Теги: математика
Текст
Глава 1
Введение в анализ
§ 1. Элементы теории множеств
1.1. Логические символы.
В математике часто некоторые словесные выражения заменяют посредством символов.
Так. например, символом V заменяют выражение “для произвольного”, или “для любого", или
“какого бы ни было”, а символом 9 — выражение “существует”, или “найдется”. Символы V
и 9 называются кванторами.
Запись А => В (импликация) означает, что из справедливости высказывания Л вытекает
справедливость высказывания В. Если, кроме того, из справедливости высказывания В вы-
текает справедливость Л, то записываем A -ft В. Если A -ft В, то высказывание В является
необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание Л.
Если предложения Л и В справедливы одновременно, то записываем А Л В. Если же
справедливо хотя бы одно из предложений А или В, то записываем А V В.
1.2. Операции над множествами.
Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного.
Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит
ли данный элемент множеству или не принадлежит.
Множество обозначают символом А = {г}, где z — общее наименование элементов мно-
жества А. Часто множество записывают в виде А = {а, Ь, с,...}, где в фигурных скобках
указаны элементы множества 4.
Будем пользоваться обозначениями:
N — множество всех натуральных чисел;
2 — множество всех целых чисел;
CJ — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел;
С — множество всех комплексных чисел;
2о — множество всех неотрицательных целых чисел.
Запись « £ Я (или Л ? а) означает, что элемент а принадлежит мно-
жеству А.
Запись а £ А (или А % а) означает, что элемент а не принадлежит
множеству А.
Множество В, все элементы которого принадлежат множеству Л, назы-
вается надмножеством множества 4, и при этом записывают В С 4 (или
А 3 В) (рис. 1). Всегда А С 4, так как каждый элемент множества,
естественно, принадлежит 4. Пустое множество, т. е. множество, не со-
держащее ни одного элемента, обозначим символом 0. Любое множество
содержит пустое множество в качестве своего подмножества.
Определение 1. Если А С В А В Q 4, то А и В называются
равными множествами, при этом записывают А — В.
Определение 2. Если А С »7> то множество элементов множества
J, не принадлежащих А, называется дополнением множества А к мно-
жеству J (рис. 2).
Дополнение множества 4 к множеству J обозначают символом СдА
или просто (’4, если известно, к какому множеству берется дополнение.
Таким образом,
Cj4 = (г : г € J А. т £ 4}.
Рис. 2
Гл. 1. Введение в анализ
Если AC J, Н С J, то иногда дополнение множества В к множеству А называют разностью
множеств А и В и обозначают А\В (рис. 3), т. е.
А\В = {я: х € А Л х & В}.
Пусть А и В подмножества множества У.
Определение 3. Объединением множеств А и В называется множество (рис. 4)
A U В = {г : х € А У г £ В).
Аналогично, если At, j = I, w, подмножества множества J, то их объединением буде-i
множесз во
Определение 4. Пересечением подмножеств А и В называется множество (рис. 5)
А П Zf{z : х € А Л х £ В}.
Аналогично, символом Q А3 обозначают пересечение подмножеств А},3 = 1, », множе
ства У, т. е. множество
Q А3 = {х : х £ А> Л х £ А2 Л
л г е ап}.
Если каждому у £ Af сопоставлено некоторое множество Ам, то говорят, что задано
семейство множеств {А,,}, р £ М, В этом случае множество (J Ам = {г : все х такие, что
мёМ
х £ Ам хотя бы для одного р £ Л/} называют объединением семейства множеств {А(<}, Р £
М, а множество р| Ам — (т . х £ A>t V/т £ М} — пересечением этого семейства.
(*€ЛТ
Определение 5. Симметрической разностью двух множеств А и В называется мно-
жество, определяемое объединением разностей А\В и В\А (рис. 6).
Симметрическую разность обозначают символом А Д В.
Определение б. Два элемента а и b называются упорядоченной парой, если указано,
какой из .ипп г .>лемснтов первый, кокой второй, при этом ((«, 6) = (с, г/)) # (a s сЛ I = J).
Упорядоченную пару элементов а и 6 обозначают символом (а, Ь).
Аналогично определяется упорядоченная система из п элементов «1, «2, • • • ап, которую
обозначают символом (п[, яг..ап). Элементы а>, аг, ., ап называются координатами
упорядоченной системы (а3, «г, ап).
Определение 7. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (а, 6), где а £ А.
h £ В, называется произведением множеств Ап В и обозначается символом Ах В.
Аналогично, символом /1, х Аг х ... х Ап обозначают произведение множеств Л3 С J.
j = 1, п, т. с, совокупность всевозможных упорядоченных систем ('И, «г, • • •, а„), где а3 £
Aj, j = 1, н.
§ 1. Элементы теории множеств
1.3. Булева алгеб ра.
Пусть Л, В и D — произвольные подмножества множества J. Тогда непосредственно из
определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие предложения:
1) A U В С J, АП В С /7 (замкнутость операций объединения и пересечения);
2) АиВ=ВиЯ, А П В = В П А (коммутативность операций объединения и пересече-
ния);
3) A U (В U В) = ( A U В} U Г). А гу [В п D) — (А П В) П D Iассоциативность операции
объединения и пересечения);
4) A U (В П D) = >(А U В) П (A U D} (дистрибутивность операции объединения относи-
тельно операции пересечения);
Ai~i(Bu/)) = (AriB)U(An^) (дистрибутивность операции пересечения относительно
операции объединения I;
5)АиА = АПА= А-
6) (А и В = В) & (А' П В = А),
7) A U 0 = А. АСУ J = А, А П 0 = 0, A U J = J;
8) A U ('А = J, А П (;А — 0,
Если для -элементов м ножества а = {А, В, (1. ...} определены объединение U и пересече-
ние П, для которых выполняются отношения 1)—8), то тройка (cr, U, П) называется булевой
алгеброй. Таким обр азокч, если а — семейство всех частей множества J, то (<т. U. П) —
булева алгебра.
1.4. Принцип двойственности.
Для произвольн'ых подмножеств А и В множества J справедливы равенства
(!(AUB)sCAn СВ, С (АП В) = С A UCB. (И
Свойства, записанные равенствами (1), называются принципом двойственности. Их
можно прочитать следующим образом: дополнение к объединению множеств равно пересече-
нию их дополнены и, а дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнении
Без труда принци ,п двойственности переносится на произвольное число подмножеств Ал, при
этом записывают
СиЛ- = АСЛ-’ <‘,Qa,. = Uc4„.
В этом случае символ дополнения (’ можно менять местами со знаком U или П. при этом
знаки эти лере: содяг один в другой.
1.5. Алгеб ipa множеств.
Пусть J - - некоторое множество, а P(J) — система всех подмножеств множества J.
Определение 1. Непустое, семейство R С Р(3), замкнутое относительно операции
объединения, пересечения и разности множеств, называется кольцом множеств.
Определение 2. Множество Е называется единицей семейства множеств Е. ec.it
Е € Е и VA £ Е справедливо равенство А П Е = А.
Опреде. пение 3. Кольцо множеств, содержащее в качестве своего элемента единицу
называется алгеброй множеств.
Опред< -ление 4. Семейство множеств S Q P(J) называется полукольцом, если оц<,
содержит I tyemoe множество и если VA € S u VAi С А существуют такие множеспн.а
Аг, Аз, .,. , Ап € что
А = A, U Аг U ... U Ап,
где симвоз t U означает объединение не пересекающихся множеств.
1, До казать справедливость отношений 1)—8) пункта 1.3.
1) 1 По определению 3, п. 1.2.
A U В = {х £ J : х £ А V х <Е В},
следоват ельн о, из включения г G A U В следует г J, х. е. A U В С 3.
Ана. югич'но, по определению 4, п. 1.2,
А П В = {х £ J : х £ А A х G В},
поэтом у из вк лючения х € А П В следует включение А П В С J.
Гл. 1. Введение в анализ
2) Поскольку вьк казывание х fe А V £ € В равносильно вы< казыва иию j t В V £ с /V <>
AuB={xEJ. xEAVxEB}={xEJ:xEBvxEA)=BuA.
Второе равенсшо доказывается анало| нчно,
3) В силу свойств логического символа V, имеем
,4и(ВиР) = {г 6 J :г Е Л Vi e(BU D)} = {х € J х € А V (х € В V х £ В)} =
= {г с j ; (г е A v х е В) v г е о} - {х е 7 г £ (А и В) v г е В) = (А и ву и в
Второе равенство из 3) доказывае(ся аналогично.
4) Имеем
A U {В Л В) = {т € J ' х € А V т G {В Л I)}) =
= {г Е J : х Е AV (т Е В А х Е Р)} = {IEJ:(I еЛ Vi € /})Л|гЕ AVTEfl)} =
= {х € 7 : (х € A U В) Л (х £ A U D'i} = (Д U В) П (A U Р).
Второе равенство доказывается аналогично.
5) Пусть х Е A U А, тогда х Е А А х Е А, ь е. х Е А и, тем самым, справедливо включение
A U А С А Обратное включение А С А и А непосредственно следует из определения
объединения. Из двух последних включений вытекает равенство A U /\ — А.
Равенство А Л Л = А доказывается аналогично.
6) Предположим, что справедливо равенство А П В = А. Тогдг>
(А П В = А) =► (А С А П В) =► (А С В).
Пользуясь получерным включением, находим
AuB={iEJ:xEAVxEB)C{rE3-TEB\.'reB}=B.
А поскольку A U В D В, то A U В = В. Таким образом,
(лпа = л)^(лив=в). (1)
Пусть теперь A U В = В. Тогда справедливы импликации
(A U В = В) =► (A U В С В) =► (А С В).
Пользуясь включением А С В, находим
АЛ В = {т. Е J : х Е А Ах ЕВ) D {х £ J х Е А А х Е А) = А
А поскольку справедливо и обратное включение А Л В С А, то А Л В = А, сл едовательно,
(A U В= В) => (А Л В = А). (2)
Из (1) и (2) следует {А Л В = А) О (A U В = В).
7) Если tE-4U0,toiE4Vi:E0. Поскольку множество 0 не содеря сит ни одного
элемента, то из х Е A U 0 следует х Е А, т. е. A U 0 С А, что совместно с: включением
A U 0 Э А равносильно равенству А и 0 = А.
Далее, из0САЛ0С0 непосредственно следует равенство А Л 0 = 0.
Поскольку АС У, то А Л JZ = {х £ J : х Е А A х Е J} {х Е J ' х Е А А х £ А) = А
что совместно с включением А Л ,7 С А влечет равенство А Л j = А.
Наконец, непосредственно из включений J С AU J С J следует равенство A U J = J.
8) <’О( ласпо свойству 1),
AUCACJ. (3)
Пусть г Е J, тогда если х Е А, то г Е А и СА; если же г А, то i Е С'А и снов
.г Е A U ('А. Таким образом, из т Е J следует х Е A U СА, т. е.
J С А U СА. (4)
Из (3) и (4) следует равенство
AuCA = J. (5)
Д11Я доказательства равенства А Л СА = 0 покажем, что множество А Л СЛ нс с одержи
пи одного элемента. Действительно, согласно равенству (5), любой элемент множ ества
нринад лежит А или С А. Если х g А, то х СА и, следовательно, х А Л С А . Есль I же х €
(’А, то х А (так как если бы i Е А, то х & СА), « снова х £ А Л СА. Поскольку Min >жество
А Л СА не содержит ни одного элемента, то это множество пустое, т. с. А Л С А = 0. ►
Гл. 1. Введение в анализ 9
2- Дом.мп. принцип Д1>ойгпичц|ис1и:
С(АиВ) = СЛПСЙ, (1)
(,’(4пВ) = С4иСЯ (2)
(см. равенства (I), л. 1.4).
4 Докажем равенство (1) (равенство (2) доказывается аналогично).
Пу TI. г € С (4 U В), тогда, согласно равенству (5) предыдущей задачи, х £ A U В, т. е.
z £ Л А х В. Отсюда х ССАЛ/ Е СВ, а следовательно, х € С4 П СВ. Таким образом,
С(4иВ)СС4пСВ. (3)
Предположим теперь, что х € (?4 П СВ, Тогда х ё СА А х € СВ, т. е. х£4Ах$?В, а
значит, г £ Ли В их€С(ДиВ). Отсюда
С(4и В) ССЛ ПСВ. (4)
И) включений (3) и (4) следует равенство (1). ►
3. Доказать равенства
4 U (Л П В) = А Л (Л U В) = А. (1)
Ч Пользуясь свойствами 4) и 5) задачи 1, получаем первое из равенств (1);
4 U (Л П В) = (Л U Л) Л (Л U В) = 4 Л (Л U В).
Остается доказать, »по А П (Л U В) — Л. Если х ё Л Л (A L) В), то х Е 4 A I ё 4 L) В и,
следовательно,
Л Л (Л U В) С Л. (2}
Гели же х G 4, то х ё 4 U В, а значит, i Е Ап(Аи 3), т. е.
ЛсЛО(ЛиВ). (3)
Из включений (2) ц (3) следует второе из равенств (1). ►
4. Доказать равенства:
а) ССЛ = 4; б) C.J = О; в) С0 = J.
4 л) Если х ё GG4, то г СЛ, а поэтому х € Л и справедливо включение ССЛ С 4.
Наоборот, если х € Л, то х £ СЛ, а поэтому х € ССЛ и справедливо включение А С ССЛ.
Из доказанных включений следует равенство а).
б) Множество CjZ пустое, так как отрицание х £ СЗ справедливо для любого х 6 3 •
в) Если х € 3, то х £ 0, а поэтому х € Со и, следовательно, J С С0. Поскольку всегда
С0 С 3, то из последних двух включений следует равенство в). ►
5. Доказать справедливость включения
(Л\В)С(Л\О)П(О\В).
« Пусть х € (4\В), тогда х £ А А х £ В. Если при этом X&D, то х 6 (4\Л) м,
следовательно, х £ (4\Z>) U Если же х ё D, то поскольку х £ В, находйМ, что
х g (D\B), а поэтому х ё и (D\B). Таким образом, как при х £ D, так и при
э ё I) из условия х ё (4\В) следует х ё (4\Р) U (D\B], что равносильно доказываемому
включению. ►
6. Определить множества А О В, А П В, А\В, В\А, А Д В, если:
а) А = {х : 0 < г < 2}, В = {х : 1 х 3}; (
6) 4 = {х : х2 - Зх < 0}, В = (х : х2 - 4х + 3 > 0};
в) 4 = {х ;|х - 1| < 2}, В = {х : |х - 1| + |х - 2| < 3).
◄ Пользуясь определениями объединения, пересечения, разности и симметрической раэ-
Ио<ти множеств, находим:
а) 4 U Я = {х .-((I < х < 2) V (Ю 3)} = {х : 0 < х О);
4 П В = {х : (0 < х < 2) А {1 х 3}} = {х : ] х < 2};
А\В = {х : (0 < х < 2) А х £ [1, 3]} = {х : 0 < х < 1};
В\А = {х : (1 $ г 3) А х £ ](1, 2[} = {х : 2 х 3};
4 Д В = {г : (4\В) U (В\4)} = {х : {0 < X < J) V (2 х 3)}.
Гл. 1. Введение в анализ
б) Поскольку х2 —Зх < 0 для 0<х<3,тоА = {х:0<х< 3). Неравенство х2 — 4т +3 О
справедливо для — сх> <i$l >13$ j< -boo. Обозначим D = {х : — со < х 1), Е = ^х : 3
X < 4-со). тогда В = D и Е. Используя свойства операций над множествами, находим:
A В = A U (D U Е) = A U D U Е = {х : (0 < х < 3) V
V (—со <x^l)V(3$z< 4"оо)) = {я : —оо < х < 4-со);
.4 Л В = А П (Р U Е) = (.4 П D) U (4 П Е) = {х : (0 < х $ 1) V х £ 0} = {х : 0 < х 1};
Л\в = A\(D U £) - {х : х £ А л (х £ D V х £ Е)) = ;
= (г : (х £ А л I £ D} V (г £ А л х € Е)} = {A\D} и (А\Е) = {х 1 < х < 3};;
3\А = (й U Н)\А (х - (х £ D V х £ £) л х £ А) =
= {х : (х £ D Л х £ А) V (х € Е Л х £ А)) = (D\A) U (Е\А) =
= {х : (-00 <x<Q)V(3^x< +00)};.
= 4 Д (A\(D U Г)) и ((Р и Е)\А) =
= {х : (1 < а < 3) V (-сх> <x^0)V(3^x< +сю)} =
= {х : (-со <z^O)V(l<x< +00)}.'
в} Запишем явное выражение для множества А = (х : — 2 < х — 1 < 2} = {х : — 1 < х < 3).
Затем, решая неравенство |х — 1| 4- |х — 2| < 3, находим явное выражение для множества
|3 = {х ; 0 < х < 3}. Тогда
A U В = {г : (-1 < т < 3) V (0 < х < 3)} = {х . -1 < х < 3};
А л В - {х . (-1 < х < 3) л (0 < I < 3)) = {х : 0 < х < 3):
А\В - (г : (-1 < г < 3) Л х £]0, 3[) = {х : -I < х 0);
В\А = {г (0 < х < 3) Л х £] - 1, 3[} = 0;
А Д В = (А\В) U (В\А) = А\В - {г : -4 < х < 0}. ►
7. Имеем А = {(я,у) : |х| А |?/| < <5} (рис. г), В = у
• \А2 4- У2 < *) (рис. &}. I) = {(X. у) max{|r|, 1у|} < 8) 3
(рит.9). Показать, что А С В С В-
Пусть (х. y'l £ А. тогда |х| +<8. Отсюда
у/)-2 + У2 С \/г2 + = |zl + 1у! < j
€ В. что в свою очередь влечет выполнение иера-
ВенслЧа
Следовательно, и включение (г.у) € D. Таким образом,
ДС fl С D ► Рис. 10
8. Пусть А = {У : 2 х 4}. В = {у : 1 3). Изобразить на плоскости хОу
мкожесяо точек 4 х В
•4 Поскольку Ах В = {(х,у) 1 (2 х 4) Л (1 у 3)}, то А х В есть совокупност ь
уОЧ?^>Ч,я'1С|у гольника. ограниченною прямыми х =2, д =4, y = l,t/ = 3 (рис. 10). ►
11 Гл. 1. Введение в анализ
\> . 11 < Ж.» 1.1 I Ь, Ч f < < ' М' II < I НО /1 , I.IMMI V <О<’ О < НО< tl I < .1 I.Hll ОЬ |.('ДШ1< н ня и р i »цо< I и. я пляс I г я
КОЛЬЦОМ
•4 Пусть А и Н — произвольные множества семейства R. Поскольку А П В = А\(/1\В),
а Л С Л\В С 11, то Л П В С Я. Следовательно, семейство R замкнуто относительно
объединения, пересечения и разности, г. е. является кольцом. ►
10. Показать, что семейство R = {о, 0}. состоящее из непустого множества ге и пустого
множества 0, образует кольцо. Является ли зто кольцо алгеброй?
4 Семейство R содержит своими элементами объединение о U 0 — <-г и разности а\0 =
it. и\о = 0. Поэтому R замкнуто относительно объединения и разности, т е., согласно
предыдущему примеру, является кольцом. Л так как элемент а € R содержит все остальные
множества семейства R, то п — единица семейства, a R — алгебра. ►
11. Пусть множество /7 = {а, /?, у) состоит из трех элементов, a 7*(j7) — семейство всех
подмножеств множества /7.
а) Записать все алгебры, коюрые можно построить из элементов множества />(j7), и
указать их единицы.
б) Описать все кольца, которые можно построить из элементов множества P(j7).
в) Описать все полукольца, которые можно построить из элементов множества Р( J) И
которые не являются кольцами.
4 а) Простейшими алгебрами являются: семейство {и), состоящее из одного пустого
множества, три алгебры
((«).£>.), ЮТ.и). (<7), о),
состоящие из двух элементов с единицами, соответственно равными {о}, {>5}, {у} (см. пре-
дыдущий пример); шесть алгебр
Я. {«}, {Я, 0Ь {{«. т}, {«}, {т(, 0},
Я, {£}, {Я, {{^/0, 0L {{*л}. 0), Ш. т), 0},
единицами которых соответственно являются множества (<т, /7), {о, у}, (/?, у), {а, 0],
{'»'• ">}. ?}• Легко видеть, что любое из этих семейств замкнуто относительно объединения
и разности; четыре алгебры
(J, |«, П, {?), И), {J, {«, у}, {/3), 0), {J, {!), 7), («). И), {.'Л И),
единицей которых является множество J. Наконец, объединение всех перечисленных алгебр
{J, {«, 0), {о, у}, {0, у), {«}, {/»),
также является алгеброй с единицей у.
б) Все приведенные в пункте а) алгебры, естественно, являются кольцами. Других колец
нет.
и) Всякое кольцо является полукольцом. Действительно, из условия, что А и Ai С А
принадлежат кольцу Л, следует, что •
А = At U Аг, где Аг = Л\Л> С R.
кроме того, в нашем случае можно построить примеры полуколец, которые не являются
кольцами. Папример, семейства
{{«}> {Я, 0(, {{«}, {7}, 0(, «Я, Ь), 0),
{{«. Я> <Я- 0}> {{«, у}, (/?}, 0}, {{^,у}, {а}, 0}.
R самом деле, в каждом из шести семейств пересечение любых двух элементов семей-
ства принадлежит этому семейству. Далее, каждый непустой элемент семейства имеет >
качестве своего подмножества только само множество, поэтому, например, для семейст**'
({/?. у}, {«}, 0), имеем
{(Л 7} - {0, 7( U 0 = {0, 7}, {«} = {<v} U 0 = {ст},
г. е второе условие определения полукольца выполняется. Полукольцом является любое
< гмойство, содержащее (а), {/7}, {у), 0, ко не совпадающее с P{j):
{{«, Я, {«}. {#}, {7}, 0}, {{«, 7}, {«}> {Я. Ь)- 0} и т- Д-
Гл, I. Введение в анализ
Покажем, например, что семейство 5 = {{а, 0}, {а}, {7}, 0} — полукольцо. Действи
тельно, пересечение любых двух элементов семейства S снова является элементом S. Далее
для всякого элемента S справедливо разложение: {а, = {а} U {/3), {а} = {а}, {/#} = {/J)
{7} = {7} на непересекающиеся множества. Таким образом, семейство S — полукольцо. ►
12. Пусть три числа а, b и с удовлетворяют неравенствам а < с < Ь. Показать, чт<
семейство
S = {[«, Ч. [a, d, {с, 6], [а, с[, [с, с], ]с, 6], 0},
состоящее из сегментов и полусегментов, образованных точками а, 6 и с, является полуколь
цом, но не кольцом.
Пересечение любых двух элементов семейства S есть элемент этого же семейства, т. е. 2
замкнуто относительно операции пересечения. Далее, любой элемент семейства S допускав-
разложение на непересекающиеся части, принадлежащие S. Например,
[а, Ь] = [а, с]и]с, 6] = [а, r[U[c, c]l_l]c, 6] = [а, c[U[c, 6], [а, с] = [а, с[|_|[с, с] и т. д.
Семейство S не является кольцом, так как оно не замкнуто относительно объединения. На
пример, [а, с[и]с, 6] не принадлежит S. ►
13. Доказать, что
(Л Л В} х (В Л Е) ~ (4 х D) П (В х Е).
Пусть (г, у) € (Л Л В) х (D Л Е), тогда х £ А Л В и у £ D Л Е, что равносилье
тому, что х G А Л х € В и у £ D Л у Е Е. А поскольку х £ А А у £ D, то (я, у) £ А X D
Аналогично, изг ё ВАу е Е следует (х, у) € В X Е. Таким образом, (х, у) £ (Л х D} Г
(В х Е) и
(Л Л В) х (D л Е) с (Л х В) л (В х Е). (2
Предположим теперь, что (г, у) £ ((Л х D) л (В х Е)}. Тогда (х, у) £ (Л х D) А (т, у) (
(В х Е) и, следовательно, х £ Л А у £ D и х £ В А у £ Е. Отсюда х £ Л Л В и у £ D Л Е
т. е. (х, у) £ ((Л Л В) х (В Л Е}) и справедливо включение
(Л х D) Л (В х Е) с (Л л В) х (D Л Е). (3
Из включений (2) и (3) следует (1). ►
Упражнения для самостоятельной работы
1. Доказать равенства:
.) сил. = (-)ел„; 6)СС|Л„ = иел„
мм не
(см. равенства (2} п. 1.4), где р принадлежит произвольному множеству.
2. Пусть Л С В и D произвольные множества. Доказать справедливость включений:
а) ЛлДсВлЛ; 6} Л U .В С В U EL '
3. Доказать, что если Л С В Л Л С В, то Л С В Л В.
4. Доказать, что если А С D Л В С D, то Л UB С D.
S. Доказать справедливость равенств:
а)ЛДВ = (ЛиВ)\(ЛПВ); б) Л и В = (Л А В) А (Л Л В); в) А\В = Л А (Л Л В).
6. Доказать, что для симметрической разности справедливо включение
Л А ВС{(Л А В) U (В A D}).
7. Доказать справедливость включений:
а) (Л1.;иЛ^\(Й» ОВз) С{АДВ|) и(Лз\Вг);
б) (СЛ1 иСЛ2) А.(СВ, иСВг} С С{(СЛ, А ОВД л (СЛ2 АСВ2}),
где Aif Аз, Bi, В2'— подмножества множества J.
8. Доказать что;
а) {Л> иЛ2) А (В, U Ва}С (Л> A Bt) и{Л2 А Вз};
6} (Л, ПЛ2) A (ft Л Bj} С (At ДВ1)П(Л2 А Вз);
в) (Л1\Л2)Д(В1\В2) с (Л, А В1)\(Л2 А Вз},
где At, Л2, Bi, Вз — подмножества множества J.
9. Определить множества A U В, А Л В, А\В, В\А, А А В, если:
§ 2. Фунгцяя. Отображение
13
а) А = {х : — 4 < х < 1), В = {х : 0 < т < 41;
б) А = {х : х2 - х -2 > 0}, В = {х : бх-х2 > 0};
в) А = {х : sin я- х = 0}, В = {z : cos ~ = fl}.
10. Определить множества Л U В, А О В, А\В, В\А, А В, если:
а) Л = {{х, у) : х 2 + у2 1}, В = {(х, у) :|х| + |у| 1};
б) А = {(х, у) : т ах(|х|, |у|) < ]}, В = {(х, у} : |х| + |у| $ 1,1;
>) Л - {(х, у) : |х| + |у|< 2}, В = {(х, у) • ^(,-2)’ +(у- 2)’ < 2];
г) 4 = {(х, у) : </х 2 + у2 2), В = {(х, у) :max{|r + 1|, |у -Г-1|} 2}.
11. Определить мн ожество Л X В, если:
а) Л = {х : -2 < I 1}, В = {у : -3 «$ у < 1};
б) 4 = (х : 0 х 1 }, В = I) х Е, где D = {у : О у 2}, Е — {z : 0 z 3};
в) А = {х : —со < х +оо}, В = {у : sin ту = 0};
г) 4 = {х : sin тх = 0} , В = {у : —со < у < +оо}.
12. Пусть множество JZ состоит из четырех элементов с», 0, у и 6, а Р(»7) — семейство
с:ех подмножеств множества <7, включая и пустое множество.
а) Построить примеры .алгебр, единицами которых являются соответственно множества:
а ). {«. 0}, {«. 0- {«> 0\ 6}-
б) Построить пример кольца, которое содержит в качестве своих элементов множества
°, 0, 7, {о}, {/?}, {1}, {<0- Будет ли это кольцо алгеброй?
i5) Построить пример полукольца (но не кольца), содержащего мнс'жество {а, 0,у, 5}.
1.3 . Показать, что множество всех сегментов, полусегментов и интервалов на числовой
1рямой является полукольцом, но не кольцом.
1-4. Показать, что семейство всех прямоугольников вида
П = {(х, у) : а < х 6, с < у Л},
где в, Ь, с и d — действительные числа, причем а < Ь, с < d, является полукольцом, но не
кольцо м.
15. Какими множествами следует дополнить семейство, рассмотренное в задаче 14, чтобы
око пре'вратилось в кольцо?
16. Доказать, что:
а) (Ди В) х D = (4 х D) и (В х D); б) А х (В U В) = (4 х В) U (4 х D).
17. Доказать, что:
а) (4\В) х В = (4 х В)\(В х Р); б) 4 х (B\D) = (4 х В)\(4 х D).
18. Доказать, что
(/1 и В) х (D и Е) = (Л х В) и (В х D) и (4 х Е) и (В х Е).
§ 2. Функция. Отображение
2.1. Функция.
Опреде.лрние. Отображением множества Е в множество F, «ли функцией, опре-
деленной ня Е со значениями в F, называется правило, или закон /, который каждому
элементу х t; Е ставит в соответствие определенный элемент f(x) € F-
Элемент .г Е Е называют независимым переменный, или аргументом функции /, элемент
/(•) е F называют значением функции /, или образом-, при этом элемент х € Е на зывается
прообразом эл смента /(т) Е F.
Отображе! 1ие (функцию) обычно обозначают буквой f или символом f : Е —• F, указывая
тем самым, что f отображает множества Е в F. Употребляется также обозначение х н-
/(х), указывай: идее, что элементу х соответствует элемент fix). Иногда функцию удобно
задавать посрел ством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например, можно
говорить, что “функция f определена равенством /(х) = у/х2 + 1, х £ [a, fc]”. Если liy” —
общее наименов ацце элементов множества F, т. е. F = {у}, то отображение / : Е — F
записывают в ви де равенства у = 7(з ) и говорят, что это отображение задано явно.
14
1'л 1. Введение в анализ
2.2. Образ н прообраз множ рства при заданном отображении.
Пусть задано отображение / • Е —• F и множество D С Е
Определение 1. Множеап во элементов из F. каждый из которых является образол
хотя бы одного элемента из В при отображении f. называется образе.м множества D t
обозначает/я f(D).
Очевидно,
ЛО} = №)£Г
Пусть теперь задано множество Y С F.
Определение 2. Мнолгесшво элементов х € Е таких, что f\i) £ Y, называете*
прообразом множества Y tipu отображении f и обозначается f~{(Y ).
Ясно, ЧТО
f-'(y)={tEE-./UKY}.
Если у € F, то /-| (у) = {х 6 Е , f(x} = у}. Если при каждом у £ Г м цожсство /~1 (у) состоит
небелое чем из одного элемента х £ F, то f называется взаимно одн означным отображение/
Евр. Впрочем, можно о пределить взаимно однозначное отображение / множества Е на F1
Определении* 3. От.ображение f : Е —. F называется.
ингсктавныя (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множес н
Евр), если (х х'} =s- /(х')) или ‘,(Ли Vy £ F уравнен «е /(т) = у имеет не бо. ле
одного решения;
сюръективным (тли сюръекцией. или ошображени ем множества Е на F), е.с
f(E) = F или если Vy £ F уравнение /(з‘) = у имеет, по крайн.ей мере, одно решение,
биективным (ил-ц биекцией, или взаимно однозначным, отображ ением множества
на F). если оно инъег/щивно и сюръективно или если Vy £ !• 'уравнение. f(x} — у имеет одн,
и только одно решение.
2.3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое н неявное
отображен ня.
Определение 1. Пусть f : Е — F, a g : F — G. Поскольку f(E) С F, то отображены
g каждому элеменг пу f(x} £ f(E) С F относит определенный элемент у(Дх)) Е G.
Таким образом, каждому х £ Е посредством правила g о / поставлен в соответств ие эле
мент (д о f )(r) = ’ j(f (х)), s(f€ G* Тем самым определено новое отображение (имл новаэ
функция), которо е назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, ил»
сложным отображением.
Определеннее 2. Пусть f : Е — F — биективное отображение и F = (у}. В сил)
биективности ;( каждому у £ F соответствует единственный образ х. который о бозначиз
через f~ (у), н такой, что /(г) = у. Таким образом, определено отображение f~ : F — Е
которое назыв ается обратным отображению f, пли обратной функцией функции [.
Очевидно, отображение / обратное отображению /-1. Поэтому отображение / и f~
называют взаимно обратными. Для них справедливы соотношения
/(/"'(»)) = У Vy£F; /-1(/рг)) = х Vx £ Е.
Определение 3. Пусть <р : П — X, ф : Q — Y, причем хотя бы одно из этих отобра
жений, например <р, биективно. Тогда существует обратное отображение, ср-1 : А’ —- О, <
значит, фс><р~1 ; X —-У.
Определенное таким образом отображение называется заданным параметрич ески с помо
щыо отобр аженнй р : П —» А’, у> : П —• Y, причем переменное из П называется п араметром,
Определение 4. Пусть на множестве G = X х Y определено ошображени eF:G — А
где множество Д содержит нулевой элемент, Предположим, что сущестеую>т множеств!
Е С А', В С Y такие, что прн каждом фиксированном х £ Е уравнение !F(.t, у) = 0 име
ет единственное- решение, у £ В. Тогда на множестве Е можно определить, отображены
f : Е — » В, ставящее каждому х Е Е в соответствие то значение у € В , которое пр i
указанном х является решением уравнения Е(х, у) = 0.
Относительно так определенного отображения у = f(x), х £ Е, у £ В, г-эворят, что он<
задана неявно посредством уравнения Е(х, у) = 0.
Определение 5. Отображение f : Е —• F называется продолжением ошображени
g : D —* F, a g — сужением отображения f, если Е D D и f(x) = g(x) Ух £ D.
('ужение отображения / ; Е —► F на множество D С Е иногда обознача» от символом
§ 2. Функция. Отображение 15
Определение 6. Графиком отображения f : Е —> F называется множество
G = {(z, f(x)) -.хЕЕ, f(x) Е F}.
Ясно, что G’ С Е х F.
14. Пусть отображение / : R —> [—1, 1] задано равенством f(x) = sini.
Найти а) /(0); «)/(^); 'И?)1 Д)/([“Г ?]);
«) f ([о. j])> з)Л[»,2»)); и) /"‘(о); в)Г-1(0; “Н-1
") /“([-1. Ч): ») 1[); и) Г‘([о.|])-
4 Пользуясь таблицей тригонометрических функций, находим:
а) /(0) = sin 0 = 0; б) f (|) = sin = j;
д) Имеем / (-7) = -1> / (7) = 1. причем, если аргумент синуса пробегает значения
от — £ до у, то значения синуса изменяются от —1 до +1. Следовательно, J 7]) =
(sin х : —у j } = [—1, 1]. Аналогично находим:
'I /(]-?’ i[) - )“”г : 1 е]-7 ?[) =1- I.
ж) т ([о. j]) = (.i.i : г е [0. I]} = [0, 1];
з) /([О, 2тг]) = {sin х : х Е [0, 2я]) = [—1, 1].
и) Поскольку sin х = 0, если z = kir. к 6 Z, то
/-1(0) = : sin х = 0}.
к) Если sin х = j, то х ~ ( —l)narcsin + nir = (—1)”^ + пт, п G Z. Поэтому /-1 (у) =
(-1)"^ +пт, п <= Ъ.
Аналогично предыдущему находим:
л) У-1 : sin т = } = (-l)nj +ит, и е Z;
м) = |-г': s»‘ х — = (_l)nf + п1Г- п € 2.
н) Согласно определению 2. п. 2.2,
1]) = : f(?) = sinz 6 [-1, 1]}.
Покажем, что 1]) = R. В самом деле, пусть х Е /"'(Н’ 1]) 11 Л — !,’п 1 - Tor^d /(х) =
а, а Е [—1. 1]. а поэтому т = arcsin о + птг). я Е R, и, следовательно, 1, 1]) С R.
Если х £ R. то sinj Е [-1, 1] и х Е 1]), т. е. RC №([-1, 1])- Таким образом,
r1([-i,]]) = R.
о) Пэ равенств sin х = ±1 находим множество А = [т:т = ~ + nr, п Е Z} значений х
которые пе принадлежат — 1, 1[). Поэтому, в силу предыдущего пункта, /-1(] — 1, 1[) =
R\A.
п) Имеем /-1 ([о. у]) = {я sin х Е [о, |]}. Пусть х Е ([б. у]) и or = sin х, тогда
п Е [о, и х ~ ( —l)"arcsin х + nt. n Е Z.
Пусть п = '2к — фиксировано, тогда х = arcsin а + 2kir, причем при изменении а от 0 до
5 переменное х изменяется от 2^тг до (2Л + 7) х, т. е. х Е [2kx, [2k + 7) •
Пусть п = 2к + 1 — фиксировано, тогда г = до lo переменное j изменяется от (2fc+ 1)?г дс Таким образом, Wc(u[a*’’ d -arcsin о + (2к + 1)jf, и если о изменяется от 0 , (21 + ^)т,т. е. ге [(2t + |) «, (21 + 1)г]. 'ju fu + r-(2t + MУ
16
Гл. 1. Введение в анализ
Справедливо и обратное включение, поскольку при х Е [2fcir, (2fc + х] или х 6 [ (2к + ж,
(2к + 1)я-] значение sin х Е [fl, j]. Поэтому
15. Доказать, что если f : Е F и A Q Е, В С Е, то справедливо равенство
ДАиВ) = ДА)иДВ). (])
◄ Согласно определению 1, п. 2.2, имеем
/(AuB) = {f(i):ieAUS},
Пусть f(x) е f(A U В), тогда х Е (A U В), т. е. х Е А V х Е В. Но если х 6 А V х 6 В, то
f(x) Е f(A) V f(x) 6 ДВ) и f(x) 6 (f(A) U /(В)). Этим доказано включение
ДА U В) с (ДА) U ДВ)). (2)
Пусть Дж) € (/(A) U /(В)), тогда /(г) 6 /(А) V f(x) € f(B), откуда х Е А V х Е В, т. е.
X 6 (A U В), а поэтому f(x) Е /(A U В) и
(ДА) U/(B)) С ДА U В). (3)
Из (2) и (3) непосредственно следует (1). ►
16. Доказать, что если / : Е — F и А С F, В С F, то справедливы равенства:
а) /“‘(А П В) = /"'(А) п /"‘(В); б) /"‘(А\В) = /"‘(Л)\/-1(В);
в) /-1(А и В) =/-1(А) и/_,(В).
« а) Пусть х g /-,(А П В), тогда f(x) Е (А П В), т. е. f(x) Е А Л f(x) Е В. Но тогда
х Е /-|(А) Л х Е УдВ), а следовательно, х Е (/-1(А) П /-1(В)). Таким образом, доказано
включение
/-'(АПВ)С(/-](А)П/-1(В)).
Для доказательства обратного включения предположим, что х Е (У* (А) П /-1(В)). То-
гда /-1(А) Л х Е /~'(В); отсюда f(x) Е А Л Дж) Е В, а поэтому f(x) 6 (А С В) и
х Е f ‘(АП В). Следовательно,
(Г1 (А) п Г1 (ВЦ с Г1 (А П В).
Из'доказанных включений следует равенство а).
б) Пусть х Е У*(А\В), тогда Дж) 6 (А\В). т. е. Дж) Е А Л Дж) £ В. Но тогда
х- Е J1 (А) Л х £ (В), а следовательно, х Е (/-1(А)\/~1(В)). Таким образом,
/-(AXSJCfy'fW'fS)).
Если х Е (fr'(A)\f~l(B)), то » 6 /-1(А) Л х & f~l(B). Отсюда f(x) Е А Л Дж) £ В,
т: е. Дж) Е (А\В). Но тогда х Е / 1(А\В), что доказывает справедливость включения
(/-'(Л)\/-‘(В))С/-,(Л\В)1
обратного доказанному выше. Из этих включений следует равенство б).
в) . Если х Е У*(А U В), то /(ж) 6 (А и В). Отсюда /(ж) Е А V Дж) Е В, а тогда
х € f 1(4) V х Е т. е, ж Е (j-1 (A) U /-1(В)). Таким образом,
f-1(AuB)c(/-1(A)Uf-1(S)).
Если же предположить, что ж £ (/"’(A) U /”1(В)), то ж Е /-1(А) V ж Е f~l(B) и
Дж) Е А V Дж) 6 В или Дж) Е (A U В), откуда ж Е /-1(А U В). Следовательно,
’ ' (/-'(A'fUf-'tB^Cf-^AuB),
что вместе с обратным включением равносильно в). ►
17.. .Пусть f : Е ->.F, Р — семейство подмножеств множества Е, Q — семейство
подмножеств множества F. Обозначим
ЦР) = (ДА) е Q : А <= Р}, /-'(Q) = (/-‘(В) е Р : в е Q}.
$ 2. Функция. Отображение
1?
Доказать, что: а) если Q — кольцо, то /“*(<?) — также кольцо; б) если Р — кольцо, то
f(P) не обязательно является кольцом.
а) Поскольку Q кольцо, то из Bi Е Q, Bj € Q следует (Bi U Bj) € Q, (Bj\Bs) € Q-
Тогда, согласно предыдущему примеру,
/-’(В,) и /-‘(В,) = /-‘(В, и в,) е Г'т: Г‘(В,-,\Г1(В3) = f-'(B>\B,) е Г'т,
т. е. /-1(Q) — кольцо.
б) Пусть Е = (а, Ь, с, d}, F = (o', b’, d'J, ^(д) = a’, f(b) = f(c) = b’, f(d) = df. Семейство
P = {(a, b, c, d}, {a, 6}, {c, d), 0}
является кольцом, однако /((e, b})\/((c, d}) = {д', b') \ {b', d') = {a') £ f(P) = {{o', b’, rf1),
{a', b'), (b1, c'}t 0), t. e. f(P) не является кольцом. ►
18. Какая из указанных функций f : [0, 1] —► [0, 3]:
а) z н-3sid б) xwtg^; в) ® 3s;
г) 12(т г)’; д) х «3-^(1 -I)2; е) х « 2|х + 2| - 3
инъективна, сюръективна или биективна? Построить графики этих функций.
< а) Так как для произвольного у Е [0, 3] уравнение у == 3sin имеет единственное
решение х = ^arcsin принадлежащее сегменту [0, 1], то функция г н-► 3sin является
биективной (рис. 11).
б) Пусть у Е [0, 1]. Тогда уравнение
7TZ .
» = tg-J- (1)
имеет единственное решение х = ^arctgy, принадлежащее сегменту [0, 1], если у € [0, 1].
Если же у Е ]1, 3], то уравнение (1) не имеет решений, принадлежащих [0, 1]. Следовательно,
уравнение (1) для любого у Е [0, 3] имеет не более одного решения х Е [0, 1], а поэтому
функция х *•* tg инъективна (рис. 12).
в) Если у Е [И. 3], то уравнение у = 3* имеет не более одного решения х Е [0, 1]. Именно,
прн у Е [1. 3] решением является х = log3y, а при у Е [0, 1[ — решении нет. Следовательно,
— инъекция (рис. 13).
г) Из уравнения у = 12 (х — |)2, у Е [0, 3], находим ц = | — jx/f, тг = j + ^\/f-
причем, если 0 < у sj 3, то оба корня принадлежат ]0, 1], если у = 0, то корни совпадают
Xi = Х2 = | и принадлежат [0, 1]. Следовательно, V у Е [0, 3] уравнение у = 12 (г — на
[О, 1] имеет хотя бы одно решение. Поэтому рассматриваемая функция сюръективна (рис. 14).
д) Пусть у Е [0, 3]. Уравнение у = 3 — у (1 — j-) имеет решение Xi = — jx/9 — Зу, |
у 3, принадлежащее [(1, |], и решение xi = j ~ Зу, 0 у 3, принадлежащее
[j, 1]. Таким образом, V у Е [0, 3] существует один или два прообраза, а поэтому функция
сюръективна (рис. 15).
18
Гл. 1. Введение в анализ
е) Пусть у € [0. 3]. Тогда уравнение у = 2|z + 2| — 3 при у ё [1. 3] имеет единственное pt
шснне г = , если у € [0. 1[, то это уравнение не имеет решений, принадлежащих сегмент
[О, 1]. Следовательно, г ь- 2|г + 2| — 3 — инъекция (рис 16J. ►
>. z\ -j , 3 5Г О 7Г ,
1У. Дана функция /|т) = tgz, — < z < —, наити обратную ей.
4 Покажем, что данная функция является биекцией f ;] — , — [— 1R. С этой целы
обозначим z = 2т + г, — - < т < у. Тогда V у € 3? уравнение у ~ tgz принимает ви
у = tgr, г в ] —f. у[, Отсюда т = aretgy и, пользуясь тем, что г = 2т -+- г, находи,
х — 2л + arctg у; причем если уЕЙ,то х [. т. е. бисктмвность функции установлен?
А поскольку каждому у 6 R соответствует единственное значение х £ ] -у [, то обратну!
функцию f~l : R — ] у\ ~ [ определяет соответствие у >— 2т -+- arctg х, х £ ] [ ►
20. Написать явные выражения функций, заданных параметрически:
а) т = a cos t, у = a sin t. О t т; б) х = a cos t, у = ti sin t, т t 2т (а > 0).
а) Поскольку функция t ь- a cos J, t С [0, т], является биекцией ^0, т] — [—а, а], то V х ,
[—а, а] из равенства х = a cost находим единственное значение t = arccos принадлежаще
сегменту [0, »]. Подставив это значение во второе равенство, получим
т. е. у = х/а2 — г2, х £ [—л, а].
6) Обозначим х + т = I. Тогда, если т 6 т], то i £ [т, 2т}, при этом первое равенств
приводится к виду х = —a cos г.
Функция г >—• — a cos г является биекцией [0, к] — Г—а, а], поэтому V х 6 [—в, в] находи!
т = arccos (—~) = т — arccosy и t = 2т — arccos у. Подставив найденное значение t во второ
равенство, получим
у = — \/а2~ х2, х 6 [—а, а]. ►
21. Написать явное выражение для функции / : —* [4т, 5т]. заданной неявне
посредством равенства
ГЗт 5т1 , .
sin х — cosy = 0, х ё l-y, —I , у 6 [4r, 5tJ.
< Для любого фиксированного х 6 [ту, у-] имеем sin z = q, д 6 [—1. 1]. Поэтому (1
равносильно уравнению cosy = q, которое на сегменте [4т, 5т] имеет единственное решение
Этим доказано существование функции
Л(т’
Для записи аналогичного выражения функции f преобразуем равенство (1) к виду
I т \
sin х — sin I — — у \ =0.
Отсюда
1Г , _ , т
. z-- + y Z + --у
2 sin---2--- cos----3--- = 0.
2 2
Приравняв к нулю каждый множитель, находим два значения у:
у — х — у + 2нг, п ё Z, {2
у = —х + у + 2пя, п ё Z. (3
В случае (2) из условия х € следует у ё [(2я + 1)х. (2н + 2)х] и не принадлежи
[4я, 5я] Vn ё Z, т. е. у = х — у + 2и» не является значением функции / им при каком п ё 2
§2. Функция. Отображение
19
В случае (X) из условия « G у-] с ледует у € [(2»* — 2)», (2п — 1)»] С Н». 5т) при » =
При этом значении п из (3) находим явное выражение функции /
Упражиен ня для самостоятельной работы
19. Пусть отображение f : R [-1, 1] задано равенством /(к) = cost.
Найти: .) ДО); в) f (Г); г) f (I), «)/([-!, f]); е)/(]_=, f[);
«) ! ([“ ») Л1». 2’i); ") /-'(0); «) Г' (Р; ») Г* (£); ») Г' (=?);
»» /'‘([-1.0]): о) Г' п)/-‘ ([-15 ^]).
20. Для отображения f : [о, — R, заданного равенствами
a) /(r) = tgr; б) /(x) = ctgx,
иайти: /([о, J]), /([0, i]), /([J, XJ). J-(]0, 1]). Г‘ ([^.^]), Г' ({1. .Уз}'
21. Доказать, что ес ли f : Е -♦ F, А С Е, В С Е, то-.
a) f{A ПВ}С (f(A) n /(В)); б) (/(Л)\/(В)) С f(A\B).
22. Пусть f : Е F, А С F, В С F • Доказать, что если А С В, та f~l(A) С /~'(В).
23. Доказать, что если f : Е — F и A Q Е. В С F, то:
а) ЛСГ‘( f(A])- б) в) МПВ = ДАПГШ
Н (f{A) Л В = 0) (А Л /-1(В) = 0); д) (/(А) С В) (А С /-,(В)).
24. Какая из функций / : [—1, 1] —• [0, 1]:
а) I ь- cos у-; б) х w -I2 + 1; в) z |х|;
д)т^^; .)>»?-
ннъективна, сюръективна или биективна? Построить графики.
25. На» |Т11 биективное сужение функций:
а) /(т) = х2. гей:
г) /(j) = эд 1, г > 0:
б) f(z) = sin ж, х е R;
д) f(x) = 10х, х ей;
в) /(г) = cos х, х е R;
е) f (х) — х3 + х + 1, х G R.
26 , Найти функции, обратные данным:
а) /(-г) = sin х.
в) f(x) = cos I,
Д) = tg*,
i G [2л-, 3л-];
^]+т.т[;
6) f(x) — sin x,
г) /(x) = cos x,
e) Дх) = cig i,
x С [—7л-, -6x];
г€]-т, 0[.
27. Найти явное выражение для функций, заданных параметрически:
а> * = 177^ У= Т7&- 0<t<+oo; б) х = у = < t < 0 (а > 0).
28. Найти явное выражение для функции f : [л, 2л] —* [ —. , заданной неявно
cost + 8Ш у = 0. г G [л-, 2л], у G у] .
29. Найти явное выражение для функции f ; [л, 2л] — , заданной неявно
со« х + sin у = 0, I G [л. 2х], у G [j, ] •
20
Гл. 1. Введение в анализ
§ 3. Действительные числа
3.1. Бинарные отношения и бинарные операции.
Определение 1. Бинарным отношением в множестве Е называется всякое подмно-
жество В из произведения Е X Е.
Определение 2. Бинарное отношение ft называется отношением эквивалентности
в множестве Е, если подмножество ft;
а) рефлексивно: (а, а) € ft Va 6 Е\
б) симметрично: ((в, ft) 6 ft) =Ф- ((ft, а) £ ft);
в) транзитивно: ((а, 6) 6 ft Л (ft, с) 6 ft) =Ф- ((а, с) € 'ft).
Вместо (a, ft) € ft часто пишут а ~ ft или а = ft.
Определение 3. Бинарное отношение О называется отношением порядка в множе-
стве Е, если оно:
а) рефлексивно: (а, а) С О Va 6 Е;
б) транзитивно: ((a, ft) £ О Л (ft, с) 6 Я) => ((а, с) 6 О);
в) антисимметрично: ((a, ft) € О Л (ft, a) g О) =• (а = ft).
При этом говорят, что отношение Я упорядочивает Е. Вместе (a, ft) € О часто пишут
а ft, или a С ft.
Если Va, ft ё Е всегда (a, ft) 6 Я или (ft, а) 6 Я, то говорят, ч.го множество Е вполне
упорядочено.
Определение 4. Внутренней бинарной операцией на множесп тес Е называется ото.
бражение f : Е X Е —* Е.
Пусть заданы два множества Е и F.
Определение 5. внешней бинарной операцией на множестве Е называется отобра-
жение f: Е х F — Е.
Определение 6. Множество Е, обладающее внутренней бинарной ot черацией Т, назы-
вается группой, если:
1) операция ассоциативна: (а Т 6) Т с = а Т (ft Т с) Va, ft, с 6 Е;
2) имеется нейтральный элемент; Зе 6 Е такое, что Va 6 Е справед. ъиво равенство
аТ е = еТ а = а;
3) всякий элемент, имеет симметричный: Va G Е За G Е такое, что а Т а' = а Т а — е.
Если, кроме того,
4) операция Т коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.
Если операция Т есть сложение, то группа называется аддитивной, если Т есЛЬ умноже-
ние, то группа называется мультипликативной.
3.2. Аксиомы поля действительных чисел.
. Определение 1. Множество R = (в, ft, с, • •} называется полем дейс т виш i-л bKb,i'
(или.вещественны^ чисел, если для его элементов установлены бинарные отнош ения и
бинарные операции, подчиненные перечисленным ниже аксиомам.
Аксиомы сложения
С.0. В множестве R.,определена внутренняя бинарная операция — сложение
R X R —► R : (a, Ь) >-» a + ft,
которая каждой паре элементов а, ft Е R однозначно ставит в соответствие некоторый элемент
множества R, называемым их суммой и обозначаемый символом a+ft. При этом выполняются
следующие аксиомы:
’ С.1, (а + ft) + с —;а 4- (ft + с) (ассоциативный закон).
т С.2. В R dyiriecrtiyer элемент, называемый нулем и обозначаемый символом 0, такой, что
VagR
a + 0 = a.
С.З. Va € R существует такое число (—a) € R, что выполняется равенство
a + (-a) = 0.
С.4. Va, 6 € R
а + Ь = 6 + а.
Таким образом, множество R является аддитивной абелевой группой.
§3. Действительные числа
21
Аксиомы умножения . . .
У .О. В множестве R определена внутренняя бинарная операция — умножение
R х R — R : (а, 6) w а • Ь,
которая каждой паре элементов a, b G R однозначно ставит в соответствие некоторый эле
мент множества R, называемый их произведением и обозначаемый символом а 6. цри этоь
выполняются следующие аксиомы: ’
У .1. (а • ft) • с = а • (6 • с) Va, Ь, с £ R (ассоциативный закон).
У .2. В R существует элемент, называемый единицей к обозначаемый символом 1, такой
что Va 6R справедливо равенство
a • 1 = а.
У.З. Va € R\(0} существует элемент a-1 GR, называемый обратны* числу а, такой, чтс
а • а-1 = 1.
У .4. а Ь = 6 • a Va, ft G R.
Следовательно, множество ненулевых элементов множества R является мультиплика
тивной абелевой группой.
Д.1. Операция умножения дистрибутивна относительно сложения, т. е.
a-(ft + c) = aft + ac Va, b, с G R.
Множество (a, ft, c, ...}, удовлетворяющее аксиомам С, У и Д, называется числовым по
лем. Это же множество без аксиомы У.4 называется телом.
Аксиомы порядка
П.0. В множестве R задано отношение которое вполне упорядочивает R:
П.1, а $ a Va G R (рефлексивность). '
П.2, (в $ ftA i $ в) 4 (a = ft) (антисимметричность).
П.З. (a $ ft A ft $ с) =4- {а $ с) (транзитивность).
Т1.4. Va, ft € К или а Ь, или b $ а, или то и другое.
Следующие две аксиомы связывают отношение порядка и бинарные операции:
Г1П.1. Если a, ft, с G R и а $ ft, то а + с $ ft + с.
ПП.2. Из 0 $ а и 0 ft следует 0 $ aft Va, ft G R.
Аксиома о верхней грани
Определение 2. Множество А С R называется ограниченным сверху, если существ}
ет элемент А/ С R такой, что а £ М Va G А, при этом число М называется верхней
гранью множества А.
Определение 3. Верхняя грань М* множества А называется точной верхней граны
множества А, если всякая другая верхняя грань М множества А не меньше числа М*.
Точная верхняя грань множества А обозначается символом sup А.
В.О. Всякое ограниченное сверху множество А С R имеет точную верхнюю грань-
s.3. Расширенное множество действительных чисел. г
Определение. Множество R = RU ( — со, +оо), состоящее из элементов множества J
и двух' символов —ос и +оо, называется расширенной системой действительных чисе.
причем выполняются следующие условия:
а) — оо < а < +оо,
a — оо = —оо, a 4- оо = +оо, Я— = -° =0 Va G R:
—оо +оо
б) если и > 0. то а • (—оо) = —оо, a - (+оо) = +оо;
в) если a < 0. то а (—оо) = +оо, a • (+оо) = —оо.
Символ -оо(+оо) называется минус (плюс) бесконечностью.
Гл. 1. Введение в анализ
3.4. Основные характеристики действительного числа.
Будем для простоты обозначать через К одновременно множество веет действительных
чисел, упорядоченное пространство действительных чисел и упорядоченное поле действи-
тельных чисел, различая смысл обозначения по тексту изложения. Например, если записано
г gR, то здесь R — множество действительных чисел. Если сказано, что х у в R, то под
R понимаем упорядоченное пространство. Наконец, если записано г 4- у < z в R, то R озна-
чает упорядоченное иоле действительных чисел. В случае, если по тексту изложения нс ясен
смысл обозначения, то будем пользоваться более сложными обозначениями.
Для действительного числа г введем следующие характеристики: |х| — модуль х. sgn х —
знак х, х+ — положительная часть х, х~ — отрицательная часть г. Они вводятся по пра-
вилам:
если х О,
если х < 0;
sgn х = \ 0,
если х > О,
если z = 0,
если х < 0;
если х > 0,
если z 0;
если х
если г
0,
0.
Очевидны следующие соотношения между этими характеристиками V® € R:
х = |z|sgn г,
| 2 | — X Sgn X , X = X + — X
|х| = Z+ + X ,
При решении задач часто применяются неравенства
0, 2
Вместе с указанными характеристиками полезно также рассмотреть функции К — R :
х ь- ]z |, х t—• sgn z, х >-> r+, х —♦ х~, графики которых изображены на рис. 17—20. Первая и
вторая функции являются мультипликативными отображениями, поскольку из определения
этих функций следуют равенства
|*у| = 1*||у|> Sgn (ху) = (sgn z)(sgny) V(rgR, yER).
Каждая из указанных функций, за исключением “sgn”, обладает свойством: множество
точек, расположенных выше ее графика, является выпуклым, т. е. если две точки на плоско-
сти расположены выше графика функции, то и все точки отрезка, соединяющего их, также
расположены выше. Такие функции называются выпуклыми. Если функция f определена на
числовой прямой R и является выпуклой, то V(rf 6 R, х? Е R) выполняется неравенство
(3)
Это неравенство очевидно: его левая часть есть ордината точки графика с абсциссой ,
а правая часть — ордината точки отрезка с той же абсциссой, расположенного выше графика
(рис. 21). Выпуклые функции будут подробно изучены в $ 5, гл. 7.
Применив неравенство (3) к выпуклым функциям х >-> |х|, х >-> r+, х >-> г-, получим
важные оценки
|« + »|<|«| + |»|, (* + »)+ О+ +«/+. (г + У) + У ,
(4)
справедливые V(r Е R, у € R).
Из всех перечисленных характеристик действительного числа наиболее важной является
его модуль. Под основными свойствами модуля числа понимают следующие:
1) Vr Е R (|z| = 0) => (z = 0);
2)V(AeR, хёй) |Az| = |A||z|;
3) V(z £ R, у Е R) |z + »|^|z|+|y|.
Последнее неравенство называется неравенством треугольника, поскольку оно имеет гео-
метрический смысл в случае, когда х Е С, у € С (см. $ 4).
§ 3. Действительные числа
23
3.5. Мет од математической индукции.
Пусть запись 4(fc) означает, что высказывание А истинно при указанном к 6 N. Сут
метода математической индукции в следующем:
(Л(1) Л (А(к) => А(к + 1) V* ё N)) => (Л(п) Vn ё N).
22. Доказать, что в множестве К имеются единственные нуль и единица.
Ц Предположим, что в множестве R имеется два нуля 0] и 0j. Тогда, согласно аксиома
С.2 и ('.4, имеем
01 = 01 + 0г = О2 + 01 — О2.
Аналогично, если 11 и 12 единицы в R, то, согласно У.2 и У.4,
lj = 11 • 12 = 12 • h = 12. ►
23. Доказать, что: а) уравнение а 4- х = Ь имеет единственное решение х = —а 4- ft;
[уравнение ах = Ь имеет единственное решение х = «-1ft.
Ц а) Число — а + b удовлетворяет уравнению а + z = ft. В самом деле; а + (—в +
(а + (— а)) + 6 = 0 + 6 = Ь. Других решений нет. Действительно, если х ё R — другое решени
то
—а + ft — —а + ft,
— а + (а + х) = —а + Ъ,
( —а + а)+т = —a + ft,
0 + т = г = —а + Ь.
б) Аналогично число а~1Ь удовлетворяет уравнению ах = ft:
a(a-1 ft) = (a - a-1 )ft = 1 • ft = ft - 1 = ft.
Если x € R — какое-либо другое решение уравнения az = Ь, то
a-1 ft — a-1 ft, a-1 (az) = a-1 ft, (a-1a)z = a-1 ft,
1 • x = a" 6. x = a~‘b. ►
24. Элемент a £ E называется регулярным относительно внутренней бинарной операнд
Т, если Vr. у ё Е’
(я Тх = (| Ту) Л(г Ta = s Ta)=> г =
Доказать, что всякий элемент с £ R регулярен относительно сложения, а всякий ненул
вой элемент е £ R регулярен относительно умножения.
24
Гл. 1. Введение в анализ
-4 Докажем, что произвольный элемент с € R регулярен относительно сложе имя. В силу
ммутативности сложения (с + а = с + ft) 4^ (а + с = Ь + с). Поэтому достаточн о показать,
о (с + а = с + Ъ) =0- (а = Ь).
На основании предыдущего примера и ассоциативности сложения имеем
а. — — с + (с + М = (—с + с) + 4 = 0 + Ь = Ь.
Аналогично доказывается, что Vc 6 R\ (0) регулярен относительно умножения. ►
25. Обозначим Е = (/} — множество функций f : А — А, А С R. Пусть на этом
тожестве определена внутренняя бинарная операция
Е X Е — Е : (/, д) <— f о д.
а) Показать, что эта операция ассоциативна.
б) Определить регулярные элементы этой операции.
4 а) Для доказательства равенства
(fog) ah = fo(goh)
1статочно показать, что образы любого элемента х 6 А совпадают. Пусть т Е А, « = Л(эс), v=
= y(u). Имеем
О й)(т) = (f og)(h(x)) = (f од)(п) = f(g(n)) - f(v),
(g о h)(x) = g(h(x)) - g(u) - v,
едовательно, (f о (g о fe))(x) = f((g о h)(x)) = f(v), т. e. образы элементов x совпадают и
соцнативность доказана.
б) Отображение f назовем регулярным слева, если (fog — fah) => (д = Л), и регулярным
рава, если (д о f = h о /) =0- (у = Ь). Ясно, что отображение регулярно, если оно регулярно
гева и справа.
Покажем скачала,- что отображение f регулярно слева тогда и только тогда, когда оно
1ъективно.
В самом деле, если / инъективно и/оу = /оЛ,то для любого х Е А
=» (Я(х) = htxy, =» (я = Л).
Если же f не инъективно, то на множестве А существуют различные числа х и у, образы
ггорых совпадают: }(х) = /(у). Выберем отображения д и h такими, чтобы д(а) = х,
|q|j^= у для некоторого а Е А. Поскольку х у, то из f о д — f о h не следует равенство д*
= h, т. е. f не будет регулярным слева.
Покажем теперь, что / регулярно справа тогда и только тогда, когда функция f сюръек-
<вна.
Если f сюръективно, то Vt Е А существует такое u Е А, что f(u) = х. Тогда
’ (jo/ = hof) => (y(r) = fe(x)) V«EA.
Если же f не сюръективно, то до f = ho f для тех отображений д и Л, сужения которых
>впадают на множестве f(A). Однако отображения д и h могут быть различны, поскольку
огут принимать различные значения на множестве Л\/(Л).
Таким образом, для того чтобы отображение f было регулярно, необходимо и достаточно,
;рбы оно было биективным. ►
26. Множество А С R называется ограниченны* снизу, если 3m Е R такое, что Va £ А
ыполняется неравенство т $ а; при этом число m называется нижней гранью. Нижняя
рднь т*. множества А называется точной нижней гранью множества А, если всякая другая
ижняя грань тп множества А не больше гп*. Точная нижняя грань множества А обознача-
тся символом inf А.
Доказать, что всякое ограниченное снизу множество А имеет точную нижнюю грань,
ричем, ш<А “ — вир{—А), где —А » х € А.
4 Согласно условию, 3m € R такое, что х т Vz Е А, откуда —х $ —tn, т. е. множество
А ограничено сверху. Согласно аксиоме В.0, 3sup{-A} = Af*. Тогда —х $ М* Ух Е А,
оэтому —М* < х Ух Е А, следовательно, — М* — нижняя грань множества А. Если .V
- любая другая нижняя грань множества +Л, то —— верхняя грань множества —А, а
оэтому — N М* = ввр{—А), откуда N —М, так что —М* я= —sup{ —А} является точной
иЖней гранью множества А. ►
$ 3. Действительвые числа
25
27. Доказать теорему Архимеда: если а > 0, а к — произвольное действительное число,
то существует такое п £ 2, что (п ~ 1)а sj Ь, па > Ь.
Ч Докажем сначала, что Эп € 2 такое, что па > Ь. Для доказательства предположим
обратное, т. е. ка b Vk G Ъ. Тогда множество {Ага} ограничено сверху и, согласно аксиоме
В.О, имеет точную верхнюю грань sup{fca} = М* $ Ь. Поскольку число М* — а не является
верхней гранью множества {fca}, то Эре €' {fca} такое, что М* — а < pa if*. 'Отсюда
(р +1 )a > М’, (р +1) € 2. что противоречит определению числа,М*. Источник противоречия
в предположении, что ка Ъ Чк € 2. Следовательно, существует число £ E.Z такое,, что-
ка > Ъ.
Аналогично доказывается, что 3m € Z такое, что та < Ь. Сегмент (та, £а], содержащий
точку Ь, делится точками (rn + l)a, (т + 2)а,... , (к — 1)а на к — т сегментов; одному из них
принадлежит точка Ъ, Следовательно, существует n Е 2 такое, что (п — 1)а $ Ь < па. ►
28. Доказать, что для произвольно заданного положительного числа с существует такое
натуральное число н, что
1
- < £.
п
Полагая в теореме Архимеда Ь = -, a = 1, приходим к неравенству по • 1 > ~, »о € 2.
Л так как - > 0, то n<j g N. Тогда Vn >яо,пёМ, справедливо неравенство п > по > - или
- < е. ►
29. Пусть п и /? произвольно заданные действительные числа, причем с* < Д. Доказать,
что существует рациональное число г, заключенное между числами а и 0.
Обозначим Л = в — а. Согласно предыдущему примеру, Эп € N такое, что
1 < Л.
п
Согласно теореме Архимеда, существует т € 7L такое, что
m _ m + 1
— S ft < -----•
n n
Отсюда и из неравенства (I) получаем
ni +1 т 1 .
а < ------ = — J- — <О'4-л = «4-Й — а = 8.
п ц п
Таким образом, с* = < 8. ►
30. Показать, что множество всех правильных рациональных дробей где тип —
натуральные числа и 0 < т < п, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти
точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества.
Ч Пусть m и и (0 < щ < п) — любые натуральные числа. Тогда из очевидных неравенств
m _ 2in > 2m — 1 тп _ 2m 2m + 1
n 2n 2n ’ n 2n 2«
следует, что множество правильных рациональных дробей не имеет наименьшего и наиболь-
шего элементов.
Покажем, что inf { — 0, а sup { — 1.
Согласно теореме .Архимеда, для произвольно заданных £ > 0 и mgN найдется Такбе
n Е N, п > т. что п > у. Тогда — < е. Отсюда и из неравенства у- > 0 следует,
что inf = 0- Аналогично для произвольно заданных е > 0 и р € N найдется такое
натуральное число т, что тп > —, Отсюда > 1 — е, т. е. при п = р + m имеем
гп т . |ml,
— > 1 — е, а это вместе с неравенством — < I означает, что sup | — | = 1.
31. Пусть {т + у} есть множество всех сумм J + у, где я Е {г} и у Е {у}- Доказать
равенства:
а) inf{x + у} = ml {х} + inf {у}, б) s«p{z + у} = snp{x} + sup{j/}.
Я а) Так как из х > т, х £ {/}, и у > ml> у € (у), следует, что х +у m + m3,
(г + 3/) £ {т 4-у}. то существование inf {х} = т* и inf{y} = m’ влечет за собой существование
Гл. 1. Введение в анализ
inf{r + ?! • Ясно, что х + у j? т* 4- га*. Далее, для произвольного s > 0 существует такой
элемент (т' 4- у') 6 {г + у}, что
т’ 4- тп* I 4- у' < га’ 4- ’«* 4- е,
поскольку существуют такие х' Е {г} и у' € {у}, что га’ г' < га‘ + | к га’ S( у' < т’ 4- |-
Следовательно,
in((x + y}=x' + y' = tnf{r}-inf{y).
Равенство б) предлагаем доказать самостоятельно. ►
32. Пусть {zy} есть множество всех произведений ху, где х Е {z} и у Е {?}, причем
г 0, у > 0. Доказать равенства:
a) inf {ту} = inf {х} inf {у}; б) sup{zy) = sup{i) sup{y).
4 Докажем равенство б) (равенство а) предлагаем доказать самостоятельно). Так как
из х Л/, х Е {т}, I 0, и у Mi, у Е {у}, у > 0, следует, что ху Д/ЛЛ, го из
существования sup{r} = М’ и sup{y} = Л/,* вытекает существование sup{.су}. Из неравенств
М’ — Si < х М’, М“ — £j < у Л/’ следует, что Л/’М' — («i J/f 4- -2-И’ — sis2} <
ху $ М*Mi . Поскольку величина SiM, A-t^M’ —etet может быть сколь угодно малой, го
sup{iy) = М*М‘ = sup{i} sup{y}. ►
33. Пусть X = < - ± — >, и Е N. Доказать, что inf X = 0, sup Л' = 1.
12 2и 4-1 J
4 Пусть е > 0 — произвольно заданное число, Тогда из неравенств
справедливых при всех п > , вытекает, что inf X = 0, sup X = 1, ►
34. Доказать неравенства:
а) |т- у| > Цх]-1уЦ; б) jz + ц + х2 + +ini 2 |х| - (jij 4- |хг| + + |z»|)
4 а) Применяя к сумме (х — у) 4- у неравенство треугольника, приходим к неравенству
|х! = |(г - у) 4- У) |® - »! + |у),
из которого получаем
|х| “ |?1 < I1 - »1- П)
Меняя местами х и.у, находим
|у| --UI С|у -«I = I® -у\-
Отсюда
-|*-уК И-1у1- (2)
Из неравенств (1) и (2) следует а).
б) Пользуясь неравенством треугольника, получаем
|z| = |(х 4- It 4- х2 4- ... 4- х„) - (т, 4- Х2 4- ... 4- ®п)|
откуда непосредственно следует неравенство б). ►
35. Решить уравнение
[х| 4-[л — 1( 4-|т — 2| — 2,5 = 0.
4 Имеем
{- 3«4-0,5 = 0,
4-Зт — 5,5 = 0,
если г Е J — оо, 0[,
если х £ [0, 1[,
если х Е [1, 2[,
если х Е [2, 4-оо[,
Отсюда заключаем, что на промежутках ] — оо, 0[, [2, 4-со[ решений нет, а на промежутке
[О, 1( имеем корень х = 0,5 я на [1, 2( — корень г = 1,5, ►
§ 3. Действительные числа
27
36. Найти сумму
1 1 1 ]
= arctg - +.arctg - + arctg — +...+ arctg
< Применим метод математической индукции. Поскольку
1 11 1+1 2
51 = arctg -, ,S2 = arctg - 4- arctg - = arctg - a 8 a = arctg -,
1 — 2 в
2 1 - + - 3
5, = arctg - + arctg — = arctg * 2 1 j_ = "ctg
1 3 ’ i«
то можно предполагать, что
5'n = arctg—, n € N. (Г
«4-1
А так как
с . .1 . *4-1 2 (n+1 )2 . Il + l
,s,l+1 = „rtg + arctg = arctg = arctg — .
и равенство (1) справедливо при » = 1, то, согласно индукции, оно справедливо при всех п. ►
37. Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натуральногс
числа н справедливы следующие равенства:
>) 12+2'+ +,?='‘(" + 1)P" + l)| б)С+2»+...+„’=(1 + 2+.
< а) При п = 1 равенство справедливо. Предполагая справедливость равенства при п.
покажем справедливость его и при п + 1 Действительно,
I2 + + .. + „2 + („ + I)2 = '(” + 1)(г" + 1) + + ,)2 = ( + !)('+ 2)(2» + 3) ,
что и требовалось доказать
б) При п = 1 справедливость равенства очевидна. Из предположения справедливости его
при п следует
1’ + 2’ + +»’ + (» + 1? = (1 + 2+ ... +п)2 + (» + 1)3 =
= (1 + 2+ ... +„)2+2,‘(-.+ 1)(.. + 1) + („ + 1)2.
Учитывая рзвексшо 14-2 4- ., 4- n = "(n+i) , помучаем
1’+23+ -. 4-н3 4- (н 4- I)3 = (1 4- 2 + - • • + п + (и 4-1))2,
з. е. утверждение справедливо н при п + 1. ►
38. Доказать формулу бинома Ньютона
. t.n \ ' ^,гп п-тцп
(«+ ft) =2^ с”а ь
{)' = !.
(число сочетаний из w элеменюв по m), Аф| — 1 • 2 ... к. причем полагают
4 При и = [ имеем
Остаспя показан., чю из предположения справедливости утверждения для л следует, что
Гл. 1. Введение в анализ
В самом деле,
(« + 4)”+1 =(» ЧЛ)(«+ &)" = («+ 4)^0” «"-"I,” = J2c;“a“+,-”‘6'" + £;c'”o"-"‘6’"+* =
m=0 m=0 m = L>
Ej-.m п-Ц—mim , \ ' y-.m — i n+1—mt>n n+L , \Л/г>т , z.m-l > л+1-min, . ,t
Cn a b + / Cn a f> =a + / ДСП +Cn )a b + b
m=0 m = l m=l
Используя соотношения
r.m ,r.rn-l _ »! ________»!_______________(n + l)! ,,, 0 r.n+l =
” n nil (n — m)! (m — 1)! (n + 1 — n»)! ni!(n + l — m)! n+1 rt+1 n+1
окончательно имеем
n n + 1
, , i\i+l n+1 , X ' z,m n+1—m>m . ,n+l \ ' z.m п-И-т.т .
(a + o) = a +2^ C’„+la о + ° = / , Cn+i« b • ►
39. Доказать неравенство Бернулли
(1 + x2)(l +x2) ... (1 + Tn) 1 + Il +T2 + •. • + Xn:
где fi, .....in — числа одного н того же знака, большие —I.
4 При п = 1, 2 неравенство очевидно. Пусть неравенство справедливо при п. Покажем
справедливость его при и + 1. Имеем (при х, > -1)
(1 + «I )(1 + I?) • • (1 + Хя)(1 + In+i) > (1 +Х1 +12 + •- + Гп)(1 + Хп-н) =
= 1 + X] + Х2 + ... + Хп + *n+l + (х2 + Х2 + ... + In)ln+1 > 1 + Xj + Х2 + • - + Tn + Infl •
Здесь использовано неравенство
(ll + Х2 + ... + Хп)хл41 > О,
справедливое при любых х, одного знака, к
40. Доказать, что если х > —1, то справедливо неравенство
(1 + х)" 1 + пх, п > 1,
причем знак равенства имеет место лишь при х = 0.
4 Требуемое неравенство непосредственно следует из предыдущего примера, если поло-
жить там xi = х2 = .,. = хп = х. Если х = 0, то Vn > 1 имеем знак равенства. Покажем,
что при n > 1 и х > — 1 получим строгое неравенство (1 + х)л > 1 + пх Прн п = 2 это
очевидно: (1 + х)3 = 1 + 2х + х3 >1 + 2х. Далее, если (1 + г)л > 1 + пх, то
(1 + x)n+1 = (1 + х)”(1 + х) > (1 + »х}(1 + х) = 1 + пх + х + пх2 > 1 + (п + 1)х. ►
41. Доказать, что если г, > 0 V» = 1, п и xix2 ... хп = 1, то
Х1 + Х2 + • . . + Хп «, (1)
при этом
(Х1 + Х2 + ... + хп = м) (х, = 1 V» = 1, п).
4 Для доказательства применим Метод математической индукции. При п = 1 неравенство
(1) справедливо и при этом имеет место только знак равенства. Если п = 2 и Xii2 = 1, то
обязательно один сомножитель, например Xi > 1, а Х2 1. Тогда из очевидного тождества
11 + 12 = 11X2 + 1 + (Х1 — 1)(1 — Х2) (2)
и условия iiijsl следуют неравенство х2 + х2 2 и условие (xi + х2 = 2) (xi = ij = 1)
Предположим теперь, что для произвольных k положительных чисел xi, хг, .. - , хь, про-
изведение которых равно единице, справедливо неравенство У) х, k, причем
=к)«с».=1 v'=гт).
§ 3. Действительные числа
29
Рассмотрим произведение к + 1 положительных чисел ц,Хз,..., Хк+i, для которых
Ц®2 - - • Л*+1 = 1.
Если не все а:, равны единице, то найдутся числа как большие, так и меньшие единицы. Н<
ограничивая общности, будем считать, что Xi > 1, хз < 1. Тогда, по предположению, для к
положительных чисел (гi х.з), тц г*+1, произведение которых равно единице, справедли-
во неравенство
(xixz) + тз + - - • + т*+1 > к,' (3;
причем
(Т1Т2 4- 1з 4- ... 4- г*+1 = fc) О (®П2 = ХЗ = ... = Tfc + 1 = 1). (4;
Складывая тождество (2) с неравенством (3), получаем неравенство
Xi 4- хз 4- • 4- хь+1 > к 4-1 4- (xi - 1)(1 — хз) к 4- 1
И услови-е
(а?! + Z2 4- • • - 4- Tfc+1 = к 4-1 4- (Х1 - 1)(1 — 12)) ((liХз] = Х3 = ... = zfe-f-i = 1),
из которого следует, что
(ti 4- Х2 4- ... 4- х^+1 = fc 4-1) (х, = 1 Vt = 1, Ь 4-1), ►
42. Пусть х, > 0, х, 6 R, Vi = 1, п, а
п
уп = -----j--------j- (среднее гармоническое),
X! х2 *••• -г
уп = \/х^Х2 . ~ хп (среднее геометрическое),
, 4- Х2 4- - - 4- хп , .
?п =--------------- (среднее арифметическое).
Доказать. что уп $ Уп С 6» и при атом (7„ = »/n = £n) (li = 12 = • • • = in).
Произведение и положительных чисел
Х_1_ £2 in _
Уп I/п
поэтому, согласно предыдущему примеру, их сумма
Xi Х2 , , хп
---1---4- ... 4-Е п-
Уп Уп Уп
Отсюда з/п • При этом знак равенства достигается тогда и только тогда, когда = — =
.., -- = 1, г е, когда .tj = xj = ... = хп- По только что доказанному
— — " / А 1 <- Д| да in _ 1
Уп у £ 1 £2 Хп П ~Jn
откуд а уп и 7п = »/п, если — = — = = 1, т. е. если ц = хз = . • • = in- ►
43. Доказать неравенство Коши—Буняковского
(п \ 2 / п \ / п \
Е1'»-) Це^ДЁ’Ф
где I,. у, (? = 1. п) — произвольные действительные числа. В каких случаях в указанном
неравенстве имеет место знак равенства?
•< Из очевидного неравенства ^(x,t 4- у,)2 0 получаем неотрицательный при всех
значения х t квадратный трехчлен t2 т2 4- 2t т,у, 4- у2 0, поэтому
(И -(E) (»)«
30
Гл. 1 Введение в анализ
Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда r,t 4- у, = 0, t = 1, п. т. е. когда
сушествует такое число А (I. что у, = Az,, i = 1. п. или когда все г,. i = 1, п. или нсе у,,
1 = 1, п, равны нулю ►
Доказать неравенства:
44. а) »! < (4^)”, а > 1; Ч (»!)’ < (("+W" + Uy‘ „ > 1;
13 2м - 1 1
’ 2 4 2п >/2п +3
Ч Неравенства а) и б) являются следствием неравенства уп из задачи 42 при xt. = к
и Хк -к2 (I = 1, н) соответственно.
Доказательство неравенства в) проведем с помощью метода математической индукции.
При п = 1 неравенство очевидно. Предполагая его справедливым при п. покажем, что оно
справедливо и при n + 1. В самом деле.
2п — 1
2н
2п+ 1
4 К , 1 1 1 Г
45. 1ч—= ч—?= ч- • • - 4- ~> v1l> » 3.
V2 у/3
4 При п 2 имеем
46. n"+I > (я + 1)п, » 3.
Ч При м = 3 неравенство очевидно. Предполагая, что неравенство справедливо при п.
докажем справедливость его и при п 4-1, т. е. докажем, что (я 4- I)’142 > (и + 2)n+1 , если
u”+i >(пч-1)п.
Умножив обе части последнего неравенства на —> имеем
Но так как * = > (n + 2)’“+1 , то требуемое доказано. ►
47• рЁIfc I y~^sin Хк ° ^’Г| =
4 При н = 1 неравенство справедливо. Докажем, что sin У^ Xkl $ У^ siiixh, прег.поло-
I Й=1 I С=1
жив справедливость исходного неравенства.
В самом деле, если 0 xk к, то
48. (2п)1 < 2ап(п!)3, »
14. Комплексные числа
31
4 При п = 2 неравенство очевидно. Исходя из справедливости его для п, покажем
справедливость его для п 4- 1. В самом деле,
(2» + 2)1 = (2j«)' (2» + 1 )(2х + 2) < 22”(х!)2(2» + 1)(2х + 2) <
< 22п{х!)2(2х + 2)2 = 22”+2((х + 1)1)2. >
Упражнения для самостоятельной работы
30. Пусть { — г} — множество чисел, противоположных числам х Е {т}- Доказать, что:
a) inf{-х) = — sup{x}: б) sup{— 2} = —inf{z).
31. Применяя метод математической индукции, доказать неравенства:
а) х> > nJ, п > 2; б) (2»-1)! < п2"-1, х > 1; в) £ k' < , п, р € N.
fc=l
32. а) Доказать, что для любого выпуклого n-угольника справедливо равенство Dn =
n^n-з), где р — Число диагоналей.
б) Доказать, что для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение п + В» —
— 2, где Вп — число вершин, Рп — число ребер, п — число граней.
33. Доказать неравенства:
a) |xi 4- х2 4- ... + z,,| < \/w(x? + + ... + zn);
б) (zi 4- х2 ч- ... + in) (-L + Д- -j- ,,. + Д-) > п2, it > 0, i = Т^п;
) -у<у < уй»? +
34. Вычислить суммы:
а) 1 1’ + 2 - 2! + ... + «•«!; б) 1* 4- 2* + .., + п\ в) 1ь 4- 25 4- - • • + пь.
35. Доказать, что:
У*: к (к 4-1) ... (f- + т - 1) = (п 4-1) • • - (п + «).
Г=1
где т — натуральное число.
Пользуясь зтой формулой, вычислить суммы,
а) 1 • 2 4- 2 • 3 4- - И- п (н 4-1); б) 1'2 3 4- 2 • 3 • 4 4- ... 4- w(ti 4- 1)(п 4- 2);
в) 1-2-3-44-2-3 4 5 4- 4- п(п 4- 1)(п 4- 2)(« 4- 3).
36. Доказать, что
где т -- натуральное число
Пользуясь этой формулой, вычислить следующие суммы:
а) ~ 2~3 + ' ' + п(п+1) ' б) 1 2~3 + 2 34 "* n(n+l)(n+?) 1
1 2 .< 4 + 2 J 4 S + ' ' щт1+1 )(п4-2)(п+34
37. Решить уравнения'
а) 4-1| 4-|х|-г |т — 1| = 6. б) ;ф + 2|-к + 1|-(* + 1)И + 1 = 0'
§ 4. Комплексные числа
4.1. Комплексные числа и действия над ними.
Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара (г, у) дей-
ствительных чисел г и у. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар.
а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются
следующим образом -
1) два комп тексньп числа Zi = (г j. у,) и z2 — (х2, У2/ называются равными, если rj =
х2 и yi = у2 .
32
Гл. 1. Введение в анализ
2) суммой комплексных чисел ?i и Z2 называется комплексное число г вида
Z = (ц 4- Х2, У1 4- У2~)\
3) произведением комплексных чисел zi и Z2 называется комплексное число
г = (ij 12 - 2/13/2, HJ/2 + i2t/j);
4) множество комплексных чисел (г, 0), г g R, отождествляется с множеством дей-
ствительных чисел R.
Разностью комплексных чисел zi и гг, называется комплексное число z такое, что zz+z =
zi откуда находим z = zi — Z2 = (zi — x2, У1 — уз) •
Частным комплексных чисел z2 и zj называется комплексное число z такое, что гг х =
zi. Отсюда находим
_ (XlX2 + Х2У1 - ЛУЗ \
2 \ Х2 + ₽2 ’ *2 +У2 )
Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда (0, 1) • (0, 1) = (-1, 0),
т. е. t5 = — 1. Произвольное комплексное число х можно записать в виде
z = (х, у) = (х, 0) + (0, у) = (х, 0) + (0, 1)(у, 0} = х + iy.
Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число z =
(г, —у) ~ х — iy называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (х, у) =
х + iy.
4.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Всякое комплексное число z = (х, у) можно изобразить как точку на плоскости с ко-
ординатами х и у. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной плоскостью, при этом ось Ох называется действительной, а Оу — мнимой.
Расстояние т точки z от нулевой точки, г, е. число г = \/г2 + у2 — '/zS, называем
модулем комплексного числа z и обозначаем символом |z|.
Число
{axctg^, если х > 0,
arctg | + it, если х < 0, у 0,
arctg £ — гг, если х < 0, у > О,
jsgn у, если х = О
называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом 6 — arg z. При заданном
г углы, отличающиеся на 2nr, п g Z, соответствуют одному и тому же числу. В этом случае
записываем Arg z = arg z + 2пт, n ё Z , и arg z называем главным значением аргумента.
Числа г к 9 называют полярными координатами комплексного числа х. В этом случае
z = (х, у) = (г cos 0, г sin в) = г (cos# 4-» sin 0)
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Если zi = (ti cosflj, Г1 sin 0i), Z2 = (fa cos 02, ?2 sin 62), то
Z1Z2 = (п r-г СС8(91 +&?), ft rising 4-0з)),
fl = (Г1
Для возведения в степень комплексного числа z = (г cos 6, г sin 0) применяем так называ-
емую формулу Муавра
z” = (г” СО8П0, r”sinn0).
Коренв п—й степени комплексного числа z находим по формуле
»/- /«у- 0 + 2Ьг ny- 04-2£т\ , -------- . ,
у/z = 1 yrcos-------, угып--------) , к — 0, п — 1. (1
\ п ' п /
49. Доказать, что: ____
а} X] 4- «з = zi + б) xixj = 2| в) (zn) = zn, n gN.
4 Пусть 21 = (zi, yi), z2 = (12, 92)
§4. Комплексные числа
33
а) По определению сопряженного числа
21 +>а = (»j +i2, Vi + «t) = (®i + *з, -fi-Jh) =(xj, -»j) + (»a, -F2) = >i+>2.
6) Имеем 27^ = (цгз - »iF2, сщ + «a»i) = (®i*a - »iF2, -»iF2-*a>i) =
>i. -fj)(»2> -»)» Il-la-
в) Запишем комплексное число z в тригонометрической форме z = (г cos 0, г sin fl), тогда
i — (rcos(—fl), rsin(—I)). Пользуясь формулой Муавра, имеем
(а)" = (г" cos(—пв}, г“|в(-й)| &(r*vwnfl, —г” sin nA) = (rn cosnfl, rn sin nA) = (zn). ►
50. Выполнить указанные операции:
.) (2 - i)(2 + i)2 - (3 - 2i) + T; 6) (1 + .)•; .) (V + j) '
2 - i)(2 + i)2 - (3 - 2i) + 7 = (2 - .)(2 + if + 4 + 2i =
= {2 + i)«2 - i)(2 +.) + 2) = (2 + i)(4 + 1 + 2) = 14 + 7i.
б) Согласно формуле бинома Ньютона,
(I + t)4 = 1 + 4t + 6i2 + 4»3 + i4 = 1 + 4' - 6 - 4« + 1 = -4.
, 7 A6 _ 27 -Ыу/З _ |Э5 _ -вОт/з 45 Sy5_1_ _
BJ у 2 + 2 J — 64 *“ 1 6» 84 * 84 + 84 ’ 64 64 ” ►
51. Найти частное комплексных чисел:
“> б) ») , +' д
2 ~
4 Формулу для нахождения частного комплексных чисел ц и z2 запишем в виде
Z1 __ it Z2 _ Z1 Z2
Z2 Z2 • Z2 |гг|2
Пользуясь этой формулой, находим
а) ^=Й7 = -,; б) TTi = iiTi^ = -2- = 2 ~2:
в) i±if = + (^ + |2^) = Ч±АХ - _ 1+, ►
|i -v^l2 1 2 + 2
2*2 [□ - « — |
52. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:
а) -3; б) в) 1 + i; г) -1 + ixfi.
4 Имеем;
а) | — 3| = 3, 6 = я, —3 = 3 (cos т + isin г);
6) I - .| = 1. в = -i =cos (-1) + isin (-1);
в) 11 + 11= у/2, fl = J, 1 + « = V^2 (cos J + tsin ;
r) | - J + 1'УЗ| = 2, 6 -- - I +«73= 2(cos^ + «sin^).>
53. Вычислить:
a)(l +.V3)so; 6) (V2 —is/?)20; n) (|^4) ’ ;
г) (тй) ! д) (2 + 2,)“: e)
•И а) Представим комплексное число в тригонометрической форме
I .j. »7з = 2 (cos ^- + 1 sin
34
Гл. 1. Введение в анализ
затем, применив формулу Муавра, получим
(1 4- i х/з )30 — 230 (cos 4- i sin
б) Аналогично предыдущему находим
(VJ- i^2)20 = 2го (cos + isin = -22”.
в) Представляя числитель и знаменатель дроби в тригонометрической форме, вычисляем
частное
1 - । _ л/2 (cos (-7) + t sin (-7))
1 + * у/2 (cos 7 + tsin 7)
затем, использовав формулу Муавра, находим
, 1 + » л/2 (cos 7 + isin 7) 1 / 7я- . . 7ir\
J у/З-.З “ 2 (cos (—7) + 1 sin (-f)) " V£kCOS 12 +’S'n 12/5
д) (2 + 2i)41 = (v/8)41 (cos + tsin = (VS)41 (cos + tsin = 820(2 + 2t).
\ 4 4/ \ 4 4 /
, _ .,7 7 / —5x . . -5x\7 „7 / / 35x\ . . { 35x4\
e) (—3 — t) = 2 (cos б + ’sin ~g—I = 2 (cos f---— j 4- tsin I-— | j =
= 2’(l + ,“i)=2' (¥ + ч) = 2’<Л+’)--
54. Найти все значения корней: а) у'Т; б) V—1 — ЬД.
4 а) Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме
1 = cosO0 + tsin 0°,
затем по формуле (1), п. 4.2, находим
Следовательно,
у/Т = cos 0° + tsin 0° = 1 при к = 0, у/Т = cos j + tsin = i при к = 1,
у/Т = cos х + t sin х = — 1 при к = 2, у/Т = cos у- + t sin ~ = — i при к = 3.
б) Записав комплексное число —1 — ty/З в тригонометрической форме
4-1 sin
находим
=|^ + 2fcx =^ + 2kx
3 -----+ t ЯП —----------
Отсюда
y'-l-.Va- W(eo.(-¥) +isin (-£)),
\/-1 - t'x/З = у/2 (cos (^) + isin (тр-)) ,
. . 2kir
§ 5. Векторные н метрические пространства
35
55. Решить уравнение г6 + 1 = 0.
◄ Имеем z = 1. Для вычисления всех значений
^-1 применим формулу (1), п. 4.2,
—к + 2ix . . —я + 2kir
cos-----------------1-1 sin--------
Отсюда
/ я\ . , / я\ л/З i я . . я т/З
zo = COS---4- I sin--J —------, Z1 = cos — + t sin — = -
k 6П. .A 6/ 3 2 6 6 2
z2 = cos — + i sin —
7ar . , 7ar V*3 « 9x , . 9x
Zi = cos — + istn =---------------------—, Zb = cos — + I Sin — = —I. ►
6 6 2 2 6 6
Упражнения для самостоятельной работы
38. Доказать, что a) zj — z2 = Z] — z2; 6) в) P(z) = P(z), где z e-» P(z) —
алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.
39. Выполнить указанные операции:
aMl + .v'J)6; б) ») (>:2+9’?i0).
40. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:
а) б) (Йт) > ") (£?
41. Показать, что множество комплексных чисел, в котором введены операции сложения
и умножения, образует поле.
42. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел:
а) (-4 + З.)3; 6) (1 +i)‘(l - .v'S)-'; в) 1 + со. + i.in .
Найти все значения следующих корней:
43. 44. v'-l+t. 45. У^64. 46. \/б4.
Найти корни уравнений:
47. z2 + (5 - >2)z + 5(1 - i)=0. 48. z2 + (1 -t2)z -i2 = 0.
49. (z + «)" + (z- «)" = 0.
50. Доказать, что модуль комплексного числа является абсолютным значением, т. е. |z|
удовлетворяет условиям:
1) |з| 0 Л (|z| = 0 z = 0); 2) |zjz2| = |z1||z2| Vzi, z2 € C;
3) |zi + z2J |zj| + |z2| Vzl, z2 € C.
51. Доказать, что модуль комплексного числа удовлетворяет неравенству
||*i|- |*2|| |*1 - *г|-
§ 5. Векторные и метрические пространства
5.1. Векторное пространство.
Определение!. Векторным пространством над полел К = {А, р, и, ...} называется
множество Е = (г. у, z, ...}, в котором определены:
I. Внутренняя бинарная операция Е х Е — Е : (г, у) х + у, относительно которой
множество Е является абелевой группой:
1) * + {У + *) = (* + У) + г; 2) х + в = х;
3) * + (-х) = в: 4) х +у = у + х
(здесь в — нулевой элемент I руппы).
II. Внешняя бинарная операция К х Е —• Е : (А, х) . Ат, удовлетворяющая следующим
аксиомам:
5) А(т + у) = Аг + Ау; 6) (А + р)х = Аг + дг;
7) (Ад)т — А(рх): 8) 1 • х = х.
36
Гл. 1. Введение в анализ
Элементы векторного пространства Е называют векторами (или точклжи), а элементы
поля К — скалярами.
Если К = то Е называется действительные векторны.и пространством, а если
К = С, ТО Е называется комплексным векторным' пространством.
Определение 2. Всякое подмножество V векторного пространства Е. обладающее
двумя бинарными операциями пространства Е и являющееся векторным пространством
над полем К. называется векторным подпространством пространства Е.
В произвольном векторном пространстве.выполняются следующие свойства:
1)А0 = 0: 2) 0 • х = в; 3)(-1)х = -х.
5.2. Нормированные векторные пространства.
Понятие абсолютного значения распространяется на векторные пространства над норми-
рованным полем К.
Определение. Нормой в векторном пространстве Е называется отображение
Е — R+ : I . ||х||, = (а ?R:0O < +оо},
удовлетворяющее следующий акеио.кам.-
3) ||х + у|| ||х|| + ||у|| V х, у € Е (неравенство треугольника).
5.3. Евклидово пространство.
Определение 1. Яустъ Е — векторное пространство над полем R. Отображение
Е X Е — R : v(x, у) = (т, у), которое каждым двум элементам х и у из Е ставит в со-
ответствие действительное число, обозначаемое символом {х, у), называется скалярным
произведением, если V х, у, z £ Е и V А € R выполняются следующие аксиомы.*
1) (*, У) = <». г);
2) (г +у, г) = {г, г) + {у, г);
3) (Аг, У) = Х(х, у);
Определение 2. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведе-
ние, называется евклидовым пространствам.
5.4. Метрическое пространство. • > •
Определение. Множество Е яг {т, у, в, •••} называется метрическим простран-
ством, если определено отображение ЕхЕр R+ : (i, у) •—' р(х, у), которое для любых х
и у ставит в соответствие неотрицательное действительное число р, удовлетворяющее
следующим аксиомам:'
1) (/>(х- У) = 0) =}• (х = у);
2) р{х, у) — р(у. г) V х, у € Е {аксиома симметрии)-,
3) р(х, у) р(х, л) + p(z, у) V х, у, z € Е {неравенство треугольника).
Элементы метрического пространства называются точками, а число р{х, у) называется
расстоянием между точками хну или метрикой пространства Е.
Всякая часть F метрического пространства Е, в которой определено отображение F xF —
R+, являющееся сужением отображения Е х Е — R+ : (х, у) ь-► р{х, у), называется ме-
трическим подпространством, л определенная в Нем метрика — индуцированной метрикой.
Метрическое подпространство само является метрическим пространством.
5.5. Окрестности.
Определение!. Открытым (замкнутым) шаром с центром в точке хо и радиусом г
в метрическом пространстве Е называется множество
Открытый (замкнутый) шар обозначается 5(хо. г) (.5(то, г)).
Аналогично определяется открытый (замкнутый) шар в векторном нормированном про-
странстве.
Определение 2. Открытым (замкнутым) шаром с центром в точке x<t и радиусом г
в векторном нормированном пространстве Ё называется множество
Й II* -X.I < 'У-' ((* S Е II* - *»1| 4 ’))-
§ 5. Векторные и метрические пространства
37
Определение 3. Открытый шар с центром в точке то ы радиусом 6 называется Ь-
окрестностью точки го.
На действительной прямой К открытый (соответственно замкнутый) шар радиуса А есть
интервал ]то — 6. го + 6[ (соответственно сегмент [то —6, Хо + £}).
56. Пусть К"‘ — множество всевозможных упорядоченных систем т действительных
чисел (х 1. Xi, .... rm). Пусть в множестве Rm определены: внутренняя бинарная операция
Й’п х R’" — R’n, которая для любых двух элементов х = (xi, .... rm) и у = (yi, ym)
множества R”1 ставит в соответствие элемент
х + у = (х> + хт + ут),
называемый суммой х и у; внешняя бинарная операция R к , которая для любого
X ё R”1 и любого А ё R ставит в соответствие элемент
Ах = (Aii....Azm),
называемый произведением А на х.
Показать, что R"‘ — векторное пространство над полем R.
< ('начала покажем, что множество Rm является аддитивной абелевой группой. Дей-
ствительно, ДЛЯ произвольных X = (if, .... Х,п), У = (yj, . . . , ут) И Z = (Z), . . . . Z,n) В СИЛУ
ассоциативности действительных чисел, имеем
х + (у + Z) = (Г> + (У1 + Zi). , ., Хт + (ут 4- гт)) =
= ((Z) -|- у,) + Z1, . , (тт + J/m) + Zm) = (х + у) + Z.
Обозначим 0 = 0 = (0.......0), тогда Vx ё выполняется равенство хЦ-0 = (zi4-0,
.. ., + 0) = (zi. . . , Zm) = х. Для любого х € ПОЛОЖИМ —X = (-11, - , -Гт),
тогда х х) = ( j~i —Г).....г,п -im) = (0, ...,0) = 0. Наконец, в силу коммутативности
сложения действительных чисел
х + у = (а-J + У1, . . . , Хт + Ут) = ( У1 + X f , . . . , у,п + Хт ) = (yi, . . . , Ут ) + ( X I, . . . , X т ) = У + X.
Следовательно, все четыре аксиомы абелевом группы выполнены.
Далее, из определений внешней и внутренней бинарных операций и свойств действитель-
ных чисел непосредственно следуют равенства:
А(х + у) = A(Z] + У1...Хт 4- Ут) = (A(ll 4- У1), .... А(*т +»«>)) =
— (А X j + Ау! , . .. Ат,п 4” Aj/m) = (А X .Ат,>. ) + (Ay I, • •. АУт) =
= A(zi...*т) + А(у>........Ут ) = Ах 4* Ау,
(А 4- М)х = (А 4- /<)(Х1, • • •. Хт) = ((А 4- й)гь ..., (А 4- р)х,п) =
= (Ат( 4- рх ! , . . . , Аг,п 4- рх,п) = (Al], .... Ххт ) 4- (pxi, . . . . рх,п) =
= A(i]...1т) 4- р(х,. •- ,х,п) = Ах4-/сх-
(А/<)Х = ((A/t)Ti, .,., (Хр)х,п) = (А(ДХ1), . .., Х(рхт)) = А(/«Г1.рх,„) - A(/ix).
1 • X = (1 - Г1 , . . . , 1 • Г,п) = (li , . . . , Хт) = X,
для произвольных X и у из R”* и любых А и р из R. Таким образом, аксиомы, определяющие
векторное пространство, выполнены, а поэтому R"' является векторным пространством над
полем R. ►
57. П усть 9J1 — множество всевозможных прямоугольных матриц вида
где а,, 6 R, i = l. >н, j' = 1, и.
