Leitfaden der angewandten
Mathematik und Mechanik
Band 33
Dynamics of Systems
of Rigid Bodies
by Dr.-Ing.
Jens Wittenburg
Professor at the Technische Universitat Hannover
with 94 figures and 42 problems
s
B. G. TEUBNER STUTTGART 1977

И. ВИТТЕНБУРГ
ДИНАМИКА
СИСТЕМ
ТВЕРДЫХ
ТЕЛ
Перевод с английского
В. Н. РУБАНОВСКОГО,
B. С. СЕРГЕЕВА и
C. Я. СТЕПАНОВА
под редакцией
В. В. РУМЯНЦЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1980

УДК 531.13
Монография, посвященная неклассическим задачам дина-
динамики многих тел. Интерес к задачам такого рода обусловлен
появлением управляемых космических аппаратов, манипуля-
манипуляторов, роботов, шагающих аппаратов и т. п. Предложенный
автором общий формализм применим к любым системам твердых
тел и позволяет использовать как аналитические, так и числен-
численные методы исследования.
Книга интересна и полезна научным работникам в области
механики и ее приложений, а также инженерам-исследователям.
Она доступна аспирантам и студентам старших курсов универ-
университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
1703020000
20302-042 © в- G. Teubner, Stuttgart 1977
041@1)-80 " © Перевод на русский язык, «Мир», 1980

От редактора перевода
Монография профессора Ганноверского политехнического ин-
института Й. Виттенбурга посвящена динамике систем твердых тел,
моделируемых абсолютно твердыми телами, связанными одно
с другим идеальными голономными и неголономными, стационар-
стационарными и нестационарными связями. Большой интерес к разнооб-
разнообразным задачам о движении систем твердых тел, отмечаемый
в последние годы как в СССР, так и за рубежом, обусловлен раз-
развитием современной науки и техники и, в частности, созданием
управляемых космических объектов, шагающих аппаратов, робо-
роботов, манипуляторов, механизмов машин и т. д.
В монографии излагается разработанный автором общий фор-
формализм математического описания движения систем твердых тел,
пригодный как для численных, так и для аналитических исследо-
исследований. Предлагаемый формализм оказался достаточно гибким
и легко применимым к конкретным системам; его эффективность
продемонстрирована автором на ряде нетривиальных примеров.
Книга является одной из немногих пока в мировой литературе
монографий, посвященных неклассическим задачам динамики си-
систем многих тел. По нашему мнению, она будет интересна и полез-
полезна широкому кругу читателей, включая инженеров-исследовате-
инженеров-исследователей и научных работников в области механики и ее приложений.
Гл. 1—4, а также предисловие переведены В. Н. Рубановским,
разд. 5.1—5.2.7 гл. 5 — В. С. Сергеевым, остальная часть гл. 5
и гл. 6 — С. Я. Степановым.
В. В. Румянцев

Предисловие
Система твердых тел в этой книге понимается как произволь-
произвольная совокупность конечного числа твердых тел, связанных между
собой посредством соединений с идеальными голономными, него-
лономными, стационарными и/или нестационарными связями.
Типичными примерами являются солнечная система, механизмы
в машинах и живые организмы, например человеческое тело при
условии, что отдельные его части можно рассматривать как твер-
твердые. Исследование динамики любой такой системы требует построе-
построения нелинейных уравнений движения, нахождения выражений
для энергии, кинематических соотношений и других величин.
Обычно это делается отдельно для каждой системы, и труд, необ-
необходимый для вывода, например, уравнений движения из уравне-
уравнений Лагранжа, рассматривается как неизбежный. Главная цель
данной книги — детальное описание формализма, который суще-
существенно упрощает указанные задачи. Этот формализм является
общим, так как он приводит к математическим выражениям и урав-
уравнениям, справедливым для любой системы твердых тел. Он являет-
является гибким, так как оставляет исследователю выбор обобщенных
координат. В то же самое время он разработан так, что для его
применения к любой конкретной системе требуется не более чем
конкретизация геометрии системы. Эта книга интересна как теоре-
теоретикам, так и практикам.
Первые четыре из шести глав посвящены основным принципам
и классическим результатам. В гл. 1 читатель знакомится с век-
векторными и тензорными обозначениями, которые для компактности
изложения используются во всей книге. Для облегчения перехода
от символической записи уравнений к скалярно-координатной
форме записи вводятся матрицы координат векторов и тензоров.
Обсуждаются правила преобразования таких матриц и указаны
методы преобразования символической формы составных векторно-
матричных выражений в скалярно-координатную. Для компакт-
компактности символической записи систем уравнений вводятся матрицы,

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
элементами которых являются векторы или тензоры. Определены
обобщенные правила умножения для таких матриц.
В гл. 2, посвященной кинематике твердого тела, рассматри-
рассматриваются направляющие косинусы, углы Эйлера, углы Брайнта
и параметры Эйлера. Вводится понятие угловой скорости и дается
вывод кинематических дифференциальных уравнений, которые
связывают угловую скорость со скоростями изменения обобщен-
обобщенных координат. В гл. 3 излагаются основные принципы динамики
твердого тела. Понятия как кинетической энергии, так и момента
количеств движения приводят к введению тензора инерции. Тео-
Теорема о моменте количеств движения выведена из аксиомы Эйлера,
а также из принципа Даламбера. Ввиду жестких ограничений
на объем книги рассмотрены только те вопросы, которые необхо-
необходимы для последующих глав. Другие важные понятия, такие, как,
например, циклические скорости или квазикоординаты, не затра-
затрагиваются. В гл. 4 излагаются некоторые классические задачи
механики твердого тела, для которых существуют решения в замк-
замкнутой форме. Гл. 5, составляющая половину книги, посвящена
изложению общего формализма динамики систем твердых тел.
Построены кинематические соотношения, нелинейные уравнения
движения, выражения для энергии и других величин, которые
пригодны как для численных, так и для нечисленных исследова-
исследований. Единое описание, охватывающее любые системы твердых
тел, опирается главным образом на применение понятий теории
графов (первое ее применение в механике относится ко времени
опубликования работы [1]). Этот математический аппарат в ком-
комбинации с матричными и символическими векторными и тензор-
тензорными обозначениями приводит к выражениям, которые можно
легко интерпретировать в физических терминах. Полезность фор-
формализма продемонстрирована на некоторых нетривиальных иллю-
иллюстративных примерах. В гл. 6 исследуются явления, которые про-
происходят, когда система многих тел испытывает соударение с дру-
другой системой или когда удар происходит между двумя ее собствен-
собственными телами. Определены мгновенные изменения скоростей и внеш-
внешние импульсы в соединениях между телами, обусловленные такими
соударениями. Это исследование обнаруживает интересную ана-
аналогию с законом Максвелла и Бетти в теории упругости.
Результаты, представленные в п. 1, 2, 4, 6, 8 и 9 разд. 5.2,

ПРЕДИСЛОВИЕ
получены в тесном сотрудничестве с проф. Р. Е. Роберсоном (Кали-
(Калифорнийский университет в Сан-Диего), с которым автор непрерыв-
непрерывно обменивался идеями и результатами с 1965 г. Многочисленные
математические вопросы обсуждались в ряде долгих дискуссий,
так что на единоличное авторство здесь никто не претендует. Поль-
Пользуюсь приятной возможностью выразить благодарность всем
участникам этих дискуссий. Я также благодарен доктору Л. Лило-
ву (Болгарская академия наук), с которыми тесно сотрудничал
в разработке проблем, обсуждаемых в книге. Ему принадлежит
ведущая роль в применении методов аналитической механики
(п. 5.2.8); он внес также идеи, важные для п. 5.2.5. Наконец, я
благодарю издателей за их любезное терпение при ожидании
завершения рукописи.
Ганновер, весна 1977 г. Й. Виттенбург
Посвящается моим родителям

1. Математические обозначения
В механике твердого тела векторы играют важную роль. Век-
Векторная величина обозначается буквой жирного шрифта. Вектор vr
можно представить как линейную комбинацию трех взаимно орто-
ортогональных единичных векторов е1? е2 и #3:
v = v1e1 + v2e2 + v3e3. A.1)
Единичные векторы являются базисными векторами векторного
базиса (называемого также базисом отсчета или просто базисом),
который обозначается символом е. Везде в книге предполагается,
что базисные векторы векторных базисов образуют правые системы.
Скалярные величины у1? v2 и v3 в уравнении A.1) являются коор-
координатами вектора v в базисе е или, короче, координатами v в е.
Отметим, что термин вектор употребляется только для величины v,
а не как сокращенное название для координатной тройки величин
va (а = 1, 2, 3), как это обычно делается в тензорном исчислении х).
В механике твердого тела обычно приходится рассматривать
несколько векторных базисов. В дальнейшем у базисов ставится
верхний индекс в скобках. Например еA), еB), e{S) и т. д. Базис-
Базисные векторы базиса е{&) обладают тем свойством, что скалярное
произведение любых двух из них равно дельте Кронекера:
<S)-4S) = 6^' ^, Р = 1, 2, 3. A.2)
Базисный вектор е№ (а = 1, 2, 3) базиса e{S) можно предста-
представить как линейную комбинацию базисных векторов другого
базиса е{Г):
е^=^А^{\ «=1,2,3. A.3)
Все три уравнения можно записать в виде одного матричного
уравнения:
e^ = AsreW. A.4)
*) Различные интерпретации термина вектор см. в книге Лагалли [2].
В некоторых книгах по векторной алгебре координаты vu i>2 и v3 называются
компонентами. В настоящей книге компонента сама понимается как вектор.
Таким образом, vxex в уравнении A.1) есть компонента вектора v.

10 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Символ e{S\ который до сих пор использовался просто для обозна-
обозначения базиса, благодаря этому уравнению определяется как мат-
матрица-столбец [e[s) е^ е{?Цт базисных векторов. Показатель Т
обозначает транспонирование. Величина Asr есть C X 3)-матрица,
составленная из координат А^ векторов (а — индекс строки).
Все матрицы отмечаются чертой под символом. Употребление
буквы жирного шрифта для е{Г) указывает на то, что элементами
этой матрицы являются векторы. Уравнение A.3) показывает, что
матричное произведение Asre{V) вычисляется по общему правилу
умножения матричной алгебры, хотя один множитель составлен
из скаляров, а другой — из векторов.
Скалярное произведение е^ • efi* двух базисных векторов,
принадлежащих различным базисам, равно косинусу угла между
этими векторами. В силу уравнений A.3) и A.2), оно также равно
Аа$- Это тождество объясняет название матрицы направляющих
косинусов для Asr. Заменим в уравнении A.2) е^ выражением A.3)
и e(ps) аналогичным выражением с индексом Р вместо а. Из этого
уравнения видно, что скалярное произведение строк а и Р матри-
матрицы Asr равно бар. Отсюда следует, что AT(Asr)T представляет собой
единичную матрицу, так как каждый элемент произведения мат-
матриц равен скалярному произведению двух строк матрицы Asr.
Из этого тождества вытекают два важных свойства матрицы Asr.
Первое: матрица, обратная Asr, равна транспонированной,
(А57')-1 = (Asr)T. Отсюда следует, что обращение уравнения A.4)
есть
*<г) = Arse^ = (Asrf ?(s)- A.5)
Второе: детерминант матрицы ASr равен +1 или —1. Случай —1
имеет место только тогда, когда один из двух базисов е{Г) и e{S
образует правую систему, а другой — левую. В нашем случае
это не имеет места, так что
det^t*r = +1. A.6)
Правую часть равенства A.1) можно представить в форме
матричного произведения. Для этого введем в рассмотрение мат-
матрицу-столбец v = [vx u2 у3]т, составленную из координат v в бази-
базисе е (более короткое название для и — матрица координат v
в е). Тогда уравнение A.1) примет вид
v = eTv A.7)
или
v = uTe. A.8)

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 11
В двух разных базисах e{S) и е{Г) вектор v имеет разные мат-
матрицы координат. Они обозначаются соответственно через v{S)
и у(Г). Уравнение A.7) приводит к тождеству
Подставим вместо е{Г) правую часть соотношения A.5). Тогда
получим
или
v^ = Asrv^r\ A.9)
Это соотношение представляет собой правило преобразования коор-
координат вектора. Оно показывает, что матрица направляющих
косинусов служит также матрицей преобразования координат.
Отметим удобное для запоминания расположение верхних индек-
индексов S И Г.
Скалярное произведение двух векторов а и 6 можно записать
в виде матричного произведения. Обозначим через а{Г) и Ь{Г) мат-
матрицы координат векторов а и 6 соответственно в некотором вектор-
векторном базисе е{Г). Тогда ab = а{Г)Т Ь{Г) = ЫГ)Т а{Г). Часто матрицы
координат двух векторов а и Ь известны в двух разных базисах,
скажем а{Г) в e{r\ a &(S) в e{S). Тогда a b = a{r)T Ars?s\
Рассмотрим далее задачу на собственные значения Asru{r) =
= Хи{Г) для данной матрицы Asr направляющих косинусов, свя-
связывающей два базиса е{Г) и e{S\ Это уравнение является частным
случаем уравнения A.9), когда m(S) = Ки{Г). Поскольку длина
вектора одна и та же в обоих базисах, суммы квадратов элементов
и{Г) и Хи{Г) должны быть равными. Отсюда следует, что абсолют-
абсолютные значения всех (вещественных или комплексных) собственных
значений К равны единице. Характеристический полином
det (Asr — ХЕ) с единичной матрицей Е представляет собой урав-
уравнение третьей степени. Следовательно, существует по крайней
мере одно вещественное собственное значение с | К | = 1. То, что
это собственное значение есть К = +1, следует из факта, что три
собственных значения А,1? А,2 и А,3 удовлетворяют уравнению
Х1Х2Х3 = detAsr = +1. Координаты вещественного собственного
вектора и, отвечающего собственному значению К = +1, опреде-
определяются из уравнения
Asru^ = u<rK A.10)
Это уравнение показывает, что для любой матрицы ASr направляю-
направляющих косинусов существует (по крайней мере) один вещественный

12 i. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
вектор ю, координаты которого являются одними и теми же в обоих
базисах е(Г) и e(S). Отсюда следует
Теорема Эйлера. Два произвольно ориентированных базиса е0>>
и e{S) с общим началом Р могут быть приведены в совпадение один
с другим в результате поворота одного из них на некоторый угол
вокруг оси, которая проходит через Р и имеет направление соб-
собственного вектора и, определяемого уравнением A.10).
Наряду с векторами важную роль в динамике твердого тела
играют тензоры второго порядка. В его наиболее общей форме
тензор D есть сумма диадных произведений двух векторов:
D = а^ + а2Ь2 + а3Ь3 + . . . . A.11)
Тензор представляет собой оператор. Его скалярное произведение
на вектор v справа определяется как вектор:
D.v = (а^ + а2Ь2 + а3Ь3 + . . .)-v =
= a^bxv + a2b2-v + a3b3v + . . . . A.12)
Аналогично скалярное произведение тензора D на вектор v слева
определяется как вектор
v -D = v •%&! + v 'a2b2 + v -a3b3 + . . . .
Если во всех диадных произведениях, составляющих тензор D,
порядок множителей изменить на обратный, то получим новый
тензор. Он называется тензором, сопряженным с D, и обозначается
символом D:
+ «2&2 + «З&З + . . .,
Р , A 13)
D = Ь^ + Ъ2а2 + Ь3а3 + . . ..
В векторной алгебре справедлив дистрибутивный закон:
ab± >v + ab2 »v = а (Ьг + Ъ2) *v, a±b'V + a2b*v = (аг + а2) b»v.
Следовательно, диадные произведения в тензоре также дистрибу-
дистрибутивны:
аЪх + аЬ2 = а (Ъг + 6$), a±b + аф = (аг + а2) 6.
Поэтому можно в правой части соотношения A.11) все векторы
разложить в некотором базисе е и получить выражение
D= 2 2 А**»**. A.14)
a=l p=i
Девять скаляров Da$ называются координатами тензора D в ба-
базисе е (отметим, что под тензором понимается не эта совокупность
координат, а только величина D). Они образуют C X Ъ)-матрицу

i. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 13
координат D. С помощью этой матрицы тензор примет вид
D = fDe. A.15)
Соотношение A.15) дает непосредственный способ построения
матрицы D из матриц координат векторов аг, а2, Ьг, Ь2 и т. д. Пусть
эти последние матрицы будут ах, а2, Ъг, Ь2 и т- Д- Подстановка
соотношений A.7) и A.8) в A.11) дает
D = e^afije + ета2Ь^е + ета3Ще + . .. =
= ет (^bj + a^ + a3bj +...)?.
Сравнение с соотношением A.15) показывает, что
Отсюда и из соотношения A.13) следует, что матрица координат
тензора, сопряженного с D, получается из матрицы координат тен-
тензора D в результате транспонирования. С учетом соотношений
A.14) и A.1) вектор D-r примет вид
о о Я Я
Dt= 2 2 />«Реаеэ.Р= 2 2 А*э»3*«- AЛ6)
а=1 0=1 а=1 р=1
Его матрица координат в базисе е равна поэтому произведению
Dv матриц координат D и v в е. Тот же самый результат получается
более формальным путем при подстановке соотношений A.15) и
A.7) для Би и соответственно:
D.r = fDe-fv. A.17)
В этом выражении появляется новый тип матричного произведе-
произведения, а именно скалярное произведение е>ет двух матриц, элемен-
элементами которых являются векторы. Далее нам встретится еще дру-
другое матричное произведение, называемое векторным произведе-
произведением двух векторных матриц. Эти два произведения определяются
следующим образом. Пусть Р есть (т X г)-матрица, элементами
которой являются векторы Ри (i = 1, . . ., т, ] = 1, . . ., г),
а Q — (г X ^-матрица с векторными элементами Qtj (i = 1, ...
. . ., г, / = 1, . . ., п). Тогда скалярное произнедение Р >Q есть
(т X тг)-матрица с элементами

14 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а векторное произведение Р X Q есть векторная (т X тг)-матрица
с элементами
Эти определения являются обобщением общего правила умно-
умножения матриц. Вернемся теперь к соотношению A.17). Согласно
только что приведенному определению, скалярное произведение
е -еТ есть единичная матрица, так что в соответствии с соотноше-
соотношением A.16) D-г = eTDv.
Особый интерес представляет тензор
Е = ехех + е2е2 + е3е3 = ете, A.18)
матрицей координат которого служит единичная матрица.. Если
этот тензор умножить скалярно на произвольный вектор и, то
в результате получим сам вектор v: E-v = рир-Е = р. По этой
причине Е называется единичным тензором.
При помощи соотношения A.5) не представляет труда уста-
установить закон преобразования матрицы координат тензора, когда
вместо базиса е{Г) используется для разложения другой базис
e(S). Пусть D{r) и Z)(S) — матрицы координат D в двух базисах;
тогда, согласно соотношению A.15), справедливо тождество
Подставим в правую часть вместо е(Г) значение A.5). Это дает
или
STD(r)ArS
= ASTD(r)ArS. A.19)
Обратим внимание и здесь на удобное для запоминания располо-
расположение верхних индексов.
В механике твердого тела встречаются тензоры с симметриче-
симметрическими и кососимметрическими матрицами координат. Тензор
инерции, который будет определен в разд. 3.1, и единичный тен-
тензор Е имеют симметрические матрицы координат. Тензоры с несим-
несимметрическими матрицами координат связаны с векторными произ-
произведениями. Рассмотрим сначала двойное векторное произведение
(а X 6) X v. Его можно записать в форме
(а X Ь) X v = bav — ab-v = (ba — ab)v, A.20)
т. е. в форме скалярного произведения тензора (Ъа — аЬ) на век-
вектор v. Если а и Ъ суть матрицы координат а и Ъ соответственно

i. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
15
в некотором векторном базисе, то матрица координат тензора
в этом базисе представляет собой кососимметрическую матрицу:
О
Ъ2а1
О
_кососимметрично
О
A.21)
Вектор, равный векторному произведению с X г, также можно
представить как скалярное произведение тензора на вектор v.
Для этого построим два вектора а и 6, удовлетворяющих уравне-
уравнению а X b = с. Тогда искомый тензор снова определяется выра-
выражением Ьа — аЪ, а его матрица координат дается соотношением
A.21). Эта матрица совпадает с матрицей
О — с3 с2
с3 О —с±
где сг, с2ис3 — координаты вектора с в том же базисе, в котором
вычисляются а и Ь. Для этой матрицы введем символ с (читается —
с с тильдой), так что вектор с х v имеет матрицу координат cv.
Это обозначение упрощает переход от символических векторных
уравнений к скалярным координатным уравнениям х). Для преоб-
преобразования матричных уравнений в координатной форме нам
потребуются следующие основные правила. Если к — скаляр, то
(ко) = ка.
Более того.
Из а = Ъ следует, что а = Ь.
Тождество а X Ь = —Ъ х а дает
аЬ = —Ьа,
а для частного случая а = Ъ имеем
аа = 0.
A.22)
A.23)
A.24)
A.25
A.26)
При помощи единичного тензора Е вектор двойного векторного
произведения а X (Ь х v) можно записать в форме
а X (Ъ X v) = ba v — a bv = (ba — аЪЩ г. A.27)
х) Обозначение cv для координат с X v эквивалентно обозначению
(а = ^ 2, 3), которое обычно используется в тензорной алгебре.

16 1- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Соответствующее уравнение в координатной форме имеет вид
Zbv = (baT — aTbE) v, где Е — единичная матрица. Так как это
Соотношение выполняется для любого у, то справедливо тождество
яЬ = ^т—ат6Я. A.28)
В соответствии с соотношением A.20) матрица координат (а X Ь) X
X v есть (Ьат — abT) v. Ее можно также записать в форме (ab) v.
Так как обе формы тождественны для любого у, то справедливо
тождество
(fb) = baT-abT. A.29)
Наконец, правило преобразования координат тензора (соотноше-
(соотношение A.19)) показывает, что
a(s) = (i
Системы линейных векторных уравнений можно записать
в очень компактной форме, если наряду с матрицами с векторными
элементами использовать матрицы с тензорными элементами.
Такие матрицы обозначаются прописными буквами жирного шриф-
шрифта с чертой под буквами. Они имеют общий вид
Он • • • I
lr
J)ml...Dmr_
с произвольным числом строк и столбцов. Скалярное произведение
D6 (т X г)-матрицы D справа на векторную матрицу 6, элементы
которой суть btj (i = 1, . . ., г, / = 1, . . ., п), определяется как
(т X тг)-матрица с элементами
г
Аналогичное определение справедливо для скалярного произ-
произведения D слева на (п X т)-матрицу с элементами Ъц (i = 1. ...
. . ., п, j = 1, . . ., иг). Следующий пример иллюстрирует прак-
практическое использование этих понятий. Допустим, что желательно
записать скаляр
п п
с=
|] 2 агЪ

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
17
в виде матричного произведения. Это можно сделать в символиче-
символической форме с = ат *D *b с множителями
а =
.. D
ln
J>m • •
Если желательно вычислить с, то более удобно следующее
выражение, составленное из матриц координат. Пусть ah bt
и Dtj (i, / = 1, . . ., тг) суть матрицы координат аь 6^ и Dl7- соот-
соответственно в некотором общем векторном базисе. Тогда
Это выражение в свою очередь можно записать в виде матричного
произведения с = aTDb, где
D
Ь
Til
#„
b =
суть блочные скалярные матрицы с субматрицами аи Dtj и bt
соответственно.
Задачи
1.1. Задана матрица Asr направляющих косинусов, связывающая век-
векторные базисы е(г) и e^s). Выразить матричные произведения е(г)-е^г;Т,
?(r)T.?(r)f e^X*f)T, e^Txe^>, e(s>.e^T, e<r>.^e>T и в^.в^ адреГл-r
или через элементы матрицы Asr.
1.2. Пусть а и & — векторные матрицы, ас — скалярная матрица такой
размерности, что существуют произведения сГсЬ и а X сЪ. Покажите, что
первое произведение тождественно ас *Ь, а последнее ас X Ъ.
1.3. Пусть
) — два векторных базиса и а, & и с —век-
—векторы, матрицы координат которых а^ и
Далее, D — тензор с матрицей координат
заданы в е^г\
в e(s).Постройте из Asr и за-
заданных матриц координат скаляры abxc, axb-bxc, c-D-a и cxD.c,
а также матрицы координат в е<г) векторов а X &, ах с, аХ(схЪ),
схЬа и ах [(D.&)xc].
1.4. Запишите векторные соотношения
а2 = с X (i?i X
X с) — d X
2-0603

18 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
в форме
«i-|_pii Di2l
U2J LD21 D22J
с указанием в явном виде выражений для тензоров D^- (i, / = 1, 2). Как свя-
связаны D12 и D21 ? В некотором векторном базисе исходные соотношения имеют
матрицы координат аг, а2, vly v2i Ъ, cud соответственно. Запишите матричное
уравнение в координатной форме ""
приведя в явном виде выражения для C X 3)-субматриц Dtj (i, / = 1, 2).
Что можно сказать о F X 6)-матрице в правой части? ~~

2. Кинематика твердого тела
2.1. Обобщенные координаты угловой ориентации
твердого тела
Для задания угловой ориентации твердого тела в векторном
базисе еA) достаточно задать угловую ориентацию векторного
базиса еB), жестко связанного с телом. Это можно сделать, напри-
например, при помощи матрицы направляющих косинусов:
еB)
Девять элементов этой матрицы являются обобщенными координа-
координатами, которые описывают угловую ориентацию тела в базисе еA).
Между этими координатами существует шесть уравнений связей
вида
2 аЦаЦ = ^ а, р=1, 2, 3. B.1)
х1
Часто неудобно работать с девятью координатами и шестью
уравнениями связей. Имеется несколько удобных систем трех
координат без уравнений связей и четырех координат с одним урав-
уравнением связи, которые можно использовать вместо направляющих
косинусов. В следующих разделах рассматриваются обобщенные
координаты, известные как угли Эйлера, угли Брайнта и пара-
параметры Эйлера.
2.1.1. Углы Эйлера
Угловая ориентация базиса еB), жестко связанного с телом,
осуществляется в результате трех последовательных поворотов.
В исходном положении базис еB) совпадает с базисом еA). Первый
поворот выполняется вокруг оси е*1) на угол г|). Он переводит
базис из его начального положения в положение, обозначенное
символом еB)" (рис. 2.1). Второй поворот на угол 8 вокруг оси е{2)"
переводит его в положение, обозначенное символом е<2)'. Третий
поворот на угол ер вокруг оси е&У приводит к конечной ориента-
ориентации базиса. На рис. 2.1 она обозначена символом ?B). Отличи-
Отличительная особенность углов Эйлера состоит в том, что каждый
поворот выполняется вокруг базисного вектора базиса, жестко
связанного с телом, в положении, которое является результатом
2*

20
2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
всех предыдущих поворотов. Другой особенностью является после-
последовательность C, 1, 3) индексов осей поворотов. Требуемое выра-
выражение матрицы преобразования Агх через г|), 0 и ф находится из
Рис. 2.1.
Углы Эйлера \f>, 0,
уравнений преобразования для отдельных поворотов, которые
в соответствии с рис. 2.1 даются формулами
где
еB)" =
cos iE sin iE 0"
— sin \f> cos \f> 0
0 0 1
COS ф Sin ф
 0 0"
0 cos 0 sin 0
0 — sin 0 cos 0
(Г
0
0
0
Отсюда следует, что А21 = АЫ°А^ или в явном виде с сокращен-
сокращенными обозначениями сф, с& и сф для cos ip, cos 0 и cos ф и s$, sQ
и 5Ф для sin i|), sin 0 и sin ф соответственно
B.2)
Преимущество наличия лишь трех координат без уравнений
связей оплачивается тем неудобством, что направляющие косину-
косинусы являются сложными круговыми функциями. Имеется, однако,
и другая проблема. Рис. 2.1 показывает, что в случае 0 = пп
(п = 0, 1, . . .) оси первого и третьего поворотов совпадают, так
что \f> и ф нельзя отличить один от другого. Углы Эйлера можно
проиллюстрировать на примере твердого тела в двухрамочном
кардановом подвесе. Базисы еA) и еB) связаны соответственно с не-

2. 1. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 21
подвижным основанием и подвешиваемым телом, как показано
на рис. 2.2. Углы г|э, 6 и ф в данном порядке представляют собой
угол поворота внешней рамки относительно неподвижного осно-
основания, внутренней рамки относительно внешней и тела относи-
относительно внутренней рамки.
Для Э = пп (п = О, 1, . . .) плоскости двух рамок совпадают
(схлопывание рамок). Этим механизмом все три угла можно
регулировать независимо, поскольку вспомогательные векторные
Рис. 2.2.
Углы Эйлера для карда-
нова подвеса.
базисы еB)"и еB)/ материально реализованы рамками. Практическое
значение углов Эйлера обусловлено тем обстоятельством, что
существует много технических систем, в которых твердое тело
движется так, что 0 строго или приближенно сохраняет постоян-
постоянное значение, а оба угла г|) и ф строго или приближенно пропор-
пропорциональны времени, т. е. о|) « const и(р« const.
Использование углов Эйлера удобно также всякий раз, когда
существуют две оси частного физического значения: одна, непо-
неподвижная в базисе еа\ и другая, неподвижная в теле. В таких слу-
случаях базисные векторы е^ и е^ задают эти направления, так
что 0 — угол между двумя указанными осями (пример такого типа
будет рассмотрен в разделе 4.1.4). Однако использование углов
Эйлера в качестве обобщенных координат не ограничивается
такими случаями.
Иногда необходимо вычислить углы Эйлера, которые соответ-
соответствуют заданной матрице Аг1. Для этой цели служат следующие

22
2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
формулы, получаемые из B.2):
cos 9 = Л33, sin 9 = е 1^1 — cos2 Qy
sin 6
'21
*3i
21
1
8= -|-1 ИЛИ —1,
B.3)
Формулы показывают, что численные трудности возникают для
значений 8, близких к критическим значениям пп (п = 0, 1, . . .).
2.1.2. Углы Брайнта
Эти углы называют также углами Кардана. Угловая ориента-
ориентация связанного с телом базиса еB) представляется по-прежнему
как результат последовательности трех поворотов, в начале кото-
которых этот базис совпадает с базисом еA) отсчета. Первый поворот
Рис. 2.3.
Углы Брайнта <pj, ф2, ф3.
Рис. 2.4.
Углы Брайнта для кар-
данова подвеса.
на угол фх выполняется вокруг оси е^*. Он приводит к вспомога-
вспомогательному базису еB)// (рис. 2.3). Второй поворот на угол ср2 вокруг
оси d?Y приводит к базису еB)'. Третий поворот на угол ф3 вокруг
оси е^У сообщает связанному с телом базису его окончательную
ориентацию, которая на рис. 2.3 обозначена символом еB). Урав-
Уравнения преобразований для отдельных поворотов имеют вид

2. 1. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 23
где
"I
О
_О — sin ф!
С
) *
БШф!
DOS ф^_
=
, А
*" COS фз
— sin фз
0
г =
СОЭф2
0
_sin ф2
sin фз 0""
cos фз 0
0 1_
0
1
0
— 8Шф2
0
COS ф2
2.4)
Матрица направляющих косинусов, связывающая вA) и вB),
равна произведению А21 = А3А2Аг, или в явном виде с использо-
использованием сокращенных обозначений
С2С3 C^q + S^Cs S|S3— cis2cf
CtC3 — 5^2^ 54С3 + CtS2S3
Л24:
B.5)
Единственное существенное отличие по сравнению с углами
Эйлера состоит в том, что индексы осей поворотов определяются
последовательностью A, 2, 3). Углы Брайнта также можно проил-
проиллюстрировать на примере твердого тела в двухрамочном кардано-
вом подвесе. Базисы еA) и еB) связаны соответственно с неподвиж-
неподвижным основанием и телом, как показано на рис. 2.4. Углы ф17 ф2 и ф3
Рис. 2.5.
Вращение неизменно
связанного с телом век-
вектора г вокруг оси с еди-
единичным вектором и.
з указанном порядке являются углом поворота внешней рамки
относительно неподвижного основания, внутренней рамки отно-
относительно внешней и тела относительно внутренней рамки. Для
ф2 = 0 три оси вращения взаимно ортогональны. Как и для углов
Эйлера, существует критический случай, а именно ф2 = я/2 +
+ пп (п = 0, 1, . . .), в котором плоскости двух рамок совпадают,
так что оси поворотов на углы фх и ф3 сливаются. В отличие от
углов Эйлера не возникает математических особенностей, если все
три угла близки к нулю. По этой причине углы Брайнта особенно

24 2 КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
удобны в случаях, когда тело движется таким образом, что свя-
связанный с ним базис еB) лишь незначительно отклоняется от еA).
Для достаточно малых углов в линейном приближении sin фа ж
« фа, cos сра « 1 (а = 1, 2, 3) имеем
1 Фз — ф2"
— фз 1 <Pt . B.6)
« Ф2 — ф1 1
Вводя в рассмотрение вектор ф с координатами ф17 ф2 и ф3, это
выражение можно записать в форме А21 « Е — ф. Отметим, что
оно не зависит от того, интерпретируются ли фх, ф2 и ф3 как коор-
координаты ф в базисе еA) или в базисе е{2) или в осях е{{\ еB2)"
и е^У соответственно. Это можно показать следующим образом.
Если через ф = [фх ф2 ф3]т обозначить матрицу координат в еB),
то в линейном приближении матрицей координат в базисе еA)
будет А21у « (Е — ф) ф. Эта матрица, в силу тождества фф = О
(см. соотношение A.26)), совпадает с ф. На основе изложенного
заключаем, что в линейном приближении углы малых поворотов
можно складывать как векторы.
В ряде случаев возникает необходимость в вычислении углов
Брайнта по заданной матрице Л21 направляющих косинусов. Это
можно сделать при помощи формул, получаемых из соотноше-
соотношения B.5):
sin ф2 = ^4з? * соб^^еУ! — зт2ф2, е = +1 или —1,
A2i A2i
iсозф B.7)
, созф4
COS ф2 ' T1 COS ф2
A2i A2i
21 11
СО8ф =
т° COS ф2 7 то COS ф2
2.1.3, Параметры Эйлера
Угловая ориентация связанного с телом базиса еB) рассматри-
рассматривается как результат одного поворота, в начале которого этот
базис совпадает с базисом отсчета еA). Поворот выполняется в на-
направлении часовой стрелки на угол % вокруг оси, определяемой
единичным вектором и. Теорема Эйлера (см. гл. 1) утверждает,
что любая угловая ориентация базиса е{2) может быть описана
вещественным углом % и единичным вектором и с вещественными
координатами. Эти координаты являются одними и теми же в обоих
базисах е{1) и е{2\ Нижеследующие рассуждения опираются

2. 1. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 25
на предположение о том, что %, так же как и и, заданы, а матрица
А21 направляющих коринусов, связывающая е{1) и еB), выражена
как функция этих величин. Эта функция находится в результате
сравнения матриц координат связанного с телом вектора в бази-
базисах еA) и еB). На рис. 2.5 этот вектор изображен в его положениях
г* и г до и после поворота соответственно. В обоих положениях
указанный вектор лежит на круговом конусе, ось которого опреде-
определяется единичным вектором и. Обозначим через гA) и гB) матрицы
координат вектора г в е{1) и еB) соответственно. Тогда гA) = А12г{2),
где А12 — матрица, транспонированная по отношению к матрице
А21. Матрица координат гB) совпадает с матрицей координат г*A>
вектора г* в базисе еа\ так как до поворота еB) совпадает с еа\
а связанный с телом вектор совпадает с г*. Поэтому
гA) = Л12г*A). B.8)
В соответствии с рис. 2.5 векторы гиг* связаны уравнением г =
= г* + A — cos %) Ь + sin % а, или, принимая во внимание, что
а = и X г* ш b = и X а,
г = г* + A —- cos х) ю х (их г*) + sin %и X г*. B.9)
Введем в рассмотрение половину угла %/2 посредством соотно-
соотношений
1 _ Cos х = 2 sin2 -|, sin x = 2 sin -|- cos -|. B.10)
Далее определим новые величины
q0 = cos ~ и q = a sin -|. B.11)
Вектор g имеет одинаковые координаты в обоих базисах е{1>
и еB), поскольку и обладает этим свойством. Обозначим через
#i> #2 и Gз координаты вектора <jr. Параметрами Эйлера называют
четыре скаляра g0, gx, #2 и #з- Они удовлетворяют уравнению
связи
ql + qq = cos2 -j^+uu sin2 -у = 1 •
В другой форме это уравнение записывается в виде
или B.12)
; f l
С математической точки зрения параметры Эйлера представляют
собой нормированные кватернионы. С учетом соотношений B.11)

26 2 КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ж B.10) уравнение B.9) принимает вид
г =r* + 2q X (q X г*) + 2q0q x r*.
В базисе е{1) отсюда получаем уравнение в координатной фолме
Сравнение с уравнением B.8) показывает, что выражение в скоб-
скобках представляет собой искомое выражение для матрицы А12.
Применяя соотношение A.28) к произведению *qq и используя
уравнение B.12), представим транспонированную матрицу А21.
в виде ""
7 B.13)
или в явном виде
2
— ?о?з) 2 (q* + q*) — 1 2
. B.14)
Из этого выражения нетрудно получить явные формулы для реше-
решения обратной задачи, когда матрица Л21 задана и требуется опре-
определить соответствующие параметры Эйлера. Для следа матрицы
А21 находим соотношение
л, следовательно,
tr^i + 1 ,9_
^ = -=4 • B-15)
Подставляя это выражение в формулы для диагональных элемен-
элементов Аи = 2 (ql + q\) — 1, находим
1
В отлитие от углов Эйлера и Брайнта (или любой другой совокуп-
совокупности трех обобщенных координат) здесь нет критических случаев,
в которых правые части этих обратных формул имели бы особен-
особенность.
Задачи
2.1. Угловая ориентация тела описывается углами Эйлера. Желательно
перейти от я|), 6 и ф к эквивалентным параметрам Эйлера. Как это можно
«делать?

2. 2. ПОНЯТИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 27
2.2. Покажите, что угол поворота % и координаты единичного вектора и
на рис. 2.5 определяются уравнениями
2.3. В начальный момент базис отсчета е*1) и связанный с телом базис е<2>
совпадают. Затем базису _е<2> сообщается последовательность трех поворотов.
Сначала он поворачивается на угол фх вокруг оси е[г\ затем на угол ф2 вокруг
е<\> и , наконец, на угол ф3 вокруг е<\\ Отметим, что в отличие от углов Брайн-
та все три поворота выполняются вокруг базисных векторов базиса отсчета
в*1). Матрица А21, связывающая конечную ориентацию е<2) с е*1), является
функцией ф1? фГи фо. Найдите эту функцию и вычислите ее значения для трех
систем углов (я/2, я/2, я/2), @, я/2, 0) и (я, я, я). Проверьте результаты экспе-
экспериментально.
2.2S Понятие угловой скорости
Пусть еA) — некоторый произвольно движущийся базис. Отно-
Относительно этого базиса твердое тело совершает произвольное дви-
движение. Свяжем с этим телом базис еB) с началом Р. Далее рас-
рассмотрим некоторую точку Q, которая движется относительно тела.
Используя обозначения, указанные на рис. 2.6, имеем
z = zP+r. B.17)
Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы скорость
точки Q относительно базиса е{1) выразить через скорость Q отно-
относительно тела, скорость Р относительно е{1) и некоторую пока
неизвестную величину, характеризующую изменения угловой
Рис. 2.6.
Радиус-векторы двух то-
чек Р (неизменно связан-
ной с телом) и 0 (не свя-
связанной с телом).
ориентации тела в базисе еA). Скорости представляются производ-
производными по времени от радиус-векторов. Поскольку точка тела имеет,
вообще говоря, разные скорости относительно разных векторных
базисов, то необходимо точно указать, в каком базисе вычисляется
производная по времени от радиус-вектора. То же самое относится
также к векторам, не являющимся радиус-векторами. Часто для
производной по времени от вектора с в базисе е^ используют

28 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
обозначение ^dc/dt. Эта производная вычисляется по формуле
<х=1
Словами: координаты {S)dc/dt в базисе e{S) находятся в резуль-
результате вычисления координат с«) (а — 1, 2, 3) вектора с в e(S) и диф-
дифференцирования их по времени. Производная по времени dc^/dt
от скаляра с^ вычисляется по общим правилам.
После этих предварительных замечаний рассмотрим снова соот-
соотношение B.17). Представим вектор г его координатами в еB):
з . ""
г = 2га2Hа2)- Подставим это выражение в соотношение B.17) и за-
а=1
тем продифференцируем его по времени в базисе е{1):
а=1 а=1
Производная в левой части представляет собой скорость Q относи-
относительно еA). Обозначим ее буквой v. Аналогично первый член в пра-
правой части есть скорость vP точки Р относительно еаК Второй член
справа представляет собой (согласно соотношению B.18)) скорость
{2)dr/dt точки Q относительно еB). Обозначим ее для сокращения
символом vrei. В последнем члене производные a)de{^ldt можно
вычислить по формуле B.18). Поскольку координатами е^ в ба-
базисе е{1) служат направляющие косинусы AU$ (Р = 1, 2, 3), то
А<42)=2 -jfA^i\ a = li 2, 3. B.20)
Это выражение приводит к очень сложным формулам. Поэтому
выберем другой подход. Производные можно также представить
в виде линейных комбинаций базисных векторов базиса еB)
с неизвестными пока коэффициентами са$:
з
Базисные векторы удовлетворяют соотношению е^-е^ = 8av
(а, у = 1,2, 3). Дифференцирование по времени в базисе еA) этого
соотношения приводит к равенству
I ^ _B) г\ л су о

2. 2. ПОНЯТИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 29
Подставляя для производных выражения B.21), получаем сау +
-f- cya = 0. Это означает, что матрица, составленная из коэффи-
коэффициентов сар (а, ($ — 1,2, 3), является кососимметрической. Для ее
трех отличных от нуля элементов введем новые обозначения щ =
= С23 = — С32> «2 = —С13 = С31> ^3 = С12 = — С21- Эти ВвЛИЧИНЫ
интерпретируются как координаты вектора со в связанном с телом
базисе еB). Тогда соотношения B.21) примут вид
= • X
С учетом этих соотношений третий член в равенстве B.19) прини-
принимает простой вид со X г и получаем основное соотношение
v = Vp 4- гге1 + со х г. B.22)
Вектор со называется вектором угловой скорости тела относи-
относительно базиса еаК Он обладает некоторыми важными свойствами,
два из которых сейчас будут рассмотрены. Из равенства правых
частей выражений B.20) и B.21) следует, что коэффициенты
саз (а> Р = 1» 2, 3), а следовательно, и со зависят только от направ-
направляющих косинусов и их производных по времени. Это означает,
что со (в отличие от vP) не зависит от выбора связанной с телом
точки Р на рис. 2.6, так как матрица Л21 направляющих косину-
косинусов не зависит от выбора этой точки.
Для установления другого важного свойства вектора (о сна-
сначала необходимо исследовать соотношение, существующее между
производными по времени от одного и того же вектора в двух раз-
разных векторных базисах. Пусть е{1) и еB) — два векторных базиса,
которые произвольным образом движутся один относительно
другого, и пусть с — некоторый вектор (не обязательно радиус-
вектор). В базисе е{2) вектор с имеет координаты с(^ (а = 1, 2, 3),
з ~~
так что с = 2 са }ва2>. Продифференцируем по времени это равен-
а=1
ство в базисе еA):
3 3
A) d c-v A/2y2L-V г<2>A) d РB)
Члены в правой части имеют такой же вид, что и последние
два -члена в соотношении B.19). Используя приведенные выше рас-

30 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
суждения, получаем
Ас = ( ^в + ©хе. B.23)
Это есть искомое общее соотношение между производными по вре-
времени от произвольного вектора в двух разных базисах. Вектор со
представляет собой вектор угловой^ скорости базиса в<2) относи-
относительно еA). Для самого вектора со последнее соотношение прини-
принимает специальный вид
^.-•Ч" B.24,
В этом состоит второе важное свойство вектора угловой скорости,
упомянутое выше. Вернемся теперь к равенству B.22). Если рас-
рассматриваются лишь точки Q тела, то это соотношение принимает
специальный вид:
v = Vp -f со X г. B.25)
Оно описывает распределение скоростей точек твердого тела. Все
точки, лежащие на прямой, параллельной со и проходящей через
Р, имеют одну и ту же скорость vPi так как для этих точек со X
X г = 0. Поэтому распределение скоростей можно интерпретиро-
интерпретировать как результат суперпозиции двух отдельных движений. Одно
представляет собой чисто поступательное движение со скоростью
vP точки Р, другое — чистое вращение с угловой скоростью со
вокруг оси, имеющей направление со и проходящей через Р. Эта
интерпретация справедлива для любой связанной с телом точки Р.
Она становится особенно простой, если точка Р* выбрана так, что
ее скорость v% имеет то же самое направление, что и <о. Тогда
направление чистое поступательного движения совпадает с на-
направлением оси чистого вращения. Таким образом, распределение
скоростей точек тела является таким же, как и распределение
скоростей точек винта.
Остается показать, что в случае <о =Ф 0 существует единствен-
единственная ось винта (в тривиальном случае со = 0 движение представ-
представляет собой чисто поступательное движение). Предположим, что
известна скорость vP некоторой точки Р тела. Обозначим через р
вектор, проведенный из точки Р в какую-либо точку на оси винта.
Тогда vp = vP + со X р — скорость этой точки, и, по опреде-
определению оси винта, она параллельна со, так что векторное умноже-
умножение на со дает 0 = со X vP + со «рсо — со2р. Поскольку направле-
направление оси винта известно, то достаточно найти какую-либо одну точ-
точку на этой оси. Мы возьмем такую точку Р*, для которой со-р*
равно нулю. Радиус-вектор р* этой точки дается выражением

2. 2. ПОНЯТИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
31
р* = со X
2. Этот вектор определяется единственным обра-
образом, если со отлично от нуля.
Вообще говоря, положение оси винта в теле изменяется со вре-
временем. Особый интерес представляет случай, когда одна точка
неподвижна в базисе отсчета еA). Тогда ось винта вырождается
в мгновенную ось вращения, которая всегда проходит через непо-
неподвижную точку. При изменении времени эта ось, имеющая направ-
направление вектора <о (t), описывает два конуса, один из которых непо-
неподвижен в теле, а другой — в базисе еA) (рис. 2.7). В момент вре-
времени t два конуса имеют мгновенную ось в качестве общей обра-
образующей. То, что в момент времени t конусы имеют также общую
Рис. 2.7.
Конусы, описываемые
вектором со в двух бази-
базисах е*1) и ?<2>; со — угло-
вая~~скорость е<2> отно-
относительно е&К
касательную плоскость, следует из соотношения B.24), которое
показывает, что со (t) описывает оба конуса с равными скоростями
ометания. Резюмируя изложенное, заключаем, что произвольное
движение твердого тела относительно базиса еA), имеющего непод-
неподвижную точку в этом базисе, можно представить как качение без
скольжения связанного с телом конуса по конусу, неподвижному
в базисе е{1\
Задачи
2.4. Тело имеет угловую скорость со^О, и точка Р тела имеет скорость
Up ^0; обе скорости вычисляются относительно одного и того же базиса
отсчета. В чем состоит условие существования точек тела с равными нулю
скоростями и где расположены эти точки?
2.5. В твердом теле три неколлинеарные точки определяются их радиус-
векторами г1? г2 и г3. Известны скорости i?1? v2 и i?3 этих точек относительно
базиса^1). Докажите, что угловая скорость тела относительно того же самого
базиса дается выражением
X
X
X
В этой формуле числитель и знаменатель одновременно обращаются
в нуль, если все три вектора скорости лежат в плоскости, проходящей через
три течки. Поэтому этот случай должен быть исключен.

32 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.3. Соотношения между угловой скоростью тела
и обобщенными координатами, описывающими
угловую ориентацию тела
Вообще говоря, угловую скорость тела нельзя представить как
производную по времени от другого вектора (такое представление
возможно только в тривиальном случае, когда направление век-
вектора со постоянно в теле). Поэтому координаты ыъ со2 и со3 вектора
о) в связанном с телом векторном базисе не являются обобщенными
скоростями в смысле аналитической механики. Отсюда следует, что
обобщенные координаты, характеризующие угловую ориентацию
тела, нельзя определить в результате непосредственного интегри-
интегрирования функций соа (t) (а = 1, 2, 3). Вместо этого необходимо
интегрировать дифференциальные уравнения, в которых соа (t)
(ее = 1, 2, 3) служат переменными коэффициентами. Эти уравне-
уравнения будут выведены для случаев, когда в качестве обобщенных
координат берутся направляющие косинусы, углы Эйлера, углы
Брайнта и параметры Эйлера.
2.3.1. Направляющие косинусы
Пусть <о — угловая скорость жестко связанного с телом бази-
базиса е{2) относительно другого базиса еA), а г — связанный с телом
вектор с постоянной матрицей координат гB) в еB). Тогда зави-
зависящая от времени матрица координат вектора г в е{1) дается выра-
выражением rA) (t) = A12 (t) rB), где A12 (t) — матрица направляю-
направляющих косинусов, связывающая два базиса. Производная по вре-
времени от rA) (t) есть
r<b = i<12>rB) B.26)
(здесь и далее в этой главе производные по времени от скаляров
обозначаются точками). Та же самая величина получается в ре-
результате разложения вектора a)drldt = со X г в базисе еA). Это
даетгA) = А12(о{2)г{2). Из сравнения с соотношением B.26) полу-
получаем А 12гB) = А12соB)гB). Поскольку это равенство имеет место
для любой матрицы координат гB), множители перед ней должны
быть равны. Опуская верхний индекс у соB) и переходя в обеих
частях равенства к транспонированным матрицам, получаем
i21 = -o?2i# B.27)
Эти уравнения представляют собой искомые дифференциальные
уравнения в матричной форме для девяти направляющих косину-

2. 3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
33
сов. Они известны как уравнения Пуассона. Для отдельных эле-
элементов матрицы А21 они имеют вид
Ац = 0K^21 — СО2^з1 И Т. Д.
Ввиду наличия шести уравнений связей B.1) только три диф-
дифференциальных уравнения нуждаются в интегрировании.
2.3.2. Углы Эйлера
Из рис. 2.1 видно, что угловая скорость со базиса е{2) относи-
относительно еа) выражается в виде
Разложение в е{2) приводит к уравнениям в координатной форме
sin 6 sin ф cos ф О
со2
sin 6 cos ф — sin ф О
cos 6
0
?
е
L ф J
B.28)
Разрешая эти уравнения относительно г|), 6 и ф, находим
У?
е
sin ф
sin 6
СОвф
—зшф^е
coscp
sin 6
-sinq
— cosq
0J
.(Оз.
B.29)
Эти уравнения представляют собой искомые кинематические диф-
дифференциальные уравнения. Они снова показывают, что численные
трудности возникают, если 6 близко к критическим значениям
пп (п = О, 1, . . .).
2.3.3. Углы Брайнта
Согласно рис. 2.3,
со == ф^0 + ф2вB2)/ + ф3в(з2). B.30)
Разложение в еB) приводит к уравнениям в координатной форме
со.
СОо
cos ф2 cos ф3 sin ф3 0
— cos ф2 sin ф3 cos ф3 0
0 1
ф2
B.31)
3-0603

34
2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ГЕЛА
Разрешая их относительно <р1? ф2 и ф3, находим
Ф2
COS фз
cosq>2
COS фз
ш — cos фз tg ф2 sin фз tg ф2
со4
С02
B.32)
Эти уравнения представляют собой кинематические дифферен-
дифференциальные уравнения для углов Брайнта. Они имеют особенность
для критических значений ф2 = я/2 + пп (п = 0, 1, . . .). При
выводе уравнений B.6) было показано, что для малых углов <р1? ф2
и фз ориентация тела в базисе еA) в линейном приближении может
быть описана вектором поворота <р с координатами ф1? ф2 и ф3.
Из уравнений B.31) следует, что в линейном приближении сох «
• • •
» ф1? со2 » ф2 и со3 ^ Фз- Поэтому угловая ориентация тела нахо-
находится в результате непосредственного интегрирования:
Фа (*) ^ 1 йа @ ^i а = 1, 2, 3 (ф1? ф2, Фз — малые величины).
Эти приближенные формулы для малых угловых перемещений
часто используются в технических задачах.
2.3.4. Параметры Эйлера
Заменим в уравнениях Пуассона B.27), которые можно записать
в виде со= —А21А12, матрицы^!12 и А21 матрицей, транспонирован-
транспонированной по отношению к матрице, фигурирующей в соотношении B.13),
и ее производной по времени соответственно
= 2
Отсюда получаем
+ qf-ЯоЯ-?o?).
со • • ~
- -=- = 2q0q0 Bq20 -1)E_+ Aqoqo (gf + qoq) +
+ Bql-l)('qf + qf- gog- qoq) +
+ 2 (qf + qf - Щ- qoq) (qf + qo<?)- B.33)
Для упрощения этого выражения используем уравнение связи
B.12) и соотношение, получаемое в результате его дифференциро-

2. 3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 35
вания по времени:
Примем во внимание также уравнения A.22) — A.29). В уравне-
уравнении B.33) произведение последних двух выражений в скобках
содержит среди других следующие члены:
= ЯоЯо [ЯЯ
Т ~ A ~
= о,
, g* g g = q\ (qqT + qoqoE).
С учетом этих выражений уравнение B.33) можно переписать
в виде
4 ??
Используем в этом уравнении тождества
= gq, q\E + q<f = Я + gg.
Они приводят выражение в квадратных скобках к —q. В резуль-
результате получаем
или с учетом соотношения A.29)
так что (о= — 2(gg + g0g — qoq).
Таким образом, координаты вектора со в базисе е<2) представ-
ляются линейными комбинациями д,-, а также qt (i = 0, . . ., 3).
В явной форме эти уравнения даются тремя последними строками
матричного
уравнения
"о"
а>2
<°з_
= 2
— 4-L
_ — Яз
до
— Яз
Яз
— Яч
Я1
Яо-
ЯоЯо
Яi
Яъ
•
3*

36
2 КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Первая строка представляет собой результат дифференцирования
по времени уравнения связи. Она добавлена для того, чтобы мат-
матрица коэффициентов была квадратной. В силу уравнения связи
эта матрица является ортогональной с определителем, равным
единице. Поэтому ее обратная матрица равна транспонированной
матрице. Разрешим последнее уравнение относительно qt (i =
= 0, . . ., 3) и представим получаемый результат в виде
B.34)
Эти уравнения представляют собой искомые кинематические
дифференциальные уравнения для параметров Эйлера. Все четыре
уравнения численно интегрируются. Уравнение связей служит
•
Чг
1
" 2
""о
СО
—
— О)
Чг
Л*-
Рис. 2.8.
Двухрамочный подвес о
неортогональными ося-
осями рамок.
для корректировки ошибок округления. Если после некоторого
числа шагов интегрирования получаемые значения для qi (i =
= 0, . . ., 3) строго не удовлетворяют уравнению связей, то
вычисления следует продолжать не с qti а с скорректированных
значений
з
* / yi 0Ч-1/2 /. q o\
i=0
Задачи
q*
2.6. Вывести формулу поправок для q* (i = 0, . . ., ?) из условия, что
з
сумма квадратов ошибок, т. е. 2 (<?г —- 4iJi есть минимум.
г=0
2.7. Твердое тело подвешено в двух рамках, как показано на рис. 2.8.
Угол между двумя осями внешней рамки отличается от 90° на а, а между ося-
осями внутренней рамки — на р.. Пусть <рь q>2 и q>3 определяются подобно углам

2. 3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 37
Брайнта, т. е. как углы поворота внешней рамки вокруг е^1), внутренней
рамки относительно внешней рамки и тела относительно внутренней рамки
соответственно. Для фх = ср2 = ср3 = 0 плоскости рамок перпендикулярны
одна другой, и, кроме того, базисные векторы е^1} и еB1} базиса отсчета,
а также связанный с телом базисный вектор е{\> лежат в плоскости внешней
рамки. Вывести выражение для матрицы направляющих косинусов А21
и кинематические дифференциальные уравнения, аналогичные уравнени-
уравнениям B.32).

3. Основные принципы динамики
твердого тела
В динамике твердого тела двумя наиболее важными физиче-
физическими величинами являются кинетическая энергия и момент коли-
количества движения. Обе непосредственно приводят к определению
тензора инерции.
3.1. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия есть ска л ярнаяЗве личина. Для материаль-
ной точки массы т она определяется как Т = mz2/2, где z —
абсолютная скорость массы т, т. е. ее скорость относительно инер-
циалъного базиса отсчета. Везде в этой главе точка над вектором
Инерциальный
dame отсчета
Рис. 3.1.
Радиус-векторы мате-
материальной частицы dm
твердого тела. Центр
масс С и неизменно свя-
связанная с телом точка Р.
обозначает дифференцирование по времени в инерциальном базисе.
Для твердого тела как для любого протяженного тела кинетиче-
кинетическая энергия определяется как интеграл
Пусть Р—произвольная фиксированная точка тела (рис. 3.1).
Абсолютная скорость z материальной частицы dm в силу соотно-
шения B.25) равна, z = vP + <o X г, где vP = zP — абсолютная
скорость полюса Р, со — абсолютная угловая скорость тела а г —
радиус-вектор материальной частицы относительно точки Р.
На рис. 3.1 точка С с радиус-вектором rc = PC указывает центр

3. 1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
39
масс тела. Вычисление интеграла дает
1
Т = -?- vpm +
~{ (toXrJdm. C.1)
Это выражение принимает особенно простой вид, если фиксиро-
фиксированная в теле точка Р является неподвижной и в инерциальном
пространстве или если в качестве полюса выбран центр масс С.
В первом случае vP = О, так что первые два члены равны нулю.
В последнем случае гс = О, так что средний член исчезает. Тогда
первый член представляет собой кинетическую энергию поступа-
поступательного движения Гпост, а третий член — кинетическую энер-
энергию вращательного движения jTbp. Для подынтегрального выра-
выражения в третьем члене имеет место тождество г)
(о х гJ = (о- [г X (со X г)].
Запишем это выражение в тензорном виде (см. соотношение A.27)):
г X ((о X г) = (r2E —rr) .(о.
Тогда получаем
" ((DXrJdm==(D.Jp.(D, C.2)
где 5Р — тензор:
\
Jp= f (r2E — rг) dm.
C.3)
Он называется тендером инерции тела относительно точки Р.
В связанном с телом базисе еB), в котором г имеет матрицу коор-
координат г, тензор Jp имеет матрицу координат
Jp= f (r^rE — rr
или в явном виде
— \ г±г3 dm
Л) dm — [ Г2гз dm
симметрично
Jlx —
dm
т
__/13 _/.
23
C.4)
x) Символы точка и крест в смешанных произведениях можно поменять
местами, так что © X г*с = ©-г X с. Здесь с равно <о X г.

40 3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Интегралы /п, /22 и /33, стоящие на диагонали, называются
моментами инерции, а интегралы /12, /13 и /23 — произведения-
произведениями инерции относительно точки Р в базисе е{2\ Сама симметриче-
симметрическая матрица Jp называется матрицей инерции тела относительно
Р в е{2\ Это — геометрическая величина, определяемая распре-
распределением массы тела. С учетом C.2) вьфажение C.1) для кинети-
кинетической энергии принимает вид
Т = -JT" vpm -j- Vp • (со X f*c) m H—o~ © * J" * ©•
z z
3.2. Момент количеств движения
Момент количества абсолютного движения, называемый также
кинетическим моментом в абсолютном движении материальной
точки с массой т, имеющей абсолютную скорость z, есть вектор.
Для его определения необходимо взять некоторую точку в каче-
качестве полюса. Пусть О — точка, неподвижная в инерциальном про-
пространстве. Момент количества абсолютного движения относитель-
относительно точки О есть L° = z x zm, где z — радиус-вектор материаль-
материальной точки относительно О. Это выражение служит объяснением
термина «момент количества движения», так как zm есть количе-
количество движения материальной точки. Для твердого тела, как и для
любого протяженного тела, момент количеств абсолютного дви-
движения относительно О есть интеграл
L° = j zxzdm. C.5)
т
При вычислении этого интеграла воспользуемся снова характери-
характеристиками, указанными на рис. 3.1 (центр масс С, произвольная
фиксированная точка Р тела). Поскольку
то интеграл принимает вид
L° = f (zp+r) X (vP+& xr)dm =
m
= zPx (vP + @ Xrc)m-{-rcX vPm+ \ rx(o)Xr) dm. C.6)
Выражение vP -f со Х гс в первой скобке есть абсолютная ско-
скорость центра масс С, так что (vP + со X rc) m представляет собой
количество абсолютного движения тела. Выражение для L0 при-

3. 3. СВОЙСТВА МОМЕНТОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ ИНЕРЦИИ 41
нимает особенно простой вид, когда неподвижная в теле точка Р
неподвижна и в инерциальном пространстве или когда в качестве
полюса выбирается центр масс С. В первом случае vP = О, а в по-
последнем гс = 0. В обоих случаях средний член в соотношении
C.6) исчезает. Тогда первый член представляет собой момент коли-
количеств движения относительно О, обусловленный поступательным
движением тела вместе с центром масс, последний член представ-
представляет собой момент количеств движения, вызванный вращением
тела. Используя тензорные обозначения, этот последний член
представим в форме
= [ (г2Е —rr)dm-co = Jp.(o. C.7)
Это выражение вновь приводит к тензору инерции тела относитель-
относительно точки Р. Момент количеств движения с учетом последнего соот-
соотношения принимает вид
L0 = zP X (vP + <о X гс) т + rc x vPm + Jp со. C.8)
Задача
3.1. Вычислите момент количеств абсолютного движения Lc твердого
тела относительно его центра масс С. Для сравнения рассмотрите тело, одна
точка Р которого неподвижная в инерциальном пространстве. Используя
выражение C.8), найдите момент количеств абсолютного движения Lp отно-
относительно этой точки.
3.3. Свойства моментов и произведений инерции
3.3.1. Переход к другому полюсу без изменения
базиса отсчета
Пусть задан тензор инерции Jp тела относительно точки Р. Что
представляет собой тензор инерции Jp* относительно другой
точки Р*? Для решения этой задачи достаточно установить соот-
соотношение между Jp и центральным тензором инерции Jc, т. е. тен-
тензором инерции относительно центра масс С тела. Обозначим через
р радиус-вектор материальной частицы относительно С (рис. 3.2).
В соответствии с общим определением центральный тензор инер-
инерции есть

42 3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
а тензор инерции относительно точки Р (с учетом того, что г =
и \ pdm =
Это представляет собой искомое соотношение между Jp и Jc.
Рис. 3.2.
Радиус-векторы мате-
материальной частицы dm.
Центр масс С и неизмен-
неизменно связанная с телом
точка Р.
Вычисление в связанном с телом базисе отсчета дает координатное
уравнение в матричной форме
JP = JC f f
с
J ар = J а
и выражения для моментов и произведений инерции
а, р, у различные. C.9)
Эти формулы известны как формулы Гюйгенса — Штейнера.
3*3*2. Переход к другому базису отсчета
без изменения полюса
Пусть еB) и еC) = Л32?B) суть два векторных базиса, неподвиж-
неподвижных в одном и том же теле, и пусть, кроме того, Р — точка этого
тела. Зададим матрицу инерции J{2)P тела относительно Р в бази-
базисе еB). Что представляет собой матрица инерции /C)Р в базисе
еC) относительно той же самой точки Р? Ответ получается в резуль-
результате применения уравнения преобразования A.19) для координат
тензора:
C)РB)Р# C.10)

3. 3. СВОЙСТВА МОМЕНТОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ ИНЕРЦИИ 43
Формулы преобразования для всех моментов и произведений инер-
инерции получаются из этого матричного уравнения после перемноже-
перемножения сомножителей в правой части. Однако эти формулы имеют
довольно сложный вид, и поэтому предпочтительно запомнить
только одно матричное уравнение.
3.3.3. Главные оси и главные моменты инерции
Предположим, что для тела известна матрица инерции /B)Р
относительно некоторого полюса Р и для некоторого связанного
с телом базиса еB) и что она не является диагональной матрицей.
Существует ли другой связанный с телом базис еC\ для которого
матрица инерции /C)Р (относительно той же самой точки Р)
имеет диагональный вид? Если да, то как по матрице /B)Р опре-
определяются диагональные элементы матрицы /C)Р и матрица пре-
преобразования Л23, связывающая еB) и еC)? Ответ на эти вопросы
получаем следующим образом.
Неизвестные /C)Р и Л23 связаны с /B)Р уравнением C.10).
Опуская верхний индекс Р, это уравнение можно записать в форме
/B)Л23 = Л23/C). Пусть /1? /2 и /3 суть неизвестные диагональные
элементы матрицы /C), а А%? (а = 1, 2, 3) — а-столбец матрицы
Л23, т. е. матрица координат базисного вектора' е«3) в базисе еB).
Тогда уравнение преобразования эквивалентно уравнениям
/B)Ла8 = JaAc? (а = 1» 2, 3). Каждое из этих уравнений пред-
представляет собой одну и ту же задачу на собственные значения:
(/<*>-/аЯ)Л§? = 0. C.11)
Неизвестные /х, /2 и /3 суть собственные значения. Они являются
корнями кубического уравнения
det (/<*> — JaE) = 0. C.12)
Неизвестные матрицы-столбцы AS? (а = 1, 2, 3) суть соответствую-
соответствующие собственные векторы. Эти результаты не только отвечают
на вопрос, как по матрице /B) определяются /C) и А23. Они также
показывают, что для любой матрицы инерции /B) существует
вещественный базис еC), в котором матрица инерции /C) имеет
диагональный вид и вещественна. Это следует из того обстоятель-
обстоятельства, что симметрическая матрица имеет вещественные собствен-
собственные значения и собственные векторы и что, кроме того, собствен-
собственные векторы взаимно ортогональны (см. Гантмахер [3]).

44 3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Собственные значения /1? /2 и /3 называются главными момен-
моментами инерции (относительно точки Р), а базисные векторы е{а
(а = 1, 2, 3) определяют направления, называемые главными
осями инерции (относительно Р). При определении этих главных
осей необходимо различать случаи, когда все три собственных
значения отличаются одно от другого и когда уравнение C.12)
имеет двойной или тройной корень. В случае трех различных
собственных значений в уравнении C.11) каждая из трех матриц
коэффициентов (/B) — /а?") имеет дефект, равный единице. Тогда
каждое из уравнений определяет единственным образом направле-
направление одной из главных осей инерции. Элементы матрицы-столбца
А^ определяются, если принять во внимание уравнение связи
S = 1.
В случае двойного собственного значения /х = J\Ф /3 глав-
главная ось, которая соответствует значению /3, определяется, как
и прежде, единственным образом. Однако для собственного значе-
значения Jx матрица коэффициентов (/B) — JаЕ) в уравнении C.11)
имеет дефект, равный двум, и поэтому уравнение определяет
только плоскость. Это есть плоскость, проходящая через две
главные оси, которые соответствуют значениям /х и /2 = /х.
Любые две взаимно перпендикулярные оси в этой плоскости (про-
(проходящие через точку Р) могут служить главными осями инерции,
потому что для каждой такой оси момент инерции имеет величи-
величину /х.
В случае тройного собственного значения /х = /2 = /3 исход-
исходная матрица /B) уже имеет диагональный вид. Тогда все оси, про-
проходящие через точку Р, являются главными осями инерции.
3.3.4. Инварианты и неравенства для моментов
и произведений инерции
При исследовании устойчивости движения и других задач иног-
иногда необходимо определить знак выражений, составленных из мо-
моментов и произведений инерции. В подобных случаях полезно
знать инварианты матрицы инерции и неравенства, содержащие
моменты и произведения инерции. Уравнение C.12) представляет
собой кубическое уравнение, служащее для определения главных
моментов инерции. Поскольку эти моменты не зависят от ориен-
ориентации векторного базиса, в котором вычисляется матрица инер-
инерции /B), коэффициенты кубического уравнения также не должны
от нее зависеть. Опуская верхний индекс B), отсюда получаем

3. 3. СВОЙСТВА МОМЕНТОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ ИНЕРЦИИ 45
инварианты
J = Jn/22*^ 33 •'llV 23 •* 22^ 31 ** Ъ2У 12
C.13)
22*^ 33 •'llV 23 •* 22^ 31 ** Ъ2У 12
— ?J ?2У 23«^31 == •* 1У 2^ 3*
Корни кубического уравнения положительные или — в физически
Нереализуемом случае бесконечно тонкого стержня — нули. Поэ-
Поэтому выполняются условия критерия Гурвица. Отсюда следуют
неравенства Сильвестра: Jaa ^ 0 (это уже следует из определе-
определения момента инерции), det / ^> О (это получается из соотноше-
соотношений C.13)) и
JaaJ&p - Jh > °. а, р = 1, 2, 3; а =^ р.
Эти последние неравенства не содержатся в соотношениях C.13).
Из определения моментов и произведений инерции, даваемого
соотношением C.4), следует, что для а, Р и у, служащих любой
из перестановок индексов 1, 2 и 3, имеет место соотношение
= J
aa + w J (a+l + y) yy + j \ dm
m m
и поэтому
Знак равенства имеет место лишь в случае, когда гу = 0, т. е. для
физически нереализуемого тела в форме бесконечно тонкой пла-
пластинки. Кроме того, из соотношения C.4) с учетом неравенства
(гэ ± rvJ > 0, или г$ + г^ > 2 | г$гу |, следует, что
ИЛИ
/аа^г2|/р7|, а, р, 7"~Различные- C.14)
Задачи
3.2. При каких условиях в неравенстве C.14) имеет место знак равен-
равенства?
3.3. Равенство C.10) для преобразования моментов и произведений
инерции принимает особенно простой вид, если два векторных базиса, свя-
связанных матрицей^23, имеют общим один базисный вектор, скажем еC2) = в(|>.
Покажите, что для этого частного случая равенство C.10) можно интерпре-
интерпретировать геометрически посредством известного круга Мора.

