначается порядковыми числа-
ми согласно месту, занимаемому в ряду. Наиболее распро-
страненной является функция Спирмена [38]:
6 2 ^3i+axj ~
KtAaxi) — N^N2
где Rai, RTi — ранг i-ro элемента ЭИ и ТИ.
«6
В настоящее время не существует формализованного
способа выбора вида предварительной обработки и типа
критериальной функции. Поэтому синтез квазиоптималь-
ных корреляционных алгоритмов производится эвристиче-
ски.
В табл. 2.1 представлены известные квазиоптимальные
корреляционные алгоритмы и показана возможность их
классификации по виду предварительной обработки и ти-
пу критериальной функции.
ТАБЛИЦА 2.1
Алгоритм при критериальной функции
Вид предварительной обработки корреляци- онной разностной спектральной парной
Дискретизация по прямоугольному раст- ру Классический корреляцион- ный* Д. Барнеа [47] П. Аиуты [60], К. Каглина [48], Л. Ярослав- ского ]35], В. Антипина— А. БуйДова [94Г Г. Гаррета [491, С. Кильвейна [95]
Выделение контурных линий М. Сведлоу [50| Р. Воига— Э. Холла (II) [5П Э. Холла J52] Л. Новака ]4б ] Р. Воига
Выделение признаков заданной формц К. Ормсби [54/ К. Прайса [551, С. Пащиева [93] — —
Формирование инва- риантных моментов Р. Воига— Э. Холла(1) [56] С. Дудаин [57] — —
Формирование гра- диентных векторов Д. Дэвиса [58] — Д. Дэвиса [58]
Снижение разреше- ния** В. Латышева [29] А. Розенфель- Да [59] • — —
*При дискретизации по окружности—алгоритм X. Арсено [41].
•♦Алгоритм амплитудного ранжирования [54] при ранговой критериальной
функции.
2.2. Синтез квазиоптимального корреляционного алгоритма
обработки изображений
Рассмотрим пример использования изложенной выше
методики.
При синтезе квазиоптимального алгоритма можно ру-
ководствоваться следующими основными положениями.
1. Синтезируемый алгоритм должен обеспечить корре-
ляционную обработку изображений как в режиме опозна-
7-370 97
вания объекта (поисковый режим), так и в режиме сопро-
вождения опознанного объекта (беспоисковый режим). В
поисковом режиме основными характеристиками алгорит-
ма являются вероятности пропуска объекта и ложной тре-
воги. Точность играет второстепенную роль. В беспоиско-
вом режиме алгоритм должен обеспечить прежде всего
высокую точность сопровождения объекта, так как невер-
ное совмещение изображений маловероятно. Поэтому в
поисковом режиме пространственная критериальная функ-
ция ТИ и ЭИ должна иметь максимальное отношение
«основного лепестка» к боковым, т. е. в пределе должна
стремиться к 6-функции. В беспоисковом режиме измере-
ние координат осуществляется по производной корреляци-
онной функции. Поэтому «основной лепесток» должен
быть несколько расширен.
2. Синтезируемый алгоритм должен обеспечивать обра-
ботку изображений в спектральной области, что позволит
снизить вычислительные затраты за счет использования
алгоритмов БПФ.
3. Желательно, чтобы синтезируемый алгоритм имел
аналитическую связь с оптимальным корреляционным ал-
горитмом, что упростило бы их сравнение.
В соответствии с указанными положениями последова-
тельность квазиоптимальной обработки изображений мож-
но представить следующим образом. На первом этапе осу-
ществляется предварительная обработка ТИ и ЭИ, целью
которой является формирование изображений с уменьшен-
ной информативностью. Затем производится дополнитель-
ная обработка ТИ для получения корреляционной функ-
ции, имеющей максимально узкий «основной лепесток».
Представим оба этапа в виде процесса линейной фильтра-
ции (рис. 2.1). Введем, следующие обозначения:
йи(х, у), Ни(ах, соу)—весовая и передаточная функции
фильтра, обеспечивающего снижение информативности
Рис. 2.1
98
изображений; $э(х, у), sT(x, у), х-Доц, ау), sT(ax, а>у) —
ЭИ и ТИ с уменьшенной информативностью и их спектры;
Ьф(х, у), Нф(а)Х, а>у)—весовая и передаточная функции
фильтра второго этапа алгоритма.
С учетом введенных обозначений квазиоптимальный
алгоритм можно записать следующим образом:
5э(х—ах, у—ay)*hn(x, у)*11ф(х, у)*
Нс [sT(x, y)^ha(x, у)]=8(х—ах, у—ау),
где Нс — символ свертки, — символ корреляции.
Отметим некоторую условность последнего выражения.
Получение взаимной корреляционной функции в виде 6-
функции теоретически возможно лишь при обработке бес-
конечно информативных изображений. При обработке ре-
альных размытых изображений «основной лепесток» кор-
реляционной функции будет иметь определенную ширину,
появятся и «боковые лепестки». Однако можно полагать,
что при использовании алгоритма, сформированного с
целью получения в идеале 6-функции, ширина «основного
лепестка» и уровень «боковых» будут меньше, чем у других
алгоритмов. Поэтому записанный алгоритм следует считать
идеализированным, хотя и квазиоптимальным.
Воспользовавшись свойством ассоциативности свертки,
выражение, определяющее обработку ТИ, можно упрос-
тить:
М*, «/)* 1$т(х, у)*1ги(х, «/)] =
= [Йф(х, Z/)>|</lH(x, у)] >|<ST(x, у) =
=hc(x, y)*sAx, у),
где hc{x, у)=Ьф{х, y)%ha(x, у) —суммарная весовая
функция фильтра, обеспечивающего обработку ТИ.
Таким образом, задачу синтеза квазиоптимального ал-
горитма можно считать решенной, если определены весо-
вые функции фильтров hn(x, у) и hc(x, у) (или Нф(х, у))
или соответствующие им передаточные функции.
Определим весовую функцию фильтра, формирующе-
го изображение с уменьшенной информативностью. В си-
стемах управления, использующих образ объекта, жела-
тельно иметь более подробную информацию в центре изо-
бражения (где’находится объект) и менее подробную на
периферии, чтобы снизить влияние изменений фона.
Решение этой задачи возможно при обработке изобра-
жений с использованием весовых- функций, имеющих мак-
симальное значение, равное единице, в центре изображе-
ния и убывающих до нуля по краям изображения [61].
Однако введение весовых функций увеличит вычислитель-
ные затраты при обработке изображений.
7* 99
В качестве альтернативного способа снижения инфор-
мативности изображений предлагается использовать
фильтр, на выходе которого сигнал представлен совокуп-
ностью отсчетов, взятых на радиальных прямых, исходя-
щих из начала координат и равномерно размещенных в
интервале 0 ... 360° (рис. 2.2). При этом требование сни-
жения информативности изображения с заданной неравно-
мерностью выполняется без увеличения вычислительных
затрат. Передаточную функцию фильтра, обеспечивающего
такую обработку изображений, с использованием фильт-
рующих свойств 6-функции можно записать следующим
образом:
Ми(<»х, ^SS8W^ («!/)}8{fm((Dx> (2-4)
& m
где gk((nx, <лу)—уравнение пучка прямых, fm(<ox, <Оу) —
уравнение концентрических окружностей с центром в на-
чале координат.
При этом полагаем, что на двумерный случай распро-
страняются известные свойства 6-функций: 62(х) =с6(х),
где с — произвольная константа, и 6(х—а) (х—Ь)~0, если
a^b. [102, 103].
Таким образом, передаточная функция фильтра имеет
вид (рис. 2.3): '
р р
Ни('лх’ щ9)=2 2 8Н —8{ш—"*%} (2.5)
m=\ k=\
где п—число прямых в пучке, Оп=л/п, да =
ю0—частота Котельникова; W— наивысшая частота спект-
ра сигнала S(cox, иу); p=W/aa', k^n/2.
Сигнал на выходе фильтра с передаточной функцией
Ни(ых, а>у) имеет вид
о -ЖУда/ 6 узлах декартовой -
сетки координат;
^-отсчеты на ргдиаыш прямых
Рис. 2.2
Рис. 2.3
100
р п
s(<»x, <«j,) = S((ox, Шу) 2 2 ЧЧ — tg (VW3 {ш —
m~l k= 1
(2.6)
и при бесконечном увеличении п неограниченно приближа-
ется к исходному сигналу.
Перейдем к синтезу второго фильтра. Рассмотрим сна-
чала работу этого фильтра в поисковом режиме. В этом
случае фильтр должен обеспечивать такую обработку ТИ,
при которой корреляционная функция ЭИ- и ТИ вырожда-
лась бы в пределе в 6-функцию. Текущее изображение на
выходе^второго фильтра можно записать
«т(х, y)=sT(x, у)*1гф(х, у) (2.7)
или в пространстве фурье-спектров
St(cOx, СОу) —— St ((Ох, СОу)//ф(сОх, ®у) • (2.8)
Корреляционную функцию изображений $э(х, у) и
sT(x, у) можно записать
г(х, у)=зт(х, у) *§э(х, у) (2.9)
или в пространстве фурье-спектров
R=(ax, (i>y)~ST((£>x, COy)S*3(a>x, (£>у). (2.10)
Поскольку требуется, чтобы г (.г, у) стремилась к
6(х, у), то, представляя спектры изображений в комплекс-
ной форме и подставляя (2.8) в (2.10), получаем
8(х, г/) = ^“1{|5т(юх. <«у)| exp [/(<f>7 +
+ <?/)] 15Э*.К> шу)|ехр [- /(?х’+ ?/)] Нф(Шх, ®^)}, (2.11)
где &~~1 — символ обратного преобразования Фурье.
Нетрудно убедиться, что уравнению (2.11) удовлетворяет
передаточная функция Нф(ах, ау) вида
(<»х. , (2-12)
Ist(Wx. ш;/)5э*(<0х, <0у) |
так как, подставляя (2.12) в (2.11), получаем
sr-1{exp[j(<PTx—Фэх+сртх—<рэу)]}=6(х, у), (2.13)
Полученный результат можно интерпретировать сле-
дующим образом. Устройство с передаточной функцией
Нф(о>х, соу) представляет собой фазовый фильтр, т. е.
фильтр, на выходе которого фазовая часть комплексного
спектра изображения остается без изменений, а амплитуд-
101
ный спектр нормализован. То, что фазовая часть комп-
лексного спектра играет более важную роль при распо-
знавании образов, отмечается в ряде работ [61, 48]. Важ-
ность фазы обусловлена тем, что именно в ней сосредото-
чена вся информация о смещении изображений. Рассмот-
рим, например, изображение s(x, у), имеющее спектр
5 (сщ, соу). Спектр этого изображения, смещенного по оси
х на величину ах и по оси у на ау, можно записать (1.22)
00 00
^[s(x —у — ау)\= J Js(r— ах, у— аДехр [—j(<vH~
(2.14)
+ wyy)] dxdy,
где — символ преобразования Фурье.
Положим х—ах—и, у—ay=v. Тогда (2.14) примет вид
fr[s(x~ax,
s(u, п)ехр[—j (<оЛ (« + «*) +
+ (у + аг/)шг/Ми^ = 5((«х. toy)exp [—j(io<at4-ioyaI/)]. (2.15)
Из (2.15) видно, что изменился фазовый спектр Изображе-
ния.
Возможность использования только фазовой состав-
ляющей комплексных спектров при корреляционной обра-
ботке изображений подтверждена экспериментальными
работами [61, 48].
Для использования алгоритма в режиме сопровождения
объекта (беспоисковом) передаточную функцию фильтра
можно обобщить, введя в знаменатель выражения (2.12)
показатель степени I [48]
Нф(ах, соу) = |5т(<щ, <щ)5*э((щ, wy)|-z. (2.16)
При 1—\ корреляционная функция' изображений 5т(х, у)
и S3(x, у) имеет форму 6-функции и алгоритм обеспечива-
ет работу в поисковом режиме. При =0=С/< 1 6-функция
как бы «расплывается», что обеспечивает беспоисковый ре-
жим работы следящего устройства с дискриминационной
характеристикой, определяемой производной корреляцион-
ной функции изображений с уменьшенной информатив-
ностью. Значение I в беспоисковом режиме определяется
статистическими характеристиками объекта и фона и может
быть получена экспериментально для типичных условий ра-
боты системы.
Синтезированные передаточные функции фильтров по-
зволяют записать квазиоптимальный корреляционный алго-
ритм в следующем виде:
102
D(ax, ay) = max{r[$T(fflx, ®F)]}. (2.17)
где
ST(«\, (BF) = ST(‘«x> my)HC(wX> <°y),
$э(шХ’ шу)~ S3(f»x, ши)Ни(юх, my),
p n
= 2 S sK-~'Mg(M)}s{'«—
m~\ k=\
p n
2 2 5Ь-«Рг(У)}г'{«-ma>0}
U r . m=l k=\
nc(^x, wy) =----------------------------------’
I ST(tox, (Oy)S3*((Ox, '<0^)1'
0</< 1; k^n/2; p = W/^, Qn = v/n.
Выражение (2.17) описывает синтезированный алгоритм
в поисковом режиме. В беспоисковом режиме алгоритм от-
личается тем, что величины смещения ах, ау определяются
по нулевому значению первых частных производных выра-
жения в фигурных скобках по ах и ау и полных производ-
ных по времени ах, ау.
При гг—>-оо и 1=0 синтезированный алгоритм эквивален-
тен оптимальному корреляционному алгоритму, что свиде-
тельствует о квазиоптимальности синтезированного алго-
ритма.
Рассмотрим возможности практической реализации синтезирован-
ного алгоритма. Непосредственная реализация квазиоптимального алго-
ритма в соответствии с выражением (2.17) сопряжена с определенными
трудностями. Эти трудности обусловлены тем, что при обработке изо-
бражений фильтром с передаточной функцией //„(wx, со^), заданной
в спектральном пространстве на концентрических окружностях, предпо-
лагается, что спектр изображения задан не в декартовых координатах
<ох, <£>у, а в полярных и, 0.
В этом случае фурье-спектр изображения можно представить в ви-
де [65]
00
S (и, 9) = 2л 2 Спп («) ехр (— j п8), (2.18)
п=—00
00
где Спп(и) = у рс/2 (р) Jn(pu) ф,
о
ТС
1 с
Сп(р)=7~ s(p, ф) ехр ( — ]пФ)ЛФ.
J
—тс
Выражение (2.18) представляет собой спектр сигнала s(p, Ф), разло-
женный в ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье являются преобра-
103
зованиями Ганкеля п-го порядка последовательности сп(р), п = 0, + 1,
±2, ...
Еще более сложный вид в полярных координатах имеет теорема
отсчетов. Сигнал $(р, Ф), имеющий спектр S(u, 0)=О при рЭэд, может
быть восстановлен по своим отсчетам в соответствии с [65]:
00 2/С
S (Р’ Ф) = S S S (“0° 2^+4) 9°г (Р) (2К + 1)-1 +
i=lk=O
Я оо 2Я
+ 2 (2К + 1)- S S S ’ 5x+i) W [" (* “ Й7и)] •
/2=1 Z=1 k=0
(2-19)
где
„ , , 2a -Jn(pa)
9nl (p) = -------------9----Г-
«4+1 (a«l«) (<; — P )
O’ni=Zni/a, Zni — i-R нуль функции Бесселя Jn(-)-
Из выражений (2.18) и (2.19) видно, что различные преобразова-
ния изображения s(p, Ф), заданного в полярных координатах, вклю-
чают операции с функциями Бесселя и, в частности, преобразование
Ганкеля. Несмотря на то что в последнее время предложено несколько
упрощенных способов вычисления преобразования Ганкеля на ЭВМ,
тем не менее вычислительная эффективность этих операций значительно
уступает вычислительной эффективности алгоритмов быстрого преобра-
зования Фурье (БПФ) [67]. Поэтому рассмотрим возможности упро-
щения выражения (2.17), чтобы исключить из него преобразования
Ганкеля.
Одним из приемов, позволяющих упростить вычисления при корре-
ляционной обработке двумерных прямоугольных массивов, является
последовательное вычисление корреляционных функций строк или столб-
цов этих массивов. При этом переход от обработки двумерных функций
к одномерным обеспечивает сокращение вычислительных затрат.
Воспользуемся аналогичным приемом в нашем случае. Однако в каче-
стве частичного одномерного описания изображения выберем совокуп-
ность значений спектральных составляющих, лежащих на одной прямой
пучка,g(ax, Му), заданного выражениями (2.4), (2.5). Отметим, что эти
спектральные составляющие представляют собой центральные сече-
ния спектра изображения, равномерно размещенные в интервале
0е=[О, 360°]:
Р(а>и, 9) = S(<ox, юу) U=<0uCOs9. (2.20)
I <о -=<о sin G
У и
На рис. 2.4 показан спектр изображения, а на рис. 2.5 и 2.6 — централь-
ные сечения этого спектра при 0=0° и 0 = 90° соответственно.
Очевидно, что, увеличивая число центральных сечений спектра п,
можно с любой наперед заданной точностью описать полный спектр
изображения, а следовательно, и пространственную функцию корреля-
ции ЭИ и ТИ. При этом выражение (2.17), описывающее синтезирован-
ный квазиоптимальный алгоритм, распадается на п аналогичных выра-
жений, каждое из которых представляет собой производную корреля-
ционной функции взятых под одинаковыми углами центральных сечений
спектров ЭИ и ТИ. Нулевое значение производной пространственной
104
функции корреляции определяет смещение сечений <х0, а значит, и
сравниваемых изображений в направлении 0. Для получения значений
смещения изображений ах, ау в декартовых координатах достаточно
провести корреляционную обработку двух сечений спектра, взятых под
произвольными углами 0,; и 0<. Смещение определяется из системы
уравнений (при условии, что 0*<0;)
а = + arccos (ад /X) + 9* + 2л,7,
k (2.21)
X = a9;/cos (а— 9г),
где X=aj./cos a=aJ,/sin а.
При малых 0 и а приближенное решение системы уравнений (2.21)
имеет вид
af)k — аЫ
aX = ay‘^af)k 9ft g^____ g^ (2.22)
Как показано выше, рациональный способ практической реализации
синтезированного квазиоптимального алгоритма предполагает использо-
вание центральных сечений спектров изображений. Рассмотрим возмож-.
ности получения центральных сечений спектров.
Запишем спектр изображения s(x, у) в виде
ОО 00
S((0x,(0y)= j J.s(x, у) exp [ —j (<o^.x+<o„y)]c/xdy. (2.23)
—00 —00
Положим 0 = 0, т. e. рассмотрим сечение спектра совпадающее
с координатной осью а>х- Его можно записать
Р (“J = (“х> ыу) 1^=0. (2.24)
Подставляя (2.23) в (2.24), получаем
оо со
Р(<ох) = J J 5 (*> У) exp [ — j <oxx] dxdy. (2.25)
—00 —00
Изменив порядок интегрирования в (2.25), получим
00
00 >
J s (х, у) dy\ exp [ — j соях] dx.
.—oo J
(2.26)
105
Обозначим выражение в фигурных
скобках в (2.26) через р(х). Нетруд-
но заметить, что центральное сече-
ние спектра Р(<вх) является преоб-
разованием Фурье функции
00
Р(х) = ^s(x,y)dy. (2.27)
—оо
Функция р()Х), являющаяся резуль-
татом преобразования (2.27) функ-
ции s(x, у), обычно называется
«проекцией». Записав выражение
(2.27) в цифровом виде
/>(0 =S s^’ Я’ (~2,28^
/=1
где — число элементов разложения изображения s(i, j) по координа-
те /, видим, что для получения проекции p(i) необходимо просуммиро-
вать интенсивности элементов изображения s(i, /) по координате
Таким образом, если изображение s(i, /) задано в виде прямоугольной
матрицы, то получение проекции этого изображения под углом 0=0°
заключается в суммировании интенсивностей элементов матрицы по
столбцам. Вычислительная эффективность получения проекции очевид-
на. В соответствии с (2.26). для получения центрального сечения спект-
ра изображения необходимо вычислить преобразование Фурье проекции.
Соотношение сечений спектра и проекций устанавливает так называемая
теорема о проекциях и сечениях многомерных сигналов, которая гла-
сит, что (IV—1)-мерное -преобразование Фурье проекции рХ1 (%2, ...
..., x.v) представляет собой центральное сечение TV-мерного преобразо-
вания Фурье функции f(xi, ..., х»), или, другими словами, спектр
проекции является сечением спектра сигнала [71]. Выражения (2.23) —
(2.26) представляют собой вариант теоремы о проекциях и сечениях
для двумерных сигналов. Связь сечений спектра и проекций (через
преобразование Фурье) используется в томографии и молекулярной
биологии для восстановления многомерных сигналов по их «проекциям»
[71]. Использовались проекции и для распознавания образов [43].
Выражение (2.27) определяет проекцию изображения при 0 = 0°.
Найдем выражение для проекции р(х, 0), взятой под произвольным
углом 0 в интервале 0 ... 360° (отметим, что 0 является параметром,
а не переменной). Для этого можно либо ввести новые координаты,
либо поворачивать изображение s.(x, у) в прежних координатах. Вос-
пользовавшись вторым способом, можно записать
00
Р (х, 0) = { 3 [(х, у) Л] dy.
(2.29)
где
I cos 9 sin 9 I
| — sin 9 cos 9 1
Известно, что если s(x, у) и S(a>«, <og) образуют пару преобразо-
ваний Фурье, то s[(x, у)А] и S[(<ox, <о9)Л] также являются парой'пре-
образования Фурье при условии, что матрица А — ортогональна, т. е.
106
транспонированная матрица сов-
падает с обратной ДТ=Л-1 [72].
Матрица поворота А является
ортогональной. Поэтому повороту
проекции р(х, 0) на угол 0 соот-
ветствует поворот сечения спектра
изображения на тот же угол.
Вычисление проекции, взятой
под произвольным углом 0, ил-
люстрируется рис. 2,7. Элементы
проекции р(&, 0) равны суммам
интенсивностей элементов изобра-
жения s(i, j), попадающих в поло-
су интегрирования dy или в «луч»
b(k, 0), ограниченный прямыми
Ук и yh-i (xk и xh-i). При 0=0°
и 180° семейство прямых, разде-
ляющих «лучи» b(k, 0) имеет вид
Рис. 2.7
xs=^+l/2, 6=0, 1, 2, .... N.
Элементы проекции вычисляются по формуле
N
P(k, 0) = 2 s(’> j)’
/=1
(2.30)
(2-31)
где k=\, 2, ..., jV; Xk-i^i<Xk, т. е. суммирование производится по
столбцам элементов изображения.
При 0=90° и 270° семейство прямых, разделяющих «лучи» Ь(&, 0),
имеет вид
ук=к-^1/2, 6=1, 2, .... N. • (2.32)
Элементы проекции вычисляются по формуле
р (й> 9) = S s(i< i'1’ <2-33>
/=!
где k=\, 2.....N-, уi.-jSCj<ук, т. е. суммирование осуществляется по
строкам элементов изображения.
При всех остальных углах 0 семейство прямых уь, разделяющих
«лучи» b(k, 0), следуя [74], можно записать в виде
где
У у -X
где
( -V , ,
-----4- Int
2
ь
+ ^+,~Аг’ * = °’1’2........
| sin 9 J
1 . L N + I ( п \
2 | sin 9 | 2 2 )
N- 1 ( I sin в I + I cos 9 | — 1) + 44
При [•] > int [•],
N ГЛ’ — I <1
— + Int —-— ( | sin 9 | + | cos 9 | —1)4-— — I
2 12 ~ I
(2.34)
(2.35)
(2.36)
L
I
при [•] = Int [•],
107
'v + 2Int
ГА'-l
W4-2Int -------
при [ •]> Int [-].
(2.37)
( 1 sin 9 I + | cos 9| — l) + -£- — 1
при [• ] = Int [•],
Int [•] —целая часть [].
Элементы' «проекции» под произвольным углом 0 вычисляются по фор-
муле
, p(k,9)= *= 1, 2, .... С0. (2.38)
(Z, j)S&(M)
Выше было показано (2.21) — (2.22), что оценку смещения (ах,
ау) ТИ относительно ЭИ можно получить в результате корреляционной
обработки двух проекций, взятых под произвольными углами. Вместе
с тем из теории восстановления многомерных сигналов известно, что
среди бесконечного множества углов «проекций» существует конечное
множество рациональных углов {01, ..., 0П}, использование которых
обеспечивает однозначное восстановление сигналов при минимальном
числе проекций. Поэтому будем вычислять проекции именно под этими
углами. Рациональные углы определяются выражением [76]:
' 69 = arctg {Tq/Qq}, (2.39)
где 9=1, ..., п; Т, Q — целые, взаимно простые числа, такие, что |Q|^
п — число углов «проекций».
Значения первых 16 рациональных углов (в градусах), рассчитан-
ных по формуле (2.39), приведены в табл. 2.2.
ТАБЛИЦА 2.2
4 т Q It 2’ it ~2 0, it я т Q К 2’ к ~2 0, то
1 0 1 0,0 0,0 9 3 1 71,6 71,6
2 1 0 90,0 90,0 10 1 —3 — 18,4 161,6
3 1 1 45,0 45,0 11 1 3 18,4 18,4
4 1 — 1 —45,0 135,0 12 —3 1 —71,6 108,4
5 1 2 26,6 26,6 13 3 2 56,3 56,3
6 —2 1 —63,4 116,6 14 2 —3 —33,7 146,3
7 2 1 63,4 63,4 15 2 3 33,7 33,7
8 —1 2 —26,6 153,4 16 —3 2 —56,3 123,7
Рациональные углы размещены в’интервале (—л/2, л/2) (табл. 2.2).
Поскольку проекции являются периодическими функциями угла 0 с пе-
риодом л, т. е.
р(и, 0)=р [(—!)*«, 0+^л], (2.40)
то в последнем столбце табл. 2.2 даны рациональные углы «проекций»,
пересчитанные для удобства вычислений в интервал (0, л). Заметим
108
также, что рациональные углы 029-i и 02? (9=1, • •п) смещены по
отношению один к другому на 90°. Это позволяет при вычислении оце-
нок ах, ау по результатам корреляционной обработки пар «проекций»,
взятых под углами 02?-i и 02„ т. е. ортогональных проекций, упростить
выражение (2.21), (2.22). В этом случае оценки смещения изображений
по <?-й паре ортогональных «проекций» в декартовых координатах
имеют вкд:
ах (q) = соз 927_! — а0 sin92g_1F (2.41)
М?) '=a02?_isin92(?_i+a9^cos92(?_1. (2.42)
Выражения (2.41), (2.42) иллюстрируются рис. 2.8, на котором пока-
зан пример обработки изображения, заданного в виде точки s(x, у) —
= б(х, у).
Окончательные оценки смещения изображений ах*, ау* формируют- ,
ся в результате статистического усреднения оценок ax(q'), a.y(q') по всем
9=1,
Проведенный анализ возможностей реализации синтези-
рованного квазиоптимального алгоритма показывает целе-
сообразность приводимой ниже последовательности опера-
ций при корреляционной обработке изображений.
1. Формирование ансамбля из п проекций рэ(&, 0д) и
p*(k, 0g) ЭИ и ТИ
p(k, 0g) = S s(i, j). (2.43)
(1. /)£& (*. 9g)
109
Элементы (i, j)^b(k, Qq) определяются по формулам
(2,34) — (2.37). Углы проекций 07 вычисляются в соответст-
вии с выражением (2.39).