Суммой матриц .4 = (ач) и В = (Ьм) назовем матрицу
38
Гл. 1. Введение в анализ
а произведением матрицы А на число А € К — матрицу
Показать, что ЯЛ — векторное пространство над полем R.
Я Множество ЯЛ матриц Л = (аи) размера т х п можно отождествить с пространством
R”'n векторов х = («и, - - •, «ш, • - •. . «тп) при помощи взаимно однозначного соот-
ветствия (a,j) *— («п, . • •, a in flmi, ..., Omn)- При этом для любых (а,7) ё ЯЛ, (i»tJ) £ ЯЛ
и А ё R
(«; ) + (tij ) » («ц + 61), - - , «in + tin, ••• , Oml Ч" tml, . • • , «тпп + bmn ),
A(atJ) «— (Лац, ..., X<xin, , Aami.
(T. e. пространство ЯЛ изоморфно пространству R”1" относительно сложения элементов из
ЯЛ и умножения на скаляры поля R). Таким образом, ЯЛ — векторное пространство над
полем R. ►
58. Доказать, что пространство R771 превращается в нормированное векторное простран-
ство, если для произвольного х = (xi, xj, ..., zm), х € Rm, положим
||х|| — \/xi + Xjj + . . . + Im. (1)
4 Для доказательства достаточно проверить выполнение аксиом 1)—3) пункта 5.2.
1) Очевидно, |]х|| > 0 и (j|x|| = 0) « (х = О).
2) Для любого х € Rm и VA ё R имеем
||Axj| = ^/(Azi)1 + (Xxj)2 + ... + (Azm)2 = \/zj + s j + . Г. + x^ = |A| ||x[|.
3) Покажем, что для любых X = (zi, xj, ..., xm) и у = (th, Уг.ym)
ll« + y|Kl[x|i + |ly||. {2)
Записывая неравенство (2) в координатной форме
и возводя обе части в квадрат, после упрощения получаем неравенство
эквивалентное неравенству (2). Неравенство (3) называется неравенством Коши—Буня-
ковского; его справедливость уже доказана (см. пример 43). Следовательно, равенство (1)
задает норму в R7". ►
59. Доказать, что векторное пространство ЯЛ, элементами которого являются матрицы
размера тп х п, является векторным нормированным пространством, если для произвольной
матрицы А = (ам), t = 1, m. j = 1, n, положить
MH = (i)
)»1 1=1
< Выполнение первой аксиомы кормы очевидно. Далее УАёКиУАёЯЛ имеем
т п m п тп п
imh = = ЕЕьчм = w Е Е |«'т! - i*i ми.
т. е. вторая аксиома также выполняется.
§ 5. Векторные к метрические пространства 39
Остается проверить выполнение неравенства треугольника. Пусть А, В G ЭЛ — произ-
вольно заданные матрицы размера т х п, тогда
И + ВЦ = |“" + *•>! < IM) = ЁЁ I + !М = ||ЛИ + 11в|1'
' = « 7 = 1 •=! ; = 1 1=1 J = 1 . = 1 j=l
Таким образом, все аксиомы нормы выполняются, а поэтому равенство (1) задает норму
• ЯЛ, превращая его в векторное нормированное пространство над полем R. ►
60. Пусть С множество всевозможных ограниченных функций f : [а, 6] — R.
Показать, что множество С становится векторным нормированным пространством над
полем R, если для произвольной функции f положить
||/|| = sup |/{х)|. (1)
4 Легко убедиться, что С является векторным пространством над полем R, если равенство
(/ + ?)(*) = /(*) +з(*), ®е[а, Ч
определяет сложение в С, а
(А/)(х) = А/(х)
— умножение на скаляр поля R.
Остается проверить, что для числа ||/||, определенного формулой (1), выполняются все
аксиомы метрики.
1) Поскольку |/(ж)| > 0, то ||/|| = sup |/(т)| > 0; кроме того, ||/|| = 0 тогда и только тогда,
когда |/(т)| = 0, т. е. когда / : [а, 6] —> 0, а такое отображение является нулевым элементом
векторного пространства С.
2) Для произвольной функции f € С и любого A £ R имеем
||АД| = sup |AZ(!)| = sup 1АЦГ(^)| = W sup |/WI = |А|Н/||.
Хб[а,Ь} »€[а,Ь] т€(в.Ь]
3) Из неравенства треугольника для абсолютного значения и свойств точной верхней гра-
ни следует неравенство
|/(*) + у(г)| |/(х)| -|- |y(r)| < sup I/(х)| + sup |0(r)| = II/II + ||у|| V /, д € С, V х € [а, Ч-
лб[а,Ь1 хё[а,Ь]
Поскольку множество {|/(т) + <?(*)!}, х € [в, Ь]> ограничено числом 1|/|| + ||з||, то точная верх-
няя грань этого множества, которая, согласно равенству (1), равна ||/-i-ff||, также ограничена
этим же числом. Следовательно,
s«P l/(*) + <7(*)l = ||/ + g|| С ll/11 + llsll,
что и завершает проверку аксиом метрики. ►
61. Показать, что для произвольного векторного нормированного пространства Е =
{г, у, г, ... } справедливо неравенство
НИ1-||»Ш11*-< (1)
4 Согласно неравенству треугольника,
11*11 = IK* -у) + sdl С Ik - sdl + И<
откуда
VII - 1Ы « II* - »||. Р)
Меняя местами х и у, имеем
НИ - INI Ь - *|| = |К~1)(* - ЗОН = I -1| • II* - 3*11 = II* - ffll
или
-II*-»||« 11*11-llsll- (3)
Из (2) к (3) непосредственно следует (1). >
40
Гл. 1. Введение в анализ
62. Доказать, что векторное пространство ОТ (см. пример 59) станошися евклидовым
пространством, если для произвольных двух элементов А = (а,,) и В = (Ьи) положить
<Л’ я) = ЕЕ«.л,-
4 Для доказательства достаточно проверить, что {А, В), определяемое равенствам (1),
удовлетворяет четырем аксиомам скалярного произведения (см. п. 5.3). Выполнение трех
первых аксиом непосредственно следует из определения числа (Л, В):
т n m п
1) (А, В) = £ £ а,}Ь1} = £ 52 Мм = (Я. -4);
i=ij=i i=i;=i
2) для произвольных матриц А = (а,;), В = (Ь,}) и С = (с,;) имеем
(А+ В, С) = ЁЁ<“« +ЁЕЬ'^ = И. Q + (В. С).
« = 1 j = l »=l ; = l J = 1
3) пусть V А € ОТ и V А € К. тогда
tn и тп п
(ал в} = е Е Ха‘’ь" =А Е Е=Л<Л' в"1-
1=1 J=1 «=> J=i
4) для любой матрицы A g ОТ находим
и. Л> = ЁЁ<
i=l ;=t
откуда следует, что (А, А) 0 и (А, А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы ма-
трицы А равны нулю, т. е. когда А = 0, где 0 — нулевой элемент векторного пространства
ОТ. Следовательно, выполняются все аксиомы скалярного произведения, т. е. равенство (1)
задает скалярное произведение в векторном пространстве ОТ, поэтому ОТ— евклидово про-
странство. ►
63. Показать, что нормированное векторное пространство Е = {г, у, z, ...} становится
метрическим, если для любых элементов х и у из Е положить
Р (*,$) = II* -у||.
4 Покажем, что выполняются аксиомы метрики (см. п. 5.4). Действительно, из свойств
нормы вытекает, что:
1) р(х, У) = ||* — У|| О, причем р(т, у) = 0 тогда и только тогда, когда х — у = 8, т. е.
2) p(*t ») = II* - у|| = -*)|| = | - 1| -||у - *|| = ||s-*|| = р(у, *);
3) р(х, у) = ||* -141 = ||* -г + г-уЦ < ||* -*|| + ||*-»|| = Р(х, z) + p(z, у) Vr, у, z € Е.
Следовательно, все аксиомы метрики выполняются, поэтому Е — метрическое простран-
ство. ►
Упражнения для самостоятельной работы
52. Доказать, что множество C{f, д, h, ...} всевозможных отображений множества Е в
векторное пространство F над полем К само является векторным пространством над тем же
полем DC-
53. Показать, что множество комплексных чисел С образует векторное пространство над
полем действительных чисел 1R.
54. Показать, что векторное пространство Rm становится нормированным, если для лю-
бого элемента х = (x>, xt, ..., im) норму ||х|| введем одним из следующих равенств:
а) ||х|| = |*t | + |*21 + - •. + km| (октаэдрическая норма);
б) Цх|| = щах |х,| (кубическая норма).
§ 5. Векторные в метрические пространства
41
55. Какие из равенств
a) INI = £ Ь |п|;
в) ||х|| - l*i I + 1*21 + • • • + |*m-i
г} ||х|1 = max ai|zi|. а. > 0;
1. т;
”) М = , , N
l£t£m—1
задают норму в векторном пространстве R"*?
56. Показать, что в векторном пространстве ЭЛ, элементами которого являются матрицы
Л = (atj) размера т х п, норму ||А|| можно ввести одним из следующих равенств:
I <т> Ti n m
а) ||Л|| = ./52 22 а2-, б) )|Л|| = max £|а„|; в) ||Л|| = max £ |ао|; г) ||А| = max |а,,|.
57. Пусть 0Л то же, что и в предыдущем примере. Указать, какие из равенств
а) МИ = у £ £ "и"?;' > °’’
в» МН «0 > 0;
д) ||Л|| = max atj|et,|, a,, < 0;
||Л|| = max ам|а|;|, > 0;
1<|<т
||Л|| = max оц} >0, т > 2
задают норму в пространстве ЭЛ.
58. Исходя из определения метрики, доказать, что в пространстве R”1 расстояние между
Произвольными точками X = (ц, Х2, Хщ) и у = (|h. У2, • - •, Ут) можно определить одним
из равенств:
•) <>(» ») = у£(».-».)2;
В) р(г, у) - max [г, - у,|;
д) р(», у) = 52 “«к' ~ Ь а< >0;
59. Непосредственной проверкой аксиом
б) р (г, у) = 52 Iх- - »«1;
г) р (*, у) - а'(х' - а.)2. «• > °;
е) р (х, у) = max (ач|т£ - yt|), а, > 0.
1<><т .
метрики показать, что в пространстве ЭЛ, эле-
ментами которого являются матрицы размера гп х п, расстояние между произвольными точ-
ками (матрицами)
в = (b,})
Л = (a,j) и
можно ввести одним из равенств:
а) л (Л, В) = £(»., - »„)г:
в) р(А. В) = шах 521ЯО“М;
б) р(Л, В) = max 52 |а,? — Ьм|;
г) р(Л, В) = max |ам-Ьм|.
1<.<т
• <»<«
60. Пусть Е — метрическое пространство с метрикой р : Е X Е —• R+.
Показать, что если, кроме того, Е и векторное пространство, то оно является нормирован-
ным пространством с нормой |[х)| = р (х. 8), где х — произвольный, а в — нулевой элементы
пространства Е.
61. Изобразить множество точек, которое является замкнутым (открытым) шаром в ме-
трическом пространстве j?2, если метрика р определена одним из следующих равенств:
а) р(х, у)= «/(г, - гч)2 + (х2 - Уг)2;
в) р(х, у) = щах |х, - у,|;
д) р(х. у) = 1£1ГЧп1 + 1±^Ы.
б) р(х. У) = 1*1 - «1| + 1*2 - У2|;
г) Р(х, у) =
е) „(х, у) = тах{1^И1. .
42 Гл. 1. Введение в анализ
§ 6. Предел последовательности
6.1. Понятие последовательности-
Определение. Последовательностью элементов множества Е называется отобра-
жение
N — Е : п >—* хп,
т. е. функция, которая каждому натуральному числу п 6 N ставит е соответствие эле-
мент х„ Е Е.
Для записи последовательности употребляем обозначения (гп), или ц , хг, •••, in, • -, или
хп — /(п), » £ N.
Элементы ij, гз, in. ... называются членами последовательности, а хп — общим
членом последовательности.
Множество Е может быть различным, например: К, R”*, С[а, 6], ЯП и т. д. Если Е ~ R,
то последовательность называется числовой, если Е = К”1, — векторной, если Е = С’[а, 6),
— функциональной, если Е = ЭЛ, — матричной и т. Д. В каждом из этих случаев множество
всевозможных последовательностей образует векторное нормированное, а следовательно, и
метрическое пространство.
6.2. Сходящиеся последовательности и их свойства.
Сначала рассмотрим числовые последовательности.
Определение. Последовательность (хп) действительных чисел называется сходя-
щейся, если существует действительное число а и для произвольного £ > 0 существует
натуральное число т такое, что для всех п > т справедливо неравенство
|in - а| < е.
При этом число а называют пределом последовательности (хп), что символически запи-
сывают
lim хп = а или хп —‘ а при п —♦ оо.
С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая
последовательность (in) называется сходящейся, если
Эе € R A Ve > 0 3m € N : Vn > m => |хл - а| < е.
Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся.
Теорема. Если последовательности (х„) и (уп) действительных чисел сходятся и
lim хп = a, lim уп — Ь, то
п—оо п —со
Um (хп + у„) = а + b, lim znyn = ab,
п—оо п — оо
lim — = О V n € N, Ь 0).
п —ос yn в
6.3. Признаки существования предела.
1. Если уп < Хп 5- zn Vu > по и lim уп — lim zn = в,то 3 lim хп = а.
п — ® п—-оо П—*00
2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3. Числовая последовательность (хп) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
Ve>03m6N:Vn>mAVpg N => |in+₽ - in| < «
(критерий Коши).
6.4. Число е.
Последовательность н w (1 + ~)п , n £ N, имеет конечный предел, называемый числом е:
lim (1 + -1 =s е = 2,718 281 828 459 045 ...
п —ев \ П/
§ 6. Предел последовательности 43
6.5. Предел в несобственном смысле.
Определение 1. Л-окрестностью “точки 4-оо” (“точки —оо”) называется множе-
ство точек R, удовлетворяющих неравенству
А < х < 4-оо (—оо < х < —Л);
А-окрестностьх> “точки оо” называется множество точек R, не принадлежащих сег-
менту [—Ai Л].
Определение 2. Числовая последовательность (zn) имеет предел 4-оо (—оо), или стре-
мится к 4-оо (—оо), если
V А > 0 Эт € N : Vn > т in > Л
(V А > 0 Эт G N : Ум > тп =► хп < —Л).
Числовая последовательность (zn) имеет предел оо, если УД>0 3тёК: Уп > тп =►
|хп| > А.
6.6. Частичные пределы. Верхний н нижний пределы.
Определение 1. Если частичная последовательность (znk) сходится, то ее предел
называется частичным пределом последовательности (хп).
Определение 2. Число а € R называется предельной точкой числовой последователь-
ности (хп), если любая ее окрестность содержит бесконечное число членов последователь-
ности.
Частичный предел последовательности является одновременно и ее предельной точкой.
Определение 3. Наибольший (наименьший) частичный предел числовой последователь-
ности (хп) называется ее верхним (нижним) пределом и обозначается символом
lint хп ( Вт 1П).
п—оо п —оо
Теорема. Любая числовая последовательность имеет верхний и нижний пределы.
6.7. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве.
Определение. Последовательность (хп) элементов метрического пространства Е на-
зывается сходящейся, если существуют элемент а € Е и для любого е > 0 натуральное
число т такое, что У п > т справедливо неравенство р(хп, я) < е.
В этом определении натуральное число т можно заменить положительным действитель-
ным числом а, поскольку из неравенства и > а следует п > [а] = т.
Если в R"1 задана последовательность с членами xn = («in, «2п, • •-, rmn), n € N, та-
кая, что существует lim t,n, i = 1, т, то эта последовательность сходится и справедливо
равенство
lim xn = ( litrt Tin, Вт х^п. Вт «тп).
п —оо п —оо п—со п—оо
Аналогично, если в £31 задана последовательность
такая, что 3 lim а^, р = 1, n, g = 1, т, то эта последовательность сходится и справедливо
равенство
(lim lim в;*’ ... lim а^
fe —со A —co fc —оо
.................................
lim lim a^l ... lim
A —co fe — oo k —oo
64. Доказать, что последовательность (rn) = сходится К числу 2.
4 Имеем |«п - 2| = — 2| = Для любого £ > О Э m ё N такое, что ± < £ (см.
пример 28). Тогда У и > т справедливо неравенство — < е и, следовательно, |in — 1| < е.
т. е. lim х„ = 2. ►
п — оо
44
Г л 1. Введение в анализ
65. Доказать, что:
a) lim qn = 0 при |ф| < 1; б) lim qn = со при |g| > 1.
4 а) Если 7 = 0, то равенство а) очевидно. Пусть е > 0 — произвольно и 0 < |r/| < 1,
Тогда, пользуясь неравенством Бернулли, получим
Отсюда
б) Пусть |gj > 1 и Д > 0 — произвольно. Тогда из неравенства
W = (I + (М -1))” > I + - I) > -.(И -1) > д
находим, что
V”>SFT'*
Найти следующие пределы:
в6- л™ (1+Д+1+-+Ч^)-
4 Положим .%=|+^ + ^+ ...+ ^Г’- Тогда
1
68. lira (V7-&2-\/2 ... ’^2).
$ 6. Предел послейомтельмости 45
*Г~ 9* Z“ -4-—4- 1 1 |_Д— 2 *
◄ Так как у/2 V2 - V2 ... у2 = 2 г . " 2" = 2 2“ =5 —у- и при,п.> 2
2?г
= 1 + „(г2" - i) + ... + (г2" -i)">n(s2?-l), т.о< 22" -1 <
то 22* — 1 при п — оо и предел последовательности равен 2. ►
Доказать следующие равенства:
69. liin ^7 = 0.
п—оо п:
◄ Равенство следует из неравенства
и из того, что (1)” — 0 при н —• оо (см. пример 65). ►
70. liin —= 0, « > 1.
Пусть т — целое и т k. Тогда
где Ь — у/а > 1. По
п _ п _ н < _______2п_______ У
< Ьп ~ (1 + (6-1))" ” 1 + „(6_!) +2t!Lz!l(6_1)2 + ... + (fr_i)n < «(п-1)(Ь-1)2
при п — оо; тогда, применяя теорему о предельном переходе в произведении, получаем, что
(~) — 0 при и — со, откуда следует требуемое. ►
_ . а'1
71. Iim —7=0-
п — оо и!
4 Равенство нулю предела следует из очевидного неравенства
справедливого при любом е > 0 и т + 1 > |а(, если и достаточно велико. ►
72. Iim uqn = 0. если |g| < I.
4 Доказательство следует из того, что
|№| = j-qn = Ь>1 (см. пример 70). ►
73. liin \/г7 = I.
◄ При а = 1 равенство очевидно. Пусть а > 1, тогда у/а > 1 и (см. пример 40)
а = (1 +( 1))" > 1 + «(^7- 1) > n(fa-I),
откуда получаем, чго <1 < у/а — I < ~ < е при п > (е >0), т. е. у/а —► 1 при п — ас.
Если 0 < а < 1 , то > 1 и по доказанному —* 1 при п — оо Но тогда
46
Гл. 1. Введение в анализ
74. Ita
1 (см. решение примера 70), то
1 при достаточно
большом н. Положим Ь = ае, где а
или 1 < п < о2’1.
Логарифмируя последнее неравенство, имеем 0 < Iogen < еп, откуда О
достаточно большом п. Из последнего неравенства и следует утверждение.
0 — произвольное. Тогда ------
а*п
log„n
---— < е при
Из очевидного неравенства
76. lim - __ = 0.
е прн произвольном е > 0 и при всех п
Покажем сначала, что
Применнм метод математической индукции. При rt = 1
если оно справедливо при п, то для п + 1 имеем
неравенство справедливо. Далее,
Последнее неравенство справедливо, так как
/ 1 _ м м(« — 1) 1 n(n — 1) .
2!
«4-1)
2!
Существование и равенство нулю предела вытекает из неравенства
справедливого для любого е > 0 при всех п
77. Доказать, что последовательность (хп), где
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность (Уп), где
мои^'.'онно убывает и ограничена снизу. Следовательно, они имеют общий предел:
lim
= lim
= е-
5 в. Предел последовательности
47
Согласно неравенству примера 40, имеем
т. е. хп /, a j/n \. Далее, хп < уп и 0 < уп — хп = (1 + £)" ~ ° яри п —оо, откуда
(уЛ — тп) —* 0 при п —* оо.
Следовательно, lim хп = lim уп = е. ►
78. Доказать, что
При каких значениях показателя п выражение (14----I будет отличаться от числа е меньше
\ »/
чем на 0,001?
◄ Согласно примеру 77, имеем (1 4- —) > е. Тогда
О < е- (1 + < fl + -) * - (1 + <('14-1') !<-<!< -L- при п > 3000. ►
\ п/ \ п/ \ nJ \ ' nJ п п п 1000
79. Пусть (рп) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к 4-оо, и (gn) —
произвольная последовательность чисел, стремящаяся к -оо. Доказать, что
◄ Пусть (»ц) — произвольная последовательность целых чисел, стремящаяся к 4-ос. То-
гда из неравенства
I / 1 \« I
(1 4- — ) — е| < е при п > N(s), £ > 0,
следует, что | fl 4- < е при nt > 2V(e), т. е. lim fl 4- = е.
Если произвольная числовая последовательность (р&), Рк > 1, стремится к 4-сю, то суще-
ствует такая последовательность целых чисел (пк), что п* С Рк < Пк 4- 1 и Пк — 4"ОО- Так
как левая и правая части очевидного неравенства
г Л , 1 \Рк
стремятся к г, то ши ^1 4- — 1 = е.
Если произвольная последовательность чисел (?*), —ул- > 1, стремится к —оо. то, полагая
qk = —»к, получаем
(1 \ п
1 4- — ) = е, доказать, что
£n„(, + , + j; + j; + --+^)=c-
Вывести отсюда формулу
2-1._____I___ц. а. _с ——
т 2! 3! ' п! п-»!’
48
Гл. 1. Введение в анализ
где 0 < < 1. и вычислить число е с точностью по 10 5.
◄ Переходя к пределу в неравенстве
__ Л 14” _ . « н(п - 1) 1 н(п - 1)(н - 2) 1
'""Vo/ п 2'. ' «2 31, ' п3
при п — оо, получим неравенство
справедливое при любом к. Так как в множестве {у*} нет наибольшего элемента, то при
к = п
т. е. знак равенства невозможен. Кроме того,
Таким образом, zn < уп < е и Um хп — е. Отсюда следует, что liin = е.
п —ос п —со
Переходя к пределу в неравенстве
_ 1 1 1
»m+n Уп - + + („ + 2)! + •• + (м + т)! <
при фиксированном м и m —• оо, получаем
Обозначим вп = , 0 < 6п < 1 • Отсюда получаем требуемое.
Неравенство 0 < е — уп < < 10”6 справедливо при а 8. Отсюда
1 к 2,71828. ►
е!а2 + й + 5! + 5Т + й + £!+ Yi +
81. Доказать неравенство
◄ Левая часть неравенства справедлива при n = 1; далее, по индукции
так как неравенство (н 4- 1) (7)” ” >1 эквивалентно неравенству (1 + < е
(справедливость последнего следует из примера 77).
Правая часть неравенства следует из того, что (см. пример 42)
82. Доказать неравенства:
а) —-j-y < In 4- —. где п — любое натуральное число;
б) 1 + а < е®, где а — действительное число, отличное от нуля.
§ 6. Предел повяеде>жателз»Мвс*ж
49
◄ а) Логарифмируя неравенство (см. пример 7,7) ।
получаем nln (1 + —) < In е = 1 < (•« + 1)1а (1 + -), откуда следует неравенство а).
б) Покажем сначала, что - 1. - •
1Т7<'ь,(1+г’,<г: . . ,ш <’>
гДе г. — любое рационально^ число, итличное отиулЯ;И большее — 1. Пусть г = ^ > 0. Тогда,
в силу неравенства а), получаем
. ,, , , . /, , тп\ . /п + 1 П + 2 n + m \
In(I + г) = In I + — = in —------. —-2- ) =
\ п / \ rt n + 1 п + m — 1 /
= In (1 + -) +1п (ц----7—•') + ..+ 1п (ц-—2-------) <
\ и J \ п+1/ \ п + m — 1 /
11, 1 т
< ~ , + ... + 1 <----г,
п п + 1 п + m — 1 п
‘"О+') > ;гп + > tts = Tfs =
откуда следует неравенство (1) для г > 0.
Если же -1 < г( < 0, то, полагая rj =+, О < г < 1, имёем
1п(1 + п) = )п(1 — г) — — In —-— = —In (1 + •——,
откуда -737 < 1и(1 + п) < -г, т. е. < 1п(1 + п) < и.
Пусть ft — произвольное действительное число, большее —1, отличное от нуля. Тогда
существует такое рациональное число г, что
2 + 2 + т
< п < г
(например, любое рациональное число г, содержащееся между действительными числами а
и \/а2 + 4 + о — 2). Тогда
Ь(1 + «) < 111(1 +Г) = In (41 = In (1 + +1° (1 + j) < j + 7^7 < “
Следовательно. In(l + ft) < ft (ft > — 1, ft/0) и 1 + ft < e11 (a > — 1, a / 0). Если ft < — 1,
то неравенство 1 + ft < e“ очевидно, поэтому неравенство 1 + a < ea справедливо при всех
о £ 0 ►
83. Доказать, что
lim и ^an — 1^ = In а, а > 0,
где Ina есть логарифм числа а при основании е = 2,718 ....
Из неравенства (1 + ^)п<е<(1 + 7^7)” находим, что 1 < п ^еп - 1^ < 1 + 7—7, п >
1, откуда
lim nlen—11=1.
n-00 \ }
При а > 1 имеем уп = n « — 1^ = п (е~ - 1^ — zn — 1^ 1а а, где zn = . +оо
при и —-ос Обозначим оп = [zri] (целая часть), так что оп С г« < On +1 и .
’Отсюда получаем неравенства
In н • ft,, an+1 - 1^ < уп < In a (лп + 1) - 1^,
j, - In a ‘'" + l - 1^ + In « (ft,, + 1) “’ + 1 — 1^ < y„ < Ina ar.(en" — 1) + In a — 1^.
50
Гл. 1. Введение в анализ
84. Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последо-
вательности. доказать сходимость последовательности (тп), где
◄ Имеем = 1 + —+1- > 1, следовательно, последовательность возрастает.
Ограниченность следует из неравенств
b». = b(l + lj+to(l+i) + ...+b(l + i) <
1 1 1 11, 1 _ 1 1
<2 + 4+ '”+2n<2’h4+”'+2n + '” 2 i_i ®n < е-
1 2
Таким образом, последовательность, согласно утверждению 2, р. 6.3, сходится. ►
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей (т„),
где: ,
о к sin 1 sin 2 sin м ,
85 хп = — + -^-+ ... +—, п€М.
◄ Пусть V е > 0. Тогда
|sin(» + 1)| |sin(n + 2)| |sin(n+p)[
** 2n+x + *2"+2 ’+ + 2n+p
%n+i + 2n+2 2n+e "*••• 1 2”
при n > — log3 e и всех натуральных p. F
ccteL’, coa 21 cwn! •
Xn ~ TT + ~i~3 + • • • + n(n + i)’
n e N.
◄ Для произвольного -e > 0 и при всех натуральных р имеем
V» | cos(» ± Ч' . «»(п + 2)! cos(n+p)!
J(n + 1)(?* + 2)( ! :(Л+2)(т»+:3) ?. («+₽)(’» + ₽+!)
$6. Предел последовательности 51
< 1 1 _______________________________________1_______
" (п + !)(» + 2) + (п 4-2)(п + 3) + + (n + р)(п + р + 1) =
_ 1________1 1___________1 1______________________1 _ 1____________1 1
» + 1 п + 2 п+2 п + 3 п + р п + р +1 п + 1 п + р + 1 п + 1
Vn > I* 1 =tf(e). к
87. Последовательность (тп) имеет ограниченное изменение, если существует такое чи-
сло с, что
|Х2 - III + jj?3 - «2 I + ... + |ln - ®n-l| < C, n € N.
Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.
Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного измене-
ния
Ч Из условия вытекает, что последовательность (уп), где
Уп = |х2 - Til + |®3 - 12 I + ... + |хп - ГП-1|,
сходится (как ограниченная и монотонно возрастающая). Далее, так как (у„) — сходящаяся
последовательность, то
la-n+₽ — Xn| — I X Г»+1 ~ Хп + Хп—2 — Хп — 1 + ... + Хп+р — Xn-J-p—11
|Хп + 1 — 1п| + |Хп—2 Хп—11 + . . . + |ln+₽ — Хп+р—1 | = | J/n+p ~ Уп| < £
при п > ?V(e) Vp > 0. т. е. последовательность (тп) сходится.
Очевидно, последовательность
1п = кЦ=1Г, „6К,
2п
сходится, однако она не имеет ограниченного изменения, так как при любом А > 0 неравен-
ство
|X2-X,| + |l3-I2|+...+|l2n-l2n-1| = 1 + 1 + 1+-- +^-т>1 + 1 + 1+...+1>
> ln(l +1)+1п (1 + ^) +ln fl + т) + • • +1п fl + — )=Inf--'-... = In (n + 1) > A
\ 2/ \. 3 7 \ n 7 \ 1 2 3 ii 7
справедливо при n > eA — 1. >
88. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательностей (хп), где:
а) х» = 1+j+ ... + i .£»; 6) т„ = + ... + «СИ.
◄ Пусть е — произвольное число из интервала ]0, j[.
а) Поскольку
|хп+р-хп|= —L-+ —... +—L_ >
п + 1 п + 2 п + р п + р
а при р = п
। । 1
|Хг»+р — Хп| > - > е
для всех и. то последовательность расходится.
б) Расходимость последовательности следует из того, что
I "+р n| In(n + 1) 1в(п + 2) + ' '' + ln(7i + р) > 1п(п + р) > п + р 2 П₽И " Р'
89. Доказать, что сходящаяся последовательность достигает либо своей точной верхней
грани, либо своей точной нижней грани, либо той и другой. Привести примеры последова-
тельностей всех грех типов.
! Ч Пусть lim in = а. Предположим, что хп < a (xn > a) Vn £ N. Тогда существует наи-
меньший (наибольший) элемент последовательности, который будет точной нижней (верхней)
дранью. Если последовательность содержит элементы как меньшие а, так и большие а или
52
Гл. 1. Введение в анализ
некоторые элементы, равные а, то во всех этих случаях последовательность имеет как наи-
меньший, так и наибольший элементы, т. е. достигает своих точной нижней и точной верхней,
граней. *
Приведем примеры последовательностей всех трех типов-.
3) (x„) = , Xi = -1 = inf {xn}, r2 - = sup{xn}.
Найти наибольший член последовательности (in), если
90. =
◄ Условимся наибольший член последовательности (хп) обозначать символом maxxn. Из
неравенства
справедливого при п > 2, вытекает, что последовательность (in) монотонно убывает. Поэто-
му наибольший член содержится среди элементов Xi, х2, хз Находим, что
max хп = хз =
Q1 1000’
hi. xn = —r-
Так как д"*~ = j-—, то при п > 999 последовательность монотонно убывает, а при
п < 999 — возрастает. Следовательно,
1ООО1000 452
max = х1000 = * ss 2,49 • 10 . ►
Для последовательности (««) найти inffxn), sup{xn}, lim xn и lim xn, если:
' n — 00 n—-c<i
92. (2+i).
◄ Так как все элементы последовательности (хп) содержатся в последовательностях
хзп-i = 2 + 2n-i 12л “ ” 2п и Х2п < r2n-i, причем последовательность (хгп-i) мо-
нотонно убывает, а последовательность (хзп) возрастает, то
Х| = вир{хп} = 5, lim хп = lim хгп-i = 2,
Хз
Нт хп = Нт Х2п — -2.
ЛЛ , n В»
HO. Xn ~ 1 4-—- cos .
Имеем iin-2 < X2n~i < Ип, причем (х4„_2) убывает, а (х«п) возрастает. Поэтому
inf{xn) = lim I,
sup(zn) — Iim zn — lim x*n = iim
in
Найти tun xn и lim xn, если:
П — ОО n_OO
ПЛ »»2 21ГН
У4. In = 7-—7 cos ——.
Так как хзп_2 < хзп-1 < хз„ и в последовательности (хзп-з), (хзп-i) и (хзп) сходятся,
lim in — lim хз,
—(3n - 2)8 =
n—<x> 2(1 + (3h — 2)2)
-i— „ i- (H2
bin xn = lim хэп = Hm »1. ►
n~.:-a n—>oo n—.oo 1 + (on)*
§ 6. Предел последовательности 53
95. xn = (i + l) (-i)n +sin ,
◄ Выделяя из всех Членов данной последовательности восемь подпоследовательностей
(iSn-A
убедиться, что наименьший и наибольший частичные пределы Имеют соответственно
8п - 3.
8п — 6
О«3 м - 2 «’Г
УО. гп = -------sin —.
н + 1 4
◄ Имеем х\,t < < тщ-г < х^п-г, откуда
lim хг, = lim xin — 0, lim хп ~ lim ®in-2 = lim —г—- = 1. ►
J»—«СЮ n—.CO П —OO I n-• □© • П-—ОС 4o — 1 U-
Найти частичные пределы:
97 111211 _L 2П-]
' 2’ 2’ 4’ 4’ 8’ 8’ 2"’ 2” ’ ""
ч Из членов данной последовательности составим две сходящиеся подпоследовательности:
Хп — и in = 227* И* пределы lim хп = lim — = 0, lim i = lim 2g7* = * будут
Частичными пределами.
Так как псе другие сходящиеся подпоследовательности входят в состав зтих двух, то дру-
гих частичных пределов нет. ► ,
98. 1. 1. 14-1, 1, 14--, - + -, 14--, - + - , - + - , г, ..., 1 4- - - 4-
2 2 3 3 2 3’4 4 2 4’ 3 4’ 5 ’ п’2
1 111
“!•••<----- 4- ~ ;—7.
я п — 1 п «4-1
Ч Члены данной последовательности составляют сходящиеся подпоследовательности хп =
- и a?fcn = 7 4- 7777 п ^). котоРые имеют соответственно пределы 0, (& G N). ►
99 1121221221
2’ 3' 3 ' 4’ 4’ 4’ 5’ 5’ 5’ 5’ " "
Ч Очевидно, все рациональные числа г (0 < г < 1) являются членами данной после-
довательности. Пусть л — любое действительное число такое, что 0 а < 1; тогда при
достаточно большом натуральном т неравенство
«4- —— < 1
п 4- т
справедливо при всех п£М.
Для каждого натурального числа я среди членов данной последовательности найдется
•iaKoe рациональное число гп, что
1
> ст < тп < с* 4- -.
> « 4- тн
Отсюда следует, что Inn гп = о, т. е. а — частичный предел. Аналогично рассматривается
8(учай, если 0 < и 1. ►
100. Построить числовую последовательность, имеющую в качестве своих частичных
Ьределов данные числа
Uj . <12 , . . . .
54
Гд. 1. Введение в анализ
4 Обозначим = «* + —, к = I, р. п G N. Так как последовательности сходятся
к числам йк, к € N, то искомой последовательностью может быть, например, последователь-
ность
. , - , 1 1 1 11 1
аг + 1, а2 + 1..ар + 1, aj + - а2 + аР + , «и + -, а2 + ар + ,
2 2 2 n п п
составленная из членов последовательностей (г^п), к € N. ►
101. Построить числовую последовательность, для которой все члены данной последо-
вательности г ...
<21 , «2, • • • , Чп, .
являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет данная
последовательность?
4 Из членов последовательностей хп — ап, хьп = ак + (п, к 6 N) составим последо-
вательность с членами
а2, ai + аз + аз,
аз +
а4, -
которая имеет своими частичными пределами: 1) пределы последовательностей (ifcn), т. е.
члены последовательности (an) и 2) частичные пределы последовательности (an). ►
102. Построить последовательность:
а) не имеющую конечных частичных пределов;
б) имеющую единственный конечный частичный предел, но не являющуюся сходящейся;
в) имеющую бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющую в качестве своего частичного предела каждое действительное число.
<4 а) Например, хч — п.
б) Пусть (zn) — последовательность, стремящаяся к конечному пределу a, (уп) — беско-
нечно большая последовательность; тогда последовательность хг> yi, у2,'... ,тп,
является расходящейся и имеет единственный конечный частичный предел а.
в) Примеры 99 и 100.
г) Построим последовательность, содержащую все рациональные числа ±Е, где р и q —
натуральные числа:
Тот факт, что любое действительное число является частичным пределом, доказывается ана-
логично решению примера 99. >
103. Доказать, что последовательности (in) и (yn) = (хп tyn) имеют одни и те же
частичные пределы.
<4 Так как lim у/п — 1 (см. пример 75), то lim = 1, где (р„) — произвольная
п —оо n—.оо
подпоследовательность ряда натуральных чисел.
Пусть а — частичный предел последовательности (Zn) и lim хРп = «. Тогда, применяя
теорему о предельном переходе в произведении, находим
lim уРв = Km хРп = lim хРп Кт Рц/рп = о,
п —оо п—оо п—.оо п—»ОО
т. е. а — частичюяй предел последовательности (йп).
Пусть теперь 0 — частичный предел последовательности (уп) и Кт = 0. Поскольку
у/п > 0, то определена подпоследовательность (хп) = ^Уп « , а следовательно, и подпосле-
довательность (х9„) » (?п) > которая имеет своим пределом число 0. >
! 104. Пусть последовательность (tn) сходится, а последовательность (уп) расходится.
Что можно утверждать о сходимости последовательностей:
а) (Xn+уп); б) (®njr»)?
Привести соответствующие примеры (для случая б)).
$ 6. Предел последовательности
55
а) Последовательность (in + уп) расходится. Если бы она сходилась, то сходилась
бы и разность последовательностей (тп) и (тп + у-»). Но это невозможно в силу того, что
(гл - (хп + у»)) = —(уп) а (у„) — расходится.
б) Последовательность может как сходиться, так и расходиться. Например:
1) последовательность (хп) = (£) сходится, а последовательность (уп) = ((—1)п) расхо-
дится, однако их произведение (гпУп) = J образует сходящуюся последовательность;
2) последовательность (хп) = (^у) сходится, а (уп) = расходится; ИХ произве-
дение (анув) = ) тоже расходится, к
105. Доказать, что:
а) iim *п + lim уп < Km (хп + уп) < lim хп + lim уп;
п—*0© п —оо п— оо п—оо п—оо
б) lim хп 4- Вт уп < Вт (rn -f- yn) lim xn+ lim уп.
п—оо п—оо п—оо п—оо п—оо
Привести пример, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
Замечание. Если из последовательности (in) выделить некоторую подпоследовательность (rkn),
Km хп $ lim .
П —ОО П—оо
•< а) Поскольку нижний предел последовательности является ёе предельной точкой, то
lim fxn -f- уа) — Вт (хГа + уг„), lim хг. « Вт ятг .
П —ОО П —ОО П — оо г> — оо .
В силу замечания, имеем
~ Цт in 4- lim уп < Пт zr„ 4- Ид у,. = Вт ят 4- Вт уг. $ Вт хт. 4- Ет ут. -
п—ОО 71—00 П —ОО 71 — 00 П— ОО П —ОО 71-00 77-00
Е" е, поскольку (im.n +УтпГл) является подпоследовательностью сходящейся поспедователь-
1 (*ГП + »гп), то
Вт (гг, + »г,)= lim „+Утг.)-
71 — 00 П—ОО
с как, кроме того, последовательность (tmr>) сходится, то и последовательность (УтпГя)
е сходится, так что
I lim »m - Um ут ,
Ьп—-оо п—оо
полученное неравенство можно переписать в виде
; Вт хп + Вт уп < Um zm. + Вт ут = Вт (хт. + утг ) = Вт (гп + уп\
С; п—оо 77 —со 71 — оо п —оо п —оо п —6о
|1евая часть неравенства а) доказана. Учитывая это и тот факт, что
f lim/-у») = - Вт уп,
«. П — 00 7»---00
рдучаем
Нт (in + Уп) — Вт уп = Вт (zn + уп) + Вт Вт (fzn 4- Уп) + (~Уп)) = Ет хп-
П—ОО 77 — 00 77 — 00 77-00 71—00 П —ОО
Отсюда вытекает правая часть неравенства а).
Неравенство б) доказывается аналогично.
Построим пример, когда в данных соотношениях имеют место строгие неравенства Пусть
х„ = (-1) 2 sin —, рп = (-1) 2 cos* —, п € N.
" п(п-Н)
Жда 1П 4- уп = (-1) 2 и
11й_1п = -1, lim in = 1. Вт - -1. lim уп = 1, lim - -1. Em (x„+yn) = 1. ►
h*.00 n —oe n —oo n — oo n — oo n—co
106. Пусть zn 0 и Уп^О, ngN. Доказать:
a) lim in • Em yn lim (inyn) Si Em zn - Em yn;
56
Гл. 1. Введение в анализ
б) lim хп lim yn lim (inj/n) С lim zn - lim уп-
п —оо п—оо п—оо п—оо п—• оо
Привести пример, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
4 Докажем случай а) (случай б) доказывается аналогично).
Если хп = 0, и G N, или lim хп = 0, то соотношение а) очевидно. Остается рассмотреть
случай, когда lim > 0. Тогда хп > 0, начиная с некоторого номера.
, Пользуясь замечанием в примере 105 и обозначениями
lim (дпУп) — Пт (хг,Уг«), lim ж». = Пт
п—»оо п—со п—оо п — оо
имеем
lim хп lim уп < lim хг. • lim Vr. = lim хт lim.gr. lim s.nr. • Пт ут._ .
п—"ОО п—оо п—оо П—ОО П —ОО П—ОЭ п-*00 п — оо
Поскольку (хтГвУтг.) — подпоследовательность сходящейся последовательности (irRyrR),
то
Шп ГтпМп) = lim (ir.yrn) = lim
п—оо л—оо п—оо
А так как подпоследовательность (*mr„) сходится к отличному от нуля пределу, то подпосле-
довательность (ут ) также сходится, т. е. lim ут. = lim gmr„ • Следовательно,
п—оо п п — оо
Нт хп • Нт Wngl lim xmr Кт Ут,_ д lim (tmr, Лт*. )= _Кт_(тпУп).
п—*оо п—оо п—оо п—оо п—оо п—оо
Таким образом, левая ч^сгь неравенства а) доказана. Если Нт уп = 0, то правая часть
неравенства а) очевидна, ибо в таком случае lim = 0, а поэтому _lim_(inyre)=0, Пусть
____ п—оо - п — оо
lim у„ > 0. Тогда, согласно доказанному и тому, что Кт — = -и. । —, получаем неравен-
ство "-'ee
=====---lim (znVn) = Um — • Km (xnyn) < Km | —(inyn) = lim tw,
um gn 1»—OO n—oo yn n—co n—oo\J/n / n —co
из которого следует правая часть неравенства а).
Приведем пример, когда в данных соотношениях имеют место строгие неравенства. Пусть
1 ”("+!>
.,. = 2 + (-1)". л = 2-(-1)" + |(-1)~т-.
,,, Л п(п+1}
Тогда х„уп — 3-}--Vj 1, .(—1) 2 ,
lim — 1. limrn = 3, Km уп = i Em yn = lim (zwyn) — L Em (xnyn) = x- ►
n—oo n — OO n—oo 2 n—oo • 2 n—П 2 n —oo 2
107. Доказать, что, если lim xn существует, то какова бы ни была последовательность
(у»), получим
1шГ (ти + Уп) = Нт zn + Нт Уп.
п—оо . я мео п—оо
М Имеем (см. пример 105)
lim (in + Уп) > Кт тп + Нт уп, Нт (тп + уп) < Нт хп + Кт уп.
п — оо п—оо п—оо п—ео п — оо п—оо
Поскольку lim « Um zn = Кт xn> то в предыдущих соотношениях возможен только
п—ео п—оо п—оо
знак равенства. >
108. Доказать, что если для Некоторой последовательности (хп), какова бы не была
последовательность (уп),' имеет место по меньшей мере одно из равенств:
а) Нт (г» + Уп) = 1да"»п + Нт Уп или б) Кт (спуп) — Нт хп - Нт уп, хп > О,
п—оо п—оо п— ео п—оо п—оо п—оо
то последовательность (хп) сходящаяся.
§ 6. Предед пойледоважедвностж .; , 57
4 Пусть условие а) выполнено, —тЬЬбйя Ггоследователь-НстСГЬ й ±= -rn. Тогда из
условия а) следует '* " • • • 1
lim хп 4- lim (-zn) = lim хп - lim tn = Tinf (sn -tn) = 0,
n —co n-*-co n—»oo n ;, : n^od f. •_ nr*eo"-; > , •: i- r .
откуда lim xn = lim тп, t. e Ihn существует?1 ПриВЫ№йненииусЯОВНЯ1«) излагаем
Ti — co „ —► cc n —*co z
, Уп = — 1- Тогда из б) вытекает; что (—xn)v=-i-l lim гп( иля UjbS х„ = lim жи и снова
। ‘ Я—Оо И-«оо »-*ёо п —оо
убеждаемся в существовании предела последовательности (гп). ►
109. Доказать, что если хп > 0 и
lim хп Em — = 1,
П—*ОО П^Об Хп
то последовательность (in) — сходящаяся.
< Из условия примера и того, что Нт — = -г—1------, вытекает, что Um хп — lim хп,
п—оох" П — оо п—оо
т е. (т„) — сходящаяся последовательность. ► ... '
110. Доказать, что если последовательность (хп) ограничена и
lim (xn+'i - — 0, ' - •
ТО частичные пределы этой последовательности pacno.TttffeeHbl ВсЮдУ‘пхбтн'б'-йё^ду ЙИЭкним
. и верхним пределами: , -
I = lim хп и L= Um Zn,
п—-оо n—.оо
т. е. любое число из отрезка [1, L] является частичным пределом данной последовательности.
й Покажем, что любая точка а, принадлежащая интервалу ]1, является частичным
пределом последовательности (in), т. е. покаже^ что любая е-Окрестность точки а содержит
бесконечное число элементов последовательности (хп).
j Пусть « > 0 — такое произвольное фиксированное число, что «-окрестности точек I, а и L
не имеют общих точек. Согласно условию, существует такое число АГ(е), что |zn+i — < 2е
При м > АД«).
Поскольку I — частичный предел, то в «-окрестности точки I найдется элемент хР1, с
индексом pi большим, чем А(е). По той же причине в «-окрестности точки L существует
элемент xqi с индексом gi большим, чем pi. А так как расстояние между соседними элемен-
тами при п > ,V(«) меньше 2е, то среди натуральных чисел п, для который р± < н < gi,
существует хотя бы одно такое число п, что элемент хГ1 принадлежит «-окрестности точки
в.
Далее, существует элемент хРз с индексом pi большим, чем qi, и такой, что хР2 принад-
лежит «-окрестности точки I. Следовательно, среди номеров п, для которых gi < и < дз,
йайдется такой номер rj, что элемент х,-2 принадлежит «-окрестности точки а. Продолжая
нот процесс до бесконечности, убеждаемся в существовании бесконечного числа элементов
|тоследовательностн (тг„), принадлежащих «-окрестности точки а. Следовательно, а — пре-
дельная точка, а так как а — произвольная точка интервала ]/, 1[ то требуемое утверждение
доказано. ►
111. Пусть числовая последовательность (хп) удовлетворяет условию 0 zm+n tm +
In, tn, п € N. Доказать, что lim — существует.
,i —со п
-й Имеем 0 х„ и + X! + ... + а-i = «Xi, 0^ — ^Zi, п = 2, 3, ... ,
п
ледовательно, последовательность (^-) ограничена и существует конечная точная нижняя
грань п — inf •{ ^}. Пусть е > 0 — произвольное, тогда существует такой номер tn, что
— < О + 2 '
Всякое целое «[пело п может быть представлено в виде it = qm + т, где г равно одному из
Яисел: 0. 1. 2. . .. m — 1 Полагая для большего едннообра шя го = 0, имеем
-£?> = -Cqin+r Im + rin + -• + Im + If = ?1т + 1г,
58 Гл. 1. Введение в анализ
п gm -ь г gm + г т qm -f- т п ’
Поскольку 0^r^m + l,TOXr ограничено и существует такое число Л'(е), что при п > Л'(е
А тогда — <п4-| + ^ = л + с при п > N(e), так что lim = а. ► г
2 i п — оо п
112. Доказать теорему Теплица: пусть 1) Рпк 0; 2) Pnfc = 1; 3) lim Рпь = ffl
при кажЭои фиксированном к; 4) lim хп = а. Тогда последовательность с членами t„ з
EPnfcifc сходится и lim tn = а.
п-*оо
к = 1
Из условия 4) вытекает существование такого числа = TVfe), что неравенство
выполняется для всех п > IV (е); далее, из этого же условия вытекает существование такого
числа М > 0, что
jin] М, Jin - а| 2М
для всех п. Наконец, из условия 3) следует существование такого числа по = «о(е) > N, что
для всех я > «о.
Пользуясь этими неравенствами и условиями 1)—2) теоремы, получаем
= Рп1|т1 - а| + РП2[яэ - 4- - - - + Pnj\r|®N - а) 4- Pnx+i|zN+i — л| + ... + Pnn|xn - а|
4 N ' JW ' 2М + 2<Р"Л'+1 + ' + Л”) < 2 + 2 = ‘
для всех в > по, т. е. Em tn = Em 5? = а. ► :
n—*oo ]
113. a) Доказать что если последовательность (®п) сходится, то последовательность 1
средних арифметических (£»), где ;
= -(ц + хг + ,.. + 1п)т
также сходится и Em £n = Em in-
П—»О0 П —ОО
б) Доказать, что если последовательность сходится и > 0 Vn £ N, то последова-
тельность средних гармонических
также сходится и lim 7n = lim уп-
п—»ое п^оо
в) Доказать, что если Em уп — 4-со, то
П—»ОФ
Em уп — 4-оо и Em £п = 4-°о>
п—оо п—*оо
где уп — среднее гармоническое, а — среднее арифметическое из чисел yi, Уг, • • -, Уп-
§ б- Предел последовательности . 59
< а) Если положить = - (it = 1, n; « € N), то для Рпь и хп будут выполнены все
условия примера 112, причем /п = У? = fn. Следовательно, lim = *lim хп-
* . П—<Х> п —со
б) Пусть
Тогда все условия примера 112 будут выполнены, причем tn = 7п- Следовательно, lim уп =
lini^ уп.
в) Покажем, что если lim — = 0, то lim — = 0. А это эквивалентно тому, что lim =
П — ОО Уп П —С« Тп п—*ОФ
+то. Используя пример 112 и полагая
Рпк = - (к = 1, п), хп = —, ,
п Уп
получаем, что 1„ = 52 Рпьхь — — и Um — = Um — = 0.
TZZ*. “In n-~oo Т» п—оо Уп
Утверждение, что lim = -|-ос, следует из неравенства (см. пример 42) yn и из
того, что lim tn — +оо. ►
114. Доказать, что если последовательность (хч) сходится и хп > 0, то
lim (/luj .. tn= lim xn.
Ч Имеем (см. пример 42)
^поскольку lim уп = lim = lim х„ (см. пример 113), то
п — оо п — оо п — оо
Liin y/xiX2 .... In — lim хп. Р-
115. Доказать, что если V» G N гп > 0, то
lim = lim ,
п — ео п —w In-i
предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.
Ч Доказательство следует из того, что
..
= lim ------------------------------------------------------------
П — оо Хп —1
(см. пример 114). ►
116. Доказать что lim — е.
- Хп = Поскольку Ьш “Д’ = Um (1 4- —р)” =
думаем требуемое утверждение. ►
117. Доказать теорему Штольца: если
a) Vn G N з/n+i > уп; б) lim уп = +<х>; в) существует
е, то на основании примера 115
• • Хп ~~ Хп — 1
lim ---------, то
60
Гл. 1. Введение в анализ
Ч Пусть Em Хп~Хп 1 = а (а — конечное). Тогда если считать что уо = 0, хо = 0 и
П—.те Уп-Уп-1
то получим выполнение условий теоремы Теплица (пример 112) для РПк и Л’п, причем tn =
д»
Уп '
Следовательно, lim — = lim = liin Xn = Em — a.
11—.те Vn n —те n —oo n--oo Pn
Если lira J"2:tn~1 = 4-oo, то повторяем приведенные выше рассуждения для последова-
п — оо у* Sn-1
тельности , предварительно убедившись, что xn+i > хп, начиная с некоторого яо € N,
и lim хп = 4-сс. к
118. Доказать, что если р — натуральное число, то:
1р + 2р+ ... 4-np 1 .. /1Р + 2Р4- .. п» п \ 1
а) ши -----------------—--------; б) lim |----------------------------
п — те »»₽+* Р 4- 1 n — те у Пр р + 1) 2
1р+Зр+ ... +(2п4-1)р 2р
в) lira -----------n-i-------— = ——г •
П —те Лр+* р 4- 1
4 Для доказательства применим теорему Штольца (пример 117). Докажем пункт б) (пунк-
ты а) и в) доказываются аналогично).
б) ,Бсли положить хп ~ (р,4- 1)(1Р ,4- 2Р 4- -., 4- пр) - «р+1, Уп = (р 4- 1)пр, то
= hm + + + =
n-те J/n+1 — уп n-те (р 4- 1)((« 4- 1)Р - Пр)
/ (р+ !)(„>+рт>>-1 +^Н,.’-а+... +1)
= lim I -----—7------------------------------------—4-
\(р4-1) (np 4-Рн’’-1 4- £^2»р-2 4- ... +1 ~пА
-пр+г - (р 4. 1)пр - i£±UEK₽-> _ ... - 1 4- „Р+1
Соберем коэффициенты при одинаковых степенях п. Затем разделим числитель и знамена-
тель на п”’1 и обозначим через о сумму всех членов со степенями не выше —1; получит
Нт £.4,1 - ».
'»—«« Уп+l — Уп
tte±ll+o(L\ -
lim --2--- \п = 1
п-тер(р4-1)4-о(-) 2
119. Доказать, что последовательность (х„), где
сходится. Таким образом,' имеет-место формула
1 4- г 4- т 4- 4— — С 4- In и 4- Сп,
2 3 п
где С г= 0,577216 ... — так называемая постоянная Эйлера и еп —• 0 при п —г оо.
Так как rn+i — хп = — 1Ц„ 4-1) 4- In п = ^7 — In (1 4- <0 (см. пример 82, а))
то последовательность (хп) монотонно убывающая. Кроме того, она ограничен^ снизу:
Хп
4- In и > 1п(1 + 1)4-1» + j-) 4 In 4- . - 4-In 4- - Inn -
= ln 12- i
n 4- 1
Поэтому существует конечный предел С, а тогда справедливо представление
§ 6. Предел последовательности
sn —• 0 при П —* 00. ►
120. Найти liin (—-— + —4- ... 4- —.
п—оо\п4-1 «4-2 2п/
•4 Пусть zn = 1 4- $ 4- ... + £. Тогда
+ 'п 2 + + “ = - J!n - ht^n +Ъп - 1п» -еп = 1п2 + (егп '
'см. пример 119) и
121. Последовательность (in) определяется формулами
«,=«, 1а = 4, It1-2 (» = 3,4,...).
Найти lim хп
4 Имеем
2Ч_14-Г*-2 Xk-l — Tfc-2
Хк 24-1 — 2
щтавляя эти выражения в очевидное равенство
-Cn = Z1 + (Х2 -Х1) + (Тз - Г2) + ... -h («п - Яп-1),
[. начиная со второго слагаемого, геометрическую прогрессию, сумйа кот<4ройравна
= a + ((,_„)_‘2Li+1^+.^ + (_1)»hL; = o + g?») + . (zlE
v ’ 2 4 1 ' 2»-« 3 3 2"“2 ’
r r ( , 2(b — a) b — a (—l)n\ a + 2b
lim xn — lixn a 4—i——- 4- - i----4- | = ——. k
— co n— oo 3 3 2n~2 J 3
122. Пусть (r„) — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:
XQ > 0, Хп+1 = Т , н € Zo-
i \ Хп/
Доказать, что lim = 1.
4 Поскольку то > 0 и х„ 4- — 2, то последовательность (тп) ограничена снизу чи-
м 1. А из неравенства xn+J = | 4- хп, справедливого для хп 1, вытекает,
что данная последовательность монотонно убывает. Следовательно, существует конечный
а причем а 1 Переходя к пределу в равенстве
одим, что a = - (а 4- . Отсюда a2 = 1 или а = ±1. Но так как Vn € N я» > 1, то a = 1. ►
123. Доказать, что последовательности (in) и (уп), определяющиеся формулами
11 - Л, У! — Ь, 27„+1 = у/ХпУп, Уп+1 — Хп
иеют общий предел д(а, b) = liiii хп = lim уп {арифметико-геометрическое среднее чисел
5,н ?>).
L ^4 Из условия примера следует, что Vn €Nin 0, уп 0. Используя известное неравен-
гчаем
a > О, Ь О,
in 4- Уп
л+. -
у/ХпУп — Тп+1 •
62
Гл. 1. Введение в анализ
А так как тп+! = у/хпуп = in, yn+i = £a±ia ^П| то, ВВИду того что хп Уп в
Vi, Уп > in ii, последовательности (хп) и (уп), в силу утверждения 2, п. 6.3, имею;
конечные пределы А и В соответственно. Переходя к пределу в равенстве
+ Уп
»«+! - ? ,
получаем, что А = В. Общее значение этих пределов называется средним арифметика*
геометрическими обозначается символом р(а, 6). ►
Найти пределы;
124. ita (1-1) (1-1) ... (1-1).
Поскольку
1 j.2 - fc2 , * - Л «,
то, записывая произведения в виде
/ 1 \ / 1\ / 1\ 1-3 2'4 3-5 (п -1)(п -Ц) 1 п+1
V 22 Д З2) - ’ V п2) ~ 2а ' З2 ' 42 ' • п2 “ 2 ' п ’
находим, что
125-J“(4)(4) - (’-ЗЗаУ
2
4 Имеем
Найти пределы векторных последовательностей (хп), где:
12в.х„чт:ш").
Поскольку каждая из последовательностей координат сходится, то, согласно п. 6.7,
г /г /П + П" г ( П \п\ .
шп хп = lim I----------1 шп I-----------) I = (е, е ). ►
п—«оо \п—»оо \ П / п-«о© \п 4- 1 / /
4 Аналогично предыдущему примеру находим
г {п + 1,. » + 1 ,. п+1\ { 1 1
пт хп — ( lim -----, lim —-—, ..., hm -------I = 1, —
n—»oo \n—»oo П П-.ОО 2n n—>oo mn / \ 2 ТП
128. xn = ^2 + 2", У2 + 2_n, ^2 + 2-"ay
Ч Покажем, что существуют пределы последовательностей каждой из координат. 1
неравенств 2 < ^Т+ 2П < 2 и того, что Um V? = 1, следует lim i/2 + 2” = 2. Далее,
П—»О0 - П-*9О
неравенств
1 < \/2 + 2~п < v5, 1 < \/2 + 2-"’ < у^З
находим, что
lim У2 + 2-” =-1, lim ^2 + 2""’ = 1.
§ 6. Предел тгсйсйеДОМтельности
Поскольку пределы последовательностей координат существуют, то существует и предел век-
торной последовательности, а поэтому ; •' '
lim xn = ( lim x/r2 + 2n, lim ^/24-2-", lim х/2 + 2“"’) = (2, 1, 1). ►
п —оо \п—ОО п—00 п— оо /
129. Хп = (®in, х?п> - • -, iron), где
и 4- in /
4 Обозначим jfn = 1 4- j + • • 4- —. Из примера 119 следует, что
уп — С + In п + 7П,
где С — постоянная Эйлера, а уп —► 0 при п —► оо. Тогда
х1П = У(1+>)п - Уп = С + 1п((1 + »)«) + 7(1+0» “ С-Inn т 7» =1а(1 + «) + 7(.+1)п - 7»-
Поскольку 7п —► 0, 7(i+«.)n —► 0 при и —» оо, то ,
lim х)п — 1п(1 + »), I = 1, т.
п —оо
Следовательно,
lim х„ = { lim Tin, lim i2n, lim гтя| = (In 2, ln3, ..., In(m4-1)). ►
n —oo \n—*00 n—00 n—*oo /
130. Пусть задана векторная последовательность (хп), где
Xn — (Z]n, T2n, • • • , Tmn),
евклидова норма которой стремится к бесконечности.
Обязательно ли существование хотя бы одной последовательности координаты (®т), стре-
мящейся к бесконечности? Рассмотреть пример
4 Нет, не обязательно. В предложенном примере евклидова норма
11 V (" + ч2 + (»+i)2 _» + i
стремится к бесконечности при п —+ оо. Однако ни одна из последовательностей координат
_ (1-(-1)”)п2 (1 + (-1)")-2
„+1 ' *“"- „+;
не стремится к бесконечности Действительно, для последовательностей координат
lim xin = +00, Lim Tin = 0; lim x?n = +00, lim ran — 0
и, следовательно, ос не является пределом ни для одной из этих последовательностей. >
131. Найти предел последовательности (Ап) = (в^)> » — 1, Р, 3’ — 1> 9, где
. ,, о (п) т; - :
4 Сначала докажем, что каждая из последовательностей п •—» а} , » = 1, р, ) = 1, д,
сходится. Пусть, например, } > i Тогда (см. пример 129)
п 4- »п 4-1 ' п 4 in + 2 ''' ' п 4- jn
64
Гл. 1. Введение в анализ
где х<п —► 1п(1 + 1) при п — оо. Отсюда
а'р1 = х}П — х,п —• ln(l + j) - 1п(1 4-1) = In у—ПРИ •» — оо.
Аналогично при t > j находим, что
Наконец, если » = ;, то off = 1 . О при п -
Таким образом, все последовательности
сходятся, поэтому
lim Ап
liin
/О In ? In 1 . . . In Я \
In | 0 In | ... In |
In I In j 0 ... In
\ In f In f In 2 ... 0 /
132. Найти
n
n + 1
1g n
»1
(V7)'*
4
4 Все элементы матрицы являются сходящимися последовательностями, поэтому
1g п
п
r>+»in п
2п
Еш —~
П-—оо В + 1
Вт
Упражнения для самостоятельной работы
Доказать следующие равенства:
в2. нт =i.
n-oo ln+1)!
£k(*+l). (k+m~l)
вз. ton* **^n+1y (n+m)' 1 = где m — натуральное число.
64. ton ( J 1 + J 1 4 ... + 1 = 1.
n — oo \yn5+J ynS+S yn3+n/
65. ton —$ х.тД" = —г, где p — натуральное число,
n—OO Рт1
6e' ё .'inti) = ЯГТ.., ™ ™ — к.туралькое число.
«7. ton —-------5------= 1. 68. lim n~) _ i
n-«- £ n-o® П +n 2
69. Пусть го > 0 — произвольно,
l X„+1 = 5 (г». + J0r, »eZo.
Доказать, что ton сй = yfS.
$ 6. Предел последовательности 65
70. Последовательность (хп) определяется соотношениями »n+i = + 9, Р 0, ®i —
произвольно. Прн каком условии последовательность (»п} сходится? Найти, в случае ее
сходимости, предел.
71. Доказать неравенство (1 + “)”+® > е. ‘
72. Доказать неравенства
A—* mn+fe < Ь (1 4“ n) < mn+k-l
73. Найти lim 0 < А < 1.
п-»оо ”
Пользуясь теоремой о существовании предела монотонней и ограниченной последователь-
ности, доказать сходимость следующих последовательностей (хп)> где:
7- = + + + ^н- т». «. = (1 + ^)0+ 5^)... (1 + ^рг).
(' помощью критерия Коши исследовать на сходимость следующие последовательности
(г„), где:
76' Хп = 2кТ2 + зй7з + • ' + nln’n’ П = 2, 3.
77. Хп = j-^22 + + - •. + п = 2, 3, .... .
78. Пусть 01 в2 аз ... 0. Доказать, что последовательности (Sn) и (<гп), где
5п = «I + а2 4- . - 4-вп, <Тп = <И 4- 2а2 + ... + 2Пазп,
или обе сходятся, или обе расходятся.
79. Доказать, что последовательность (Sn), где
сходится при р > 1 и расходится при р 1.
80. Доказать, что для любой последовательности (ап) с положительными членами спра-
ведливы неравенства:
Найти пределы векторных последовательностей (хп), где
81. хп = ((1 + 1)", ОН)”......(1+?)")
83. Х„ = lnt3"+i) Ь((т+1)"4-1)^
84. Хп = (^3n + 2", vz3n +4П, 73” + 6") •
85. х„ = ( у-+^Я|С1...Сг) , где С™ =
Найти пределы матричных последовательностей (Л»), где
ее. л„ = ((1 + i)'"), = 177.1 = Мт
lim An Вп ~ lim An lim Bn,
если пределы матричных последовательностей существуют и все члены последовательностей
являются матрицами одного размера.
66
Гл. 1. Введение в анализ
90. Пусть матричные последовательности (Ап) и (Вп). гле Ап = (а)’^), Вп = и
векторная последовательность (хп), где хп = (xin, izn- •, xqn), сходятся, причем
liin Ап = A, Iim Bn = В, lim xn = x,
а матрицы C = (eu), G = (g3i.) и вектор у = (yi, уг, • • •, уч), i = 1, р, J = 1, g, fc = 1, г —
постоянные.
Доказать, что:
а) Ъш АпВп = АВ\ б) lim СВп = СВ; в) lim AnG = .4G';
г) liin Апхп = Ах; д) liin Апу = Ay.
п — ОО П—-оо
§ 7. Предел функции
7.1. Предельная точка множества. Предел функции в точке.
Определение 1. Пусть X С R. Число ю € R называется предельной точкой множе-
ства X. если
Vs- > О 3 у 6 X, у хо ; |у — хо| < £
Из определения следует, что любая окрестность точки х© содержит точку из множества
X, отличную от to. Сама точка х© может принадлежать, а может и не принадлежать мно-
жеству X-
Определение 2. Значение +оо есть предельная точка множества X, если УМ S
R Эу € X : у > М.
Значение —оо есть предельная точка множества X, если
УМ ёКЗу£Х:у< М.
Определение 3. Точка х & X, не являющаяся предельной^ точкой множества X, назы-
вается изолированной точкой множествах, т. е.
3S > 0 : S(x, 6) П X - {х}.
Определение 4. Число хо € R называется предельной точкой множества X С R,
если из этого множества можно выделить последовательность (хп) различных точек, схо-
дящуюся К Хо
Определения 1 и 4 эквивалентны.
Пусть / : X —* R и х© — предельная точка множества X.
Определение 5 (Гейне). Функция f имеет предельное значение при х —» х© (или в
точке хо ), если существует такое число А € что для произвольной последовательности
(хп) значений х € (]а, Ь[\{хо))> сходящейся к точке X:, соответствующая последователь-
ность значений функции (/(хп)) сходится к точке А.
Определение 6 (Коши). Функция f имеет предел при $ —► xq, если
ЗА €йл Уе >0 35 > 0: 0 < |х-л©| < S =► |/(х)- А| < е
При этом число А называем пределом (или предельным значением) функции f в точке ю
и записываем
liin /(г) = А или /(х) —» А при х —» х©.
Определения Гейне и Коши эквивалентны.
Введем понятие одностороннего предела.
Определение 7 (Гейне). Функция f имеет в точке хо предел слева (справа), если
существует такое число А € R, что для произвольной последовательности (хп) значе-
ний х, а < хп < хо (xq < хп < Ъ), сходящейся к точке Хо при п —» оо, соответствующая •
последовательность (f(xn)) значений функции f сходится к точке А.
Определение 8 (Коши). Функция f имеет в точке хо предел слева (справа), если
ЗА €ЙЛ¥е>036>0: 0<хо — х < 6 (0 <-я — хо<5)=> — А| < е,
$ 7. Предел фумкцЯЗД
Число А называем пределом слева (справа) функции f в точке хе к обозначаем
/(го-0) (/(ю + 0)) или lim /(х) [ lim /(х)
®-*.»о-о у»— *о+э
Функция / имеет предел в точке хо тогда и только тогда, когда в этой точке существуют
к равные между собой пределы слева и справа.
Теорема (критерий Коши). Функция / имеет конечный предел в точке ха тогда и
только тогда, когда
Ve > 0 3 5 > 0 : (0 < |х - х0| < 6 Л 0 < |у - хо| < 5) => (/(*) - /(»)| < «.
Особую роль играют два замечательных предела:
1) 11m --= 1; 2) lim (1 + z)» — e.
Если lim f(x) = A, lim g(x) = B, to ' -
JhnJ/(z) 4-9(z)) = A+B; Jhn,/(z)9(z) = AB; Jhn° ^-|y = ($(x) / О, В / 0).
7.2. Ограниченность функции.
Функция f : X —» R, X C R, называется ограниченной на множестве X, если существуют
пела т и М такие, что т $ /(х) $ М, х £ X.
Число то = inf {/(х)} называется точной нижней гранью функции /, а число Мо =
ip{/(z)} — точной верхней гранью функции / на множестве М. Разность Мо — тб навы-'
•х
1втся колебаяиел* функции / на множестве X.
Если функция / X —» R имеет конечный предел в точке хо ё X, то она ограничена в
которой окрестности этой точки.
7.3. Символы Ландау. Эквивалентные функции.
Пусть ха ё R. а В = (X, Y, Z, ...} — семейство всех интервалов пространства R, которые
кбо все содержат точку хо как внутреннюю, либо все они имеют точку ю своим концом
>дько левым или только правым для всех интервалов множества В. Тогда VX ё В Л \/У ё
=• А’п g А’ 6 5 л Z С А'=> Z е 5.
Пусть J- = (/, у. /1, ...) — семейство числовых функций, обладающих одним из следую-
дх свойств:
1) для произвольной функции / ё “X в множестве В существует содержащий точку хо
ктервал А', на котором функция / определена, кроме, быть может, самой точки Хо;
2) для произвольной функции / ё “X в множестве В существует интервал, имеющий своим
>нцом точку го, на котором / определена.
Определение 1. Если lim f(x) — 0, mo функция / называется бесконечно малой при
х—х0
—• хо: если lim /(х) = сс, то функция f называется бесконечно большой прих — хо.
Определение 2. Если для функций f, g ё ?, f X —» R, g : У — R, существует
«первая Z С А' Л У ё В, X ё В, Y ё В, и такое конечное число А > 0, что Ух ё Z,
юме, быть может. самой точки хо, выполняется неравенство
IffWI -4|/(*)|,
>i^№o записываем
g = O(f)
х —» хо • При этом функции f ид называем функциями одного порядка приз —>хо-
Если Vr > О 3Z С X П У ё В такое, что Ух ё Z кроме, быть может, самой точки хо.
а|^Кыполняется неравенство
В |р(х)| < «|/(х)|,
записываем
9 = о(Г)
68
Гл. 1. Введение в анализ
при х — xq. При этом в случае у(х) — 0, /(х) —» 0 при х —> хо считаем, что функция g eci
бесконечно малая более высокого порядка, чем f\ если же д(х) —> cv, /(х) —» оо при г —* И
то считаем, что бесконечно большая функция g имеет порядок роста ниже, чем j. J
Если существует интервал Z Е В такой, что Ух Е Z\{xo} /(х) 0, то запись у = O(j
означает, что отношение ограничено при х g Z\(xo), а запись g = о(/), что
при X — £0. I
Символы Ойо называются символами Ландоу. 1
Определение 3. Функции g и f называется Эквивалентными, если / — g = о (у), m.j
если Уе > О 3Z Е В такое, что Vx Е Z\(xo} выполняется неравенство 1
р
При этом записываем f ~ д, а равенство f = g 4- о (д') называем асимптотически
равенством.
Пусть f.gEF и д(х) > 0 Ух Е У Е В, тогда
f ~ д & Пш = 1.
«-«о <7(х)
Справедливы асимптотические равенства
sin х = х + о (х), tgx = x4-o(x) при х
7.4. Частичные пределы.
Если для некоторой последовательности (хп) значений аргумента функции /, сходящей
к Хо, справедливо равенство lim f(in) = А, то число А называется частичным предел
функции / в точке хо. Наибольший и наименьший частичные пределы обозначаем чер
lim /(я) и lim f(x} и называем соответственно верхним и нижним пределами функции j
х—х0 X—я0
точке хо •
Очевидно, ____
3 lim /(х) *$ lim f(x) = lim f(x).
7.5. Предел функции комплексной переменной.
Определение 1. Последовательность N —<• С : м »-
Зх Е С Л Уе > 0 Зп» Е N : Ут» > т
Аналогично последовательность комплексных чисел (хя) сходится к оо, если
zn называется сходящейся, если
Последовательность (х„), где zn = хп + »Уп, сходится к точке z = а 4-тогда и тол»
тогда, когда
lim х„ = а, lim дп — Ь.
п—оо п-*оо
Пусть Хо — предельная точка множества D С С.
Определение 2 (Гейне). Функция z н-* f(z), z Е D, D С С, имеет предел при г
если
ЗА Е С A V(?n) С О\(zo} : lim zn = го => lim /(г«) = А. I
П —* ОО П-"<» ’ 9
Определение 3 (Коши). Функция z t-ч- /(г) имеет предел при z —<• зо, если 1
ЗА 6 С Л W > О > (1: 0 < (г - ?о! < А -- _ Л| <f е. 1
133. Показать, что функция |
f(x\ = 1 еСля г = W тип — взаимно простые целые числа, •' |
' 1 0, если х — иррационально, |
конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е. не ограничена в любой окрестности этой!
’ кийки). ’ 1
< Пусть х = £ — произвольное рациональное число. Тбгда
т. е. попадает в любую окрестность точки х = А так как 7(>k) = kg
функция f не ограничена в любой окрестности, течки х.
2 при к
§ 7. Предел фушщйи
69
скольку f = q, —» +оо при i — оо, а точки последовательности попадают в любую
окрестность точки а, то функция не ограничена. ►
134. Если функция f определена и локально ограничена в каждой тонне: а) интервала, 6)
.сегмента, то. является ли зга функция ограниченной на данном интервале иди соответственно
сегменте? Привести соответствующие примеры.
а) Вообще говоря, нет. Например, функция /(х) = — ограничена в окрестности любой
точки интервала ]0, 1[, но не является ограниченной на этом интервале, так как f(xn) —» 4-оо
при хп = ^ — 0 . а 0 < rn < 1 при п = 2, 3, ....
б) Функция ограничена. Для доказательства предположим противное: пусть функция
неограниченная. Тогда для любого натурального числа н существует хп £ [а, 6], где [а, 6] —
сегмент, указанный в условии задачи, такое, что
f(xn) > п.
А так как а х„ b (т. е. (хп) — ограничена), то существует подпоследовательность
(ть„), (ть„) С (хЛ). такая, что
lim Xhn = с € [а, 6).
По условию, f локально ограничена в окрестности любой точки, т. е. существуют такие 5 > О
и Е > 0, что
!/(*)!е, ^ejc-s, с,+ й[.
Кроме того, существует такое число <V, что кп > Е при п > N « гь„ £ ]с — S, с 4- 5{, а тогда
f(xkn) > кп > Е. Полученное противоречие доказывает утверждение. ►
135. Показать, что функция
ограничена в интервале ] — сю, 4-оо[.
•< Ясно, что f{x) > 0, т. е. функция ограничена снизу. Далее, из неравенства (1 — г2)2
х2 1 4 14-х3 I 2 13
О следует, что а поскольку 14-х > 1, то yJjj- = 777т 4- 777г 1 4- j
Следовательно, 0 < f(z) —со < т < сю. >
136. Показать, что функция
f(x) = — cos —
X X
не ограничена в любой окрестности точки х = 0, однако не является бесконечно большой при
т — О.
•< Пусть 1п = — • Очевидно, при п — оо значения хп попадают в любую окрестность
точки т = 0. Требуемое утверждение вытекает из того факта, что Em |/(хгп)| = ею , а
Л12п-1) = 0. п £ N. ►
137. Исследовать на ограниченность функцию
f(x) = In х sin2 —
в интервале ]0, е[.
•< Так как 0 $ sin2 1, а функция х •— 1дг монотонно возрастающая, то /(х)
шах(0, 1пг}. т. е. / ограничена сверху.
Далее, положим хп = 2л2 t . Тогда, начиная с некоторого номера «о, все хп попадают
fB интервал ]0, е[. При этом f(in) = In = -In (1 4- (n 4- 7)) > - (« 4- ~) — -оо при
|Т.— оо, т. е. f не ограничена снизу. ►
138. Показать, что функция /, где
w = TTi
"О
Гл. 1. Введение в анализ
в области 0 $ х < оо имеет нижнюю грань т = 0 и верхнюю грань М = 1.
< Очевидно, 0 Т+7> 0 х < оо. Пусть е — произвольное и 0 < с < 1. Тогда
fix) = < е при 0 < X < . Следовательно, inf {/(х)} = 0.
' 1+* 1 е 0^х<оо
Далее, очевидно, <1, 0 х < оо. С другой стороны, для указанного ранее е
ft , х 1 - е
f(x) = у--- > 1 — е при х > ------,
т е. sup {/(х)} = 1. ►
139. Функция / определена и монотонно возрастает на сегменте [а, Ь]. Чему равны ее
точная нижняя и точная верхняя грани на этом сегменте?
Я Так как / монотонно возрастает на [а, Ь], то /(а) f(x) /(Ь) Ух € [а, Ь].
Пусть е > О — произвольное и такое, что /(а) + е < /(6) Тогда существует х' £ [<х, 6]
такое, что
/(«) 5$ f(x') < Да) +е
(например, х' = а), т. е. i,nf^{/(x)} = /(а).
Аналогично, если /(b)—е < f(b), то существует х" ё [а, 6] такое, что /(b)—s < f(x") f (Ь)
(например, х" = Ь).
Следовательно, sup {/(х)) =/(b). ►
a^x^t>
140. Определить колебание функции /(х) = г2, х £ К. на интервалах' а) ]1: 3[;
б) ]1,9; 2,1[; в) ]1,99; 2,01[; г) J1.999; 2,001[.
4 На каждом из указанных интервалов сужения заданной функции монотонно возрастают
и имеют на концах этих интервалов конечные предельные значения, в силу чего являются
ограниченными. Следовательно,
а) Мо - то = /(3 - 0) - /(1 + 0) = 9 - 1 = 8;
б) Мо - т0 = /(2,1 -0) - /(1,9 4-0) = 4,41 -3,61 = 0,8;
в) Мо - т0 = /(2,01 -0) - /(1,99 + 0) = 4,0401 - 3,9601 = 0,08;
г) Мо - то = /(2,001 - 0) - /(1,999 + 0) = 4,004001 - 3,996001 = 0,008 ►
141. Пусть т[/] и М[/] — соответственно нижняя и верхняя грани функции f на
промежутке ]а, Ь[.
Доказать, что если /j и /2 — функции, определенные на ]а, Ь[, то
a) »n[/i + /2] > m[/J + m[/3]; б) M[fi + /2] [/1] + М[/2].
Я Докажем неравенство а) (неравенство б) доказывается аналогично). Обозначим mi =
inf {/1(1)}; m2 = inf {/2(i)}. Тогда fiiz) > mi и /2(1) m2, x ё ]a, b[. Складывая
a<f<b a<x<b
последние неравенства, получаем fi(x) + /2(2) + m2, x ё ]a, Ь[, откуда m[/i + /2]
mi + mi = m[/i] + m[/2], ►
142. Показать, что функция f(x) = sin —, r E R\{0}, не имеет предела при х —» 0.
х
Я Требуемое утверждение следует из того, что последовательность хп = , п ё N,
при п —» оо стремится к нулю, а f(xn) = (—1)” вовсе не имеет предела. ►
143. С помощью “е—6”-рассуждений доказать, что lim х2 = 4. Заполнить следующую
х—2
таблицу:
0,0001
Пусть е > 0 — произвольно. Тогда
|«2 - 4| = ||х - 2)’ + 4(» - 2)| <5 |» - 2|2 + 4|х г 2| 4,
как только 0 < |х — 2| < \/4 + е — 2 = ^дД+2 • Последнее неравенство тем более будет
выполняться, если
, L--------> - Л > — £----.. = , £., = 5 (е) > |х - 21.
/г+7 + 2 2ч/4+7 2/1 + 4е + е4 2(2+‘<) 1
$ 7. Предел функции
71
Оусть s = 5^. Тогда S (у^) = г!^ и
5(10-) = ±; I (10-) = фо”) = «(^) = jAj. ►
144. На языке иЕ—5” доказать, что
Заполнить следующую таблицу;
| £ | 10 | 100 | 1000
10000
•< Пусть Е > 0 — произвольно. Тогда
как только (я — I)2 < — или 0 < |т — 1| < -j= = S{E). Отсюда находим, что
{<10) = ^ '(100) = ^ 5(1000) = 4,0000) = ^. ►
145. Пусть Р(х) = aoxn + aixn + ... + ап, где а,- (к = 0, п) — действительные числа,
доказать, что lim |£(х)| = 4-00.
•< Не ограничивая общности, будем считать, что ао 0. При достаточно больших |х|
щиеем
|РМ|= |г”| |« + il+ ... +^| Ы
“Пк как lim |х|п • — +оо, то lim |Р(х)| = 4-00. ►
146. Пусть
аахп + ацп-1 4- ... + ап
Л(т) = 1-----;-------------:-,
1 ' boxn‘ +bixm~1 + ... 4- i>m
где ао 0 и Ьо Ф 0. Доказать, что
х £ R,
liin Л(т) =
оо,
ао
Ьо ’
0,
если « > т,
если п = тп,
если п < т.
4 Пусть и > т. Тогда
|ад| = И"-'
предостаточно больших |х| В силу того что Lim 1т|п m ЬДМ = оо, имеем Lim 7?(х) = со.
I a —оо I 26° | я—оо
Если В = »П, ТО
а 4- — 4- I —
я<’> = ь° + ^ + .'.,.' + ^ - 57
Наконец, если и < т. то при достаточно больших |г| имеем
|Д(х)| < —-------&| ,
1 " Izl”1-’1 I bo I
Отауиа следует, что lim Й(х) = 0. ►
Гл. 1. Введение в анализ
147. Пусть с —• 0 Доказать следующие равенства:
а) х sin л/х = г: + о (ji у , б) In х = о (х~е), е > 0;
в) (1 + x)n = 1 4- пх + о (х); г) arctg - = 0(1).
Ч Записанные равенства следуют из того, что
a) lini дS*J1 । б) цт 1-‘1пх= цш —— = 0, t ~ i,
1-.+Q '1 х —+s t—+ rc V £
X 2
в) (1 + i)n = 1 + nx 4- C'2x2 + ... + x" = 1 + nx 4- (C2Z 4- ... 4- xn-I)x = 1 4- nx 4- cy(x)-x,
где «(r) = C2x 4- .. 4- г"'1 —» 0 при г —• 0;
г) [arctg ►
148. Пусть x —» 0. Выделить главный член вида С'хп (С — постоянная) и определись
порядки малости относительно переменной х следующих функций: !
а) х t—* (2х — Зх2 4- х4); б) х н-> (л/1 4- я — ~х);
в) х н- (\/1-2т- Зх); г) х нч-(tg х — sin х).
Ч а) Из того что 2х — Зх2 4- х5 = 2х 4- (-Зх 4- х4)х = 2l 4- о(г)х, где а(х) —» 0 при х —» Q
следует, что 2х — Зх2 4- х5 = 2х 4- о (х), т. е. Схп = 2х, п = 1.
б) Из равенства lim _ у следует, что Сх = х, n = 1, т. е. -^/1 4- i ~ V1 ~ х 1
в) Поскольку
то Схп = ~х2, п == 2. ->
г) Имеем lim 1 — _ поэтому Ох3 = -х3, п = 3. ►
ж—о 1 2 2
149. Пусть х —• 4-оо. Выделить главный член вида Сх" и определить порядок pocfo.
относительно бесконечно большой х следующих функций:
а) х I—. ^/z2 — х 4- л/z; б) I у I 4- у/1 4- у/х.
Ч а) Поскольку
то Схп = хз, п = |.
б) Имеем у1 + \/1 4- \/7 = хь у/х~* 4- Vx-1 4- 1 — хв , поэтому С'хп = г в (п = 1) . к
Решить примеры (при решении некоторых из них заменить бесконечно малые функции
эквивалентными км):
1 гл , r (1 + тх)п - (1 4- их)”1 .. хт - 1 [ т п
15U. a) lim ----------------i—; б) lim ------; в) Iim-----------------
х—о х2 ' »—1 х” - 1 ' х-1 \ 1 - хт 1 - хп
(т, п — натуральные числа).
Ч а) Разлагая по формуле бинома Ньютона, получаем
Цт (1 + т1)"-(1+^Г = (С^-СапУ+ <(**) =
:-0 Z2 я—О X2 1
= Um [с^ - = С=,„2 -
б) Полагая х — 14-t(t—.0 при х —» 1) и пользуясь принципом отбрасывания бесконечно
малых, находим j
,. tnt + o(<) mt m
hm —•—= bm — = —.
t—0 nt 4-o(t) »—o nt n
lim —
I-.1 х’
lim
t-»o
(1 + <Г-1
$ 7, Предед фудкциж-
73
в) Пусть х = 1 +1. Тогда t —> 0 при х —» 1. Имеем
т
т
151. lim
_ ц /_________п_________
i-о + C^t2 + о (t2)
lim
Используя результаты примера 37, а), получаем
+ ^(1 + 2 + ... + („ - 1)1 + 21 (12 + 22
1- 1/2 2ai n(n — 1)
Lim — пх Ч--- —----1
т
пСт - m<7n _ tn - п
тп 2
— х2 + ах + —
152. lim
Имеем
12+32+ ... + (2п — !)•
22 +42 + .. + (2п)2
. + (2ч)2 =4(1г+22 + ... + „2)= 2,‘(’‘ + 1K2n + 1).,
I2 + 22 + ... + (2ч)2 = Г‘<2’‘ + 1.)(4,‘ + 1)
[. пример 37, а)) Вычитая из второго равенства первое, получаем
j2 j2 , J. f2n П2 — nPn + !)(*” + 1) 2n(n + l)(2n + 1) n(4n2 — 1)
+ +-••+1 n ) - 3 - 3 - 3
огда
l2 + 32 + +(2n —I)2
22 +42 + - + (2n)2
n(4n2 — 1)
n‘-« 2n(n + l)(2n + 1) ~ L
153.
lim P+43+72 + ...+(3„-2)*
(14-4 + 7+ ... +(3n-2))2
Имеем (см. пример 37, 6))
+ 43 + 73 + ... + (3n - 2)3 = (3 • 1 - 2)3 + (3 • 2 - 2)3 + (3 • 3 - 2)3 + ... + (Зм - 2)3 =
= 27 (I3 + 23 + 35 + ... + n3) - 54 (I2 + 22 + ... + n2) + 36 (1 + 2 + ... + n) - 8n =
= 27 - 54 ”<’‘ + 1+’1 + I> + 36 "<" +
(1+4 + 7+... +(Зч-2))2=
юскольку в числителе и знаменателе высшая степень п равна 4, то предел дроби равен
Ьюшению коэффициентов при »4, т. е. 3. ►
, 154. lim 1/7.
„ •< Предполагая что то > 0, положим х = хо + t. Ясно, что t —» 0 при х —» хо- Считая
|-< io, имеем
< \/хо + t =
уда lim у/х = lim v'iro + t = {/г?. ►
с—о
74
Гл. 1. Введение в анализ
155.
lim
< Разделив числитель и знаменатель на у/х, получим
lim
Замечание. При решении примеров 155—157 использованы результаты примера 154.
158. liin --------- (п — целое число).
< Положим л/1 + х — 1 = t. Тогда т = (1 +<)’*— 1. Считая, что |т| < 1, имеем 1 — |т|
у/1 + х < 1 + |х|, откуда Lim 4- х = 1, т. е. t —» 0 при х —» 0. А тогда
§7. Предел фуйкцди
75
4 Положим \/1 + 5z = t. Ясно, что t —» Q, если х —*• 0. Тогда х = j((l 4-i)5 — 1) и
ШП , 1 = ШП -5---------- =
^-0 уТ+57-(1+х) «-о t-j((i + t)s- 1)
-Г £(** + <* (О)2 ts + o(t2) 1 _
,l” * - l(5f + w*2 + °('(3)) + 2
,c, , * 71 4- ax 0 :+0x-1 ,
lol. шп =------1----------- (rn и n — целые числа).
4 Пользуясь результатом примера 158, имеем
^l+3»(Vl+a»-l)+ Vl+^x-1
lim -----------------------
2—0 x
1- ax - 1 „ .. VI 4- 0x - 1 a 0
-----------+ 8 шп о----------= — 4- —
ax---------«—fr px---------» m
162. Пусть P(x) = aix + a212 + - + anxn и m — целое число. Доказать, что
Vl + P(x) - 1 _ Д1
Ein
2—0
x tn
Так как P{x) — 0 при x — 0, то
= lim
P(x)
— Lim
Pit)
• Lim (ai 4- an 4- ... 4- anx'
Qi
(см. пример 158). ►
Найти пределы:
163. lim -iSo
(m и n — целые числа).
4 Положим z = (1 4- t)mn. Тогда t — 0 при i~>\
lim
(см. пример 150, 6)) ►
164. lim - (>- y±)
Полагая 1— x = ( (t —>-0 при x —» 1), получаем
lim (1-^(1-^) ..(I - y?) =
= Lim
n!
(воспользовались решением примера 158). ►
Решить примеры (в примерах 165—168 избавляемся от радикалов в числителе и переходим
К выражениям с очевидными предельными значениями):
165. Lim х( \_/.г2 4- - 2 V^2 + 2 + £)•
Имеем
'х2 4- 2х - х - 1
76
Гл. 1. Введение в дндлип
166. Um (\/хэ + Зх2 - \/х2 - 2х).
д. —+ оо
4 Прибавляя и вычитая х, получим
167. УхУаТхУГдгУТТГУ+^З - х).
4 Положим — — t, тогда t —► +0 при х — +оо и
___________________________________ "Л । p(g') _ ]
V(x + ai)(x + а2) .. (х + ап) - х = -¥---.
где P(i) = (aj + а.2 + ... + art) t + (afa2 + «1®з + • • • + an-ian) t2 + ... + ajaj ... a„tn.
Используя результат примера 162, находим, что искомый предел равен
Д1 + Да + • • • 4-Дп
168. li„ +
х—+ ес хп
4 Имеем
= .^(^ + ^-1)) +.^(1+\F4) -0 + 2" = 2”.
IfiQ г + х2 +ХУ' ~ ("'/Г + ®у -х)"
1DW. шп -------------------------- (п — натуральное число).
41 Возводя в u-ю степень и приводя подобные члены, получаем
(х/1 +г2 + I)" - (Vl + х’- х)п 2 ( / /Г“—7\"-1 , Л
hm --------------------------= h® - (V1 4- х2 ) + о (х) j =
= lim 2 I + х2) + £1£1 — 2».
Найти пределы:
170. lim
л — w Sin ПХ
Положим х = т 4-1, t —• 0. Тогда
sinmz .. sio(mir + mf) .. (—1)™ sin тп<
hm —-----= Inn —г2--2-—~ = iim --
а—я sinn* t—о smpir + nt) t—o (— l)nsmnt
= Н» “112? . = (-I)—» . 21
n t—о mt sin nt ’ n
171. hm IrlSli.
I—0 X2
4 Пользуясь первым замечательным пределом, находим
Таким ебразом, 1 —;аж х = + о(л3) при х —> 0. ►
5 т? ‘П^едйл’ фуййййи
77
172. lim
х—о г . '
4 Из неравенства |1 — cosz| — 2sin2 ~ < |z| вытекает, что
1- л г г 1 -1
ши cosx = 1, lim ----= urn — — = 1.
z—о х—о х х—о X сов х
Таким образом, tg х = х 4 о (х) при г —* 0, ►
.. sin5z — sin 3z ., —
1/4. Inn ----;—•---". ’
x—О 81П X
4 Пользуясь асимптотическим разложением, находим
sin 5а:—sin Зт „ 5z —3z4o(z)
lim ---------- = Um --------. = 2. ►
х—0 Sinz 0 Z4o(®j
1 + sin х — cos z
. l£in ------------ .
z—о 1 + sin px — cospx
Ч Поскольку при x —» 0 имеем 1 — cosx — o(z), 1 — caspx = o(z), sinz = z 4«(z),
an px = px + о (z), to
1+sinz —cosx z4-o(z) 1
lim --------------= lira ----1—Y4- = -. ►
x—о 1 4- sin px — dos px x—opx + o(x) p
175. Доказать равенства:
a) Em sin x = sin a: 6) Lim cosx = cos a; в) lim tgz = tga, a ——— r; n E Z.
x—a x — a x—.a 2
Ч а) Имеем
0 Ej I sin x — sm a| = 12 sin --- cos --- Ej 2 sin — —$ |z — e|, lim sin x — sin a.
I 2 2 11 2 I x — a
б) Аналогично
. . L . z — a . r + a I
0 | cos x — cos a I = 2 sin —-— sm —-— |z — a| и lira cos x = cos a.
в) Lim tg x = 4^---= = tg а, если cos a 0, т. e. если a 2n-; i‘ т, n E Z. ►
! A—a ° hra cosx cos a ° ’ ' ’ ' 2 ’
Найти пределы;
i 70 v sbi z - sin a
1 / о. Inn ---------
x—a X — a
Ч Очевидно.
,. sinz —sin а ,. 2 sin —cos —— sin —— z 4-a
Inn -------- — Jim -------------i-— — Inn —T_,~ • lim cos —-— = 1 cos a = cos a
x—a £ — U x—a X — n x — a . x—a 2,
2
.здесь воспользовались тем. что cosx —> cosb при x —» b). ►
177. ii„. С1К1-С‘8“.
x—a x—a
Пользуясь формулой разности котангенсов, находим
Ы ct^-cl8“ = lim StLzil. = ц,„ . Ц,„ =
я—а х — а V—a sm х sin а х — а х—а \ a — х J sin a x—a sin x sm a
a кт, к E Z.
cos (« 4 2x) — 2 cos (a 4 z) 4 cos a
178. lim
Ч Выражение в числителе преобразуем в произведение, имеем
cos (a 4 2х) — 2 cos (a 4 z) 4 cos a
= lim
x—0
- 2 sin | • 2 sin j cos (a 4 z)) = — cos a. ►
78
Гл. 1. Введение в анализ
179 ц|П ctMa + 2*) ~ 2ctg(a + г) 4-ctga
4 Аналогично предыдущему
ctg (а 4 2х) — 2ctg(a 4 г) 4 ctea 1 ,, , , , ,
Um ---!-----‘----------------= Ып — ((ctg^+Jrl-clgln+i^-^tbla + t^-clsa)) =
а—о х2 ^61X1(0 + 2х) sin (а 4 z) sin (а 4 х) sin a J
— Em ( * (sinxX2 2cos(a 4x) \ _ 2 cos а
x_o ysin(a + x) \ x } sin asin(a 4 2«) / sin3 а ’
а кт, к € Z. ►
180.
2 sin2 x + sin x — 1
11 ------г--------------------.
" 2 sin x - 3 sm x + 1
Ч Разлагая числитель и знаменатель на множители, получаем
2sin2 х 4- sm х — 1 .. (sin х 4- l)(2sin х — 1) „ sinz4-l
11 --5-----:----- = lim 4-:----“—:-------*• = lim ----
1 2sur x — 3sin x + 1 ж_ 2 (sm z - 1)(2 sin r — 1) x_lsmr~l
181. lim *3* -1*;.
— J COS(I + ?)
Ч Разлагая числитель на множители, имеем
к„ ^±=2^ = Em =
cos (z + ;) cos (« + -)
= lim tg т (tg x 4 tg 7
\ 3.
™ (* -
cos xcos - sin — z)
= lim* tg x (tg x 4- tg
—1
3 J cos xcos ~
-24. ►
182. lim +
-r—0 X2
< После очевидных преобразований находим
Um g(» + i)tg(o-t)-tgaO
Um 1 (
x-,0 x2 yl — tg3a tg2x
cos 2a
183. lim 1___________
1/1 4 X Sm 1 — y/COS X
Ч Уничтожая иррациональность в знаменателе, получаем
цц1 х2_ цт хд (у/1 + х sin г + ./cos г) _ у/1 + «sin х + -/cosT
®—о yi + I sin х — y/cos х ®—0 1 4- ® sin х — cosx «—о 1~cos._ 4.
X2 ' z
Если x —’ 0, то 14-х sin I—«1,а тогда (см. пример 144) y/l 4 х sin х —• у/Т = 1. Аналогично
y/cos х —» 1 при х —* 0. Далее, 1 = j ~J ПРИ 1 ~* °- Следовательно,
,. у/1 4 х sin х 4 Vcosx 4
um -—;----------------= -. ►
«-о «-«у* + 3
чал .• y/cos х — A'cos z
184. hm ----r-o-^----•
«—0 sin x
i iri 7» Предел функции
79
Ч Вычтем и прибавим в числителе единицу, тогда t - •
Vcosx - -v'COS X / л/COS X — 1 1 - S'cos X \
bin -----r-y-i----- - km -—r-5-------1----~----- ) = • "
I—0 sin X x — 0 SUl X snr X )
(COS X — 1 I — COS X 1 \
T"5—, , ----" + --t-o-- • --- --------=
sin xfVcosx + 1) snri 1 4 y'cosT 4 vcos2 z /
— 1цП * ~ cosz f 1 V (_________1 ____________1______\ _ 1 / 1 1\ _ 1
j—о x2 \sill x / у yjcos x 4 1 I4 ^cos x 4 cos2 x / 2 \ 2 3/ 12
Здесь воспользовались тем, что (/cosz — 1 при х —» 0, а это следует из примеров 175 и 154. ►
185. Доказать, что
lim (sin \/х 4 1 — sin \/х) — 0.
◄ Действительно,
"₽” 1 > 4? ~ Е*е)'
Докажем следующие утверждения:
A) liin ах = и*°, и > 0; Б) Hm In х = In xq;
В) lim = аь при условии, что Уе>03й>0:0<|х — хо| < (0 < |«(®)— а| <
е) Л (0 < |«(х)- t| < е).
Ч А) Достаточно рассмотреть случай а > 1. Имеем
|а* ~ ах° | = аХв\ах~Ха - 1|.
Поскольку lim ап = lim а ч — 1, то для произвольного е > 0 существует такое по, что
г ----------------------------------— е
1-----< а ”о <апо < Ц------.
аГл а®о
Тогда при |т — то| < имеем
1 - — < а“ < а—" < < 1 + —,
а1“
т. е |а'т — аг° | = ахо la1"'0 — 1| < е при |z — iq| < ~-
Б) Имеем
—-— < In fl 4 -------— < In fl — —) < ——
П41 \ п/ и н— 1 \ nJ п
при п > 1 Таким образом, при п > 1
Пусть с > () — произвольное число, не превосходящее j. Тогда существует такое »ю • что
Если взягь
X - То
Хо
80 Гл. 1. Введение в анализ
го для разности Jn j; - In zo = In 4 д~д^ получим следующую оценку:
ч I /т 1 \ 1 (л , 1 “ So \ „ 1 /, 1 \
-е < In 11---< In {1 4---------I < In { I + — < е
\ По/ \ ®О / \ «о/
или |In z — In zo( < «• если только |т — zoi < ®ое.
В) Согласно условию и пункту Б),
v(z)ln и(х) —» Ып а при х —► zq.
Тогда, на основании А), имеем
/ \ lim v(s)
lim (u(r))'<’) = lim e”W‘" 'f‘) = I*1” - *= lim «() ►
x-Ю ®-«o J
Найти пределы:
186. lim
a —oo \ 2l + 1 /
Согласно утверждениям A)—В), имеем
.. /-+2 у’ .. Г 2. 42 1
inn I ------I = lim exp s x In------>.
x — oo \2z + 1 ' J~M I 2x + 1 J
Поскольку In ^—5- < 0 прн достаточно больших x, a lim x2 = +oo, то искомый предел pa-
“+1 T —oo
вен 0- ►
Замечание. Решение примеров 187—192, 200, 201, 208, 209, 210 основано на простом примере
раскрытия неопределенности 1ой.
Пусть lim u(x) = 1, Um v(x) = оо. Тогда, на основании утверждевия В), получаем
X—*Xfi X—*«q
Ilin = liui Г(1 + (u — 1))и-1^ =expf lim (и — l)v\ .
