/
Автор: Буховцев Б.Б. Мякишев Г.Я. Бендриков Г.А. Керженцев В.В.
Теги: физика задачи по физике учебное пособие
Год: 1987
Текст
Задачи
по физике
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ в ВУЗы
*
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ. ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для слушателей подготовительных отделений
высших учебных заведений
МОСКВА, «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗ ИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ литературы
1987
ББК 22.3
3=15
УДК 530.1.(076.18)
АВТОРЫ:
Г. А. БЕНДРИКОВ, Б. Б. БУХОВЦЕВ,
В. В. КЕРЖЕНЦЕВ, Г. Я. МЯКИШЕВ
Задачи по физике для поступающих в вузы: Учебн. пособие
Бендриков Г. А., Буховцев Б. Б., Керженцев В. В., Мякишев Г. Я. —
6-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. —
400 с., ил.
Содержит задачи в рамках вступительных экзаменов по физике
из числа предлагавшихся в течение ряда лет на различных факуль-
тетах Московского государственного университета. К каждой теме
даны краткие указания, касающиеся общей методики решения за-
дач, и основные формулы, используемые прн решении. Подробные
решения приведены для методически наиболее важных задач. В
новом издании (5-е изд. — 1984 г.) исправлены замеченные опечат-
ки предыдущего.
Для слушателей подготовительных отделений вузов, учащихся
средних общеобразовательных и профессиональных школ, а также
лиц, занимающихся самообразованием.
Табл. 5. Ил. 462.
1704010000 - 050
053(02)-87
КБ-64-14—86
3
(g) Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1976, 1979,
1984, 1987.
СОДЕРЖАНИЕ
Задачи Ответы
и реше-
ния
Предисловие к пятому изданию..................... . 5
I. Механика........................................... 7 202
§ 1. Прямолинейное равномерное и равнопеременное
движение............................................ 7 202
§ 2. Криволинейное движение ................... 15 212
§ 3. Вращательное движение.................... 18 218
§ 4. Динамика прямолинейного движения........ 20 219
§ 5. Здкон сохранения импульса................. 29 230
§ 6. Статика................................... 33 234
§ 7. Закон сохранения энергии.................. 40 241
§ 8. Динамика вращательного движения........... 47 247
§ 9. Закон всемирного тяготения................ 52 253
§ 10. Гидро- и аэромеханика..................... 54 254
§11. Колебания и волны............................ 59 257
II. Теплота и молекулярная физика..................... 62 260
§ 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей 62 260
§ 13. Количество теплоты. Коэффициент полезного дей-
ствия ........................................ 65 261
§ 14. Законы идеального газа и уравнение состояния 71 265
§ 15. Элементы молекулярной физики................. 84 277
§ 16. Внутренняя энергия и работа расширения газов.
Теплоемкость.................................. 86 279
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары............... 90 283
III. Электричество и магнетизм........................ 94 287
§ 18. Закон Кулона.............................. 94 287
§ 19. Электрическое поле.......................... 99 293
Напряженность электрического поля (99). Потенциал.
Работа электрических сил (101). Электрическая емкость
(Ю7).
§20 . Постоянный электрический ток............... 116 309
Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводни-
ков (116). Последовательное и параллельное соединения
проводников. Добавочные сопротивления и шунты (118).
Закон Ома для полной (замкнутой) цепи (124). После-
Йовательное и параллельно? соединения источников тока,
[равпла Кирхгофа (131).
§21 . Работа и мощность тока. Закон Джоуля—Ленца 137 323
1* 3
Задачи Ответа
и реше
ния
§22 . Электролиз. Законы Фарадея................. 146 330
§ 23. Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция 149 331
§24 . Переменный электрический ток............... 156 335
§ 25. Электромагнитные колебания и волны........161 339
IV. Оптика......................................... 164 341
§ 26. Волновые и квантовые свойства света....... 164 341
§27 . Отражение и преломление света на плоской гра-
нице ............................................. 165 341
§28 . Фотометрия..................................171 350
§29 . Сферические зеркала........................ 174 353
§30 . Тонкие линзы............................... 181 359
§ 31. Оптические системы......................... 194 372
Приложения...........................................381
I. Фундаментальные физические константы .... 381
II. Множители и приставки для образования деся-
тичных кратных и дольных единиц и их наиме-
нований .........................................381
III. Единицы и размерности физических величин в СИ 382
IV. Перевод внесистемных единиц в СИ.............395
V. Названия, символы и атомные массы химических
элементов...................................... 397
ПРЕДИСЛОВИЕ к ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий сборник предназначен в помощь поступаю-
щим в высшие учебные заведения при подготовке к экза-
менам по физике, а также слушателям подготовительных
отделений и курсов. Он содержит задачи по всем вопросам
программы вступительных экзаменов, кроме задач на , вол-
новые свойства света и задач по атомной физике, практичес-
ки не встречающихся в экзаменационных билетах. В книгу
вошли преимущественно задачи, предлагавшиеся в тече-
ние ряда лет на вступительных экзаменах по физике на
физическом, механико-математическом, химическом, гео-
логическом, биолого-почвенном и географическом факуль-
тетах Московского государственного университета им.
М. В. Ломоносова, а также на факультете вычислительной
математики и кибернетики и факультете почвоведения.
В сборнике представлены задачи разной трудности,
что, с одной стороны, преследует методические цели, а с
другой стороны, отражает различную степень сложности
задач. В книгу включены также задачи, несколько выхо-
дящие за рамки действующей в настоящее время програм-
мы по физике для поступающих в вузы. Таковыми являют-
ся некоторые задачи § 11 «Колебания и волны», задачи на
расчет электрических полей в диэлектриках, ряд задач
§ 23 «Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция»,
все задачи § 24 «Переменный электрический ток» и некото-
рые задачи раздела «Оптика». В большинстве случаев эти
задачи относятся к вопросам, которые так или иначе рас-
сматриваются в школьных учебниках по физике. Авторы
считают, что разбор указанных задач поможет читателю
более свободно ориентироваться в основном материале
программы вступительных экзаменов по физике.
В целях развития навыков и культуры решения физи-
ческих задач многие из них снабжены подробными реше-
ниями. Все решения построены по единому, наиболее це-
лесообразному плану: составление необходимых уравне-
ний, решение их в общем виде, подстановка числовых
б
данных; при этом математика используется в полном
объеме программы средней школы.
К каждой теме задачника даны краткие указания, ка-
сающиеся общей методики решения задач, и перечень ос-
новных формул, используемых при решении. В ряде мест
приведены методы решения задач, которые, хотя и не вы-
ходят за рамки программы средней школы и могут быть
легко освоены поступающими в вузы, в средней школе
рассматриваются далеко не всегда. Усвоение подобных ме-
тодов значительно облегчает подготовку к вступительным
экзаменам и помогает поступившим в вуз сравнительно
легко перейти от школьных методов обучения к вузовским.
Сборник неоднократно перерабатывался, расширялся и
последний раз пополнялся новыми задачами из числа пред-
лагавшихся на разных факультетах Московского универ-
ситета при подготовке третьего издания (1976 г.). Тогда же
в соответствии с пожеланиями подготовительных отделе-
ний и курсов, которые широко пользуются задачником, и в
целях стимулирования самостоятельной работы учащихся
для части задач были опущены решения и даны лишь от-
веты. Подробные решения приведены, как правило, для
основных задач, на которые и должны ориентироваться
читатели.
В настоящем, пятом, издании общий план книги, со-
держание и нумерация задач остались прежними. Однако
формулировки и решения задач существенно переработаны
с учетом требований ныне действующих программ по фи-
зике для поступающих в вузы и ГОСТ 8.417—81 (СТ СЭВ
1052—78) «Единицы физических величин». В конце книги
приведен ряд таблиц, полезных при решении задач.
Раздел сборника «Механика», кроме задач по кинема-
тике, написан Г. Я. Мякишевым, раздел «Теплота и моле-
кулярная физика» и задачи по кинематике — В. В Кержен-
цевым, раздел «Электричество и магнетизм» — Г. А. Бенд-
риковым, раздел «Оптика» — Б. Б. Буховцевым. Общее
редактирование сборника выполнено Б. Б. Буховцевым.
Авторы выражают глубокую благодарность В. Г. Зу-
бову и Г. Е. Пустовалову, немало способствовавшим улуч-
шению сборника.
Авторы
6
ЗАДАЧИ
I. МЕХАНИКА
§ 1. Прямолинейное равномерное
и равнопеременное движение
Изучение механики обычно начинают с кинематики. Кинематика
описывает механическое движение тел с геометрической точки зрения,
без рассмотрения действующих па них сил.
Задачей кинематики является определение кинематических харак-
теристик движения тел — их положения (координат), скоростей, уско-
рений, времени движения и т. д.— и получение уравнений, связываю-
щих эти характеристики между собой. Эти уравнения позволяют по
одним известным характеристикам находить другие и тем самым дают
возможность при минимальном числе исходных данных полностью опи-
сывать движение тел.
При решении задач механики, в частности кинематики, нужно
в первую очередь выбрать систему координат (систему отсчета), задать
ее начало и положительные направления координатных осей и выбрать
начало отсчета времени. Без выбора системы координат описать движе-
ние невозможно. В соответствии с характером задач, рассматриваемых
в дальнейшем, мы будем пользоваться в случае"прямолинейного движе-
ния системой координат, состоящей из одной координатной оси OS,
вдоль которой происходит движение, с началом отсчета в точке О. В бо-
лее сложных случаях будет применяться декартова прямоугольная сис-
тема координат с взаимно перпендикулярными осями ОХ и OY, пере-
секающимися в точке О, которая является началом отсчета.
Равномерное и равнопеременное прямолинейное движение описы-
вается кинематическими уравнениями (так называемыми законами дви-
жения), дающими зависимость координаты s и скорости v от времени:
5 = $о4-Ц)^+^2/2, 0 = Уо+^> (О
где а — ускорение, t — время, протекшее с начала отсчета, т. е. с мо-
мента, когда тело имело начальную координату Sq и начальную скорость
р0. При а= const уравнения (1) описывают равнопеременное движение,
при а=0 — равномерное. Все остальные формулы равнопеременного
движения, например связь между начальной скоростью и координатой
тела в момент полной остановки: sQ=v%/2a, можно легко получить из
этих уравнений.
7
Число уравнений типа (1) зависит как от характера движения, так
и от выбора системы координат. Например, при выборе в качестве систе-
мы координат оси OS (рис. 1) для тела, движущегося из точки А в точку
В по прямой с начальной скоростью и ускорением а, направленным
против положительного направления координатной оси, уравнения (1)
будут иметь вид $ = s0-|-i>0/—at2/2, u = v0—at.
Для описания движения этого же тела можно взять также прямо-
угольную систему координат с осями ОХ и OY, расположенными, как
уравнений:
показано на рис. 1. Координата s0
тела в этом случае будет определять-
ся проекциями х0 и yQ на оси ОХ и
OY. При движении тела эти проек-
ции на оси координат изменяются.
Скорость V тела можно представить
в виде суммы двух составляющих их
и vy, направленных вдоль коорди-
натных осей. Модули этих составля-
ющих равны модулям проекций их
и иу скорости на соответствующие
оси. Аналогично, модули составля-
ющих ускорения равны модулям
проекций ах и ау. Для каждой проекции координаты и скорости на со-
ответствующую ось может быть написана своя пара кинематических
*=|*о 1 + 1 v»x 11— I ах I ^2/2, t>x = I P«x I—I "x I
У= I Уо I— I vey | Ж ay 112/2, ov= — | vav | + | ay 11.
Здесь x0, yQ и vOx, vOy — проекции начальной координаты и начальной
скорости тела на координатной оси. (О выборе знаков перед уОх, Voy, ах
и ау см. ниже.)
Описания движения в различных системах координат эквивалент-
ны между собой в том смысле, что при известном расположении двух
систем координат относительно друг друга по величинам, найденным
в одной системе, можно определить соответствующие величины в дру-
гой. Например, легко убедиться, что расстояние АВ (рис. 1), пройденное
телом и равное s—$0, выражается через расстояния х—х0 и yQt на кото-
рые переместились за это время проекции координаты тела:
s— s0=k (х— хо)2+{/о.
Начальная скорость о0 и ускорение а тела могут быть найдены, если
известны их проекции на оси координат:
00 = 1^ а=У
При решении задач следует выбирать такую систему коордйн’ат;
в которой уравнения, описывающие движение, получаются простыми.
6
Ясно, что при прямолинейном движении система уравнений, описываю-
щая это движение, выглядит проще, если берется одна ось координат,
направленная вдоль движения. При криволинейном движении прихо-
дится брать прямоугольную систему координат с двумя осями и пред-
ставлять движение в виде суммы двух движений, происходящих вдоль
координатных осей. Уравнения имеют более простой вид, когда направ-
ления осей выбираются так, что некоторые из проекций в течение всего
времени движения равны нулю.
При составлении уравнений очень важен вопрос о знаках перед
модулями проекций s, v и а. Если координата отсчитывается в положи-
тельную сторону от начала отсчета (положительное направление оси
координат указывается стрелкой на конце оси), то ей приписывается
знак плюс. Проекции ускорений и скоростей считаются положительны-
ми, если направление соответствующей составляющей совпадает с • поло-
жительным направлением оси, в противном случае в уравнениях они пи-
шутся со знаком минус. Например, на рис. 1 проекция ускорения на
ось OY положительна, а проекция скорости на ту же ось отрицательна.
Неизвестные величины лучше писать со знаком плюс. При нахождении
этих величин в процессе решения задачи их знак определится сам собой.
Например, для тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью г0, если ось OS направлена вертикально вверх и начало от-
счета совпадает с поверхностью земли, s=vQt—gt2/2 (ускорение свобод-
ного падения g направлено вниз). В этом случае знак координаты s
зависит от t: для f>2u0/g координата s отрицательна.
Иногда пройденный телом путь отождествляют с координатой s,
а уравнение (1) называют уравнением пути. В общем случае это непра-
вильно. Путь — это сумма всех расстояний, пройденных вдоль траек-
тории. В частности, в только что приведенном примере координата s
в момент времени t=2vjg будет равна нулю (тело упадет на землю), в то
кремя как пройденный телом к этому времени путь / будет равен сумме
расстояний от земли до наивысшей точки, достигнутой телом, и от этой
точки до земли (l=v%/g).
При решении задач на движение нескольких тел рекомендуется
пользоваться одной системой координат. В некоторых случаях бывает
удобно систему координат связать с одним из движущихся тел и рассмат-
ривать движение остальных тел относительно избранного.
Эти указания относятся прежде всего к §§ 1—3, однако они могут
понадобиться и при решении других задач во всем разделе «Механика».
1. Товарный поезд идет со скоростью Vi=36 км/ч. Спус-
тя время т=30 мин с той же станции по тому же направле-
нию вышел экспресс со скоростью о2=72 км/ч. Через ка-
кое время t после выхода товарного поезда и на каком рас-
стоянии s от станции экспресс нагонит товарный поезд?
Задачу решить аналитически и графически.
9
2. Из городов А и В, расстояние между которыми
= 120 км, одновременно выехали навстречу друг другу две
автомашины со скоростями ih=20 км/ч и ц2=60км/ч. Каж-
дая автомашина, пройдя 120 км, остановилась. Через какое
время t и на каком расстоянии s от города С, находящегося
ка полпути между Л и В, встретятся автомашины? Задачу
решить аналитически и графически. Пост-
роить график зависимости расстояния I
между автомашинами от времени t.
3. Стержень АВ длины I опирается
концами о пол и стену. Найти зависимость
координаты у конца стержня В от време-
ни i при движении конца стержня А с
постоянной скоростью v в направлении,
указанном на рис. 2, если первоначально
конец А имел координату х0.
4. Товарный поезд длины /1=630 м и
экспресс длины /2=120 м идут по двум
Рис. 2.
параллельным путям в одном направле-
нии со скоростями Ui=48,6 км/ч и ц2=102,6 км/ч со-
ответственно. В течение какого времени экспресс будет
обгонять товарный поезд?
5. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями
i»i=36 км/ч и у2=54 км/ч. Пассажир в первом поезде за-
мечает, что второй поезд проходит мимо него в течение
времени /=6 с. Какова длина второго поезда?
6. Теплоход, имеющий длину /=300 м, движется по
прямому курсу в неподвижной воде со скоростью Vi. Катер,
имеющий скорость у2=90 км/ч, проходит расстояние от
кормы движущегося теплохода до его
носа и обратно за время /=37,5 с.
Найти скорость теплохода.
7. На наклонную плоскость, со-
ставляющую с горизонтом угол а,
опирается стержень, который может
перемещаться только по вертикали
благодаря направляющему устрой-
ству АВ (рис. 3). С какой скоростью
v поднимается стержень, если на-
клонная плоскость движется влево со скоростью и?
8. Капли дождя на окнах неподвижного трамвая остав-
ляют полосы, наклоненные под углом а=30° к вертикали.
При движении трамвая со скоростью и = 18 км/ч полосы от
дождя вертикальны. Найти скорость капель дождя v в без-
ветренную погоду и скорость ветра w.
10
9. Пловец переплывает реку, имеющую ширину й. Под
каким углом а к направлению течения он должен плыть,
чтобы переправиться на противоположный берег в крат-
чайшее время? Где он в этом случае окажется и какой путь
s проплывет, если скорость течения
реки равна и, а скорость пловца от-
носительно воды равна и?
10. Лодочник, переправляясь че-
рез реку ширины h из пункта А в
пункт В, все время направляет лодку
под углом а к берегу (рис. 4). Найти
скорость лодки v относительно воды,
если скорость течения реки равна и,
а лодку снесло ниже пункта В
в
А
Рис. 4.
на расстояние I.
11. Корабль идет на запад со скоростью v. Известно,
что ветер дует с юго-запада. Скорость ветра, измеренная
на палубе корабля, равна н0.
Найти скорость ветра и относи-
тельно земли.
12. Тело 1 начинает двигать-
ся из точки А по направлению
к точке В со скоростью одно-
временно тело 2 начинает дви-
гаться из точки В по направле-
нию к точке С со скоростью (рис, 5). Расстояние AB=L.
Острый угол АВС=а. В какой момент времени t расстоя-
ние I между телами 1 и 2 будет минимальным и каково
это расстояние?
13. Один поезд шел половину пути s со скоростью
=80 км/ч, а половину пути — со скоростью 1^=40 км/ч.
Другой поезд шел половину времени t со скоростью v2 =
=80 км/ч, а половину времени— со скоростью ^=40 км/ч.
Какова средняя скорость каждого поезда?
14. Тело, имея начальную скорость а0=2 м/с, двигалось
в течение времени ^=3 с равномерно, /а=2 с с ускорением
а2=2 м/с2, £з=5с с ускорением я3 = 1 м/с2, /4=2с с ускоре-
нием а4=—3 м/с2, /5=2 с равномерно со скоростью, полу-
ченной в конце промежутка времени /4. Найти конечную
скорость и, пройденный путь s и среднюю скорость уср на
этом пути. Задачу решить аналитически и графически.
15. Самолет, летящий горизонтально со скоростью v,
попадает в полосу дождя, капли которого падают верти-
кально со скоростью ш. Кабина пилота имеет два стекла;
верхнее — горизонтальное и переднее — наклоненное к го-
ризонту под углом а (рис. 6). Каждое из стекол имеет
Ц
площадь S. Найти отношение числа капель воды, падаю-
щих в единицу времени на переднее стекло, к числу
капель, падающих в единицу времени на верхнее стекло.
Рис. 6.
16. Тело, имея начальную ско-
рость 0О=1 м/с, двигалось рав-
ноускоренно и приобрело, пройдя
некоторое расстояние, скорость
0К=7 м/с. Какова была скорость
тела на половине этого расстоя-
ния?
17. Тело, имея некоторую начальную скорость, движет-
ся равноускоренно из некоторого положения. Известны
координаты тела Xf, х2, х3, отсчитанные вдоль направле-
ния движения от произвольного начала отсчета в моменты
времени 4, 4, t3- Найти ускорение тела.
18. Парашютист спускается с постоянной скоростью 0=
= 5 м/с. На расстоянии ft=10 м от земли у него выпал пред-
мет. На сколько позже приземлится парашютист, чем этот
предмет? Сопротивлением воздуха для падающего предмета
пренебречь. Считать ускорение свободного падения g=
= 10 м/с2.
19. Тело, имея некоторую начальную скорость, движет-
ся равноускоренно. За время t тело прошло путь s, причем
его скорость увеличилась в п раз. Найти ускорение
тела.
20. По одному направлению из одной точки одновремен-
но начали двигаться два тела- одно — равномерно со ско-
ростью (>=980 см/с, а другое — равноускоренно без на-
чальной скорости с ускорением а—9,8 см/с2. Через какое
время второе тело догонит первое?
21. Два поезда прошли одинаковый путь s за одно и
то же время /, однако один поезд, имея начальную скорость,
равную нулю, прошел весь путь с ускорением а=3 см/с2,
а другой поезд половину пути шел со скоростью 01=18 км/ч,
а половину пути — со скоростью 02=54 км/ч. Найти путь
$, пройденный поездами.
22. Автомобиль, трогаясь с места, едет с ускорением а*.
Достигнув скорости и, он некоторое время едет равномер-
но, а затем тормозит с ускорением at до остановки. Найти
время t движения автомобиля, если он прошел путь s.
23. Поезд прошел путь s=60 км за время /=52 мин.
Сначала он шел с ускорением +а, в конце с ускорением
—а, остальное время с максимальной скоростью 0=72 км/ч.
Найти модуль ускорения, если начальная и конечная ско-
рости равны нулю.
12
24. Какая предельная скорость приземления .V пара-
шютиста допустима, если человек, не имея парашюта, мо-
жет безопасно прыгать с высоты м?
25. Камень брошен с высоты Л=28 м вертикально вверх
с начальной скоростью v0=8 м/с. Найти скорость v падения
камня на землю.
26. Тело падает без начальной скорости с высоты
=45 м. Найти среднюю скорость vcp падения на второй по-
ловине пути.
27. За какое время t свободно падающее без начальной
скорости тело пройдет сотый сантиметр своего пути?
28. Свободно падающее без начальной скорости тело
в последнюю секунду падения прошло 2/3 своего пути.
Найти путь s, пройденный телом.
29. Тело брошено с некоторой высоты вертикально
вверх с начальной скоростью v0=30 м/с. Найти координату
h и скорость v тела через время /= 10 с, а также пройден-
ный за это время путь $. Считать ускорение свободного па-
дения g=10 м/с2.
30. Свободно падающее без начальной скорости тело
спустя некоторое время после начала падения находилось
на высотеЛ1=1100 м, а еще через время Д/ = 10с — на вы-
соте Л2= 120 м над поверхностью земли. С какой высоты h
падало тело?
31. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды про-
ходит через точку на высоте h. Промежуток времени меж-
ду этими прохождениями равен Д/. Найти начальную ско-
рость тела Vo и время Д/о от начала движения тела до воз-
врата в начальное положение.
32. Одно тело брошено вертикально вверх с начальной
скоростью v0, другое падает с высоты h без начальной ско-
рости. Движения начались одновременно и происходят по
одной прямой. Найти зависимость расстояния s между те-
лами от времени t.
33. С башни, имеющей высоту й, бросают одновременно
два шарика: один — вертикально вверх со скоростью vn
другой— вертикально вниз со скоростью v2. Найти про-
межуток времени Д/, отделяющий моменты их падения на
землю.
34. С крыши падают одна за другой две капли. Через
время /2=2 с после начала падения второй капли расстоя-
ние между каплями стало равным s=25 м. На сколько рань-
ше первая капля оторвалась от крыши?
35; С высоты /i'i==10 м без начальной скорости падает
камень. Одновременно с высоты Л2—5 м вертикально вверх
13
бросают другой камень. С какой начальной скоростью
брошен второй камень, если камни встретились на высоте
h=l м над землей?
36. Два тела брошены вертикально вверх с одинаковы-
ми начальными скоростями с интервалом времени Л/. С ка-
кой скоростью будет двигаться второе тело относительно
первого?
37. Лодка подтягивается к высокому берегу озера при
помощи веревки, которую наматывают с постоянной ско-
v ростыо у=1 м/с нацилиндри-
ческий барабан, находящийся,
на высоте Л=6 м над уровнем
& воды (рис. 7). Найти зависи-
В мость скорости лодки от
к длины веревки /. Найти также
скорость лодки в момент вре-
мени, когда 1=10 м, и пере-
Рпс- 7- мещение лодки из этого поло-
жения за время /=1 с.
38. По наклонной плоскости одновременно начали дви-
гаться два тела: одно — вверх с начальной скоростью
ио=О,5 м/с, другое — вниз без начальной скорости. Через
какое время t тела встретятся и какой будет их относитель-
ная скорость в месте встречи, если первоначальное рас-
стояние между телами /=2,5 м?
39. Тело соскальзывает без трения с наклонной плос-
кости. Найти угол а наклона плоскости к горизонту, если
средняя скорость тела за первые 0,5 с на 2,45 м/с меньше,
чем средняя скорость тела за первые 1,5 с.
40. Стальной шарик, упавший с высоты Л=1,5 м на
стальную доску, отскакивает от нее с потерей 25% скорос-
ти. Найти время /, которое проходит от начала движения
шарика до его второго падения на доску.
41. Мяч свободно падает с высоты h = 120 м на горизон-
тальную плоскость. При каждом отскоке скорость его
уменьшается в п=2 раза. Построить график скорости и найти
пройденный мячом путь от начала движения до остановки.
42. На движущуюся вертикально вверх со скоростью
и горизонтальную гладкую плиту свободно падает шарик.
Расстояние от точки начала падения шарика до его места
встречи с плитой равно /г0. На какую высоту h от этого
места подскочит шарик после соударения с плитой? Плита,
обладая очень большой массой, не изменяет своей скорости
в результате соударения с шариком. Считать соударение
абсолютно упругим.
14
43. Вертикальная гладкая плита дви- |$
же тс я горизонтально со скоростью и. и $
Летящий в горизонтальной плоскости
со скоростью v0 шарик соударяется с
плитой. Направление полета шарика со- v0
ставляет угол а с перпендикуляром к
плите (рис. 8). Найти скорость *и шари-
ка после соударения с плитой. Плита, |
обладая очень большой массой, не из- n Q
меняет своей скорости в результате со-
ударения с шариком. Считать соударение абсолютно уп-
ругим. Силой тяжести пренебречь.
§ 2. Криволинейное движение
При прямолинейном движении направление скорости тела остается
неизменным. Если же тело движется по криволинейной траектории, его
скорость в любой точке направлена по касательной к траектории в этой
точке. Криволинейное движение является всегда ускоренным, так как
изменяется направление скорости, даже если не изменяется ее модуль.
Для расчета движения по криволинейной траектории удобно ис-
пользовать прямоугольную систему координат с двумя осями. Одну из
осей направляют обычно параллельно ускорению, другую — перпенди-
кулярно к нему.
44. Тело брошено с высоты Л горизонтально с начальной
скоростью я0. Как зависят от времени координаты тела и
его полная скорость? Вывести уравнение траектории.
45. С башни, имеющей высоту Л=25 м, горизонтально
брошен камень с начальной скоростью v0=10 м/с. На каком
расстоянии s от основания башни он упадет на землю?
46. Камень, брошенный с башни горизонтально с на-
чальной скоростью и0=Ю м/с, упал на расстоянии s=
= 10 мот башни. С какой высоты h был брошен камень?
47. Тело брошено со стола горизонтально. При падении
на пол его скорость v=7,8 м/с. Высота стола й=1,5 м.
Найти начальную скорость тела v0-
48. Камень брошен с горы горизонтально с начальной
скоростью у0=15 м/с. Через какое время t его скорость бу-
дет направлена под углом а=45° к горизонту?
49. Камень, брошенный с крыши дома горизонтально
с начальной скоростью у0= 15 м/с, упал на землю под углом
а=60° к горизонту. Какова высота h дома?
50. Тело брошено с высоты h=2 м горизонтально так,
что к поверхности земли оно подлетает под углом а=45°
15
к горизонту. Какое расстояние по горизонтали пролетает
тело?
51. Тело брошено горизонтально. Через время /=5 с
после броска направления полной скорости v и полного
ускорения а составили угол 0=45°. Найти полную ско-
рость V тела в этот момент. Считать ускорение свободного
падения g=10 м/с2.
52. Камень брошен с высоты h вверх под углом а к
горизонту с начальной скоростью и0- Под каким углом 0
к горизонту и с какой скоростью v камень упадет на землю?
53. Тело брошено горизонтально с начальной скоростью
п0=15 м/с. Найти нормальное ап и касательное ах ускоре-
ния через время /=1 с после начала движения тела.
54. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с на-
чальной скоростью v0. Как зависят от времени скорость v
тела и угол 0 ее наклона к горизонту?
55. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с
начальной скоростью и0. Найти законы движения для ко-
ординат тела и получить уравнение траектории.
56. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с на-
чальной скоростью v0. На какую высоту h поднимется тело?
В .течение какого времени t будет продолжаться подъем
тела?
57. Тело брошено с земли под углом а к горизонту
с начальной скоростью п0- Какое время t тело будет нахо-
диться в полете? Какое расстояние s по горизонтали от ме-
ста бросания пролетит тело?
58. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с на-
чальной скоростью и0- Построить графики зависимости вер-
тикальной проекции скорости vy от: времени t; координаты
у (высоты); координаты х (расстояния по горизонтали от
места бросания).
59. Камень брошен под углом а=30° к горизонту с на-
чальной скоростью и0 = 10 м/с. Через какое время t камень
будет на высоте Л=1 м?
60. Камень, брошенный под углом а=30° к горизонту,
дважды был на одной высоте h: спустя время ^=3 с и вре-
мя /2=5 с после начала движения. Найти начальную ско-
рость v0 и высоту h.
61. Тело, брошенное под углом а=60° к горизонту,
через время /=4 с после начала движения имело верти-
кальную проекцию скорости t^=9,8 м/с. Найти расстояние
s между местом бросания и местом падения.
62. Камень брошен с башни, имеющей высоту h, о
начальной скоростью направленной под углом а к го-
16
ризонту. На каком расстоянии s от основания башни упадет
камень?
63. Два тела брошены под углами и а2 к горизонту
из одной точки. Каково отношение сообщенных им началь-
ных скоростей, если они упали на землю в одном и том же
месте?
64. Тело брошено под углом к горизонту с начальной
скоростью ио=1Ом/с. Найти скорость v тела в момент, когда
оно оказалось на высоте /г=3 м.
65. Камень брошен с высоты h под углом к горизонту
с начальной скоростью о0. С какой скоростью v камень
упадет на землю?
66. Тело брошено под углом а к горизонту с начальной
скоростью о0- Через какие промежутки времени после бро-
сания скооость тела будет составлять с горизонтом углы
р1=45° и‘р2=315°?
67. Какую начальную скорость и0 имел снаряд, выле-
тевший из пушки под углом а=30° к горизонту, если он
пролетел расстояние s=17 300 м? Известно, что сопротив-
ление воздуха уменьшило даль-
ность полета в четыре раза.
68. Мотоциклист въезжает
на высокий берег рва, парамет-
ры которого указаны на рис. 9.
Какую минимальную скорость
v должен иметь мотоциклист в
момент отрыва от берега, чтобы рис> 9
перескочить через ров?
69. Камень брошен с башни под углом а=30° к гори-
зонту с начальной скоростью по«1О м/с. Каково крат-
чайшее расстояние I ыежру местом бросания и местом
нахождения камня спустя время /=4 с после бросания?
70. Сверхзвуковой самолет
летит горизонтально со скоро-
стью v=1440 км/ч на высоте
й=20 км. Когда самолет про-
летает над зенитной установкой,
из орудия производится выстрел
(рис. 10). Какова должна быть
минимальная начальная скорость
Vo снаряда и угол а ее с горизон-
том, чтобы снаряд попал в само-
лет?
71. Два тела брошены одно-
временно из одной точки—одно
Рис. 10.
17
вверх, другое вниз, оба с начальной скоростью vo=3O м/с
под углом а—60° к вертикали. Найти разность уровней,
на которых будут находиться тела спустя время 1=2 с.
72. С самолета, летящего горизонтально со скоростью
у0, на высоте h0 сброшен груз. На какой высоте h скорость
груза будет направлена под углом а к горизонту? Сопро-
тивлением воздуха пренебречь.
73. Самолет, оторвавшись от взлетной дорожки, летит
по прямой линии, составляющей с горизонтом угол а =
=30°, с начальной скоростью ио=50 м/с и ускорением
а=3 м/с2. Из самолета спустя время /0=5с после отрыва его
от земли выброшен по вертикали вниз ключ с начальной
скоростью и0=3 м/с относительно самолета. На каком рас-
стоянии от места взлета упадет ключ?
74. С высоты /г=2 м вниз под углом а=60° к горизонту
брошен мяч с начальной скоростью v0=8,7 м/с. Найти рас-
стояние s между двумя последовательными ударами мяча
о землю. Удары считать абсолютно упругими.
75. Шарик свободно падает по вертикали на наклонную
плоскость. Пролетев расстояние h = \ м, он упруго отра-
жается и второй раз падает на ту же плоскость. Найти рас-
стояние s между первым и вторым ударами шарика о плос-
кость, если последняя составляет с горизонтом угол а=30°.
§ 3. Вращательное движение
Изменение положения тела при движении по окружности характе-
ризуют углом поворота радиуса, проведенного к телу. Угол поворота
чаще всего выражают в радианах:
2л рад « 360°, 1 рад= 180°/л, 1° = л/180рад.
Угловая скорость со равномерно движущегося по окружности тела —
отношение угла поворота радиуса, проведенного к телу, к промежутку
времени, в течение которого совершен этот поворот, Единицей угловой
скорости является радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость v тела — отношение длины пройденного пути
к промежутку времени, в течение которого пройден этот путь. Она опре-
деляется угловой скоростью со тела и его расстоянием R от оси враще-
ния: у=со/?.
Быстроту движения тела по окружности характеризуют также ча-
стотой вращения п — числом оборотов, совершаемых телом в единицу
времени, и выражают в оборотах в секунду (об/с), Частота вращения п
связана с угловой скоростью со соотношением со=2лп.
Период вращения Т — время, в течение которого тело делает пол-
ный оборот: T=l/n=2n/co.
18
При равномерном движении тела по окружности ускорение тела
в любой точке направлено перпендикулярно к скорости движения, т. в
по радиусу окружности к ее центру. Это ускорение называется центро-
стремительным. Его модуль an=v2/R=ci>2R.
При равноускоренном движении тела по окружности центростре-
мительное (нормальное) ускорение ап вместе с касательным (тангенци-
альным) ускорением ат (изменяющим модуль скорости у) определяют
полное ускорение а тела.
76. Найти радиус R маховика, если при вращении ли-
нейная скорость точек на его ободе цх=6 м/с, а точек, нахо-
дящихся на расстоянии г=15 см ближе к оси вращения,
и2=5,5 м/с.
77. Линейная скорость точек обода вращающегося дис-
расстоянии г=10 см
ка &1=3 м/с, а точек, находящихся на
ближе к оси вращения, v2=2 м/с.
Найти частоту вращения диска.
78. Велосипедист едет с постоян-
ной скоростью v по прямолинейному
участку дороги. Найти мгновенные
линейные скорости точек A, В, С,
D, Е, лежащих на ободе колеса
(рис. 11), относительно земли.
79. Материальная точка движет-
ся по окружности радиуса R =20 см
В
Рис. 11.
равноускоренно с касательным уско-
рением ах=5 см/с2. Через какое время t после начала
движения центростремительное ускорение ап будет боль-
ше ах в п=2 раза?
80. Материальная точка, двигаясь равноускоренно по
окружности радиуса 7? = 1 м, прошла за время ^ = 10 с путь
$=50 м. С каким центростремительным ускорением ап дви-
галась точка спустя время /2=5 с после начала движения?
81. Ось вращающегося диска движется поступательно
в горизонтальном направлении со скоростью v. Ось гори-
зонтальна, направление ее движения перпендикулярно к ней
самой. Найти мгновенную скорость их верхней точки диска,
если мгновенная скорость нижней точки диска равна v2.
82. При равноускоренном движении тела по окружно-
сти полное ускорение а и линейная скорость v тела обра-
зуют угол а=30°. Найти отношение центростремительного
и касательного ускорений.
83. Найти линейную скорость v и центростремительное
ускорение ап точек на экваторе и на широте ф=60°. Счи-
тать радиус Земли R=6400 км.
2* 19
84. Маховое колесо, вращающееся с частотой п —
=»240 об/мин, останавливается в течение промежутка вре-
мени /=0,5 мин. Найти число оборотов N, сделанных
колесом до полной остановки.
85. Поезд въезжает на закругленный участок пути с на-
чальной скоростью и0=54 км/ч и проходит равноускоренно
расстояние s=600 м за время /=30 с. Радиус закругления
/? = 1 км/ Найти скорость v и полное ускорение а поезда
в конце этого участка пути.
86. С колеса автомобиля, движущегося с постоянной
скоростью и, слетают комки грязи. Радиус колеса равен R.
На какую высоту h над дорогой будет отбрасываться грязь,
оторвавшаяся от точки А колеса, указан-
ной на рис. 12? Изменится ли высота Л, /
если колесо будет катиться с пробуксов- биЛ
кой?
Рис. 12. Рис. 13.
. 87. В винтовой желоб (рис. 13) положен тяжелый шарик.
С каким ускорением а нужно тянуть нить, намотанную на
цилиндр с желобом, чтобы шарик падал свободно, если диа-
метр цилиндра равен £), а шаг винтового желоба равен й?
§ 4. Динамика прямолинейного движения
При решении динамических задач нужно прежде всего выяснить,
какие силы действуют на тело, движением которого мы интересуемся.
Необходимо изобразить эти силы на чертеже. При этом нужно отчет-
ливо представлять себе, со стороны каких тел действуют рассматривае-
мые силй. Следует помнить, что силы «действия» и «противодействия»,
фигурирующие в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам.
Поэтому на данное тело может действовать лишь одна из этих двух сил.
В задачах обычно встречаются следующие типы сил.
1. Сила тяжести mg (рис. 14) — сила, действующая на тело со сто-
роны Земли. Эта сила приложена к центру масс тела. Если других сил
нет, то сила тяжести сообщает телу массы т ускорение свободного па-
дения £=9,80665 м/с2»9,81 м/с2. Если пренебречь вращением Земли,
20
а также отклонениями от сферической симметрии распределения' со
ставляющих ее масс, то силу тяжести можно считать направленной
к центру Земли.
2. Сила реакции опоры W (рис. 15, а) — сила, в которой опора дей-
ствует на тело. Эта сила перпендикулярна к поверхности соприкоснове-
ния тел. Зависимость силы реакции опоры от деформации в задачах
обычно не рассматривается.
3. Сила нормального давления Гн д (рис. 15, б) — сила, с которой
тело давит на опору. Эта сила перпендикулярна к поверхности сопри-
косновения тел, равна по модулю (согласно третьему закону Ньютона)
силе реакции опоры и противоположна ей по направлению, так что для
модулей этих сил справедливо равенство
/Гн.п=^
4. Сила натяжения подвеса Т (рис. 16) —
сила, с которой подвес действует на тело. Эта
сила направлена вдоль оси подвеса. Если тела
Рис. 16.
связаны невесомой нитью (веревкой, тросом и т. п.), то натянутая нить
действует с одинаковыми силами как на одно, так и на другое тело. При
этом нить может быть перекинута через систему невесомых блоков.
Обычно нить считается нерастяжимой и зависимость силы натяжения
нити от деформации не рассматривается.
Сила натяжения подвеса (сила реакции подвеса), так же как и сила
реакции опоры, относится к силам упругости, особенность которых со-
стоит в том, что они направлены перпендикуляр-
но к поверхности соприкосновения взаимодейст-
вующих тел или вдоль их осей.
5. Сила трения f (рис. 17) — сила сопротив-
ления, возникающая при относительном переме-
щении прижатых друг к другу тел. Эта сила на-
Рис. 17.
Рис. 18,
правлена по касательной к поверхности соприкосновения тел и противо-
положно направлению перемещения данного тела. Важно обратить вни-
мание на неоднозначность силы трения покоя. При покое сила трения
в зависимости от других сил, приложенных к телу, может меняться от
21
Т Г
v
V
нуля до некоторого максимального значения, определяемого силой
нормального давления Гн.д: /тах=^н.д* где коэффициент трения*).
При скольжении обычно принимается, что /=/тах (рис. 18). Учитывая,
что модули сил нормального давления и реакции опоры равны, можно
выразить максимальную силу трения /тах через силу реакции опоры
N: /гйах= kN (Для модулей сил). Это соотношение будет часто использо-
ваться при решении задач.
!. Для того' чтобы определить направление силы трения, можно при-
менить [следующий прием: предположить, что сила трения мгновенно
исчезла, и найти направления относительных скоростей трущихся тел.
Направления сил трения будут противоположны направлениям относи-
тельных скоростей.
: , После трго как найдены действующие на тело силы, следует записать
уравнение движения (второй закон Ньютона). При движении по прямой
второй закон Ньютона имеет вид"/па = Г1 + Га+...+FM,
где Ff, F2, . , Fn— проекции сил на прямую, по которой происходит
движение. Положительное направление отсчета удобно выбирать совпа-
дающим с направлением ускорения. Если направление составляющей
силы совпадает с направлением ускорения, то соответствующая проек-
ция силы берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком
минус. До того как задача решена, направление ускорения, вообще го-
воря, неизвестно и может быть выбрано произвольно. Если полученное
в процессе решения задачи ускорение положительно, то его направление
выбрано правильно, если отрицательно — то неправильно.
В направлении, перпендикулярном к прямолинейному движению,
сумма проекций сил равна нулю, так как ускорение в этом направлении
отсутствует. Этими равенствами можно воспользоваться в случае, когда
надо найти силу реакции опоры, определяющую силу трения.
Если рассматривается движение системы тел, то уравнение движе-
ния нужно записать для каждого тела системы. Задача может быть ре-
шена лишь тогда, когда число независимых уравнений равно числу не-
известных. В число неизвестных часто кроме величин, которые требуется
найти по условию задачи, входят еще силы реакции опоры, трения и на-
тяжения подвеса, возникающие при взаимодействии тел системы.
Для решения задачи о движении системы связанных друг с другом
тел одних уравнений движения, вообще говоря, недостаточно. Нужно
записать еще так называемые кинематические условия, выражающие
собой соотношения между ускорениями тел системы, обусловленные
связями внутри нее. Например: 1) тела, связанные нерастяжимой нитью,
имеют одинаковые по модулю ускорения: |аг|=|а21 (обычно это соотно-
шение подразумевается непосредственно при записи’уравнений движе-
ния); 2) при наличии подвижного блока ускорение тела А по модулю
в два раза меньше ускорения тела В (рис. 19): |ав|=2|ал|.
♦) В настоящее время для обозначения коэффициента сухого
трения чаще используется буква р.
22
Решение следует первоначально получить в общем виде и лишь
затем подставлять числовые значения в избранной системе единиц. По-
лезно проследить, как будут изменяться найденные величины в зависи-
мости от величин, заданных в условии задачи.
Если в задаче требуется найти не только силы
и ускорения, но также координаты (или пройденные
пути) тел и их скорости, то кроме уравнений движе-
ния нужно использовать кинематические уравне-
ния для координат и скоростей.
88. Поезд массы т=500 т после пре-
кращения тяги паровоза останавливается
под действием силы трения /=0,1 МН через
время t=\ мин. С какой скоростью v шел
поезд до момента прекращения тяги па-
Рис. 19.
ровоза?
89. Паровоз на горизонтальном участке пути, имеющем
длину s=600 м, развивает силу тяги F=147 кН. Скорость
поезда массы т=1000 т возрастает при этом от у0=36 км/ч
до у=54 км/ч. Найти силу сопротивления f движению поез-
да, считая ее постоянной.
90. Воздушный шар массы М опускается с постоянной
скоростью. Какой массы т балласт нужно выбросить, что-
бы шар поднимался с той же скоростью? Подъемная сила
воздушного шара Q известна.
91. С какой силой F нужно действовать на тело массы
т=5 кг, чтобы оно падало вертикально вниз с ускорением
а=15 м/с2?
92. Автомобиль движется с ускорением а=\ м/с2. С ка-
кой силой F человек массы /п=70 кг давит на спинку си-
денья?
93. Проволока выдерживает груз массы ^гаах=450 кг.
С каким максимальным ускорением можно поднимать груз
массы /и=400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы
она не оборвалась?
94. Веревка выдерживает груз массы ^,=110 кг при
подъеме его с некоторым ускорением, направленным по
вертикали, и груз массы т2=690 кг при опускании его
с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная
масса т груза, который можно поднять на этой веревке,
двигая его с постоянной скоростью?
95. Найти силу натяжения Т каната, к которому подве-
шена клеть подъемной машины, если клеть массы т=300 кг
движется: с ускорением ^=1,6 м/с2, направленным вверх;
с ускорением а2=0,8 м/с2, направленным вниз.
23
.96. Масса лифта с пассажирами /И=800 кг. Найти
ускорение лифта и его направление, если сила натяжения
троса» на котором подвешена кабина лифта, такая же, как
у неподвижного лифта массы г?2=600 кг.
97. К потолку движущегося лифта на нити подвешена
гиря массы //?! = ! кг. К этой гире привязана другая нить,
на которой подвешена гиря массы т2=2 кг. Найти силу
натяжения Т верхней нити, если сила натяжения нити
между гирями 7‘0=9,8 Н.
98. С какой силой Fnjk будет давить на дно шахтной
клети груз массы т== 100 кг, если клеть поднимается с ус-
корением я=24,5 см/с2? ,:
99. Груз массы /и=140 кг, лежащий на полу кабины
опускающегося лифта, давит на пол с силой FHft=1440 Н.
Найти ускорение лифта и его направление.
100. В лифте установлен динамометр, на котором под-
вешено тело массы т=1 кг. Что будет показывать динамо-
метр если: 1) лифт движется вверх с ускорением =4,9 м/с2;
2) лифт движется вверх замедленно с ускорением 02=4,9 м/с2;
3) лифт движется вниз с ускорением 03=2,45 м/с2; 4) лифт
движется вниз замедленно с ускорением 04=2,45 м/с2?
101. Какая горизонтальная сила F требуется, чтобы
тело массы т=2 кг, лежащее на горизонтальной поверх-
ности, начало скользить по ней с ускорением 0=0,2 м/с2?
Коэффициент трения между телом и поверхностью &=0,02.
102. При быстром торможении трамвай, имевший ско-
рость и =25 км/ч, начал двигаться «юзом» (заторможенные
колеса, не вращаясь, начали скользить по рельсам). Ка-
кой .участок, пути s пройдет трамвай с момента начала тор-
можения до полной остановки? Коэффициент трения меж-
ду колесами и рельсами й=0,2.
103. Камень, скользящий по горизонтальной поверхно-
сти, остановился, пройдя расстояние s=20,4 м. Найти на-
чальную скорость камня и. Сила трения f между камнем и
поверхностью составляет 6% силы тяжести, действующей
на камень.
104. На горизонтальной доске лежит груз. Какое ус-,
корение а в горизонтальном направлении следует сообщить
доске, чтобы груз соскользнул с нее? Коэффициент трения
между грузом и доской fe=0,2.
105. На горизонтальной поверхности лежит доска мас-
сы Л4=10 кг, а на доске— брусок массы т=1 кг. Какую
минимальную силу F в горизонтальном направлении надо
приложить к доске, чтобы брусок соскользнул с нее? Коэф-
фициент трения между бруском и доской Л=0,1...
24
106. Тело массы т движется по горизонтальной поверх-
ности под действием силы F, направленной под углом <х
к горизонту (рис. 20). Найти ускорение а тела. При какой
силе Fq движение будет равномерным? Коэффициент тре-
ния между телом и плоскостью равен k.
107. Тело массы гп движется вверх по вертикальной
стене под действием силы F. направленной под углом а
к вертикали (рис. 21). Найти ускорение а те-
ла. Коэффициент трения между телом и стеной
равен k.
108. Какой путь s за время t пройдет «юзом»
воз массы т, если щука и рак
тянут его в противоположные
стороны по горизонтали с сила-
ми Fi и F2, лебедь тянет с силой
Рис. 21.
F3 в ту же сторону, что и рак, Рис. 20.
но под углом а к горизонту?
Коэффициент трения между колесами и поверхностью зем-
ли равен /г. Начальная скорость воза u0=0-
109. Тело массы тп=40 г, брошенное вертикально вверх
с начальной скоростью ио=ЗО м/с, достигло высшей точки
подъема спустя время /=2,5 с. Найти среднюю силу со-
противления f воздуха, действовавшую на тело во время
полета.
ПО. Акробат массы zn=70 кг прыгнул с трапеции на
натянутую сетку, которая при этом прогнулась на расстоя-
ние ДЛ=1 м. Высота трапеции над сеткой Л=6 м. С каким
ускорением а двигался акробат, прогибая сетку, и с какой
силой реакции N сетка действовала на тело акробата? 1
111. Какая минимальная сила сопротивления f возду-
ха действует на парашютиста и парашют общей массы
т=75 кг при полностью раскрытом парашюте?
112. Сила сопротивления /, действующая на раскрытый
парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффи-
циент пропорциональности fe=20 Н-с2/м2). Масса парашю-
тиста т=72 кг. С какой высоты h должен спрыгнуть чело-
век без парашюта, чтобы скорость его приземления равня-
лось скорости приземления парашютиста, прыгнувшего с
большой высоты?
113. Два тела с массами /Л1=50 г и /П2=100 г связаны
нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности
(рис. 22) *). С какой силой F можно тянуть первое тело,
*) Напомним, что нить (веревка, трос и т. п.) считается невесомой
и нерастяжимой. ! ' 11
25
-ГЯ-----1 I
Рис. 22.
чтобы нить, способная выдер-
жать силу натяжения Ттах =
=5 Н, не оборвалась? Изме-
нится ли результат, если силу
приложить ко второму телу?
114. Два тела связаны нитью и лежат на гладкой гори-
зонтальной поверхности. К телу массы приложена сила
Fu направленная вдоль поверхности, а к телу массы т2 —
сила F2<ZFU направленная в противоположную сторону.
Найти силу натяжения Т нити при движении тел.
115. Три тела связаны нитью и лежат на гладкой гори-
зонтальной поверхности. К телу массы nti приложена сила
Fi, направленная вдоль поверхности, а к телу массы т3 —
сила F2 > Ft, направленная в противо-
положную сторону (рис. 23). Найти
силу натяжения Т нити между телами
с массами т± и т2.
116. На брусок массы =0,18 кг по-
ставлена гиря массы /Иг=2 кг (рис. 24).
гт-| m m 5
Рис. 24.
77^2
Рис. 23.
блок *), брусок с
по доске, когда на
С помощью нити, перекинутой через
гирей скользит с постоянной скоростью
чашку массы дп3=0,18 кг положена гиря массы /и4=0,5 кг.
Найти коэффициент трения k между брус-
ком и доской.
117. К одному концу веревки, перекину-
той через блок, подвешен груз массы т=
= 10 кг (рис. 25). С какой силой F нужно
тянуть вниз за другой конец веревки, что-
бы груз поднимался с ускорением а=1 м/с2?
118. Через блок, подвешенный к динамо-
метру, перекинут шнур, на концах которого
укреплены грузы с массами кг и tn2=
= 8 кг. Что показывает динамометр при дви-
жении грузов?
одном конце нити, перекинутой через блок,
т
v/=
Рис. 25.
119. На
подвешен груз массы т=500 г. Известно, что нить не об-
рывается, если на другом ее конце закрепить груз массы
*) Здесь и далее блок считать невесомым и неподвижным, если это
не оговорено в условии задачи.
26
М = \ т и осторожно отпустить его. Какую силу натяжения
Т выдерживает в этом случае нить?
120. На одном конце нити, перекинутой через блок,
подвешено тело массы zni=30 г. Другой конец нити соеди-
нен с легкой пружиной, к концу которой прикреплено тело
массы /722=50 г. Длина пружины в нерастянутом состоянии
/о=1О см. Под действием силы F=0,1 Н пружина удли-
няется; ее деформация Д/=2 см. Найти длину I пружины
во время движения грузов, считая, что колебания в систе-
ме отсутствуют.
121. Две гири с массами mi=3 кг и т2=6,8 кг висят
на концах нити, перекинутой через блок. Первая4гиря на-
ходится на 2 м ниже второй. Гири пришли в движение без
начальной скорости. Через какое время t они окажутся
на одной высоте?
122. Два тела массы т=240 г каждое подвешены на
концах нити, перекинутой через блок. Какую массу mQ
должен иметь груз, положенный на одно из тел, чтобы
каждое из них прошло за время t=4 с путь £=160 см?
123. Два тела массы т=100 г каждое подвешены на
койцах нити, перекинутой через блок. На одно из тел по-
ложен груз массы /по=5О г. С какой силой Гн д будет давить
груз на тело, на котором он лежит, когда вся система при-
дет в движение?
124. С каким ускорением айв каком направлении бу-
с массами mt
дет перемещаться центр масс двух грузов
и если эти грузы связаны
нитью, перекинутой через блок?
125. Найти силу натяжения Т нити в
устройстве, изображенном на рис. 26, ес-
ли массы тел тх=100 г и т2=300 г.
126. Найти ускорение а тела, соскаль-
зывающего с наклонной плоскости, обра-
зующей с горизонтом угол а=30°. Коэф-
фициент трения между телом и плоскостью
£=0,3.
127. С вершины наклонной плоскости,
имеющей длину /=10м и высоту h=5 м,
начинает двигаться без начальной ско-
рости тело. Какое время t будет продолжаться движение
тела до основания наклонной плоскости и какую скорость
v оно будет иметь при этом? Коэффициент трения между
телом и плоскостью £=0,2.
128. Тело начинает Движение с начальной скоростью
вверх по наклонной плоскости, образующей с горизон-
27
том угол а. Через какой промежуток времени t тело, вер-
нется в точку, из которой оно начало двигаться вверх?
Коэффициент трения между телом и плоскостью ft<tg а.
129. По склону горы, имеющей длину Z=50 м и высо-
ту ft=10 м, на веревке спускают без начальной скорости
санки массы /и=60 кг. Найти силу натяжения Т веревки,
если санки у основания горы имеют скорость о=5 м/с,
а сила трения f между санками и поверхностью горы со-
ставляет 10% силы тяжести, действующей на санки.
130. На гладкой наклонной плоскости, образующей угол
а=30° с горизонтом, находится тело массы tn=50 кг, на
которое действует горизонтально направленная сила F=
=294 Н (рис. 27). Найти ускорение а тела и силу Гн>д, с ко-
торой тело давит на плоскость.
131. Два тела с массами /И1 = 10 г и /л§=15 г связаны
нитью, . перекинутой через блок, установленный на
наклонной плоскости (рис. 28). Плоскость образует с
горизонтом угол а=30°. Найти ускорение, с которым будут
двигаться эти тела.
132. Три груза с массами пц, пг3 и т3 связаны нитью,
перекинутой через блок,
установленный на наклонной
плоскости (рис. 29). Пло-
скость образует с горизонтом
угол а. Начальные скорости
грузов равны нулю. Найти
силу натяжения Т нити, свя-
зывающей грузы, находя-
щиеся на наклонной плоско-
сти. Коэффициент трения меж-
ду грузами и плоскостью
равен.ft.
133. Шар массы т лежит- в ящике, соскальзывающем
без трения с наклонной плоскости. Плоскость образует с
горизонтом угол а. Найти силы, с которыми шар давит на
переднюю стенку и на дно ящика.
134. На наклонной плоскости, образующей угол а с
горизонтом, стоит кубик массы /и. Плоскость находится
28
в лифте, движущемся с ускорением а, направленным вверх.
Найти силу нормального давления Гп.д кубика на плос-
кость. При каком коэффициенте трения k между кубиком
и плоскостью кубик не будет соскальзывать вниз?
135. Доска массы М. может двигаться без трения по
наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол ос.
С каким ускорением айв каком направлении должен бе-
жать по доске человек массы /и, чтобы доска не соскальзы-
вала с наклонной плоскости?
136. На тележке, скатывающейся без трения с наклон-
ной плоскости, установлен стержень с подвешенным на
нити шариком массы /п=2 г. Найти силу натяжения Т
нити, если плоскость образует с горизонтом угол ос=60°.
137. На наклонной плоскости, образующей с горизон-
том угол ос, находится бакс водой, имеющий массу m. С ка-
кой силой; F, параллельной наклонной плоскости, нужно
двигать бак, для того чтобы поверхность воды в баке была
параллельна наклонной плоскости? Коэффициент трения
между баком и наклонной плоскостью равен /г.
138. По тросу, образующему с горизонтом угол а, ка-
тится без трения блок, к которому подвешено ведро с во-
дой. Высота воды в ведре рав-
на й. Каково давление воды
на дно ведра во время дви-
жения?
Рис. 30.
139. С каким ускорением
а должен ехать грузовик, что-
бы бревно длины I и канат длины fe, которым оно привязано
к грузовику, составляли прямую линию (рис. 30)? Канат
привязан к грузовику на высоте Л от поверхности земли.
§ 5. Закон сохранения импульса
Из второго и третьего законов Ньютона следует закон сохра-
нения импульса: изменение полногр импульса системы тел рав-
но сумме импульсов внешних сил, действующих на тела системы. Так
как импульс тела и импульс силы — величины векторные, то такое ра-
венство выполняется для проекций этих величин на любую прямую.
Таким образом,
(m,vi+mtVi +,.. + mnVn) — (лзд+m2v, +... + mnvn) =
=f1a/+f2a/+...+f„a^
где m2......mn— массы тел системы, Vj, . ,i., vn и v2t . . ., v'n—
проекции начальных и конечных скоростей этих тел на некоторое на-
29
правление, а ГХД/, Г2Д/, ,. FnM — проекции импульсов внешних сил
на это же направление.
Если система замкнута, т. е. на тела, которые мы относим к этой
системе, не действуют внешние силы, то сумма проекций импульсов
внешних сил на любое направление равна нулю:
f1a/+f8a/+.0.4-f„a/=o,
и, следовательно,
miUi + m2V2 + ... + mnVn = -f- m2oa + ,». 4- mnvn,
т. е. проекция импульса системы тел на любое направление сохраняете?
неизменной. Однако и для незамкнутой системы может оказаться, что
сумма проекций импульсов всех внешних сил на некоторое избранное
направление равна нулю. Тогда остается неизменной проекция импуль-
са системы тел лишь на это направление. Проекции же импульса системы
тел на другие направления при этом не сохраняются.
Нужно иметь в виду, что если конечное состояние системы отдале-
но от начального малым интервалом времени (например, время выстрела
или соударения тел), то импульсом F Ы таких внешних сил, как тяго-
тение и вязкое трение, можно пренебречь и рассматривать систему как
замкнутую.
При записи закона сохранения импульса нужно следить за правиль-
ностью расстановки знаков. Некоторое направление произвольно выби-
рается за положительное. Проекция импульса тела записывается
со знаком плюс, если направление составляющей совпадает с избранным
направлением, и со знаком минус — в противном случае. Для тел, на-
правления движения которых не заданы в условии задачи, знаки могут
быть расставлены произвольно. Если в результате решения задачи ока-
жется, что проекция импульса положительна, то направление движения
тела выбрано правильно, если отрицательна, то — неправильно.
140. Какова средняя сила давления F на плечо при
стрельбе из автомата, если масса пули ги = 10 г, а скорость
пули при вылете из ствола v =300 м/с? Число выстрелов из
автомата в единицу времени м=300 мин”1.
141. Мяч массы /72=150 г ударяется о гладкую стенку
под углом а=30° к ней и отскакивает без потери скорости.
Найти среднюю силу F, действующую на мяч со стороны
стенки, если скорость мяча ^=10 м/с, а продолжительность
удара Д/=0,1 с.
142. Падающий вертикально шарик массы т=200 г
ударился об пол со скоростью v=5 м/с и подпрыгнул на
высоту h=46 см. Найти изменение Др импульса шарика
при ударе.
143. Из орудия массы /И=3 т, не имеющего противоот-
катного устройства (ствол жестко скреплен с лафетом),
30
вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы
= 15 кг со скоростью v=650 м/с. Какую скорость и получает
орудие при отдаче?
144. Снаряд массы /?г=20 кг, летевший горизонтально
со скоростью v=50 м/с, попадает в платформу с песком и
застревает в песке. С какой скоростью и начнет двигаться
платформа, если ее масса /И=10 т?
145. Пушка, стоящая на гладкой горизонтальной пло-
щадке, стреляет под углом а=30° к горизонту. Масса сна-
ряда /тг=20 кг, его начальная скорость и=200 м/с. Какую
скорость и приобретает пушка при выстреле, если ее масса
Л4=500 кг?
146. Орудие, имеющее массу ствола М=500 кг, стре-
ляет в горизонтальном направлении. Масса снаряда т=
5 кг, его начальная скорость о=460 м/с. При выстреле
ствол откатывается на расстояние s=40 см. Найти среднюю
силу торможения /, возникающую в механизме, тормозя-
щем ствол.
147. Снаряд массы т=50 кг, летящий со скоростью
ц=800 м/с под углом а=30° к вертикали, попадает в плат-
форму с песком и застревает в нем. Найти скорость плат-
формы и после попадания снаряда, если ее масса Л4=16 т.
148. Человек, стоящий на коньках на гладком льду ре-
ки, бросает камень массы /п=0,5 кг. Спустя время t=
=2 с камень достигает берега, пройдя расстояние s=20 м.
С какой скоростью и начинает скользить конькобежец, если
его масса /И=60 кг? Трением пренебречь.
149. Два человека с массами /И1=70 кг и /и2=80 кг
стоят на роликовых коньках друг против друга. Первый
бросает второму груз массы ги=10 кг со скоростью, гори-
зонтальная составляющая которой v=5 м/с относительно
земли. Найти скорость первого человека после бросания
груза и скорость v2 второго после того, как он поймает
груз. Трением пренебречь.
150. Тело массы М=§90 г лежит на горизонтальной
поверхности. В него попадает пуля массы т=10 г и за-
стревает в нем. Скорость пули v=700 м/с и направлена
горизонтально. Какой путь s пройдет тело до остановки?
Коэффициент трения между телом и поверхностью й=0,05.
151. Навстречу платформе с песком, движущейся со ско-
ростью v, по гладкому наклонному желобу соскальзывает
без начальной скорости тело массы т и застревает в песке.
Желоб длины I образует с горизонтом угол а. Найти ско-
рость и платформы после попадания в нее тела, если мас-
са платформы равна М.
31
152. Ракета, имеющая вместе с зарядом массу Л^=250 г,
взлетает вертикально вверх и достигает высоты ft=150 м.
Масса заряда т=50 г., Найти скорость v истечения газов
из ракеты, считая, Что сгорание заряда происходит мгно-
венно.
153. С платформы массы Л4=20 т, движущейся со ско-
ростью и=9 км/ч, производится выстрел из пушки. Снаряд
массы т=25 кг вылетает из орудия со скоростью о=700 м/с.
Найти скорости платформы непосредственно после выстре-
ла: если направления движения платформы и выстрела сов-
падают; если эти направления противоположны.
154. По горизонтальным рельсам со скоростью и=
= 20 км/ч движется платформа массы /И=200 кг. На нее
вертикально падает камень массы ги=50 кг и движется
в дальнейшем вместе с платформой. Через некоторое время
в платформе открывается люк, и камень проваливается
вниз. С какой скоростью и движется после этого платфор-
ма? Трением пренебречь.
155. Ядро, летевшее горизонтально со скоростью v=
=20 м/с, разорвалось на два осколка с массами mi=10 кг
и /и2=5 кг. Скорость меньшего осколка у2=90 м/с и на-
правлена так же, как и скорость ядра до разрыва. Найти
скорость V! и направление движения большего осколка.
156. Две лодки движутся по инерции параллельными
курсами навстречу друг другу. Когда лодки поравнялись,
с одной из них на другую осторожно переложили груз мас-
сы т=25 кг. После этого лодка с грузом остановилась, а
лодка без груза продолжала двигаться со скоростью и=
=8 м/с. С какими скоростями Vi и и2 двигались лодки до
встречи, если масса лодки, в которую переложили груз,
Л4=1 т?
157. Три лодки массы М каждая движутся по инерции
друг за другом с одинаковыми скоростями v. Из средней
лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы мас-
сы т каждый со скоростью и относительно лодок. Какие
скорости Vi, v2 и v3 будут иметь лодки после перебрасыва-
ния грузов?
158. Человек массы т=60 кг переходит о носа на кор-
му лодки. На какое расстояние s переместится лодка дли-
ны 1=3 м, если ее масса 74 = 120 кг?
159. Поезд массы М=500 т шел равномерно по гори-
зонтальному пути. От поезда отцепился последний вагон
массы т=20 т. В момент, когда вагон остановился, рас-
стояние между ним и поездом было s=500 м. Какой путь
I прошел вагон до остановки, если известно, что сила со-
32
противления движению пропорциональна силе тяжести
и не зависит от скорости движения?
160. Снаряд вылетает из орудия со скоростью и0 под
углом а к горизонту. В верхней точке траектории снаряд
разрывается на два равных осколка, причем скорости ос-
колков непосредственно после взрыва горизонтальны и ле-
жат в плоскости траектории. Первый осколок упал на
расстоянии $ от орудия в направлении выстрела. Найти
место падения второго осколка, если известно, что он упал
дальше первого.
161. Снаряд летит по параболе и разрывается в верх-
ней точке траектории на два равных осколка. Первый ос-
колок упал вертикально вниз, второй — на расстоянии s
по горизонтали от места разрыва. Найти скорость снаряда
перед разрывом, если известно, что взрыв произошел на
высоте h и время падения первого осколка равно /0.
§ 6. Статика
При решении задач на статику, так же как и при решении динами-
ческих задач, нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют на
рассматриваемые тела. Эти силы необходимо изобразить на чертеже.
В статике используются два типа уравнений, выражающих условия
равновесия тела:
S^=o
(сумма проекций действующих на тело сил на любое направление равна
нулю) и
(сумма моментов этих сил относительно любой неподвижной оси равна
нулю).
При решении задач па плоскости (именно такие задачи преимуще-
ственно встречаются) для проекций сил можно записать два независимых
уравнения для взаимно перпендикулярных направлений, например для
горизонтального и вертикального. Целесообразно выбирать направле-
ния таким образом, чтобы проекции сил выражались наиболее просто,
т. е. чтобы соответствующие косинусы углов между силами и выбранным
направлением составляли 0 или 1 или были бы заранее известны. Нужно
следить за тем, чтобы проекции сил, имеющих одинаковые направления,
входили в уравнение с одними и теми же знаками.
Если рассматриваемые в задаче силы лежат в одной плоскости, то
можно записать только одно независимое уравнение для моментов сил
относительно оси, перпендикулярной к этой плоскости. Решение задачи
упрощается, если ось выбрать так, чтобы в уравнение 2 Af/=O, по воз-
можности, не входили моменты сил, знание которых не требуется по
условию задачи. Для этого нужно, чтобы плечи этих сил были равны
нулю.
2 Г. А. Бендриков и др. 33
Моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке, входят в урав-
нение с одним знаком, а моменты сил, вращающих тело против часовой
стрелки, должны иметь противоположный знак. Если направление со-
ставляющих отдельных сил или направление вращения для моментов
этих сил не известны заранее, то, как и в задачах на динамику, знак мо-
жет быть выбран произвольно, а о действительном направлении можно
будет судить по результатам решения задачи.
При нахождении центра масс системы тел проще всего, как правило,
рассмотреть моменты сил относительно оси, проходящей через центр
масс. Равенство нулю суммы моментов сил тяжести относительно этой
оси представляет собой уравнение для координат, определяющих поло-
жение центра масс.
162. В одном случае два человека тянут в противопо-
ложные стороны за концы канат с равными по модулю си-
лами F. В другом случае один конец каната привязан к не-
подвижной опоре, а за другой его конец тянут два человека
с теми же по модулю силами F. Какую силу натяжения ис-
пытывает канат в обоих случаях?
163. Цилиндр двигателя внутреннего сгорания имеет
внутренний диаметр D=0,16 м. Число болтов, крепящих
крышку цилиндра, л=8. При сгорании горючей смеси раз-
вивается давление Р=6 МПа. Найти диаметр d болтов,
обеспечивающих десятикратный запас прочности. Допусти-
мое напряжение в стали Ро=150 МПа.
164. С какой минимальной силой F, направленной го-
ризонтально, нужно прижать плоский брусок массы т=
=5 кг к стене, чтобы он не соскользнул вниз? Коэффициент
трения между бруском и стеной £=0,1.
165. Однородная линейка массы т на 1/3 длины высту-
пает за край стола. Какую силу F нужно приложить, чтобы
сдвинуть линейку вдоль ее длинной стороны? Коэффициент
трения между линейкой и столом равен k.
166. Деревянный брусок массы /и=2 кг лежит на на-
клонной плоскости, образующей с горизонтом угол а =
= 60°. С какой силой F, направленной перпендикулярно к
плоскости, необходимо прижать брусок, чтобы он не сос-
кользнул? Коэффициент трения
между бруском и плоскостью £=
=0,4.
167. Тонкая доска с двумя низ-
кими опорными выступами на кон-
цах лежит на наклонной плоско-
\ , сти (рис. 31). При каком мпнималь-
Рис, 31, ном значении угла наклона а плос-
34
Рис. 32.
кости к горизонту доска начнет скользить по наклонной
плоскости? Коэффициенты трения между нижней и верх-
ней опорами и наклонной плоскостью равны kj и /eg.
168. Фонарь массы ап=20 кг подвешен на двух одина-
ковых тросах, образующих угол а=120°. Найти силу на-
тяжения Т тросов.
169. К тросу длины 1=3 м, концы которого закреплены
на одной высоте, на расстояниях а=1 м от точек закрепле-
ния подвешены два груза массы т=] кг каждый. Прови-
сание троса в средней части составило
= 10 см Найти силы натяжения 7\, 7\ и Тд
троса на каждом из трех участков.
170. На кронштейне, изображенном на
рис. 32, висит груз массы т = 100 кг. Най-
ти силы натяжения стержней АВ и ВС, ес-
ли они образуют угол а=60°, а в точках А,
В и С—шарниры.
171. При взвешивании на неравноплечих
рычажных весах масса тела (по сумме масс
уравновешивающих гирь) на одной чаше ве-
сов оказалась равной /П1=2,2 кг, а на другой — т^=
= 3,8 кг. Найти истинную массу тела tn.
172. Однородный стержень о прикрепленным на одном
из его концов грузом массы т=1,2 кг находится в равно-
весии в горизонтальном положении, если его подпереть
на расстоянии 1/5 длины стержня от груза. Найти массу
стержня М.
173. Однородная балка лежит на платформе так, что
один ее конец на 1/4 длины свешивается с платформы.
К свешивающемуся концу прилагают силу, направленную
вертикально вниз. Когда эта сила становится равной F =
=2000 Н, противоположный конец балки начинает под-
ниматься. Найти массу балки.
174. Два человека несут трубу массы иг=80 кг и длины
1=5 м. Первый человек поддерживает трубу на расстоя-
нии а=1 м от ее конца, а второй держит противоположный
конец трубы. Найти силу давления трубы, испытываемую
каждым человеком.
175. К стене прислонена лестница массы т под углом
а к вертикали. Центр масс лестницы находится на расстоя-
нии 1/3 длины от ее верхнего конца. Какую горизонталь-
ную силу F нужно приложить к середине лестницы, чтобы
верхний конец ее не оказывал давления на стену?
176. Под каким минимальным углом а к горизонту мо-
жет стоять лестница, прислоненная к гладкой вертикаль-
2* 35
Рис. 33.
ной стене, если центр масс ее находится в середине? Коэф-
фициент трения между лестницей и полом равен k.
177. Две одинаковые тонкие дощечки с гладкими за-
кругленными краями поставлены на стол и опираются друг
на друга. Каждая дощечка образует с
вертикалью угол а (рис. 33). Каким
должен быть коэффициент трения k
между дощечкой и столом, чтобы дощеч-
ки не падали?
178. Стержень массы т=1,5 кг и
длины 1=1 м одним концом шарнирно
прикреплен к потолку. Стержень удер-
живается в отклоненном положении вер-
тикальным шнуром, привязанным к сво-
бодному концу стержня. Найти силу
натяжения Т шнура, если центр масс стержня находится
на расстоянии а=0,4 м от шарнира.
179. Тяжелый цилиндрический каток массы т необхо-
димо поднять на ступеньку высоты h (рис. 34). Найти ми-
нимальную силу F, которую необходимо для этого прило-
жить к центру масс катка в горизонтальном направлении,
если радиус катка г больше высоты ступеньки Л.
180. Дифференциальный ворот состоит из двух цилинд-
ров с радиусами гт=0,2 м и г2=0,1 м, закрепленных на об-
щей оси (рис. 35). На цилиндрах укреплен канат, который
при вращении ворота наматывается на цилиндр большего
диаметра и сматывается с цилиндра меньшего диаметра.
На образуемой канатом петле подвешен блок. Какую силу
F нужно приложить к рукоятке ворота длины 1=1 м, что-
бы удерживать или равномерно поднимать груз массы т=
= 10 кг?
181. Конец однородного стержня АС, имеющего массу
ггц, шарнирно закреплен на доске в точке А (рис. 36).
>6
К другому концу стержня привязана переброшенная через
блок нить, на конце которой находится груз. Какова долж-
на быть масса груза /и2, для того чтобы отрезок нити ВС
был горизонтальным, а стержень образовывал с доской угол
а? Будет ли равновесие устойчивым?
182. К гладкой вертикальной стене на веревке длины
/=4 см подвешен шар массы т=300 г и радиуса г=2,5 см.
Найти силу давления шара на стену.
183. На плоском дне ящика находится шар. Дно ящи-
ка образует некоторый угол с горизонтом. Шар удержи-
вается в равновесии нитью, параллельной дну (рис-.- 37).
На какой максимальный угол а можно наклонить дно ящи-
ка, чтобы шар оставался в равновесии? Коэффициент тре-
ния между шаром и ящиком равен k.
184. Две тонкие палочки с массами М и гп соединены в
систему, изображенную на рис. 38. Палочки могут вра-
щаться без трения вокруг осей А и В, проходящих через
нижние концы палочек. Верхние концы палочек сходятся
под прямым углом так, что конец одной палочки лежит на
торце другой (последний закруглен). Верхняя палочка мас-
сы М образует с Горизонтом угол а. При каком минималь-
ном коэффициенте трения k между палочками нижняя не
упадет?
185. Две параллельные и противоположно направлен-
ные силы Fi = 10 Н и F2=25 Н приложены в точках Ди
В стержня, расположенных на расстоянии d=l ,5 м друг
от друга. Найти силу F, уравновешивающую силы F] и
F2, и точку ее приложения.
186. Два однородных кубика с массами /П1=0,3 кг и
ти2=1 ,2 кг и длинами ребер Л =0,08 м и /2=0,12 м соеди-
нены при помощи однородного стержня, имеющего массу
/и=0,6 кг и длину d=0,1 м. Концы стержня прикреплены
к серединам граней кубиков, а центры кубиков лежат на
продолжении оси стержня. Найти положение центра масс
системы.
187. Четыре однородных шара с массами mi=l кг,
ш2=5 кг, т3=7 кг, т4=3 кг укреплены на невесомом
37
стержне так, что их центры находятся на равных расстоя-
ниях d=0,2 м друг от друга. На каком расстоянии х от
центра третьего шара находится центр масс системы?
188. Две стороны проволочной рамки в форме равно-
стороннего треугольника сделаны из алюминиевой прово-
локи, а третья — из медной. Проволоки имеют одинаковые
сечения, а сторона треугольника 1=1 м. Плотности алюми-
ния и меди pi=2,7-103 кг/м3, рз=8,9-103 кг/м3. Найти по-
ложение центра масс системы.
189. Однородный цилиндр поставлен на наклонную
плоскость, образующую с горизонтом угол а. При каком
максимальном значении угла атах цилиндр еще не опро-
кинется, если высота цилиндра вдвое больше его радиуса?
190. На каком расстоянии от дна находится центр масс
тонкостенного цилиндрического стакана, имеющего высо-
ту Л = 12 см и диаметр d=8 см, если
толщина дна в два раза больше тол-
щины стенок?
191. Однородная пластина имеет
форму полукруга радиуса г, соеди-
ненного с прямоугольником, имеющим
основание, равное диаметру полу-
круга, и высоту h (рис. 39). Найти
отношение hl г, если центр масс всей
пластины совпадает с геометрическим
центром полукруга (точкой С). Расстояние от центра масс
полукруга Ci до его геометрического центра С равно 4г/Зл.
192. Однородный полушар массы т19 имеющий радиус
г, выпуклой стороной лежит на горизонтальной плоскости.
На край
полушара положен небольшой груз массы т2.
Под каким углом к горизонту накло-
нен ограничивающий полушар круг?
Расстояние от центра масс полушара
до геометрического’ центра равно
3/78.
193. Найти положение центра масс
однородного диска радиуса /?, из
которого вырезано отверстие радиу-
са r<zRI2 (рис. 40). Центр выреза
находится на расстоянии 7?/2 от цент-
ра диска.
194. Три человека несут однородную металлическую
плиту, имеющую форму равнобедренного треугольника
с основанием а=0,6 м и высотой h=1,25 м. Толщина пли-
ты d=4 см, плотность материала плиты р=3,6-103 кг/м3.
38
Какую силу давления испытывает каждый человек, если
все несущие держат плиту за вершины треугольника?
195. Три человека несут однородную плиту массы
= 70 кг, имеющую форму равностороннего треугольника со
стороной а=2 м. Двое держат плиту за одну из вершин, а
третий — за противоположное основание. На каком рас-
стоянии / от этой вершины закреплен на плите сосредото-
ченный груз массы /712=100 кг, если сила давления распре-
делена поровну между всеми несущими?
196. На двух вертикально расположенных пружинах
одинаковой длины горизонтально подвешен стержень. Жест-
кости пружин Л?1=0,02 Н/м и 62=0,03 Н/м, расстояние
между ними d=] м. В каком месте стержня нужно подве-
сить груз, чтобы стержень остался в горизонтальном поло-
жении? Массой стержня пренебречь.
197. Верхний конец стального стержня длины 1=] м и
радиуса г=0,5 см закреплен (рис. 41). Модуль Юнга стали
£ = 196 ГПа. Найти удлинение А/ стержня, если к его се-
редине и нижнему концу с помощью специального подвеса
прикрепить грузы массы /71=400 кг каждый. Массой стерж-
ня пренебречь.
198. Кронштейн, укрепленный на вертикальной стене,
имеет конструкцию, изображенную на рис. 42. Треуголь-
ник АСВ — равнобедренный, с основанием АВ, располо-
женным горизонтально, и высотой h. Стержни AD и BD
длины I каждый шарнирно прикреплены к стене. Канат
CD также имеет длину Z. Найти силу натяжения Т каната
39
CD и силы N, сжимающие стержни AD и BD, если в точке
D подвешен груз массы tn. Массами стержней и каната пре-
небречь.
§ 7. Закон сохранения энергии
При решении задач данного параграфа используется закон со-
хранения энергии. Разность между конечным (£2) и началь-
ным (E-J значениями энергии системы равна работе внешних сил:
£2 —£1 = А
Для двух тел полная энергия равна сумме кинетических энергий тел и
потенциальной энергии их взаимодействия:
। m,t>2 । L,
В задачах обычно встречается только одна частная форма потенци-
альной энергии — энергия взаимодействия с Землей тела, поднятого над
поверхностью Земли на высоту A: U=mgh. Изменение потенциальной
энергии не зависит от формы пути, по которому движется тело, и опре-
деляется разностью высот.
Так как при падении тела изменением кинетической энергии Земли
можно пренебречь, то закон сохранения энергии можно написать в виде
mv2i , mvl , f ,
——h mghx =~2—H mgh2 = const.
Работа силы F при поступательном перемещении тела, к которому
она приложена, на прямолинейном отрезке длины s выражается фор-
мулой A=Fs cos а, где а — угол между направлениями силы F и
отрезка $. При а<л/2 работа положительна, при а>л/2 работа отрица-
тельна.
Следует иметь в виду, что механическая энергия в замкнутой систе-
ме не сохраняется, если внутри системы действуют силы сопротивления
(или трения), зависящие от скорости *). Работа сил сопротивления долж-
на поэтому всегда рассматриваться как работа внешних сил. При нали-
чии сопротивления для незамкнутой системы
£а £1 — А-]- ЛСОПр,
где А — работа внешних сил, Лсопр— работа сил сопротивления, дей-
ствующих внутри системы. Механическая энергия не сохраняется также
при неупругом соударении. Здесь для нахождения скоростей после со-
ударения следует пользоваться законом сохранения импульса.
Если работа совершается за время t> то средняя мощность
—___________________________Fscos а
________________ Ш “ t ’
*) Силами сопротивления или трения) при решении задач следует
пренебречь, если нет других указаний в условии.
40
где s/t — средняя скорость. Мгновенная мощность
W = Fv cos сс,
где v — мгновенная скорость.
199. Летящая с некоторой скоростью пуля попадает
в мешок с песком и входит в него на глубину lt = 15 см. На
какую глубину /2 войдет в песок пуля той же массы, если
скорость ее движения будет вдвое больше? Считать силу
сопротивления движению пули в песке постоянной.
200. Пуля массы /п=10 г подлетает к доске толщины
d=4 см со скоростью ио=600 м/с и, пробив доску, вылетает
из нее со скоростью и=400 м/с. Найти среднюю силу F
сопротивления доски.
201. Пуля массы tn летит со скоростью у0 и пробивает
тяжелую доску толщины d, движущуюся навстречу пуле
со скоростью и. С какой скоростью v вылетит пуля из дос-
ки? Считать силу сопротивления F движению пули в дос-
ке постоянной. Скорость доски заметно не изменяется.
202. В тело массы mi=990 г, лежащее на горизонталь-
ной поверхности, попадает пуля массы zn2=10 г и застре-
вает в нем. Скорость пули и=700 м/с и направлена гори-
зонтально. Какой путь s пройдет тело до остановки? Коэф-
фициент трения между телом и поверхностью 6=0,05.
203. Сила F=0,5 Н действует на тело массы т=10 кг
в течение времени /=2 с. Найти конечную кинетическую
энергию тела /С, если начальная кинетическая энергия рав-
на нулю.
204. Поезд массы ги=1500 т движется со скоростью v =
= 57,6 км/ч и при торможении останавливается, пройдя путь
s=200 м. Какова сила торможения F? Как должна изме-
ниться сила торможения, чтобы поезд остановился, пройдя,
в два раза меньший путь?
205. Какую работу совершил мальчик, стоящий на
гладком льду, сообщив санкам скорость v=4 м/с относи-
тельно льда, если масса санок т=4 кг, а масса мальчика
М=20 кг?
206. Найти мощность W, развиваемую пороховыми га-
зами при выстреле из винтовки, если длина ствола ir=
= 1 м, масса пули /п=10 г, аскорость пули при вылете
=400 м/с. Массой газов, сопротивлением движению пули и
отдачей винтовки пренебречь. Считать силу давления га-
зов постоянной в течение всего времени движения пули в
стволе.
207. Два автомобиля с одинаковыми массами одновре-
менно трогаются с места и движутся равноускоренно. Во
41
сколько раз мощность первого автомобиля больше мощно-
сти второго, если за одно и то же время первый автомобиль
достигает вдвое большей скорости, чем второй?
208. Автомобиль массы т=1 т трогается с места и, дви-
гаясь равноускоренно, проходит путь s=20 м за время
/=2 с. Какую мощность W должен развить мотор этого
автомобиля?
209. Моторы электровоза при движении со скоростью
«7=72 км/ч потребляют мощность Ц7=800 кВт. К- п. д.
силовой установки электровоза ц =0,8. Найти силу тяги
F моторов.
210. Какой максимальный подъем может преодолеть
тепловоз, развивающий мощность Ц7=370 кВт, перемещая
состав массы т=2000 т со скоростью t>=7,2 км/ч? Считать
угол наклона а полотна железной дороги к горизонту
малым, а силу сопротивления движению равной king,
где k=0,002.
211. Мощность гидростанции Ц7=73,5 МВт. Найти
объемный расход воды Vt, если к. п. д. станции т] =0,75 и
плотина поднимает уровень воды на высоту h=10 м.
212. Подъемный кран за время t=7 ч поднимает массу
т=3000тстроительных материалов на высоту h — Юм. Како-
ва мощность W двигателя крана, если к. п. д. крана 11=0,6?
213. Трактор массы /п=10 т, развивающий мощность
Ц7=150 кВт, поднимается в гору со скоростью и=5 м/с.
Найти угол наклона а горы к горизонту.
214. Транспортер поднимает массу т=200 кг песка на
автомашину за время Z=1 с. Длина ленты транспортера
/=3 м, угол наклона ее к горизонту а=30°. К. п. д. тран-
спортера г)=0,85. Найти мощность W, развиваемую его
электродвигателем.
215. Шарик прикреплен к концу невесомой жесткой
спицы, имеющей длину Z=10 см. Второй конец спицы за-
креплен так, что спица с шариком может свободно вращать-
ся в вертикальной плоскости. Какую минимальную ско-
рость v в горизонтальном направлении нужно сообщить
шарику, чтобы спица сделала полный оборот? В начальный
момент спица вертикальна и шарик расположен внизу.
216. Тяжелый шарик, подвешенный на нерастяжимой и
невесомой нити, имеющей длину Z, отклоняют от вертикали
на угол а и затем отпускают. Какую максимальную ско-
рость v приобретет шарик?
217. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью
и0. Используя закон сохранения энергии, найти скорость
тела v на высоте h над горизонтом.
42
218. Камень массы /п=300 г брошен с башни горизон-
тально с некоторой скоростью. Спустя время /=1 с ско-
рость камня составила с горизонтом угол а=30°. Найти
кинетическую энергию К камня в этот момент.
219. Камень массы пг=5 кг упал с некоторой высоты.
Найти кинетическую энергию К камня в средней точке
его пути, если он падал в течение времени t=2 с.
220. Какой кинетической энергией К обладает тело мас-
сы т=\ кг, падающее без начальной скорости, спустя
время /=5 с после начала падения?
221. Пуля, вылетевшая из винтовки вертикально вверх
со скоростью ио=Ю00 м/с, упала на землю со скоростью
и=50 м/с. Какая работа А была совершена силой сопро-
тивления воздуха, если масса пули /и=10 г?
222. Пуля массы zn=0,3 г, выпущенная из пневмати-
ческой винтовки вертикально вверх, упала на землю спустя
время /=11 с. Каково среднее давление воздуха на пулю
внутри ствола, если его длина /=45см, а диаметр d=4,5 мм?
223. Тело брошено вертикально вверх со скоростью
v=49 м/с. На какой высоте h его кинетическая энергия /С
будет равна потенциальной энергии U?
224. К телу массы т=4 кг приложена направленная
вертикально вверх сила F=49 Н. Найти кинетическую
энергию /С тела в момент, когда оно окажется на высоте
й = 10 м над землей. В начальный момент тело покоилось
на поверхности земли.
225. Тело, брошенное с высоты /7=250 м вертикально
вниз со скоростью и=20 м/с, погрузилось в грунт на глу-
бину Л=20 см. Найти силу сопротивления F грунта, если
масса тела т=2 кг.
226. Для забивки сваи груз массы zn=200 кг подни-
мают со скоростью v=5 м/с, а затем отпускают на высоте
//=10 м, после чего он движется свободно до удара о сваю.
Масса сваи Л4=300 кг. Сила сопротивления грунта дви-
жению сваи Г=20 кН. Какова энергия груза Е в момент
его удара о сваю? На какую глубину h опускается свая
после каждого удара? С какой максимальной частотой п
можно производить удары? Считать ускорение свободного
падения £=10 м/с2.
227. Самолет массы т=5 т двигался горизонтально со
скоростью Vi =360 км/ч. Затем он поднялся на высоту h =
=2 км. При этом его скорость стала Уг=200 км/ч. Найти
работу Л, затраченную мотором на подъем самолета.
228. Пуля массы т=20 г, выпущенная под углом а
к горизонту, в верхней точке траектории имеет кинетиче-
43
скую энергию К =88,2 Дж. Найти угол а, если начальная
скорость пули о=600 м/с.
229. Человек массы М прыгает под углом а к горизон-
ту со скоростью v0. В верхней точке траектории он бросает
со скоростью v вертикально вниз груз массы т. На какую
общую высоту h подпрыгнул человек?
230. Брошенное вертикально вверх тело массы /п=200 г
упало на землю спустя время £=1,44 с. Найти кинетиче-
скую энергию тела К в момент падения на землю и по-
тенциальную энергию U в верхней точке траектории.
231. Мяч падает с высоты Л=7,5 м на гладкий пол. Ка-
кую скорость v нужно сообщить мячу, чтобы после двух
ударов о пол он поднялся до первоначальной высоты, если
при каждом ударе мяч теряет 40% энергии?
232. Конькобежец, разогнавшись до скорости и, въез-
жает на ледяную горку. На какую высоту h от начального
уровня он поднимется, если горка составляет угол а с го-
—ризонтом? Коэффициент
Л трения между коньками и
h 5 льдом равен k.
j J________* | 233. Санки съезжают с
Рис. 43. горы, имеющей высоту h и
угол наклона к горизонту
а, и движутся далее по горизонтальному участку (рис. 43).
Коэффициент трения на всем пути одинаков и равен k.
Найти расстояние s, которое пройдут санки, двигаясь по
горизонтальному участку, до полной остановки.
234. Кирпич с размерами ZX2ZX4/ кладут на горизон-
тальную плоскость поочередно в трех различных положе-
ниях. Как меняется потенциальная энергия кирпича при
изменении его положения?
235. Какую работу А нужно совершить, чтобы поднять
грунт на поверхность земли при рытье колодца, имеющего
глубину Л=10.м и поперечное сечение 5=2 м2? Средняя
плотность грунта р=2-103 кг/м3. Считать, что вынимаемый
грунт рассыпается тонким слоем по поверхности земли.
236. Однородная цепочка длины / лежит на гладком
столе. Небольшая часть цепочки свешивается со стола.
В начальный момент времени лежащий на столе конец це-
почки придерживают, а затем отпускают, и цепочка начи-
нает под действием силы тяжести соскальзывать со стола.
Найти скорость движения цепочки в тот момент, когда
длина свешивающейся части х<7/2.
237. Колодец, имеющий глубину h и площадь дна 5,
наполовину заполнен водой. Насос выкачивает воду и по-
44
дает ее на поверхность земли через цилиндрическую трубу
радиуса R. Какую работу А совершит насос, если он вы-
качает всю воду из колодца за время /?
238. Свинцовый шар массы т=500 г, движущийся со
скоростью и=10 м/с, соударяется с неподвижным шаром
из воска, имеющим массу М=200 г, после чего оба шара
движутся вместе. Найти кинетическую энергию К шаров
после соударения.
239. Пластмассовый шар массы М лежит на подставке
с отверстием. Снизу в шар через отверстие попадает верти-
кально летящая пуля массы т и пробивает его насквозь.
При этом шар подскакивает на высоту Н. На какую вы-
соту h над подставкой поднимется пробившая шар пуля,
если перед попаданием в шар она имела скорость t'o?
240. Четыре одинаковых тела массы /и=20 г каждое
расположены на одной прямой на некотором расстоянии
друг от друга. С крайним телом соударяется такое же тело,
имеющее скорость и=10 м/с и движущееся вдоль прямой,
на которой расположены тела. Найти кинетическую энер-
гию К системы после соударений, считая соударения тел
абсолютно неупругими.
241. На горизонтальной плоскости стоят два связанных
нитью одинаковых бруска, между которыми расположена
сжатая пружина, не скрепленная с брусками. Нить пере-
жигают, и бруски расталкиваются в разные стороны так,
что расстояние между ними возрастает на величину Д/.
Найти потенциальную энергию U сжатой пружины, если
масса каждого бруска равна т. Коэффициент трения между
брусками и плоскостью равен k.
242. Происходит центральное соударение двух абсо-
лютно упругих шаров, имеющих массы тх и т2 и скоро-
сти Vi и v2. Найти скорости шаров
после соударения.
243. Брусок лежит на дне ящика
у стенки А (рис. 44). Ящик в ре-
зультате кратковременного внешнего
воздействия на. противоположную
стенку В начал двигаться горизон-
тально со скоростью v. Расстояние
между стенками А и В равно I. Длина бруска мала по срав-
нению с I. Массы ящика и бруска одинаковы. Через какое
время t брусок вновь коснется стенки А? Считать соуда-
рение бруска со стенкой В абсолютно упругим.
244. Клин массы М находится на идеально гладкой го-
ризонтальной плоскости. На клине лежит брусок массы т,
45
который под действием силы тяжести может скользить по
клину без трения. Наклонная плоскость клина имеет плав-
ный переход к горизонтальной
плоскости (рис. 45). В на-
чальный момент система
покоилась. Найти ско-
рость v клина в тот момент,
когда брусок с высоты h
соскользнет на плоскость.
245. Пять одинаковых
шаров, центры которых ле-
жат на одной прямой, на-
ходятся на небольшом рас-
стоянии друг от друга.
С крайним шаром соударяется такой же шар, имеющий
скорость ц=10 м/с и движущийся вдоль прямой, соединяю-
щей центры шаров. Найти скорость последнего шара,
считая соударения шаров абсолютно упругими.
246. Идеально гладкий шар Л, движущийся со ско-
ростью у0, одновременно соударяется с двумя такими же,
соприкасающимися между собой шарами В и С (рис. 46).
Найти скорости шаров после соударения, считая соударе-
ния шаров абсолютно упругими.
247. Два идеально гладких шара радиуса г лежат, со-
прикасаясь друг с другом, на идеально гладкой горизон-
тальной плоскости. Третий такой же шар радиуса 2г,
движущийся со скоростью и0 по той же плоскости, соуда-
ряется одновременно с двумя шарами (рис. 47). Найти
скорость большого шара после соударения, считая соуда-
рения шаров абсолютно упругими.
248. Под каким углом а разлетаются после абсолютно
упругого соударения два одинаковых идеально гладких
шара, если до соударения один из них покоился, а другой
летел со скоростью направленной под углом аУ=0
к прямой, соединяющей их центры в момент соударения?
249. Два абсолютно упругих шара летят навстречу
друг другу. Кинетическая энергия первого шара в k2 раз
больше, чем второго (6=4/3). При каком отношении v2/v!
46
скоростей до удара шары после удара будут двигаться в ту
же сторону, что и первый шар до удара, если масса первого
шара mi больше массы второго шара /п2?
250. Два абсолютно упругих шарика с массами тт=
= 100 г и zn2=300 г подвешены на одинаковых нитях длины
/=50 см каждая (рис. 48). Первый шарик 22222222222222$
отклоняют от положения равновесия на угол
а=90° и отпускают. На какую высоту под-
нимется второй шарик после соударения?
251. Шарик бросают из точки А вертикаль-
но вверх с начальной скоростью гг0. Когда
он достигает предельной высоты подъема, из
точки А по тому же направлению с той же
начальной скоростью ф0 бросают другой та-
кой же шарик. Через некоторое время шари- 2
ки встречаются и происходит абсолютно уп- Рис- 48.
ругое соударение. На какой высоте соуда-
ряются шарики? На какую высоту после соударения под-
нимется первый шарик?
252. Снаряд при вертикальном выстреле достиг высшей
точки полета Л=3000 м и разорвался на два осколка с мас-
сами тх=3 кг и т2=2 кг. Осколки продолжают лететь по
вертикали — первый вниз, второй вверх. Найти скорости
осколков Vx и v2 через время /=2 с после взрыва, если их
полная энергия в момент взрыва £=247 кДж.
§ 8. Динамика вращательного движения
При решении задач на динамику вращательного движения следует
поступать таким же образом., как и при решении задач на динамику пря-
молинейного движения. Прежде всего нужно выяснить, какие силы дей-
ствуют на движущиеся тела, и изобразить эти силы на чертеже. Затем
следует записать уравнения движения.
При равноускоренном вращении тела по окружности центростре-
мительное ускорение an=v2/R=to2R в сумме с касательным ускорением
ат дает полное ускорение тела. При равномерном вращении ускорение
цт, характеризующее изменение скорости по модулю, равно нулю и
полное ускорение определяется только центростремительным ускоре-
нием: a=v*/R= со2/?.
Согласно второму закону Ньютона
m^/R=^Fl,
где сУмма проекций сил на направление радиуса. Если проекция
силы направлена к центру, ее нужно считать положительной, если от
центра — отрицательной. Эту сумму проекций сил часто называют цент-
47
ростремительной силой. Однако следует иметь в виду, что нет особых
центростремительных сил специфической природы, а есть сумма проек-
ций тех сил, которые вообще рассматриваются в механике и о которых
кратко говорилось во введении к §4.
253. Шарик массы М подвешен на нити, имеющей дли-
ну I. Шарик отклоняют от положения равновесия на
угол ао=9О° и отпускают без толчка. В тот момент, когда
шарик проходит положение равновесия, на него садится
муха массы /и, летевшая горизонтально навстречу шарику
со скоростью v. На какой угол а отклонится после этого
шарик?
254. На горизонтально вращающейся платформе на
расстоянии R =50 см от оси вращения лежит груз. При
какой частоте п вращения платформы груз начнет сколь-
зить? Коэффициент- трения между грузом и платформой
6=0,05.
255. На краю горизонтально вращающейся платформы
радиуса 7? = 1 м лежит груз. В какой момент времени t
после начала вращения платформы груз соскользнет с нее,
если ее вращение равноускоренное и в момент времени
/0=2 мин она имеет угловую скорость со = 1,4 рад/с? Коэф-
фициент трения между грузом и платформой 6=0,05.
256. Каков должен быть минимальный коэффициент
трения 6 между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы
автомобиль мог пройти без проскальзывания закругление
радиуса R = 100 м при скорости ц=50 км/ч?
257. Тело массы т=200 г равномерно вращается в го-
ризонтальной плоскости по окружности радиуса R=0,5 м
с частотой nx=3 об/с. Какую работу А нужно совершить,
чтобы увеличить частоту вращения до п2=5 об/с?
258. Барабан сушильной машины, имеющий диаметр
£> = 1,96 м, вращается с угловой скоростью со=20 рад/с.
Во сколько раз сила F, прижимающая ткань к стенке,
больше силы тяжести mg, действующей на ткань?
259. Самолет делает петлю Нестерова («мертвую пет-
лю»), имеющую радиус /?=255 м. Какую минимальную
скорость и должен иметь самолет в верхней точке петли,
чтобы летчик не повис на ремнях, которыми он пристегнут
к пилотскому креслу?
260. С каким максимальным периодом т можно равно-
мерно вращать в вертикальной плоскости шарик, привя-
занный к нити, имеющей длину 7=2,45 м?
261. Невесомый стержень равномерно вращается в го-
ризонтальной плоскости с частотой п. На расстояниях
48
lt и /2 от оси вращения закреплены грузы с массами mt
и т2. Какая горизонтальная сила F действует на ось вра-
щения, если ось • находится между грузами?
262. Автомобиль массы т=1000 кг движется со ско-
ростью v=36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему радиус
кривизны R =50 м. С какой силой F давит автомобиль на
мост в его середине? С какой минимальной скоростью uniin
должен двигаться автомобиль для того, чтобы в верхней
точке он перестал оказывать давление на мост?
263. Автомобиль массы т=2000 кг движется со скоро-
стью и=36 км/ч по вогнутому мосту, имеющему радиус кри-
визны R = 100 м. С какой силой F давит автомобиль на
мост в его середине?
264. Автомобиль массы т движется со скоростью v по
выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R. С какой
силой F давит автомобиль на мост
в точке, направление на которую из
центра кривизны моста составляет с у \
направлением на его середину угол \ „
а (рис. 49)? \
265. Через реку ширины d=100 м \а$
переброшен выпуклый мост в форме V
дуги окружности. Верхняя точка мо- 6
ста поднимается над берегом на вы- Рис- 49,
соту h = 10 м. Мост может выдержать
максимальную силу давления Г=44,1 кН. При какой ско-
рости грузовик массы т=5000 кг может переехать через
мост?
266. Невесомый стержень может вращаться без трения
вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стерж-
ню и проходящей через
точку О (рис. 50). На
стержне с одной стороны
от оси укреплены одина-
ковые по массе грузы на
расстояниях / и Z/2 от точ-
ки О. С другой стороны
на стержне укреплен груз удвоенной массы на расстоянии
Z/2 от оси. В начальный момент стержень был расположен
горизонтально, а затем отпущен без толчка. Найти ско-
рость v среднего груза в момент прохождения стержнем
положения равновесия.
267. Человек массы tn=70 кг сидит на середине трапе-
ции. Палка трапеции подвешена на веревках длины /=8 м.
При качании человек проходит положение равновесия со
49
скоростью ^=6 м/с. Какова сила натяжения Т каждой ве-
ревки в этот момент?
268. Шарик массы т, подвешенный на нити, отклоняют
от положения равновесия на угол а =90° и отпускают.
Какова максимальная сила натяжения Т нити?
269. Грузик массы /72=20 г, прикрепленный к концу
невесомого стержня, имеющего длину Z=40 см, равномерно
вращается в вертикальной плоскости вокруг другого конца
с частотой п = 10 об/с. Найти силы натяжения 7\ и Т2 стер-
жня в моменты прохождения грузиком верхней и нижней
точек траектории.
270. Небольшое тело массы m вращается в вертикаль-
ной плоскости на невесомой штанге. Найти разность сил
натяжения штанги в случае, если: а) скорость вращения
постоянна; б) изменение скорости вращения вызывается
силой тяжести.
271. Шарик массы m подвешен на нити, выдерживающей
силу натяжения T=2mg. На какой угол а от вертикали
нужно отклонить шарик, чтобы он обор-
вал нить, проходя через положение рав-
новесия.
272. Шарик массы m подвешен на ни-
ти, имеющей длину I. В точке А, отстоя-
щей от подвеса на расстоянии а по вер-
тикали, вбит гвоздь (рис. 51). Известно,
что нить обрывается при силе натяже-
ния T>mg. На какой минимальный угол
а от вертикали нужно отклонить груз,
чтобы при дальнейшем свободном движе-
нии к положению равновесия нить оборва-
лась, зацепившись за гвоздь?
273. При каком отношении масс tnjm2 два тела, свя-
занные нитью, могут вращаться с одинаковыми угловыми
скоростями на гладкой горизонтальной поверхности, если
ось вращения делит нить в отношении 1 • 3?
274. По вертикально расположенному обручу радиуса R
может без трения скользить колечко. Обруч вращается
вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр.
Колечко находится в равновесии на высоте h от нижней!
точки обруча (рис. 52). Найти угловую скорость со враще-
ния обруча.
275. На вертикальной оси укреплена горизонтальная
штанга, по которой могут без трения перемещаться два
груза с массами т± и т2, связанные нитью длины /. Система
вращается с угловой скоростью со. На каких расстояниях
50
от оси находятся грузы, будучи в
положении равновесия? Какова
при этом сила натяжения Т нити?
276. Мальчик массы т=45 кг
вращается на «гигантских шагах»
с частотой /1 = 12 об/мин. Длина
каната Z=5 м. Какова сила натя-
жения Т каната?
277. Камень, подвешенный к
потолку на веревке, движется в
горизонтальной плоскости по ок-
ружности, отстоящей от потолка
на расстоянии h = \ ,25 м. Найти
период т обращения камня.
278. Шарик массы т, подвешенный на нити, имеющей
длину Z, вращается в горизонтальной плоскости. Какова
должна быть сила натяжения Т нити, чтобы радиус R
окружности, по которой движется шарик, мог достигнуть
величины 2Z/J/5?
279. Шарик, подвешенный на нити, имеющей длину Z,
описывает окружность в горизонтальной плоскости. Нить
составляет с вертикалью угол а. Найти период т обраще-
ния шарика, если маятник находится в лифте, движущем-
ся с постоянным ускорением a<Cg, направленным вниз.
280. Гирька массы /п, привязанная к резиновому шпуру,
вращается в горизонтальной плоскости с частотой п. Шнур
составляет с вертикалью угол а. Найти длину нерастяну-
того шнура /о, если известно, что для растяжения его до
длины Z требуется сила F.
281. Какую скорость v должен иметь вагон, движущийся
по закруглению радиуса /?=98 м, чтобы шар массы пг=
= 10 кг, подвешенный на нити к потолку вагона, откло-
нился от вертикали на угол а=45°? Какова при этом сила
натяжения Т нити?
282. Небольшое тело соскальзывает без трения с вер-
шины полусферы радиуса R. На какой высоте h тело отор-
вется от поверхности полусферы?
283. Маленькое колечко массы m надето на большое про-
волочное кольцо радиуса R, расположенное в вертикаль-
ной плоскости. Колечко без начальной скорости начинает
скользить вниз из верхней точки большого кольца. По ка-
кому закону изменяется сила давления F колечка на боль-
шое кольцо в зависимости от высоты Л, на которую опус-
тится колечко? Трением пренебречь.
4*
51
284. Небольшое тело соскальзывает по наклонной по-
верхности, переходящей в «мертвую петлю», с высоты
H0=2R, где R — радиус петли (рис. 53). На какой вы-
соте h тело оторвется от поверхности петли? С какой вы-
соты Н должно скатываться тело,
для того чтобы отрыва не произо-
шло?
285. Велосипедист при пово-
роте по закруглению радиуса R
наклоняется к центру закругле-
ния так, что угол между плоско-
стью велосипеда и поверхностью
земли равен а. Найти скорость и
велосипедиста.
286. Полотно дороги на повороте радиуса R наклонено
в сторону центра закругления и составляет угол а с гори-
зонтом. По дороге едет велосипедист, скорость которого
такова, что на повороте велосипед перпендикулярен к по-
лотну дороги. С какой силой F велосипед давит на до-
рогу, если масса велосипедиста с велосипедом равна т?
Какова при этом скорость v велосипеда?
287. Конькобежец движется со скоростью v по окруж-
ности радиуса R. Под каким углом а к горизонту он дол-
жен наклониться, чтобы сохранить равновесие?
§ 9. Закон всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения в виде
?=v——»
где у=6,6720-10”11 Н-м2/кг2«6,67-10"11 Н-м2/кг2—гравитационная
постоянная, непосредственно справедлив только для материальных то-
чек, т. е. для тел, геометрические размеры которых во много раз меньше
расстояния т между ними. Если одно из тел имеет форму шара, радиус
которого много больше размера другого тела, то этот закон также спра-
ведлив. Для двух тел сферической формы он справедлив при любых их
размерах.
Гравитационная сила (сила тяжести) сообщает всем телам, свободно
падающим у поверхности Земли, независимо от их массы одно и то же
ускорение^ 9,80665 м/с2 «9,81 м/с2. Это происходит вследствие того, что
инертная масса тела, входящая в уравнение движения, и гравитацион-
ная масса в законе всемирного тяготения равны друг другу.
Не следует смешивать силу тяжести и вес тела. Под весом понима-
ется сила, с которой тело давит на опору, или же сила, с которой оно
растягивает подвес. Сила тяжести на Земле всюду, за исключением по-
52
люсов, не равна весу, так как тела участвуют во вращении Земли и,
следовательно, движутся с ускорением. Поэтому, строго говоря, сила
тяжести не уравновешивается силой реакции опоры, равной по модулю
весу. Правда, разница и.ежду силой тяжести и весом очень мала из-за
малой угловой скорости вращения Земли.
288. Найти силу притяжения F между Землей и Луной.
Масса Земли т3=6-1024 кг, масса Луны /ил=7,3-1022 кг,
среднее расстояние между их центрами гл=3,8-108м.
289. Ускорение свободного падения у поверхности Луны
в 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверх-
ности Земли. Во сколько раз выше и дальше может прыг-
нуть человек на Луне, чем на Земле?
290. Вычислить первую космическую скорость v у по-
верхности Луны, если радиус Луны 7?л = 1760 км, а уско-
рение свободного падения у поверхности Луны в 6 раз
меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли.
291. Ракета поднялась на высоту ft=990 км. На сколько
уменьшилась сила тяжести, действующая на ракету, на
высоте ft по сравнению с силой тяжести mg, действующей
на нее, у поверхности Земли *)?