46 3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
3.4. На рис. 3.3 показано однородное твердое тело плотности р, имеющее
форму тетраэдра с длинами ребер /, 1/2 и 1B. Сначала найдите, вычисляя
тройные интегралы, моменты и произведения инерции в базисе е относитель-
Рис. 3.3.
Тетраэдр с тремя взаим-
взаимно ортогональными реб-
ребрами.
но начала этого базиса. Далее определите положение центра масс тела и вычис-
вычислите центральные моменты и произведения инерции в том же базисе. Наконец,
используя эти величины, определите главные центральные моменты и оси
инерции.
3.4. Теорема об изменении момента
количеств движения
Вторая аксиома Ньютона для поступательных движений имеет
своим дополнением теорему об изменении момента количеств дви-
движения — основной закон, управляющий вращательными движе-
движениями. В символической форме эта теорема записывается в виде
L° = M° C.15)
и читается следующим образом: абсолютная производная по вре-
времени (т. е. производная по времени в инерциальном базисе отсче-
отсчета) от момента количеств абсолютного движения относительно
полюса О, неподвижного в инерциальном пространстве, равна
главному моменту внешних сил относительно того же самого
полюса. Сначала эта теорема была сформулирована в виде аксио-
аксиомы Эйлером х). Она справедлива для любой материальной системы.
Ее нельзя вывести из аксиом Ньютона без введения дополнитель-
дополнительных предположений. В частном случае системы, состоящей из одно-
одного твердого тела, характер этих предположений можно показать
следующим образом. Пусть твердое тело интерпретируется конеч-
конечным множеством материальных точек с массами тг (i = 1, . . ., п),
которые удерживаются внутренними силами на неизменных рас-
расстояниях одна от другой. Положение массы т-г в инерциальном
пространстве описывается радиус-вектором zt с началом в О
(рис. 3.4). Вторая аксиома Ньютона для одной материальной точ-
точки записывается в виде
Об истории этой теоремы см. работу Трусделла [4].

3. 4. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 47
где jp. — главный вектор внешних сил, приложенных к mt-, F^ —
внутренняя сила, действующая на тг со стороны mj. Векторное
умножение на z% и суммирование по i дает
п ## п п п
S Zi X гм = 2 *i X F,+ 2 2 *« X *V
l l il
Выражение в левой части представляет собой L0 в силу опре-
определения C.5) момента количеств движения. Первая сумма в пра-
правой части есть главный момент М° внешних сил. Для внутренних
Рис. 3.4.
Система материальных
точек как модель твердо-
твердого тела. Точка О непод-
неподвижна в инерциальном
пространстве.
сил справедлива третья аксиома Ньютона Fti = —Fjt (i, j =
= 1, . . ., тг). Следовательно,
г=1 ,7=1
Это уравнение совпадает с теоремой об изменении момента коли-
количеств движения в форме уравнения C.15) только в том случаег
если внутренние силы не изменяют результирующего момента. Это
условие выполняется, если для всех i, / = 1, ..., п векторы
Ftj и Fa имеют одну и ту же линию действия. Это предположение
не является следствием аксиом Ньютона. Оно не тривиально,,
поскольку относительно внутренних сил ничего не известно,
за исключением того, что они удерживают материальные точки
на неизменных расстояниях одна от другой.
Специальная форма теоремы об изменении момента количеств
•
движения для абсолютно твердого тела получается, если L0 выра-
выразить через тензор инерции, угловую скорость и угловое ускорение
тела. Наиболее простой способ для получения этой формы состоит
в дифференцировании выражения C.8) для L0 и подстановке его
в уравнение C.15). По причинам, которые станут понятны в даль-
дальнейшем, более предпочтительно вернуться к определению момента
количеств движения и написать
1° = j zx'zdm. C.16)
т
В этом интеграле z и z выражаются через величины, показанные
на рис. 3.1:
Х@)Хг). C.17)

48 3 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Вектор zP представляет собой абсолютное ускорение связанной
с телом точки Р. С учетом этих выражений
= f
X [zP + (i> X r + co X (со Xr)]dm =
((dX rc)] + rcx zP) +
+ \ r x (со X r) dm + I r x [со X (со x r)] dm.
m m
В силу соотношений C.17), выражение в квадратных скобках
в первом члене равно абсолютному ускорению zc центра масс
тела. Первый интеграл равен Jp«co (ср. C.7)). Во втором интегра-
интеграле подынтегральное выражение можно представить в форме
г X [со X (со X г)] = со X [г X (со X г)]
(это можно проверить разложением двойных векторных произве-
произведений в обеих частях тождества). С учетом этого тождества вто-
второй интеграл станет равен со X Jp-co. Теперь уравнение для L0
принимает вид
L° = m (zP x zc + rc x zP)-\- Jp-(o + (o x JP-co. C.18)
Рассмотрим далее главный момент сил М° относительно точ-
точки О. Если F — главный вектор внешних сил, действующих на те-
тело, а Мр — главный момент внешних сил относительно точки Р,
то М° = Мр + zP X F. В соответствии с законом Ньютона
mzc = F. C.19)
После подстановки в уравнение C.15) этих двух выражений и уче-
учета соотношения C.18) теорема об изменении момента количеств
движения для абсолютно твердого тела принимает свой оконча-
окончательный вид
тгс х zp + Jp-(o + co x 3Р(д = Мр. C.20)
Очевидно, соотношения C.17), так же как и все последующие
соотношения, остаются справедливыми, если полюс Р на рис. 3.1
не является неподвижным в теле, а движется относительно него.
• •
Единственное отличие состоит в том, что zP необходимо рассмат-
рассматривать как абсолютное ускорение не точки Р, а точки тела, кото-
которая в данный момент совпадает с Р. Простота этого вывода достиг-
достигнута в результате того, что вместо дифференцирования соотноше-
соотношения C.8) в основу анализа положено соотношение C.16).

3. 4. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 49
Теорема об изменении момента количеств движения принимает
наиболее простой вид:
Jp-o) + u>X Jp.(o = Mp, C.21)
если за полюс Р принят центр масс тела (гс = 0) или точка (если
такая существует), для которой zP = 0, или точка (если такая
существует), для которой векторы гс и zP коллинеарны. Случай
• •
zP = 0 имеет место тогда, когда неподвижная в теле точка Р
также неподвижна в инерциальном пространстве.
Пусть точка Р совпадает с центром масс С. Тогда из уравне-
уравнения C.21) получаем другое полезное соотношение, заменяя момент
внешних сил Мс выражением
МС=МР—rcxF = Mp — mrcxzc,
где Р — произвольная точка (не обязательно неподвижная в теле),
агс — вектор, проведенный из Р в С. Это приводит к уравнению
тгс х zc + 3°(о + (ох Jc<o = Mp,
которое совпадает с уравнением C.20) с тем лишь отличием, что
абсолютное ускорение и тензор инерции вычисляются для другого
полюса.
Рассмотрим снова уравнение C.21). Далее верхний индекс Р
будем опускать. Тогда в связанном с телом базисе оно примет вид
/co-|-a)/cD = M.
В частности, если направить базисные векторы по главным
осям инерции, то это матричное уравнение эквивалентно урав-
уравнениям
J1co1 — (/2 — /3) со2со3 = Afi,
•>>2 - (J* - Ji) «за)! = М2, C.22)
/3С03 — (Л — /2
которые представляют собой уравнения Эйлера движения твер-
твердого тела. Их можно проинтегрировать в замкнутом виде лишь
в нескольких частных случаях. Математические трудности возни-
возникают по двум причинам. Одна из них состоит в нелинейности левых
частей уравнений. Другая заключается в том, что выражения
в правых частях обычно имеют сложную структуру. Различают
три типа задач. В первом и наиболее простом случае составляющие
Мц М2 и М3 главного момента являются известными функциями
• • •
«1> со2 ,со3 и t (и, возможно, со1? со2 и со3). Физически это означает,
что источник главного момента Ы вращается вместе с телом. Типич-
Типичным примером является момент, создаваемый реактивным двига-
4-0603

50 3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
телем ракеты, который смонтирован на ракете и движется отно-
относительно нее согласно заданной функции времени. В таких слу-
случаях говорят, что твердое тело самовозбуждено.
Все задачи, не относящиеся к этому типу, можно разделить
на два класса. К первому классу относятся задачи, в которых Мг,
М2 и М3 зависят не только от о)!, со2, со3 и t, но также от обобщен-
обобщенных координат, которые описывают угловую ориентацию тела
в несвязанном с телом базисе отсчета. Например, вес тела, под-
подвешенного как маятник, создает момент, компоненты которого
являются функциями направляющих косинусов вертикали отно-
относительно главных осей системы. Зависимость Мг, М2 и М3 от та-
таких обобщенных координат обусловливает математическую связь
между уравнениями Эйлера и кинематическими дифференциаль-
дифференциальными уравнениями, описывающими угловую ориентацию тела
(любая из групп уравнений B.27), B.29), B.32), B.34), зависящих
от выбора обобщенных координат). Еще более сложными являются
задачи, в которых М1? М2 и М3 зависят также от положения и ско-
скорости центра масс тела. Эта зависимость приводит к необходимости
присоединения закона Ньютона (уравнения C.19)). Примерами
такого типа задач служат движения самолетов и кораблей.
Задача]
3.5. На рис. 3.5 показан неоднородный круговой цилиндр, имеющиз
радиус R, массу т и момент инерции Jc относительно оси, проходящей черей
центр масс С. Положение центра масс определяется радиусом Ь. Цилиндр
Рис. 3.5.
Несбалансированный ка-
катящийся цилиндр с цен-
центром масс С.
катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Вывести уравнение
движения, для угловой координаты ф, принимая в качестве полюса Р в урав-
уравнении C.20) 1) центр масс С, 2) геометрический центр МиЗ) точку контакта
с плоскостью.
3.5. Принцип Даламбера в применении
к твердому телу
Принцип Даламбера в общей форме

3. 5. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА 51
справедлив для любой материальной системы (аксиома). Интеграл
берется по всей массе системы. Вектор z есть радиус-вектор мате-
материальной частицы dm относительно точки, которая неподвижна
в инерциальном пространстве. Вторая производная z представляет
собой абсолютное ускорение материальной частицы, a 8z — вариа-
вариацию z, т. е. любое произвольное бесконечно малое перемещениег
допускаемое всеми наложенными на систему связями. Величина dF
представляет собой внешнюю силу, действующую на элементар-
элементарную массу, a 8W — полную виртуальную работу, производимую
внутренними силами при изменении положения системы. Для при-
применения принципа Даламбера к твердому телу полезно ввести
точку отсчета Р, которая может быть или неподвижной в теле,
или двигаться относительно него. Используя обозначения рис. 3.1>
имеем
z = Zp + г. C.23)
• •
Как и в уравнении C.17), zP представляет собой ускорение
не точки Р, а той точки твердого тела, с которой в данный момент
совпадает точка Р, а г — абсолютная вторая производная по вре-
времени неподвижного в теле вектора, проведенного из этой точки
к материальной частице. Аналогично вариация 8z есть сумма
8zP + 8г, где 8г — вариация вектора г, неподвижного в теле.
Согласно теореме Эйлера, любое (конечное или бесконечно малое)
изменение угловой ориентации тела можно представить как пово-
поворот на некоторый угол вокруг некоторой неподвижной в теле оси.
Поэтому вариацию 8г можно представить в форме
8г = 6л: х г, C.24)
где вектор бзт имеет направление оси поворота и модуль, равный
углу поворота вокруг этой оси. Виртуальная работа 8W равна
нулю, потому что в твердом теле не существует относительных
перемещений частиц, на которых внутренние силы совершали бы
работу. Принимая это во внимание и подставляя равенства C.23)
и C.24) в принцип Даламбера, получаем
[ (8zP + 6л; х г) • [dF — (zP + г) dm] = 0.
т
Операции скалярного и векторного умножений можно поменять
местами. Полагая \ dF = F и \ rdm = rcm, имеем
— f
• • • • а а
Сумма &р+гс представляет собой абсолютное ускорение zc
центра масс тела. Первый интеграл дает главный момент Мр внеш-
4*

52
3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
них сил относительно точки Р. Второй интеграл представля-
представляет собой абсолютную производную по времени от интеграла
\г X г dm, который с учетом выражения C.7) равен Jp«<o.
m
Поэтому последнее уравнение можно представить в виде
8zP• (F—zcm) + бзт.(Мр — rc x zPm — Jp<о — <о X JP-<о) = 0. C.25)
Если на тело не наложено никаких связей, то вариации 8zP и бзт
независимы. Тогда принцип Даламбера приводит к уравнениям
zcm =
гс х
x Jp.<o =
Эти уравнения представляют собой вторую аксиому Ньютона
и аксиому Эйлера в общей форме уравнения C.20) соответственно.
Итак, показано, что для твердого тела принцип Даламбера экви-
эквивалентен этим двум аксиомам. Однако это не единственный полез-
полезный результат. В разд. 5.2.8 будет показано, что уравнения дви-
движения сложных систем можно непосредственно получить из урав-
уравнения C.25) в случаях, когда вариации 8zP и бзт не являются неза-
независимыми (см. также задачу 3.6).
Задача
3.6. Твердое тело массы т с центральным моментом инерции Jc движет-
движется так, что неизменно связанные с ним колечки Рг и Р2 скользят без трения
по двум направляющим прямым, образующим угол а (рис. 3.6). Центр С масс
Рис. 3.6.
Плоское движение твер-
твердого тела с центром
масс С. Неизменно свя-
связанные с телом колечки
Рг и Р2 движутся по
прямым твердым направ-
направляющим.
тела движется в плоскости направляющих. На тело действуют внешние силы
Fx и jF2> приложенные к колечкам и направленные вдоль направляющих. Ис-
Используйте уравнение C.25) для вывода уравнения движения, принимая за
переменную угол ф и считая параметрами а, р, а = | а |, tq = \г^ \ и / •
Точку Рг принять в качестве полюса при вычислении J и М .

4. Классические задачи механики
твердого тела
В этой главе рассматриваются некоторые из немногих задач
динамики твердого тела, уравнения движения которых можно
проинтегрировать в замкнутом виде. За исключением гиростата
в разд. 4.7, все задачи исследуются аналогично тому, как эта
изложено в других книгах по механике твердого тела.
4.1. Движение по инерции несимметричного
твердого тела
При отсутствии внешних моментов уравнения движения в фор-
форме уравнений C.21) и C.22) имеют вид
J<o + <oxJ<o = 0 D.1)
и
J1(O1 — (/2 — /3) С02С03 = О,
/2со2 — (/3 — Л) Ю3СО1 = 0, D.2)
/Зсо3 — (Л — A
соответственно. Моменты инерции вычисляются относительно точ-
точки, совпадающей с центром масс тела. Например, эти уравнения
применяются для небесных тел, изолированных от любых внеш-
внешних моментов. Они также описывают движение тела, опертого без
трения в его центре масс (если моментами сил сопротивления воз-
воздуха можно пренебречь). Такой подвес приближенно реализуется
системой рамок вида, показанного на рис. 2.2. Строго говоря, эта
система состоит из трех кинематически связанных тел. Тем не ме-
менее часто влиянием рамок можно пренебречь (в гл. 5 это влияние
будет предметом исследования).
Уравнение D.1) имеет два алгебраических первых интеграла,
которые получаются в результате скалярного умножения на о>
и J-G) соответственно:
) — J J. ' — — — (J J —0

54 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Отсюда следует, что
<oJ<o = 2Г = const,
(J.o)J = L2 = const,
или в величинах, отнесенных к главным осям инерции тела,
2 /«<»& = 27\ D.3)
а=1
S/&©i = La = 2Z?7I. D.4)
а=1
Величины Т ж L представляют собой кинетическую энергию вра-
вращения и модуль кинетического момента соответственно. В урав-
уравнении D.4) введен параметр Z), имеющий размерность момента
инерции. Использование в качестве параметров 2 Г и 2DT вместо
2Т и L2 упрощает в дальнейшем запись формул. Будет рассмотрен
только общий случай, когда три главных момента инерции раз-
различны. Не ограничивая общности, можно считать, что моменты
инерции удовлетворяют неравенствам /3 < /2 < А-
Неподвижный в теле базисный вектор, направленный по глав-
главной оси, которой соответствует /а, обозначим через еа (ос = 1, 2, 3).
Уравнения D.3) и D.4) определяют два фиксированных в теле эллип-
эллипсоида, представляющих собой геометрические места вектора угло-
угловой скорости со. Поэтому вектор принадлежит линии пересечения
эллипсоидов. Эти линии называются полодиями.
4.1.1. Полодии и перманентные |вращения
Исследование геометрических свойств полодий важно для
понимания динамического поведения твердого тела при отсут-
отсутствии внешнего момента. Полезно мыслить эллипсоид энергии как
заданный и представить себе, что эллипсоид кинетического момента
«раздувается» при увеличении параметра D так, что на неизменяе-
неизменяемом эллипсоиде генерируется семейство всех физически реализуе-
реализуемых полодий. Это семейство соответствует некоторому интервалу
значений D, для которых эллипсоид кинетического момента не ле-
лежит целиком внутри или вне эллипсоида энергии. Минимальное
и максимальное значения D находятся в результате умножения
уравнения D.3) на /х и /3 соответственно и вычитания каждого из
уравнений в отдельности из уравнения D.4). В получаемых
уравнениях
/2 (/х - /2) о* + /, (J, - /3) «>23 = 2Г (Л - D), D.5)
J1 (Jx - /3) (о? + /, (/, - /3) < = 2T(D- Js) D.6)

4. 1. ДВИЖЕНИЕ ПО ИНЕРЦИИ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 55
выражения в левой части неотрицательны, так что должны удовлет-
удовлетворяться неравенства
/3 < D < /1#
Таким образом, /3 и /г являются экстремальными значениями D,
для которых уравнения движения имеют вещественные решения.
Особый интерес представляют вырожденные полодии, состоя-
состоящие из отдельных точек. В таких точках эллипсоиды имеют общую
касательную плоскость. Каждая особая точка соответствует реше-
решению (о = (о* = const уравнений движения. Это особое состояние
движения называется перманентным вращением. Из уравнения
D.1) видно, что решение <о = <о* = const возможно только тогда,
когда или вектор <о* равен нулю (в этом тривиальном случае тело
не вращается; оба эллипсоида вырождаются в одну точку), или
когда <о* и кинетический момент L* = J -<о* параллельны. В мат-
матричной форме это последнее условие приводит к координатному
уравнению /со* = А,со* с неизвестным множителем А,, т. е. к задаче
на собственные значения
(/ — Щ со* = 0. D.7)
Уравнение D.7) тождественно по форме уравнению C.11), кото-
которое приводит к главным моментам и главным осям инерции. Из это-
этого тождества следует, что собственные векторы уравнения* D.7),
т. е. оси перманентных вращений, совпадают с главными осями
инерции. Теперь возможно указать особые значения D = Z)*, для
которых эллипсоид кинетического момента соприкасается с эллип-
эллипсоидом энергии в отдельных точках. В состоянии перманентного
вращения около главной оси еа (ос = 1, 2, 3) с угловой скоростью
со* интегралы движения принимают вид 2Г = /асо*2 и 2D*T =
= /«со*2. Отсюда следует, что D* = /а.
Рассмотрим снова все семейство полодий. Ясную картину мож-
можно получить, если рассмотреть проекции полодий на главные пло-
плоскости инерции. Для получения проекции на плоскость, ортого-
ортогональную еа (ос = 1, 2, 3), необходимо исключить соа из уравне-
уравнений D.3) и D.4). Для проекций на плоскости, ортогональные век-
векторам ег и е3, это уже было сделано. Результирующими уравне-
уравнениями являются уравнения D.5) и D.6). Аналогично получаем
уравнение для проекции на плоскость, ортогональную е2:
Ji (Л - /я) и? - «^3 (/* - ^з) со^ = 2Т (D - /2). D.8)
В силу неравенств /3 < /2 < Jx и /3 <; D <; /х, уравнения
D.5) и D.6) описывают семейства эллипсов, тогда как уравнение
D.8) представляет семейство гипербол. Асимптоты гипербол соот-
соответствуют значению D = /2. На рис. АЛ, а — в показаны все три
проекции полодий для одного и того же множества значений D.

Рис. 4.4.
Полодии на эллипсоиде инерции несимметричного твердого тела показаны в проекциях на главные плоскости инер-
инерции а, б, вив перспективе г. Кривые соответствуют параметрам /х = 7, /2 = 5, /3 = 3, D = 3? 3.3, 3.9, 4.5, 5,
5.5, 6.1, 6.7, 7 (для всех величин принята одна и та же единица измерения).

4. 1. ДВИЖЕНИЕ ПО ИНЕРЦИИ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 57-
Внешние кривые служат контурными эллипсами эллипсоида энер-
энергии. На полодиях в виде эллипсов и гипербол следует взять только
те их части, которые целиком лежат внутри контурных эллипсов.
Все три проекции вместе дают представление о пространственной
структуре полодий. Пространственный вид показан на рис. 4.1,г.
Полученные результаты можно резюмировать следующим образом.
Каждому из значений параметра D = D* = /а (а = 1, 2, 3)
соответствует ось перманентного вращения, совпадающая с глав-
главной осью еа. Значению D = D* = Jг дополнительно отвечают
две особые полодии, которые пересекаются в точках, соответ-
соответствующих перманентному вращению вокруг оси еа, и разделяют
все другие полодии на четыре семейства. Два семейства, соответ-
соответствующие значениям D < /2, охватывают ось е3, а остальные,
соответствующие значениям Z)>>/2, охватывают ось ег. Разделяю-
Разделяющие полодии называются сепаратрисами.
4.1.2. Геометрическая интерпретация движения Пуансо
До сих пор интегралы движения были использованы для уста-
установления геометрического места в теле вектора угловой скорости.
Эти интегралы можно также использовать для интерпретации
движения тела относительно инерциального пространства. Эта
Рис. 4.2.
Интерпретация Пуансо
движения уравновешен-
уравновешенного твердого тела.
•Герполодия
Фиксированное
направление
интерпретация принадлежит Пуансо. Уравнение энергии утвер-
утверждает, что скалярное произведение угловой скорости <о и кинети-
кинетического момента L = J-<o постоянно. Поскольку величина и на-
направление вектора L также постоянны, то отсюда следует, что
проекция <ю на это неизменное направление L постоянна. На
рис. 4.2,а дана иллюстрация этого факта. Вектор <о ограничен
неизменяемой плоскостью, перпендикулярной L. Отсюда следуету
что всякое (конечное или бесконечно малое) приращение Д<о между
двумя произвольными моментами времени перпендикулярно L:
LA = 0. Это уравнение определяет неизменяемую плоскость.

58 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Вектор <о также принадлежит эллипсоиду энергии, определяемому
уравнением D.3). Полный дифференциал этого уравнения имеет
з
вид 2/а(оа d(oa = L-dto = 0. Он определяет касательную пло-
a=l
скость к эллипсоиду энергии в точке с координатами щ, со2 и Юз-
Сравнение с уравнением неизменяемой плоскости показывает,
что обе плоскости параллельны.
Этот факт проиллюстрирован на рис. 4.2,6. Точка контакта
эллипсоида с неизменяемой плоскостью лежит на мгновенной оси
вращения. Интерпретацию Пуансо движения можно резюмировать
следующим образом. Тело движется так, как если бы его эллипсоид
энергии катился без скольжения по неизменяемой плоскости, при
этом геометрический центр М эллипсоида энергии закреплен
в инерциалъном пространстве на расстоянии AM = 2T/L выше
этой плоскости. Во время этого качения точка контакта с неизме-
неизменяемой плоскостью вычерчивает полодию на эллипсоиде энергии.
На неизменяемой плоскости точка контакта вычерчивает другую
кривую, называемую герполодией. Свойства герполодий обсуж-
обсуждаются Граммелем [5] и Магнусом [6].
4.1.3. Решение уравнений движения Эйлера
Эйлер дал следующую замкнутую форму решения динамиче-
динамических уравнений движения. Прежде всего уравнения D.5) и D.6)
разрешаются относительно соц и со3 соответственно как функции
от со2:
В этих выражениях а2 и Ъ2 суть неотрицательные постоянные
971 (Г) Г \ ОТ1 ( Т Г)\
а2 = ZI yV — Js) ?2 = *? \J1—U)
которые удовлетворяют соотношению
a2_b2= 2T(J-
Подстановка уравнений D.9) во второе из уравнений D.2) и разде-
разделение переменных дают
где s2 — сокращенное обозначение результирующего знака двух
квадратных корней. Этот знак будет определен позднее. Интеграл

4. 1 ДВИЖЕНИЕ ПО ИНЕРЦИИ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 59
в левой части представляет собой эллиптический интеграл первого
рода. При приведении его к нормальной форме Лежандра следует
различать три случая:
(а) а2 < Ъ2 или D < /2,
(б) а2 = Ъ2 или D = /2,
(в) а2 > Ъ2 или D > /2.
Случаи (а) и (в) соответствуют полодиям, которые охватывают
оси е3 и ег соответственно, а случай (б) — сепаратрисам (см.
рис. 4.1). Рассмотрим сначала случай (а). Уравнение D.10) можно
переписать в виде
или
f dx
J /A—ж2)A —
где
2T(J1-D)(J2-J3) ,ш
а ' 6 7 " v" 'v/ Г JiJ2Js ' Vе/
Решение имеет вид д; = s2 sn т или
^2=52]/ j К Z/) SI1T D.12)
(относительно эллиптических интегралов и эллиптических функций
Якоби см. Тёльке [7]). При подстановке его в уравнения D.9) и
использовании соотношений sn2 т + сп2 т = 1 и dn2 т + &2sn2 т =
= 1 решения для (Oj и оз3 получаем в виде
— D)
Символы 5Х и 53 обозначают пока еще неопределенные знаки соот-
соответствующих квадратных корней. Недостающие соотношения меж-
ДУ 5i» S2 и S3 найдем при подстановке уравнений D.12) и D.13)
во второе из уравнений D.2). Принимая во внимание соотношение
d sn %/dx = сп т dn т, получаем s2 = —s-^g, или
Sls2s3 = — 1. D.14)
Возможны только четыре комбинации знаков, удовлетворяющие
этому соотношению. Этот результат находится в соответствии
с тем фактом, что для каждого значения параметра D существуют
две разделяющие полодии и что на каждой из них со2 проходит
через нуль в двух различных точках (см. рис. 4.1,г).

60 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Случай (в) для D > /2 рассматривается аналогично. Результат
приводит к выражениям
/3(А-/
с модулем к = Ь/а и аргументом
2T(J1-J2)(D-J3)
Знаки s±, s2 и s3 опять удовлетворяют соотношению D.14).
Нет необходимости интегрировать случай (б), так как решения
для случаев (а) и (в) сходятся в пределе при D -»¦ /2 к одному
и тому же результату
/2T
,rt -с
С0з-5з
который, следовательно, представляет собой решение для слу-
случая (б). Эти формулы показывают, что изменение о вдоль сепара-
сепаратрис является апериодическим. При ?-»¦ оо, т. е. при т-> оо, coj
и со3 стремятся к нулю, а со2 асимптотически приближается к зна-
значению s2]/2T/J2- Это движение представляет собой перманентное
вращение вокруг оси е2.
Задача
4.1. Определите из второго уравнения D.2) направление, в котором
со вычерчивает полодии на рис. 4.1,г.
4.1.4. Решение кинематических дифференциальных уравнений
Последняя часть задачи состоит в том, чтобы указать движение
тела в инерциальном пространстве. Для этой цели в качестве
обобщенных координат воспользуемся углами Эйлера. В соответ-
соответствии с рис. 2.1 промежуточный угол 0 измеряется между двумя
осями, одна из которых неподвижна в базисе еA) (связанном
с инерциальным пространством), а другая неподвижна в теле.
Удобно выбрать в качестве оси, неподвижной в инерциальном
пространстве, направление вектора кинетического момента L,
потому что только оно является важной осью. В теле ось е3 охваты-
охватывается полодиями, для которых D <С /2- В случае D > /2 поло-

4. 1. ДВИЖЕНИЕ ПО ИНЕРЦИИ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 61
дии охватывают ось ег. Поэтому выберем эту ось. Рассмотрим сна-
сначала случай D < /2» представленный на рис. 4.2. На этом рисун-
рисунке 0 есть угол РМА, а а|) измеряется в неизменяемой плоскости
между отрезком прямой РА и некоторой прямой, проходящей через
точку А и неизменно связанной с инерциальной системой коор-
координат.
Нет необходимости решать кинематические дифференциальные
уравнения вида B.29). Задача может быть значительно упрощена,
если воспользоваться тем обстоятельством, что момент количеств
движения L имеет постоянную величину и направление в инер-
циальном пространстве. В системе главных осей вектор L имеет
координаты La = /асоа (а = 1, 2, 3). Эти координаты можно
также выразить как функции углов Эйлера и производных по вре-
времени от углов Эйлера. Согласно рис. 2.1, L имеет направление
вектора е?\ Поэтому его координаты в системе главных осей
находятся в третьем столбце матрицы А21 направляющих коси-
косинусов, определяемой соотношением B.2). Искомые выражения
имеют вид
= L sin 0 sin ф, /2со2 = L sin 0 cos ф, J3w3 = L cos 0. D.15)
Отсюда без интегрирования находим
Только угол г|) не определяется непосредственно. Его производная
по времени в соответствии с уравнением B.28) имеет вид
С учетом уравнений D.12) — D.14) выражения для cos 0 и tg ф
принимают вид
2 — /3)
Отсюда дифференцированием находим
t —/g) SI1 T
D.17)
Выражая cos2 ф через tg2 ф, a dn т через со3, последнюю формулу
можно представить в виде
Ф=со3

62 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
С учетом этого выражения уравнение D.16) для о|) принимает вид
Результаты показывают, что 0, <р и г|) являются периодическими
функциями времени. Знак <р совпадает со знаком со3, а величина г|>
всегда положительна (вращение около L по часовой стрелке). Если
нужно определить функцию а|) (t), то уравнение D.18) лучше пере-
переписать в форме
. , Г d%
с новыми постоянными a, b и с. Это выражение представляет собой
нормальную форму эллиптического интеграла третьего рода (см.
Тёльке [7]).
Решение для 0 (t) можно использовать для ответа на вопрос —
является ли ориентация оси е3 в инерциальном пространстве в пер-
манентном вращении около этой оси устойчивой или нет. В силу
симметрии полодий на эллипсоиде энергии необходимо рассмот-
рассмотреть только случай s3 = +1. Эллиптическая функция dn т имеет
нижнюю границу У1 — А;2, где к — модуль, определяемый урав-
уравнением D.11). Это дает для 0 неравенство
сое2
cos
0(/i —/8) D(J2~J3) #
Для движений, близких к перманентному вращению около оси
е3, D немного больше, чем /3. Полагая D = /3 + б, где б <С /Зг
получаем неравенство
sm20< j {/2_js) в.
Оно указывает, что, выбирая соответствующие начальные усло-
условия, угол 0 (t) можно сделать меньшим любого данного произволь-
произвольно малого угла. Следовательно, ориентация в инерциальном про-
пространстве оси перманентного вращения устойчива.
Выкладки, аналогичные приведенным выше, дают решения
в случае D > /2. Как было установлено ранее, теперь угол 0 изме-
измеряется между L и ех. Отправляясь от уравнений
/iCOi = L cos 0, /2со2 = L sin 0 sin ф, /Зсо3 = L sin 0 cos фг
нетрудно получить результаты в форме
j , , /" /о (/i /3) SI1 Т
dnT, tgy=—siy г(т_т\-^ГТ>
<p= — CO4 ( , /a - Sn2T+ г /3 г СП2т)"

4. 2. СИММЕТРИЧНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО В ОТСУТСТВИЕ МОМЕНТА СИЛ 63
Единственное отличие по сравнению со случаем D <С /2 состоит
в том, что теперь ср и щ имеют противоположные знаки. В осталь-
остальном результаты качественно являются теми же самыми. В частно-
частности, находим, что ориентация в инерциальном пространстве оси ег
перманентного вращения устойчива.
Исследование частного случая D = J2 оставляем читателю
(см. задачу 4.2). За исключением этого случая, результаты, изло-
изложенные в этом и предыдущем разделах, дают полное решение
задачи о движении несимметричного твердого тела при отсутствии
момента внешних сил.
Задача
4.2. Покажите, что для перманентных вращений около е2 ориентация
этой оси в инерциальном пространстве неустойчива. Укажите движение
в инерциальном пространстве главной оси е2 в случае D = /2, когда полодией
служит сепаратриса. Указание: определить 6 как угол между L и е2.
4.2. Симметричное твердое тело в отсутствие
момента сил
Решения, полученные в предыдущем разделе, становятся осо-
особенно простыми, если рассматриваемое тело имеет два равных
главных момента инерции, как это часто имеет место в технических
приложениях. Предоставляем читателю возможность приспособить
общие решения для этого частного случая. Здесь предпочтительно
снова исходить из уравнений движения и непосредственно из них
получить специальные решения. Предположим, что главная ось
е3 является осью симметрии тела, так что J1 = J2 ^Ф J3- Главный
момент инерции /3 может быть больше или меньше, чем /х (три-
(тривиальный случай Jx = /2 = /3 рассматривать не будем). При этих
предположениях уравнения Эйлера приводятся к виду
J>2-(/3—/0 ©,«04 = 0, D.19)
/Зсо3 =0.
Они сразу дают
со3 = созо = const,
и, подставляя это значение в первые два уравнения, получаем
• •
(о4 — vco2 = 0, (о2 + v(o4 = 0,
где
POW») u D.20)

64 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Дифференциальные уравнения имеют первый интеграл со^ + со^ =
= Q2 = const. Общее решение для начальных значений со1О и со2о
имеет вид
COj = С010 COS V (t — t0) + С020 Sill V (t — t0) =
= Q sin v (t — t'o),
co2 = co2o cos v (? — t0) — colo sin v (t — t0) = Q cos v (t — ^).
Рассмотрим теперь кинематические уравнения. Снова исполь-
используем углы Эйлера, при этом 9 — угол между осью симметрии
и неподвижным в инерциальном пространстве вектором кинетиче-
кинетического момента L = /хй + /Зсо30. По-прежнему имеют место
уравнения D.15) и D.16), так что
' * cos6
D.21)
Таким образом, 0, ср и г|з оказываются постоянными. Для лучшего
понимания этих результатов снова рассмотрим интерпретацию
движения Пуансо. Эллипсоидом энергии на рис. 4.2 теперь служит
эллипсоид вращения с осью симметрии е3. Поэтому полодии (а так-
также герполодии) представляют собой окружности. Ось е3 движется
до круговому конусу, осью которого служит вектор кинетиче-
кинетического момента L. Угловая скорость в этом движении по конусу,
•
называемая угловой скоростью прецессии, равна г|з. Вектор со угло-
зой скорости тела всегда лежит в плоскости, проходящей через
ось симметрии и кинетический момент L. В теле вектор <о движется
по круговому конусу, определяемому полодией. В инерциальном
пространстве вектор со также движется по круговому конусу. Осью
этого конуса служит кинетический момент L. В соответствии
с разд. 2.2 (рис. 2.7) движение тела можно наблюдать как качение
без скольжения конуса, связанного с телом, по конусу, неподвиж-
неподвижному в инерциальном пространстве. На рис. 4.3,а,б показаны
конус, ометаемый вектором е3, и Два конуса, ометаемые вектором
со. Изображены лишь их проекции на плоскость, проходящую
через е3, © и L. Эллипсы представляют собой контуры эллипсоида
энергии. Необходимы оба рисунка, так как тела в форме стержней,
для которых Jx > /3, имеют движение, отличное от движения
тел в форме дисков, для которых /х << /3. Для первых тел вели-
величина ф положительна, а для последних отрицательна (ср. уравне-
уравнение D.20)). Отметим, что наблюдатель движения может видеть
конус, описываемый осью симметрии е3, и не видеть двух других
конусов (Магнус [8] описывает экспериментальное устройство,

4. 3. САМОВОЗБУШДАЕМОЕ СИММЕТРИЧНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО
65
которое позволяет наблюдать движение со по конусу, связанному
с телом). Предоставляем читателю проверить, что углы % и \х
связаны уравнением
JLS—= 1~~ si со80а
sin \х J3
В технических приложениях движения симметричных тел
обычно мало отличаются от перманентных вращений около оси
U
Неподвижная
плоскость
Рис. 4.3.
Неизменно связанный с телом конус Л, ометаемый вектором со, катится по
неподвижному в пространстве конусу В, ометаемому вектором «; ось сим-
симметрии е3 ометает неподвижный в пространстве конус С. Эллипсоид энергии
пересекается с конусом А по полодии и катится по неподвижной плоскости.
а — тело в форме стержня; б — тело в форме диска.
симметрии. Для таких движений со30 практически совпадает с со =
= | со |, а Э очень мал. Тогда угловая скорость прецессии при-
приближенно равна
для е<1.
D.22)
4.3. Самовозбуждаемое симметричное
твердое тело
Предметом исследования в этом разделе служит симметричное
твердое тело с главными моментами инерции /1? /2 = J1n J3z^=Ju
находящееся под действием момента сил, проекции которого
на главные оси координат являются функциями времени. Уравне-
Уравнения движения Эйлера имеют вид
со2со3 = Мх
= М2
D.23)
5-0603

66 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Мы начнем с простого случая, когда М3 (t) тождественно равна
нулю. Тогда (о3 = const и два первых уравнения приводятся
к следующим:
с постоянной v = (о3 (/х — J3)Ui и функциями т1 (t) = Мг {t)/Ji
и т2 (t) = Мг (t)/J^ Вводя комплексные величины со* = а)г +
+ ш2 и т* = ш1 + ^2» эти уравнения можно привести к одному
комплексному уравнению
Оно имеет общее решение
t
О
Отделяя вещественную и мнимую части, получаем решения для
(ох (t) и (о2 @:
cot (t) = со1О cos vt + (о2о sin v^ +
t
+ 1 [^!(t)cosv(t — t) + m2(r) sin v(T — t)]dr,
0 D.25)
co2 @ = co2ocos v^—(o10sinv? +
t
4- \ [mi (t) sin v (t —
0
Исследуем теперь общий случай, когда М3 (t) Ф О.Из третьего
уравнения системы D.23) получаем решение для со3 (t):
t
1 (*
0K (t) = Ш30 + -j^ j М3(т)йт.
0
Введем теперь вспомогательную переменную a (t) уравнением
t
а (*) = С (о3 (т) dr.
о
Эта переменная является известной функцией времени. Для обрат-
обратной функции t (а) замкнутая форма выражения может не существо-
существовать. Тем не менее ее значения можно найти по крайней мере
численно. В первых двух уравнениях Эйлера щ и со2 можно

4. 4. СИММЕТРИЧНЫЙ ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК
67
представить в форме
* = 1, 2,
где штрих обозначает дифференцирование по а. С
выражений уравнения движения принимают вид
coj — v(o2 = Щ. (а)> Wg + vcoj = т2 (а
учетом этих
с постоянной v = (/г — Js)IJi и функциями тх (а) =
= Мх (t (а))/1/хс0з (t (а))] и т2 (а) = М2 (t (cc))/fJr1co3 (t (а))]. Эти
уравнения тождественны уравнениям D.24) с тем лишь отличием,
что вместо t независимой переменной служит а. Следовательно,
решение имеет вид D.25), если всюду заменить i на a (i), a под
тг и т2 понимать определенные выше функции от а.
4.4. Симметричный тяжелый волчок
Рассматривается твердое тело, которое в инерциальном про-
пространстве оперто в одной точке, не совпадающей с центром масс
тела. На тело действует только сила тяжести. В литературе эта
система известна как тяжелый волчок. Общее решение его уравне-
уравнений движения неизвестно. Оно известно только для частного слу-
случая, когда распределение масс тела обладает осевой симметрией и,
кроме того, точка опоры находится на оси симметрии. На рис. 4.4
Рис. 4.4.
Симметричный тяжелый
волчок и его координа-
координаты яр, 0, ф.
изображен такой симметричный тяжелый волчок в положении,
когда точка опоры расположена ниже центра масс. Эта система,
решение для которой было найдено Лагранжем, служит предметом
последующего рассмотрения.

68 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент силы тяжести зависит от ориентации тела в инерциаль-
ном пространстве. Следствием этой функциональной зависимости
является то обстоятельство, что уравнения движения Эйлера
связаны с кинематическими дифференциальными уравнениями,
которыми определяется о> через обобщенные координаты. По этой
причине мы не будем использовать уравнения Эйлера. Вместо
них лучше составить дифференциальные уравнения второго поряд-
порядка для соответствующим образом выбранных обобщенных коорди-
координат и решать эти уравнения.
В теле, а также в инерциальном пространстве существуют
важные с физической точки зрения направления, а именно ось
симметрии в теле и вертикальная линия действия силы тяжести
в инерциальном пространстве. Это наводит на мысль использовать
в качестве обобщенных координат углы Эйлера, из которых 0 —
угол между этими двумя направлениями. Углы Эйлера г|з, 0 и <р
определим, как показано на рис. 2.1. Они связывают базис,
неподвижный в теле, с базисом, неподвижным в инерциальном
пространстве.
На рис. 4.4 связанный с телом базис не показан. Показаны
базис еA), неподвижный в инерциальном пространстве, и базис еB),
который не является неподвижным ни в теле, ни в инерциальном
пространстве. Его базисный вектор е{\? лежит на оси симметрии,
а е{1> всегда перпендикулярен вертикали е{\К Этот базис совпадает
с базисом еB)' на рис. 2.1. Его абсолютная угловая скорость отли-
отличается от абсолютной угловой скорости а> тела на составляющую»
которая направлена вдоль оси симметрии и равна уе<2). В силу
симметрии моменты инерции тела постоянны в еB), несмотря на
движение этого базиса относительно тела.
Уравнения движения получим из теоремы о кинетическом
моменте в общей форме C.15). Возьмем точку опоры О тела за
начало отсчета в инерциальном пространстве. Абсолютная произ-
•
водная по времени L0 выражается через производную по вре-
времени <2)dL°/dt в базисе еB). Согласно уравнению B.23), две произ-
производные связаны| соотношением
L =—j?-Li +il XL ,] D.2b)
где й — абсолютная угловая скорость базиса еB). Используя
рис. 4.4, находим
L° = J±Qe™ + Jtf sin 0e<2) + /3(ф + Ф cos 0) el*\ D.27)
Я = Qe[2) + ф sin 0ef + ф cos Qe™, D.28)
= mgs sin Qe[
[2)

4. 4. СИММЕТРИЧНЫЙ ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК 69
Подстановка в уравнения D.26) и C.15) приводит к искомым
скалярным дифференциальным уравнениям движения
Ф cos 6) —- Л"Ф cos 0] Ф sin e — m8s sin 8 = °> D.29)
/4\|) sin 9 + 2/4\|H cos 9 — /39 (ф + -ф cos 9) =- 0, D.30)
Ф + \|} cos 0 —- \pQ sin 0 = 0.
В последнем уравнении выражение в левой части равно
d
откуда следует первый интеграл
Ф + \|) cos 0 = со3 = const. D-31)
Его можно получить также непосредственно из третьего уравне-
уравнения Эйлера, которое для J1 = /2 и ikf3 = 0 сводится к со3 = 0.
С учетом этого интеграла уравнения D.29) и D.30) принимают вид
J*fi + (^з^з — «Л^ cos 0) \j)?sin 0 — mgs sin 0 = 0, D.32)
J^ sin 0 + г/^О cos 0 — /3co30 = 0. D.33)
Эти уравнения дают еще два алгебраических интеграла. Если
второе уравнение умножить на sin 0, то его можно переписать
в форме
-^ (/^ sin2 0 + /3СО3 cos;0) = 0. D.34)
С другой стороны, если уравнение D.32) умножить на 0, а уравне-
ние D.33) — на г|) sin 0 и оба уравнения сложить, то найдем, что
_
mgs cos е j = q D.35)
Эти два интеграла можно также найти непосредственно, не обра-
обращаясь к уравнениям движения. Поскольку момент силы тяжести
относительно вертикали е<? равен нулю, составляющая кинети-
кинетического момента на это направление должна быть постоянной.
Принимая во внимание соотношение D.27) и геометрию системы,
показанной на рис. 4.4, для величины L этой составляющей имеем
выражение
J^f sin2 0 + /Зсо3 cos 0 = L. D.36)
Это уравнение эквивалентно уравнению D.34). Рассматривае-
Рассматриваемая система консервативна, так что ее полная энергия Е сохраняет

70 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
постоянное значение. Это дает
J1 (со* + со*) + /3(о^ + 2mgs cos 0 = 2Е
или, используя выражения для сог — Qx и со2 = й2 из D.28)э
/х (г|J sin2 9 + 02) + 2mgs cos в = 2Е — /я©| = const. D.37)
Оно эквивалентно уравнению D.35).
Перед изложением общего решения задачи рассмотрим два
частных типа движений, которые могут быть реализованы при
соответствующем выборе начальных условий. Одно из них пред-
представляет собой произвольное плоское движение маятника с со3 = 0,
для которого единственной изменяющейся со временем координа-
координатой является угол 0. В этом случае уравнения движения при-
приводятся к уравнению /Х0 — mgs sin 0 == 0, а из трех интегралов
движения оказывается нетривиальным только интеграл энергии
/i02 +2 mgs cos 0 = 2Е.
Эти два уравнения действительно представляют собой диффе-
дифференциальное уравнение и интеграл энергии соответственно плоско-
плоского физического маятника (отметим, что обычно в качестве незави-
независимой переменной используется а — п — 0). Второй частный
тип движения характеризуется постоянным значением угла 0 = 0О.
При этом условии уравнение D.33) дает г|з = const и, кроме того,
уравнение D.31) приводится к <р = const. Эта геометрически
простая форма движения известна под названием регулярной пре-
прецессии. Ось симметрии тела движется с постоянной угловой ско-
ростъю прецессии г|) по круговому конусу с вертикальной осью е™.
• •
Уравнение D.32) при 0 = 0 представляет собой квадратное уравне-
относительно г|), которое имеет решения
|*1'2= ,
если cosJ60 = U. ^
D.38)
Следует отметить, что все полученные до сих пор результаты
справедливы также для частного случая, когда s равно нулю,
т. е. для симметричного тела, опертого в его центре масс, и на
которое, следовательно, не действует момент сил. Из разд. 4.2
известно, что при этих условиях возможны только два типа движе-
движений, а именно перманентное вращение вокруг оси симметрии
и прецессия с угловой скоростью прецессии г|), определяемой

4. 4. СИММЕТРИЧНЫЙ ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК 71
уравнением D.21). Уравнение D.38) для 5 = 0 имеет два решения
Эти
cos 0О
решения действительно дают угловую скорость прецессии,
и результат для г|J в случае со3Ф 0 можно интерпретировать как
перманентное вращение вокруг оси симметрии. Теперь рассмотрим
общий елучай|?уравнения D.38) с s > 0. Если тело подвешено
(cos 0О << 0), то оба корня г^ и i|J являются положительными для
любых значений 0О. В положениях, показанных на рис. 4.4 в ка-
качестве примера, для которых cos Эо > 0, регулярные прецессии
Рис. 4.5.
Угловые скорости я^ и
\р2 регулярных прецес-
прецессий как функции от со3
и 0О.
ж
возможны только в том случае, если угловая скорость со3 тела
достаточно велика для того, чтобы подкоренное выражение было
положительно.
На рис. 4.5 соотношение между -фх, г|J и со3 схематично проил-
проиллюстрировано для различных значений параметра 0О. Для быстро
вращающихся тел корни стремятся к значениям
Km 4hi=
CO3-.OC Tl
D.39)
Одно из асимптотических решений пропорционально со3 и пред-
представляет собой быструю регулярную прецессию, тогда как другое
пропорционально 1/со3 и отвечает медленной регулярной прецессии.
Угловая скорость быстрой регулярной прецессии совпадает
с угловой скоростью прецессии свободного от момента сил сим-
симметричного твердого тела, а также с грд. для s = О, в то время как
угловая скорость медленной регулярной прецессии совпадает
с точным решением для т|) в случае, когда cos 0О = 0.
Обратимся теперь к общему решению задачи. Начнем с интегра-
интегралов движения. Интеграл D.36) дает
• L — /оЮо cos 0 /7 /пч

72 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Подстановка в интеграл D.37) приводит к дифференциальному
уравнению для 6:
= 2Е- J3v>\ - 2mgs cos 9 - {L ~ JJ^a 6J . D.41)
Как только известно решение 6 (t) этого уравнения, if> (t) и ф (t)
можно найти в виде квадратур из уравнений D.40) и D.31). С но-
новой переменной
и = cos 6, и = —0 sin 0 D.42)
уравнение D.41) после простых преобразований принимает вид
*2 BЕ — /Зсо| — 2mgsu) A — и2) (L — J2(?>3uJ ,, /Qv
U — _ .о • \ • /
J I J1
Выражение в правой части представляет собой кубический
полином ог и. Относительно расположения его корней можно
высказать следующие утверждения. Для и = +1, а также для
и = —1 этот полином принимает отрицательные значения. В пре-
пределе при и->- +оо он стремится к плюс бесконечности. Поэтому
он имеет по крайней мере один вещественный корень и3 > 1.
В силу соотношения D.42) представляет интерес только интервал
йЧ
А /Ь
1^
Рис. 4.6.
Схематичный вид функ-
|м|^1. Поскольку для вещественных решений и2 (и) должно
быть неотрицательно, то где-то на этом интервале полином должен
иметь или два вещественных корня, или один двойной веществен-
вещественный корень. Поэтому для комбинаций параметров, соответствую-
соответствующих вещественным решениям, график функции и2 (и) имеет вид,
схематично представленный на рис. 4.6. Корни иг и и2 имеют или
одинаковые, или противоположные знаки. То, что оба случая
физически реализуемы, можно показать на двух частных типах
движения, исследованных ранее. Для маятниковых движений
амплитуда 6 может быть выбрана так, что знак и (t) = cos 0 (t)
всегда остается или отрицательным, или положительным. Для
регулярной прецессии и постоянно. Предположим, что корни
иг, и2 и щ занумерованы в порядке, указанном на рис. 4.6
(иг ^ и2 < и3). Используя эти корни, уравнение D.43) приведем
к виду
•м
Если и заменить новой переменной у, определяемой уравнением
и = щ + (и2 — иг) у2, D.44)

4. 4. СИММЕТРИЧНЫЙ ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК 73
то это уравнение после простых преобразований примет вид
m8S Л. 7, \ ( \ 7,2\ (\
где
0^/с2= U2~~Ul <^;1. D.45)
Разделение переменных приводит к эллиптическому интегралу
первого рода с модулем к
s — ujmgs _^
_ r — t.
J Vn-v*)(l-
Он имеет решение и = sn т. Поэтому решением для 0 (*), в силу
соотношений D.44) и D.42), будет
cos 0 = cos 0X + (cos 02 — cos 0X) sn2 т. D.46)
Постоянные 0Х и 02 определяются из уравнений cos 0Х = щ и
cos 02 = щ соответственно. Они равны минимальному и макси-
максимальному значениям 0 (t). Из уравнений D.40) и D.31) получаем
также г[) и ф как функции t:
*, L —/3CD3COS6 * *, л // /п\
ib = г ./ ... , ф—(о3 — ibcoso. D.47)
•'l(l — COS4 U) T v
Таким образом, все три величины 0, г|? и ф выражаются через
эллиптические функции времени. Период этих функций равен
половине периода sn т, т. е. 2К (к) для переменной т и
mgs(u3 — щ)
для переменной t; К есть полный эллиптический интеграл:
V ' J /A-у2)A-/сМ)
Наложение периодических изменений 0 (t) в прецессии вокруг
вертикали с (периодически изменяющейся) угловой скоростью
г|) (t) лучше всего наблюдать следующим образом. Вообразим сферу
с центром в точке опоры волчка. Точка пересечения оси симметрии
тела с этой сферой вычерчивает кривые, которые дают наглядное
представление о периодических изменениях в (^), а также я|) (t).
На рис. 4.7 схематически представлены характерные особенности
всех физически возможных типов кривых. Две нижние кривые
соответствуют частным типам движения: маятниковому движению

74
4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
и регулярной прецессии. Три верхние кривые соответствуют
общим случаям движения, в которых if> (t) изменяется или между
отрицательным и положительным значениями (кривая а), или
между нулевым и положительным максимумом (кривая б), или
Маятник
Регулярная
прецессия
Рис. 4.7.
Кривые, описываемые
осью симметрии на сфере
с началом в точке опоры
тяжелого волчка.
между двумя положительными крайними значениями (кривая в)ш
Периодические «кивающие» движения волчка, описываемые функ-
функцией 6 (t), которые налагаются на прецессионное движение, назы-
называются нутацией. Более подробный анализ решений читатель
может найти в монографиях Арнольда и Маундера [9] и Магну-
Магнуса [6].
Многие технические гироскопические приборы, по существу,
представляют собой симметричный тяжелый волчок (см. Магнус
[6]). Такие приборы работают в специальных условиях. Во-первых,
они находятся в быстром вращении. Это означает, что часть /3G)g/2
кинетической энергии тела очень велика по сравнению с потен-
потенциальной энергией mgs. Во-вторых, такие приборы приводятся
в движение таким образом, что вначале угловая скорость ф пре-
прецессии очень мала по сравнению с со3 (обычно 6 и г|) удерживаются
фиксированными до тех пор, пока тело не достигнет полного
вращения; лишь после этого связи на 9 и г|) удаляются так, чтобы
• •
начальные значения 6 и г|) были по возможности малыми).
Наблюдаемые при этих условиях движения можно лишь с тру-
трудом отличить от регулярных прецессий. В действительности они
описываются уравнениями D.46) и D.47). Однако амплитуда
нутации F2 — дг)/2 чрезвычайно мала, и 0 быстро колеблется.
Угловая скорость прецессии if> очень мала и кажется постоянной,
хотя она также подвержена быстрым колебаниям. Такие движения
называются псевдорегулярными прецессиями. Их характерные
свойства можно вывести из общего решения посредством прибли-
приближенных формул. С этой целью предположим, что движение волчка
соответствует начальным условиям 6 @) = Qu 6 @) = 0, г|) @) = г|?х
и оK (постоянная во все время движения). Интегралы момента

4. 4. СИММЕТРИЧНЫЙ ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК 75
количеств движения и энергии суть (уравнения D.36) и D.37))
L = /^ A - U\) + JZG>9UU D ^
2Е = /^ A - и*) + 2mgsUl + /3(о23.
Подставим эти выражения в кубическое уравнение D.43). В силу
начального условия 6 @) = 0 угол 6, является одним из двух
крайних значений 6 (t). Это означает, что их = cos 6X является
корнем кубического уравнения. Деление на (и — щ) приводит
после некоторых алгебраических преобразований к уравнению
(l)( [1 (--Mj)B —йм4 —6)]},
где о и b — безразмерные величины:
D.49)
/3CD3
Квадратичная функция от и в фигурных скобках имеет корни
и2э з = a q= V^+1 — 2a [Mt + 6 A — mJ) B — Ьм4 — Ь)].
При сделанных предположениях величина а много больше едини-
единицы, а абсолютное значение Ъ много меньше единицы. Отсюда
приближенно получаем
u2t3^a=F I/a2 + 1 — 2а[щ + 2ЬA — и*)].
Разложения в ряды Тейлора (с точностью до членов второго
порядка) дают
и2жщ — A — и\) (-^— 26j , щж2а. D.50)
Принимая во внимание этот результат для м2 и формулу Тейло-
Тейлора cos 62 « cos Qx — @2 — 6Х) sin 6X, для амплитуды нутации
@2 — 6i)/2 получаем приближенное значение
(-^ - 26) sinGi - -^- (-^S ф4) sin в4.
\ 2а / * /Зсо3 \ /3®з Y /
Действительно, это очень малая величина. Отметим, что она ста-
становится равной нулю, если начальное значение г|)х равно угловой
скорости медленной регулярной прецессии (см. уравнение D.39)).
Модуль к эллиптических функций, определяемый уравнением
D.45), очень мал по сравнению с единицей, как можно видеть
из уравнений D.50) и D.49). Поэтому полный эллиптический
интеграл К (к) приближенно равен я/2. Отсюда для периода
•
функций 0 (t) и г|з (t) получаем приближенное значение

76 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Соответствующая круговая частота 2n/tp « @3^V^i очень велика.
Она равна угловой скорости прецессии симметричного тела при
отсутствии момента сил в случае малых амплитуд нутации (см.
уравнение D.22)). Окончательно приближенную формулу для \\)
можно получить из уравнений D.47) и D.48):
Для разности иг — и = cos Q± — cos 6 уравнение D.46) дает (с при-
приближением snt» sin т, справедливым для к ж 0) их — и «
ж (иг — м2) sin2 т. Для (щ — и2) воспользуемся уравнением D.50).
Оно приводит к выражению
щ — иж{1 — и\) (-^— 2fo)sin2T
и далее к
Этот результат указывает, что я|) колеблется около среднего
значения mgs/(J3(d3), равного угловой скорости медленной регу-
регулярной прецессии. Амплитуда колебания равна нулю, если началь-
•
ное значение г|)х равно этому среднему значению. Только что
установленная приближенная формула подтверждает сделанное
ранее утверждение о том, что движение быстро вращающегося
симметричного волчка мало отличается от регулярной прецессии.
Это движение можно интерпретировать как суперпозицию быстрой
нутации с очень малой амплитудой F2 — 9i)/2 и медленной регу-
регулярной прецессии.
4.5. Симметричное тяжелое тело
в кардановом подвесе
На рис. 4.8 изображен симметричный твердый ротор в двух-
рамочном подвесе. Все три оси вращений пересекаются в одной
точке О. Эта точка совпадает с центром масс ротора, а также
с центром масс внутренней рамки. Когда все три оси вращения
взаимно перпендикулярны, эти оси являются главными осями
инерции ротора и внутренней рамки. Ось внешней рамки совпа-
совпадает с вертикалью на Земле (которая, как предполагается, пред-
представляет инерциальное пространство). На оси симметрии ротора
на расстоянии s от О прикреплена материальная точка с массой т.
Такая система имеет много общих свойств с симметричным тяже-
лым волчком (см. рис. 4.4). Отличия состоят только в наличии

4. 5. СИММЕТРИЧНОЕ ТЯЖЕЛОЕ ТЕЛО В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
77
рамок с инерциальными свойствами и момента сил реакции связей,
перпендикулярного оси внешней рамки, который передается систе-
системе посредством подшипников на этой оси.
В последующем исследовании в качестве обобщенных координат
используются углы Брайнта ф15 ф2 и ф3. Они представляют собой
соответственно угол поворота внешней рамки относительно инер-
циального пространства, внутренней рамки относительно внешней
'е®
Рис. 4.8.
Симметричный ротор в
кардановом подвесе с вер-
вертикальной осью внешней
рамки и используемой в
качестве баланса мате-
материальной точкой т.
рамки и ротора относительно внутренней рамки. Угол ф2 равен
нулю, когда плоскость внутренней рамки горизонтальна. Это
определение углов Брайнта то же самое, как и в разд. 2.1.2.
Указанные углы связаны с углами Эйлера г|), 6 и ф, которые были
использованы в предыдущем разделе для симметричного тяжелого
волчка, уравнениями
п
т
D.51)
Эти уравнения будут использованы для установления подобия
и отличия между двумя различными системами. В качестве полюса
при вычислении момента количеств движения и моментов сил
возьмем точку О. Пусть отсутствует трение в подшипниках; тогда
результирующий момент сил, приложенных к ротору, не имеет
составляющей вдоль оси ротора. Поэтому проекция со3 абсолютной
угловой скорости ротора на это направление постоянна. Результи-
Результирующий момент сил, приложенных ко всей системе, который сла-
слагается из момента сил реакций, приложенных к оси внешней
рамки, и момента силы тяжести точечной массы, не имеет верти-
вертикальной составляющей. Следовательно, проекция L на это направ-
направление абсолютного момента количеств движения всей системы
постоянна. Дополнительно к этим двум интегралам движения
существует третий интеграл, выражающий постоянство полной
энергии Е системы. Они являются теми же самыми интегралами,
на которых был основан анализ симметричного тяжелого волчка.

78 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Отметим, что интеграл площадей существует только тогда, когда
ось внешней рамки вертикальна!
В выражениях для проекции L кинетического момента и энер-
энергии содержатся члены, обусловленные наличием двух рамок.
Для получения этих величин разложим абсолютную угловую
скорость каждого из трех тел по главным осям соответствующей
системы координат. Для внешней рамки этими осями координат
служит базис, обозначенный на рис. 4.8 через е, а для двух других
тел можно использовать базис, обозначенный через еA). Два бази-
базиса связаны соотношением
"cos ф2 0 — sin ф2"
0
cos
= Ае.
О 1
_sin ф2 .0
Матрицами координат абсолютных угловых скоростей являются
соA) = [ф4 0 0]т
соB) = АоA) + [0 ф2 0]т =
внешней рамки в е,
• • • г
= [ф1созф2 ф2 ф4 sin ф2]
) = @B) + [0 0 фз]т =
= [ф1СО8ф2 ф2
внутренней рамки в е
ротора в е{
а\
Как было установлено ранее, для ротора третья проекция
ЦГ) = фх sin ф2 + ф3 постоянна. Используя уравнения D.51),
это соотношение можно представить в форме if> cos 6 + ф = со3 =
= const, тождественной интегралу D.31).
Интеграл момента количеств движения можно получить сле-
следующим образом. Пусть J\ — момент инерции внешней рамки
относительно ее вертикальной оси. Главные моменты инерции
в базисе еA> обозначим через J\, J\, J\ для внутренней рамки
и через /х, /2 — А» ^ г Для ротора вместе с точечной массой. Тогда
абсолютный момент количеств движения отдельных тел будет
иметь матрицы координат
внешней рамки в е,
LB) = [/1Ф1 cos ф2 /2Ф2 ^зФ1 s^n Фг]Т внутренней рамки в еа\
• * т
L(r) = [/1ф1 cos ф2 /1Ф2 «^з^з] ротора в е .
-cl) = [/j91 0 0]

4. 5. СИММЕТРИЧНОЕ ТЯЖЕЛОЕ ТЕЛО В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ 79
Проекция L на вертикаль момента количеств движения систе-
системы равна первому элементу матрицы столбца LA) + Ат (?B) +L(r)).
В результате простой перегруппировки членов получаем выра-
выражение
(J\ + J\ + /4) ф! cos2 ф2 + /3(о3 sin ф2 + (J\ + J23) ф! sin2 ф2 = L
или, принимая во внимание уравнения D.51),
(J\ + JI + /4) ф sin2 0 + /Зю3 cos 9 + (/} + /J) <ф cos2 Q = L. D.52)
Полная кинетическая энергия системы выражается через соA),
о)B) и со(г). При добавлении потенциальной энергии точечной
массы интеграл энергии принимает вид
+ (J\ + J\) i; sin2 ф2 = 2Е - /30Jз
или с учетом соотношений D.51)
(/J + /J + J±) 'Ф2 sin2 0 + (/; + J±) ё2 + 2mgs cos 0 +
^ cos2 Q = 2E- /8©J. D.53)
Уравнения D.52) и D.53) соответствуют уравнениям D.36) и D.37)
для симметричного тяжелого волчка. Они тождественно совпадают
с этими уравнениями, если моменты инерции всех рамок положить
равными нулю. Для получения общего решения задачи используем
тот же самый подход, что и для симметричного тяжелого волчка.
Разрешим уравнение D.52) относительно г|*>:
• L—/Зсо3 cos 6
У == (J{ + /f + Л) sin2 9 + (J\ + /2) cos2 6'
Подстановка в интеграл D.53) приводит к дифференциальному
уравнению для 0
—/3<a3 cos6)a
Оно соответствует уравнению D.41). Как и раньше, заменим 0
новой переменной и = cos 9. В результате получим дифферен-
дифференциальное уравнение для и
\ BЕ- JM-2mgsu) A-й8)

80
4 КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Когда моменты инерции всех рамок равны нулю, это уравнение
совпадает с дифференциальным уравнением для м, которое было
получено для симметричного тяжелого волчка. Учет инерции
рамок сказывается в том, что правая часть выражения вместо
кубического полинома есть рациональная алгебраическая дробь
от и. Поэтому решение имеет совершенно иной характер. Его
нельзя выразить через известные специальные функции. Инте-
Интересно отметить, что уравнение неразрешимо даже в частном слу-
случае, когда отсутствует точечная масса и, следовательно, момент
силы тяжести равен нулю. Более подробное исследование динами-
динамических эффектов подвешенных систем приведено в книгах Магнуса
[6], Арнольда и Маундера [9] и Саидова [10].
4.6. Гиростат. Общий анализ
Гиростат представляет собой механическую систему, которая
состоит из нескольких тел и, кроме того, обладает свойством твер-
твердого тела, заключающимся в том, что распределение масс системы
не изменяется со временем. В простейшем случае гиростат состоит
Рис. 4.9.
Радиус-векторы мате-
материальных частиц несу-
несущего тела и ротора ги-
гиростата.
из двух тел, как показано на рис. 4.9. Симметричный твердый
ротор удерживается в твердых подшипниках на другом твердом
теле, называемом несущим телом.
Сначала мы выведем уравнения движения этой частной системы.
Затем нетрудно будет получить уравнения для гиростатов, которые
состоят из более чем двух тел. Не будем делать специальных
предположений о главных моментах инерции составной системы
и расположения оси ротора относительно главных осей инерции.
Обозначим через со абсолютную угловую скорость несущего тела,
через <arei — угловую скорость ротора относительно несущего тела.
Момент количеств движения всей системы в ее абсолютном движе-
движении относительно неподвижной в инерциальном пространстве
точки О {см. уравнения C.5) и C.6) и рис. 3.1) есть
= \ (zc + г) X (vc +
xp)dm.