Л — 1О 3—So \ J I л—ГО I
187-м(ЖГ\
В нашем случае « = ~а_2; v = х2 , (и — I)v = • Следовательно,
1- Лг +Ад3 (г зх2 1 з
=exppk"«4^j ‘ ”
188. lim (1 +i2)cif 1,
х—o'
4 Аналогично предыдущему
к5<1 + ’2)‘’’1’ = ехр{‘5ЛЧ21}=ехр11т, 1=,. ►
189. lim (1 4-sin 5гх)с‘® .
4 Очевидно,
* lim (14- sin rx)ct‘ ” = ехр ^lim sin xxctg exp lira cosxz^ = e
190. lim
»—0
/ 1 +tgx \iiST
\ 1 4~ sin®/
j Ti Предел фухаяош
81
4 Имеем
191. li„ ...
т—о \ 1 + sm х] ...
4 На основании примечания о раскрытии неопределенности вида I00, при вычислении
предела показательно-степенного выражения и* имеем
, tgx-smz 1
(u - l)ti = --------г-ч—
1 + sm х sm х
Поскольку при х — 0 tg х — sin х'= tg х (1 — cosx) ~ , 1 +sin х ~ 1, мп3 х ~ х4, то
Таким образом,
liin (« — 1)d = lim
I—о »—о z
Um
о.—О \ 1 + SID X .
(1 1 \ ®
sin —f- cos — I .
X X)
4 Поскольку sin + cos + 1 ц- о (^) при х оо, lim (sin + cos —) = 1, то
193. Em ln(1+l).
г—О X
4 На основании утверждения В), имеем
1п(1 + х) .. А
hm —1--------- — lim In (1 + z) * — Inе = I.
i—0 X X—0 \ )
Таким образом, ln(l +1) = x + о (x) при x —» 0. ►
194. Um
+ OO ln(xlu + X + 1)
4 Вынося за скобки в числителе и знаменателе старшие степени х и пользуясь утвержде-
нием Б), находим
.. 1п(х5-х + 1) 21nz +1п (1 - у + р-) 1
111,1 1 г io---Гч = 11111 -------------7---1---£ТТ = 7- ►
T-H-colllCx +т + 1) + ~ Юки +1п (1 + 5
195. Hm W + + г > „
ь-о h2
4 На основании свойств логарифмов и утверждения Б), получим
lg(I + A) + lfi(J-/.)-21ez = Кю 1 / _ И =
л-о A2 h—о h2 \ х2 J
196.
lim
г—о
In cos az
In cos bi
Гл. L. Введение в анализ
Пользуясь асимптотическими равенствами (см- примеры 178 и 193). получаем
(ц — действительное).
197. а) Пт --------л > 0. б) lim
а—О X х —0
4 а) Пусть а1 - 1 = t. Тогда t — 0 при т —• О, поэтому
t In a bi а .
— lim ——--г = 11Ш -—----—77 = In а
£—0 111(1 +t) t—о 1п(1 + t)'/'
Таким образом. ах = 1 + х In а + о (х) при х —♦ 0 (ех = 1 + х + о (х)).
б) Очевидно, lim is Hm *" , 1 Elslliil = „ так ка1>
1 ’ т-0 « Х_п Я1п(1 + х) х
lim
г —» 0, lim * — = 1, lim М1**) = j (на основании утверждения Б); примеров 197, а) и
х — О м1п(1 + х) 1_0 х
193) . Таким образом, (1 i)h = 1 + цх + о (х) при X —» 0. ►
198. lim -~-C°S Х (ц — действительное),
х—О л '
4 Используя результат предыдущего примера, получаем
,. 1 — cos'* X (1 + (cosi — 1))** — 1 I — COS X U.
bm ---------= hm i------i-------------------- = - ►
X— 0 X2 x—0 COST — 1 x2 2
1 ЛЛ ... flJ — (cos ax - xa eai2 cos2a x — 1
199. a) bni ---r--------; 6) lim ---, a > 0; в) bm ---------------, a / 0
x—о x2 x—a x — a x — о x2
4 а) Имеем
ex — (cosz)^ _ ex — 1 1 — (cosz)^
x2 x2 x2
На основании примеров 197, а) и 198 находим, что искомый предел равен 1 +
б) После очевидных преобразований получим
Предел первого слагаемого (см. пример 197, а)) равен аа1п а, Предел второго слагаемого
(см. пример 197, б)) равен а“. Следовательно,
V ® ® а, а а т ®
lim ------ ~ a In а — а = а In—.
х—a z — а е
в) Имеем
Поскольку hm g aja'~ acos?Q x = a, Hm -—co^—— = а, то предел всего выражения равен
нулю. ►
200. Um ---—, а > 0.
X—*а Z — Л
Ч Представим функцию: *д^7~ = *Р(Х) в виДе суммы двух слагаемых: j?(i) = ~~~ +
= <pi(®) + Очевидно,
=
(х — a) In х
$ 7. Предел функции 83
Так как при х -» а ео1п* — а**, “♦ 1» 1л« -»Ыа, то lim = а“1па. Далее,
аа ((1 + - 1) + 1
hm рг(х) = lim —————2— ------ = а Нт *• < „Д.п-------• — = а .
х —а х—а - . ц 1-*а . <1
а а
Окончательно получаем lim = аа In а + аа = а° 1п(ае). ►
201. lim
s—0 yl + sinxcos0x у
Ч Ищем предел показательно-степенного выражения имеем (при х —» 0)
, ,. cosax — cosвх cos3 х
(•и — l)v = -------— • —s— =
1 + sin х cos pr sinJ x
- (^f^^+o(x2)) (i-4 + o(^)) - £^х2 + о(хг)
(1 + + ° (®)) (1 - + 0 (^l) ) (s2 + ° (я2)) *a + о (sa)
Следовательно.
.. [ 1 + sin xcos ax
Lun -----J-
1—0 \ 1 + sin X cos px
— exp < lim
202. lim
!•—1 Sin(xi0)
.. sin(?rx“) .. sin x((xQ - 11 + 1) sin sr(x° — 1) тг(хЛ - 1)
Ч lim ' > — цП1 ------f l — Lim ________________-______- -=s lim —-____- —
i—i sin(irx^) i—i sin x((x5 — 1) + 1) i—i sin ir(i5 — 1) x—i x(xs — 1)
_ .. (l + <)a-l _ «t +o (t) _ a
(здесь воспользовались результатом решения примера 197, б)). ►
203. lim
х—1 Ln(cos (х2*))
Полагая sin2(x2I) =t, получаем
.. sin2(ir2®) .. t .. t
Hm r~:—^7-----xT = lim 1-------- = Lim —;-------- =
a-l 111(COS (x2a)) t-0 Ijujl-t) (_0_l + ojt)
(здесь воспользовались формулой ln(l — t) = — t + о (t)). p
204. lim ^-3-^r. a > 0.
л—<i r3 — aJ
Полагая x — a = t и пользуясь результатом примера 197, б), получаем
;+°ОТ
= a ° й Lim--:-----
t-°^. -+O(t)
205.
lim
/1—0
Ч Используя результат примера 197, а), находим
Цш ------ГГ
л— о Л2
206.
lim
(r + af+Q(x + fe)j+,>
(х + a + i>)2l+a+6
84
Гл. 1. Введенйе в анализ
Используя второй замечательный предел, после очевидных преобразований находим
lim
Имеем (см. 197. а))
Lim n2(y/x— ”+v^z) — Lim
я .
—j—— = In X.
208. lim
Аналогично предыдущему примеру имеем
Lim
= exp
= exp
Обозначим /(г) =
. Очевидно, /(х) —* 1 при х —• 0. Тогда
Поскольку
Цт =
alna + ilni + clnc
то искомый предел равен (e<’Jbee)o+fc+c.
x—о \ a1
Имеем
а
J“. ’ = “p fa
где /(i) =
утверждение А)). Поскольку
f(x)~l a^+^-a’
hm —-------= lim ----------
x—о x x—о x(a*4-H)
1, так как lim а1
1, lim Ьх‘
lima1 = 1, lim b* = 1 (см.
= lim я "
«-.о ax + b* \ x‘
In а + In. b),
х
то искомый предел равен е
85
211. lim ----г4а’ “ -* o"’ k ' '* '1'' 1!"' • . .. >
®—о (ax - os)2
Ч поскольку (см. пример Ш^аД a? = x2ln %+o (x2), .(a* — 6*)2 = (xln | +o(r))2 =
x2 In2 2 4- О (z2), TO , '
.. «д’-ь*э .• *2Ч + о(*2) v
('ч)>
212. lim ln(l + 2г)1п fl 4- —^ .
x-> + oo \ I/
< Воспользовавшись асимптотическим равенством примера 193, находим
lim ln(l + 21) In ^1 + -^ = liiu (zln 2 4- ln(l 4- 2 “)) In ^1 4- -^ =
= lim (xln 2 4- 2-1,4- о (2-1)) 4- d = 31n2 = 1b8. ►
213. Доказать, что
◄ Поскольку lim 2_ = О,
lim = 0, a > 1, к > 0,
л—+oc ax !
a > 1 (см. пример 70); то одновременно будет и
г (" + 1? л
llHl i----------- < = О.
Следовательно, по заданному
выполняется неравенство
е > 0 найдется такое натуральное число N, что при n >- №
Пусть х > Л' 4-1. положим п = [х] (целая часть х). Тогда п > N и п < х < п 4-1, так что
Это и доказывает наше утверждение. ►
214. Доказать, что
in»
: —+00 Х‘
о > 1, s > 0,
◄ Положим х‘ =t. Тогда
ii„, 1£ЬЛ = 1 Um is!..!
I —+ оо X1 6 < — + оо t
В силу равенства (см. пример “4) lim '°s*” = 0, имеем
п — оо п
ц,п !°М» +1) = 0
п — оо И
Пусть £i > 0 — произвольное. Тогда существует такое натуральное число N, что при п > N
0 < tosJn + H < ci
п
Для t > .V 4- 1 положим п = [<]. Тогда п > Лг и п t < п 4- 1, так что
О < loR°f < logg(?i + U < е
t п
т. е, lim —s°' = 0, а тем самым и lim д- = 0, ►
86
Гл. 1. Введение в анализ
Решить примеры (при решении примеров 215, 216 используются формулы
, е1 - е 1 ех +е 1 shx
sh г = ------; ch z = 1 , th z = —;—.
2 2 chx
а также формулы гиперболической тригонометрии):
ОЛе ... shz .. chz-1 thz
лхЭ. a) bin ——; б) Inn -------; в) шп ---.
х—о z ' z—о г2 i-О х
4 а) На основании примера 197, а), имеем
sliz ех - е~х е2х - 1
цщ --- — lim ---------- шп е --------= 1.
х—о х х—о 2х х—о 2г
Отсюда sh I = х + о (z) при z —» 0.
б) На основании а), находим
liin
х—0
hm ----—
х—о х2
Таким образом, chx = l + ^- + o (ж2) при х —♦ 0.
в) Используя результат решения а) и утверждение А), получаем
thz .. shz 1
lim -----= hm ------- — = 1. ►
x—о x x—о х ch г
216. lim
x—o ln(ch Зх)
Используя результаты решения примера 215, имеем
у sh2z (x + o(z))2 .. (z + o(z))2 .. x2 2
lim r—- = lim , —я— '• ------------г = lim "a------- >l = Um -я— = -. ►
x-oln(ch3z) x-0 In (1 + jZ2 + о (l2)) «-0 | X2 + 0 (z2) x-o|j;2 9
Доказать следующие равенства:
217. lim arctg x = arctg xo.
i—is
< Пусть zp > 0 и x > 0- Положим arctg x — arctg xp — t, Тогда для произвольного e > 0
имеем
|arctgx - arctgz0| = |t| |tgt| = —~-| < |x - z0| < e,
как только |z — ig| < 6 (e) = e. Таким образом, соотношение доказано для io > 0. Если хр < О
то доказательство сводится к уже рассмотренному случаю, поскольку arctg (—z) = -^arctgz
Справедливость требуемого соотношения при Zo = 0 вытекает из очевидного неравенства
0 |arctg х — arctg 01 — |arctgz| < |z|, ►
218. lim arcctg z ~ arcctg zq.
X —x0
4 Пользуясь тождеством arctgx + arcctg z = у, справедливым при всех значениях х,
получаем
liin arcctgz = lim (— — arctg x I = — — arctg ю = arcctg xq. ►
s—»o x—x0 \2 /2
219. Бш arcsin z = arcsin Zo, — 1 zo S) 1-
X —x0
4 Заметим, что если О $ г < 1, то arcsin х = arctg , а если 0 < х 1, то arcsin х -
arcctg ^д, * Поэтому для хо € ]0, 1[ имеем
lim arcsin х = шп arctg —= = arctg—. ... = arcsin zp,
x-x0 x-xe ,/1 -X2 0 - Z2
В тонкого = 1 имеем (см. пример 218)
— х2 X
lim arcsin z — lim arcctg----------- arcctg О = — = arcsin 1 - . >' .
x—1—0 x —1—0 X 2
17. Предел фуккцкн
87
Случай — 1 xq < 0 сводится к уже рассмотренному, так как arcsin(—х) = — агами®. А по-
скольку для точки ю = 0 левое и правое предельные значения равны нулю, то доказательство
завершено, к
220. lim arccos® = arccos хо, —1 $ ®о $ !•
Ч Поступая аналогично предыдущему примеру и используя тождество
arcsin х + arccos х =
получаем требуемое соотношение. к
221. a) lim arctg® = —; б) lim arctg® =
х—+ оо 2 ' х—оо 2
в) lim arcctg® = 0; г) lim arcctgx = ir.
ж —+ оо ' ж—— оо
Ч а) Пусть е > 0 — произвольное. Тогда из неравенства х > tg (j
что arctg х > j — е, т. е.
е) = .£?(«) вытекает,
- - arctg® < е
б) Имеем lim arctgx = - lim arctg х = —£.
в) Используя то, что arcctgx = ^ - arctg®, получаем
lim arcctg х — hm ( — arctg х) = = 0.
ж —+ оо х—+оо \ 2 /22
г) Аналогично
lim arcctg х = lim ( — — arctg х) = — ( — — J = я. к
х—. — ею ж——оо \ 2 / 2 \ 2 /
Найти пределы:
222. lim arcsin ах , а*0.
ж—О X
Ч Поскольку lim arcsin х = 0 и lim *fC,‘n 1 = lim —*ге‘‘п * , = 1, го
х-0 ж—О х х—о »)
,. arcsin ах ,. arcsine®
lim -------= lim ---------- • а = а. к
ж—о I ж—о ах
223. 1|ш ——
Ч Из того, что lim arctg® = 0, следует, что
arctg ex arctear
lim----2— = lim —-г—2-------
х—о х ж—о tg (arctg а®)
224. lun "“«(е + Ь) ~arctgj
h~ о h
Ч Поскольку lim ( arctg (х 4. h) - arctg®) = 0, то
цт arctg (т 4- h) - arctg® _ tg (arctg (® + h) - arctg x) __ ® 4- A — x _ 1
h— ° А и—о h h— о A (1 + I2 4- hx) 1 4. x2
225. a) lim —-—r!
x—-o 1
1 4- еж
4 a) Если x —0, to
6) lim —-—j-.
О, поэтому lim --г- = 1.
ж ——0 1 + ех
—• 0, т. е. искомый предел равен 0.
б) Если же x — 4-0, то-------- 4-oo и -j-
226. lim sin (я >/к2 4-1).
88
Гл. 1. Введение в'анализ
◄ Записав последовательность уп = sinfirs/n2 + 1) в виде уп = sin(x(\/n2 -Г~1 — п + п)),
получим
lim sin(x\/n2 + 1) = lim sin Цх\/м2 + 1 ~ «’’») + irn | =
r>—as n — co \ /
= lim (—l)nsin fir(\/n2 + 1 — w)) — lim (—l)nsin La-----------= 0. ►
n — oo \ / n-м \Al2 + 1 + П
227. lim sin2(x\/it2 + n).
◄ Аналогично примеру 226 имеем
lim sin2(ir\/«2 4- в) = lim sin2 I (тгу/n2 — nr) + nx\ —
228. Если lim = А и lim ф(х) = В, то следует ли отсюда, что lim = 5?
Рассмотреть пример: ^з(х) = — при х = —, где р и д — взаимно простые числа и 93(1) = 0
при х иррациональном; $(z) = 1 при х ^0 и = 0 при 1 = 0, причем х —. 0.
-Я Из условия примера следует, что для произвольного е > 0 существует такое <т = ст(г) >
0, что
^(u)-B|'<s, ' (1)
как только
О < [а - А| < <т. (2)
т, е. неравенство (1) выполняется для всех значений а нз «r-окрестности точки А, исключая
саму точку А.
Далее, согласно условию задачи, для произвольного а > 0, в том числе и для а из нера-
венства (2), Существует такое $1(<г(е)) = 6 (е) > 0, что для всех г, удовлетворяющих условию
0 < |х - а| < 6 (е), (3)
функция и = ф(х) удовлетворяет неравенству
. И») - 41 < а’ . (4)
причем, не исключается случай, когда ^(х) = А.
Но при и = 9?(х) = А функция V(h) = У»(4?(е)) может.быть вовсе не определена или же
определена, но ее значение Ф(А) lim^(u). В обоих случаях неравенство (3) не обеспечи-
вает'выполнение неравенства (1), Для того чтобы из условий lim £>(х) = A, lim yi(x)' = В
вытекало равенство lim V(^(e)) “ В, достаточно, чтобы Л ири х а. В предложен-
ном примере это условие не выполняется. ► '
229. Пусть для всех х £ ]хо, хо +1], где то — фиксировано, выполнены условия:
1) Pnk(x) 5 О, А = 1, и; 2) У2 рпк(х) = 1;
3) lim Рпк(х) = 0 при каждом фиксированном it; 4) lim un(x) = /.
tl—*оо n—co
Доказать, что lim tn = l, где tn eV* Pnt(t) u*(z).
n~w>
◄ Пусть e > 0 — произвольное. Из условия 4) следует, существование такого числа .У =
ЛГ(е, х) > 0, что («п(е) — /| < | для всех n > N. Из этого же условия следует существование
такого числа М > 0, что
|«п(т)| $ М, |un(x) —1| $ 2М ¥n € N.
Из условия 3) вытекает существование такого Числа no = «о(®, г) > N, что
Рпк(*) < , '^"= Vn > п0.
с '47м Лредед, фумкцвн :
Из этих неравенств и условий 1)л2) (следует неравенств© ; ....... , , ,, ₽,
|л=1 1 feel
4 = + Pn8tr)|*2(«).-JI|-+Vjr. + /nK<«)|«w(r) - Л+
4- P„x+jjuw+1(i) —1| 4 - •. 4 fnn.(t)|u»(t) - l| < 4|уд^2-^ +
+ |(Pn,V+l(l)+ ... +Pnn(z))< | + |=« Vn>n0,
Следовательно, lim tn = I. >
230. Доказать теоремы Коши: если функция f :]а, 4оо[ —> R ограничена в каждом ко-
нечном интервале ]а, 6[, то
a) lim Zi21 = lim (/(» + 1) -/(х))| 6) lim (/(*))• = lim /(*)»'> ».
x—* + eo X x—+oo >—+« x—+oo /(**•/
предполагая, что пределы a правых честях равенств существуют. .< _
в) Доказать, что если lim (/(х 4 1) — /(х)) = +со « / ограничена снизу на каждом
®—4-ао '
конечном интервале ]а, Ь[, то
/{Х|1 . ,
lim х..7£ — -poo.•
«.— + <» 1 , .V
◄ а) Для доказательства воспользуемся примером 229, полагая при этом, что
Pnl (я) = ----, Рпк(х) — -------, k = 2, п, 0 < хо < х й хо 4 1, Хо >«: “ "
' ' 14« ' х 4 п ,
tit(g) - . «п(«) = Т(х 4Т1)-Л1 + п-0> « = 2,3,....
Тогда = ^2 Pnfc(x)w»)(x) = Все условия теоремы выполнены, поэтому
lim t„ = lim _ lim (/fx + n.) —/(x 4 n — 1)) =/.
n ОО П—-OO X 4 « n—oo *
Поскольку l не зависит от x, то из последнего равенства следует, что
lim = lim (/(z4 1)-/(г)) = /.
J—.4.CO % Х — +0О
б) Поскольку /(х) с > G, то определена функция F(z) = In /(х). Пусть lim = 1
Тогда, пользуясь теоремой пункта а} и возможностью предельного перехода в показателе
степени, получаем требуемое
в) Для произвольного Е > 0 существует такое число хо > 0, что при х > го
л* + 1) - /W > 2Е.
Отсюда следует, что /(х + «) — f (х) > 2пЕ и
ft* + n) ? f(I) + 2пЕ
х 4 п х 4 rt
Поскольку /(х) с > Q при хо < х хо 4 1, то существует такое число тю, что
/(х4«) Е
г 4 в
90
Гл. 1. Введение в анализ
при Vw > «о, т е, если t = i + », хо < х го 4- 1 , п > «о, то
ж
t
что эквивалентно требуемому утверждению. ►
231. Найти пределы-
a) lim (lux)®' б) bin —
◄ а) Воспользуемся результатом примера 230, 6), находим
Нт Пих) я = lim
X—* + ое J—* + оо III X
Нт
— 4-оо
б) Аналогично а) получаем
Кт = 1. ►
—+ 00 _
232. Доказать, что если: 1) функция / определена в
каждой области а < х < 6; 3) существует предел
lim /(* + !)-/И =)
области х > а; 2) ограничена в
конечный или бесконечный, то
/(») = >
xm+1 т 4-1'
Пусть 1 — конечное. Тогда из условия следует, что
lim Л1 + ”) ~ Л* + " ~ 1)
lim
Воспользуемся примером 229, полагая
<»+*)•
Л» + 1)
Го < X $ То + 1, Хо > с
/(х + п)-/(х+ н- 1)
получим tn = • Все условия примера 229 выполняются, поэтому
. .. /(х + n) 1
hm tn = Inn ‘' = bm un(x) =-----------------
n—OO n—оо (Г + n)m+1 n —оо ' ' m 4- 1
а поскольку предел ие зависит от х, то последнее равенство эквивалентно тому, что
.♦« tm+'
Пусть i = 4-oo. Тогда из условия 3) следует, что
п-~ /(х+п)-/(х4-п-1)
а поскольку последовательность
((х+»г+,-(.+»-1г+,)7„,
монотонно возрастая, стремится к 4-ое, то таким свойством обладает и последовательность
(/(я 4-н) ~/(х +• п - 1 ))”= 1 •
S 7.Пред ОД функции
91
Положив
/(» + !)
/(» + ..) ’
_ /(* + 4-/(* + *-!)
/4 + ')
«i(i) =
(* + 1Г+1
Л* + 1) '
к ~ 2, », 0 < xq < х ^,»о + 1, го > а,
Un(r)=
и воспользовавшись примером 229, получим
(х + н)т+1 — (д 4- н — l)m+1
/(« + «) “/(* + « - О
п= 2, 3,
?„(«) =
” (х+п)”111
откуда и следует требуемое утверждение. ►
233. Доказать, что lim nsin(2тгеп!) = 2я.
Имеем (см. пример 80) е = 1 4-1 4- 4- ... 4- 4- “7. 0 < < 1, причем
S" = £ir=“ '‘!('_9n’=”'’‘! (1 + 1 + 5i+ +7!+FT7)!+ („+1Х»+ !)<’“) =
(1 On+l \ М П0П+1
(п + 1)! + (п + 1)(п 4- 1)! J п + 1 т (п + 1)’ р
Пользуясь этим, получаем
/ 2 л 0 \ 2т^ sin
lim л siu(2iren!) = Inn nsiu I 2т»! yn 4--— I = Km nsin---— = lim —tzt2—27Г0П|=2тг.^
ti — co n — ос \ П ) П-.00 П n— oo It
92
Гл. Т. Введение в анализ
Построить график предлагаем читателю, к
236. Построить кривую
Um, У|х|п + |у|’? - 1
4 Поскольку 0 < С 2, если |х| С 1, |у| < 1, [т| + |у| / 0, то
lim пГ~к1п + |у|п .
пТ» V max(|x|", |у|")
^см. пример 73), и, следовательно,
„4“ УИ" + 1»Г = K;v»ax(M, = К
т. е max(|z|, |j/|) = 1 и графиком служит контур квадрата с вершинами в точках (±1, ±1)
Это следует из того, что точки А(±1, |у|), |у| 1, B(|z|, ±1), [х| < 1, принадлежат графи-
ку. ►
Найти следующие пределы:
237. lim ((1+х)(1+г2)(1+т4) ... (14-т2п)), если |т| < 1.
Ч Умножив и разделив выражение, находящееся под знаком предела, на 1 — г, получим
»)(1 + т2)(1 + (1 + z2")) =
= lim (1-х2)(1 + ^(1 + г>.-(1 + ^) = Ет = 1 k
п — оо ’ 1 — п оо 1 — X 1 — £
238. lim (cos cos ~ cos — 'l z =£ 0.
г.-Ж v 2 4 2n)
Ч Умножив и разделив иа 2" sin £ выражение, предел которого ищем, Найдем
lim
' X X X '
cos — cos — ... cos-
<24 2",
cos -X cos -
hm ------------—
• • cos 2^n- • 2n 1 sin _
2” sin ~ ,
,. sin z ' ' ,. sin x
lim -—;—~ ош —
n—oo 2n Sin — n —оо X
sin^
sin x
239. Пусть lim —7—
x-0 ^(l)
при m € N и n > 7V(e).
Доказать, что
lim (p(ain) + ^(«Зп) + ... + ^(ann)) = lim (V’(ttm) + l>(“2n) + ... + 0(ann)J, (1)
n—00 n—.00
предполагая, что предел в правой части равенства (1) существует. *
Ч Поскольку lim = 1 и amn 0, то Че > 0 3^ = Д'(с) такое, что Чп > N
yi(o’mn)
< 1 + е, т = Г п.
откуда, в силу условия $(х) > 0, имеем
1 _e < у(01п) + У,(02п)4- +y>(a-nn) J е
^(«1п) + ^(Л2п) + • •. + ф(апп)
Исходя из этого неравенства, а также из условия существования предела в правой части
равенства (1), заключаем, что предел числитедя существует й равей пределу знаменателя, к
Используя равенство (1) предыдущего примера, найти следующие пределы:
' V--- j
$ 7. Предел фумжции
93
Поскольку lim
=S 1 (см. пример 158), » ^40 при n
241. lim V"*sin
n-то Z-* n2
sin
Здесь liin —= 1 и
оо, поэтому имеем
242. lim
lim > sii
г>—то
. ka ,. ка an(n 4-
srn —7 = lim > —7 = hm —i—-
П2 n—00 П2 П-.00 2n2
Имеем lim —т------- = 1 (см. пример 197, а)) и
o° —7 In a
oo. Таким образом,
*Ino
—r— = In a lim
2n*
- In a-
243- +£)
Имеем
exp
Поскольку lim
lim
244. lim jj
ka
cos —-=.
Легко убедиться, что
Um
2n3
при n
Поэтому
Inn T5 cos
n—-о* а. д n\/n
I r кг'', Un.
exp < hm > In cos —-=
п—оо n-Jn
= exp
.. nfn + l)(2n + l)a‘
94
Гл. 1. Введение в анализ
В примерах 245 и 246 перейти к пределу в показателе степени на основании утвержде-
ния А),
245. Последовательность (хп) задана равенствами i! = >/а, хг = \/а + гз =
+ \/а + у/а, .... где а > 0. Найти lim хп.
Ч Заметим, что хп = >/а + zn-i, п = 2, 3, ,.. Применяя метод математической индук-
ции, убеждаемся, что последовательность хп = + *n-i монотонно возрастает и ограничена
сверху, например, числом А > + а. Следовательно, по известной теореме, имеем
lim х„ = I О,
причем I — у/а. + I, откуда находим, что
246. Если wa[/] есть колебание функции / на сегменте |х - < h, Л > 0, то число
w0[/] = lim «л [/]
А—о
называется колебанием функции f в точке £.
Определить колебание функции / в точке г = О, если:
а) /(х) = sin —; б) /(х) = ^7 cos2 в) f(x) = х ^2 + sin ; г) /(т) = - arctg-
-4 Согласно определению колебания функции в точке, имеем:
а) и,[/) = sup {sin;} - .‘«J. {=“Н = 1 “ (“Ч “ 2<
wo[/J = bm Wh[7] = Hm 2=2;
sup
целые числа такие, что |А|т > j. Поэтому
“'/»[/] = +<»> wo[/] = +co;
в) 0 $ w/,[/] = sup {х (2 + sin ^) } - inf {х (2 + sin j) } $ ЗА — (-ЗА) = 6А,
1«1<а laKh
Wh[/] = 0, wo[/J = 0;
')»4/1 = sup {iuctgi}- inf = =
|*|<h 1а1ЧЛ
woLfl = lim whlf] — lim 1 = 1. ►
h—о L ‘ h—0
J±rn-2 2.1 — Pt2 ГТ.Р 1-
< cos “ ? — к л , где к —
6) Wh[/] = sup { ± cos2 7 } - inf { 7s cos2 }
|x|<A 1»1<Л
247. Определить I = bin f(x) и L = lim/(x), если
i—о
2 1 2 1
/(x) = sin -4-—arctg-.
4 Поскольку inf {sin2 i} = 0 при x = xn = — —, n € N, a
lim — arctg — = inf I— arctg — \ = —1,
n — oo JT Xn IX X J
I = lim (sin2 — + — arctg —= Km (sin2 wx+—arctg (—tut)
$ 7. Предел фушгцкк
&5
Аналогично, поскольку sup (sin2-}= 1 при х — zn =-7—7—г,1 п € Н, a lim -исЬйД-:=£
' 1 ’ wv+^nj п—юо " *»
sup {-arctg-} = 1. TO
. . 2 1 , 2 1 \ / . 2 ir(l + 2n) 2 4 x(l +2n)\ ,
L = Inn ism —|— arctg - = Inn sin 4 •' + “Arctg -A—------- I = 1. ►
T“t> \ it x/ n—00 2 т 2 J
• •• J,«. Ik-
248. Пусть функция r ег, где 2 = x + ty, определена посредством равенства ’ :
ег = Вт (1 + -V. '' 1 (11
п—оо \ П/ '
Показать, что
е»+'й _ e*(cosy + tsin у). (2)
Вывести отсюда формулу Эйлера-
е^ + е-^
cos у = --~, sin у = ---------—----.
< Представим последовательность п i-» (1 + в тригонометрической форме
( ( 2х х2 + У2\ 2 . . А
» ~ И 1 + — + - К2 ) (C0S<p+»SlDlp) I ,
где & — arctg ^7, а затем применим формулу Муавра. В результате приходим к последова-
тельности *
/ 2х X2 + у2 \ 2
11 ь-* 1-|-----1-------— ] (cos п<р + tsin пи).
\ п п‘ /
Поскольку (1 + ^+ 0 (i-)) Js/fl+o(l/n) _» е>
?(v + »(i)) -1 "Р“ 10
Ври и —-ос.
Далее, согласно примеру 22S,
»* = »а’с<8^7=’>(^у^+“(-;) =« + »(!)
При п — ос. Поэтому (см. пример 175. а), б)) cosп<р —> cosy, sin —• sin у при п —• со.
Таким образом
/ г + ty \п х, .
11 + —-—J (cosy+isiny)
(|ри и — ос, чю доказывает равенство (2).
Полагая в равенстве (2) х = 0, получаем
с’* = cosy + tsin у. (3)
Заменив в последнем равенстве у на —у, имеем
е-’81 = cosy — tsin у. (4)
Из равенств (3) и (4) находим
96 Гл. 1. Введение в анализ
Упражнения для самостоятельной работы
Найти тонкую верхнюю и точную нижнюю грани функции f : Е — F. Указать точки
I, у е Е (если они существуют) такие, что /(х) = sup{/(x)}, /(у) = inf{/(x)}.
91. f(x)=^?1 |z|^l. 92. f(z)=i, zG]-l,l[\{0}.
93. fix) = x2, 1 < x < 2. 94. fix) = x2, -1 x < 2.
95. fix) = < X . . 96. fix) = arcsin(sin x) x 6 R.
[ -(.Z — 1) , 1 $ x < 2.
97. fix) = arccos (cos x), x £ R. 98. fix) = arctg 1 0. /(0) = 0.
99. Определить колебание функции fix) — x G R\{0}, на интервалах:
а) ДО"’, 10“‘[; ») J10-"-1, в) ]10-", 104; г) ]10°. 107[; д) ]10", 10”+’[-
100. Определить колебание функции fix) = sin на интервалах:
a) 1 40я 1 20ir [’ ] 40ir ’ 39 w [’ ®) J Sn»+« ’ пк [’ Г) ] 4пчт+я ’ nir ['
Показать, что:
101. (1 4- x)n = 1 4- пх + x2 4- о (г2) при х —» 0.
102. х 4-cos х = 0(1) при х —♦ 0.
103. е“‘(1 4-I-1)1 =1 - 5*"1 4-О(т"2), х > 2.
104. (1 4- х 4- О(х-1))Х = егх + ©(х1”1) при х —♦ оо.
105. Ixe2x~n)n = O(e*a+l), х > 0.
106. а) ео(х) =14-о (х), х — 0; б) о (/(х) • #(х)) = о (/(х)) • О($г(х)), х — х0.
107. $/х = ^xq + ~ ^/ip-n(x — хо)4-°(1 — го). х —* Хе.
Нилти пределы:
113. Шп р*+*а+ , а, >0. 114. lim V
I—0 \ m / п — оо
115' п-^о р ( V1 + ” Х) ’ Р е 11в‘ Д™ ^Г’ Р е
117. Jim П (1 + от) - у €
118. Доказать неравенства
-дД— « П1*"«
У~ в.1 ..1
ьн ж*
где Хк > 0, 0 $ Аь 1 (fc = 1, п), 53 А» = 1.
i=i
119. Пусть: ]) 0 < А*п < 1; 2) £ Afcn = 1; 3) lim^An* = 0 при каждом фиксированном
1; 4) хп >0, « ё N; 5} lim хп — !• Тогда lim ГТ х^кп = I.
п—оо П—ОО ь_.
Найти пределы:
f 1—«in х)(со»а »+1}— 1 «in 2f
120. Um i---- со>Ьд a------.
121. lim '“*;**' . nJ. Цщ •*’“—*. 123. lim .
®-»O • я—0 x x—O'1+2*-'
J 8. Непрерывжость функции
97
Найти I = lim f(x} и i = lim /(x), вежи:
127. f(x) = sin z -f сов(хл/2)- 128.,/(x) = sui3(»\/2) + 6’ coea(*-\/T).
129. =shi2(xa/2) - (1+япг s)2. IM. /(») = (1 + -)* sin3 x.
131. /««(l + if+m2.. 132. /(,)=£$!..
§ 8. Непрерывность функций
8.1. Определение непрерывности функции.
Определение 1. Функция / : X —» R, X С R, называется непрерывной в точке
хо € X. если выполняется одно из эквивалентных условий:
1) Ve > 0 36 > 0 : (Vz Е X) (|х ~ хо| <
|f(z)-f(x0)|<e; (1)
2) для произвольной последовательности (zn) значений хп € X, сходящейся при п — оо
к точке хо, соответствующая последовательность (/(хп)) значений функции сходится при
п —» ОО К /(xq).’
3) lim f (х) = f (хо) иди f(x) — —*• О яри x — xp —» 0;
4) Ve > 0 3 6 >0 такое, что ».
Д]хо ~ 6, хо + 6[) C ]f(xo) - е, f(x0) + <[
или, что то же самое,
f : ]то - 6, ю + 6[ —»]/(хо) - е, /(хо) + ₽[•
Из определения непрерывности функции f в точке хо следует, что
lim f(x) = f lim х^ .
Определение 2. Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]а, __Ь[, то
функция f называется непрерывной на этом интервале.
Определение 3. Функция f :]а, то] — R(f : [то, Ь(—► R) называется непрерывной в
точке хо слева (справа), если выполняется одно из эквивалентных условий;
1) Ve > 0 36 > 0 такое, что неравенство (1) выполняется, как только хо — 6 < х < хо
(х0 $ х < хо + 6);
2) <3ля произвольной последовательности (хп) значений хп € ]о, хо] (хп € [хо, !•[)> схо-
дящейся к точке хо, соответствующая последовательность (/(хпУ) значений функции f
сходится к /(хо); к
3) lim /(х) =/(io) ( lim /(z) = /(xQ)| или, короче, если /(хо —0) — /(zo) (/(хо+
i-го—о у*—*ц+о у
») = /(»«))••
4) Ve > 0 36 >0 такое, что
/(]х0 - 6, хо]) С ]/(хо) - е, f(xo) + е[ (/([ха, х0 + 6[) С ]/(*о) - е, f(x0) + е[).
Функция f : А' — R непрерывна во внутренней точке хо 6 X тогда и только тогда,
когда она в этой точке непрерывна слева и справа.
Теорема 1. Если функция у : Т —» X, Т С R, X С R, непрерывна в точке to Е Т, а
функция / : А’ — R непрерывна в точке хо 6 X, где хо = ff(*o), то композиция f о g :Т —» R
непрерывна в точке to.
Теорема 2. Пусть функции f : X —► R и g : X —» R, X С R, непрерывны в точке
хо Е X . Тогда функции
f +9, fg w - (9(хо) 7^ 0}
непрерывны в точке хо
98
Гл. 1. Введение в анализ
8.2. Непрерывность вектор-функций и функциональных матриц.
Определение. Вектор-функция х >— f(x), f(z) = (/t(x), ..,, /п(х)), х С X, называется
непрерывной в точке хо € X, если
lim f(xj = f(zo).
X—IO
Функциональная матрица х ь- Л(х), где. Д(х) = (а,Дх)), i = 1, т, } = 1, п, называется
непрерывной в «почке хо С X, если
lim Л(х) = Л(хо).
I—»о
Вектор—функция f непрерывна в точке io С X только и только тогда, когда в этой
точке непрерывна каждая из функций х ь- /,(х).
Функциональная матрица х «-> А(х) = (а,у(х)) непрерывна в точке хо G X тогда и
только тогда, когда в этой точке непрерывны все элементы матрицы х а,л(х), i =
1, т, у s= 1, п.
8.3. Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции.
Определение. Если функция f : X —» R не является непрерывной в точке xq £ X, то
говорят, что она терпит разрыв в этой точке. При этом точка xq, называется точкой
разрыва функции f.
Точки разрыва функции / классифицируем следующим образом:
1. Пусть ха С X — точка разрыва функции / и существует lim У(х), конечный или
х—ха
бесконечный. При этом:
а) если lim /(х) конечный, то хо называем точкой устранимого разрыва функции f\
х—Ха
б) если lim f(x) = оо, то хо называем точкой разрыва типа полюса.
2. Если lim /(х) не существует, то точку Jo ё X называем точкой существенного
х—х0
разрыва функции f. Прн этом.:
а) если существуют конечные пределы f(xa — 0), /(хо4-0) (/(хо — 0) /(хо +0)), то точку
хо называем точкой разрыва первого рода функции /;
б) все остальные точки существенного разрыва называем точками разрыва второго рода
функции /.
Поскольку в изолированной точке io € X функция / : X —» R непрерывна, то ее точками
разрыва могут быть лишь предельные точки х £ X-
8.4. Основные свойства непрерывных функций.
Определение 1. Функция / •_ [в, Ь] —► R называется непрерывной на сегменте [а< Ь]
если она непрерывна на интервале }а, Ь[ и в точке а непрерывна справа, а в точке b —
слева.
Пусть’функдия f : fa, Ь] — R непрерывна на сегменте [а, 6], тогда: 1) она ограничена на
этом сегменте; 2) если т = mf {/(х)}, Л/ = sup {/(г)}, то на сегменте [а, 6} существуют
»€[а,Ь] т€[а,6]
точки xi и Х2 такие, что /(xi) = m, /(хг) = М (теорема Вейерштрасса); 3) принимает
на каждом сегменте [л, Д], [ft, Д] С [а, Ь), все промежуточные значения между /(ft) и f(fi)
(теорема Коши). В частности, если f(n)f(0) < 0, то найдется такое значение у (« < 7 < Ц),
что/(-г) =0- -ч
Определение 2. Функция / :]а, b[ — R называется кусочно-непрерывной на интер-
вале [а, Ь[, если она непрерывна во всех точках этого интервала, кроме конечного числа
точек разрыва первого рода и конечного числа точек устранимого разрыва.
249. С помощью “е—рассуждений доказать непрерывность следующих функций:
а} х I—«• ах + Ь, а 0, х € R; б) х »-► х3, х £ R; в) х к* х3, х € R; г) п-> у/х, х > 0,
д) х ►— у^, х '€ R; е) х >-► sin I, г € R; ж) х cos х, х € R; з) х «-* arctgx, х g R.
< а) Выберем в > 0 произвольно. Для любого фиксированного хо € R имеем
|ах + b — ах» — = |а[|т — хо[ •> е,
есди [х —
J 8. Непрерыввостьфумкцхк
б) Пусть е > 0 — произвольное и ж® £ R. Тогда
|т2 - zol = |(х - Хо)2 + 2х0(х - хо)| $ |х - хо|2 + 2|хо||х - хо| < е,
как только |х — хо| < \/|io|2 4-ff — |хо| =
в) Пусть е > 0 — произвольное, но такое, что 0 < е < 1. Имеем |х3 - Iq| = |х2 + ххо +
Хо||х — го|. Пусть |х — io| < 1. Тогда |х| < |х&| + 1> поэтому
|z3 - lol < (3|хо|2 + 3|гс>I + 1)|х — «о| < е,
как только
11 ~101 з|г„р + з|и| +1 = е-
г) Для произвольного € > 0 и хо > 0 имеем
177-^1 = -15-^ <
ух + ухо уХо
если |х - хо| < = 6.
д) Для любого £ > 0 и хо € R\{0} имеем
Непрерывность функции в точке хо = 0 следует из неравенства | у^х( = < е, справедли-
вого При [l[ < €3 = S.
е) Для любого е > 0 имеем
I • • I L - ® - хо X + хо | . „ |х - х0| . .
| sin х — sin хо| = |2sin —-— cos —-—I 2-— ------= |х — хо) < е
при |х — хо| < 6 = £
ж) Аналогично предыдущему
. . I . х - хо . х + то I .
[cosx — cosxo| = -2sin —-—sm —~— < |г — хо| < е
при |х — хо| < 6 = е
з) Пусть [хо[ > О и |Л| = |х —хо| < |хо|. Если arctg (хо Ч-Л)—arctg ю = t, то tgt = 1+>^уо/>,
атак как |t| $ |tgt| при |t| < то
[arctg (хо + Л) - arctgx0[ = [t[ < }tgt[ =
если |М = |л-л.|< =<
Непрерывность функции х н- arctg х в точке х = 0 следует из неравенства
[arctg х — arctg 0| = |arctgx| < |х|. к
h I < |Л|
11 + xg + Лхо 1 + х§ - |Л| |х0|
Исследовать на непрерывность следующие функции:
250. /(ж) = (—1) [ r } (cos ж -|- sin х) -|- 2л/2 , ж £ R.
[х — 4- rrl Г „ г [
-------1 = п. тогда х принадлежит полуинтервалу 1(п — 1)гг + т>’*тг + — .
зг J 1**1
Сужение функции f на каждый из полуинтервалов [(н — 1)т + j, птг + 7 [, n Е 2,
х >-• (—l)n(cos х + sin х) + 2л/2 n (I)
Гл. 1. Введение в анализ
непрерывно. Остается проверить непрерывность функции f в точках пт 4- т- п Е Z. Из (1)
находим
/ (пт + — — о) = lini^ (-l)n(cos х + sin z) 4- 2л/2 п = д/2 (2п + 1),
х — nw+ --0
/ ((’* - 1)’Г+ j) = (—*)" (c°s ((п - 1)т 4- 4-sin ((ri - 1)т + 4- 2д/2(п - 1). (2)
Далее, полагая в (2) вместо п число п +1, получаем
f (пт 4- (cos (nit 4-^4. sin (пт + + 2l^2("’ + U - (2п + ])
Итак, значения функции / в точках пт4-^, п Е Z, равны ее соответствующим предельным
значениям слева в этих точках. Поэтому функция f непрерывна в каждой из точек пт 4-
j, п € Z. А так как ранее установлена непрерывность во всех промежуточных точках, то она
непрерывна на всей числовой прямой. ►
251. f(i) - arctg ^2= 4- т , х / и 4- f (пт + = нт. к Е Z, х € R.
< Если [2*+*] — я и х пт 4- п 6 Z. то z € ]пт — у, пт 4- | [. Сужение функции f
на каждый из интервалов ] пт — |, пт 4- ^ [, п £ Z, есть непрерывная функция
. tgz
х I— arctg —j= 4- пт.
Остается проверить непрерывность функции / в точках я!г+|, Z. Имеем
f — 0) — lim | arctg 4- пт ) = пт 4- —•,
К 2 / ^nn+Z_0 \ e V2 J 2’
/ ("пт 4- 4- 0) = lim | arctg 4- (я 4- 1)т ) = пт 4- —.
' 2 / г-пг+^+о \ >/2 J 2
Таким образом, / (пт 4- — 0) = f (пт 4- у + 0) Vn Е Z, и, следовательно, функция / непре-
рывна на R. ►
252. /(хУ=И(М-(-1)[cos тх), x € R.
< Пусть [i] = u, тогда n$«< n + 1, n € Z. Сужение функции f на полуинтервалы
[п, n 4-1[, я E Z,
x i— n(n — (—1)” cos tx)
непрерывно. А так как значение /(я) « п(п —1) равно предельному значению слева /(п —0) =
lim (п — 1)(п — 1 - (—I)”-* cos тх) = п(п — 1), то функция f непрерывна на множестве R. »
253. /(т) = [х], i€R.
Ч Если к 5$ х < & + 1, к € Z, то [я] = к, и, следовательно, f — непрерывна. Если
же то = i, то /(k) = к, f(k — 0) = lim [я] — к — 1, т. е. функция f терпит разрыв при
Хо = к, к Е Z. ►
Определить точки разрыва и исследовать характер этих точек, если:
254. д») = ц-^т, /(-1)=о.
-4 Имеем
Дй-о Л4 = -°о; . /(«) = -”.
следовательно, х = — 1 есть точка разрыва типа полюса. ►
255. f(x) = 4—х е к\{-1, о, 1), /(-1) = до) = /(1)=о.
я—1 я
Ч Функция У непрерывна при х €R\{—1, 0, 1} как элементарная. Поскольку
lim /(®) = lim ——- = Too; lim f(x) — lim ——- = —1; lim f(x) = lim -—- = 0,
' x-.~ 1*0 » + l x-o'4 ’ x—0 X 4- 1 x—1 v 1 x-1 x 4-1
§ 8. Непрерывность функций 101
то х — — 1 есть точка разрыва типа полюса, х = 0 — точка разрыва первого рода, а в точке
х = 1 функция f непрерывка. ►
256. /(г) = cos2 г 0, /(0) = 1.
« Пуыъ 2„ = уп = „ € N. Тогда Хп 0( уп —’ 0 при п —* оо, однако
f(xn) — 1 . a f{yn) — 0 при м — оо. Следовательно, lim f(x) не существует и х = 0 — точка
1—0
разрыва второго рода ►
257. /(г) = arctg i. х / 0, /(0) = 0.
< Пусть £ > 0 — произвольное. Тогда существует х<з > 0 такое, что ~ > tg (•£ — е) .
откуда tg > у— е. В силу возрастания арктангенса для 0 < х < хо и подавно arctg ~ е
т е lim arctg 7 = 7
j—+0 1 2
Аналогично показывается, что lim arctg - = — £, Следовательно, х = 0 — точка разрыва
х——о 1 2
первого рода. ►
258. /(I) =--zjtl, /(0) = /(I) = о.
1 -ei-»
< Имеем
,. 1 ,• 1 — х
hm -------5— = Inn ------j— ------— Too.
т. е. х = ft — точка разрыва типа полюса. Далее,
поэтому х = 1 точка разрыва первого рода. ►
259. /(z) = ф], г е К.
М Если [г] — н, то х £ [w, п + 1[ и сужения функции f на полуинтервалы [я, п 4-1[
х >—> их, х £ [п, п + 1[,
непрерывны при любом ngZ. А так как f(u) = «2. f(n — 0) г= lim (п — 1)х = (w — 1)и, то
точки х — и являются точками разрыва первого рода. ►
260. f{x) = [z]sin тг, x € Ж
< Пусть [г] = п, тогда п 1 < п + 1 и сужения функции f на [п, и 4- 1[
х к— п sin ях. х £ [н> » + 1 [, n € Z,
непрерывны. Остается исследовать непрерывность в точках х = п, и € 2. Имеем
f( 11) = п ып 1гп = 0. f(n — 0) = liin (n — 1) sin ях = (n — 1) sin яп = 0,
т. e. /(«) = f(v — У) и функция f непрерывна на R. ►
261 /(,) = z [1] /(0) = 1.
< Функция f непрерывна на каждом из полуинтервалов —у < х п £ Z\(0}.
поскольку ее сужения х >—> их на эти полуинтервалы непрерывны. Далее, /(7) = 1.
/(Ец-О) = lim х [Е] = поэтому в точках х = п £ Z\{0), функция / терпит
> — —+0
разрыв первого рода.
Рассмотрим неравенство
справедливое для х £ ] 7-77, ^[, и Е N. Если п —> оо, то х — 4-0, и из (1) следуе], что
lim /(г) = liin г [-1 = 1.
х—+0 я—+0 l'iJ
102
Гл. 1. Введение в анализ
Если = —п, то —п
(2)
Если н — оо, то I — —0, и из (2) находим, что Urn /(х) = Um х -1 = 1. Таким образом,
х——о х— -о L® 1
/(0) = /(-1-0) = /(—0) = 1, т. е. при х = 0 функция непрерывна. ►
262 f(xi — < s*n VX ПЛХ Рационального’ х
J\ ) ~ I о для иррационального х.
4 Пусть хо п, п € 3, — произвольно, (in) — последовательность рациональных чисел,
сходящаяся к хо, a (tn) —последовательность иррациональных чисел, сходящаяся к хо- Из
равенств Um /(xn) = liui sin rxn = sin xz0 0 и lim /(tn) = 0 вытекает, что Um /(x) не
n — oo n—*oo n —oo I—
существует, т. e. xo — точка разрыва второго рода.
Если же то = м, n Е Z, то
|/(ю) - /(х)| < | sin irx| = | sin(irn + ir(x - n))| =
= j cos кп sin 7г(х — n)| = | sin x(x — xo)| < ir|x — io[ < e,
если |x — xo| <^=6. Следовательно, xo = n — точки непрерывности функции f. ►
263. Доказать, что функция Римана
I —, если х = —, где тип — взаимно простые числа,
0, если х — иррационально,
разрывна при каждом рациональном значении х и непрерывна при каждом иррациональном
значении х.
< Пусть го = £ — рациональное, так что /(хо) = - Очевидно, последовательность
) рациональных чисел сходится к = хо при ji —г оо. А так как lim } ~
lim — = 0, то каждая рациональная точка £ является точкой разрыва.
Пусть п — произвольное иррациональное число, а (хп) = — произвольная после-
довательность рациональных чисел, сходящаяся к л. Тогда Em qn = оо и
liiti /(xn) = lim f
Iim — — 0 = /(«).
А так как /(х) = 0 при х иррациональном, то равенство lim /(х„) = /(ст) = 0 справед-
ливо для любой Последовательности (хп) с произвольными членами, сходящейся к ирраци-
ональному числу а. Таким образом, функция f непрерывна при каждом иррациональном
значении х. к
264. Исследовать на непрерывность функцию
Г если х — несократимая дробь п 1,
[х|, еслих —иррациональное число.
-4 Пусть хо — рационально, т. е. ю — ~, « -3 1. Согласно условию, /(хо) = ^7.
Поскольку Xfc = is±l s. = ха при к -* оо , a Jim /(х*) - Jim - f(x0),
то функция / терпит разрыв при всех рациональных значениях аргументу
Пусть теперь xq — иррационально, а (хь) = — произвольная последовательность
рациональных чисел, сходящаяся к хо. Тогда liin |nu| =оо, lim |n^| = оо и
J2A.
lim f(ik) = lim ——— = Um —.-
As—oo k—оо Пк 4~ 1 А — оо ] Д. -i—
| = /(х0), если щ
|хо|, если ю
(1)
58. Непрерывность функций JQ3
Отсюда вытекает, что функция разрывна при отрицательных иррациональных значениях ар-
гумента.
Если хь —► хо при к —» оо, причем Хк 0 — иррациональные числа, то
Jim f(xk) - Jim |zh| = |x0| = /(xq).
Таким образом, функция f непрерывна только при положительных иррациональных зна-
чениях аргумента. ►
265. Пусть функция f непрерывна н ограничена в интервале }х&, +оо[. Доказать, что
какое бы ни было число Т, найдется последовательность хп —► +оо такая, что
+ т) - f («»»)) = о.
< Пусть Т > 0 — произвольное. Рассмотрим разность f(x +Т) — /(г). Возможны два
случая:
1) существует конечное число х‘ хо такое, что разность /(х + Т) — /(х) сохраняет
постоянный знак для всех х х';
2) для произвольного Г хо существует х* > Е такое, что /(х* 4- Т) — /(х*) = 0.
В первом случае последовательность (/(х' + пТ)) монотонна, а поскольку она и ограни-
чена, то существует конечный предел liin /(х' 4- пТ) = I, так что
lim (/(х' + (w + 1)Т) - f(x' + «Т)) =1 — 1 = 0
П — 1Х> "
причем хп = х' + пТ —• -f-оо при п —» оо.
Во втором случае существует такая бесконечная последовательность (zn) значений х,
х > хо, что in —» -J-оо при н—»оо и f(xn 4-Т) — f(xn) = 0, т. е.
4- Т) - f (Хп)) = о.
Случай, когда Т < 0, заменой х + Т = t приводится к уже рассмотренному. ►
266. Пусть Vs и «4 — непрерывные периодические функции, определенные при z € R и
lim (v(x) - V’(x)) = 0. Доказать, что ^(х) = ^>(х), х € R.
◄ Пусть Т1 — период функции а Т2 — период функции ^>. Предположим, что у(х)
т. е. существует такая точка г = t, что
|<p(t) - V(t)| = М > 0. (1)
Возьмем е > 0 произвольное, но меньшее, чем —. В силу непрерывности функции в
точке х — t для указанного е > 0 существует 6 > 0 такое, что
|<p(t)-<p(t4-A)| <е, (2)
как только |/i| < 6. Согласно условию, существует такое натуральное число к, что |^>(t 4-
1Т2) - </’(/ 4- ЬТ2)| < е, а тогда Vm G N имеем
|^(i + ткТ2) - V'(< 4- т^Тз)! < е. (3)
Из неравенств (2), (3) и периодичности функций <р и V' следует неравенство
1^(0 - V>(/)| = |^(t) - ¥>(t 4- тпН2) + p(l 4- inkT2) - 4- mkT2)| $
|<p(t) - p(t + mkT2)| 4- k(t + mkT2) - ^(t + miT2)| =
— |vs(t) — 4- mkT2 — nT4)| 4- |^>(t 4- mkT2) — ^>(t 4- n»lTj)| < e 4- e = 2e, (4)
если только
IrnfcTz — nTi | < 6. (5)
Но мы выбрали такое число с, что 2е < М. Таким образом, неравенство (4) противоречит
равенству (1). Источник противоречия — в предположении существования точки х = t, в
которой |^(t) — V'(OI = А/ > 0. Следовательно, такой точки не существует, т. е. у>(х) = ^{х),
—оо < х < 4-ос.
Остается показать, что при произвольных заданных числах Ti, кТ2 и 6 существуют целые
числа гп > 0 и м, удовлетворяющие неравенству (5).
Если Т2 и Т-! — рациональные, то это очевидно.
104
Гл. 1. Введение в анализ
Пусть Tj и Т\ — иррациональные. Если обозначим ер-1 = I, у- = а, то неравенство (5)
запишем в виде
|mf — п| < о. (6)
Для доказательства последнего неравенства разобьем интервал [0, 1] на [^-] + 1 равных
частей ([а] — целая часть числа а) длиной -p-j—, причем, к каждому из частичных интер-
валов условимся приписывать его левый конец и не приписывать правый.
Рассмотрим множество чисел
0. I - В, 21 - [21], 31 - [31], ..., ( [ 1] + 1) / - [([1] + 1) <] , (7)
каждое из которых принадлежит одному из построенных ками частичных интервалов. По-
скольку частичных интервалов [£•] -I- 1, а чисел (7) имеется [Е] -4-2, то существует хотя бы
один интервал, содержащий два числа
Pl - (рЛ и ql - [qi], р < q, (8)
множества (7). Но так как длина интервала равна -р-у—, то разность между числами (8)
меньше этой длины, т. е.
- [?П - pl + [рП| = |(д - Р)1 - ([?П - [р*])|
Обозначая q — р = m (тп > 0), [qi] — [pi] = п и подставляя вместо I и а их значения, получаем
I kT2
|m
или IrniTi - ti7\ | < 6. ►
267. Доказать равенство arcsin x + arccosx =
< Имеем
< arcsin x + arccos x $
Поскольку sin(arcsin x-f-arccos x) = 1, to arcsin x+arccosx = ^ + 2k*. Отсюда и из предыдущего
неравенства заключаем, что к = 0. ►
268. Доказать формулу сложения арктангенсов:
arctg х + arctg у = arctg У + ел,
где s принимает одно из трех значений 0, 1, —1.
4 Имеем
tg( arctg х + arctgp) = * + У , tg ( arctg * + У ) = -+ У-,
1 - ху \ I- ху / 1 - ху
поэтому
arctgx + arctg у = arctg + «т, (1)
где е е Z. Поскольку [arctg х + arctg =Jarctg Й^+е*-| < г, a |irctg]5j| < то
е может принимать только три значения: 0,1, —1. Вычисляя косинусы от левой и правой
частей равенства (1), получаем
1-»У _ у/(1+ **)(! + »’) 1 — ху _ ( 1, если ху < 1,
У(1 + х’)(1 + 9=) ' ~ ll-lsl “ t -7. «ЛЧ>1
$ 8. Непрерывность фувкцвй
105
Следовательно, функция (г, у) н-ь е(х, у) терпит разрыв, если у в i, где X — любое
фиксированное нисло. Заметим, что если ху < 1, то е = 0, а при zy > 1 е — ±1 (таж хак €
может принимать только три значения 0, 1, — 1).
Пусть ху > 1 и х > 0. Тогда у > 0 и
arctg х > 0, arctg у > 0, a arctg —— < 0.
1-ху
В равенстве (1) слева стоит непрерывная положительная функция, следовательно, и справа
должна стоять положительная функция, а поэтому ет > 0, т.'е. е = ' '
Аналогично, если гу >0 и z < 0(у < 0), то £ = -1. ►
269. Исследовать на непрерывность вектор-функцию
_, . ( sin х ех — 1 1 — сое х \
f’ — ——) **°-
Г(0) = (1, 1, 0).
Ч Функция f при х 0 непрерывна, поскольку ее координаты непрерывны при этих
значениях аргумента. Далее,
lim f(x) = lim 8*П X, lim 1, lim — — = (1, 1, 0),
I—0 \i — 0 X x—0 X 0 X /
поэтому функция x ь- f(z) непрерывная при x = 0. ►
270. Исследовать на непрерывность функциональную матрицу
,et
◄ Функциональная матрица непрерывна на R, так как все ее элементы непрерывные на
R функции. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на непрерывность следующие функции:
133. /(х) = arcsin х, |х| 1. 134. /(г) = arccos х, |х| 1.
135. f(x) = arctgx, х 6 R. 136. /(х) s= arcctgx, х € R.
137. f(x) = х 0, /(0) = 1. 138. /(х) - tn(^1+r\ х > -1, X # 0, /(0) = 0.
139. f(x) - arctg х^^+кх, f (f + кт) = 0, к € Z.
140. /(x) — sin x arcsin x у + ктг, f (+ кт) =0, к € Z.
141 ix|’ ix|>1: 142 f(x\ - I sina:’
141. /(x)- 142. /(x)-^Oj xgR\q.
143. f(x) = (-])[~4Г-](sin x + cosx)+ 25/2 , x € R.
144. f(x) = arctg + у sgnz, x? 0, /(0) = 0.
145. Дх) = — Hl + ] 4. jL 4. ... 4. jAy, x 1. 146. /(x) = [x]lnx — ln([x]l), x 1.
147. f(x) = -x [^] + 1 + A. + .. + x e ]0, 1].
148. /(z) = * W1
iso. = 1
'Ir\q. 14»-/(*) = №"’». «««•
x < 0.
Определить точки разрыва и исследовать их характер:
152. /(х) = sin х^0. /(0) = 0.
153. / (х) = aictg + тг [“^ , x# у + пт, f (j + птг) = 0, n g Z.
154. f(x) = arctg + т _ х + 1)тг, /((2n + l)ff) = 0, п е Z.
106
Гл. 1. Введение в анализ
155. f{z) = arctg х / ±1, Д±1) = |.
156- 1 # I +l’. f (7 +- »
157. /(г) = tgz, х # у + кт, f (| + кт) =0, к € Z.
158. f(x) — arcsin (sin z) arctg ® Ф «», /(«*) = 1, n € Z.
159. /(z) = In arcctg x / 0. /(0) = 0. 160. f(x) ~ tg z # 0, /(0) = 0.
Исследовать на непрерывность вектор-функции:
161. f(r) = (cos г, sin х, 1), г S R.
162 «»)=! .......*7».
w [ (1, 0, ..., 0), z=0.
163. f(,) = ( (=^. и. <»*). *#».
' ’ V (1, о, 1) 1 = 0.
164. f(«) = , .... , «ш г е )—1, +М\(0) и Г(0) =
(72, 272, ..., m \/2).
165. f(z) = ^(1 + х)х , (1 + 2х)*, . .. (1 + mi)i j , если х € ]-1, +оо[\{0} И f(0) =
(е, г2, ..., е-).
Исследовать на непрерывность функциональные матрицы:
166. A(z)=( 1 * Y»€R.
167. A(z) = () , х eR, » = ITm, j =
168. A(z) = (aij(z)), где ао(х) = (l+«r)®, » = l,m, j = 1, n, x € ]—1, co[\(0) и
A(0) = £.
169. A(z) = (ai,(z))t где atJ(z) = ^1+ ’2 , x Q и A(Q) = E.
170.
§ 9. Равномерная непрерывность функций
9.1. Определенпе равномерной непрерывности.
Определение. Функция f : X —» R называется равиомерно-непрерыеноб на множе-
стве X, если
Ve > 0 9 J > 0 : Ух, у е X Л |х - У| < S => |/(z) - /(у}| < е.
Если функция f не является равномерно-непрерывной, то это означает следующее:
Зе > 0 ¥Й > 0 : 3х, у е X Л - у| < 6 |/(z) - /(у)| е.
9.2. Теорема Кантора.
Теорема. Если функция f : (a, i] —» R непрерывно на сегменте [а, Ь], то она равномерно-
непрерывна на этом сегменте.
271. Показать, что функция /(т) = —, х € ]0, 1[, непрерывна на интервале ]0, 1[, но ие
является равномерно-непрерывной на этом интервале.
Ч Функция у непрерывна, как всякая элементарная функция. Покажем, что ока не явля-
ется равномерно-непрерывной на интервале ]0, 1[.
S 9. Равяомервая недрерывдость функции ЮТ
Пусть х„ - уп = , n е N. Тогда
= (,. + !)(,.+ 1+.) ° п<мп-°о' . . /
т. е. разность |гп — Уп| может быть меньше любого наперед заданного положительного чмрла.
Однако |/(zn) — /(уп)| = |n +1 — п — 1— г| = в Ve > 0. Следовательно, функция f не является
равномерно-непрерывной на интервале ]0, 1[.‘ ►
2Т2. Показать, что функция /(я) = sin — непрерывна и ограничена на интервале ]0,1[,
но не является равномерно-непрерывной на этом интервале.
Ч Ограниченность функции f очевидна, а непрерывность следует из того, что функции
у н-» sin у, у ё R, т >-• I G ]0, 1 [, непрерывны, а поэтому их композиция также непрерывна.
Пусть »„ = У» = пен. Тогда |i„ - 9„| = , — 0 при п —* оо,
в то время как j/(zn) — f(yn)| = 1 > е Ve € ]0, 3]. Следовательно, функция f не является
равномерно-непрерывной на ]0, 1[. ►
273. Показать, что функция /(z) = sin z2 непрерывна и ограничена на числовой прямой
R, но не является равномерно-непрерывной на этой прямой.
4 Ограниченность и непрерывность очевидны, а равномерная непрерывность отсутствует,
так как
-/(Уп)! = 1 > с v«€]0, 1], Vzn = и yn = y^nir + у, n€N,
несмотря на то, что
|*п - Уп| = к/мт — л/мя 4* Т = —-----------2 , -» О
I V 2i |
при п — оо. ►
274. Доказать, что если функция f определена и непрерывна в области а х < 4-сс,-н
существует конечный предел liin /(г), то f равномерно-непрерывна в этой области.
Из существования предела следует, что
tfe > О ЭЕ > а : Vz, у G ]Е, +<х>[ => | f(x) - f (у)| < €. (1)
Фиксируем такое Е > 0 и рассмотрим сегмент [а, 2Е]. Согласно Теореме Кантора, функция f
равномерно-непрерывна на [а, 2Е\, т. е. Vc > 0, в частности, ДЛЯ s, указанного ранее, Эй > О
такое, что Vz, у € [я, 2JE7] Л |i — у\ < 6 |/(я) — /(у)1 < «• Не ограничивая общности, считаем,
что 6 < Е. Тогда из условия [г — у| < 6 следует, что оба числа х и у большие Е или оба
меньшие 2Е- В том и другом случае для любых х и у, больших а, из условия jz —у| < й следует
неравенство |/(z) — /(у)| < е, что устанавливает равномерную непрерывность функции f иа
[а, 4-со[. >
275. Показать, что неограниченная функция /(z) = х 4-sinz равномерно-непрерывна
на всей числовой прямой R.
Ч Для произвольного £ > 0 имеем
|f(z) ~ /(у) I = |т - у - (sin х - sin у)| ]z - у| 4- | sin х - sin у| =
= |х — у| + 2 |sin —-^cos С |z- у| 4-2 = 2|z - у| < е
для всех х и у, удовлетворяющих неравенству |х — у| < | = й. ►
276. Являются ли равномерно-непрерывными функции:
а) /(х) = Л г е ]-1, 1[, б) fM = х2. x s В?
Ч а) Пусть г > 0 произвольно задано. Тогда
|/(r) - f(y)| = |г2 - у2| = |z + у| |z - у| (|z|4- |у|)|я -у| < 2/|z - у| < е
при Vr, у € ]—I, /[Л |z — у| < = й, т. е. / — равномерно-непрерывна на ] — I, /[.
б) Функция f не является равномерно-непрерывной, так как прн хп = п 4- —, у„ = п,
п G N, имеем |z„ — у„| = ► 0 при п —• оо, a |/(zn) — /(уп)| = 2 4* > 2 е Ve € ]0, 2]. ►
108
Гл. 1. Введение в анализ
Исследовать на равномерную непрерывность следующие функции:
277. = *e[-i, 1).
Ч Функция непрерывна на [—1, 1], а поэтому по теореме Кантора и равномерно-непре-
рывна. ►
278. /(х) = la I, I е ]о, 1[.
Ч Равномерная непрерывность отсутствует, так как если хп = е-”, уп = e-n~1, п £ J4, то
|хп - Уп| = — 0 при н -» оо, а |/(хп) -/(Уп)| = 1 > е tfe € р, 1]. ►
279. /(х)=“^, х е ]о, %[.
х
Ч Рассмотрим функцию /’(х) = /(х) при х € ]0, т[, F(0) = 1, Е(тг) = 0. Поскольку функ-
ция F непрерывна на сегменте [0, 1], то, по теореме Кантора, она и равномерно-непрерывна
на этом сегменте, а следовательно, и на интервале ]0, ir[. ►
280. /(х) = е* cos —, х € )0, 1[.
Ч Положим zn = » € N. Тогда Jxn - - ^(2^+Т> ° п₽и n 031
однако
|/(xn) - /(Уп)| = 4- e(2n+1)’ >2 Vn € N.
Следовательно, функция не является равномерно-непрерывной. ►
281. /(х) = arctgг, х е R-
Ч Равномерная непрерывность следует из того, что (см. пример 268)
I , X — И 1 X — и | , ,
larctgx - arctg у | = arctg 1 + < I* ~ У1 < «
при |x — y| < 6 — e. ►
282. /(x) = xsin x, 0 Sj X < 4-co.
Ч Пусть xn = их, y„ ж «т + n e ft, тогда |xn - y„| = ^ — О при n — co ,
a l/(xn) - f(y»)| = (ntr + i) Jsin (ntr-f. = (rnr 4- t) sin 1 = (r 4- ^2- — т при
n —» co. Следовательно, |/(xn) — /(yn)( > f Vn > m, и функция не является равномерно-
непрерывной. ►
283. Для е > 0 найти 6 > 0 (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной
непрерывности для функции f, если:
а) /(х) = х2 —2х — 1, — 2 < х < 5; б) /(х) = л/х, 0 < х < 4-со.
Ч а) Имеем
!/(*) ~ /(»)! - |х2 - 2х - 1 - у2 4- 2у 4-1| = |х2 - у2 - 2 (х - у)[
|х 4- у| |х - у| 4- 2 |х - У|< (|х| 4- |jf| 4- 2)(х - у| 12 |х - у| < е,
если |х - у| < = 6.
б) Пусть е > 0 — произвольное. Если числа х и у такие, что
О О <еп, О О< U)
то 0 у/х < £, 0 tfy < г и |х — у| < еп = 6. Отсюда следует, что |/(х) — /(У)| =
| у/х ~ tfy\ < с при |х — у| < еп = 6. Если же (t) не выполняется, т. е. хотя бы одно из чисел
х или у не меньше еп, то
у/хп~^ + хп~2у + ^хп"’3у2 + ... 4- у/у^ > сл 1.
Тогда
1Л«)- = =
при |х — у| < еп = S.
§ 9. Равномерная непрерывность функций
109
284. Доказать, hi о сумма и произведение конечного числа равномерно-непрерывных на
интервале ]u, 6[ функций равномерно-непрерывны на этом интервале.
Ч Достаточно рассмотреть случай двух равномерно-непрерывных на ]а, Ь[ функций f и
д. Согласно условию,
W > 0 361 > 0 : Vi, у £ ]а, 6[Л |е - < Й1 => |/(х) — /(у)| < |. (.1)
Ve > О 3 62 > 0 : Vx, у € ]а, 6[Л. |к - у| < fe => |f(l)T f(y)| < (2)
Если |1 — i/| < 6, 6 = inin{6i, 62}, то будут выполняться оба неравенства (1) и (2). Тогда
непрерывность суммы следует из неравенства
|f(®) + ff(x) - f(y) - sr(»)| |f(x) - T(i/)| + |л(х) - ff(y)| < | | = e,
справедливого Vr, у €]u, i[, если |x — y| < 6.
Равномерная непрерывность произведения вытекает из того, что
И(^)з(г) - f(y>9(9)| = l/Wst1) - - №)9(!»)|
lf(z)| 19(^) - 9(9)1 + |9(У)| |Д*) “ Яу)| < Ц + -^1’
если |х — у| < 6. т £ ]ci, &[ 9 € ]а, 6[, где L = sup [/(х)|, М = sup |р(х)|. ►
т€]а,Ь[ ж£}а, X
285. Доказать, что если ограниченная монотонная функция / : ]а, 6[—► R непрерывна
на конечном или бесконечном интервале ]ег, 6[, то эта функция равномерно-непрерывна на
интервале ]д, 6[
Ч Из условия следует, что существуют конечные пределы
/(а 4-0) = lim /(г), /(6 — 0)= lim /(х).
1 —а+0 х—.Ь—О
ЕсЛи а и 6 — конечны, то, полагая /(а) = f(a + 0), /(6) = /(6 — 0), получаем непрерывную
функцию f на сегменте [а, 6] которая, в силу теоремы Кантора, равномерно—непрерывна на
[а 6].
Если одно из чисел я, 6 или оба эти числа равны —оо, соответственно +сс, то рассуждая,
как и при решении примера 274, снова убеждаемся, что функция f равномерно-непрерыв-
на. ►
286. Модулем непрерывности функции f :]а, б[—» R называется функция
где w/(6) = sup |/(j ) — f (у)|. X и у — любые точки из ]а, Ь[, связанные условием |х — у| ^6.
Доказать, что для равномерной непрерывности функции / на ]а, 6[ необходимо и доста-
точно. чтобы lim u)/(6) = 0.
Необходимость. Пусть ^km w/(6) = 0. Тогда
Ve>03<5;>0 Vx, у 6 ]а, 6[ Л V6 < 6j ^/(6) < е.
Так как ш/(6)= чир |/(т)-/(у)|, то
х ч ер* ь[
I/O) — f (9)1 <( Vx, у е ]«, 6[Л |х-у| <
т. е. функция / равномерно-непрерывна на ]а, 6[.
Достаточность. Пусть f — равномерно-непрерывна на ]а, Ь{, тогда
Vs > 0 36 > 0 : Vr, у 6 ]а, i[A [х - у| < 6 => [/(г) - f(j|)| < |
Но тогда при гсх же условиях относительно х и у имеем
w/(6)= sup |f(x) - f(y) < e,
t.c. Шпо^(6)=9. ►
110
Гл. 1. Введение в анализ
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на равномерную непрерывность следующие функции:
171. f(x) = т/х* + 1, я € R. 172. /(х) = V^In х, 1 х < 4-со.
173. f(xj = х/х?1п х, 0 < х < 1. 174. Дх) = у/х, 0 < х < -4-со.
175. f(х) = 0 < х < +оо. 176. f(x} = -1 < х < 0
177. /(г) = х € R. 178. /(х) = x + lnx, 1 < х < +оо.
179. /(х) = х In х, х € ]0, 1[. 180. /(х) = е-1 , х € R.
181. /(х) = х € R. 182. /(») = х21пх, х > 1.
183. /(х) = xcos х, х € R- 184. /(х) = х2 cos х, х € [0, т].
185. /(х) = х3 + х2 + 1, х € R.
Глава 2
Ill
Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
§1. Производная явной функции
1.1. Основные определения.
Определение 1. Пусть дана функция f :]а, Ь[-* R. Разность Дх = х — хо (х. ю € ]а, Ь[)
называется приращением аргумента в точке хо.
Определение 2. Разность Д/(хо) = /(хо + Дх) — /(хо) называется приращением
значений функции f в точке хо.
Определение 3. Если существует предел (конечный или бесконечный)
то он называется производной (конечной или бесконечной) функции f в точке хо.
Определение 4. Пределы (конечные или бесконечные)
f’-(xa)= lim ^-^1, /+(хо)= Кт
Дг —-О Дх TV As—+0 Дх
называются соответственно левой и правой производными функции f (конечной или бес-
конечной) в точке xq.
Во всех этих определениях бесконечный предел понимается как один из символов 4-ос
или —со.
Определение б. Если функция f терпит разрыв первого рода в точке хв, то выраже-
ния
/!(.<, — о) — ь„ /;(х. + о)= 1Ы. + -/(»» + »)
As---О Дх ' ' Дх—+0 Дх
называются соответственно левой :< правой в рас шире нн ом смысле производными фук»
ции f в точке хо •
Необходимо помнить, что во всех этих определениях приращение Дх стремится к нулю
произвольно.
Приращения Дх и Д/(хо) могут быть как сколько угодно большими, так и сколько угодно
малыми.
1.2. Правила вычисления производных.
Если функции f и у имеют конечные производные при х € ]а, Ь[, то
1) (oj / + ст? у) = «1/ + О2<7, «1, «2 — постоянные;
- 2) (f9y = fs' + f's. 3)(2)'=2^г2, s(»)/0.
1.3. Производная сложной функции.
Если функции f . и и-» /(u), : х >—* и = i^(r) имеют конечные производные fi и >р'г,
то (/(^(х)))^ = Значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется
производная.
112
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.4. Таблица производных.
Если х — независимая переменная, то справедливы формулы:
ч (х”)' = «х“ *, (у^)' = 2) (а1)' — ах In а, а > 0,
з) (sin х)' = cost; 4) (cos х)' = — sin г;
Ч (45*)' = ч
Ч (arctg х)' = S) (arcctgx)’ = -7777 ;
9) (arcsin х)' = з; 10) (arccosx)' . 1 :
14 Оов.')' = ;1Ь, « > 0, « 1, (1д »)' = Ь 12) (sh 1)' = ch г;
13) (ей х)' := sh х; И) (tha!)'=afc;
1S) (cthx)' = -^; 16) (“sh=
11) (arthx)' = |х| < 1; 1») (|x|)' = sgn x. 1^0;
19) ([х])' = 0, х к, к ё Z.
1.5. Производная степенно—показательной функции.
Если функции u : г »— и(х) и v и н» d(x) имеют конечные производные, то
((«(*))"W)' “ (,»'(»)1п«(х)+ , „(I) > о.
\ “l1? /
1.6. Производная от Виктор—функции и матричной функции.
Если компоненты вектор-функцин f : х •—» (/:(х), /з(х)./п(х)) имеют конечные про-
изводные, то
ГЧ *«(/.'(') ^(т), Л(г)).
Аналогично, если элементы матричной функции А : х >-> (*>о (® )), гДе (®»j (я)) — функциональ-
ная матрица порядка m х », имеют конечные производные а;,(х), то производная матричной
функции вычисляется по формуле
1.7. Процэводная от комплексной функции скалярного аргумента.
Если w : х «(х) 4- »«(х) и функции u : х ь-» ц(х), е : х >-» г>(х) имеют конечные
производные, то производная функции w вычисляется по формуле
w' = и' +
1. Определить максимальное приращение Дх аргумента х и соответствующее прираще-
ний Д/(хо) функции f : х >-* 1g х в точке х0 = 1, если х изменяется от I до 1000.
4 Используя определения 1 и 2, п. 1.1, имеем
Дх = 1000 - 1 = 999, Д/(хо) = 1g 1000 - 1g 1 = 3. ►
2. Определить максимальное по абсолютной величине приращение Дх аргумента х и со-
ответствующее приращение Д/(хо) функции i в точке хо = @,1, если х изменяется
от 0,01 до 0,001.
Ч Аналогично предыдущему находим
Д, = 0,001 - 0,01 = -0,009, а/(«) = = 99 . ю‘. ►
Примеры 1 в 2 показывают, что приращения Дх в Д/(хо) могут принимать какие угодно значе-
ния.
4'Ь ИрОВПОДПЯ ЯВМОЙ;ф9ШДВ*'-1М> г'-!' -.. ИЗ
3. Переменная х получает приращение Дх в течке хо, тле>1'Дв хо.:(Определить
приращение Д/(хо), если:
a) f(l)= (», sini, £*); 6) /(«)= + •) /(«).= ,{*, Y » 6 N-
4 Согласно определению 2, п. -1.1, имеем:
а) ДГ (io) = f (х) — Г(хо) = (х — хо, sin z — sin iq, в* — е*°) ss
= (дх, 2 «in cos (и+^), е’"(еЛ*-1)];
в) Д/(х.) = /(х) - /(«.) = - 2^ + < (jYj - ГУ =
(2 + х0)(2 + х0 + Дх) + ’ (4 — Хо)(4 — хо — Дх) ’ Х° 4’ 4 Х°’
. . / х" Inx'N / Хо 1пх<Д / х" - х? In
>) w«)=^hI , , ; = (.hI_.h.o =
= ( (х« + Дх)"-.; щ(1 + ^)\ *
\ 26h^ch(x» + ^) 0 )
4. Найти /'(l), если:
a) f(x) — (х — 1) arcsin у—5-у; б) f (х) = (arctg х, 2х, 1л х);
/ -2- * х2
в) fix) = cosx + ssinfx — 1); г) f(x) ~ 1+г . .
' ' ' ” ' ' \ tgr arcsin (х
•4 Используя определение 3, п. 1.1, получаем:
х sin х, V’(x), е
5. Доказать, что вектор-функция
f : х ь-
,, , I х sin -, х 0. „ .
где у(х) = < -г’ х Q 11е имеет производной в точке х = 0.
4 Для того чтобы вектор-функция имела конечную производную, необходимо и доста-
точно, чтобы каждая компонента ее имела конечную производную. Покажем, что функция
не имеет производной в точке х = 0.
По определению 3, п. 11, имеем
m’(0) = lim sin---.
Дг-0 Дх
Если взять Дх = » 0, к —» оо, к £ N, то sin = sin2A'x = 0. Если же Дх = 2А„Д , то
при к —• оо sin — —» 1. Таким образом, производная V’z(^) не существует. ►
114 Гл. 2. Дифференциально^ исяяследир функций одной переменкой
Найти производные следующих функций:
6. f(x) — \/2 + х2 \/з 4- я3, sin(cos2(sin3 4z5)), е-1х
Ч Каждая компонента вектор-функции имеет конечную производную, поэтому, согласно
пункту 1.6, находим
\/2 4- х2 \/з 4- х3, (sin (cos2(sin3 4х5))У , 4* J =
= (тНг?Уз + *1 + -с“ (“sI<si"34lI>)
f'(x) =
х sin(2sin3 4х5) • 60 sin2 4x5 • cos4x5 • x4, -12x2e'
7. f(z} = shi(cos x) + »cos(sin x).
Ч Согласно пункту 1.7, имеем
/'(x) = (sin (cos х))' 4- »(cos(sin x))' = — sin x cos(cos x) — «cos r sin (sin x). >
a , ( sin 2x cos2x
8-Лг)=(Л31 ch 3т
Ч Пользуясь пунктом 1.6, находим
f'/., _ ( (sin «*)' (С“ 2l)' A _
’ ’ ' “ ( 1ЧИ (ch 3г)' J ~
9. Найти производную от вектор-функции
f :if-> f arcsin [i]sina xx
2cos2z -2sin2x
3 ch 3x 3 sh 3‘x
Ч При |x| > 1 и x к, к € Z,
f'(x)= ^arcsin jijJ , ((x]sin2xx)'
([r])'sin2 rx 4- jr[i]sin 2xr
t[x] sin 2irx
При |x| > 1 и x = к, k € 2, рассматриваем левую и правую производные функции
у : х •—► [x]sin2 тх. Имеем, по определению 4, п. 1.1,
’ хм г [x]sina»T fit 4- Л1г3Л2
у±(к)~ Inn ——- = lim 1 ' ,J--=0.
’ x~-k±o i—к а->±о Л
Поскольку у'(к) == н[Л] sin 2trk = 0, то j'(x) = т[х] sin 2<гх при всех х. Следовательно,
т(х!вш2тх I ,
10. Найти производную от матричной функции
где
/ ац(«) «и(»)
в21(х) ' 022(1)
„ _ / arctg® при |х| 5$ 1,
11 1 7sgn*+27^ при}г|>1,
( ; при |х| > 1
; яаяой gjtatipnt'''
И Сначала вычисляем производные от элементов данной матрицы- При |я| 1 и я О
имеем
<.w= ""“I1!:;;'
I 5 при |ж| > 1,
... -Литф =SgBI. .
Далее ищем односторонние производные функций а.Дя) в точках х = 1, х = -1 и я = 0:
arctg (-1 + Л) + £
lim '-------—----------—
a'ii+(-l) =
, . .. fsgn (-1 + Л) + |(~1 +Л г- 1) + т
1-1’ - Л“« -------------Чг----------------- = +оо;
«!„(!) = к,„ 7 .^.^(1+*-!)-?
* л—+о h
, arctg (1 +Л) —J 1 , 1 — 1
вп_(1) = lim ---------------------- 012-(-1) = lim = 0;
Л—• —О В i h—-C В
f-1 + Л)2е-(~1+Л>3 — 1 1 1
«;а+(-1) = Ь»о 5-----------------------г. _ _hKm 1((1 -24 + Л»)(1 + 2Л- Л2 + о(Ь“)) - 1) = 0.
Аналогично находим = 0, aj2±(0) — ±1. Таким образом, окончательно получаем
/'(*)
при 0 < |я| < 1,
при |я| > 1;
;). А(о)=(; л,), л(-ч=(’ д).
Поскольку а'ц_ (—1) = -f-oo, то конечной производной матричная функция в точке х = — 1 не
имеет. В точке я = 1 выполняется равенство /4(1) = /1(1), поэтому /'(1) = /4(1) = /1(1).
В точке х = 0 односторонние производные, хотя и существуют, но не равны между собой,
поэтому /'(0) не существует. ►
11. Доказать, что если функции at; = at}(x), i, j = 1, », имеют конечные производные,
то производную от определителя D (я) = det (а^(я)) можно найти по одной из формул:
л'и = an(x) «21(х) U12(x) - «22 (Я) • «1п(») «2„(«)
«П1(») an2(x) • апп(х)
D'(i) = «11(1) «21(1) «12(Х) «22(я) • «1п(х) • «2л(я)
ani(z) «П2(Х) - «пп(я)
Ч Поскольку по определению определителя
=Ё
= Ё
«U (я) »12(х) ain(z)
<2(1) ...
ani(я) an2(z) ••• <lnn(l)
“11(») ... «'nt») ... «in w
«21(Я) ... aifc(x) «2n w
«п1(х) • • • ®nn (z)
(I)
(Ч
an(x) «12(1) .. «ln(x)
«21(«) «22(1) • «2n(z)
«..(I) On2(z) «nn(x)
116
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
где з — число инверсий в перестановке [»1, , in], то
= ( 52(“])
= + У^(-l)ea.1iaja2 ... a,nn + + ^(-IJ’an>а.,2 • =
т. е. получаем формулу (2).
Аналогично, исходя из представления
получаем формулу (1). ►
Приведем примеры вычисления производной функции в точке и ее окрестности.
12. Показать, что функция
х # О,
1 = 0,
имеет разрывную производную.
М При х 0 элементы данной матрицы имеют конечные производные, которые вычисля-
ются по правилам пунктов 1-2 и 1.3. Поэтому по правилам пункта 1.6 при т 0
,, / 2т sin - — cos - 1 \
f : х н- 1 1 2 .
0 2хех J
В точке х — 0 по определению 3, п. 1.1, имеем
' 1 ’ ft2 sin —
1 ац(0) =-Б1п'---— = 0, а!3(0) — 1, а21(0) = 0,
а2з(0) — 0,
а1г(х) = г, a2j(z)=0, 022(1) = е*2.
Таким образом,
Исследуем теперь на непрерывность матричную функцию <р. При х 0 элементы ее —
Элементарные функции, поэтому по известной теореме функция р непрерывна при х / 0.
ДаЗЙге, рассматриваем
(2т sin ~ — cos
s
0
1
2хе*2
Поскольку
lim (2х sin---cos —
т—о \ х х.
j 1. Производная явной функции
не существует, то lim y>(x) также не существует. Следовательно, функция <р разрывна в точке
т = Q. ►
13. При каком условии функция
f : х >-+ |a:|"sin z ± 0, и f(0)=O, w > 0,
имеет: а) ограниченную производную в окрестности начала координат; б) неограниченную
производную в этой окрестности?
Ч а) При z 0 производная находится по правилу 2), п. 1.2:
f х •- «кГ-1 sgn т sin sgn г • cos (a)
При x s= 0 функция x sin производной не имеет, поэтому указанное выше правило
применить нельзя. Использовав определение 3, п. 1.1, находим, что
|A]n sin 777^7 / 1 \
=к, —ь—=а вб“4)
существует только при n > 1 и равна нулю. Следовательно, производная существует в окрест-
ности начала координат при п > 1. Очевидно, она ограничена при п — т — 1 0, т. е. при
п 1 + т.
б) Как видим по (а), производная будет неограниченной, если n — 1 < 0 или n — т — 1 <0,
откуда п < 1 или п < 1 -f- т, т. е. достаточно, чтобы выполнялось неравенство п < 1 + т.
С другой стороны, для существования f'(0) необходимо иметь п > 1. Таким образом, если
1 < п < тп, то f является неограниченной в рассматриваемой окрестности. ►
14. Показать, что функция
Ис“т|’ 1*0’
J ( о, X = О,
в любой окрестности начала координат имеет точки, в которых конечная производная не
существует, но имеет конечную производную в точке z = 0.
Ч Функция х х2 имеет производную всюду. Функция z w |cos j j имеет производную
всюду, за исключением точек х — 0 и х = x-k = , * 6 Z. Поэтому производную функции
f при х 0 и х Хк можно найти как производную от произведения г2 |cos ~ | - В точках же
х = 0 и х = ?к производную f вычисляем, используя определения 3 и 4, п. 1.1. Поскольку
^=/i|cos^|,to
/'(О) = lim Л |cos ^| = 0,
т. е. f имеет производную в точке х — 0. Далее,
- (йЬ? Йо Г Р + ^2k++^h - ?
= (И^ЙогМ2Т^7
(szt) = й. Ийтт+Л)3 |с“ 2 + (?Л’1)ь \ =
(2* + 1)}}| =
l)h 2 J| ± ’
ST. е. производная f'(xk) не существует. Поскольку Ve >0 Эк € Z : |xtj < е, то в любой
^-окрестности начала координат имеются точки, в которых производная не существует. ►
t 15. Показать, что функция
| г Г sin2 х, х £ Q,
I 1 ’ Х \ 0. x£R\Q,
HiMeei производную лишь в точках г/. — ктг. fccZ
118 Гл. 2. Дифференцнальиое исчисдадие фувкцяв одной переменной
В точках х хи функция f разрывна, поэтому не может иметь производной при х £ х*,'
Далее, в точках х = Хк по определению 3, п. 1.1, имеем
/'(«) = Ет /(*» + !)-/(*.) = /(.».+А).
' 7 h-.O h h — 0 h
Если Ik+KQ, TO f(xk + A) — sins(iA- + k) — sin2 k и lim — lim sin^ h = о. Если же
xi. + k £ R\Q, to f(xk + A) = О и lim = Q. Таких образом, Г(хк) = 0. ►
Для функции f найти левую /Д. и правую /+ производные, если:
16. f ; х н- I [z]sin ях, ——р I, х 0, и f (0) = (G, 0).
\ 1+еГ/
4 По определению 4, п. 1.1, : х н- (/(±(т), /з±(х))- Поскольку при г к, к € Z,
существует /{(х) = л[х]соатх, то /i+(x) = Д_(х) = x[x]coswx прн х к. Аналогично при
х / 0 /а(х) = —i-j- + , е\\*> поэтому /г+(х) = /г-(«) = /:(*) при х £ 0.
,+" Ч,+")
Далее вычисляем /1±(А) и /j±(0). Имеем
/;±(1)= к», АЙ + Д)-.Л(*)= Кт H)‘M,i,rt,
' ' л—±0 A t>-±t> А
откуда
/;*(*)=(-1)* **, fi-w = (-1» -1)4
/J±(0)= Пт = Цт -Ц,
Ь^*±0 А Л-*±9 . . — *
1 + еа
откуда
Л+Й = о, Л_(о) = 1.
Таким образом,
(1 е« I
я- [г] cos тх, —1—4-------j- I,
. I+«; (1+ap
если x jk к, к € Z, и
ад- ((-1)**», -А-+7-Л>,\ J.
\ i+'* (i+et) ’
ад= i),. _1т+ с\. ,1
V i+'E (i+J) >
если к 0. Если к = 0, то
• 4(о}=’<о, о>, f^0) = (-w, 1).».
17. / y/l-e-’3.
4 Функция <р : «I ,/о имеет конечную нроизводиую при а > 0-. Функция ф : х
а = 1 — е“* имеет производную при всех х. Поэтому, если х 0, то функция f имеет
производную и е? можно найти как производную от сложной функции. Итак, при х 0
имеем
, /'(«)= -/е~' ;
- $1.1>рмЮкодйЮ1>м>ойфуП№щп1>
В точке х » О находим /4(0) w /4(0): ' • . ‘
/1(0) = Km 1 х/1 - .-»• = Вт И Jlzii « ± и» /’ = ±1. ►
к-*±0 П Н—±О Л V Л* ‘к—±0 V Л2
18. Показать, что функция
'( kreiin *а 1 , _
•» • /:«>Ц — I’
X 0, ж = 0,
непрерывна в точке х = 0, но не имеет в этой точке ии левой, нм правой производной.
Ч Поскольку Bm^*re*^nh sinj^=O, /(0) = 0, то по определению непрерывности в точке
функция / непрерывна в нуле. Далее,
,-v .. /(h) —/(0) u arcsinh2 . 1
/*(0)» lim hm ----n----smr.
' a~±o h л—±o hs h
»rc«ia h3
Если h = и k —► ±oo, to ^lim • hi * sin = 0; если же h = ht = 5*^+^ и
, .. srctis h? i
к—» ±oo, то lim —л—-sidt- = 1.
k — i<K "*
Следовательно, односторонние производные не существуют. ►
19. Найти в расширенном смысле производные /4(хо) и /4(«о) в точках разрыва хо
функции /, если:
a) f : 1 >_ ; б) / : х «-* sgn (г - г3).
Ч а) го = 0 — точка разрыва первого рода. Сначала найдем /(±0). Имеем
Vh3 + h3
/(±0) =
lim
h—40
= ±1.
Далее, согласно определению 4, п. 1.1,
/4(0)= „Нт
lim
h — 40
ч/h2 + Л3 - |Л|
h2
.. VI + Л - 1 .. ч/ГТК-1 ,. h 1
= ши ------г—--= lim ----;--------- lim ттт = ±-.
h—ta |Д| л—40 h h-±0 |h| 2
6) x1 = 0, 12,3 = ±1 — точки разрыва. Находим:
/(±0) = ^lim^sgn h(l — h2) = ±1,
Z(l±0) = „limo«g» ((l + h)(l-(l + h)s)) =T1,
) /(-l±0) = ^Umosgn ((-1 + Л)(1 - (-1 + t)3)) =^1.
Согласно определению 4, n. 1.1, получаем
! /;(0) = Um = ь, ±1T1 =
’ h-±0 h Л_*о h
^4(1) = li„, ^((l+b)(l~(l + *)2))±l = Em ,g.(-2t-3t3-t°)±l = Um = Oi
г h — ±0 h h—.±0 h h— ±0 h
/К-1) = „Вт ^((-1 + Ц(1-(-1 + Ь)3)) ±1 =
= Иш ,вп(-2/. + 3/.3-^)±1 = lim ±1±1 = „„
h —±0 tl h—±0 П
20. Может ли функция / в точке ее разрыва иметь конечную производную, бесконечную
роизводную?
120 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
4 Известно, что функция, имеющая конечную производную в некоторой точке, обязатель-
но непрерывна в ней. Следовательно, в точке разрыва конечной производной функция иметь
не может.
Что же касается бесконечной производной, то, как показывают примеры ответ положи-
телен.
Действительно, взяв f(x) — sgn х при х = О, имеем
/1(0) = lim k — - lim r = -f-oc, /+(0) = lim = Um p - +co. ►
4 h—о ft h—о A ' h—+o А Л —+o A
21. Можно ли утверждать, что сумма /*(г) = f(x) + д(х) не имеет производной в точке
х = до, если: а) функция / имеет производную в точке До, а функция д не имеет производной
в точке То; б) обе функции / и д не имеют производной в точке До?
Ч а) Исходя из определения 3, п. 1.1, имеем
Р’Ы = lim = lim ( . (1)
h-0 A Л —0 \ " “7
Пусть производная функции / в точке то существует, а производная функции д не су-
ществует. Тогда liin = /'(io). Um не существует. Следовательно, предел в (1),
как легко установить от противного, не существует, т. е. производная F;(ro) не существует.
б) В некоторых случаях производная /"'(до) может существовать несмотря на то, что обе
функции / н д ее не имеют. Например, если F(x) = V(T) + (»5(х) — tf'(z)). где Р имеет
производную в точке хо, а V не имеет. ►
22. Можно ли утверждать, что произведение F(x) = /(х)<?(х) не имеет производной в
точке х = до, если: а) функция / имеет производную в точке д0, а функция д не имеет;
б) обе функции / и д не имеют производной в точке до?
Ч а) Вообще говоря, нет. По определению 3, п. 1.1, имеем
F'(io) = Um +/(m + A) . (1)
Анализируя (1), приходим, в частности, к такому выводу. Если функция д определена при
|х — хо| < £ (6 > 0), /(ю) = 0, | At (Af = const), то F'(xo) существует. Например,
если /(д) = х, <?(х) = |д|, до = 0, то Е'(0) = 0-
б) Если пределы lim к lim не существуют но выполняются, например, усло-
а—о п а—о п
ВИЯ
s(IO)_0, /(«,) = »,
функции f и д непрерывны в точке r = zo,
то предел (1) существует. Это видно на примере функций / : х |х|, </ : х н--|х|. Обе функции
не имеют производных в точке г = 0, однако их произведение f(x)g(x) = х2, очевидно, имеет
производную, равную нулю. ►
23. Пусть / • £cR- R, где множество Е имеет предельную точку до € Е. Конечный
предел
Um = /-(и) (1)
«О X — Ха
<»€Я)
назовем производной функции f в точке х-о по множеству Е-
Найтн производную по множеству Е в точке до для функции /, если:
•)/(») = ! и» В = {»|» = 0,» = 1, ); б) /(!)={* иаВ = О.
Ч а) Множество Е имеет единственную предельную точку хо = 0. Используя формулу
(1), получаем
/в(ха) = lim ----— 0.
$ 1. Проиаводаая явкой функция 121
6) Любая точка из множества R является предельной для множества Q. Согласно (1),
рассматриваем только те предельные точки, которые принадлежат Q. Пусть хо € Q. Тогда
t, , . у(г)-/(х0) z’-z’ .
fs(xo) = lim —i— -----ьhm --------------= 2xo.^
»-*o x — Xo *-~eo x — xo
(®eO (*£Q)
24. Пусть a, b : R -• E", a = М*)1 • • • > Ь = (Ai(z), M*)> ••• > M*))>
x E ]c, d[. Компоненты a., b, имеют конечные производные на']с, d[. Показать, что скалярное
произведение (а, Ь) также имеет производную и ее можно найти по формуле
(а, Ь)' а (а', Ъ) + (а, Ь').
4 По определению 3, п, 1.1, имеем
(a, b)' = lim i((a(zo + A), b(z<> 4- А)) — (a(ro), Ь(хо))) =
= bm ((a(i0 + А) - a(zo), Ь(яо + А)) + (a(zo), b(r0 + h) - b(z0))) =
= ’ Ыло + А)) + (а(хо), = (а'(х0), b(zo)) + (a(z0), b'(*o))
При установлении этого результата мы воспользовались следующими утверждениями:
а) Производные а' и Ь' существуют, поскольку, по условию, существуют производные от
их компонент.
б) Скалярное произведение обладает свойством непрерывности, поэтому можно совершить
предельный переход под знаком скалярного произведения.
в) Скалярное произведение обладает однородностью, поэтому множитель А-1 можно вне-
сти под знак скалярного произведения.
г) Вектор-функция у непрерывна в точке то. ►
25. Пусть f :]а, А[—> Е, где Е — евклидово пространство. Примем, по определению, в
качестве производной функции f в точке то Е ]а. 6[ предел
f'(xo) = Jim^ “ (f (хо + Дх) - f (хо)) - (1)
Показать, что если А (а), У (г) — соответственно функциональная матрица и вектор-функция,
имеющие конечные производные на ]а, 6[. то производная А(г)у(х) вычисляется по формуле
(А(х| у(х))' = Л;(т)у(г) 4-Л(г)у'(х).
4 Используя определение (1). имеем
(Л(г)у(г))'| = lim | (A(i0 +/,) у (х0 + Л) - Л(хо) у(ю)), »о 6 ]«, »[ (2)
а—-о н
(Поскольку существуют производные А'(хо), y'(z'o), то существуют пределы lim А=
^A'(zo). hm АудД|)| = y'(zo), и из (2) предельным переходом находим
^(Д(т) у(х))'| = lim y(zo + А) + lim = А'(®о)У(®о) + Л(го)у'(хо)- ►
1а-х0 Л—0 h h—о h
26. Пусть А(т) — квадратная матрица, имеющая конечную производную и обратную
Матрицу А-1(х). Показать, что
4 Пользуясь определением (1) из примера 25, сначала устанавливаем, что для произведе-
ния матриц .4 В имеющих конечные производные, справедлива формула
(A(z) B(z))' = A'(i)B(z) + А (Е)В'(х'),
основании коюрой
(Л(!)Л-1 и)' = ЛЧГИ-'М + Л(Х} (Л-‘И)'
122 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Отсюда, в силу тождества A(r)A-1(x) = I (единичная матрица), следует
Л'(х)А"’(я) + А(®) (A"'1(z)) =0 (нуль-матрица).