292. Радиус Луны примерно в 3,7 раза меньше ра-
диуса Земли /?з, а масса Луны тл в 81 раз меньше массы
Земли т3. Найти ускорение свободного падения gj^ у по-
верхности Луны.
293. Радиус Солнца 7?с примерно в ПО раз больше ра-
диуса Земли R3, а средняя плотность Солнца рс относится
к средней плотности Земли р3, как 1 : 4. Найти ускорение
свободного падения gc у поверхности Солнца.
294. Какую работу А нужно совершить, чтобы вывести
спутник массы ги=500 кг на круговую орбиту, проходящую
вблизи поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пре-
небречь.
295. Звездная система состоит из двух одинаковых звезд,
находящихся на расстоянии г=5-10п м друг от друга.
Найти период Т обращения звезд вокруг общего центра
масс, если масса каждой звезды /и=1,5’1034 кг.
296. Спутник движется вокруг некоторой планеты по
круговой орбите радиуса гс=4,7Л09 м со скоростью v=
= 104 м/с. Какова средняя плотность р планеты, если ее
радиус R = 1,5• 108 м?
297. Искусственный спутник Земли движется по круго-
вой орбите на расстоянии ft от ее поверхности. Найти пе-
риод Т обращения спутника, если радиус Земли R3^>h.
*) Здесь и далее считать радиус Земли #3=6400 км.
53
298. Какой период Т обращения имел бы искусственный
спутник Земли, удаленный от ее поверхности на расстоя-
ние, равное радиусу Земли /?3?
299. Найти радиус гс круговой орбиты искусственного
спутника Земли, имеющего период обращения Т=1 сут.
ЗГО. Найти период Т обращения Луны вокруг Зем-
ли, если Луна движется по круговой орбите радиуса
Гд=3,8-108 м.
301. Найти среднюю плотность р планеты, если на ее
экваторе показание динамометра, к которому подвешено
тело, на 10% меньше, чем на полюсе. Продолжительность
суток на планете т=6 ч.
§ 10. Гидро- и аэромеханика
В задачах на гидро- и аэростатику встречается новый тип силы —
выталкивающая сила Архимеда. В остальном эти задачи не отличаются
от обычных статических задач. Следует иметь в виду, что сила Архимеда
приложена к центру масс объема жидкости, вытесненной телом.
Особенностью жидкостей и газов как механических сред является
подчинение их закону Паскаля. Давление на жидкость или газ переда-
ется одинаково во всех направлениях. Поэтому давление внутри жид-
кости на данной глубине будет постоянным.
При решении задач по гидро- и аэродинамике используются в ос-
новном законы сохранения импульса и энергии.
302. В наполненное до краев ведро опускают кусок льда.
Часть воды, равная объему погруженной части льда, при
этом выливается. Изменится ли давление на дно, когда
лед растает?
303. В цилиндрическое ведро диаметра 0=25 см на-
лита вода, занимающая объем У=12 л. Каково давление р
воды на стенку ведра на высоте Л=10 см от дна *)?
304. До какой высоты h нужно налить жидкость в ци-
линдрический сосуд радиуса 7?, чтобы сила F, с которой
жидкость давит на боковую поверхность сосуда, была рав-
на силе давления на дно?
305. Пробирку длины 2=10 см доверху заполняют во-
дой и опускают открытым концом в стакан с водой. При
этом почти вся пробирка находится над водой. Найти дав-
ление р воды на дно пробирки. Атмосферное давление р(г=*
=0,1 МПа.
!) Здесь и далее считать плотность воды р0= 103 кг/м3-.
54
Найти давление
Рис. 54.
до края. На ка-
306. Цилиндрический сосуд высоты /г = 1 м заполняют
маслом с плотностью р=0,9-103 кг/м3 и погружают откры-
тым концом в бассейн с водой (рис. 54).
масла в сосуде непосредственно у его
дна в точке А, если известно, что ниж-
ний конец сосуда находится на глуби-
не /7=3 м от поверхности воды в бас-
сейне. Атмосферное давление р0 —
= 0,1 МПа.
307. В U-образную трубку наливают
ртуть. Затем в одно из колен трубки на-
ливают масло, а в другое воду. Гра-
ницы раздела ртути с маслом и водой
в обоих коленах находятся на одном
уровне. Найти высоту столба воды й0,
если высота столба масла Л=20 см,
а его плотность р=0,9-103 кг/м3.
308. В два цилиндрических сообща-
ющихся сосуда наливают ртуть. Сече-
ние одного из сосудов вдвое больше
другого. Широкий сосуд доливают водой
кую высоту h поднимется при этом уровень ртути в другом
сосуде? Первоначально уровень ртути был на расстоянии I
от верхнего края широкого сосуда. Плотности ртути и
воды р и ро известны.
309. В U-образную трубку с сечением S налита ртуть,
занимающая объем V. Затем в одно из колен трубки на-
лили воду и опустили железный шарик массы т. На ка-
кую высоту h поднялся уровень ртути в другом колейе?
Плотности ртути и воды р и ро известны.
310. Малый поршень гидравлического пресса за один
ход опускается на высоту й=0,2 м, а большой поршень
поднимается на высоту /7=0,01 м. С какой силой F дейст-
вует пресс на зажатое в нем тело, если на малый поршень
действует сила /=500 Н?
311. При подъеме груза, имеющего массу ги=2 т, с по-
мощью гидравлического пресса была затрачена работа
А=40 Дж. При этом малый поршень сделал п=10 ходов,
перемещаясь за один ход на высоту ft = 10 см. Во сколько
раз площадь S большого поршня больше площади s ма-
лого?
312. В цилиндрический сосуд налиты равные по массе
количества воды и ртути. Общая высота столба жидкостей
в сосуде /7=143 см. Найти давление р па дно сосуда. Плот-
ность ртути р = 13,6-103 кг/м3.
Б5
313. Льдина равномерной толщины плавает, выступая
над уровнем воды на высоту h=2 см. Найти массу льдины,
если площадь ее основания 5=200 см2. Плотность льда
р=0,9-103 кг/м3.
314. Каким может быть наибольший объем Vi льдины,
плавающей в воде, если алюминиевый брусок объема
Va=0,1 м3, примерзши?! к льдине, заставляет ее утонуть?
Плотности льда и алюминия р1=0,9-103 кг/м3 и р2=2,7х
X 103 кг/м3.
315. Кусок льда массы /и=1,9 кг плавает в цилиндри-
ческом сосуде, наполненном жидкостью с плотностью
р=0,95-103 кг/м3. Площадь дна сосуда 5=40 см2. На
сколько изменится уровень жидкости, когда лед растает?
316. Полый шар, сделанный из материала с плотностью
Pi, плавает на поверхности жидкости, имеющей плотность
р2. Радиусы шара и полости равны R и г. Какова должна
быть плотность вещества р, которым следует заполнить
полость шара, чтобы он плавал внутри жидкости?
317. Бревно, имеющее длину /=3,5 м и диаметр £> =
=30 см, плавает в воде. Какова масса т человека, кото-
рый может стоять на бревне, не замочив ноги? Плотность
дерева р=0,7-10э кг/м3.
318. Кипа хлопка, находясь в воздухе, растягивает
пружину динамометра с силой Рв = 1470 Н. С какой си-
лой Р будет растягивать пружину та же кипа, находясь
в вакууме? Плотности хлопка в кипе и воздуха р=0,8х
Х1О3 кг/м3 и рв=1,2 кг/м3.
319. Найти плотность р однородного тела, действующего
на неподвижную опору в воздухе с силой Рв=2,8 Н, а
в воде — с силой Р0 = 1,69 Н. Выталкивающей силой воз-
духа пренебречь.
320. Для определения плотности неизвестной жидкости
однородное тело подвесили на динамометре в этой жид-
кости, а затем в вакууме и в воде. Оказалось, что тело,
находясь в жидкости, растягивает пружину динамометра
с силой Рж=1,66 Н, в вакууме — с силой Р = 1,8 Н, в
воде — с силой Ро=1,6 Н. Найти плотности жидкости и
тела рж и р.
321. Из водоема медленно с постоянной скоростью вы-
таскивают алюминиевый цилиндр, имеющий длину 1=
=2,3 м и площадь поперечного сечения 5 = 100 см2. Когда
над поверхностью оказалась 1/4 часть длины цилиндра,
веревка оборвалась. Найти максимальную силу натяже-
ния 71, которую выдерживает веревка. Плотность алюмн
ния р=2,7-103 кг/м3.
56
322. Полый шарик из алюминия, находясь в воде, рас-
тягивает пружину динамометра с силой Ро=О,24 Н, а
в бензине — с силой Рб=0,33 Н. Найти объем V полости.
Плотности алюминия и бензина р=2,7-103 кг/м3 и рб=
=0,7-103 кг/м3. Выталкивающей силой воздуха прене-
бречь.
323. При взвешивании в воздухе тело объема V=1000 см3
было уравновешено медными гирями массы /лм=880 г.
Какова масса уравновешивающих гирь при взвешивании
этого тела в вакууме? Плотности меди и воздуха рм=8,8х
Х103 кг/см3 и р = 1,2 кг/м3.
324. Слиток сплава золота и серебра в воздухе растяги-
вает пружину динамометра с силой Р=14,7 Н, а в воде —
с силой на ДР=1,274 Н меньше. Найти массы золота т±
и серебра в слитке, считая, что при сплавлении их пер-
воначальный объем не изменился. Плотности золота и се-
ребра pi=19,3-103 кг/м3 и ра=Ю,5-103 кг/м3.
325. Два однородных тела из одного и того же материала
подвешены к противоположным концам рычага и уравно-
вешивают друг друга в вакууме. Сохранится ли это равно-
весие в воздухе?
326. Тонкая однородная палочка шарнирно закреплена
за верхний конец. Нижний конец палочки погружен в
воду. При равновесии под водой находится Л = 1/5 часть
длины палочки. Найти плотность вещества палочки.
327. К концу однородной палочки, имеющей массу
/72=4 г, подвешен на нити алюминиевый шарик радиуса
г=0,5 см. Палочку кладут на край стакана с водой, доби-
ваясь равновесия при погружении в воду половины ша-
рика. В каком отношении делится палочка точкой опоры?
Плотность алюминия р=2,7-103 кг/м3.
328. Однородный куб плавает в воде, причем 3/4 его
объема погружены в воду. Если с помощью тонкой нити
прикрепить центр верхней грани куба к плечу рычага
длины /,=8 см и уравновесить его гирей массы /и=30 г,
прикрепленной к другому плечу рычага длины Z2=4 см,
то куб будет погружен в воду только на 2/3 своего объема.
Найти длину I ребра куба.
329. В цилиндрический сосуд с водой опустили желез-
ную коробочку, из-за чего уровень воды в сосуде поднялся
на высоту 1—2 см. На сколько опустится уровень еоды,
если коробочка утонет? Плотность железа р=7,8-103 кг/м3.
330. Однородный куб плавает в ртути, причем 1/5 часть
его объема погружена в ртуть. Если на этот куб положить
второй куб такого же размера, то первый куб погрузится
57
в ртуть на 1/2 часть своего объема. Какова плотность мате-
риала второго куба рк? Будет ли система плавающих ку-
бов в устойчивом равновесии? Плотность ртути р = 13,6 X
Х103 кг/м3.
331. В сосуде находятся двё несмешивающиеся жид-
кости с различными плотностями. На границе раздела жид-
костей плавает однородный куб, погруженный целиком
в жидкость. Плотность материала куба р больше плот-
ности рх верхней жидкости, но меньше плотности ра ниж-
ней жидкости: pi<p<p2- Какая часть объема куба нахо-
дится в верхней жидкости?
332. Плавающий куб погружен в ртуть на 1/4 своего
объема. Какая часть объема куба будет погружена в ртуть,
если поверх нее налить слой воды, полностью закрываю-
щий куб? Плотность ртути р = 13,б-103 кг/м3.
333. Пузырек газа поднимается со дна озера с постоян-
ной скоростью. Найти силу сопротивления воды /, если
объем пузырька V=1 см3.
334. Груз, прикрепленный к двум одинаковым воздуш-
ным шарам, поднимается с постоянной скоростью. Плот-
ности воздуха и газа в шарах равны р и рг. Каким будет
ускорение груза а, если один из шаров лопнет? Массой
оболочек шаров и сопротивлением воздуха пренебречь.
335. Два аэростата поднимают вверх одинаковые грузы.
Первый движется с ускорением a=gl2, а второй — с по-
стоянной скоростью. Плотности газа рг в аэростатах оди-
наковы и равны половине плотности воздуха р. Объем
первого аэростата равен V\. Найти объем V2 второго аэро-
стата. Считать массы оболочек одинаковыми. Сопротивле-
нием воздуха пренебречь.
336. Какую работу А нужно совершить при медленном
подъеме камня, имеющего объем К=0,5 м3, из воды с глу-
бины Л=1 м? Плотность камня р=2,5-103 кг/м3.
337. Стеклянный шарик массы /п=100 г, находящийся
у поверхности глицерина, погружают на глубину h = l м.
Найти изменение ДУ потенциальной, энергии шарика.
Плотности глицерина и стекла р! = 1,2-103 кг/м3 и р2=
=2,4-103 кг/м3.
338. Мяч массы /п=0,5 кг и диаметра d=24 см погру-
жают в воду на глубину Л=4 м. Найти изменение ДУ по-
тенциальной энергии мяча. Деформацией мяча пренебречь.
339. С какой высоты h должно падать тело, имеющее
плотность р=0,4-103 кг/м3, чтобы оно погрузилось в воду
на глубину Я=6 см? Сопротивлением воды и воздуха пре-
небречь.
58
340. Сосуд с водой движется поступательно вдоль го-
ризонтальной прямой с ускорением а. Под каким углом а
fc горизонту будет располагаться поверхность воды?
341. В бак равномерной струей в единицу времени по-
ступает объем воды дм3/с. В дне бака имеется отвер-
стие площади 5=2 см2. На каком уровней будет держаться
воде в баке?
342. Направленная горизонтально струя воды бьет в
вертикальную стенку. С какой силой струя давит на стен-
ку, если скорость истечения воды v=10 м/с и вода поступает
через трубку, имеющую сечение 5=4 см2? Считать, что
после удара вода стекает вдоль стенки.
343. С катера, идущего со скоростью г>= 18 км/ч, опус-
кают в воду изогнутую под прямым углом трубку так, что
опущенный конец трубки горизонтален и обращен отвер-
стием в сторону движения. Другой конец трубки, находя-
щийся в воздухе, вертикален. На какую высоту h по отно-
шению к уровню воды в озере поднимется вода в трубке?
Трением пренебречь.
344. Какова примерно скорость катера у, если вода
поднимается при движении вдоль его носовой вертикаль-
ной части на высоту й=1 м?
345. На гладкой горизонтальной поверхности стоит со-
суд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется отвер-
стие площади 5. Какую силу нужно приложить к сосуду,
чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды
в сосуде равна й?
346. На поршень шприца площади 5 действует сила F.
С какой скоростью v должна вытекать в горизонтальном
направлении струя из отверстия площади $? Плотность
жидкости равна р.
§ 11. Колебания и волны
Период колебаний математического маятника, т. е. тела, геометри-
ческие размеры которого намного меньше длины нити, на которой оно
подвешено, а масса намного больше массы нити подвеса, вычисляется
по формуле
7'=2л/№.
Особое внимание следует обратить на задачи 355—357 и 371. Они слож-
ны для понимания, и в школе обычно не рассматриваются.
В условиях задач могут быть даны различные значения скорости
звука в воздухе, так как эта скорость зависит от температуры.
59
347. Один из маятников за некоторое время совершил
Л! = 10 колебаний. Другой за то же время совершил п$=6
колебаний. Разность длин маятников Д/=16 см. Найти
длины маятников ti и I*.
348. Маятник представляет собой упругий шарик,
прикрепленный к концу нити, имеющей длину I. При коле-
баниях шарик сталкивается с упругой массивной стенкой
нить занимает вертикальное положение.
Найти период Т колебаний маятника.
Длительностью столкновения пре-
небречь.
349. Математический маятник дли-
ны I совершает колебания вблизи вер-
тикальной стенки. Под точкой под-
веса маятника, на расстоянии а=1!2
от нее, в стенку вбит гвоздь (рис. 55).
Найти период Т колебаний маятника.
350. Два одинаковых упругих
шарика подвешены на нитях, имею-
щих длины Zf=l м и /$=0,25 м, так,
что центры масс шариков находятся
в моменты, когда
на одном уровне и шарики сопри-
касаются друг с другом. Нить второго шарика отклоняют
на небольшой угол и отпускают. Сколько раз столкнутся
шарики за время Д/=4 с, прошедшее с начала движения
второго шарика?
351. При температуре 0i=2O°C период колебаний маят-
ника 7\=2 с. Как изменится период колебаний, если тем-
пература возрастет до 02=ЗО°С? Коэффициент линейного
расширения материала маятника а = 1,85* 10"5 К"1.
352. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус
Земли в 3,7 раза больше радиуса Луны. Как изменится
период колебаний маятника при перенесении его с Земли
на Луну?
353. Часы с секундным маятником, имеющие период
колебаний То=1 с, на поверхности Земли идут точно.
На сколько будут отставать эти часы за сутки, если их
поднять на высоту ft=200 м над поверхностью Земли?
354. Найти потенциальную энергию U математического
маятника массы m =200 г в положении, соответствующем
углу отклонения нити от вертикали а = 10°, если частота ко-
лебаний маятника v=0,5 с-1. Считать потенциальную энер-
гию маятника в положении равновесия равной нулю.
355. С каким ускорением айв каком направлении
должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней
секундный маятник за время /=2 мин 30 с совершил п=
= 100 колебаний?
356. Математический маятник длины I подвешен в ва-
гоне, движущемся горизонтально с ускорением а. Найти
период колебаний этого маятника.
357. Кубик совершает малые колебания в вертикальной
плоскости, двигаясь без трения по внутренней поверх-
ности сферической чаши. Найти период колебаний кубика,
если чаша опускается вниз с ускорением a=g/3. Считать,
что внутренний радиус чаши Умного больше ребра кубика.
358. Эхо, вызванное ружейным выстрелом, дошло до
стрелка через время /=4 с после выстрела. На каком рас-
стоянии s от стрелка находится преграда, от которой про-
изошло отражение звука? Скорость звука в воздухе v=
=340 м/с.
359. На расстоянии з=1068 м от наблюдателя ударяют
молотком по железнодорожному рельсу. Наблюдатель,
приложив ухо к рельсу, услышал звук на время AZ=3 с
раньше, чем он дошел до него по воздуху. Найти скорость
звука и в стали. Скорость звука в воздухе у=340 м/с.
360. Звук выстрела и пуля одновременно достигают
высоты /1=680 м. Выстрел произведен вертикально вверх.
Какова начальная скорость пули? Скорость звука в воз-
духе v=340 м/с. Сопротивлением движению пули прене-
бречь.
361. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сиг-
нал частоты v=50 Гц, распространяющийся со скоростью
и=340 м/с. При этом на расстоянии от Л до В укладыва-
лось целое число волн. Опыт повторили, когда температу-
ра была на Д0 =20 К выше, чем в первом случае. При этом
число волн, укладывающихся на расстоянии от А до В,
уменьшилось на две. Найти расстояние I между пунктами
Л и В, если при повышении температуры на 1 К скорость
звука увеличивается на 0,5 м/с.
362. Найти скорость звука v в воде, если колебания с
периодом 7=0,005 с вызывают звуковую волну длины Х=
=7,175 м.
363. Найти частоту v звуковых колебаний в стали, если
расстояние между ближайшими точками звуковрй волны,
отличающимися по фазе на <р=90°, составляет /=1,54 м.
Скорость звука в стали ц=5000 м/с.
364. Найти разность фаз <р между двумя точками зву-
ковой волны, отстоящими друг от друга на расстоянии
1=25 см, если частота колебаний v=680 Гц. Ско{рость
звука в воздухе у=340 м/с.
61
365. Узлы стоячей волны, создаваемой камертоном в
воздухе, отстоят друг от друга на расстоянии 7=40 см.
Найти частоту v колебаний камертона. Скорость звука
в воздухе у=340 м/с.
366. Звуковые колебания частоты v имеют в первой
среде длину волны Xi, а во второй среде — длину волны
Х2. Как изменяется скорость распространения этих коле-
баний при переходе из первой среды во вторую, если Xf=
=2Х2?
367. Звуковые колебания распространяются в воде со
скоростью Vi=1480 м/с, а в воздухе — со скоростью и2~
=340 м/с. Во сколько раз изменится длина звуковой волны
при переходе звука из воздуха в воду?
368. Камертон один раз зажат в тисках, а другой раз
стоит на резонаторном ящике. В обоих случаях камертон
возбуждается одинаковыми по силе ударами. В каком слу-
чае камертон будет звучать дольше?
369. К верхнему концу цилиндрического сосуда, в ко-
торый постепенно наливают воду, поднесен звучащий ка-
мертон. Звук, издаваемый камертоном, заметно усили-
вается, когда расстояния от поверхности жидкости до верх-
него конца сосуда достигают значений 7i1=25 см и h2~
=75 см. Найти частоту колебаний v камертона. Скорость
звука в воздухе v=340 м/с.
370. Труба длины /=1 м заполнена воздухом при нор-
мальном атмосферном давлении. Один раз труба открыта
с одного конца, другой раз — с обоих концов и в третий
раз закрыта с обоих концов. При каких минимальных час-
тотах в трубе будут возникать стоячие звуковые волны
в указанных случаях? Скорость звука в воздухе ц=340 м/с.
371. Движущийся по реке теплоход дает звуковой сиг-
нал частоты Vo=400 Гц. Стоящий на берегу наблюдатель
воспринимает звук свистка как колебания с частотой
v=395 Гц. С какой скоростью и движется теплоход? При-
ближается или удаляется он от наблюдателя? Скорость
звука в воздухе и=340 м/с.
И. ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
$ 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
Уравнения, выражающие зависимость объема и линейного размера
тел от температуры:
У/ = Го(1+аО, 7t = Z0 (1 + РОг О)
62
являются приближенными, поскольку в них не принимается во внима-
ние зависимость самих температурных коэффициентов объемного и ли-
нейного расширения а и Р от температуры. При расчетах по формулам (1)
следует иметь в виду, что получаемые результаты могут быть достаточно
точными только в интервалах температур, в которых изменения коэф-
фициентов малы по сравнению с этими коэффициентами. В таблицах
обычно приводятся средние значения аире указанием интервалов тем-
ператур, для которых эти значения определены (см. задачу 376).
Значения Vo и /0 в формулах (1) относятся к температуре /=0°С.
В тех случаях, когда в задачах даны начальные объемы или длины при
температурах, не равных нулю, часто начинают решение задач с опре-
деления и /0 и в итоге получают, например, для длины выражение
Такой метод расчета нецелесообразен. Действительно, умножив числи-
тель и знаменатель этой формулы на 1—р/ь получим
l ,Л1 + Р(/а~/1)-Р2Ма
1 1-рМ
Ввиду малости коэффициента 0 по сравнению с единицей, члены, содер-
жащие 02, малы по сравнению с членом, в который Р входит в первой
степени. Их можно отбросить. В результате формула для вычисления
длины /, оказывается более простой и достаточно точной для практи-
чески важных случаев:
/t=/i[i+₽(G-'i)L
Точно так же имеем
Vt = Vl[l-ba (/,-«].
372. Как должны относиться длины и h двух стерж-
ней из материалов с различными коэффициентами линей-
ного расширения 0j и 02, чтобы при любой температуре
разность длин стержней оставалась постоянной?
373. Два одинаковых стальных моста должны быть
построены один на севере, другой на юге. Каковы должны
быть при О °C зазоры, компенсирующие удлинение моста
при изменении температуры, если на юге возможны коле-
бания от —10 до +50 °C, а на севере от —50 до +20 °C?
При 0 °C длина моста £#=100 м, коэффициент линейного
расширения стали 0=10“$ К-1.
374. Латунный сосуд при нагревании увеличился в объ-
еме на п=0,6%. Найти увеличение температуры Д/ сосуда,
если коэффициент линейного расширения латуни 0 =2 х
X 10“-6 К’1.
375. При температуре /0=0°С длины алюминиевого и
железного стержней /0а=50 см и /ож=5О,О5 см. Сечения
63
стержней одинаковы. При какой температуре ti длины
стержней и при какой температуре ti их объемы будут
одинаковы? Коэффициенты линейного расширения алюми-
ния и железа ра=2,4-10”7 К*1 и рж=1,2-10“7 К'1.
376. Коэффициенты объемного расширения воды для
трех интервалов температур:
ai=_3,3-10-5 К"1
a2=4,8-10”S К’х
а3 = 1,5-10-‘ К’1
(0<<<4 °C),
(4<<2<10°С),
(10</3<20 °C).
Найти объем воды V при температуре /=15°С, если
при температуре f = l °C объем V' = 103cm3.
377. Сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью, имею-
щей температуру tv При нагревании жидкости в одном из
сосудов до температуры t2 уровень жидкости в этом сосуде
установился на высоте Н, а в другом — на высоте h. Найти
коэффициент объемного расширения жидкости.
378. Найти объем шарика ртутного термометра, если
известно, что при температуре /о=0 °C ртуть заполняет
только шарик, а между делениями 0 и 100 °C объем канала
V=3 мм3. Коэффициент объемного расширения ртути
а = 1,8-10“4 К"1, коэффициент линейного расширения стек-
ла Р=8-10“8 К’1.
379. В кварцевый литровый сосуд диаметра d=6 см до
половины налили воду, а затем положили шар из эбонита,
имеющий объем V=100 см3. На какую высоту Aft подни-
мется уровень воды при изменении температуры от ^=
= 10 °C до <2=70 °C? Коэффициент объемного расширения
воды а=3-10”4 К"1, коэффициент линейного расширения
эбонита р=8-1О”5 К"1. Тепловым расширением кварца
пренебречь.
380. В кварцевый сосуд объема V\=2,5 л помещен ла-
тунный цилиндр массы ги2=8,5 кг. Остальная часть со-
суда заполнена водой. При нагревании сосуда вместе с со-
держимым на Д/=3°С уровень воды в сосуде
не изменился. Найти коэффициент объемного
расширения воды а. Коэффициенты линей-
ного расширения кварца и латуни Pi =
МТ =0,42-10“6 К”1 и рг=0,2-10"4 К"1. Плот-
1|й ность латуни р2=8,5-103 кг/м3.
381. В колбу, плотно закрытую пробкой
j со вставленной в нее трубкой, до самой проб-
V—ки налит керосин (рис. 56). Как изменится
давление на дно колбы при нагревании ке-
Рис. 56, росина на Д/=30 °C, если объем колбы
64
т/=2 л, высота ее h =20 см, сечение трубки S=2 см2? Коэф-
фициент объемного расширения керосина а = 10"3 К-1,
его плотность до нагревания р=0,8«103 кг/м3. Тепловым
расширением колбы пренебречь.
§ 13. Количество теплоты. Коэффициент
полезного действия
Количеством теплоты называют энергию, переданную от одного тела
к другому без совершения работы.
При изменении температуры тела количество переданной теплоты
вычисляется по формуле
Q = cm(t<>— t]) = cm At = ст AT, (2)
где с — удельная теплоемкость вещества, t± и t2— начальная и конечная
температуры тела.
Превращение жидкости в пар происходит при постоянной темпера-
туре. Количество теплоты, переданной при этом жидкости, вычисляется
по формуле
Qn = Xm,
где X — удельная теплота парообразования. При конденсации пара
такое же количество теплоты выделяется:
Qi<= — Кт.
Плавление кристаллического тела также совершается при постоян-
ной температуре и требует передачи телу количества теплоты
@пл = ^т,
где г — ужлъпы теплота плавления. При кристаллизации то же коли-
чество теплоты выделяется:
Q«p = — rm.
Если внутри системы, изолированной от окружающих тел, не со-
вершается механической работы, то для нее справедливо уравнение теп-
лового баланса:
Qi + Q2+ • • • + Qn~®> (3)
где Qi, Q3, . . ., Qn— количества теплоты, полученные (положительные)
или отданные (отрицательные) телами системы. Эти количества теплоты
выражаются вышеприведенными формулами.
382. Латунный сосуд массы /п=0,2 кг содержит /П1=
=0,4 кг анилина при температуре ^=10 °C. В сосуд до-
лили /715=0,4 кг анилина, нагретого до температуры tt=
=31 °C. Найти удельную теплоемкость са анилина, если
в сосуде установилась температура 6=20 °C. Удельная
теплоемкость латуни с=0,4 кДж/(кг-К).
3 Г. А. Бендриков и др. 65
883. В сосуд объема Vс теплонепроницаемыми стенками,
заполненный газом с молярной массой р при температуре
Т и давлении р, внесен медный шарик массы тм, имеющий
температуру Тм. Какая температура 0 установится в со-
суде? Удельные теплоемкости газа и меди равны с и £м.
Газовая постоянная 7?=8,31 Дж/(моль-К).
384. В сосуде смешиваются три химически не взаимо-
действующие жидкости, имеющие массы /И1=1 кг, т2=
= 10 кг, т3—5 кг, температуры ^=6 °C, tz=—40 °C,
/3=60°С и удельные теплоемкости с\=2 кДж/(кг-К),
с2=4 кДж/(кг-К), кДж/(кг-К). Найти темпера-
туру 0 смеси и количество теплоты, необходимое для
последующего нагревания смеси до t=& °C.
385. В два одинаковых сосуда, содержащих воду (в од-
ном масса воды mi=0,l кг при температуре ^=45 °C, в дру-
гом масса воды т2=0,5 кг при температуре /2=24 °C), на-
лили поровну ртуть. После установления теплового рав-
новесия в обоих сосудах оказалось, что температура воды
в них одна и та же и равна 0 = 17 °C. Найти теплоемкость
Сс сосудов. Удельная теплоемкость воды г=4,2 кДж/(кг- К).
386. Для измерения температуры воды, имеющей массу
ги=66 г, в нее погрузили термометр, который показал тем-
пературу ^=32,4 °C. Какова действительная температура
0 воды, если теплоемкость термометра Ст=1,9 Дж/К и перед
погружением в воду он показывал температуру помещения
£2==?17,8 °C? Удельная теплоемкость воды с=4,2 кДж/(кг- К).
387. В стеклянный сосуд, имеющий массу /7?с=120 г
' и температуру /с=20°С, налили горячую воду, масса ко-
торой /п=200 г и температура t= 100 °C. Спустя время
т=5 мин температура сосуда с водой стала равной 0 =
=40 °C. Теряемое в единицу времени количество теплоты
постоянно. Какое количество теплоты терялось в единицу
времени? Удельные теплоемкости сосуда и воды сс =
=840 Дж/(кг-К) и с=4,2 кДж/(кг-К).
388. В сосуд, содержащий массу т=2 кг воды при тем-
пературе 1=5 °C, положен кусок льда массы тл=5 кг,
имеющий температуру /л=—40 °C. Найти температуру 0
и объем V смеси после установления теплового равновесия.
Удельные теплоемкости воды и льда с=4,2 кДж/(кг-К) и
6?Л=2,1 кДж/(кг-К), их плотности при t0=0 °C равны
р=103кг/м3 и рл=0,92-103 кг/м3. Удельная теплота плав-
ления льда г=0,33 МДж/кг. Теплоемкостью сосуда и по-
терями тепла пренебречь.
389. Ванну объема У=100 л необходимо заполнить во-
дой, имеющей температуру 0=30 °C, используя воду с тем-
66
пературой /=80 °C и лед о температурой /л=- -20 °(J.
Найти массу тя льда, который придется положить в ванну.
Удельные теплоемкости воды и льда с=4,2 кДж/(кг-К)
и с =2,1 кДж/(кг- К), плотность воды р=103 кг/м3. Удельная
теплота плавления льда г=0,33 Л1Дж/кг. Теплоемкостью
ванны и потерями тепла пренебречь.
390. В сосуд, содержащий массу /п=10 кг воды при тем-
пературе /=10°С, положили лед, имеющий температуру
/л=—50 °C, после чего температура образовавшейся смеси
оказалась равной 0=—4 °C. Какая масса тя льда была
положена в сосуд? Удельные теплоемкости воды и льда
с=4,2 кДж/(кг-К) и сл=2,1 кДж/(кг-К). Удельная теп-
лота плавления льда г=0,33 МДж/кг.
391. Кусок свинца массы т=1 кг расплавился наполо-
вину при сообщении ему количества теплоты <2=54,5 кДж.
Какова была начальная температура Т свинца? Удельная
теплоемкость свинца с=130 Дж/(кг-К). Удельная теплота
плавления свинца г=24 кДж/кг, его температура плавле-
ния 7пл=600 К.
392. Тигель, содержащий некоторую массу олова, на-
гревается электрическим током. Выделяемое в единицу
времени количество теплоты постоянно. За время т0=
= 10 мин температура олова повышается от /,=20 °C до
/2=70 °C. Спустя еще время т=83 мин олово полностью
расплавилось. Найти удельную теплоемкость с олова.
Удельная теплота плавления олова г=58,5 кДж/кг, его
температура плавления /пл=232 °C. Теплоемкостью тигля
и потерями тепла пренебречь.
393. В сосуд положили кусок льда массы /пл=10 кг,
имеющий температуру /л=—10 °C. Найти массу т воды
в сосуде после того, как его содержимому сообщили коли-
чество теплоты <2=20 МДж. Удельные теплоемкости воды
и льда с=4,2 кДж/(кг-К) и сл=2,1 кДж/(кг-К). Удель-
ная теплота плавления льда г=0,33 МДж/кг, удельная
теплота парообразования воды Х=2,3 МДж/кг.
394. В прямоугольную кювету длины а=24 см и ши-
рины 5=20 см, содержащую воду при температуре t—
=25 °C, налили жидкий азот, взятый при температуре его
кипения t3=—196 °C. После испарения азота вода охла-
дилась до температуры /о=О °C и покрылась корочкой
льда при той же температуре. Найти толщину h ледяной
корочки, считая, что пар азота уходит от поверхности льда,
нагревшись до его температуры, а половина всего получен-
ного паром количества теплоты отдано водой. Объем воды
в кювете был У=1 л, масса азота та=0,8 кг. Удельные теп-
3* 67
лоемкости газообразного азота и воды са=1,05 кДж/(кг* К)
и с=4,2 кДж/(кг*К). Плотности воды и льда р = 103 кг/м3
и рл=0,92-103 кг/м3. Удельная теплота плавления льда
г=0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования азота
Х=0,2 МДж/кг.
395. В сосуде содержится смесь воды массы т=500 г
и льда массы тл=54,4 г при температуре /о=ОсС. В сосуд
вводится сухой насыщенный пар массы /пп=6,6 г при тем-
пературе /=100 °C. Какой будет температура 0 после уста-
новления теплового равновесия? Удельная теплоемкость
воды с=4,2 кДж/(кг-К). Удельная теплота плавления
льда г=0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования
воды Х=2,3 МДж/кг.
396. Под колоколом воздушного насоса находится вода
массы т=40 г при температуре tQ=0 °C. Воздух из-под
колокола быстро откачивают. Благодаря интенсивному
испарению воды оставшаяся часть ее замерзает. Найти
массу тл образовавшегося льда, если его температура
также /0—0 °C. Удельная теплота плавления льда г=
=0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды
^=2,3 МДж/кг.
397. В сосуде, из которого откачивают воздух, находит-
ся небольшая масса воды при температуре /о=О СС. Бла-
годаря интенсивному испарению воды оставшаяся часть
ее замерзает.. Испарившаяся вода имеет массу т=2,71 г.
Найти первоначальную массу воды ЛГ. Удельная теплота
плавления льда г=0,33 МДж/кг, удельная теплота паро-
образования воды Х=2,3 МДж/кг.
398. Найти массу т воды, которая может быть превра-
щена в лед испарением эфира, имеющего массу тэ=0,1 кг
и температуру /=20 °C. Начальная температура воды так-
же /=20 °C. Удельные теплоемкости воды и эфира с=
=4,2 кДж/(кг-К) и сэ=2,1 кДж/(кг-К). Удельная тепло-
та плавления льда г=0,33 МДж/кг, удельная теплота
парообразования эфира Х=0,38 МДж/кг.
399. Вода может быть переохлаждена до температуры
1=—10 °C. Такое состояние воды неустойчиво, и при лю-
бом возмущении вода превращается в лед с температурой
t0=Q °C. Какова масса тя льда, образовавшегося из пере-
охлажденной воды, если масса ее т = 1 кг? Удельная теп-
лоемкость воды с=4,2 кДж/(кг-К). Удельная теплота
плавления льда г=0,33 МДж/кг.
400. Колба заполнена смесью воды и ртути, массы ко-
торых /П1=0,5 кг и /п2=1 кг. При сообщении содержимому
колбы количества теплоты Q=90 кДж из колбы вылива-
68
стся часть воды массы т=3,5 г. Найти коэффициент объем-
кого расширения ртути а2. Удельные теплоемкости воды
и ртутя Ci=4,2 кДж/(кг-К) и с2 = 140 Дж/(кг-К), их плот-
ности рх —-103 кг/м3 н р2 = 13,6-103 кг/м3. Коэффициент объ-
емного расширения воды а1 = 1,5*10”4 К”1.
401. В сосуд с тающим льдом положили кусок латуни
массы /п=430 г. При этом часть льда массы тл=200 г
превратилась в воду. Найти объем латуни V в момент по-
гружения ее в сосуд. Удельная теплоемкость латуни
f=0,4 кДж/(кг-К), ее плотность при to=O °C равна
ро=8,6-1О3 кг/м3. Удельная теплота плавления льда
г=0,33 МДж/кг. Коэффициент линейного расширения ла-
туни р=2-10“5 К’1.
402. В цилиндре двигателя внутреннего сгорания при
работе образуются газы, температура которых ^=727 СС.
Температура отработанного газа * f2=100 °C. Двигатель
расходует в единицу времени массу /пт=36 кг/ч топлива.
Какую максимальную полезную мощность может развивать
этот двигатель? Удельная теплота сгорания топлива q=
=43 МДж/кг.
403. Во сколько раз максимально возможный к. п. д.
двигателя внутреннего сгорания больше максимально воз-
можного к. п. д. паровой машины, работающей на перегре-
том паре при температуре ^=300 °C, если температура
газов в цилиндре двигателя достигает /2=Ю00 °C? Отра-
ботанные газ и пар имеют одинаковые температуры t=
= 100 °C.
404. Судно на подводных крыльях «Метеор» развивает
мощность N=1500 кВт при к. п. д. двигателя т]=30%.
Найти расход топлива на единицу длины пути при ско-
рости судна у=72 км/ч. Удельная теплота сгорания топ-
лива 7=50 МДж/кг.
405. Реактивный самолет пролетает со скоростью v=
=900 км/ч путь s=1800 км, затрачивая массу топлива
/п=Ф т. Мощность двигателя самолета W=5900 кВт,
его к. п. д. т]=23%. Какова удельная теплота сгора-
ния q топлива, применяемого самолетом?
406. Какую массу керосина т потребовалось бы сжечь,
чтобы вывести спутник массы Л4=103 кг на круговую ор-
биту вблизи поверхности Земли, если бы все количество
теплоты превращалось в работу? Радиус Земли R =6400 км.
Удельная теплота сгорания керосина 7=46 МДж/кг.
407. Каков к. п. д. т] двигателя автомашины мощности
А/=20 кВт, если при скорости и=72 км/ч двигатель потреб-
ляет объем У=10 л бензина на пути s=100 км? Удельная
69
теплота сгорания бензина <?=44 МДж/кг, его плотность
р=0,7-103 кг/м3.
408. В электрическом чайнике мощности М=800 Вт
можно вскипятить объем 7=1,5 л воды, имеющей темпера-
ТУРУ ^1=20 °C, за время т=20 мин. Найти к.п.д. чайника.
Удельная теплоемкость воды с=4,2 кДж/(кг-К).
409. За время т=1 ч в холодильнике превращается
в лед при температуре tQ=0 °C масса воды яг=3,6 кг,
имевшая начальную температуру /=20 °C. Какая мощ-
ность N потребляется холодильником от электросети, если
он отдает в окружающее пространство в единицу времени
энергию QT=840 Дж/с? Удельная теплоемкость воды
с=4,2 кДж/(кг-К). Удельная теплота плавления льда
г=0,33 МДж/кг.
410. Поезд массы т=2000 т при торможении с ускоре-
нием а=0,3 м/с2 остановился спустя время т=50 с после
начала торможения. Какое количество теплоты Q выдели-
лось при торможении?
411. С какой скоростью v должна вылететь из ружья
свинцовая дробинка при выстреле, сделанном вертикально
вниз с высоты h=100 м, чтобы при ударе о неупругое тело
дробинка расплавилась? Начальная температура дробин-
ки Т=500 К, температура плавления свинца Тпл=600 К.
Удельная теплоемкость свинца с=0,13 кДж/(кг-К), его
удельная теплота плавления г=25 кДж/кг. Считать, что
выделившееся количество теплоты распределилось между
дробинкой и телом поровну.
412. Брусок массы т равномерно поднимают за привя-
занную к нему веревку на высоту h по доске, которая об-
разует с горизонтом угол а. Веревка параллельна доске.
Коэффициент трения бруска о доску равен k. Найти энер-
гию 17, которая идет на нагревание доски и бруска.
413. Тело массы /и=1 кг соскальзывает с наклонной
плоскости длины /=22 м, которая образует с горизонтом
угол а=30°. Скорость тела у основания наклонной пло-
скости у=4 м/с. Какое количество теплоты Q выделилось при
трении тела о плоскость, если начальная скорость тела
у0=0?
414. Найти частоту вращения п вала паровой машины,
если среднее давление пара р = 1 МПа и мощность машины
М=200 кВт. За один оборот вала поршень делает один ра-
бочий ход /=0,5 м. Площадь поршня 5=0,2 м2.
415. Пуля массы /тг, летящая со скоростью Uf, попадает
в деревянный куб массы /И, лежащий на гладком столе,
и пробивает его. Найти энергию 17, превратившуюся
70
в тепло, если пуля прошла через центр куба и скорость ее
после вылета стала равной и$.
416. Найти количество теплоты Q, которое выделилось
при абсолютно неупругом соударении двух шаров, двигав-
шихся навстречу друг другу. Массы первого и второго ша-
ров /П1=0,4 кг и пц=0,2 кг, их скорости v,=3 м/с и Vi=
=12 м/с.
§ 14. Законы идеального газа и уравнение состояния
Состояние газа определяется его объемом V, давлением р и темпера-
турой I. Законы для идеальных газов выражаются более простыми фор-
мулами, если температура выражена в кельвинах: 7'/К=7/°С+273,15.
Если масса газа постоянна, то состояние газа описывается следующими
законами.
Закон Бойля — Мариотта. При постоянной температу-
ре (изотермический процесс, t= const)
Pi^i= Рг^2= • • • =Ро^о»
или
pV = const, (4)
Закон Гей-Люссака. При постоянном давлении (изобар-
ный процесс, p=const) объем газа при температуре t
= (1+*0,
где Vo— объем газа при to=O °C и а=(1/273) К"1—температурный коэф-
фициент объемного расширения, или
V/Т = const. (5)
Закон Шарля. При постоянном объеме (изохорный процесс,
V=const) давление газа при температуре t
Pt = Po d+₽0,
где р0— давление газа при /о=О°С и Р=а=(1/273) К”1— температурный
коэффициент давления, или
р]Т = const. (6)
Объединенный газовый закон. При небольших
плотностях газы подчиняются уравнению
РУ i/^ i = РУ 2/^2 = • • • = рУ о/Г о»
или
pV jT const. (7)
Величины р0, То и Vo соответствуют «нормальному состоянию» газа,
т. е. состоянию при р0= 101,325 кПа (760 мм рт. ст.) и 70=273 К. За-
нимаемый газом объем пропорционален количеству газа v. Если количе-
ство газа v=l моль, то при нормальных условиях (давлении р0 и темпе-
ратуре То) согласно закону Авогадро любой газ занимает объем
71
Vou = 22,41 -10~? м3/моль. Следовательно,
PoV о,./Г
Величина R одна и та же для всех газов: /?=8,31 Лж/(моль-К) — п
носит название газовой постоянной.
Таким образом, объединенный газовый закон для v=l моль можно
представить в виде
pV.. = RT. (8)
Это соотношение называется уравнением Клапейрона — Менделеева.
Уравнение состояния идеального газа. Для
произвольного количества газа v объем при тех же условиях увеличи-
вается в v раз. Следовательно, во столько же раз увеличивается и пра-
вая часть уравнения (8), т. е.
pV—\RT = ?-- RT, (9)
где у=/п/ц, пт — масса газа и ц— его молярная масса. Выражение (9)
носит название уравнения состояния идеального газа. Оно определяет
связь между параметрами, характеризующими состояние газа. Для
неизменного количества газа v постоянство одного из параметров при-
водит к зависимости между двумя оставшимися, т. е. к уравнению соот-
ветствующего газового закона. Так, при r=const получается закон
Бойля — Мариотта (4), при p=const — закон Гей-Люссака (5) и при
V=const — закон Шарля (6).
Закон Дальтона (закон парциальных давлений). Давле-
ние, которое оказывал бы газ, входящий в состав смеси, если бы он был
один в этом сосуде, называется парциальным. Согласно закону Дальтона
давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений. С точки
зрения молекулярной физики, согласно которой давление объясняется
ударами молекул о стенки сосуда, закон Дальтона означает, что дей-
ствия на стенки сосуда молекул каждого из газов складываются. В част-
ности, закон Дальтона применим и при добавлении в сосуд, в котором
уже находится газ под давлением р, некоторого количества этого же
газа. В этом случае парциальное давление добавленного газа можно рас-
считывать так, как если бы сосуд был пустой. Окончательное же давле-
ние будет складываться из этого парциального давления и давления газа
р в сосуде.
Уравнения (4) — (9) описывают только такие состояния, для кото-
рых во всех точках объема, занимаемого газом, температуры и давления
одинаковы, т. е. состояния, когда газ находится в тепловом равновесии.
При непрерывном изменении р, V и Т уравнения (4) — (9) применимы
ко всей последовательности состояний только при бесконечно медлен-
ных процессах, когда неравномерности в распределении температуры и
давления бесконечно малы. Если процессы идут не бесконечно медленно,
рассмотренные уравнения как уравнения процессов не имеют смысла, но
остаются справедливыми как уравнения состояния для моментов вре-
мени, когда газ оказывается в состоянии теплового равновесия.
72
417. Представить на графиках в координатах р, V; р,Т
и V.T изотермический процесс для одного моля газа при
температурах T=Tt и Т=ЗТ1-.
418. При нормальных условиях газ занимает объем
1ZO=1 м3. Какой объем V будет занимать этот газ при изо-
термическом сжатии до давления р=4,9 МПа? Нормальное
атмосферное давление ро=0,1 МПа.
419. Газ сжат изотермически от объема 7i=8 л до объе-
ма У§=6 л. Давление при этом возросло на Др=4 кПа.
Каким было первоначальное давление Pi?
420. Каково давление газа в цилиндре под поршнем,
если поршень удерживается в равновесии при помощи стер-
жня, вдоль которого действует сила
F«9,8 Н (рис. 57)? Площадь порш- I F
ня S=7 см3, стержень составляет с | ----
нормалью к поршню угол а=30°. 1_________И
Атмосферное давление ро=0,1 МПа. рИСе 57ф
Трением пренебречь.
421. В баллоне объема К=10 л находится кислород,
масса которого /п=12,8 г. Давление в баллоне измеряется
U-образным манометром, заполненным водой. Какова
разность уровней ДА воды в трубках манометра при тем-
пературе газа t=27 °C? Атмосферное давление ро=О, 1 МПа.
Плотность воды р=10э кг/м3, молярная мас-
са кислорода р.=0,032 кг/моль.
422. В цилиндре под поршнем массы tn—
=6 кг находится воздух. Поршень имеет
форму, показанную на рис. 58. Площадь
сечения цилиндра So=2O см2. Атмосферное
давление ро=О, 1 МПа. Найти массу /И гру-
за, который надо положить на поршень, что-
бы объем воздуха в цилиндре изотермически
сжать в два раза. Трением пренебречь.
423. Один конец цилиндрической трубки
=25 см и радиуса г—1 см закрыт пробкой, а в другой встав-
лен поршень, который медленно вдвигают в трубку. Когда
поршень подвинется на расстояние Д/=8 см, пробка выле-
тает. Считая температуру неизменной, найти силу трения F
пробки о стенки трубки в момент вылета пробки. Атмосфер-
ное давление ро=О, 1 МПа.
424. Узкая цилиндрическая трубка длины L, закрытая
с одного конца, содержит воздух, отделенный от наружного
столбиком ртути длины h. Трубка расположена откры-
тым концом вверх. Какова была длина I столбика воз-
духа в трубке, если при перевертывании трубки открытым
Рис. 58.
длины /=
73
концом вниз из трубки вылилась половина ртути? Плот-
ность ртути равна р. Атмосферное давление равно р0.
425. Посередине откачанной и запаянной с обоих кон-
цов горизонтально расположенной трубки длины L=1 м
находится столбик ртути длины /г=20 см. Если трубку по-
ставить вертикально, столбик ртути сместится на расстоя-
ние /=10 см. До какого давления р была откачана труб-
ка? Плотность ртути р=13,6-103 кг/м3.
426. Запаянную с одного конца трубку длины L=75 см
погружают в вертикальном положении открытым концом
в сосуд с ртутью. На каком расстоянии I от поверхности
должен находиться запаянный конец трубки, чтобы уро-
Рис. 59.
теснена вся
вень ртути в ней был ниже уровня ртути в сосуде на вели-
чину Л=76 см? Плотность ртути р=13,6> 103 кг/м3. Атмо-
сферное давление ро=О,1 МПа.
427. Открытую с обоих концов трубку длины L—2 м
погружают в вертикальном положении на половину ее
длины в сосуд с ртутью. В трубку вдвигают поршень.
На каком расстоянии I от поверхности ртути в сосуде
должен находиться поршень, чтобы уровень ртути в труб-
ке опустился на величину h=l м? Плот-
ность ртути р=13,6-103 кг/м3. Атмосфер-
ное давление ро=О, 1 МПа.
428. К дну цилиндра длины It с пло-
щадью поперечного сечения Si приделана
трубка длины /2 с площадью поперечного
сечения S§. Трубка целиком погружена в
ртуть (рис. 59). На какую величину Л опу-
стится ртуть в трубке, если вдвинуть пор-
шень до самого дна цилиндра? При какой
минимальной площади поперечного сече-
ния цилиндра Si из трубки будет вы-
ртуть? Плотность ртути равна р. Атмосфер-
ное давление равно р0.
429. В сосуд с ртутью погружена в вертикальном по-
ложении трубка с поршнем, открытая с нижнего конца.
Если поршень находится на расстоянии /0=1 см от поверх-
ности ртути в сосуде, то уровни ртути в сосуде и трубке
одинаковы. Найти давление воздуха р в трубке после
подъема поршня над уровнем ртути в сосуде до высоты
1=75 см. Плотность ртути р=13,6-103 кг/м3. Атмосферное
давление ро=О,1 МПа.
430. Для измерения глубины погружения в море раз-
личных приборов применяется запаянная с одного конца
стеклянная трубка длины /0=1 м, которая погружается
74
в воду вместе с приборами в вертикальном положении от-
крытым концом вниз. Максимальная глубина погружения
Н вычисляется по минимальной высоте I сжатого воздуха
в трубке. Для определения высоты I внутренние стенки
трубки покрываются легкорастворимой в воде краской.
Та часть трубки, куда не проникла вода, остается окрашен-
ной. На какую глубину Н была опущена трубка, если ока-
залось, что /=0,2 м? Плотность воды р=103 кг/м3. Атмо-
сферное давление ро=О,1 МПа. Температуру воздуха
в трубке считать постоянной.
431. Пузырек воздуха поднимается со дна водоема,
имеющего глубину Н. Найти зависимость радиуса пузырь-
ка г от глубины h его местонахождения в данный момент
времени, если его объем на дне водоема равен V. Силы
поверхностного натяжения не учитывать.
432. Тонкий резиновый шар радиуса ri=2 см заполнен
воздухом при температуре Zi=20 °G и давлении р0=
=0,1 МПа. Каков будет радиус шара если его опустить
в воду с температурой /2=4 °C на глубину Л=20 м?
433. Из затонувших подводных лодок иногда спасались,
открывая сначала нижние клапаны (кингстоны), а затем
верхний люк, и с пузырем-воздуха выскакивали на поверх-
ность. Какая доля k объема лодки не заливалась водой после
открытия кингстонов, если лодка находилась на глубине
ft=42 м? Плотность морской воды р=1,03‘103 кг/м3. На-
чальное давление воздуха в лодке ро=О,1 МПа.
434. Оболочку аэростата, объем которой 71=600 м3,
заполняют при атмосферном давлении ро=О,1 МПа гелием,
имеющим объем 72=500 м3. На какой высоте над уровнем
Земли газ целиком заполнит оболочку аэростата? Атмосфер-
ное давление убывает вблизи Земли на Др0=133 Па при
подъеме на каждые Д//=11 м высоты. Температуру счи-
тать постоянной.
435. Два одинаковых сообщающихся сосуда с порш-
нями частично заполнены жидкостью с плотностью р. Рас-
стояния поршней от поверхностей жидкости одинаковы и
равны Н (рис. 60). Один из поршней
закреплен, а второй поднимают на высо-
ту h. При какой высоте h разность уров-
ней жидкости в сосудах будет равна Ш
Начальное давление воздуха в каждом
из сосудов равно р.
436. Ртуть, налитая в U-образную
трубку, не доходит до ее концов на рас-
стояние h=20 см. Одно колено трубки
Рис. 60.
75
Рис. 61.
[епы v. За
запаяно (рис. 61). Найти понижение hi
уровня ртути в открытом колене, если при
выпускании части ртути через кран ее
уровень в запаянном колене понизился на
hi = 18 см. Плотность ртути р = 13,6 • 1О'1 кг/м3.
Атмосферное давление р0—0,1 МПа.
437. Найти объем v засасывающей ка-
меры поршневого насоса, если при отка-
чивании этим насосом воздуха из бал-
лона объема V=4 л давление уменьшается
при каждом цикле в п=1,2 раза.
438. Насос имеет объем засасывающей
сколько циклов работы насоса можно от-
качать баллон объема V, снизив давление в нем со зна-
чения р до р„? Температуру считать постоянной.
439. Компрессор, обеспечивающий работу отбойных
молотков, засасывает из атмосферы в единицу времени
объем воздуха VT = 100 л/с. Сколько отбойных молотков
может работать от этого компрессора, если каждый моло-
ток расходует в единицу времени объем воздуха vx =
= 100 см3/с при давлении р=5 МПа? Атмосферное давление
Ро=О, 1 МПа.
440. До какого давления накачан футбольный мяч объема
1/=3 л за п=40 качаний поршневого насоса? При каждом
качании насос захватывает из атмосферы объем воздуха
i;=150 см3. Атмосферное давление р0=0,1 МПа.
441. Камеры автомобильных шин накачиваются при
помощи насоса, работающего от двигателя. Сколько вре-
мени требуется для того, чтобы камеру объема К=6 л на-
качать до давления р=0,5 МПа, если при каждом цикле
насос захватывает из атмосферы цилиндрический столб
воздуха высоты h=10 см и диаметра d=10 см и если время
одного качания т=1,5 с? Начальное давление в камере
р0=0,1 МПа.
442. Два сосуда, наполненных воздухом при давлениях
рх=0,8 МПа и р2=0,6 МПа, имеют объемы Vi=3 л и У2=
=5 л. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно
пренебречь по сравнению с объемами сосудов. Найти уста-
новившееся давление р в сосудах. Температуру считать
постоянной.
443. Два сосуда с объемами Vi=40 л и У2=20 л содержат
газ при одинаковых температурах, но разных давлениях.
После соединения сосудов в них установилось давление
р=1 МПа. Каково было начальное давление pi в большем
76
сосуде» если начальное давление в меньшем сосуде р2==
=0,6 МПа? Температуру считать постоянной.
444. Три сосуда с одинаковыми объемами сообщаются
между собой кранами. Первый сосуд содержит газ массы
гщ, третий — тот же газ массы /п2, во втором сосуде — ва-
куум. Сначала соединили второй и третий сосуды, а когда
давление выравнялось, второй сосуд отсоединили от тре-
тьего и соединили с первым. Давление в первом и втором
сосудах установилось равным р. Найти начальное давле-
ние pt в первом сосуде. Температуру считать постоянной.
445. Представить на графиках в координатах р,7;
р,Г и V.T изобарный процесс для одного моля газа при
давлениях р=р± и p=3pi.
446. При нагревании газа на Д7=1 К при постоянном
давлении объем его увеличился в два раза. В каком интер-
вале температур происходило нагревание?
447. Газ нагревают от температуры /х=27 °C до темпе-
ратуры /а=39 °C при постоянном давлении. На сколько
процентов увеличился его объем?
448. Два сосуда с одинаковыми объемами V соединены
тонкой капиллярной трубкой, объемом которой можно
пренебречь по сравнению с объемами сосудов. В середине
капилляра находится капля ртути. Найти зависимость
между относительным изменением температуры \Т1Т и
смещением капли AZ, если начальная температура газа
в обоих сосудах была равна Т и нагревается только один
сосуд. Площадь капилляра равна S.
449. Полый шарик объема 7=100 см3 снабжен длинной
трубкой с делениями. Объем трубки между соседними
делениями А 7=0,2 см3. В шарике и части трубки находится
воздух, который отделен от наружного воздуха каплей
ртути. При температуре Z=5 °C капля ртути стоит у деле-
ния п=20. В каких пределах можно измерять температуру
таким термометром, если трубка имеет М=100 делений?
Тепловым расширением шарика и трубки пренебречь.
450. Закрытый цилиндр, расположенный горизонталь-
но, разделен на две части подвижным поршнем. Одна часть
цилиндра заполнена некоторым количеством газа при тем-
пературе Zi=—73 °C, другая — таким же количеством
газа при температуре Z2=27°C. Поршень находится в рав-
новесии. Найти объемы 7Х и 72, занимаемые газом в двух
частях цилиндра, если общий объем газа 7=500 см3.
451. Цилиндрический сосуд, расположенный горизон-
тально, заполнен газом при температуре /=27 °C и давле-
нии р=0,1 МПа и разделен на две равные части подвижной
77
перегородкой. Каково будет давление р', если в одной
части газ нагреть до температуры f =57 °C, а в другой —
температуру газа оставить без изменения?
452. Цилиндр разделен на две части подвижным порш-
нем, имеющим массу т и площадь сечения 5. При горизон-
тальном положении цилиндра давление газа в сосуде по
обе стороны поршня одинаково и равно р. Найти давление
р' газа над поршнем, когда цилиндр расположен верти-
кально. Температуру считать постоянной.
453. В трубке длины L = l,73 м, заполненной газом, на-
ходится столбик ртути длины h=30 мм. Когда трубка рас-
положена вертикально, ртуть делит трубку на две равные
части. Давление газа над ртутью р=8 кПа. На какое
расстояние I сдвинется ртуть, если трубку положить го-
ризонтально? Плотность ртути равна р.
454. В объеме У=4 л находится масса /п=0,012 кг газа
при температуре Т=450 К. При какой температуре Т' плот-
ность этого газа р'=6 кг/м3? Давление считать постоянным.
455. Открытую стеклянную колбу, имеющую форму
шара радиуса г=2 см, с горлышком длины 7=10 см и диа-
метра d = l см нагрели до некоторой температуры а за-
тем погрузили целиком в воду горлышком вниз. При
охлаждении колбы вода вошла .в горлышко. Когда колба
приняла температуру воды /2=13°С, ее приподняли из
воды, не переворачивая, так, что шарообразная часть ока-
залась над водой, а горлышко — частично погруженным
в воду. Когда уровни воды в горлышке и снаружи вырав-
нялись, под водой осталась половина горлышка. Какова
температура tu до которой была нагрета колба? Тепловым
расширением колбы пренебречь.
456. Воздух в открытом сосуде нагревают от температу-
ры /1=10 °C до температуры /2=600 °C. Затем, гермети-
чески закрыв сосуд, охлаждают воздух в нем до первона-
чальной температуры Найти плотность воздуха в сосуде
при температуре /2 и после охлаждения. Плотность воздуха
при нормальных условиях р0=1,3 кг/м3. Тепловым расши-
рением сосуда пренебречь.
457. Цилиндр с тяжелым поршнем, расположенный вер-
тикально, заполнен кислородом, масса которого /п=10 г.
После увеличения температуры на Д71=50 К поршень под-
нялся на высоту h=7 см. Найти массу поршня М, если дав-
ление газа над поршнем ро=0,1 МПа. Площадь поршня
S = 100 см2. Молярная масса кислорода р=0,032 кг/моль.
458. В запаянной цилиндрической трубке, расположен-
ной горизонтально, находится воздух при нормальных ус-
78
ловиях. Трубка разделена подвижным поршнем на две
части, отношение объемов которых Vi/%=l/2. До какой
температуры ti следует нагреть меньшую часть трубки
и до какой температуры ti охладить большую часть
трубки, чтобы поршень делил трубку на две равные части?
Нагревание и охлаждение обеих частей производится при
JZ/T=const.
459. Посередине закрытой с обоих концов трубки длины
L = \ м, расположенной горизонтально, находится в равно-
весии подвижная перегородка. Слева от нее температура
газа /1 = 100 °C, справа— £2=0 °C. На каком расстоянии I
от левого конца трубки установится перегородка, если тем-
пература всего газа станет равной ^2=0 °C?
460. Открытую пробирку с воздухом при давлении р±
медленно нагрели до температуры /х, затем герметически
закрыли и охладили до температуры ^2=10°С. Давление
при этом упало до p2=0,7pi. До какой температуры ti
была нагрета пробирка? Тепловым расширением пробирки
пренебречь.
461. В цилиндре под поршнем находится воздух при
давлении рх=0,2 МПа и температуре ^=27 °C. Какой
массы груз т нужно положить на поршень после нагревания
воздуха до температуры Z2=50 °C, чтобы объем воздуха
в цилиндре был равен первоначальному? Площадь поршня
5=30 см2.
462. Манометр на баллоне с газом в помещении с темпера-
турой /Х=17°С показывает давление /7=240 кПа. На улице
показание манометра уменьшилось на Др=40 кПа. Найти
температуру воздуха на улице, если атмосферное давление
ро=0,1 МПа.
463. При изготовлении электроламп их наполняют инерт-
ным газом при температуре ^=150 °C. Под каким давле-
нием должны наполняться лампы, чтобы при температуре
^2=300 °C, которая устанавливается в лампе при горении,
давление не превышало р0=0,1 МПа?
464. Доказать, пользуясь законами
идеальных газов, равенство температур- П |
ных коэффициентов объемного расши- /
рения а и давления р. /
465. На рис. 62 дан график измене- f
ния состояния идеального газа в коорди- <
натах V',Т. Представить этот процесс на / 3
графиках в координатах p,V и р,Т. /_________________Г
466. Газ последовательно переводит- п
ся из состояния 1 с температурой Л в Рис. 62,
79
ют до объема V$
состояние 2 с температурой 7\, а затем
в состояние 3 с температурой Т3 и воз-
вращается в состояние 1. Найти тем-
пературу Т9, если процессы изменения
состояния происходили так, как это по-
казано на рис. 63, а температуры 7\ и
Т2 известны.
467. Газ, занимающий при темпе-
ратуре 7\=400 К и давлении рг=0,1 МПа
объем Vf=2 л, изотермически сжима-
и давления р2, затем изобарно охлаж-
дают до температуры Т3=200 К, после чего изотермически
изменяют объем до Г4=1 л. Найти конечное давле-
ние р4.
468. Решить предыдущую задачу графически, построив
графики в координатах p,V; р,Т и V,T.
469. Вычислить газовую постоянную /?, которая вхо-
дит в уравнение pVy==RT, описывающее состояние одного
моля газа.
470. Найти массу m водорода, находящегося в баллоне
объема 7=20 л под давлением р=830 кПа при температуре
/=17°С. Молярная масса водорода р =0,002 кг/моль.
471. Некоторый газ массы mi=7 г при температуре
Л=27 °C создает в баллоне давление /л =50 кПа. Водород
массы т2=4 г при температуре /2=60 °C создает в том же
баллоне давление р2=444 кПа. Какова молярная масса
Рх неизвестного газа? Молярная масса водорода р2=
=0,002 кг/моль.
472. Открытый сосуд содержит воздух при температуре
/1=27 °C. Какая часть массы воздуха останется в нем при
нагревании до температуры /2=450 °C? Тепловым расши-
рением сосуда пренебречь.
473. Из баллона со сжатым кислородом израсходовали
столько кислорода, что его давление упало со значения
Pi=9,8 МПа до р2=7,84МПа. Какая часть массы кислорода
израсходована?
474. В баллоне объема 7=0,2 м3 находится гелий при
давлении pi =0,1 МПа и температуре /1=17 °C. Массу
гелия в баллоне увеличили, при этом его давление повы-
силось до р2=0,3 МПа, а температура — до /2=47 °C.
На сколько увеличилась масса гелия? Молярная масса
гелия р =0,004 кг/моль.
475. Газ массы /п=16 г при давлении р = 1 МПа и тем-
пературе /=112 °C занимает объем 7=1600 см3. Опреде-
лить, какой это газ.
80
476. Найти плотность азота при температуре /=27 °C
и давлении /?=0,1 МПа. Молярная масса азота
= 0,028 кг/моль.
477. Высота пика Ленина на Памире /7=7134 м. Атмо-
сферное давление на этой высоте р=38 кПа. Найти плот-
ность воздуха на вершине пика при to=O °C. Молярная
масса воздуха р=0,029 кг/моль.
478. При каком давлении р плотность газообразного
азота при температуре t=—73 °C составляет 0,4 плотности
воды при комнатной температуре ро=1О3 кг/м3?
479. Под каким давлением pt нужно наполнить возду-
хом баллон объема Р\ = 10 л, чтобы при соединении его с
баллоном объема Уг=30 л, содержащим воздух при дав-
лении р2=0,1 МПа, установилось общее давление р =
=0,2 МПа?
480. Два сосуда одинакового объема содержат воздух:
один — при температуре Тг и давлении другой — при
температуре Т2 и давлении р2. Сосуды соединены, и после
выравнивания давлений и температур воздух нагрет до
температуры Т. Какое давление установится после нагре-
вания?
481. Закрытый с обоих концов цилиндр, расположенный
горизонтально, наполнен газом при давлении р = 100 кПа
и температуре /=30 °C и разделен подвижным поршнем на
две равные части длины /=50 см. На какую величину ДТ*
нужно повысить температуру газа в одной части цилиндра,
чтобы поршень сместился на расстояние 1=20 см? Во
второй части цилиндра температура не изменяется. Найти
давление газа р' после смещения поршня.
482. Длинная пробирка открытым концом погружена
в сосуд с ртутью. При температуре /1=47 °C уровни ртути
в пробирке и в сосуде совпадают. Над уровнем ртути оста-
ется часть пробирки длины L=10 см. На какую высоту /
поднимется ртуть в пробирке, если ее охладить до темпе-
ратуры t2=—33 °C? Атмосферное давление р0=0,1 МПа.
483. Сосуд объема У=100 л разделен на две равные
части полупроницаемой перегородкой. В одной части
сосуда находится /их=2 г водорода, во второй — v2=l моль
азота. Найти давление, установившееся по обе стороны
перегородки, если она может пропускать только водород.
Температура в обеих половинах сосуда одна и та же: t=
= 127 °C — и постоянна. Молярная масса водорода pi=
=0,002 кг/моль.
484. Внутри закрытого цилиндра, расположенного
горизонтально, имеется тонкий теплонепроницаемый
81
поршень. В одной части цилиндра находится кислород при
температуре /1=127 °C, в другой — водород при темпера-
туре /2=27 °C. Массы обоих газов одинаковы. На каком
расстоянии I от торца цилиндра в части, в которой нахо-
дится водород, расположен поршень? Длина цилиндра
£=65 см. Молярные массы кислорода и водорода pi=
=0,032 кг/моль и р2=0,002 кг/моль.
485. Сосуд с газом разделен подвижной перегородкой
на две части, отношение объемов которых 7i/72=2/3.
Температуры газа в меньшем и большем объемах tr=177 °C
и £=267 °C, давления в них одинаковы и равны р. Каково
будет отношение объемов, если температуры сравняются?
Теплообмен возможен только через перегородку.
486. Цилиндр длины £=85 см разделен на две части
подвижным поршнем. Одна часть цилиндра заполнена
кислородом, а другая — водородом. При каком поло-
жении поршня давления в обеих частях цилиндра будут
одинаковы? Температуры и массы газов в обеих частях
цилиндра одинаковы. Молярные массы кислорода и во-
дорода Ц1=0,032 кг/моль и р,2=0,002 кг/моль.
487. В условиях предыдущей задачи найти, при каких
температурах кислорода Ti и водорода Т2 поршень будет
делить цилиндр на равные части.
488. Найти температуру Т азота массы гп=2 г, зани-
мающего объем 7=830 см3 при давлении р=0,2 МПа.
489. Шар заполнен газом при давлении pi=0,105 МПа
и температуре £=27 °C. После подъема шара на высоту,
где давление газа ро=О,О8 МПа, объем шара увеличился
на п=5% и давление в нем стало отличаться от атмосфер-
ного на Др =5 кПа. Найти температуру t2 воздуха на этой
высоте, предполагая, что газ в шаре принял эту темпе-
ратуру.
490. Сколько баллонов водорода, имеющих объем и=50 л
каждый, при температуре 1=27 °C и давлении р=4 МПа
потребуется для заполнения аэростата объема 7' = 1000 м3,
если при температуре f=7 °C давление в нем должно
быть р' =0,1 МПа?
491. В каждую из четырех шин автомобиля накачан
объем 71=200 л воздуха при температуре /1=17 °C. Объем
шины 72=54,6 л, площадь сцепления шины с грунтом при
температуре £=0 °C 5=290 см2. Найти массу пг автомо-
биля. Атмосферное давление р0=0,1 МПа.
492. Баллон объема 71=40 л содержит сжатый воздух
при давлении Pi=15 МПа и температуре £=27 °C. Какой
объем 7 воды можно вытеснить из цистерны подводной
82
лодки воздухом этого баллона, если лодка находится на
глубине Л=20 м, где температура /2=7 °C? Плотность воды
р = 103 кг/м3. Атмосферное давление ро=О,1 МПа.
493. Два невесомых поршня, соединенные нитью, встав-
лены в открытую с двух сторон трубку, имеющую площадь
сечения 5 = 10 см2, и могут перемещаться без трения.
Давления и температуры между поршнями и снаружи
одинаковы и равны ра=0,1 МПа и /=27 °C. До какой тем-
пературы t' нужно нагреть воздух между поршнями, чтобы
нить, соединяющая поршни, пор-
валась? Нить выдерживает силу
натяжения F=30 Н.
494. В двух горизонтально
расположенных цилиндрах с за-
крепленными поршнями нахо-
дится воздух при давлении р0
и температуре Ть (рис. 64). Объемы воздуха в цилинд-
рах равны К и V2f площади сечений поршней равны
5\ и 52. Наружное давление равно нулю. Между порш-
нями вставляют стержень и освобождают поршни от за-
крепления, а затем воздух в первом цилиндре нагревают
до температуры Т. Найти силу 7, сжимающую стержень
в установившемся состоянии.
495. Шар с нерастяжимой оболочкой массы Л4=11,6 г
наполнен водородом, занимающим объем V=10 л. Тем-
пература водорода и окружающего шар воздуха /о=О °C.
Найти давление р водорода в шаре, если результирующая
подъемная сила шара равна нулю, т. е. шар парит в воз-
духе. Атмосферное давление ро=О, 1 МПа. Молярные массы
водорода и воздуха pi=0,002 кг/моль и р,2=0,029 кг/моль.
496. Воздух в стакане высоты /7=10 см с площадью
дна 5=25 см2 нагрет до температуры /1=87 °C. Стакан
погружен вверх дном в воду так, что его дно находится на
уровне поверхности воды. Какой объем воды войдет в
стакан, когда воздух в стакане примет температуру воды
/2=17 °C? Атмосферное
давление ро=О,1 МПа.
Плотность воды р =
= 103 кг/м3.
497. Стакан высоты
h=9 см, наполненный
на 2/3 водой, плавает в
воде так, что его края
находятся на уровне ее
поверхности (рис. 65, а). Рис. 65.
83
Этот же стакан с воздухом, нагретым до температуры
/1=87 °C, погружают в воду вверх дном (рис. 65, б).
На какую глубину Н нужно погрузить стакан, чтобы
он, приняв температуру воды /2=27 °C, не всплывал и не
тонул? Атмосферное давление ро=0,1 МПа. Плотность воды
р=103 кг/м3.
§ 15. Элементы молекулярной физики
Все тела состоят из отдельных мельчайших частиц: молекул, атомов,
элементарных частиц. Частицы хаотически движутся и взаимодействуют
друг с другом. Молекулы или другие структурные элементы (атомы,
ионы, электроны) настолько малы, что в любом макроскопическом теле
их число огромно. Их число, отнесенное к одному молю, называется по-
стоянной Авогадро:
Мл = 6,02.1023 моль-1.
Молярной массой называют массу вещества, взятого в количестве
одного моля:
где m0=fn/N=m/N — масса одной молекулы.
Хаотическое тепловое движение молекул газа приводит к их упру-
гим соударениям со стенками сосуда, в котором газ находится. Громад-
ное число таких соударений создает давление газа, которое, таким обра-
зом, пропорционально средней кинетической энергии поступательного
движения его молекул.
498. Найти массы молекул водорода и кислорода.
499. Число молекул в единице объема неизвестного
газа при нормальных условиях п0=2,7- Ю2^ м"3. Этот же
газ при температуре /=91 °C и давлении р=800 кПа имеет
плотность р=5,4 кг/м3. Найти массу tn молекулы этого
газа.
500. ' Найти число молекул п0 в единице объема газа при
нормальных условиях. Постоянная Авогадро Л^л=6,02х
Х1023 моль"1.
501. В цилиндре под поршнем находится газ при нор-
мальных условиях. Сначала объем газа увеличили в k=
= 10 раз, затем газ нагрели при постоянном давлении до
температуры /=127 °C. Найти число молекул п в единице
объема газа в конечном состоянии.
502. Ампула объема V=1 см3, содержащая воздух .при
нормальных условиях, оставлена в космосе, где давление
можно считать равным нулю. В ампуле пробито отверстие.
84
Через какое время т давление в ампуле станет равным
нулю, если считать, что через отверстие в единицу времени
вылетает пт=109 с"1 молекул воздуха?
503. Шар радиуса г, содержащий газ при температуре
Т, находится в вакууме. Через отверстие в стенке шара
часть газа вытекает. Каким окажется давление р2 газа в
шаре, после того как вылетит п молекул газа, если на-
чальное давление газа внутри шара было pj При нор-
мальных условиях в единице объема газа содержится
число молекул п0.
504. Диаметр молекулы азота d=0,3 нм. Считая, что
молекулы имеют сферическую форму, найти, какая часть
объема, занимаемого газом, приходится на объем самих мо-
лекул при нормальных условиях (7’0=273 К, ро=О,1 МПа),
а также при давлении р=500 р0. Считать, что при этих
давлениях газ не отличается от идеального.
505. На стенку площади S налетает поток молекул,
имеющих среднюю скорость v. Число молекул, движущихся
по направлению к стенке, в единице объема равно п0.
Масса каждой молекулы равна т. Найти действующие на
стенку силу и давление, если молекулы движутся перпен-
дикулярно к стенке и удары молекул о стенку абсолютно
упругие.
506. Сосуд в форме кубика содержит v = 10"3 моль иде-
ального газа. К каждой из шести граней кубика перпен-
дикулярно к граням в любой момент времени движется
одинаковое число молекул. Масса каждой молекулы /п=
=3-10~2в кг, средняя скорость теплового движения мо-
лекул и=500 м/с. Найти давление р газа. Считать удары
молекул о стенку сосуда абсолютно упругими.
507. В сосуде находится газ при давлении р=0,15 МПа
и температуре /=273 °C. Какое число п молекул находится
при этих условиях в единице объема сосуда?
508. Какова температура Т газа, находящегося под
давлением р=0,5 МПа, если в сосуде объема V=15 л со-
держится п=1,8-1024 молекул?
509. В сосуде объема У=1 л при температуре /=183 °C
находится и=1,62-1022 молекул газа. Каково будет дав-
ление р газа, если объем сосуда изотермически увеличить
в k=5 раз? Число молекул газа в единице объема сосуда
при нормальных условиях по=2,7-1О2^ м”3.
510. Современные вакуумные насосы позволяют пони-
жать давление до р«10~10 Па. Какое число молекул газа
и содержится в единице объема при этом давлении и тем-
пературе /=48 °C?
85
511. Некоторая масса водорода находится при темпе-
ратуре Л=200 К и давлении pi=0,4 кПа. Газ нагревают
до температуры 7^=10 000 К, при которой молекулы во-
дорода практически полностью распадаются на атомы.
Найти давление рг газа, если его объем и масса остались
без изменения.
§ 16. Внутренняя энергия и работа
расширения газов. Теплоемкость
Энергия Q, сообщаемая телу в виде теплоты, идет на изменение АГ7
внутренней энергии этого тела и на совершение этим телом работы А
над окружающими его телами. Согласно закону сохранения энергии
0=д(/+д. (10)
Внутренняя энергия тела складывается из кинетической энергии
его молекул, зависящей от средней скорости их теплового хаотического
движения, и потенциальной энергии взаимодействия молекул между
собой, зависящей от взаимного расположения молекул. Потенциальная
энергия взаимодействия молекул идеального газа равна нулю. Полная
же кинетическая энергия молекул газа пропорциональна (при постоян-
ном объеме) давлению газа на стенку сосуда (см. задачи 505 и 506). С дру-
гой стороны, в этом случае по закону Шарля давление пропорционально
температуре. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа про-
порциональна его температуре.
Работа, совершаемая газом при расширении от объема до V2t если
давление р остается постоянным, определяется выражением
^ = P(V2-VX). (11)
Согласно закону сохранения энергии (10) для увеличения внутрен-
ней энергии газа на одну и ту же величину, а следовательно, и для по-
вышения на одну и ту же величину температуры газа требуется сообщить
ему различное количество теплоты в зависимости от работы, совершае-
мой при этом газом. Поэтому, в частности, теплоемкость газа при по-
стоянном объеме Су, когда процесс нагревания не сопровождается со-
вершением работы, оказывается^меньше, чем теплоемкость его при по-
стоянном давлении Ср, когда газ, согласно формуле (11), совершает
работу.
512. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем
находится кислород массы т=2 кг. Для повышения тем-
пературы кислорода на &Т=5 К ему было сообщено ко-
личество теплоты Q=9160 Дж. Найти удельную теплоем-
кость кислорода ср, работу А, совершаемую им при рас-
ширении, и увеличение его внутренней энергии At/. Мо-
лярная масса кислорода ц=0,032 кг/моль.
86
513. Шар, наполненный сухим воздухом при темпера-
туре /о=О °C и давлении pi=99,4 кПа, уравновешен на
весах. Когда шар был откачан до давления воздуха в нем
Р2=1 кПа, для равновесия потребовалось положить на
одну из чашек весов груз массы т=37 г. Найти объем V
шара. Плотность воздуха при нормальных условиях р0=
= 1,3 кг/м3.
514. Некоторая масса газа находится в баллоне объема
V=l л. После выпускания части газа из баллона давление
в нем уменьшилось на Др=56кПа, а масса балона с газом—
на Д/и=2 г. Температура газа при этом не изменилась.
Найти плотность р0 газа при нормальном давлении р0=
=0,1 МПа и температуре опыта.
515. В баллоне объема У=2,5 л находится газ при
температуре to=O °C. Масса баллона с газом /И1=200 г.
В баллон добавили порцию того же газа, после чего масса
баллона с газом увеличилась до /п2=201 г. На какую ве-
личину Др возросло давление в баллоне, если добавленный
газ при нормальных условиях имел плотность р0=1,2 кг/м8?
Температуру считать постоянной.
516. В цилиндре под поршнем находится кислород
массы т=2 кг. Поршень закреплен. Какое количество
теплоты Q нужно сообщить кислороду, чтобы его темпера-
тура повысилась на ДТ=5 К? Найти увеличение внут-
ренней энергии Д(7 и удельную теплоемкость кислорода
cv в этом случае (см. задачу 512).
517. Два металлических шара радиуса г=10 см с оди-
наковыми массами, один из которых откачан, а другой
заполнен кислородом при давлении р=2 МПа, вносят в
камеру, через которую идет поток насыщенного водяного
пара, имеющего температуру /п=100°С. После того как
температуры пара и шаров выравнялись, оказалось, что
на откачанном шаре сконденсировалась масса воды /nf=10 г,
а на заполненном шаре — /тг2=12,33 г воды. Начальные
температуры шаров одинаковы: /=27 °C. Найти удельную
теплоемкость с кислорода. Удельная теплота парообразо-
вания воды Х=2,3 МДж/кг. Молярная масса кислорода р =
=0,032 кг/моль. Тепловым расширением шаров пренебречь.
518. В теплоизолированном сосуде объема V=5,6 л
находится кислород при температуре ^=66 °C и давлении
рт=0,25 МПа. Для нагрева газа до температуры /2=68 °C
ему требуется сообщить количество теплоты Q=21 Дж.
Какова удельная теплоемкость с кислорода при этих ус-
ловиях? Молярная масса кислорода р=0,032 кг/моль.
Тепловым расширением сосуда пренебречь.
87
519. Температура газа, имеющего массу т и молярную
массу р, повышают на величину ДТ один раз при постоян-
ном давлении р, а другой раз при постоянном объеме V.
Насколько отличаются сообщенные газу количества теп-
лоты Qp, Qv и удельные теплоемкости ср, cv при постоян-
ном давлении и постоянном объеме?
520. При изотермическом расширении идеальный газ
совершает работу 4=20 Дж. Какое количество теплоты Q
сообщено газу?
521. В теплоизолированном цилиндре с поршнем на-
ходится азот массы /и=0,2 кг при температуре /г=20 °C.
Азот, расширяясь, совершает работу 4=4,47 кДж. Найти
изменение внутренней энергии азота Д 77 и его температуру
h после расширения. Удельная теплоемкость азота при
постоянном объеме cv=745 Дж/(кг-К).
522. Для повышения температуры газа, имеющего
массу т=20 кг и молярную массу ц=0,028 нг/моль, на
Д7=50 К при постоянном давлении необходимо затратить
количество теплоты Qp=0,5 МДж. Какое количество
теплоты Qv следует отнять от этого газа при по-
стоянном объеме, чтобы его температура понизилась на
Д7=50 К?
523. Температура воды массы т=\ кг повышается на
Д7=1 К. Найти увеличение внутренней энергии At/j, при-
ходящееся на одну молекулу. Удельная теплоемкость воды
с=4,2 кДж/(кг-К), ее молярная масса ц=0,018 кг/моль.
Коэффициент объемного расширения воды а=2»10“4 К"1.
Атмосферное давление ро=О, 1 МПа.
524. Один моль кислорода нагревается при постоянном
объеме от температуры /о=О °C. Какое количество теплоты
Q необходимо сообщить кислороду, чтобы его давление
увеличилось в три раза? Удельная теплоемкость кислорода
при постоянном объеме си=657 Дж/(кг»К), его молярная
масса |.i=0,032 кг/моль.
525. Воздух массы /п=5 г нагревается при постоянном
давлении от температуры 7*0=290 К. Какое количество
теплоты Q необходимо сообщить воздуху, чтобы его объем
увеличился в два раза? Считать, что удельная теплоем-
кость воздуха при постоянном давлении равна ср —
= 1,018 кДж/(кг»К).
526. Давление азота в сосуде объема У=3 л после на-
гревания возросло на Др=2,2 МПа. Найти количество
теплоты Q, сообщенное газу. Удельная теплоемкость азота
при постоянном объеме си=745 Дж/(кг-К), его молярная
масса =0,028 кг/моль.
88
527. В цилиндре под невесомым поршнем находится
воздух массы т=3 кг. Температура воздуха увеличивается
на ДГ=100 К при постоянном давлении. Найти работу Л,
совершаемую газом при расширении. Плотность воздуха
при нормальных условиях р0=1,3 кг/м3.
528. В цилиндре объема V\=190 см3 под поршнем на-
ходится газ при температуре 7\=323 К. Найти работу
расширения газа при нагревании его на ДТ=100 К. Масса
поршня /71=120 кг, его площадь 5=50 см2. Атмосферное
давление ро=О, 1 МПа.
529. В цилиндре под поршнем находится газ, состояние
которого изменяется следующим образом: в процессе 1—2
увеличивается давление при постоянном объеме V; в про-
цессе 2—3 увеличивается объем при постоянном давлении
в процессе 3—4 увеличивается объем при постоянной
температуре Т3; в процессе 4—1 газ возвращается в пер-
воначальное состояние при постоянном давлении р3. Пред-
ставить на графиках изменение состояния газа в коорди-
натах р, V; р, Т и V, Т. Показать,
при каких процессах газ получает (от-
дает) теплоту. Как при этом изменя-
ется температура и какая совершается
работа?
530. Некоторая масса газа, за-
нимающего объем Vi=0,01 м3, на-
ходится при давлении Pi=0,l МПа
и температуре 7\=300 К. Газ на-
ft
о
аР
ft-
Рис. 66.
гревается вначале при постоянном
объеме до температуры 7\=320 К, а затем при постоянном
давлении до температуры Т3=350 К (рис. 66). Найти
работу А, совершаемую газом при переходе из состояния 1
в состояние 3.
531. В цилиндре под поршнем в объеме V=1674 см3
находится насыщенный водяной пар, имеющий массу
/71 = 1 г и температуру £=100 °C. Какую работу А нужно
затратить, чтобы сжать весь пар до полного превращения
его в жидкость при той же температуре? Плотность воды
при /=100 °C под давлением ее насыщенного пара р=0,96 х
X 103 кг/м3.
532. В двух теплоизолированных цилиндрах с объемами
Г1==3 л и 1/з=5 л находятся одинаковые газы при дав-
лениях Pi=0,4 МПа и р2=0,6 МПа и температурах 4 =
=27 °C и /2=127 °C. Цилиндры соединяют трубкой. Какая
температура Т и какое давление р установятся в цилиндрах
после смешивания газов?
89
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары
Паром называют обычно газ при температуре ниже критической,
когда он может быть превращен в жидкость повышением давления без
понижения температуры. Насыщенный пар — это пар, находящийся
в равновесии со своей жидкостью. Если насыщенный пар содержит взве-
шенные капельки жидкости, то он называется влажным, в противном
случае — сухим. Ненасыщенный пар называют также перегретым паром.
Ненасыщенный пар по своей природе ничем не отличается от обыч-
ного газа. Поэтому для него справедливо уравнение состояния
pV = —RT.
И
(12)
Однако по мере приближения температуры к критической в состояниях,
близких к насыщению, наблюдаются заметные отклонения от уравнения
(12), возникающие из-за взаимодействия молекул между собой. С той же
оговоркой это уравнение может быть применено и в качестве уравнения
состояния для сухого насыщенного пара. В этом случае объем V в урав-
нении (12) будет уже не объемом всего сосуда, а лишь объемом, который
занимает пар (в сосуде кроме насыщенного пара обычно содержится и
некоторое количество жидкости).
При рассмотрении процессов, происходящих с насыщенным паром,
нужно учитывать, что при изменении температуры, давления или объема
изменяется также и масса пара. В частности, при изотермическом изме-
нении объема масса пара изменяется пропорционально объему. Следова-
тельно, плотность пара p=rn/V и его давление р не изменяются. Поэтому
для насыщенного пара уравнение состояния часто удобно применять
в виде
p = pp/RT.
533. В цилиндре с поршнем находится жидкость под
большим давлением. Поршень медленно поднимают. Пред-
ставить графически зависимость
давления р в цилиндре от уве-
личения объема V для двух по-
стоянных температур 7\ и Т2
(изотермы 7\=const и 7\=const;
Т\<Т2).
534. На рис. 67 представ-
лена зависимость давления на-
сыщенного пара от температу-
ры (кривая abck). Почему эта
зависимость, в отличие от за-
кона Шарля для газов, не яв-
ляется линейной? В каких случаях зависимость дав-
ления пара от температуры будет изображаться линиями
abd и abcel
90
535. Ненасыщенный пар в цилиндре под поршнем сна-
чала нагревают при постоянном объеме, затем медленно
сжимают при постоянной температуре до полного сжижения.
Представить графически зависимость давления р от объ-
ема V.
536. Сколько молекул содержит единица массы насы-
щенных и ненасыщенных паров ртути и воды? Молярные
массы ртути и воды pi=0,2 кг/моль и ^2=0,018 кг/моль.
537. При температуре /=4 °C давление сухого насыщен-
ного пара р=0,8 кПа. Во сколько раз плотность воды рв
при температуре /=4 °C больше плотности пара р? Какие
объемы приходятся на одну молекулу воды и пара? Моляр-
ная масса воды р=0,018 кг/моль.
538. Во сколько раз при температуре /=400 °C плот-
ность pi пара ртути при атмосферном давлении отличается
от плотности pg насыщенного пара ртути? Атмосферное
давление pi=0,l МПа, давление насыщенного пара ртути
при температуре /=400 °C рг=0,22 МПа.
539. В котел объема У=5 м3 накачали массу воды /ив=
=20 кг. Содержимое котла нагрели до температуры 7=
=453 К. Найти массу т и давление р пара в котле. Плот-
ность насыщенного пара при температуре 7=453 К р0=
=5,05 кг/м3. Молярная масса воды |л=0,018 кг/моль.
540. В замкнутом сосуде объема У=1 м3 находится
вода массы /пв = 12 г и некоторая масса насыщенного пара,
плотность и давление которого при данной температуре
ро=О,ОО8 кг/м3 и р0=1,1 кПа. Какое давление р устано-
вится при увеличении объема в k=5 раз? Температура при
увеличении объема не изменяется.
541. Под колоколом воздушного насоса находится влаж-
ная губка. При откачивании газа под колоколом устано-
вилось давление р = 1 кПа и температура /=7 °C. Спустя
время т=1 ч после начала откачки давление резко упало.
Найти массу пг воды, которая содержалась в губке. Насоо
откачивает в единицу времени объем воды Ут=10 л/с.
Молярная масса воды р=0,018 кг/моль. ,
542. Закрытый сосуд объема У=0,5 м3, содержащий
воду массы т=0,5 кг, нагрели до температуры 7=420 К.
На какую величину ДУ следует изменить объем сосуда,
чтобы в нем содержался только насыщенный пар? Дав-
ление насыщенного пара при температуре 7=420 К Ро=*
=0,47 МПа. Молярная масса воды р=0,018 кг/моль.
543. В пароперегреватель, содержащий сухой пар
массы. т=120 кг при температуре /=177 °C, подано не-
которое количество теплоты, из которого на долю пара
91
пришлось количество теплоты Q = 18 МДж. В результате
давление пара достигло предельного значения и поднялся
предохранительный клапан, имеющий диаметр d=4 см.
Каково было начальное давление пара р, если сила, от-
Рис. 68.
крывающая клапан, F=1,57 кН? Удельная тепло-
емкость пара с=1,5 кДж/(кг-К).
544. В трубке, открытым концом опущенной
в воду, в объеме У=30 см3 при температуре
£=17 °C находится смесь насыщенного пара и
гелия (рис. 68). Высота столба воды в трубке
h=10 см. Найти массы пара и гелия т± и т2.
Давление насыщенного пара при температуре
^=17 °C р1=1,94 кПа. Молярные массы воды
и гелия |Xf=0,018 кг/моль и р2=0,004 кг/моль,
атмосферное давление ро=О,1 МПа.
545. В цилиндре под поршнем над водой в объеме V=
= 1 м3 при температуре /=30 °C находится смесь насыщен-
ного пара и азота. Масса смеси /п=286 г. Какая масса пара
Ат сконденсируется, если объем уменьшить в й=3 раза
при постоянной температуре? Какое давление р было у
смеси до сжатия? Давление насыщенного пара при темпе-
ратуре £=30 °C Pi=4.2 кПа. Молярные массы воды и азота
Pi=0,018 кг/моль и р2=0,028 кг/моль.
546. Влажный пар, содержащий и = 15% (по массе)
воды в виде капелек и имеющий давление р = 15 кПа и
температуру £п=100 °C, конденсируют, смешивая с водой,
температура которой £=20 °C. Какое отношение воды и
пара требуется (по массе) для получения смеси с темпера-
турой 0=40 °C? Температура кипения воды при давлении
р=15 кПа /Кип=54 °C. Удельные теплоемкости воды и
пара с=4,2 кДж/(кг-К) и сп=1,9 кДж/(кг-К). Удельная
теплота парообразования воды А = 2,3 МДж/кг.
547. Когда в воде нет растворенных газов, она может
быть нагрета при атмосферном давлении до температуры
более высокой, чем температура кипения. При введении
в воду каким-либо способом воздуха перегретая вода
бурно, взрывообразно закипает, и температура ее быстро
падает до температуры кипения при атмосферном давлении.
Какая масса тп пара получится из воды, нагретой до
температуры £=120 °C, если масса воды т=10 кг? Удель-
ная теплоемкость воды с=4,2 кДж/(кг*К). Удельная
теплота парообразования воды ^.=2,3 МДж/кг.
548. В закрытом сосуде объема V=0,4 м3 находятся в
тепловом равновесии при температуре £г=—23 °C лед и
насыщенный пар, масса которых т=2 г. Какое количество
92
теплоты Q необходимо сообщить содержимому сосуда для
повышения его температуры до t2=—1 °C? Давление
насыщенного пара рх=77 Па при температуре и р-2=
=560 Па при температуре t2. Удельные теплоемкости при
температуре ниже /о=О °C льда и пара £л=2,1 кДж/(кг-К)
п с=1,3 кДж/(кг-К). Удельная теплота плавления льда
г=0,33 кДж/кг. Удельная теплота парообразования воды
Х=2,3 МДж/кг. Молярная масса воды ц=0,018 кг/моль.
549. В объеме Vx=20 л содержится насыщенный пар
при температуре /=100 °C. Какую работу надо совершить,
чтобы путем изотермического сжатия уменьшить объем
пара до V2=10 л? Объемом воды, образовавшейся при
конденсации, пренебречь.
550. Найти работу пара по перемещению поршня на
расстояние /=40 см, если давление пара равномерно убы-
вает при перемещении поршня от рх=2,2 МПа до р2=
=0,2 кПа. Площадь поршня 5=300 см2. Представить ра-
боту на графике зависимости давления от объема.
551. Опыт Торричелли производят со спиртом вместо
ртути. Найти высоту Л, до которой поднимется спирт.
Атмосферное давление в момент опыта рх=93,6 кПа. Плот-
ность спирта р=0,76-103 кг/м3, давление пара спирта при
температуре опыта р2=0,6 кПа.
552. Найти абсолютную влажность воздуха, если пар-
циальное давление насыщенного пара р=14 кПа, а тем-
пература /=60 °C. Молярная масса воды и=0,018 кг/моль.
553. Абсолютная влажность воздуха при температуре
Л = 60 °C рх=0,005 кг/м3. Найти абсолютную влажность
воздуха р2 после понижения температуры до /2=20 °C.
Давление насыщенного пара при этой температуре р2 =
=2,335 кПа. Молярная масса воды р=0,018 кг/моль.
554. Абсолютная влажность воздуха при температуре
/i=60 сС pi=0,05 кг/м3. Найти абсолютную влажность
воздуха р2 после понижения температуры до г2=10 °C.
Давление насыщенного пара при этой температуре р2=
= 1.226 кПа. Молярная масса воды ц=0,018 кг/моль.
555. В сосуде находится воздух, относительная влаж-
ность которого при температуре /х=10 °С/х=6О/6. Какова
будет относительная влажность Д после уменьшения
объема в k=3 раза и нагревания воздуха до температуры
Z2= 100 °C? Плотность насыщенного пара при температуре
/х=10 °C рх=9,4-10"3 кг/м3. Молярная масса воды р =
=0,018 кг/моль.
556. Плотность влажного воздуха при температуре t=
=27 °C и давлении р=0,1 МПа р = 1,19 кг/м3. Найти
93
абсолютную р' и относительную f влажности воздуха, если
при температуре /=27 °C плотность насыщенного пара
ро=О,О27 кг/м3. Молярные массы воздуха и воды pi=
=0,029 кг/моль и р,2=0,018 кг/моль.
557. В комнате объема V=40 м3 при температуре ?=
=20 °C относительная влажность воздуха /1=20%. Какую
массу воды нужно испарить для увеличения относительной
влажности воздуха до /2=50%? Плотность насыщенного
пара при температуре /=20 °C р = 17,3-10"3 кг/м3.
558. В комнате объема У=50 м3 относительная влаж-
ность воздуха /1=40%. Если испарить дополнительно
массу воды т=60 г, то относительная влажность воздуха
увеличится до /г=50%. Какова при этом будет абсолют-
ная влажность воздуха р?
559. Найти отношение плотностей влажного (относи-
тельная влажность /=90%) и сухого воздуха при давлении
р0=0,1 кПа и температуре /=27°С. Плотность насыщенного
пара при /=27°Сро=О,О27 кг/м3. Молярные массы воздуха
и воды |Х1=0,029 кг/моль и |Лз=0,018 кг/моль.
III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 18. Закон Кулона
По закону Кулона сила взаимодействия F двух точечных
зарядов и д2» находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произ-
ведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между
ними:
F = kq-^. (1)
Если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью 8
(е>1), то сила взаимодействия между ними
Диэлектрическая проницаемость е показывает, во сколько раз сила взаи-
модействия между зарядами в среде меньше, чем в вакууме; для вакуума
е=1, т. е. формула (2) в этом случае совпадает с формулой (1).
В системе единиц СИ основной электрической единицей является
единица силы тока ампер (А) — сила тока, при котором отрезки тонких
бесконечно длинных параллельных проводников длины 1 м каждый взаи-
модействуют в вакууме с силой 2-Ю’7 Н. Единица заряда в этой системе
94
единпи кулон (Кл) является производной и определяется как заряд, про-
ходящий через поперечное сечение проводника при электрическом токе
] А в течение 1 с: 1 Кл=1 А’С.
Чтобы получить при помощи формулы (1) силу в системе единиц
СИ в ньютонах,— заряды выражают в кулонах, расстояния — в мет-
рах, коэффициент пропорциональности k при этом записывают в виде
*=г~>
4 л 80
где ео=8,85»1О“12 Ф/м — электрическая постоянная, выражаемая в фа-
радах на метр, а множитель 4л введен для того, чтобы ряд других фор-
мул имел более простой (рациональный) вид. Таким образом, в СИ коэф-
фициент пропорциональности
k = 1/4ле0 = 9-109 Н»м2/Кла
— размерная величина.
В соответствии с этим сила взаимодействия двух зарядов, находя-
щихся в среде, выражается формулой
1— (3)
4лер ег2 ’
где е — относительная (безразмерная) диэлектрическая проницаемость
вещества (относительно диэлектрической проницаемости вакуума), зна-
чения которой приводятся в таблицах *).
Если имеется несколько (более двух) электрических зарядов, то
силы взаимодействия между каждой парой этих зарядов не зависят от
наличия остальных. Поэтому результирующая сила, действующая на
каждый заряд, складывается по правилу сложения векторов из сил,
действующих на него со стороны всех других зарядов (принцип супер-
позиции).
Поверхностной плотностью о электрического заряда называется
заряд, приходящийся на единицу площади поверхности заряженного
тела. При равномерном распределении заряда q по поверхности тела
поверхностная плотность заряда
0 = 9/5,
где S — площадь тела. Поверхностная плотность заряда выражается
в кулонах на квадратный метр (Кл/м2),
560. Два одинаковых точечных заряда q взаимодей-
ствуют в вакууме с силой F=O,1 Н. Расстояние между
зарядами г=6 м. Найти эти заряды.
*) В большинстве задач этого раздела относительная диэлектриче-
ская проницаемость е принята равной единице и в формульные выраже-
ния не входит,
05
561. Какое число Л/’ электронов содержит заряд в одну
единицу заряда в системе единиц СИ (1 Кл)? Элементар-
ный заряд е=1,60-10“1й Кл.
562. Два точечных заряда qt и qt находятся на рас-
стоянии г друг от друга. Если расстояние между ними
уменьшается на величину Дг=50 см, то сила взаимодей-
ствия F увеличивается в два раза. Найти расстоя-
ние л.
563. Тонкая шелковая нить выдерживает максималь-
ную силу натяжения 7=10 мН. На этой нити подвешен
шарик массы т=0,6 г, имеющий положительный заряд
<71 = 11 нКл. Снизу в направлении линии подвеса к нему
подносят шарик, имеющий отрицательный заряд qi=
=—13 нКл. При каком расстоянии г между шариками
нить разорвется?
564. Отрицательный точечный заряд Q расположен на
прямой, соединяющей два одинаковых положительных
точечных заряда q. Расстояния между отрицательным
зарядом и каждым из положительных относятся между
собой, как 1 ! 3. Во сколько раз изменится сила, дейст-
вующая на отрицательный заряд, если его поменять ме-
стами с ближайшим положительным?
565. Два отрицательных точечных заряда qt=—9 нКл
и 72=—-36 нКл расположены на расстоянии г=3 м друг
от друга. Когда в некоторой точке поместили заряд qQy
то все три заряда оказались в равновесии. Найти заряд q0
и расстояние между зарядами qs и q^.
566. Три одинаковых точечных заряда 7=20 нКл рас-
положены в вершинах равностороннего треугольника. На
каждый заряд действует сила F=10 мН. Найти длину а
стороны треугольника.
567. Три одинаковых точечных заряда 71=72=73=9 нКл
расположены в вершинах равностороннего треугольника.
Какой точечный заряд 70 нужно поместить в центре тре-
угольника, чтобы система находилась в равновесии?
568. Четыре одинаковых точечных заряда 7=10 нКл
расположены в вершинах квадрата со стороной я=10 см.
Найти силу, действующую со стороны трех зарядов на
четвертый.
569. Четыре одинаковых по модулю точечных заряда
|7|=20 нКл, два из которых положительны, а два отрица-
тельны, расположены в вершинах квадрата со стороной
а=20 см так, как показано на рис. 69. Найти силу, дейст-
вующую на помещенный в центре квадрата положительный
точечный заряд 7о=20 нКл.
06
570. На изолированной подставке расположен верти-
кально тонкий фарфоровый стержень, на который надет
металлический полый шарик А радиуса г (рис. 70). После
сообщения шарику заряда д=60 нКл по стержню опущен
Рис. 70.
Рис. 69.
такой же незаряженный металлический шарик В массы
лп=0,1 г, который соприкасается с шариком А. На каком
расстоянии h от шарика А будет находиться в равновесии
шарик В после соприкосновения, если mg<.k (0,5?)2/ (4г)2?
Трением шариков о стержень пренебречь.
571. Вокруг отрицательного точечного заряда д0=
=—5 нКл равномерно движется по окружности под дей-
ствием силы притяжения маленький заряженный шарик.
Чему равно отношение заряда шарика к его массе, если
угловая скорость вращения шарика со=5 рад/с, а радиус
окружности /?=3 см?
572. Два одинаковых шарика массы /и=9 г находятся
друг от друга на расстоянии г, значительно превышающем
их размеры. Какие равные заряды необходимо поместить
на шариках, чтобы сила их кулоновского взаимодействия
уравновешивала силу гравитационного притяжения?
573. Найти силы взаимодействия двух точечных зарядов
^=4 нКл и 72=16 нКл в вакууме и в керосине (диэлект-
рическая проницаемость 8=2) на расстоянии г=20 см.
574. Два точечных заряда, находясь в воздухе на рас-
стоянии Г1=5 см, взаимодействуют друг с другом с силой
/?1 = 120 мкН, а находясь в некоторой непроводящей жид-
кости на расстоянии г2=10 см,— с силой /72=15 мкН.
Какова диэлектрическая проницаемость жидкости?
575. Найти расстояние между двумя одинаковыми
точечными зарядами, находящимися в масле (диэлектри-
ческая проницаемость е=3), если сила взаимодействия
4 Г. А. Беидрикоо и др. 97
между ними такая же, как в вакууме на расстоянии га=
=30 см.
576. Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных
на нитях равной длины в одной точке, разошлись в воз-
духе на некоторый угол 2а. Какова должна быть плот-
ность р материала шариков, чтобы при погружении их
в керосин (диэлектрическая проницаемость 8=2) угол
между нитями не изменился? Плотность керосина рк=
=0,8-10^ кг/м3.
577. Два одинаковых заряженных шарика подвешены
на нитях равной длины в одной точке и погружены в жид-
кость. Плотности материала шариков и жидкости равны р
и рж. При какой диэлектрической проницаемости жид-
кости угол расхождения нитей в жидкости и в воздухе
будет один и тот же?
578. Одноименные точечные заряды q± и qi расположены
в вершинах равностороннего треугольника со стороной
г в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е.
Найти суммарную силу F, действующую на точечный
заряд 7з, расположенный в третьей вершине треугольника.
579. Три точечных заряда, расположенных друг от
друга на расстояниях ri3 и г23, взаимодействуют в
вакууме с силами Fa, Fi3 и F23 соответственно. Найти
через известные величины выражение для третьего заряда.
580. С какой силой взаимодействовали бы в вакууме
два одинаковых точечных заряда q=\ Кл, находясь на
расстоянии г=0,5 км друг от друга?
581. Два одинаковых шарика подвешены в воздухе
на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После
того как каждому шарику был сообщен заряд 9=0,4 мкКл,
шарики разошлись на угол 2а=60°. Найти массу шариков,
если расстояние от центров шариков до точки подвеса
/=0,2 м.
582. Составлен прибор из двух одинаковых проводящих
шариков массы гп=15 г, один из которых закреплен, а
другой подвешен на нити длины 1=20 см. Шарики, нахо-
дясь в соприкосновении, получают одинаковые заряды,
вследствие чего подвижный шарик отклоняет нить на угол
2а=60° от вертикали. Найти заряд каждого шарика.
583. Шарик, несущий заряд 9=50 нКл, коснулся внут-
ренней поверхности незаряженной проводящей сферы ра-
диуса R =20 см. Найти поверхностную плотность заряда на
внешней поверхности сферы.
584. Найти поверхностную плотность заряда на внеш-
ней поверхности проводящей сферы радиуса /?=20 см,
98
если в центре сферы на изолирующей палочке находится
шарик, несущий заряд д=50 нКл. Будет ли изменяться
поверхностная плотность при изменении положения ша-
рика внутри сферы?
§ 19. Электрическое поле
Напряженность электрического поля
Электрические заряды создают в пространстве вокруг себя электри-
ческое поле. На электрический заряд, помещенный в точку простран-
ства, где есть электрическое поле, действует сила.
Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется
напряженностью. Напряженностью электрического поля Е в данной
точке называется отношение силы F, действующей на помещенный в эту
точку точечный заряд q^ к этому заряду:
E = Flqa. (4)
Напряженность электрического поля — векторная величина, направ-
ление которой совпадает с направлением силы F при д0>0. Если извест-
на напряженность электрического поля в данной точке, то согласно фор-
муле (4) на помещенный в эту точку заряд действует сила
F=qaE. (5)
Точечный заряд q создает вокруг себя электрическое поле, напря-
женность которого в точке, удаленной от этого заряда на расстояние г,
согласно формуле (4) и закону Кулона (2) в системе единиц СИ выража-
ется соотношением
E=k\=JL JL,
ег2 4ле0 ег2
где 8 — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей простран-
ство вокруг заряда, а коэффициент пропорциональности 6=1/4 л 80=
=9’10® Н*м2/Кл2. В системе единиц СИ за единицу напряженности при-
нимается вольт на метр (В/м) — такая напряженность, при которой на
заряд 1 Кл действует сила 1 И (см. далее формулу (И)).
Напряженность электрического поля £, создаваемого в данной точ-
ке несколькими точечными зарядами, равна векторной сумме напряжен-
ностей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (прин-
цип суперпозиции):
£=£f+£a + • • •
Следует иметь в виду, что электрическое поле равномерно заряжен-
ного шара радиуса /?, полный заряд которого равен qt совпадает вне
шара с электрическим полем точечного заряда, равного заряду q шара
и помещенного в его центре. Поэтому напряженность в точках, удален-
ных от центра шара на расстояние можно вычислять по фор-
муле (6),
4* 99
585. На каком расстоянии г от точечного заряда q=
=0,1 нКл, находящегося в дистиллированной воде (ди-
электрическая проницаемость е=81), напряженность элект-
рического поля £=0,25 В/м?