4. 6. ГИРОСТАТ. ОБЩИЙ АНАЛИЗ 81
Первый интеграл распространяется на массу несущего тела,
второй — на массу ротора. Векторы zc,r и р указаны на рис. 4.9.
Точки С и Сг обозначают центры масс составной системы и ротора
соответственно; вектор vc — абсолютную скорость точки С. Под
знаком второго интеграла г представим в виде а + р. Тогда
= [ (zc+r) X (vc+<*> X г) dm+ \ (zc+a + p) x (corei X р) dm=
тсЛ-шг mr
= zc X vcm -f- \ r X (со X г) dm + \ p x (corei X p) dm =
= ZC X l?cA7l+J-0) +Jr-COrei.
В этом выражении m — масса системы, J — тензор инерции
системы относительно точки С, a Jr — тензор инерции ротора
относительно точки Сг. Оба тензора инерции имеют постоянные
составляющие в векторном базисе, связанном с несущим телом.
Вектор Jr«C0rei представляет собой момент количеств движения
ротора в его движении относительно несущего тела. Обозначим
его через ft. Поскольку ось ротора является главной осью инерции
ротора, то вектор h направлен по этой оси. Принимая во внимание
выражение для L0 в форме
h° = zc х vcm + J со + ft,
из теоремы о моменте количеств движения (уравнение C.15))
получаем уравнение
J о) + h + со X (J .© + К) = М, D.54)
которое является обобщением уравнения Эйлера для твердого тела.
о
Символ h обозначает производную по времени от ft в базисе, свя-
связанном с несущим телом, М — результирующий момент внешних
сил относительно точки С.
Важное значение для технических приложений имеет случай,
когда угловая скорость ротора относительно несущего тела являет-
является заданной функцией времени. Координаты векторов h (t) и h (t)
являются тогда известными функциями времени. При этом ротор
не имеет своей собственной степени свободы и уравнение D.54)
вместе с кинематическими дифференциальными уравнениями для
несущего тела полностью описывают движение системы. Член
—h (t) можно трактовать как момент внешних сил:
J -со + со X (J со + h (*)) = М — h (*). D.55)
В простейшем из таких случаев относительная угловая ско-
скорость ротора поддерживается постоянной. Тогда уравнение при-
6-0603

82 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
нимает вид
J ю + <*> X (J со + h) = М.
В другом важном для технических приложений случае состав-
составляющая по оси ротора момента сил, действующих на ротор со
стороны несущего тела, является заданной функцией времени.
В этом случае ротор имеет свою собственную одну степень свободы,
так что необходимо одно дополнительное скалярное уравнение
движения. Это уравнение получается следующим образом. Теорема
о моменте количеств движения для одного ротора записывается
в виде
где Шг — результирующий момент сил, приложенных к ротору,
относительно центра масс Сг. Выполняя дифференцирование в ба-
базисе, связанном с несущим телом, получаем
Г -со + h + со X (Jr со + *) = М\ D.56)
Естественно предполагать, что момент внешних сил М, действую-
действующих на гиростат как целое, не вносит вклада в составляющую Мт
по оси ротора. Тогда эта составляющая обусловлена только
взаимодействием с несущим телом и по предположению является
заданной функцией времени. Обозначим ее через Мт (t). Если и —
единичный вектор, направленный по оси ротора, то искомое ска-
скалярное уравнение движения получается в результате скалярного
умножения уравнения D.56) на и:
и .(Jr со + К) = и Мт = Mr (t). D.57)
Отметим, что третий член в левой части уравнения D.56) не
дает вклада в последнее уравнение, потому что и и h параллельны
и для симметричного тела векторы и, со и Jr«o> компланарны.
Уравнение можно сразу проинтегрировать. Для этого запишем
его в эквивалентной форме
так как произведение (со X и) -(Jr -co + К) равно нулю. Интегри-
Интегрируя, получаем
j *Mr(t)dt = Lr(t), D.58)
где известная функция 17 (t) представляет собой проекцию на ось
ротора момента количеств движения ротора в абсолютном движе-
движении. Для полного описания движения необходимо присоединить
к уравнениям D.54) и D.58) кинематические дифференциальные
уравнения, которые связывают о> с обобщенными координатами,
определяющими угловую ориентацию несущего тела.

4. 6. ГИРОСТАТ. ОБЩИЙ АНАЛИЗ 83
Описав простейший из возможных типов гиростатов, обратимся
теперь непосредственно к выводу уравнений движения гиростатов
с несколькими роторами на несущем теле. Пусть имеются т + п
роторов, каждый из которых и все относящиеся к нему величины
будем снабжать индексом i. Предположим, что для роторов
с индексами i = 1, . . ., т осевая составляющая Ml (t) момента
сил является известной функцией времени, а для остальных рото-
роторов ? = 771+1, ..., т -{- п координаты векторов ht (t) в базисе,
связанном с несущим телом, являются заданными функциями
времени. Уравнения движения состоят из одного векторного
уравнения вида уравнения D.54) и системы т скалярных уравне-
уравнений вида уравнения D.58) по одному для каждого ротора с номе-
номерами 1, . . ., т:
т т т т+п
J.@+ S fei + COX [J-CO+ Sfti+ 21 *|@l =
г=1 i=l i=m+l
m+n m
= ЛГ- 2 *,(*), D.59)
г=т+1
\{t)dt = L\{t), i = l, ..., т. D.60)
Скалярные уравнения эквивалентны уравнениям
ar(Ji-© + *f) = M$(Q, i = l, ...,m. D.61)
Эту систему уравнений можно значительно упростить. Прежде
всего преобразуем уравнения D.60) и D.61). Так как ut — собствен-
собственный вектор оси ротора, то произведение ut «J?-co можно переписать
в виде Дщ -со, где Д — главный момент инерции 1-го ротора отно-
относительно его оси. Кроме того, ut -ht = | ht |. Поэтому умножение
уравнения D.61) на ut приводит к векторному уравнению
JriUiui.& + hi = uiMri(t), i = l, ...,m, D.62)
в котором J\uiUi— тензор инерции. Аналогично умножение урав-
уравнения D.60) на со X ut приводит к векторному уравнению
fi)X (JiUiU^-to + toXhi^toXUiLKt), i = l, ...,m. D.63)
Сложим уравнения D.62) и D.63) для i = 1, . . ., т и вычтем
обе суммы из уравнения D.59):
т т т+п
ox[(J- 2 Лигиг).<*+ 2 utLl(t)+ 2 **(*)] =
г=1 i=l г=т+1
т т+п т
= М~ %utMl(t)- 2 *i@-
г=1 г=т+1
6*

84 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ГГЕЛА
Далее введем новые величины
т т т+п
j*=j-2/[«jMj, *•(*)= 2«*i?r(<)+ 2 ht{t).
Принимая во внимание тождество Ml (t) = dL\ (t)/dt, имеем
m m+n о
fc*W=2li«MI@+ S MO-
i=l i=m+l
В базисе, связанном с несущим телом, тензор J* имеет достоян-
о
ные координаты, а координаты вектора h* (t), так же как и ft* (t),
являются известными функциями времени. С учетом этих величин
уравнение D.64) принимает вид
J* . ci + о) х [J* • со + ft* @1 =М -h* (t). D.65)
Это уравнение вместе с кинематическими дифференциальными
уравнениями для несущего тела полностью описывают движение
несущего тела. Оно имеет такой же вид, как и уравнение D.55)
для гиростата с одним ротором и с заданными функциями h (t)
и ft (t). Тем не менее отметим, что в отличие от ft (t) в уравнении
D.55) вектор h* (t) в уравнении D.65) не имеет, вообще говоря,
неизменного направления относительно несущего тела. Поэтому
эти два уравнения не эквивалентны. Они эквивалентны только
в следующих частных случаях:
A) Для произвольных тип оси всех роторов параллельны.
B) т = 1 и п = 0. Таким образом, гиростат с одним ротором
и заданным моментом МТ (t) сил и гиростат с одним ротором
и заданным кинетическим моментом h (t) относительного движе-
движения эквивалентны.
C) m = 0, п произвольно и | ht (t) \ = kth (t) для i = 1, ...
. . ., п с постоянными Я1, . . ., К и произвольной функцией h (t).
Эти условия выполняются, если все роторы соединены зубчатыми
колесами.
D) m и п произвольны, М\ (t) зз 0 для i = 1, . . ., m, a
| hi (t) | = const для i = m + 1, ..., m + n.
Несущие тела с роторами не являются единственными система-
системами многих тел с неизменяющимся со временем распределением
масс. Это свойство сохраняется, если несущее тело дополнительно
к роторам имеет полости, целиком заполненные однородными
жидкостями. Различные технические приборы и средства передви-
передвижения с вращающимися маховиками, баками горючего и гидравли-
гидравлическими системами представляют собой гиростаты такого типа.
Динамика подобных систем исследована Моисеевым и Румянце-
Румянцевым [11].

4. 7. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСТАТ 85
Задача
4.3. В отсутствие моментов внешних сил уравнение D.65) представляет
собой уравнение движения самовозбужденного твердого тела под действием
момента —со X h* (t) — h* (t). Проинтегрируйте это уравнение в замкнутой
форме в следующем случае. Гиростат с одним ротором имеет главные моменты
инерции /х = /2 ф /3- Ось ротора, момент инерции которого относительно
оси симметрии равен /г, установлена параллельно главной оси, отвечающей
моменту инерции /3- Со стороны несущего тела на ротор приложены силы,
момент которых относительно его оси равен Mr {t) — ah (a > 0, const),
где Mr (t) по-прежнему является заданной функцией времени и член —ah
представляет собой момент сил вязкого трения.
4.7* Уравновешенный гиростат
В этом разделе уравнение D.65) исследуется в частном случае,
когда момент М внешних сил, приложенных к гиростату, тождест-
тождественно равен нулю и, кроме того, кинетический момент ft* в отно-
относительном движении имеет постоянные координаты в базисе,
связанном с несущим телом. Опуская звездочку, имеем уравнение
+ © X (J-co + h) = 0. D.66)
Оно описывает движение уравновешенных гиростатов, роторы
которых вращаются так, что М\ (t) = 0 для i = 1, . . ., m (m про-
произвольно), а | ht (t) | = const для i = m + 1, . . ., m + n (n про-
произвольно). Для простоты это уравнение всегда будем интерпрети-
интерпретировать как уравнение движения гиростата с одним ротором
и постоянным моментом количества движения h относительного
движения.
Уравнение D.66) обладает двумя алгебраическими интегралами
которые находятся в результате умножения уравнения на (о
и J-o) + h соответственно:
со • J -со' = 2Г = const, (J -со + hf = L2 = const. D.67)
Они представляют собой интегралы энергии и момента количеств
движения. Отметим, что Т не является полной кинетической
энергией, а дает лишь ту часть ее, которая остается, когда несущее
тело вращается со своей угловой скоростью со, а ротор «заморо-
«заморожен» в несущем теле. Величина L равна модулю момента коли-
количеств движения составной системы в абсолютном движении.
В проекциях на главные оси координат составной системы урав-
уравнения D.66) и D.67) имеют вид
(/2 — ^з) «г^з + ©2^з — «3^2 = 0»
/2@2 — (/3 — А) 0K% + ©3^1 — ©1^з = °» D.68)
/30K — (/i — /2

86 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
3
2 /асо2а =27\ D.69)
а=1
2 (Л.ю« + ^аJ = ?2 = 2ЯГ. D.70)
а=1
Параметр Z), имеющий размерность момента инерции, введен для
удобства, а также чтобы показать сходство с интегралом D.4)
для уравновешенного твердого тела.
В приводимом ниже исследовании будет рассмотрен только
наиболее общий случай, когда все три главных момента инерции
отличны один от другого и, кроме того, все три координаты hl9
h2 и h3 кинетического момента отличны от нуля х).
Не ограничивая общности, предположим, что /3 < /2 < J±*
Те же самые предположения были сделаны в разд. 4.1 при иссле-
исследовании динамики уравновешенного твердого тела.
4.7.1. Полодии и перманентные вращения
Интегралы D.69) и D.70) аналогичны интегралам D.3) и D.4)
движения уравновешенного твердого тела в том отношении, что
они определяют два эллипсоида, которые неподвижны относительно
несущего тела, и оба представляют собой геометрические места
концов вектора со. Поэтому конец вектора угловой скорости лежит
на линяй пересечения этих эллипсоидов. Так же как и для твердо-
твердого тела, эти линии называются полодиями. Их исследование зна-
значительно более сложно, чем в случае твердого тела, поскольку
центры эллипсоидов не совпадают. Вследствие этого, например,
проекции полодий на главные плоскости не являются эллипсами
или гиперболами, а представляют собой кривые четвертого
порядка.
Как и в разд. АЛЛ, вообразим, что эллипсоид энергии задан,
а эллипсоид момента количеств движения «раздувается» при уве-
увеличении параметра D. В этом процессе семейство всех физически
реализуемых полодий находится на эллипсоиде энергии. Особый
интерес по-прежнему представляют собой такие вырожденные
полодии, которые имеют особые точки. Эти точки соответствуют
перманентным вращениям с постоянными угловыми скоростями
<о = со* = const. Каждой изолированной точке отвечает частное
значение D* параметра D, служащее для определения соответ-
соответствующего эллипсоида момента количеств движения. Расположе-
Расположение изолированных точек на эллипсоиде энергии, а также соотно-
соотношения между со*, D* и системой параметров /а, ha (а = 1, 2, 3)
*) Не рассматриваемые здесь частные случаи, а также дополнительные
подробности, относящиеся к общему случаю, см. в работе Виттенбурга [12].

4. 7. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСТАТ 87
и 2 Г можно найти из дифференциальных уравнений и из интегра-
интегралов движения. В соответствии с уравнением D.66) для существова-
существования решений вида со = со* = const необходимо, чтобы или о>* =
= 0, или J -о)* + h = 0, или J -со* + h = Ji*o>* с пока неопреде-
неопределенным скаляром Я*.
Первые два условия соответствуют тривиальным случаям.
В первом случае эллипсоид энергии вырождается в точку. Несущее
тело неподвижно и движется только ротор. Во втором случае
эллипсоид момента количеств движения вырождается в точку.
В третьем случае эллипсоиды не вырождаются и имеют общую
касательную плоскость в особой точке, отвечающей о>*. Это
условие не приводит к задаче на собственные значения, как это
имело место для твердого тела (см. уравнение D.7)). Пусть иг, и2
и us — координаты единичного вектора и, направленного по оси
ротора; тогда ha = hua (a = 1, 2, 3). В координатной форме
третье условие записывается в виде
а = 1, 2, 3. D.71)
Неизвестное Я* определяется из уравнения
У 472)
а=1
получаемого при подстановке о* в интеграл D.69). Уравнением
для X* вводится параметр /0. Он имеет размерность момента
инерции. Уравнение D.72) представляет собой уравнение шестого
порядка для Я*. Каждому вещественному решению отвечает одно
перманентное вращение. Величина D* параметра Z), которая
определяет соответствующий эллипсоид момента количеств движе-
движения, следует из уравнения D.70):
<4-73>
а=1
Для определения числа осей перманентных вращений рас-
рассмотрим функцию (рис. 4.10)
а=1
Она имеет полюсы второго порядка для X = Ja (а = 1, 2, 3).
Кроме того, она всюду положительна и имеет только по одному
минимуму в каждом из интервалов /3 < X < /2 и /2 < X < /lf
так как d2F (X)/dX2 > 0. Эти минимумы находятся из условия
dFldX = 0, т. е. из уравнения

88
4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
3 2
у UaJa
2л (Ь-/а)з
^ '' '
а=1
Оно приводится к полиному шестого порядка, который имеет
только два вещественных корня. Из этих свойств функции F (X)
можно вывести следующие заключения. Уравнение D.72) имеет
или шесть, или четыре, или два вещественных решения, зависящих
от выбора системы параметров. Это уравнение имеет также двойные
Рис. 4.10.
   л Функция F (К).
корни, являющиеся корнями уравнения D.74). Каждому веществен-
вещественному решению соответствует угловая скорость перманентного вра-
вращения с проекциями, вычисляемыми по формулам D.71). Ни одна
из этих проекций не может быть равна нулю, так что оси перма-
перманентных вращений не параллельны ни главным осям инерции,
ни главным плоскостям инерции. Любая другая ось — при задан-
заданных моментах инерции Ju /2 и /3 — может быть осью перманент-
перманентного вращения при соответствующем выборе fe1? h2 и /г3. Для задан-
заданной системы параметров /а, иа (а = 1, 2, 3) и /0 не существует
двух векторов со* угловой скорости, имеющих противоположные
направления.
Представляют интерес два вырожденных случая. Для h = 0
гиростат является твердым телом. Оно имеет шесть осей перма-
перманентных вращений, которые совпадают с главными осями инерции
(три оси, если не различать перманентных вращений противопо-
противоположных направлений). В пределе h ->- 0, т. е. для /0 ->• 0, корни
уравнения D.72) стремятся к двойным корням X* = Ja (а =
= 1, 2, 3). Для каждого корня две из трех проекций со* равны
нулю в соответствии с уравнениями D.71). Это означает, что все
шесть векторов перманентных угловых скоростей действительно
имеют направления главных осей инерции.
Во втором вырожденном случае h бесконечно велико, а 2Г
сохраняет конечное значение. В этом случае вращение несущего
тела гиростата медленное, а угловая скорость вращения ротора
бесконечно велика. Поэтому динамическое поведение гиростата
определяется движением ротора. Следовательно, можно ожидать,
что существуют только две оси перманентных вращений, совпа-
совпадающие с осью симметрии ротора. Это действительно имеет место.
В пределе при /0 -»- оо уравнение D.72) имеет только два веще-

4. 7. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСТАТ 89
ственных решения, а именно X* —>- ±оо. Для проекций соответ-
соответствующих перманентных угловых скоростей из уравнений D.71)
получаем соотношение со* : со* : со* = иг : и2 : us, которое озна-
означает, что вектор (о* параллелен оси ротора1).
4.7.2. Решение динамических уравнений движения
В этом разделе будет получено в замкнутой форме решение
дифференциальных уравнений D.68) на основе метода, предло-
предложенного Вангерином [13] и развитого далее Виттенбургом [12].
Этот подход приводит к вещественным функциям времени сох (t),
со2 (t) и со3 @- Другой метод, развитый Вольтерра [14] (см. также
[12]), приводит к комплексным функциям времени.
Начнем с интегралов движения. Умножим соотношение D.69)
на неопределенный скаляр X, имеющий размерность момента
инерции, и вычтем из него соотношение D.70). Результат можно
представить в виде
з
2 Ja (^ — ^а)(б)а—г т-1 =2T[f(X) — /)], D.75)
а=1
где
^] D.76)
а=1
Функция / (X) имеет полюсы первого порядка для X = /а
(а = 1, 2, 3). Отсюда следует, что в каждом из интервалов /3 <
< X < /2 и /2 < X < J± она принимает по крайней мере одно
из всех значений от — оо до +°°. Возьмем для X значение А,о,
для которого
/ (Хо) =D и Js<X0<J2. D.77)
Если существует несколько значений, удовлетворяющих этим
условиям, то возьмем любое из них.
Уравнение / (Хо) = D представляет собой уравнение четвертой
степени. Если ввести новые переменные wa, определяемые соот-
соотношениями
^ « = 1. 2, 3, D.78)
л0 — Jа
то уравнение D.75) примет вид
x) Результаты, аналогичные приведенным в разд. 4.7.1, опубликованы
ранее В. Н. Рубановским в журналах: Теоретична и приложна [механика,
София, 1974, год V, №1, 67—79; Докл. Болгарской академии наук, 1974,.
т. 27, №6, 759—762; Прикл. матем. и механ., 1974, т. 38, вып. 4, 616—627.
—Прим. перев.

«90 4 КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ГГЕЛА
вещественными коэффициентами
уравнение определяет двойной конус с эллиптическим попереч-
дшм сечением и осью i#3 (рис. 4.11). Этот конус является также
/геометрическим местом полодий, так как его уравнение есть
Рис. 4.11.
Двойной конус, описы-
описываемый уравнением
D.79), и полодия.
линейная комбинация уравнений, определяющих эллипсоиды.
Уравнение D.79) можно заменить параметрическими уравнениями
жонуса
fc sin ф, w2 = &2^з cos Ф« D.81)
В силу этих уравнений и соотношений D.78), «! и со2 также
гявляются функциями н?з и ф. Подставляя выражения для о^ и со2
ш интеграл энергии D.69), получаем для w3 квадратное уравнение
аг (ф) К — 2«2 (ф) ^з + «з = 0
«с коэффициентами
«Ч (Ф) = ^i*? sin2 ф + /2&22 cos2 ф + J3 > 0 D.82)
D.83)
<4-84»
Решение для w3 имеет вид
Это уравнение вместе с уравнениями D.81) и D.78) выражает все
три проекции угловой скорости в виде функций одной переменной
<р. Для получения полного решения остается установить зависи-
зависимость ф от времени. Это можно сделать следующим образом.
Производная по времени от интеграла D.69) имеет вид
= 0.

4S 7, УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСТАТ 91
Подставим сюда для % и со2 следующие выражения, получаемые
из соотношений D.78) и D.81):
• • • • / ... m I v
oi = wi = ki (w3q> cos ф + Щ sin ф) =s kx 1 —p- + co3 sin ф)
co2 = ^2 = ^2 (— ^зФ sin Ф + W3 cos Ф) — К ( —тН^ + ^зcos Ф
Это дает
) ф+
sin ф + JJ^2^2cos Ф + ^зОK) 0K = 0. D.86)
Подставим в выражение, являющееся множителем перед со3,
вместо ©1? со2 и со3 соответствующие функции от м?3 и ф, которые
находятся из уравнений D.78) и D.81):
Jiki(i)i sin ф + /2&20J cos ф-(- /Зсо3 —
sin2 ф + JJ^\cos
,1 sin ф + л2 2/ cos ф -f
Ji Aq — J2
2 2/ cos ф f 3
= w,ax (ф) - a2 (Ф) = ± 1/а22(ф)-%(ф)«з. D.87)
На втором и третьем шаге этого преобразования были исполь-
использованы соотношения D.82), D.83) и D.85). Преобразуем теперь
выражение, стоящее множителем перед ф в уравнении D.86).
Подставляя в это выражение шг и w2 из уравнений D.78) и кг и кг
из соотношений D.80), получаем
Пока были использованы только два интеграла движения.
Теперь примем во внимание последнее из трех дифференциальных
уравнений движения D.68). Если это уравнение разрешить отно-
сительно /Зсо3, то получим с обратным знаком выражение в квад-
квадратных скобках, фигурирующее в приведенном выше последнем
уравнении. Поэтому
Подставляя это выражение вместе с выражением D.87) в урав-
уравнение D.86), после разделения переменных получаем для ф урав-

92 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
нение
± /SEJffiESJ . .«* _ . D.88)
Из соотношений D.82) — D.84) видно, что подкоренное выраже-
выражение имеет вид
а\ — а^аъ = ci sin2 ср + с2 cos2 ф + с3 + ск sin ф + сь cos ф + с6 sin ф cos фг
где сх, . . ., cQ — постоянные коэффициенты. Следовательно, этот
интеграл является эллиптическим интегралом первого рода. Для
его приведения к нормальной форме необходимо сделать последо-
последовательность замен новых переменных, после чего нужно решать
другое уравнение четвертого порядка (первое уравнение дает
корень Хо уравнения D.77)). Дополнительные затруднения возни-
кают в связи с необходимостью различать четыре комбинации
знаков некоторых постоянных для того, чтобы избежать комплекс-
комплексных функций времени. За подробностями отсылаем читателя
к работе Виттенбурга [12]. Здесь ограничимся утверждением, что
проекции сох, со2 и со3 угловой скорости являются вещественными
эллиптическими функциями времени.
В только что приведенном анализе некоторые из математи-
математических выражений аналогичны другим выражениям, которые игра-
играли роль в связи с перманентными вращениями. Примерами являют-
являются уравнения D.78) и D.71) и уравнения D.84) и D.72). Эта анало-
аналогия подсказывает способ исследования вопроса о том, может ли
корень Хо уравнения D.77) совпасть с корнем X* уравнения D.72).
Функция / (Я), определенная уравнением D.76), имеет производ-
производную по X:
о
Гпл- df - J
а=1
Сравнение с уравнением D.72) приводит к тождеству
Это соотношение между / (к) и F (к) проиллюстрировано на
рис. 4.12. Функция / (X) стационарна для тех значений X* пара-
параметра X, которые являются корнями уравнения D.72) и определяют
проекции угловой скорости перманентных вращений. Кроме того,
в силу уравнения D.77), / (X = X*) равно параметру 2)*, который
связан с Я* уравнением D.73).
Рис. 4.12 соответствует системе параметров, для которых
существует шесть осей перманентных вращений. Корни Я* зану-
занумерованы в порядке возрастания их величин. Относящиеся к ним

4. 7. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСТАТ
93
величины отмечаются соответствующими индексами. Для комбина-
комбинаций параметров, для которых существуют только четыре оси
перманентных вращений, функция / (Я) имеет стационарные значе-
значения только в одном из интервалов /3 < Я < /2 и /2 < ^ < А-
Она не имеет стационарных значений ни в одном из этих интерва-
интервалов, если существуют только две оси перманентных вращений.
В заключение можно отметить следующее. Если гиростат
находится в состоянии перманентного вращения и если, кроме
Особая
точка
Рис. 4.12.
Рис. 4.12.
Связь между функциями F (К) и / (Я).
Рис. 4.13.
Полодии на двойном конусе,
соответствующие (а) неустой-
неустойчивому и (б) устойчивому пер-
перманентным вращениям.
того, соответствующий корень Я* уравнения D.72) лежит в интер-
интервале /3 < Я*. < /2, то это значение Я* является также корнем
уравнения D.77) и его можно взять в качестве Яо во всех после-
последующих уравнениях. Ни при каких других условиях Яо не являет-
является одновременна корнем уравнений D.77) и D.72).
Используя равенство Яо = Я*, можно получить критерий
устойчивости перманентных вращений, когда /3 < Я* < /2 (Я*
и Я* показаны на рис. 4.12), на основе исследования точных решений
уравнений движения. Из соотношений D.84) и D.72) следует, что
аь = 0, так что решениями для w3 (cp), определяемыми уравне-
уравнением D.85), являются w3 (ф) = 0 и
и>з (ф) =-^гт. D.89)
Благодаря соотношению D.81) первое решение дает w1 = w2 —
= 0, и, следовательно, в силу D.78), соа = huj(l* — /а) (а =

94 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
= 1, 2, 3). Этими формулами описывается перманентное враще-
вращение, отвечающее значению Я* (ср. уравнение D.71)). Из равенств
w1 = w2 = w3 = О следует, что вершина конуса на рис. 4.11 лежиг
на эллипсоиде энергии. Помимо этой особой точки, конус и эллип-
эллипсоид энергии пересекаются по полодии, описываемой уравнени-
уравнением D.89). Форма этой полодии определяет, будет или нет устойчивым
перманентное вращение. Если вершина конуса служит двойной
точкой полодии (рис. 4.13,а), то эта полодия является сепаратри-
сепаратрисой и перманентное вращение неустойчиво. Если, наоборот, поло-
полодия представляет собой замкнутую кривую, изолированную от
вершины конуса (рис. 4.13,6), то перманентное вращение устойчи-
устойчиво. Природа полодии определяется следующим образом. При
аз = 0 уравнение D.88) принимает вид
r1sin<p + sa cos<p + s3 '
Фо
где
(/г-А*)(/2--
*)(/2-^)(^*-/в) „ _ К Л/ /l
/ / г « 51 — / _х,* К / _х* »
Это уравнение имеет решение
для р<0, D.91)
«2 — ^3
. _. Для Р»0.
где т — линейная функция времени и
Для р > 0 решение является периодическим. Тогда полодия
имеет вид, указанный на рис. 4.13,6, и перманентное вращение,
отвечающее вершине конуса, устойчиво. Для р<0и также для
р = 0 решение является апериодическим. Принимая во внимание
выражения для tg ср/2, можно непосредственно показать, что
в обоих случаях функция а2 (ф) = const-(^ sin ф + s2 cos Ф+$з)
стремится к нулю при т -> оо. Поэтому, в силу соотношения D.89),
w3 (ф) также стремится к нулю. Это означает, что движение по
полодии асимптотически приближается к вершине конуса. Следо-
Следовательно, полодия имеет вид, представленный на рис. 4.13,а,
и перманентное вращение неустойчиво. Из соотношений D.90)

4. 7. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСТАТ 95»
для величины р получаем выражение
(/а-Я,*)» " ^ dl
*,=*,*
а=1
Таким образом, знак производной по Я от функции F (Я)*
график которой представлен на верхнем из рис. 4.12, определяет
характер устойчивости. Перманентное вращение, соответствующее
меньшему корню Я*, устойчиво, а перманентное вращение, отве-
отвечающее корню Я*, неустойчиво. Неустойчивость имеет место*
также в случае двойного корня Я* = Я*, когда р равно нулю.
Аналогично можно установить критерий устойчивости перма-
перманентных вращений для случая, когда корень Я* лежит в интервале-
/2 < Я* < /х. Было показано, что эти корни являются также
корнями уравнения / (Я) = D* (Я*). Детали предоставляем чита-
читателю. Для этого сначала необходимо получить соответствующие
уравнения вида D.79) — D.88), которые отвечают корню Яо уравне-
уравнения / (Яо) = D, лежащему в интервале /2 < Яо < /х. Это можно-
сделать в результате простой перестановки индексов. Исследуя
новые уравнения, можно показать, что перманентные вращения
для /2 < Я* < /х устойчивы, если Ff (Я*) положительна, и неустой-
неустойчивы в противном случае. Таким образом, перманентное враще-
вращение, соответствующее значению Я*, указанному на рис. 4.12,
устойчиво, а перманентное вращение, отвечающее значению Я*г
неустойчиво.
Устойчивость перманентных вращений, отвечающих корням
^* < Jъ и К > «^1» нельзя исследовать таким же способом. Однако-
имеется другой и даже более простой метод исследования. С этож
целью сначала отметим, что значения /)*, соответствующие этим;
перманентным вращениям (D* и D* на рис. 4.12), представляют
собой наименьшее и наибольшее соответственно из всех значений
D*. Это можно доказать следующим образом. Для каждого значе-
значения /)*, отвечающего одному из перманентных вращений, длят
которых /3 < Я* < /х, полодия состоит из особой точки и, кроме*
того, замкнутой кривой (см. рис. 4.13).
Пока эллипсоид момента количеств движения пересекаетсяг
с эллипсоидом энергии по замкнутой кривой, можно уменьшать
или увеличивать эллипсоид кинетического момента, уменьшая
(увеличивая) значения параметра Z), и по-прежнему будем полу-
получать кривую пересечения эллипсоидов. Кривая пересечения вы-
вырождается в особую точку, если D достигает некоторого мини-
минимального (максимального) значения. Эти экстремальные значе-
значения представляют собой значения Z)*, которые соответствуют
Я* < /3 и Я* > /х. Для значений D, не принадлежащих интервалу
D* ^ D ^ Z)*, не существует вещественных полодий. После этих
предварительных замечаний устойчивость рассматриваемых перма-

96 4 КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
нентных вращений может быть установлена следующим образом.
Для к = к* уравнение D.75) с учетом соотношений D.71) при-
принимает вид
з
В левой части йа = соа — со? (а = 1, 2, 3) представляют собой
отклонения соа от проекций угловой скорости перманентного вра-
вращения, соответствующего Z)*. Функция
а=1
является отрицательно определенной для Я* < /3 и положительно
определенной для к* > /4. Кроме того, полная производная
по времени от V равна нулю, поскольку V есть линейная комби-
комбинация двух интегралов движения. Функция V с такими свойства-
свойствами может служить функцией Ляпунова, доказывающей устойчи-
устойчивость двух перманентных вращений.
Анализ устойчивости дает представление о виде полодий на
эллипсоиде энергии. На рис. 4.14,а схематически показан вид
этих кривых. Сепаратрисы, соответствующие двум неустойчивым
перманентным вращениям, имеют «вид восьмерок», показанных
Рис. 4.14.
Вид полодий на эллип-
эллипсоиде энергии (схема-
(схематично), а—общий случай
шести различных вещест-
вещественных корней уравне-
уравнения D.72); б—сепаратри-
б—сепаратриса, соответствующая
двойному вещественному
корню уравнения D.72).
утолщенными линиями. Они разделяют эллипсоид на пять облас-
областей, а именно по два «глаза» для каждой кривой в виде восьмерки
и область между двумя кривыми в виде восьмерок. Большой глаз
одной фигуры в виде восьмерки покрывает всю обратную сторону,
а также внешнюю часть передней стороны эллипсоида. Точки
пересечения осей перманентных вращений с эллипсоидом энергии
отмечены теми же самыми индексами, что и соответствующие
величины на рис. 4.12.
Полодии, изображенные штриховыми линиями, относятся
к перманентным вращениям с индексами 2 ж 5. Полодия, охваты-
охватывающая точку с индексом 7, соответствует решению уравнения
D.91) для р > 0, а решение для р < 0 отвечает сепаратрисе,
проходящей через точку с индексом 3. Если система параметров

4. 7. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСТАТ
97
выбрана так, что уравнение D.72) имеет двойной корень К* = Я*,
то точки с индексами 2 и 3 на эллипсоиде энергии совпадают
и также сливаются изображенная штриховой линией полодия,
охватывающая точку с индексом 7, и сепаратриса, проходящая
через точку с индексом 5. Вид такой специальной полодии схе-
схематично показан на рис. 4.14,6. Ей соответствует решение уравне-
уравнения D.91) для р = 0.
На рис. 4.15 показаны семейства полодий, полученные числен-
численно из точных решений уравнений движения. Параметры двух
Рис. 4.15.
Полодии на эллипсоиде энергии в случае шести (а) и двух (б) осей перманент-
перманентных вращении. Оба рисунка соответствуют параметрам /х = 7 кг«м2, /2-=
= 5 кг-м2, /3 = 3 кг-м2, /0 = 0.48 кг-м2 и 2Т'= 75 кг.м2-с~2. Отличие
состоит в направлении вектора ге. Его координаты: 0.4, 0.1,-f |/0.83 для а и
0.6, 0.4, + Y0AS для б.
гиростатов, которым соответствуют рисунки, отличаются только
направлением в несущем теле момента количеств движения h
в относительном движении. Моменты инерции /х, /2 и J3, величи-
величина вектора h и постоянная 2Г интеграла энергии являются одними
и теми же в обоих случаях. Гиростат слева имеет шесть, а гиростат
справа — две оси перманентных вращений.
7-0603

5. Общие системы многих тел
5.1. Вводные замечания
В предыдущей главе исследовались механические системы,
состоящие либо из одного твердого тела, либо из нескольких
твердых тел в некоторой особенно простой геометрической кон-
конфигурации. Важная роль, которую играют такие системы в клас-
классической механике, обусловлена тем, что их уравнения движения
могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. Это невозможно
в общем случае, если система состоит из многих твердых тел
в какой-нибудь произвольной конфигурации. Инженер сталки-
сталкивается с бесчисленным множеством подобных систем. Чтобы ука-
указать только несколько примеров, можно вспомнить о сцеплениях
в машинах, механизмах управления в автомобилях, железно-
железнодорожном поезде, составленном из соединенных упругими связями
вагонов, об отдельном железнодорожном вагоне с его рессорами,
о шагающих механизмах, манипуляторах и т. д.
Предположение, что отдельные тела таких систем твердые,
является идеализацией, приемлемость которой в значительной
мере зависит от характера исследуемой задачи. Так, в кривошипно-
шатунном механизме кажущийся твердым соединяющий стержень
должен рассматриваться как упругий элемент, когда интересуются
его вынужденными изгибными колебаниями. С другой стороны,
человеческое тело, состоящее, очевидно, из нетвердых элементов,
можно с успехом рассматривать как систему связанных твердых
тел, если интересуются его движением в целом. В этой главе все
тела будут считаться твердыми. Однако в местах соединений тел
могут находиться нетвердые элементы, такие, как пружины
и демпферы.
Целью данного исследования является система точных нели-
нелинейных дифференциальных уравнений движения, кинематических
соотношений, энергетических выражений и других величин, нуж-
нужных при исследованиях в динамике систем многих тел. Математи-
Математические формулы, которые предстоит вывести, должны удовлетво-
удовлетворять двум требованиям, вообще говоря трудно выполнимым
одновременно. Во-первых, они должны быть достаточно общими,
чтобы могли описать динамическое поведение столь различных
механических систем, упомянутых выше. Во-вторых, применение
к любой конкретной механической системе должно быть связано
с минимальным количеством подготовительной работы. Например,

5. 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 99
уравнения Лагранжа второго рода
dt 6qk dqk
удовлетворяют только первому требованию, поскольку их исполь-
использование для любой частной механической системы требует значи-
значительной работы по составлению функции Лагранжа L и ее произ-
производных. Уравнения движения, которые будут получены в этой
главе, являются значительно более определенными. Требуется,
чтобы они имели стандартную форму:
с полностью определенными функциями в правых частях. В то же
время, однако, вычислитель, пользующийся этими уравнениями,
должен обладать полной свободой в выборе переменных дг, . . ., qn
на основе конкретной рассматриваемой механической системы,
как в случае уравнений Лагранжа. Для уравнений движения,
выраженных в такой явной форме, может быть составлена общая
программа численного интегрирования. Одна из целей этой гла-
главы — дать возможность читателю сделать это. Однако формализм
может быть полезен также для нечисленных исследований. Это
будет достигнуто использованием надлежащих математических
обозначений, которые приводят к формулам, допускающим простую
физическую интерпретацию. Примеры исследований нечисленного
характера будут приведены в разд. 5.2.5 и гл. 6.
Для полного описания системы многих тел требуется большое
число параметров. Они должны характеризовать геометрию и рас-
распределение масс системы, а также природу внешних сил и сил,
действующих в местах соединений тел. Параметры, описывающие
геометрию и распределение масс, можно подразделить на сле-
следующие группы:
A) число тел;
B) параметры, характеризующие структуру взаимосвязей
системы;
C) параметры, характеризующие кинематические связи;
D) параметры, характеризующие расположение шарниров на
телах;
E) массы и моменты инерции тел.
Прежде чем переходить к подробному изложению, необходимо
дать некоторые определения и сделать предварительные заме-
замечания. На рис. 5.1 изображена система четырех тел. Между неко-
некоторыми парами тел имеется прямое взаимодействие посредством
внутренних сил. Так, например, между телами, отмеченными
номерами 2 и 3, существуе1 прямое силовое взаимодействие,
вызванное наличием кинематической связи в месте соединения
7*

100 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
этих двух тел. Между телами 3 и 4 имеется прямое взаимодействие
посредством магнитных сил. Тела 2 и 4, напротив, не действуют
непосредственно друг на друга, их взаимодействие осуществляется
косвенным путем через третье тело.
Два тела называются смежными тогда и только тогда, когда
они непосредственно оказывают силовое воздействие одно на
другое. Соединение между двумя смежными телами называется
шарниром. Это определение придает слову шарнир более широкий
смысл, чем обычно. Здесь оно используется для любого рода
Магнитное
притяжение
Рис. 5.1.
Система четырех тел.
Рис. 5.2.
Тела на рис. а соединены двумя шарнира-
шарнирами так, как показано на рис. б.
соединений, допускающих относительные вращательное и/или
поступательное движения смежных тел, шарнир даже может не
быть материальной связью (см., например, шарнир между телами 3
и 4 на рис. 5.1).
В шарнире объединены все силы взаимодействия между двумя
смежными телами, так что каждая пара смежных тел имеет только
один шарнир. Например, на рис. 5.1 шарнир между телами 1 и 2
включает как шаровое шарнирное соединение, так и пружину.
Кроме того, для каждого шарнира существует только одна пара
смежных тел. Это означает, что если, например, три тела соедине-
соединены, как кажется на первый взгляд, одним шарниром, то этот шар-
шарнир будет считаться состоящим из двух отдельных шарниров,
каждый из которых соединяет два тела. Система рис. 5.2,а из
трех тел, насаженных на один невесомый вал, иллюстрирует
подобную ситуацию. В действительности вал снабжен двумя
шарнирами, как показано на рис. 5.2,6.
Описание структуры взаимосвязей системы (пункт B) списка
параметров) дает полную информацию о том, какие тела системы
соединены шарнирами. Физические свойства шарниров в это
описание не включаются. Их кинематические свойства являются,
однако, темой пункта C). Кинематические связи, реализуемые
в шарнирах, могут быть любого вида, т. е. могут быть стационар-
стационарными, нестационарными, голономными или неголономными. Все
связи должны быть идеальными, т. е. силы реакций связей не
совершают работу на возможных перемещениях. На практике

5. 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Ю1
это помимо всего прочего означает, что в шарнирах отсутствует
сухое трение.
Кинематические связи вводятся не только индивидуальными
шарнирами, но также структурой взаимосвязей системы. Это
иллюстрируется плоским кривошипно-шатунным механизмом на
Рис. 5.3.
Плоский кривошипно-
шатунный механизм-
замкнутая кинематиче-
кинематическая цепь.
Основание
рис. 5.3, тела которого соединены тремя цилиндрическими шарни-
шарнирами и одним скользящим соединением. Тело, называемое основа-
основанием, предполагается неподвижным в инерциальном пространстве.
Общее число степеней свободы равно единице. Оно не изменится,
если один цилиндрический шарнир заменить шаровым шарниром.
С другой стороны, это число станет равным нулю, если оси трех
цилиндрических шарниров смонтировать непараллельно одна
другой.
Кривошипно-шатунный механизм представляет собой простой
пример широкого и важного класса систем многих тел, называемых
системами с замкнутыми кинематическими цепями, В таких
Рис. 5.4.
Система со структурой дерева (а) и система с замкнутой цепью, не яв-
являющейся кинематической цепью (б).
системах число степеней свободы зависит не только от кинемати-
кинематических свойств отдельных шарниров. Чтобы дать определение
замкнутой кинематической цепи, необходимо ввести прежде всего
понятие пути между двумя телами. Рассмотрим любые два тела
в системе многих тел, например тела i и / на рис. 5.4,а. Перейдем
от одного тела к другому вдоль последовательности тел и шарниров
так, что ни один шарнир не проходится дважды. Совокупность

102 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
выделенных таким образом шарниров называется путем между
телами i и /'.
Если для всех пар тел пути между ними определятся един-
единственным способом, как для системы, изображенной на рис. 5.4,а,
то говорят, что система имеет структуру дерева. Если, с другой
стороны, существуют два различных пути между двумя телами,
то эти два пути образуют замкнутую цепь. Система рис. 5.4,6
содержит замкнутую цепь. Если, в частности, каждый шарнир
в замкнутой цепи содержит по крайней мере одну кинематическую
связь, то замкнутая цепь называется замкнутой кинематической
цепью. Замкнутая цепь на рис. 5.4,6 не является замкнутой
кинематической цепью, поскольку в одном из его шарниров
отсутствует кинематическая авязь. В противоположность этому
кривошипно-шатунный механизм на рис. 5.3 представляет собой
замкнутую кинематическую цепь.
На практике системы многих тел функционируют в двух суще-
существенно различных ситуациях. В большинстве систем одно или
несколько тел связаны шарнирами с внешним телом, положение
Рис. 5.5.
Две системы со структурой
дерева, которые соединены с
внешним телом, совершающим
заданное движение.
а
Рис. 5.6.
Две системы со структурой дерева, не свя-
связанные с внешним телом, совершающим за-
заданное движение.
которого в инерциальном пространстве является заданной функци-
функцией времени. Типичными примерами таких систем являются двойной
маятник с подвижной точкой подвеса (рис. 5.5,а), человек, одна
или обе ноги которого находятся на эскалаторе (рис. 5.5,6),
и большинство сцеплений в машинах, где корпус машины является
внешним телом.
Очевидно, что размеры и инерциальные свойства внешнего
тела несущественны, поскольку его движение задано. По этой
причине внешнее тело не будет считаться телом системы, а будет
представлено подвижным базисом, неизменно связанным с ним.

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА ЮЗ
На рис. 5.5,а,б этот базис обозначен через е@). Заданное движе-
движение базиса, а также свойства шарниров между, основанием и систе-
системой войдут в уравнения движения, которые предстоит вывести.
Сравнительно редким является способ функционирования сис-
системы, при котором ни одно ее тело не связано с внешним телом,
совершающим заданное движение. Типичные примеры таких
систем — это движущийся по орбите спутник, составленный из
многих тел (рис. 5.6,а), и человеческое тело в фазе движения без
контакта с основанием (рис. 5.6,6). Для составления скалярных
дифференциальных уравнений движения таких систем требуется
некоторая общая система отсчета, в которой могут быть разложены
векторы и тензоры. В зависимости от рассматриваемой частной
задачи эта система отсчета может совершать по отношению к инер-
циальному пространству движение, которое описывается заданной
функцией времени. На рис. 5.6 подвижный базис обозначен
через е@).
Положение системы многих тел в инерциальном пространстве
определено однозначно, если положение смежных тел относительно
друг друга известно для всех шарниров и если, кроме того, из-
известно положение относительно е@) одного произвольно выбранного
тела системы. Это наводит на мысль ввести фиктивный шарнир
между подвижным основанием, с которым связан базис е@), и неко-
некоторым произвольно выбранным телом (на рис. 5.6 он обозначен
штриховой прямой). После введения подвижного базиса е@) и
фиктивного шарнира, в котором, конечно, отсутствуют внутренние
силы, ситуация становится теперь такой же, как и для систем,
изображенных на рис. 5.5. Математическое описание структуры
взаимосвязей системы будет, следовательно, одинаковым для
обоих способов ее функционирования.
5.2. Уравнения движения для систем
со структурой дерева
Системы многих тел со структурой дерева встречаются на
практике реже, чем системы с замкнутыми цепями. Однако можно
привести два довода в пользу рассмотрения первым этого класса
систем. Один из доводов состоит в большей простоте математическо-
математического описания структуры взаимосвязей и кинематики систем.
Второй довод заключается в том, что любую систему с замкнутыми
цепями можно преобразовать в систему со структурой дерева,
разрезав надлежаще выбранные шарниры. Следовательно, для
получения уравнений движения системы с замкнутыми цепями
необходимо всего лишь добавить в уравнения движения системы
со структурой дерева внутренние силы и кинематические связи,

104 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
соответствующие разрезанным шарнирам. Эта процедура будет
описана в разд. 5.3. В настоящем разделе будут детально изучены
системы со структурой дерева. Задача не будет рассматриваться
сразу в самом общем виде, а будет усложняться постепенно, шаг
за шагом. Это позволяет, помимо всего прочего, продемонстриро-
продемонстрировать применение как подхода Ньютона — Эйлера, так и принципа
Даламбера.
5.2.1. Математическое описание структуры взаимосвязей
Если система со структурой дерева связана с внешним телом,
движение которого задано как функция времени, то без ограниче-
ограничения общности можно предположить, что она связана с этим телом
только одним шарниром. Если имеются несколько шарниров,
Г7л7л совершающее заданное движение |
Рис. 5.7.
Система, которая разделяется телом 0 на две динамически независимые под-
подсистемы.
то система на самом деле подразделяется на несколько динами-
динамически независимых подсистем (см., например, рис. 5.7 с двумя
независимыми подсистемами). Если, с другой стороны, система
не связана с внешним телом, совершающим заданное движение,
то, как было указано ранее, следует предполагать наличие под-
подвижного базиса е@) и фиктивной связи между основанием и одним
из тел системы. Таким образом, независимо от способа действия
всегда существует основание с базисом е@), движение которого
относительно инерциального пространства задается функцией вре-
времени, и это основание связано шарниром с одним из тел системы.
В дальнейшем тело, представленное базисом е@), будет отмечаться
номером нуль (т. е. тело 0).
Пусть п — число тел в системе (не считая тела 0). Тогда коли-
количество шарниров всегда будет равно п, если учитывать шарнир
между системой и телом 0. Телам и шарнирам присваиваются
номера от 1 до п. Порядок нумерации произволен, за исключением
того, что тело, смежное с телом 0, и шарнир между ними поме-
помечаются соответственно как тело 1 и шарнир 1. В качестве примера
на рис. 5.8,а изображена система с п = 7. Следует помнить, что
описание структуры взаимосвязей должно давать полную инфор-
информацию о том, какие тела соединены шарнирами, и что это описание

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА Ю5
не отражает физических свойств шарниров. Структура взаимосвя-
взаимосвязей лучше всего отображается графом системы. Этот граф состоит
из точек, называемых вершинами, и линий, соединяющих вершины
и называемых ребрами. Вершины представляют тела системы,
а также подвижный базис е@), в то время как ребра представляют
шарниры. Очевидно, что граф системы также будет иметь структу-
структуру дерева. На рис. 5.8,6 показан граф, соответствующий системе,
Шарнир б
Рис. 5.8.
а — система со структурой дерева; б — граф системы; в — ориентированный
граф системы.
изображенной на рис. 5.8,а. Вершина, представляющая базис в@),
обозначена символом s0. Остальные вершины и ребра обозначены
через s1? . . ., sn и иг, . . ., ип соответственно, причем последова-
последовательности индексов определяются номерами тел и шарниров
в механической системе. Для того чтобы можно было отличить
индекс вершины от индекса ребра, будем использовать для первого
буквы ?, / и к, а для последнего — а, бис.
Придадим теперь каждому ребру графа какое-либо направле-
направление. Эта процедура порождает ориентированный граф. Его на-
направленные ребра называются дугами. На рис. 5.8,в показан
ориентированный граф для системы, изображенной на рис. 5.8,а.
Направление дуги указано стрелкой. Цель введения направления
состоит в том, чтобы сделать различимыми две соединенные дугой

106 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
вершины и, следовательно, два соединенных шарниром тела.
Это необходимо по следующим причинам. При описании кинема-
гики движения одного из смежных тел относительно другого
необходимо четко указать, относительное движение какого тела
имеется в виду. Внутренние силы в шарнирах действуют на смеж-
смежные тела в противоположных направлениях. При описании дина-
динамики системы необходимо четко указать направления сил, при-
приложенных к смежным телам.
Выражения дерево, граф, вершина, ребро и дуга заимствованы
из математической теории графов х). Будут полезными два других
выражения: инцидентность и путь между двумя вершинами.
Соотношение между дугой (или ребром, поскольку направление
здесь несущественно) и двумя вершинами, соединенными ею,
выражается фразой: дуга {ребро) инцидентна двум вершинам.
На рис. 5.8,в, например, и5 инцидентна s1 и s2. Путь между двумя
вершинами st и Sj определяется следующим образом (ср. с опреде-
определением пути между двумя телами, данным выше). Перейдем из st
в Sj вдоль последовательности вершин и дуг (не принимая во вни-
внимание направление) по такому пути, чтобы ни одна дуга не прохо-
проходилась более одного раза. Тогда (неупорядоченное) множество
определенных таким образом дуг называется путем между st и Sj.
В графе со структурой дерева путь между st и Sj определяется
единственным образом для каждой комбинации i и /; например,
на рис. 5.8,в путь между sQ и ss представляет собой совокупность
дуг и3, щ и щ. Говорят, что вершина sk лежит на пути между st
и Sj, если хотя бы одна дуга, принадлежащая этому пути, инци-
инцидентна sk. В соответствии с этим определением, вершины st и Sj
сами находятся на пути между st и Sj.
С помощью этих понятий определим следующие отношения
слабого упорядочения для вершин. Символ 5г^ Sj означает, что st
лежит на пути между sQ и sj. Отношение st << Sj означает, что st
лежит на пути между s0 и Sj, но не совпадает с sj. Наконец, st <^ S;
есть отрицание st ^ Sj. Заметим, что для двух вершин st и Sj могут
одновременно выполняться оба отношения: st ^ Sj и Sj ^ st (рас-
(рассмотрите, например, s6 и s2 на рис. 5.8,в).
Структура взаимосвязей ориентированного графа определяет
единственным образом две целочисленные функции i+ (а) и г (а),
которые устанавливают соотношения между индексами дуг и вер-
вершин. Для а = 1, . . ., п значение i+ (а) равно индексу вершины,
из которой дуга иа выходит, a i~ (а) равно индексу вершины,
в которую дуга иа входит. Для ориентированного графа, изобра
г) В качестве учебника по теории графов и ее приложениям см. Бусакер
и Саати [15].

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 107
женного на рис. 5.8,в, значения этих функций следующие:
а
t+(a)
Г (а)
1
0
1
2
6
7
3
6
1
4
4
1
5
2
1
6
2
5
7
3
2
Если для ориентированного графа со структурой дерева
функции i+ (а) и i" (a) (a = 1, . . ., n) заданы, то можно воспро-
воспроизвести граф. Для этого нужно отметить на листе бумаги п + 1
вершину s0, . . ., sn. Затем для а = 1, . . ., п начертить дугу,
идущую из si+ia) в Si-(a). В результате этой процедуры получается
первоначальный граф. Следовательно, существует взаимно одно-
однозначное соответствие между ориентированным графом и парой
функций i+ (а) и i~ (а). Это не означает, однако, что для любой
произвольно выбранной пары целочисленных функций i+ (a)
и i~ (а) существует ориентированный граф со структурой дерева!
В качестве примера рассмотрим функции
а
i+(a)
i~(a)
1
1
0
2
3
1
3
6
4
4
5
5
5
2
3
6
2
1
7
2
0
Они определяют объект, который в математике также называется
графом, но он не имеет структуру дерева. Необходимо, следова-
следовательно, отличать допустимые и недопустимые пары функций.
Однако здесь нет надобности рассматривать условия допустимости,
поскольку все пары функций, с которыми придется иметь дело,
будут всегда выводиться из заданных ориентированных графов
со структурой дерева.
Та же самая информация, которая заключена в паре функций
i+ (а) и i" (а), содержится в матрице инцидентности ориентиро-
ориентированного графа. Эта матрица имеет п + 1 строку и п столбцов,
которые отвечают вершинам и дугам соответственно. Обозначим
ее элементы через Sia (следует помнить, что буквы ?, / и к исполь-
используются в качестве индексов вершин, а а, 6, с — в качестве индек-

108 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
сов дуг). Элементы Sia определяются следующим образом:
{+1, если дуга иа выходит из вершины st,
— 1, если дуга иа входит в вершину sh
0 в других случаях.
1 = 0, ..., щ а=1, . .., п.
Их можно представить также в виде
+ 1, если i = i+(a),
— 1, если ? = j~(a), i = 0, ..., n; a =
О в других случаях,
п.
E.1)
Каждый столбец матрицы инцидентности содержит точно один
элемент +1 и один элемент —1. Матрица разделяется на две суб-
субматрицы So и S, причем So представляет собой матрицу-строку:
О 0 — | О 0
и S — квадратную матрицу:
JSm
E.2)
E.3)
В So только первый элемент S01 отличен от нуля. Для ориенти-
ориентированного графа, изображенного на рис. 5.8,в, эти две матрицы
таковы:
50 = [ + 1 0 0 0 0 0 0],
-1 0—1—1—1 0 0"
О 0 0 0+1+1—1
0 0 0 0 0 0+1
0 0 0+1000
0 0 0 0 0—10
0+1+1 О О О О
О -1 0 0 0 0 0_
По ориентированному графу можно построить другую матрицу
с элементами +1, —1 и нуль, а именно матрицу Г. Подобно 5,
она является (п X ^-матрицей, однако ее строки соответствуют
дугам м1? . . ., ип, а столбцы — вершинам sl7 . . ., sn, так что
ее элементы обозначаются через Tai. Они определяются следующим

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 109
образом:
1 +1
J
— 1,
E.4)
если иа принадлежит пути между
s0 и st и направлена к s0,
если иа принадлежит пути между
—ai i s0 и st и направлена из s0,
I 0, если иа не принадлежит пути между s0 м st,
a, i = l, ..., л.
Для ориентированного графа, приведенного на рис. 5.8,#, эта
матрица такова:
* —1 —1 -1 -1 —1 —1 —Г
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
+1
0
4-1
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
+1.
— 1
0
0
+1
0
0
0
0
-1
+1
0
0
0
0
Существуют следующие важные соотношения между матрицами 7\
So и S: ~~
= -1п. E-5>
где Е — единичная (п X ^-матрица, а 1П — матрица-столбец,
каждый из п элементов которой равен 1.
Доказательство. Доказательство соотношения E.5) основано
на том, что в матрице So отличен от нуля только первый элемент
S01 и что, согласно определению Taii все элементы в первой строке
матрицы Т равны —S01. Чтобы установить соотношение E.6),
достаточно доказать, что произведение TS есть единичная матрица-
Это произведение представляет собой (п X ^-матрицу с элемента-
п
ми (TS)ab= 2 TaiSib (a, 6=1, . .., п). Согласно E.1), Sib равно
+ 1 для i=^i+(b), —1 для i = i~(b) и нулю в других случаях.
Таким образом (TS)ab = Tai+(b) — Tai-^b), Рассмотрим сначала случай
а = Ь. Дуга иа = ub либо направлена к sOi либо выходит из s0.
Если справедливо первое, то rai+(b)=l? Tai-(b) = 0; если же выпол-
выполняется второе, то Та1+ф) = 0, Tai-(b)= —1. Следовательно, в любом
случае (TS)aa = l. Далее, пусть а и Ъ различны. Рассмотрим
два пути: между s0 и Si+ф) и между s0 и ^-(ь> соответственно.
Дуга иа принадлежит либо каждому из путей, либо не принад-

HO 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
лежит ни одному из них. В любом случае Tai+(b) = Tai-(b), и, сле-
следовательно, (TS)ab = 0.
Из определения Tai следует, что в /-м столбце матрицы Т
множество индексов строк всех ненулевых элементов совпадает
с множеством индексов всех дуг, принадлежащих пути между s0
и sj. Например, столбец 7 матрицы Т для графа, изображенного
на рис. 5.8,в, дает множество дуг ии и2 и и3. Как показывает этот
пример, порядок расположения дуг вдоль пути из s0 в Sj нельзя
определить только из /-го столбца матрицы Г. Однако его можно
найти, рассматривая всю матрицу Т. Это следует из того, что S
определяется по Т, функции i+ (а) и i~ (а) находятся по S, а по
указанным функциям можно построить ориентированный граф.
Имеется простой способ определения порядка дуг вдоль пути
между s0 и Sj, использующий обе матрицы Т и ?. Чтобы'его описатьг
необходимо ввести термины: дуга, предшествующая вершине,
и вершина, предшествующая вершине. Дуга, предшествующая
вершине sk (кфО), представляет собой дугу, которая принадле-
принадлежит пути между s0 и sk и которая, кроме того, инцидентна sk.
Вершина, предшествующая вершине sh (кфО), есть вершина,
которая связана с sk дугой, предшествующей sk. Например, на
рис. 5.8,<? и3 и sx представляют собой для sQ соответственно пред-
предшествующую дугу и предшествующую вершину.
Опишем с помощью этих понятий предлагаемый рекурсивный
способ следующим образом. На каждом шаге для некоторой вер-
вершины sk определяются предшествующая ей дуга иа и вершина st.
На первом шаге вершиной sk является вершина sj. На каждом
последующем шаге в качестве sk берется предшествующая верши-
вершина st, определенная на предыдущем шаге. Процедура заканчивает-
заканчивается, когда st совпадает с s0. Упорядоченная последовательность
предшествующих дуг, определенная таким образом, представляет
собой последовательность, в которой дуги расположены в опре-
определенном порядке вдоль пути из Sj в s0. Остается показать, как
можно найти предшествующие sk (к Ф 0) дугу иа и вершину st
по матрицам Т и S. Обе величины Ska и Tak отличны от нуля толь-
только для дуги иа. Отсюда следует, что а является пересечением двух
множеств индексов, а именно множества индексов Ъ всех столбцов,
для которых Skb ф 0, ш множества индексов с всех строк, для
которых Tck Ф 0. Вершиной, предшествующей st, служит одна
из двух вершин ^+(о) и s,-(a), именно та, которая не совпадает с sk.
Итак, st находится по a-му столбцу матрицы S.
В произвольном графе со структурой дерева вершины и дуги
можно пронумеровать таким образом, что будут выполнены сле-
следующие условия. Для всех вершин sk (к Ф 0) номер дуги, пред-
предшествующей sh, равен /с, а номер вершины, предшествующей sk,

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА Ш
меньше /с. Вообще говоря, способ, при помощи которого можно
присвоить номера, удовлетворяющие этим условиям, не является
единственным. Любая такая нумерация называется правильной.
Для произвольного заданного графа с данной вершиной s0 пра-
правильную нумерацию можно получить следующим образом. Граф
содержит по меньшей мере одну граничную вершину. Граничными
вершинами являются все вершины, за исключением s0, с которыми
инцидентна только одна дуга. Этим граничным вершинам присваи-
присваиваются наибольшие номера д, п — 1, п — 2 и т. д. Такие же номе-
номера даются соответствующим предшествующим дугам. Затем все
вершины и дуги, которые уже помечены (кроме s0), отсекаются
от графа. В результате получается меньший граф с новыми гранич-
граничными вершинами, которым в свою очередь присваиваются наиболь-
наибольшие из имеющихся еще в наличии номеров. Эта рекурсивная про-
процедура продолжается до тех пор, пока не окажутся помеченными
все вершины и дуги. Поступая таким образом, мы обозначим толь-
только, как и прежде, вершину, смежную с s0, и дугу, связывающую
эти две вершины, соответственно через s± и их.
Матрицы S и Т для ориентированного графа со структурой
дерева, имеющего правильную нумерацию, обладают некоторыми
важными свойствами. Так, один из номеров i+ (а) и i~ (а), которые
Рис. 5.9.
Ориентированный граф
системы с правильной
нумерацией для систе- * J—
мы рис. 5.8,а. 7 7
поставлены в соответствие двум вершинам, соединенным дугой
иа (а = 1, . . ., п), совпадает с а, а другой меньше а. Как след-
следствие получаем, что все диагональные элементы матрицы S отлич-
отличны от нуля и что все другие ненулевые элементы расположены
выше главной диагонали. Кроме того, для а = 1, . . ., п дуга иа
принадлежит пути между s0 и sa. Следовательно, все элементы
главной диагонали матрицы Т также не равны нулю. Наконец,
дуга иа (а = 1, . . ., п) может только принадлежать пути между s0
и такой вершиной sh, для которой к^ а. Отсюда следует, что
в матрице Т, так же, как hbS, ниже главной диагонали нет нену-
ненулевых элементов. Выше главной диагонали матрицы Т ненулевые
элементы находятся только в первых п — п1 строках, где пг —
номер граничной вершины в графе. Продемонстрируем эти свойст-
свойства на примере. На рис. 5.9 изображен граф, представленный
на рис. 5.8,в, с новой правильной нумерацией. Направление дуг

112 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ !ГЕЛ
не изменилось. Матрицы S и Т теперь имеют вид
-1
0
0
0
0
0
0
-1
+ 1
0
0
0
0
0
-1
0
+ 1
0
0
0
0
0
0
— 1
+ 1
0
0
0
0
0
+1
0
-1
0
0
0
+ 1
0
0
0
— 1
0
— 1
0
0
0
0
0
4-1
-1 -1 —1 -1 —1 —1 —Г
0+1 0 0 0+1 О
о
О 0+1+1 +1
о
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
— 1
0
0
0
0
1
0 -
0
0
0
-1-1
В этом частном случае п' равно 4. Если в графе с правильной
нумерацией все дуги направлены к 50, то все ненулевые элементы
Т и все элементы на главной диагонали S равны +1. Если, с дру-
другой стороны, все дуги направлены от s0, то в этих матрицах все
элементы, о которых только что говорилось, равны —1. Рассмот-
Рассмотрим снова задачу определения порядка, в котором располагаются
дуги вдоль пути от s0 к Sj (j = 1, . . ., п). Общий метод, бази-
базирующийся на использовании матриц S и Г, был описан ранее.
В графе с правильной нумерацией индексы дуг монотонно воз-
возрастают вдоль этого пути. Следовательно, порядок можно устано-
установить непосредственно по у-му столбцу матрицы Т.
Задачи
5.1. Для графа системы рис. 5.8,6 указать множество вершин sti которое
удовлетворяет следующим условиям (отдельно) для su = s2 и для s& = s3:
1. st
2. st
ski 3. sk
ski 4. sk
5. sk
6. «
sk.
5.2. Построить снабженный нумерацией граф системы, для которого
Sj влечет i ^ / для всех комбинаций i и /.
5.3. Дать непосредственное доказательство утверждения ST = Е в E.6).