Наконец, умножив слева обе части этого равенства на А-1(х), приходим к требуемой форму-
ле. ►
27. Пусть А(х) — матрица, имеющая конечную производную. Всегда ли справедлива
формула !
(A’‘(i))' = 7iAn_i(x)A'(x), п € N? (1)
Уже при п = 2 замечаем, что приведенная формула, вообще говоря, не выполняется.
В самом деле,
(.))' = (Л(«)Л(*))' = Л’(*И(«) +
Отсюда также видим, что формула (1) будет справедливой, если матрицы А(х) и А'(х) пе-
рестановочны. Оказывается, что и в общем случае перестановочность матриц А(х), А'(х)
является достаточным условием правильности формулы (1). В самом деле, поскольку в си-
ЛУ (1)
(Л"+'(«))' = (Л”(»)Л(»))' = (Э”(«))’Л(») + Л’(х)Л’(.) = ,М“-,(.)Л'(«)Л(») + Л”(»)Л'(») =
= пАп-1(х)Л(х)А'(х) + A’^xJA'f1) = (« + 1М" (х )А'(х),
то, в соответствии с методом математической индукции,- заключаем, что формула (1) спра-
ведлива V» € N. ►
28. Найти сумму I5 + 23 + З3 + ... + ц3,
4 Поскольку I3 + 23х + З3х2 + ... + и3хп-1 = (xQ»(x))', где
Л . . п2х"+2 - (2м2 + 2» — l)x"+l + (н + 1)гхп — х — 1
e-w=------------5--------(j-l)3 ----------’ 1/1
(см.: Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по математическому анализу. К., 197%. Ч. 1, с.
220), то
I3 +23 + З3 + ... к3 = lim (xQ„(x))' = lim Qn(x) + lirti Q„(x) =
. »*(« + l)(2» + l) , »»(»»2 -1)(3b + 2) »2(n + l)2 .
6 + 12 4 ’ k
29. Пусть
., , f sinwx coeu-x \
AW“( -ecu,. w = const.
Показать, что матрица A(r) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Л"(х) + и/3Л(х) = 0, Л"(х) = (Л'(х))'.
< Имеем
A'M=^(cqs“’ л"М = -^( “’“И
' ’ 1 вшшх CO8WX / ’ ' ’ .1 — COSU>X Sin wr j ‘
откуда и следует указанное уравнение. ►
т2А2 хпАп
30. Пусть Sn(x) = 7 + xA-i——I-.,. -|-j— ,. где А — постоянная матрица. Установить
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет 5п(х).
Ч Вычисляя производную, находим
.ед = л+1л34л»+...+^л".
Далее, умножая выражение для ,5н(и} на А к вычитая полученное из S^(x), имеем
S;,-A5„ + ~t”+1 «0.
п!
., С Ц. Лрржгаоддая «койфхдазда,,.133
Это и есть требуемое уравнений-(► .< ,
Упражценхя для самостоятельной работы
Найти производные следующих функций:
1' f 73?111 liiH- ^MCtgx-e(^-iP “ за(7*-п-
2. / :'r U 4a/v7T2 ~ 7 - 2y/5arctg v'***~l +1'.
6. / : z i— arctg i/сок2z — a/cos2i; 6. f : x i-* stn2(wcosaz) + cob3(«sin ax),
f ' h₽' SatSS- » f н-ucsin (c«w+™«)
10. f : x i—r sin(arcsin ax + arccosoz). 11. f : x i-* Asin"(^z4- y).
12- / : 1 •— - I3- f = x 14- ctg(a,tg(barctg (cz))).
is- f ® - (loSoA/gT)' 16- f : « - e-'a‘“<«>. IT. f -. x - x)).
IS. / : x - xtln x-f-(sin x)1. 20. /: I и. «<'"•>'.
Найти производные следующих вектор-функций:
21. f : х i— (arccos arcsin (sin x), sin a(z), cosv(z)).
22- f : z >— th u3(z), ch«4(z), sh u5(z)^ .
23. f : x i—• (2tr, 3t — x3, sin wt, cos we). '24. f : t >—► (eat cost, cat sin t, и (~) , u (sin t)) .
25. f •. s» (₽(y>) sin ip, p(p) cos ip, <p2 — xtp, p3 — x2p).
26. f :/>— (psin(p(p), pcos<p(p), <p2(p) - xp(j>), p3(/>2) - xM?2)) •
27. f : x >-» ^sin(e21), e3‘n x, ^(sin? z), y»(casa z)^
28. f:z i— (y«(z) + «(z), arctg .
29. f : z H-. (/, , /2 (a(z)«(z)), /3 (sin u (w(z)))} .
30. a) f : x 1—* /^(z), 1 f : ® •-‘ (j |/(г)|, n2sin z, x2 cosz).
31. На кривой найти точки, в которых касательная к ней коллинеарна указанному век-
тору, а кривая описывается следующим радиусом-вектором (в евклидовом конечномерном
пространстве Е}:
a) f : t (3cost, 4sint. 5t), 0 t < 2x, a = (0, 4, 5);
6) f : t 1- (t, t2, t3), 0 t 4, a = (2, 4, 6);
nJ f : t >— (e’, <?-t, sh t), — 00 < t < 4-00, a = (1, —1,0).
32. Найти величину скорости движения материальной точки по кривой, если радиус-
вектор ее имеет вид:
a] f (t) = (sin t. 3cost) в момент t = «; 6) f (t) = (sin t2, 3cost2) в момент t = y/v1,
в) f (t) = (sin j, cos 7,7) в момент t = 7
33. На данных траекториях найти точки покоя, если траектории описываются следующи-
ми вектор-функциями
a) f : t 1—• (sin(i2z), cos(ir), ch t); 6) f : 11— 4- (1 - z)t, 2t2 - xt + 1, у + x2t — 17tJ ;
! в) f : t i— (zt + it2 + 3t, 2xt + ;t2 - 4t 4- 3).
‘ 34- Показать, что траектории, которые описываются следующими вектор-функциями,
ортогональны:
a) fi : t >—f (isin t. tcos t, 1) и fi t t— (tcos t, — tan t, 2);
124 I л. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
«) С ‘ - (||/1(1)|. «“(*). «“(<)) « 6:1- (i -i, 1) «
35. Найти кинетическую энергию системы материальных точек с массами т*_, движу-
щихся по следующим траекториям:
a) f* : 11—► , sin cos (i = 1, n: шь = 1);
6) fjs : t >—t (arcsin (sin kt), arccos (cos kt)) (fc = 1, n; mk = kp).
36. Найти производные следующих комплекснозначных функций:
a) f : х i— х !п х + »е-3*; б) f : х н-• e’“'I(cos ах + «sin ах):
в) / : х I—cos2(r + lx3); г) f : х >—> 1п3(2х + »х2).
Найти производные следующих матричных функций:
Вычислить производные функций f по множеству, если;
43. f(x) = е* при х = п Е N.
44. f(x) = sin2x при х € Е, Е = {1, ... }.
45. /(х) = xln(l + х3) при х G Е, Е = {1, д/2, х^4, ... }.
46. /(я) = при х € Е, Е = Q.
47. Пусть а = а(х), b = Ь(х), с = с(т) — вектор-функции (а(х), Ь(т), с(х) (= £°),
имеющие конечные производные. Доказать, что:
а) [а(х), Ь(х)]' в (а'(х), Ь(х)] + [а(х), Ь'(х)];
б) (a(x)b(x)c(x))' = (a'(x)b(x)c(i)) + (a(x)b'(x)c(x)) + (a(x)b(x)c'(z)).
е3*
е41
е51
sin 2х sin Зх sin4x sin5x
sin3x sin 4x sin5x sin6x
sin4z sin 5x sinfix sinTx
49. Пусть Д(т), B(x) — функциональные матрицы, имеющие конечные производные.
Показать, что
(det (А(х)В(х)))' = (det А(х))' det B(s) + det A(r) (det В(х))'.
Найти производные функций f, если:
__ ,, . f sin2Tx, х € Q,
50. f(x) ~ | x € R№
51. a) fix) = inf {cos£}; 6) /(:) = sup {cosf}. 52. f(x) =cos • lira х2"1*1.
oc«x 7,-00
53. a) /(r) = ¥>(v>(x)); 6) /(x) = v>(^(x)); в) /(x) = V>(v>(x)); r) /(x) = ^(^(x)), где
V(^) = {
если |x| 1,
если |z| > 1,
*W = { i ’
если 0 x < -l-oo,
если - oo < x < 0.
§ 1. Производная явкой фуякцяи 125
54. f(x) = lim П ch F- бб- а) Л®) = ton £ In arctg
n~‘x>k=i »fc=i
б) /(х) - lim f[ (1+sin в) /(х) = ton £sin(~-+ ®а). ' ’ ’ " "
П-.0О fc=1 \ " / П-.СФ 'Ч ; ' . ।
Вычислить правую и левую производные следующих функций:
56. a) f : х и- (~), где ^(i) — расстояние до ближайшего целого числа;
б) f : х и-, min(tg х, 2 - 81п2т), -Z < '% < Z ; в) f : в »-* щах^’1"1*1, т’)' ' ‘ ,
57. f : х и- [т2]| sin rz2|. 58. a) f : х н-» -* х , х 1, /(1) = 1;
1-21=7
5) , х;21, /(1) = 0.
50. a) J : х Т5^~<;“"'д; 6> f: г ~ Пт е,*"“*.
{3
|sinffT|2, xgQ,
О, г € R\Q.
62. Найти fL(xo) и /+(хо) в точках разрыва хо функции /, если:
63. При каком условии функция
f . г ~ И2" [lafO] , xyto, и/(0) = 0
имеет конечную производную при х ~ 0? i
64. Пусть
Вывести рекуррентное соотношение для функций /*.
65. Найти числа Дини
gJ7W=~ii^~№*tl';!~'W, T>+fM = lim ЛМ-Ч-Л»)
а-±" h ’ ТГ=Ы h
для функций:
66. Найти iljot1)> если
ах sin2 - + bx cos2 х О,
г> г .
+ ‘W
к - 1, 19, £>о = 1, Pj - 2’
Указание. Функцию искать в виде
где А, л. b — функции, подлежащие определению.
Вычислить производные функций /, если:
С х. если 1x1 <1, rTi г.1 \
67. j : х >— < ;S 2 >i 58- / : г и- ([х] — (—lr ' cos irx) , x 0.
I т + з15*111- если И >1. J ’UJ ' ’ 1
69. f . . f + i (x - W- 1) (1 - 2 |ж - Ы- i|).
70. Доказав, что множество точек, где функция f имеет неравные правую и левую
производные, не более чем счетно.
71. Показать на примерах, что в общем случае
Д(го) 5^/'(хо+0) и /1(хо) 5^/'(хо - 0).
126 Гл. 2. Дифференциально® исчислйнмр фуияций одной переменной
72. Можно ли утверждать, что если f'(xo + 0) = f'(xo — 0), то функция / непрерывна в
точке хо?
73. Производная для последовательности (zn) определяется по формуле
. у— FJ
in = in+i - хп, п е п.
Найти:
а) (^пуп)'; б) (1п®„)'; в) (е1*)'; г) (*«' + &$-’# е} *, ж) Х2")':
з) (sinn2)'; и) (arctgn)'.
74. Написать уравнение касательной к кривой, радиус-вектор которой
a) f (t) = (sin t, cos t, 44), в точке M ;
6) f (t) = (ajctgt2, arcsin t, sb t, ch t), в точке Af(O, 0, 0, 1).
75. Написать уравнение нормальной плоскости к кривой, радиус-вектор которой
a) f (1) = (t, t2, t3), в точке М(1, 1, 1);
б) f (t) = In |f(t)|, «t2, tcht, sht^ при t = 1, где « =- ~ <~2 — 1
76. Найти угол между кривыми в точке их пересечения, если радиусы-векторы кривых
fi (t) н f:(t) описываются формулами:
a) fi(t) = (е"г‘, —, tht), fj(t) = (t + 1, sinSt, te‘ht);
6) fi(t) = (t, t2, t3, t*, t5), fa(t) = (sin t, sin 2t, sin 34, sin4t, sin 5t).
77. Показать, что вектор-функция X : t ► (sint, —cost, e“‘) удовлетворяет уравнению
X'(t) = A(t)X(t) + f(t),
где
(e“e 1 — sint \ / 2cost \
cost sint t* I, f(t)=l sint — t*e~' I.
in 1*1 tgtlnpl t J \ -e_,(l + t) /
78. Подобрать вектор-функцию f так, чтобы вектор-функция X : t (t, t2, t3) удовле-
творяла уравнению
(*-2t 2 f3 \
1 0 -t 1 .
rl 0 0/
79. Показать, что вектор-функция X : t»-»dJag A(t) удовлетворяет уравнению
X'(0 = A(t)X(t) + f (t),
/sial \ УсоЧ + сй \
47 sin i — cos t J ' ' , sin t — 1 J
80. Убедиться, что комплекснозначные функции
соответственно удовлетворяют уравнениям:
а)/'(я) - » 0; б) (ва +Э£)/(«) + 12xt/2(®) = 0.
81. Найти производные от собственных чисел матрицы A(t), если:
(1 t t2
t t2 t3
t2 f*
(sint cost 0
r-cost sint —1
. 0 , 1 t
82. Найти угол между предельными пояожекиямк касательных в точке перелома непре-
рывной кривой, описываемой вектор-функцией:
14. , / • "t « . л •ч\ ; f (t, t2'+ 1, ? + 1, «*+' 1) \ При — оо < t $ О,
a) f : i н- (sin —, cos у, |( — 1|); 6) f : i „ (2( J t <+i,
§2. Дифференциал функции ,
2.1. Основные определения.
Определение 1. Функция f : Е —» R называется дифференцируемой в точке ?а € Е,
предельной для множества Е, если ее приращение &f(xa), соответствующее приращению
аргумента х, может быть представлено в виде
Д/(«о) = А(х0)(х - хо) + ы{х - «о),.. (1)
где w(x — r0) =,о (х — то) при х —» Хо.
Определение 2. Отображение d : Л •—» A(xo)h, Л € R, называется дифференциалом
функции f в точке го, а величина Д(хо)Л — значением дифференциала в этой точке.
Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df(xo)t если тре-
буется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,
df(x0) = А(х0)£. .
Разделив в (1) на х — т0 и устремив ц к хе, получим А(ю) = f'(xo). Поэтому Vft £ R
имеем
df(x0) = f'(xo)h. (2)
Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df(io) (при f'(xo) # 0) есть главная
часть приращения функции f в точке хо, линейная и однородная в то же время относительно
приращения Л = х — ю •
2.2. Критерий дифференцируемости функции.
Для того чтобы функция f являлась дифференцируемой в данной точке то, необходимо
и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
2.3. Инвариантность формы первого дифференциала.
Если х — независимая переменная, то dx = z — z0 (фиксированное приращение). В этом
случае имеем
df(xa) — f'(xo)dx. (3)
Если х = — дифференцируемая функция, то dx = ^'(to) dt. Следовательно,
.. = (fl^^o)))! dt = Л(НМ)^((°И* = f'(xa) dx,
"T. e. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргу-
мента.
2.4. Формула малых приращений.
Подставив (2) в (1) и отбросив ш(х — хо), получаем формулу малых приращений:
, &f(zo) » df(х0)
Йли
f(x) as f(xe)-(-f'(x0)(x - хо), (4)
Йозволяющую при малых значениях х — Хо приближенно вычислять значения функции f в
(Сочках а:, близких к точке а о, где значения функции f и ее производной известны.
128
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
2.5. Правила дифференцирования функций.
Если скалярные функции и и v дифференцируемы, то:
a) d(u ± и) = du ± dv, б) d(uu) = и dv + v du;
в) dV , v#0; г) d(/(u)) =/'(«) du.
Если вектор-функции и и v дифференцируемы, то-
a) d(u ± v) = du ± dv; б) d(u, v) = (du, v) + (u, dv);
в) d(Au) = udA 4- Adu (A — скалярная функция).
Если u и v — скалярные дифференцируемые функции, то
d(u ± iv) = du ± t dv, t2 = — 1.
Если А, В — дифференцируемые матричные функции, и — дифференцируемая вектор-
функция, то:
a) d(A ± В) = dA ± dB; б) d(Au) = (dA)u + Adu; в) d(AB) = (dA)B + AdB.
Дифференцируемы ли функции f, если:
31. Д/(х0) = 2sin(x - то) + ( ^/1 + (х - То)2 - 1) Ф(х - х0), где
,, , I lull— Xol, X # То,
*(—) = (
◄ Так как существует конечный предел
In |х — Хо(
?/1 -I- /|2 — 1
= 2 + lim V + -------------- In Iftl = 2,
h—0 h
то функция / дифференцируема в точке хо и d/(xo) = 2dx. ►
32. Д/(1) = (х - 1)1 + (г - 1)1.
4 Поскольку
Um ^£111 — Цщ 4- (г _ 1)-з^ — оо,
то функция f не дифференцируема в точке х = 1. ►
33. Af (хо) = (ein —-— 1п(1 + (г — хо)2), е*-х° — .
\ X — Хо /
4 Рассмотрим предел
r Af(xo) Л. 1п(14-(х-ю)2) . 1 ев-*°-1'
lim 5—- = I lim —» »------------—‘sin---, bm ------------
«-•Ло X — Xq \ а—«в x — Xo X — Xo х—хд X — Xo
Поскольку
r ln(l + (x - xo)2) A r ,
X — Xo X — xq
то существует конечная производная вектор-функция f:
Г(«.) = (О, 1).
Следовательно, вектор-функция t дифференцируема и
df (то) = (0! 1) tix = (0, dx). ►
4 Вычислив пределы
§ 2. Дкффьргвпщад фужкцп
Цш у- arcsin е h3 = Hm е л3 А 1 = 0. lim (1—- + 1 I 1, lim A sgn ftg = О,
л—о Л а-ц} h J ь-»& \ hj
.. 1 /sinA2\*a /апА2\л3 .. Д.,-4—1 \
ЙЩ-jsr,) =ь(—) ₽>») = о.
подучим
35. а) ^(хе1 ): 6) d
/'(«) = цш = С ° 1 Y
' X—х0 х - х0 о 0 у
т, е. матричная функция f дифференцируема в точке хо, и
‘‘Я”) = (“ } ) = ( J о' ) • ►
Найти:
1
arcsin 7—г
1*1
Ч 1-й способ. Согласно определению 2, п. 2.1, находим
a) d(xex ) = (хе*2)' dx = е*2 (2х2 + l)di;
б) d I arcsin А } = (arcsin A-J dx =--
’ \ I'M \ И/ »7is-i
2-й способ, а) Согласно формул б), п- 2.5, имеем
d(xex ) = ех dx + х d(e*3).
По формуле i), п. 2.5, d(ex ) = ех <1(х2) = e*32xdx. Таким образом,
<f(xe® ) = ех dx 4- 2х2ех dx = ех (2я3 + 1) dx.
б) Пользуясь формулой г), п. 2.5, имеем
d | arcsin — I = (arcsin a)' du, и = т—г, du = d I Дr ) = — Д-
V 1*1/ 1*1 \|*!/ x
поэтому окончательно
Bgnx
36. d(uv 2).
4 По правилу дифференцирования дроби (см. в), п. 2.5), находим
,/и\ и2 du - и <f(v2) du 2udw
(j?) =------jr-5-1 = JT - -7Г-.
37. d farctg —.
\ v)
Ч Используя формулы в) и г), п. 2.5, имеем
, f и\ 1 , /и\ vdu — udv
j i“'tS v) = 77(57 * *
qq % d 3 б 9, «1 d fsinz\
38' a) 4?)(I -x >'• °’ И )
< Поскольку
^де u — дифференцируемая функция некоторой переменной, то данные примеры можно ре-
дшть двумя способами.
130
Гл. 2. Дифференциальное исчисление.функций одной переменной
а) Обозначая и = г* н пользуясь первым равенством (1), имеем
1 — 4а -* Зи — 1 — 4х3 — Зх-
ф3/ du
Такой же результат можно получить, пользуясь вторым равенством (1):
d , з „ s s, J(r3 - 2г' - г') (Зг2 -12г5 -Эг*)^г . > г . „
-.„-(г — 2х — х 1 = —----- • = --------------------‘-- = 1 — 4т —,01 , 1^0.
d(x3)V 4 ’ ф3) 3x2dx
б) Вводя обозначение u = x2 и используя первое равенство (1), имеем '
d (sin _ d ( sin у/й ( sin y/u y/й cos y/й — sin y/й _ x cos r — sin x
lx5
x2) \ x 7 du у/й J \ y/й J 2Uy/u
Если же воспользуемся вторым равенством (1), то получим
х2 ~— dx х cos z — sin x
2x dx 2x3
d(x2) \ I / d(x2)
39. Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно sin 29°.
4 Значение sin 29* относительно мало отличается от sin 30°, так как и а = 29* отно-
сительно мало отличается от «о = 30°. Поэтому для приближенного вычисления sin 29’
воспользуемся формулой (4), п. 2-4, взяв /(х) = siuz. Тогда получим
sin^S® ss, sin — — (siu z'
180 2 Збб
,---- х х2
40. Доказать формулу \/а2 + z — a -f- --г> а > 0, х > 0, где 0 < т < —т-.
’ 2а - 8аЛ >
4 Если считать а- малым (х <С а?), то по формуле малых приращений получим,
/ 2 . 1 | Z '' '
x/a24-x»a-i-----= .х = а + ~.
2V?|,_al 1а
Погрешность этой "приближенной формулы
2а
'а2 х — а
- (1)
тем меньше, чем меньше х > 0. Однако для любых х > ,0 она меньше и, рак следует уз
(1), у/а^+ х = а + — г, что и требовалось доказать. ► • i;!ir
41. Доказать приближенную формулу Уап Ц- A fc я + ' а > 0, где |х|-С а” • *
. - , ,пап 1, , ,
4 Поскольку |х| •< ап, то к функции f : у t-ч- у,
формула малых приращений:
/(») » f (0) + /'(0)и,
эффективно применима
откуда
на основании ч^о
па1
42. Найти df(x), если:
а) f(х) = ^е-1г1 , sin(arx2), cos(ax4), sh ; б) f(±) = е'а-х
пз _ *а 4-1 ' . T}f('x}_ ( arcsin(/x4) arctgx2 1
B,7J-^+3i? + « + 5_’. 0 jl/'WR1 sinwx
Используя формулу d/(x) = /'(») dx, нмеум:. , . , • ,
131
§2. Дифференциал функции
a) df (г) = (—3ir2 *e-** , 2&х cos(ar2), — 4axs sin(ax4), ch ( у)) dx;
б) df(x) = (cos(ax2) + »sin (ax2))' dx = 2ax (— sin (ar2) + t cos (ax2)) dx;
»-</(«) = (.4»'?;..»)';
г) df(x-) =
l+xi dr.
2l/,(0)|2*ln2 ujcoswx J
Под [A|, A = (a,j), понимаем величину
Поскольку
откуда |/'(0)| =
О ,
г. Таким образом,
•]/'(0)12 + “2.
df(z) =
wcoso’r I dz.
43. Пусть при вычислении функциональной матрицы A(t) была допущена погрешность
dA(t). Предполагая, что существует A-l(t), найти приближенно погрешность вычисления
A-l(t), которая будет соответствовать dA(t).
4 Поскольку A(t)A_|(t) = I, то
{{dA]A~l + A(d(A-1)) = 0) =» (d(A-1) = — A-1(dA)A-1). >
44. Пусть A(t) — квадратная функциональная матрица с модулем |А[ = a^№)i
где a,} — ее элементы, дифференцируемые на некотором интервале. Оценить модуль диффе-
ренциала ее собственных чисел как функций t-
4 Собственные вектор-функции X и соответствующие им собственные числа А, как ска-
лярные функции переменной t, удовлетворяют спектральному уравнению:
Л(|) X(t) = Л(() Х(<). ' (1)
Считая для определенности, что |X(t)| = = 1, и умножая равенство (1) скалярно
иа X(t), получаем
(2)
(A(t)X(t), X(l)) •= X(t). <
Дифференцируя (2), находим
dA = (d(AX), X) + (AX, dX) = ((dA)X, X) + (AdX, X) + (AX, dX),
откуда
|dAj [(dA) X[|X| + [A dX||X| + |AX||dX|
< |dA||X|2 -I-1A|jdX|]X| + IA||X||dX| = |dA| + 2[A||dX|.
45. Пусть дифференцируемая функция ф такова, что /(^(t)) = t на [to, ti], где f —
дифференцируемая функция и не равна нулю. Найти d<p
132 Гл J- Дифференциальное исчисление функций одной переменной
4 Поскольку функции f и дифференцируемы, то сложная функция f о tp также диф-
ференцируема и
н/м<)) _ л) => = л) => ►
Упражнения для самостоятельнон.работы
Найти дифференциалы следующих функций:
S3, а) / . . - ш S + 3-.
б) У:хь* I arctg + 1; В) f
84. a) f : х б) f . х .
> J v(x)+arctg v(x) ’ > >
в) f : x t— ln(u2(z) + v2(r)); r) f : x •-* u2(ln i) + v2 (In x).
85. a) f : p i-> p(<p) cos <p; 6) f : p v— p(p) sin(w(^)s₽).
es. a) f ; t - ^jr; 6) f . I « £ =3^;
< .1 :1-Гт1ч\? r) f : i ~ J-jg',
S7. a) f : a ~ ji; +i(.3 +3); 6) / : a: ^^'±1;
в) f : x ►-» cos x3 + i sin 3x2; r) f : z н e1"”®1.
(d e2 e3
u(x) v(x) w(x)
sin,! COST 1
в) f : x *-• (sin W]Z, sinwjx, ... , sin wni); r) f ; x <-> u(x)(e“^\ tg и(х), и (г));
(|l/(x)[, u2(x)).
89. f : x w f l“ ^+i 1 Y 90. / : r | 88n e 'ir'
V u(x) suia(r) J у siiifx]
r+V Y 92. ^(V', <PJ
sin(tx) cos(ty) / у sh(V>, ip) ch(^i,
aii(t) tfuO) • •'• «!>»(<) Л
адО) ,
e»ni(t) Orwi(t) *.•-’. втп(0п
91. f :xh-
93. f :tH-
/ M-1)1
I
Л xYtj
94. Пусть f(x) = (A(i), ... , fn(x)), тдеi = 1, », — дифференцируемые функ-
ции. Найти d(|/(i)|).
95. Пусть f(x) = (oij(x)), i, j = 1, n, — дифференцируемая функциональная матрица.
Найти d(|/(x}|).
96. Приближенно вычислить:
a) sinl6a;6) arctg 100; в) arcsin 0,90.
97. Показать, что при х хо > 0
arc(SI» j- 1.
98. Пользуясь приближенными формулами
, T . .3
cob x № 1 — ~~, sin x я x + ax ,
найти коэффициент о.
Указание. Ввести в рассмотрение тождество «iur = 2 sin j cos j
S3. Производная обратнояфункцни
133
I # о,
х =0.
100. f(x) = (u(x))“<*>, du(O) = 5 dx, thi(O) = — j dx, u(0) = e, v(0) = 1.
101. f(x) = arcsin du(O) = 3tfa, <b(0)‘>* </bdx; tt(O) = 1, ®(0) = y/2.
102. /(x) =
x 0,
x = 0.
103. /(x)
x = 0.
x 5*0, и/(0) = (0, 1).
cos(xe2g)—соз(хс~}
106. f(x) =
|x|x) , i /0, iff (0) — (0, 0, 0).
ln(l+*aeg)
|11(»+у<1+х»)
x2 in X
.^0,-/(») = (“ 2
107. Пусть &k = (а*!, ак-2, • • - , atn), &k € En, к = 1, n, — векторы, имеющие общее
начало. Абсолютное значение определителя
ац ап ... ain
Я21 Л22 - • - ajn
ani Дп2 - ann
назовем объемом фигуры Р = (х|х € Еп, х = 0^ + 0202 + • • • + 6пап, 0 < 0, < 1, f = 1, п},
которую принято называть параллелотопом.
Найти объемы бесконечно малых параллелотопов, построенных на касательных векторах,
проведенных в точках пересечения следующих кривых:
а) £,(1) = (4, 4s), й(4) = (4s, 4); б) f,(4) = (4, 4s, 4s), fe(4) = (4s, 4s, 4), f,(4) = (sin«-4, 4, 4*);
в) ft(4) _ (4, 4s, 4s, 4*), fa(4) _ (42, 4s, 4*. 4), ft (4) = (4s, 4*, 4, 4=), f,(4) = (4‘, 4s, 4s, 4).
§ 3. Производная обратной функции. Производная
функции, заданной параметрически.
Производная функции, заданной в неявном
виде
3.1. Производная обратной функции.
Дифференцируемая монотонная функция f :]a, fe[—» R с необращающейся в нуль произ-
водной имеет обратную дифференцируемую функцию f~l, производная которой вычисляется
по формуле
3.2. Производная параметрически заданной функции.
Если функция f задана параметрически
х = ф(«), y = ^(i), a<t<P,
где у = /(з ) и функции ip и v дифференцируемы, причем ф’(<) 0, то
134
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
3.3. Производная неявно заданной функции.
Если у = /(г) — дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, у) = 0, т. е.
F(e, /(i)) =0 на некотором интервале ]а, Ь[, то во многих случаях ее производную можно
найти из уравнения
^(Г(х,/(х)))=0.
46. Показать, что существует функция у = определяемая уравнением
у — е sin у = х, 0 е < 1,
и найти производнурэ /'(х).
4 Функция : у н- х = у — e sin у — дифференцируемая на ] — со, 4-оо[, и ее производная
Ч> : у >-* 1 — г cos у . 1
положительна. Следовательно, функция <р, будучи строго монотонно возрастающей, и\},еет
обратную, также монотонно возрастающую и дифференцируемую функцию f. Ее производ-
ная
~ Р'(У) ~ 1 -ecosy’
47. Определить область существования обратной функции х = ^(у) и найти ее произ-
водную, если
у = х 4-1пх, х > 0. .'
Ч Поскольку (г 4- In г)' = 1 + - > 0, то функция f : х и-» х + In х строго монотонно
возрастает при х > 0. Следовательно, она имеет обратную и
При 0 < т < 4-сю имеем —< у < 4-оо, т. е. 'обратная функция существует на всей
числовой прямой. ►
48. Выделить непрерывные ветви обратных функций х = ^(у) и найти их производные,
если у = 2х2 — х4. '
Ч Функция f г х >— 2х2 — х* — дифференцируемая, и ее производная f1 : х ь* 4ж(1 —^^со-
храняет знак на интервалах ] —оо, —1[, ] —1, 0[, ]0, 1[, ] 1, 4-оо[; Следовательно, на каждом из
соответствующих интервалов ]—со, 1[, ]0, 1[> ]0, 1[, ]-со, 1[ существует дифференцируемая
обратная функция. Обозначив через <pi, i = 1, 4, эти функции (ж = ^з,(у)), имеем
9»! :] - 00, 1[—»]-оо; -1[‘, '
9»з :]0, 1[—»]0, 1[, р4 :]-оо, г' " ! ''' '' "
причем, судя по знаку производной
функции 9>i и <рз монотонно возрастают, а функций и монотонно убывают. Решив
уравнение х* — 2ха 4- у = 0 относительно х, можно получить функции в явном виде-.
х = <Р1(у)’ = -\/1 + - 1Г, 1 X =< (psf(y) - 0 - у,
х = <рз(у) = - 0 - у, X = ^(9)^1 4- 0 - у. ►
Найти производные Г(х), если:
49. х = 0 - 0 у = 0 — 0 (у =•/(«))•
4 Найдем сначала
’•= 1(1; (1 ~ “ _б7<(1
у'- ---- 1 .-(1 - W ------------1 0<«<1.
$3. Производная обрлпой фужяцжк 135
Далее, пользуясь формулой пункта 3.2, имеем 1
50. у » (e‘sin t, в* cost, е‘), х = t +t6 (у = f (я)). >
4 Поскольку dy = (d(eesin t), d(e' cost), rf(e‘)) = (sin t + cost, cost — sin t, 1) e‘ dt, fix —
(1 4-5t‘)dt, to
gj, 4 dy f e‘(sin t 4- cost) e‘(cos t — sin t) e‘
W”dx \ 14-50 ’ 14-50 ’ 1 + 50) ’ *
51. у = cos3 t + isin3 t, x = 2t — cos t (t2 = —1; у = /(r)).
<4 Поскольку
dy = (-3cos2 tsin t + 3isin2 tcos t) dt, dx = (2 4- sin t) dt,
TO
f'(i\ = = 3sin2t it
dx 2 (2 4-ein t)
ко । — sint 1 — cost J , J / г/ о
52’y=|< sht cbt J, x = 3t + i (y=/(x)).
4 Имеем
, ( 1 — cost sint \ , n / , . .2, J.
d»=( d>1 ski )“ ‘* = 3(1+1 Hi,
Найти производные f' функций f : x i—» у, заданных уравнениями:
53. x2 4- 2zy — у2 = 4x.
Пусть у = /(x) — дифференцируемое решение данного уравнения. Тогда
.! + W(i)-№))’si> (1)
ха некотором интервале. Поскольку все члены в тождестве (1) дифференцируемы, то из (1)
после дифференцирования получаем
2х + 2f(x) 4- 2х/'(х) - 2f(x)f'(x) = 4,
откуда
2 2
I 54. Z3 4-уз =1.
Подставив в данное уравнение дифференцируемое решение у = /(х), получим тожде-
, ство
= 1>
дифференцируя которое, имеем
• Отсюда находим
55. Найти / (х), если у = /(х) и р = (р, — полярные координаты).
136 Гл 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
◄ Поскольку у = р cos р, х = psin р, то у = ар sin р, х = ар cos р. Далее, dy = a(sin р +
р cos 95) dp. dx — a(cos p — p sin <^) dp. Отсюда, если a (cos p — 95 sin ,s) / 0, находим
dy sin p + p cos p
f (X) — -j — . ►
dx cos p — <psin p
56. Найти /[(□ ) и /2(1), если функции Л и /2 заданы неявно системой уравнений
С У? - »2 + Зя = 2,
1 0? +02 + 2z = 1.
4 Подставляя значения yi = fi(x) и уг = /г(я) в данную систему уравнений, приходим
к тождествам
/?(»)-/?(!) +3s = 2,
ЙЙ + ЙЫ+Ьг!.
дифференцируя которые, получаем
Л2(^(Т) - Л2(х)Л(х) + I НО,
/1(^)/1(®) + + 1=0.
Отсюда, если определитель
pw-/JwL0
I ЛМ Л« I
находим
... ' 1 + Л(») ,,,,_______3 —/1(д)
~ + ЛИ)’ 1 ~ ЛИ(Л И + ЛМУ
Упражнения для самостоятельной работы
108. Показать, что следующие уравнения имеют единственные действительные решения
y = /(z):
а) х — Зу -f-siny2 + cos у - 1 + ^у3; б) х = 12у5 - ЗОу4 + 40у3 - ЗОу2 + 15у + 1.
Найти одностороннюю производную функции у = f(x), заданной параметрически, если;
109. х = 2t — /2, у = 3/ — t3, в точке t = 1.
110. х = t + зУГ+7, 0 = 2/- 10tft + T, в точке I = 0.
111. х = sin2 /, у = cos2 t, в точках t = 0 и t = f-
Найти если у = f(x) и:
112. arctg (я2 + у2) - ln(xy) -1=0. 113. sin + у + x/х2 + y2 = 0.
114. + $(z + у + у2) = 1 (^> — дифференцируемая функция).
115. il> = 2‘ 11в* V>O(“n У) + 2y - 3) - 81 + 4 = 0.
117. arcsin il>(2y + x2 + 1) = arctg (y3). 118. e~* ^^+a! =4 — y2.
Вычислить /'(0), если у = /(x) и:
119. x2 sin у + * si*1 x = 0, x 0, и /(0) = 0.
120. х2 arctg * + tg(x + у) - 1 = 0, х / 0, и /(0) = у.
Найти //(ж) № /#(«), если уг = 03 = М*) удовлетворяют уравнениям:
121. е**-**’"»* = 1-х, у? +xyl = х2. 122. yty2 + -х3 =0, у? +yj =х2.
123. jfi +^>(01 + уг) + 02 +sin х = 0, Vi(y2 +0г + х2) = х.
Вычислить Д/(0) и df(O), если у = f(x) и:
124. х = t2 +|t|, у = t3 + i, Д/ = dt = 1. 125. х = t4 -it2, у - t5 - 5t, Д/ = dt = 1.
126. x=0S + 5y.
Найти f'(x), если у = /(x) и:
127. у = (sin-t, cost, I), x = 3t + t3. 128. у = (sh2t, ch2/, th/), x = sht.
129 » = , i=i + ,4s. 138. > = e2"+e-‘\ x = 4ft.
5 4. Производные я дифференциал» вмсшнх порядков
137
§ 4. Производные и дифференциалы высших
порядков
4.1. Основные определения.
Определение 1. Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда
производная от производной этой функции называется второй производной функции f и
обозначается f". Таким образом,
/"(>) = (/'(«’))'
Определение 2. Если дифференцируема (п — 1)-я производная функции f, то ее п-й
производной называется производная от (п — ])-б производной функции f и обозначается
/">. Итак,
= (/”-’(х))', «ен, /<“>(!) = /(«).
Число п называется порядком производной.
Определение 3. Дифференциалом и-го порядка функции f называется дифференциал
от дифференциала (н — 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
к*) = d(dn-‘/(!)), = /(.), пен.
Если а- — независимая переменная, то dx = const и d2x = d3x = .,. s= dnx = 0. В этом
случае справедлива формула
<infM =
4.2. Производные n-го порядка от основных элементарных функций.
Справедливы формулы
= a1 In" а, а > 0;
(sin гУ") — sin 4- ;
(cos т/”) — cos I
(xm)(n) _ т(тп _ 1) _ _ п
(1пд,)(п) = hirr1/11 -.v.
’ хп
4.3. Формула Лейбница.
Если и и v — н-кратно дифференцируемые функции, то
1=0
4.4. Производные n-го порядка вектор—функции, комплекснозначной и матричной
функций.
Если компоненты вектор-функции f : х н- (Л(х), /г(х), , А(*)) м-кратно дифферен-
*">Ю = (/!”’(*). - - /!"’(•)). **(.) = (<»"/,(.), ....гц.)).
Аналогично для комплексиозначной функции f и матричной функции А имеем формулы.
/г,)(т) = dnf(x) = dnu(x) 4-: dnv(x)-,
138 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной неременяой
/a(n}(i) •• • «(1")(х)\ /</"ац(х) ... d"alfc(i)\
Л("*(х)=......•............. ; dnA(x) = ....................|.
\ ... alt'K'\x) / х dnan(x) ... dnaiit(x) /
Найти /"(х), если:
57. f(x) = sin(x2).
По определению 1, п. 4.1, имеем
/'(z) = (sin(z2))' = 2xcos(x2);
/”(х) = (/'(x))' = (2xcos(x2))' = 2 cos(x3) - 4x2 sin(x2). ►
58. /(x) = (x + t)e‘f.
◄ Поскольку (u(x) + tv(x))' = «'(x) + i то ПРИ дифференцировании комплексиознач-
ной функции число t играет роль обыкновенной постоянной, поэтому
/’(z) = е'х + t(x + ») е'х = ie’ax;
f"(x) = ie'* — хе'* = e'*(i — х). ►
59. f (х) = (sin х2, cosx2, x2).
◄ Для нахождения производной от вектор-функции следует продифференцировать ка-
ждую ее компоненту, поэтому имеем
f\x) = (2xcosx2, —2isinx2, 2х);
f"(x) = (2cosx2 — 4x2 sin x2, —2sin x2 — 4x2 cos x2, 2). >
eo./(»)=(*«* ‘.ll’Y
1sh x2 chi' у
4 Для нахождения производной от матричной функции следует продифференцировать ее
матрицу поэлементно:
Cl 1 \ / Bin я _ вЬ * \
е” ’ ch’s ], /"(х) = 2 I см’’ ].►
2xchx2 2xshx2 J у chi2 + 2х2 sh л2 sh x2 + 2x3 ch x2 /
61. f(x)= «(»),
\ vlx)/
Поскольку
62. Найти у"', если у =
4 По правилу дифференцирования сложной функции имеем
»' = /'(«')«'
(в этом примере штрих у / означает производную по аргументу е*).
Для вычисления второй производной пользуемся определением 1, п. 4.1, указанным выше
правилом, а также правилом дифференцирования произведения.
В результате получим
= (Г(е’)с’)' = /"(«•).=' +/'(«')
ч JU^4. Производные*!»! АЯф*^еМЦЖЫМ^Ш№ШЖХ'ЯВф4вр^ОВ
Аналогично находим Третью производную М‘
; , , . ( <' = /"'(«•’) • <?г + /'(«’)'*► I
63. Найти d2y для функции у = е*, если:
х — независимая переменная; z — промежуточный аргумент (зависимая переменная).
4 Первый дифференциал обладает свойством инвариантности, поэтому в обоих случаях
dy = d(e*) = е*№с. '' ' 1 ' *
Далее, по определению3, п. 4.1, ' 1 ' -
d2s = Й(Й|>Г=й»).
Дифференцируя последнее произведение, получаем
,, j d(ex dx) = d(ex)dx + ех d(dx). , (1)
Если z — независимая, to dx = const =s h. Следовательно, d(dz) = d2z = 0 и из (1)
находим
d2y = d(ex) dx = e* dx dx = e*(dx)2.
Если же x — промежуточный аргумент, то dx, вообще говоря, не является постоянной и
поэтому d(dz) в d2x / 0. Тогда из (1) получим
- . d2 у — ex(dx)2. +<ех d2х = ех ((d®)2, + d3x) . ► «.
64. Найти d2y, если у = arctg—, где и, и — дважды дифференцируемые функции
некоторой переменной.
4 Используя инвариантность формы первого дифференциала, имеем
, ,/ п\ / а\',/м\ 1 vdu-^udv vdu — udv
dy = dt arctg -1 = 1 arctg - d ( - = --—-j-------------= ----
\ и/ \ t>/ xv / 1 + v2
где штрихом обозначена производная по .
Далее, по определению 3, п. 4.1,
откуда, по правилу дифференцирования частного, имеем
,2 d(v du — и dt’)(u2 + v2) — (i> du — и rfv)(d(u2 + v2)) i ,,4
d у _ (U2+V2)2 " • W
Поскольку du— и dv) ~ dv du+v d3u — du dv—ud2vl=vd2u—ud2v, d(u3 +v2) = d(u2)+J(t»2) =
2u du + ‘2v dv, из (1) окончательно находим
,2 vd2u — ud2v 2(uv((du)2 — (rfv)2) + (v2 — u2) rfu rfv)
“ ’ И1 +«! (u’+»J)a
65. Найти производные y'x, y"i, yx-> от функции у = /(z), заданной параметрически,
если х = 2t — t2, у — 3t - t3.
4 Поскольку yl = ^(7(z)) = то
d(3t-t3) (3 - 3t2)rft 3
<f(2t - t2) (2 - 2t)dt 2
t/1-
tt t! ‘i I > \ ’
Далее, y±2 - ^(Ух) = “37“ • поэтому
" = = ldi = 3
Ух2 d(2t-t2) 2(l-t)dt 4(l-t)’
’Аналогично y"3 = z’, поэтому
л (___з__з<п
= = з
Ух3 d(2t-t2) 2(l-t)dt 8(l-t)3’
140 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
66. Найти у’х, у"з от функции у = /(х), заданной уравнением
2,2 - 3
z 4-У = 5ху .
4 Пусть у = /(г) — дважды дифференцируемое решение данного уравнения. Тогда
дифференцируя тождество x2+(f(x))2 = 5x(f(x))3 по х, получаем 2x+2f(x)f'(z) ~ 5(/(х))34-
15х/’(х)/'(х), откуда
/,(1) = is»X)-W)’ ес™
Далее, по определению второй производной и правилу дифференцирования частного, име-
ем
... / 2»-S/’(») V
_ (2» - 5/3(t))-(lSi/2(j) - 2f(»)) - (2г - 5Г (»))(15»f2(») - 2/0))' =
(15*/2(») - 2f(z))°
= (20/3(t) - 7Sif‘(i) - 60»2/(») + 4»)/'(») - 4/(») + TS/’(t)
(15»/2(»)-2/(»))s
Подставляя значение f'(z), окончательно получаем
£„, , ISOOz/’fr) - 120»’ + 150»a/’(x) - 2S0/’(»)
' W (15»/(»)-2)’f2(»)
Найти производные и дифференциал указанного порядка:
67. у = * Т . Найти j/100'.
V1 —• х
41 Преобразуем данную функцию к виду, удобному для дифференцирования, и применим
одну из формул пункта 4.2:
У = 2(1 - х)-2 - (1 - 1)2 ,
/ / \ (100)
,<»»)= 2 ((1-,) 2)
(199)!!,, -221 (197)!!,, ,-i®» (197)!! 399 -х
— 2" х) 2 + 2100 (1 х) 2 _ ^1QO • _ ^100,5 ' г < • ►
68. y = zshz. Найти у^100).
ч1 Применяем формулу Лейбница, положив u = x, v = shx, и получаем
^(100) _ = C{oo(®/fc\9hx/l°°~fc} = Cioo xsh х 4- Cjoo ch х = х sh х + 100 ch х. ►
fc=0
69. у = и,2. Найти d10y.
41 Применяя формулу Лейбница к произведению у — uu, получаем
10 4
d10y = = 2^C’L d’uJ,0-iu +Cf0(ds«)2 =
i=0 t=0
= 2ud10u + 4-90d2«d#u 4-240d3ud7« + 420 rf4udeu + 252(rfsu)2. ►
70. Выразить производные у" и у" от функции у = /(z) через последовательные
дифференциалы переменных z и у, не Предполагая х независимой переменной.
41 Используя определение 3, п. 4.1, а также правило дифференцирования произведения,
получаем
dy-f(x)di, (1)
_d’,s/."(z)(dz)24-/'(x)^. (2)
§ 4. Производные в дифферешскшш висжих поряди»
d3y = f'"(x)(dx)z + 3f"(x)<Pxdx +
Из формул (1) — (3) имеем последовательно
141
(3)
^Ж=Т”'; ' ...
" г»1 \ d2y — y'd2x dxd2y — dyd2x
' -f —’
(d )5 d3^ — 3 d2E du d^if -|- 3 (d3i)^ djf — dx dy d3®).
Найти если:
71- 8=^-L + 2-
4 Представляя данную дробь в виде
«>-.1+2 = гЬ“ГЛ “С1-2»-1-»*-1’ 1
и применяя одну из формул пункта 4.2, получаем
„<”> = (-1)",.! ((I_2)„+1 - ►
72. у = sin3 х.
Представляя у в виде
3 . 1 .
у — — sin I.-sin Зх
4 4
и пользуясь одной из формул пункта 4.2, находим
<п) 3 ( пя\ 3" / птгХ
у' 1 - - sin i х + — I - — sm (3i + — 1 . ►
4 \ 2/4 \ 3/
73. у ~ sin4 x 4- cos4 x.
Преобразовав у к виду
3 1
у — — + — cgs 4т,
4 4
получаем
(п) -п-1 Л , пяД - -
У = 4 cos ^4т + — 1 , п 1. ►
74. 9 = 1»^.
а — 6т
4 Первую производную этой функции запишем в виде
Далее, по одной из формул пункта 4.2, после (п — 1)-кратного дифференцирования получаем
= + (-')”(» - №) ►
75. Доказать равенства:
1) (f',x si и (6г + с))(л) = еах(а2 4- 62) 2 sin (6а: + с + шр);
2) (еп ‘ cos(6x + с))*п* = е“х[а2 + 62) 2 cos(6z + с 4- п<р),
Ъ
Vu2 + 62 ’
cosys =
у/а2 4- 62 '
142 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
4 Умножив левую часть первого равенства на t и сложив с левой частью второго равен-
ства, получим
(rOIcos(l>i + с))|“> + + £))<"> = =е“(» + Я)” е'“+'",‘ =
= (о2 +l2)? = (a2 + J2)5e“"(cos(|)2; + <: + „v) + ,-sin(i,I+c +w)).
Отсюда по аксиоме равенства комплексных чисел и следуют доказываемые формулы. ►
76. Преобразовав функцию f : х >— sin2pi, где р — натуральное число, В тригонометри-
ческий многочлен
/(х) = У cos 2кх,
k=o
найти /п\х).
-4 Сначала с помощью формул Эйлера и бинома Ньютона преобразуем функцию f в
тригонометрический многочлен. Имеем
Во второй сумме, стоящей в скобках, введем новый индекс суммирования к’, полагая к =
2р — к'. При этом, использовав известную формулу = С^-*, получим
/ ,,р (У~‘ р—| , \ HP
»»2^ = + 22(-1)‘'с2г‘ =
\k=0 к'=0 /
_ (~0Р /.2«(fc-p)x 1 _-2>(k-J>)*x , <3р _ (~1)Р V~Y, . .kfA .->(г \ ,
о2р / X О ^'?р(е +е )+ 22р ~~ 22р-1 ' 1) C'2Pcoe2(i р)т + 2гк *
k=0 k=t>
Далее, по одной из формул пункта 4.2, .
77. Используя тождество —г------ —
х2 + 1 2t
- 1, доказать, что
4 Сначала и раз продифференцируем указанное тождество:
( 1 Уя) = 1 ( (-1)"»! _ \
кх2 + 17 2. \(»-»)«+* (x+t)"*1/’
Далее, применяя к комплексным числам (х — i)*n'* и (x+i)-"”1 формулу Муавра, имеем
/ 1 f-lPt»’ •> _2±L
+ = j;----((> + «) 2 (cos(» + l)<P + isu>(n + l)v)-
— (1 + x2) 2 (cos(» + l)v-isiB(n + l)^) = —£—sin(n + l)v>
(1+*2)—
’и»пн'п$< >Пр^№оммы«'ВЙкффереВДя*жыгмкяаве>пор«Л£Ьв 143
¥Иё'-^ ;MctgE t±-arcctgfc>>Mi -н-" > > • *
78. Найти P-n‘(0), если f(x) = arctg r.
Дифференцируя/'Два раза, получаем '
.' ’ = hr^’ - о+xs)’= т+i’
•* : 1 ' I '!' " ^’-'ч '' К 11. :r A < , ,
9.1. •> ‘ *'
Применяя к полученному тождеству формулу Лейбнйца, находйм
(1 + x2)f^\x) + 2 (п - 2)s/°-1’(z) + (n - 2)(« 3)/n-3)(r) +
: ” + 2x/(”~l)(z) +2(п - 2)/"-2)(г) = 0.
Подставив г = 0, имеем рекуррентное соотношение
’ /">(0) 2)/"-”(0),
из которого при п четном находим /<2к’(0) = 0, а при п = 2k +1, последовательно полагая
к = 0, 1, 2 • • - , — формулу
/2к+1)(0) = (—1)к(2к)!, £€2о.>
1 79). Вычислить /п)(0>, если /(а:) = cos(marcsin ф).
4 Дифференцируем f и возводим найденное выражение в квадрат, а затем дифференци-
руем полученное еще раз я приходим к тождеству
Дифференцируя это тождество и — 2 раза с помощью формулы Лейбница, получаем
(1 - .")/''(.) - 2,(» - 2J/'"—>(») - - 2)(.. - ЗХ("-2)(») -
- - (.> - 2)/<"-г>(») + т2/"-21^) = 0.
Отсюда при а = 0 следует рекуррентная формула
/>(0) = ((» - 2)2 - ,„a)/"-2>(0), (1)
из которой при п = 2k, к € N, с учетом начального значения /(0) = 1 находим
/<2А)(0) - (—l)km2(m2 - 2г) ... (m2 - (2k - 2)2).
Аналогично, полагая в (1) п = 2к + 1, k € N, и учитывая значение f'(0) = 0, приходим к
равенству
/гк+1>(0) = 0. ►
' 80. Доказать, что функция
, j г2” sin -. х 0,
' г = 0,
м € N, В точке j- = О имеет производные до n-го порядка включительно и не имеет производ-
ной (п + 1)-го порядка.
4 Поскольку lint = 0, то /’(0) = 0. Предположим, что для некоторого натурального
к $ п — 1 (п = 2. 3, ...) = 0. Покажем, что тогда и /(fc+1\0) = 0. Действительно,
поскольку
k . . / 1 \ С»)
/(А)(г) = ^2,C'k 2v(2u - 1) ... (2w - к + i + 1) x2’,-k+‘ (sin - j ,
т^О, (1)
то по определению производной
ftA+1)(O) = liin ” = !i% 52C’fc M2’1”1) .(2»-k-H+l)x2"_fc+,_1 (sin |У = 0.
144 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
. / . 1 \ () i-i iiz
Здесь учитываем то, что функция (sin-) содержит член вида j^-sm- или cos - (и
зависимости от того, четное или нечетное к).
Итак, с помощью метода математической индукции мы показали, что /^\0) = 0 Vk =
1, п.
Наконец, полагая в (1) к = п, замечаем, что lim /^п^(х) не существует, т. е. функция
разрывна в нуле. Следовательно, она не может иметь производной в этой точке. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Найти n-ю производную функции /:
136. Дг) = r'a 13Т. /(х) =
140. Найти /'(х), если
138. /(») - xV(x). 139. f(x) = .
fib) A(z) • ^b) /п(х) • №) ^(х) /(х)
Л"’и /„"’W ^(r)
Найти н-ю производную:
141. Дх) = (яиЗг, sin2 х, xk), k Ё N. 142. /(z) = f V
' \ 1 sn 2х ' 1 j
143. /(г) = ^±Ь.. 144. f(x) = x2eia.
(1 X ... хп \
_ -1 _п+1 \
;....... •
хп хп+* ... х2п _/
147. Пусть u = u(x), v = v(r) есть «-кратно дифференцируемые вектор-функции. Тогда
(u(x), v(x))W = f ci (u(‘>(.), v<"-‘)(/)) .
*.=0
Доказать это.
148. Доказать, что формула Лейбница (n-кратного дифференцирования произведения)
справедлива также для матричных функций А = Л(х) и В = В(х), т. е.
(Л(»)в(«))<“>» Е ciA^jBi"-»^),
если А и В есть n-кратно дифференцируемые функции.
Найти я-ю производную, используя примеры 147, 148:
149. f(x) = (u(x), v(r)), если:
a) u(x);= (slut, sin2z...sinnx), v(r) = (ех, e2*.eni);
6) u(x) = (cos x, cos2z, ... , cos nr), v(x) = (r, X2, ... , xn).
150. /(z) = Л(х)В(х), если:
(sinnx cos nr \ _z . [ shnz chnx j
. . , B(x) = L L
— cos nr sin nx J ’ v ' у -ch nx sh nx }
(x \
1 + « (•+»)’ |
4 1 |
In X In2 X /
151. Показать, что функция
у = /(х) = Cje’"* + С'2е~'шх (о>, С\,С2 —постоянные)
удовлетворяет уравнению у" +w2jj = в.
152. Показал^, что функция
= s(<) = i ь * (*,/9<).
§4. Производные к дяффв^ежц»мин яМЕбЖЦХ41ор*ШКС*, 145
где к, у — постоянные, является решением уравнения,.
mST — т9 ~ к (^)2 > m = const.
153. Показать, что вектор-функция
0Z 2 cost \ / 2sint \
е’ + СЦ* 2cost |+£зГ'* *2в1й’< I, С, = const, '
i-П : ДЗебвЧ b+iWtp'-S: ' К’5 tin 1 + ССв'</
удовлетворяет уравнению =± Ах, где
/ -1 -2 2 \
А = 1-2 -1 2 ] .
\ -3 -2 3 /
154. Показать, что вектор-функция
x:t^C’i ( 1 ) е‘ + С2 ( 1 ) <'~' + С'з ( 0 ^е2е+С4^ 1 ^e2t +
+ Г5^ 0 ^e-2t + Ce^ 1 е"1'
d2x .
удовлетворяет уравнению = Ах, где
155. Показать, что если некоторая вектор-функция х = x(t) удовлетворяет уравнению
~ = Лх, где А — постоянная матрица, то она является решением уравнения
= Л”х Vn е N.
156. Найти ^-у(Л-1(х)), где А-1 (я) —обратная к Л(г) матрица.
157. Показать, что решения системы уравнений — х3 — у, = z + у3 являются также
решениями системы >
'^^-^y-z-y3, ^^-у + З^+ЗЛ
158. Найти /"(0), если /(х) = x3(sin(lnm |х|) + cos(ln’n |х|)), х 0, и /(0) = 0, где
т = 2^Т ; Р’ Ч € Z-
Является ян непрерывной вторая производная в нуле? Можно ли подобрать значение
параметра т таким образом, чтобы существовала f ’(0)?
159. При каких значениях п функция f х |x|asin i, x 0, и /(0) — 0 имеет
непрерывную вторую производную?
160. Найти если /(т) = 95(^(г)) и
. . f х, |xj < 2, , , . _ f е1, |г[ < 2,
— sill X, |х| >2, ^(х) - cost, |х| > 2.
161. Вычислить вторую в обобщенном смысле производную функции / в точке ее разры-
ва, если /(г) = ^2-^.
162. Вычислить вторую производную функции /-1 : х у, обратной для функции
f : у н-* г, если'
146 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
a) х = у 4- у3: б) г = у 4- sin у. ’ ' / ‘ । Л , • . • '' - • J ; А •('!) * I <• ;
163. Вычислить d2/(0) функции f : х >—► |z|° arctg х 0, и /(0) = 0.
164. Найти если у = /(г) и х = 2t — t2, у = (t — I)4. 1
165. Найти f"(x) функции у = /(а-), заданной параметрически:
... f 2t, t<l, ... f - arcsin t, |t| 1,
[ e, 1»,. »w = t 1+1-л |t>i.
166. Вычислить вторую производную функции у = /(i), заданной неявно уравнением
sin(xy) — х + у — х, У > 0, в точке х = ^. . ,
167. Найти fmo(x). если:
168. Вычислить /'(0) > если функция / : х *-* у задана уравнением у5 + х3 4- г2' — у2 = 0 й
дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х — 0.
Вычислить /(50>(0), если:
169. /(х) =sin(x2). 170. /(г) =
171. /(x)=7i?. 172. y = f(x'i,x = 2i-t2,y = 3t-t3.
Найти d , если:
173. f(x) = sin(u(x)u(x)). 174. f(x) = 'arcsin 175. f(x) — u(i) ' L
176. /(x) = hi(u(ti(x))). 177. f(x) = {«(*)'+1>(х)5 178. f(x) =
179. у = f(x)- a) y(t) = tsin t, x(i) = tcos t; 6) y(<fi) = p(<js) sin<js, r(<p) /э(^) cosy.,
180. у = f(x); y(t) = (sint, cost, tgt), z(t) = 3t 4-t3. , b
181. у =/(x); y(t) = у x(t) = 5t4- t5-
182. у = /(x); y(t) - (^, |y(t)|), x(t) = «4-sint 4-cost.
Вычислить d в указанной точке:
183. у — ж3 + У3 ~ Зх2у2 4-1 в точке М(0, 1).
184. у = Зх5 - 2у5 -,х2 + У2:+1 в трчке^^, 1). ,
185. у ?в f(r), у = ж1ц(х2 4-.У2) в точке,;Л/(1, 0). ,
186. Пусть компоненты /,(х) вектора-функции f : х .>—► (/>(х), /2(1),.../п(х)) удовле-
творяют системе уравнений
+*”*’) = sin(jx)/,(»)> j = М*-
Найти f"(r). • 1 ‘
187. Пусть функциональная йатрйЦа Л(£) удовлетворяет уравнений' ' ...’
Л2(х)Я(х) 4- Л(х)С(х) = Е,
где В(х), С(а.) — дважды дифференцируемые матрицы, Е — единичная матрица.
Найти Л"(х), если Л(х) коммутирует со своей производной.
188. Найти если /(х) = u2(z)v3(a:).
189., Цайти d3/(x), если /(у) = Л(и(х))Я(и(т)), где A, J2 _— матричные,функции.
190. Найти если /(ф) |v>,(u(x))4, где jp, гг.вектор-фуиицця,
<• js. Тевреосм Рояя*^ Лагдожжа, Кошж. 147
§ 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
5.1. Теорема Ролля.
Пусть функция f : [а, 5] —* К непрерывна»» сегменте [а, 5] и имеет конечную или беско-
нечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, /(а) = f(b). Тогда внутри
сегмента [а, 5] найдется точка £ таках, что
5.2. Теорема Лагранжа.
Если функция f : (а, 5] —► R непрерывна на сегменте fa, 5] и имеет конечную иди беско-
нечную производную во внутренних точках этого сегмента, то €]а, такое, что
5.3. Теорема Коши.
Если каждая из функции / н д непрерывна на [а, 5] и имеет конечную или бесконечную
производную на ]а, 5[ и если, кроме того, производная р'(х) # 0 на ]а, 5[, то Э£ €]а, 6[ такое,
что справедлива формула
/(»)-/(“) ,
9(6) - 9(a) 9'({)
Если дополнительно потребовать, чтобы #(а) £>(&), то условие y'(z) 0 можно заменить
менее жесткцм:
(/'(«))2 + (/(«))* 0 €]a, Б(.
81. Пусть функция f имеет конечную производную f в каждой точке конечного или
бесконечного интервала ]а, Ь[ и
Доказать, что /'(с) = 0, где с — некоторая точка интервала ]а, 6[.
< Пусть интервал ]а, 6[ конечен и lim /(х) = lim /(х) = С, С = const. Рассмотрим
x—a+O х—*Ь—О
функцию
F , х , Г /(г), еслих€]а, Б(,
1 С при х = а и х — Ъ.
Она непрерывна на сегменте [а, 5] и имеет конечную производную на интервале ]а, 6[, причем
F(a) = F(5). По теореме Ролля на интервале ]а, Б[ найдется такая точка с, что F'(c) =
= °-
Если интервал ]а, 6[ бесконечный, то, в силу существования конечной производной функ-
ции f, непрерывности функции f и существования конечных, равных между собой, ее пре-
дельных значений при х —• a + 0 и х —- Ъ ~ 0, при достаточно малом е > 0 прямая у = С 4- е
или прямая у = С — е пересечет кривую у = /(х), по меньшей мере, в двух точках, которые
обозначим ci И cj. Для функции f на сегменте [С|, сз] выполнены все условия теоремы Рол-
ля, поэтому на интервале Jci, сд[ (а значит, и на интервале ]а, Б[) найдется такая точка с, что
Г(е) = 0.
Рассмотрим теперь случай, когда lim fix) = lim f(x) = оо. Тогда как в случае
х—»а+о х —Ь—о
конечного, так и бесконечного интервала ]а, 6[ уравнение f(x) = А (где А > 0 — любое
число, фиксированное, когда liin /(х) = lim /(х) = +оо) или уравнение /(х) = —А (в
х —о+0 х — Ь—О
случае, когда lim fix) = lim fix) = —сю) всегда имеет два различных корня, которые
ж—и+0 я—Ь—О
обозначим и оц. Применяя теорему Ролля к функции f на сегменте [лц, «г], приходим к
выводу, что на интервале ]«(, (а значит, и на ]а, 6[) существует, по меньшей мере, одна
такая точка с, что /'(с) = 0. ►
82. Пусть: 1) функция f определена и имеет непрерывную производную (п — 1)-го
порядка на сегменте [жо, 2) f имеет производную n-го порядка в интервале Jxq, хп[; 3)
выполнены равенства /(xq) = /(ц) = ... = /(хп), хо < х> < ... < хп- Доказать, что в
интервале ]zq, хп[ существует, по меньшей мере, одна точка £ такая, что = 0.
148 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной пер. меииой
4 На каждом из сегментов [x>-i, х>], i = 1, п, выполнены все условия т -оремы Ролля для
функции /, следовательно, существует не меньше п точек €]ю, хп( так .х, что f'(£3) = 0.
Для функции f на каждом из сегментов [£j> £>+iL } = 1, u — 1, выпол <ены все условия
теоремы Ролля, поэтому существует, по меньшей мере, п — 1 точка €] о, хп[ такая, что
= 0, к = 1, п — 1. Продолжая рассуждать таким же образом, приход <м к выводу, что
в « — (п — 2) = 2 точках интервала ]хо, х„[ = 0, » = 1, 2. Применяя теорему Ролля к
функции на сегменте [G, Сг], получаем, что существует хотя бы одна точка ( €]^о, хп[
такая, что = 0. ►
83. Доказать, что если все нули многочлена
Рп(х) ® аох" + aixn-i 4...,+ en, в0 / 0,
с действительными коэффициентами ak, k = 0,н, действительны, то его последовательные
производные Р„, Р„, ... , также имеют лишь действительные нули.
41 Предполагая, что все нули различные, по теореме Ролля получаем, что Рп(®) имеет n—1
действительный нуль; Р„ (х) будет иметь уже п — 2 действительных нуля и т. д. Но так как при
дифференцировании многочлена степень многочлена уменьшается ха единицу, то получается,
что все нули производных будут действительны. Если какой-то нуль многочлена кратный, то
он же будет нулем и для производной от многочлена, т. е. также действительным. ►
84. Доказать, что у многочлена Лежандра
все нули действительны и заключены в интервале J — 1, 1[.
4 Многочлен ных) = (х2 —1)п имеет на сегменте [—1, 1] 2п действительных нулей: хх =
х? = ... = 1П — — 1; xn+i = Хп+2 = ... » хзп = 1 • Согласно предыдущей теореме, многочлен
Рп(х) имеет п действительных нулей, расположенных, по теореме Ролля, в интервале ]— 1, 1[,
что и требовалось доказать. ►
85. Доказать, что у многочлена Чебышева—Лагерра
М«) = «'£;(№)
все нули положительны.
4 Рассмотрим функцию >р : х хпе~*. Поскольку ^s(O) = lim ^>(х) = 0, то существует
такая точка fi g]0, +оо[, что рЧв) = 0 (см. пример 81). Очевидно, ~ ^Ч®) =
поэтому, в силу теоремы Ролля ина основании решения примера 81, найдутся точки & €]0, 41 [
н £з €]£:, +оо[ такие, что =*0, {= 2, 3. Кроме того, ^"(0) — ®- Таким образом, tp"
обращается в нуль в трех точках полуоси я > 0. Поскольку = = ®
при j — 0, п — 1, то, применяя теорему Ролля и пользуясь п — 3 раза результатом решения
примера 81, получаем, что функции <р^п~обращается в нуль в п + 1 точках, лежащих на
полуоси х 0, причем одна из этих точек х = 0. Эти точки являются концами п отрезков,
на каждом из которых к функции Ы"->> применима теорема Ролля, поэтому существует, по
меньшей мере, » таких точек > 0, что = 0. Очевидно, ^п\0) 0. Поскольку
£п(х) — е‘г</п\х) есть многочлен п-'к степени, имеющий п кулей, то его купи — точки >jk,
причем i/k > 0, к = 1, п. ►
86. Доказать, что у многочлена Чебышева-Эрмита
все нули действительны.
, 4 Ра^ссмцтримфуНкпию п ; х w е-х . Очевидно, liin t»^^(r) = 0, поэтому функции
j — 0, п, удовлетворяют условиям примера-81 на интервале ] оо, +оо[. Повторяя рассужде-
ния, проводившиеся при решении предыдущего примера, приходим к выводу, что и' обраща-
ется в нуль, по крайней мери, в одной точке этого интервала; и" — в двух точках; ... ; —
§ 5. Теоремы Ролля, Лагракжа, Коша 149
'1‘Hi йПЗ>гП'-Ч|) НГК-Ч-ЭНЛ TH М'К'. 'Ф '..лГ .
в п точках. Поскольку Нп(х) = (—3)пе* и^п^(я).дсть многочлен n-й стелена, имеющий ровно
nl‘«yrferf!’ Тб ef о Пули с'о'вйадкаМг с'нУ-тяМЙ фУтйщии к йсе эти кули действительны.
ч 87. ^Найтц функцию 9 =г^(го,-Дх) такую „что Дх^+Дх) —f(xtt) = Дх/'(х» + ? Дх), если-.
• ча) /(х) = ах2 + Ьх + с; ei^iOj б) /(я)в= !»);/(») =*' ~> г) /(х) — «Х-' ' '
< Применяя формулу,конечных приращецкц Йаграмжа к каждой из функций а) - г),'
иМёёй: •' 1 . - .I ” 1 1 - ' ' . - ••
• -НД£)2откуда 9 ’ '
, , - -«-о + лАо Д»+|(А»)3+»? ,,
б) (хо + Де)3 — Xq = 3 Дх(ю + 0 Дх)г, откуй’А' ^('Го’,'*Дх^ = '--т-5——1-—, хо)> О,
Дх > 0; . , 4 .___
в) ~ А = откуда.g.(r0r4i) =? ^(0 +-*)> +д*) > 0;
г) -^о = Дхг»»*вАл;Мкуда в^о,’Д*) =‘ — ln►
88. Пусть .' ' ( । 1 1 , 11 ' ' '..'
rf; Х'^- < П₽«°^«-<.Ь • •
1 > . :. : при 1 < X .< фоо. ’ '
Определить пройёжутдчйо^ знайёние с формулы йбнёчнйпс приращений ‘для функции f на
сегменте [0. 2]. :• • - -
4 Исследуем функцию f на дифференцируемость в точке х = 1. По определению одно-
сторонних производных, имеем
/1(1) = lim 2- р Н1 + А*)* =-1"! 74(1) U lim 2-(-1—• - 1¥=-1.
Функция / дифференцируема На сегменте [0, 2]. Применяя формулу конечных приращений
к функции f на сегменте рЗ, 2], находим "
/(2) -/(О) = 2/'(е), ; 0<с<2. < \ ;
Поскольку /(2) = /(0) =
( —х При 0 < z 1,
f : х >-* < 1 . „
1 —р- при 1 < х < 2,
то
{—2с. при 0 < с 1,
2 -1 , 1
-F > *2 с521 .
откуда ci = j, С2 — \/2 — два промежуточных значения. ►
89. Пусть функция / имее^ Йейрё^ывную пройзвбдную f в интервале ]я, Ь[. Можно ли
для всякой точки £ из ]а, 6[ указать две другие трчки Xi и хз иэ этого интервала, если
ш , <е<12,
ti X) '
4 Если на интервале ]а, Ь[ f'(,x) 0 и f отлична от постоянной на любом отрезке,
являющимся частью ]а, б[, то / возрастает на ]а, б^. Тогда для любых ij, xj б]а, Ь[, хг > ц,
имеем ' ‘ '
> д
хз 1- Х1 । 11. •’
и для тех точек интервала, в которых /'(х) = 0, равенство
/М-Я1-) =<к)^0
Х2 - Xi
невозможно. Например, для функции f : х >—> х3, —1 х 1, при любых ц, хг б] — 1, Ц
выполняется неравенство
—- = х| ф ХЦ2 + Х| > О,
Х2 ~ Х1
150
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
следовательно, для точки £ = 0 значений аргумента ®] и ij,o которых говорилось в условии
задачи, не существует. Приведенные рассуждения не исключают, однако, положительно-
го ответа на поставленный вопрос для некоторых классов функций, удовлетворяющих всем
условиям теоремы Лагранжа. ►
90. Доказать неравенства:
а) | sin г — sin у | |х — б) рур~г (® - у) xF — ур pzp“1(x — у), если 0<у<тир>1;
в) larctg а — arctg Ь1 |а — 61; г) - < in г < & , , если 0 < Ь < а.
' а о о
е По формуле Лагранжа, имеем:
a) sin х — sin у = (® — у) cos £, откуда ) sin х -* sin у| = | cos£||z — у| ]г — у|;
б) хр - ур = р£г'-1 (х - у), у < £ < х, откуда (® - у)рур-1 < хр - ур (х - yjpx^-1; •
в) arctgа — arctgЬ =-^5(0 — Ь), откуда |arctgа — arctgЬ| |а — Ь|; ,
г) In а — In Ь = |(а — Ь), а < £ < Ь. откуда < In ►. ’
91. Доказать, что если функция f дифференцируема, но не ограничена на конечном
интервале ]а, Ь[, то ее производная /' также не ограничена иа интервале ]а, Ь[.
< Пусть функция f дифференцируема на ]а, Ь[ и не ограничена при х —► b — Возь-
мем произвольную последовательность (®п), сходящуюся к b слева. Тогда существует’такой
номер что при Vn > N выполняется неравенство |/(®„)| > А, каким бы А > 0 ни было.
Фиксируем любое число т > N и рассмотрим при п > т разность f(xn) — Применяя
теорему Лагранжа к функции / на сегменте [гт, гп], находим
где хт < £тп < хп- При достаточно больших п левая часть, в силу условия задачи, больше
любого наперед заданного положительного числа, откуда следует.неограниченность произ-
водной f при х — Ь — 0.
Обратное утверждение неправильно: из неограниченности производной в интервале не
следует неограниченность функции на этом интервале, например: / : х t—• ^/г, 0 < х < а'. ►
92. Доказать, что если функция / дифференцируема ^бесконечном интервале ]®<j, 4-оо[
и
Цщ f’(x) — О,
то
1 ^^1 = 0,
т. е. /(i) = о(®) при х — +сю. ,
< Пусть (in) — произвольная последовательность значений аргумента такая, что хп —►
+оо. Тогда Vs> О ЗЛГ : Vn > 7V справедливо неравенство
7 (1)
Фиксируем «о > N и, взяв в > во, применим теорему Лагранжа к функции f на отрезке
[жп0, 1
(2)
ГДе ®no < £nnq < ®п-
В силу неравенства (!}, из (2) имеем • . ,
(з)
Из (3) получаем неравенства
(j _ 3"оД £ < /(т*) ^J(xna) Л _ жпр \ £ /д..
®П \ Хп / 2 Хп Хп \ Хп / 2"
§5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши 1-г>1
Прн больших п, очевидно, справедливо неравенство
_£ < < £
2 хп 2’
а J j всегда при п > по, тогда, используя неравенство (4), при по > N и при
достаточно больших п > по получим неравенство
_е<й^1<г, (»)
„л„ |Д^1|
Поскольку (тп) — произвольная бесконечно большая последовательность, все члены ко-
торой положительны, то имеем
~ °) (А1) = °(1)) ПРИ х ~' +°°' ►
93. Доказать, что если функция / дифференцируема в бесконечном интервале ]хо, + сс[
и /(г) = o(z) при х —> -|“ОО, то
lim = О-
В частности, если существует liin f (z) = к, то к — 0.
a—+oo
4 Допустим, ЧТО
lim |/~'(дИ = А, А /0,
тогда Ve (0 < е < Л) ЭВ такое, что при х > В выполняется неравенство
l/'WI >Л-е. (1)
Фиксируем ц > В и возьмем х > zj. Применяя теорему Лагранжа к функции / на сегменте
[zi, х], получим, принимая во внимание неравенство (1),
= Л~е’ 11 <f<’ (2)
Переходя в неравенстве (2) к пределу при х -> 4-оо, получим
а это противоречит условию f(x) = о(т). Таким образом, Л = 0, т. е. lim — 0.
Допустим теперь, что существует lim f'(x) = к. Тогда для произвольной последова-
тельности (гт), х,п > 0, х,п —► +сю, имеем
liin /'(гщ) = к,
т. е. Ve > 0 ЭЛТ такое, что при т > М выполняется неравенство
к — е </'(im) < к + е. (3)
Взяв mo > М и т> тр, получим, применив теорему Лагранжа к функции f на сегменте
Из неравенства (3) следует неравенство
152 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Переходя к пределу в неравенстве (4) при т —» -t-оо, получим
m—+оо Im
Поскольку lim = 0- ю получаем k — е Q, k +д G, откуда, в силу произвольности
е, следует, что k = 0. ► i ( ,,..,
94. Доказать, что если функция f непрерывна на-сегмекте [а, Ь], имеет конечную произ-
водную внутри него и не является дицейной, то в интервале )а, Ь[ найдется, по меньшей мере,
одна такая точка с, что
№1>|М|. '
4 Разбивая произвольным образом сегмент [а, Ь] на п частей точками ао = хо < zi <
z? < ... < хп = Ь, получаем
In—1 I п—1
W4 - Я«)1 = £/(..+.)-/(*) « £|/(».+.) -/(*.)!
I l'=0 I i»0
По формуле Лагранжа имеем
= » = 0,п —1,
где Дх, = т>+1 — х,.
Таким образом, приходим к неравенству '
....' " т
i=0
Функция f отлична от линейной, Поэтому существует’такое’разбиение сегмента [а, Ь], что
среди чисел |/'(£{)1 Найдется наибольшее, отянчное от<ну1яя, которое обозначим |/'(()|. Тогда
из (1) получим строгое неравенство . к .,
1/(6) - /(.)(< |/'({ )|-2 = (ь - «)И01.
откуда 1/'({)| > о < 4. ►
95. Доказать, что если функция / иц^ет.вторую производную на сегменте [а, Ь] и f'(e) =
f (6) = 0, то в интервале ]а, Ь[ существует, по меньшей Мере, одна точка с такая, что
1Я‘>
О Если /(х) = const, то утверждение очевидно. Предположим, что функция f отлична
от постоянной. Из условия f'(a) = = следуем, что / отлична от линейной функции.
Применяя формулу Коши конечных приращений к функциям / и : х н» на сегменте
[а, и к функциям / и, •. я •-» на сегменте [^, i], получаем .
-л-» _ /'(?.) ,,.+б
(b-а? « - ” *-я’ ° <?1 2 ’
Складывая полученные равенства, находим
»(/(*)-/(»)) _ ле.) । ftfe)
- fl-»'- “ /«-
(1)
$ 5. Теоремы Родля, Лагранжа, Ковш 153
Поскольку /'(а) = f'(b) = 0, то правую часть последнего равенства можно записать в виде
Pl+Ph лу-п«> „ rw- rw, и
Ci — й о ~ сз С1 — о о — £з
где а iji < £t > 4i < ’Н <4- '‘О'йеЙиваяЪо абсвлютнбйвеляЧЮ*е ‘(l), с учетом (2)', имеем
....... 8|^1~^^<4Лу)1+!1Г(.В).|..........., .l: ,,,,
Предположим, что /(Ь)ДоУ^в 'й^с^гйвйой сЬг^ч!1^ до^кзат^л^ёг^о тфивмал£йь; Точкой с
может служить любая точка интервала ]а, 5{)>. В силу нашего предположения, Хотя бы одно
из чисел |/"(я1)| или |/"(tft)| отличнорт нуля- Обозначим
|/"(с)|=шах{|Г(Ч1)|, |Г(*й)1)-
Тогда имеем
откуда
(знак равенства не исключаем, так как возможен случай, когда |/“(»h)) = ►
96. Доказать, что если вектор-фушециа f ; R —* £”* имеет непрерывную производную на
сегменте [а, Ь], то справедливо неравенство
1Ф)-г(«)| < (»-4>^1г’(г)|-...................
4 Функция F : х (f(b) — f(a))(x - чк) - £(<)(&- а) дифференцируема на сегменте [а, Ь),
на концах сегмента принимает oifto и ‘то'же-значей^е, йбзтому по теореме Ролля Ь[
такое, что ИШ1 (ВД _ ВД)= = (f'(£)i (Г(4).-Г(а)))(4 - «).
Оценивая обе части полученного равенства по модулю, врнходим к неравенству
|f(»)-f(«)(«|f'(f)!(»-«). О)
Поскольку функция |f'| непрерывна на [а, i], то по теореме Вейерштрасса она принимает
максимальное значение max|f'(x)| в некоторой Точке х ё [а, Ч- Следовательно, |f'(£)) =
шах |f'(z)|, и на основании (1) получаем доказываемое неравенство. ►
97. Доказать, что если вектор-функция F : R —• Е2 а) непрерывна на [а, Ь]; б) диффе-
ренцируема в интервале ]а, Ь[; в) производная F’(z) 0 в ]а, Ь[, то 3$ €]а, Ь[ такое, что
-
где А — некоторая постоянная.
•4 Пусть F : х >— (/(z), p(z)), (/(z), ?(«)) € Е2. Тогда функции / и д, в силу условий
а) и б), непрерывны на сегменте [а, Ь) и дифференцируемы в интервале ]а, Ь[. Кроме того,
(/'(х))2 + (ij'fz))2 0 по условию в). Следовательно, по теореме Коши, €]а, Ь[ такое, что
(/(ь) - /(«))«'(€) = ~
Если, например, /'(£)/0, то , .
F(b) - F(«) = (f(4) - /(»), 9(4) . (,(.)) = ff'(f)) = ЛЕ'(£),
где
/(5)-/(а) .
“ /'(f)
Упражнения для самостоятельной работы
191. Убедиться на примере функций /, у, $?, что ни одно из трех условий теоремы Ролля
не является излишним, если:
если I = а, х = Ъ;
154 Гл. 2. Дифференциальное исчисление фуиждии одной переменной
д : х ♦ |х |, — 1 х 1; : г н* sin х, 0 х
192. Для вектор-функции f : х •-» (х sin х, х соа х), х € [о, у], найти такое ^ € ] 0, £ [, что
f®_f(”) = Ayf'K)' AeR-
193. Доказать, что если / € C^’n+1\[a, i]), то 3? €]а, 4[ такое, что
Я*) - lm(i) =
где
и/т+1(х) = (х - Хо)(х - X|) ... (х - хт), а = Хо < Х1 < ... < хт = Ь,
Указание. Ввести в рассмотрение функцию z : х ► /(х) — Lm(x) — fc(x)wm+i(x), где fc(S)
выбирается из условия z(x) — О.
194. Пусть вектор-функция f : R —► Е”, п > 3, непрерывно дифференцируема на сег-
менте [а, 4], а < Ь. Всегда ли можно найти такое £ 6 ]в, 4[, чтобы вектор f(4) — f(a) был
коллинеарен f'(f)?
Рассмотреть пример
f(x) = (cosx, sin I, x), x € [0, т].
195. Справедлива ли теорема Лагранжа для дифференцируемой на сегменте [а, 4] функ-
ции /:i>-/1(i) + «Л(»), где i = ^/-7?
Рассмотреть пример
f : х н-► cosx + isinx, х € ^0, —j .
196. Пусть f — дифференцируемая на интервале ]а, 4[ вектор-функция такая, что f'(x) =
0 на ]а: 4[. Что можно сказать о функции f?
197. Пусть А — дифференцируемая на интервале ]а, 4[ матричная функция такая, что
А'(х) = 0, х €]а, 4[. Что можно сказать о функции А?
198. Пусть ifi : х х — где f — дважды дифференцируемая на [о, 4] функция,
причем /'(х) 0- Для данного 6 и функции f найти то множество X С [а, 4], для которого
выполняется неравенство
|»>(*> - ^>(у)| 0|х - у|, х, у € X,
если:
a) f cosx, 0 = |( t £ [О, ^] ; 6) f : x •—► x tgx — 1, Й =s x £ [O, j] .
199. Пусть <p : t •-. /(«)-/(()-/'(i)(x-t)- ... -/п>(*) С*";)' — A(x—t)p, t € [a, «], P > 0,
A = const; функция f имеет (»+ 1)-ю производную на [а, х]. Доказать, что ¥р > 0 3f gja, х[
и такое Л, что
Я») -1 - »)* + te)' ‘£^/<“+,,(«)
k=0 ' '
(формула Тейлора с остаточным членом в общей форме).
200. Пусть матричная функция А : х •—► А(х) непрерывно дифференцируема на сегменте
[и, 4] и |А(х)| = 1аи(*)Р> гДе ви(*) — элементы матрицы А(х). Тогда справедлива
оценка
|A(4)-A(a)|< max |Л'(х)|(4 - а).
Доказать это.
л..v.Tif;.^1&;Теоремж-9олявУ1Лагрйажя,4Ко1вж<ч^.->;>.оь; 155
201. Доказать, что-есяи вектор-функции f и g непрерывны на сегменте [a, J] и диффе-
ренцируемы в интервале ]в, Ь[, то 3f €]а, Ь[ такое, что
" ДО)-»(«),?«))-(в(»)-в(.),г«)).
202. Пусть функции У и д вместе со двоими производными до n-го порядка включитель-
но непрерывны на сегменте [a, J] и имеют производную (»+ 1)-го порядка в интервале ]а, 6[.
Тогда 3f €]а, 6[ такое, чТо * • -- ‘ ' •
(»(‘) -1 - «)*) - (л*) - £ - «)*) .«;"+,,га
Доказать это,
Указание. Рассмотреть функцию <р : г»-» ^(sc), где
= Лп(Ь)тп(х) - r^R^x),
.. .
203. Пусть: 1) / G — оо, -poo[); 2) Ve, h G R выполняется тождество
.Де + Л}-Ле)=ЛГ(;С + ^);
3) f"(z) 0. Доказать, что: а) если 9 = 0(r), то 0(z) = j; б) если |в'(х)| < +oo и 9 — 9(h),
10 = 7'
204. Пусть
(r + 1)n — xn = l(j -|- 9(x)) +», x )? 0, n > 1.
Наши предельные значения 0(z) при,х —» +0 и х —► +оо.
205. Пусть функции f и д дифференцируемы на сегменте [а, 6], причем д(х) О, д'(х)
0. Тогда 3$ G]a, Ь[ такое, что
1,. | ‘Р(а) ¥>&) I г | уэС€) 9(£) I
ЛЬ)-9(а)| д(а) д[Ь) | 9'(4) | /(£) д'(£) |‘
Показать это.
206. Показать, что производная функции
f • х । , / х2 sin Qin z) , т # 0,
[О, х =0,
непрерывна при х 0, однако функция удовлетворяющая соотношению f(x) =
О < £(т) < х, является разрывной.
207. Доказать, что если f‘ непрерывна и монотонна на сегменте [0, Л], причем /(0) = О,
то функция $ непрерывна на этом сегменте (см. пример 206).
208. Доказать неравенства:
a) |z - у| < (х21н х - у2 hi у| 3e|z - у| Vx, у 6 [1, е];
б) |z2 arctg х - у2 arctg у| < - у| Vx, у G [0, 1].
209. Доказать неравенства:
6)
slnI-y"!' ~cos2Iх — v^.ye] — оо,
ri - ; < - «I Vx. » е It +“[
+ «[;
156 Гл, 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
210. Доказать, что последовательные приближения, определяемые формулой
Гп+1 = seIn, io — 1>
сходятся к корню уравнения х = ее1, если 0 < ее < 1.
211. Доказать, что последовательные приближения, определяемые формулой
х„+,=лх„ + 1, хв = (1,1)г,1 i = (i, о)г,
где А = I 3 j 1, сходятся в В3 к решению уравнения X = /IX -Г I, если е3 < |.
§6. Возрастание и убывание функции.
Неравенства
6.1. Возрастание и убывание функции.
Определение. Функция f называется возрастающей (убывающей) на сегменте [а, 6],
если /(хз) > f(zt) (или соответственно /(а?г) < /(zi)) VzI( zj € [а, 6] и Zj < хз.
6.2. Критерий возрастания (убывания) функции.
Для того чтобы имеющая* конечную или бесконечную на промежутке X производную
функция f возрастала (убывала) на нем, необходимо и достаточно, члобы выполнялись усло-
вия: a) f'(x) > 0 (f'(x) 0); б) f'(x) не обращается в нуль ни на каком сегменте [о, /?],
составляющем часть промежутка Л\(а1л/Э] С-Х4)! - ,
Определить промежутки возрастания и убывания: слейующйх-функций:
9«-. , . : / '
•< Поскольку f'(x) = х2 zln2) При X е }6, [,,то(на интервале ]о, функция
f возрастает. В интервалах ]— во, 0[ и J +оо{ производная функции f отрицательна,
следовательно, / убывает на каждом изэтих интер|вадов< ’
99. f : х >-» х + sin(ln х)^ , если г > 0 и f (0) = 0.
4 Дифференцируя f, подучаем
/'(«) = + v'Tsin (in z + , х > 0,
откуда /z(x) > 0, если sin (in х + Решая последнее неравенство, находим интерва-
лы возрастания функции f; - . >
В интервалах j e 12 , e 12 функция f убывает, поскольку на них f {х) < 0, к € £. ►
100. Доказать, что функция / : х •-+ (1Ц- —/возрастает на интервалах ] — оо, —1[ и
]°, +°?1- ' ,
4 Покажем, что в указанных интервалах производная функции положительна. При х > О
/'(«) = /("/(’“t11 ч ~ta 1 ~ гтт)
Применив формулу конечных приращений к функции ап—» 1п х на сёгменте [х, т +1], Получим
1п(х + 1) — Inx = где 'i'lt £ < х + 1, - ' 1 ’ 1
$ 6. Возрастаете я убываете фуккцет. Неравенства
в силу чего /'(г) as f(x) > 0 при х > О.
Далее, пусть —оо < х < —1. Тогда
157
Л«) = /(*) (>»(< - 1) - la i - у-5-j) ,
где 1= —х, 1 < t < +оо. По формуле Лагранжа , , ,
1п(< - 1) - Int = '
Ci
где t - 1 < 6 < I, поэтому f’(x) = f(-t) («ij- - > 0 при 1 < t < +oo, или /'(z) > 0 при
— OO < X < — 1 . ►
101 . Обязательно ли производная монотонной функции является монотонной?
4 Не обязательно. Функция f : х' » 2r + sinx монотонно' возрастает (на всей числовой
прямой, поскольку ее производная f : х 2+соа х положительна Yx € R- JB то же время сама
производная, рассматриваемая на интервале ]—оо, +оо[, очевидно, не является монотонной. ►
, 102. ^Доказать, что если <р — монотонно возрастающая дифференцируемая функция и
|/'(«)| < при X > ХО, то
|/(х)-/(roll <¥>(*) “НМ ПРИ «>«0.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
4 Поскольку функции f и <р удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем
значении, то справедливо равенство , . j
ео < с < X,
откуда [/(г) - f(xo)[ С М*) “ )[ = v>(®) “
Геометрически это неравенство означает, что приращение монотонно возрастающей диф-
ференцируемой функции будет не меньше приращения всякой другой дифференцируемой
функции с меньшим или равным абсолютным значением производной. ►
103. Пусть функция f непрерывна в промежутке а х < +ео н, сверх того, f'(x) > к >
О при х > в, где к — постоянная. Доказать, что если /(й) < 0, то уравнение f(x) = 0 имеет
1 f(a) Г
один и только один действительным корень в интервале | а, а--.
4 Применяя теорему Лагранжа к функции f на сегменте а, а + , имеем
О < в < 1.
Из условия /'(х) > к > 0 находим
Функция f на концах сегмента р, а + j принимает значения разных знаков, поэтому,
по теореме Коши о промежуточных значениях, существует такая точка f 6 j а, а +
что /($) = 0. Докажем, что она единственная на этом интервале. Если допустить, что на
нем найдется такая точка gj, что /(fi) = 0, то по теореме Ролля на интервале ]f, $i[ (если
€1 > $) или на интервале ]fi, £[ (если £> < $) найдется такая точка $2, что f'(&) = 0, а это
противоречит условию f'(x) > к > 0 при х > а. ►
158 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
104. Доказать, что если: 1) функции <р и $ п-кратно дифференцируемы; 2) ^к\»о) =
у^(хо). к = 0, п — 1; 3) при х > хо, то справедливо неравенство tp(x) >
у(х) при х > Хо .
Ч Применим к функции и^-1) = — ^п~*) теорему Лагранжа о среднем на сегменте
[го, х]. Имеем
ut'n-1'(x) — u^n-1\zo) = — »о),
откуда, в силу условий 2) - 3), находим u(n“1)(x) > 0, х > хц- Аналогично доказываем, что
u(n~2)(z) > 0 и т. д., и(х) > 0, т. е. у?(х) > |&(х) прн х > то- ►
105. Доказать следующие неравенства:
а;2
а) е* > 1 + х при х 0; 6) х — —- < In(1 + т) < х при х > 0;
г3 . 2 г3 К
в) х —— < sin х < х при z>0; г) tgi > » + — при 0 < х < —;
д) (ха + ул)й > {хд +yj3)'3 при г > 0, у > 0 и 0 < а < 0.
Ч а) Обозначив tp(x) = е*, Ф(х) = 1 + х и замечая, что р(0) = ^(0), р'(а:) > ф'(х) при
х > 0, на основании предыдущего примера заключаем, что прн х > 0.
Полагая х = — t при х 0, получаем
^(t) = <.“*, = ( > 0-
Поскольку р(0) = V’(O). при t > 0, то p(t) > ^»(t) при t > 0, т. е. е* > 1 ц-х при
х < 0.
б) Обозначим
х2
?(х) = х-—, V’(z) =ln(l + »), 1)(х) = х, X 0.
Очевидно, ¥?(0) = ^(0) = »j(0), ¥>'(х) < $'(х) < »/(г) при х > 0, поэтому, на основании
предыдущего примера, имеем
*>(«> < ф(х) < »/(») при х > 0.
в) Пользуясь обозначениями
хз
¥>(») = »-—, ^(r) = sinz, ч(х) = х,
имеем р(0) = ^(0) = »/(0), <fi(x) < ip'(x) < q'(x) при х > 0 и х 2кт. На основании
предыдущего примера справедливы неравенства
р(х) < ф(х) < »/(»), х > 0, х 2кх, к £ N.
При х — 2кг имеем неравенства
2*т (1 - < 0 < 2Иг,
т. е. р(2кт) < ^>(2кт) < t/(2kir), к £ N. Таким образом, при х > 0 выполняются неравенства
р(®) < ^>(х) <ч(®).
г) Обозначим
= tgz, = « + 0<«<у.
Очевидно, р(0) = ^(0), рУ(х) .> при 0 < X < £ (так как <р'(х) = 1 + tg2», ^'(х) =
1 +х2, tg3» S х2 при 0 < х < . Пользуясь предыдущим примером, можем утверждать, что
р(») > ^t(z) при 0 < х < j.
д) Неравенство (ха + $“)<’ > (xfi + при любых фиксированных х > 0, у > 0 и всех
а, 0 < а < 0, эквивалентно неравенству
Дия дька.эательства, поспеднагр обоэиачцм. ^ = 1 м рал;с1#отрим фуикццю '
" |! " 1 - ” • 1-
<р ; z и-» (t® 4- 1)7, 0 < z < +оо.
Ее производная'
, . ,( t’bt 1d(1+*®)\ . <f(z) (i®)‘*
..,.,.........к.: •--hr*) =.^ЕЙ'°<1 ;«)->- .
отрицательна при 0 < z < 4-00, поэтому функция 93 убывает; следовательно, 93(a) > vW при1
О < а < Q < 4-оо, т. е. справедливо неравенство 1 1 • 5
при х>0, у>0, 0<а <?’чтаи требовалось доказать. ►
106. Доказать, что при х > 0 справедливо неравенство
(4)‘«<(‘4г-
4 Если неравенство выполняется, то, логарифмируя eto, придем к неравенству
47<ь(1+1)<1,
х 4-1 \ х/ х
которое требуется доказать. Обозначая | = t, t > 0, получаем неравенство
j-t; < b>(14i) < t.
Йравая его часть доказана при решении примера 105; докажем теперь левую часть неравен-
ства. Обозначим 93(f) = = 1п(1 4- I) и рассмотрим функции 93 и при t 0.
Очевидно, р(0) = tf’(O), = 777 ПРИ * -* Следовательно, на основании
неравенства, доказанного в примере 104, можно утверждать, что р(/) < |&(<) при t > 0, т. е.
< 1и (1 + -) при х > 0, что и требовалось доказать. ►
Д07. Доказать неравенства:
a) xd — 1 > а(х - 1) при п 2, х > 1;
б) \/х — у/а < у/х — и при п > 1, х > а > 0;
в) 1 4- 21п х < х2 при х > 0.
Ч а) Обозначив 93(1) = х“ — 1, tf’(x) = cr(i — 1), имеем: 93(1) = V'(l) — О, рЧ1) > $'(х) ПРИ
« $ 2, х > 1. На основании неравенства, доказанного в примере 104,
9э(х) > ф(х) при а 2, х > 1.
б) Аналогично доказательству а) имеем при п > 1, х > а > 0:
93(1) = \/х ~ \/af ^(®) = Ух ~ “> р(°) = tf’(a) =
tp'(x') < ^''(х), поэтому ^(х) < V’(1)-
в) Обозначив 9?(х) = 1 4- 21bz, = х2, замечаем, что при х = 1 значения функций
-93 и V совпадают, а при х > 1 выполнено неравенство у'(х) < $'(х), поэтому на основании
Примера 104 справедливо неравенство ^(х) < |&(х) при х > 1. Пусть 0 < х < 1. Тогда,
полагая t = 1 < t < 4-оо, имеем
93(1) = ! - 21nf = ^(i), v(x) - 9=1(1) - ^i(l) = 1, 99j (*) < V'r(*),
i откуда 931(f) < V’i(t) при 1 < t < 4-co, т. e. 9=(x) < $(x) при 0 < x < 1, Приняв еще во
(внимание очевидное равенство 9з(Т) = V’(l) > приходим к выводу о том, что 93(1) ^(х) Vr > О,
^что и требовалось доказать. ►
160
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интервалы возрастания следующих функций:
212. / :«« arccos 213. f : х |i|Qe'x2, л > 0.
215. f : х ~ arth . , 216. f : X -» Y, x = tin t,
214.
f • x x (1 + 1)’.
217. f:X-Y, x = i3 + l,y = exp(V2rt - sin t2 + cost2), 0 < t < %.
218. f : X —» Y, r = a(t — sin t), У = a(l — cost), 0 t 2т.
219. f : X —» Y, x = asin3t, у = 6cos3t, 0 t 2т,
220. f <?*-* 221. f : p pe-*52. 222. / : sin^.
223. f . X —*Y, x = peon p, у = pstn p, p = P 0-
224. f : X —• Y, x = pcos(4p - p3), у = psin(4p - p3).
225. f : X —► Y, x3 + y3 — 3xy = 0 (y > 0, f — дифференцируемая функция).
226. f : X Y, x3y3 - x3 + y3 = 0. 227. f : X Y, x + y = xexy.
228. f X —» Y, x + y — cos(z + 2y) = 0.
Исследовать на монотонность следующие функции:
229. f ;х н- (2 + i)ln(l +®) - 2х. 230. / : z н- , z > 1.
231. f : X -> Y, х = sin t -t + у, у = 4t5 - 5t* + 1.
232. p = p tg ip, p >0 (p, p — полярные координаты).
233. Являются ли возрастающими на отрезке [1, 2} функции: а) f : х i—» [г]; б) f : х •—»
(I — 1)[г]; в) f : х 1-» х, если х £ Q?
234. Доказать, что сумма и произведение положительных функций, одна из которых
монотонно возрастает, а другая не убывает, есть функция монотонно возрастающая.
Доказать следующие неравенства:
23S. ?^_^>0прЯ1>0.
23«- ДЯ1)1» (1 + ;) +1»! (1 +1) - ;^> 0 при Х> 0.
237- + (£57.» >0. »«
238. 1-$ + 4- ... +^,»СН.
239. e*>l + «+^+...+5,»>0,n6N.
240. яп х “т(т — «), 0 т т. 241. сов х sj 1 — —у, |«| < у-
242. а) tgx > при О х б) tg х 5$ -у2— при 7 $ z < 7-
а 2
243. а + a^<>2~1^ (х ~ l)zQ-2, х > 1, a 2. 244. sin х + tg х > 2х, 0 < х < у.
245. х« < 1 4- при 1 < х < е. 246. £ > 0, |х| < т.
247. Пусть а = (aj, аг, ... ,«•>), b = (ij, Ьз, ... , Ъп), с — векторы из Е". Доказать, что
тогда
/ A F Е \
det ( F В G > 0,
\ Е G С /
где А=а2, В =Ь2, С = са, Е = (а, с), F = (а, b), G = (Ь, с).
248. Пусть f дифференцируема на [а, bj, /(а) = 0 и ЗА € R уакое, что |/'(х)| А|/(х)|
на (в, 6]. Доказать, что f(x) = 0 Vx £ [a, Ь].
249. Пусть х, у £ R". Будем считать х > у (х < у), если Хк > Ук (ть < ук) Vfc — 1, п (та-
кое отношение между некоторыми векторами называется их частичным упорядочиванием). В
связи с данным отношением будем называть вектор-функцию х : t •-» ^2(1), ... , *n(t)),
t £ (a, 6], монотонно возрастающей (убывающей) на интервале Т С [а, 6], если Vti, t2 Е Т из
(fi >*2)=> (x(ti) > х(1г)) (x(ti) < х(Ь».