586. В центре проводящей сферы помещен точечный
заряд 9=10 нКл. Внутренний и внешний радиусы сферы
г=10 см и /?=20 см. Найти напряженности электрического
поля у внутренней (Ег) и внешней (£2) поверхностей сферы.
587. Одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды
|9| = 18 нКл расположены в двух вершинах равносторон-
него треугольника со стороной а=2 м. Найти напряжен-
ность электрического поля Е в третьей вершине треуголь-
ника.
588. В вершинах при острых углах ромба, составленного
из двух равносторонних треугольников со стороной а,
помещены одинаковые положительные заряды 91=92=9-
В вершине при одном из тупых углов ромба помещен по-
ложительный заряд Q. Найти напряженность электриче-
ского поля Е в четвертой вершине ромба.
589. Решить предыдущую задачу, если заряд Q отрица-
телен, в случаях, когда: a) |Q|<9; б) |Q|=9; в) [Q|>9-
590. Диагонали ромба dx=96 см и d2=32 см. На концах
длинной диагонали расположены точечные заряды q±=
=64 нКл и 92=352 нКл, на концах короткой — точечные
заряды 9з=8 нКл и 94=40 нКл. Найти модуль и направ-
ление (относительно короткой диагонали) напряженности
электрического поля в центре ромба.
591. Какой угол а с вертикалью составит нить, на ко-
торой висит шарик массы т=25 мг, если поместить шарик
в горизонтальное однородное электрическое поле с напря-
женностью £=35 В/м, сообщив ему заряд q=l мкКл?
592. Шарик массы тп=0,1 г закреплен на нити, длина
которой I велика по сравнению с размерами шарика. Ша-
рику сообщают заряд 9=10 нКл и помещают в однородное
электрическое поле с напряженностью £, направленной
вверх. С каким периодом будет колебаться шарик, если
сила, действующая на него со стороны электрического
поля, больше силы тяжести (F>mg)7 Какой должна быть
напряженность поля £, чтобы шарик колебался с периодом
Т0 = 2лИ7??
593. Шарик массы т=1 г подвешен на нити длины
2=36 см. Как изменится период колебаний шарика, если,
сообщив ему положительный или отрицательный заряд
|9|=20 нКл, поместить шарик в однородное электрическое
поле с напряженностью £ = 100 кВ/м, направленной вниз?
100
594. В однородном электрическом поле с напряжен-
ностью Е=1 МВ/м, направленной под углом ос=30° к
вертикали, висит на нити шарик массы т = 2 г, несущий
заряд <7=10 нКл. Найти силу натяжения нити Т.
595. Электрон движется в направлении однородного
электрического поля с напряженностью £=120 В/м, Ка-
кое расстояние пролетит электрон до полной потери ско-
рости, если его начальная скорость о=1000 км/с? За ка-
кое время будет пройдено это расстояние?
596. Пучок катодных лучей, направленный параллельно
обкладкам плоского конденсатора, на пути /=4 см откло-
няется на расстояние Л=2 мм от первоначального направ-
ления. Какую скорость v и кинетическую энергию К имеют
электроны катодного луча в момент влета в конденсатор?
Напряженность электрического поля внутри конденсатора
£=22,5 кВ/м.
Потенциал. Работа электрических сил
Разностью потенциалов (или напряжением) V между точками а и b
электрического поля называется отношение работы Д, которую совер-
шают электрические силы при перемещении заряда q из точки а в точку
Ь, К' этому заряду:
V = A/q. (7)
Эта величина не зависит ни от формы пути, по которому происходит пе-
ремещение, ни от самого заряда q, а зависит только от свойств электриче-
ского поля и от выбора точек а и Ь. Поэтому, если в качестве конечной
точки перемещения заряда q выбрать некоторую постоянную точку с
(например, бесконечно удаленную точку), то отношение Alq может слу-
жить характеристикой электрического поля в произвольной точке а.
В этом случае его называют потенциалом qpa поля в точке а (относитель-
но точки с). Потенциал поля в точке с можно считать равным произволь-
ной постоянной величине, которую удобно положить равной нулю.
Если фа и — потенциалы точек а и Ь, то
V = <Pa—<Pb- (8)
Согласно формулам (7) и (8) работа А, совершаемая электрическими си-
лами при перемещении заряда q из точки а в точку Ь, если известна раз-
ность потенциалов V между этими точками или известны потенциалы
Фа и поля в этих точках, определяется выражением
A = qV = q (<ра—фЬ). (9)
Единицей разности потенциалов в системе единиц СИ является
вольт (В) — такая разность потенциалов, при которой электрические
силы совершают работу 1 Дж при перемещении заряда 1 Кл: 1 В=
= 1 Дж/1 Кл,
101
Если электрическое поле создается точечным электрическим заря-
дом <у, помещенным в среде с диэлектрической проницаемостью е, то
потенциал в точке, удаленной на расстояние г от этого заряда,
Здесь потенциал отсчитывается относительно бесконечно удаленной
точки, в которой он равен нулю. Знак потенциала определяется знаком
заряда q.
Потенциал электрического поля, создаваемого в данной точке не-
сколькими точечными зарядами, равен алгебраической сумме потенциа-
лов полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности:
ф = Ф1 + Фа + • • • + фи-
При неподвижных зарядах потенциалы всех точек на поверхности и
внутри проводника одинаковы.
Электрическое поле равномерно заряженного шара радиуса R,
полный заряд которого равен q, совпадает вне шара с электрическим по-
лем точечного заряда, равного заряду q шара и помещенного в его цент-
ре. Поэтому потенциал точек поля, создаваемого шаром на расстояниях
от его центра, можно вычислять по формуле (10). В частности, по-
тенциал точек на поверхности и внутри проводящего шара радиуса R
определяется выражением
, q 1 q
Ф = k —— = ----v-,
eR 4ле0 eR
Между двумя характеристиками электрического поля — напряжен-
ностью и потенциалом — существует связь. Если фа и — потенциалы
точек а и Ь> лежащих на одной линии напряженности в однородном элект-
рическом поле на расстоянии г друг от друга, то напряженность электри-
ческого поля
£=(<Ра—Ть)/'- (Н)
Если поле неоднородно, то эта формула дает лишь среднее значение на-
пряженности на линии напряженности между двумя этими точками.
Из формулы (11) следует, что напряженность электрического поля
можно измерять разностью потенциалов, приходящейся на единицу дли-
ны. В системе единиц СИ за единицу напряженности принимается вольт
на метр (В/м) — такая напряженность электрического поля, при кото-
рой разность потенциалов между точками, удаленными друг от друга на
расстояние 1 м по линии напряженности, равна 1 В,
597. Найти потенциал шара радиуса 7?=0,1 м, если
на расстоянии г=10 м от его поверхности потенциал элект-
рического поля фг=20 В.
598. N одинаковых шарообразных капелек ртути од-
ноименно заряжены до одного и того же потенциала ф<
102
Каков будет потенциал Ф большой капли ртути, получив-
шейся в результате слияния этих капель?
599. В центре металлической сферы радиуса 7? = 1 м,
несущей положительный заряд Q=10 нКл, находится
маленький шарик с положительным или отрицательным
зарядом |^|=20 нКл. Найти потенциал ср электрического
поля в точке, находящейся на расстоянии г=107? от центра
сферы.
600. До какого потенциала можно зарядить находящийся
в воздухе (диэлектрическая проницаемость е=1) металли-
ческий шар радиуса R=3 см, если напряженность элект-
рического поля, при которой происходит пробой в воз-
духе, £=3 МВ/м?
601. Два одинаково заряженных шарика, расположен-
ных друг от друга на расстоянии г=25 см, взаимодейст.
вуют с силой F=1 мкН. До -2
какого потенциала заряжены ° О
шарики, если их 'диаметры
0 = 1 см?
602. В вершинах квад-
рата расположены точечные
заряды (в нКл): 9i=+l, £
?2=—2, 9з=+3, ?4=—4
(рис. 71). Найти потенциал и
напряженность электрическо-
го поля в центре квадрата
(в точке А). Диагональ квад- ±3
рата 2а=20 см. ° ' О
603. Найти потенциалы Рис. 71.
и напряженности электриче-
ского поля в точках а и &, находящихся от точечного
заряда 9=167 нКл на расстояниях га=5 см и гь=20 см,
а также работу электрических сил при перемещении то-
чечного заряда 9о=1 нКл из точки а в точку Ь.
604. Точечный положительный заряд q создает в точках
а и b (рис. 72) поля с напряженностями Еа и Еь. Найти
работу электрических сил при переме- Q9
щении точечного заряда q0 из точки а в * \г
точку Ь. ,/ \ь
605. В атомной физике энергию бы-
стрых заряженных частиц выражают в Рис> 72.
электронвольтах. Электронвольт (эВ) —
это такая энергия, которую преобретает электрон, пролетев
в электрическом поле путь между точками, разность по-
тенциалов между которыми равна 1 В. Выразить элект-
103
ронвольт в джоулях. Какую скорость имеет электрон,
обладающий энергией 1 эВ?
606. Электрон летит от точки а к точке Ь, разность по-
тенциалов между которыми У=100 В. Какую скорость
приобретает электрон в точке ft, если в точке а его скорость
была равна нулю?
607. Какую работу необходимо совершить при пере-
носе точечного заряда^о=ЗО нКл из бесконечности в точку,
находящуюся на расстоянии г=10 см от поверхности за-
ряженного металлического шара? Потенциал на поверх-
ности шара <р=200 В, радиус шара R=2 см.
608. При переносе точечного заряда 9о=1О нКл из
бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии г=
=20 см' от поверхности заряженного металлического
шара, необходимо совершить работу Л =0,5 мкДж. Радиус
шара R=4 см. Найти потенциал <р на поверхности шара.
609.----Два одинаковых заряда qQ=q=50 мкКл находятся
на расстоянии га=1 м друг от друга. Какую работу А
?! надо совершить, чтобы сблизить их до
------------<f> расстояния гь=0,5 м?
| 610. Два заряда 9а=2мкКл и 9ь=бмкКл
! расположены на расстоянии г=40смдруг
I от друга в точках а и b (рис. 73). Вдоль
I ‘ J прямой cd, проходящей параллельно пря-
J । мой ab на расстоянии d=30 см от нее,
•л д'! перемещается заряд <?0=100 мкКл. Найти
т работу электрических сил при перемё-
' । । щении заряда qQ из точки с в точку d,
Рис. 73. если прямые ас и bd перпендикулярны к
прямой cd.
611. Два параллельных тонких кольца радиуса R рас-
положены на расстоянии d друг от друга на одной оси.
Найти работу электрических сил при перемещении заряда
7о из центра первого кольца в центр второго, если на пер-
вом кольце равномерно распределен заряд q±, а на втором —
заряд qi.
612. На тонком кольце радиуса R равномерно распре-
делен заряд q. Какова наименьшая скорость v, которую
необходимо сообщить находящемуся в центре кольца
шарику массы т с зарядом q^ чтобы он мог удалиться от
кольца в бесконечность?
613. На шарик радиуса 7? =2 см помещен заряд 9=
=4 пКл. С какой скоростью подлетает к шарику электрон,
начавший движение из бесконечно удаленной от него
точки?
104
614. Между горизонтально расположенными пласти-
нами плоского конденсатора с высоты Н свободно падает
незаряженный металлический шарик массы т. На какую
высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пла-
стину поднимется шарик, если в момент удара на него
переходит заряд q? Разность потенциалов между пласти-
нами конденсатора равна V, расстояние между пластинами
равно d.
615. Два шарика с одинаковыми зарядами q располо-
жены на одной вертикали на расстоянии Н друг от друга.
Нижний шарик закреплен неподвижно, а верхний, имею-
щий массу /п, получает начальную скорость и, направлен-
ную вниз. На какое минимальное расстояние h прибли-
зится верхний шарик к нижнему?
616. Найти максимальное расстояние h между шариками
в условиях предыдущей задачи, если неподвижный шарик
имеет отрицательный заряд q. а начальная скорость v
верхнего шарика направлена вверх.
617. Электрон, пролетая в электрическом поле путь от
точки а к точке Ь, увеличил свою скорость с va=1000 км/с
до vb=3000 км/с. Найти разность потенциалов между
точками а и b электрического поля.
618. В плоский конденсатор влетает электрон со ско-
ростью v=2-107 м/с, направленной параллельно пласти-
нам конденсатора. На какое расстояние h от своего пер-
воначального направления сместится электрон за время
пролета конденсатора? Расстояние между пластинами
d=2 см, длина конденсатора 1=5 см, разность потенциа-
лов между пластинами V=200 В.
619. Положительно заряженная пылинка массы т=
= 10“8 г находится в равновесии внутри плоского конден-
сатора, пластины которого расположены горизонтально.
Между пластинами создана разность потенциалов Ух=
=6000 В. Расстояние между пластинами d=5 см. На
какую величину необходимо изменить разность потенциа-
лов, чтобы пылинка осталась в равновесии, если ее заряд
уменьшился на //(>=1000 е?
620. Решить предыдущую задачу, считая пылинку за-
ряженной отрицательно.
621. В электрическое поле плоского конденсатора, пла-
стины которого расположены горизонтально, помещена
капелька масла, имеющая заряд q=\ е. Напряженность
электрического поля подобрана так, что капелька покоится.
Разность потенциалов между пластинами конденсатора
У=500 В, расстояние между пластинами d=0,5 см.
105
Плотность масла р=0,9-103 кг/м3. Найти радиус капель-
ки масла.
622. Внутри плоского конденсатора, пластины кото-
рого расположены вертикально, помещена диэлектриче-
ская палочка длины 1=1 см с металлическими шариками
Рис. 74.
на концах, несущими заряды +q и
—q (|?| = 1 нКл). Палочка может вра-
щаться без трения вокруг вертикаль-
ной оси, проходящей через ее сере-
дину. Разность потенциалов между
пластинами конденсатора У=3 В,
расстояние между пластинами d=
= 10 см. Какую работу необходимо
совершить, чтобы повернуть палочку вокруг оси на 180°
по отношению к тому положению, которое она занимает
на рис. 74?
623. Внутри плоского конденсатора помещен диэлект-
рический стержень длины /=3 см, на концах которого
имеются два точечных заряда +q и —q (р?|=8 нКл). Раз-
ность потенциалов между пластинами конденсатора V=
=3 В, расстояние между пластинами d=8 см. Стержень
ориентирован параллельно пластинам. Найти момент сил,
действующий на стержень с зарядами.
624. На концах диэлектрической палочки длины 1=
=0,5 см прикреплены два маленьких шарика, несущих
заряды —q и +q (|q| = 10 нКл). Палочка находится между
пластинами конденсатора,
d=10 см (рис. 75). При
какой минимальной разно-
сти потенциалов между
<—^ >
+__ I
~°
Рис. 75,
расстояние между которыми
Рис» 76,
пластинами конденсатора V палочка разорвется, если
она выдерживает максимальную силу растяжения F=
=0,01 Н? Силой тяжести пренебречь.
625. Металлический шарик 1 радиуса /?х=1 см при-
креплен с помощью диэлектрической палочки к коромыслу
весов, после чего весы уравновешены гирями (рис. 76).
106
Под шариком 1 помещают заряженный шарик 2 радиуса
/?а=2 см. Расстояние между шариками Л=20 см. Шарики
1 и 2 замыкают между собой проволочкой, а потом про-
волочку убирают. После этого оказывается, что для вос-
становления равновесия надо снять с чашки весов гирю
массы /п=4 мг. До какого потенциала ф был заряжен
шарик 2 до замыкания его проволочкой с шариком 1?
Электрическая емкость
Электрической емкостью (или просто емкостью) уединенного провод-
ника называется величина
С = ^/(р, (12)
где q — его заряд, ф — потенциал (относительно бесконечности). Ем-
кость уединенного шара радиуса R, помещенного в среду с диэлектриче-
ской проницаемостью 8, вычисляется по формуле
С = 4ле0е£,
где 8о=&,85 4О“12 Ф/м — электрическая постоянная.
Два изолированных друг от друга проводника, заряженных равны-
ми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, образуют кон-
денсатор. Эти проводники называют обкладками конденсатора. Ем-
костью конденсатора называется положительная величина
С = <7/(Ф1-ф2) = д/У, (13)
где q — заряд на одной из его обкладок, У=Фх—Ф2— разность потен-
циалов между ними. Емкость конденсатора с диэлектриком, заполняю-
щим пространство между обкладками,
С = еС0,
где Со— емкость этого же конденсатора без диэлектрика. Емкость плос-
кого конденсатора, представляющего собой две параллельные пластины
площади S каждая, пространство между которыми заполнено диэлект-
риком с диэлектрической проницаемостью е, вычисляется по формуле
С — ^Cq j
где C0=e0S/d — емкость плоского конденсатора без диэлектрика, ad —
расстояние между пластинами. Если q — заряд на одной из пластин
конденсатора, то напряженность поля между пластинами
Е = <7/eoeS.
Разность потенциалов между пластинами
V = —ф2 = Ed = qd/eQeS,
При параллельном соединении конденсаторов с емкостями
С2, . , Сп их общая емкость
С — Ci -|- .. + Сп.
107
Общую емкость последовательно соединенных конденсаторов с емкостя-
ми Cj, С2, . . Сп можно найти из соотношения
_L=_L+_L+ +±.
с СЛ'"+сп‘
Конденсатор с емкостью С, заряженный зарядом q до разности по-
тенциалов V, обладает энергией
2 2С 2 *
За единицу емкости согласно формулам (12) и (13) в системе единиц
СИ принимается фарад (Ф) — это емкость такого проводника, потенциал
которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл:
1 Ф = 1 Кл/1 В. 1
626. Во сколько раз изменится емкость проводящего
шара радиуса R, если он сначала помещен в керосин (ди-
электрическая проницаемость ех=2), а затем в глицерин
(диэлектрическая проницаемость е2=56,2)?
627. Плоский конденсатор имеет емкость С=5 пФ.
Какой заряд находится на каждой из его пластин, если
разность потенциалов между ними У=1000 В?
628. Поверхностная плотность заряда на пластинах
плоского вакуумного конденсатора а=0,3 мкКл/м2. Пло-
щадь пластины 5 = 100 см2, емкость конденсатора С= 10 пФ.
Какую скорость приобретает электрон, пройдя расстояние
между пластинами конденсатора?
629. Плоский воздушный конденсатор состоит из трех
пластин, соединенных, как показано на рис. 77. Площадь
о о каждой пластины 5 = 100 см2, расстоя-
К / ние между ними d=0,5 см. Найти
\__________у емкость конденсатора. Как изменится
\__________ емкость конденсатора при погружении
4—рис 77Г его в глицерин (диэлектрическая про-
ницаемость 8=56,2)?
630. Конденсатор состоит из п латунных листов, про-
ложенных стеклянными прокладками толщины d=2 мм.
Площади латунного листа и стеклянной прокладки рав-
ны 5=200 см2, диэлектрическая проницаемость стекла
е=7. Найти емкость конденсатора, если /1=21 и выводы
конденсатора присоединены к крайним листам.
631. Маленький шарик, имеющий заряд ^=10 нКл,
подвешен на нити в пространстве плоского воздушного
конденсатора, круглые пластины которого расположены
горизонтально. Радиус пластины конденсатора R = 10 см.
Когда пластинам конденсатора сообщили заряд Q=1 мкКл,
108
сила натяжения нити увеличилась вдвое. Найти массу
шарика.
632. Между вертикальными пластинами плоского воз-
душного конденсатора подвешен на нити маленький шарик,
несущий заряд ^=10 нКл. Масса шарика /п=6 г, площадь
пластины конденсатора 5=0,1 м2. Какой заряд Q надо
сообщить пластинам конденсатора, чтобы нить отклони-
лась от вертикали на угол а=45°?
633. Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим
пластины плоского воздушного конденсатора и источник
тока с напряжением К=6,3 В, при погружении конден-
сатора в керосин (диэлектрическая проницаемость е=2)?
Площадь пластины конденсатора 5 = 180 см2, расстояние
между пластинами d=2 мм.
634. Плоский воздушный конденсатор зарядили до раз-
ности потенциалов Уо=2ОО В. Затем конденсатор отклю-
чили от источника тока. Какой станет разность потенциа-
лов между пластинами, если расстояние между ними уве-
личить от do=O,2 мм до d=0,7 мм, а пространство между
пластинами заполнить слюдой (ди- j
электрическая проницаемость е=7)?
635. Пластины плоского воздуш- zzЖ
ного конденсатора присоединены к zz
источнику тока с напряжением V= II
=600 В. Площадь квадратной пла- |
стины конденсатора 5о=100 см2, j
расстояние между пластинами d= 1 / /
=0,1 см. Какой ток будет проходить . ' /
по проводам при параллельном пере- _____( / у/
мещении одной пластины вдоль дру- р ?я
гой со скоростью и=6 см/с (рис. 78)? ис’
636. Найти заряд, который нужно сообщить двум па-
раллельно соединенным конденсаторам с емкостями С\=
=2 мкФ и С2=1мкФ, чтобы зарядить их до разности
потенциалов V=20 кВ.
637. Два одинаковых плоских конденсатора соединены
параллельно и заряжены до разности потенциалов Vo=6 В.
Найти разность потенциалов V между пластинами конден-
саторов, если после отключения конденсаторов от источ-
ника тока у одного конденсатора уменьшили расстояние
между пластинами вдвое.
638. Два конденсатора с емкостями С<=1 мкФ и С2=
=2 мкФ зарядили до разностей потенциалов /х=20 В
и V2=50 В. Найти разность потенциалов V после соедине-
ния конденсаторов одноименными полосами.
109
639. Конденсатор емкости Ci=20 мкФ, заряженный
до разности потенциалов Vj=100B, соединили параллельно
с заряженным до разности потенциалов 1\=40 В конден-
сатором, емкость которого Ci неизвестна (соединили одно-
именно заряженные обкладки конденсаторов). Найти ем-
кость С2 второго конденсатора, если разность потенциалов
между обкладками конденсаторов после соединения ока-
залась равной V=80 В.
640. Конденсатор емкости Ci=4 мкФ, заряженный до
разности потенциалов Vi=10 В, соединен параллельно
с заряженным до разности потенциалов Кг=20 В конден-
сатором емкости Са=6 мкФ (соединили разноименно за-
ряженные обкладки конденсаторов). Какой заряд окажется
на пластинах первого конденсатора после соединения?
641. Конденсатор, заряженный до разности потенциа-
лов Vf=20 В, соединили параллельно с заряженным до
разности потенциалов Vi=4 В конденсатором емкости
С2=33 мкФ (соединили разноименно заряженные обкладки
конденсаторов). Найти емкость Ci первого конденсатора,
если разность потенциалов между обкладками конденса-
торов после их соединения К=2 В.
642. Конденсатор емкости С2=1 мкФ, заряженный до
разности потенциалов Vi=100 В, соединили с конденса-
тором емкости (?2=2 мкФ, разность потенциалов Vi на
обкладках которого неизвестна (соединили разноименно
заряженные обкладки конденсаторов). Найти разность
потенциалов Vi, если разность потенциалов между обклад-
ками конденсаторов после соединения оказалась равной
К=200 В.
643. Два проводящих шара с радиусами Ri и Ri распо-
ложены так, что расстояние между ними во много раз
больше радиуса большего шара. На шар радиуса Rj по-
мещен заряд q. Каковы будут заряды на шарах после
соединения их проводником, если второй шар не был за-
ряжен? Емкостью проводника, соединяющего шары, пре-
небречь.
644. Два проводящих шара с радиусами Rt=8 см и Ri=
=20 см, находящихся на большом расстоянии друг от
друга, имели электрические заряды 91=40 нКл и <72=
=—20 нКл. Как перераспределятся заряды, если шары
соединить проводником? Емкостью проводника, соеди-
няющего шары, пренебречь.
645. Два проводящих шара с радиусами Ri=10 см и
Ri=5 см, заряженных до потенциалов <рх=20 В и <р2=10 В,
соединяются проводником. Найти поверхностные плотности
110
зарядов на шарах ох и <г2 после их соединения. Расстояние
между шарами велико по сравнению с их радиусами. Ем-
костью проводника, соединяющего шары, пренебречь.
646. Плоский воздушный конденсатор, заряженный
до разности потенциалов Уо=8ОО В, соединили парал-
лельно с таким же по размерам незаряженным конденса-
тором, заполненным диэлектриком. Какова диэлектриче-
ская проницаемость е диэлектрика, если после соединения
разность потенциалов между пластинами конденсаторов
оказалась равной У =100 В?
647. Найти емкость С трех плоских воздушных конден-
саторов, соединенных параллельно. Размеры конденсато-
ров одинаковы: площадь пластины S=314 см2, расстояние
между пластинами d=l мм. Как изменится емкость трех
конденсаторов, если пространство между пластинами од-
ного конденсатора заполнить слюдой (диэлектрическая
проницаемость ej=7), а другого — парафином (диэлект-
рическая проницаемость е2=2)?
648. В заряженном плоском конденсаторе, отсоединен-
ном от источника тока, напряженность электрического
поля равна Ео. Половину пространства между пластинами
конденсатора заполнили диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью е (толщина диэлектрика равна расстоянию
между пластинами). Найти напряженность электрического
поля Е в пространстве между пластинами, свободном от
диэлектрика.
649. Два последовательно соединенных конденсатора с
емкостями Сх=1 мкФ и С2=3 мкФ подключены к источ-
нику тока с напряжением V=220 В. Найти напряжение
на каждом конденсаторе.
650. Два последовательно соединенных конденсатора с
емкостями Ci=l мкФ и С2=2 мкФ подключены к источнику
тока с напряжением И=900 В. Возможна ли работа такой
схемы, если напряжение пробоя конден-
саторов Упр=500 В? о—1|------
651. Два последовательно соединен- ct
ных конденсатора подключены к ис- рис< 79>
точнику тока с напряжением У=200 В
(рис. 79). Один конденсатор имеет постоянную емкость
Сх=0,5 мкФ, а другой—переменную емкость С2 (от
Cmin=0,05 мкФ до Стах=0,5 мкФ). В каких пределах
изменяется напряжение на переменном конденсаторе при
изменении его емкости от минимальной до максимальной?
652. При последовательном соединении трех различных
конденсаторов емкость цепи Со=1 мкФ, а при параллель-
111
ном соединении емкость цепи С=11 мкФ. Найти емкости
конденсаторов С2 и С3, если емкость конденсатора Ci =
=2 мкФ.
653. При последовательном соединении трех различных
конденсаторов емкость цепи Со=О,75 мкФ, а при парал-
лельном соединении емкость цепи С=7 мкФ. Найти ем-
кости конденсаторов С2иС3 и напряжения на них V2 и V3
(при последовательном соединении), если емкость конден-
сатора Ci=3 мкФ, а напряжение на нем 71=20 В.
654. Три последовательно соединенных конденсатора
с емкостями Ci=100 пФ, С2=200 пФ, С3=500 пФ подклю-
чены к источнику тока, который сообщил им заряд q=
= 10 нКл. Найти напряжения на конденсаторах 7Ъ Va
и 73, напряжение источника тока V и емкость всех конден-
саторов Со.
655. Три последовательно соединенных конденсатора с
емкостями Ci=0,l мкФ, С2=0,25 мкФ и С3=0,5 мкФ под-
ключены к источнику тока с напряжением 7=32 В. Найти
напряжения 7Х, V2 и V3 на конденсаторах.
656. Два одинаковых воздушных конденсатора емко-
сти С=100 пФ соединены последовательно и подключены
к источнику тока с напряжением 7=10 В. Как изменится
заряд на конденсаторах, если один из них погрузить в
диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е=2?
657. Два плоских воздушных конденсатора с одинако-
выми емкостями соединены последовательно и подключены
к источнику тока. Пространство между пластинами одного
из конденсаторов заполняют диэлектриком с диэлектриче-
ской проницаемостью е=9. Во сколько раз изменится
напряженность электрического поля Е в этом конден-
саторе?
658. Решить предыдущую задачу для случая, когда
конденсаторы после зарядки отключаются от источника тока.
659. Два плоских воздушных конденсатора с одинако-
выми емкостями - С= 10 пФ соединены последовательно.
Насколько изменится емкость конденсаторов, если про-
странство между пластинами одного из них заполнить
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е=2?
660. В плоский воздушный конденсатор с площадью
обкладок S и расстоянием между ними d введена парал-
лельно обкладкам проводящая пластинка, размеры которой
равны размерам обкладок, а ее толщина намного меньше cl.
Найти емкость конденсатора с проводящей пластинкой,
если пластинка расположена на расстоянии I от одной
из обкладок конденсатора.
112
661. В плоский воздушный конденсатор с площадью
обкладок 5 и расстоянием между ними d введена парал-
лельно обкладкам проводящая пластинка, размеры которой
равны размерам обкладок, а толщина dn=d/3<Zd. Найти
емкость конденсатора с проводящей пластинкой.
662. Плоский воздушный конденсатор заряжен до раз-
ности потенциалов Vo=5O В и отключен от источника
тока. После этого в конденсатор параллельно обкладкам
вносится проводящая пластинка толщины dn=l мм. Рас-
стояние между обкладками d=5 мм, площади обкладок и
пластинки одинаковы. Найти разность потенциалов V
между обкладками конденсатора с проводящей пластинкой.
663. В плоский воздушный конденсатор с площадью
обкладок S и расстоянием между ними d вводится парал-
лельно обкладкам диэлектрическая пластинка толщины
dt<Zd. Диэлектрическая проницаемость пластинки равна е,
площади обкладок и пластинки одинаковы и равны 5.
Найти емкость конденсатора с диэлектрической пластинкой.
664. Пространство между обкладками плоского конден-
сатора заполнено тремя диэлектрическими пластинками
равной толщины d=2 мм из стекла (ei=7), слюды (е2=6)
и парафина (е3=2). Площади обкладок и пластинок оди-
наковы и равны 5=200 см2. Найти емкость С такого кон-
денсатора.
665. В плоский воздушный конденсатор с площадью
обкладок 5 и расстоянием между ними d внесена парал-
лельно обкладкам диэлектрическая пластинка с диэлект-
рической проницаемостью е=2, которая расположена так,
как показано на рис. 80. Во сколько раз изменится емкость
конденсатора при внесении в него пластинки?
Рис. 81.
Рис. 80.
666. Найти общую емкость конденсаторов, включенных
по схеме, изображенной на рис. 81. Емкости конденса-
торов Ci=3 мкФ, С2=5 мкФ, С3=6 мкФ и С4=5 мкФ.
113
667. Найти общую емкость конденсаторов, включенных
по схеме, изображенной на рио. 82. Емкость каждого кон-
денсатора равна Со.
Рис. 82. Рис. 83.
668. Найти разность потенциалов между точками а и b
в схеме, изображенной на рис. 83. Емкости конденсаторов
Сх=0,5 мкФ и С2=1 мкФ, напряжения источников тока
Vi=2 В и 1/2=3 В.
669. Бумажный конденсатор емкости Ci=5 мкФ и воз-
душный конденсатор емкости С2=30 пФ соединены по-
следовательно и подключены к источнику тока с напряже-
нием V=200 В. Затем воздушный конденсатор заливается
керосином (диэлектрическая проницаемость 8=2). Какой
заряд q протечет при этом по цепи?
670. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора
соединены последовательно и подключены к источнику
тока. Во сколько раз изменится напряженность электриче-
ского поля в одном из них, если другой заполнить диэлект-
риком с диэлектрической проницаемостью е=4?
671. На точечный заряд, находящийся внутри плоского
конденсатора, имеющего заряд qy действует сила F. На
какую величину ДЕ изменится эта сила, если конденсатор
в течение времени t заряжать током /?
672. Конденсаторы, соединенные по схеме, изображенной
на рис. 84, подключают в точках а и b к источнику тока с
напряжением V=80 В, а затем отключают от него. Найти
заряд, который протечет через точку а, если замкнуть
ключ К» Емкости конденсаторов Ci=C2=C3=C0 и С4=ЗС0,
где Со=100 мкФ.
673. Четыре конденсатора соединены по схеме, изоб-
раженной на рис. 85. Полюсы источника тока можно при-
соединить либо к точкам а и Ь, либо к точкам тип. Ем-
кости конденсаторов Ci=2 мкФ и С2=5 мкФ. Найти
емкости конденсаторов Сх и Cv> при которых заряды на
114
обкладках всех конденсаторов по модулю будут равны
между собой независимо от того, каким способом будет
присоединен источник тока.
Рис, 84.
сообщен
674. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора
вставлены друг в друга так, что расстояние между любыми
двумя соседними пластинами d=5 мм. Каждый конден-
сатор соединен с источником тока, напряжение которого
У=100 В, одна из пластин каждого кон-
денсатора заземлена (рис. 86). Какова на-
пряженность электрического поля Е между
пластинами а и Ь?
675. Найти поверхностную плотность
заряда на пластинах плоского конденсато-
ра, если электрон, не имевший начальной
скорости, пройдя путь от одной пластины
к другой, приобретает скорость и=107 м/с.
Расстояние между пластинами d=3 см.
676. Конденсатору емкости С=2 мкФ
q=l мКл. Обкладки конденсатора соединили проводником.
Найти количество теплоты Q, выделившееся в проводнике
при разрядке конденсатора, и разность потенциалов между
обкладками конденсатора до разрядки.
677. При разрядке батареи, состоящей из п=20 парал-
лельно включенных конденсаторов с одинаковыми емко-
стями С=4 мкФ, выделилось количество теплоты Q=10 Дж.
До какой разности потенциалов были заряжены конден-
саторы?
678. Какое количество теплоты Q выделится при зазем-
лении заряженного до потенциала ф=3000 В шара радиуса
R =5 см?
679. Какой заряд q сообщен шару, если он заряжен до
потенциала <р = 100 В, а запасенная им электрическая
энергия 1^=2,02 Дж?
Д15
14 о____680. Найти количество теплоты Q, вы-
делившееся при соединении верхних неза-
-cz земленных обкладок конденсаторов с емко-
стями Ci=2 мкФ иС2=0,5мкФ (рис. 87).
Разности потенциалов между верхни-
ми обкладками конденсаторов и землей
1^=100 В и Va=—50 В.
681. Найти количество теплоты Q, выделившееся при
соединении одноименно заряженных обкладок конденса-
торов с емкостями Сг=2 мкФ и Cs=0,5 мкФ. Разности
потенциалов между обкладками конденсаторов 1^=100 В
и Рй=50 В.
§ 20. Постоянный электрический ток
Закон Ома для участка цепи, Сопротивление проводников
Сила электрического тока (или просто ток) определяется по формуле
l = qH,
где q — заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за
время t.
В системе единиц СИ единица силы тока ампер (А) является основной
и определяется как сила тока, при которой отрезки тонких бесконечно
длинных параллельных проводников длины 1 м взаимодействуют в ва-
кууме с силой 240"7 Н. В соответствии с этим 1 Кл=1 А*с.
Плотностью тока (при равномерном распределении тока по попереч-
ному сечению проводника) называется величина
/=//•$,
где S — площадь поперечного сечения проводника. Единицей плотно-
сти тока является ампер на квадратный метр (А/м2).
Для участка цепи, содержащего проводники первого и второго рода
(металлы и растворы или расплавы электролитов), справедлив закон
Ома:
/=У/Я, или l = kVt
где R — сопротивление проводника, Л= 1/7? — его проводимость, а V —
напряжение на этом участке цепи (разность потенциалов между его
концами).
В системе единиц СИ за единицу сопротивления принят ом (Ом) —
сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет
ток 1 А: 1 Ом=1 В/A. Единицей проводимости является сименс (См):
1 См=1 Ом*1.
Сопротивление проводника с постоянным поперечным сечением, из-
готовленного из однородного материала, связано с длиной проводника /
116
и площадью его поперечного сечения <$ соотношением
R = f>l/S,
где р — удельное сопротивление материала проводника. Единицей
удельного сопротивления является ом-метр (Ом«м).
Зависимость сопротивления металлического проводника от темпе-
ратуры t определяется выражением
/?<=Яо(1 + аО,
где а — температурный коэффициент сопротивления, /?0— сопротивле-
ние проводника при температуре /о=О °C.
682. Найти плотность тока, если за время f = 10 с через
поперечное сечение проводника протекает заряд </=100 Кл.
Площадь поперечного сечения проводника S=5 мм2.
683. Вольтметр рассчитан на измерение напряжений
до максимального значения У=3 В. Сопротивление при-
бора /?=300 Ом. Число делений шкалы прибора М=100.
Какова будет цена деления шкалы прибора, если исполь-
зовать его в качестве миллиамперметра?
684. Каким сопротивлением должен обладать прибор,
чтобы его можно было использовать либо в качестве вольт-
метра с пределом измерения напряжений до значений
У=15 В, либо в качестве миллиамперметра с пределом
измерения токов до значений /=7,5 мА?
685. Отклонение стрелки вольтметра до конца шкалы
соответствует напряжению У0=15 В. При этом через
вольтметр течет ток /0=7,5 мА. Найти сопротивление
вольтметра и ток, текущий через вольтметр, когда он
показывает напряжение V=5 В.
686. Найти ток в цепи источника тока, замкнутого на
проводник с сопротивлением R = 1000 Ом, если при по-
следовательном включении в эту цепь миллиамперметра
с сопротивлением Z?0=100 Ом он показал ток /0=25 мА.
687. Найти напряжение на проводнике с сопротивле-
нием R = 10 Ом, если за время /=5 мин протекает заряд
7=120 Кл.
688. В электрическую сеть последовательно включены
плитка, реостат и амперметр, имеющие сопротивления
7?!=50 Ом, /?2=30 Ом и /?3=0,1 Ом. Найти напряжения
на плитке, реостате и амперметре, если в цепи протекает
ток /=4 А.
689. Сопротивление единицы длины медной проволоки
Rt=R/1=2,23 Ом/м. Найти удельное сопротивление р
меди. Диаметр проволоки 0=0,1 мм.
117
690. Найти сопротивление /? медной проволоки, масса
которой /и=1 кг, а площадь поперечного сечения S=0,1 мм2.
Плотность меди у=8,9-103 кг/м3, ее удельное сопротивление
р=0,017 мкОм-м.
691. Удельное сопротивление графитового стержня от
карандаша р=400 мкОм-м. Какой ток / пройдет по стерж-
ню, если на него подать напряжение У=6 В? Длина стерж-
ня /=20 см, его диаметр 0=2 мм.
692. При включении в электрическую цепь проводника,
имеющего диаметр 0=0,5 мм и длину 7=47 мм, напряжение
на нем 7=1,2 В при токе в цепи /=1 А. Найти удельное
сопротивление р материала проводника.
693. Электрическая цепь состоит из трех последова-
тельно соединенных кусков провода одинаковой длины,
сделанных из одного материала, но имеющих разные
сечения: 5±=1 мм2, S2=2 мм2, 53=3 мм2. Напряжение на
концах цепи 7=11 В. Найти напряжение на каждом про-
воднике.
694. Для измерения температуры применили железную
проволочку, имеющую при температуре /1 = 10 °C сопро-
тивление 7?i=15 Ом. При некоторой температуре /2 она
имела сопротивление Ri=18,25 Ом. Найти эту температуру.
Температурный коэффициент сопротивления железа а=
=6-10“3 К'1.
695. Найти температуру ti вольфрамовой нити лам-
почки, если при включении в сеть с напряжением 7=220 В
по нити идет ток /=0,68 А. При температуре /1=20 °C
сопротивление нити 7?=36 Ом. Температурный коэффици-
ент сопротивления вольфрама а=4,6-10~3 К-1.
Последовательное и параллельное соединения проводников.
Добавочные сопротивления и шунты *)
Общее сопротивление цепи при последовательном соединении про-
водников равно сумме сопротивлений этих проводников:
/? = /?! + + ••• + ^71-
Общее сопротивление параллельно соединенных проводников связано
с сопротивлениями этих проводников соотношением
J_=J_ - ±+ . ±
R яЛ R*^ ^Яп
*) Сопротивлением подводящих проводов при решении задач сле-
дует пренебречь, если оно не задано в условии,
118
Соответственно общая проводимость последовательно включенных про-
водников удовлетворяет соотношению
-=-+-+ +-
k ' ft„ ’
а общая проводимость параллельно включенных проводников равна
сумме их проводимостей:
ft = ftt -|- k2 + • • • + kn.
696. Какое надо взять сопротивление 7?, чтобы можно
было включить в сеть с напряжением V=220 В лампу,
рассчитанную на напряжение Vo=12O В и ток /0=4 А?
697. Две дуговые лампы и сопротивление R соединены
последовательно и включены в сеть с напряжением V=
= 110 В. Найти сопротивление R, если каждая лампа
рассчитана на напряжение Vo=4O В, а
ток в цепи 7=12 А. чЗЛ
698. Для измерения напряжения на о I . (t I 0
участке цепи последовательно включе- Рис. gg.
ны два вольтметра (рис. 88). Первый
вольтметр дал показание Vi=20 В, второй — V2=80 В.
Найти сопротивление второго вольтметра /?2, если сопро-
тивление первого вольтметра Ri=5 кОм.
699. Реостат из железной проволоки, миллиамперметр
и источник тока включены последовательно. При темпе-
ратуре 4=0 °C сопротивление реостата 7?о=2ОО Ом. Со-
противление миллиамперметра R =20 Ом, его показание
/о=ЗО мА. Какой ток Ц будет показывать миллиамперметр,
если реостат нагреется до температуры /=50 °C? Темпера-
турный коэффициент сопротивления железа а=6- 1О’? К”1.
700. Проводник с сопротивлением R =2000 Ом состоит
из двух последовательно соединенных частей: угольного
стержня и проволоки, имеющих температурные коэффици-
енты сопротивления ах=—10* 10“3 К”1 и а2=2-10“3 К'1.
Какими следует выбрать сопротивления этих частей,
чтобы общее сопротивление проводника R не зависело от
температуры?
701. Составить такую схему электропроводки для ос-
вещения одной лампочкой коридора, которая позволяет
включать и выключать свет независимо в любом конце
коридора.
702. В сеть с напряжением V=120 В включены две
электрические лампочки с одинаковыми сопротивлениями
R =200 Ом. Какой ток пойдет через каждую лампочку
при их параллельном и последовательном соединениях?
119
703. Реостат со скользящим контактом, соединенный
по схеме, приведенной на рис. 89, является потенциомет-
ром (делителем напряжения). При перемещении движка
потенциометра снимаемое с него напряжение Vx изменя-
о и о_ ется от нуля до напряжения на клеммах
17____________источника тока V. Найти зависимость
<------г “ь-—I напряжения Vx от положения движка.
Построить график этой зависимости
”—Qy—" для случая, когда полное сопротив-
о i ление потенциометра Rq во много
Рис. 89. раз меньше сопротивления вольтмет-
ра г.
704. Найти сопротивление R биметаллического (желе-
зо— медь) провода длины /=100 м. Диаметр внутренней
(железной) части провода d=2 мм, общий диаметр провода
0=5 мм. Удельные сопротивления железа и меди рх=
=0,12 мкОм-м и рг=0,017 мкОм’М. Для сравнения найти
сопротивления железного и медного проводов RM и RM
диаметра D и длины Z.
705. Найти общее сопротивление проводников, вклю-
ченных в цепь по схеме, изображенной на рис. 90, если
сопротивления 7?i=7?2=7?6=/?e=l Ом, 7?3 = 10 Ом, /?4=
=8 Ом.
Рис. 90.
Рис. 91.
706. Общее сопротивление двух последовательно соеди-
ненных проводников R=5 Ом, а параллельно соеди-
ненных 7?о=1,2 Ом. Найти сопротивление каждого про-
водника.
707. К проволочному кольцу в двух точках присоеди-
нены подводящие ток провода. В каком отношении делят
точки присоединения длину окружности кольца, если
общее сопротивление получившейся цепи в п=4,5 раза
меньше сопротивления проволоки, из которой сделано
кольцо?
708. В цепи, изображенной на рис. 91, амперметр по-
казывает ток /=0,04 А, а вольтметр — напряжение V=20 В.
Найти сопротивление вольтметра R2i если сопротивление
проводника £?i=l кОм.
120
709. Найти сопротивление fa лампочки по показаниям
вольтметра (У=50 В) и амперметра (/=0,5 А), включенных
по схеме, изображенной на рис. 92, если сопротивление
вольтметра /?а=40 кОм.
710. Найти сопротивление проводника fa по показаниям
амперметра (/=5 А) и вольтметра (V=100 В), включенных
Рис. S3,
Ю
по схеме, изображенной на рис. 93, если сопротивление
вольтметра /?2=2,5 кОм. Какова будет ошибка в опреде-
лении /?1, если, предположив, что /?2^>/?1, при расчетах
пренебречь током, текущим через вольтметр?
711. К источнику тока с напряжением V присоединены
последовательно два проводника с одинаковыми сопротив-
лениями R. Какова будет разница в показаниях вольт-
метров с сопротивлениями R и 10/?, если их поочередно
подключать к концам одного из проводников?
712. К источнику тока с напряжением 7=12 В при-
соединены две лампочки (рис. 94). Сопротивления участ-
ков цепи Г1=г2=г3=г4=г=1,5 Ом. Сопротивления лампо-
чек /?1=/?2=/?=36 Ом. Найти напряжение на каждой
лампочке.
Рис. 94.
713. В схеме, изображенной на рис. 95, напряжение
источника тока 7=200 В, а сопротивления проводников
/?!=60 Ом, /?2=/?з=30 Ом. Найти напряжение на сопро-
тивлении
714. Электрическая цепь состоит из источника тока е
напряжением 7=180 В и потенциометра с полным сопро-
тивлением 7?=5 кОм. Найти показания вольтметров, при-
соединенных к потенциометру по схеме, изображенной
121
на рис. 96. Сопротивления вольтметров R±=6 кОм и /?2=
=4 кОм. Движок х стоит посередине потенциометра.
715. Три резистора включены по схеме, изображенной
на рис. 97. Если резисторы включены в цепь в точках а и &,
то сопротивление цепи будет R =20 Ом, а если в точках а
и с, то сопротивление цепи будет 7?0=15 Ом. Найти сопро-
тивления резисторов Ri, Rit R3, если 7?1=27?2-
716. На сколько равных частей нужно разрезать про-
водник, имеющий сопротивление R=36 Ом, чтобы сопро-
тивление его частей, соединенных параллельно, было
Яо=1 Ом?
717. Из проволоки сделан каркас в форме куба (рис. 98),
каждое ребро которого имеет сопротивление г. Найти
сопротивление R этого каркаса, если ток I в общей цепи
идет от вершины А к вершине В.
718. Из проволоки, единица длины которой имеет со-
противление Rt, сделан каркас в форме окружности ра-
диуса г, пересеченной двумя взаимно перпендикулярными
диаметрами (рис. 99). Найти сопротивление Rx каркаса,
если источник тока подключен к точкам end.
719. Провод длины L = 1 м сплетен из трех жил, каждая
из которых представляет собой кусок неизолированной
проволоки с сопротивлением единицы длины 7?^=0,02 Ом/м.
На концах провода создано напряжение V=0,01 В. На
какую величину Д/ изменится ток в этом проводе, если от
одной жилы удалить кусок длины 1=20 см?
122
720. Источник тока первоначально присоединяют к
двум соседним вершинам проволочной рамки в форме
правильного выпуклого n-угольника. Затем источник тока
присоединяют к вершинам, расположенным через одну.
При этом ток уменьшается в 1,5 раза. Найти число сторон
п-угольника.
721. Как надо соединить четыре проводника с сопро-
тивлениями 7?i=l Ом, 7?2=2 Ом, /?8=3 Ом и 7?4=4 Ом,
чтобы получить сопротивление 7? =2,5 Ом?
722. Найти проводимость k цепи, состоящей из двух
последовательных групп параллельно включенных про-
водников. Проводимости каждого проводника первой и
второй групп равны ^=0,5 См и fe2=0,25 См. Первая
группа состоит из четырех проводников, вторая — из двух.
723. Вольтметр рассчитан на измерение напряжений до
максимального значения 7о=30 В. При этом через вольт-
метр идет ток /=10 мА. Какое добавочное сопротивление
нужно присоединить к вольтметру, чтобы им можно
было измерять напряжения до 7=150 В?
724. Стрелка миллиамперметра отклоняется до конца
шкалы, если через миллиамперметр идет ток /=0,01 А.
Сопротивление прибора /?=5 Ом. Какое добавочное со-
противление 7?д нужно присоединить к прибору, чтобы
его можно было использовать в качестве вольтметра с
пределом измерения напряжений 7=300 В?
725. Вольтметр, соединенный последовательно с со-
противлением /?1=10 кОм, при включении в сеть с напря-
жением 7=220 В показывает напряжение 7f=70 В, а
соединенный последовательно с сопротивлением Т?2, пока-
зывает напряжение 72=20 В. Найти сопротивление Ri.
726. Вольтметр с сопротивлением 7?=3 кОм, включен-
ный в городскую осветительную сеть, показал напряжение
7=125 В. При включении вольтметра
в сеть через сопротивление 7?0 его по-
казание уменьшилось до 70=115 В.
Найти это сопротивление.
727. Вольтметр с сопротивлением
/?=50 кОм, подключенный к источни-
ку тока вместе с добавочным сопротив-
лением 7?Д=12О кОм, показывает на-
пряжение 7о=ЮО В. Найти напряже-
ние 7 источника тока.
728. Найти показание вольтметра 7 с сопротивлением R
в цепи, изображенной на рис. 100. Ток до разветвления
равен /, сопротивления проводников и R2 известны.
123
729, Имеется прибор с ценой деления /0=1 мкА/дел и
числом делений шкалы У=100. Сопротивление прибора
/?=50 Ом. Как этот прибор приспособить для измерения
токов до значения /=10 мА или напряжений до значения
У=1 В?
730. Миллиамперметр с пределом измерения токов
/0=25 мА необходимо использовать как амперметр с пре-
делом измерения токов /=5 А. Какое сопротивление
должен иметь шунт? Во сколько раз уменьшается чув-
ствительность прибора? Сопротивление прибора /? = 10 Ом.
731. Амперметр с сопротивлением =0,2 Ом, накоротко
присоединенный к источнику тока с напряжением У=1,5 В,
показывает ток /=5 А. Какой ток /0 покажет амперметр,
если его зашунтировать сопротивлением /?ш=0,1 Ом?
732. При шунтировании гальванометра сопротивле-
ниями Ri и R3 в них ответвляется 90%, 99% и 99,9%
тока I общей цепи. Найти эти сопротивления, если сопро-
тивление гальванометра 7?=27 Ом.
733. Миллиамперметр с числом делений шкалы Af=
=50 имеет цену деления /о=О,5 мА/дел и сопротивление
R =200 Ом. Как этот прибор приспособить для измерения
токов до значения /=1 А?
734. К амперметру с сопротивлением /?=0,1 Ом под-
ключен шунт с сопротивлением 7?ш=11,1 мОм. Найти
ток, текущий через амперметр, если ток в общей цепи
/=27 А.
,735. Параллельно амперметру с сопротивлением R =
=0,03 Ом включен медный проводник длины /=10 см и
диаметра D = l,5 мм. Найти ток в цепи /, если амперметр
показывает ток 70=0,4 А. Удельное сопротивление меди
р=0,017 мкОм-м.
Закон Ома для полной (замкнутой) цепа
Электрический ток в полной (замкнутой) цепи, состоящей из внеш-
него сопротивления R и источника тока с э. д. с. <§ и внутренним со-
противлением г,
I ~ <9 I^ПОЛН — (Q I (R Г) '
Напряжение на участке цепи, если этот участок содержит источник
тока с э. д. с. <§ и имеет сопротивление R (включая и внутреннее сопро-
тивление источника тока),
У = Ф1 —Ф-2 = <£ —/Я.
где <рх и <р2— потенциалы начала и конца этого участка (рис. 101, а).
Здесь предполагается, что начало участка — у положительного полюса
124
источника тока, конец участка — у отрицательного полюса и что ток 1
внутри источника течет от отрицательного полюса к положительному.
Если другие участки цепи также содержат источники тока, то на данном
°} 4>z _ + °} 4>г _|+ Ч>,
О-^---0|------9 9------1|-----Q
______К-----L-. >
Рис. 101,
участке возможно противоположное направление тока внутри источ-
ника (рис. 101, б). В этом случае
V = ($ + IR.
736. В цепи источника тока с э. д. о. <£=30 В идет
ток 7=3 А. Напряжение на зажимах источника V=18 В.
Найти внешнее сопротивление цепи R и внутреннее со-
противление источника г.
737. В цепи, состоящей из реостата и источника тока
с э. д. с. <£=6 В и внутренним сопротивлением г=2 Ом,
идет ток А=0,5 А. Какой ток Л пойдет при уменьшении
сопротивления реостата в три раза?
738. Источник тока с э. д. с. и внутренним сопро-
тивлением г замкнут на сопротивление R, Как меняется
ток в цепи и напряжение на зажимах источника в зави-
симости от R? Построить графики этих
зависимостей при <£=15 В и г=2,5 Ом.
739. Нить накала радиолампы вклю-
чена последовательно с реостатом в цепь
источника тока с э. д. с. <£=2,5 В
и внутренним сопротивлением г=0,1Ом
(рис. 102). Необходимый ток накала до-
стигается, когда сопротивление реоста-
та /?1=8,4 Ом. Найти ток в цепи на-
кала /, если сопротивление нити накала
7? 2=30 Ом.
740. Для питания нити накала радиолампы необходимы
напряжение V=4 В и ток /=1 А. Найти дополнительное
сопротивление Rt, при котором в цепи накала достигается
необходимый ток (рис. 102). Э. д. с. источника тока <£=
= 12 В, его внутреннее сопротивление г=0,6 Ом.
741. Лампа подключена медными проводами к источ-
нику тока с э. д. с. <£=2 В и внутренним сопротивлением
г=0,04 Ом. Длина проводов 1=4 м, их диаметр 0=0,8 мм,
удельное сопротивление меди р=0,017 мкОм-м. Напряжение
на зажимах источника У=1,98 В. Найти сопротивление
лампы R.
Рис. 102.
125
742. Вольтметр, подключенный к источнику тока с э.д.с.
^=120 В и внутренним сопротивлением г=50 Ом, показы-
вает напряжение 7=118 В. Найти сопротивление вольт-
метра 7?.
743. При подключении внешней цепи напряжение на
зажимах источника тока с э. д. с. <£=30 В оказывается
равным 7=18 В. Внешнее сопротивление цепи 7?=6 Ом.
Найти внутреннее сопротивление источника г.
744. Источник тока с э. д. с. ^=1,25 В и внутренним
сопротивлением г=0,4 Ом питает лампу, рассчитанную
на напряжение 71=1 В. Сопротивление лампы 7?i=10 Ом.
Найти сопротивление подводящих проводов Ri и напря-
жение на них Vi.
745. Источник тока питает и=100 ламп, рассчитанных
на напряжение 7j=220 В и соединенных параллельно.
Сопротивление каждой лампы 7?j=l,2 кОм, сопротивление
подводящих проводов R 5=4 Ом, внутреннее сопротивление
источника г=0,8 Ом. Найти напряже-
ние на зажимах источника и его э. д. с.
746. Какова должна быть э. д. с. §
источника тока в схеме, изображенной
на рис. 103, чтобы напряженность
электрического поля в плоском кон-
денсаторе была Е =2,25 кВ/м? Внут-
реннее сопротивление источника г=
=0,5 Ом, сопротивление резистора R =
=4,5 Ом, расстояние между пластина-
ми конденсатора d=0,2 см.
747. Источник тока с э. д. с. <£=15 В и внутренним
сопротивлением г=5 Ом замкнут на резистор с сопротив-
лением 7? = 10 Ом. К зажимам источника подключен кон-
денсатор емкости С—1 мкФ. Найти заряд на конденсаторе.
748. Электрическая цепь состоит из источника тока *)
и двух последовательно соединенных резисторов с одина-
ковыми сопротивлениями R. К концам одного из резисторов
присоединяют по очереди два вольтметра: один имеет со-
противление R, а другой — сопротивление 10/?. Во сколько
раз будут отличаться показания вольтметров?
749. К источнику тока с э. д. с. §=8,8 В присоеди-
нены последовательно резистор с неизвестным сопротив-
лением Ri и резистор с сопротивлением /?2=1 кОм. Вольт-
метр с сопротивлением R=5 кОм, подключенный к концам
G
R
f
—
Рис. ЮЗ.
*) Здесь и далее внутренним сопротивлением источника тока и
подводящих проводов следует пренебречь, если оно не задано в условии.
126
резистора Rt, показывает напряжение V=4 В. Какое
падение напряжения V' будет на резисторе Ri, если от-
ключить вольтметр?
750. Какой ток I покажет амперметр *) в схеме, изоб-
раженной на рис. 104? Сопротивления резисторов Rx=
с=1,25 Ом, /?2=1 Ом, /?э=3 Ом,
/?4=7 Ом, э. д. с. источника <§=
=2,8 В.
751. Найти ток I, идущий че-
рез источник тока в схеме, изобра-
женной на рис. 105. Сопротивле-
ния всех резисторов одинаковы и
равны 7? =34 Ом, э. д. с. источ-
ника <£=7,3 В.
752. Найти ток /, идущий через резистор с сопротив-
лением Ri в схеме, параметры которой даны на рис. 106.
753. Один полюс источника тока с э. д. с. $=1400 В
и внутренним сопротивлением г=2,2 Ом подключен к
центральной алюминиевой жиле кабеля (диаметр жилы
О1=8 мм), другой — к его свинцовой оболочке (наружный
диаметр £>2=18 мм, внутренний — d2=16 мм). На каком
расстоянии I от источника кабель порвался и произошло
замыкание жилы с оболочкой, если начальный ток корот-
кого замыкания /=120 А? Удельные сопротивления алю-
миния и свинца pi=0,03 мкОм-м и р2=0,2 мкОм-м.
754. Найти ток /, текущий через резистор с сопротив-
лением Ri в схеме, параметры которой даны на рис. 107,
в первый момент после замыкания ключа, если до этого
напряжение на конденсаторе было постоянным.
*) Здесь и далее сопротивлением амперметра следует пренебречь,
если оно не задано в условии,
.127
755. Найти напряжения Vi и Уз на конденсаторах с
емкостями Cf и Сз в схеме, параметры которой даны на
рис. 108.
Рис. 107,
Рис. 108.
Рис, 109.
756. Найти заряды ft, qi и q3 на каждом из конденса-
торов в схеме, параметры которой даны на рис. 109.
757. В цепь, питаемую источником тока с внутренним
сопротивлением г=3 Ом, входят два резистора с одинако-
выми сопротивлениями Ri=Ri=28 Ом, включенные парал-
лельно, и резистор с сопротивлением Rэ=40 Ом (рис. ПО).
Параллельно резистору R3 подключен конденсатор
емкости С=5 мкФ, заряд которого q=4,2 Кл. Найти э. д. с.
S источника.
758. Два резистора с одинаковыми сопротивлениями
7?!=25 Ом и резистор с сопротивлением 7?2=50 Ом под-
ключены к источнику тока по схеме, изображенной на
рис. 111. К участку ab подключен конденсатор емкости
С=5 мкФ. Найти э. д. с. S источника тока, если заряд на
конденсаторе 7=0,11 мКл.
759. Найти заряд на конденсаторе емкости С в схеме,
параметры которой даны на рис. 112.
760. Найти напряжение на конденсаторе емкости
в схеме, параметры которой даны на рис. 113.
128
a
/ Рис. 112.
Рис. 113.
761. Источник тока с внутренним сопротивлением г=
= 1 Ом замкнут на резистор с сопротивлением R. Вольт-
метр, подключенный к зажимам источника, показывает
напряжение Va=20 В. Когда параллельно резистору с
сопротивлением R присоединен резистор с таким же со-
противлением R, показание вольтметра уменьшается до
у0=15 В. Найти сопротивление резистора R, если сопро-
тивление вольтметра велико по сравнению с R.
762. К источнику тока с э. д. с. <£=200 В и внутренним
сопротивлением г=0,5 Ом подключены последовательно
два резистора с сопротивлениями Z?i = 100 Ом и 7?а=500 Ом.
К концам резистора Т?2 подключен вольтметр. Найти
сопротивление R вольтметра, если
он показывает напряжение V= 160 В.
763. Проволока из нихрома изо-
гнута в виде кольца радиуса а=\ м
(рис. 114). В центре кольца помещен
гальванический элемент с э. д. с.
$=2 В и внутренним сопротивле-
нием г=1,5 Ом. Элемент соединено
точками с и d кольца по диаметру с
помощью такой же нихромовой
проволоки. Найти разность потенциалов между точками
end. Удельное сопротивление нихрома р = 1,1 мкОмм,
площадь сечения проволоки S = 1 мм2.
764. К источнику тока с внутренним сопротивлением
г=1 Ом подключены два параллельно соединенных рези-
стора с сопротивлениями #1 = 10 Ом и #2=2 Ом. Найти
отношение токов, протекающих через резистор #i до и
после обрыва в цепи резистора #2.
765. Два резистора с сопротивлениями #i=#2=l Ом
и реостат, имеющий полное сопротивление #3=2 Ом,
присоединены к источнику тока с внутренним сопротив-
лением г=0,5 Ом (рис. 115). К разветвленному участку
5 Г. А. Бендрихов и др.
129
цепи подключен вольтметр. Когда движок реостата нахо-
дится на его середине (точка а), вольтметр показывает
напряжение Уа = 13
метра, если движок
В. Каково будет показание вольг-
передвинуть в крайнее правое поло-
жение на реостате? Сопротив-
ление
сравнению с 7?t и /?г.
е.’г
вольтметра велико по
Рис. 116.
766. Шесть проводников с одинаковыми сопротивле-
ниями /?о=2 Ом соединены попарно параллельно. Все три
пары соединены последовательно и подключены к источ-
нику тока с внутренним сопротивлением г=1 Ом. При
этом по каждому проводнику течет ток /0=2,5 А. Какой
ток будет течь по каждому проводнику, если один из них
удалить?
767. Источник тока с э. д. с. ^=100 В и внутренним
сопротивлением г=0,2 Ом и три резистора с сопротивле-
ниями 7?i=3 Ом, 7?2=2 Ом и 7?з=]8,8 Ом включены по
схеме, изображенной на рис. 116. Найти токи, текущие
через резисторы 7?i и Ri.
768. К источнику тока с э. д. с. ^*=120 В и внутренним
сопротивлением г=10 Ом подключены два параллельных
провода с сопротивлениями /?х=20 Ом. Свободные концы
проводов и их середины соединены друг с другом через
две лампы с сопротивлениями 7?а=200 Ом. Найти ток,
текущий через источник тока.
769. При замыкании источника тока на резистор с со-
противлением 7?1=5 Ом в цепи идет ток Ц=5 А., а при
замыкании на резистор с сопротивлением 7?г=2 Ом идет
ток /г=8 А. Найти внутреннее сопротивление г и э. д. с.
источника тока <£.
770. При замыкании источника тока на резистор о
сопротивлением 7?х=14 Ом напряжение на зажимах ис-
точника Vx=28 В, а при замыкании на резистор с сопро-
тивлением 7?2=29 Ом напряжение на зажимах Vg=29 В.
Найти внутреннее сопротивление г источника.
130
771. Амперметр с сопротивлением Ri—2 Ом, подклю-
ченный к источнику тока, показывает ток Л=5 А. Вольт-
метр с сопротивлением /?2=150 Ом, подключенный к та-
кому же источнику тока, показывает напряжение V= 12 В.
Найти ток короткого замыкания /к источника.
772. Два параллельно соединенных резистора с сопро-
тивлениями =40 Ом и /?2=Ю Ом подключены к источ-
нику тока с э. д. с. <£ = 10 В. Ток в цепи /=1 А. Найти
внутреннее сопротивление источника и ток короткого
замыкания.
773. Аккумулятор с э. д. с. <£=25 В и внутренним со-
противлением г=1 Ом заряжается от сети с напряжением
у=40 В через сопротивление 7?=5 Ом. Найти напряжение
17а на зажимах аккумулятора.
Последовательное и параллельное соединения источников тока.
Правила Кирхгофа
Электрический ток в общей цепи при последовательном соединении
п одинаковых источников тока в батарею
I _ nS
R + nr 5
где R — внешнее сопротивление цепи, а $ и г - э. д. с. и внутреннее
сопротивление каждого источника тока (аккумулятор, генератор, галь-
ванический элемент и т. д.).
При параллельном соединении п одинаковых источников тока ток
в общей цепи
R+r/n'
При решении задач на разветвленные электрические цепи, особенно
если в этих цепях имеется несколько источников тока, удобно пользо-
ваться правилами Кирхгофа, которые заключаются в сле-
дующем.
Алгебраическая сумма всех токов, приходящих в точку разветвле-
ния (узел) и выходящих из нее, равна нулю:
/1 + Л+... + /п = 0. (14)
Токи, входящие в узел, считаются положительными, а выходящие из
узла — отрицательными. Например, для узла а на рис. 117 уравнение
для токов будет 1^—11—74=0.
Направление тока на каждом участке цепи между двумя узлами
можно выбирать произвольно, сохраняя, однако, это направление на
всех этапах решения задачи. Если в результате решения для каких-
либо токов получаются отрицательные числовые значения, то это
5*
131
означает, что первоначальные направления токов были выбраны не-
правильно.
При обходе любого замкнутого контура в сложной электрической
цепи алгебраическая сумма падений напряжения на элементах цепи
(включая и внутренние сопро-
тивления источников тока) равна
алгебраической сумме э. д. с. ис-
точников тока, имеющихся в
этом контуре:
Л 2^2 + • • И- In Rn ~
== (£ i Н-(£ 2 •••+ (&п* (1°)
Направление обхода каждого
контура (по часовой стрелке или
против нее) произвольно. Падение
напряжения считается положи-
тельным, если выбранное заранее направление тока на этом участке между
двумя узлами совпадаете направлением обхода контура, и отрицательным,
если направление тока противоположно направлению обхода. Э. д. с.
считается положительной, если при обходе по контуру источник тока
проходится от отрицательного полюса к положительному, и отрицатель-
ной— в противном случае. Например, для контура abed на рис. 117
при обходе по часовой стрелке уравнение (15) запишется в виде
Л (^1 + и) + Л №-f-r2)— (Яз + 'з) — 74/?4 = (^)1 — <£2— <£з.
Если полная схема содержит /п узлов, то уравнения (14) составля-
ются для т—1 узлов. При составлении уравнений (15) для контуров
нужно следить за тем, чтобы каждый вновь взятый контур не мог быть
получен сложением или вычитанием уже рассмотренных контуров. Пол-
ное число уравнений, составленных по правилам Кирхгофа, должно
совпадать с числом участков между узлами, т. е. с числом различных
токов в данной схеме.
774. Найти разность потенциалов между точками а и b
в схеме, изображенной на рис. 118. Э. д. с. источников тока
(£1 = 1 В и <£2=1,3 В, сопротивления резисторов 7?i =
= 10 Ом и /?2=5 Ом.
775. Два элемента с э.д.с. (£1=1,5 В и <£2=2 В и вну-
тренними сопротивлениями гх=0,6 Ом и г2=0,4 Ом соеди-
нены по схеме, изображенной на рис. 119. Какую разность
потенциалов между точками а и b покажет вольтметр, если
сопротивление вольтметра велико по сравнению с внутрен-
ними сопротивлениями элементов?
776. Два элемента с э.д.с. <£т=1,4 В и <£2 = 1,1 В и
внутренними сопротивлениями Г1=0,3 Ом и г2=0,2 Ом
132
замкнуты разноименными полюсами (рис. 120). Найти на-
пряжение на зажимах элементов. При каких условиях раз-
ность потенциалов между точками а и b равна нулю?
Рис. 118.
777. Два источника тока с одинаковыми э.д.с. <£=2 В
и внутренними сопротивлениями Г]=0,4 Ом и Гг=0,2 Ом
соединены последовательно. При каком внешнем сопротив-
лении цепи R напряжение на зажимах одного из источников
будет равным нулю?
778. Найти внутреннее сопротивление ц первого эле-
мента в схеме, изображенной на рис. 121, если напряжение
на его зажимах равно нулю. Сопротивления резисторов
7?i=3 Ом, /?2=6 0м, внутреннее сопротивление второго
элемента г2=0,4 Ом, э.д.с. элементов одинаковы.
Рис. 122.
779. При каком соотношении между сопротивлениями
резисторов Т?2, и внутренними сопротивлениями
элементов rr, ri (рис. 122) напряжение на зажимах одного
из элементов будет равно нулю? Э.д.с. элементов оди-
наковы.
780. Два генератора с одинаковыми э.д.с. <£=6 В и
внутренними сопротивлениями Г£=0,5 Ом и Гг=0,38 Ом
включены по схеме, изображенной на рис. 123. Сопротивле-
ния резисторов /?i=2 Ом, /?2=4 0м, /?з=7 Ом. Найти на-
пряжения Vt и V2 на зажимах генераторов.
781. Три элемента с э.д.с. <£j=2,2 В, <£2=1,1 В и
^3=0,9 В и внутренними сопротивлениями гх=0,2 Ом,
133
Га=0,4 Ом и г3=0,5 Ом включены в цепь последовательно.
Внешнее сопротивление цепи R = l Ом. Найти напряжение
на зажимах каждого элемента.
782. Батарея из четырех последовательно включенных
в цепь элементов с э.д.с. <£ = 1,25 В и внутренним сопро-
тивлением r=0,1 Ом питает два параллельно соединенных
проводника с сопротивлениями 2?х=5О Ом и 7?2=200 0м.
Найти напряжение на зажимах батареи.
783. Сколько одинаковых аккумуляторов с э.д.с. <£ =
= 1,25 В и внутренним сопротивлением г=0,004 Ом нужно
взять, чтобы составить батарею, которая давала бы на за-
жимах напряжение 7=115 В при токе 1=25 А?
784. Батарея из п=40 последовательно включенных
в цепь аккумуляторов с э.д.с. =2,5 В и внутренним со-
противлением г=0,2 Ом заряжается от сети с напряжением
7=127 В. Найти зарядный ток, если последовательно в
цепь введен проводник.с сопротивлением 7? =2 Ом.
785. Два элемента с э.д.с. ^\=1,25 В и <£2=1,5 В
и одинаковыми внутренними сопротивлениями г=0,4 Ом
соединены параллельно (рис. 124). Сопротивление резисто-
ра 7? = 10Ом. Найти токи, текущие через резистор и каж-
дый элемент.
Рис. 125.
Рис. 124.
786. Два элемента с э.д.с. <£\=6 В и <£2=5 В и внут-
ренними сопротивлениями гх=1 Ом и г2=2 Ом соединены
по схеме, изображенной на рис. 125. Найти ток, текущий
через резистор с сопротивлением /? = 10Ом.
787. Три одинаковых элемента с э.д.с. <£ = 1,6 В и внут-
ренним сопротивлением г=0,8 Ом включены в цепь по схе-
ме, изображенной на рис. 126. Миллиамперметр показывает
ток 7=100 мА. Сопротивления резисторов 7?!=ЮОм и
7?2=15 0м, сопротивление резистора R неизвестно. Какое
напряжение V показывает вольтметр? Сопротивление вольт-
метра очень велико, сопротивление миллиамперметра пре-
небрежимо мало.
134
788. Сопротивления резисторов /?х и Т?2 и э. д. с. St
и $2 источников тока в схеме, изображенной на рис. 127,
известны. При какой э.д.с. третьего источника ток через
резистор R3 не течет?
Рис. 127.
789. Цепь из трех одинаковых последовательно соеди-
ненных элементов с э.д.с. $ и внутренним сопротивлением г
замкнута накоротко (рис. 128). Какое напряжение покажет
вольтметр, подключенный к зажимам одного из элементов?
790. Источник тока с э.д.с. включен в схему, пара-
метры которой даны на рис. 129. Найти э.д.с. источника
тока и направление его подключения к выводам а и Ь, при
которых ток через резистор с сопротивлением R2 не идет.
791. Два элемента с одинаковыми э.д.с. S включены
в цепь последовательно. Внешнее сопротивление цепи
R =5 Ом. Отношение напряжения на зажимах первого эле-
мента к напряжению на зажимах второго элемента равно
2/3. Найти внутренние сопротивления элементов гх и г2,
если Г!=2г2.
792. Два одинаковых элемента с э.д.с. <£ = 1,5 В и внут-
ренним сопротивлением г=0,2 Ом замкнуты на резистор,
сопротивление которого составляет в одном случае /?х =
=0,2 Ом, в другом — 7?2=20Ом. Как нужно соединить
элементы (последовательно или параллельно) в первом и во
втором случаях, чтобы получить наибольший ток в цепи?
135
Рис. 130.
793. Два элемента с э.д.с. <£1=4 В и <^2=2 В и внут-
ренними сопротивлениями ri=0,25 Ом и г2=0,75 Ом вклю-
чены в схему, изображенную на рис. 130. Сопротивления
резисторов /?1 = 1 Ом и /?2=3 Ом,
емкость конденсатора С=2 мкФ.
? Найти заряд на конденсаторе.
794. К батарее из двух парал-
0 лельно включенных элементов с
э.д.с. и и внутренними со-
противлениями гг и г2 подключен
резистор с сопротивлением/?. Най-
ти ток /, текущий через резистор /?, и токи А и /2в первом
и втором элементах. При каких условиях токи в отдельных
цепях могут быть равными нулю или изменять свое на-
правление на обратное?
795. Батарея из п одинаковых аккумуляторов, соеди-
ненных в одном случае последовательно, в другом — па-
раллельно, замыкается на ^резистор с сопротивлением R.
При каких условиях ток, текущий через резистор, в обоих
случаях будет один и тот же?
796. Батарея из п=4 одинаковых элементов с внутрен-
ним сопротивлением г=2 Ом, соединенных в одном случае
последовательно, в другом — параллельно, замыкается на
резистор с сопротивлением /? = 10Ом. Во сколько раз по-
казание вольтметра в одном случае отличается от показания
вольтметра в другом случае? Сопротивление вольтметра ве-
лико по сравнению с R и г.
797. Как изменится ток, текущий через резистор с со-
противлением R=2 Ом, если п=10 одинаковых элементов,
соединенных последовательно с этим резистором, включить
параллельно ему? Э.д.с. элемента <£=2 В, его внутреннее
сопротивление г=0,2 Ом.
798. Батарея составлена из М=600 одинаковых элемен-
тов так, что п групп соединены последовательно и в каждой
из них содержится т элементов, соединенных параллельно.
Э.д.с. каждого элемента <§=2 В, его внутреннее сопротив-
ление г=0,4Ом. При каких значениях п и т батарея, бу-
дучи замкнута на внешнее сопротивление /?=0,6 Ом, отдаст
во внешнюю цепь максимальную мощность? Найти при
этом ток, текущий через сопротивление R.
799. Емкость аккумулятора Qo=8OA-4*). Найти
*) Емкостью аккумулятора называется заряд Q, который проходит
по цепи при разрядке через нее заряженного аккумулятора. При раз-
рядном токе / и времени разрядки т емкость аккумулятора Q=/t и
выражается в ампер-часах (А-ч).
136
емкость батареи из п=3 таких
аккумуляторов, включенных по-
следовательно и параллельно.
800. Найти емкость батареи
аккумуляторов, включенных
по схеме, изображенной на
рис. 131. Емкость каждого акку-
мулятора Qo=64A«4.
801. Мост для измерения сопротивлений сбалансирован
так, что ток через гальванометр не идет (рис. 132). Ток
в правой ветви /=0,2 А. Найти напряжение V на зажимах
ч] i| в| i[—
Рис. 131.
источника тока. Сопротивления резисторов 7?i=2 Ом, Т?2 =
=4 Ом, /?з = 1 Ом.
§02. Найти токи, протекающие в каждой ветви цепи,
изображенной на рис. 133. Э.д.с. источников тока
=6,5 В и <^2=3,9 В. Сопротивления резисторов RT=RZ=
=/?з=/?4=/?5=^«=^ = Ю Ом.
§ 21. Работа и мощность тока. Закон Джоуля—Ленца
При перемещении заряда q в электрическом поле из точки с потен-
циалом в точку с потенциалом <р2 электрические силы совершают
работу
A = q (<Pi — <p2) = <?V.
Если по проводнику течет ток /, то через поперечное сечение проводника
в течение времени т проходит заряд q=Ii.. Поэтому при прохождении
тока 1 по проводнику, разность потенциалов между концами которого
равна V, за время т совершается работа
Л = /Ут.
По закону сохранения энергии результатом этой работы является
то, что проводник приобретает сам и передает окружающим телам экви-
137
валентное количество энергии W в различных видах (в виде теплоты,
механической, химической энергии и т. д.). В частности, если происхо-
дит выделение энергии только в виде теплоты Q, то
Q=W = IVx.
Заменяя в соответствии с законом Ома V на IR> получаем закон
Джоуля-Ленца:
Q = 72^t = V2t//?,
где R — сопротивление проводника.
В системе единиц СИ единицей работы, энергии и теплоты является
джоуль (Дж). Поэтому, если электрические величины выражать в еди-
ницах системы СИ (заряд в кулонах, ток в амперах, сопротивление в
омах и разность потенциалов в вольтах), то количество теплоты, вычис-
ляемое по приведенным формулам, получается в джоулях.
Мощность постоянного тока / при прохождении по проводнику с со-
противлением R определяется соотношениями
N = Wfr = lV = PR = V*IR,
Единицей мощности в системе единиц СИ является ватт. (Вт): 1 Вт=
= 1 Дж/1 с=1 А-В.
Электрическая энергия может выражаться также в единицах, яв-
ляющихся произведением единиц мощности и единиц времени. В част-
ности, так как 1 Дж=1 Вт*с, то 1 кВт-ч=10 гВт-ч=3,6-10в Вт-с=
=3,6-106 Дж.
Коэффициентом полезного действия (к. п. д.) системы называется
величина
я = 100 о/о = J^TPZzFnoTep . 100 о/о>
’^затр ^затр
где №пол—полезная работа (энергия), U^3aTp—полная затраченная
энергия и W'norep — потерянная энергия.
803. Какая энергия (в гектоватт-часах и джоулях) за-
пасена в аккумуляторе с э.д.с. <£=2 В, имеющем емкость
Q=240 Ач?
804. Какой заряд пройдет по проводнику с сопротивле-
нием R = 10 Ом за время т=20 с, если к его концам прило-
жено напряжение V=12 В? Какая при этом будет произве-
дена работа?
805. Насколько изменится температура воды в сосуде,
содержащем массу воды т=0,2 кг, если через проводник,
помещенный в него, прошел заряд q=100 Кл, а к концам
проводника приложено напряжение V=20 В? Удельная
теплоемкость воды с=4,2 кДж/(кг -К).
133
806. Можно ли вместо двух параллельно включенных
электроплиток мощности М=500 Вт каждая включить в
сеть электрокамин, который потребляет ток /=12,5 А при
Напряжении У=120 В, если предохранитель рассчитан на
ток, потребляемый плитками?
807. Найти площадь сечения проводов, отводящих ток
от генератора мощности Л/=1 ГВт, если ток передается на
трансформатор под напряжением 1/=15 кВ. Плотность
тока в проводе не должна превышать /=10 А/мм2.
808. Дуговая печь потребляет ток /=200 А от сети с на-
пряжением 1/=120 В через ограничивающее сопротивление
/?=0,2Ом. Найти мощность, потребляемую печью.
809. Нагревательная спираль электроаппарата для ис-
парения воды имеет при температуре /=100 °C сопротив-
ление /? = ЮОм. Какой ток / надо пропускать через эту
спираль, чтобы аппарат испарял массу воды ти=100 г
за время т=1 мин? Удельная теплота парообразования воды
Х=2,3 МДж/кг.
810. Электропечь должна давать количество теплоты
ф=0,1МДж за время т=10 мин. Какова должна быть
длина нихромовой проволоки сечения S=0,5mm2, если
печь предназначается для сети с напряжением У=36 В?
Удельное сопротивление нихрома р=1,2 мкОм-м.
811. Комната теряет в сутки количество теплоты Q=
=87 МДж. Какой длины I надо взять нихромовую прово-
локу диаметра D = 1 мм для намотки электропечи, поддер-
живающей температуру комнаты неизменной? Печь вклю-
чается в сеть с напряжением У=120 В, удельное сопротив-
ление нихрома р = 1,2 мкОм-м.
812. В сосуд, содержащий массу воды /п=480г, поме-
щен электронагреватель мощности Л/=40 Вт. Насколько
изменилась температура воды в сосуде, если ток через
нагреватель проходил в течение времени т=21 мин? Удель-
ная теплоемкость воды с=4,2 кДж/(кг- К), теплоемкость
сосуда вместе с нагревателем Сс=100Дж/К.
813. Найти мощность N электронагревателя кастрюли,
если в ней за время т=20мин можно вскипятить объем воды
У=2 л. К.п.д. электронагревателя т|=70%. Удельная теп-
лоемкость воды с=4,2 кДж/(кг*К), начальная температура
воды А=20 °C.
814. Сколько времени надо нагревать на электроплитке
мощности Л/=600 Вт при к.п.д. т]=75% массу льда /ил =
=2 кг, взятого при температуре А=—16 °C, чтобы обратить
его в воду, а воду нагреть до температуры /2=100 °C?
Удельная теплоемкость льда сл=2,1 кДж/(кг-К),
139
удельная теплота плавления льда г=0,33 МДж/кг, удель-
ная теплоемкость воды с=4,2 кДж/(кг-К).
885. Какова должна быть длина нихромовой проволоки
диаметра 0=0,3 мм, чтобы при включении последовательно
с 40-ваттной лампочкой, рассчитанной па 127 В, проволока
давала нормальный накал при напряжении
V tв сети 17=220 В? Удельное сопротивление
* нихрома р = 1,2 мкОм-м.
816. Реостат с полным сопротивлении
Рис. 134. ем R подключен к сети с напряжением V
(рис. 134). Во сколько раз изменится
потребляемая от сети мощность, если движок реостата
переместить на 1/4 длины от его копна?
817. Найти к.п.д. насосной установки, которая подает
в единицу времени объем воды Кт=75 л/с на высоту Л =
=4,7 м через трубу, имеющую сечение 5=0,01 м2, если
мотор потребляет мощность /У=10 кВт.
818. Моторы электропоезда при движении со скоростью
и=54 км/ч потребляют мощность У=900 кВт. К.п.д. мо-
торов и передающих механизмов q =80%. Найти силу тяги
F, развиваемую моторами.
819. Железная и медная проволоки одинаковых длин
и сечений соединены последовательно и включены в сеть.
Найти отношение количеств теплоты, выделившихся в каж-
дой проволоке. Удельные сопротивления железа и меди
равны Pi=0,12 мкОм-м и р2=0,017 мкОм*м. Решить
эту же задачу для случая параллельного соединения
проволок.
820. Железная и медная проволоки одинаковых длин и
сечений включены в сеть на равные промежутки времени
сначала последовательно, затем параллельно. Найти отно-
шение количеств теплоты, выделившихся в проволоках
в обоих случаях, если по железной проволоке тек один
и тот же ток. Удельные сопротивления железа и меди р: =
=0,12мкОм*м и р2=0,017 мкОм-м.
821. За время 14=40 с в цепи из трех одинаковых про-
водников, соединенных параллельно и включенных в сеть,
выделилось некоторое количество теплоты. За какое время
т2 выделится такое же количество теплоты, если провод-
ники соединить последовательно?
822. Два одинаковых электронагревателя, потребляю-
щих каждый мощность Af=200 Вт при напряжении 17=
= 120 В, длинными и тонкими проводами подключены к ис-
точнику тока. Найти сопротивление проводов R, если при
последовательном и при параллельном соединениях нагре-
140
вателей они выделяют в единицу времени одно и то же
количество теплоты.
823. В электрочайнике с двумя нагревателями необхо-
димо нагреть объем воды 7=2 л от комнатной температуры
(/о=20 °C) до температуры кипения. Каждый нагреватель;
включенный в сеть отдельно, выделяет мощность
=250 Вт. Через какое время закипит вода, если ее подогре-
вать одним нагревателем или двумя, включенными в ту же
сеть последовательно или параллельно друг другу? К.п.д.
нагревателя т]=80%. Удельная теплоемкость воды с=
=4,2 кДж/(кг- К).
824. Электрочайник имеет в нагревателе две секции.
При включении первой секции вода в чайнике закипает за
время Т1=10мин, а при включении второй секции — за
время та=40 мин. Через какое время закипит вода, если
включить обе секции параллельно или последовательно?
825. Две лампы имеют одинаковые мощности. Одна из
них рассчитана на напряжение 71=120 В, другая — на на-
пряжение 7а=220 В. Во сколько раз отличаются сопро-
тивления ламп?
826. Какое сопротивление имеют 40- и 75-ваттные лам-
пы, рассчитанные на включение в сеть с напряжением V=
= 120 В? Какой ток течет через каждую лампу?
827. Какую мощность будет потреблять 25-ваттная лам-
почка, рассчитанная на напряжение 71=120 В, если ее
включить в сеть с напряжением 72=220 В?
828. 100-ваттная лампа включена в сеть с напряжением
7=120 В. Сопротивление лампы в накаленном состоянии
больше, чем в холодном (при температуре 4=0 °C), в 10 раз.
Найти температурный коэффициент сопротивления материа-
ла нити и сопротивление лампы в холодном состоянии,
если во время горения лампы температура нити /=2000 °C.
829. Найти сопротивление 100-ваттной лампы при ком-
натной температуре 4=20 °C, если при напряжении сети
7=220 В температура нити /=2800 °C. Температурный ко-
эффициент сопротивления материала нити а=4-10“3К-1.
830. К источнику тока с э.д.с. <£ = 140 В на расстоянии
/=400 м от него подключена лампа, рассчитанная на
напряжение 7=120 В и мощность N= 100 Вт. Как изменит-
ся падение напряжения на лампе, если параллельно ей
подключить вторую такую же лампу? Удельное сопротив-
ление провода р =0,028 мкОм-м, его сечение S = 1 мм2.
831. На какое расстояние I можно передавать электро-
энергию от источника тока с э.д.с. <£=5 кВ так, чтобы на
нагрузке с сопротивлением /? = 1,6 кОм выделялась
141
мощность /V=10kBt? Удельное сопротивление провода
р=0,017 мкОм-м, его сечение 5 = 1 мм2.
832. Под каким напряжением V нужно передавать элект-
роэнергию на расстояние /=10 км, чтобы при плотности
тока /=0,5 А/мм2 в стальных проводах двухпроводной
линии электропередачи потери в линии составляли 1%
передаваемой мощности? Удельное сопротивление стали
р=0,12 мкОм-м.
833. Цепь состоит из двух параллельно включенных
ламп мощности М=30 Вт каждая. Потери мощности в под-
водящих проводах составляют 10% полезной мощности.
Найти напряжение на зажимах источника тока, если он
обеспечивает в цепи ток 7=2 А.
834. От источника тока с напряжением К=750 В необ-
ходимо передать мощность /У=5 кВт на некоторое расстоя-
ние. Какое наибольшее сопротивление R может иметь линия
передачи, чтобы потери энергии в ней не превышали 10%
передаваемой мощности?
835. Какой наибольшей мощности электропечь можно
установить в конце двухпроводной линии, имеющей сопро-
тивление 7? = ЮОм, если источник тока развивает мощ-
ность М=6кВт при напряжении У=1 кВ?
836. Два параллельно соединенных резистора с сопро-
тивлениями 7?i=6 Ом и 7?2=12 0м подключены последова-
тельно с резистором, имеющим сопротивление 7? = 15 0м,
к зажимам генератора с э.д.с. <£=200 В и внутренним со-
противлением г=1 Ом. Найти мощность, выделяющуюся
на резисторе 7?г.
837. Элемент с э.д.с. tf = 12 В и внутренним сопротив-
лением г=4 Ом замкнут на сопротивление R =8 Ом. Какое
количество теплоты будет выделяться во внешней цепи
в единицу времени?
838. Найти полную мощность элемента при сопротив-
лении внешней цепи 7? =4 Ом, если внутреннее сопротив-
ление элемента г=2 Ом, а напряжение на его зажимах
К=6В.
839. Батарея элементов, замкнутая на сопротивление
7?i=2 Ом, дает ток 7j=l,6 А. Та же батарея, замкнутая на
сопротивление /?2=1 Ом, дает ток /2=2 А. Найти мощ-
ность, теряемую внутри батареи во втором случае.
840. Найти э.д.с. £ и внутреннее сопротивление г ак-
кумулятора, если при токе /! = 15 А он отдает во внешнюю
цепь мощность Л\= 135 Вт, а при токе /2=6 А — мощность
ЛГ2=64,8 Вт.
841. К источнику тока с э.д.с. <£=8 В подключена на-
142
грузка. Напряжение на зажимах источника И=6,4 В. Най-
ти к.п.д. схемы.
842. Найти к.п.д. схемы, изображенной на рис. 135.
Сопротивления резисторов Ri=2 Ом и /?а=5 Ом, внутрен-
нее сопротивление источника тока г— _____________
=0,5 Ом.
843. Найти к.п.д. схемы, в которую [—; ,
включен элемент с э.д.с. S и внутренним р?
сопротивлением г, если ток в цепи равен /. г
Выразить к.п.д.: через S, г и /; через сопро- ---------il---
тивление внешней цепи R и внутреннее со- р
противление элемента г; через э.д.с. элемен- ис'
та S и напряжение на его зажимах V.
844. Найти ток / в цепи аккумулятора с э.д.с. £~
=2,2 В, если сопротивление внешней цепи /?=0,5Ом
и к.п.д. схемы т|=65%.
845. Найти внутреннее сопротивление аккумулятора г,
если при замене внешнего сопротивления /?т=3 Ом на Ri=
= 10,5 Ом к.п.д. схемы увеличился вдвое.
846. Батарея из п=6 последовательно включенных эле-
ментов с одинаковыми э.д.с. <£=1,5 В питает током /=
=0,28 В две последовательно включенные лампы с сопро-
тивлением /? = 12,5 Ом каждая. Найти к.п.д. батареи и внут-
реннее сопротивление элемента.
847. При включении электромотора в сеть с напряжени-
ем V=120 В он потребляет ток /=15 А. Найти мощность,
потребляемую мотором, и его к.п.д., если сопротивление
обмотки мотора /? = 1 Ом.
848. Найти зависимость: мощности выделяемой во
внешней цепи, мощности Ni, выделяемой внутри источника
тока, а также полной мощности N=Ni-\-Ni, развиваемой
источником, от сопротивления внешней цепи R. Построить
графики этих зависимостей. Э.д.с. источника ^ = 15 В, его
внутреннее сопротивление г=2,5 Ом.
849. Найти сопротивление Ri внешней цепи элемента,
при котором мощность N, потребляемая во внешней цепи,
такая же, как и при сопротивлении 7?а=10 Ом. Внутреннее
сопротивление элемента г=2,5 Ом.
850. К аккумулятору с внутренним сопротивлением
г=1 Ом подключен нагреватель с сопротивлением R =
=8 Ом. Затем параллельно с первым подключили второй
такой же нагреватель. Найти отношение количеств теплоты,
выделяющихся в единицу времени во внешней цепи.
851. К источнику тока с внутренним сопротивлением
г=1 Ом подключаются два резистора с сопротивлением
143
/?=0,5 Ом каждый. Один раз резисторы подключаются по-
следовательно, другой раз — параллельно. Найти отноше-
ние мощностей, выделяющихся во внешней цепи в обоих
случаях.
852. Батарея состоит из параллельно соединенных эле-
ментов с э.д.с. <£=5,5 В и внутренним сопротивлением г=
=5 Ом. При токе во внешней цепи /=2 А полезная мощ-
ность N=1 Вт. Сколько элементов имеет батарея?
853. Нагреватель, имеющий сопротивление 7?=25 Ом,
питается от двух одинаковых аккумуляторов с внутренним
сопротивлением г=ЮОм. Параллельно или последова-
тельно следует соединить аккумуляторы, * чтобы получить
в нагревателе большую мощность?
854. Электровоз массы т=300 т движется вниз по горе
со скоростью ц=36 км/ч. Уклон горы а=0,01, сила сопро-
тивления движению электровоза составляет 3% от дейст-
вующей на него силы тяжести. Какой ток протекает через
мотор электровоза, если напряжение в сети К=3 кВ и к.п.д.
электровоза т]=80%?
855. Из одного пункта в другой передается электроэнер-
гия, питающая установку мощности М=62 кВт. Сопро-
тивление проводов линии R =5 Ом. Найти падение напря-
жения в линии, потери мощности в ней и к.п.д. передачи,
если передача осуществляется при напряжениях Vt =
=6200 В и У2=620 В.
856. Какое сопротивление R должен иметь резистор из
нихромовой проволоки, включенный последовательно с лам-
пой, чтобы лампа горела нормальным накалом при напря-
жении У=220 В, если лампа рассчитана на напряжение VQ=
= 120 В при мощности W=60 Вт? Найти длину I проволоки,
если ее удельное сопротивление р = 1,0 мкОм-м, а ее се-
чение S =0,5 мм.
857. Найти мощность Л7, выделяющуюся во внешней
цепи, состоящей из двух резисторов с сопротивлением R
каждый, если на резисторах выделяется одна и та же мощ-
ность как при последовательном, так и при параллельном
соединении. Э.д.с. источника тока <£ = 12 В, его внутреннее
сопротивление г=2 Ом.
858. Какую мощность Л/ потребляет схема, изображен-
ная на рис. 136? Э.д.с. элемента <£ = 12 В, его внутрен-
нее сопротивление г=0,4 Ом. Сопротивления резисторов
Ал=2 Ом, 7?з=4 Ом, 7?й=3 Ом, Т?4=6 Ом и
7?3 = 10 Ом.
859. Три одинаковых элемента с э.д.с. <£ и резисторы
с сопротивлением 7? каждый включены в цепь, изображен-
144
ную на рис. 137. Найти мощность, выделяющуюся на всех
сопротивлениях схемы.
860. Для составления елочной гирлянды имеется
=И0 лампочек мощности W=2 Вт при номинальном напря-
жении 1Л =4 В и некоторое число лампочек, имеющих ту же
мощность при номинальном напряжении К2=8 В. Какое
минимальное число п2 8-вольтовых лампочек нужно взять,
чтобы, добавив их к десяти 4-вольтовым, составить гирлян-
ду для включения в сеть с напряжением Ко=12О В?
861. Источник тока замыкают первый раз на сопротив-
ление Rt=9 Ом, второй раз — на сопротивление 7?2=4 Ом.
Оба раза за одно и то же время на сопротивлениях выделяет-
ся одно и то же количество теплоты. Найти внутреннее
сопротивление г источника.
862. При одном и том же напряжении одна лампа по-
требляет мощность, в два раза большую, чем другая. Найти
мощности и N2, потребляемые каждой лампой при их
последовательном включении в цепь, если вместе они в этом
случае потребляют мощность N.
863. От источника тока необходимо передать потреби-
телю мощность А/о=4 кВт. Сопротивление подводящих
проводов R =0,4 Ом. Какое напряжение должно быть на
зажимах источника, чтобы потери мощ-
ности в проводах составляли 4% по-
требляемой мощности?
864. Конденсатор емкости Ci, имею-
щий заряд qu соединяют через резистор
с конденсатором емкости С2, имеющим
заряд 7з- Какое количество теплоты Q
выделяется на резисторе? Соединяются
противоположно заряженные обкладки.
865. Найти энергию W батареи кон-
v '' 65 6л
—р----
Рис. 138.
денсаторов, изображенной на рис. 138, при разомкнутом и
замкнутом ключе/\. Емкости конденсаторов Ci=C, С2 =
==2С, С3=С72, С4=С. Э.д.с. источника тока равна <£.
Ю Г. А. Бендриков и др.
145
§ 22. Электролиз. Законы Фарадея
Электролизом называется выделение вещества на электродах, по-
груженных в раствор или расплав электролита, при прохождении тока.
Масса т выделившегося при электролизе вещества согласно первому
закону Фарадея пропорциональна заряду q} прошедшему через
раствор или расплав электролита:
tn. = kq = kli;,
где I — ток в цепи, т — время его прохождения, га коэффициент про-
порциональности различный для разных веществ, носит название
электрохимического эквивалента и выражается в килограммах на ку-
лон (кг/Кл).
Согласно второму закону Фарадея электрохимиче-
ский эквивалент вещества прямо пропорционален молярной массе р,
этого вещества и обратно пропорционален его валентностям z:
где химический эквивалент вещества A=p,/z выражается в килограммах
на моль (кг/моль). Постоянная Фарадея F (в кулонах на моль) имеет для
всех веществ одно и то же значение и равна произведению постоянной
Авогадро Nj на элементарный электрический заряд е:
F =/V ^6 = 96 484,56 Кл/моль»9,65-Ю4 Кл/моль.
Эта постоянная показывает, какой заряд должен пройти через раствор
электролита для того, чтобы на электроде выделилась масса вещества,
численно равная его химическому эквиваленту.
Подставив в формулу первого закона Фарадея выражение для k,
получим объединенный закон Фарадея:
I1 7
bz
866. Найти электрохимический эквивалент натрия. Мо-
лярная масса натрия (г=0,023 кг/моль, его валентность
z=l. Постоянная Фарадея F=9,65-104 Кл/моль.
867. Цинковый анод массы /72=5 г поставлен в электро-
литическую ванну, через которую проходит ток 7=2 А.
Через какое время т анод полностью израсходуется на по-
крытие металлических изделий? Электрохимический экви-
валент цинка 6=3,4-10~7 кг/Кл.
868. Найти постоянную Фарадея, если при прохожде-
нии через электролитическую ванну заряда 7=7348 Кл на
катоде выделилась масса золота /и=5 г. Химический экви-
валент золота А=0,066 кг/моль.
146
869. Найти элементарный электрический заряд е, если
масса вещества, численно равная химическому эквиваленту,
содержит N0=Na/z атомов или молекул.
870. Молярная масса серебра pi=0,108 кг/моль, его
валентность zx=l и электрохимический эквивалент &х=
= 11,18-IO’7 кг/Кл. Найти электрохимический эквивалент
золота k2, если молярная масса золота р2=0,197 кг/моль,
его валентность z2=3.
871. Найти массы веществ, выделившихся за время
т = 10 ч на катодах трех электролитических ванн, включен-
ных последовательно в сеть постоянного тока. Аноды в ван-
нах — медный, никелевый и серебряный — опущены соот-
ветственно в растворы CuSO4, NiSO4 и AgNO3. Плотность
тока при электролизе /=40 А/м2, площадь катода в каждой
ванне 5=500 см2. Электрохимические эквиваленты меди,
никеля и серебра Лх=3,3-10“7 кг/Кл, &2=3-10“7 кг/Кл и
£3 = 11,18-10”7 кг/Кл.
872. При никелировании изделий в течение времени
т=2 ч отложился слой никеля толщины /=0,03 мм. Найти
плотность тока при электролизе. Электрохимический экви-
валент никеля k=3’ 10”7 кг/Кл, его плотность у=8,9Х
X 103 кг/м3.
873. Амперметр, включенный последовательно с элект-
ролитической ванной, показывает ток /0=1,5 А. Какую
поправку надо внести в показание амперметра, если за
время т=10мин на катоде отложилась масса меди /п=
=0,316 г? Электрохимический эквивалент меди £=3,ЗХ
X10”7 кг/Кл.
874. Желая проверить правильность показаний вольт-
метра, его подключили параллельно резистору с известным
сопротивлением /?=ЗООм. Последовательно в общую цепь
включили электролитическую ванну, в которой ведется
электролиз серебра. За время т=5 мин в этой ванне вы-
делилась масса серебра т=55,6 мг. Вольтметр показывал
напряжение V0=6 В. Найти разность между показанием
вольтметра и точным значением падения напряжения на
резисторе. Электрохимический эквивалент серебра
k=l 1,18Х 10“7 кг/Кл.
875. Для серебрения ложек через раствор соли серебра
в течение времени т=5 ч пропускается ток /=1,8 А. Като-
дом служат п = 12 ложек, каждая из которых имеет пло-
щадь поверхности 5=50 см2. Какой толщины слой серебра
отложится на ложках? Молярная масса серебра ц =
=0,108 кг/моль, его валентность ?=1 и плотность у=
= 10,5-103 кг/м3.
147
876. Две электролитические ванны включены последо-
вательно. В первой ванне находится раствор хлористого
железа (FeCl2), во второй — раствор хлорного железа
(FeCl3). Найти массы выделившегося железа на катодах
и хлора на анодах в каждой ванне при прохождении через
ванну заряда 7=9,65-107 Кл. Молярные массы железа
и хлора аиж=55,85-10“3 кг/моль и рх=35,357-10"3 кг/моль.
877. При электролизе раствора серной кислоты (CuSOj)
расходуется мощность N=37 Вт. Найти сопротивление
электролита, если за время т=50 мин выделяется масса
водорода т=0,3 г. Молярная масса водорода |Л=
=0,001 кг/моль, его валентность z—l.
878. При электролитическом способе получения никеля
на единицу массы расходуется Wm=10 кВт-ч/кг электро-
энергии. Электрохимический эквивалент никеля 6=1,08Х
X 10"3 кг/(А-ч). При каком напряжении производится
электролиз?
879. Найти массу выделившейся меди, если для ее по-
лучения электролитическим способом затрачено W=
=5 кВт-ч электроэнергии. Электролиз проводится при на-
пряжении У=10 В, к.п.д. установки т)=75%. Электро-
химический эквивалент меди k=3,3- Ю"7 кг/Кл.
880. Какой заряд проходит через раствор серной кис-
лоты (CuSO4) за время т=10 с, если ток за это время равно-
мерно возрастает от /х=0 до /2=4 А? Какая масса меди
выделяется при этом на катоде? Электрохимический экви-
валент меди 6=3,3-10"7 кг/Кл.
881. При рафинировании меди с помощью электролиза
к последовательно включенным электролитическим ваннам,
имеющим общее сопротивление /?=0,5Ом, подведено на-
пряжение V=10 В. Найти массу чистой меди, выделившей-
ся на катодах ванны за время 2=10 ч. Э.д.с. поляризации
<£=6 В. Электрохимический эквивалент меди 6=3,3 X
ХЮ"7 кг/Кл.
882. При электролизе воды через электролитическую
ванну в течение времени т=25 мин шел ток Z=20 А. Какова
температура t выделившегося кислорода, если он находится
в объеме 1/=1 л под давлением р=0,2МПа? Молярная
масса воды рь=0,018 кг/моль. Электрохимический эквива-
лент кислорода 6=8,29-10"8 кг/Кл.
883. При электролитическом способе получения алюми-
ния на единицу массы расходуется =50 кВт-ч/кг элект-
роэнергии. Электролиз проводится при напряжении 1/х=
= 16,2 В. Каким будет расход электроэнергии W2fn на еди-
ницу массы при напряжении V2=8,l В?
148
§ 23. Магнитное поле тока.
Электромагнитная индукция
Вокруг проводников с током и постоянных магнитов образуется
магнитное поле. При помещении в магнитное поле проводника с током
па отрезок проводника действует сила, зависящая от ориентации отрезка
р пространстве, пропорциональная длине этого отрезка и току в нем.
Магнитное поле характеризуется магнитной индукцией В. Магнит-
ная индукция В направлена вдоль отрезка проводника с током, если
этот отрезок ориентирован так, что на него со стороны магнитного поля
не действует сила. Если магнитная индукция В перпендикулярна к на-
правлению отрезка, то модуль магнитной индукции
В = ^гпах/
где 7 — длина отрезка проводника, / — ток, текущий в нем, F^* —
максимальная сила, действующая на отрезок проводника в магнитном
поле.
В системе единиц СИ, когда сила выражается в ньютонах, ток —
в амперах, а длина — в метрах, единицей магнитной индукции является
тесла (Тл).
Если в некоторой области пространства известна магнитная индук-
ция, то на помещенный в этой области отрезок проводника длины Z,
по которому течет ток /, действует со стороны магнитного поля сила
F = IBl sin а, (16)
где а — угол между направлением магнитной индукции и отрезком про-
водника. Направление этой силы определяется правилом левой
руки. Заметим также, что это правило может служить и для опреде-
ления направления магнитной индукции, если известны направление
силы, действующей на отрезок проводника с током, и направление тока.
Вспомогательной величиной, характеризующей магнитное поле,
является напряженность магнитного поля //. Модуль и направление на-
пряженности магнитного поля в данной точке пространства могут быть
найдены, если известны форма, размеры и расположение контура, по
которому течет ток, создающий магнитное поле, и сам этот ток. В част-
ности. модуль напряженности магнитного поля, создаваемого очень
длинным прямолинейным проводником, по которому течет ток /, в
точках, лежащих на расстояниях г от проводника, выражается в виде
Я = //2лг. (17)
В этом случае линии индукции магнитного поля (линии, направление
касательной к которым в любой точке совпадает с направлением магнит-
ной индукции В в этой точке) представляют собой окружности с цент-
рами на проводнике, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к про-
воднику.
149
В системе единиц СИ единицей напряженности магнитного поля
является ампер на метр (А/м).
Если известна напряженность магнитного поля Н1 то магнитную
индукцию В можно найти по формуле
В = (18)
Здесь ро=4л>10“7 Гн/м= 12,56-10~7 Гн/м — магнитная постоянная,
а ц — относительная (безразмерная) магнитная проницаемость вещества
(относительно магнитной проницаемости вакуума), значения которой
приводятся в таблицах. Для вакуума ц=1; для всех веществ, кроме
ферромагнетиков (железа, никеля, кобальта и некоторых сплавов), ц
очень мало отличается от единицы. Для ферромагнетиков ц сильно за-
висит от напряженности магнитного поля Н и может достигать десятков
тысяч.
Из формулы (18) следует, что в системе единиц СИ величины Н и В
имеют разные размерности и их числовые значения различны.
Магнитным потоком (потоком магнитной индукции) через некото-
рую поверхность площади S называется величина
Ф = В$ cos а,
где а — угол между направлением магнитной индукции В и нормалью
(перпендикуляром) к поверхности. При этом подразумевается, что вели-
чина В cos а во всех точках поверхности одна и та же. При поверхно-
стях сложной формы, как, например, поверхность, ограниченная витка-
ми катушки, следует найти потоки через отдельные участки поверхности
(через поверхности, ограниченные отдельными витками), а затем сло-
жить эти потоки. В системе единиц СИ единицей магнитного потока яв-
ляется вебер (Вб): 1 Вб=1 Тл»м2.
Если магнитное поле вызвано током /, протекающим по какому-
либо контуру, то магнитный поток через поверхность, ограниченную
этим контуром, пропорционален току:
Ф = £Д (19)
где L — индуктивность контура, которая зависит от геометрических
свойств (формы и размеров) контура и магнитных свойств (магнитной
проницаемости) окружающей среды. В системе единиц СИ индуктив-
ность выражается в генри (Гн).
При изменении магнитного потока через поверхность, ограничен-
ную некоторым контуром, в этом контуре индуцируется э.д.с.
(э.д.с. индукции), равная скорости изменения магнитного потока:
^ = -ДФ/ДЛ (20)
где ДФ — изменение магнитного потока, Д/ — промежуток времени,
в течение которого произошло это изменение, а знак минус отражает
правило Ленца, согласно которому индуцируемая в контуре э. д. с,
150
вызывает ток такого направления, что магнитное поле этого тока пре-
пятствует изменению магнитного потока. В большинстве случаев при
числовых расчетах этот знак может быть опущен.
При движении в магнитном поле незамкнутого проводника в этом
проводнике индуцируется э. д. с., которая может быть найдена по фор-
муле (20), если считать, что ДФ — поток через д
площадь, «заметаемую» проводником за время Д/
(на рис. 139 площадь S, «заметаемая» провод-
пиком ab при его перемещении из положения 1 1
в положение 2, заштрихована). В этом случае
ток в проводнике не возникает, но между кон-
нами проводника появляется разность потен- рис ^9
циалов, равная э. д. с. индукции
Если магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром,
изменяется вследствие изменения тока, протекающего по этому контуру,
то в контуре индуцируется э. д. с., которую называют э. д. с. самоин-
дукции. При постоянной индуктивности L (т. е. при неизменных магнит-
ной проницаемости среды, размерах и форме контура) э, д. с, самоин-
дукции
& = — ДФ/Д/ = — АД//Д/,
где Д7 — изменение тока за время Д/.