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА ИЗ
5.2.2. Системы с шаровыми шарнирами. Одно тело соединено
с внешним телом, совершающим заданное движение
На рис. 5.10 показан пример системы, имеющей структуру
дерева и состоящей из семи тел, отмеченных номерами от 1 до 7.
Система соединена с телом номер 0, положение которого в инер-
циальном пространстве задано как функция времени. Все шарниры
(отмеченные номерами от 1 до 7) являются шаровыми. Это значи-
значительно упрощает составление уравнений движения. Движение
Рис. 5.10.
Система с шаровыми шар-
шарнирами. Движение ба- ¦ а
зиса? заДан0- пространстве
какого-либо из двух смежных тел относительно другого представля-
представляет собой чистое вращение с тремя степенями свободы вокруг
геометрического центра связующего шарового шарнира. Эту точку
будем называть шарнирной точкой. Внутренняя структура систе-
системы и нумерация тел и шарниров на рис. 5.10 такие же, как на
рис. 5.8,а. Следовательно, для новой системы опять можно восполь-
воспользоваться ориентированным графом системы, представленным на
рис. 5.8,в, и его функциями i+ (а) и i~ (a), a также матрицами 50,
S и Т. Удобно связать базис е@) с телом 0 таким образом, чтобы его
начало совпадало с шарнирной точкой на этом теле (см. рис. 5.10).
Обозначим эту шарнирную точку через Со. Радиус-вектор г0
точки Со относительно полюса, неподвижного в инерциальном
пространстве, является заданной функцией времени.
Уравнения движения будут выведены из закона Ньютона
и теоремы об изменении момента количеств движения для одного
твердого тела. В качестве подготовительного шага разрежем все
шарниры системы. В результате получим п + 1 отдельных твер-
твердых тел. Необходимо рассматривать только тела с номерами от 1
до п, поскольку для тела с номером 0 уравнения движения не тре-
требуются. Каждое из тел от 1 до п подвержено действию неконкрети-
зированных внешних сил и моментов сил, а также внутренних
сил и моментов сил, которые приложены в разрезанных шарнирах,
расположенных на теле. Внутренние силы являются силами реак-
8-0603

114
5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
ций кинематических связей. Они обеспечивают неподвижность
каждой шарнирной точки на двух смежных телах одновременно.
Моменты внутренних сил могут быть вызваны, например, вязким
трением в соединениях.
Все приложенные к телу i (i = 1, . . ., п) внешние силы и
моменты внешних сил объединяются в главный вектор внешних
сил Ft, линия действия которого проходит через центр масс Ct
тела, и главный момент внешних сил Mt (рис. 5.11,а). Внутренние
силы и моменты внутренних сил, действующие в шарнире а
(а — 1, . . ., тг), объединяются в главный вектор внутренних
шарнирных сил Х%, линия действия которого проходит через
шарнирную точку а, и главный момент внутренних шарнирных
сил Ya. Верхний индекс с в Хса указывает на то, что эта сила
является реакцией связи.
Примем следующее соглашение о знаке. На тело i+ (а) действу-
действуют сила +Хса и момент сил -\-Ya и соответственно на тело i~ (a)
действуют сила —Хса и момент сил —Ya. Рис. 5.11,а иллюстрирует
Шарнир b
Шарнир с
Рис. 5.11.
а—диаграмма свободно-
свободного тела для тела i; б—
соответствующий фраг-
фрагмент ориентированного
графа.
это. На теле с номером ?, которое изображено на этом рисунке,
имеются два шарнира, помеченные буквами Ъ и с. В ориентиро-
ориентированном графе, часть которого, относящаяся к рассматриваемому
телу, показана на рис. 5.11,в, дуга щ выходит из вершины st,
в то время как дуга ис входит в st. Отсюда следует, что i равно
i+ F) и г (с). Это объясняет, почему -\-Х% и —Хсс показаны дейст-
действующими на тело i.
Можно также сказать, что действуют силы SibXb и SicXcc,
поскольку, согласно определению E.1), Stb и Sic равны +1 и —1
соответственно. Кроме того, так как Sta равно нулю, если а являет-
является индексом шарнира, который не расположен на теле i, то глав-
главный вектор всех внутренних сил, действующих на это тело, пред-
п
ставляет собой сумму 2 SiaXca. С учетом этого выражения
а=1
закон Ньютона для поступательного движения тела i принимает
вид
2
а=1
SiaXca, i = l, ..., п.
E.7)

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА Ц5
Здесь vfii — масса тела, rt— радиус-вектор его центра масс Cif
измеряемый от неподвижной точки в инерциальном пространстве
(см. рис. 5.10). Для составления уравнения момента количеств
движений относительно Ct необходимо определить радиус-векторы
относительно Ct точек приложения внутренних шарнирных сил.
На рис. 5.11,а они обозначены через сгь и cic. Первый индекс
относится к телу, относительно которого вектор фиксирован,,
а второй индекс — к точке, в которую направлен вектор. Общее
определение дадим следующим образом. Вектор cia (i, a = 1, ...
. . ., п) есть нуль, если i не равно ни i+ (а), ни i~ (а), т. е. если
шарнир а не расположен на теле i. С другой стороны, cia есть
вектор с началом в центре масс тела i и концом в шарнирной точке
а этого тела. Согласно этому определению, все ненулевые векторы
cia являются фиксированными в теле векторами. Главный момент
сил относительно Ct, обусловленный внутренними шарнирными
силами и моментами сил (на рис. 5.11,а это (сгъ X Х% +
) — (Cic X Ic+ Yc)), можно теперь представить в форме
2 Sia (cia X Хса + Ya). Уравнение момента количеств движения
а
с учетом последнего выражения принимает вид
%( ), * = 1, .... в, E.8)
а=1
где Lt — момент количеств абсолютного движения тела i относи-
относительно Ct. Системы уравнений E.7) и E.8) наиболее компактно
записываются в матричной форме:
mr#= F + SX\ E.9)
? = М + С X Х° + SY. E.10)
Различные матрицы определяются следующим образом.
Скалярные матрицы
Диагональная матрица масс т с элементами т^ = б^тю*
(i, / = 1, . . ., п).
Субматрица S матрицы инцидентности (см. E.3)).
Векторные матрицы
Матрицы-столбцы г, F, Xе, Y, L и М с п элементами каждая,
• • • • • •
Элементы являются векторами; например, г = [г1? . . .гд]т.
(п X ^-матрица С с элементами
Cia = Si€pia, h а = 1, . . ., п. E.11)
В уравнениях движения E.9) и E.10) встречаются среди прочих
величин силы реакций связей Х[, . . ., Хсп. Они не представляют
8*

116 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
интереса, если исследуются только движения механической систе-
системы. Поэтому желательно исключить эти силы. Последнее можно
сделать с помощью соотношения E.6), означающего, что матрица Т
является обратной для S. Умножив уравнение E.9) слева на Г,
получим силы реакций связей Xе в явной форме:
После того как вектор г найден из уравнений движения в виде
функции времени, это выражение можно использовать для опре-
определения усилий, возникающих в шарнирах во время движений.
Подставив его в уравнение E.10), получим
L—CTx(mr--F)==M + SY. E.12)
Символ, обозначающий векторное произведение, поставлен спра-
справа от множителя Т. Это допустимо, поскольку Т — скалярная
величина (см. задачу 1.2). Уравнение E.12) образует систему п
векторных уравнений движения, т. е. систему Зга скалярных
уравнений. Это соответствует полному числу степеней свободы
всей системы — три в каждом из п шарниров. Форма приведенных
уравнений еще непригодна для приложений, поскольку пока
ничего не было сказано о кинематическом соотношении между
поступательными и угловыми ускорениями, фигурирующими в чле-
• • •
нах г и L соответственно. Не выписывая уравнение, мы можем
на основании рис. 5.10 легко представить себе, как будет выгля-
выглядеть в принципе это соотношение. Например, радиус-вектор г2
является суммой известной функции времени г0 и двух фиксиро-
фиксированных в теле векторов. Первый вектор соединяет Со с шарнирной
точкой шарнира номер 5, а второй — эту точку с С2.
Вообще говоря, радиус-вектор rt тела i (i = 1, . . ., п) можно
представить как сумму г0 и цепочки векторов, каждый из которых
фиксирован в одном из тел, образующих путь между телами 0 и i.
• • • •
Следовательно, гt будет суммой г0 (t) и членов, содержащих упомя-
упомянутые фиксированные в телах векторы, вместе с угловыми ско-
скоростями и ускорениями тел. Итак, г можно выразить через извест-
известную функцию времени и величины, описывающие только враща-
вращательные движения тел. Эти же величины входят в L. Представим
только что описанные соотношения с помощью математических
формул.
На рис. 5.12 показана пара смежных тел с номерами i+ (a)
и i" (а) для некоторого шарнира а (а = 1, . . ., п). В случае
а = 1 одно из двух тел есть тело 0. Точка Со этого тела была

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА Ц7
определена как шарнирная точка 1 (см. рис. 5.10), так что необхо-
необходимо доопределить вектор
01
= 0
E.13)
для того, чтобы можно было воспользоваться рисунком в этом
случае. Для а = 2, . . ., п векторы сОа также по определению
Рис. 5.12.
В екторы, используемые
для описания кинемати-
кинематики двух смежных тел.
являются нулевыми. После этих предварительных замечаний на
основании рис. 5.12 получаем уравнения
(гг+(а) + Сща)а) — (гг~(а) + Ci-(a)a) = 0, 0 = 1, . . •, П,
которые, учитывая E.1), можно переписать в виде
2i
i=0
., п,
или, принимая во внимание E.13) и E.11), в виде
З = 0э а=1, . . ., П.
Эти п векторных уравнений объединены в одном матричном урав-
уравнении:
в котором г означает матрицу-столбец [гь. . . rJT, а ?<) и S —
субматрицы матрицы инцидентности, определенные равенствами
E.2) и E.3). Умножая это уравнение слева на Тт и используя E.5)
и E.6), получим для г явное выражение
г = Го1п-(СГ)т1п. E.14)
Введем для элементов произведения матриц СТ сокращенные
обозначения diji
di} = (CT)t} = 2 TajSiacia, i, j = 1, ..., n. E.15)
a=i
Поскольку для данного значения i все векторы Siacia фиксирова-
фиксированы в теле ?, вектор йц также фиксирован в теле i. В новых обозна-

118
5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
чениях из E.14) получим следующее выражение для вектора rt:
л.
E.16)
Другими словами, радиус-вектор rt есть сумма г0 и тг векторов
—dji, каждый из которых фиксирован относительно другого тела /.
Чтобы истолковать физический смысл этих векторов, перепишем
равенство E.15) в виде
dj^ 2 TaiSjaCja, *, / = 1, ..., тг, E.17)
где переставлены индексы i и /. Произведения TaiSja отличны
от нуля только для тех дуг иа, которые принадлежат пути между
s0 и st (Tai Ф 0) и которые, кроме того, инцидентны Sj (Sja Ф 0).
Поэтому необходимо различать случаи Sj <? st, Sj <C st и Sj = st.
В первом случае ни одна из дуг не вносит вклад в сумму, так
что dji есть нуль. Во втором случае вклад дают только две дуги.
Пусть их индексами являются бис, причем иь — дуга, предшест-
SJ
а — d
Рис. 5.13.
Вектор dji в теле i и соответствующий фрагмент ориентированного графа
системы; а — случай Sj < sj и б —- случай Sj = sj.
вующая вершине Sj (верхняя часть рис. 5.13,а). Независимо от
направления этих дуг TbiSjb = +1 и TciSjc = — 1, и, следо-
следовательно, dji = Cjb — Cjc (см. нижнюю часть рис. 5.13,а). В треть-
третьем случае (sj = st) только дуга иь, являющаяся предшествующей
для st, делает вклад в сумму. Таким образом, путем рассуждений,
использованных выше, получаем dit = cib (рис. 5.13,6). На
рис. 5.14 все векторы djt (j = 1, . . ., тг) в системе, изображенной
на рис. 5.10, показаны для частного случая i = 2. Отличны от
нуля только d12t и rf22. Эти результаты находятся в согласии со
словесным описанием, данным ранее для связи между гt, r0 и фик-
фиксированными в теле векторами *).
г) В задаче 5.3 требовалось дать непосредственное доказательство тео-
п
ремы ST = Е. Элемент произведения матриц есть (ST)ji= ^ TaiSja
" a=l

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА Ц9
Подставим теперь в уравнение движения E.12) вторую про-
производную по времени от выражения для г E.14), тогда получим
L+{CT) х ^(СГ)Т1П —СГ) X (rmln-F) = M + SY. E.18)
В этом уравнении векторы dtj играют существенную роль, как
видно из того, что произведение матриц СТ в нем повторяется.
Отсюда вытекает необходимость рассмотрения (п X тг)-матрицы
{СТ) X m (СТ)Т. Ее элемент ди есть вектор:
gij=
п.
Будем различать следующие случаи: A) st — Sj, B) st < Sj,
C) Sj <C st и D) все прочие случаи. На основании свойств векто-
векторов dtj в случае B) в gtj вносят вклад лишь те вершины ski для
которых Sj <CI sk (для всех других вершин djk равны нулю). Для
Рис. 5.14.
Векторы dj2 (/=1, . . .п).
Отличны от нуля только
di9 и d99.
них dtb, независимо от к, совпадают с dtj. Подобным же образом
в случае C) вносят вклад в gtj только такие вершины sk, для кото-
которых st ^ sh, и для них dJk совпадают с dH. Наконец, в случае D)
по крайней мере один из двух векторов dih и djk равен нулю.
Поэтому
п
Zj
k=i
E.19)
V
о
mhdih x
в других случаях.
(/, i = 1, . . ., п). Правая часть этого равенства имеет такой же вид, как
и в равенстве E.17), если с7-а заменить единицей. Последовательность рассуж-
рассуждений, использованная для интерпретации векторов dji, сразу дает желаемый
результат (ST)jt = б7^.

120 5- ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Для того чтобы сделать дальнейшие упрощения, введем важ-
важное понятие дополненного тела. Каждому телу i (i = 1, . . ., п)
системы ставится в соответствие дополненное тело, которое стро-
строится следующим образом. К концу каждого вектора cia, неподвиж-
неподвижного в теле i, присоединяется точечная масса, равная сумме масс
всех тел (за исключением тела 0), которые связаны с телом i либо
непосредственно, либо косвенно через соответствующий шарнир а.
Дадим два поясняющих примера. Для системы, изображенной
Шарнирная
точка а
Рис. 5.15.
/Шарнирная Тел0 ' ? шарнирными
точка с точками 1 и 2, центром
масс Cti барицентром Bt
и векторами bw bi0 и Ъгъ.
на рис. 5.10, дополненное тело 2 получается из исходного тела 2
присоединением точечных масс т1 + mk + т6 + тп, т3 и тъ
к концам векторов с25, сг1 и с26 соответственно. Дополненное
тело 7 получается присоединением к телу 7 точечной массы тг +
+ т2 + т3 + я&4 + тъ + tuq, расположенной на конце векто-
вектора с72. Из определения следует, что дополненные тела являются
твердыми телами и что все они имеют одну и ту же массу
2 t
г=1
полной системы. Центр масс дополненного тела i, вообще говоря,
не совпадает с центром масс Ct исходного тела i. Он называется
барицентром тела. На рис. 5.15 изображены тело i, его центр
масс Ct и барицентр Bti а также тело 0 и другое тело к, не являю-
являющиеся, вообще говоря, смежными с телом ?. Штриховыми линиями
указаны пути между телами. На дополненном теле i определены
векторы btj G = 0, . . ., п). Они начинаются в барицентре Вг
и заканчиваются в центре масс С,-, если / = г, и в конце неизменно
связанного с телом вектора ciai который ведет либо прямо, либо
косвенно к телу / в случае / Ф i. В качестве примера на рис. 5.15
указаны векторы bit, biQ и bik. Векторы Ъц с / Ф i играют ту же
самую роль для дополненных тел, какую играют неизменно свя-
связанные с телом векторы cia для исходных тел. Отметим, однако,
различие в обозначении. Второй индекс в cia является индексом
шарнира, в то время как второй индекс в btj соответствует номеру
тела. Все векторы btj (i = 1, . . ., п\ j = 0, . . ., п) неподвижны

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 121
относительно тел. Число различных векторов btj меньше числа
различных комбинаций индексов ?, /. В системе рис. 5.10, напри-
например, имеют место тождества 612 = 613 = 615. Из определения
векторов btj следует, что они удовлетворяют уравнениям
., п. E.20)
J
Векторы bij и dij связаны соотношением
*ц*=Ъю—Ъф i, / = 1, ..., », E.21)
которое легко проверить для всех возможных комбинаций индек-
индексов. (Например, в случае Sj <C st было показано, что dtj равны
нулю. В соответствии с этим btj действительно оказываются рав-
равными bi0.) С помощью соотношений E.20) и E.21) выражения для
gu в E.19) можно далее упростить. Например, в случае st < sj>
имеем
Zj rnkdjk= 2j m
(напомним, что М — полная масса системы). Аналогичный резуль-
результат получается для суммы в случае Sj < st. Вместе они дают
E.22)
MbioxdjU ss<.su
О в других случаях.
Подставим теперь выражения E.22) в уравнение E.18). В этом
пункте откажемся от матричной записи, заменяя уравнение сно-
снова п отдельными векторными уравнениями. Они имеют вид
2]
а=1
i=l i=l
или в явной форме
Lt+ Zi rnkdikxdik +
k=l
-2 dtjx(mjr'0-Fj) = Mi+ 2 5,аУа, i = l, ..., n. E.23)
Символ 2 означает сумму по всем значениям /\ которые удовлет-
удовлетворяют условию, указанному после двоеточия. Два первых члена

122 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
в левой части можно объединить. Момент количеств абсолютного
движения Lt тела г относительно Сг равен интегралу \ р X pdm,
где р — радиус-вектор материальной частицы dm, измеряемый
от Сг (см. рис. 5.16), а его производная по времени Lt = \р X
X pdm. Пусть р — радиус-вектор материальной частицы dm,
изображенный на рисунке. Он начинается в шарнирной точке
тела i, ведущей к телу 0. Будем ссылаться на эту точку как на
Рис. 5.16.
Векторы, определяющие
iw^tlZ положение материаль-
тела I нои частицы тела i.
предшествующую шарнирную точку тела i. Производная по вре-
времени от момента количеств движения тела i относительно этой
р' X р'dm. Учитывая, что р' = р — da
и \ pdm = 0, запишем его в следующем виде:
%>
т
•• /* ••••
' Хр' dm= Up—didxip—di^dm^
• • • • •
xdH.
J
n
Если к этому выражению добавить сумму ^3 mkdik X dik, то
получатся два первых члена в уравнении E.23). Отсюда ясен
их физический смысл. Указанные члены представляют собой
абсолютную производную по времени от момента количеств абсо-
абсолютного движения дополненного тела i относительно его пред-
предшествующей шарнирной точки. Сумма по к Ф i дает вклад п — 1
точечных масс, присоединенных к первоначальному телу i при
построении дополненного тела. Отметим, что dik — вектор, про-
проведенный из точки прикрепления точечной массы mk в предшест-
предшествующую шарнирную точку. Пусть Kj — тензор инерции допол-
дополненного тела i no отношению к его предшествующей шарнирной
точке. Он связан с центральным тензором инерции Jt исходного

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 123
тела i соотношением
2 mh(d\kE-dtkdih), * = 1, ..., п. E.24)
fti
Если, кроме того, обозначим абсолютную угловую скорость вра-
вращения тела i через <0/, то можем представить два первых члена
в левой части уравнения E.23) в виде
Li+ 2j ^АХ^ = Кг0)| + ^хКг(й|. E.25)
Член уравнения E.23), включающий в себяг0, приводится с по-
помощью соотношений E.20) и E.21) к виду
п .. п
2 dtjirij х г0 = 2 F^о— *<;) mjXro = bi0 X Яг0. E.26)
В выражении, содержащем внешние силы Fy, множитель dtj
отличен от нуля только для тех значений /, которые удовлетворя-
удовлетворяют соотношению st ^ Sj. Учитывая это, а также E.25) и E.26),
преобразуем уравнения движения E.23) к виду
+ 2 duxFj = Mi+y]SiaYa, i = l, ...,n. E.27)
Вторые производные от bj0 и dц будут заменены позже выражения-
выражениями
Ь,о = <^хЬ,о + ю,х(ю,хЬ,о), ... ^28v
j, / = 1, . . ., тг. (o.zo;
^yi = ©у X ^у* + ©у х (шу х ^у«)»
Уравнения допускают простую интерпретацию, если их записать
в виде
¦Щ-Ых(г0- 2 ijO + Krij + cDjXKj.cD^Aff, E.29)
где
M^^S^Ya + Mi-duXFi- 2 dijXiMbjo + Fj).
a=l j: SjO^.
Покажем теперь, что таким образом записывается уравнение мо-
момента количеств движения для одного твердого тела, если в ка_
честве точки, относительно которой вычисляются момент коли_

124 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
честв движения и момент внешних сил, выбрана неподвижная
в теле точка, отличная от центра масс. Это уравнение в C.20)
было представлено в форме
гр • р р
• «в
где Р — неподвижный в теле полюс, zP — его абсолютное ускоре-
ускорение, Jp и Мр — тензор инерции и момент внешних сил относитель-
относительно Р и гс — вектор, проведенный из Р в центр масс. Уравне-
Уравнение E.29) имеет эту форму, если твердое тело понимать как допол-
дополненное тело i и если, кроме того, в качестве полюса Р выбрать
предшествующую шарнирную точку тела. Масса тела тогда рав-
равна М и его центром масс является барицентр. Вектор, проведенный
из предшествующей шарнирной точки в барицентр, есть —bi0
(см. рис. 5.15). Выражение г0 — 2^л* является абсолютным ус-
ускорением полюса jP. Действительно, радиус-вектор точки Р в
инерциальном пространстве есть rt -f- da или, принимая во вни-
п
мание E.16), г0 — 2 du + &ц, что совпадает с г0 — 2 djU
.7=1 Ь*}<*1
поскольку djt равны нулю для Sj ^ st. Таким образом, левая
часть уравнения E.29) имеет желаемую форму.
Рассмотрим теперь момент силы М?. Он содержит прежде всего
п
главный момент 2 Sia?a всех внутренних шарнирных сил, дей-
действующих на тело ?, и момент внешних сил Mi- Линия действия
внешней силы Ft проходит, как уже говорилось, через центр
масс тела, так что — da X Ft представляет собой ее момент
относительно предшествующей шарнирной точки. Оставшиеся
члены также имеют желаемую форму; здесь — dtj суть векторы,
выходящие из предшествующей шарнирной точки, расположенной
на теле i. Для значений /, удовлетворяющих условию st < S/,
момент силы — dtj X (Mbj0 -f- Fj) можно интерпретировать сле-
следующим образом. Представим себе, что дополненное тело / отделе-
отделено от системы и подвешено как маятник в инерциальном простран-
пространстве в своей предшествующей шарнирной точке. На рис. 5.17
показан этот маятник, а также тела i и 0 и путь между ними.
Дополненное тело / подвержено действию внешней силы Fj. Если
теперь дополненное тело с массой М и центром масс Bj вращается
с его реальными угловыми скоростью и ускорением, то оно дей-
действует на подвес с силой Mbj0 + Fj. Эту силу необходимо сме-
смещать до тех пор, пока ее линия действия не пройдет через шарнир-
шарнирную точку на теле г, ведущую к телу ; (точка Q на рис. 5.17).

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 125
Тогда на тело i действует момент этой силы —dtj X (Mbj0 + Fj)
относительно точки Р. Такова физическая интерпретация послед-
последнего члена в М?.
Придадим теперь уравнению E.27) окончательную форму, ко-
которая пригодна как для численных, так и нечисленных приложе-
Рис. 5.17.
Интерпретация выраже-
• •
ния Mbi0 + Fj как си-
силы, приложенной к точ-
точке подвеса маятника.
me/roj
ний. Подставляя выражения E.28) и сохраняя в левой части толь-
только члены, включающие угловые ускорения, получим уравнение
2 du X (©/ X bJ0) + 6/o X 2 (>>jXdji\ =
< i: s<s
a=l
SiaYa, i =
., *, E.30)
где
1— M
x [ — r0 +
dit)]} —
E.31)
Двойные векторные произведения в левой части выражаются как
скалярные произведения тензора и вектора, например
dij х ((dj X bj0) ¦¦= (bjQ'dtjEi — bj0dij)»(Oj.
Введем в рассмотрение новый тензор
л*, * = 7>
М(bjQ'dijE* — bjOdij), st<C.Sj, ... /с ооч
,-.. , „ , , ч ^ i, 7 = 1, ..., /г, E.32)
М (Uji • Ojobi — Uj}Diq) , 5j- <C 5г-,
0э в других случаях,

126 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
удовлетворяющий соотношению
Kjt = Ktj (сопряженная величина К^-), г, / = 1, . . ., п.
E.33)
Тогда уравнение E.30) можно записать в окончательной форме:
f1Kij^j = Mi + Mi+ j]SiaYaJ * = 1, ...,л. E.34)
;=i a=l
Эти п дифференциальных уравнений первого порядка (экви-
(эквивалентных Зп скалярным уравнениям) необходимо дополнить Зтг
другими дифференциальными уравнениями, которые связывают уг-
угловые скорости <ог с производными по времени от обобщенных коор-
координат. В выборе таких координат имеется полная свобода. Пред-
Предположим, что для описания угловой ориентации тела i (i =
= 1, , . ., п) относительно инерциального пространства решено
использовать углы Эйлера г|э$, 6г- и <р$. Вследствие самой природы
шаровых шарниров не существует кинематических связей между
углами Эйлера различных тел. Кинематические дифференциаль-
дифференциальные уравнения представляют собой, следовательно, п систем,
состоящих из трех уравнений и имеющих вид уравнений B.29),
в которых величинам %, 2, 3 и г|?, 6, ф следует приписать индекс и
Задачи
5.4. Нарисовать на рис. 5.10 все векторы d2j (] = 1, . . ., 7) и &2/ (/ ^
= 0, . . ., 7).
5.5. Определить на рис. 5.10 векторы dij, bion btj из соотношения E.21),
отвечающие следующим наборам индексов (?, /): A, 2), A, 3), B, 1), B, 2)
и B, 6).
5.6. Составить на ФОРТРАНе или АЛ ГО Л е программу для вычисления
постоянных координат векторов dtj и тензоров К^ (?, / = 1, . . ., п) в непод-
неподвижных относительно тел базисах е<*>. В качестве входных данных использо-
использовать массы и инерциальные характеристики отдельных тел и постоянные
координаты векторов cia (i, a = 1, . . ., п). По поводу вычисления векторов
btj см. разд. 5.2.4.
5.2.3. Частный случай плоских движений
Пусть снова дана система многих тел со структурой дерева.
Одно из ее тел соединено с телом 0, совершающим заданное дви-
движение. В противоположность предыдущему разделу основными
являются следующие предположения. Во-первых, все шарниры
являются цилиндрическими и все их оси параллельны одна другой
(два тела, соединенных цилиндрическим шарниром, имеют одну

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 127
степень свободы и могут вращаться одно относительно другого,
поступательное движение каждого из них относительно другого
вдоль оси шарнира невозможно). Во-вторых, заданная абсолют-
абсолютная угловая скорость вращения тела 0 не имеет компоненты,
перпендикулярной к осям цилиндрических шарниров. Система
трех тел такого рода изображена на рис. 5.18. Вследствие нали-
наличия связей в шарнирах каждое тело совершает плоское движение
относительно всех других тел. Движения по отношению к инер-
циальному пространству представляют собой плоские движения
только тогда, когда поступательное движение тела 0 не имеет
составляющей вдоль осей шарниров. В данный момент это не
предполагается.
Уравнения движения для таких систем легко составить на
основании уравнений движения для систем с шаровыми шарнира-
шарнирами (уравнения E.34)). Между двумя видами систем существует
Тело I
Рис. 5.18.
Система с цилиндрическими шарни-
шарнирами, оси которых параллельны.
Рис. 5.19.
Векторные базисы и угловые
координаты в системе с цилин-
цилиндрическими шарнирами, ''оси
которых параллельны.
лишь одно различие, которое объясняется следующим образом.
Представим себе, что на оси каждого цилиндрического шарнира
выбрана произвольная точка и что в эту точку помещен шаровой
шарнир. В результате такой процедуры получится система вида,
рассмотренного в предыдущем разделе.
Первоначальную систему с цилиндрическим шарниром можно
снова получить из указанной системы, если ввести в каждом
шаровом шарнире момент силы реакции связи, который исключит
степень свободы, отвечающую вращению вокруг оси, перпенди-
перпендикулярной осям цилиндрических шарниров. Векторы этих моментов
сил реакций связей направлены перпендикулярно осям цилинд-
цилиндрических шарниров. Следовательноv уравнения движения системы

128 5- ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
с цилиндрическими шарнирами совпадают с уравнениями E.34),
в которые к уже существующим моментам внутренних шарнирных
сил Тг, . . ., Yn должны быть добавлены оговоренные выше момен-
моменты сил реакций связей. Если эти уравнения умножить скалярно
на единичный вектор р, параллельный осям цилиндрических шар-
шарниров, то добавочные моменты сил реакций связей снова будут
исключены. Система п векторных дифференциальных уравнений
приводится, таким образом, к системе п скалярных дифференци-
дифференциальных уравнений, число которых совпадает с числом степеней
свободы (одна в каждом из п шарниров).
Остается показать, что скалярные дифференциальные уравне-
уравнения не зависят от выбора точек на осях цилиндрических шарни-
шарниров, в которых помещены шаровые шарниры и приложены момен-
моменты сил реакций связей. В уравнениях E.34) от расположения
этих точек зависят только величины, представляющие собой
компоненты векторов йц и bi0 (i, / = 1, . . ., п) вдоль единичного
вектора р. Легко проверить, что эти компоненты исключаются
в результате скалярного умножения уравнений на р. В качестве
примера рассмотрим членр-d^ х [<О/ X (<О/ X &/0)Ь Абсолютная
угловая скорость <0j сама имеет направление вектора р. Достаточ-
Достаточно, следовательно, исследовать выражение p-dtj X [р X (р X
X б/о)!» которое тождественно выражению р -bj0 x йц. Из такой
формы видно, что компоненты векторов bj0 и dtj вдоль р действи-
действительно исчезают. Чтобы упростить последующие вычисления,
положим эти компоненты с самого начала равными нулю. Таким
же образом поступим с компонентами векторов r0 (t) и Ft (i =
= 1, . . ., п) вдоль р, а также с компонентами векторов Мг (i =
= 1, . . ., п) и Та (# = 1, . . ., п), перпендикулярными р.
Скалярное умножение уравнения E.34) на р осуществим
теперь следующим образом. С каждым телом i (i = 0, . . ., п)
свяжем векторный базис е{%) так, чтобы единичный вектор е^>
совпадал с р (рис. 5.19). Направления в(/} и еBг) в теле произвольны.
Начало] fe@) помещается на оси шарнира 1. Его радиус-вектор
в инерциальном пространстве представляет собой известную
функцию r0 (t). Искомое скалярное произведение уравнения E.34)
на р получается в результате разложения этого векторного урав-
уравнения в базисе еО) и сохранения только уравнения для третьей
координаты. На рис. 5.19 наряду с базисами e{i) показан также
неподвижный в инерциальном пространстве базис е. Его базис-
базисный вектор е3 также параллелен р. В качестве обобщенной коорди-
координаты для описания угловой ориентации тела i (i = 0, . . ., п)
выбран угол (рг между ег и е({\ Пусть Аг — матрица преобразова-
преобразования, определенная уравнением
е«> = ЛЧ i=l, ..., п.

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 129
Она имеет вид
cos ф$ sin ф$ О"
— sin фг cos фг О
О О 1
= l, ..., п.
E.35)
Отсюда следует, что. матрицей преобразования, определенной
уравнением е{1) = Alje{^ (г, 7=0, . . ., п), является матрица
cos (ф^ —ф;.) sin^ —фу) 0"
— ЗШ(ф, —фу) COS (ф^ —фу) О
О 0 1
= 0, ..., п.
Матрицы координат для Кь dtj, 6г0, о>/, о>г-, Мг и Ya (i, /, ^ —
= 1, . . ., п) в базисе е(г> записываются в виде
Кц — i
-Km i
_-*из -1
0~
0
?*2
"
0
- Фи
— ^пз""
— iTi23
~6jO C0S
Ьго sin
0
, Mt
РГ
Pi
=
dtJ =
dtJ cos с
dtj sin (
0
t
о -
0
Mt_
i i
-
>
-o-
0
В выражениях для dtj ш bi0 скаляры dfj и bi0 представляют
собой абсолютные значения проекций этих векторов на плоскость
е(Л) — в(г)# Третьи компоненты заменены нулями по причинам,
которые были объяснены ранее. Постоянные углы atj и Р* опре-
определяют положение проекций векторов в плоскости dp —е{р.
Относительно внешних сил Ft (i = 1, . . ., п) и ускорения r0 (t)
• • • •
предполагается, что известны их координаты F^, Fi% и г01, г02
в базисе в, неподвижном в инерциальном пространстве. Не относя-
относящиеся к делу координаты заменены нулями. Матрицы координат
для Ft и г0 в базисе е{1) суть
i2 0]т, i =
= ^ [г1 V02 0]
9-0603

130
5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Принимая во внимание эти выражения, получим из уравнения E.34)
скалярное матричное уравнение:
2
2
a=l
SiaYa, * = !,...,*. E.36)
Члены, содержащие cpf, преобразованы с помощью тождеств
°>j X (©/ X Ь/о) = — ©?Ьуо и ®/ X (®/ X ^W = — ©Mj*' Согла-
Согласно E.32), C X 3)-субматрица Кц имеет вид
М
:*i»
i, /=1, .. ., n.
о
в других случаях,
Они удовлетворяют тождеству Кjt — Kjj, которое представляет
собой скалярную форму соотношения E.33). Каждый член в урав-
уравнениях E.36) есть матрица-столбец, состоящая из трех элементов.
Представляет интерес только третий элемент. Чтобы его найти,
необходимо выполнить умножение во всех произведениях. Рас-
Рассмотрим подробно два более сложных выражения. Первое из
них — произведение Kijtoj. Вследствие того что со7- имеет простую
форму, необходимо выразить только элемент с индексом C, 3)
субматрицы Кг]. Остановимся лишь на случае st < Sj. Произве-
Произведение Andtj представляет собой матрицу
cos (фу—фг) cosa^ + sin (q^. — <р.) smatf
— sin (ф7- — фг) cosa^ + cos (ф7- — ф) i
О
d§i
гИ
sin(q>i —
О
и элемент произведения bj0AjldijE с индексом C,3) равен
bjodij [COS Py COS (фг- — фу + QSjy) + Sin Py Sin (ф/ — фу -f- OSг-у)] =
= bjOdij cos (ф,- — фу + a*j — Py).

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 131
Легко показать, что элемент C,3) в Alj bjOdJj обращается в нуль.
Следовательно, в случае st < sj член ifjycoy дает вклад
Mbjodij cos (ф, — фу + atj — ру) фу
в искомое скалярное уравнение движения. Вторым несколько
сложным выражением является (p2jdtjAijbj0. Произведение двух
его последних сомножителей дает
Л%0 = Ьуо[соз(ф, — Ф7- — Ру) — зт(ф| — фу— ру) 0]Т.
Отсюда непосредственно следует, что третий элемент полного выра-
выражения равен
—dijbj0 sin (ф{ — фу + аи — ру) ф?.
Представляя таким'же образом оставшиеся члены уравнения E.36),
получим скалярные дифференциальные уравнения
StaY
taYa, » = 1, .... в,
в которых использованы следующие обозначения:
О
MdfjbjQ cos (ф$ — 4>j~haij— Ру)?
f—-фу — <Zji + $i),
в других случаях,
)Sin^ — фу + аг.у—Ру), Si<sj,
j= ^ Mdjibiosm(q)i — Фу—ayi + P*)> 5у<5м h 7 = 1» . .., тг,
О в других случаях,
г = М| —Afbjo [r01sini
4- V r7..
sin
O — r02 cos
— F/2 cos
= 1, ..., п.
Элементы Atj и Btj удовлетворяют соотношениям А л = Atj
и В л — — Вг]- (i, / = 1, . . ., /г). Уравнения движения можно
также записать в матричной форме:
А
«tf
E.37)
9*

132
5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Особый интерес представляют механические системы с торси-
торсионными пружинами и демпферами в шарнирах. Фиксируем теперь
векторные базисы e(i) (i = 1, . . ., п) в телах таким образом,
чтобы все они были параллельны один другому и базису е, когда
положение системы таково, что пружины не напряжены. Ради
простоты все коэффициенты пружин и демпферов предполагаются
постоянными. Обозначим их для шарнира а {а = 1, ..., п) соот-
соответственно через ка11 da. С учетом введенных обозначений момент
внутренней силы Ya принимает вид
а = — К[(Ц>Ща)— фг~(а)) — da (фг+(а)
Л = 1, • • . , П.
Знак устанавливается на основании соглашения, что +Ya есть
момент силы, приложенной к телу i+ (a), a также того, что в дан-
данном случае это момент силы, препятствующий возрастанию двух
разностей, указанных в скобках. Это уравнение можно записать
также в форме
п п
Уа=— К 2 Sia^t-day\ Sia<pi =
г=0 г=0
2
г=0
п
¦ -4,2
г=1
П.
Последний член выделен по той причине, что SOa отлично от нуля
только для а = 1. Матрица-столбец Y всех моментов шарнирных
сил равна теперь
где к и d — диагональные {п X га)-матрицы коэффициентов пру-
пружин и демпферов соответственно. Подставив это выражение в урав-
уравнение E.37), получим
Ч>1
',
.Фп.
+в
"фГ
•
.Фп.
+ SdS*
Ф1
-Фп.
+ SkST
Ф1
'•
.Фп.
E.38)
симметрические, а В кососимметричес-
представляет собой матрицу-столбец
Матрицы Л,
кая. Произведение
[—1 0 0 ... 0]т. Первоначальное предположение о том, что пру-
жины и демпферы имеют постоянные коэффициенты, можно теперь
отбросить. Очевидно, что уравнения остаются тем не менее спра-

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 133
ведливыми, если ка и da являются функциями (фг+(а) — Ф*-(а))
и (ф*+(а> — ф*-<а>) соответственно.
Уравнения движения в специальной форме E.38) и в более
общей форме E.37) пригодны для приложения ко многим пред-
представляющим интерес механическим системам. Одним из примеров
является задача о походке антропоморфной фигуры. Отдельные
части человеческого тела совершают движения, которые с при-
приемлемой точностью можно рассматривать как плоские движения.
Уравнения E.37) справедливы для фазы движения, в которой
одна нога имеет контакт с землей. Для фаз движения без кон-
контакта с землей и с опорой на две ноги такие уравнения будут
установлены в разд. 5.2.4 (уравнение E.62)) и 5.3.2 (иллюстратив-
(иллюстративный пример 5.5).
Иллюстративный пример 5.1. На рис. 5.20 показана простая
система весьма специального вида, описываемая уравнениями E.38).
Это модель консольной балки. Балка изображена в недеформи-
рованном состоянии и сильно деформированном состоянии, для
Рис. 5.20.
Модель консольной балки с телом 0, неподвижным в инерциальном про-
пространстве.
которого уравнения для балок, известные из теории упругости,
не справедливы. Система состоит из п одинаковых твердых эле-
элементов, соединенных цилиндрическими шарнирами, оси которых
параллельны. Во всех шарнирах имеются одинаковые торсионные
пружины с постоянным коэффициентом к (демпферы отсутствуют).
Основание, к которому крепится балка (тело 0), неподвижно
в инерциальном пространстве. Внешние силы и моменты внешних
сил не действуют. Векторные базисы е и e(i) (i = 0, . . ., п) ориен-
ориентированы, как показано на рисунке. В недеформированном состо-
состоянии все углы ф0, . . ., фп равны нулю. При этих условиях правая
часть уравнения E.38) есть тождественный нуль. В теле
i (i = 1, . . ., п) векторы bi0 и йц (/ = 1, . . ., п) параллельны ef?\
поэтому atj = 0 и Pi = 0 для ?, / = 1, . . ., п. Для всех комбина-
комбинаций индексов ?, / = 1, . . ., п (i Ф )) имеет место одно из соотно-

134
5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
шений st < sfia. Sj < 5j. Если тела пронумерованы так, как пока-
показано на рис. 5.20, то st < sj влечет за собой i < /. С учетом этих
упрощений выпишем элементы матриц А и В:
= аи sin (<Pi —
где
Матрица SkST принимает вид
—1
—1 2
0-1
о о •
-1 О
2 -1
' . - 1
0-1 1
Как видно из выражений для элементов матриц Ли В, для линеари-
линеаризации уравнений требуется, чтобы все разности ф^ — ф7- (г, / =
= 1, . . ., п) были малыми. Недостаточно, чтобы указанные разно-
разности были малыми для всех пар смежных тел. Линеаризованные
уравнения запишем в форме
Эти уравнения можно использовать для определения константы к
пружины. Она должна иметь величину, которая давала бы для
наинизшей собственной частоты системы тот же результат, что
и линеаризованные уравнения балки. Как только к определено,
можно рассматривать нелинейные уравнения движения. В тейло-
тейлоровских разложениях уравнений в ряды за линейными членами
следуют члены третьего порядка вида — аи (cpt — Ф7-JФ7*/2 и
аи (ф? — Фу) фЗ (*, 7 = 1» • • •» п)
5.2.4. Системы с шаровыми шарнирами, не связанные
с внешним телом, совершающим заданное движение
Системы, изучаемые в настоящем разделе, отличаются от
систем, рассмотренных в разд. 5.2.2, только тем, что они не свя-
связаны с внешним телом, движение которого задано как функция
времени. Типичными примерами таких систем служат состоящий
из многих тел космический аппарат в полете и человеческое тело

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 135
в фазе движения без контакта с Землей. На рис. 5.21 показана
система семи тел. Для описания ее движения необходимо иметь
векторный базис е,@) положение которого в инерциальном про-
пространстве должно быть известной функцией времени. Выбор
этого базиса зависит от конкретной рассматриваемой задачи. Так,
Рис. 5.21.
Система с шаровыми шар-
шарнирами, которая не свя-
связана с внешним телом,
совершающим заданное
движение. Радиус-век-
Радиус-векторы центра масс систе-
системы и центра масс тела i
(i = 2).
Полюс,
неподвижный
в инерциальном
д
Центр масс
всей системы
движение прыгающего человека лучше всего описывать в базисе е{0\
который неподвижен в инерциальном пространстве. Вращатель-
Вращательные движения спутника Земли на круговой орбите проще всего
описать в базисе е@), вращающемся относительно Земли с орби-
орбитальной угловой скоростью спутника. Как было объяснено
в разд. 5.1, в этом случае вводится фиктивный шарнир, который
связывает начало базиса е@) с одним произвольно выбранным телом
системы. На рис. 5.21 этот шарнир обозначен штриховой линией.
Все тела и шарниры пронумерованы согласно правилам, указан-
указанным в разд. 5.2.1. Структура системы и нумерация на рис. 5.21
такие же, как для систем, изображенных на рис. 5.10 и 5.8,а.
Следовательно, можно снова воспользоваться ориентированным
графом, представленным на рис. 5.8,в.
Уравнения движения будут получены из закона Ньютона и тео-
теоремы об изменении момента количеств движения. С этой целью
введем опять диаграммы свободных тел, разрезав все шарниры
системы. В результате получим систему п отдельных тел, к кото-
которым приложены внешние и внутренние силы и моменты сил.
Используем для всех величин такие же обозначения, как на
рис. 5.11. Основные уравнения движения совпадают, следова-
следовательно, с уравнениями E.7) и E.8). Они имеют вид
a=l
a=l
1 = 1, .. ., П.
E.39)
E.40)

136 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Внутренняя сила Х\ и момент внутренней силы Ух в фиктивном
шарнире 1 тождественно равны нулю. Поэтому вектор сп не имеет
физического значения. Для удобства положим его равным нулю:
сп = 0. E.41)
Суммируя все п уравнений E.39) и принимая во внимание, что
каждая из внутренних шарнирных сил Хс2, . . ., Хсп встречается
в двух уравнениях с противоположными знаками, получаем
Используя полную массу М системы и радиус-вектор
п
центра масс всей системы, приведем уравнение к виду
п
VC = A- 2*V E.42)
i=l
Дифференциальное уравнение E.42) описывает движение центра
масс всей системы. Существование этого уравнения представляет
собой основное различие между системами, имеющими и не имею-
имеющими материальный шарнир между телами 0 и 1. Все последую-
последующие отличия в математическом описании систем обоих видов яв-
являются следствием этого уравнения. Пусть Rt (i = 1, . . ., п) —
радиус-вектор центра масс тела i относительно центра масс всей
системы (рис. 5.21), так что rt = Rt-\-rc. Тогда уравнение E.39)
можно записать таким образом:
^2 ,
а=1
или, принимая во внимание уравнение E.42),
п п
j=i a=l
где \iij суть безразмерные величины:
\ni=bii-jt' '-y==1> •••'"• E-43)

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 137
Объединим п уравнений движения в одно матричное уравнение
E.44)
Матрицы m, F, S и Xе были определены в связи с уравнени-
ем E.9), a R и \i представляют собой соответственно матрицу-
столбец [i?x . . . Rn]T и (п X 7г)-матрицу с элементами [х^-. Запи-
Запишем п уравнений E.40) в матричной форме:
E.45)
Это уравнение совпадает с уравнением E.10).
Прежде чем представить эти уравнения в развернутом виде,,
необходимо привести некоторые важные свойства матрицы fx.
Радиус-векторы 7?х, . . ., Rn удовлетворяют соотношению
= 0, из которого следует
п п п
и, таким образом,
E.46)
Матрицу jli можно записать в виде
±U). E.47)
Используем теперь это выражение, чтобы доказать тождества
= m|LtT. E.48)
Разность между произведениями, стоящими в правой и левой
частях, есть
mfiT — fxm^T = — mlпСт^ = -j^ ™КС^""мТ ™h>> (i«!?in) i^-
Выражение в скобках равно М, на основании чего сразу следует
справедливость тождества E.48). Отсюда заключаем, что матри-
матрица \i особенная. В самом деле, сумма всех строк дает строку, кото-
которая содержит только нули. Это можно выразить таким образом:
= 0. E.49)

138 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Для доказательства подставим E.47), тогда
^1 п = 1 п - -i- 1 п A* mlп) == 0.
Установив свойства матрицы \i, рассмотрим снова уравне-
уравнения E.44) и E.45). Из первого уравнения, умножив его слева на Г,
можно найти силы реакций связей Xе в явном виде:
Подставив их в E.45), получим уравнение
E.50)
заключающее в себе Зп скалярных дифференциальных уравнений.
Учитывая уравнения E.42), к ним следует добавить еще три, так
что их общее число Зп + 3 равно полному числу степеней свободы
{шесть в шарнире 1 и три в каждом из оставшихся шарниров).
Уравнение E.50) аналогично уравнению E.12), которое мы соста-
составили ранее, выразив радиус-векторы гх, . . .,гп через г0 и связан-
связанные с телами векторы djt (/, i = 1, . . ., п). Эквивалентные
выражения существуют для векторов /?х, . . ., Rn. Векторы djt
определены равенствами E.17). Их физический смысл был про-
продемонстрирован на рис. 5.14. В данном случае необходимо иметь
в виду, что вектор с1Х равен нулю (ср. уравнение E.41)). Отсюда
следует, что концы всех векторов dlt (i = 1, . . ., п) находятся
в центре масс тела 1. Сумма всех векторов djt по / = 1, . . ., п
при фиксированном значении i представляет собой поэтому вектор
с началом в центре масс тела i и концом в центре масс тела 1, т.е.
Я,-Я, = _?!<*„= _ t(CT)}t, * = 1, ..., п.
з=\ j=i —
В матричной форме эти п соотношений имеют вид
Умножая последнее соотношение слева на jutT я учитывая E.46)
и E.49), получим явное выражение для R:
ут1п. E.51)
Подставим его в уравнение E.50):
Второй член содержит произведение m|nT, тождественное выра-
выражению [длг|ыт согласно E.48). Поэтому можно ввести дополнитель-

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 139
ный множитель ju, что приводит к уравнению
L + (С7>) х т{CT\xf 1. п + (СТр) xF^M + SY, E.52)
соответствующему уравнению E.18) для систем с шаровым шарни-
шарниром 1. Важная роль, которую играли в этих системах векторы
(CT)ij = dtj, теперь принадлежит векторам (CT\i)ij. Так же как
и векторы dij, они допускают простую интерпретацию. Чтобы ее
установить, запишем
~~ ft=l k=l
и подставим выражение E.21) для dih и выражение E.43) для \ihJ-.
Принимая во внимание E.20), в результате получим
(^) -bt}, i, / = 1, ..., п.
E.53)
Учитывая последнее соотношение, представим радиус-вектор
Rt (i = 1, . . ., п) в виде суммы
*,= Sbyif i = i »• E-54)
i=i
Это следует из равенства E.51). Таким образом, показано, что
векторы b(j дополненного тела являются доминирующими пара-
параметрами в уравнениях движения E.52). Дальнейшее преобразо-
преобразование аналогично преобразованию уравнения E.18), хотя и много
проще. Сначала рассмотрим (п X д)-матрицу {СТ\л) X m (СГц)т.
Обозначим элемент с индексами г, / через ^^-, тогда
п
gij= YimhbikXbjk, i, / = lf ..., п. E.55)
В случае г =^= / это выражение можно значительно упростить.
С этой целью разделим ориентированный граф системы на две
части, проведя линию, пересекающую произвольную дугу на пу-
пути между st и Sj (рис. 5.22). Обозначим множество индексов всех
вершин той части, которая содержит яг-, через /, а множество
индексов всех вершин, расположенных на другой части, че-
через //. Тогда для всех индексов к, принадлежащих множеству /
(сокращенно к ? /), имеет место тождество bjk = bjU а для всех
к ? II — тождество bik = btj. В соответствии с этим представим
gtj следующим образом:
kei иен

140 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Член, стоящий в скобках, можно записать в виде
п
— 2
fee/ fc=i
или, используя равенства E.20) и одно из только что упомянутых
тождеств, в виде
kti ken
Аналогично получаем
^. • • • • ^->
Щ1 J Jl k?I
После этого gtj принимает форму
/ xi vi \ * * * *
i, /=1, ..., n, 1ф). E.56)
Полученное простое выражение соответствует значительно более
Рис. 5.22.
И Множества lull индек-
индексов вершин для Si ф. sj.
сложному выражению E.22) для систем с шаровым шарниром 1.
Разложим теперь матричное уравнение E.52) на п отдельных
векторных уравнений
i+Xeij% ijjt+^taa, , ,,
.7=1 j=l a=l
которые, принимая во внимание только что установленные выраже-
выражения для gij {i Ф )) и gih запишем в следующем виде:
п # # п п
bik-Ml] bf/Xbj,—2 ЪихР,- =
i=l ; = 1
i
= Мг+2 SiaYa, i = l, ..., n. E.57)
a=l
Это соответствует уравнениям E.23). Два первых члена можно
объединить в одно более простое выражение. Представим с помо-
k=\

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 141
щью величин р' и р, смысл которых ясен из рис. 5.23, абсолют-
абсолютную производную по времени от момента количеств абсолютного
движения первоначального (не дополненного) тела i относительно
барицентра Bt; тогда имеем
р' X р' dm= j" (р+ &,-,-) X (p + bii)dm =
5* • • • • • •
р X pdm-\- mfin x bti = Lt -f- тьЬц х 6^.
n
Если к указанному выражению добавить сумму ^]mkbik X 6г-ь,
i
то получатся два первых члена в левой части уравнения E.57).
Исходя из этого, можно объяснить их физический смысл. Эти
члены представляют собой абсолютную производную по времени
от момента количеств абсолютного движения дополненного тела i
Рис. 5.23.
Векторы, определяющие
положение материальной
частицы тела i. Центр
масс Сь и барицентр Вt.
относительно его барицентра Вг. Сумма по к Ф i дает вклад
точечных масс mki которые присоединены к телу i в концах векто-
векторов bih (см. рис. 5.23). Пусть К* — тензор инерции дополненного
тела i относительно его барицентра. Он связан с центральным
тензором инерции Зг первоначального тела соотношением
Kf-Ji + J^H^E-M^), * = 1, ¦.-,*. E.58)
Два первых члена в уравнении E.57) можно теперь выразить
следующим образом:
где 0)? — абсолютная угловая скорость вращения тела i. Учиты-
Учитывая это, представим уравнения движения в виде
tj
ii
фг
j]SiaYa
l
., п.

142 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Выражения для b
jt:
Ьп =
х Ьп + <0j X (<О/ X
E.59)
будут подставлены позже. Уравнения движения допускают про-
простую физическую интерпретацию, если их записать в следующей
форме:
где
Они имеют вид уравнения момента количеств движения для одного
твердого тела в частном случае, когда в качестве полюса для
вычисления момента количеств движения и моментов внешних
Рис. 5.24.
Интерпретация выраже-
выражения Mbtj + Fj как си-
силы, приложенной в точ-
точке подвеса маятника.
сил используется центр масс. Роль твердого тела играет допол-
дополненное тело i. Полюсом для К* является на самом деле его центр
масс, т. е. барицентр Bt. Во-первых, момент силы Jiff содержит
п
момент внешней силы Mt и главный момент 2 SiaYa всех внут-
ренних шарнирных сил, приложенных к телу. Во-вторых, внеш-
внешняя сила Fj, линия действия которой проходит через центр масс
Си дает момент bit X Fj (рис. 5.24).
Последний член можно интерпретировать следующим образом.
Пусть дополненное тело / (/ Ф г) подвешено как маятник в инер-
циальном пространстве в своей шарнирной точке, ведущей к те-
телу i, и пусть оно подвержено действию своей внешней силы F/.
После этого сообщим телу его истинные угловые скорость и уско-
ускорение, тогда оно будет действовать на точку подвеса с силой
+ fj. Эту силу необходимо перенести так, чтобы ее линия

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА
действия проходила через шарнирную точку тела г, ведущую
к телу / (точка Q на рис. 5.24). Тогда она даст момент btj X
X (Mbjt + Fj) относительно барицентра Bt. Суммируя эти момен-
моменты сил по всем ) -ф i, получим последний член Ш\.
Для завершения подготовки к численным и аналитическим
приложениям приведем уравнения движения к виду уравне-
уравнений E.34). Подставив выражения E.59) в уравнения движения,,
получим
п п
К*-СОг — М2 &ij Х(<0/ X bjt) = M'i-\- Mj+ 2 SiaYa, ? = 1, • • • , П?
i=l a=l
где
n
+ 23 hjXFj, i = l, ..., n.
i=l
Двойное векторное произведение в левой части перепишем таким
образом:
Ъи х (&j
Затем определим тензоры К,^:
Kf, i = j,
Они удовлетворяют соотношению
Кп =Ka, i, / = 1, . . ., л. E.60)
Используя их, придадим уравнениям движения окончательную
форму:
a=l
J,, i = l, ..., п. E.61)
Эти уравнения следует дополнить одним уравнением E.42),
описывающим движение центра масс всей системы. Кроме того,
необходимо составить кинематические дифференциальные уравне-
уравнения. Они совпадают с уравнениями, которые добавляются к урав-
уравнениям E.34), так что нет необходимости в дополнительных пояс-
пояснениях.
Уравнения E.61) совпадают по форме с уравнени ми E.34),
полученными для систем с материальным шарниром 1. Составле-
Составление тех и других уравнений проводится по единой схеме, за

144 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
исключением составления и подстановки уравнения E.42). Для
систем, в которых шарнир 1 не является материальным шаровым
шарниром, все шаги этой схемы проще с математической точки
зрения. Это следует из того, что в таких системах ни одно тело
или шарнир не играет главенствующей роли. В системах с мате-
материальным шарниром 1 указанный шарнир, а также тело 0 наруша-
нарушают симметрию, что отражается на математическом описании
системы.
Задачи
5.7. Составить на ФОРТРАНе или АЛ ГО Л е программу для вычисления
постоянных координат векторов Ъ^ и тензоров К| (i = 1, . . ., п\ j == 0, ...
. . ., п) в соответствующих неизменно связанных с телами базисах е<*).
Использовать в качестве вводных данных массы и моменты инерции отдель-
отдельных тел и постоянные координаты векторов cia (г, а = 1, . . ., /г).
5.8. Предположим, что п одинаковых стержней длины I с массой т
и центральным моментом инерции / (относительно оси, перпендикулярной
стержню) соединены один с другим своими концами так, что образуют цепоч-
цепочку. Вывести формулу для центрального момента инерции (относительно оси,
перпендикулярной стержню) i -го дополненного тела (i = 1, . . ., п).
5.9. Два тела соединены шаровым шарниром. В отсутствие моментов
внешних сил система может находиться в состоянии перманентного враще-
вращения, в котором тела имеют равные постоянные угловые скорости а^ = со2 ==
ез со = const. Показать, что при таком движении векторы со, Kf -co, Kf -со,
J_i«fi>, J2-co, 612 и 621 лежат в общей плоскости.
5.10. Система связанных между собой плоских дисков движется без
трения по наклонной плоскости (рис. 5.25). В цилиндрических шарнирах
Рис. 5.25.
Система дисков на
наклонной плоскости.
между телами установлены пружины и демпферы. Постоянные коэффициен-
коэффициенты пружины и демпфера в шарнире а (а = 1, . . ., п) обозначим соответствен-
соответственно через ка и da. Базисные векторы инерциальнои системы координат е на-
направлены, как показано на рисунке. Базис е<г*> неизменно связан с телом i
{i — 1 , . . ., п) таким образом, что е(») параллелен е3. Кроме того, если пру-

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 145
жины не напряжены, то все базисы е<*> параллельны один другому. Угол
поворота тела i (i = 1, . . ., ?г) вокруг е3, измеряемый между ег и е(р, обо-
обозначается через фг. Применить методы разд. 5.2.3 к уравнениЯхМ E.61) и пока-
показать, что эти уравнения можно привести к виду
Ф1
\
• •
Фл
+1
+ SdST
Ф1
•
_ф/1_
+ SkST
" <Fi~
фп
D
E.62)
где Л, J5, d, fe, и R — матрицы с элементами
Atj=<
COS ((pj —
Sin (ф; —
Угол |Зг-;- (i, / = 1, . . ., w) измеряется на теле i между е^ и проекцией btj
на наклонную плоскость. Величины Mti Ftl и Fi2 (i = 1, . . ., w) представ-
представляют собой проекцию на направление е3 главного момента внешних сил, дей-
действующих на тело i (относительно центра масс тела) и координаты главного
вектора внешних сил, приложенных к телу i, в направлениях е1 и е2. В част-
частном случае движений по наклонной плоскости эти величины суть Mi = О,
Fn = mtg sin а и Fi2 = 0 (* = 1, . . ., п).
5.2.5, Частный случай спутника на круговой орбите, состоящего
из многих тел
В этом разделе рассматривается один из исключительных
случаев для систем многих тел, в котором результаты, представ-
представляющие как теоретический, так и практический интерес, могут
быть получены нечисленными методами. Физическое явление,
которое предстоит исследовать, объясним сначала на простом
примере, когда вместо системы многих тел рассматривается одно
твердое тело. Тело движется как спутник на круговой орбите
вокруг Земли. Гравитационные силы задаются законом Ньютона.
Это означает, что материальная частица dm спутника, радиус-
вектор которой относительно центра Земли есть г, притягивается
силой
где тс — произведение универсальной гравитационной постоянной
на массу Земли. Это соотношение указывает на физическое явле-
явление, которое необходимо обсудить. Частицы с одинаковыми
10-0603

146 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
массами, но по-разному расположенные внутри спутника, подвер-
подвержены действию различных сил гравитационного притяжения.
Если характерный размер спутника порядка нескольких метров,
а радиус орбиты порядка 6 500 км, то отношение этих двух вели-
величин приблизительно равно 10 ~6. Разность между силами гравита-
гравитационного притяжения, действующими на две частицы с одинаковы-
одинаковыми массами, следовательно, чрезвычайно мала по сравнению
с самой притягивающей силой. Этой разностью можно без всякого
ущерба пренебречь, когда орбита определена.
Таким образом, на данном этапе решения задачи радиус-вектор
г каждой материальной частицы заменяется радиус-вектором гс
центра масс спутника. Это упрощение приводит к кеплеровой
орбите для центра масс. В рассматриваемом случае предполагает-
предполагается, в частности, что орбита является круговой, так что величина гс
не зависит от времени. Спутник движется вдоль траектории
с постоянной орбитальной угловой скоростью соо, величина кото-
которой зависит от радиуса орбиты гс. Эта зависимость дается третьим
законом Кеплера
<оЦ = -?-. E.63)
Неоднородностью гравитационного поля по объему, занимае-
занимаемому спутником, нельзя, однако, пренебрегать, если речь идет
о вращательном движении спутника. Сила dF, приложенная
к материальной частице dm, дает момент относительно центра
масс. Если его проинтегрировать по всей массе, то получится
главный момент гравитационных сил, который, вообще говоря, не
равен нулю. Хотя этот момент весьма мал. им нельзя пренебрегать
по той простой причине, что это единственный момент внешних сил,
приложенный к телу (здесь предполагается, что отсутствуют дру-
другие моменты сил, вызванные, например, солнечным давлением на
поверхность спутника или взаимодействием с магнитным полем
Земли).
Из разъяснения, сделанного по поводу главного момента гра-
гравитационных сил, сразу следует, что указанный момент является
функцией параметров угловой ориентации тела относительно
Земли. Для описания этой ориентации используется орбитальная
система координат е, показанная на рис. 5.26. Ее начало совпа-
совпадает неизменно с центром масс спутника, а сама она вращается
относительно Земли с орбитальной угловой скоростью соо. Базис-
Базисный вектор е3 направлен вдоль местной вертикали наружу, а век-
вектор е2 — вдоль оH. Пусть J и со — центральный тензор инерции
тела и абсолютная угловая скорость вращения тела соответственно.
Если MgT обозначает главный момент гравитационных сил, то
вращательное движение тела описывается уравнением
J (о + со X J-co = MgT.

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 147
По отношению к орбитальной системе координат тело вращает-
вращается с угловой скоростью, которую обозначим через <orei. Поэтому
<о = <о0 + wrei и о = @Ге1. Следовательно, для вращательного
движения относительно базиса е имеем уравнение
X J.((O0+G)rel) = Mgr. E.64)
Представляет интерес рассмотреть вопрос, допускает ли это
уравнение решение <orei = О, т. е. может ли спутник оставаться
Рис. 5.26.
Одно тело на круговой
околоземной орбите и ор-
орбитальная система коор- Ц
динат е^ Ъ Земли
неподвижным относительно вращающейся системы координат е.
Такое состояние существует и называется положением относи-
относительного равновесия. Из уравнения E.64) получаем в качестве
условия относительного равновесия уравнение
аH XJ»@0 = MgT. E.65)
Величина в правой части, как было показано, представляет собой
функцию параметров угловой ориентации тела относительно бази-
базиса е. То же самое справедливо для члена в левой части, посколь-
поскольку <оа имеет постоянные координаты в е, а тензор инерции J имеет
постоянные компоненты в системе координат, неизменно связан-
связанной с телом. Поэтому уравнение E.65) определяет неизвестную
угловую ориентацию в положении относительного равновесия.
Такого рода положения относительного равновесия можно на-
наблюдать в природе. Луна находится в относительном равновесии
на своей земной орбите, а планета Меркурий — на своей орбите
вокруг Солнца. Положения относительного равновесия имеют
большое практическое значение для функционирования орбиталь-
орбитальных космических аппаратов. При конструировании искусственных
спутников, предназначенных для наблюдений и передачи сигна-
сигналов, положения относительного равновесия должны быть известны
заранее. Только тогда можно установить камеры и антенны таким
образом, чтобы в течение полета они всегда были направлены
вертикально вниз на Землю.