Показать, чтовектер-фумкцмя х ; 11—• (suit, cost, te—‘ ) возрастает на ] 0, ^['
Для вектор-фуикции f найти интервалы монотонного возрастания (убывания), если:
$ 7. Навравлекяе выпуклосп графика ФУ>И— ...
250. f : i I-» (2|coet|+|cos2t| + 4t, *<+£«а« + 1).
251,f;1„(2L, 2_i+^_d).
2S2. f : t „ (^, 4(^?- .
253. Матричную функцию A : t i— (e>j(O) (», j — 1, а) будем называть монотонно,
возрастающей (убывающей) на интервале ]а, ft[, если Vti, ta €]а, ft[ из (tj > t3) => (A(h) >
А(М) И(Ъ) < A(h)). ___
Для матриц А и В считаем А > В (А < В), если > bi} (ey < ft,-,), f, j = 1, и.
Найти интервалы монотонности для следующих матричных функций:
(£ £
sin<+lsin‘l cost + |cost| \
} \ t + arcsin t2 t sin t J'
§7. Направление выпуклости графика функции.
Точки перегиба
7. 1. Выпуклость графика фувкции.
Определение. Говорят, что график дифференцируемой в интервале ]я, Ь[ функции f :
]в, 6[—► R имеет на нем выпуклость, направленную вниз (вверх), если он лежит в пределах
указанного интервала не ниже (не выше) любой своей касательной.
Теорема. Достаточным условием выпуклости графика функции вниз (вверх), если функ-
ция всюду на интервале ]а, 6[ имеет конечную вторую производную, является выполнение
неравенства f"(x) 0 (/"(х) < 0) при а < х < ft.
7. 2. Точки перегиба.
Определение. Точка Afo(xo, Jto) графика функции f, имеющего касательную, называ-
ется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки хо оси
абсцисс. в пределах которой график функции f слева и справа от хр имеет разные напра-
вления выпуклости.
Теорема. Точка Afo(xo, f(xo)), для которой либо f"(zo) ~ 0, либо /"(хр) не существу-
ет, есть точка перегиба, если f"(x) меняет знак при переходе через точку хо.
Найти промежутки выпуклости определенного знака и точки перегиба графиков следую-
щих функций:
108. f : х 1— Зх2 — х3, х € R.
Ч Вторая производная f"(x) = 6(1 — х) положительна при х < 1 и отрицательна при
х > 1. Следовательно, согласно теореме пункта 7.1, на интервале ] — оо, 1[ график функции f
имеет выпуклость, направленную вниз, а на интервале ]1, 4-оо[ — выпуклость, направленную
вверх. Согласно определению пункта 7.2, точка Л/о(1, 2) есть точка перегиба графика. ►
109. f : х Xх (х > 0).
Ч Поскольку вторая производная f"(x) = Xх ((In х + I)2 + >0 при х > 0, то, согласно
теореме п. 7.1, график данной функции имеет выпуклость, направленную вниз. ►
110. При каком выборе параметра Л “кривая вероятности’'
9 = h>a,
имеет ючки перегиба [ —7=e~h а )?
\ V* 7
Ч Судя по знаку второй производной f"(x) = “?у(2Л2х2 — l)e-h х , заключаем, что при
х = имеются перегибы (при переходе через-эти точки вторая производная меняет знак).
Поэтому требуемое значение h получим из равенства (= сЛ => fft = ^57^, <т >
0.
1 {>2 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
111. Пусть функция f дважды дифференцируема в промежутке а $ х < +оо, причем:
1) /(ц) = Д > 0; 2) f‘(a) < 0; 3) f"(x) 0 при х > а. Доказать, что уравнение /(х) = 0 имеет
один и только один действительный корень в интервале ]а, +со[.
4 По формуле конечных приращений Лагранжа при х > а получаем
f(x) = A + (x-a)f'((i(x)), а < ft < х, (1)
f'(x) = f'(a) + (x ~ a < ft < x. (2)
Из условия f"(&) 0 следует, что f’(x) < 0 при x > а, поэтому функция / убывает на
интервале ]a, +оо[. Из формул (1) и (2) находим
f (т) = А + (х - a)/'(a) + (х - a)(ft - a)/"(ft(ft)). (3)
В силу условий /'(а) < 0, /"(ft (ft)) 0, из формулы (3) следует, что при достаточно большом
ха > а значение функции отрицательно. Поскольку функция / непрерывна на сегменте
[а, хо], то по теореме Коши о промежуточных значениях существует такое ц €]а, хо[, что
/(xi) = 0. Функция / не может обратиться в нуль ни в какой иной точке, отличной от г,,
так как убывает на интервале ]а, +оо[. ►
112. Функция f называется выпуклой снизу (сверху) на интервале ]а, Ь[, если для любых
точек ц и х2 из этого интервала и произвольных чисел Ai и Аг, Ai > 0, Л2 > 0, Ai + А2 = 1,
имеет место неравенство
/(Ат + Агхг) < А^ц) + А2/(хг)
(или соответственно противоположное неравенство
/(Ani + Агхг) > A1/(rJ) + Аг/(хг)).
Доказать, что функция f выпукла снизу на ]а, 6[, если f"(x) > 0 при а < х < Ь, и / выпукла
сверху на ]а, Ь[, если /"(х) < 0 при а < х < Ь.
4 Пусть f"(x) > 0, х €]а, Ь[, и пусть Ai > 0 и А2 > 0 — произвольные числа, удовлетво-
ряющие условию А[ + Аг = 1. Если Xi и х2 — любые точки интервала ]а, 4[ и ц < х2, то
точка AiXi + АгХг, очевидно, лежит между ними. По формуле Лагранжа имеем
f(AiXi + Агхг) - f(xi) = Аг(х2 - zi)/'(ft), (1)
где xi < ft Aiii + А2хг, и
/(хз) - /(Aixj -I- Агхг) = Ai(x3 - xi)/'(ft), (2)
где AjXi + А2х2 < ft < х2. Умножая левую и правую части равенств (2) и (1) на Аг и Aj
соответственно и Вычитая из первого полученного равенства второе, находим
W(x2) + Ai/(x!) = /(AiXi + А2х2) + AjA2(x2 -®i)/”(ft), (3)
ГДе $i < ft < ft- В силу условий Ai > 0, А2 > 0 и /"(ft) > 0, имеем
Аг/(х2) + Ai/(xi) > /(Ain + Аг®г),
т. е. / выпукла снизу на ]а, Ь[.
Если же /"(х) < 0 на ]а, Ь[, то функция : х •—. —/(х) по доказанному выше выпукла
снизу на Ja, Ь[, в силу чего имеем
Aip(xi) + А2р(х2) > 9?(AiXi + А2х2),
откуда Aj/(xi) + А2/(х2) < /(Aixj +А2х2). Полученное неравенство показывает, что / вы-
пукла сверху на ]a, fe[. ► ,
113. Показать, что функции <pi : х >-»• xn (n > 1), ^г : х es, 933 : х xlnx, х > 0,
выпуклы снизу ца интервале ]0, +оо[, а функции : i м in (0 < п < 1), у?г : ® ь- In х
выпуклы сверху на интервале ]0, +оо[.
•4 Дифференцируя дважды данные функции, находим
'Pi («)=«(« Рз(®) = А <Р&'(®>=р 1&;'(х) = »(п - 1)х”-2,
При х G J0, +оо[ имеем р"(х) >0 (/ = 1, 3), ^'(х) <0 (k = 1, 2), поэтому, на основании ре-
зультата, полученного при решении предыдущего примера, можем утверждать, что функции
<р} выпуклы смкэу^ а фуйкцкн фи выпуклы сверху на интервале ]0, +оо[. к
$ 7. Напраялекже мыпуслоеп графвжа фунжцк, 163
114. Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна н имеет ^одно-
сторонние левую и правую производные.
Ч Предположим для определенности, что функция / выпукл* снизу н* интервале ]а,‘ Ь[. В
силу ограниченности f на ]а, Ь[, Эе > 0 такое, что |/(z)| с. Пусть zo € ]а, Ь[ и приращение
аргумента h > 0 в этой точке взято такое, что точки хо — h и zo + h также принадлежат
]а, Ь[. Поскольку f выпукла снизу, то справедливо неравенство /(»о+ А) + /(хо — А) > 2/(хо),
которое перепишем в виде
/(») - f(zo -Л) < f(x0 + h)-f(xa). (1)
Из неравенства (1) получим систему неравенств
/(хо - kh) - f(xa - (k 4- 1)Л) < f(x0 + h)~ f (хо) <
< /(z0 + (к 4- 1)Л) - /(z0 + kh), к = О?»"^1, (2)
при условии, что точки хо — (к 4- 1)А, ю 4- (к 4- 1)Л (к = 1, п — 1) принадлежат интервалу
]я, Ь[. Суммируя неравенства (2) по к от 0 до п - 1, приходим к неравенству
/W-/(«»-'>) € /{1о + ч_ /(1о)< /(». + »>.)-/(..) . (3)
из которого, принимая во внимание ограниченность функции /, получаем
№• + 4) - Д»»)1 < 7- (4)
Каким бы ни было е > 0, при всех и > [^] имеем
1/(хо 4- Л) - f(xo)| <с, (5)
если h удовлетворяет условию
Л , Г Ь - х0 хо-<И
О < h < пил |, --------!> .
Непрерывность функции / в любой точке интервала ]в, Ь[ доказана. Докажем существование
односторонних производных функции. Пусть h > hj > 0. Тогда справедливы неравенства
ах /(ю + hi)- /(хо) /(хр 4- А) - /(хо) /(х0-Л1)-/(х0) /(хо-Л)-/(хо)
а) - < ---------, б) --------------- > ---------------.
В самом деле, записав Aj = 6h, 0 < в < 1, видим, что неравенство а) эквивалентно неравен-
+ Ц + (1 - 0)/(ю) > /(ю - 4,),
а неравенство б) эквивалентно неравенству
е/(то - А) 4- (1 - #)/(х0) > /(хо - /И),
каждое из которых справедливо в силу выпуклости снизу функции /.
Таким образом, функция h /X*») убывает при h >-» 4-0 и ограничена снизу
числом <х функция : h —» возрастает при h —» 4-0 и ограничена сверху
числом Поэтому существуют пределы
Дто^(А) = /;(х0), ^^(Л) = Л(х0). ►
115. Доказать, что если функция f дважды дифференцируема в бесконечном интервале
]хо, 4-оо[ и 1Ьн /(х) = 0, Em /(х) = 0, то в интервале Iiq, 4-оо[ имеется, по меньшей
л—Io+0 х— +оо ' '
мере, одна такая точка что /' (£) = 0.
Ч В силу выполнения условий задачи 81, в интервале ]х0, 4-°°[ 3$i такая, что /'(fi) = О
Поскольку /(г) = о(х) при х----|-оо, то на основании решения примера 93 заключаем, что
Um |/7х)| = О
Тогда, в силу примера 81, в интервале ]^i, -|-оо[ такая, что /”($) = 0. ►
164 Гл. 2. Дифференциальное исчисление .функции одной переменной
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интервалы выпуклости следующих функций:
254. f : х I—► (1 + г2) е~х + х. 255. f : х arccos ^2Х + ~
256. f -.х -5х. 257. f : х - 1 + Зх.
258. f : X — У, г = (f + I)2, у = (t - I)2. 259. f : X У, х = sht - t, у = ch t - 1
260. f : X -> Y, x = tint, у = -6e.t - 3t2.
261. f : X — У. x = (1 + t)7, у = (1 +<)1+Л 262.
263. f : p *— p = p — p2, (p, p — полярные координаты).
264. Исследовать направление выпуклости графика функции f : X —» У, заданной неявно
уравнением х3 — у3 — Зх2у — Зу + 1 = О в окрестности точки М(—1, 0).
265. Исследовать на перегиб в нуле графики следующих функций'.
. , Г х3 sin 7, х 5^ 0, , ( х5со?7, х^О,
‘ Л»: о, 1 Л».
266. Пусть f — выпуклая снизу на интервале ]а, Ь[ функция. Доказать, что
*-)<1№,)+№,)+„ + /(1п)),
где а < Xi < Х2 < ... < хп •= b, п 2.
Используя неравенство предыдущего примера, доказать неравенства:
207. +
268. yi\x2 ... хп ^(xi + Х2 + . • + In), X, > 0, » = 1, п.
269. а) 1а +2в+ ... +па п(=±1)“, ft>l,n€N;
6) 1 + 7+ ... + 1 “ (l+X+...+i);iOl1n€N.
270. --+s3 +2 > (г±|±£)"1 т > 0, у > 0, ± > 0, х / у, х / г, у г, n > 1.
Доказать неравенства:
" (_n*-i
271. 52 1 fa > 2 ПРИ « > ”0 > !•
Указание. Использовать выпуклость вниз графика функции
/ : х >-* х > О.
272. £ > 0 при 0 sg I sg т.
*=i
Указание. Рассмотреть функцию f : ® w- 5Д **\* при 0 < я < тг.
273. Доказать, что сумма конечного числа функций, выпуклых вниз, есть функция, вы-
пуклая вниз.
274. Доказать, что функция f : х 1-» lim /п(х), х €]а, Ь[, где /1, /2, ..., fn, -. • —
1 1 - ’ ft—об''! '
выпуклые вниз на ]а, 6[ функции, является выпуклой вниз функцией.
275. Доказать, что если: 1) р, 0 и pi +.Р2 + .. - +рп > 0; 2) функция f непрерывна и
выпукла снизу, то
f (Р1*1+рз*з+- +р,хп\
J \ Р1+Ра+ +Рп ) '' Р1+Рэ+--+Р»
(неравенство Йенсена).
276. Доказать, что если функция / :] — 00, -+-оо{—» R непрерывна и выпукла снизу, то
3tp : х I—» ах + Ь (а, Ь € R) такая, что V® €] ~ оо, 4-оо[ справедливо неравенство
/(i) > ах + Ь
§7. Налрявлени^ЬЫпутьл&йГН грйфжьл•ф'лИ’ЦМ*-
165
277. Число A € R называется вторыН производным чийлеа Шварца функции f в точке
х, если 3(еп) такая, что Iim еп = 0, ^п,> 0у и ,. •• .. , . . ,,
А = .!-<1 зг +*") -+к* ~
Доказать, что если все вторые производные числа Шварца непрерывной функции f неотри-
цательны, то эта функция выпукла вниз. ' , (
278. Доказать, что если f — выпуклая вниз функция такая, что a f(x) Ъ Ух € (о, Д],
и h — возрастающая выпуклая вниз'функция, определенная на [а, /?], то сложная функция
д : х I— h(f(x)) также является выпуклой вниз.
279. Доказать, что если Д, fa, ... , /п — выпуклые вниз функции на ]в, >[, то функция
/ : г н-» шах /, (х) также выпукла вниз на ]а, J[.
280. Если: 1) функция f :] — оо, +оо[— R выпукла вниз; 2) /(х) >0 Ух / 0; 3) Зр > 1
такое, что f(6z) = 0,’f(x), х б] — оо, +оо[, и Уб 0, то функция h : х н-• (/(х))₽ является
выпуклой вниз на ] — оо, +оо[.
__
281. Пусть th 0, а, > 0 (i = 1, к), в, = 1. Доказать, что
П»?'<£«.»
1=1 1 = 1
Отсюда, в частности, вывести, что
аЧ1'* < 0а + (1 - в)Ь Уа, Ь>0 (0 < 0 =$ 1).
282. Положив в предыдущем примере
получить неравенство Гёльдера для сумм
где х3 > 0, у} > 0. ___
283. Числовой областью постоянной матрицы А = (atJ), где а,} € С, », j = 1, п, называ-
ется множество всех комплексных чисел вида
’ = £1*.12 = 1.
1=1J=1 1st
где х3 = а, + гр}. Qj, !3} € R (i2 = -1).
Показать, что для любой матрицы А граница числовой области G на комплексной плос-
кости z является выпуклой замкнутой кривой, т. е. отрезок, соединяющей любые две точки
кривой, погружен в G.
284. Матрица А = (a.j). i, j = 1, п, называется эрмитовой, если А‘ = А (т. е. «•,, = а,,)
Показать, что матрица А является эрмитовой тогда и только тогда, когда ее числовая область
представляет собой отрезок действительной оси.
285. Пусть 1 $ р 2 и а,, Ь, > 0 (• = ], п). Тогда
Ё(«. + ь.)р fx tv
Ё(». + М’-‘ ' fx” + tv
166
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Доказать это.
286. Множество М СЕП векторов f называется выпуклым в Еп, если Vfi, fa £ М A V# £
[О, 1] 3f Е М : tffi + (1 - 0)f2 = f. При этом множество векторов {0fi + (1 - #)fa. О $1 в $1 1}
называется отрезком, соединяющим векторы fi и fj.
Показать, что множество векторов
М = {£ {f = (i, у), f £ Е2, I >0Л у 0, |f| 1}
является выпуклым в Е2.
287. Показать, что множество М = {f | f =s (sin х, cos i), f £ E2, 0 5$ x €( j } не является
выпуклым в Е2.
288. Показать, что множество
М = {f | f = (хь х2, ... , хп), f £ Еп. |f| 5$ 1}
(единичный шар в Еп ) является выпуклым множеством в Еп
289. Пусть задана функция f : U С Еп ь-» R, где U — выпуклое подмножество. Функцию
f будем называть выпуклой на U, если Ух, у € U A V0 £ [0, 1] справедливо неравенство
/(«х + (1 - 0) у) < «/(*) + (1 - 0) Л У)-11
Показать, что функция / . х н-• |х|, х 6 Еп, выпукла на Еп,
290. Доказать, что если f — выпуклая на U С Еп функция, то Ух, £ U (х, = (ц,, Х2>, • • ,
inI), х, € Еп Vi = 1, п) выполняется неравенство
/ (£>*)«
где а, 0, i = 1, п, и — 1 •
291. Доказать, что если f — выпуклая на U функция и г £ R, то подмножество .5’ С U
всех векторов х, для которых /(х) «С г, является выпуклым.
292. Показать, что если компоненты /Дх) вектор-функции f являются значениями вы-
пуклых функций i = 1, п, на некотором отрезке [а, Ь], то функция F : х —• (f(z), А), где А
— любой постоянный вектор, А = (Alt Аг, ... , Ап), А, 0, из Еп, также выпукла на [а, Ь].
2Q3. Показать, что если элементы a,j(x) матричной функции А г х ►-* (а,у (х)), х £ [а, Ь],
являются значениями выпуклых на [а, 6] функций а,} : х и— а,)(х'), то для любой постоян-
ной матрицы 0 с неотрицательными элементами функция F : х н-• (А(г), В), х £ [а, Ь],
также выпукла. Под скалярным произведением матриц А и В понимаем величину (А, В) =
= 12 , где Ь,} — элементы матрицы В (проверить выполнимость аксиом скалярного
произведения в fn).
294. Пусть функции а, : х •— аДх), Ь, : х i—► i,(z) неотрицательны, выпуклы и возрастают
на (а, Ь] Vi = 1, п. Показать, что в этом случае функция F : х (а, Ь)— скалярное
произведение векторов а = (аДх), ... , ап(х)), Ъ = (bj (х), ... , Ьп(х)) — выпукла на [а, Ь].
§ 8. Раскрытие неопределенностей
8.1. Раскрытие неопределенностей вида %. Первое правило Лопиталя.
Если функции fug определены в некоторой окрестности точки а (х а), где а —
число нли символ ео, и при х —* а обе стремятся к нулю, а производные f и д' существуют
В случае, когда U — отрезок действительной оси, это определение выпуклости совпадает с опре-
делением выпуклости вниз.
$8. Раскрытие кеопределеяаостей -
167
в упомянутой окрестности, за исключением, быть может, самой точки к = а, причем одно-
временно не обращаются в нуль при я / а, и существует конечный или бесконечный предел
Нт . то
,_а 94*)
•-« д(х) «-а д (х)
8.2. Раскрытие неопределенностей вида Второе прявияп Лотггял».
Если функции f и д при х —> а обе стремятся к бесконечности, а производные /' я д'
существуют для всех х, принадлежащих некоторой окрестности точки а и отличных от а,
причем (/'(х))2 + (у'(®))2 ^0 в упомянутой окрестности и а, существует конечный или
бесконечный предел
то
Найти пределы:
116. lim +
X— 1 1—1
Ч Функции f : х >— xl+1(ln
следующим условиям:
1) lira f{x) = lim д(х) = 0;
2) их производные f1 : х i-» xl+1(lnz + 1) (1 + £ 4-Inт) + х* — 1, д' : х •— — 1 существуют
при х > 0;
3) существует lim = -2: 4) (/'(т))2 + (У(*))2 / ° ПРИ x > °-
Следовательно, применимо первое правило Лопиталя, согласно которому имеем
г g + 1) -g .. f'{x)
lim ----»---------- = lim ' < = —2. ►
i —i 1 - x t—i у'(т)
117. lim x*~x .
.1 — 1 In X — I + 1
Ч Функции f : x • xx — x и g : i м In x — x + 1, x > 0, x l, удовлетворяют следующим
условиям:
1) lim f(x) = lim j(x) = 0;
2) производные f’ ; x i-^ ix(lnx + 1) - 1 и g' : ih- - -1 существуют в достаточно малой
окрестности точки х = 1;
3) (/'(я))2 +(у,(1))2 / 0, х / 1, в указанной окрестности;
4) согласно предыдущему примеру, существует конечный предел
f'(x) xs+1(lnx + 1) - X
lim ——= Inn ---------i------------= —2.
x—i g'(x) x—i 1 - x
Следовательно, применимо первое правило Лопиталя, и мы имеем
f(x) ,. I-*+l(lni + 1) - X
lim ——- = lim ------ь----------= -2. >
x— I ^(x) x — 1 1 — X
118. w — lim - f-7-----— .
x —0 X \ til X tg X )
•4 Преобразуя функцию u ; x >— - , z £ R\{C}, к виду и : x н- ch * ~‘*n
замечаем, что функции f : х ch х sin х — sh х cos х, д : х <—> х sh х sin х удовлетворяют усло-
виям первого правила Лопиталя. Поскольку существует
.. /’(z) r 2shzsinx .. 2^^ 2
х—о у'(х) I— о sli х sin х + x(ch х sin x + sh x cos x) x—a .j. i!L5. СО8Ж 3
то, согласно указанном}' правилу, w = j. ►
168
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
119. w= lim fe'^i-100,
»-+o
4 Поскольку для вектор-функции
то находим пределы каждой из компонент в отдельности. Имеем
-2_ »/50
Кт е. х3х-100 = Кт — = 50! Кт е~у = О
х—о i—4-со —+ оо
(здесь второе правило Лопиталя применено 50 раз).
Для второй компоненты предварительно применяем представление wv = e’Jln u, w > 0, и
проводим некоторое преобразование с тем, чтобы можно было воспользоваться правилом
Лопиталя:
lim г’*"1 = lim e*‘" '( ) = f"‘.
«-+0 *—+0
(Здесь мы воспользовались непрерывностью функции i i- е* и теоремой о пределе произве-
дения). Для нахождения а = Km xln2x = Пт -Лгт- применяем второе, а для нахождения
х—+0 X—+о ®
Ь = Пт *—:-----
х_+0 г1°®
— первое правило Лопиталя. Имеем
1п2т ,. 21ni
hm ----— — цт -------- = [jm
г—+0 X-1 ®—+о — X-3 х—+(
Em = 0,
—»-i
ех10® —1
Кт ----;----
»—+о xlni
г е - 1
Кт —-—
е—-о t
Поэтому окончательно w = (0, 1). ►
120. ™ = (Очгтт)’-
4 Для нахождения предела вектор-функции вычисляем пределы каждой из ее компонент.
Поскольку компоненты представляют собой степенно-показательные выражения, то приме-
няем представление = «**““, u > Q, и, приведя соответствующие неопределенности к виду
пользуемся правилом Лопиталя. Имеем
§ 8. Раскрытие неопределенностей
169
где
z— lim zln(thx) = lim —2 lim ~ — 2 lim — = 0.
x—+oo я—+oo _ -ly x—4«o'ah 2« »—•+<» ch 2x
Следовательно, w = ^1, e . ►
121. Найти предел матричной функции ‘ ’ 1 ‘
при х —’ 0.
4 Поскольку lim Л(т) = Qim aM(z)) , где tty(z) — элементы функциональной матрицы
A(z). то вычисляем предел данной матрицы поэлементно. Имеем
где z = lim
Применяем правило Лопиталя
x x cosz — sin z
z — hm -—;----------------------= hm
lim
x cos z — sin z
x— o2zsinz z2 b 2r3
Аналогично получаем для всех других элементов:
/arctg х \ ТТ - In
—x sin x
- hm ——s—
x—0 6z2
— aictg x
Iz3 =
_ lim »-(!+C)arclei
lim
In
lim —
2z3
. х — Arsli x
—2х aictg х
6х2
2z3
lim
lim
—x Arsh x
Зх2
— lim --------
6
(здесь введено обозначение u(x) = л/1 4- %2 Arsliя);
lim
In
lim —
ln(l + z) — X
= hm —1-------T2------
Итак, окончательно имеем
2x
lim
lim
122. lim f—-------—Y
г-.о \ x ex - 1 /
4 Неопределенность оо — оо приводим к виду
q, получим
- 1 - X
и, дважды применив правило Лопиталя, имеем
liin
= liin
170 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменкой
о
4 Неопределенность 1°° приводим к виду ео , получаем
и, применяя правило Лопитаяя, имеем:
.. ‘"ГН ,
lim , — bm
аг—о th® х— О ch X
Таким образом, w — ез. ►
124. Исследовать на дифференцируемость в точке х = 0 функцию
Г----~г, если х =£ 0;
( если х = 0.
< Исследовать на дифференцируемость функции в точке х = 0 означает установить су-
ществование конечного предела
/'(0) — lim * ~ ~ . (1)
Предел (1) будем искать по правилу Лопиталя, для чего мы должны убедиться, что чи-
слитель в (1) стремится к нулю при х —» 0. Проверка с применением правила Лопиталя
показывает, что
/1 1 IX .. 2е*—2 — х — хе* ет -1 - хе* 1 -хе*
e'-l aJ-JS 2»(е«-1) 2(е*(1 + »)- 1) “ 2 2е- + ге» '°'
Применяя к (1) правило Лопиталя
Итак, в формуле (1) имеем неопределенность вида
трижды, подучаем
- ~ ~ □ .. 2е* — 2-х — хе* .. 2е* ~ 1
“-о х ““ 2г2(е«-1) x-o4i(e’-l) + 2®2e* ~
_ .. __________—хе*__________ |jTn —е*(х 4-1} _ 1 , _ 1
~ s-o4(ex - l) + e®(&x+2i3) ” (12 4- 12х + 2х2) е* ” ”12’ * ~ “12
125. Найти асимптоту кривой
ш>0-
< Уравнение наклонной асимптоты имеет вид у == кх 4- b. Использовав уравнение кривой,
находим к и А:
, .. Xя 1 1
к = шп 7-------— = hm --------гтт- =
.-+»(1 + х) —+»(! + -) е
6 = Л?» ((iTJF - ?) -.“?«' ((ГТ17 -1) = ? 1 (е - 0 + I) ’) =
~ ~ lim I -—С-t-)- J = Л lim (1 4-1)7 ( 1 - 1п(1 4-=
е2 1—4.0 \ t i ег »—+о \t(t4-l) t2 4 'J
= _J_ Цт Um -ln(14-t) = _I_
e2 <-+o t2(14-t) eJt-+o 2t 4- 3t2 2e’
Таким образом, получаем уравнение асимптоты у = 4- —. Обоснование законности
многократного использования правила Лопиталя мы предоставляем читателю, к
$8. FacKpyr»»—ои)Н1д>1 жививствй-.ч--г1‘|.!-Г 171
126. Возможно ли применение правил* Лопиталя к пределу > -• ,
z2sin -
lim —;----*- ? ь
«—о smz
-4 Функции f . z х3 ш 1 и 0 : х w mz„ х £ R\{0}, определены и непрерывны в
окрестности точки х = 0 (исключая точку х ж 0); их производные f : х •— 2г пв j — cos - к
д' . х н- cos х одновременно существуют при х / 0; выражение (f*(r))2-Ц* (j'^z))3 ==ч!М^« 4-
cos2 - — 2х sin j Ч- 4®2 sin2 j 0 при г 0 и
(1)
Поскольку lim (2хsin j) (cost) 1 = 0, a lim (сое-) (см»)_| не существует, то предел (1)
также не существует. Следовательно, применение правила Лопиталя в данном примере не-
возможно. к
Отметим, что
z2 sin - х / 1 \
lim —:------- lim lim I z sin — I = 0.
i—о sin z ,-osmi *—о \ X/
127. Найти
. . / 1 sm *
det I * . . i
\ e - 1 1 + z
lim-----------
M'"' ‘V
\ sh z e
4 Данные определители как функции переменной х удовлетворяют всем условиям пра-
вила Лопиталя в некоторой окрестности точки х = 0. Поэтому, применяя правило, получаем
Упражнения для самостоятельной работы
Найти следующие пределы:
29s- “s 2»9- й
300. lim -#3+J+2 (^-1-7 - 4------
x-1 У^ + вх-З ^(*-1)’ i* J
ЗП- Ь (^<b> - Д + ’02- to (1 + + i).
399- J“ + £ + _________ _____________
304. lim (-v^z4 -j- z3 4- 2z + 1 — y/4x2 + z + 1 + y/x& 4- ax* + 1).
305. lim . 306. lim . • 307. lim .
I-+M(1“’)' + 2 x->+Q (Щ*)*'»* X-+OO *'* '
172 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
30S. ' li„,~ .in (> M«g №1) .309. lira (”
( arcsln 1 \ 33 _ I ar3h X X ~^2
314. lim ——-—L—„ 1 -—. 315. Lim sinI(l-rT). 316. lim tg^l-r1)
r—C 1 3 —+ Q Л — + 0 '
317. lim 318. цд 319 h
x—+o 3 -1 я—+o arcsin(ex —1) j — 4-0 (1°(1+ 3))* -
320. lim f, ‘ 321. lim f V/0”J - 322. lim ‘^Ji . g > 0.
z_0 Vn'/r+T XJ x-0\*”sln*/ ,-+« **-3 1
328. Пусть функции f и g в некоторой окрестности U точки а, за исключением самой
точки а, имеют производные до (п4-1)-го порядка включительно. Пусть, далее, выполняются
условия:
1) lim f(x) = lim /'(г) =... = lim /(п)(i) = 0;
т—a X"»a x—»a
2) lim g(x) = lim g'(x) = ... = lim /"hr) = 0; 3) 3 lim Л—= I, I € K;
x—a x — a ' , x —a ' ' x—a 9'
4) производная /n+,>(r) / 0 в окрестности U. Тогда
.. Цх) fn^ix)
lim ; { = lim —7—гттт-т-
«-с y(x) x-a /п+1)(Е)
Доказать это.
329. Пусть функции f и д в некоторой окрестности U точки а, за исключением самой
точки а, имеют производные до (п-М)-го порядка включительно. Пусть, далее, выполняются
условия: '
1) lim f(x) = lim f{x\ = ... = lim /^"^(r) = +00;
x—a x—a x—a
2) lim y(x) = Um д'(х) s ... = lim /п'(х) e +00; 3) 3 lim =1, I € R:
x—a x—a x—a x—a Я* ’\x)
4) производная / 0 в окрестности U. Тогда
Доказать зто.
< - ..r«n'.t-v<-,й/ъи; 173
§ 9. Формула Тейлора
9.1. Формула Тейлора на промежутке.
Пусть f ;]а, Ь[— R и 3/^+^ на Ja‘, 6['. Тогда ¥x?.zv €]а, Ь[Л Vp > О Э0 такое, что спра-
ведлива следующая формула:
/(г) = /(го) +,/'(го}(х -(^о).+ ... + — “ ®о)П + &»+»(*)•
где - ,
Л„+1(х) = + *(х - х0)), 0 < & < 1, (1)
(остаточный член в форме Шлемильха—Роша). Из (1) при р = п + 1 получаем остаточный
член в форме Лагранжа
Л»+1(«)= + «.(•-«о)), 0<Л <1,
а при р = 1 — остаточный член в форме Коши
(х~*°) 4 (l-fa)"/-tl)(»ii + ft(«-»o)), 0 < fa < 1.
9.2. Локальная формула Тейлора (или формула Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано).
Если функция /, определенная в некоторой окрестности точки го> Имеет конечную про-
изводную /^(го), то справедливо представление
/(г) = f(xD) + f'(xo)(x - Гр) + ... +/О)(го)^ ~ +о((х-хо)"),
X —» го-
9.3. Пять основных разложений.
Положив во всех формулах Тейлора пунктов 9.1 и 9.2 хо = 0, получим соответствующие
'формулы Маклорена Из локальной формулы Маклорена вытекает пять основных разложе-
ний:
I = } + £+^. + . . +£ + о(хп), г — 0;
II. «. = .-;?+ »(х3”), « -. 0;
III. co,1: = l-£+...+(-l)»gr+»(I3"+'), х -. 0;
IV. (1 + г)'" = 1 + ш + + ... + ’"(’"-И’"-3) - + о(1») х 0.
V. 1п(1 + ,)=1-^+ ... +(-!)-' ^+«(х”), г-0.
9.4. Формула Тейлора для вектор-функции.
Пусть вектор-функцкя f :]а, fe[—» Ек имеет производную (в + 1)-го порядка на ]а, Ь[.
Тогда Vx, ю !>[л > 0 , j = 1, к, такие, что справедлива формула
ОД = £ - «)' + R„+1(x),
где Г(г) = (Л(г), Л(х)./ОД),
одод = (я;,+1, Я’+1....•’
’ Рз
Для вектор-функции справедлива локальная формула Тейлора.
Написать разложения следующих функций по целым положительным степеням перемен
ной х до членов указанного порядка включительно:
174
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
128. f : х до члена с х*. Чему равно /^(О)?
1 — г 4- х*
◄ Представляя значение функции / в виде
и пользуясь разложением IV
(1 + !3)-1 = 1 -га + .>(rs), z —О,
получаем
/(l) = 1 + (2х + 2х2)(1 - х3 + о(хь)) = 1 4- 2х + 2х2 - 2т4 + о(х4), х — О
Сравнивая полученное выражение с разложением в общем виде (см. пункт 9.2), находим
= —2, откуда /<4*(0) = —48. ►
129. г2а~х до члена с х5 .
4 Полагая t = 2х — х2 и используя разложение I, имеем
г ,з л .5
«' = 1 + < + 57 + ^ + ^ + 5Т+‘>('5) =
= 1 + (2* - »2) + Ji(2s - г’)2 + + i(2« - + °(*'У г - О,
(мы учли, что o(t3) = о(2х — х2)5 = о(х5) при х -* 0). Выполняя далее соответствующие
действия и записывая в разложении члены до хь (г6, х7, ... вносим в о(хь)), окончательно
получаем
e2i-s = 1 4- 2х 4- х3 — jx3 — ^х4 — jT'S6 + о(х5), х —» 0. ►
130. ^зш х3 до члена с I13.
4 Положим х3 = t и воспользуемся разложением функции sint по формуле Маклорена.
sint = t - -t3 4- -L-t5 4- o(t6),
6 120 ' h
а также разложением IV. Тогда получим
4 132. sin(sinz) до члена с г3.
$9. формула Тейлора . ,. . Н5
Пользуясь разложением II, имеем
1 г9
- -(г3 + о(т4)) + o(sin* х) = х - у + о(х4). ►
133. tg х до члена с х5.
4 Поскольку функция tg I нечетная, то ее разложение в окрестности точки х = 9 имеет
вид
tg х = Ах + Вх3 + Cxs + о(х6), х —► О, (1)
где А, В, С — коэффициенты. Записывая (1) в виде
sin х = (Ах + Вх3 + Схь + о(х®))cos х
и используя разложения II и III, получим
х3 х5 , в. . , / о А\ з /,, А В\ ь , в, п
х - — + —+ <з(х ) = Ах+ (В-yj х +(С + —-у^х +о(х ), X —0.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим
Таким образом,
х3 2
tgx = x + y- + —Xs+o(xe), X — 0. ►
134. Найти три члена разложения функции / : х >—► у/х по целым положительным
степеням разности х — 1.
М Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получим
/м = /(!) + /'(!)(» - 1) + - I)2+ »((!-1)а),
Затем находим
и, подставив эти значения в полученную формулу, окончательно имеем
/(•) = 1 + 1(г - 1) - 1(« - I)2 + »((! - I)2), X ~ 1. ►
135. Функцию / : х — ach —, а > 0, в окрестности точки х = 0 приближенно заменить
а
параболой второго порядка.
то /(х) = а + + о(х3). х — 0. ____
136. Функцию f : г ь- \/1 + х2 - х, х > 0, разложить по целым положительным
степеням дроби — до члена с —г.
X XJ
Ч Преобразовывая выражение V1 + —хи пользуясь разложением IV. получаем
17b
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
137. Функцию /
+оо[, разложить по формуле Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение вести в окрестности точки то = 1 и
найти первые три члена разложения.
◄ Искомое разложение имеет вид
fM - /(1) + /'(!)(« - J) + - if + -”’(1 +3У 1)1 (* - I)3 »<»< 1-
Найдем значение функции и ее производных в точке х = 1. Имеем
/(') = !- /'(1) = -^. Г(1)-4-
Таким образом,
/(») = 1 - -1) -- if + А'!1-1)3. ►
138. Пусть
rtl + A) = /W WW+ .. +^/1"’(г + вл). (1)
где 0 < 6 < 1, причем /п+1^(х) 0. Доказать, что lim в .
h—о п + 1
◄ Поскольку существует, то по формуле Маклорена с остаточным членом в
форме Пеано запишем
/(I + 4 = f(»)+W'W+...+^/<”,W+(^y;/<’'+1|W + <>('«"+1). Л — 0. (2)
Вычитая из равенства (1) равенство (2) и сокращая на имеем
f(n)(x + вй) - f(n+1*(x) , О(й)
Л n+1 + й ’
е = (, °W\ (
У п + 1 h J \ 6h у
Переходя к пределу при Л —• 0 в этом выражении и принимая во внимание. что /(п+!,(х) / О,
находим lim в = ——. к
h—o ’’+1
139. Пусть f € С<2)([0, 1]) и /(0) = 7(1) = 0, причем ЗЛ > 0 : |f"(x)| < A Vi €]0, 1[.
Доказать, что — Ух € [0, 1].
◄ По формуле Тейлора имеем
Л») = /(»)- х/'(») +/"(«1)у, 0<«1 <г«1;
/(1) = /(») + /'(«)(! -») + /"(Ь)^~,)8. о С ш < fe < 1,
откуда
rw = i (rw2 - . о<.<1.
Оценивая это равенство по абсолютной величине, получаем
|/'(.)|<j(b"-i.+ l), 0«х<1.
Но так как 0 2х2 — 2х + 1 1 при 0 х 1, то |/'(т)1 > что и требовалось доказать. ►
140. Пусть f — дважды дифференцируемая на ] - оо, +оо[ функция и
Мк = sap |/w(x)| <+ОО, i = o72.
- ’ ^9,<^<>ермужаТеш1ора
177
Доказать неравенство Му 2AfoJHa-
◄ По формуле Тейлора имеем
/(*<>) = f(x) + f'(j;)(xo - к) + 2 ,
откуда ,
l/(*»)l« l/(«)I + 1/'ЫН«» - *1 + +*у. » = |й - »!
Поскольку MG + М>у + ^Л/2?/2 > 0 при всех у, то Mi < 2AfoA/a. ►
141. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить:
a) sin 18°; б) arctg0,8.
4 а) Согласно формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа,
. ,о0 .х Я- 1 я3 1 5Г* ->
»18 _ + _._ + Лт,
где |Я7| < • Итак,
я о 31415Э fl _9,8И°°4 (M6S604H
10 \ 600 12 • 10* 7 600 12 -10s )
я 0,314159(1 - 0,016449 4- 0,000079) as 0,309017.
б) Применяя формулу,Тейлора, имёем при хо = 1
arctg 0,8 = arctg (т0 - 0,2) я arctg т0 - (arctg x)'|t=j:0 • 0,2 + - • 0,04 (arctg s)"|s=,0 —
- I • 0,008 (arctg x)"'!,.», я J - 0,1 - 0,01 - 0,00066 я 0,67474.
Поскольку (arctgx)(1'|J=I0 = 0, (arctg= 24 < l2 ПРИ 0,8 < $ < 1, то по
формуле остаточного члена в форме Лагранжа получаем оценку погрешности
|Я| < ^(0,2)5 < 3,2-10"5. ►
142. Вычислить'
a) cos 9° с точностью до 10~5; б) v^5 с точностью до 10”4.
4 а) Определим число членов разложения функции косинуса по формуле Маклорена для
достижения заданной точности Его можно получить из оценки остаточного члена в форме
Лагранжа. Так как 0<£=$^<^,т = ^,то
iff , |(<^)(2n+2|i^ т2п+2| < ^п+2 < in-5
1 2,1+21 | (2п+2)! \20/ | 202г*+2(2п + 2)! <
откуда п 2. Таким образом,
cos 9° я 1 - 1 ( —V + 1 ( — V я 0,98769.
2 \20/ 4! \20/
б) Функцию f : х <—> \/х, х 0, разложим по формуле Тейлора в окрестности точки
VT-2 + -4) - ^(х -4)! + i(x-4)s + ... +
’ +|-1):;£гз)!!^-4г+^,(х). „=м.....................
где
Я„+,(х)_
(2« - 1)!!(-1)"(х -4)-1-1
(п + 1)'2’“+1(4 +0(х - 4)),1+0'5’
0 < 6 < 1.
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Полагая в разложении х = 5, получаем
^=2+Ьй + ;п + -+<-1>"”1^! + я“-^
Из условия
|д^<5)|<(Л2.^<10'4
находим, что п 4. Тогда из (1) следует
Используя разложения 1—V. найти следующие пределы:
cos х - exp I - -г I
143. Шп -------, V • 7 .
x—0 X4
◄ Применяя разложения I и III, получаем
144. Шп (\/хб + г5 - \/х6 - I5).
◄ Преобразовав выражение, находящееся под знаком предела, и применив разложение
IV, имеем
1 ле 1 - (cos z)
145. Шп---5—.
«—о х3
◄ Пользуясь представлением uv = е'1п“, и > 0, и разложениями I, V, находим
lim x-3(l-esinx,nc04*)
х—О 4 '
1 — (1 4- sin т In COS X 4- o(z3))
hm »----------------------——
x— 0 Z3
lim
sin2 z + o(r2)
z2
146. w = lim z 3(sh (tg z) z).
4 Здесь применяем разложение I, а также используем разложение tg z = z + ~ + o(z*).
Имеем
„ = Hm + = hm »+g + <.(»’)+4 + °(*a)-* = 1 „
x—о z3 *—о z3 2
Для бесконечно малой при х —♦ 0 величины у определить главный член вида Схп (С —
постоянная):
147. у = tg(sin г) — sin(tgz).
4 Прежде всего установим разложение
tg» = » + + ^»‘ + & + »(»'), »->0.
J 10 .ПЭ
$ 9-Формула; Тейлора
Действительно, представляя tgx в виде sin x (cos х) 1 и используя разложения II—IV, полу-
чаем
tgi — sin х(1 - sin2 г)-2 = sinx + ^sin3 x + |sin5x + -^sin7 1 + <*(**) =
что и требовалось доказать. Используя эту формулу, а также упомянутые разложения, полу-
чаем
. , . , . .. , sin3 х 2.5 17 . 7 te3x
у = tg (sinx) — sin(tgx) = sinx + —----1- — sin x + ——sin x - tgx + -----
3 15 315 6
откуда Cx’‘ = j^. Следовательно, C = ~, n = 7. ►
148. у = (1 + x)1 - 1.
4 Применяя разложения 1 и V, получаем
У = eI,n|-1+l’ — 1 — х ln(l + х) + о(х!) = х ^х — + о(х2)^ + о(х2) = х2 + о(х2), х — 0.
Итак, <?хп = г2. (Зледовательно, С = 1, п = 2. *
149.
◄ Используя формулу uv = evln u, и > 0, а также разложения V и I, находим
150. Подобрать коэффициенты А и В так, чтобы при х —» О было справедливо равен-
ство
4 Имеем
cos z 1 + Ах2 5
ctgx = ----= — +О(х ),
sin I х + BxJ '
откуда (х + Вх' ) соъ х — (1 + Ах2) sin х + О(х7). Используя разложения II и 111, получаем
(х + Bi3) (1 - + О(х6)^ = (1 + Ах2) + ip + О(»’)) + O(i’),
откуда
Г _ £_ + ii + О(Т7) + Вх3 - В— = х - — + — + O(rT) + Al3 - -X4 s + О(х7).
2! 4! ' ' 2 6 120 v ' 6 ' ’
180 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Следовательно, -1+В = Л-|, ~ ~ у, откуда Л= -|, В =►
151. При каких коэффициентах Л, В, С и D справедлива при х ~~ 0 асимптотическая
формула
< Имеем
еЛ(1 + Сх + Dx2) = 1 + Ах + Вх3 + О(х5). (1)
Поскольку е* = 1 + х + ^-+^- + ^- + О(х5), то из (1) получаем
2 3 4 \
1 + X + ~ + у + + °(*5) ) (1 + + Dx2) = 1 + Ах + Вх2 + О(х5),
откуда, записывая в разложении члены до х4 включительно, находим
1 + С1 + О12 + 1+С»2 + От’ + р+уг + ут* + ^ + ^* + ^ = 1 + Л1+В12+О(т’).
2 2 2 оо 24
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе урав-
нений:
решив которую, получаем
152. ('читая |х| малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следу-
ющих выражений:
4 а) Пользуясь разложением IV, получаем
= (* + Г - Р +’('">) (’ + Г + Р + -
- (’ - J1- p + “(l2)) (' - Ь + Р +“(l2)) = J1 + »(l!) ~ p
б) Применяя разложение V, приходим к приближенной формуле
In 2___________In 2______ 100 In 2 __ 70
ln(1 + 7^) “ 150-2^+^)“ X
153. Вектор-функцию f : i н (1, arctg x'j , x € R\{0, —2), разложить по целым
положительным степеням бинома х — 1 до члена с (х — I)2 включительно.
4 Искомое разложение может быть получено в результате применения формулы Тейлора
для вектор-функции (см. пункт 9.4):
f(.) = f(l) + f'(l)(. - 1) + I Г(1)(» - I)2 + R,.
Поеко«ь«у f(l) _ (1, 1, f); f’(l) = (-1, J, 1); f"(l) = (2, -X -1), to
=Pt i)+(-*• ! I) <* - !>+(>• -P - j) (• - +
где R3 — остаточный член в какой-либо форме. ►
. ..-$&^op»QraaTeiapp^,;i крин...l. , Щ.
Упражнения для самостоятельной работы
Разложить по формуле Тейлора следующие функции: -. , .
330. f :хы (sinx)s,na, х > 0, в точке ю = 1 До чДена с (х — 1)а включительно.
Остаточный член взять в форме Пеанр., •'
331. / : х tg (х + х2) в точке хо = 1 до члена с (х — I)2 включительно. Остаточный
член взять в форме Пеано.
332. f : х >-> х > 0, вдрчке = 1 до члена с (х —I)3 .включительно, ОстаТо'&ый
член взять в форме Пеано.
333. f : х >— хе-®2, х € К, в Точке х0 = 2 до члена с (х - 2)2 включительно. Остаточный'
член взять в форме Лагранжа.
334. / х х arctg х, z ЕЙ. в точке хо = 1 до члена с (х —I)2 включительно. Остаточный
член взять в форме Коши.
335. f : х н* \/1 - х2 arcsin х, |х| < 1, в точке хо = 0 до члена с х5 включительно.
Остаточный член взять в форме Пеано.
336. f . х >-► (cos(sin х), sin(cosx), esini), x € R, в точке x0 = 0 до члена с х*.
337. f : х >-> (fi(x), f2(x), /з(х)) в точке хо = 0 до члена с х5, где
Л(0) = 2;
/г(х) = , х £ 0, f3(0) = f3(x) = arshх.
Пользуясь локальной формулой Маклорена, получить разложения по целым положитель-
ным степеням х до членов наибольшего или указанного порядка включительно следующих
функций:
ччв г , / 3'Ь fiil1 Г, т6 °,
338. / .х~ о, ^ = о
339. f • х t— 'VL Справедливо ли разложение
е^1*' = 1 +x3|x| + £+ - Ч-.^Ц^+оСх4")?
340. f : х н— < е 1 # 0, (до члена с х10).
[О х = 0
Справедливо ли разложение
f 1 X2 2х* ’ * + ( !) п!х2п + ° (х2п) '
341. f : X — Y. х = 2t - t2. -у = 3t - t3 (до члена с х3).
342. / : А' — У. х = 2t + sin t, у = tee (до члена с х3).
343. / : А' — Y, х = t - 42 , у = 4t — f* (до члена с х3).
344. / : А' —» У. у7 + у — х = 0 (до члена с х6). -
Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, получить раз-
ложения по целым положительным степеням х до членов указанного порядка включительно
следующих функций:
345. f : г < 1 ‘ х (до члена с х2).
( 1, х = О
346. / : А' —♦ Y х4 + у4 + sin ху = 1 (до члена с х3 на отрезке [—1, 1]).
347. / : х 1— е"-^. х > 0. Справедливо ли разложение
348. Пусть f • г н-’ cos(P(x)), где — функция Дирихле. Справедливо ли разложение
COS(D(X)) - 1 - —Г1 + - + +Я2п+2(1)?
182 Гл 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Найти выражение для /?2п+2(я)-
Подобрать коэффициенты А, В, С таким образом, чтобы при х — 0 справедливы были
следующие асимптотические равенства с наиболее возможным их порядком точности (уста-
новить этот порядок относительно т):
349. arctgх = + О*(«"). 350. arcsin x = + О*(т").
351. 1„(1+») = ^4C + O-(I”). 352. -!/r+7=A±g + O>").
353. (1 4-x)1 = + O'(xn). 354. arshx = + O’(ln).
Оценить абсолютную погрешность приближенных формул:
355. cos г =s 1 — -р при |r| < 1. 356. a: 1 + ~ при > 103.
357. arctgx =s при > Ю2.
358. sin(asin(wi)) =s au>z — “ 1 при |awz| < 0,1.
359. f'(x) л Л*+*)~ЛД) ПрИ |/,| од. збо. f'(x) ~ при |Л| < 0,1.
361. f"(x) =s при |Л| < 0,1.
362. Пусть / удовлетворяет уравнению /'(i) = F[f(x)'), где F — известная, достаточное
число раз дифференцируемая функция. Пусть
у(1) „ №_±*)-ВД
Тогда f (х + Л) - f (х) аг hF(f(x)). Оценить ]/(;е) - /*(х)|, где f ’ — удовлетворяет уравнению
/•(х+ц-гт = ^(г«).
363. Пусть f удовлетворяет уравнению f‘{x) = F(/(x)), где F — известная, достаточ-
ное число раз дифференцируемая функция. Оценить |/(т) — где f* удовлетворяет
уравнению
f (! + М + 4f'(T) - 5f(! — Ц = 2Ц2Г(Г(х)) + F(f’(x - Ц)).
Используя разложения I - V, найти следующие пределы:
- , . . ч Г X , х2
364. lim /п,3д3~<"У• звб- К™ ~ - д
д~° t_0 ln2(e+l)_£j
366. lim — у/з? + «т + 1
367. lim зе8_ iim »Mlnch S-'n'.chjh
т-0 I—о *
§ 10. Экстремум функции. Наибольшее и
наименьшее значения функции
10 .1. Экстремум функции.
Определение. Пусть функция f определена всюду в некоторой окрестности точки
с. Будем говорить, что функция f имеет в точке с локальный максимум (минимум),
если найдется такая окрестность точки с, о пределах которой значение f(c) является
наибольшим (наименьшим) среди всех других значений этой функции.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием экстремум.
10 .2. Необходимое условие экстремума.
Если функция дифференцируема в'точке с и имеет в этой точке экстремум, то /'(с) = 0.
Определение 1. Корни уравнения f‘(x) = 0 называются стационарными точками
функции f.
К точкам, подозрительным на экстремум, следует отнести и такие, в которых производная
функции f не существует. ♦
Определение 2. Стационарные точки и точки, в которых производная функции не
существует, называются критическими точками этой функции.
S l(h Экстремум фупкцвв
10 .3. Достаточные условия экстремума.
Первое правило. Пусть функция f дифференцируема всюду в некоторой окрестности
точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна в точке с. Тогда, если в
пределах указанной окрестности производная /' положительна (отрицательна) слева от точки
с и отрицательна (положительна) справа от точки с, то функция / имеет в точке с локальный
максимум (минимум). Если же производная f имеет Один н тот же знак слева и справа от
точки с, то экстремума в точке нет.
Второе правило. Пусть функция / имеет в данной точке возможного экстремума конеч-
ную вторую производную. Тогда функция / имеет в точке с максимум, если f"(c) < 0, и
минимум, если /"(с) > 0.
Третье правило. Пусть а — некоторое целое положительное число и пусть функций у =
f(x) имеет в некоторой окрестности точки х = с производную порядка п — 1, а в самой точке
с — производную n-го порядка. Пусть в точке х = с выполняются следующие соотношения:
/'(C) = f"(e)= ... =/<-‘>(е) = 0, /“’(<0/0.
Тогда, если п — четное число, то функция у «= f(x) имеет локальный экстремум в точке
с, а именно: максимум, если f(n\c) < 0, и минимум, если /^(с) > 0.
10 .4. Абсолютный экстремум.
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной на сегменте [а, Ь] функции / достигает-
ся либо в критической точке этой функции, либо в граничных точках а и Ь этого сегмента.
Исследовать на экстремум следующие функции:
154. f : х гтп(1 — x)n, г gR, m, п 6 N-
Находим производную функции f и приравниваем ее к нулю
/'(г) = (т + п)хт~*(1 - ж)п-1 -----ж) = о.
\ТП + п /
Корни этого уравнения rL = 0 (m > 1), z2 = 1 (n > 1), 13 = будут стационарными
точками. Проверим достаточные условия.
Пусть 0 < е < При т четном /'(—е) < /х(е) > следовательно, в точке и = 0
функция / имеет минимум, равный нулю.
Аналогично для точки r2 = 1: ПРИ п четном /'(1 — е) < 0, f’(l + е) >0, поэтому функция
f в этой точке имеет минимум, равный нулю; при п нечетном /'(1 —е) > 0, f'(l 4-е) > 0, т. е.
экстремума нет
Наконец, для точки хз = ™ ; имеем
,, 1 т \ ,, / m Л
f--------е ) > 0, / --------к е) <0.
\ m + п / \ m + п /
Таким образом, в точке хз функция f имеет максимум
/ m \ _ ттапп
* \т + п/ “ (т+ «)"»+"'
Случай, когда т = 1 (м = 1), предлагаем читателю рассмотреть самостоятельно. ►
i 1
155. / : х i-ч. гз (1 - т)з , х ё R.
4 Приравнивая к нулю производную данной функции, находим стационарную точку Xi =
В точках Х2 — 0 и хз = 1 конечная производная не существует. Пусть 0 < е < |, тогда
/'(5-«)>“. ^(| + е)<0’ /(-')> °’ /(»)>«;
/(’-«)< о, f'(l + t)>0.
Следовательно, при Xi = у функция имеет максимум, равный При Х2 = 0 экстре-
мума нет, а при хз = 1 функция имеет минимум, равный нулю. ►
156. / : z >— е W (д/2 4. sin — j, х 0, и f(0)s 0.
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
4 Исследуем знак приращения функции f в точке х = 0. Имеем
ДДО) = е“1^Т (х/2 + sin > 0
при всех х 0, Следовательно, функция имеет при х = 0 минимум, равный ДО) = 0. При
х ?£ О рассмотрим уравнение f'(x) = 0. Очевидно,
f' : х х~2е 1*1 ( (у/2 + sin <sgu я - cos - j , х 0.
Поскольку |sin + cos у/2, то производная при переходе через точки, в которых она
обращается в нуль, знака не меняет, поэтому других экстремальных значений, кроме fm,n =
ДО) = 0, функция не имеет, к
Найти экстремумы следующих функций:
157. f . 11—<• arctg х — — ln(l + х2), х Е R.
◄ Производная f : х •-* = 0 при х = 1. Поскольку f'(l — е) > 0, а Д(1 + е) < 0,
О < е < 1, то в точке х = 1 функция имеет максимум, равный J — Дп 2. к
158. f : х ь-» |х|е—х 6 R.
4 Из выражения для производной Д: х i—*• e-*,"1'sgn х — |xje—I*-11 sgn (x — l),x^0,x^l,
видим, что точки Xi = -1, хз = 0 и Хз = 1 подозрительны на экстремум.
О наличии экстремума и его характере судим по знаку,производной при переходе через
точки х, (t = 1, 2, 5). Имеем
/’(—1 +«) < 0, /’( —1 — е) > 0 (максимум, равный е-2);
/'(—е) < 0, f'(e) > 0 (минимум, равный О); -
Д(1 — г) > 0, /'(1 + е) < 0 (максимум, равный 1)
(е — достаточно малое положительное число). ►
159. Найти наименьшее и наибольшее значения функции / : х нч- |х2 — Зх+2| на сегменте
[-10, 10].
4 Находим производную
f : х w (2х — 3)sgn (л2 — Зх + 2), х 1, х 2;
отсюда получаем точки, подозрительные на экстремум:
Х1 = | (/'(!)“»); = 1; ,®з = 2 (производная не существует). Сравнивая между собой
числа
f(*i) = “, Л^2) = 0, /(хз)=О, Д-10) = 132, ДЮ) =72,
приходим к выводу, что наибольшее значение функции равно 132, а наименьшее равно 0. к
160. Найти точную нижнюю (inf) и точную верхнюю (sup) грани функции f : х i—
е“® cosx2 на интервале ] —оо, +оо[.
4 Принимая во внимание четность функции f, рассматриваем ее на полуинтервале х 0.
Из выражения /' : х i— —2\/2хе_* сов(^ — ®s) видим, чуо точки хд = 0 и хь — + 21чг,
к 6 Зо, подозрительны на экстремум. Сравнивая числа
1 3*. -М--
Д0)=1, /(It) = -A=e « *€Zo, ilimeof(x)=0,
заключаем, что
1 Зт
inf Дх) = —= е 4 , sup f(x\ = 1. ►
161. Определить inf/($) и вйр/(() функции / : f i— -—-х- на интервале ]х, +оо[.
—3, $3 = 1. Затем из чисел /(f-3)
/(>) =
наибольшее и наименьшее.
lim f(f\ = lim Д£) = 0 выбираем
—r+0 d+a <—+oo
S 10. Экстремум фуккцвв 185
Пусть х < 1. Тогда j и sup /(€) = /(1) = j. Если х > 1, то sup f(£) =
4<{<4<к> 1<*<« + оо
jj—т- Следовательно, >
«up ле) * .<. "
’<t<+“ I чС- I>1-
Пусть , < -3. Ти» jgr „4Й, Я0>4.............................
Пусть —3 < x < -1. Тогда -J < < 0 к «“_/(«=
Наконец, если x > — 1, то > /(4-oo) = 0 й inf /(f) = 0.
Следовательно,
f -I. *^-з.
.X/|{)= -3<X<-1, ►
l о, X > -1.
162. Определить наибольшим член последовательности (ап), если On = &п-
Ч Полагая п = х, элементы последовательности (ап) можно считать значениями диф-
ференцируемой функции / :х*-*г®,х>0,т. е. ап = /(«). Пусть стационарная точка хо
функции / удовлетворяет неравенствам к $ х‘о < jt-pl, к € N. Тогда, если последовательность
(un) имеет наибольший член (maxan), то он равен большему из чисел: ai, ал, afc+i.
По производной f I i—► и 2(1 —lux) находим стационарную точку »о = е, в которой,
очевидно, достигается максимум /• Следовательно, к = 2. Сравнивая числа eisl, a2 = а/2
и аз = а/З, получаем: шахап = л/3 й: 1,44- ►
163. Доказать неравенство
-р_1 хр + (1 — х)р 1, если 0 1 и р> 1. «
Ч Рассмотрим функцию f : X хр + (1 — х)р. Ее производная /' : х *-> р(х₽ 1 — (1 — х)р“1)
обращается в нуль в точке х = 1. Сравнивая числа /(0) = 1, f (j) = —т , /(1) = 1. находим,
что ^inax^ /(х) = 1, min /(г) s= Отсюда следует доказываемое неравенство. ►
164. Доказать неравенство - $
2 при —оо < х < +оо.
•И Доказательство основано на сравнении четырех чисел:
/т!х(г). /тт(т), Кт /(х), Нт /(х),
где Дх) = {г2 +1)(?+х + 1)-1.
Следовательно, при х = 1 достигается минимальное значение функции f, равное а при
х = — 1 — максимальное, равное 2. ►
165. Определить "отклонение от нуля” многочлена
Р(х) = х(х — 1)2(х 4- 2)
на сегменте [—2, 1], т. е. найти Ер = sup |Р(х)|.
Ч Находим
Р'(х) = (г - 1)2(х 4- 2) 4- 2(х — 1)х(х 4- 2) 4- х(х — I)2.
Из уравнения Р'(х) =- 0 находим
11=1. 12,3 = ---------
Сравнивая значения /(xi), /(^г), /(хз) и /(—2), получаем, что
„ 9 + бУЗ
Е, = ------.►
186
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
166. При каком выборе коэффициента д многочлен Р(г) = i24-g наименее “отклоняется
ог нуля” на сегменте [—1, 1], т. е. Ер = sup |Р(х)| принимает минимальное значение?
•И Сравнивая числа Р(0) = д, Р(±1) = д 1, находим, что
sup |P(z)| = max(|g|, |9+1|} = ( К,.. ec™kl>l? + 1l>
•п UVi-14-г и |д + 1|, если |д +1| > |д|,
т. е. sup |P(z)| = |g 4-1| 4- Далее, имеем
min Ер - minmax{|g|, |g 4- 11} = min •! g -J- - -J- - k = -
я я II 2 | 2 J 2
при g — —►
167. Абсолютным отклонением двух функций f и д на сегменте [0, 1] называется число
Д= sup |/(х) - j(z)|.
а<х<Ь
Определить абсолютное отклонение функций f : х •—► х2 и д : х •—* х3 на сегменте [Q, 1].
4 Дифференцируемая на (0, 1] функция <р : х t->. f(x) — д(х) на концах этого отрезка
принимает равные значения ^(0) = ^>(1) = 0 и на интервале ]0, 1[ имеет единственную ста-
ционарную точку х = у.
Следовательно,
Д = тах{|Н0)|, Н|)|}=Н|)|=^-*
168. Определить минимум функции
шах(2|х|, |1 4-х|}-
•4 Если 2|х| > |14-г|, то тах{2|х|, ]14-х|) = 2|х|. Значит, f : х н-. 2|х| , если —оо < х SJ —|
или х > 1. Далее, если 2|х[ < |1 4-х|, то тах{2|х|, |1 4- т|) = |1 + «|. Следовательно,
f : х |х 4-1| при — у < х < 1. Таким образом,
f. х / Iх+ 1!. если - I < х < 1.
I, 2|х|, если х %. ] — у, 1 [.
По производной
I 1, если — 7 < X < 1.
/ : z I—. < 3 г 1 т
2sgn х, если х & [—у, 11 ,
видим, что точки xi = —у и Х2 = 1 подозрительны на экстремум. Сравнивая числа f (—у) =
у и /(1) = 2, находим = у. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на экстремум следующие функции:
f 1----JST’ 1+г + £ + £ = о,
360. /. ««•! р+'+т + т!
1-1, *=€
370. етр(^.)’ 1*±1'
I. 0, I = 1 V I = — 1.
371. f : х р- j + £ ООО- 372. f : х и - »)7(2 - s). , х е R.
*==1
373. f:x~4~,0<x<*. 374. f ; х»-* |z[v5|l -
375. f : х I-* сое100 х 4- cli1O0z. 376. |(coez 4-1 сое r|).
377. f-.X^Y, x = 3t-<3, y = 4t-t\
§ 11. Построение графах» функций иохаражтарвымточкам
187
378. f ; if w 1 4-cosv», 0 < p < %. 379. f : X —* У, x3+ V* + x2y + l«0.
Найти минимумы следующих функций:
380. f : х i-> max {clix 4- 4-chzJ, 381. f : х niaxjl — |х 4-3j, 1 — |х|, 1 — (x — 2)2}.
Найти максимумы следующих функций:
382. f : х w min (л 4-5, In х, 1 — х). 383. f : х t-» min
Найти наибольшие значения следующих функций:
384. f : х и- (я - 1)2(г - 2)2, -3 < я ^4. 385. f : х >
10’
386. f : x
2+-
387. f : x
Найти наименьшие значения следующих функций:
388. / : х
389. / : х ь-» У] sin kirx, 1
390. f ; X —* У, г3 4- у3 — 4,5ху = 0 (0,5 х 1,5; 0 < у < г), f — непрерывная
функция.
391. / : i t— — sin(a sin z), 0 sj г , а > 0.
В следующих задачах для данных функций f определить их приближения /* так, чтобы
sup \f (я)— f *(х)| был минимальным (функция f* называется чебышевским приближением):
392. f : х х2; /* : £ е-» ао 4- £2 4- аг^4, 0 х 1.
393. f : х е1; f’ х i—t ао + aix + а2Х2, O^x^l.
394. f : i e1; f :tw 2±g, 0 < x < 1.
395. f : x t— x3 — 6x2 4- 6x 4-1; f* : x i—► аох, 1 5t x 5.
Найти наименьшие и наибольшие значения следующих функций:
396. f . х V— е I2 ^-/2 sin ^7^ , J Е [—т, т].
. f — Inlsinil, х кх, , — г . , ,
397. f : х >— < g к € Z, на отрезке [—4т, 4т].
Найти inf /(1), sup f (х) следующих функций:
398. f : х г— е 2 4- sm , х f (-) = — 1 на интервале ]0, 4-со[.
399. / : х I-* | sin х - |х - а|| на ] - 1, 1[.
В следующих задачах для данных функций f найти приближения f* Е {/*} так, чтобы
sup |/(i) - f’(x)\ = ini sup |/(x) - f’(x)|,
0<x< + oo {j”}s->0
где
F« J ao 4-ail 4-ajz2, 0 $ x xo,
1 (bo 4-biz 4-&2X2)-1, io < 1 < 4-СЮ.
400. / : r 1— 401. /:гм(1 4-z2)e-1.
402. f : x w (1 - x2)e-x. 403. f : x ~ %/l 4- e~x.
§11. Построение графиков функций по
характерным точкам
Исследование и построение графика функции у = /(х) целесообразно проводить по сле-
дующей схеме
1. Определишь область существования функции, периодичность, точки пересечения с
осью Ох и интервалы знакопосшоянства, симметрию графика функции, найти точки раз-
рыва и интервалы непрерывности.
2. Выяснить вопрос о существовании асилптот.
3. Найти интервалы монотонности функции и точки экстремума.
188 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
4. Указать интервалы сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика
функции.
5. Построить график функции.
Построить графики следующих функций:
Ряс. 22
•И 1. Функция определена и непрерывна при всех
х, положительна при х > 2 и отрицательна при х < 2;
»(2) = 0.
2. Из lim у = ±1 следует, что у = 1 — асимптота
графика функции при х —» +оо, а у = — 1 — при х —
3. Поскольку производная
< 0 при х < —
> 0 при х > —
2х + 1
7FW
то функция убывает при х < — | и возрастает при х >
—-j, а при х = — j имеет минимум, равный —« —2,24.
4. Судя по знакам второй производной:
-V&i+l)'
При X
при -
3-
при —
заключаем, что при х < — ~ —1,18 и х > ~ q,42 график функции выпуклый
вверх, при < х < график выпуклый вниз; точки перегиба xi ~ —1,18; у\ ~
—2,06 и 12 rs 0,42; У2 « —1,46.
5. График функции изображен на рис. 22. ►
170. у = + 1.
4 1. Функция определена, непрерывна и отрицательна при всех х; ее график симметричен
относительно оси Оу, пос^рлдоу у(х) = у(—х). ,
2. Поскольку предел lira у равен нулю, то у = 0 — асимптота; других асимптот нет.
X—»со
у 3. По знакам производной.
-----_ 2 ((«2+1П -U) „р„1<0;
-« * “ t > ° 1 >0
Рис. 23 заключаем, что^функция убывает при х < 0 и возрастает при
г > 0, а при 1 = 0 имеет минимум, равный —1.
' ‘‘ ' ’ • '4'.' Поскольку 1 1 '
г, 4 8 / 5 4 10 \
у" = (х2 + ])“з Hr2 4- 1)з + 3хз - X з j < 0
(0 < }х| < +оо),
то график функции выпуклый вверх и точек перегиба нет.
5. По полученным, данным строим график функции (рис. 23). ►
in. „ = U+sl£.
Vх
4 1. Функция определена, непрерывна к положительна при всех х > 0.
«-*+0 "
если х < А; 1
еслц~х > 5»
§ 11. Построение графиков функций по харап.еря^«^та<кам . 189
2. Из очевидного равенства lim у = 4-ос следует, что * = О — вертикальная асимптота
»—+о
при х — 4-0. Имеется наклонная асимптота у = ix4-b, где к *= lim к = 1, Ь = lim (у—к} =
з , 3
-,т. е. #SI +
3. Первая производная у' удовлетворяет неравенствам
»' = 1»4(1+ ,)£(*(-1) |
следовательно, функция убывает при 0 < я < j и возрастав!' прй х > j, а цря л — j- имеет
минимум, равный |>/3 » 2,60.
4. Поскольку
3 —— —1
у" = -х 2(1 4-х) 2 > 0 (0 < х < 4-оо),
то график функции выпуклый вниз.
5. График представлен на рис. 24. ►
2 -}- соз т '
•4 1. Функция определена и непрерывна при всех х; периодична с периодом 2т; имеет
центр симметрии — начало координат; у = 0 при х = kr (fc = 0, ±1, ±2,...). Очевидно, что
sgn у = sgn sin х.
2. Асимптот нет- Принимая во внимание периодичность, дальнейшее исследование про-
водим на сегменте [0, 2тг].
3. По знакам первой производной
{> 0, если 0 $ х <
< 0, если -г- < х < —;
3 3 '
> 0, если у- < х 2т,
заключаем, что при 0 х < у- < х 2т функция возрастает, при у- < х < ~
убывает, а при и = у и г2 = у имеет соответственно максимум и минимум, равные
as 0,58 и я -0,58.
4. Поскольку
2 sin х (cos х — 1)
(2 4- cos г)2
если 0 < х < т;
если т < х < 2эг,
то при 0 < х <_ т график выпуклый вверх, при т < х < 2т — вниз; причем Xi = т, yi = 0 —
точка перегиба.
5. График изображен на рис. 25 ►
173. s = 2vWT-v'^.
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Функция существует, непрерывна и положительна при всех х > 1 и при х < — 1;
причем у > 1 при этих значениях х; график симметричен относительно оси Оу, у(-1 — 0) =
S(1 + 0) = 2А
2. Поскольку lira у = 1, то у = 1 — асимптота при х —> оо.
X — ±о»
3. Имеем
у' = «У
если х < —'
если х > 1,
следовательно, функция при х < —1 возрастает, при х > 1 — убывает, а в точках х = ±1
имеет краевой максимум, равный 2^ (функция /(х), а х < а (0 < х Ь) имеет в точке
а (5) краевой максимум, если существует полуокрестность ]а, 6[ С [а, а[ (]6, 0[С ]0, Ь]) такая,
что /(а) > /(х) (/(6) > /(х)) для всех х из этой полуокрестности. Аналогично определяется
краевой минимум).
4. Из очевидного неравенства
Рис. 2в
Рис. 27
174. у — х I.
4 1. Функция определена, непрерывна (как суперпозиция элементарных функций у =
х* — ех “*) и положительна при х > 0.
2. lim у = lim е х = 1, поэтому у = 1 — асимптота при х —* +оо.
х—>+оо X—>+-ОО
3. Из неравенств
„ ( > 0, если 0 < х < е;
У = Л(1 -In х) <
х ( < 0, если е < х < +оо,
вытекает, что при 0 < X < е функция возрастает, при е < х < 4-оо — убывает, а при х = е
имеет максимум, равный е« ; кроме того, у(+0) = 0.
4. Исследование точек перегиба и направления выпуклости опускаем.
5. График изображен на рис. 27. >
175. у = (1 +х)^.
§ 11. Построение графиков* фуншшй до харахтерным ТО’Экам
19]
•4 1. Функция определена при х > —1; х ?£ 0; положительна и непрерывная этой области.
Поскольку Hin(l + x)« =e,Toz=0 — точка устранимого разрыва.
2. Из соотношений lim у = +оо; lim у = 1 вытекает, что г — -1 • асимптота
3-.-1 + 0 1—+оо
графика функции при х —* —1 + 0, а у = 1 — при х —* +оо.
3. Производная
, I 1 (1 + х)\ , _ я
У = У -7Г-—г------*—5 ); -1 < X < 0, 0 < X < +оо
yz(l + х) X2 J
отрицательна. Действительно, полагая в неравенстве примера 90, г) = х, имеем неравен-
ство
< 1п(1 + х) < х (х > 0),
которое справедливо и при — 1 < х < 0. Пользуясь этим неравенством, получаем
»' = 9 (-J-- _ М1+±Г) < , = 0.
ух(1 + х) х2 J ^г(1 + г) Е2+тзу
Таким образом, функция убывает при всех х из области определения.
4. Покажем, что вторая производная
положительна. С этой целью рассмотрим функцию
^)=21»(1 + х)-М±^.
Поскольку <р'(х) = (iTt)3 > 0; —1 < х < +оо и V’(O) = 0, то ^>(х) < 0,
если -1 < I < 0 и <j?(x) > 0, если 0 < х < +оо. Тогда > 0
при —1<х<0,0<х< +оо; при этих же значениях х производная
у" > 0. Поэтому график функции выпуклый вниз.
5. Исходя из этих данных, строим график (рис. 28). ►
176. S = х (1 + 1)* (х>0).
•4 1. Функция определена, непрерывна и положительна При
lim х exp { х In (1 + } = 0.
2. Имеется наклонная асимптота у = fcx + 6, где
b = lim (у — ex) = lim х ^exp In -j—J J — ej =
=л?»1 (ех₽ {х (х - +° (?))} - 0 = ‘ Н+°»)=4'
3. Имеем
у' = У [ ~77“—г +1п (1 + - И >0.
V(l + X) V ХЧ
Отсюда следует, что функция возрастает при х > 0.
4. Вторая производная
у" = У f у. 2 In (1 + -) +Ь2 f1 + --H 1 Ча
^rfl+x) \ xj \ x/ x(I + z)2y
положительна. Чтобы в этом убедиться, введем новую переменную 1 = - и применим теорему
примера 104, полагая там
(0+*) 1«(1 + 0 + ‘2)2’’ ИЧ =С + З«3 +?; io = 0, 1 = 4.
192 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тогда все условия теоремы 104 будут выполнены. Следовательно, у" > 0 при г > 0 и график
функции при этих значениях выпуклый вниз.
5. График функции изображен на рис. 29. ►
Рис. 29
177- » =
4 1. Функция определена, непрерывна и положительна при всех значе-
ниях х, за исключением точек х = Л, в которых функция терпит разрыв,
причем
у(-1 - 0) = 0; у(-1 + 0) = +оо;
у(1 -0) = +оо; у(1 +0) - 0.
График функции симметричен относительно оси Оу.
2. Имеются асимптоты х — — 1 при х —* — 1 + 0 и х = 1 при х —• 1 — 0;
у = 0 при х —* оо.
3. Находим производную
у' - 2x3ei
3 — х2
(1+£2)2 (1-г2)2
Поскольку у' > 0 при —оо < х < — х/З', 0<х<1;1<х< х/З, то функция при этих значениях
х возрастает; далее, у' < 0 при — х/з < х < —1; —1 < х < 0; х/З < х < + оо, следовательно,
в этих интервалах функция убывает; в точке х = 0 имеется минимум, равный е, а в точках
х = х/З, х = ~х/3 достигается максимум, равный я: 0,15.
4. Вычисляя вторую производную
„ . 2^(з-12)2+12(1-»2) + + - »б)
’ ’ (1 (1 + х’)2
убеждаемся, что у" > 0 при |х| < 1. Далее, у"(т/Т7Г) U; у"(\/3; < 0 и у"(х) — +0 при
х — +оо. Следовательно, в каждом из интервалов ]1, \/3[, ]\/3, +оо[, а в силу четности
функции и в каждом из интервалов ] — оо, —\/3[, ] — \/3, —1[ имеется по меньшей мере по
одной точке перегиба.
5. График изображен на рис. 30. ►
Построить кривые, заданные в параметрической форме:
178. х = 2t-t2, у = 3t
4 1. Функции x(t) и у(<) определены и непрерывны при
—оо < t < +оо; причем при этих значениях t : —оо < х $ 1;
—оо < у < +оо.
Следовательно, функция у = у(х) (как функция пере-
менного х) определена при —оо < х 1.
2. Поскольку x(t) -* — оо, y(t) -* =роо, — ±оо при
I —. ±оо, то график функции асимптот не имеет.
3. Производная
dy _ 31-t2
dx ~ 2 1 - t
при *i = —1 (ii = —3) обращается в нуль, а при t2 = 1
(®2 = 1) имеет устранимый разрыв, причем
lim — = 3.
»—i dx
4. Вторая производная
Ъ з(1-<2)а
dx2 4 (1 - t)3
имеет разрыв веточке t= 1. Заполним таблицу:
§ 11. Постровяве графихов фужкцжк ио характеряшс точкам , МЗ
t —<30 < t < — 1 -1 < i < T 1 < t < +oo
X —oo < x < — 3 -3 < x < i -oo < x < i
У -2 < у < Ч-оо -2 < ? < 2 —оо < у < 2
dx g <0 A >0
£1 <t»a 0
Из таблицы следует, что при —оо < х < — 3 функция у(а?) убывает; при — 3 < х < 1 —
возрастает; при х = —3 имеет минимум, равный —2, а при х = 1 — максимум, равный 2.
Если х возрастает от —оо до 1, то график функции у — y(z) сохраняет выпуклость,
направленную вниз; если х убывает от 1 до —оо, то выпуклость направлена вверх; (1, 2) —
точка перегиба.
5. Пользуясь полученными данными, строим график (рис. 31). ►
179. 1 = —, а--Д-.
t -1 ’ s t2 -1
•И Функция z(t) определенаи непрерывна при —оо < t < 1; 1 < t < +оо, причем х 1 —
вертикальная асимптота при t —* 1. Из равенства х(/) = t + 1 + следует, что х = t 4- 1 —
наклонная асимптота. Находим производную x'(t) = . Очевидно, что на интервалах
] - оо, 0[, ]2, 4-оо[ функция x(t) возрастает, а на интервалах ]0, ][, ]1, 2[ — убывает; Хтах = О
при t = 0; rmiI1 = при t = 2.
График функции x(t) изображен на рис. 32.
Рис. 31 Рис. 32 Рис. 33
Функция y(t) определена и непрерывна при всех значениях t, кроме t = ±1; причем
t = -l и< = 1 — асимптоты. Поскольку y'(t) = т0 ФУНКДИЯ у(^) убывает при
всех t из области определения (рис. 33).
Из этих исследований вытекает, что функция у = у(х) определена при —оо < х 0;
4 С х < +эо Поскольку z(t) — ±оо, y(t) —» +0 при t —< ±оо; z(t) —» — |, y(t) —» ±оо при
t — —1±0, то у = 0 и г = —| — асимптоты графика функции у = у(х). Кроме того, —• j,
у — £ —• — - при t — 1. следовательно, у = — - — наклонная асимптота.
Находим производные
dy t2 + l d2y 2(t-l)3(t3+3f + l)
dx t(t — 2)(t + I)2 ’ dx2 t3(t — 2)3(i + I)3 ’
откуда получаем, что y"2 = 0 при to ~ —0,32; tj = 1; причем x(to) ~ —0,07; y(tp) « 0,37.
Сначала построим графики функции на отдельных интервалах.
Если —ос < t < — 1. то —оо < х < — — оо < у < 0; у'х < 0; < 0 (рис. 34). Если
~1 < t $ 0, то -j <х^0;0$у< Ч-оо. Вторая производная у"5 > 0 при — 1 < t < to
194 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
и Ух: < 0 при io < t < 0; следовательно, при t = to получаем точку перегиба (хп. уо), где
хо ss —0,07; у о ~ 0,37 (рис. 35).
Рис. 35
Рис. 37
Рис. 38
Пусть 0 < t < 1. Тогда —оо < х $ 0, —оо < у $ 0, у'х > 0, у*г > 0 (рис. 36). Если
l<i$2,To4$r< 4-оо, | $ у < 4-оо, у'х > 0, у*2 < 0 (рис. 37). Наконец, если 2 $ t < 4-оо,
то х 4; 0 < у $ 2; у'х < 0; у'^ > 0 (рис. 38).
Окончательный график изображен на рис. 39. ►
180. х = t 4- е~‘, у = 2/4-е_2‘.
4 Функции x(t) и y(t) определены и непрерывны при всех t. Из определения асимптоты
следует, что х = t, у = 2t — асимптоты при t —» 4-00 соответственно графиков функций’ i(i)
и y(t). Имеем x'(i) = 1 - <"’• х'(0) = 0; x"(t) = е~‘ > 0 при всех t; y'(t) = 2 (1 - e-2t),
у'(0) = 0; y"(t) = 4е-2* > 0 при всех t. Таким образом, xm;n = 1 при t = 0; ymin = 1 при
t = 0. Графики функций x(i) и y(t) выпуклы вниз (рис. 40, а, б).
Рас. 39 Рис. 40
Если -оо <t<0, то 1 < х < 4-оо, 1 < у < 4-оо, у'х = 2 (1 -Г е1-’) > 0; у"2 = -2 (е‘ - 1) >
0. Если же 0 < t < 4-оо, то 1 < х < 4-оо; 1 < у < 4-оо; у'х > 0; у"а < 0.
Следовательно, функция у = у(х) возрастает, ее график выпуклый вниз при t < 0 и
вверх — при t > 0.
В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум, равный 1.
§ 11. Построение графиков функций ио характерным точкам
195
Далее, —* 2; у — 2х —> 0 при t —» +оо, поэтому прямая у = 2х
является асимптотой графика функции при t —* +оо (рис. 41). ►
181. х = —, у = a tg3 t (а > 0).
cos31
4 Так как функции x(t) и y(t) известны, то относительно функции
у(х) выясним следующие вопросы: симметрию, экстремум, участки и ха-
рактер выпуклости графика функции и существование асимптот.
Поскольку cr(t),'^ х(—t); y(t) = —y(—t), то график функции у,= у(х)
симметричен относительно оси Ох, а так как x(t) = —х(т + /); у(1) =
»(’ + <) и г (J + f) = -I (у. +i); »(J + «) =»(т +‘) (° <г< ?) т°
график функции у(х) симметричен относительно оси Оу.
Следовательно, для построения всего графика достаточно знать гра-
фик функции у(х) при х > 0 и у 0, т. е. при 0 < t < у.
Производная у1! = sint > 0 при 0 < t < у, следовательно, функция
у = у(х) возрастает на этом промежутке, причем х —» 4-оо; у —* 4-оо при 1
Т1 I 7
Рве. 41
Вторая производная у"3 = cos5 t sin 11 > 0
t < у график функции у(х) выпуклый вниз.
(О < i < у), откуда следует, что при 0 <
Так как х — -|-оо только при t —» у — 0 н у —» +оо только при
t —- у — 0, то вертикальных асимптот нет.
Для выяснения вопроса о существовании наклонной асимптоты
у = кх +1> рассмотрим пределы
lim 44= Вт
-1-о -C t .-1-0 cos-3 t
lim [у(<) - т(1)] = а
Следовательно, асимптот нет.
График кривой при всех t (cost / 0) изображен на рис. 42. ►
Представив уравнения кривых в параметрической форме, постро-
ить эти кривые, если:
182. X2 + У2 = Т4 + л
•4 Очевидно, что график функции симметричен относительно осей координат. Предста-
вим кривую при 1>0иО0в параметрическом виде, положив у — tx (t 0):
Отсюда следует, что при 1 = 0 достигается минимум функции x(t),
равный 1 (у = 0); при t = \/-J7! — 1 достигается максимум функции x(t), равный
Нетрудно проверить, что в точках пересечения кривой с координатными осями существует
касательная к кривой (рис 43). ►
183. г2у2 = ?-у3.
4 Полагая у = ii, получим
-‘2 (</»)
196
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Если параметр t изменяется в интервалах ] — оо, 0[ и ]0( 4-оо[, то переменная 1 может
принимать все значения от —оо до +оо; следовательно, функция у = у(х) определена при
всех значениях х.
Из параметрического представления кривой получаем равенства
из которых непосредственно вытекают асимптотические соотношения: у2 ~ х при t —• ±0
(при этом х — Ч-оо, у —» ±оо); у ~ х при t — ±оо (при этом х — ±оо, у —оо).
Полагая в исходном равенстве х — у = и, х 4- у = v, получим равенство (и2 — и2) =
12v2u 4- 4и3, которое указывает на симметрию графика кривой относительно оси v = 0, т. е.
относительно прямой х 4- у = 0.
Вычисляя производные
d, _ < 0 + 2<3)
dx 2 + tz '
d'y 2t3 (Iе + 7l‘ + 1)
dx2 (2 4-i3)3
(« # 0),
находим, что при to = — ^2 ss —1,26 (то = S3 1,89; yo = -j ^4 S3 — 2,38) обе произ-
водные y'x и у"3 не существуют, a y’x - 0 при t2 = ~ -0J9 (x2 = 1^4 Rs 2,38;
S/2 = -|^2«-l,89). ______ ______
Далее, y“2 = 0 при t, = - te —1,90 (xj rs 2,18; y-, S3 -4,14) и при t3 =
-0,53 (i3 S3 4,14; y3 ss -2,18).
Пользуясь этими данными и таблицей
t —оо < е < t. *!<«<»<) *0 < * < »2 '2 < ' < !3 «3 < ' <° 0 < t < +00
I X, < X < +со XQ < ’ < J1 3О < х < х2 »2 < ® < »3 »3 < х < + оо —00 < я < + со
у -ОО < у < V1 111 < У < 1IQ ко < у < w КЗ < У < S2 —со < К < S3 — СО < у < + ОО
Ух Ух <0 Ух <0 Ух >0 У;<о УГт < ° У'т > 0
у"2 »"2 < ° »"2 > 0 У"о < 0 у"2 < 0 у"2 > ° к", < 0
X*
строим график функции у = у(х) (рис. 44). ►
184. Построить график кривой ch2 х — ch2 у = 1.
-4 График кривой симметричен относительно координатных
осей, так как при замене х на — х и у на —у уравнение кривой
вида не меняет.
Если х > 0; у > 0, то уравнение ветви кривой примет вид
sh х = ch у, откуда х = in ^ch у 4- \/1 4- ch2 у) .
Имеется асимптота х = ку 4- Ь, где
к= lim = 1; 6 = lira (®(у) - у) =• 0.
S—+oo У S —+ «>
Рис. 44 Найдем производную
, _ shy
9 \/1 4- ch2 у
откуда следует; что функция х = ®{у) возрастает при у > 0, а в точке у = 0 достигается
минимум, равный in (1 4- з/5).
Дйлее,
2chy
xw2 -----------j- > О,
(1+ ch2 у)2
откуда вытекает, что кривая выпукла вниз при у > 0. Принимая во внимание симметрию
кривой относительно осей координат, строим график функции (рис. 45). ►
§ 11. Построение графиков фужяцки ио характериМм точкам 197
Построить графики функции, заданных в полярной системе координат (р, р) (р£ 0):
1 О Е th Р х
Гоэ. р — а-----, где р > 1 (а > 0).
Рис, 45
4 Функция р(<уЗ) непрерывна как элементарная; lim р(р) = 4-оо, т. е. имеется асимптота
* —1+0
р = 1; lim р(^) = 0, т. е. кривая асимптотически входит в полюс по спирали.
Возьмем производную
_____1 th р
ch2^-(^-l) (р-1)3
так как р — 1 < j sh 2<#? при р > 1, то p'v < 0; следовательно, функция р($е) убывает (рис. 46). >
186. р = arccos ~ .
Р2
•4 Область существования функции определяется неравенством
lz>-i|O2,
Р* = «
откуда следует, что
-1 + VS^ ,
Pi =---3--- $ Р < +оо. х
Предельные значения р в граничных точках:
Em s’(z’) = Em р(р) —
р—Р1+0 р—+ оо 2
Так как р— 1 р2, то функция ^(р) нулей не имеет и положительна.
Производная этой функции
, Р-2
ро= . ,.....
vMbZr
показывает, что в точке р = 2 достигается минимум функции, равный arccos т. В точке p = pi
производная не существует; функция в этой точке принимает краевой максимум, равный т.
При pi < р < 2 функция убывает, а при р > 2 — возрастает.
Как уже было отмечено (см. предельные значения р в граничных точках), имеется вер-
тикальная асимптота.
Найдем ее расстояние а от полюса. Имеем
а —
iim pcos<p(p)= Em р
График изображен на рис 47.
198
Гл 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Построить графики семейства кривых (а — переменный параметр):
187. у = г ± >/а(1 — т2).
4 Рассмотрим два случая: а) а > 0 и б) а < 0.
а) а > 0. Область существования функции: 1 — г2 0, т. е. |х| 1. Нули функции:
£i,2 = при — у~— < £ < 1 функция у = £ + \/° (1 — х2) положительна, а при —1 <
z < 1/7^7 отрицательна; при — 1 < х < функция у — х — (1 — z2) отрицательна, а
, / -2— < z < 1 — положительна
у 1 + <»
Находим производную
у' = 1 ±
\/аР -г2)
Отсюда следует, что функция у = х + (1 — z2) достигает при х = ууу- максимума,
равного </<1 4-1. а функция у = £ — (1 — z2) достигает при х = — уу-р минимума, равною
—у/a ф 1.
Точки х = ±1 являются точками “стыка” этих ветвей.
Из выражения для второй производной
вытекает, что график первой ветви функции выпуклый вверх, а второй — вниз (рис. 48)
При изменении а от 0 до 4-°° получим семейство эллипсов, проходящих через точки
(-1, 1) и (1, 1) (рис. 49);
б) а < 0. Область определения функции —|z| > 1. Асимптоты у = к\х + 6; у = к%х 4- b,
График изображен на рис. 50. >
188. у = хе а .
Рассмотрим два случая: а > 0 и а < 0.
1. а > 0. Функция положительна при х > 0 и отрицательна при х < 0. Находим
производную
§11. Построение графиков функций по характерным течкам
199
следует, что при т = а достигается максимум, равный -Далее,
х
гкуда следует, что в точке х = 2а имеется перегиб функции у, причем при х < 2а график
|ункции выпуклый вверх, а при х > 2а — вниз. Так как хе~* —, о при х —* +со, то прямая
= 0 является асимптотой графика функции при х —* 4-оо.
2. Если а < 0, то, как легко видеть, этот случай сводится к предыдущему, если в нем
вменить у на —у, а х на —х.
График семейства изображен на рис. 51. 52. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Построить трафики следующих функций:
404, а) /(х) = {sill х, cos т, tg г}\ б) /(х) = i»f {sin х, cos г, tg х),
405. х = t cos t, у = t sin t. z = t. 406. x = a cost, у ss a cos 2t, z = cos 3Z.
200 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют следующим урав-
нениям:
407. (1 — х2 — -х2!)1 +к2 =0.
408. (2 -х2 - |1 -х2|- |l-s| - |9|) (2 — у2 -|1-»2 - |1 -х| - |х|) = 0.
400. х2 +92 + 9- |x2 + j/2 - 1| — |2 — у| — |у + 3| - |х| — |5 — х| =0
410. 2 - у - |1 - х -ц| - |1 + х - ц| - |»[ - 0.
§ 12. Задачи на максимум и минимум функции
189. Доказать, что если функция /(х) неотрицательна, то функция F(x) = cf2(x) (с > 0)
имеет в точности те же точки экстремума, что и функция /(z).
•4 Для определенности предположим, что в точке xq функция /(х) достигает максимума.
Тогда существует такое Ь > 0, что для всех х из окрестности 0 < jx — го| < £ справедливо
неравенство /(z) < /(хо)
Так как /(г) 0 и с > 0, то из последнего неравенства следует:
cf2(z) < cf2(x0), т. е. F(x) < F(xq).
Последнее означает, что в точке хо функция F(а:) достигает максимума. В случае минимума
поступаем аналогично, ►
190. Доказать, что если функция v>(z) монотонно возрастает в строгом смысле при
—оо < х < 4-<х.. то функции У(х) и ip (/(х)) имеют одни и те же точки экстремума,
4 Пусть в точке хо достигается максимум функции /(г). Тогда при всех х из окрестности
О < [х — жо| < 6 справедливо неравенство
/(*) < /(х0) = /о.
Так как функция ^(х) монотонно возрастает в строгом смысле, то из неравенства f < fo
следует неравенство
«>(/) < 9>(/о),
что и требовалось доказать. Аналогично, предположив, что в точке го функция >s(/(i))
достигает максимума, придем к выводу, что функция /(х) также достигает максимума. ►
191. В каких системах логарифмов существуют чи-
сла, равные своему логарифму?
4 Пусть у — основание искомой системы логарифмов.
Тогда согласно условию имеем
iogj, х = х (х > 0, у > 0, у / 1).
откуда у = х » .
Функция у уже исследована нами в примере 174 Из
него следует, в частности, что у не превышает утах = е =,
т. е. во веек системах с основанием у (0 < у < е е, у j£ ])
такие числа существуют. ►
192. В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник
с наибольшей площадью.
Пусть высота прямоугольника х, ширина 2у.
Если обозначить через 2а дугу сегмента, а через 2tp — дугу, стягиваемую стороной пря-
моугольника, то получаем, что у = Л sin <р; х = ОЕ — ОВ = Я(соз ip — cos а) (рис. 53). Следо-
вательно, площадь прямоугольника равна
S 2ху = 2Й2sin<p(cos<p — cosa).
Приравнивая нулю производную
S'(tp) =с 2Й3 (2 сое2 — cos <р сов а — 1) =0,
Ji 12. Задачи на максимум н минимум функции
201
находим, что
cos ст — \Zcos2 а + 8
COS tp2 = ---------------------
Дуга <р2 не подходит по смыслу задачи.
Так как 5'(sot — е) >0; 5,(Vi + с) <
cos ст ф x/cos2 ст ф 8
cos pi = ----------------------
функция имеет максимум, ►
2 2
193. В эллипс — + р- = 1 вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям
эллипса, площадь которого наибольшая.
•4 Пусть х и у — длины полусторон прямоугольника. Тогда S = 4ху, причем х и у —
кординаты точки, лежащей на эллипсе. Для упрощения следует записать параметрические
уравнения эллипса:
z = acosi, y = 6sint.
Тогда S = 2a6sin 2t, откуда .S'max = 2ab, при t = a x = у = ►
x^ 2
194. Через точку M(x, у) эллипса = 1 провести касательную, образующую с
а2 о2
осями координат треугольник, площадь которого наименьшая.
4 Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами (го, уо) имеет вид:
ХХО ууо _
а2 + Ъ2 ~ ’
v » aJ Ь‘
откуда следует, что касательная отсекает от координатных осей отрезки длиной — и — -
Следовательно, площадь треугольника .з = ----.
Если уравнение эллипса параметризовать, то S г= ” 2 , откуда 5тц, = аЪ при t =
195. Поперечное сечение открытого канала имеет форму равно-
бедренной трапеции. При каком наклоне <р боков “мокрый периметр”
сечения будет наименьшим, если площадь “живого сечения” воды в ка-
нале равна .S', а уровень воды равен Л?
‘Мокрый периметр” Р определяется по формуле (рис. 54):
п 2Л
(1)
Площадь “живого сечения” воды:
S = h(a 4- h.ctg<р).
(Ч
Из формул (1) и (2) находим
Производная функции Р, равная
— hctgip + ------
8|П <р
показывает, что при s5 = у достигается минимум функции Р ►
196. “Извилистостью" замкнутого контура, ограничивающего площадь называется
отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же пло-
щади .У.
Какова форма равнобедренной трапеции A BCD (ЛР||ЯС), обладающей наименьшей "из-
вилистостью", если основание AD = 2ч и острый угол BAD = ст?
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Пусть П — “извилистость” трапеции. Тогда, согласно опре-
делению, имеем (рис. 55):
П =
D где -S’ = BC~2+2a^Bsina; I, = 2АВ + ВС + 2а.
Так как
2а — ВС’ = 2АВ cos а,
то, обозначая АВ = х, получим
(1)
П(х) =----.
л/*\Л2а _ х cos а)х sin л
Исследуя функцию П(х) на экстремум, находим, что она имеет минимум при
a sec'
Из (1) получаем ВС! = 2а tg2 у; так как половина высоты трапеции г = j sin а равна рассто-
янию от точки О(а, г) до стороны АВ, то в найденную трапецию можно вписать окружность
радиуса г. ►
197. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R, чтобы из оставшейся части(
можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?
Если под о понимать центральный угол оставшегося сектора, то объем конуса V равен.
2S?»V4’2-»2-
Исследование этой функции от а на экстремум показывает, что максимум ее достигается
при
п — 2тг <
198. Два корабля плывут с постоянными скоростями и и v по прямым линиям, соста-
вляющим угол в между собой.
Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент рассто-
яния их от точки пересечения путей были соответственно равны а и Ь.
По теореме косинусов имеем
г2 = (а + ut)2 + (ф + у/)2 — 2(а + м*)(6 + vt)
(рис. 56), где г — расстояние между кораблями в произвольный момент
времени t.
Исследуя функцию r2(t) на экстремум, находим, что
_ (Ьм + gy) cos в — аи — bv
~ и2 — 2uv cos в + У2
Рас. 56
Подставляя to в r2(t), получим
(иб — sin в
r""n ~ Vu2 — 2и» cos fl 4-у2 .
Если и поменять на —и, то в силу тождеств
sin(x — fl) = sin в и cos(x — fl) = — cos fl
получим rmin =
199. Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров
радиусов R и г (R > г) и расположена вне этих шаров.
При каком положении точки сумма площадей освещенных частей поверхностей шаров
будет наибольшей?
§ 12. Задачи-и* максимум я мтишум фуяжцжх 203
-4 Найдем сумму площадей освещенных частей поверхностей как функцию расстояния х.
Имеем (рис. 57)
S = 2тЛ(Я - хо) = 2»К! (1 - *) ;
Л = 2"г(1-Г^) +
где а — расстояние между центрами шаров. 1
Исследовав функцию S + Si = f на экстремум, находим значение х, при котором дости-
гается максимум этой функции; при этом
а
а^т + х — г +-----j-,
1 + ЙР
откуда а 5} г +
Если же производная /'(т) < то максимальное значение функции /(х) достигается при
Xi = а — г; при этом выполняется неравенство
<.<г+яД ►
Рис. 57
Рис. 58
Рис. 59
200. На какой высоте над центром круглого стола радиуса а следует поместить элек-
трическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей?
4 Под освещенностью I понимается величина
sin <р
где т — расстояние от источника света до точки наблюдения, к = const, р — угол, изобра-
женный на рис. 58. Имеем
кх
откуда находим высоту xq, при которой достигается максимум функции 7(г); ю = ►
201. К реке шириной а м построен под прямым углом канал шириной 5 М- Какой
максимальной длины суда могут входить в этот канал?
4 Длина корабля I, как следует из рис. 59, равна
sin р cos р
Исследовав на экстремум функцию I, получаем, что минимальное значение она принимает
при
Таким образом, максимально возможная длина корабля равна
204 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
202. Суточные расходы прн плавании судна состоят из двух частей’ постоянной, равной
а руб., и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При какой скорости
плавание судна будет наиболее экономичным?
◄ Предположим, что судно прошло .* *> кж за Т суток. Тогда расходы R будут равны
Та + kTv3,
где к- — коэффициент пропорцирцашьности. Но тац к^к Г = , то
Я = — +kSv\
V
откуда находим скорость, при которой расходы минимальны:
203. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости, требуется
сдвинуть с места приложенной силой. При каком наклоне этой силы к горизонту величина ее
будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен к?