884. Индукция однородного магнитного поля В =2 Тл.
Найти напряженность магнитного поля *).
885. Напряженность однородного магнитного поля длин-
ного соленоида Н=1пН. Найти магнитную индукцию в же-
лезном сердечнике соленоида, если длина соленоида 1=
=50 см, число витков п=500, ток 7=10 А. Магнитная
проницаемость железа р=5000.
886. Найти магнитную проницаемость железа, если на-
пряженность магнитного поля в железе /7=800 А/м, а маг-
нитная индукция В=5 Тл.
887. Прямой проводник длины 1=1 см расположен пер-
пендикулярно к линиям индукции в однородном поле. Ка-
кая сила действует на проводник, если по нему идет ток
/=1 А, а магнитная индукция В = 10мТл?
888. Прямой проводник ab длины /=0,2 м и массы т=
=5 г подвешен горизонтально на двух невесомых нитях оа
и ob в однородном магнитном поле. Магнитная индукция
В=49 мТл и перпендикулярна к проводнику (рис. 140) **).
*) Здесь и далее, где это не оговорено в условии задачи, магнитная
проницаемость среды и в формульные выражения не входит.
**) Кружок с точкой означает, что индукция направлена на чита-
теля перпендикулярно к плоскости рисунка, в которой лежат векторы
/ и F,
151
7//^///////////////////7
0
0
В®
7
Т
г
Ъ
а
тд
Рис. 140.
Какой ток надо пропустить через про-
водник, чтобы одна из нитей разорва-
лась, если нить разрывается при на-
грузке, равной или превышающей Mg=
=39,2 мН?
889. На прямой проводник длины
Z=0,5 м, расположенный перпендику-
лярно к линиям индукции магнитного
поля, действует сила F=0,15 Н. Найти
ток /, протекающий в проводнике, если
магнитная индукция В=20мТл.
890. Между полюсами магнита подвешен горизонтально
на двух невесомых нитях прямой проводник длины /=
=0,2 м и массы т=10г. Индукция однородного магнит-
ного поля В=49мТл и перпендикулярна к проводнику.
На какой угол а от вертикали отклонятся нити, поддержи-
вающие проводник, если по нему пропустить ток /=2 А?
891. Найти напряженность Н и индукцию В магнитного
поля прямого тока в точке, находящейся на расстоянии г=
=4 м от проводника, если ток 7=100 А.
892. ГОСТ 8.417—81 дает такое определение единицы
силы тока — ампера: «Ампер равен силе неизменяющегося
тока, который при прохождении по двум параллельным
прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтож-
но малой площади кругового поперечного сечения, распо-
ложенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого,
вызвал бы на каждом участке проводника длины 1 м силу
взаимодействия, равную 2-Ю"7 Н». Исходя из этого опре-
деления, вычислить магнитную постоянную р0.
893. Найти силу взаимодействия, приходящуюся на
единицу длины проводов воздушной линии электропере-
дачи, если ток в линии /=500 А, а расстояние между про-
водами г=50 см.
894. Индукция однородного магнитного поля В=0,5 Тл.
Найти магнитный поток через площадку S=25cm2, распо-
ложенную перпендикулярно к линиям индукции. Чему
будет равен магнитный поток, если площадку повернуть
на угол ср=60° от первоначального положения?
895. Найти магнитную индук-
цию и магнитный поток через попе-
речное сечение никелевого сердеч-
ника соленоида (рис. 141), если
напряженность однородного маг-
нитного поля внутри соленоида
Н=25 кА/м. Площадь поперечного
Рис. 141,
152
сечения сердечника S=20cm2, магнитная проницаемость
никеля р,=200.
896. Магнитный поток через поперечное сечение катуш-
ки, имеющей п = 1 000 витков, изменился на величину ДФ=
=2 мВб в результате изменения тока в катушке от Л =4 А
д0 /2=20 А. Найти индуктивность L катушки.
897. Виток площади S=2cm2 расположен перпендику-
лярно к линиям индукции однородного магнитного поля.
Найти индуцируемую в витке э.д.с., если за время А/=
=0,05 с магнитная индукция равномерно убывает от Bt=
=0,5 Тл до В2=0,1 Тл.
898. Какой магнитный поток пронизывал каждый виток
катушки, имеющей п = 1000 витков, если при равномерном
исчезновении магнитного поля в течение времени А/=0,1 с
в катушке индуцируется э.д.с. <£ = 10 В?
899. Рамка в форме равностороннего треугольника по-
мещена в однородное магнитное поле с напряженностью
//=64 кА/м. Нормаль к плоскости рамки составляет с ли-
ниями индукции магнитного поля угол а=30°. Найти длину
стороны рамки а, если в рамке при выключении поля в те-
чение времени А/=0,03 с индуцируется э.д.с.
= 10 мВ.
900. Квадратная рамка со стороной а=10с*м помещена
в однородное магнитное поле. Нормаль к плоскости рамки
составляет с линиями индукции магнитного поля угол а=
=60°. Найти магнитную индукцию В этого поля, если в рам-
ке при выключении поля в течение времени Д/=0,01 с
индуцируется э.д.с. <£=50 мВ.
901. Плоский виток площади 5 = 10 см2 помещен в од-
нородное магнитное поле перпендикулярно к линиям ин-
дукции. Сопротивление витка /? = 1 Ом. Какой ток / про-
течет по витку, если магнитная индукция поля будет убы-
вать со скоростью ДВ/Д/=0,01 Тл/с?
902. Плоский виток площади S = 10cm2 помещен в од-
нрродное магнитное поле с напряженностью Н=80 кА/м,
перпендикулярное к линиям индукции. Сопротивление вит-
ка R = 1 Ом. Какой заряд протечет по витку, если поле бу-
дет исчезать с постоянной скоростью?
903. Какова индуктивность катушки с железным сер-
дечником, если за время Д/=0,5 с ток в цепи изменился от
/1=10 Адо /2=5 А, а возникшая при этом э.д.с. самоиндук-
ции <£=25 В?
904. Проводник длины 1=2 м движется в однородном
магнитном поле со скоростью у=5 м/с, перпендикулярной
к проводнику и линиям индукции поля. Какая э.д.с.
153
индуцируется в проводнике, если магнитная индукция
В=0,1 Тл?
905. Самолет летит горизонтально со скоростью
=900 км/ч. Найти разность потенциалов, возникающую меж-
ду концами крыльев самолета, если вертикальная состав-
ляющая индукции земного магнитного поля Во=О,5мкТл
и размах крыльев самолета /=12м.
906. С какой скоростью должен двигаться проводник
длины Z = 10 см перпендикулярно к линиям индукции одно-
родного магнитного поля, чтобы между концами проводника
возникла разность потенциалов 7=0,01 В? Скорость про-
водника составляет с направлением движения проводника
угол а=30°. Линии индукции перпендикулярны к про-
воднику, индукция В = 0,2 Тл.
907. Какой ток идет через гальванометр, присоединен-
ный к железнодорожным рельсам, при приближении к нему
поезда со скоростью а=60 км/ч? Вертикальная составляю-
щая индукции земного магнитного поля Во=5О мкТл.
Сопротивление гальванометра R = 100 Ом. Расстояние меж-
ду рельсами Z=l,2 м; рельсы считать изолированными
друг от друга и от земли.
908. Квадратная рамка со стороной /=2см помещена
в однородное магнитное поле с индукцией В = 100 Тл. Пло-
скость рамки перпендикулярна к линиям индукции поля.
Сопротивление рамки /? = 1 Ом. Какой ток протечет по
рамке, если ее выдвигать из магнитного поля со скоростью
а=1 см/с, перпендикулярной к линиям индукции? Поле
имеет резко очерченные границы, и стороны рамки парал-
лельны этим границам.
909. Проволочный виток площади S = 1 см2, имеющий
сопротивление /? = 1 мОм, пронизывается однородным маг-
нитным полем, линии индукции которого перпендикулярны
к плоскости витка. Магнитная индукция изменяется со
скоростью ДВ/Д/=0,01 Тл/с. Какое количество теплоты
выделяется в витке за единицу времени?
910. Прямоугольная рамка, подвижная сторона кото-
рой имеет длину Z, помещена в однородное магнитное поле
с индукцией В. Плоскость рамки перпендикулярна к лини-
ям индукции магнитного поля. Подвижную сторону, кото-
рая вначале совпадает с противоположной ей неподвижной,
начинают двигать равномерно со скоростью v. Найти зави-
симость тока / в рамке от времени Z. Сопротивление единицы
длины проводника равно
911. Два параллельных, замкнутых на одном конце
провода, расстояние между которыми /=50см, находятся
154
в однородном магнитном поле с индукцией В=5 мТл. Пло-
скость, в которой расположены провода, перпендикулярна
к линиям индукции поля. На провода положен металличе-
ский мостик, который может скользить по проводам без
трения. Мостик под действием силы F=0,l мН движется
со скоростью ц=10м/с. Найти сопротивление R мостика.
Сопротивлением проводов пренебречь.
912. Рамка из п=1000 витков, имеющих площадь 5 =
=5 см2, замкнута на гальванометр с сопротивлением /? =
= 10 кОм и помещена в однородное магнитное поле с индук-
цией В = 10мТл, причем линии индукции поля перпенди-
кулярны к ее плоскости. Какой заряд q протечет по цепи
гальванометра, если направление индукции магнитного
поля плавно изменить на обратное?
913. Замкнутая катушка диаметра D с числом витков п
помещена в однородное магнитное поле с индукцией В.
Плоскость катушки перпендикулярна к линиям индукции
поля. Какой заряд q протечет по цепи катушки, если ее
повернуть на 180°? Проволока, из которой намотана ка-
тушка, имеет площадь сечения S и удельное сопротивле-
ние р.
914. В цепь включены последовательно источник тока
с э.д.с. <£ = 1,2 В, реостат с сопротивлением = 1 Ом и ка-
тушка с индуктивностью L = 1 Гн. В цепи протекал постоян-
ный ток /0. С некоторого момента сопротивление реостата
начинают менять так, чтобы ток уменьшался с постоянной
скоростью А//А/=0,2 А/с. Каково со-
противление Rt цепи спустя время t==
=2 с после начала изменения тока? f
915. Какой ток / покажет амперметр / \
в схеме, изображенной на рис. 142,
если индукция перпендикулярного к \ J
плоскости рисунка однородного магнит-
ного поля меняется с течением времени '
по закону В=№ Точки с и d лежат на Рис? 142,
концах диаметра проволочного кольца.
Сопротивление единицы длины проволоки равно R^ диа-
метр кольца равен D.
916. Квадратная рамка со стороной я=1 см помещена
в однородное магнитное поле с индукцией В = 10мТл так,
что две стороны рамки перпендикулярны к линиям индук-
ции поля, а нормаль к плоскости рамки образует с ними
угол а=30°. Найти момент сил М, действующий на рамку,
если по ней протекает ток /=0,1 А.
917. Пятиугольная рамка abcde, изображения на
155
Рис. 143.
рис. 143, движется в однородном
вертикальном магнитном поле со
скоростью у, перпендикулярной к
линиям индукции поля и стороне
рамки ab. Магнитная индукция
поля равна В. Найти э.д.с.^ ин-
дуцируемую в рамке, и ток в ней.
918. С какой угловой скоро-
стью надо вращать прямой про-
водник длины г=20 см вокруг одного из его концов в
плоскости, перпендикулярной к линиям индукции одно-
родного магнитного поля, чтобы в проводнике индуцирова-
лась э.д.с. £=0,3 В? Магнитная индукция поля В=0,2 Тл.
§ 24. Переменный электрический ток
Частота колебаний /, период Т и круговая частота со переменного
тока связаны' соотношениями
(й = 2л/Т = 2л{.
В случае так называемых синусоидальных переменных токов при
мгновенных значениях э. д. с. в контуре
(£ = (£081П (со/ + <р)
или при напряжении (на концах участка цепи)
V = Vosin (со/ + ф) (21)
мгновенные значения тока в этом контуре (на этом участке цепи)
I = sin cot (22)
Здесь Vo и /0— амплитудные (наибольшие) значения э. д. с., напря-
жения и тока, ф — начальная фаза э. д. с. (или напряжения). Началь-
ная фаза тока принята равной нулю.
При последовательном включении в цепь переменного тока провод-
ника с активным сопротивлением /?, катушки с индуктивным сопро-
тивлением %£=со/> и конденсатора с ем-
костным сопротивлением Хс=1/соС
(рис. 144) полное сопротивление цепи
Z = K/?2+(coL —1/а>С)г. (23)
Между амплитудными значениями тока в
этой цепи и напряжением на ее концах
существует связь, аналогичная закону Ома:
/0 = V0/Z.
В этом случае сдвиг фаз между напряжением и током (он равен началь-
ной фазе напряжения, если мгновенные значения напряжения и тока
156
8
Рис. 144.
определяются формулами (21) и (22)) можно найти из выражения
. coL—1/соС
tgT =------. (24)
Если в цепи отсутствует сопротивление /? или индуктивность L, то
в формулах (23) и (24) их следует положить равными нулю. При отсут-
ствии же конденсатора емкость С цепи следует считать бесконечно боль-
шой-
Эффективные значения тока, напряжения и э. д. с. связаны с их
амплитудными значениями соотношениями
7э=/и//2, V8 = V0/K2, ^ = ^0/^2.
Если мгновенные значения напряжения и тока на участке цепи оп-
ределяются формулами (21) и (22), то средняя мощность, выделяемая на
этом участке,
N = cos = cos (Р»
где cos <р — коэффициент мощности.
При прохождении по проводнику с сопротивлением 7? переменного
тока в течение времени т выделяется количество теплоты
На индуктивном и емкостном сопротивлениях тепло не выделяется.
При преобразовании переменного тока с помощью трансформатора,
в котором можно пренебречь рассеянием магнитного потока и током
в первичной обмотке при разомкнутой вторичной (током холостого хода),
токи 11 и /2 в обмотках обратно пропорциональны числам и w2 витков
обмоток:
lill2 = w2lwi = k.
Величина k носит название коэффициента трансформации.
Э. д. с. Si и S& индуцируемые в обмотках изменяющимся маг-
нитным потоком, прямо пропорциональны числам витков:
Sll<§2=WllW2-
Трансформатор, сопротивление обмоток которого мало по сравне-
нию с индуктивным сопротивлением, имеет к. п. д., близкий к единице.
Для такого трансформатора liS\~lz$b т. е. мощность тока во вторич-
ной цепи равна мощности тока в первичной цепи.
919. Прямоугольная рамка площади 5 = 100 см2 враща-
ется в горизонтальном однородном магнитном поле с часто-
той п=50 об/с (рис. 145). Магнитная индукция поля В =
=0,2 Тл. Найти закон изменения магнитного потока через
157
рамку в зависимости от времени /, если в
В tiT*— начальный момент времени плоскость рам-
. , ки: а) расположена горизонтально; б) со-
Л—>— ставляет с горизонтальной плоскостью
угол ср=30°.
Рис. 145. 920. В условиях задачи 919 найти ам-
плитуду э. д. с., индуцируемой в рамке.
Как изменится амплитуда э.д.с., если частоту вращения
рамки увеличить в три раза?
921. Найти максимальный магнитный поток через пря-
моугольную рамку, вращающуюся в однородном магнитном
поле с частотой я=10об/с, если амплитуда индуцируемой
в рамке э.д.с. <£0=3 В (рис. 145).
922. Найти частоту вращения прямоугольной рамки в
однородном магнитном поле с индукцией В=0,5Тл, если
амплитуда индуцируемой в рамке э.д.с. <£0=Ю В (рис. 145).
Площадь рамки 5=200 см2, число витков рамки до=20.
923. Напряжение на концах участка цепи, по которому
течет переменный ток, изменяется с течением времени по
закону V = Vosin(со/ + л/6), где ср = л/6—начальная фаза
напряжения. В момент времени /=7/12 мгновенное значе-
ние напряжения У=10 В. Найти амплитуду напряжения Ко,
круговую частоту со и частоту f тока, если период колеба-
ний 7=0,01 с. Представить графически зависимость нап-
ряжения от времени /.
924. Найти индуктивность катушки, если амплитуда
напряжения на ее концах Ко=16О В, амплитуда тока в ней
/о=1ОА и частота тока /=50 Гц.
925. Индуктивное сопротивление катушки Х£=500 Ом,
эффективное напряжение сети, в которую включена катуш-
ка, Ve=100 В, частота тока /=1 кГц. Найти амплитуду
тока в цепи и индуктивность катушки.
926. Найти сдвиг фаз <р между напряжением V=
= y0sin(co/+cp) и током /=/osin со/ для цепи, состоящей из
последовательно включенных резистора с сопротивлением
/? = 1 кОм, катушки с индуктивностью L=0,5 Гн и конден-
сатора с емкостью С=1 мкФ. Найти мощность, выделяемую
в цепи, если амплитуда напряжения Го=1ООВ, а частота
тока /=50 Гц.
927. В цепь последовательно включены резистор с со-
противлением /? = 1 кОм, катушка с индуктивностью L =
=0,5 Гн и конденсатор с емкостью С=1 мкФ. Найти индук-
тивное сопротивление XL, емкостное сопротивление Хс
и полное сопротивление Z цепи при частотах тока А=50 Гц
и /2=Ю кГц.
158
928. К зажимам генератора присоединен конденсатор
с емкостью С=0,1 мкФ. Найти амплитуду напряжения на
зажимах, если амплитуда тока 70=2,2 А, а период тока Т=
=0,2 мс.
929. В сеть переменного тока с эффективным напряже-
нием Гэ=127 В последовательно включены резистор с со-
противлением 7? = ЮООм и конденсатор с емкостью С=
==40 мкФ. Найти амплитуду тока в цепи.
930. В сеть переменного тока в эффективным напряже-
нием Уэ=120 В последовательно включены проводник с со-
противлениеми7? = 15 Ом и катушка с индуктивностью L =
=50 мГн. Найти частоту тока /, если амплитуда тока в цепи
1^7 А.
931. Найти полное сопротивление цепи, состоящей из
последовательно включенных конденсатора с емкостью С=
=0,1 мкФ и катушки с индуктивностью L=0,5 Гн, при
частоте тока /=1 кГц. При какой часто-
те /о полное сопротивление цепи равно &
нулю? г———9
932. В колебательный контур (рис. 146) £ с
включен источник переменного тока с V4 R
э.д.с. sin со/, где амплитуда э.д.с. 1---------1—i—i
(g0=2 В. При резонансе амплитуда на- Рис J46
пряжения на отдельных элементах кон-
тура, например на конденсаторе, зна-
чительно увеличивается. Найти резонансную амплитуду
напряжения на конденсаторе, если известно, что она во
столько раз больше амплитуды э.д.с., во сколько раз индук-
тивное сопротивление XL (или емкостное сопротивление Хс)
при резонансе больше сопротивления 7?. Резонансная час-
тота контура /0=0,1 МГц, индуктивность катушки £ =
= 1 мГн, сопротивление контура 7?=3 0м.
933. Соленоид с железным сердечником (дроссель),
имеющий индуктивность £=2 Гн и сопротивление обмотки
7? = ЮОм, включен сначала в сеть постоянного тока с на-
пряжением У=20 В, а затем в сеть переменного тока с эф-
фективным напряжением Гэ=20 В и частотой тока /=
=0,4 кГц. Найти ток, текущий через соленоид, в первом
случае и амплитуду тока во втором случае.
934. Найти коэффициент мощности cos ср электрической
цепи, если генератор отдает в цепь мощность М=8 кВт,
амплитуда тока в цепи /0=Ю0 А и амплитуда напряжения
на зажимах генератора Го=2ОО В.
935. От генератора переменного тока питается электро-
печь с сопротивлением R =22 Ом. Найти количество
159
теплоты Q, выделяемое печью за время т=1 ч, если
амплитуда тока /0=Ю А.
936. Кипятильник работает от сети переменного тока
с эффективным напряжением 7э=100 В. При температуре
/о=2ОэС сопротивление фехралевой спирали /?=25 0м.
Какая масса кипящей воды превращается кипятильником
в пар за время т=1 мин? Удельная теплота парообразова-
ния воды г=2,3 МДж/кг. Температурный коэффициент
сопротивления фехраля а=2-10"2 К”1.
937.___Неоновая лампа включена в сеть переменного тока
с эффективным напряжением 7Э=71 В и периодом 7=
=(1/50) с. Найти промежуток времени Д/, в течение которо-
го длится вспышка лампы, и частоту вспышек лампы л.
о_______ Напряжение зажигания лампы 73=
1 "JL ==86,7 В считать равным напряжению
|с—' С *) гашения Vr.
И g 938. Найти частоту вспышек неоно-
о ] j ...л_I вой лампы, включенной в сеть перемен-
I ’ I ного тока по схеме, изображенной на
Рис. 147. рис. 147 э.д.с. батареи элементов & =
=60 В, эффективное напряжение, сни-
маемое с автотрансформатора, 7Э=28,3 В, напряжение за-
жигания лампы 73=86,7 В. Частота переменного тока
/=200 Гц.
939. Ток в первичной обмотке трансформатора /1 =
=0,5 А, напряжение на ее концах К]=220 В. Ток во вто-
ричной обмотке трансформатора /2=П А, напряжение на
ее концах 7г=9,5 В. Найти к.п.д. трансформатора.
940. Первичная обмотка понижающего трансформатора
с коэффициентом трансформации А=8 включена в сеть пере-
менного тока с напряжением Vj=220 В. Сопротивление
вторичной обмотки г=2 Ом, ток в ней /=3 А. Найти напря-
жение 7з на зажимах вторичной обмотки.
941. Первичная обмотка трансформатора для питания
накала радиоприемника имеет ^=12 000 витков и вклю-
чена в сеть переменного тока с напряжением 71=120 В.
Какое число витков ш2 должна иметь вторичная обмотка,
если ее сопротивление г=0,5 Ом? Напряжение накала ра-
диоприемника 72=3,5 В при токе /=1 А.
942. Первичная обмотка понижающего трансформатора
включена в сеть переменного тока с напряжением V±=
=220 В. Напряжение на зажимах вторичной обмотки
7^=20 В, ее сопротивление г=1 Ом, ток в ней /=2 А.
Найти коэффициент трансформации k и к.п.д. т] трансфор-
матора.
160
943. Первичная обмотка понижающего трансформатора
с коэффициентом трансформации fe=10 включена в сеть
переменного тока с напряжением Vf=120 В. Сопротивле-
ние вторичной обмотки /'=1,2 Ом, ток в ней 7=5 А. Найти
сопротивление R нагрузки трансформатора и напряжение
у2 на зажимах вторичной обмотки.
944. Найти амплитуду и фазу напряжения в сети, питае-
мой двумя последовательно включенными генераторами
переменного тока, напряжения на зажимах которых Vi=
=VriQsin со/ и V2=V2osin(co/—<р0). Амплитуды напряжения
генераторов V\o=6O В и y<jo=lOO В; частота тока /=50 Гц;
начальная фаза напряжения второго генератора ф0=30°.
§ 25. Электромагнитные колебания и волны
Период Т собственных электромагнитных колебаний контура, со-
стоящего из катушки с индуктивностью L и конденсатора с емкостью С,
если активным сопротивлением R контура можно пренебречь по сравне-
нию с индуктивным (при резонансной частоте), определяется формулой
Томсона:
Частота электромагнитных колебаний контура
f=l/T=l/2n/TC.
Длина электромагнитной волны в вакууме
к = сТ = c/f,
где с= 2,99792458 -108 м/с^З-108 м/с — скорость распространения элект-
ромагнитных волн в вакууме (скорость света в вакууме),
945. После того как конденсатору колебательного кон-
тура был сообщен заряд q=l мкКл, в контуре происходят
затухающие электромагнитные колебания. Какое количест-
во теплоты выделится в контуре к тому времени, когда ко-
лебания полностью затухнут? Емкость конденсатора С=
=0,01 мкФ.
946. Эффективное напряжение на конденсаторе колеба-
тельного контура Кэ=100 В. Емкость конденсатора С=
= 10 пФ. Найти максимальные значения электрической и
магнитной энергий в контуре.
947. Колебательный контур состоит из катушки с ин-
дуктивностью А=ЗмГн и плоского конденсатора в виде
двух дисков радиуса г=1,2 см, расположенных на расстоя-
нии d=0,3 мм друг от друга. Найти период Т электромаг-
6 Г. А. Бендриков и др.
161
нитных колебаний контура. Каков будет период Т' колеба-
ний, если конденсатор заполнить веществом с диэлектриче-
ской проницаемостью в=4?
948. Для предотвращения короткого замыкания в коле-
бательном контуре генератора (вследствие случайного со-
прикосновения обкладок переменного конденсатора друг с
другом) последовательно с переменным конденсатором
включается постоянный конденсатор, емкость которого Со
намного больше максимальной емкости переменного кон-
денсатора С. Максимальной емкости переменного конденса-
тора С до включения постоянного конденсатора соответство-
вала частота колебаний fa. Во сколько раз изменится частота
колебаний контура после включения постоянного конден-
сатора, если емкость этого конденсатора С0=пС, где н=50?
949. Резонанс в колебательном контуре, содержащем
конденсатор емкости Со=1 мкФ, наступает при частоте
колебаний /1—400 Гц. Когда параллельно конденсатору
емкости Со подключается конденсатор емкости С, резонанс-
ная частота становится равной /2=Ю0 Гц. Найти емкость
конденсатора С.
950. В каких пределах должна изменяться индуктив-
ность катушки колебательного контура, чтобы в контуре
происходили колебания с частотой от /г=400 Гц до fa=
=500 Гц? Емкость конденсатора С=10мкФ.
951. Радиоприемник можно настраивать на прием радио-
волн различной длины: от ^=25 м до Х2=200 м. В какую
сторону и во сколько раз нужно изменить расстояние d
между пластинами плоского конденсатора, включенного
в колебательный контур радиоприемника, при переходе
к приему более длинных волн?
952. Каков диапазон частот радиоволн миллиметрогого
диапазона (от Хх=1 мм до Х2=10мм)?
953. Найти длину волны рентгеновских лучей, если их
частота /=3- 10е ГГц.
954. Найти диапазон длин волн генератора, возбуждаю-
щего электромагнитные колебания заданной амплитуды
и частоты, если он рассчитан на диапазон частот от fa =
=0,1 МГц до /2=26 МГц.
955. Какой интервал частот и длин волн может пере-
крыть один из диапазонов радиоприемника, если индуктив-
ность колебательного контура радиоприемника этого диа-
пазона £=1 мкГн, а его емкость изменяется от Ci=50 пФ
до С2=100пФ?
956. Какую длину волны электромагнитных колебаний
будет принимать радиоприемник, колебательный контур
162
которого имеет конденсатор с емкость^ С=750 пФ и ка-
тушку с индуктивностью Л = 1,34 мГн? Найти частоту коле-
баний контура радиоприемника.
957. Частота колебаний электромагнитного контура /0=
=30 кГц. Какой будет его частота /, если расстояние между
пластинами плоского конденсатора контура увеличить в
п = 1,44 раза?
958. При изменении тока в катушке индуктивности на
величину Д/=1 А за время Д/=0,6 с в ней индуцируется
э.д.с. S=0,2 мВ. Какую длину Л будет иметь радиоволна,
Рис. 148.
излучаемая генератором, колебательный контур которого
состоит из этой катушки и конденсатора
емкости С=14,1 нФ?
959. Найти частоту f электромагнитных
колебаний контура, изображенного на
рис. 148, а также круговую частоту со, пе-
риод Т и длину волны X, излучаемой
контуром. Индуктивность катушки кон-
тура L = 10 мГн, емкость конденсатора Ci=880 пФ, емкость
подстроечного конденсатора С2=20 пФ.
960. Колебательный контур, содержащий конденсатор
емкости С=20 пФ, настроен на длину волны 1=5 м. Найти
индуктивность катушки L контура и частоту его колеба-
ний /.
961. На какую длину волны настроен колебательный
контур, состоящий из катушки с индуктивностью Л=2 мГн
и плоского конденсатора? Пространство между пластинами
конденсатора заполнено веществом с диэлектрической про-
ницаемостью 8=11. Площадь пластин конденсатора S =
=--800 см2, расстояние между ними d=l см.
962. Найти емкость конденсатора колебательного кон-
тура, если при индуктивности L=50 мкГн контур настроен
на длину волны электромагнитных колебаний Х=300 м.
963. Емкость переменного конденсатора колебательного
контура изменяется в пределах от G до C2=9Ci. Найти
диапазон длин волн, принимаемых контуром, если емкости
конденсатора Ci соответствует длина волны Х2=3 м.
964. Колебательный контур радиоприемника настроен
на радиостанцию, частота которой /0=9МГц. Во сколько
раз нужно изменить емкость переменного конденсатора кон-
тура, чтобы он был настроен на длину волны Х=50 м?
965. Электромагнитные волны распространяются в не-
которой однородной среде со скоростью сср=2-108 м/с.
Какую длину волны X имеют электромагнитные колебания
в этой среде, если их частота в вакууме /0=1 МГц?
6*
163
IV. ОПТИКА
§ 26. Волновые и квантовые свойства света
В вакууме и в однородной среде свет распространяется прямоли-
нейно. Скорость света в вакууме с= 2,99792458*108 м/с~3-109 м/с, в ве-
ществе — сп~с/п, где п — показатель преломления вещества.
Свет представляет собой поперечные электромагнитные волны. Дли-
на волны X связана с частотой колебаний v, периодом Т и скоростью v
соотношениями
Х = иТ = u/v.
Квантовые свойства света проявляются во взаимодействии света
с веществом. Энергия кванта (порции) света с частотой v определяется
выражением
е = 71V.
Здесь /1=6,626176-10-34 Дж-с~6,62-10-34 Дж-с (или ДжУГц) — по-
стоянная Плавка.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
е== ^выхЧ"^
связывает энергию е падающего на вещество кванта света, работу выхода
Лвь1х электрона из вещества и кинетическую энергию K=mv2,l2 вылетев-
шего электрона.
966. Человек, рост которого h= 1,7 м, идет со скоростью
и=1 м/с по направлению к уличному фонарю. В некоторый
момент времени длина тени человека была /1=1,8 м, а спу-
стя время /=2 с длина тени ста-
ла /2=1,3 м. На какой высоте Н
висит фонарь?
967. Схема опыта Майкель-
сона по определению скорости
света изображена на рис. 149.
Расстояние АВ = /=35,5 км.
С какой частотой v должна вра-
щаться восьмигранная зеркаль-
ная призма /<, чтобы источник
света S был виден в трубу 7? Расстояние ОВ мало по срав-
нению с расстоянием АВ.
968. Алмазная пластина освещается фиолетовым светом
частоты v=0,75-10^ Гц. Найти длины волн Xi и Х2 фиоле-
тового света в вакууме и в алмазе, если показатель прелом-
ления алмаза для этих длин волн /1=2,465.
164
Рис. 149.
969. Найти показатель преломления п среды, в которой
свет с энергией кванта е=4,4-10“19 Дж имеет длину волны
jt=300 нм.
970. Найти энергию в кванта света, соответствующего
длине волны Х=500 нм.
971. Найти длину волны к света, которым освещается
поверхность металла, если фотоэлектроны имеют кинетиче-
скую энергию ^=4,5-10“20 Дж, а работа выхода электрона
из металла ZBbrx=7,5-10“19 Дж.
972. Какова минимальная частота v света, при которой
еще наблюдается фотоэффект, если работа выхода электрона
из металла Лвых=3,3-10"19 Дж?
§ 27. Отражение и преломление света
на плоской границе
На границе двух сред наблюдаются явления отражения и преломле-
ния света.
При отражении света падающий луч, перпендикуляр, восставлен-
ный в точке падения луча к отражающей поверхности, и отраженный луч
лежат в одной плоскости. Угол отражения равен углу падения.
В случае преломления падающий луч, перпендикуляр, восстав-
ленный в точке падения луча к границе раздела двух сред, й преломлен-
ный луч лежат в одной плоскости. Угол падения а и угол преломления
0 связаны равенством
sin.os/sin $ = n2/n,i.
где и n2— показатели преломления первой и второй сред, а г^п^/пг—
относительный показатель преломления двух сред. Для воздуха
Если n2<ni (вторая среда оптически менее-плотная), тоа<0. Мак-
симальному углу преломления 0=90° соответствует угол падения а0,
определяемый равенством sin a0=M2/nf. При угле падения a>a0 су-
ществует только отраженный луч, преломленный луч отсутствует (явле-
ние полного отражения).
973. Круглый бассейн радиуса /?=5 м залит до краев
водой. Над центром бассейна на высоте h=3 м от поверхно-
сти воды висит лампа. На какое расстояние / от края бас-
сейна может отойти человек, рост которого //=1,8 м,.чтобы
все еще видеть отражение лампы в воде?
974. Яркая лаглпа висит над центром комнаты на высоте
/г=2,5 м от пола. Высота комнаты 77=4 м. На полу лежит
плоское зеркальце диаметра d=5 см. Какого диаметра
«зайчик» будет от него на потолке, если зеркальце располо-
жено на расстояниях /1=0,5 м и 12= 1,5 м от центра комнаты?
165
975. Угол между двумя плоскими зеркалами можно из-
менять, вращая одно из зеркал вокруг ребра угла (рис. 150)
с постоянной угловой скоростью (0=1,5 град/с. Точечный
источник света S расположен на перпендикуляре к непо-
движному зеркалу, восставлен-
ному в точке А ребра на расстоя-
нии Л=10 см от него. Через какое
время t расстояние между изобра-
жениями источника в зеркалах
r/zz^z/W/z^------- будет i= J о см?
рис !5о# 976. Два плоских зеркала рас-
положены под углом друг к дру-
гу, и между ними помещен точечный источник света.
Изображение источника в первом зеркале находится на
расстоянии /2±=6 см, а во втором зеркале — на расстоянии
а2=8 см от источника. Расстояние между изображениями
источника /=10см. Найти угол ср между зеркалами.
977. Два малых плоских зеркала расположены на
одинаковых расстояниях друг от друга и от точечного ис-
точника света. Каков должен быть угол ср между зеркалами,
если луч после двух отражений: а) направляется прямо к
источнику; б) возвращается обратно к источнику по прой-
денному пути (т. е. испытывает еще одно отражение)?
978. Плоское зеркало поворачивают на угол гр=27°.
На какой угол О повернется отраженный от зеркала луч?
979. Узкий луч света, проходя через маленькое отвер-
стие в экране (перпендикулярно к поверхности экрана),
попадает на вращающееся шестигранное зеркало, ось вра-
щения которого параллельна поверхности экрана и находит-
ся напротив отверстия. Какой длины L будет прочерчивать
полоску на экране отраженный от зеркала луч, если рас-
стояние между зеркалом и экраном 1=1 м? Размерами гра-
ней зеркала по сравнению с расстоянием I пренебречь.
980. Два зеркала образуют друг с другом угол (р<л.
На одно из зеркал падает луч света, лежащий в плоскости,
перпендикулярной к ребру угла. Доказать, что угол откло-
нения 0 этого луча от первоначального направления после
отражения от обоих зеркал не зависит от угла падения.
981. Два плоских зеркала образуют друг с другом угол
<р< л. Луч света отражается последовательно от двух зер-
кал. На какой угол $ от своего первоначального направле-
ния отклонится отраженный луч, если система зеркал по-
ворачивается на угол гр вокруг оси, лежащей в плоскости
обоих зеркал? Как падающий, так и отраженный лучи ле-
жат в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
166
982. Сечение стеклянной призмы имеет форму равнобед-
ренного треугольника. Одна из равных граней призмы по-
серебрена. Луч света падает на непосеребренную грань
призмы перпендикулярно к ее поверхности и после двух
отражений выходит через основание призмы перпендикуляр-
но к нему. Найти углы призмы.
983. Луч света входит в стеклянную призму под углом
а=л/6 и выходит из призмы в воздух под углом у=л/3,
причем, пройдя призму, отклоняется от своего первоначаль-
ного направления на угол {}=л/4. Найти преломляющий
угол <р призмы.
984. Найти показатель преломления п скипидара и ско-
рость распространения света сп в скипидаре, если при угле
падения а =45° угол преломления (3=30°.
985. Луч света падает перпендикулярно к боковой по-
верхности призмы, преломляющий угол которой <р=30°.
Найти угол отклонения 0 луча от первоначального направ-
ления после выхода из призмы. Показатель преломления
материала призмы п = 1,4.
986. Высота Солнца над горизонтом ф=20°. Пользуясь
зеркалом, пускают «зайчик» в воду озера. Под каким углом
у к горизонту нужно расположить зеркало, чтобы луч све-
та в воде шел под углом р=41° к вертикали? Показатель
преломления воды и=1,33.
987. При падении на плоскую границу двух сред с пока-
зателями преломления и п2 луч света частично отражает-
ся, частично преломляется. При каком угле падения а от-
раженный луч перпендикулярен к преломленному лучу?
988. Преломленный луч света составляет с отраженным
угол 90°. Найти относительный показатель преломления,
если луч падает на плоскую границу сред под углом а, для
которого sin а=0,8.
989. На поверхности водоема, имеющего глубину Н =
=5,3 м, плавает фанерный круг радиуса г=1 м, над цент-
ром которого на некоторой высоте расположен точечный
источник света. Какова должна быть эта высота ht чтобы
радиус R тени от круга на дне водоема был максимальным?
Найти этот максимальный радиус. Показатель преломления
воды /1 = 1,33.
990. На поверхности озера, имеющего глубину /7=2 м,
находится круглый плот радиуса R=8 м. Найти радиус г
полной тени от плота на дне озера при освещении воды рас-
сеянным светом. Показатель преломления воды /1=1,33.
991. Луч света падает на стеклянную пластинку с пока-
зателем преломления и = 1,7 под углом а, для которого
. 167
sin a=0,8. Вышедший из пластинки луч оказался смещен-
ным относительно падающего луча на расстояние ft==2 см.
Какова толщина h пластинки? .
992. На какое расстояние I сместится луч света, рас-
пространяющийся в стекле с показателем преломления п,
если на его пути имеется плоскопараллельная щель шири-
ны заполненная воздухом? Угол падения луча на щель
равен а. Полного отражения не происходит.
993. Луч света выходит из призмы подтем же углом, под
каким входит в призму, причем отклоняется от первоначаль-
ного направления на угол {}=15°. Преломляющий угол приз-
мы <р=45°. Найти показатель преломления п материала
призмы.
994. У призмы с показателем преломления п=1,41 и
преломляющим углом <р=30° одна грань посеребрена. Луч
света падает на> непосеребренную грань под углом а=45°
и после отражения выходит из призмы через эту же грань.
Найти угол 3 между падающим и выходящим лучами.,
995. Найти угол -9 отклонения луча стеклянной призмой
с преломляющим углом ср=5°, если луч падает на грань
призмы под малым углом. Показатель преломления стекла
и = 1,8.
996. Луч света падает под углом а=58° на поверхность
воды, налитой слоем толщины ft=10 мм в стеклянное блюд-,
це с плоскопараллельным дном. Показатель преломления
воды /?1 = 1,33. Найти показатель преломления щ стекла
блюдца, если вышедший под блюдцем луч смещен относи-
тельно падающего на расстояние Z=6,2 мм, а в стекле луч
проходит путь £=5 мм.
997. На горизонтальном дне водоема, имеющего глуби-
ну ft=l ,2 м, лежит плоское зеркало. Луч света падает на
поверхность воды под углом a=30°. На каком расстоянии.
I от места падения этот луч снова выйдет на поверхность
воды после отражения.от. зеркала? Показатель преломления
воды п = 1,33. - . t
998. На горизонтальном дне бассейна, имеющего глуби-
ну Л=2 м, лежит плоское зеркало. Луч света, преломив-
шись на поверхности воды, отражается от зеркала и выхо-.
дит в воздух. Расстояние от места вхождения луча в воду
до места выхода отраженного луча из воды I—1,5 м. Найти
угол падения луча а. Показатель преломления воды и=1,33.
999. У плоскопараллельной пластинки, имеющей тол-
щину d=5 см, нижняя поверхность посеребрена., Луч све-
та, падающий на пластинку под углом а=30°, частично от-
ражается от верхней поверхности, частично проходит в
168
пластинку, отражается отнижней поверхности пластинки;
и; преломляясь вторично, выходит в воздух параллельно
первому отраженному лучу. Найти показатель преломле-
ния п материала пластинки, если расстояние между падаю-
щим и выходящим лучами /=2,5 см.
W00. На стеклянную плоскопараллельную пластинку
толщины d падает луч света под углом а. Луч частично от-
ражается ст верхней поверхности, частично проходит в
пластинку и, отразившись от нижней поверхности, выходит
через верхнюю. Найти угол выхода луча и длину L пути,
пройденного преломленным лучом в пластинке. Показатель
преломления стекла равен п.
1001. Какова толщина d стеклянной плоскопараллель-
ной пластинки, если точку на задней поверхности пластин-
ки наблюдатель видит на расстоянии 1=5 см от передней
поверхности? Показатель преломления стекла н = 1,6. Луч
зрения перпендикулярен к поверхности пластинки. Для
малых углов tg a^sina^a.
1002. У плоскопараллельной пластинки, имеющей тол-
щину d=l,2 см, задняя поверхность посеребрена. Точеч-
ный источник света расположен на расстоянии 1=1,5 см от
передней поверхности пластинки. На каком расстоянии L
от источника находится его изображение, получающееся
в результате отражения лучей от задней поверхности плас-
тинки? Показатель преломления материала пластинки п=
=^1,6. Луч зрения перпендику- - х?
лярен к поверхности пластинки.
1003. Стержень опущен кон-
цом в прозрачную жидкость, //
показатель преломления кото-
рой равен и, и образует с по- : :--
верхнбетью жидкости угол а.
Наблюдателю, который смот-
рит сверху, конец стержня,
погруженный в жидкость, ка- >z
жется смещенным на угол р Рис 151 .
(рис. 151). При каком угле, на-
клона стержня а угол смещения р будет максимальным?
1004. Сечение стеклянной призмы имеет форму равносто-
роннего треугольника. Луч падает на одну из граней пер-
пендикулярно к ней. Найти угол & между направлениями
падающего луча и луча, вышедшего из призмы. Показа-
тель преломления стекла п=1,5.
1005. В цистерне с сероуглеродом на глубине /г=26 см
под поверхностью расположен точечный источник света.
169
Найти площадь круга на поверхности жидкости, в преде-
лах которого возможен вы£од лучей в воздух. Показатель
преломления сероуглерода п 1,64.
1006. ВодоЛаз стоит на горизонтальном дне водоема,
имеющего глубину //=15 м. Йа каком ра^ёГоЯйНй 16т Водо-
лаза, рост которого h=l,7 м, находится те части дна, кото-
рые он может увидеть отраженными от поверхности воды?
Показатель преломления воды п = 1,33.
1007. На дне водоема, имеющего глубину //=3 м, на-
ходится точечный источник света. Какой минимальный ра-
диус R должен иметь круглый непрозрачный диск, плаваю-
щий на поверхности воды над источником, чтобы с вертоле-
та нельзя было обнаружить этот источник света? Показа-
тель преломления воды и=1,33.
1008. В жидкости с показателем преломления п=1,8
помещен точечный источник света. На каком максимальном
расстоянии h над источником надо поместить диск диаметра
£>=2 см, чтобы свет не вышел из жидкости в воздух?
1009. В толще стекла с показателем преломления
н = 1,5 на расстоянии h=10 см от плоской поверхности
стекла находится точечный источник света. Непрозрач-
ный диск расположен на этой поверхности так, что его
центр находится в ближайшей к источнику точке. Диск
и стекло покрыты снаружи плоским слоем гладкого льда
без воздушной прослойки. Какой минимальный ра-
диус R должен иметь диск, чтобы свет не вышел через по-
верхность льда?
1010. Пучок света скользит вдоль боковой грани приз-
мы, сечение которой имеет форму равнобедренного треуголь-
ника. При каком предельном преломляющем угле ср приз-
мы преломленные лучи претерпят полное отражение на
второй боковой грани призмы? Показатель преломления
материала призмы п=1,6.
1011. Призма с преломляющим углом <р=60° сделана из
стекла с показателем преломления п = 1,75. При каком угле
падения а луча света на одну из граней выход луча из вто-
рой грани становится невозможным?
1012. Луч света падает перпендикулярно к короткой
грани трехгранной поворотной призмы с углами 90° и 45°,
изготовленной из стекла с показателем преломления п=
= 1,75. На какой максимальный угол 0 может отклониться
луч в направлении к 90°-ному ребру в плоскости, перпен-
дикулярной к этому ребру, чтобы свет не выходил частично
через длинную грань призмы?
.170
§ 28. Фотометрия
В фотометрии вводят световые величины. Так, энергию, переноси-
мую светом через какую-нибудь площадку за единицу времени и оце-
ниваемую по зрительному восприятию, называют световым потоком Ф
через эту площадку. Освещенность поверхности £=ФА$, где S — пло-
щадь поверхности.
Силой света источника по данному направлению называется вели-
чина 7=Ф/со, где со — телесный угол, в котором распространяется све-
товой поток Ф. Телесный угол опре- „
деляется отношением площади So по- \ z
верхности, вырезаемой телесным углом
из сферы (центр которой находится в / Ал
вершине телесного угла), к квадрату / у\/)
радиуса г этой сферы, т. е. co=So/r2 z
(рис. 152). В случае малого телесного
угла, если вместо поверхности сферы So
берется ограниченная тем же телесным Рис. 152,
углом площадка S, расстояние до кото-
рой от вершины телесного угла равно т и перпендикуляр п к которой
составляет угол а с радиусом, то S0=S cos а. При этом E=(I cos
где г — расстояние от источника до освещаемой площадки, а — угол
падения лучей на нее.
Единицей светового потока является люмен (лм), освещенности —
люкс (лк), силы света — кандела (кд), телесного угла — стерадиан (ср).
Расстояние г выражают в метрах (м).
1013. Лампа с силой света /=200 кд укреплена на по-
толке комнаты. Найти полный световой поток Ф, падающий
на стены и пол комнаты.
1014. Фотографический снимок печатали «контактным
способом». При этом лампа располагалась на расстоянии
Г1=60 см от снимка, а экспозиция длилась /1=16 с. Каково
должно быть время экспозиции ti, если заменить лампу на
другую с силой света, втрое меньшей, и поместить ее на рас-
стоянии га=45 см от снимка?
1015. Две лампы, силы света которых 11=75 кд и /2=
=48 кд, находятся друг от друга на расстоянии г=1,8 м.
Где надо поместить между ними экран, чтобы его освещен-
ность была одинакова с той и другой стороны?
1016, Две лампы, силы света которых Л=25 кд и /$=
=8 кд, находятся друг от друга на расстоянии г=1,8 м.
На каком расстоянии н от первой лампы (на линии, соеди-
няющей лампы) надо поместить лист бумаги, чтобы освещен-
ность его со стороны первой лампы была вдвое больше, чем
со стороны второй?
171
1017. При осмотре внутренней- поверхности сферическо-
го резервуара, имеющего диаметр d=20 м, в его верхней
точке.был укреплен источник с силой света /=1000 кд. Най-
ти освещенность в той точке поверхности резервуара, в ко-
торой лучи падают под углом а=34°. Свет, отраженный от
стенок резервуара, не учитывать.
1018. Над центром квадратного стола со стороной а=
= 1,5 м на высоте Л = 1 м от поверхности стола висит лампа.
Во сколько раз изменится освещенность в центре стола,
если эту же лампу повесить на той же высоте над одним из
углов стола?
1019. На столе лежит раскрытая книга, корешок кото-
рой длины /=52 см направлен к настольной лампе. Линия,
соединяющая верх страницы с нитью лампы, имеет такую
же длину I и наклонена под углом <р=60° к поверхности
стола. Найти разницу освещенностей верха и низа стра-
ницы, если сила света лампы /=60 кд.
1020. Найти полный световой поток Ф, создаваемый ис-
точником, помещенным на мачте высоты Л=12 м, если на
расстоянии /=16 м от основания мачты он создает освещен-
ность Е=3 лк.
1021. На высоте Л=8 м над землей висит лампа с силой
света / = 1000 кд. Найти площадь S участка, в пределах ко-
торого освещенность не меньше чем Е = 1 лк.
1022. На высоте Л=5 м над землей висит лампа с силой
света /=400 кд. Найти площадь S участка, внутри которого
освещенность меняется в пределах от =0,25 лк до Е2=2 лк.
1023. Над площадью висит фонарь, создающий освещен-
ность £\ = 10 лк в тех точках, в которых лучи падают на
землю под углом «х (cosax=0,3). Какова освещенность Е2
в точках, в которых лучи падают на землю под углом
(cos а2=0,6)?
1024. Круглый зал диаметра d=30 м освещается лампой,
укрепленной в центре потолка. Найти высоту h зала, если
наименьшая освещенность стены зала в п =2 раза больше
наименьшей освещенности пола.
1025. На высоте /гх=2 м над серединой круглого стола,
имеющего диаметр d=3 м. висит лампа с силой света Л =
= 100 кд. Ее заменили лампой с силой света /3=25 кд, из-
менив расстояние от лампы до стола так, что освещенность
середины стола не изменилась. Как изменилась освещен-
ность края стола?
1026. Площадка освещается двумя различными лампа-
ми, висящими на столбе одна над другой на высоте Л1=8 м
и /г2=27 м. На каком расстоянии I от основания столба на-
172.
ходится точки площадки, освещенность которых не изменит-
ся,, если поменять лампы местами?
’ 1027. Три одинаковых точечных источника с силой све-
та КД каждый расположены в вершинах равносторон-
него треугольника со стороной а=1 м. В центре треуголь-
ника перпендикулярно к его плоскости и параллельно од-
ной из его сторон расположена ма- -
ленькая пластинка. Найти осве- g
щенность каждой из сторон пла-
стинки.
1028. Три лампы и небольшой ____________j_______
экран расположены в вершинах |
ромба, одна из диагоналей которо- i
го равна его стороне. Экран перпен-
дикулярен к другой диагонали Л?
(рис. 153). Какую силу света / имеет Рис. 153.
средняя лампа, если при ее выклю-
чении освещенность экрана уменьшается в п=2 раза и две
другие лампы имеют силу света /0=10 кд?
1029. Две лампы с силой света /=200 кд каждая висят
на столбе одна над другой на высоте hx=3 м и Л2=4 м. Най-
ти освещенность поверхности земли на расстоянии 1=2 м
от основания столба.
1030. Две одинаковые лампы прикреплены к потолку
комнаты на расстоянии 1=4 м друг от друга, на высоте h=
=2 м от поверхности стола. Найти отношение освещенностей
центра стола в случаях, когда стол расположен: под одной
из ламп; посередине между лампами.
1031. Экран освещается двумя лампами с силой света
/о=2ОО кд, расположенными симметрично относительно
А G В
Рис. 154.
центра экрана. Расстояние от каждой, лампы до экрана (по
перпендикуляру) h0=4 м, расстояние между лампами 1=
=2 м. Какую силу света / должна
иметь лампа, помещенная на рас-
стоянии h=6 м от центра экрана,
чтобы она дала в центре экрана та-
кую же освещенность, как две упо-
мянутые лампы?
1032. Точечный источник света
S освещает поверхность АВ (рис.
154). Во сколько раз увеличится
освещенность в точке С, если сбоку от источника света на
расстоянии SD=SC поместить плоское зеркало, отражаю-
щее свет в точку С? Коэффициент отражения зеркала счи-
тать равным единице.
173
1033. Лампа, подвешенная к потолку, имеет в горизон-
тальном направлении силу света /=96 кд. Какой световой
поток Ф падает на картину площади S=0,5 м2, если картина
висит вертикально на стене напротив лампы на расстоянии
а=4 м от нее, а на противоположной
стене на расстоянии Ь=2 м от лампы
находится большое плоское зеркало?
1034. Какова освещенность малень-
кой горизонтальной площадки (рис.
155), если над ней на расстоянии 1=2 м
находится точечный источник с силой
света /=60 кд, а на расстоянии d=l м
от источника и площадки вертикально
расположено плоское зеркало?
1035. Плоский экран и идеально от-
ражающее плоское зеркало образуют
двугранный угол (р=45°. Между экраном
и зеркалом, на одинаковом расстоянии а от них, помещен
точечный источник света S. Какова освещенность в точке А
экрана, ближайшей к источнику?
§ 29. Сферические зеркала
Сферическое зеркало представляет собой отполированную поверх-
ность шарового сегмента. Прямая, проведенная через центр сферы (оп-
тический центр зеркала) и вершину шарового сегмента (полюс зеркала),
называется главной оптической осью зеркала. Всякая другая прямая,
проходящая через оптический центр, называется побочной оптической
осью.
Луч, параллельный главной оптической оси, после отражения пере-
секает ее в фокусе зеркала, лежащем на расстоянии F=Rl2 от зеркала,
где /? — радиус кривизны зеркала (радиус сферы). В случае выпуклого
зеркала главную оптическую ось пересекает не сам отраженный луч,
а его мнимое продолжение. В этом случае фокус можно назвать мнимым.
Плоскость, проведенная через фокус перпендиг”лярно к главной
оптической оси, называется фокальной плоскостью. Лучи, параллельные
побочной оптической оси, после отражения сходятся в точке, лежащей
на фокальной плоскости зеркала (в случае выпуклого зеркала — про-
должения лучей).
Лучи, исходящие от небольшого предмета, после отражения от
зеркала образуют изображение. Каждой точке предмета соответствует
одна точка изображения. Изображение может быть действительным,
когда оно образовано самими лучами, отраженными от зеркала
(рис. 156), или мнимым, когда оно образовано продолжениями отра-
женных лучей (рис. 157).
174
Пусть предмет (пли источник) располагается в вершине пучка пере-
секающихся лучей. Если эта вершина действительно существует даже
при наличии зеркала, то источник считается действительным (рис. 158).
Рис. 158. Рис. 159.
Если же в присутствии зеркала вершина образована лишь мнимыми
продолжениями лучей, то мы имеем^ дело с мнимым источником
(рис. 159).
Расстояние d от предмета до зеркала, расстояние f от зеркала до
изображения и фокусное расстояние F связаны соотношением
называемым формулой зеркала. При таком написании формулы величи-
ны d, / и F считаются положительными (в условиях задач значения d, /
и F заданы по модулю). Знаки же перед членами формулы зеркала вы-
бираются по правилу: если предмет (источник), изображение, фокус
являются действительными, то перед соответствующими членами форму-
лы ставится плюс; если мнимыми, то ставится минус.
Если перед всеми членами формулы зеркала знаки поставлены в со-
ответствии с указанным правилом, то полученный ответ будет всегда по-
ложительным, так как он характеризует только модуль искомой вели-
чины. Часто, однако, действительность или мнимость источника, изо-
бражения или фокуса неизвестна. В этом случае перед соответствующим
членом в формуле зеркала можно поставить любой знак (удобнее обычно
плюс), т. е. предполагать предмет (изображение, фокус) действительным
или мнимым. Положительность ответа указывает тогда на правильность
этого предположения, отрицательность — на его ошибочность.
Формула зеркала и все вышеуказанные свойства зеркала справед-
ливы только для лучей, идущих вблизи главной оптической оси и со-
ставляющих с ней малые углы. Во всех задачах подразумевается, что
мы имеем дело именно с этим случаем.
175
1036. Посеребренная сфера рассечена на две части плос-
костью. На каком расстоянии b от центра сферы проходит
эта плоскость, если меньшая часть представляет собой сфе-
рическое зеркало диаметра «=0,64 м с фокусным расстоя-
нием /=0,65 м?
1037. На каком расстоянии d от вогнутого зеркала с фо-
кусным расстоянием F=1 м необходимо поместить источ-
ник света, чтобы его изображение совпало с самим источни-
ком?
1038. Расстояние от предмета до вогнутого зеркала d=
=0,5 м, расстояние от зеркала до изображения /=2 м. Най-
ти радиус кривизны R зеркала.
1039. Предмет высоты А=0,06 м находится на расстоянии
d=0,14 м от вогнутого зеркала с фокусным расстоянием
/*'=0,11 м. Найти высоту Н изображения предмета.
1040. Предмет находится на расстоянии d=0,48 м от
вогнутого зеркала. Зеркало дает действительное изображе-
ние предмета с уменьшением k=4. Найти радиус кривизны
R зеркала.
1041. Вогнутое зеркало дает действительное изображе-
ние предмета с увеличением k=4. Найти фокусное расстоя-
ние F зеркала, если расстояние между предметом и его изоб-
ражением «=1,5 м.
1042. Малый участок поверхности сферы посеребрен.
На диаметрально противоположной стороне сферы полу-
чилось изображение некоторого предмета, помещенного
внутри нее. С каким увеличением k изображается предмет?
1043. Расстояние от точечного источника света до вогну-
того зеркала d=2R, где R — радиус кривизны зеркала.
Источник находится на главной оптической оси зеркала.
Где расположено его изобра-
жение? Построить ход лучей.
1044. На вогнутое зеркало
падает луч ЛОВ, пересекаю-
щий главную оптическую ось
зеркала в точке О. Отражен-
ный от зеркала луч BO'D пе-
ресекает ту же ось в точке О'
Рис. 160.
(рис. 160). Найти построением положение фокуса зеркала.
1045. Вогнутое зеркало дает действительное изображе-
ние предмета с увеличением йг=5. Если переместить пред-
мет на некоторое расстояние вдоль главной оптической
оси, изображение переместится вдоль оси на такое же рас-
стояние. Найти увеличение k2 при новом расположении
предмета.
176
1046. Вогнутое зеркало дает действительное изображение
предмета с увеличением kr=5, Если зеркало переместить
da расстояние а=2 см ближе к предмету, то увеличение
предмета станет й2=7. Найти фокусное расстояние F зеркала.
1047. Вогнутое зеркало дает действительное изображе-
ние предмета с уменьшением ki—1/4. Если предмет перемес-
тить на расстояние а=5 см ближе к зеркалу, то уменьше-
ние изображения станет &2=1/2. Найти фокусное расстоя-
ние F зеркала.
1048. Фокус вогнутого зеркала расположен на расстоя-
нии а=0,24 м от предмета и на расстоянии /?=0,54 м от его
изображения. Найти увеличение k предмета, даваемое зер-
калом.
1049. Светящаяся точка расположена на расстоянии
d=0,75 м от вогнутого зеркала и на расстоянии 1=0,05 м
от главной оптической оси зеркала. Изображение точки
находится на расстоянии L=0,2 м от оси. Найти радиус
кривизны R зеркала в случаях, когда изображение действи-
тельное и мнимое.
1050. Пучок лучей от бесконечно удаленного источника
света падает на экран, имеющий отверстие диаметра d=7 см.
Плоскость экрана перпендикулярна к лучам. На расстоя-
нии а=68 см за экраном расположено вогнутое зеркало
с фокусным расстоянием F=0,28 м, главная оптическая
ось которого совпадает с осью пучка. Найти диаметр D свет-
лого круга на экране.
1051. Точечный источник света помещен в фокусе зерка-
ла с фокусным расстоянием F=20 см. Во сколько раз осве-
щенность экрана, находящегося на расстоянии г=0,2 км
от источника при наличии зеркала больше, чем в той же
точке экрана без зеркала?
1052. Прожектор установлен на высоте 1г=30 м от по-
верхности земли. Найти освещенность Е в центре светлого
пятна на поверхности земли на расстоянии 7=40 м от осно-
вания вышки. Прожектор имеет точечный источник с силой
света /=500 кд и рефлектор с фокусным расстоянием F =
=20 см. Считать, что прожектор дает параллельный пучок
лучей.
1053. Вогнутое зеркало с радиусом кривизны 7? = 1 м
дает мнимое изображение предмета, расположенное на рас-
стоянии /=3 м от зеркала. На каком расстоянии d от зерка-
ла находится предмет?
1054. Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 120 см
дает прямое изображение предмета с увеличением ^=4. На
каком расстоянии d от зеркала находится предмет?
12 г, А. Бендриков н др,
177
1055. Вогнутое зеркало дает изображение предмета с
увеличением fe=6. Найти радиус кривизны R зеркала, если
предмет расположен на расстоянии d=21 см от зеркала:
1056. Вогнутое зеркало дает изображение предмета с
увеличением fe=2. Найти радиус кривизны зеркала, если
расстояние между предметом и изображением а=18 см.
1057. Светящаяся точка находится на главной оптиче-
ской оси вогнутого зеркала на одинаковых расстояниях
от зеркала и его фокуса. Перпендикулярно к оси зеркала
расположен экран, центр которого совпадает с оптическим
центром зеркала. Во сколько раз диаметр светлого круга
на экране превышает диаметр зеркала?
1058. Зеркало дает мнимое изображение с увеличением
k=2. Найти радиус кривизны R зеркала, если расстояние
между предметом и изображением я=1,5 м.
1059. Светящаяся точка расположена на расстоянии 1=
=0,2 м от главной оптической оси вогнутого зеркала, ее
мнимое изображение — на расстоянии L=0,5 м от той же
оси. Во сколько раз фокусное расстояние зеркала превыша-
ет расстояние от светящейся точки до фокальной плоскости?
1060. Отрезок, соединяющий фокус вогнутого зеркала
с его полюсом, разделен на три равные части, и в точках
деления помещены точечные источники света. Каково рас-
стояние I между изображениями этих источников, если ра-
диус кривизны зеркала равен /??
1061. Упавший на мягкую глину шар оставил в ней уг-
лубление, радиус которого равен 0,8 радиуса шара. После
затвердевания глины выемку посереб-
рили и получившееся сферическое зер-
кало накрыли плоским стеклом. С ка-
ким увеличением дает это зеркало
изображение рисунка, нанесенного
в центре стекла?
1062. На рис. 161 SO — предмет,
S'O' — его мнимое изображение в
зеркале, ОО* — главная оптическая ось зеркала. Найти
построением положения полюса зеркала, его оптического
центра и фокуса.
1063. Человек видит свое изображение в сферическом
зеркале, находящемся от него’на расстоянии d=0,2 м, увели-
ченным в А=1,5 раза по сравнению с изображением в плос-
ком зеркале, находящемся на таком же расстоянии. Найти
радиус кривизны R сферического зеркала.
1064. Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало с фо-
кусным расстоянием F=0,5 м и после отражения собирают-
178
о
I__________________1
О' о
Рис. 161.
ся в точке, отстоящей на расстоянии [=0,2 м от зеркала и
ла расстоянии L=0,15 м от его главной оптической оси. На
каком расстоянии / от оси соберутся лучи, если убрать
зеркало? Построить ход лучей.
1065. Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало с
фокусным расстоянием F=10 см так, что их продолжения
пересекаются на главной оптической оси зеркала на рас-
стоянии d=0,3 м за зеркалом. На каком расстоянии от зер-
кала сойдутся лучи после отражения?
1066. Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало так,
что их продолжения пересекаются на главной оптической
оси зеркала на расстоянии d=0,2 м за зеркалом. После от-
ражения лучи сошлись в точку, расположенную на расстоя-
нии, равном 1/5 фокусного расстояния зеркала. Найти ра-
диус кривизны R зеркала.
1067. Расстояние от светящейся точки до зеркала d=
=4,8 см, расстояние от изображения этой точки до фокуса
зеркала а=20 см. Точка находится на главной оптической
оси зеркала. Найти фокусное расстояние F зеркала.
1068. На главной оптической оси вогнутого зеркала с
радиусом кривизны R находится маленькая лампочка на-
каливания. Расстояние от лампочки до зеркала d=7?/4.
Найти освещенность Е2 в центре экрана, расположенного
перпендикулярно к главной оптической оси на расстоянии
2R от зеркала. Освещенность в центре экрана, находящего-
ся на расстоянии /?, равна £\. Потерями света при отраже-
нии пренебречь.
1069. Построить изображение S' светящейся точки S,
находящейся на главной оптической оси выпуклого зерка-
ла, если положения оптического центра зеркала С, его по-
люса Р и фокуса F известны.
1070. Предмет находится на расстоянии d=5 м от вы-
пуклого зеркала с радиусом кривизны /? = 1,5 м. На каком
расстоянии [ от зеркала находится изображение предмета?
1071. Изображение источника света получено с помощью
выпуклого зеркала на расстоянии [=00 см от зеркала. На
каком расстоянии d от зеркала расположен источник, если
фокусное расстояние зеркала F=90 см?
1072. Мнимое изображение предмета получено с помощью
выпуклого зеркала на расстоянии /= 12 см от зеркала. На
каком расстоянии d от зеркала расположен предмет, если
радиус кривизны зеркала 7? =40 см?
1073. Пламя свечи находится на расстоянии d=l,5 м
от выпуклого зеркала с фокусным расстоянием F=0,5 м.
Найти уменьшение k изображения пламени свечи.
179
1074. Предмет высоты h=4 мм находится на расстоянии
d=10 см от выпуклого зеркала с радиусом кривизны =
=60 см. Найти высоту Н изображения предмета.
1075. Выпуклое зеркало с фокусным расстоянием
=0,2 м дает мнимое изображение предмета с уменьшением
Л=1/2. На каком расстоянии d от зеркала расположен пред-
мет? Построить ход лучей.
1076. Радиус кривизны выпуклого зеркала /? = 1,6 м.
На каком расстоянии d перед зеркалом должен находиться
предмет, чтобы его изображение получилось в п=1,5 раза
ближе к зеркалу, чем сам предмет?
1077. Светящаяся точка расположена на расстоянии d=
= 1 м от выпуклого зеркала, а ее изображение делит точно
пополам отрезок главной оптической оси между полюсом
зеркала и его фокусом. Найти радиус кривизны R зеркала.
1078. Человек смотрит в посеребренный стеклянный шар
диаметра Z=0»6 м, находясь от него на расстоянии d=
=0,25 м. На каком расстоянии а от человека расположено
его уменьшенное мнимое прямое изображение?
1079. Тонкий карандаш длины Z=6 см расположен вдоль
главной оптической оси выпуклого зеркала. Изображение
его ближайшего к зеркалу конца находится на расстоянии
Д=20 см от зеркала, дальнего — на расстоянии /2=24 см
от зеркала. Найти фокусное расстояние F зеркала.
1080. Луч пересекает главную оптическую ось выпук-
лого зеркала в некоторой точке А. На каком расстоянии
от .точки А необходимо расположить зеркало, чтобы луч,
отразившись от него, пересек главную оптическую ось в
точке В, отстоящей от точки А на расстоянии /=1,5 F?
1081. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало так,
что их продолжения пересекаются на главной оптической
оси зеркала на расстоянии d=24 см за зеркалом. После от-
ражения от зеркала лучи сходятся на оси зеркала в точке,
находящейся перед ним на расстоянии /=40 см. Найти ра-
диус кривизны R зеркала.
1082. Выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F=
= 1,45 м закрывает собой отверстие в непрозрачном экране.
Сходящиеся лучи падают на зеркало так, что после отраже-
ния они сходятся на главной оптической сон зеркала на рас-
стоянии /=55 см перед экраном. На каком расстоянии d
за экраном сойдутся лучи, если вынуть зеркало из отвер-
стия?
1083. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало
с радиусом кривизны /?=0,4 м так, что их продолжения
пересекаются на главной оптической оси зеркала на расстоя-
180
ниИ d=OJ м за зеркалом. На каком расстоянии f от зеркала
сойдутся лучи после отражения?
1084. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало
так, что их продолжения пересекаются в точке, находящей-
ся на расстоянии d=0,4 м за зеркалом. После отражения
оТ зеркала лучи расходятся таким образом, что их продол-
жения пересекаются в точке, отстоящей от зеркала на рас-
стоянии f= 1,6м. Обе точки пересечения лежат наглавной оп-
тической оси зеркала. Найти фокусное расстояние F зеркала.
1085. Через круглое отверстие в экране, имеющее диа-
метр d=4 см, на выпуклое зеркало, находящееся на рас-
стоянии я=16 см от экрана, падает параллельный пучок
света (вдоль главной оптической оси зеркала перпендику-
лярно к экрану). Отразившись от зеркала, пучок света,
попадая на тот же экран, образует вокруг отверстия светлое
пятно диаметра 0=6 см. Найти радиус кривизны R зеркала.
1086. Пучок параллельных лучей, пройдя через круг-
лое отверстие в листе бумаги, образует на экране, парал-
лельном листу и расположенном от него на расстоянии а=
=45 см, светлый круг диаметра d=6 см. Когда экран заме-
нили выпуклым зеркалом, то на листе бумаги появился
светлый круг диаметра 0=33 см. Найти радиус кривизны
R зеркала.
§ 30. Тонкие линзы
Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сфериче-
скими иля сферической и плоской поверхностями. Толщину линз^т будем
считать малой по сравнению с радиусами кривизны и R2 ее поверхно-
стей. Поэтому вершины сферических поверхностей можно считать прак-
тически сливающимися в одной точке, называемой оптическим центром
линзы. Луч, проходящий через оптический центр линзы, т. е. идущий
вдоль оптической оси линзы, не изме- Y
няет своего направления. Оптическая
ось, проведенная через вершины сфе-
рических поверхностей, называется ; "
главной оптической осью, прочие —
побочными. Я ( 4
Линза, у которой середина тол- * ™
Рис. 162. Рис. 163.
ще, чем края, называется собираю-
щей. Если края линзы толще середины, то линза — рассеивающая. Ус-
ловное обозначение собирающей линзы показано на рис. 162, рассеиваю-
щей — на рис. 163.
Лучи, параллельные главной оптической оси, после преломления в
линзе сходятся в фокусе. Фокус линзы действительный для собирающей
линзы, мнимый — для рассеивающей. Плоскость, проведенная через
181
фокус перпендикулярно к оптической оси, называется фокальной плос-
костью. Каждый из лучей, параллельных побочной оптической оси, пос-
ле преломления проходит через одну и ту же точку, лежащую на фокаль-
ной плоскости линзы. В случае рассеивающей линзы в этой точке пере-
секаются не сами лучи, а их мнимые продолжения.
Тонкая линза для лучей, составляющих малый угол с главной опти-
ческой осью, обладает свойством давать изображение точки предмета
в виде точки. Изображение предмета может быть действительным или
мнимым. В первом случае оно образовано лучами, действительно пере-
секающимися после преломления в линзе (рис. 164), во втором случае
изображение образовано мнимыми продолжениями преломленных в лин-
зе лучей (рис. 165),
Уберем линзу и найдем вершину пучка пересекающихся лучей.
Эта вершина — одна из точек предмета или источника. Так как в присут-
Рис. 166, Рис, 167,
ствии линзы лучи могут и не пересекаться в действительности в этой
точке, то предмет или источник может быть как действительным
(рис. 166), так и мнимым (рис. 167). В последнем случае источником
будет вершина пучка мнимых продолжений лучей/падающих на линзу.
Формула линзы и правило, по которому ставятся знаки перед чле-
нами этой формулы, полностью совпадают с аналогичными для сфериче-
ского зеркала, т. е.
где расстояние от предмета до линзы d, расстояние от линзы до изоб-
ражения f и фокусное расстояние F являются величинами положитель-
ными. Плюс перед членами формулы ставится, если соответствующий
предмет (изображение) действительный, минус — если мнимый, Знак
182
ответа указывает лишь на правильность определения характера (но
не модуля) неизвестной величины. Положительный ответ свидетельствует
О справедливости предположения о мнимости или] действительности
изображения (предмета), отрицательный — об ошибочности.
Фокусное расстояние F, радиусы кривизны fa и R2 сферических
поверхн°стей линзы и показатели преломления и п2 вещества линзы
и окружающей среды связаны соотношением
F \н2 J \ fa fa ]
Как обычно, формула дает только модуль F\ знак же перед левой частью
выбирается по обычному правилу: плюс — действительный фокус,
минус — мнимый. Знаки перед членами, содержащими и /?2> берутся
положительными для выпуклых поверхностей, отрицательными — для
вогнутых. Величина D=\/F, обратная фокусному расстоянию, назы-
вается оптической силой линзы. Оптическая сила D линзы выражается
в диоптриях: 1 дптр=1 м-1.
1087. При съемке автомобиля длины 1=4 м пленка рас-
полагалась от объектива на расстоянии /=60 см. С какого
расстояния d снимали автомобиль, если длина его негатив-
ного изображения Л=32 мм?
1088. Проверяя свои очки, человек получил на полу ком-
наты действительное изображение лампы, висящей на вы-
соте Н=3 м, держа очковое стекло под лампой на расстоя-
нии h=l м от пола. Какова оптическая сила D стекла?
1089. Точечный источник света находится на главной
оптической оси собирающей линзы с фокусным расстояни-
ем F=6 см на расстоянии d=4 см от нее. На каком расстоя-
нии а от линзы по ту же сторону, что и источник, необхо-
димо поставить плоское зеркало, чтобы по другую сторону
линзы существовало действительное изображение источни-
ка на расстоянии /=12 см от линзы?
1090. На рис. 168 S — точечный источник света, S'—
его изображение. Найти построением положение оптиче-
ского центра линзы и каждого из ее фокусов в случаях, ког-
да главной оптической осью линзы являются прямые 1 — 4.
1091. Найти построением положение фокусов линзы для
луча, изображенного на рис. 169.
183
1092; Фотографу нахедящийея на борту судна, снимает
катер, идущий встречным курсом. В момент съемки катер»
находится под углом а=45° по ходу судна на расстояний-
d=150 м от него (рис. 170). Скорости движения судна
Q =18 км/ч, а катера у2=36 км/ч. Какое мак-=
у симальное время экспозиции А/ может дать
/ фотограф, чтобы размытие изображения на>
/ пленке не превышало AZ=0,03 мм? Фо-
ч кусное расстояние объектива фотоаппарат
vf / та F=5 см.
ки/ 1093. Как нужно изменить расстояние
Г/ между объективом фотоаппарата и пла-
Д стинкой при переходе от съемки очень
U удаленных предметов к съемке объекта, рас-
Рис. 170. положенного на расстоянии d=2 м от объек-
тива с фокусным расстоянием F=13,5 см?
1094. Изображение предмета получается на матовом стек-
ле фотоаппарата. На какое расстояние а надо передвинуть
объектив фотоаппарата, если между объективом и матовым
стеклом поместить стеклянную пластинку толщины h=?
=4 мм с показателем преломления и = 1,6? Считать углы па-
дения настолько малыми, что sina^tga.
1095. Собирающая линза вставлена в круглое отверстие
в непрозрачной широте. Точечный источник света находится
н^ главной оптической оси линзы на расстоянии d=10 см
ot нее. По другую сторону линзы на таком же расстоянии
d от нее поставлен: перпендикулярно к оси экран. На экране
виден светлый круг, диаметр которого в п=2 раза меньше
диаметра линзы. Найти фокусное расстояние F линзы.
1096, Точечный источник света находится на главной оп- -
тической оси линзы на расстоянии d=25 см от нее. Фокус-
ное расстояние линзы F=10 см, ее радиус г=5 см. По дру-
гую сторону линзы ставят экран так, что на нем получается
четкое изображение источника. Затем экран перемещают :
вдоль оси на расстояние а=5 см. Найти радиус R светлого
круга на экране.
- 1097. Собирающая линза с фокусным расстоянием F—
=0,06 м вставлена в отверстие радиуса г=0,03 м в непро-
зрачной ширме. На экране, находящемся на расстоянии
а=0,16 м от ширмы, получено четкое изображение точечно-
го источника света. Каков будет радиус R светлого круга
на экране, если вынуть линзу из отверстия?
1098. Собирающая линза с фокусным расстоянием F=
=5 см вставлена в круглое отверстие радиуса г=3 см в дос-
ке. Точечный источник света находится на главной оптиче-
184
сКОй ОСИ линзы на растоянии d=15 см от нее. По другую
сторону доски помещен лист бумаги, ид котором получает-
ся четкое изображение источника. Каков будет радиус R
светлого круга на листе бумаги, если линзу вынуть из от*
верстия?
Изображение миллиметрового деления шкалы,
расположенной перед линзой на расстоянии d=12,5 см,
имеет на экране длину L=8 см. На каком расстоянии f от
линзы находится экран?
1100. Освещенная щель высоты Л=б см проектируется
с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием Г==
==10 см на экран, отстоящий от линзы на расстоянии
= 12 см. Найти высоту Н изображения щели на экране.
1101. Предмет длины 1=8 см проектируется на экран.
Какое фокусное расстояние F должен иметь объектив, на-
ходящийся на расстоянии /=4 м от экрана, чтобы изобра-
жение предмета на экране имело длину L=2 м?
1102. В центре плоского зеркала, поставленного под
углом а=45° к горизонту, находится верхний фокус гори-
зонтально расположенной лин-
зы объектива эпидиаскопа с on-
тической силой D = 10 дптр. На р
расстоянии 1=2 мм от нижнего -------------—
фокуса помещают ярко освещен-
ную фотографию, имеющую раз-
меры аХ6=4Хб см2 (рис. 171). !-
Найти расстояние L от экрана I • •
до главной оптической оси линзы j 1
и размеры АхВ четкого изоб- Рис. 171.
ражения фотографии на экране.
1103. Собирающая линза с оптической силой D=8 дптр
дает изображение предмета, равное размеру предмета. Как •
нужно изменить расстояние между линзой и предметом, что-
бы его изображение уменьшилось в три раза?
1104. Собирающая линза дает на экране изображение
предмета с увеличением k=2. Расстояние от предмета до-
линзы превышает ее фокусное расстояние на величину а=
=6 см. Найти расстояние f от линзы до экрана.
1105. Точечный источник света находится на расстоянии
d от собирающей линзы с фокусным расстоянием F=0,6 m. •
Колебания линзы поперек главной оптической оси приво-
дят к колебаниям изображения точки с амплитудой Лг=
= 1,6 см, а поперечные колебания источника стой же ампли-
тудой вызывают колебания изображения с амплитудой
А2=1,5 см. Найти расстояние d от источника до линзы.
185
1106. Расстояние от предмета до собирающей линзы в
п=5 раз больше фокусного расстояния линзы. Найти уве,
личенпе k линзы.
1107. На каком расстоянии f от объектива проекцией,
ного аппарата с фокусным расстоянием F=0,l м нужно по,
местить экран, чтобы изображение на экране былов^=50раз
больше предмета на диапозитиве?
1108. При топографической съемке с самолета, летящего
на высоте /7=2000 м, необходимо получить снимки местно,
сти в масштабе 1:4000. Каково должно быть фокусное рас-
стояние F объектива?
1109. Объектив телевизионного передатчика отбрасыва-
ет изображение свободно падающего предмета, находящего-
ся перед ним на расстоянии d—5 м, на светочувствительный
слой передающей трубки. Найти фокусное расстояние Р
объектива передатчика, если изоб-
с>________ ф ражение движется с ускорением
I с . =0,2 м/с2.
*" F I Г 1110. Построить изображение от-
\ Ф резка АВ. параллельного главной
Рис 172. оптической оси собирающей линзы
(рис. 172).
1111. Точечный предмет движется по окружности со ско-
ростью и=3 см/с вокруг главной оптической оси собира-
ющей линзы в плоскости, перпендикулярной к оси и отстоя-
щей от линзы на расстоянии d=l,5F, где F— фокусное
расстояние линзы. В каком направлении и с какой ско-
ростью V движется изображение предмета?
1112. Собирающая линза с фокусным расстоянием F=
=4 см дает изображение точки, расположенной на расстоя-
нии d=12 см от линзы несколько выше ее оптической осп.
На какое расстояние L сместится изображение точки на
экране при перемещении линзы на расстояние 1=3 см вниз
от ее первоначального положения?
1113. Светящаяся точка описывает окружность радиу-
са г в плоскости, перпендикулярной к главной оптической
оси собирающей линзы с оптической силой D, а ее изображе-
ние описывает на экране окружность радиуса R. На каком
расстоянии f от линзы находится экран?
1114. Какое увеличение k диапозитива дает объектив
проекционного фонаря с фокусным расстоянием F=0,25 м,
если экран удален от объектива на расстояние /=4 м?
1115. Расстояние от предмета до собирающей линзы и
от линзы до изображения одинаковы и равны d=0,5 м. Во
186
сколько раз увеличится изображение, если сместить пред-
ает на расстояние а=20 см по направлению к линзе?
1116. С помощью фотографического аппарата, имеюще-
го размеры кадра 24X36 мм2 и фокусное расстояние объек-
тИВа У7=50 мм, производится фотографирование стоящего
целовека, рост которого h=l,8 м. На каком расстоянии d
оТ человека нужно установить аппарат, чтобы сфотографи-
ровать человека во весь рост?
1117. Действительное изображение светящейся точки
получается на расстоянии /=8 см от линзы и на расстоянии
£=2 см ниже ее главной оптической оси. Фокусное расстоя-
ние линзы F=5 см, ее радиус г=5 см. На каком расстоянии
а перед линзой нужно поставить экран, имеющий форму
верхней половины линзы, чтобы изображение точки исчезло?
1118. Кинооператору требуется снять автомобиль, дви-
жущийся со скоростью и=72 км/ч на расстоянии d=26 м
от оператора. Фокусное расстояние объектива кинокамеры
р= 13 мм. Какова должна быть экспозиция Д/, чтобы раз-
мытость AL контуров изображения не превышала величи-
ны а=0,05 мм?
1119. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы F=
=5 см. Точечный источник света находится на главной оп-
тической оси линзы на расстоянии d=6 см от нее. Линзу
разрезали по диаметру на две равные части, которые раздви-
нули на расстояние 21=1 см симметрично относительно оси.
Найти расстояние S между двумя изображениями точки.
1120. Вдоль главной оптической оси собирающей лин-
зы с фокусным расстоянием F=12 см расположен предмет,
один конец которого находится на расстоянии dx= 17,9 см
от линзы, а другой — на расстоянии d2=18,l см. Найти
увеличение k изображения.
1121. С каким увеличением k изображается тонкий пря-
мой предмет, совпадающий на некотором участке с главной
оптической осью собирающей линзы, если объект, установ-
ленный у одного конца предмета, изображается с увеличе-
нием kb а у другого — с увеличением й2? Оба конца пред-
мета находятся от линзы на расстояниях больше фокусного.
1122. Шарик поочередно помещают в точки А и В, на-
ходящиеся на главной оптической оси собирающей линзы
по одну сторону от нее. Расстояние AB=L Линза дает по-
очередно два изображения шарика с увеличениями kA и
kB. Найти расстояние L между изображениями шариков.
1123. Каково минимально возможное расстояние
между предметом и его изображением, полученным g по-
мощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F?
ft87
• 1124. Расстояние между предметом и его действительным
изображением a=6,25F, где F— фокусное расстояние^,,
бирающей линзы. Найти расстояния d и f от предмета !д0
линзы и от линзы до изображения.
1125. Свеча находится на расстоянии а=3,75 м от экра,
на. Между ними помещают собирающую линзу, которая
дает на экране четкое изображение свечи при двух положе-
ниях линзы. Найти фокусное расстояние F линзы, если рас-
стояние между положениями линзы 6=0,75 м.
4126. Свеча находится на расстоянии а от экрана. Меж-
ду ними помещают собирающую линзу, которая дает на
экране четкое изображение свечи при двух положениях
линзы. Найти расстояние b между положениями линзы,
если фокусное расстояние линзы равно F.
• 1127. Собирающая линза дает четкое изображение пред,
мета на экране, имеющее высоту Оставляя неподвиж-
ными экран и предмет, перемещают линзу к экрану и нахо-
дят, что при другом четком изображении предмета высота
изображения равна Н2. Найти высоту предмета h.
1128. Предмет находится на расстоянии <7=0,6 м от эк-
рана. Между ними помещают собирающую линзу, которая
дает на экране четкое изображение предмета при двух по-
ложениях линзы. Найти отношение п размеров изображений,
если расстояния между положениями линзы 6=0,4 м.
•1129. Предмет находится на расстоянии <7=0,9 м от эк-
рана. Между ними помещают собирающую линзу, которая
при одном положении дает на экране увеличенное изобра-
жение предмета, а при другом — уменьшенное. Найти фо-
кусное расстояние F линзы, если отношение размеров изоб-
ражений и=4.
ИЗО. Предмет находится на расстоянии <7=0,8 м от эк-
рана. Между ними помещают собирающую линзу, которая
дает на экране четкое изображение предмета при двух по--
ложениях линзы. Найти расстояние 6 между положениями
линзы, если отношение размеров изображений п=9.
’4131. Предмет находится на расстоянии <7=0,1 м от пе-
реднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором
получается четкое изображение предмета,— на расстоя-
нии 6=0,4 м от заднего фокуса линзы. Найти фокусное рас-
стояние F и увеличение k линзы.
1132. Изображение предмета на матовом стекле фотоап-
парата при съемке с расстояния dr=8,5 м имеет высоту Н± =
= 13,5 мм, а с расстояния d2=2 м — высоту Н2=60 мм. Най-
ти фокусное расстояние F объектива.
1133. С помощью линзы на экране получили четкое изоб-
188
жение пламени свечи, имеющее высоту //1 = 15 см; Ото-
Рвинув свечу от линзы 113 расстояние b=1,5 см и передвинув
\ран, получили четкое изображение пламени свечи, имею-
э ее высоту /Л=10 см. Найти фокусное расстояние F лин-
если высота предмета h=5 см.
3 ’1134. Источник света находится на расстоянии а=5 м
оТ экрана, на котором с помощью собирающей линзы полу-
чают увеличенное в k=4 раза изображение источника. Эк-
пан отодвигают на расстояние Ь=4 м; при этом восстано-
вить четкость увеличенного изображения можно, передви-
нув линзу или источник. Найти увеличения и k2 в обоих
случаях.
1135. Какое увеличение k может дать лупа с оптической
силой D=8 дптр? Расстояние наилучшего зрения й0=25см.
1136. Лупа дает увеличенное в kj=5 раз изображение
предмета, лежащего в ее фокальной плоскости. Эту лупу
хотят использовать в качестве объектива проекционного фо-
наря. На каком расстоянии d от объектива должен распо-
лагаться диапозитив, чтобы на экране получилось его изоб-
ражение, увеличенное в Л2=10 раз? Расстояние наилучшего
зрения d0=25 см.
1137. Лупа находится на расстоянии Ь=5 см от глаза,
изображение — на расстоянии наилучшего зрения d0==25 см.
На каком расстоянии а от глаза должен располагаться пред-
мет при рассмотрении его через лупу с фокусным расстоя-
нием F=2 см? Какое при этом получится увеличение А?
1138. Линза с оптической силой D=4 дптр дает увели-
ченное в k=5 раз изображение предмета. На каком расстоя-
нии d перед линзой находится предмет?
1139. Собирающая линза дает расходящийся пучок све-
та, причем угол между крайними лучами пучка 2а=60°.
Найти фокусное расстояние F линзы, если ее радиус г=5 см,
а .точечный источник света находится на расстоянии d=4 см
от линзы.
1140. Собирающая линза с фокусным расстоянием
F=6 см дает расходящийся пучок света, причем угол между
крайними лучами пучка 2а =90°. Найти расстояние d от
точечного источника света до линзы, если ее радиус г=3 см.
1141. Точечный источник света помещен в фокусе соби-
рающей линзы с фокусным расстоянием F=6 см. За линзой
на расстоянии &=12 см от нее расположен плоский экран,
на котором видно светлое пятно. В какую сторону и на ка-
кое расстояние а от фокуса линзы надо переместить вдоль
главной оптической оси источник, чтобы радиус г светлого
пятна на экране увеличился в п=2 раза?
189
1142. Построить изображение светящейся точки, ле>ка.
щей на главной оптической оси собирающей линзы на рас^
стоянии, меньшем фокусного. Положение фокусов .линзы
задано.
1143. Найти построением положение светящейся точки
если известен ход двух лучей после их преломления в лин’
зе (рис. 173). Один из этих лучей пересека.
ется с главной оптической осью линзы в
- ее фокусе.
24 1144. Мнимое изображение предмета
'V находится на расстоянии f=l м от соби-
j_, рающей линзы с фокусным расстоянием
ис' ‘ F=0,25 м. На каком расстоянии d от лин-
зы расположен предмет?
1145. Мнимое изображение предмета, расположенного
на расстоянии d=0,4 м от собирающей линзы, находится
на расстоянии f=l,2 м от линзы. Каково фокусное расстоя-
ние F линзы?
1146. Мнимое изображение предмета находится в фокаль-
ной плоскости собирающей линзы. На каком расстоянии
от линзы расположен предмет?
1147. Собирающая линза дает прямое изображение пред-
мета с увеличением k=2. Расстояние между предметом и
изображением а=20 см. Найти фокусное расстояние F линзы.
1148. Собирающую линзу с оптической силой D=0,5 дптр
помещают между двумя точечными источниками света так,
что отношение расстояний di и dt от источников до линзы
n=di/cfa=4. Расстояние между изображениями Ь=2 м, при-
чем изображения находятся по одну сторону линзы. Найти
расстояние а между источниками.
1149. Два точечных источника света находятся на рас-
стоянии Ь=24 см друг от друга. Между ними на расстоянии
d=6 см от одного из них помещена собирающая линза. При
этом изображения обоих источников получились в одной
и той же точке. Найти фокусное расстояние F линзы.
1150. Расстояние от предмета до линзы d=10 м, рас-
стояние от линзы до изображения ^=2,5 м. Найти оптиче-
скую силу D линзы в случаях мнимого и действительного
изображений.
1151. Фокусное расстояние собирающей линзы Г=18 см.
Где расположена светящаяся точка, если ее изображение
получается на расстояниях /=12 см от линзы и А=5 см от
главной оптической оси?
1152. Собирающая линза дает изображение предмета,
расположенного от нее на расстоянии d—9,9 см, с увеличе-
190
ием Найти фокусное расстояние F линзы в случаях
Нействительного и мнимого изображений.
Д 1153. Фокусное расстояние собирающей линзы F=10 см,
пясстояние от предмета до фокуса 5=5 см, высота предме-
та д=2 см. Найти высоту Н действительного и мнимого изоб-
па?кеНИ®‘
Е 1154. Главная оптическая ось собирающей линзы совпа-
дает с осью светового конуса, образованного сходящимся
пучком лучей, а фокус линзы совпадает с вершиной конуса.
Ла каком расстоянии f от линзы пересекаются лучи после
преломления, если оптическая сила линзы 0=5 дптр?
г 1155. На пути сходящегося пучка лучей поставили соби-
рающую линзу с фокусным расстоянием F—7 см. В ре-
зультате лучи сошлись в точке А на расстоянии /=5 см от
линзы. На каком расстоянии b от точки А сойдутся лучи,
если линзу убрать?
1156. Цилиндрический пучок лучей, имеющий радиус
Г1=5 см,'направляется на рассеивающую линзу параллель-
но ее главной оптической оси. Пройдя линзу, пучок дает
на экране пятно радиуса г2=7 см. Каков будет радиус г3
пятна на экране, если рассеивающую линзу заменить со-
бирающей с тем же фокусным расстоянием?
1157. Цилиндрический пучок света радиуса г2=4 см
направляется на собирающую линзу параллельно ее главной
оптической оси. Пройдя линзу, пучок дает на экране пятно
радиуса г2=2 см. Каков будет радиус г3 пятна на экране,
если собирающую линзу заменить рассеивающей с тем же
фокусным расстоянием?
1158. Мнимое изображение светящейся точки в рассеи-
вающей линзе с оптической силой D ——б дптр находится
в два раза ближе к линзе, чем сама точка. Найти положение
светящейся точки, если она лежит на главной оптической
оси линзы.
1159. Висящий на стене здания термометр рассматрива-
ют через рассеивающую линзу с оптической силой D —
=—5 дптр. Линза расположена параллельно стене ниже
термометра так, что шарик термометра виден в направлении
побочной оптической оси линзы, отклоняющейся от главной
оптической оси вверх на угол а=30°. Под каким углом 0
к главной оси расположена побочная ось, на которой лежит
изображение верхней точки термометра, если длина изоб-
ражения термометра /7=6,4 см, а расстояние между лин-
зой и стеной d=60 см?
1160. Светящаяся точка S расположена перед рассеива-
ющей линзой. Построить ход произвольного луча SK,
191
падающего на рассеивающую линзу. Положение оптиче
ского центра О линзы и ход луча SBC заданы (рис. 174).
1161. Построить ход произвольного луча АВ, падающего
на рассеивающую линзу. Положения главной оптической
оси линзы и ее фокусов заданы (рис. 175).
1162. Предмет высоты h=0,03 м расположен на расстоя-
нии d=0, 15 м от рассеивающей линзы с фокусным расстоя-
нием F=0,3 m. На каком расстоянии f от линзы находится
изображение? Какова будет высота Н изображения?
1163. Точечный источник света, расположенный на рас-
стоянии di=l,2 м от рассеивающей линзы, приближают
к ней вдоль главной оптической оси до расстояния d2=0,6 м.
При этом мнимое изображение источника проходит вдоль
оси расстояние /=10см. Найти фокусное расстояние F
линзы.
1164. Световой луч, падающий на рассеивающую линзу
с фокусным расстоянием F=13,5 см, после преломления
в ней пересекает главную оптическую ось линзы в точке,
отстоящей от линзы на расстоянии /=9 см. В какой точке
пересечет луч ось, если линзу убрать?
1165. Сходящийся пучок лучей, проходящий через от-
верстие радиуса г=5 см в непрозрачной ширме, дает на эк-
ране, расположенном за ширмой на расстоянии 6=20 см,
светлое пятно радиуса R =4 см. После того как в отверстие
вставили линзу, пятно превратилось в точку. Найти фо-
кусное расстояние F линзы.
1166. Сходящийся пучок лучей имеет вид конуса с вер-
шиной в точке А. Когда на пути лучей поставили рассеи-
вающую линзу, сходящийся пучок превратился в расхо-
дящийся с вершиной в точке В. Точки А и В лежат на глав-
ной оптической оси линзы на расстоянии /=0,45 м друг от
друга, и оптический центр линзы делит отрезок В А в отно-
шении п : т = 1 : 2. Найти фокусное расстояние F линзы.
1167. Рассеивающая линза с фокусным расстоянием F=
= 12 см помещена между двумя точечными источниками,
192
в два раза ближе к одному из них, чем к другому. Расстоя-
ние между изображениями источникав Л=7,8 см. Найти рас-
стояние I между источниками.
1168. Экран расположен на расстоянии Z=21 см от от-
верстия, в которое вставлена линза радиуса г=5 см. На
линзу падает сходящийся пучок лучей, в результате чего
на экране образуется светлое пятно радиуса 7?=3 см. Ока-
залось, что если линзу убрать, то радиус пятна не изменя-
ется. Найти фокусное расстояние F линзы.
1169. Стеклянная линза имеет в воздухе (/г«1) опти-
ческую силу 0=5 дптр. Найти фокусное расстояние F той
Же линзы, погруженной в воду. Показатель преломления
стекла ист=1,5, воды«в = 1,33.
1170. Стеклянный стержень с показателем преломления
/1СТ=1,5 имеет воздушную полость (пж 1), одна сторона кото-
рой плоская и перпендикулярна к оси стержня, а другая —
выпуклая, с радиусом кривизны R = 10 см. Вдоль стержня
распространяется пучок параллельных лучей. Найти фо-
кусное расстояние F воздушной линзы.
1171. Кусок стекла с показателем преломления нст=
= 1,5 имеет воздушную полость (п^1) в виде двояковыпук-
лой линзы с радиусами кривизны R = 10 см. На главной оп-
тической оси линзы внутри стекла на расстоянии d=20 см
от линзы находится песчинка. Найти расстояние / от лин-
зы до изображения песчинки.
1172. Крайние лучи видимого спектра для оптического
стекла «флинт» имеют показатели преломления пх=1,745 и
«2=1,809. Из этого стекла сделана двояковыпуклая линза
с радиусами кривизны 7?х=/?2=0,2 м. Найти расстояние а
между фокусами линзы для крайних лучей спектра.
1173. Собирающая линза с радиусами кривизны Ri=
= 12,5 см и /?2=26 см дает в воздухе (п^1) действительное
изображение предмета, расположенное на расстоянии f=
=24 см от линзы, когда предмет находится на расстоянии
d=50 см от линзы. Та же линза, погруженная в жидкость,
действует как рассеивающая с фокусным расстоянием F=
= 1 м. Найти показатель преломления «ж жидкости.
1174. Две собирающие линзы одинаковой формы сдела-
ны из разных сортов стекла с показателями преломления
«х=1,5 и п2=1,7. Найти отношение фокусных расстояний
линз в воздухе (п^1) и в воде (nB = 1,33).
1175. Плоско-выпуклая линза с фокусным расстоянием
Л=10 см погружена плоской поверхностью в воду так,
что сферическая поверхность линзы находится в воздухе.
Перпендикулярно к поверхности воды падают параллель-
7 Г. А. Бендриков и др. J93
ные лучи света. На каком расстоянии от плоской поверх-
ности линзы фокусируются световые лучи? Показатель пре-
ломления воды лв = 1,33. Диаметр линзы много меньше'ее
фокусного расстояния.
1176. Фотограф с лодки снимает морскую звезду, лежа-
щую на дне прямо под ним на глубине /7=2 м. Во сколько
раз изображение на пленке будет меньше предмета, если
фокусное расстояние объектива /ч=10 см, расстояние от
объектива до поверхности воды /=50 см? Показатель пре-
ломления воды /?в = 1»33.
1177. В музее сфотографирована большая гравюра, а
затем и ее отдельные фрагменты в натуральную величину.
Во сколько раз было увеличено время экспозиции при фото-
графировании деталей гравюры, чтобы интенсивность по-
чернения фотопластинки осталась прежней?
§ 31. Оптические системы
Расчет изображений в сложной оптической системе, компоненты
которой (линзы, зеркала) расположены вдоль общей главной оптической
оси, удобно производить, разбив его на последовательные этапы. Не
обращая первоначально внимания на все компоненты системы, кроме
первого, нужно вычислить положение изображения, даваемого первой
линзой (или зеркалом). Это изображение в свою очередь служит источ-
ником для второй линзы (или зеркала), которая также рассматривается
отдельно от всех остальных частей системы.
При этом, если первый компонент системы дает мнимое изображе-
ние, то на второй компонент падают расходящиеся лучи, и, следова-
тельно, источник для него будет действительным. Если же первый
компонент системы дает действительное изображение, то на второй
компонент могут, в зависимости от его положения, падать сходящиеся
пли расходящиеся лучи. В первом случае источник для второй линзы
(или зеркала) должен, как обычно, считаться мнимым, во втором
случае — действительным. Так как лучи падают далее на следующую
линзу (или зеркало), то процесс расчета продолжается и' далее до
выхода лучей из системы.
Размер полученного изображения и увеличение рассчитываются
аналогично. Особый интерес представляет вычисление углового увеличе-
ния, за меру которого можно принять отношение тангенсов углов между
пучками лучей, входящими в систему и выходящими из нее. Если рас-
сматривать только прносевые пучки (малые углы), то отношение танген-
сов можно заменить отношением синусов или отношением самих углов.
Микроскоп можно рассчитывать как двухлинзовую систему, в ко-
торой действительное изображение, даваемое объективом, рассматри-
вается в окуляр как в лупу. Увеличение микроскопа вычисляется как
194
произведение увеличений объектива и окуляра. При длительной работе
глаз наблюдателя должен быть не напряжен (аккомодирован на беско-
нечность). Это означает, что объектив создает изображение в фокальной
плоскости окуляра, и увеличение окуляра k2=d0/F2, где d0 — расстоя-
ние наилучшего зрения нормального глаза, Га — фокусное расстояние
окуляра (см. задачу 1135). Увеличение объектива где —
фокусное расстояние объектива, 6 — длина тубуса микроскопа (расстоя-
ние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра).
Таким образом, увеличение микроскопа
k = k^k2 — bd^/FiF 2«
Под расстоянием наилучшего зрения d0 во всех задачах понимается
наименьшее расстояние, на котором человек может четко видеть детали
предметов без чрезмерного напряжения глаза. Так как чрезмерное на-
пряжение глаза нигде не предполагается, под расстоянием наилучшего
зрения d0 можно подразумевать ближний предел аккомодации нормаль-
ного глаза. Во всех задачах считается, что d0=25 см.
Очки, рассматриваемые в ряде задач, представляют собой тонкие
линзы, вплотную прилегающие к глазу.
1178. Две линзы с фокусными расстояними Fj и Fi, при-
ставленные вплотную друг к другу, дают изображение источ-
ника, расположенного на некотором расстоянии перед лин-
зами. Обе линзы заменяют одной, помещенной на том же
месте. Какова должна быть оптическая сила D этой линзы,
чтобы положение изображения источника не изменилось?
1179. Точечный источник света помещен в фокусе рас-
сеивающей линзы. Собирающая линза, приставленная вплот-
ную к рассеивающей, превращает падающий на нее из рас-
сеивающей линзы расходящийся пучок лучей в параллель-
ный. Найти отношение фокусных расстояний линз.
1180. Фотоаппаратом, имеющим объектив с фокусным
расстоянием /71=13,5 см, фотографируют предмет, находя-
щийся на расстоянии d=18 см от объектива. Расстояние от
объектива до фотопластинки f=21 см. Найти фокусное рас-
стояние Fi линзы, которую надо приставить вплотную к
объективу, чтобы изображение на пластинке было резким.
1181. Плоско-выпуклая линза изготовлена из вещества
с показателем преломления п. Радиус кривизны выпуклой
поверхности линзы равен /?, плоская поверхность линзы
посеребрена. Найти оптическую силу D такой системы.
1182. Предмет расположен на расстоянии d=18 см от
плоско-выпуклой линзы с фокусным расстоянием F=12 см.
Выпуклая поверхность линзы обращена к предмету, плос-
кая поверхность линзы посеребрена. На каком расстоянии
f от линзы находится изображение предмета?
7*
195
1183. Сходящийся пучок лучей, падающих на двояковог-
нутую линзу с радиусом кривизны /?=3 м, имеет вид конуса,
вершина которого находится на расстоянии d=4 м за лин-
зой. Задняя поверхность линзы посеребрена. Преломившись
на передней поверхности линзы, отразившись от задней и
снова преломившись на передней, лучи сходятся в точку,
расположенную на расстоянии Д=12 м перед линзой. На
каком расстоянии /5 за линзой сошлись бы лучи, если бы
вадняя поверхность линзы не была посеребрена?
1184. Светящаяся точка находится на расстоянии d=
«=15 см от плоского зеркала на главной оптической оси.
Плоское зеркало расположено в оптическом центре вогну-
того зеркала с радиусом кривизны /?=60 см *). Найти по-
ложение изображения светящейся точки, даваемого луча-
ми, отраженными от вогнутого, а затем от плоского зеркала.
1185. Точечный источник света находится на двойном фо-
кусном расстоянии от собирающей линзы на главной опти-
ческой оси. Плоское зеркало расположено на таком расстоя-
нии за линзой, что лучи, отразившись от зеркала и вторич-
но пройдя через линзу, идут параллельным пучком. Найти
диаметр I пучка, если диаметр линзы равен L.
1186. Свеча находится на расстоянии d=16 см перед со-
бирающей линзой с фокусным расстоянием Г=30 см. Плос-
кое зеркало расположено на расстоянии 6 = 15 см за линзой.
На каком расстоянии а от линзы получится изображение
свечи, даваемое системой?
1187. Точечный источник света находится на расстоя-
нии d=15 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоя-
нием F=10 см на главной оптической оси. По другую сто-
рону линзы на расстоянии 6=5 см от нее расположено плос-
кое зеркало. Найти расстояние а между источником и его
мнимым изображением в зеркале.
1188. Параллельный пучок света падает на собирающую
линзу, а затем на вогнутое зеркало с фокусным расстоянием
Fj=24 см. Расстояние между линзой и зеркалом 6=32 см.
Каким должно быть фокусное расстояние F\ линзы, чтобы
свет, отразившись от зеркала, собрался в точке, удаленной
от зеркала на расстояние /=6 см?
1189. Собирающая линза с фокусным расстоянием F на-
ходится на расстоянии b перед вогнутым зеркалом с радиу-
сом кривизны R. На каком расстоянии d перед линзой нуж-
но поместить точечный источник света, чтобы лучи, пройдя
♦) Здесь и далее имеется в виду, что все компоненты системы (лин-
зы, зеркала) расположены вдоль общей главной оптической оси.
196
линзу, отразившись от зеркала и снова пройдя линзу, со-
брались в той же точке, где расположен источник? При ка-
ких расстояниях b от линзы до зеркала решение возможно?
4190. Точечный источник света находится на расстоянии
^=10 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием
р=12 см на главной оптической оси.
Лучи, преломившись в линзе, падают —
на выпуклое зеркало, расположенное на
расстоянии Ь=3 см за линзой. Отражен- —
ные от зеркала лучи, вновь пройдя через
линзу, идут пучком, параллельным оп- р
тической оси (рис. 176). Найти радиус ис’
кривизны R зеркала.
1191. Точечный источник света находится на расстоя-
нии d=15 см от линзы с фокусным расстоянием F=10 см
на главной оптической оси. За линзой расположено выпук-
лое зеркало с радиусом кривизны 7? =24 см. Линза форми-
рует изображение источника с помощью лучей, прошедших
через линзу, отраженных от зеркала и вновь прошедших
через линзу. На каком минимальном расстоянии а от
линзы должно находиться зеркало, чтобы изображение
источника света совпало с самим источником?
1192. Рассеивающая линза и вогнутое зеркало располо-
жены так, что пучок лучей, параллельных главной опти-
ческой оси, пройдя линзу, отразившись от зеркала и еще
раз пройдя линзу, остается параллельным той же оси. Фо-
кусные расстояния линзы и зеркала Ff=12 см и Fi—Зб см.
Где и какое получится изображение, если поместить точеч-
ный источник света в оптическом центре зеркала?
1193. Малые противоположные участки поверхности сфе-.
ры радиуса R посеребрены. Светящаяся точка находится на
диаметре, соединяющем центры участков. На каком рас-
стоянии а от центра сферы должна находиться светящаяся
точка, чтобы после отражения от одного, а затем от другого
участка лучи сошлись на расстоянии Ь=3/?/4 от центра
сферы?
1194. Две собирающие линзы с оптическими силами Df=
=5 дптр и Di=3 дптр расположены на расстоянии & = 10 см
друг от друга. На каком расстоянии от задней линзы полу-
чается изображение бесконечно удаленного источника, да-
ваемое системой, если свет источника попадает сначала на
линзу: 1) с оптической силой Di, 2) с оптической силой D2?
1195. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
77i = 10 см и Гй=15 см расположены на расстоянии 6=30 см
друг от друга. Где следует поместить точечный источник
197
света, чтобы идущие от него лучи по прохождении обеих
линз образовали пучок лучей, параллельных главной оп-
тической оси?
1196. Две собирающие линзы с фокусными расстояния-
ми /\=20 см и F2=40 см расположены на расстоянии Ь =
= 1,5 м друг от друга. Предмет высоты 1=2 см находится
йа расстоянии ^=25 см от первой линзы. На каком расстоя-
нии fi от второй линзы получится изображение предмета
после прохождения лучей через обе линзы? Какова высота
Ъ2 полученного изображения?
1197. Две одинаковые собирающие линзы с фокусным
расстоянием F=0,1 м каждая расположены на расстоянии
6=0,25 м друг от друга. Предмет находится на расстоянии
d=0,2 м от первой линзы. На каком расстоянии а от предме-
та находится его изображение, даваемое системой линз?
1198. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
Fi=2 см и F2=20 см расположены на расстоянии 6=24 см
друг от друга. Построить изображение предмета, находя-
щегося на расстоянии d=3 см от первой линзы. Найти уве-
личение k.
1199. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
Fi=10 см и F2=15 см дают изображение предмета высоты
1=2 см, расположенного на расстоянии d=10 см от первой
линзы. Найти высоту L изображения предмета, даваемого
системой линз. Построить изображение предмета.
1200. В трубу вставлены две одинаковые собирающие
линзы с фокусным расстоянием F=12 см каждая. Предмет
расположен на расстоянии d=3 м от первой линзы. На ка-
ком расстоянии f от второй линзы получится изображение,
если расстояние между линзами 6=25 см?
1201. На каком расстоянии 6 друг от друга нужно распо-
ложить две собирающие линзы с фокусными расстояниями
fi=5 см и F2=3 см, чтобы параллельный пучок лучей,
пройдя сквозь них, остался параллельным?