148 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
После этих вводных замечаний можно сформулировать общую
задачу, которую предстоит здесь рассмотреть. Задана система
многих тел со структурой дерева и шаровыми шарнирами, в кото-
которых отсутствуют какие-либо моменты внутренних шарнирных
сил. Каждое отдельное тело представляет собой гиростат с рото-
роторами, угловые скорости которых относительно несущего тела
сохраняются постоянными при помощи управляющих устройств.
Вся система движется как спутник по круговой орбите вокруг
Земли. Необходимо ответить на следующие вопросы. Допускает
ли система положения относительного равновесия в том смысле,
что все несущие тела системы находятся одновременно в отно-
относительном равновесии, причем роторы вращаются относительно
этих тел? Если да, то как сделать положения относительного
равновесия зависящими от параметров системы, в частности от
моментов количеств движений роторов относительно несущих
тел? Силами взаимного гравитационного притяжения между тела-
телами системы можно пренебречь.
Решение будет найдено с помощью следующей последователь-
последовательности рассуждений, описанной выше для спутника в виде одного
тела. Сначала будут составлены уравнения вращательного дви-
движения системы; будут получены выражения для внешних грави-
гравитационных сил и их моментов. Из полученных уравнений выводят-
выводятся условия равновесия подстановкой @^ = <о0 (i = 1, . . ., п)
вместо абсолютных угловых скоростей всех несущих тел системы.
Уравнения вращательного движения составляются на основании
уравнения E.61). Моменты внутренних шарнирных сил Yа (а =
= 1, . . ., тг) равны нулю по предположению. Внешние силы Ft
и моменты Mt (i'¦ = 1, . . . , п), обусловленные гравитационным
полем Земли, будут рассмотрены позже.
Необходимо только обратить внимание на наличие роторов на
телах. Уравнения E.61) описывают систему без роторов. Несложно,
однако, добавить к уравнению члены, которые делают его при-
применимым в рассматриваемо случае. В связи с этим необходимо
напомнить, что с точностьк до формы уравнения E.61) и E.57)
идентичны. Символ Lt обозначает в последнем производную по
времени от момента количеств абсолютного движения тела i
относительно его центра масс.
Если тело i представляет собой гиростат, состоящий из несу-
несущего тела и роторов, вращающихся с постоянными угловыми ско-
скоростями относительно несущего тела, то момент количеств абсолю-
абсолютного движения слагается из двух частей (см. разд. 4.6). Первая
часть является моментом количеств движения тела (несущее тело
плюс роторы), когда все роторы «заморожены». Эта часть есть
величина, обозначенная в уравнении E.57) через Lt. Второй член
представляет собой главный момент количеств движения относи-

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 149
тельно несущего тела всех роторов, установленных на несущем
теле. Это вектор fe/, координаты которого в неизменно связанной
с несущим телом системе координат являются постоянными вели-
величинами. Если (ог — абсолютная угловая скорость несущего тела ?,
то Lt необходимо заменить выражением Lt -\- &г X ht. Последнее
векторное произведение представляет собой единственный доба-
добавочный член, возникающий из-за наличия роторов. Отсюда следу-
следует, что уравнения вращательного движения E.61) должны быть
заменены уравнениями
Ъих
Ф1
= 1, ..., п.
E.66)
Далее составим выражения для Ft и Mt (i = 1, . . ., п). Они не
зависят от вращений роторов относительно несущих тел, посколь-
поскольку существенно только распределение масс системы. Следователь-
Следовательно, роторы в данный момент предполагаются «замороженными».
ТелоЬ
Рис. 5.27.
Спутник на круговой ор-
орбите, состоящий из мно-
многих тел, и векторы, опре-
определяющие положение
материальной частицы в
теле i.
Центр
Земли
На рис. 5.27 показаны система тел и орбитальная система коор-
координат е с началом в центре масс всей системы, радиус-вектор
которого относительно Земли обозначен через гс. Модуль гс
вектора гс по предположению является постоянным. Вектор,
проведенный из центра масс системы в центр масс тела i (i = 1, . . .
. . ., п)у обозначим, как на рис. 5.21, через Rt. Положение мате-
материальной частицы dm в теле i определим фиксированным в теле
радиус-вектором р. Гравитационная сила, действующая на эле-

150 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
мент массы, есть
Разложим знаменатель в ряд Тейлора:
3/2
rc+Ri+P |>=[<гс+л,+р)»13"=г4 [1 + 2Сз-?;+р) + ... ]3/2=
Многоточие обозначает квадратичные члены и члены более высо-
высокого порядка относительно | Rt + р | /гс, которыми можно пре-
пренебречь (в числовых примерах, данных ранее, квадратичные члены
имеют порядок 10 -12). С учетом этого выражения dFt примет вид
После перемножения членом (Rt + 9J/rc можно пренебречь
по сравнению с | Rt> -f Р I как членом второго порядка. Множитель
перед первой скобкой равен —со^ (см. E.63)), поэтому
dFt= -a20[rc-3ese3-(Ri + p)+Ri+p]dm + ... . E.67)
Теперь можно выполнить интегрирование по всей массе тела i.
Принимая во внимание равенства У] иг^й* — 0 и \ р dm = 0t
г = 1 J
mi
получим
Ft= _соо2^(гс + ^ — Зв8Д*-вз), ^ = 1, «... п. E.68)
Сила равнялась бы просто —сОд/тгггс = — х?гг;Гс/гс3, если бы
полная масса тела i была сосредоточена в центре масс всей систе-
системы. Остающиеся члены, которые в приведенном ранее примере
меньше величины порядка 10~6, обусловлены конечностью раз-
размеров системы.
Далее оценим момент сил Mt относительно центра масс тела ?.
Он представляется интегралом
t= \
7П;
или, принимая во внимание E.67),
Мг= --со* j px [rc —
г
Учитывая, что \pdrn = 0, последнее выражение приведем к виду
т1
Мг = 3(о20 \ pxe3e3-pdm= — Зсо^е3 X \ ppdm-es,

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 151
или, поскольку е3 X Е -е3 = е3 X е3 равно нулю,
Мг- = Зсо02е3Х \ (р*Е — рр) dm-е3.
mi
Интеграл в последнем выражении представляет собой центральный
тензор инерции J; тела i. Таким образом, получаем окончатель-
окончательный результат:
М( = Зсо^з X J*e3, i = 1, . . ., п. E.69)
Это подтверждает высказанное ранее утверждение о том, что
в неоднородном гравитационном поле тело конечных размеров,
вообще говоря, подвержено действию очень малого момента сил,
зависящего от угловой ориентации тела относительно орбиталь-
орбитальной системы координат. Величина момента сил в основном опре-
определяется орбитальной угловой скоростью со0, имеющей для
околоземных орбит порядок 2я/A00 мин) ^ 10~3/с.
Прежде чем подставлять выражения для Ft и Mt в уравнения
движения, вернемся еще раз ненадолго к частному случаю одного
твердого тела на орбите. Уравнение движения в этом случае име-
имеет вид
J-(d+(o X J-(o = Зсо^з X J -е3.
Отсюда следует замечательный результат, заключающийся в том,
что два разных тела с одинаковыми отношениями /t : /2 : *?з
главных моментов инерции движутся с одинаковыми угловыми
скоростями со (t), если только соо и начальные условия также сов-
совпадают. Размеры тел не оказывают влияния. Учитывая, что
<о = со0е2, условие равновесия E.65) для одного тела приведем
к виду
е2 X J-e2 = Зе3 X J • е3. E.70)
Каждая из частей уравнения равна нулю, если е2, а также е3
параллельны главным осям инерции тела. Тогда все три главные
оси инерции параллельны базисным векторам е1л 2i 3- Можно пока-
показать, что эти положения относительного равновесия являются
единственными решениями условия равновесия. С этой целью
разложим это уравнение на три скалярных уравнения для орби-
орбитальных координат. Матрицы координат, соответствующие е2, е3
и J, имеют вид
1
_0_
, ?з =
-о-
0
_1 _
«М2 —•
» 99 «-
^13
23
Элементы матрицы /, конечно, пока неизвестны, поскольку
неизвестно положение равновесия. Уравнение E.70) даег e2Je2 =

152 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
= Зе3/е3, или после выполнения умножений в обеих частях
О
12 _
= 3
' 13
О
Следовательно, в положении относительного равновесия все три
произведения инерции /12, /13 и /23 равны нулю. Это доказывает
тот факт, что в положении относительного равновесия все глав-
главные оси инерции параллельны базисным векторам е1ч 2, 3- Теперь
необходимо было бы исследовать устойчивость этих положений
равновесия. Однако мы ле будем здесь это делать и отсылаем
читателя к монографиям Магнуса [6] и Белецкого [16].
Вернемся теперь к уравнениям движения E.66), в которых Ft
и Мг даются выражениями E.68) и E.69) соответственно. Прежде
всего рассмотрим сумму
2 bih X Fk. Подставим вместо Rk
выражение 2 bjk (CM- E.54)), тогда получим
il
=-a>; 2
2
Член, включающий в себя гс, равен нулю, поскольку выпол-
п
няется соотношение 2 bikmk = 0 (см. E.20)). Оставшееся выра-
i
жение можно переписать в виде
>] bik х Fk= -oH2 2 2 mhbih X ЬА-
X
X 2 2 mhbihbJh.e8. E.71)
jmmi ft=l
n
Первый член содержит сумму 2 mkbih X &/ь- Если бы не отсут-
л=1
ствие знаков дифференцирования, она совпадала бы с величиной
gij в E.55). В случае / Ф i величина gtj была приведена к фор-
форме E.56). Воспользуемся здесь той же самой последовательностью
рассуждений, тогда получим
п
2 rnkbik х bjk = — Mbu X bjb /,/ = 1, ..., n; 1ф]. E.72)
fc-i
В случае / = i сумма обращается в нуль. Второй член в соотно-
п
шении E.71) содержит сумму 2 mkbikbjhi которая отличается от
fei

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 153
только что рассмотренной лишь символом умножения. Аналогич-
Аналогичным образом можно снова использовать рассуждения, которые
приводят от формулы E.55) к формуле E.56); они дают
{п
2 mhbihbthi * = 7\ // — I . п
k=i h J — -i» •••> п.
-MbtJbH ьф],
Подставив это выражение и выражение E.72) в E.71), получим
соотношение
п п
2 bihxFh=-Salesx 2 mkbikbik.es +
n
+ co*M 2 (ЪихЪн + ге9хЬиЪл.е3, i = l, •.., n. E.73>
фг
Первый член можно объединить с моментом силы Мг E.69), чта
дает
п
Зоз^з X [J,— 2 rnhbihbik]^e3,
или, поскольку е3 X Е-е3==е3 X е3 равно нулю.
Сравнивая с соотношением E.58), заключаем, что выражение
в квадратных скобках представляет собой центральный тензор
инерции дополненного тела i. Поэтому все выражение равно про-
просто 3@^3 X К*г- «вд. Подставив его, а также второй член правой
части равенства E.73) в уравнение движения E.66), получим
п •
2 Kij(dj= —to,- х(К?.<о, + Л,)+Af
X K? • e3+ (O2QM 2 (bij X bn + Зе3 х ЪцЪп • e3),
Чтобы вывести теперь условия относительного равновесия, поло-
жим mi = 0, (Oj s= со0е2 для t = 1, . . ., щ тогда имеем
е2 х (КГ .е% + ^) - М 2 &и X [е2 X (е2 X Ьп)\ =

154 5- ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
bubjre3).
Тройное векторное произведение в левой части запишем с целью
дальнейшего упрощения в виде
Ьи X [е2 X (е2 х bjt)] = btj x (e2bJt.е2- Ьп) =
= — е2 х 6и67Г е2-6о- х bjt.
п
Второй член этого выражения приводит к сумме М У] btj X 67г,
входящей в левую часть условий равновесия. Такое же выражение
появляется также и в правой части. Их можно взаимно уничто-
уничтожить, в результате чего приходим к уравнению
е2 X Вге2— Зе. X Вг е3 + е2 х —- = 0, г = 1, ..., п, E.74)
в котором Bj — тензор:
|^h / = 1, ...,л. E.75)
Необходимо отметить, что тензор Вг- содержит векторы, которые
фиксированы относительно разных тел. Поэтому координаты тен-
тензора в векторном базисе, неизменно связанном с телом ?, не явля-
являются постоянными. Только что найденные условия равновесия
можно рассматривать со следующей точки зрения. Как уже упоми-
упоминалось, на несущем теле i вектор ht момента количеств относитель-
относительного движения имеет постоянные координаты в векторном базисе,
неизменно связанном с этим несущим телом. Предполагается, что
на каждом несущем теле имеются по меньшей мере три ротора,
оси которых не все параллельны одной плоскости. Тогда подходя-
подходящим выбором угловых скоростей роторов относительно несущего
тела возможно придать ht любые величину и направление в неиз-
неизменно связанном с несущим телом векторном базисе.
Векторы ht, . . ., hn оказывают влияние на положения относи-
относительного равновесия. Отсюда возникает следующий вопрос. Воз-
Возможно ли выбрать &х, . . ., hn таким образом, чтобы система
обладала положением относительного равновесия с определенны-
определенными заранее заданными характеристиками? Практическую значи-
значимость этой задачи можно показать на следующем примере. Пред-
Предположим, что спутник, на одном из тел которого установлена
камера, движется по круговой орбите. В результате изменений
в распределении масс системы, вызванных расходом топлива,
оказалось нарушено первоначальное положение относительного

Ъ. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 155
равновесия. Это явилось причиной отклонения оси камеры от ее
номинального вертикального направления. Желательно было бы
изменить параметры системы так, чтобы возникло новое положе-
положение относительного равновесия, в котором ось камеры снова
заняла бы свое номинальное направление. Единственными пара-
параметрами, которые могут быть изменены по команде с Земли,
являются относительные угловые скорости роторов. Чтобы найти
ответ на поставленный вопрос, разрешим условия равновесия
относительно hl4 . . ., hn. Используя обозначения
•с = Вге3, Aг = ы0(е2 х Вге2 —Зе3 X Bre3), i^l, .. .,/г, E.76)
приведем уравнения E.74) к виду
dt-\-e2xhi~О, & = 1, ...,п. E.77)
Отсюда заключаем, что ht, а также е2 ортогональны dt. Поэто-
Поэтому ht можно представить в общем виде
ht = Хье2 + fA«e2 X du i = 1, . . ., п, E.78)
с неизвестными пока множителями Кг и |хг. Кроме того, имеет
место уравнение e2*d/ = 0 (& = 1, . . ., п), которое запишем,
принимая во внимание E.76), в виде
е2 • е2 X В; • е2 — Зе2 • е3 X В^ • е3 = 0, i = 1, . . .,, п.
Первый член равен нулю, поскольку совпадают два множителя
произведения. Оставшуюся часть можно переписать в виде
е2 X е3* В; • е3 = е± • Bt • *»3 = 0, i = 1, .... п,
или, используя обозначения E.76), в виде^
eici = 0, i = l,..., п. E.79)
В результате подстановки выражения E.78) в уравнение E.77)
получаем
dt + \Lte2 X (е2 X dt) = A - fx,-) ^ - 0.
Следовательно, [хг- равно единице для i — 1, . . ., п, и ht принима-
принимает вид
ht = Xte2 + e2 X du i = 1, . . ., п. E.80)
Эго искомое явное выражение. Оно содержит свободный параметр
Xt. Вектор Хге2 представляет собой компоненту вектора ht в на-
направлении орбитальной угловой скорости со0. Указанный факт
объясняет, почему ^ не влияет на положения относительного
равновесия. Система п уравнений E.79) совместно с п соотноше-
соотношениями E.80) эквивалента исходным условиям равновесия E.74).
Каждое положение относительного равновесия является решением
уравнений E.74). Наоборот, каждое решение уравнений E.79)

156 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
определяет положение относительного равновесия, и каждому
такому решению соответствуют векторы А1? . . ., ftn, которые
задаются соотношениями E.80). Следовательно, необходимо ре-
решать только уравнения E.79). Принимая во внимание E.76)
и E.75), запишем вектор ct таким образом:
Предположим теперь, что в каждом несущем теле ось, имею-
имеющая произвольное направление, определяется единичным векто
ром, фиксированным относительно несущего тела, а также что
все п единичных векторов ориентированы параллельно базисному
вектору е3 по направлению местной вертикали. Это не определяет
еще однозначно положение системы в орбитальной системе коор-
координат. Каждое несущее тело может быть повернуто вокруг еэ
на произвольный угол. Эти п углов не оказывают влияния на
проекции bjt -e3 фиксированных относительно тел векторов
bji (h I — 1» • • ч п) на направление е3 и не влияют на координаты
вектора К* -е3 (i = 1, . . ., п) в векторном базисе, неизменна
связанном с телом i. Отсюда следует, что при таких поворотах
вокруг е3 вектор С( остается неподвижным относительно несущего
тела i. На каждом несущем теле имеется один такой вектор. Пред-
Предположим сначала, что имеет место общий случай, в котором ни
один из этих векторов не равен нулю и не параллелен е3. Тогда
можно удовлетворить всем п уравнениям E.79), выбрав пока
неопределенные углы поворотов так, чтобы вектор сг- на каждом
несущем теле i = 1, . . ., п был перпендикулярен ev Таким спо-
способом определяются два положения для каждого тела и, следова-
следовательно, 2П различных положений для всей системы. Каждое из
них представляет собой голожение относительного равновесия
при условии, что векторы hu . . ., hn выбраны согласно равен-
равенствам E.80). В вырожденном случае, когда для одного или не-
нескольких тел вектор ct равен нулю либо параллелен е3, решение
очевидно. Уравнения E.79) для этих особенных тел удовлетворя-
удовлетворяются независимо от угла поворота вокруг е3. Каждое такое тело
имеет бесконечное число положений относительного равновесия.
Все остальные 1вла имеют, как и прежде, по два положения
относительного равновесия.
Только что полученный результат можно суммировать следу-
следующим образом. Существуют, вообще говоря, 2П различных поло-
положений относительного равновесия (бесконечное число в вырожден-
вырожденных случаях), которые удовлетворяют требованию, чтобы п
произвольно выбранных осей, по одной в каждом несущем телег
были параллельны местной вертикали. Векторы ht, . . ., hn,
отвечающие каждому такому положению, определяются в явном

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 157
виде равенствами E.80). Необходимый анализ устойчивости здесь
не приводится. В связи с этим мы отсылаем читателя к работе
Виттенбурга и Лилова [17]. Следует только напомнить, что в ана-
анализе устойчивости свободные параметры А,1? . . ., %п играют сущест-
существенную роль.
Задача
5.11. Составьте выражения: для кинетической и потенциальной энергий
спутника, рассмотренного в данном разделе.
5,2.6. Системы с шаровыми, универсальными
и цилиндрическими шарнирами
Уравнения движения разд. 5.2.2 и 5.2.4 для систем с шаровыми
шарнирами можно обобщить, распространив их также на системы
с универсальными и цилиндрическими шарнирами. На практике
эти три типа шарниров встречаются очень часто, особенно цилин-
цилиндрический шарнир. Это служит оправданием того, что таким систе-
системам посвящен отдельный раздел. Все три типа шарниров имеют
одно общее существенное свойство. Движение двух смежных тел
Рис. 5.28. Рис. 5.29.
Универсальный шарнир. Цилиндрический шар-
шарнир,
одно относительно другого представляет собой чистое вращение.
Различно только число степеней свободы. В универсальном шар-
шарнире (рис. 5.28) имеется одна геометрическая связь, сила реакции
которой вынуждает угловую скорость каждого из двух тел относи-
относительно другого быть в плоскости двух осей (они не должны быть
взаимно ортогональны; тем не менее они обязаны пересекаться).
Отсюда возникает требование, чтобы момент силы реакции связи
в шарнире был ортогонален этой плоскости.
В цилиндрическом шарнире (рис. 5.29) имеются две геометри-
геометрические связи. Они вынуждают вектор относительной угловой ско-

158 5 ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
рости лежать на оси. Отсюда требование, чтобы момент силы
реакции связи в шарнире имел две взаимно перпендикулярные
компоненты, нормальные к оси. Уравнения движения будут уста-
установлены на основании следующей модели. Универсальный и ци-
цилиндрический шарниры моделируются шаровым шарниром в сочета-
сочетании с моментом силы реакции связи. В случае универсального
шарнира геометрический центр заменяющего его шарового шарни-
шарнира находится в точке пересечения двух осей. В случае цилин-
цилиндрического шарнира он расположен в произвольной точке оси.
С помощью такой модели система сводится к системе, для которой
уравнения движения известны. Это уравнения E.34) для систем
с материальным шаровым шарниром 1 и уравнения E.42) и E.61)
для систем без материального шарнира 1. Тензоры Ktj и векто-
векторы Ш\ имеют в указанных двух случаях разные определения.
Для рассматриваемой системы уравнения E.34) и E.61) должны
быть заменены уравнениями
irj i+f1Sia(Ya + Yca), i = l,..., п.
Члены Ya представляют собой дополнительные моменты сил
реакций связей в универсальных и цилиндрических шарнирах;
Yа (я = 1, . . ., и) обозначают, как и прежде, моменты внутренних
шарнирных сил, которые не являются моментами сил реакций
связей. Если тело 1 не соединено материальным шарниром 1
с внешним телом, совершающим заданное движение, то Yx и Y*
тождественно равны нулю. Все п уравнений можно объединить
в одно матричное уравнение:
c), E.81)
в котором to, M, S и Y — величины, известные из предыдущих
разделов. Новыми являются матрицы-столбцы М' = Ш[. . .М'п]Т
и Yc = [Ycv . . F^JT, а также (п X тг)-матрица К, элементы
которой представляют собой тензоры Ktj (i, j = 1, . . ., п). Ска-
Скалярное произведение такой матрицы с матрицей, содержащей
в качестве элементов векторы, было объяснено в гл. 1. Остается
сделать только два шага для перехода от уравнения E.81) к окон-
окончательной форме уравнений движения. Один из них — описание
кинематики системы, а другой — исключение моментов сил реак-
реакций связей Ус.
5.2.6.1. Кинематика движения смежных тел относительно друг друга
При наличии универсальных и цилиндрических шарниров не
представляется более возможным рассматривать абсолютные угло-
угловые скорости о)* отдельных тел как независимые (независимые

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 159
в том смысле, что они не стеснены связями). Напротив, между
абсолютными угловыми скоростями смежных тел существуют свя-
связи, вид которых уже описан. Целесообразно ввести в качестве
обобщенных координат углы поворотов вокруг осей цилиндричес-
цилиндрических и универсальных шарниров, поскольку эти углы описывают
положение одного тела относительно другого. Ради единообразия
описания такие угловые переменные вводятся также для шаровых
шарниров, хотя это и не является обязательным, поскольку связи
отсутствуют. Если шарнир а (а = 1, . . ., п) цилиндрический, то
необходим один угол фа1. Для универсального шарнира требуются
два угла сра1, фа2 и для шарового — три угла сра1, фа2, фа3.
По поводу шарнира номер один необходимо дать дополнитель-
дополнительные пояснения. Если система многих тел не связана материально
с внешним телом 0, вынужденным осуществлять заданное движе-
движение, то шарнир 1 представляет собой фиктивный шарнир с шестыа
степенями свободы, позволяющий телу 1 совершать движение
относительно некоторого подходящим образом выбранного век-
векторного базиса е@). То обстоятельство, что центр масс тела 1 может
перемещаться относительно е@) без каких-либо ограничений,
приводит к уравнению E.42) движения центра масс соединенной
системы. Вращение тела 1 относительно е@) не связано с его посту-
поступательным движением. С точки зрения кинематики это обстоя-
обстоятельство можно истолковать таким образом, как будто бы центр-
масс тела 1 и начало е@) соединены шаровым шарниром. При
математическом описании не нужно, следовательно, делать раз-
различия от истинного материального шарового шарнира.
На каждом теле i (i = 1, . . ., п) фиксирован векторный базис е'г>
с произвольной ориентацией. Пусть ft (а = 1, . . ., п) — угловая
скорость тела i~ (а) относительно тела i+ (а). Это определение
содержит основное соглашение о знаке, сравнимое по важности
с соглашением о том, что момент внутренней шарнирной силы + Ya
действует на тело ?+ (а). Независимо от реального смысла угло-
угловых переменных q>ai величину Qa можно представить в следую-
следующем виде:
®а= ^PaiVah «* = 1, ••.,«, E.82)
г=\
где па — число степеней свободы в шарнире (па = 1,2 или 3),
a pai — единичные векторы, направленные вдоль оси вращения.
Поясним сказанное двумя примерами.
В цилиндрическом шарнире (рис. 5.30) па равно единице. Единичный
вектор ра1 фиксирован на оси шарнира и имеет на ней произвольно выбран-
выбранное направление. Координата фа1 представляет собой угол, на который тело
i~ (а) повернуто относительно тела i+ (а) из некоторого определенного положе-
положения фа1 = 0, и вращение происходит вокруг ра1 по часовой стрелке. В этом.

160 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
особом случае вектор ра1 фиксирован в каждом из тел. Во втором примере
рассматривается шаровой шарнир с па = 3. В качестве координат исполь-
используются углы Брайнта. Они определены так, как описано в разд. 2.1.2 (см.
Рис. 5.30.
Единичный вектор оси
и угловая координата
для цилиндрического
шарнира.
рис. 2.3), причем е<*+(а>>~и е<Иа» играют ролье*1) иеB) соответственно. Соот-
Соотношение E.82) получается из соотношения B.30) с использованием новых
обозначений. Это дает
В рассматриваемом случае век.^ р ра1 фиксирован в теле i+ (a), pa3 — в теле
i~ (а), а ра2 не является фиксированным в каком-либо из этих двух тел.
Однако координаты вектора*/?а2 в обоих неизменно связанных с телами бази-
базисах известны как функции углов.
•
Пусть Qa (а = 1, . . ., п) определена как угловое ускорение
тела i~ (а) относительно тела Г" (а). Эта величина представляет
собой производную по времени от ОДв векторном базисе e(i~(a)>
{а также в базисе е^+Щ. Из соотношения E.82) следует, что
г=1
Во втором члене этого выражения частные производные от коор-
координат вектора pai должны быть вычислены либо в базисе е^~^\
либо в базисе e<i+(a)). В качестве примера см.* иллюстративный
пример 5.2. Используя обозначение
получим
= lf ..., и,
П.
2
1=1
E.83)
E.84)
Описание кинематики отдельных шарниров завершает формула
для матрицы преобразования между двумя неподвижными относи-

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 161
тельно тел векторными базисами е^а» и е(*~(а». Эта матрица
обозначается через Ga и определяется соотношением
е(*-(«)) = G_ae_^^\ а = 1, . . ., п. E.85)
Для всех трех типов шарниров и для любого выбора обобщенных
координат матрица Ga является известной функцией этих коорди-
координат. Подробности см. в иллюстративном примере 5.2.
5.2.6.2. Кинематика движения тел относительно
инерциального пространства
От кинематики движения смежных тел относительно друг
друга мы переходим к кинематике движения тел относительно
инерциального пространства. Связь между движениями двух
тел дает определение Qa как разности
Яа = <«>i-(a) — Юг+(а), Я = 1, . . . , П. E.86)
Это же можно записать в виде
п п
&а = — 2l Sia<>>i= —S0a®0— Ц Siatoh a = l, . . ., П.
г=0 1 = 1
Объединим все п уравнений в одно матричное уравнение:
с матрицами-столбцами Q = Шх. . . iin]T и <о = [%. . . шп\т.
Умножив его слева на Тт и принимая во внимание E.5) и E.6),
получим
о)= — rTQ + G)oln. E.87)
Тогда для абсолютной угловой скорости отдельного тела найдем
выражение
a=l
нэ основании которого найдем абсолютное угловое ускорение
©i=- 2 ^(^4-^;) +©о, i = l, ..-, л; E.88)
a==l
здесь
^a =0>i-(a)X Йа, а = 1, . . ., П.
Угловую скорость @|-(а), входящую в это выражение, можно бы-
было бы выразить при помощи соотношения E.87) через Йх, . . ., Йп.
Однако такую подстановку нет необходимости выполнять в сим-
символьной форме. Составляемые уравнения движения можно исполь-
11-0603

162 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
зовать только для численных расчетов. В программе для ЭВМ
следует сначала проводить расчет величин Q1? . . ., Qn и coj, . . .
. . ., соп, а затем вычислять произведения щ-(п) X йа. Все п
уравнений E.88) можно объединить в одно матричное уравнение;
©= -Гт(Й + ш*) + ш01п, E.89)
о • •
в котором U и w* представляют собой матрицы-столбцы [Q1. . . l^J]
и [w*. . .Wn\T соответственно. Остается выразить явным обра-
образом О через обобщенные координаты и их производные по време-
времени. Это достигается путем объединения п уравнений E.84) в одно
матричное уравнение:
a = pTq + w. E.90)
В правой части стоят матрица-столбец w = [м^. . .wn]T, матрица-
столбец
Ф = [Фн • • • Ф1Я1 Ф21 • • • Ф2п2 Фп1 ' • • Фппп]Т
и квазидиагональная матрица р, транспонированная матрица
которой имеет вид
Рп
Pin,
0
Р21
о
Рпх
Рппг
. E.91)
Эта матрица р имеет п столбцов, каждый из которых соответствует
одному шарниру, а количество строк ее равно числу угловых
переменных в полной системе. Подставим теперь уравнение E.90)
в уравнение E.89), в результате получим
<о= -TT(fy + f) + to0ln. E.92)
В этом окончательном результате угловые ускорения / представ-
представляют собой матрицу-столбец:
/ = ^-f^*. E.93)
Ь правой части уравнения для <о угловое ускорение со0 является
известной функцией времени, матрица р — известной функцией
обобщенных координат, а / — известной функцией обобщенных
координат и их первых производных по времени. Угловая ориен-
ориентация тела i (i = 1, . . ., п) относительно системы координат е{0)

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 163
является функцией обобщенных координат q)ai (а — 1, . . ., п;
i = l,..., па) системы. Эту функцию можно выразить следующим
образом. Матрица преобразования Аг определяется соотношением
?@> = 4*е<*\ * = 1, ..., п. E.94)
Эти матрицы связаны с матрицами преобразования Ga (a =
= 1, . . ., п) из соотношения E.85) посредством альтернативных
уравнений
Ai-(fl) = Ai4a)G^, Ai+(a) = Ai-{a)Gai а = 1,...,п. E.95)
Практическое использование этих формул при рекурсивном вычи-
вычислении матриц А!, . . ., Ап по матрицам Gx, . . ., Gn продемонстри-
продемонстрируем на системе, ориентированный граф которой имеет вид, пока-
показанный на рис. 5.8,в. Матрицы вычисляются в таком порядке:
A2 = Afi5, A3 = A2Gi, A5 = A2GJ.
Математическое описание кинематики системы является теперь
полным. Угловая ориентация, а также абсолютные угловые скоро-
скорости и ускорения всех тел выражены как функции сраг-, фаг- и фаг-
(а = 1, . . ., п; i = l, . . ., па). Подставим уравнения E.87)
и E.92) для скоростей и ускорений в уравнения движения E.81).
В результате приходим к уравнению
где М' — известная теперь функция времени, а также q>ai и сраг-
(а = 1, . . ., п\ i = 1, . . ., па).
5.2.6.3. Исключение моментов сил реакций связей
Ранее уже упоминалось, что последним шагрм в составлении
уравнений движения является исключение моментов Yc сил реак-
реакций связей. Подобно силам реакций связей, которые были исклю-
исключены в разд. 5.2.2 и 5.2.4, моменты сил реакций связей важны
только для анализа усилий, возникающих в шарнирных механиз-
механизмах при движении. Получим их в явном виде, умножив последнее
уравнение слева на Т:
Исключение Yc из этих уравнений'осуществляется теперь непосред-
непосредственно. Каждый момент силы реакции связи встречается только
в единственном векторном уравнении. Предположим, что шарнир
и*

164 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
а (а = 1, . . ., п) является цилиндрическим. Тогда YQa перпендику-
перпендикулярен единичному вектору ра1, лежащему на оси шарнира. Этот
момент исчезнет, если а-е уравнение умножить скалярно на ра1.
В результате получится одно скалярное дифференциальное урав-
уравнение для каждого шарнира со степенью свободы па = 1. Это
уравнение содержит среди других членов произведение pa\'Ya.
Это момент силы относительно оси шарнира, который мог бы
быть вызван, например, торсионной пружиной или демпфером.
Он является известной функцией фа1 и фа].
Предположим далее, что шарнир а {а = 1, . . ., п) универсаль-
универсальный. Тогда Yca перпендикулярен единичным векторам ра1 и ра2,
расположенным на осях шарнира. Этот момент исчезает, если
а-е уравнение системы E.96) умножить скалярно либо на ра1,
либо на ра2. Выполнив оба умножения, получим два линейно
независимых скалярных дифференциальных уравнения для каждо-
каждого шарнира со степенями свободы па = 2. В эти два уравнения
входят произведения pai-Ya и pa2'Ya- Их можно интерпретиро-
интерпретировать как моменты относительно осей шарнира таких сил, которые
могли бы быть вызваны, например, торсионными пружинами и дем-
демпферами. Как и в случае цилиндрического шарнира, они являются
известными функциями переменных шарнира фаг- и фаг- (i = 1, 2).
Наконец, предположим, что шарнир а (а = 1, . . ., п) шаро-
шаровой. В этом случае момент силы реакции связи Ycn тождественно
равен нулю. Умножив скалярно а-е уравнение системы E.96)
отдельно на ра1, ра2 и ра3, мы получим три линейно независимых
скалярных дифференциальных уравнения. Произведения pafYa
для i = 1, 2, 3 интерпретируются так же, как и в предыдущих
случаях. Легко проверить, что все скалярные умножения, о кото-
которых только что шла речь, будут' выполнены сразу, если умно-
умножить скалярно уравнение E.96) на матрицу /?, транспонирован-
транспонированная матрица которой дается выражением E.91). Перегруппировав
оставшиеся в правой части члены, получим, следовательно,
уравнения движения в окончательной форме:
^Ф = Я, E.97)
где
т E.98)
K-(TTf-M0lJ + M' + m-p_.Y_. E.99)
Матрица коэффициентов А, очевидно, не постоянна. Ее элементы
содержат скалярные произведения векторов и тензоров, координа-
координаты которых определены в векторных базисах, фиксированных
в разных телах. Поэтому при численных расчетах матрица А дол-

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 165
жна быть вычислена и обращена заново в каждый момент времени,
когда вычисляется матрица-столбец ф. Это требует большого
количества общего времени вычислений, необходимого для интег-
интегрирования. Как вычисление, так и обращение А существенно
упрощаются благодаря тому, что А — симметрическая матрица.
Это является следствием соотношения К7г- = Ки, которому удов-
удовлетворяют элементы матрицы К (см. E.33) и E.60)). Формальное
доказательство положительной определенности А будет получено
среди прочих результатов в разд. 5.2.8.
Иллюстративный пример 5.2. На рис. 5.31,а показан протез
руки с плечевым шаровым шарниром, цилиндрическим шарниром
в локте и универсальным шарниром в запястьи. Две оси шарниров,
фиксированные относительно предплечья, перпендикулярны одна
другой. Движение векторного базиса е@), который связан с кор-
корпусом тела, задано как функция времени. Для этой конкретной
системы поясним более подробно некоторые из величин, входящих
иг
ф
в
Рис. 5.3.1.
а — протез руки с шестью степенями свободы; б — ориентированный граф
системы; в —нулевое положение, в котором все шесть угловых координат
равны нулю.
в уравнение E.97). Необходимо отметить, что принятое ниже реше-
решение, касающееся графя системы, а также выбора обобщенных
координат, представляет собой только одну из многих возможно-
возможностей. Тела и шарниры пронумерованы так, как показано на
рис. 5.31,а. Это правильная нумерация в смысле разд. 5.2.1. Для
дуг в соответствующем графе системы выбраны направления,
показанные на рис. 5.31,6.
Предполагаемый выбор направлений дуг имеет то преимущест-
преимущество, что обобщенные координаты, которые определяются ниже, опи-

166 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
сывают положение и движение кисти относительно предплечья,
предплечья относительно плеча и плеча относительно е{0) соответ-
соответственно. Это кажется более естественным, чем описывать, напри-
например, движение предплечья относительно кисти. Правильная
нумерация и специальный выбор направлений дуг дают еще и дру-
другое, более важное преимущество. В матрице Т графа
Т =
¦—1 —1 —Г
О -1 -1
О 0-1
все ненулевые элементы расположены в верхнем треугольнике,
и, кроме того, все они имеют одинаковые знаки. Эти два свойства
можно использовать для сокращения времени работы вычисли-
вычислительной машины. Приведем два поясняющих примера. Абсолютные
угловые скорости в уравнении E.87) могут быть вычислены по
рекуррентной формуле
щ = Qt + со,-!, i = 1, 2, 3,
а соотношение E.95) для матриц преобразования Аг, . . ., Ап
сводится к следующей рекуррентной формуле:|
а 4 -- i=i'
-г [A^Gj, * = 2, 3.
Специальный вид матрицы Т упрощает также выполнение всех
умножений на Г и Тт в формулах E.98) и E.99). Указанные
преимущества правильной нумерации в сочетании с одинаковыми
направлениями дуг особенно важны при численных расчетах
в системах с большим количеством тел и шарниров.
На рис. 5.31,в рука изображена в положении, которое будем
называть нулевым положением, поскольку все угловые перемен-
переменные, определяемые ниже, при этом равны нулю. В нулевохМ поло-
положении рука висит вертикально с распрямленным локтевым шарни-
шарниром, причем одна ось запястья и ось локтевого шарнира параллель-
пы прямой, проходящей через оба плечевых шарнира. В этом
положении неизменно связанные с телами векторные базисы
e{i) (i = 0, . . ., 3) параллельны один другому и ориентированы
так, как показано на рисунке.
В качестве обобщенных координат выбираются углы Брайнта
<Рп» Ф12> Ф13 Для шарнира 1 и углы ф21 для локтевого шарнира
и Фз1^ Фзг Для шарнира запястья. По поводу определения углов
Брайнта см. рис. 2.3, на котором для рассматриваемого случая
следует заменить е{1) на е@), е{2) на е{1) и фг на ц>ц для i = 1, 2, 3.
Оси вращения для запястья обозначены на рис. 5.31,в. Единич-

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 167
ные векторы pai, входящие в формулу E.82), имеют следующие
матрицы координат:
р11 = [со8ф12со8ф13 — cos<p12sin<p13
Р12 — [sin Ф13 cos Ф13 0]т
Pis = [O О
в е(
IP
в еB>,
?21 = [1 О 0]Т
?з1==[0 cos<p32 — sincp32]T
?32 = [1 0 0]т
Матрицы преобразований Ga, определенные соотношением E.85),
имеют вид (здесь введены обозначения cai = cos <par- и sai =
= sin (fai)
1

0
0 -
0 0
0 —
S31S32
Матрица Gx написана согласно формуле B.5). Чтобы найти выра-
выражения для векторов wa, определенных соотношением E.83), про-
продифференцируем по времени координаты векторов pai в базисе
е^~(.а))т В результате получим и?2 = 0и
Ф1281251
Ф12^2
0
•
— ф32532
В
• —
ф j[3 12 13
Ф1З 12 i3
е<3).
+ Ф12
0
в
W3 = ф31
В программе для численного интегрирования уравнения E.97)
необходимо вычислять матрицу-столбец ф для заданных значений
обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени. Сначала
определяются матрицы pai, *Ga и wa. Матрицы преобразований

168 5- ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
A i (i = 1, 2, 3) получаются из матриц Ga (а = 1, 2, 3) с помощью
рекуррентной формулы, которая объяснена раньше. Используя
эти матрицы, мы можем затем рассчитать координаты всех векто-
векторов и тензоров в общей системе координат е@). После этого выпол-
выполняются все скалярные и векторные умножения векторов и тензо-
тензоров, которые необходимы для вычисления матриц А и В в уравне-
уравнении E.97). При программировании этих элементов используется
матричная запись вида, указанного в гл. 1. Более подробные
инструкции для программирования будут даны в разд. 5.2.7. ¦
5.2.6.4. Случай управляемых переменных
Часто оказывается, что в технических системах, описываемых
уравнением E.97), одна или более угловых переменных управля-
управляются с помощью встроенных двигателей и являются заданными
функциями времени. В таких случаях желательно привести урав-
уравнение E.97) к новому матричному дифференциальному уравнению
для меньшего числа неуправляемых переменных. Кроме того,
желательно иметь явные выражения для неизвестных управляю-
управляющих моментов двигателей. Как эта задача может быть решена,
покажем сейчас в случае, когда управляется одна переменная.
Обобщение на случай произвольного числа управляемых пере-
переменных после этого станет очевидным. Ради простоты элементы
матрицы-столбца ф в уравнении E.97) будем здесь обозначать
одним индексом, который пробегает значения от 1 до 7V, где N —
а ......
полное число переменных системы, т. е. ф= [фх. . . ф^]т- Управля-
Управляемую переменную обозначим через ф^ (t). Элементами матрицы В
E.99) являются В1, . . ., BN. В частности, к-й элемент записывается
как Bk = В* — Ж*™, где М™ есть к-й элемент p-Y. Этот элемент
представляет собой искомый управляющий момент двигателя.
Уравнение E.97) теперь можно записать в виде
A
1JV
<Pk(t)
Акгъ A^
Выделим из этого матричного уравнения к-е уравнение и разрешим
его относительно неизвестного управляющего момента двигателя:
М% = Bt—[Aki . .. Akk . . . AkN] ф. E.100)

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 169
В оставшихся N — 1 уравнениях перенесем все члены, содержа-
содержащие фь (t), в другую сторону. В результате для неуправляемых
переменных получим матричное уравнение
Фл+i
E.101)
Оно имеет такую же стандартную форму, как и уравнение E.97).
Его матрица коэффициентов, меньшая первоначальной, снова
является симметрической. Поскольку эта матрица представляет
собой функцию всех переменных, включая cpfe (t)< она зависит
явно от времени. Если найдены численные решения для неуправ-
неуправляемых переменных, то известны все величины, необходимые для
вычисления из уравнения E.100) управляющего момента двига-
двигателя М^.
Задачи
5.12. На рис. 5.32 показан шарнир, который отличается от универсаль-
универсального шарнира тем, что оси промежуточного тела не пересекаются. Пред-
Предполагается, что промежуточное тело не имеет массы. Рассмотреть уравнения
движения для систем, которые наряду с универсальными и цилиндрическими
шарнирами содержат и такие шарниры.
5.13. Матрица преобразования Ga для цилиндрического шарнира имеет
наиболее простой вид, если в каждом из двух векторных базисов е^+(а)}

170 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
и е<*-(а>), расположенных на телах, соединенных этим шарниром, один
из базисных векторов параллелен оси шарнира (см. G2 в иллюстративном
Промежуточное
тещ не имеющее
массы
Рис. 5.32.
Два тела, соединенных
промежуточным телом,
не имеющим массы.
примере 5.2). Такая ориентация векторных базисов для всех цилиндриче-
цилиндрических шарниров невозможна, если, например, на каждом теле располагаются
несколько цилиндрических шарниров, оси которых непараллельны. Каков
общий вид Ga для произвольной ориентации базисов?
5.2.7, Инструкции для программирования
В процессе численного интегрирования уравнения E.97) матри-
матрицы А л В должны вычисляться многократно. Поэтому необходи-
необходимо выполнять эти вычисления таким способом, который требует
как можно меньшего количества времени. Инструкции, которые
даются в этом разделе, помогут читателю написать программу для
ЭВМ, удовлетворяющую указанному требованию и позволяющую
в то же время сэкономить объем памяти машины. Для определен-
определенности рассмотрим системы многих тел, соединенных с внешним
телом, движение которого задано как функция времени. Матри-
Матрицы К и М' даются тогда формулами E.32) и E.31) соответственно.
Внимание] Повсюду в этом разделе будет предполагаться, что
нумерация вершин в графе системы является правильной и что,
кроме того, все дуги направлены от s0. Это значительно упро-
упрощает структуру программы и уменьшает время работы машины.
Причины были объяснены в иллюстративном примере 5.2.
Чтобы определить числовые значения для матриц А и В в каж-
каждый момент времени, необходимо вычислить следующие данные:
A) Постоянные параметры, описывающие систему. Это величи-
величины, перечисленные под номерами A)—E) в разд. 5.1.

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 171
B) Постоянные параметры, которые вычисляются по только
что указанным величинам.
C) Значения для фаг- и фаг- (а = 1, . . ., п; i = 1, . . ., п)
и времени t.
D) Координаты векторов r0 (t), oH (t) и оH (Z) в базисе е@).
E) Внешние силы/^ и моменты внешних сил Mt (i = 1, . . ., тг)
как функции фаЬ фа^ (а = 1, . . ., п; i = 1, . . ., па) и г, т. е.
функции для координат этих сил и моментов в определенных
системах координат.
F) Функциираi -Ya {a = 1, . . ., щ i = 1, . . ., па), выражен-
выраженные Через фаг, фа; И t.
Производные постоянные параметры, которые упоминаются
как второй пункт списка, представляют собой координаты векто-
векторов dtj и &^0 (?, / = 1, . . ., тг) в системах координат, фиксирован-
фиксированных относительно тел, и компоненты тензоров инерции дополнен-
дополненных тел. Эти величины вычисляются один раз в отдельной про-
программе параметров. Затем они запоминаются на магнитном диске
и снова считываются основной программой для численного инте-
интегрирования. Для программы параметров несущественны требо-
требования, касающиеся времени счета и памяти. Эта программа тре-
требует следующих вводных данных:
а) Число п тел; имя в программе N.
б) Матрица Т; имя в программе Т (i, j); i, j = 1, . . ., п.
в) Целочисленная функция i+ (а); имя в программе IPLUS (i),
i = 1, . . ., п. Правильная нумерация в сочетании с выбранными
направлениями дуг приводит к тому, что i~ (а) совпадает с а для
а = 1, . . ., п. По этой причине в дальнейшем нет необходимости
делать различие между индексами вершин i = 1, . . ., п и индек-
индексами дуг а = 1, . . ., п.
г) Массы пги . . ., тп тел; имя в программе AM (i), i =
= 1 п.
д) Компоненты центральных тензоров инерции тел в фиксиро-
фиксированных относительно тел системах координат; имя в программе
AJ (i, /, к) с i = 1, . . ., п (индекс тела) и /, к = 1, 2, 3.
е) Координаты всех 2п — 1 векторов cia. Каждая карта данных
содержит целые числа i и а и три координаты вектора cia в бази-
базисе e{i). См. пункт (В) ниже.
ж) Общее число цилиндрических, универсальных и шаровых
шарниров; имена в программе NPJ, NUJ и NSJ соответственно.
з) Индексы дуг. представляющие
A) цилиндрические шарниры; имя в программе IPJ (i),
i = l NPJ,

172 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
B) универсальные шарниры; имя в программе IUJ (?),
i = l,..., NUJ,
C) шаровые шарниры; имя в программе ISJ (?),
i = 1, . . ., NSJ.
и) Единичные векторы ра1 для цилиндрических шарниров,
единичные векторы ра1 и ра2 для универсальных шарниров и еди-
единичные векторы ра1 и ра3 для шаровых шарниров представляют
собой фиксированные в телах векторы. Их постоянные координаты
являются вводными данными (в цилиндрических шарнирах век-
Т0Р Pai раскладывается в системе координат, фиксированной
в теле i~ (a)\). Каждая карта данных содержит номер строки
матрицы р и координаты вектора pai в этой строке. Имя в прог-
программе Р (?, /), i равно номеру строки матрицы /?, / = 1, 2, 3.
к) Матрица преобразования координат Gn, определенная соот-
соотношением E.85), имеет общий вид
Ga = GlG*Gl а = 1, ...,/г, E.102)
где G\ и Ga — постоянные матрицы, в то время как G% зависит от
угловых переменных в шарнире а (см. задачу 5.13). Матрицы G\
и GI являются вводными данными; имена в программе G1 (?, /, к)
и G3 (?, ;, к) с i = 1, . . ., п (индекс дуги) и /, к = 1, 2, 3.
По этим вводным данным программа параметров определяет
следующие величины:
A) Полное число обобщенных координат; имя в программе NE.
Имеем NE = NPJ + 2 * NUJ + 3*NSJ.
Б) На основании соотношения E.1) субматрицу S матрицы
инцидентности; имя в программе S (t, /); '?, / = 1> • • ••> и-
B) На основании соотношения E.11) скалярную (Згс X ^-мат-
^-матрицу, связанную с С (см. задачу 5.6); имя в программе СМ (г, /);
i = l,..., Зд, / = 1, . . ., дг. Эта часть программы имеет следую-
следующий вид. Она считывает данные с карт данных, описанных в пунк-
пункте (е).
N3 = 3*N
N2 = 2*N-1
DO 10 1 = 1. N3
DO I0J = LN
10 CM(IJ)=0.
DO 40 K = lN2
READ 20,IJ,AB(!)MBB).ABC
20 FORMAT B15,3F10.5)
IN = 3*(I-1)
DO 30 L = U
30 CM(IN + LJ)=SAJ)*AB(L)
40 CONTINUE

5. 2 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 173
Г) Полную массу системы М; имя в программе САРМ.
Д) Матрицу координат, связанную с матрицей СТ\л, элементы
которой, согласно E.33), суть векторы — Ьц. Имя в программе
СТМ (U /) с i = 1, . . ., Зи, / = 1,..., п.
Е) Постоянные координаты фиксированных в телах векторов
bi0 (i = 1, . . ., п)\ имя в программе BN (i, j) с i = 1, . . . ., п
(индекс тела) и / = 1, 2, 3. Подробности см. в задаче 5.7.
Ж) Вспомогательные целочисленные массивы NT1 (г) и
NT (i, j), i = 1, . . ., n, / = 1, . . ., NT\ (i). Они вычисляются
по массиву Т (?, /) и определяются следующим образом. Для
i = 1, . . ., п величина NT1 (i) представляет собой число ненуле-
ненулевых элементов в i-й. строке матрицы Т. Для i = I, . . . ., п и j =
Рис. 5.33.
Ориентированны!! граф
системы.
"*
= 1, . . ., NTi (i) величина NT (i, j) есть индекс столбца /-го нену-
ненулевого элемента в i-u ряду матрицы Т. Например, для ориентиро-
ориентированного графа системы, изображенного на рис. 5.33, массивы
Т (?, /), NT1 @ и NT (i, 7) имеют вид
1
0
0
0
0
-1
— 1
0
0
0
-1
-1
\
0
0
— 1
0
0
— 1
0
I
I
-1
0
_ 4
(о =
1
2
3
4
5
2
3
3 5
5
4 5 "
не
определены^
Назначение этих массивов — уменьшить время счета.
3) Вспомогательные целочисленные массивы NVI (i) и NV (i, j)
i = 1, . . ., д, / = 1, • • ., Л^^71 @- Для $ = 1, . . ., и величина
iVFl (^, /) есть число вершин, для которых st является предшествую-
предшествующей вершиной. Индексы этих вершин обозначаются через
NV (i, /), / = 1, . . ., NVI (i). Для графа на рис. 5.33 эти два

174 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
массива таковы:
NV1 (i) =
2 4
3
5
Г
не
_определены_
Массивы построены из Т (i, j).
И) Вспомогательные целочисленные массивы NR (i, j) и
NB (к), целое число N1 и массив D (к, I) для i, / = 1, . . ., я,
/с = 1, . . ., TV/, Z = 1, 2, 3. Они позволяют уменьшить время
счета и объем памяти для хранения векторов dtj. Эти векторы
вычисляются по формулам E.21) с помощью массивов СТМ (i, j)
и BN (i, /), введенных выше в (Д) и (Е). Векторы <1ц равны нулю
для многих комбинаций индексов i и /. Среди ненулевых векторов
много совпадающих. Рассмотрим, например, систему, представ-
представленную на рис. 5.33. Ее матрица СТ имеет вид
dn
0
0
0
0
12
0
0
0
! d23
d-iz
0
0
0
0
d
0
u
СТ =
*55_
Она содержит только 2п — 1 различных векторов. Это число обоз-
обозначим через N1. Координаты N1 различных векторов располага-
располагаются в новом массиве D (к, Z), к = 1, . . ., N1, Z = 1, 2, 3. Его
первый индекс к является функцией двух индексов i, j вектора
dtj. Эта целочисленная функция обозначается через NR (i, j).
Необходимо идентифицировать индекс тела, относительно которо-
которого фиксирован вектор, хранящийся как D (к, I). Этот индекс
представляет собой функцию первого индекса к массива D (к, I),
Функция обозначается через NB (к). Для графа на рис. 5.33 масси-
массивы NR (i, /) и NB (к) могли бы быть, например, такими:
1 2 2 3 2
-45-
6 -
9
NB (J) = [l 1122334 5]
(члены, обозначенные черточ-
черточкой, не определены).
Целое число N1 и массивы NR (i, /), NB (i) и D (i, j) можно по-
построить из массивов Т (i, /), СТМ (i, /), BN (г, /), NT\ (i)9

5. 2 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 175
NT (?, j), NV1 (i) и NV (?, /), используя следующий цикл ФОР-
ТРАНа:
N1=0
DO 1201 = IN
D J
60 D(NIK) = CTMC*(I-1)+KJ) +BN(I,K)
()
JMAX = NV1 (I)
IF (JMAXI20J20J0
70 DO 110 J-
L = NV(U)
NR(I,L)=NI
DO 80 K = 1,3-
80
NT1(L)-1
IF (MMAX) 110,110,90
90 DO 100 M = l-MMAX
100 NR(I,NT (UM + 1))=N1
110 CONTINUE
120 CONTINUE
К) По формуле E.24) компоненты тензоров инерции дополнен-
дополненных тел в системах координат, неизменно связанных с телами. Они
хранятся в том же массиве AJ {I, /, &)> который первоначально
содержал компоненты тензоров инерции исходных тел. Этот раз-
раздел программы показан подробно для того, чтобы продемонстри-
продемонстрировать, как используются массивы NT1 (i), NT (i, /), NR (?, /)
и D (i, /):
DO 1601 = IN
LMAX^NTl(I)
DO 150L = l
J = NT(I,L)
K = NR(IJ)
KJ) + D(Kt2)*D(K92)+D(K,3)*D(K93))
DO 140KK = l,3
DO 130 JJ^ 13
130 AJ(IKK,3J) = -B*D(K,KK)*D(KJJ)+AJA,KKJJ)
140 AJ(lKK,KK)=AJ(l,KK,KK)+Sl
150 CONTINUE
160 CONTINUE
Наличие карт от LMAX = NT1 (I) до / = NT (/, L) сказывается
таким образом, что в соотношении E.24) не рассматриваются все
слагаемые суммы с равными нулю векторами dik.

176 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ .МНОГИХ ТЕЛ
Л) Вспомогательные целочисленные массивы NP (/) и NF (/),
7 = 1, . . ., п. В матрице/?, определенной равенством E.91), каж-
каждый столбец имеет либо один, либо два, либо три ненулевых
элемента. Это число для столбца / обозначается через NP (/).
Индекс самой верхней строки с ненулевым элементом в /-м столб-
столбце обозначим через NF (/). Оба массива получаются из массивов
NPJ, NUJ, NSJ, IPJ (О, IUJ @ и ISJ @.
В конце программы параметров на магнитном диске запомина-
запоминаются следующие данные:
N, IPLUS(i), T(i, /), AM(i), NPJ, NUJ, NSJ, IPJ(i), IUJ (i),
ISJ(i), Gl(i, j,k), G3(/,/, A), NE, CAPM, BN(i,j), ATI (z),
AT (i\/), NVl(i), NV(i,j), NR(i, /),
Л/(?, /, /с), 7VP@, A^@, P(^, 7).
Теперь наметим в общих чертах основную программу, в кото-
которой вычисляются матрицы А и В, входящие в уравнение E.97).
В начале этой программы считываются с магнитного диска все
перечисленные выше данные. Угловые координаты фа^ и их пер-
первые производные сраг- (а = 1, . . ., п, i = 1, . . ., па) запомина-
запоминаются в одномерном массиве Y (?), г = 1, . . ., 2 * /V?\ в таком
порядке
Y @ — [фи . . . ф1п1 . . . ф7г1 . . . фпПп фи ... ф1щ . . . фп1 • . • Уппп].
Программа начинается с раздела для кинематических величин
и преобразований. Этот раздел имеет следующие подразделы:
A) Координаты единичных векторов ра2 для всех шаровых
шарниров в соответствующих базисах e(i~(a)>. Для определенности
предполагается, что используются углы Брайнта и что они опре-
определены так же, как для шарнира 1 в иллюстративном приме-
примере 5.2. Операторы ФОРТРАНа имеют вид
DO 1O1 = 1,NSJ
J = NF(ISJ(I)) + 1
FI=Y(J + 1 + NE)
P(JJ)=SIN(FI)
P(J,2) = COS(FI)
10 P(J,3)=0
B) Координаты векторов wa, заданных равенством E.83) для
всех универсальных и шаровых шарниров в соответствующих
базисах е(г~(а)); имя в программе WE (i, f), i = 1, . . ., n (индекс
шарнира), У = 1, 2, 3. Если геометрия для универсальных шарни-
шарниров совпадает с геометрией шарнира 3 в иллюстративном приме-
примере 5.2, то раздел программы, относящийся к этим шарнирам, имеет

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 177
простой вид:
DO 20 I = 1,NUJ
J = IUJ(I)
K = NF(J)
FIDOT1 = Y(K)
F1DOT2=Y(K + 1)
A = FIDOT1*FIDOT2
WE(JJ)=0.
WE(J,2)=-A*SIN(FI)
20 WE(J,3) = A*COS(FI)
Читателю предоставляется возможность составить эту часть про-
программы в общем виде для произвольных матриц G\ и G\ и для
произвольных направлений векторов ра1 и ра2 в телах.
C) Матрицы преобразований Ga для шарниров. Сначала вычи-
вычисляется матрица,^ обозначенная в выражении E.102) через G\
(ср. иллюстративный пример 5.2). Затем выполняется умножение
на матрицы G\ и G\. В результате получается трехмерный массив
GA (?, /\ Щ с i = 1, . . ., п (индекс шарнира) и /, к = 1, 2, 3.
D) Матрицы преобразования Аг, определенные соотношени-
соотношением E.94). Они вычисляются по рекуррентной формуле, которая
выводится из соотношений E.95):
,={
п.
Результат запоминается в массиве TRM (i, /, к) с i = 1, . . ., п
(индекс тела) и /, к = 1, 2, 3.
E) Преобразование всех векторов pai, йц, wa и 6^0, а также
всех тензоров инерции дополненных тел из фиксированных в те-
телах систем] координат в общую систему координат е@). Подроб-
Подробности вычислений показаны только для векторов pai и dtj. Коор-
Координатам Р (г, /) и D (к, I) до преобразования соответствуют коор-
координаты PS (i, ]) и DS (к, I) после преобразования.
С Преобразование от PA,J) к PS(I,J)
DO70J = lN
L = NP(J)
IN = NF(J)-1
DO 65 11 = 1,L
IF B*11-L) 25,25,30
25 K = iPLUS(J)
GO TO 35
30 K = J
35 I=IN + II
IF (K) 65,40,50
12-0603

178 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ГЕЛ
40
45
50
55
60
65
70
С
75
80
85
DO 45 Л = 13
PS(IJ1)=P(I,J1)
GO TO 65
DO 60 J1 = 1,3
DO 55 Kl = 1J
PS(IJ1)=PS(I,J1
CONTINUE
CONTINUE
CONTINUE
Преобразование
DO85 I = 1,NI
K = NB(I)
DO 75 L = 1J
DSA,J)=DS(IJ)-
CONTINUE
CONTINUE
от D(I,J) к 05G,J)
Аналогичным образом вычисляются в базисе е@) координаты
векторов wa и bi0 (из массивов WE (i, j) и BN (i, j) соответственно)
и тензоров инерции дополненных тел (из AJ (i, /, k)). Массивы
обозначаются соответственно через WES (i, у), BNS (?, j) и
AJS (i, /, к). С этого момента все действия с векторами и тензорами
будут выполняться с помощью координат в общей системе коорди-
координат еф). Первым примером является вычисление
F) угловых скоростей Qt, i = 1, . . ., п; имя в программе
RAV (i, j), i = 1, . . ., п, j = 1, 2, 3. Например, для шаровых
шарниров операторы ФОРТРАНа имеют вид (ср. с E.82))
DO 110I = lyNSJ
J = ISJ(I)
KMIN = NF(J)
DO 100L = 13
RAV(J,L)=0.
DO90 K = KMIN,KMAX
90 RAV(J,L)
100 CONTINUE
110 CONTINUE
имя
G) абсолютных угловых скоростей сог-, i = 1, . . ., ?г; им
в программе AAV (i, /), i: = 1, . . ., /г, / = 1, 2, 3. Программа бази-
базируется на рекуррентной формуле, которая выводится из форму-
формулы E.87):
7 =

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 179
CALL REFBASE (TIME,AAVNUL)
DO 120 J = 1,3
120 AAVA,J) = RAVA4J)+AAVNUL(J)
DO 140I = 2,N
K = IPLUS (I)
DO 130 J = 1,3
130 AAV(I,J)=RAV (IJ)+AAV(KJ)
140 CONTINUE
REFBASE (TIME, AAVNUL) — подпрограмма для коорди-
координат вектора о>0 (t) в е{0) (имя в программе AAVNUL (i), i = 1, 2, 3)
как функций TIME. На этом заканчивается раздел кинематиче-
кинематических величин и преобразований.
В следующем разделе основной программы вычисляется скаляр-
скалярная матрица координат, связанная с матрицей К, входящей
в выражение E.98). Каждый элемент матрицы К является тензо-
тензором Kij с девятью координатами в базисе е@), которые образуют
C X 3)-матрицу Ktj. Все п2 матрицы вместе дают симметриче-
симметрическую (Злг X Зтг)-матрицу; ее имя в программе DK (fc,Z). Вычисля-
Вычисляются только субматрицы Ktj с /^ i. Субматрицы являются нулевы-
нулевыми для таких комбинаций индексов, которым соответствуют рав-
равные нулю Т (?, /). Нулевые элементы значений не получают, по-
поскольку в дальнейшем оби не будут использоваться. Программа
имеет вид
С Субматрицы вдоль диагонали
1N=3*(I-1)
DO 170 J-1,3
II = J'+IN
DO 160 К = 1,3
160 DK(II,K + IM)
170 CONTINUE
180 CONT1NXJE
С Субматрицы над диагональю
N1=N-1
DO 230 11 = 1, N1
1N = 3*(U-1)
IF (KMAX-1) 230,230,190
190 DO 220 К = 2, KMAX
JJ = NT(H,K)
JN=3*(JJ-I)
L = NR(II,JJ)
S = CAPM*(BNS(JJJ)*DS(L,1)+BNS(JJ,2)*DS(L,2)
+BNS(JJ,3)*DS(L,3))
DO 210 1 = 1,3
12*

180 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
DO 200 J = 1,3
200 DK(I1JN + J) = -CAPM*BNS(JJJ)*DS(LJ)
210 DK(I1,JN + I)=DK(I1,JN + I)+S
220 CONTINUE
230 CONTINUE
В следующем разделе программы определяется матрица В
E.99). На первом шаге вычисляются в базисе е@) координаты
векторов /г, . . ., fn из формулы E.93). Они образуют массив
EF (i, /), i = 1, . . ., л, / = 1, 2, 3. Выражение TTf_ — щ\п
имеет такой же вид, как и правая часть уравнения E.87) для а).
Поэтому можно использовать операторы ФОРТРАНа, аналогич-
аналогичные тем, которые приведены в п. G). В то же время результаты
храняться не в двумерном массиве (подобном AAV (i, j) в п. G)),
а в одномерном массиве TF (?), i = 1, . . ., Зп. На следующем
шаге находят скалярную форму выражения К -(Гг / — 0H1П) как
произведение DK (i, j) с массивом TF (/). К получающемуся
в результате одномерному массиву, обозначаемому через
DKTF (i), i = 1, . • -, Злг, добавляются два других одномерных
массива, которые являются скалярными матрицами координат,
связанными с матрицами Мг и М соответственно. Согласно форму-
формуле E.31), каждый из п векторов в матрице ЯГ представляет собой
сумму пяти членов. Обсудим здесь подробнее только более слож-
сложные члены
2 dijX К' х (<°j X_6yo)l и Oj = 2 «?_Х (шу X dJt).
Вектор, обозначенный через а/, зависит от одного индекса /•
Поскольку налагается условие st < Sj, необходимы только векто-
векторы а2, . . •» а>п- Сначала вычисляются координаты этих векторов
в базисе в@). Затем находят суммы членов dtj X a^ Рассмотрим
теперь вторую сумму. Поскольку число различных векторов djt
меньше числа комбинаций индексов (/, i), то же самое верно также
для векторов, обозначенных через рц. Сначала вычисляются все
различные векторы р7-г; имя в программе РЕ (/, i, I) с I = 1, 2, 3.
Это осуществляется в цикле ФОРТРАНа
DO 255 J=1,N
LMAX = NV1(J)
IF (LMAX) 255,255,240
240 DO250L = lLMAX
I = NV(J,L)
K = NR(J,I)
B1=-AAV(J,3)*DS(K,2)+AAV(JJ)*DS(K,3)
B2=AAV(JJ)*DS(KJ)-AAV{JJ)*DS(K,3)

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 181
В3= -AAV(JJ)*DS(KJ) +AAV(J,1)*DS(K,2)
PE(J,!,1)'= -AAV(J,3)*B2+AAV(J,2)*B3
PE(J,I,2) = AAV(JJJ+B1-AAV(J,1)*B3
250 PE(J, 1,3) =-AAVG,2)*B1 + AAV.(J, 1) +B2
255 CONTINUE
В вектор Of вносят вклад только такие значения /, которые
удовлетворяют условиям Т (/, i) Ф 0 и j Ф i. Это обстоятельство
поясняет цикл ФОРТРАНа
DO 280 / = 2,N
DO 260 L = 13
260 SIGMA (I,L)=0.
IF (T(JJ)) 265,275,275
265 KMAX = NV1(J)
DO 266 К = /, KM AX
IF (T(M,I)) 267,266,266
266 CONTINUE
267 DO 270 L = U3
270 SIGMA(I1L)=SIGMA(IiL)+PE(J,M,L)
275 CONTINUE
280 CONTINUE
Окончательным результатом этих вычислений является одномер-
одномерный массив BR (?), i = 1, . . ., 3/г, который представляет собой
скалярную матрицу координат, связанную с выражением, стоя-
стоящим в квадратных скобках в формуле E.99). Используя этот
массив, находим скалярную матрицу координат, связанную
с Т_ [К- (Гт/— со0 l_n) -I- М' + М], которую обозначим через
TBR (i), i = 1, . . ., Зтг; она вычисляется следующим образом:
N3=3*N
285 TBR(I)=0.
DO300l = UN
IN=3*(I-1)
DO 295 K = I, KMAX
J = NT(I,K)
JN=3*(J-1)
DO 290 II = /,J
290 TBR(L) = TBR(L)-BR(JN+U)
295 CONTINUE
300 CONTINUE
Последним шагом в вычислении первого члена выражения
Для В является скалярное умножение слева на р. Оно осущест-

182 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ !ГЕЛ
вляется таким образом:
JN=3*(J-1)
L^NP(J)
W = NF(J)-J
DO 31011 = UL
PTBR(I)=0.
DO 305 K = 13
305 PTBR(I)=PTBR(I)+PS(I,K)*TBR(JN+K
310 CONTINUE
315 CONTINUE
Чтобы получить матрицу jB, необходимо вычесть из PTBR (i),
взятого со знаком минус, матрицу-столбец р-У. Элементы этой
матрицы суть заданные функции (pai, (pai (a = 1, . . ., п, i =
= 1, . . ., па) и времени t. Эти функции должны быть определены
в подпрограмме.
В следующем разделе программы строится матрица А, задан-
заданная формулой E.98). По сравнению с программой для матрицы В
эта часть программы немного короче, так как выражение для А
проще выражения для В. Однако она требует большего времени
счета, поскольку А — квадратная матрица, в то время как В —
матрица-столбец. Сначала вычисляется скалярная матрица коор-
координат, связанная с ТКТТ. Элемент матрицы ТКТТ представляет
п п
собой двойную сумму 2 2 TaiTbjKij (а, Ъ = 1, . . ., п). Чита-
г=1 i=l
тель может для себя проверить, что для ориентированного графа
системы с правильной нумерацией и всеми дугами, направленными
от s0, справедливы следующие соотношения:
{ 2 (TKTT)lk+ 2 Kft/, если » = А, 1
| l?pk '¦ °h^j |
= { 0, если Tth = O). k}k = l, ...,n.
\li(TKT\l+ S К„, еслиТш^0}1< I
{ltQh i: *k^sj J
В этих формулах Pk и Qh определены следующим образом. Ph есть
множество индексов всех вершин, для которых sh является пред-
предшествующей вершиной. Эти индексы суть NV (к, j), / = 1, ...
. . ., NVi (к). Для всех 1?Рк имеет место неравенство 1>к.
Qk есть множество индексов всех вершин Sj, предшествующей вер-

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 183
шиной которых является st и для которых, кроме того, Т (/, к) = 1.
Множество либо пусто, либо имеет один элемент Z, для которого
выполняется неравенство i < I <C к. Формула позволяет прово-
проводить рекуррентное вычисление (TKTT)ki в порядке, указанном
операторами ФОРТРАНа:
DO480 K = NJ,-I
calculate (JKT1)^
DO 470 ЫК-/,/,-/
calculate (TKTT)ki
470 CONTINUE
480 CONTINUE
Уравнение для элементов ТКТТ обладает тем свойством, что
тензор Khh (k = 1, . . ., п) встречается только один раз, а именно
при вычислении (TKTT)hk. Это позволяет запоминать результаты
в том же массиве DK (?, /), который содержит координаты тензора
K*j (/ ^ О- В конце следующей программы C X 3)-субматрицы
вдоль главной диагонали массива DK (t, /) и ниже ее замещаются
координатами (TKTT)ki с к — 1, . . ., п, i <.к (отсюда следует,
что координаты тензоров Kkk (к = 1, . . ., п) теряют далее свои
значения).
DO 480 K = N,1,-1
С .Субматрицы вдоль главной диагонали
ККЫККЗ-2
N1=NV1(K)
IF (N1) 340,340,320
320 DO 330 J = UNI
KP = 3*(NV(K,J)-K)
DO 325 II = KK1,KK3
DO 325 KK = KK1,KK3
325 DK(KK,II)=DK(KKJI)-rDK(KK + KP,
330 CONTINUE
340 N2 = NT1(K)
IF (N2-1) 380,380,350
350 DO370J=2,N2
KP = 3*(NT(K,J)-K)
DO360KK = KKl,KK3
360 DK(KKJI)=DK(KK,11)+DK(KK,
370 CONTINUE
380 CONTINUE
С Субматрицы под главной диагональю
IF (К-1L80,480,390
390 DO470I = K-I,l,-I
IF (T'(I,KJ) 400,470,400

184 5- ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ !ГЕЛ
400 113 = 3*1
111 = 113-2
IF(ND) 435,435,405
405 DO4WJ = 1,ND
ll = NV(l,J)
IF (T(IUK)) 420,410,420
410 CONTINUE
GO TO 435
420 IP = 3*(I1-I)
DO 430 11 = 111,113
DO430KK = KKl,KK3
430 DK(KK,II)=DK(IUKK)+DK(KK,
435 IF (N2-1) 470,470,440
440 DO460J = 2,N2
KP = 3*(NT(K,J)-K)
DO 450 11 = 111,113
DO450KK = KKl,KK3
450 DK(KK,ll)=DK(KK,ll)+DK(lU
460 CONTINUE
470 CONTINUE
480 CONTINUE
Последний шаг в вычислении матрицы А состоит в скалярном
умножении ТКТТ слева и справа на/? и рт соответственно. В сле-
следующей программе вычисляется верхняя половина симметриче-
симметрической матрицы. Она запоминается в массиве DK (i, /) в ячейках
DK A, 4), . . ,,DK A,3 + NE), . . .,DK (NE, 3 + NE) (это вызы-
вызывает переполнение, если 3 + NE > Ъп или NE > 3 (п — 1), т. е.
если система содержит более чем п — 2 шаровых шарниров;
переполнения можно избежать, если размер массива DK указать
как DK (Зп, Зп + 3)). В операторах, следующих за «590 CONTI-
CONTINUE», верхняя половина матрицы А переносится в ячейки
DK A,1), . . ., DK (I, NE), . . ., DK (NE, NE).
DO 590 L = /,N
LP=3*L-2
J1 = NF(L)
J2=J1-1 + NI
DO58QJ=J1,J2
DO570K=L9N
NK = NP(K)
U = NF(K)
IF (T(U K)) 530,500,530
500 DO52Ql = llJ2
IF (J-I) 510,510,520

5. 2 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 185
570 DK(J,l + 3)=0.
520 CONTINUE
GO TO 570
530 DO 540 11 = 1,3
540 B(ll)=DK(KK,LP)+PS(J,
DO 5601 = 11,12
IF (J-1M50,550,560
550 DK(J,1+-3)=PS(I,1)*BA)+PS(I,2)*BB)+PS(I,3)*BC)
560 CONTINUE
570 CONTINUE
580 CONTINUE
590 CONTINUE
DO600I = l,NE
DO600J = l,NE
600 DK(IyJ)=DK(I,J + 3)
Этим заканчиваются инструкции для программирования матриц А
и J5, входящих в уравнение E.97).
5.2.8. Системы с произвольными голономными связями
в шарнирах
В предыдущем разделе были изучены системы многих тел с шар-
шарнирами специальных типов. В настоящем разделе вводятся в рас-
рассмотрение шарниры с произвольными голономными связями (случай
неголономных связей будет рассмотрен в разд. 5.3.2). Связи могут
быть либо стационарными, либо нестационарными. На рис. 5.34,
а — е приведено шесть примеров шарниров со стационарными
связями. Тела, связанные этими шарнирами, имеют соответственно
одну, две, три, четыре, пять и шесть степеней свободы в их движе-
движении друг относительно друга. На рис. 5.34,в тела контактируют
постоянно плоскими поверхностями. На рис. 5.34,г одно из тел
представляет маятник, точка подвеса которого может свободно
перемещаться вдоль направляющей, фиксированной на другом
теле. На рис. 5.34, д каждое тело имеет свою собственную направ-
направляющую. Направляющие вынуждены соприкасаться друг с дру-
другом, но могут свободно скользить одна вдоль другой. На рис.
5.34,е единственная внутренняя шарнирная сила вызывается
пружиной. Вырожденный случай, в котором даже эта пружина
отсутствует, не выпадает из правила. Шарниры с нестационарными
связями получаются, например, в случае, когда форма направляю-
направляющих на рис. 5.33, г и д меняется согласно некоторой заданной
функции времени.
В системе семи тел, изображенной на рис. 5.35, шарниры поме-
помечены просто символом IIа без всякого указания их конкретных

186 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
свойств. Предполагается, что эти свойства должны быть перечисле-
перечислены отдельно. Движение тела 0 относительно инерциального про-
пространства считается заданным в виде функции времени. Нумера-
Нумерация тел и шарниров здесь такая же, как на рис. 5.8, а, так что
\/
Рис. 5.34.
Шесть шарниров с 1, 2, 3, 4, 5 и 6 степенями свободы.
можно использовать снова ориентированный граф системы на
рис. 5.8, в и соответствующие матрицы 50, S и Т. С телом 0 неиз-
неизменно связан векторный базис е@). Шарнир номер 1 между телами
О и 1 может быть материальным. Он может быть также фиктивным
шарниром в смысле разд. 5.1. В последнем случае не требуется,
чтобы тело 0 было материальным.
Представляет интерес только система отсчета е@), движение
которой относительно инерциального пространства задано в виде
некоторой подходящим образом выбранной функции времени.
В противоположность предыдущему разделу нет больше необхо-
необходимости в разной записи уравнений движения для систем с мате-
материальным шарниром 1 и для систем с фиктивным шарниром 1.
Причина заключается в том, что любой шарнир может быть шарни-
шарниром без сил реакций связей, так же как без других внутренних
сил, так что случай фиктивного шарнира больше не является
исключительным. Тем не менее возможно выписать специальную
систему уравнений движения для систем, в которых шарнир 1
является фиктивным.
Как и в разд. 5.2.4, эта система уравнений состоит из уравне-
уравнения, описывающего движение центра масс всей системы, и системы

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 187
уравнений, описывающих движение относительно этого центра
масс. В практических приложениях использование специальных
уравнений часто бывает выгодным. С точки зрения точности вычи-
вычислений они могут быть даже необходимы. Поэтому далее будут
Рис. 5.35.
Система с шарнирами с
произвольными голоном-
нымп связями. Шарниры
указаны буквой Н.
приведены обе системы уравнений. Их вывод в большей части
идентичен. Подразделы, которые относятся только к специальным
уравнениям, будут помечаться как частный случай. Будут нужны
только два таких подраздела. Один, очень короткий, будет введен
в самом начале. Другой следует после уравнений, применимых
в обоих случаях, которые будут выведены в дальнейшем.
5.2.8.1. Составление уравнения принципа Даламбера
В предыдущем разделе уравнения движения были получены
на основе закона Ньютона и теоремы момента количеств движения,
записанных для отдельных тел, выделенных в результате проведе-
проведения разрезов через шарниры. Такой подход применим в принципе
также и в случае других шарниров, отличных от шарового, уни-
универсального и цилиндрического. Это требует, однако, некоторой
информации относительно направления сил и моментов сил реак-
реакций в шарнирах, с одной стороны, и относительно кинематики
вращательного и поступательного движений смежных тел друг
относительно друга, с другой. Даже этого минимума информации
здесь нет, так как свойства шарниров не конкретизируются вообще.
По этой причине выбраны методы аналитической механики.
В разд. 3.5 принцип Даламбера был сформулирован для одного
твердого тела (см. уравнение C.25)). Этот же подход используется
в настоящем случае. Для системы п твердых тел принцип Даламбе-
Даламбера можно записать в форме
2
il
E.103)
где
:= 1, . . ., п.