◄ Проектируя приложенные к грузу силы на горизонтальное напра-
вление, из условия равновесия их получаем (рис. 60):
Т = Fpk — (Р — Fsin <p)fc = Ft — F cos <p,
Г О Ft
Р
Рис. 60
Найти положение
Исследовав функцию F(<p) на экстремум, находим, что при =
arctg А: величина силы F будет наименьшей. ►
204. В чашку, имеющую форму полушара радиуса а, опущен
стержень длины I > 2а.
равновесия стержня.
•4 Найдем потенциальную энергию П стержня относительно дна чашки. Имеем П = mgh,
где h = - sin ip + у — высота центра тяжести стержня относительно дна чашки (рис. 61).
Далее, так как tg^j = то получаем х =
—acos 2tp.
Использовав уравнение полуокружности, находим, что
у — а(1 — sin 2<р).
Итак, П = mg sin <р + а(1 — sin 2<р)). Поскольку стержень стре-
* мится занять положение с минимумом потенциальной энергии,
то необходимо найти ро, при котором достигается Птщ- Имеем
f + V?2 + 128aJ
cos pa = ----77------.
16a
Так как cos ip 1, то равновесие возможно только для I 4a; при I > 4а равновесие невоз-
можно. ►
Глава. 3 .
Неопределенный интеграл
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
1.1. Определение неопределенного йнтетрала.
Определение. Функция F : X —* R, X С R, называется первообразной иди прими-
тивной функции f : X — R, если функция F непрерывка на X и имеет производную, равную
f(z) во всех точках интервала X, за исключением суетней его Части.
Если функция F имеет производную, равную f(x) в каждой точке интервала X, то функ-
ция F называется точной первообразной или точкой праМагЦавной функции /.
Совокупность всех. Первообразных функции / на интервале X называется неопределен-
ным интегралом от функции f и обозначается символом j f(x)dx. Если F — любая перво-
образная функции f ка интервале X, то .
У f(i)4i = r(»)+c,
где С — произвольная постоянная. <;
1.2. Основные свойства неопределенного интеграла:
a) d (f f(x) dx) = f(x) dx; 6] [ dF(x] = F(x) + C;
в) f А Да:) dx = A f f(x) dx, A € R\{0}; r) J(/(x) + dx = / f(x) dx 4- f g(x) dx.
1.3. Таблица простейших интегралов:
I. J dx = x + C.
111 f т =11111! + °-
v. № = >1йт1 + с-
VI!. f = In |i + v'^TTTl + C.
IX. f sill x dx = — cos x 4- C.
XI +
X1II. J sh x dx = ch x + C.
XV f ~ = -ch ж + C.
1.4. Основные методы интегрирования.
II. /I“dr = Cfr + C,»#-l.
y-y r dx _ I arctg x Ц- C,
J i+t2 ~ | —arcctg x 4- C.
г । _ Г arcsin x -P Cs,
J y/i—x2 [ —arccos x 4"C.
VIII. J azdx = £ 4- C, « > 0, a / l;r
fe*dz = es+C.
X. f cos x dx = sin x 4- C.
хи. StS-. = 4‘ + c-
XIV. J ch I dx = sh x 4- C.
XVI /^ = lhI+C.
а) Метод введения нового аргумента. Если Jf(x)dx = F(t)4-C, то f f(u)du = F(u)+C’.
б) Метод подстановки. Если f f(x) dx = F(x) 4- C, x G X, то, полагая
x ~ ^(i), <p : Y — X,
где — непрерывная функция вместе co своей производной <р‘, получим
f о 5?(t) • <f'(t)dt = F о y»(t) 4- С'.
206 Гл. 3. Неопределенный интеграл
в) Метод интегрирования по частям. Если и и v — дифференцируемые функции и для
функции uv' существует первообразная, то
1. Доказать, что если /(х) dx = F(z) Ч- С, то
f(ax + b)dx = — F(ax + b) + С, a 0.
Ч Имеем
f(ax -}-b)dx = -/(ax + b) d(ax 4- i>),
поэтому, применяя метод введения нового аргумента, получаем
У /(«х + = - У f(ax + b) d(ax + b) = i j f(u)du = ^F(u) + С,
где и = ах Ц- Ъ.
Например, пользуясь таблицей интегралов, находим:
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:
2.
J I + sm х
Ч Имеем
’ [ dx _ _ f ~д) _ _ [ j ~ I) = _t М _ £\ , с
J 1+sinz J l+cos(f-x) J cos’(|-f) 6 U 2)+ ’
x + 2kx, к € Z. ►
Q f xAdx
3-J —
Ч Поскольку
/^ = ^ISwl+0'
то, согласно примеру 1,
f j<*‘) - 1 ь,|»‘~2| । c ►
/ s^2 |»*+2Г
4- f
J xVx2 + l
$1. Простейшие яевнредежскяые интегралы 207
4 Имеем при х 0
поэтому
Ч Поскольку
то
Ч Пользуясь тем, что |х| = г sgn г, имеем
При решении на z было наложено ограничение i/О. Однако непосредственной провер-
кой устанавливаем, что г есть первообразная функции Для всех х € К- ►
Ч Из неравенства х(1 + х) > 0 находим область определения X — {х : х > 0 V г < -1}
подынтегральной функции. Имеем при г > 0
Аналогично при 1 + х < 0
Или,объединив оба решения, получим
. ‘ £ = 2sgnя In ('/Й+ \/|х + 1|) +<7, х (? [—1, 0]. ►
208
Гл. 3. Неопределенный интеграл
4 Подынтегральная функция определена при 0 < х < 1, поэтому
4 Имеем
dx
= — 1п(е '
-j f sinxcoszdx
J \/d2 sin2 х -}-b2 cos2 x
Поскольку sin x cos x dx =
t то
sin x cos x dx______1 Г d(a2 sina x 4- fr2 cos2 x)
у/a2 sin2 x+b2 cos2 x - b2 J ^a2 йп2х + Ь2 cos2 x
= \/«2 sin2 x + fr2 cos2 x 4- C, a2 / b2.
a2 — Ъ2
11. [
J sin X
4 Имеем
dx _ dx dx dtg^
sin x 2 sin j cos | 2 tg | cos2 % tg | ’
тому
/sr? = /Vf = ‘"HI + c'
12. [
J cosx
4 Аналогично предыдущему примеру находим
13-f£
4 Преобразовав подынтегральное выражение, при х 0 получим
f dx [ dx f dx f & (th f) , | , x |
J J 2»hfehl-/ -s-j--l»|lhi|+C .►
i л f sh x
14. / _____-dx.
J vch 2x
ч Очевидно,
- / 1 [ _ 1 , , r. _
J VehS Ji J ,/(V2chT)s-i y/i
15 [ shIchidr
J \/sh*x + ch41
$ 1. Просг?«дгеенерцредел^ея»» ШНвгрМли
209
Имеем
sh д ch х dx _ _________sh дек ж dr__________ sh 2х dx___________rf(ch.?x)
\/sh4x 4- ch4x 2^jth32X + j - 1 2^а/ch32x +1
Тогда
/sh x ch x dx 1
\/sh4x +ch4i 2>/2
[ _ J(cb 2x)__ _ _L_ и (ch 2» + </сЬг2! + 1) + C =
J v/cl^ + l 2^5 \ /
— —In (— L* + УсЬ4с 4- sh*iA + C. ►
2-/2 \y/2 J
16. [----^=.
J C^xVth2!
Ч Очевидно,
f------- = /th-3 z d(th r) = 3v4h« + O'. ►
J ch2xvth2x J
Вычислить следующие интегралы:
17. у i/l — sin 2x dx
Ч Поскольку
Vl — sin 2x — (cosa; —sin x)2 = | cos x — sin x| = (cosx — sin x)sgn (cosx — sin x),
то, обозначив 7(x) = J %/l — sin 2x dx, находим
i(x)
— (sin x 4- cos x) 4- C’-i, 7 — 2ir x < J — x,
sin x 4- cos x 4- Co, — я- x < 7,
—(sin x 4- cost) 4- Ci, 7 x < ~ 4- ir,
(-l)n(sinx 4- cos x) + Cn, 7 4- (w — l)ir x < 7 4- ’**,
Поскольку первообразная непрерывна, то должно выполняться равенство
т. е, ( — 1)д+1 (sin ц + cos та) 4- Ca+i = lim ( — I)*"(sin х 4- cosx) 4- Ct, TTlfi Xk 7- 4- kr, k € S.
T—!), —0 4
Отсюда приходим к равенству —>/2 4- Ca+i = \/2 4-Са • При к = 0 находим Ci = 2>/2 4- Со;
далее, при к = 1 получаем С2 = 2\/2 4- Ci = 2 • 2\/2 4- Со • С помощью метода математической
индукции устанавливаем, что С« = 2у/2п 4-С, где С = Со — произвольная постоянная.
Наконец, преобразуя неравенство 4- (’* — 1)х х < 7 4- пл- к виду
находим, что
Таким образом,
210
Гл. 3. Неопределенный интеграл
1(c) = j
I dx _ 1
J (tg2x 4-2) cos2 х у/2
4 Преобразуя подынтегральное выражение, находим
dx
sin2 х 4- 2 cos2 х
где nx — ~ < х < ~ 4- nr, п € Z. Из непрерывности первообразной следует
7 + П7Г — 0^ = I (у + МТ + 0^ , я G Z,
-^ + С„ =-----^+С’„+1.
2>/2 2\/2
Отсюда находим C„+i = 4-Сп или Сп = 4 С, где С = Со. Поскольку м < < n +1,
п € Z, то п = [-**.”]. Следовательно,
,, , 1 * ” [2x4- Х1 7Г (г \
/(1)=?= arctg+ ]+С, + Ц? +
является точной первообразной на R. ►
19. [^±dz.
J 1 +1
Ч Из равенства
следует, что
I 4-0= -Мп
I 2\/2
20. у Л.
Ч Имеем при х О
если х < О,
если х > 0.
Согласно определению, первообразная должна быть непрерывной, следовательно, /(— 0) —
Ц+0), т. е. + C'-i = —5^5 + Ci. Если найдем С’_» = + С, Ci = 4- С, где С
— произвольная постоянная, и положим 7(0) = С, то условие Z(—0) = 7(4-0) = 7(0) будет
выполненным, а определяемый интеграл запишется в виде
,(1) = / Н4= 7?110,8 77Г
. л . Z-.
+ —7= sgnx + С,
х 0, 7(0) = lim 7(х). ►
21- /MJ*' АеК' (’>
Ч Рассмотрим случай, когда А 0. Пусть [х] = п, тогда <«41, и для сужения
первообразной х *-» /(г) на полуинтервалы [n, н 4 1[, п ё N, получаем
Л’)= /^ = -ГТ + С- (2)
' ' J еа+1 Д®-* ' '
§ 1. Простейшие нваяреДвлееты^ интегралы '211
В силу непрерывности первообразной /(п) в 1(п— 0), т. е. + -&п = -Jjj^r'4-C’r»-i
или + f-'n-i, п € N. Отсюда последовательно находим
С\ ~ 1 + Со = | + С, где Со = С,
= Sr'+ с' = Г + Т? + с, (3)
с'»=’т + +
Поскольку п = [я], то из (2) и (3) окончательно находим
[ . lfi + ± + ±+ +_кД+с
J г*-" А? + А V 2А 3* [*Р)
Предположим теперь, что А = 0. Тогда для х € [», » + 1[, Н € N, получим
/(я) = J — dx = nln х + С'п.
Поскольку первообразная непрерывна, то справедливо равенство 7(п) = Цп — 0)- Отсюда,
аналогично рассмотренному выше случаю, находим
Сп = — In 2 — In 3 — ... — In n + С.
А так как n = [z], то
У — dx = [г]In х - In 2 - In 3 — ... — ln[z] + C = [z]ln x — ln([z]!) + C.
Таким образом,
[ -Й- + Ц1 + зт+^+ • + Ррт)+С, если Л 0,
J 1 [г] In х — ln([z]!) + С, если А = 0.
Найденная первообразная не является точной первообразной. Действительно, точна*
первообразная имеет в каждой точке области существования производную, равную подын
тегральной функции. Однако подынтегральная функция имеет счетное множество точек раз
рыва первого рода, поэтому не может быть значением производной. ►
22. у г - Л-
Ч Положим — t, тогда х = и dx = —7г- При этом, если х £ ]0, 1]. то i € (1, ‘•4-оо[
В результате замены приходим к интегралу
Согласно предыдущему примеру, получаем (полагал А = 2)
2 /Шл__М + 1 1 1+ +Х+С
J Р V + 1 + 2= + & + " + И1 +
Возвращаясь к старой переменной, окончательно имеем
ЖР1=-Ы*+1+^+ +с'
где х € ]0, 1]. ►
Применяя различные методы, вычислить интегралы:
23. jл(1
212
Гл. 3. Неопределенный интеграл
4 Пользуясь очевидным тождеством х = 1 — (1 — г), получаем
J т(1 -z)10(Z;r = - *)‘° - г)11 dz =
= ~ s)10 <1(1 - X) + У (1 - г)11 <1(1 - X) = - ^(1 - I)11 + ^(1 - X)12 + С. 1
24. [--—-----dx.
J (1 -!)100
4 Разлагая функцию х t—< х2 по формуле Тейлора в окрестности точки х = 1, получаем
х2 = (1 - г)2 - 2(1 -х) + 1.
Поэтому
[ x2di f (1 - х)2 — 2(1 - х) 4- 1 J f dx г, [ dx
/(l-x)100 J (1-х)100 J (l-i)9« J(l-r)" +
/dx 111
(1 -«)"" ~ 9T (1 —j)»7 “ 49(1-г)” + 99(1-1)” + °' 1 1 1
25. / .
J Vx+I + \/x - 1
4_Уничтожая иррациональность в знаменателе, получим
/ v. + iw»-! = I=
= У ’А + 1 d(x + 1) - ~ У </х - 1 d(x - 1) = | (</(х + I)3 - ,/(х - +с, I > 1. I
26, У г3 \/1 + х3 dx.
4 Поскольку x3dx = j((l 4- г2) — 1) d(l 4- х2), то
I ха х/14-*2 dx = 1У ^(1 + х2)з - (1 + х2)з^ <1(1 4-х2) = (1 4-гг)з " | (1 4-х2)з 4- С. I
27. / 2
J х2 4- х — 2
4 Имеем
1 = 1 = (» 4-2) - (» - 1) = 1 / 1 _. 1
х3 4- х — 2 (х —1)(®4-2) 3(х —1)(х4-2) 3 \х — 1 х4-2/’
следовательно,
28. [---—-------.
J X* 4- Зх2 4- 2
4 Поскольку X dx = J d(x2) и
1 1________(х2 4-2) - (х2 4-1) = 1_________1_
х*4-Зх24-2 (х2 4- 1)(х2 + 2) (х2 4- 1)(*2 + 2) х2 4.1 х24-2’
- f tdx = 1 f rf(*3) _ 1 [ Ф2) _ 1Ь £1+14. С ►
J х*4-Зх24-2 2 /х24-1 2 J х2 4- 2 “ 2 П х2 4- 2 +
29. У sin4 х dx.
$1- Простейшие ч^опрец^ци1^гинт^гралы
4 Интегрируя тождество , • • л < ’ ' •
.4 /"] - COs2z\2 1 1 ' 1 2
sin z = -----J = - - - cos2x + — cos 2x = , . \ .
11 n . l + o»4i 3 1 „I 4
— - - - cos2x +--------=------- cos 2r + -cos4z,
x 4. V , .8 8 2; 8
получаем , \
J sin4 x dx = sin 2x + sin 4x + C. ► ’ ? l
30. J tg^xdx. • 1 ' ' 11 ’ ’’
Ч Имеем
У Is’iJr = У tg» (—1--1) d* = y t8»d(tg,»)- у = 1 tg2» + 1ц I cos »| + C,
» + J + ►
31. f . 2 .
J sm x cos2 x
Ч Пользуясь тем, что J — In |tg || 4- С (см. пример 11), наводим •-
/dx [ cos2 r 4-sin2 x , .[ ,dx ,,f> siix H . i xh:, 1 < tfcirk
------5— = / :--------5 dx = I --h / ---s—dx = ln]tg—1 +-------h<7, X . ►
sinx COS2 X J sinx COS2!-----------------------------------------------J sinx J COS2 X | 2 J .cosx-2
32. ' ' ' ’ 1
J sill £ ' 1
Ч Пользуясь равенством x = —d(ctgx), находим ’
J ^h~~j ^7li(<:tsa:) = -y(cts2l: + 1)''(rtgI) = -5<;>ssx-rtei + c. •.
33. у ch x ch 3x dx.
•4 Имеем
J ch x ch 3x dx = - J (ch 2x + ch 4x) dx = - sh 2x 4- - sh4x + C.
Применяя метод подстановки, найти следующие интегралы:
4 Пола: ая 1 — ох2 = t, находим х dx = — — dt; х3(1 — 5x2)lft dx = (t11 — it0) dt, следова-
тельно,
Гл, 3. Неопределенный интеграл
Ч Полагая 1 + cos2 х = t, получим sin х cos х dx = — у. Тогда
/sin X cos3 X I f 1 — t ,. 1 1 I 1 I.,,. 2> 1 2 ,
1 + co.2 г dx= 2 J —Л=2‘”1«|-?« + С = -10(1+со. x) - - co. r + <„ ►
37. [ ,dl .
J y/\ + f.x
Ч Положив t = e 2 t находим
У ^±^ = -2 j -p^L= = -21n(i+v4r7T)+C = I-21ii(l+V?7 + T) + C. ►
38' / (1 - s2)2/2
4 Если положить x — sin t, to dx = cos t dt и при |z) < 1
/T^ = /^ = ts,+c^(l“sini)+c'=^ + G ”
39. j 2
4 Положим x = Если x € ]—оо, —\/2[, to t G ]~v> ®[> если же x €]\/2, 4-oo[, TO
t € ]0, 7 [ • Заметив, что для этих значений х и < sgnctg 2t = sgn t = sgn x, будем иметь
'sin2 t + cos2 t)2 _
sin3 t cos3 t
= sgn
Из равенства sin 2t = учитывая, что |tgt| < 1 при |t| < 7, находим
tg* =
если x > y/2,
если x < — д/2.
Таким образом,
40. J \/a2 — x2 dx.
4 Полагая x = a sin t, получаем
\/a3 — x3 dx = a2 J cos2 t dt = J (1 4- cos2t) dt =
= у (t + +C = arcsin i + yx/a2 -.2 +C,
41. f d“
J v^+a’)3
4 Положив x = a tg t, имеем при a О
/dx 1 / . 1 x .
——===== = —r I costdt — —zsmt+C=----, 4- C. ►
У(х2 + e3)3 oS J a2 a2y/x2 + a2
]x| < a. ►
l^d-
§ 1. Простеимженеопределенные интегралы
215
Пусть х = acos2t. Тогда = ctgt, dx = —2asin2trft и
dx — —4а [ cos3 t dt = —4a (sin 2*^ + C = a arcsin — — \/as — C>
Ч Полагая x = 2a sin2 t, получаем (см. пример 29)
^31 — 2 sin 2t 4- sin 41) + C =
— 3a2 arcsin
/ x 3a 4- x ---г
VaJ---2—V»P»-*) + c,
0 r*< 2a. ►
44.
_______dx_______
y/(z - a)(b - r)
Ч Положив x — a = (6 — a)sin21, после простых преобразований получим
I —=1 =—— = 2 / di = 2t + С = 2 arcsin </т — 4- C, a < x < b. ►
J y/(x-a)(b-x) J V b -a
45. у у/ a2 + x2 dx. ,
Ч Пусть x = ash t, тогда dx = a ch tdt. Следовательно, -/a 2 4- x2 = ч/а2(1 +sh2t) = a ch t
н
У \/a2 + x2 dx — a2J ch3 tdt — у sh 2t 4- 4- C.
Из равенства sh t = находим, что e‘ =s **>/вг+*2 Поскольку е‘ > 0, то t = In [г 4-
л/a2 4- х2| — In а. Очевидно, sh 2t = 2sh t ch t = 2sh 1\/1 4- sh2t = 2 “t/1 4- ^7 = “тл/а2 4- x2.
поэтому окончательно получаем
у/a2 4- г2 dx =
I \/a2 +x2 + у In |z + Уа2 4- z2| 4- C. ►
4e-
Ч Подынтегральная функция определена при х < — а и при х а. Пусть х а. Тогда,
полагая х — а =2ash2t, получаем
dx = 4a I sh2t di = ash2i — 2at 4- C\
Учитывая, что a sh 21 = y/z2 — a2, sht = yj~j—, t = 1п(>/г 4- a4->/i “ ®) “In V2a,
окончательно получаем
dx = у/x2 — a2 — 2a ln(>/r 4- a 4- ^Jx — a) 4- C.
Если x < — а, то. полагая x 4- a = —2ash2i, имеем
sh2/ dt = —ash 21 4- 2at 4- C =
= — у/ r2 4-a2 4- 2 a In (yj —z — a 4- y/-1 4- a) + ►
216
Гл. 3. Неопределенный интеграл
47. j \/(х + + Ь) dx
Ч Предполагая, что 6 > а и I + а > 0, х + Ь>0, положим х 4- а = (b — a) sh2 i. Тогда
(х + а)(i 4- Ь) dx = ^*^*1 (ch4t — l)dt и
У \/(« + «)4 + 6 - <) + с.
Поскольку t = 111(5/1 + а 4- 1/г + i) _ In Vb - «, sh4i = s/fo 4- а)(т + Ь), то оконча-
тельно имеем
У \/(® + а)(х + О dx = +4 + \/(х + “И1 + 0 ~ 1п(т/х+я + Vr + 6) + с.
Если же х + а < 0, х + b < О, Ь > а, то, полагая х 4- b — ~(b — a)sh2/, получим
У у/(х 4- «)(ж 4~ Ь) (iz = — ^ У (oh 4i — 1) dt = - sh4t + + С =
2х + а,+.*+ д^д. + + IL—sh. ln(v'-z - а + V-X - Ь) ч- С. ►
Применяя метод интегрирования по частям,, найти следующие интегралы:
48. У т2 arccos х dx .
4 Интегрируя по частям, находим
2 J I 1 [ X3dx
х arccos х dx = I arccos x a ( — ) = — arccos x 4— f . - =
J \ 3 J 3 T 3 J
= ~ arccos x — У x2 d " *2) = arccosa: — - z2 4- j J \/l - t2 rf(aca) =
= у arccos ж - у \/1 -®2 - |\Z(X - I2)3 + С |x| 1. ►
. Л / arcsin х ,
49- J ~^-dx.
4 Имеем
Окончательно имеем
J
4- bl
1 50» y.ar$S\^rdif..
§ 1. Простейшее япеоярейеЛёКай^в жят^гралы
Ч Методом интегрирования по частям^иаходим
= »«см -Д-J
= т aid
51. J аде sin 2 ш (i:r.
Ч Имеем ।
Г • 2 я
I arcsin х dx = х arcsin х
-I
£Х . , . 3
arcsin х ах = х arcsin х
•/1 - г2
4- 2 f arcsin х d^y/T^x3) =
= х arcsin2 х
+ 2\/1 — х3 arcsin х — 2х 4- С,
|х|<1. ►
52. j х arcsin2zdz.
Ч Интегрируя по частям и используя предыдущий пример, находки
jх arcsin2! dx = х JarCsin2 z dx Jarcsin2rdz = (z — 1} JarCsin2x dx =
= (z — 1) ^z arcsin2! + 2\/l — z2 arcsin x — 2z^ + C,
53. [ гЛ1 .V -
J (a2 + z2)2
Ч После очевидных преобразований, интегрируя по частям, получаем
[ dx 1 / (a2 +z2) - х2 , 1 . х , 1 f x , ( 1 \
J (a2 + z2)2 “ a2 J (a2 +t2)2^ “ a3 8 a + a2 J 2 * (a» + z2/ “
u;! a + 2a2(a2 + x2) 2a2 У a2 4- x2 2a2(a2 4- z2) 2a3 a
54. / \/<i2 - x2 dx, |z| a.
Ч Интегрируя по частям, находим
[ yjd2 - x2 dx = ryja2 - z2 + [ * .dx = x>Ja2 — z2 + / —- —
J J \/a2—x2 J y/a2-г- x2
~ x \/a3 ~ x3 — I \/a3 — x2 dx a2 arcsin — 4- C.
Решая Jia равенство относительно J \/a2 — z2 dx, получаем
[ \/a2 - x2 dx = ~ у/a3 — x2 4- — arcsin - 4- C, a 0, ►
J 2 2 a
55. I x2 y/a2 + x2 dx.
Ч Имеем
218
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Вычисляем последний интеграл'
Окончательно получаем
г2 \/а2 + х2 dx =
_ £ ta iz + + c-
56 J x sin y/x dx.
4 Замечая, что x dx = 2(^/x)3 d(y/x), и интегрируя по частям, получаем
= 2 J(у/х)3 sin у/х d(y/x) =—2 J(у/х)3 d(<
= —2Vt^cos у/х + 6/ х cos у/х d(y/x) = —2Vx^"cos у/х + 6J х rf(sin у/х) =
= — 2\/а?соя у/х + 6х sin у/х — 12 J у/х Sin у/х d(y/x) =
~ — 2Videos у/х + 6х sin у/х + 12 / у/х d(cos у/х) =
= —2Videos у/х + 6х sin у/х + 12^/х cos ч/х — 12sin у/х + С =
= 2у/х (6 — ж) cos у/х 4- 6 (х — 2) sin у/х + С, х 0. ►
•М Интегрируя по частям, имеем
Л = — / сое bx d(eai) = — ев* cosbx + — /* eaI sin bx dx — — eat cosbz + —/2;
a J ' a a J a a
Zj = — I sin bx die113’) = —eat sin bx — — I ea* cos bx dx = — eas sin bx - — h\
a J a a J a a
e“*(acos bx + bsin bx) _ . eaf(asin bx — bcos bx)
11 =-------------------------+ c’ h~-----------------— + c- ►
’/s sin2,x dxt
§ 1. Простейшие жеолределекквм Кктегралы 219
4 Используя предыдущий пример, получаем
J е2* sin2 х dx — j e3® dx — i J s3“coe2z dx = ie3“ — ^-е’х(ми 2x +coe2x) + C, ►
Нахождение следующих интегралов основано на приведении квадратного трехчлена к канониче-
скому виду ц применении формул:
VII, J з/а2 — х2 dx — ± \/а2 — х2 + — arcsin + С, л > 0.
VIII. J >/х2 ± a2 dx — ^>/х2 ± а2 ± ln|x + '/х^ i а2| + С.
Найти интегралы:
60. [-----—------.
J Зх2 — 2i — 1
4 Имеем
[ dx - 1 / * (* - i) _ 11 I • -11 „ , i ,,
J 3JC-2Z-1 " 3j 1)*_ < - 41“|з>: + 1|+С'’ ** 3’ ’ * *
si- [ , V:
J x* - 2x2 - 1
4 Очевидно,
62. [ ,x + 1 dx.
J x2 +z + l
4 Пользуясь свойством г), п. 1.2, получаем
4 Имеем
/(.)=/------,---------- = 2 [ -- = arctg ^1±1 + С,
J 2su1JcosJ + 1+4cos35 J (,k5+i)2+4 2
2nx - x < z < x + 2nx.
Из непрерывности первообразной следует
I(x + 2nx - 0) = J(x + 2nx + 0). n £ Z, + Cn = — + Cn+i, Cn+i=x + Cn-
Отсюда находим C,t = nx+ C, где C’ = Co — произвольная постоянная. Поскольку 2ня — x <
х < т + 2пт, г. е
Таким образом.
= aictg 2 — + х Г - 1 + С х 5^ г + 2пх, 7(х + 2ит) = lim 7(х), п € Z. ►
' 2 L 2т j я — гг+2пя
220
Гл. 3. Неопределенный интеграл
04. [
J >/5 + г -
Ч Очевидно,
65. [ г
J — 2х2 — 1
Ч Имеем при |т| > \/1 + у/2
х3 <jx _ X1 d(z2) _ (г2 - 1) d(x2 — 1) 1 d{x2 — 1)
\Ar4 - 2r2 - 1 “ 2^Дх2 - I)2 — 4 " 2У(г» -1)2 - 4 + 2 ' ^2 _ 1)2 _4’
УДа
/ vV-2*' -1 = ^x>-^2-' + |l" k2 ~ i + +6' ►
--- - 1
66. j \^2 + x — x2 dx.
Ч Имеем при — 1 i 2
Ч При jx — || < e / 0, имеем
В первом интеграле положим Получим
[ ** = _ I .<**•
J rVl + х.— х2 J \/12-4г t&%n.x — 1
? ',-Г = ki„|<,+ ^+v/k+<.g.1I-i| = -in|±j:.J + 2у'1 + »-^|
Второй' игспёграл ййчисляете^' Й^пОСреЙстЬенко:
J v'l+x-x2 J гл/1 + x-.i 2/ A V 2 VS'
Ашадф «-и... . . .
Окончательно имеем
§ 2. Интегрирование рациональных функции
221
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы:
1. JVT^d,. 2. 4. »-
’•/гйЬ- 2. f^^T, .88, „€N. 9. /„(.ДуЛ--
10- .','.2,- “• 12. fees’г de. 13. Je—’-’ede. 14. f e’2* dx.
15. Jcos^-^. 16. Jl^dz. 17. f g- 18. Jtg*xdz. 18. / cos2 I dx.
20. f xVz2 + ldz. 21. f (x + r) Vx2 + x + ldx. 22. Г J^±£±U<S_. 23. f
24. J [Jr, z > 1. 25. J^L-dr, x > 1. 26. Jln[z] dz, x > 2. 27. f p^pr, x
28. [ 29. f ^"O+sW-^dz. 30. f
J j(l+x) J x^— 1 J (l + aJ)-
32- 33. 34. f ^^d,:'-
35. JV1 - 2x2 + x4 dx. 36. J arcsin (sin x) dx, x € R. 37. arccos (cos z) dx, z € R.
38. f z3Vl+x2dx. 39. f x2(l+x)20dx. 40. f
Методом подстановки найти следующие интегралы:
41’ 42- } Л/ЗГг!1' 43- f f .«v'.2—2
45. f
46. f
dx. 47. f
48. f-----Ц—---------Lit.
J V<i+.2>" .
— =2-
78. f ?dir dx. 79. f ~
82. f z2 ex sin x dx. 83. f
Применяя метод интегрирования по мастям, найти следующие интегралы:
54. Jx3 In х dx. 55. f xs sin x dx. 56. J afn• 57. Jx2 cos x dx. 58. Jzsin2 x dx .
59. f s,nS д f cot» a • 61. frfzdx. 62. J arcsin |dz. 63. f arcsin x dx.
64. f r2arctgx dx. 65. f arctg dx. 66. f x arcctg x dx. 67. f 1 dx. 68. f X3cax dx.
69. feaxcos2xdi. 70. dr. 71. Jin2 r dx. 72. f x3 in2 x dx. 73. f'-^dx.
fz2ln(r + -\Zz2 — a2)dx. 76. Jxshxdx. 77. Jzsh2xdz.
dx. 80. f arcsin x arccos x dx. 81. f d1-.
F*- 8в-/(Йу-
§ 2. Интегрирование рациональных функций
Известно, что правильная дробь
Р(х) _ ________Р(х)__________
Q(x) к » ’
П(х-!,)" П(<Ъ18+Ьх + ?^”Ь
Гл. 3. Неопределенный интеграл
где нули квадратных трехчленов а3х2 + Ь}х + q} комплексные, допускает разложение
Постоянные В,/' и находятся методом неопределенных коэффициентов.
В некоторых случаях постоянные Лп, Лп-1, ..., Ai в разложении
-------------------р(д) — А"______д.___Л"~1 _|_ + _____|_ hh) (2)
соответствующие множителю (х — xi)”, удобно находить следующим образом.
Умножив равенство (2) на (г — ii)n, получим
= Л„ + (г + ... + (x-ii)“y^. (3)
Заметив, что все слагаемые правой части равенства (3) при х = xi равны нулю, находим
Дал^е, продифференцировав равенство (3), получим
(ти ) = Л”~‘ ’+ +(”-1)(1 + (» -11) + (I
Продолжая описанный процесс, получим формулу
(S)
(6)
используемую для определения постоянных Ап, An-i, • • •, Ау, соответствующих множителю
(Х-Х!)П.
Аналогично вычисляются постоянные разложения (1), соответствующие другим действи-
тельным нулям многочлена х i-* Q(x).
Применяя метод разложения рациональной дроби на простейшие множители, вычислить
следующие интегралы:
69- / »
Jr3 — 5х* + 6г
4 Выделив целую часть
1 ' х3 + 1 _ 1 5г2 — 6х 1
’ г3 —' 5г® ц-fir х3 — 5х2 + 6г ’
а затем разложив знаменатель правильной дроби на множители, получим
5т3 - 6ж + 1 _ 5х2 - 6r +1 _ А В С
хэ - 5х2 + 6г — х(х — 2)(х -3)” i+r-2 + i- 3’
Согласно формуле (4), имеем
5х2 - fix +1 I 5х2-6«4-1| _ 9 5хэ-6x4-11 _ 28
6’ ” х(х-З) |1ж2" 21 х(х-2) |я=3 3-
§2. Интегрирование рацшшааьшых фуккцкн
Интегрируя тождество
Z3 + 1 = 1 1 _ 9 1 28 1
I3—5z2+6z 6 х 2 х — 2 3 х — З’
окончательно получаем
/ = I + + х^0,2,г.>
70. [
J х3 — Зх +2
4 Аналогично предыдущему имеем
х____________________________х________ А В С
х3 - Зх + 2 “ (х-1)2(х + 2) - (х - 1)а + (х - 1) + Г+2’.
Пользуясь формулой (6), находим
Таким образом,
/х dx _ \ 2 [ ^х % £ dx _
х3 - Зх + 2 “ 3 J (х - I)2 + 9 J х ~ 1 “ 9 J х +2 ”
= 4 ^ + hla-1|-^ + 2| + C = -^+2-b|^| + C,
х 1, х —2. ►
71. /------~_______
J (т + l)(z + 2)2(г + 3)э
4 Имеем
1 . Л I В I £ I —О ш
(х + 1)(х + 2)2(х + З)3 х + 1 (* + 2)2 (г + 2) Г (х + 3)3 * (х+3)2 х + 3’ К 1
Пользуясь формулой (6), последовательно находим
Л ~ (i+2)2(i+ 3)3 1__1 ~ 8’ Б~ (х + Ч^ + З)’!,,^- 1’
( 1 V ~(» +3)3 - 3 (х + 1)(х + З)2 | =
V-' + 'iC' + ’W (х + 1)2(х+з)« |ят2 '
°= (z+lXx+^l^'T
( 1 VI —(х + 2)2 — 2(х + 1)(х + 2) I _ _5
V« + l)(x + 2)2J (х + 1)2(х+2)‘ 4'
1 . 2 , 3
(z + l)3(x+2)2 + (X + 1)2(1 + 2)3 + (т + 1)(х+2)«
Подставив найденные коэффициенты в разложение (1) и проинтегрировав, получим
/dx 1 1 11
(х + 1)(х + 2)2(х + З)3 “ 8 ln|i: + 11 + 7Тз +21°|l+2| + 4 ’ (х+3)2 +
+ —5— - И|„ |х +31 +С ~ 9«а+5°*+68 + 11„ |(x + 1)(x + 2)‘g|
+ 4(х+3) 8 +31+Г 4(х+2)(х+3)2 +8 | (х + 3)1’ |+ ’
х —3; —2; -1. ►
224
Гл. 3. Неопределенный интеграл
72. /___________________
J х(х + 1)(х2 + X + 1)
4 Имеем
_______1_____________= А В Сх+Р
х(х + 1)(х2 + х + 1)_x"*”x + 1'*'i2+t + 1
По формуле (4) находим первые два коэффициента:
л~ (» + 1)(«2 + » + 1)|„0_L в~ »(1! + 1 + 1)|„
Далее приводим разложение (1) к общему знаменателю
1 = А(х + 1)(х2 + х + 1) + Вх(х2 + х + 1) + (Сх + D)(x2 + х):
затем сравниваем коэффициенты при х3 и т2, получим систему
х3 I О = А + В + С,
х2 | 0 = 2Л + В + D + С,
из которой находим С = О, D = —1. Проинтегрировав (1), получим
73- /Лг
4 Поскольку х3 + 1 = (z + 1)(х2 — х + 1), то
J XJ + 1 J z + 1 J XJ — X + 1
Обычным методом получаем систему
Отсюда A — j, В = -'j, С = Таким образом, при i —1
dx
= 1 1« |> + 1| - 1 ln(l2 - ! + 1) +
1 2x — 1 „ 1,
4—= arctg------=—p C = — in
' /7 15 _ /7 R
+ arctg —+ C.
xdx
Имеем
x dx
dx,
откуда получаем x = A(x2 + »+!)+ (Bx + C)(x
§ 2. Иятетрироважнервщжсмаишых функций
225
Решая полученную систему, иаходмм
л = 1, в = -~, а=1.
3 3’ 3
Следовательно,
1 . 2z + l , ,, 1, (i-l)“ , 1 , 2i + l „ , _
+ ?J"c,e^F+c = 6ta?T^ + ^“c‘8_7r+
Ч Поскольку
x4 4-1 = (х2 + 1)2 -2x2 = (x2 +хд/2 + 1)(х2 -хд/2+ 1),
то разложение подынтегральной функции на простые дроби ищем в виде
1 Ах + Д Сх + р
х4 + 1 г2 + ху/2 + 1 х3 — х>/2 + 1
Из тождества
1 = (Ах + Д)(х2 - ху/2 +1) + (С'х + Р)(х2 + ху/2 + 1)
получаем систему уравнений
х3 0 = А + С,
х2 0 = -л/2А+Д+v^C + B,
х 0 = A — V2B+C+ V2D,
х° 1 = В + D.
Отсюда А = —С = В = D = Следовательно,
f dx 1 / х + у/2 . 1 f х - у/2 , 1 f 1 + ,
Jx41 2y/2 J x2+x>/2 + l 2д/2 J х2-ху/2 + 1 2д/2 J x2 + zV- + 1
I [ dx 1 f x — 1 f dx
= —7= In J + x'/^+ 1 _1 (агсц txv/2 + 1) + arctg (1V2 — 1)) + C.
472 x2-xx/2 + l 2y/T 6' 7
Учитывая формулы сложения арктангенсов (см. пример 268, гл. I), окончательно получа-
ем
;dx 1 , х2 + тх/2+1 1 х х\П it Л,
*4 + 1 4\/2 х2-х>Л+1 Ъ/Ъ 1-х2
где
{4-1, если х > 1,
0, если |х| = 1,
— 1, если х < —1,
1(1) = lim 1(х); /(—!)= Цщ^Цх). ►
Ч Поскольку z4 + х2 + 1 = (г2 + I)2 — х2 = (х2 - х + 1)(х2 +1 + 1), то разложение ищем в
виде
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Из тождества 1 = (Ах 4- В)(х2 — х -р 1) -р (Сх + В)(х2 -р х -р 1) получаем систему
х3 0=А + С,
х2 O = -A + B + C+D,
х 0=A-B + C + D,
х° 1=B + D.
Отсюда А — В — —С — D — Таким образом,
/44t4/44tJi4/44t^
1, z2 + z + l 1 / 2х + 1 2Z-1A
= I1" + 1 + ^5 (“с1е~JT + “с1е-JTJ + с-
Заметим, что (см. пример 268, гл. 1)
2х + 1 2х - 1 хД ,
arctg--=--р arctg-=— — arctg --г + 7rs(z),
V3 Д 1-х2
где функция е(х) определена в предыдущем примере, а значения арктангенса в правой части
в точках х = ±1 равны предельным значениям в этих точках.
Окончательно имеем
I»«4 + 1 = i1”441 + 4"ctg+ дд'W + с ►
77- / 4т-
Ч Сначала преобразуем подынтегральную функцию
1 (т4 + 1) + (1 - я*) i* + l , 1 — х*
z6 -|-1 - 2 (х« 4- 1) “ 2 (г6 + 1) + 2-(х® + 1) =
_ (У* - х3+ 1) + т* (1 - г2)( 1 -р х2) _ 1 X2 х2 - 1
2 (х2 4- 1)(х4 — z2 + 1) 2(т4 — z2-pl)(l+z2) 2(т24-1)"^2(тб4-1) ' 2(z4 — т2 + 1)
Первые два слагаемых легко интегрируются, поэтому найдем разложение на простые дро-
би только последнего слагаемого. Имеем
—х2 + 1 _ Ах 4- В Сх 4- D
2(х* — х2 +1) “ х2 + \/Зх.+ 1 + х2 - ТЗт + 1 ’
-у + ~ = (Ах + В)(х2 — Д х + V) + (Сх + D)(x2 + Дх + 1);
х3 Q = A+C,
х2 -^ =-ДА +В + ДС+ D,
х 0 - А — ДВ + С+ уДВ,
xQ ±=B + D.
Отсюда А = — С = , В = D = j, поэтому
1 = 1 . «а . 1 . д +V _ 1 . д- -Г-
®в+1 2(т2 + 1) 2(г8 + 1)+2л/3 х2+у/Зх + 1 2Д х2-Дх + ^
Интегрируя это равенство, получаем
1 , ,1 хЗ,1«2'"Ь 'Д ® +1 f,
—1—- = - arctg х 4- - arctg х 4- —7= In-—-р С. >
г6 4-1 2 * 6 * 4V3 х2-л/Зх + 1
§2. Интегрирование рацжоцальных функций
< Поскольку х5 — х4 + х3 — х24-х — 1 = х4(х — 1) + ®2(х —1) + (® — 1)* (х1)(х*4-л2 4-1) =
I — 1)(х2 + х + 1)(х2 — х 4- 1), то разложение подынтегральном функции на простые дроби
<меет вид
1 _ А Вх 4- С Dx 4- Е
Xs — х4 4-х3 — т2 4-х — 1 х — 1 х24-«4'1 х2 — х 4- 1
Из тождества 1 = А(х4 4- 4-1) 4- (Вх 4- С)(х — 1)(х2 — х 4-1) 4- (Dx 4- £7)(х3 — 1) получаем
которую, находим
О = А + В + D,
О = -2В 4- С 4- Е,
О = А 4- 2В - 2С’,
О =-В 4-2С - В,
1 = А - С - Е,
образом,
79. Прн каком условии интеграл / • dx представляет собой рациональную
J х4(х — 1)'
1КЦИЮ?
Ч Интеграл представляет собой рациональную функцию, если в разложении
коэффициенты D и F равны нулю. Предполагая последнее, имеем
ах2 4- Ьх 4- с = А(х2 — 2х 4-1) 4- В(х3 — 2х2 4- х) 4- Ех3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
х3 0 = В4Е,
х2 а — А — 2В,
. х 6 = — 2А + В,
Исключая из этой системы неизвестные А, В и Е, находим требуемое условие:
а + 26 + Зс = 0. ►
Применяя метод Остроградского (см.: Ляшко И. И. и др. Математический анализ. К.,
1983 Ч. 1. с 381) найти интегралы:
Ч Имеем
/х dx _ Ах2 + Вх + С , г) [ dx „ f dx
(х-1)2(х + 1)3 “ (х-1)(х4-1)2 + / х-1+ / х + 1'
Дифференцируя обе части равенства, находим
х (х2 - 1 )(2Ах + В) — (Зх - 1)(Ах2 4- Вх 4- С) D Е
(х-1)2(х + 1)3 “ (т-1)2(х41)’ +х-1 Т41'
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем
• = —Ах3 4- (А - >В) х2 4- (-2/1 4- В - ЗС) х + С - В +
4- D(x - 1)(х3 4-Зх2 4- Зх 4-1) 4- Г(х4 - 2?2 4-1)-
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях этого тождества,
получаем систему '
т4 0 = D + Е,
т3 0 = - A + 2D,
х2 0 = А~2В-2Е,
х 1 = -2А + В -ЗС -2D,
х° 0 = С - В - D + Е,
решая которую, находим
Следовательно,
/х dx _ г2 + х + 2 1 , Iх + 1 I ,
(х - 1)2(х + 17 ” ~8(1 - 1)(х + I)2 + 16 Й‘ 1т - 1 | + ’ х?=
Имеем
Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество 1 = — Ах* — 2Вх3~
ЗСх2 + 2Ах + В + D(x5 — х* + z3, + х2 — S + 1) + (Ex + F)(x* + тэ + х + 1), откуда
, х5 о=г Prh#>. ..
х* 0 = -A- D + Е + F,
х3 0 = -2B + D + F,
X2 0 = —ЗС + £> + Е,
х 0 = 2А - £> + £? + F,
х° 1 = B + D + F-
А = С = 0, В=|,
D = -E = t
Таким образом.
/ («> + I)2 ” 3 (х3 + 1) + 9 ь 11 + 11 9 / х2 - х + 1 dl ~
x , Г ' (x ¥ l)2 2 , 2x - 1
3(x’ +1) + 9 Чз-а + з 3V3 s V3
x#-l. ►
if х2 dx
' J (i2 +2z+2)3 ’
Имеем
Ах + В
dx,
откуда, дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество
х2 = А(х2 + 2т + 2) - (Ах + В)(2х + 2) + (С’т + D)(x2 + 2х + 2).
Для определения неизвестных получаем систему
х3 0 = С,
х2 1 = -А + 2С + D,
х Q=-2B+2C + 2D,
ха 0s=2A-2B+2D,
решая которую, находим
А = 6,. В= 1, С = О, D = 1.
!i 2. Иятегрнроваяие ря^япияяхиит функции
229
Тогда
<• + >)+c- ►
dx
Имеем
dx
Аг3 + Вх2+Сх + Р
Ex3 + Fx2 + Gx + H .
--------ГП----------dx’
откуда
1 = (ЗАх2+2Вх + С)(х4 + 1)~4x3(Ax3+Bx2+Cx + D) + (x4+1)(Ex3 + Fx2+Gx + H)-,
О = Е,
О = -2В +G,
х'
0= -4D + E,
0 = ЗА + F,
0-2B+G,
Решая систему, получаем
Следовательно,
x 3 I _
4 (r4 + 1) + 4 j x'
Пользуясь результатами примера 75, окончательно находим
+ ------:= In----------
16-\/2 x2 — X'
. э . IV* owei х I ,
+ —7= arctg ----- +----+ C,
8^2 1 — x2 8y^
где e(x) — то же, что и в примере 75. ►
84. [ d‘
J F*-i)3'
-« Применяя метод Остроградского, интеграл представим в виде
f dx _ Ах7 + Вхь + Ст5 + Dx4 + Ex3 + Fx2 + Gx + В f Кх3 + Lx2 + Мх + N ,
J (!< - 1)’ ~ I)2 +/ Х
Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество
1 = (т4 - 1)(7Ах° + 6Вт5 + 5С'г4 + 4Вх3 + ЗЕх2 + 2Fx + G) -
— 8х3{Ах7 4- Вт6 + С'х8 + Dx4 + Ex3 4- Е®2 + Gx 4- И) +
4- (х8 — 2т 4- 4- Lx2 4- Мх 4- Л').
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем
0 = К,
0= -A + L,
О - -2В + Л/,1
О = -36'4- N,.
0 = -4В - 2К,
0= -7A-5F-2I,
0 = -6В -6F -2М,
х4 0 = -5C-7G-2^,
х3 0 = -4D - 8И + К-
х2 0 = -ЗВ + L,
х 0--2F + M,
х° 1 = -б' 4- N.
Решая систему, получаем
А - В = D - Е = F - В = К - L = М = 0,
—, 'N =
32’
Таким образом.
f dx _
J (х4 - О3
7хь - 11т 21 / dx
32 (z4 - I)2 + 32 J xi - 1'
х
H = i.
с = ^, а
230
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Вычисляя последний интеграл, окончательно получаем
[ dx 7х3 - 11г 21 , 1 х - 1 I 21
J (z1 -I)3 “ 32 - I)2 + 128h'lTn! “ Й“С,Е1
Выделить рациональную часть следующих интегралов:
4 Имеем
[ + 1 , Лх’ + Вг! + Сх + D Г Ex* + Ft3 + Сх + И ,
J (?+z2 + l)2 dt = -----х<+х2 + 1-----+ ] ------z< + z2 + l---Jl'
откуда получаем тождество
х2 + 1 = {х* + r2 + 1)(ЗАх2 + 2Вг +С) - (4г3 + 2х)(Ах3 +
+ Вх2 + Сх + D) + (г4 4- х2 + 1)(Ь’тя + F х2 + Gx + Н).
Из системы уравнений
х1 0=Е, х3 0 = -4D + G + E,
Xs 0 = —A + F, х2 1 = ЗА - С + Н + F.
х3 (J =-2В +G’+Е, х f) = 2B-'2D + G,
х* 0 = А - Зб‘ + F + Я, х° 1 = С + Н
находим А = i, G - В = D - G = О, F = Я = |.
Таким образом, рациональная часть равна выражению
т3 + 2х
-« Разложение ищем в виде
. Ах4 + Вх3 + Сх2 +Di + E Г Fx* + Gx3 + Вх2 +Kx + L ,
dx ~----------------H / -z--zdx,
отсюда получаем тождество
4г5 - 1 = (г5 + х + 1)(4Ах3 +ЗЯх2 +2Сх +D) -
- (5г4 + 1)(Аг4 + Вх3 + Ci2 + Dx + Е) +
решая систему уравнений
+ (г5 + X + 1)(Ех4 4- Gx3 + Нх2 + Ex + Z);
г9 0 = F,
х* 0 = -A + G‘,
г7 0 = -2Я + Я,
ге 0 = —ЗС’+А",
О ~ ЗА - 5Е + G + F,
О = 4A + 2B + G+ Н,
о = зя + с + я + я,
О = 2С + L + К,
—1 = D — E + L,
находим А — В = С'= E = F,= G= H~K=L = О, D = —1. Таким образом, интеграл
сводится к своей рациональной части:
Xs + X + 1 ’
Применяя различные методы, найти следующие интегралы:
§ 2. Интегрирование рациональных функций
231
Используя пример 73, окончательно имеем t
[ х2 4- х 1 з 1 2х2 -1 1 , (х2 + I)2
/ ~т----ах — - arctg х 4-— arctg-=— + — In —7-т—---t- С. ►
J + 1 3 S 2Л 6 УЗ +12 x’-r’+l
: 88-1 Ax‘ + 3,'+2)d^
Полагая x* == t, находим
f J‘~3 d, = 1 /
. J z(i«+3»<+2) 4/ i(i+l)(< + 2)’
Разложение функции на простые дроби ищем в виде
1 - 3 _ А В С
[ ф+ l)(t + 2) ~ t + t + 1 + t 4-2’
откуда f - 3 = A(t + l)(t 4- 2) + Bt(t + 2) + Ct{t + 1).
Полагая последовательно t = 0, —1, —2, находим
;Таким образом,
'/ х(«» + 3J* + 2) - “I1" 1'1 +1я |« + !| - I" + 2| + С -
= — ^-In xi 4- ln(z4 4-1) — ln(x4 4- 2) 4- С, х 0. ►
Имеем
91. [ 1 Jl. dx
J г(1 + г )
Полагая x‘ получаем
= у (In |1| - 2 In |1 + 11) + С = 11л + <-'• X # 0: -1
232
Гл. 3. Неопределенный интеграл
92' / лЧЛ^-
J х* + х2 + 1
Имеем при х О
Вследствие непрерывности первообразной имеем
ф(-°’=^+й=-^+с^ф<+0)'
где Ф(х) — первообразная подынтегральной функции
Таким образом,
[ j2 + 1 dx = [ aICtg ^7? + 2?? Sgn Х + С’ Х °’
J I4 + х2 +1 С, х = 0.
4 После очевидных преобразований имеем
[ i(x + ^ + t) _ 1 2»2 + (1 - 75)» + 2
/ C^+^ + D2-? 2т2+(1+л/5)х+ 2
4 Аналогично предыдущему примеру имеем
95- /ЙТ^-
4 Производя надлежащие преобразования, получаем
[ х* + 1 [ (х* — х2 + 1) + х2 f dx [ х2 dx
J (ж2 + 1)(х* - »2 +1) / ^+i+J ^~+i~
f dx 1 f dtx3) 1 3. , 1
= J Ai ^arctga:+3arctg(3r ) + c-*1
96. Вывести рекуррентную формулу для вычисления интеграла 1п = [ -—5—-т--
J (ах2 + ох + с)п’
/dx J
1~2----Г\з' 1
(х + х + 1)
Используя тождество I
ах2 + Ьх + с = —((2ах + Ь)а + (4ас — Ь2)) -
4а ; , 3
и производя замену 2ах + b = i, получаем
;-=£S-/HW' !
§ 3. Интегрирование иррациональных функции
233
Интегрируя по частям Zn-i, получаем
= (4а)"-»(1-») [ [ dt
2a(t2 + A)n_l a J (t2 + Д)"-1 + k ’ a J (*2 + Д)Л_’
’ с- I-> = U"+A)'--. - 2(> - >)'— +
Решая это равенство относительно 1п, кМоД^ичл •>
, (4в)п”Ч . (3 —2п)2а т
; Д(1 -»)(*’ +Д) — ‘ + (1-»)Д
! Подставляя вместо t его значение, окончательно имеем
. 2ах 4- Ь . 2п — 3 2а .
j " (и — 1)Д(ат2 + Ьх + c)n_1 + п— 1 Д " -
В предложенном примере а = Ь = с — 1, я = 3, Д — 4. Таким образом,
;, 2х + 1 f dx 2х +1 2i +1 2 f dx
J 3 “ 6(I2 + X + l)2 + J (x2+l + l)2 ~ 6(T2 + Г + I)2 + 3(X2 + x+1) + 3 J +x + 1 “
' _ 2т +1_________2z +1 4 2z 4- 1
” 6(r2 + » 4-1)2 + 3(x2 4-£4-1) + Зл/З аГС B л/3
Упражнения для самостоятельной работы
Методом неопределенных коэффициентов найти интегралы:
88. f(^^)2dx. R9.J^^dx.
91, / aT_4ls+6l3_4l - 92‘ f Is+li+3,3 + l3 + a.
Найти рациональную часть в следующих интегралах:
эз- /94- /^4*41+^• 95-Ji^fHz' эб-/-
dx.
dx.
i § 3. Интегрирование иррациональных функций
[ (! помошью приведения подынтегральных выражений к рациональным функциям найти
|Саедующие интегралы:
f _ [ х -у/2 4- х
97. I --i____tlx, r^—1.
Полагая х 4- 2 = t3, имеем
^2 + 7 [ t6 - 2t3 .. ,
—a- dx = 3 / ------ dt = 3
t2 - 2t \
(i_l)(i2 + t + 2);
_ i,‘ _ 2л + f 3,2 ~61 Л
' 4 2/ (< -l)(l2+ « + 2)
К последнему интегралу применим метод неопределенных коэффициентов;
3i2 - 6i А . Bt 4- С'
(t _ i)(«2 4-t + 2) - t - 1 + t2 4-1 + 2 ’
Отсюда находим
dt —
27 2t + 1
—— arctg —~
4t/7 -Jl
15
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Окончательно имеем
/ = I1' “ I'2 “ J1п 1‘ “ ч + у 1п(‘2 + ' + 2) - -уу arct6 + с. ►
J х + $2 +1 4 2 4 8 4у7 >/7
4 Заметим, что
Whr/У^'
Подстановка = t4 приводит к интегралу рациональной функции
Интегрируя по частям, находим
г Г t
1 = а ----т —al ------ dt = . — at
Последний интеграл вычислим путем преобразования подынтегрального выражения:
dt =
dt -
4‘-т)
2
1 . <2-1 . 1 . t2 + tV2 + l
— —= arctg —-=- Н---In--------=---
2\/2 *ч/2 4д/2 I2-tx/2+l
Таким образом, окончательно получим
|2 + <Л + 1 , « . t2 — 1 , „ .
------?= F —у- arctg-— + С. ►
/2-<д/2 + 1----------------2-J2 t>/2
= (п — натуральное число).
Положим
Г‘. Тогда
Применяя формулу
где у = \Zai2 + bz + с, Pn(z) — многочлен степени п, Qn-i (я) — многочлен степени я — 1ц
А — число, найти следующие интегралы:
100. [ ----dr.
J Vl + 2х — г2
Ч Имеем >
Заметим, что
*7=====?== = (Ах2 + Вх + С) \/1+2х —
V1 + 2X-X2 К
dx
§ 3. Интегрирование иррациональных функций
235
Дифференцируя это тождество и приводя к общему знаменателю, получаем г3 = (2Ar + В)( 1 +
2г — х2) + (Ах2 + Вх + С’)(1 — х) + А, откуда
х3 1 —-ЗА,
х2 0 = 5А-2В,
х 0 = 2А + ЗВ-С,
х° 0 = B + C + A,
Л = ~Г В = ~1’ С = ~Т’ А = 4-
Таким образом, окончательно имеем при |ж — 1| < х/2
f х3 dx 2х2 + 5г + 19 г------:
J У1+2х-т2 ---------i-----
101.
dx.
Имеем
а*я:
'а*
dx —
= (Ai5 + Bi‘ + Ci’ + Dx3 +
dx
откуда
«’г* - х’ = (SAi‘ + 4Bis +3Ci2 + 2Dx + B)(a2 - x3) -х(Лх‘ + Bx* + Ст" + Dx3 + Bx + f) + A.
Для определения коэффициентов разложения сравниваем коэффициенты при одинаковых
степенях х-
Из этой системы находим
-1=-&А,
О = -5В,
a2 = 5а2 А-40,
0 = 4В<? - 3D,
О = ЗС’а2 - 2Е,
О = 2Ва2 - F,
О = Еа2 + А.
-Следовательно,
в - О,
а
24’
Е=-~,
16’
16
dx
24
16
Применяя подстановку х + 1 = у, получаем
Имеем
______dx______— - f
(i + l)5 Vi3 + 2r “ J VT^t3'
- / 7T=T = (Л|<|“+ B|f|2 + 61,1 + °1 v/i77^+ A j
Дифференцируя no |t| и приводя к общему знаменателю, получаем тождество
(ЗА|<|3 + 2В(1| + С')(1 - - |<1И1<|’ + В|<|3 + C|i| + О) + А, откуда
|t|4 I -1 = -4А, |t| I 0 = 2В - D,
|tp I 0 = -ЗВ, |t|° 0 = С + А,
|/j2 | 0 = 3Л — 2С, |
Д=1 В = О, С‘=-. /1 = 0, А =
4 8
-|<|* =
8
230
Гл. 3. Неопределенный интеграл
f fa f dt , , , x
J (*= + 1)^ + 2 = J = “cts ‘ = “c*6 V^-
Следовательно,
J dx = H1 + ^x2 + 2) + arctR + C' *
Приводя квадратные трехчлены к каноническому виду, вычислить следующие интегралы:
104. [---------х2({*
J (4 - 2х + х2)л/2 + 2х J-®2
Ч Имеем
{_ [ х2 dx____________f dx , f _______________[2x~4)dx
J (4 - 2x + х2)г/2+2х-х2 ~ J ,/2 + 2x - x2 + J (4 - 2x + x2)V2 + 2x - r2 '
Первый из этих интегралов вычисляется непосредственно:
/dx ( dx .i — l
= / —s= = arcsin —
72 + 2i-i= J ^/3 - (» - 1)= i/3
Ко второму интегралу применим подстановку х — 1 = z. Тогда он преобразуется к инте-
гралу
f 2z — 2
/ —-----dz,
J (3+г=)7з^71
которым раскладывается на два интеграла
14-1 = f 2*Л* 2 /
1+2 J (3-M2h/3^ J (3 + ?2)v/Tz72’
Первый из них вычисляется с помощью Подстановки у/3 — г2 = t:
/1=_л *
J e-t2 ]ye-t|
Возвращаясь к переменной, х, получаем -
, 1 , y/е + V2 + 2х - X2
V6 х/б- х/2 + 2т - х2
Для вычисления интеграла Д = —2J ~
полагаем
= t; тогда
J -_2 Г di
2 3j2t2 + i
- arctg i/2t = - arctg
V5(x -1)
V2 + 2аг - x2 ‘
$ 3. Интегрирование иррациональных функций
237
Таким образом, окончательно имеем
I = arcsin —-=-
;2 у/2 V2(x-1) „
= - -т-arctg , + С. ►
? 3 8 ^2 + 2х - х2
_ п _ г а Ц- Si
lUo. G помощью дробно-линеинои подстановки х = , > вычислить интеграл
dx
(к2 — х + 1 )\/i2 + х + 1
Ч Применяя предложенную подстановку, получаем
(« + Ж)2 ~(l+i)(a + ft) + (1 + t)=
<1+0=
(« + w=+ (!+<)(«+ /;<) +(i + i)=
(!+<)=
Числа а и определяем так, чтобы коэффициенты при t были равны нулю. Следователь-
но,
2а0 — а — 0 + 2 = D, 2а0 + « + £+ 2 = 0.
Решая систему, находим а = 1, £ = —1. Тогда
dx =
—2dt
(! + <)=’
(1+‘);
>/т2 + х + 1 = (для случая, когда 1 +1 > 0, т. е. если х > —1).
Таким образом,
+ = _2 [ idt 2 / dt r
(3t2 + l)Vtr+3 J (3t2 +l)\Zt2“+3 J (Зt2 + l)^/t2Tз
Для вычисления первого из этих интегралов применим подстановку y/t2 + 3 = “• Тогда
tdt du 1 , 12 х/2 + л/3-ц I 1 , |2y^+A/3(t2 + 3)|
(3t2 + J 8 — Зи2 2-\/б n|2v/2-v/3«! 2-\/б П| 2^/2 — \/3(<2 + 3) I
Возвращаясь к переменной х, получаем
tdt 1 , | (1 + х)л/2 + у/3(х2 + г + 1)
(з«2 +1)VF+з — д/6ln I Vx2 ~х + 1
Второй интеграл вычисляется с помощью подстановки
1 , 2^ 1 , \/2(1- г)
—= arctg —-— =--------= arctg .
.Гп Ь1 .Гп °, /т-2 X» _L 1
J (.И" + 1)7?г+3
Окончательно имеем
, - X,„ 0+фЛ+у<Х*=+£+1)I _ _1_atctB ^(1-^
Применяя подстановки Эйлера:
1) \Jax'2 + 6x + с = ±л/йх + г, если а > 0;
2) \Jах2 + !>/-)-< = xz ± л/с, если с > 0;
3) \/ах2 + 1и + с = \/а(х — ц)(г - Хг) = z(z — Xi), найти следующие интегралы:
238
Гл. 3. Неопределенный интеграл
4 Здесь а = 1 > 0, полому применим первую подстановку
\/х2 + 14-1 = — х + z.
Отсюда х = = 2(~1+2-)Д2 ^z- Подставив эти значения в интеграл, получим
_ Г 2z2 + 2z + 2 .
J 41 +2^
Разложение подынтегральной функции ищем в виде
2г2 4- 2z 4- 2 А В С
z(l+2z)2 “(14- 2z)2 + 1 4- 2z + 7'
Для определения неизвестных А, Ви С получаем систему 2 = 2В+4С; 2 = А-рВ-НС, 2 =
С, откуда А = —.4; В — —3; С ~ 2.
Таким образом,
, _ [ dz [ dz [ dz _ 3 1 7 г
J (14-2z)2 J14-2z+ J z 2(1+22) + 21П|1+2гр+ ’
где z = x 4- 1/7 + z + 1, x — 1. ►
107. [-------, dx
• ~ J 1 4- i/l - 2z - x2
Ч Поскольку C = 1 > 0, то, применяя вторую подстановку Эйлера
xt — 1 = v"l — 2т — x2, получаем
г - I M + 1 J,
J 1 + 71-2^4 J i(i-l)(<a + l)
Разлагаем подынтегральную функцию на простейшие дроби:
—t2 + 2t 4-1 _ А В Ct + В
t(t - l)(t« 4-1) ” t + t - 1 + t2 4- 1
Приводим последнее равенство к общему знаменателю
-t2 4- 2t 4-1 н А(? - I2 4-t - 1) 4- B(t3 4-1) 4- (Ct 4- D)(t2 - t)
и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t:
t3 0 = А4-В + С,
t3 -1 = —А - С + В,
t 2 = А + В- В,
t° 1 = —А.
Отсюда находим А = — 1, В = 1, С = 0и 0 = 2.
Следовательно,
/ = “/т+/Тт-2/p^T=1“|17|'?“'tg‘ + c’’
где xt = 1 4- х/1 — 2х — х2. ►
Здесь х2 4- Зх 4- 2 = (х 4- 1)(х 4- 2), поэтому можно положить: у/х$ + Зх 4- 2 = t(x 4-1)!
(третья подстановка Эйлера). Имеем j
2 — t2 2tdt , f х- Vx2 4- 3x 4- 2 , [ -2t2-4t
dX= ‘-J l + ^ + 3l+2d‘- J (t-2)((-l)(( + l)3''* j
Разложение подынтегральной функции ищем в виде !
-2t2-4t А В С D Е
(t - 2)(t - 1 )(t 4-1)3 “ (t 4- I)3 + (< + I)2 + t + 1 + t - 1 + t - 2 ’ ’
откуда -
-2t2 -4t = A(t - 2)(t - 1) 4- B(t - 2)(t2 - 1) + C'(t2 - 3t 4- 2)(t2 + 2< + l)4-
4-X»(t~ 2)(t3 4-3t2 4-3t4-l) + £(< -l)(t3 4-3t2 + 3t + 1).'
§ 3. Интегрирование иррациональных функции
239
Полагая последовательно t = —1, 1, 2, накопим А = у, D = j и Е == —- Далее,
приравнивая в тождестве коэффициенты при i4 и t3, получаем систему 0 = С + D 4- Е', 0 =
S — C + D +2Е, откуда находим остальные неизвестные:
Таким образом,
' = -щМ) ^,»1< + 1|+^п|<-1|-^1»|1-2| + С.>
Интеграл от дифференциального бинома
хт (<i + bxn )₽ dx,
где ш, пир — рациональные числа, может быть приведен к интегрированию рациональных
функции лишь в следующих трех случаях:
1. Пусть р — целое. Полагаем х = , где N — общий знаменатель дробей тип.
2. Пусть - — целое. Полагаем а 4- bxn = tN, где W — знаменатель дроби р.
3. Пусть ——--HP —целое. Применим подстановку ах~п 4-6 = tN, где W — знаменатель дроби
Р- ’’
Если n = 1. то эти случаи эквивалентны следующим: 1) р — целое; 2) т — целое; 3) m + р —
целое
Найти следующие интегралы:
109. J \/z3 + я4 <1х.
Ч Имеем при х > 0, а также при х < — 1
/ = У \/т3 + г4 dx = J z2(z-1 4- 1)2 dx.
Здесь » = —1. т = 2 и — целое. Поэтому, полагая ж-1 +1 = t2, получим I =
~ f (^-04 - - 2Л. где I,. = f —> к = 3, 4
Для вычисления последнего интеграла найдем рекуррентную формулу. Пусть
Интегрируя по частям /п-1, имеем
j - [ cit _ * _ -Я _ п / <2rf< _
(Р-Р)— (Р-Р)" (32-Р)"
= (Р J2)- - 2(“ - П Л - (Р J2)— “ 2(" “ 1)/-1 + 2(“ -
откуда
;„ =_________*__________________2,1 ~3
2(n — l)a2(t2 - a2)n-1 2(w —1)а2
Последовательно применяя эту формулу (при а = 1), получаем
1 = 2Л ~ 2 (j Ь(Р - 1)’ “ = 3(Р - 1/ ~ 3Л “
= 3(3= -1)’ “ 3 (з(з= - 1)= “ J72) = 3(Р -1)’ + 12(i2 - I)2 + 4 (2(Р - 1) ~ 2Л) =
= 3(32 - I)3 + 12(Р - I)2 “ 3(р - I) “ 16 '° 3 + 1 I + С'
240 Гл. 3. Неопределенный интеграл
Wow"'
Ч Здесь р = —2. Применяя первую подстановку х = Iе, получаем
1 Vnrw ix=Vow=*7 (? 2,2+3 (w) =
Ч‘5-«’+18‘-18/1Т?-б/7^)
Поскольку
/ йМ^=4/ЧгЬ0=-2(Тти+^“с‘е<’
то окончательно имеем
1 - jt' — 4t3 4- 18t + * — 21 arctg t + C, t = ж6. ►
111 f xdx
J У1ТЖ w
< В машем случае m = 1, н — j, p — — | и = 3. Положим 1 + хз = i2. Тогда
I = У -^Д== = 3 J(t2 - l)2 ,lt = |i5 - 2t3 + 31 + C,
где t = \/l + ►
112. I Уз»-»3 л. 1Q$a
Ч Здесь m — j, n = 2, p = | и I2jp- +p = 1. Положим 3x-2 — 1 = t3. Тогда
Поскольку (см. пример 73)
f M 1. (i + l)2 1 ,21-1
то окончательно имеем
, 3i 1 (i+l)2 ^3 ,21-1
‘ = VZT) -1 “ jbrh - - “c,g “7Г +
. у/Зх—s^ n fX .
где t = » -, 0 < x < уЗ, x < —v3. ►
** Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы от иррациональных функций:
§ 4. Интегрцрсвакнб'Лрюоквматрйчеехжк функции 241
§4. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида..
J sin™ х cos’1 xdx,
где ш и 7i — целые числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований ЙЛКпри-
менением формул понижения степени.
Найти следующие интегралы: — . ‘
ИЗ. [^^dx.
J sin' x • J -
Ч Интегрируя по частям, получаем
/dx f> ^dtzx 1 , 3 г 14 ,, , kir
./ (,+'S ’> W=~2^+ x + jls x+C, .*T»
116. I tg5z dx.
Ч Очевидно.
[. > , 1 [/ 2 ,.2 (sec2!) sec4! , 2 1 . 2 ,,
I tg x dx = — I (sec x — 11 ——i—- --------------sec x + — Infsec x) + G —
J 2 J '«c2r 4 2
= t£_X _ _)n |C0SiC[ + C X + кт,
/ tg'x (2.Г - [ tg\ f-------1) (h = - f tgx Г----------1) dx =
J J Vcos2 x / 4 J \cos2x /
117. j ctg6 r <lx.
После очевидных преобразовании имеем
[ ct^°x dx — [ cig4! f —ч-----l') dx = --^7— ~ / ctg’x Г-тД--------1) dx =
J J Vsnrx / 5 J Xsnrx /
cte5i cte3x ,
=------------p-----ctg x — x + C, x fcir. ►
242
Гл 3. Неопределенный интеграл
Ч Полагая t3 =sinr,
dx _ f rf(sinx)
cos»%i«2» J (1 _ siB2 r)(sin’х)5
[ dt [ dt i [ -
j 1 - f “ 1 J 1 -!= + 2 J l+i« -
1 , (1 — t)2 V3 2i + 1 , 1 ,
T1"^3Vrh‘ + —arctg^7F + 4ln
(1 + >)2
./l 2i - 1
+ — »r«g -^=“ =
х , имеем
2011 °-
119. Вывести формулы понижения для интегралов:
а) /„ = / sin” х dx; б) А’п = [ ———, п > 2 <—
’ J ’ J cosnx
Ч Интегрируя по частям, получаем:
a) = — У sm" 1 х d (cosx) = — cos x sin" 1 x + (ti — 1) j sin" 2 x cos2 x dx —
= — COS X sin"-1 X + (n — l}/n_2 — (u - l)7n,
откуда
In — — ((n — l)/n-2 — cos x sinn 1 r) n = 3, 4, ... .
n
f d(sinr) sin! , . f sin2! , sin x
6) Kn =2 I - = ------—r--(n + 1) / --- , dx - -----—----(it + 1)An+2 + (n + 1)A„,
J COSn + 1 X cos"+‘ X J COSn+2 X COSn+1 X T '
откуда
A'n+s = -------—--—--1------—Kn, n € Zo, x — + кк, к £ Z. ►
(n + 1) cosn+1 x n + 1 2
С помощью формул:
[. ein a sin 0 = —(cos(« — /i) — cos(« + £)),
II. cos ct cos 0 = ^(cos(o — /?) + cos(o + ^));
III. sin « cos 3 — j(sin(ct - 0) + sin (ст + 0))
найти интегралы:
120. J sin x sin sin dx.
4 Имеем
;sin x sin sin — dx = — [ (cos — — cos —sin — dx =
2 3 2 J \ 2 2/3
1 t ( . x . 5x .lx llx\ ,
4 J {- Sm 6 + Sin T + 81П “ " ЙП —) dX =
3 x
3 5x 3 lx 3 11т
cos----r cos 1 cos ——
10---------------------------6 14 6-32-6
m.; sin3 2x cos1 3т dx-
4 Используя формулу П1, имеем
У sin3 2xcos2 Зх dx = i у (3sin 2x — sin6x)(l + соэбт) dx =
3 sin 2x — - sin 4т ч— sin 8x — sin 6т-------sin
2 2 2
dx =
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
243
3 3 3 1 1
= — — cos 2х + — cos 4х----— cos 8е Ч—- cos 6х +----cos 12г + С. ►
16 64 128 48 192
Применяя формулы:
IV. sin(« — 3) = sin((i + о) - (г + 0));
V. cos(o — 0) = cos((x + о) — (х + З')},
найти интегралы:
122. / -____________.
J sin (х + a) sin (г + 6)
4 Имеем
[__________ 1 [ «Ь((»+ «)-(» + >)) =
J sin(r + a)sin(x + i>) sin(a — b) J sin(x + a)sin(i + b)
_ 1 / f cos(x + b) fa. _ f cos(x 4- я) \______1 I sin(x + Ь) I c
sin(a-b) \J sin(r + i>) J sin(x + a) J sin(a — 6) |sin(i4-e)[ ’
sin(a — b) 0. ►
,123. [ .
J sin x — sin a
4 Из тождества cos a = cos следует
[ i гмт-т),* i 1пн?||С
J sinx-sina 2cosa J sin £=± cos cosa | cos £±“ |
cos a 0, sin x sin a. ►
124. J tg x tg (x + «) dx.
4 Имеем
, f /cosx cos(x + a) 4-sin x sin(x 4-a) \ ,
tg x tg(x + a) dx = / -------—i--->- - 1 rfx =
J \ cosx cos(x 4-a) у
/cos a , cos x I
----- ---- ax — x = — x + ctg a In --1 + C,
cos x cos(z + a)-----------------cos(x + a) I
sin a 0, cos x 0, cos(x + a) 0. ►
Интегралы вида
Ujsini:, cosa:]dj,
где 7? — рациональная функция, в общем случае приводятся к интегрированию рациональных
функций с помощью подстановки tg = t.
а) Если выполнено равенство
7?(— sinx, cos х) — —A (sin х, cosx)
ft(sinx, — cosx) = — R(siux, cosx),
б) Если выполнено равенство
R ( — sin x, — cos x) = R (sinx, cosx),
то применяем подстановку tgx = t.
Найти интегралы.
125. 1 = [ ---------—
J 2 sin x — cc
Гл. 3. Неопределенный интеграл
4 Полагая i = tg (2п — 1)т < х < (2п + 1)тг, п ё Z, получаем
, [ <к I . 31 +1 1 3 ‘S ? +1
, = ] 322 +2t+~i=VS " В ~JT+ "С‘е ~Л~ + с"-
Из непрерывности первообразной следует
1(2пт ц- -к — 0) = Z(2nr + г + 0),
—+ Г - ~~ i Г
2VS 2У5 + ”+
откуда находим Сп = + С, где С’ = С’о — произвольная постоянная. Из неравенств
2»т < х + г < (2п + 2)ж; п < < « + 1 следует, что п = ] • Таким образом,
/ = -у= arctg —+ 2L. Г+ С, х ф (2n + 1 )тг;
V5 у5 v5 •• J
I = liiii Цх) = ~l ~t_* т, х = (2» + 1)т, n € Z. ►
x-(in+i)r *• ’ 2V5
-a rtZl t I 51II X COS X
12о. 1=1 -T-S------------г~
J sin х 4- cos’ х
Из условия непрерывности первообразной следует
у/2-V2
откуда (по аналогии с примером 125) находим
127. Доказать, что
_______dx____________Л sin х + В cos х f____________dx________
(asin х + 6cos x)n (esin x + icosx)n-1 J (asin x + 6cos x)n-2 ’
где А, В, C — неопределенные коэффициенты.
§ 4. Интегрирование тригонометрических функции 245
4 Интегрируя по частям, получаем
_ f d(—acos х 4- 6sin x) _ —a cos x 4-b sin x f (a cos x — b sin r)2 dx
J (a sin x 4-6cos x)’“+1 (a sin x + 6 cos s?)n+1 . ;J (asinx -fc bcpsx)?*+2
—a cos x + 6 sin x
(a sin x 4- b cos i)’*+1
откуда
. __________1 !_ f . _ ; o sin x — a cos x 1
(n — ])(a2+,62) . |; 2 (esin x ф bcosx)n-1 J '
128. Найти I ---------------rv.
J (sin x -|- 2 cos х)л
•4 Используя доказанную выше формулу, находим
/(а cosx — tsin г)2 + (5 cos х + я sin х)2
1 ' 1 (aein г + Ьео* х)*+а ' ' ‘ I'
iff dx 2 sin х — cos x \ _
10 sinx + 2cosx (sinx + 2cosx)2J
= И В1" 14?+r'M h (£тет)+
x kit — arctg3.' ►
129. Доказать, что
dx
(a + b cos x)n
A sin x + В f + C [
(a + bcos x)’*-* J (a + ftcosx)"-1 J (a + fccosx)n-2
л определить коэффициенты А, В и С, если n v- натуральное число, больше единицы.
Интегрируя по Частям, получаем ' "
Г dx f a + 6cosx , f t/sinx
П 2 J ((l + b cos x)’1-2 J (« ф i coax)®”1 a "-1 "k J (a + fccos x)”-1
_ .___________fesim_______. _ . f b2 sin2 X
a n-1 (a + fccosx)"-1 ” J (a + fccosx)’
откуда используя тождество b2 sm2 x = —(a2 — 62) 4- 2a(a + fccos x) — (a 4- 6cosx)2, находим
7,.-а =<!/„-, + + (s2 - t2)(.. - 1)Z„ -2»(» - 1)7..-, + (»-
(« + kusi)’1-1
, _________________fesin x____________(2м — 3)a . n — 2 .
(n — l)(a2 - 62)(a + 6cosx)"-1 (n — l)(a2-.&2) n-1 (n — l)(a2 — b2) n 2'
Таким образом,
й n * (2n — 3)a n — 2
' - “(n_ 1)(U2 _62;’ - (n-l)(a2-62)’ “ (n — l)(a2 -62)
/ dx
130. Найти / -------- если: а) 0 < e < 1: б) e > 1. е?
j 1+scosx ' ' < сД 2
Положим t — tg j, (2n — 1 )jt < x < (2n + l.)x, n € Z. Тогда
dx
1 4- & cos x
2 f dt
i e J e + t4 '
»)
~~e tg f
VI 4- в
Аналогично решению примера 125 находим
arctg
x V (2n 4-1)^,
2
Z((2n 4-1)х) = lim
246 Гл. 3. Неопределенный интеграл
131. Найти / 7----------Го" > если 0 < е < 1.
j (1 + ecos х)1
Применим формулу, полученную в примере 129 Полагая а = 1 Ъ = е, п = 2 получаем
х 2wx + х,
I(2nir + ir) = lim /(z). ►
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы от тригонометрических функций.
(sin х+2 sec ж)2
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных
функций
132. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени п. то
у Р(1} + ... + (-1)”-^) + С.
< Доказательство проводится с помощью метода интегрирования но частям. Имеем
У P(»)e“<fc = 1е“Р(х)~ 1 у C'P'(i)& =
= r"pw -I (r“p'w -1 / '•'p"wj*) =
= e»> _ fit)'] + /№(I)
\ a «2 ) a2 J
Применяя метод математической индукции, находим
[ ... +
J \ a a a*+1 /
+ (-1'" + 1ГТ1 J е“Р<‘ + 1>(1)й1, isln.
Положив к — n и приняв во внимание, что Р^"+1^(т) = 0, получим требуемую формулу. ►
133. Доказать, что если Р(т) — многочлен степени п, то
/ . sinei /„ Р"(х) P(IV)(x) \
/ Р(х\cos ах dx =- I Р(х)--•y-L Ч----’ — .,. ) +
j а у а1 1
+ ^('р-(1)_О£) + £22И_...']+с „
а1 \ а* а* /
§ 5. Интегрирование трансцендентных функции
247
, cos az { .
। sin at dx -----I P(z) —
sin at
4 При доказательстве используем пример 132. Заменяя там а ха »а, где t = полу-
чаем
/ р W+ •) + G
Пользуясь формулой Эйлера и разделяя действительные и мнимые части, находим требу-
емое. ►
134. Доказать, что интеграл j R(t)eax dx, где R — рациональная функция, знамена-
тель которой имеет лишь действительные корни, выражается через элементарные функции и
трансцендентную функцию
J ^-dx= li (е") + С,
г [ dx
где h х = / --.
J In*
< Рациональная функция представляется в виде
где М(х) и 7V(z) — многочлены. Выделяя целую часть (если она имеется) рациональной
функции,получаем
где — кратность корня х,, A1J — неопределенные коэффициенты. Наконец, интегрируя
Л(х), получаем
Первый интеграл вычисляется ?-кратным интегрированием по частям (? — степень мно-
гочлена Р(г)). Вычисляя второй интеграл, находим
!,к = = leaid (~(i-l)(z-^)-) = "(t -l)(I-XJt)’ +
a f eai dx = ax f______________1__________________a____________
i-1 / (i-zj;)--1 f (t - l)(r - xk)-i (i - l)(i - 2)(t - «Г2
a-2 > a’"2 f eax dt
(.-!)(.-2) ... + (<-!)(• -2)... 1/ х-т» “
= ((.-l)(r-ll)-+ (T-1)(.'-2)(I-I,)-’ + '' + (7-!№-*<.)) +
[ e"<—k> „ f 1
+ ~T---7ТГ / --------~ ХЧ — ~e 1--------П7-----\Г"Г +
(1-1)! J x-xf. \(‘ “ ’)(*-**)
+__________2___________L + _ °' 2_______+ °' 2fa34.ii
+ (.-l)(t-2)(r-xfc)*-2 + + (i-l)!(z-xk)J + (i-l)! >
Итак,
[ R (l)f“ dx =Л1(1:)+ ^222 Ak,}'k- ”
248
Гл. 3. Неопределенный интеграл
135. В каком случае интеграл J Р J ех dx, где Р у— J = до + -^- +
аг, .... йп — постоянны, представляет собой элементарную функцию?
4 Используя обозначения примера 134 и интегрируя по частям, получаем
а3 j
«з а3 '
2х2 2х 4
a»i
(п - 1)(п - 2)хп~'2
-1)!
Отсюда следует, что если
д? аз
“1+ 1! + 2! + ’
то данный интеграл есть элементарная функция.
Найти интегралы;
136. i-iy.’dx.
Используя обозначения примера 134 и интегрируя по частям, получаем
е1 dx = е‘
х 0.
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы от следующих трансцендентных функций:
117. f ~гг—ttJi. 118. f — dx. 119. f / ^.,4 . 120. f
J (1+ai)2 J s J (ch«+l)? J eh3i
122. /ch2xsh2xdx. 123. f ТП^+ъ^х.
121. J ch* г dx.
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций
Найти интегралы:
137. [------
J 1 + X* + X* . ,
Представляя знаменатель в виде 1 + х* + хв = (z4 + I)2 — х* = (х4 + х2 + 1)(х* — х2 4- 1),
разложим подынтегральную функцию на простые дроби:
249
§ 6. Разные примеры ка кжтегрх^>о*ажие функций _
4 Пользуясь результатом примера 131, находим 1
f dx _ f i. '^(?'“ТЛ) 1 _ r_’i -ст»»1 ‘ 2» / dx
J (2+sinx)2 “ J (2 + cos (f-t))2 “ ; ~ * 2 + em,« 2 +sin»’ ,
последний интеграл вычислим с помрщью универсальной подстановки t = tg ~, 2»иг — т
х + 2»иг, meZo, ’ и 1 - •
j, , f dx 2’ t 2tg| —1
v ' J 2+-8Ц1* \^/з s/3
Из условия Z(ir + 2пзг — 0) = + 2nir 4- 0), аналогично тому как мы поступали при решения
примера 125, находим
С'п = —=п + С, С = Со, 2пт -т <х <х + 2пх.
Таким образом,
г. . [ dx 1 cost 4 2tg +1 4 fs 4- к] _ , Л ‘
J (2 +suit)2 3 2 4-sin x 3\/3 л/З 3-»/3 l 2зг J ,
7(2»ijt 4-я-) = lim 7(i). ►
139. у |г|dx.
При x > 0 имеем « > • , '••.•iin »>и • , 11 . t : ,,
У xdx = — 4- Ci; ; ,
аналогично при x < 0
В точке j = О, согласно определению первообразной, должно C'i — С'2 = С, где С —
произвольная постоянная. Поэтому при всех х имеем
У |z| dx = у sgn х + С = + С. ►
140. у ipfxjiix, где — расстояние числа х до ближайшего целого числа.
Из условия задачи <4(z) = |х — м|, n — j г < и 4- j, « Е Zo, поэтому
1(т) - У p(x)dx = i(r - п)|т - п| + С„, п - | х < п +
Из непрерывности первообразной получаем
/Гм4-----+
А 2 ) \ 2/
Т е. 1 4- с„ = —1 4- C'n+1, Сп+1 = Сп 4- 7, откуда Сп = у + С, где С = Со — произвольная
постоянная.
Поскольку п < х 4- у < н 4-1> то п = [г 4- Окончательно находим
=И’ +Ш Iх h+j] I+5 Р+5] +с- ”
141. у[г]| sin тгх| dx.
250
Гл. 3. Неопределенный интеграл
◄ По определению целой части имеем
[х]| sin srz| = (—1)”» sin тх, n x < n + 1, n Zq.
Поэтому
/[x]| sin dx = -——-----ncos ttx + Cn, u $ 1 < n + 1.
Из непрерывности первообразной в точках х = п + 1 получаем равенства
Поскольку х изменяется в указанных пределах, то всегда п = [х]. Таким образом, окон-
чательно имеем
[z]| sin тгх| dx — — ([х] — ( — 1 cos тгх) + С,
где С — произвольная постоянная. ►
142. Пусть /(х) — монотонная непрерывная функция и f-1(х) — ее обратная функция.
Доказать, что если dx = F(x) + С, то
f-1(x)dz = xf-1(x) - + C.
4 В силу условия теоремы, справедливо равенство
Интегрируя его по получаем
/ xd(/-(I)) = F(/-‘(I)) + C,
откуда
У = - У J-1(s)dx = Г(/-1(х)) + С'. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Пользуясь различными методами, найти следующие интегралы:
124. 125. 126. f J^dx. 127. J
128. /tg.vGJ2j.fa. 129. f^d,. 130. 131. / („./-Vi
МШ “»• /-.fa- 124. /П>+19»)&. 138. f^d,.
136. 137. H|« + l|-|l-»l)4». 138. /7.(1
139. f—; dj 1 . , 140. f Lffia, «>1- 141. f 7ТГТ, x > 0.
J sVi+x»+*’ J »a+[»l2’ ' J »+(*)’
§ 7, Интегрирование вектор—функций
251
§ 7, Интегрирование вектор-функций и
функциональных матриц
Теорема 1. Вектор-функция F = (Fi, F?, Fm) является первообразной вектор-
функции f = (fa, f?, , fm) на интервале Х?Й тогда и только тогда, когда на этом
интервале функции Ft являются первообразными фрнкциб ft, t = 1, гй.
Теорема 2. Аналогично, функциональная матрица В — (6,j) является первообразной
на интервале X функциональной матрицы А = (ау) тогда и только тогда, когда на этом
интервале функции Ъ,} являются первообразными функций а,}, i = 1, т, j' — 1, п.
Найти интегралы от вектор-функций:
143‘ /(тг=г?’
Если неопределенный интеграл указанной вектор-функции обозначим символом I, то,
согласно теореме 1,
(arcsin г, arcsin—, arctgr,
+с, |i| 1,
где СЕ®4 — постоянный вектор. ►
144. /(-J—, -^,.....±22/)^.
J \ 1 + £ 1 + X2 1 + X™ J
Аналогично предыдущему примеру
I (х) = (111 |1 + х|, In \/i + Ё2, . - - , 111 Vi + Xm) + С. ►
145, У(cosx, cos2r, ... cosmx)dx.
Имеем
У (cos х. cos 2х. .. . , cos mz) dx = ^sin x,
sin 2x
~2
sin mx
m
Найти интегралы от функциональных матриц:
146.
/(
tgx
sin2x sm3x
cos2x cos3x
tg‘2r tg3r
sin 4z
cos4z
tg4x
4 Пусть A — первообразная матрица, тогда
— In y/\ cos 3z|
11 HHiei рал равен функциональной матрице х A(i) + С, где С' — постоянная матрица.
147. У(а,_,) dr, где и,; — т з г = 1, m; j = 1, н, х > 0-
◄ При фиксированных » и }
Следовательно, ((а ,3) dx = (Ь,3) + С где Ь,3 = х 1 — постоянная ма1рицл. ►
Гл. 3. Неопределенный интеграл
148. Доказать, что
I (Е + Ax)ndx = —Ц- A_1(f? + Az)"+1 +С, (1)
J ti + ]
где Е — единичная, А, С — постоянные матрицы одног^ порядка и матрица А — невыро-
жденная, п — натуральное число.' ’ ’• - ' - ' *
◄ Для доказательства достаточно показать, что производная левой части равенства (1)
равна подынтегральной матрице. По правилу дифференцирования произведения матриц име-
ем
(^-j-/l-1(E + .4i)'‘+'J= ((£ + Лх)"Л + (£ + ЛхУ'-'.ЦЕ + Аг) + ... +Л(£ + Л1)“) .
А так как матрицы А и Е + Ах коммутативны, то
(^-Ц-Л“1(Е + .41)’,+ 1у = А-уЛ(» + 1)(£ + Лг)" = (£ + .4х)". »
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы от вектор-функций:
142. /(sin х. cos г) dx. 143. /(tg х, tg 2х, tg Зх) dx, х € ] 0, |[.
144. /(х sin г, х sin 2х, ..., г sin я•ix)dx. 145, /(хе1/ г3?1/ x5el2) dx.
146. f (х, х2..x,n)dx. 147. f(x, x2, ..., xm)hi x dx, x > 0.
Найти интегралы от функциональных матриц:
148. ‘ '
ft 2 х -|- cos 2х х cos х ф sin х + *2* + cos 1 hi х \
J I —х sin х 4- cos х 4- — sin х In х cos 2х + 2 J
149. [( 1 1 Ъх. 150. /7 J “ 0 4х
/ \ cosx In X / \ —sin I - 1 . / \ „ 2 )
J \ / \ 1 , \ 0 0 x /
r( f' « ° \\ .
151. I I E + A I 0 sins 0 11 dx.
J \ \ 0 0 cos x / /
152. Пусть все элементы квадратной функциональной матрицы х >-• А(х) имеют произ-
водные на интервале ]Л, 6[. Докаэать,' что на этом интервале справедливы равенства:
a) j (А(х)А\х) + A'(x)A(x))dz.=i A2(x) " i; •
б) f И2(-с)А'(а:) + А(х)А'(х)А(г) 4- A^x)A2(t))d\x = А3(х) 4- С.
153. Доказать, что
f (А^В(г) + (^А(г)) Щг))<1г = А(г)В)г) + С,
где А и В — квадратные .функциональные матрицы. ,,
154. Пусть А — постоянная квадратная матрица. Матрицу еАх определим посредством
равенства
_ • ' !•;" , ! • >
Доказать, что
f еАя dx = ЛеАх А С,
t где С — произвольная постоянная квадратная матрица.
Глава 4
Определенный интеграл
§ 1. Интеграл Римана
1.1. Верхний и нижний интегралы Римаиа. Критерий интегрируемости функции.
Определение 1. Разбиением П сегмента [а, 6] называется конечное множество точек
(1-01 zj, ..., а-n}, где а = го < < ... < хп = Ь.
Пусть / : [а, J] -»R и / — ограниченная на сегменте [а, Ь] функция, а П — произвольное
разбиение этого сегмента.
Верхней и нижней интегральными суммами, соответствующими разбиению П, называют-
ся числа
n—1 Л —1
Зп (/) = М.Дх., Sn(f) = т.Дх,,
i»0 ~ .=0
•де М, = sup {/(х)}, т, = inf {f(х)}, Дх. = х>+1
Определение 2. Числа
ifdx = uif{Sn(f)}, / f dx = sup{Sn(f)],
J <n' J (п> -
где точные грани берутся по всем возможным разбиениям сегмента [а, 6], называются со-
ответственно верхним и яижниз» интегралами Римана функции f на сегменте [а, 6].
Определение 3. Функция f называется интегрируемой по Риману на сегменте [а, 6]
если j f dx = f fdz, а общее значение верхнего и нижнего интегралов называется интегра-
лами Римана функции f на этом сегменте и обозначается f f(z)dx.
Класс всех интегрируемых по Риману функций f обозначают f € Л[в, 4].
Критерий интегрируемости. Для того чтобы ограниченная функция f : [о, 6] —» R
была интегрируемой на сегменте [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы 'is > 0 существо-
вало такое разбиение П этого сегмента, что о « S„(f) - Sn[f) <
Сокращенно критерий интегрируемости записывают следующим образом:
/ € Л [а, 6] 4Ф- is > О ЗП : 0 5п(/) — 5п(/) = ^^и>,Дх, < е
1=0
(здесь и;, = Mi — т, — колебание функции f на сегменте [г,, т,+1]).
1.2. Интеграл Римана как предел интегральных сумм.
Пусть П — произвольное разбиение сегмента [а, 6] и <2(П) = шах Дх>. На каждом
— 1
сегменте [rt. i>+i] возьмем произвольную точку f, и образуем так называемую интегральную
сумму
1=0
254
Гл. 4. Определенный интеграл
Полагаем lira 5'п( f)d=/, если Уе > О 96 > 0 :
ЛП)- Л ' '
УП Л d(II) < 6 => |Sn(/) - Ц < е.
Теорема. Если.
1) при Л(П) —» 0 ЭЦщ 5п(/) »/, то / € Л[а, J] u J /(г) dx = I;
2) f е К [а, 6], то 9 Em 5п(/) = f f(x) dx.
й(П)-0 а
Эта теорема устанавливает два эквивалентных определения интеграла Римана.
1.3. Некоторые классы функций, интегрируемых по Риману.
Теорема 1. Если f € С'[я, 6], то f €Л[а, Ь].
Теорема 2. Если f монотонная на сегменте [а, 6] функция, то f Е Л [а, 6].
1.4. Мера 0 Лебега и мера 0 Жордана.
Определение 1. Мерой pj сегмента J = [а, 6] (.мерой nJ интервала J =]а, 6[) назы-
вают его длину, т. е. число Ь — а.
Определение 2. Множество X С R имеет лебегову меру 0, если Уе > 0 существует
такое счетное покрытие W ~ {J j € N) этого множества сегментами (счетное
покрытие W = {J}\ у Е N] интервалами J3), **еР*>* которых р3, что Pj < s, где Pj =
52 Mj •
Примером множества лебеговой меры 0 может служить произвольное счетное множество
точек X С R.
Определение 3. Множество X С R имеет жорданову меру 0, если Ус > О существуем
такое конечное покрытие W = {.7Л; j = 1, n) (W = {J,; } = 1, п}) этого множества
сегментами J3 (интервалами J}), меры которых р}, что 5? < е.
Примером множества жордановой меры 0 может служить любое конечное множество
точек X С R, а также любое счетное множество точек У С R, имеющее конечное число
предельных точек.
Из определения 3 следует, что всякое множество жордановой меры 0 имеет лебегову
меру 0.
Теорема (Лебега). Пусть f : [а, 6] —» R — ограниченная функция и £ С [а, 6] — мно
жество ее точек разрыва. Функция f интегрируема по Риману на сегменте [а, 6] тогда i
только тогда, когда Е — множество лебеговой меры 0.
С’огласно теореме Лебега, классу интегрируемых по Риману функций принадлежат огра-
ниченные функции, множество точек разрыва которых не более чем счетное или имеет жор-
данову меру 0.
1.5. Интегралы функций, заданных на произвольных ограниченных множествах.
Множества, измернмые по Жордану.
Определение 1. Пусть Е с X С R. Функция хе : X — R, где
. Г 0, если х Е Х\Е,
х(1) = ( 1, еели.бГ,
называется характеристической функцией множества Е.
Определение 2. Пусть Е С [а, 6] С R, f : [а, Ь] —> R — ограниченная функция. Есл
fXE € Л [а, 6], то
J f(x)dx= j f(z)xE(x> dx-
$ 1., Интеграл Римаха
255
Определение 3. Пусть Е С [а, Ц СЙ. /Е - R — ограниченная функция. Продолжим
функцию f на весь сегмент [а, 5], образовав функцию
P<-r\ - f /(*)» ССЛи Е>
I ' О, если х Е [а, i>]\E.
Если функция F интегрируема на сегменте [а, 5], то
j f(x)dxd= J F(x)dx.
E a
Определение 4. Ограниченное множество E C R, граница которого имеет лебегову
меру 0, называется измеримым по Жордану, а интеграл
ь
/ dX = J Хв^Лх’
Е а
где [а. fc] — произвольный сегмент, содержащий множество Е, называется жордановой ме-
рой множества Е, или его Элиной.
1.6. Свойства интеграла, выраженные равенствами.
1) Если f Е R [a, J], то и cf g R [а, Ц, с = const, причем
У cf(x)dx = c У f[x)dx.
2) Если f,g&R [я, J], то и (/ ± g) € R [а, и при этом
У (/WisWH» = У /(ж) dx ± У g(x)dx.
3) Если f ё R[a, fc] и с ё]а, fc[, то
Ь с Ь
У f(x)dx = У /(x)rfx + У f[x~)dx (свойство аддитивности).
4) Если сужения функции f : [а, fc] — R на сегменты [а, с] и [с, 5] интегрируемы, то
f € R [а, fc] it при этом
У f(x)dz = У f(x)dx + У /(г) dx.
1.7. Свойства интеграла, выраженные неравенствами.
1) Если функция f интегрируема на [а, Ь] и /(х) 0 Vi Е [а, Ь], то J/(х) dx 0; если
f(x) 0, / G С[а. 1>] и /(х) 0 на [а, Ь], то f f(x)dx с > 0, где с — некоторая постоянная.
2) Если f(x) $ g(x) Vx ё [а. 6] и f, g ё R[a, fc], то
У f(x)dx у g(x)dx.
256
Гл. 4. Определенный интеграл
1.8. Формулы замены переменной н интегрирования по частям.
а) Пусть выполнены условия: 1) f Е С[а, Ь]; 2) сегмент [а, 6] является множеством значе-
ний некоторой функции х : t >—• а sj t $ /У, имеющей на ]«,/?[ непрерывную производную;
3) fl(a) = а, д(/3) = к
Тогда справедлива формула замены переменной
ь е
У f(T)dx = у /(а(<))/(1)Л.
б) Формула интегрирования по частям.
Если и, t> € &], то
J и(х)1/(х) dx — “(я) ®(®) | — У »(x)u'(x) dx
В примерах 1—5 интегралы Римана вычисляются с помощью интегральных сумм .S’n(/)-
Для любой интегрируемой по Риману функции f: [а, 6] —• R имеем
У/Wlir = d(limosn(/)
независимо от выбора разбиения П и точек f, € [х,,ii+i], поэтому при решении указанных
примеров разбиения П и точки f, выбираются определенным образом.
Вычислить следующие интегралы:
1. J (1 + х) dx.
—1
4 Функция f : х •-* 1 + х, — 1 $ х $ 4, принадлежит классу С‘[—1,4], следовательно,
f € Я [а, &]. В силу линейности функции /, удобно при произвольном разбиении П сегмента
[—1, 4] взять д**1 • Тогда интегральная сумма 5п(/) равна самому интегралу. Имеем
&(/> = £ ле.) д., = £ (дт. + =
1=0 t=0
_ - _i_ £п_~_£о , , /, । ~Ь хо \
= Хп — ХО + ----- (хп - То) 114-----------) = 12,5,
так как xq = —1, хп ~ 4. Следовательно,
/(1 + x)dx = 12,5. ►
4 Выберем такое разбиение И, чтобы длины сегментов [xt, £i+i] образовывали геометри-
ческую прогрессию, и возьмем f> = х,. Тогда
Xi = ход
хо = а,
Дх. = а
П —1 / 2_ \ n—1 »(*»+!) / Ъ \ ~ .
= = «”'+ " =(Ь"+,-“”‘+') - С,~
* \ \ в / I \ U / / ь \ «
.=0 \ / ,жо U) “ -1
$ 1> Илтеград Ркмака
257
Поскольку d(H) —» 0 при п-*<юк
(*)-! + J
Нт '{,4.;---= Вт ". = —!~р,
"-“(I)-?--! -^blj+.X;) '"• + !
t> imfl — e”»+l
то f хт dx = bra $n(f) -------------- ►
а <П}—о т +1
3- /$’ 0 <» < ь.
Пусть П = {io = a, xi, ..., гге = 5} — произвольное разбиение сегмента [в, Ь]. Подын-
тегральная функция интегрируема на [а, Ь], в силу чего, как говорилось выше, lim Snl'f)
о
существует и не зависит от выбора точек Полагая = ^/х,ц.ц, получим
1=0 1=0 ' т '
Следовательно, f тг = lim Sn(f) =----------т- ►
Ja 1 J(H)—о a b
4. У sin x dx.
о
•4 Взяв П = {x, = t = 0, «}, = к, имеем
. 7Г r v—\ . я К (т ~ tz)
Д«, = ^, M/) = _£>,_ = _-----------
1=0 4n
Принимая во внимание, что d(H) —• 0 при n —» оо, находим
f . sin(=-^)
/ sin x dx = lim —-—- • -—— — 1. ►
J n — oo 4n —
5, J In (I — 2ft cos x a2) dx при |«| < 1 и [«[>!.
о
4 Возьмем П = {ij. = k = 0, n}, fk = ik- Тогда ^(П) — 0 при п —• оо. Обозначив
z = е'х = cosx 4- isin х. z = е~‘х = cos х — isin х, получим
Если |л| < 1, то ^lim 5П(/) = 0> так как л2п —» 0 при п
Если |ft| > J, то, представляя в виде
258
Гл. 4. Определенный интеграл
получим, что Hm ' b'n(f) = lim S'n(/) = ttIqcv2. Следовательно,
’ МП1__п ' n-.no '
J 1ь(1 — 2а cos х 4* о;2) dx =
если |л] < 1,
если |й| > 1.
6. Пусть функция f : [a, fc] —• R монотонна на сегменте [а, Ь]. Доказать, что
Если f G Я [a, J], то при любом разбиении П сегмента [a, fc] и произвольном выборе'
точек £ [i>, it+i] выполняются неравенства
Ь’п(Л « У Sn(f) ( S„(f) ^Sn(f),
| Ь I _
в силу которых J /(z) dx — Su (/) Sn(/) — Sn(/)-
Для монотонной функции f при разбиении сегмента [а, &] на п равных частей имеем
*п(/) - Sn(/) = ~ |/(Ь) - /0)1 = о (1) .
J Л»)4»-зп(Л ь , v
Обозначив = получим, что J f(x)dx - Sn(J) = 8 \Sn(f) — =
0(1), так как [0] < 1. ►
7. Пусть /, <р € С’[а, 0]. Доказать, что
JH" ,тп(/¥’)= /
<чп)—о j
где ffn(/ip) = /(€•) V(0.) &Xi, Xi f,, 8i $ я>+1
t = 0
4 Из оценки |.?п(ftp) — <тп(/¥’)| С [/(ft)11<р(0<) — <p(fi)| ограниченности функции /,
1=0
условия р € Я[в, Ь] и оценки [^(0,) — С w., где о>, — колебание функции <р на сегменте
[it, ®1+1], получаем, что ^lim (Sn(/V) — <гп(/<р)) = О-
Следовательно, lim <тп(/<р)= lim Su (fp)= I f(x)p(x) dx. ►
<КП)-о <КП)-о J
8. Доказать, что функция Дирихле х : [а> Ч “* гДе
Х{®) m
если х иррационально,
если х рационально,
не интегрируема на сегменте [а, 0].
4 Функция х ограничена и разрывна в каэкдой/гонке сегмента [а, 0]. Согласно теореме
Лебега, х не интегрируема на этом сегменте. ►
259
$1* Интеграл Ржмааа
9. Доказать, что функция Римана f : [a, i>] -» R, где
ад = 1
sup{Sn(/)}= /
{П) - J
если х = —,
п ' п ’
О, еслих иррационально,
а т и п (н 1)—взаимно простые целые числа, интегрируема на [а, Ь] и J /(х)</х = 0.
4 В примере 263, гл. 1. доказано, что функция Римана непрерывна в каждой иррацио-
нальной точке сегмента [a, fc] и разрывна в каждой его рациональной точке. Поскольку она
ограничена и множество ее точек разрыва счетное, то, согласно теореме Лебега, /сЯ[а,5].
При любом разбиении П сегмента [a, i>] каждый сегмент [х,, г»+1] содержит иррациональ-
ные точки, поэтому .9п(/) = 0, в силу чего
ь
/ dx = у /(х)</х = О. ►
“ V & Ч
10. Доказать, что разрывная функция f . х >—> sgn ^sin —, 0 < х 1, интегрируема на
полуинтервале ]0, 1].
4 Функция f разрывна на счетном множестве точек X = {х* = |; к € N) и ограничена.
Множество X имеет одну предельную точку х = 0, поэтому имеет жорданову меру нуль.
Функция F : [0, 1] —• R, где
°- еслих € XU {0},
t /(г)> ес«иг € [0, 1[\{Х U{0}),
ограничена на сегменте [0,1], а множество ее точек разрыва X U {0} имеет жорданову меру 0,
следовательно, F £ Я[0, 1]. Согласно определению 3, п. 1.5, f ё Я]0, I]. ►
11. Доказать, что сужение ограниченной на сегменте [а, 5] функции f на множество
Е = {а) интегрируемо на множестве Е и
/(х) dx = 0.
Е
Образуем функцию F : [а, i] —» R, где
F(z) =
Функция F интегрируема на сегменте [а, 5]
если х == а,
если а < х Ь.
и J F(x)dx = 0, так как при /(а) 0 она
разрывна лишь в одной точке, а при любом разбиении П сегмента [а, Ч имеем Sn(F) = 0,
Ъ а
f F dx — f F(x) dx = 0. Обозначим ff(x)dx = f f(x)dx, Согласно определению 3, п- 1.5,
— a £ a
получаем J/(x)dx =0. ►
12. Пусть f . [a, fc] —. R — ограниченная на сегменте [a, 6] функция. Разбиением П'
сегмента [a, fc] в направлении от точки b к точке а назовем множество точек П' = {то =
i,xj,..., Хп = а), где х, > x, + i, t = 0, n — 1. На каждом сегменте [х,+1, х,] выберем
произвольную точку и образуем сумму
ч—1
•5п'(Л=1>(Ь)(4+1-<).
1=0
260
Гл. 4. Определенный интеграл
Если 3 lim Sni (/) = Г, то говорим, что функция f интегрируема на сегменте [а, 6] >
Й(П')—о
направлении от точки fc к точке а и записываем
Доказать, что если f € Л [a, &], то существует
dx, и при атом
dx = — J f(x) dx'.
4 Если точки разбиения П = {f0 = a, ii...Tn = b) совпадают с точками разбиения П',
а точки £, € [Sj, ij+i] совпадают с точками £ [г,, i.+i], то .$’п<(/) = — Sn(/)> где Sn(/) =
£) /(G) Дг,- Поскольку Sn(/) = f f(x)dx, то ^пД/) - - f f(x) dx. ►
z 13. Пусть f : [a, i] - R, f € R[a, 6]. A $ f(x) $ В и : [A, B] R, G С[А, B]j
tj = ф о f : [a, fc] —• R. Доказать, что g G B[a, Ц.
4 Из условия / G B[a, fc] следует, что функция f удовлетворяет критерию Лебега инте-
грируемости по Риману. ।
Композиция д = tj> о f непрерывна в каждой точке непрерывности функции f, поэтому!
также удовлетворяет критерию Лебега. Следовательно, д G R [а, Ь]. ►
Заметим, что утерждечче, содержащееся в доказанной теореме, в общем случае теряет силу, если
условие непрерывности функции «Д заменить условием ее интегрируемости. Пусть, например)
ф : [О, 1] —» R, / : [а, Ь] —»R,
если у = о, =
если у ± 0, ' '
если х иррациональное.
где m и л (n 1) — взаимно простые целые чИсла.
Функция / интегрируема на сегменте [«, Ь] (см. пример 9),’а функция V» интегрируема на сегмент^
[О, 1]. Вместе е тем функция <!> о / : [а, Ь] —► R, гйе'
если х рациональное,
не интегрируема на сегменте {а, Ь] (см. пример 8).,
^4 . Пусть f G К [а, 6]. Доказать, что |/| 6 R [в, Ь] и
4 Поскольку фрикция / удовлетворяет всем условиям теоремы Лебега, то этим же свой
ством обладает и функция |/[. Из неравенств — |/(х)| $ /(х) $ |/(х)|, х G [а, Ь], и свойств^
2), п. 1.7, следует, что
У |/(*)|ii«C j f(x)dx^ У |/(x)|<fc,
Заметим, что из интегрируемости |/| не следует, вообще говоря, интегрируемость /; напримец
функция / : [а, 6] -» R, где ' ?
. f 1, если х рациональное,
' | —1, если ж иррациональное,
не интегрцруеыВ'1н«.{<|1 Ь), хотвфмвдцр»я |/|.инъецируема на этом сегменде. (
1. Интеграл Римала
261
15. Пусть f € R{a, Ь], yi € R[a, 4]. Доказать, что /у € R[a, Ь].
< Если функции / и $? имеют точкираэрыва, гомвожества зтих точек являются мно-
жествами лебеговой меры 0 каждое, а объединение этих множеств будет в общем случае
множеством точек разрыва функции ff. Поскольку это объединение является множеством
лебеговой меры 0, то функция ftp удовлетворяет критерию Лебега интегрируемости по Ри-
ману. ►
16. Доказать, что если ограниченные на сегменте [а, £>] функции f н >р совпадают всюду
на нем, за исключением лишь множества X С [л, Ь] жордановой меры 0, то либо эти функции
интегрируемы на [а, £>] и • • •
либо они не интегрируемы на [а, 4].
Я Если f € Я [а, 4], то, согласно теореме Лебега, множество точек разрыва функции f
имеет лебегову меру 0. В силу условии примера, множество точек разрыва функции <р также
имеет лебегову меру 0, поэтому р ё Й[», Ь]. Согласно свойству 2), п. 1.6, функция а = f — <р
интегрируема на [а, Ь], а из примера 14 следует, что |а| € Я[а, Ь]. При Произвольном раз-
биении П сегмента rLa, Ь] каждый сегмент [х,, x,+i] содержит хотя бы одну точку, в которой
= 0, следовательно, Sn(|<*|) = 0, sup{Sn(/)} = /1<*| di — 0, / dx = / dx = 0. По-
““ {П} — — а —
dx, то f cr(x) dx = f (/(х) — v(x)) dx = J f(x) dx - f <^(i) dx = 0.
dxl
скольку
Таким образом. J f(x)dz = J"tp(x)dx.
Если предположить, что f £ Я[а,4>], a <р £ J?[e, Ь], то, согласно доказанному, должно
быть f £ R [а, Ь] и получаем противоречие.
Следовательно, £ J?[a, Ь]. ►
Из примера 16 следует, что если / € R [а, Ь], то не изменяя свойства интегрируемости и величины
интеграла, значение функции / на множестве жордановой меры 0 можно заменить произвольны
ми конечными значениями.
17. Пусть f E R [а, Ь]. Доказать, что равенство j f2(x)dx = 0 выполняется тогда
и только тогда, когда /(х) — 0 во всех точках непрерывности функции f, принадлежащих
сегменту [а, Ь].
4 Необходимость. Доказательство будем проводить от противного. Пусть ff2(x)dx = 0, f
непрерывна в точке г о E]a, fc[ и /(хо) 0. Из непрерывности функции f в точке х0 следует,
что /2(х) > 0 в некоторой окрестности <$(хо, 6). Используя свойство аддитивности интеграла,
имеем
I. ^Q — 6 + 6 6 ха + б
У f2(x)dx = J /2(т)^+ У /2(»)J» + У /2(1)^> У f2(x-)dx = c,
а а -Гц— J •*о + ‘> xq — S
где с > 0 — постоянное число. Получили противоречие, так как
ъ
У f2(x)dx =0.
Достаточность. Пусть /(х) ~ 0 в каждой точке непрерывности. Из тою что f R[a, b]
следует, что f2 Е Я[а, fc]. При любом разбиении П сегмента [а, Ь] каждый сегмент [г,, x,+t]
содержит точки непрерывности функции f (в противном случае при некотором разбиении П
262
Гл. 4. Определенный интеграл
сужение функции f на какой-то сегмент [х,, l«+t] было бы всюду разрывным на нем и, со-
гласно теореме Лебега, следовало бы, что f g R[a, &]).
Таким образом, при любом разбиении П имеем
ь
5П(/2)=О, [ f2dz = /’f2(T)dT=SUp{5n(/2)) =0. ►
J J {П} -
18. Пусть функция f ; [а, Ь] —• R ограничена и вогнутана сегменте [a, &]. Доказать,
что
(4 - a/W + ^W J /(г) di (Ь - a) f •
4 Вогнутость функции f означает, что функция — f выпукла, следовательно, f Е С’[а, Ь]
(согласно примеру 112, гл. 2).
Таким образом, /€Я[а, Ь]. Используя свойство вогнутости, находим
у 44 = ; (~Г + 49 г 4 + !) + /м))' 0S5SO-3.
Интегрируя по f в пределах [0, b — а] и производя замены а 4- f ~ t и b — £ = z получаем
Выполнив разбиение П = { х,- — а + » = 0, »} и взяв = ж,, получим, что Ат, =
Ь— а
--- И
1=0 >=0
В силу вогнутости функции /, имеем
41 4) -+?> 04) /«+>)-
мл > ((> 4) + (^ + ^(ч) •
1 = 0
Принимая во внимание, что i(U) w-'O при м -* оо, получим, перейдя1 к пределу при п —» оо
в левой и правой частях последнего неравенства,
+ (2)
а
Сопоставляя неравенства (1) и (2), получим доказываемые неравенства. ►
1Г
S . , ,
19. Вычислить У x2sinxcix.
о
4 Сначала дважды применим формулу интегрирования по частям, п. 1.8., а затем вос-
пользуемся решением примера 4. Получим
Вогнутые функции иногда называют выпуклыми вверх.
$ 2. Осховаые теоремы и формулы 263
Упражнения цля самостоятельной работы
Вычислить определенные интегралы следующих функщсй, составляя интегральные суммы
Sn(/) и переходя к пределу при </(П) —. 0:
1. х <-♦ х3, —3 х 5. 2. х I— т/х, 0 х 1. 3. х •— 3*, 0 х 7.
4. х *-* cos I, 0 х у. 5. х ь- 2 + 5х, — 3 z 6.
Найти следующие пределы:
Доказать интегрируемость следующих функций:
10. х [|] - 2 [i], 0 < х 1. 11. х >-> [фв-1> 1 х 10,5, а > 0.
12. х 1 х 40, А > 0. 13. х и- [я2], 2 < х $ 17.
14. х •-» , 0,5 х 10.
15. Пусть f 6 R [а, Ь] и /(х) > 0. Обозначим Дп = /(в + kfn), &п = Доказать, что
»-~“£Л" = ^
/ Дх) dx, У/1п/2п ... fnn = exp < fln f(x)dx
16. Пусть f G С*2) [1, 4-оо[ и /(х) > 0, f'(x) > 0, f"(x) 0 Vx € [1, +оо[. Доказать, что
f/W = ^ + //W^ + o(i)-
*;=! t
17. Пусть f € С<2) [a, fc] и
а А’=1
Найти lini п2Дп.
§2. Основные теоремы и формулы интегрального
исчисления
К важнейшим теоремам и формулам интегрального исчисления относят: основную тео-
рему интегрального исчисления, формулу Ньютона—Лейбница, теоремы о среднем, а также
формулы замены переменной и интегрирования по частям (последние две приведены в пунк-
те 1.8).
2.1. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
Теорема 1. Если f £ R[a, fc], то функция
Ф : х •—* J f(f) dt, а х Ь,
непрерывна на сегменте [а. Ь].
Теорема 2. (основная теорема интегрального исчисления). Функция
Ф : х н-> I f(t) dt, а х b,
Гл. 4. Определенный интеграл
где / : [а, Ь] — R, / ё Л[а, fc], дифференцируема е каждой точке х ё [а, 6], в которой функциям
j непрерывна, и при этом Ф'(х) = /(т). j
Теорема 3. (основная формула интегрального исчисления). Если f ё Я[а, &] и мм)
жество точек разрыва функции f не более чем счетное, a F — произвольная первообразная
функции f на сегменте [а, Ь], то справедлива формула
ь
У f(x)dx = ^(®)|о = Е(Ь) ~
называемая формулой Ньютона—Лейбница.
2.2. Теоремы о среднем.
Первая теорема о среднем. Если f ё Л [а, Ь], у ё [а, fc] и д(х) 0 (у(г) 0)<
Vi ё [а, fc], то справедлива формула
ь ь
j f(x)g(x)dx = р j g(x)dx, т^р^М, (1>
где т = inf {/(я)}, М = sup {/(г)}.
Если f ё С[а, fc], то формула (1) принимает вид
J f(x)y(x)dx = f(£) J g(x)dx, f G [а, Ь]. (If
Если f ё С’[а, Ь], у(ж) = 1, то
У f[x) dx = /(£)(Ь - а), f € [а, Ь]. (3?
Вторая теорема о среднем. Если
1) функция / •. [в, t] - R не возрастает на сегменте [а, fc], /(z) 0 Vz 6 [а, Ь]
у ё Я[а, Ь], то 3£ € [в, Ь] такое, что
J f(?)g(x)dx^f(a) J g(x)dx- (4|
2) f не убывает на [в, Ь], /(я) > 0 Vz 6 [а, Ь] и g ё Я[а, fc], то Зу ё [а, Ь] такое, что-
J f(x)g(x)dx = f(b) J g(x)dx; (б|
3) f монотонна на [а, Ь] и g ё Я [в, Ь]> то 3$ ё [а, такое, что
У f(x)g(x)dx = /(а) У s(l) dx + /(Ь) У g(x)dx. (6|
Формулы (4)—(6) называют формулами Бонне.
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, вычислить следующие интегралы Римана:
20. 1= f ——,»<«<!.
J 14-ccobz
о
§ 2. Основные теоремы н формулы 265
, ( Ч Согласно примеру 130, гл. 3, функция
F-*~< I е R\{» + at»),
^===(2fc + I),1 т = я + 2fcx, к G Е,
является первообразной функции х а; € R,. О V < ! По формуле Ньютона—
Лейбница имеем ' '
I = F(4») - Г(0) = ^=J- ►
21. I = [________dl
J a2 sin2 х + b2 cos2 x
о
Ч Преобразуя подынтегральную функцию к виду
________________________1__________ 2
a2 sin2 х + b2 cos2 х {а2 + Ь2)(1 + £ cos 2х)'
где е = , и произведя в интеграле замену 2х = t, получим аналогично решению преды-
дущего примера
д =
а2 + b2 J 1 + е cos t
о
= (тг^“с‘8 {д/тти'ч) + 7г=7? =W*’
Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислить интегралы от разрывных функций
путем построения их первообразных на всем промежутке интегрирования:
22' J - / TTfWJl’ №) = (1У(»г-2?1)’-Е = [~1'зл<<()1и<2»-
J 1 Т- J \х) X \Х — X)
Е
Ч Функция f не определена в точках х = 0 и х = 2 сегмента [—1, 3], а подынтегральную
функцию можно записать в виде
1f^l) =(^-cts/(»))'. »е£,
и функция х >— arctgf(x), х € Е, является первообразной ограниченной на множестве Е
функции 1+J,:.. Согласно определению 3, п. 1.5, имеем
г, . J , {. если х € Е,
где F(i) = i +
0. если х — 0 или х — 2.
Первообразную Ф функции F на сегменте [—1, 3] строим следующим образом:
arctg /(х), если — 1 х < О,
arctg /(х). если 0 < х < 2,
arctg /(х), если 2 < х 3.
Lim arctg/(х),
г ——о
Em arctg Дх) + C’i,
t — + о
lim arctg Дх) + C’i,
Em arctg/(x)-|-C-2 ,
если r = 0,
если r = 0,
если x — 2,
если x = 2.
и
266
Гл. 4. Определенный интеграл
{arctg /(z),
arctg /(г) - х,
arctg/(z) - 2я,
Следовательно, получаем
если — 1 х < О,
если 0 I < 2, j
если 2 х 3, 4
Применив формулу Ньютона—Лейбница, находим
32 '
I = Ф(3) - Ф(-1) = arctg /(3) - 2% - arctg/(-1) = axctg — - 2х. ►
dx
sin* x + cos4 x
0
Ч Принимая во внимание равенство sin* i + cos* x = |(1 4-ccos 4z), где e = |, и произведя
в интеграле замену 4х = t, получим, используя решения примеров 20 и 21,
23-'-/
31,5
[z] dx.
24. 1 =
ч Построим первообразную функции f : х >-> [г], 0 $ х < +оо, имеющей разрывы первого
рода в точках х = п, п € N.
Если х €]н — 1! «[, то /(х) — и — 1; если х €]n, п + 1[, то /(х) = п. Таким образом,
функция F-n—i : х >—* (п — 1)® + C'n—i, Сп—1 € R, является первообразной сужения функции f
на интервал ]п — 1, п[, а функция Fn х ►— nx 4- Сп, Сп £ R, является первообразной сужения
функции f на интервал ]n, п + 1[- Из условия непрерывности первообразной в точках z = п
получаем Fn_\(n — 0) = Fn(n 4-0), т. е. (п - 1)« 4- Сп-i = п3 4- Сп, откуда Сп = Cn-i - п,
n € N. Полагая п = 1, 2, ..., получаем С\ — Со — 1, Cj = C'i — 2 = Со — 3, Сз = Сз — 3 = Со — 6,
С, = Сз т 4 = Со - 10, ., С« = Со - , Со = const.
Поскольку п = [х], х € [»*, п 4- 1[, то F(z) = z[z] — является первообразной
функции /.
По формуле Ньютона—Лейбница имеем
I = F{31fi) - Г(0,5) = 31,5 • 31 - 31 • 16 = 480,5. ►
20 n
Ч Функцию / : г н. sgn (sin z), x € R, представим в виде
/(z)=( S’
v 1 o, x e {itx; fceZ).
Поскольку f(x) = “n*i । при x / itr, то непрерывная функция F : x arccos (cos хЪ
yl—co»sx 1
z 6 R, является первообразной ограниченной разрывной функции f. Следовательно,
I = f’(20r) — F{— Hr) = arccos 1 — arccos (-1) = —т. ►
26. 1= J (-1)м*г.
-21
§2. Осжовямс’хеор9»ша>формулы 267
Ч Поскольку (—1)^ = sgn(sin тх), х € R, то, принимая во внимание решение предыдущего
примера, имеем
1 • 4W 1
1= — arccos (cos jtt)| = —(arccos 1 — arccos (—1)) = —1. ►
2
27. I = J[^]dx. , .
,|O
Ч Функция x i—• [e®], 0 $ x < +oo, разрывна в точках xn = Inn, n = 2, 3....... Пусть
x e]xn, xn+i[. Тогда •
У [e®] dx = nx -|- Cn, Cn ей, Cn = const.
Если x €jxn+i, ®п+г[, to
У [e®] dx = (n 4-1)® + C’n+i, C„+1 = const.
Из условия непрерывности первообразной функции х н-* [е*], 0 $ х < 4-оо, в точках in
получаем зависимость между С.'п и С'п-ц:
C’n+J = Сп - ln(n 4-1), П £ N.
Полагая последовательно в полученном равенстве n = 1, 2, ..., находим
Сп = С — In п\, С = const.
Таким образом, функция F : х >-* [е®]т — 1п([е®]1), 0 $ х < 4-оо, является первообразной
функции х [е*]_ о х < 4-оо.
Поскольку [е2] = 7, то I = F(2) — F(0) = ((e®]i — ln([e®]!))|2 = 14 - In 7!. >
28. 1 = J sgn (sin(In a:)) dx, E — ]0, 1].
E
Ч Функция F : [0, 1] -» R, где
_ f sgn(sin(Lni)), если r e]0, 1],
— 0, если x = 0,
ограничена на сегменте [0, 1], а множество X = {г*, = е-*"; к G N) ее точек разрыва счетное,
следовательно, F Е R[0, 1], и, согласно определению 3, п. 1.5, имеем
У sgn (sin(lni)) dx = У F(x)dx.
Е 0
Обозначим Е(х) = f sgn (sin(in х)) dx, х > 0. Если е“'*+1>’г < х < е-*", то F(x) =
(~1)А-1х 4- Ck, где к = [-^], С'к = const. Если же е~(fc+2),r < х < e_(fc+1,,r, то F{x) =
(-1)Ах 4- C'fc+i, С\+1 = const.
Из условия F(e-(fc+1),r - 0) = F(e"(fc+1)’r 4-0) находим
Ск+1 - Ск 4- 2e-(fc+1)’,
откуда С\ = Со - 2(е“тг - е-2" 4- ... 4- (—1)*—1 е—*‘*г), Со = const. Следовательно, F(x) =
(—1) [ * 3 :т - 2(с_,г - е-2я 4- ... 4- (-1)[ * ] Л » 1’) 4- Со, причем F(0) — liin Ск —
С'°-2гЬ^' Г(1) = ’1 + Со-
Таким образом,
7 = ^(1) - ^(0) = -1 + 2^-^^ = = th ►
268
Гл. 4. Определенный интеграл
о
Ч Рассмотрим F(x) — J[x]sin dx, х 0. Если х £]n —1, п[, то F(x) = — (и — 1) £ cos ^4-
С'п~1 С’п—1 = const. Если же х £ ]«, п +1[, то F(x) = — ncos 4- Сп, Сп = const. Из условия
F(n - 0) = F(n + 0) получаем
откуда
_ 6 / т 2т пт\
On = Со + - cos - + cos — + ... + cos — I .
к \ 6 6 6 /
Следовательно,
F(x\ = —-[x] cos 4- — (cos 4- cos 2^ 4- ... 4- cos[r]^ 4- Co, 7 = F(6 - 0) — F(0) = —. ►
tdt\66 о/ т
x sgn (cos x) dx.
Ч Рассмотрим F(x) = J xsgn (cosx) dx, x £ R. Подынтегральная функция разрывна в
точках ц = у 4- kr, k £ Z, поэтому
F(x) = — 4- Ck, если x £
F(z) =(-l)l+1y + Q+„ еслит e
Из условия F(xk — 0) = F(xk 4- 0) находим
Cq = const.
Поскольку it =
, TO
Следовательно,
/з А2 С >’ .'9 V 1 / ’V 93 2 _
“(г) + (г) "(г) + (г) -2 (г*) =-И’г —
Иногда пределы различных сумм вычисляются путем приведения их к интегральным сум-
мам для интегрируемых функций. При переходе к пределу при п —» оо получаем интегралы,
которые вычисляются с помощью формулы Ньютона—Лейбница.
^ычислнть:
Л 31. lim .Sn, Sn = , . + ' 4- ... 4- т-•
Записав Sn в виде
2n
§2. «формулы 269
приходим к выводу, что это нижняя интегральная сумма для функции х ь* 7+» > 0!
при разбиении П = {ж, = ^; i = 0, п) сегмента [0, 1] и выборе — х,. Поэтому
lim ,$„ = / s= 1п(1 + х)! =1п2. ►
n —оо J 1 + X 1о
О ’ ।
32. lim Sn, Sn = — ( л/1 H— + i/1 + — 4- л/1 + .
n— oo tt \ V П V n * n /
Ч Поскольку 5„ = £ £ + £ = £ /{6)Aii,W/(«) = Vl + i, <!,$=«.= Ь
i = 1, u, Ax, = —, to
33. Hm S„, S'n = 8111-52------*7
‘"°= n^2 + cos^
Ч Поскольку sin + О (£) и Jim, О (1-) £ 2 + Jos w = °’ 10
lim S„ = lim - V'---------—~.
„_TO n—TO n 2 + cos
Ho J £ >4J, £- = £/({») Ди, гае /(«,) = 7^, 0< » fc = 1*. i =ГТ, Ди = J,
тогда
(см. пример 20). ►
34. Hm S.,S„ = y^-T-
n-oo ,t 4- 1
Ч Представим 5U d виде
где S^’ = - V 2» . 5*,2) = - Г --г-. Из оценки 0 < = - следует, что lim 5^2’ = 0,
n - >» l + in n n n —K>
поэтому
lim Sn = lim 5S,'1 = / 21 dx = Д-l = r-^-. ►
„_<« „_oo J In 2 Io In 2
о
Используя правила Лопиталя и теорему 2, п. 1.3. раскрыть неопределенности вида - и
35. lim
270
Гл. 4. Определенный интеграл
4 Применяя первое правило Лопиталя и теорему 2, п. 1.3, получаем
J" cos t2 dt i
lim ----------= liin — I cost2 dt = lim cost2 = 1. ►
x—+o r *—+o dx J t—+o
0
(p‘a"
36. Um .
~+“
4 Применяя второе правило Лопиталя два раза, находим
37. Пусть f € С'[0, +оо[ и f(x) —► А при х — +оо.
4 Произведя в интеграле замену их — t, получаем
Найти lim / f(nx)dx.
lim I f{nx)dx= lim — / f(t)dt= lim <pn,
n—.to J n —to 71 J n—.to
0 0
где <pn — значения функции : i н* j* 0 < x < 4-oo, в точках sc„ = н, не N.
о
Следовательно,
lim <р„ = lim - / f(t)dt. !
п-»то x— + то X J
0
Если A = 0, то Ve > 0 ЭД > 0 : Vr > Д |/(t)| < j- Поскольку в рассматриваемом
случае функция f является ограниченной, то ЭЛ/ > 0 : |/(я)| $ Л/ Ут € [0, +оо[-
Пусть х > Д. Тогда
Из оценок
получаем оценку
$ 2. ЗДздвщдедооремн формулы
271
Следовательно, lim <рп^А = 0. , - , , ><
Если А 0, то Уе > О ЗД1 > 0 : Ут > Д1 А — е < f(x} < А + е. При х > Д1 имеем
У/(1)Л = У 7(1) Л + У /(ij dt> J f(f)dl + (Л- е)(х-д,).
О О дк О
Поэтому lim j f{t)dt=oo.
о
Применяя второе правило Лопиталя, получаем
.177 7 / f т "’= Л’.„ £ / л'<* = /(1) =А-
о о
Следовательно, lim <^п = А. ►
38. Доказать, что / е‘ dt ~ —— при х —► +оо.
J 2х
2х f е‘3 dt
Ч Докажем, что lim —-—=—- = 1,
х—+оо е1
ZxfSdt ifzzfS'dt)
lim ---Ц,---_ lim ----7-^----7
применив второе правило Лопиталя:
2 f е‘3 dt + 2zex’
1 2хе*3
= lim
С помощью замены переменной с последующим применением формулы Ньютона—Лейб-
ница вычислить следующие интегралы:
0.7S
О
Ч Полагая = i, получаем: х = у — 1, dz = — ^7, f2 + 1 = ^ - у + 2; тогда
40. 1 = /
J 1 + 1*
Ч В неопределенном интеграле J dx, х € К, произведем замену переменной по фор-
муле х---= f, х / О. Тогда
[ Г+7*iT = / = Ta “ctB 7г + с = “с‘6 + С| 1 е
J 1 “Г * J 1 “Г - у/ X у/ V * Ху/ X.
272
Гл. 4. Определенный интеграл
В примере 20, гл 3 показано, что функция
если с 0,
j^sgnz, является первообразной функции х
41-' = /С
* dx.
Ч Произведем в интеграле замену - = t. Здесь каждому 2 < t 2,5 соответствует два
значения г, поэтому представим интеграл на сегменте [0,5; 2] в виде суммы двух интегралов
на сегментах [0,5; 1] и [1, 2] : I = h + It, где
Так как в интегралах Zi и h соответственно имеем х = —
dt.
dt =
dt = 1,5е‘
42. В интеграле 7
cos х dx произвести замену переменной по формуле sin х = t.
Ч Представим интеграл I в виде суммы интегралов на четырех сегментах [it у, (А: + 1)у],
k = 0, 3, на каждом из которых функция х •—> sinx, 0 х 2х, монотонна. Тогда на
сегментах [—1, 0] и [0, 1] определены функции, обратные сужениям синуса на указанные
четыре сегмента. Если х G ^О, , то х = arcsin t, 0 $ t $ I. Если х € [j, «],тог =
зг — arcsin t и t убывает от 1 до 0. Если х € [т, |т], то х = ir — arcsin i и t убывает от 0
до —1. Если х € [j-x, 2л], то х = 2ir + arcsin t, — 1 $ t 0. Таким образом, после указанной
замены получаем
'arcsin t)dt +
arcsin t) dt + j f(ic — arcsin
f{2x + arcsin t) dt =
arcsin t) — f(x — arcsin t)) dt + ^(/(arcsin t) - /(зг — arcsin t)) dt.
G помощью формулы интегрирования по частям и получаемых рекуррентных соотноше-
ний вычислить следующие интегралы:
§2. О«яо»ктт»|кем1Х'Ж;ф<фмржм
27»
sin” x dx.
Ч Интегрируем по частям, полагая sinz dx = sin” 1 x = «(z). При этом имеем
In = cos x sin’
sin” 2 r cos2 xdx = (n —
sin”-2 x dx
l)(/„-2
Получили рекуррентное соотношение In
, с помощью которого находим
если и = 2к,
если и = 2k + 1.
44. /„ = Jc,obnxdx.
о
• ' • " ' 2 2
Ч С' помощью замены j — х — t убеждаемся в том, что f cos” х dx — j sin” х dx. ►
о о
45. /„_yig2"z^. I
Ч Интегрируя в пределах от 0 до у тождество
tg2’“z dx ~ tg2"-2® d(tgz) - tg2n-2zdz,
получаем рекуррентную формулу
/-‘«’"’Г , I
J>‘ — ”7-~ Z----------Г *п —1,
2п - 1 2п — 1
с помощью которой находим
= Е + - Ё Дл) ’
Вводя новый индекс суммирования и — к = т, окончательно получаем
46. 1„ = [ C°^V,,+1 dx
J \ sm 1 + cos г /
274
Гл. 4. Определенный интеграл
Ч Произведя в интеграле замену — х = I, полупим
;2п+ЧЛ =
Последовательно используя полученную рекуррентную формулу п — 1 раз, имеем
4 ° .о
где io = Jtgtdt = f ='ncostlR =h''/2- ►
47. i(2m, 2n) — j sin2”1 г cos2n x dx.
Ч Полагая cos x dx = dv(x), sin2”1 x cos2n-1 x = u(z) и применяя формулу интегрирования
по частям, находим рекуррентное соотношение
1{2т, 2п) = 2” ~ *-/(2т + 2, 2п - 2),
пользуясь которым п — 1 раз и принимая во внимание решение примера 43, получим
Г(2т, 2») = -------(2п - 1)(2п - 3)... 3-1- ц2т + 2„ 0) =
' 7 (2т + 1)(2т + 3) ... (2т + 2« — 1) 7
____________(2п-1)!!(2т + 2»-1)!1______________ т. (2я — 1)!!(2т — 1)!!
“ ((2т + 1)(2т + 3) ... (2т + 2п - 1))(2тп + 2n)I! ’ 2 ~ 2(2т + 2п)1! * ~
ir(2n)!(2m)l тг(2п)!(2тп)!
“ 2тп+"+1(т + rt)’2Tn+T‘m!»! ~ 24m+'2"+1m!nl(rn + «)!’ *
48. /„ = у в =]0, 1).
Е
Ч Согласно определению 3, л, 1.5, имеем
/„ = У F(l)dx,
о
Г zm(ln г)" X € Е
где f’(x) = 1 о ’ х = o' ФУНКЦИЯ непрерывна справа в точке х = 0, так как
lim Fix') = 0, следовательно, F € R[О, 1]. Интегрируя по частям, получим
Ж-. + ОО
/„= --Frill1------------- f Im(lnI)"-,di =------
т +1 . Io m +1 J m + 1
£
Рассуждая аналогично относительно интегралов In-i, /п-2, ... , Л, находим
где /о = f хт dx = Окончательно имеем
о
$ 2k. Освомые теоремы ж формулы 275
Примеры 49—54 являются теоремами, которые могут быть использованы при вычислении
некоторых интегралов и рассмотрении отдельных вопросов теории.
49. Доказать, что для непрерывной функции / : [-J, —» R имеем:
1) У /(x)di = 2 У /(х) dx, если функция / четнЬя;
-<о 1
2) У f(z)dx = 0, если функция / нечетная.
В силу свойства аддитивности интеграла справедливо равенство
< о i
У f(x)dx = у /(z)di + у f(x)dx.
—I -I о
Полагая в первом интеграле х = — t, имеем
J = y\z(x) + /(-*))!*.
-I о
Если f четная функция, то f(r) + f(—x) = 2f(я), 0 х I, и получаем 1). Если / нечетная
функция, то f{x) + f(-x) = 0, 0 х I, я получаем 2). ►
50. Доказать, что одна из первообразных четной функции есть нечетная функция, а
всякая первообразная нечетной функции является четной функцией.
< Пусть f € Л[—I, /] и является четной функцией. Тогда любая функция
F : х j f(t) dt + С, С = const,
о
является первообразной функции / на сегменте [—1, Z] (множество точек разрыва функцхи /
не более чем счетное).
Рассмотрим интеграл f f(t) dt, произведем в нем замену — t = z и воспользуемся четно-
о
стью функции f. При этом получим
f(-«) = - pt^dz + a
О
Следовательно, (F(—х) = —F(x)) О (С = 0), т. е. лишь функция х f f(t)dt, —l^x^l,
о
является нечетной.
Пусть f — нечетная на сегменте [— I, I] функция и / ё Я[-1, И- Тогда
У /(х) dx = у f (1) dt + С, С = const.
о
Рассмотрим произвольную первообразную функции f
лм = I т it+с„
276 Гл. 4. Определевмый интеграл
принадлежащую множеству < J /(<) dt + О' У . Имеем
Следовательно, является четной функцией. ►
51. Доказать, что если f : К —» R является непрерывной периодической функцией,
имеющей период Т, то
где a — произвольное действительное число.
В силу свойства аддитивности интеграла, имеем
dx.
Из условия периодичности функции f следует, что
Произведя замену х — Т = t, получаем
ледоваге.тьио,
52. Доказать, что при нечетном п функции
sin” i dt,
cos"i dt
— периодические с периодом 2т, а при п четном каждая из этих функций есть сумма линейной
функции и периодической функции.
Доказательство проведем для функции F. Пусть п — 2m + 1, m £ N. Тогда
х+2т г+21Т
С(» + 21Г) = У sin2'"+' = Г(х)+ У siu2ra+11 dl.
О х
Лвалошчио решению примеров 51 и 49 имеем
i<-2r г» ir
Следовательно F{x + 2т) = F(x), т. е. F — периодическая функция с периодом 2т.
§2. Оснаваыегтйореммл! формулы
277
Если п = 2т, m € N, то !
2я.
F(x + 2?г) = F(x) + j sin2m х dx.
Поскольку функция х >-» sin2*” х, х € R, имеет период jr, а ее сужение на сегмент [—f, f]
является четной функцией, то 1/Г|7 [Г
-’2» ’ ' ; и-- !.‘-и j, • '
\ sin2”1 х dx 2 jsin2*" х dx — 2 j sin3m xdx, = 4 j sin2”1 x dx.
Следовательно,
Cm = [ sin2m r dx = 4 f sniim X dx = —r^-
J - J IM"
0 • 0
(см. решение примера 43). Таким образам, F{x '+ 2х)*— F(x) = Cm-
Рассмотрим функцию tji х >—• F(x) - ^-x, x 6 R. Поскольку ifr(x -+ 2ir) — F(x + 2т) —
-^-(x + 2т) = F(x + 2т) - Cm — -j^-x = F(x) — -j»-! •= ,<&(x), to i/> является 2ir-периодической
функцией, в сил}1 чего
Г(х) — ^(х).+ Bm-ачЛ ^€а,ч 1Я41 = ——,
т. е. функция F представима в виде суммы 2?г-периодической функции i/> и линейной (одно-
родной) функции х а,„х. ►
53. Доказать что функция
F : х н-» у f(F)dt, х Е R,
*0
где f — непрерывная периодическая функция с периодом Т, в общем случае есть сумма
линейной функции и периодической функции периода Т. (
4 С-ol ласно теореме 2, п. 2.1, функция F дифференцируема Vx6R, и при этом F'(x) = f(x).
В силу периодичности /, имеем F'(t + Т) = f(t]- Интегрируя на сегменте [ю, х], находим
F(x + 7’) — F(co + 7') = F(r). Поскольку .....
^о+т, т
F(x0+T)~ У dt — У f(t) dt — .С,- С = const.
•z0 О
то F(x 4- Т) — F(r| = С. рели С 0. то F(x + = F{x) и F является периодической
функцией с иериодоы 7' Если С 0, то введем в рассмотрение функцию
Ф.х^Г(т)-^х- хёй.
Поскольку Ф является периодической функцией с периодом Т. то
F(x) — Ф(х) + ах, х Е R, а =
есть сумма периодической и линейной (однородной) функций. ►
54. Доказат, что если f € С[0, 1], то:
2 2 Я
1) У f(sin г) dx = f(cos x)dz 2) у z/(s.in х) dx = у /(sm х) dx.
278
Гл. 4. Определенный интеграл
1) Полагая — х = t, получим
2 о 2
У f(sinx)dx—- j/(cost) dt = j /(cost)dt.
о lo
2
2) Запишем
я r
j xf(sin x'jdx = j x/(sin(x — ж)) dx
о 0
и положим т — x — t, получим
У ^/(sin г)
dx = sin t)dt = it У /(sin t) dt - у tf(sin f) dt,
oo oo
откуда
У xf (sin x) <** = | У /(sin r)dx. ►
о о
В примерах 55—62 рассматриваются различные интегралы. Некоторые из них вычисля-
ются путем использования формул Эйлера
е'а = cosx 4- t sin т, е-‘а = cos х — t sin х.
Вычислить интегралы:
200я
55. I = У 71 — cos 2х dx.
о
200т
Поскольку / = 72 J | sin х| dx и функция х *-> | sin х|, х € R, периодическая с периодом
о
Т = т, то, согласно примеру 51, имеем
I = 20072 у sin х dx = 400Т2. ►
56. 1= / dx.
J 1 4- cos2 x
0
◄ Так как I = f x/(sin x) dx, где /(t) = 2^> I0i согласно примеру 54, получаем
It о
if sinx , _ x / d(cosx)
2 J 2 - sin3 x X 2 J 14- cos2 x
0 »
я . t J°
= -arctg(cosx)
1 .J* * 2dx, ftSR.
1 4- 2a cos x 4- a2
-4 Если a = 1, то ' = /T+S^+T^ = /™2f dx, где E = [0, x[. В этом случае 1 =
279
$•2. Осиовоыетеоремы к формулы
При а ф 1 представим I в виде I == — /з)> где
Следовательно, I ~ (г — (1 — «’)/:)•
Поскольку Л = (jA. »rclg »S f) + [¥1) |о = 7=3?
1 = е2(1 +„а)(’ - V'l - -1) = 3^(1 + «2 - |1 - «2|).
(см. пример 20),
Принимая во внимание, что I = у при г» = 1, получаем
— , если |а| < 1,
^7, если|а|>1.
dx
(2 + cosx)(3 + cosx) ’
◄ Из тождества 1 = (3 + cos х) — (2 + cos х) следует, что
то =т(^-^)
59. 1= f s^dx, £=]0,ir[.
J sin X
Поскольку lira Mnnx = n, lira -°"-* = (—l)n+1n, to
x-+0 ’ x-r-0 ein* 1 ’
Из формул Эйлера следует, что sinkx
^•(e‘fc® — е~'кх), к = 1, п, следовательно,
/(л) = 1
|-2*]х _
(cos(n — 1)х + cos(h — 3)х + ... + cos х), если п четное,
[cos(n — 1)х + сов(» — 3)х + ... + cos х) + 1, если п нечетное
280 I л. 4. Опред?Д^нЯ]ИДддуеграл
Поскольку Г cos(n — k)x dx = = 0. k = 1, 3, .t » — 1, та
о lo
E 0
если и четное,
если n нечетное.
’ v ' -.......................
E
4 Функция x »-* x 6 E, имеет предельное значение при х — у, равное
( — l)’*(2n + 1), поэтому
[ co.(2„ + l)I di= /
J COS X J
Е 0
Г СО8<2"+1>*. еслих 6 Е,
где /(х) = < с,:,*л . ..
[ (-1)”(2«+1), если х = 2.
Согласно формулам Эйлера, Имеем
€0.(2» + !)! = 1(е'<!»+1). +е-Р"+1>») "COSI = 1(Л + <г“5,
/(х) = 2 ~(—I)*-1 cos2(n — (k — 1))х + ( — l)n, 0 4 x 4 x.
k=l . . .
Следовательно,
rfx = 2 —l)fc~' / cos2(u — (k — IJ/kd? + (—1)'
i=i •!
22J- . 2(»-(k-l))
cos nx cos” xdx.
С помощью формул Эйлера находим
eo.nzcos-z = + +«-*)" + -
‘ /Д’*» •' ‘ . n n
=+j®- (S +‘ £41^"зк'
\ЬкО 1еж1 / k=l
Интегрируя полученное выражение на сегменте [0, х] -и принимая во’ внимание равенства
Cos2kXtta — ft,1 - st I*/п,
получаем Z —
62. I =» / sin Hisin’^xdx,
Произведем в интеграле замену г =(у+Ч.'’При зто^ гтолучнм1 ••
5
{ COS nt^<4’Сй®»*\ 1 0QSn4sUlfti^.
Так как функция t
< t йе^етиал,-то, |Сог*асмв^прммеру 49^нмейЙ
сов** tan nt dt
Следовательно,
sin п — / cos" t cos nt dt.
В предыдущем примере показано, что
^52с"'<“211'
Принимая во внимание равенства
k\= 1, и,
находим
Sin я -
63. Многочлен Лежандра определяется формулой
Р"«=2^ ' »€2-
Доказать, что • '•
С „ , , „ , . , ( 0, еслнт м
j , еелят:=„
-1
<4 Рассмотрим лри tn < « интеграл ;
-1
к вычислим, его, применив формулу интегрирования яо частям tn раз. При зтом получим
282
Гл. 4. Определенный интеграл
так как ^-(х2 — 1)п| = 0 при к = 0, п — 1.
Многочлен Рп(х) отличается от многочлена ~ 1)” лишь постоянным множителем,
а многочлен Рт(х) является линейной комбинацией степеней хк, к = 0, тп, поэтому из (1)
следует, что
1
У Рп(х)Рт(х} dx = О, если m < п.
Если т > п, то, очевидно, f Рт(х)хп dx = 0, в силу чего f Pm(x)Pn(x)dx = 0.
—j -i
Таким образом, f Рт(х) Pn(x)dx = 0, если т п.
Рассмотрим интеграл
-( -I
и для его вычисления применим и раз формулу интегрирования по частям, получим
-1
Многочлен (г2 — 1)п имеет коэффициент 1 при старшем члене, поэтому — 1)" = (2в)!
Следовательно,
' = ~ -lf d‘ = I(1 ’"•
-1 0 0
(в силу четности функции X •— (х2 - 1)", -1 < ® < 1)- Произведя в интеграле замену
arcsin х = t н принимая во внимание решение примера 43, находим
_ 2(2»)! / in+1 2(2»)!(2п)1! _ 2
п 22"(n>)2 J 23n(n!)3(2n +1)!! 2п + Г
о
64. Пусть f g Я[д, 6] и функция х I-+ F(x), а < х < Ъ, такая, что F'(x) = f(x) всюду
на [а, 6], за исключением конечного числа внутренних точек с,, » = 1,р, и точек а и b, i
которых F терпит разрывы первого рода.
Доказать, что
Г р
J f(*) & = F(8 - 0) - F(. + 0) - £(/(« + 0) - F(ct - 0)).
а
Образуем функцию х w Ft (г), а х Ь, где
{F(x), есдих б]с;, с<+1[,
F(с, + 0), если х = a, i = 0, р, со~ a, Cp+t = b.
F(c«+i — 0), еслих = с<+1,
Пусть П — произвольное разбиение сегмента [a, J], в число точек которого входят с,, i =
1, р. Применяя на каждом сегменте [х}, sy+i], } — б, п — 1, формулу конечных приращений
получим
п—1 п—1 п—1
б-п(л = £(/•,(»,+>)- ж.,»=^Х(е,)д«,=Е д^> х> < «> < *'+
$ 2. Основные теирешы ж* формулы 283
Вместе с тем сумма Sn(f) имеет вид
р р-1
*МЛ = £(Л(е.+,)-Г, (с,)) = Л(с,)-Л(га)'+>1(Ср+1)->1(е1,)+22(Г(с.+,-О)-Г(с.+О)) =
е=0 <ж!
Р~1
= Г(Ь - 0) - F(a + 0) + F(Cl - Щ - Ffa +(0) .4; F(«+1 - 0) - F(c< + 0)) =
>Ж1
= F(i - 0) - F(a + 0) - + 0) - F(c, - 0)).
«ж1
Поскольку f e R [a, 4], to lim -S'n (/) = / f(x} dx = F(b - 0) - F(a + 0) - £(F(c, + 0) -
Г(с.-0)).> d(n) 0
65. Используя теоремы о среднем, определить знаки следующих интегралов*.
2
= Е=]о, 2»]; 6)/ = у1;а2’&.
Е -2
а) Функция F : [0, 2т] —» R, где
[ 1, если х = 0,
непрерывна на сегменте [0, 2тг], поэтому Г € Я[0, 2х], причем
2ж
У = у Р(г)Лг.
Е О
Из свойства аддитивности интеграла следует, что
2я п 21Г я
У F{x}dx = j .F(j:) dx + У F(z)dx — z j
0 0 w о
2tt
(в интеграле J F(z) dx произведена замена x — fl* = t). Применив первую теорему о среднем,
получим
1 = xF(f) [ dX — 1д(т + тг)! =л^у^1п2, 0 < £ < X,
J х + * 1о С
о
откуда следует, что I > 0.
б) Запишем I = Ц + I2, где
о 2
h = У t32i</z, I2 — У х32х dx,
-2 О
и произведем в Ц замену х = — t, получим
2
1 — 2^ i3sh(a: ln2)rfr.
284
Гл. 4. О'прёДеленй'Ь1Й''йнтеграл
Согласно первой теореме о среднем, имеем
2
/ = 2sh(Gn2)^x3J»^8sh(eia2), 0 < £ < 2.
о
Следовательно, I > 0. ►
‘ 66/Пусть f € CfO' +со[' и 3 йт f(x} = А, А К. Йайти
Рассмотреть f(t) = arctg t, 0 t < +cq. .
Поскольку 3 liin f{x) = A, to Ve > 0 3fl > O'
Vs В => |/(x) - A\ < |.
Рассмотрим при x > В интеграл
x В
Так как f € Я [0, fl], то J /(0Л =С', С? 'SetSenst.1’ Согласно первой теореме о среднем, имеем
о
. . |)л, -а
в
Оценим «(т) = | - J" — д| при х > В. Имеет» чшн: - -- -
=i f+(/(^ - л) ~
так как В т. Поскольку |С — /(£)fl| = const, то при достаточно больших г > 0 будет
выполняться неравенство < i, следовательно, и неравенство ст(г) <”г, из Которого
следует, что
'/..f ....
о
Если f(t) = arctgt, 0 < t < -too, то . ।
.. .s.р \ ;1^ .. . (
lim — / arctg tdt=—. ►
х—*+<ю X / 2
4 • ’ • > iul О', - ' <, '
Оценить интегралы:
67. 1 = [ .
J 1 + 0,5 cos х
◄ Представим I в виде 1 = h + It, где
ж । , "i , 2"
. f Л '&' \ / dx
1 J 1 + O.Jfcosу-’ " ] 1+0,5cost
0 X
285
S 2.О<лоаше^ж<до>«цм формулы
Заменяя в интеграле h переменную По формуле 2*ri = t, убеждаемсявтом, что,/? = /1.
Следовательно,
dx
Функция f : т •— J-----з и, 0 х $ 5, удовлетворяет насегмеите [0, т] всем «условиям
0 1+2»' J
теоремы Лагранжа о конечных приращениях, в силу чего имеец
I = 4(/(т) - /(0)) . 4т/'(£) =
Так как т
1, то справедлива оценка < / < 4», или —:
Обозначив 9 = (/ — —") : у-, получим
/=й+и
68. 1 = [ -^-dz.
J х + 100
Поскольку функция х i—► ™‘00 , 0 х < 100, монотонная, а функция хме ж, 0 х
100, непрерывная, то к I можно применить вторую теорему о среднем (формулу (6):П. 2.2).
Тогда получим
100
1 == 0,01
dx := 0,01 (1 - е-<) + 0,005 (е-<
,-100'
100.
Так как £ = 100 9, 0
/ = 0,01 —0,005(e
, —100 в _ p -100 Q
200т
r [sinx ,
I = I -----dx.
1, то Z принимает вид
Г100) = 0,01 - 0,00501,
»i
100 Я-
4 Функция I*- 100т х 200т, монотонная, а функция X sia х, 100т х 200х,
непрерывная, поэтому применим формулу (6), п. 2.2. При этом получим
100т
200 «г
, , 1 [ . . 1-cose
sin х dx + -- / sinxdx = ——-----
200т J 200т
100т < £ < 200т.
Следовательно, 0
200
70. 1=1 sinirx2 dx.
Обозначим 6 = 1 тогда I =
100
После замены переменной по формуле хх2 = t, получим
200J<r
[
100’т
286
Гл. 4. Определенный интеграл
Воспользовавшись формулой (6), п. 2.2, имеем
1 — cos?
400 тг
1002 jt < ? < 2002тг.
Очевидно, 0 < I < поэтому I - 5^7, 0 < 0 < 1. ►
ь
71. l = J
4 Функция х —?=, а х Ь, убывает на сегменте (а, 6], а функция х >—► cos х, а х ft,
непрерывна на нем, поэтому, согласно формуле (4), п. 2.2, имеем
4
г 1 / , sin? -sin a .
I = —= / cos xdx — ---=----, a < < < ft.
Из оценки | sin ? — sin a] < 2 следует, что
~4=<i< 4=.
y/a у/a
Обозначив 6 — 1 : -^=, получим
/ = 4, I«I<1. >.
2
72. Доказать, что Em / sin"xdx = 0.
n—00 J
О
4 При доказательстве можно было бы воспользоваться результатом решения примера 43
Мы воспользуемся первой теоремой о среднем.
Представим 7п = f sin" 1 dx в виде 1п — Д1’ + Д2\ где
2 2 2
Д1’ = J sin" xdx, Z<3> = У sin” х dx,
о !L_f.
2 2
0 < е < я- —- произвольное, наперед заданное число.
При любом n € N справедлива оценка
Г-?
Так как sin" х < sm""1 т, 0 < х < j — то
з ~з
ДИ < Д’21, где — J sin"-1 xdx.
о
Поскольку > 0, то убывающая последовательность (А1') ограничена снизу и
Э ЕтД1) = С, С>0.
§ 2. Основные теорема ж. формулы
257
Следовательно,
Д‘> = С + а„, 4‘Л=С+Л,,
где ап, — бесконечно малые последоватедько<^ти. 1 _
Согласно первой теореме о среднем, имеем
Д1’
откуда получаем С = > т. е. С — бесконечно малая последовательность. Так как
С = const, то С = 0. ►
п+р
72 п 1- [ 8ШК , п „
( о. Доказать равенство lim / ------dr = 0, р >0,
п—оо J X
п
Функция г м i, п г »+р, убывает, а функция х i-» sin х, п х п+р, непрерывна
на каждом сегменте [н, п + р], поэтому, применив вторую теорему о среднем (формула (4),
п- 2.2), получим
"+р
/sinх , if. , cosп — cos£n
------dx = — I sin x dx = ------.
x n J n
n < < n + p.
Из оценки IIn| — lc<>8n~co^"l 3. следует, что lim ln — 0. ►
n n n —oo
74. Пусть f : [a, i>] —► R, : [a, b] —» R — непрерывные функции, причем функция
р дифференцируема на интервале ]а, Ь[ и р'{х) 0. Доказать вторую теорему о среднем
(формула (6), п. 2.2), применяя интегрирование по частям и используя первую теорему о
среднем.
•4 Рассмотрим интеграл I = J f{x}p(x)dx и применим к нему формулу интегрирования
по частям, полагая dv(r) = /(x)dz, u(z) = р{х)- При этом получим
dx = <р(Ь) у /(г) dx - (^(6) - ¥>(«)) У f (®) dx
(применив к интегралу j ^>'(х) J/(/)d(J dx первую теорему о среднем). Применение этой
теоремы законно, поскольку функция х >—> J~ f(i)dt, а 5$ х 5$ Ь, непрерывна, а р'(х) 0
согласно условию. °
После несложных преобразований получаем
* = <₽(&) У f(x)dx + <р(я) У f(x)dx.
Если f € Я [a. b], то средним значением функции f на сегменте [а, 6] называется число
М(/) = г±- у /(х)^.
Найти средние значения функций на указанных сегментах:
75. р = —-. 0 < р 2т, 0 < е < 1.
1 — е cos р '
288
Гл. 4. Определенный интеграл
W) =
Согласно определению, имеем
2
, -—arctg
(см. пример 20).
Из аналитической геометрии известно, что е = , г — большая полуось
эллипса, b — его малая полуось. Подставив вместо е и рта значения, получим Л/ (р) = Ь. ►
76. f : х sin i sin(r 4- <p), 0 x 5$ 2л.
Исходя из определения среднего значения функции, имеем
Л/(/)— — I sin х вш(х + tp)dx = ~ I (cos <р — cos(2x + 95)) dx =
2тг J 4 т у
х cos ip — — sin |
77. Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость
которого равна во.
Скорость свободно падающего тела в момент времени t выражается формулой
«(<) = «о + gt,
где д — ускорение свободного падения.
Согласно определению, получим
лл , № v(T) + vq
Vo + gt) di = Vo + — = —- 1--------
так кам Y = 2 ~ - ►
78. Сила переменного тока изменяется по закону
iosin
где to — амплитуда, t — время, Т — период, <р — начальная фаза.
Найти среднее значение квадрата силы тока.
Поскольку »2 = sia2 ftp- + <р) = (1 — cos , то
м(.5) = is.
dt =
79. Пусть / ё Я[а, Ь] и д € Я [а, ft]. Доказать неравенство Коши—Буняковского
! ъ \ 2 ь ; ь
I У f(x)g(x)dx j ^f2(x}dx Jg2(x)dx.
Так как f ё Я [в, 6] и д ё Я [в, ft), то
' /2€Я[а, Ь], ? € Я [а, ft].
Обозначим a t= J /*(x)rfx, ff = J f(x)gfa)dx, 7 — f y2(x) dx и рассмотрим два возможны?
случая:
$ 2. Основные творгмм * формулы
289
1) a = 7 = 0; 2) хотя бы одно из чисел а или у отлично от пуля.
1) Пусть а = у = 0. Интегрируя неравенство
I/+s2«), • < «
получаем
101 С J dx $ |(а + 7),
откуда fi = 0 и доказываемое неравенство выполняется.
2) Пусть, например, у > О. Тогда при всех t € R выполняется неравенство (/(х) +
t j(x))2 0, интегрируя которое получаем
yt2 + 28t + а > 0, t е R.
Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена
у = yt2 + 2в1 + а
неположителен, т. е. Д2 — ау 0. Таким образом, 0я ау. ►
80. Пусть /G С^[а, Ь] и /(в) = 0. Доказать неравенство
М2 (Ь - в)
где М = sup {|f(r)|}.
4 Запишем неравенство Коши—Буняковского в виде
I fa(T)dX,
92(0л«
где y(i) = /'(0. /(*) = 1, а 5$ < SJ х, а $ х Ъ. Оно принимает вид
Л‘)"
откуда получим неравенство
/Л(0 dty/^-a |/(х)|,
а х Ь,
(принимая во внимание, что /(я) = 0).
Левая часть последнего неравенства лишь усилится, если в ней положить х = ft, а в правой
части можно взять и то значение х € [a, ft], при котором непрерывная функция х >—► |/(х)|,
а х < Ь, достигает своей точной верхней грани М. Следовательно, справедливо неравенство
М2 (6-«) / ►
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить интегралы, построив первообразные подынтегральных функций на всем про-
межутке интегрирования и применив формулу Ньютона—Лейбница.-
290
Гл. 4. Определенный интеграл
150,2 35,5
18. j [i]i3di. 19. jf ^dz.
1,3 2,4
125,3
20. f bljz.
0,81 Г 1
22. J dx.
100,2 20
23. f [x] | sin tx| dx. 24. J max(l, z2) dx.
0,25 —10
Вычислить определенные интегралы:
29
25. f
26.
dz
27-
28. arcsili x)* dx.
20. fe -ЙПЙ. 30. J 1427”Д.» <te. 31. / |cos(l«j)| dx, » e N.
0 0 e-2’”*
1 1 3 1 2 2
32. f dx. 33. f *>)Э dx. 34. f ^j^dx. 35. f e~mi cos2”+1 x dx.
-1 o' o'
2
30. 37. 38. J 39. 'j^-xdx.nEid.
ООО 0
«. j-£~^±U.fa,£. = [0 ,»€N.
E
Решить уравнения:
21. / [i2]<h:.
43. Найти абсолютные экстремумы функции f : х f ,^3,43 dt, — 1 х 1.
о
44. Исследовать на экстремум и найти точки перегиба графика функции
/ : х _► f(t- l)(t - 2)2 dt, х € R.
45. Доказать тождество J" arcsin 7<л+ f arccos i/t dt = ^.
о 0
46. Доказать, что ixt-1 ~ ----+1
47. Вычислить среднее значение функции f : х г-> , 0 х S$ 2.
48. При каком а среднее значение функции з:>—»lnz, l^z^a, равно средней скорости
изменения функции?
Показать, что:
1 °Л5
49. f < / / д < 77/%- 50- °,5 < J ,п f, « > 1-
о v4-*2-*’ о v*-®”*
51. 0,78 < f < 0,93.
о V>+«
Доказать равенства:
200 , 200
52- /тей-ьч-пзз. »<»<>• “ =
100 100
Показать, что:
и-55- »<7’iis;','<“’01- 5в- 1 < 1 < ч-
О v»+* о о
20 э 1
57. О < Г < £. 58. 1 — — < fe-* dx < 1, п > 1.
J 1«+з-+1 20 п J '
10 О
§3. Иктегрироваижевешо^-фужкцнй
291
59. Определить знак интеграла I = J z2lnxdz.
0,5
я- а 2»
60. Какой интеграл больше: Ij — J' е~* сов2 х dx ИЛИ 1з = f cos2 х dx?
0 г
61. Найти lim j -Jg-j -
(*«
62. Найти lim J где a > 0, b > 0, f € (7(0, 1].
§ 3. Интегрирование вектор-функций,
комплекснозначных функций и
функциональных матриц
3.1. Интеграл Римана вектор-фунжцин.
Пусть f : [a, ft] —* Rm — вектор-функция с компонентами fjt j = 1, т, являющимися огра-
ниченными на сегменте [а, Ь] функциями. Рассмотрим произвольное разбиение П сегмента
[а, Ь] и образуем при любом выборе точек £; € [х,, т«+1] сумму
n—1
811(0 =
<=0
которую назовем интегральной суммой вектор-функции f на сегменте [а, ft]. Согласно опре-
делению операции сложения в пространстве Rm, интегральная сумма Sn (С) имеет вид
Sn(f) = (.Sn(/i>, Sn(/2>, , <Sn(/m)), (1)
n—1 ____
где Sn(/j) = Г — интегральные суммы функций f}t j = 1, m. Пусть </(П) =
t=0
max Az,. Цолагаем lim если Ve > 0 36 > 0 : УП V й(П) < 6 => |Sn(f) — I| < е.
0<»<П-1 d(n)-o 4 ’ '
Определение. Определенным интегралом вектор-функции f на сегменте [а, 6] назо-
вем предел
I-
если он существует.
Если вектор—функция f имеет определенный интеграл на сегменте [a, ft], то будем ее на-
зывать интегрируемой по Риману на этом сегменте, а ее интеграл обозначать символом
f f (х) dx. Множество всех интегрируемых на сегменте [a, Ь] вектор-функций f будем обозна-
чать f € R [«, Ь].
Теорема. Вектор-функция f : [a, ft] —► R"1 интегрируема на сегменте [а, Ь] тогда и
только тогда, когда каждая ее компонента fJr ] = 1, т, интегрируема на этом сегменте.
Принимая во внимание эту теорему, получаем, что если f€/?[a, ft], то
Уf(x)dx = /i(x)dx, У fo(x)dx, ..., У. (2)
Отметим, что замена переменной в интеграле Jf(x)dx сводится к замене переменной
в каждом из интегралов f f3(x)dx, j = 1, m, поскольку интегрирование вектор-функции f
приводит к интегрированию т числовых функций.
292
Гл. 4. Определенным интеграл
Если вектор—функции fug интегрируемы на [а, 6] вместе со своими производными f' и
g , то справедливы формулы интегрированна по частям для скалярного и векторного произ-
ведений этих функций:
g(i)) - У(f'(z), g(r)) dx,
(3)
dx
dx.
(«)
3.2. Интеграл Римана комплекснозначной функции.
Определение. Для функции f -. [а, Ь] —> С, где /(г) = u(z) + tv(x), образуем при про-
извольном разбиении П сегмента [а, 6] и любом выборе точек € [zj, xj-ц] интегральную
сумму
n—1 n—1
ь'п(/)=52 “(6)a»j+
Тогда f f(x)dz*= lim Sa{f), если этот предел существует.
в
Множество всех интегрируемых по Риману комплекснозначных функций f будем обозна-
чать f € R [а, Ь].
Теорема. Sn(f) 4* 3^Km^Sn(u) Л B^lim Sn(v), причем
lim Sn(f)= f lim Sn(u), lim 5n(f))-
Таким образом, комилекснозначная функция f интегрируема по Риману на сегменте [а, 6]
тогда и только тогда, когда u G Я[а, Ь], v € R [a, 6] и при этом
dx.
(i)
Если комплекснозначная функция / интегрируема на сегменте [а, Ь], то комплексно-
сот|ряжениая ей функция / интегрируема на этом сегменте. Тогда и произведение / • / = |/|2
является интегрируемой числовой функцией, причем
[ f(z)f(x) dx= [ («!(х) + »2(i)) dx. (2)
3.3. Интеграл Римана функциональной матрицы.
Если х •—» Л(х) = (atJ(z)), а х Ь, — функциональная матрица размера п х т, элемен-
тами которой являются ограниченные на сегменте [а, 6] функции, то она является элементом
векторного пространства ПЙ изд полем R, причем в этом пространстве определена интеграль-
ная сумма — (5п («,;)) при произвольном разбиении П сегмента [а, Ь] и любом выборе
точек (i € [х,, гц.]]. Полагаем
J Л(.)Лх^' ^Sa(A),
если этот предел существует. ___ _______
Теорема. 3^1im 5ц(Л) е? 3 lim 5п(аи), i = 1, n, j: = 1, т, причем
Um Sn(A)= ( Um Зп(вь) I •
<п)—о \а(П)—в ' J
§ 3. Интегрироынлж вщтор-фувкякй
293
Таким образом, функциональная матрица A(z) интегрируема на сегменте [а, Ь] тогда н
только тогда, когда на этом сегменте интегрируемы все ее элементы ац л при этом
Класс всех интегрируемых на сегменте [а, Ь] функциональных матриц А будем обозначать
A ё R[a, Ь].
ю
81. Вычислить I = J(V*®, 2x)dx, рассматривая его как предел интегральной суммы.
о
Поскольку у/х ё Я[0, 10] и 2* € Л[0, 10], то (уНс, 2Д) € Я[0, 10] и.при любом разбие-
нии П сегмента [0, 10] и произвольном выборе точек [z,, Xi'+i] получим
I=( Um Sp(Vz) Ига 5п(2д)j , где Sn(V®) = Sp (2Д) = 2** Ат,.
'( ) ' ) ' 1=0 «=о
Разбивая сегмент [0, 10] на « равных частей и полагая £, = Xi = » — , получим
i=0 1=0
(приняв во внимание, что Дх, = —). , ,
(\ п—1 /г 3
— ), где хп = У2 V», Уп = »2 • Так
v*' 1=0
как существует
то, согласно теореме Штольца, существует
£ 20 !___
Em SnG/z) = 102 Em zn = —vlO-
d(n)—*0 n— co 3
„ „ ,,,, io 10 210-2^ 210 — 1
Поскольку ,S„P ) = - -у— и Ы -
910 - 1
Em 5n(2s) = —:—-—.
<n)-o ’ in 2
Следовательно, I = ( 2h[^~l J - ►
! у z2 - 2z cos a + 1 ’ -2oz + a2)(l -2bx + b2))
0 < « < x, ja| < 1, |ft| <1, ab > 0.
Согласно формуле (2), п. 3.1, имеем
j _ / f dx f_____________dx_____________
I J x2 - 2x cos о + 1 ’ J ^/(i _ 2ax 4- a2)(1 - 2bx 4- b2}
294
Гл. 4. Определенный интеграл
поэтому интегрирование вектор-функции f на сегменте [—1. 1] сводится к вычислению двух
определенных интегралов числовых функций.
' Очевидно,
получим
, В = — 4- ~, произведем замену, полагая ^/(А — i)(B — г) = t(A — т). Тогда
1Ш1Л
Окончательно имеем
ОД =
Полагая в последнем интеграле arctg х = t и интегрируя по частям, находим
83. Вычислить I
Поскольку g(l) — v'(x), где V(Z) = (VI + Т2,
то, согласно формуле (3), п. 3.1, получим
dx = I е’ costdt= ^-(cost + sin
Окончательно получаем 2 = V21a (1 4- V5) - >
84. Вычислить1= g(x)]rf®, где f(x) = (х, х2,
$3. Интегрнроваиневежтор—функции
(3* -3® X
ея, то согласно формуле (4), л. 3.1, имеем
I = [f(z), v(.)]|L, - j[f-(l), v(«)] dx = [f(l), v(l)J - [Г(-1), V(-1)J -
+ k
Вычисляя интегралы и принимая во внимание, что
[f(l), v(l)] -[f(-l), v(-l)] =i Qsba-cba) +j (2cbl - |сьз) + k(cb 2 - 2sh 1),
окончательно получим
I = i (||sh3- |ch3-ch2 + |sh2- |e-2^ +
H-j ^sh 3 - ch 3 + 2 ch 1 - 6sh 1 + 12e-1^ + k ^ch 2 — sh 2 + 4chl — 6sh 1
где i, j, k — орты осей координат. ►
85. Вычислить I — j z(x)dx, где z(z) = ex(cos2 x + isin2 z).
0
◄ Применив формулу (1), п. 3.2, получим
I = I J ea(l + cos 2x)dx + i J e*(l - cos 2x) dx j .
\o о /
Интегрируя по частям, находим
1 = ^-(<’т(1 + cos 2z -p t(l — cos2x))| + 2(1 — i) / e1 sin 2z dx) = e" — 1 + (1 — i) / e1 sin 2i dx.
Поскольку
/[ (1 + 2,)x |r я _ ] ?
e1 sin 2r dz = Im / e(1+2,)* dz - I™ t 2>- = = - ^(er - 1),
0 0 °
to 1 = г - 1 + ( - !)(»’ - 1)? = 5^11(3 - 2i). ►
Ой TT , f inx -imx , Г о, если m n,
50. Доказать, что 1 = I e e dr = < ~
’ J |2т, если m = n.
о
◄ Применяя формулу Эйлера, получим
einxe~<mx _ e,(n-,n)j _ COS(M _ m^x , gin(n _ m)r
Если m =n. to e,T,Ie-'mx — ], следовательно,
2ir
I — j dx — 2?r.
о
296
Гл. 4. Определенный интеграл
Если т ф п, то
2тг 2л
J cos(jt — m)z dx Ц- j j sin(n — ni)x dx — sinfjt — ni)x |Q 4- tcos(»i - ni)x|2 — 0. ►
a о
87. Вычислить I = J A(j:)-dr, где
* у «21(х) 022(1) J' ' (i2 + l)(l2 4-2)
O7i + г2. a22(x) — cosz:
0 < X < 1.
◄ Согласно формуле (1), п. 3.3, имеем
(Г ai](z)dx
f O2i(l)dl
0
f a12(x)dr
a
f022(x) dx
0
Так как x3 dx = ir2d(l + z2) =а '^((1Ц- ±2) — I)d(l +x2), to
o2i(x)dx = 1 ((1 + z2)T — (1 +z2)j)d(l 4-12) =
Принимая во внимание тожДеЧЬъо 24-'cos2z = 3 — 2sin2 x, находим
1 = 1
V2J ^/3 — (5/2810 z)2 \/2 yV
Окончательно получаем
l-^axctg^. ilnf-
s(^+ J) -J5"csi" (x/l™*)
$4. Несобстя11Ин|*г Днтеграды
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить следующие интегралы:
63. (^77. 64. /Л(»)Лг, Л(х)=/
«in дсо«;
297
65. /Л(х)£(х)й,Л(1) = (V
66. /(Г(г), g(»))ix, f(») = (z‘
f(r) = (In3 x, aretg®).',
!)•
§ 4. Несобственные интегралы
4.1. Несобственные интегралы первого и второго рода.
Определение 1. Пусть J = [а, Ц — полуинтервал числовой прямой R, причем Ъ может
быть символом +со. а функция f : J —♦ R интегрируема на любом сегменте [а, У] С J
Ь‘ 6-0
Если существует конечный предел Jim ff(z) dx, то его обозначают символом f f(z)dx,
если b E R, и символом J f(x) dx, если b = 4-oo. В этом случае говорят, что функция f ин -
тегрируема в несобственном смысле на J, a liui J" f(x)dx называют несобственным
(или обобщенным) интегралом функции f на J (первого рода, если Ь = 4-эо, и второго
рода, если Ь Е R).
Определение 2. Если J =]а. 6], / : JT-+R и если lim J f(x) dx существует и конечен,
а'-.«+0а,
то будем обозначать его символом j f(x)dx, если а Е R, или символом J f(x)dx, если
Определение 3. Если lim f f(z)dx = f f(z)dz существует, то говорят, что не-
Ь*—Ъ—а
собственный интеграл J'f(x)dx или f f(x)dx сходится (существует). Если этот предел
не существует (или бесконечен), то говорят, что интеграл J" f(z)dx или f f(x)dx рас-
Теорема (критерий Коши). Интеграл f f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда
dr —+ 0 при xt —► b — 0 и
4.2. Абсолютная сходимость.
Определение 1. Если интеграл j сходится, то говорят, что интеграл
298
Гл. 4. Определенный интеграл
ь—о
Если f . [а, Ь[—» К — неотрицательная функция то сходимость интеграла J" f(z)dx
означает его абсолютную сходимость.
Пусть Дх) 0 tfi 6 [а, Ь[, /(х) 0. Тогда функция F : х ь-> J а х < Ь, воз-
ь—о
растает вместе с г, а интеграл f f(x)dx существует тогда и только тогда, когда множество
ограничено сверху на полуинтервале [а, 6[.
ь—о
Если же /(т) > 0 Vx € [а, 6[ и интеграл f f(x)dx не является сходящимся, то интеграл
ь-о
f f(x)dx = 4-ос.
ь-о
Если интеграл f f(x) dx сходится, то будем писать
У f(x)dx < со.
Определение 2. Всякий сходящийся несобственный интеграл, абсолютно расходящий-
ся, будем называть условно сходящимся.
Заметим, что если / € К[а, Ь], то
ь-о ь ь
У f(x)dx= У f(x)dx= У f(x)dx.
а а а+0
4.3. Алгебраические свойства несобственных интегралов.
1) Пусть / : [а, » R и сужение функции f на любой сегмент [а, 6'] С [а, 6[ интегрируемо
по Риману на нем. Тогда функция а/, а = const, интегрируема на [а, 6f] Vo € R.
Ь-0 X
Следовательно, если Э f f(x)dx = lim f f(i) dt, то
ь-о ь-о
Э у af(x)dx = a J f(t)dx.
2) Пусть f : [в, 6[—♦ R, g : [а, Ь[—» R — функции, сужения которых на любой сегмент
[a, i'j С [а, 6[ интегрируемы по Риману на нем. Тогда этим же свойством обладает и сумма
ь—а ь-о
f 4- g, следовательно, если существуют интегралы f f(x)dx и J g(x)dx, то
lim У (У(4) + s(i))dt = lim У f(t)dt+ lim J g(t)dt,
в силу чего
ь-о Ь-О Ь—О
У (f(x) + e(x))dx = у f(z)dx+ J g(x)dx.
а а а
Таким образом, множество Е функций / : [а, Ь[ —> R, интегрируемых по Риману на всяком
ь-о
содержащемся в [а, 6[ сегменте [а, У] и имеющих сходящиеся интегралы J f(x) dx > образуют
§4. Несобственны* Mtrrefралы 299
векторное пространство над полем R, а отображение / •—» f f(x)dx пространства Е в R
а
есть линейная форма.
4.4. Замена переменной в несобственном интеграле в формула интегрирования по
частям.
Ь-0
1) Пусть f : [а, Ь[—» R, f е С[а, Ь[, и f f(x)dx < оо. Пусть [а, /?(— другой полуинтервал
из R, причем а, а € R, но 0 и b могут быть как конечными, так и бесконечными. Пусть
функция д : [я, /?[—« R возрастает на полуинтервале [а, /9[ и имеет на нем непрерывную
производную д' всюду, за исключением счетного множества точек, и, кроме того,
9([«> С [а, Ч, 9(«) = а, у(0-О) = Ь — О.
Тогда справедлива формула замены переменной в несобственном интеграле
6—0 0-0
У f(x)dx= у /(з(и))д'(«)du- (1)
2) Пусть f : [а, &Н К 9 [«. R, /, 9 € С(1)[а, Ь[, и а — конечное число. Тогда,
применив формулу интегрирования по частям на сегменте [а, х] С [в, 6[, получим
X х
У Л4)9'(1)Л = /(1)9(»)-/(а)р(О)-у /'(‘)9(<Н<- Р)
а а
Если при х —• Ь — 0 любые два из трех членов равенства (2) имеют конечный предел, то
и третий член зтого равенства имеет предел, поскольку произведение /(а)у(а) определено.
ь-а б-о
Если, например, существуют интегралы f f(x)g'(x)dx и f f'(x) 9(х) dx, то существует
а , а
произведение j(b — О)у(Ь — 0).
ь-о
Если же существуют интеграл J f(x) д'(х) dx и произведение /(6 — 0) д(Ь — 0), то суще-
6-0
ствует и интеграл f f'(x)g(x)dx.
В каждом из рассмотренных случаев имеем
ь-о ь-о
У f(x')g'(x)dx = f(b-0)</(6 - 0) - f(a)g(a) - J f'(x)g(x)dx. (3)
Формула (3) называется формулой интегрирования по частям несобственны! интегра-
лов,
4.5. Случай внутренней особой точки.
Пусть функция / : [а, 6]\(с) —* R, где с €]а, 6[, имеет интегрируемые по Риману сужения
на любые сегменты [а, а'] С [а, с[ и [с', 6] С]с, 6]. Тогда полагаем
ъ с—о ь
У f^dx^ У f(r)dx+ У f(x)dx, (1)
если каждый из интегралов, входящих в правую часть (1), существует, и будем называть
несобственный интеграл сходящимся.
Если хотя бы один из згих интегралов не существует, то говорят, что несобственный
интеграл расходится.
Гл. 4. Определенный интеграл
4.6. Признаки сравнения н признаки Абеля и Дирихле.
1) Если fug — неотрицательные функции, определенные на полуинтервале [a, -f-oo[ и
интегрируемые на любом сегменте [а, т] С [а, 4-оо[, причем f(x) <?(х), то
<?(<) df,
и из сходимости интеграла J g(x)dx следует сходимость интеграла f f(x)dx, а из расхо-
димости интеграла J" f(x)dx следует расходимость интеграла J" g(x)dx.
2) Пусть / : [а, 4-сю[—► К — интегрируемая по Риману на любом сегменте [a, i'] функция,
бесконечно малая при х — 4-сю, того же порядка, что и функция х >— —, с» > 0. Тогда
J f(x)<ix сходится при « > 1 и расходится при « 1.
3) Пусть [а, Ь[— R — интегрируемая по Риману на любом сегменте [а, 6'] С [а, функция,
имеющая при х — b — 0 тот же порядок роста, что и функция х н- (Ь_^х . А > 0. Тогда
6-0
J /(x)dx сходится при А < 1 и расходится при А 1.
Теорема (признак Абеля). Пусть f: [а, +оо[—<• R, д : [а, +оо[—R, f(x}dx сходит-
ся, а функция g монотонна и ограничена. Тогда интеграл J f(z)g(r) dx сходится.
Теорема (признак Дирихле). Пусть f : [а, +сю[—» R, g : [а, +<ю[— R и функция f
имеет ограниченную первообразную х i—> f f(l) dt, a x < -f-oo, а функция g монотонно
+ oo
стремится к нулю при х —» +<ю. Тогда интеграл f f(x)g(x)dx сходится.
4.7. Главное значение расходящегося несобственного интеграла.
+ 00
Пусть / : R —* R и интеграл j f (z) dx расходится.
Если функция / интегрируема по Риману на всяком сегменте числовой прямой и если
существует f /(z) dx, то его называют главным значением в смысле Коши расходяще-
гося интеграла и обозначают
V. р. У /(!)& = ^11111
- J
Пусть f : [а, Ь]\{с) —♦ R, с €]а, 6[, и интеграл J f(x)dx расходится.
c—t Ь
Если при любом достаточно малом е > 0 существуют интегралы J /(z)dz и f f(x)dx и
существует
<j 4. HeaoerrBemew jortfcrfceJtM 301
то его называют главным значением# с*ысяебКом»*рв<ЯХ>дтйей«ся UMHW^hiJK!.,
Вычислить следующие несобственные интегралы:
’-о ' ' ';i <: ’ ' ’
2
88. Л, = у cos2fiilncosх dx.
0 - 1 I 1 - i i t •
Согласно определению 1, п. 4.1, имеем
1п = lim I cos 2nt In cos t dt.
-И
Применим формулу интегрирования по частям к интегралу
= J cos2»ilncostdt,
о
полагая cos 2nt dt = dv, Ln cos t = и. Тогда получим
7,V\x) = sin 2ntln cost I -i-— / sin 2ni tg t dt =
2n la 2n J
о
__ 1 In cos x + 1 f cos(2n — l)t — cos(2n 4- l)t
2м (sin2nx)-1 4n J cost
0
Аналогично тому, как было показано в примере 60, запишем
= 2£(-1)>- cos2(» - t)< + <-!)—*,
*=1
= 2£(-1)‘- cos2(n - (k - 1))< + (-1)”.
Следовательно,
2^4^)= n ЛТ*.—r+- [ I 4 4 (—l)fe-1 cos2(n — k)t — 2cos 2nt + 2( — l)n~1 ] dt =
4 ' 2n(sm2nx)-1 4n J I v /
0 ' ‘=I '
In cos x 1 V"V , k_i sin 2(n - k)x 1 . ~ , .n-i x
-2,.(si.2,.I)--+^X;^1) ~2(,,-t) -^-^^“ + (-1) ^7-
Переходя к- пределу при х —» у — 0, получим
I / , 1 г Incosx
7n = (—1)-----1---lim ---------г =
4м 2п (sin 2пх)— •
___ z i Д' 1 j. ____________Ctg X____________________ 1
4 2м ZL_o — 2«(sin 2nz)-2 cos 2nx 4n
89- '•Ч-сдЧп.)-
-4 Поскольку —(»+n) ^2 1 1 <• +<x't то- согласно признаку 2), п. 4.6, интеграл
In сходится, так как
f dx f dt / 1 \
/ -5- = inn I = hm (1--------= 1.
J Xz X—+00 J tJ ---hoo \ X/
302
Гл. 4. Определенный интеграл
Согласно определению несобственного интеграла, имеем
dt
lim
Разлагая правильную дробь
на сумму простых дробей, находим
Ак л (-1)*
•--г, где Ak =
1 4- к i!(n — А;)!
п'
Следовательно,
Так как сумма биномиальных коэффициентов С*, стоящих на четных местах, равна сумме
биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то
lim J"J(i + А)* 1
в силу чего lim In П (г + к)< ** °" = 0.
’-+°° *=о
Таким образом, 1п = ± (—l)fc+1C„ 1п(1 + А). ►
i=i
90. Вычислить 1т = [ с-ддСО8(2|П------dr а > 0.
J cosx
о
◄ Функция f : х >-* е~од х € K+\{xt}, Хк = у -Акт, к € Zo, имеет особые точки
Хк- Поскольку существует lim /(х) = (-l)m+1(2m - 1)е °(2+fc,r) ( то функция t F(t),
0 t < +<Х), где
Г Л*),
ffl' _ I (-1)"+' (2га - 1)е"
интегрируема на любом сегменте [0, г], х > 0.
Так как множество {х*} имеет лебегову меру 0, то
У /(*) dt = У F(t) dt,
о о
если t 5^ if.,
если t — Хк,
поэтому Im = lim Г F(t)dt. На основании решения примера 60, имеем
Х-4-ОО 0
F(t) = e~at ^(-l)m-l+2 cos2(m - n)t^ .
Следовательно,
У Fit) dt = (-!)"•-' +2 52(-1)”“‘У e“°’co»2(m- »)<«.
0 n=1 0
$4. Несабстаапыежнхйгралы
Поскольку е а‘ cos2(m — n)t = Re е(-°+,2(,п-п))‘, то
e(-a+.2(m-n))e I*
е cos 2(tn — n)t dt = Re---------:-------
' -«+ >2(т —n)|Q
(cos 2(tn — n)t + t sin 2 (tn — n)t)(—i
(2(m — n)sin 2(tn — n)t — acos2(tn — n)t)l =
Io
= a3 + 4(,„ - „)3 (e"”(2(m - ")•» 2(m - »)» - a co. 2(m - »)x) + «).
Таким образом,
Im = lim ((-l)m-1 1+ 2 V ------------L-LE-2----
x-+oo a + “ + 4(’« - «)2
(e ai(2(tn - n) sin 2(m - n)i — a cos(m — n)x) + a)
, 2a Г (-1Г-1 । 2дуЧ~1Г-'-]
+ Za a2 + 4<m _ n)2 a +ла2-^ a2+4j2
n=l J=1
91. Доказать равенство
dx —
, где a
предполагая, что интеграл в левой части сходящийся.
◄ Обозначим I = f f(ax + ^)dx и произведем замену ах + - = t, предварительно
о *
представив I в виде I = Ц /2, где
dx,
dx.
После замены переменной получим
Л,
— 4ab J
- | dt,
't2 - 4ab J
J=M
4a6
Полагая в интеграле y/t2 - 4ab = z, имеем
ds.
92. E ели интеграл / f(z]dx сходится, то обязательно ли /(z) —* 0 при х —* 4-ос?
304
Гл. 4. Определенный интеграл
4 Необязательно. Рассмотрим, например, интеграл Френеля I = J sinx2dx. Произведя
а
в нем замену х2 = t, получим
1 / sint . 1 / sin t f sint .
- J -^=- dt - h + h, где h = - J 2 = j
+o +o i
Поскольку lim -Ц=- = 0, to /1 существует. Интеграл I? сходится по признаку Дирихле.
е- + 0 y/t
поскольку | 0 при t —> 4-ос, а функция X I-* J"sintdt — COS 1 - COSZ, 1 X < 4-ос.
ограничена числом 2 Vx G ]1, 4-oo[. Следовательно, I сходится, а функция i i-* sin x2, 0
x < 4-ос, не имеет предельного значения при х —> 4-сю
Рассмотрим также I = J zsin х* dx и произведем в этом интеграле замену х2 = t При
о
+ &о
этом получим сходящийся интеграл I = | J sin t2 dt. Вместе с тем функция х >— х sinx4,
о
О < х < 4-сс, не ограничена при х — 4-сю. Следовательно, несобственный интеграл f f(x)dx
может сходиться и в случае, когда функция / не ограничена при х —» 4-сс. ►
93. Доказать, что если интеграл j f(x)dx сходится и f — монотонная функция, то
/(х) = о при X — +оо.
4 Из сходимости интеграла следует, что |/(г)| —► 0 при х —» 4-оо (в противном случае
интеграл расходился бы, так как функция / в силу монотонности должна быть знакопосто-
янной при всех достаточно больших х, поэтому функция х i-> /(t)dt|, a x < 4-ос. была
бы неограниченной при х 4-оо). Таким образом |/| — монотонно убывающая функция.
Поскольку интеграл сходится, то для него выполняется критерий Коши:
Ve > О ЗА > а : Vxi > A A Vi2 > А => | lf(x)dx\ < е.
Фиксируем произвольное хо > А и рассмотрим при х > Го интеграл
. //(<)*
«о
Так как |/| — монотонно убывающая функция, то |/(х)| |/(^o)| при х > хо, поэтому
I/WK» - *•) < |У А*) л < '•
Поскольку lim хо|/(х)| = 0, то из последнего неравенства следует, что lim xf(x) = 0, т. е.
» — + оо I —+ оо
/(х) = О (-) при X —♦ 4-00. ►
94. Найти представление {-функции Римана с помощью несобственного интеграла.
4 В примере 21, гл. 3, показано, что
1 1
§4. Яёсббетйейййь
305
Если А > 6, то , чи ,> ’(
<« = /t&j*=M(1+f+- + ^)’ “=м-
1- 1 , - '
Исследовать на сходимость несобственное интегралы:
95. 1= [ ........
J Ьт
о
< Из неравенства 1пт<х — 1, 1 < i < 2, следует неравенство (In х)-1 > (х — I)"1, поэтому
2 2
f dt Г dt . 1
1
Так как bm In =+oo, то интеграл / j— расходится, следовательно, согласно пункту
1 — 1+0 1+0
4.5, интеграл I — расходящийся. ►
96. I = p^!lir.
+°
4 Сравним в правосторонней окрестности точки х — 0 подынтегральную функцию с
функцией / :х>—»^у,0<т<у, | < А < 1, рассмотрев предел
, In(sinr) 1 ,. In (sin г) ctex
bin —4 1 . — = km —\— hm —---------r =
T— + 0 y/x XA I—+ o Л-Х X —+0 /1 -X-l
v I 2 (j-A)x 2
= um т-i---r------ — um —;---;— = о
»-+® (- - a) tgx *-+0 (j - A) x
(так как A + - > 1).
При x —- +0 подынтегральная функция имеет порядок роста ниже, чем функция f. Так
как интеграл
+ 0 +0
сходится, то, согласно признаку сравнения 3). п. 4.6, интеграл I сходящийся. ►
97. /= /
J X ₽ In ' X
1+а
Произведем в интеграле замену переменной, полагая In х — t. Тогда получим
+ 0
Представим I в виде I = h + h- гд^
Л = /—
+0 I
306
Гл. 4. Определенный интеграл
При t — 4-0 функция t н-> —, 0 < t 1, д > 0, р € К, имеет тот же порядок роста,
что и функция fw-,0<t$l,a при д $ 0 интеграл fa не является несобственным.
Следовательно, согласно признаку сравнения 3), п. 4.6. интеграл Л сходится, если д < 1,
и расходится, если g > 1.
При t —> 4-ос функция t и-► ———, 1 t < 4-оо, р > 1, убывает быстрее любой функции
вида t >—> 1 i < 4-00, о > 1, так как в этом случае при любом g € К имеем
lim -------- : — = 0,
t-+cc t* ta
следовательно, интеграл fa сходится при р > 1. Если р 1, то fa расходится
Таким образом, интеграл I сходится лишь при g < 1 и р > 1. ►
sin х ,
------dx.
Представляя I в виде I = fa + fa, где
dx,
sin х ,
------dx,
видим, что интеграл fa существует, поскольку 3 lim
I- + C
Записав fa в виде
1 — cos2x ,
--------dx —
и приняв во внимание, что lim f у = lim In х = 4-оо, а интеграл Г dx сходится по
л—* + ео . Е х —»4оо , х
признаку Дирихле, делаем вывод о том, что интеграл fa расходится.
Следовательно, интеграл I расходящийся. ►
4 При р = д, очевидно, интеграл I расходится, поэтому исследуем его при р д.
Пусть р < д. Представляя I в виде I = Л 4-fa, где
при х —» 4-0, то подынтегральная функция в
0. Если
х
исследуем интегралы fa и fa в отдельности.
ПОСКОЛЬКУ + + и хч~р —♦
fa имеет при р > 0 тот же порядок роста, что и функция х
р 0, то интеграл fa существует.
Следовательно, согласно признаку сравнения 3), п. 4.6, fa в рассматриваемом случае
сходится, если р < 1, и расходится, если р > 1.
Исследуем fa, представляя подынтегральную функцию в виде
= Ю<+°о.
При х —> +оо /(х) = О (^j-), следовательно fa сходится при д > 1 и расходится, если д
Таким образом, если р < д, то I сходится при всех р < 1 и д > 1.
Если р > д, то, очевидно, исследуемый интеграл сходится при всех р > 1 и q < 1.
$4. Несобствепме ШтАрады
Оба рассмотренных случая легко объединяются в един: I сходится, если ndn(p, f} < 1,
max{p, g) > 1. ►
+ ео
100. 1=[ dx, где Лп(х) и Рп(х) — взаимно простые многочлены степеней
J гп(х)
+о
соответственно т и п.
4 Если многочлен Рп(х) имеет действительные нули 'х — х( на интервале ]0, 4-оо[, то
интеграл расходится, согласно признаку 3), п. 4.6, так как при х —» х, подынтегральная
функция будет иметь одинаковый порядок роста с функцией
х i-» -----—гт, х G S(xi, 5), А 1,
(X — ц)* '
(здесь .9(х,, S) — fi-окрестность точки х,).
Если же многочлен Рп(х) не имеет действительных нулей на интервале ]0, 4-оо[, то при
х —» 4-оо — О (дП1ш ) и интеграл I будет сходиться согласно признаку сравнения 2), п.
4 6, если п — та > 1, и будет расходиться при и — т 1. ►
Исследовать на абсолютную и условную сходимости следующие интегралы:
101. /= у
+0
4 Представим I в виде I = Ц 4- /г, где
+° 1 ,
Рассмотрим при 0 < ii < хг < 1 интеграл
/sin х
dx.
Так как и < < 1 при ij $ х $ хз, то 0 < 7 < хг — ii, поэтому I —► 0 при Xi — О,
х2 — 0. в силу чего интеграл сходится согласно критерию Коши.
Поскольку |F(x)| — |j sin 1<ft| 2 Ух G]l, 4-oo[, а функция ii-» 1 $i< 4-oo, убывая,
стремится к нулю, то интеграл Л сходится по признаку Дирихле.
Из сходимости интегралов 1\ и I2 следует, что интеграл I сходится.
Из неравенства |sin х| > sin2x, справедливого Vi G R, решения примера 98 и признака
сравнения 1), п. 4.6, приходим к выводу, что интеграл
у | sin х|
dx
расходится, следовательно, I— абсолютно расходящийся интеграл.
102. 1 =
cos х sin -
---------- dx,
cos x sin —
----5—~ dx>
+0
Такое представление возможно для
значении параметра о,
при которых интеграл I
существует.
308
Гл. 4. Определенный интеграл
а затем произведем в интегралах h и 1з замену - = I. Тогда получим
/cos t sin ~ [ sin t cos -
1 1
из чего следует, что интегралы Д, Д и /21 1з однотипны. Поэтому достаточно исследовать
интегралы/2 я Д И результат исследований автоматически перенести на интегралы Д и /3.
Поскольку lim cos — = 1, то Зго > 1:
Уг > хо =$ — < cos — < 1,
2 х
1 cos 1
2т“ '"х" < 7*'
поэтому —1 0 при х —» +оо и а > 0.
Функция х *— sin х, 1 х < +оо, имеет ограниченную первообразную Ут £ [1, +оо[.
Таким образом, при а > 0 интеграл /2 сходится по признаку Дирихле.
Покажем, что /2 расходится при а $ 0. Пусть задано произвольное 0 < е < 1. Положим
0 = — а и возьмем такое n £ N, чтобы выполнялось неравенство cos > - при х 2пт.
(2п+1)я
Применяя первую теорему о среднем к интегралу f х& sin х cos dx, получим неравенство
sin х cos — dx = 2£„ cos —
2пя < < (2n + 1)л,
из которого, согласно критерию Коши, следует расходимость интеграла Zj при а $ U, по-
скольку Ухо >1 Зп £ N такое, что 2пх > хо. Следовательно, Ii сходится лишь при о > 0.
Из проведенных выше рассуждений следует, что /з сходится лишь при 2 — п > 0, т. е. при
а < 2.
Таким образом, интегралы /2 и 1з одновременно сходятся, если О
Исследуем интеграл It с помощью признака Дирихле. Так как 0 <
sin - 1
----— < ----гг при всех
г ° xQ+!
z>l, »+1>0, а функция х • J" costdt, 1 х < +оо, ограничена, то Ц сходится при
<* + 1 > 0, т. е при а > —1. Следовательно, Ii сходится при а < 3, а оба интеграла сходятся
одновременно при —1 < а < 3. Так как ] — 1, 3[П]0, 2[=]0, 2[, то интеграл 1 сходится при
0 < а < 2.
Исследуем интеграл, h на абсолютную сходимость. Из неравенств
1 - cos 2х _ sin2 х |sinz cos ;| 1
4ха 2ха ха ха’
выполняющихся при всех достаточно больших х > 1, следует, что Z2 сходится абсолютно при
<т > 1, а при а 1 абсолютно расходится.
Следовательно, 1з абсолютно сходится, если 2 — a > 1, т. е. при а < 1. Поскольку
множества {о £ R : а > 1} и £ R : а < 1} не пересекаются, то интегралы Z2 и 1з не могут
одновременно абсолютно сходиться ни при каких общих значениях a £ R. Поэтому интеграл
I абсолютно расходится. >
+«
103.; = / ж2 cos(eT) dx.
о
4 Полагая в интеграле е* = t, получаем
/1п2( ЭЯЭ
—— CD&tdt.
S4. ’°9
Применив второе правило Лопиталя, находиц^
lim — = 2 lim — = 2 ,Jim ,1 = 0.
t—*+ОО t t"*+eo t J-*fW t
Следовательно, { 0 при t —» +co.
Поскольку функция x »-* f cos tdt = яаде.’- siaj, l ^ £ ,< +<x>, ограничена, то, согласно
признаку Дирихле, интеграл I сходится.
Из неравенства -j cos t| cos2 t, справедливого для всех t > 1, следует, что инте-
грал
л= У !lpco>aJ* = i У ^pcos2idt
1 11
расходится, так как f dt = lim J In2 t d(Ln t) = lim j In3 x = +co, а интеграл
J cos dt
i
сходится по признаку Дирихле. ►
Яайги следующие пределы'
104. Bra f^Hdt.
Ч Применив первую теорему о среднем к интегралу 1(х) — J ^5- dt, получим
1(х) = cos £ , X < f < 1.
Пусть с с] О, YT7 [> гДе с > 0 — произвольное, наперед заданное. Тогда cos — 1) > ,
следовательно. 1(х) —» 4-ос при х —» +0.
Применив второе правило Лопиталя, имеем
7 ^7-di
105. lira —--:—.
r- + 0 ln 1
При любом u > 0 интеграл f dt сходится согласно признаку Дирихле. Поэтому
+ ео
+г I '—dt
I -— dt = С, С = coBht. и liin —-----;- = 0. Следовательно,
i ‘ ' —+° inj
f '-г dt f’-rM
liin — j = lim i—
r--+o In - a—+o In -
.310
Гл. 4. Определенный интеграл
Из неравенства 1(х) = / -—dt е “(Ln а — in я) следует, что Вт 1(х) — +ос, поэтому,
J i *-+°
согласно второму правилу Лопиталя, получаем
Вт
Вт
106. Доказать, что при z
При любых 0
1—с
1 существуют интегралы h — f
dt
Вт
При Q < х < 2 справедливо разложение + j + О(х — 1), поэтому
= i^o(i4i‘-ii|‘'+ + o((t-i)a)i; +in(i-1)|*++ j['++ от-1)=)|*+,
<- + 0
— ln(i — 1) + — 4- O((x — 1)2)> 0 < 1 $ 2.
Если x >2, то получим
“*=’• p7i^+M=i+/£+o(i)’ *
107. Найти v. p. у -j—
0
4 Квадратный трехчлен у = x2 — Зх + 2 имеет действительные нули яи = 1 и Х2 = 2,
следовательно,
= —1п2+ Lim fin —-Цп ? j 4- Вт In -—- = In —. ►
,«+о \ 1-6 1’Д/ ®-+со X — 1 2
Д-+О
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить следующие интегралы:
67. +Г 68. f ------------Ц=.
a»- j
’о- /
§ 5. Фушщп 311
71. J е”а® cos bx dx, а > 0. 72. f е~аяsinbxdx, а > 0. 73. f я € N.
о о 0 a *
74- T «' -(2 > °- +Л“">ь>2" "4 • > 0-
I 2
76. а) Л = f in sin x dx; 6) /2 = J In сов x dx.
' о 0
Исследовать на сходимость следующие интегралы:
+ со +00 1 +оо *
77- f l+»Wr 78‘ f l+x’rinix- 7в* /;?—“ м- f * £t2) dx- 81* /bsinrrfx.
0 0 0 0 0
я + eo +00 +00 /3 i \
82. f'-^^dz.83. f 84. f x'e—' dz. 8S. J +?) dz.
0 0 0 —00
86. f sin (x + 1)
0
Доказать неравенства:
87. -7 < f < f. 88. 0 < f в’*3 dx <
0 2
«» h<T
J 0
91. 0 < / e-1* dx < n > 1. 92. 1 - £ f e^ dx < 1 + n > 1.
1 0
93. Доказать, что lim Г n2zn-1(l — x) dx / f lim n2xn-1(l — 1) dx.
n~°°o 0
94. Доказать, что если интеграл j" f(x)dx абсолютно сходится, то
lim J" /(z)| sin x| dx = J" f(x)dx.
n—00 о ” 0
95. Доказать равенство
2_o Г-о
f = 7 =й-
+0 0
96. Доказать, что несобственный интеграл f sin2 (тг (т + j)) dx расходится,
о
Найти:
~2 +00 2*
97- ’ «<“<‘ 9e- » p. / 1ST. »» ’•
0 0 0
§ 5. Функции ограниченной вариации
Определение 1. Пусть / . [я, J] -» R, П — произвольное разбиение сегмента [а. 6],
Д/> = /(x,+ i) — /(г,), Vn(/; а, Ъ) = |А/,|. Число Vn(f; а, 6) называется вариацией функ-
1=3
ции f по разбиению Л. а число V(f; а, Ь) = sup{Vn(/; о> Ь)}, где точная верхняя грань бе-
<п}
рется по всем воз-можкыл» разбиениям П сегмента [а, 6], называется полной вариацией
функции f на сегменте [а, Ь].
Если V(f'. ч. Ь) < сс, то говорят, что f — функция ограниченной вариации.
312
Гл. 4. Определенный интеграл
Определение 2. Пусть f : [а, Ь] —• Rm, П — произвольное разбиение сегмента [а, Ь],
п-1
Af, = f (x>+i) — f (жi), Vn(f; а, Ь) = У'. | Af>|, где | • | — евклидова норма в пространстве Rm
1=0
Число V(f; а, Ь) = sup{ Vn(f; а, 6)}- г&е точная верхняя грань берется по всем возможным
{П}
разбиениям сегмента [а, 6], называется полной вариацией вектор-функции f на сегменте
[“, Ч-
Если V(f; а, 6) < оо, то говорят, что вектор-функция f — функция ограниченной вариа-
ции.
Теорема 1. Пусть f : [а, 6] —♦ Rm, Для того чтобы вектор-функция f была функцией
ограниченной вариации на [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы каждая ее компонента
f}, j = 1, т, имела ограниченную вариацию на этом сегменте.
Теорема 2. Если f : [а, 6] —» R, g : [а, Ь] —» R — функции ограниченной вариации на
[а, Ь], то f + д и fg также функции ограниченной вариации на [а, 6].
Следствие. Если функции fug монотонно возрастают на [а, 6], то f — у есть
функция ограниченной вариации на [а, 6].
Теорема 3. Пусть f : [а, Ь] —»R"1 — вектор-функция ограниченной вариации. Тогда:
1) V(f; а, у) = V(f; а, х) + VYf; х, у), если а х < у $ Ъ;
2) функция Vj : х е-• V(f; а, х) непрерывна на [а, 6], если f g С[а, 6].
Теорема 4- Пусть f : [а, 6] —♦ R — функция ограниченной вариации на [а, 6]. Тогда
существуют такие неубывающие функции р : [а, 6] —+ R, q : [а, 6] —» R, что р(а) = д(а) = О
и Vi 6 [а, Ь] выполняются равенства
/(г)-/(а)«р(х)-д(х), (1)
v(p, а,*) = р(1)+ ?(*)• ("2)
Функции р и q соответственно называют функциями положительной и отрицательной
вариаций функции /.
108. На примере функции f : [0, 2] —» R, где
,, х f xsin-, если 0 < х < 2,
Л‘> = ( 0, ' если а: = О,
убедиться в том, что непрерывная на сегменте функция не обязательно имеет ограниченную
вариацию.
Функция / непрерывна в области определения.
Пусть П — {О, 2 , 2 • • • , I, т, 2| — разбиение сегмента [0, 2]. Тогда полная вари-
“И” W: »• 2) = У- + (^ + ^т)+--- +(2 + ;)>'+i + i + +i = с+1»
еп —» 0 при п —» оо, С — постоянная Эйлера. Следовательно, Vn(/; 0, 2) —» -|-оо при п — оо
и множество {Vn(/; 0, 2)} не ограничено сверху. ►
109. Найти функции положительной, отрицательной и полной вариаций функции f -.
х I-. 3jc2 - 2х3, -2 < х < 2. .
Найдем сначала функцию х i-» V(f-, —2, х), — 2 х 2, приняв во внимание, что
/бС^>[-2, 2].
Пусть П — произвольное разбиение сегмента [—2, х], — 2 х 4$ 2. Тогда
п—I п—1
>=G 1=0
(по формуле конечных прцращений Лагранжа).
Следовательно, Vq(/; —2, х) = Sn(|/’|), где 5п(|/’|) — некоторая интегральная сумма
функции t и-» t х, в силу чего получаем
-/ /'(«)Л = -/(»)+2S, если — 2 х О
2
О Л
~ J / (0 d* + f = f(.x) + 28, если 0 х 1,
-2 io
О 1 х
- f f'(t) it + / /'(t) dt - f f'(t) dt = 30 - /(x), если 1 < I < 2.
V(f-,-2,x)- /|r(t)|dt =
§ 5. Функции ограниченной вариации
313
110. Пусть / :[«, i]-»R — функция ограниченной вариации на [а, 6], р и q — функции
положительной и отрицательной вариаций функции f, a pi и gi —возрастающие на сегменте
[к, 6] функции и f = py — gi. Доказать, что
И(р; а, Ь) я, Ь), V(<r, », b) $ V(qi; а, 6).
(Согласно теореме 4, функции р и q не убывают иа ceiменте [а, Ь] ир(г) 0, g(i) О
Vx е]а. Л], так как р(а) = д(а) = 0.
Из формулы (2) следует, что Чх g [а, &]
p(-r) = а, х) - д(х) > 0, g(x) - V(f- а, х) -р(х) 0,
следовательно, справедливы неравенства
<l(x) П(/. а, х), р(х) С V(/; а, х), а < х $ 6. (1)
Поскольку f = pi — gi, то
V(f', а, г) = У(р1 — gi; а, х). а х Ъ.
Рассмотрим при произвольном разбиении П сегмента [а, Ь] вариацию
Vri(/- я. b) = Vn(p! - <ц, а.Ъ) = 57 - Pit1-)) “ (?1 (х>+1) “ (х> ))1
$ ^2 -Р1(х*)| Vn(pi; а, &)
t=0
Тогда V'(f- а. !>) < И(р,. «, Ь). Аналощчно, V(f', а, 6) $ V(gi, а, Ь). Из монотонности функ-
ции р и г/, а 1акже из того, чю р(л) = t/(u) = Ч получаем, что
1Др: «, Ь) = р(Ь), V(g; а. 6) = д(6).
Тогда из неравенств (1) следуют неравенства
Т(р а, Ь) = р(Ь} !'(/: «• 6) < V(P!; а, 6), У(д; а, Ь) — q(b) $ V{f\ а, Ь) $ V(gi; а, Ь). ►
111. Пусть д £ R [а, i], Дх) = g(t) dt, g+(i) = inax{g(t), 0}, g~(t) = 0}.
Доказать, что f — функция ограниченной вариации на [ti, Ь] и что ее функции вариации
задаются равенствами
V(/;a,x)= [ \g(t)\dt, р(х) = [g+(t)dt, q(x) = / g~(t)dt.
< Пусть I) — произвольное разбиение ceiмента [а, х], а < х $ 6. Тоща, согласно опре-
делению вариации,получим
= I'1'!Л1"
314
Гл. 4. Определенный интеграл
где inf < ьир {s(t)).
Следовательно, / Ig| dt $ V(/; a, х) $ f а так как g 6 Л [а, Ь], то и £ Я[а, 6], в
силу чего У’(/, а, х) = f |g(i)| ^t По теореме 4 имеем
р(х)-д(х) = У g(t)di, p(z) + q(x) = j \g(t)\dt.
Следовательно,
X XX X
р(х) = g(t)(l +sgng(i))d( = У <j+(t) dt, q(x) = p(^)(sgnp(t) “ l)dt = jg~ (t)dt. ►
112. Пусть f : [o, /2] —► R — функция ограниченной вариации на сегменте [а, 5], а
функция F : [а, 6] — R удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а, Ь], причем [а, 6] D
/([а, /?]). Доказать, что композиция Fo f есть функция ограниченной вариации на сегменте
[«, £]
4 Функция F удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а, 6], если существует такое
число L = const, что VXi, Z2 ё [а, 6] => |/"(xi) — Р(хг)| £|xi — ijj.
Пусть П — произвольное разбиение сегмента [ст, /?]. Тогда получим
о !, а, 0) = - F(f(t.))\ - L £ ) - /(<,)! - №(/; о, 0).
1=0 1=0
Из полученного неравенства следует, что композиция Fof имеет ограниченную вариацию
на сегменте [о, /3]. ►
Упражнения для самостоятельной работы
100. Пусть f : [а, 6] —► R — функция ограниченной вариации на сегменте [а, Ь], а <р :
[о, 3] —* R — монотонная функция и [а, 6] Э у,([а, /?])• Доказать, что композиция f о
является функцией ограниченной вариации на сегменте [а, 0].
101. Доказать, что полная вариация функции F : х >—> f f(f)dt, а $ х $ 6, / € Я[а, 6],
равна °
/!/(<)!“•
102. Доказать, что если функция х н-> /(х), а х $ 6, имеет ограниченную вариацию на
сегменте [в, Ь] и |/(х)| > е > 0 Va; G [в, 6], то функция х i—» а х 6, также является
функцией ограниченной вариации на этом сегменте.
103. Вычислить: a) Vfsmi; 0, 2т); б) V(cosx; 0, 2ir).
104. Вычислить функции положительной, отрицательной и полной вариаций функции
Xi—• [х] — х, О^х ^2.
§ 6. Приложение определенного интеграла к
решению задач геометрии
6.1. Дляна дуги спрямляемой кривой.
Определение 1. Путем в Rm будем называть непрерывное отображение f : [а, 6] —»
Г,[а,Цсй.
§ 6. Пркложепе оИрпдплшпми'о аатеграла 315
Определение 2. Если непрерывное отображение t : .[«*, Л] —* Rm биективно, та путь
будем называть дугой.
Определение 3. Следом дуги f: [а, 4] -* R”* или кривой у называется образ сегмента
[а, 6] при отображении f:
7 = {У € Rm '9} ?= Л{«), « < * Ь. 3 • Д. »»}•
Определение 4. Пусть f — дуга в пространстве Rm. Если f(a) = f(4) и f(xi) # Г(яг2)
для любой пары различных точек х, и х? из интервала ]а, 6[, то кривая у называется
простой замкнутой кривой.
Определение 5. Кривая у спрямляема, если вектор—функция f имеет ограниченную
вариацию на сегменте [а, 6], а длиной кривой у будем называть полную вариацию V^(f; а, Ь).
Теорема. Если вектор-функция Г* : [а, 4] —• R”* непрерывна на сегменте [а, 4], то
кривая у спрямляема, а ее длина I может быть вычислена по формуле
1 = У |Г(х)|^, (1)
где |Г(х)| = + + +/т(®)-
Рассмотрим частный случай теоремы, когда т = 2, а кривая 7 задана параметрическими
уравнениями х = ^>(t), У = а t 0. Тогда |f'(t)| = x/'P,2(t) + и формула (1)
принимает вид
1 = У + *«>(<) Л. (2)
Для случая г» — 3, когда кривая у задана параметрическими уравнениями х = <p(t),
у = г = х(0- 8> при выполнении всех условий теоремы имеем
в
‘ = У \/₽'!(«) + ^(|) + х'5(<)Л- (3)
В частном случае, когда кривая у в R2 представлена в виде /1(1) = х, fi(x) = f(x),
а х 6, где f : [a, 6] —> R, f £ C^’^a, 4], формула (2) принимает вид
/ = J ^l + f*(x)dx. (4)
Если же кривая у в R2 задана в полярной системе координат, т. е. параметрическими
уравнениями
х = р(ф)спв<р, у = p(<p)sin<p, Р : [<ро, *01] —» R+, Р € <pi],
то формула (2) принимает вид
I = У \Zp2(<p) + Р'2(<р)^- (5)
V1
В частном случае, когда кривая в полярной системе координат задана в виде <р = <^(р),
Pi р р2, то в интеграле (5) следует произвести замену переменной- После замены получим
следующую формулу:
PS
'=(6)
316
Гл! 4. Определенный интеграл
6.2. Вычисление площадей плоских фигур.
Определение 1. Криволинейной трапецией называется плоская фигура Ф, ограни-
ченная снизу сегментом [а, 6] оси Ох, сверху — графиком непрерывной неотрицательной
функции f : [а, 6] — R, с боков — отрезками прямых х = а и х — Ь (рис. 62).
Теорема 1. Криволинейная пзрапеццл — квадрируемая фигура, а ее площадь Р вычисля-
ется по формуле
р= f f(x)dx. (1)
Если непрерывная функция / : [а, Ь] —* R меняет знак на [а, 6], то f f(x)dx равен алге-
браической сумме площадей криволинейных трапеций, расположенных над осью Ох и под
ней.
Если плоская фигура Ф ограничена снизу графиком непрерывной функции /1 : [а, 6] —» R,
сверху — графиком непрерывной функции Д ' [а, 6] —• R, с боков — отрезками прямых х = а
и х = b (рис. 63), то ее площадь можно вычислить по формуле
Р= [(h№~fdz))dx. (2)
Рис. 63
Определение 2. Лриволинебным сектором называют плоскую фигуру, ограниченную
двумя лучами, составляющими с полярной-осью углы <р = а, <р = 0, и непрерывной кривой
у, заданной уравнением р= p(<p)i, а £• '
Теорема 2. Криволинейный сектор — квадрируемая плоская фигура? площадь Р кото-
рой можно вычислить по формуле
Р
(3)
Пусть Ф — односвязная область в R2', ограниченная гладкой замкнутой кривой у, задан-
ной параметрическими уравнениями хz(t), у = y(t), to t ti (кривая у называется
гладкой, еслй в каждой тЬчКе t <?егмент£ [toj ti] функции х и непрерывно дифференциру-
емы и z'2(t) + y'2(t)^0).
Предположим, что Ф — выпуклая Ориентированная плоская фигура, обход границы кото-
рой совершается против хода часовой стрелки ири изменении параметра t от tg до ti. Тогда
площадь Р фигуры Ф может быть вычислена по любой из следующих формул:
Р = ~ J '^di’ (4)
Р= / x(t)y'(t)dt,
(Ч
П-Жвт^града 31;3
1 / XW-TKlti Kfrt.'or.rt №»П».Д«П’ 5Т Ч1ГКЧГ-/»'»’Й4:. . -•-
, . . .PTiJ ............nW
Если фигура Ф не выпукла, но ее~Можйбс Ло^ЬйЫяз йрямых, ^араллеладных оси Оу,раз-
бить на выпуклее Части, то к ка^до‘Й'т4йво#’Ч1Сти (4)'—(вУ'Скл^дйвая
полученные результаты, опять придем к формулам (4)—(6), справедливым цок вычисления1
площади всей фигуры Ф. •>
Лх • ' \ - !'
6.3. Вычисление объемов тел.
Определение. Пусть f : [а, 6] —* R, f € С[а, 6]. Тело Т, образованное вращением вокруг
оси Ох криволинейной трапеции Ф, ограниченной графиком функции f, отрезками прямых
х = а, х = b и сеглсентож [а, 6] оси Ох, будем называть телом вращения.
Теорема 1. Тело вращения Т хубируемо и его объем можно вычислить по формуле
V = rjfWd». (1)
Рассмотрим тело Т, содержащееся между плоскостями х = а и х = 6. Предположим, что
всякое сечение Ф(т) тела Т плоскостью, перпендикулярной к оси О® в точке х € [а, 6], есть
квадрируемая плоская фигура, площадь которой Р(х) нам известка.
Теорема 2. Если тело Т кубируемо, а функция Р : х Р(®), а X 6, интегрируема
на [а, 6], то объен.К.днела Т можно вычислить по формуле ~
V = У (2)
Найти длины дуг кривых у, заданных в пространстве R2:
113. у = {(г, у) € R2 У1 = 2р®, О С;« < Хо, р > 0). ' ~
4 Применим формулу (4), п. 6.1, приняв во внимание симметрию множества точек
{М(х, у) Е R2 : 0 х хо, у2 = 2рх] относительно оси Ох:
I = 2/\/1 + ^ dx = 2J ^P+J^)2 dx = 2J а/р + (^)2 = 2 f°y/p + t3 dt =
= (t\/p + t2 +P lu(t + \/p + t2))|0 1 = + p In k
114. 7 = |(x, y) G R2 : X = 1 i/ e|-
4 В качестве переменной интегрирования возьмем у. Формула (4), п. 6.1, принимает вид
। = у У1+1,2ы dv = У y^i +1 (s-0
Следовательно,
1=I / G+0 =Ц1"’+у) |,=?<’+*
Ц5. ) = ((i, л) g Ra : т = a(sh i — t), y = a(cht— 1), O^t^T}.
418
Гл. 4. Определенный интеграл
И Воспользуемся формулой (2), п. 6.1, получим
x'(t) = a(ch 4 — 1), «/'(<) = ashi,
i'2(i) + y,2(t) = a2(sh2i + ch2t — 2ch t + 1) — 2a2(ch2t — ch t) =
— 2a2 ch t(ch t — 1) = 4a2ch ( sh2^- — 4a2 sh2 ^2 ch2^ — 1^ .
Следовательно,
2 ch2 — 1 dt =
(>/2ch | + v/cht
= a 2 (ch^-VchT
116. T= L= ——, ы < -V
T I/ 1 +cos<p’ IFI v 2j
•И Длину кривой вычислим с помощью формулы (5), п. 6.1. Имеем
4 Для вычисления длины кривой у воспользуемся формулой (6), п. 6.1, получим
' = / 0+(w'W)a^=/(f + ^) dp= (т + |1"'>)| х = 2+ |ь.з. ►
118. Доказать, что длина эллипса 71 = {х = a cost, у = 6 sint, 0 $ t $ 2тг} равна длине
одной волны синусоиды 73 = {л = с sin —, 2яб} , где с — ^/о2 — 62.
$6. Приложение onpeftenenoro» кктеграла
319
4 Обозначив длины эллипса и одной долин синусоиды соответственно, через h к fa,
получим
2я Зя
h = У v/x'!(t)4-y'a(t) dt = J у/a? sm2 t + b® cos® t dt,
о 0
2я6 2rfr _______________
fa = У \/i 4- j/13^) dx = У у 1 4- cos® dx =
о о
= У yjb2 + (a2 — 6®) cos2 у d = У у/a2 cos2 t + 6® sin5 * dt
о 0
(в интеграле произведена замена у = t).
Поскольку функции t i-*- sin2 fa t i— cos2 fa t € R, периодические, с периодом T = г, to,
согласно примеру 51, имеем
a2 sin21 4- 62 cos21
“a2 sin2 t 4- 62 cos2 t dt.
Аналогично имеем
'a3 cos2 14- 62 sin2 t dt.
Заменяя в последнем интеграле переменную по формуле у — t = z, получаем
a2 sin2 z 4- b2 cos2 z dz = fa.
Вычислить площади плоских фигур, ограниченных графиками следующих функций:
Плоская фигура является эллипсом с полуосями х = а и х = Ь. Используя симметрию
точек эллипса относительно осей координат, вычислим площадь Р, его четвертой части. Со-
гласно формуле (1) п. 6 2, получим
(здесь произведена замена - = sin i). Окончательно имеем, что Р = 4Ру = irab. ►
120. Ах2 + 2Bry + Cy2 = 1, А > О, АС - В2 > 0.
Решая относительно а уравнение Ах2 4- 2Вху 4- Су2 — 1 = 0, получаем
-Ву± JA - (АС- В2) у2 , ,
х = ------У---А - (АС - В2) у2 0.
Следовательно, у''лс-в? = Искомую площадь вычислим по формуле (2), п. Ь.2
которая в рассматриваемом случае принимает вид
Р= I (xl(y)-x2(y))dy,
320
Гл. 4. Определённый Интеграл
-By + x/А - (АС - В2) у2 -By - JA - (AG - В2} у2
Xl =--------------------— - *2 = -------------------------
Таким образом, имеем
Р=|У - (АС - d, , ^ЛС-Дг у =
2
= \/АС - В2 / cos21 dt = 4- \Z-4G - В2 = ...
A v J A v VAC-’ - В2
о
(в интеграле произведена замена arcsin | = t). >
121. у — е *|sinх\, у = 0, х Q.
-4 График функции у : х >— е~x|sinг|, 0 $ х < +оо, не имеет точек пересечения с осью
От, являющейся его асимптотой при х — 4-оо. Поэтому множество точек плоскости хОу,
ограниченное графиком функции у и положительной полуосью R+ , не является квадрируемой
фигурой в обычном понимании.
Рассмотрим множество площадей
{Р(х) = у е"‘| sin t| dt, х £ R+ I
о 1 )
и положим
Pd= lim Р(х) — [ е“х| sinx| dx.
, *-,+», J -
Представляя P в виде суммы
+ оо (к+1> " п (*+1)-
Р = ' I S-X|sin х| dx = lim ' I е_х|б!П х| dr
fc=o П~°° fc=O
и заменяя в каждом интеграле переменную по формуле х — kir = t, получаем
Р = lim Ve"‘* 'fc-^tdi= lim V °ia‘ + C°S‘ I = 1±J— lim VY*-.
n—«О J 2 2 n_oo^
k=0 £ k=Q |„ k=0
Рис. 64
Вопрос вычисления площади фигуры свелся к вычислению суммы
убывающей геометрической прогрессии.
Таким образом, имеем
1 + е ’ 1 ез + е 2
2(1 -е-’) “ 2 '
' ’,> е? — е 2
^cth^-.
122> х = a(cost + t sin t), у = a(sin t — t cost), 6 $ t $ 2л, и отрезком
луча х = а, у 0.
Рассмотрим плоскую фигуру МKNRP, ограниченную разверткой
круга и отрезком луч£ х = а, у 0 (рис. 64). Искомая площадь Р равна
сумме площадей треугольника МОР и фигуры MKNRP0M. Очевидно,
Вдмор = ха2, так как ОМ = а, |А/Р| = 2ха.
ПерехоДя к Полярным координатам р и <р, получим
2 2 . 2 . 2., . .2k , 81П t — t COS t
p2 = x* +уг=*а?^е , tg¥j=
' ' me m «in /
6. ридожевже юггеграла 321
Для вычисления площади фигуры MKNRPOM воспользуемся формулой (3), п. 6.2, а затем
перейдем в интеграле от переменной <р к переменной t.
Дифференцируя левую и правую частя равенства
А sint — t cost
te ifl = ----j—-.
cos t +1 sm t
находим , '
, 1 /sint-t costV tf*’* j. ’
d<p ---------------r d {-----;— ) - dt.
, . pm t-t c««t\2 kcoet + tsmt/ 1 + t2
' \ cos i+1 du t /
Следовательно,
Pmknrpom = J У p2(tp) = у У = ^я,3°а
a 0
Окончательно имеем
f = £1(4,’+ЗГ). ►
л n a sin2t
IZo. X—a cos t, у = ----:.
У 2 + sin t
4 При возрастании t от 0 до я переменнак х убывает от а до —а и при этом переменная
у = Li(t) принимает неотрицательные значения, возрастая от 0 до j при изменении t от О
до и убывая от - до 0 при изменении t от Йо т. Если же t возрастает от х до 2т, то
переменная г возрастает от —а до а, и значения переменной у = £г(<) в интервале ]т, 2т[
больше значений у = £j(t) в интервале ]0, я[, так как sint < 0 при t €]ir, 2ir[. Следовательно,
уравнения х = a cost, у = ^‘$°п ‘ описывают замкнутую кривую с точками возврата (а, 0) и
[—а, 0). При этом интеграл Pt = J ydx равен площади фигуры, ограниченной кривой £j(t)
с
2я
и сегментом [—а, а] оси Ох, взятой со знаком а интеграл Рг = / ydx равен площади
я
фигуры, ограниченной кривой Za(t) и сегментом (—а, а] оси Ох. Поэтому искомая площадь
Р равна алгебраической сумме Pi и Рг:
Р = Л+Л = У »(<)<М<)=У “+"n‘ (—a sin I) <И = -а2 У 2™^ , dt =
0 0 о
= —а2 / (sin2 t — 2 sin t + 4-------—:—'j
J \ 2 + suit/
dt
2 + sin t
dt — — 9xa2 +
Поскольку функция t >-» 2 *n (, t e R, периодическая с периодом 2т, то, согласно примеру
51, имеем ' '?.
/ dt [ dt _ У ^(^2) 2 ptg^ + Ap-0 __2х
J 2 + sint J 2 + sint J tg2^+tg£ + l ^аГСЧ V3 У|_1+о'^3'
Окончательно получаем, что Р = тга3 ( — 9
124. я =2t-t2, у = 2? -t3.
Кривая ограничивающая плоскую фигуру, имеет точку самопересечения в начале ко-
ординат, поэтому в примере речь идет о вычислении площади, ограниченной петлей кривой.
Так как х = у = 0 при t = 0 и t = 2,ToO$t^2.
322
Гл. 4. Определенный интеграл
Применив формулу (6), п. 6.2, получим
Найти площади плоских фигур Ф, ограниченных кривыми, заданными в полярных коор-
динатах:
ЮК Р Г X
12Э. Р = -------, р = ^ = 77-
1 — cos р 4 2
4 Применив формулу (3), п. 6.2, получим
Р = £ I,, dv ,2 = £ / (1 +=^f) d (eg I) =
2 J (1 — cos<p)2 4 J \ 2/ \ 2/
T 2
= £("82 + JCtg32)l* =T('/?+J(('/?+1)S -'» = Т(4^ + 4- ►
4x23 2 /1 w 4 3 b
126. p =---------, 0 < с < 1 (эллипс).
1 + e cos p
4 Согласно формуле (3), п. 6.2, и решению примера 131, гл. 3, имеем
2т
р2 [ dp _ р2 { sin х
2 J (14-е cos<p)2 2(1 — е2) \ 1 + е cos х
*Р2
(1-е2П
127. р= —, р= -Д—, о < р < у.
р snip 2
4 Множество точек {(<р, р) € R2 < Р 0 < ip у^ не является плоской квадри-
руемой фигурой в обычном понимании, поэтому Pd= lim Р(е), где
р(е) = V (d^-^)^4(c,ge4+;) Ч + Ис,8е-;)-
Поскольку lim^ (etg е — |) = lim^ ’t *** =
128. р = а сое р, р = я(сов р -f sin <р>), М
€ Ф.
4 Точки окружности {р= а cos^, |у>| у} симметричны относительно полярной оси, г
радиус этой окружности равен у. Из неравенства a coup sin р < a(cos р -f- sin р) sin р, спра
ведлквого при 0 < р < у, следует, что полуокружность {р = ясов <р, 0 р у) целиком при-
надлежит той части круга, ограниченного окружностьк» {р = a(cos<p + sin<р), — ~ р ту-}
которая лежит над полярной осью, поэтому точка М, лежащая на полярной оси и принадле
жащая по условию фигуре Ф, не может принадлежать множеству точек
{a sin р сое р < р sin у» < а(сов р + sin v>) sin р, 0 р
HCR!'
§ 6. Приложекнеоярдцг irem—W вгвтвграла
323
Следовательно, фигура Ф является объединением полукруга ^.acos^J, 0 ^}, пло-
щадь которого 22_, и части Ф1, круга {/» < в(сов^Ч-япр), — 2 <р < Т-}’ лежа1лей под
полярной осью, площадь которой вычисляемся по формулу
о о
D °2 [, .2 . В2 . а2 ( сов2<^
Pil~~2 / (cos <Р + sin <р) “¥> = -2“/(1 + 8“2*’)^= 2^
Таким образом, Р = 22- + 2- (2 _ 1) = — 1). ►
129. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лепестком
кривой (<р = sin гр, 0 р 1).
4 При возрастании р от 0 до ~ угол <р возрастает от 0 до 1, а при
возрастании р от j до 1 угол р убывает от 1 до 0 (рис. 65), поэМому
выражение
10 1
| У p2Mdtp+^ у У pVgo^
о 1 о
определяет искомую площадь, взятую со знаком так как первое
слагаемое в левой части написанного равенства равно площади сег-
мента ОтВ, а второе слагаемое равно площади сектора ОАВ, взятой
со знаком Следовательно,
0 1/2 1 Р
Рве. 65
130. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой
(. ч ru 2ai xt Ч
7 = {(Р,Р)еК :* = ГГ?’’’=Г7И'
4 Из условия р 0 следует, что t 0. Поскольку р = 0 при t = 0 и р —» 0 при t —* +оо,
то 0 I < +сс. Следовательно,
р = 1 У ДО/да, = 2™1 У (1 + ,‘)ар^.
о о
Интегрируя с помощью метода Остроградского, получим
(-4(1*+У)У+<) - larcts<)L =2”2G’S=,",’(i-r)' ”
131. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей листа Декарта х3 + у3 = Заху.
Параметризуем лист Декарта, полагаяу = <т. Тогда параметрические уравнения петли
листа Декарта примут вид
Для вычисления площади воспользуемся формулой (6), п. 6.2, приняв во внимание, что
(»(<)»'(«) = «’(1)^ = (19° dt-
324
Гл. 4. Определенный интеграл
Следовательно,
9<? Г t2 dt За2 f d(l+t3) = 3 2 1 [° = 3 2
2 J (1+t3)2” 2 J (1+t3)2 2ai+t3|+co 2Я
о о
132. Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной уравнени-
ем xi +у* = а2(х2 + у2).
4 Перейдем к полярным координатам по формулам
г = р cosy>, у — р sin^.
Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то 0 $ <р 2т. Уравнение
v - , 2 а2
кривой, ограничивающем плоскую фигуру, принимает вид р = sin< ^77,77
Применяя формулы (3), п. 6,2, и принимая во внимание решение примера 23, получаем
2я
P^ '±L [ . . dv . = ^.2У2т = ^Уг.г, ►
2 J sin* >р + cos’ <р 2
о
133. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением х +у =
2
ах у.
4 Параметризуем кривую, полагая у — it. Тогда
Переменные х и у обращаются в нуль при t = 0 и стремятся к нулю при t —* оо, а множество
точек кривой
7 = ») G R2 : х = fl 1 f4 , у - t € R j-
симметрично относительно оси Оу. Следовательно, плоская фигура ограничена двумя симме-
тричными относительно оси Оу петлями, лежащими в верхней полуплоскости плоскости хОу,
и поэтому искомая площадь равна удвоенной площади фигуры, ограниченной одной петлей:
+ со + ОО + ОО
*=/(*(')»'(«)-«(<)*'(<))•"= / -»2 / (ПТТр
О 0 0
С помощью подстановки у = - легко убедиться в справедливости равенства
Поскольку 1 f утут = I J 5+7? (согласно равенству (1)), то
о о
о
$ 6. Приложение un радело—огоинтеграла 525
где F{t) = arctg ^^sgat при t^£0 и F(Q) t=O . яримерЗО, гя. 1). Окончатежьио
получаем
' = «7г' р=й5'*
Прежде чем решать примеры на вычисление объемов тел с помощью формул (1) и (2), п.
6.3, рассмотрим два примера на доказательство. При этом получим полезные формулы для
вычисления объемов тел.
134. Доказать, что объем V тела Т, образованного вращением вокруг осн Оу криволи-
нейной трапеции
* = <(*- ») € R2 : в < х С *, 0 < у С /(<)},
где / : [в, Ь] —» R — непрерывная на сегменте функция, равен
V = 2т J xf(x) dx.
4 Пусть П = {zo = a, Xi, , хп = Ь} — произвольное разбиение сегмента [в, 4]. На ка-
ждом сегменте [х,, x,+i], » — 0, п — 1, рассмотрим два прямоугольника, в основании каждого
из которых лежит сегмент fx*, zi+i], а боковые стороны равны т* и Mi, где
т, = niia (f(x)}, М, = max {/(,)).
X1 *1 ^*^xi+l
Объединения всех однотипных прямоугольников образуют две ступенчатые фигуры, одна
из которых вписана в фигуру Ф, а другая описана вокруг нее. При вращении этих ступенча-
тых фигур вокруг оси Оу получим два кубируемых тела 7j и Та, составленные из кольцевых
цилиндров.
Объемы тел и Тъ соответственно раяны
п—1 n—1 п—1
Vr, = \я>|(г^+1 — г.) — 2тт, Т' ^т3 = У ' 2тМ,J> AJ»-
•=о ,=о о
Рассмотрим функцию : г м 2тх/(х), а $ х $ Ъ. Так как <р € Я[а, 4], то Ve > О
ЭП : -Уп(^) — 5п(ф) < j, где = УЗ 2»М»Я|+1 Дя., Sn(yj) = УЗ 2*"*»®» Д*«-
~ 1=0 ~ 1=0
Из очевидных равенств
П—I 71— 1 П-1
Ут, = 2тт,х, Дх, + У^ттщ Дх? = Sn(<р) + } ^згт, Дх?,
1=о i=o ~ 1=0
Vt3 = 2^2xAf,x,+ i Дх, — тМ, Дх? = 5п(^) — тМ, Дх^
1=0 7=0 1 = 0
_ »—1
следует, что Ут3 - Ут, = S'n(sp) ’ Sn(v) — Уп, где 7n = У2 т(^> + mt) Дх?. Оценивая 7п,
~ 7=0
получаем |7„| 2тМ(Ь — а)<2(П), где М = шах {/(»)}, <2(П) = max Дх,.
а^х^б 0^7^п—1
Принимая во внимание неравенство — Sa(<p) < и выбирая разбиение П таким,
чтобы выполнялось неравенство 2тМ(Ь — а)^(П) < получим неравенство Vy, — Ут, < £, из
которого следует, что тело Т кубируемо (в силу включений Tt СТ С Тз)-
Поскольку Ут, = 2tJz/(x) dx, Iim Vt3 = 2т/х/(х) dx, то V = 2tJ'x/(i) dx. ►
135. Доказать, что объем V тела Т, образованного вращением вокруг полярной оси
Фигуры Ф = {((£,р)бй2:О^а^95^0^1г, р = р(<р), ₽ > 0). Р € С[а, J9], равен
в
v=y- J p3('P)sin<pd<p. (1)
326
Гл. 4. Определенный интеграл
4 Пусть П — {<ро = a, pi, ... , рп = 0) — произвольное раз-
биение сегмента [a, /3], а Ф, — плоская фигура, ограниченная от-
резками лучей р — р = ^>i+i и куском кривой р •—► р(^),
V1. 1Р,-ц (рис. 66).
Обозначим М, - max {/>(<>’))> т> — min {₽($’)) и
V.<¥><V.+1
рассмотрим два тела 7) и 7). образованных вращением вокруг
р полярной оси двух плоских фигур, составленных из круговых сек-
торов, имеющих соответственно радиусы М, и т, и центральный
Рис. 66 угол Д^, = ^>+1 ~¥>и i = 0, fi— 1. Из определения тел Т, 7) и 7j
следуют включения Ti С Т С 7>.
Вычислим объемы тел 7) и Tj, используя для этого известную из геометрии формулу для
вычисления объема шарового сектора, имеющую вид V = ^xR2h, где Л — высота шарового
сегмента, R — радиус шара. Имеем
I/ V"4 2 u*f i 4 iz3 - V» + ¥M-t -
Ут, = / jjrAf, (cos p, — cos ^i+i J = — к } M, sin —•—---- sin —-—,
t=0 ,=0
./ 4 з . V> + ¥=.+1 . A$0.
Vt, = —к > m, sin----------- sin---.
2 3 2 2
<=o
Обозначим '~t~1 = p,, sin£, = max {sin^>}, siny5 = min (sin^>) и рассмотрим
разность объемов
n—i
Vr, — Vr3 = — x ^(M3 — mi) sin pi sin —
i=0
Из неравенств (Af3 — m3) sin p, Л73 sin p, — m3 sin p,, sin —следует неравенство
Vt, — Уг3 <^- ^(Af,3 sin p,) Д^, = Sn(_f) * Sn(/),
,=o
где f : p i—► ^-p3(^>)sin^, a p 0, — непрерывная на сегменте [a, 0] функция. Так как
f € Я[в, то Ve > О ЭП : 0 Sn(/) — Su(f) < в, следовательно, Ур, — Vt3 < £ Таким
образом, тело Т кубируемо, а его объем V можно вычислить по формуле (1), так как
0
Lim Vr, = lim Vt-, = —x I p3(p)sinpdp. ►
<КП)—о d(n)_o 3 J ' '
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
136. Параболоида вращения, площадь основания которого равна S, а высота равна Н
4 Воспользуемся формулой (2), п. 6.3. Поверхность параболоида вращения задана урав-
нением z = х2 + у2, а в любом ортогональном сечении тела плоскостью z = c,0<c<27,
получим круг I2 + у2 с. Таким образом, множество сечений тела, ограниченного поверхно-
стью z = х2 + у2, является множеством кругов радиуса z, площади Р(х) которых равны xz.
Согласно формуле (2), п. 6.3, получим
V = к / z dz =---— -----,
J 2 2’
о
так как, согласно условию, хН = S. ►
4 Тело ограничено однополостным гиперболоидом и кусками плоскостей z = ±с В силу
симметрии точек тела относительно плоскости хОу, достаточно вычислить объем части тела,
лежащей в полупространстве z 0, и удвоить результат.
$ 6. Приложение определенного интеграла
327
В ортогональном сечении тела плоскостью я = сх, 0 < d < с, получаем эллипс
—j—~ а + —j—-- - * = 1, поэтому площадь Р(г) поперечного сечения тела плоско-
стыо, согласно решению примера 119, равна как Применив формулу (2), п. 6.3,
получим
V = 2 J P(z)ds — 2каЪД1 + dz и |^г«Ьс. ►
о о
1 ОО 2 . 2 2 2 2 2
1ОО. х + у +2 = а , х +у = ах.
◄ Тело ограничено частью поверхности кругового цилиндра и двумя кусками сферы, а
плоскость хОу делит его на две равные части. Поэтому рассмотрим ту часть тела, которая
лежит в полупространстве z 0. В сечении этой части тела плоскостью, перпендикулярной к
оси Ох, получим криволинейную трапецию, площадь Р(х) которой вычисляется по формуле
х/оа-а»
P(i) = 2 J - г1)-f’d,.
О
Тогда искомым объем V получим, применив формулу (2), п. 6.3:
V = 2^ P(x)dj.
О
Вычислим сначала Р(х), произведя в интеграле подстановку t = arcsin .. .* :
Подставляя полученное Р(х) в формулу для вычисления объема V, находим
В интеграле Ц произведем замену х = a tg2^>, 0 получим
328
Гл. 4. Определенный интеграл
Окончательно имеем
V15 3 45/ 3 V 3/
139. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной в результате враще-
ния графика функции г2 +(у — Ь)2 = а2, |а: | а, 0 < а < Ь, вокруг оси Ох.
Вращающаяся окружность радиуса а с центром в точке (О, Ъ) имеет две оси симметрии:
ось Оу и прямую у = Ь. Уравнения верхней и нижней частей окружности относительно
прямой у = Ъ имеют соответственно вид
ув = Ь + \/а2 — г2, ун = Ь — ч/а2 — х2, [т| а.
Применив формулу (1), п. 6.3, получим
V = x J (Ув ~ Ун) dx — J \/а2 — х2 dx = 8ха26 J cos2 tdt = 2х2 а2 Ъ. ►
-а о о
140. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной в результате враще-
ния графиков функций х = a(t — sin t), у = а(1 — cost), 0^1^2х,иу = 0:
1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу; 3) вокруг прямой у = 2а.
1) Применив формулу (1), п. 6.3, получим
2га 2я 2я
V — тг J у2 dx = зга3 J\1 — cos t)3 dt = 8зга3 j sin6 ^dt —
0 0 0
= 16xa3 / sin6 z dz = 32?ra3 / sin6 z dz = 32ira3 —7- • — = 5зг2а3
J J 6!! 2
о 0
(здесь воспользовались решением примера 43).
2) Объем тела вычислим по формуле, доказанной в примере 134:
2га 2п
V = 2зг J xydx = 2ха3 j(t — sin t)(l — cost)2 dt =
0 0
/2-я 2ir \ 21Г
= 2xa3 I J t(l — cos t)2 dt — J sin t(l — cos t)3 dt j = 2зга3 J i(l — cos i)3 dt ~
\o 0 /0
2« 2л
= 2xa3 J t — 2 cost + dt — Ззга3 j tdt — 6x3 a3
0 0
2» я
(здесь мы приняли во внимание равенства f sin t(] — cost)2 dt — J sin t(l — cost)3 dt — 0,
0 —n
ft(-2eost+^)dt = 0.)
0
3) Перейдем к новой системе координат по формулам yi = у — 2a, Xi — х. При этом
получим V = Vj — Vi, где Vi — объем кругового цилиндра, высота которого равна 2га и
радиус основания равен 2a, а объем Vs вычисляется по формуле
2га 2*
Vs = т j у2 dx = та3 ^((1 — cost)2 — 4(1 — cost) 4- 4)(1 + cos t)dt = т2а3.
о о
$ 6. Приложение определенного интеграл*
329
Поскольку Ц = 8т2а3, то V = 7 г2 в3. ►
141. Намхи объем тем, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной пе-
тлей «ривон 7 = (т = 2t -f2, у = 4t — ta, t € R}, вокруг: 1) осн 0ш:2)всм Оу. ।
◄ 1) Поскольку г = 1/ - 0 при t = 0 ж при t = 2, то 0 t При возрастании
параметра t от 0 до 1 переменная х также возрастает от 0 до 1, а при возрастании < от 1 до
2 переменная х убывает от 1 до 0, поэтому
2 1 2 2
V — —я J у2 dx — я- J у2 dx = J у2 dx = 2т J(t — l)(16t2 — 8t* 4. t6) dt = |^t.
10 0 0
2) Для вычисления объема воспользуемся формулой примера 134 и примем во внимание
соображения, высказанные при рассмотрении случая 1). Тогда получим
2 13 2
V — —2т Jху dx — 2irJху dx = -2т Jху dx = П — — 2irj(2t — t2)(4( — *э)2(1 -t)dt = ►
10 0 о
142. Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной гра-
фиком неявно заданной функции (г2 + у2)2 = а2(т2 — у2), вокруг-. 1) оси Ох; 2) оси Оу, 3)
прямой у = х.
« 1) Перейдем к полярным координатам х = р cosp, у = р sin <р. Уравнение кривой имеет
вид р ~ а^/соз295, |уз — Jcir] J, i = 0, 1, Принимая во внимание симметрию точек кривой
относительно полярной оси и прямой р cos^> = 0, воспользуемся решением примера 135. При
этом получим
V — — л / a3 cos 2 2уз sin ipdp —
J(2 сов2 Р — 1)2 d(co8 <р) =
-А - >* * - Ш (> - >+г
2) Возьмем луч р = j в качестве полярной оси системы (/>', 0)
(рис. 67). Тогда р'(0) = р(<р), 6 = - (у - р) = <р - у.
Применим теперь формулу, доказанную в примере 135, при-
няв при этом во внимание, что плоская фигура симметрична и
что sin 0 < 0. Имеем
у = у- J(p'(6))3\sine\d8 = /(cos 2^)2 | sin (р - dip =
Рис. 67
= ~^_а [ cos2 2<р cos ip dip = 4та sin2 ip)2 d(\/2 sin <p) =
3 i 3ч//2 0
4,Га3 f(y *2\l Л 4,Га3 / * J 4*°3 3” т ^а3
= —т= t (1 — * V dt = —7= I cos zdx = —=• • — - = —
3\/2 J 1 3y/2 J 3-Л 4’’ 2 4a/2
330
Гл. 4. Определенный интеграл
3) Возьмем луч у = т в качестве полярной оси системы (р\ 0) (рис. 68). При этом имеем
р'(0} - 0-v-i-
Принимая во внимание симметрию фигуры и неравенство sin 6 0, согласно формуле
примера 135, получим
' V=T У C0S2 2<р j sin | dtp.
~2 ~4
Произведем в интеграле подстановку р — — — t. При этом имеем
7 2 1
V — - J sin 2 2t sin tdt = -—у— J cos 2 t sin з t d(sin. t) = J = 2(1— z2)t dz
0 0 0
После замены 75 — 1 = w4 находим, что V = 16^та3/, где
(согласно решению примера 133).
Интегрируя по частям, получаем
При решении примера 133 показано,
• довательно, I - , V = ►
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить длину кривой 7, если:
105. 7 = ((г, у) € R2 : у = lux, < х < V^)-
106. 7={(г, j/)€R2:y=ach^, 0 ж < zo, а > о}.
107, 7 =У (г, у) € R2 : z = а In a+V'^~‘|Z _ ^/а2 —у2, Ь у sj в|.
108. 7 = ^(ж, у) € R2 : хз + уз = яз , [ж| а j..
109. ч — {(ж, у) € R2 : х — а cos5t, у = а sin® t, 0 t 2т).
110. 7 = {(ж, у, z) € R3 : х — a cost, у = a sin t, z — bt, 0 Sj t Sj to}.
111. 7 = {(ж, y, z) £ R3 : ж2 = Зу, 2xy = 9z, 0 x xp}.
112. 7 = {(x, y, z) € R3 : у = a arcsin z = j In 0 Si x ip} .
113. 7 = ((z, y, z) € R3 : X = at, у = \Z3ett2, z = 2frt3, 0 t < to}.
114. Н&йти хапну кривой, заданной уравнением y/x + y/у = у/a, от точки (0, а) до точ-
ки (а, 0).
115. Парабола 7 » ((ж, у) € R2 : 4ау = X3, х € R) катится по оси Ох. Доказать, что ее
фокус описывает цепную линию
7 = {(х, у) £ R2 : у = ach х € R}
, Найти площадь,лаос^й фигуры Ф, ограниченной.
110. Графикой-астроиды хз =аз,-
$ 6. Приложение определенного интеграла 331
117. Графиком функции, заданной, уравнением х* + у* •= г2 + у3.
118. Графиком подэры эллипса (z2 + у2)2 = в2»2 + 32у2.
119. Графиками функций у2 — 4az, х2 + у2 = 2ах, 2z — у = 4а к лежащей над осЫо Ох.
120. Петлей строфоиды (a — z)y2 = (а + х)х2.
121. Графиком функции, заданной уравнением (у — г)3 = х3 и отрезком оси Ох.
122. Графиком функции, заданной уравнением = 1, и отрезками осей коорди-
нат.
123. Эллипсом = 1 и лежащей вне круга х2 + у2 = ab.
124. Графиком кривой, заданной уравнением р = а сов4<р.
125. Графиком равнобочной гиперболы р2 cos 2<р = а2, —
126. Графиками функций, заданных уравнениями р2 cos 2^5 — 4a3 сое* <р и р2 сов2<р = а,2.
127. Петлей кривой, определяемой уравнением хг + у7 = az3у3.
128. Графиком функции, заданной уравнением z2y2 = 4(z — 1) и прямой, проходящей
через точку перегиба графика.
129. Вычислить площадь криволинейного квадрата, принадлежащего обоим эллипсам
г2 У2 <
а2 Ь2 ’ Ъ2 а2
1
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными в результате вращения
следующих кривых;
130. 7 = {(z, у) € R2 : у = sinz, 0 х г) вокруг оси Ох.
131. 7 = {(z, у) € R2 : (2a — z)y2 = z3, 0 х < а 2) вокруг оси Ох.
132. 7 = {(z, у) € R2 : х — a(t — sin t), у — a(l — cost), 0 t 2та} вокруг пересекающей
ее прямой у = ка, 0 < 1 < 2 (вычислить объемы получающихся двух тел вращения).
133-7 = *^(z, у) € R2 : у = д2*Да2, 1 € rJ- вокруг своей асимптоты.
134. Кривая, заданная уравнением р3 — a3 cos3<p, вращается вокруг полярной оси. Опре-
делить объем тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной петлей, лежа-
щей в третьем квадранте.
135. Сегмент круга радиуса Я, соответствующий центральному углу 2а, вращается во-
круг своей хорды. Определить объем тела вращения.
136. Куб с ребром а вращается вокруг своей диагонали. Определить объем тела, полу-
ченного в результате вращения одной из граней куба.
137. Ребро куба а. Определить объем тела, полученного в результате вращения одной из
граней куба вокруг диагонали противоположной грани.
138. Кривая, заданная уравнением х*+у* = 2аху2, вращается вокруг оси Оу. Определить
объем тела, ограниченный полученной поверхностью вращения.
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями;
139. S - {(г, у, z) € R3 : z2 +4у2 = 8z, z2 + 4у2 = 1, z = 0}.
140. S — ((z, у, z) € R3 : у2 — 2p(a — z), z — z = 0, z — 2z = 0).
141. S = {(z, y, z) 6 R3 ; z2 = (a — z — y)a, x — 0, у = 0, z = 0).
142. S = {(z, y, z) e R3 : г2 = b(a-z), z2 + y2 - az).
143. S = {(z, y, z) G R3 y2 + z2 = a2ch2^, -b z ii) .
144. В прямой круговой цилиндр (стакан) радиуса г налита вода. Ось наклонена под
углом а к горизонту. Часть дна, покрытая водой, является сегментом с центральным углом
2<р. Найти объем воды.
145. Три взаимно перпендикулярные прямые являются осями трех круговых цилиндров
одинакового радиуса г. Определить объем общей части всех трех цилиндров.
332 Гл. 4. Определенный интеграл
§ 7. Общая схема применения определенного
интеграла. Задачи из механики и физики
7.1. Аддитивная функция промежутка.
Если всякому сегменту содержащемуся в фиксированном сегменте [а, Ь], отвечает
значение определенной физической или геометрической величины Р([а, /?]), то Р называют
функцией промежутка.
Определение. Функция Р : [а, 0] ь-» Р([о, /?]), [о, £] С [о. 6], называется аддитивной,
если
v7 е ]«, /<[ => р([«, ® = Р([», 7]) + Р([Т, Я).
Теорема. Пусть Р : [«, /?] Р([«, /?]), [«, 0] С [а, 6], — аддитивная функция, а р :
[а, 6] —» R, р G С [a, ii], такая функция, что Р([хо, г]) = р(х — Хо) + о((х — Io'}), & —» xq,
Vio G [а, Ь]. Тогда справедлива формула
Р([«, Ч) = [p(z)dx. (1)
7.2. Вычисление статических моментов, моментов инерции, координат центра
тяжести плоских кривых к фигур.
Пусть {Л/,(хъ у})} — система материальных точек плоскости хОу с массами тп_,, у = ], п.
Величины „
м* = ^ = У2тп-,уЬ
называются соответственно статическим моментом и моментом инерции этой системы то-
чек относительно оси Ох.
Если на^гладкой кривой 7 = {(х, у) € R2 : У — /(х), ®. $ х $ 6} равномерно распределе-
на масса с линейной плотностью р = 1, то статическими моментами и моментами инерции
кривой 7 относительно осей координат называются соответственно величины
ь ь
Мх = У /(х)\/1 + /'(х)2 dx\ Mv = У я^/1 + /'(х)2 dx, (1)
ь , ь
= У /2(х) \/1 +'f(x)*dxi J-X2 у/1 + f(xy dx, (2)
а координаты ее центра тяжести С(£, у) вычисляются поформулам
где I — длина кривой 7. 1 >
Предположим, что криволинейная трапеция Ф лежит по одну сторону оси Ох и что она
однородна. Статическими моментами и моментами инерции этой трапеции относительно осей
Ох и Оу называются соответственно величины
мх = у f2(x)dx, = sgn Дх) У xf(x)dx, (4)
ь ь
ь=1 у/,=у,’|/(1)|&. (5)
л а
а координаты ее центра тяжести С($, ц) вычисляются по формулам
" "Mi fc.
u. >. <;.•> e . .(6)
§ 7. Примеиежне оиределетгого итеграла 333
где Р — площадь трапеции. , ( , - г • ,,,
Если плоская однородная фигура'Имеет оСьсий^ет^Аг,’ то её*тяжёёти лежит на.
этой оси.
143. Определить координаты центра тяжеСТЙ пЙоской фигуряя
Ф = |(»,5уеж=-:Й + ^.'<1’;о«74«; <)•<*<;»}.
◄ Применяя последовательно формулы (4) и (6), получим
. *аЪ 4а „ каЬ 4А
ч = W, : — = —
4 Зя 4 Зт
(поскольку площадь фигуры Ф равна *ab). ►
144. Найти моменты инерции 1Х и 1У параболического сегмента Ф, ограниченного
графиком функции х н- ----0<i< 2а., и отрезком оси'Ох.
а •
◄ Согласно формулам (5), имеем
/'=з^7(2“*-,'г>’',’=^"*’=7’2 (2*- т)d* * I**- ”
° 0 .
145. Найти координаты центра тяжести однородного полушара радиуса а.
◄ Ось Dz является осью симметрии полушара
Г — ((ж, У> г) € R5 : х2 + у2 + г2 a2, z 0),
поэтому центр тяжести находится на этой оси. Приняв шаровой пояс, нижнее основание ко-
торого находится на расстоянии z от плоскости гОу и высоту которого равна dz, за цилиндр,
высота которого равна высоте шарового пояса, а основание равно нижнему основанию ша-
рового пояса (кругу радиуса г = xfa1 — z2), вычислим приближенно статический момент dM
шарового пояса относительно плоскости хОу, равный r(a2 — z2)zdz. Тогда
М = тгУ z(a2 — z2) dz =
Поскольку объем полушара равен j-ra2, то
ЗМ _ 3
2га3 8а
Следовательно, С(£, ц, С) = (0, 0, |а). ►
146. Определить силу давления воды на вертикальную перегород-
ку в канале, имеющую форму полукруга радиуса а, диаметр которого
находится на поверхности воды
4 Обозначим через /(х) длину горизонтальной прямой, проведенной
на расстоянии х от АВ (рис. 69). Приняв полоску, содержащуюся меж-
ду горизонтальными прямыми, отстоящими от АВ на расстояниях х и р
x + dr, за прямоугольник с основанием 1(г) и высотой dx, можем прибли-
женно вычислить давление Р([т, х + dr]), испытываемое этой полоской, применив правило
334
Гл. 4. Определенный интеграл
гидростатики, согласно которому давление воды на полоску, погруженную в нее, равно пло-
щади полоски, умноженной на глубину погружения:
Р([х, х + dx]) ss ri(x) dx = 2х \/а2 — х2 dx.
Согласно формуле (1), п. 7.1, имеем
147. Диск толщиной h и радиусом г состоит из вещества с плотностью 6 и совершает п
оборотов в секунду. Какую работу нужно затратить, чтобы его затормозить?
Согласно теореме об изменении кинетической энергии, ее приращение за некоторый
промежуток времени равно работе, совершенной приложенными к телу силами за тот же
промежуток времени:
Т - То = А.
Здесь Т — кинетическая энергия в конечный момент, То — начальная кинетическая энергия
тела, А — работа внешних сил. Поскольку тело абсолютно твердое, то работа внутренних
сил равна нулю.
В конце промежутка времени тело остановилось, значит, Т = 0. Следовательно, То = —А.
Знак минус соответствует затрачиваемой работе.
При вычислении кинетической энергии выделим кольцевой цилиндр радиуса р, 0 < р т,
толщина которого dp. и высота Л. Его объем с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка, чем dp, равен iirhpdp, а масса dm равна 2it6hpdp (рис. 70).
jp Линейная скорость v точек диска, находящихся на расстоянии р от оси
вращения, равна шр; где ш — угловая скорость диска. Так как диск совер-
шает п оборотов в секунду, low - 2тп с-1. Следовательно, v = 2кпр.
Кинетическая энергия кольцевого цилиндра приближенно равна
dTo — — dm
— ш2 р2 dm = ir6w2 hp3 dp.
Согласно общей схеме применения интеграла, получаем
Рис. 70
То = ir6h J <j2p3 dp — 4ir3Sn2h j p3 dp = xi6nihri.
о о
Следовательно, A = —To = —T3Sn2hr*. ►
F e; I et F 148. Электрические заряды отталкивают друг друга с си-
J а I -Л Л • —и 61 ез
Т R лои —2~ - где ei и ег —величины зарядов, аг — расстояние
между ними. Определить работу, необходимую для того, что-
Рнс. 71 бы приблизить заряд ез = 1 к заряду из бесконечности на
расстояние, равное Я.
Элементарная работа dA равна произведению силы на
элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением
перемещения: dA « Fcosa dr (рис. 71). В рассматриваемом случае имеем dA = F2 dr cos ir =
-F2dr = — ^ dr, так как A = 7J. Согласно общей схеме применения интеграла, находим
Я
Упражнения для самостоятельной работы
140. Однородная прямоугольная пластина со сторонами о и & разбивается на две части
параболой, вершина которой совпадает с одной из вершин прямоугольника и проходит через
его1 противоположную Рершмиу. Найти центры тяжести верхней Sj и нижней , частей
прямоугольника: ’ 1- < ; к ,
§ 7. Примеиеяле определенного кнтеграла
335
147. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной осями коор-
динат и параболой у/х 4- ^/у = -/а.
148. Найти статический момент однородной фигуры, ограниченной графиками функций
х >-» и т I-* х2, х G R, относительно оси Ох.
149. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, Ограниченной графиком
функции, заданной уравнением у2 = ах3 — х*.
150. Найти декартовы координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной
графиком правой петли лемнискаты Бернулли р2 = a2 cos 2^.
151. Найти декартовы координаты центра тяжести части логарифмической спирали р =
ее*, ~ т. •
152. Найти момент инерции боковой поверхности конуса, радиус основания которого R
и высота //, относительно его оси симметрии. 1
153, Найти положение центра тяжести однородного конуса.
154. Радиусы оснований усеченного прямого кругового конуса равны R и т, высота А,
плотность д. С: какой силой действует он на материальную точку массы гп, помещенную в
его вершине?
155. Капля с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно
испаряется, теряя ежесекундно массу, равную т. Какая работа силы тяжести за время от
начала движения до полного испарения капли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
156. Треугольная пластинка, основание которой а = 0,4м, а высота А = 0,3м, вращается
вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью о» = 5г с“*. Найти кинетическую
энергию пластинки, если толщина ее d = 0,002м, а плотность материала, из которого она
изготовлена, ц = 2200кг/м5.
157. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основа-
ние лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота h.
а) Вычислить силу давления воды на каждую из сторон пластинки. *
б) Во сколько раэ увеличится давление, если перевернуть пластинку так, что-на поверх-
ности окажется вершина, а основание будет параллельно поверхности воды? . ' -
158. Стержень длиной I вращается вокруг своего конца, совершая п оборотов в секунду.
Определить величину натяжения в точке прикрепления, если вес единицы длины стержня
равен <т, а центробежная сила для массы т, движущейся по окружности радиуса г с угловой
скоростью ш, равна тгш2.
159, Под действием нагрузки f проволока длиной I с поперечным сечением S и модулем
Юнга Е получает удлинение Д/ равное . Определить удлинение этой проволоки под дей-
ствием своей тяжести, если она висит вертикально. Удельный вес вещества проволоки равен
Д-
160. От нагрузки в 9,8 Н проволока растягивается на 0,01 м. Какую работу надо совер-
шить, чтобы растянуть ее на 0,04 м?
161. Какую работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы ради-
усом 1,2м и высотой 1 м, если плотность песка 2000кг/м3?
162. По закону Джоуля количество тепла, выделяемого постоянным током, равно Rct2t,
где с = 0,24 — постоянная, R — сопротивление, t — число секунд, i — сила тока. Найти
выделяемое тепло для переменного тока i = a cos bt.
163. По закону Торричелли скорость вытекающей жидкости равна y/2gh, где h — глубина
отверстия под уровнем жидкости. Определить время вытекания воды из конической воронки
с вершиной внизу, имеющей площадь основания Р, высоту h и отверстие в вершине площадью
<т
1G4. Цилиндр радиуса 0,15 м и высотой 0,6 м наполнен воздухом под давлением 9,8 •
10* Н/м2. Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объема в два
раза меньшего?
1G5. Точка движется по оси Or, начиная от точки (1, 0), так что скорость ее численно
равна абсциссе Где будет находиться точка через 10с после начала движения?
*36
Гл. 4. Определенный интеграл
§ 8. Интеграл Стилтьеса
8.1. Верхний и нижний интегралы Стилтьеса. Критерий интегрируемости.
Пусть f 3 —' R, 3 = [а, 6], — ограниченная на сегменте 3 функция, а : J — R
— неубывающая на атом сегменте функция, П = {а = хо, ij, , хя » i) — произвольное
разбиение сегмента 3. Образуем верхнюю и нижнюю интегральные суммы
а) = 57 М, Ал,, 5п(/, а) = 57 т' Да"
•=о - >=о
где
М, — sup {/(х)}, т, = inf Дл, = a(z!+t) - «(г,),
и введем в рассмотрение числа
I f da — inf{Sn(/. «)}> I f da = sup{,Sn(/, a)},
J <n5 J {(!} -
которые называются соответственно верхним и нижним интегралами Стилтьеса.
Определение. Если f f da = f f da, то общее значение верхнего и нижнего интегралов
назовем интегралом Стилтьеса функции f по функции а (или относительно функции а)
и обозначим его
У /(x)da(x).
Множество всех функции /, интегрируемых по Стилтьесу относительно функции о на
сегменте [а, Ь], обозначим / € S(or)[a, >].
Из этого определения следует, что при «(х) = х интеграл Стилтьеса совпадает с интегра-
лом Римана функций f на сегменте 3
В общем случае функция а .может быть разрывной на 3 - Функцию а называют инте-
грирующей функцией.
Теорема (критерий интегрируемости).
f € 5(«)[a, Ь] 4> Ve > О ЭП : 0 Sn(f, «) - Sn(f, «) < е.
8.2. Интеграл Стилтьеса как предел интегральной суммы,
Пусть П—произвольное разбиение сегмента 3, ^(П) = так Дх;. На каждом сегменте
(т,, x,+i] возьмем произвольную точку £ и образуем сумму
5п(/, «) = £>«.) А«.,
,=0
которую назовем иншегрольной сумной Стилтьеса.
Полагаем lim Sn(f, аУ=/, если
<П)-.О '
Ve > О Эй > 0 : УП A d(H) < 6 |5п(/, а) — /| < е.
Теорема. Если:
1) при </(П) —» О Э Km Sn(f, «}, то f € 5(ft)[a, Ь] и
Кт 5п(/, «} = / /(x)da(x);
<П)~о J
$ в. Интеграл Стилтьеса
2) f € .?(«)[«, ЭД а ё С[«, ЭД то Э^Мш Sn(f, «) = J" f(x) do^z).
Эта теорема устанавливает два эквивалентных определения интеграла Стилтьеса-^
8.3. Основные свойства интеграла Стилтьеса. *- * ' ’ * • .1
Теорема 1. Если: . , _
1) f ё S(o)[a, 6], д ё S(cr)[a, 6], то (jf+.^j € ^(а^а/ЭД1с/ ё S(a)[a, ЭД с = 63Pst,'U яры
этом ' ' ' ' ' ‘ ' ’’ '
Ь ь ь ь ь
j(f + g)(x}da(x) = / f(x)da(x) + j g(x)da(x), J' c/(x)'da(*) = c j f(x)da(x)-,
a a a a A
2) f, g ё S(ft)[a, ЭД /(i) 9(z) Vz € 3, mo
ь ь
J f(*)da(x)^ У 9(z)da(z);
3) f ё <S,(a}[a, 6] u если e ё ]«, b[, mo f ё ?(«)[«, с] Л f ё S(ft)[c, Ь] u при этом
с ' b Ъ
У /(x)da(®) + У f(x)da(x) = У f(x)da(x)-,
4) f ё -S’(o)[a, 6] u если |/(z)| M Vz ё 7, mo
I I
У f(x) da(x) M(d(b) - «(«));
5) f ё S(ai)[a, 6] и f ё S(a2)[e> ЭД mo f ё <S(aj + Лг)[а, Ь] « при этом
ь ь b
У f(x) d(aj + aa)(x) = j f(?)dai(x) + j f(x) dotj(x);
6) f ё 5(a)[a, 6] и c — положительное число, mo f ё S(ca!)[a, Ь] и
У Л«И(со(х))= с У /(x)da(x).
Следует отметить, что в случае интеграла Римана справедливо и обратное свойству 3)
утверждение- если f ё Л [а, с] и / ё Л[с, 6], mo f ё Л[я, 6].
Для интеграла Стилтьеса из существования f f(x)da(x) и //(х) dafx) не следует, вооб-
о с
6
ще говоря, существование J /(i)do(z).
Теорема 2. Пусть f ё 5(a)[a, ЭД А /(z) В Ух ё [«, Ь], <р ё С[Л, Я] и д = ip о f :
[a, 6] —♦ и?. Тогда д ё ,5'(о)[а, 6].
Теорема 3. Если f ё 5(«)[а, 6] и д ё .9(л)[а, 6], то:
1) /У € 5'(а)[«. 6];
2) 1/1 ё S(a)[a Ь] и I//(х) do(z)| f |/(®)| da(x).
О Если а разрывна, то возможен случай, что / £ S(c»)[a, Ь], а lim о) не существует (см.
иркмер 154).
338
Гл. 4. Определенный интеграл
Теорема 4 (формула интегрирования по частям). Пусть f : [а, 6] —► R, д : [а, 6] —. Щ
и существует какой-либо из интегралов Стилтьеса J /(z)dg’(r), f 9(r)d/(z). Тогда суще-
ствует и другой интеграл, причем справедлива формула
У f(x)dg(x) = /(z)s(z)£ - у g(x)df(x). (1)
8.4. Классы функций, интегрируемых по Стилтьесу.
Теорема 1. Если функция f непрерывна на сегменте [а, Ц, то f ё 5(а)[а, 6].
Теорема 2. Если функция f монотонна на сегменте [а, 6], а а ё С[а, 6]. mo f ё 5(сг)[а, 6].
Теорема 3. Если f ё Я[а, 6], а а удовлетворяет условию Липшица на [а, £>], mo f ё
5(«)[а, Ь). _ _ _
Пусть h : J —- R — ф\ икция ограниченной вариации на сегменте J = [а, Ь], f : J —<• R —
произвольная функция. Согласно теореме 4, § 5, функция h представима на J в виде
Л = «-0,
где а и 0 — неубывающие иа этом сегменте функции.
Определение. Полагаем
ъ ь ь
У У f(i)da(i)-У (1)
если f ё .^(nrjta, 6], f ё .$(/?)[a, Ь], и при этом будем писать f ё S'(A)[a, 6].
Теорема 4- Если f ё R [а, Ь], р ё Л[«, J], g{x) = уо + j <p(t) dt, a x 6, ya = const, mo
f € S(y)[a, Ь] и мри этом
b ъ
У = J/(«)»>(z) dx. (2)
8.5. Вычисление интеграла Стилтьеса.
Теорема. Пусть f ё С[а, Ь], а функция д кусочно-непрерывна на [а, 6] и ижеегп инте-
грируемую на этом сегменте производную д', которая существует в каждой точке непре-
рывности функции д. Пусть г* = в, х*, ... , z^ = Ь — точки разрыва функции д и ее
производной д'. Тогда справедлива формула
У f(x)dg(x) = у f(x)g'(x) dz +/(а)(9(а + 0) -у(а)) +
+ /(b)(s(b) - g(b " °)} + 52 + о) - g(xt - o)). (i)
Kel
8.6. Теорема о среднем и оценка интеграла Стилтьеса.
Теорема 1. Пусть f : [а, Ь] —» R, т /(т) М Vz ё [в, Ь], g : [а, Ь] — R не убывает на
[а, Ь] и / ё £(9)[а, Ь]. Тогда справедлива формула
ь
у/(l)dj(!) =д(г(6) -»(«)), (1)
где т д .
§ 8. Интеграл Стилтьеса 339
Следствие. Если f € С[а, Ь], п»о 3$ € [а, Ь]; , • •. ।
ь
Теорема 2. Если f € С[а, Ь] и д [а, Ь] —* R — функция ограниченное вариации на [а, Ь],
то справедлива оценка , > 1
6 |
У/(x)de(z) в JWV(S; а, И, (3)
“ I
где М = inaxjj(x)], V(д; а, 6) — полная вариация функции д._
149. Пусть функция а возрастает на [а, Ь], а хо Ь, а непрерывна в точке хо,
/(хо) = 1 и /(х) — 0, если х х0. Доказать, что f € S*(a)[a, b] к f(x) дст(х) = 0.
Ц Из непрерывности функции nr в точке хо следует, что
Уе > 0 3 6 > 0 : Vx € .S(xo, 5) =3- |nr(x) — ar (io)| < .
Пусть П — такое разбиение сегмента [а, Ь], что й(П) < 6. Если точка хо принадлежит
сегменту [х«, x,+i] при некотором 0 м - 1, то .5'п(/, «) = аг(т,+ 1) — а(х<) = ar(ii+i) -
о(хо) + п(хо) — о(х,) < е, 5п(/, а) = 0, следовательно,
К ЗД, “) ~ Sn(A “) < е и fgS(a)[a, 1].
Поскольку Sn(f, п) = 0 при любом разбиении П сегмента [а, Ь], то
/ f da = sup{Sn(/, «)) = / /(х) da(x) = 0. ►
J {П} - J
150. Функции : [—1, 1] -rR, J = 1, 2, 3, определены следующим образом: ДДт) = 0,
если x < 0, (х) = 1, если х > 0, /31(0) = 0, $г(0) = 1, /?з(0) =
Пусть f — ограниченная функция на [—1, 1].
а) Доказать, что f € S(/Ji)[—1. 1] О /(+0) = f(0) и что в этом случае
У /(х)ад(г) = /(0).
-1
б) Сформулировать и доказать аналогичный результат для $г-
в) Доказать, что f € Л’(/?з)[-1, 1] f непрерывна в точке х = 0.
г) Пусть / непрерывна в точке г — 0. Доказать, что
У /(»)(1Л(1) = у /мад(х) = у =
—1 —1 —1
а) Необходимость Если f ё -S(/?i)[—1, 1], то, согласно свойству 3), теорема 1, п. 8.3,
t е .!(«>)[-!. «1Л / е Ч ЛУfW = IЛ*) +1'«’Л*!-JfW
-1-10 о
340
Гл. 4. Определенный интеграл
о
так как / = °-
—1
Из существования f f(z)dfli(z) следует, что Ve > О существует такое разбиение П cer-
ci
мента [0, 1], что
OSJW, /31)-£□(/, /31) <е.
Поскольку /3i(i.+i) — /31 (х>) = 0, если 1 0, и /31(Х1) — /31(хо) = 1, то
О 5п(/, /3.) - Sn(f, /31) = Шй < е, (1)
где шо — колебание функции f на сегменте [хо, zi] = [0, п]. Тогда для любого разбиения П*
такого, что Й(П*) < г£(П), получим неравенство
Sn* U, 0!) - Sn> (f, /31) = < е, (2)
из которого, согласно критерию Бэра, следует, что функция f непрерывна справа в точ-
ке х ~ 0:
/(+0) = /(»)
Достаточность. Пусть /(+0) = /(0), т. е. функция f непрерывна справа в точке х = 0.
Тогда Vs > 0 35 > 0: на интервале ]хо, хо + 5[ колебание о>/ функции f удовлетворяет
неравенство < е.
Возьмем произвольное разбиение П сегмента [—1, 1], в которое входит точка х = 0, такое,
чтобы й(П) < 5. Тогда 0 Sn(f, /31} — Su(f, /31) < е, следовательно, f € S(/3i)[—1, 1].
Поскольку при любом разбиении П сегмента [—1, 1], содержащем точку г = 0, выполня-
ются неравенства
(3)
где m 1 — inf (/(ж)}, Mi = евр {/(х)}, и Em mi = Em Mi = /(0), то
O^xijxi «1—+0 »i—+0
/(»)
б) Рассуждая аналогично, получаем
/ е дая)[-1,1] « Л-0) = /(0),
и при этом J /(х) rfft(z) = /(0).
в) Пусть П — произвольное разбиение сегмента [—1, 1] и точка х = 0 не входит в П.
Если 0 € }zj, Zj+i[, то Sn(f, /Зз) — £з) = где Wj — колебание функции f на сегменте
[x,, Zj+i]. Следовательно, (ш} — 0 при d(D) — 0} (/(—0) = /(0) V /(+0) = /(0) V /( —0) =
= /(0)Л/(+0) = /(0)).
Если точка т = 0 входит в разбиение П и принадлежит сегменту [ij, X;+i], то S-n(f, /Зз) —
.5п(/, /Зз) — где — колебание функции / на сегменте [х7, 0], —
колебание функции / на сегменте [0, zy+i]- Следовательно,
Sn(/, /Зз) - Sn(f, &з) -» 0 при Й(П) -» 0 <?> lim /(z) = /(0),
т. е. непрерывна в точке х — 0. Таким образом, (/ € 5(Дз)[-1, 1]) 4* (/ непрерывна в
точке х = 0, и прн этом
/(х) dfa(x) = /(0)}.
18. Интеграл Стилтьеса 341
г) Если f непрерывна в точке х = 0, то одновременно выполняются все предыдущие
случаи и при этом
У /(1)ад(1) = у /(1)^3(») = у д,)^5(1) = /(о). ►
-1 -1 ,i . , ,‘-1 . ’
151. Используя обозначения задачи 15Q, дока^алъ^ что ^г,€ S(0i)[—1, 1] несмотря на то,
что lim .$п (Дг,/31) не существует? ’.........v
Л(П) — о , , , •
◄ Интегрируемость функции /За по функции /?j следует из случая а) примера 150, причем
У /ададй =>(<•) = !
При любом разбиении П сегмента [—1, 1] и произвольном выборе точек € [т«, z«+i],
i — 0, п — 1, имеем, если 0 € [т7, ®;+i]:
.ад,л)=Ейда(.и,)-(|,(.,))-{Ь'
Следовательно, lim 5п(/?з,/?i) не существует. ►
Этот пример показывает, что условием о € С{а, 6], о котором говорятся в теореме пункта 8.2,
нельзя пренебрегать.
152. Показать, что
У xd([n;]-x) = |. .
о
Интегрирующая функция г •—* [г] — т, 0 т 3, представлена в виде разности неубыва-
ющей функции х •—* [х], 0 х 3, и возрастающей функции х х, 0 х 3, следовательно,
согласно определению интеграла Стилтьеса по интегрирующей функции ограниченной вари-
ации, имеем
3 3 3
У х d([z] — г) = J х d[z] — J х dx,
о оо
Функция I н-0 j (, 3, терпит разрывы первого рода в точках х = 1, х = 2 и х = 3, а
функция / непрерывна в каждой точке сегмента [0, 3], поэтому, согласно
решению примера 151, получаем
з
У х ф] = /(1) + /(2) + /(3) = 6.
Поскольку fitix = |, то окончательно имеем
о
у ij(H-i) = е -1 = |.».
о
153. Пусть р, — точки сегмента [а, 6] такие, что а = ро < Pi < < Рп = i- Пред-
положим что функция д : [а, 6] —> R не убывает на сегменте [а, Ь] и постоянна на каждом
интервале ]р>, j>,+1[, i = 0, п — 1 Пусть / : [а, 6] —» R, / С С'[а, Ь]. Вычислить
342
Гл. 4. Определенный интеграл
4 Функция д терпит разрывы первого рода в точках р,, а функция f непрерывна на
сегменте [а, 6]. На основании решения примера 151 можно утверждать, что f G >Ь’(?)[а, Ь],
причем
ь
У /(х) dj(x) = Z(po)(tf(po +0) -з(ро)) +
+ 22/(р-)((л(р- + 0) - ?(р.)) + (д(р;) -з(Р' - °))) + /(рп)(з(₽п)-д(р» - 0)) =
= /(«)(^(« + 0) - ?(-*)) + £ Лр'Шр- + °) - я(р. - 0)) + Л W) - д(Ъ - о))- ►
154. Пусть G(x) = + д(х), а г Ь, где h G С^^[а, 6], h'(z) > 0 Vi 6 [а, 5], а у и
f — функции, заданные в предыдущем примере. Вычислить
У W»)-
◄ Поскольку G — неубывающая на сегменте [а, 6] функция, равная сумме двух неубыва-
ющих на этом сегменте функций, то, согласно формуле (1), п, 8.5, имеем
У /(x)dG(x) = У f(x)dh(x) + У f(x)dg(x).
Поскольку h G С‘(15[а, Ь], то f /(i) dh(x) = f /(г)Л'(т) dx, следовательно, получаем
У f(x)dG(x) = У f(x)h'(x)dx + У f(x)dg(x),
где f f(x)dg(x) вычисляется по формуле, полученной в предыдущем примере. ►
155. Пусть f е С[а, Ь], р ё Я [а, Ь], р(х) 0 Ух € [а, Ь]. Доказать, что
ь ь
J f(x)dP(x) = У f(x)p(x)dx,
где Р(х) = Jp(t)dt, а х Ь.
а
-4 Рассмотрим произвольное разбиение П сегмента [а, Ь] и составим интегральную сумму
Стилтьеса функции / по функции Р:
п—1 п—1 ’i-1
Sn(/,P) = $3/«.)(P(*.+1)-P(».)) = $3/«.) / f. e [*., ».+.]•
nO i=0
Составим также риманову интегральную сумму интегрируемой на сегменте [а, Ь] функции /р:
п—1
Sn(fr) = 22/(f.)p«.)ix.
Интеграл Стодмеса
343
и рассмотрим разность < 1 '•
W. Р)-Л1(Л>) = £/«.) р(х)<гх-р(«0й.«^
Согласно первой теореме о среднем, имеем
У р(х) dx = th Дх,,
где т, — inf {р(х)}, М, = sup {р(х)}. Принимая во внимание оценку |/(х)] М,
а х 6, М = const, неравенство |д, — p(f.)| ш,, где и>, — колебание функциир на сегменте
[г,, т,+ 1], а также интегрируемость функции р, получаем, что Ve > 0 35 > 0:
|Ап(/, Р) - Sn(fp)\ М А*»
для каждого разбиения П, для которого </(П) < S,
Таким образом, 3 ^Hm 5п(/> P)=^lim 5п(/р) = /f(x)p(z)dx. Следовательно,
/€S(P)[a, 6] и У f(x)dP(x) = У f(x)p(x)dx.
156. Вычислить / xdg(x), где
з(») =
если — 2 х '
если — 1 < х < 0,
если 0 х 2.
•4 Функция д имеет скачки, равные 1, в точках х = — 1 и х = 0, а ее производная д'
имеет вид
{1, если — 2 х < — 1,
0, если — 1 < г < 0,
2г, если 0 < х 2. ’
Применяя формулу (1), и. 8 5, получаем
2-12 -1
У xdg(x) = У xdx + 2 У х2 dx + (-1) 1 4-0 1 = у | + |х3 - 1 = ►
—2—20 2
157. Пусть на сегменте [а, 5] оси Ох расположены массы, непрерывно распределенные
и сосредоточенные в точках х}. j = 1, п. Найти статический момент этих масс относительно
начала координат. „
•< Пусть г t— Ф(х), а х Ь, — количество массы на сегменте [я, х] С [а, 6], причем
Ф(я) = 0. Тогда ф — неубывающая функция. Пусть П — произвольное разбиение сегмента
[а, 6] на п частей. Тогда на сегменте [х,, x.-ц] содержится масса Ф(х<+1) — Ф(х,) = ДФ(х,).
В частности, на сегменте [хо, xi] содержится масса Ф(х^ — Ф(а) 0 (в силу предположе-
ния Ф(в) = 0). Считая в каждом случае массу сосредоточенной на правом конце сегмента
[xi, а,+1]. получим приближенное значение статического момента dM всей массы относи-
тельно начала координат в виде
сШ s= ДФ(х.) = .5п(я, Ф),
г=0
344
Гл. 4. Определенный интеграл
где 5п(®, 4*) — интегральнав сумма Стилтьеса функции х по функции Ф. Переходя к пределу
при </(П) —» 0. получим для вычисления искомого статического момента М формулу
М = J х ЙФ(т).
Если х ь- д(х) — линейная плотность непрерывно распределенной массы, то ф'(х) = ц(х)
В точках Zj, j 1, т, функция Ф разрывна и в каждой из этих точек ее скачок равен
массе т}.
Применяя формулу (1), п. 8.5, для вычисления интеграла Стилтьеса, находим
f т
М = I x/i(x)dx + ^^х}т3. >
Полученная формула показывает, что интеграл Стилтьеса позволяет объединить с помо-
щью одной интегральной формулы разнородные случаи непрерывно распределенных и сосре-
доточенных масс.
Упражнения для самостоятельной работы
2
166. Пусть f : х н- sin х, : г i-i2 - Зх-)-5, 0 х у. Вычислить f f(x) d<f(x).
о
167. Пусть х3, 0 х 1, : х •-* к, если < х £, -?(0) = 0, к = 1, п.
Вычислить J /(x)d<p(z).
о
5
168. Пусть f : х к- х, <р : х >-► [х2], 0 х 5. Вычислить J f(x) dip(x).
о
169. Пусть /: j м s’, 0 $ г 1, <р(х) = 0, если х 6 [0, [ и х € ] 1], <Р (|) = 1-
Вычислить J/(x)dip(x).
о
170. Пусть / : х н-► х2, 0 х 1, <₽(х) = 1, если х € ]0, 1[, <₽(0) = V’(l) = 0- Вычислить
//(»)
о
з ГО, если х = — 1,
171. Вычислить f х dip(x), где <₽(х) = < 1, если — 1 < х < 2,
-1 t —1, если2^х^3.
2 2 2
172. Вычислить f xd<p(x), f x2dip(x), f (x3 4-1) dip(x), где
-2 -2 -2
{I + 2, если — 2 x —1,
2, если — 1 < x < 0,
3, если 0 х 2.
173. Пусть / — функция ограниченной вариации на сегменте [0, 2т] и /(2т) = /(0).
Доказать, что каждый из интегралов
Зя 2г
J" /(х) ом nx dx, f /(x)sinnx dx
a о
не превосходит UZdLZil по абсолютной величине.
§ 9. Прнблкжешцое ш«чяш№ва,<№ретавмж1а квтегрдлоа 345
§ 9. Приближенное вычисление, определенных
интегралов ' ?
1е. Формула прямоугольников. Екзш функция у(х) € С^х^[а, 6]; h = —х,- = а + th
(i = 0, 1,... ,п); у(х,) = у,, то
y(x).(ix = h (у0 + yi +1- • •'+ Уп-*) +"Яп‘, ' '111 ' ’’ ' '
где й„ = (b~°}fiy'{£), « $ £ $ Ъ.
2°. Формула трапеций. Если у — j/(x) € [а, 6], то при тех же обозначениях имеем
J y(x)dx = h + Уп -j- У1 -j- уз -j-... -j- 4- Я»,
где Rn = а ^.Ъ.
3°. Формула парабол (формула, Симпсона). Цуст^ у = у(х) € С^4^[а, б]. Полагал
п = 2к, можно получить формулу Симпсона
[ у(х) dx = у ((уо + У2к) + 4(yi 4- Эз 4- ... 4- y2ft_L) 4- 2 (#2 4- »*'+-.- + У2*-а)) + &п,
где R„ = а £ < < ft.
Примечание. Если имеет место формула
||г — з||о = max[z, — z,| Мhn,
где z, — приближенное значение величины z,, вычисленное но некоторой формуле, то говорят,
что эта формула в некотором классе функции имеет п—й порядок точности (М > О — постоянная,
не 'зависящая от /i).
Таким образом, формула прямоугольников имеет в классе у 6 6] первый порядок точности,
формула трапеции в классе у 6 С^2^[а, 6] имеет второй порядок точности, формула парабол в
классе у Е 6] имеет четвертый порядок точности.
Часто вместо нормы || • ||о берут другие специальные нормы, выбор которых зависит от характера
решаемых задач В дальнейшем отрезок [а, Ь] с выделенными на нем точками xi — a 4" ih (t =
О. 1,.. , >i) будем называть равномерной сеткой с шагом Л; точки деления т, называются узлами
сетки
158. Применяя формул}' прямоугольников (п = 12), приближенно вычислить 7 =
2г
У х sin х dx и результат сравнить с точным ответом,
о
Ч Рассмотрим равномерную сетку на отрезке [0, 2тг] с шагом h — тогда г, = (i =
О, 1,2,..., 12). По формуле прямоугольников, имеем
346
Гл. 4. Определенный интеграл
(взяли х яг 3,14; \/3 as 1,73). Точное значение интеграла 1= — 2х — —6,28... . ►
159. С помощью формулы трапеций вычислить интеграл
2 _____________
/ < /1 — — sin2 х dx (n = 6)
и оценить погрешность формулы.
◄ Построим на отрезке [о, у] равномерную сетку с шагом h = {г, —
t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. По формуле трапеций
= (2 + \/з + х/14 + л/3 + у/15 + л/14 + д/13 + \/14 - д/з) и
3 142 3 142 22 422
= -^g- (3,732 + 3,966 4- 3,873 + 3,742 + 3,606 + 3,503) « д 1,4677.
Оценим погрешность формулы трапеций; для этого оценим Rn- Очевидно, |ДП| $
В нашем случае шах ( \/1 — 7 sin2 х ) —Ц—.
/ | ,W14
Таким образом, |ЯП| 2, *3 < 0,002. ►
160. С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл
Чгь
о
◄ Деля отрезок [0, 1} на четыре равных части (Л = по формуле Симпсона имеем
I Я £ ((*> + Я) + 4(|Н + уз) + 2у2) » £(1 + 0,5 + 3,76471 + 2,56 + 1,6) = 0,78539. ►
161. Принимая « = 10 , вычислить константу Каталана
G=J^dI
Построим равномерную сетку с шагом h = 0,1 {ц = tft; t = 0, 1,..., 10} и вычислим
приближенно G по формуле Симпсона
G = 30 ((*» + »>о) + 4(?1 + Уз + уз + у? + уд) + 2(у2 + + ye + Ув)) •
Вычисляя соответствующие значения функции с точностью до пяти знаков после запятой,
получаем уо *=> 1; ую «= 0,78540; уо + Ую = 1,78540; yi == 0,99668; уз = 0,97152; у5 = 0,92730;
§ 9. Приближенное внгаклвжяе определенных интегралов
347
у7 = 0,87246; уъ = 0,81424; 4(ty + »з + »s + Ут + уе) = 4 • 4,58220 = 18,32880; у2 = 0,98698;
у« — 0,95127; у$ = 0,90070; yt = 0,84343; 2(у2+у<+уе + уа) — 2-3,68238 = 7,36476. Подставляя
вычисленные значения, находим
1,78540 + 18,32880 + 7,3647. =
30
/
162. Пользуясь формулой
dx
1 +т2’
ВЫЧИСЛИТЬ ЧИСЛО X с точностью до 10'
4 Мы уже вычислили в задаче 160 интеграл f 7^7? с помощью формулы Симпсона, взяв
о
2 . Оценим погрешность формулы. Поскольку (см. пример 77, гл. II)
1 + т2
(—1)п«|
—1---- n+1 sin ((п + 1) arctg а),
(1 + х2) —
то 4! при х € [0, 1], следовательно,
4*
1
1920
и 5 • 10“*.
Используя результат задачи 160, находим ir ft 4 • 0,78539 = 3,14156- Сравнивая получен-
ный результат с табличным т = 3,141592... , видим, что все четыре цифры после запятой
правильны. ►
163. Вычислить j е1 dx с точностью до 0,001.
о
4 Вычислять интеграл будем по формуле Симпсона; поскольку | | $ 228 при
I е [о, 1] , то шаг сетки выбираем из условия (оценивая погрешность формулы парабол) Л1 <
10-*.
Деля отрезок [0, 1] ка 10 равных частей, получаем
] d£ “ Jo + + + + 96 + 9т + 90 + 2<w + Vi + Уб + 9®^
о
Вычислим значения функции е1? в узлах сетки с точностью до 10-5 (можно вычислить,
используя, например, формулу Тейлора). Имеем уо = 1, ую « 2,71828, у\ ~ 1,01004,
уз « 1,09417, уз as 1,28733, ут « 1,63230, у9 « 2,24789, у2 as 1,04081, yt as 1,17351,
ye as 1,43332, ya к 1,89648, уо + ую « 3,71828; 4(yi 4- y3 + ys + yr + Уз) « 4-7,27173 = 29,08692;
2(y2 +У4 +у6 + Уз) as 2 -5,54412 = 11,08824;
У dz и ^(3.71828 + 29,08692 + 11,08824) = » 1-46311.
Получили три верных цифры после запятой. ►
164. Вычислить У (е1 — 1) In — dx с точностью до 10-4.
о
◄ При л — 0 (е1 —1)1п- — 0, поэтому интеграл Римана существует Производная
четвертого порядка подынтегральной функции имеет весьма сложный вид и оценить ее труд-
но; более того, уже первая производная подынтегральной функции неограничена на [0, 1] В
348
Гл. 4. Определенный интеграл
принципе мы можем воспользоваться формулой Симпсона, однако оценку погрешности про-
извести не сможем. Поэтому поступим следующим образом. Разложим по формуле Тейлора
функцию 1 — ег по степеням г:
1 х ( j. х2 _i_ х3 _l х* _i_ х5 х6 Dt \
=-C + y + T + S + S + Ho,)+BW’
где R(x) = 0 < с < 1. Запишем подынтегральную функцию в виде
/(х) = (1 — в*) In х
и обозначим через уз(х) функцию
(2 3 „4 5 б X
XXX X X 1
* + Т + Т + ^ + П5 + ™/
Очевидно, /(х) = <r’(I) + Л1 (х), где R\ (х) = х/?(х). Оценим | Ri (х)| = |1п *7‘ 1 | при х £
[О, 1]. Поскольку lim х71пх = 0; In 1 = 0, то функция jz| = |х71пх| достигает абсолютного
максимума в некоторой внутренней точке отрезка [0, 1]. Дифференцируя z(x), получаем
хДх) = х6 +7х61нх. Приравнивая нулю г’(х), находим, что в точке х = е. ? функция |z(x)|
достигает абсолютного экстремума, равного
шах lz(x)| = I--C"1 = —.
Так как |А(х)| < при х € [0, 1], получаем оценку |/(х) — <р(х)| = ]./?!(х)| < Таким
образом,
У (/(»)-V(i)) i! « У |/(г) - v(»)| de < < 10-*,
|о | о
поэтому вместо интеграла функции /(х) будем вычислять интеграл от функции v’(x) Задан-
ная точность будет обеспечена, если в процессе вычисления интеграла функции ^(х) погреш-
ность вычислений не превзойдет 10-4.
Интегрируя функцию 9?(х) по частям, имеем
y/(I)&=syyW^=*Wb>z|‘+y(i+^ + ii + ii + ^ + ^ de =
0 0 о
_ 1_ 1 1 1 1 1
~ 4 + 18 + 96 + 600 + б • 6! + 7 - 7! ’
где
= '-(т + Т + П + Й5 + Йо + 7г); = Wi) -ini - lim VW!»* = о.
С точностью до 10-в имеем
1 = 0,250000; Д-= 0,055556; — = 0,010417; — = 0,001667' -2—= 0,000231:
4 18 ’ ’96 600 ’ 6•6! ’
У (1 - e’Jlnz dx а 0,250000 + 0,055556 -|- 0,010417 -|- 0,001667 -|- 0,000231 = 0,317871 » 0,3179. №>
с
+ со
165. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл вероятностей I = j е-х dx.
о
349
$ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов
Интеграл сходится, поэтому У« > О ЭА1 > 0 такое, что при А Aj
Если мы нашли А], то можем записать при А
J е~х dx + й, где й = f е “ dx.
Возьмем е — 10 3 и постараемся определить оптимальное А, т.е. т&кое, чтобы промежуток
[0, А] имел по возможности небольшую длину. Проще всего поступить следующим образом:
допустим, мы нашли такое А, что f е-х dx < е; тогда и интеграл f е~*3 dx < е;
где А < £ < А + 1 (по теореме о среднем).
Полученное неравенство эквивалентно неравенству
Подставляя е = 10 3, получим
£ > VlnlOOO as >/6,907755 as 2,628
и в качестве А можем взять А = 2,6.
Можно получить более тонкую оценку для А. Допустим, найдено такое А, что
Произведя замену х2 = t [dx = , получим
+ <х> +«, 2
' = j/ /Л<27 / '‘Л=52Л--
А1 Д2
Из условия ' 2А < е находим Аел > In А + А2 > In откуда А > ^In - In А. Так
как должно быть А > 2 при е = 10-3 , под радикалом можем взять In 2 вместо In А:
А > Ип 1000 - 2 In 2 я </6,90775 - 1,38628 = >/5^5 2147 = 2,35.
Таким образом, взяв, например, А = 2,4, можем записать
+ ос 2,4
О < / е~х dx — I е~х dx < 10-э.
Наша задача сводится теперь к вычислению с точностью до 10 3 интеграла
350
Гл. 4. Определенный интеграл
Мы могли бы поступить здесь, как и в предыдущей задаче 164; аппроксимировать функ-
цию полиномом. Но в связи с тем, что промежуток интегрирования имеет длину 2,4, а
степени (2,4)п растут довольно быстро, нам пришлось бы для обеспечения нужной точности
взять больше 15 членов разложения в формуле Тейлора.
Интеграл I будем вычислять по формуле Симпсона. Найдем у^ функции у = е~х .
Поскольку yw = 4у (3 - 12х2 +4т4), то |у<4)(х)| $ 4(3 - 12 • 5,76 + 4 • 33,1776), х £ [0; 2,4],
гак как |e-l2| Ь а Функция z = 3 — 12а:2 +4х4 монотонно возрастает при х > Таким
образом, |y(4'(z) | sC 4 • 66,5904 = 266,3616, 0 х 2,4. Оценивая погрешность R формулы
Симпсона
находим для нашего случая
2,4.266,3616^.^ ^
1 1 " 180
Из условия |Я| < 10 3 получаем
Для получения заданной точности можем взять Л = 0,1.
Рассмотрим сетку на отрезке [0; 2,4]: шь = {х, = 0,1*; t = 0, 1,...,24}. Для обеспече-
ния заданной точности значения подынтегральной функции в узлах сетки будем вычислять
с пятью значащими цифрами после запятой. Имеем уо = 1; уц as 0,00315; yi as 0,99005,
у2 as 0,96079; уз as 0,91393; у4 « 0,85214; у5 » 0,77880; у6 « 0,69768; ут as 0,61263;
уъ as 0,52729; у* м 0,44486; ую « 0,36788; уп as 0,29820; у12 as 0,23693; уи » 0,18452,
уи as 0,14086; у!5 » 0,10540; у1е as 0,07731; ум as 0,05558; yis as 0,03916; у!9 « 0,02705;
У2о as 0,01832; y2i as 0,01216; y22 « 0,00791; y23 as 0,00504; y0 + У24 as 1,00315;
12 11
4 У" У2У-! » 4 - 4,42822 = 17,71288; 2 as 2 • 3,92627 = 7,85254;
(12 II \
\ 28 56857
уо +У24 + 4У^угу-1 + 2 У] y2j j as ——-as 0,8856.
Рассмотрим точное значение I = = 0,8862... , а также ошибку R = I — T = 0,0006 =
6 10-4. Полученная точность превысила заданную. ►
166. Приближенно найти длину эллипса, полуоси которого а = 10 и Ъ = 6.
4 Параметрическими уравнениями эллипса являются х = lOcosi, у = 6sini, 0 t 2я,
а длина его дуги
ir 1г
2 2
£ = 4 J 000cos21 + 36 sin21 dt — 8 J ч/ГТ + 8 cos 2x dx.
о 0
Вычислим интеграл с помощью формулы Симпсона, разделив отрезок [о, у] на 6 равных
частей (ft = jy). Будем вычислять значения подынтегральной функции в узлах сетки «л =
{»Л; « = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}:
у0 = 5, у6 = 3, yi = 1/17 + 4^3 и 03,928 » 4,892; у2 = >/17 + 4 = л/зТ as 4,583,
уз = У17 » 4,123; у4 = a/TT^I = У13 as 3,606; ys = 1/17 -4з/з as 00,072 as 3,174;
So + У* = 8; 4(yi + уз + ys} ~ 48,756; 2(у2 + у4) as 16,378.
Подставляя полученные значения в формулу парабол, находим:
L а ^(8 + 48.TS6 +16,378) = 6,283 & 51,056. ►
$ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов
351
167. Построить по точкам график функции у J —-
dt
(D х 2т), приняв Дх = у.
◄ Рассмотрим сетку ыь = {х, = у;'» » 0, 1, 2, 3, 4, 5, б}. Значения функции у(х) в узлах
сетки:
/sin .г,, / sin г . /sinx,
-—“«i; Уг ® уз = / --dx;
О' о о
3 3 2»
/sin х , / sin х , / sin х ,
—— dx; ys = / —— ах; ye = / —— dx.
О О fl
Задача сводится к приближенному вычислению шести интегралов.
Рассмотрим на отрезке [0, 2 т] сетку «ь = |х, = 12L; * = 0, 1,..., 24 }; очевидно, узлы сет-
ки u>h являются узлами сетки шь. Вычислять интегралы будем по формуле Симпсона.
у к Находя значения функции дискретного аргумента f, =
sinx. — _ ч. sinx, г
- ___ —у- в узлах сетки «ь, получим уо — шп —у1- = Гг ~
1 ^*"**s*s. 0,2618; yi « 0,2590; У2 = 0,25; у3 » 0,2359; у* й 0,2165;
у5 sa 0,1932; у8 ~ 0,1666; ут » 0,1380; у8 « 0,1083; уа «
/ 0,0785; $10 = 0,05; я 0,0235;.у32 = 0; §1Э « -0,0199;
---Г--------------7----------Ун « -0,0357; §15 ss -0,0471; й -0,0541; §п Ss
J 3---------------з Т " * —0,0568; у18 ss -0,0555; yi9 « -0,0508; §20 « -0,0433;
„ J21 » -0,0336; §22 » -0,0227; у23 « -0,0112; ум = 0,
Рно- 72 Очевидно,
1 2 9579
У1 = £ (j/о + У« +4(yi + уз) + 2у3) = — « 0,9860;
1 / _ _ у—' _ у—* _ 1 4,2568
Уб = - I уо + У24 + 4^ У2».-1 + 2 у yzk I = —-— as 1,4189.
При х б]0, jf[ у'(х) > 0> а при х €]т, 2т[ у'(х) < 0; у"(х) < 0 при х € ]о, ^р[. Таким
образом, у(х) в интервале ]0, т[ возрастает, а в интервале убывает; на интервале
] 0, у- [ функция у(х) выпукла сверху. График функции изображен на рис. 72. ►
Упражнения для самостоятельной работы
LO
174. Вычислить In 10 = / , используя правило Симпсона при п = 10. Найти модуль
о
перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Сравнить с табличным значением.