1202. На каком расстоянии 6 друг от друга нужно рас-
положить собирающую и рассеивающую линзы с фокусны-
ми расстояниями Fx= 10 см и F2=6 см, чтобы параллельный
пучок лучей, пройдя сквозь них, остался параллельным?
1203. На систему из трех линз падает параллельный пу-
чок лучей. Собирающая и рассеивающая линзы с фокусны-
ми расстояниями Ft = 10cm и F2=20cm находятся на рас-
стоянии 6 = 15 см друг от друга. На каком расстоянии а от
рассеивающей линзы нужно расположить вторую собираю-
щую линзу с фокусным расстоянием F3 = 10 см, чтобы вы-
ходящий из системы пучок лучей остался параллельным?
198
1204. Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными
расстояниями Л=30 см и Г2= 10 см расположены на рас-
стоянии 6=20 см друг от друга. На собирающую линзу па-
дает параллельный пучок лучей диаметра £>i = 12 мм. Каков
диаметр D2 пучка на расстоянии а=20 см за рассеивающей
линзой?
1205. Собирающая и рассеивающая линзы с фокусным
расстоянием F=20 см каждая находятся на расстоянии
£=25 см друг от друга. На каком расстоянии d от собираю-
щей линзы нужно расположить на главной оптической оси
точечный источник света, чтобы система дала параллельный
пучок лучей? Построить ход лучей в случае, когда источник
не находится на главной оптической оси линз.
1206. Рассеивающая и собирающая линзы с фокусными
расстояниями Fx=8 см и F2=10 см находятся на расстоянии
£=6 см друг от друга. На каком расстоянии d от рассеи-
вающей линзы нужно расположить на главной оптической
оси светящуюся точку, чтобы система давала параллельный
пучок лучей?
1207. Рассеивающая и собирающая линзы с фокусными
расстояниями Fi = 10 см и F2=15 см расположены на рас-
стоянии 6=30 см друг от друга. На расстоянии d=12 см
от рассеивающей линзы на главной оптической оси находит-
ся точечный источник света. Найти расстояние а между ис-
точником и его действительным изображением.
1208. На каком минимальном расстоянии I должны быть
помещены на Луне два ярких источника света для того,
чтобы их можно было видеть с Земли в телескоп раздельно?
Фокусные расстояния объектива и окуляра телескопа Fr=
=8 м и F2=l см. Человеческий глаз может видеть раздель-
но два предмета, наблюдаемые под углом не менее <р0=
=0,001 рад. Расстояние от Земли до Луны г^З,8-108 м.
1209. Фокусные расстояния объектива и окуляра тру-
бы Галилея Fi=45 см и F2=5 см. При замене линз в трубе
на две собирающие получилась труба Кеплера с тем же уве-
личением, что и труба Галилея. Найти фокусные расстоя-
ния F3 и двух собирающих линз.
1210. Зрительная труба с фокусным расстоянием объек-
тива Г=24 см установлена на бесконечность. После того
как окуляр трубы был передвинут на некоторое расстояние,
стали ясно видны предметы, удаленные от объектива на рас-
стояние d=6 м. На какое расстояние а передвинули окуляр?
1211. Для определения увеличения зрительной трубы,
окуляром которой является собирающая линза, объектив
заменяет квадратной диафрагмой со стороной I. Найти
199
увеличение k трубы, если окуляр дает действительное
изображение диафрагмы со стороной L.
1212. Какова длина I зрительной трубы, объектив ц
окуляр которой имеют фокусные расстояния /4=25 см и
F2=8 см, если рассматриваемый предмет удален в беско-
нечность, а его изображение, даваемое окуляром, находит-
ся от окуляра на расстоянии наилучшего зрения d0=25 см?
1213. Для наблюдения некоторого объекта используют
длиннофокусный микроскоп, объектив которого не должен
приближаться к объекту ближе чем на расстояние d=5 см.
С каким фокусным расстоянием F надо взять объектив, если
увеличение микроскопа должно быть &1=180, а увеличе-
ние окуляра £2=20?
1214. Фокусное расстояние объектива микроскрпа Fi=
=0,5 см, расстояние между объективом и окуляром /=16см.
Увеличение микроскопа £=200. Найти увеличение £2 оку-
ляра, если расстояние наилучшего зрения d0=25 см.
1215. Фокусное расстояние окуляра микроскопа F2=
=4 см, расстояние между объективом и окуляром /=16 .см.
Увеличение микроскопа £=300. Найти фокусное расстояние
Fx объектива микроскопа, если расстояние наилучшего зре-
ния d0=25 см.
1216. Фокусные расстояния объектива и окуляра мик-
роскопа fi=8 мм и F2=5 см, расстояние между объекти-
вом и окуляром /=21 см. Найти увеличение £ микроскопа,
если расстояние наилучшего зрения d0=25 см.
1217. Фокусные расстояния объектива и окуляра микро-
скопа F 1=3 мм и F2=5 см. Предмет находится от объектива
на расстоянии d=3,1 мм. Найти увеличение £ микроскопа
и расстояние I между объективом и окуляром, если расстоя-
ние наилучшего зрения d0=25 см.
1218. Фокусные расстояния объектива и окуляра микро-
скопа F±=4 мм и F2=2,5 мм. Предмет находится на рас-
стоянии а=0,2 мм от фокуса объектива. Найти увеличение
£ и длину 6 тубуса микроскопа, если расстояние наилучшего
Зрения d0=25 см.
1219. Предмет находится на расстоянии d=6,l мм от
объектива микроскопа. Фокусное расстояние ркуляра F2=
=«=1,25 см, увеличение микроскопа £=1200. Найти фокус-
ное расстояние объектива Fj, если расстояние наилучшего
зрения do=25 см.
1220. Фокусное расстояние объектива микроскопа F±=
=0,3 см, длина тубуса микроскопа 6=15 см, увеличение
микроскопа £=2500. Найти фокусное расстояние F2 оку-
ляра, если расстояние наилучшего зрения d0=25 см.
200
1221. Ближний и дальний пределы аккомодации глаза
близорукого человека di=>10 см и da=12,5 см. Каковы бу-
дут пределы d[ и d'2, если человек наденет очки с оптической
силой DonK=—7 дптр?
1222. Ученик привык читать книгу, держа ее на расстоя-
нии d=20 см от глаза. Какова должна быть оптическая сила
р очков, которые должен носить ученик, чтобы читать
книгу, держа ее на расстоянии наилучшего зрения d0=25 см?
1223. Близорукий человек может четко видеть предмет,
если он находится на расстоянии не дальше d=20 см от гла-
за. Какова должна быть оптическая сила D04K очков, кото-
рые должен носить этот человек, чтобы четко видеть удален-
ные предметы?
, 1224. Какие очки необходимо прописать близорукому
ч’еЛовеку, о котором шла речь в задаче 1221, чтобы испра-
вить недостатки его зрения?
1225. Дальнозоркий человек может читать книгу, дер-
жа ее на расстоянии не менее <2=80 см от глаза. Какова
должна быть оптическая сила D04K очков, которые должен
носить человек, чтобы читать книгу, держа ее на расстоянии
наилучшего зрения d0=25 см?
201
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
I. МЕХАНИКА
§ 1. Прямолинейное равномерное
и равнопеременное движение
1. Направим координатную ось OS с началом в точке отправле-
ния поездов вдоль направления движения (рис. 177). Координата
товарного поезда в момент времени t, когда
Si = Vit Координата экспресса, который шел
на время т меньше,- в этот же момент време-
ни s2 = y2(/—т). Обе эти координаты должны
его догнал экспресс,
Рис. 177.
быть равны координате места, где экспресс догнал товарный поезд:
Si = s2 = s. Приравняв Sf и s2> находим
/ = V2T/(V2 — уг) = 1 Ч, S = — t>i) = 36 км.
Графическое решение представлено на рис. 178, где линии 1 и
2—графики движения товарного поезда и экспресса. Точка их пере-
Z С v2 В
О- > О О—. >
L/2 ; [< L/2 ? Д
Рис. 179.
к В (рис. 179). Законы движения
ют вид
$1 = — A/2-J- V]tt
сечения определяет координату
s места, где экспресс догонит
товарный поезд, и время ког-
да это произойдет.
2. Направим координатную
ось о началом в точке С от С
рвой и второй автомашин име-
s2 = L/2 — v2t.
При встрече координаты должны быть одинаковы: $1 = $2 = $. При-
равняв и s2, находим
t = L!(yl + v2) = 1,5 ч, s = L/2—у2/ = —L/2 + di/ = —30 км,
202
Графическое решение представлено на рис. 180, где линии 1 и
2— графики движения первой и второй автомашин. Точка их пере-
сечения определяет время I и координату s места встречи,
График зависимости расстояния I между автомашинами от вре-
мени t показан на рис. 181.
3. Закон движения конца стержня А: = + £/л = 0; сле-
довательно, ys = /"/2 —(x0 + ^Q2.
4. В неподвижной системе координат (рис. 182) обгон начинается,
каковы и равны, например, s0. Заканчивается обгон в момент вре-
мени, когда одинаковы координата начала товарного поезда и коор-
дината $2 конца экспресса. Если за начальный момент времени при-
нять начало обгона, то законы движения начала товарного поезда
и конца экспресса будут
$1 = «о + zi + s2 = s0 — 12+и2(.
Приравняв si и s.2) получим t =
= (/i+/2)/G’2-^i) = 50c.
Эту задачу можно решить в
движущейся вместе с товарным
Рис. 183.
поездом системе координат, начало которой совпадает с началом
этого поезда, а направление—с направлением его движения (рис. 183),
В этой системе координат скорость экспресса t,2 = ^2 — Закон дви-
жения конца экспресса, если за начальный момент времени принять
203
начало обгона, будет иметь вид s = — (/х+ Z2) + y2^ В момент завер-
шения обгона конец экспресса окажется в начале нашей системы
координат. Поэтому его координата s = 0; следовательно, для этого
момента времени
г/, +12 = t = (It + Z2)/(va - t>i) = 50 c,
5. Z = (У1 + ^2) / = 150 m.
6, = —2Zt>2//= 15 м/с,
7. В системе координатj изображенной на рис, 184, законы дви-
жения наклонной плоскости и стержня имеют вид
= $ = {/i = 0; х2 = 0, y2 = h = vt.
Для любого момента времени y2 = h = s tg а, следовательно, и = « tg а.
8. Вертикальная составляющая скорости капель vy = и cos а от
скорости движения трамвая и и скорости ветра w не зависит, Гори-
зонтальная составляющая скорости капель при неподвижном трамвае
определяется скоростью ветра: vx = v sin a=w. При движении трам-
вая согласно условию
ui = DSina—и = 0, или а> = и = 5м/с»
Из рис^ 185 находим, что скорость капель в безветренную погоду
vy = vx ctg « = « ctg а =s8,66 м/с.
9. Направим ось ОХ системы координат с началом в месте, где
пловец входит в воду, вдоль берега по течению, а ось OY—перпен-
дикулярно к берегу. Предположим,- что скорость пловца ю составляет
Рис. 186. Рис. 187,
204
с осью ОХ угол а (рис. 186). Тогда закон движения пловца в проек-
циях на оси координат будет иметь вид
х = (u-\-v cos а) /, r/ = (flsina)/.
Пловец попадает на другой берег, когда y=h. Необходимое для
этого время / = /i/L'sina‘. Оно будет минимальным, когда sin а макси-
мален, т. е. а = л/2 (рис. 187): /min=^/o.
При а = л/2 имеем x = ut. Поэтому $ когда пловец окажется на
другом берегу, Z = xmin = utm\n = uh/v. Длина пройденного пути
s = V = Л /«»+ 1,2/0.
10. В системе координат X0Y с началом в пункте А (рис. 188)
координаты лодки:
х= (и — v cos a) /, j/=(flsina)/.
11. Направим ось OX системы координат (рис. 189) против дви-
жения корабля (на восток), а ось 0Y — перпендикулярно к движению
(на север). Составляющая ц0х = п0 cos Р скорости ветра и0 относи-
тельно корабля больше составляющей «Л = цсоэа скорости ветра и
относительно земли на величину v (здесь Р и a—углы между курсом
корабля и направлениями скоростей и0 и и, v—скорость корабля):
и0 cos P = u cos a + (1)
Составляющие скоростей u0z/ = u0sin₽ и uy = usina в направлении,
перпендикулярном к движению корабля, равны между собой:
п0 sin Р = u sin a. (2)
Чтобы исключить неизвестный угол р, возведем (1) и (2) в квадрат
и сложим почленно: п$ = п2+о2+2ап cos а; отсюда
п = — v cos a ± fl2 (cos2 a—l) + wo«
Учитывая, что a = 45°, имеем _____________
u = —v/y 2+Ино—о2/2»
Здесь мы отбросили отрицательный корень, так как согласно усло-
вию и > 0 (этот корень появился при возведении в квадрат уравне-
ний (1) и (2)).
205
12. Рассмотрим движение тела 2 относительно тела 1. В системе
координат XOY, связанной с телом 1 (рис. 190), составляющие отно-
сительной скорости v тела 2 будут
vx =—cos а), t^ = u2sina,
Сама относительная скорость v=V Vx-j-v# направлена по диагонали
прямоугольника, построенного
на их и vy. Кратчайшим расстоянием
между телами 1 и 2 за все время
их движения будет длина перпен-
дикуляра AD = l к линии, по
которой направлена относитель-
ная скорость. Если обозначить
угол между осью ОХ и относи-
тельной скоростью v через 0, то
l = L sin Р, причем sin $ = vy/v. Та-
ким образом,
I = Lvy IYvi+vl = Lv2 sin a/Vvj + Im + 2t>iv2 cos a.
Время, в течение которого тело 2 в относительном движении пройдет
расстояние BD = L cos р, будет t = BD]u = (L cos p)/u. Подставляя
значения cos Р = | vx/v | п и, получим
t = L (с»] + с2 cos a)/(ui + y-2 + 2t/1u2 cos а).
13. Время движения первого поезда = 5/2^-|-s/2t»j, его средняя
скорость t'Cp i = 2u1t4/(u1 + v[) = 53,3 км/ч. Путь, пройденный вторым
поездом, s2 = (и2+ t4)f/2, его средняя скорость гср 2 = (^г + ^/З =
= 60 км/ч.
14. 0 = Уо + а2/2 + аз^ + Д4*4==5м/с;
S = П0/1+ (со^2 + а2^2/2) + [(Ц) + а2^) h + Дз^з/2] 4“
+ [(уо + д2^ + аз^з) ^4"а4^4/24“^к^б] = 82,5 м;
С’ср = s/(G + /2+ /3 + ^4+ /5) = 5,9 м/с.
На графике v = f (/) (рис. 191) конечная скорость рк=5м/с.
Путь s численно равен сумме площадей S[, обозначенных на рисунке:
s = 2 si = 64-8 + 42,5+16+10 = 82,5 м. Средняя скорость г>ср численно
равна высоте прямоугольника, площадь
которого равна сумме площадей Sf.
15. Скорость капель дождя относи-
тельно самолета и = w2 + , где у0 =
=— у, составляет угол Р с горизон-
том, причем sin $=w/u и cosP = t»0/«
(рис. 192). На переднее стекло в еди-
ницу времени падают капли дождя, на-
ходящиеся в косой призме с образующей и,
206
площадью основания S (основанием является это стекло) и высотой
/1===г/ sin у» где у = а-|-р (рис. 193). Объем этой призмы
Г = Su sin (a + P) = Sw (sin a cos В 4-cos a sin B).
Если в еДиниЦе объема находится одновременно п капель, то число
капсль в призме, или, что то же, число капель, падающих на перед-
»0
Рис. 192.
нее стекло в единицу времени, Учитывая значения V, sin В
и cos В, найдем A\ = Sn (usin а + се* cos а). Положив в этой формуле
♦ а = 0, получим число капель, падающих в единицу времени на верх-
нее стекло: N2 = Snw. Таким образом,
Ni//V2= (у sin a + tt)cosa)/w.
16. Так как с/к — ^о = 2а7 и v2 — v% = 2al/2, то v = + =
== 5 м/с.
17. Составляем уравнения движения:
х2 — Xi = (/2 — 6) + л (7а— 7i)2/2,
*з ~ -Ч = ) + а (*э — i)2/2,
где fj — скорость в точке Х{. Исключая c/j из этих уравнений, найдем
о (^з—-у2) ti + C*i - *3) *2 + (*2 — *1) ta
(/2-М(7з-/2)(/1-7з)
Y ^'2 + 2g/i)/g = 1 c.
a = 2 (n — l)s/(n + I) t2.
Когда второе тело догонит первое, их координаты будут равны,
18.
19.
20.
а время i=2v/a = 200 с.
21. s = 8vlvz/a (с»*-J-у2)2 == 3750 м.
22. Обозначив времена равноускоренного, равномерного и равно-
замедленного этапов движения через Af, /2 и ^з, составим уравнения
для каждого этапа:
Si = a1tl/2, v=a1ti, s2 — vt2l
S3 = d /3 — Zg/2, nK = v — a2 73 = 0.
Вместе с соотношениями /=/1 + /2+^з и з = $1 + $2 + $з они составят
систему из семи уравнений с семью неизвестными. Решая эту систему,'
найдем
t = s/v 4- (у/2d! 4- v(2a^.
207
Значительно проще можно получить решение при помощи графи,
ка v=f(t) (рис. 194). Путь численно равен площади фигуры, огра-
ниченной ломаной линией, выражающей эту зависимость, и осью вре-
мени. Эта площадь равна площа-
ди прямоугольника s0 = vl без пло-
щадей треугольников и s3:
Рис. 194.
s=s0—$i — s3 = vt — у2/2ах—f 2/2а2,
откуда для времени i получим зна-
чение, приведенное выше.
23. Характер движения поез
да такой же, как и движения авто-
мобиля в задаче 22. Поэтому для нахождения решения достаточно
в ответе задачи 22 учесть, что а1 = а2 = а- В результате получим
t = s/v-\-ula. Решая это уравнение относительно д, найдем а =
= v2/(ut— s) «0,17 м/с2.
24. и=У2gh « 6,3 м/с.
25. v = l^2gh-^uo = 24,8 м/с.
26. иср = (/"2+ 1 )/2 « 25,4 м/с.
27. t = y~2jg - /7^) « 0,02 с.
28. За время движения t тело пройдет путь s = gP/2, а за время
движения t0 < t—путь s0 = g/o/2. По условию задачи s—s0 = (2/3)s
и t—/0 = т—1с. Из системы четырех уравнений с четырьмя неизвест-
Рис. 195.
ными можно получить для s квадратное уравнение:
s2 — 3g/2s-|-9g2f4/16 = 0. Из двух корней этого
уравнения
s = (3/4)(2± KW2
лишь первый удовлетворяет условию задачи. Таким
образом, s = (3/4) (2 + V 3) £/2 = 27,4м.
29. Направим координатную ось ОН с нача-
лом отсчета в месте бросания тела вверх (рис.
195). Тогда уравнения движения будут иметь вид
h — Vjjt—gP/2, 0 = 1'0—gt. (1)
При достижении максимальной высоты подъема
/1тах скорость тела у = 0. Из второго уравнения
(1) найдем, что тело достигает высоты йтах спу-
стя время t = vn!g после бросания. При v0/g ко-
ордината h и путь s равны; в частности, при/ = u0/gпутьs = /imax=
= vl/2g. При t > v0/g координата h убывает, в то время как путь s
(сумма всех расстояний, пройденных телом, независимо от направле-
ния движения) продолжает увеличиваться; в частности, при t = 2vQ/g
координата h = 0, т. е. тело вернулось в место бросания, а путь
208
s^2hrn3x== и&З- ^Ри * > ^vo!g координата становится отрицательной,
т е, тело спускается ниже места бросания (если, конечно, для этого
еСть возможность). Из рис. 195 видно, что при t > volg пройденный
телом путь
£ = 2Лтах— h = vdg—(vot—gt2/2), (2)
гДе / — время, протекшее с начала движения. Это выражение будет
верно и при t > 2t>0/g. В тех же случаях, когда t < vjg, путь вы-
числяется, как и координата, по первой формуле (1).
По условию /= 10 с > u0/g = 3c. Поэтому вычисление пути надо
делать по формуле (2); при этом получается s = 290m. Координата
и скорость для этого момента времени, найденные по формулам (1),
будут =—200 м и v = —70 м/с.
30. 3-0, + f pjgi-"pi225„.
31. Если за начало отсчета взять место бросания тела, то коор-
дината h тела, брошенного вверх, определяется уравнением
h = vGt-gt2/2. (1)
Это уравнение при заданных v0 и h удовлетворяет двум значениям t:
h, 2 = Go ± Vvl—2gh)lg.
Разность этих значений есть промежуток времени между прохожде-
ниями телом одной и той же высоты h, т. е.
M = t2-tl=2Vrvt-2ghlg; (2)
отсюда d0 = V~2gh-[-g2 (Д/)2/4. Если в выражении (2) положить h==0,
то мы получим промежуток времени от начала движения до возврата
в начальное положение: ^t0 = 2v0/g. Подставляя значение о0, найдем
Д/о = 2/2/1/£+(Л/)2/4.
32. s = h — vot.
33. Направим координатную ось ОН с началом в месте бросания
шариков вверх. Тогда уравнения движения шариков будут иметь вид
hi = h-\-v1t1— gl{/2, h2 = h — v2t2 —gtl/2,
где и t2—времена падения на землю первого и второго шариков.
Падению на землю соответствуют координаты h1 = h2 = 0. Определив
ii и t2 из полученных квадратных уравнений, найдем
Д/ = /1—/2 = (с/1 + о2-|-КV1 + 2gh~yrvl + 2gh )/g.
34. M = Vr2s/g+tl—t2 «'1 c.
35. t»0 = (fti— h2) V~glV2 (ht — h) w 3,69 м/с.
36. Скорости первого и второго тел в момент времени t будут
1/! = ^—gt и у2 = ^о—g (*—АО* Скорость второго тела относительно
209
первсго v =t«2 —t»i = g А/ постоянна, т. e. тела движутся относительно
друг друга равномерно.
37. Пусть за некоторый весьма малый промежуток времени t
лодка переместилась из точки А в
Рис. 196.
точку В на расстояние 5—$0 = гл/
(рис. 196). За это время ве-
ревка, имевшая положение AD,
заняла положение BD, причем
Рис. 197.
длина ее уменьшилась на величину/—l^vt. При малом времени t
будет мал также и угол а. Поэтому угол (3 в равнобедренном тре-
угольнике BCD будет очень мало отличаться от 90°, т. е. треуголь-
ник АВС можно считать прямоугольным и
(/—/о)/(5—sQ) = vt/vJlt = v/Vjl = cos у; отсюда ул —f/cosy.
При приближении лодки к берегу угол у увеличивается и скорость ил
возрастает. Как видно из рис. 196, cos у = s/l = Y—Л2//; поэтому
при /=10м скорость лодки
ул =zvllj/"I2—h2 = 1,25 м/с.
Для нахождения перемещения лодки формулу пути равномер-
ного движения s—$0 = ул/ можно применять лишь в том случае,
когда промежуток времени t достаточно мал и скорость лодки в тече-
ние него не успевает заметно измениться:
S—So = VP—h2—V ii—h2= Y(l—vt)2—h2=. 1,25 м.
38. Направим координатную ось OS с началом в месте располо-
жения первого тела вдоль наклонной плоскости (рис. 197) и запи-
шем законы движения для первого и второго тел:
yi = t'o~fe sin a) t, = (g sin а)/а/2;
t’2 = — (g sin a) t, s2 = /— (g sin a) I2/2.
В момент встречи $г = $2, т- е- t = 1/^ = 5 с. Скорость вто-
рого тела относительно первого и = и2—= — и0 =—0,5 м/с,
39. рср х = sr/ti = и0 + (g sin a) G/2,
^cp 2 = Si/ti = + (g sin a) f2/2;
отсюда sin a = 2 (t'cp 2 —ycp J/g (f2~/i)= 1/2, t. e. a = 30Q.
40. Скорость движения шарика у доски при первом падении на
нее Ci=j/"2g/2, время падения ti=V2h/g, Скорость в моментотска-
210
кивания 1'2 = 0,75 ^ = 0,75 \r2gh. Из условия v = v2 —gt2 = 0 нахо-
дим время движения шарика вверх после отскакивания: t2 = v2/g =
^=0,75 J/^/i/g. Так как время подъема и время падения одинаковы,
т0 искомое время i= /]~Н2/2 = 2>5 \^2h/g = 1,38с.
41. Если координатную ось ОН направить вверх, то при паде-
мяча проекция скорости отрицательна и пропорциональна вре-
— gt. На графике такому движению соответствует линия ОЛ,
ции
меня: и =
Причем tg а соответствует уско-
рению— g (рис. 198). При ударе
проекция скорости мгновенно ме-
няет знак на противоположный,
и модуль ее уменьшается соглас-
но условию задачи в п=2 раза,
т< е. после удара модуль ско-
рости соответствует точке В. При
подъеме скорость падает до нуля
(точка С), причем наклон линии
остается прежним, так как уско-
рение все время равно —g. Далее
снова происходит падение. При
модулю скорость, которая
Рис. 198.
падении достигается та же по
была в первый момент после удара (точка D),
и т. д.
Согласно формуле u2 = 2gh высота подъема пропорциональна
квадрату скорости. Поэтому после k-ro удара, когда скорость будет
в пк раз меньше, чем перед первым ударом, высота hk будет в п2к раз
меньше h, т. е. hk — hln2k. После каждого удара мяч будет про-
ходить вверх и вниз путь, равный удвоенной высоте: после первого
удара s1 = 2/?i = 2/i/n2, после второго удара s2 = 2/i2 = 2/i/n4, после
третьего удара s3 = 2h3 = 2h/n* и т. д. Чтобы получить полный путь,
надо к сумме з1 + $2 + 5з+--« прибавить еще путь s0 = /z, пройден-
ный до первого удара. Таким образом,
Здесь в скобках стоит бесконечно убывающая геометрическая про-
грессия со знаменателем q = \/n2, Сумма членов такой прогрессии
равна 1/(1—q) — n2/(n2—1). Подставив это значение в выражение для
пути, получим s = h (п2+ 1)/(п2—1) = (5/3) Л = 200 м.
42. Шарик к моменту встречи с плитой приобрел в неподвижной
системе отсчета скорость и0 = — ]/~2gh0. Скорость шарика относительно
плиты, движущейся ему навстречу, в этот же момент равна w0 =
= — (l/r2gh0-j-и). После абсолютно упругого соударения скорость
шарика относительно плиты w = — wQ. Скорость v шарика в непод-
вижной системе отсчета после соударения больше скорости шарика
211
относительно плиты на величину и (плита догоняет отскочивший
шарик со скоростью и): v = w-\-u=Vr2gh0-]-2u, Искомая высота
h = v*/2g = (2u)2/2g = (VK+ и V^igf.
43. Разложим скорость шарика на тангенциальную (вдоль
плиты) и нормальную (перпендикулярно к плите) составляющие:
uOT = uosina и D0n = u0cosa. Тангенциальная составляющая, благо-
даря гладкости стенки, после соударения шарика с плитой не из-
менится. Нормальная составляющая относительно движущейся плиты
wOn = Ц)П + u = vQ cos a + и после соударения изменит знак, сохранив
свой модуль: шп =— ^„.Относительно неподвижной системы отсчета
нормальная составляющая vn изменится на величину и (плита дого-
няет отскочивший шарик со скоростью и)1
Vn = — (tt’n+ и) = — (и0 COS a+2и).
Полная скорость шарика относительно неподвижной системы отсчета
после соударения с плитой будет
v = VVn + = V* (vu cos a + 2u)2 + vl sin2 a,
§ 2. Криволинейное движение
44. Направим ось ОХ системы координат XOY (рис. 199) с нача.
лом на поверхности земли вдоль начальной скорости vOi а ось OY —
вертикально вверх в точку, из которой брошено тело. Движение
тела можно представить как сумму равномерного движения со ско-
ростью »о в горизонтальном направле-
нии и равноускоренного движения
без начальной скорости в вертикаль-
ном направлении с ускорением ау =
=—g, направленным вниз. Проекции
скорости на оси координат и полная
скорость в этом случае будут
а) б) vy = — gt, (1)
t'=J/’t'>+vl = KoJ+g2Za. (2)
Законы движения для координат име-
ют вид
а) х = г0/, б) y=h—gt2/2. (3)
Исключив время i из уравнений (3), получим уравнение траектории:
y=h—gx2/2v2, (4)
Это—уравнение параболы.
45. Исключив время t из уравнений (3) задачи 44, при # = 0
найдем s^=x = vQV‘2hlg = 22fi м.
212
46. Исключив время t из уравнений .(3) задачи 44, при x-s й
^-0 найдем Zi = gs2/2no = 4,9 м.
47. Исключив время t из уравнений (2) и (36) задачи 44, при
о===0 найдем п0 = У v2—2gh = 5,6 м/с.
48. Когда скорость тела, брошенного горизонтально, составляет
с горизонтом угол су. = 45° (рис. 199), имеем tg a = vy/vx =— 1; отсюда
согласно уравнениям (1) задачи 44 получаем t = volg « 1,5 с.
49. /t=(Mga)2/2g« 34,4 м.
60. Z = 2/i/tg а = 4 м.
61. Полным ускорением является ускорение свободного падения g;
следовательно, £—угол между полной скоростью и вертикалью
(рис. 199). Поэтому tg р = vxlvy — 1 и vx = vy = gt (по модулю). В этом
случае из уравнения (2) задачи 44 следует v—V2v2y = gty 2 «70,5 м/с.
52. Время падения камня (момент, когда у — — h)
f=[u0 sina+iZ(t’osin a)2 + igh]fg.
Угол Р определяется выражением
tg р = = aosina—g/__ K(^osina)24-2g/i
vx vQ cos a v0 cos a ’
Скорость камня в момент падения v =
53. Как видно из рис. 200, проекции ус-
корения свободного падения на нормаль On
и касательную От таковы:
an = gcosa, aT=gsina,
cosa = t/x/y, sina = uy/a.
Зависимости vx, vy и v от времени опре-
деляются уравнениями (1) и (2) задачи 44;
следовательно,
an=gvxlv=gvliIVrvo + g2<2 « 8,2 м/с2,
ax = gvv/v=g2t/Yv0+g2t2 м 5,4 м/с2.
54. Направим ось ОХ системы координат X0Y с началом в месте
бросания тела горизонтально в ту сторону, куда тело брошено, й ось
0Y — вертикально вверх (рис. 201). Движение тела можно предста-
вить в виде суммы равномерного движения в горизонтальном направ-
лении со скоростью u0x = u0cosa и равноускоренного движения в
вертикальном направлении с начальной скоростью y0y = y0slna и
ускорением ау = — g. Проекции скорости на оси координат и модуль
скорости в этом случае будут
а) их = уох = ц0 cos а, б) vy = vQy —gt = v0 sin a—gtt (1)
v = V~= Kt>o + g2/2—2 (c/osln a) gt, (2)
213
Зависимость угла Р от времени определяется выражением
tg ₽ = Vylvx = (уо sin a—gt)/va cos a.
На восходящей части траектории (при vOy > gi) имеем tg (3 > о n
рертикальная составляющая скорости направлена вверх, проекция
\ ^0; на нисходящей части траектории (при vOy < gt) tg Р < 0 и
вертикальная составляющая 'скорости направлена вниз, проекция
vv<°-
55. Используя ту же систему координат, что и в задаче 54
(рис. 201), запишем законы движения для координат тела:
а) х= (v0 cos a) /, б) у= (v^ sin a) g/2/2. (1)
Уравнение траектории тела получим, исключив время t .из этих
уравнений:
^ = xtga—gx2/2(v0cosa)a. „ (2)
Это—уравнение параболы.
56. При y—h проекция скорости оу = 0. Время подъема t и
высоту h найдем из уравнений (1) задач 54 и 55:
t = (v0 sin a)/g, h = (v0 sin a)2/2g.
57. Так как в месте падения # = 0, то из уравнения (16) задачи 55
найдем время полета: 1 = 2 (v0 sin a)/g. Дальность полета s = xt т. е.
координату места падения, найдем из уравнения (1а) задачи 55,
подставив в него найденное значение времени полета: $= (и2 sin 2a)/g.
58. График зависимости uy = f (t) строится по формуле (16) за-
дачи 54 (рис. 202). При Z = 0 имеем vy = vQy = vQ sin а; при /=/* =
= (vosina)/g проекция иу = 0. График зависимости vy = f (у) получим,
исключив время t из уравнений (16) задач 54 и 55 (рис. 203):
Vy= ± V(Vo sin a}'l—2gy.
График зависимости vy = /(x} получим, исключив время t из
уравнения (16) задачи 54 и уравнения (1а) задачи 55 (рис. 204):
vy — у0 sin a—gx/(v0 cos a).
214
59. Из формулы (16) задачи 55 при y = h получим для i урав’
нение
/2 2и0 sin a t , 2h=0
g g
(1)
два
соте
корня которого f] = 0,28c и ^2 = 0,75с показывают, что на вы-
h камень был дважды.
60. Используя уравнение (1) задачи 59 и свойства корней квад-
ратного уравнения, согласно которым /3-f- f2 = 2 (v0 sin a)/g и Мз =
=.2h/g> получим
v0 = g (6 + У/2 sin а = 78,4 м/с, h = gf1l2/2 = 73t5 м.
61. Исключая начальную скорость и0 из уравнения (16) задачи 54
и используя решение задачи 57, получим
s = 2 (t^+gO2 ctg a/g = 284 м.
62. В системе координат с началом
законы движения будут те же, что и в
ние s = x при у = —h. Подставляя#=
=—h в уравнение (2) задачи 55, по-
лучим для х квадратное уравнение,
решая которое найдем
s = (vo/g) cos а (уо sin а +
+ V(«0 Sin a)24-2gft).
В выбранной системе координат х>0,
поэтому второй корень уравнения от-
брошен.
63. Обозначим начальные ско-
рости тел буквами и03 и t>02. Для
в месте бросания (рис. 205)
задаче 55. Искомое расстоя-
тел, упавших на землю, в формуле (2) задачи 55 надо положить
t/=0. Заменяя в этой формуле о0 и а на п01- и а3 для первого тела
и на и02 и а2 для второго тела, найдем из двух получившихся урав-
нений v0i/y02= l^sin 2a2/sin 2ai. Если a2 = 90° —a3, то ^oi/^02=l и
У01 —^02*
64. v = 2gh = 6f4 м/с,
215
65. t/ = Kvo + 2g/i.
66. Согласно рис. 201 tg 0 = 1^/0*. По условию tgpi=cJ
tg = — 1. Используя для vx и vy формулы (1) задачи 54, найдем
/1 = Mg) (sin a —cos а), /2= Mg) (sin а+cos а).
67. Дальность полета снаряда без учета сопротивления воздуха
при заданной начальной скорости можно найти по формуле
= (и? sin 2oc)/g (см. задачу 57), Согласно условию.' х = 4s; отсюда
1>0 = 2j/*gs/sin 2а = 886 м/с.
68. В системе координат с началом в точке А (рис. 9) траекто-
рия мотоциклиста будет описываться уравнением (2) задачи 55.
Подставляя в это уравнение координаты точки приземления x = s ц
g = — А, найдем минимальную, скорость:
u = s}4 g/cosa}/r2 (A + stga).
69. Используя ту же систему координат, что и в задаче 62
(рис. 205)ж имеем 1= j/"х2+^, где х и у—координаты камня в дан-
ный момент времени. Зависимость координат камня от времени дается
формулами (1) и (2) задачи 55. Поэтому
l = iV vq— (uosin a0) g/ + g2/2/4 = 67,9 м.
70. Чтобы снаряд достиг самолета, горизонтальная проекция его
начальной скорости vOx должна быть не меньше скорости самолета и,
а вертикальная проекция начальной скорости иОу должна быть по
крайней мере равна 1^2gA; отсюда минимальная начальная ско-
рость снаряда и0=‘|/'ua-4-2gA = 743 м/с, Из условия tg a = vOy/vQx =
= У2gh/v = 1,56 находим а » 57°,
71. У1—y2 = 2v0t cos ос х 60 м.
72. Используем ту же систему координат, что и в задаче 44
(рис. 199). Проекции скорости груза при его падении vx = v0 и
vy =— gt. Угол наклона скорости к горизонту определяется выра-
жением tg a = vy/vx. Скорость имеет угол наклона а в момент вре-
мени . t = —Mg) tg а (а < 0). Подставляя это значение t в закон
движения груза по вертикальному направлению y = h0—gt2/2, най-
дем h = y=ho—(и0 tg cc)2/2g.
73. В системе координат, изображенной на рис. 206, координаты
ключа в момент выброса его из самолета:
х0 = Wo + ^o/2) cos a, = +^о/2) sin а.
Проекции скорости ключа в этот момент:
^ох = (^о4-л/о) cos а, у02/ = (и0 + а/0) sin а — и0.
Координаты ключа после выброса из самолета:
x = x0 + v0x^=(y0/0 + a/?/2) cos а + [(у0 + д/0) cos а] (1)
У=Уо+»оу1—g*2/2 =
= (^o + fl^o/2) sin а + К^о + а/о) sin а—п0] t—gt2:?' (2)
2.16
2 момент падения ключа г/ = 0. Исключая время из (1) и (2), найдем
расстояние s = x. Ввиду сложности коэффициентов в уравнении (2)
рекомендуется предварительно вычислить эти коэффициенты. Имеем
» =144м, Уоу = 29,5 м/с, g/2 = 4,9 м/с2. Искомое расстояние s = 766m.
74. Вертикальная проекция скорости в момент удара vy =
₽К(уо sin a)24-2g/i; время подъема на максимальную высоту /imax
(рис. 207) t — vy(g. Горизонтальная проекция скорости ux = t’0cosa.
Искомое расстояние равно координате точки второго удара:
s = x = 2tvx = 2v0 cos aV"(и0 sin a)2-]-2gh/g л 9,7 м.
75. В системе координат X0Y с началом в точке первого удара
шарика о плоскость (рис. 208) скорость шарика согласно законам
упругого удара в момент удара и
первый момент после удара равна
]/"2gh и направлена после удара
под углом 90°— а к оси ОХ, Проекции скорости после удара:
vx = ]/"2gh cos (90q — a)+gsin a/= Ysin a+g/ sin a, (1)
vy = p'r2g/isln (90°—a)—geos ai= Y2gh cos a—gt cos a» (2)
Из уравнения (2) находим, что время достижения высшей точки
траектории V~2h/g, Время между первым и вторым ударами
t = 2ti. Искомое расстояние равно координате точки второго удара:
s = х= Vtyh / sin a + (g/2/2) sin a = 8/i sin a = 4 м.
217
§ 3. Вращательное движение
76. /? = у1г/(у1 —d2) = 1,8 м.
77. я = 60 (di —г2)/2пт « 97 об/мин.
78. При качении колеса по земле все его точки участвуют одно-
временно в двух движениях: вдоль поверхности земли с постоянной
горизонтальной скоростью ъ
и вокруг оси вращения с касательной
скоростью ©т, модуль которой по-
стоянен, а направление меняется.
При качении без пробуксировки
или проскальзывания скорости и
и ъх по модулю равны. Мгновенные скорости указанных точек ко-
леса находим, складывая © и по правилам векторного сложения
(рис. 209):
ил = ут— d = 0, vq = vx + и=2и, vc = V 2 vf
vD — УУт4-у2+2утрС08 a = 2d cos (а/2),
vx + d2~2dtdcos а = 2и sin (а/2).
79. an = v2/R, v = axi, По условию задачи an — nax\ следова-
тельно, t= V“nR/ax = 2J8 c.
80. ал = 4з2Й/Я/} = 25м/с2.
81. Di = 2d—vz (см. задачу 78).
82. an[ax = tg a = 0,58 (рис. 210).
83. На экваторе
v0 = 2nR/T = 465. м/с, art0 = D?//? = 0,034 м/с2;
на широте qp = 60°
Dtp = 2л (/? cos ф)/Т « 233 м/с, anq = Vy/(R cos <p) =0,017 м/с2.
84. N = nt/2 = 60.
85. От начала закругленного участка пути поезд проходит рас-
стояние
s = D0f + aT/2/2, (1)
где ах—касательное ускорение. При этом его скорость
D = D0 + axt - (2)
218
Из 0) и <2) находим
ах = 2 (s — v0/)//2 = 0,33 м/с2,- п = (2s — voi)/t = 25 м/с.
Полное ускорение
fl^Ka?.+4= -^+4=-^- )/(2^У *+4 (s-voi)^,7O8 м/с*
86. В системе координат XOY, изображенной на рис* 2115 ско-
рость комка грязи в момент отрыва от колеса направлена по каса-
тельной к ободу в точке А (рис. 12).
рели колесо катится без пробуксовки
или проскальзывания, то vx = и. Так'как
начальная вертикальная координата ком-
ка Уо—ЖД— cosa), тозакон движения
вдоль оси OY имеет вид
у= R (1 —cos a) + (у sin a) t —gt2/2.
Далее, используя уравнение (16) зада-
чи 54 и время движения до максималь-
ной высоты (см. задачу 56), получим
h = y = R (1 — cos a) + (v sin a)2/2g.
Если движение автомобиля c topi же скоростью сопровождается
пробуксовкой колеса, то vx > v и высота подъема комков грязи будет
больше. Если же колесо проскальзывает относительно поверхности
земли при торможении (движение юзом), то vx < v и комки будут
взлетать на меньшую высоту.
87. Пусть ДО — число оборотов, сделанных цилиндром за время
В этом случае шарик не будет задерживаться желобом, если длина ДО
шагов гинтового желоба будет равна расстоянию, на которое шарим
упадет за это время при свободном падении, т. е. Nh = gt2/2. Если
нить тянули при этом с ускорением а, то расстояние, на которое ев
вытянули, 1 = at2/2, что равно в то же время длине смотанных с ци-
линдра ДО витков нити: / = л/)ДО. Иэ этих выражений легко получить
a = ngD/h.
§ 4. Динамика прямолинейного движения
88. v = ftlm « 43 км/ч.
89. f = F—ma = F—т (и2—u$)/2s « 4,3 кН.
90. При спуске с постоянной скоростью сумма сил, действующих
на шар, равна нулю: Mg—Q—f = 0, где f—сила сопротивления
движению шара. При подъеме шара сила сопротивления по-преж-
нему равна /, так как согласно условию задачи скорость постоянна,)
но теперь эта сила направлена вниз. Сумма всех сил с учетом умень-
219
Рис. 212.
Г
шения массы за счет выброшенного балласта по-
прежнему равна нулю: (Л4—m) g—Q4-/ = o.
Исключая из этих уравнений ft найдем т =
= 2(M-Q/g),
91. Действующие на тело силы изображе-
ны на рис, 212: F — искомая сила, mg—си-
ла тяжести, На основании второго закона
Ньютона
ma = F-]-mg't отсюда F = т (a--g) « 26 Н,
92. F = ma = 70H, i
93, Действующие на груз силы изображены на рис. 213: Т—сила,
натяжения проволоки, mg—сила тяжести. На основании второго*
закона Ньютона та = Т—mg. Согласно условию задачи Т^Ттах =
= wmaxg. Следовательно, a <g (rnmax/rn—1) а 1,2м/с2.
94. т = 2mfm2/(mi + т2) — 190 кг.
95. Сила натяжения каната не зависит от направления движе-
ния самой клети (направления ее скорости) и определяется только
ее ускорением, В первом
случае направление ускорения совпадает
с направлением силы натяжения каната.
Поэтому знаки а± и 7\ одинаковы:
max = Ti—mg, т. е.
T1=m (ai+g) « 3420 Н.
Во втором случае ma2*=mg—Т2, т. е.
Т2—т (g—а2) « 2705 Н.
96. Используя решение задачи 95,
получим a = g(l—m//W) = 2,45 м/с2; ус-
корение направлено вниз.
97. Действующие на гири силы изоб-
ражены на рис. 214. Уравнения движе-
ния имеют вид
т1а = Т —mig, m2a = TQ—m2g,
где а—ускорение груза, равное ускоре-
нию лифта, mrg и m2g—силы тяжести,
и т2. Решая уравнения относительно Т,
Рис. 214. Рис. 215.
действующие на гири mf
получим Т = (m1 + m2) Т^т2— 14,7 Н.
,98. Сила реакции дна клети N направлена вдоль ускорения
лиф4а а (рис. 215). Следовательно,
ma=N — mg', отсюда W = mgта = 1004,5 Н,
По третьему закону Ньютона с такой же (по модулю) силой груз
будет давить на дно клети: Тя. д = М= 1004,5 Н. J
220
99. д= 2V//«—£== 0,49 м/с2, где N — сила реакции пола кабины,
равная (по модулю) силе давления на пол кабины FH, д; ускорение
направлен0 вверх.
100. Действующие на тело силы изображены на рис. 216: Т —
сила» с которой действует на тело растянутая пружина (показание
динамометра), mg—сила тяжести. В случае 1) урав-
нение движения тела имеет вид = —mg; отсю-
да Ti = m (g+a1)= 14,7 Н. В случае 2) имеем та2=
= mg-\-T2, так как направления ускорения а2 и силы
тяжести совпадают* следовательно, T2 = m(g—я2) =
=4,9 Н. В случае 3) выражение для силы Т имеет тот
Af
F
. "тд
Рис. 216. Рис. 217.
же вид* что и в случае 2), ибо направление ускорения то же са-
мое: T3 = m(g—а3) = 7,35Н. В случае 4) сила Т4 = /п (g-(-fl4) = 12,25Н.
101. На основании второго закона Ньютона ma=F—f, где f=kN,
а /V— сила реакции опоры (рис. 217). Так как движение вдоль вер-
тикали отсутствует, то N = mg\ следовательно, F = т (а+^)«0,79Н.
102. s = v2/2a = v2/2kg& 12,3 м.
ЮЗ. v = 2*0,06gs « 4,9 м/с.
104. В горизонтальном направлении на груз действует только
сила трения f (рис. 218). Сообщаемое грузу ускорение а = Цт.
В вертикальном направлении груз
не движется: W — mg = 0, где
W — сила реакции опоры. Макси-
мальная сила трения покоя /тах =
= kN = kmg, Следовательно, воз
можкые значения ускорения груза
Тоту
Рис. 218.
удовлетворяют неравенству а «С
</тах/^ = ^« Доске нужно сооб-
щить ускорение а > Ag= 1,96 м/с2. В этом случае сила трения не
сможет сообщить грузу ускорение, достаточное для его движения
без проскальзывания.
105. Используя решение задачи 104, найдем,
что F^kg(M+m)= 10,8 Н.
106. Сообщаемое грузу ускорение (рис. 219)
a = F (cos а + k sin a)/tn~kg>
F3 = kmg/(cos а+k sin a).
107. a = F(cos a—fcsin a)/m—g.
Рис, 219.
221
108. Действующие на воз силы изображены на рис. 220. Есди
mg < F8sin а, то воз может оказаться в «облаках» (решение выходу
за рамки условия задачи, так как рак и щука уже не будут тянуТь
в противоположные стороны),
Рис. 220.
Если mg> F3 sin а и f=kN=?k (mg—F3 sin а) > | F2—F±+F3 cos а
где W— сила реакции поверхности земли, то «воз и ныне там»,
т, е. s = 0.
Если mg > F3 sin а и k (mg—F3 sin а) < [ Г2— -Fi + Ез cos а |, то
5 = [± (Ft —F3 — F3 cos а)—£ (mg — F3 sin a)] t2/2m,
где знак плюс относится к случаю Ft > F3cosa + F2H знак минус—
к случаю Fi < F3cosa+F2.
109. f = m (vQ/t—g) « 0,088 H.
110. a = g/i/A/i = 58,8 м/с2; N = mg + ma = mg (14-/;/A/i)«4802 H,
HI. f = mg = 735H.
112. h = m!2k = 1,8 m.
113. Натянутая нить действует с одинаковыми силами Т на оба
тела (рис. 221). На первое тело вдоль горизонтали действует также
, .J. сила F. Действующие по
--- /77; —>—<— ГП2 вертикали силы взаимно
уравновешены и не влияют
Рис. 221. на движение тел в направле-
нии силы F, Уравнения дви-
жения первого и второго тел имеют вид mra = F — Т, т2а = Т. Здесь
учтено, что оба тела имеют одинаковые ускорения, Согласно усло-
вию задачи Т следовательно, n^Fmax/m2 и
F тлк+пца= («!+«,) Tmax/m2=7,5H.
Если сила приложена ко второму телу, то приведенные рассуж-
дения остаются в силе, только массы mi и т2 меняются местами.
Теперь F^(m2 + mx) TmaxMi = 15Н,
222
114. T = (mlF2-\-m2Fl')/(ml-]-m2).
115. T=[m1F2+(m2 + m3) Fx]/(mi + m2 + m3).
|16. Силы, действующие на брусок с гирей и на чашку с гирей,
изображены на рис. 222: /V —сила реакции доски-, Г — сила натя-
жения нити, f—снла трения. Так как движение по вертикали от-
сутствует, то N —(mi + w2) g = 0. При равномерном движении Т —f=0
я (/773 + ^4)^—Т = 0. Сила трения f=kN = k (т^т2) g. Исключая
0з этих уравнений Т, найдем k = (т3-\-т^/(т1^т2) «0,3.
117. На груз действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т
веревки, равная силе F, приложенной к ее другому концу (рис. 223).
^////////////^
'(т^т2)д
№з+т4)д
Рис. 222.
'223.
Искомая сила определяется с помощью второго закона Ньютона!
ma — F — mg\ отсюда F = m (a + g) = 108 Н.
118. Так как блок неподвижен, то действующая на него ео
стороны динамометра сила F=2Т (рис. 224). Уравнения движения
грузов:
т2а = m2g — Т, mYa = Т — mYg.
Здесь учтено, что ускорения грузов одинаковы, но ускорение второго
груза направлено вниз, а первого —вверх. Исключая из этих урав-
нений а, найдем T = 2m1m2g/(mi^-т2). Искомое показание динамо-
метра на основании третьего закона Ньютона будет
F — 2T = ^т^т^Цт-^т2) « 62,7 Н.
119. Так как масса груза т во много раз меньше массы грузе
Л4, то можно считать, что грузы движутся с ускорением g, Силе
цатяжения нити определяется уравнением mg « Т — mg\ отсюда
Т »2rng = 9,8 Н.
120. Согласно решению задачи 118 сила, растягивающая пру-
жину, Т =2,71^112g/(/ni4-/772). По закону Гука T = k(l— /0), где
223
k = F/&1 — жесткость пружины; отсюда
/=/0+2/?!1m2gAZ/(/n1+ m2) F= 17,35 см.
121. /= 1^2/1 (;n1-|-w2)/(n?2“mi) g = 0,7 с, где /г = 1м —путь
пройденный каждой из гирь.
122. triQ = 4hm/(gt2—2h) = 10 г.
123. Действующие на тело и груз силы изображены на рис. 225.
По третьему закону Ньютона сила нормального давления груза FH
равна по модулю силе реакции N тела, на котором он лежит,
Уравнения движения для двух тел и груза запишутся в виде
та = Т— mg, tna = mg—T + W, mQa = mog—Ni
Исключая отсюда а и Т, найдем
Fh,jl = N =2mmQg/(2m-{-mQ) « 0,39 Н.
124, Центр масс грузов, очевидно, будет опускаться. Пусть
вначале центр масс находится в точке Со (рис. 226) на расстоянии
по вертикали от первого груза и на расстоянии Ь2 от второго. Ве-
личины Ь± и Ь2 удовлетворяют условию
/пА' = т2^2- (0
За время t второй груз опустится на расстояние
H = a0t2/2, (2)
а первый поднимется на то же расстояние. Центр масс системы
опустится за это же время на расстояние h, определяемое уравнением
т2 (Я + ^2~^) = ^1 (H + bi + h).
Отсюда, учитывая уравнения (1) и (2), найдем, что в данный момент
времени
—__ тг — гщ. a0t2
224
Ускорение а0 определяется системой уравнений, приведенной
в задаче 118: Оо = (zn2 — тг) g/(mi + ma). Поэтому
g/2 а/2
+ 2 2 ‘
Таким образом, центр масс системы движется равноускоренно с
ускорением
} а = (т2 — /щ)2 g/(mi + m2)2.
125. Считая, что тело массы т± поднимается, а неподвижный
блок с телом массы т2 опускается, уравнения движения можно за-
писать в виде (рис. 227)
^1 = Г—mig, m2a2 = m2g—2Т.
Связь между ускорениями at и а2 найдем из сле-
дующих соображений. Если первое тело под-
нимется на высоту hi, то второе тело опустится
за это время на высоту h2 = hi/2, Так как пройденные пути пря-
мо пропорциональны ускорениям, то отсюда вытекает, что по моду-
лю а2=аг/2. Решая данную систему уравнений, найдем
Т = 3m1m2g/(4rn1 -f- m2) = 1,26 Н,
fli = 2 (m2—2mx) g/(4/72j +m2) = 5,6 м/с2,
a2 = (^2 ~2mi) g/(^i + = 2,8 м/с2,
126. Ускорение вдоль наклонной плоскости определяется суммой
проекций сил на данное направление (рис. 228): ma = mg sin а—f.
Сумма проекций сил на направление, перпендикулярное к наклон-
ной плоскости, равна нулю: W—mg cos а = 0. Следовательно, сила
трения f = kN = kmg cos а. Ускорение
a = gsin a—f/m=g (sin а—k cos а) «2,45 м/с2.
127. Как видно из решения задачи 126, ускорение тела
a = g (sin a—k cos а). Согласно условию задачи sin a = /i//= 1/2,
cosa=V"/2—h2/Z=^3/2, Время и конечная скорость определяются
кинематически:
t= У 21/а « 2,5 g} У 2а1 « 8 м/с.
mo t У sin а —£ cos а+ У sin a-f-fc cos а
g (sin а+ £ cos а) у sin а—k cos ex
8 Г. А. Бендриков иидр.
225
129. Второй закон Ньютона для движения вдоль наклонной
плоскости запишется в виде (рис, 229) /na = /ngsina— f — Т, Где
sin a = h/lt a f = 0,1 mg. Кинематическое соотношение, определяющее
ускорение, имеет вид а = и2/2/; следовательно,
Т = mghjl—Qt\mg—mv2/2l « 44,1 Н.
130. Для движения тела вдоль наклонной плоскости уравнение
Ньютона имеет вид (рис. 230)
ma = mg sin a+Fcosa, или a = gsin a+ (Fcosa)/m = 10м/с2. 1
Силу давления на плоскость FHta, равную по третьему закону
Ньютона силе реакции плоскости /V, можно найти из равенства
Рис. 231.
нулю проекций сил на направление, пер-
пендикулярное к наклонной плоскости:
mg cos a — F sin a — N = 0,
или
FH^ = N = mg cos a—Fsin a = 277,3H.
131. Если предположить, что пере-
тягивает груз массы т2, то уравнения
движения грузов запишутся в виде (рис. 231) m2a^=m2gsin a—Т,
/n1a = T — niig Исключая силу натяжения Г, найдем проекцию
ускорения на направление движения:
л = (m2g sin a—fn1g)/(m2-[-mi) = — 0l98 м/с2.
Знак минус означает, что движение в действительности происходит
в направлении, обратном тому, которое мы предположили.
132. Уравнения движения грузов для проекций на направления
движения имеют вид
m1a = m1g—TQi m2a = TQ—Т — m2g (sin a ± k cos a),
tn3a = T — m3g (sin a ± k cos a).
Здесь To—сила натяжения нити между грузами с массами mi и т2,
знак плюс относится к случаю, когда грузы движутся вверх по на-
клонной плоскости, знак минус —к случаю, когда они движутся вдиз.
Из этих уравнений находим
Wj —(/Ла + ^з) (sin a Л cos a)
^1 + ^2+^э
T = mim3g
1 +sin a £ Л cos a
^i + ^a + ^з
226
Движение вверх по наклонной плоскости (а > 0) возможно при
т > (^а+^з) (sin а + & cos а), а движение вниз (а <0)—при
/П1 < (^а + ^з) (sin а — k cos а), tga > &,~Если эти условия не вы-
полняются, то грузы неподвижны, а сила натяжения Т может при-
нимать различные значения:
от 0 до m2m3g
1 + sin а + cos а
mi + fn2+fn3
зависимости от соотношений между tn^ m2t m3> k и а и от
силы натяжения нити в начальный момент. Например, при tg а < k
и tni < m2 (sin а+ & cos а) грузы на наклонной плоскости можно
установить так, что нить между ними не будет натянута, т. е. Т = 0.
133. По третьему закону Ньютона сила нормального давления
на опору ГН1Д равна по модулю силе реакции опоры Л/. Со стороны
ящика на шар могут действовать силы реакции
/V! и Nz, перпендикулярные к дну и передней
стенке ящика (рис, 232). Уравнеиие^движения шара
имеет вид ma —mg sin a —/V2- Учитывая, чтоуско-
Рис. 233.
Рис. 232.
рения шара и ящика одинаковы, уравнение движения ящика можно
записать в виде Ма= Mg sin а-[-N2, где Л1 — масса ящика. Эти
уравнения совместны лишь при Л/2 = 0, Сила давления на переднюю
стенку ящика ГИоД2 = N2 = 0, так как составляющие сил тяжести,
действующих на шар и ящик, сообщают шару и ящику одинаковые
ускорения g sin а.
Сила давления на дно ящика—такая же, как и при обычном
соскальзывании тела: = ZV1=mg cos а.
134. Силы, действующие на кубик, изображены на рис. 233;
f—сила трения, W—сила реакции плоскости, равная по модулю
ис; омой силе нормального давления на плоскость. Согласно
условию задачи кубик движется вместе с лифтом с ускорением а,
направленным вверх. Уравнение движения для вертикального на-
правления имеет вид
ma = N cos a—mg+f sin а, (I)
В горизонтальном направлении ускорение отсутствует. Поэтому сумма
проекций сил на горизонтальное направление равна нулю:
/ cos а —/V sin а=0. (2)
8* ДО
Из уравнений (1) и (2) находим
FH д = 7У = /п (g+a) cos a, f = m (g-|- a) sin а,
Таким образом, наличие у лифта ускорения, направленного вверх
эквивалентно увеличению ускорения свободного падения на вели-
чину а, Коэффициент трения должен, как и в случае неподвижной
наклонной плоскости, удовлетворять условию k > tg а.
135. Проекция силы тяжести, действующей .на доску вдоль на-
клонной плоскости, равна Mg sin а. Следовательно, при равновесии
доски такая же сила должна действовать на доску в противополож-
ном направлении со стороны человек^. По третьему закону Ньютона
на человека со стороны доски'также Сбудет действовать сила реакции,
равная Mg sin а и направленная параллельно плоскости вниз (рис. 234;
изображены лишь те составляющие сил, действующих на доску и
человека, которые направлены вдоль наклонной плоскости).
По второму закону Ньютона ускорение человека вдоль наклон-
ной -плоскости определяется суммой проекций сил по этому направ-
лению: ma = mg sin a-f-Mg sin а. Из этого уравнения найдем, что
человек должен бежать с ускорением a = g sin a (1 направ-
ленным вниз. Направление движения самого человека при этом без-
различно.
136. Предположим, что при установившемся движении шарик
отклонен от перпендикуляра к наклонной плоскости на угол 0
(рис. 235). Тогда второй закон Ньютона для движения шарика вдоль
плоскости запишется в виде
ma = mg sin a+Tsin 0, (1)
Сумма сил, действующих на шарик в перпендикулярном к плоско-
сти направлении, равна нулю;
mg cos a—7 cos 0 = 0, (2)
Но при установившемся движении все точки тележки, шарик и нить
движутся с одним и тем же ускорением a=gsin а. Подставляя его
в уравнение (1), получим Т sinp = 0. Из уравнения (2) видно, что
Г 96 0; следовательно,- 0 = 0 и нить перпендикулярна к наклонной
228
плоскости, Искомая сила натяжения
Т — mg cos а =9,8 мН,
137. На малый элемент воды Ат, находящийся у поверхности,
действует сила реакции AW со стороны дна бака, перпендикуляр-
ная к поверхности, и сила тяжести &mg (рис. 236). Для того чтобы
поверхность воды в баке была параллельна наклонной плоскости,
уравнение движения элемента воды должно иметь вид &ma=Amg sin а;
следовательно, ускорение этого элемента a = gsina. Это ускорение
должен иметь весь бак с водой Уравнение движения для него за-
пишется в виде
ma = mg sin a = mg sin a—kmgcosa + F. : ।
Отсюда находим, что действующая на бак сила F равна по модулю
силе трения: F = f = kmg cos a.
138. При установившемся движении все элементы ведра с во-
дой движутся по прямым линиям, образующим с горизонтом угол а,
как и при движении тела по наклонной плоскости. Следовательно,
все элементы воды движутся с ускорением a=gslna, которое со-
общается составляющей силы тяжестй вдоль троса. Значит, сила
реакции со стдройы дна ведра на воду перпендикулярна к направ-
лению движения и уравновешивает составляющую силы тяжести
вдоль этого направления: N = mg cos а (рис. 237).
По условию задачи m=pSh, где S—площадь дна ведра, а р —
плотность воды. Согласно третьему закону Ньютона сила давления
воды на дно ведра FH>n равна силе реакции 7V со стороны дна. По-
этому давление воды па дно ведра
P = N/S = pgh cos a,
139. Бревно будет составлять с канатом одну линию в том слу-
чае, если оно не будет касаться земли. В противном случае ока-
жется, что, когда бревно и канат составляют одну линию, сумма
моментов сил относительно центра масс бревна отлична от нуля.
. Уравнение движения бревна при выполнении условия задачи
будет иметь вид ma = T cos а, где m—масса бревна, Т—сила на-
тяжения каната, a—угол между бревном и поверхностью земли.
229
По вертикали перемещения бревна не происходит, поэтому mg
= Т sin а; отсюда _________
а = g ctg a g V(b +1)2—h2)h.
§ 5. Закон сохранения импульса
140. F = Др/Д/ = /тшп= 15 H.
141. Так как стенка гладкая, то при столкновении составляю-
щая импульса мяча вдоль стенки не изменяется (рис. 238; изобра-
Рис. 238. Рис. 239.
жены импульсы мяча перед ударом pt и после удара р2). Состав-
ляющая же, перпендикулярная к стенке, меняет направление.
В результате мяч отскакивает под углом а к стенке. Изменение
проекции импульса мяча на направление, перпендикулярное к
стенке, имеет вид
Др = mv sin а — (— mv sin а) = 2 mv sin а,
Искомая сила
F = Др/Д/= 2 (mv sin а)/Д/ = 15 Н.
142. &p = m (и+ V~ 2gh) = 1,6 кг*м/с.
143. и ——mv/M =— 3,25 м/с. Знак минус показывает, что ско-
рости орудия и снаряда направлены в противоположные стороны.
144. и = mv/(M +ni) ~ 1 м/с.
145. Импульс системы пушка — снаряд вдоль горизонтального
направления, равный нулю до выстрела, за время выстрела не из-
меняется, так как в этом направлении
внешние силы не действуют. В данном
случае выстрел произведен под углом
а к горизонту, и проекция импульса
снаряда на горизонтальное направление
равна mv cos а (рис. 239). По закону со-
хранения импульса Mu + tnvcos а = 0;
отсюда
и = — (mv cos а)/М = — 7 м/с,
146. f=Ма = m2v2/2sM = 13,2 кН.
147. Проекция импульса снаряда на горизонтальное направление
равна nwsina (рис, 240). Закон сохранения импульса для направ-
230
Рис. 240.
ления вдоль горизонтали имеет вид
mv sin а = (т-\-М) и\ отсюда u = tnv sin а/(т-}-М) « 1,25 м/с.
вертикальная же составляющая импульса снаряда будет передана
Земле в целом.
148. u^=mslMt = 0,083 м/с.
149, t/1 = mv//ni = 5/7 м/с; u2==mvl(m2-\-m)== 5/9 м/с.
150. s = mW/2kg (М + т)2 = 50 м.
151. u = (Mv — тУ 2gl sin a cos а)/(/И + /п).
152. и = (Л4 — tn)y2gh/tn » 217 м/с.
153. В первом случае u1 = (Mu — mv)/(M — tri) « 6 км/ч, во вто-
ром— w2 = (/Иц + /nu)/(М —tri) и 12 км/ч.
154. Скорость платформы после падения па нее камня опреде-
ляется с помощью закона сохранения импульса: и =Mv/(M-[-tri) =
-= 16 км/ч. Эта скорость не изменится при выпадении камня через
люк, так как при этом не возникают силы, действующие на плат-
форму в горизонтальном направлении.
155. v1=[(inA-]-т2) v—m2v2]/m1 = —15 м/с; скорость первого
осколка направлена против скорости движения ядра до разрыва.
156. = mv2/M к 0,2 м/с; v2 = v = 8m/c.
157. Скорости лодок после перебрасывания грузов определяются
с помощью закона сохранения импульса. Груз, брошенный в пер-
вую лодку, будет иметь относительно воды скорость и-\-и, а груз,
брошенный в третью лодку, приобретает скорость v — и. Импульс
системы первая лодка — груз до попадания груза в лодку равен
v + т(у + w.). Приравнивая его импульсу системы после попадания
груза в лодку, получим скорость первой лодки:
/14о + /п (t>+ и) = (М +m) Vi, = Mv-{-m(v-\-u)/{M-\-m).
Для третьей лодки закон сохранения импульса имеет вид
(у — и) — (М +m) v3 v3 = Mu-}-tn (у— и)/(М + m).
Скорость второй лодки не изменится. Действительно, до перебрасы-
вания грузов импульс лодки с грузом равен (M-}-2m)v. Согласно
условию он не изменится после выбрасывания грузов:
(/И 4-2/л) v = Mv2 + m (v+ и) + т (у —и); отсюда v2 — v.
168. Если о —скорость человека относительно лодки, а и—ско-
рость лодки относительно воды, то скорость человека относительно
воды будет равна v-±u. По закону сохранения импульса
т (и + н) + Л4« = 0; отсюда «/v = — тЦМ-\-т).
Отношение скоростей во время движения остается постоянным. По-
этому отношение пройденных перемещений будет равно отношению
скоростей:
s// = — гл/(/И ф-т), т, е, s = — ЬпЦМ. = — 1 мв
231
Знак минус показывает, что перемещения человека и лодки протц
воположны по направлению.
159. Полная сила, с которой поезд действует на Землю в горн
зонтальном направлении, равна нулю, так как сила тяги постоянна
и равна силе трения. Разрыв состава не изменяет этого факта, цг0
сила сопротивления движению не зависит по условию от скорости
Следовательно, сила, действующая в горизонтальном направлении
со стороны Земли на систему поезд — отцепившийся вагон, такж₽
равна нулю. Поэтому к системе можно применить закон сохранения
импульса.
Удобнее всего это сделать в системе отсчета, движущейся со
скоростью, равной скорости поезда до его разрыва: mv-[-(М — пъ}
где v и и—скорости вагона и поезда относительно выбранной си-
стемы отсчета в произвольный момент времени; отсюда и/и =
= — (М — mj/tn. Знак минус соответствует тому, что в нашей
системе вагон и поезд движутся в разные стороны. Так как отноше-
ние скоростей постоянно и начальные скорости вагона и поезда
одинаковы, то отношение путей /'и L', пройденных в движущейся
системе координат вагоном и поездом, будет равно отношению ско-
ростей:
Z'/JL' = (7И — гп)/т. (1)
В момент, когда скорость вагона в движущейся системе коорди-
нат станет равной скорости поезда до его' разрыва, будет вы-
полняться равенство
s=l' + L’. (2)
Пройденное вагоном расстояние V равно I—расстоянию, • которое
вагон проходит до остановки в покоящейся системе координат, так
как ускорение вагона по модулю и время движения вагона одни и
те же в обеих системах (в одной из них скорость изменяется от
нуля до и0, а в другой—от о0 до
нуля). Решая систему уравнений
у А 0) и найдем 1 = “т) =
=480 м.
Рис, 241, 160. На рис. 241 изображены
траектории снаряда и осколков.
Разрыв происходит в точке А, лежащей па высоте h = (и0 sin a)2/2g
и находящейся на расстоянии /= sin 2a)/2g от места выстрела
(см. задачи 56, 57). Скорость снаряда в этой точке v = vQcos а. На-
чальные скорости осколков снаряда и и2 связаны со скоростью
снаряда в этой точке законом сохранения импульса: Mv = Mv1!2 +
+ Afua/2, где М — масса снаряда.
Начальную скорость первого осколка м.ожно найти по задан-
ному расстоянию s, Имеем s—/ = ух/, где 1= У2h/g= (v0 sin a)/g—
232
время полета осколка; отсюда
= sg/vo sin а—Ц) cos а.
Начальная скорость второго осколка
v2=2v—u1 = 3uQ cos а—sg/u0 sin а.
Искомое расстояние
L = l-l-v2t=2 (vq sin 2a)/g—s.
Данную задачу можно решить и другим способом. Центр масс
□сколков движется так, как двигался бы неразорвавшийся снаряд.
Осколки падают на землю одновременно, и центр масс системы в мо-
мент падения будет находиться на расстоянии 2/ от места выстрела.
Для этого необходимо, чтобы выполнялось соотношение
Д4 (2/—s)/2 = M (L—2t)/2\ отсюда L = 4/—s=2 (uj sin 2a)/g—s.
161. Примем за положительные направления осей координат
вертикальное вниз и горизонтальное в сторону полета снаряда
(рис. 242). После разрыва снаряда
первый осколок согласно условию
имеет только вертикальную состав-
ляющую скорости. Поэтому закон
сохранения импульса в проекциях
на горизонтальное направление
имеет вид Mv= Mv2x/2, где
масса снаряда, a v2x — модуль
составляющей скорости второго
осколка. Так как импульс снаряда
по вертикали перед взрывом равен
вертикальные составляющие скоростей осколков равны по модулю и
направлены в противоположные стороны: о2у = —
Запишем также кинематические уравнения движения осколков.
Для первого и второго осколков имеем
ft = ₽ip4+g^/2, h = v2yt+gti/2, s = v2xt,
где t—время падения второго осколка. Исключив из этих уравнений
о1{р 1'2* > v2y и /, получим для скорости снаряда перед разрывом
квадратное уравнение:
Рис. 242.
нулю: Ab]W/2 + A4i’2w/2 = .O., то
Из двух его корней
_L (gh_______________________Л \ (eh
4h \ 2 / 4ft \ 2
решением задачи будет корень, содержащий знак плюс, так как при
нашем выборе положительного направления и > 0. Таким образом,
окончательно имеем v = sgt0/4ht
233
§ 6. Статика
162. Tj = F; T2 = 2F.
163. d = D V \QP/nPt) « 36 мм.
164. Действующие на брусок силы изображены на рис. 243:
N — сила реакции стены, f^kN—сила трения, mg—сила тяжести.
Рис. 243,
При равновесии N = F и f = mg. Следовательно, kF^mg. Мини-
мальная сила F = mg/£ = 490H.
165. F > kmg.
166. Действующие на брусок силы изображены на рис. 244:
N—сила реакции плоскости, f^kN — сила трения, mg—сила тя-
жести. При равновесии суммы проекций сил вдоль наклонной пло-
скости и в перпендикулярном направлении равны нулю:
f—mg sin а = 0, F+mg cos a— W = 0;
отсюда F^mg (sin a—k cos a)/k « 32 H.
167. Действующие на доску силы изображены на рис. 245:
Wi и /V2—силы реакции наклонной плоскости, fa и f2—силы тре-
ния, mg—сила тяжести. Равенство нулю суммы моментов сил отно-
сительно осей, проходящих через нижнюю и верхнюю опоры, дает
JV1== Д/й = (mg cos a)/2, Равенство нулю суммы проекций сил вдоль
наклонной плоскости приводит к уравнению mg sin a = /j4-fa.
Скольжение будет отсутствовать при fa^k-Jfa и fa^k2N2. Мини-
мальный угол определяется уравнением
mg sin a=(^i+^2) (mg cos a)/2; отсюда tg a = (A:1+^2)/2.
168. Равенство проекций сил на горизонтальное направление
требует равенства сил натяжения тросов (рис. 246). Для равновесия
необходимо, чтобы сумма проекций сил на вертикальное направление
была равна нулю:
2Т cos (a/2)—mg = 0; отсюда Т = mg/2 cos (a/2) = 196 H.
234
169. 7\ = Т3«98Н; Га = 97,5Н.
170. Действующие на точку В кронштейна силы изображены на
рис» 247. Стержень АВ растянут с силой 7\, а стержень ВС сжат
Рис. 247.
с силой Т2. Суммы проекций этих сил вдоль горизонтали и вдоль
вертикали равны нулю, так как точка В находится в равновесии:
Tf — Т2 cos а = 0, mg—Taslna=0;
отсюда
7\ = mg ctg a = 568 Н, Т2 = mg/sln а « 1126 Н.
171. m = mxm2 «2,9 кг.
172. Равенство моментов сил тяжести относительно оси, прохо-
дящей через точку опоры (рис. 248), приводит к уравнению mglfi>=
= Mg — //5), где I—длина стержня; отсюда М =2/71/3 = 0,8 кг.
1/4
-е->
^ZZZ//////zfe^-----:
1 Г
Рис. 249.
173. Относительно оси,, проходящей через край платформы,
сумма моментов сил mg и F равна нулю. Так как плечи этих сил
в соответствии с условием задачи одинаковы (рис. 249), то mg—F —
= 2000 Н и m « 200 кг.
174. Согласно третьему закону Ньютона силы реакции трубы Nt
и N2 равны по модулю искомым силам давления (рис, 250). Так как
сумма сил должна быть при равновесии равна нулю, то 7Vf + Af2 —
~-r.mg = 0. Равенство моментов сил относительно оси, проходящей
через точку О (можно было бы выбрать и любую другую ось), имеет
вид N} (l—a) — mgl!2t Решая полученную систему уравнений, найдем
7Vi = ;^Z/2(/-.a) = 490Hf N2 = mg (/—2а)/2 (Z-a) = 294H.
235
175, Если верхний конец лестницы немного отошел от стены, то
относительно оси, проходящей через точку 6 (рис. 251), момент
создают только силы F и mgt Равенство моментов этих сил позво-
ляет записать уравнение
F (I cos а)/2—mg (21 sin а)/3 = 0,
где I—длина лестницы; отсюда F = (mg tg а)/3,
176. a = arctg{(l/2fc).
Л/
Рис. 251.
177. Из равенства суммы сил вдоль вертикали следует (рис. 252),
что N = mg. Уравнение моментов сил относительно оси, проходящей
через точку соприкосновения дощечек, имеет вид
tng (I sin a)/2-\-fl cos a = Nt sin a,
где I—длина дощечки; отсюда
f = (W—mg/2) tg a= (У tg a)/2.
Для равновесия необходимо выполнение условия f^kN; следова-
тельно, (tg a)/2.
Рис. 252. Рис. 253.
178. Равенство нулю суммы моментов сил mg и Т (рис., 253)
относительно оси шарнира (точка О) приводит к уравнению
где I—длина шнура; отсюда сила натяжения T = /nga/Z = 6H,
179. F = mg h (2г — h)/(r—h),
180. F = mg(r1— r2)/2/ = 5H.
181. m2 = (mx tg a)/2; равновесие неустойчиво.
182. Так как стена гладкая, то со стороны стены на шар дейст-
вует только сила реакции опоры 2V, перпендикулярная к стене
(рис. 254). Эта сила по третьему закону Ньютона равна по модулю
236
искомой силе давления шара на стену. Моменты сил N и mg отно-
сительно точки О равны нулю. Следовательно, сила натяжения Т
нити также не создает момента относительно этой точки. Продолже-
ние нити пройдет через центр масс шара. Условия равновесия для
составляющих сид. вдоль горизонтали и вертикали имеют вид
N—Т sin а = 0, mg—Г cos а = 0; отсюда N = mg tg а.
Из треугольника АОВ находим
tg а = г)2 — г2, т. е. W = H7gr/]/’/2+2/-Z= 1,23 Н.
183. Сумма проекций сил на направление, перпендикулярное
к дну ящика, должна быть равна нулю (рис. 255). Проекции на это
найравление имеют только сила тяжести mg и сила реакции дна
ящика AZ. Таким образом, N =mg cos а. Следовательно, сила трения
f kmg cos а. (1)
Равновесие шара зависит от выполнения этого неравенства.
Поэтомуt выберем ось, относительно которой будем определять мо-
менты сил так, чтобы момент силы трения был отличен от нуля,
момент Же силы натяжения Т нити обращался бы в нуль (чтобы
можно было не вычислять эту силу). Этому условию удовлетворяет
ось, проходящая через точку А закрепления нити перпендикулярно
к плоскости рисунка. Относительно этой оси плечо силы трения
равно 2г, плечо силы тяжести Z=rsina, а плечи сил Т и N равны
нулю (г—радиус шара). Сумма моментов сил при равновесии равна
нулю:
2rf—mgr sin a = 0; отсюда f—- (mg sin a) /2,
Учитывая неравенство (1), найдем, что при равновесии
kmg cos а (mg sin a)/2; следовательно, максимальный угол a опре-
деляется из условия tg a=2k.
184. Действующие на верхние концы палочек силы изображены
па рис. 256: /—силы трения, N—силы реакции палочек друг на
друга. Если L и I—длины большой и маленькой палочек, то урав-
нения моментов относительно осей А и В, проходящих через концы
палочек, имеют вид
Mg (L cos a)/2 = NL, mg (I sin a)/2 = /Zj
237
отсюда N = (Mg cos a)/2, /= (tng sin a)/2. Так как f kN, то мини-
мальный коэффициент трения, при котором система будет находиться
в равновесии, k = f!N = mAga/M.
185. Для равновесия необходимо, чтобы равнялись нулю суммы
сил, действующих на стержень, и моментов сил относительно оси,
проходящей через любую неподвижную точку. Из уравнения
Fi + F — F2 = 0 вытекает, что сила F параллельна силам и F2,
направлена вдоль и равна F2—FX=15H (рис. 257).
Точку приложения силы F проще всего найти, если рассмот-
реть сумму моментов сил относительно оси, проходящей через эту
точку. В этом случае момент силы F будет равен нулю, а моменты
сил Fj и F2 должны уравновешивать друг друга. Пусть эта точка С
расположена на расстоянии х от точки А и все силы составляют со
стержнем угол а. Тогда уравнение моментов сил будет иметь вид
F1xslna + F2(d — Ajsina = 0, или x=F2d/(F2—F1)=2,5m.
Результат не зависит от угла а, за исключением случая а = 0,
когда сила F может быть приложена в любой точке стержня.
186. Сумма моментов сил тяжести относительно оси, проходящей
через центр масс, должна равняться нулю. Если х— расстояние ог
Рис. 258, Рис, 259,
центра масс системы С до центра масс стержня (рис. 258), то
tnig (hfc+dl2 + x)-\-mgx—mig (/а/2 -f- d/2—х) = 0;
отсюда x= [m2 (/2+<0 —mi Ui+<0 ]/2(m14-/n24-m)=0(05 м, t, e, центр
масс системы лежит в точке прикрепления большего кубика,
238
187. Положение центра масс системы заранее не известно.
Поэтому можно предположить, что он находится в произвольной
точке С стержня, не совпадающей с центром ни одного из шаров
(рис. 259). Сумма моментов сил относительно оси, проходящей через
центр масс С системы, должна быть равна нулю:
”hg &d+x) + m2g (d + x) + m3gx—m4g (d—х) = 0;
отсюда х= (пц—ли2 —2тг) d/(mi + tn2-{-tn3 + m^ = —5 см. Знак минус
означает, что центр масс системы лежит не справа от центра треть-
его шара, как мы предположили, а слева на расстоянии 5 см.
188. Расстояние от центра масс системы до середины медной
проволоки х = Зр^/2 (2р(+р2) « 16,3 м.
189. Для того чтобы цилиндр не опрокинулся, необходимо,
чтобы момент силы тяжести относительно оси,
точку А (рис. 260), поворачивал цилиндр про-
тив часовой стрелки. Следовательно, верти-
кальная прямая, проведенная через центр масс
цилиндра, должна проходить через основание
цилиндра. По условию задачи сечение ци-
линдра представляет собой квадрат, поэтому
искомое максимальное значение угла а.тах — 45°.
190. x=/i2/(d+2/i) = 4,5cM.
проходящей через
191. h/r=V2/3.
192. На рис. 261 изображены силы, создающие отличный от
пуля момент относительно оси, проходящей через точку А. Плечи
сил tn-ig и m2g равны ВС = 3 (г sin а)/8 и ED = г cos с?. Сумма мо-
ментов этих сил равна нулю:
З/Hj (г sin ос)/8 — m2r = отсюда tg a = 8/n2/3/nf.
193. При определении положения центра масс диск с вырезом
формально можно рассматривать как сплошной диск массы mi, на
который наложен диск радиуса г, имеющий отрицательную массу
— т2, равную по модулю массе вырезанной части. Из сообра-
жений симметрии очевидно, что центр масс диска (точка С
на рис. 262) лежит па продолжении прямой ОА, соединяющей
центры диска и выреза, Равенство моментов сил тяжести, действу-
239
ющих на положительную и отрицательную массы, относительно оси
проходящей через точку С, дает (х = ОС)
m1gx = m2g (x+R/2).
Учитывая, что tni = nR2a и т2 = пг2с, где о —масса единицы пло-
щади диска, находим искомое расстояние: х= r2R/2 (R2 —г2).
194. Из соображений симметрии очевидно, что в вершинах,
соответствующих равным углам, на плиту со стороны несущих ее
людей действуют одинаковые силы
т. е. N2 = N3. Центр масс треуголь-
' ника лежит на пересечении его ме-
1 2 диан (точка С на рис. 263). Равепст-
во НУЛК> суммы моментов сил относи-
ла / тельно оси 00', проходящей через
4 / центр масс плиты параллельно осно-
; ванию BDt дает
JD N2h/3 N3h/3 — 2^/3 = 0.
Рис. 263. Здесь учтено, что в равнобедрен-
ном треугольнике высота, опущенная
на основание, совпадает с медианой, а точка пересечения медиан
отстоит от основания треугольника па 1/3 длины медианы.
Из этого уравнения следует, что Ух = JV2 = N3. Так как при
равновесии сумма сил, действующих на плиту, равна нулю, то
^1+^2 + ^з — mg = 0, т. е.
Д\ = N2 = N3 = mg/3 = ahdpg/6 и 176,4H.
Согласно третьему закону Ньютона силы N2 и N3 равны по
модулю искомым силам.
195. /=—w и з см.
2 Y 3 т2
196. Стержень остается в горизонтальном положении, если
удлинения пружин одинаковы. В этом случае на стержень со сто-
роны пружин будут действовать силы
Z Z и Г2=&2х, где х—удлинение пру-
Д? жины (рис. 264). Точка О прикрепления
с»* ~ "чг груза определяется равенством моментов
I___ I сил и F2 относительно оси, прохо-
а ф дящей через эту точку: F1a = F2(d—а),
где а—расстояние от точки О до пру-
Рис, 264. жины с жесткостью kt\ отсюда иско-
мое расстояние a = dk2/(k1-\-k^ =0,6 м.
197. &l = 3mgl/2nr2E = 0t38 мм.
198. Действующие на точку D силы изображены на рис. 265:
mg—сила тяжести, действующая на груз, N — силы реакции стерж-
ней друг на друга, сжимающие стержни, Из соображений симметрии
240
очевидно, что стержни AD и BD сжаты одинаково. Спроектировав
силы на направление высоты DE пирамиды ABCD и приравняв нулю
сумму проекций сил, получим уравнение Т cos а—2/Vcosa = 0, где
угол между любым из ребер пирамиды и ее высотой DE (ра-
венство углов между ребрами пирамиды и высотой DE вытекает
й3 равенства прямоугольных треугольников CDE, ADE и BDE).
Рис. 265. Рис. 266.
Теперь найдем проекции всех сил на вертикальную плоскость,
перпендикулярную к высоте DE (рис. 266). Имеем 71B = 71sina,
ZVB = Wsina, где sin а = СЕ/1. Угол р, равный углу AEF, опреде-
ляется соотношением cos Р = (Л—СЕ)/АЕ = (h —СЕ)/СЕ. Сумма про-
екций всех сил на вертикаль CF равна нулю:
mg—Т sin a—2/V sinacosP = 0.
Учитывая, что Т = 2/V, и подставляя выражения для углов а и Р,
получим Т = lmg/h, N = lmg!2h.
§ 7. Закон сохранения энергии
199. Z2 = 4/! = 60cm.
200. F — m(v2— v%)/2d =—25 кН; знак минус указывает на то,
что сила F направлена против скорости пули.
201. u=y\uQ-\-u)2.—2Fd/m — u.
202. s = mlv2/2 (mi + m2)2 kg = 50 м.
203. Работа силы F равна приращению кинетической энергии:
Fx = Kt где к—расстояние, пройденное телом за время t. Так как
ускорение тела a = F/m постоянно, то x = Ft2]2m, Следовательно,
К = (F/)2//n = 0,05 Дж.
204. F = /nu2/2s = 960 кН; сила торможения должна увеличиться
в два раза.
205. A = (m-\-M) mv2/2M =38,4 Дж,
206. W = mv3/4l = 160 кВт.
207. В 4 раза.
208. U7 = 4s2m//3 = 200 кВт.
209. К.п,д. T} = Fv/W; отсюда F = x\W !v = S2 кНв
241
В
Рис. 267.
210. a=W/mgv— k « 0,007 рад.
211. Vt = №/pg/ir| = 103 m3/c.
212. W = mgh/r[t = 2Q кВт.
213. a « a resin (W/mgv) w 17°.
214. IF = (mgl sin a)/T]/ « 3,46 кВт.
215. v^]/~4gl « 1,98 м/с.
216. Потенциальная энергия шарика, отклоненного на угол ссм
U = mght где h = DC (рис. 267). Очевидно, что DC = BD — ВС =.
= I (1 — cos a) = Z*2 sin2 (а/2). Следовательно, U =
—2mgl sin2 (а/2). Максимальную скорость маятник
будет иметь в положении D, когда вся потенци-
альная энергия его превратится в кинетиче-
скую: 2mgl sin2 (а/2) = mv2/2; отсюда скорость у =
=2 |Лgl sin (а/2).
217. v=Vrvl—2gh.
218. К = mg2l2/2 sin2a « 58 Дж»
219. K = mg2t*H = № Дж.
220. К — mg2t2/2 =1,2 кДж.
221. А = mvo/2 — тv2/2 = 4987,5Дж.
222. p = mg2t2/2tid2l « 61 кПа.
223. /i = u2/4g = 61,25 м.
224. K=h(F— mg) =98 Дж.
225. F = m [w2+2g (H + h)]/2h « 26,9 кН.
226. Если принять за нулевой уровень потенциальную энергию
груза на уровне головки сван, то его энергия в момент удара будет
равна полной энергии груза в тот момент, когда груз был отпущен:
Е = тщ/2 = mgH-]-mv2/2 =22,5 кДж, (1)
где Vi — скорость груза непосредственно перед ударом.
Ввиду кратковременности удара сила сопротивления грунта не
может за время удара заметно изменить импульс системы. Так как
удар неупругий, то
= (т + /И) u2t (2)
где г2 —скорость груза и сваи после удара. Разность конечной энер-
гии груза и св?и (потенциальной энергии на глубине h) и их на-
чальной энергии (кинетической энергии сразу после удара) равна
работе силы сопротивления грунта:
(т + М) gh — (т + М) Vo/2 = Fh> (3)
Из соотношений (1) — (3) н. йдем
h = т2 (2gH + v2)/2g (т + М) (mg + Mg~F) = -0,6 м.
Здесь F > mg-]-Mg. В противном случае (F < mg-]-Mg) свая без-
остановочно погружалась бы в грунт, даже если бы груз был
242
гомещен на нее без всякою удара, а при F > Mg погружение
сваи происходило бы и в отсутствие груза.
Время между двумя последовательными ударами будет не
меньше _______
t = H/v + v/g + У 2gH + v*lg.
Частота ударов не должна превышать
rt = 60cjg/(#g4-u2 + v yr2gZ/ + c;2) ~ 13 мин-1,
227. A = mgh-\-mvll2 — mvf/2 « 81 МДж,
228. а к 60°.
229. h = (t>0 sin a)2/2g+ m2v2/2M2g.
230. K=U = mg2t2/8 « 5 Дж.
231. v = 4 ^2^/3= 16,2 м/с.
232. h = v2/2g(\+kctga).
233. s=h (1 —k ctg a){k. При k > tg а санки останутся на месте.
234. t/3—U2 = mgl‘, U2—U1 = mgll2\ U3 — Ui = 3tngl/2.
235. A = Spgh2/2 = 1,96 МДж.
236. Пусть потенциальная энергия цепочки, лежащей на столе,
равна нулю. Тогда в момент, когда будет свешиваться часть це-
почки, имеющая длину х, ее потенциальная энергия будет равна
произведению силы тяжести rngx/l, действующей на свешивающуюся
часть, и расстояния —х/2 (цепочка однородна, и центр масс свеши-
вающейся части находится па расстоянии х/2 ниже края стола).
Здесь т—масса цепочки. На основании закона сохранения энергии
имеем (пренебрегая потенциальной энергией части цепочки, свеши-
вающейся в начальный момент)
mv2/2—mgx2/2l = 0\ отсюда v=x^g/l.
237. Центр масс воды в колодце находится на расстоянии 3/i/4
от поверхности земли. Поэтому на подъем воды из колодца затра-
чивается работа
л 3/1 о h 3h 3pgSli2
^ = mgT=pgSyT=—
где р—плотность воды. Кроме того, насос сообщает воде некоторую
кинетическую энергию, так как из трубы вода вытекает с опреде-
ленной скоростью v, которую можно найти из соотношения Sh/2 =
= Дополнительная работа
А2 = ти2/2 = pS-h3/1 бл2/?4/2,
Полная работа
А = 3pgS /12/8+р$¥/ 16л2/?/2,
238. К=771М/2(ш+'.М) « 1,8 мДж.
239. Согласно закону сохранения импульса тио = ти-]-Ми, где
v и и—скорости пули и шара в первый момент после пробивания
243
шара пулей. Закон сохранения энергии дает два уравнения:
mgh = mv2/2, MgH = M w2/2.
Исключая из этих уравнении v и и, найдем
h = (mva—М У2еН)*/2т2е,
240. /( = /п03/1О = О,2 Дж.
241. U=kmgM.
242. На основании законов сохранения импульса и энергии имеем
= nitVi + m2v2,
miVi/2 + m2v2/2 = тхи*!2 + m2022/2,
где nJ и 02— скорости шаров после соударения. Для решения этой
системы уравнений удобно в обоих уравнениях по одну сторону
знака равенства объединить величины, относящиеся к первому шару,
а по другую—ко второму, после чего разделить второе уравнение
на первое. В результате получится уравнение первой степени:
o1-j-Vi = 02 + 02- Решая это уравнение совместно с первым, получим
= (mi—m2) 0!+2щ20а = (m2 — fn1)v2+2inivj
1 т1 + т2 ’ 2
243. t = 2l/v.
244. На основании законов сохранения импульса и энергии имеем
mu = Mv, т^Н — ти2/2-}-Му2/2\
где и и 0—скорости бруска и клина после того, как брусок соскольз-
нет на горизонтальную плоскость. Решение этих уравнений дает
v~mi ]/‘2gh/(m-\-M) М.
245. При абсолютно упругом соударении двух одинаковых шаров
происходит обмен скоростями. Движущийся шар останавливается,
а покоящийся приобретает его скорость. Это непосредственно выте-
кает из выражений для скоростей шаров после соударения, полу-
ченных в задаче 242:
' _(гп±—т2) 0i+2m2v2 > __(m2— m-i) v2 + 2m1Vi
C,1— mi-\-m2 i v2— щ1-|-7п2
При mi = m2 и 02 = O будем иметь о{ = 0, а 02 = 0Т. Поэтому после
ряда последовательных соударений все шары будут покоиться, кроме
последнего шара, который приобретет скорость 0=10 м/с.
246. Шар А получит скорость 0 = —0о/5, а шары В и С — ско-
рости и=2 JO 0о/3.
247. В момент соударения на маленькие шары действуют силы,
направленные вдоль прямых, соединяющих их центры с центром боль-
244
того шара. Поэтому после соударения их движение происходит по
этим прямым. Ввиду симметрии их скорости одинаковы по модулю
и составляют с направлением движения большого шара одинаковые
углы а (рис. 268). Большой же шар сохра-
няет свое направление движения.
Запишем закон сохранения импульса для
проекций на направление движения большого
шара и закон сохранения энергии:
Рис. 268.
Mv0 = Mv-\-2mu cos ос,
Mvq __Mv2 i2mu2 (D
2 2”‘b“2">
где M и иг—массы большого и маленького шаров, a v и и — их
скорости после соударения. Преобразуем выражения (1) к виду
М (v0—t/)=2mwcosa, М (и$ —и2) = 2ти2. (2)
Возведем первое из уравнений (2) в квадрат и поделим на второе:
М (u0—u)/(uq-{-v) = 2т cos2 a. ' (3)
При делении отброшен случай п = о0> когда скорость большого шара
не изменяется, т. е. соударения не происходит. Из уравнения (3)
имеем
у = vQ(M ~2т cos2 a) /(М + 2т cos2 a).
Рассматривая треугольник ВАС, получим cos2 a = 8/9. Учитывая
также, что М = 8т, находим окончательно у = 7у0/11.
248. После соударения второй шар со скоростью и будет дви-
гаться по прямой, соединяющей центры шаров в момент соударения
(см. задачу 247), а первый — со
скоростью о под’ углом а к ней
(рис. 269). Запишем закон сохранения
импульса для проекций на направле-
ния, параллельное этой прямой и пер-
пендикулярное к ней, а также закон
сохранения энергии:
mv0 cos aQ = mv cos a-{-mu, n
mvQ sin a0 = mu sin a, * '
nwo/2 = mu2/2 + mu2f2, (2)
Рис. 269.
где m — масса каждого шара. Сократим уравнения (1) на т, возве-
дем каждое из них в квадрат и сложим:
по = v2 + 2vu cos a + a?• (3)
Сократив (2) на т/2 и вычтя полученное выражение из (3), получим
2сшсоза = 0; отсюда имеем cosa = 0, т. е. а = л/2.
249. Пусть скорость второго шара до удара щ > 0. Тогда ско-
рость второго шара до удара и2 < 0, Учитывая знаки и и2, найдем
245
из формул, полученных в задаче 242, скорости первого и второго
шаров после удара:
л _ (mj—m2) yj—2/т?2у2 / _ (mj — m2) u24-2/h1i>1i
U1~ /П1 + /н2 * U2~ гих + гиа
Так как т± > /т?2, то у2 > 0 в любом случае. Для выполнения тре-
бования Ух > 0 необходимо, чтобы
(nil — tn2) Ух > 2/п2у2, или /Их//п2—1 > 2у2/У£<
С другой стороны, согласно условию задачи
= (1)
2 2 ух k V т2 ' ’
Следовательно,
Шх 1 2 1 Г fni - /" 1 ± К+1
— — 1 >-г 1/ — ; отсюда |/ — >------------------т-----•
т2 k V т2 V т2 k
Так как после учета знаков скоростей везде подразумеваются их
модули, то из (1) следует, что Vпг1/т2 > 0. Поэтому решение нера-
венства со знаком минус следует отбросить Таким образом,
Р8/₽1 >(1+К*ЧП)/*а. (2)
Учитывая, что /»j > /л2, из формулы (1) имеем
y2/yj > \/k. (3)
Из неравенств (2) и (3) следует взять неравенство (2), как более
сильное (числитель в правой его части больше fe, и, следовательно,
правая часть больше 1/k). При k = 4/3 получим у2/ут > 3/2.
250. Л = 4/ш?/(/Нх + л22)2= 12,5 см.
251. Шарики соударяются на высоте /1 = Зуо/8#; первый шарик
поднимется на высоту ' Н = у2/2£.
252. Полная энергия в первый момент после взрыва
Е= (гщ + т2) ^ + апхУ1о/2+^2^2о/2,
где У£о и <’2б — скорости осколков в этот момент. Так как взрыв про-
текал очень быстро, то импульсом силы тяжести за время взрыва
можцо пренебречь и для нахождения соотношения между скоростями
осколков в • первый момент после взрыва можно применить закон
сохранения ;импульса: 4-/л2у20 = 0. Решая систему этих двух
уравнений., найдем
_ -. /\ /л2 Е — (//ц + iri2) gh , /_ /Их Е—(тг + m2) gh
V mi m\ + m2 zu V rn2 mi + m2
Искомые скорости осколков будут
4 = ^io—gt « —164 м/с, у2 = у20—245 м/с,
246
§ 8. Динамика вращательного движения
253. а = 2 arccos .
+ V gl
254. n > J- 1/ и 0,16 об/с.
255. f = £ « 1 мин,
256. k = v-/Rg w 0,2.
257. Л = 2л27?2/п (n|—Hi)= 15,8 Дж.
258. F/mg = uPD/2g= 40.
259. В вершине петли на пилота действуют сила тяжести mg и
сила реакции W со стороны кресла, направленная вниз (рис. 270, а),
или со стороны ремней, направленная вверх (рис. 270, б). Эти силы
сообщают необходимое для вращения центростремительное ускорение,
Следовательно, в общем случае
mt/2/Z? = mg+W.
При достаточно большой скорости самолета mt/2//? > mg' и N > 0,
т. е. /V направлена в ту же сторону, что и сила тяжести, и, следо-
вательно, пилот будет прижат к креслу (рис. 270, а). При mv*/R=tng
пилот перестает давить на кресло. Наконец, при настолько малой
скорости, что mt/2//? < mg, сила N < 0. В этом случае пилот пови-
сает на ремнях и сила N будет направлена вверх (рис. 270, б),
Таким образом, минимальная скорость оп-
редсляется неравенством t/2//?^g; отсюда
v V" gR ~ 180 км/ч.
260. т<2л//7£=3,14с, | W
261. F = (2лл)2 (littti—12тг). I /
262. Силы, действующие на автомобиль • А
вдоль радиуса моста, изображены на । /
рис. 271: mg—сила тяжести, N — сила реак- !/
ции моста. По третьему закону Ньютона рис
искомая сила давления F равна по моду-
лю силе реакции моста N. Согласно второму закону Ньютона
центростремительное ускорение автомобиля определяется суммой сил,
И47
действующих на него вдоль радиуса окружности, по которой оц
движется:
tnv2/R=*mg—N\ отсюда F = N = mg—-tnv2/R = 7 >8 кН.
Сила давления на мост станет равной нулю при nwmin/R — nig
Следовательно vmin= VgR « 80км/ч. При скорости, превышающей
ymln> автомобиль не будет оказывать давление на мост.
263. В отличие от задачи 262, здесь к центру окружности, по
которой происходит движение автомобиля, направлена сила реакции
моста а не сила тяжести tng (рис. 272). Согласно второму закону
Ньютона mv2/R = N— tng, Искомая сила
F = N — mg-\- mv21R » 21,6 кН.
264. Вдоль радиуса моста на автомобиль действуют сила реакции
моста N и проекция силы тяжести tng cos а (рис, 273), Согласно
второму закону Ньютона искомая сила
F = N = mg cos a—mv2!Rt
Она достигнет максимума при а = 0, f
265. Максимальная сила давления нз мост будет в верхней точке
моста (см. задачу 264). Минимально допустимую скорость v можно
найти из выражения tng—F=^mv2lR* где
т—масса грузовика. Следовательно,
должно выполняться неравенство
> V R (fng-F)lm, Радиус кривизны мо-
ста определяется из треугольника АСО
(рис. 274). По теореме Пифагора R2 =
=d2/4 + (7?—Л)2; отсюда радиус кривиз-
ны R = (4h2-\-d2)/8h. С учетом этого
получим, что и 40,6 км/ч.
266. Искомую скорость можно найти
с помощью закона сохранения энергии.
Если за нулевой уровень потенциальной
энергии принять горизонтальную плоскость, проходящую через точку
О, то начальная энергия грузов будет равна нулю. Поэтому будет равна
нулю и полная конечная энергия грузов в тот момент, когда стер-
243
жень займет вертикальное положение. Обозначив через т массу
каждого из малых грузов, будем иметь
mv2 . т (2у)2 . 2яш2 I Z
*2—।----у—I—2-------ГП§ ~2~-m^l+2rnS у = 0
(здесь учтено, что скорость малого груза на конце стержня вдвое
больше скорости среднего груза); отсюда = vVgl/1-
267. Действующие на систему человек—трапеция силы изобра-
жены на рис. 275. Так как в нижней точке траектории человек
имеет ускорение v2/lf направленное вверх, то согласно второму
закону Ньютона
тра „ mv2 . mg u
-у=2Т —mg; отсюда T=-^ + у ~ 500 н-
268. Максимальную силу натяжения нить имеет в момент» когда
шарик проходит через положение равновесия. Именно в этой точке
скорость шарика максимальна, а сила натяжения направлена против
силы тяжести (рис, 276), По второму закону Ньютона tnv2/l=T—mg,
где I—длила нити, а Т—ее сила натяже-
ния. Скорость v шарика найдем из закона
сохранения энергии: mv2l2 = mgl, Исклю-
чая из этих двух уравнений ц, имеем Т =
=3mg.
269. Уравнения движения для грузика
в верхней и нижней точках траектории за-
пишутся в виде (рис, 277)
ma)2l = mg-\-Tif та)21 = Тл—mg.
Рис. 277.
где со = 2лп — угловая скорость вращения;
отсюда
7\ = mrfl—mg к 31,35 Н, T2 = ma)2l-\-mg « 31,75 Н.
270. а) 7\ — T1 = 2mg’, б) Га —7\==6mg; здесь 7\ и Т2—силы
натяжения штанги при положении тела вверху и внизу,
249
271. Второй закон Ньютона в момент, когда шарик прохо-
дит положение равновесия, можно записать в виде —
(рис. 278). Скорость шарика в нижней точке траектории можно
найти из закона сохранения энергии: /гш2/2 =
=mg/(l—соза). Нить оборвется, если Т > 2mg.
Следовательно, cos а < 1/2, т. е. а > 60°,
272. cos а= 1 — (I—а) (Т — mg)/2tngl.
273. m1/m2 = 3, так как ось должна проходить
через центр масс системы.
274. co=Kg/(^-A).
275. Груз массы пц должен находиться на
расстоянии x1=tn2l/(tn1-]-m2) от оси вращения; Т =
=/п1/п2^2/(/и1 + ^2) •
276. Мальчик движется в горизонтальной пло-
скости по окружности радиуса /? = Zsina, где а-,
угол между канатом и вертикалью (рис. 279). Центростремительной
силой, действующей на мальчика, является проекция F = 7,sina
силы натяжения Т каната на направление радиуса (проекция силы
тяжести, действующей на мальчика, на
это направление равна нулю). Учиты-
вая, что угловая скорость мальчика
(о = 2лл, запишем второй закон Ньюто-
на для движения по окружности:
= или 4л2п2гп/ sin а = Т sin сх;
отсюда Т = brt2ri2ml « 355 Н.
277. Центростремительной силой,
действующей на камень, является проек-
ция F = Т sin а силы натяжения верев-
ки Т на направление радиуса (рис. 279),
где а—угол, который веревка состав-
ляет с вертикалью. Второй закон Ньюто-
на для движения камня по окружности радиуса R будет иметь вид
mto2R = Т sin а, (1)
где а> = 2л;/т—угловая скорость камня, a m — его масса. Так как
в вертикальном направлении ускорения у камня нет, то проекции
на вертикаль сил, действующих на него, равны по модулю и про-
тивоположны по направлению, т, е.
Т cos а = mg, (2)
Разделив (1) на (2), получим tga = co2/?/g. Учитывая, что R = htga
и, следовательно, co3/i/g = l, получим (&=y~g/h и т = 2л «
«2,25 с.
278. Т = mg 5 (см. задачи 276 и 277).
250
279. На шарик действуют сила тяжести mg и сила натяжения Г
нити (рис. 280). Движение его относительно Земли складывается
из движения по вертикали вместе с лифтом и обращения вокруг
оси /40. Запишем второй закон Ньютона для проекций на верти-
кальное направление и на направление
радиуса ОВ окружности, описываемой
щариком:
tria^mg—T'cosa, mco2Z sin а = Т sin а,
где со—угловая скорость шарика, m—
его масса. Исключая из этих уравнений
получим to2l=(g — a)/cosa; отсюда
т = 2л/со = 2л YI cos a/(g— a).
280.
. _ (2лл)2 ml—F
0— (2лл)2 (mg — F cos a)
281. Силы, действующие на шар,
изображены на рис. 281: Т — сила на-
Рис. 280.
тяжения нити, mg—сила тяжести (центр
окружности, по которой движется вагон, справа от вагона). Центростре-
мительной силой для шара является проекция силы натяжения Т на на-
правление радиуса (проекция силы тяжести на это направление
равна нулю). Второй закон Ньютона для движения по окружности
в этом случае можно записать в виде
mv2/R = T sin а. В вертикальном направ-
лении ускорения у шара нет; поэтому
проекции на вертикаль сил, действую-
щих па шар, равны по модулю и про-
тивоположны по направлению, т. е.
mgx^Tcosa. Разделив первое уравнение на второе, получим
v2!Rg = iga, откуда v= V Rg tg a w 112 км/ч.
Сила натяжения нити Т = mg/cos а « 137 Н.
282. Пока тело не покинуло поверхность полусферы, на него,
кроме силы тяжести mg, действует еще сила реакции опоры W
<рис. 282). Второй закон Ньютона для движения по полусфере
имеет вид
mv2lR = mg cos a — AZ,
25Г
т. е. произведение массы тела ни центростремительное ускорение
равно сумме проекций на радиус полусферы сил, действующих на
тело (угол а определяет положение тела на полусфере).
В момент, когда сила реакции опоры N делается равной нулю
тело отрывается от полусферы. Соответствующий угол а находим
из уравнения nw2/R = mg cos а. Используя закон сохранения энер.
гии, можно записать
mgR = mv2/2 + mgR cos a.
Следовательно, 2 (1—cos a) = cos a; отсюда cos a = 2/3. Искомая
высота Л = R cos a = 27?/3.
283. Согласно третьему закону Ньютона сила давления F колеч-
ка на большое кольцо равна по модулю силе реакции N со сторону
большого кольца: F = N = mg (1 — 3h/R), При h < R/3 сила давления
колечка направлена к центру большого кольца, а при h > R/3 —
от центра.
284. Тело отрывается от поверхности петли в точке В (рис. 283),
когда сила реакции со стороны поверхности петли становится рав-
ной нулю и центростремительной силой
является проекция mg cos а силы тяже-
сти mg на радиус. Следовательно, как
и в задаче 282, здесь должны выполнять-
ся второй закон Ньютона и закон сохра-
нения энергии:
mv2/R = mg cos a, mgH^ = mv2/2-\-mgh,
Учитывая, что h = R (1 +cos a), из. этих
- уравнений находим, что cos a = 2/3, т. е.
h = 5R/3t
Чтобы тело не оторвалось от петли в ее верхней точке,, когда
а = 0 и h = 2Rt исходные уравнения должны иметь вид
mv2/R = mg, mgH = mv2/2-\-2mgR,
Из этих уравнений получим H = 5R/2.
285. На велосипедиста и велосипед действуют: сила тяжести mg,
сила реакции поверхности земли N и сила трения f (рис. 284). Так
как центр масс не перемещается по вертикали, то М— mg = Q.. Не-
обходимое для движения по окружности центростремительное уско-
рение сообщается силой трения: mv2/R = f. Массу системы велоси-
педист—велосипед будем считать сосредоточенной в центре масс.
Тогда направление результирующей силы N-\-f совпадает с направ-
лением вдоль велосипеда к центру масс системы велосипедист—ве-
лосипед. Поэтому f = N ctg a = mg ctg a. Подставляя это значение f
в уравнение движения, найдем и = j/'g/? ctg a.
286. Силы, действующие на велосипед с велосипедистом, изобра-
жены на рис, 285, Так как можно считать, что момент сил относи-
252
Рис. 284.
Рис, 285,
т'ельно центра масс велосипеда с велосипедистом равен нулю, то
сила трения отсутствует. Равенство нулю суммы проекций сил на
вертикальное направление дает уравнение N cos а= mg, откуда
R = mg/cos а. По третьему закону Ньютона с такой же по модулю
силой велосипед будет давить на дорогу.