188 о. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
В этом выражении mhrt, Lu it и (ог обозначают те же самые
величины, что и в предыдущем разделе, а именно массу тела ?,
радиус-вектор его центра масс относительно полюса, фиксирован-
фиксированного в инерциальном пространстве, момент количеств абсолютно-
абсолютного движения относительно этого центра масс, центральный тензор
инерции и абсолютную угловую скорость соответственно. Векторы
Ft и Mt также представляют те же величины, что и прежде, а имен-
именно главный вектор и главный момент внешних сил, действующих
на тело i. Линия действия Ft проходит через центр масс тела i.
Вектор 8rt представляет собой вариацию rt и 6яг- — произведение
произвольного единичного вектора на бесконечно малый угол.
Здесь необходимо подчеркнуть, что точки над г и о) обозначают
дифференцирование по времени в инерциалъной системе отсчета
и что бгг- и Ьяг описывают вариации положения и ориентации тела i
по отношению к этой инерциалъной системе отсчета. Суммирование
по i распространяется только от 1 до п. Тело 0 исключается, так
как в принципе Даламбера вариация означает вариацию при фик-
фиксированном времени t. Отсюда следует, что вариация любой вели-
величины, связанной с движением тела 0, равна нулю, так как это
движение задано как функция времени. Слагаемое bW представля-
представляет собой полную возможную работу, совершаемую в шарнирах
системы. Силы реакции не вносят вклада в нее, так как они пред-
предполагаются идеальными. Возможная работа совершается в шар-
шарнирах пружинами, демпферами и другими подобными элементами.
При наличии связей в шарнирах вариации 8гг и Ьлг (i — 1, . . ., п)
не являются независимыми друг от друга. Отсюда следует необ-
необходимость выразить эти вариации через вариации других вели-
величин — обобщенных координат, вариации которых независимы.
Это — задача чистой кинематики, которой мы займемся в следую-
следующих разделах. Динамическая часть этой задачи полностью содер-
содержится в уравнении E.103). Для последующего использования
перепишем это уравнение в матричной форме
^ =0 E.104)
со следующими
6r=|
матрицами:
Sjt7
V
€0 =
где V i = <
»
X -
ms
J =
E.105)

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 189
Матрицыг, (о и т использовались в разд. 5.2.2 и 5.2.4 с таким
же определением.
Частный случай. До перехода к кинематике сформулируем
принцип Даламбера для частного случая системы с фиктивным
шарниром 1. Радиус-векторыrt выражаются суммой гг = гс + й*,
где гс — радиус-вектор центра масс всей системы относительно
полюса, фиксированного в инерциальном пространстве, и Rt —
вектор, проведенный из центра масс системы в центр масс тела i.
Величины гс и Rt определены так же, как на рис. 5.21. Подставляя
i = l, ...,и, E.106)
в уравнение E.103), получим
2 {(бгс + 6Rt) • [Ft - mt (гс + Rt)] + Ьяг - {М—Щ + 6^ = 0.
г=1
Величины йг-, . . ., Rn удовлетворяют соотношению
2 rriiRi^O. E.107)
Это приводит принцип Даламбера к виду
г=1 г=1
В шарнире 1 внутренние силы и моменты не действуют. Следо-
Следовательно, 8Rt и 6Яг (i = 1, . . ., ri), а также &W не зависят от бгс.
Отсюда следует, что принцип Даламбера приводит к двум урав-
уравнениям:
= § Ft E.108)
ii
Первое уравнение, в котором М обозначает полную массу
системы, определяет движение центра масс всей системы. Второе
уравнение имеет структуру уравнения E.103). В силу связей
в шарнирах и дополнительной связи, выраженной уравнением
E.107), вариации 8Rt и &яг (i = 1, . . ., п) не являются независи-
независимыми. Они должны быть выражены через обобщенные координаты,
выбранные подходящим образом. В матричной форме уравнение
имеет врщ
0. E.109)

190
5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Оно отличается от уравнения E.104) только матрицами-столбцами
/?=[/?!... Rn]T и 8R = [8Н1 . . . б/?71]т. Вывод уравнений дви-
движения для частного случая оставим пока в этом состоянии. Мы
вернемся к нему снова после составления уравнений движения,
применимых в обоих случаях.
Следующие два подраздела посвящены кинематике системы.
• • •
Конечной целью является получение выражений для бг, г, 6я, о>
и других кинематических характеристик в уравнении E.104) через
обобщенные координаты и их производные по времени и вариации.
В первом подразделе дана кинематика движения двух смежных
тел друг относительно друга. Эта часть имеет дело с отдельными
шарнирами. Во втором разделе описывается кинематика движения
отдельных тел относительно инерциального пространства. Это опи-
описание основано на соединении формул, выведенных в первом разде-
разделе, с понятиями теории графов. Вывод кинематических соотно-
соотношений проводится полностью так же, как в разд. 5.26. Однако
этот вывод сложнее в силу более общего характера связей. Все
математические величины определяются таким образом, что оба
вывода полностью идентичны в частном случае, когда все шарни-
шарниры являются шаровыми, универсальными или цилиндрическими.
Советуем читателю проверить это на каждом шаге вычислений.
5.2.8.2. Кинематика движения смежных тел относительно
друг друга
На рис. 5.36 показаны два тела i+ (а) и i~ (а), связанные шар-
шарниром а {а = 1, . . ., п). С этими! телами неизменно связаны
векторные базисы е'г(г7)) и e(i+<a)) соответственно следующим
образом. Начало базиса е@), связанного с телом 0, назовем Со.
Это произвольно выбранная в теле точка (отметим различие с разд.
Полюс в инициальном
пространстве
Рис. 5.36.
Векторы, описывающие
положение смежных тел
относительно инерциаль-
инерциального пространства и
относительно друг друга
5.2.2, где в качестве точки Со была выбрана шарнирная точка
шарнира 1, как показано на рис. 5.10). Во всех других телах
i = 1, . . ., п начало базиса e(i) фиксировано в центре масс тела Ct.

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 191
Ориентация базисов в телах произвольна. Число степеней свободы
движения тел друг относительно друга в шарнире а обозначим
через па (а = 1, . . ., п). Оно находится в пределах 1 <^ па ^ 6
в зависимости от свойств шарнира. Для описания движения тел
друг относительно друга требуется такое же количество обобщен-
обобщенных координат qal, . . ., qana.
Мы принимаем соглашение, что положение и движение тела
i~ (а) рассматриваются по отношению к телу i+ (а). Для описания
положения достаточно задать две величины как функции обобщен-
обобщенных координат (и времени, если связи в шарнире нестационар-
нестационарные). Одна величина представляет радиус-вектор в базисе e(i+(r/))
какой-нибудь одной точки, фиксированной в теле i~ (а), и другая —
матрицу перехода от базиса e(i~(a)) к e(i~(o». Эта матрица опреде-
определяется соотношением
?(г-(а))_еае(г+(а))? а = ^ . . ^ ?г> E.110)
Точка, фиксированная в теле i~ (а), называется шарнирной
точкой. В принципе может быть выбрана любая точка. Практиче-
Практически эту точку следует подбирать так, чтобы ее координаты в базисе
еа+(п)) мошно было выразить как функции обобщенных координат
и времени особенно простым способом. Положение шарнирной
точки в теле i~ (а) определяется фиксированным в теле вектором
Сг-(о)О, который начинается в точке CV(«v Переменный радиус-
вектор шарнирной точки в базисе e'i+(fi)) раскладывается на две
части. Одна часть представляет собой вектор Сща)а, фиксирован-
фиксированный в теле i+ (a). Другая часть называется шарнирным вектором za
(см. рис. 5.36). В базисе e<i+(a» координаты вектора za представ-
представляются функциями только от qal, . . ., qana и времени.
Как практически выбираются фиксированные в телах точки
начала и конца вектора za, проиллюстрируем на двух примерах.
В первом примере рассматривается шаровой шарнир. В этом
случае в качестве конечной точки для обоих векторов ci-^a)a
и сщп)а следует выбрать геометрический центр шарнира, который
фиксирован в обоих телах. Тогда шарнирный вектор za тождествен-
тождественно равен нулю, и рис. 5.36 совпадает с рис. 5.12. Этот пример иллю-
иллюстрирует сходство математического подхода в этом и в предыдущем
разделах. Во втором примере шарнир допускает поступательное
перемещение тела i~ (а) вдоль оси, фиксированной в теле i+ (a)r
и вращение вокруг этой оси (рис. 5.37).
В качестве обобщенных координат выберем декартову коорди-
координату qal вдоль этой оси и угол поворота qa2 вокруг нее. В качестве
шарнирной точки следует выбрать точку на указанной оси, потому
что ее координаты в базисе #(i+(a)) представляют линейные функ-
функции от qal и не зависят от ga2. Для всех других точек координаты

492 5- ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
являются линейными по qal и, кроме того, круговыми функциями
от qa2. Расположение точки, фиксированной в теле i+ (а), не ока-
оказывает заметного влияния на математическое выражение для коор-
координат вектора za, так как эти координаты являются в любом случае
линейными функциями от qal. Если точка на оси выбрана, как
показано на рис. 5.37, эти функции становятся однородными.
В связи со вторым примером возникает вопрос, почему вообще
введен вектор сг+(а)а. Шарнирный вектор za мог бы всегда начи-
начинаться в точке Ci+{a) без всяких осложнений, пока дело касается
только математических трудностей. Ответ на этот вопрос дает
Рис. 5.37.
Возможный способ опре-
определения шарнирного век-
вектора для конкретного
шарнира.
первый пример. Математические построения, которые предстоит
выполнить, будут иметь более близкое сходство с построениями
разд. 5.2.6, если ввести вектор ci+(a)a. Это позволяет использовать
соотношения, которые были установлены в указанном разделе.
Есть и другая причина для введения вектора ci+{a)a. Векторы
сг+(а)а и сг-(а)а появляются вместе в выражениях такого общего
вида, как, например, Cia = Siacia (г, а = 1, . . ., п). Пока оба
вектора являются произвольными фиксированными в телах век-
векторами, трудностей в интерпретации таких выражений не возни-
возникает. Но они возникли бы, если бы между ними необходимо было
делать различие, связанное с тем, что один из них нуль, а другой
нет. Заметим, что на рис. 5.36 в случае а = 1 одно из двух тел
представляет тело 0 и что в этом теле также определен такой век-
вектор, а именно вектор с01. Как и в разд. 5.2.2, будем использовать
следующее определение. Вектор cia (i = 0, . . ., п, а = 1, . . ., п)
равен нулю, если i отлично от i+ (а) и i~ (а), т. е. если шарнир а
не расположен в теле i.
Нужно сделать еще последнее замечание, касающееся матрицы
Ga из соотношения E.110). Его выражение как функция от qal, . . .
. . ., qarla и t зависит, во-первых, от выбора обобщенных координат
и, во-вторых, от ориентации базисов e^i+(a)) и e(i~(a)) в телах.
Эту ориентацию следует выбирать так, чтобы сделать выражение
для Ga настолько простым, насколько возможно. То, что это требо-
требование может быть удовлетворено, вообще говоря, только для
родного шарниа в каждом теле, было показано в задаче 5.13.

б. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 193
Резюмируем сказанное до сих пор. При использовании введенного
формализма для каждого шарнира а = 1, . . ., п можно свободно
выбирать
A) вид обобщенных координат qal, . . ., qana;
B) расположение шарнирной точки в теле i~ (а) и точки в теле
i+ (а), в которой начинается za;
C) ориентацию фиксированных в телах векторных базисов
()) и е(*~(«».
Этот выбор следует сделать так, чтобы функции
Za = Za{qal< ...,Яапа1 О, а = 1, ...,71,
Ga^Ga(qai4 •-., Яапа, t), а = 1, ...,71,
были настолько простыми, насколько возможно. В принципе поль-
пользователь свободен также в выборе направлений дуг в ориентиро-
ориентированном графе системы. Однако в силу причин, объясненных ранее,
дуги следует направлять либо все по направлению к s0, либо все
от s0. Инструкции для программирования, которые даны в разд.
5.2.7 и которые будут полезны также и в настоящем случае,
требуют, чтобы все дуги были направлены от s0. Для большинства
типов шарниров трудности в формульной записи координат векто-
вектора za в базисе e(i+(a^ не зависят от того, какое тело представляет
тело i+ (а) и какое i~ (a). Есть, однако, и исключения. Одним из
таких случаев является шарнир, показанный на рис. 5.34,2
(см. задачу 5.15).
Задачи
5.14. Для каждого из шарниров на рис. 5.34 выберите одно тело в каче-
качестве тела i+ (а). Затем выберите обобщенные координаты и расположение
точек начала и конца шарнирного вектора za и запишите формулы в виде
функций обобщенных координат для матрицы Ga и координат вектора za
в базисе, фиксированном в теле i+ (а). Для простоты предположите, что направ-
направляющие на рис. 5.34,г и д являются либо прямыми линиями, либо окружно-
окружностями.
5.15. Для шарнира на рис. 5.34,г сравните объем вычислений, необходи-
необходимый для записи формул координат вектора za в базисе е(*+(а)), если в каче-
качестве тела i+ (а) выбрано A) левое и B) правое тело.
После описания положения и угловой ориентации тела i~ (a)
в базисе e<i+(a» рассмотрим сейчас его движение относительно
этого базиса. Распределение скоростей тела определяется одно-
однозначно двумя векторами, а именно скоростью шарнирной точки а
и угловой скоростью тела ?~ (а) (обе относительно е^^а^). Первый
вектор есть производная по времени от za в базисе e(i+(a)). Обозна-
о ""*
чим ее через za с кружком вместо точки, чтобы отличать ее от
13-0603

194 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
производной по времени в инерциальном пространстве. Относи-
Относительную угловую скорость обозначим через йа. Дифференцируя
za и йа по времени в базисе ^i+(a)), получим ускорение za шар-
— о
нирной точки а и угловое ускорение йа тела i~ (а) (оба относитель-
но е^^а))). Вектор Яа также есть производная по времени в базисе
е(г-(а))^ так как эти две производные отличаются только членом
®а X Йа = 0. Предпочтительнее интерпретировать iia как про-
производную от Йа в е(*~(а))? так как скалярные координаты вектора
fta проще вычисляются в этом базисе, чем в базисе отсчета ei+(a)).
€> О©
Явные выражения для za и za получаются из выражений E.111):
• ^ дга • , dza
i=l
fl = l, . . ., П,
dt* •
В действительных расчетах частное дифференцирование долж-
должно быть применено к скалярным координатам вектора za в базисе
е(г+(а)) (см# задачу 5.16). В обозначениях
1» Д 1» d п А г) i \ у) /^ \ \ О\
Kai — ~я7 7 **оО — ~я7— 7 tt — -1» . . • , гб, I — 1, • . • , /ха, iu. IIZ)
OQfji Ot
И
па
1-1 '= E.113)
эти соотношения примут вид
~ ' E.114)
Z
а = 1, ..., га.
*oe S feai?ai + *a, E.115)
Относительная угловая скорость йа имеет следующую общую
форму:
^о ~ S Pal (^ai, • • •» ^anai ^) ^ai + PaO (^aii • • •» ^ana» 0» ^ = 1, . . . , П.
E.116)

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 195
Явная зависимость от t существует только при наличии нестацио-
нестационарных связей. Если же все связи стационарные, тора0 тождествен-
тождественно равно нулю и pai (i = 1, . . ., па) зависит' только от да1, . . .
• • •» Gапа- Проиллюстрируем нестационарный случай двумя приме-
примерами. В первом примере рассмотрим шарнир с па обобщенными
координатами, в котором все связи сначала являются стационар-
стационарными, так что выражение E.116) имеет частную форму Йа =
Па .
= S Pat (?oi» • • •> Qana) Qai- Далее введем нестационарную связь,
г = 1
предполагая, что переменная qana задана как функция времени.
Тогда qana также- является известной функцией времени. Шарнир
теряет одну степень свободы, и Яа принимает вид
na-l #
йа = 2 PaiiQaU •• •» Qa,na-li Qana (*)) Яаг +
i=l
+ Рапа (?ol» • • • » ?а, Па-1, 2апа @) ^апа @-
Это выражение имеет общую форму соотношения E.116). Второй
пример — другой природы. Тело i~ (а) движется по искривленной
поверхности тела i+ (а). Оно находится в контакте с этой поверх-
поверхностью в трех точках опоры (представьте себе движущийся по
поверхности стол на трех ножках). Это тело имеет три степени сво-
свободы в относительном движении (перемещение вдоль поверхности
и одна степень свободы вращения). Нестационарные связи введем
при помощи условия, что форма этой поверхности изменяется
со временем заранее заданным образом. Очевидно, тело i~ {a)
имеет угловую скорость по отношению к базису e(i+(a)) даже в том
случае, когда все три обобщенные координаты остаются постоян-
постоянными. В выражении E.116) этот член обозначен через ра0. Сумма,
стоящая перед ним, учитывает изменение обобщенных координат.
То что она действительно представляет линейную комбинацию
обобщенных скоростей qQi (i = 1, . . ., па), следует из уравнений
Пуассона B.27), которые в настоящих обозначениях записываются
как Ua = -GaGJ.
a
Относительное угловое ускорение fta получим из выражения
E.116):
J <*=1, ....I», E.117)
где
E,118)
13*

196 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
В уравнение E.104) для принципа Даламбера входят векторы
6>j и Ьлг (i = 1, . . ., п), которые описывают вариации положения
и угловой ориентации тел по отношению к инерциальному про-
пространству. С помощью величин, введенных до сих пор, можно
описать только вариации положения и угловой ориентации тела
i~ (а) по отношению к базису e(i+(a)K Для этого введем две величи-
величины 8za и 6>са. Первая представляет вариацию по ожения шарнир-
шарнирной точки а в базисе е(*+(а)). Кружок над б указывает на отличие
от вариации 8za вектора za в инерциальном пространстве. Очевид-
Очевидно, эти две вариации различны, потому что базис e<i+(a)) сам
претерпевает изменение ориентации в инерциальном простран-
пространстве. Вторая величина бха описывает вариацию угловой ориентации
тела i~ (а) в базисе е(г+(а)). Подобно бл:^ она представляет произ-
произведение некоторого единичного вектора на бесконечно малый угол
поворота. Обе величины, 8za и бха, легко выразить через обобщен-
обобщенные координаты qal, . . ., qana и их вариации и время. Выражение
для 8za получим из E.111). Нужно помнить, что в принципе Далам-
Даламбера время сохраняется постоянным на любой вариации. Следова-
Следовательно,
&*а= ZlKfiQai* в=1, ...,71. E.119)
i=l
Векторы kai представляют частные производные, определяемые
формулами E.112). Для бха E.116) дает
па
S*a = S Palpal, п = 1, ..., П. E.120)
Формулы E.111) — E.120) дают полное описание положения,
скоростей, ускорений и вариаций положения смежных тел друг
относительно друга.
Задачи
5.16. В дополнение к задаче 5.14 вычислите для каждого из шарниров
Hajpnc. 5.34 координаты векторов гаигав е<1+<а», а также Qa и Оав_е(г" «*»„
5.2.8.3. Кинематика движения тел относительно инерциального
пространства
Обратимся теперь к кинематике движения тел относительно
инерциального пространства. Рассмотрим сначала абсолютные
угловые скорости со^ (i = 1, . . ., п) г). Они связаны с относитель-
х) Формулы вплоть до E.128) тождественно совпадают по форме с E.86) —
(?.93).-Однако здесь они имеют более общий смысл, потому что шарниры могут
иметь более трех степеней свободы.

б. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 197
ными угловыми скоростями йа уравнениями
Оа = <О*-<а> —<©?+<а>. а=1, . .., П. E.121)
Эти уравнения можно переписать в виде
г=0 г=1
или как матричное уравнение
с матрицами-столбцами Я = [йг . . . ЯП1Т и со = [ы1 . . . соп]т.
Умножение слева на Тт дает
о)=-Гтй + (о01д. E.122)
Отсюда получаем формулу для абсолютной угловой скорости тела
©i=-S TaiQa + «>0, 1 = 1, ..., п E.123)
и, следовательно, для абсолютного углового ускорения
0>г=- S Га*(Ов + И>2) + <»0, 1 = 1, . . ., П,
где
м?? = <о?-(а)хЯа, а = 1, ..., л.
Эти п уравнений объединим снова в одно матричное уравнение;
с матрицами-столбцами й = [йх . . . QJT и w* = [w* . . . м?*]т.
Согласно E.117), элементы Яа матрицы й представляют собой
линейные комбинации вторых производных по времени от обоб-
о
щенных координат. Следовательно, матрицу-столбец Q можно
представить в виде
O = PtV+k>. E.125)
где матрицы в правой части определены следующим образом.
Символ q обозначает матрицу-столбец:
• • •• •• •• •• •• •• ,_
q_= [qti . . . qln± q2i . . . q2n^ . . . qnl . . . qnnj .
Число элементов в ней равно полному числу степеней свободы всей
системы. В последующем это число будем обозначать через N*

198 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
п
Оно вычисляется как N = 2 па- Прямоугольная матрица р
имеет N строк и п столбцов. Каждый столбец соответствует одному
шарниру. Эта матрица имеет квазидиагональную структуру.
Матрица, транспонированная к ней, имеет вид
Ри---Р1п%\
! P2i • • • Ргп,
Рт ¦ ¦ ¦ Рпп
п
E.126)
о
Наконец, матрица-столбец w = [юг . . . wn]T имеет в качестве
элементов члены, определенные в E.118). С использованием E.125)
матрица-столбец абсолютных угловых ускорений в E.124) приво-
приводится к виду
(о= —Тт (/?т<7 + /) + <о01п, E.127)
где
jf = w>-Hw*. E.128)
Это выражение для со является первым, которое готово для под-
подстановки в уравнение E.104) принципа Даламбера. Ясно, что все
векторы, составляющие матрицы/?, / и <до1п, суть известные функ-
функции обобщенных координат qai (а = 1, . . ., п, i = 1, . . ., па)
их первых производных qai и времени t. Рассмотрим, например,
вектор /а. Член wa определяется формулой E.118), Йа в w*—
формулой E.116), a (di-(a) есть в] силу формулы E.123) сумма
относительных угловых скоростей и абсолютной угловой скорости
о0, которая является известной функцией времени. Описание
угловых скоростей и ускорений завершается двумя формулами
для матриц-столбцов со и й = [йх . . . ЯЛ]Т. Формулы E.116)
и E.122) дают выражения
Q=j>Tq+j,0 E.129)
и
со=—Т (/?т# + /?о)Л-Щ^*п1 E.130)
^о = [рю • • • Рпо\т-
Теперь просто найти явное выражение для матрицыгсолбац
6л;, входящей в уравнение E.104). Рассмотрим сначала разность
вл1-(а) — ^л1+(а> бесконечно малых поворотов двух смежных тел
i~ (а) и Г (а), оба по отношению к одному и тому же базису,

б. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 199
фиксированному в инерциальном пространстве. Так как бесконеч-
бесконечно малые повороты можно складывать подобно векторам, эта
разность может интерпретироваться как бесконечно малый поворот
тела i~ (а) по отношению к телу i+ (а). С другой стороны, он был
определен вектором 6ха. Следовательно,
а = 1, ..., п.
Это соотношение имеет ту же форму, что и соотношение E.121)
для абсолютных и относительных угловых скоростей. Дальнейшее
преобразование этого уравнения тоже будет таким же. Сначала
перепишем его в форме
п
6ха = — SOabno— >\ Sia6nh а = 1, ..., п.
В правой части 6я0 есть вариация ориентации базиса отсчета е{0)
по отношению к инерциальному пространству. Она равна нулю,
потому что эта ориентация задана как функция времени. Следова-
Следовательно, последнее уравнение ^сводится к виду
п
бха=~2 5tofijrff а = 1, ..., п.
В матричной форме все п уравнений объединяются в одно:
6x=_ST6jt E.131)
с матрицей-столбцом блт, известной из уравнения E.104), и 6х =
= [6кг . . . бхп]т. Умножение слева на Тт дает
бл=5 — Гтбх.
Искомое соотношение между 6jt и вариациями обобщенных коор-
координат получается, если для элементов матрицы бх использовать
выражения F.120). Это приводит к соотношению
бя=— ТтрЧд, E.132)
где р определяется формулой E.126), a 6q — матрица-столбец:
bg= [8qn . . . 8qini 8q2l . . . 8д2п% 6qnl . . . 8qnnn\T- E.133)
С учетом этого выражения для бя второй член, требуемый для
Уравнения E.104), готов для подстановки.
Угловая ориентация тела i (i = 1, . . ., п) в инерциальном
пространстве будет известна, если она известна по отношению
к базису е{0). Для задания последней введем матрицу преобразо-

200 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
вания At, определяемую равенством
?<°)=Л^), 1 = 1, ..., П.
Матрицы А±, . . ., Ап могут быть вычислены рекуррентно как
функции обобщенных координат и времени с помощью альтерна-
альтернативных соотношений
Ajr(a) = Aina)Ga9 Aina) = At-la)Ga, a = l, ..., п. E.134)
Пример практического применения этих соотношений был рас-
рассмотрен после формул E.95).
Обратимся теперь к членам г и 6г из уравнения E.104). Их
вычисление базируется на явных выражениях для радиус-векто-
радиус-векторов rt (i = 1, . . ., п) как функций обобщенных координат и време-
времени. Определим их из рис. 5.36, гдегг+(а) иг,-(а) представляют собой
радиус-векторы в инерциальном пространстве точек Сг+(а) и С
соответственно. Из рисунка следует соотношение
которое можно записать в виде
А
*а = — S Sia (rt + Cia), п = 1, . . ., П,
i=0
или с векторами
Cia = Siacia* J = 0, . • ., Wf «=1, ••*, Щ
в виде
Bee w уравнений объединяются в матричное уравнение
j-Ct-fr-CjK E.135)
с матрицами-столбцами г=[гг ... гп]т и 2 = [^ ... zn]T, матри-
матрицей-строкой Со = [С01 ... СОп] и (/г х «)-матрицей
Сп ... С1п
Матрица С тождественна матрице, определенной соотношением
E.11). В Со отличен от нуля только первый элемент COi = S0lc0l>
так как шарнир 1 является единственным на теле 0.

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 20f
Умножение уравнения E.135) слева на Тт дает явное выраже-
выражение для г:
г= -(СТ)' ln-
E.136).
Из этого соотношения можно вывести теперь выражения для г
и 8г. Вторая производная по времени выражается в виде
if = -(?DTi»-lT*+'го1.„- (?.f)T. E.137)
Элементами матрицы СТ являются векторы dtj (i, / = 1, . . ., n)r
которые были обсуждены вслед за формулой E.17) и проиллю-
проиллюстрированы на рис. 5.14. Каждый вектор dtj фиксирован в теле,
номер которого совпадает с первым индексом i. Дополним их
векторами
do) =
= 2
а=1
/= 1, ...,»•
E.138>
Произведение TajSOa отлично от нуля (и равно —1) только для,
шарниров на теле 0, т. е. только для шарнира 1, откуда следуег
dOj = — с01, / = 1, . . ., п. E.139>
Вторая производная по времени от dtj равна
• • •
dtj = — dtj X сог + (Of X (сог X dtj), i = 0, . . ., п, j = 1, . . ., п.
• • • m
Вклад первого члена —dtj х сог в матрицу-столбец (СТ) 1пт
входящую в выражение E.137), равен
X
E.140>
Вклад второго члена <of x ((ot x dtJ) в (С Т)т 1п [равен матрице-
столбцу g = [gi ••• gn]T с элементами
Аналогично последний член в E.137) равен матрице-столбцу
Щ X d01 + со0 х (со0 х d01)
E.142)
da
-dln
Xft
Х<й
x
X
¦dnl
dnn
•
X
X can
= —
1 _
(CTf
11 • • лХ
x«.
_<о0 X
X (<00Х dOn) _

202 5- ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
яли с учетом тождества E.139)
(СОТ)Т= -[щ X сО1 + щ х К X с01)] in. E.143)
Выражение для г теперь принимает вид
'г = (СТ)т х а>- ГТУ-g+ roln- (СоГ)т. E.144)
Вычислим далее матрицу-столбец z. Ее элементы равны
za = °za Н- ш?+(а) Хга + 2щПа) X°za + ©i+(a) х
Х(©/+(а)Х«а)» а = 1, ...,тг. E.145)
Это следует из определения za и za как производных по времени
от za в базисе e(i+(a». Чтобы придать удобную форму элементам,
•
включающим coi+(a) и coi+(a), введем новые безразмерные скаляр-
скалярные величины 5*а (i = 0, . . ., п, а = 1, . . ., п), которые удов-
удовлетворяют тождествам
п
<*>1+(а)= 2 ?ja«p fl=l, . .., W. E,146)
i=0
Отсюда следует определение для S*a-
+1, если i = i+(a), #
0 в противном случае,
E.147)
(
= 1
Эти скалярные величины используются для построения матрицы-
строки
и (п X тг)-матрицы
^н • • • °in
S+ = *: . E.148)
Сравнение с E.1) показывает, что S* и S+ получаются из *S0 и S
соответственно, если в этих последних матрицах каждый элемент
— 1 заменить нулем. С помощью выражений E.115) для za и

«. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 203
^5.146) для щ+(а) соотношение E.145) можно переписать в виде
Па
*а= 2 kaiqai-\-sa-\-
г=1
п
+ 2 [ — S%Za X ©у + 2<Dy X S%Za + ©у X (©у X ^а*а)] +
i=i
+ <*>0 X S+Oaza + 2©0 X S+Oaza + ©о X (©о X S+Oaza).
• • • •
После этого объединим снова все п выражений ?19 . . ., zn в матри-
матрицу-столбец 2:
i = *T?+?~~?T X © + 2fe + g* + w. E.149)
Матрицы в правой части определяются следующим образом. Мат-
Матрица, транспонированная к (N X я)-матрице к, равна
~к к I " °"
= чч . E.150)
\
0 j ^711 • • ' ^ППп
Матрица к имеет такую же структуру, как матрица р в E.126).
Матрица-столбец s = [$г . . . sn]T составлена из выражений, опре-
деляехмых формулой E.113). Элементы (п X ?г)-матрицы Z:
^11 • • • %1п
?= i E.151)
_Znl... Znn^
имеют вид
Zia = S*aZa, h Л = 1» •-., п- E.152)
Наконец, fe, g* и и суть матрицы-столбцы с элементами
h bi+(a)XZa ДЛЯ *+(a)=^=0,
Лл S tt 1, • • • , Jim
(.О для i+(a) = 0,
n
Й = S »;X(»iXZ/e), a = l, ..., n, E.153)
3=1
«a = «»oXZOa + 2(i)oXZoa + «>oX(»O + ^Oa), « = 1, •••, «
E.154)

204 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
соответственно. Вектор ZOa = S*aza в иа равен нулю для а =
= 2, . . ., п, так как на теле 0 расположен только один шарнир 1.
Следовательно, иа можно упростить:
и тогда матрица-столбец и примет вид
и = [щхг1 + 2(д0х г1 + щх (oHX zt)]S^T. E.155)
• • • •
Выражение для z подставим теперь в формулу E.144) для г, тогда
г'= [(C+Z) Т? хй-f (*т ?+ s + 2h+?*) -
i-fu. E.156)
После подстановки выражения E.127) для со получим
где U — сумма всех членов, которые не зависят от вторых про-
производных по времени от обобщенных координат. Она равна
-f (i+2h + g*)-g + roln-(CoT)'r-T'ru. E.157)
• • • •
Матрица в фигурных скобках перед q в уравнении для г является
транспонированной по отношению к матрице —р X Т (С + Z)T-\-
+ кТ\ Знак минус перед первым членом обусловлен пере-
перестановкой сомножителей в векторном произведении. Итак, получа-
получаем результат
? __ E.158)
Это выражение мы подставим позже в уравнение E.104).
Прежде чем рассматривать матрицу бг, упростим далее выраже-
выражение для U в E.157). Перепишем сначала элементы матрицы-столбца
?7|* + # с помощью E.153) и E.141) в форме
G V + g)t = S S Tai(Oj X (О); X SUa) + I «О; X
-" — a=l .7=1 i=l
или, используя E.17) для dH,
(TTg* + g)t=t S со,- X [©;X Га? {SSaeSa
— "" "" a=l i=l

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 205
Из определения Sja следует тождество Sja = SjaSU (/, я = 1, . . .
, . ., тг). Следовательно,
(^ V + g)i = S S ©; X К X Га^а (c,a + SUa)l (
l il
Векторы
, 1 = 0, ...,Л, fl = l, ...,Л, E.160)
в этом выражении имеют простую физическую интерпретацию.
Очевидно,
{Cia+*a ДЛЯ * = *+(я),
c^a для i = i-(a), i = 0, ..., гг, a = l, ..., /г.
0 в остальных случаях,
Рис. 5.38 является повторением рис. 5.36. На двух телах показаны
векторы cj+(a)a и c*-(a)<f Они соединяют центры масс тел с шар-
Рис. 5.38.
Ьекторы da. пространстве
нирной точкой точно так же, как векторы с^+(а)а и сг-{а)а в отсут-
отсутствие шарнирного вектора га (ср. рис. 5.12). Это наводит на мысль
ввести векторы
**г=2адас*а, / = 0, ..., и, 1 = 1, ..., л, E.161)
а=1
как обобщение векторов
SjaCja, / = 0, . . . , И, I = 1, . . ., П.
п
Для частного значения i эти векторы йц были проиллюстрированы
на рис. 5.14. Для систем с шарнирными векторами этот рисунок
принимает обобщенную форму, показанную на рис. 5.39. Точно
п
так же, как рис. 5.14 приводит к соотношению rt =r0 — 2 &п
(формула E.16)), из рис. 5.39 следует
п
г* = г0— 2 d*u г=1, ..., п.

206 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Различие пределов суммирования в этих двух [формулах объяс-
объясняется тем фактом, что в разд. 5.2.2 в отличие от настоящего разде-
раздела начало Со базиса е@) было расположено так, что вектор d0%
Рис. 5.39.
Векторы dj2 (/ = 0, . . ., п). В соответствии с ориентированным графом
системы, изображенным на рис. 5.8,в, шарнирные точки 1 и 5 фиксируются
в теле 1. Сравните с рис. 5.14.
был равен нулю. В обозначениях
шется в виде
соотношение E.159) перепи-
перепип.
Векторы d*j играют важную роль в выражениях E.157) и E.158)
также потому, что они являются элементами матрицы {С -\- Z )Т:
п.
E.162)
Эта формула представляет собой обобщение соотношения (CT)tj =
= dij, с помощью которого были первоначально введены векторы
dtj (ср. с E.15)).
Рассмотрим теперь последний член Тти в выражении E.157).
В формуле E.155) для и первый элемент 5^ в матрице-столбце
5+т равен либо нулю, либо +1» а все другие элементы равны
нулю. Следовательно, TTS+T тождественно совпадает с —Sj^ln.
Учитывая это обстоятельство, а также соотношения E.143) и
E.160), последние три члена из U можно объединить:
= [Го-'
X
(©о X
E.163)
Выражение в квадратных скобках представляет абсолютное уско-
ускорение шарнирной точки номер 1 минус относительное ускорение

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 20
SJ^x, которое равно части величины kTq + s в выражении E.149).
Последним членом, который нужно раскрыть в уравнении
E.104) принципа Даламбера, является 6г. Подобно г, он выводит-
выводится из выражения E.136) для г. Вариация заданных функций
времени равна нулю, так что
Рассмотрим сначала произведение 8Ст1п. Элемент матрицы О
есть вектор Сга, который либо фиксирован в теле г, либо равен
нулю. Следовательно, его вариация равна 8Cia = —Cia X 6яг*
В силу этого произведение 6СТ1П имеет вид
"" Си X бл^
=
... Сп1 х &яп "
Cnn х бя„ _
с7и ... Cni
_cin Cnn
X
= -Стх6я. E.164)
Элемент 8za матрицы-столбца 8z равен
о
8za = 8za-{-b^i+{a) x za, a = l, ••., п. E.165)
Это следует из того, что бяа представляет собой вариацию вектора
za в базисе е^+(а)). Если члены 6%, . . ., 8zn объединить опять
в матрицу-столбец, то каждый из двух членов в правой части
также образует матрицу-столбец. Первый в силу E.119) равен
О О гр гр
[8zt ... 6яп] =к од. E.166)
Матрицы к и 6# были определены соотношениями E.1§0) и E.133)
соответственно. Во втором члене формулы E.165) перепишем
71
бл;г+(а) как 2 Sjabnj. Вариация положения тела 0 равна нулю.
i=0
Следовательно, суммирование распространяется только на / ==
= 1, . . ., п. Это дает
X
7. = — 2 ZJa X
il
В силу этого соотношения, а также E.166) и E.165), матрица-
столбец 8z равна fcT6# — ZT X 6л;. Подставляя это выражение,
а также A.164) в уравнение для бг, получим
T f хЬя-кт8д}ч E.167>

208 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
или, в силу равенства E.132) для 6я,
Sg. E.168)
Этим уравнением завершается изучение кинематики системы.
•5.2.8.4. Возможная работа, совершаемая в шарнирах
Прежде чем подставлять в уравнение E.104) принципа Далам-
бера результаты, полученные для о), 6я, г и бг, нужно раскрыть
выражение для полной возможной ^работы 6W, совершаемой
в шарнирах. Это легко сделать. Пусть bWa — возможная работа,
совершаемая в отдельном шарнире а {а = 1, . . ., п). Она может
о о
быть выражена через величины za, za, 6za, 6?a, Qa и 6xa для этого
шарнира а и через физические параметры, такие, как жесткость
пружины, например. Выражение для $Wa всегда будет линейным
• о
по bza и 6ха, так что оно может быть записано в форме
8Wa=— 8za-Xa— 6xa.Fa, a = l, ..., п. E.169)
Этим соотношением определяются сила —Ха и момент —Fa,
которые производят совместно такую же возможную работу, как
реально существующие шарнирные силы. Член —бяа -Ха пока-
показывает, что линия действия силы —Ха проходит через шарнирную
точку а. Обе величины, —Ха и —Ya, приложены к телу, положе-
положение которого подвергается варьированию, т. е. к телу i~ (a). Отсю-
Отсюда следует, что силы +Ха и +Fa действуют на тело i+ (a). Векто-
Векторы bza и 6xa выражаются через вариации обобщенных координат
по формулам E.119) и E.120), так что возможная работа в шарни-
шарнире a принимает вид
a = l, ..., п.
Полная возможная работа 8W равна сумме членов &Wn . .
С использованием матриц fc ир из E.126) и E.150) и матриц-столб-
матриц-столбцов X = [Хг . . . Хп]т r~Y^= [Уг . . . YJ1? ее можно записать
в виде
). E.170)
Следует заметить, что в каждом практическом приложении вычи-
вычисляются не силы Ха и моменты Ya (а = 1, . . ., п), а непосред-
непосредственно скалярные произведения kai -Xa и pai -Ya.

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 209
5.2.8.5. Уравнения движения
Теперь подставим выражения E.127), E.132), E.158), E.168)
и E.170) для о), 6jt, г, 8г и 8W в уравнения E.104). Это дает
8f {[р X Т (С + Z)T-kT]-{F-m[p x T (C + Z) Z^'
-pT.{^-i^-f(pTq^f) + ^oK)~v}-k^x
или в сокращенной форме
где
E.171)
l^l--V]--k.X--j.Y. E.172)
В силу независимости обобщенных координат получаем
Ag=B. E.173)
Эти уравнения представляют собой уравнения движения системы
в их окончательном виде. Их число равно числу N обобщенных
координат. Матрица коэффициентов симметрическая. Она является
также положительно определенной. Это следует из того, что матри-
матрицу коэффициентов при д, найденную из принципа Даламбера, всег-
всегда можно интерпретировать как матрицу коэффициентов в выра-
выражении кинетической энергии.
Частный случай. Принцип Даламбера для частного случая
систем с фиктивным шарниром 1 был записан в виде уравнений
E.108) и E.109). Здесь нужно рассмотреть только последнее урав-
уравнение. Матрицы-столбцы со, 6л, R и 8R необходимо выразить
через обобщенные координаты, их производные и вариации и вре-
время. Чтобы сделать это, нового рассмотрения кинематики системы
не требуется! Матрицы со и 6я остаются такими же, как в уравне-
уравнении E.104) принципа Даламбера для общего случая. Они задаются
формулами E.127) и E.132) соответственно. Матрицы R и 6Й
могут быть получены из соотношений E.158) и E.168) для г и бг
соответственно способом, который уже использовался в разд. 5.2.4.
14-0603

210 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Векторы Rt и rt (i = 1, . . ., п) связаны соотношением Rt =
= rt — г с (см. E.106)). Все п соотношений объединяются в матрич-
матричной форме R=r—гс1п. Используя выражение E.136) для г,
получим
(последний член объясняется свойством матрицы Со, отмеченным
перед формулой E.136)). Умножим теперь это уравнение слева
на матрицу, транспонированную к матрице jut, элементы которой
определяются формулами E.43). В силу E.46) левая часть снова
дает R. В правой части член ju,Tln равен нулю в соответствии
с E.49). Тогда остается
Отсюда можно получить выражения для R и бй. Однако в этом
нет необходимости, так как эти выражения получаются непосред-
непосредственно умножением формул E.158) и E.168) для г и бг слева на |lIt:
R=[p x T(C+ Z) ?t-V
Элементы первой строки матрицы Т либо все равны + 1, либо
все равны —1. Первая строка произведения T\i равна тогда либо
+ 1JEV, либо —l^jut и, следовательно, в соответствии с E.49) равна
нулю. Отсюда следует, что в выражениях для R и бй первый
столбец каждой из матриц С, Z и к умножается на нуль. В первые
столбцы входят только величины, связанные с поступательным
движением базиса е@) и тела 1 относительно друг друга, а именно
cn, zx и частные производные dzjdq-ц (i — 1, . . ., щ), где щ = 6 —
число степеней свободы в фиктивном шарнире номер 1. Тогда для
рассматриваемого относительного поступательного движения из
уравнения E.109) с подстановкой в него соответствующих выраже-
ний для R и 8R нельзя получить дифференциальные уравнения.
Этого и следовало ожидать, так как соответствующие уравнения
были заменены уравнением E.108) движения центра масс всей
системы. Следовательно, нет необходимости вводить шесть обоб-
обобщенных координат для шарнира 1. Нужны только три координаты,
которые описывают угловую ориентацию базиса е@) и тела 1
относительно друг друга.
Резюмируя, можно сказать следующее. В матрицах-столбцах q

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 211
и 8q шарнир 1 представлен только тремя величинами qlt и bqit
(i = 1, 2, 3) соответственно. Поэтому первые столбцы матриц р
и к также содержат только по три элемента. В матрице fc, в част-
частности, эти три элемента fcn, /с12 и kls равны нулю. Однако это не
имеет значения, так как первый столбец матрицы к все равно
умножается на нуль. В матрице р элементы рп, р12 и/?13 не равны
нулю и оказывают влияние на Ви 8R.
Возможная работа 8W в уравнении E.109) имеет тот же вид, как
и в общем случае. Она определяется выражением E.170). Сила
Хх и момент Y± в шарнире 1 равны нулю. Теперь в уравнение
• • •
E.109) можно подставить выражения для 8W, R, бй, со и 8л:,
после чего оно приводится к виду 8qT (—Aq -f- В) = 0. Как
следствие независимости всех вариаций 8qai (а = 1, . . ., п,
i = l, . . ., па) уравнения движения получим снова в виде
Лд = В. E.174)
Теперь матрицы А и В равны
lf E.175)
.(F—m\L*U) —
lf — ®oln) — V] — k.X--p.Y. E.176)
Эти уравнения совместно с уравнением E.108) полностью описыва-
описывают поведение системы.
Произведение \iTU в матрице В в соответствии с E.157) равно
?U =-[(С + Z) Гй]т X iff- шо1п) - |*т [f (s + 2h + g*) + g].
Чтобы убедиться в этом, заметим, что в силу тождества |ит1п = 0
последние три члена выражения для V', которые имеют вид E.163O
не дают вклада. Здесь и в других местах в выражениях для А и В
встречается матричное произведение (С + Z) T\i. Точно так же,
как матрицы С + Z и (С + %) Т интерпретировались в терминах
векторов е*а и d*j соответственно, можно теперь дать физическую
интерпретацию и для произведения (С + Z) T\i. Это достигается
обобщением векторов 6гу, которые были определены для допол-
дополненных тел (рис. 5.15) и, как было показано, являются элементами
матрицы —CT\i E.53). По аналогии с btj новые векторы опреде-
определяются теперь как Ь& = — [(С + Z) T^\i]u для i, / = 1, . . ., nm
14*

212 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Их можно интерпретировать следующим образом. Снова для
каждого тела системы многих тел строится дополненное тело по
обычным правилам. Однако на этот раз точечные массы присоеди-
присоединяются не в конечных точках векторов cia, а в конечных точках
векторов Cia, определяемых формулами E.160), т. е. в шарнирных
S~*\
Рис. 5.41.
Пространственная система ма-
материальных точек, связанных
пружинами.
) ~-~" Шарнирная
точка с
Рис. 5.40.
Тело i с шарнирными точками 1 и
2, которые определяются вектором
с|о (фиксированным в теле i) и векто-
вектором с*с — CjC + zc (не фиксированным
в теле S), а также с центром масс Cj,
обобщенным барицентром В? (не фик-
фиксированным в теле i) и векторами
Ьц, Ъю и fe|/;e Сравните с рис. 5.15.
точках. Так как каждая шарнирная точка перемещается относи-
относительно одного из двух соответствующих смежных тел, то так
построенные дополненные тела не являются, вообще говоря, твер-
твердыми. Векторы 6*j показаны на рис. 5.40 (ср. с рис. 5.15).
Задачи
5.17. Проверьте, что для системы, содержащей только шаровые, универ-
универсальные и цилиндрические шарниры, матрицы А и В в уравнении E.173)
совпадают с матрицами в уравнении E.97).
5.18. Выведите из принципа Даламбера уравнение E.34) из разд. 5.2.2.
В каком отношении этот вывод отличается от вывода, проведенного для
уравнения E.173)?
5.19. Запишите матрицы А и В в уравнении E.173) для системы, в кото-
которой шарниры допускают только чисто поступательные перемещения смежных
тел друг относительно друга и в которой тело 0 не вращается в инерциальном
пространстве.
5.20. Укажите, какие члены уравнения E.173) обращаются в нуль, если
рассматриваемая система состоит из материальных точек, соединенных
пружинами, как показано на рис. 5.41. Точка подвеса Со фиксирована в инер-
инерциальном пространстве.

5. 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО СТРУКТУРОЙ ДЕРЕВА 213
5.2.9. Внутренние силы и моменты в шарнирах системы
с произвольными голономными связями
Во время движения системы многих тел смежные тела действу-
действуют друг на друга посредством сил и моментов, которые передаются
через шарниры. Инженер должен знать эти силы и моменты для
того, чтобы можно было спроектировать достаточно прочный шар-
шарнирный механизм или оценить, сможет ли существующий шарнир-
шарнирный механизм выдержать данное движение. Внутренние силы
и моменты имеют два источника: во-первых, связи в шарнирах
и, во-вторых, пружины, демпферы и другие устройства. Здесь
не делается различия между этими источниками. Вместо этого
Рис. 5.42.
Распределение сил и мо- I<s%>?w_ ^^^SШарнирная
ментов в выделенном те- *а xT*"*- * \ точка с
ле i. Шарнирные точки
Ъ и с фиксированы на
смежном теле и на теле
i соответственно.
определяются главный вектор и главный момент сил от обоих
источников для данного движения системы. С этой целью тела
системы разъединяются разрезанием всех шарниров. Затем вну-
внутренние силы и моменты в шарнире а (а = 1, . . ., п) заменяются
эквивалентной системой единственной силы Ха и единственного
момента Yа. Линия действия силы Ха выбирается проходящей
через шарнирную точку шарнира а, которая определяется, как
показано на рис. 5.36.
На рис. 5.42 показано тело i (i = 1, . . ., п), на котором рас-
расположены два шарнира, обозначенные буквами Ъ и с. При этом
предполагается, что в ориентированном графе системы дуга иь
направлена от вершины st, а дуга ис — к ней. Таким образом,
шарнирная точка Ъ расположена в конечной точке вектора
сгъ + zb = сгъ, а шарнирная точка с — в конце вектора cic =
= с*с. Для внутренних сил и моментов принимается соглашение
о знаках из разд. 5.2.2, которое говорит, что -\-Ха и -}-Ya прило-
приложены к телу Г (a), a —Ха и —Yа — к телу i~ (а). Отсюда ясно,
почему на рис. 5.42 на тело i действуют -\-Xb, +F6, —Хс и — Fc.
Этот рисунок совпадает с рис. 5.11, за исключением шарнирного
вектора zb. К телу i приложены также главный вектор Ft (с линией

214 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
действия, проходящей через центр масс тела) и главный момент Иt
внешних сил. Закон Ньютона и теорема момента количеств движе-
движения для рассматриваемого тела запишутся в виде
1-1, ..., п. E.177)
Эти уравнения совпадают с уравнениями E.7) и E.8), за исключе-
исключением члена Sfiaza, который вызван наличием дополнительного
вектора za, когда i равно Г (а). Как и раньше, выражения Siacia
и StaStaza = Sfnza обозначим через Cia и Zia соответственно.
Тогда уравнения движения можно переписать в матричной форме
E.178)
_____ _Z' E.179)
Все матрицы, используемые в этих уравнениях, известны из пре-
предыдущих разделов. Внутренние шарнирные силы и моменты мож-
можно теперь получить в явном виде умножением обоих уравнений
слева на Т:
Все члены в правой части первого равенства и все члены, кроме
X, в правой части второго равенства суть известные величины,
если движение системы задано. Члены г и L, например, связаны
с обобщенными координатами, скоростями и ускорениями посред-
посредством формул E.158) и E.104) соответственно:
Здесь со должно быть подставлено по формуле E.127). Численный
расчет векторов X и Y удобно выполнять параллельно с численным
интегрированием уравнений движения E.173), поскольку все
члены, необходимые для указанных формул, должны вычисляться
также и для уравнений движения.
5.3. Системы многих тел с замкнутыми цепями
и произвольными связями
Большинство систем многих тел, встречающихся в инженерной
практике, имеют не структуру дерева, а структуру взаимосвязей
с замкнутыми цепями. Пример такой системы приведен на рис.

3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 215
5.43,а без определения кинематических свойств шарниров.
Вообще говоря, система может содержать как замкнутые кинема-
кинематические цепи, так и замкнутые некинематические цепи. Как ука-
указывалось в разд. 5.1, в замкнутой кинематической цепи все шарни-
шарниры должны содержать кинематические связи, в то время как
в замкнутой некинематической цепи найдется по крайней мере
один шарнир без связей.
В этом разделе будут рассматриваться не только голономные,
но и неголономные связи. Для установления уравнений движения
Рис. 5.43.
Система с замкнутыми цепями (а) и соответствующая приведенная система
со структурой дерева (б). Шарниры с произвольными связями указаны бук-
буквой Я.
таких систем можно использовать результаты предыдущих иссле-
исследований. Шарниры всегда можно разрезать таким образом, что
получится система со структурой дерева. Очевидно, это можно
сделать различными способами. Критерии выбора отдельных
систем со структурой дерева будут ясны позже. В данный момент
выберем их произвольно. На рис. 5.43,6 изображена одна из
возможных систем со структурой дерева, которая получается
из системы на рис. 5.43,а. Если эта система со структурой дерева
имеет только голономные связи, то она называется приведенной
системой. В противном случае строится другая система со струк-
структурой дерева, которая получается из данной устранением всех
неголономных связей. Тогда эта новая система называется приве-
приведенной системой. Сначала мы будем рассматривать только приве-
приведенные системы. Позднее все связи и все внутренние шарнирные
силы (существующие помимо реакций связей), которые были
исключены в процессе построения приведенной системы, будут
введены вновь. Таким образом, мы снова придем к первоначаль-
первоначальной системе с замкнутыми цепями.
Уравнения движения приведенной системы легко устанавли-
устанавливаются с помощью результатов, полученных в разд. 5.2.8. Ясно,
что уравнения E.171) — E.173), вообще говоря, непосредственно
неприменимы. Причина заключается в том, что они справедливы

216 .5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
только для таких систем со структурой дерева, в которых внешнее
тело, движение которого задается как функция времени, связано
только с одним телом системы. Сейчас этого нельзя предполагать.
Допустим, например, что на рис. 5.43,а задано движение тела,
обозначенного как тело 0. Приведенная система, изображенная
на рис. 5.43,6, разделяется телом 0 на три динамически независи-
независимые подсистемы, каждая из которых связана с телом 0 одним
шарниром. Каждая подсистема описывается уравнениями движе-
движения, которые можно записать в форме Ak qh = Bk, где индекс к
относится к подсистеме, а Ак и Вк задаются формулами E.171)
и E.172) соответственно. Отсюда следует, что уравнения движе-
движения всей приведенной системы имеют вид
0
А2
0
Bi
в*
Bs
E.181)
где s — общее число независимых подсистем (в нашем примере
три). Наличие индексов тел, шарниров и обобщенных координат
делает запись уравнений громоздкой. Тела и шарниры должны
идентифицироваться двумя индексами, а именно индексом отдель-
отдельной подсистемы и индексом внутри подсистемы. Границы вторых
индексов различны для различных подсистем. Для обобщенных
координат необходим третий индекс. При исследовании влияния,
оказываемого разрезанием шарниров на динамику полной системы,
указанная трудность оказывается особенно неблагоприятной.
По этой причине вводится новая нумерация тел и шарниров, в ко-
которой рассматривается сразу вся система. Новая нумерация при-
приводит естественным образом к обобщениям понятий теории гра-
графов, рассмотренным в разд. 5.2.1.
5.3.1. Математическое описание структуры взаимосвязей.
Обобщение раздела 5.2.1
Пусть 7г + 1 — число тел, включая тело 0. Тогда приведенная
система имеет п шарниров. Число разрезанных шарниров обозна-
обозначим через тг*. Например, для системы на рис. 5.43 п и п* равны
соответственно семи и трем. Тела и шарниры пронумеруем следую-
следующим образом. Тело 0 уже помечено. Оставшиеся тела и шарниры
приведенной системы пронумеруем по отдельности в произволь-
произвольном порядке от 1 до п. Разрезанные шарниры пронумеруем в про-
произвольном порядке от7г + 1дотг + тг*.

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 217
На рис. 5.44,а показана одна из возможных нумераций. Для
полной системы, состоящей из п + 1 тел и п + п* вершин, можно
начертить ориентированный граф, вершины s0, . . ., sn и дуги
и1ч . . ., Un+n* которого представляют собой соответственно тела
и шарниры. Направления дуг выбираются произвольно. На рис.
5.44,6 показан один из возможных ориентированных графов
Рис. 5.44.
Система, изображенная
на рис. 5.43,а, с нуме-
нумерацией тел и шарниров
(а) и ее ориентированный
граф (б). Пунктирные
дуги представляют шар-
шарниры, разрезаемые при
выделении приведенной
системы.
{ft *Q
J*~^ ^Ч /^\
\*у—^—\J*f—^—( 5у
7f & ?5
\»7
для системы, изображенной на рис. 5.44,а. Дуги, представляющие
разрезанные шарниры, указаны пунктирными линиями. Сплош-
Сплошные линии образуют ориентированный граф приведенной системы,
называемый кратко приведенным графом. В разд. 5.2.1 функции
i+ (а) и i~ (а) были определены для а = 1, . . ., п. Теперь их
определение обобщается для всех значений а = 1, ..., гг + гг*,
так что i+ (а) и i~ (а) указывают индексы вершин, в которых дуга иа
соответственно начинается и кончается. Для ориентированного
графа на рис. 5.44,6 эти функции имеют следующие значения:
а
i+(a)
i~(a)
1
5
0
2
6
4
3
0
2
4
1
2
5
1
7
6
3
2
7
0
4
8
4
3
9
0
7
10
5
6
В разд. 5.2.1 функции i+ (а) и i~ (а) использовались для опре-
определения матрицы инцидентности ориентированного графа со
структурой дерева (см. E.41)). Обобщенная формула
+ 1 для i = i+ (a),
—1 для i = i~ (а), • i = 0, ..., и, а=1, ..., /i+w*,
0 в остальных случаях,
определяет прямоугольную матрицу инцидентности для графа,
не имеющего структуру дерева. Как и прежде, каждая вершина
представляется одной строкой и каждая дуга — одним столбцом.
Первые п столбцов представляют собой матрицу инцидентности

218 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
приведенного графа. Полную матрицу расчленим на четыре суб-
субматрицы:
С Г С С 1 ОН* г С С 1
о0 = [о01 . . . o0rlj, о о = [O0j п+1 . . . о о, п + п*\у
О л\ ... Ui,,
n+i
7 S
¦'п, п+1 °п, п + п*
Например, для ориентированного графа, изображенного на
рис. 5.44,6, матрица инцидентности и ее субматрицы имеют вид
So~
S —
~> \
0
0
0
-» 0
+ 1
0
0
0
0
0
0
-1
0
+ 1
0
+ 1
0
1
0
0
0
0
0
0
+ 1
— 1
0
0
0
0
0
0
+ 1
0
0
0
0
0
-1
0
0
— 1
+ 1
0
0
0
0
+ 1
0
0
0
— 1
0
0
0
0
0
0
-1
+ 1
0
0
0
+ 1
0
0
0
0
0
0
1
0^—
0
0
0
+ 1
-1
0
— S*
Субматрицы Sо и S определяются ориентированным графом со
структурой дерева. Они совпадают с одноименными матрицами
в разд. 5.2.1, за исключением одного небольшого различия.
В разд. 5.2.1 только первый элемент субматрицы So был отличен
от нуля, в то время как сейчас может быть отлично от нуля любое
число элементов в зависимости от числа шарниров на теле 0.
В уравнениях движения систем со структурой дерева важную
роль играют матрицы S* и S+, определяемые формулами E.147)
и E.148). Здесь они определяются так же. Дополнительно вводят-
вводятся матрицы ?*+ и S*+. Все четыре матрицы S+, S+, S*+ и S*+
получаются из So, S, So и S* соответственно, если в последних
каждый элемент —1 заменить нулем.
К приведенному графу непосредственно применимо определе-
определение матрицы Т для графа со структурой дерева (см. E.4)). Напри-
Например, для приведенного графа, изображенного на рис. 5.44,6,
матрица
Т имеет вид
у
~ 0
0
— 1
+1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
I
0
0
+ 1
0
0
0
0
0
0
0
— 1
+1
0
0
0
0
0
0
0
+ 1
0
0
0
0
— 1
0
0
— 1
+1
— 1
0
0

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 219
Для графа, не обладающего структурой дерева, определение
матрицы Т нельзя обобщить так, чтобы дуги ип+1, . . ., un+n*
представлялись дополнительными строками. Причина заключается
в том, что в графе с замкнутыми цепями путь между вершинами
s0 и st не определяется однозначно для всех вершин st (i = 1, . . ., п).
Следует отметить, что не все элементы в первой строке матрицы Т
отличны от нуля, как это было в случае графа со структурой
дерева, в котором только одна дуга инцидентна s0.
Сохраняются соотношения
TTS$=—ln и TSj=ST_ = E. E.182)
Доказательство последнего соотношения точно такое же, как
п
в разд. 5.2.1. В Тт SJ i-й элемент (i = 1, . . ., п) равен У! TaiSOa.
- — а=1
Только одна-единственная дуга иа дает вклад в эту сумму, а именно
дуга, которая принадлежит пути между s0 и st и которая инци-
инцидентна s0. Для этой дуги Tai и SОа имеют противоположные знаки.
Отсюда следует первое соотношение.
До сих пор нумерацию тел и шарниров приведенной системы
мы считали произвольной. На практике так делать нежелательно.
В разд. 5.2.1 для системы со структурой дерева, в которой на теле О
имеется только один шарнир, было определено понятие правиль-
правильной нумерации. Обобщим теперь это понятие на случай, когда
в системе со структурой дерева, подобной приведенной системе,
Рис. 5.45.
Ориентированный граф
с правильной нумера-
нумерацией для системы, изо-
изображенной на рис. 5.44,а
число шарниров на теле 0 произвольно. Предварительно мы
установили, что приведенная система содержит столько незави-
независимых подсистем, сколько шарниров имеется на теле 0. Правиль-
Правильная нумерация обладает следующими свойствами. Набор индексов
тел и набор индексов шарниров совпадают для каждой подсистемы
и представляют собой непрерывный отрезок последовательности
целых чисел. Кроме того, каждая подсистема обладает правильной
нумерацией в смысле, определенном в разд. 5.2.1, т. е. дуга, пред-
предшествующая каждой из вершин, имеет тот же номер, что и эта
вершина, и последовательность номеров вдоль пути от вершины s0
к любой другой вершине монотонно возрастает. Например,
на рис. 5.45 показан ориентированный граф для системы, изобра-

220 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
женной на рис. 5.44,а. В нем подграф, соответствующий приве-
приведенной системе, имеет правильную нумерацию. Эта приведенная
система состоит из трех независимых подсистем, содержащих
соответственно одно, два и четыре тела (не считая тела 0). Непре-
Непрерывные отрезки чисел выбраны следующим образом: A), B, 3)
и D, 5, 6, 7). Матрица инцидентности и матрица Т имеют для этого
графа особенно простую структуру:
S —
+ 1
0
0
-* 0
0
0
0
+ 1
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
— 1
+ 1
.0
0
0
0
+ 1
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
-1
+ 1
0
0
0
0
0
0
-1
0
+ 1
0
0
0
0
0
0
+ 1
0
-1
0
0
+ 1
0
0
0
-1
0
+ 1
0
0
0
0
0
0
-1
+1
0
— 1
0
0
0
-S*,
т=
+ 1
0
0
0
0
0
0
0
— 1
0
0
0
0
0
0
— 1
+1
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
-1
+ 1
0
0
0
0
0
— 1
0
+1
0
0
0
0
— 1
+1
0
— 1
5.3.2. Уравнения движения
Указанное обобщение понятий теории графов позволяет запи-
записать уравнения движения для приведенной системы в более удоб-
удобной форме, чем уравнения E.181). Новых вычислений не требуется!
Читатель может убедиться сам, что результаты разд. 5.2.8 (с не-
небольшой модификацией, которая сейчас будет объяснена) остаются
в силе, если во всех уравнениях матрицы ?0, S и Т понимать как
новые матрицы, которые только что были определены. Следова-
Следовательно, уравнения движения, записанные в виде E.171) — E.173),
остаются справедливыми. Необходимо выполнить только следую-
следующую модификацию. Равенства E.139) для векторов rfOj-, определен-
определенных в E.138), больше не выполняются, так как на теле 0 может
быть более одного шарнира. Отсюда следует, что выражение
E.142) для матрицы (СОТ)Т не приводится к виду E.143). По той
же причине матрица и больше не определяется формулой E.155).
Вместо этого ее элементы определяются формулой E.154). Других

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 221
изменений не требуется. Как видно из формулы E.157), затраги-
затрагивается только матрица U, причем только два последних ее члена.
Необходимые изменения можно резюмировать следующим образом.
Выражение roin — (СОТ)Т—Тти в E.157) не задается теперь
формулой E.163), а представляет собой матрицу-столбец с эле-
элементами
• • •
= Го + С00 X С*а(г) + 2*55а(|)©0 X Za(i) + «0 X (<00 X
i = l, . . ., п.
Индекса (i) векторов с*а(г) и za(i) имеет следующий смысл. Каждо-
Каждому телу i (i = 1, . . ., п) приведенной системы отвечает определен-
определенный шарнир на теле 0, посредством которого тело i связано непо-
непосредственно или косвенно с телом 0. Индекс этого шарнира и назван
a (i). Другими словами, a (i) есть индекс дуги в приведенном графе,
которая инцидентна дуге s0 и, кроме того, принадлежит пути
между s0 и st. Для ориентированного графа, изображенного
на рис. 5.44,6, индекс а (V) имеет следующие значения:
i
а («)
1
3
2
3
3
3
4
7
5
1
6
7
7
3
В частном случае, когда система многих тел не связана физически
с телом, движение которого задано как функция времени, урав-
уравнения движения были получены в виде уравнений E.108) и E.174) —
E.176). В этих уравнениях матрицу U не требуется модифициро-
модифицировать! Это следует из того, что подвижный базис е@) связан фиктив-
фиктивным шарниром только с одним телом системы.
5.3.2.1. Учет уравнений связей
После указанных замечаний по поводу приведенной системы
можно теперь записать принцип Даламбера для полной системы
с замкнутыми цепями. При этом, как было указано ранее, необ-
необходимо принимать к рассмотрению все связи и все внутренние
шарнирные силы (отличные от реакций связей), которые были
устранены при построении приведенной системы. Например,
в системе, изображенной на рис. 5.44,а, при построении приве-
приведенной системы, изображенной на рис. 5.44,6, могли быть устра-
устранены и силы реакций, и силы упругости пружин. В результате вое-

222 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
становления кинематических связей вариации обобщенных коор-
координат приведенной системы становятся зависимыми. Связи могут
быть либо голономными, либо неголономными. Общее число устра-
устраненных связей назовем v2. Из них vx (v^Va) связей будем пред-
предполагать голономными. Уравнения связей запишем в следующем
виде:
голономные связи
П (?, 0 = 0, i = 1, . . ., vlt E.183)
неголономные связи
gi (?» q, t) = 0, i = vx + 1, . . ., v2.
По определению уравнения неголономных связей
являются неинтегрируемыми, поскольку в против-
противном случае они свелись бы к голономным связям.
На практике gt суть линейные функции обобщенных
скоростей, так что указанные уравнения можно
записать в виде
?i = fl«i?ii+ •.-+«i2v9nnn + ai = O, i = v1 + l, . ..,v2, E.184)
n
где N = 2 na — общее число обобщенных коорди-
нат.
В общем случае функции /г«, аг1, . . ., aiN и at являются нели-
нелинейными функциями всех или части обобщенных координат и вре-
времени. Это показывает, например, обозначение /г- (g, t). Практиче-
Практическое определение этих функций будет показано в иллюстративных
примерах 5.3—5.5.
Вариации функций ft (i = 1, . . ., vx), вызванные вариациями
обобщенных координат (при фиксированном времени), равны
нулю, откуда следует
где fa—матрицы-строки:
Из уравнений E.184) следует, что вариации обобщенных коорди-
координат удовлетворяют также соотношениям
ацЬдц+ . ..+aiN6qnnn = 0, i = vi + i, ...,v2,
или
6qTaJ = 0, i = Vi+i, . . ., v2,

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 223
где at — матрицы-строки:
ai = [aii ... aiN],
, v2.
E.186)
Принцип Даламбера для полной системы с замкнутыми цепями
можно теперь записать в виде
= 0. E.187)
— _ i==1 -
Каждому уравнению связи ставится в соответствие множитель
Лагранжа ht (i = 1, . . ., v2). Полную возможную работу, совер-
совершаемую во всех разрезанных шарнирах, обозначим через 8W*.
Ее можно записать в виде 8W* = 8дТВ*, где матрица-столбец 5*
образована из обобщенных сил, которые действуют в разрезанных
шарнирах. Явное выражение для 5* будет получено позже. Теперь
перепишем принцип Даламбера в виде
— — 2=1 ~
V2
2
Л=0. E.188)
Члены, содержащие Хь . . ., XV2, можно объединить в матричной
записи как ЯТЯ, где X — матрица-столбец [А,1? . . ., К2]Т-> а Н —
прямоугольная матрица:
Я=-
E.189)
с v2 строками и N столбцами. Субматрица, образованная первыми
vx строками, представляет собой якобиан уравнений голономных
связей. Теперь уравнение E.188) принимает вид
Ьдт (—Ад + В -[- В* -j- HTlk) = 0. E.190)
Предполагается, что все v2 уравнений связей независимы. Тогда
найдутся v2 линейно зависимых вариаций обобщенных координат
(элементов вектора Ьд). Оставшиеся N — v2 вариаций линейно
независимы. Множители %г, . . ., XV2 выбираются таким образом,
чтобы коэффициенты при линейно зависимых вариациях в уравне-
уравнении E.190) обратились в нуль. Коэффициенты при остальных вари-
вариациях должны быть нулями в силу независимости этих вариаций.