2. Вычисление центральных сечений спектров изобра-
жений
N
р(^ 9?)ехр[—]=ip(%. 09)|х
k=i
х ехр [j<p (<О„, 0д)]. (2.44)
3. Вычисление корреляционных функций проекций ЭИ
и ТИ в соответствии с выражением
r(k, 9g) =.Г-! {|РТ(®М, 09)Р*э(юм,
09)|(1-г) ехр [j(фт(«>и, 09)—фэ(юи, 09)]}, (2.45)
где З2"-1 — символ обратного преобразования Фурье,
В поисковом режиме 1=1. В беспоисковом 0=С/<1.
4. По максимальному значению r(k, 09) (в поисковом
режиме) или по значению производной r(k, 09) (в беспо-
исковом режиме) определяются смещения изображений
Ge в направлении 09.
5. По каждой паре ортогональных сечений спектров
вычисляются оценки смещения изображений в декартовых
координатах ax(q), av(q):
ах (q) = sin 02g_t,
ау (q) = sin 02g_, — а02? cos 02g_,.
6. Вычисляются окончательные оценки смещения теку-
щего изображения:
п п
«/=v Sа* (<7); йу
9=i 9=1
Структурная схема квазиоптимального измерителя, реа-
лизующего синтезированный алгоритм, изображена на
рис. 2.9. Квазиоптимальный измеритель представляет со-
бой многоканальное следящее устройство корреляционно-
го типа, в каждом из каналов которого осуществляется
корреляционная обработка центральных сечений спектров
ЭИ и ТИ (спектров «проекций» ЭИ и ТИ).
ПО
Преобразования Преобразования
Рис. 2.9
Синтезированный алгоритм позволяет значительно со-
кратить вычислительные затраты. Это обеспечивается бла-
годаря сокращению ис-
ходной информации в
N/n раз за счет форми-
рования одномерных
«проекций» и обработке
«проекций» с использова-
нием алгоритмов БПФ.
Коэффициент сокра-
щения вычислительных
затрат Yi по сравнению с
классическим корреляци-
онным алгоритмом, рас-
считанный в соответствии
с методикой [77]:
yI=^/n[121og2A^+
+0,1 (V—1)].
На рис. 2.10 приведе-
ны графики коэффициен-
та сокращения вычисли-
тельных затраит (в зави-
симости от размеров об-
рабатываемых изображе-
111-
ний) для синтезированного алгоритма классического
корреляционного алгоритма, реализованного в спектраль-
ном пространстве с использованием БПФ у2, и разностно-
го алгоритма у3. Из рисунка видно, что синтезированный
алгоритм при обработке типовых изображений обеспечи-
вает сокращение вычислительных затрат на 1—2 порядка.
Оценку эффективности сформированного алгоритма це-
лесообразно провести в два этапа. На первом этапе оцени-
вается возможность корреляционной обработки изображе-
ний с использованием ограниченного числа сечений спект-
ров этих изображений, а на втором — возможности выбран-
ной критериальной функции (см. § 2.5, посвященный
обобщенному методу фазовой корреляции).
На первом этапе оценка производится для двоичных
изображений двух объектов: квадрат и стилизованный
самолет. Фон задается в виде нулевой матрицы. Размеры
обрабатываемых изображений— 8X8 элементов. Искаже-
ния в ТИ задаются с помощью инвертирования (преобразо-
вания единиц в нули и наоборот) яркостей элементов ЭИ.
Искаженные элементы равномерно распределены по изо-
бражению. Интенсивность искажений Кх задается в виде
отношения числа искаженных элементов к общему числу
элементов изображения.
В качестве критериев эффективности принята вероят-
ность ложной привязки Рлп и точность совмещения изо-
бражений. Под вероятностью ложной привязки понимается
вероятность того, что экстремум критериальной функции
будет смещен относительно истинного положения на вели-
чину, превышающую заданную —ДВ. Точность характе-
ризовалась среднеквадратическим значением погрешности
112
Рис. 2.14
измерения рассогласования, отнесенной к величине дис-
крета о0.
На рис. 2.11—2.17 представлены зависимости Ряп
и о0 от интенсивности искажений Кх для объекта первого
типа при КВ, равном одному (рис. 2.11, 2.12) и двум
(рис. 2.13) дискретам изображения. Число сечений спект-
ров Np изменялось от 2 до 8.
Аналогичные зависимости для объекта 2-го типа пока-
заны на рис. 2.14—2.17.
Следует заметить, что при ДВ=2 вероятность ложной
привязки практически равна нулю, за исключением случая
обработки изображений объекта 2-го типа с использовани-
ем двух сечений. Эффектив-
ность алгоритма значитель-
но повышается при увеличе-
нии числа сечений спектра с
двух до четырех. При даль-
нейшем увеличении NP рост
эффективности снижается и
при Кр>8 становится несу-
щественным.
8—370
11S
2.3. Классический корреляционный алгоритм
В классическом алгоритме используется критериальная
функция корреляционного типа, а предварительная обра-
ботка осуществляется фильтром с передаточной функцией
И (сох, соу) = 1, т. е. под классическим алгоритмом обработ-
ки изображений понимается вычисление функции взаимной
корреляции или интеграла типа свертки с последующим
поиском максимума этой функции.
Вычисление функции взаимной корреляции было исто-
рически первым методом, использовавшимся для корреля-.
ционной обработки изображений. Второй причиной широ-
кого применения этого алгоритма является относительная
простота его технической реализации.
К недостаткам классического алгоритма следует отнес-
ти большие вычислительные затраты, так как вычисление
функции взаимной корреляции производится при всех
возможных относительных сдвигах обрабатываемых изо-
бражений.
При этом общее число операций умножения при обра-
ботке изображений размерами МУ^М и MXAf равно [77]
Ay'x, [A7(A7-|-1)] [Л4(М+1)]. Это число является значи-
тельным.
Часто классический алгоритм используется для обра-
ботки изображений не в сигнальном пространстве, а в
пространстве преобразований Фурье, т. е. используется
критериальная функция вида (2.2).
В некоторых случаях корреляционная обработка в про-
странстве фурье-образов обеспечивает определенные преи-
мущества. Это относится прежде всего к аналоговым си-
114
стемам, использующим фурье-преобразующие свойства оп-
тики.
При реализации в цифровой форме этот вариант не да-
ет особых преимуществ. Поэтому практический интерес к
нему появился после разработки алгоритмов быстрого пре-
образования Фурье (БПФ). Число операций умножения
при использовании алгоритмов БПФ равно [77]
Ау= 1 2AfAflog2A+4Al, где M^N.
Число операций умножения при реализации классичес-
кого алгоритма (ККА) в сигнальной и спектральной об-
ластях при обработке изображений различных размеров
приведено в табл. 2.3 [77].
Из табл. 2.3 видно, что
реализация классическо- таблица 2.3
го алгоритма с использо- Размер ванием БПФ сокращает изображе- и НИЯ время вычислении в ре- ККА в сиг- нальной об- ласти ККА с ис- пользованием БПФ
альных системах на не- . сколько порядков. Ана- 8><8 логичные оценки были 16X16 получены и в других ра- 32X32 ботах [60]. |4X64 Представляет интерес 256X256 оценка характеристик ал- 400 5184 73 984 1 115 136 17'305 600 272 646 144 4 328 587 264 392 2320 12 320 61 504 295 042 1 376 518 6 291 960
горитма и, прежде всего, вероятностей верной привязки (верного совмещения) и
ложной привязки изображений. Приведем два инженерных
метода оценивания указанных вероятностей [80, 81].
Рассмотрим случай совмещения одномерных изображе-
ний
f(i), i=l, 2, ..., N, и g(i), i=l, 2, A., M,
где M>N, причем g(i-}-f)=f (i), i—1, 2, ..., N, где г соот-
ветствует верному совмещению ЭИ и ТИ.
Введем обозначения:
о2п — дисперсия шумовой составляющей, накладывающей-
ся на ЭИ при его формировании; гауссовский шум с нуле-
вым средним;
8*
115.
где r=0, 1, ..М—№
Нижнюю границу вероятности верной привязки при ис-
пользовании классического алгоритма можно вычислить
следующим образом [81]:
Р=1 _Vi 1 -РА<
$11 А «{г,} Л
Р(-) — символ вероятности, z — случайная величина, име-
ющая гауссовское распределение с нулевым математиче-
ским ожиданием и единичной дисперсией;
м ~ Pfg (г + 0) (1 “
о(г'>=1у[4-(1-^(7+‘'»!Ш+
X, ’/ J >
i — — г, —г-}~1. M.—N— г, i^O.
Для вычисления вероятности ложной привязки может
быть использован следующий метод [80]. Вероятность лож-
ной привязки Рлп можно рассматривать как совокупность
вероятностей ложных привязок Р'лп(Дх, Ду) при всех воз-
можных относительных сдвигах изображений
П {1—Рлп(ДХ, Др)},
Дх, Ду
где M2i — число возможных относительных сдвигов.
Вычисление вероятности события, заключающегося в
том, что функция корреляции Р (Дх, Ду) не превысит зна-
чения порога Т, может быть получено с помощью разло-
жения в ряд Эджворта (с сохранением первых трех членов
ряда):
Вер{Я(Дх, Ду)<Г}= 1 —Ф(х) + ?(х)/—1) 1+‘
1
72
(х5 — 10х3
116
4~ ~ 6x2 + 3> + -15x4+45*2 -15)+
+ ^- (х8 ~ 28К" + 210r* ~ 42°К* + 105) ] } ’
/ 1 \
х х exp ( — у-*3)
Ф(л)= J?(0^ j----------7^------dt,
—GO — GO
K— T ~ a£jj,1
Nl^ ’
Г, - ^з/р.3/2, Г4 = - 3iV)/p.22, r6 . G*6 - 10^,)/^%* -
число элементов разложения изображения, щ — среднее
значение Р (Дх, Ду), рп — п-й центральный момент
Д(Дх, Ду).
Достоинством данного метода является то, что при его
использовании снимается ограничение формы корреляцион-
ной функции гауссовской кривой, и поскольку вероятность
ложной привязки рассчитывается для каждого относитель-
ного сдвига изображений, то учитывается возможность из-
менения статистических характеристик изображений в за-
висимости от сдвига.
Рассмотрим функционирование классического корреля-
ционного алгоритма при наличии искажений [82]. Модели
ТИ и ЭИ представим в виде:
г (х) = Р (х), х^М, s (х) =Ра (х) -}~N (х),
где х=(хь хг) — двумерная переменная.
Различия между изображениями обусловлены аддитив-
ным шумом N (х) и геометрическими искажениями, кото-
рые могут быть представлены аффинными преобразования-
ми координат изображений: Pd(x)=P (Ах-|-/о), где
» II cos 6 sin 01|
А=а
|| — sin 6 cos 9 || .
— матрица относительного сдвига изображений на угол 0,
а — коэффициент изменения масштаба.
Среднее значение пика корреляционной функции, нор-
мализованное к средней величине пика при отсутствии ис-
кажений, зависит только от интенсивности искажений и
при малых значениях 0 и |1—а| имеет вид d=
= Г(1-«)2 + б2 •
Зависимость нормализованного среднего значения пика
корреляционной функции от нормализованной ширины йзо-
117
бражения ц при различных искажениях d показана на рис.
2.18,а [82]. Качество корреляционного алгоритма может
быть охарактеризовано отношением среднего пикового зна-
чения к среднеквадратическому отклонению, корреляцион-
ной функции в области боковых лепестков
г = М{С(У}/ГЖ)}.
Зависимость г от ц дана на рис. 2.18,6 [82]. Из рисунка
видно, что при разных искажениях существует оптималь-
ный размер ЭИ. Зависимости вероятности ложной при-
вязки Рдп от размера изображения и вероятности в/рной
привязки Рс при отношении сигнал-шум 10 дБ показаны на
рис. 2.19 [82]. Анализ зависимостей позволяет сделать сле-
дующие выводы [82]:
1. При наличии геометрических искажений существует
оптимальный размер изображения, позволяющий миними-
зировать вероятность ложной привязки. Оптимальный раз-
мер изображения пропорционален ширине его корреляци-
i-d = o,m (е=ю°)
z-d = 0,1ZZ (д=7°)
3-d -- 0,087 (Э^53)
d-d= 0(6 = 0°)
Ц8ЭЗ 0,9950,99 0,95 0,9 0,5 fy
Рис. 2.19
118
онной функции и уменьшается с увеличением геометриче-
ских искажений.
2. В общем случае минимизация вероятности ложной
привязки должна производиться с помощью выбора не
только размера, но и формы и ориентации эталонного изо-
бражения. В рассмотренном случае предполагалось, что
корреляционная функция изображений имела круговую
симметрию, поэтому оптимальный эталон имеет форму
квадрата.
3. Аналогичные зависимости существует и при миними-
зации среднеквадратического отклонения совмещения изо-
бражений. Однако при заданном уровне искажений размер
изображения, при котором погрешность совмещения мини-
мальна, меньше, чем размер изображения, необходимый
для минимизации вероятности ложной привязки.
2.4. Разностные корреляционные алгоритмы
В разностных алгоритмах используются критериальные
функции вида К2.0 К2.5 (см. § 2.2), а предварительная
обработка осуществляется фильтром с передаточной функ-
цией Н (ых, ау) = 1, т. е. разностные алгоритмы основаны
на поэлементном вычислении разностей интенсивности изо-
бражений.
Рассмотрим подробнее алгоритм (2.1). Отметим, что с
помощью аналогичного выражения определяется расстоя-
ние в евклидовом пространстве.
Выражение (2.1) можно записать
К21(т, «) = -^гУ]У]15э2(', /) —2sa(Z, j)sT(i —/и, / — /?) +
t i
—|—sT2(i — tn, j — n)], (2.46)
где суммирование производится по всем i и /, для которых
аргументы sT остаются в области определения. Последний
член выражения (2.46) остается постоянным при всех т
и п. Первый член характеризует энергию части ТИ, на ко-
торую наложено ЭИ. При перемещении ЭИ эта величина в
общем случае может изменяться. Однако для ряда реаль-
ных изображений эти изменения пренебрежимо малы. Сле-
довательно, значение К2.] (т, п). определяется выражением
— К*.t(m, п) = (г, /)sT(г — т, j - п),
I !
которое известно в качестве классического корреляционно-
го алгоритма. Следовательно, и характеристики классиче-
119
ского и разностных алгоритмов не должны иметь значи-
тельных различий.
Сравним основные характеристики двух алгоритмов: •
классического корреляционного алгоритма (ККА)) и алго-
ритма САР (средняя абсолютная разность) [84]. Для
упрощения записи рассмотрим вариант совмещения одно-
мерных изображений. В этом случае критериальные функ-
ции рассматриваемых алгоритмов имеют вид
1=1
1=1
где xt—i-й элемент ЭИ; —г-й элемент ТИ; N—число эле-
ментов разрешения; /— параметр сдвига; при j=0 и от-
сутствии шума Ra будет максимально, a Do—0, Rj — кри-
териальная функция классического алгоритма; D, — кри-
териальная функция алгоритма САР.
Примем следующие допущения: 1. Эталонное изображе-
ние Xi является гауссовским стационарным эргодическим
процессом с нулевым средним и дисперсией сг2ж. 2. Текущее
изображение формируется как у{=хг-|-пг. Предполагается,
что шум п; имеет те же характеристики, что и хг-, за исклю-
чением дисперсии, которая равна сг2и. Считается, что хг- и
nt — независимы.
Определим математические ожидания и дисперсии кри-
териальных функций обоих алгоритмов для случаев /=0 и
/=#0. На рис. 2.20,а показана одна из реализаций критери-
альной функции классического алгоритма.
Дисперсия критериальной функции при /=0 и /=Л0 рав-
на соответственно
^=-v^2+°"2)-
Средние значения для этих случаев равны
£о=сг2ж и R,=0.
Аналогичные параметры критериальной функции алгорит-
ма САР приведены на рис. 2.20,6 и имеют вид
120
Из рис. 2.20 видно,_что_совмещ'ение изображений будет
верным при и при всех /У=0. Исходя из этих
соображений и учитывая первые две моментные характе-
ристики критериальных функций, аналитические выраже-
ния для вероятностей привязки" можно записать следую-
щим образом [84]:
,ККА 1
пр — 2 м/
4-erf
+ SГ2Р(1 +2Р) \~|м ,„
/2Р(1 +р) у]
(2.47)
121
г + ]ЛгГ2 (^2Р+1 - 1)
рСАР
' пр
Г2р+ 1
(2.48)
где
erf (х) = — J ехр (—f2) dt,
о
z=W/V2ORo,
М — число независимых элементов критериальной функ-
ции (/); N — число независимых элементов изображений
(i); р — отношение сигнал-шум, определяемое как о2ж/о2п,
где о2х — средний квадрат амплитуды ЭИ, о2п — средний
квадрат разности амплитуд ТИ и ЭИ.
Зная параметры М, N и р, идентичные для обоих урав-
нений,’можно получить численные значения вероятности
привязки. Уравнения (2.47) и (2.48) могут быть использо-
ваны и для анализа непрерывных и двумерных корреляци-
онных функций. При этом параметры М и N будут иметь
вид:
N=TfnL или N=A,/(hL)2, M=D/nL или M=S/(nL)2,
L — интервал корреляции данных, Т и А — длина и пло-
щадь данных, D и 3:—длина и площадь корреляционной
функции. Зависимости вероятности привязки Рпр при раз-
личных значениях параметров М, N, р приведены на рис.
2.21,а (для отношения сигнал-шум 5) и на рис. 2.21,6 (для
отношения сигнал-шум 10). Анализ этих зависимостей по-
зволяет сделать следующие выводы [84]:
1. Вероятность привязки увеличивается с ростом отно-
шения сигнал-шум.
2. Вероятность привязки увеличивается с ростом N.
3. При увеличении М вероятность привязки снижается.
4. Алгоритм САР более чувствителен к изменениям от-
ношения сигнал-шум.
5. При достаточно больших М и N алгоритм САР обес-
печивает более высокую вероятность привязки по сравне-
нию с классическим корреляционным алгоритмом.
Проведенный эксперимент [84] с использованием
КЭСН, работающей по рельефу местности, показал, что
122
аналитически полученные данные подтвердились в 93%
случаев.
К классу разностных корреляционных алгоритмов отно-
сится также алгоритм последовательного определения
сходства изображений (ПОСИ) [47, 86]. Этот алгоритм
разработан для дальнейшего сокращения объема вычисле-
ний. В обычных разностных алгоритмах мера сходства изо-
бражений вычисляется при всех возможных положениях
ТИ относительно ЭИ.
Однако точные вычисления имеет смысл производить
только для небольшого числа точек вблизи экстремума
критериальной функции.
Критерий сходства изображений, алгоритмов ПОСИ
имеет вид
K(m, /z) = min (I ё (б /) —f0‘~«) I
(m, n) [ i j
Таким образом, в качестве положения совмещения вы-
бирается положение с наименьшей суммарной погрешно-
стью. При этом задается порог, суммарной погрешности Т,
'при превышении которого вычисления прекращаются и ус-
танавливается новое положение изображений.
Очевидно, что выбор величины порога имеет большое
значение для эффективности алгоритма. В работе показа-
но, что наилучшие результаты получаются, если порог име-
ет вид монотонно растущей кривой.
123
В работе [86] проведено сравнение вычислительных за-
трат при классическом корреляционном алгоритме, вычис-
лении корреляционной функции с помощью быстрого пре-
образовании Фурье ~и алгоритма ПОСИ. Результаты пред-
ставлены в табл. 2.4. Объем вычислений для каждого алго-
ТАБЛИЦА 2.4 '
Число элементов разреше- ния изображений Классический корреляционный алгоритм БПФ ПОСИ
L м 4,5М2(Г—М + 1)з 200L’log2L 4[1+10(М/32)]1/2 (L—М+1)а
128 32 4,4-107 2,25-107 4,2-10»
256 32 2,57.108 1 -108 2,2-Ю6
512 32 1,1-10» 4,6-108 1,05-107
1024 32 4,5-10» 2-10» 4,35-107
2048 .32 1,85-ЮЮ 8,8-10» 1,75-108
128 64 8,15-107 2,25-107 2,5-10»
256 64 6-9-108 1-108 2,2-Ю6
512 64 3,7-10» 4,6-108 1,2-107
1024 64 1,7-1010 2-10» 5,5-107
2048 64 7,4-1010 8,8-10» 2,4-103
256 128 1,15-10» 1-Ю8 1,37-100
512 128 1.1-10Ю 4,6-108 1,25-107
1024 128 5,8-1010 2-10» 6,7-107
2043 128 2,5-1011 8,8-10» 2,9-10»
1024 2048 512 512 2,7-1011 2,6-1012 2-10» 8,8-10» 4,1-107 4,1-107
2048 1024 4,5-10’2 8,8-10» 5,7-108
ритма пересчитан в эквивалентное число операций сложе-
ния. Из таблицы видно, что алгоритм ПОСИ снижает Вре-
мя вычислений в 10 ... 50 раз.
2.5. Обобщенный фазовый метод корреляционной
обработки
При использовании обобщенного фазового метода кор- ’
реляционной обработки критериальная функция вычисля-
ется по формуле
JV-1
т=0
124
х , Г. (2r.mk । , , . . \ 1)
Хехрр (—4-^)-^) JJ, (2.49)
где
| S(m) |= ]/Re {S (m)}2 -f- Im {S (m)}2,
{ v .Im
cp (tn) = arete-———
' & Ke{S(w)} ’
N—1
₽е{3(т)} = ^ s(/)cos(-^,
1=0
Im{S(m)} = —s(Z)sin
/To 7
где N — число элементов разложения изображений, O=gC
-
Обобщенный фазовый метод (ОФМ) объединяет груп-
пу квазиоптимальных корреляционных алгоритмов. При
значении параметра А = 0 выражение (2.49) соответствует
классическому корреляционному алгоритму, реализованно-
му в спектральной области (ККА СО):
%(<А-) = {| X (<»х) 11 Зэ (<oj | exp [j (<рт(<ох) — <рэ (<ох))]} =
00
= P{StWVW}= ртООМ*— ax)dK.
“00
При L=1 выражение (2.49) соответствует алгоритму фа-
зовой корреляции (АФК), который включает следующие
операции:
вычисление дискретных фурье-преобразований ТИ и
ЭИ;
формирование матрицы фазовой разности на каждой
пространственной частоте путем вычисления взаимного
энергетического спектра и деление его на модуль;
вычисление обратного преобразования Фурье нормали-
зованного энергетического спектра;
поиск наибольшего значения критериальной функции.
ПриО<А<1 выражение (2.49) соответствует модифици-
рованному алгоритму фазовой корреляции (МАФК).
Для фазовых алгоритмов характерно полное использо-
вание информации, заключенной в фазовой составляющей
комплексного спектра сигнала, и частичное использование
либо видоизменение информации амплитудной составляю-
щей. Значение фазовой составляющей обусловлено, в част-
125
f[s(x — ax, у — ау)]~ f
) +
ности, тем что именно в ней сосредоточена вся информация
•об относительном сдвиге изображений. Рассмотрим, напри-
мер, изображение s(x, у), имеющее спектр S(<иж, соу).
Спектр этого изображения, смещенного по оси х на вели-
чину ах и по оси у на ау, можно записать:
f[s(x—ax, y — ay)] = ^s(x — ax, у — ау)Х
Хехр[—j(wxx-[-wyy)]dxdy, (2.50)
где — символ преобразования Фурье.
Положим х—ах=и, у—ay—v. Тогда (2.50) примет вид
ОО 00
s(u, п)ехр[—+
—ОО —00
+ (Dy(v + ay))]dudv==S(mx, exp [—/ 4-ш^,)]. (2-51)
Из (2.51) видно, что изменился только фазовый спектр
изображения. Выражения (2.50), (2.51) представляют со-
бой вариант теоремы о сдвиге для двумерного случая [72].
Кроме того, экспериментально показано,, что если s(x,
у) — распределение яркости изображения и его преобра-
зование Фурье имеет вид S (<ож, а>у) = | S (сож, соу) | X
Хехр [/ф(а>х, (Оу)], то обратное преобразование Фурье от
модуля спектра | S (сож, о>у) | совершенно не похоже на ис-
ходное изображение, тогда как обратное преобразование
Фурье о< фазовой составляющей exp [jcp(a)x, соу)] весьма
сходно с s(x, у) и имеет вид исходного изображения, про-
шедшего через ВЧ-фильтр.
Возможность использования только фазовой составляю-
щей комплексных спектров при корреляционной обработке
изображений подтверждена экспериментальными работами
[48, 61, 37].
Изменению параметра L в выражении (2.49) от нуля
до единицы соответствует постоянное сужение критериаль-
ной функции. При L—1 и изображениях бесконечных раз-
меров критериальная функция вырождается в б-функцию:
R (АХ) =S?"“1 {exp (j Аср)} =б (АХ).
На рис. 2.22 показаны нормированные критериальные
функции двух прямоугольных сигналов, смещенных один
относительно другого на один дискрет. Из рисунка вид-
но, что критериальная функция АФК (А=1) представляет
собой резкий выброс в точке совмещения изображений.
Как показано в гл. 1, при сужении йространственной
корреляционной функции крутизна дискриминационной ха-
рактеристики (ДХ) КЭСН, определяемая производной про-
126
странственной корреляционной функции текущего sT (х—X)
и эталонного s3(x—X*) изображений, растет:
П(ДЛ) = — -^-/?ДДЛ), ДЯ = Л —Я*. (2.52)
Известно, что при использовании алгоритмов оптимальной
фильтрации дисперсия погрешности оценки взаимного по-
ложения ТИ и ЭИ и крутизна ДХ связаны обратной про-
порциональной зависимостью [2]. Поэтому представляет
интерес оценка зависимости крутизны ДХ КЭСН, исполь-
зующей обобщенный алгоритм фазовой корреляции, от па-
раметра L.
Предположим, что взаимный энергетический спектр изо-
бражений |2 имеет колоколообразную форму, кото-
рая позволяет аппроксимировать спектры ряда типичных
фонов [87]:'
| G (их) 12~ехр (-1/2п2оА). (2.53}
Критериальная функция в этом случае принимает вид
= Д jcxp j— J =
=- ‘ _ exp [ . --------1 (2.54)
aK(l—Zj2n [ 2a2(l —Z.)
Подставляя (2.54) в (2.52), получаем
п/лпч d I 1 Г AX2 1)
’ d(k\) ( aK2n(l — L) [ 2a2(l — L) Jf
=“iz=---------375-А Я exp [--—------]• (2.55)
И2ла3(1 — Ь)3/2 [ 2a2(l — L) J.
127
Отношение крутизны ДХ
фазового дискриминатора (0<
<А<1) к крутизне ДХ обыч-
ного дискриминатора (£=0)
имеет вид
Q=D'iK (_0)/Дкка(0)=1/(1-Л)3/2 .
(2.56)
Зависимость Q от параметра
L показана на графике рис.
2.23. Из графика видно, что
о о,2 0ft о,о о,О 4 применение МАФК с парамет-
„ ' ром /,=0,2—0,4 позволит
уменьшить дисперсию погреш-
ности оценки взаимного поло-
жения изображений в 1,5... 2
раза. Приведенные экспериментальные данные свидетель-
ствуют о том, что теоретическая зависимость дисперсии по-
грешности оценки взаимного положения и крутизны ДХ,
полученная для оптимальных методов обработки, для ква-
зиоптимальных фазовых алгоритмов имеет место лишь при
малых значениях параметра L (от 0 до 0,2 .. . 0,3).