Центростремительное ускорение сообщается проекцией силы
реакции полотна дороги N на горизонтальное направление:
mv2lR = N sin а = mg tg а; отсюда v = Rg tg ct,
287. a = arctg (Rg/v2).
§ 9. Закон всемирного тяготения
288. F = 2«1020 H.
289. Человек прыгнет на Луне в 6 раз выше и дальше, чем
на Земле,
290. v = Y Rjig/в « 1,7 км/с,
291. На mg/4,
тл V
282. gЛ = я-Л(/ ) = 1,65 м/с2,
т3 X /
2»3- gG = g/?cPc//?3P3 «270 м/с2.
294. A = mv2/2 = mgR!2 —16 ГДж,
295. Т = /2 лМ/ут =1,57.10® с.
296. р = 3и2гс/4лу/?3 « 0,5.103 кг/м8,
/Ро / h \ з а
-^-+( 1+тг I • Учитывая, что g ^ym^/Rq,
Ттз \ *з/ 'зз,
и пренебрегая квадратом и кубом отношения h/R3r найдем Т я
« 2л YRzlg-\-bhl&
298. Т = 4л V27?3 /g « 3 ч 58 мин.
299. гс = 1/£/?зГ2/4л2 « 42 400 км,
953
Рис. 286.
300. Т = 2л Кrn/gR3 ~ 27 сут,
301. На тело, подвешенное к динамометру
действуют сила тяжести nig и сила натяжения
Т пружины динамометра (рис, 286), Обе силы
направлены вдоль радиуса планеты. На эквато-
ре тело движется по окружности со скоростью
у = 2л^/т, где R — радиус планеты. Разность сил
mg—Т сообщает телу центростремительное уско-
рение, Согласно второму закону Ньютона
mv2/R = 4л2т7?/т2 = mg—Г,
По условию задачи T = 0,9/ng. Сила тяжести у поверхности пла-
ыеты mg — myM/R2, где М—ее масса. Искомую плотность р=-
М
в-—можно наити, подставив в уравнение движения выраже-
4л/<3/3
ния для сил mg и Г: р = Зл/0,1ут2 « 3,03» 103 кг/м?,
§ 10. Гидро- и аэромеханика
302. Не изменится.
303. p = Pog (W/nD2—h) « 1,2 кПа.
304. h=R.
305. Давление (в мм рт. ст.) вычисляют по формуле p = p0—p0Z/p,
Где р= 13,6-103 кг/м3—плотность ртути, а I выражено в миллимет-
рах. Искомое давление р = 752,6мм рт, ст,
306. Давление в любой точке сосуда с жидкостью согласно за-
кону Паскаля зависит только от высоты, На границе раздела масла
е водой у открытого конца сосуда давление воды будет р^ = pQ+pug//.
С другой стороны разность давлений масла внутри сосуда между
точкой А и границей раздела масла о водой определяется высотой
столба масла: ргр—p = pg/i; отсюда p = pQ-\-
+g (Po#~ph) = 120,6 кПа,
307. = ph/po = 18 см,
308. h = 2р0//(Зр—Ро).
309. /t = (m + p0V)/2pS,
г 310. F = fA//7 = 10 кН,
311. S/s = mghn/A = 490,
312. Искомое давление p=Poghi+pgh2t
где hi и йа—высоты столбов воды и ртути
(рис, 287). Согласно условию задачи H = hi+h2 и p0/t1S = p/t2S, где
S—площадь поперечного сечения сосуда. Решив полученную систему
уравнений, найдем p==2p0pg/f/(p0+p) « 26,1 кПа,
313. m = pup/iS/(p0—р) = 3,6кг.
314. Vf<(p2-p0) V2/(Po-Pi) = 1,7m3.
315, = t—2,5 см (уровень понизится).
о рро
ед
Рис. 287,
316. p = (Pa —pl) (Я/')3 + Р1-
317. m = (p0—р)-л£>2//4 и 74 кг.
318. Р = Рв(1 + рв/р)= 1472,205 И.
319. р=роРв/(Рв—Ро) ~ 2,5-103 кг/м3.
320. Рж= (Рр Р”)р0 =0,7-103 кг/м3, p=-fPL_=9.103 кг/мЧ
* ----------г о Г--Гп
321. T = gS[pZ—р0(/—Z/4)] « 440Н.
322. И=[Рб(р—Ро) —РО(Р—Рб)]/£Р(ро—Рб) « Юсм3,
323. m = m„(l—р/рм) +Ир к 881,08г.
324. mi = 296 г; т2 = 1204 г.
326. Сохранится.
326. р = 2р06 (1 — 6/2) =0,36*103 кг/м3.
327. Z/=l+4?£(2p-Po)* 1,58.
Il Olli
328. Равенство моментов сил, изображенных на рис. 288, отно
сительно оси рычага (точки О) позволяет записать уравнение Mglr-
~Fli = mgl2t где Mg = pgl3 и F =
₽p0g2/3/3 —сила тяжести и вытал-
кивающая сила, действующие на
куб, mg—сила тяжести, действую-
щая на гирю, р — плотность вещест-
ва куба. Так как свободно плаваю-
щий куб погружен в воду на 3/4 сво-
его объема, тор = Зр0/4. Подставив рис 288.
выражения для сил mg и F и 3
плотности р в исходное уравнение, получим l=y 4 см.'
329. После того как коробочку опустили в сосуд, объем содер-
жимого сосуда, находящегося ниже уровня воды, включая теперь
и подводную часть коробочки, увеличился на величину SI, где S —
площадь поперечного сечения сосуда. Но так как объем воды в со-
суде не изменился, то увеличение объема как раз равно объему
подводной части коробочки, т. е. объему вытесненной ею воды.
Объем коробочки V можно найти из равенства силы тяжести
и выталкивающей силы, действующих на коробочку: Vpg = Slpog.
Если бы коробочка сразу утонула, то уровень воды в сосуде поднялся
бы на величину х-, которую можно найти из равенства 5л:=У =
p0S//p. При потоплении коробочки уровень воды опустится на
величину /— х = I (1 — р0/р) « 1,74 см.
330; После того как на первый куб положен второй, первый
куб погружается в ртуть еще на 0,3 части своего объема. Следова-
тельно, плотность материала второго куба рк = О,Зр = 4,08« 103 кг/м3.
Равновесие будет неустойчивым, так как при отклонении кубов от
положения равновесия возникает момент сил, еще больше накло-
няющий систему (рис. 289, где Mg—сила тяжести, действующая
255
на систему кубов, F—выталкивающая сила, точка приложения к0.
торой при нарушении равновесия смещена относительно оси 00)
331. На куб вдоль вертикали действуют три силы (рис. 290)-
сила тяжести Mg = pgZ3, сила давления на верхнюю грань
«=Pig(/i—х) Z2 и сила давления на нижнюю грань = [pjg/i _|^
+ pag G—*)Н2-При равновесии Л + pg/3—-F2 = °; отсюда pZ—pTx =
«р2/—Рг** В верхней жидкости находится часть куба, имеющая
Рис. 289..
объем Vx=l2x, Следовательно, в верхней жидкости находится часть
объема, равная VlP = xll, Как вытекает из полученного уравнения,
(р2—Р)/(Рг—Р1)-
332. Погруженная в ртуть часть объема куба равна
1—Зр/4 (р—ро) = 0,19.
333, f = p0Vg = 9,8 мН,
334. a = g/2 = 4,9 м/с2.
335. V2 = Pg~Ргч Vi — 4 Ий
(Р~Рг) (a+g) 3
336. A = g (р — ро)ЛИ « 73,5 кДж.
337. &U = mgh (pi/p2 —1) = — 0,49 Дж (потенциальная энергия
уменьшилась).
338. Д[/ = (лйРр0—т) gh w 265 Дж (потенциальная энергия уве-
личилась).
339. Zt = (p0 — р) Я/р = 9см.
340. На малый элемент воды Лиг у поверхности действуют сила
реакции ДДО со стороны дна сосуда, перпендикулярная к поверх-
ности, и сила тяжести Amg (рис. 291).
Сумма этих сил должна быть горизонталь-
на, так как элемент вместе с сосудом дви-
жется, имея горизонтальное ускорение а.
По второму закону Ньютона Д/ля = &mg tg а;
отсюда tgoc = fl/g.
341. /i = V?/2gS2 = 5M.
342. Импульс F силы, действующей
на стенку, равен по модулю изменению им-'
пульса струи воды за время Д/, так как по
256
третьему закону Ньютона силы взаимодействия стенки и струи
равны. За время ’А/ через сечение трубки протечет масса воды
-in = pQSv kt. Согласно условию задачи конечная скорость воды в го-
ризонтальном направлении равна нулю. Поэтому за время А/импульс
с^руи воды изменится на kp = mv = pQSv2kt. Следовательно, F =
^p^Su^WH.
343. Удобнее решать задачу, считая катер неподвижным, а воду —
движущейся относительно него со скоростью и. Тогда вода в трубке
поднимется вверх, приобретая некоторый запас потенциальной
энергии за счет кинетической энергии жидкости, поступающей
в нижний конец трубки. Закон сохранения энергии для единицы
объема жидкости будет иметь вид p0u2/2 = p0g/i; отсюда h — v2/2% «
« 1,3м.
344. v « j/*2gh « 4,4 м/с (см. задачу 343).
345. F = 2pgftS = 2pS, где р—давление у дна. Вода действует
на стенку с отверстием с силой на 2pS меньшей, чем на противо-
положную стенку, а не на pSt как
взгляд. Это связано с уменьшени-
ем давления на стенку с отверстием
вследствие большей скорости те-
чения воды у этой стенки.
346. Пусть за время А/ пор-
шень перемещается на расстояние
«А/ (рис. 292), где н—скорость
поршня. Тогда сила F совершит
за это время работу А = Fa АЛ За
могло бы показаться на первый
время А/ вытекает масса жид-
кости ги = р5аАЛ Поэтому изменение кинетической энергии жидко-
сти равно pSu kt (уа/2 — и2/2). Это изменение произошло за счет
работы внешней силы F. Следовательно,
pSu kt (v2I2 — u2(2) = Fи kt.
Скорость истечения жидкости v связана со скоростью поршня и
соотношением Su = sv, Исключая из двух последних уравнений и,,
найдем
/2F
Sp (1 —s2/S2) ’
Если, как обычно, то и ~ K2W-
§ 11. Колебания и волны
. паД/ п . fii^l
347. li=—;---j-в9 см; /,=——-=25см.
nt —«2 П1—п2
348. T=nV"lig.
349.
350. 5 раз,
9 Г. А. Бендриков к др. 257
851. Возрастает в 1,0000093 раза.
352. Увеличится примерно в 2,4 раза (см. задачу 292).
353. На поверхности Земли маятник длины I за время t совер.
шит л»//То колебаний, причем Гов2л]/'//^о, где go—ускорение
свободного Падения у поверхности Земли. На высоте h над Землей
часы отстанут на время Д/ = п(Г —То), где Т = 2n]f l/g—период
колебаний маятника на высоте Л, a g—ускорение свободного паде-
ния на этой высоте. Используя формулу nig = /ng0/(l+/12/7?з), свя-
зывающую силу тяжести mg на высоте h с силой тяжести mg^
у поверхности Земли, найдем g/g0 = Я3/(Я3+Л)2, где /?3—радиус
Земли. Следовательно, отношение периодов TQ/T = У glgo*^
= Я3/(Я3+/г); отсюда Т = Т0 (fl3 + /i)/#3, T — TQ = Toh/R. Таким
образом, за время t часы отстанут на время M = TQnh/R3=tli/R3. При
/=1 сут = 86 400с отставание составит А/= 2,7 с.
354. U = mg2 (1 “COs a)/4n2v2 « 2,9 мДж.
355. По отношению к стенкам лифта, движущегося с ускоре-
нием а, тела, неподвижные относительно Земли, будут иметь уско-
рение, направленное против ускорения лифта. Это эквивалентно
изменению ускорения свободного падения. Оно, можно сказать, будет
равно не g, a g ± а в зависимости от направления ускорения лифта.
Именно так можно истолковать результаты, полученные при реше-
нии задач 95, 96, 98—100. Таким образом, в лифте, движущемся
с ускорением а, маятник длины I имеет период колебаний
T = 2nj/"Z/(g ± о), причем знак плюс под корнем соответствует уско-
рению, направленному вверх, а знак минус—ускорению, направ-
ленному вниз. Направление же движения лифта (направление его
скорости) на период колебаний никакого влияния не оказывает.
Период колебаний маятника в лифте согласно условию задачи
увеличился: маятник совершил /1=100 колебаний за время t =
= 2 мин 30 с= 150 с, а не за время/= 100 с. Следовательно, ускорение
свободного падения тел в лифте относительно его стенок равно g—a,
а сам лифт имеет ускорение, направленное вниз. Период колебаний
маятника в движущемся лифте T = 2n]/'/(g—a) = tln, В том же
случае, когда лифт неподвижен относительно Земли, маятник имеет
период Г0 = 2л j/"//g= 1 с. Отношение периодов
1/ g .
Т о пТ о г g— а
/ /г2П \
отсюда a = g ( 1--------) ж 5,4^м/с2,
356. Ускорение свободного падения относительно вагона скла-
дывается векторно из вертикально направленного ускорения свобод-
ного падения g относительно Земли и дополнительного ускорения а,
направленного горизонтально, которое имеют относительно стенок
вагона тела, неподвижные относительно Земли (см. задачу 355).
258
Поэтому маятник в вагоне будет иметь период колебаний Т «и»
357. Т = 2n]/'3/?/2g (см. задачу 355).
358. s = d//2 = 660m.
359. u = so/(s—оД/) 5100 м/с.
360. v0 = v-[-gh/2v = 349,8 м/с.
. 361. Длина волны в первом опыте где п — число длин
волн, укладывающихся на расстоянии /. Во втором опыте Хдо=//(п—2).
До повышения температуры скорость звука v = vX = v//n, а после
повышения uA0==vXA9 = v//(n—2). Так как n^vl/v, то од0 =
^ylu/tyl—2v). Скорость звука возрастает по линейному закону:
(/д9 = 0 (1 +а ДО), где а = (0,5/330) К”1. Подставляя в данное выра-
жение значение од9, получим Z=2o (1 Ц-а A0)/va ДО ж 450 м,
362. и = Х/Т= 1435 м/с,
363. v = a/4/ = 812 Гц,
364. <р = 2л/2 = 180 °.
365. v = ^/X « 425 Гц.
366. При распространении волн частота колебаний не изме-
няется при переходе из одной среды в другую. Так как o=vA, то
о1 = 2а2-
367. Так как при переходе из одной среды в другую частота
колебаний не изменяется, то Х1/Х2 = и1/У2 = 4,35.
368. Камертон без резонаторного ящика звучит гораздо слабее,
чем с ящиком, и, следовательно, теряет меньше энергии в единицу
времени на излучение звуковых волн. Поэтому камертон, зажатый
в тисках, будет звучать дольше.
369. Звучание камертона усиливается в тот момент, когда частота
собственных колебаний воздушного столба в сосуде совпадает с час-
тотой колебаний камертона. Собственные колебания воздушного
столба в сосуде соответствуют установлению в нем стоячей волны
такой длины X, что у нижнего конца образуется узел смещения
частиц воздуха, а у верхнего—пучность. Таким образом, в свобод-
ной части трубы h укладывается X/4, ЗХ/4, 5А./4 и т. д., т. е. в об-
щем случае (2&+1) X/4 = /i, где k — целое число. Напомним, что
в стоячей волне между двумя узлами укладывается половина длины
волны.
Так как частота колебаний в звуковой волне v = t//h, то соот-
ветствующая некоторому значению k частота камертона v=(2£-|-l) и/4/i.
По условию задачи частота имеет вполне определенное значение.
Поэтому различным высотам воздушного столба hi и h2 должны со-
ответствовать два значения k, отличающиеся на единицу: ki = n и
£а = /г-|-1, причем должно выполняться условие (2Z?i-j-1) v/4hi =
= +1) v/4h2', отсюда, полагая п = 0, найдем ^ = 0 и /г2=1,
Следовательно, v «= v/4hi = 3t>/4/i2 = 340 Гц.
9*
259
370. v1 = u/4/ = 85 Гц; v2 = v3 = u/2/= 170 Гц.
371. Частота звука зависит от скорости движения источника
(эффект Доплера). При неподвижном источнике (точка So на рис. 293)
за время, равное периоду колебаний Т, колебание распространится
на расстояние, равное длине вол-
ны К0 = иТ. Если же источник
(S на рис. 293) движется со ско-
ростью w, то за время Т он пройдет
в направлении распространения
волны путь иТ, и колебание рас-
пространится за это время на рас-
стояние Л, =Х0— иТ=(у —w) Т. При
удаляющемся источнике K = (v-\-u)T. Таким образом, частота коле-
баний, воспринимаемых ухом неподвижного человека от движущегося
источника звука, v = v/A = yX0/(y =F и). Это выражение можно упро-
стить, если и < V. Для этого умножим числитель и знаменатель па
(у ± и) и пренебрежем членом и2 по сравнению с и2. Тогда v =
= Vo (1 ± u]v)t Знаку плюс соответствует приближение источника,
а знаку минус — удаление.
Согласно условию задачи v < v0, и, следовательно, теплоход
удаляется от берега. Искомая скорость & = и(1—v/v0) = 4,25 м/с,
II. ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 12. Тепловое расширение твердьзх тел и жидкостей
372. Стержни при нагревании на величину А/ будут иметь
длины = А/ и /2 = /2-|-/2р2 А/. По условию /2 —Zi = /2—4-
Следовательно, Zi/Z2 = Рг/Рх- Так как коэффициент линейного рас-
ширения зависит от температуры, то найденное условие удовлетво-
ряет поставленному требованию для интервалов температур, в кото-
рых можно считать, что ₽2/Р1 = const.
373. Зазор при понижении температуры ниже 0 °C увеличивается.
Следовательно, размер зазора должен определяться только макси-
мальной температурой нагревания выше 0°С. Для моста па юге
— £o = Lo₽Z1 = 5O мм, для моста на севере L2—Lo = ^oPZ2 = 2O мм.
374.
AZ = n/300fl = 100 °C.
/1 = 7-гЯЧ-=83,4°С;
*0аРа *0жРж
v = Г (1 +сч А/х + а2 А/а + а3 А/3) = 1001 см8, где A/i = 3 °C,
AZ2 = 6°C, А/3 = 5°С.
377. Для интервала температур коэффициент объем-
ного расширения жидкости а = (Н—h)/(ht2—
260
375.
376.
/ —_____Zpa_____— 07 о ор
2“3(/0аРа-/ожРж)“ ’ '
378. Если Vo — объем шарика с ртутью при температуре to, то
при температуре t = 100 °C шарик и канал до деления 100 °C буду;
иметь объем (Vq4- V) (1-f-3₽/). Этот объем равен объему ртути
Уо(1+аО при той же температуре^ отсюда
Vo = V (1 +зр/)/(а—ЗР) t « у/(а —Зр) t « 191 мм3.
379. При указанных размерах сосуда и шара и при объеме
налитой воды Уо = 5ООсм3 шар находится целиком под водой; по-
этому
A/i = 4(aV0+3pV)(/a-/1)/nd2 «0,37 см.
380. При нагревании объем сосуда увеличился на AV] =V1*3B1
объем латунного цилиндра У2 = т2/ра увеличился на ДУ2 =
= (^г/Рг)’ЗР2 АЛ объем воды V =Vj—V2 изменился на Д1/ =
= (Vi — V2)aM. Так как уровень воды в сосуде не изменился, то
ДК1—ДУ2 = А^; отсюда
a = 3(P1y1pa-P2ni2)/(V1p2-m2) = -3,79.10-M<“4
Значение а получилось отрицательным, т. е. нагревание происхо-
дило при температуре между 0 и 4 °C.
381. Др =р£а Ы (V—hS)/S (I +а ДО =2,24 кПа.
§ 13. Количество теплоты. Коэффициент
полезного действия
382. са = ст (0 —/1)/[/и2 (/2 —0) —(0 — 0)1 =2 кДж/(кг« К).
383. 0 = (p,pcV -}-cMtnMRT М)Т/([tpcV + смтм/?7'). .
384. Температура смеси 0 = —19 °C; для нагревания смеси до
/ = 6°С необходимо количество теплоты ф = 1,ЗМДж.
385. Cc = c[tn2(t2—0) — rntfO—0)]/(О — 0) « 140Дж/К.
386. Термометр при погружении в воду получил количество
теплоты Q = CT(O —t2). Это количество теплоты отдано ему водой;
следовательно, Q = mc (0—/Д; отсюда 0 = Ст (Л — /а)//лс4"О = 32,5 °C.
387. В единицу времени терялось количество теплоты Q,t—
= 161,ЗДж/с.
388. Можно представить себе следующие случаи: 1) весь лед
растает, и температура смеси будет выше Zo = O°C; 2) вся вода за-
мерзнет, и температура смеси будет ниже /0; 3) температура смеси
будет равна t0, и часть льда растает.
При охлаждении до t0 вода отдает количество теплоты
Q^ = mc (Z — /0) = 42кДж, в то время как при нагревании до tQ лед
поглощает количество теплоты О2 = тлсл(^о— 6Д = 420 кДж. Так
как Q2 > Qi» то могут осуществляться лишь случаи 2)илнЗ). Если
вся вода замерзнет, то она отдаст еще количество теплоты Q3 = mr=
= 660 кДж. Так как Qg + Qi > Q2, то возможен лишь случай 3);
следовательно, температура смеси 0 = /о = О°С. Составив для этого
261
случая уравнение теплового баланса:
тс (t— Ъ) + тхг = тлсл (0-—/л),
найдем массу замерзшей воды тх\
тх = №лсл (6 — G) — /пс (/—0)]/г = 1,145 кг.
Таким образом, массы находящихся в сосуде при температуре
0 = 0 °C воды и льда будут равны т—тх и тл-\-тх, а их объемы
Vr=(m—/пх)/р, У2= (тл + тх)/Рл- Общий объем смеси
V = + V2 = (m — mxVp+ (/ил + /пх)/рл = 7,54 дм3.
389. Количество теплоты, полученное льдом при нагревании от
температуры /л до /о = О°С, равно тлсл1л, Количество теплоты, не-
обходимое для плавления льда, равно тлг. Количество теплоты, по-
лученное водой, образовавшейся из льда, при нагревании от/о = О °C
до температуры 0, равно тлс$. Количество теплоты, отданное теплой
водой при остывании от температуры I ю температуры 0, равно
(рК — /7?л) с (t—0), где (рК — л?л)— масса теплой воды. Составляем
уравнение теплового баланса:
тлсnG + тлг+тлс0 = (рИ — тл) с (t— 0);
отсюда /ил = рУс(/—0)/(г + <-л/л4-с/) «30кг.
390. °) * 40 кг, где /о = 0°С.
391. Т = ТПЛ—(2Q —тг)/2/пс=273 К.
392. с=гто/[(/2 — Л) т—(/пл— /2) т0] = 0,23 кДж/(кг-К).
393. Количества теплоты: для нагревания льда до /0 = 0°С,
С1 = тлсл (/0 — /л) = 0,21 МДж; для плавления льда, 02 = /Пл/' =
= 3,3 МДж; для нагревания воды до t= 100 °C, Q3= тлс (t—/0)==
= 4,2МДж; для испарения воды, Q4 = тлк — 23 МДж. Сравнивая
эти количества теплоты с количеством теплоты Q, видим, что
Q1 + Q2 + Q3 < Q < Qi + Q2+Q3 + Q4»
т. е. весь лед превратится в воду с температурой /=100 °C и лишь
часть воды массы тл — т превратится в пар. На превращение в пар
этой массы воды потребуется количество теплоты (?6 = (/ял—т) к.
Таким образом, количество теплоты, сообщенное содержимому сосуда,
Q = Q1+Q2 + Q3+Q5’ Подставив сюда найденные выше выражения,
решив полученное уравнение относительно тл, найдем
"г = у! [Х+сл (<о-/л)4-г+с (/-/„)]_-^=4,6 кр,
394. h = [m3 (Х+са/а)~2рУМ]/2рлаЬг « 0,4 см.
395. В сосуде происходит выделение количества теплоты ф при
конденсации пара и Q2 при охлаждении воды, образовавшейся из
этого пара, от температуры /=100 °C до температуры смеси 0,
В то же время происходит поглощение количества теплоты Q3 прй
262
плавлении льда и (?4 при нагревании воды, бывшей ранее в сосуде
и образовавшейся при плавлении льда, от температуры /о=»О°С до
температуры смеси (К
Максимальное количество выделенной теплоты (когда весь пар
сконденсируется, а образовавшаяся при этом вода охладится до
/о = О°С) ~ 18 кДж равно количеству
теплоты рэ = п?лг«18 кДж, поглощенному льдом, когда он весь
расплавится. Таким образом, Q4 = 0, ив сосуде будет только вода
при температуре 0=/о = О°С.
396. Испарившаяся вода имеет массу т — тл> На ее испарение
требуется количество теплоты Q = (m—тл) X. При быстром откачи-
вании теплота от окружающих тел не успевает передаваться воде.
Поэтому все это количество теплоты получается при образовании льда,
т, е. Q = mJ1r. Следовательно, (т—тл)'к = тлг и тл = тХ/(г+Х)=35 г.
397. М = т (л + Х)/л=22,7 г (см. задачу 396).
398. Количество теплоты, необходимое для испарения эфира,
отдается водой и эфиром при их охлаждении до температуры /о = О°С
и водой при замерзании. Таким образом,
/пэХ = п?эсэ (/— to) + mc (t— t0) + mr,
отсюда т = т9 [X — сд (t— /0)]/[г + с (/ — /0)] =82 г,
399. Количество теплоты, необходимое для нагревания воды,
отнимается у воды при превращении ее в лед, т. е.
тс(/0 — 1) = пглг\ отсюда гил = тс (f0 —0/< = 124 г.
400. Предположим, что при нагревании температура содержимого
колбы увеличилась на АГ. До нагревания вода имела объем Vi=rni/pi,
а ртуть — К2 = п?2/р2. Плотность воды после нагревания р =
= Pi/(l+ai АТ). Объем вытекшей воды
V = т/р ~ т (1 + о,! АЛ/Рь
При нагревании объем воды увеличился на Д71 = а1К1 ДТ, а объем
ртути — на ДУ2 = а2У2ДТ. Так как колба была заполнена до краев,
то Д1/1 + ДК2 = ДУ. Повышение температуры ДТ найдем из уравне-
ния Q = (mjCj + т2с2) Д7\ В результате имеем
[т (т^+т^) — (mf—m)] « 1,7.IO-4 К"1.
401. Масса латуни /н = Уоро = Кр, где р = р0/(1 +30/) — плотность
латуни до погружения в сосуд, когда кусок латуни имел темпера-
туру t; отсюда V = (т/р0) (1 +3₽/). Для определения начальной тем-
пературы латуни t составим уравнение теплового баланса: теплота,
затраченная на плавление льда, получена за счет охлаждения латуни,
т, е. тлг = тс(1— /0), откуда 1 = тлг/тс. Следовательно,
V = (т/ро) (1 +3$тлг/тс) = 51,2 см3.
263
402. Количество теплоты, выделяющееся при сгорании топлива
в единицу времени, = Из этого количества теплоты за то
же время превращается в полезную работу лишь часть Л/=ртТ^
где т) = (7\—Т2)/Т1 — наибольший к.п.д. двигателя (7\ = // + 273 К;
/=1,2). Следовательно, полезная мощность, развиваемая этим дви-
гателем, не может превышать
N = m-tq (Т\ — Т2)/Т1 = 263 кВт.
403. Максимально возможные к.п.д. двигателя и паровой машины
П1 = (Т2-Т)/Т2 и П2=(Т1-Т)/Т1 (где Т/=//+273 К; 1=1,2).
Отношение к.п.д. двигателя и паровой машины равно тй/Лз =
= (Т2-Т) Tt/(T^T) Т2 «2.
404. Расход топлива на единицу длины пути ms = Л//<?т)и = 5 кг/ км.
405. q = Ns/mvr\ я 46 МДж/кг.
406. Условие движения спутника по орбите Mv2jR = Mg может
быть выполнено, если спутнику сообщена кинетическая энергия
W — Mv2/2. Эта энергия получается путем превращения тепловой
энергии Q=qm, выделяющейся при сгорании керосина, в механи-
ческую энергию, т. е. W = Q. Совместное решение этих уравнений
дает m = MgR/2q « 670 кг.
407. т)= (Ns/pVQu)-100 % = 32 % J
408. q = [Vpc (/2 — /])//Vt]* 100 % = 52 %, где /2=100°С—темпе-
ратура кипения воды.; 1
409. В окружающее пространство за время т отдается количе-
ство теплоты Q0 — mc(t—/о) + ^г, отнятое у воды при ее охлажде-
нии и превращении в лед, а также превращенная в теплоту в про-
цессе работы холодильника энергия W, полученная от электросети.
Всего за время т отдается количество теплоты Qtt=Q0+P7. Мощ-
ность, потребляемая холодильником,
N = U7/t = Qx— Q0/t = ^ —(m/т) [с (/—/0) +г] = 416 Вт.
410. Q = mo2T2/2 = 225 МДж.
411. v = / 4c(Ta„—T) + 4r-2gh = 388 м/с.
412. Так как движение равномерное, то сила натяжения веревки
F равна сумме проекций на направление наклонной плоскости силы
тяжести и силы трения: F = mg (sin a-^k cos а). При подъеме тела
на высоту Л оно проходит вдоль наклонной плоскости расстояние
Z=/z/sina. При этом совершается работа A = Fl, которая идет на
увеличение потенциальной энергии тела (кинетическая энергия не
изменяется) и на нагревание бруска и доски, т, е, A=mgh-\-W',
отсюда W = kmgh etg a.
413. Q = mgl sin a—mv2/2 = 100 Дж.
414. л= N/pSl=2 об/с.
415. Из закона сохранения импульса находим скорость куба
после пролета сквозь него пули: v = (m/M) (vf— v2). Энергия, превра-
тившаяся в тепло, равна разности кинетической энергии пули перед
264
попаданием в куб яш?/2 и кинетической энергии кубд и пуля
после прохождения пули сквозь куб. Следовательно,
w mvf (Mv2 - mvi \ tn Г a 2 z 4,1
^=-5—(-3-4—2- ;=t [ 2 J •
416. Согласно закону сохранения импульса скорость совмсст-
ного движения шаров после абсолютно неупругого удара v =е
(tnjpi—/n2v2)/(mi + m2). Далее из закона сохранения энергии:
следует
4 2 + 2 2 2(т1 + т2) 15 ДЖ>
§14. Законы идеального газа и уравнение состояния
.417. См. рис. 294—296.
418. Согласно закону Бойля—Мариотта p0V0 = pV; отсюда
JZ==p0Vo/p = 0,02 м3.
419. pi = V2 Ap/(Vi — V2) = 12 кПа.
420. p — (F cosa)/S + p0= 110 кПа.
421. ДА = | mRT — цИр0 |/pVpg « 2,9 см.
422. Давление р внутри цилиндра без груза на поршне опреде-
ляется из условия равновесия поршня (рис. 297):
pS cos a = mg + p0S0, где S = S0/cosa — площадь
внутренней скошенной поверхности поршня; отсюда
p = /ng/So+po- Давление р' внутри цилиндра, когда
на поршне лежит груз, определяется аналогично:
р' = (/ng + Afg)/So4-po. По закону Бойля—Мариотта
pV = p'V't где согласно условию задачи V' = V/2.
Из этих уравнений получим М = pQSQ/g + m = 26 кг.
423. F = pQnr2l/(l — M) « 46 Н.
Ри$о
4 Мд
Рие. 297.
424. Давление воздуха рх внутри трубки, обра-
щенной открытым концом вверх, равно сумме ат-
мосферного давления р0 и давления столбика ртути
pgh'. pi = po + pght Объем воздуха в трубке Vj = 5/,
265
где S — площадь поперечного сечения трубки (рис. 298). Когда
трубка повернута открытым концом вниз, то атмосферное давление
Ро уравновешивается давлением воздуха внутри трубки р2 ц давле-
нием столбика оставшейся в ней ртути pgft/2i Po^Pt+Pghfi, или
Рис. 300,
P2=zPo—-pgft/2. Объем воздуха в этом случае Va = S(L—Л/2).
Используя закон Бойля—Мариотта PiVi==p2V2, найдем
^(Po—pgh/2) (L—h/2)
Po + pgh
425. В обоих концах трубки воздух первоначально занимал
объем V = S(L—Л)/2, где S —площадь поперечного сечения трубки,
и имел давление р. Когда трубку поставили вертикально (рис, 299),
объем воздуха в верхней части трубки сталУ1 = 5[(£—h)/2-\-l\t
а давление стало равным рх\ в нижней части трубки объем стал
V2 = S[(L—й)/2— /], а давление стало равным р2. Согласно закону
Бойля—Мариотта для верхней части трубки
pV^PiVlt откуда (L—h)p = (L— h + 2l) p^t (1)
для нижней части трубки
pV = p2V2, откуда (L — h) p = (L —h—21) pit (2)
С другой стороны, столбик ртути находится в равновесии, когда
давление воздуха в нижней части трубки равно сумме давлений воз-
духа в верхней части трубки и столбика ртути, т, е,
Pi=Pi + f>gh. (3)
Исключив pi и р2 из уравнений (1)—(3), найдем
p = pgh [(2L—Л)2—4P]/4l (L—Л) =50 кПа,1
426. Давление воздуха в трубке до ее погружения в ртуть рх = р0,
а объем его Vi = SL, где S—площадь поперечного сечения трубки.
После погружения трубки в ртуть давление воздуха в ней стало
Ра = Ро + Р^> а объем его Va = S(/i + 7) (рис, 300). По закону
266
Бойля—Мариотта PiVi = p2V2, или
poL = (Po + Pgty (^ + 0; отсюда / = p0£/(p0 + pgA) —Л = — 38 см,
т, е. запаянный конец трубки должен находиться на расстоянии
1^38 см от поверхности ртути в сосуде.
427. /=Лр0/2 (p0+pg/i)—/: = —57 см (рис. 301).
428. До вдвигания поршня объем воздуха в цилиндре =
в трубке V2 = Szht а его давление ра = Po+pgh (рис. 302). Согласно
закону Бойля — Мариотта piVi^=p2V^t или
Po51/i = (Po+pgA)S2ft; отсюда A = -g-p±
Перед корнем следует взять знак плюс, так как величину Л мы
считаем положительной (с увеличением h давление р2 увеличивается).
Подставив в то же уравнение h — l2 и решив его относительно Si,
найдем минимальную площадь поперечного сечения цилиндра:
429. До подъема поршня объем воздуха в трубке V0 = S/0, где
S—площадь поперечного сечения трубки, а давление воздуха равно р0.
После подъема поршня на высоту / ртуть в трубке поднимется на
высоту h над уровнем ртути в сосуде (рис. 303). Объем воздуха
в трубке станет И = $(/ — /г), а его давление р = Ро—pgh, т. е.
h = (р0 — p)/pg. Согласно закону Бойля—Мариотта p0I70 = pV, или
pQSl0 = pS(l—h). Учитывая выражение для /г, имеем pQpglQ=a
= p(pgl—po+p)> отсюда
p=a^ps! ± <а=£££+(адЛ.-.
Так как давление воздуха ^в трубке не может быть отрицательным,
то перед корнем следует взять знак плюс. В результате получим
р = И ,6 кПа,
267
430. Объем воздуха в трубке до ее погружения K0 = S/0 ($_
поперечное сечение трубки), а давление воздуха в ней равно р0
Если нижний конец 1
трубки погружен на глубину Н (рис. 304), То
объем воздуха в ней V = Sl, а уровень
воды внутри трубки находится на расстоя-
нии //—(/0 —0 от поверхности моря. При
этом давление воздуха в трубке р = р0-{,
+ pg(tf—^о + О- По закону Бойля—Ма.
риотта Po^o = pyt т. е.
Р(Л = [Ро + pg (Н — А)+ 01
отсюда Н = (p0-\-pgl) (l0 — l)/pgl « 41,6м. '
431. Давление воздуха на дне водоема
Pi = Pu + pgH> на глубине h — p2 = Po + pgh.
Объем пузырька на глубине h равен о =
= 4лг3/3. Согласно закону Бойля—Мариотта
PiV=pat\ или (Po+Pgfl) V=(po+pg/l)4^r3/3;
отсюда г= У з (Po+pgH) V/tn (Po+pg/t).
432. PqTs/(Po4“pogft)7\ « 1,37 см
(см. задачу 431).
433. k = v/V = po/(po+pgh) = Oti9t где V — объем лодки, и —объем
лодки, свободный от воды.
434.
435.
площадь
/7 = р0(У1_у2) ДЯ/У1Др0=1,38 км.
Начальный объем воздуха под поршнями V = SH, где S —
поперечного сечения сосудов. Конечный объем воздуха под
Л
4г
Рис. 306.
закрепленным поршнем Vi = S (H+H/2) = 3SH/2, а под подвижным
поршнем V2 = S (Я+Л—Я/2) = 5 (Л + Я/2) (рис. 305). Конечные
давления под ними равны pt и р2- Разность этих давлений опреде-
ляется разностью уровней жидкости в сосудах: pi—P<t~pgH.
Согласно закону Бойля—Мариотта для сосуда с закрепленным
поршнем
pV = p1V1, или pH—3piH/2\ отсюда pi=2p/3>
268
Следовательно, p2 = Pi —pg# = 2p/3—pgH. Согласно закону Бойля —
Мариотта для сосуда с подвижным поршнем
pV = p2V2, или pA = p2(A4-tf/2) = (2p/3-pgtf)(A + Z//2);
оТСюда h = (4р3pgH) Н/2 (2р—3pgH).
436. Начальный объем воздуха в запаянном колене V0 = SA
(S—площадь поперечного сечения этого колена), а давление в нем
равно ро- После выпускания части ртути объем воздуха в этом
колене стал V = S(A4-Ai), а давление в нем р = р0—pg(A2 —М
(рис. 306). Согласно закону Бойля—Мариотта
PoVo = pV, или р0А=[р0 —pg (А2—Ах)] (h+h^
отсюда h2 = h1 [p0+pg (A4-Ai)]/pg (A4~Ai) =53 см.
437. Перед засасыванием воздух занимает объем баллона V и
имеет давление pi. В конце засасывания объем, занимаемый возду-
хом, состоит из объема баллона и объема засасывающей камеры:
V-^vt давление при этом становится равным р2. Согласно закону
Бойля—Мариотта •giV=p2 (V+о), или Pi/p2 = (V + v)/V. По усло-
вию задачи Pi/p2 = n. Следовательно, v = V (n— 1) = 0,8 л.
438. Перед засасыванием воздух занимает объем баллона V,
а давление его равно р. В конце первого засасывания объем воз-
духа складывается из объема баллона и объема засасывающей камеры:
I/4-0, а давление его становится равным pi. Согласно закону
Бойля—Мариотта рУ = рг (V4-0), откуда
Pi = pV/(V4-o).
При втором цикле роль начального давления будет играть pt;
поэтому.:.
P2--PiV/(V4-^) = P[V/(V4-012.
При третьем цикле .начальное давление будет р2; следовательно,
P3 = P2V/(V4-^)=P[V/(V4-^)]3,
и т. д. Ясно;- что после п циклов давление будет
Р» =/ЧУЛУ+»)]", или p„/p = [V/(V+0]ra.
Логарифмируя,, найдем
lg (Рп/Ро) ~п lg [V/(V + t))], или п = lg (p„/Po)/lg [V/(V + t>)J.
439. Объем воздуха при давлении р, необходимый в единицу
времени для работы п "молотков, равен nvx-. По закону Бойля —
Мариотта p0Vr = pnvt; отсюда п = p0Vx /pvx = 20.
440. В конце каждого засасывания воздух при атмосферном
давлении р0 занимает объем v засасывающей камеры насоса. В мяче
этот воздух занимает объем V и имеет парциальное давление р,
которое можно найти из закона Бойля—Мариотта: p = vpQ/V.
После п качаний давление рп в мяче будет равно сумме парциаль-
ных давлений: рп = лр = лиро/У = О,2МПа.
269
441. Парциальное давление одной порции воздуха можно найти
при помощи закона Бойля—Мариотта (см. задачу 440): Р1 = ир0/у
где и = nd2/i/4 —объем воздуха, засасываемый при одном цикле
работы насоса. Сумма парциальных давлений всех порций воздуха
добавляемых в камеру за п циклов работы насоса, будет прг
~ JuPfinpo/lV. Сложив эту величину с начальным давлением в ка-
мере р0, найдем конечное давление; р = ш!21гпр0/4У-[- pQ‘t отсюда
число циклов работы насоса, необходимых для получения давле-
р в камере, п = 4У (р—p^/nd^hp^. Время накачивания камеры
/ = пт = 4У (р — р0) n/jid2hp0 « 46 с.
442. После соединения сосудов воздух, находившийся в каждом
из них, распределится по объему Vj-l-VgAByx сосудов. Для воздуха
находившегося в первом сосуде, согласно закону Бойля—Мариотта
= (Vj + V2); для воздуха, находившегося во втором сосуде,
Р2У2 = р'2 (^1 + ^2), где pi и р2— парциальные давления. Складывая
эти равенства, получим PiVj + р2У2 = (pi +Р2) (Vi + VJ. По закону
Дальтона установившееся давление p = pi-{-p2- Таким образом,
P = (PiV1+p2V2)/(V1 + V2) = 675 кПа.
443. pi = [р (Vi + V2) — р2У2]/У1= 1,2 МПа (см. задачу 442).
444. Pi = 4p;n1/(2m1-|-m2).
РА
---------
А—=--------
О
Рис. 307.
РЛ
3Р1--------------
Pt--------------
ff *f
Рис. 308.
445. См. рис. 307—309.
446. Начальная и конечная температуры газа (V2 = 2Pi):
т _ дт
1 Vz/Kj-l
I V 'Г _ДТ_____« г.
1К> г2-{7^7=1-2К-
447. ДИ/171 = (Р2-Р1)/К1= [(Гг-Л)/Л] • 100 % = 4 %.
448. Для ненагретого сосуда согласно закону Бойля—Мариотта
pV = р'(V—S Д/); для нагретого сосуда согласно объединенному
газовому закону рУ/Т = р' (У+S Д/)/(? +ДТ), где р и р'—давления
в сосудах до и после нагревания. Исключив из этих уравнений
р/р', найдем &T/T = 2S МЦУ—S М) w 28Ы/У.
449 От Тл___ TV _____267 К до Г _Т (УN &У)____ „
449. От '1-у+л ду-267 К ДО Тг— -321 К.
270
450. V't = VT1/(r1 + 7,2)=200cM\ Иа = VT2/(Tt + T2) = 300 см3.
451. Изменение объема ДИ одинаково для обеих частей цилиндра.
Согласно объединенному газовому закону для ненагретой части
цилиндра pV = p'(V —ДГ), для нагретой рИ/Т = р'(И + ДИ)/?', где
у — первоначальный объем каждой части цилиндра. Исключая от-
сюда ДИ/И, найдем р' = р (Т-\-Т')/2Т = 105 кПа.
452. Пусть при горизонтальном положении цилиндра объем
каждой из частей равен И. При вертикальном положении цилиндра
объем верхней части стал И + ДИ и давление в ней равно р',
объем нижней части стал И—ДИ и давление в ней равно p-\-mg/S.
Согласно закону Бойля—Мариотта имеем
рИ = р' (И + ДИ), pV = (p' + tng/S) (И-ДИ).
Исключив из этих уравнений ДИ/И, получим
\ О ] ZO
отсюда
(второй корень отброшен, так как он дает для р' отрицательные
значения).
453. Z = pg/i(L-/i)/2(2p + pg/i) = 17 см.
454. Г = рГ/р' = тТ/Ир' =225 К.
455. Так как давление в колбе перед погружением и в конеч-
ном ее состоянии одно и то же (равно атмосферному), то для этих
состояний газа И1/И2 = 7’1/Г2, где Hi = 4na3/3 + nd2Z/4, И2 = 4ла3/3+
+ nd2Z/8 — начальный и конечный объемы воздуха в колбе. Следова-
тельно, Tt = T2Vr/V2 = 2Т2 (1 ба3 + 3Zd2)/(32a3 + 3Zd3) = 316 К.
456. р2 = Ро7\/7\ = 0,41 кг/м3,
457. Уравнения состояния газа до и после нагревания:
рИ = (m/н) RT, р (И + Sh)= (/л/И) R (Т + ДГ),
где р, И и Т—давление, объем и температура газа до нагревания.
Вычитая второе уравнение из первого и учитывая, что р = р0 +
+ Mg/St найдем
Л4 = mR kT/^gh—pQS/g к 85 кг.
458. Условие V/Т = const означает, что процессы нагревания и
охлаждения происходят изобарно. При отношении начальных объ-
емов Vi/V2=1/2 эти объемы составляют части Vi = V/3 и К2=2Г/3
от объема V всей трубки. Конечные объемы обеих частей одина-
ковы: V3 = V/2. Согласно закону Гей-Люссака для меньшей части
V1/V3 = T0/7\, для большей части V2/V3 = TQ/T2t где Г0=273 К —
Температура, соответствующая начальным условиям; отсюда
Т1 = ГоКз/У1 = ЗТо/2 « 410 К. T2 = T0V3/V2 = 3Tq/4 « 205 К,
271
469. l = LT2/(Ti+T2) « 42 см.
460. Ti = PiT2/p2 = 404 К.
461. m = Spi (T2 —ТО/ЯЛ « кг.
462. Манометры обычно градуируются та-, что они показывают
разность между давлением внутри баллона и атмосферным давлением.
Поэтому давление в баллоне, когда он находится в помещении,
pi = р+р0, а давление в баллоне, когда он вынесен на улицу,
р2 = р4-р0 — Др. Так как объем газа остается неизменным, то по
закону Шарля = р2/7\, где Т?= /+273 К—температура на-
ружного воздуха; отсюда
Т} = ргтtip-1 = (р4-Ро—Др) Т1Кр + Ро) = 256 К.
463. Давление газа, которым наполняются лампы, должно удов-
летворять закону Шарля: р!Т\ = рй1Т2\ отсюда р = 7\р0/Т2 = 74 кПа.
464. Пусть в цилиндре под поршнем находится некоторая масса
газа, который при температуре t0 = 0° С имеет давление р0 и объем Vo.
1) Нагреем газ до температуры t\ при постоянном давлении р0.
Тогда по закону Гей-Люссака газ займет объем Vi = Го 0
2) Сожмем газ при постоянной температуре от объема до
объема Уо. В результате газ будет иметь давление р\, причем по
закону Бойля—Мариотта Р(У1 = Р1Уо*
3) Охладим газ до температуры /0 при постоянном объеме Го.
При этом газ возвратится в первоначальное состояние и его давле-
ние уменьшится от р5 до р0. Согласно закону Шарля р\ и р0 свя-
заны соотношением Pi=Po(l + ₽O-
Подставив выражение для Г* из закона Гей-Люссака и выраже-
ние для pj из закона Шарля в выражение закона Бойля—Мариотта,
получим PqV0 (1 +a/1) = p0V0 (1 -f-fS/i); отсюда а = 0.
465. См. рис. 310 и 311.
466. Для перехода между состояниями 3. и 1 должно выпол-
няться соотношение рзУз/Тз = Р1У1/Т1- С другой стороны, как видно
из рис. 63, в этом случае V=4p, т. е, V3/p3 = Vi7pi- Процесс пе-
рехода между состояниями 1 и 2 изохорный; следовательно,
Pxlp2 — TilT2. Наконец, процесс между состояниями 2 и 3 изобар-
ный, т. е, Рг = рз> Из приведенных соотношений найдем 7,s = T2/^i*
272
467. p4 = PiV1T3/V4TI=0,l МПа.
468. Для данной массы газа при любых-процессах можно при-
менять объединенный газовый закон в виде рУ/Т = В = const. По-
стоянную величину В можно найти, подставив в это уравнение из-
вестные для начального состояния значения plt Vlt Тt; имеем для
Рис. 313.
О Z00 400 Tfi
И,л
I
г- /f
!
_____I-----1-----
О 200 400 Ц
Рис. 314.
нашей задачи В = PtV\lTi = 0,5 Дж/К. Построим графики процессов,
предварительно выбрав масштаб для р, У и Т (рис. 312—314).
В результате получим, что р4 = 0,1 МПа.
469. При нормальных условиях (давлении p0 = pg/i0 = 101,325 кПа,
где р= 13,595-103 кг/м2 — плотность ртути, g = 9,81 м/с2—ускорение
свободного падения и йо = 76Омм—высота ртутного столба, и темпе-
ратуре' Tq = 273 К) моль любого газа согласно закону Авогадро за-
нимает объем V =22,41.10~3м3/моль; отсюда
= = 8»31 Дж/(моль«К).
.470. Из уравнения состояния идеального газа иайдем m =
= ррИ//?Т = 138 г.
471. pj = miii2p2Tflm2pxT2 = 0,028 кг/моль.
472. Уравнения состояния воздуха в сосуде, при атмосферном
давлении р до и после нагревания: рУ = т^7\/р, и pV — m2RT2/p,t
где ту и т2—массы воздуха в сосуде до и после нагревания. По-
делив второе уравнение на. первое, найдем ma/mi = Ti/T2;=0,415.
473. (mf—m2)/'mi = (pi^p2)/p1 = 0t2.
474. rrta —mi = (pV//?) (p2/T2—p17Ti)"=57 r.
475. p.—mRTlpy = 0,032 кг/моль(кислород).
476. Из уравнения состояния имеем р = т/У = цр/RT = 1,12 кг/м3.
477. ро = О,49 кг/м8 (см. задачу 476).
478. р = 0,4 /?Тр0/р, = 24 МПа (см. задачу 476).
479. Задачу можно решить тремя способами.
I. Установившееся давление выражается формулой (см. зада-
чу 442)
P=(PiVi + p2V2)/(V1 + Va); отсюда Pi=[p (Vi+V2)—р2У2]/У1=0,5МПа.
II. Уравнения состояния воздуха в первом-«автором бал-
лонах:
p1Vi = m1RT/iiLt p2y2 = m2RTlp\
273
после соединения баллонов р = RT/p,t где гщ н
т2— массы воздуха в первом и втором баллонах. Исключив из этих
уравнений пц и /л2, получим снова pi = [p(V1 + Va)—
III. Предположим, что в трубе, соединяющей баллоны, имеется
поршень (рис. 315). Сместим поршень так, чтобы давления в балло-
= 4И li v2,p2
Рис. 315,
нах стали одинаковыми и равными р.
Объем воздуха в первом баллоне уве-
личится на величину ДИ и станет
равным Их + ДИ, а во втором баллоне
уменьшится на ту же величину и ста-
нет равным Иа—ДИ. Теперь поршень
можно удалить, не нарушая равновесия
газа. По закону Бойля—Мариотта pvV^p (Vi + ДИ) и p2V2 =
= р (И2 — ДИ). Складывая эти уравнения, найдем р}У\+РчУг^
= Р (^1 + ^2), откуда получим для определения pt прежнюю формулу.
480. р = (Т12)(р11Т1 + р2/Т2),
481. Уравнение состояния газа до нагревания в каждой части
цилиндра:
pSL = -RT,
Н
(1)
где SL = V — объем каждой части цилиндра, S — площадь его попе-
речного сечения. Объемы нагретой и ненагретой частей: Vr = S
и V2 = S(L — I). Уравнения состояния газа в них:
р'5(£+/)=-^/?(Г+ДТ),
Г
p’S(L-t)=^RT,
(2)
(3)
где р'—давление газа после смещения поршня (одно и то же в
обеих частях цилиндра в силу равновесия поршня), Т + ДТ — тем-
пература в нагретой части цилиндра. Поделив уравнения состояния
друг на Друга, получим
Т + ЬТ = Т (L+ /)/(£ — /); отсюда AT = 277/(L —Z) = 404 К,
Правые части уравнений состояния (1) и (3) равны между собой,
поэтому pfS(L — l) = pSL (это уравнение представляет собой закон
Бойля—Мариотта для той части цилиндра, температура которой не
изменилась); отсюда находим р' = Lpl(L—= кПа.
482. l — L (l — У~Т2/Т±) » 10 см. (При решении задачи обратить
внимание на то, что pg = Po/L.)
483. Так как водород свободно проходит через перегородку, то
он распространяется по объему V всего сосуда, и для него уравне-
ние состояния будет pvV = m1RT/[iit откуда его давление pi =
= m1RT/[i1V. Для азота уравнение состояния будет p2V/2 =
= (^2/^2) RT = ViRT, Так как в той части сосуда, в которой раньше
274
был один азот, теперь находятся и водород и азот, то полное давле-
ние р будет складываться из парциальных давлений pt и ра. Таким
образом,
p = Pi + p2 = ('ni/Hi+2v2) ЯТ/У=0,1 МПа.
484. Z = p,1LT2/(P'i^2 + P2^i) = 60 см.
485. Уравнения состояния для газа в первой и второй частях
сосуда до выравнивания температур:
pV1 = m1RT1/iii pV2 = m2RT\lp..
Поделив их друг на друга, находим V\T2IV2T\ = milm2. Уравнения
состояния для газа в первой и второй частях сосуда после выравни-
вания температур:
= /п1/?Т/|ш, p'V’2 = m2RT/р,,
где Vi и Vz — конечные объемы первой и второй частей, Т — общая
температура и р' — давление, одно и то же в обеих частях в силу
равновесия перегородки. Поделив эти два уравнения друг на друга,
найдем V1/V2 = ^i/m2. Таким образом, VilV2 = V1T2lV2Ti — ^lb.
486. Пусть длина той части цилиндра, которая заполнена кис-
лородом, равна Z, тогда водородом заполнена часть цилиндра длины
L — 1. Их объемы равны V^ = Sl и V2 = S(L —Z), где 5 —площадь
поперечного сечения цилиндра. Уравнения состояния кислорода и
водорода:
pS! — mRT/pi, pS (L — l) = mRT/p2.
Поделив одно уравнение на другое, получим
Z/(L —Z) = p2/p1; отсюда /=^2/(р,14-ц2) = 5 см.
487. Положив в уравнениях состояния (см. задачу 486) l = L/2,
Т = Тг для кислорода и Т = Т2 для водорода, заметим, что левые
части этих уравнений будут равны. Приравняв поэтому правые части,
получим Т\П\ — pi/p2 —16. При любых температурах, для которых
будет выполняться это условие, поршень будет делить цилиндр на
равные части.
488. T = ppV/m/? = 280 К.
489. После подъема шара его объем V2 = Vi + nVi, а давление
газа в нем р2 = Ро + Ар- Согласно объединенному газовому закону
PiVi/71! = p2V2/712; отсюда
Т2 = р2У2Тxlр^уi = (ро + Др) (1 -|-л) Тt/pj = 255 К.
490. Объем водорода, заключенного в п баллонах, V = nv. Из
объединенного газового закона pV}Т = р'У'1Т' находим число
баллонов: n = prWTlpvT « 536.
491. Действующая на автомобиль сила тяжести mg, направленная
вниз, уравновешивается четырьмя силами реакции опоры со стороны
грунта на шины, направленными вверх. Будем считать, что все че-
тыре силы реакции опоры одинаковы и равны F = mg/b. На сопри-
18*
275
касающийся с грунтом плоский участок шины сверху (изнутри) дей-
ствует" сила давлёния pS воздуха, заключенного в шине; снизу же
действует сила реакции опоры со стороны грунта F. Эти силы
уравновешиваются. Таким образом, при температуре /2 давление
воздуха внутри шины p = F/S = mg/4S. Согласно объединенному га-
зовому закону
pV2/T2 = PqVi/T i, или rngV2/4ST 2 = PqV i/T x;
отсюда /n = 4ST2p0Vx/V27\g ~ 4000 кг.
492. Чтобы вытеснить воду из цистерны, воздух должен иметь
давление, по крайней мере равное давлению воды на глубине h:
p2 = p0~\-pgh. После расширения воздух займет объем V2 = V + UX.
Согласно объединенному газовому закону
PiVi/Tr = р2Г2/Г2, или P1Vi/7\ = (po + pgh)(V + Их)/Т2;
отсюда V = PiVjT2/(р0 + pgh) Тх — Vx = 1,85 м3.
493. Т' > (F+pQS)T/pQS = 390 К.
494. Равновесие устанавливается, когда силы давления воздуха
в цилиндрах на оба поршня будут равны, т. е. когда piSi = p2S2.
Применим для воздуха в первом цилиндре объединенный газовый
закон: p^VilT^ — p^V^IT, а для воздуха во втором цилиндре — закон
Бойля —Мариотта: p0V2 = p2V2. После нагревания поршни сместятся
на одинаковые расстояния и изменения объемов воздуха в цилиндрах
будут пропорциональны площадям поршней, т. е. — Vi)/(V2— Г2) =
= Sj/S2. Решив систему черырех уравнений с четырьмя неизвестными
Рь р2> 1Л» Г2, найдем
p0Sx (TV. + T.V,)
495. Из уравнений состояния находим массу т'± водорода, на-
ходящегося в шаре, и массу т2 воздуха, вытесненного шаром: /пх =
= ₽1/Н1/Ро^од и т2 = ^2/^011 где = 22,41-10-’ м3/моль —
объем моля идеального газа при нормальных условиях. Согласно
закону Архимеда при парении шара в воздухе- сила тяжести, дей-
ствующая на шар с водородом, (44 + n?x)g равна силе тяжести вы-
тесненного воздуха m2g\ отсюда
Р = (Ро/Ц1)(Р2 — УоцМ/У) « 0,15 МПа.
496. Пусть уровень воды в стакане находится на расстоянии
h от дна стакана (рис. 316). Давление воздуха в стакане будет
Ро + Р^* Так как давление р0 соответствует приблизительно давле-
нию 10-метрового столба воды, a h < Н = 0,1 м, то pgh составляет
менее 1 % атмосферного давления и величиной pgh можно пре-
небречь по сравнению с р0, т- е- считать, что давление воздуха в
стакане неизменно. Тогда согласно закону Гей-Люссака Гх/7,х=^72/Т2,
где V1=±//S и. V2 = hS — начальный и конечный объемы воздуха в
276
стакане; отсюда h = H Т21Т\, и объем вошедшей в стакан воды
V = (H—h)S = HS(Ti—T2)/Ti = 49 см3.
Если учесть изменение давления воды в стакане в зависимо-
сти от расстояния h и применить при этом объединенный газовый
закон: pQHS/Ti = (p0 + pgh) hS/T2, то для h полу-
чится сложная формула:
Л = (Po/2pg)(K 1 +4//T2pg/p07’1-1).
Вычисление по этой формуле дает V = 50 см3.
Заметим еще, что если корень в этом выраже-
нии разложить по формуле бинома Ньютона иа
ограничиться двумя членами: 1 +2HT2pg/p0Ti,
то мы получим для h выражение, найденное
ранее при помощи закона Гей-Люссака.
497. Согласно закону Архимеда погруженный до краев стакан
(рис. 65,а) плавает при условии, что сила тяжести mg, действующая
на него, вместе с силой тяжести pgVi, действующей па налитую в
него воду, равны силе Архимеда pgV, где V— hS—объем стакана,
Vt—hS/3— объем налитой в него воды (S—площадь его попереч-
ного сечения). Таким образом,
™g+29ghS/3 = pghS; отсюда mg — pghS/3r
Погруженный вверх дном на глубину Н стакан (рис. 65,6) бу-
дет находиться в равновесии, если сила Архимеда pgVa» гАе У 2—
объем сжатого в стакане воздуха, равна силе тяжести mg, дей-
ствующей на стакан. Учитывая выражение для mg, найдем V2=hS/3.
Давление воздуха в стакане р = Po + pg/(H —2h/3). Используя объ-
единенный газовый закон:
Po*<S _ [р0 + РЯ (Я-2Л/3)] hS/3
Ti Т2
получим Н — Pq (ЗТ2—T1)/pgT1-\-2h/3 = 15,4 м.
§ 15. Элементы молекулярной физики
498. Массы молекул водорода и кислорода mt = 3,3* 10”27 кг и
та==5,3«10“26 кг.
499. рорТ/nQpTQ = 3,33• 10“26 кг, где То=273 К, ро = 0,1 МПа.
500. п0 = ^/Уоц==2,7* 1025 м”3 (постоянная Лошмидта).
501. n = A^T0/^VoplT=l,83<1024M“3, где Т0 = 273 К, Уои =
= 22,41 • 10“3 м3/моль — объем, занимаемый одним молем идеального
газа при нормальных условиях.
502. В объеме V0M, = 22,41 * 10“3 м3/моль содержится при нор-
мальных условиях число молекул ^ = 6,02» 1023 моль'1. Так как
при одних и тех же условиях число л0 молекул в сосуде про-
277
порционально его объему, то z?0/v = NA/V^\ отсюда nG — vNл/УОц
Искомое время т= л0/пт = vNA/V^nx « 8500 лет.
503. Р2 = Р1“Злр0Т/4лл0г3Т0» где Т0 = 273 К и ро = О,1МПа.
504. Возьмем один моль азота, который при нормальных усло-
виях занимает объем Иоц = 22,41 • 10"3 м3/моль, а при давлении р н
той же температуре согласно закону Бойля—Мариотта занимает
объем V = VOp.Po/P- В одном моле азота содержится число молекул
^ = 6,02* 1023 моль"1. Объем каждой из них равен жР/6, и их
суммарный объем v = jid3N4/6. Таким образом, на объем самих мо-
лекул приходится при давлении р0 часть объема
и/УОц= (nd3/V4/6Von)- ЮО % =0,038 %,
а при давлении р — часть объема
v/V* = (л43Л^р/6Уеир0) • ЮО %= 19 %.
505. Каждая молекула до удара о стенку имеет импульс лю,
направленный к стенке. После абсолютно упругого удара направле-
ние скорости молекулы меняется на об-
ратное. Поэтому импульс молекулы после
удара становится равным —mv. При этом
изменение импульса каждой молекулы
mv—( — mv) = 2mv.
В течение промежутка времени т о стен-
ку ударятся все те молекулы, которые, на-
ходясь в параллелепипеде с основанием S
и длиной l = vx, двигались по направлению к стенке (рис. 317).
Объем этого параллелепипеда 7 = 5ут, и в нем находится У = л5ит
движущихся к стенке молекул. За промежуток времени т произойдет
изменение импульса W молекул, равное 2/пол5ит. По второму за-
кону Ньютона 2mvnSvT~FT, где F—сила, действующая на молекулы
со стороны стенки. Согласно третьему закону Ньютона такая же
сила действует на степку. Таким образом, F = 2ntnv2S и давление
p — F /S = 2nmv2.
506. Давление па стенку p = 2nmv2 (см. задачу 505), где п —
число молекул в единице объема, движущихся по направлению к
этой стенке. По направлению к каждой грани кубика движется
п = ^Л^/б молекул; отсюда р~ vN Atnv2j3 = 1,5 Па.
507. Число молекул, содержащихся в одном моле газа, равно
постоянной Авогадро Согласно уравнению состояния коли-
чество газа v=pV/RT-, отсюда
n = yN A/V = pN A/RT = 2 • 102.5 м-з.
508. Т = pVNд/nR =301 К (см. задачу 507).
509. р = np0T/n0AVT0 = 20 кПа, где р0 = 0,1 МПа, Т0 = 273 К,
510. п = рМ^//?Т = З.Ю1Ом"3.
Рис. 317.
278
511. Масса газа т = пт0, его молярная масса = где
^0—масса одной молекулы, п—число молекул в данном объеме и
—число молекул в одном моле газа (постоянная Авогадро).
Подставив т и р в уравнение состояния pV = mRT/[it находим
р = nRT/NAVt т, е, при прочих равных условиях давление про-
порционально числу частиц п, Если бы молекулы не распадались,
то согласно закону Шарля при температуре Т$ было бы давление
p2 = PiT2/Tf, Вследствие распада каждой молекулы водорода на
два атома полное число частиц увеличивается вдвое, Поэтому при
температуре Тъ давление будет 2p2=2p1T2/Ti = ^0 кПа.
§ 16. Внутренняя энергия и работа
расширения газов. Теплоемкость
612. На поршень действуют: сила тяжести, сила атмосферного
давления извне и сила давления кислорода изнутри. Первые две
силы все время остаются постоянными, Так как поршень в любой
момент находится в равновесии, то во время нагревания кислорода
его давление р остается также постоянным, Таким образом может
быть найдена удельная теплоемкость кислорода при постоянном
давлении: Cp = Q//nAT=916 Дж/(кг«К).
Работа расширения при постоянном давлении А — р (V2—Vj),
где Vf и V2—начальный и конечный объемы газа, Уравнения со-
стояния газа до и после нагревания:
pVi = /n/?Ti/p, pV2 = m/?T2/p,
Вычитая первое уравнение из второго, найдем
p(V2«V1) = m/?(T?-T1)/p,
где Т2—Т} = АТ—разность конечной и начальной температур;
отсюда A = mR (7\ —71)/р = 2,59 кДж.
Подводимое к газу количество теплоты идет на увеличение его
внутренней энергии AJ7 и на совершение работы A: Q + Л;
отсюда A(/ = Q— Л = 6,57 кДж.
513. V = mpQ/(pi—р2) ро « 29,2 л.
514. Уравнения состояния до и после выпускания газа из бал-
лона:
PiV = miR77p, p2V = m2/?T/p,
где mi и m2 —массы газа в баллоне, a pi и р2—давления газа до
и после выпускания. Вычитая одно уравнение из другого и учи-
тывая,- {что А/п = /И1 —/л2 и Ap = pi — р2, имеем VAp = Ат/?Г/р;
отсюда р//?Т = Am/VAp. С другой стороны, плотность газа ро при
давлении ро можно найти из уравнения состояния:
Ро = РоН//?71 =-ръИмп1¥кр та 3,7 кг/м3,
515. Ар = р0 (/па—mj)/Vp0 = 68 кПа.
516. Если газ нагревается при постоянном объеме, то газ не
совершает работы, Поэтому все подводимое к газу количество
279
теплоты Q идет па увеличение его внутренней энергия АС/ (см. за-
дачу 512): Q = AU = 6,57 кДж, Удельная теплоемкость кислорода
при постоянном объеме cy = Q//nAT = ДС//тДТ = 657 Дж/(кг*К).
517. Из уравнения состояния находим массу кислорода: т =
= \kpVjRT = 4лг8рр/3/?Т, где У = 4лг8/3—объем шара. Уравнения
теплового баланса для откачанного и заполненного шаров:
Cl (Тп-Т) = Kmi, (mc2 + Cj) (Тп - Т) = Km2,
где Ci—теплоемкость откачанного шара. Исключая из этих уравне-
ний величину Ci и учитывая выражение для т, получим удельную
теплоемкость кислорода:
c = 3X(m2 —/Th) RT/4nr3p (Тп — Т) р « 670 Дж/(кг-К).
518. c^QRT^pV (Т2 —Л) « 660 Дж/(кг.К).
619. Количество теплоты Q, сообщаемое газу, идет на увелнче- .
ние его внутренней энергии АС/ и на совершение газом работы:
Q = АС/ + Л. При постоянном давлении р работа расширения газа
A — p(V2 — V]), где V2 и Vi — конечный и начальный объемы газа.
Уравнения состояния газа до и после нагревания:
pVl = mRTi/[i} pV2=zfnRT2/p.
Вычитая первое уравнение из второго, найдём р (V2 — V1) = /n/?A7'/p,
где ДТ = Та— Ti — разность конечной и начальной температур газа.
В результате Qp = ДС/ + /п/?ДТ/р.
При постоянном объеме работа расширения газа Д = 0 и Qy =
= АС/. Следовательно, Qp—Qy=m/?A71/p.
Удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянно.^
объеме: сp = QplmAT, cy—QylmAT. Разделив разность Qp—Qy на
mAT, получим ср—cy=R!p>,
Таким образом, существует различие удельных теплоемкостей
газов, находящихся при постоянном давлении и при постоянном объ-
еме. Для твердых и жидких тел, ввиду значительно меньшего коэф-
фициента их объемного расширения, в большинстве случаев этой раз-
ницей можно пренебречь.
520. Внутренняя' энергия идеального газа представляет собой
кинетическую энергию его молекул, которая зависит только от тем-
пературы газа, но не зависит от расстояния между молекулами
и, следовательно, от объема газа. При изотермическом процессе не
изменяется температура, поэтому внутренняя энергия остается постоян-
ной. Следовательно, количество теплоты, сообщаемое газу, должно
быть равно работе, совершаемой газом: Q = j4 = 20 Дж.
521. Так как газ в цилиндре теплоизолирован, то он совершает
работу только за счет уменьшения АС/ своей внутренней энергии.
Поэтому ДС/ = Д = 4,47 кДж. С другой стороны, к состоянию газа
с той же конечной температурой можно прийти (см. задачу 519), если
уменьшить его-внутреннюю энергию на ту же величину АС/, отнимая
28.0.
у него количество теплоты Qy = mcv (Ti — Т2) при постоянном объ-
еме. Таким образом, AU = mcv (Тг^Т2); отсюда Т2 = Т1—MJ 1тсу =
^263 К.
522. При изменении температуры газа на одну и ту же величину ДТ
при постоянном объеме и при постоянном давлении разность количеств
-теплоты {Qp — Qy=mRkT fa (см. задачу 519); отсюда Qy=QJ0 —
_/пЯД77р = 0,2 МДж.
523. Количество теплоты С = с/пДТ при нагревании воды идет
на увеличение Д(7 ее внутренней энергии и на совершение при теп-
ловом расширении воды работы А = роД1/ = роа VAT против сил атмо-
сферного давления, где V « 10”3 м3 — первоначальный объем воды.
Проведя вычисления, получим А «0,2 мДж, в то время как Q=4,2 кДж,
т. е. при обычных условиях Q > А. Поэтому можно считать, что
Один моль газа содержит NA молекул (N А =6,02-1023 моль”1).
Вода массы т содержит n = mNAfa молекул. Таким образом, на одну
молекулу приходится увеличение внутренней энергии &Ui = AU/n =
= 1,26-Ю”22 Дж.
524. Q =2[icyT(1= 11,5 МДж.
525. Q = тсрЬ Т = тсрТ0 = 1,49 кДж.
526. Уравнения состояния газа до и после нагревания:
= p2V = mRT2fa1
где р\ и р2— начальное и конечное давления, 7\ и Т2—начальная
и конечная температуры, m — масса газа. Вычитая первое уравнение
из второго, найдем
Vkp=V (p2—pi) = mR (Т2—TJ/p; отсюда Т2—7\ = р1/Др/тп/?.
Количество теплоты, сообщенное газу при постоянном объеме,
Q = mcy (Т2 — Л) = ЦСу V&p/R = 16,5 кДж.
527. А = тр0 ДТ/р0Т0 = 84,5 кДж, где ро = О, 1 МПа и Т0 = 273 К—
нормальные давление и температура.
528. Давление газа в цилиндре постоянно: р = р0+m/S- Работа
расширения газа при постоянном давлении Л = р(У2—Ух), где V2—
конечный объем газа. По закону Гей-Люссака V2/Vi = Т2/Т\;
отсюда
Иа = ViT2/Tf, V2- Vi = Иг (Г2-Л)/Т1 = ^ДТ/Л.
Таким образом, А = (р0 + mg/S) У1Д777\ = 20 Дж.
529. График изменения состояния газа в координатах р, V при-
веден на рис. 318. Участок 1—2 — изохорный процесс: температура
увеличивается, происходит поглощение теплоты, работы газ не со-
вершает. Участок 2—3 —изобарное расширение. Температура уве-
личивается (изотерма, на которой лежит точка 3, соответствует
281
большей температуре, чем изотерма
на которой лежит точка 2), проис-
ходит поглощение теплоты, газ со-
вершает работу. Участок 3—4 —изо-
термическое расширение: темпера-
тура остается постоянной, происхо-
дит поглощение теплоты, газ совер-
шает работу. Участок 4—1 — изобар-
ное сжатие: температура уменьшает-
ся (изотерма, на которой лежит точ-
ка 4, соответствует большей темпера*
туре, чем изотерма, на которой ле-
жит точка 1), происходит выделе-
ние теплоты, работа —отрицательная.
Графики изменения состояния газа в координатах р, Т и V, Т
приведены на рис. 319 и 320.
530. При переходе между состояниями 1 и 2 газ работы не со-
вершает, так как его объем не изменяется (поршень неподвижен).
Рис, 319.
При переходе между состояниями 2 и 3 работа газа А = р2(Г3 —Г2).
Величины р2> ^2 и определяются из уравнений процессов — изо-
хорного (1— 2):р1/р2 = 7\/Т2 (Vf = V2), и изобарного (2—3):У2/У3 =
= T2/TS (p2 = const); отсюда Л =р1У1 (7а —Г2'/Л= Ю0 Дж,
531. А = р0 (V — V') = pQ (V — m/p) « 167 Дж, где ро = О,1 МПа—
давление насыщенного водяного пара при /=100 °C, равное нор-
мальному атмосферному давлению, а V—объем сконденсировавшейся
воды.
532. Внутренняя энергия идеального газа представляет собой
кинетическую энергию его молекул. Она пропорциональна его тем-
пературе и числу молекул. Внутренние энергии газа в первом
и втором цилиндрах U^kvjTi и U2 = kv2T2 и газа в цилиндрах
после смешивания U = k (vj + vJ Tt где А—коэффициент пропор»
282
циональности, зависящий от природы газа, vx и v2—количества
газа (в молях) в первом и во втором цилиндрах. Согласно закону
сохранения энергии + = U. и, следовательно, v1Ti4-v2T2 =
s=(vi + v2)T, Из уравнений состояния для газов до смешивания
найдем Vi = p1V1/Z?Ti и va = p2V2//?Ta. Подставив эти выражения
в предыдущее равенство, получим
P1V1/R + P2V2/R = (PiVt/RTr + p2Va//?T2) Т.
Таким образом,
7, = ЛТ2 (p1Vi + p2V2)/(p1ViT2+p2V2T1) = 366 к.
Из уравнения состояния для смеси газов р (Kf + ^2) = («i + w2) ЯЛ
используя найденные ранее выражения для Vf, v2 и Г, получим (см,
задачу 442)
P=(PiV1 + p2V2)/(V1 + V2) = 525 кПа.
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары
533. Рассмотрим ход изотермы 7\*=const (рис. 321). При подъ-
еме поршня давление на жидкость 'убывает. Объем же жидкости
от давления почти не зависит (жидкости практически несжимаемы).
Поэтому пока под поршнем нахо- ~
дится только жидкость, участок ab *
изотермы практически совпадает
с изохорой. Когда давление в ци- р
линдре становится равным давле-
нию насыщенного пара при темпе-
ратуре 7\ (давлению рз), в цилинд- Рь
ре кроме жидкости появляется
насыщенный пар. Давление насы-
щенного пара не зависит от его
объема. Поэтому при дальнейшем
увеличении объема изотерма сов-
падает с изобарой (участок Ьс) до тех п
линдре не превратится в пар (при объеме Vc). При дальнейшем
увеличении объема пар становится ненасыщенным, и зависимость
его давления от объема подчиняется закону Бойля—Мариотта.
Ход изотермы Та = const такой же, но, так как давление и плот-
ность насыщенного пара при этой температуре больше, полное испа-
рение жидкости произойдет при объеме Ve < Vc.
534. Давление, оказываемое паром на стенки сосуда, обуслов-
лено ударами молекул о стенки и пропорционально кинетической
энергии молекул и числу молекул в единице объема (см. задачу 506).
Средняя кинетическая энергия молекул пара пропорциональна тем-
пературе (см, введение к § 16), в то время как число молекул на-
сыщенного пара в единице объема возрастает при повышении тем-
пературы.
283
! Лйния abd па рис. 67 на учас+ке ab совпадает с зависимостью
давления насыщенного пара от температуры, на участке bd представ-
ляет собой отрезок прямой, проходящей через начало координат
Такой; ход объясняется тем, что при температуре вся Жидкость
бывшая в сосуде вместе с насыщенным паром, превратилась в пар
Далее же происходит, согласно закону Шарля, изохорное увеличе-
ние давления. Линия abce представляет собой такой же процесс, но
при, большей массе жидкости и пара в сосуде. Температура Tk^
критическая температура. Говорить © парах при температуре выщ^,
критической нет смысла. Поэтому все линии
обрываются при этой температуре.
о <"°< 635. Участок 1—2 (рис. 322) — изохорное
2 увеличение давления при нагревании. Участок
I 2—3—изотермическое сжатие ненасыщенного
пара (происходит согласно закону Бойля —
Мариотта до насыщения пара—до начала
О V его сжижения). Участок*3—4—изотермическое
Рис. 322. сжатие насыщенного пара (происходит сжиже-
ние, а давление остается постоянным).
536. Число молекул вещества при заданной его массе не зависит
от состояния вещества, если не происходит химических реакций.
Количество вещества (в молях), имеющего массу m и молярную
массу ц, v = m/p. Один моль вещества содержит число молекул N д.
Следовательно, масса вещества m содержит число молекул n = vNл =
= mN д/р,. Единица массы вещества содержит число молекул пт =
= ^л/Ц» что для паров ртути и воды дает
nmt = NА1щ = 3-10®« кг-1, nOT, = A^/|it=3,3.lO« кг"1.
537. При температуре / = 4°С плотность воды рв = 103к17мя,
Плотность пара р можно найти при помощи уравнения состояйия:
р = цр//?Т; отсюда рв/р = рв/?Т/рр= 1,6» 105.
Один моль вещества содержит число молекул Мд = 6,02« 1023 моль”1.
Единица объема вещества содержит число молей v = p/p и, следова-
тельно, число молекул рА^/р. На каждую молекулу воды и пара
приходятся объемы
ув = р/рв^ = З.Ю-2ем3, ' У = р/р^ = /?Т/р^л = 4,8-10”24м3.
538. Согласно уравнению состояния pV = mRT/p, плотности газов
и паров при постоянной температуре пропорциональны их давлениям.
Поэтому pi/p2 = PilPz « 0,45.
539. Масса пара, необходимая для насыщения объема котла при
температуре Т = 453 К, т0 = p0V = 25,25 кг. Так как т0 > mBi то вся
вода превратилась в ненасыщенный пар. Следовательно, щ=щв=20 кг.
Из уравнения состояния находим давление: p = mRT 1рУ=0,84 МПа,.
546. В сосуде до увеличения его объема содержался пар массы
/по = роу =8г (объемов, занимаемым водой, можно пренебречь). Масса
284
В£>ды и пара была v/пв + и2в = 2О г. Для насыщения объема kV при
той же температуре необходима масса пара mi = роЛУ = 4О г. Так как
/лв; + ^° < /п°’ т0 после увеличения объема пар будет ненасыщенным;
gro плотность р= (m^ + mQ)/kV. Давление при данной температуре
пропорционально плотности. Поэтому р = рор/ро = ро (щв + що)/Ро^ =
ея 0,55 кПа.
541. Давление оставалось постоянным, пока под колоколом был
насыщенный пар, плотность которого p = p,p/RT. За время т был
откачан объем V = Vxt, в котором содержался пар массы zn = pV =
== ррУхт//?Т = 279 г.
542. Насыщенный пар массы т при давлении р согласно урав-
нению состояния должен занимать объем V = mRT/\ipt Следовательно,
дУ=У' — V = mRT/цр—V =—0,29 м8 (знак минус показывает, что
объем должен быть уменьшен).
4FT
И3- ^nd-(7 + Q/mC) * 1 МПа‘
544. Давление смеси насыщенного пара и гелия в трубке р ™
= pv — pgh. По закону Дальтона это давление складывается из пар-
циальных давлений пара и гелия р± и р2\ отсюда ра = р0—Pi—Pgri
Из уравнения состояния найдем массы пара и гелия mi и т2:
= 4,3.10-’кг, т2 = Рг (Po—Pi—PSh) v = 4|8. ю-»кг.
К/ К1
545. Если бы в цилиндре был только насыщенный пар массы т
и весь он сконденсировался, то объем образовавшейся воды (около
0,3- 10~3м3) был бы мал по сравнению с объемом V'= V/A = 0,33м3,
оставшимся под поршнем после сжатия. Поэтому можно считать,
что весь объем цилиндра после сжатия занят смесью пара и азота,
причем парциальное давление пара р\ во время сжатия не изме-
нилось. Из уравнения состояния находим массы насыщенного пара
до и после сжатия: т\ = p^Vp.ilRTt т{ = PiV'm/RT = piV\i1/kRT\
отсюда масса сконденсировавшегося пара
Кт = т^ т[ = p1V1p1 (/?— 1)/kRT = 20 г.
Масса азота т2=*т—mi = (mRT—piVpri)!RTt Из уравнения состоя-
ния находим парциальное давление азота до сжатия:
p2 = /7?a/?T/|xaV = (mRT —piVpi)/p2V9
Давление смеси до сжатия, по закону Дальтона
p = pj + p2=[PiV (Иа-И1)+/и/?Л/^ = 27,2 кПа.
546. Влажный пар массы тп отдает количества теплоты: =
= cmnn(tn— /кип) при охлаждении входящей в его состав воды до
температуры конденсации; Qa = слтп (1—п) (/п — /кип) при охлажде-
нии сухого (за вычетом капель воды) пара до той же температуры;
ф3 = Атп0—п) ПРИ конденсации пара; ^4 = /лпс(/кип— 0) при
285
охлаждении образовавшейся из пара воды (включая и бывшие в нем
капельки) до температуры смеси. Холодная вода массы т получает
количество теплоты Q6 = crn(0 —/). Согласно уравнению теплового
баланса Q1 + Q2 + Q3+$4 = Qsi отсюда масса холодной воды, Прн.
ходящаяся на единицу массы пара,
т _[СЛ4-СП (1—»)](*п—^кшО + М1——6) 9.
тп~ F(5=0 •
547. mn=mc(/~/кип)Д = 0,37 кг, где /кип = 100 °C—температура
кипения воды при атмосферном давлении.
548. Объемом, который занимает в сосуде лед, можно прене-
бречь. Из уравнения состояния найдем массы пара при температу-
рах ti и /2:
mi = Vpiji/RT i, т2 = Vp2p/RT й.
Массы испарившегося и оставшегося льда
m _m _т fPl Р1\ -• „ - _tnRTt—y.Vpt
— ^2 I Т ' J Шл Ш ^2 RT *
Количество теплоты, необходимое: для испарения льда, фл =
= тл(г+%); Для нагревания пара, Q«m2c(/2 — ^); для нагревания
оставшегося льда, (}л = пг'лсл (t2—G). Полное количество теплоты
Фл + 0 + 0л =
=Ец+Ч + (,,_11)=3,92,1Дж.
549. Давление насыщенного пара при постоянной температуре
не зависит от объема. При температуре t = 100 °C оно равно нор-
мальному атмосферному давлению ро = О, 1 МПа. При изобарическом
сжатии работа A=pQ(Vi— V2) = l кДж.
550. При перемещении поршня объем цилиндра изменился на
V2 — Vi = Sl. При равномерном убывании давления можно взять
в расчет среднее давление p = (Pi+p2)/2
и искать работу, как при постоянном
давлении:
А = р (V2- Vi)=(pi + р2) S1/2^ 14,4 кДж.
График зависимости давления от объема
(рис. 323) при равномерном убывании
давления от р± до р2 изображается от-
резком прямой ab. Площадь трапеции о
основаниями aV± = PiH bV2 = р2и высотой
V2 — Vi = Sl численно равна работе А,
Рис. 323.
551. h = (pi—p2)/pg « 12,5 м.
552. p = np/RT = 0,091 кг/м8.
553. Плотность насыщенного пара при температуре ^==£0°(3
рв=рр2//?Т2= 17,3.10“8 кг/м8. Таким образом, рй > рр Поэтому при
286
охлаждении до температуры /2 насыщение не будет достигнуто,
конденсация не начнется, и содержание пара в единице объема
возДУха останется прежним, т. е. р2 = р1 = 0,005 кг/м3.
554. При температуре /2=10°С плотность насыщенного пара
рр2/^^2 = 9,4.10~3 кг/м3. Таким образом, ра < рр Поэтому при
охлаждении до температуры /2 часть пара сконденсируется, и абсо-
лютная влажность будет определяться плотностью насыщенного
пара р2 = 9,4.10“3 кг/м3.
555. При температуре ti абсолютная влажность воздуха до умень-
шения его объема pi = /ip, Масса влаги в единице объема сосуда
после сжатия воздуха (не только в виде пара, но и в виде скон-
денсировавшейся жидкости, если возникли условия для конденса-
ции) P2 = ^/ip= 16,9-10“3 кг/м3. При температуре /2=100°С давле-
ние насыщенного пара равно нормальному атмосферному давлению
ро = О,1 МПа и его плотность ро = рРо/Я7,2 = О,58 кг/м3. Так как
ро > Рг» то в сосуде будет ненасыщенный пар с относительной влаж-
ностью /2 = р2/р0= (kfrfRTt/ppo). 100 % =2,9 %.
556. р' = (pip—рЯТ) ih/RT (pi—р2) « 13, Ы0“3 кг/м9; /'=(р'/Ро) X
Х100% = 48,5 %.
557. т = (/2—Л) pV = 208r.
558. p = m/2/(/2~A)V = 0,006 кг/м3,
559. Плотность сухого воздуха pi = PiP0/^7’« При относительной
влажности f плотность пара р' = /ро = р2р2/Я7\ где р^— парциальное
давление пара; отсюда р2 = /ро^Т/р2. Так как давление влажного
воздуха ро складывается из парциальных давлений воздуха и пара
Pi и р2, то Pi=Po—р2 = р0—/Ро^Т/р2. Плотность воздуха (без пара)
при этом парциальном давлении
р" = Р1Р1/ЛГ = IWJRT—Hjpo/Pa.
Плотность влажного воздуха
Ра—р' + р"—ШРо/RT — (щ/ра — 1) fPo.
Отношение плотностей влажного и сухого воздуха
P»/Pi = 1 — (м—Ра) /РоЛГ/HiPaPo « 0,987.
111. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 18. Закон Кулона
660. По закону Кулона д**гУ tF/k = 0,2 мкКл, где А =
= 1/4ле0 = 9> 10й Н-м2/Кл2.
561. N^q/e « 6,25< 10й электронов.
662. г=Дг(2-|-Уг2) я 1,71 м.
663. г < Vk 14qxq2 \/(Т—mg) = 1,8 см.
28?
564. Положительные заряды q могут быть расположены как по
обе стороны от отрицательного заряда Q, так и по одну сторону
от него. Отношение сил в первом и втором случаях:
qQt 8 bqQ
= TSftT','9
1,2,
FhF,=4^:^^ = 0.675,
где г—расстояние от заряда Q до ближайшего положительного
заряда q,
565. Обозначим модуль силы буквой F с двумя индексами, пер-
вый из которых показывает, на какой заряд действует сила, а вто-
рой—со стороны какого заряда она действует (например, сила,
действующая на заряд qQ со стороны заряда q}). Возьмем в качестве
координатной оси ОХ прямую, проходящую через заряды q} ц q2
(рио, 324). За начало отсчета О примем точку, где^находится заряд qlt
GJ Н—!—>|
2 , ' J г
> . ---------------------
F/Z ° F10. FOf F02 F2Q ' FX X
Рис. 324.
а за положительное направление — направление от заряда q± к за-
ряду q2. Закон Кулона (в нашей записи) дает возможность опреде-
лить лишь модуль вектора силы, а зпак проекции вектора будет,
лак обычно, положительным, если сила направлена в положительном
направлении оси ОХ, и отрицательным, в противном, случае.
На каждый из трех зарядов действуют со стороны Двух других
по две силы. Для равновесия необходимо, чтобы эти две силы были
противоположными по направлению. Легко видеть, что это условие
выполняется лишь в случае, когда заряд qQ находится на ,оси ОХ
между зарядами q± и q2 и имеет противоположный по сравнению
с qt и q2 знак. Пусть расстояние между зарядами qt и qQ равно х
(О < х < г), Тогда (рис; 324):
а) на qQ действуют силы
Fof = I *<Mi/** I и F04 = *)2|;
б) на qf действуют силы
Ffo=I *<h<?o/x21 и Fa = | kqtqtlr* |j
в) на q2 действуют силы
Fi9=\kqtq0/(r—х)2| и F4f — |fe«Mt/r2|.
При равновесий всех трех зарядов:
а) — Fq1 4*^02=0? б) — в) —,Fae == О»
888
Условие а) приводит к квадратному уравнению относительно к
21^1 гх
I 7.1-1-711
1-711
1<7г I —l-7i I
га=0.
Для корней этого уравнения
„ _ -1-711 ± И <711-1 <72| ,
1-72 1- l-7i I
выполняются условия: 0 < Xf < г в любом случае; х2 <0 при | q2 | >
> I Qi В *2 > г при | I < I <7f |- Второй корень должен быть отбро-
шен, как не удовлетворяющий условиям равновесия. Таким образом,
х —Х-| =
К| -71 1-172 1—1-711
I 7г I — I 7i I
1 м.
Условие б) дает | Q09i 1/х2== I 919з |/f2; отсюда
I ?2 |
Г2
I I =
1?г l(Kl?1 |-|7г|-|?1 I)2
(I 7г 1-1 7. |)2
« 4 н Кл.
566. Каждый заряд q взаимодействует с двумя другими зарядами q>
расположенными на расстоянии а от рассматриваемого (рис. 325).
Поэтому на любой заряд действуют две равные по модулю силы F, =
= F'2 = kq2!a\ Равнодействующая этих сил (проекция векторной суммы
этих сил на диагональ параллелограмма)
2/гя2 Г2k c0s (а/2) _ -
F =—4- cos (а/2); отсюда a = q |/ ------~----- =2,5см.
ц г , г
567. На заряд q^ действуют две равные по модулю силы со сто-
роны зарядов q2 и .73, а также сила со стороны заряда qQ (рис. 326).
Цвиду равенства зарядов qi=q2=q3=q получаем qo=V3q/3=5,2 нКл.
На заряд qQ действуют три равные по модулю силы, равнодействую-
щая которых равна нулю.
56S. Каждый заряд q взаимодействует с тремя другими заря-
дами qt два из которых находятся на расстоянии а от рассматривае-
мого, а один — на расстоянии r = a/cos а = ]/" 2 а (рис. 327). Поэтому
на любой заряд действуют три силы: Fi—F^—kq^la2 и F^kcplW2 я)2.
Ю Г. А. Бендриков и др. 289
Равнодействующая этих сил (проекция векторной суммы этих сил
на диагональ квадрата)
F = 2Fi cos У~2 kq2/a2 + kq2/2a2 = 172 мкН
и направлена по диагонали квадрата от его центра.
669. На заряд qQ действуют четыре силы, направленные попарно
по двум диагоналям квадрата (рис. 328) и равные по модулю Fo «=
= kq^qlr2 (r = a/V"2 — половина диагонали квадрата). Равнодействую-
щая этих сил
F = 4F0 cos а = 8kqQq cos а/d2 « 509 мкН $
где а = 45°—угол между диагональю и направлением равнодейст-
вующей.
570. После соприкосновения шарика В с шариком А заряд q
перераспределится между шариками поровну и шарик В будет под-
ниматься вверх. Равновесие силы тяжести и силы Кулона наступит
при k (0,5<?)2//i2 = /ng; отсюда h «9 см.
571. q/in — ^I^Ik |<?о |= 15мкКл/кг.
572. = т/G/й = 0,774 пКл, где 0 = 6,67.10-11Н-ма/кг2 —гра-
витационная постоянная.
573. Силы взаимодействия зарядов в вакууме и в керосине
F — kqxq2lr2= 1,44 мН и FK = ^1g2/er2 = F/8 = 0,72 мН.
Следует отметить, что силы, приложенные к различным по мо-
дулю зарядам, равны по модулю н противоположны по направлению.
На экзаменах нередко ошибаются, утверждая, что к большему заряду
приложена большая сила, Это противоречит не только закону Ку-
лона, но и третьему закону Ньютона.
574. s = F1r12/Fy2=2,
575. г1=г,//" 8= 17,3см,
576. До погружения в керосин на шарики действуют (рис, 329, а):
сила тяжести mg, сила натяжепия нити Т, сила кулоновского от-
талкивания F = kq2/r2i где т—масса шарика, q — его заряд и г —
расстояние между шариками. При равновесии шарика суммы про-
екций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны
290
нулю (см, введение к § 6):
Т cos a—mg = 0, F—Tslna = O.
О)
При погружении шариков в керосин сила Кулона FK = kq'*(&r‘i\
сила Архимеда f = mgpK/p и направлена вверх (рис. 329, б). Условие
равновесия сил теперь примет вид
Тк cos a — (mg—f) = Q, FK — TKsina = 0. (2)
Из (1) и (2) имеем
F/FK = mg/(f—mg)' отсюда ' р = ерк/(е—1) = 1,6-IO3 кг/м3е
577. e = p/(p—рж) (см. задачу 576).
578. F = k/(9?+?19г
579. Обозначим заряды через qlt q2 и q3 .Тогда по закону Кулона
^12 = ^1^2/л12> Fi3 = kqiq3/fi3t F23 = ^а^з/''гз-
Исключая из этих уравнений qt и q2, найдем
_ _ ПУ 23 1 /Fi3F23
3 г1а г kFl2
580. Сила взаимодействия F = ^1<?2/r2 = 36 кН. Эта сила довольно
велит: а: она приблизительно равна силе, с которой притягивается
к Sv... ле тело массы гп = 3600кг.
531. На каждый шарик действуют: сила натяжения нити Г,
сила тяжести mg и сила кулоновского отталкивания F = kqtilr1t где
r = 2/sin а (рис. 330). При равновесии шарика суммы проекций сил
на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю (см
задачу 576):
Т cos a—/ng = 0, F — Tsina=0.
Исключив из этих уравнений Т и учитывая выражения для F и г,
10* 291
получим
т = kq2 cos a/4l2g sin3 a = 6,3 г.
682. На подвижный шарик действуют: сила тяжести mg, сила
кулоновского отталкивания F и сила натяжения нити 7’ (рис. 331)
При равновесии шарика суммы проекций сил на горизонтальное и
вертикальное направления равны нулю:
F cos а—Т sin 2а = 0,
Fsina + T cos 2а—mg = 0.
Исключая из этих уравнений Г, находим
р tS2a
cos a-J-tg 2а sin а ь
Используя известную формулу ctg<z =
= sin2a/(l —cos 2а), получаем
Рис. 331, „ 1—cos 2а
F =---------mg.
sin а 6
Как видно из рис. 331, расстояние между шариками r = 2/sina.
Следовательно,
F = kq2lr2 = kq2/4/2 sin2 a;
отсюда
q = 2lj/"(mg/k) (1 — cos2a) sin a — l]^mg/k = 0)8 мкКл.
583. Заряд шарика q полностью перейдет на внешнюю поверх-
ность сферы и распределится по ней равномерно. Поэтому поверх-
Рис. 332.
ностная плотность заряда на сфере
o = g/S = q/4n/?2 = 0,I мк Кл/м2,
584. При внесении шарика с заря-
дом q внутрь проводящей сферы на внеш-
ней поверхности сферы появляются ин-
дуцированные заряды того же знака,
что и заряду, а на внутренней—про-
тивоположного знака (рис. 332). Поверх-
ностная плотность заряда на сфере
о=<7/5 = <7/4л7?2 = 0, 1 мкКл/м2,
При изменении положения шарика электрическое поле внутри сферы
будет меняться, но это не скажется на распределении зарядов на
внешней поверхности сферы и их плотность будет прежней,
291
§ 19. Электрическое поле
Напряженность электрического поля
585. Напряженность электрического поля, создаваемая точечным
зарядом, E = kq/&r2-, отсюда г= У kq/sE=2,l м.
586. Заряд q, находящийся в центре сферы, индуцирует на
внутренней поверхности сферы заряд —д, а па внешней поверх-
ности— заряд -\-q (см. задачу 584). Индуцированные заряды ввиду
симметрии распределены равномерно. Электрическое поле у внеш-
ней поверхности сферы совпадает с полем точечного заряда, равного
сумме всех зарядов (находящегося в центре и индуцированных), т. е.
с полем точечного заряда q. Следовательно, Е2 = kq/R2 = 2,25 кВ/м.
Заряды, распределенные равномерно по сфере, внутри этой
сферы электрического поля не создают. Поэтому внутри сферы поле
будет создаваться лишь зарядом, помещенным в центре. Следова-
тельно, Ег = kq/r‘2 » 9 кВ/м.
587. Напряженность электрического поля Е в третьей вершине
треугольника (в точке Л) является векторной суммой напряженностей
и создаваемых в этой точке положительным и отрицательным
зарядами. Эти напряженности равны по модулю: Ег = Е2 = kqld2— и
направлены под углом 2а=120° друг к другу. Как видно из рис. 333,
Рис. 333. Рис. 334.
результирующая этих напряженностей равна по модулю Е =
= 26 | g | cos а/а2 = 40,5 В/м, параллельна линии, соединяющей за-
ряды, и направлена в сторону отрицательного заряда.
588. Напряженность электрического поля в четвертой вершине
ромба (в точке Д) является векторной суммой напряженностей
(рис. 334), создаваемых в этой точке зарядами qtt q2 и Q: £’=£,1 +
+ Е2 + Ез. По модулю напряженности E3 = &Q/a2, Ei = E2 = ^7/fla»
причем направления напряженностей Е± и Е2 составляют Сч направ-
лением напряженности £3 одинаковые углы а = 60°. Результирующая
напряженность направлена вдоль короткой диагонали ромба от
заряда Q и равна по модулю
E = fcQ/a24-2& (q/a2) cos а = £ (?-|-Q)/a2.
589. Напряженности электрического поля £i, Еа и Е3, созда-
ваемые зарядами q^ q2 и Q в заданной точке, имею? модули, най-
293
денные в задаче 588, однако напряженность Е3 направлена в пр0.
тивоположпую сторону, т. е. к заряду Q. Таким образом, направ-
ления напряженностей Ef, Е2 и Е3 составляют между собой углы
2а=120°. а) При | Q | < g искомая напряженность E = k(q—|Q|)/a2
и направлена вдоль короткой диагонали ромба от заряда Q; б) при
|Q| = <? напряженность Е = 0; в) при | Q | > q напряженность Е
= &(|Q|— Q)/aa и направлена вдоль короткой диагонали ромба
к заряду Q.
590. Напряженности электрического поля в центре ромба, со-
здаваемые соответственно зарядами qt, q2, q3 и
Ei = 4*^/4, Еа = 4*^/4, E3 = 4ty3/4, Et=4kqjdl.
Напряженность в центре ромба
Е= V (Е3-Е,)*+(Е4-Е3)а= _________________________
= (4/t/dfdl) V(<72-?!)2 4+(<?4-?з)2d*= 15,9 кВ/M.
Угол а между направлением этой напряженности и короткой диа-
гональю ромба определяется выражением
tga=(E.3 —Ei)/(E4—E3) = 4/(^4 —?з) 4=1, т. е. a =45°.
*: сила тяжести mg, сила F = qE со
и сила натяжения нити Т (рис. 335).
При равновесии шарика суммы про-
екции сил на вертикальное и гори-
зонтальное направления равны нулю:
Г cos a—mg = 0, —Т sin = 0;
отсюда tg a—qEltng « 1, т. e. a « 45°.
592. На шарик действуют: сила
тяжести mg и сила F = qE со сторо-
ны электрического поля, направленная
вверх Так как по условию F > mg, то
при равновесии шарик будет находить-
ся у верхнего конца вертикально натя-
нутой нити (рис. 336). Равнодействую-
щая сил F и mg, если бы шарик был свободен, вызывала бы уско-
рений a=qEfnl—^. которое, так же как и ускорение свободного
падения g, не зависит от положения шарика. Поэтому поведение
шарика будет описываться теми же формулами, что и поведение
шарика под действием силы тяжести без электрического поля (при
прочих равных условиях), если только в этих формулах g заменить
на а, В частности, период колебаний шарика на нити
Т = 2л l/а = 2л У ml/(qE — mg).
При Т = Т0 должно выполняться условие a = g. Следовательно,
Е = 2mg/q = 196 кВ/м.
294
591. На шарик действу
стороны электрического поля
Рис. 335. Рис. 336.
Рис. 337.
593. При наличии однородного электрического поля с напря-
женностью £, направленной вниз, период колебаний шарика (см.
задачу 592) T=2n)/"/n//(mg+| q | Е). В отсутствие электрического
поля То = 2л ]/r//g= 1,20 с. Для положительного заряда q период
71S=l,10c, а для отрицательного Т2= 1,35 с. Таким образом, изме-
нения периода в первом и втором случаях будут Tj—T0 = —0,10с
и Тг—То = О,15 с,
594. На шарик действуют: сила тяжести tngt сила F = qE со
стороны электрического поля и сила натяжения нити Т (рис. 337).
Возможны два случая: а) напряжен-
ность поля направлена вниз; б) напря-
женность поля направлена вверх. При
равновесии шарика
7'cos0=/ng ± r/Ecosa, Г sin 0=<7Esin a,
где знак плюс относится к случаю а),
а знак минус —к случаю б); 0— угол
между направлением нити и вертикалью.
Исключая из этих уравнений 0, найдем
Т = Y± ZqmgE cos a + (qE)2.
При этом: а) Т =28,7 мН, б) Т = 12,0 мН.
595. Электрон в поле движется равнозамедленно. Пройденный
путь s и время I, за которое он проходит этот путь, определяются
соотношениями
s = v3/2yE = 2,37 см, ^ = &/уЁ = 47нс,
где у = е//п=1,76-1011 Кл/кг — удельный заряд электрона (отношение
заряда электрона к его массе).
596. На электрон при его движении между пластинами конден-
сатора действует сила F = eE со стороны электрического поля. Эта
сила направлена перпендикулярно к
пластинам в сторону, противополож-
ную направлению напряженности,
так как заряд электрона отрицате-
лен (рис. 338). Силой тяжести mg,
действующей на электрон, можно
пренебречь по сравнению с силой F.
Таким образом, в направлении, па-
раллельном пластинам, электрон дви-
жется равномерно со скоростью v, имевшейся у него до того, как он
влетел в конденсатор, и пролетает расстояние I за время t = l[u. В на-
правлении же, перпендикулярном к пластинам, электрон движется под
действием силы F и, следовательно, имеет ускорение a = Fltn=eElm\
за время I он смещается в этом направлении на расстояние
295
h=at2/2 = eEl2/2mv2\ отсюда
v — lY eE/2mh = 3i98-101 м/с,
Я = mv2/2 = e£72/4/i = 7,2 • 10“1в Дж.
Потенциал. Работа электрических сил
567. Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, рав.
ного заряду q шара и помещенного в его центре. Поэтому потен-
циал в точке, находящейся на расстоянии R+r от центра шара
(рг = &?/(Я-|-г); отсюда ? = (/?+г) <рг/&. Потенциал на поверхности
шара ф = £<///? = (/? + г) Фг/Я = 2,02 кВ.
598. Пусть заряд и радиус каждой капельки ртути равны q и г.
Тогда ее потенциал q = kqjr. Заряд большой капли Q = Nq, и если
ее радиус равен R, то ее потенциал Ф = kQ/R = kNq/R = Nyr/%.
Объемы маленькой и большой капель и = 4лг3/3 и У = 4л7?3/3 свя-
заны между собой соотношением V = Nv. Следовательно, r/R= 1/Д/1/3
и Ф = А/ф/Л/1/? = №/3ф
599. В результате электростатической индукции на внешней и
внутренней поверхностях сферы появятся равные по модулю, но про-
тивоположные по знаку заряды (см. задачу 584 и рис. 332). Вне
сферы потенциалы электрических полей, создаваемых этими заря-
дами, в любой точке равны по модулю и противоположны по знаку.
Поэтому потенциал суммарного поля индуцированных зарядов равен
нулю. Таким образом, остаются лишь поля, создаваемые вне сферы
зарядом Q на ее поверхности и зарядом шарика q. Потенциал пер-
вого поля в точке удаленной от центра сферы на расстояние г,
(fl = kQ/r = kQ/10R, а потенциал второго поля в той же точке ф2 =
= kqlr = kql\QR. Полный потенциал ф = ф14-фг = £ (Q+<?)/10/?. При
<7 = Н-20нКл ф = 27В; при q =—20 нКл ф =—9 В.
600. Наибольшую напряженность электрическое поле имеет
у поверхности шара: E = kq/eR2. Потенциал шара (p = kq/ER’t отсюда
ф = £7? = 90 кВ.
601. Из закона Кулона определяем заряды шариков: q = F jk.
Заряд q, находящийся на шарике радиуса R=-D/2, создает на по-
верхности этого шарика потенциал
В том месте, где находится этот шарик, заряд другого шарика со-
здает потенциал ф2 = kq/г = УkF. Таким образом, потенциал каждого
шарика
. 2т]/~ kF / . D \
ф = ф1 + ф2=---------- И-]-— 1=4,84 кВ.
296
602. Потенциал в центре квадрата равен алгебраической сумме
потенциалов, создаваемых всеми зарядами в этой точке:
ф==ф1+ф2 + фз+ф4 = (k/a) (qi +^2+9з + ^4) = —180 В.
Напряженность поля в центре квадрата является векторной суммой
напряженностей, создаваемых каждым
= £14-Е2 + £з4-£,4. Модули этих на-
пряженностей
Ex = kqja2, E2 = kq2/a2, E3 = kq3la2t
E4 = kq4/a2.
Удобно сначала сложить попарно век-
торы, направленные по одной диаго-
нали в противоположные стороны
(рис. 339): Е1 + £3 и £2 + £4- При
данных зарядах сумма £1 + ^’я по мо-
дулю равна сумме £2 + £4. Поэтому
результирующая напряженность Е
направлена по биссектрисе угла
между диагоналями и составляет
с этими диагоналями углы а=45°
зарядом в этой точке: Е =
Ее модуль £=2545 В/м.
603. Напряженности электрического поля в точках а и b
Ea = kq/ra = 6W кВ/м, Eb = kq/rb = 37f5 кВ/м.
Потенциалы в этих точках
Фа = kq/ra = 30 кВ, фЬ = kq/rb = 7,5 кВ.
Работа электрических сил при перемещении заряда q$ из точки а
в точку b
A=qQ (<Ра — Чь) = 1ЩоЯ (1 /'"а— 1/гь) = 22,5мкДж.
604. Напряженности электрического поля в точках а и Ь равны
Ea = kq/r2a и Eb = kq]r2bi где га и гь — расстояния точек а и b от
заряда q. Потенциалы в точках а и b равны Фд = ^/гд = и
qb = kq/rb = V kqEb\ отсюда работа, необходимая для перемещения
заряда из точки а в точку Ь,
A =qo (фа—Фб) =<?о(VЕа—
605. При прохождении электроном разности потенциалов V = 1 В
электрические силы совершают над электроном работу A=eV =
= 1,60'10“19 Дж. Эта работа равна кинетической энергии, приобре-
тенной электроном, т. е. 1 эВ = 1,60» 10"19 Дж. Поскольку eV = mv2/2,
то v = У 2eV I tn = 593 км/с.
606. Работа электрических сил равна изменению кинетической
энергии электрона: eV = mv2{2\ отсюда v= ]/~2eV/m — 5930 км/с.
297
607. Потенциал на поверхности шара ф = Лд//?; отсюда его заря
q = qR/k. Потенциал на расстоянии /? + г от центра шара <рг=^
= &?/(/? +г) =ф/?/(/? +г). При переносе заряда д0 из точки с потен-
циалом фг в бесконечность работа электрических сил Л=90фг==г
= <7офЯ/(# + г)= 1 мкДж. Такую же работу необходимо совершить
против электрических сил при переносе заряда qo из бесконечности
в точку, находящуюся на расстоянии г от поверхности шара.
608. <р = A (R + r)/qoR=O,3 кВ.
609. А = <?о (ф Ь—фа) = 0 !ГЬ — 1 /га) = 22,5 Дж.
610. A=kq0(qa-qb) (1/d-1/^7*+^) =—0,36 мДж.
611. Найдем потенциал, создаваемый зарядом q, находящимся
на кольце, в точке А на оси кольца, расположенной на расстоянии х
от его центра (рис. 340, о) и, следовательно, на расстояниях г =з
от точек, лежащих па кольце. Разобьем кольцо па от-
резки, малые по сравнению с расстоянием г. Тогда заряд Дд,, нахо-
дящийся на каждом отрезке (i—номер отрезка), можно рассматри-
вать как точечный. Он создает в точке А потенциал ф/ = k\q{/г.