224 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Отсюда получим
АЯ=В + В* + Н\ E.191)
Эти уравнения вместе с уравнениями связей E.183) и E.184) опи-
описывают движение полной системы. Для практических приложений
такой записи еще недостаточно, так как она не допускает приме-
применения алгоритмов численного интегрирования. Для получения
уравнений, которые можно интегрировать численно, нужно исклю-
исключить неизвестные А,1? . . ., XV2. Для этой цели уравнения голоном-
ных связей E.183) продифференцируем по времени:
} - dfi a 4- 1 dfi g + dfi -
qnnn aT
Здесь матрица-строка j\ определена в E.185), а матрица-столбец
Я= f#n • • • Qnnn1T- Дифференцируя еще раз по времени, получим
l iq_/q:t), i = lf ...,vle E.193)
Действительное вычисление функций Ф^ является несложной
процедурой, хотя на практике она может приводить к громоздким
выражениям (см. иллюстративные примеры 5.3 и 5.5). Продиффе-
Продифференцируем теперь один раз по времени уравнения неголономных
связей E.184):
• • • • • •
gi = анЯи + - - - + aiN<?nnn + Ф,- (?, q, t) =
'lq/q_,t) = O, i = Vl + l, ..., v2. E.194)
Матрица-строка at определена в E.186). To что было сказано
о функциях Фх, . . ., OVl, относится к функциям OVl+1/ . . ., Ov2
(см. иллюстративный пример 5.4). Уравнения E.192) и E.184)
объединим в виде
Я?=-^, E.195)
где матрица Н определена в E.189), аТ — матрица-столбец:
E.196)
Если все связи стационарны, то последняя матрица равна нулю.
Аналогично, уравнения E.193) и E.194) объединяются в матрич-
матричное уравнение
''-Ф, E.197)

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 225
где
Предположим, что интегрирование начинается в момент време-
времени t = t0. Сначала нужно определить начальные значения обоб-
обобщенных координат и скоростей. Для обобщенных координат они
должны удовлетворять уравнениям E.183). Как только опреде-
определены начальные значения qn, . . ., qnn , для нахождения началь-
начальных обобщенных скоростей используется уравнение E.195). Исхо-
Исходя из полученных таким образом начальных условий, далее
можно в принципе поступить следующим образом. Для исключе-
исключения X используются две системы дифференциальных уравнений
второго порядка E.191) и E.197) (уравнение E.191) разрешается
относительно q, результат подставляется в уравнение E.197),
последнее разрешается относительно А,, и А, подставляется снова
в E.191)). Получающиеся дифференциальные уравнения для обоб-
обобщенных координат можно далее интегрировать численно при
помощи какого-либо стандартного алгоритма. Однако в действи-
действительности этот метод обречен на неудачу по следующей причине.
Уравнение E.197) совпадает с уравнениями
}г = О, i = l,..., vx; gt = 0, i = vx + 1, . . ., v2.
При надлежащем выборе начальных условий эти уравнения имеют
точное решение /г- = 0 (i = 1, . . ., vx) и gt = 0 (i = v1 + 1, ...
. . ., v2). Однако в процессе численного интегрирования неизбеж-
неизбежные ошибки вычислений вызовут неограниченный рост | ft \
и | gt |, что приведет к нарушению уравнений связей.
Баумгарту [18] принадлежит идея заменить дифференциальные
уравнения E.197) другими, которые при допустимых начальных
условиях (удовлетворяющих уравнениям E.183) и E.195)) имеют
то же решение ft = 0 (i = 1, . . ., vx) и gt = 0 (i = vx + 1, . . ., v2),
которое асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова. Имеется
бесчисленное множество таких уравнений. Простейшие уравнения
можно взять в виде
г=0, a=const>0, p = const, i = 1, . . ., vx;
gi + ogt =0, a = const > 0, i = vx + 1, . . ., v2.
•
Любая ошибка вычислений, вызывающая отклонение /г-, /г- или
gt от номинальных нулевых значений, будет теперь затухать
автоматически. Для эффективной стабилизации ft = 0 удобно
выбрать a = p (критическое демпфирование). Не верно, что
эффект стабилизации будет тем лучше, чем больше выбраны вели-
15 —€602

226 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
чины а, Р и о\ Нужно избегать того, чтобы стабилизирующие чле-
члены 2aft + Р2/г и ogt (которые отличаются от нуля только вслед-
вследствие ошибок вычислений) стали доминирующими при численном
интегрировании полной системы дифференциальных уравнений.
Следует также обратить внимание на то, что в результате стабили-
стабилизации голономных связей в систему вводятся дополнительные
собственные частотых). С учетом уравнений E.193) и E.194)
вновь построенные дифференциальные уравнения можно записать
в виде
/Й+Ф*(в> д, 0 = 0, i = l, ...,v4,
где
Ф? = Ф, + 2а/, + р2/ь * = 1, ...,v4, E.198)
и
<hg+®t (д, ?, *) = 0, i = v4 -h 1, ..., v2,
где
Q>i = Oi + °gu * = ^ + 1, ...,v2. E.199)
В матричном виде эти уравнения записываются как
Яд=—Ф*, E.200)
где Ф* (д, д, ?) —матрица-столбец:
Ф* = [Ф*...Ф*2]Т. E.201)
За исключением различия в правых частях, уравнение E.200)
совпадает с E.197). Исключим теперь множители Лагранжа.
Уравнение E.191) дает q = А'1 (В + 5* + НТХ). Подстановка
в E.200) приводит к уравнению
Т . E.202)
Если все уравнения связей независимы, то матрица Н имеет
полный ранг, равный количеству строк v2. Есть теорема, утвер-
утверждающая, что НА'1^ имеет тот же ранг v2, если А'1 — опреде-
определенная квадратная матрица [19]. Здесь это условие выполнено.
Следовательно, обратная матрица существует, так что
X = — (НА~'НТ)-' [НА-1 (В + В*) + Ф*]. E.203)
х) Дальнейшее развитие этого метода см. в статье Баумгарта [40].

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 227
Подставляя к снова в уравнение E.191), получим
V= Л {В + ?*- Ят (НАг1Нт)-* [ПАг1 (В + В*) + Ф*]}. E.204)
Это и есть окончательная форма уравнений движения для систем
с замкнутыми цепями. Число уравнений равно числу обобщенных
координат в приведенной системе. Выполнение уравнений связей
обеспечивается членами Н и Ф*. Матрица Ф*, в частности, гаран-
гарантирует стабилизацию связей при численном интегрировании.
Численное интегрирование начинается от начальных условий для
t, q и q, которые удовлетворяют уравнениям E.183) и E.195).
Независимость уравнений связей мы предполагали в двух
местах, а именно при переходе от уравнения E.190) к E.191) и при
разрешении уравнения E.202) относительно X. На практике часто
случается, что составленные уравнения связей оказываются зави-
зависимыми. Одна причина заключается в том, что даже для относи-
относительно простых систем функции ft и gt в уравнениях E.183) и
E.184) могут быть настолько сложными, что проверка их незави-
независимости оказывается затрудненной. Такой случай рассматривается
в иллюстративном примере 5.3.
Кроме того, может оказаться, что уравнения связей являются
независимыми всюду, кроме частного множества значений обоб-
обобщенных координат. Если эти значения случайно встретятся в про-
процессе численного интегрирования, то программа не сможет выпол-
выполняться, так как матрица НА~ХНТ в уравнении E.202) становится
вырожденной (в действительности обращение матрицы будет
невозможным не только в критической точке, но и в некоторой ее
окрестности). Этой трудности можно избежать, если уравнение
E.202) для X решать не обращением матрицы коэффициентов, а с
помощью какого-либо алгоритма решения линейных уравнений.
Предположим, что ранг матрицы коэффициентов, а следовательно,
и ранг матрицы Н меньше v2, скажем v < v2. Тогда из уравнения
E.202) можно определить только v множителей. Те столбцы матри-
матрицы Н в уравнении E.190), которые соответствуют v2 — v множи-
множителям, оставшимся неопределенными, являются линейными ком-
комбинациями остальных v столбцов. Иными словами, v2 — v урав-
уравнений связей являются следствием остальных уравнений связей.
Неопределенные множители, которые соответствуют зависимым
связям, оказываются излишними и могут быть положены равными
нулю. Так найденное решение для % заменяет уравнение E.203).
Матрица-столбец q вычисляется не из E.204), а прямой подстанов-
подстановкой численного результата для к в E.191).
15*

228 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
5.3.2.2. Возможная работа в разрезанных шарнирах
В уравнениях движения E.204) детально определены все чле-
члены, кроме Л*. В этом разделе мы получим ниже явное выражение
для матрицы Б*. Исследование начнем с принципа Даламбера
в форме уравнения E.187), где член б ' * — 6дт#* определен как
возможная работа, совершаемая во всех разрезанных шарнирах
в результате вариации ftq обобщенных координат приведенной
системы. Пусть 6Wa (a = n-\-l,...,n-\- 7г*) — возможная рабо-
работа в разрезанном шарнире с номером а, так что
п+п*
8?т?*- S SWa. E.205)
Возможная работа выражается наиболее просто через величины,
которые описывают положение и угловую ориентацию двух тел,
соединенных шарниром а, одно относительно другого. Тогда для
разрезанных шарниров естественно ввести такие же кинематиче-
кинематические характеристики, как те, которые использовались для шарни-
шарниров приведенной системы. Эти величины представляют собой шар-
о
нирный вектор za вместе с его первой производной za по времени
и вариацией 8za( обе относительно базиса е(^а))), матрицы пре-
преобразования 6?а, относительные угловые скорости йа и векторы
бха, которые обозначают вариации относительных угловых ориен-
ориентации. Для разрезанных шарниров с номерами а = п + 1, ...
. . ., п + д* должны быть введены, помимо векторов za, новые
фиксированные в телах векторы ci+(a)a и Ci-(a)a. Рис. 5.36 спра-
справедлив также и для этих шарниров. В разд. 5.2.2 предполагалось,
что векторы cia (t, a = 1, . . ., п) равны нулю, если шарнир а
расположен не на теле i. Это определение распространяется теперь
на все шарниры а = 1, . . ., п + ^*-
Ясно, что все кинематические характеристики, связанные с раз-
о о
резанными шарнирами, т. е. za, za, 8za, Ga, Qa и 6ха, выражаются
через обобщенные координаты приведенной системы, а также
первые производные по времени и вариации этих координат.
Сейчас мы получим явные формулы для указанных величин.
Начнем с рассмотрения вектора za (a = п + 1, . . ., п + д*).
Из рис. 5.36 следует
Используя элементы Sia введенных матриц S* и ?*, получим
i=0

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 229
Вводя матрицу-столбец z* = [zn+1 . . . zn+n*]T, матрицу-строку
С0 = [*^0, п+1^0, п+1 • * • *-*0, п+п*сО, п+п*]
и матрицу С*, элементы которой суть фиксированные в телах
векторы:
Cia = SiaCia, * = 1, • • • , И, п--=П+1, . . . , П + П*,
все 7г* соотношений можно объединить в матричной записи:
z*= __Го5*т_^т__^т^_с;*т1п. E.206)
Матрицы Со и С* соответствуют связанным с приведенной систе-
системой матрицам Со и С соответственно. Заметим, что величины,
подобные 6W*, z*, S*, С* и т. д., которые относятся ко всему
множеству разрезанных шарниров, отмечаются звездочкой, в то
время как звездочка не используется для величин, относящихся
к конкретному шарниру, например 8Wa, za, Sia, cia и т. д., при-
принадлежность которых к разрезанному шарниру определяется
индексами *). Подстановка формулы E.136) для г в E.206) дает
= _ Го E*т + 5*т 1П) - {Ct -(JoTS*)? - (С* — CTS*L _
Член S*qT + ^*Т1П есть матрица-столбец, а-ж элемент которой
(а = п -\- i, . . ., п -\- л*) равен сумме всех элементов а-го столбца
матрицы инцидентности. Так как каждый столбец содержит ровно
один элемент +1 и ровно один элемент —1, эта сумма равна нулю.
Оставшуюся часть примем в качестве окончательного результата:
Все величины в правой части являются известными функциями
обобщенных координат.
о
Раскроем теперь выражение для матрицы-столбца 2* =
= [zn+1 . . . zn+n*]T. Так как каждый ее элемент равен скорости
одной точки системы относительно другой точки, то заранее мож-
о •
но сказать, что z* не зависит отг0 и о>0. Поэтому далее эти величи-
величины будем обозначать просто многоточием. В соответствии с E.206)
г) Векторы с*а = cla+ Staza (i = 0, . . ., п, а = 1, . . ., п) были опре-
определены формулой E.160). Звездочка в этом.обозначении, конечно, не отно-
относится к разрезанным шарнирам.

230 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
матрица-столбец z* = [zn+1 . . . ?n+n*]T имеет вид
Производные za и яа связаны соотношением
^а = ^а —0)i+(ft)X2a=:2a+2j %2а X Щ + ...,п
Матрица Z* определяется по аналогии с Z (см. E.151)). Ее элемен-
элементы равны
Zia = SlaZa, I = 1, . . ., И, Л = W + 1, . . ., W + W*.
о
С помощью этой матрицы соотношения для za можно объединить
в матричной записи:
или после подстановки указанного выше выражения для 2*:
Матрица г получается дифференцированием соотношения E.136).
Последниедва члена содержат только г 0 и векторы, которые фикси-^
рованы в теле 0, так что их производные по времени можно не
выписывать. Тогда остается
откуда следует
В силу свойства, объясняемого соотношением E.140), первый член
имеет вид
- (с* - CT<s;*)Tin = (с* - cts*L х ш.
Для отдельных элементов z выполняются соотношения
Д.
ia)XZa = Za— >j 5?а2аХ^+ .. ., а = 1, . . ., П.
2 = 1
В матричной форме они примут вид
? = ? — Z X

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 231
так что ?* определяется выражением
s* = [C* + Z* — (C + Z)TS*]T X (d + (T_S*fz+ ....
Подставляя формулу E.130) для о> и полагая А*о = [к10 . . . кп0]т
и z = kTq + к0, что следует из E.114), окончательно получим
_ {Т [С* + Z*- (С + Z) Г?*]}т х ?о + (TS*)Tho- E.208)
Здесь больше не нужны точки, указывающие йевыписанные члены,
так как известно, что в окончательном результате все невыписан-
ные члены взаимно уничтожаются х). Все величины, входящие
в это выражение, являются известными функциями обобщенных
о
координат. Из соотношения для z* сразу следует, что матрица-
о о о ~~
столбец бя* = [8zn+1 . . . bzn+n*]T имеет вид
Sz* = {рГ X [С* + Z* — (С + Z) TS*] + kTS*}T6q. E.209)
Следующими величинами, которые необходимо выразить через
обобщенные координаты, являются матрицы преобразования Ga
для а = л + 1, ..., д + д*. Матрицы преобразования At
(i = 1, . . ., п), определяемые соотношениями е<0) = Ate0), суть
известные функции обобщенных координат (см. E.134)). Следова-
Следовательно,
Са = ЛТ|-(а)Лг+(а), а = 71 + 1, ...,71 + 71*, E.210)
уже являются искомыми соотношениями.
Рассмотрим теперь относительные угловые скорости Qa (a =
= п + 1, . . ., п + 71*). По определению имеем
или
— 2] 5,-а©,-, п = ГС + 1, . ..,71
2=1
х) В качестве упражнения покажите, что в E.208) опущенные члены
имеют вид
о>о X {[О* + Z* - (Со + Ze) Г5_*]т + [С* + Z* - (С+ Z) T-S*]11^},
где Zo и ZJ — матрицы-строки с элементами ZOa = б'оа^а (я =li • • •» w)
и Zoa = ^оа'га(а= ^+1» • • •» п + и*) соответственно. Выпишите подробно
все матрицы в этом выражении для системы, ориентированный граф кото-
которой изображен на рис. 5.44,6, и объясните смысл элементов матрицы-столбца
в фигурных скобках.

232 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Вводя матрицу-столбец Q* = [Йд+1 . . . Qn+n*]T, последнее соот-
соотношение перепишем в матричной^форме:
Подставляя о> по формуле E.122), получим
~ Q* = _ щ (?ST + 5*Т1„) + (TS*fQ.
Множитель при со0 равен нулю, поэтому с учетом E.129) оконча-
окончательный результат можно представить в виде
Q* = (TS*fQ = (pTS*fg_+ (TS*fpQ. E.211)
Для матрицы-столбца 6х* = [6xn+i. . . 6хп+п*]тэто соотношение
дает
т?- E.212)
В формулах E.207) — E.212) все кинематические характеристики,
связанные с разрезанными шарнирами, выражены явно как функ-
функции обобщенных координат приведенной системы, а также первых
производных по времени и вариаций от этих координат.
Теперь мы в состоянии раскрыть в соотношении E.205) выра-
выражение для матрицы В*. Выражение для возможной работы bWa
о
в разрезанном шарнире а должно быть линейным по bza и 6ха,
г ак что его можно за исать в виде
= -bza>Xa — 6ха.Га, а = п+ 1, . . ., п + п*.
Этим соотношением вводятся эквивалентные внутренние шарнир-
шарнирные сила Ха и момент Ya. Оно имеет тот же вид, что и E.169) для
шарниров приведенной системы. Полная возможная работа, совер-
совершаемая во всех разрезанных шарнирах, принимает вид
П+П* в 2
6?ТЯ*= 2! F2Z/T*T
(a)
a=n+l ra— — —
где X* и F* — матрицы-столбцы [Хп+г . . . Хп+П*]т и [Уп+1 . . .
. . . Yn+n*Yr соответственно. Если теперь 8я* и 6х* заменить выра-
выражениями E.209) и E.212) соответственно, то, как легко видеть,
матрица 5* имеет вид
^E.213)
Элементы матриц в правой части являются либо постоянными
скалярными величинами (Г, S*), либо векторами с постоянными

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 233
координатами в базисах, фиксированных в телах, (С, С*), либо
переменными векторами, координаты которых в базисах, фикси-
фиксированных в телах, представляют собой известные функции обоб-
обобщенных координат (р, к, #),либо переменными векторами, являю-
являющимися функциями величин, которые в свою очередь являются
функциями обобщенных координат (Z*). Силы и моменты, из кото-
которых складываются X* и У*, в каждом конкретном случае приме-
' о
нения можно выразить как функции от za, za, Ga и Qa (a =
= п + 1, • . ., п -\- и*), а следовательно, посредством формул
E.207) — E.211) как функции обобщенных координат. Пример
рассматривается в иллюстративном примере 5.3. С указанным
выражением для В* уравнения движения E.204) принимают фор-
форму, применимую к любой системе твердых тел и требующую от
пользователя минимальнаго количества подготовительной работы.
5.3.2.3. Критерии выбора приведенной системы
В этом пункте мы вернемся к самому началу разд. 5.3. Пока
еще не было сказано, каким критерием нужно пользоваться для
построения приведенной системы из заданной системы с замкнуты-
замкнутыми кинематическими и некинематическими цепями. Другими
словами, каким образом следует выбирать шарниры, которые
должны разрезаться? Число п* шарниров, которые должны быть
разрезаны, не зависит от выбора конкретной приведенной систе-
системы, так как оно равно разности двух заданных чисел. Одно есть
полное число шарниров в данной системе и другое — число шар-
шарниров в приведенной системе, которое равно числу тел (не считая
тела 0). Очевидно, что выписывание уравнений связей и последую-
последующее построение матриц Я, Ф* и W требует большой работы, кото-
которая должна выполняться пользователем предлагаемого формализ-
формализма для каждой конкретной системы отдельно. Обычно каждое
уравнение связи зависит от большого числа обобщенных коорди-
• • • •
нат, так что для производных fh ft и gt по формулам E.192) —
E.194) получаются громоздкие выражения. По сравнению с этим
проще раскрываются выражения для сил и моментов, из которых
образуются матрицы X* и У* в формуле E.213), потому что каж-
каждая сила и момент относятся к одному разрезанному шарниру.
Следовательно, можно заключить, что в принципе среди ?г*
разрезанных шарниров должно быть как можно больше шарниров
без связей. Иными словами, в замкнутых некинематических цепях
нужно разрезать шарниры без связей. В замкнутых кинематических
цепях приходится разрезать шарниры со связями. По поводу
выбора этих шарниров можно сказать следующее. Полное число
степеней свободы системы с замкнутыми кинематическими цепями

234 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
есть заданное число. Оно равно разности N — v2 между полным
числом N степеней свободы приведенной системы и полным числом
v2 связей во всех разрезанных шарнирах. Оба числа, N и v2,
зависят от выбора разрезаемых шарниров.
С точки зрения уменьшения подготовительной работы, требуе-
требуемой для явного вычисления матриц 77, Ф* и ? по формулам
E.189), E.198), E.199) и E.196), желательно уменьшить, насколь-
насколько возможно, число v2. С точки зрения времени, требуемого для
вычисления и обращения матриц Л и НА -^T, желательно умень-
уменьшить, насколько возможно, как N, так и v2. Так как N — v2 фик-
фиксировано, то число TV может быть минимизировано вместе с v2.
Отсюда делаем вывод, что разрезаемые шарниры следует выби-
выбирать так, чтобы полное число связей в этих шарнирах было мини-
минимальным. Этот критерий, вообще говоря, еще оставляет выбор,
который может быть определен с какой-нибудь другой точки зре-
зрения. И он становится бесполезным, если, например, все шарниры,
подходящие для разрезания, имеют одинаковое число связей.
Иллюстративный пример 5.з На рис. 5.46 показана система, сос-
состоящая из шести тел, пронумерованных от 0 до 5. Тела 0, 2 и 4 яв-
являются одинаковыми, и тела 1, 3, 5 одинаковые. Более того, тело
1 есть зеркальное отображение тела 0. Тела связаны шестью
цилиндрическими шарнирами, пронумерованными от 1 до 6, обра-
образуя замкнутую кинематическую цепь. На оси каждого шарнира
установлены торсионная пружина и демпфер, постоянные коэф-
коэффициенты которых обозначены через ка и da соответственно (а =
= 1, . . ., 6). В положении, показанном на рис. 5.46, в котором
система описывает куб со стороной, равной единице, все пружины
находятся в ненапряженном состоянии. Определить полное число
степеней свободы системы и выписать уравнения движения.
Решение. На первый взгляд не ясно, будет ли вообще система
иметь хоть сколько-нибудь степеней свободы. Для решения этой
части задачи и подготовки к составлению требуемых в конечном
счете уравнений движения разрежем шарнир 6. В результате
получается система со структурой дерева (приведенная система)
с пятью степенями свободы, по одной в каждом из шарниров 1—5.
В телах фиксируем векторные базисы е@), . . ., еE). В конфигура-
конфигурации, показанной на рисунке (называемой кратко кубической кон-
конфигурацией), все векторные базисы ориентированы параллельно
друг другу, а все базисные векторы параллельны ребрам куба.
Введем теперь обобщенные координаты для неразрезанных
шарниров следующим образом. Направления дуг в графе выберем,
как показано на рис. 5.47. При а = 1, . . ., 5 величину qa опреде-

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 235
лим как угол, на который тело i~ (а) поворачивается относительно
тела Г (а) в положительном направлении вокруг фиксированного
в теле базисного вектора, проходящего через ось шарнира а.
В кубической конфигурации все углы д1? . . ., q5 равны нулю.
Для матриц преобразования Ga (а «= 1, . . ., 5), определяемых
соотношением E.85), рис. 5.46 дает выражения (здесь са = cos qa,
E.214)
Разрезанный шарнир имеет одну степень свободы. Следователь-
Следовательно, должно быть записано пять уравнений связей. Их число равно
числу степеней свободы приведенной системы, так что если бы эти
sin
"I
0
_0
Qa
a
)
0
ca
Sa
= 1,
о -
ca_
4
i
~Ca
0
a
0
1
0
2
— «a"
0
5
1
Ca
— sa
0
a
Sa
Ca
0
= 3
0
0
1
7!
Рис. 5.46,;
Замкнутая кинематическая цепь с
шестью цилиндрическими шарнира-
шарнирами. Тело 0 фиксировано в инерциаль-
инерциальном пространстве.
и2
Рис. 5.47
Ориентированный граф
системы, изображенной
на рис. 5.46. В приведен-
приведенной системе разрезан
шарнир 6.
пять связей были независимы, то замкнутая система имела бы
нуль степеней свободы. Три связи следуют из условия, что точка Р5
на теле 5 совпадает с точкой Ро на теле 0 (см. рис. 5.46). Это выра-
выражается уравнением —е{\] — е\ + ехB) + е2C) "+" езD* — е\Ъ) = 0.
Скалярная форма этого уравнения будет наиболее простой, если

236 5- ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
векторы раскладывать в еB) либо в еC). Выбирая #C), получим
Г* Г* Г* \С\ \ СХ\^ \ /"* Г4 \С\ С\ \л^ | л г/| Л /^ктТ 1
\J3\J'2y* \ i^J — J- vyj —у- {jrgUrn \\J \J ~~~* 11 ~t~ Сто II U UI ~r~
+ [0 1 0]T + Gl[0 0 if + GTGJl — l 0 0]T —[0 0 0]T,
или в явной форме
V с* — съ
= 0,
= 0,
= 0.
E.215)
E.216)
E.217)
Оставшиеся две связи выражают требование, что базисные векто-
векторы ехE) и е2E) ортогональны к е3@)- Это означает, что элементы
матрицы G5G^GSG2G1 с индексами A, 3) и B, 3) должны быть нуля-
нулями, или в явной форме
Сь(—c^tfi + *3*i) + *> к(*3% + Cjft) — скс&г] = 0, E.218)
с4 (Wi + c3*i) + 54cacx = 0. E.219)
Полученные пять уравнений связей можно существенно упростить,
если заметить, что они должны быть совместны со следующими
тремя уравнениями связей, которые выполняются в силу сим-
симметрии:
/l = ?3 — ?1 = 0» U = ?5 + & = 0, /3 = ?4 + ?2 = 0.
E.220)
С учетом этих соотношений уравнения E.215) — E.219) можно
привести к виду (в том же порядке)
(sx + sxs2 — s2) сл =0,
(h + V2 — s2) (sx — 1) =0,
0-0,
(*1 + ^2 — «a) A + *1 + hS2) Cx = 0,
(Sx + 5X52 — 52) CXC2 = 0.
Вес уравнения удовлетворяются при условии
/4 = sin qt + sin gx sin q2 — sin g2 = 0. E.221)
Вместе с уравнениями E.220) оно дает четыре независимые связи.
Таким образом, рассматриваемая замкнутая кинематическая цепь
имеет одну степень свободы. Из уравнения E.221) можно извлечь
некоторую важную информацию. Соотношение sin qx — sin qj
/A + sin q2) графически представлено на рис. 5.48. Из условий
| sin qx | -< 1 и | sin g2 | <;i следует, что — 210°<; g^ +3^c
и —30° ^Cq2 ^+210°. Отсюда можно заключить, что система

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 237
будет двигаться без столкновений смежных тел при условии, что
угол у на рис. 5.46 не превышает 30°.
Выпишем далее уравнения движения E.204). Матрицы А и В
для приведенной системы вычисляются по формулам E.171)
и E.172). Так как все шарниры цилиндрические, то эти формулы
совпадают с E.98) и E.99). Все величины, необходимые для их
Рис. 5.48.
Зависимость между дг
и д2, обусловленная свя-
связями в замкнутой кине-
кинематической цепи.
-7
0.5
-0.5
-1
sing2
вычисления, определены. Матрица А имеет пять строк и столбцов.
Остается построить матрицы Я, Ф*7 Ти5*. Матрица Я является
якобианом уравнений связей ft = 0 (i = 1, 2, 3, 4). Она"имеет вид
-1 0+10 0'
+ 1 0 0 0+1
0 +1 0+10
Легко проверить, что Я^имеет полный ранг, равный числу строк
^/Гот ДЛЯ ВС6Х значений ?i- Следовательно, обратная матрица
?r \?OQ\ сУЩествУет- Элементы матрицы вычисляются по формуле
@.198), в которой члены фь . . ., ф4 определяются из E.193)
как часть второй производной *fu не содержащая 'д\, . . ., п5.
В результате получаем
Ф* = -
+ s
2-q\sz (*2 — 1) +
+ 2а [glCl A + s2) + 'q2c2 (Si- 1)] + pa (Si + Sis2-s2).
Матрица ? равна нулю, так как все связи стационарные.
Начальные условия для дг, . . ., Чь и qu . . ., q5 должны удовлет-
удовлетворять всем четырем уравнениям связей, а также уравнению

238 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
E.195). Рассмотрим теперь матрицу В*. В разрезанном шарнире
действует только момент Y6. Следовательно, формула E.213)
имеет вид В* = —pTS* -Ye = — Ye-pTS*. Из рис. 5.47 находим
Г5* = —1П, откуда получаем В* = Y6-pln, и так как/? есть диа-
диагональная E X 5)-матрица с элементами еАA), е2B), е3C), ега), е2E>
вдоль диагонали, то?* = [Y6 -e^Ye -e2B) F6 -е3C)Г6 -e^Ye -e2E)]T.
Момент —Ye действует на тело 0 вокруг оси е3@). Пусть q6 —
угол поворота тела 0 относительно тела 5 вокруг указанной оси
и q6 = 0 в кубической конфигурации. Тогда момент равен —Y6 =
= — №вGб + dQqQ) e3@). Если бы свойства симметрии системы были бы
неизвестны, то q6 и q6 нужно было бы выражать через обобщенные
координаты дг, . . ., q5 и скорости дг, . . ., дъ следующим образом.
Матрица преобразования G6, определяемая соотношением е @) =
— GQe(b\ имеет вид
с6 s6 О"
— Sq Cq О
О 0 1я
Согласно E.210), она связана с обобщенными координатами
дг, . . ., q5 соотношением G6 = {Gfiifi^Gfi-^. Следовательно, g6
находится как арксинус элемента этой матрицы с индексами A, 2).
Вектор д6е3@) дает угловую скорость Q6 тела 0 относительно тела 5.
Формула E.211) связывает ее с обобщенными координатами
и скоростями
•
Полученные выражения для qQ и д6 вз0) должны быть подставлены
в выражение для Y6. В данном случае свойства симметрии позво-
позволяют записать значительно более простые соотношения для ge
и д6. Элемент матрицы GbG^G3G2Gx с индексами B, 1) равен
—c^s3c2 + $4с2или, согласно E.220), — s2, откуда следует qQ = —gv
Следовательно,. —Y6 = (kQq2 + d6q2) e™. Вместе с E.214), E.220)
и E.221) это дает
B*=—{k6q2-{-d6q2) [0 st c{c2 — st 0]T.
Пусть ребро куба на рис. 5.46 равно Z, и пусть тела являются одно-
однородными плотности р. Тогда центр масс тела 0 имеет в е@) коорди-
координаты I [а/А 1/2 —а/4], где через а обозначен tg у. Масса тела 0
равна р/3а2/6, и его центральная матрица инерции в базисе е@)

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 239
имеет вид
а/6
— oV12
а/6
а2/2
а/6
1/3
-а2/12
а/6
4-а2/4
р/5а2/40
Иллюстративный пример 5.4. Составить уравнения движения
стола с тремя ножками, показанного на рис. 5.49,а. На конце
каждой ножки имеется колесо, удерживаемое в вертикальном по-
положении посредством вилки, которая может свободно повора-
поворачиваться вокруг вертикальной оси, фиксированной в ножке (рис.
5.49,6). Предполагается, что колеса находятся в постоянном кои-
Рис. 5.49.
Неголономная система, состоящая из семи тел (а). Каждое колесо установлено
в вилке, которая свободно поворачивается вокруг вертикальной оси в ножке
стола (б).
такте с землей и что они катятся без проскальзывания. Угловая
скорость одного из колес относительно вилки задается как функ-
функция времени Q (t), что приводит к нестационарной связи. Следует
принять во внимание массы как вилок, так и колес.
Решение. Построим сначала приведенную систему, которая
отличается от заданной только тем, что в ней устранены неголо-
номные связи в точках касания колес о землю. Схематичное пред-
представление показано на рис. 5.50,а. Плоскость стола (тело 1}

240 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
связывается с землей (тело 0) трехстепенным шарниром, который
допускает поступательное перемещение плоскости стола в пло-
плоскости, фиксированной в теле 0, и вращение вокруг нормали
к этой плоскости. Соответствующий ориентированный граф изобра-
изображен на рис. 5.50,6.
Фиксированные в телах векторные базисы определим следую-
следующим образом. В телах i = 0, 1, 2, 4 и 6 базисные векторы е<8*>
направлены вертикально вверх. В телах i = 2, 3, 4, 5, 6 и 7 базис-
базисные векторы df) параллельны соответствующим осям колес.
Рис. 5.50.
а — приведенная система для системы, изображенной на рис. 5.49, и б —
ее ориентированный граф.
В телах i = 2, 4 и 6 базисные векторы ё?> направлены, как пока-
показано на рис. 5.49, б. Ориентация остальных базисных векторов
может быть выбрана произвольно.
Введем теперь обобщенные координаты. В шарнире 1 — декар-
декартовы координаты дп и д12 центра стола вдоль ejo) и е^ соответ-
соответственно и угол qls поворота тела 1 относительно тела 0 вокруг е3@).
В шарнирах а = 2, 4 и 6 — угол qal поворота тела i~ (а) (вилка)
относительно тела i+ (а) (тело 1) вокруг е™ . В шарнирах а = 3,
5 и 7 — угол qal поворота тела i~ (а) (колесо) относительно тела
i+ (а) (вилка) вокруг e{j~(a)). Координаты gn, q12, ql3 равны нулю
для некоторого произвольно определенного положения тела 1,
а <7зъ #5ъ Ян равны нулю для некоторых произвольно определен-
определенных положений колес относительно вилок. Координаты q21, q^, qQ1
равны нулю, когда базисные векторы ё$* , е{^ и е^ направлены
радиально от центральной вертикальной оси стола.
Одна из девяти степеней свободы системы исключается неста-
нестационарной связью, согласно которой угловая скорость Q (t) одного
колеса, скажем тела 3, относительно его вилки (тело 2) является
заданной функцией времени. Это означает, что qsl = Q (t), q31 =
= Q (t) и q31 = \ Q (t) dt + const являются известными функ-

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 241
циями времени. Формула E.116) для шарнира 3 принимает вид
й3 = pso (?) = Q (t) e(\\ Это означает, что в третий столбец матри-
матрицы/?, определяемой формулой E.126), ничего не входит (п3 = 0),
в то время как матрица р0 в E.129) имеет вид [0 0 р30 0 0 0 0]т.
С описанными таким образом величинами и при заданных
числовых значениях размеров тел, их масс и моментов инерции
матрицы А и В из E.171) и E.172) для приведенной системы явля-
являются полностью определенными функциями восьми независимых
Рис. 5.51.
Кинематика узла «вил-
«вилка—колесо»»
Центр тела 1
координат gn, g12, g13, q2i, An Q5n 2ei, ?7i» их первых производных
по времени и времени t. Уравнения для полной системы, включаю-
включающей неголономные связи, имеют форму уравнений E.204).
Матрицы Я, Ф* и W определим теперь из уравнений связей.
Эти уравнения, которые необходимо составить в первую очередь,
имеют форму уравнений E.184). Достаточно рассмотреть только
одно колесо, скажем тело 3. Для двух других колес уравнения
получаются перестановкой переменных. На рис. 5.51 показаны
тела 1, 2 и 3, базис отсчета е@), фиксированный в инерциальном
пространстве, базисные векторы базисов еA>, еB) и еC\ фиксиро-
ванные в телах, углы qls и q21, скорости дцв[°\ q-i^e^ и угловые
• • • •
скорости qi^s\ (?21ез0) и #3iei3)- Величина qsl позднее будет заме-
заме) К
р qi^s (?21з #3ii qsl уд
нена на Q (t). Кроме того, указаны величины 7, R и а, которые
определяют расположение оси вилки и центра колеса. Радиус
колеса обозначен через г. Связи требуют, чтобы абсолютная
скорость v точки контакта колеса о землю не имела компонент
вдоль е[2) и ef22). Из рисунка следует выражение для v:
16-0603

242 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Определение скалярных произведений v -ef} и v-е^\ которые
оба должны равняться нулю, является делом простой алгебры.
Искомые уравнения связей имеют вид
gi = qn sin (#13 + #21 + 7) — qi2 cos (#l3 + q2i + 7) —
— #13 (R cos q2i + a) — q2ia = 0,
g2 = qit cos (qi3 + q2i + y) + qi2 sin (qi3 + q2i + 7) +
+ qiSR sin #21 + qSir = 0.
Для получения уравнений связей gt = 0 (i = 3, . . ., 6) для дру-
других колес нужно заменить 7 на 7 + 120° и 7 4 240° соответствен-
соответственно и q21, #31 на #4i> #5i и Qei, #71 соответственно. Далее #3i заменяется
на Q (t), так что уравнения связей содержат восемь обобщенных
скоростей. Член Q (t) r в g2 является функцией а2 из E.184).
В F X 8)-матрице Н каждая строка соответствует одному урав-
уравнению связи и содержит в качестве элементов коэффициенты
при всех восьми обобщенных скоростях #п, #12, #i3> #2i> #4i> #51?
#61 и #71- Матрица Ф* определяется формулой E.199). Члены
ogt (i = 1, . . ., 6) уже известны. Оставшиеся члены Ф^ (i =
= 1, . . ., 6) находятся из E.194) как те части функций gt, которые
не зависят от вторых производных обобщенных координат. Напри-
Например, первые два элемента матрицы Ф* имеют вид
Ф* = #11 (#l3+#2l) COS (#13+#21 + Y)+?12 (#l3+#2l) X
X sin (#13+#2i+Y) + #i3#2i# sin #21 + agu
• • • " • • •
ф* = — #11 (#13 + #21) sin (#13 + #21 + 7) + #12 (#13 + #21) X
X COS (#13 + #21 + 7) + #13#2l^ COS #21 + Qr + Gg2.
Матрица W в уравнении E.195) равна [0 Q(t) г 0 0 0 0]т. ¦
Иллюстративный пример 5.5. Антропоморфная фигура, состо-
состоящая из десяти тел (голова, туловище, руки и ноги, образован-
образованные из двух тел каждая), совершает движение в плоскости. Угол
Фг между базисным вектором ех, фиксированным в инерциальном
пространстве, и базисным вектором е{{\ фиксированным в теле ?,
используется в качестве обобщенной координаты, описывающей
ориентацию тела i (i = 1, . . ., 10). Все углы равны нулю, когда
фигура находится в вертикальном положении, ступни составлены
вместе, колени и локти вытянуты. Составить дифференциальные

5. 3. СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ С ЗАМКНУТЫМИ ЦЕПЯМИ 243
уравнения для фазы движения, в которой обе ноги опираются на
землю на расстоянии L друг от друга. На рис. 5.52 показаны эта
система, нумерация тел и размеры ног1).
Решение. Разрежем шарнир между передней ногой и землей.
Получившаяся приведенная система со структурой дерева имеет
шарниры только цилиндрические, и одно из ее тел связано с внеш-
внешним телом, движение которого задано (внешнее тело представляет
Рис. 5.52.
Плоская антропоморфная
фигура с опорой на зем-
землю на две ноги.
собой землю и покоится в инерциальном пространстве). Плоское
движение приведенной системы описывается уравнением E.37).
В разд. 5.2.8 было показано, что уравнения движения из разд. 5.2.3
имеют частный вид общих уравнений, полученных из принципа
Даламбера. Для уравнений E.37) этот принцип имеет вид
Уравнения связей учитываются обычным образом. Следовательно,
уравнения для полной системы, изображенной на рис. 5.52, запи-
записываются в виде (ср. уравнение E.204))
Ф = А-1 [Q — Ят (НАг*Нту*
Ф*)],
где
+ SY+
г) С целью проверки была написана ФОРТРАН-программа численного
интегрирования уравнений E.173) для антропоморфной фигуры в общем
случае пространственного движения. Колени и локти предполагались цилин-
цилиндрическими шарнирами, тазобедренные и плечевые суставы — шаровыми
шарнирами и шея — шарниром с пятью степенями свободы, допускающим
поступательное движение головы перпендикулярно верчению. Исследовалось
движение по отношению к ускоряющемуся вагону.
16*

244 5. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
Матрицы ф, Л, В, S, Y и Я в этом уравнении те же, что в уравне-
уравнении E.37). Матрица J5* соответствует внутренним силам и момен-
моментам (отличным от сил и моментов реакций связей) в разрезанном
шарнире. Матрицы Н и Ф* определяются связями в разрезанном
шарнире. При помощи величин, определенных на рис. 5.52, эти
связи записываются в виде
4 4
/i= 2 JftSin<Pft = O, /2= — 21 kcosq>fc + L = 0.
k=i fe=l
Матрица Я размером B X 10) содержит ненулевые элементы
только в первых четырех столбцах. Они имеют вид
[ZA COS (jp! Z2COS92 ^2 C0S Фз ^l COS
Z4 sin ц>1 Z2 sin Ф2 h sin Фз ^i sin
Матрица-столбец Ф* состоит из двух элементов, которые в соот-
соответствии с E.198) равны
4
Ф*= 2
fci
Ф* = 2 h I - (Р2 - к) cos Ф^ + 2афь sin Фл]
ь1
5.4. Заключительные замечания
Содержание разделов 5.2.1 и 5.2.4, представленное в этой
главе, в развернутой форме изложено впервые. Оно составляло
предмет работы [1] Роберсона и Виттенбурга. Одновременно ту
же задачу исследовали Хукер и Марголис [20]. Эти две группы
ученых знали о попытках друг друга. Но ни одна из групп не
знала того, что Фишер [21] на шестьдесят лет раньше уже рас-
рассматривал эту же задачу. Его книга «Введение в механику живых
механизмов» содержит все результаты разделов 5.2.2 и 5.2.4, в част-
частности понятие дополненных тел.
Однако Фишер развивал другой подход. Он не применял поня-
понятия теории графов, и вместо оперирования с абсолютными угло-
угловыми скоростями определял набор углов Эйлера для каждого
тела и прошел через трудную процедуру составления уравнений
Лагранжа, выписывая член за членом все векторные и тензорные
произведения в скалярной форме. Его окончательные уравнения
были настолько длинными, что в явной форме он выписал их
только для системы двух тел с шаровым шарниром, расположенным
на главных осях обоих тел. Однако он владел уравнениями для

5. 4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 245
общих систем со структурой дерева и с шаровыми шарнирами и фак-
фактически применил их в задаче о ходьбе человека. В книге Фишера
можно найти также физические интерпретации, указанные после
формул E.29) и E.59). Обнаружил эту раннюю работу Роберсон
в 1967 г.
Хукёр [22] первым показал, как выводить скалярные уравне-
уравнения движения для систем со структурой дерева и с цилиндриче-
цилиндрическими шарнирами. Роберсон [23] сделал первую попытку рассмот-
рассмотрения систем, в которых движение смежных тел относительно
друг друга не является чисто вращательным. Лилов и Виттенбург
[24] при ведущей роли первого автора применили для вывода
уравнений движения принцип Даламбера. Боланд, Самен и Вил-
лемс [25] сделали тоже самое, однако они ограничили исследова-
исследование линеаризованными уравнениями. Подход, использующий прин-
принцип Даламбера, открывает дорогу к рассмотрению замкнутых
кинематических цепей так, как это было сделано в разд. 5.3.
В этой книге рассматриваются только системы твердых тел
и только точные нелинейные уравнения движения. Однако разви-
развитый здесь метод служит отправным пунктом также для исследо-
исследования систем, состоящих из связанных нетвердых тел. Типичными
примерами систем, в которых нужно принимать во внимание дефор-
деформируемость тел, являются легкие конструкции космических кораб-
кораблей с вращающимися антеннами и солнечными панелями. Вклад
в этой области сделали Ликине [26], Ликине и Флейшер [27],
Боланд, Самен и Виллемс [25, 28], Фриш [29] и др. Идея заклю-
заключается в применении к деформируемым телам метода конечных
элементов и в такой трактовке шарнирных координат, которая
была опиеана в этой главе. Для комбинации малоизменяющихся
переменных, описывающих деформацию тел, и шарнирных пере-
переменных, подверженных большим изменениям, Ликине ввел тер-
термин «гибридные координаты».
Следует указать, что существуют и некоторые другие попытки
рассмотрения систем многих тел [30—35]. Однако ни один из этих
методов не является столь общим, как описанный в этой главе.
Обзор различных методов дан Рено [35], который сам разработал
процедуру, ориентированную на численный счет и основанную
на уравнениях Лагранжа, для систем со структурой дерева и с вра-
вращательными и поступательными степенями свободы в шарнирах.

6. Задачи удара в голономных системах
многих тел
Предыдущая глава была посвящена математическому описанию
непрерывного движения системы многих тел. В противоположность
этому в настоящей главе исследуется случай, в котором система
испытывает разрывные изменения скоростей и угловых скоростей.
Такие явления имеют место, когда система многих тел соударяется
с другим телом или с другой системой многих тел или когда два
тела одной и той же системы соударяются друг с другом. Типичные
примеры приведены на рис. 6.1. Реальные физические процессы,
происходящие во время удара, весьма сложны. Чтобы представить
Рис. 6.1.
Соударение между двумя системами (а) и внутри одной системы (б).
задачу в виде, удобном для математического описания, необходимо
сделать некоторые упрощающие предположения. Будут ли они
приемлемыми, нужно решать в каждом конкретном случае при-
применения основанного на них формализма. Эти предположения
касаются динамического поведения тел под действием импульсив-
импульсивных сил и, в частности, явлений, происходящих в непосредствен-
непосредственной окрестности точки соударения. Здесь они такие же, как и в клас-
классической постановке задачи удара двух абсолютно твердых тел.
Кроме того, делаются некоторые предположения о природе связей
в шарнирах, которые не выходят за рамки предыдущей главы.

6.1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ 247
6.1. Основные предположения
Относительно поведения тел постулируется, что удар происхо-
происходит за столь короткий промежуток времени At, что при матема-
математическом описании возможна идеализация At ->- 0. Это означает,
что распространение волн деформаций и напряжений в телах
не учитывается, так как такие процессы требуют конечного пери-
периода времени. Следовательно, все тела системы во время удара
рассматриваются как абсолютно твердые. Ввиду конечности ско-
скоростей и угловых скоростей, положения и угловые ориентации тел
в течение бесконечно малого времени удара остаются неизменными.
Пружины, демпферы и другие подобные элементы в шарнирах
не играют никакой роли, так как они создают силы и моменты конеч-
конечной величины, интегралы от которых по времени от t0 до t0 + At
при бесконечно малом промежутке времени At равны нулю. Раз-
Разрывные изменения скоростей и угловых скоростей могут вызы-
вызываться только импульсивными силами. Сила F (t) называется
o
импульсивной, если интеграл \ F (t) dt стремится при At -> 0
to
к конечной величине F. Чтобы это было возможно, величина F (t)
должна стремиться к бесконечности на интервале от t0 до t0 -f- At
при At ->¦ 0. Величина F называется импульсом. Импульсы дей-
действуют в точке соударения, а также в шарнирах с кинематическими
связями. Аналогично определяется импульсная пара как предел
интеграла от импульсивного момента.
После этих замечаний об упрощающих предположениях, касаю-
касающихся поведения тел, обсудим некоторые идеализации процессов,
происходящих в точке соударения. В объеме, окружающем эту
точку, происходят упругие и (или) пластические деформации.
Предполагается, что этот объем имеет бесконечно малые размеры,
так что предыдущие предположения об абсолютно твердом теле
и о бесконечно коротком времени удара не нарушаются. Будем
различать два случая.
Случай (i). Деформации идеально пластические, и непосред-
непосредственно после удара соударяющиеся тела имеют в точке соударения
нулевые относительные скорости.
Случай (ii). Импульсивные силы взаимодействия между соуда-
соударяющимися телами направлены нормально к общей касательной
плоскости в точке соударения, т. е. между телами отсутствует
трение.
Случай (ii) охватывает целое семейство случаев в зависимости
от того, будет ли деформация тел чисто пластическим сжатием

248 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
или за фазой сжатия последует фаза полного или частичного
восстановления. Пусть Fc — импульс, с которым одно из соударяю-
соударяющихся тел действует на другое в течение фазы сжатия. Определим
параметр е, называемый коэффициентом восстановления и равный
отношению импульса в фазе восстановления к Fc. Тогда полный
импульс за время удара будет равен
F=(l + e)Fc. F.1)
Параметр е равен нулю при чисто пластическом сжатии и единице
при чисто упругом. Для промежуточного случая он находится
в пределах 0 < е < 1.
Как уже говорилось, пружины и демпферы в шарнирах между
телами не влияют на конечные приращения скоростей и угловых
скоростей за время удара. Важны только кинематические связи,
так как они вызывают в шарнирах внутренние импульсы и импульс-
импульсные пары. В этой главе мы ограничимся рассмотрением только
голономных связей. Они имеют общую форму
/ (?i, • • ., ft, t) = О,
где д1? . . ., qs — произвольные обобщенные координаты. Диф-
Дифференцирование по времени дает
V df n 4 df О
Производные df/dqt (i = 1, . . ., s) и dfldt представляют собой
в общем случае функции от дх, . . ., qs и t. Так как эти переменные
постоянны в течение удара, то будут постоянными и указанные
производные. Выписывая последнее уравнение для моментов непо-
непосредственно после удара и непосредственно до удара и вычитая
результаты, получаем
где Aqt (i = 1, . . ., s) — конечные приращения обобщенных ско-
скоростей дь . . ., qs за время удара. Это уравнение показывает, что
любая голономная связь приводит к линейному однородному урав-
уравнению с постоянными коэффициентами относительно приращений
скоростей за время удара. Уравнение F.2) применимо только
при выполнении следующих условий. Во-первых, в шарнирах
не должно быть люфта. Во-вторых, шарниры не должны деформи-
деформироваться под действием внутренних импульсов и импульсных
пар, которые возникают во время удара. Наконец, не допускается

6. 2. МГНОВЕННЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 249
потеря кинетической энергии в шарнирах во время удара. Это
приводит, в частности, к требованию отсутствия сухого трения.
Как уже было сказано выше, эти условия не выходят за рамки
условий, лежащих в основе результатов предыдущей главы.
6.2. Мгновенные приращения скоростей
При предположениях предыдущего раздела задача удара сво-
сводится к определению двух групп механических величин. В пер-
первую группу входят мгновенные конечные приращения интересую-
интересующих нас скоростей. Среди них могут быть первые производные
от обобщенных координат, а также угловые скорости тел и ско-
скорости центров масс и других фиксированных в телах точек. Вторая
группа включает внутренние импульсы и импульсные пары в шар-
шарнирах с голономными связями, а также импульс в точке соуда-
соударения. Нахождение явного решения для указанных величин
начнем с отыскания кинематического соотношения для двух фикси-
фиксированных в телах соударяющихся точек. Мы различали два слу-
случая соударения. Для идеально пластического удара (случай (i))
кинематическое соотношение тривиально. Пусть vi и v2 — абсо-
абсолютные скорости двух фиксированных в телах соударяющихся
точек непосредственно перед ударом и Avx и Av2 — конечные
приращения этих скоростей в результате удара. Условие, что
относительная скорость соударяющихся точек непосредственно
после удара равна нулю, имеет вид
К + Ai>i) - (v2 + Av2) = 0. F.3)
Это и есть искомое соотношение для случая (i). Теперь рассмотрим
случай (п). На рис. 6.2 точка соударения обозначена через Р.
Для данных рассуждений не имеет значения, принадлежат ли
соударяющиеся тела различным системам или одной и той же
системе многих тел. Не имеет значения также, сколько смежных
тел связано шарнирами с соударяющимися телами. На рис. 6.2
для каждого из двух тел указано только по одному смежному телу.
Разрежем все шарниры, а также материальный контакт соударяю-
соударяющихся тел в точке Р. В результате получим набор изолированных
тел, каждое из которых во время удара подвергается импульсам
и импульсным парам в точках, где были сделаны разрезы. Тела
действуют друг на друга с импульсами, равными по величине
и противоположными по направлению. На рис. 6.3 показано одно
из соударяющихся тел со всеми импульсами и импульсными
парами, которые действуют в фазе сжатия. В точке соударения
приложен импульс Fc = Fcn. Единичный вектор п перпендикуля-
перпендикулярен к касательной плоскости в этой точке. Импульсы и импульсные

250 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
пары, действующие в разрезанном шарнире, эквивалентны одному
импульсу Xе, направленному к центру масс С тела, и одной
импульсной паре Yc. Величины Fc, Xе и Yc равны предельным
значениям (при Af -> 0) интегралов
*о+А/с to + Atc to-hAtc
\ F(t)dt, f X(t)dt и \ Y(t)dt,
U to t0
где Af— промежуток времени, соответствующий фазе сжатия.
Величины F (t), X (t) и Y(t) суть импульсивные силы и моменты,
Рис. 6.2. Рис. 6.3.
¦Соударение двух тел, которые связаны с дру- Распределение импульсов и
гими телами посредством |шарниров Н. импульсных пар при выде-
выделении одного из соударяю-
соударяющихся тел, изображенных
на рис. 6.2.
величины которых конечны, пока Af конечно. Закон Ньютона
и теорема о моменте количества движения для тела имеют вид
mvc=Fc(t) + Xc(t), Jco + cox J(o-pxFc (t) + Y° (t). F.4)
Интегрирование no t от t0 до t0 + At0 в пределе при Af -> 0 дает
mAvcc = Fz + X\ J.Ao)c = pxFJ + Fc F.5)
(член со X J -co конечен, и в пределе интеграл от него равен нулю).
Величина Avcc представляет собой конечное приращение абсолют-
абсолютной скорости vc центра масс тела в фазе сжатия. Аналогично
Ао)с есть приращение абсолютной угловой скорости в фазе сжатия.
Точка приложения импульса Fc также испытывает приращение
скорости, равное
c xp. F.6)
Это кинематическое соотношение, справедливое для абсолютно
твердого тела, применимо в данном случае, так как скорость дефор-

6. 2. МГНОВЕННЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 251
мации тела в начале и в конце фазы сжатия равна нулю. Аналогич-
Аналогичные уравнения справедливы и для другого соударяющегося тела,
показанного на рис. 6.2. В частности, они определяют приращение
скорости Avr2 точки тела, совпадающей с Р. В конце фазы сжатия
две фиксированные в телах соударяющиеся точки имеют скорость
относительно друг друга, компонента которой вдоль единичного
вектора п равна нулю. Это можно выразить в форме
[К + До?)-(в2 + Дв5)] •» = <), F.7)
где vx и v2 — абсолютные скорости двух указанных точек непо-
непосредственно перед ударом. Динамические уравнения F.5), а также
кинематические уравнения F.6) и F.7) являются линейными урав-
уравнениями с постоянными коэффициентами и неизвестными прира-
приращениями скоростей, импульсами и импульсными парами. Это позво-
позволяет сделать заключение, что для всех этих неизвестных существуют
соотношения типа F.1). В частности, Дг^ = A + е) Л^и Ди2 =
= A + е) kv% суть приращения скоростей двух соударяющихся
точек тел между моментами времени непосредственно до удара
и непосредственно после него. С учетом этих соотношений преды-
предыдущее уравнение принимает вид
или
[(vt + Avi) — (v2 + Av2)].n = —e{vi — v2)-n. F.8)
Величина в левой части уравнения есть компонента вдоль п отно-
относительной скорости двух соударяющихся точек тел непосредственно
после удара. Она равна аналогичной величине непосредственно
перед-ударом, умноженной на —е. Это и есть искомое кинемати-
кинематическое соотношение для случая (ii). Оно имеет ту же простую
форму, как в классической теории соударения двух абсолютно
твердых тел (ср. Раус [36]).
Теперь мы имеем простую процедуру определения всех инте-
интересующих нас приращений скоростей, которые возникают при
соударении двух систем многих тел или при соударении двух
тел одной и той же системы многих тел. Эти два случая снова пока-
показаны на рис. 6.4,а,б. Соударяющиеся тела снабжены номерами
к а I. Точки соударения тел определяются фиксированными
в телах векторами pft и pj, проведенными из их центров масс.
Импульс взаимодействия F, которым обмениваются тела, является
неизвестной величиной. Она должна определяться вместе с при-
приращениями скоростей. Импульсы, приложенные к соударяющимся
телам, равны по величине и противоположны по направлению.
Положения и скорости всех участвующих в процессе тел непо-
непосредственно перед ударом считаются известными. Пусть Avk

252 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
и Avt — приращения абсолютных скоростей фиксированных
в телах соударяющихся точек. Как было показано, приращения
скоростей связаны с импульсами линейными соотношениями
с постоянными коэффициентами. Эти коэффициенты не могут быть
скалярами, так как из равенства Av^ = aF со скаляром а следо-
следовало бы, что Avk имеет направление вектора F. В общем случае
Рис. 6.4.
Соударение между дву-
двумя системами (а) и между
двумя телами, принад-
принадлежащими одной и той
же системе (б).
это, конечно, неверно. Наиболее общая линейная функция от век-
вектора есть скалярное произведение этого вектора на тензор, как,
например, член J-Ao)c в F.5). Тогда соотношения для Avk и Avt
при соударении двух систем многих тел запишутся в виде
Лг, =\Jbb'F
F-9)
и для соударения внутри одной системы многих тел в виде
F.10)
Тензоры XJkk, \Jki, \Jik и \]ц пока не определены. Они посто-
постоянны и зависят только от состояния системы (или систем) непо-
непосредственно перед ударом. Как они определяются, будет показано
ниже. Допустим на время, что они известны. Предположим, что
соударяются две системы (рис. 6.4,а) и удар идеально пласти-
пластический. Последнее предположение означает, что справедливо соот-
соотношение F.3) с заменой индексов 1 и 2 соответственно на к и Z.
Откуда с использованием F.9) получаем
или
Чтобы разрешить это уравнение относительно F, запишем его
в координатной форме, разлагая все тензоры в некоторой общ^й

6. 2. МГНОВЕННЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 253
системе отсчета, например в базисе е@) тела 0. Тогда получим
матричное уравнение
со скалярной C X 3)-матрицей Uhk + Uц и со скалярными
матрицами-столбцами F, vk и vi. Решение в рассматриваемом
случае идеально пластического удара двух систем многих тел
имеет вид
^ Hvk-vt). F.11)
Обратная матрица существует, если существует единственное реше-
решение для F, т. е. если задача имеет физический смысл. Используя
это выражение для импульса взаимодействия, приращения ско-
скоростей Дрь и Avi можно получить по формулам F.9). Наконец,
можно определить все остальные интересующие нас приращения
скоростей, так как они тоже представляются линейными функ-
функциями от F. Коэффициенты этих функций, конечно, еще подлежат
определению, что будет сделано ниже. Если удар двух систем
многих тел не является идеально пластическим, но отсутствует
трение, то вместо соотношения F.3) нужно взять F.8). Неизвест-
Неизвестный импульс F имеет направление единичного вектора п, и поэтому
можно записать F = Рп. Подставляя это выражение и F.9) в F.8),
получим
(vh — vi)-n + Fn- (Ufcfc + U и) •n=—e(vk — vl)-n.
Таким образом, в случае удара двух систем многих тел при отсут-
отсутствии трения скалярная величина вектора F выражается соот-
соотношением
Рассуждения, проведенные сейчас для случая соударения систем
многих тел, полностью переносятся на случай соударения внутри
одной системы многих тел. Тогда формулы F.9) заменяются соот-
соотношениями F.10), и результат в случае идеально пластического
соударения внутри одной системы многих тел принимает вид
t= -(Ubb-U_ki-Uik + Uii)-l(}Lh-vi) F.13)
и в случае соударения внутри одной системы многих тел при
отсутствии трения вид

254 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
Определим теперь тензоры Uftfe, Vhb Ujft и U^, а также
все другие тензоры, которые связывают приращения скоростей
с импульсами. Для указанных выше задач было бы достаточно
рассмотреть одну систему многих тел, в которой на два различ-
различных тела к и I одновременно действуют импульсы F и —F. Этот
случай показан на рис. 6.4,6. В частности, он включает в себя
случай, представленный на рис. 6.4,а, где в системе многих тел
приложен только один импульс. Однако, имея в виду задачи,
которые будут рассматриваться далее, остановимся сейчас на более
общей ситуации.
Предположим, что одновременно действующие импульсы при-
приложены не только к двум, но и ко всем п телам системы многих тел.
Импульс, приложенный к телу i (i = 1, . . ., п), назовем Ft.
Он приложен в точке, расположение которой определяется фикси-
фиксированным в теле вектором рь проведенным из центра масс Ct
Рис. 6.5.
Система, в которой к каж-
каждому телу приложены
один импульс и одна им-
импульсная пара.
тела i (рис. 6.5). Для еще большей общности предположим, что
каждое тело i в то же самое время подвержено импульсной паре
Mt (i = 1, . . ., п). В качестве мотивировки такой постановки
задачи, наверное, достаточно будет сказать, что некоторые из этих
импульсов и импульсных пар в дальнейшем будут интерпрети-
интерпретироваться как внутренние импульсы и импульсные пары в раз-
разрезанных шарнирах. Уравнения, которые нам предстоит вывести,
будут служить также для определения и этих неизвестных величин.
Искомые соотношения для приращений скоростей можно полу-
получить из дифференциальных уравнений непрерывного движения
системы многих тел. С этой целью предположим, что входящие
в эти уравнения внешние силы и моменты суть импульсные силы
и моменты, которые действуют в течение интервала времени At.
Предположим также, что их интегралы по времени от t0 до t0 + At
в пределе при At -+ О равны указанным выше импульсам и импульс-
импульсным парам. Тогда искомые соотношения получаются интегриро-
интегрированием дифференциальных уравнений на интервале времени At
в пределе при At —>- 0. Этот способ уже использовался при выводе
F.5) из F.4). В качестве наиболее общей системы дифференциаль-

6. 2. МГНОВЕННЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 255
ных уравнений движения возьмем систему E.204):
g = Л {В + 5* —Ят (НА^Н^)-1 [ЯЛ (В + В*) + Ф*]}. F.15)
Она справедлива для систем с замкнутыми цепями. Для систем
без замкнутых кинематических цепей матрица Я отсутствует,
и уравнения имеют более простую форму:
? = Л
где 5* соответствует замкнутым некинематическим цепям. Вхо-
Входящие в F.15) матрицы определяются формулами E.171), E.172),
E.213), E.189) и E.201). Внешние силы и моменты, действующие
на тела системы, входят только в матрицу В. Ее можно предста-
представить в виде
—рГ.^, F.16)
где Во — сумма всех членов, которые не зависят от внешних
сил и моментов. Матрицы коэффициентов при F и М определены
в предположении, что линия действия силы Ft, приложенной
к телу ?, проходит через центр масс Ct этого тела (см. рис. 5.11),
Однако в данном случае мы должны рассматривать силы Fiy
приложенные в точках, определяемых векторами р; (рис. 6.5),
Чтобы формулу для В приспособить к этому случаю, нужно
к Mt добавить момент рг X Ft. Матрица-столбец [рх X Fx . . .
. . . рп X Fn]T, состоящая из этих моментов, запишется в виде
р X F, где F — та же матрица, что и в F.16), а р — диагональная
(п X тг)-матрица с элементами
Pij = 6иРь *, / = 1, . . ., п.
В формуле F.16) заменим М на М + р X F. В силу тождества
рТ -р X F = р X Тр -F, матрица В принимает вид
Д = Д0+{рхП(С + 2)Г —р] —fcT}.F —рГ.^. F.17)
Подставляя это выражение в уравнение F.15), получим
] X
Матрица-столбец Вх заключает в себе все члены, которые не зави-
зависят от внешних сил и моментов. Она зависит от обобщенных коор-
координат системы, обобщенных скоростей и времени и, следовательно,
конечна во все моменты времени, даже в момент, когда система
подвергается удару. Это значит, что интеграл от матрицы Вг

256 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
в пределах от t0 до -t0 + At при Д^->0 в пределе равен нулю.
Матрицы коэффициентов при F и М зависят от обобщенных коор-
координат и времени, но не от обобщенных скоростей. Поэтому при
интегрировании уравнений движения на интервале от t0 до t0 + At
в предельном случае At -+ О их можно рассматривать как кон-
константы. Интегрирование дает
X {{?X T^[{C + ty? — p] — Jtf}J — p^. Щ. F.18)
При отсутствии в системе замкнутых кинематических цепей соот-
соотношение F.18) имеет более простую форму:
Ag = ?-i{{pXr[(C + Z)r-pJ-fer}.F-pr.M}. F.19)
Это и есть искомое соотношение между приращениями обобщенных
скоростей и внешними импульсами Fu . . ., Fn и импульсными
парами Мх, . . ., Йп. Теперь несложно определить приращение
любой другой скорости в системе. Например, из формулы E.130),
связывающей абсолютные угловые скорости тел с q, следует
Аналогично из уравнения E.158) после интегрирования и пере-
перехода к пределу при At —>- 0 получаем
Дг = [рхГ(С + ^)^-ЛЛтД?. F.21)
Матрица-столбец в левой части содержит приращения абсолютных
скоростей центров масс тел. Наконец, можно определить прира-
приращения Avf (i = 1, . . ., п) скоростей точек приложения импуль-
импульсов. Кинематические соотношения
Avt = Агг — рг х Дю*, i = 1, . . ., л, F.22)
запишем в матричной форме:
Дг = Дг-рхДсо. F.23)
Здесь матрица р та же, что в F.18), a Av — матрица-столбец
{Av± . . . Avn]T. Используя формулы F.21) и F.20) для Дг и До),
получим
Av = {p х Т [(C + Z) Т-р]-кТ}тАд7 F.24)

6. 3. АНАЛОГИЯ С ЗАКОНОМ МАКСВЕЛЛА И БЕТТИ 257
или с учетом F.18)
A?=U/F + y.df, F.25)
где U и V—тензорные матрицы:
U = {^ X ?[(C + Z) T-p\-bTf [А-'-АгШт {НА^Н^НАг*] X
F.26)
(рТ). F.27)
Матрица U сопряженно симметрическая, т. е. ее элементы удов-
удовлетворяют условию IJji = \Jtj (U^j — тензор, сопряженный по
отношению к игу) при i, j = 1, . . ., и. Для самой матрицы U это
условие можно ,выразить в символической форме UT = U. Если
в рассматриваемой системе нет замкнутых кинематических цепей,
то члена А'1 Нт (НА-1 Нт)-гНА-1 в центральной матрице в фор-
формулах для U и V не будет.
Вернемся теперь к задаче соударения между двумя телами,
принадлежащими либо двум различным системам, либо одной
и той же системе многих тел. Определим сначала тензоры Ufeft,
XJki, \]lh и Ulh входящие в F.11) — F.14). Они были введены
в формулах F.9) и F.10) как элементы матрицы коэффициентов
в соотношении, связывающем AvvlF. Следовательно, они являются
элементами определенной выше сопряженно симметрической мат-
матрицы U. Если соударяются два тела одной и той же системы многих
тел, то все четыре коэффициента являются элементами матрицы U
для этой системы. Если же соударяющиеся тела к и I принадлежат
к двум различным системам, то матрица должна вычисляться
для каждой системы в отдельности. Одна матрица содержит Vkk,
а другая U ц. Зная эти тензоры, импульс взаимодействия F можно
определить по одной из формул F.11) — F.14). В этом случае
будет известна также матрица F в соотношении F.18). Матрица
М равна нулю. Уравнение F.18) дает приращение скоростей Дд.
Затем из F.20), F.21) и F.24) получаем До), Дги Др. Таким обра-
образом вычисляются все интересующие нас приращения скоростей.
6.3. Аналогия с законом Максвелла и Бетти
Продолжим сейчас обсуждение общей задачи, в которой
импульсы и импульсные пары действуют на все тела. Если выра-
выражение F.18) для Aq подставить в F.20), то До) преобразуется
17-0603

258 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
к виду
Матрица коэффициентов при F является сопряженной и транспо-
транспонированной по отношению к матрице V из F.25), т. е. ее элементы
(VT)ij равны Yjt. Тензорная матрица W имеет вид
W = (pTf [A-i-AriHr (НА-*Н*)-*1Ы-*] (рТ). F.28)
Подобно U она является сопряженно симметрической. Если
объединить уравнения для Аи и До) в виде
Аи
До)
VT
V
W
F.29)
то матрица коэффициентов в правой части также является сопря-
сопряженно симметрической. Перейдем к координатной записи этого
уравнения, которая получается, если все векторы и тензоры заме-
заменить соответствующими матрицами координат, измеренными в об-
общей системе отсчета. Тогда соответствующая (бтг X 6тг)-мат-
рица коэффициентов будет симметрической. Эта симметрия уста-
устанавливает аналогию между динамикой твердых тел и эластостати-
кой х). В эластостатике рассматривается следующая задача. Линей-
Линейно-упругая структура, находящаяся в состоянии равновесия, под-
подвергается действию сил и пар в точках Рх, . . ., Рп\ в каждой
точке Pt действуют одна сила Ft и одна пара Mt. Существует
линейное соотношение вида
" " " F.30)
Н-
Матрицы-столбцы F, М, и и <р образованы из п векторов каждая.
Матрицы F = [F1 . . . Fn]T и М = [Мг . . . Мп]Т содержат соот-
соответственно силы и пары, и — перемещения точек Рх, . . ., Рп
из их положений в ненагруженном состоянии и ф — углы пово-
поворота системы в точках Рх, . . ., Рп (углы малых поворотов могут
рассматриваться как векторы). Закон Максвелла и Бетти утверж-
утверждает, что в соответствующем координатном представлении урав-
уравнения F.30) матрица коэффициентов является симметрической.
Это значит, что тензорная матрица коэффициентов является сопря-
сопряженно симметрической, т. е. Ап = Атх, А21 = A?j, А22 = AJ2.
Следовательно, это уравнение аналогично F.29). Аналогия про-
х) Эта аналогия была описана впервые в работе [37]. В ней исследование
ограничивалось системами со структурой дерева и соотношением Av =
= U-F.

6. 3. АНАЛОГИЯ С ЗАКОНОМ МАКСВЕЛЛА И БЕТТИ 259
является не только в том, что матрицы коэффициентов в обоих
уравнениях оказываются сопряженно симметрическими. Суще-
Существует также тесное соответствие между векторными величинами,
входящими в матрицы-столбцы. Лучше всего это можно показать,
выписывая определение импульса, импульсной пары, прираще-
приращения скорости и приращения угловой скорости в виде
Ft(t)dt,
> = lim j
(t) dt,
Ai-0
dt
.)¦
ВеличиныFt, Mt, ut и (pt в этих соотношениях суть силы, моменты,
перемещения и углы поворота в системе многих тел, которые
определяются точно так же, как одноименные величины в упругой
Рис. 6.6.
Система под действием
двух импульсов и им-
импульсных пар.
системе. Отметим, однако, следующее различие между рассмат-
рассматриваемыми двумя задачами. Закон Максвелла и Бетти выводится
из рассмотрения энергии. Такой подход не позволяет получить
в замкнутой форме выражение для матрицы в уравнении F.30).
В действительности это выражение в замкнутой форме никогда
не известно, за исключением простейших типов упругих структур
(например, ферма). В противоположность этому для матрицы
в уравнении F.29) выражение в замкнутой форме было получено
в виде формул F.26) — F.28), которые охватывают все голоном-
ные системы многих тел.
Покажем сейчас, что энергетический подход, который приводит
к закону Максвелла и Бетти, можно перефразировать в полностью
аналогичной форме так, чтобы доказать, что матрица в F.29)
является сопряженно симметрической. Достаточно рассмотреть
следующую задачу. В произвольной голономной системе многих
тел к двум произвольно выбранным телам, помеченным номе-
номерами 1 и 2, прилагаются импульсы Fj и F2 в точках Рх и Р2 соот-
соответственно (рис. 6.6). В то же самое время тела 1 и 2 подвергаются
также действию импульсных пар Мг и М2 соответственно. Модули
импульсов и импульсных пар будем обозначать через Ft и Mt
(i = 1, 2) соответственно. Точка Pt (i = 1, 2) испытывает при-
приращение скорости. Алгебраическую величину компоненты этого
приращения в направлении Ft обозначим через Др,-. Аналогично
17*

260 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
До- (i = 1, 2) обозначает алгебраическую величину компоненты
вдоль Mt приращения абсолютной угловой скорости тела i. Ука-
Указанные скалярные величины связаны соотношением
Av9
_ Дсо2_
«11 «12 «13 «14
«21 «22 «23 «24
«31 «32 аЗЗ «34
т Я41 «42 «43 «44 _
м
2 —
F.31)
причем предполагается, что относительно матрицы коэффициентов
ничего неизвестно. Нужно показать, что коэффициенты удовлетво-
удовлетворяют условиям симметрии
«?У = ази I, / = 1, 2, 3, 4. F.32)
Этим будет показано также, что матрица в F.29) является сопря-
сопряженно симметрической, так как соотношение F.31) выполняется
для произвольных точек приложения Рг и Р2, а также для про-
произвольных направлений импульсов и импульсных пар. Справед-
Справедливость условий F.32) будет показана в результате сопоставления
выражений для работы, получающихся в двух экспериментах.
Первый эксперимент состоит в следующем. Импульс F± и импульс-
импульсная пара Д/х заменяются соответственно импульсивной силой Fx
и импульсивным моментом Мг, которые имеют конечную величину,
постоянны и действуют в течение конечного интервала времени
от t0 до t0 + Д*. Непосредственно вслед за ними от tQ + At
до tQ + 2Д? действуют импульсивная сила F2 и импульсивный
момент М2, конечные по величине и постоянные; они заменяют
F2 и М2. Силы и моменты выбираются так, чтобы их интегралы
по времени на соответствующих интервалах интегрирования длины
Д? были равны соответствующим заданным импульсам и импульс-
импульсным парам. Для их модулей получаем соотношения
На рис. 6.7,а показана функция vx (t). Она является алгебраиче-
алгебраической величиной компоненты вдольРх абсолютной скорости точки Рг.
В момент t = t0 она имеет определенное заданное начальное зна-
значение v1Q. В пределе при Д/ —>~ 0 ее значения в моменты t = t0 +
+ At и t = t0 + 2Д^, согласно F.31), равны у10 + «n^i +
+ а13М1 и v10 + a11F1 + «i3^i +«12^2 + «14^2 соответственно.
Кусочно-линейная зависимость vx от времени будет соблюдаться,
если на всем интервале от tQ до t0 + 2Д^ положение системы
остается неизменным. Чем меньше Д?, тем более точно выпол-

6. 3. АНАЛОГИЯ С ЗАКОНОМ МАКСВЕЛЛА И БЕТТИ 261
няется это условие. На рис. 6.7,6 начерчена аналогичная
диаграмма для величины у2. Кроме того, существуют еще две
такие диаграммы для % и со2. Заштрихованные площади пред-
представляют перемещения точек Р± и Р2, вдоль которых совер-
совершают работу силы Fx и F2 соответственно. Работа, совершаемая
tg+2At
Рис. 6.7.
Скорость vi точки Pi в направлении Ft в первом эксперименте (ух на а и v2
на б). Заштрихованные площади представляют перемещения, вдоль которых
силы Ft совершают работу.
конечными моментами, может быть представлена аналогичным
образом на диаграммах для щ и со2. Полная работа, совершаемая
на интервале времени от t0 до tQ + 2Д?, равна
Wi=Fl[v10+
J AH_Mt [
Ю10
i) j
Мг [що +
В пределе при Д?->0 эта работа равна
Wi = FiVi0 + F2v20 + Mt(oi0 i
Г (п
[ (^21
@42^2 + 044^2) ]
2 J"
Во втором эксперименте система находится в том же самом
начальном состоянии яри t = tQ и затем подвергается тем же
самым конечным силам и моментам, как и в первом эксперименте.
Однако на этот раз тела нагружаются в обратном порядке, т. е. F2
и М2 действуют от t0 до t0 + Д?, а Fx и М1 от ?0 + Д* Д° ^о +

262 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
+ ?. Работа, совершаемая при таком процессе, в пределе при
At —>¦ 0 равна
W2 = /^о + F2U20 + Mt(Oi0 + М>20 +
2
Из принципа суперпозиции, применимого здесь в силу линей-
линейности F.31), следует равенство работ W1 и W2, которое приводит
к уравнению
М2) + Мх (a32F2 + а^М2) =
- F2 {a2iF, + a23M,) + М2
Четыре величины Fx, F2, Mx и М2 не зависят одна от другой.
Приравнивая две из них нулю для всех возможных комбинаций,
получим требуемые соотношения симметрии F.32) для всех комби-
комбинаций индексов (i, /), кроме A, 3) и B, 4). Для того чтобы охва-
охватить и эти комбинации, необходимо рассмотреть еще два экспе-
эксперимента, в которых импульсивные силы и моменты приклады-
прикладываются в иной последовательности. Доказательство закончено 1).
При записи соотношения F.31) предполагалось, что тела 1 и 2
различны. Однако, как оказывается, это предположение не играет
никакой роли в приведенном доказательстве. Поэтому можно
провести дальнейшее обобщение уравнения F.29), чтобы охватить
также следующий случай. На каждое тело i (i = 1, . . ., п) голо-
номной системы многих тел действуют одновременно одна импульс-
импульсная пара Мг и vt ^> 0 импульсов Ftl, . . ., Fiv.. Импульсы при-
прилагаются в различных точках, положения которых определяются
фиксированными в теле векторами р^, . . ., р^- На рис. 6.8
в качестве примера показано тело к с vk = 2 импульсами. При-
Приращения абсолютных скоростей точек приложения импульсов
обозначим через Дгг1, . . ., Ар^ (^ = 1, . . ., п).
Введем матрицы-столбцы
t* = [Fu .. ¦ FiVl F2i ... F2V2 Fni ... FnVn]T,
Д^* = [Avn ... A»1Vl A»2i • • • At>2v2 Arnl ... AvnVn] .
*) Способ манипулирования с импульсами и конечными импульсивными
силами, действующими в течение конечного интервала времени, в этом дока-
доказательстве, а также в других местах этой главы недостаточно строг с мате-
математической точки зрения. Для строгости рассуждений следовало бы приме-
применить теорию распределений. Однако изложение элементов этой теории выхо-
выходит за рамки^книги.

6. 3. АНАЛОГИЯ С ЗАКОНОМ МАКСВЕЛЛА И БЕТТИ 263
п
Каждая имеет а= 2 vt элементов. Матрицы M = [Mi ... Мп]т
г=1
и Д(о = [А(о1 ... Асогг]т определяются, как и раньше. Из соотно-
соотношений F.32) следует,4 что матрица коэффициентов, связывающая
матрицы-столбцы
также является сопряженно симметрической. Явное выражение
этой матрицы можно получить простой модификацией цепочки
Рис. 6.8.
Тело с двумя импульса-
импульсами, приложенными в
различных точках.
рассуждений, которая ведет от уравнения F.15) к F.29). В фор-
формуле F.17) для В матрица F принимает вид
Произведение [p X T(C + Z) T—kT]-F, обозначенное через PF,
можно переписать в виде произведения P*-F* матрицы-столбца
F2i ...F2V2
ni
состоящей из а элементов, и (п X а)-матрицы Р*, имеющей
структуру
F.33)
Ht ][]•¦¦[] [][]•¦¦[]]
-раз 1-й столбец
матрицы Р
раз п-й столбец
матрицы Р
Матрица М в F.17) заменяется суммой
JPni X ^ш + • • . + Pnvn X FnVr7_

264 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
которая может быть записана в виде M-]-p*xF*, где р* — квази-
квазидиагональная (п х а)-матрица:
Рн • • • Pivil О
| Р21 • • * P2V2
IPni ••• Pnvn
В этих обозначениях формула F.17) принимает вид
Тогда вместо F.18) получим
F.34)
Формулы F.20) — F.22) остаются неизменными, в то время как
F.23) заменяется соотношением
Дг* = Дг*—р*т х До) F.35)
(знак транспонирования в формуле F.23) не требовался, так
как матрица р диагональная). Матрица-столбец Лг* имеет вид
Ar* = [Art ... Дг, ... Дг„... Агп]т.
раз
vn раз
Из F.21) и F.33) следует
Подставляя это выражение, а также} выражения для Аю и Ад
в F.35), получим
где
U* = (Р*—р х Гр_*)т [А-1 -
V* = (Р*-р X Гр*)т [Ar'-
и До принимает вид
НА~1] (Р* — р х

6. 3. АНАЛОГИЯ С ЗАКОНОМ МАКСВЕЛЛА И БЕТТИ 265
Матрица W та же, что в F.28). Формулы для Av* и Ао>
объединяются в единой записи:
(в-36>
Это и есть желаемая обобщенная форма уравнения F.29). Матрица
коэффициентов снова сопряженно симметрическая.
Иллюстративный пример 6.1. Точка Р2 твердого тела, изобра-
изображенного на рис. 6.9, вынуждена двигаться по прямолинейной
направляющей. В точке Рл тело подвергается действию задан-
заданного импульса F±. Точки Р± и Р2 определяются фиксированными
Направляющая
Рис. 6.9.
Одно тело со связью и
внешним импульсом,
приложенным в точке Р1%
в теле, проведенными из его центра масс векторами рг и р2 соот-
соответственно. Определить импульс F2 реакции, действующей на тело
со стороны направляющей в точке jP2, приращения скоростей
Av± и Av2 точек Рг и jP2, а также приращение угловой скорости Ло>.
Решение. Вместо применения формулы F.36) к рассматривае-
рассматриваемому простому случаю выведем требуемое соотношение из основ-
основных уравнений динамики твердого тела. Повторение шага преоб-
преобразований от F.4) к F.5) в данном случае приводит к уравнениям
где М = 0. Кинематические соотношения имеют вид
Avt = Avc — pi x До), i = l, 2.
После разложения всех указанных соотношений в некоторой общей
системе отсчета получим выражения координатных матриц для
векторов Део, Av± и Av2:
* = 1, 2,

266 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
или в матричной форме (Е — единичная матрица)
Pl_ Pi
-ъгъ
-1-
—
т — —.— —
4гё-Ы-Ъ
— —
-ы-
— *—
Асо
Это соотношение представляет собой скалярную запись уравне-
уравнения F.36). Матрица коэффициентов симметрическая.
Если для разложения векторов и тензоров использовать базис,
изображенный на рис. 6.9, с базисным вектором ех, ориентиро-
ориентированным вдоль направляющей, то рассматриваемые матрицы-
столбцы принимают вид
[Avn Avi2 Avi3 Av2 0 0 Acoj Дсо2 Асо3]т
t^ii Fi2 F13 О F22 F23 О 0 0]т.
Подчеркнутые величины неизвестны. Они легко определяются
из указанного матричного уравнения. ¦
6.4. Внутренние импульсы и импульсные пары
в шарнирах
До сих пор наше внимание было сосредоточено на приращениях
скоростей, которые система испытывает в момент удара. Осталь-
Остальную часть этой главы мы посвятим исследованию внутренних шар-
шарнирных реакций, которые возникают в шарнирах системы многих
тел в момент удара. Для этой цели разъединим тела системы,
проводя разрезы через все шарниры. Внутренние импульсы
и импульсные пары в шарнире а заменим эквивалентной системой,
состоящей из одного внутреннего импульса Ха и одной внутрен-
внутренней импульсной пары Уа. Линия действия Ха проходит через
шарнирную точку шарнира а. Примем соглашение о знаках
из разд. 5.22. Оно устанавливает, что -\-Ха и + Ya действуют
на тело Г (a), a —Ха и —Ya — на тело i~ (а). Теперь задача
сводится к определению Ха и У а для всех шарниров. На рис. 6.10
изображены два смежных тела после того, как через шарнир а
между ними проведен разрез и приложены указанные импульсы
и импульсные пары. В разд. 5.2.9 аналогичным образом были

,6. 4. ВНУТРЕННИЕ ИМПУЛЬСЫ 267
определены внутренние шарнирные силы Ха и моменты Ya для
непрерывного движения. Величины Ха и Ya связаны с ними
соотношениями
Ы-+0
to+M
Xa(t)dt, Fa=lim f Ya(t)dt,
где Д? — интервал времени соударения. Эти соотношения сейчас
будут фактически использоваться для определения внутренних
шарнирных импульсов и импульсных пар.
Задача становится особенно простой, если исследуемая система
многих тел имеет структуру дерева. В этом случае для непрерыв-
непрерывного движения были получены явные формулы для шарнирных
Рис. 6.10.
Распределение импуль-
импульсов и импульсных пар в
двух смежных телах пос-
после разъединения. В шар-
шарнирной точке внутрен-
внутренний шарнирный импульс
Ха приложен к телу
i+ (а) со знаком плюс и
к телу i~ (а) со знаком
минус.
сил Ха и шарнирных моментов Ya (а = 1, . . ., п). Они имеют
вид уравнений E.180). Интегрирование этих уравнений в смысле,
определенном выше, непосредственно дает
—F), r-
F.37)
Вместо Дг и Дсо в F.37) должны быть подставлены их выражения
F.21) и F.20). Полученные в результате соотношения представ-
представляют собой окончательное решение задачи. Предположим, напри-
например, что соударяются два тела к и Z, принадлежащие одной и той же
системе со структурой дерева. Выше было показано, как опре-
определяются импульс взаимодействия F в точке соударения, прира-
приращения скоростей Аг и приращения угловых скоростей Дсо. С уче-
учетом этих результатов все величины в правых частях соотношений
F.37) будут известны. Матрица Й равна нулю. В матрице F к-й эле-
элемент равен -{-F, 1-й элемент равен —F и все остальные элементы
равны нулю.
Более сложной оказывается задача определения внутренних
импульсов и импульсных пар, если в исследуемой системе многих
тел имеются замкнутые кинематические цепи, как в случае, пред-

268 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
ставленном на рис. 6.И,а. Тогда для внутренних шарнирных сил
и моментов, возникающих в процессе непрерывного движения,
нет явных формул типа E.180). Следовательно, задача не разре-
разрешается простым интегрированием. Вместо этого решение нахо-
находится следующим образом. Из данной системы выделяется при-
приведенная система со структурой дерева. Для этой цели разре-
разрезаются те шарниры, при устранении которых ликвидируются
Точка соударения
Рис. 6.11.
а — система с замкнутыми цепями, в которой два тела соударяются друг
с другом; б — все тела и шарниры пронумерованы. В разрезанных шарнирах
8, 9 и 10 и в точке соударения показаны внутренние импульсы и импульсные
пары. Движение тела 0 задано. Структура системы и ее граф те же, что на
рис. 5.44.
все замкнутые кинематические цепи. Сначала внутренние шарнир-
шарнирные импульсы и импульсные пары определяются только для раз-
разрезанных шарниров. После того как эти величины будут известны,
внутренние импульсы и импульсные пары для шарниров приведен-
приведенной системы можно найти по формулам F.37). Матрицы-столбцы
F и М образуются теперь из импульса взаимодействия F в точке
соударения (+F и —F, если соударяются два тела, принадлежа-
принадлежащие одной системе), а также из импульсов и импульсных пар для
разрезанных шарниров. Каждая из последних величин прило-
приложена к двум смежным телам с противоположными знаками.
Следующее обсуждение касается только первой части задачи,
т. е. определения внутренних импульсов и импульсных пар в раз-
разрезанных шарнирах. Пометим эти шарниры номерами п + 1, ...
. . ., п + тг*, как в разд. 5.3, а внутренние импульсы и импульс-
импульсные пары обозначим соответственно через Ха и Ya для а = п + 1,
. . ., п + тг*. В качестве иллюстрации на рис. 6.11,6 показана
приведенная система для системы, изображенной на рис. 6.11,а.
Все тела пронумерованы. Два соударяющихся тела подвержены
действию известных импульсов -\-F и —F соответственно. При-

6. 4. ВНУТРЕННИЕ ИМПУЛЬСЫ 269
ращения скоростей точек приложения импульсов -\-F и —F также
известны. Разрезаны три шарнира с номерами 8, 9 и 10. Внутрен-
Внутренние импульсы и импульсные пары в этих шарнирах показаны схе-
схематически. На тело 0, движение которого задано, действующие
импульсы не оказывают влияния (представим себе, например,
что оно обладает бесконечной массой).
В разрезанном шарнире а (а = п + 1, ..., п + п*) должно
выполняться определенное число уравнений голономных связей.
Каждое уравнение связи требует для своей физической реализа-
реализации одного внутреннего импульса или импульсной пары с опре-
определенной величиной и направлением. Из этого следует, что каж-
каждая из шести координат, которые Ха и Ya имеют вместе в некоторой
системе отсчета, может быть представлена как линейная комби-
комбинация такого числа неизвестных величин, сколько имеется уравне-
уравнений связи в шарнире а. Иными словами, это значит, что найдется
столько независимых линейных соотношений между шестью коор-
координатами, сколько степеней свободы имеется в шарнире а. Сле-
Следующие три примера показывают, как эти соотношения находятся
фактически.
Первый пример: предположим, что разрезанный шарнир
номер 8 на рис. 6.11,а является шаровым. В качестве шарнирной
точки выбирается геометрический центр шарнира. Шарнир имеет
три степени свободы. Следовательно, существуют три скалярных
соотношения. Они записываются в виде F8 = 0, или более под-
подробно щ-Ys = 0, n2-Y8 = 0 и n3-Y8 = 0, где пг, /г2 и /г3 — три
любых некомпланарных вектора (например, базисные векторы
некоторой системы отсчета, в которой все уравнения записываются
в координатной форме для численного счета). Второй пример:
предположим, что разрезанный шарнир номер 9 на рис. 6.11,а
относится к типу, показанному на рис. 5.34,6. В качестве шарнир-
шарнирной точки выберем точку на его оси. Двум степеням свободы соответ-
соответствуют два соотношения п-Х9 = 0 и /г-У9 = 0, где п — вектор, на-
направленный вдоль оси шарнира. Третий пример: предположим, что
разрезанный шарнир номер 10 на рис. 6.11, а относится к типу,
показанному на рис. 5.34, д. Смежные тела контактируют в един-
единственной точке, которая является точкой пересечения двух направ-
направляющих, причем каждая из них фиксирована на одном из тел
(предполагается, что удар вызывает прижатие направляющих друг
к другу, так что разъединение исключается). Выберем одно из тел
в качестве тела i~ (а) и произвольную точку этого тела в качестве
шарнирной точки. Вектор, проведенный из шарнирной точки
в точку контакта направляющих, обозначим через 6. Пусть, кроме
того, к1 и к2 — векторы, направленные вдоль касательных к направ-
направляющим в точке контакта (один вектор для каждой направляющей).
Шарнир имеет пять степеней свободы. Соответствующие пять соот-

270 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
ношений имеют вид кг -Х10 = О, к2 -Х10 = 0 и Y10 — Ь X Х10 = 0.
Последнее соотношение эквивалентно следующим трем:
7ii'(Yi0-bxXt[0) = nrYi0 — nixb.Xi0 = 0, i = l, 2, 3,
где пг, п2 и п3 — любые некомпланарные векторы.
Общее число голономных связей для всех разрезанных шарниров
в соответствии с разд. 5.3.2 обозначим через vv Тогда 6/г* — vx
есть общее число степеней свободы во всех разрезанных шарни-
шарнирах и, следовательно, общее число только что описанных скаляр-
скалярных соотношений. Все эти соотношения можно объединить в единой
форме:
7 =0,
-Y*
F.38)
где матрица К имеет 6м* — vx строк и 2п* столбцов, а второй сомно-
сомножитель представляет матрицу-столбец 1Хп+1 . . . Хп+п* Yn+l . . >
. . . Yn+n*]T. Как показывают рассмотренные выше примеры, эле-
элементы матрицы К являются векторами. К этим соотношениям
следует добавить v1 уравнений связей. Каждое уравнение связи
записывается в виде уравнения F.2). Все vx уравнений можно
объединить в форме одного уравнения:
?0, F.39)
в котором В '— матрица Якоби, известная из E.189) (заметим,
что в отсутствие неголономных связей v2 = v2). Два уравнения
F.38) и F.39) заключают в себе 6л* скалярных уравнений. В каче-
качестве неизвестных они содержат бгс* скалярных координат векто-
векторов 1аиУа(а = ге + 1, . . ., п + w*)J и, кроме того, общее коли-
количество N приращений скоростей в матрице Д#. Следовательно,
необходимо иметь еще N скалярных уравнений относительно
тех же неизвестных. Они содержатся в матричном уравнении F.34),
где матрица Н в данном случае равна нулю (приведенная система
имеет структуру дерева). Подставляя F.34) в F.39), получим
ЯЛ"Ч(Р* —pxrp*).F» —рГ.^] = 0. F.40)
Матрицы F* и М образованы из неизвестных Ха, Yа {а = п-\- 1, ...
. . ., п + и*) и известных импульсов F. Например, для систем
на рис. 6.11,6 эти матрицы имеют вид
;/?* = [0 0 -Х8 +Х8 +F +Xi0 -Z10 -F T
М=[0 0 -F8 +Y8 +Yi0 -Yi0 -Y91T.
Уравнения F.38) и F.40) определяют все неизвестные.

6. 4. ВНУТРЕННИЕ ИМПУЛЬСЫ 271
Иллюстративный пример 6.2. Цепь, состоящая из одиннадцати
одинаковых звеньев с шаровыми шарнирами, покоится на гори-
горизонтальном столе. Звенья представляют собой однородные стержни
длиной Z, массой т и центральным моментом инерции т12/12
относительно вертикальной оси. Угол между смежными телами
Рис 6.12.
а — материальная точка ударяется в цепь; б — приращения скоростей
Аиг, . . ., Ai?n центров масс тел и мгновенные центры скоростей Р1, . . .
. . ., Рп; в — четыре последовательных положения цепи через одинаковые
промежутки времени; в точке Р тела 1 и 7 соударяются, что приводит к новым
начальным условиям для последующего движения.
равен 9я/10 для всех пар смежных тел, так что цепь описывает
полуокружность с центром в точке О (рис. 6.12,а). В центр чет-
четвертого звена ударяется материальная точка массы т, движущаяся
со скоростью v перпендикулярно к этому звену. Соударение

272 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
идеально упругое. Необходимо определить скорости центров масс
и угловые скорости всех звеньев непосредственно после удара.
Последующее движение цепи должно быть определено численным
интегрированием уравнений движения. Предполагается, что между
столом и цепью трение отсутствует и что в шарнирах не действуют
никакие внутренние моменты.
Решение. Рассматриваемая система принадлежит к виду, кото-
который был охарактеризован как система со структурой дерева
и шаровыми шарнирами, не связанная с внешним телом, движение
которого задано как функция времени. Ее уравнения движения
были выведены в разд. 5.2.4. Они состоят из одного уравнения
п
гс = (\1М) 2 Fj (n = 11) движения центра масс системы и урав-
.7=1
нений E.61) движения относительно центра масс. Для данного
случая плоского движения уравнения E.61) принимают специаль-
специальную форму E.62). Угол фг- (i = l, . . ., п) измеряется в плоскости
движения между базисным вектором е[1\ фиксированным в теле ?,
и базисным вектором ег инерциальной системы отсчета. Ориента-
Ориентация этих базисных векторов выбрана, как показано,' на рис. 6.12,а.
Начало базиса е расположено в точке О, вектор ех совпадает по
направлению с v, а е{^ имеет направление продольной оси тела i.
При этих условиях все векторы 6гу (/ = 1, . . ., п) в теле i парал-
параллельны е^\ так что $tj = 0 при i, j = 1, . . ., п. Внутренние
моменты не действуют в шарнирах (Ya = 0). Внешний момент,
действующий на тело ?, равен р^ X Ft, где р^ — вектор, проведен-
проведенный из центра масс тела i в точку приложения силы Ft. В фазе
движения, следующей за ударом, внешние силы не действуют
(F. = 0), так что уравнения движения принимают видгс = гс (?0) +
- t0) г с (to)
Ф1
• •
_Фп_
+ Ё.
_фп_
= 0.
F.41)
Начальные значения rc (t0) и ср* (?0) при i = 1, . . ., п опреде-
определяются из рис. 6.12,af в то время как начальные значения rc (t0)
и фг- (^0) при i = l, . . ., п являются результатом решения первой
части задачи. Для этой части задачи уравнения движения записы-
записываются в более общей форме:
А
.Фп.
Ф?
.Фп.

6. 4. ВНУТРЕННИЕ ИМПУЛЬСЫ 273
где
Матрицы А и В имеют элементы
А -
— Mb tjb л cos ((pi — q>j), 1Ф) \ i, / =
So. = — ЛГЬ^ЬЯ sin (cp, — ф;), J
Для определения импульса взаимодействия F в точке соударения,
а также приращений скоростей и угловых скоростей служат фор-
формулы F.12), F.18), F.20) и F.21). Величина F была определена
как импульс, действующий на тело к. Пусть это будет четвертое
звено цепи. Следовательно, тело I — материальная точка. Значит,
vk = 0 и Vi = v. Вектор п, перпендикулярный к касательной
плоскости в точке соударения, совпадает с е±. Коэффициент вос-
восстановления е равен 1. Тензоры Ufefe и \]ц определяются соотно-
соотношениями F.9). Для материальной точки это соотношение имеет
простую форму Avt = —Flm. Следовательно, \]ц = Е/т, где
Е — единичный тензор. Тогда F.12) принимает вид
Тензор XJkk является элементом с индексами D, 4) матрицы U
из F.26), записанной для цепи. В силу специального характера
системы формулу F.26) можно сильно упростить. Выражение для
U получено из двух соотношений. Одно есть результат интегри-
интегрирования уравнений движения (переход от F.15) к F.18)), другое —
кинематическое соотношение F.22). В рассматриваемом случае
интегрирование уравнений движения дает
где
На систему действует только один импульс F4 = Fe±. Он прило-
приложен в центре масс тела 4 (р4 = 0). Следовательно, полученные
соотношения сводятся к соотношениям
АгС1 = 4", ДгС2 = 0, 4Дф=-/^, F-43)
1/2 18-0603

274 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
где матрица-столбец Q имеет элементы Qt = bik sin <рг (i = 1,
. . ., ri). Кинематическое соотношение F.22) заменяется выра-
выражением
A(di х р*, i = l, ..., п
(Rt — вектор, проведенный из центра масс системы в центр масс
п
тела i). Тождество Rt = 2 &ki (CM« E.54)) дает
ft-i
п
Avt = Arc+ 2 A(dkx(bki + 8kipk), i = lf ..., д. F.44)
В рассматриваемом случае нужна только одна компонента Аик1
приращения скорости точки приложения импульса F в направ-
направлении вектора е±. С учетом равенства р4 = 0 получим
п
или Av/il = ArCi — ^тАф, где Q — та же матрица-столбец, что
в F.43). Подстановка формул F.43) дает
Сравнение с F.9) показывает, что скалярная величина, стоящая
в скобках, равна члену e1«Uftft«e1, который нужен для F.42).
Следовательно,
^F.45)
l/m+l/M + Q^A-^Q
После этого определяются также АгС1 = F/M и Дф = —FA^Q.
Численные результаты приведены в таблице.
В дополнение к отношениям АгС1/и и Аф^/у затабулированы
. . . .
также Агп/ииАг12/и. Величины Artl и Ari2 суть координаты в базисе
е приращений скоростей центров масс тел. Они вычислены по фор-
формуле F.44) при рг = 0.
На рис. 6.12,6 стрелки показывают величину и направление
скоростей центров масс всех тел непосредственно после удара.
Приведенные в таблице данные позволяют построить мгновенные
центры скоростей Рг, . . ., Рп всех тел. Они удовлетворяют усло-
условию, что прямая, соединяющая мгновенные центры скоростей
любых двух смежных тел, проходит через шарнирную точку между
этими телами.

6. 4. ВНУТРЕННИЕ ИМПУЛЬСЫ 275
Если бы вся масса цепи была сосредоточена в одной точке,
то импульс взаимодействия был бы равен F = 2v/(l/m + ИМ).
Действительный импульс взаимодействия F можно представить
в виде F = 2v/(l/m + ИМ*). Это соотношение определяет кажу-
7 = 1.323 mv,
ЛгС1 = 0.1189 v
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
—0.0070
—0.3716
0.9185
—0.0133
—0.9460
0.3384
—0.0269
0.0561
0.0239
0.0249
0.0257
0.1132
—0.0391
0.2474
0.6774
0.2209
—0.0920
0.0370
0.0377
0.0464
0.0425
0.0311
0.0837
0.1958
0.1630
0.0211
—0.1250
—0.1717
—0.0831
—0.0674
—0.0287
—0.0049
0.0173
щуюся массу М* системы. Сравнение с F.45) дает ИМ* =
= ИМ + QTA~1Q. Матрица А является положительно опре-
определенной, так что М* <^ М. В рассматриваемом случае М* —
= 1.952 т. Если вычисления повторить для случая, когда матери-
материальная точка ударяется не в четвертое, а в i-e тело (? = 1,2, . . .)—
всегда в центре масс и перпендикулярно к телу,— то получим
следующие результаты:
М*/т
1
1.173 1.761 1.892 1.952 1.979 1.987
Кажущаяся масса системы всегда много меньше действительной
массы М = 11 т и, за исключением случая i = 1, слабо зависит
от расположения точки соударения.
Численное интегрирование уравнений F.41) с только что полу-
полученными начальными данными для гС1 и cpj (i = 1, . . ., п) дает
движение цепи после удара. На рис. 6.12,в цепь показана в пяти
положениях через равные промежутки времени. В четвертом поло-
положении конечная точка тела 1 соударяется с телом 7 в точке Р.
Это соударение вызывает мгновенные изменения всех угловых
скоростей (но негс), которые могут быть вычислены по формулам,
18*

276 6. ЗАДАЧИ УДАРА В ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМАХ МНОГИХ ТЕЛ
подобным использованным выше. Детали мы оставляем читателю.
С полученными новыми начальными условиями численное инте-
интегрирование может быть продолжено до следующего соударения. ¦
Задачи
6.1. Неизвестные внутренние импульсы и импульсные пары в разрезан-
разрезанных шарнирах были получены нами из уравнений F.38) и F.40). Однако урав-
уравнения связей F.40) можно заменить другим множеством уравнений связей,
выраженных в приращениях скоростей точек приложения неизвестных
импульсов и приращениях угловых скоростей тел. Выпишите эти уравнения
для системы, изображенной на рис. 6.11, предполагая, что разрезанные
шарниры имеют свойства, определенные в примерах, данных для уравне-
уравнения F.38).
6.2. Солнечные панели космического корабля, изображенного на
рис. 6.13, раскрываются под действием торсионных пружин в цилиндриче-
цилиндрических шарнирах. Отдельные тела рассматриваются (условно) как твердые.
Когда смежные тела достигают конечного угла разворота, их движение (одно
Рис. 6.13.
Космический корабль с
раскрывающимися сол-
солнечными панелями. Изо-
Изображен момент удара в
шарнире 6. Шарниры 2
и 5 еще разворачивают-
разворачиваются, в то время как шар-
шарнир 7 уже достиг своего
конечного состояния.
относительно другого) мгновенно прекращается (идеально пластический удар).
Предполагается, что эти удары происходят по одному за раз. Определить
конечное приращение угловой скорости центрального тела 1, вызываемое
одним ударом.

Ответы на задачи
1.1. Я;;3;Г О
13; Г
L
(г); 0; Ars; Asr\
О ег
-ел О
1.2. (ас-Ь)и = 2 2 aHcik-bhj= 2 2 air
"hi
2 2
Ik
1.4. Если р и #—произвольные векторы, для которых py^q — d, то
У21>
D22=?TcE—ccT =
1?* эта F X 6)-матрица является симметрической.
2.1. Вычислите Л21 по формуле B.2) и подставьте результат в соотноше-
соотношения B.15) и B.16)..
2.3. Неизменно связанный с телом вектор с матрицей координат гB)
в е<2> имеет в ее1) матрицы координат Л12 (фх) г<2), Л12 (ф2) Л12 (фх) гBТ и
Л12 (фд) Л12 (ф2) Л12 (фх) г^2) после первого, второго и третьего поворотов
соответственно, где
1 0 0
)J 0 сг
Lo -Sl Cl-
С3
0 0
Л" (ф2) Л1» (фх)]т есть
с2 0 —s2
0 1 0
_s2 0 с2
¦ 0 0 —1-
0 1 О
.—1 0 0
для первых двух систем углов и равна единичной матрице для третьей
системы.

278 ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ
2.4. Условием является о> _L vp. Точки с равными нулю скоростями лежат
на мгновенной оси вращения. Она имеет направление вектора о> и проходит
через точку с радиус-вектором р = о> X i?p/oJ относительно точки Р.
2.5. Рассмотрим выражение (v± — vs) X (v2 — vs) = [o> X (rx — r3)] X
X (v2 — vs), которое следует из соотношения B.25). Оно равно o>*(i?2 — Рз) *
• (ri — гз) — <*> (ri — гз) * {v2 — ^з)« Первый член равен нулю, так как
v2 — vz= <& X (г2 — г3). Поэтому
Ш__(Р1 —р8)Х(р8 —р8)
(^з — ri)-(P2 — Рз) '
Числитель уже имеет желаемый вид. Для преобразования знаменателя вос-
воспользуемся свойством твердого тела, согласно которому (г3 — r^fo — г3) =
= const. Отсюда получаем
(^з — ^.(га — г8) + (Рв — Pi)-^— r9) = 0.
Следовательно,
(^'3 — fi)-(P2— Ps)= (^з— ^-(Ра — р8) — [(г8—^-(га — р») +
+ (^з— Pi)*^—г8)],
или
2 (f8— Г!).(г2 — vs) = (г8 — ^-(га — г8) — (г8 — Pi)-(ra — гг) =
= Pi-^2 —'•з) + *V(r*3 — П) + Рз-(^1 — ''г)-
Эта задача заимствована из статьи Харламова [38].
з
2.6. Положим xj^qf — qj (; = 0, ..., 3). Тогда 2 (д;' + ^.-1и
j=0 j=0
2.7. A21 = A3 В2 А2 В1 А1. Матрицы Л3, Л2 и Л1 являются теми же
самыми, что и в соотношениях B.4), а
"" cos a sin а О"
— sin а cos а О
I— 1 0 0 "I
Б2= 0 cos P —sin P ,
L 0 sin P cos Р _|
0 0
Из равенства © = Л3 Б2 Л2 Б1 [ф! 0 0]т + Л3:В2[0 ф2 0]т + [0 0 ф3]т сле-
следует, что
т 1
] =Т7Т7Х
ф2
: c2s3.
С(х (S2S3 — С2С353) С2ССС<
(с. = cos ф^, s^ = sin ф? (г = 1, 2, 3), а са, eg, sa, sp = cos a, cos p, sin a, sin p
соответственно). Случай, когда с2 = 0 (плоскости рамок совпадают), являет-
является критическим.

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ 279
3.1. Lc= Jco>, Lp== Jp
o>.
3.2. Тело должно представлять собой бесконечно тонкий диск, наклонен-
наклоненный под углом 45° к вектору е$ и содержащий базисный вектор еа.
3.4. См. *онец иллюстративного примера 5.3.
3.5. Если Р—точка контакта, то гс = —Ъ sin (рег — (R — b cos ф) е2,
*р = — R(p2e2, Jp-o> = [/c+w (#2 + Ь2 —2/?Ьсозф)]фе3, ю= "<pe8, Д?р =
= — mg& sin фе3, Отсюда получаем
[JC+ m (R2 + b2 — 2Rb cos <р)] ф + тпЯЬф2 sin ф + mgft sin ф = 0.
При использовании других полюсов вводятся в рассмотрение силы реак-
реакции в точке контакта и их исключение из теоремы об изменении момента коли-
количеств движения производится с учетом теоремы об изменении количества
движения.
3.6. zp — OP1 — c sin ф вц где c = a/sina, 6яр==с cos
zp = c ( фсоэф
Отсюда получаем
—ф2 sin ф)«?1, zc = zp+ cpe^X rc — (p2rc, Мр = аХ F2.
cos 2ф_2сгссоз ф sin (ф + a —Р)]} —ф2тс [с sin ф cos ф-j-
4.1. /2(о2 = (/3 — A) tt^o^i <i 0» если
\s2 YJ2 (D-Jz)I[D (/2 —/3)] sn x, если D < /2,
4.2. cos 9
i — D)/[D (J1 — /2)] sn т, если D >/2.
При D -* J2 квадратный корень стремится к единице, а sn т периодиче-
периодически изменяется между значениями +1 и —1. Это означает периодическое
изменение 9 между значениями ~ + 90° и ~ —90° и указывает на неустойчи-
неустойчивость движения. При D — /2 решения для соа (а = 1, 2, 3) имеют вид cos 9 =
= + s2 th т, ф = const, -ф = уг2Г//2 — const, 9 = —т/ch т. Представим
себе сферу (неподвижную в инерциальном пространстве) радиуса R с цен-
центром, совпадающим с центром масс тела, и на этой сфере кривую, вычерчивае-
вычерчиваемую точкой пересечения оси е2 со сферой. Будем интерпретировать координа-
координаты г|? и X = я/2 — 9 точки этой кривой как географические долготу и широту
соответственно (L играет роль полярной оси). Точка, вычерчивающая1 эту
кривую, имеет проекции скорости i?9 = — Rx/ch x в направлении меридиана
uRty sin 9 = Rty Y ^ — *Ь2ат = Щ/ch х в направлении параллели. Отноше-
Отношение этих двух проекций скорости постоянно, и это означает, что кривой слу-
служит локсодрома (кривая, пересекающая все меридианы под постоянным
углом).
4.3. Уравнения D.65) дают
Ji<°i — (Ji — J*

280 ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ
г
Где/*=/3 — Jr nLr(t)= \ Мг (т) d%-\-Lr (t0). Интегралы движения: cof-f-co| =
to
= ^2 = const и /*аK-}-?г (t) = Js(d3-\-h = L — const (осевая координата пол-
полного момента абсолютных количеств движения).
Решение: со3 = щ (t0) — [Lr (t) — Lr (to)]/J%, @x = Q sin a (t), co2 = Q cos a @,
a(?) = a (?0)-|- I /(t)dT, f(t) — L/J1 — @3(?). При действии момента Mr (t) —
— ah сил взаимодействия уравнения D.65) заменяются уравнениями D.55)
и D.56) с дополнительным членом —ah. Это дает
/3(о3 +^ = 0,
^ = MT{t) —
Как и прежде, интегралы движения: (of+a)| = Q2 = const и J3(o3-\-h =
= L = const.
Решение: h(t) = q> (t) + [fc (*0) — ф (t0)] exp (bt),
где ф (i)—частный интеграл уравнения h-\-bh — Mr (t) /3//J, (Oi — Q sin a (i),
@2 = Qcosa(i) с теми же самыми функциями a(t) и /(«), что и выше.
5.1. sk = s3: 1. sx; 3. s3, s5; 5. s1? s4, s6, s7;
2. s1? t2; 4. s2, s3, s5; 6. s4, s6, s7.
sfe = s3; 1. sb s2; 3. нет вершины; 5. sl9 s2, s4, s5, s6, s7;
2. s1? s2, s3; 4. s3; 6. s4, s5, s6, s7.
5.2. Неразветвленная цепь из п вершин с правильной нумерацией.
5.3» См. прим. на стр. 118.
5.6. Использовать формулы E.15) и E.24). Построить (Зп X га)-матрицу
координат С, связанную с С. Ее субматрицами являются Siacia (г, а — 1, ...
. . ., 7г), где cia — матрица координат для cia в базисе е<*> (операторы
ФОРТРАНа приведены на стр. 172). Матрицы координат^- для dtj в базисе
ем) представляют собой C X 1)-субматрицы произведения СТ. Матрица
координат для Кг- в е<*> имеет вид
Операторы ФОРТРАНа приведены на стр. 174.

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ 281
5.7. Использовать формулы E.53) и E.58). Матрицы координатору (?, j =
= 1, . . ., п) для btj в базисе е(*> представляют собой субматрицы произве-
произведения —?^\х, где СТ — матрица из задачи 5.6. Соотношения E.21) дают
&ю = du + Ьц nbi0 = bn (t = 2, . . ., п). Матрица координат для К? в е<*>
имеет вид
_ (— 4i + 4#i* + 4« — 3n — 1).
(bJkbikE~bikbJk).
5.8. Если тела пронумерованы в возрастающем порядке от одного конца
цепи к другому, то
ml2
ml2
5.9 Уравнения E.61) принимают вид
Скалярное умножение на о> дает (о*&12 X Ь21 — 0, а умножение на btj (i ф j)
дает &12*о) X К^-о) = 0, &21-а> X Kf'O) = 0. Эти соотношения совместно
с соотношением E.58) доказывают наше утверждение. Ориентация тел отно-
относительно друг друга и ориентация о относительно тел при перманентном
вращении была исследована Виттенбургом [39].
5.11.
п •»
i=l L
г = 1
Величины г с, J ^ и ю^ rei обозначают абсолютную скорость центра масс
спутника, момент инерции (относительно оси вращения) &-го ротора на теле i
и угловую скорость этого ротора относительно его несущего тела соответ-
соответственно. Число роторов на несущем теле i обозначено через ^. Тензоры
Вг- (i = 1, . . ., п) определены формулой E.75). По поводу составления этих
выражений см. Виттенбург, Лилов [17].
5.12. Промежуточное тело должно рассматриваться как обычное тело конеч-
конечных размеров, которое соединено цилиндрическими шарнирами с каждым
из двух смежных с ним тел. Хотя тело не обладает массой, связанное с ним
дополненное тело, имеющее форму гантели, имеет массу М полной системы,
а также моменты инерции. Можно, следовательно, применить уравнение E.97)
без каких-либо особых рассуждений. Матрица коэффициентов А будет всегда
положительно определенной.
5.13. В каждом из двух тел, соединенных шарниром а, можно так определить
векторный базис, неизменно связанный с телом, что один базисный вектор,
19-0 603

282 ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ
скажем третий, будет параллелен оси шарнира. |Тогда Ga = G}fi%Gl, где
G\ и G\ — постоянные матрицы и
"cos фа —sin фа О"
sin фа cos фа О
_ О 0 1_
5.14. Рассмотрим, например, рис. 5.34,г, на котором направляющая пред-
предполагается прямолинейной, тело i~ (а) является маятником, za начинается
из точки на направляющей и кончается в точке подвеса маятника. В качестве
обобщенных координат возьмем декартову координату qal и углы Эйлера
<7а2» • • •» <7а4* Имеем za = qaln (единичный вектор п вдоль направляющей
с постоянной матрицей координат п в е^+^а"), Ga = G^G?G% с постоянными
матрицами G? и G\ и л:, рщей Gg, определенной формулой B.14), где г|), 0, ф
заменены на qa2, . • ., qa^
5.15. Тело i+ (а) является маятником; za начинается в точке подвеса маятни-
маятника и кончается в точке (прямолинейной) направляющей. Обобщенные коор-
координаты qal, . . ., <7а4 и матрица Ga такие же, как в решении' задачи 5.14,
a za = qa\Gan (единичный вектор п вдоль направляющей с постоянпой матри-
матрицей координ т " в е^ (a^J). Матрица za зависит от всех четырех обобщенных
координат; она не зависит только от одной координаты в случае, если маят-
маятником является тело i~ (a).
5.16. Рассмотрим, например, рис. 5.34,г. Величины za, n и qal, . . ., qa4
такие же, как в решении задачи 5.14. Предполагается, что матрицы G^nG* —
единичные матрицы, откуда следует, что п ^, qa3 и #а4 равны нулю, когда
базисы е(г+@)) и е(г (а)^ ориентированы " параллельно. Получаем za =
. оо . • .
= Qain> za = Ча\п- Векторы раЪ . . ., pak н wa имеют в базисе
цы-столбцы (ср. B.28)):
Ра\ = 0; ра2 = [sin qa3 sin ga4 sin qa3 cos ga4 cos ga3
la3 = [cosqa4c — singa40]T; pa4 = [0 0 1]T;
матри-
матриcosga3cos qn*
cos Яаь — ЯаьЯаь Sin ga
sin ^a4 —aa3ga4 cos ga
5.18. Сделаем два главных упрощения. Во-первых, za == 0 (а = 1, . . ., /г),
если С|_(а)а и ci+(a)a определены, как в разд. 5.22, и Со = 0, если базис е<°>
в теле 0 расположен так, как показано в разд. 5.10. Во-вторых, не нужно
вводить обобщенные координаты, поскольку 6>са (а = 1, . . ., п) независимы.
Выражение E.167) принимает вид бгт = —6лт X СТЧ выражение E.144)
принимает вид г = (СТ)Т X а) — g+roln, а соотпошение E.169) дает
п
бТУ = ^ §Wa = — 6хт«У. Подставим эти выражения в E.104), затем заменим
а1
на —6хт71 (формула E.131)) и умножим слева получившееся дифферен-

ОТВЕТЫ НЛ ЗАДАЧИ 283
циальное уравнение на S. В результате получаем
(g-~)y[_n)]-i-^l — V — SY.
Используя формулы E.22), E.24) и E.26), убеждаемся, что это уравнение
совпадает с уравнением E.34).
5.19.
= (кТ)-т (кТ), B= —
i\ln.
5.20. Только поступательное движение. В качестве обобщенных координат
для шарнира а (а = 1, . . ., п) используются декартовы координаты qaln
Яа2, Яаз в базисе вс°). Имеем А = (кТ) -т (кТ)Т, В = —k-iJF + X), где
к =
р@)
квази-
Р@)
диагонально е
,@)
11111
0 110 0
1 0 1 0 0
и 0 0 10
0 0 0 0 1
(предполагается, что все дуги в графе системы направлены к s0). В явном
виде матрица'Л имеет вид
{пг1 + т2+т3 + т4 + т5)О (т2 + т3) _D m3D_
(т2~\~тз) & rn3D 0
A =
mAD 0
^симметрично
где DuO — C X 3)-матрицы, все элементы которых равны единице и нулю
соответственно.
6.1. Шарнир 8: nt'(Av8 — Av3) = 0 (/ = 1, 2, 3; %, гс2, /г3 — какие-либо
некомпланарные векторы). Шарнир 9: ^»Ai?72 = 0 и j^'Ag^ = 0 (i = 1, 2;
wi> W2 — Два различных вектора, ортогональных оси шарнира; Дг72 — при-
приращение скорости тела 7 в шарнирной точке 9). Шарнир 10:
и л и
(кг X к2) • (Ai?52 — AvQ) — [(&i X А:2) X Ъ] • (Ао5 — Ао6) = 0
(h\, к2 и & определены так же, как в примере для уравнения F.38); Ai?5s
и Ad6 — приращения скоростей тела 5 и тела 6 соответственно в шарнирной
точке 10). Все уравнения связей объединяются в уравнение
К*
=0.
19*

284 ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ
Элементами] К* являются векторы; матрица-столбец такая же, как в уравне-
уравнении F.36). Следовательно, получаем уравнение
которое заменяет уравнение F.40).
6.2. Предположим, что система изображена на рисунке в момент удара в шар-
шарнире 6 п что удар в шарнире 7 уже произошел. В момент, непосредственно
предшествующий удару, система состоит из шести связанных между собой
твердых тел с И обобщенными координатами (шесть в шарнире 1 и по одной
в каждом из шарниров 2, 3, 4, 5 и 6). Уравнения F.37) имеют вид
где
Ar = [p_X T(C + Z)T_ — kT]TA^ A(^=—
Матрицы
Aq=[Aqn ... Aql6 Aq21 Aq31 Ag41 Aqbl
X=[X, X2 X3 X, Хъ Х6]т и ?=[?,. Y2 Y3 F4 Yb F6]T
содержат всего 36 неизвестных, а именно все элементы Ад, за исключением
Л<7б1» все ^5 координат векторов Х2, - . ., Х&, восемь координат векторов
У2, . . ., У5, перпендикулярных осям шарниров, и все три координаты векто-
вектора У6. Все известные величины, за исключением Ад61, равны нулю. Расклады-
Раскладывая в е^ уравнения для X и У, получаем 36 скалярных дифференциальных
уравнений, из которых можно определить все неизвестные величины.

Список литературы
1. Roberson R. E., Wittenburg J. A dynamical formalism for an arbitrary
number of interconnected rigid bodies. With reference to the problem of
satellite attitude control.—3rd IFAC Congr. 1966, Proc. London, 1968,
46D.2 — 46D.9.
2. Lagally M., Franz W. Vorlesungen tiber Vectorrechnung.—Leipzig, 1964.
3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — M.: Наука, 1967.
4. Truesdell С. Die Entwicklung des Drallsatzes.—Z. angew. Math, und
Mech., 44 A964), 149—158.
5. Grammel R. Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen, vol. 1.—
Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1950. [Имеется перевод: Граммель Р. Ги-
Гироскоп, его теория и применения, т. 1.— М.: ИЛ, 1952.]
6. Magnus К. Kreisel. Theorie und Anwendungen.—Berlin—Heidelberg-
New York, 1971. [Имеется перевод: Магнус К. Гироскоп. Теория и при-
применение.—М.: Мир, 1974.]
7. Tolke F. Praktische Funktionenlehre, vol. 3, 4.—Berlin—Heidelberg-
New York, 1967.
8. Magnus K. Der Kreisel. Eine Einftihrung in die Lehre vom Kreisel mit
Anleitung zur Durchftihrung von Versuchen.—Gottingen, 1965.
9. Arnold R., Maunder L. Gyrodynamics and its engineering applications.—
New York—London, 1961.
10. Саидов П. И. Теория гироскопов, т. 1.—М., 1965.
11. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержа-
содержащими жидкость.—М.: Наука, 1965.
12. Wittenburg J. Beitrage zur Dynamik von Gyrostaten.—Ace. Naz. del
Lincei, Quad., 217 A975), 217—354.
13. Wangerin A. Uber die Bewegung miteinander verbundener Korper.—
Univ.-Schrift Halle, 1889.
14. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes.—Acta Math., 22
A898), 201—357.
15. Busacker R. G., Saaty T. L. Finite graphs and networks. An introduction
with applications.—New York, 1965.
16. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно цен-
центра масс—М.: Наука, 1965.
17. Wittenburg J., Lilov L. Relative equilibrium positions and their stability
for a multi-body satellite in a circular orbit.—Ing.-Arch., 44 A975), 269—
279.
18. Baumgarte J. Stabilization of constraints and integrals of motion.—Coin-
put. Meth. in Appl. Mech. Eng., 1 A972), 1 — 16.
19. Zurmiihl R. Matrizen. Eine Darstellung fur Ingenieure.—Berlin—Gottin-
Ingenieure.—Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1958.
20. Hooker W. W., Margoulis G. The dynamical attitude equations for an
я-body satellite.—J. Astronaut. Sci., 12 A965), 123—128.
21. Fischer 0. Einfiihrung in die Mechanik lebender Mechanismen.—Leipzig,
1906.
22. Hooker W. W. A set of r dynamical attitude equations for an arbitrary
n-hody satellite having r rotational degrees of freedom.— AIAA Journal,
8A970), 1205—1207. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космонавт.,
8, 1970, № 7, с. 26.]

286 список литературы
23. Roberson R. E. A form of the translational dynamical equations for rela-
relative motions in systems of many non-rigid bodies.—Acta Mech., 14 A972),
297—308.
24. Lilov L., Wittenburg J. Bewegungsgleichungen fur Systeme starrer Korper
mit Gelenken beliebiger Eigenschaften.—Z. angew. Math, und Mech.,
57 A977), 137 — 152.
25. Boland P., Samin J. C, Willems P. Y. On the stability of interconnected
deformable bodies in a topological tree.—AIAA Journal, 12 A974), 1025—
1030. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космонавт., 1974, № 8, с. 24.]
26. Likins P. W. Dynamic analysis of a system of hinge-connected rigid bodies
with nonrigid appendages.—JPL Tech. Rep. 32-1576, Pasadena, 1974.
27. Likins P. W., Fleischer G. E. Large-deformation modal coordinates for
nonrigid vehicle dynamics.—JPL Tech. Rep. 32-1565, Pasadena, 1972.
28. Boland P., Samin J. G., Willems P. Y. Stability analysis of interconnected
deformable bodies with closed loop configuration.—AIAA Journal, 13
A975), 864—867. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космонавт., 1975,
№ 7, с. 30.]
29. Frisch Ы. P. A vector-dyadic development of the equations of motion for
тг-coupled flexible bodies and point masses.—NASA Tech. Note TN D-8047,
1975.
30. Velman J. R. Simulation results for a dual-spin spacecraft.—Aerosp. Corp.
Rep. TR-0158C307-01)-16, El Segundo, Cal. 1967.
31. Uicker J. J. Dynamic behaviour of spatial linkages.—Trans. ASME, 68
A968), 1—15. [Имеется перевод: Прикл. механ. (М.: Мир), 1968.]
32. Popov E. P. et al. Synthese de la commande des robots utilisant les modeles
dynamiques des systemes mecaniques.—6th IFAG Symp. Control in Space
A974) X, 31—51.
33. Jerkovsky W. The transformation operator approach to multi-body dyna-
dynamics.—Space and Missile Systems Org. Los Angeles, Rep. SAMSO-TR-76-
134, 1976, to appear in Matr. Tens. Quat.
34. Vukobratovic M., Stepanenko J. Mathematical models of general anthro-
anthropomorphic systems.—Math. Biosci., 17 A973), 191—242.
35. Renaud M. Contribution a l'etude de la modelisation et de la commande des
systemes mecaniques articules.—Diss. Univ. Toulouse, 1975.
36. Routh E. J. Dynamics of a system of rigid bodies (Elementary Part).—
New York, 1960.
37. Wittenburg J. Strofivorgange in raumlichen Mechanismen. Eine Analogie
zwischen Kreiseldynamik und Elastostatik.—Acta Mech., 14 A972), 309-
330.
38. Харламов П. В. О распределении скоростей в твердом теле.— МТТ,
1969, т. 1, р. 77—81.
39. Wittenburg J. Permanente Drehungen zweier durch ein Kugelgelenk gekop-
pelter, starrer Korper.—Acta Mech., 19 A974), 215—226.
40. Baumgarte J. Stabilisierung von Bindungen im Lagrangeschen Formalis-
mus. To appear in Z. f. angew. Math. Mech.

Список обозначений
А — матрица коэффициентов в уравнениях движения;
Аг\ Ga — матрицы направляющих косинусов;
&гУ, bfj — векторы на дополненном теле ц
cia, cfa — векторы, указывающие положения шарнирных
точек на теле ц
С — матрица, составленная из векторов cia;
dtj, d*j — векторы между шарнирными точками на теле i;
, — , г, г — производные по времени от г в базисе е(г)
в инерциальном пространстве и в базисе, кото-
который определяется дополнительно:
е, е{г) — векторные базисы, а также матрицы-столбцы
базисных векторов;
Е — энергия;
Е — единичная матрица;
Е — единичный тензор;
Fj Ft — силы;
F9 Ft — импульсы;
h — момент количеств движения ротора в его дви-
движении относительно несущего тела;
Н — матрица Якоби для уравнений связей;
i+ (a), i~ (a) — целочисленные функции;
/ар — моменты и произведения инерции;
J, Кг- — тензоры инерции;
/ — матрица инерции;
Mai VZ&uQaU
Ktj — тензор системы многих тел;
К — матрица, построенная из тензоров К^-;
L — лагранжиан;
L — момент количеств движения;
w, nit — массы;
М — полная масса системы;
т — диагональная матрица масс;
М, М( — моменты сил;
Pai — вектор, направленный по оси вращения;
Qi, qai — обобщенные координаты;

283 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
?о> • • •> 7з — параметры Эйлера;
г, R, р, z — радиус-векторы;
st — вершина графа;
So, 5, 5*, ?* — субматрицы инцидентности;
Г — кинетическая энергия;
Т — матрица, обратная для S;
иа — дуга в ориентированном графе;
v, vt — скорости;
Аи, Ai?z- — изменение скорости при соударении;
W, 8W — работа, виртуальная работа;
Ха — внутренняя шарнирная сила;
Ха — внутренний шарнирный импульс;
Ya — внутренняя шарнирная пара;
Уа — внутренняя шарнирная импульсная пара;
za — шарнирный вектор;
Z — матрица, построенная из векторов za;
6л;, бх — векторы бесконечно малого вращения;
\i — матрица отношений масс;
г|), 0, ф, фг- — угловые координаты;
о, (ot, Qa — угловые скорости;
1п — матрица-столбец из п единичных элементов•

Предметный указатель
Базис 9
— отсчета 9
Барицентр 120
Вектор 9
Вершина графа 105
— граничная 111
— предшествующая вершине 110
Герполодия 58
Гиростат 80
— уравновешенный 85
Главный вектор внутренних
[шарнирных сил 114
— момент внутренних шарнирных
сил 114
Граф системы 105
— ориентированный 105
— приведенный 217
— ребро 105
Дуга графа 105
— предшествующая вершине 110
Замкнутая кинематическая цепь 102
— некинематическая цепь 215
Импульс 247
Импульсная пара 247
— сила 247
Инцидентность 106
Карданов подвес 20
Коэффициент восстановления 348
Матрица координат вектора в базисе
10
— инерции 40
— инцидентности 107
— координат тензора 13
— направляющих косинусов 10
— преобразования координат 11
— с тензорными элементами 16
Нулевое положение 166
Нутация 74
Орбитальная система координат 146
Параметры Эйлера 25
Перманентное вращение 55
Полодия 54
Правильная нумерация 111 , 219
Программа параметров 171 , 172
Произведение диадное 12
— векторное двух векторных
матриц 13
— скалярное двух векторных
матриц 13
Псевдорегулярная прецессия 74
Путь между двумя телами 101
— — — вершинами 106
Реакция связи 114
Регулярная прецессия 70
— — быстрая 71
— — медленная 71
Самовозбуждение твердого тела 50
Сепаратриса 57
Система с замкнутой цепью 102
— со структурой дерева 102
— с замкнутыми кинематическими
цепями 101
— приведенная 215
— координат орбитальная 146
Соглашение о знаке 114
Тело, являющееся основанием 101
— внешнее 102
— дополненное 120
— несущее 80
— смежное 100
Тензор второго порядка 13
— единичный 14
— инерции 39
— сопряженный 12
Теорема Эйлера 12
Тяжелый волчок 67
— — симметричный 67

290 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Углы Эйлера 19
— Брайнта 22
Уравнения Пуассона 33
— Эйлера 49
Шарнир цилиндрический, 126
— шаровой, 113
Шарнирная точка 113
— — предшествующая 122
Формулы Гюйгенса — Штейнера 42
Шарнир 100
— универсальный, 113
— фиктивный, 103
Эллипсоид кинетического момента 54
— энергии 54
Эллиптический интеграл первого
рода 59
— — полный 73
— — третьего рода 62

Оглавление
От редактора перевода 5
Предисловие 6
1. Математические обозначения . . . 9
2. Кинематика твердого тела 19
2.1. Обобщенные координаты угловой ориентации твердого тела 19
2.1.1. Углы Эйлера 19
2.1.2. Углы Брайнта 22
2.1.3. Параметры Эйлера . 24
2.2. Понятие угловой скорости 27
2.3. Соотношения между угловой скоростью тела и обобщенными
координатами, описывающими угловую ориентацию тела . . 32
2.3.1. Направляющие косинусы 32
2.3.2. Углы Эйлера 33
2.3.3. Углы Брайнта 33
2.3.4. Параметры Эйлера . 34
3. Основные принципы динамики твердого тела 38
3.1. Кинетическая энергия 38
3.2. Момент количеств движения 40
3.3. Свойства моментов и произведений инерции 41
3.3.1. Переход к другому полюсу без изменения базиса отсчета 41
3.3.2. Переход к другому базису отсчета без изменения полюса 42
3.3.3. Главные оси и главные моменты инерции 43
3.3.4. Инварианты и неравенства для моментов и
произведений инерции 44
3.4. Теорема об изменении момента количеств движения 46
3.5. Принцип Даламбера в применении к твердому телу 50
4. Классические задачи механики твердого тела 53
4.1. Движение по инерции несимметричного твердого тела .... 53
4.1.1. Полодии и перманентные вращения 54
4.1.2. Геометрическая интерпретация движения Пуансо . . 57
4.1.3. Решение уравнений движения Эйлера 58
4.1.4. Решение кинематических дифференциальных уравнений 60
4:2. Симметричное твердое тело в отсутствие момента сил .... 63
4.3. Самовозбуждаемое симметричное твердое тело 65
4.4. Симметричный тяжелый волчок 67
4.5. Симметричное тяжелое тело в кардановом подвесе 76
4.6. Гиростат. Общий анализ 80

ОГЛАВЛЕНИЕ 292
4.7. Уравновешенный гиростат 85
4.7.1. Полодии и перманентные вращения 86
4.7.2. Решение динамических уравнений движения 89
5. Общие системы многих тел 98
5.1. Вводные замечания 98
5.2. Уравнения движения для систем со структурой дерева .... 103
5.2.1. Математическое описание структуры взаимосвязей . . 104
5.2.2. Системы с шаровыми шарнирами. Одно тело соединено
с внешним телом, совершающим заданное движение 113
5.2.3. Частный случай плоских движений 126
5.2.4. Системы с шаровыми шарнирами, не связанные с
внешним телом, совершающим заданное движение 134
5.2.5. Частный случай спутника на круговой5 орбите,
состоящего из многих тел 145
5.2.6. Системы с шаровыми, универсальными и
цилиндрическими шарнирами 157
5.2.7. Инструкции для программирования 170
5.2.8. Системы с произвольными голономными связями в
шарнирах 185
5.2.9. Внутренние силы и моменты в шарнирах системы с
произвольными голономными связями 213
5.3. Системы многих тел с замкнутыми цепями и произвольными
связями 214
5.3.1. Математическое описание структуры взаимосвязей .
Обобщение раздела 5.2.1 216
5.3.2. Уравнения движения 220
5.4. Заключительные замечания 244
6. Задачи удара в голономных системах многих тел 246
6.1. Основные предположения 247
6.2. Мгновенные приращения скоростей 249
6.3. Аналогия с законом Максвелла и Бетти 257
6.4. Внутренние импульсы и импульсные пары в шарнирах . . . 266
Ответы на задачи 277
Список литературы 285
Список обозначений 287
Предметный указатель ... 289

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП,
1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир».

Й. ВИТТЕНБУРГ
ДИНАМИКА СИСТЕМ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Научный редактор П. Я. Корсоюцкая
Младший ыаучн. ред. Н. С. Полякоза
Художник М. К. Шевцов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Чуркина
Корректор А. Ф. Рыбальченко
ИБ № 1714
Сдано в набор 25.12.79.
Подписано к печати 29.07.80.
Формат 60X90]/i6.
Бумага типографская № 1.
Гарнитура обыкновенная. Печать высокая.
Объем 9,25 бум. л. Усл. печ. л. 18,50.
Уч.-изд. л. 15,93. Изд. Л« 1/0293.
Тираж 4000 экз. Зак. 0603. Цена 2 р.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени
Московская типография № 7 «Искра революции»
Саюзполиграфпрома Государственного Комитета С
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
Москва 103001, Трехпрудный пер., д. 9.