Для анализа физических процессов, происходящих при
фазовой корреляции, и определения характеристик этого
алгоритма сформируем физическую модель АФК и дадим
качественную оценку .АФК на основе теории линейной
фильтрации и спектральной теории сигналов. Схему обра-
ботки ЭИ 8э(х, у) и ТИ 5т(х, у) изображений можно пред-
ставить в виде двух последовательно соединенных фильт-
ров. Первый фильтр осуществляет предварительную обра-
ботку. Для ЭИ он имеет частотную характеристику
ДЛЯ
w„) =-------!-----,
Ю U |Sa(<ox, ®к)|
ТИ частотную характеристику
Я_(т , »,,)==-------------,
т " |ST(o\, (ojl
(2.57)
(2.58)
где
5э(®х, <»»)= J z/)exp [—j (vaxx<mgy)]dxdy,
—00 —00
St(4' ^)= J рт(*- z/)exp [—i(<s>xx + <s>gy)\dxdy.
—X —оо
<28
Второй фильтр является согласованным фильтром с харак-
теристикой
wyY= (<»Л, %)- (2.59)
где k — произвольная константа,
5эпК, = <оу)/| Зэ (шх, а>у)|.
Фильтры (2.57) —(2.59) могут быть объединены в один
фильтр с частотной характеристикой
ФкЬ. = * 1St(Q)x> О),)! •
(2.60)
Нетрудно заметить сходство структуры фильтра АФК
с известным в радиолокации фильтром Урковица или ин-
версным фильтром [87]. Более того, при равенстве модулей
спектров ТИ и ЭИ (или, что то же самое, при совпадении
их спектральных плотностей мощности) выражение (2.60)
приобретает вид
rr S3*(tox, ю„) 1
К- %) = k . —у~ = k -f— ---------г-. (2.61 )
Ф У’ |Sa(wx, а>^|2 S3(tox, toy) >
Таким образом, при
|S9(^, <»г)| = |Ш, m,)| (2.62)
АФК эквивалентен фильтрации изображений с помощью
инверсного фильтра.
Сравним выражение (2.61) с выражением, определяю-
щим частотную характеристику оптимального (в смысле
максимального отношения сигнал-помеха по мощности) ли-
нейного фильтра:
S3*ttox, tov)
<2М)
где |Л7(сож, Шу) |2 — спектральная плотность мощности по-
мехи. Сравнение позволяет сделать вывод, что АФК явля-
ется оптимальной процедурой обработки изображений при
|Sa(wx, Wy)|2 = ^|(VK, (2.64)
т. е. в случае пропорциональности (или равенства) спек-
тральных плотностей мощности ЭИ и помехи. Условие
(2.54) выполняется при наличии фоновой помехи, содер-
жащей объекты, сходные с опознаваемым [87].
Условие (2.62) представляется не вполне реальным, так
как выполняется лишь при отсутствии в системе помех, ха-
рактеристики которых близки к характеристикам белого
шума. При наличии белого гауссовского шума выражение
для ТИ имеет вид (Ах=0, т. е. смещение изображений от-
сутствует)
9—370 129
sT (x, у) =s3 (x, y) +n (x, y), (2.65)
где n(x, y) — белый_гауссовский шум с равномерным спек-
тром С(а>х, Wy) = УС0 — const и спектральной плотностью
мощности Со.
Спектр TH в этом случае можно записать как
">,/) = 15Э К, «’J I exp [jcp3 (<ox, «у + УС0. (2.66)
Подставляя (2.56) в (2.60), получаем
rr . Зэ*(и>„, со,,)
Фк(«^ %) = k ! , (2.Ь7)
где |С(<од, o>v)|2 = ]/Co|S3(<oz, при <рэ(<ох, <«//)->0.
Из выражения (2.67) видно, что если второе слагаемое
в знаменателе равно нулю, то частотная характеристика
АФК совпадает с характеристикой фильтра Урковица. При
наличии шумовых помех | F (<».v, (»у)|2—^С() выражение
(2.67) приближается к характеристике фильтра Манассе
[89]. При_ дальнейшем увеличении интенсивности белого
шума Y Со^> |S3(fi>x, соу) | характеристика АФК стремится
к характеристике согласованного фильтра.
В работе [89] применительно к радиолокационным сиг-
налам дан сравнительный анализ фильтра Урковица, филь-
тра Манассе и согласованного фильтра. Показано, что в
типовых условиях наилучшим приближением к оптималь-
ному (в указанном выше смысле) фильтру является согла-
сованный фильтр. Учитывая аналогию между временными
и пространственными сигналами [2], можно сделать вывод,
что при распознавании образов эффективность АФК будет
ниже, чем у обычного коррелятора. Проверим правильность
данного качественного вывода с помощью статистического
эксперимента.
Рассмотрим вначале несколько реализаций критериаль-
ных функций, полученных с помощью фазовых алгоритмов.
Для простоты и наглядности будем использовать одно-
мерные сигналы, полагая, что пространственные изображе-
ния изотропны и распространение полученных результатов
на двумерный случай является тривиальным.
Следует заметить, что интенсивность сигнала на выходе
фильтра АФК будет снижена по сравнению с фильтром
ККА СО. В приведенном на рис. 2.24 примере интенсив-
ность сигнала на выходе фильтра АФК в пять раз ниже.
Это обусловлено тем, что все составляющие спектра изо-
бражений при АФК имеют единичную амплитуду и при фор-
мировании выходного сигнала основной вклад вносят со-
ставляющие высоких пространственных частот, имеющие
130
малую энергию. Однако отношение величины основного ле-
пестка критериальной функции к боковым у АФК выше. Это
ясно видно из рис. 2.25, на котором представлены крите-
риальные функции фазовых алгоритмов для двух бинарных
последовательностей. Величина основного лепестка норми-
рованной критериальной функции АФК равна единице, а
интенсивность боковых лепестков практически равна нулю.
9*
131
При проведении расчетов на ЭВМ ЭИ и ТИ были пред-
ставлены случайными двоичными последовательностями
с равномерным распределением нулей и единиц. Моделиро-
вались помехи двух видов :— высокочастотные и низкочас-
тотные. В первом случае искажения задавались с помощью
преобразования единиц в нули и наоборот. Искаженные
S)
Рис. 2.26
132
элементы были равномерно распределены по эталонному
сигналу. Во втором случае искаженная часть ТИ задавалась
в виде нулевой матрицы. Интенсивность искажений задава-
лась в виде отношения числа искаженных элементов к об-
щему числу элементов сигнала (в процентах). На рис.
2.26,а—в показаны реализации критериальных функций
(часть критериальных функций, близкая к основному лепе-
стку) АФК и ККА СО при интенсивности искажений 5; 15 и
30 % соответственнр. Из рисунка видно, что искажения по-
разному влияют на характер критериальных функций АФК
и ККА СО. По мере увеличения интенсивности искажений
происходит расширение основного лепестка критериальной
функции ККА СО и равномерное увеличение уровня боко-
вых лепестков. В то же время ширина основного лепестка
критериальной функции АФК практически не изменяется,
однако боковые лепестки принимают вид узких знакопере-
менных выбросов, имеющих значительную амплитуду.
В качестве критериев эффективности алгоритмов были
приняты вероятность ложной привязки РЛп и точность со-
вмещения. Под вероятностью ложной привязки понималась
вероятность того, что экстремум критериальной функции
будет смещен относительно истинного положения на вели-
133
Рис. 2.28
чину, превышающую заданную АТ. В результах, представ-
ленных ниже, АТ — два дискрета. Точность характеризова-
лась отношением среднеквадратического значения погреш-
ности измерения рассогласования изображений к величине
дискрета изображения о0.
Расчеты на ЭВМ показали, что при помехах первого ви-
да (рис. 2.27) вероятность ложной привязки у ККА СО
меньше, чем у АФК- Вероятность ложной привязки
у МАФК (1=0,2 . . . 0,5) также несколько уступает ККА
СО, за исключением случая
помех малой интенсивности
Кх<25%. Точностные харак-
теристики всех трех алгорит-
мов не имеют существенных
различий.
Характеристики алгорит-
мов при помехах второго ви-
да представлены на рис. 2.28,
2.29. Из рис. 2.28 видно, что
Рис. 2.29
134
зависимости обеих характеристик эффективности от пара-
метра L имеют экстремум при L = 0,1. . . 0,3. Это объясняется
тем, что с ростом параметра L происходит относительное
увеличение амплитуд ВЧ составляющих спектра. Этот про-
цесс эквивалентен пространственному дифференцированию
изображений. При дальнейшем увеличении L (Л>0,3) эф-
фективность фазовых алгоритмов падает в связи с ухуд-
шением энергетических характеристик, о чем говорилось
выше. Из рис. 2.29 видно, что МАФК (L=0,l . .. 0,3) пре-
восходит АФК и ККА СО по обоим критериям.
На рис. 2.30 показаны характеристики алгоритмов при
воздействии как ВЧ-, так и НЧ-искажений.
Приведенные выше качественные оценки свойств фазо-
вой корреляции и результаты экспериментальных исследо-
ваний позволяют целенаправленно подходить к выбору
конкретного фазового алгоритма.
2.6. Корреляционно-экстремальная обработка
с использованием инвариантных моментов
Выделение неизменных признаков изображений являет-
ся важным направлением в теории распознавания образов.
Оно позволяет идентифи-
цировать объект на изо-
бражении независимо от
его положения, размеров
и ориентации. Математи-
ческой основой выделения
неизменных (инвариант-
ных) признаков является
теория алгебраических
инвариантов.
Рис. 2.30
135
Эта теория исследует класс алгебраических функций, не
изменяющихся при определенных преобразованиях коорди-
нат. Возможность применения инвариантных моментов при
распознавании двумерных изображений впервые описана в
[91]. Метод получил широкое распространение и использо-
вался впоследствии с различными целями. В частности, для
автоматического распознавания кораблей по фотографиям,
распознавания самолетов в оптическом и радиолокацион-
ном диапазонах, слежения за перемещением облаков с
ИСЗ. В работе [99] исследуются трехмерные инвариантные
моменты. Обобщение этого метода для //-мерного простран-
ства дано в [101]. Описание применения инвариантных мо-
ментов в КЭСН и результаты экспериментальных исследо-
ваний можно найти в [56, 63].
Использование моментов при корреляционной обработке,
является предпочтительным в том случае, если изображе-
ния представляют собой совокупность объекта и фона, при-
чем переход к фону должен быть достаточно резким. По-
этому экспериментальные исследования, проводились по
распознаванию буквенно-цифровых знаков или самолетов
на фоне неба.
Центральные моменты 3-го порядка и ниже имеют вид
(согласно (1.79)):
Ноо =^00. ^1=^.1—Л-
HI0 = 0, p.30 = m30 —3xm20 + 2mI0x2,
HOi = O, p.12 = ml2 — 2ут„ — х/по2 + 2//п10, (2.68)
= от2о ~ V/П.о, Н-г, = ^21 — 2xmn — ут2(1 + 2х2Ш01,
= ^З = тоз — 3^то2 + 2у2тп.
Центральные моменты инвариантны относительно сдвига
изображений. Нормализованные центральные моменты оп-
ределяются как
ПР9=Нрд/нуоо, где y=(p+q)/2, p-\-q=-2, 3, . ..
Из моментов 2-го и 3-го порядков может быть сформирова-
на система, состоящая из семи инвариантных моментов
[56]:
<Pi — 712о+ ’’loa-
Ъ = (TJ20 + W + 4^,
= ЬзО — 37112)2 + (3712 > + 'Чоз)2.
?4 = h3o + W + hS. + Tlo3)2. (2.69)
136
= ('lao — 37J12) Ьзо + ^12) [Ьао + ^J2 ~ 3 (Ъ> + ^оз)2] +
+ (3712i — M (^1 + ’’Jos) l3 ('Чао + 'Ч.г)2 — (^i + tU2] -
?а = (^20 — ’’loa) [(^30 + 12)' “41 + ^озЯ +
+ H. (Ъзо "Г '’I12) (’’lai + ’Чоз)’
<f>, = (371 >2 — Чао) hao + ^12) [(^Яо + 12Г — 3 (^21 + Wl +
+ (3712i — ’Чоз) (Ъ. + 'Чоз) I3 (’lao + W ~ (^1 + Wl-
Эта система моментов инвариантна к сдвигу, повороту
до 45° и двукратному изменению масштаба изображений
[56,91].
При эксперименте [63] в целях дальнейшего снижения
объема вычислений использовался метод последовательно-
го иерархического поиска [34] [см. §2.11].
Критериальная функция вычислялась по формуле
~ by)
К (Дх, Ду) = 7-----------— (2.70)
2 -v S Ni2(x, у)
_i = i i — 1
где Mt — i-й момент первого изображения; Ni — i-й момент
подобласти второго (большого) изображения, смещенного
на (Ах, Ау).
Вероятность привязки определяется по формуле
СО
Pd^V~^~ I ехР{—[К(х, у) —К(х*. у*)]2/2о2}б/К(х, у),
К Zrc a J
, Кт
где К(х*, у*) — наибольшее значение критериальной
функции (КФ) для всех точек; Кт — величина порога; о2—
дисперсия плотности распределения К(х, у).
Вероятность ложной привязки
Рлл=;-7^—-J ехр{-[К(х, y)-K6]2/2K62}dK(r, у),
о
где Кь — среднее значение критериальной функции для
всех точек.
В [72] приведены результаты эксперимента по совме-
щению радиолокационного и оптического изображений, в
котором использовались различные виды предварительной
обработки и разные типы критериальной функции, в част-
ности система из семи инвариантных моментов и функция
137
вида (2.70). В процессе эксперимен-
та определялись зависимости веро-
ятности верной и ложной привязки
от величины порога и вероятности
верной привязки от вероятно-
сти ложной привязки. Эти за-
висимости, полученные в результате усреднения экспери-
ментальных данных по обработке около десяти различных
изображений, даны на рис. 2.31 и 2.32. Анализ эксперимен-
тальных данных показывает, что на качество корреляцион-
ной обработки с использованием инвариантных моментов
сильное влияние оказывает содержание (характер) изобра-
жений.
Сравнивая характеристики алгоритма, использующего
моменты, с характеристиками иерархического алгоритма и
алгоритма с парной критериальной функцией и предвари-
тельным оконтуриванием изображений, можно заключить,
что два последних алгоритма имеют лучшие характе-
ристики. Вместе с тем характеристики алгоритма с исполь-
зованием инвариантных моментов могут быть улучшены за
счет использования моментов более высокого порядка. Кро-
ме того, этот алгоритм обладает хорошими характеристика-
ми при обработке изображений с малым разрешением [72].
2.7. Корреляционный алгоритм амплитудного
ранжирования
В алгоритме используется критериальная функция ран-
гового типа и иерархическая предварительная обработка.
Алгоритм был разработан для применений, в которых
обрабатывается очень большая область поиска, а следова-
тельно, предъявляются высокие требования к эффективно-
138
сти вычислений. Корреляционный алгоритм амплитудного
ранжирования представляет целое семейство корреляцион-
ных алгоритмов, уровень сложности и вычислительной эф-
фективности которых может быть оптимизирован для опре-
деленных параметров конкретных систем (т. е. размеров
изображений, поисковых областей и т. д.). Ниже будет рас-
смотрен двоичный алгоритм амплитудного ранжирования
[54]. Троичный алгоритм и алгоритм более высоких уров-
ней могут быть получены путем незначительных изменений
двоичного алгоритма. '
Двоичный алгоритм амплитудного ранжирования вклю-
чает два этапа. На первом этапе осуществляется предвари-
тельная обработка, в процессе которой меньшее изображе-
ние кодируется в бинарные корреляционные матрицы. При
этом предполагается, что одно из сравниваемых изображе-
ний (ТИ или ЭИ) значительно меньше другого. На втором
этапе эти бинарные матрицы последовательно коррелиру-
ются с уменьшающимся подмножеством матрицы, имеющей
большие размеры.
Этап предварительной обработки заключается в разме-
щении элементов изображения в порядке убывания интен-
сивности и присвоении каждому элементу ранга в двоичной
форме. Процедура ранжирования иллюстрируется 2.33 и
табл. 2.5. Если изображение имеет 2N элементов разреше-
ния, то элемент с наименьшей интенсивностью получает
ранг, состоящий из N нулей, а элемент с наибольшей ин-
тенсивностью получает ранг, состоящий из N единиц. Ос-
тальным элементам присваивается ранг, представляющий
собой номер элемента в упорядоченном списке в двоичной
форме.
После упорядочения по интенсивности список элемен-
тов разбивается на две разные группы. Элементам первой
ТАБЛИЦА 2.5
Интенсив- ность Ранг в двоич- ной форме 1 1 2 3
11 17
1,2 17 111
2,3 3,1 1,1 15 14 11 по 101 100 2 6 5 15
3,3 2,1 10 6 XXX 011 3 74 4 10
2 2 5 010 *
3,2 4 001 Изображение 3x3
1,3 1 000
Рис. 2.33
139
группы (с большой интенсивностью) присваиваются едини-
цы, а элементам второй группы — нули. Если число эле-
ментов нечетно, то среднему элементу в списке присваива-
ется индекс X. Процедура повторяется для каждой группы
элементов. Элементы, получившие индекс X, сохраняют его
до завершения всей процедуры. Процедура заканчивается,
когда в каждой группе остается лишь один элемент.
Затем формируются корреляционные матрицы. Первая
корреляционная матрица Ci формируется путем отображе-
ния первых знаков двоичных рангов на исходное изобра-
жение. Аналогичным образом формируется JX корреляцион-
ных матриц (рис. 2.34). Корреляционный процесс начина-
ется с обработки первой корреляционной матрицы С[ и
большого изображения L по алгоритму:
Ф1(£> У) S ^x + i,y + i S Lx+t,y + j.
i. i t. i
C,(i.i) = l c,(i.i)=o
Таким образом, для каждого положения Ci на большом
изображения сумма элементов в точках, соответствующих
нулям в Ci, вычитается из суммы элементов, соответствую-
щих единицам в Сь Элементы, соответствующие индексам
X, не учитываются.
Ф1 (х, у) является первичной корреляционной поверхностью
и характеризует совмещение большого изображения L и
грубой структурной информации малого изображения.
На этом этапе обработки точки, в которых значение
Ф1 (х, у) невелико, отбрасываются. Для этого устанавлива-
ется определенный порог. Вторичная корреляционная по-
верхность Ф2(х, у), которая является уточнением первичной
поверхности, вычисляется по формуле:
I.
с % (i*
Lx + i, y + j ,
i. i
j)=0
Рис. 2.34
140
Вычисления производятся только для элементов, значения
которых превышают установленный порог. Описанная про-
цедура производится для всех корреляционных матриц и в
общем виде может быть представлена формулой:
Ф„(г, //) +
+ S Lx+i.ty+j— J] Lx + i, у+Д.
I <. / I. i I
cn(‘./) = ! cn(»'.j)=0
После вычисления последней поверхности определяется
точка с максимальным значением Фл’(*> У), которая и яв-
ляется точкой совмещения изображений.
g Вычислительные затраты алгоритма амплитудного ран-
; жирования (характеризуемые числом операций сложения)
i равны
\ А—В(М—т) (К—k)mk,
i где В — коэффициент (1 <В<2); М, К — размеры боль-
I, шого изображения; т, k — размеры малого изображения.
Алгоритм амплитудного ранжирования является анало-
гом классического корреляционного алгоритма. Характери-
стики точности и вероятности привязки этих алгоритмов
практически совпадают.
2.8, Корреляционная обработка с использованием сумм
г градиентных векторов
? Рассмотренные в предыдущих параграфах алгоритмы
разрабатывались в основном для корреляционной обработ-
ки изображений, имеющих плоскопараллельный сдвиг. Как
правило, эти алгоритмы весьма чувствительны к повороту
изображений, причем с увеличением угла относительного
поворота качество работы таких алгоритмов резко ухудша-
ется. Однако для ряда применений необходимы алгоритмы,
инвариантные к повороту изображений в значительном
диапазоне углов. Один из таких алгоритмов описан в дан-
ном параграфе [58]. На первом этапе этого алгоритма вы-
1 числяются градиенты серого уровня обоих изображений.
( На втором этапе из градиентных векторов, попадающих в
I дискретные интервалы углов, для каждого изображения
формируется гистограмма сумм градиентных векторов как
функции угла. Затем эти функции обрабатываются с помо-
щью классической либо фазовой критериальной функций.
Алгоритм основан на том, что если одно из изображе-
ний повернуто на определенный угол, то градиентный век-
141
тор, вычисленный для соответствующих точек обоих изо-
бражений, будет повернут на тот же угол.
Уровни интенсивности соответствующих точек двух изо-
бражений в полярных координатах равны
G (г, 6)=Я(г', 0').
Если второе изображение получено поворотом первого на
угол ф относительно общей системы координат, то г'—г,
0'=0+ф. Градиенты в соответствующих точках в этом слу-
чае имеют равную величину г и сдвинуты относительно
друг друга на угол
Я (г, 0)=G(r, 0') exp Оф).
Поскольку это условие сравёдливо для каждой пары точек,
то оно справедливо и для средних значений. Например,
если средние значения градиентов изображений
2л Го
f ( \G!r, f))drdf)
2л Го
j уЩг, Q)drd9
_ 0=0г=о
ср —
где изображения определены на расстоянии г0 от начала
координат, то поскольку для всех г и 0
Я (г, 0)=G(r, 0—ф) ехр Оф),
то
Г/ср—Gcp ехр Оф) •
Следовательно, вычислив средние значения градиентов
двух изображений
GCp—Ui ехр (icci) и HCV=U2 ехр (ia2),
можно легко найти угол относительного сдвига этих изо-
бражений, равный ф=О1—а2.
Недостатком рассмотренного подхода является то, что
величины среднего градиента обычно очень близки к нулю,
а это делает метод критичным по отношению к погрешно-
стям, вносимым изменениями низких пространственных час-
тот. В оптических системах, например, такие погрешности
возникают из-за изменений освещенности (изменения об-
лачного покрова, изменения положения солнца и т. д.) или
неравномерного проявления пленки. Поэтому альтернати-
вой может быть векторная функция вида
142
2 т:
. S(t)= J JvG8(0 —т)сШ9,
0=0 A
где A — площадь изображения.
Векторная функция S (т) определена на интервале и мо-
жет рассматриваться как сумма всех градиентных векторов
изображения, имеющих угол т.
При обработке цифровых изображений градиент может
быть аппроксимирован конечными разностями:
I , dG 'Г' dG "Д
VG(x„„ ym)=—t +-—/,
дхт ду!п
где
d'-J 1дхт п I 2Glfj+2, п+ 1 I Д/г+2’ п I-2 (itn, п
nA- I Gmi /г + 2’
dGjdyni -Gmi нз-2—j—2Got+1 1г+2 I Gm+2, n+2 Gm, n -
2GnJ+n Gm.^ n-
В [58] приводятся результаты эксперимента, подтверж-
дающие возможность идентификации изображений, повер-
нутых относительно друг друга на значительный угол (до
30°). Вместе с тем вопрос об эффективности данного мето-
да при плоскопараллельном смещении и других преобразо-
ваниях и искажениях остается не исследованным.
2.9. Структурные методы корреляционно-экстремальной
обработки
Структурные методы КЭО (в некоторых источниках они
называются синтаксическими или лингвистическими) при-
влекли внимание исследователей, работающих в области
корреляционных систем навигации, сравнительно недавно
[54]. Структурные методы для конструирования семанти-
ческой модели сюжета изображения используют так назы-
ваемые синтаксические признаки или дескрипторы изобра-
жения (линии определенной формы, сегменты и т. д.).
Иногда выделяют два класса синтаксических признаков:
локальные и глобальные. К первым относят линии опреде-
ленной формы, их пересечения, средние интенсивности уча-
стков изображения; ко вторым — области, т. е. участки изо-
бражений, имеющие замкнутые границы. Области могут
характеризоваться средней интенсивностью, цветом и т. д.
Каждый признак описывается с помощью определенных
параметров. Для линий этими параметрами являются дли-
на, углы пересечений, количество линий, сходящихся в од-
143
ной вершине, координаты вершин и конечных точек. Для
областей — площадь, длина периметра, отношение длины
к ширине, координаты центра и т. д. Таким образом, струк-
турные методы могут состоять из трех процедур: выделе-
ние контуров изображений, выделение дескрипторов и опи-
сание их параметров, синтаксический анализ с использова-
нием грамматики (классификация).
При корреляционной обработке производится сравнение
признаков, а не полных изображений.
Описание изображения с помощью дескрипторов снижа-
ет объем информации на несколько порядков, содержание
же ее остается почти прежним. Это обеспечивает значи-
'тельное уменьшение вычислительных затрат при реализа-
ции структурных алгоритмов.
На рис. 2.35 приведен пример структурного алгоритма,
предназначенного для классификации объектов, имеющих
треугольную и четырехугольную формы. Реальные алгорит-
мы имеют, естественно, гораздо более сложную структуру.
Рассмотрим пример структурного алгоритма, предназначенного для
кэсн.
Алгоритм совмещения линейных признаков [54]. Алгоритм разра-
батывался с учетом возможных значительных геометрических искаже-
ний изображений. В качестве эталона используется трехмерная модели
цели; текущее изображение, получаемое от датчика — двумерное. Да-
лее, предполагается, что и ЭИ и ТИ предварительно подвергались соот-
ветствующей обработке и представляют собой совокупность контурных
линий.
Алгоритм включает как процедуры грубого поиска, так и процеду-
ры точного поиска. Поскольку оригинальной частью алгоритма явля-
ются процедуры первого типа, то в дальнейшем рассматриваются имен-
но они. В трехмерную эталонную модель (проволочный каркас) вклю-
144
чены все линии, которые попадут в поле зрения датчика при визирова-
нии цели с потенциальных углов подхода.
Каждый линейный признак полностью описывается с помощью ко-
ординат одной из конечных точек линии р,-, mit ее длины L, и ориен-
тации О,-. При корреляционной обработке необходимо знание несколь-
ких других параметров, связанных с каждым сегментом, которые ха-
рактеризуют неопределенность положения линии (эти неопределенности
с <т=1 обозначены соответственно ар(- и а0(-).
На рис. 2.36 [54] представлен алгоритм грубого поиска. Блоки 1
и 4 управляют поиском в пространстве азимута, угла места и опреде-
лением масштаба. В связи с тем что вычислительные затраты при изме-
нении масштаба намного меньше, чем при изменении угла визирования
цели, поиск масштабного коэффициента выполняется во внутреннем
контуре алгоритма для каждого набора углов визирования.
Блок 2. Поскольку набор углов визирования цели априорно изве-
стен, координаты цели в полученном ТИ могут быть немедленно вы-
К алгоритму
точного поиска
Рис. 2.36
10—370
145
100
Рис. 2.37
числены с учетом направлений датчика при получении изображения.
Используя априорные (гипотетические) координаты цели в качестве
начала отсчета преобразования, контурные признаки ТИ с помощью
вычисления интервалов р,- и ориентации 0; преобразуются в простран-
ство Хафа (Hough). Вычисляются также неопределенности и
Блок 3. С использованием тех же гипотетических углов визиро-
вания, которые были приняты для преобразования ТИ, а также оценки
расстояния до цели, трехмерная эталонная модель (с учетом парамет-
ров датчика) может быть сведена к двумерному контурному изобра-
жению. Может быть использована также информация о затенении, по
она не обязательна. Двумерная эталонная модель преобразуется в про-
странство Хафа аналогично с преобразованием ТИ, описанным выше.
Блок 4. Поскольку значения масштаба предполагаются заданны-
ми, эталонная или текущая модель приводится к соответствующему
масштабу. Эта операция не требует большого объема вычислений, так
как пересчитываются только значения р.
На рис. 2.37 [54] показаны преобразованные в пространстве Хафа
ЭИ п ТИ, а также эллипсы погрешностей для признаков ТИ. Посколь-
ку значения 0 при л и —л — неразличимы, модели в пространстве Хоу
должны рассматриваться как бы расположенными на поверхности ци-
линдра.
Алгоритм вычисления функции совмещения (ФС) ЭИ и ТИ пока-
зан на рис. 2.38 [54]. Ниже описаны операции в блоках А, В, С.
Блок А. Для признаков ТИ, в эллипсы погрешностей (За) кото-
рых попадает /-й элемент ЭИ, строится диаграмма рис. 2.39 [54], где
R.— линия ЭИ, Rfn — области эталонной линии, S,—линии ТИ. Эта
диаграмма, вероятно, намного сложнее типичной и приведена лишь
в методических целях. В показанном случае эталонный признак попа-
дает в эллипсы погрешностей четырех признаков ТИ. Первый текущий
признак Si не перекрывается с R. и может не рассматриваться. Осталь-
ные три признака имеют перекрытие с Rj. Перпендикуляры, допущен-
ные из конечных точек S, на R,-, разбивают эталонный признак на пять
областей.
146
Рис. 2.38
Блок В. Частичная ФС области эталонного признака,'не имею-
щая перекрытия, равна нулю (например, область В противном
случае ФС^ = ^Й max P/sn, где 1ц,—-длина области Rjk, п — индекс,
обозначающий число признаков, перекрывающих область R/k, например
текущие признаки S2 и S3 перекрывают /?,2, Pjkn—значение гауссов-
10*
147
ской плотности вероятности, связанное с параметрами текущего при-
знака в точке (,pi, 9j).
Максимизация в данном уравнении необходима только в том слу-
чае, если область перекрывается более чем одним текущим призна-
ком (например, область R/2).
Блок С. Значение ФС /-го признака равно сумме частичных ФС
областей R,: ФСу = 2 ФС;г.
k
Общая ФС для данных углов визирования и заданного масштаба
вычисляется с помощью суммирования ФС по всем эталонным при-
знакам.
Величина предложенной ФС растет с увеличением перекрытия (так
как увеличивается сумма /,&), а также с повышением качества перекры-
тия (так как с уменьшением разностей ориентации 60 и положения бр
значения Р^п-растут). ФС является непрерывной функцией а, 0 и
дальности, так как Z)(i и с изменением этих параметров меняются
непрерывно.
После вычисления ФС для всех комбинаций гипотетических углов
и дальностей выбирается комбинация с максимальным значением ФС
и осуществляется точный поиск с целью оптимизации а, р и дальности:
2.10, Корреляционная обработка с использованием
парных функций
С использованием парных функций (см. § 2.1) может
-быть получено несколько корреляционных алгоритмов.
В качестве примера приведем два корреляционно-экс-
тремальных алгоритма, построенных с использованием пар-
ных функций [49, 53]:
2"—1
К,(М, v) = П Т-, (2.71)
«=0
2 2
,К2(и, v) —
Все алгоритмы построены на очевидных свойствах парных
функций. Сделаем несколько замечаний.
Алгоритм (2.71) представляет собой взвешенное произ-
ведение и зависит от числа уровней квантования и взвешен-
ной оценки совпадений и несовпадений уровней интенсив-
ности. Например, при двух и четырех уровнях квантования
можно записать:
То—Fqo/ (Ro~{-Foi), Ti—Fu/ (Ri~FF\o),
148
и
I то= (2Foa-{-Fol) / №+FM3) ,
» Л= (2Гц+Ло+Л2)/(2Ri~]-Fi3),
£ T2~ (2F22-\-F2i~]-F23)i/ (2R2-{-F2q) ,
Ц ^з=(277зз4-77з2)/(2/?з4-77з14-27:’з0),
ft 2"~ 1
5 где R[= 2 — число i в ЭИ. При этом несовпадения
U /=о
| на один уровень квантования считаются близкими к совпа-
| дению.
Алгоритм (2.72) является аналогом классического нор-
мализованного корреляционного алгоритма.
j Алгоритм (2.3) представляет собой произведение отно-
I шений числа совпавших по интенсивности элементов к чис-
-5 лу возможных совпадений всех типов. Отметим, что число
. парных функций увеличивается как квадрат числа уровней
квантования. Следовательно, необходимо стремиться к сни-
жению числа уровней квантования.
При обработке бинарных изображений возможны четы-
V" ре типа парных функций, которые составляют матрицу
^00 ^01 II
4 fto Fnlr
J Если изображения идентичны, то ненулевыми являются
только функции, лежащие на главной диагонали матрицы.
Двоичные изображения, как было показано, описываются
с помощью четырех парных функций и алгоритмов (2.3)
принимает вид
К(«, v)=[/W(A004-A01)] [Ец/^и+Ею)]. (2.73)
F Сравнение алгоритма вида (2.73) с классическим кор-
? реляционным алгоритмом при обработке бинарного опти-
ческого изображения с предварительно выделенными кон-
турами показывает, что критериальная функция алгоритма
(2.73) имеет более узкий основной лепесток и более низкий
уровень боковых лепестков — 0,2 .. . 0,25 (0,6 .. . 0,65
у критериальной функции классического алгоритма) [90].
( Частным случаем корреляционной обработки с исполь-
( зованием парных функций являются алгоритмы краевой
!' корреляции [46].
' 2.11. Иерархическая корреляционная обработка
I Основу иерархических корреляционных алгоритмов со-
ставляют процедуры предварительной обработки изображе-
ний, в ходе которых из исходных изображений формируют-
149
ся наборы изображений с последовательно ухудшающим-
ся разрешением. Для (сравнения полученных, наборов изо-
бражений могут быть использованы различные критериаль-
ные функции. Иерархическая обработка начинается со
сравнения изображений, имеющих самый низкий уровень
разрешения. При обработке изображений выбирается ряд
наиболее вероятных точек привязки на каждого уровне. На
последующих уровнях вычисления производятся только для
тех точек, которые были выбраны на предыдущих уровнях.
Поэтому число обрабатываемых точек быстро уменьшает-
ся, что обеспечивает высокую вычислительную эффектив-
ность иерархических алгоритмов.
При иерархической обработке с использованием уров-
ней на k-м уровне число обрабатываемых точек составляет
[(W—Л1-1--1 )./2Л-[--1]2, что почти в 22L раз меньше, чем число
обрабатываемых точек изображения с исходным (наиболее
высоким) разрешением. Уменьшение числа обрабатывае-
мых точек происходит по логарифмическому закону
В log (N—М-Н)2, где В — константа [34].
На рис. 2.40 показана математическая модель иерархи-
ческого представления изображений [72], Изображение
(k— 1)-го уровня Fh-i(x, у) с фурье-спектром Fh-i (<Ох, <оу)
фильтруется линейным фильтром НЧ Н (х, у) с передаточ-
ной функцией Д((0х, <Оу):
Fo(x, y)=Fk_i(x, у)*Н(х, у),
где >]< — символ операции свертки. Функция дискретизации
имеет вид (1.80)
до оо
5(Х, у)~ 2 2 8(* —Л2Д-*- У — №у)>
ОО j 1=—00
где Дх и Дг/— интервалы дискретизации на (k— 1)-м уров-
не. Спектр Фурье изображения на k-м. уровне после дис-
кретизации согласно (1.81)
Fk («а (в ) =—-— V Г Fk_1(wx-----------
k' х у) ДхДг/ Li k Ч Дх
/1=—оо /2=—со
Рис. 2.40
150
О)
У
Я/1 Л/2
Ах у Ау
Передаточная функция НЧ-фильтра может быть записана в
виде
Н(ых, <оу) = [cos (сОх/2) cos (<0у/2)]п,
где п характеризует степень подавления сигнала фильтром
верхних частот. Согласно [72] достаточная степень подав-
ления обеспечивается при п—8.
В цифровом варианте, полагая, что Fk-\{ri\, и2) — изо-
бражение на входе, Н {1Х, Z2) — передаточная функция, изо-
бражение на выходе фильтра на &-м уровне можно описать
выражением [72]
тх—I j +1 т2—12 +1
ОТ2) = 2 S Пг)Н(П~т<+
/21=/??! П2=т2
я2 —m2-|- 1).
Для фильтра с «=8
1 1
2 1
1 1-
Анализ вычислительной эффективности иерархического
алгоритма по сравнению с классическим дает следующие
результаты [34]. В последнем число пар «окон», которые
необходимо обработать при поисковой области размером
WXN и три «окна» размером 7ИХЛ1, равнб Ci=(N—M-f-
+ l)2Af2. При иерархическом поиске этот параметр прини-
мает значение
C2=KiM2\og(N—7ИЧ-1)2,
где Ki — константа, зависящая от характера изображения.
При формировании двух наборов . изображений с раз-
ной разрешающей способностью число элементов, которые
требуют обработки:
c3 = 2 2(AW.
(=1
где L — число поисковых уровней.
Коэффициент снижения вычислительных затрат может
быть вычислен по формуле
________ ^-Л1+1^2_____________ (2.74)
С ' Z—1
Ч TG3
tfilog(7V-Af+1)2 + 2 2 (A,/2,')2M12
151
Так как благодаря применению методов последова-
тельного обнаружения происходит дальнейшее уменьше-
ние объема вычислений (что учитывается коэффициентом
К2), формула (2.74) принимает вид
, =--------И+Щ-----------(2 75)
K,K,log(iV-*l+ 1)4-2 2 072')>м>
Численное значение коэффициента К2 может быть оце-
нено с помощью выражений для среднего числа наблюде-
ний N, которые необходимо провести до прекращения по-
следовательного поиска как функцию вероятностей про-
пуска р и ложной тревоги а. Относительное сокращение
N по сравнению с обычной оптимальной байесовской про-
цедурой при заданных вероятностях аир может быть ис-
пользовано для оценки fa-
Для широкого диапазона значений аир это сокраще-
ние находится в пределах 30 ... 90 %. Взяв среднее значе-
ние /<2=0,5 и подставляя в (2.75), получаем
. (2.76)
Кг log(AT —М + 1)2+ 4 У (У/2'’)2/Л12
В табл. 2.6 приведены значения т] как функции Ki, вычис-
ленные по формуле (2.76) при условии N=256, М—64,
L=4 [34].
Из табл. 2.5 видно, что при иерархическом поиске (для
заданных параметров) объем вычислений сокращается
в 1000-... 3000 раз.
Результаты экспериментального ___ исследования [34]
подтвердили высокую вычислительную эффективность ме-
тода иерархического поиска. При эксперименте с помощью
данного метода осуществлялась КЭО изображений, полу-
ченных в оптическом и радиолокационном диапазонах.
Средний коэффициент сокращения точек, для которых
должны выполняться вычисления, составил 1900.
Частным случаем иерархиче-
ской корреляционной обработки
являются двухуровневые алгорит-
мы. Рассмотрим два алгоритма
этого класса.
1. На начальной стадии пер-
вого алгоритма [79] производит-
ся КЭО текущего изображения и
ТАБЛИЦА 2.6
X, *1
1 2913
5- 1699
10 1117
152
части эталона с характерным сюжетом (наиболее инфор-
мативными признаками). Эта обработка производится при
всех возможных относительных сдвигах изображений. На
втором этапе используется полное ЭИ, но сравнение произ-
водится только в точках с наибольшей корреляцией, кото-
рые были выбраны на первом этапе.
Объем вычислений J при использовании этого алгорит-
ма можно оценить следующим образом [79]:
J=A + PTB, (2.77)
где Л — объем вычислений на первом этапе алгоритма;
Рт — вероятность превышения порога, на первом этапе
(т. е. вероятность нахождения точки, которая будет обра-
батываться на втором этапе); В — объем вычислений при
использовании полного эталона на втором этапе алгоритма.
В общем случае, чем большая часть эталона использу-
ется на первом этапе, тем больше становится объем вычис-
лений, но при этом снижается вероятность Рт. Следова-
тельно, возникает задача оптимизации размеров части эта-
лона, используемой на первой стадии алгоритма, для ми-
нимизации общего объема вычислений.
Пусть {ti, ..., tn}—величины серого уровня п точек
ЭИ, {gi, ..., gn} — величины серого уровня произвольно
выбранной части ТИ. В качестве критериальной функции
выберем
/ —1
При этом объем вычислений прямо пропорционален разме-
ру ЭИ. Примем также, что серый уровень фона имеет нор-
мальное распределение и модули разностей интенсивнос-
тей обоих изображений независимы.
Рассмотрим случай двоичных изображений.
Вероятность ложной привязки равна [79]:
Рчп (/? < 0 = Ф If (р + U Ф (Со Уп ),
I 1/ Р(1 — р) I
\ V п '
с - f~ (р~2рч + ч)
° Vp(i-p)
где р — вероятность того, что интенсивность элемента
разрешения фона будет равна единице; q—часть элементов
эталона, имеющих интенсивность 1; Ф — нормальная функ-
ция распределения; t — порог.
153
Тогда объем вычислений можно представить в ви-
де [79] _
Е(р, q, t, т, п)— т-\-Ф[СаУ1п)[п — т\, (2.78)
где т — число элементов ЭИ, использующихся на первом
этапе.
При всех t (кроме £=0,5) Е имеет минимум, опреде-
ляющий оптимальный размер части ЭИ, используемой на
первом этапе. Например, при £=0,4 т—16. Оптимальные
размеры ЭИ можно получить, продифференцировав выра-
жение (2.78).
2. Второй двухуровневый алгоритм [59] аналогичен
рассмотренному выше. Отличие заключается в том, что на
первом этапе этого алгоритма используется не часть ЭИ,
а полное изображение, с пониженным разрешением. Сни-
жение разрешения осуществляется с помощью замены
каждых т элементов разрешения ЭИ так называемым
блоком. Интенсивность блока равна средней интенсивнос-
ти т элементов. Второй этап алгоритма не отличается от
рассмотренного в начале данного параграфа.
Объем вычислений при этом алгоритме также опреде-
ляется выражением (2.77). Следовательно, оптимизация
параметров может быть произведена аналогичным обра-
зом с учетом нескольких изменившихся переменных.
Положим, что серый уровень элементов фона имеет
нормальное распределение со средним значением ц и сред-
ним квадратическим отклонением о. Тогда распределение
интенсивностей блоков будет также нормальным с пара-
метрами ц и cs'=(y/\m. Пусть усредненный уровень i-ro
блока ЭИ qi. Тогда разность между qi и интенсивностью
блока фона будет распределена по нормальному закону
с параметрами —qt и </. Абсолютная разность этих
величин, строго говоря, не является гауссовским процес-
сом. В [59] были получены параметры для этого процесса:
среднее значение
V'=vt “р ч
и дисперсия
а2(=а/2+ц2/—v2,.
Этот процесс можно считать гауссовским при большом
числе блоков п (учитывая центральную предельную теоре-
му). Параметры распределения имеют вид
п. Г п.
154
Эти выражения совпадают с выражениями, полученными
для первого алгоритма при использовании небинарных
изображений, за исключением того, что теперь v, и ст, яв-
ляются функциями о' = а/]/т, а не ст.
2.12. Корреляционный алгоритм с использованием
наиболее информативных участков изображений
Особенностью данного алгоритма является вид предва-
рительной обработки, в процессе которой выделяются наи-
более информативные участки изображений [69]. Корре-
ляционной обработке подлежат только эти участки. Это
обеспечивает сокращение объема вычислений. В качестве
наиболее информативных могут быть использованы эле-
менты изображений, интенсивность которых значительно
отличается от среднего уровня интенсивности изображе-
ния, например для оптических систем — наиболее светлые
и наиболее темные элементы изображений. Для выбора
наиболее информативных участков строится распределение
числа элементов изображения в зависимости от интенсив-
ности Ф(х) (рис. 2.41), где цист — соответственно
математическое ожидание и среднеквадратическое откло-
нение интенсивности, р^О— постоянная. В результате
предварительной обработки из исходного изображения
g(m, п) формируется изображение g'(т, п), в которое
включаются элементы исходного изображения в соответст-
вии с выражением:
g'(m, п)е={Ф(ц—рст)>£(т, ц)>Ф(ц+рст)}.
Таким образом, объем сокращаемой информации зависит
от
характера распределения Ф(х) и параметра р.
Если, например, Ф(х) имеет вид нормальной кривой
» , , । Г (х,~— н-)2 1
Ф (х) — —т=— ехр —2----—— ,
V ' /2па Н [ 2о2 |
отношение числа элементов g'(m, п) к числу элементов
то
g(m, п) может быть вычислено по формуле [69]
р-+р’ г р
, С К2~ С
— 1 Ф(х)£/х=1--------— ) ехр(— x-/2)dx.
р.—р’<5 О
При этом коэффициент сокращения объема вычислений
по сравнению с классическим корреляционным алгоритмом
[69]:
р
200 Г . го,,,
J ехр (—х /2) dx.
о
155
Зависимость у от р при 0<р<
<1 имеет практически линей-
ный характер, коэффициент со-
кращения объема вычислений
быстро растет и при р=1 у—
=60 ... 65%. При дальнейшем
увеличении р темпы роста у
снижаются (при р=2 у=90 .. .
...95 %).
В случае если Ф(х) может
быть представлено совокуп-
ностью двух нормальных кривых с различными параметра-
ми (pi, О], ц2, о2), то коэффициент сокращения вычисли-
тельных затрат может быть вычислен следующим образом
[69]:
где
Pi(K —ij.2) — р°
32
+ Р2 erf
erf (х) = -у=- j exp (—Я,2/2)
-о
а2 = /’Л([л1-[л2)2 + РА2+Л=22>
Pi, Рг — априорные вероятности появления двух основных
уровней интенсивности изображений, причем Pi+P2=l.
Несмотря на сокращение объема исходной информации,
характеристики алгоритма с выделением наиболее инфор-
мативных участков изображений при 0<р^ 1,4 не уступа-
ют характеристикам классического корреляционного алго-
ритма.
2.13. Корреляционная обработка
с использованием кодирования изображений
Особенностью корреляционной обработки данного типа
являются процедуры предварительной обработки, основан-
ные на использовании различных методов экономичного
кодирования и устранения избыточности изображений.
Одним из методов, которые могут быть использованы
в КЭСН, является метод усеченного блочного кодирования
156
(УБК) [39]. В УБК реализованы принципы адаптивного
блочного кодирования, ориентированные на адаптацию к
локальным информационным структурам, а не к средним
по изображению, как большинство других методов.
Сущность УБК заключается в разбиении исходного
изображения S(i, j) на блоки из «Хт элементов с после-
дующим двоичным квантованием каждого блока на уровни
а и Ь. Рекомендуется, чтобы линейные размеры блоков
были в 3—5 раз меньше интервала корреляции изобра-
жений [39].
В зависимости от способа выбора уровней и порога
квантования d с использованием УБК может быть предло-
жено несколько процедур предварительной обработки и
соответственно несколько корреляционных алгоритмов [39].
Вычисление уровней и порога квантования в первом из
них осуществляется по формулам:
а =: S — о Vqj(p — q),
b = s^-cy\p — q)lq, (2.79)
d — s,
где
п m пт
s = —VVs(/, /); лу=- — y V5!(i, j); o2 = s,2 —s
mn Ы mn йшЛ
i — t f = l i = l
— выборочные моменты и дисперсия, вычисляемые для
каждого блока; p—ntn; q—число элементов S(i, j), боль-
ших d.
При n—m=4 и 8-битовом представлении величин уров-
ней для запоминания одного элемента изображения необ-
ходимо в среднем 2 бита. Аналогичные характеристики
имеют и другие методы кодирования, несмотря на гораздо
большие вычислительные затраты.
Во втором алгоритме параметры квантователя выбира-
ются так, чтобы максимизировать критериальную функ-
цию. Для этого сначала элементы обрабатываемого блока
Sk ранжируют в порядке возрастания и из получаемой по-
следовательности Zk\, .. ., zkp вычисляют уровни кванто-
вания:
P-4k Р
ак=S bk=~k S 2k1,
f=I i=p—qk+l
где qk — число элементов z*,-, превышающих пороговые
элементы. Значение порога определяют путем максимиза-
157
ции критериальной функции при сравнении соответствую-
щих блоков исходного и кодированного изображений:
р-% р
K = ak + 2 zki- (2.80)
1 = 1
В третьем варианте обработки с использованием УБК
осуществляется одновременное вычисление уровней кван-
тования в соответствии с (2.79) и максимизация (2.80).
Проведенный в [39] эксперимент по сравнению с гаус-
совскими изображениями, имитировавшими аэрофотосним-
ки земной поверхности,показал, что наиболее эффективным
является второй из рассмотренных алгоритмов предвари-
тельной обработки. При эксперименте в качестве критери-
альной использовалась нормированная взаимная корреля-
ционная функция.
2.14. Алгоритм совмещения точечных изображений
[92, 93]
Данный алгоритм предложен для использования в системах астро-
ориентации. В качестве ЭИ используется точечное изображение светил
на небесной сфере. Оно имеет размеры МхМ и задано п точками, ко-
ординаты которых (х,, (/,), 1=1, ..., п. Текущее изображение получает-
ся с помощью телевизионных устройств и задано на круге радиуса
R<Mn' точками с координатами [х,-, у,-), j=l.п'. Предполагается,
что распределение точек иа изображениях равномерное с плотностью Л.
Текущее изображение получается из ЭИ преобразованием параллельно-
го переноса на * и ц и поворота на угол <р. Данный алгоритм позво-
ляет оценить как смещение, так и поворот ТИ относительно ЭИ.
Для сокращения вычислительных затрат производится предвари-
тельная обработка, в результате которой формируются списки радиу-
сов окружностей ЭИ и ТИ, которые проводятся через каждые три точ-
ки изображений, не лежащие на одной прямой и одновременно нахо-
дящиеся в поле зрения датчика ТИ. Радиус окружности, проведенной
через три точки с координатами (х,-, (/,) 1 = 1 А. 3, вычисляется по
формуле
R = У(х0 — .ад2 + (t/o —
где хк, ук — координаты любой из трех точек, через которые проведе-
на окружность; х0 = Дх/Д, уо=&у/А— координаты центра окружности:
Д = —4 [ (х3—х2) у 14- (хь—х3) у2-)- (х,—х,) уз],
Дх = 2 [ (г2—г3) У\~- (Гз—Г,) (/2Д- (гг2) уз\,
[ (г3—Г2) Х]-|- (гI—Гз) Х2-]- (г2—Г1) Хз] ,
rI=xI2+«/I2, Г2=х2^у2‘2, Гз = Хз2-'гУз2.
Затем для каждого г-го радиуса ТИ формируется список радиусов
ЭИ, совпадающих с г-м радиусом с заданной точностью. После этою
производится последовательное совмещение точек центров i-й окруж-
ности с центром окружности ЭИ, радиус которой является очередным
в сформированном списке. Текущее и эталонное изображения считают-
158
ся совмещенными, если точки, по которым построены сравниваемые
окружности, можно, совместить путем поворота относительно начала
системы координат.
2.15. Многоканальная корреляционная обработка [96]
Этот вид обработки предложен для повышения точности оценки
сдвига сигналов ЭИ и ТИ, что достигается благодаря введению парал-
лельно основному каналу, в котором реализован классический корре-
ляционный алгоритм, нескольких дополнительных каналов, осуществля-
ющих корреляционную обработку составляющих сигналов ЭИ и ТИ.
Чтобы получить эти составляющие, производится предварительная
обработка исходных сигналов с помощью нелинейных устройств — огра-
ничителей с П-образной характеристикой.
Известно, что точность оценки значения сдвига сигналов пропор-
циональна крутизне дискриминационной характеристики (ДХ) дискри-
минатора, которую (с дополнительными каналами) можно записать так:
Dx (а)= —
(а) ,
где Rs(a)—функция корреляции сигналов ТИ и ЭИ; г,-— коэффициен-
ты; N — число дополнительных каналов; Rs* (а)—функции корреляции
составляющих сигналов ТИ и ЭИ, причем если сигналы являются ста-
ционарными гауссовскими процессами, то
ОО
^(a) = S (тг)^(а);
k=0
, ________°г I (
kl ~ у | еХР ( 2а* ) \ а )
— ехр
' 2а2 1 /'4-1
где Нп(-) —полином Эрмита.
В [96] показано, что при введении одного дополнительного канала
точность опенки смещения сигналов повышается в 2,7 раза. При полу-
чении такого результата полагалось, что
Rs(a) =ехр (—а2а2), а,= 1, 4=1, bi=O; 4 = 1,5 ... 1,8, k—4.
Оптимизация числа дополнительных каналов проводилась при сле-
дующих исходных данных: bi=3N-'(i—1); с,~3\!\ Наилучшие ре-
зультаты были получены при введении двух дополнительных каналов,
при этом крутизна ДХ дискриминатора возрастала более чем в три
раза.
Таким образом, многоканальная корреляционная обработка позво-
ляет существенно повысить точность оценки смещения изображений.
2.16. Заключение
В данной главе было рассмотрено большинство квази-
оптимальных корреляционных алгоритмов, описанных в
159
о
ТАБЛИЦА 2.7
Алгоритм или их группа Сущность алгоритма Преимущества Недостатки
Классический корреляци- Поэлементное вычисле- Высокая эффективность при ма- Большие вычислительные зат-
онный (ККА) ние функции пространст- венной корреляции лых отношениях си г нал-шум раты
Разностный (включая Поэлементное вычисление Сокращение вычислительных Ухудшение характеристик при
ПОСИ) модуля (квадрата модуля) разности интенсивностей изображений затрат на порядок по сравнению с ККА. При отношениях сигнал-шум)>3 характеристики лучше, чем у малых отношениях сигнал-шум
С корреляцией изображе- ний в спектральном про- странстве Использование БГ1Ф для вы числения 'пространст - венной функции корреля- ции Эффективная реализация на ЭВМ Незначительное сокращение вы- числительных затрат при обра- ботке небольших изображений (размером менее 32X32)
С корреляцией и исполь- зованием парных функций Вычисление суммы числа элементов, имеющих оди- наковую интенсивность То же Применение знаковых функций как разновидности парных воз- можно лишь при обработке сиг- налов с нормальным распреде- лением
С фазовой корреляцией Использование обратного Острые корреляционные пики. Высокая чувствительность к
преобразования Фурье фа- зовой составляющей вза- имного энергетического спектра Эффективная реализация на ЭВМ. Нечувствительность к узкополосному шуму. Высокая устойчивость к искажениям ЭИ ВЧ-искажениям
Иерархический с выделе- Двухуровневый алгоритм, Значительное сокращение объе- Увеличение требований к объ-
нпем наиболее информа- на первом этапе которо- ма вычислений ему памяти системы. Сложность
т 1вных признаков этало- на го сравниваются ТИ и ЭИ с наиболее информа- тивными признаками. На выделения информативных при- знаков
11— 370
Иерархический с исполь-
зованием ЭИ с понижен-
ным разрешением
Амплитудного ранжирова-
ния
Совмещения линейных
признаков
втором этапе использует-
ся полное ЭИ, но сравне-
ние производится только
в точках с наибольшей
корреляцией, которые бы-
ли отобраны на первом
этапе
Двухуровневый алгоритм,
на I этапе которого ис-
пользуется эталон с пони-
женным разрешением
(каждые т элементов
эталона заменяются бло-
ком, интенсивность кото-
рого равна средней ин-
тенсивности т элементов).
II этап алгоритма не от-
личается от II этапа в п.6
Иерархический алгоритм с
ранжированием алгоритмов
меньшего изображения
Совмещаются структур-
ные модели изображений
To же
Увеличение требований к объе-
му памяти системы
Алгоритм, использующий
инвариантные моменты
Использование интеграль-
ных преобразований вида
оооО
тм= y)^dy,
—oo— 00
где p, <7=1, 2, 3,...
Точностные характеристики со-
впадают с характеристиками
ККА
Нечувствителен к инвертиро-
ванию контраста изображений.
Минимальные требования к па-
мяти
В значительных пределах инва-
риантен к размасштабированию
и вращению изображений
Существенное сокращение объ-
ема вычислений только при об-
работке изображений больших
размеров
Выделение признаков чувстви-
тельно к шуму. Аналитическое
описание характеристик затруд-
нено. Значительные затраты на
предварительную обработку
Невысокая вычислительная эф-
фективность при обработке не-
больших изображений
отечественной и зарубежной литературе. Эти алгоритмы
были разработаны в конце 70-х — начале 80-х гг. с целью
сокращения объема вычислений при корреляционной обра-
ботке. В табл. 2.7 приведены наиболее часто используемые
на практике алгоритмы, отмечены их преимущества и не-
достатки. Более полное сравнение алгоритмов наталкива-
ется на серьезные трудности. Это обусловлено разнообра-
зием задач, для решения которых создавались алгоритмы,
и, как следствие этого, широким диапазоном исходных дан-
ных (размеры и соотношения размеров изображений, за-
коны распределения интенсивностей элементов изображе-
ний, сюжет изображений, характер искажений и т. п.),
что чрезвычайно затрудняет представление результатов
сравнения алгоритмов. Поэтому в опубликованных работах
обычно сравниваются 2—3 алгоритма, предварительно
отобранные для решения конкретной задачи. Однако рас-
пространение полученных результатов на другие задачи и
ситуации требует большой осторожности.
Например, в [97] сравниваются эффективности корре-
ляционной и разностных критериальных функций при об- .
работке реальных радиолокационных изображений льдов
и делается вывод о существенном преимуществе разностных
функций. В работе [98] того же автора, выполненной по
аналогичной методике, полученные результаты свиде-
тельствуют о преимуществе корреляционной функции как
более помехоустойчивой.
Таким образом, в литературе по КЭС нет исчерпываю-
щих данных, которые можно было бы использовать при
выборе корреляционного алгоритма для решения конкрет-
ной задачи.
Поэтому желательно иметь в табличной или графи-
ческой форме характеристики различных корреляционных
алгоритмов в зависимости от исходных данных изображе-
ний, изменяющихся в широких пределах. 1
Следует отметить возросший в последние годы интерес
исследователей к алгоритмам, реализуемым в спектраль-
ном пространстве. Использование этих алгоритмов обеспе-
чивает не только сокращение объема вычислений, но и по-
зволяет подавлять искажения, имеющие узкополосный
спектр или спектр, не перекрывающийся со спектром сиг-
нала. В алгоритмах со спектральными критериальными
функциями, кроме БПФ, могут быть использованы и быст-
рые спектральные преобразования по функциям Уолша:
преобразование Адамара, Уолша, Пэли [94].
162
Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА
ИЗОБРАЖЕНИЙ
3.1. Искажения изображений
Основные квазиоптимальные корреляционные алгорит-
мы, рассмотренные в гл. 2, предназначены для обработки
идентичных изображений, имеющих определенный относи-
тельный сдвиг. При этом предполагается,, что искажения
отсутствуют. Это предположение справедливо далеко не
всегда. На практике изображения одного и того же объекта
или участка местности, полученные в разное время или
с-помощью различных датчиков, могут значительно отли-
чаться один от другого. Поэтому необходимо до примене-
ния корреляционных алгоритмов провести так называемую
предварительную обработку для приведения изображений
к единому виду. При этом качество предварительной обра-
ботки оказывает на общие параметры системы не меньшее
влияние, чем сами корреляционные алгоритмы. Ниже рас-
сматриваются искажения поверхностных полей, формируе-
мых посредством электромагнитного излучения, например
оптических.
По виду искажения можно разделить на геометриче-
ские и искажения интенсивности изображений. Оба вида
искажений могут быть обусловлены различными причина-
ми. Геометрические искажения возможны, например, при
неточном знании положения объекта управления в прост-
ранстве. Зависимость искажений в этом случае от различ-
ных пространственных коорди-
нат показана на рис. 3.1.
Геометрические искажения
возникают также при получе-
нии изображений с помощью
различных датчиков, если при-
менение этих датчиков предпо-
лагает разные углы визирова-
ния цели. Коррекция изобра-
жений, полученных с помощью
оптической системы и РЛС
-БО, рассмотрена в § 3.2. Ис-
кажения интенсивности изо-
бражений возникают обычно
из-за изменения метеорологи-
ческих или сезонных условий.
Использование при навигации
высота.
Тангаж
Комплексная
ошибка
Рис. 3.1
11*
163
различных физических полей Земли также требует предва-
рительной обработки изображений, которая может иметь
целью либо перевод изображений в одну спектральную об-
ласть (см. § 3.3), либо выделение контурных признаков
изображений (см. § 3.4).
Вид предварительной обработки определяется особен-
ностями конкретной системы, поэтому методы, изложен-
ные в данной главе, нужно рассматривать как возможные
варианты.
Необходимо отметить, что разработано несколько кор-
реляционных алгоритмов, инвариантных к определенным
видам искажений. Так, в [82] исследуется эффективность
корреляционной обработки при геометрических искажени-
ях. В [66] предложен алгоритм, эффективно работающий
при отсутствии целых участков изображений (при отсут-
ствии 30 %, элементов изображений эффективность этого
алгоритма обычно снижается лишь на 5.. .15 %). В другой
работе предложен метод, в котором эталонное изображе-
ние (ЭИ) представлено в виде совокупности подэталонов,
соединенных «пружинками», и корреляционный алгоритм
основан на последовательных операциях по получении
максимального совмещения поэталонов при одновремен-
ном минимальном натяжении «пружин» [68]. Существова-
ние таких алгоритмов в общем случае не снимает вопроса
о предварительной обработке, во-первых, из-за того, что
такие алгоритмы инвариантны лишь к определенным ви-
дам искажений, и, во-вторых, вследствие сложности, огра-
ничивающей в ряде случаев возможность их использова-
ния.
3.2. Геометрические преобразования
Изображения, полученные с помощью разных датчи-
ков, например, РЛС БО и оптической системы, могут быть
приведены к единому виду при помощи геометрической
коррекции. Рассмотрим два метода геометрических пре-
образований, легко реализуемых на ЭВМ: перспективное
преобразование и полиномиальная оценка [73].
Перспективное преобразование. Общая схема получе-
ния изображений с помощью двух датчиков и геометриче-
ские особенности оптической системы и РЛС БО показа-
ны на рис. 3.2,а [73].
На рис. 3.2,6 [73] плоскость изображения оптической
системы и плоскость объекта (земная поверхность) парал-
лельны. Оптическая ось перпендикулярна обеим плоско-
стям, и камера расположена в начале прямоугольных ко-
164
ординат. Так как расстояние др объекта значительно
больше фокусного расстояния f, то плоскость изображе-
ния и фокальная плоскость совпадают и х3~[. Каждая
точка объекта и'= (и/, и2', и3) имеет соответствующую
точку в фокальной плоскости х= (Xi, х2, л}3). Составляю-
щие х могут быть рассчитаны с помощью следующих
уравнений;
xl=Jul'/u>3, x2=fu2'lu3', x?==f. (3.1)
Изображение, получаемое с помощью РЛС БО (рис. 3.2,в
[73]), зависит от углов тангажа, крена и рысканья — О,
у, ф, которые определяют положение системы. Отображе-
ние точки объекта и= (ut, и2, и3) на изображении РЛС БО
может быть связано с системой координат «'= («/, и-/, и3')
оптического датчика уравнением в матричной форме
и'—Ми, (3.2)
12—370 165
где М — матрица вращения, элементы которой являются
функцией углов О, у, ф [73]. Подставляя (3.2) в (3.1), по-
лучаем
m31Ul 4” т33и3 4~ ?«33«3
(3.3)
х — f Wi + + mi3us
да31и1 4* т3&3 4* m33,73
(3.4)
*. = f.
(3.5)
Где тц — элементы матрицы вращения М.
С помощью уравнений (3.3), (3.4) точка объекта с ко-
ординатами («1, i/г) может быть пересчитана в координа-
ты оптической системы (хь х2).
Отметим, что формулы центрально-проективного пре-
образования типа (3.3) — (3.5) характерны для изображе-
ний, получаемых с помощью оптической и тепловизионной
аппаратуры. РЛС БО обычно дают изображение в коор-
динатах наклонная дальность — азимут. Поэтому для ис-
пользования данного метода необходимо предварительно
преобразовать изображение РЛС БО в координаты углов
О, у, ф.
Полиномиальная оценка. Пусть f(ui, и2) —радиолока-
ционное изображение, a f(xi, х2)—оптическое. Полино-
миальный метод заключается в применении следующих
уравнений [83]:
Л'—I
*4=22 ач11^и^
i = 0j=0
N N—l
«а = 2 2 bHU/U2>
1=01=0
где aij, Ьц — постоянные полиномиальные коэффициенты.
На практике достаточно бывает использовать полиномы
2-й степени (N=2). Для получения коэффициентов необ-
ходимо выбрать наиболее существенные признаки радио-
локационного и-оптического изображений. Этими призна-
ками могут быть конечные точки протяженных линий, пе-
ресечения линий и т. д. При использовании полинома 2-й
степени необходимо не менее шести сопряженных точек.
Значения этих точек могут быть представлены в следую-
щем виде:
166
°00
° 10
«81
«20
«02
«И
где Аналогичное уравнение можно записать для х2
и bij. Эти уравнения могут быть представлены в матрич-
ной форме: x\ — UA, x2 = UB.
Оценки А и В задаются следующими уравнениями:
А= (UTU)~lU’Ixi,
В= (IPUj-'UtXi.
Метод полиномиальной оценки представляется более
предпочтительным, так как не требует дополнительной ин-
формации, кроме имеющейся, в полученных изображениях.
Ниже будет рассмотрен метод предварительной обра-
ботки сигналов активного датчика с измерением дально-
сти, например РЛС или сканирующей лазерной системы
[70], Информация от такого датчика обычно бывает пред-
ставлена в полярных координатах (дальность и два угла).
Поскольку корреляционную обаботку удобнее производить
в декартовых координатах, то на предварительном этапе
необходимо преобразовать изображение в декартовы ко-
ординаты и провести дополнительную обработку по сни-
жению геометрических1 искажений. Обозначения систем
координат показаны на рис. 3.3,а [70]. При этом R = Rx2,
где R — вектор дальности до цели:
167
COS a sin a
— Sin a COS a
0 0
Х1
Zj
X1 X
У1 =BA ‘7
4 II II z
COS P
0
— sin P
0
0 ,
1
0 sinp
1 0
0 cos p
Уравнение преобразования координат имеет вид
х
у
(3.6)
где А-1 и В--1 — матрицы, получаемые заменой а и р на
—а и —р в А и В (Л-1 и В"1 — матрицы, обратные к
Л и В).
Преобразование координат не влияет на уровни интен-
сивности I каждого значения R. Вектор параметров (/, R,
а, р) преобразовывается в (/, х, у, г). Второй этап пред-
варительной обработки заключается в проецировании по-
лученного изображения на плоскость, перпендикулярную
линии визирования цели. Это преобразование осуществля-
ется двумя последовательными вращениями системы ко-
ординат (х, у, z): сначала на угол ар относительно оси
г и затем на угол р относительно оси у. Координаты в
плоскости проекции обозначаются (хР, уР, zP). Можно за-
писать:
Хр
Ур
—В? Ар
х
У
г
где Вр и Ар — матрицы, получаемые заменой а и р на
up и Рр в А и В. Учитывая (3.6), имеем
Хр
f/p
Zp
= ВрАрА’В-1
О
О
Величины R, A~\ В"1 изменяются ог точки к точке
поля обзора датчика, а Ар и Вр остаются постоянными.
Поскольку вектор дальности R лежит вдоль оси х2
(рис. 3.3,а), необходимо вычислять элементы только пер-
вой колонки ВрАрА В'1.
Второй этап преобразования иллюстрируется рис. 3.3,6,
где точке с полярными координатами (R, а, р) соответст-
вует точка в плоскости проекции (хр, ур, zp).
168
3.3. Преобразования распределения интенсивности
изображений
Изображения одних и техчже объектов, полученные с
помощью различных датчиков, имеют разное распределе-
ние уровней интенсивности. Если, например, считать, что
оптическое изображение объекта позитивно, так как в нем
преобладают интенсивности, серый уровень которых не-
значителен, то изображение, полученное с помощью РЛС,
имеет вид негатива. Пример распределения интенсивно-
стей оптического и радиолокационного изображения одно-
го и того же объекта показан соответственно на рис. 3.4,а,
б. Корреляционно-экстремальная обработка таких изобра-
жений не может дать положительных результатов. Изо-
бражения должны быть приведены к единому виду. Рас-
смотрим два метода преобразования интенсивностей изо-
бражений [78,83]. Особенностью первого метода, известно-
го под названием метода Карунена—Лоэва, является ис-
пользование статистики конкретных изображений. Второй
метод не требует подобной информации. Преобразование
радиолокационного изображения осуществляется так, что-
бы оно наилучшим образом соответствовало типичному
экспоненциальному распределению интенсивности оптиче-
ского изображения.
1. Первым этапом преобразования интенсивностей не-
гативного радиолокационного изображения является пере-
ход к позитивному изображению [73]. Он осуществляется
заменой уровня интенсивности каждого элемента изобра-
жения уровнем а,,, причем
etj=2n—6ц— 1, (3.7)
где 2п — число уровней квантования.
Пусть и радиолокационное R и оптическое Р изображе-
ния имеют размеры N\N:
168
*-=(П.-,^ХД P = (A.....рухл,).
Исследуется каждая пара элементов (rh, ph). Вводится
парная функция F (у\, у2), где уь у2— уровни интенсив-
ностей элементов и рк соответственно. Функция F (г/(, у2)
при у\—у2 равна числу элементов изображений, интенсив-
ности которых совпадают, а при yi^y2 — числу несовпа-
дающих элементов. Ковариационная матрица имеет вид
Су=М{\\у-МуЦЦу—AfJT}.
где
МУ!, Му2 — ожидаемые уровни yt, у2\ М — символ матема-
тического ожидания.
Радиолокационное • изображение преобразуется так,
чтобы число элементов каждого уровня интенсивности
совпадало с соответствующим числом оптического изобра-
жения. Для этого вводится новая система координат <Т>!
и Ф2 такая, что С\=ФС’г/Фт, где Ф — матрица, столбцами
которой являются упорядоченные собственные векторы Су
с собственными значениями X] и Л,2. Необходимая коррек-
ция интенсивностей достигается, когда угол между Ф] и
г/1 становится равным приблизительно 45°.
2. Операции второго метода [79] также начинаются
с придания радиолокационному изображению позитивно-
го вида (3.7). Дальнейшее преобразование заключается в
отображении интенсивностей в ё',, так, что N0^.ei}t^.N
Мо^ё'ц^Мь.
Преобразование осуществляется таким образом, чтобы
распределение вероятностей на выходе P[e'ij = ML],
имело желаемую форму при заданном распреде-
лении P[e,j=Afft], P[Mi] и P[Afr_]—вероятно-
сти появления элементов с интенсивностями менее на
входе равны вероятностям появления на выходе элементов
с интенсивностями, не превышающими Л^:
k _
S Р1ер = ^]=^Р[ег^Мх]. (3.8)
4=0 ,v=0
Для получения равномерного распределения на выходе
= (ML—Мо)~г функция преобразования должна
иметь вид
e'ij— [Мl~— Й4о] Р[ё>i] Ц-Мп.
Если на выходе необходимо получить распределение Рэ-
лея с параметром р>0, то
170
Р ^'/1=^ ехр WJ-
ii функция преобразования может быть задана следующим
образом [78]:
e’ij — Г282 log (-1=—) ]1/2.
L \ 1 — etl IJ
Экспериментальные исследования показали, что оба мето-
да преобразования интенсивностей дают приблизительно
одинаковые результаты, причем отмечалось некоторое пре-
восходство первого метода [78].
3.4. Алгоритмы выделения контурных признаков
Наиболее стабильные признаки сравниваемых изобра-
жений—контурные линии [44]. Такая ситуация характер-
на для случая получения изображений одного и того же
объекта в различных участках электромагнитного спектра.
Разработано большое число алгоритмов выделения кон-
турных линий. Наиболее полные обзоры по этой пробле-
матике можно найти в [29, 53]. Методы выделения кон-
турных линий основаны, как правило, на оценке уровня
градиента в каждом элементе разрешения изображения.
Элементы, градиент которых превышает определенный
уровень, объединяются в контурные линии.
Два возможных алгоритма выделения контурных ли-
ний, которые использовались в корреляционной системе,
описаны ниже.
Первый алгоритм известен под названием оператора
Робертса, или оператора выделения контурных линий по
четырем элементам изображения. Алгоритм основан на
оценке и выборе фрагментов изображения с высоким гра-
диентным уровнем.
Если цифровое изображение представлено двумерной
функцией g(i, /), то уровень градиента в точке (i, /) за-
дается приближенным уравнением [29]:
||Vg(i, j)\\^R(i, j)=={[g(i, j) —
—g(l+i. /+i)]2+[g'(r’> /+0—
-gU+h /) J2}1/2-
(3.9)
Из (3.9) видно, что для фрагментов изображения с посто-
янной интенсивностью функция R(i, j) равна нулю, а при
изменении интенсивности элементов изображения она воз-
растает. С вычислительной точки зрения более эффектив-
ной является разностная схема для вычисления суммы аб-
солютных величин «диагональных» градиентов [44]:
171
P(i, i)~g(i+h / + 1)1 +
+ IS(M+l)-£++l, j)|. (З.Ю)
После вычисления градиента в каждой точке производит-
ся квантование по формуле
Л((, /)= '• (3.11)
’ ] 0, если F (I, /) < Т,
где Т — пороговый уровень.
В результате применения формул (3.10) и (3.11) к ис-
ходному изображению формируется контурное изображе-
ние. Во втором алгоритме выделения контурных линий
при оценке величины градиента определенного элемента
(I, j) изображения учитывается влияние восьми соседних
с ним элементов [44]. Градиент вычисляется по формуле:
3 3
(G, 3 + — L),
л?=а=1
i де g(f, /) —элементы изображения в цифровой форме;
W (/С, L) — элементы весовой функции (матрица размером
3X3 элемента)
В литературе можно найти различные формы весовых
функций [75]. Приведем несколько из них:
а) весовые функции сглаженного гр адиента
1 1 1 1 0 1
W 0 0 0 , W2 = 10—1 »
— 1 — 1 — 1 10-1
б) весовые функции Собеля [29]
1 2 1 10—1
W, = 0 0 0 • W2 = 2 0—2 f
— 1 — 2 — 1 10—1
в) изотропные весовые функции
• 1 Кг 1 1 0—1
w1== 0' 0 о: , w2 = Кг" 0 —К+ >
1 — VT — т 1 0 1
Уровень градиента в точке (/, /) равен
н ад, /)ц=1[5х2(/, j)+svi(i, /)]+
где
•5Х (i, /) = (G, Г,) и Sy (I, /) = (G, W2).
По аналогии с (3.10) можно использовать более эффек-
тивную формулу
F(i, j) = \sx(i, j) | + |Si/(С /)!•
172
Квантование осуществляется по-прежнему в соответствии
с (3.11).
При исследованиях [44, 62] использовались весовые
функции Собеля. Как показали исследования [62], выбор
уровня порога Т в уравнении (3.11) серьезно влияет на-
эффективность корреляционного алгоритма. Величина по-
рога зависит от характеристик конкретного изображения—
числа контурных линий, их резкости и т. ,д. Для автома-
тического определения порога были предложены следую-
щие три метода [62].
1. Метод основных контуров. При использовании этого
метода задается такой порог, что на обработанном бинар-
ном изображении остаются только основные контурные
линии. Численное отношение нулей и единиц в таком изо-
бражении велико, что приводит к высокой вероятности
ложных пиков корреляционной функции. Чтобы избежать,
этого, при обработке используются только те элементы
ЭИ, которые имеют уровень «единица». Это снижает зна-
чение корреляционной функции, но дает более надежные
результаты.
2. Метод усреднения по фрагменту. В этом случае гра-
диентные изображения, полученные с использованием ве-
совых функций Собеля, квантуются на два уровня на ос-
нове среднего значения для девяти соседних элементов с
центром в точке (t, /):
ЧП f('“'
m=t—I п=!—1
Уравнение квантования имеет вид
F /) = (1 ’ если П КА’
4 ’ (0, в"*остальных "случаях,
где К — коэффициент масштаба.
При низком значении /С контурные линии изображения
утолщаются, а при высоком — становятся тоньше.
Аналогичный метод использован в работе [85]. При
этом локальный порог в точке (г, /) вычислялся по фор-
муле
Г,
2
1
1 ’ 2
2 4
1 2
F(i — 1, j) F(i—l, j+ 1)
F(i, /-1) Ди J) F(i, j+\)
F(l±l, /-l)F(i+l, j) F(t + 1, /4-1)
3. Метод среднего (ц) и среднеквадратического (о)
отклонений. В этом методе задаются два уровня порога:
L = p—/(о, Н = [i-|-Ko,
173
где К — коэффициент масштаба (AjSsO). Уравнение кван-
тования имеет вид
Таким образом, элементы с уровнями градиента, за-
ключенными между Н и L, при корреляционном процессе
во внимание не принимаются. Смысл исключения элемен-
тов с уровнями градиента, близкими к среднему, заключа-
ется в снижении шумовых эффектов.
Для сравнения эффективности трех методов определе-
ния величины порога было проведено экспериментальное
исследование [62]. Сравнение производилось по двум кри-
териям: отношение разности пикового и среднего к вели-
чине среднеквадратического отклонения корреляционной
функции и отношение двух наибольших значений корреля
дионной функции.
Эксперимент показал, что наилучшие результаты можно
получить с помощью метода среднего и среднеквадратиче-
ского отклонений. Коэффициент масштаба был равен К=
=0. . .0,5, Истинный пик корреляционной функции для всех
исследовавшихся изображений входил в число четырех мак-
симальных значений. Использование этого метода требует
дополнительных аппаратурных и вычислительных затрат.
Однако эти затраты представляются оправданными благо-
даря высокой эффективности метода.
3.5. Квантование изображений при различных алгоритмах
обработки
В § 1.7 рассматривались основные вопросы теории кван-
тования. В данном параграфе будет рассмотрено влияние
квантования изображений на параметры двух алгоритмов:
классического корреляционного алгоритма (ККА) и алго-
ритма последовательного определения сходства изображе-
ний. В качестве критерия сравнения выбрано среднее квад-
ратическое значение отношения сигнал-шум системы.
Интуитивно ясно, что при увеличении числа уровней N
влияние квантования на отношение сигнал-шум уменьшает-
ся, и прц /У->оо качество входного сигнала остается преж-
ним, а следовательно, отношение сигнал-шум системы не
изменяется.
Исходя из этого, в работе [88] был принят следующий
подход. Считалось, что многоуровневое устройство кванто-
вания (при бесконечном числе уровней) не ухудшает отно-
шения сигнал-шум системы и с постепенным уменьшением
174
числа уровней исследовалось ухудшение качества работы
системы. Ошибки квантования предполагались независи-
мыми от ошибок, обусловленных иными причинами. В ка-
честве параметра снижения среднего квадратического зна-
чения отношения сигнал-шум для данного устройства кван-
тования (с определенным числом уровней) принято отно-
шение дисперсии оценки данного устройства к дисперсии
многоуровневого устройства. Двоичное квантование одина-
ково сказывается на характеристиках ККА и алгоритма
последовательного определения сходства изображений
(ПОСИ). Уменьшается среднее квадратическое значение от-
ношения сигнал-шум в л2/4, или в 2,467 раза. Многоуров-
невое квантование в меньшей степени влияет на ККА. Так,
при трех, четырех, и шести уровнях Квантования значение
среднего квадрата отношения сигнал-шум для ККА умень-
шается соответственно в 1,525; 1,3; 1,13 раза, тогда как для
ПОСИ аналогичный параметр принимает значения: 1,88;
1,715; 1,613. Снижение среднего квадрата отношения сиг-
нал-шум для обоих алгоритмов при любом числе уровней
квантования обратно пропорционально числу элементов
разрешения ЭИ (т. е. увеличение в два раза числа элемен-
тов ЭИ позволяет вдвое, уменьшить снижение отношения
сигнал-шум при любом числе уровней квантования). По-
этому ЭИ должно иметь максимальные размеры исходя из
общих ограничений системы.
Анализ показывает, что выигрыш при увеличении уров-
ней квантования более четырех совсем незначителен. Таким
образом, при использовании любого из алгоритмов число
уровней квантования не целесообразно выбирать более че-
тырех. Аналогичный вывод сделан в работе [44].
Интересный результат, относящийся к функционирова-
нию ККА при двоичном квантовании, получен в [64].
В этой работе показано, что при достаточно больших от-
ношениях сигнал-шум на входе коррелятора величина от-
ношения пика корреляционной функции к боковым лепест-
кам для сигналов с двоичным квантованием больше, чем
для некваитованных сигналов.
Глава 4. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ
КОРРЕЛЯЦИОННО-ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ
ОПТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
4.1. Возможность осуществления оптического пеленгатора
Будем полагать, что в фокальной плоскости идеальной
оптической системы наблюдается аддитивная смесь про-
175
странственно-временных сигналов Е(х'—к'х, у'—Х'у) и
шума п(х', у', t). Обычно считают, что оптический сигнал
Е представляет собой однородную случайную дифференци-
руемую в среднеквадратическом функцию переменных
х', у', а п(х', у', t) — гауссовский процесс типа белого
шума с нулевым средним. Среднее значение принимается
равным нулю за счет выбора среднего уровня контраста в
приемной системе.
Смещение оптического сигнала на плоскости наблюде-
ния в декартовой системе координат характеризуется век-
тор-функцией параметров А=А(/), проекциями которой
на оси х', у' будут \'х и Х',у соответственно. Пусть вектор-
параметр представляет собой двумерный марковский про-
цесс
A=-Q(A) + H(0,
где Q=||91(X\—Х'%), —A,ey)||T, q — вектор-функция
(k°'x,v определяют начальные условия); Н(/)—двумер-
ный гауссовский белый шум с составляющими hx и htl и
диагональной матрицей интенсивностей 2Н0; q\ и q2—ха-
рактеристики измерителя. Задача измерения смещения из-
вестной реализации, заданной в виде интенсивности опти-
ческого сигнала Е, сводится таким образом к нелинейной
фильтрации пространственно-временного процесса на фоне
пространственно-временного шума.
Как было показано, каналы измерения такого смеще-
ния по ортогональным осям х', у' идентичны, поэтому
рассмотрим структуру одного из них, например измеряемо-
го смещения В силу указанных выше свойств функции
Е{х', у') пространственная корреляционная функция сиг-
нала Ь(х', у') и ее производная по \х'—Х'х—К'*х Опреде-
ляются выражениями
L (Дг', Ду') = -J- [ f Е (х' — Хх^у — Х'у) Е (х' — Я/,
С с . >
X' У'
yf ~Xyf)dxfxyf\
<XX(Ax', At/')_ 1 д |* f
дКх1 ~сГ ах7.) .)
X'Y'
у' — lu’)dx'dy',
Хх > У Ху} Е [х, X х,
где Се — ; 2.х -г- оценка смещения;
Со — спектральная плотность пространственно-времен-
ного шума; размеры области наблюдения X', У' по осям
176
х', у* много больше линейных интегралов пространствен-
ной корреляции процесса Е(х', у').
Если начальная выставка оптической системы близка к
оценке смещения, то согласно (1.37) алгоритм оптималь-
ного оценивания, например, определяется следующим
выражением:
-j-K„ ----.
- -i-к.. +.»,(»)).
где Я(р)=7'1/(7’1р+1), T\=\/qx при задании хх в виде
Х°х=—(/); Кц(1, /=1, 2)—элементы ковариацион-
ной матрицы оценки К; пе — случайная составляющая по-
грешности измерения; т](/)—шумовая составляющая.
Пусть положение ' ~
дискриминационная
измерения углового
определяется как
Хо'
^5 —— f -
С I
со J
Xt'
сигнала по оси у' известно. Тогда
характеристика пеленгатора для
положения сигнала в одной плоскости
дЕ(х' —
Е (к' — lxf)dx' =
дк
х'*
с 0 J
(4.1)
Сравнение последнего выражения с формулой (1.70), опи-
сывающей выход оптического приемника, позволяет. опре-
делить структурную схему оптимального оптического пелен-
гатора в следующем виде. Текущее изображение (ТИ), по-
строенное в плоскости наблюдения, совмещается с полу-
прозрачной маской (рис. 4.1). Прозрачность маски опреде-
ляется производной дЕ(х') /дх' эталонного изображения
(ЭИ) Е(х'—%'*х). Сформированное таким образом произ-
д£(х' — X »)
ведение [Е (V — Л/) —|—лг (х:', 0]----:— поступает
1 дх1
на приемник излучения, выходное напряжение которого
для совокупности всех значений Дх имеет вид
,ft.+
LJ дх'
дЕ(х' — \’х)
дх'
п(к', tjdx'
177
Рис. 4.1
Очевидно, что если общий коэффициент передачи системы
Кс—К\\/Се, то дискриминационная характеристика пелен-
гатора с приемником интегрального типа реализует алго-
ритм оптимальной обработки. Напряжение рассогласова-
ния, получаемое с выхода приемника в таком пеленгаторе,
служит для управления приводом ЭИ. Привод перемещает
ЭИ в сторону экстремума пространственной корреляцион-
ной функции £(Дх')- Нетрудно убедиться, что в простей-
шем случае пеленгации неподвижного объекта наблюдения
в качестве такого привода используетоя интегратор п(р) =
— 1/р, например электродвигатель. Потенциальная точ-
ность оценки в этом случае согласно (3.10):
- Lo fl^(Ax') ь- , 1
Се .) I dAx'3 I ^^ = 0)
т
где R(kx')=L(\x')/1(0).
Таким образом, при использовании идеальной оптичес-
кой системы точность определения положения сигнала на
плоскости наблюдения определяется отношением сигнал-
шум L^/Ce, априорной точностью выставки измерителя и
шириной пространственной корреляционной функции рас-
пределения лучистости объекта наблюдения. Рассмотрим
теперь неидеальную оптическую систему. Полная освещен-
ность в точке (х', у') на плоскости изображения будет
равна сумме освещенностей с учетом рассеивания потоков,
направленных на все элементы dW, d).'y. Если размытость
изображения одинакова во всех точках поля зрения, то
4 оо -
Е(кг, у’, A)=jjE(V~V —
—00
178
или, при пеленгаций в одной плоскости,
+ СО
Е,(х'-2/) = J £(2/ —r)/i(V)^V-
— 00
Поэтому при реализации оптимальной обработки, описы-
ваемой соотношением (4.1), следует учитывать размытость
текущего изображения введением в подынтегральное вы-
ражение функции рассеяния
25=-f- f ——h-К^Е-x')d^'dx'
Со J J оЛх
—оо х
4.2. Оптические корреляторы
В гл. 1 было показано, что при задании вектора пара-
метров, характеризующих смещение координат объекта, в
виде (1.8) знание функционала правдоподобия позволяет
определить оптимальный алгоритм нелинейной фильтрации
пространственно-временного сигнала.
Для аддитивного нормального белого пространственно-
временного шума в гауссовском приближении этот алго-
ритм предполагает вычисление критериальных функций,
представляющих собой интегральную форму взвешенной
меры, которой является разность между сигналом наблю-
дения и полезным сигналом (сигналом от объекта наблю-
дения) с соответствующими весовыми коэффициентами.
Под сигналом наблюдения будем понимать текущее изобра-
жение (ТИ) участка местности с объектом, сформирован-
ное преобразователем информации в плоскости изображе-
ния канала измерения. Сигналом от объекта наблюдения
будем считать пространственно-временной сигнал
s(px, ру, Л, ф, t). Текущее изображение наблюдается в
системе координат Oxyz, связанной с ЛА. Плоскость Оху
совпадает с плоскостью наблюдения. Для удобства будем
считать, что плоскость Оху параллельна наблюдаемому
участку местности, координаты точек которой задаются в
геодезической системе координат OXYZ. Это допущение по-
зволит описать проектные преобразования изображения
в виде уравнений Ли четырех параметрической группы пре-
образований [114]. При этом параметрами преобразований
будут р, описывающий изменение масштаба изображения
ф, описывающий поворот изображения в плоскости Оху и
}.х, /-и—параметры трансляции (параллельного переноса)
являющиеся проекциями вектора состояний Л на оси х и
у (рис. 4.2). Модель анализируемого изображения мест-
12* 179
Рис. 4.2
иости, в предположении локальной однородности случай-
ных нолей, включает в себя изображение объекта наблю-
дения,- фона, внутреннего шума преобразователя и постоян-
ную составляющую, обеспечивающую неотрицательность
сигнала наблюдения. Пеленгатор, измеряющий параметры
р, ф, сигнала от объекта наблюдения, является кор-
реляционно-экстремальной системой, поскольку пеленгаци-
онные характеристики слежения за составляющими пара-
метров геометрического преобразования полезного сигнала
в каждом канале измерителя определяются производной
корреляционной функции по погрешности измерения соот-
ветствующего параметра геометрического •преобразования
(1.36), (1.37). В общем случае пеленгационная характе-
ристика i-го канала измерения может быть определена в
виде, подобном (1.46, 1.47) [2]:
^^-dBr^V^/CedSVi,
где Br(Avz)=j£ r(yi)s(kvi)dvl, Avz ==vz — vz*; vz —/-й па.
. (Л>
раметр преобразования; v*i— оптимальная оценка пара-
метра v>; Се=С0/ХУ; Со — спектральная плотность про-
странственно-временного шума; А — область наблюдения;
ХУ—размеры области наблюдения по осям х, у;
s(kvi).— изображение объекта наблюдения; /(v,) —сигнал
наблюдения.
Таким образом, канал измерения параметра геометри-
ческого преобразования изображения должен представ-
180
лять собой устройство, которое формирует корреляцион-
ный функционал сравнения ТИ и ЭИ и измеряет положе-
ние экстремума этого функционала, что позволяет опозна-
вать и однозначно определять координаты сложных ориен-
тиров по их изображениям. Такие устройства называются
корреляционными координаторами.
Будем рассматривать корреляционные координаторы,
реализованное на базе оптических корреляторов, в кото-
рых сигналы наблюдения r(px, руу Л, ф, /) представляют
собой функции, определяющие в зависимости от носителя
информации контраст ТИ участка местности или его кон-
фигурацию (в случае носителя термопластического или
мембранного типа), и в которых реализуются операции ти-
па свертки с произвольным ядром. Термопластические и
мембранные модуляторы — фазовые модуляторы, которые
формируют рельефный сигнал (конфигурацию).
Функционально оптические корреляторы можно разде-
лить па два больших класса — когерентно-оптические кор-
реляторы, работающие при когерентном освещении и неко-
герентно-оптические, работающие при некогерентном осве-
щении. В свою очередь когерентные и некогерентные кор-
реляторы могут классифицироваться на пространственно-
зависимые и пространственно-независимые по отношению
к относительному смещению анализируемых функций —
ЭИ и ТИ. Когерентные корреляторы могут быть построены
на основе [115]—метода синтеза в области пространст-
венных частот и метода синтеза в области изображений.
Оба метода могут быть реализованы с использованием од-
ной и той же оптической системы (рис. 4.3), содержащей
две линзы Л] и Л2 с одниковым фокусным расстоянием Д
а также три плоскости наблюдения Р\, Р2, Р2. Расстояние
между плоскостями и линзами Pi—Л\, Л\—Р2, Р2—Л2,
Л2—Р2 равны гь г2, z3, zi соответственно.
181
Рассмотрим метод синтеза в области изображений.
Предположим, что в плоскости наблюдения Р\ сформиро-
ван сигнал наблюдения г(х, у). Пусть между плоскостями
Pi и Р2 соблюдается условие фокусировки
l/zi+l/z2=l/f и zi=z2=2f.
В этом случае световое поле в плоскости Р2 описывается
выражением вида [116]
Р(и, с)^Кехр [jn(x2+y2)/X[]r(—х, —у),
где K=B(z1)B(z2); B(zt) = J-exp(—jkz,); В(-2) = ^~Х
Xz-i kzz
Хехр (—]’кг2); к=2пК— волновое число; К — длина волны
излучения. Это означает, что в плоскости Р2 формируется
изображение сигнала наблюдения.
Поместим в плоскости Р2 маску-транспарант с комп-
лексным пропусканием s(x + xo, у+уо), соответствующим
изображению объекта наблюдения, где х0, у0 — параметры
трансляции, и выполним условие 0^z3^f, что соот-
ветствует работе части системы за плоскостью Р2 как
фурье-анализатора. С точностью до фазового множителя
световое поле за плоскостью Р2 можно представить произ-
ведением г(—х, —i/)s(x+xo, у+уо), а поле в плоскости
Р3, без учета конечных размеров сигнала наблюдения и
апертурных ограничений линз, будет равно
Q(x,, х0. у0)^
Jp(—х, —у) s (х0 4- х, у0 + у)ехр[— (х.х+у.у) dxdy.
—со
(4-2)
Нетрудно видеть, что формула (4.2) преобразуется в вы-
ражение свертки функции г и s в плоскости Р3 только лишь
в точке (Х1=0, t/i=0):
<2(^0- Уо)~ f j г (к, y)s(x0 — x, у, —у) dxdy. (4.3)
—со
Для формирования в той же точке выходной плоскости
Р3 распределения комплексных амплитуд света, соответст-
вующего корреляционному функционалу сравнения в плос-
кость Р2, необходимо установить «перевернутый» транс-
парант s(x0—х, уо—у). Тогда Q(x0, У о) определится выра-
жением
<Ж> &)**£['(х, y)s(x— х0, у — yjdxdy. (4.4)
182
Таким образом, когерентно-оптические корреляторы, син-
тезированные в области изображений, являются простран-
ственно-зависимыми, так как в них вычисляется только
одно значение корреляционного функционала сравнения,
соответствующее данным значениям хо, у0 параметров от-
носительного смещения анализируемых функций. Вычис-
ление всех необходимых значений корреляционного функ-
ционала требует реализации последовательного перебора
значений параметров трансляции в корреляторах этого
типа.
Проследим последовательность операций построения
когерентного оптического коррелятора методом синтеза в
области пространственных частот. Для этого предположим
в оптической схеме (рис. 4.3) z2=Zi~f, O^z^f,
0^z2^f. В этом случае оптическая система представляет
собой два последовательно установленных фурье-анализа-
тора [117]. Поэтому световое поле в плоскости Р2 будет
представлять собой пространственно-частотный спектр
F(сох, соу) —^~{г(х, у)}, где ^" — оператор преобразования
Фурье сигнала наблюдения г(х, у), т. е. комплексного
пропускания транспаранта, установленного в плоскости
Р>
P{i', v) = К ехр [ - (и2 -ф Ц*)] Р(тх<
где со*=2гш/Аф соу==2ло/Х[.
Пусть в плоскости Р2 установлен транспарант с комплекс-
ным пропусканием S(wx, соД =зг{s (х, </)}. Тогда световое
поле в плоскости Рз в результате действия линзы Л2 будет
равно
Q(x„ yJ^K'exp [S^(X124-
L Af3
-фу12)]Кехр|±^-(ц2-фи2) | F(vx, шy)S(<»x, ш ). (4.5)
J L I
Если Zi = Zi — f, to 6zi=6zp=0, и поле в плоскости Рз
пропорционально свертке функций г и s:
Q(x„ t/JssQfo, у„)~Jp(x, y)s(xt — x, у, — y)dxdy. (4.6)
—00
Причем K'=B'(zi)B' (z2);
В' (Д) = -L- ехр /j Г-^- (л2 + у2) - кг.
В' (г,) = ~ ехр {j (л* + </’) — кгг
№3 I 1 ZZf
183
Для формирования в плоскости Р0 распределения комп-
лексных амплитуд света, соответствующего корреляцион-
ному функционалу сравнения функций г и s, в плоскости
?2 необходимо поместить транспарант с комплексной
функцией пропускания S* (сох, соу). Следует отметить, что
наличие в выражении (4.5) квадратичных экспоненциаль-
ных множителей (т. е. несоблюдение условия zi = z4=f)
не оказывает существенного влияния на работу корреля-
тора этого типа, так как для регистрации поля в плоско-
сти Р3, как правило, используют квадратичные детекторы,
измеряющие квадрат модуля выражения (4.3). Если усло-
вие zi = Zi=f не выполнено, то необходимо учитывать
увеличение оптической системы и изменение масштаба
корреляционного функционала сравнения. Как следует из
изложенного, когерентные оптические корреляторы, син-
тезированные в области пространственных частот, явля-
ются пространственно-независимыми. В них все значения
корреляционного функционала вычисляются одновремен-
но.
Сравнение двух методов синтеза когерентно-оптических
корреляторов показывает, что хотя формально оба метода
приводят к одному и тому же результату [см. (4.3) и
(4.6)], их потенциальные возможности различны. Прост-
ранственно-зависимые когерентно-оптические корреляторы
вычисляют только одно значение функционала сравнения,
соответствующее данным значениям параметров относи-
тельной трансляции х0, у0'. Увеличение числа отсчетов ана-
лизируемой функции при вычислении корреляционного
функционала сравнения увеличивает объем перебора зна-
чений параметров трансляции, что может потребовать не-
допустимо большого времени вычисления в случае исполь-
зования корреляторов такого типа в качестве канала
измерения. Пространственно-независимые когерентно-опти-
ческие корреляторы вычисляют все значения корреляци-
онного функционала сравнения одновременно. Действи-
тельно, выражение (4.6) определяется для всей области
значении хь yi, в то время как (4.3) справедливо только
для значений xi = z/i = O. Это свидетельствует о том, что
время вычислений в пространственно-независимом коге-
рентно-оптическом корреляторе не зависит от числа отсче-
тов анализируемой! функции сигнала наблюдения. Кроме
того, необходимо отметить еще одну важную особенность
пространственно-независимых когерентно-оптических кор-
реляторов. Сдвиг сигнала во входной плоскости Pi корре-
лятора приводит к пропорциональному сдвигу сигнала в
плоскости Р3, что легко можно показать. Пусть сигнал на-
184
блюдения есть функция г(х—Хо, у—уо), сдвинутая относи-
тельно начала координат входной плоскости коррелятора
в точку х0; уо. Вследствие свойства преобразования Фурье
£Г{/(х—х0)}=ехр (—j®x0)O(*)}. Это приводит к появле-
нию дополнительного линейного экспоненциального мно-
максимум корреляционного функционала сравнения при
размещении в плоскости Р2 транспаранта S(©x, <ву) будет
также сдвинут пропорционально параметрам трансляции
Х0, Уо в силу того, что
JJ ехР ЦК (аи cfo)] dudv = 8 (a, d),
где б — дельта-функция.
Таким образом, пространственно-независимый коге-
рентно-оптический коррелятор формирует корреляционное
поле функций, в то время как пространственно-зависимый
когерентно-оптический коррелятор вычисляет только одно
значение функционала сравнения.
Остановимся на особенностях некогерентных корреля-
торов, которые также могут быть пространственно-зависи-
мыми и пространственно-независимыми по отношению к
относительному смещению анализируемых функций. Для
пространственно-зависимого некогерентного оптического
коррелятора типовой является схема, изображенная на
рис. 4.4. Коррелятор состоит из двух механически переме-
щаемых транспарантов с записью анализируемой и эта-
лонной функций, освещаемых параллельным пучком света,
фокусирующей линзы Л и интегрального фотоприёмника
Рис. 4.4
13—370
185
ФЭУ. Такой коррелятор оче'нь прост по конструкции. Кро-
ме того, он может работать при различной степени коге-
рентности освещения. Поэтому такой коррелятор имеет
существенные преимущества перед пространственно-зави-
симыми когерентно-оптическими корреляторами.
Пространственно-независимый некогерентно-оптический
коррелятор, как правило, строится по схеме рис. 4.5.
В плоскости Pi располагают диффузно рассеивающий
экран, в плоскости Р2— транспарант, пропускающий свет
интенсивность которого пропорциональна г(х, у), а в пло-
скости Рз устанавливают транспарант с пропусканием,
пропорциональным s (х, у). Освещение транспарантов диф-
фузно рассеивающим экраном дает право утверждать (в
приближении геометрической оптики), что найдется по
крайней мере один луч, непараллельный оптической оси,
который пройдет через плоскости Р2 и Рз в точках с ко-
ординатами х2, У2 и х3, уз соответственно и в точке х4, уц
плоскости Pi создаст освещенность, пропорциональную
r(x2, i/2)s(x3, Уз)- Из рис. 4.5 легко видеть, что Хз =—х2 +
-^-Xid/f, у3=—y2-\-ytdlf. Тогда общая интенсивность света
| Q (х4, у^) |2 в точке х4, </4 как сумма интенсивностей всех
лучей, параллельных данному (без учета конечных разме-
ров транспарантов и линзы), будет
|.<Ж, Р
что при формальной замене переменных соответствует
квадрату модуля корреляционного фукционала сравне-
ния (4.4).
186
Рассмотренный коррелятор действительно' не зависит
от относительного смещения анализируемых функций, так
как он формирует корреляционное поле функций, а выра-
жение (4.7) существует для параллельных лучей различ-
ных направлений, проходящих через транспаранты, и опи-
сывает распределение интенсивностей по некоторой обла-
сти плоскости Р4. Основным достоинством коррелятора
этого типа является то, что он принципиально может ра-
ботать с самоизлучающими объектами. Следует отметить,
что пространственно-зависимый и пространственно-неза-
висимый некогерентно-оптические корреляторы синтези-
руются в области изображений, в отличие от когерентно-
оптических, у которых пространственно-независимые кор-
реляторы синтезируются в области пространственных ча-
стот.
Сравним функциональные возможности пространст-
венно-независимых некогерентного и когерентного оптиче-
ских корреляторов [117].
1. Когерентный коррелятор способен работать с ком-
плексными функциями и не имеет принципиальных огра-
ничений по виду обрабатываемой информации. Некоге-
рентный коррелятор является системой, линейной по ин-
тенсивности, а интенсивность как квадрат модуля ком-
плексной амплитуды всегда оценивается действительными
положительными величинами. Это обстоятельство суще-
ственно ограничивает класс передаточных функций кор-
релятора такого типа, который может синтезировать
только действительные неотрицательные функции, что во
многих задачах является недостаточным.
2. Точность вычисления корреляционного функционала
в когерентном корреляторе не зависит от дифракцион-
ных эффектов распространения света в оптической систе-
ме, которые проявляются тем больше, чем больше степень
детальности изображений. Точность работы некогерент-
ного коррелятора определяется общим числом независи-
мых отсчетов функций. При большой степени детально-
сти анализируемого изображения точность вычисления
корреляционного фукционала в некогерентном коррелято-
ре может стать недостаточной.
3. Для получения больших размеров области опреде-
ления корреляционного поля в выходной плоскости неко-
герентного коррелятора необходимо увеличивать расстоя-
ние d между транспарантами анализируемых функций,
но при этом увеличиваются эффекты виньетирования
транспарантов линзой Л. При решении ряда задач необ-
ходимо повысить чувствительность при измерении коор-
187
Рис. 4.6
динат так, чтобы малым смещениям анализируемых
функций соответствовали значительные смещения положе-
ния максимума корреляционного фукционала. Для этого
необходимо уменьшать расстояние d. Указанное противо-
речие значительно ограничивает круг задач, решаемых
с применением корреляторов этого типа по сравнению с
когерентными корреляторами.
4. Когерентный коррелятор, синтезированный в обла-
сти пространственных частот, имеет ряд преимуществ по
сравнению с некогерентным коррелятором. Главное пре-
имущество состоит в том, что в когерентном корреляторе
можно с большей гибкостью и простотой формировать
фильтры с заданными передаточными переходными харак-
теристиками. Это обстоятельство является особенно важ-
ным, когда необходимо решить задачу оптимального об-
наружения сигналов на фоне неоднородных шумов. Кроме
того, требование обработки больших массивов информа-
ции приводит к необходимости многоканальной обработ-
ки, которую в когерентных корреляторах реализовать
значительно легче, чем в некогерентных.
Таким образом, общую классйфикацию оптических
корреляторов можно проиллюстрировать схемой рис. 4.6.
Ясно, что каждый из рассмотренных типов оптических
корреляторов имеет множество схемно-конструкторских
вариантов исполнения. Однако все они являются производ-
ными от рассмотренных принципиальных схем построения
корреляторов того или иного типа.
4.3. Схемы построения оптических координаторов в КЭСН
Проанализируем возможность использования рассмот-
ренных корреляторов для реализации ' корреляционных
188
координаторов в корреляционно-экстремальных системах
навигации для случая четырехпараметрического преобра-
зевания изображения анализируемого сигнала наблюде-
ния, т. е. в системах, структура которых определяется
уравнениями (4.1).
На рис. 4.7 изображена типовая схема корреляционного координа-
тора на базе пространственно-зависимого некогерентного коррелятора
[118]. Сигнал наблюдения, формируемый в плоскости Р, проецируется
объективом О на фотопленку Ф, на которой заранее зарегистрированы
изображения объекта наблюдения (ЭИ). Для одинаковых масштабов
анализируемых изображений их совмещение осуществляется измене-
нием параметров трансляции пленки ДХ*, ДХг и поворотом пленки на
угол Дф. Продольное и боковое смещение пленки производится элек-
тродвигателями Ml и М2. Для поворота пленки служит двигатель М3.
Для отыскания экстремума корреляционного функционала, формируе-
мого в плоскости ФЭУ конденсором /(, на двигатели вместе с управ-
ляющими сигналами поступают сигналы колебания бб/ц 6U?, 6U3.
Если анализируемые изображения имеют одинаковое значение контра-
ста (оба позитивные или оба негативные), то при их полном совпаде-
нии ФЭУ регистрирует максимальный световой поток. Если анализи-
руемые изображения имеют разное значение контраста, то их
совмещению соответствует минимальный световой поток и минимальный
сигнал ФЭУ.
Поиск экстремума в процессе перебора всех значений параметров
Д?.х, tiky, Дф является сложной технической задачей, которая услож-
няется еще больше, если необходимо учесть изменение масштабов ана-
лизируемых изображений. Кроме того, сигнал ФЭУ может иметь не
только главный экстремум, но несколько ложных экстремумов, и пере-
бор параметров преобразований может потребовать недопустимо боль-
шого времени вычисления. Поэтому использование пространственно-
зависимого корреляционного координатора в корреляционно-экстре-
мальных системах навигации является проблематичным и возможности
его практического применения весьма ограничены.
Ppc. 4.7
189
Быстродействие коордииататора может быть повышено, если его
строить на базе пространственно-независимого коррелятора, вычисляю-
щего корреляционный функционал сравнения для всего множества
аргументов подынтегральных функций.
Пространственно-иезавнсимые некогерентные корреляторы ввиду
простоты реализации целесообразно применять в координаторах КЭСН,
работающей в установившемся режиме, т. е. при неизменяемых параме-
трах преобразования анализируемых изображений (например, при ста-
билизированном полете на заданной высоте и малой степени их деталь-
ности). Если в процессе работы измерителя координатору необходимо
реагировать на поворот сложного изображения в плоскости наблюде-
ния и изменение его масштаба, то использование даже многоканально-
го пространственно-независимого иекогерентиого коррелятора может
оказаться недостаточным для обеспечения необходимой чувствительно-
сти и надежности определения координат объекта наблюдения в силу
недостатков корреляторов такого типа, указанных выше. Кроме того,
техническая реализация такой многоканальной системы сопряжена
с большими трудностями. В первую очередь это касается изготовления
многоканальной маскн разномасштабных ЭИ.
Следует также отметить, что в такой координатор трудно внести
коррективы, связанные с изменением помеховой ситуации, свойствен-
ной задаче распознавания объекта наблюдения на фоне неоднородных
помех. При анализе изображения большой степени детальности необхо-
димую точность измерения координат при изменении четырех парамет-
ров геометрического преобразования сигнала наблюдения может обес-
печить координатор, построенный иа базе когерентного пространственно-
независимого коррелятора. Как было показано выше, для формирования
в плоскости Рз (см. рис, 4.5) распределения интенсивностей света, про-
порционального квадрату модуля корреляционного функционала сравне-
ния в спектральной плоскости Рг, необходимо поместить транспарант
с комплексной модуляционной характеристикой (функцией пропуска-
ния), равной комплексно-сопряженному спектру Фурье 5*(ш.;, ю^)
изображения объекта наблюдения. В этом случае схему двойного
фурье-преобразования можно рассматривать как схему оптической про-
странственной фильтрации, которая, как известно, заключается в изме-
нении спектра пространственных частот некоторого распределения
в соответствии с заданной модуляционной характеристикой простран-
ственного фильтра. Пространственным фильтром в общем случае назы-
вается некоторый оптический элемент, помещенный в спектральную
плоскость Ра коррелятора. Пространственные фильтры описываются
комплексной модуляционной характеристикой. Это означает, что они
могут преобразовывать как амплитуду, так и фазу спектра сигнала.
Если преобразуется только амплитуда спектра, то говорят об
амплитудном пространственном фильтре; если преобразуется только
фаза спектра, то говорят о фазовом пространственном фильтре. Изго-
товление пространственных фильтров, управляющих одновременно
амплитудой и фазой анализируемого сигнала традиционным способом,
представляет собой весьма сложную техническую задачу. Поэтому для
синтезирования пространственных фильтров с требуемой модуляцион-
ной характеристикой используют методы оптической голографии.
\ Кратко остановимся на процессе формирования голографических
пространственных фильтров. На рис. 4.8 изображена одна из возмож-
ных голографических схем получения пространственного фильтра по ме-
тоду Ван дер Люгта. На фотопленке 4 регистрируется картина интер-
ференции плоской наклонной опорной световой волны аехр (—]2лао),
где a=sin 0/Л, созданной призмой 5, н объектной волны ш»),
где
190
I S(wx, Шу) = J J 5 (x, у) exp [ — j (шхх + cOyi/)] dxdy. (4.7)
—oo
. сформированной собирающей линзой 3 с фокпусным расстоянием f.
I Лииза осуществляет преобразование Фурье сигнала от объекта наблю-
I дения S(x, у), записанного на транспаранте 2, освещенного плоской
I световой волной 1.
' Фотопластинка фиксирует интеисивиость суммарной световой вол-
ны. После проявления фотопластинка представляет собой голограмму
фурье-изображепия объекта наблюдения с модуляционной характери-
! стикой, описываемой выражением вида
I
' Т(шх, ш,)^) (Xf)-1S(<Ox, (щ) ехр (—]2лсщ) |2=
: =l + (Xf)-2| (S((Bx, шу) |2+(Xf)_|S((Bz, <о!/)ехр(]2лац) +
-]-(Xf)_!S*((Bx, (щ)ехр (—]2лсш). (4.8)
{ Полученная голограмма представляет собой голографический простран-
’ ственный частотный фильтр, который устанавливается в спектральную
* плоскость Р2 коррелятора. Если этот фильтр осветить плоской волной,
то после прохождения фильтра как дифракционной решетки эта волна
разделится на три пучка света, обозначаемых как минус первый, нуле-
вой и плюс первый порядок дифракции. Первый из них распространяет-
, ся в направлении (%/)-!S((Bx, Шу) ехр (j2jrav), второй, педифрагируе-
мый пропорционален слагаемому 1—|—(Xf)—21S (<Ол-, шу) |2 модуляционной
) характеристики (4.8), третий пучок распространяется в направелипи
(Х()~'8*(шх, Шу) ехр (—j&tao). Следовательно, в направлениях первого
и плюс первого порядков дифракции голограмма работает как фильтр
с модуляционными характеристиками S (шх, шу) и 8* (шх, шу) соответ-
ственно.
Предположим, что голографический фильтр с модуляционной ха-
рактеристикой (4.8) используется для некоторого входного сигнала
5(х, у), расположеииого в плоскости Pi коррелятора. После второго
> фурье-преобразования, осуществляемого линзой Л2 (рис. 4.3) в пло-
1 скости Р3 в первом и плюс первом порядках дифракции, получим сле-
f дующие распределения световых полей (с точностью до постоянного
4 фазового множителя):
оо
г_г (xn yt) = J J s (cox, шу) S (шх, Шу) ехр [ — j {шхУ1 + ши (Х1 — '
V —со
191
— aXf)}]doxdoy = s( —xlt — i/i)>|<s(-Xi, — yi)*
>f< 8 ( — 9i, — *! +a\);
°° (4-9)
r+i (*i. Ю = J J S* (“x, (oy) S (шх, Wy) exp [ — j {coxi/i +
—00
+ “4,(x1+aXf)}]dwxdwi/ = s(—хи —ух) ®s ( —Xv — y^
4: 8 (—Уи — ®*f),
где знаки ® и >|< означают операции корреляции и свертки соответ-
ственно.
Таким образом,, в плюс первом порядке дифракции будет локали-
зовано распределение комплексных амплитуд света, пропорциональное
корреляционному функционалу сравнения анализируемых изображений.
При достаточной величине aXf дифракционные порядки не перекрыва-
ются. Физически распределение света в плоскости Рз, соответствующее
выражению (4.9), будет представлять собой яркую светящуюся точку.
Назовем это распределение корреляционным откликом. Легко можно
показать, что пространственный фильтр с модуляционной характеристи-
кой S* (<лх, и>у) является фильтром, согласованным с распознаваемым сиг-
налом. Согласованная пространственная фильтрация дает возможность
решать задачи, связанные с проблемой распознавания. Это объясняет-.
ся._тем, что согласованный фильтр является определяющей составной
частью оптимального фильтра, осуществляющего линейную фильтрацию,
т. е. устройства, которое принимает решение о наличии или отсутствии
изображения объекта наблюдения s(x, у) в анализируемом сигнале
наблюдения г(х, у).
Предположим, что в плоскости наблюдения коррелятора преобра-
зующим устройством сформирован сигнал наблюдения г(х, у), состоя-
щий из смеси (для простоты предположим суммы) различных сигналов:
k
г (X, y)=S (X, у) + S П[ (X, у),
1=1
где s(x, у)—сигнал объекта наблюдения, П/(х, у)—мешающие
сигналы.
Будем считать, что спектр 5(юл:, (oy)=&~{s(x, у)} отличается от
спектров мешающих сигналов ^(сох, (Оу) =^‘{н<(х, //)}. Тогда после
прохождения согласованного фильтра с модуляционной характеристи-
кой Т((ох, (oy)—S*((ox, а>у) спектр сигнала г(х, у) имеет вид
Fi (ых, (Оу) = S {(ох, (оу) Т ((ох, (Оу) = I S (шх, (Оу) | 2 +
А
' Ni((ox,(Oy)S*((ox,(Oy). (4.10)
;=i
Волновой фронт светового поля |5(<0л:, <0(,)|2 является плоским, так
как соответствует постоянной фазе по плоскости Pi. Плоская волна
фокусируется линзой Л2 в точку на корреляционном поле корреляте-
k
ра Р3. Слагаемое 2 Л'; {(ох, (Оу) S* ((ох, (оу) выражения
i=i
(4.10) описывает неплоскую волну и в плоскости Рз формирует неко-
торое «размытое» изображение.
192
г'
Пврядвк
dUippUKHULl
Рис. 4.9
Рассмотрим возможные оптические схемы оптико-электронных ко-
ординаторов с голографическим фильтром. На рис. 4.9 показана схема
простейшего голографического координатора [119]. Транспарант 3, на
котором преобразующим устройством записан сигнал наблюдения, осве-
щаете^ плоским пучком монохроматического излучения лазера 1, сфор-
мированным коллимирующим объективом 2. В спектральной плоскости
фурье=анализатора 4 расположен голографический согласованней
фильтр 5, который своей модуляционной характеристикой «маскирует»
пространственно-частотный спектр сигнала наблюдения. Корреляционное
поле формируется в плюс первом дифракционном порядке в выходной
плоскости коррелятора фурье-анализатором 6. Координаты наиболее
яркой точки на корреляционном поле однозначно определяют парамет-
ры трансляции сравниваемых изображений. Оптическая схема, изобра-
женная на рис. 4.9, была положена в основу координатора для управ-
ления движением ЛА, разработанного во Франции [120]. Этот коорди-
натор позволяет контролировать три параметра возмущений — пара-
метры трансляции Хх, %,, и параметр поворота ф — и определяет, как
должен переместиться ЛА по командам системы управления, чтобы изо-
бражение участка местности, наблюдаемое в данный момент временя,
совместилось с соответствующим эталонным участком плана полета.
При этом предполагаетси, что ЛА может перемещаться параллельно
самому себе по вектору трансляции Т и поворачиваться по углу рыска-
ния <р (рис. 4.10). Составляющие вектора Т могут быть определены по
параметрам трансляции изображения и а угол — по параметру
поворота ф.
На рис. 4.11 изображена схема координатора со считывающей
ТВ-камерой и двигателем М, осуществляющим поворот голографиче-
ского фильтра ГФ вокруг оптической оси. Телекамера анализирует кор-
реляционное поле и вырабатывает сигналы на управление двигателем,
поворачивающим фильтр на угол Аф, при котором корреляционный
функционал сравнения будет принимать максимальное значение. Пара-
метры трансляции Ах, Ai/ определяются измерением координат макси-
мума корреляционного функционала построчным анализом видеоусили-
теля ТВ-камеры. При этом относительная точность измерения парал-
лельного перемещения ЛА составила 1 %, а погрешность в определении
угла рыскания — около 2° [119—121].
В качестве преобразователей информации, формирующих ТИ в пло-
скости наблюдения координатора, могут быть использованы простран-
ственно-временные модуляторы света (ПВМС), в которых применяются
193
высокочувствительные реверсивные среды для записи оптической
информации. Их действие состоит в управляемом локальном изменении
оптических характеристик среды, пропускающей (отражающей) свето-
вое излучение, под действием электрических или оптических сигналов.
Анализируя условия решаемой задачи, можно определить материал
с требуемыми значениями плотности энергий записи и разрешения. Вы-
бор того или иного регистрирующего материала является важным мо-
ментом при динамической регистрации голографических фильтров в ре-
альном масштабе времени для адаптивных систем распознавания обра-
зов. В таких системах требуется применение высокоразрешающих ре-
версивных сред без самопроизвольного стирания в процессе считывания
информации. В качестве материала, удовлетворяющего этим требова-
ниям, могут быть использованы термопластические слои [122].
Для автономной навигации ЛА разработай корреляционный коор-
динатор (рис. 4.12) [119, 120]. При полете ЛА заранее известно накло-
нение его орбиты. Поэтому параметр ф остается неизменным и изме-
ряются только параметры трансляции. В состав координатора входят:
телеобъектив 1 для формирования ТИ местности в плоскости наблю-
дения, фурье-аиализаторы 2 и 4, коллимирующая линза 3, ТВ-камера 5,
лазер б; блок управления 7; считывающее устройство 8, голографиче-
ский фильтр 9; магазин голографических фильтров 10, система зеркал
11, регистрирующая среда для записи изображений 12, подвижное зер-
кало 13.
Система неподвижных зеркал 11 служит для уменьшения габарит-
ных размеров координатора. Подвижное зеркало 13 для сопряжения
Рис. 4.11
194
задней фокальной плоскости телеобъектива с входной плоскостью кор-
релятора. Прн записи изображения местности на ПВМС зеркало 13
находится в положении, показанном на рис. 4.12. При распознавании
и определении координат ориентиров зеркало откидывается.
Отклонения движения ЛА от желаемой траектории по высоте мо-
гут корректироваться пробными изменениями масштаба анализируемых
изображений с помощью объектива с переменным фокусом или изме-
нением фокусировки коррелятора за счет механического перемещения
его оптических элементов.
Реализация алгоритма оптимального оценивания в навигационной
вистеме может быть осуществлена рядом схемных решений на основе
одной структурной схемы. В пределах объема данной книги вряд ли
удастся рассмотреть их в достаточно полной мере. Однако в подходе
к построению конкретных схем существует много аспектов. В связи
с этим целесообразно рассмотреть некоторые вопросы построения опти-
ческого корреляционно-экстремального блока системы навигации на
примере голографического координатора.
4.4. Некоторые вопросы построения голографического
координатора
Известно [16], что алгоритм линейного оптимального
приема, лежащий в основе принципа распознавания обра-
за, состоит в вычислении отношения правдоподобия — от-
ношения условных плотностей вероятности реализаций,
содержащих смесь сигнала объекта наблюдения с поме-
хой и помеху соответственно — и сравнении полученной
величины с пороговым уровнем, выбираемым методами об-
щей теории статистических решений. Можно показать
[123], что при гауссовском распределении вектора помех
195
и сигналов от объекта наблюдения (что часто имеет ме-
сто в задачах навигации) отношение правдоподобия яв-
ляется монотонной функцией корреляционного функциона-
ла сравнения анализируемых изображений и алгоритм
работы голографического коррелятора хорошо согласует-
ся с алгоритмом линейного оптимального приема.
Очевидно, что построение координатора как системы
следует начать с выбора показателя качества, по измене-
нию которого можно судить о качестве измерителя в це-
лом. За показатель качества координатора примем ска-
лярную величину — вероятность правильного распознава-
ния Ррасп. В общем случае показатель качества системы
может быть и векторной величиной, составляющие кото-
рой являются характеристиками, выбираемыми из выход-
ных параметров системы, которые связаны с ее качест-
вом строго монотонной зависимостью — чем больше
(меньше) значение этих числовых характеристик, тем
лучше система при прочих равных условиях [124].
Из теории статистических решений известно, что отно-
шение квадрата максимального значения сигнала на вы-
ходе оптимального фильтра к дисперсии шума однознач-
но определяет (при гауссовском законе распределения
помехи) как вероятность распознавания РраСп, так и ве-
роятность ложной тревоги Рлт [16]. Примем основным по-
казателем достоверности опознавания сигнала от объекта
наблюдения отношение сигнал-помеха в выходной плоско-
сти коррелятора, т. е. отношение максимальной амплитуды
распределения интенсивностей света, соответствующего
автокорреляционному функционалу сравнения (когда сиг-
нал наблюдения равен эталонному сигналу от объекта
наблюдения, записанному на фильтре), к максимальной
амплитуде наибольшего из ложных корреляционных от-
кликов на корреляционном поле коррелятора. Очевидно,
что структура изображения участка местности, просмат-
риваемого устройством ввода информации (УВИ) и сфор-
мированная ПВМС в плоскости наблюдения измерителя,
существенно влияет на величину отношения сигнал-поме-
ха. Вследствие этого, при построении координатора необ-
ходимы целенаправленные экспериментальные исследова-
ния, проводимые в помеховой обстановке, свойственной
решаемой задаче. Другими словами, для надежной рабо-
ты координатора в его память (голографический согласо-
ванный фильтр) должны быть заложены ЭИ участков
местности, соответствующие желаемой траектории полета
ЛА.
Выбор поля зрения УВИ определяется из следующих
196
условий. Для надежного распознавания объекта наблюде-
ния необходимо, чтобы при значениях реальных дально-
стей реализуемых условий навигации в поле зрения УВИ
находилось не менее 20 %, площади изображения объекта
наблюдения. Это объясняется тем, что интенсивность све-
чения корреляционного отклика на корреляционном поле
зависит от площади анализируемого изображения нели-
нейно [Н9]. Как было показано ранее, параллельному
сдвигу изображения объекта наблюдения во входной пло-
скости координатора с точностью до масштабного коэф-
фициента соответствует такой же сдвиг корреляционного
отклика постоянной интенсивности на корреляционном
поле координатора (рис. 4.13). На величину интенсивно-
сти света, пропорциональную корреляционному функцио-
налу сравнения, влияет изменение параметров преобразо-
ваний р и ф. На рисунках 4.14,а, б изображены типовые
экспериментальные зависимости корреляционного откли-
ка | г+112 (что однозначно определяет отношение сигнал-
помеха) в выходной плоскости коррелятора от парамет-
ров риф. Методами общей теории статистических реше-
ний может быть выбрано минимально допустимое
отношение сигнал-помеха, которое определит допустимые
отклонения параметров геометрических преобразований Др
и Aip сигнала от объекта наблюдения, при которых коор-
динатор будет работать устойчиво.
На практике удобно пользоваться критерием Нейма-
на— Пирсона [ИЗ], согласно которому задается допу-
стимое значение условной вероятности ложных тревог
Рлт, а условная вероятность пропуска Рпр при этом мини-
мизируется выбором алгоритма (в нашем случае гологра-
фической фильтрацией).
197
Вероятности Рл? и Рпр вычисляются 'по известным ин-
тегралам вероятности с различными пределами интегри-
рования:
X
где х и р представляют собой пороговый уровень в блоке
принятия решения и отношение сигнал-помеха соответст-
венно. Например, задавая РЛт^Ю“’, определяем, что по-
роговый уровень, соответствующий этому значению, дол-
жен лежать в пределах 5,13...5,20. Рассчитывая условную
вероятность пропуска, определяем, что Рпр достигает 10-5
при значениях р около 10.
Таким образом, если по условиям навигации ЛА из-
менения параметров геометрического преобразования изо-
бражения объекта наблюдения будут больше допустимых
отклонений Др и Д-ф, то необходима многоканальная об-
работка сигнала наблюдения, так как применение элек-
трического или механического двигателя для поворота
голографического фильтра и изменение фокусировки кор-
релятора для получения разномасштабных пространст-
венно-частотных спектров сигнала наблюдения приводит
к большим сложностям реализации механических пере-
мещений оптических элементов и их юстировки. Эти спо-
собы также не позволяют выполнить операцию фильтра-
ции в «реальном» масштабе времени.
Для реализации параллельной многоканальной обра-
ботки сигнала наблюдения необходимо применение муль-
типликатора — устройства для одновременного получения
198
»
')
к
Рис. 4.1$
т одинаковых изображений объекта наблюдения или его
пространственно-частотных спектров (т — необходимое
число ЭИ) и многоканального голографического фильтра.
На рис. 4.15 изображена одна из возможных схем миогоканально-
;; го голографического координатора, в котором функцию мультипликато-
к ра выполняет голограмма точечных источников света ТГ, запись и счи-
. тывание которой осуществляется по схемам рис. 4.16,а, б. В спектраль-
4 ной плоскости координатора помещена матрица голографических со-
J гласованных фильтров МФ. Считывание корреляционных откликов мо-
жет быть осуществлено различными способами. При использовании не-
подвижной матрицы фотоприемников число элементов матрицы опре-
деляется необходимым числом эталонных изображений, записанных на
фильтре. Также возможно применение телевизионной камеры с блоком
анализа видеосигнала. Решение о наличии изображения участка мест-
Рис. 4.16
199
ности в поле зрения УВИ принимается по превышению видеосигналом
заранее установленного уровня..
Перспективным, на наш взгляд, является использование
методов получения корреляционных откликов произвольной
формы [117], что упрощает считывание информации в кор-
реляционной плоскости методами телевизионной автомати-
ки. Следует отметить, что порог сравнения устройства, счи*
тывающего корреляционные отклики, должен выбираться
с учетом энергетических свойств входного сигнала от объ-
екта наблюдения и функции, описывающей этот сигнал.
При условии нормирования и центрирования сравниваемых
сигналов (при взаимном приведении средней яркости и
диапазона контрастов изображений) может быть обеспечен
ностоянный порог сравнения. Для обеспечения центриро-
вания и нормирования корреляционного функционала тре-
буется создать дополнительный канал, осуществляющий
измерение энергии света, прошедшего через УВИ, и авто-
матическую установку порога сравнения.
Следовательно, многоканальный голографический коор-
динатор представляет собой систему, чувствительную к из-
менению геометрических параметров сигнала от объекта
наблюдения Хх, ку, р, ф в поле зрения УВИ. Это позволит
преобразующему устройству (ПУ) сформировать вектор
задающего воздействия UB[77x*, 77^, Uf, 77ф] для систем
автоматического управления. В общем случае при /п-крат-
ной записи ЭИ местности на голографическом фильтре со-
вокупность возможных значений выходных реакций много-
канального коррелятора можно представить матрицей:
S*1 S*2 • • • S*k • Q • m
•S1 Гц r ia . . . rik . • • f 1m
2 r21 r 22 r2k . • Г zm
Г/Л fk2 fkk rkm
Г ГП2
Г mk r тт
где Sk=Sk(x, у) — сигнал объекта наблюдения; х, у — ко-
ординаты в плоскости наблюдения; s*ft=s*fc(u, о) — сиг-
нал на голографическом фильтре; k=\, 2, ..., /п; г^=
=Aj(xh z/i) *Sj(xi, jfi), Xi, y\ — координаты в
выходной плоскости коррелятора, 7=1, 2, ..., m; /=1, 2, ...
200
•.т. Если сигналы коррелированы, то при поступлении
на вход сигнала Sk(x, у) выходная реакция
tn— 1
г/1) = /'Ай(«> Ух) +2 У У' i^k’
i=i
s т. е. содержит т2 распределений интенсивности света.
t В зависимости от степени корреляции это может приве-
сти к неоднозначности распознавания. Исключить корреля-
ционную связь сигналов можно выбором соответствующих
порогов срабатывания. Практически этими связями в зада-
чах навигации часто можно пренебречь. В этом случае ма-
». трица корреляции принимает вид
Si* . • *k* г»
«1 Гц 0 . 0 . . 0
sa 0 Г 22 • • • 0 . . 0
Sk 0 0 . rkk . . 0
%, О О
о ... о
и r(xb r/i)=rftA(xi, i/i); k=\, 2, ..., т. Таким образом, при
построении координатора на базе пространственно незави-
симого когерентного коррелятора, работающего в заданной
диапазоне изменений параметров геометрических преобра-
зований анализируемых изображений, необходимо приме-
нять многоканальную обработку (параллельную или после-
довательную) сигнала наблюдения либо использовать до-
1 полнителные устройства для механического перемещения
* оптических элементов. Но, как было отмечено ранее, меха-
нические перемещения усложняют юстировку оптической
системы, а многоканальная обработка приводит к большой
емкости голографического фильтра, что в конечном итоге
усложняет технологию его изготовления.
Д;.- В плане решения задачи обеспечения инвариантности
р голографического коррелятора к аффинным преобразова-
J ниим сигнала наблюдения (изменениям параметров р и ф)
। интерес представляет использование методов пространст-
। венно-зависимой фильтрации, которые дают возможность
определять параметры аффинных геометрических преобра-
зований сигнала от объекта наблюдения по положению
корреляционного отклика. Операцию пространственно-за-
висимой фильтрации можно разложить на последователь-
14—370 201
ность преобразований координат сигнала и операцию ли-
нейной пространственно-независимой фильтрации. Рас-
смотрим методы пространственно-зависимой фильтрации и
преобразований координат сигналов, позволяющие реали-
зовать пространственно-зависимый когерентно-оптический
процессор (КОП) по отношению к изменению угла поворо-
та и масштаба сигнала от объекта наблюдения. Известно
[116, 125], что класс интегральных преобразований Фурье
включает в себя пары преобразований Фурье, Ганкеля,
Лапласа и Меллина. Из всех свойств, которыми обладают
эти преобразования, для решения задачи уменьшения мас-
штабной избирательности КОП интерес представляет свой-
ство инвариантности преобразований Меллина к измене-
нию масштаба сигнала. Рассмотрим это свойство более по-
дробно.
Пара двумерных преобразований Меллина функции
г(х, у) по мнимой оси может быть определена как
' М (К, 14) = j j Г (х, у) у~1и>и~' dxdy;
О
(4.11).
ЛГ‘{М(К, 4)} = г(х, 1/) =
00
= iwy)xim4/aydwxd<»y,
где (ох, ©у — координаты в плоскости изображения спек-
тра. Для простоты обозначим M{f(x, у)}=М(тх, av).
Пусть М\ (®х, ©у) — преобразование Меллин^ сигнала
3](х, у), а М2(©х, ©у) — сигнала s2(x, y)=si(ax, ay).
Покажем, что модуль спектра Меллина сигналов
S] (х, у) и s2(x, у) одинаков. Согласно (4.11) определим
М2 (-©х, ©у):
Ма (<ох, Ю{,) = Jj s. (ах, ау) х~^>г' у-'^у-' dxdy, (4.12)
О
где а — любое вещественное неотрицательное число. Сде-
лаем в (4.12) замену переменных, обозначив ах—и, ay—v.
Тогда
СО — ]<0 — 1 . -
M2(o\, <%)= a1 ia’x+Wyl JJs^a, v)u v 1 ' dudv. (4.13)
0
202
Нетрудно видеть, что с точностью до фазового множителя
а ( x+<“i/) правая часть выражения (4.13) представляет
собой преобразование Меллина неискаженной функции
Si(u, и). Следовательно,
< (<о 4-<о )
М2(шх, <Оу) — а х у М.(шх, «o^expljX^H-^) X
шу)
и
•|M2(<UX, Шу) | = | Mt (шх, <^)|.
Преобразование Меллина можно осуществить путем лога-
рифмического преобразования координат сигнала и после-
дующим преобразованием Фурье этого искаженного сиг-
нала. Действительно, (4.11) можно переписать, используя
определение общей комплексной степенной функции:
00
^)==Jj г[ехр(1пх), ехр(1пу)]Х
X ехр [(—j®x — 1) In х] ехр [(—j”» — 1) In И dxdy =
00
= JJ/• [ехр (In г), ехр (In у)] ехр [(—j®x— l)lnx] X
Хехр [(—jo^— l)lnt/]exp(lnx)exp(lny)d(lnx)d(lny) =
00
r(expx, evp"f)exp(—jo\x)exp(—joy^dxdf,
—00
где x=ln x, y=ln у. Полученное выражение представляет
собой преобразование Фурье функции г (ехр х, ехр у). Ана-
логично можно показать связь обратных преобразований
Меллина и Фурье.
Рассмотрим один из возможных вариантов построения и алгоритм
работы голографического коррелятора, инвариантного (в смысле интен-
сивности корреляционного отклика) к изменению масштаба сигнала от
объекта наблюдения. Принципиальная схема такой системы (рис. 4.17)
представляет собой обычную схему пространственной фильтрации, в ко-
торой реализуется алгоритм линейного оптимального приема. В плоско-
сти Pi расположен сигнал от объекта наблюдения st (ехр х, ехр у),
полученный логарифмическими преобразованиями координат сигнала
$i(x, у). Линза Л, осуществляет оптическое преобразование Фурье,
формируя в плоскости Р2 спектр Меллина функции Sijexpx, expy).
В плоскости Р2 расположен голографический согласованный фильтр
Меллина шу), синтезированный по методу Ван дер Люгта для
сигналов s2(expx, expy) с логарифмически преобразованными коорди-
натами.
14*
203
I»
Интересующая нас корреляционная составляющая распределения
света Мг на выходе голограммы фильтра'имеет вид (с точностью до
постоянного множителя)
Мг(ах, <Oj,)=Atsi(ci)x, И(,)Л4я*(Их, w,,) ехр [—]{<0х1пр-р
-Н°в (In p-J-fi sin 0)}], (4.14)
где 0—угол наклона опорного луча при регистрации согласованного
фильтра, fi — фокусное расстояние формирующей линзы.
Корреляционный отклик системы в плоскости Р3, формируемый
линзой Л? как обратное преобразование Фурье выражения (4.14), будет
г+|(Х1, yt)=si (ехр X, expy)®Si:(expx, expy) j^8(— х,—Kf lnp,
—У —Kf In P— fi sin 0),
где Kt=ft/fi.
Таким образом, изменение масштабных соотношений анализируе-
мых сигналов определяет в корреляционной плоскости Р3 некоторое
геометрическое место точек корреляционного отклика — след корреля-
ционного' отклика. Отклик голографического КОП при а=1 назовем
центром следа корреляционного отклика системы (рис. 4.18), Следует
отметить, что модуль преобразования Меллина, инвариантный к изме-
нению масштаба сигнала, неинвариантен к сдвигу этой функции, т. е.
|A4{s(x, у)} |=£|.M{s(x—хо, у—Уо)}|, где х0, у0 — любые вещественные
числа.
Этот недостаток можно устранить, если на вход КОП подавать
модуль преобразования Фурье сигнала от объекта наблюдения
;jp{s(x, у)} |. На рис. 4.19 изображена функциональная схема гологра-
Рис. 4.18
фического КОП, инвариантного к изме-
нению масштаба и положения сигнала
Sl(x, у).
Надо отметить, что преобразование
Меллина в чисто оптической форме по-
лучить трудно из-за его нелинейности.
Реализовать его в реальном масштабе
времени можно, во-первых, если во
входной плоскости Р, процессора рас-
положить ПВМС, преобразующий неко-
герентное изображение на экране ЭЛТ
с яркостным отображением информации
204
Рис. 4.19
(логарифмическим законом развертки) в когерентное. Во-вторых, реа-
лизация преобразования Меллина в оптической форме может быть осу-
ществлена при использовании голограмм, синтезированных на ЭВМ,
при размещении вплотную к транспаранту с исследуемым сигналом.
Рассмотрим реализацию в КОП пространственно-зави-
симой фильтрации, инвариантной к ориентации сигнала от
объекта наблюдения, находящегося в поле зрения УВИ.
Было показано, что модуль преобразования Фурье сиг-
нала не зависит от трансляции анализируемого изображе-
ния и корреляционный отклик КОП однозначно определя-
ется параметрами сдвига.
Пусть функция s2(x, у) получена поворотом функции
S](x, у) на угол фо вокруг оптической оси системы. С по-'
мощью полярного преобразования координат ,р°=]/хгЦ- у2,
i|?=arctg (ylx), преобразуем функции Si, s2 в функции
s'i (р°, ф) и s'2(p°, ф), превратив, таким образом, поворот
на угол фо в сдвиг. Однако этот сдвиг не будет одинаковым
для всех составляющих сигнала. Обозначим составляющую
$! (х, у),, расположенную в интервале (0,2л—фо), через
5п(х, у), а в интервале (2л—фо, 2л)—sI2(x, у). Функция
s2(x, у), полученная поворотом Si(x, у) на угол фо, также
имеет две составляющие. Сдвиг составляющих сигнала
s'2(p°, ф) можно выразить через составляющие s'^p0, ф).
Очевидно, что
s'2(р°, ф)=х'12(р°, ф—фо)+«/п(р°, ф+2л—фо). (4.15)
Определим реакцию системы на сигнал s'2(p°, ф), поместив
в спектральную плоскость фильтр с передаточной функци-
ей S'*i(cop , со*) =Л*{5'1 (р°, ф)}. На выходе фильтра корре-
ляционная составляющая с учетом (4.15) имеет вид
Иг(о>рО, ®q,)’==S2'l(<Opo, Шф)51 (Иро, <0ф) = SI2(<DpO, Шф)Х
Хехр(—j«v[>e)Si'(<Opo, Шф)(<Upo, ®ф)Х
X extf[j«4 (2it — ф0)] S? (шро, ®ф).
205
Реакция системы как преобразование Фурье корреляцион-
ной составляющей может быть представлена в виде
Мр°> i|))=s/i2(p°, ф)0 s'i(p°, ф)^б(ф—фо) +
-4-s/II(p°, ф) s'i(р°, ф) (ф + 2тг—фо)-
Она имеет два максимума, разнесенных на расстояние 2л
в корреляционной плоскости. Положение корреляционных
максимумов пропорционально углу поворота фо. Сумма
этих максимумов равна
«г(Р% Ф) = «1'2(р°, Ф)®«1'(Р°. Ф)+*11(Р°- Ф)Ф
(р°> Ф) = «/ (р°. Ф)0«Л(р°. Ф)>
что соответствует корреляционной функции сигнала s'^x,
у) в отсутствие поворота. Суммирование можно реализо-
вать шпомощью фиксированной пары приемников, разнесен-
ных на расстояние ф=2л.
Комбинируя полярное преобразование координат и пре-
образование Меллина сигналов от объекта наблюдения,
можно по положению корреляционного отклика на корре-
ляционном поле КОП определить величину изменения па-
раметров аффинных преобразований сигналов. Это даст
возможность (используя позиционно-чувствительные при-
емники) сформировать сигналы рассогласования и пелен-
гационные характеристики идеального безынерционного
преобразующего устройства (ПУ) координатора p = p(Uxi,
Цд) (рис. 4.20) изменения масштаба сигнала (а следова-
тельно, и дальности до объекта наблюдения) и ф=ф(С,щ)
изменения угловой ориентации сигнала по отношению к
сигналу на фильтре (рис. 4.21). Построенная по такому ал-
горитму система является пространственно-зависимой, т. е.
требует центрирования входных функций. Этот недостаток
можно устранить полярно-логарифмически преобразовы-
«
206
вая координаты не самих сиг-
налов, а их фурье-спектров.
Однако при этом координатор
становится нечувствительным
к трансляции сигнала. Следо-
вательно, для работы голо-
графического координатора по
площади, соответствующей
всему полю зрения УВИ, оп-
ределяемому из условия за-
хвата координатором участ-
ка местности на заданной
Рис. 4.22
дальности, необходима многоканальная обработка, кото-
рая позволит сформировать сигнал рассогласования и пе-
ленгационную характеристику ПУ-изменения параметров
трансляции сигнала от объекта наблюдения Хж, в поле
зрения координатора (рис. 4.22). При этом каждому ка-
налу обработки будут соответствовать частично перекры-
вающиеся элементарные поля зрения. С учетом рассмот-
ренных возможных схем реализации пространственно-за-
висимой фильтрации оптическая схема канала голографи-
ческого координатора будет включать в себя устройство,
преобразующее входной центрированный сигнал от объек-
та наблюдения Si(x, у) в сигнал Si(expr, ф), линзы пря-
мого Л\ и обратного Л2 фурье-преобразований, голографи-
ческий согласованный фильтр Меллина с передаточной
функцией 7И*(сог, со^) =.М* {s2 (ехр г, ф)} (рис. 4.23).
Переход к полярным координатам позволяет разделить
влияние изменений масштаба и вращения двух анализиру-
емых сигналов на реакцию системы. Изменение масштаба
входного сигнала непосредственно влияет на масштаб по
координате р°, а поворот сигнала на угол ф0 приводит
Рис. 4.23
207
лишь к сдвигу по координате ф. Поскольку преобразование
Меллина по р° масштабно инвариантно, а преобразование
Фурье по ф инвариантно к сдвигу, то решающая функция
(корреляционный отклик) системы инвариантна к враще-
нию и изменению масштаба сигнала от объекта наблюде-
ния. При реализации рассмотренных методов и схем опти-
ческой пространственной фильтрации могут быть исполь-
зованы динамические транспаранты для регистрации голо-
графических фильтров в реальном масштабе времени. Это
позволит осуществить корреляционно-экстремальную нави-
гацию с перезаписью ТИ для использования его в дальней-
шем в качестве очередного ЭИ. Это, в свою очередь, приво-
дит к изменению весовых и габаритных характеристик го-
лографических координаторов.
Следует отметить, что при использовании многоканаль-
ного голографического координатора, построенного с уче-
том рассмотренных схем пространственно-зависимой филь-
трации, необходимо применение многоканального фильтра,
каждый канал которого реализует оптимальный алгоритм
(1.69). В этом случае измерение положения сигнала идет
одновр£менно с его распознаванием, что подтверждает вы-
воды, полученные в гл. 1.
Список литературы
1,. Красовский А. А., Белоглазов И. Н., Чигин Г. П. Теория корре-
ляционно-экстремальных навигационных систем. — М.: Наука, 1979.
' 2. Баклицкий В. К., Юрьев А. Н. Корреляционно-экстремальные ме-
тоды навигации. — М.: Радио и связь, 1982.
'3 . Медведев Г. А., Тарасенко В. П. Вероятностные методы исследо-
вания экстремальных систем. — М.: Наука, 1967.
4. Белоглазов И. Н.. Тарасенко В. П. Корреляционно-экстремальные
системы. — М.: Сов. радио, 1974.
5. Чигин Г. П. Моделирование оптимальной корреляционно-экстре-
мальной системы. — Техническая кибернетика, 1978, № 2.
6. Баклицкий В. К. Оптимальное измерение параметров оптического
сигнала на фоне пространственно-временной помехи. — Изв. вузов
СССР. Радиоэлектроника, 1977, т. 20, № 9.
7. Баклицкий В. К. Корреляционно-экстремальное пеленгование про-
тяженных и точечных источников электромагнитных колебаний. —
Изв. вузов СССР.— Радиоэлектроника, 1979, т. 22, № 3.
' 8. Баклицкий В. К. Применение метода фильтрации Калмана к син-
тезу корреляционно-экстремальных систем. — Изв. вузов СССР.
Радиоэлектроника, 1982, т. 25, № 3.
' 9. Пат. 2.508.562 (США), НКИ 343-5.
10. Пат. 3.102.260 (США), НКИ 343-5.
И. Пат. 3.054.999 (США), НКИ 343-5.
12. Ю. Г. Степанов. Противорадиолокационная маскировка. — М.: Сов.
радио, 1968.— 144 с.
13. Бочкарев А. М. Корреляционно-экстремальные системы навига-
ции.— Зарубежная радиоэлектроника, 1981, № 9.
14. Воробьев В. И. Оптическая локация для радиоинженеров. — М.:
Радио и связь, 1983.
15. Павлов Ю. Н„ Селевнев А. В., Толстоусов Г. Н. Геоинформацион-
ные системы. — М.: Машиностроение, 1978.
16. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио,
1966.
17. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управле-
ния. — М.: Мир, 1972.
18. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории свя-
зи.— М.: Сов. радио, 1971.
19. Стратонович Р. Л. Применение теории процессов Маркова для
оптимальной фильтрации сигналов. — Радиотехника и электроника,
1960, №11.
20. Хазен Э. М. Методы оптимальных статистических решений и за-
дачи оптимального управления. — М.: Сов. радио, 1968.
21 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. — М.: Нау-
ка, 1973.
22. Теория автоматического управления/ Под ред. А. В. Нетушила.—
М.: Высшая школа, 1968.
23. Осуливан М. Р. Системы сопровождения с дискриминаторами
с задержанной синхронизацией. — Зарубежная радиоэлектроника,
1963, № 6.
219
24. Кульман Н. К. Помехоустойчивость импульсных систем передачи
марковского случайного сигнала. — Вестиик МГУ. Физика —
Астрономия, 1966, № 2.
25. Современная радиолокация/ Под ред, Ю. Б. Кобзарева. — М.: Сов.
радио, 1969.
26. Красовский А. А. Оптимальное оценивание в распределенных си-
стемах, описываемых функцией Грииа, — Автоматика и телемеха-
ника, 1981, № 10.
27. Красовский А. А. Оценивание поля при векторном размытом изме-
рении.— ДАН СССР. Кибернетика и теория регулирования, 1981,
т. 256, № 5.
28. Зверев В. А. Радиооптика. — М.: Сов. радио, 1975,
29. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен, —М.:
Мир, 1976.
30. Баклицкий В. К. Применение метода нелинейной фильтрации для
синтеза корреляционно-экстремальных систем навигации. — В кН.:
Корреляционно-экстремальные системы управления/ Под ред.
В. П. Тарасенко. — Томск, гос. уи-т, 1975.
31. Вишневский В. П. Метод формирования эталонов, инвариантных
относительно сдвигов и поворотов объектов. — Тр. 4-й иаучн.-техи.
конф, факультета математических знаний/ Куйбышев, политехи,
ин-т. — Куйбышев, 1980.
32. Бравермаи Д. Теория опознавания образов. — В ки.: Статистиче-
ская теория связи и ее приложение/ Под ред. А. В. Балакришиа-
иа. — М.: Мир, 1967.
33. Фрелик. Самообучающиеся системы распозиаваиия образов.—
Зарубежная радиоэлектроника, 1968, № 4, с. 43—55.
4 34. Wong R. У., Hall Е. L. Sequential hierarchical scene matching.—
IEEE Trans., 1978, v. C-27, N 4, p. 359—366.
't 35. Ярославский Л. П. Обнаружение и локализация деталей изобра-
жений.— Вопросы радиоэлектроники. Сер. Общетехиическая, 1975,
вып. 8, с, 70—76.
36. Мерсеро Р. М. Обработка двумерных сигналов при дискретизации
по гексагональному растру, — ТИИЭР, 1979, т. 67, № 6, с. 62—84.
. 37. Яценко А. Н. Субоптимальиый алгоритм определения параметра
сдвига в однокоординатной КЭС. — В кн.: Корреляционно-экстре-
мальные системы управления/ Под ред. В. П. Тарасенко. — Томск,
гос. уи-т, 1982, с. 45—48.
38. Мирский Г. Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их
измерения. — М.: Энергоиздат, 1982.
39. Латышев В. В. Кодирование изображений в корреляциоиио-экстре-
мальиых системах. — Автоматика и телемеханика, 1983, № 5,
с. 117—121.
40. Елисеева И. И., Рукавишников В. О. Группировка, корреляция,
распознавание образов. — М.: Статистика, 1977.
41. Arsenault Н. Н. et al. Incoherent method for rotation-invariant re-
cognition.— Appl. Opt., 1982, v. 21, N 4, p. 610—615.
• 42. Digital Pattern Recognition/ Ed. K. S. Fu. Berlin, New-York: Sprin-
ger Verlag, 1976,
43. Шквар A. M. и др. Способ оптимизации изображений при распо-
знавании. — В ки.: Полупроводниковая техника и микроэлектрони-
ка.—Киев: Наукова думка, 1977, вып. 26, с. 43—50.
44. Boland J. S., Peters Е. G. et al. Automatic correlation of non-com-
patible imaging systems. — Proc. IEEE SOUTHEASTCON, 1979,
p. 230—233.
210
> 45. Knapp C. H„ Carter G. C. The generalized correlation method for
estimation of time delay. — IEEE Trans,, 1976, v. ASSP-24, N 4,
p. 320—327.
46, Novak L. Correlation algorithms for radar map matching. — IEEE
Trans., 1978, v. AES-14, Xs 4, p. 641—648.
. 47. Barnea D. S., Silverman H. F. A class of algorithms for fast digital
image registration. — IEEE Trans., 1972, v. C-21, p. 179—186,
>48 . Kuglin C. D., Hines D. C. The phase correlation image alignment
method. — Proc. IEEE Intern. Conf, Cybernetics and Society, 1975,
p. 163—165.
ъ 49. Garret G. S. et al. Detection threshold estimation for digital area
correlation.—IEEE Trans., 1976, v. SMC-6, № 1, p. 65—70.
50. Svedlow M. Image registration: similarity measure and preproces-
sing method comparisons.—IEEE Trans., 1978, s. AES-14, № 1,
p 141—150.
51. Wong R. Y., Hall E. L. Performance comparison of scene matching
( techniques. — IEEE Trans., 1979, v. PAMI-1, № 3, p. 325—330.
' 52. Hall E. L. The selection of critical subsets for signal, image and
scene matching.— IEEE Trans.; 1980, v. PAMI-2, p. 313—322.
53. Wong R. Y. Sequential scene matching using edge features. — IEEE
Trans., 1978, v. AES-14, № 1, p. 128—140,
54. Ormsby С. C. Advanced scene matching techniques. — Proc. IEEE
NAECON, 1979, p. 68—76.
v 55. Price K., Reddy R. Matching segments of images.—IEEE Trans.,
1979, v. PAMI-1, № 1, p. 110—117.
. 56. Wong R. Y., Hall E. L. Scene matching with invariant moments. —
Computer Graphics and Image Processing, 1978, v. 8 № 1,
p. 16—24.
v 57. Dudani S. Aircraft identification by moment invariants. — IEEE
Trans., 1977, v. C-26, N 1, p. 39—45.’
58. Davies D. L., Bouldin D. W. Correlation of rotated images by the
method of gradient vector sums. — Proc. IEEE SOUTHEASTCON,
1979, p. 367—372.
59. Rosenfeld A., Vanderburg G. J. Coarse fine template matching. IEEE
Trans., 1977, v. SMC-7, № 2, p. 104—107.
'. 60. Anuta P. E. Spatial registration of multispectral and multitemporal
digital imagery using fast Fourier transform techniques. — IEEE
Trans., 1970, v.' GE-8, N 10, p. 353—368.
v61 . Kuglin C. D. et al. Map-matching techniques for terminal guidance
using Fourier phase information. — Proc. SPIE, 1979, v. 186,
p. 21—29.
' 62. Boland J. S. et al. A pattern recognition technique for scene mat-
ching of dissimilar imagery. — Proc. IEEE 18th Conf. Decision and
Control, 1979, Florida, p. 806—811,
63. Wong R. Y. Intensity signal processing of images for optical to
radar scene matching. — IEEE Trans., 1980, v. ASSP-28, № 2,
p. 260—263.
'. 64. Vijaya Kumar В. V. K-, Casasent D. Binarization effects in a cor-
relator with noisy input data. — Appl. Opt,, 1981, v. 20, № 8,
p. 1433—1437.
65. Stark H., Woods J. W. Polar sampling theorems and their appli-
cations to computer-aided tomography. — Proc. SPIE, 1980, v. 231,
p. 230.
66. Dixon J. K. Pattern recognition with partly missing data. — IEEE
Trans,, 1979, v. SMC-9, № 10,. p. 617—621.
211
67. Candel S. M. Duel algorithms for fast calculation of the Fourier —
Bessel transformations. — IEEE Trans., 1981, v. ASSP-29, № 5,
p. 963—972.
68. Fisheler M. A., Elschlager R. A. The representation and matching of
pictorial structures. — IEEE Trans., 1973, v. C-22, № 1, p. 67.
69. Ranganath H. S. et al. Feature extraction technique for fast digital
image registration. — Proc. IEEE SOUTHEASTCON, 1980, p. 225—
228.
70. Berry J. E., Yoo J. K. Geometric preprocessing of sensor data used
for image metching. — Proc. SPIE, 1979, v. 186, p. 2—11.
71. Herman G. T. Image reconstraction from projections. — Berlin, New-
York; Springer Verlag, 1979.
72. Hall E. L. Computer image processing and recognition. — New-York:
Academic press, 1979.
v73 . Wong R. Y. Sensor transformations. — IEEE Trans., 1977, v. SMC-7,
№ 12, p. 836—841.
74. Budinger T. E., Gullberg G. T. Three-dimentional reconstraction in
nuclear medicine emission imaging. — IEEE Trans., 1974, v. NS-21,
June, p. 2—20.
75. Frei W., Chen С. C. Fast boundary detection: a generalization and
a new algorithm. — IEEE Trans., 1977, v. C-26, № 10, p. 988—998.
76. Cook G. J. et al. Optimal reconstruction angles. — Proc. IEEE Com-
puters in Radiology Conf., 1979, p. 291—304.
77. Clary J. B., Russel R. F. All-digital correlation' for missile guidan-
ce. — Proc. SPIE, 1977, v. 119, p. 36—46.
*/ 78. Wong R. Y., Hall E. L. Image transformations’. — Proc. IEEE 4th
Int. Joint Conf. Pattern Recognition, 1978, p. 939—942.
79. Vanderbrug G. H., Rosenfeld A. Two-stage template matching.—
IEEE Trans., 1977, v. C-26, № 4, p. 384—393.
80. Rockmore A. J. The probability of false acquisition for image re-
gistration.— Image Sciense Mathematics Symp., 1976, p. 252—255.
v 81. Stubberud A. R. Acquisition probabilityfor a correlation algo-
rithm.— Proc. IEEE Circuits and Systens Conf., 1981, p. 263—265.
v> 82. Mostafavi H., Smith F. W. Image correlation with geometric distor-
tion.—IEEE Trans., 1978, v. AES-14, p. 487—500.
83. Picture Processing and Psychopictories Ed. B. S. Lipkin, A. Rosen-
feld.— New-York,. 1970.
v 84. Johnson M. W. Analitical development and test results of aquisition
probability for terrain correlation devices used in navigation sys-
tems.— AIAA, Paper N72—122.
85. Robinson G. S. Detection and coding of edges using directional
masks. — Optical Engineering, 1977, v. 16, № 6,
86. Berstein R., Silverman H. Digital techniques for earth resource ima-
ge data processing. — Digital Image Processing for Remote Sensing.
N-Y, IEEE, 1978, p. 107—120. ' .
87. Василенко Г. И. Голографическое опознавание образов. — М.: Сов.
радио, 1977.
88. Boland J. S. et al Design of a correlator for real-time video com-
parisons.— Trans. IEEE, 1979, v. AES-15, № 1, p. 11—19.
89. Richaczek A. W. Optimum filters for signal detection in clutter.—
' Trans. IEEE, 1965, v. AES-1, № 3, p. 297-299.
90. Wong R. Y. Radar to optical scene matching. — Proc. SPIE, 1979,
v. 186, p. 108—114.
91. Hu M.-K. Visual pattern recognition by moment invarients. — IRE
Trans., 1962, v. IT-8, p. 179—187.
v 92. Охрименко Г. С., Пашнев С. Я. Моделирование алгоритма совме- ,
щения точечных изображений. — В кн.: Корреляционно-экстремаль- .
212
ные системы/ Под ред. В. П. Тарасенко. — Томск.: Томск. гос,
ун-т., 1978.
\ 93. Пашнев С. Я., Шумкова Л. Г. Алгоритм идентификации точечных
изображений с использованием информационных признаков. —
В кн.: Корреляционно-экстремальные системы управления/ Под
, ред. В. П. Тарасенко, 1981, вып. 6, с. 112—121.
' 94. Аитипин В. В., Буймов А. Г. Применение быстрых спектральных
преобразований в корреляционно-экстремальных системах. — В кн.:
Корреляционно-экстремальные системы управления/ Под ред,
В. П. Тарасенко. — Томск.: Томск, гос. ун-т., 1982, с. 49—52.
/95. Кильвейи С. А. Исследование влияния перекрестных связей на точ-
ность КЭС с ортогональным эталоном. — В кн.: Корреляционно-
экстремальные системы управления/ Под ред. А. П. Тарасенко. —
. Томск.: Томск, гос. ун-т, 1980, вып. 5, с. 54—60.
96. Тупиков В. А. О многоканальной обработке сигналов в дискрими-
наторе корреляционно-экстремальной системы. — В кй_: Корреля-
ционно-экстремальные системы управления/ Под ред. В. П. Тара-
сенко.— Томск.: Томск, гос. ун-т, 1982, с. 13—16.
797. Андреев Ю. А. Влияние дискретизации изображений на точностные
характеристики КЭС. — В кн.: Корреляционно-экстремальные си-
стемы управления/ Под ред. В. П. Тарасенко. — Томск.: Томск, гос.
ун-т, с. 31—37.
98. Андреев Ю. А. Вопросы применения предварительной обработки
изображений в КЭС. — В кн.: Корреляционно-экстремальные си-
стемы управления/ Под ред. В. П. Тарасенко. — Томск: Томск,
гос. ун-т, 1981, вып. 6, с. 38—42.
V 99. Sadjadi F. A., Hall Е. L. Object recognition by three dimensional
moment invariants.— Proc. IEEE Pattern Recognition and Image-
Processing Conf., 1979, p. 324—336.
100. Опознавание образов/ Под ред. И. Т. Турбовича. — М.: Наука,
1968,
101. Shihari S. N. On choosing measurements for invariant pattern re-
cognition.—-Information Sciences, 1980, v. 21, № 1, p. 1—11.
102. Обобщенных функций произведение: Математическая энциклопе-
дия,— М.: Сов. энциклопедия, 1982, т. 3, с. 1126.
103. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Нау-
ка, 1971. . '
•104. Радиолокационные станции воздушной разведки/ А. А. Лавров,
Г. С. Кондратенков, А. А. Комаров и др. Под ред. Г. С. Кондра-
тенкова. — М.: Воениздат, 1982.
105. Баринов К. В., Войнич Б. А. Оценка величины и формы сигнала
от земной поверхности по топографическим картам. — Радиотехни-
ка, 1976, № 1.
106. Boland J. S. et al. Design of a correlator for real-time video compa-
risons.— IEEE Trans., 1980, v. AES-15, № 1.
107. Прэтт У. Цифровав обработка изображений. Кн. 1-я. — М.: Нау-
ка, 1982.
108. Статистическая теория связи н ее приложения: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1967.
109. Сафронов Ю. П., Эльман Р. И. Инфракрасные распознающие
устройства. — М.: Воениздат, 1974.
НО. Левшин В. Л. Пространственная фильтрация в оптических систе-
мах пеленгации. — М.: Сов. радио, 1971.
111. Криксунов Л. 3. Справочник по основам инфракрасной техники,—
М.: Сов. радио, 1978.
112. Изнар А. Н, Павлов А. В., Федоров Б. Ф. Оптико-электронные"
приборы космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1972.
213
113. Шестов Н. С. Выделение оптических сигналов на фоне случайных
помех. — М.: Сов. радио, 1967.
114. Файн В. С. Опознавание изображений. — М.: Наука, 1970.
115. Curtond L. et al. Optical date processing and filtering systems.—
IRE Trans., 1960, v. IT-6, № 3.
116. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. — М.: Мир,
1971, —495 с.
117. Федоров Б. Ф., Дорохов Б. Е. Исследование разрешения гологра-
фической системы распознавания образов. — Оптико-механическая
промышленность, 1973, № 4.
118. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и техниче-
ской кибернетики. — М.: Госэнергоиздат, 1962.
119. Holeman J. К., Welch J. D. Space navigation by spatial filtering
of landmarks. — Space/Aeronoptics, 1967, v. 47, № 6.
120. Vienot J. Ch., Bulabois J. Filtrage par hologramme dun signal opti-
que complexe: applicatien an recalage descartes de radar. — Rev.
Optique, 1965, v. 44, № 12.
121. Tufte O. N., Chen D. Significant advance make optical storage the
leading contende for mass memories of the future. — IEEE Spectrum,
1973, № 10, p. 26—31.
122. Синцов В. H. Запись голограмм'в реальном масштабе времени.—
В кн.: Материалы 5-й Всесоюзной школы по голографии/ ЛИЯФ.—
Л., 1973.
123. Красильников Н. Н. Статистическая теория передачи изображе-
ний.— М.: Связь, 1976. — 184 с.
124. Гуткин Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств. — М.:
Сов. радио, 1975. — 368 с.
125. Снеддон Н. Преобразование Фурье.—М.: ИЛ, 1955. — 667 с.
Оглавление
Предисловие................................................... 3
Глава 1. Основные положения теории фильтрации
пространственно-временных сигналов
1.1. Краткие сведения о типах навигационных полей и методах
их воспроизведения ........................................ 7
1.2. Основные положения теории оптимальной фильтрации вре-
менных сигналов.............................................16
1.3. Основные положения теории оптимальной фильтрации про-
странственно-временных сигналов................................26
1.4. Оптимальная фильтрация пространственно-временных сигна-
лов и распознавание образов .................................. 52
1.5. Особенности формирования оптических сигналов .... 64
1.6. Особенности формирования моделей радиолокационных изо-
' бражений земной поверхности .................................76
1.7. Цифровое представление изображений . . «... 81
Глава 2. Методы реализации оптимальной фильтрации
пространственно-временных сигналов
2.1. Методика синтеза квазиоптимальных алгоритмов корреля-
ционной обработки пространственно-временных сигналов 86
2.2. Синтез квазибптимального корреляционного алгоритма обра-
ботки изображений..................................97
2.3. Классический корреляционный алгоритм.............114
2.4. Разностные корреляционные алгоритмы...............П9
2.5. Обобщенный фазовый метод корреляционной обработки . . 124
2.6. Корреляционно-экстремальная обработка с использованием
инвариантных моментов................................135
2.7. Корреляционный алгоритм амплитудного ранжирования 138
2.8. Корреляционная обработка с использованием сумм градиент-
ных векторов.................................................141
2.9. Структурные методы корреляционно-экстремальной обработки 143
2.10. Корреляционная обработка с использованием парных функ-
ций ........................................................ 148
2.11. Иерархическая корреляционная обработка..................146
2.12. Корреляционный алгоритм с использованием наиболее ин-
формативных участков изображений.......................155
2.13. Корреляционная обработка- с использованием кодирова-
ния изображений..............................................156
2.14. Алгоритм совмещения точечных изображений .... 158
2.15. Многоканальная корреляционная обработка................159
2.16. Заключение.....................................• • 159
Глава 3. Предварительная обработка изображений
3.1. Искажения изображений....................................163
3.2. Геометрические преобразования............................164
3.3. Преобразования распределения интенсивности изображений 169
3.4. Алгоритмы выделения контурных признаков.................171
3.5. Квантование изображений при различных алгоритмах обра-
ботки .......................................................174
215
Глава 4. Реализация принципов корреляционно-экстремальной
обработки оптических сигналов
4.1. Возможность осуществления оптического пеленгатора . . 175
4.2. Оптические корреляторы...................................179
4.3. Схемы построения оптических координаторов в КЭСН . . 188
4.4. Некоторые вопросы построения голографического коорди-
натора . ...........................................195
Список литературы.............................................209
Производственное издание
ВЯЧЕСЛАВ КОНСТАНТИНОВИЧ БАКЛИЦКИЙ,
АЛЕКСЕИ МИХАИЛОВИЧ БОЧКАРЕВ,
МАРАТ ПАВЛОВИЧ МУСЬЯКОВ
МЕТОДЫ ФИЛЬТРАЦИИ В КОРРЕЛЯЦИОННО-
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ НАВИГАЦИИ
Заведующий редакцией П. И. Никонов
Редактор Ю. И. Суханов
Художественный редактор Т. В. Бусарова
, Обложка художника Ю. Г. Ворончихина
Технический редактор 3. -Н. Ратникова
Корректор Л. С. Глаголева
КБ № 1447
Сдано в набор 08.07.85. Подписано в печать 30.12.85 Т-24361
Формат 84ХЮ8»/»з Бумага тип. № 3 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 11,34 Усл. кр.-отт. 11,655 Уч.-изд. л. 11,56
Тираж 5000 экз. Изд. № 20489 Зак. № 370 Цена 60 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Прчтамт, а/я 693
Ордена Октябрьской Революции и ордена ' Трудового Красного Зна-
мени МПО «Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва,
Валовая, 28
ВНИМАНИЕ!
ОПЕЧАТКА
В выпускных данных цена книги — 60 к, фактическая —
75 к.