Потенциал, создаваемый в точке А всеми отрезками кольца (отстоя-
щими от этой точки на одно и то же расстояние г), будет
Ф = ф1 + Ф2 + Ф3+ • • * = (&Л) (А<?1 +Л<?2 +• • •)•
В скобках стоит сумма зарядов всех отрезков, т. е. заряд всего
кольца q; поэтому (^) = kqlr = kqiy~ R^-^-x2,
Потенциал поля в центре первого кольца складывается из
потенциала, создаваемого зарядом qt, находящимся на первом
кольце, для которого х = 0, и потенциала, создаваемого зарядом qit
находящимся на втором кольце, для которого x = d (рис. 340, б).
Аналогично находится потенциал в центре второго кольца:
Ф1 = й (qlfR+qt/V^+di) Ф» = *
Окончательно для работы имеем
A =q0 (Ф,-Ф2) = ^о (<7i-<h) (l/R-l//^+T2).
612. Если заряды qQ и q одного знака, то удалить шарик от
кольца в бесконечность можно, сообщив ему бесконечно малую ско-
рость. Если же знаки зарядов разные, то сумма кинетической и
потенциальной энергий шарика в центре кольца хГ.олжна быть равна
298
нулю, так как она равна нулю в бесконечности: mv2/2 +<?(p = 0. где
ф-=&///? —потенциал в центре кольца (см. задачу 611); отсюда
v~ У2А?| qoq \/mR.
613. о= y2keq/mR = 800 км/е.
614, Внутри конденсатора имеется однородное электрическое
поле с напряженностью E = V/dt направленной вертикально. После
удара шарик приобретает заряд того же знака, что и нижняя пла-
стина конденсатора. Поэтому на него будет действовать со стороны
электрического поля сила F = qE — qV/d, направленная вверх. Согласно
закону сохранения энергии изменение энергии равно работе внеш-
них сил (в данном случае — электрических). Учитывая, что удар абсо-
лютно упругий и что в начальный и конечный моменты шарик имеет
лишь потенциальную энергию в поле силы тяжести, получим
А = Fh = h = mg (1г — Н), откуда /т==—
d / nigd—qV
615. Согласно закону сохрапения энергии
mgh — (inv2 /2 -f- mgH) =qV.
где qV — работа электрических сил, V = kq/H — kq/h—разность по
тенциалов точек начального п конечного положений верхнего шарика.
Для определения h получаем квадратное уравнение:
\2g mgH ] 'те
Решая его, найдем
(знак плюс перед корнем соответствовал *ы максимальной высоте,
достигнутой шариком, если бы он получил ту же начальную ско-
рость, направленную вверх).
617. Работа, совершенная над электроном электрическим полем,
идет на увеличение кинетической энергии электрона:
« (фа— <Tb) = fflfa/2 — mvl/2,
откуда
фа — Фб = (ьа — о*)/2у = — 22,7 В,
где у — удельный заряд электрона. Разность потенциалов отрица-
тельна. Так как электрон имеет отрицательный заряд, то скорость
электрона увеличивается при его движении в сторону возраста-
ния потенциала,
299
618. За время пролета t = l{v (см. задачу 596) электрон сме-
щается в направлении действия силы на расстояние
Л = я/2/2 = yV72/2n2d = 5,5 мм,
где у—удельный заряд электрона.
619. На пылинку действуют: сила тяжести mg и сила
со стороны электрического поля, где qt—начальный заряд пылинки
и JEi = V1/d—напряженность электрического поля в конденсаторе.
Чтобы пылинка могла находиться в равновесии, верхняя пластина
конденсатора должна быть заряжена отрицательно. При равновесии
mg = F, или mg = g1Vi/d; отсюда qi = mgdlV1.
Так как уменьшение заряда пылинки на 7о = 1ОООг равносильно
увеличению положительного заряда на д0> то новый заряд пылинки
72 = <71 + <7о- При равновесии tng=q2V2ld, где — новая разность
потенциалов между пластинами. Учитывая выражения для g2, qt
и д0, найдем
V2 = mgd/q2 = mgV^dl(tngd + 1000 еVj) = 5020 В.
Таким образом, разность потенциалов нужно изменить на V2— Vi ==
= —980 В (знак минус показывает, что ее нужно уменьшить, так
как заряд пылинки увеличился).
620. Верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена
положительно. Новый заряд пылинки q2=qi—q0, где (/о = 1ОООе.
Поэтому (см. задачу 619)
V2 = tngd/q2== mgVid/fjngd—1000 eVj) = 7460 В.
Напряжение между пластинами нужно увеличить на V2 — Vf = 1460 В,
621. При равновесии
(4nz3/3) pg = eV/d, откуда r= yZ3eV/4ngpd = 7,6< 10“б см.
622. Напряженность электрического поля в конденсаторе E-V/d-
Разность потенциалов между точками, где расположены заряды,
УаЬ = фд—фЬ = Е/ = У//4, где фа—потенциал в точке расположения
заряда +<?, а <р& — потенциал в точке расположения заряда —q\
при этом фд > фа. При повороте палочки электрические сиды со-
вершают работу по переносу заряда — q из точки а в точку b и
заряда из точки b в точку а, равную
А = - q (<рв—<рь)+q (<рь—Фв) =—2q (<рв—<рь) =
= — 2qlV/d = — 6- IO"1» Дж.
Знак минус означает, что работу должны совершить внешние силы.
623. M=gW/d = 9-10-»H-M.
624. V=— (f + ^')=460кВ.
Q X. Р J
300
625. Если до замыкания шарик 2 имел заряд q, то сумма за-
рядов шариков 1 и 2 после замыкания + Потенциалы же
их после замыкания одинаковы: — = &?2//?2. Следовательно,
^2=^iRdRi- После замыкания шарик 2 действует на шарик 1
с силой
ms=k^k^-> °™wa
Начальный потенциал шарика 2
1±^1=Л 1/^Ж^+^в12,6кВ.
А2 *\2 i\2 г *\2 А1А2
Электрическая емкость
626. Емкости проводящего шара в керосине и в глицерине
С1 = 4ле0Е!/? и С2 = 4ле0е2/?. Их отношение C2/Ci = e2/ei = 28,l.
627. Заряд на пластине, заряженной положительно, q = CV =
= 5 нКл.
628. v = ]/'2yoS/C = 1,03• 107 м/с, где у — удельный заряд элек-
трона.
629. Конденсатор из трех пластин можно рассматривать как
два плоских воздушных конденсатора с емкостью &QS/d каждый *),
соединенных параллельно ^ис. 77). Поэтому общая емкость (без
диэлектрика) C0 = 2e0S/d « 35,4 пФ. При погружении конденсатора
в глицерин его емкость С = еС0 = 2eoeS/d « 2000 пФ.
630. С = С1/(ц— l) = eoeS/(n — l)d w 31 пФ.
631. m = qE/g=\q \ Q/e0Rig = 3,7 г.
632. Напряженность электрического поля внутри плоского кон-
денсатора связана с зарядом Q на его пластинах соотношением
£:=Q/eoS. На шарик внутри конденсатора действуют: сила тяже-
сти mgt сила натяжения нити Т и сила F = qE со стороны электри-
ческого поля (рис. 335). При равновесии шарика в пространстве
конденсатора (см. задачу 591) qE = mg tg at или
-2^-==/ngtg а; отсюда Q = tg a = 5,2 мкКл.
воо q
633. Если qt и q2— заряды на пластинах до и после погруже-
ния конденсатора в керосин, то
&q=q2 — q1 = &0 (е — 1) C0V = e0 (е— 1) SK/d = 50 нКл,
634. Заряд на пластинах не изменяется, поэтому V = dV^/zd^
= 100 В.
*) Напомним, что в большинстве задач относительная диэлект-
рическая проницаемость среды, в том числе и воздуха, принята
равной единице и в формульные выражения не входит.
301
635. При перемещении пластины емкость конденсатора в дан-
ный момент времени определяется той частью площади пластин
по которой они перекрывают друг друга. В моменты времени и
t2 площади Si = So — vlty, S2 = S0— vlt2, где /=10см—длина сто-
роны пластины. В эти моменты времени конденсатор имеет емкости
C1 = e0S1/d, C2 = e0S2/d, а заряды на его пластинах
qi\ = CyV = CqSj V/d, q2 = C2V = e0S2V/d.
Заряд, протекший по проводам за время Д/ = /2 —
= qi — 7г= (*^i—52) V/d = &q vl (t2 — ty) V/d.
При этом ток 1 = &q/&t = eQ vlV/d = 32 нА.
636. Общин заряд параллельно соединенных конденсаторов
(Ci4-C2) У = 0,6мкКл.
637. V = 2Vo/3 = 4B.
638. V = (C1V1 + C2V2)/(C1 + C2) = 40B.
639. С2 = Су (Ух — V)/(V—V2) = 10 мкФ.
640. Заряды конденсаторов до их соединения qy = CyVy и q2 =
= C2V2. После соединения разноименно заряженных обкладок кон-
денсаторов общий заряд <7 = | Qz—qi | = (Ci + C2) V и заряд первого
конденсатора где V — разность потенциалов между обклад-
ками конденсаторов после соединения; отсюда
qi = Cy |C2V2-C1V1 |/(С1 + С2)=32мкКл.
641. После соединения разноименных обкладок общий заряд
q = CV равен разности зарядов q1 = CyV1 и q2 = C2V2 отдельных
конденсаторов, где С = С14-С2—общая емкость после соединения.
Таким образом,
(С1 + С2) V =С1У1—C2V2, <71 > q2;
(C1 + C2)V = C2V2-C1Vlr q, < g2.
Решая эти уравнения, получим в первом и во втором случаях
Cl = (V2 + V) C2/(Vy - V) = 11 мкФ, Су = (V2 - V) С2/(Vx + V) = 3 мкФ.
642. До соединения заряды первого и второго конденсаторов
qy == | CyVy I и q2 = I C2V2 |. После соединения разноименных обкладок
общий заряд
- <71 = I СгУг I -1 CjIZj I = ± I (Ct 4- ct) V |.
Двойной знак мы здесь поставили потому, что заранее не известно,
какой из зарядов, q2 или qlt больше; отсюда
I^HUCtVtl ± |(Ct + C2)K|]/C2.
Решение со знаком минус соответствует случаю, когда знаки за-
рядов на пластинах первого конденсатора после соединения пла-
стин не меняются, а решение со знаком плюс—случаю, когда эти
знаки становятся обратными. Так как в нашем случае | CyVy | <
< I (£1 +С2) I, а величина | V21 должна быть всегда положитель-
302
ной, то существует лишь одно решение—со знаком плюс. В ре-
зультате |V2|=350B.
643. qi=R1q/(Ri + R2)} q2 = + Rz)-
644. Соединение шаров проводником эквивалентно параллель-
ному соединению конденсаторов. После соединения
<7i = Ci toi+^2)/(^i + ^2)= 0?1+<72)/(#1 + #2) « 1,9 нКл,
qz~C2 (^i+q2)/(^i + ^2) = Rz (<7i + ?2)/(^i + R2) « 4,8 нКл,
645. Заряды на шарах до и после соединения qt = Ri<pft q2 = /?2ф2
и<71=/?1<р, ?2=#2ф- Общий потенциал шаров после соединения
определим из условия сохранения заряда: ф = (/?1ф<+ /?2ф2)/(^1+^г)»
Заряды на первом и втором шарах после соединения
Qi = #1 (^1Ф1 + ^гфг)/( Ri + Rz)>
qz = R2 (^1ф1 + ^2ф?)/(Ri + Rz)-
Поверхностные плотности зарядов на шарах
Oi = SoQi/ Rx — 60 (RiФ1 4" ^яфг)/Ri (R\ 4~ Rz) — 4,425 н Кл/ма,
a2 = e0Q2/^2 = e0 (Я1Ф1+ Rz^zj/Rz (/?i+ /?2) = 8,85 нКл/м’3.
646. z = (V0—V)/V = 7.
647. Емкость трех конденсаторов без диэлектрика Ci = 3C0 =
= 3s0S/J « 832,5 пФ. При заполнении двух конденсаторов диэлект-
риками емкость трех конденсаторов
С2 = EiCq 4" б2^о 4~ Cq = 8q (8j 4- e2 4- 1) S/d ~ 2775 пФ.
648. Если d—расстояние между пластинами и Со — емкость
конденсатора без диэлектрика, то разность
пластинами конденсатора (без ди-
электрика) VQ = EQd и заряд на пла-
стинах q = CuV = CQEod. Конденсатор,
половина которого заполнена ди-
электриком, можно рассматривать
как два соединенных параллельно
конденсатора (рис, 341), причем один
не содержит диэлектрика и имеет ем-
кость Ci = C0/2, а в другом все про-
странство между пластинами заполне-
потенциалов между
но диэлектриком, и поэтому его ем-
кость С2 = еС0/2. Полная емкость конденсатора, половина которо-
го заполнена диэлектриком, С = С! + С2 = (84-1) С0/2, При отклю-
ченном источнике тока заряд на пластинах сохраняется, поэтому
разность потенциалов между пластинами V=q/C) и напряженность
элекрического поля в пространстве между пластинами, свободном
от диэлектрика, Е= V/d=q/Cd = 2E0/(&~]r 1),
649. Если Vi и V2 — напряжения на первом и втором конден-
саторах, то И=У14-И2, а заряды на них одинаковы и равны q =
303
8=CiKi = C2V2; отсюда
Vj = С2V[(CX + С2) = 165 В, V2 = Ci V/(Ci + С2) = 55 В.
При последовательном соединении конденсаторов на конденсаторе
меньшей емкости напряжение больше, чем на конденсаторе большей
емкости.
650. Напряжения на первом и втором конденсаторах Vj =
= С2V/(Ci + С2) = 600 В и V2 = CfV/(Ci + С2) = 300 В (см. задачу 649).
Работать при указанном в условии задачи напряжении пробоя кон-
денсаторов нельзя, ибо произойдет пробой первого, а затем и вто-
рого конденсаторов.
651. При изменении емкости переменного конденсатора С2 от
Cmjn Д° Стах напряжение на нем V изменяется в пределах (см.
задачу 649)
^min = CiV/(Ci + Cmax) = 100 В, Итах = CiV/(C1 H-Cmjn) = 182 В.
С,. ,_£=^ ± /ЁЗЕЗЕЗкЕ; с,=6 „ф и
Z F G J — Go
С3 = 3 мкФ.
653. При последовательном соединении конденсаторов 1 /Со —
— \/Ci = 1/С2 +1/С3, при параллельном С—Ci = C2-[-C3. Из этих
уравнении находим С2С3 = С0С1 (С—Ci)/(Ci — Со). Согласно теореме
Виета С2 и С3 должны быть корнями квадратного уравнения
x2 + (Cf~C) х+ад (C-Ct)/(Ci -Со) =0.
Решая его, найдем 2 = С2 = С3 = 2 мкФ. Заряды на всех конден-
саторах при последовательном соединении равны между собой:
g = C1l/1=C2V2 = C3V3; отсюда И2 = С1У1/С2 = 30 В, V8 = C1V1/C3 =
= 30 В.
654. При последовательном соединении конденсаторов заряд
каждого конденсатора равен д, поэтому
y1=q;Ci = 30 В, V2==q/C2 = 15 В, V3 = g/C3 = 6B.
Напряжение источника тока равно полному напряжению на всех
конденсаторах: V= V1 + V2-|-l/8 = 51 В. Так как при последова-
тельном соединении 1/С0 = 1/Ci + 1/С2+ 1/С3, то
Со = CjC2C3/(CiC2CjCg-]-С2С3) ~ 59 пФ.
655. Vf = C2C3K/(C1C2 + C1C3 + C2C3)=20 В;
V2 = C1C3V/(C1C2 + C1C3 + C2C3)=8 В;
V3 = CiC2V/(CiC2 + СХС3 + С2С3) = 4 В.
656. При последовательном соединении конденсаторов заряды
на конденсаторах равны. До погружения одного из них в диэлект-
рик заряд на каждом конденсаторе д0 = СУ0 = СУ/2; после погру-
жения одного из них в диэлектрик заряды конденсаторов будут
д = СИ1 = еСИ2. Учитывая, что имеем д = еСУ/(14-е).
304
Изменение заряда на конденсаторах
q— q0 = С (2е— 1) V/2 (I +е) = 167-пКл.
657. Первоначальная напряженность электрического поля
в каждом конденсаторе E1 = V/2d1 где d—расстояние между пла-
стинами конденсатора. После заполнения одного конденсатора
диэлектриком напряженность электрического поля в нем Е2 =
= V7(e+1) d. Отношение напряженностей Е2/Е\ = 2/(е+1) = 0,2.
658. После отключения конденсатора от источника тока и за-
полнения его диэлектриком заряд на нем не изменяется: q — CV!2 =
= еСУ2. Напряженность электрического поля в конденсаторе, за-
полненном диэлектриком, Е2 = V2/d = V/2ed. Отношение напряжен-
ностей E2IEi = 1/8= 1/9.
659. Изменение емкости соединенных конденсаторов АС =
= (е —1) С/2 (е+1) = 1,7 пФ.
660. После введения пластинки образовалось два последова-
тельно включенных конденсатора с емкостями C1 = e0S/Z и С2 =
Рис. 342. Рис. 343.
= e0S/(rf — Z) (рис. 342). Их общую емкость определим из соотно-
шения
1 _ 1 !________1 d~l_ d_______L
Co Cj C2 EqS EqS C
где C—первоначальная емкость конденсатора. Таким образом,
после введения пластинки при любом ее положении С0 = С.
661. Введение проводящей пластинки между обкладками кон-
денсатора приводит к образованию двух последовательно включен-
ных конденсаторов с расстояниями между обкладками d± и d2 и
емкостями Ci = e0S/di и C2 = e0S/J2, где df-|-d2 = d—dn (рис. 343).
Их общую емкость находим из соотношения
1 1.1 di+d2 d — dn r e0S
о" = o о ; отсюда CQ=-—— ,
Co Cj C2 Bqo 80S d — dn
При dn =±d/3 имеем C0 = 3C/2, где C= EQS/d — первоначальная емкость
конденсатора.
305
662. Емкости конденсатора до и после внесения проводящей
пластинки толщины dn (см. задачу 661) C0 = e03/d и C = &QS/(d—
Заряд конденсатора, отключенного от источника тока, не изменяется*
д = СоУо = СУ, отсюда разность потенциалов между обкладками
конденсатора после внесения проводящей пластинки V^CoVo/C^
= (d—dn) yQ/d = M В.
663. Если в конденсатор ввести тонкую проводящую пластинку,
параллельную его обкладкам, то на ее поверхности появятся рав-
ные заряды противоположного знака. При этом электрическое
поле в конденсаторе не изменится и емкость конденсатора оста-
нется прежней (ср. с задачей 660). Емкость конденсатора с диэлект-
рической пластинкой можно найти, предположив, что на поверх-
ностях этой пластинки нанесены тонкие проводящие слои. В этом
случае образуются три последовательно соединенных конденсатора
с емкостями Ci = ^eS/dlt C2 = 80S/<i2 и Сз = е0‘$/^з» где rf2 и d3 —
расстояния между поверхностями диэлектрической пластинки и об-
кладками, причем d2 + ^3 = d — d± (рис. 344). Общая емкость кон-
денсатора С определяется из формулы
1 1 । 1 1 1 - 1 (di । я г я V
с = с?+ сг+ (v+dl+d3J *
отсюда sueS
ed + </1(l-f) •
664. С = £0е1е2£з5/(в1Е2 + В1£з + е283) d и 90 пФ (см. задачу 663).
Рис. 344. Рис. 345.
665. Представим конденсатор с диэлектрической пластинкой
в виде двух параллельно включенных конденсаторов, первый из
которых не содержит диэлектрика и имеет емкость С{ = С0/2, где
C0 = e0S/d— первоначальная емкость конденсатора, а во втором
площадь обкладки равна площади диэлектрической пластинки 3/2
(рис. 345, а). Затем второй конденсатор представим в виде двух
последовательно соединенных конденсаторов, один из которых не
содержит диэлектрика и имеет емкость С2 = С0, а другой полностью
заполнен диэлектриком и имеет емкость С3 = еС0 (рис. 345, б).
Емкость этих двух конденсаторов С4 = С2С3/(С2 + С3) = еС0/(1 -|-8),
306
Емкость всех трех конденсаторов С = С1 + С4 = (1 -f-Зе) С0/2 (1
Отношение емкостей С/Со = (1+Зе)/2 (1+е) = 7/6.
Здесь мы считаем, что размеры обкладок намного больше рас-
стояния между ними, и поэтому пренебрегаем краевыми эффектами,
т. е. отличием электрического поля на краях обкладок и диэлект-
рической пластинки от однородного. В противном случае емкость
первоначального конденсатора не равна емкости трех конденсато-
ров, изображенных на рис. 345, б.
666. С = Ч-с3) С2С4/(С2“ЬС4)= 4,5 мкФ,
667. Схема включения, представленная на рис. 82, эквивалентна
схеме, изображенной на рис. 346, а. Ввиду равенства емкостей
Рис. 346.
равна нулю, конденсатор С4 всегда не заряжен, и схема упрощается
(рис. 346, б). Общая емкость конденсаторов
С = С14-С2Сз/(С2 + С3) -|- С,5Св/(С5Ч_С,3) = 2Cq.,
668. Vflb = (C1V1-C2l/2)/(C1 + C2)=- 1,3В.
669. 9 = l/CjC2(e—J)/(Ci+C2) (Cj+eQ «ЗОпКл.
670. Вначале разность Потенциалов между обкладками каждого
конденсатора была Ki=V/2, где V—напряжение источника тока.
После заполнения одного из .них диэлектриком V=q/C -f-q/eC =
= q (е4-1)/еС, гдеg—заряд на каждой обкладке, a q/C = Ке/(е+ 1)=V2
и q/&C— разности потенциалов между обкладками до и после за-
полнения конденсатора диэлектриком. Так как напряженность элек-
трического поля в конденсаторе пропорциональна разности потен-
циалов между его обкладками, то отношение напряженностей до и
после заполнения Е1/Е2 = V’1/V2 = (е+1)/2е = 5/8.
671. &F = Flt/q.
672. После подключения к источнику тока заряд каждого кон-
денсатора в последовательной цепи arnb равен ^' = С'И, где С'=
= С1С31(С1 + С3)—емкость цепи amb, азаряд каждого конденсатора
в последовательной цепи anb равен q" =C”V, где С" = С2С4/(С2 + С4)—
емкость цепи anb. Разность потенциалов между точками а и т
равна V' =q'/Ci = С3У/(С14-С3); разность потенциалов между точ-
ками а и п равна Vn=qn 1Сг = C4V/(C2 + C4). После отключения от
источника тока схему можно рассматривать как две параллельные
20* 307
цепи из последовательно включенных конденсаторов (man из а
С2 и mbn из С3 и С4), заряженных до разности потенциалов
‘'-''-‘"-(етггетс;)1'-
При замыкании ключа X разность потенциалов между точками tn
и п становится равной нулю. Цепь man разряжается, и через точку а
протекает заряд q = CV, где С = С1С2/(С1 + С2)— емкость этой цепи.
Таким образом,
С,С2 / С4 Сз \ v_CoV_.. „
’“Ci + Сз (с, + с4 Cj+СзЛ- 8-1мКл’
673. Сх = С2 = 5 мкФ; С!/ = С1 = 2мкФ.
674. Относительно земли пластина а имеет потенциал q>a = — V,
а пластина b—потенциал <рь = 7. Разность потенциалов между ними
Фь — Фа = 2У, и напряженность электрического поля Е = ((р&—<рд)/^=
= 2F/d = 40 кВ/м.
676. о = w2/8ynd « 833 нКл/м2, где у = е//и= 1,76* 1011 Кл/кг—
удельный заряд электрона.
676. По закону сохранения энергии количество теплоты, выде-
лившееся при разрядке конденсатора, равно электрической энергии,
запасенной в конденсаторе: Q = W = q2/2C = 0,25 Дж. Разность потен-
циалов между обкладками конденсатора до разрядки F = ^/C=500B.
677. Энергия, запасенная в п конденсаторах, IF = ;/CF2/2 = Q;
отсюда разность потенциалов V = У2(2/пС = 500 В.
678. Емкость шара С = 4ле07?. Вся электрическая энергия заря-
женного шара перейдет в теплоту: Q = C<p2/2=2ne07?(p2 = 25 мкДж.
679. Электрическая энергия, запасенная шаром, IF = <?ф/2, откуда
q = 2 IF/ф = 0,4 мКл.
680. До соединения конденсаторов их заряды qi = C1Vu q%=C2V2i
а их общая энергия IF0 = CiFi/2 + C2F2/2. После соединения конден-
саторов их полный заряд = Qi+<72 = (С1 +С2) V, где F —разность
потенциалов между верхними обкладками и землей; отсюда V =
= (CiVi + CaVjMCi + C^. После соединения верхних обкладок кон-
денсаторов их энергия IF^C^ + CJ V2/2 = (C1F1 + C2V2)2/2 (С^СД.
Выделившееся количество теплоты равно разности начальной и конеч-
ной энергий конденсаторов:
Q = U70 — TF = СХС2 (Ft- F2)2/2 (Ci + С2) = 4,5 мДж.
При Fi = V2 нет перехода зарядов, поэтому теплота не выделяется.
Если потенциалы Fj и V2 имеют одинаковые знаки, то теплоты
выделяется меньше, чем в случае разных знаков потениналов.
681. Выделившееся количество теплоты равно разности энергий
конденсаторов до и после соединения (см. задачу 680):
Q = JF0- IF = СгС2 (Кх - V2)2/2 (CL + С2) = 0,5 мДж,
308
§ 20. Постоянный электрический ток
Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников
682. Ток в проводнике I = q/t. Плотность тока j = I/S-t отсюда
/=q/tS=2 кА/м2.
683. Цена деления шкалы прибора как миллиамперметра i = 1/N=
= V/RM=0t\ мА/дел.
684. Сопротивление прибора R = V// = 2kOm.
685. Сопротивление вольтметра найдем из условия, что при от-
клонении стрелки на всю шкалу напряжение на зажимах прибора
равно Vo, а ток, текущий через прибор, равен /0: R = VQ/IQ =2 кОм.
Когда же вольтметр показывает напряжение V, то через него течет
ток I = V/R = 1qV/V0=2,5мА.
686. / = /0 (R-|~ R0)/R = 27,5 мА.
687. V = qR/t—4B.
688. Vi = /Rx = 200 В; V2 = IR2 = 120 В; V3 = /R3 = 0,4 В.
689. p = nRD2/4/ = 0,017 мкОм-м.
690. R = pm/yS2 = 191 Ом.
691. /=лУ£)2/4р/ = 0,236 А.
692. р = VS/Il = Ул£>2/4// = 5 мкОм*м.
693. Vx = IR, = S2S3V/(5х52 + SXS3 + S2S3) = 6 В;
V2 = IR2 = SxS3V/(SxS2 + SXS3+ад) = 3 В;
V3 = 1R3 = S,S2V /(StS2 + SXS3 + S2S3) = 2 В.
694. При температурах fx и /2 сопротивления проволочки Ri =
= R0(l+a^i) и R2 = Rq (1 +а/2), где Ro — ее сопротивление при
/о = 0°С. Искомая температура
6 = [R2(l+a/i)-Ri]/aR1 = 48,3°C.
695. /2 = [V(l+a/1)~/R]//aR « 1910 °C.
Последовательное и параллельное соединения проводников.
Добавочные сопротивления и шунты
696. R = (V — Vo)//0 = 25 Ом.
697. Напряжение на сопротивлении 1/^ = 1/—2У0. По закону
Ома Vr=IR\ отсюда R — (V—2У0)//=2,5 Ом.
698. Через вольтметры протекает один и тот же ток /. Так как
вольтметр показывает напряжение на собственном сопротивлении,
то I = V1/Ri и сопротивление второго вольтметра R2==V2/I =
= ^sjRi/Vi = 2 кОм.
699. It = Zo (Ro+ R)/[R0 (1 + a/) + R] = 23,6 mA.
700. При температуре t общее сопротивление последовательно
включенных частей проводника с сопротивлениями Rx и R2 будет
R = Ri+R2 = Rio 0+a20 ~ ^io"F Rao+feRio + ^Rao)
где R10 и R2o—сопротивления угольного стержня и проволоки при
309
/о = О°С. Общее сопротивление проводника не зависит от темпера-
туры, если ai₽io + a2/?2o = O. В этом случае при любой температуре
Я= Т?10-]-Я20. Из последних двух уравнений найдем
/?10 = а2 #/(«2—«1) = #/б = 333 Ом,
/?2о = ~ ai7?/(a3—= 57?/6 = 1667 Ом.
701. Схемы электропроводки, позволяющие включать и выклю-
чать лампочку в любом конце коридора, показаны на рис. 347.
У концов коридора устанавливаются два переключателя Z7f и /7а,
Рис. 347.
каждый из которых имеет два положения. В зависимости от распо-
ложения выводов от сети может оказаться выгоднее с точки зрения
экономии проводов вариант а) или б).
702. /f = V/R = 0,6 А при параллельном соединении; /2 =
= V/2/? = 0,3A при последовательном соединении.
703. Пусть при данном положении движка сопротивление участ-
ка ах потенциометра равно гх рис. 89). Тогда общее сопротивление
этого участка и вольтметра (они соединены параллельно) Rx=^
=rxr/(rx-\-r), а сопротивление остальной части потенциометра xb равно
/?0— гх- Таким образом, полное сопротивление между точками а и b
будет
R= R„-rx + Rx= Ro — 'x +—
rx~Tr rx~rr
Ток в цепи / = Напряжение на участке ах
* rx R Hx-rx{Ro_ ,х)+р(Л
Так как по условию RQ < г и, кроме того, rx^RQt то первым
членом в знаменателе можно пренебречь по сравнению со вторым
(первый член представляет собой произведение двух малых величин
Wx/V 1 ~ У/ ’ 0,5 - I № р Рис.. 348, гх н Яо—в то время как второй — произведение малой величины /?0 на боль- шую величину г). Следовательно, Vx « rxV/R0, т. е. напряжение Ух пропорцио- нально сопротивлению гх. В свою очередь сопротивление гх пропорционально длине участка ах. , На рис. 348 сплошная прямая показыва- ет зависимость Ух от тх, штрихпунктирная линия—зависимость Vx от rXi когда R$ ~rt
31G
Рис. 349.
т. е. когда в выражении для Vx нельзя пренебречь первым чле-
ном в знаменателе. Эта зависимость не является линейной, од-
нако и в этом случае Vx изменяется в пределах от нуля до напря-
жения на клеммах источника V.
704. Площади сечения железной и медной частей провода
Si = nd2/4 и S2 = л (О2—d2)/4 (рис. 349). Их сопротивления Ri = pxZ/Sf
и 7?2=р27/<$2. Сопротивление 7? биметаллического про-
вода находится по формуле параллельного соедине-
ния проводников:
R = „ Гп па!^1рг----ГлгГ ~ °-10 Ом-
Ri + R2 я [piD2+(р2—pj d2]
Сопротивления железного и медного проводов диа-
метра D и длины I
^ж = 4/р1/л1)2 = 0,61 Ом, RM = 4/p2/nD’ = 0,087 Ом.
705 __ (Ri+R») (R* + +/?«+RJ + (R2+R4+ RJ R? 7 Ом
R2+R9 + #4+ Rb
706. При последовательном соединении двух проводников с сопро-
тивлениями Rx и R2 их общее сопротивление R = 7?! + Rit а при
параллельном соединении — R = R<iR2/(Ri + R2); отсюда R0R = RXR2.
Согласно известному свойству приведенного квадратного уравнения
(теорема Виета) сумма корней этого уравнения равна второму его
коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней — свобод-
ному члену, т. е. Ri и Т?2 должны быть корнями квадратного урав-
нения г2 + рг+<? = 0 с p — —R и q=R0R-t отсюда T?li2 =
= (R ± К R2—4R0R)/2. Подставив значения Ro и R, найдем Rj=3 Ом
и R2=2 0m (или 7?х=2 0м п R2 = 3 0m)
707. Точки присоединения подводящих проводов делят длину
окружности кольца в отношении 1:2, т. е. отстоят друг от друга
по дуге на 120°.
708. R2 = VR1/(Z/?1 —У) = 1 кОм.
709. Ток в общей цепи 7 = Zj-|-72j где 7< и /2—токи, текущие
через лампочку и вольтметр. Так как V= Z3R1 = 72R2, то J2 = V/R2
и 7?! = У//3 = V/(7 — 72) = VR2/(/R2—V) = 100 Ом. Пренебрегая током
/2= 1,25 мА по сравнению с 7 = 0,5А получим по приближенной
формуле Rx^V/I то же значение сопротивления лампочки: R1=1000m.
710. Показание вольтметра V = 73R3 = 72Ra, где Z3 и Za—токи,
текущие через сопротивление и вольтметр. Общий ток / = /1-{-72;
отсюда R1 = V/Z1 = V/(7-/2)=VR2/(7R2-V) = 20J6Om.
Если пренебречь током 7а по сравнению с Z, то искомое сопро-
тивление Ri = V/7=20Om. Ошибка в определении Ri будет
AR1 = 7?! - Ri = V/(7 l2V/J (7 - 7а) = 19V//LI.
311
Учитывая, что У/7=е/?{ и 72/7j = T?i/T?2> найдем относительна Го
ошибку: A/?i//?i = Я1/Я2 = 0,008, т. е. 0,8 %.
711. Вольтметры с сопротивлениями 7? и 107? показывают напря.
жения V1 = V/3 и y2=10V/21; поэтому разница в показаниях вольт-
метров V2— Vi = V/7.
712. Напряжения на первой и второй лампочках
У1 =
713.
714.
V/?(2rH-7?)
4r2 + 6r7?-|- 7?а
= 10,34 В, У2=
I/ ________^1^2^______— ЯП В
Г1 R3(R1 + R2) + R1R2 °
I//?2
4г2 + 6г7?+/?2
= 9,54 В.
R1(2R2+R)V
1 iR.R. + tRi + R^R
= 96B;
R2(2Ri-]-R)V
4RlR2 + (R1+R2')R
V
2 —
715. Эквивалентные схемы включения изображены на рис. 350.
Сопротивления реостатов
Я2 = 4Ro~R = 20 Ом, f>3 = ~ = 20 Ом-
/?1 = 27?2 = 40 Ом.
716. Весь проводник имеет сопротивление R = nr, где г—сопро-
тивление каждой из п равных частей проводника. При параллель-
ном соединении п одинаковых проводников ихЛэбщее сопротивле-
ние R0 = r/n. Исключая г, получим /?/7?с = и2; п может быть лишь
целым положительным числом, большим единицы. Поэтому решения
возможны только в случаях, когда 7?/7?0 = 4, 9, 16, 25, 36, ...
В нашем случае п=]Л36/1=6.
717. На участках Аа и ЬВ (рис. 351), ввиду равенства сопро-
тивлений ребер куба и их одинакового включения, ток 1 равно-
мерно разветвляется по трем ветвям и поэтому в каждой из них
равен 7/3. На участках ab ток равен 7/6, так как в каждой точке а
ток вновь разветвляется по двум ребрам с равными сопротивлениями
и все эти ребра включены одинаково,
312
Напряжение yAB = /R между точками А и В складывается
из напряжения УАа = /г/3 на участке Аа, напряжения Уаь = /г/6 на
участке ab и напряжения Уъв = Ir/З на участке ЬВ: IR = Ir/3 + Ir/6+
+ /г/3 = 5/г/6; отсюда 7? = 5г/6.
718. Если источник тока подключен к точкам с и dt то напр,ч-
жения на участках da и ab равны, поскольку проволока однородна.
Следовательно, разность потенциалов между точками anb равна
нулю. Ток на этом участке отсутствует. Поэтому наличие или отсутст-
вие контакта в точке пересечения проводников ab и cd безразлично.
Сопротивление Rx, таким образом, представляет собой сопротив-
ление трех параллельно включенных проводников: cd с сопро-
тивлением 2rRi, cad и cbd с одинаковыми сопротивлениями
jirfy. Из соотношения 1/7?х = l/2rfy+ l/nr/?z + l/nr/?j находим
/?x = 2nr7?z/(n+4).
719. AZ=3W//?zL(2L + 0 = 0,136A.
720. л = 5.
721. Сопротивление 2,5 0м достигается, когда проводники
включены по схеме смешанного соединения (рис. 352).
722. ^ = 4M2/(2^ + ^2) = 0,4Cm.
Рис. 353.
723. Для измерения вольтметром более высоких напряжений,
чем те, на которые рассчитана шкала, необходимо, включить после-
довательно с вольтметром добавочное сопротивление Ra (рис. 353).
Напряжение на этом, сопротивлении УЛ = У—Ио; поэтому /?д =
= (V — У©)// = 12 кОм.
724. Для измерения прибором напряжений, не превышающих У,
необходимо последовательно с ним включить такое добавочное со-
противление ₽д, чтобы У = 1 (/?+ ₽д), где /—максимальный ток
через прибор; отсюда Ra = У/l — R « 30 кОм.
725. /?2=/?1Vl(V-V2)/V'2(V-V1) = 46,7 кОм.
726. Городская осветительная сеть представляет собой источник
тока, обладающий внутренним сопротивлением, намного меньшим
сопротивления вольтметра R. Поэтому напряжение У = 125 В, кото-
рое показывал вольтметр при непосредственном включении в сеть,
равно напряжению источника тока. Это значит, что оно не изме-
няется и при включении вольтметра в сеть через сопротивление /?0.
Поэтому К = /(/?4-2?с), где I=VG/R—ток, текущий через вольт-
метр; отсюда RQ = (y—У0) Z?/|Z0 = 261 Ом,
313
727. Ток, текущий через вольтметр и добавочное сопротивление
/ = Vo/R. Напряжение источника тока V = / (R+RP) = (R+Ra) Vq/R^
= 340 В.
728. V=IR2R/(R+2Ri + R2).
729. Для измерения более высоких токов, чем те, на которые
рассчитана шкала, параллельно прибору включается шунт с сопро-
тивлением /?ш = 1*0М/?/(/ —{0М) = 50,5Ом; для измерения напряже-
ний последовательно с прибором включается добавочное сопротив-
ление Ra = (V— Z0N/?)/Z0W = 199 Ом, где i0N = J0 — ток, текущий
через прибор при максимальном отклонении стрелки, t0A/7?= Vo —
напряжение на его клеммах в этом
j. JI случае (см. задачи 723 и 730).
С > —(фА)——------о 730. При включении параллельно
Riu прибору шунта (рис. 354) ток I дол-
------------- жен делиться так, чтобы через миллиам-
Рис, 354.-----перметр протекал ток /0. Через шунт при
этом течет ток 7Ш, т. е. / = /0+/ш.
Напряжения на шунте и на миллиамперметре равны: /OR = 1 U|Rm;
отсюда /?ш = IoR/(I — 70) ~0,05Ом. Чувствительность прибора умень-
шается, а цена деления прибора увеличивается в п = ///0 = 200 раз.
731. /О = УЯШ//[У (Яш+ Я)~/Я2]=3 А.
732. Так как шунты присоединяются к гальванометру парал-
лельно, то условие равенства напряжений на гальванометре и на
шунтах дает
0,1/7? = 0,9//?f, 0,01//? = 0,99/R2i 0,001//? = 0,999//?3;
отсюда
/?1 = 7?/9 = 3 Ом, /?2 =/?/99 = 273 мОм, /?3 =/?/999 = 27,1 мОм.
733. Наибольший ток, протекающий через прибор, I0 = i0N.
Для измерения токов, значительно превышающих ток /0, необхо-
димо параллельно прибору включить шунт, сопротивление кото-
рого /?ш значительно меньше сопротивления миллиамперметра /?
(см. задачу 730):
/?ш = /0/?/(/ -/0) = l0NR/(l - lQN) =5,125 Ом.
734. Ток, текущий через шунт, /ш = / — /0. Падения напряже-
ния на шунте и амперметре равны: 7Ш/?Ш = /07?; отсюда /0 =
=/7?ш/(7?+/?ш) =2,7 А.
735. / = /u(l+nD2/?/4p/) = 12,9 А.
Закон Ома для полной (замкнутой) цепи
736. Напряжение на внешнем сопротивлении цепи V=IR. Ток
в цепи 7 = <£/(/?4-г); отсюда /? = V//=60m, г = (<^ — V)// =4Ом.
737. По закону Ома для цепи /f = <£/(/? + г) и 12 = <£>/( 7?/3г),
где 7?—сопротивление реостата. Исключив из этих уравнений /?,
найдем /2 = 3/J<^/(^ + 2/1r) = l,125A.
314
738. Ток в цепи /= {£/(/? 4-г), Напряжение на зажимах источ-
ника тока V = /R = $R/(R-[- г). При 7? = 0 через источник течет
ток короткого замыкания /К = 6А. С увеличением R ток стремится
к нулю (по гиперболическому закону) (рис. 355, а), а напряжение
стремится к э.д.с. <^ = 15 6 (рис. 355, б).
739. Ток цепи накала / = <?>/(/?! + /?2 + г) = 65 мА.
740. Сопротивление нити накала /?2 = Ток накала при нали-
чии дополнительного сопротивления Ri в цепи I = ^/(/?i+
отсюда ^ = (^—17—/г)//= 7,4 Ом.
741. /? = 17г/(^-1/)~4р//лП2 = 3,82Ом.
742. R = Vr/(£—V) =2,95 кОм.
743. Напряжение на зажимах источника тока равно падению
напряжения на внешнем сопротивлении цепи: V=/R, где /=^/(/?-|-/j;
отсюда r = R (<§ — V)/V = 4 Ом.
744. Ток в цепи I = $/(Ri + /?2 + '')- Падение напряжения на
лампе и подводящих проводах Vi=IRi и V2 = 7/?2- Из этих урав-
нений находим
Да =2,1 Ом,
Ri
745. Через каждую лампу те-
чет ток /1 = V1//?1 (рис. 356). Ток
в общей цепи / = n!i = nV1/Ri. Напряжение в подводящих прово-
дах V2=//?2 = nV1/?2//?i. Напряжение на зажимах источника тока
и его э.д.с.
17 = И2 = Vi (1 + л R2/Ra) =293 В,
g=V+Ir= Vi [14-л (/?,+ г)/Л1]=303 В.
746. ^ = (7?4-,)Fd//? = 5B.
747. q = C$R/(R-[- r) = 10 мкКл.
748 V./V -(/?/2)(10/?/I1 + /?)-7/10
749. V' = ^Vr/(^r-V/?2) = 4,4B.
315
750. Изобразим схему иначе (рйс
357). Заменим сопротивления резисторов
Ri, R2 и R3 сопротивлением /?0=/?i +
+ /?2/?з/(^2 + /?з)- Тогда полное сопро-
тивление цепи
RoRi
__(/?1#2 + #1#з+ R2R3) Ri _56
"“/?2/?з + (/?1+/?4)№+/?з) 36 °М
и амперметр покажет ток / = ^/R==.
= 1,8 А.
751. / = 34(£/73Я = 0,1А.
752. Падения напряжения на резисторах Ri и R2t а также на
резисторах 2Ri и 2R2 пропорциональны их сопротивлениям. Поэтому
падение напряжения на резисторе R равно нулю и ток через него
не проходит. Через резистор R2 течет ток I = (§l(Ri~\- ₽2).
753. Полное сопротивление цепи R = /?1 + ₽2 + где сопротив-
ления жилы и оболочки до места замыкания
I 4Z n I 4Z
/?1=Р1-^-=Р1—> R2 — Pa-F~ — р2 —77^ “2? •
л(£)2 — di)
Ток в цепи I = (§/R-, отсюда
1________гс (<В I?)________о 1Я км
47 [pi/D?+рЖ-di)]
754. Напряжение н? конденсаторе Это же напряжение
будет в первый, момент после замыкания ключа на резисторе R^
Поэтому текущий через него в этот момейт ток l = $lRi.
755. После включения источника тока с э.д.с. <§ конденсаторы
зарядятся, и, когда ток прекратится, все их обкладки, соединен-
ные с резистором R, будут иметь одинаковый потенциал. Конден-
саторы с емкостями C+‘Cf и 'С + С2 включены последовательно
d источником тока. Общее напряжение на них V4 + V2 = $t а заряд
йа них q = (C+Cf) Vf = (C+C2) V2; отсюда
Vi = (C + C2) <£/(2C+Ci + C2), V2=(O + Ci) <£/(20+0!+ 02).
756. Обкладки конденсатора Cf замкнуты через резисторы
и R2. Поэтому заряд на этом конденсаторе <7i = 0 (после пре-
кращения зарядки конденсаторов С2 и С3). Так как после зарядки
конденсаторов токи в схеме не протекают, то напряжения на коп-
денсаторах С2 и С3 равны <§. Следовательно, qi = C2(g и <7з = О3<£.
757. Падение напряжения на резисторе R3 будет V=q/C — IR3;
отсюда ток, текущий через этот резистор, I=q/CR3. Полное со-
316
противление цепи и э.д.с. источника тока
7?— 7?i7?a/(7?i + Т?2) + Яз + л
^-'я-си(та+'М-,'2В'
I
758. = (q/C) (1 + 2R2/RJ = 110 В.
769. Сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно
велико. Поэтому после зарядки конденсатора по резистору R9 ток
протекать не будет. Не будет и падения напряжения на этом ре-
зисторе. Следовательно, точка а и верхняя обкладка конденсатора
будут иметь одинаковый потенциал. Потенциал же точки b будет
равен потенциалу нижней обкладки конденсатора. Таким образом,
напряжение на конденсаторе будет равно падению напряжения
на резисторе 7?а. Ток в цепи 7=<^/(/?i + Т?2) и V=J R2=<§R2/(Ri-\-R2)i
отсюда заряд на конденсаторе q = CV = C<§R2l(R±-\- R2).
7в0ф У = Я1£2Яз + Я1ЯЛ+яЛ2Я4+ JMsHi (СМ‘ Задачу 7б9)*
761. Напряжения на зажимах источника тока в первом и во
втором случаях Vf = IiR и V2 = J2R/2. Токи в общей цепи в этих
случаях li = S/(R + r) и h = (£/(R/2 + r); отсюда R =
= г (2V2-V1)/(V2-V,)^2 Ом.
762. Падение напряжения на резисторе R2 (и на вольтметре)
V = 1RO (рис. 358), где RQ = R2R/(R2 + 7?) —сопротивление парал-
лельно включенных вольтметра и резистора R2, Ток в общей цепи
/ = (^/(7?1+Л0 + г). Решая совместно эти уравнения, получим
V(7?i + r)7?a
^/?2-V(/?i+/?2+r)
=2,05 кОм.
Тот же результат можно получить, решая систему уравнений
/ = 70 + 7а, V = 7O7?, V = Z2T?2, <g = V + IRi + Ir.
763. В эквивалентной схеме резисторы 7?j соответствуют про-
волокам, соединяющим элемент о кольцом, а резисторы 7?а—двум
половинам кольца (рис. 359). Полное внешнее сопротивление цепи
7?=27?1+^а/2, где T^pa/S и Яа = рла/$, Ток в общей цепи
.317
] = $/(%-|-г). Разность потенциалов между точками с и d
SRz S71
V~ 2 ='4R1 + ft2+2re 4+rt + 2rS/pi ~
0,64 B,
764. А/Л = (/?! + r) /?2/[/?1/?2 + r (tfi + Я2)] = H/16,
7fiS v (/?? + r) (27?! + ^)]
7?17?з + (/?2 + г)(/?1 + 7?з)
16 В.
766. Сопротивление каждой пары проводников равно /?0/2,
Полное внешнее сопротивление цепи до удаления одного из провод,
ииков /?! = 3/?о/2. По закону Ома для полной цепи /х=270==а
• <с?/(#1 +отсюда э.д.с. источника тока <^ = 2/0 (/?i + r) =,
»/о (3/?о4~2г). После удаления одного из проводников полное
внешнее сопротивление цепи /?2 = 2/?0/2 + Ro = 2Ro. Ток в общей
Жепи /2 = (£?/(/? 2 + г)- Через проводник, оставшийся без пары, будет
дти ток /2=/о(3/?о + 2г)/(2/?о + г) = 4А,а через остальные провод,
ики будут идти токи /2/2=2А.
767. If = <§R2/[(R3+ г) + /?2) + Rх/?2] = 1,98 А;
/а = «?Я1/[(Яз + г) + R2) + ЯЛ] = 2,97 А.
768. Верхняя лампа и провода, идущие к ней, начиная от места
присоединения нижней лампы (рис. 360), образуют последователь-
ную цепочку с сопротивлением R3 = + /?2. Эта цепочка соедине-
на параллельно с нижней лампой и вместе с ней
$2 образует сопротивление Т?4 = R3Ri/(R3+ Ri) =
Г 1 =(/?х+/?2) Ri/fZRi + Rzh Полное внешнее со.
П/?/$ D противление цепи
Т_-б£_Т р р _1_ р Я» (27?, + Я2) + («I + Я.) R1
Ы/г. IW2
у ч" U Через источник тока течет ток
1 'г , <§ ____________<£(2Я1+Я2)________
Рис, 360. r+R0 (r+RJVRi+RJ + tl^+RdR, =
=0,87 А.
769. Если $ и г—э.д.с, и внутреннее сопротивление источника
тока, то It=S/(Ri + r) и li = £/(Ri + r), Из этих уравнений имеем
г = (/17?1-7г7?,)/(/1-/1) = 30м, S = /iIt (Ri-RJ/Ut-Ii)^ В.
770. r=R1R2(yi-Vi)/(ViRi-ViRd = l Ом.
771. При подключении к источнику тока амперметра через него
течет ток Ii = £l(Ri + r), где <§—э.д.с, батареи, а г—ее внутреннее
сопротивление; при подключении к источнику тока вольтметра через
его течет ток /» = (§‘/(7?г + г), и вольтметр показывает напряжение
V^ltRt = <SRtKRt+6> отсюда
Ra (V -/,/?,)/(/, R, - V), S = ltV {Rt -RJKJlRt- V).
M8
Ток короткого замыкания (при равном нулю внешнем сопротивлении)
/к = Sir -= ЬУ (Я,- Rij/Ri (V- hRA=29,6 А,
772. =2 Ом; /В=-|=5А.
773. При зарядке аккумулятор включается навстречу источнику
фока. Во время зарядки ток внутри аккумулятора течет от положи-
тельного полюса к отрицательному. Напряжение сети (R+r)«
где /—ток зарядки; отсюда /*=(У —<§)/(# +г). Напряжение не
эажимах аккумулятора
Vt~Ir+£=(Vr+<£R)/(R+r) = 27,5 В.
Последовательное и параллельное соединения источников тока.
Правила Кирхгофа
774. Поскольку ^а > Sit то ток I будет идти в направлении,
указанном на рис. 118, при этом разность потенциалов между точ-
ками а и b
V = (£1+ //?! = <£2-IR2 = + SiR2)/(Ri+ R2) = 1,2 В.
775. Поскольку то ток / будет идти в направлении,
указанном на рис. 119. Током через вольтметр пренебрегаем ввиду
того, что его сопротивление велико по сравнению с внутренними
сопротивлениями элементов. Падение напряжения на внутренних
сопротивлениях элементов должно равняться разности э.д.с. элемен-
тов, так как они включены навстречу друг другу: I (ri+r2) = (^2—
отсюда / = (<£а— <^i)/(ri + гг)• Разность потенциалов между точ-
ками а и b (показание вольтметра)
V = ^i + //’i = (^1ra + ^32ri)/(ri + r2) = В»
776. У=(^1Г2-^2/’1)/(Г1 + г2)=-0,1 В; Vab = 0 при ^ira=^i.
777. Ток в цепи / = 2(£>/(/?+'Т + /2) (рис. 361). Напряжения
на зажимах источников тока = — Iri и V2 = <§—Решая
первые два уравнения при условии Ух = О, полу-
чим R = ri — г2 = 0,2 Ом. Условие Уа = 0 неосуще-
ствимо, так как совместное решение первого и
третьего уравнений приводит к значению R < 0.
778. Ток в общей цепи / = 2$/(RЧ-'Т + 'а)»
где внешнее сопротивление цепи R=RiR2/(Ri+ Rs).
По условию задачи напряжение на зажимах первого
элемента У = ^—/Г1 = О; отсюда
ri = [RiR2+r2 (Rr+ /?2)]/(Ri+ R2) =2,4 Ом.
' 779. R = fi — r2i где R = RiR2R3/(R2R8~t~ RiR&~t~ R1R2) (см. за-
дачу 778).
780. Ток в общей цепи 1 = 2<£/(R + н+ra), где внешнее со-
противление цепи R«= RiRaRg/(RiRa4- RiRs+ RtR»)* Напряжения
319
Рис. 361.
на зажимах первого и второго генераторов •
v — S [^1^2#з + (г2 —гу) ₽1#з+ ^2^з)] п п
"1- ^^з + ^ + гП^Л+адз+^з) Щ
у П___j _S [#1#2^3~КГ1 — fg) (^1^?2 + ^1^зН~^З^з)] о ??
ir2 R^R.+ ^+r^tR^+R^s+RM °'‘г Ь
781, По закону Ома для полной цепи ток f = S/(R+r), где
S = Si + Si+^3 и r = ri + r2+r3. Напряжение на зажимах каж-
дого элемента равно разности э.д.с. и падения напряжения на
внутреннем сопротивлении элемента:
т/ _ Jp. /г. — + г2 + Гз) ~ (<^g + ^з) И- I Q D
-----_------------------------1,8 В,
<0 2 (#+и+<з)—(<£1 + <£з) r2.Q £ в
V2
7?+ И + г2+Г3
H8 = ^-Zr3=^8 + + r-»g_0.l В.
Напряжение на зажимах батареи элементов равно падению на-
иряжения на внешнем сопротивлении цепи: V= Vf+ Va+ Vs = 2 В,
Напряжение на зажимах третьего элемента оказалось отрицательным,
так как ток определяется всеми сопротивлениями цепи и суммарной
е.д.с., а падение напряжения на внутреннем сопротивлении л3
больше, чем э.д.с. ^?3.
782. V = IR = 4<gRM[RiR2 + 4r + /?2)] = 4,95 В.
783. Напряжение на зажимах батареи V = nS— Inr. Следова-
тельно, n = V!(S— lr)=*\W.
784. /=(V-n^)/(/?+nr)=2,7 А.
785. Падение напряжения на резисторе, если токи текут в на-
правлениях, указанных на рис. 124, V = lR = Si— 11г = $2— hr.
Учитывая, что 1 = находим
/ = (<£1 + <£2)/(2₽+')=0,1 А,
Л = [(/?+г) Si - RS2] /г (2 R + г) =
= —0,25 А,
/2 = [(Я+г) S2-RS'1/r (2R+r) =
= 0,35 А.
Заметим, что It < 0. Это значит, что
направление тока противоположно
указанному на рис. 124.
786. Выбрав направления токов, указанные на рис. 362, соста-
вим уравнения Кирхгофа. Для узла b имеем /f+/2 — 7 = 0; для кон-
тура abef (q&hgk по часовой стрелке) + IR — Sit и Для контура
bcde (обход против часовой стрелки) 1ъГ2-\-1R = $2 Из этих урав-
нений найдем
7 = (fi + Лг) 4~Л1га] =0,53 А,
320
787. Внутреннее сопротивление элементов г0==г-|-г/2 = 3г/?.
Сопротивление параллельно включенных резисторов /?0 =
= + ^2)- Общая э.д.с. элементов <§0 =2$. Согласно за-
кону Ома для полной цепи
V = -1 (% + го) = 2S - / [ Ях Я2/(Я1 + *2) + Зг/2] = 2,48 В.
788. Выберем направления токов Ilt /2 и 13 через резисто-
ры R2 и R3, указанные на рис. 363. Тогда /з = Л + ^2- Раз-
ность потенциалов между точками а и b будет равна <£i4~Zi/?i =
= (§3— /3Я3 = ^2+ ^2^2- Если /3 = 0, ТО /1=— /2, d?!-!-
и^з=(^2 — ЛЯ2. Исключая /ь находим ^3=(^1/?2+^>2^i)/(^i+^2)
Рис. 363. Рис. 364.
789. Рассмотрим ту же схему без вольтметра (рис. 364). Из
закона Ома для полной цепи находим / = ^Si^r = S/r- закона
Ома для участка цепи между точками ан b получим Уаь =— /'' + (£ =
= 0. Подключение вольтметра к точкам, разность потенциалов
между которыми равна нулю, ничего не
Поэтому вольтметр будет показывать
напряжение, равное нулю.
790. Подключим источник тока к
выводам а и b и выберем направления
токов, указанные на рис. 365. Для узла
е имеем / = /0-|-/2. При обходе конту-
ров aefb и ecdf по часовой стрелке
получим
/(Я1+Яз)+/2/?2=-<£, /о/?о-/2^2=^о.
может изменить в цепи.
Используя условие /2 = 0, находим <^ = —<^0 (^1 +^з)//?о- Знак
минус показывает, что полюсы источника тока на рис. 365 нужно
поменять местами.
791. Г! = 2/?/5=2 0м, г2 = 7?/5 = 10м.
792. При параллельном соединении двух элегиентов внутреннее
сопротивление и э.д.с. равны г/2 и при последовательном сое-
динении они равны 2г и 2^. Через резистор R при этом текут токи
Л = ^/(^ + г/2), /2 = 2^/(/? + 2г) = ^ДО + г).
Отсюда видно, что /2 > Л, если /?/2 + г < R-\-r/2, т. е. если г < R.
По условию задачи в первом случае R\ = r\ следовательно, токи
И г. А. Бендриков и др.
321
при параллельном и последовательном соединениях одинаковы.
Во втором случае /?2 > Поэтому ток больше при последователь-
ном соединении.
793. q = С &1 (^+,'г2+/ 1-—?- =7 мкКл.
А1+ А2 Г Г1 Г Г2
794. Выберем направления токов, указанные на рис. 366. Для
узла b имеем / — Л—/2 = 0. При обходе контуров abef и bcde по
часовой стрелке получим
^2Г2~\~ 1R = (§2* --^2Г2—(§1---<§2‘
Из этих уравнений находим
, _ Sif2~{-<§2г 1 , __ (^4~гг)—SiR
R (/'l + r2)+/'lf2 ’ 1 R (Г1 + Г2) + Г1Г2
/ _-.&2 — SiR
2~ R^ + r^ + r^'
Рис. 366.
Ток / = 0 тогда, когда изменена полярность включения одного
из элементов и, кроме того, выполнено условие Sir2~<§2',i- Ток
Zi = 0 при Si = RSz/tR + rJ, а ток /2 = 0 при $2 = R(di/(R +
Токи If и /2 имеют направления, указанные на рис. 366, если
R&2/(R + r2) < Si < (Я + п) (£2/^. Они меняют свое направление
При < R<S2/(R ~Ь ^2) ИЛИ S 2 < R$1/(R + Г1) •
795. При п (R—r) = R— г. Если R = rt то число элементов
произвольно; если R г, задача не имеет решения (п=1).
796. V’i/K2= (nR-[-r)/(R-\-nr) =2,33, где ^ — показание вольт-
метра при последовательном соединении элементов, У2 — при па-
раллельном.
797. Ы = п(п-1) (R — r) ^/(R + nr) (л/? + г) = 4А.
798. Общее число элементов /V = пт (рис. 367). Ток во внешней
цепи / = ti(§/(R-]-nr/m), где г/т— внутреннее сопротивление группы
из т параллельно соединенных эле-
ментов, а пг/т — внутреннее сопро-
тивление п групп, соединенных по-
следовательно. Максимальная мощ-
ность (см. задачу 848) отдается во
внешнюю цепь при равенстве сопро-
тивления R внутреннему сопротив-
лению батареи элементов nr/m\ R =
=пг/т = п2г/М; отсюда п=УRN/г=
= 20, т = N/п = 30. При этом через
сопротивление R течет ток / = 46А.
799. При последовательном соединении через все аккумуля-
торы батареи течет один и тот же ток, поэтому все они разрядятся
в течение одного и того же времени. Следовательно, емкость ба-
тареи будет равна емкости каждого аккумулятора: Q1 = Qo = 8OA«4.
322
При параллельном соединении п аккумуляторов через каждый
из них течет 1/п часть общего тока; поэтому при том же разрядном
токе в общей цепи батарея будет разряжаться в п раз дольше, чем
один аккумулятор, т. е. емкость батареи в п раз больше емкости
отдельного аккумулятора: Q2 = nQo = 24O А-ч.
Заметим, однако, что энергия W = = &Qf отдаваемая ба-
тареей в цепь, и при последовательном и при параллельном сое-
динении п аккумуляторов в п раз больше энергии, отдаваемой
одним аккумулятором. Это происходит потому, что при последо-
вательном соединении э.д.с. батареи в п раз больше э.д.с. одного
аккумулятора, а при параллельном соединении э.д.с. батареи оста-
ется той же, что и для каждого аккумулятора, но Q увеличи-
вается в п раз.
800. Каждая группа из пяти аккумуляторов, включенных по-
следовательно, имеет емкость Q1 = Q0 = G4A-4 (см. задачу 799).
Три параллельно включенные группы дают общую емкость батареи
Qa = 3O0 = 192 А-ч.
801. К = 77?1(7?2+/?3)/7?2 = 2В.
802. Составляем уравнения Кирхгофа в соответствии с направ-
лениями токов, указанными на рис. 133: 7А+72—/з = 0 для узла
73— Л — 75 = 0 Для У3ла Л; 7б— 7f — /6 = 0 для узла при этом
Лг1+ = — Si Для контура abfg (обход по часовой стрелке),
72 (г2 + гз) + Лг4 = — (о 2 Для контура bcdh (обход против часовой
стрелки) и 74г4— 7вгб — 75г5 = 0 для контура hdef (обход почасовой
стрелке). Решая эту систему уравнений с учетом, что все сопро-
тивления одинаковы и равны 7^ = 10 Ом, получим
Л = (8^1-7^2)/137? = 0.19А, 72 = - (^i + 4^2)/137? = - 0,17 А,
73 = (7^i-11(^2)/137? = 0,02А, 74 = (2^1-5^2)/137? = -0,05А,
/5 = (5^1-6^3)/137? = 0,07 А, 76= (^?2—3(^1)/137? = —0,12 А.
Отрицательные значения токов 72, 74 и 7С показывают, что при
данных э.д.с. источников и сопротивлениях резисторов эти токи
текут в стороны, противоположные указанным на рис. 133.
§ 21. Работай мощность тока. Закон Джоуля — Ленца
803. Запасенная энергия W = $lT’t емкость аккумулятора
Q = 7t; отсюда W = = 4,8 гВт-ч = 1,73 МДж.
804. Заряд, прошедший по проводнику, q = 7т = Кт/7? = 24 Кл.
Произведенная при этом работа А = У2т/7? = 288 Дж.
805. Считая, что энергия, выделяющаяся в проводнике при
прохождении тока, полностью идет на нагревание воды, имеем
qV = cm(t2— tj), где и t2— начальная и конечная температуры
воды; отсюда изменение температуры воды Д/=/2 — /т=^V/c/n=2,4 К*
806. При двух параллельно включенных в сеть плитках ток
в общей цепи 7Х = 2N/V = 8,3 А. Ток 7 = 12,5 А, потребляемый
11* 323
камином, больше, чем поэтому нельзя ручаться за то, что
предохранитель, выдерживающий ток при включении плиток, не
перегорит при включении камина.
807. Ток в проводах, идущих от генератора, 1 = N/V, а плот-
ность тока / = //£; отсюда площадь сечения проводов S = N/jV =
= 6,7 -103 мм2.
808. N = I (V— //?) = 16кВт.
809. Считая, что вся электрическая энергия затрачивается на
испарение воды, получим /2/? = Хт/т; отсюда 1 = УXm/тТ? = 19,4 А.
810. По закону Джоуля —Ленца Q = V2t//?, где R = pl/S —
сопротивление проволоки, I—ее длина; отсюда / = V2Sz/pQ « 3,24 м.
811. / = hW2t/4pQ = 10,2 м.
812. Полученное количество теплоты идет на нагревание воды
и сосуда с нагревателем, поэтому ЛЧ = ст(/2— /1) + Сс (/2—/j), где
/1 и /2 — начальная и конечная температуры воды. Изменение
температуры воды
Д/ = /2—<L = NT/(e/n + Cc) = 24 К.
813. Электрическая энергия, идущая на нагревание воды,
W = v\N't = cm где пг = рУ = 2кг—масса воды, /2=100°С —
конечная температура воды; отсюда N ==ст (f2~^i)/tjt = 800 Вт.
814. Время нагревания определяется из уравнения теплового
баланса (/0 = 0 °C):
т = [слщл (*0 —+ + (/а—М]Л1^ = 348 с,
815. l=(V— Vo) Von£2/4pW= 19,2 м, где V0=127B.
816. Отношение выделяемых на реостате мощностей М0/М = 4/3.
817, Для подачи воды на высоту h необходима мощность
No = (&U + ДТ)/т = р7х gh+pVT и2/2,
К.п.д. установки
tl=^=£^(g/1+fi)=°-b56’ т' е- п=55.6%.
818. Мощность, необходимая для движения поезда, No = Fl/t =
= Fv = v}N\ отсюда F = r\N/v = 48 кН.
819. Токи, идущие через обе проволоки, соединенные после-
довательно, одинаковы и равны I. При этом в проволоках за
время т выделяются количества теплоты Q1 = /27?1t и Q2 = /2/?2t,
где /\i = pi//S и Т?2 = p2Z/S — сопротивления железной и медной про-
волок, / и S— их длина и площадь сечения. Отношение количеств
теплоты при последовательном соединении Qi/Q2 = Ri/R2 =
= Pi/p2=7,06.
При параллельном соединении токи в железной и медной про-
волоках /1 = У//?1 и /2=V/7?2, гДе V—напряжение в сети. В этом
случае за время т в проволоках выделяются количества теплоты
Их отношение Q'/Q'= fl2/#i=p2/pi = 0,14.
324
820. Qi/Qa^/fl^Pa/p^O.U.
821. t2 = 9tj = 6 мин, так как Q = ЗК2Тх/7? = V2t2/37?.
822. JR = V2/jV = 72 c.Mi
823. Для нагревания воды до температуры кипения /=100°С
необходимо количество теплоты Q = cm(t— /0), где т = рУ=2 кг —
масса воды в чайнике. При включении одного нагревателя его мощ-
ность Л\ = 7У, где 1—ток, текущий через него, и V — напряжение
сети. В этом случае на нагревание воды идет часть теплоты, выде-
ляемой нагревателем, Q=nJViTi; отсюда время нагревания воды
одним нагревателем = Q/т{Л\ = ст (/ — i0)/r[N1 « 56 мин.
При параллельном включении двух нагревателей, как и при
включении одного из них, на каждом нагревателе будет напряже-
ние сети V. Следовательно, в каждом из них будет выделяться та
же мощность и общая мощность будет 7^ = 2^; отсюда время
нагревания воды двумя нагревателями т2 = Q/*\N2 = т2/2 « 28 мин.
При последовательном включении нагревателей общий ток через
них будет равен J/2. Поэтому общая мощность, выделяемая в них,
/V3 =/У/2 = Л\/2. Следовательно, время нагревания воды в этом
случае t3 = Q/tj/V3 = 2t1 « 1 ч 52 мин.
824. При последовательном соединении секций т3 = Т!-|-т2=50 мин;
при параллельном соединении секций т4 = т1т2/(т1 + т2) = 8 мин.
825. Используя закон Джоуля — Ленца W = И?/Т?1 = И|/Т?2, нахо-
дим R2iR1 = Vl/V^ = 3,4.
826. Мощность лампы /V = IV = У2/7?, где I—ток, текущий через
лампу, R— ее сопротивление; отсюда для первой и второй ламп имеем
R1 = V2/N1 = 360 Ом, /1 = J/V1/V = 0,33 А;
R2 = V2/Ma = 192 Ом, /2= TV2/V = 0,63 А,
827. W2= 14^/14 = 84 Вт.
828. Когда лампа включена, N = V2/R, где 7? = 7?0 (1 -1-aZ) — со-
противление нити горящей лампы и 7?0= 7?/10 —сопротивление нити
лампы при температуре /0; отсюда
с.= (7?- /?о)/Яо/ = 4,5.1О-3 К"1, 7?0 = V2/10W = 14,4 Ом,
829. 7?0 = V2 (1 +a/0)/7V (1 -fa/) = 42,8 Ом.
830. Сопротивления лампы и проводов R1 = V2/N и 7?a = p-2//S.
Ток, текущий по линии, и падение напряжения на лампе равны
7 = <£/(*i + Т?2), V = W/(*i+ Я2)«
При подключении второй лампы сопротивление двух ламп равно
7^/2. Поэтому ток, текущий по линии, и падение напряжения на
лампах равны
/' = & V' =
Ri>2-\-R2 ’ 7?i/2+/?ae
325
Изменение напряжения на лампе
ду = уг _ у =_____S^1^2______
№+«2)(/?i+2/?2)
2plSNSV2
________________________—14 в
(2p/W + SV2) (4p/tf+SV2)
Знак минус показывает, что при включении второй лампы падение
напряжения на первой уменьшается.
831. l = S(£ У ~R/~N — R)/2р = 11,4 км.
832. V = 200/pZ=120 кВ.
833. Напряжение на зажимах источника тока V = Vj-|-V2, где
Vi и V2— падения напряжения на нагрузке и на проводах линии.
Мощность, выделяемая на нагрузке, ZV1=2/V=/V1. Потери мощно-
сти в линии М2 —0,1 /Vj = 0,2/V = IV 2\ отсюда Vj = 2M//, У2 = ^,2М//
н V = 2,2/V// = 33 В.
834. /? = Г-/12,1/V = 9,3 Ом.
835. Ток в линии I = N/V. Потери мощности в линии Мх = /27? =
= N2R/V2. Мощность электропечи = — = — N2R/V2 =
= 5,64 кВт.
836. W = ^i^/[(/?i + /?2) ;/?+г) + /?№267 Вт.
837. Ток в цепи / = г). Количество теплоты, выделяемое
во внешней цепи в единицу времени, QT= I2R = /?/(/? +г)2 w 8 Дж/с.
838. Полная мощность элемента N = /2 (R-\-r), где / — ток в цепи.
Так как I = V/R, то М = V2 (R~yr)/R2= 13,5 Вт.
839. Внутри батареи теряется мощность TV = /Jr, где г—внутрен-
нее сопротивление батареи. Если § — э. д. с. батареи, то по закону
Ома дтя полной цепи в первом и втором случаях <§ = h (Ri~]- г) и
(£ = /2(Я2 + ''); отсюда
г=(/2/?2-Л/?1)/(Л-/2), Л^= /1 (/2/?2 ——72) = 12 Вт.
84°. г = ^-=0,2 См,
'1'2 ('1— '2/
M2/i — Nitz
Л/2 (Л-Л)
= 12 В.
841. К. п. д.—это отношение полезной работы (мощности) ко всей
затраченной работе (полной мощности). Полезной мощностью в дан-
ном случае является мощность, выделяемая на нагрузке, N1 = IVt
где / — ток в цепи. Так как э.д.с £ по определению представляет
собой полную работу, совершаемую источником тока при перемеще-
нии по цепи единичного заряда, а в единицу времени через сечение
проводника проходит заряд, численно равный 1, то полная мощность
источника тока N2 = (gl. Таким образом, к.п.д. схемы x\ = N1/N2 =
= У1£=-_Ь£' т. е. ^ = 80%.
842. т1 = /?1/?2/[/?1/?2 + г (7?i + /?2)] = 0,74, т. е. 4 = 74 % (см. за-
дачу 841).
843. К.п.д. схемы 4 = (см. задачу 841). Так как V = IR
и ^=Z(/? + r) = V+/r, то 4 = R/(R-\-r) = (£-Ir)/S = V/S.
326
844. К.п.д. схемы г| = |//<£ (см. задачу 841), где V = 1R — на-
пряжение на зажимах источника; отсюда 1 = 4]$/% =2,86 А,
845. г=/?1/?2/(/?2-27?1)=7 0м.
846. 1] = 2//?/^ = 0,78,т. е. i] = 78%; г = (ng—21R)/nl = 1,2 См.
847. Полная мощность, потребляемая мотором, 27! = /!/ = 1,8 кВт.
На нагревание его обмоток теряется мощность N2 — l2R. Полезная
мощность M = /Vl—N2=J(V — IR). К.п.д. мотора Г) = Л7Л\ =
= (V— IR)/V = 0,875, т. е. г| = 87,5 %. Здесь не учтены потери мощ-
ности, возникающие вследствие нагревания сердечников якоря и
статора вихревыми токами п вслед-
ствие трения в подшипниках.
848. Ток в цепи/ = <£7(7? + г).
Мощность, выделяемая во внеш-
ней цепи, У1= /27? = <§2R/(R + г)2.
Мощность, выделяемая внутри
источника тока, /Va = <§2r/(R + г)'2.
Полная мощность +
=iS=SV(R+r).
Из рис. 368 видно, что с уве-
личением R мощность Л\, выделяе-
мая во внешней цепи, сначала
возрастает, а затем уменьшается.
найти сопротивление /?,
при котором выделяется максимальная полезная мощность, рассмот-
рим зависимость от тока /:
^ = ;V_A/2=/^_/2f
Прибавив к этому выражению и отняв от него величину t§2/4rt можно
представить А\ в виде
= — г (/ — <£/2г)2;
отсюда следует, что максимальная полезная мощность /У0 = ^2/4г
выделяется при токе I = /2г, т. е. при R = r. В этом случае к. п. д.
rj = 7Vo//V = O,5, т. е. г| = 50%.
Мощности М2 и N с увеличением R монотонно уменьшаются.
При этом быстрее уменьшается мощность V2, выделяемая внутри
источника. Поэтому с ростом R к. п. д. возрастает.
Из графика зависимости от R видно также, что одна и та
же полезная мощность может быть получена при двух значениях /?,
одно из которых больше, а другое меньше г.
849. Если (§—э. д.с. источника тока, то через сопротивление
Ri течет ток = (§/(Ri + г) и во внешней цепи выделяется мощ-
ность У = liRi = (§2Ri/(^i + г)2. Через сопротивление R2 течет ток
/2 = (£7(/?2 + г) и в° внешней цепи выделяется мощность N = llR2 =
с= S2R2/(^2 + f)2i отсюда для определения получаем квадратное
327
уравнение:
R8_51+L\i+rs=o.
г<2
Решив его, найдем Rj = 0,625 Ом или ^ = ^=10 Ом (см, за-
дачу 848).
850. QT2/Qn=2 (Я+ г)2/(/? + 2г)2= 1,62.
851. = (R + 2г)2/(27? + г)2 = 1,56.
852. п=;2г/((£/ — Л/)=5.
853. /V3/A/2= (/?4-2/j2/(2/?4-r)2=9/16; ббльшая мощность— при
параллельном соединении,
854. Составляющая силы тяжести в направлении движения
F = mg sin а « mg tg а = 0,01 mg меньше силы сопротивления
Z — 0,03/rcg. Поэтому мотор совершает работу против равнодействую-
щей этих сил. За время т эта работа А = (/ — F) с»/ = т]/кт, где 7 —
ток, текущий через мотор; отсюда / = 0,02mgr/r|V = 245 А.
855. При напряжении на зажимах источника тока V и силе тока
в линии / мощность источника JV = /2/? + N\ отсюда ток в линии
/ = (1/22?) (V ± КVs-4Л'/?).
Два значения тока соответствуют двум возможным сопротивлениям
нагрузки, при которых на нагрузке выделяется одна и та же мощ-
ность (см. задачу 848). Знак минус перед корнем соответствует
меньшему току, а следовательно, и меньшим потерям мощности
в линии.
Падение напряжения и потери мощности в линии
V = IR = (1 /2) (V ± vV2-4NR),
(1/27?) (Vs—2NR ± V VV2—4V/?).
К. п. д. передачи (отношение мощности, потребляемой установкой,
к мощности, отдаваемой источником в линию)
_ N _IV — N'_V — V _ 1 A 4NR \
Т,~ IV ~ IV ~ V ~ 2 V 1 V /'
При V = Vi = 6200 В падение напряжения и потери мощности
в линии У'®=50В (или 6150 В) и /У' = 508 Вт (или 7,6 МВт);
к.п.д. передачи г) = 99,8 % (или 0,8 %). Цифры в скобках соот-
ветствуют большему значению тока. При 17 = V2 = 620 В под корнем
получается отрицательное число. Это значит, что при сопротивле-
нии линии Я = 5Ом в этом случае нельзя получить требуемую
мощность ни при каком значении сопротивления нагрузки.
856. tf = (V-V0) V0/2V=200Om; l=RS/p = (V—Vo) V0S^p= 100 м
857. Л/ = 2«££/9г=16 Вт.
858. Из условия 7?i//?3 = Т?2/Т?4 следует, что ток через рези-
стор не идет. Поэтому полное сопротивление R цепи склады-
вается из сопротивлений двух параллельных цепочек Rlt R2 и
328
fa, fa й внутреннего сопротивления элемента л
Я1+ #з+Яз+ R* .
Схема потребляет мощность
Л7 <£I 2„_ S^Ri+Rz+Rt+RJ____________________Зб Вт
R “ № + Я2) №+ ₽4) + (& + Я2+Яз+ RJ г - DT‘
859. W = 8(£2/37?.
860. Через лампочку должен течь ток 1 = N/V, где V —номи-
нальное напряжение, т. е, 4-вольтовые лампочки рассчитаны па
ток 0,5 А, а 8-вольтовые — на ток 0,25 А. Следовательно, необхо-
димо смешанное включение: последовательно с десятью 4-вольто-
выми лампочками нужно включить параллельно друг другу две
одинаковые группы 8-вольтовых лампочек. Падение напряжения на
дополнительных группах 8-вольтовых лампочек будет Vo — а
число лампочек в обеих группах должно быть па = 2 (Vo—л^)/^ = 20.
861. г=/"/^^2 = 6 Ом.
862. A71 = 2/V/3; Na = N/3.
863. Потери мощности в подводящих проводах /V=e0,04Wo. Ток
в них / = y^/R. Падение напряжения на нагрузке Vi = Nq/1 =
= /Vo j/”R/W. Падение напряжения на подводящих проводах
1/2 = /Я«ж RN, Напряжение на зажимах источника
V«V1 + V2=(^ + ^ KW-208B.
864. Общий заряд на соединенных обкладках q =qt—qa. Емкость
образовавшегося конденсатора С = С3-|-С2. Энергия, запасенная
в конденсаторах до и после соединения,
«7i=??/2Ci+^/2C2, 1Г2=(91 —<?г)3/2 (Cj + C2).
На резисторе выделилось количество теплоты
Q = Wi — W2 = (QiC2—Qa^i)2/2CiC2 (С^ + Сг).
865. При разомкнутом ключе А конденсаторы Cf и С2 имеют
зарядыq\ напряжения на них V1==g/C и Va=q/2C, причем Vi1/2=<£J;
отсюда q = 2C$l3t Vj = 2(^/3 и V2 = ^/3. Аналогично находим за-
ряды и напряжения на конденсаторах С3 и С4: q' = C$/3, V3=*2£/3
и V4 = (^/3. Так как У1==Уа| потенциалы обкладок конденсаторов,
присоединенных к ключу, одинаковы. При замыкании ключа ничего
не изменяется. Полная энергия батареи конденсаторов равна сумме
энергий, запасенных в каждом из них:
I яУ2 . д'Уз ,
2 ‘ 2 2 2 2 *
329
§ 22. Электролиз. Законы Фарадея
866. fc = p/Fz = 2,39-10~7 кг/Кл.
867. x = mjkl = 2 ч.
868. Согласно объединенному закону Фарадея m=\iIxlFz=^Aq;р
где А = p,/z, a q — Ix\ отсюда F — Aq/m = 9,65-104 Кл/моль.
869. Ионы в растворе электролита несут на себе число элемер.
гарных зарядов, равное валентности г. При выделении массы веще-
ства, численно равной его химическому эквиваленту, через раствор
проходит заряд, численно равный постоянной Фарадея, т. е. F
— zNQ=Fl^e. Следовательно, элементарный заряд e=F/NA^
= 1,60-1019 Кл.
870. По второму закону Фарадея A1 = |i1/Fz1 и fc2=p2/F?2-
отсюда электрохимический эквивалент золота k2 = —
= 6,8« 10“7 кг/Кл.
871. Ток в ваннах I = jS. По первому закону Фарадея массы
выделившихся при электролизе веществ щ1 = Л1/5т = 23,8 г, т2 =
= £2/St = 21 ,6 г, т3 = k3jSi = 80,5 г.
872. / = у//Н= 124 А/м2.
873. По первому закону Фарадея tn — klxt где / — ток в цепи;
отсюда / = т//гт= 1,6 А, т. е. в показание амперметра надо внести
поправку Д/ = 7 — /о = О,1 А.
874. По первому закону Фарадея т = где /—ток в цепи.
Точное значение падения напряжения на сопротивлении / = //? —
=/л7?/Лт = 4,97 В. Разность между показанием вольтметра и точ-
ным значением падения напряжения ДУ=У—Ко = —1,03 В.
875. Толщина слоя d = р/t/FzymS = 58 мкм.
876. В первой ванне железо двухвалентно (гг = 2), во второй —
трехвалентно (г2=3). Поэтому при прохождении через растворы
одинаковых зарядов выделяются различные массы железа на като-
дах: в первой ванне /И1 = Щк^/г1/? = 27,93 кг, во второй ванне
т2 ~ii>Kq/z2F = 18,62 кг. Так как валентность атомов хлора г=1,
то па аноде каждой ванны выделяется
масса хлора т = y^q/zF = 35,357 кг.
877. /?=А^=0,4Ом.
Fz* т~
878. И= Wmrn/q = kWm = 10,8 В.
879. К. п. д. установки т] = /|/т/№=
= Vq/W, где q — заряд, прошедший че-
рез ванну. Масса выделившейся меди
fn = kq', отсюда m = kv\W/V = 0,445 кг.
880. Средний ток / = (/i+/2)/2. Заряд, протекший через раст-
вор, q = = (Л + Л) т/2 = 20 Кл. Нахождение заряда графическим
путем показано на рис. 369. На графике зависимости тока от вре-
мени заштрихованная площадь численно равна заряду. Масса меди,
выделившейся на катоде, tn = kq — k (/i+/2) т/2 = 6,56 мг.
330
881. m = k(V—<£)т//? = 95 г.
882. / = рУр,/£/?/т = 312 К, где /? = 8,31 Дж/(моль« К)—газовая
постоянная.
883. =
§ 23. Магнитное поле тока.
Электромагнитная индукция
884. Магнитная индукция В = р0/7; отсюда //=В/р,0=1,59 МА/м.
885. Магнитная индукция В = рор7/ ^РоМ^л// = 62,8 Тл.
886. Магнитная проницаемость ^ = В/р,0Я=--5000.
887. На прямой проводник с током, расположенный перпенди-
кулярно к линиям индукции в однородном магнитном поле, дей-
ствует сила F = В// = 0,1 мН. Направление силы оп-
ределяется правилом левой руки (рис. 370)*). В>\
888. На проводник действуют: две одинаковые
силы натяжения нитей Т, сила тяжести mg и си- I р
ла F = BIlsina со стороны магнитного поля, где ------------->-
7.—угол между направлениями тока 1 и магнитной рис 370.
индукции В (в нашем случае а = 90° и sin а = 1). Под-
разумевается, что направления тока и магнитной индукции таковы,
что сила F направлена вниз (рис. 140). В противном случае силы
натяжения нитей при пропускании тока не возрастают, а умень-
шаются, и нити не оборвутся.
Если проводник находится в равновесии, то 2Т—mg—F = 0;
отсюда Т = (mg-\-F)/2. Для разрыва одной из нитей необходимо
выполнение условия
Т = (mg+F)!2^Mg,
1!ЛИ />(2М —m)g/B/ = 3A.
889. Если проводник расположен
перпендикулярно к направлению магнит-
ной индукции, то F = Bllt где / — ток
в проводнике; отсюда I = F/Bl=\5A.
890. На проводник действуют: силы
натяжения двух нитей Г, сила тяжести
mg и сила F = BIl со стороны магнитного
суммы проекций сил
поля (рис. 371). При равновесии проводника
(с учетом их знаков) на вертикальное и горизонтальное направ-
ления равны нулю: mg—7cosa = 0, F—Tsina = 0; отсюда
tg a = Fjmg = BlIjmg та 1, t. e. a « 45°.
891. H = //2.nr = 4 A/м, В = р.0// = р0//2лг = 5 мкТл.
♦) Кружок с крестиком означает, что ток направлен от чита-
теля перпендикулярно к плоскости рисунка, в которой лежат век-
торы В и F,
831
892, Вокруг бесконечно длинного прямолинейного проводника
по которому течет ток 7Ь образуется магнитное поле, напряжен-
ность которого на расстоянии г от проводника а индук-
ция В = |л0|л77 = |1ср71/2лг. При этом векторы Н и В направлены
одинаково и лежат в плоскости, перпендикулярной к проводнику.
На отрезок второго проводника длины /, по которому течет ток 72
магнитное поле действует с силой F = B72/sin а, где а—угол между
направлениями отрезка проводника и магнитной индукции. Так как
второй проводник параллелен первому, то а = 90° и sina=l. Та-
ким образом, 77 = рор7172//2лг; отсюда р,0 = 2л/гг/р,71727. Подставив
значения /х = /2 = I А, /=1 м, /7 = 2-10 —7 Н, ц=1 (для вакуума),
найдем |1о = 4л-1О“7 Гн/м.
893. Fz = F// = |io72/2nr = O,l Н (см. задачу 892).
показано направление магнитной индукции и
в обоих случаях. По определению магнитный
поток Ф = В5соза, где a — угол между
нормалью п к площадке и направлением
магнитной индукции В. В первом случае
a = 0, cos a = 1 и Ф = В5= 1,25 мВб; во вто-
ром случае а = <р (углы с взаимно перпен-
дикулярными сторонами) и Ф = ВЗсо5ф =
= 625 мкВб.
895. В = цор77 = 6,28 Тл; Ф = BS cos а=
= ВЗ = 12,56 мВб,
896. L = лАФ/(7а —7j) = 125 мГн.
897. <£ = —(Ва—BJ 3/А/= 1,6 мВ.
894. На рис. 372
положение площадки
898. Ф = <£ AZ/n = l мВб.
899. Начальный магнитный поток через рамку Фх = ВЗсо5а, где
5 = 3/4—площадь рамки и В — ^Н—магнитная индукция.
Конечный магнитный поток Фа = 0. Изменение магнитного потока
АФ = Ф2—Фх = — BS cos а. Э.д.с. индукции
АФ
А/
Vе 3|л0а2/7 cos a
4АТ
отсюда а = 2
/ -----У'г_Юсм.
\ у 3 |i077 cos a /
9G0. В = kt jd2, cos a = 0,1 Тл.
001. / = 4-
к
АФ _ S АВ
Rkt~ R kt
10 мкА.
902. q=— S kt/R = — А Ф/7? = — p0HS/R = 0,1 мКл.
903. Э.д.с. самоиндукции <§ = —Lkl/kt, где kl = l2— 7X;
отсюда L =—kt/(I2— 7J =2,5 Гн.
904. Э.д.с. индукции ^ = —АФ/А/, где АФ = ВД5 =
= Blv kt — магнитный поток через площадь AS, «заметаемую» про-
332
водником за время Д/ (рис. 373). Опуская знак минус, найдем <£ =
==В/и=1В.
905. Крылья самолета за время Д/ «заметают» площадь Д5= lv А/.
Магнитный поток через эту площадь АФ = В cos a AS, где В cos а—
== Во — вертикальная составляющая индукции земного магнитного
поля (а—угол между вертикалью и направлением магнитной индук-
ции). Разность потенциалов V между концами крыльев самолета
Рис. 373.
Рис. 374.
равна э. д. с. индуцируемой в металлических крыльях и корпусе
самолета при его движении в магнитном поле Земли: •>
V = S = АФ/А/ = Во/и = О,15 В.
906. Площадь, «заметаемая» за время At проводником, скорость
которого v направлена под углом а к самому проводнику, пред-
ставляет собой площадь параллелограмма (рис. 374): AS = lvA/sinct.
Магнитный поток через эту площадь АФ = ВАЗ. Разность потен-
циалов V между концами проводника равна э. д. с. индуцируе-
мой в этом проводнике:
У = (^ = АФ / At = Blv sin а; отсюда v = V/Bl sin a = 1 м/о,
907. I = $/R = BqIu/R = ]0mkA.
908. Пока рамка находится в области, где имеется магнитное
поле, магнитный поток через поверхность, ограниченную рамкой,
при движении рамки не изменяется.
Поэтому э.д.с. индукции в рамке не
возникает. После того как одна из сто-
рон рамки вышла за границу поля
(рис. 375), магнитный поток через по-
верхность, ограниченную рамкой, будет
изменяться. За время At рамка пере-
мещается на расстояние vAi и часть
площади рамки, которую пересекает
vAt
в® • • ’
Рис. 375.
магнитное поле, уменьшается на вели-
чину AS=lvAt. Магнитный поток за это время изменяется на ве-
личину АФ = — BAS = — BlvAt. Индуцируемая в рамке э.д.с. =
= — АФ/At = Blv, и по рамке протечет ток /_^/R = Blv/R =
= 2 мкА. Когда рамка выйдет из области, где имеется магнитное
поле, э.д.с. индукции снова станет равной нулю.
333
S* 2 /АВ\2
90ft. =1 нДж/с.
910. l = vlB/2Rt(l + vt).
911. R = B2l2v/F = 0,625 Ом.
912. При плавном изменении магнитной индукции в рамке
индуцируется э.д.с. <§ = АФ/А1, где ДФ — изменение магнитного
потока, А/—время, в течение которого происходило это измене-
ние. Ток в рамке 1 = <g/R = АФ/RAt. Заряд, протекший по цепи
за время А/, q = IAt = ДФ//?. Начальный поток магнитной индук-
ции Ф1 = В$п. При изменении направления магнитного поля на
обратное магнитный поток изменяет знак. Поэтому конечный маг-
нитный поток Ф2 =— BSn. Изменение магнитного потока ДФ
= ф1_ф2 = 2В5/г. Таким образом, q = 2BSn/R = 1 мкКл.
913. q = BSD/2p (см. задачу 912).
914. Сумма э.д.с. источника тока и э.д.с., индуцируемой в цепи
при равномерном изменении тока, равна £-{- LAI/At. Ток изменя-
ется по закону 1 = 1$ — (AI/At)i, где 13 = ^IR, Сопротивление
цепи в любой момент времени
в S + LA1/AI
Яг (£//?-(AWH ’
j В момент времени t = 2 с искомое сопротив-
ление /?/ = !,75 Ом.
Р 915. Рассмотрим контуры ctnd и end, пло-
2 щади которых 5=лЕ>2/8 (рис. 376). Магнитные
п потоки через каждый контур в моменты вре-
Рис. 376. мени h и G будут
фх = B^S = Ф2 = B2S = kt27iD2/8.
Э.д.с. индукции в каждом контуре (поскольку магнитное поле ме-
няется равномерно) ^ = (Ф2 — Ф1)/(/2 — G) = knD2/8.
Пусть э.д.с. индукции вызывает в контурах токи, направления
которых показаны на рис. 376. Взяв направление обхода контуров
против часовой стрелки и применив правила Кирхгофа, получим
/i/?i + //?2 = ^, IzR2-hRi = (§, /2 + /1 = Л
где /?2 = Rfl—сопротивление проводника cd, R2 = RtnD/2 — со-
противления проводников emd и end. Решая эти уравнения, найдем
/1=0, I = l2 = S/R2 = kD/4R(.
916. Направления сил, действующих на рамку с током со сто-
роны магнитного поля, определяются правилом левой руки
(рис. 377, о). На стороны рамки ck и dl действуют силы Fr и F2,
направленные противоположно по одной прямой. Они не создают
.момента сил. На стороны рамки cd и kl действуют силы F3 = F4=
= IBa, Они образуют пару, создающую момент сил М, равный
334
произведению одной из этих сил на расстояние между линиями*
по которым они направлены. Как видно из рис. 377, б, на котором
показан вид рамки со стороны ck, это расстояние равно a sin а.
Таким образом, М = F3 a sin а = IBa2 sin а = 50 нН-м.
Рис. 377.
917. Общая э.д.с., индуцируемая в рамке при движении в од-
нородном магнитном поле, равна нулю, так как равно нулю изме-
нение магнитного потока через площадь, ограниченную рамкой.
Поэтому равен нулю и ток в рамке.
Общую э.д.с., индуцируемую в рамке, можно рассматривать
также как сумму э.д.с., индуцируемых в каждой из сторон рамки.
Если скорость движения проводника составляет угол ф с самим
проводником, а линии индукции поля перпендикулярны к направ-
лениям проводника и его скорости, то индуцируемая в нем э.д.с.
$ = Blvsinq) (см. задачу 906). Поэтому э.д.с. в сторонах рамки ае
и Ьс не возникают В стороне ab возникает э.д.с. $o = BIqV. В сто-
ронах ed и cd возникают э.д.с. и sin <Pi и sin ф2. Так
какsin ф1 + /2 sin ф2=/о, то полная э.д.с, в сто-
ронах ed и cd будет (^1+^2 = ^^, т. е. равна
по модулю э.д.с. в стороне abt но имеет с ней
противоположное (при обходе по контуру) на-
правление; поэтому тока в рамке не возникает.
918. За время Д/ проводник, вращаясь с уг-
ловой скоростью со, повернется на угол ф = соД/
г
Рис. 378.
и «заметет» сектор, площадь которого Д5 = фг2/2 = (ог2Д//2 (рис.
378). Магнитный поток через эту площадь и э.д.с. индукции
ДФ = B&S = Вы2Ы/2, <§ = ДФ/Д i = Всог2/2;
отсюда со = 2(£/£г2 = 75 рад/с.
§ 24. Переменный электрический ток
919. а) Ф = Фо sin co/=BSsln 2лп/; б) Ф = Фо sin (со/ + ф) =
= Фо sin (со/+ 30°), где Ф0 = 2мВб. Отсчет начальной фазы ф произ-
водится от горизонтальной плоскости в сторону вращения рамки.
333
угол
Рис. 379.
920. Рамка, занимавшая в начальный момент времени горизс
тальное положение, вращаясь с угловой скоростью ©==2^» в *
мент времени t будет составлять с горизонтальной плоскост|
течение последующего очень малц
промежутка времени Ы она пов,
нется еще па малый угол ©A** ^'с
сторона рамки, параллельная о
00, равна а и сторона рамки, п$
пендикулярная к оси, равна Ь.
время А/ проводник рамки cd nej
местится в положение c'd' и «зац
тет» при этом площадь А 5
=а (Ь/2) соА/ = ScoA//2, где S = ab
площадь рамки. Магнитный пот
через площадь, «заметаемую» пр
водником cd, AO = BAScosa, г
a—угол между нормалью п к плоек
сти cc'd'd и направлением магнц
ной индукции В.
Если промежуток времени А/ очень мал, то угол а практичес
равен углу со/, так как направление нормали п мало отличается
направления стороны рамки kd, а вектор В по условию направл
горизонтально. Таким образом, АФ = (1/2) BSto.\t cos со/. Следов
тельно, в момент времени t в проводнике cd индуцируется э.д|
Si = АФ/Af = (1 /2) BSto cos tot.
Вектор В параллелен плоскостям, в которых при вращей)
рамки движутся проводники kd и 1с. Поэтому через «заметаемь|
этими проводниками площади магнитный поток равен нулю I
э.д.с. не возникает. В проводнике ad, как легко видеть, индуц
руется э.д.с. <^2, равная по модулю Si> но направленная так, ч
при обходе по контуру рамки эти э.д.с. складываются. В резу;
тате суммарная э.д.с., индуцируемая в рамке,
S = 2Si = BS(£> cos со/.
Наибольшее значение э.д.с. принимает в те моменты времен
когда cos tot максимален, т. е. равен единице. Поэтому амплиту
э.д.с.
So = BSto=2nnBS « 0,614В,
При увеличении частоты вращения рамки в три раза амплиту,
э.д.с. также увеличится в три раза, т. е. So ~ 1,884В.
921. Ф0 = (^о/2лп = 48 мВб (см. задачу 920).
922. п = So/^^BS я 8 об/с (см. задачу 920).
923. Круговая частота тока со = 2л/Т = 628 с"1, частота то1
f = 1/Т = 100 Гц. В момент времени / = Т/12 мгновенное значек
333
апряжения
Рис. 380.
т/ . /2л , . л \
= Vo sin =
п У 3
=Vosin -=—Vo;
гсюда V0 = 2V//3 = 11,6 В. График
1ВИСИМОСТИ напряжения от времени
редставлен на рис. 380.
924. Индуктивное сопротивление катушки X£ = coL, где со=2л/—
руговая частота тока. Амплитуда тока Iq = V0/Xl', отсюда L =
= ^о/2л//о = 0,051 Гн.
925. L = Х1/2л/: = 0,080Гп; /0 = VQIXL = У 2 V9/X£ = 0,28A.
926, Полное сопротивление Z = V"/?2 + (coL—1/шС)2. Мощность
V - 2 [1?2 + (®L- 1/шС)2] ~°’5Вт; tg<P-°L п1/ШС-------------------3’02,
R
, е. <р = —72°40'.
927. Индуктивное сопротивление XL = toLt емкостное сопротив-
шие Хс = 1/®С и полное сопротивление Z = У R2+(coL— 1/<оС)г,
iea> = 2nf—круговая частота тока. При/j = 50 Гц (а>=3,14-102с-1)
Л£=1570м, Хс = 318кОм, Z = 3,33kOm;
ж /8 = 10кГц ((0 = 6,28-10* с-1)
Хх. = 31,4кОм, Хс=15,90м, Z=31,4kOm,
928. Ио = /оХс = /о7’/2лС = О,7кВ.
929. = ---= 1,4 А.
Z у /?*-|-1/(о2Са
930. f = V2Vl — l^!2nIaL = 61 Гц.
931. Полное сопротивление цепи
X = | coL — 1 /шС | = 12nfL — 1 /2nfC |.
з условия, что при частоте f0 полное сопротивление цепи равно
улю, имеем 2n/oL = 1/2л/оС; отсюда fQ = 1/2^УLC = 7\ 1 Гц.
932. /о = л^о = 42ОВ, где n=2nfQL!R = 1/2л/0/?С (см. зада-
/ 931).
933. В цепи постоянного тока 1 = VIR—2 А. Индуктивное со-
ротивление соленоида Xl = coL =2nfL = 5 кОм. Амплитуда напря-
жения V0 = l/"2 Гэ. Так как R<^XLt то амплитуда переменного тока
I = VQ/XL= yiVd/2jifL = 5,6 мА.
934. Мощность ^ = (/0V0/2) cos <р; отсюда cos ф = 2А///оУо = 0,8.
2 Г. А. Бендриков и др. 337
935. Эффективный ток 13 = 1^У 2. Количество теплоты, выде-
ляемое печью, Q =/|/?т=/о/?т/2 =3,96 МДж.
936. лп = И|т(1+а/0)АЯ (1+а/) = Бг, где /= 100°C—темпера-
тура кипения воды.
937. В сети о эффективным напряжением Va амплитуда напря-
жения ¥0=У 2Va. Принимая начальную фазу напряжения равной
нулю, запишем закон изменения на-
пряжения с течением времени:
V = Vo sin (tit = Vo sin
Зажигания (гашения) лампы происхо-
дят в моменты времени tm(t'rn), когда
мгновенное напряжение в сети равно
напряжению зажигания (рис. 381):
V3 = | E„sin tn |; отсюда | sin |=^=у^-=0,867-
Наименьшее положительное значение, которое может иметь вели-
чина 2л/т/Т, стоящая под знаком синуса, составляет 60°=л/3.
В общем случае
2nimlT = mn ± л/3,
где т = 0, 1,2, Следовательно,
/т = щТ/2±Т/6.
Знак плюс здесь соответствует моментам зажигания лампы (напря-
жение в эти моменты возрастает по модулю), а знак минус—момен-
там гашения лампы (напряжение убывает по модулю). В частности,
первая вспышка происходит при tQ = T/6 и первое гашение—при
кл
%
[ = Т/2—Т !§=Т/3. Таким образом,
длительность вспышки Д/==/1— /0 =
= 7/6 = 3,3 мс.
Вспышки и гашения происходят в
течение каждой половины периода; сле-
довательно, частота вспышек п = 2/Т =
= 100.
938. Амплитуда переменного напря-
жения на выходе автотрансформатора
Vo = У 2V3. Это напряжение стечением
закону Vi = Vo sin 2л//. Напряжение между
0 7/4 Т/2 ЗТ/Ь Т t
Рис. 382.
времени изменяется по
электродами лампы V2 = (£-|-V1 = j/* 2V3sfn2n/7 (график зави-
симости этого напряжения от времени приведен на рис. 382).
При sin2n//=l напряжение V2 принимает наибольшее значение
V2max = <£>+^^3= 100 в- При sin2n// = —1 напряжение V2 при-
338
нимает наименьшее значение У2т1п = (5>^ К 2УЭ = 20 В, т. е. V.2majt>
> Уэ и V2min < V3. Таким образом, напряжение на электродах
лампы становится больше напряжения зажигания лишь один ра^ в
течение периода, поэтому частота вспышек неоновой лампы равна
частоте тока /‘=200 Гц.
939. Мощность, подводимая к первичной обмотке (затраченная
мощность), Ni = liVi. Мощность, отдаваемая вторичной обмоткой
нагрузке (полезная мощность), M2=72V2- К.п.д. трансформатора
Т) = /У2//Уд = УгУг/УдVf = 0,95, т. е, т) = 95%.
940. Индуцируемая во вторичной обмотке э.д.с, = На-
пряжение на ее зажимах У2 = Jr = 1г = 2\ ,5 В.
941. Индуцируемая во вторичной обмотке э.д.с. должна (?ыть
равна напряжению накала У2 и падению напряжения на сопротив-
лении обмотки Jr. Поэтому отношение чисел витков в обмотках
(V2 + /r)/Vi; отсюда пу2 = (V2-|-//-) = 400.
942. Индуцируемая во вторичной обмотке э.д.с. ^>2=^2+Лг-
Коэффициент трансформации трансформатора
fe = Wa = V1/(V2 + ^) = 10.
Ток в первичной обмотке находим из условия К.п.д.
трансформатора (отношение мощности на зажимах вторичной обмотки
к мощности, потребляемой первичной обмоткой)
T) = V2/2/V17f = V2/^2 = V2/(V2 + /2r) = 0191, т. е. т) = 91 %.
943. V2 = Vx/k—7r = 6B, R = V2/l = Vi/kl — г = 1,2Ом.
944. Амплитуда напряжения Уо =-Р^У^о + ^УюУго cos ф0-|-У|0 =
= 155 В; tg ф = У20 sin <Po/(Vfo + V2o cos ф0) =0,34, т. е. ф=19°,
§ 25. Электромагнитные колебания и волны
945, Пренебрегая излучением электромагнитной энергии в про-
странство, можно считать, что вся запасенная в конденсаторе энер-
гия перейдет в теплоту, т. е. Q = W=д2/2С = 5мДж.
946. Электрическая энергия в контуре максимальна в те мо-
менты времени, когда конденсатор полностью заряжен и ток в
контуре равен нулю. Ее значение W = CVl/2 = CVl = 0,l мкДж, где
J/o= 2 V8 — амплитуда напряжения на конденсаторе. Эта энергия
равна полной энергии контура. В те же моменты времени, когда
конденсатор полностью разряжен и по катушке идет наибольший
ток, внутри катушки образуется наибольшее магнитное поле, т. е.
контур обладает максимальной магнитной энергией. Если считать,
что потери энергии в контуре за период колебаний пренебрежимо
малы, то по закону сохранения энергии максимальная магнитная
энергия равна максимальной электрической.
4 2* 339
947. Период колебаний T = 2n)/YC = 2nr]/rjie0L/d = 1,26 мкс;
Fz =е 2л.У LC = 2лг Vлеое£/с? = 2,51 мкс.
948. Ш=КТ+1М = 1,01.
949. fi= 1/2лУ LCOl f2 — 1 /2лjA[_ (Cn + C); отсюда емкость
c=c0(fl- /!)//! = 15 мкФ. _ я _
950. Частоты колебаний контура /< = 1/2лУЬгС9 f2 — 1/2лр/ГL2C\
отсюда получаем, что индуктивность катушки должна меняться от
= l/4n2C/i = 16 мГн до L2— 1/4л2С/п= 10мГн.
951. dx/d2 = (Ми)3 = 64.
952. Граничные значения частот диапазона ff=c/Xi и /2 = ^2,
где с = 3-108 м/с — скорость распространения электромагнитных волн
в вакууме. В результате получим Л = 300 ГГц, /3 = ЗОГГц.
953. Х = с// = 0,1 нм.
954. От = с/ft = 3 км до Х2 = c/f2 = 11,6 м.
955. Частота электромагнитных колебаний /=1/2л)/*£С, дли-
на волны X = с// = с-2лУ LC. Подставляя числовые данные, имеем
/1=22,2 МГц, 2if= 13,4 м; /2=16МГц, Х2 = 19,6м.
Таким образом, диапазон радиоприемника перекрывает интервал
частот Д/ = 22,2—16МГц и интервал длин волн ДХ=13,4—19,6 м.
956. X = c!f = c*2n.yLC= 1,88км; / = сД = 0,159 МГц.
957. f = /(lj/"7i = 36 кГц.
958. % = 2лг/С<§ Д//Д7=245О м.
959. /= 1/2л/L (Ci + C2) = 53 кГц; ® = 2л/ = 1 //L (Cf + C2) =
=3,33« 105 с”1; Т=2л]/лЛ (Ci + C2) = 18,8 мкс; длина волны
Х = сТ= 2лс У L (Cj + Ca) = 5650 м.
960. /=4=60 МГц; £=4 ("Д-У=352 н Гн,
Л С» у 2ЛС j
961. X = cT=2ncVeosS£/d = 235O м. _
962. Период колебаний контура Т = 2л|/"£С, где
С—емкость
конденсатора. Длина волны Х = сТ\ отсюда
2
= 507пФ.
С-Т
963. Диапазон длин волн ограничен Xi = с7\ = 2лсУ LCf и Х2 =
= сТ2 = 2псУЬС2 = ЪпсУLCi, где с = 3*108м/с — скорость распро-
странения электромагнитных волн, 7\ и Т2 — наименьший и наи-
больший периоды колебаний контура, L — индуктивность катушки
контура; отсюда Х2 = ЗХ1 = 9м. Таким образом, диапазон длин волн
контура ограничен Х^ — Зм и Х2=9м.
964. С2/С-[ = Д/о/с)2 = 2,25.
965. Частота колебаний электромагнитной волны при переходе
из одной среды в другую не изменяется, поэтому при скорости
распространения сср длина волны X = сср//0 = 200 м.
340
IV. ОПТИКА
§ 26. Волновые и квантовые свойства света
966. H = (vt+li— /2) = 8,5м (рис. 383).
967. Источник будет виден в трубу, если за время t — 21/о про-
хождения светом пути ABOCD призма успеет повернуться на 1/8,
2/8, 3/8, ...» вообще, на k/8 часть пол-
ного оборота. Поэтому
21 1 k L с
у==—у» откуда v = 6 — « 5286 Гц,
где 6=1, 2, 3, ...
968. В вакууме A,1- = c/v=400 нм, в ал-
мазе 2i2 = Cnlv =clnv = 162 нм.
969. л = сЛДе= 1,5.
970. e = 6v = Ac/X « 4* 10”19 Дж.
971. К = Лс/Мвых’+ Ю = 250 нм.
972. По закону Эйнштейна hv =
= ^вых+ту2/2 Лвых; следовательно,
при частоте v Лвых/6 = 5-1014 Гц.
фотоэффект наблюдается
§ 27. Отражение и преломление света
на плоской границе
973. /=/?Я/Л = Зм.
974. D = d (#//i+l) = 13см в обоих случаях.
975. Точка S и ее изображения S' и S” в зеркалах лежат на
окружности радиуса h с центром в точ-
ке А (рис. 384). Очевидно, что угол S' AS”
в два раза больше угла ф=со/, на ко-
торый повернулось зеркало. Поэтому
f=2/islni|) и
z=arcsin.O=a20c.
(О
976. cos ф= (Z2——<72)/2<71а'2 = 0;
ф = л/2.
977. а) Луч возвращается к ис-
точнику, описав правильный треуголь- Рис. 384.
ник (рис. 385). Поэтому углы падения
луча на зеркала а = 30°, углы скольжения у = 60° и треуголь-
ник АВС—правильный, т. е. угол между зеркалами ф=у = 6(Г,
б) Чтобы возвратиться к источнику по пройденному пути,
луч должен упасть на второе зеркало перпендикулярно к его
341
поверхности (рис. 386). Поэтому треугольник ЛВС—прямоугольный
и угол ф = 30°.
978. Если
кала, то угол
а—угол падения луча на зеркало до поворота зер-
отражения также раген а. Угол между падающим и
Г,
Рис. 385.
Рис. 386.
S
ж
отраженным лучами равен 2а. После поворота зеркала угол падения
стал равен а + ф, угол отражения также стал равен а+ф, а угол меж-
ду падающим и отраженным лучами стал равен 2 (а+Ф)« Падающий
луч остался неподвижным; следовательно, отраженный луч повер-
нулся на угол •0, = 2(а+ф)—2а = 2ф = 54°.
979. L = 2/tg60° « 3,46 м.
980. Если а — угол падения луча
на первое зеркало, 6 — на второе
(рис. 387), то ф = 2а+2б (как внеш-
342
Кроме того, из треугольника ОВС имеем
ф + (л/2 — 6) + (л/2 — а) = л; отс юда 0• = 2 (a -f- б) = 2<р,
т. е. угол 0 не зависит от угла падения луча.
981. После двух отражений от зеркал луч идет по направле-
нию, составляющему угол 2<р с направлением падающего луча
(см. задачу 980). Этот угол не зависит от положения зеркал и по-
тому не изменяется при их вращении. Отраженный луч, не поворачи-
ваясь, перемещается параллельно самому себе, Искомый угол ,0’=0,
982. Ход лучей в призме показан на рис. 388. Угол падения
луча на посеребренную грань ВС равен углу ф=^ АВС призмы
(эти углы имеют взаимно перпендикулярные стороны). Очевидно,
что угол падения на непосеребренную грань АВ внутри призмы
/ DEF = £ SDE = 2q> (как внутренние накрест лежащие при парал
дельных прямых SD и EF и секущей DE). На рисунке изображен
случай, когда этот угол больше предельного для данного сорта стекла.
При этом / ЕАС = £ FEP = 2q> (как углы с взаимно перпендику-
лярными сторонами). Так как АВС-}- £ ВАС-\-£ АСВ=п} то
/ ЛВС = ф = 36°, / ЕАС=£ АСВ = 2ф = 72°.
983. Обозначим через Р и б углы, которые составляет луч, идущий
внутри призмы, с перпендикулярами к граням (рис. 389, а), Сумма
В
Рис. 389.
углов треугольника АКС равна л, а сумма углов четырехугольника
АВСК равна 2л, причем / = ВСК = л/2, Следовательно,
Ф = Р + б. В то же время ф—внешний угол треугольника 4DC,
поэтому *6 = (а — р)4-(у — б) —а+у—ф. Искомый угол ф=а+у—
— ,0, = л/4. Построение хода луча в призме, показанное на рис. 389, б,
приводит к решению ф = у + й — а = 5л/12.
Эти решения получены лишь при помощи геометрических усло-
вий. Однако одновременно с этими условиями должны выполняться
и законы преломления. В частности, во втором случае угол падения
на вторую грань призмы б = ср + Р > ф. Так как показатель прелом-
343
ления стекла п > 1 и sin б/sin у= 1/п$ то sin у > sin б и у > <р.
Последнее неравенство противоречит значениям у = 4л/12 и ф = 5л/.12;
поэтому второе решение следует отбросить.
984. n = sin a/sin (3 = c/cni т. е. п « 1,4; сп — с/п ж 2,14-108 м/с.
985. sin О'= sin ср (п cos ср— j/* 1 — л2 sin2 ) ^ 0,25; 0= 14°30',
либо 0 = arcsin (л sin <р)—ф = 14с30'.
986. у = (1/2) [a/2+4> + arcsin (л sin р)]=(1/2) (90° + 20° + 60°) =
= 85°.
987. По закону преломления sin a/sin P = n2/nf. Кроме того, а +
+ л/2 + Р = л (рис. 390); отсюда sinP = cosa, и? следовательно,
tga = n2/nf, a = arctg (n2/ni).
988. п = sin a/sin (90° — a)» sin a/]/" 1 — sin2 a = 1,33.
989. tga = r/ft, /? = /' + 77tgp, sin a/sin p = n (рис. 391); отсюда
R = r (l + H/V*п2Ла+га(н2—1)).
Максимальным радиус тени 7?max = г-\-Н/У n2— 1 = 7м будет при
Л = 0. ____
990. r = R—НгУл2—1 « 5,73 м.
Рис. 391. Рис. 392.
991. Вышедший из пластинки луч параллелен падающему, по-
этому /i/cos р = fc/sln (а — Р (рис. 392). Так как sin a/sin р = л, то
b У л2 —sin2 a
h =----------7Т-- —----/ — 4,2 см.
sin a ( у ti2—sin2 a— У1 — sin2 a)
344
ллл 1 ( п cos а . \ ,
992. I = [ —_______— 1 ) dsin а.
\ V 1 — п2 sin2 а J
993. Ход лучей в призме показан на рис. 393. Так как Ф —внеш-
ний угол равнобедренного треугольника ADC, то 0* = 2 (а — Р), Сумма
Рис. 393.
Рис. 394.
углов треугольника АВС равна ф+2 (л/2—р) = л^ т. е. <р = 2(3. По
закону преломления sin a/sln Р = п; отсюда
sin [(0+ф)/2] _ 1/'f— cos (fr+ф) ~ . о
sin (ф/2) V 1—созф ~ ’
994. Ход лучей в призме показан на рис. 394. Так как угол
между перпендикулярами к граням равен ср, то ЛСВ = 2(Р—ф).
В треугольнике АВС сумма углов (л/2 + 6) + 2 (Р—ф) + (л/2 —Р)=л;
отсюда
д = 2Ф-Р. (I)
Искомый угол О есть внешний угол треугольника ADB, Поэтому
0=(л/2 — а) + (л/2 + у) =л + у—а, (2)
Записав еще законы преломления:
sina/sinP = n, sin 6/sin у = 1/n, (3)
получим систему уравнений (1) — (3), из которой следует
sin O, = sin а 1 — (sin 2ф п2—sin2 а—cos 2qp sin а)2—
— cos а (sin 2<р Уп2—sin2 а—cos 2ф sin а).
Подставив ф = л/6 и а = л/4, находим
sin а=(1/4) (/"2 /б—3п2+/"3 К2п« — f+1 — /3 V2п2- 1).
Если п = У 2, то легко показать, что на посеребренную грань
призмы в точке С луч падает перпендикулярно к грани; следова-
тельно, отраженный луч пойдет по пути падающего. Из полученной
формулы в этом случае следует sin 0 =0 и 0 = л. Если же п=1,41
345
годно, то sin О’ w 0,0059, т. е. искомый угол отличается от 180°
приблизительно на 20'.
995. Пусть луч падает на грань АВ под углом а (рис, 395), и
преломляется под углом р. По закону преломления
sin oc/sin Р = л. (1)
Соответственно
sin б/sin 1/и. (2)
Угол '0 — внешний угол треугольника ADC. Поэтому
О=(а-Р) + (?-6). , (3)
Далее, £ АКС = л—<р; следовательно,
Ф = ₽ + б. (4)
Решая систему уравнений (1) — (4) и учитывая, что при малых углах
отношение синусов можно заменить отношением углов, получим Ф =
= (п — 1) ф = 4°,
996. Ход луча показан на рис. 396. Очевидно, что
Z=^sin(a-P) + tsin (а—у).
Кроме того, sin a/sin р = П!, sin P/sin у = Пъ/П1; отсюда
1 ( I A cos a __К no —sin2 a— cos a.
L + р^^пза
или
V nap+tg* ot>—tg8 ex—1
nt Vl+tg«a
—A ( 1 V »+tg2a _______1_________
L\h tga "Г /rt2(l+tg^a) —tg®a
346
Правую часть, где все величины известы, обозначим через А (Л «
« 0,497). Таким образом, приходим к квадратному уравнению
Kl + tgaa (1 -Л’) п1—2Ап3-/l + tg*a=0,
решение которого
п Ka^Wa+l
’ (1-Л2) J<i + tg*a
определяет два значения «а. Так как показатель преломления поло-
жителен, то «2=1,55,
997. Из рис, 397 имеем Z = 2htgp. По закону преломления
sina/sinp = n; отсюда l=2h sin a/)/r/i2—sin2 a #97 см,
998. a = arcsin (nZ//4Д24-/2) # 28°.
999. Ход лучей в пластинке показан на рис. 398. Угол АВС
в прямоугольном треугольнике АСВ равен а, поэтому ЛВ = //соза.
С другой стороны, из треугольника ADB видно, что АВ = 2d tg р.
Углы а и Р связаны законом преломления: sin a/sin р =«. Решая
эти уравнения, получим
n = sin a
d \2
2 -j cos al # 1,8<
1000. cp = a; L =2nd/y n2— sin2 a.
1001. Для определения кажущегося местоположения точки
построим два луча, исходящих из точки и попадающих в глаз
наблюдателя. Пусть один из лучей перпендикулярен к поверхности
пластинки, второй падает на поверхность пластинки под углом а,
преломляется под углом Р и попадает в глаз наблюдателя, кото-
рому кажется, что точка находится на пересечении продолжений
лучей на расстоянии I от поверхности пластинки. Из рис. 399
видно, что Z tg Р = d tg а; отсюда tga/tgp = Z/d. По закону пре-
347
ломления sin a/sin Р = 1/л. Для малых углов аир левые части
последних уравнений можно считать одинаковыми; следовательно,
равны и правые части, т. е. d = nl= 8 см.
Рис. 399.
1002. Наблюдатель видит изображение в точке S' пересечения
двух близких лучей, вышедших из S и отразившихся от задней
поверхности пластинки (рис. 400). Луч SBC, перпендикулярный
к пластинке, после отражения проходит через S. Луч, падающий
на пластинку под малым углом а, выходит из нее в точке А на
расстоянии AB — l\g a-)-2d tg р от оси. В то же время AB=(L — l)X
Xtg а. Ввиду малости углов аир закон преломления можно
записать в виде sin a/sin p = n « tg a/tg p. Решив систему уравне-
ний, найдем L = 2 (Z+d/n) = 4,5 см.
1003. Конец стержня находится на глубине # = Zsiria, где I—
длина погруженной части стержня. Вследствие преломления лучей
на поверхности жидкости наблюдатель видит конец стержня на
глубине Zi = Zcos atg (a — р) (рис. 401). Для наблюдателя, смотря-
щего в вертикальном направлении, углы падения б и преломления у
малы, поэтому H = nh (см. задачу 1001), или tga = ntg(a — Р),
Решая это уравнение относительно Р, получим (п—l)/tgp = tga+
+ n/tg a.
Угол Р будет максимальным при таком угле а, при котором
сумма, стоящая в правой части, будет минимальной. Так как про-
изведение этих слагаемых есть число постоянное, то очевидно, что
минимальная сумма достигается при равенстве слагаемых. Следова-
тельно,
tga = n/tga; a=arotg У п.
348
1004. Преломившись на грани АВ призмы, луч не отклоняется
от перпендикуляра (рис. 402); поэтому угол падения луча на грань
АС (в призме) составляет а = 60°. Угол, под которым луч должен
был бы выйти, преломившись на грани АС, можно найти по закону
преломления sin a/sin Р = 1/п. При а = 60° и л =1,5 угол р не
имеет действительных значений. Следовательно, на грани АС про-
исходит полное' отражение и луч выходит через грань ВС перпен-
дикулярно к ней. Искомый угол ЕОР = 0 = 60°,
1005. S = л/12/(м3— 1) = 1256 см2.
1006. I > (2// — h)/]/~n2—1 « 32,3 м. Части дна, находящиеся
на расстояниях ближе 32,3 м, плохо видны водолазу, так как лучи
от этих частей попадают в его глаз после отражения от участка
поверхности воды, через который достигает водолаза дневной свет.
1007. Лучи источника, попадающие на поверхность под углом,
превышающим угол полного отражения, не выходят в воздух.
Поэтому R = Н/Уп2 — 1 « 3,6 м.
1008. а) /i=l,5см, если глубина погружения источника больше
1,5 см; б) на поверхности, если глубина погружения источника
меньше 1,5 см.
1009. R = h J/n2—1 = 8,9 см.
1010. Угол р преломления лучей на первой грани (рис. 403)
определяется из уравнения sin (л/2)/sin 6 = п, откуда sinP = l/n,
т. е. Р — предельный угол полного отражения. Для полного
Рис. 403.
Рис, 404.
отражения на второй грани должно быть б^р. Очевидно, что
ср = р-|-6; следовательно, минимальный преломляющий угол приз-
мы ф = 2р, или
sin ср = sin 2р = 2 sin Р cos р = 2 п2 — 1/п2 « 0,976;
отсюда ф = 77°20'.
1011. Выход луча из второй грани невозможен, если угол
падения на эту грань б больше или равен предельному углу пол-
ного отражения. Следовательно, sin 1/п. Кроме того, как видно
349
из рис. 404, ф = Р + 6 и sin а/sin Р = п; отсюда
sin Z=nslnq Kr^sin2a—п cosqpsina^sinф j/"n2 — 1— cos ф=0,7435;
следовательно, a ^48°,
1012. sin -0 « 0,3; fl w 17°30',
§ 28. Фотометрия
1013. Стены и пол комнаты видны из точки, находящейся на
потолке, под телесным углом © = 2лср; поэтому Ф =/со= 1256 лм.
1014. Фотографическое действие света можно считать пропор-
циональным световой энергии, попавшей на фотобумагу за время
экспозиции. Эта энергия в свою очередь пропорциональна произ-
ведению освещенности фотобумаги на время. Поэтому, для того
чтобы получить одинаковые снимки, необходимо добиться выпол-
нения равенства
отсюда — \ ^=27с.
г:. 1г \ ri /
1015. Пусть /"1 и г9 — расстояния от экрана до ламп, По условию
?i/r г2 и гА + гг = г\ отсюда
' Vhh 1 — Л + К/1/2 АО
Гf —-----г----Т — I М, Г2 =---------------Г — U, О М.
/1 — /? /J—/2
Второй корень каждого квадратного уравнения не соответствует
условиям задачи, согласно которым экран должен быть расположен
между лампами.
1016. rf = r /7?/(КЛ ± Знак минус соответствует
случаю, когда обе лампы освещают одну и ту же сторону листа:
Г] = 9м. Если же лист расположен
между лампами, то fi = l м.
1017. Е=!/^У 1— sin2 a « 3 лк.
1018. = (1 4-a2/2/i2)3/- ft 3,1.
1019. Если принять нить лампы
заточенный источник света (рис. 405),
то освещенности верха и низа книги
Р cos a__7 sin ф
р /2 »
с cos Р__ / sin (ф/2)
р /2
Расстояние от источника до низа книги г = 2/cos (ф/2) (здесь исполь-
зована теорема о внешнем угле треугольника и учтено, что этот
треугольник равнобедренный); отсюда
д. г 1 Г . sin (ф/2) "I -
£,-£,=^5- [sl°?- 4c0S2((p/2)J « 155 лк,
350
1020. Если сила света источника одна и та же по всем направ-
лениям, то полный световой поток Ф=4лЕ (/2+/i2)”/2//i = 25 130 лк.
1021. Участок представляет собой круг радиуса г, на границах
которого Е = /A/(ha + r2)3/2. Площадь круга
S = nr2 = n[(lh/E)^ — h2] « 1055 м2.
1022. 5 = л (//i)2/3 (£Г2/3 — Ег219) « 942м2.
1023. Ej (/cosaj)/rf = (/cos3a^/Zi2, E2= (/cos3 a2)/ft2, где h —
высота фонаря над землей, Z—сила света фонаря; отсюда Е2 =
= (cos a2/cos (Xi)3 = 80 лк.
1024. Наименьшая освещенность пола Е± наблюдается в точках
пола вблизи стены, наименьшая освещенность стены Е2 имеет место
в точках вблизи пола (рис. 406):
„ _ I cos В __ Ih
h2 + d2/4 ““(/i2 + d2/4)3/2 »
Р _ / cos a ______ Zd/2
2“ h2 + d2/4 ~ (Zi2+d2/4)3'2 ’
По условию задачи E2/E1 = ri; отсюда высота зала h = d/2n = 7t5 м.
1025. Освещенности середины стола от первой и второй ламп:
£i = Zi/h? и Ei=Ib!hl. Освещенности края стола в двух случаях:
_______I l^i__ ______7
1 ~~ (/11 ч- d2/4)3/^ ’ 2 “ (h2+ d2/4)3Z2 ‘
По условию задачи Е^ = Е2\ отсюда
е; _ м, _/4/1л12+м2\3/г_3
Е2 /2Л2 (h? + d2/4)3/2 + W
1026. Суммарная освещенность в иско-
мых точках (рис. 407)
F==/i/li/(Z2 + ^)3/2 + /2/l2/(Z2 + ^)3/2>
где Zf и /2 — силы света первой и второй
ламп. Если поменять лампы местами, то суммарная освещенное»
в тех же точках
Е' = /Л/(/2 + h№ + IMP+ hlyl^ .
По условию задачи Е = Е'\ следовательно,
/=^3Л1/’ (Е^’+Е^3)1/2 « 21,6м.
1027. Освещенность каждой из сторон Е=3//а- = 30 лк.
1028. 1=3 V 3(л— 1) /0 « 52 кд.
1029. E = //i1/(/2 + fti)3'2 + //i2/(/2+h?)3/2=14,26.TK (рис. 407).
351
Рис. 408.
1030. Освещенность центра стола
есть сумма освещенностей, создавае-
мых каждой лампой в отдельности
(рис. 408). Если стол расположен под
одной из ламп, то
I
h2
I cos а
h? +12
, где cos а =
Ei
/г
У~й*+р
Если стол расположен посередине между лампами, то
„ 21 cos Р Q h
Еъ =-------— , где cos р= -------- —..
Л’+(//2)2 /й3 + (//2)2
Отношение освещенностей
Ег ~ 2 4 ) | /i3^(йаЧ- г2)3/2
1031.
21^
[Л2 + Р/4)]3'2
» 820 кд.
1632. Введение плоского зеркала равносильно появлению нового
источника S', являющегося изображением источника S в зеркале
(рис. 409). Источник S' имеет ту же силу света /, так как при
отражении от плоского зеркала телесный угол, в котором распро-
страняется световая энергия, не изменяется и потери энергии
отсутствуют. Освещенности при наличии зеркала и без него:
Ех = 1/а2 + (/ cos3 а)/а2(1 + cos а)2, Ег = 1/а2.
Отношение освещенностей Е1/Е2 = 3 у 2/2 и 1,12.
1033. Освещенность Е = 7/а2 + //(а+2&)2 можно считать одной
V той же во всех точках картины (см. задачу 1032). Световой
Йоток Ф = ES к 3,75 лм.
1034. £=-/г’[1+ H + (4d2//2)]3/n ] ® 20,3 лк.
852
1035. Мнимое изображение S' источника в зеркале BD нахо-
дится на расстоянии I от экрана ВС (рис. 410). Освещенность
в точке А
Е = 7/д2+ (7 cos a)/Z2.
Величины I и cos а находятся из геометрических соображений:
Z2 = (2с/)2 + а2 — 4a2 cos (л—<р) = о2 (54-4 cos <р),
sin a/2a = sin (л—(p)/Z, cos cc= (1 4- 2cos 54~4cos <p.
В результате получаем
Е=ЛГ1 _|_ l+2cos<p 1 Г 1+Г2~ 1 7 ...
°2 L (5 + 4 cos ф)з/г J 'f' (5-|-2У2)3/а J “2 ~ ’ °2
§ 29. Сферические зеркала
1036. Радиус кривизны сферического зеркала R = 2F. По тео-
реме Пифагора (a/2)24~b2 = 7?2 (рис. 411); отсюда Ь= /Ч/72—а2/4 =
= 1,26 м.
1037. l/d-\-\/f=l/Ff По условию f = d, т. е. с? = 2м.
1038. \/d+\lf=\lF = 2IR, т. е. /? = 2#/(4+/) = 0,8м.
1039. l/d4-l/f=l/F; Hlh^fld. или H = Fh/(d—Л = 0,22м,
1040. R = 2d/(£4-l) = 19,2cM.
1041. k = f/d, \/d+\/f=l/F,f—d = a, т. e. F = ka/(k2— 1)=0,4м.
1042. k = 3.
1043. f=Fdl(d — F)=2R/3\ изображение действительное.
Для построения можно использовать два луча, исходящие из
точки S (рис. 412). Луч SP идет вдоль главной оптической оси
зеркала и после отражения идет вдоль тон же оси. Для построе-
ния хода после отражения произвольного луча S/4 проведем побочную
оптическую ось ВСЦ5Л. Отраженный луч ADS' пройдет через
точку D пересечения побочной оптической оси ВС с фокальной
плоскостью FD. В точке S' на пересечении отраженных лучей PS'
и получится действительное изображение источника S.
1044. Если бы точка О была источником света, то точка Ог яв-
лялась бы его изображением. Следовательно, любой луч, упавший
353
на зеркало из точки О, после отражения пройдет через точку О*.
Проведем побочную оптическую ось ОЕ || ВО'' и соединим точки Е и
О' (рис. 413). Используя свойство обратимости лучей, будем бчи-
тать, что на зеркало падают па-
> раллельные лучи ОЕ и DB, кото-
рые после отражения от зеркала
[f JD. сходятся в точке Л4, лежащей на
—=вН>==^ фокальной плоскости зеркала.
Опустив из точки Л4 перпенди-
4---------------------------куляр на главную оптическую ось,
Рис< *13- определим положение фокуса F.
1045. Первоначальное увеличение k^f/d, причем l/d-(-l/f =
==1/F. Если предмет и его изображение переместились'на расстоя-
ние х, то l/(d+x)+l/(/—x)=l/F. Новое увеличение k2=(f-—x)l(d-\-x)\
отсюда k2 — \/ki = 0,2 и x = f—d, т. е. предмет и изображение поме-
нялись местами.
1046. F = kik2a/(k2 — fct) = 35cM.
1047. F = kik2a/(k2 — &i) = 2,5 см.
1048. Если предмет расположен дальше фокуса зеркала, то
a = d—F, b = f—F и формула зеркала имеет вид l/d-\-\/f=\/F.
Если же предмет расположен между зеркалом и его фокусом, то
a=F — dt b = f+F и формула зеркала записывается в виде l/d—
— \/f=l/F. Обе системы уравнений дают k = fid = Vb/a = 1,5.
1049. Если бы светящаяся точка принадлежала некоторому
предмету, расположенному перпендикулярно к главной оптической
оси зеркала, он изображался бы с увеличением k = L/1 = fId. В слу-
I чае действительного изображения l/d+
Л _ > 5-}-\/f=\/F=2/R и R=2Ld/(L + /) = 1,2 м.
Й В случае мнимого изображения l/d—l/f =
"°------= 1/F = 2//? и fl = 2£d/(L —/) = 2м.
. & 1050. Крайний луч ДВ пучка, отразив-
Еу* шись от зеркала и пройдя через фокус, по-
рис падает на экран в точку В, лежащую на
границе светлого круга (рис. 414). Из по-
добия треугольников BFP и EFM следует
(d/2):F=(D/2):(a — F), откуда D = d (a—F)/F = 0,1 м.
1051. Без зеркала источник с силой света / создает на экране,
удаленном от него на расстояние г, освещенность Е — Цг2. При
наличии зеркала к световой энергии, идущей от источника, добав-
ляется энергия лучей, приходящих к экрану после отражения от
зеркала. Так как эти лучи можно считать параллельными, то све-
товой поток Ф, падающий на площадку 5 экрана после отражения
от зеркала, будет таким же, как и поток, падающий па такую же
площадку S зеркала. Общая освещенность площадки S экрана при
354
наличии зеркала
Е -Р . I /S/f2-7
_F + __E + _
1
F2*
Отношение освещенностей Е3/2?= 1 +(r/F)2« 10е,
1052. На экране, поставленном перпендикулярно к лучу про-
жектора, будет светлое пятно, освещенность которого Ео равна
освещенности рефлектора. Источник расположен в фокусе рефлек-
тора, поэтому Eq = HF2. Свет падает на землю под углом а,
для которого cos а = Л/; следовательно,
Е = Ео cos а = lh/F2 = 7500 лк.
1053. \/d—[lf — 2/R\ отсюда d = /7?/(2/+/?) ^0,43 м.
1054. Прямое изображение в вогнутом зеркале является мни-
мым Искомое расстояние определяется системой уравнений
1/d—1// = 2//?, f(d~k\ отсюда d=R(k—1)/2/г = 45см.
1055. l/d ± 1// = 2/7?, k = f/d. Звак плюс соответствует дейст-
вительному изображению, минус—мнимому. Отсюда R=2kdl(k ± 1),
т. е. = 36 см для действительного изображения и 7? = 50,4 см
для мнимого.
1056. Увеличенное изображение может быть действительным
пли мнимым. В этих случаях соответственно должны быть выпол-
нены соотношения
l/d+1// = 2/7?, f/d = kt f-d = a,
Ud-l/f = 2/R, f/d = k. f+d = a.
Обе системы уравнений дают R = 2ka/(k*—1)=24см.
1057. Светлый круг на экране получается из-за отражения лу-
чей зеркалом (рис. 415). Так как светящаяся точка S расположена
ближе фокуса, лучи можно считать ис-
ходящими из мнимого источника —изоб-
ражения S' точки S. По формуле сфе-
рического зеркала 1/d—1//=1/F, где
d — F/2. Диаметр зеркала / = 2ftga,
диаметр светлого круга на экране L —
— 2 (/ + 2F) tg а; отсюда L/1 — 3.
1058. Увеличенное мнимое изобра-
жение дает вогнутое зеркало. При этом
должны выполняться соотношения
1/d —1// = 2/7?, f/d = k, f+d = a;
отсюда R = 2ka/(k2 —1)=2 м.
1059. Если бы светящаяся точка принадлежала некоторому
предмету, расположенному перпендикулярно к главной оптической
оси зеркала, он изображался бы с увеличением k = L// = f[d, Так
как \!d—\lf = \/F, то fe = F/(F —d) = L// = 2,5.
355
1060. Расстояние между мнимыми изображениями источников
/-=0,75/?.
1061. Если СА= R — радиус кривизны зеркала (радиус шара),
а ВА = г — радиус выемки (рис. 416), то расстояние от рисунка
(предмета) до зеркала
Рис. 416.
BP = d определится из теоремы Пифагора
(/? — d)2-f~r2 = R2. Увеличение& = при-
чем 1/d—1// = 2//?. Так как по условию
г/Я = 0.8, то 4 = [2 |<1 —1]"1 = 5.
1062. Луч, идущий по радиусу зерка-
ла, отражается по тому же радиусу. Поэто-
му положение оптического центра зеркала
С найдем, соединив точки 8 и 8Л и про-
должив линию до пересечения с главной
оптической осью (рис. 417). Луч, отраженный от зеркала в его по-
люсе Р, составляет с осью ОО' такой же угол, как и луч падающий.
Отложив отрезок OQ, равный размеру предмета, по другую сторону
оси и соединив точки Q и 8Л, найдем полюс Р зеркала. Положение
фокуса F определим, проведя луч 8/ИЦОСИ и соединив точки S' аМ.
1063. Мнимое изображение в сферическом зеркале находится
на расстоянии f\ = (R-^d)2dj(R—2d) от человека и имеет размер
H1 = Rh/(R — 2d), где h —размер рассматриваемой детали (рис. 418).
В плоском зеркале (R оо) имеем r2 = 2d и H2 = h. Изображение
в сферическом зеркале человек наблюдает под углом cpj, причем tgcpL=
=//1/^1, в плоском—под углом <р2, причем tg<p2 = Нг1гъ- Ужовое
увеличение A»=tg cpj/tg ср2; отсюда R=kd/(k—1)=0,6 м.
1064. Для построения удобно использовать лучи, проходящие
через фокус и через оптический центр зеркала, а также луч, па-
356
раллельный главной оптической оси (рис. 419). Точку S схождения
лучей в отсутствие зеркала можно рассматривать как мнимый ис-
точник, а расстояние / этой точки от оси — как размер мнимого
предмета, содержащего точку S. Тогда L — размер действительного
изображения этого предмета, a S'—изображение точки S. Из фор-
мул — l/rf+1//= 1/F и f/d=L/l находим l = FLf{F — f) = 0,25 м.
1065. Точку пересечения лучей, продолженных за зеркало,
можно рассматривать как мнимый источник. Так как— l/d-\- l/f=l/F,
то f — Fd/(d-^F) = 7,5 см.
1066. R = 2F = 8d = 1,6 м (см. задачу 1065).
1067. Фокусное расстояние определяется из систем уравнений
l/d+l//=l/F, |f-F|=a.
Если изображение точки расположено ближе к зеркалу, чем фокус,
то f—F = — а\ если же изображение точки расположено дальше фо-
куса, то f—F = -\-a. Первая система уравнений дает
2 = л/2 ± V"а21^—ad , т. е. Ff = 12cM, F2 = 8cm.
Из второй системы уравнений имеем
F8ii = — л/2 ± j/"fl2/4 + ad , т. е. F3 = 4cm, F4 = —24см..
В последнем случае зеркало оказывается выпуклым.
1068. Лампочка S расположена ближе к зеркалу, чем фокус,
ее изображение находится на расстоянии f за зеркалом (рис. 420).
Из формулы 1/d—1// = 2//? получаем f=Rd!(R—2d). Изображение
лампочки можно рассматривать как добавочный источник, создаю-'
щий на поверхности зеркала ту же освещенность, что и лампочка.
Поэтому сила света 7 этого источника связана с силой света лам-
S1
Рис. 420.
почки /0 соотношением 7/f2 = /0/d2; отсюда 7 = IQf2/d2 = 470. Осве-
щенность экрана, находящегося на расстоянии R от зеркала,
E1 = 7/(/? + /)2+70/(7?-d)2 = 327/9/?2, т. е. 7 = 9Е1Я2/32.
Искомая освещенность
Е2 = //(2/?+О24-/о/(2/? — О2 = 333^1/1225 « 0,272£f.
1069. Для построения необходимо найти ход любых двух лучей,
исходящих из точки S (рис. 421). Луч SP, отразившись, идет вдоль
главной оптической оси. Чтобы определить направление произволь-
ного луча SK после отражения от зеркала, проведем побочную оп-
357
тическую ось CN || SK. Через точку Д пересечения побочной оси с
фокальной плоскостью должно пройти продолжение Д/< отраженного
луча KR. Изображение точки S находится в точке S* пересечения
продолжений отраженных лучей PD и KR. Изображение будет мни-
мым, так как лучи расходятся.
1070. Для выпуклого зеркала \/d-]-l/f = —1/F, где F=/?/2.
Искомое расстояние f = — Rd/(R-[-2d) «—0,65 м. Знак минус озна-
чает, что изображение предмета получается мнимым.
1071. Учитывая, что выпуклое зеркало дает мнимое изображе-
ние источника, имеем
1/d— l/f = — 1/F; отсюда d = [F/(F—f) = 1,8 м*
1072. d = fR/(R — 2/) =30 см.
1073. k = f/d = F/(d + F) = l/4.
1074. H = Rh/(R-\-2d) =3шл.
1075. Для построения пользуемся лучами, параллельными опти-
ческой оси, а также лучами, продолжения которых проходят через
фокус зеркала или через его оптический центр (рис. 422). Так как
l/d—\/f = — 1/F, k = Lll = f/d=l/2, то d = (l/6 —l)F = 0,2 м.
1076. d = (n — l)F=(n— 1) 7?/2 = 0,4m.
1077. R = 2d = 2u.
1078. a = d + f=2d (2d-\-l)/(4d + l) «0,34м.
Рис. 422. Рис. 423.
1079. Если ближайший к зеркалу конец карандаша находится
от него на расстоянии дальний — на расстоянии d2i то
1 1 __ 1 1 1 - 1 я и -/
di fi~ F ' d2 f2~ F' d* dl •
Решив эту систему уравнений, получим
n Hfi+ft) ± V ПК-К)
г —--------------------------------------
2(Z + /i~/2)
Знаку минус соответствует значение F=12cm, при котором предмет
не может быть действительным, так как d < 0. При знаке плюс
F = 120 см.
1080. Считая, что луч NA принадлежит пучку лучей, сходя-
щихся к точке 4, можно принять эту точку за мнимый источник
(рис. 423). Точка В будет тогда действительным изображением ис-
358
точника. Расстояние AP = dt расстояние BP = f, Из формулы зеркала
— l/d + 1// = — 1/F и условия d-\-f=d находим
d = F+y ± ]/Я+4- =0,25F»(7 ± 5).
Годится только значение d = 0,5F, так как при d = 3F луч после
отражения не пересекает главную оптическую ось.
1081. Источник мнимый, изображение действительное, так что
R = 2F = 2fd/(f — d) = 1,2 м (см. задачу 1080).
1082. Из формулы —l/d+l/f = —1/F имеем d=fF/(f-}~ F) =0,4 м.
1083. Так как //—-расстояние от линзы до мнимого источника,
то формула выпуклого зеркала имеет вид
-l/d+l// = -]/F = -2//?.
Перед членом 1//, ^содержащим неизвестное расстояние от зеркала
до точки пересечения лучей, ставим знак плюс. Если после отраже-
ния от зеркала пересекутся не сами лучи, а их мнимые продолже-
ния, значение f получится отрицательным. Если же отраженные
лучи сходятся, то значение f получится положительным. В нашем
случае f = Rd/(R —2d) = — 0,28 м,
т. е. отраженные лучи расходят-
ся так, что их продолжения пе-
ресекаются в точке, находящей-
ся на расстоянии / = 28см за зер-
калом
1084. В данном случае как
источник, так и изображение явля-
ются мнимыми, поэтому формула
— — —1/F; отсюда
Рис, 424.
выпуклого зеркала имеет вид
F = /d/(f+d) = 0,32 м.
1085. Отраженные лучи идут пучком, расходящимся как бы из
фокуса зеркала, расположенного от зеркала на расстоянии F=R/2.
Из подобия треугольников следует (рис. 424)
D a-\-Rj2 2a-\-R 2ad сл
откуда /? = та=64см;
1086. R = 2ad/(D — J)=20cm,
§ 30. Тонкие линзы
1087. d = fl/L =7,5м.
1088. D = l//i+l/(//—/i) = 1,5дптр.
1 / fF \
1089. a = ±^^£_ + dj=8cM.
1090. Оптический центр линзы О лежит на пересечении прямой
SS' с главной оптической осью. Проводя затем прямые SB и S'B\
параллельные оси, соединим точку S с точкой В', а точку S' с
359
точкой В и продолжим прямые SB* и ShB до пересечения с осью.
В точках пересечения лежат фокусы линзы (рис. 425 — 428).
Изложенный способ определения оптического центра линзы и
ее фокусов основан на известном методе
построения изображения
Рис. 426.
точки с помощью трех лучей: луча, параллельного главной опти-
ческой оси, луча, идущего через центр линзы, и луча, проходя-
щего через фокус» В случаях 1)—3) линза собирающая, в случае
1) и 4) изображение мнимое, в слу-
4) — рассеивающая. В случаях
чаях 2) и 3)—действительное.
1091. Положение фокусов
оптическую ось перпендикуляры из точек пересечения с данным
лучом побочных оптических осей, парал-
лельных падающему и преломленному
лучам (рис. 429).
1092.
« 8,5 мс.
1093.
1094.
можно найти, опустив на главную
Д/ « (t’i—v2) sin a
a = i—F = F2/(d—F) » 98 см.
В результате прохождения
через пластинку световой луч, состав-
ляющий с оптической осью угол а (рис. 430), смещается парал-
лельно самому себе на расстояние bt определяемое из уравнений
sin a/sin 0 = л, b = h sin (a —0)/cos 0
(см. задачу 991). Точка пересечения лучей после прохождения
пластинки сместится на расстояние
a = b/sin a = /i (1 — tg 0/tg a) w /i (n— l)/n.
360
Здесь учтено, что при выполнении условия sinawtga выполня-
ется также sin Р ~tg р. На такое расстояние а надо передвинуть
объектив фотоаппарата.
1095. Возможны два случая, а) Если расстояние d от линзы
до экрана больше расстояния f от линзы до изображения S'' источ-
ника S, лучи падают на экран расходящимся пучком (рис. 431, а),
Рис. 431,
Из подобия треугольников ABS* и CDS'1 находим f/(d—f) = n. Ис-
пользуя формулу линзы l/d + l/f=l/F, получим F=nd/(2n+l)=4 см.
б) Если расстояние d от линзы до экрана меньше расстояния f
до изображения, лучи падают на экран сходящимся пучком (рис.
431, б). Из подобия треугольников ABS* и CDS'' находим f/(f—d)=n.
Используя снова формулу линзы l/d+ 1/f = 1/F, получим F =
= ndl(2n—1) = 6,7 см.
1096. Первоначальное расстояние от линзы до экрана / =
= Fd/(d—F). После того как экран переместили на расстояние а,
изображение источника расплылось в круглое пятно GH или DE
(рис. 432). Из подобия треугольников ABC, GHC и DEC следует
2г/2R =[(а, откуда /? = ат (d — F)/Fd= 1,5см.
361
1097. Из формулы линзы \/d-\-{/a=\/F и подобия треуголь-
ников (рис. 433) имеем
2rld = 2R/(d-\-a)> откуда R = ar/F = 0,08 м.
1098. R = dr/(d—Г) = 4,5см.
1099. Увеличение k = Ljl = fld, откуда / = £^//=10м,
1100. /У = /z (//F—1) = 1 см.
1101. F =/7/(L-]-/) = 15,4 см.
1102. £ = 1//£>2 = 5м. Увеличение k=\/lD = 50\ A = ka=2u,
B = kb = 3u.
1103. Увеличение /? = 1/3. Расстояние между линзой и предме-
том нужно увеличить на величину а = (1—k)/kD = 0,25 м,
1104. Согласно формуле линзы l/d-f-\ff = \/F, где/7—фокусное
расстояние линзы и d = F-\-a (по условию). Увеличение k = f/d\
отсюда f = £(6-|-l)a = 36cM.
1105. Если А — амплитуда колебаний линзы или источника, то
Ai/A = (f-{-d)/d и A2)A = fld. Кроме того, 1/d+l/f = 1/F; отсюда
d = Л177//42 = О,64 м.
1106. А? = 4.
1107. \/d-\-\/f=\/F, k = j!d, ъткум /=(^4-1) F = 5,l м.
1108. 1/Я+1//=1/Г, k = 1/77=2,5-10-4; отсюда F=Hkl(\-\-k)^,
«0,5 м.
1109. В момент времени i свободно падающий предмет имеет
скорость *v = gt. За ; малый промежуток времени А/ он пройдет
расстояние A/ = t'A/, изображение предмета пройдет за то же
время расстояние AL = VA/, где V = at. Очевидно,
&LjM = fld, 1/d+l,If =1,!F\ отсюда F = ad!(a-\- g) « 0,1 м.
1110. Для построения изображения каждой из точек достаточно
определить ход любых двух лучей, исходящих из точки, после
преломления в линзе (рис. 434).
Рис. 434, Рис. 435,
1111. Из формулы линзы \/d-\-\/f =\/F найдем расстояние
f = Fd/(d—F) = 3F, а затем увеличение k = J/d = F j(d —F) =2. Пред-
мет, изображение и оптический центр линзы всегда расположены
на одной прямой, поэтому изображение движется по окружности
вдвое большего радиуса с вдвое большей скоростью: V = Aw = 6 см/с.
Предмет и изображение находятся в диаметрально противополож-
362
них точках окружностей, так что скорости v и V направлены в
противоположные стороны.
1112. Расстояние / от линзы до экрана определяется по фор-
муле линзы 1/d-f-1//= 1/F. При смещении линзы вниз изображение
также скользит вниз по экрану (рис. 435). Из подобия треуголь-
ников ASB и 0г802 следует, что L/l = f)/d\ поэтому L =*
= ld/(d—F) = 4,5 см.
1113. Rlr = f/d. Из формулы линзы Y/d-\-l/f = D имеем f =
= (/? + r)/rD.
1114. Из уравнений l/d-j- l/f= 1/F и k-j/d найдем k—f/F—1=15.
1115. До смещения предмета d± = d, h = d и, следовательно,
по формуле линзы F = d/2 = 0,25M. Увеличение ^=^/^=1. После
смещения предмета d2=d—а и k2 = f2ld2. Применяя формулу линзы
1 /da + 1 If2 = 1 IF, получим
= F/(d2— F) = F/(d—a — F) = df(d - 2a) = 5.
1116. d=F (1 -|-А/Я). По условию размер изображения Н 36 мм;
следовательно, 255 см.
1117. Изображение исчезнет, если ни один луч, исходящий из
точки, не попадет на линзу (рис. 436). Тогда гja~ I/(d—а). Кроме
того,
L f 1 , 1 I rFf
~тН—Г—отсюда д = - —- <----------f=8cm.
I d d 1 f F LF-\-rf — rF
1118. Расстояние Д/ = уД/, на которое переместится автомобиль
за время экспозиции, и расстояние ДЬ, на которое переместится за
то же время его изображение, связаны соотношением ДА/Al = fId.
Кроме того, l/d+1//= 1/F. По условию Д£<а. Решив данную
систему уравнений и неравенств, получим &t^.a(d—F)/vF « 5 мс.
1119. Формула линзы l/d-f-1//= 1/F позволяет найти расстоя-
ние f, на котором изображение находится от линзы. Каждая из
раздвинутых частей линзы действует как целая линза, главная опти-
ческая ось которой отстоит от источника на расстоянии I. Следова-
тельно, каждое из изображений отстоит от этой оси на расстоянии
L = lffd (рис. 437). Искомое расстояние S = 2L-\-2l = ld/(d — F) = 6 сч.
1120. Увеличением изображения назовем, как обычно, отношение
линейного размера изображения к размеру предмета: k = Ld =
363
— Применив дважды формулу линзы: 1/^+1/^ =
= \/F и 1Д4+l/f2=*= 1/F, получим k = F2/(df—F) (d2—F) « 4.
1121. .’Предмет, расположенный вдоль главной оптической оси
изображается с увеличением k=-F2/(di—F) (d2 — F) (см. задачу 1120).
Объект, находящийся на расстоянии di, изображается с увеличением
—F)t на расстоянии d2—с увеличением k2 = F/(d2—F) (см.
задачу 1115). Следовательно, k = kik2,
1122. L = kAkBl. ____
1123. Обозначим a=d+f. Так как F = fd/(f~\-d} и V"fd
<(/+ф/2, то a = fd/F ^(f+d)2/4F = a2/4F; отсюда a^4F, Следова-
тельно, amin = 4F. При этом d = f=2F.
1124. l/d+l/f=l/F, d+f=a; отсюда
. л ~~ 25±15 Z 25?15_
d=T± гт-Га=~г- V
Таким образом, возможны два решения:
df = 5F, fi=l,25F и d2=l,25F, f2 = 5/\
Наличие этих двух решений следует из свойства обратимости свето-
вых лучей: источник можно заменить изображением, а изображение —
источником, изменив направления лучей на противоположные.
1125. Для первого и второго положений линзы имеем
1 1 -1 л । х 1 . 1 1 л , л
dr+7-=T' di+fi=a’ ^+77“ F' rf’+^=a-
По условию |d2 —df|=t>. Из первых четырех уравнений следует,
что df и fi, так же как и d2 и ft, должны являться корнями урав-
нения х2—x+aF = 0, т. е.
4=/,=у± aF’ V
(второе положение линзы есть обращенное первое). Следовательно,
62 = 4(а2/4—aF), или F = (a2—52)/4я=0,9 м.
1126. 5 = — 4aF (см. задачу 1125).
1127. Увеличение в первом случае Hi)h = fi/df, во втором H2fh —
^=f2fd2. Применяя дважды формулу линзы, получим fi = d2 в ft = dt
(см. задачу 1124). Перемножая полученные уравнения, найдем h =
= т.
1128. Используя дважды формулу линзы и данные о расстояниях
с и Ъ (см. задачи 1124, 1125), получим
^ = ^ = 0,5 (а ± Ь), = Л =0,5(0? Ь).
Размер изображения в первом случае Ifi/di, во втором случае lft/d2,
где I — размер предмета. Отношение размеров изображений
n = fJd2/d172 = (a ? b)2!(a ± Ь)\ т. е. ^ = 0.04, *2=25,
364
1129. Пусть положения линзы отстоят друг от друга на расстоя-
нии Ь. Воспользовавшись решениями задач 1125 и 1128, получим
(a+b)2/(a—b)*==n, F = (a2—Ь2)/4а = а У~~й/(У К-]-\)2 = 0 у2м.
ИЗО. b~a (V? — 1)/(V* k +1) = 0,4 м (см. задачи 1125, 1128).
1131. F=/^=0,2m, ^ = (/^+6)/(]/"^ + a) = l<^=2s
1132. F = (И2d2 — /Mi) /(tf3 — /Л) = 11,3 см.
1133. F = 7/17/2&/(Zf1—Я2)/i = 9cm.
1134. Для основного расположения
l/d+l/f=l/F, d + f = a, f/d = k.
После перемещения экрана и линзы
1М1+1//г=1/Г, dr + ft^a + b, fi/d^kf.
После перемещения экрана и источника
М2+l/f2 = I//1, d2+/2 = д + ^ + с, Д> = /4"&, /2/^2 = /?'-
Отсюда
k - (1+*) + й 9 14
1 (1-+-Л) Ка+д-/а(1-А)2 + 6(1+А)а ~ ’ 1
»(!+*)>
*а~ ak +ft~y-
1135. Если рассматривать предмет через лупу, то угол зрения до-
определяется из уравнения tg (^1 = h/d — H/f, где h и Н—размеры
предмета и изображения. Так как мнимое изображение должно
лежать от линзы, приставленной вплотную к глазу, на расстоянии
f^dQ, то из формулы линзы l/d—l/f = D получаем, что d0/(l+Dd0)^
^d^ 1/D. Если рассматривать предмет беэ лупы, то угол зрения ф2
находится по формуле tg<p2 = /i/d0. Увеличение лупы & = tg <pi/tg ф2 =
= d0/d; следовательно, Dd^ k <: Dd0 + 1, или2<:£<;3.
1136. Лупа дает увеличение Z?i = d0/F предмета, лежащего в ее
фокальной плоскости (см. задачу 1135). Если использовать ее в роли
объектива проекционного фонаря, то она дает увеличение k^ffd.
Изображение на экране — действительное, поэтому l/d+1//= 1/Д-
Следовательно, d= (/?2+ 1) do/Z22^! = 5,5 см.
1137. По формуле линзы l/d—1//=1/F, rAed = n—b — расстояние
от предмета до лупы, / = d0 — d —расстояние от лупы до изображения.
Предмет, находящийся на расстоянии d0, глаз видит под углом (pi,
который определяется иэравенства tg q>i = h/d0, где h — размер пред-
мета. Если предмет рассматривать через лупу, то угол зрения ф2 опре-
деляется по формуле tg ф2 = Л/(п—д). Увеличение & = tg Фз/tg Ф1 =
= d^/{a—b). Следовательно,
a=rf(d°C.<>l + &~6,8CM, ~ 14,
do — o-f-г dg—и г
365
1138. Увеличенное изображение может быть действительным или
мнимым:
l/d±l/f=D, fld = k\ отсюда d = (k±\)/kD.
Для получения действительного изображения предмет нужно поме-
Рис. 438.
стить перед линзой на расстоянии dt =
= 0,Зм, мнимого —на расстоянии d2 = 0,2M.
1139. Как видно из рис. 438, r = /tga.
Расстояние f от линзы до изображения ис-
точника определяется по формуле линзы
1/d— 1 If = 1/F, откуда
F = rd/(r — d tg a) « 7,4cm.
1140. Из уравнений \/d -l/f=\/F и
/ = r/tga, где /—расстояние между линзой
и изображением источника, следует, что
d = rFKQ.F tg a+r) = 2 см.
1141. Когда источник находится в фокусе линзы, на экран падают
параллельные лучи и пятно имеет радиус, равный радиусу г линзы.
Если источник удалять от линзы, то пятно будет сначала умень-
шаться, а затем увеличиваться до прежних размеров. Следовательно,
источник нужно приближать к линзе. Пусть требуемые размеры пятно
имеет, когда источник S находится на расстоянии d от линзы. При
этом лучи от изображения S' источника, проходящие через края
линзы, идут к краям пятна по прямым линиям (рис. 439). Тогда
должны выполняться соотношения
a=F—d, 1/d—1//=1/F, (/+Ь)/2гп = //2г;
отсюда a = F2 (n—l)/[&-J-F (я—1)1=2 см.
1142. Для нахождения хода произвольного луча SA после пре-
ломления в линзе необходимо найти точку В пересечения побочной
оптической оси СВ || S71 с фокальной плоскостью линзы (рис. 440).
Глаз, расположенный за линзой, увидит мнимое изображение S'
в точке пересечения продолжений лучей OF и АВ.
366
1143. Продолжив данные лучи до их пересечения, получим изоб-
ражение S' светящейся точки (рис. 441). Соединим полученную
точку S' с оптическим центром линзы О. Луч BF после преломления
идет через фокус; значит, до прелом-
ления он шел параллельно главной оп-
тической оси. Проведем SB || OF, Иско-
мая точка S лежит на пересечении OS'
и BS.
1144. Так как изображение мнимое,
то \/d—\/f=l/F-t отсюда d = fF/(f+F)=>
= 0,2 м.
1145. F = d) = O,0M.
1146. Из формулы линзы 1/d— 1//= 1/F, где/=Г, имеем d = F/2.
1147. F = a£/(£—1)а = 40см.
1148. По условию a = di+d2 и di = nd2. Изображение первого
источника—действительное, изображение второго—мнимое. Поэтому
l/^+l/fi=l/F=P, lM-1/^l/F-D, ..
где fa и f2—расстояния от линзы до изображений. По условию
В случее, если изображение первого источника находится дальше
от линзы, чем изображение второго, т. е. —f2 = /?, получаем для d9
квадратное уравнение
nD (2 — Db) df+ (Db — 1) (n +1) —b = 0.
Решая его, находим
. n</ -61+n (1—06) («+!)+/(l-^)2(n-l)a+4n__
a=(n+l)da-(n+l)---------2nD'(2-Db)-----------5 '
(отрицательный корень не имеет смысла).
В случае, если /а—fi = bt формулу для а получим, поменяв
знак Ь на обратный, В результате будем иметь а=7,17м (значение
а = 1,16 м не удовлетворяет условию задачи, так как при этом изоб-
ражения источников находятся по разные стороны от линзы).
1149. F = 2d (b — d)/b = 9 см.
1150. Для мнимого изображения 1/d—откуда Di =
= (f—d)//d = — 0,3 дптр (линза рассеивающая). Знак плюс перед Di
в формуле линзы поставлен потому, что оптическая сила линзы—ве-
личина неизвестная. Для действительного изображения
1/<*+1//=О2, откуда D2 = (f+d)/fd=0,5 дптр
(линза собирающая).
1151. Отношение расстояний от изображения точки и от самой
точки до главной оптической оси L/l = f/d. В случае действительного
изображения l/d-j- l/f= \/F и d = fF/(f — F) = —36 cm, / = LF/(f—F)'=
= —15 cm, t, e. на линзу падают лучи, которые в отсутствие линзы
367
сошлись бы в точке, отстоящей от линзы на 36 см и от оси на 15 см.
Источник получается мнимым, что противоречит условию задачи.
В случае мнимого изображения 1/d—1//=1/F ud = fF/(f-\-F)=7,2 см,
Z = LF/(/ + F) = 3cm.
1152. Увеличение k = f/d1 где f—расстояние от линзы до изобра-
жения. В случае действительного изображения 1/d-}-1//= 1/F и
F = kd/(k-\-1) = 9 см; в случае мнимого изображения 1/d—l/f=l/F и
F = kd/(k— 1) = 11 см.
1153. Если d—расстояние от предмета до линзы, a от линзы
до изображения, то в случае действительного изображения
l/d-\-l/f=l/F, H/h = f/d a d = F + ds
В случае мнимого изображения
1/d—l/f=l/F, H/h = f/d и d=F—b.
Обе системы уравнений дают H = Fh/b = 4 см.
1154. Вершина конуса служит мнимым источником, находящимся
на расстоянии d=F от линзы. Согласно формуле линзы
—1/d-}- 1/f = l/F = Dt откуда l/2D = 0,1 м.
И55. b = f*/(F —/)=12,5 см.
1156. Из подобных треугольников
имеем (рис. 442)
r2/ri = (а + F)/Ft г./г, = | (F—a)/F |,
где а—расстояние от лиизы до экрана.
Знак модуля поставлен для того, чтобы
учесть возможный случай а > F. Решив
систему уравнений, получим г3 =
= 12/1 — г21 = 3 см.
1157. /3=2г1 — г2 = 6см, если рас-
стояние от линзы до экрана меньше
фокусного расстояния; r3 = 2/i + r2 =
» 10 см, если это расстояние больше фокусного.
1158. Для рассеивающей линзы 1/d—l/f =—1/F = D. По усло-
вию задачи / = d/2. Следовательно, светящаяся точка расположена
от линзы на расстоянии d==F =—1/П = 0,2м.
1159. По формуле линзы \/d—\lf =—\/F = D. Из рис. 443видно,
что a = /tgoc и #+a = ftg₽; отсюда tgP = tga — H/d—HD ж 1,
т. е. Р « 45°.
1160. Луч SO проходит через линзу, не изменяя направления
(рис. 444). Знание хода двух лучен, исходящих из точки S, позво-
ляет найти ее изображение S'. Луч SK после преломления пойдет
по направлению КР так, что продолжение этого луча пройдет через
точку S't
368
точку М пересечения фокаль-
Н = hF/(F + d) = 0,02 м.
1161. Проведем побочную оптическую ось линзы M0N || АВ п
фокальную плоскость линзы MF (рис. 445). Продолжение ВМ пре-
ломленного луча ВС проходит через
ной плоскости с побочной оптической
осью. Способ основан на том, что па-
раллельный пучок лучей, один из
которых можно считать совпадаю-
щим с побочной оптической осью,
после преломления идет так, что
продолжения лучей собираются в
точке, лежащей на фокальной пло-
скости линзы.
1162. f = Fd/(F + d) = 0,1 м;
1163. Для двух положений источника имеем
= l/rfa-l//2 = -l/F,
где ft и f2—расстояния от линзы до изображении в первом и вто-
ром случаях. -По .условию ft—f2=?C Система уравнений приводит
к квадратному уравнению
(df—— Z) Я — I № + d2) F—ld]d2 = 0,
решение которого дает
Р Iм+rfj+К/ №-^) [/ (Ь г, _0,6 м
2 (dx—d2—I)
(второй корень соответствует собирающей линзе).
1164. Луч пересечет главную оптическую ось в точке, отстоящей
на расстоянии d от плоскости, в которой находилась линза. Согласно
формуле линзы
—l/d+l/f =—1/F, т. е. d = fF/(f-[-F) =5,4см.
13 г. А. Бендрнков и др.
369
1165. Точка схождения лучей в отсутствие линзы (мнимый
источник) лежит на расстоянии d от ширмы, причем
R/(d—b) = г Id (при b < d) или R/(b — d) = r/d (при d < b).
По формуле линзы —l/d4~ l/b = 1/F (перед членом \/F берем поло-
жительный знак, так как F является неизвестным). Решая получен-
ную систему, найдем F=± rb/R = ±25 см. Знак плюс соответствует
случаю b < d и указывает на то, что в отверстие нужно вставить
собирающую (положительную) линзу, знак
минус— рассеивающую (отрицательную).
1166. Точка А играет роль мнимого
источника, точка В — мнимого изображе-
ния (рис. 446), поэтому по формуле линзы
—1/d—1//=—1/F. Согласно условию за-
дачи /4~d = Z и fld=mjn\ отсюда
F = ——г-75-=0,1 м.
1167. I = [—9F (F — L) ± 3F /8F2 + (F — L)2]/4 (2F—L). Отри-
цательный корень не имеет смысла, поэтому /=12см.
1168. Линза может быть собирающей или рассеивающей.
В случае собирающей линзы вершина S светового конуса в от-
сутствие линзы (мнимый источник) лежит за экраном на расстоянии
d^ = rl/(r— R) от отверстия (рис. 447), а при наличии линзы точка S'
схождения лучей (изображение) находится на расстоянии ft =
= rl/(r-]-R). По формуле линзы
—1/dj4-1//i= 1/Fi; отсюда Fj = rl/2R = 17,5 см.
В случае рассеивающей линзы (рис. 448)
d2 = rZ/(r-[-/?), /2 = г//(г-Я), -l/d24-l//2 = -l/F2.
Следовательно, F3 = r//2/?= 17,5 см.
1169. Оптическая сила линзы в воздухе и в воде соответственно
отсюда F= ”7 ст =0,8м.
D (лст — лв)
370
1170. Фокусное расстояние F
деляется по формуле
1 — (_]_____| А 1 = 1 --«ст ,
F \ «СТ / R «СТ^?
воздушной линзы в стекле опре-
отсюда F=g~CT —=—30 см,
1— «ст
т, е, линза рассеивающая.
1171. Фокусное расстояние F
деляется выражением
1/1
воздушной линзы в стекле опре-
R dnCT
По формуле линзы
1,11
Тт+“Г=“г 5 отсюда ------ч-й----
d 1 f F 2d (1 — nCT) — RnCj
т e. изображение мнимое.
-8,57 см,
1172. £2= ,/?в^(П-а--лПР---й =1.062 см.
(Ri + RiH'h — 1) («2— О
1173. Используя формулу линзы, имеем
4-+у=(пст —О (^ + ^7) (в B0Wxe).
_l=fZkb_]VJ_+_L
. F \пк 1}\ Ri Rt.
!//?, +l/T?2+l/d+l//
= i/^ + 1/^J — ~ 1 -66-
(в жидкости),
1174. В воздухе F1/F2 = (n2 — I)/(«f — 1) = 1,4. В воде F\lF\ =
= (n2-nj/(ni--nj = 2t2.
1175. Если бы из линзы луч входил в воздух, то он прелом-
лялся бы под углом Pi и вышел бы из линзы на расстоянии I от ее
оптической оси (рис. 449). Для та-
кого луча
sin a/sin Pi = l/«CT» tg =
Если из линзы луч входит в воду,
то
sin a/sin ₽2 = «b/«cti tg (J2 = l/F2.
С учетом этого находим sin Pi/sln 32=
= nB и F2 = nBFi= 13,3 см.
1176. Морская звезда кажется
фотографу находящейся на рас-
стоянии h — H/nB от поверхности
воды, т, е? на расстоянии d=l~\-h
13*
371
от объектива (см. задачу 1001). По формуле линзы l/d +1// = 1/F.
Изображение будет меньше предмета в k = d/f раз; следовательно,
/? = H)/Fn— 1 = 19.
1177. Из каждой точки фотографируемого предмета объектив
фотоаппарата виден под телесным углом Дев « S/d2, где d—расстоя-
ние от предмета до объектива, S—площадь линзы объектива. Све-
товой поток от предмета, проникающий внутрь фотоаппарата, про-
порционален площади предмета Sf и телесному углу Дсо:
ф = /?51До),
где ь—коэффициент пропорциональности. Этот световой поток
распределяется по площади изображения S2. Поэтому освещенность
изображения
F = O/S2 = 6Si Дсо/52 « bStS/S2 d2 = bS/f2,
где / — расстояние от объектива до изображения, a Si/S2«d2//2.
При съемке гравюры издалека ft ~ Ft при съемке же деталей
в натуральную величину /2 « 2F, Поэтому отношение освещенностей
£l=±^L=A ~ ±1=4
Ег bs/fl ft ~ F ’’
т. е. освещенность уменьшилась в 4 раза. Во столько же раз следует
увеличить время экспозиции, чтобы интенсивность почернения фото-
пластинки осталась прежней.
§ 31. Оптические системы
1178. Лучи, прошедшие первую линзу, дадут изображение
(действительное или мнимое) на расстоянии а от линзы, опреде-
ляемом формулой линзы l/d ± 1/а=± l/^f- Это изображение слу-
жит источником (мнимым или действительным) для второй линзы,
т. е. Т l/fl-H/f = ± 1/F2. Для заменяющей линзы l/d +1//=£).
Сравнивая сумму первых двух уравнений с третьим, убеждаемся,
что D=± 1/Л ± 1/F2, т. е. оптическая сила линзы, заменяющей
систему приставленных вплотную линз, равна алгебраической сум-
ме оптических сил этих линз.
Так как рассуждение можно продолжить, приставив к двух-
линзовой системе третью линзу, то результат может быть распро-
странен на любое число линз. Формула зеркала по структуре и
смыслу совпадает с формулой линзы, поэтому сделанный вывод
касается также оптических систем, содержащих зеркала (пристав-
ленные вплотную к линзе). Здесь, однако, необходимо иметь в
виду, что, отразившись от зеркала, луч еще раз может пройти
через линзу, которую в этом случае придется учитывать дважды.
1179. Fpacc/Fco6Hp = 2.
1180. 1^+1//=1/^1+1/Г2, или Fa = d/F1/(/Fi + dF1-d/) = 54 см
(см. задачу 1178).
372
1181. Система равносильна двум сложенным вместе линзам с
Бя=\/Р-=.(п—1)//? каждая, поскольку оптическая сила плоского
зеркала равна нулю. Оптическая сила системы £) = 2£)л = 2(гг —!)//?.
1182. f = Fd/(2d — Р=9 см.
1183. Для непосеребренной линзы—1/d + 1/А? =— \/F. Посереб-
ренную линзу можно рассматривать как систему, состоящую из
трех сложенных вместе компонентов: рассеивающей линзы с Df =
= —1/А, выпуклого зеркала с £)2 =—2/Z? и рассеивающей линзы с
Df= — \/F. Оптическая сила такой системы = + =
= — 2 1/Л), поэтому для посеребренной линзы
1 । 1 n < 2/,/?d
а+ f~D’ отсюда h-2hd+dR + Rfi-2м.
1184. Расстояние от светящейся точки до вогнутого зеркала
а= R—d. Расстояние f от изображения точки до вогнутого зер-
кала определяется по формуле зеркала 1/# + 1/f — 2/R. Расстояние
от этого изображения до плоского зеркала b~R—f. Второе изоб-
ражение, даваемое плоским зеркалом, находится по другую сторо-
ну плоского’зеркала на таком же расстоянии Ъ от него. Следова-
тельно, расстояние от второго изображения до вогнутого зеркала
c=-R-\-b\ отсюда c=R (R—3d)/(R—2d)=s
= 30 см. Второе изображение находит-
ся в фокусе вогнутого зеркала.
1185. В отсутствие зеркала линза
дала бы изображение источника в точке
С на расстоянии /, определяемом из фор-
мулы линзы l/d+ l/f = \/F (рис. 450). Рис- 450.
Чтобы лучи после вторичного преломле-
ления в линзе шли параллельным пучком, они должны после от-
ражения от зеркала сойтись в фокусе линзы. Треугольники АВС и
DEF подобны. Следовательно, l/L = F/f\ отсюда l—(d—F) L/d. По
условию задачи d=2/7, поэтому l=L/2.
1186. Изображение свечи, даваемое линзой, отстоит от нее на
расстоянии /, а от зеркала—на расстоянии 6+/. Изображение в
плоском зеркале расположено по другую сторону зеркала на том
же расстоянии 6+/ и, следовательно, на расстоянии 26+f от лин-
зы. Лучи, как бы исходящие из этого изображения, снова прохо-
дят через линзу, образуя изображение на расстоянии а от нее. Из
формул линзы для первого и второго изображений 1/d— = и
l/(26 + f)+1/а= 1/F имеем
а = F [26 (d — F)—Fdy [26 (d—F) + F (F—2d)) = 60 см.
1187. Расстояние f от линзы до изображения источника, давае-
мого линзой, определяется формулой 1/d—1// =— 1/F. Это изо-
бражение расположено на расстоянии /+6 перед зеркалом. Мни-
373
мое изображение в зеркале находится на таком же расстоянии аа
зеркалом. Общее расстояние
а = (d + b) + (/ + b) = d+2Ь + Fd/(F+d) = 31 см.
1188. Так как f < F2, то на зеркало падает сходящийся пучок.
Если бы зеркала не было, то вершина этого пучка находилась бы
на расстоянии Fj от линзы и, следовательно,
•> s. V на расстоянии d = Ft—b от зеркала (рис. 451).
По формуле зеркала — l/d+ 1//= 1/F2; отсюда
Fi=b+fF*/(F* см-
>—; f 1189. Лучи собираются в точке, где рас-
Рис 451 положен источник, если любой луч, идущий
от источника, пройдя через линзу, падает на
зеркало по его радиусу и отражается по тому же направлению.
Линза при этом может быть расположена ближе (рис. 452) или
дальше (рис. 453) оптического центра С зеркала:
7-7=4. или 7+7=7. b~f=F,
Обе системы уравнений дают d = F (R-b)/(F-}-R—b). Так как по
условию источник действительный, то решение возможно лишь в
случаях b^R или F-f-7? < b.
Лучи собираются в точке, где расположен источник, также в
случае, если источник находится на таком расстоянии b от линзы,
что линза дает его изображение на самом зеркале (рис. 454), т. е.
Рис. 454.
Рис. 455.
l/d-p 1/6= 1/F, откуда d = Fbl(b— F). В этом случае необходимо,
чтобы выполнялось условие b > F.
1190. Данную задачу, как обычно, можно представить как со-
вокупность трех задач, рассматриваемых последовательно*
374
1) Источник расположен на расстоянии d от линзы с фокусным
расстоянием F. Его изображение находится на расстоянии Д от
линзы (рис. 455).
2) Это изображение находится на расстоянии d2 от зеркала и
служит для него действительным источником. Его изображение
получается на расстоянии f2 от зеркала (рис. 456).
Рис. 456.
Рис. 457.
3) Так как лучи по выходе из линзы идут пучком, параллель-
ным главной оптической оси, то изображение, даваемое зеркалом,
служит для линзы действительным источником, расположенным от
нее на расстоянии d3 = F (рис. 457). Следовательно,
l/d-\/fa = l/F, \/d2-\/fa=-2/R, d2=fa-[-bi d3 = /2-p = f;
отсюда R — 2 (Fd -f- Fb — bd) (F — b)/[2 (Fd-}-Fb — bd)—F2] =21 cm.
1191. Расстояние fa от линзы до первого изображения нсточни
ка, даваемого линзой, удовлетворяет уравнению 1/^+1/^= 1/Л.
Второе изображение получается в зеркале на расстоянии /2 от него,
причем 1/(п—fa)—\/fa =—2/R. Наконец, для третьего изображе
ния, даваемого линзой, должно выполняться условие 1 /(а + fa) 4- 1 Id =
= \/F. Из первого уравнения системы находим fa = Fd/(d—F). Ис
ключив fa из двух других уравнений, получим квадратное урав
нение
o2-(2/i—Я/1 = 0; отсюда а=/( —/?/2 ± Я/2.
Решение со знаком минус дает а = Fd/(d — F) — R = 6 см. В этом
случае лучи, вышедшие из линзы, падают на поверхность зеркала
перпендикулярно, а первое изображение, даваемое линзой, сов
падает с оптическим центром зеркала. Решение со знаком плюс
приводит к большему значению*
о=^ = 30 см. При этом изображе-
ние совпадает с полюсом зеркала.
1192. Из условия задачи сле-
дует, что передний фокус линзы
совпадает с оптическим центром
зеркала, т. е. линза расположена
от зеркала на расстоянии R — Fj
гд# R=2F2— радиус кривизны зеркала (рис. 458, верхняя по-
ловина). Изображение источника, помещенного в фокусе рас-
сеивающей линзы, получается на расстоянии /i = /7i/2 от линзы
(см. задачу 1146) и, следовательно, на расстоянии d2 = R—FJ2 от
375
зеркала, Это изображение служит действительным источником для
зеркала. Поэтому, если бы лучи не проходили второй раз через
линзу, то они собирались бы на расстоянии /2 от зеркала, причем
± L или f _ _(4f2-f,)f2
d2 ' fs P2’ d2-F2 2Р2-Рг
Отразившийся от зеркала сходящийся пучок встречает линзу, распо-
ложенную па расстоянии d3 = f2 — (R— F1) = (3F2— F±) F1/(2F2 — F^)
от точки схождения лучей; поэтому
^3 /з ^1*
или
Мз _ (SFt-FJFj
Fi — F2
По условию задачи Ft < 2F2, поэтому/3 < 0. Это значит, что, выйдя
из линзы, лучи расходятся, а точки пересечения их мнимых про-
ника получилось бы в
Это изображение служит
должений лежат между зеркалом и линзой
па расстоянии /3 = — (3F2 — Л) Fi/F2 =
=—32 см от линзы (рис. 458, нижняя
половина).
1193. Для первого участка !/(/?—а)+
4-1/(2/? +с) = 2//?, для второго — 1/с +
+ 1 /(/?— b)—2/R (рис. 459); отсюда
а=/?6/(46— /?). Если 6 = 3/?/4, то о =
=3/?/8; если 6 = —3/?/4, то л = 3/?/16.
1194. Если бы задней линзы не
было, изображение удаленного источ-
фокальной плоскости, передней линзы,
для задней линзы мнимым источником.
Расчеты дают в первом и втором случаях
_ 1— bDt _1 1 — bD2 __ 7
Dj4-D2—bD'Di 13М’ '' Dj + Pj—tDjDj-65м‘
1195. На расстоянии d = (b— F2) F-J(b — F2—/?1) = 30см перед
первой линзой или на расстоянии d — (b— FJ F2/(b — Fr— F2) = 60 см
за второй линзой.
1196, Изображение, создаваемое первой линзой, находится на
расстоянии fi от нее и имеет высоту 11 = М = (/17^г)/, где —уве-
личение первой линзы. От второй линзы оно находится на расстоя-
нии d2 = /—ft и в свою очередь'служит для нее предметом. Изо-
бражение, создаваемое второй линзой, находится на расстоянии f2
от нее и имеет высоту L2 — k2Li = (f2/d2)LXt где Ь2 — увеличение
второй линзы. По формуле линзы
Md2+\lf2=\lFi.
Решая полученную систему равнений, найдем
/а = F2 [b (d, - Л) - F^ ]/\(Ь - F2) (dj - Fi) - F.d,] = 2 м,
Ц = *!*2/ = FiFil/ЦЬ-Р2) (dt - Fi) - djFJ = 32 cm.
376
1197. a = [b2F — (d + b)(b — 2F)d]/[F(2d — F) —b(d — F)]=0,35 м
(см. задачу 1196).
1198. См. задачу 1196 и построение на рис. 462. Мнимое изо-
бражение находится от второй линзы на расстоянии
f = F2 (bd — bF' — Fid)/[(F2 — b) (d — Fy) + Frd] = 1,8 м.
Увеличение k = FxF2/[(F2— b) (d — =20.
1199. Предмет расположен в фокальной плоскости первой лин-
зы; следовательно, лучи, идущие от какой-либо точки предмета, по
выходе из линзы идут парал-
лельным пучком. Если вторая
линза расположена на расстоя-
нии b < (fli + tfjJ F1/2Z от пер-
вой линзы, где at и а2— диа-
метры линз, то каждый из та-
ких параллельных пучков, прой-
дя вторую линзу, даст изобра-
жение соответствующей точки
предмета в фокальной плоскости
угольников следует (рис. 460), чтс
I/F-l = L/F 2, откуда
Рис. 460,
второй линзы. Из подобия тре-
L = ZF2/F1 = 3 см.
Построение хода лучей ясно из рис. 460. Изображение полу-
чается действительным. Его можно наблюдать, поместив глаз на
соответствующем расстоянии за второй линзой.
1200. f = F [b (d — F) — Fd]/[(b —F) (d—F)— Fd] =3 м (см. задачу
1196).
1201. Задняя фокальная плоскость первой линзы должна сов-
падать с передней фокальной плоскостью второй линзы, поэтому
b = Fi-]-F2 = 8 см. Задачу можно решить также, применяя общую
формулу (см. задачу 1194), в которой нужно положить f—> оо.
1202. Если первой на пути пучка стоит собирающая линза, то
для достижения желаемого результата должны совпадать задние
фокальные плоскости линз. Если же
первой стоит рассеивающая линза,
то должны совпадать передние фо-
кальные плоскости. Искомое рас-
стояние b = Fr—F2 = 4cm в обоих
случаях. При < F2 задача не име-
ет решения.
1203. a = F3— ~7^ = 6 см.
Г 2~Г^-Г 1
1204. За рассеивающей линзой пучок также параллельный. Его
диаметр D2 = D1F2/Fi = 4 мм.
1205. Источник следует поместить перед собирающей линзой на
таком расстоянии dt чтобы сходящийся пучок лучей имел вер-
377
шину в точке па задней фокальной плоскости рассеивающей линзы.
По формуле линзы l/d + = 1/F, откуда d = F (F-\-b)/b = 36 см.
Построение хода лучей ясно из рис. 461. Точка S' является
изображением источника S в собирающей линзе, и, следовательно,
через нее должны пройти продолжения всех лучей, вышедших из
собирающей линзы. Среди этих лучей выбираем тот, который идет
через оптический центр рассеивающей линзы. Все остальные лучи,
прошедшие систему, будут параллельны выбранному.
1206. Если светящаяся точка расположена со стороны рас-
сеивающей линзы, то d = Fi(F2—&)/(Ej—F2-\-b) = 8 см (точка рас-
положена в фокусе рассеивающей линзы). Если светящаяся точка
расположена со стороны собирающей линзы, то
d = [b (Fi + b) + ЛF2]/(F, -F2+b) = 41 cm.
1207. a = d + b + F2 (Лd + FJ + bd)/[(b—F2) (d+Л) + Frf] = 68cm.
1208. В телескопе фокальная плоскость объектива совпадает с
фокальной плоскостью окуляра. Параллельный пучок лучей, прой-
дя такую систему линз, остается параллельным, но составляет уже
другой угол с осью трубы. Угловое увеличение телескопа k = F1fF2.
Отрезок длины / между двумя яркими источниками глаз видит под
углом (р « l/г. По условию задачи ф0; отсюда / cpo^a/Fi ~
» 475 м.
1209. Длина трубы Галилея 1 = F^—F2t ее увеличение k = Fi[F2.
По условию задачи труба Кеплера должна иметь ту же длину
/ = Гз + Е4 и такое же увеличение k = F3!F^. Следовательно,
Г 1“Г^ 2 F 14"Г 2
Рис. 462.
1210. Окуляр передвинули на расстояние a = F2!(d—F) — \ см
дальше от объектива.
1211. Если труба предназначена для наблюдения удаленных
предметов, то расстояние между ее объективом и окуляром d =
= F1-\-F2i а увеличение трубы A’ = F1/F2, где F{ и F2—фокусные
расстояния объектива и окуляра.
При наличии диафрагмы l/d + 1// =
= 1/Г2, причем f/d = L!l\ отсюда
k = l/L.
1212. /=d0F2/(d04-F2)+F1«3L см.
1213. Увеличение микроскопа
k1 = k2k2y объектива k2 — f/d. По фо-
муле линзы 1/d-f-1//= 1/F; отсюда
F = ^1d/^1 + ^2. Так как d^ 5 см, то
F 4,5 см.
1214. Увеличение микроскопа
k = для объектива
378
(рис. 462), причем dx и /х связаны соотношением l/di+l//f = 1/FX.
Увеличение окуляра ki = d0/dit где d2~l—flt Решив систему пяти
уравнений, найдем k2 = (d0 + ^Ft)/(Z — Fj) « 8.
На рис. 462 изображен случай, когда окончательное изобра-
жение находится на расстоянии dQ от линзы окуляра. Если же
глаз наблюдателя не напряжен, то из окуляра должны выходить
параллельные пучки лучей. В этом случае d2 = l—fi = Fit где Fa —
фокусное расстояние окуляра. Система уравнений и решение ос-
таются прежними.
1215. Увеличение микроскопа fe = 6d0/F1Fa, б = — Ft — F2—
длина тубуса микроскопа; отсюда Fx = (Z — F2) d0/(kF2 + d0) =
= 2,45 мм.
1216. Для ненапряженного глаза fe = (Z—Fr —F2) d0/F1F2 = 95
(см. задачу 1215). Если же окончательное изображение рассматри-
вается с расстояния наилучшего зрения, то
fe = (Z-Ft —FJ do/F^+tf — Fr) /Fx « 120.
1217. Увеличение объектива ki = F1/(d — Fx) (см. задачу 1115),
окуляра k2 = di)/F2 (см. задачу 1136). Увеличение микроскопа и
расстояние между объективом и окуляром
* = ^=(7^РГ’50> Z=5^-+F,= 14(3cM.
Если глаз рассматривает изображение с расстояния dQt то k2 =
= d0/F2-]-l (см. задачу 1135) и
ра)=18°, ~ 13’47 сы>
(d — FX)F2 d — Fx dQ + F2
1218. Из формулы линзы 1/(а +/4) + 1//\ = 1/Ft получаем увеличе-
ние объектива fe1=/1/(a + Fi) = Ft/a; увеличение окуляра /?2 = d0/Fa.
Увеличение микроскопаAj = Z?1fca = F1do/aFa =200;'длина тубуса микро-
скопа 6 = /i — Fx = Fx/a = 8 см.
1219. Увеличение микроскопа k = FldQ/(d—Fx) F2 (см. задачу
1217); отсюда Fx = kdF2/(dQ-[-kF2) = 6 мм.
1220. F2 = bdo/kFi = OficM.
1221. Когда человек рассматривает без очков предмет, на-
ходящийся на расстоянии ближнего предела аккомодации, то
мышцы, управляющие преломляющей системой его глаза, наиболее
напряжены. Если заменить глаз эквивалентной линзой с экраном
(сетчаткой), то можно воспользоваться обычной формулой l/dx +
4- l/fi = Dlt где /1—глубина глаза (расстояние от линзы, которой
можно заменить преломляющую систему глаза, до экрана). Рас-
сматривая тот же предмет в очках, человек по условию задачи
напрягает мышцы глаза так же, как и без очков, поэтому 1/di +
4- 1 ifx = Dx + D04k• Отсюда ближний предел аккомодации глаза,
вооруженного очками, di = di/(l+ ^Очк^1) = 0,33 м.
379
Аналогично для дальнего предела аккомодации (наибольшее
расслабление мыши глаза) имеем l/d2+l/f2 = D2, где глубина глаза
/2 и оптическая сила глаза £>2, вообще говоря, другие. Если же
человек наденет очки, то
l/d2'+l//2 = D2+D04K. откуда d2 = d2/(l+DO4Kd2) = l м.
1222. Для глаза без очков и с очками имеем
l/d+l//=l? и 1/d0+!// = £>-]-D04K;
отсюда D0,K = l/4>— !/<*= —1 ДПТР- Пройдя такую линзу, лучи от
предмета, находящегося на расстоянии d0 = 25 см, идут так,
как если бы они исходили из точек, отстоящих на расстоянии
J = 20 см от глаза
1223 По условию задачи d = 20 см есть дальний предел акко-
модации глаза. Поэтому в очках должны быть использованы такие
линзы, пройдя которые параллельные лучи от бесконечно удален-
ных предметов казались бы исходящими из точек, отстоящих на
расстоянии d = 20 см. Так как эти точки лежат в фокальной пло-
скости линзы, то оптическая сила очков 2)очк = — l/d = — б дптр.
1224. Исправить недостатки зрения данного человека—значит
прописать ему такие очки, чтобы, надев их, он мог четко видеть
предметы, находящиеся на расстоянии не ближе б/о = 25см, а так-
же бесконечно удаленные предметы. Для достижения первой цели
человеку нужны очки с оптической силой Di04K = 1/d0— 1/^1 = —6 дптр
(см. задачу 1222) Тогда наиболее далекие предметы; которые смо-
жет видеть этот человек, будут находиться от него на расстоянии
^ = dj(14-D1O4Krf2)=0,5M (см. задачу 1221). Следовательно, для
того чтобы видеть очень далекие предметы, человеку нужны, дру-
гие очки с оптической силой ^2очк~ 1/^2== 8 дптр (см. задачу
1223) . Надев их, он сможет видеть предметы, находящиеся не
ближе di = di/(l+n2o4Krfi) = 0»5M*
Таким образом, данный человек должен иметь очки с оптической
силой Z)104K = —б дптр («для близи») и очки с оптической силой
Р20ЧК=— 8 дптр («для дали») или очки, у которых нижняя часть
каждого стекла изготовлена в виде линзы с оптической силой DiQ4Kt а
верхняя —в виде линзы с оптической силой Р20чк (так называемые
«бифокальные» очки).
1225. D04K = 1/do —1/^ = 2,75дптр (см. задачу 1222).
380
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Фундаментальные физические константы
Гравитационная постоянная
Ускорение свободного падения
(нормальное)
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Элементарный заряд
Отношение заряда электрона к его
массе
Постоянная Планка
Постоянная Авогадро
Постоянная Больцмана
Молярная газовая постоянная
Постоянная Фарадея
Объем моля идеального газа при
нормальных условиях
(Ро = 101 325 Па, Т0 = 273,15 К)
6 = 6,6720-10-11 Н-м2/кга
g = 9,80665 м/с2
с = 2,99792458-108 м/с
Ро = 4л-10-7 Гн/м =
= 12,5663706144- 10-7 Гн/м
е0 = 8,85418782.10~1а Ф/м
те = 9,109534 -Ю“31 кг
тр= 1,6726485-10 ~27 кг
е= 1,6021892* !0“19 Кл
е/те = 1,7588047 • 1011 Кл/кг
/1 = 6,626176-10“34 Дж-с
Na = 6,022045-1023 моль-1
k= 1,380662-10-23 Дж/К
- 7^ = 8,31441 Дж/(моль К)
F = 96,48456-103 К л/моль
70 = 22,41383* 10-3 м3/моль
II. Множители и приставки для образования
десятичных кратных и дольных единиц и их наименований
Множи- тель Приставка Множи- тель Приставка
Наименова- ние Обозначе- ние Наименова- ние Обозначе- ние
Ю18 эксо э ю-1 деци Д
101в пета п io-2 санти С
1012 тера т ю-? милли м
10р гига г ю-в микро мк
10б мега м ю-е нано н
103 кило к 10-12 пико п
102 гекто г Ю-16 фемто . ф
101 дека да 10-18 атто а
381
III. Единицы и размерности физических величин в СИ
Определения единиц физических величин приведены для основных (выделены полужирным шрифтом) и допол-
нительных единиц СИ. Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены
кружком
Величина Единица
Наименование Размерность Наименование Обозначение Связь с основными единицами СИ
Длина L метр °астрономическая единица длины °световой год °парсек М а. е. св. год ПК Основная единица Метр равен 1650 763,73 длины волны в вакууме излучения, со- ответствующего переходу между уровнями 2р10 и 5d5 атома крип- тона-86 1 а. е.= 1,49598 - Ю11 м 1 св. год —9.4605- Ю15 м 1 пк = 3,0857-101В м
Площадь L* квадратный метр ° гектар м2 га 1 га= Ю4 м2
Объем L3 кубический метр ° литр мэ л 1 л = 10~3 м’
Величина
Наименование Размерность Наименование
Плоский угол — радиан
°градус °минута °секунда
Телесный угол стерадиан
Время Т секунда
°минута °час °сутки
Продолжение
Единица
1 Обозначение Связь с основными единицами СИ
рад Q t п Дополнительная единица Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу 1° = (л/180) рад Г = (л/10800) рад Г = (л/648000) рад
ср Дополнительная единица Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площа- ди квадрата со стороной, рав- ной радиусу сферы
С мин ч сут Основная единица Секунда равна 9 192 631 770 перио- дов излучения, соответствующе- го переходу между двумя сверх- тонкими уровнями основного со- стояния атома цезия-133 1 мин = 60 с 1 ч = 3600 с 1 сут = 86 400 с
•384
Величина
Наименование Размерность Наименование
Скорость метр в секунду
Ускорение LT-2 метр на секунду в квадрате
Угловая скорость Г-х радиан в секунду
Угловое ускорение 2 радиан на секунду в квадрате
Частота периодического процесса г-1 герц
Частота вращения т-1 секунда в минус первой степени
Масса м килограмм °тонна °атомная единица массы
Продолжение
Единица
Обозначение Связь с основными единицами СИ
м/с
м/с2
рад/с 1 рад/с = 1 С'1
рад/с2 1 рад/с2 = 1 с”2
Гц 1 Гц=1 с-1
С-1
кг т а. е. м. Основная единица Килограмм равен массе междуна- родного прототипа килограмма 1 т= 103 кг 1 а. е. м. = 1,6605655 ЛО"27 кг
Величина
Наименование | Размерность
Плотность £-3Л1
Удельный объем LsM~l
Массовый расход MT--L
Объемный расход L3T-l
Сила LMT-*
Давление L-iMT-2
Жесткость мт-2
Напряжение L-^MT-2
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость L2T~i
П родолжение
Единица
Наименование Обозначение Связь с основными единицами СИ
килограмм на ку- бический метр кг/м3
кубический метр на килограмм м3/кг
килограмм в се- кунду кг/с
кубический метр , в секунду м3/с
ньютон Н 1 Н = 1 КГ-М-С"*2
паскаль Па 1 Па=1 Н/м2=1 м~1*кг-с“3
ньютон на метр Н/м 1 Н/м -~= 1 кг-с~2
паскаль Па 1 Па=1 Н/м2= 1 м“1-кг-с-2
паскаль-секунда Па с 1 Па-с= 1 м~1-кг-с“1
квадратный метр на секунду ма/с
Величина
Наименование Размерность
Поверхностное натяже- ние МТ“а
Импульс (количество движения)
Момент силы МТ-*
Момент импульса (мо- мент количества дви- жения) L2MT~L
Л1омент инерции L2M
Работа, энергия LtMT-*
Мощность, поток энер- гии
Продолжение
Единица
Наименование Обозначение | Связь с основными единицами СИ
ньютон на метр Н/м 1 Н/М= 1 КГ-С”3
килограмм-метр в секунду кг-м/с
ньютон-метр Н’М 1 Н-М=1 М2-КГ-С“2
килограмм-метр в квадрате в се- кунду кг * м2/с
килограмм-метр в квадрате КГ’М2
джоуль Дж 1 Дж=1 Н-м = 1 м2-кг«с“2
ватт Вт 1 Вт= 1 Дж/с=1 м2-кг-с“3
П родолжение
Величина Единица
Наименование Размерность Наименование | Обозначение Связь с основными единицами СИ
Температура (термодина- мическая) 0 кельвин °градус Цельсия К °C Основная единица Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды //°C = 77К—273,15
Температурный коэффи- циент 0-1 кельвин в минус первой степени к-1
Температурный градиент кельвин на метр К/м
Количество вещества N моль моль Основная единица Моль равен количеству вещества системы, содержащей столь- ко же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг
Молярная масса MN"1 килограмм на моль кг/моль
Молярный объем ОО 00 L3N~l кубический метр на моль м3/моль
П родолжегше
Величина Единица
Наименование Размерность Наименование Обозначение Связь с основными единицами СИ
Количество теплоты (теп- лота) L2MT~2 джоуль Дж 1 Дж=1Н-м=1 М2-КГ-С“2
Удельная теплота L2T~2 джоуль на кило- грамм Дж/кг 1 Дж/кг =1 М2«С~2
Молярная теплота джоуль на моль Дж/моль 1 Дж/моль =1 М2-КГ-С“2-МОЛЬ-1
Теплоемкость, энтропия UMT"2®-1 джоуль на кельвин Дж/К 1 Дж/К = 1 м'^кг-с'^К'1
Удельная теплоемкость, удельная энтропия L2T-^)-l джоуль на кило- грамм-кельвин Дж/(кг-К) 1 Дж/(кг«К) = 1 m2-c~2.k-i
Молярная теплоемкость, молярная энтропия джоуль на моль- кельвин Дж/(моль К) 1 Дж/(моль-К) = = 1 М2-КГ-С“3-К"1*МОЛЬ”1
Тепловой поток L'WT-' ватт Вт 1 Вт=1Дж/с = 1 м2-кг-с_3
Плотность теплового по- тока /МТ'3 ватт на квадрат- ный метр В т/м2 1 Вт/м2 = кг-с ~3
Теплопроводность L/WT'3©-1 ватт на метр-кель- вин Вт/(м-К) 1 Вт/(м-К) = 1 м-кг«с“3-К
Величина
Наименование Размерность Наименование
Коэффициент теплопере- дачи МТ-3©-1 ватт на квадратный метр-кельвин
Концентрация (плотность числа частиц) L-3 метр в минус треть- ей степени
Молярная концентрация L~3N моль на кубиче- ский метр
Коэффициент диффузии квадратный метр в секунду
Сила электрического тока I ампер
Продолжение
Единица
Обозначение Связь с основными единицами СИ
Вт/(м2-К) 1 Вт/(м2К) = 1 кгс-’К-1
М“3
моль/м3
м2/с
А Основная единица Ампер равен силе неизменяюще- гося тока, который при прохож дении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кру- гового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу вза- имодействия, равную 2«10”7 Н
Продолжение
390
Величина Единица
Наименование Размерность Наименование Обозначение Связь с основными единицами СИ
Плотность электрическо- го тока L-2/ ампер на квадрат- ный метр А/м2
Количество электричест- ва (электрически# за- РЯД) Т1 кулон Кл 1 Кл=1 С.А
Поверхностная плот- ность электрического заряда L~2T 1 кулон на квад- ратный метр Кл/ма 1 Кл/м3=1 м“3-с-А
Пространственная плот- ность электрического заряда L~3T 1 кулон на кубиче- ский метр Кл/м3 1 Кл/м3=1 м_?-с-А
Электрическое напряже- ние, электрический по- тенциал, разность элек- трических потенциа- лов, электродвижущая сила L2MT~3l~l вольт В 1 В = 1 Вт/А=1 м2-кг-с~3-А-1
Величина
Наименование Размерность
Электрическое сопротив- ление |
Удельное электрическое сопротивление L3MT~4-2
Электрическая проводи- мость
Удельная электрическая проводимость L~3M~XT3P
Электрическая емкость Ь-*М-'ТЧ*
Электрическая постоян- ная, абсолютная диэлек- трическая проница- емость L-3M-^TiP
Поток электрического смещения TI
Электрическое смещение L-*TI
Продолжение
Единица
Наименование Обозначение | Связь с основными единицами СИ
ОМ Ом 1 Ом= 1 В/А= 1 м2*кг-с’3-А’2
ом-метр Ом-м 1 0м-м=1 м3-кг-с“3-А’2
сименс См 1 См=1 Ом-1 = 1 м~2-кг~1«с3« А2
сименс на метр См/м 1 См/м=1 Ом"1-м"1 = = 1 м“3-кг"1-с3-А2
фарад Ф 1 ф= 1 Кл/В = 1 м~2-кг"1*с4-А3
фарад на метр Ф/м 1 ф/м=1 м"3-кг-1-с4-А2
кулон Кл 1 Кл=1 с-А
кулон на квадрат- ный метр Кл/м2 1 Кл/м2=1 м"2-с-А
Величина
Наименование | Размерность
Магнитный поток (поток магнитной индукции) LWT-2/-1
Магнитная индукция (плотность магнитного потока) МТ-2/-1
Индуктивность ^2Д4Г-2/-3
Магнитная постоянная, абсолютная магнитная проницаемость
Напряженность магнит- ного поля L-4
Энергия излучения
Мощность излучения (по- ток излучения) L2MT-*
Интенсивность излучения (плотность потока из- лучения) мт-3
П родължение
Единица
Наименование Обозначение Связь с основными единицами СИ
вебер Вб 1 Вб=1 В-с=1 Тл-м2 = = 1 м2-кг-с-2'А-1
тесла Тл 1 Тл = 1 В«с/м2 = 1 Вб/м2 = = 1 кг«с"а-А“х
генри Гн 1 Гн=1 м2-кг*с~2-А~-
генри на. метр Гн/м 1 Гн/м=1 м-кг-с-2-А“3
ампер на метр А/м
джоуль Дж 1 Дж = 1 М2«КГ-С“2
ватт Вт 1 Вт=1 Дж/с=1 м3-кг-с~3
ватт на квадратный метр Вт/м3 1 Вт/м3 = 1 КГ* С”5
Величина
Наименование Размерность Наименование
Поток частиц Т-1 секунда в минус первой степени
Плотность потока частиц £-2Т-Х секунда в минус первой степе- ни-метр в минус второй степени
Сила света J кандела
Световой поток J люмен
Световая энергия TJ люмен-секунда
Светимость Со ю L-4 люмен на квадрат- ный метр
Продолжение
Единица
Обозначение Связь с основными единицами СИ
с-1
С-1*М-2
кд Основная единица Кандела равна силе света в за- данном направлении источника, испускающего монохроматиче- ское излучение частотой 540-1012 Гц, энергетическая си- ла света которого в этом на- правлении составляет 1/683 Вт/ср
лм 1 лм = 1 кд* ср
лм-с 1 лм-с = 1 с«кд-ср
лм/м2 1 лм/м2 = 1 м~2-кд-ср
Величина
Наименование Размерность
Освещенность L-V
Я ркость L-V
Оптическая сила L-1
Энергетическая сила све- та (сила излучения) L3MT~3
Энергетическая свети- мость (излучательность) мт-3
Энергетическая освещен- ность (облученность) мт-3 1
Энергетическая яркость (лучистость) Л4Т-3
Продолжение
Единица
Наименование Обозначение Связь с основными единицами СИ
ЛЮКС ЛК 1 лк=1 лм/м2=1 М~2’КД*Ср
кандела на квад- ратный метр кд/м2
°диоптрия дптр 1 дптр = 1 M”1
ватт на стерадиан Вт/ср 1 Вт/ср=1 м2*кг«с“3-ср-1
ватт на квадратный метр Вт/м2 1 Вт/М2=1 КГ* С”3
ватт на квадратный метр В т/м2 1 Вт/м2=1 КГ*С"3
ватт на стеради- ан- квад ратный метр Вт/(ср*м2) 1 Вт/(ср*м2) = 1 кг*с~3*ср”1
IV. Перевод внесистемных единиц в СИ
Величина Единица и ее связь с единицей СИ
Длина Частота вращения Сила 1 А = 10’10 м 1 об/с = 1 С”1 1 дин = 10-5 н 1 кгс = 9,81 Н
Давление 1 дин/см2 = 0,1 Па 1 бар= 105 Па 1 атм = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па 1 ат=1 кгс/см2 = 98 066,5 Па
Жесткость Динамическая вязкость Кинематическая вязкость Поверхностное натяже- ние Импульс силы Момент силы 1 мм рт. ст. (Торр)= 133,322 Па 1 дин/см=10“3 Н/м 1 П = 0,1 Па «с 1 Ст = 10“4 ма/с 1 дин/см= 10 “3 Н/м 1 дин*с=10-5 Н-с 1 дин-см = 10“7 Н-м 1 кгс-м=9,81 Н-м
Работа, энергия 1 эрг= 10“7 Дж 1 кгс-м = 9,81 Дж 1 л. с.• ч = 2,65« 106 Дж
Мощность, поток энер- гии 1 эрг/с=10-7 Вт 1 кгс-м/с = 9,81 Вт 1 л. с. = 736 Вт
Количество теплоты (теп- лота) Удельная теплота 1 эрг= 10-7 Дж 1 кал = 4,19 Дж 1 эрг/г = 10“4 Дж/кг 1 кал/г = 4,19-103 Дж/кг
Молярная теплота 1 эрг/моль = 10"7 Дж/моль 1 кал/моль = 4,19 Дж/моль
Теплоемкость, энтропия 1 эрг/К = Ю-7 Дж/К 1 кал/К = 4,19 Дж/К
Удельная теплоемкость, удельная энтропия Молярная теплоемкость, молярная энтропия Тепловой поток 1 эрг/(г-К)= Ю"4 Дж/(кг-К) 1 кал/(г-К) = 4,19-103 Дж/(кг-К) 1 эрг/(моль*К)= 10-7 Дж/(моль-К) 1 кал/(моль-К) = 4,19 Дж/(моль-К) 1 эрг/с= 10~7 Вт 1 кал/с = 4,19 Вт
Плотность теплового потока Теплопроводность 1 эрг/(с-см2) = 10“3 Вт/м2 1 кал/(с-см2) = 4,19-10* Вт/м2 1 эрг/(с-см-К)= Ю“5 Вт/(м-К) 1 кал/(с-см-К) = 4,19-102 Вт/(м-К)
Коэффициент теплопере- дачи Сила электрического то- ка Плотность электриче- ского тока 1 эрг/(с-см2-К)= Ю“3 Вт/(м2-К) 1 кал/(с-сма-К) = 4,19* 104 Вт/(м2-К) ед. СТС (СГСЭ)=10/с А = 3,34-10“10 А, где с = 3-1010 см/с ед. СГС (СГСЭ)=105/с А/м2 = = 3,34-10“° А/м2
395
П родолжение
Величин^ Единица и ее связь с единицей СИ
Количество электричест- ва (электрический за- РЯД) Пространственная плот- ность электрического заряда Электрическое напряже- ние, электрический по- тенциал, разность элек- трических потенциа- лов, электродвижущая сила Напряженность электри- . ческого поля Электрическое сопротив- ление Удельное электрическое сопротивление Электрическая проводи- мость Удельная электрическая проводимость Электрическая емкость ед. СГС (СГСЭ) = 10/с Кл = 3.34-10-1® К л 1 А-ч = 3600 Кл ед. СГС (СГСЭ)=10’/с Кл/м3 = = 3,34-10-4 Кл/м3 ед. СГС (СГСЭ)=10“8 с В =300 В ед. СГС (СГСЭ)=10-в сВ/м = 3-104 В/м ед. СГС (СГСЭ)=10-« с2 Ом = ; =8,99* 10й Ом ' ед. СГС (СГСЭ)=10~п с2 Ом-м = = 8,99-10® Ом-м ед. СГС (СГСЭ) = 10»/с2 См = = 1,11-10“” См ед. СГС (СГСЭ) = 10”/с2 См/м = = 1,11-10-” Сй/М 1 см = ед. СГС (СГСЭ) = 10®/с2 Ф = = 1,11-10-” Ф
Абсолютная диэлектри- ческая проницаемость Поток электрического смещения Электрическое смещение ед. СГС (СГСЭ) = 10“/4лс2 Ф/м = = 8,85-10-” Ф/м ед. СГС (СГСЭ) = 10/4лс Кл= = 2,65-10-” Кл ед. СГС (СГСЭ) = 105/4лс Кл/м2 = = 2,65-10-’ Кл/й2
Магнитный поток (поток магнитной индукции) Магнитная индукция ' (плотность магнитного , потока) Индуктивность Абсолютная магнитная проницаемость Напряженность магнит- ного поля Светимость Освещенность Яркость Энергетическая сила све- та (сила излучения) Энергетическая свети- мость (излучательность) Энергетическая освещен- ность (облученность) Энергетическая яркость (лучистость) 1 Мкс = ед. СГС (СГСМ) = 10-® Вб 1 Гс=ед. СГС (СГСМ) = 10-4 Тл 1 см = ед. СГС (СГСМ)=10“® Гн ед. СГС (СГСМ)=4л-10-’ Гн/м = = 12,6-10-’ Гн/м 1 Э = ед. СГС (СГСМ)=103/4лА/м = = 79,6 А/м 1 радфот=1 лм/см2=104 лм/м2 1 фот= 1 лм/см2=104 лк 1 стильб = 1 кд/см2 =104 кд/м2 1 эрг/(с-ср) = 10_; Вт/ср 1 эрг/(с-см2) = 10“’ Вт/м2 1 эрг/(с-см2) = 10“1 Вт/м2 I эрг/(с-ср-см2) = 10“’ Вт/(ср-м2)
396
V. Названия, символы и атомные массы
химических элементов
1 Водород Н 1,0079 54 Ксенон Хе 131,30
2 Гелий Не 4,00260 55 Цезий Cs 132,9054
3 Литий Li 6,941 56 Барий Ва 137,33
4 Бериллий Be 9,01218 57 v антан La 138.9055
б Бор В 10,81 58 Церий Се 140,12
6 Углерод С 12,011 59 Празеодим Рг 140,9077
7 Азот N 14,0067 60 Неодим Nd 144,24
8 Кислород О 15,9994 61 Прометий Pm [145]
9 Фтор Р 18,998403 62 Самарий Sm 150,4
10 Неон Ne 20,179 63 Европий Eu 151,96
11 Натрий Na 22,98977 64 Гадолиний Gd 157,25
12 Магний Mg 24,305 65 Тербий Tb 158,9254
13 Алюминий Al 26,981 64 66 Диспрозий Dy 162,50
14 Кремний Si 28,0855 67 Гольмий Ho 164,9304
1 5 Фосфор P 30,97376 68 Эрбий Er 167,26
16 Сера S 32,06 69 Тулий Tm 168,9342
17 Хлор Cl 35,453 70 Иттербий Yb 173,04
18 Аргон Ar 39,948 71 Лютеций Lu 174,967
19 Калий К 39,0983 72 Гафний Hf 178,49
20 Кальций Ca 40,08 73 Тантал Ta 1 80,947
21 Скандий Sg 44,9559 74 Вольфрам W [ 183,85
22 Титан Ti 47,90 75 Рений Re 186,207
23 Ванадий V 50,9415 76 Осмий Os 190,2
24 Хром Cr 51,996 77 Иридий Ir 192,22
25 Марганец Mn 54,9380 78 Платина Pt 195,09
26 Железо Fe 55,847 79 Золото Au 196,9665
27 Кобальт Co 58,9332 80 Ртуть Hg 200,59
28 Никель Ni 58,71 81 Таллий Tl 204,37
29 Медь Cu 63,546 82 Свинец Pb 207,2
30 Цинк Zn 65,38 83 Висмут Bi 208,9804
31 Галлий Ga 69,735 84 Полоний Po [209]
32 Германий Ge 72,59 85 Астат At [2Ю]
33 Мышьяк As 74,9216 86 Радон Rn [222]
34 Селен Se 78,96 87 Франций Fr [223]
36 Бром Br 79,904 88 Радий Ra 226,0254
36 Криптон Kr 83,80 89 Актиний Ac [227]
37 Рубидий Rb 85,467 90 Торий Th 231,0381
38 Стронций Sr 87,62 91 Протактиний Pa 231,0359
39 Иттрий Y 88,90 59 92 Уран U 238,029
40 Цирконий Zr 91,22 93 Нептуний Np 237,0482
41 Ниобий Nb 92,9064 94 Плутоний Pu [244]
42 Молибден Mo 95,94 95 Америций Am [243]
43 Технеций Tc 98,9062 96 Кюрий Cm [247]
44 Рутений Ru 101,07 97 Берклий Bk [247]
45 Родий Rh 102,9055 98 Калифорний Cf [251]
46 Палладий Pd 106,4 99 Энштей ний Es [254]
47 Серебро Ag 107,868 100 Фермий Fm [257]
48 Кадмий Cd 112,41 101 Менделевий Md [2’58]
49 Индий In 114,82 102 (Нобелий) (No) [259]
50 Олово • Sn 118,69 103 (Лоуренсий) (Lr) [260]
51 Сурьма Sb 121,75 104 Курчатовий Ku [260]
52 Теллур Те 127,60 105 [260]
53 Иод 1 126,9045 106 [263]
397
Григорий Авксентьевич Бендриков
Борис Борисович Буховцев
Василий Васильевич Керженцев
Геннадий Яковлевич Мякишев
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Редактор Л. И. Гладнева
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры Т. С. Плетнева, Л. С. Сомова
ИВ № 32580
Печать с матриц. Подписано к печати
30.12.86. Формат 84х1081/зэ. Бумага тип.
№ 2. Гарнитура литературная. Печать
высокая. У с л. печ. л. 21. Усл. кр.-отт. 21.32.
Уч.-изд. л. 24,13. Допечатка тиража
200 000 экз. Заказ № 7021, Цена 1 руб.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука». Главная редакция1
физико-математической литературы, 117071,
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография»
имени А, А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли, 113054, Москва, М-54,
Валовая, 28. Отпечатано в типографии
издательства «Коммуна», 394000,
г. Воронеж, проспект Революции, 39.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ КНИГИ ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
БУТИКОВ Е. И., БЫКОВ А. А., КОНДРАТЬЕВ А. С. Физика в
примерах и задачах. — 2-е изд. — 1983, 464 с., 95 к.
БУТИКОВ Е. И., БЫКОВ А. А., КОНДРАТЬЕВ А. С. Физика
для поступающих в вузы. — 2-е изд. — 1982, 608 с., 1 р. 20 к.
ТУРСКИЙ И. П. Элементарная физика с примерами решения
задач. — 3-е изд. — 1984, 448 с., 1 р. 10 к.
Задачи по физике. /Воробьев И. И., Зубков П. И., Кутузова Г. А.
и др.; Под ред. О. Я. Савченко. — 1981, 432 с., 95 к.
ЗУБОВ В. Г., ШАЛЬНОВ В. П. Задачи по физике.— 11-е изд.—
1985, 256 с., 50 к.
МЕЛ ЕДИН Г. В. Физика в задачах: Экзаменационные задачи с
решениями. — 1985, 208 с., 45 к.
Сборник задач по физике /Баканина Л. П., Белонучкин В. Е.»
Козел С. М., Мазанько И. П.; Под ред. С. М. Козела. — 1983,
288 с., 80 к.
СУОРЦ Кл. Э. Необыкновенная физика обыкновенных явлений:
Пер. с англ. В 2-х т.
ТЛ. — 1986, 400 с., 2 р. 10 к.
Т 2. — 1987, 384 с, 2 р.
ШАСКОЛЬСКАЯ М. П., ЭЛЬЦИН Э. А. Сборник избранных
задач по физике. — 5-е изд. — 1986, 224 с., 40 к.
Элементарный учебник физики: В 3-х т. /Под ред. Г. С. Ланд-
сберга.
Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — 10-е изд. —
1985, 544 с., 1 р. 40 к.
Т. 2. Электричество и магнетизм. — 10-е изд. — 1985, 400 с.,
1 р. 10 к
Т. 3. Колебания и волны. Оптика. Строение атома. — 10-е изд.
— 1986, 656 с., 1 р. 50 к.
ЯВОРСКИЙ Б. М., ПИНСКИЙ А. А. Основы физики: В 2-хт.
Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика. — 3-е
изд. — 1981, 480 с., 1 р. 20 к.
Т. 2. Колебания и волны. Квантовая физика. — 3-е изд. —
1981, 448 с., 1 р. 20 к.
Приобретайте перечисленные выше издания в магазинах книго-
торга, распространяющих литературу данной тематики.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ»
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
ГОТОВИТСЯ К ИЗДАНИЮ в 1988 году:
Для учащихся общеобразовательных и профессиональных школ,
а также лиц, занимающихся самообразованием и ведущих внеклас-
сную работу по физике и математике.
АЛЕНИЦЫН А. Г., БУТИКОВ Е. И., КОНДРАТЬЕВ А. С.
Краткий физико-математический справочник. — 1988. — 20 л. —
(В nep.)i 1 р. 40 к.
Охватывает все разделы современных начальных курсов физи-
ки и математики. Содержит определения основных понятий, физиче-
ских и математических величин, формулировки физических законов,
математических аксиом и теорем, важнейшие формулы. Основное
назначение — помочь читателю быстро найти или восстановить в
памяти необходимую информацию. Наличие сведений как по фи-
зике, так и по математике, приведенных в согласованную систему,
создает удобства в практическом применении справочника, напри-
мер, при решении задач.
Для широкого круга читателей — учащихся и преподавателей
средних школ, профессионально-технических училищ, техникумов,
слушателей подготовительных отделений вузов, а также студентов
педагогических и технических вузов,
Предварительные заказы принимаются магазинами Союзкниги
и Академкниги, распространяющими литературу данной тематики.
1 РУб.
юлка к
СССР
у
Библиотека
бесплатных
учебников на
сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу