САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
И. И. ИВАНОВ, А. Ф. ЛУКИН, Г. И. СОЛОВЬЕВ
ЭЛЕКТРО-
ТЕХНИКА
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ,
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Издание второе,
исправленное
&
Санкт-Петербург
2002
ББК 31.5
И 20
Иванов И. И., Лукин А. Ф., Соловьев Г. И.
И 20 Электротехника. Основные положения, примеры
н задачи. 2-е изд., исправленное. — СПб.: Издательство
«Лань», 2002.— 192 с. Табл. 29, ил. 84, бнбл. 9. —
(Учебники для вузов. Специальная литература).
ISBN 5-8114-0460-3
Учебное пособие соответствует государственному образователь-
ному стандарту дисциплины «Электротехника» для студентов выс-
ших учебных заведений.
Изложены основные теоретические сведения, примеры решения
типовых задач, задачи и контрольные задания по основным разде-
лам курса «Электротехника». Приведены указания ц справочные
таблицы, что позволяет решать задачи без дополнительного спра-
вочного материала.
Печатается по решеншр редакционно-издательского совета Санкт-
Петербургского государственного технического университета.
ББК 31.2
Оформление обложки
С. Л. ШАПИРО, А. Ю. ЛАПШИН
Охраняется законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона
будут преследоваться в судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2002
© И. И. Иванов, А. Ф. Лукин,
Г. И. Соловьев, 2002
©Санкт-Петербургский
государственный технический
университет, 2002
©Издательство «Лань»,
художествеиное оформление, 2002
Предисловие
Настоящее учебное пособие предназначено для сту-
дентов не электротехнических специальностей высших
учебных заведений, изучающих курс «Электротехника»
в рамках бакалаврской и магистерской подготовки.
Более глубокому освоению этого курса способствует са-
самостоятельная работа, позволяющая использовать тео-
ретические знания для решения практических задач.
Самостоятельное решение практических задач по
электротехнике довольно часто вызывает большие труд-
ности, поэтому в пособии в каждой главе приведены
основные теоретические положения и формулы и при-
меры решения типовых задач. Большинство задач снаб-
жены ответами, что позволяет контролировать правиль-
ность их решения. Некоторые темы курса снабжены
контрольными заданиями.
Глава 9 написана профессором И. И. Ивановым,
главы 6, 8, задачи и контрольные задания к главам 1,
2 и 3 написаны профессором А. Ф. Лукиным, главы 1,
2, 3, (кроме задач и контрольных заданий) 4, 5, 7 —
профессором Г. И. Соловьевым.
Авторы выражают благодарность Л. Н. Забоиной и
Т. Г. Потаповой за помощь в подготовке рукописи к
изданию.
Авторы заранее благодарят читателей за замечания
и предложения по первому изданию учебного пособия
и постараются учесть их в следующих изданиях.
1
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
1.1.	Основные понятия, определения и законы
Электрической цепью называют совокупность уст-
ройств и объектов, образующих путь для электрического
тока, электромагнитные процессы в которых могут быть
описаны с помощью понятий об ЭДС, токе и напряжении.
Элемент электрической цепи, параметры которого
(сопротивление и др.) не зависят от тока в нем, называют
линейным, в противном случае — нелинейным.
Линейная электрическая цепь — цепь, все элементы
которой являются линейными.
Нелинейная электрическая цепь — цепь, содержащая
хотя бы один нелинейный элемент.
Электрическая схема — графическое изображение
электрической цепи, содержащее условные обозначения
ее элементов и способы их соединения. Электрическая
схема простейшей электрической цепи с источником
ЭДС, обладающим внутренним сопротивлением Д>, и
приемником электрической энергии с сопротивлением
Д,, представлена на рис. 1.1.
Ветвь электрической цепи (схемы) — участок цепи
с одним и тем же током. Ветвь может состоять из одного
или нескольких последовательно соединенных элемен-
тов. Количество ветвей в электрической схеме принято
обозначать буквой «р».
Узел — место соединения трех и более ветвей. Ветви,
присоединенные к одной паре узлов, называют парал-
лельными. Число узлов принято обозначать буквой «д».
Контур — любой замкнутый путь, проходящий по
нескольким ветвям.
6
Электротехника
Независимый контур —
контур, в состав которого
входит хотя бы одна ветвь,
не принадлежащая другим
контурам. Число независи-
мых контуров в электричес-
кой схеме п = р - (q - 1).
В электрической схеме,
представленной на рис. 1.2,
три узла (q = 3), пять ветвей
(р = 5), шесть контуров и
три независимых контура (п = 3). Между узлами 1 и 3
имеются две параллельные ветви с источниками ЭДС
Ег я Е2, между узлами 2 и 3 также имеются две
параллельные ветви с резисторами и
Условные положительные направления ЭДС источ-
ников, токов в ветвях и напряжений между узлами или
на зажимах элементов цепи необходимо задать для пра-
вильной записи уравнений, описывающих процессы в
электрической цепи или ее элементах. На электрических
схемах их указывают стрелками (см. рис. 1.2):
а)	для ЭДС источников — произвольно, при этом
полюс (зажим), к которому направлена стрелка, имеет
более высокий потенциал по отношению к другому по-
люсу (зажиму);
б)	для токов в ветвях, содержащих источники ЭДС —
совпадающими с направлением ЭДС, во всех других
ветвях — произвольно;
в)	для напряжений — совпадающими с направлением
тока в ветви или элементе цепи.
Рис. 1.2
Электрические цепи постоянного тока
7
Источник ЭДС на электрической схеме можно заме-
нить источником напряжения, при этом условное поло-
жительное направление напряжения источника задается
противоположным направлению ЭДС (см. рис. 1.2, на-
пряжения Ц\ и U2).
Закон Ома для участка цепи:
1 = % или U = RI.
Л
(1.1)
Для ветви 1—2 (см. рис. 1.2): U3 = Я^з — называют
напряжением или падением напряжения на резисторе
/?з I3 = U3/R3 — ток в резисторе.
Первый закон Кирхгофа: сумма токов в узде равна
нулю
т
14 = 0,	(1.2)
* = 1
где т — число ветвей, подключенных к узлу.
При записи уравнений по первому закону Кирхгофа
токи, направленные к узлу, берут с одним знаком, как
правило со знаком «плюс», а токи, направленные от
узла; — с противоположным знаком. Например, для
узла 1 (см. рис. 1.2) Д + 12 - 13 = 0.
Второй закон Кирхгофа. Формулировка 1: сумма ЭДС
в любом контуре электрической цепи равна сумме па-
дений напряжений на всех элементах этого контура
пт	т
£ел = £ял = £е4,	(1.3а)
*=i	*=i	*=i
где п — число источников ЭДС в контуре, т — число
элементов с сопротивлением Rk в контуре, Uk = Я*/* —
напряжение или падение напряжения на k-м элементе
контура.
Формулировка 2: сумма напряжений на всех элемен-
тах контура, включая источники ЭДС, равна нулю, т. е.
8
Электротехника
т
£*4 = о.	(ьзб)
*=i
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа
необходимо:
1)	задать условные положительные направления ЭДС,
токов и напряжений;
2)	выбрать направление обхода контура, для которого
записывается уравнение;	\
3)	записать уравнение, пользуясь одной из формули-
ровок, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут
со знаком «плюс», если их условные положительные
направления совпадают с направлением обхода контура,
и со знаком «минус», если они противоположны.
На	пример, для контура П (см. рис. 1.2) при указанном
направлении обхода уравнения имеют вид
А-ЯвЛ + ВД + ЛЛ, (формулировка 1)
- и2 +	+ и8 + и4 = 0. (формулировка 2)
Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться и для
определения напряжения между двумя произвольными
точками схемы. Для этого в уравнения (1.3) необходимо
ввести напряжение между этими точками, которое как
бы дополняет незамкнутый контур до замкнутого. На-
пример, для определения напряжения (см. рис. 1.2)
можно написать уравнение [701 - Vm -Vab = 0t откуда
иЛ = Et - Е2 “ U. - 17,.
Закон Джоуля-Ленца: количество теплоты, выде-
ляемой в элементе электрической цепи, обладающем
сопротивлением JR, за время t равно:
Q = ЯА = GWt = Ult = Pt,	(1.4)
где G =	— электрическая проводимость, Р = UI —
электрическая мощность.
Электрические цепи постоянного тока
I
1.2.	Расчетлинейных электрических цепей
с использованием законов Ома и Кирхгофа
Законы Ома и Кирхгофа используют, как правило,
при расчете относительно простых электрических цепей
с небольшим числом контуров, хотя принципиально с
их помощью можно рассчитать сколь угодно сложные
электрические цепи. Однако решение в этом случае
может оказаться слишком громоздким и потребует боль-
ших затрат времени. По этой причине для расчета
сложных электрических цепей разработаны более раци-
ональные методы расчета, основные из них рассмотрены
ниже.
При расчете электрических цепей в большинстве слу-
чаев известны параметры источников ЭДС или напря-
жения, сопротивления элементов электрической цепи,
и задача сводится к определению токов в ветвях цепи.
Зная токи, можно найти напряжения на элементах
цепи, мощность отдельных элементов и электрической
цепи в целом, мощность источников и др.
Для определения токов в ветвях электрической цепи
необходимо составить систему из «р» уравнений и ре-
шить ее относительно токов. При этом по первому закону
Кирхгофа записывают (q - 1) уравнений для любых
узлов цепи, а недостающие п=р-(д-1) уравнений
записывают по второму закону Кирхгофа для п незави-
симых контуров.
1.3.	Основные методы расчета
сложных электрических цепей
1.3.1.	Метод контурных-токов (МКТ)
При расчете цепи этим методом составляют систему
уравнений по второму закону Кирхгофа для всех неза-
висимых контуров. Затем полагают, что в каждом не-
зависимом контуре «к» протекает свой контурный ток
I/utr условное положительное направление которого со-
впадает с направлением обхода этого контура. Если
ветвь является общей для нескольких контуров, то
ток в ней будет равен алгебраической сумме кон-
турных токов, замыкающих эту ветвь.
В общем случае система уравнений для цепи, имею-
щей п независимых контуров имеет следующий вид:
10

Яц? и + ДЛ + ДЛз + ... + Д>Лш = Яц.
ДмЛ1 + ДЛз + ДЛз + ••• + Rt/Jn = Егз,
дзЛ1 + Дзз^зз + кзЛз + ••• + ДзЛл = Дз.
(15)
Д1Л1 + ЯпХ1а + RnSIg3 + ... + RMTnn = Ем,
где Ец, Egg, Ею, ... Ет — контурные ЭДС, равные
алгебраической сумме ЭДС в соответствующих контурах,
причем ЭДС считают положительными, если их условные
положительные направления совпадают с направлением
обхода Контура (контурного тока), и отрицательными,
если их направления противоположны; Rn, Rgg, Rgg, ...
— собственные сопротивления тех же контуров, рав-
ные сумме сопротивлений всех резисторов, принадле-
жащих соответствующему контуру; Да *= Rgg, Д^ == Дм
и так далее — взаимные сопротивления контуров, рав-
ные сумме сопротивлений резисторов, принадлежа-
щих одновременно двум контурам; номера которых
указаны в индексе. При этом взаимные сопротивления
надо принимать: а) положительными, если контурные
токи в них направлены одинаково; б) отрицательны-
ми, если они направлены встречно; в) равными нулю,
в) равными нулю, если контуры не имеют общей ветви.
Число независимых контуров, следовательно, и урав-
нений, определяют из соотношения п=р - (q — 1), где
по-прежнему р — число ветвей, a q — число узлов.
Таким образом, МКТ позволяет понизить порядок сис-
темы уравнений на (q - 1). После решения системы
уравнений относительно контурных токов определяют
токи в ветвях, предварительно задав их условные по-
ложительные направления.
Например, для схемы (рис. 1.3), имеющей три неза-
висимых контура I, П и Ш с контурными токами Гп,
1зз и Аз в них, система уравнений имеет вид
ДЛ1 + Яи^гг + Дэ^зз = Вц,
ДзЛ1 + ДззАз + Ди^зз = Дз,
Д1Л1 + Дз^ЗЗ + Дз^зз = Bgg(
(1.6)
где
£ц = JEj - Bg; Egg — Eg. Egg = - B5;
Rit = Rg + Rg. Rgg = Rg + Rg + Д. Rgg = Д + Д. •
Аз= Дк = ~ Rf-, Rn - Дзз = ~ RtiRgg=Rgg = 0.
' Электрические цепи яостолннмо тока
Рве. 1.8
Токи в ветвях при указанных на схеме условных
положительных направлениях:
Л - Л1» Л® I» ~ Ль Лв ® Ли»
Л = Л» -1»; Л = -133.
(1.7)
Если некоторые токи в ветвях окажутся отрицатель-
ными, это означает, что действительные направления
токов в них противоположны условно принятым.
1.3.2.	Метод узловых потенциалов (МУП)
Ток в любой ветви электрической цепи можно опре-
делить по известным потенциалам узлов, к которым
она подключена, или напряже-
нию между этими узлами. Со-
гласно второму закону Кирхго-
фа для любой ветви электри-
ческой цепи, схема которой
приведена на рисунке, при за-
данных условных положительных направлениях ЭДС,
тока и напряжения и указанном направлении обхода
контура можно написать уравнение	= Е*ж,
откуда
июя *
Л*. =	= [£*. + (Ф* - Ф«)]
(1.8)
12
Электротехника
где = (ф* - фт) — напряжение между узлами «А» и
«ш», а ф* и фт — потенциалы этих узлов, причем
Ф* > Фш! Ghm = ---проводимость ветви.
Метод расчета электрических цепей, в котором в
качестве неизвестных принимают потенциалы узлов
схемы, называют методом узловых потенциалов. Метод
более эффективен по сравнению с методом контурных
токов в случае, если число узлов в схеме меньше или
равно числу независимых контуров, так как в любой
электрической цепи потенциал одного из узлов можно
принять равным нулю, а число узлов, потенциалы ко*
торых следует определить относительно этого узла, ста-
нет равным (g -1).
Система уравнений для неизвестных потенциалов
любой электрической цепи, имеющей g узлов, может
быть получена из системы уравнений, составленной по
первому закону Кирхгофа для (g - 1) узлов, если в ней
токи в ветвях выразить через потенциалы узлов в со-
ответствии с (1.8). В общем случае эта система имеет
вид
С11Ф1 + С12ф2 + С13ф3 + ... + Gjnq>n = Igi,
Gai<Pi + Gm4>2 + Gjs4>j + — + GaefPn =
+ О„2Ф2 + ОцзФз + ... + ОдлФи = /jn.
(1-9)
где n = (g - 1); Фи Ф2---Ф» — потенциалы 1, 2, . n
узлов относительно узла g, потенциал которого принят
равным нулю; GM — сумма проводимостей всех ветвей,
подключенных к узлу A; GtJ = G# — сумма проводимос-
тей ветвей между узлами «/» и «А», взятая со знаком
«минус». Если же между узлами «/» и «А» нет ветвей,
то принимают Gv = Gjlt = 0; I# — узловой ток, равный
сумме токов всех ветвей, содержащих источники ЭДС
и подключенных к узлу «А», причем каждый из них
определяется по уравнению (1.8) при С7*т = 0. Токи,
направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а от
узла — со знаком «минус».
После решения системы (1.9) относительно узловых
потенциалов определяют напряжения между узлами
н токи в ветвях в соответствии с (1.8). Токи в ветвях,
Электрические цепи постоянного тока
13
не содержащих источников ЭДС,- определяют аналогич-
но, полагая в уравнении (1.8) £*т = 0.
Например, для электрической цепи (см. рис. 1.3),
если принять потенциал узла 3 равным нулю (ф3 = 0),
система уравнений будет иметь вид
6цф1 + G12q>2 - 1у\,
621Ф1 + 622ф2 = /у2,
(1.10)
где
G“ " + Щ + X + = G1 + G2 + G< + G«’
G22 -г +
5- + -Б" = Gj + G2 + Gs,
Gi2 = G2i = '"_F’_4’ = _G1~ G2,
«1 Kj
=-* - * -1 - - E'e' -- E&-

Метод узловых потенциалов особенно эффективен при
расчете электрических цепей с двумя узлами и большим
количеством параллельных ветвей, при этом, если при-
нять потенциал одного иэ узлов равным нулю, например,
j 2 = 0, то напряжение между узлами будет равно по-
тенциалу другого узла
(1,11)
где п — число параллельных ветвей цепи, ат — число
ветвей, содержащих источники ЭДС.
14
Электротехника
Рис. 1.4
1.3.3. Метод эквивалентного генератора (МЭГ)
Метод позволяет в ряде случаев относительно просто
определить ток в какой-либо одной ветви сложной элект-
рической цепи и исследовать поведение этой ветви при
изменении ее сопротивления. Сущность метода заклю-
чается в том, что по отношению к исследуемой ветви
сложная цепь заменяется эквивалентным источником
(эквивалентным генератором — ЭГ) с ЭДС ЕГ я внут-
ренним сопротивлением Д.
Например, по отношению к ветви с резистором R3
электрическую схему, приведенную на рис. 1.4, а, можно
заменить эквивалентной (см. рис. 1.4, б).
Если известны ЭДС и сопротивление эквивалентного
генератора, то ток ветви может быть найден как
Л, -
Ег
Д. + Rg
(1-12)
и задача сводится к определению значений ЕТ и Д,
Уравнение (1.12) справедливо при любых значениях
сопротивления резистора Я3 Так, при холостом ходе ЭГ,
когда узлы 1 и 2 разомкнуты, /3 = 0 и Ет = Uo, где Uo =
— (Ф1 ~ Фг) — напряжение холостого хода эквивалент-
ного генератора, ф) и ф2 — потенциалы узлов 1 и 2 в
этом режиме.
При коротком замыкании ветви (R3 = 0) ток в ней
Д
Д
Лез
Д’
откуда внутреннее сопротивление ЭГ Rr =
Электрические цепи постоянного тока 15
= у2. Таким образом, для определения параметров эк-
вивалентного генератора необходимо рассчитать любым
из известных методов потенциалы узлов cpj и ф2 в режиме
холостого хода ЭГ и ток короткого замыкания в иссле-
дуемой ветви.
.Приведенный метод определения параметров эквива-
лентного генератора является наиболее универсальным,
однако в ряде случаев сопротивление Д, проще рассчи-
тать как эквивалентное сопротивление между разомкну-
тыми узлами исследуемой ветви сложной цепи в пред-
положении, что все источники ЭДС в цепи закорочены,
как показано на рис. 1.4, в.
1.4. Примеры
1.4.1. Для электрической цепи (см. рис. 1.1) требуется
написать уравнение для напряжения Z7 источника пи-
тания, определить ток I, напряжение U на зажимах
потребителя, мощность источника питания, Мощность
Р2 приемника и его сопротивление, при котором она
будет иметь максимальное значение, КПД установки,
если ЭДС источника Е = 220 В, его внутреннее сопро-
тивление Rq — 1 Ом, сопротивление приемника R^ =
= 50 Ом, сопротивлением проводов пренебречь. Постро-
ить внешнюю характеристику источника питания, а
также зависимости Р}, Р2 и КПД от тока в цепи.
Решение.
Для указанных (см. рис. 1.1) условных положитель-
ных направлений ЭДС, тока, напряжения и обхода кон-
тура на основании второго закона Кирхгофа при вклю-
ченном выключателе S имеем
Е = RqI + RJ = Rol + U,	<п-
где U = RJ — напряжение на зажимах приемника элект-
рической энергии, равное напряжению источника ЭДС.
Ток в цепи на основании (п. 1.1)
I = —= -^-4* 4,3 А.
Яо+Я„ 1 + 50
»1в
Электротехника
Напряжение на зажимах приемника
У = Д/= 50 • 4,3 = 215 В.
Мощность источника питания и приемника
Pt = EI = 220 х 4,3 « 950 Вт,
Р« “ = (Й? = 60 ‘ 4’3’” 930 ВТ‘
КПД установки п = J-J »	= Щ = 0,98.
Чтобы найти сопротивление приемника, при котором
его мощность будет максимальной, необходимо взять от
производную по Я, и приравнять ее нулю, при атом
получим
<№» _	(Д> +У-2В,(^4-/Ц _
<«.~£	№ + V
Условие выполняется при Д> = Д. Максимальная
мощность приемника при атом
На основании (п. 1.1) имеем следующее уравнение
для напряжения источника питания
U = E-RJ.	(п. 1.2)
Графическую зависимость U = f (Г), построенную в
соответствии с уравнением (п. 1.2), называют внешней
характеристикой источника ЭДС. Характеристика в со-
ответствии с (п. 1.2) при постоянных значениях Е и
является линейной зависимостью от тока I, поэтому
для ее построения достаточно определить ток и напря-
жение для каких-либо двух режимов работы источника,
например, для режимов холостого хода (выключатель
8 выключен) и короткого замыкания (сопротивление
приемника Д, = 0).
Для холостого хода: I - 0, По - Я -= 220 В. При ко-
ротком замыкании: U “ 0, 1К - Я/Д> - 220/1 - 220 А.
Искомые характеристики показаны на рис 1.5.
1.4.2. В электрической цепи (см. рис. 1.2) определить
токи в ветвях, напряжения на всех элементах цепи,
Электрические иепи постоянною тона
17
Рве. 1.5
напряжение С718между узлами 1—3, мощность источника
с ЭДС Eg, мощность приемника с сопротивлением Rg,
режим работы источника с ЭДС Et, Е = 12 В, если Eg =
=12В, Eg = 13,5 В, Ди = 0,05 Ом, Д* = 0,1 Ом, Rg = 20м,
Д* = Де = 4 Ом.
Решение.
В цепи три узла, пять ветвей, следовательно, для
определения токов в ветвях необходимо составить
систему из пяти уравнений для неизвестных токов и
решить ее.
Как указано в п. 1.2, число уравнений в системе,
записанных по первому закону Кирхгофа, должно быть
равно двум, а остальные три уравнения записывают по
второму закону Кирхгофа для независимых контуров.
Для узлов 1 и 2 и независимых контуров I, II л III при
указанных условных положительных направлениях
ЭДС, токов и напряжений, а также при заданных направ-
лениях обхода контуров система уравнений имеет вид
для
для
для
узла 1
узла 2 «
контура I
д+ig ~ ig — о»
/,-Л-Л = о,
ДмЛ — Roglg = Ei — Eg, (п. 1.3)
для контура II Rgglg + RJg + RJ4 » Eg,
для контура III -RJi + RJg = 0.
Решая систему уравнений относительно токов в вет-
вях, получаем
Д = -7,93 A; Ig = 11,03 А;
Ig - 3,1 А; Ц - Ц = 1,55 А.
18
Электротехника
В результате расчета обнаружено, что ток Ц имеет
отрицательное значение, что свидетельствует о том, что
действительное направление тока в этой ветви противо-
положно условно принятому.
Напряжения на элементах электрической цепи со-
гласно закону Ома
Ut = ад = 2 • 3,1 = 6,2 В;
U4 = ад - 4 • 1,56 - 6,2 В;
С/5 = ад = 4 • 1,55 = 6,2 В.
Напряжение между узлами 1 и 3 находим, пользуясь
вторым законом Кирхгофа. При обходе контура в на-
правлении по часовой стрелке имеем
Eg= Поз + Иц 17ц = Eg ~ Ufa = Eg —	= 13,5 -
- 0,1 • 11 = 12,4 В.
, Из электрической схемы следует, что напряжение на
зажимах источников ЭДС Et и Eg одинаково и равно
Ua, так как по отношению к узлам 1 и 8 они включены
параллельно.
Мощность источника ЭДС Eg
Рл « ад = 18»5 • 11 = 148,5 Вт.
Мощность приемника
Pa = R3J3 e U3I3в 6,2 • 3,1 = 19,2 Вт.
В источнике ЭДС EtTOK и ЭДС направлены встречно.
Это означает, что он при указанных в условии задачи
параметрах цепи потребляет электрическую энергию.
Такая ситуация является тривиальной в автомобильном
транспорте, где источник ЭДС Et — аккумулятор, а
источник ЭДС Ег — генератор. При движении автомо-
биля Eg>Et и происходит подзарядка аккумулятора.
Уравнение баланса мощностей в данном случае в
соответствии с (1.5) имеет вид
ад + ея1я =	+/ад2 +R3I33 +	+ад2
Поскольку источник ЭДС Et работает в режиме
потребления электрической энергии, т. е. является
электроприемником, то уравнение баланса мощностей
можно записать таким образом
Ег1г = ад + /ад2 +/ад2 +ад2 + ад2+ад2
Электрические цепи постоянного тока
19
Подставив в последнее значение всех параметров,
убеждаемся, что мощность источника электроэнергии
и сумма мощностей всех электроприемников одинаковы
13,5 • 11 = 12 • 7,9 + 0,05 • 7,9* 4- 0,1 • 11* 4-
4-2 • 3,1*4-4 • 1,55* т. е.
148,5 Вт = 148,5 Вт,
что соответствует закону сохранения энергии и под-
тверждает правильность расчета
1.4.3. Пользуясь методом контурных токов, опреде-
лить токи в ветвях электрической цепи (см. рис. 1.2)
при значениях параметров всех элементов цепи, ука-
занных в примере 1.4.2.
Решение.
В электрической схеме три независимых контура.
Пусть это будут контуры I, II и III. Направления
контурных токов в них зададим такими, как указано
на рис. 1.2.
Система уравнений для контурных токов в данном
случае имеет такой же вид, как и система уравнений
(1.6). Сопротивления и контурные ЭДС имеют следующие
значения:
Un “ Дм + Дм ~ 0,15 Ом, Hgg =
=	4-	4- Rt = 6,1 Ом;
Дф “ R4 4- R& ~ 8 Ом;
Дц “ R21 = ~Дог = —0,1 Ом;
Дц = «з: = °; Вгз — Ди “ —Д< в ~4 Ом;
Дп = Ei - Ег — -1,5 В;
Ди ** Дг ~ 13,5 В; Egg = 0.
Решая систему уравнений при конкретных значе-
ниях сопротивлений и контурных ЭДС, получаем /ц =
= -7,93 А; 1п = 3,1 А; 1„ = 1,55 А.
Токи в ветвях находим из соотношений
А = Л1 = “7,93 А; 1Я = 1„ - 1и - 11,03 А;
Ig ~ 1гя ~ 3,1 А; = Igg — Igg ~ 1,55 А;
I. - 1Ю = 1,65 А.
20
Электротехника
Как уже отмечалось ранее, знак «минус* у токов It
и 14 означает, что токи в этих ветвях направлены
противоположно условно принятым.
1.4.4. Определить токи в ветвях электрической цепи
(см. рис. 1.2), пользуясь методом узловых потенциалов.
Значения параметров всех элементов цепи указаны в
примере 1.4.2.
Решение.
В электрической схеме три узла, следовательно,
нужно составить систему из двух уравнений относитель-
но узловых потенциалов. Приняв потенциал узла 3
равным нулю, система уравнений будет иметь такой же
вид, как и система (1.10).
Значения проводимостей и расчетных токов в данном
случае
Gu ‘	+	= 0,05 + ОД + 2 “90,6Cm'
°»ЧЧЧ-1С“’
G1S =	= “	= -0,6 См,
,	12 . 13,6	. Т П
1,1' Ди Д» ~ 0,06 + 0,1 - 375 А» 4а ~ °-
Решая систему уравнений (1.10) с приведенными
значениями проводимостей и расчетных токов, находим
потенциалы узлов: <pt = 12,397 В, <р2 = 0,198 В.
Токи в ветвях в соответствии с (1.8)
т _ Д + СФз-Ф!) _ 12+ (0-12,897) _ - о« *
JL- Яо!	0,05	--7,93 А,
' f,. * t	. “»-J.2'397- 11,03А.
Дй	°»1
г _ Ф1 “ <h 12,897- 6,198 о 1 л
I» - —--------g = 3,1 А,
/<.ь^ь.ьыв=1>6вА, il=’5si=e^8.1,56A.
4	Kg	4
При расчете токов в третьей, четвертой и пятой
ветвях ЭДС приняты равными нулю, так как в этих
ветвях нет источников ЭДС. Физический смысл знака
«минус* у тока 1Л уже обсуждался.
Электрические цепи постоянного тока 21
1.4.5. Пользуясь методом эквивалентного генератора,
рассчитать и построить зависимости тока в ветви с
резистором R3 и напряжения С712 между узлами 1 и 2
в электрической цепи (см. рис. 1.4) при изменении
сопротивления R3 от нуля до 12 Ом. Значения ЭДС и
сопротивления резисторов указаны в примере 1.4.2.
Решение.
В данном случае внутреннее сопротивление эквива-
лентного гёнератора проще рассчитать, не определяя
тока короткого замыкания. При разомкнутых зажимах
1 и 2 и закороченных источниках ЭДС схема (см. рис.
1.4, а) примет вид, показанный на рисунке 1.4, в.
Электрическая проводимость двух параллельных вет-
вей, подключенных к узлам 1 и 3, равна	+
•**13	**02
1 Дп + Д>2	м
+	эквивалентное сопротивление этих ветвей
Дй Д)1 ‘
Л13 =	= ?, = 0,033 Ом. Аналогично находим
Ди + Rqp 0,05 + 0,1
эквивалентное сопротивление параллельных ветвей, под-
ключенных к узлам 2 и 3: Дз = 2 Ом.
По отношению к узлам 1 и 2 резисторы Л13 и R33
включены последовательно, следовательно, внутреннее
сопротивление эквивалентного генератора Д = 2,033 Ом.
Для определения ЭДС эквивалентного генератора не-
обходимо рассчитать потенциалы узлов 1 и 2. В данном
случае проще всего их можно определить, пользуясь ме-
тодом узловых потенциалов. Так, если принять потенци-
ал узла 3 равным нулю (<р3 = 0), то при разомкнутых
зажимах токи в ветвях с резисторами Д и R3 равны нулю,
следовательно, потенциал узла 2 также равен нулю.
Потенциал <pt узла 1 находим согласно уравнению
(1.11)
* = ^ = W = 12’5B’
r«eGH=i+^=ob+Ai = 3OCM’
Т —	— 12 , 13,5_Q7K д
1»1 Д, + Д2 0,03 + 0,1	375 Аф
Таким образом, ЭДС эквивалентного генератора равна
22
Элехлшмнехншса
Рис. 1.6
мостей другими методами
больших затрат времени.
£Р =	“ Ф1 "	“
= Ф) = 12,5 В.
Ток 18 в ветви с резисто-
ром Я и напряжение между
узлами 1 и 2 находим по
очевидным соотношениям
(см. рис. 1.4, б)
I,	- Я/(Я + Я) и
1712 = 1/3 = %
Искомые зависимости
представлены иа рис. 1.6.
Определение этих зависи-
потребовало бы существенно
1.5.	Задачи
1.5.1.	На рис. 1.7 показана схема электрической цепи
с резисторами, сопротивления которых Я = 18 Ом; Я“
= 30 Ом; Я “ 20 Ом. Определить токи в ветвях, если
напряжение U » 120 В.
Ответ', Ц - 4 А; 1Я - 1,6 А; 13 - 2,4 А.
1.5.2.	Определить ток, напряжение и мощность цепи
(см. рис. 1.7), если заданы сопротивления резисторов
Я 38 12 Ом; Я = 30 Ом; Я “ 20 Ом и ток It = 2 А.
Ответ', Ц = 5 А; I» - 8 A; U - 120 В; Р = 600 Вт.
1.5.8.	Найти токи в цепи (рис. 1.8), если Я “ Я “
= 0,5 Ом; Я “ Я “ в Ом; Я w 1 Ом» Я “ 3 Ом, а
напряжение U = 120 В.
Рк. 1.7
Рже. 1.8
Электрические цепи постоянного тока
23
Ответ: — 40 А; 13 = 13,33 А; /4 = 8,9 А; Ц =
= 26,7 А; 16 = 17.8 А.
1.5.4.	Определить токи в цепи (рис. 1.9), если Е =
= 10 В; = 7,6 Ом; R2 = 7 Ом; Л3 = 1,9 Ом; В4 = 7 Ом;
R3 = 3 Ом.
Ответ: Ц = 1 А; 12 = 0,36 А; 13 = 0,63 А; 74 =
= 0,19 А; Ц = 0,44 А.
1.5.5.	В схеме цепи (рис. 1.10) определить напряжение
Uab. Значения ЭДС источников (Вольт) и сопротивлений
(Ом) указаны на схеме.
О т ее т: 40 В.
1.5.6.	Определить токи в ветвях цепи (рис. 1.11),
если Ег = Е2 = 30 В и Rx = R2 = 1 Ом; R3 = 4 Ом; Т?4 =
= 2 Ом; R3 = 3 Ом.
Ответ: Ц — 14 А; 12 = 16,67 А; 13 — 4 А; /4 =
= 6,67 А; 13 = 10 А.
1.5.7.	На рис. 1.12 приведена схема соединения ак-
кумуляторной батареи и генератора постоянного тока,
включенных параллельно приемнику с сопротивлением
R. Найти токи 12 и 12 при R = 1 Ом, если Ег = 120 В;
Ег = 130 В и -Ri = _В2 = 0,5 Ом. Рассчитать и построить
зависимости тока I (R) от сопротивления и напряжения
U (I) от тока.
Рис. 1.11
Рис. 1.12
24
Электротехника
Ответ: = 40 А; 12 = 60 А.
1.5.8.	В условиях задачи 1.5.7 определить значения
ЭДС Егаккумуляторной батареи, если при сопротивлении
приемника R = 9,5 Ом ток Ц = 0. ЭДС Е2 и внутреннее
сопротивление обоих источников остаются неизменными.
Ответ: Et = 123,5 В.
1.5.9.	Определить ток в диагонали аЪ неуравновешен-
ного моста (рис. 1.13). Исходные данные для различных
вариантов приведены в таблице.
№ п/п	Е, В	Ro, Ом	R1, Ом	Ж Ом	Аз, Ом	At, Ом	А6, Ом
1	6	0	1000	1000	4000	2000	2170
2	120	0	20	- 40	30	10	50
3	120	12	1	1	2	3-	1,25
4	30	0	10	20	20	10	1,7
Ответ: 1) 0,25 мА; 2) 0,71 А; 3) 1,69 А; 4) 0,66 А.
1.5.10.	Определить токи в цепи (рис. 1.14). ЭДС
источников равны: Ех = 32 В; Е6 = 120 В; Е2 = 10 В.
Внутреннее сопротивление источника Ег составляет Ro =
= 2 Ом, а внутренними сопротивлениями других источ-
ников пренебречь. Сопротивления резисторов: Rr =
= 10 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 6 Ом; Rt = 5 Ом; Rs = 8 Ом.
О т в е т: I = 1 A; Ц = 3 А, 12 = 13 = 2 А; Д = 8 А,
Д = 10 А.
1.5.11.	Решить задачу 1.5.10 при Е3 = 0.
Ответ: 7=1,6 А; Д = 2,88 А; Д = 1,28 А; 13 =
= 1,28 А; Д = 8,47 А; Д = 9,75 А.
•Ri а ^2
Рис. 1.13
Рис. 1.14
Электрические кепи постоянного тока
25
Рис. 1.15
1.5.12.	В электрической цепи (рис. 1.16) ЭДС источ-
ников Et ™ 60 В; Е6 ™ 46 В; Д = 20 В. Сопротивления
резисторов Rt = 10 Ом; R* = 30 Ом; Д = 50 Ом; Д =
= 20 Ом; Д = 10 Ом; Be “ 20 Ом; R, = 10 Ом. Напря-
жение U « 80 В. Внутренние сопротивления источников
Ro = 0. Определить токи в ветвях и напряжение Ult
между узлами 1 и 4 цепи. Составить уравнение баланса
мощности для всей цепи.
О т в е т: It = 4 А; 1Я = 3 A; I3 = 1 А; /4 — 2 A; It =
= 5 А; Ц = 1 A; Uu = 45 В.
1.5.13.	Два источника с ЭДС Et - Et = 115 В и внут-
ренними сопротивлениями Ди = 0,2 Ом и R^ => 0,4 Ом
включены параллельно резистору с сопротивлением Я =
= 5 Ом (рис. 1.16). Определить токи в ветвях цепи и
проверить баланс мощностей.
Ответ: I = 22,4 A; — 15 A; Ia — 7,4 А.
1.5.14.	Два источника ЭДС с Ег = 20 В и Ея = 22 В
включены параллельно приемнику электрической энер-
гии с сопротивлением Я = 0,1 Ом (см. рис. 1.16). Внут-
ренние сопротивления источников Д1 = Да 0,01 Ом.
Определить токи в ветвях и напряжение 1712на зажимах
генераторов.
Ответ: I = 200 A; Ц = 0; It = 200 А; 171г = 20 В.
1.5.15.	В электрической цепи (рис. 1.17) определить,
при каком значении ЭДС Е3 ток 18 в ветви с резистором
Д уменьшится в три раза по сравнению с его первона-
чальным значением. ЭДС источников Et - 100 В; Ея
01 120 В; Et -160 В; сопротивления резисторов Д =
Электротехника
Рис. 1.16
Рис. 1.17
= 20 Ом; 2?а = 0; Лз — 100 Ом; R = 60 Ом. Выключатель
S включен. Внутренними сопротивлениями источников
пренебречь.
Ответ". Et — 130 В.
1.5.16.	Определить токи в ветвях электрической цепи
(см. рис. 1.17). ЭДС Ег = 60 В; Et — 65 В; Et — 50 В.
Сопротивления резисторов Rt = 7?3 = 0,5 Ом; 7?3 = 1 Ом.
Внутренними сопротивлениями источников пренебречь.
Выключатель S выключен.
Ответ". It = 0; It = 10 А; 1Ж = 10 А.
1.5.17.	Определить показание вольтметра в электри-
ческой цепи (рис. 1.18), если переключатель S находится
в положении 1, а сопротивление резистора R == 36 Ом.
В зависимости от положения переключателя S показания
вольтметра и амперметра имеют следующие значения:
а) положение 1: U ™ ?, 7 = 0; б) положение 2: U = 0;
I = 18 А; в) положение 3: U = 162 В; I А.
Ответ". 216 В.
1.5.18.	Методом эквивалентного генератора опреде-
лить показания вольтметра в цепи с активным двухпо-
Рис. 1.18
Рис. 1.19
Электрические цени постоянного токе
27
Рис. 1.20
люсником А (рис. 1.19), если переключатель S находится
в положении 8. Показания вольтметра и амперметра в
зависимости от положения переключателя S имеют сле-
дующие значения: а) положение 1: U — 600 В, 7 — 0;
б) положение 2: U — О; I — 250 А; в) положение 8: 17 —
- ?; I - 100 А.
Ответ'. 300 В.
1.5.19.	Методом эквивалентного генератора опреде-
лить ток /б в диагонали моста (см. рис. 1.13) и падение
напряжения Us на резисторе Bg. ЭДС источника Е —
- 15 В, сопротивления резисторов - 0; Rt — 80 Ом;
Я2 = Я4 = 270 Ом; Яз - 40 Ом; Я6 = 54 Ом.
Ответ'. 16 — 3,46 мА; Us - 187 'мВ.
1.6.	Контрольные задания
Для электрической схемы (рис. 1.20) определить наи-
более рациональным методом токи в ветвях, напряжение
на каждом элементе, мощность элементов и приемника
в целом, режимы работы источников, их мощность, ток
в одной из ветвей, пользуясь методом эквивалентного
генератора. Параметры элементов схемы указаны в таб-
лице 1.2.
28
Электротехника
Таблица 1.2
Исходные данные к расчетным заданиям
№ п/п	ЭДС источников, В				Сопротивления резисторов, Ом							
	£1	Ев	Ег	Ев	R1	Rz	R3	At	Rs	Re.	Rt	Re
1	0	30	20	0	1,2	1,8	2,0	0	0	1,0	1,6	CO
2	0	35	15	0	1,6	1,8	1,2	0	0	1,6	2,0	00
3	0	25	35	0	1,2	1,6	1,0	0	0	1,8	2,1	00
4	0	20	25	0	1,0	2,0	1,6	0	0	1,8	2,2	00
5	0	25	30	0	1,8	2,0	1,0	0	0	1,6	2,3	00
6	0	40	20	0	1,2	1,0	1,6	0	0	1,8	2,4	00
7	0	50	20	0	1,6	1,8	1,2	0	0	1,0	2,5	00
8	0	20	30	0	1,0	1,8	1,6	00	0	1,2	2,6	oo,
9	25	0	0	20	1,0	0	2,0	00	1,2	0	1,6	1,8
10	40	0	0	20	2,0	0	1,2	op	1,0	0	1,8	1,6
И	35	0	0	20	1,6	0	2,0	00	1,2	0	1,0	1,8
12	30	0	0	15	1,2	0	1,6	00	2,0	0	1,0	1,8
13	20	0	0	30	1,0	0	2,0	00	1,8	0	1,6	1,2
14	25	0	0	15	1,8	0	2,0	00	1,2	0	1,0	1,6
15	30	0	0	20	2,0	0	1,8	00	1,0	0	1,2	1,6
16	35	0	0	15	1,8	0	2,0	00	1,0	0	1,6	1,2
17	20	0	0	25	1,0	00	0	2,0	1,2	0	2,0	1,8
18	20	0	0	.40	2,0	00	0	1,2	1,6	0	1,0	1,6
19 .	20	0	0	35	1,6	00	0	1,0	1,2	0	1,6	1,8
20	15	0	0	20	1,2	00	0	1,6	1,0	0	1,0	1,8
21	30	0	0	25	1,0	00	0	1,0	1,8	0	1,6	1,2
22	15	0	0	30	1,8	00	0	1,6	1,2	0	1,2	1,6
23	20	0	0	35	2,0	00	0	1,2	1,6	0	1,6	1,6
24	15	0	0	20	1,8	00	0	1,6	1,0	0	1,6	1,2
25	25	0	30	20	1,2	00	0	00	1,0	1,2	0	1,2
26	40	0	35	15	1,0	00	0	00	1,0	2,0	0	1,6
27	35	0	25	30	1,8	СО	0	00	1,2	1,8	0	1,6
28	30	0	40	15	2,0	00	0	00	1,8	1,2	0	1,2
29	20	0	50	20	1,8	00’	0	00	2,0	1,0	0	1,8
30	25	0	20	15_	1,0	00	0	00	1,2	1,6	0	1,8
2
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
2.1.	Основные понятия и определения
Электрическая цепь синусоидального тока — элек-
трическая цепь, в которой действуют ЭДС, напряжения
и токи, изменяющиеся во времени по синусоидальному
закону, например,
U = иЛ sin (mt + 41ц),
i = 1Л sin (mt + Vj),
(2.1)
а их временные диаграммы имеют вид, показанный на
рис. 2.1. Синусоидальные токи, напряжения и ЭДС —
величины периодические.
Основные параметры синусоидальных токов, напря-
жений и ЭДС приведены ниже.
Мгновенные значения и, I, е — значения синусои-
дальных величин в рассматриваемый момент времени
t, например для t = ток = ln sin (cotj + ц/,).
Период Т, с — промежуток времени, по истечении
которого синусоидальный ток (напряжение, ЭДС) при-
нимает одно и то же мгновенное значение
И = 1Я sin (oti + v, ) = sin (<n(fi + nT) + ц/(),
где п — целое число.
Частота Д Гц — число полных изменений периоди-
ческой величины в течение одной секунды
(2.2)
30
Электротехника
Амплитуда (Im, Um Ет) — наибольшее значение си-
нусоидальной величины.
Фаза (фазовый угол), рад, — аргумент синусоидаль-
ной величины, например, для тока
а = (cot + V;).	(2.3)
Начальная фаза ц/, рад — значение фазы в момент
времеци t = 0.
Начальная фаза считается положительной, если в
момент времени t = 0 мгновенное значение синусоидаль-
ной величины положительно, и, наоборот, отрицатель-
ной, если в тот же момент времени мгновенное Значение
синусоидальной величины отрицательно. На временных
диаграммах положительную начальную фазу отклады-
вают влево, а отрицательную — вправо от начала ко-
ординат. На приведенных временных диаграммах тока
и напряжения (см. рис. 2.1)	> 0, а ц/, < 0.
Угловая частота а, рад/с — скорость изменения
фазы (фазового угла)
ш = ^ = 2лЛ
(2.4)
Электрические однофазные чаш синусоидального тока 81
Сдвиг фаз — разность фаз двух синусоидальных вели*
чин. Сдвиг фаз между напряжением и током обозначают
буквой ф. В соответствии с определением
Ф = (<»Г + фи) - (®t + ф,) = Фи ~ ф<.	(2.6)
Возможны следующие варианты: а) ф = 0 — в этом
случае ток и напряжение совпадают по фазе; б) ф “
= ±л — ток и напряжение находятся в противофазе;
в) ф > 0 — ток отстает по фазе от напряжения на угол ф
(ток достигает амплитудного значения позднее напряже-
ния); г) ф < О — ток опережает по фазе напряжение на
угол ф.
Действующие значения периодических переменных
тока, напряжения и ЭДС — это среднеквадратичные
значения этих величин за время, равное одному периоду:
т	]г г
Ifi’COrfft	(О Л;
о	о
Т
о
(2.6)
Для синусоидальных токов, напряжений и ЭДС спра-
ведливы соотношения:
Z.4;	*.5.	<2-4
^2 ча
Действующие значения тока, напряжения и ЭДС не
зависят от времени и являются зквивалентными не-
которым постоянным току /, напряжению U я ЭДС Е,
которые производят в электрической цепи такое же
действие, что и переменные ток I, напряжение и я ЭДС
е за одинаковый промежуток времени.
Средние значения периодических тока, напряжения
и ЭДС
32
Электротехника
2	2
Icp = |	Uep = j
о	о
T
2
Ecp = | fe(t)dt	(2.8)
о
Для синусоидальных токов, напряжений и ЭДС в
соответствии с уравнениями (2.8)
Ie₽ = |lm; = Еср = ^Ет. (2.9)
Коэффициент формы кривой — это отношение дей-
ствующего значения переменной величины к ее среднему
значению. Для синусоидальных токов, напряжений и
ЭДС в соответствии с уравнениями (2.7) и (2.9) коэффи-
циент формы
*, = -% = 1,11.
f 2V2
(2.10)
2.2.	Основы комплексного метода расчета
электрических цепей
Синусоидальные функции (ток, напряжение, ЭДС)
очень просты, но их графическое изображение и опера-
ции с ними трудоемки и недостаточно точны. Суще-
ственного упрощения можно достичь, если изобразить
синусоидальные функции времени комплексными чис-
лами (КЧ).
Из курса математики известно, что любое комплекс-
ное число А можно представить:
а)	в алгебраической форме
А = А' + /А";
(2.11)
б)	в тригонометрической форме
А = А сова + / Asina;	(2.12)
Электрические однофазные цепи синусоидального тока 88
в)	в показательной форме
А “ Ае^,
(2.18)
где
е** = сова + j вша	(2.14)
называют формулой Эйлера;
г)	вектором на комплексной плоскости (рис. 2.2), где
/ = VnL — мнимая единица, А! “ А сова — реальная
часть комплексного числа А (проекция вектора на ось
вещественных); А" “ A since — мнимая часть комплекс-
ного числа А (проекция вектора на ось мнимых);
А «| А | = V/V* + А'* — модуль комплексного числа;
а “ arg(A) — главное значение аргумента комплекс-
ного числа, причем
а =
arctg^-, Л'>0,
a«tg^7±K, А'<0.
(2.16)
Угол а отсчитывают от положительного направления
оси вещественных (ось +1). Положительный угол от-
считывают в направлении, противоположном движению
часовой стрелки, отрицательный — в направлении дви-
жения часовой стрелки.
Умножение любого комплексного числа на tf* право-
дит к изменению его аргумента на угол а и повороту век-
тора, соответствующего
этому числу, на тот же
угол в положительном
или отрицательном на-
правлении относительно
положительного направ-
ления оси вещественных.
Поскольку	то
умножение комплексного
числа А на j приводит к
увеличению его аргумен-
та на +| и повороту вектора, изображающего комплекс-
ное число А, на угол 4-| в положительном направлении, а
34
Электротехника
1 I -eKet+Vi)
щ
/Ха = oot + у,
О	+1
Рис. 2.3
умножение на (-» — к уменьшению
аргумента на и повороту вектора
на тот же угол в отрицательном на-
правлении (см. рис. 2.2).
Два комплексных числа, имею-
щие равные модули и равные, но
противоположные по знаку аргу-
менты, называют сопряженными.
Для комплексного числа А “ = А' + /А" *• Ае** сопряжен-
ным является комплексное число А* = А' - jA" ” Ае"**,
причем АА* “ А*.
Рассмотрим синусоидальный ток, Изменяющийся в
соответствии с уравнением (2.1), и комплексное число
/„е'(в| + *> =	= L^,
(2.16)
модуль и аргумент которого соответственно равны амп-
литуде и фазе синусоидального тока.
С одной стороны, данное комплексное число пред-
ставляет аналитическую запись вектора с модулем 1Я,
вращающегося в комплексной плоскости с постоянной
угловой скоростью о), равной угловой частоте синусои-
дального тока, В направлении, противоположном дви-
жению часовой стрелки (рис. 2.8).
С другой стороны, равное комплексное число, со-
гласно формуле Эйлера, можно представить в тригоно-
метрической форме
в* + *) =	COS (со t + ЧО +
+ Яж sin (at + yj.	(2.17)
Сравнивая последнее с уравнением (2.1) для синусо-
идального тока, видно, что
i = 3m + *’>) = 3m Ume*‘),	(2.18)
/
т. e. синусоидальный ток равен проекции на ось мнимых
вращающегося вектора являющегося изображе-
нием рассматриваемого комплексного числа.
Таким образом, синусоидальному току i (оригиналу)
может быть поставлено в соответствие комплексное число
Электрические однофазные иепи синусоидальною тока_86
8ННйииивичвиивННи8ВЯЯ55йвии«вт^^^^^^^™^^^^НВ^НйНИВИИВНВ
(изображение), отвечающее уравнению (2.16). Условная
запись такой> преобразования имеет вид
(2.19)
Комплексное число
Г. =	= I» cosy, + Д. 8inv( = Гя + /Г; , (2.20)
модуль и аргумент которого соответственно равны амп-
литуде и начальной фазе синусоидального тока, назы-
вают комплексной амплитудой тока.
Комплексным действующим током (комплексным
током) называют комплексное число
[и = /е***«ICO34Q + jl в!пц/( = Г + /Г'. (2.21)
Аналогичные преобразования могут быть выполнены
для синусоидальных напряжений и ЭДС
ие-ьЕ^е*.
(2.22)
Комплексные амплитуды и комплексные действую-
щие напряжения и ЭДС при это^с соответственно равны
a,-qZ4 e=t7e^.,j	(223)
Дя, = ЯйеЛ’', £ = j
Комплексные амплитуды тока, напряжения и ЭДС и
комплексные действующие токи, напряжения и ЭДС
можно изобразить векторами на комплексной плоскости.
Совокупность векторов на комплексной плоскости, изо-
бражающих синусоидально изменяющиеся функции вре-
мени одной и той же частоты и построенных с
соблюдением правильной ориентации их относительно
друг друга по фазе называют векторной диаграммой. На
векторных диаграммах изображают векторы комплекс-
ных токов, напряжений и ЭДС или комплексные ампли-
туды этих величин для момента времени t = 0.
Режим работы электрической цепи переменного тока,
как правило, описывается системой дифференциальных
уравнений для мгновенных значений синусоидальных
токов, напряжений и ЭДС, членами которых могут быть
производные любого порядка и интегралы от синусои-
86
Электротехника
дальних функций времени. Поскольку производные лю-
бого порядка и интегралы от синусоидальных функций
также являются синусоидальными функциями, то им,
как и синусоидальным токам, напряжениям и ЭДС,
можно поставить в соответствие комплексные числа,
являющиеся изображениями этих величин. Так, для
синусоидального тока
(2.24)
/о
где п — порядок производной.
Аналогичные преобразования могут быть выполнены
и для синусоидальных напряжений и ЭДС.
Комплексный метод основан на использовании пре-
образований (2.19)...(2.24). Сущность его заключается в
том, что, используя указанные преобразования, можно
от системы дифференциальных уравнений для действи-
тельных функций времени перейти к системе алгебра-
ических уравнений с комплексными токами, напря-
жениями и ЭДС. Переход от дифференциальных урав-
нений к комплексным 'осуществляют заменой в них
мгновенных значений тока i, напряжения и и ЭДС е
комплексными числами в соответствии с (2.19) н (2.22),
а производных и интегралов от них — комплексными
числами, аналогичными для производных и интеграла
от синусоидального тока по (2.24).
2.3.	Идеальные пассивные элементы
схем замещения
Для упрощения исследований процессов в реальной
электрической цепи переменного тока, ее заменяют
схемой замещения, составленной из элементов, каждый
из которых учитывает одно из явлений, происходящих
в реальной электрической цепи.
К идеальным пассивным элементам схем замещения
электрических цепей переменного тока относят следую-
щие.
Резистивный элемент с активным сопротивлением
' R — элемент, учитывающий необратимое преобразова-
Электрические однофазные цепи синусоидальною тока ВТ
вне электрической энергии в другие виды энергии (теп-
ловую, лучистую и др.). Характеризуется активным
сопротивлением R, Ом или активной проводимостью
G s 1, См (Сименс).
Индуктивный элемент (идеальная индуктивная ка-
тушка и др.) с индуктивностью L учитывает энергию
шл = 0,5Li8 магнитного поля и явление самоиндукции.
Характеризуется реактивным индуктивным сопротивле-
нием = ©Ь, Ом или реактивной индуктивной прово-
димостью Вь = 4- = См, где со — угловая частота.
Емкостный элемент (идеальный конденсатор и др.)
с емкостью С — элемент электрической цепи, учиты-
вающий энергию w„ = 0,5Си8 электрического поля. Ха-
рактеризуется реактивным емкостным сопротивлением
Хс - -3;, Ом или реактивной емкостной проводимостью
фС
вс = 4- = ®с, см.
*с
Полная информация об этих элементах приведена в
таблице 2.1.
2.4.	Законы Ома и Кирхгофа
в комплексной форме.
Закон Ома в комплексной форме имеет вид:
1 = 1 =	C£ = 2I = f» (2.26)
где Zjs. X — комплексные сопротивление и проводимость
цепи, причем
Z = = =	= Ие* = Z созф + jZ sintp =
= л+/х,	(22в)
1=» = ^ = Ув'*=:Ус08<₽";Гв1пфв
= о - iB.	(2.27)
Таблица 2.1
Свойства алементов схем замещения электрических цепей переменного тока
Свойстве вамотков	8ммввш схем МИКОЯН			
	Реамстмввы*	Иядуктвы*	Кмхосткы*	Обобщевкы*
Обоеанчевме ва	|{?||н{н		►ч ►ч	— hi? Н 1 Ня* 		
Ур—w« смак	ад-K-i, Se-a-L	«-*•£ Zl-JXiL	вс-и». QC--JXcL L-iBcHc	1-Х2»
Соирояпампм: Паевое, Ом Актовое, Ом Реактивов, Ом	Ze-jZ^-Л Я 0	&.-IXL, ft-fel-Xi. 0 Хс>ш£	£b—JXc. XcelSd"Xs. 0 Хс-1/мС	Я-И-Чи^ + Х’, JR  Zooey, X  Z einy  Xb - Xc, o-«nrt«p/J9
Окончание таблицы 2.1
Свойства элементов	Slaanfiw  СХ6М ММКЦСИНЖ							
	Рееистявкый	Иццгхтнвный		ЛиостЛ		Обойденный		
Проводимости: Комплексна	Ib-Gr,	&				Г-l/g-G		
Полная, См Активная, См	y-tbl-G* Gjj-1/Н,	У-	Etl-Вь. 0	У-ttcl 0	•Be	У-|У|в^ЙЙ + В», G-Усое*		
Реактивная, См	0	В1-1	/XL^l/вЬ,	Вс~1/Хс*9С		В - У ain* - Bt - Вс, * - arctg (B/G)		
Мощности: Комплексная Полная, В-А Активная, Вт Реактивная, В-Ав	•в |<Й 1 09 11 ®а' '	S-Пд S- 9t-2	Г-lWe*'*, Ъ|-& P-О, Ш*»В£Й	8»&-Qc P-О, Qc-Xc^-Bd^		В-П-Г-8е»»-Д*22, S-|g-lZ-Z-Vp» + Q», P - Яе ( S) - VI сое*, Q-3m(S)-l7/Bin*-Qb-Qc		
Векторные дкдгрсммы			Ik		Ik	U		U
			Ч* /	1 Y		4^		
	Ф-0	1			г	f<(		t>0
40
Электротехника
Из закона Ома следует очевидная связь
2Х=1,	(2.28)
поэтому, зная комплексное сопротивление, можно найти
эквивалентную ему комплексную проводимость и обрат-
но, а именно
у = 1 =	1 =	д	_ • х
- Z R + jX Я2 + Xй 1 Я2 + X2'
____1		G	. ;	В
~Y G-jB G2+B2 ]G2 + B2’
(2.29)
Первый закон Кирхгофа
Z L = 0,	(2.30)
*=i
где п — количество ветвей в узле.
Второй закон Кирхгофа
(2.31)
где £*, £7* , Lk и 2* — комплексные ЭДС, напряжение,
ток и сопротивление в к-той ветви контура. Правила
записи уравнений по законам Кирхгофа такие же, как
и в цепях постоянного тока (см. раздел 1, п. 1.1).
2.5.	Мощность однофазной цепи
синусоидального тока
Активная мощность’.
P = UI совф = ШЛ = UJ = I2R = U2G. (2.32)
Активная мощность характеризует интенсивность не-
обратимого преобразования электрической энергии в дру-
гие виды энергии. Единицы измерения: ватт (Вт), ки-
ловатт (кВт), мегаватт (МВт) и др.
Электрические однофазные цепи синусоидального тока 41
Реактивная мощность:
Q = UI sintp = UIP = UJ = I*X = U*B. (2.83)
Характеризует интенсивность колебательного обмена
анергией между источником и реактивными элементами
приемника электрической энергии без ее преобразова-
ния. Единицы измерения: вольт-ампер реактивный (ВАр),
киловольт-ампер реактивный (кВ-Ap), мегавольт-ампер
реактивный (МВАр) и т.д.
Полная мощность
S = UI = № + (? = I*Z = U*Y. (2.34)
Полная мощность — это наибольшее значение ак-
тивной мощности, которое может быть получено при
заданных значениях напряжения и тока. Единицы из-
мерения: вольт-ампер (ВА), киловольт-ампер
и др.
Комплексная мощность
8 = 8е* = ЦГ = UIE* =
- UI совф + jUI simp == Р + JQ,
при этом Р “ 9te (8) и Q = 3m (£).
Коэффициент мощности:
(кВ-А)
(2.36)
(2.36)
В формулах (2.82)...(2.3в) Си/ — действующие
значения напряжения и тока; <р — сдвиг фаз между
напряжением и током; U ~ Ue*> — комплексное напря-
жение; Г = 1е~*> — комплексный ток, сопряженный току
I = /е*'; С, == U совф и Ifl совф — активные составляю-
щие напряжения и тока соответственно; Uf — U в!пф и
I, ” I в!пф — реактивные составляющие тех же напря-
жения и тока.
42
Электротехника
2.6.	Резонанс в электрических цепях
синусоидального тока
Резонанс — явление в электрической цепи (или на
ее участке), содержащей индуктивные н емкостные эле*
менты (хотя бы по одному), возникаю-
щее в случае, когда реактивное сопро-
тивление или реактивная проводимость
этой цепи (или ее участка) равны нулю.
При резонансе в цепи (или на ее участке)
напряжение и ток совпадают по фазе,
а реактивная мощность равна нулю.
Представим электрическую цепь в виде
пассивного двухполюсника (рис. 2.4). Со-
гласно закону Ома в комплексной форме
(2.25) эквивалентное комплексное сопро-
тивление цепи
а эквивалентная проводимость
и Ue9*
Согласно определению резонанс в цепи возникает при
условии, если
X, = О или Д, = О,	(2.87)
при этом Д, = В. и X, - G, являются чисто активными,
а сдвиг фаз
X	Ра
Ф = arctg = arctg = 0.
Основными видами резонанса являются резонанс на-
пряжений при последовательном н резонанс токов при
параллельном соединении элементов с Я, £ и С.
Электрические однофазные иепи синусоидальною тока 43
2.7.	Методы расчета сложных электрических цепей
синусоидального тока
при установившихся процессах
Расчет сложных электрических цепей синусоидаль-
ного токА производят теми же методами, что и расчет
сложных электрических цепей постоянного тока (см.
разд. 1, п. 1.2 и 1.3). Разница заключается лишь в том,
что уравнения составляют для комплексных токов, на-
пряжений и ЭДС, в которых сопротивления Я, прово-
димости G и потенциалы <р заменяют соответственно
комплексными сопротивлениями Z, проводимостями X
и потенциалами узлов ф.
2.8.	Примеры
2.8.1.	Найти действующее значение напряжения, вре-
менная диаграмма которого приведена на рис. 2.5.
Решение.
Напряжение является периодической функцией, и
его аналитическое описание на периоде имеет вид
Согласно (2.6) действующее значение напряжения
17 = ^1 ¥	•
7» J пЛ я»	V®
О
2Л.2. Ток изменяется по закону I = 8 sin
Найти его комплексную амплитуду и комплекс
ствующий ток.
Решение.
Согласно уравнениям (2.20)
н (2.21) для синусоидального
тока с амплитудой /, = 8 А и
начальной фазой у, = ком-
плексная амплитуда тока н
комплексный ток соответствен-
но равны
44
Электротехника
Im =JBe/te = 8 |Соэ~ + / sin^A = (7,88 + /1,39),
I *о	1о I
f =|е^ = 5,7	+ / sin^J = (6,57 + /0,98).
2.8.3.	Комплексная амплитуда тока Г» = 25ег/Н. За-
писать выражение для синусоидального тока, изменя-
ющегося с частотой f - 50 Гц.
Решение.
Угловая частота тока согласно уравнению (2.5) со =
- 2я/ - 2я • 50- 814 1/с.
Для перехода от комплексной амплитуды к мгновен-
ному значению тока надо комплексную амплитуду
I- = 25е_/« умножить на е** = ef*t4t и взять мнимую часть
полученного комплексного числа
<« 3m (гбе^й • е^ш) » 3m (2бе/("4‘-«)) =
= 25 sin (3141 -
I	I
2.8.4.	Известны напряжение и — 141,2 sin at и токи
li = 5^2 sin p»f +	~ 10^ sin - ^j. Найти комплекс-
ные значения указанных величин, сумму токов и по-
строить векторную диаграмму.
Согласно уравнениям (2.20) и (2.21) комплексная
амплитуда напряжения
^=141,2?°= 141,2,
комплексное действующее напряжение
U = % = ЦИ = 100,
— 42	42
комплексные токи
Zi = ^ = ^^»6^cosJ + /sin|Je(8,54 + /8,54),
L =	еА = 10 fcosf - / sinj'j = (8,66 - /б),
Электрические однофазные иепи синусоидального тока 46
сумма токов
/ = L + Ь = (3,54 + /8,64) + (8,66 - /5) -
= (12,2-/1,46).
Действующее значение тока (модуль комплексного
тока Z)
I = ЧЖе (Г)’ + Зт (1У = V12.24 + 1,46s = 12,8 А.
Его аргумент у = arctg = arctg s -6,8’.
Комплексная амплитуда в соответствии с уравнением
(2.20)
L, = pfie'** = 12, З^ге-Л* = 17,4^ЛГ.
Мгновенное значение тока (см. уравнение (2.18))
I = 3m	= 3m (17,4^ <•' - ••*>) = 17,4 ein (art - 6,8>
' Векторная диаграмма токов и напряжения представ-
лена на рис. 2.6. При построении векторных диаграмм
положительные направления вещественной и мнимой
осей принимают, как правило, такими, как указано на
рис. 2.6.
На векторной диаграмме ток I, опережает по фазе на-
пряжение на угол ф “ я/4, ток 7, отстает по фазе от напря-
жения на угол Ф=я/6, а ток I отстает на угол ф=6,8*.
Расчеты цепей переменного тока полезно сопровож-
дать построением векторных диаграмм. Это позволяет
контролировать правильность полученных результатов.
2.8.5.	К электрической цепи (рис. 2.7, а) приложено
синусоидальное напряжение к = С7Ж shunt. Используя
законы Кирхгофа, составить систему уравнений для то-
ков в ветвях в дифференциальной
форме и преобразовать ее в систему	+1
для комплексных токов.	у ।
Решение.	р'ч
При указанных (см. рис. 2.7) ус-	/
ловных положительных направле- .. /Ь
ниях токов н напряжений и на- -’/
правлениях обхода контуров снеге-	+j——
ма уравнений имеет вид:
Рве. 2.6
46
Электротехника
Рис. 2.7
» - гл - »с = °>
ut + «с - и = О,
“л - “с = °-
С учетом уравнений связи (см. табл. 2.1) она примет
вид
i - ip - ic -
Tdi 1 f..
Ldt + c J,dt = “’
RIr-^ jidt = O.
Синусоидальным напряжению, току, производным и
интегралам от них поставим в соответствие их ком-
плексные изображения (см. уравнения (2.19), (2.22) и
(2.24))
и^ит^*-,	iR^iR^1; ic-^Lc^;
-> f icdt = — [£^‘t^-rLLc
dt j _m > J C“ jto m <0	"
Подставив последние в систему дифференциальных
уравнений и поделив все ее члены на Л/2е/0*, получим
Электрические однофазные venu синусоидального тока 47
систему уравнений для комплексных действующих токов
и напряжений
I-Ir-Lc = O,
iXii-jXdc^IL
£&+/*<& = О,
где XL — aL н Хс^1/аС — индуктивное и емкостное
реактивные сопротивления.
Комплексные напряжения на резисторе, индуктивной
катушке и конденсаторе равны
Приведенной системе уравнений соответствует элект-
рическая схема на рис. 2.7, б.
2.8.6.	Действующее значение напряжения, прило-
женного к электрической цепи (см. рис. 2.7), U —
= 100 В. Частота напряжения / = 50 Гц, сопротивление
резистора R = 10 Ом, индуктивность катушки L —
= 81,8 мГн, емкость конденсатора С » 318,5 мкФ. Поль-
зуясь комплексным методом, найти действующие зна-
чения токов в ветвях цепи и напряжений на ее элемен-
тах, полную, активную и реактивную мощности цепи.
Решение.
Приняв начальную фазу напряжения равной нулю,
для напряжения в комплексной форме можем записать
IZ ~ 100 е*0» 100.
Комплексные сопротивления индуктивной катушки
и конденсатора (см. табл. 2.1) соответственно равны
Zj. = jXL = ja>L = /314  31,8 • IO’8 = ДО = 10Л,
Zc = - jXc = - jl/юС = - 1/(314 • 318,5 • 10 е) =
= - /10 = Юе7 2 ,
где угловая частота ш м 2я/ - 814 с-1.
Для определения комплексных токов можно восполь-
зоваться любым известным методом расчета электричес-
ких цепей, например, методом узловых потенциалов.
48
Элекяиютехника
Полагая комплексный потенциал узла 2 равным нулю
ф2 = О, по аналогии с уравнением (1.11) имеем Хцф1 =
= 1и, откуда
21=^ = ^ = -Л°0= 100е~А/8,
где комплексная узловая проводимость и расчетный
комплексный ток в узле соответственно равны
Y	1 । 1 । 1	1 . 1 . 1 -
111 & & я ДО + (-ДО) + 10 "
= -/0,1 + /0,1+ 0,1 «0,1,
&~Ж
Комплексные токи в ветвях
I e	= IfiO-t flOO = 100^1 _ 1(ъ/2е ^4
-	&	ДО -	10е«« "W'We ,
Г _ 81	-Д00 _
Ь = $ =	= - ДО = 10е*’
Действующие значения токов I - 14,1 А, 1М = 1С »
= 10 А.
Комплексные напряжения на индуктивной катушке,
конденсаторе и резисторе
У, = ZJ_ = 10е^а • 10^е^4 = 141,2e^4;
И» = ДГ» = 10 • 10е ^8 = 100е
Uc = ИпГл = Юе^1 • 10 = 100е~^.
Змктвтеасив о9мфаяше ист». «жжеоиаажы^го тока49
Действующие значения напряжений UL - 141,2 В,
С7с - ил - 100 В.
В соответствии с уравнением (2.36) комплексная мощ-
ность:
S - U • Г = 100 • 10^2е~1к/* - 1410 (созя/4 + j sinft/4) =
= (1000+ /1000).
Следовательно, полная, активная и реактивная мощ-
ности
S = |Sj = 1410 В-А, Р = Яе (S) = 1000 Вт,
Q = Зл» (S) » 1000 В-Ар.
2.8.7.	Для электрической цепи (см. рис. 2.7) найти
условие, прн котором в цепи возникнет резонанс. По-
строить векторную диаграмму токов и напряжений при
резонансе.
Решение.
Электрическая цепь содержит резистор, индуктивную
катушку и конденсатор, поэтому в соответствии с оп-
ределением в цепи возможен резонанс.
Найдем комплексное эквивалентное сопротивление
этой дели. Поскольку ветви с резистором н конденса-
тором включены параллельно по отношению к узлам 1
н 2, целесообразно прежде всего найти комплексную
проводимость участка цепи между этими узлами как
сумму комплексных проводимостей ветвей
Х12 ~ G + jB9 - G + /фС.
На основании уравнений (2.28) н (2.29) эквивалентное
комплексное сопротивление участка цепи между узлами
1 и 2 равно
-12“ Xi, "g’ + ф’С* 7G’ + <nV
Эквивалентное сопротивление цепи
2» = /<oL + g» =	+ j(aL- -у .
'	—u G* + <o4r 'I O’ + tnVI
50
Электротехника
Рис. 2.8
Резонанс в приведенной
электрической цепи в соответ-
ствии с его определением
может возникнуть при уело-
.яиХ. = »£-?^_ = 0.
При G « const резонанса
можно достичь несколькими
способами:
— изменением индуктив-
ности при постоянных емкос-
ти С и угловой частоте со;
— изменением емкости при постоянных индуктив-
ности L и угловой частоте со;
— изменением угловой частоты со при постоянных
индуктивности L и емкости С.
Например, при изменении угловой частоты резонанс
в цепи возникнет при частоте со0 =
JLC I С I
Построение векторной диаграммы можно выполнить
в следующем порядке:
— строят вектор напряжения III
— определяют ток в неразветвленной части цепи при
резонансе / = £ = ££ и в выбранном масштабе строят
» **»
вектор тока I, совпадающий по фазе с напряжением IL,
так как при резонансе <р = О;
—	находят напряжения Ur. jtoL на индуктивной ка-
тушке и напряжение I Zl2 между узлами 1 и 2;
—	строят векторную диаграмму напряжений с учетом
того, что напряжение U_L опережает ток L на угол я/2,
и, что в соответствии со вторым законом Кирхгофа,
LL = ILl + Си;
—	определяют токи в конденсаторе 1с= в в
резисторе GIZi2, а затем строят векторную диаграмму
токов с учетом того, что + Zc, при этом учитывают,
что ток 1я совпадает по фазе с напряжением а ток
1с опережает его на угол я/2.
~ Векторная диаграмма токов и напряжений при резо-
нансе, построенная таким образом, приведена на рис. 2.8.
Электрические однофазные цепи синусоидального тока 51
2.9.	Задачи
2.9.1.	Определить максимальное зйачение синусои-
дального тока, если в начальный момент времени (t =
= 0) ток был 0,4 А, а начальная фаза 30°.
Ответ'. 1т = 0,8 А.
2.9.2.	Для синусоидальных напряжений и токов, при-
веденных в табл. 2.2, указать их основные параметры,
написать выражения для комплексных напряжений Ujn,
U и токов Im, I и изобразить временные и векторные
диаграммы.
Варианты исходных данных к задаче 2.9.2.
Таблица 2j2.
№ п/п	Напряжение и, В	Ток i, A
1	282 sin (314t + л/6)	14,1 sin (314t - л/3)
2	141 sin (942t - л/4)	28,2 sin (942t + л/4)
3	220V2 sin (628t + л/6) -	4,23 sin (628t - л/4)
4	423 sin (1256t + л/4)	15^2 sin (1256t - л/3)
2.9.3.	Определить амплитудное и действующее зна-
чение синусоидального напряжения, если его среднее
значение С7ср — 198 В.
Ответ: Um = 311 В; U = 220 В.
2.9.4.	Определить амплитудное и среднее значение
синусоидального тока, если его действующее значение
I = 10 А.
Ответ: 1т = 14,1 A, 7СР = 9,09 А.
2.9.5.	Вычислить действующие и средние значения
напряжений и коэффициент формы, временные диа-
граммы которых приведены на рис. 2.9.
Ответ: a) U = 116 В; С7ср = 100 В; kz = 1,16; б) U =
= 100 В; С7ср = 100 В; kz = 1; в) U = 70,7 В; С7ср = 50 В;
kz=l,41;
2.9.6.	Мгновенное значение тока i = 14,1 sin (cot +
+ тг/6). Записать выражения для комцлексной ампли-
туды и комплексного действующего значений этого тока
в показательной, тригонометрической и алгебраической
формах.
Рис. 2.9
2.9.7.	Комплексные напряжения^ токи равны: а) 77—
- (60 + /80); I - (8 + /6); б) U - 100; I - (8 +/6);
в) 17 ” /100; I “ (8 + /6). Найти активные и реактив-,
ные составляющие напряжения и тока.
Ответ: а) 77.-96,1 В; 77,-27,6 В; 7. - 9,61 А,
I- - 2,76 А; 6) 77. - 80 В; 77-60 В; I. - 8 А; 7, - 6 А;
в) 77. - 60 В; 77„ - 80 В; 7. » 6 А, 7„ - 8 А.
2.9.8.	Комплексные напряжения и токи равны: a) Ц -
- 100; Z - ( 16 +/12 ); 6) IL - /100; 1 - (16 +
+ /12); в) 1£ - (60 + /80) ; Z - 20; г) Ц - 100
1 — 20е_*/в. Определить действующие значения напря-
жения и тока, активные и реактивные составляющие
сопротивлений, полные, активные и реактивные мощ-
ности.
Ответы к задаче 2.9.8.
Таблица 2.3
Вари- ант	и, в	I, А	Я, Ом	X, Ом	S, В А	Р, 9г	Q, В-Ар
g	100	20	4	8	2000	1000	-1200
б	100	20	а	4 .	2000	1200	1000
в	100	20	8	4	2000	1200	1000
г	100	20		2,6	2000	1720	1000
2.9.9.	Для цепей, схемы которых приведены на
рис. 2.10, найти комплексные сопротивления, токи и
мощности, если напряжение сети U — 100 В. Значения
сопротивлений, Ом, указаны на схемах. Построить век-
торные диаграммы напряжений.
Ответы к задаче 2.9.9.
Электрические однофазные иепи синусоидальною тока 68
Таблица 2.4
Схема				
Параметры	а	б	в	г
Z.	3+ J4	в-я	8-/6	8 + /6
L	12-Дв	12 + /16	8 + 16	8-/6
&		1.2 + /1,6	1,2 -Д, в	0,8 - /0,в	0,8 + /0,6
2.9.10.	Индуктивная катушка с активным сопротив-
лением R — 6 Ом и индуктивностью L — 25,5 мГн со-
единена последовательно с конденсатором, емкость ко-
торого С ” 1590 мкФ (рис. 2.11). Пользуясь комплекс-
ным методом, определить ток, напряжение на катушке
и конденсаторе, если напряжение U — 220 В и частота
f — 50 Гц. Построить векторную диаграмму напряже-
ний.
Ответ'. I — 26 A; Uk - 260 В; U, - 52 В.
2.9.11.	В сеть с напряжением 220 В включены после-
довательно индуктивная катушка с активным сопротив-
лением 10 Ом и индуктивностью 169 мГн, а также
батарея конденсаторов. Определять емкость батареи, при
которой в цепи возникнет резонанс напряжений. Найти
ток в цепи и напряжения на индуктивном и емкостном
элементах. Построить диаграмму напряжений.
Ответ'. С — 64 мкФ; I - 22 А; Ux - U, — 1100 В.
2.9.12.	К источнику синусоидального напряжения
переменной частоты с действующим значением напря-
жения 220 В подключены последовательно соединенные
индуктивная катушка с активным сопротивлением R —
Рис. 2.10
Рис. 2.11
м
8имтюмияшка
= 10 Ом и индуктивностью L —
- 0,1 Гн, а также конденсатор
емкостью С - 302 мкФ (см.
рис. 2.11). При какой частоте на*
ступит резонанс в цепи? Каковы
при этом будут ток в цепи, на-
пряжение на катушке, его актив-
ная и реактивная составляющие,
напряжение на конденсаторе, ре*
активные мощности катушки и
Zi
Pm. 2.12
конденсатора, а также активная и реактивная мощность
цепи?
Ответ: Л - 29 Гц; 7 —22 А; 17,-457 В ;.и„“
- 220 В; 400 В; 17,- 400 В; <?£- 8800 вар; <?с-
- -8800 вар; Р - 4840 Вт; Q - 0.
2.9.13.	Определить напряжения 17^, в схемах цепей
(рис. 2.12) при напряжении <7В —10 В. Комплексные
сопротивления имеют еначения: а) & - -/20, Z, —
- 17,8 + /10; б) Zx - -/84,6; & - 10 + /17,3; в) 2» -
- -/20, 2* — 10 + /10; г) 2j - 10 -/70, 2, - 30 + /40;
Ответ: а) б) 10е'1ЖГ; в) lOe^; г) 10е'*г.
2.9.14.	Найти токи в цепи (рис. 2.13) и коэффициент
мощности, если напряжение питающей сети U — 220 В*
а комплексные сопротивления равны 2, —(6 - /8); Z^**
-(4-/3).
Ответ: Д — 22 А; 7а — 44 А; 7 —66 А; совф—
- 0,741.
2.9.15.	Определить ток, активные и реактивные мощ*
ности отдельных ветвей и всей электрической цепи (см.
рис. 2.13) при напряжении сети U - 110 В, если ком-
плексные равны 2» — (2 + /4); 2> — С/б - /2).
Ответ: I — 88 A; Pt — 1,21 кВт; Ра - 2,97 кВт,
- 2,42 кВ*Ар; Qa — 2,42 кВ*Ар; Р — 4,18 кВт; Q — 0.
2.9.16._В электрической цепи (см. рис. 2.18) опреде-
________	___ лить токи 7, 1и 1а, сдвиги фаз ф,
Т I Фи Ф» между соответствующими то-
11	И7	П7	комм и напряжением U, построить
—	Ц—1	Ц—2	векторную диаграмму токов, если
Т	Т	U — 120 В, активные и реактивные
-----1----* сопротивления цепи соответственно
Рис. 2.18
Электрические однофазные иепи синусоидального тока
88
равны Z, - (2 + /б); Z, — (1 - /9,95).
Ответ: I =» 9,43 А; Д «= 19 А} /> *= 12
А; ф - 40*10'; 44 - 7Г80'; ф2 * -84*15'.
2.9.17.	В электрической цепи (рис. 2.14)
индуктивность катушки L •= 0,5 Гн, ее ак-
тивное сопротивление Я = 80 Ом, емкость
конденсатора С = 50 мкФ, напряжение ге-
нератора U = 60 В. Определить резонанс-
ную частоту /о, полное сопротивление цепи
Z, токи I, Iit Ia и построить векторную
Рис. 2.14
диаграмму при резонансе. Определить те же величины
при частотах, равных 0,5; 0,75; 1,25; 1,5/о, построить
графики зависимости токов и проводимостей от отно-
сительной частоты f ”
Ответ: f0 = 30,4 Гц; Z - 334 Ом; I « 0,18 A; Ц =•
- 0,в А; /2 - 0,574 А.
2.9.18.	Параметры электрической цепи (рис. 2.15)
представлены в табл. 2.5. Найти токи в ветвях, актив-
ную, реактивную и полную мощности, коэффициент
мощности. Построить векторные диаграммы токов и
напряжений.
Варианты исходных данных к задаче 2.9.18.
Таблица 2.5
№ п/п	IL, В	Ни, в	11, А	21, Ом	Яз, Ом	Хг, Ом	Яз, Ом	Хз, Ом
1	—	80^/*	—	8 + Ю	0	18	0	8
2	—	—	10е_/*/в	6 +по	7,07	7.07	0	10
3	90	—	—	0 + Я.З	18.3	14	3	1.35
4	-	220	-	1,6 + /2,8	29	50	6	10
Ответы к задаче 2.9.18.	Таблица 2.6
№ п/п	h, А	12, А	Is, А	Р, Вт	0, В-Ар	8, ВД	СОвф
1	5	5	10	200	400	447	0.45
2	10	13	13	1195	1500	1915	0,62
3	11.5	1,53	10,7	386	955	1030	0,375
4	17,35	3,8	18,9	ЗОЮ	3615	4710	0,64
66	Электротехника
2.9.19.	Для электрической цепи (см. рис. 2.15) опреде-
лить токи в ветвях, активную, реактивную и полную
мощности, коэффициент мощности. Построить вектор-
ные диаграммы токов и напряжений. Параметры цепи
приведены в табл. 2.7.
Варианты исходных данных к задаче 2.9.19.
Таблица 2.7
№ п/п	и». В	71. А	It. В	Zi. Ом	Л, Ом	Ха. Ом	На. Ом	Ха, Ом
1	84.8 ein (mt+30*)	—	—	о-до	8	0	0	6
2	—	14.1 ein (<nl+46*)	-	7,07-/7,07	10	0	0	10
Ответы к задаче 2.9.19.	Таблица 2.8
№ п/п	71, А	1а, А	7з. А	Р, Вт	Q, вар	Si, ВА	СОвф
1	14.1	10	10	600	-1400	1520	0.89
2	10	7.07	7.07	1207	1207	1225	0,985
3	13.9	12,4	8,2	1160	770	1390	0,83
2.9.20.	При каком реактивном сопротивлении Ха (см.
рис. 2.15) приложенное напряжение IL и ток Lt совпа-
дают по фазе, если А в 12 Ом; Xi ” 14 Ом; О;
Bj - 10 Ом; Ха = 15 Ом. Для найденного значения Ха
определить токи 11г 7а, 7а при U — 120 В и построить
векторную диаграмму.
Ответ', а) Ха=10 Ом; = d А; 7а = 9,67 А;
1Я - 5,87 А; б) Ха - 15,7 Ом; Д - 8,28 А; I, - 5,89 А;
It - 5,14 А.
2.9.21.	Для электрической цепи (см. рис. 2.15) найти
емкостное сопротивление Х1( соответствующее резонансу
напряжений, если Zi - (12 - /Х0; Д, - 12 Ом;	”
- 20 Ом; Ха ” 0; Ха - 16 Ом; U 220 В. Вычислить
для этого режима токи и построить векторную диаграм-
му.
Ответ: Xt =.5 Ом; h - 10 A; 7а - 5,6 А; 7, = 5,6 А.
2.9.22.	При каком индуктивном сопротивлении Ха в
цепи (см. рис. 2.15) наступит резонанс, если - (1,5 -
Электрические однофазные цепи синиеоидалъноео тока 57
- /1,26) Ом; Я, - 5 Ом; X, - 0; 7?а “ 3 Ом? Определить
токи и построить векторную диаграмму при 17 - 120 В.
Ответ: а) Ха— 4 Ом; Ц “ 30 А; 7, — 16,8 А; 1а —
- 16,8 А;
<9 X, - 16 Ом; Д - 20,4 А; 7а - 18,6 А; 7а - 5,7 А.
2.9.28.	В цепи (см. рис. 2.15) резонанс. Известны U -
- 110 В; 11,-40 Ом; Х,-0; Ха - 32 Ом; £,-(11,-
- /X,) — (24 - /?); Ii — 2,5 А. Вычислить активное
сопротивление Д,, емкостное сопротивление X, и ос*
тальные токи.
Ответ: R, - 24 Ом; Хх - 10 Ом; /, - 1,4 А; /, -
— 1,4 А.
2.9.24.	Составив уравнения по законам Кирхгофа,
определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 2.16)
и напряжение между узлами 1 и 2, если:
a)	£i — £, — 60 В, 2.1 — /30; £, =₽ -/80; И, — (20 -
- /20);
б)	& - 200е*/2 В, £, - -100е*'/г 2Х = (3 + /4);
£, —(6 + /8); £,-(5 + /8,3);
в)	£, - (60 + /80); £, - (-60 - /80); £, - /20; Z* в
= -/20; 2а --/40;
Ответ: а) 1Х — 5,35 А; Г, — 2,75 А; /а — 4 A, £7„ —
- 113 В;
б) Ii -18,5 А; I, - 1,55 А;
13 = 18,1 А, О„ = 108,5 В; в) Д - /, - 5 А; I, -
- о, ии — 0.
3
ТРЕХФАЗНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
3.1.	Основные понятия и определения
Трехфазная электрическая цепь (ТЦ) — это совокуп-
ность трех однофазных электрических цепей, в которых
действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые друг
относительно друга по фазе и создаваемые общим ис-
точником электрической энергии.
Фаза — отдельная электрическая цепь, входящая в
состав ТЦ, в которой может существовать один из токов
трехфазной системы. Фазами называют и отдельные
элементы этой цепи, например, фазные обмотки трех-
фазного источника и др. Общепринятое обозначение фаз
ТЦ приведено в табл. 3.1.
Фазное напряжение — напряжение между нача-
лом и концом фазы источника или приемника.
Фазный ток /ф — ток в фазе трехфазной цепи.
Линейные провода — провода, соединяющие начала
одноименных фаз источника и приемника.
Линейный ток 1Я — ток в линейных проводах.
Линейное напряжение ия — напряжение между ли-
нейными проводами или между началами разных фаз.
Трехфазная система ЭДС (токов, напряжений) — со-
вокупность ЭДС (токов, напряжений) в трехфазной цепи.
Трехфазную систему ЭДС (токов, напряжений) называют
симметричной, если амплитудные (действующие) зна-
чения ЭДС (токов, напряжений) во всех фазах равны и
сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол ц/ в
= 2я/8, и несимметричной, если хотя бы одно из при-
веденных условий не выполняется.
Трехфазти utiawucitue иеяи	69
Обозначение фаз в трехфазных электрических цепях
	Источник		Приемник	
Фаза	Начало	Конец	Начало	Конец
А	А	X	a	X
В	В	Y	»	V
С	С	2	с	g
Трехфазная симметричная система ЭДС для мгновен-
ных и комплексных значений может быть описана сис-
темой уравнений:
еА = Ея + V)> Sa - EtP,
ев - E„ sin (art + у - Sb = £e/*e“/b/8=£e/*(-0,s - j-0,867 ),
ec = Ея sin [art + v - 4r|, Eo = £e,*e“^t,'/8=Ee'* (-0,5+j-0,867 ).
I	9 )
(3.1)
Здесь индексы А, В, С обозначают принадлежность ЭДС
соответствующей фазе трехфазной цепи.
Трехфазную систему ЭДС (токов,, напряжений) можно
изобразить векторной диаграммой, как показано на
рнс. 3.1:
а)	для симметричной системы;
б)	и в) — для несимметричных систем.
Трехфазные симметричные системы ЭДС (токов, на-
пряжений) удовлетворяют уравнениям:
Рис. 3.1
во
Электротехнике
+ ед + «с = О,
Ел 4* Я» 4* Яг> 3 0.
(8.2)
Симметричный приемник электрической энергии —
трехфазный приемник, у которого комплексные сопро-
тивления всех фаз одинаковы, т. е. Z* — Zp “ Z*
СтшяпряяяаыА. режим работы ТЦ — режим работы,
при котором трехфазные системы напряжений и токов
симметричны.
Связанная трехфазная электрическая цепь — цепь,
в которой все фазы электрически соединены. Основными
способами соединения фаз являются соединения звездой
(Y) и треугольником (D).
3.2.	Соединение звездой
Схемы соединения звездой в четырех- и трехпровод-
ных цепях приведены на рис. 3.2, где указаны и об-
щепринятые условные положительные направления
токов, напряжений и ЭДС. На электрических схемах:
Nan- нейтральные точки источника и приемника
соответственно;
N - я — нейтральный (в соответствии с ГОСТ 13109 —
нулевой рабочий) провод;
А - а, В - Ь, С - с — линейные провода;
!, Ц, 1с - комплексные фазные и линейные токи
одновременно, их совокупность представляет собой трех-
фазную систему токов;
It, — комплексный ток в нейтральном проводе;
Um, Ux, Пса —' линейные напряжения источника;
например, Um — линейное напряжение между линей-
ными проводами А и В или началами фаз А и В
источника;
Ца ” Uaw.Ub” Пв№, Uc “ Uch — фазные напряжения
источника;
Па». Ute, Пм — линейные напряжения приемника;
U, ” Uaa. Ue “ С»,,, Uc “ Un — фазные напряжения
приемника;
Um — ъяпфяж/ввяе между нейтральными точками;
ДЦ — падение напряжения на линейных проводах;
Zc, Zt, Zc ~ комплексные фазные сопротивления
приемника;
Zu и Zap~ комплексные сопротивления нейтрального
и линейных проводов.
Трехфазныв амктрические юта
Рже. 3.2
Фаза А трехфазной цепи — участок цепи NAan.
Аналогично можно выделить фазы В и С этой цепи.
Комплексные фазные сопротивления и проводимости
отдельных фаз (без учета внутреннего сопротивления
источника) равны
Ха^я + ^щ» Z^-Z^ + Z^	+
Ха = 1/Ха. Ха = V&. Тс = V&.
(3.8)
Линейные и фазные напряжения источника элект-
рической энергии связаны соотношениями
Пдв = Е1-ед Ubc^Ujb-Uc, Цы-
(8.4)

из которых следует, что	+ Ц^л - 0.
Расчеты симметричных и несимметричных режимов в
трехфазной цепи могут быть выполнены с помощью зако-
нов Ома и Кирхгофа и другими известными методами,
«2
Электротехника
подобно расчету однофазных цепей. При этом наиболее
целесообразно пользоваться комплексным методом.
Фазные токи и ток в нейтральном проводе определяют
по закону Ома в комплексной форме
(3.5)
где X»= 1/^в»	= 1/^л» Хе =	~ комплексные про-
водимости фаз приемника, Xw =	— комплексная
проводимость нейтрального провода.
Линейные и фазные токи при соединении звездой
равны, т. е. /ф.
Напряжения LLBn, Ис» определяют по второму
закону Кирхгофа. В соответствии со схемой, представ-
ленной на рис. 3.2, имеем:
ЦЛ. ~Ut- и.»
(3<6)
где напряжение Пл» между нейтральными точками ис-
точника и приемника
п я 2^+ £<& + &&	(3.7)
......... •
b + Zs + Ic+Ztf
В трехпроводных цепях (см. рис. 3.2, б) напряжения
Щ,, Пв» и Ис» можно определить по известным линейным
напряжениям источника, пользуясь методом узловых
потенциалов
и.
b + Li + Zc ’
Трехфазные злехтричеекие иепи
«8
•
(3.8)
Фазные напряжения приемника и падения напряже-
ний в линейных проводах
Й = Ux-LZe,
= ^Uj> = 1&p,	<8-®>
Линейные напряжения на зажимах приемника
Ей = Па-^»	=	(ЗЛ0>
откуда следует, что U„k +и* + и„<*0.
При симметричной системе напряжени Ux - ^3U^.
3.3.	Соединение треугольником
Схема соединения и общепринятые условные положи-
тельные направления всех электрических величин по-
казаны на рис. 3.3. В узлах А, В и С соединены конец
одной фазы с началом другой, равно как и в узлах а,
Ь я с приемника.
Токн 1А, 1В, 1с связаны с фазными токами 1^, 1*,
1„ соотношениями:
?.пр , 1с
Рис. 3.3
64
Электротехника
причем
Ia + Lb + Lc=O.	(3.12)
При симметричной нагрузке
Л = ^3/ф.	(3.13)
Фазные токи в соответствии с законом Ома равны
I =Ust = u y .	(3.14)
±jca & zLjcaJLca*	4	'
-Lea
При соединении треугольником Ux = иф.
Связь между линейными напряжениями источника
и приемника с учетом падения напряжения в линейных
проводах при условии равенства их сопротивлений Znp
устанавливается нижеприведенными соотношениями:
U^Uab-ZvOa-Ib),
Uik=Ubc-^,(Ib-Ic),	(ЗЛ5)
При симметричной нагрузке, когда Z^ = Zbc -Zj.a = Z,
ц _	jj _ UcaZ (3.16)
z + зг^' z + 3zj -£a Z + 3Z^
так как в этом случае разность линейных токов в
уравнениях (3.15) в три раза больше фазного тока,
например, La~ Lb =
 При несимметричной нагрузке расчет можно упрос-
тить, если приемник, соединенный треугольником, за-
менить эквивалентным приемником, соединенным звез-
дой (рис. 3.4). Параметры эквивалентного приемника
связаны с параметрами реального приемника следую-
щими соотношениями:

(3.17)
Трехфазные электрические цепи
65
Рис. 3.4
гДе X — = %лЬ +	+ ^са*
В эквивалентной цепи находят линейные токи Хл, Хв,
1с (см. уравнения (3.5) и (3.8)), линейные напряжения
Uat. Ц,.а на зажимах приемника по (3.15) и, наконец,
определяют фазные токи L^, I*., lea по (3.14).
3.4.	Мощность трехфазной цепи
В трехфазной цепи полную, активную и реактивную
фазные мощности определяют как и в однофазных цепях:
§Ф = Е14 = ЗфеЛ, = Рф + ;0ф,
8ф = 1§ф|=>/4 + ^,
Рф = Ие (вф) = 1/ф2ф сояр,
Зф = 3m (вф) = 17фГф sinq>,
где Гф — сопряженный комплексный фазный ток.
Мощность трехфазного приемника или источника
з з з
5 =	=	+	= ** + ><?.
п = 1	п-1 П = 1
________,	3
S = |S| = Vp2 + Q2, Р = ^Рф. Q = £Qt>-
e= 1
(3.19)
При симметричном режиме трехфазной цепи
м
Элдстцютюряжд
§ = 83^, Я = 317фГф = <ил1да
Р = ЗРф = 81/фГф совф = '(З Uja совф,
Q = ЗОф = 31/ф/ф stop = ^317/л 81nq>.
(3.20)
3.5.	Примеры
3.5.1.	К трехфазному генератору подключен симмет-
ричный приемник электрической энергии (см. рис. 3.2,
б). Линейное напряжение генератора Ua = 220 В,
сопротивление проводов Zm <** (0,5 + Д), сопротивление
приемника Z “ (10 + /6). Определить фазное напря-
жение генератора, токи, фазные и линейные напряжения
приемника, падение напряжения в линейных проводах,
мощность приемника. Построить векторную диаграмму
напряжений и токов.
Решение.
Режим работы трехфазной цепи симметричный, по-
этому напряжение между нейтральными точками UN = 0.
1.	При симметричной системе линейных напряжений
генератора фазное напряжение равно
Пф »	- 220/V3 = 127 В.
2.	Система комплексных фазных напряжений генера-
тора, если принять напряжение Цл чисто вещественным,
С7д=127, gB = 127e^ur, С7с=127е/120‘.
3.	Комплексные фазные сопротивления и проводи-
мости по (8.3)
^ = И + ^ч, = (10 + /6) + (0,5+Д) =
= 10,5+ Л = 12,6а*4’,
Уз, = 1/^ф = 1/12,бе*4’ = 7,9 • 10 2 - е’*4‘ =
= (6,6 -/4,4) • 10“2.
4. При ия “ 0 фазные напряжения в соответствий
с (8.6) равны
Трехфазмые алектлические цепи
U.. = 127, Ua. = 127e''w, U^ = 127е'да.
В силу того, что системы фазных и линейных на*
пряжений генератора и приемника симметричны, трех-
фазные системы токов, фазных и линейных напряжений
приемника являются также симметричными. Для их
определения достаточно найти ток, фазное и линейное
напряжения для одной из фаз, а соответствующие ве-
личины в других фазах определить по соотношениям,
аналогичным (8.1).
5. Трехфазная система фазных токов приемника по
(3.5)
1а = Ол£а = 127  7-9 • ЮЛ"** = lOe^*4',
h> = L,e~fl№ = lOe7154’ А, £, =	= 10e/er.
Действующие значения фазных токов
- 10 А.
0. Система фазных напряжений приемника по (3.9)
а =	= Юе*4' (10+/6) = 10е*** ll,7e*r = 117е**, 1
Uk = Цве"Л”’ = 11Те-/12Г В, Е, = U^№ = 117е/11Г.
Действующие значения фазных напряжений прием-
ника t7,= Ut = Ue - 117 В.
7.	Система линейных напряжений приемника по
(3.11)
Sai = Ua - 2» =	- 117e-/ur = (116,8 - /в»1) - (-64,8 - j№,l) =
«(iso+>«2)=202е,2Г,
&е = Е*^120' = *>2е*>ГЖ йа, = йвве'1ЯГ=И»2еЛ4Г.
8.	Падения Напряжений в линейных проводах по
(3.9)
Ща -	+Д) = lOe^l.l^ = И.Зе*”’,
де» = 2^'Д*Г = 11.2«",в1 В> Д& = Е/1го' = 11,2е/148'.
9.	Фазные полная, активная и реактивная мощности
приемника по (3.18) в силу симметрии цепи
§» = Sa = S> = Sc = ЕЛ= Ше^Юе'*4’»
= 1170е/31‘ = (1003 + /603);
влехпиютвхним
Рм. 8.6
S* » 1170 В-A; Р* = 1003 Вт; Q* » 603 В-Ар.
10.	Полная, активная и реактивная мощности при-
емника по (3.19) и (3.20)
S - £ §* - 8g* - 8510е*' = (3010+ Д810);
S = 3510 В-A; Р = ЗОЮ Вт; Q = 1810 В-Ар.
11.	Векторная диаграмма напряжений и токов при-
ведена на рис. 3.5.
3.5.2. В трехфазной электрической цепи (ем. рис. 3.2,
а) к симметричному трехфазному генератору с фазным
напряжением ил — 220 В подключен несимметричный
приемник. Сопротивления фаз приемника 2,ж(2+/4),
Zj —(4 - j'8), «5 .Сопротивления линейных проводов
Zjn =(0,4 + /0,8). Сопротивление нейтрального провода
^—0,5. Определить напряжения и токи приемника,
мощность приемника при наличии нейтрального про-
вода и его обрыве и построить векторные диаграммы.
Решение.
1. Система фазных напряжений генератора в ком-
плексной форме в предположении, что Ц* является чисто
вещественным,
Трехфазкые шктпчеекы иепи
W
04 = 220,
йв = 220е*дю‘ = (-110 - /100,5),
Йо = 220е/1МГ = (-110 + /190,5).
2. Комплексные фазные сопротивления
я £. + £ц> = (2 +/4) + (0,4 + /0,8)-
= 2,4 + /4,3  4,9е,и,
Ув = 4,4 -/7,7 = 8,7е ^’,
Яс = 5,4+/0,3, = б,4е/*.
8.	Комплексные проводимости фаз и нейтрального
провода
Ь = У Sa = V4,9e*,r = 0,203e'e1’ = (0,099 - /0,177),
У» = 1/8, 7е_/мг - 0,113е/юг = (0,066 + /009$,
Тс = 1/5,4е* - 0,185^ = (0,184 - /0,01),
1/0,6 = 2.
4.	Сумма комплексных проводимостей:
Е X = I* + Хв + Хс + Xn = 2,34 - /0,09 s
При наличии нейтрального провода.
5.	Напряжение между нейтральными точками по
(8.7)
ГТ МО • 0.а08е'яг + 220е~л*в' • дпЗе^ + 220^ • 0,185**
-**=	234e^’r
= 12,4e/W= (7-/10).
6.	Система фазных напряжений Ц*,, Ug„, по (8,6);
Ей = Оа-Им* 220 -(7-/10) = 213 + /10г218е^,
Un. « (-110 - /190,5) - (7 - /10) =
= -117 - /180,5 = 215е д,г,
Цг.ч = (-110 + /190,5) - (7 - /1Q) =
= -117 +/200,5 = 232e/IMf.
Электротехника
7.	Система фазных токов и ток в нейтральном про*'
вода по (3.5)
L, = ILuZa = 213е* • 0,208е*г = 43,Зе’**,
!ь = Ив«Хв = 215в’/11г • 0,113?* = 24,Зе’**,
L = tb-У* = 232?* • 0,185е* = 43е/11Г,
In = SmZn = 12,4e*r • 2 = 24,8е’*®.
Действующие значения токов 1а=43,3 А, Ц «
- 24,3 А, 1с - 43 А.
8.	Комплексные фазные напряжения приемника
по (3.9)
и. = I-Z. = 43,Зе’*8,1' • 4,47е*м’ = 194/*,
t
Ut = 1£ъ = 24,Зе’*2* • 8,94е’*М‘ = 217е’д“’г,
a-IA-o^w.e.ue/wM’,
где g,» 2 + /4 = 4,47/*, Z, = 4 - /8 = 8,94е-** Ze = б Ом.
Действующие значения фазных напряжений С/в“
- 194 В, <7# “ 217 В, Ve - 216 В.
9.	Система линейных напряжений приемника
ЕЛ = Ёв-Ёб“(193 + Д7)-(-127~Д711> = М0 + Д92 = 873/1",
Ё* = Ё» - Ее = -29,6 - /366,5 = 8в8е^м’в’,
IL. = Ц, - Е, = -29OJ5 + Д 74,5 = ЗЗЭе'148'.
10.	Полная, активная и реактивная мощности при*
емника
Фазные мощности по (3.18)
8.	8^ =194^ • 43,3едаг~
« 8400/* = 8816 + /7486,
8» = Uj; - 217е/1* • 24,8/* »
« 52706-** = 2895 -/4670,
& - U£ - 215/1Г • 43Г'ПГ- 9245/*« 9245 + /0.
Трехфазные межтлмеекие цепи	Т1
Следовательно,
S. - 8400 BA; Р. - 3815 Вт; Q, = 7485 В Ар;
В, = 5270 В A; Pt - 2395 Вт; Q» - -4670 В Ар;
S. = 9245 В-A; Ре = 9245 Вт; Qe - 0;
Мощность трехфазного приемника
В = S,, + £*+£= 15 465 + /2785 - 15 710e/lff;
8 = 15 710 B A; P =* S Pf = 15 465 Вт; Q - S Q* -
- 2785 В Ap.
При обрыве нейтрального провода (1^ = 0).
11.	Напряжение между нейтральными точками по
(3.7)
ГТ	220.0,203е*г + 220е*1ИГ • 0,113^+ 220е/1аг• ОДЯВе^
О.Збв'”'
= 82,бе** = (61,5 -/55),
где Хл + Тв + Хс - 0,34 - /0,09 - О,3бе 'м-Г.
12.	Аналогично п. 6, 7, 8 и 10 получаем
Ц>. = 168e>lff; ^ = 218е л<г; L7Cn=3OOe'1*p;
7.	= 34,le**; 7д = 24,6е^8Г; ^ = 55,5е/1И';
Цд = 152е/аг;	= 220е '148'; Ue = 277e/lar;
& = 5200е^’;	« 6410e*r;
£.= 15 375^; S = 20112e'°;
S. = 5200В А; 8» = 5410В*А; 8„ = 15 375 В-А;
Рв = 2280 Вт; Р4 = 2456 Вт; Ре = 15 375 Вт;
Qo = 4674 вар; Qb = -4820 вар; Qe = 0;
22________
S » 20 110 ВА; Р » 20 110 Вт; Q = -146 ВАр.
13.	Векторные диаграммы токов и напряжений пред-
ставлены на рис. 8.6.
Таким образом, если не пренебрегать сопротивлением
нейтрального провода, то при несимметричном прием-
нике система фазных напряжений на его зажимах ста-
новится несимметричной, причем несимметрия увели-
чивается с увеличением сопротивления нейтрального
провода.
3.5	.3. В электрической цепи (см. рис. 8.3) сопротивления
фаз приемника и линейных проводов соответственно равны
= VZ-(8,4 4-Ав)- 10,7е*г,£пв-(0,5+Д,5)-
1,58 е^1*^ линейное напряжение источника {7Я— 280 В.
Найти напряжения на зажимах приемника, фазные
и линейные токи, падения напряжения на линейных
проводах, потерю напряжения и мощность приемника.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение.
1. В силу симметрии электрической цепи система
линейных напряжений источника в комплексной форме
в предположении, что напряжение является чисто
вещественным, имеет вид
» 280; U„ = 230е41ЖГ; Ц„л = 230е'1ЖГ.
2. Линейные напряжения на зажимах приемника по
(3.17)
Рже. 8.8
Ткхфатш маанятвС1ж иеп»	73
„ в-------230 10,7<------- le6e-/itf
(8,4 +/6,в) + 8 (0,6 + Д ,5)
Так как цепь симметрична, система линейных на-
пряжений приемника и система токов также симмет-
ричны, поэтому при определении остальных составля-
ющих симметричной системы напряжений приемника
или токов можно воспользоваться соотношениями, ана-
логичными (8.1),
- 165e*w, U~ =	= 1бб^10Г.
Действующие значения напряжений ил ’’•Ubc-=
- 166 В.
8. Фазные токи по (8.16)
1л =	- 166е*°710,7е*г = 16,бе** =
- (10,8 -/1 1,6).
Система токов также симметрична, поэтому:
I* =	= 15,бе*8* = (-15,2 - /3,2),
L. =	= 15,бе"* = (4,85 + /14,7).
Действующие значения фазных токов 1Л ** 4 ~
- 4, - 16,5 А.
4. Линейные токи по (3.14)
4 = 4»-4.“ (10,8-/11,5)-(4,85 +/14,7) =
= 6,45 -/26,2 = 26,8е**.
В силу симметрии цепи аналогично п. 2 и 8
Ь = 26,8е**, 10=26,8ея*.
Действующие значения линейных токов 1Л — 1Я - 1С—
== 26,8 А.
б. Падения напряжения на линейных проводах
= 26,8е** • 1,58в/пв‘ = 42,3е
ДПв = 42,80***, AUe = 423е/1,*г.
и
Электротехника
6.	Потеря напряжения в линии
8С7 - UM - иЛ - 280 - 106 = 65 В.
7.	Полная, активная и реактивная мощности прием-
ника по (3.18) и (8.20)
S = 3^ = 3^rt=3C7aftS» = 8 • 165е'1<г • 15,бе^ =
= 7670е,мг = 6030 + /4740;
S = 7670 В А; Р • 6030 Вт; Q = 4740 В Ар.
8.	Векторная диаграмма напряжений и токов показана
на рис. 3.7.
8.	5.4. Решить задачу 8.5.8 при сопротивлениях фаз
приемника Z^ «(12 + /16 ) — 20е,и, Z^ - 20,	“(16-
-/12)“ 20е-737. Остальные параметры остаются неиз-
менными.
Решение.
1. Поскольку приемник несимметричный, целесооб-
разно заменить его эквивалентным, фазы которого со-
единены звездой, как указано в п. 8.3.
Сопротивления фаз эквивалентного приемника по
(8.17)
г>	20е'мг •20е^зг _ о о_пг
48^	-
Тввхфвжые мвкяатвекив цепи
= (8,14+/1,66),
где ^^ = ^* + ^ + ^. = (12+ /!6) +20 + (!6-Д6) =
= 48 +/4+ 48,2^.
Аналогично находим сопротивления других фаз при-
емника
2>8,8з'вг = (5,5 + /6,2),
£ = 8,Зе** « (6,2 - /5,5),
2. Сопротивления фаз эквивалентной цепи по (3.3)
и соответствующие им комплексные проводимости
2* “ £ +2» - (8>14 + Л»06) + (°»5 + Д»5) »
= 8,64+ /8,17 = 9«2е'*г,
И» =	+ Z^ = 9,8з*г Ом, К» = Z. + Z^ = Ч&Г*1’,
Y, = 1/& = 1/9,23^ = 0,1093"^ = (0,102 - /0,037),
Ув = 1/Zb = 0,102e*r = (0,088 - jO,Q8),
2c = 1/Zc = 0,128e*r - (0,110 +/0,066),
Суапаапроводапюстей^Г + +	0^8e"/u*.
Электротехника
8. Комплексные фазные напряжения Ц^, Ев»» Ис* в
эквивалентной цепи по (3.8)
у -	= 230 • ОДОЭе**- 230ед*г • 0,128^' =
0Д8е"*и

185в~да‘.
Аналогично находим Ул. = 110е^х>г, £2^,— 120е*г.
4. Линейные токи в эквивалентной и реальной цепях
по (8.6)
1л = U*-Y* = 185®^» • ОДООе** -
»20е">“-(18,5-/15),
£в “ ^У» = НОе^ • 0,102е'*г »
= 11,25е/17Г =-11,25,
L =	- 120е'вг • 0Д28е*г -
= 15,4е^ = (-2+ /15,3).
5. Линейные напряжения на зажимах приемника по
(8.15)
(7* " 280 - 1,58е/71,г (18,5 - /15 + 11,25) » 198еЛ
Ра. = 222е'мг В, Рв.»216е'10Г.
Итак, если сопротивление линейных проводов велико
и им нельзя пренебречь, то при несимметричной нагрузке
система линейных напряжений приемника оказывается
также несимметричной.
6.	Комплексные токи в фазах приёмника по (3.14)
I* = 198е*720е'5Г = 9,Эе**.
Аналогично = 11,1е,ит,	= 10,8е/мг.
7.	Фазные полная, активная и реактивная мощности
приемника по (8.18)
= 198е^ • 9,9^ = 1960е'5Г = 1177 + /1567,
SL = 222e/ltr  11,le^ = 2464e*r = 2464,
S„ = г!©^10* • 10,8e '14r = гЗЗОе ^7 = 1865 - Д400,
8* - 1960 В-A; Рл - 1177 Вт; Ол = 1567 В Ар;
Ste = 2464 В-A; Pte = 2464 Вт; Q*. - 0 В Ар;
SM = 2830 В-A; Pw = 1865 Вт; Q„ = - 1400 В Ар;
8.	Мощность приемника по (8.19)
S я Е & = £ Рф + /£ Q* = 5506 + Д67 = 5510e>r;
8 = 5510 В-A; Р = 5506 Вт; Q = 167 В-Ар;
9.	Векторная диаграмма показана на рис. 8.8.
Примечание. При расчете трехфаэных цепей можно
пользоваться и любыми другими методами расчета слож-
ных электрических цепей, например, МКТ, МУП и др.
3.6.	Задачи
8.6.1.	Три одинаковые индуктивные катушки, соеди-
ненные звездой, включены в трехфазную сеть с линей-
ным напряжением ия “ 380 В. Активное сопротивление
каждой катушки R« 16 Ом, реактивное X — 12 Ом.
> Найти токи в катушках, активную, реактивную и пол-
ную мощности и коэффициент мощности.
Ответ: Iе 11 А; Р — 5780 Вт; Q - 4330 B-Ap;S—
== 7220 В-А; совф « 0,8.
8.6.2.	Решить задачу 8.6.1 при условии, что катушки
соединены треугольником.
Ответ: I™ 19 A; S « 21 660 В-A; Р'« 17 830 Вт;
Q = 18 000 В-Ар; север “ 0,8.
3.6.8.	Определить ток в проводах линии, в которую вклю-
чен трехфазный двигатель (рис. 3.9) с номинальной мощ-
ностью Рт - 10 кВт, КПД п_“ 82% и коэффициентом
та
Электротехника
мощности соефам - 0,87. Линейное напряжение в сети ия—
— 880 В. На какое напряжение можно включить двигатель
при соединении фаз обмотки статора треугольником и тю-
изменной ввергай, потребляемой двигателем?
Ответ’. I - 21,8 А; U„ - 220 В.
8.6.4.	Найти общий ток, мощность и коэффициент
мощности установки из двух двигателей (рис. 3.10), у
которых РШ1 “ 4,6 кВт;	- 220 В; код - 0,84; rj i “
— 82%; Р-~л — 10 кВт; U^, — 220 В; cosq»t = 0,88; n. —
- 86%.
Ответ: 1-64 A; S-19,9 кВ-A; P-17,25 кВт;
Q - 9,88 кВАр; cosq> “ 0,867.
8.6.5.	К зажимам генератора (рис. 3.11) с фазным
напряжением 17ф — 220 В подключен приемник, соединен-
ный треугольником, каждая фаза которого имеет ком-
плексное сопротивление Zaa’a‘Zte’BZea",(fi + j&) Ом.
Определить фазные токи генератора, активную, реак-
тивную, полную мощности и построить векторную диа-
грамму.
Ответ: 1Л^	= 1С ^ 66 A; S в 48,4 кВ-A; Р ==
— 84,8 кВт; Q “ 26,1 кВ*Ар.
8.6.6.	Для электрической цепи (см. рис. 3.11) опре-
делить фазные и линейные токи, если линейное напря-
жение источника Ua — 220 В, а комплексные сопро-
тивления фаз приемника равны Z.„ - (12 + /16) Ом;
Z^g = 12 Ом; ^em(8+/6) Ом. Построить векторную
диаграмму -токов и напряжений.
О т в е т: w 11 A; m 18,3 А; 1.^ в 22 А; Тя m
- 80,8 А; 1Я - 17,8 А; 1С - 89,4 А.
Трехфазные алектртеские uenu
Ряс. 3.11
8.6.7.	В электрической цепи (см. рис. 3.11) с линей-
ным напряжением Ua - 380 В комплексные фазные со*
противления приемника равны - 2^- - 2L - (8 +
4- j&) Ом. Определить фазные и линейные токи дли
случаев обрыва фазы ab и обрыва линейного провода
A-а. Построить векторные диаграммы для этих случаев.
Ответ: 1) 1Л = 0;	38 А;	38А;
7С = 66А. 2)1ад = /св= 19 А; 38 A; f4-0; IB-ZC-
— 57 А.
3.6.8.	В трехфазную четырехпроводную сеть
(рис. 3.12) с линейным напряжением U, — 220 В
включены резистор с сопротивлением Д - 10 Ом, ин-
дуктивная катушка с комплексным сопротивле-
нием ^-(6+J8) Ом, и конденсаторе комплекс-
ным сопротивлением И, — (7 - /24) Ом. Определить
линейные токи, ток в нейтральном проводе, активную,
реактивную и полную мощности.
Ответ-. 1а - Д - 12,7 А; 1С - 5,08 А; IN -5,0 А;
8 - 2840 В А; Р - 2760 Вт; Q - 671 В-Ар.
N Ц
Ряс. 8.12
С
3.6.9.	Три группы осветительных ламп накаливания
мощностью 200 Вт каждая, с номинальным напряже-
нием 220 В соединены звездой с нейтральным проводом
(рис. 8.18). В фазе а включены
параллельно N — 6 ламп, в фазе
Ь — 4 лампы, в фазе с — 2
лампы. Линейноедеапряжение в
сети Ua - 380 В. Определить со-
противления фаз, фазные токи
и ток в нейтральном проводе и
построить векторную диаграм-
му.
80
Электротехника
Рис. 8.18
Рис. 8.14
Ответ'. В,— 40,8 Ом; /4-60,5 Ом; Д.“121 Ом;
1Х - 5,46 А; 1а - 8,64 А; 1с - 1,82 A; IN - 8,14 А.
3.6.10.	В трехпроводную сеть с симметричной систе-
мой напряжений " UK =	880 В включен сим-
метричный приемник (рис. 3.14). Сопротивления фаз
Z - 22е/7Г/в. Определить линейные токи, коэффициент
мощности, активную, реактивную и полную мощности
и построить векторные диаграммы для случаев: а) сим-
метричная нагрузка, когда выключатель 81 замкнут, а
82 разомкнут; б) обрыв фазы Ъ, выключатели 81 Я 82
разомкнуты; в) короткое замыкание фазы Ь, выключа-
тели 81 и 82 замкнуты.
О т е е т: а) 1Я - 10 А; совф “ 0,867; Р - 5,72 кВт;
Q — 8,8 кВ*Ар; 8 — 6,6 кВА; б) 1А — 1С — 8,64 А; 1в -• 0;
совфА — оовфс “ 0,876; 8 — 3,28 кВА; Р — 2,85 кВт;
Q -1,64 кВ-Ap; в) 1Л — 1С — 17,3 А; 1В — 30 А; совфА -
= созфв - 0,867; 8 - 18,1 кВ А; Р - 11,4 кВт; Q -
- 6,57 кВАр.
3.6.11.	В трехфазную трехпроводную сеть с линейным
напряжением U, — 880 В включены два симметричных
приемника, соединенные звездой (рис. 8.15). Один из
них представляет активную нагрузку с сопротивлением *
фазы Zt - Bi - 10 , другой — активно-индуктивную
с сопротивлением фазы Z, — (3 + /4).
Определить ток в питающей линии, общий коэффи-
циент мощности совф и построить векторную диаграмму.
Ответ: I - 59,5 А; совф —0,815.
3.6.12.	В четырехпроводную трехфазную сеть с ли-
нейным напряжением ил - 380 В включены два прием-
ника (рис. 8.16). Один из них соединен звездой и
Тоехфазные ывкяннпеааи ими
81
Lj L2 L3
Рис. 8.15
представляет несимметричную активную нагрузку. Мощ-
ности отдельных .фаз этого приемника равны: Рв1 “
“0,55 кВт; Рм — 1,1 кВт; Ра — 2,64 кВт. Второй прием-
ник соединен треугольником и представляет симметрич-
ную активно-индуктивную нагрузку с общей активной
мощностью Ра “ 3,63 кВт и коэффициентом мощности
совф2 “ 0,8. Определить линейные токи и ток в ней-
тральном проводе.
Ответ: 1А — 9 А; 1В — 11,8 А; 1С “ 18 А; 1Н — 8,5 А.
3.6.18.	К трехфазному генератору с линейным напря-
жением Uл “ 880 В подключен несимметричный прием-
ник, соединенный треугольником и представляющий
активную нагрузку. Сопротивление фаз приемника Д»—
“5, Д,“10, Д,-10, сопротивление проводов Д,-0,5.
Определить линейные токи.
Ответ: 1Л=*	81,4 А; 1С — 57,4 А.
3.6.14.	К трехпроводной трехфазной сети подключен
симметричный приемник, соединенный звездой. Извест-
ны мощность Р “ 2,9 кВт и коэффициент мощности
соеф — 0,6 приемника, напряжения Ц* “ СД “ СД “
- 220 В на его зажимах. Сопротивление линейных про-
водов Zep “ (0,6 + /1).Определить фазные и линейные
напряжения генератора, его полную, активную и реак-
тивную мощности, падение А17и потерю 8Ua напряжения
в проводах линии. Построить векторную диаграмму
токов и напряжений.
Ответ: Д-141,5 В; С7Ж = 245 В; S“5,89 кВ*А;
Р * 8,16 кВт; Q “ 4,84 квар; Д1Г - 14,8 В; 8Ua “14,7 В.
4
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
4.1.	Общие положения и формулы
Машина постоянного тока (МПТ) — электрическая
машина, обмотка якоря которой соединена с электри-
ческой сетью постоянного тока с помощью механического
(коллектор) или полупроводникового преобразователя
частоты. Машины постоянного тока классифицируются:
а) по назначению — генераторы (ГПТ) и двигатели
(ДПТ) постоянного тока; б) по способам возбуждения
(в зависимости от того, как обмотка возбуждения вклю-
чена по отношению к обмотке якоря): с независимым,
параллельным, последовательным, смешанным возбуж-
дением (МПТ имеет одну последовательную и одну па-
раллельную обмотки возбуждения), с постоянными маг-
нитами.
Номинальный режим — режим работы МПТ при
условиях, для которых она предназначена заводом-из-
готовителем.
Соответствующие номинальному режиму мощность,
напряжение на главных зажимах машины, ток, частота
вращения, КПД называются номинальными и указыва-
ются на заводской табличке (паспорте), прикрепленной
к корпусу машины.
Основные формулы, описывающие электромагнитные
процессы в МПТ как в генераторном, так и двигательном
режимах работы, следующие.
ЭДС якоря (ЭДС параллельной ветви обмотки якоря)
Ея = С0(йФ,	(4.1)
где Со =	— постоянная, N — число активных про-
водников в обмотке якоря, р — число пар главных
Электрические машины постоянного тока
83
полюсов, а — число пар параллельных ветвей обмотки
якоря, ш -	— угловая скорость вращения якоря.
Магнитный поток на полюс
Ф = BC9h,	(4.2)
где Вср — среднее значение магнитной индукции в
воздушном зазоре под главным полюсом, I — расчетная
длина сердечника якоря, т — полюсное деление (часть
окружности якоря, приходящаяся на один полюс).
Электромагнитная мощность
Ряк = ЯЛ = юМэн.	(4.3)
Электромагнитный момент
МЖ = М = СО1ЯФ = ^,	(4.4)
где 1Я — ток якоря.
Мощность потерь в МПТ
2 Рп = Рпмх + Лш + Рпэ + Рпв + Лад, (4.5)
где Рт, Рт — мощность механических, магнитных
(мощность потерь в стали сердечника якоря) и электри-
ческих (в обмотке якоря) потерь соответственно, причем
Рт = 1Я • Яя, где Р?я — внутреннее сопротивление цепи
якоря; Рт = UBIB = 1ЯКЯ — мощность потерь на возбужде-
ние в МПТ с электромагнитным возбуждением, где 1Я и
U„ — ток в цепи возбуждения и напряжение на ее
зажимах, a — эквивалентное сопротивление этой цепи;
Рпд = 0,01РНОМР* — мощность добавочных потерь, а
I„ = 1/1тя — относительное значение тока МПТ.
Коэффициент полезного действия (КПД)
(4.6)
где Pi — мощность энергии, подведенной к МПТ, Р2 —
полезная мощность МПТ.
84
Электротехника
4.2.	Генераторы постоянного тока.
Основные положения и формулы
Уравнение напряжения генератора
и = Ея-1я11я. ,	(4.7)
Полезная электрическая мощность
Рг = UI,	(4.8)
где ток генератора
при параллельном или смешанном возбуждении,
11Я - при других способах возбуждения.
Мощность подведенной механической энергии
+ = (4>9)
где Mj — вращающий момент на валу первичного дви-
гателя.
Характеристики генератора:	>
холостого хода Uo= Ея = f (1В) при I = 0 и п = const;
внешняя U = f (I) при Д,' = Д, + 72рВ = const и п = 
= const;
регулировочная 1Я = /(7) при U = const и п = const,
где 7?g — сопротивление обмотки возбуждения, 72рВ —
сопротивление регулировочного реостата в цепи возбуж-
дения.
4.3.	Двигатели постоянного тока.
Основные положения и формулы
Уравнение напряжения
U = Ея + I&.	(4.10)
Уравнение движения
М ~(М0 + Мг) =
U**
(4.11)
Электрические машины постоянного тока
85
где Мо — момент холостого хода, обусловленный маг-
нитными и механическими потерями в двигателе, М2 —
полезный момент на валу, J — момент инерции вра-
щающихся масс.
В установившемся режиме работы двигателя (при
п = const)
м = (м0 + мг) = ад,®.
(4.11, а)
Полезная механическая мощность на валу
Р2 =
Мощность электрической энергии, потребляемой из
сети
р _ [17/ + Р„ - при независимом возбуждении,
1	1UI - прн других способах возбуждения,
где Рт — мощность потерь на возбуждение.
Ток двигателя
1Я +1,- при параллельном или смешанном возбуждении,
7,- при других способах возбуждения.	(4.14)
Ток якоря в установившемся режиме
17 -Ея Ма + М2 Мо М2	М2 -J
- (4Л5)
* Д. соф
где 10я — ток якоря в режиме холостого хода.
Угловая скорость вращения в установившемся режи
ме
m =	= u-ioA, _ п м2 =
С0Ф С0Ф Я(СОФ)2
= со0 - Яя-^\.
° Я(СОФ)2
Начальный пусковой ток якоря
(4.16)
86 Электротехника
где — сопротивление пускового реостата в момент
пуска.
Начальная кратность пускового тока
= 4Дком,	(4.18)
где /п — пусковой ток.
ЭДС якоря Ея, электромагнитный момент М, мощ-
ность потерь SPn и КПД определяют по формулам (4.1),
(4.4), (4.5) и (4.6).
4.4.	Примеры
4.4.1.	Определить напряжение на зажимах генератора
параллельного возбуждения при номинальном токе 7НОМ =
= 95 А, если Со = 126, магнитный поток на полюс Ф =
= 0,0129 Вб, частота вращения п = 1500 об/мин, сопро-
тивление цепи якоря йя = 0,25 Ом. Ток возбуждения
I. = 5 А.
Решение:
1.	Угловая скорость вращения якоря
гл_дв __1500	, f-H 1
® 30 = я-зо“ = 1574 С •
2.	ЭДС якоря
Ея = СошФ = 126 • 157,1 • 0,0129 = 255 В.
3.	Напряжение генератора
U = Ея - 1„ПЯ = 255 - (95 + 5) 0,25 = 230 В.
4.	Напряжение двигателя Ия = Ея + IJL = 255 +
+ (95 - 5) 0,25 « 277,5 В.
4.4.2.	Характеристика холостого хода ГПТ независи-
мого возбуждения при номинальной частоте вращения
1450 об/мин приведена в таблице 4.1. Сопротивление
обмотки возбуждения R„ = 110 Ом. Определить ЭДС
якоря при номинальной частоте вращения, если обмотка
возбуждения подключена параллельно обмотке якоря.
Электрические машины постоянного тока	87
Рис. 4.1
Определить сопротивление регулировочного реостата, ко-
торый нужно включить в цепь возбуждения, чтобы при
той же частоте вращения получить ЭДС Ея = 230 В.
Таблица 4.1
Характеристика холостого хода ПГГ
при Дном = 1450 об/мин
/в, А	0,6	1.0	1.71	2,6	4.05
Ея, В	115	178	230	260	287
Решение.
1. На рис. 4.1 представлены схема включения ГПТ
параллельного возбуждения и его характеристика хо-
лостого хода, построенная по указанным данным (см.
табл. 4.1).
2. Ток в цепи возбуждения в соответствии с элект-
рической схемой (см. рис. 4.1, а)
7 =--------------
+ Я. + Яр.
Ея Ея
Яв + Яр,
так как 7^ много больше Яя. Отсюда следует, что Ея —
= R^IB. Это линейное уравнение называют характеристи-
кой цепи возбуждения. При конкретном сопротивлении
88	Электротехника	.
цепи возбуждения ЭДС Ея будет отвечать точке пересе-
чения характеристики цепи возбуждения с характерис-
тикой холостого хода.
8. ЭДС якоря при отсутствии в цепи возбуждения
регулировочного реостата (JR^ “ 0) соответствует точке
пересечения характеристики холостого хода с характе-
ристикой Ея «= 110 I» (характеристика 1) и составляет
Ея « 256 В при токе 1Я ” 2,32 А.
4. В соответствии с характеристикой холостого хода
ЭДС Еж=230В соответствует току возбуждения1,71 А,
при этом цепь возбуждения должна иметь сопротивление
Щ ~ =	= 134,6 Ом (характеристика 2).
5. Сопротивление регулировочного реостата, при ко-
тором в режиме холостого хода и частоте вращения
1450 об/мин ЭДС якоря Ея = 230 В
Д. = Д'- Д - 184,5 - 110 = 24,5 Ом.
4.4.8. Генератор постоянного тока параллельного
возбуждения имеет Р„ — 10 кВт, Uw ” 230 В, п„ “
= 1450 об/кин, сопротивление обмотки якоря Д, “
— 0,3 Ом, сопротивление обмотки возбуждения R, “
 150 Ом. Мощность механических, магнитных и до-
бавочных потерь составляет 6% от номинальной мощ-
ности. Определить ток генератора, ЭДС якоря и КПД
в номинальном режиме, электромагнитный момент и
мощность первичного двигателя.
Решение.
1. Номинальный ток генератора по (4.7)
г - Ряв. - Ю000 48.5 А.
2. Ток возбуждения
I. = % = |g = l,53 А.
* Л* 1OU
8. Ток якоря в номинальном режиме
1Я„ - /«м + А - 48,6 + 1,58 - 45,8 А.
Электрические машины постоянного тока
89
4.	ЭДС якоря по (4.1)
Ея = ияох + 1Я нок  Яя = 230 + 45 • 0,3 = 243,5 В.
5.	Электромагнитная мощность по (4.3)
Рт = ^Лном = 243,5 • 45 =10 960 Вт.
6.	Электромагнитный момент
Мт =	= 72,2 Нм,
ф	101,о
где угловая скорость вращения якоря
„	1450 _ 1Е1 Q Л—1
<в=-зо_ = “~зо- 151,8 С •
7.	Мощность механических, магнитных и добавочных
потерь:
Pmx + Рт. + -Рдд = 0,06РВОМ = 0,06 • 10 000 = 600 Вт.
Л1МЛ	XIM	7	ним	9
8.	Мощность электрических потерь в цепи якоря
РПЗ =	= 452 • 0,3 = 607 Вт.
9.	Мощность электрических потерь в цепи возбуж-
дения:
Рщ, = 12Л, = 1.532 • 150 = 351 Вт.
10.	Мощность потерь в генераторе
SPn =<600 + 607 + 351 = 1558 Вт.
11.	Мощность первичного двигателя
Р, = Люм + SPn = Ю 000 + 1558 = 11 558 Вт.
12.	КПД генератора
90 Электротехника
n = £ =л -	= 1 -	= 0,865.
Р1 Л + ^рп	11558
4.4.4. Известны номинальные данные двигателя по-
стоянного тока: мощность Рном = 55 кВт, напряжение
[7Н0М = 220 В, ток 7НОМ = 280 А, частота вращения пном =
= 1500 об/мин. Сопротивление якорной цепи Яя =
= 0,055 Ом, ток возбуждения 7В = 5 А. Какие напря-
жение и мощность можно получить в генераторном
режиме работы МПТ при частоте вращения якоря п =
= 1400 об/мин и тех же значениях тока и магнитного
потока.
Решение.
1.	ЭДС якоря в двигательном режиме по (4.10)
^яд	^Д иом	иом^я
= 220 - (280 - 5) 0,055 = 205 В.
2.	Угловые скорости вращения якоря в двигательном
и генераторном режимах работы
яге, 1500 -.е-гг , -!• яге. 1400	, а -1
“д= 30 ="-30	157’1 С ®г= 30 =я-1Г=146’6с ;
3.	ЭДС якоря в генераторном режиме
£яг = ^яд = WI • 205 = 191’2 * В’
так как по условию задачи4 * * * магнитный поток не изме-
няется, поэтому на основании (4.1)
Е Е
С0Ф =	= — = const.
<0д	Иг
4. Напряжение генератора по (4.7)
Ur = Е„- 1яжмЯя = 191,2 - (280 + 5) 0,055 =
= 176 В.
5. Полезная мощность генератора
Р2г =	= 176 • 280 = 49 200 Вт = 49,2 кВт.
4.4.5. Двигатель параллельного возбуждения, схема
включения которого приведена на рис. 4.2, имеет еде-
Электрические машины постоянного тока 91
дующие номинальные данные: мощ-
ность РИОЯ = 4,2 кВт, напряжение =
= 220 В, частоту вращения птк =
= 1500 об/мин, КПД Лион = 0,78. Со-
противление якорной цепи Ня =
= 0,15 Ом, обмотки возбуждения —
Ян = 64 Ом. Определить номинальный
ток двигателя и сопротивление пуско-
вого реостата, при котором кратность
пускового тока равна двум, пусковой
момент, частоту вращения и ток в ре-
жиме холостого хода. Изменениями
магнитного потока и момента холостого
хода пренебречь.
Рис. 4.2.
Решение.
1.	Мощность энергии, потребляемой из сети в номи-
нальном режиме, по (4.6)
Лном = ^ = ^ = б385 Вт.
2.	Номинальный ток ДПТ с учетом схемы включения
(Ua = ивох, 1 = 1Я + 1Я)
т —	— 5385 _ п л к а
вом" U™ 220 “ 4,0	•
3.	Ток возбуждения
I =	= 22® = 3 44 А
1я Я, 64	.
4.	Номинальный ток якоря
I,	ном = Лом - I. = 24,5 - 3,44 = 21 А.
5.	Начальный пусковой ток при заданной начальной
кратности
Л* Л/Лом 2,
Л = ЛЛом = 2.24,5 = 49 А.
6.	Начальный пусковой ток якоря
Лп = Л “ Л = 49 - 3,44 = 45,6 А.
92
Электротехника
7.	Начальное сопротивление якорной цепи в момент
пуска
^ + ^ = ^ = ^1 = 4,83 Ом.
*ЯП	"XV,V
8.	Сопротивление пускового реостата
Яп = (Яя + 7^ ) - Яя = 4,83 - 0,15 = 4,67 Ом.
9.	Номинальная угловая скорость вращения
Юном зо зо 157,1 С .
10.	ЭДС якоря при номинальной нагрузке
Ея = U„ - 7Н0МЯя = 220 - 21 • 0,15 = 217 В.
11.	Постоянная С0Ф по (4.1) при постоянном магнит-
ном потоке
С0Ф = -^- = ^ = 1,38 Вб.
®ж>м 157,1
12.	Электромагнитный начальный пусковой момент
Ма = СОФ1ЯП =1,38  45,6 = 63 Нм.
13.	Электромагнитный момент в номинальном режи-
ме
Мном = С0Ф1ЯНОМ =1,38 21 = 29 Нм.
14.	Полезный вращающий момент на валу
ил- ^>2ном 4200 —л q тт
Л^2ном = —-- = ТКУТ = 26’8 Н м-
«ном .157,1
15.	Момент холостого хода
Мо = М„пм - М2ном = 29 - 26,8 = 2,2 Н м.
16.	Ток якоря в режиме холостого хода по (4.15)
__ Мв _ 2,2 _ д *
"1,6 А-
Электрические машины постоянного тока
93
17.	Ток холостого хода двигателя Io = 1^ + JB = 1,6 +
+ 3,44 = 5 А.
18.	Частота вращения в режиме холостого хода
По = 3^о= 30-159 = 1520 об/мин>
где угловая скорость вращения при холостом ходе и
номинальном напряжении по (4.16)
m _итя- 220 - 1,6  0,15 _ , KQ
&0~	С&~~	1^38 -1WC
4.5.	Задачи
4.5.1.	Угловая скорость вращения якоря МПТ ш =
= 157,1 с-1,число активных проводников обмотки якоря
N = 496, магнитный поток на полюс Ф = 0,00804 Вб.
Найти значения коэффициента Со и ЭДС якоря в четы-
рехполюсной машине С простой волновой обмоткой (а =
- 1). '
Ответ'. Со— 158, Ея = 199,5 В.
4.5.2.	Определить магнитный поток на полюс, необ-
ходимый для индуцирования в обмотке якоря машины
постоянного тока ЭДС Ея = 230 В при частоте вращения
1500 об/мин, если обмотка якоря четырехполюсной ма-
шины имеет четыре параллельные ветви, а число ак-
тивных проводников в каждой параллельной ветви N* =
= 42.	.
О т в е т: Ф = 0,055 Вб.
4.5.3.	Определить число полюсов машины постоянного
тока, если при токе 1Я = 980 А электромагнитный момент
равен М = 1310 Н-м. Магнитный поток полюса Ф =
0,05 Вб, обмотка якоря имеет четыре параллельные
ветви N = 168 активных проводников.	,
Ответ: 2р = 4.
4.5.4.	Напряжение генератора 230 В, сопротивление
цепи якоря Ля = 0,01 Ом, сопротивление приемника
электрической энергии _Rn = 0,4 Ом. Определить час-
тоту вращения генератора, если известно, что магнит-
ный поток на полюс Ф = 0,031 Вб, число эффективных
94
Электротехника
проводников в обмотке якоря N = 304, число полюсов
и параллельных ветвей одинаковы (2р = 2а).
Ответ: п = 1500 об/мин.
4.5.5.	Номинальная мощность генератора постоянного
тока 25 кВт, цном = 86,7%, мощность механических,
магнитных и добавочных потерь составляет 4% от но-
минальной мощности, сопротивление якоря Ля =
= 0,13 Ом. Определить ток якоря, если мощность потерь
в цепи возбуждения составляет 400 Вт.
Ответ: 1Я— 137 А.
4.5,6.	В четырехполюсном генераторе параллельного
возбуждения суммарная мощность механических, маг-
нитных и добавочных потерь составляет 800 Вт при но-
минальной частоте вращения якоря лном = 1450 об/мин.
Обмотка якоря имеет две параллельные ветви (2а = 2)
и N = 396 активных проводников, сопротивление якор-
ной цепи Ля = 0,25 Ом. Магнитный поток на полюс Ф —
= 0,0102 Вб при токе возбуждения 1„ = 1,7 А. Опреде-
лить напряжение и КПД генератора при токе якоря
I, = 100 А.
Ответ: U = 170 В, ц = 0,821.
4.5.7.	Известны номинальные данные ГПТ параллель-
ного возбуждения? мощность Рном = 100 кВт, напряжение
Ином =115 В, частота вращения якоря лном =
= 975 об/мин, КПД ЦНОм = 87,7%. Постоянная Со =
— 79,6, магнитный поток на полюс Ф = 0,0149 Вб. Ток
возбуждения 1в = 10 А. Найти номинальный ток гене-
ратора, сопротивление цепи якоря и мощность элект-
рических потерь в нем, полезную механическую
мощность и вращающий момент первичного двигателя
для привода данного генератора.
О т в е т:	= 870 А, Ля = 0,007 Ом, Рпэ =
= 5,42 кВт, Рвдм = 114 кВт, AfH0M = 1120 Н-м.
4.5.8.	Двигатель параллельного возбуждения с номи-
нальными напряжением С7Н0М = 220 В, током 1тм =
= 59,8 А, частотой вращения лном = 1500 об/мин, током
возбуждения 1зтм = 1,34 А и КПД т}ном - 0,8 эксплуа-
тируют в режиме генератора параллельного возбужде-
ния. Сопротивление якоря Ря = 0,183 Ом. Какую частоту
вращения должен иметь первичный двигатель, чтобы
Электрические машины постоянного тока
95
при тех же токе нагрузки и токе возбуждения напря-
жение на зажимах генератора было U = 220 В.
Ответ: п = 1659 об/мин.
4.5.9.	В табл. 4.1 (см. 4.4.2) приведена характерис-
тика холостого генератора при независимом возбуждении
и частоте вращения 1450 об/мин. Сопротивление обмот-
ки возбуждения при температуре 20° С 7?вх = 90 Ом.
Определить напряжение холостого хода генератора при
параллельном возбуждении без регулировочного реостата
в цепи возбуждения при «холодной» (20° С) и «горячей»
(75° С) обмотке возбуждения. Каким должно быть со-
противление регулировочного реостата, чтобы при тем-
пературе 75° С получить напряжение холостого хода
V = 230 В? Температурный коэффициент для медного
провода а = 0,004° 1/°С.
Ответ:	= 260 В, == 244 В, RpB = 12,5 Ом.
4.5.10.	Генератор независимого возбуждения (харак-
теристику холостого хода которого см. в табл. 4.1) имеет
следующие номинальные данные: мощность Р„„„ =
= 25 кВт, напряжение UmM = 230 В, ток 7НОМ = 109 А,
частоту вращения ином = 1450 об/мин, КПД цном = 0,87.
Ток возбуждения в номинальном режиме 1в ном = 2 А.
Построить внешнюю и регулиррвочную характеристики
генератора, пренебрегая реакцией якоря. Найти изме-
нение напряжения генератора при переходе от номи-
нальной нагрузки к режиму холостого хода.
Ответ: &U = 5,2%.
4.5.11.	Магнитный поток на полюс машины посто-
янного тока Ф = 0,008 Вб. Постоянный коэффициент
Со = 158. При работе в режиме двигателя электромаг-
нитный момент машины М = 45 Н м при частоте вра-
щения п = 1500 об/мин. Определить напряжение
питания двигателя, если сопротивление цепи якоря R* =
= 0,607 Ом.
Ответ: U — 220 В.
4.5.12.	Определить электромагнитный момент и ток
якоря двигателя параллельного возбуждения при на-
пряжении U = 220 В и частоте вращения п =
= 1500 об/мин, если известны сопротивление якоря R* =
= 0,35 Ом, постоянный коэффициент Со = 160, магнит-
ный поток на полюс Ф = 0,008 Вб.
96
Электротехника
Ответ: М = 96,5 Н-м, 1я = 54,3 А.
4.5.13.	Мощность двигателя постоянного тока Рном =
= 1,5 кВт, номинальное напряжение Umil = 220 В, но-
минальный ток /ном = 8,3 А. Определить КПД, мощность
потерь в двигателе и номинальный вращающий момент
при частоте вращения п = 1500 об/мин.
Ответ: г) = 82,1%, ZPn = 326 Вт, М = 9,55 Нм.
4.5.14.	Тяговый двигатель постоянного тока последо-
вательного возбуждения при напряжении {7Н0Н = 220 В
и токе якоря 1Я = 64 А вращается с частотой п =
= 756 об/мин. Сопротивление цепи якоря R„ = 0,26 Ом.
Определить ЭДС якоря и электромагнитный момент дви-
гателя. Как изменятся ток и частота вращения якоря
при: а) увеличении электромагнитного момента в два
раза; б) уменьшении его в два раза. Зависимость маг-
нитного потока от тока возбуждения считать линейной.
Ответ: Ея - 203 В; М = 164 Нм; а) М = 328 Нм,
1Я = 90,5 А, п = 518 об/мин; б) М = 82 Нм, 1Я = 45,3 А,
п = 1100 об/мин.
4.5.15.	Двигатель постоянного тока параллельного
возбуждения имеет следующие данные: напряжение
URlM = 220 В, ток 7НОМ = 42 А, ток возбуждения 1В =
= 2 А. Рассчитать и построить зависимость КПД от
тока якоря, считая, что суммарная мощность механи-
ческих, магнитных и добавочных потерь остается неиз-
менной и равной 200 Вт. Сопротивление цепи якоря
Ля = 0,355 Ом.
Ответ: I: 20	30 40 60 А
ц: 84,2 86,7 87,3 86,7 %.
4.5.16.	Определить начальную кратность пускового
тока двигателя постоянного тока с номинальной мощ-
ностью Рнон = 4,5 кВт при прямом включении в сеть с
напряжением 220 В. Сопротивление цепи якоря R* =
= 0,25 Ом, КПД двигателя ц = 85%. Вычислить началь-
ное значение сопротивления пускового реостата при ус-
ловии снижения начального пускового тока до
трехкратного номинального.
Ответ:	= 36,7; Д, = 2,8 Ом.
4.5.17.	Двигатель параллельного возбуждения с но-
минальными мощностью 1,5 кВт и напряжением UmM =
= 220 В потребляет ток I = 8,3 А. Определить ток хо-
Электрические машины постоянного тока	97
лостого хода двигателя, если сопротивление цепи якоря
Д - 3 Ом, сопротивление цепи возбуждения Д =
- 722 Ом, частота вращения якоря п - 1500 об/мин.
Ответ: 7о = О,65 А.
4.5.18.	Известны номинальные данные двигателя па*
раллельного возбуждения:	= 4,5 кВт, Um = 220 В,
= 1000 об/мин, п— “= 81%. Сопротивление цепи воз*
буждения Д « 137 Ом. Определить номинальные момент
в ток двигателя, токи в цепях якоря и возбуждения.
Ответ: М » 43 Н-м, I— 25,25 А, 1Л - 23,65 А, /,=
- 1,6 А.
4.5.19.	Номинальное напряжение двигателя парал-
лельного возбуждения Um = 220 В, номинальный ток
/.ж “= 43 А. Сопротивление якоря Д — 0,39 Ом. Сопро-
тивление цепи возбуждения Д = 137 0м. В режиме
холостого хода частота вращения двигателя п0 —
*» 1700 об/мин, потребляемый ток 10 3,5 А. Опреде-
лить частоту вращения двигателя при номинальной на-
грузке. Реакцией якоря пренебречь.
Ответ: п » 1580 об/мин.
4.5.20.	Двигатель параллельного возбуждения имеет
следующие номинальные данные: Дм “8 кВт, СДм™
= 220 В, Пам m 1500 об/мин, Лжж 80%. Сопротивление
цепи якоря Д — 0,4 Ом, ток возбуждения I, =• 1,7 А.
Определить частоту вращения двигателя при уменьше-
нии тока в два раза. Изменение магнитного потока,
обусловленное реакцией якоря, составляет 2%.
Ответ: л = 1536 об/мин.
4.5.21.	Определить электромагнитный момент и ток
якоря двигателя параллельного возбуждения при на-
пряжении U** = 220 В и частоте вращения п** —
» 1500 об/мин, если известны сопротивление цепи
якоря Д “= 0,35 Ом, постоянный коэффициент Со “ 160,
магнитный поток на полюс Ф = 0,008 Вб.
Ответ: М » 69,6 Н-м, 1Я — 54,4 А.
4.5.22.	Двигатель параллельного возбуждения при
номинальном напряжении 220 В потребляет ток Iв
- 38,2 А и вращается с частотой 1000 об/мин. Сопро-
тивление цепи якоря Д = 0,4 Ом, сопротивление цепи
возбуждения Д “= 160 Ом. Определить частоту вращения
и электромагнитный момент двигателя при включении
98
Электротехника
в цепь якоря дополнительного сопротивления Ля = 3 Ом
при условии, что ток якоря и ток возбуждения останутся
неизменными.
Ответ". п = 540 об/мин, М — 63 Нм.
4.5.23.	Двигатель параллельного возбуждения имеет
следующие номинальные данные: мощность Рном =
= 1,5 кВт, напряжение Unmi = 220 В, ток •= 87 А,
частоту вращения пвои = 1500 об/мин. Сопротивление
цепи якоря — 3 Ом, сопротивление цепи возбуждения
йв = 574 Ом. Определить полезный момент на валу и
КПД двигателя в номинальном режиме. Как изменятся
полезная мощность, ток, частота вращения и КПД дви-
гателя при неизменном полезном моменте, если в цепь
якоря включить реостат с сопротивлением Лд = 3 Ом.
Мощность механических, магнитных и добавочных по-
терь считать постоянными.
Ответ: Мноы = 9,55 Н-м; цном = 78,4%; Р2 =
= 988,5 Вт; I = 8,7 А; п = 988 об/мин; ц = 51,6%.
4.5.24.	Двигатель параллельного возбуждения с но-
минальной мощностью 55 кВт, номинальным напряже-
нием Пном = 220 В и т]ном = 89% имеет сопротивление
цепи якоря R„ - 0,04 Ом и сопротивление цепи возбуж-
дения Rg = 54 Ом. Какое сопротивление должен иметь
реостат, включенный в цепь якоря, чтобы при неизмен-
ных номинальном моменте на валу и токе возбуждения
частота вращения двигателя уменьшилась в два раза?
Ответ: Ra = 0,377 Ом.
4.5.25.	Двигатель постоянного тока последовательного
возбуждения включен в сеть с напряжением 220 В.
Частота вращения двигателя 1500 об/мин, ток 14 А.
Сопротивление цепи якоря 7?я = 1,7 Ом. Определить ЭДС
якоря, электромагнитный момент двигателя, мощность
потребляемой энергии и электрических потерь.
Ответ: Ея = 196 В, М = 17,5 Н-м, Р^З,! кВт,
Рпэ = 333 Вт.
4.5.26.	Двигатель последовательного возбуждения при
напряжении С7НОМ = 220 В вращается с частотой п =
= 900 об/мин и развивает момент на валу М = 250 Н-м.
Сопротивление якоря Ля = 0,174 Ом, КПД ц = 90%.
Вычислить полезную мощность двигателя, ЭДС, ток
якоря и мощность электрических потерь.
Электрические машины постоянною тока 99
Ответ'. Рг= 23,55 кВт; 1Я =” 119 А; Ея — 199 В;
Рт - 2,46 кВт.
4.5.27.	Двигатель последовательного возбуждения
имеет следующие номинальные данные: UKMt ” 220 В;
1т = 50 А; ЛГном - 60 Н м; п„* " 1500 об/мин; Пшж “
= 0,857. Сопротивление цепи якоря Дж = 0,2 Ом. Опре-
делить частоту вращения, полезную мощность и КПД
двигателя при неизменном моменте на валу, если:
а) в цепь якоря включить реостат с сопротивлением
Rn « 0,8 Ом; б) понизить напряжение до 180 В.
Ответ', a) пвм»1215 об/мин; Рг-=7630 Вт; т] —
в 69,4%; б) Лии “ 1215 об/мин; Pt =* 7630 Вт; я —
- 84,8%.
4.5.28.	Определить ток и частоту вращения ДПТ
последовательного возбуждения с номинальным напря-
жением » 220 В, током /«ж “= 65 А и частотой
вращения пш “= 750 об/мин, если при неизменном мо-
менте сопротивления на валу напряжение на зажимах
двигателя уменьшить в два раза. Сопротивление якоря
Д, - 0,2 Ом.
Ответ: I = 65 А; п « 851 об/мин.
4.5.29.	Двигатель параллельного возбуждения вклю-
чен в сеть с напряжением 220 В. Ток двигателя 7 =
— 500 А, ток возбуждения I. “ 4,3 А. Сопротивление
якоря Да “ 0,011 Ом. Определить мощность и напряже-
ние на зажимах машины при ее работе в режиме гене-
ратора, если частота вращения и токи в обмотках якоря
и возбуждения останутся неизменными.
Ответ: Р “ 103 кВт; U = 210 В.
4.5.30.	Известны номинальные данные двигателя па-
раллельного возбуждения: мощность Ржж“8 кВт, на-
пряжение С/ш * 220 В, ток 1т — 43,5 А, частота
вращения пт = 1500 об/мин и КПД “ 83,6%. Со-
противление обмотки якоря Яж“0,3750м, сопротивление
цепи возбуждения R, = 110 Ом. Рассчитать и построить
рабочие характеристики двигателя. Мощность механи-
ческих, магнитных и добавочных потерь считать неиз-
менными. Реакцией якоря пренебречь.
100
Электротехника
4.6.	Контрольные задания
Задаваясь различными значениями момента Af2, рас-
считать и построить в относительных единицах рабочие
характеристики двигателя постоянного тока параллель-
ного возбуждения с номинальным напряжением 220 В.
Определить сопротивление пускового реостата при за-
данной кратности пускового тока. Реакцией якоря пре-
небречь. Данные для расчета приведены в таблице 4.2.
Таблица 4.2
№ п/п	•Рном» кВт	/ном» А	Яя, Ом	7?в»  Ом	/н*	№ п/п	Рном» кВт	/ном» А	Яя, Ом	7?в, Ом	/п*
Дном = 3000 об/мин						Дном = 1000 об/мин					
1	1,5	9	2,72	744	2	26	1,5	9,3	3,97	369	2
2	2,2	12,5	1,35	883	2	27	2,2	13,3	2,36	321	2
3	3,0	16,5	0,856	353	2	28	3,0	17,1	1,44	222	2
4	4,0	21,6	0,459	335	2	29	4,0	22,4	0,884	243	2
5	5,5	30,2	0,484	370	2	30	5,5	30	0,660	209	2
6	7,5	44,1	0,270	180	_Ь8|	31	7,5	40,3	0,528	179	14
7	11	59	0,183	220	1,8	32	11	69,3	0,434	119	1.8
8	15	79,3	0,099	125	1,8	33	15	84	0,350	151	1,8
9	18,5	96	0,098	137	1,8	34	18,5	102	0,216	135	1,8
10	22	112,5	0,065	127	1,8	35	22	117	0,116	56,5	1,8
11	30	157,5	0,064	85	1,8	36	30	160	0,097	50	1.8
12	45	230	0,045	94	1,8	37	37	193	0,078	68	1,8
Дном = 1500 об/мин						38	45	235	0,076	68	1,8
13	1,5	8,7	3,30	583	2	39	55	286	0,048	53	1,5
14	2,2	12	1,50	440	2	40	75	385	0,032	45,5	1,5
15	3,0	17,2	1,40	260	2	41	90	460	0,022	39	1,5'
16	4,0	26,7	1,08	300	2	42	110	562	0,021	39	1,5
17	5,5	30,5	0,633	174	2	43,	132	667	0.021	34	1,5
18	7,5	40,8	0,370	198	1,8	Дном = 750 об/мин					
19	11	59,5	0,257	175		44	15	85	0,355	129	1,8
20	15	79	0,173	220	1,8	45	18,5	100	0,220	103	1.8
21	18,5	100	0,179	108	А8_	46	22	120	0Д48	61,5	1,8
22	22	116	0,122	94	1,8	47	30	158	0,080	44,5	1.5
23	30	156	0,106	134	1,5	48	45	240	0,071	53	1,5
24	45	233	0,068	110	1,5	49	55	286	0,048	45,5	1,5
									Л МЧ W «Ч	«чмч	
5
ТРАНСФОРМАТОРЫ
5.1. Основные положения и формулы
Трансформатор — это статическое электромагнитное
устройство, имеющее две или большее число индуктивно
связанных обмоток и предназначенное для преобразова-
ния посредством электромагнитной индукции одной илц
нескольких систем переменных токов и напряжений в
одну или несколько других систем переменных токов
и напряжений, как правило, той же частоты.
Первичная обмотка трансформатора с числом витков
u>i — обмотка трансформатора, включаемая в электри-
ческую сеть переменного тока.
Вторичная обмотка трансформатора с числом витков
wt — обмотка трансформатора, к которой подключают
приемник электрической энергии.
В повышающих трансформаторах первичная обмотка
является обмоткой низшего напряжения (НН), а вто-
ричная— обмоткой высшего напряжения (ВН), в по-
нижающих трансформаторах — наоборот.
Номинальные данные трансформатора: полная мощ-
ность iSgM, линейные напряжения первичной  и вто-
ричной U& т обмоток и токи /1мн и1гю1 в них, КПД
Пип,, частота сети /, их приводят на заводском щитке (пас-
порте). Там же указывают значения тока холостого хода
Zo в первичной обмотке в процентах от Iu и напряже-
ние испытательного короткого замыкания иЛ в процентах
от и»- Для многофазных трансформаторов указывают
схемы соединения обмоток и группу соединения, напри-
мер, для трехфазного двухобмоточного трансформатора
102
Электротехника
может быть записано Y/Y - 0 или Y/A - 11, где цифра оз-
начает группу соединения.
Под номинальной мощностью поняыякгс полную мощ-
ность трансформатора.
Для однофазных
^1жжЛжж“ Uin eaJin вом>
для трехфазных
в 8^1аои Джи “ ‘'/З^хлжи Дл жи»
где ZZibom и Дж», — фазные напряжение и ток в первичной
обмотке.
Номинальное вторичное напряжение — это напря-
жение на зажимах вторичной обмотки в режиме холос-
того хода трансформатора (при Д — 0), для фазных на-
пряжений
иЛ.
За номинальный вторичный ток условно принимают
ток, рассчитанный по номинальной мощности при но-
минальном вторичном напряжении.
Для однофазного трансформатора
1"1жи Дани “ ^жнДДжи»
для трехфазного трансформатора
Д»жи ” ®жи /‘'/31ДЛжи — линейный ТОК}
Джи ** ‘Б'жж/З^Джж ~ фазный ток.
ЭДС, индуцированная в первичной и вторичной об-
мотках основным (главным) магнитным потоком, за-
мыкающимся по магнитопроводу,
r~* I ж
«1 = ~«>Гф = Ч2Е1 ain I mt - j
е< =	= ViEs» sin (tot - ?
at	I 2,
(6.1)
Трансформаторы
ioa
h Ri iXi R’2 1X’2
Рис. 5.1
где Ф = Фя sinmt — основной магнитный поток.
Действующие и комплексные значения ЭДС» ин-
дуцированные основным магнитным потоком,
= 4,44/и^Ф,,, Д. =->4.44/и>,Ф^.|
Д» = 4.44йо«Ф-, В« = -М.44/и><.Ф-]
(5.2)
ЭДС рассеяния в первичной и вторичной обмотках
E^-jX^,	(5.8)
где Xjв ЗхЛЕкрд, * И Х^ я  *в£^м. ””” ин-
дуктивные сопротивления, a Li^ и г- индуктив-
ности первичной и вторичной обмоток, обусловленные
магнитными потоками рассеяния.
Коэффициент трансформации
Д1 = - tr»—
£а W2 17м
(5.4)
Схема замещения приведенного однофазного (одной
фазы трехфазного) двухобмоточмозо трансформатора
показана на рис. 5.1. Здесь я Xt — активное сопротив-
ление и индуктивное сопротивление рассеяния первич-
ней обмотки; Xj - Bi + }Xt — комплексное сопротив-
ление первичной обмотки; Z1 “Bg + jXi — то же приве-
денной вторичной обмотки; Д> и Хо — активное и индук-
тивное сопротивления ветви намагничивания, ZQ = Д> +
+]Х0 — ее комплексное сопротивление, причем Zo »
»Zt.
Связь между параметрами вторичной обмотки ре-
ального и приведенного трансформаторов
104
Электротехника
Ei => nEa = Ei, Ua = nUt,
(6.5)
Ei « n%, Xi = naXt, z; = n*Zu,
где Ea, Ua, Ia, Et, Xi — параметры вторичной обмотки
реального трансформатора, а Ив— полное фазное соп-
ротивление нагрузки.
Уравнения напряжений и токов приведенного транс-
форматора
Si = +1121 = -&+h (ft + &&
Si =£i-Г& =	- fl (К+РЪ,
Ii = Io + (~Iah
где — ток холостого хода, равный
r g.— -Я, -JK
^°e&+&“ & ” а’
(5.6)
(6.7)
а -£j{ « - -а — составляющая тока Ь, обусловленная
токене во вторичной обмотке.
Ток в нагрузке реального и приведенного трансфор-
маторов
(5.8)
Козффициент загрузки (нагрузки) трансформатора:
(5.9)
Сопротивление короткого замыкания трансформато-
ра
2, = Zi + S =Д, + ;ХЖ = ^,
(5.10)
где Zu -	+	— полное сопротивление короткого за-
мыкания,
Трансформаторы
105
RK = 7?! + J?2 и Хк - -Xi + X2 — активная и индуктив-
ная составляющие этого сопротивления,	,
X
<рк = arctg — аргумент ZK.
К*
Схему замещения обычно считают симметричной, по-
лагая в ней
=	= =f; Х1 = Х2' = Ь. <5Л1>
Напряжение испытательного короткого замыкания
и его составляющие в процентах от номинального
Ик = 7^- 100% =	100%,
^1ном	^1Н€М
ика = “к С08фк =	100%,
у1ном
(5.12)
UKD = ИквШфк =	100%.
V1HOM
Потеря напряжения в трансформаторе:
а) в процентах от номинального
Ди = Р (им совф2 + икр а1пф2) =
- Рик С08(фк - ф2);	(5.13, а)
б) в относительных единицах
= Ж = 1ОТР“« СО8(<₽К " 92)’	(5.13, б)
где сояф2 — коэффициент мощности приемника.
Внешняя характеристика U2 = f (Р) при СЛном=
= const, f = const и созф2 = const
U2 =? а2ном (1 - Ди.),	(6.14, а)
или в относительных единицах
С/2’ = с£; = (1“Д“’)-	(5.14,6)
106
Электротехника
Мощность потерь в режиме холостого хода (12 = 0)
при = const и f = const:
а) в однофазном трансформаторе
Ро = созфо = Ig (l?i + Иду =	(5.15, а)
б) в трехфазном трансформаторе
Рд = 317Ibom^o СОЗфо = 37q (Ri +
(5.15,6)
Мощность потерь в режиме испытательного корот-
кого замыкания (ZB = 0) при 71иом = const и f = const:
а) в однофазном трансформаторе
Р*.	'^1к71ном созфк ЛвоЛ; (5.16, а)
б) в трехфазном трансформаторе
Р« = 3Z71k71Hom со8фк = 3/LA-	(5.16, б)
Мощность потерь в трансформаторе
£ Рп = Ро + р2Д..	(5Л7)
КПД трансформатора
_ = 1 _ л> + рХ
Л	+ Ро + р2Рк*	(5,18)
Максимальное значение КПД 4
п -1
Птах < Рми^совфз + гРо’	(5.19)
гДе Ротт -	— оптимальный коэффициент загрузки
* К
трансформатора.
Трансформаторы	107
5.2.	Примеры
5.2.1.	Первичное напряжение трансформатора Ux =
= 230 В, вторичное U2 = 5770 В. Для определения чисел
витков первичной и вторичной обмоток трансформатора
на сердечнике намотали дополнительную обмотку с чис-
лом витков wR = 20. В режиме холостого хода напря-
жение на зажимах дополнительной обмотки 17д = 140 В.
Определить число витков первичной и вторичной обмо-
ток и амплитудное значение главного магнитного потока,
если частота сети 50 Гц.
Решение.
1.	В режиме холостого хода ия = Ел, U2 = Ег, Ux s
* Ег.
2.	ЭДС, ийдуцируемая в одном витке, j = ER/wR —
= 140/20 = 7 В.
3.	Число витков первичной и вторичной обмоток
трансформатора
~	_ 230 _ по. ... _	_ 5770 - Я25
Wl - Ел1 = Ел1 - 7 ~33’	- 7 - 825.
4.	Амплитудное значение главного магнитного потока
по (5.2)
ф--Л » 03,5 вб-
5.2.2.	Однофазный трансформатор работает в режиме
холостого хода. Напряжение сети Ux = 5000 В, мощность
потерь Ро = 1400 Вт при токе 10 = 2 А. Определить
коэффициент мощности в режиме холостого хода, полное
сопротивление первичной цепи и его активную и ин-
дуктивную составляющие.
Решение.
1.	Коэффициент мощности на основании (5.15):
со8ф0 = ул- = ^ап°о = 0,14.
Ц4 5000 2
2.	Полное, активное и индуктивное сопротивления
первичной цепи согласно схеме замещения (см. рис. 5.1)
108
Электротехника
JZi+ Zo| = Zlo = ^ = ^ = 2500 Ом,
в
В10 = Я1 + ^ = § = ^ = 350 Ом,
/5	»
Хю • Xi + Хо s 5/2?о- Я?о = 2475 Ом.
5.2.3.	К вторичным зажимам понижающего однофаз-
ного трансформатора с коэффициентом трансформации
п - 852/284 - 3 подключен приемник электрической
энергии с сопротивлением Z* *°-29,3 + /22 — 38,84 *
• ^at,r. Ток во вторичной цепи = 3 А. Частота сети
50 Гц. Сопротивления первичной и вторичной обмоток
и цепи намагничивания Zi - 11,1 + /19,4 = 22,35 •
• e'ee>r, Z* = 2 + /3 = 3,61 • e/SM’, Zq = 380 + /3600 -
*= 3618 • е'84,у. Пользуясь схемой замещения трансфор-
матора (см. рис. 5.1) определить номинальные первичное
£71яом и вторичное У^ напряжения, ЭДС £t и £г, ток
холостого хода /0» номинальный ток в первичной обмотке
и номинальную мощность трансформатора, его КПД,
совф! первичной цепи.
Решение.
1. Приняв IggoH “ЗА чисто вещественным, находим
комплексное вторичное напряжение трансформатора по
(5.8)
Ил •	= 3 • 86,64 • е*6* = 110 • е***.
Действующее значение вторичного напряжения Уа -
- 110 В.
2. Приведенные значения тока, напряжения и сопро-
тивления вторичной обмотки по (5.5)
ZU-Jb..-i-3-lAj ^=^ = 380-^8,
= 9 • 3,61 • е/5вж = 32,5 •	= (18 + /27).
Трансформаторы
109
8. ЭДС Ei и ЕЪ индуцированные основным магнит-
ным потоком, в соответствии с уравнениями (5.5) и
(5.6)
Ei = Ei =Щ +1^ж^ = 330-е/м,#’ +
+ 1 • 32,5 • e*w‘ = 361 • еда’в‘.
Действующие значения ЭДС Et = Ej « 351 в.
4. ЭДС Ег реального трансформатора по (5.5)
£JS S = 3gi = 120 в.
I* о
б. Номинальное вторичное напряжение в соответст-
вии с определением
= Uw = Е, а 120 В.
6. Ток холостого хода по (5.7)
ilk _ _ 361 •е/м,г ~ л 1. в/18***’
& " 8318^	’ е 7 8 9
7. Номинальный ток и напряжение первичной об-
мотки по (5^6)
Ziho- =1о + (-1А«) = 0,1 • е»3** - 1 = 1,07 • е/17Г,
= -^ +	= -361 •	+ 1,07 • ef™ x
x 22,85 • e*°,r = 383 • е"Л40Ж.
8. Номинальная мощность трансформатора
8 ^1= 1*1= = 380 • 1,07 “ 407 В‘А.
9. Сопротивление короткого замыкания по (5.10)
Ек = 21 + а=Д. + /Х« =
= (11,1 + Д9,4) + (18 + /27) = (29,1 + >46,4) Ом.
110
Электротехника
10.	Мощность потерь короткого замыкания
Р* = 11^ = 1.07* • 29,1 = 33,4 Вт.
11.	Мощность потерь холостого хода
Ро в /о (Д> +	= ОД* (360 + 11) = 3,7 Вт.
12.	Коэффициент мощности приемника
cos<ps ” 008(36,9*) « 0,8, так как фг «	- <gz =
- 36,9 - 0 - 36,9*.
18. КПД трансформатора по (5.17) при Р -1
И = 1 - 2 	+	----= 1--------3>7 + 33,4 q ggg
Диммер,+ />. + 1»,	407.0,8 + 8,7 + 83,4 U’OVO*
14. Сдвиг фаз между jZ<mw и L^. и коэффициент
мощности первичной цепи:
Ф = W, - Vi, - -140,3* - 176* = -316,3* = 43, Г,
совф! = сов43,7*« 0,72*.
15. Комплексный основной магнитный поток Ф- при
частоте f = 50 Гц и числе витков первичной обмотки
Wi *• 852 в соответствии с (5.2)
Ф. = - тгДг- = -	= 0,2  ЮЛ/128’6'.
—"	J4,44fu\	/4,44 • 60 • 8Б2
На основании системы уравнений (5.6) по найденным
значениям магнитного потока, токов, напряжений и
ЭДС в случае необходимости может быть построена
векторная диаграмма трансформатора.
5.2.4. В каталоге для однофазного двухобмоточного
трансформатора типа ОДГ-10500/110 указаны: мощность
= 10 500 кВ А, высшее Um = 121 кВ и низшее
СГщ, - 11 кВ напряжения, ток холостого хода 1О.% “
-= 3,3%, напряжение короткого Замыкания ик=10,5 %,
gjggtatgBwmgpw
111
мощность потерь холостого хода Ро ” 29,5 кВт к Хорог*
кого замыкания Рк = 81,5 кВт. Определить параметоы
схемы замещения, мощность потерь в обмотках, КПД,
потерю напряжения и вторичное напряжение в
номинальном режиме работы при коэффициенте мощ-
ности приемника совфа = 0,8 (<р2 > 0), если трансформа-
тор понижающий. Определить оптимальный коэф-
фициент загрузки трансформатора и максимальное зна-
чение КПД.
Решение.
1.	Номинальные первичное и вторичное напряжения
для понижающего трансформатора равны:	= U„ =
— 121 кВ, Паии =	= 11 кВ.
2.	Действующие значения токов в первичной и вто-
ричной обмотках
г S,K" 10 6 7 800 flfl я а I 10в00
^1якял ~	*" 121 ~ °®*® *** ^2яом s ц “ А«
3.	Действующее значение тока холостого хода
10 =	* 80’8 =23бА.
4. Действующее значение ЭДС Ея реального транс-
форматора в режиме холостого хода (1а = 0) в соответ-
ствии с уравнениями (5.6) Et - UM - 11 кВ.
5. Коэффициент трансформации по (5.4)
п
121
и» ~ и
= 11.
6. Действующие значения ЭДС EtBE$ в режиме
холостого хода
Ei — £g = пЕг = 11 • 11 » 121 кВ.
7. Действующее значение напряжения короткого за-
мыкания

и, • IZ1W,
= 105^000 я12705
В.
100
118:______ Электротехника
8.	Сопротивление короткого замыкания и его со-
ставляющие
= = ® =14бОм’
*s£e%^el0’8O<
Хк = ^ - ^ =145,9 Ом;
Z. = 10,8 + /145,9 = 146 • е^п;
9.	Сопротивления первичной и приведенной вторич-
ной обмоток
Zt = Ri + jX[ = ф = 5,4 +/72,95 =73 e^-n;
Z& = Rl + jx; = Ф = 5,4 + /72,95 = 73
10.	Активное и индуктивное сопротивления реальной
вторичной обмотки:
=	0,0446 Ом;
п 11
X, = Ц =	» 0,603 Ом.
п 11 11
11. Полное сопротивление первичной цепи в режиме
холостого хода и его составляющие (см. рис. 5.1)
Я10 = & + &|-^ = 1^=42 308 Ом;
Я10 = Л1+Д) = ^ = ^^ = 3606 Ом;
Х10 = Xi +Хо = “Б?о = 42 308 Ом;
Твансбормвторы
113
giO = 8606 +/42308 = 42308-е^418'.
12. Полное сопротивление ветви намагничивания и
его составляющие
2о = ?ю-?1 =8600 +/42235 = 42235
Ио = 42235 Ом*.
Д> = Я10 - А = 8606 -5,4 =3600 Ом;
Хв = Хю - Xi =	= 42235 Ом.
18.	Уточненные значения ЭДС, индуцированных глав-
ным магнитным потоком,
Et = Е; =Iq-Z0= 2,86-42235 = 120 800 В,
то есть, в режиме холостого хода ЭДС Et и Е, отличаются
от U<-~ на 0,17%, что позволяет считать их практически
равными.
14.	Мощность потерь в магнитопроводе при номи-
нальном первичном напряжении
Рт = Го < Во =2,86* < 3600= 29 450 Вт.
15.	Мощность потерь в первичной обмотке (электри-
ческие потери в первичной обмотке) в режиме холостого
хода
Р»1 “ *о • Я1 = 2,86* • 5,4 = 44,2 Вт.
16.	Мощность электрических потерь в первичной и
вторичной обмотках в номинальном режиме
^п»! = ж Гвои *	= ^2вон ‘ Д| ~
= ^ = ^5 = 40 750 Вт.
в	Л
17.	Суммарная мощность потерь в номинальном ре-
жиме
114
Электротехника
£ Рп = Ро+ ₽**„= *0 + А. =
= 29 460 + 81 500 = 111 ООО Вт.
z /
18.	КПД трансформатора в номинальном режиме (Р =
и 1) при коэффициенте мощности приемника cos<p2 =
- 0,8 по (5.18)
1	1-10 500 000 0,8 111 000
19.	Оптимальный коэффициент загрузки и макси-
мальное значение КПД при совф, = 0,8
R	= 0,6;
HoDT VP, V813	* *
'	,_______2Р0
Ппшх“ Р^Ди.совфа + аРо “
— 1_________69______= О 99
О, в • 10 500 • 0,8 + 59 ” ’
20.	Изменение напряжения в номинальном режиме
при активно-индуктивной нагрузке с совфа “ 0,8 (ф2 >
= 36,9”)
Ли - Ри, сов (фп - Фа) = 1 • 3,3 • cos(85,8- 36,9) = в,9%,
Ли, «0,069.
21.	Действующее значение вторичного напряжения
в номинальном режиме при coeq»2 = 0,8 по (5.14) ия “
- ^2жж(1 - Ди.) - 110 000 (1- 0,069) = 10 240 В.
5.3.	Задачи
5.8.1.	Показать зависимость изменения во временя
ЭДС в первичной и вторичной обмотках трансформатора
при изменении основного магнитного потока во времени,
как показано на рисунке 5.2.
Трансформаторы
116
+Фт
Рис. 6.2
5.3.2.	Найти число витков обмоток трансформатора
для получения в режиме холостого хода напряжения
на вторичной обмотке Ut = 12 В при напряжении пер-
вичной обмотки Ui = 220 В, если частота сети равна
60 Гц, а максимальное значение основного магнитного
потока в сердечнике трансформатора Фж = 0,0030 Вб.
Записать переменные величины в комплексной форме
и построить векторную диаграмму напряжений.
Ответ: u>i = 275, wt “ 15.
5.3.3.	Определить число витков обмотки, приходя-
щееся на один вольт, если угловая частота ш = 314 с-1,
а максимальное значение основного магнитного потока
в сердечнике Ф„ = 0,003 Вб.
Ответ'. 1,5 витка/В.
5.3.4.	При включении трансформатора в сеть с на-
пряжением Ut= 35 кВ в режиме холостого хода вто-
ричное напряжение Ut > 400 В. Пренебрегая током
холостого хода, определить ток в первичной обмотке
при токе нагрузки Is = 145 А.
Ответ'. ™ 1,60 А.
5.3.5.	Число витков первичной обмотки трансформа-
тора wt “ 792, вторичной u>t— 264. Активно-индуктив-
ной нагрузке при токе It = 1А и коэффициенте мощности
совф1"0,8 соответствует вторичное напряжение 17, -
* 110 В. Определить ток в первичной обмотке и под-
веденное к ней напряжение Uv Частота сети f в 50 Гц.
Комплексные сопротивления обмоток трансформатора
Z, = Z, “ (11 + /20). Комплексное сопротивление пер-
вичной обмотки при холостом ходе Zn (300 4- /3000).
Ответ: Ui - 346 В, Ii = 0,42 А.
5.3.6.	Номинальное вторичное напряжение понижа-
ющего трансформатора ~ 400 В. Коэффициент
трансформации п = 10, сопротивление приемника Z„ =
lie
Электротехника
*> (20 + /0) Ом. Определить приведенные значения со-
противления, напряжения и тока приемника в схеме
замещения трансформатора.
Ответ-. И„' = 2000 Ом, и'*» = 4000 В, Ц = 2 А.
5.3.7.	При включении трансформатора в сеть в режиме
холостого хода напряжение на зажимах вторичной об-
мотки Uw = 0600 В, ток Го “ 12»3 А» мощность Ро =
26,6 кВт. Активные сопротивления обмоток Я1 33
“ 0,6836 Ом, R, = 0,037 Ом, индуктивные - 4,4 Ом
и X, = 0,42 Ом. Вычислить остальные параметры схемы
замещения трансформатора. Номинальное напряжение
первичной обмотки = 20 210 В.
Ответ: Д{ ™ 0,347 Ом, XI “ 3,94 Ом, Rq = 176 Ом,
XQ - 1633 Ом.
5.3.8.	Известны параметры схемы замещения транс-
форматора: Z, “ (3 + /10), Zi 33 (1,66 + /10,8), Zn =
= (500 + /26 000), ZL 33 (312 + /234). Первичное напря-
жение Ui = 6770 В. Определить комплексные ток Д и
ЭДС Ег.
Ответ: Д = 14,1еу38,8; -Ei = 5650е^.
6.3.9.	Известны параметры трехфазного трансформа-
тора ТМ-250/10: полная мощность SLs250кВ*А; номи-
нальное первичное напряжение 10 кВ; напряже-
ние на зажимах вторичной обмотки С/м-0,4 кВ; ток и
мощность в режиме холостого хода Д-1=8%,Ро“87ОкВт.
Какие параметры и величины, характеризующие ра-
боту трансформатора, можно определить по имеющим-
ся данным?.Каковы их значения?
5.3.10.	При замкнутой накоротко вторичной обмотке
трансформатора к обмотке высшего напряжения (ВИ)
подведено напряжение С7„ = 38 кВ. Токи в обмотках
имеют номинальные значения Iiaat “ Л-~. 33 1100 А.
Мощность в режиме короткого замыкания Рж = 950 кВт.
Какие параметры трансформатора можно определить по
имеющимся данным и каковы их значения?
5.3.11.	Номинальное первичное напряжение транс-
форматора - 10 кВ, коэффициент трансформации
п 25. Определите изменение вторичного напряжения
трансформатора, если при номинальной нагрузке оно
равно СД = 390 В.
Ответ: AU 33 10 В.
=SS=aSK5SSSSSS=^^^^^^S5^SS9eSSSESS=S
5.3.12.	Каково напряжение на приемнике, подклю-
ченном к однофазному трансформатору с = 63 кВ А
и напряжением 6000/0,23 кВ, если активная мощность
приемника Ря = 40 кВт при напряжении Ua™. = 230 В
и коэффициенте мощности созф2 = 0,81 (<ра > 0). Извест-
ны напряжение короткого замыкания ил = 5,5% й мощ-
ность потерь в режиме короткого замыкания Р„ =
= 1600 Вт.
Ответ: Ut « 221 В.
5.3.13.	Определить изменение вторичного напряжения
трансформатора при номинальной активной (фа = 0), ин-
дуктивной (ф2 = 90*), емкостной (ф2 = -90*) и активно-
индуктивной нагрузке (ф2 = 36,87*) по следующим
известным параметрам трансформатора: 8^. = 400 кВ А;
1711ЮВ ~ 05 кВ; ик = 6,5%, мощность потерь в режиме
короткого замыкания Рв = 5,5 кВт.
Ответ: 1) Ди = 1,375%; 2) Ди = 6,353%; 3) Ди =
= -6,353%; 4) Ди = 4,91%.
5.3.14.	В трансформаторе с номинальной мощностью
S„a, ж 58 кВА мощность потерь при холостом ходе Ро =
= 265 Вт, а при коротком замыкании — Р„ = 1280 Вт.
Определить оптимальный коэффициент загрузки и мак-
симальное значение КПД, а также КПД в номинальном
режиме при трех значениях коэффициента мощности:
1) совфа = 0,8 (<ря > 0); 2) совф2 = 1,0 и 3) совф2 =
= 0,8 (фа < 0).
Ответ: Рощ =“0,454; 1) и 3) Пш» = 97,74%, п«ж =
= 97,03%; 2) Ппих = 98,18%, Пшж = 97,61%.
5.3.15.	В каталоге на однофазный трансформатор типа
ОДГ-20 000/150 указаны: 8^, = 20 000 кВ-A; Um =
= 160 кВ; Um = 10,5 кВ; мощность потерь холостого
хода Ро = 63,2 кВт и короткого замыкания Рк =
= 119,7 кВт, ток холостого хода 70 “ 11,4%, напряже-
ние короткого замыкания и* = 2,9%, частота f = 50 Гц.
Для понижающего трансформатора определить номи-
нальные первичное и вторичное напряжения и токи,
ток холостого хода, коэффициент трансформации, дей-
ствующее значение напряжения короткого замыкания,
параметры схемы замещения, изменение напряжения,
вторичное напряжение и КПД в номинальном режиме
118
Эмктротехника
при коэффициенте мощности приемника cos<p2 = 1 и
максимальное значение КПД при том же характере
нагрузки.
Ответ: Ut^. = 160 кВ; = 10,5 кВ; 11яом =
= 125 А; 1^ = 1904 А; 10 - 14,25 А; и = 15,24; UiK =
= 4640 В; Zi = &* » (3,83 + /18,16); 2о = (311 + /11224);
Ди = 0,6%;	П2= 10437 В; п.^. 99,09%; Птах”
- 99,14%.
5.3.16.	Трехфазный трансформатор с номинальной
мощностью Sxat = 400 кВА подключен к сети с напря-
жением 85 кВ. Определить вторичные линейные и фаз-
ные напряжения и токи при схемах соединения обмоток
У/У, У/Д, Д/У, если коэффициент трансформации п =
“	“ 3,21.
Ответ: Y/Y: Ua, = 10,9 кВ; = 6,3 кВ; Л, = /«•
= 21,2 А; У/Д: Ua, = £7* - 6,3 кВ; Та, - 86,6 А; I* =
= 21,2 А; Д/У: Uta = 18,9 кВ; £7И = 10,9 кВ;
= 12,2 А.
5.3.17.	В каталоге для трехфазного трансформатора
типа ТМ-30/10 указаны: схема соединения обмоток
У/У-0, мощность Зя,,, “ 30 кВ • А, С7Ш = 10 кВ, С7т =
= 0,4 кВ, мощность потерь холостого хода Ро ” 300 Вт
и короткого замыкания Р, ™ 1,41 кВт, ток холостого
хода Го = 9%, напряжение короткого замыкания и, =
= 5,5%, частота f = 50 Гц. Трансформатор понижаю-
щий. Определить все величины, указанные в условии
к задаче 5.3.15, при коэффициенте мощности сонфх “
= 0,8 (<ра > 0), а также вторичные линейное и фазное
напряжения. Нагрузка трансформатора симметричная.
Ответ: Ut^.д 5774 В; = 230 В; =°
- 1,73 А; - 48,5 А; Го “ 0,156 А; и - 25; С71х -
= 317,6 В; 21 = S “ (47,2 + /78,5); 2о “ (4162 +
+ /36 780); Ди = 5,1%; Пн» “ 94,5%; т|т« = 96%;	-
= 378 В; Изо = 218 В.
5.4.	Контрольные задания
Потребители электрической энергии питаются от
трехфазного двухобмоточного трансформатора. Техни-
ческие данные приведены в табл. 5.1. Частота сети
f = 50 Гц. Соединение обмоток У/У.
Трансформаторы
119
Определить коэффициент трансформации, номиналь-
ные напряжения и токи (фазные и линейные), ток
холостого хода, напряжение короткого замыкания, со-
противление короткого замыкания, активные и индук-
тивные сопротивления первичной и вторичной обмоток,
КПД и вторичные фазные и линейные напряжения при
коэффициенте мощности приемника cosq>2 = 0,8 (<р2 >
> 0), потерю напряжения в номинальном режиме, вто-
ричное напряжение при токе нагрузки 12 = 2/2ном и
созср2 = 0,7. Построить внешнюю характеристику и за-
висимость КПД от коэффициента загрузки при коэф-
фициенте мощности coscp2 = 0,8 (<р2 > 0). Нагрузка транс-
форматора симметричная, трансформатор понижающий.
120
Электротехника
Таблица 5.1
Технические данные трансформаторов
№ п/п	Тип	Shom» кВА	С^вн» кВ	С^нв> кВ	Ро, кВт	Рк, кВт	ик, %	Io. %
1	ТМ-25/6	25	6	0,23	0,13	0,60	4,5	3,2
2	ТМ-25/10	25	10	0,4	0,13	0,60	4,5	3,2
3	ТМ-40/6	40	6	0,23	0,175	0,88	4,6	3,0
4	ТМ-40/10	40	10	0,4	0,175	0,88	4,5	3,0
5	ТМ-63/6	63	6	0,23	0,24	1,28	4,5	4,5
6	ТМ-63/6	63	10	0,4	6,24	1,28	4,5	4,5
7	ТМ-100/6	100	6	0,23	0,33	1,97	6,5	2,6
8	ТМ-100/10	100	10	0,4	0,33	1,97	6,5	2,6
9	ТМ-160/6	160	6	0,23	0,51	2,65	is	23
10	ТМ-160/10	160	10	0,4	0,51	2,65	4,5	2,4
11	ТМ-250/6	250	6	0,23	0,74	3,7	4,5	2,3
12	ТМ-250/10	250	10	0,4	0,74	3,7	4,5	2,3
13	ТМ-400/6	400	6	0,23	0,93	5,5	4,5	3,3
14	ТМ-400/10	400	10	0,4	0,93	5,5	4,5	3,3
15	ТМ-630/6	630	6	0,23	1,31	7,6	5,5	2,5
16	ТМ-630/10	630	10	0,4	1,31	7,6	5,5	2,5
17	ТМ-1000/6	1000	6	0,23	2,45	12,2	5,5	1,5
18	ТМ-1000/10	1000	10	0,4	2,45	12,2	5,5	1,5
19	ТМ-1600/6	1600	6	0,23	3,3	18,0	5,5	1,3
20	ТМ-1600/10	1600	10	0,4	3,3	18,0	5,5	1,3
21	ТСЗ-160/6	160	6	0,23	0,7	2,7	5,5	4,0
22	ТСЗ-160/10	160	10	0,4	0,7	2,7	5,5	4,0
23	ТСЗ-250/6	250	6	0,23	1,0	3,8	5,5	3,5
24	ТСЗ-250/10	250	10	0,4	1,0	3,8	5,5	3,5
25	ТСЗ-400/6	400	6	0,23	1,3	5,4	5,5	3,0
26	ТСЗ-400/10	400	10	0,4	1,3	5,4	5,5	3,0
27	TC3-630/6	630	6	0,4	2,0	7,3	5,5	1,5
28	TC3-630/10	630	10	0,4	2,0	7,3	5,5	1,5
29	ТСЗ-1000/6	1000	6	0,4	3,0	11,2	5,5	1,5
30	ТСЗ-1000/10	1000	10	0,4	3,0	11,2	5,5	1,5
6
ТРЕХФАЗНЫЕ
АСИНХРОННЫЕ ДВИГАТЕЛИ
в.1. Общие положения и формулы
Асинхронная машина — это машина переменного
тока, у которой в установившемся режиме магнитное
поле, участвующее в основном процессе преобразования
энергии, и ротор вращаются с разными угловыми ско-
ростями.
Конструктивное исполнение: с короткозамкнутым и
с фазным ротором (с контактными кольцами).
Режимы работы асинхронных машин: двигательный
(основной), генераторный и тормозной. Наиболее рас-
пространены трехфазные асинхронные двигатели (АД).
Номинальные (паспортные) данные двигателя: ме-
ханическая мощность Рнон, напряжение обмотки статора
UlmK, ток статора /1НОМ, частота напряжения сети f,
частота вращения ротора п^,, КПД т]НОМ1 коэффициент
мощности coscpHOM, напряжение между контактными
кольцами при разомкнутой обмотке ротора С72о = Е2 и
номинальный ток в обмотке ротора 12яоя — для АД с
фазным ротором.
В каталогах на двигатели, кроме того, указывают
начальную кратность пускового тока 1П* = 1вДном» -на"
чальную кратность пускового момента = Мп/Мяоы,
кратность максимального момента (перегрузочную спо-
собность двигателя)
В паспортных данных АД обычно указывают два зна-
чения напряжения, например, 380/220 В. Меньшее зна-
чение напряжения (220 В) — это фазное напряжение
обмотки статора. Если линейное напряжение сети
равно этому напряжению, то обмотки статора необходимо
122
Электротехника
соединить треугольником, если линейное напряжение
сети равно большему значению 171ном (380 В), то обмотки
статора соединяют звездой. Соответственно указывают и
Sa значения линейного тока Z1H0H при соединении обмо-
к звездой и треугольником.
Частота вращения магнитного поля
п,=^,	(6-1)
где f — частота напряжения сети, р — число пар по-
люсов в машине. При промышленной частоте / - 50 Гц
частота вращения магнитного поля определяется как
пг = 3000/р.
Скольжение — это относительная разность частот вра-
щения или угловых скоростей магнитного поля и ротора
- П2 _ (<о, - (Og)
Л1 е>1
(6.2)
__	7WI.	ТСЛ®
где п2 — частота вращения ротора, ©г = -5— и ш2 = ™ —
vU	oU
угловые скорости вращения магнитного поля и ротора.
Частота вращения ротора
п2 =	(1 - s).	(6.3)
Частота ЭДС, индуцированной в обмотке статора
вращающимся магнитным потоком, равна частоте на-
пряжения в сети
А = А
(6.4)
Частота ЭДС и тока в обмотке ротора
fz = «А-	(6.5)
Действующие и комплексные значения ЭДС, инду-
цированные в фазных обмотках статора и неподвижного
и вращающегося ротора
Ег = 4,44u>i*ifi<₽m, Ej = -/4,44ш1Л171Фт,
Е2 = 4.44u>2*2/i<₽m, Ез = -
Е2, = 4,44ш2Л2/2Фот, Ез, = - ;4,44ш2Л2/2Фт,
(6.6)
Трехфазные асинхронные двигатели
123
где wt и wt — числа витков фазных обмоток статора и
ротора, kt и kg — их обмоточные коэффициенты.
Из уравнений (6.6) следует, что Eg, = sEg.
Коэффициент трансформации ЭДС с учетом (6.6):
k -=
4 «А'
(6.7)
ЭДС рассеяния обмоток статора и ротора:
£1рас = ~ jKi • Iif Eggae = ~iXg • Ig, Ej/fn = -jXg, • Ig,
где Xt — 2л/1^1|»е> Xg =	и Xg, =	~~~
индуктивные сопротивления, а £1рк и — индук-
тивности фазных обмоток статора и ротора, обусловлен-
ные потоками рассеяния, причем с учетом уравнения
(6.6) Xg, -зХа.
Ток ротора
Еы Hit,	Eg
&.-Д,+/Ха> = Я,/в+)Х1
(6.8)
где Zlt = (Rg+jXgJ — комплексное сопротивление фаз-
ной обмотки вращающегося ротора, Rg —> активное со-
противление фазной обмотки вращающегося ротора,
Rg/e — то же неподвижного ротора.
Связь между параметрами обмотки реального и при-
веденного ротора
Ei = Х^Я^Е1, И
Щ =*«•*,*«, Xi = k,klXg,
(6.9)
где kt« k, — коэффициент трансформации по току»
И] и т, — число фаз обмоток статора и ротора. Для
двигателя с фазным ротором mt e т> и Л, = k,.'
Схема замещения двигателя представлена на рис. 6.1»
где Rg — активное сопротивление фазной обмотки ста-
тора, Rg — приведенное активное сопротивление фазы
обмотки неподвижного ротора, Rg •	— приведенное
активное сопротивление ротора, отражающее процесс
преобразования электрической энергии в механическую.
124
Электротехника
I i
!o
Ri
jXi
RM
jXg
R*2 jX'2
Активная мощность пор,-
веденной электрической
энергии
Л = ЗСТиЛф совф =
= ^3(71л11л совф. (6-10)
Механическая мощность
на валу:
Рис. 6.1
Рг — М2ш2 = 0,105 Мгп2.	(6.11)
КПД двигателя (см. уравнение (4.6))
Р2 - Z Рп
П = / = 1 -	(6.12)
Л Рг + Е Р-
Мощность потерь в двигателе
2РП - РПЭ1 + Рго2 + Рпм1 + -Рпмх + Рид, (6.13)
где Рп„1 = m^Rtlt = ЭДД*, и Рм2 = тДгд! = ЗЯ212 — мощ-
ность электрических потерь в обмотках статора и ротора,
Рпм1 — мощность магнитных потерь в сердечнике ста-
тора, Рмх и Рвд = 0,005, Рном — мощности механических
и добавочных потерь.
Электромагнитный (вращающий) момент
М =	----Т2 = СФ^2СО8ф2 = СФЛ =
8(0]	<Bj
С’—
__________________8
(Х+^]2 + х“
(6.14)
где Z2a = Z2 совф2 активная составляющая тока в обмотке
ротора, совф2 = cos (£2 Л Ц), Хк = Хх+ Х2 — индуктив-
ное сопротивление двигателя, а постоянные С и С со-
ответственно равны
= ^Р<оЛ, С' =
2л/ "
Трехфазные асинхронные двигатели
126
Критическое скольжение, соответствующее макси-
мальному моменту Млш
+Д|
X, ’
(6.16)
где приведенное добавочное сопротивление реостата
в цепи ротора.
Максимальный момент
м ,853 _________1
““ 2»,
(6.16)
Упрощенное уравнение механической характеристики
в относительных единицах (формула Клосса)
М,
(6.17)
Критическое скольжение 8„ может быть найдено на
основании уравнения (6.16) по известным параметрам
обмотки ротора или из уравнения (6.17) по известным
значениям моментов и скольжения для какого-либо ха-
рактерного режима работы АД (пуск, номинальный
режим). Например, критическое скольжение, соответст-
вующее естественной механической характеристике,
может быть найдено по известным для номинального
режима скольжению в** и вращающему моменту Af* “
= 1
(в.18)
Рабочие характеристики двигателя — это зависимо-
сти na (Рг), в (Ра), Мя (Pj), Pi (Pj), h (Pt), Г] (Ра), совф (Ря).
Или в относительных единицах: Па* (Ра»), в (Р#), Mv
(Р*), Pv (Р*)> h* (Р*>, П (Р*)> совф (Р»4 Щ>и Ut - - const
и f — const.
126
Электротехника
6.2. Примеры
6.2.1. Амплитудное значение магнитного потока АД
Фт = 0,015 Вб, число витков в фазных обмотках статора
= 200 и ротора и о>2 = 20, их обмоточные коэффици-
енты ki = 0,94 и k2 = 0,96, скольжение в номинальном
режиме sHOM = 0,05, частота сети 50 Гц. Определить
действующие значения ЭДС в фазных обмотках статора
и неподвижного ротора, коэффициент трансформации
по ЭДС, частоту ЭДС и тока в обмотке ротора, а также
действующее значение ЭДС в обмотке ротора при но-
минальной нагрузке.
Решение.
1.	ЭДС, индуцированная в фазных обмотках статора
и неподвижного ротора по (6.6)
Ег = 4,44ш1А1/Фт = 4,44 • 200  0,94 - 50 • 0,015 - 625 В,
Е2 = 4,44ш2Л2/Фт = 4,44 • 20  0,96 • 50 • 0,015 = 64 В.
2.	Коэффициент трансформации по ЭДС по (6.7)
3.	Частота ЭДС и тока в обмотке вращающегося
ротора по (6.5)
/г = «вомЛ = 8НОМ/ - 0,05 • 50 = 2,5 Гц.
4.	ЭДС, индуцированная в обмотке вращающегося
ротора по (6.6)
•®2« = 4,44 * и>2й2/2Фт =
= 4,44 • 20 • 0,96 • 2,5  0,015 = 3,2 В.
6.2.2. Двигатель с короткозамкнутым ротором серии
4А имеет следующие номинальные данные: мощность
ГНом = 45 кВт; напряжение 380 В; частота напряжения
f = 50 Гц; частота вращения п2ном = 1475 об/мин; КПД
Т1Ном = 0,93; коэффициент мощности северном = 0,9. Из-
вестны также начальная кратность пускового тока 7П* =
Трехфазные асинхронные двигатели
127
= 7, начальная кратность пускового момента ЛГП* = 1,4
и перегрузочная способность АГтах* = 2,5. Определить
число пар полюсов, частоту вращения магнитного поля,
скольжение при номинальной нагрузке, номинальный
вращающий момент, активную мощность электрической
энергии, подведенной к двигателю, номинальный и пус-
ковой токи статора, пусковой и максимальный моменты
при номинальном напряжении. Как изменятся пусковой
ток, пусковой и максимальный моменты двигателя при
снижении напряжения на 10% ?
Решение.
1.	На основании уравнения (6.1) при частоте сети
f = 50 Гц частота вращения магнитного поля равна
60/ 60  50	3000
П1 = =.——- = и в зависимости от числа р пар
полюсов может принимать значения 3000; 1500;
1000 об/мин и т. д.
2.	Поскольку скольжение в номинальном режиме ра-
боты АД составляет несколько процентов, то частота
вращения ротора согласно уравнению (6.3) мало отли-
чается от частоты вращения магнитного поля. Чтобы
найти частоту вращения магнитного поля, нужно частоту
вращения ротора =1475 об/мин округлить до бли-
жайшего целого значения из приведенного в пункте 1
ряда, откуда rij = 1500 об/мин, что соответствует числу
полюсов 2р = 4.
3.	Скольжение в номинальном режиме согласно (6.2)

4.	Номинальный момент двигателя по (6.11)
Мном = — = 9,55^ = 9,55 •	= 291 Нм.
0 ю2	п2аом	1475
5.	Активная мощность электрической энергии, под-
веденной к двигателю,
^ = ^ = ^^ = 48 400 Вт.
Лном v,w
6. Номинальный ток двигателя по (6.10)
128
Электротехника
_____________^1аом_______ _	48 400	— R1 я д
1ном - V3l71BM,cosq>1HM. < 380 0,9 “	’
7.	Пусковой ток 1П = 7п*^1ном - 7 • 81,8 = 572 А.
8.	Пусковой момент: Л£ц = Л£п.Мном = 1,4 -291 =
= 407 Н м.
9.	Максимальный момент Мт„ = Мт„*М„„. = 2,5 •
• 291 = 727,5 Н м.
10.	Пусковой ток, пусковой и максимальный моменты
при напряжении Ut = 0,9С71НОМ
°'=/° = ЙГ572 ^ = 515А’
/ ГТ \2	z	Л
Мп'~Мп (S) = 407 fiwoj = 323 Нм’
. rj \2	.	,2
= Л4-.ПЯХ гР- = 727,5 °’9^gQ = 589 Н-м.
1 Vlw— I	I oOU I
6.2,3. Восьмицолюсный трехфазный АД с фазным ро-
тором имеет следующие номинальные данные: мощность
Ряом = 55 кВт; линейное напряжение 380 В; частота на-
пряжения f = 50 Гц; частота вращения = 724 об/мин;
КПД т]ном = 89,5%; cos<pHOM = 0,83; ток в роторе 12 ном =
= 185 А; напряжение между контактными кольцами ра-
зомкнутой обмотки ротора U№ — 190 В. Кратность макси-
мального момента = 2,2. Определить номинальное
скольжение, номинальный и максимальный моменты,
критическое скольжение при выведенном реостате в цепи
ротора, сопротивление Д, пускового реостата для обеспе-
чения начальной кратности пускового момента Мп, =
= 1,5, сопротивление 2?д добавочного реостата, который
необходимо включить в цепь ротора, чтобы получить час-
тоту вращения п2 = 600 об/мин.
Решение.
1. Частота вращения магнитного поля
П1 = ^ = 60д50 = 750 об/мии.
2. Номинальное скольжение по (6.2)
.Трехфазные асинхронные двигатели 129
3.	Номинальный момент
Мном = 9,55^ = 9,55 •	= 725,5 Нм.
П2ж>м	'"
4.	Максимальный момент
Мтах.Мном = 2,2 -725,5 = 1596 Нм.
5.	Критическое скольжение для естественной меха-
нической характеристики в соответствии с (6.18)
&т ~ ®ном ^^шах* +	~ J ~
= 0,035 (2,2 + V2,22 - 1) = 0,146.
6.	Активное сопротивление фазы обмотки ротора на
основании уравнения (6.14)
Д _	= 725,5 : 78,5 0,035 _ 0,0194 Ом,
«Лм	3-185
где угловая скорость вращения магнитного поля
7.	Критическое скольжение, соответствующее искус-
ственной механической характеристике при наличии в
цепи ротора пускового реостата Д,, при котором обес-
печивается начальная кратность пускового момента
Мп, =' 1,5, может быть найдено также из уравнения
(6.17). В момент пуска, когда скольжение s = 1, урав-
нение примет вид
-‘“п*	<	•
-	~Т + е'
3'„
Решая это уравнение относительно /кр, получаем
____	I
м
2
| _ J _ 2j2 ±
1.5
?
- 1 = 0,394.
130
Электротехника
8.	Сопротивление пускового реостата найдем, исходя
__ ___ вС- R, + Ra
из соотношения — = -а-л, составленного на основании
уравнения (6.15),
= R2 р - 1] = 0,0194 -- 1) = 0,033 Ом.
9.	Критическое скольжение для искусственной меха-
нической характеристики при наличии в цепи ротора
добавочного реостата Яд, обеспечивающего частоту вра-
щения п2 = 600 об/мин = 0,8п!
®т — ® ^^пих» ^-^тах»	1^ ~
= 0,2 • (2,2 ± л/2,22- 1) = 0,83,
, п, - 0,8п! п п
где s = —!------ = 0,2 — скольжение, соответствующее
ni
частоте вращения ротора п2 = 600 об/мин.
10.	Сопротивление добавочного реостата (аналогично
пункту 8)
7?д = R2 р - 1J = 0,194 •	- 1}= 0,091 Ом.
6.2.4.	Для асинхронного двигателя с фазным ротором,
технические данные которого приведены в примере 6.2,3,
рассчитать в относительных единицах и построить ес-
тественную механическую характеристику, а также ис-
кусственную при наличии в цепи ротора добавочного
реостата с сопротивлением Яд = 0,1 Ом.
Решение.
В примере 6.2.3 задана перегрузочная способность
двигателя Мт„» = 2,2 и определены активное сопротив-
ление/^ = 0,0194 Ом фазы обмотки ротора, номинальное
зном =0,035 и критическое зт = 0,146 скольжения для
естественной механической характеристики. Перегру-
зочная способность Мт^,„ двигателя не меняется с уве-
личением активного сопротивления (/?2 + /?д) цепй ротб-
ра, а критическое скольжение s'm, с учетом (6.15), из-
меняется пропорционально (R2 + Яд).
ТрехФааные асинхронные двигатели
131
vr	__ _____ Rt + RK
Исходя из соотношения -® = - р -л, критическое
®В»	*Т1
скольжение при наличии в цепи ротора добавочного
реостата с сопротивлением Яд-*0,1Ом.
,	+ Д, л 1 ла 0,0194 + 0,1 л q
'» -	= 0,146 • -"^01^- = о,9.
Зная значения в*, в'т и Мможно рассчитать
естественную и искусственную механические характе-
ристики в относительных единицах по формуле (6.17).
При скольжении в  0 магнитное поле относительно
ротора неподвижно, поэтому = 1, а момент М, - 0.
При критических скольжениях s„ и в'т вращающий
момент равен М» “ как для естественной, так и
для искусственной механических характеристик.
Для естественной механической характеристики при
номинальном режиме скольжению 8^, = 0,035 соответст-
вуют частота вращения ротора п* =*= 1 - em « 1 - 0,035 ==
» 0,965 и момент М» « 1.
Задав значения скольжения s в интервале от 0 до 1,
можно рассчитать механические характеристики двига-
теля. Так, при в " 0,2 частота вращения ротора «1-
-0,2 = 0,8, а вращающие моменты соответственно равны:
для естественной механической характеристики
ЙЛ/L.^
“***inax*
»
2-2,2
0,2 . 0,146
0,146	0,2
= 2,16;
для искусственной механической характеристики
М.=
==0,93.
Расчетные механичес-
кие характеристики пред-
ставлены на рис. 6.2, где
сопротивлению Яд “ 0 со-
ответствует характерис-
тика 1, а сопротивлению
Яд «= 0,1 Ом — характе-
ристика 2.
Рис. 6.2
182
Электротехника
6.3. Задачи
6.3.1.	Номинальная частота вращения ротора АД
Пзшм = 960 об/мин. Определить число пар полюсов дви-
гателя, номинальное скольжение, частоту ЭДС в обмотке
вращающегося ротора, если частота напряжения сети
f - 60 Гц.
Ответ,', р = 3; зиои = 0,04; /2 = 2 Гц.
6.3.2.	Трехфазный асинхронный двигатель с корот-
козамкнутым ротором работает с номинальным сколь-
жением ваом = 0,04. Известны частота питающего
напряжения f — 50 Гц, максимальное значение враща-
ющегося магнитного потока Ф„ = 0,01 Вб, число витков
обмоток статора u>i == 100 и ротора w2 =1 и их обмоточные
коэффициенты йг = 0,95 и k2 — 1. Определить коэффи-
циент трансформации: ЭДС, действующие значения ЭДС
в фазах обмоток статора, вращающегося и неподвижного
ротора.
Ответ'. ft, = 95; £, = 211 В; Ег = 2,22 В; £ь =
= 0,089 В.
6.3.3.	В фазе ротора трехфазного асинхронного дви-
гателя, вращающегося с номинальной частотой =
= 1440 об/мин, индуцируется ЭДС £ь = 0,15 В. Частота
напряжения сети f = 50 Гц. Найти ЭДС в фазе ротора
в момент пуска.
О т в е mt Ея = 3,75 В.
6.3.4.	Трехфазный асинхронный двигатель включен
в сеть с линейным напряжением ия •* 220 В. Ток в об-
мотке статора = 80 А при коэффициенте мощности
совф = 0,8. Мощность суммарных потерь в двигателе
SPn = 1000 Вт. Определить КПД двигателя.
Ответ', и = 0,89.
6.3.5.	Четырехполюсный трехфазный двигатель вклю-
чен в сеть с частотой f == 50 Гц. Вращающий момент
на валу двигателя М2 = 67 Н-м, скольжение в = 0,05,
мощность суммарных потерь ХРП = 1,5 кВт. Определить
КПД двигателя.
Ответ: л я 0,87.
Трехфазные асинхронные двигатели	183
6.8.6.	Двигатель с короткозамкнутым ротором имеет
следующие номинальные данные: мощность Р^ **
= 75 кВт, линейное напряжение 380 В, частота сети
f = 50 Гц, ток в обмотке статора 11яоя - 141 А, мощность
суммарных потерь при номинальной нагрузке SP„ =
= 5,65 кВт, номинальный момент Мт == 489,2 Н м.
Известна также кратность пускового тока 1П* = 7,5 и
кратность пускового момента ЛГП* = 2,2. Определить
мощность Pi®», коэффициент мощности и КПД в номи-
нальном режиме работы, а также пусковой ток и пус-
ковой момент.
Ответ: Ptm = 80,6 кВт; соаф^ = 0,87;	“
- 0,93; 1„ = 1,06 кА; М„ = 1076 Н м.
6.8.7.	Для двигателя с фазным ротором известны
следующие номинальные данные: активная мощность
Р1яак“ 8,9 кВт, напряжение 380/220 В, коэффициент
мощности соэфкм “ 0,82, ток фазы обмотки ротора 1^. =
“ 35 А, Известны также активные сопротивления фаз
обмоток статора Rt =• 0,65 Ом и ротора Rt - 0,25 Ом в
нагретом состоянии, мощность потерь в стали РШ1 =
= 170 Вт, мощность механических потерь Р^, = 90 Вт.
Определить КПД при номинальной нагрузке.
Ответ: ф^ = 0,84.
6.8.8.	Четырехполюсный трехфазный двигатель с ко-
роткозамкнутым ротором единой серии 4А с повышен-
ным пусковым моментом имеет следующие технические
данные: мощность Р^, = 11 кВт, напряжение 380/ 220 В,
частота сети / = 50 Гц, КПД = 0,87, коэффициент
мощности со8фном = 0,86, скольжение 8^, = 0,028, на-
чальная кратность пускового тока =• 7,5, начальная
кратность пускового момента = 2,2 и перегрузочная
способность М—.* = 3. Определить номинальную частоту
вращения, номинальный, пусковой и максимальный мо-
менты, критическое скольжение, номинальный и пус-
ковой токи двигателя.
Ответ: п»___= 1460 об/мин; Мт = 72 Нм; Мп =
= 158 Н м; = 216 Нм; ея = 0,163; 11яом - 22,4 А;
4 -168 А.
6.3.9.	Асинхронный двигатель с фазным ротором
имеет следующие номинальные данные: мощность Рт =
184
Электротехника
— 40 кВт, частота вращения = 1440 об/мин, на*
пряжение 880/220 В, ток ротора “225 А и КПД
Лном ” 0,9. Известны также сопротивления фаз обмоток
статора Rt « 0,0725 Ом и ротора Д»" 0,00865 Ом при
20 *С, перегрузочная способность М„.,» “ 2, напряжение
между контактными кольцами <7М = 110 В. Найти со-
противление пускового реостата в цепи ротора, при
котором пусковой момент Ма = 0,8Мт...
Ответ: Д, — 0,107 Ом.
6.3.10.	Известны номинальные данные трехфазного
двигателя с фазным ротором серии АК2: мощность **
“ 30 кВт, частота вращения = 720 об/мин, КПД
Т|т = 0,875, коэффициент мощности cos<paoM = 0,79, ток
в фазе обмотки ротора .Г»— = 150 А, а также критическое
скольжение за = 0,14, кратность максимального момента
ЛГ. = 1,72, сопротивления фаз обмоток статора Rt “
“ 0,11 Ом и ротора Ri_= 0,015 Ом. Напряжение сети
380 В, обмотки статора соединены звездой. В но-
минальном режиме работы двигателя определить ток
статора, мощность потерь в обмотках, сопротивление
реостата для регулирования частоты вращения от 720
об/мин до 600 об/мин.
Ответ:	= 65.9 A; Pml = 1594 Вт; Рщдв
- 1010 Вт; Д = 0,06 Ом.
6.8.11. Паспортные данные трехфазного асинхронного
двигателя серии 4А: номинальное напряжение 380 В,
номинальная мощность Р^ = 4,0 кВт, номинальная час-
тота вращения = 1430 об/мин. В таблице приведе-
ны значения КПД и коэффициента мощности при
различных относительных значениях мощности двига-
теля. Рассчитать и построить в относительных единицах
недостающие рабочие характеристики.
р?	0,25	0,50	0,75	1,00	1,25
в	0,795	0,845	0,85	0,84	0,84
совф	0,45	0,58	0,79	0,84	0,85
7
ТРЕХФАЗНЫЕ
СИНХРОННЫЕ МАШИНЫ
7.1.	Общие положения
Синхронная лашина (СМ)—это электрическая машина
переменного тока, у которой частота вращения п ротора
и частота f токов и ЭДС в обмотке якоря связаны
строгим соотношением п = В таких машинах в ус-
тановившемся режиме работы результирующее магнит-
ное поле и ротор вращаются с одинаковой скоростью
(синхронно).	,/
Явнополюсная и неявнополюсная СМ — машина с
явно и неявно выраженными полюсами на роторе, где
расположена обмотка возбуждения.
Номинальные данные: полная мощность Sm (для
двигателей — мощность Р механической энергии на
валу), линейные напряжение и ток коэффи-
циент мощности соафт, КПД Паи, частота f, частота
вращения ротора, напряжение и ток
обмотки возбуждения.
В данном пособии проводится анализ электромагнит-
ных процессов только в неявнополюсных СМ ввиду
ограниченного объема издания.
7.2.	Синхронные генераторы
7.2.1.	Электромагнитные процессы при нагрузке. Ос-
новные положения и формулы ЭДС, индуцируемые в
фазной обмотке якоря (статора)
основным магнитным потоком Фо возбуждения
Ед = -74,44/юЛФои = /С0пФ0и, (7.1)
186
Электротехника
магнитным потоком Фа якоря
Е. = -ЯЛ4/ЮЛФ». = - jXJ., (7.2)
магнитным потоком Фарае рассеяния якоря

(7.3)
где Ф - число витков фазной обмотки якоря, k — ее
обмоточный коэффициент, Ха и Харав — главное ин*
дуктивное сопротивление фазной обмотки якоря и ее
индуктивное сопротивление рассеяния, обусловленные
магнитными потоками Фа и Фари, Фо* и Фт — ампли-
тудные значения магнитных потоков Фо и Фа, I — ток
якоря.
Результирующие магнитный поток и ЭДС, участ-
вующие в основном процессе преобразования энергии
Е ~ Ед + Е,
(7 Л)
Уравнение напряжения
u-E»- a + /(Xa + xatj [«&-JXJ-
= Х-./ХаравГ,	(7.6)
где R — активное, а Хо = X, + Ха|ае — полное индук-
тивное сопротивление фазной обмотки якоря. Здесь и
далее принято R <= О в связи с тем, что R « Хе.
Уравнению (7.6) соответствуют векторные диаграммы,
представленные на рис. 7.1: а) для активно-индуктив-
иой и б) активно-емкостной Нагрузок генератора.
Рвс.7.1
Трехфазные синхронные машины
137
Угол нагрузки — пространственный угол между осями
результирующего магнитного потока Ф и потока воз-
буждения Фо. Поскольку Хя » Хя углы 9' и 9 прак-
тически равны, поэтому в дальнейшем под углом на-
грузки будем считать угол 9.
Реакция якоря — влияние магнитного потока Фя на
результирующий магнитный поток. Из векторных диа-
грамм (см. рис. 7.1) видно, что при активно-индуктивной
нагрузке реакция якоря приводит к уменьшению ре-
зультирующего магнитного потока, а при активно-ем-
костной нагрузке — к его увеличению.
Электромагнитные мощность и момент
mUE0 . а	д mVEB . _	(7.6)
Рэм = у sm9, Мж = М = ——- sm0,	' ’
9М Хс	“	,
где т — число фаз обмотки якоря, <в = лп/30 — угловая
скорость вращения ротора.
Полная, активная и реактивная мощности:
mUE0
Хе ’
S = mUI =
mUEn
Р = mUI совф = —2 sin9, 
mUE0
Q = nUlsincp = —~— cos9,
(7.7)
где U и I — действующие значения фазных напряжения
и тока якоря.
Мощность механической энергии на валу генератора,
мощность потерь в нем и КПД определяют по формулам
(4.5), (4.6) и (4.9) (см. раздел 4, МПТ).
Режим работы синхронной машины обычно характе-
ризуется значениями напряжения U и тока I якоря,
сдвигом фаз и током 1В возбуждения (или ЭДС Ео),
причем для каждой из указанных величин справедливы
следующие соотношения:
jE0 = ^(U сожр)2 + (U simp,+ Xjf,	(7.8)
г _ -U 8ЙФ + ^(17тпф)2 + (£п - О’2)
(7.9)
188
Электротехника
E(j.
1,2
0,8
0,4
0	1,0	2,0	3,0 ’в*
Рис. 7.2
U = -XJ 8inq> + ^-Х^соА,
(7.10)
т_ ,	(7.11)
ф arcsin 2ЦГХ*
Расчеты, анализ электромагнитных процессов в ма-
шине, построение векторных диаграмм существенно уп-
рощаются, если пользоваться относительными значения-
ми электрических величин. Приняв за базисные (еди-
ничные) полную номинальную мощность Sm, номи-
нальные фазные напряжение Ць»» я ток 1фап1, ток
возбуждения До, при котором £0 ” ^ф>«> я полное
сопротивление фазной обмотки Z —	имеем
U. - U/U* £q, = Eq/Uq „и,
Л’/Дфяом. Л = Д/Д*
Р, = P/Sjg* = U.I. совф = (СЦБо* einOyX^,,
Q.» О/вжя, = tZJ, 81пф = (U.Eq. совеуХд,,
(7.12)
X^^XJZ, X„ = Xx/Z, хярм.=хярм/и.
Приведенные выше формулы справедливы и для ве-
личин в относительных единицах (о. е.) и упрощаются
при U = СДвш, так как в этом случае U^l.
7.2.2.	Характеристики синхронного генератора при
работе на автономную нагрузку.
Трехфазные синхронные машины
139
Характеристика холостого хода: Ео (1В) при 1 = 0
и п = const. Нормальная характеристика холостого хода
для неявнополюсных синхронных машин, используемая
при расчетах, приведена на рис. 7.2, тде 1 — спрям-
ленная характеристика (без учета насыщения).
Внешние характеристики -U (I) при неизменных
1В, СОЗф и п (или /)•
Регулировочные характеристики — Ц(1) при неиз-
менных U, СОЗф и п.
Внешние и регулировочные характеристики СМ с
ненасыщенной магнитной цепью можно рассчитать по
формулам (7.8) и (7.10) или определить с помощью
векторных диаграмм. Расчет характеристик с учетом
насыщения показан в примерах решения задач.
7.2.3.	Работа синхронного генератора параллельно
с сетью.
Условие включения — идентичность трехфазных сис-
тем напряжений генератора и энергосистемы в момент
включения, как показано на рис. 7.3, где сплошными
линиями изображена трехфазная система напряжений
энергосистемы, а штриховыми — генератора. Следова-
тельно, в момент включения необходимо обеспечить:
а) равенство действующих значений напряжений сети
и генератора Ue = UT = Ео: б) совпадение по фазе Ц, и
£о = 1£г; в) равенство частот f = fT и г) одинаковый по-
рядок следования фаз энергосистемы и генератора.
В момент включения 7В = 1в0, Ео = Uc, 1~0, или в
относительных единицах 1В* = 1, Ео» - Uet = 1, 7* = 0. ;
Уравнение напряжения
Ue=Es-jXcI =
= const.
(7.13)
Ток якоря генератора:
Т _ Ед-LL: ьи (7.14)
jxc =-/%;•
Электромагнитные мощ-
ность и момент, полная, ак-
тивная и реактивная мощнос-
ти описываются уравнениями
(7.6) и (7.7) при U = Uc.
Ас Аг
к
УсА | УгА= EqA
Рис. 7.3
140
Электротехника
U-образные характеристики — зависимости I (I.)
при неизменных напряжении, частоте сети и Р = const.
При регулировании реактивной мощности в условиях
[/-образных характеристик активная составляющая тока
якоря Ia = const и ток якоря I = I* + 1р изменяется за
счет изменения реактивной составляющей 19 тока.
Угловые характеристики — зависимости Р (9) и М (9)
при Z. = const и неизменных напряжении Ц. = Ер -
- jXJ. = const и частоте fe сети (см. ур. 7.6). В отно-
сительных единицах
Р. = М. =^sin0.
(7.15)
Максимальные мощность и момент при I, = const
Pn^mU^Xt,
Mn = mUcE0/(<»Xc), ,	(7.16)

Статическая перегружаемость
'	_ Р„ш, ____
тех* “ р ""у	*
•моя cospMV
(7.17)
где Р„_— максимальная мощность при I, = 1ВЖЖ (Ео =
= Pan, — номинальная активная мощность гене-
ратора, совфап, — номинальный коэффициент мощности.
Для неявнополюсных СМ Р„... > 1.7.
Область устойчивой работы: 0 < 0 < я/2, Р^ > 1.
7.3.	Синхронные двигатели
Уравнению напряжения для удобства построения век-
торных диаграмм придают вид
Ug = Дп + jX£ = const.
(7.18)
Вращающий момент, полная, активная и реактив-
ная мощности — см. уравнения (7.6) и (7.7).
Угловые характеристики соответствуют уравнению
(7.15) при отрицательных углах нагрузки.
Трехфазные синхронные машины
141
U-образные характеристики аналогичны характерис-
тикам генератора.
Рабочие характеристики — зависимости тока якоря
I, вращающего момента М2, коэффициента мощности
соаср и КПД и от полезной механической мощности Р2
при 1Л = const и С7с = U** = const.
Кратность максимального момента (перегрузочная
способность)
м
=	= ^<0 вою/PCs» СО8фиом)> (7.19)
где Mmmt = 1”^?1*** — максимальный вращающий мо-
мент при токе возбуждения I, =1вном; М„, =* Р_/ <п —
номинальный вращающий момент.
Область устойчивой работы: - я/2 < 9 < 0.
Уравнения равновесия моментов — см. разд. 4, урав-
нения (4.11)—(4.11а).
7.4.	Примеры
7.4.1.	Пренебрегая насыщением, найти напряжение
на зажимах неявнополюсного синхронного генератора и
построить векторную диаграмму при= 650 А, совф =
= 0,8 (ф > 0) и токе возбуждения Г. =» 280 А, если току
возбуждения I, = 182 А по спрямленной характеристике
холостого хода соответствует ЭДС Е = Пфном = 8,64 кВ.
Генератор имеет нормальную характеристику холостого
хода (см. рис. 7.2), синхронное индуктивное сопротивле-
ние обмотки якоря Хс=9 Ом. Обмотки статора соединены
звездой.
Решение.
1.	Относительные значения тока, ЭДС и индуктивного
сопротивления
Е, = 1, /. = 1, X.. = Xe/Z = 9/5,6 = 1,61,
где Z = U^/I^ = 3640/650 = 5,6 Ом.
2.	По спрямленной характеристике холостого хода
(см. рис. 7.2) ЭДС Е. == 1 соответствует относительное
значение тока возбуждения I,» = 0,862.
142
Электротехника
3.	Относительное значение тока возбуждения при 7НОМ
= 650 А.
1т. = /вЛнДв = 0,862  280/132 = 1,83.
4.	Току 7ВН* = 1,83 по спрямленной характеристике
холостого хода соответствует ЭДС Ео„ = 2,12.
5.	Сдвиг фаз ф = arccos (0,8) = 37°.
6.	Фазное напряжение генератора в соответствии с
(7.10) в о. е.
U, = -Хс.1, зшф +	- (Хс.1, созф)2 =
= -1,61 • 0,6 + л/2,122 - (1,61 • 0,8)2 = 0,717.
Следовательно, фазное напряжение генератора состав-
ляет
U = U. • С7фном = 0,717 • 3,64 = 2,62 кВ,
а линейное напряжение на зажимах генератора равно
ил = V3  2,62 = 4,54 кВ.
7.	Векторная диаграмма, построенная по данным рас-
• чета, приведена на рис. 7.4.
7.4.2.	Определить с учетом насыщения ток возбуж-
дения /в ном турбогенератора в номинальном режиме при
= 700 А, С7НОМ = 6,3 кВ и созф = 1 и напряжение
холостого хода при сбросе нагрузки, если в режиме
холостого хода ток возбуждения 7в0 = 132 А, а индук-
тивные сопротивления обмотки якоря соответственно
Рис. 7.4
___жашшщ	143
равны Ха - 12,8 Ом и ХЯ1Ж0 » 1,09 Ом. Обмотка якоря
соединена звездой. Генератор имеет нормальную харак-
теристику намагничивания и холостого хода.
Решение.
При насыщенной магнитной цепи магнитный поток
Ф не линейно зависит от тока возбуждения I. или, что
то же, от магнитодвижущей силы (МДС) (см. рис. 7.2).
В связи с этим, при определении результирующего маг-
нитного потока Ф и, следовательно, ЭДС Е необходимо
пользоваться нормальной характеристикой намагничи-
вания и уравнением МДС £ - Ео + Ei, где £ — резуль-
тирующая МДС, Ео— МДС возбуждения, £, — МДС
якоря, приведенная к обмотке возбуждения.
Для решения поставленной задачи необходимы гра-
фические построения с использованием векторной диа-
граммы напряжений по (7.6), диаграммы МДС в соот-
ветствии с приведенным уравнением МДС и нормальной
характеристики намагничивания и холостого хода (см.
рис. 7.2).
Решение целесообразно проводить в относительных
единицах.
1.	Определяют фазное напряжение и полное сопро-
тивление фазной обмотки якоря
^ф»ом = %1 = ^ = 3,64 кВ;
Z =	= 5,2 Ом.
1т 700
2.	Находят относительные значения напряжения,
токов и сопротивлений
U, = 1, I. - 1, /и». = 1,
= 12,8/5,2 = 2,46, Хярас* = 1,09/5,2 = 0,21.
3.	Строят нормальную характеристику намагничива-
ния и холостого хода (рис. 7.5).
4.	Вектор напряжения И, в масштабе £« совмещают
с осью ординат характеристики намагничивания (точ-
ка 1). На том же рисунке строят вектор тока I», в
соответствии с заданным значением совф. В данном
случае ток и напряжение совпадают по фазе.
144
Электротехника
Рис. 7.5
5.	В соответствии с (7.6) находят ЭДС £», индуци-
рованную результирующим магнитным потоком,
£. а и, + а 1 + /0,21 • 1е^ а 1,02в*^ .
и на векторной диаграмме напряжений строят векторы
/X. «cJ. и Е» (точка 2).
бГ Пользуясь нормальной характеристикой намагни-
чивания и холостого хода по найденному значению Е>
(точка 3), находят результирующую МДС F»-1,05
(точка 4).
7.	На диаграмме МДС строят комплекс £», опере-
жающий вектор Е> на угол я/2 (точка 5).
8.	При номинальном токе якоря определяют дейс-
твующее значение ЭДС, индуцированной магнитным
потоком якоря, как E^XgJ»^ 2,46 и по спрямленной
характеристике намагничивания находят соответствую-
щую этой ЭДС эквивалентную МДС якоря F*“ 2,1
(точки 6, 7 и 8).
9.	Имея в виду, что МДС Е** якоря совпадает по
фазе с током I, якоря, а £ — £> + £,, графически опре-
деляют МДС возбуждения F& - 2,5 (точка 9).
10.	МДС возбуждения F&,- 2,5 соответствует ток воз-
буждения 1Л- 2,5 в относительных единицах (точка 10).
11.	Абсолютное значение тока возбуждения в номи-
нальном режиме
Трехфазные синхронные машины
145
Дном =	= 2,5  132 = 330 А.
12.	При токе возбуждения ZB* = 2,5 по характеристике
холостого хода находят относительное значение ЭДС
Eq» = 1,4 (точка 11) при насыщенной магнитной цепи
и Ео* = 2,92 — при ненасыщенной магнитной цепи
(точка 12).
13.	Определяют напряжение холостого хода при сброс-
ке нагрузки в машине с насыщенной магнитной цепью
С7о* ~ Eqi, — 1,4 или CTq — Uq„ • С^фЯ0М — 1,4 • 3,64 =>
= 5,1 кВ. В машине с ненасыщенной магнитной цепью
U'q, = 2,92 и U'o = 2,92  3,64 = 10,5 кВ. Учет насыщения
при других значениях тока якоря и совф производится
аналогично.
7.4	.3. Синхронный генератор, работающий параллель-
но с сетью, имеет номинальные данные: SH0M =
= 3,75 MB A, UBm[ = 6,3 кВ, coscp„o„ = 0,8, ZBHO„» = 1,94.
Обмотка якоря соединена звездой. Полное индуктивное
сопротивление обмотки якоря Хс = 16,2 Ом. Определить
угловую характеристику генератора, его статическую
перегружаемость и угол нагрузки в номинальном режи-
ме. Как изменится угол нагрузки, если: а) при номи-
нальном токе возбуждения вращающий момент,
приложенный к валу генератора, уменьшится в два
раза; б) при номинальной мощности ток возбуждения
уменьшить до ZB* = 0,75ZBHOM*?
Решение.
1.	Номинальная активная мощность генератора
_РНОМ = СОВфио» = 3,75  0,8 = 3 МВт.
2.	Номинальное фазное напряжение
САмом = U^/43 = 6,3/Vs ₽ 3,64 кВ.
3.	Току возбуждения 1ВНОМ* = 1,94 по спрямленной
характеристике холостого хода (см. рис. 7.2) соответст-
вует ЭДС Еоном* 2,25, или в абсолютных единицах
Е0ном = 2,25  С7фном = 2,25 • 3,64 = 8,19 кВ.
4.	Максимальная мощность генератора при номиналь-
ном токе возбуждения в соответствии с (7.16)
148
Электротехника
Ртшм = 3 • 3640 • 8190/16,2 - б,62 МВт.
5.	Уравнение угловой характеристики в номинальном
режиме по (7.6)
Рэм = Pm ном sinO = 5,52 • sin9 МВт.
6.	Статическая перегружаемость по (7.17)
Рпшж. = Рптн/Рпк = 6,52/3 = 1,84.
7.	В соответствии с (7.7) и (7.16) активная мощность
генератора в номинальном режиме Рном 32 РтШн sin9„„„.
откуда угол нагрузки в номинальном режиме
Оном = arcsin (Pmtt/Pm = arcsin (3/5,52) = 33’.
8.	Угол нагрузки при номинальном токе возбуждения
и уменьшении вращающего момента в два раза (анало-
гично пункту 7) (У = arcsin (1,5/5,52) 32 15,8*, так как,
если пренебречь мощностью потерь в машине, при умень-
шении моментав два раза активная мощность генератора
Р = а>М также уменьшится в два раза и составит Р »
= 0,5 Роон = 1,5 МВт.
9.	При уменьшении тока возбуждения до 32
23 0,7511ВЛОЦ« = 1,45 максимальная мощность также
уменьшится и составит
Pm = Р«ном(Ро./Ровом.) = 5,52 • (1,69/2,25) . 4,14 МВт,
где Ео» = 1,69 соответствует току возбуждения /в. =
= 1,45 по спрямленной характеристике холостого хода.
10.	Угол нагрузки при 1а« =1,45 и номинальной
мощности
0 = arcsin(3/4,14) = 46,5°.
7.4.4. Синхронный двигатель типа СДН-14-49-6 имеет
номинальные данные Рвом » 1 МВт, С7ВИ| = 6 кВ, =
= 95,2%, совфион = 0,9 (ф < 0). Кратность пускового тока
7П» = 6,4, пускового момента Мд» = 0,95 и максимального
момента Мт»32 2,0. Число полюсов 2р == 6. Частота сети
50 Гц. Обмотка якоря соединена звездой. Определить
Трехфазные синхронные машины
147
угловую скорость вращения ро-
тора, номинальный и пусковой
токи, номинальный, пусковой
и максимальный моменты. На-
писать уравнение для угловой
характеристики и определить
угол нагрузки в номинальном
режиме. Без учета насыщения
построить векторную диаграм-
му напряжений для номиналь-
ного режима и определить,
пользуясь ею, относительные
значения синхронного индук-
тивного сопротивления обмотки
якоря Хс* и ЭДС возбуждения
Eq*.
Решение.
1.	Частота вращения магнитного поля и ротора
п = QQf/p - 60 • 50/3 = 1000 об/мин.
2.	Угловая скорость вращения ротора
<о = яп/30 = я  1000/30 = 105 рад/с.
3.	Мощность электрической энергии, потребляемой
из сети в номинальном режиме
Лаж = Лж/Паж в 1/0,952 = 1,05 МВт.
4.	Номинальный ток якоря
Люм я Р1жж/С^^аж ®0®Фшж) “
= 1,05 • 107(1,73 • 6000 • 0,9) « 112 А.
5.	Пусковой ток якоря
1а = 'X = 6,4 •	= 6,4 • 112 = 718 А.
6.	Номинальный вращающий .момент двигателя
= P^/OJ = 1 • 107105 = 9,62 кН и.
7.	Пусковой момент
М, =	= 0,96 •	=
= 0,95 • 9,52 = 9,05 кН м.
8.	Максимальный вращающий момент
М„, =	=
= 2 • 9,52 = 19,04 кНм.
9.	Уравнение угловой характеристики в соответствии
с (7.6) и (7.16)
Мш = Мп fdnO = 19,05 sin6.
10.	На основании уравнения равновесия моментов в
установившемся режиме
Миом = М„м при е = Одом, Т. е. Миом = 10>05 einO^m.
11.	Угол нагрузки в номинальном режиме
0^ = arcsin(9,52/19,05) = 30’.
12.	Векторная диаграмма двигателя, построенная в
относительных единицах по известным U, 1^, ф и
приведена на рис. 7.6. Из нее находим Хс« = 0,87 и
Ео. = 1,6.
7.6.	Задачи
7.5.1.	Вычислить ЭДС Ео возбуждения и построить
векторную диаграмму напряжений турбогенератора, ра-
ботающего в номинальном режиме, если известны =
= 0,4 кВ, 7иом”1>8 кА и совф=0,8 (ф >0), полное индук-
тивное сопротивление обмотки якоря Хв = 0,211 Ом.
Обмотка якоря соединена звездой (такое соединение
обмоток якоря принято и далее). Насыщением магнитной
цепи пренебречь.
Ответ: Ео — 550 В.
Трехфазные синхронные машины
14»
7.6.2.	Турбогенератор возбужден так, что при токе
якоря I = 2150 Л и коэффициенте мощности совф =
=>0,8 (ф > О) линейное напряжение на его зажимах и** =
=> 0,4 кВ. Без учета насыщения определить ЭДС £0
возбуждения машины, если главное индуктивное сопро-
тивление обмотки якоря X, = 0,17 Ом, а индуктивное
сопротивление рассеяния обмотки якоря Хапа, =
= 0,015 Ом.
Ответ'. Ео = 620 В.
7.5.3.	Пренебрегая насыщением, найти напряжение на
зажимах неявнополюсного генератора при 1=4660 А,
совф = 0,8 (ф > 0) и Г, = 348 А. Полное индуктивное со-
противление обмотки якоря Хв = 2,38 Ом. Току возбуж-
дения = 150 А на спрямленной характеристике
холостого хода соответствует ЭДС	= 6,8 кВ. По-
строить векторную диаграмму напряжений генератора.
Ответ: 8,6 кВ.
7.5.4.	Определить ток якоря турбогенератора при
= 6,3 кВ и коэффициенте мощности совф = 0,8,
если известны ЭДС возбуждения генератора Ео = 7,5 кВ
и полное индуктивное сопротивление обмотки якоря
Хе = 32,9 Ом. Влиянием насыщения пренебречь.
Ответ: 144 А.
7.5.5.	Определить коэффициент мощности и построить
векторную диаграмму напряжений генератора, если при
токе якоря I = 17 кА фазное напряжение на зажимах
генератора 17ф = 11,55 кВ, а ЭДС возбуждения Еа =
= 25 кВ. Полное индуктивное сопротивление обмотки
якоря Хе = 1,64 Ом. Влиянием насыщения пренебречь.
Ответ: 0,896.
7.5.6.	Номинальная активная мощность турбогенера-
тора Pm = 200 МВт при совф = 0,8 (ф > 0). Номинальное
напряжение генератора = 15,75 кВ. Ток возбужде-
ния, соответствующий номинальному напряжению при
холостом ходе, Гм = 1880 А. Определить ток возбужде-
ния генератора при номинальной нагрузке, если индук-
тивное сопротивление рассеяния обмотки якоря Харав =
=0,2 Ом, а полное индуктивное сопротивление обмотки
якоря Xt = 1,94 Ом. В расчетах пользоваться нормаль-
ной характеристикой холостого хода.
Ответ: 4600 А.
160
Электротехника
/
7.5.7.	Коэффициент полезного действия турбогенера-
тора т] - 97,2%, номинальное напряжение Um »
— 10,5 кВ, номинальный ток “ 1,7 кА, коэффици-
ент мощности совфиои « 0,8 (ф > 0). Мощность всех видов
потерь ЕРП = 721 кВт. Число пар полюсов обмотки якоря
р = 1, частота ЭДС якоря / =* 50 Гц. Определить вра-
щающий момент турбины.
Ответ'. 81,1 кН-м.
7.5.8.	Номинальное напряжение синхронного генера-
тора Um = 0,4 кВ, фазный ток якоря I = 54 А, коэф-
фициент мощности соа<р = 0,8. Вычислить КПД
генератора, если мощность магнитных потерь составляет
0,8 кВт, мощность электрических потерь 1,5 кВт, а
мощность механических потерь и потерь на возбуждение
составляет 2/3 от мощности электрических потерь.
Ответ'. 90%.
7.5.9.	Номинальные мощность турбогенератора "
= Рф* - 25 МВт и напряжение = 10,5 кВ. Опреде-
лить КПД генератора в номинальном режиме с учетом
и без учета электрических потерь в обмотке якоря, если
активное сопротивление фазной обмотки якоря Я =
” 0,005 Ом, а мощность механических, магнитных и
потерь на возбуждение составляет 585 кВт.
Ответ'. 97,6%; 97,7%.
7.5.10.	Вычислить мощность механической энергии,
КПД и электромагнитный момент генератора при
и 0,4 кВ, /ком = 60 А, совфном = 0,8, если электрическая
энергия на возбуждение подводится от независимого
источника возбуждения, а мощность всех остальных
видов потерь составляет 3,16 кВт. Число полюсов ма-
шины 2р “ 4, частота тока якоря f = 50 Гц.
Ответ'. 36,3 кВт; 91%; 227 Н-м.
7.5.11.	Номинальная мощность синхронного генера-
тора вам, = 1,25 MB A, номинальное напряжение Umit =
« 0,4 кВ. Пренебрегая насыщением, построить вектор-
ную диаграмму напряжений для токов I =• 0,25; 0,5;
0,75; 1,0 при постоянном номинальном напряжении
и сдвиге фаз ф= ЗТ, если синхронное индуктивное
Трехфазные синхронные машины
161
сопротивление обмотки якоря Хе- 0,21 Ом. Построения
проводить для величин в относительных единицах.
Ответ'. Ео = 1,3; 1,7; 2,0; 2,4.
7.S.12.	Генератор имеет номинальные данные:	=
= 7,15 MB A, Uj^, == 0,3 кВ, = 655 A, costp^ =
= 0,8 (ф > 0),	“ 2,1. Синхронное индуктивное соп-
ротивление обмотки якоря Хс=8,350м. Генератор имеет
нормальную характеристику холостого хода. Пренебре-
гая насыщением, получить аналитические выражения
в относительных единицах для регулировочных харак-
теристик генератора при номинальном напряжении и
коэффициентах мощности созф = 0,8 (ф > 0), 1,0 и 0,8
(ф < 0). Построить характеристики и объяснить их вид,
пользуясь понятием о реакции якоря.
Ответ'.
0,862 • >/1 + 1,8 1+2,25 I’, совф= 0,8(<р> 0),
1в, = 0,862 • Vl + 2,25 If, совф = 1,0,
.0,862 • >/1 -1,8 • 1 + 2,25  If, соеф = 0,8(ф<0).
7.5.13.	Индуктивное сопротивление рассеяния обмот-
ки якоря Харас* = 0,122, главное индуктивное сопротив-
ление обмотки якоря Xg, = 1,44. Построить
регулировочные характеристики синхронного генератора
при номинальном напряжении и созф = 0,8 (ф > 0) с
учетом и без учета насыщения. Машина имеет нормаль-
ную характеристику холостого хода.
Ответ:	0	0,25	0,50	0,75	1,00
- 0,862	1,00	1,37	1,67	1,99
= 0,862	1,14	1,46	1,76	2,00
(с учетом насыщения).
7.5.14.	Синхронный генератор, номинальные данные
которого приведены в задаче 7.12, работает на автоном-
ную нагрузку. Пренебрегая насыщением, получить ана-
литические выражения в относительных единицах для
внешних характеристик генератора при тех же значени-
ях коэффициента мощности. Построить характеристики
152
Электротехника
и объяснить их вид, пользуясь понятием о реакции
якоря.
Ответ:
-0,9 1 + V5.95 - 1,44 • I*, совф = 03 (<р > 0),
17» = л/б,9б - 2,25 /*, совф = 1,0,
0,9 1 + V5.95 - 1,44-7J, сйвф = 0,8 (ф < 0).
7.5.16.	Определить номинальное изменение напряже-
ния турбогенератора при сбросе нагрузки, если номи-
нальный ток возбуждения /1МИ.= 1,5. Генератор имеет
нормальную характеристику холостого хода.
Ответ: 21%.
7.5.16.	Синхронный генератор имеет следующие но-
минальные данные:	== 15 MB A, Uw = 10,5 кВ,
совфвои = 0,8 (<р > 0). Определить номинальное изменение
напряжения при сбросе нагрузки, если ток возбуждения,
соответствующий номинальному напряжению при хо-
лостом ходе, До“90 А, индуктивное сопротивление рас-
сеяния	= 0,97 Ом, синхронное индуктивное сопро-
тивление обмотки якоря Х9 * 1,54 Ом. Генератор имеет
нормальную характеристику холостого хода.
Ответ: 41%.
7.5.17.	Синхронный генератор включается на парал-
лельную работу с сетью. С помощью векторных диаграмм
показать поведение ламп синхроноскопов (рис. 7.7), если
в момент включения не выполняется одно или несколько
условий синхронизации: a) U„ > Ео; б) Д > fa в) Д <
< Д; г) Ео — Ut, но не совпадают по фазе; д) СД > Ео и
не совпадают по фазе; е) неодинаков порядок следования
Сеть Сеть
Генератор Генератор
Рис. 7.7
ТрехЛазкые синхронные машины
188
I.
1.2
0.8
0,4
0 0,4 0,8 1,2 1,8 2,2 1В,
Рис. 7.8
фаз. Каково поведение ламп синхроноскопов при вы-
полнении всех условий синхронизации?
7.6.18.	Синхронный генератор с — 260 MB-А и
“ 16,75 кВ включается на параллельную работу с
сетью. Синхронное индуктивное сопротивление обмотки
якоря JQ=1,94Om.Определить ток якоря в относительных
единицах в момент включения, если Ео » Uo, ио сдви-
нуты по фазе на угол а = 200*. При каком сдвиге фаз
ток якоря будет максимальным? Каково его значение?
Ответ: I, = 1,01; а = 180*; К..»* = 1,020.
7.5.19.	Пользуясь U-образными характеристиками
синхронного генератора (рис. 7.8), работающего парал-
лельно с сетью, рассчитать и построить зависимости
совф (Р.) при различных и неизменных значениях тока
возбуждения !.« » 0,862; 1,08; 1,2; 1,8. Показать участки
кривых, соответствующие индуктивной и емкостной ре-
активной мощности.
7.5.20.	Синхронный генератор работает параллельно
с сетью при номинальном напряжении. Пользуясь его
17-образными характеристиками (см. рис. 7.8), рассчи-
тать и построить регулировочные характеристики гене-
ратора I.. (Р.) при двух значениях коэффициента
мощности совф = 1 и совф = 0,8 (ф > 0).
7.5.21.	Синхронный генератор с = 81,25 MB A и
— 10,5 кВ работает параллельно с сетью при токе
возбуждения I, - 885 А. Ток возбуждения, соответст-
вующий номинальному напряжению в режиме холостого
164
Электротехника
хода, /к, = 175 А. Полное индуктивное сопротивление
обмотки якоря Хс = 15,5 Ом. Пользуясь нормальной ха*
рактеристикой холостого хода, рассчитать и построить
угловую характеристику генератора.
Ответ: 15,74 sinQ МВт.
7.6.22.	Номинальная мощность синхронного генера-
тора бщ. = 1,25 MBA, номинальная активная мощность
р„ш = 1 МВт, индуктивное сопротивление обмотки якоря
Хе* “ 1,66, ЭДС возбуждения при номинальном токе
возбуждения = 2,4. Определить угловую характе-
ристику, статическую перегружаемость и угол нагрузки
генератора в номинальном режиме работы.
Ответ: 1,81 sinQ МВт; « 1,81; 0 = 33,5*.
7.6.23.	Сохранится ли статическая устойчивость син-
хронного генератора, работающего параллельно с сетью
при номинальной активной мощности Р» » 0,8, если его
перегрузить в 1,5 раза? Индуктивное сопротивление
обмотки якоря Хе* “ 1,2, ЭДС возбуждения при номи-
нальном токе возбуждения = 2.
7.6.24.	Шестиполюсный синхронный двигатель имеет
Р«т “ 6,3 МВт, 17н0М = 6 кВ, частоту f = 50 Гц, cos<pHOlf=
0,9 (ф < 0), Пком “ 97,1%. Определить частоту вращения
ротора, номинальный вращающий момент, ток якоря,
активную и реактивную мощности.
Ответ: 1000 об/мин; 60,2 кН-м; 694 А; 6,49 МВт
и 8140 квар.
7.5.26.	Восьмиполюсный синхронный двигатель имеет
Риа, = 2 МВт, Um = 6 кВ, созф.,,, = 0,9 (ф < 0), частоту
f = 50 Гц. Известна кратность максимального момента
Мт» ~ 2. Определить угловую скорость вращения ротора,
номинальный и максимальный вращающие моменты, ,
угол нагрузки в номинальном режиме и построить век-
торную диаграмму напряжений и тока без учета насы-
щения, если синхронное индуктивное сопротивление
обмотки якоря Хе ” 14,4 Ом.
Ответ: 78,5 рад/с; Mm « 25,5 Н-м; Мт - 51 Н-м;
0 - 80*.
7.6.26.	Восьмиполюсный синхронный двигатель, но-
минальная мощность которого Рном ~ 75 кВт, имеет крат-
Трехфазные синхронные машины
155
Рис. 7.9
Рис. 7.10
ность максимального момента 1,65. Без учета насыщения
и явнополюсности определить максимальный момент,
при котором двигатель удерживается в синхронизме,
если уменьшить ток возбуждения до 0,57ВНОМ. Машина
имеет нормальную характеристику холостого хода. Час-
тота сети 50 Гц.
Ответ-. 788 Н-м.
7.5.27. Пользуясь рабочими характеристиками син-
хронного двигателя (рис. 7.9), определить полную, ак-
тивную и реактивную мощности при Р2* = 0,25 и 0,75.
7.6. Контрольные задания
Технические данные синхронных двигателей приве-
дены в табл. 7.1. Определить угловую скорость вращения
ротора, номинальный и пусковой токи якоря, номи-
нальный, максимальный и пусковой моменты, полную
мощность SH0M. По (7-образным характеристикам двига-
теля (рис. 7.10) определить коэффициент мощности при
заданных в табл. 7.1 значениях тока возбуждения 7В*
и полезной мощности Р2*. Без учета насыщения постро-
ить векторную диаграмму напряжения, соответствую-
щую номинальному режиму, и угловую характеристику,
отметив на ней точку при номинальной нагрузке.
156
,, Электротехника
Таблица 7.1
Технические данные трехфазных синхронных двигателей серии
СДН с номинальными 17ном = 6 кВ и совфнои = 0,9 (<р < 0).
№ п/п	Тип двигателя	PvOMf МВт	Ином» %	Мп.	Мтах*	/п*	/в*	Р2*
1	СДН-14-44-10	0,63	93,8	0,80	2,0	5,4	1,2	0,8
2	СДН-14-56-10	0,80	94,4	0,85	2,1	5,7	1,4	0,8
3	СДН-15-39-10	1,00	94,6	0,80	2,1	5,8	1,5	0,8
4	СДН-15-49-10	1,25	95,1	0,85	2,1	5,8	1,6	0,4
5	СДН-15-64-10	1,60	95,7	0,95	2,1	6,2	1,4	0,8
6	СДН-14-48-8	0,80	84,8	0,75	2,0	5,4	1,7	0,0
7	СДН-14-59-8	1,00	95,4	0,95	2,0	5,6	1,6	0,4
8	СДН-15-39-8	1,25	94,8	0,85	2.0	4,8	1,5	0,4
9	СДН-15-49-8	1,60	95,6	1,10	2,0	5,0	1,4	0,4
10	СДН-15-64-6	2.50	96,4	1,10	2,0	5,8	1,2	0,4
11	СДН-15-76-6	3,20	96,6	1,10	2,0	6,1	1,4	0,0
12	СДН-16-84-6	5,00	96,8	1,00	2,0	6,8	1,7	0,0
13	СДН-15-71-8	3,20	96,4	1,10	2,0	5,9	1,4	0,8
14	С ДН-16-86-8	4,00	96,7	1,30	2,0	6,5	1,5	0,8
15	СДН-17-76-8	6,30	96,9	0,80	2,0	6,7	1,5	0,4
16	СДН-14-49-6	1,00	95,2	0,95	2,0	6,4	1,5	0,0
17	СДН-14-59-6	1,25	95,8	1,30	2,0	6,3	1,5	0,4
18	СДН-15-39-6	1,60	95,7	0,95	2,0	4,8	1,5	0,8
19	СДН-15-49-6	2,00	95,9	1,00	2,0	5,5	1,6	0,0
20	СДН-16-69-6	4,00	96,5	0,90	2,0	6,0	1,6	0,4
21	СДН-16-104-6	6,30	97,1	0,95	2,0	6,9	1,6	0,8
22	СДН-14-59-8	1,00	95,4	0,95	2,0	5,6	1,7	0,4
23	СДН-15-39-8	1,25	94,8	0,85	2,0	4,8	1,7	0,8
24	СДН-16-54-8	2,50	95,8	1,30	2,0	5,3	1,5	0,8
Примечание. В таблице 7.1 последняя цифра в обо-
значении типа двигателя означает число полюсов ма-
шины. Частота сети f = 50 Гц, соединение обмоток
якоря — звезда.
8
ВЫБОР ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ
8.1.	Основные сведения об электроприводе и режимах
работы электродвигателей
Для приведения в движение производственных машин
и механизмов используют электропривод, состоящий из
электродвигателя, передаточного устройства и систем
преобразования, управления и автоматизации. В неко-
торых случаях передаточные устройства и преобразова-
тели (тока, частоты и другие) могут отсутствовать.
Характер движения электропривода описывает урав-
нение моментов:
М = Мс + Мд,
V	Д'
где М — вращающий момент двигателя, Ме — стати-
ческий момент сопротивления механизма, Мд =	—
динамический момент, J — момент инерции вращаю-
щихся масс, — угловое ускорение.
В установившемся режиме’. М = Ме.	(8.1)
Установившееся значение угловой скорости ш или
частоты вращения п у двигателей (кроме синхронных)
зависит от момента сопротивления механизма (нагруз-
ки). Механические характеристики ш (М) или п (М)
электродвигателей приведены на рис. 8.1: 1 — синхрон-
ного, 2 — асинхронного, 3 и 4 — постоянного тока
параллельного и последовательного возбуждения соот-
ветственно.
158
Электротехника
Рис. 8.1
Рис. 8.2
Механизмы создают моменты сопротивления, которые
в свою очередь зависят от ш или п. Характеристики
ю (Мс) или п (Мс) наиболее распространенных механиз-
мов представлены на рис. 8.2: 1 — грузоподъемных и
транспортных механизмов, поршневых насосов, стро-
гальных станков (Мс = const); 2 — некоторых металло-
режущих станков и моталок прокатных станов (Мс • ю =
= const); 3 — вентиляторов, центробежных насосов,
компрессоров и центрифуг.
Определение угловой скорости или частоты вращения
и момента М в установившемся режиме производится
графическим путем, как показано на рис. 8.3. Точка
пересечения характеристики рабочего механизма (кри-
вая 1) с характеристикой электродвигателя (кривая 2) со-
ответствует значениям о (или п) и М.
При работе двигателя в нем происходит постоянное
выделение теплоты, что приводит к его нагреву. Пре-
вышение температуры двигателя над температурой ок-
ружающей среды описывается уравнением:
s = 3. (i _ е4).+
+ Э0И ,	(8-2)
где Q — количество теплоты,
выделяемой в единицу времени,
А — теплоотдача окружающей
среды в единицу времени, Т =
= С/А — постоянная времени,
С — теплоемкость двигателя,
30 — превышение температуры
Рис. 8.3
Выбор электродвигателей
169
Рис. 8.5
двигателя над температурой окружающей среды в мо-
мент включения двигателя при t в 0.
В установившемся тепловом режиме, когда количе-
ство теплоты, выделяемой в двигателе, и теплоты, z
рассеиваемой в окружающую среду, становятся одина-
ковыми (теоретически при t = <», а практически при
t = 4Т), превышение температуры достигает максималь-
ного значения 9*. = Q/А. С учетом последнего
9 = 9„ - (9И - 90) e“f.	(8.2а)
Установившееся значение превышения температуры
двигателя зависит от мощности Ря на его валу. На рис
8.4 приведены кривые нагревания электродвигателя при
различных значениях мощности Ра.
При отключении электродвигателя Q = 0 и с учетом
(8.2) 9 = Эоткл • е~т где 9^ — превышение температуры
в момент отключения, т. е. превышение температуры
двигателя уменьшается по экспоненциальному закону
(рис. 8.6).
В соответствии с характером работы производствен-
ных механизмов в условиях эксплуатации различают
следующие основные режимы работы двигателя: продол-
жительный, кратковременный и повторно-кратковремен-
ный.
Продолжительный режим — режим, в котором
электродвигатель может работать длительное время, при
этом установившееся значение превышения температуры
двигателя 9» над температурой окружающей среды не
превышает установленного значения. Такой режим ра-
боты характерен для двигателей вентиляторов, насосов,
компрессоров, транспортеров, мощных металлорежущих
станков и др. График продолжительного режима работы
приведен на рис. 8.6 при а) постоянной, и б) изменяю-
щейся нагрузках.
160
Электротехника
Кратковременный режим — режим, при котором пре-
вышение температуры электрического двигателя дости-
гает предельно допустимого значения для данного класса
изоляции, но не достигает установившегося Значения.
В этом режиме двигатель работает в течение сравнитель-
но небольшого периода времени, а перерыв в работе
велик, и двигатель успевает охладиться до температуры
окружающей среды. В кратковременном режиме работа-
ют двигатели затворов шлюзов, подъемных механизмов
разводных мостов и т. д. На рис. 8.7 показаны графики
нагрузки при кратковременном режиме.
Повторно-кратковременный режим — режим, при
котором периоды работы электродвигателя под нагруз-
кой чередуются с паузами, когда двигатель отключается.
При этом периоды работы и паузы не настолько длитель-
ны, чтобы температура достигла установившегося значе-
ния. Такой режим характерен для двигателей
подъемно-транспортных механизмов, прессов, штампо-
вочных машин и некоторых металлообрабатывающих
станков. Время цикла этого режима tu = tp + t0, где tp —
время работы двигателя, a to — время паузы. Время
цикла обычно не превышает десяти минут.
Повторно-кратковременный режим характеризуется
продолжительностью включения
0
t 0
t
Рис. 8.7
ВыЛ» мекпию9вигатем&
Ш
ПВ = £ -100% =
*ч
= —^—•100%.	(8,8)
Для электродвигателей
стандартные значения ПВ -
» 15, 25, 40 в 00%. Пример
графика нагрузки при повтор-
но-кратковременном режиме
приведен на рис. 8.8.
Рис. 8.8
8.2.	Принципы выбора электродвигателей
Выбор двигателя заключается в подборе для соответ-
ствующего механического оборудования электродвига-
теля, подходящего по роду тока, напряжению, мощности
и частоте вращения.
Для машин и механизмов, не требующих регулиро-
вания частоты вращения, рекомендуется применять
асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором
или синхронные. Двигатели постоянного тока допуска-
ется применять только в случаях, когда двигатели пере-
менного тока не удовлетворяют характеристикам меха-
низма или являются не экономичными. Синхронные
двигатели рекомендуется применять для нерегулируе-
мых механизмов продолжительного режима работы при
единичной мощности 100 кВт и более.
Современной серией асинхронных двигателей явля-
ется серия 4А. Двигатели выпускаются в двух вариантах
исполнения по степени воздействия окружающей среды:
защищенные (1Р23) я закрытые обдуваемые (1Р44).
Двигателя мощностью от 00 Вт до 870 Вт выпускаются
на напряжение 220/380 В, двигатели мощностью 0,55—
110 кВт — на напряжение 220/380 и 380/060 В, двигате-
ли мощностью 182—400 кВт — на напряжение
380/060 В.
Асинхронные двигатели выпускаются следующих
типов: 4А, 4АН, 4АК, 4АР и 4АС. Обозначения в типах:
4 — номер серии, А — асинхронный, Н — защищенного
исполнения, К — с фазным ротором, Р — с повышенным
пусковым моментом и С — с новышенным скольжением.
ies
Электротехника
8.3.	Определение мощности двигателя.
Выбор двигателя по каталогу
Допустимая температура нагрева изоляции электро-
двигателя и температура окружающей среды определяют
значение мощности Pt на валу двигателя. Температура
окружающей среды определена стандартом и составляет
40 "С. Для каждого класса изоляции установлены значе-
ния допустимого превышения температуры: А — 60* С,
Е — 76 *С, В — 80 *С, F — 100 *С, Н — 126 *С. В каталогах
и паспортных данных указана номинальная мощность
Раш, соответствующая температуре окружающей среды
40 *С.
Выбор двигателя для продолжительного режима (см.
рис. 8.6, а) производится, исходя из условия Р^ > Р.
Если двигатель предназначен для работы в продолжи-
тельном режиме при переменной нагрузке (см. рис. 8.6,
б), предварительный выбор электродвигателя произво-
дится, исходя из условия Раш > Р9, а затем выполняется
проверочный расчет.
Все методы проверки сводятся к условию, что среднее
значение мощности потерь в двигателе не должно пре-
вышать мощность потерь при номинальной нагрузке
< Рп «и* На практике применяют методы, основанные
на расчете эквивалентных значений тока, момента, мощ-
ности.
Метод эквивалентного тока основан на замене дей-
ствительного, изменяющегося во времени действующего
значения тока двигателя, эквивалентным током, при
котором мощность потерь соответствует средним потерям
при переменном режиме работы.
Эквивалентное значение тока определяют по фор-
муле
г J Ф. +fa+ & +	&
(8.4)
где I}, 1Я и так далее — значения тока двигателя в
интервалах времени tt, в других, соответствующие
участкам графика с неизменной нагрузкой, 1П, 7Т —
средние значения тока, соответствующие времени пуска
ta и торможения t0 — время паузы, коэффи-
циент, учитывающий снижение теплоотдачи при пуске
и торможении, Ья — коэффициент, учитывающий умень-
Выбор амктвоВтивтелЛ
188
шение теплоотдачи во время паузы. Для двигателей
постоянного тока кх “ 0,75, a fc8 - 0,6; для асинхронных
двигателей kt “ 0,6, а Л2 - 0,26. Номинальный ток дви-
гателя выбирают из условия 1^, >
Переменная нагрузка может быть задана в виде гра-
фической зависимости М (*)• В этом случае определяют
эквивалентный момент
’ *1 (*« + Q + h + *« + ••• + *А ’
(8.6)
где Мв, М„ Ми Мя и так далее — значения момента
на валу двигателя в соответствующие промежутки вре-
мени. Номинальную мощность двигателя выбирают из
условия Р», > Рр, где Р„ “ 0,105	— расчетная
мощность, Пии, — номинальная частота вращения дви-
гателя.
Наиболее простым методом выбора двигателя явля-
ется определение его эквивалентной мощности
р -	+	+&» + - + &	<8-в>
+ y + + + +
где Рп, Рт, Pt, Ps и так далее — значения мощности на
валу двигателя в соответствующие промежутки времени.
Формулы (8.4)—(8.6) упрощаются, если не учитывать
влияние пуска, торможения и работы без нагрузки.
Номинальную мощность двигателя определяют, ис-
ходя из условия Ра» > Рр — Рт. Этот метод может
быть использован при выборе двигателей постоянного
тока параллельного возбуждения, асинхронных и син-
хронных двигателей.
Проверку двигателя по перегрузочной способности
производят путем сравнения наибольшего момента на-
грузки M.S, определяемого по графику нагрузки, с мак-
симальным моментом двигателя ЛС,.. “ МгДе
Man* — кратность максимального момента (для двига-
телей постоянного тока Af...... ” 2...2,5, для асинхронных
двигателей — 1,6...2,6).
Необходимо выполнить условие

(8.7)
164
Электротехника
где ku — коэффициент, учитывающий снижение напря-
жения.
При тяжелых условиях пуска проводят также про- ч
верку электродвигателя по пусковому моменту. Пуско-
вой момент двигателя Мв =	> Мм, где Afn» —
кратность начального пускового момента, М„ — момент
сопротивления на валу двигателя при пуске.
Для повторно-кратковременного режима, когда пе-
риоды работы чередуются с паузами, при которых дви-
гатель отключается или работает на холостом ходу,
номинальная мощность электродвигателя определяется
для одного из значений ПВ (16, 26, 40, 60%).
При многоступенчатом графике нагрузки эквивалент-
ная мощность за период работы определяется по графику
нагрузки
.1
,	(8.8)
*-)
где Рр — мощность двигателя в промежутке времени
tk, п — число ступеней цикла графика нагрузки. При
одноступенчатом графике нагрузки » Р.
Продолжительность включения
ПВ=^---------100%,	(8.9)
8.1
где t0 — время паузы. При одноступенчатом графике
нагрузки ПВ =	• 100%.
t, + t4
Мощность двигателя выбирают, исходя из условия
Рвом Рр = Ржа у nW >
где ПВ„ — стандартное значение ПВ, указанное в пас-
порте двигателя.
Коэффициенты — механической перегрузки дви-
гателя в кратковременном режиме при номинальном
Выбор электродвигателей
165
напряжении и — тепловой перегрузки соответственно
равны
Рт
k = Р	= —SB- = М
ЛМ гкр* р —
‘ном
k = Р2 - м2--------------
т “Р* ~	" i _ ^кр/Т’
(8.10)
где — время работы в кратковременном режиме
(стандартные длительности периода кратковременной ра-
боты 10, 30, 60 и 90 минут), Т — постоянная нагрева
двигателя (для асинхронных двигателей защищенного
исполнения малой и средней мощности обычно прини-
мают, 15...60 минут).
При кратковременном режиме мощность Ркр двига-
теля, предназначенного для продолжительного режима
работы,
Р = р
* кр * нем
К
(8.11)
8.4.	Определение мощности двигателей
для некоторых механизмов
Расчетную мощность двигателей выбирают по следу-
ющим формулам.
Для металлообрабатывающих станков
п FSv„
где F — удельное сопротивление резанию, S — сечение
стружки, ир — скорость резания, т)с — КПД станка.
Для вентиляторов
р =	(8.13)
₽ п.п/
где Q — производительность вентилятора, р — давление
газа, т)в — КПД вентилятора, т)п — КПД передачи.
Для насосов
р	(8.14)
* р	>
ПЛ
166
Электротехника
где Q — производительность насоса, Н — дифференци-
альный напор столба жидкости, v — плотность жид-
кости, т)н — КПД насоса.
Для компрессоров
р	(8.15)
₽ ПЛ
где Q — производительность компрессора, А — работа,
затрачиваемая на сжатие одного кубического метра газа
до необходимого давления, rjK — КПД компрессора.
Для горизонтальных ленточных транспортеров
р = №,	(8.16)
₽ По ’
где Q — производительность транспортера, f — коэф-
фициент трения, L — рабочая длина транспортера.
Для подъемных механизмов кранов
(G + G0)v	(8.17)
* р	*
Ппм
где G — масса поднимаемого груза, Go — масса захва-
тывающего приспособления, v — скорость подъема,
И™ — КПД подъемного механизма.
Технические данные асинхронных двигателей приве-
дены в таблицах 8.1 и 8.2.
Таблица 8.1
Технические данные асинхронных двигателей
с короткозамкнутым ротором (закрытые, обдуваемые)
Тип двигателя	Рном, кВт	ПЗном, об/мин	Лном» %	СОЗфном		М„.	In*
Синхронная частота вращения 1500 об/мин							
4А80А4УЗ	1,1	1420	75,0	0,81	2,2	2,0	5,0
4А80В4УЗ	1,5	1415	77,0	0,83	2,2	2,0	5,0
4A90L4Y3	2,2	1425	80,0	0,83	2,4	2,1	6,0
4А10084УЗ	3,0	1435	82,0	0,83	2,4	2,0	6,0
Выбор электродвигателей
167
Окончание таблицы 8.1
Тип двигателя	-Рном, кВт	^2ном> об/мин	Т|ном, %	СОЗфном	Afmax*	м„.	In*
4A100L4V3	4,0	1430	84,0	0,84	2,4	2,0	6,0
4А112М4УЗ	5,5	1445	85,5	0,85	2,2	2,0	7,0 .
4A132S4Y3	7,5	1455	87,5	0,86	3,0	2,2	7,5
4А132М4УЗ	11,0	1460	87,5	0,87	3,0	2,2	7,5
4А16084УЗ	15,0	1465	88,5	0,88	2,3	1,4	7,0
4А160М4УЗ	18,5	1465	89,5	0,88	2,3	1,4	7,0
4A180S4Y3	22,0	1470	90,0	0,90	2,3	1,4	6,5
4А180М4УЗ	30,0	1470	91,0	0,90	2,3	1,4	6,5
4А200М4УЗ	37,0	1475	91,0	0,90	2,5	1,4	7,0
4A200L4V3	45,0	1475	92,0	0,90	2.5	1,4	7,0
4А225М4УЗ	55,0	1480	92,5	0,90	2,5	1.3	7,0
4A250S4Y3	75,0	1480	93,0	0,90	2,3	1,2	7,0
4А250М4УЗ	90,0	1480	93,0	0,91	2,3	1,2	7,0
Синхоиная частота вращения 1000 .об/мин							
4А80В6УЗ	1,1	920	74,0	0,74	2,2	2.0	4,0
4A90L6Y3	1,5	935	75,0	0,74	2,2	2,0	4,5
4A100L6Y3	2,2	950	81,0	0,73	2,2	2,0	5,0
4А112МА6УЗ	3,0	955	81,0	0,76	2,5	2,0	6,0
4А112МВ6УЗ	4,0	950	82,0	0,81	2,5	2,0	6,0
4A132S6Y3	5,5	965	85,0	0,80	2,5	2,0	6,5
4А132М6УЗ	7,5	970	85,5	0,81	2,5	2,0	6,5
4A160S6Y3	11,0	975	86,0	0,86	2,0	1,2	6,0
4А160М6УЗ	15,0	975	87,5	0,87	2,0 ,	1,2	6,0
4А180М6УЗ	18,5	975	88,0	0,87	2,0	1,2	5,0
4А200М6УЗ	22,0	975	90,0	0,90	2,4	1,3	6,5
4A200L6Y3	30,0	980	90,5	0,90	2,4	1,3	6,5
4А225М6УЗ	37,0	980	91,0	0,89	2,3	1,2	6,5
4A250S6Y3	45,0	985	91,5	0,89	2,1	1,2	6,5
4А250М6УЗ	55,0	985	91,5	0,89	2,1	1,2	6,5
4A280S6Y3	75,0	985	92,0	0,89	2,2	1,4	5,5
4А280М6УЗ	90,0	985	92,5	0,89	2,2	1,4	5,5
Таблица 8.2
Технические данные асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором
с повышенным скольжением
Тип двигателя	Мп*	Мшах*	8ном, %	ПВ - 25%			ПВ - 40%			ПВ - 60%			ПВ = 100%		
				Рном» кВт	П, %	СО8ф	Рном, кВт	Л, %	СО8ф	Рном» кВт	Л> %	СОЗф	Рном» кВт	Л, %	СОЗф
Синхронная частота вращения 1500 об/мин															
4АС71А4УЗ	2,0	2,2	8,2	0,65	67,0	0,76	0,6	68,0	0,73	0,6	68,0	0,73	0,60	68,0	0,73
4АС71В4УЗ	2,0	2,2	8,7	0,90	68,0	0,71	0.8	68,5	0,75	0,8	68,5	0,75	0,70	69,0	0,74
4АС80А4УЗ	2,0	2,2	5,6	1,3	68,5	0,82	1,3	68,5	0,82	1,1	70,0	0,80	0,95	70,5	0,79
4АС80В4УЗ	2,0	2,2	5,5	1,9	69,5	0.83	1.7	70,0	0,82	1,5	70,5	0,80	1,3	71,0	0,79
4АС90Ь4УЗ	2,0	2,2	5,8	2,4	76,0	0,82	2,4	76,0	0,82	2,2	76,5	0,80	1,9	77,0	0,78
4АС10084УЗ	2,0	2,2	4,2	3,7	76,0	0,84	3,2	76,5	0,82	2,8	77,0	0,80	2,3	77,5	0,78
4АС10014УЗ	2,0	2,2	4,1	5,0	77,0	0,84	4,3	78,0	0,82	3,8	79,0	0,80	3,3	80,0	0,78
4АС112М4УЗ	2,0	2,2	5,6	6,7	77,5	0,85	5,6	79,0	0,83	5,0	80,0	0,81	4,2	81,0	0,78
4АС13284УЗ	2,0	2,2	6,9	9,5	82,0	0,86	8,5	82,5	0,85	7,5	83,5	0,83	7,1	84,0	0,81
4АС132М4УЗ	2,0	2,2	6,1	14,0	83,0	0,86	11,8	84,0	0,85	10,5	84,5	0,83	9,0	85,0	0,81
4АС16084УЗ	2,0	2,2	6,1	19,0	83,5	0,86	17,0	84,5	0,86	15,0	85,5	0,85	13,0	86,0	0,784
4АС160М4УЗ	2,0	2,2	5,3	23,0	86,0	0,87	20,0	87,0	0,87	18,5	87,5	0,87	17,0	88,0	0,86
Продолжение таблицы 8.2
Тип двигателя	Мп*	'Мтя**	5ном» %	ПВ - 25%			ПВ - 40%			ПВ - 60%			ПВ = 100%		
				•Рном» кВт	Т], %	СОЗф	•Рном> кВт	П, %	СОЗф	•РрОМ» кВт	П. %	СОЗф	•Рном» кВт	Г), %	СОЗф
4AC180S4Y3	2,0	2,2	5,7	24,0	84,5	0,93	21,0	86,0	0,92	20,0	86,5	0,92	19,0	87,0	0,92
4АС180М4УЗ	2,0	2,2	. 44	30,0	87,0	0,92	26,5	88,5	0,91	25,0	89,0	0,91	24,0	89,5	0,91
4АС200М4УЗ	2,0	2.2	5,7	35,0	87,0	0,93	31,5	87,5	0,92	28,0	88,0	0,92	26,0	88,0	0,92
4AC200L4Y3	2,0	2.2	5,8	47,0	88,0	0,94	40.0	89,0	0.93	37,0	89,5	0,93	35,0	90,0	0,93
4АС225М4УЗ	2,0	2,2	5,8	55,0	87,0	0,93	50,0	87,5	0,92	45,0	88,0	0,92	40,0	88,5	0,92
4АС25084УЗ	2,0	2,2	6,3	63,0	87,0	0,93	56,0	87,5	0,92	53,0	88,0	0,92	50,0	88,0	0,92
4АС250М4УЗ	2,0	2,2	6,4	71,0	86,5	0,94	63,0	87,0	0,93	eo.o;	87,0	0,93	56,0	87,5	0,93
4АС71А6УЗ	2,0	2,1	10,4	0,4	62,5	0,70	0,4	62,5	0,70	0.4	62,5	0,70	0,4	62,5	0,70
4АС71В6УЗ	2,0	2,1	Ю,2	0,65	65,0	0,70	0,63	65,0	0,70	0,65	65,0	0,70	0,5	63,5	0,62
4АС980А6УЗ	2,0	2,1	7,0	0,9	61,0	0,72	0,8	61,0	0,68	0,7	61,0	0,64	0,5	60,0	0,54
4АС80В6УЗ	2,0	2,1	7,8	1,3	65,5	0,75	1,2	66,5	0,73	1Д	67,5	0,71	0,8	69,0	0,61
4AC90L6Y3	1,9	2,1	6,2	1,8	70,0	0,74	1J	71,0	0,72	1.3	71,5	0,65	.... 1.1 ...	72,0	0,60
4AC100L6Y3	1.9	2,1	5,3	2,9	74,5	0,78	2,6	75,0	0,76	2,2	76,0	0,72	1,8	76,5	0,67
4АС112М6УЗ	1,9	2,1	7,3	3,8	71,0	0,81	3.2	72,0	0,74	2,8	73,0	0,72	2,5	73,5	0,68
4АС112М6УЗ	1,9	2,1	8,5	5,0	72,5	0,83	4,2	75-,0	0,79	3,8	76,5	0,78	3,2	77,5	0,73
Окончание таблицы 8.2
Тип двигателя	Мп*	Л/шах*	Shom» %	ПВ = 25%			ПВ = 40%			ПВ = 60%			ПВ = 100%		
				Рном, кВт	«1, %	С08ф	-Рном» кВт	Л, %	СО8ф	кВт	Л, %	СОЗф	РнОМ» кВт	ц, %	СОЗф
4AC132S6Y3	1,9	2,1	6,4	7,5	77,5	0,84	6,3	79,0	0,80	6,0	80,0	0,79	4,5	81,0	0,72
4АС132М6УЗ	1,9	2,1	5,8	10,0	77,5	0,84	8,5	80,0	0,80	7,5	80,5	0,78	6,3	81,0	0,74
4AC160S6Y3	1,9	2,1	7,7 .	14,0	80,0	0,86	12,0	82,5	0,85	11,0	83,5	0,84	10,0	84,0	0,83
4АС16ОМ6УЗ	1,9	2,1	7,8	19,0	81,5	0,86	16,0	84,0	0,85	15,0	84,5	0,84	13,0	85,5	0,83
4АС18ОМ6УЗ	1,9	2,1	7,6	20,0	83,0	0,90	19,0	84,5	0,90	17,0	85,0	0,89	16,0	85,5	0,89
4АС200М6УЗ	1,9	2,1	7,3	25,0	82,0	0,92	22,0	83,5	0,92	20,0	84,5	0,92	18,0	85,5	0,91
4AC200L6Y3	1,9	2,1	6,2	33,5	83,5	0,92	28,0	85,5	0,91	25,0	86,0	0,92	23,0	86,5	_0,91
4АС225М6УЗ	1,9	2,1	6,9	35,0	85,5	0,92	33,5	81,0	0,91	28,0	87,5	0,91	25,0	88,0	0,90
4AC250S6Y3	1,9	2,1	5,4	45,0	88,0	0,90	40,0	89,0	0,90	36,0	89,5	0,90	33,5	90,0	0,89
4АС250М6УЗ	1,9	2,1	3,8	53,0	88,0	0,89	45,0	86,5	0,88	40,0	89,0	0,86	36,0	89,5	
ВыЛи» алежицюамиажежей
8.5.	Примеры
8.5.1.	Определить необходимую мощность и выбрать
по каталогу (см. табл. 8.1) асинхронный двигатель с
короткозамкнутым ротором общепромышленного назна-
чения для вентилятора с производительностью Q »
“ 5000 м8/час при давлении 981 Па, КПД вентилятора
40%, а частота вращения 1450 об/мин.
Решение.
По формуле (8.13) мощность двигателя
Р>в^=^0^ = 840вВт.
* Л»Ч« 3800.0,4 • 1
Из каталога выбираем ближайший, больший по мощ-
ности, двигатель типа 4A100L4V3, с номинальными
мощностью 4 кВт и частотой вращения 1480 об/мин.
Выбранный двигатель не требует проверки на нагрев,
перегрузочную способность и по пусковому моменту,
так как он рассчитан на работу при номинальной мощ-
ности для продолжительного режима и имеет малый
противодействующий момент при пуске.
8.5.2.	Определить мощность асинхронного двигателя
для привода механизма, выбрать двигатель по каталогу
(см. табл. 8.1) и выполнить его проверку на перегру-
зочную способность. График момента нагрузки на валу
двигателя приведен на рис. 8.9. Частота вращения вала
1470 об/мин.
Решение.
Для определения мощности двигателя используем
метод эквивалентного момента. По упрощенной формуле
(8.5) эквивалентный момент
1	tj + if + if +
J1208 IQ + 00* • 10 + 408 • 10 + HOF 6 gg 4 H
i	10 + 10 + 10 + 0	’
Расчетная мощность двигателя
172
Электротехника
Рр = Лкв = 0,105Мэквп2 =
= 0,105 • 86,4 • 1470 • 10~3 = 13,3 кВт.
В соответствии с Рр выбираем двигатель 4А16084УЗ,
имеющий Рном = 15 кВт, п2ном = 1465 об/мин и =
= 2,3.
Номинальный момент двигателя
Мтм = 9,55	= 9,55 •	= 97,8 Н-м.
«2вом	1400
Максимальный момент двигателя
Mm., = ЛГгаах* Мном = 2,3 • 97,8 = 225 Н м.
Из графика нагрузки наибольший момент
Мне = 120 Н м.
Перегрузочная способность двигателя по условию (8.7)
достаточна, так как 120 < 0,81 • 225, где коэффициент
0,81 учитывает снижение напряжения на 10%.
8.5.3.	Двигатель 4A200L4V3, предназначенный для
продолжительного режима работы, имеет следующие
технические данные: Ртя = 45 кВт, п2ном = 1475 об/мин,
AL,,. = 2,5, постоянная нагрева Т - 55 мин. Какое
время этот двигатель сможет работать не перегреваясь,
если момент при кратковременном режиме составляет
1,5 Мт„7
Решение.
Коэффициент механической перегрузки при номи-
нальном напряжении Л4* = 1,5. Согласно формуле (8.10)
коэффициент тепловой перегрузки
Ат = М2. = 1,52 = 2,25,
но k- =	’ откУДа <к₽ = Т 1п-^- = 55 In-^25 •• =
= 32,3 мин.
8.5.4.	Определить расчетную мощность и выбрать по
каталогу трехфазный асинхронный двигатель с корот-
Вывод злектгюдаигател»й
178
Рис. 8.9
незамкнутым ротором для привода механизма, работа-
ющего в повторно-кратковременном режиме с цикли-
ческим графиком момента (рис. 8.10). Проверить дви-
гатель на перегрузочную способность. Частота вращения
механизма 980 об/мин.
Решение.
Эквивалентный момент на валу
м__ = J^SZ^Z^ =
1	*1 + tt +1,
„ J30?.- 5 + <й»;10+^Ю a 47,5 Нм.
1 в + 10 +10
Продолжительность включения
ПВ = *l-*-a--8100% =	ioo% »
Л+ *»+*• + *<>
_ б + io+io...100% e eg g%.
6 + 10+10 + 40	’
Эквивалентная мощность
Рм = 0,105Mmn2 = 0,105 • 47,5 • 930 • 10“3 = 4,63 кВт.
Расчетная мощность
=	= 4^3-^ = 4,54 кВт.
174
Электротехника
Для стандартной продолжительности включения
ПВСТ = 40% выбираем двигатель 4АС13286УЗ (см.
табл. 3.2) с техническими данными: Рном — 6,3 кВт,
= 935 об/мин, АГнои = 64,2 Н-м, = 2,1.
Максимальный момент двигателя Мт„ = М„.^ 
• Мном = 2,1 • 64,2=135 Н-м. Из графика нагрузки наи-
больший момент МЛ = 60 Н-м.
Перегрузочная Способность двигателя по условию (8.7)
достаточна, так как 60 < 0,81 • 135, где коэффициент
0,81 учитывает снижение напряжения на 10%.
8.6.	Задачи
8.6.1.	На рис. 8.11 приведены механические харак-
теристики двигателя (1) и рабочего механизма (2). Оп-
ределить частоту вращения двигателя^ установившемся
режиме и мощность на валу двигателя.
Ответ'. п2 = 950 об/мин; Р2 = 4 кВт.
8.6.2.	Выбрать асинхронный двигатель с короткозамк-
нутым ротором защищенного исполнения для привода
центробежного водяного насоса. Производительность на-
соса 0,2 м3/с, напор 10 м, КПД насоса 70%, частота
вращения 1470 об/мин.
8.6.3.	Для станка, работающего в соответствии с на-
грузочной диаграммой 8.12, выбрать асинхронный дви-
гатель с короткозамкнутым ротором, частота вращения
Выбор электродвигателей
175
Рис. 8.11	Рис. 8.12
которого близка к 1500 об/мин. Указание. Рекоменду-
ется воспользоваться упрощенной формулой для экви-
валентной мощности.	/
8.6.4.	Определить расчетную мощность и выбрать
асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором
для механизма с циклическим графиком нагрузки
(рис. 8.13). Частота вращения механизма 1420 об/мин.
8.6.5.	Проверить возможность использования двига-
теля, выбранного в задаче 8.6.4, для привода механизма
с циклическим графиком нагрузки (рис. 8.14).
8.6.6.	С какой йаиболыпей эквивалентной мощностью
может работать асинхронный двигатель 4АС1004УЗ при
ПВ = 35%, если при ПВСТ — 40% Рном — 3,2 кВт,
Ответ'. 3.42 кВт.
Рис. 8.13
Рис. 8.14
176
Электротехника
8.6.7.	При какой наибольшей продолжительности
включения может работать асинхронный двигатель
4АС160М4УЗ (ПВ = 40%, Рном = 20 кВт), если эквива-
лентная мощность за время одного цикла 17,5 кВт?
Ответ: 52.2%.
8.6.8.	Коэффициент механической перегрузки асин-
хронного двигателя в кратковременном режиме при но-
минальном напряжении М» = 1,4, коэффициент, учиты-
вающий снижение напряжения, ku = 0.9. Определить
коэффициент тепловой перегрузки в этом режиме.
Ответ: 1,59.
8.6.9.	Время работы двигателя в кратковременном
режиме до допустимой температуры £кр = 40 мин; по-
стоянная нагрева Т = 50 мин. Определить коэффициент
механической перегрузки двигателя.
Ответ: 1.35.
8.7.	Контрольные задания
В таблице 8.3 приведены моменты Mlt М2, М3 на-
грузки на валу двигателя для соответствующих участков
графика нагрузки, время-работы t2, ta двигателя с
заданными моментами нагрузки, время паузы t0, частота
вращения двигателя и коэффициент, учитывающий воз-
можное снижение напряжения сети.
Определить для заданного варианта расчетную мощ-
ность двигателя и выбрать по каталогу (см. табл. 8.2)
асинхронный двигатель, предназначенный для привода
механизма с циклическим графиком нагрузки в про-
должительном или повторно-кратковременном режимах
работы. Провести проверку двигателя по перегрузочной
способности.
Выбор электродвигателей
177
Таблица 8.3
Варианты контрольных заданий
№ п/п	Ml, Нм	Мг, Н-м	Мз, Нм	fl, с	fa, с	<3, с	to, с	Одном, об/мин	ku
1	80	40	60	10	5	20	25	1410	0,95
2	120	100	95	10	10	15	55	930	0,90
3	50	20	30	10	15	10	5	915	0,85
4	150	125	145	10	20	10	60	930	0,95
5	150	130	160	10	25	20	35	1415	0,90
6	40	30	10	5	15	20	10	930	0,85
7	40	25	20	5	15	15	5	1420	0,95
8	30	15	25	5	20	10	25	950	0,90
9	20	15	10	5	10	5	60	935	0,85
10	180	140	150	5	15	15	25	1440	0,95
И	30	20	10	15	10	20	5	1440	0,90
12	30	40	60	15	5	15	5	1400	0.85
13	30	45	20	15	10	10	5	1410	0,95
14	30	50	30	15	15	10	10	940	0,90
15	200	180	170	15	20	5	60	930	0,85
16	'220	230	215	10	15	10	25	940	0,95
17	20	15	25	10	10	15	5	930	0,90
18	20	45	40	10	5	10	75	950	0.85
19	25	20	15	10	15	15	60	950	0,95
20	20	25	15	10	10	5 ;	20	1440	0,90
21	25	50	40	15	15	20	5	1400	0,85
22	25	20	10	15	15	5	25	950	0,95
23	20	35	10	15	15	10	30	920	0,90
24	25	40	10	15	15	15	5	930	0,85
25	25	15	10	15	10	20	5	950	0,95
26	245	230	240	5	10	10	40	940	0,90
27	60	50	55	5	15	25	10	1410	0,85
28	45	10	20	5	20	10	50	950	0,95
29	45	15	10	5	10	10	75	950	0,90
30		20	10	5	20	5	20	1440	0,85
9
ВЫБОР ПРОВОДОВ
9.1.	Выбор марки провода
Провода состоят из проводящей жилы, изоляции и за*
щитного покрова. По материалу проводящей жилы про-
вода бывают медные и алюминиевые. На практике, в
основном, применяются алюминиевые провода. В марке
проводов с алюминиевой жилой присутствует буква «А».
Если проводящая жила состоит из большого числа тон-
ких перевитых проволок, то такой провод будет гибким и
в марке провода это будет отмечаться буквой «Г».
В качестве изолирующего материала применяют
(в скобках указано обозначение данной изоляции в
марке провода): резину (Р), наиритовую резину (Н),
поливинилхлорид (В), полиэтилен (П). Кроме изолиро-
ванных проводов для воздушных линий применяют не-
изолированные (голые) провода, для которых в качестве
проводящего материала применяют также и сталь.
Защитные покровы применяют для защиты изоли-
рующего материала от механических и химических воз-
действий. Для защиты применяют оплетку из пряжи,
иногда пропитанную лаком, пластмассовые или метал-
лические оболочки.
9.2.	Выбор сечения провода
Промышленность выпускает провода следующих сече-
ний, мм2: 0,5; 0,75; 1,0; 1,2; 1,5; 2,0; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10;
16; 25; 35; 50 и т. д. Выбор сечения осуществляют по трем
критериям: по механической прочности (?их), по току на-
.грузки (д,) и по потере напряжения (дДи).
Выбор проводов
179
9.2.1.	Выбор по механической прочности. .
В зависимости от условий прокладки проводов и
материала проводящей жилы в справочных таблицах
указаны минимально допустимые сечения проводов с
точки зрения механической прочности. Выбранное се-
чение ДОЛЖНО удовлетворять УСЛОВИЮ
Для большинства условий прокладки алюминиевых
проводов = 2,5 мм2, а для медных q^ = 0,5 или
0,75 мм2.
9.2.2.	Выбор по току нагрузки.
Провода служат для присоединения электроприемни-
ков к источнику питания. Ток в проводнике зависит от
мощности электроприемника: чем больше мощность,
тем больше ток в проводнике. В проводнике с сопро-
тивлением R при протекании тока I имеет место мощ-
ность потерь I2R, при этом провод и его изоляция
нагреваются. Так как мощность потерь зависит от тока
и сопротивления провода, а сопротивление зависит от
сечения провода, то для провода с конкретным сечением
с увеличением тока увеличивается температура нагрева
изоляции. Каждый класс изоляции имеет максимально
допустимую температуру нагрева, а следовательно, мак-
симально допустимый ток 7Д0П.
В зависимости от сечения провода, материала про-
водящей жилы, класса изоляции, условий Прокладки
проводов и числа жил в справочных таблицах приводят
допустимые значения токов в проводах (табл. 9.1).
Вычислив расчетный ток 1р в проводе, по таблице
находят такое сечение qlt чтобы 1дап > 1Р. Расчетный ток
1р зависит от типа и числа электроприемников, присо-
единенных к данной линии передачи.
В случае однофазндго приемника, присоединенного
в конце линии, имеющего электрическую мощность Р,
расчетный ток находят по формуле
7Р = —
₽	17ф совф
(9-1)
где 17ф — фазное напряжение; совф — коэффициент
мощности электроприемника.
В случае трехфазного приемника, присоединенного в
конце линии, расчетный ток
180
Электротехника
Т агб л и ц а 9.1
Длительно допустимый ток /доп для проводов
с резиновой и пластмассовой изоляцией
на напряжение до 1 кВ с алюминиевыми (числитель)
и медными (знаменатель) жилами
при температуре окружающего,воздуха 25 °C
АПР, АПРТО, АПРВ, АПВ,
ПР.ПРТО, ПРГ, ПРВ, ПВ, ПГВ, ПРГВ
Сечение провода, мм2	Допустимый ток /доп (А) в зависимости от способа прокладки					
	открыто	в стальных трубах при числе проводов в трубе				
	—	2	3	4	5...6	7...8
1,0	.-/17	-/16	-/15	-/14	—	—
1,2	-/20	-/18	—/16	-/15	—	—
1,5	—/23	-/19	—/17	-/16	-/15	-/14
2,0	21/26	19/24	18/22	15/20	12/17	11/16
2,5	24/30	20/27	18/25	19/25	15/20	14/19
3	27/34	24/32	22/28	21/26	18/22	17/21
4	32/41	28/38	28/35	23/30	22/28	21/26
5	36/46	32/42	30/39	27/34	24/33	22/28
б	39/50	36/46	32/42	30/40	26/34	24/31
8	46/62	43/54	40/51	37/46	30/40	29/38
10	60/80	50/70	47/60	39/50	38/48	35/45
16	75/100	60/85	60/80	55/75	48/64	45/60
25	105/140	85/115	80/100	70/90	65/80	60/75
35	130/170	100/135	95/125	85/115	75/100	70/95
50	165/215	140/185	130/170	120/150	105/135	95/125
70	210/270	175/225	165/210	140/185	130/165	125/155
95	255/330	215/275	200/255	175/225	—	—
т =—£.______ _	(У.И)
₽ •Т317л coscp’
где Р — мощность трехфазного приемника; ия — ли?..
нейное напряжение.
Выбор проводов
181
Рис. 9.1
Как однофазные, так и трехфазные электроприемники
могут быть распределены вдоль одной линии (рис. 9.1),
т. е. присоединены к линии передачи в разных точках.
В этом случае в формулах (9.1) и (9.2) вместо мощности
Р надо принимать расчетную мощность
Рр = Лс£ Д	(9.3)
i = i
где Р( — номинальная мощность i-того электроприем-
ника; kc — коэффициент спроса; п — число электро-
приемников, присоединенных к линии.
Коэффициент спроса учитывает тот факт, что не все
элекроприемники могут быть включены одновременно,
не все одновременно работают в номинальном режиме и
другие условия. Для нескольких светильников, присо-
единенных к линии и включаемых одним выключателем,
коэффициент спроса kc=1. Для линий, питающей светиль-
ники ряда помещений, можно принимать ke = 0,8... 0,9.
В случае присоединения к линии электродвигателей
или электротехнологических установок с изменяющейся
мощностью в первом приближении для определения
коэффициента спроса можно пользоваться таблицей 9.2.
Т а блица 9.2
Зависимость коэффициента спроса
от Числа электроприемников
п	2	3	4	5	б	8	9	10	15	20
kc	1	0,9	0,8		0,6	0,5	0,47	0,44	0,35	0,31
182
Электротехника
9.2.3.	Выбор по потере напряжения
Каждый электроприемник имеет номинальное напря-
жение, указанное в паспорте. Большинство приемников
допускают отклонение напряжения на ± 5%. Следова-
тельно, в линиях передачи от источника питания до
самого удаленного приемника допускается иметь потерю
напряжения не более 5%.
Как известно, на участке электрической цепи с током
I потеря напряжения равна AU = 1 (R сояр + X sinq>), где
R я X — активное и индуктивное сопротивления этого
участка цепи. В сетях с напряжением до 1 кВ индук-
тивным сопротивлением пренебрегают и считают, что
Рис. 9.2
&U = IR созср. (9.4)
В случае однофазной нагрузки
в конце линии (рис. 9.2) ток на-
ходят по (9.1), а сопротивление —
по формуле R = —, где L — длина
У? /
линии, м; у — удельная проводимость, ——», а —
Ом • мм
сечение провода, мм2.
Заменив потерю напряжения &U в вольтах иа потерю
напряжения в процентах Ди =	100% получим фор-
'-'ом
мулу для определения сечения провода дди, обеспечи-
вающего допустимую потерю напряжения:
для однофазной нагрузки в конце линии
„ v. 200PL.
для однофазных нагрузок, распределенных
линии
200£ р,Ц
для трехфазной нагрузки а конце линии
„	100PL.
Чдо . ..2»
удиал
(9.5)
вдоль
(9.6)
(9.7)
Выбор проводов
183
для трехфазных нагрузок, распределенных вдоль
линии
100£РД
В формулах (9.5)—(9.8) следует принимать удельную
проводимость алюминиевых и медных проводов соот-
ветственно равными 33 и 54 м/Ом-мм2. Найдя три зна-
чения сечения провода, в качестве выбранного сечения
Звыбр принимают максимальное из трех (g„, qt, q^).
Выбрав сечение линейных проводов, можно найти дей-
ствительную потерю напряжения на участке, например
, _ . Яш
д ®шбр
(9.9)
В четырехпроводных сетях с заземленной нейтралью
проводимость нейтральных проводов должна быть иё
менее 50% проводимости линейных проводов.
9.3.	Примеры
9.3.1.	Асинхронный двигатель мощностью Рг =
- 4,5 кВт, coscpi = 0,8, т] = 0,85, Z7HOM = 380 В присоеди-
нен к линии — 40 м. Выбрать сечение провода марки
АПРТО при Ди = 3%.
Решение.
1.	Сечение провода по механической прочности
= 2,5 мм2.
2.	Расчетный ток
т _	$2	______4500____= Ю А
₽ г| С7Д совф 0,85<3 380 • 0,8
В соответствии с табл. 9.1 для трехпроводной линии,
проложенной в стальной трубе, сечение провода по току
нагрузки =’2,0 мм2 (1тп = 18 А > 1Р = 10 А).
3.	Сечение по. потере напряжения (Ди = 3%)
_ IQOPtL _ 10Q • 4500 40 _ , - „„2
0,85 33 • 3 3802	’
184
Электротехника
4.	Выбранное значение сечения двъЛр = 2,5 мм2.
9.3.2.	Светильники с лампами накаливания (coscp =
— 1) присоединены к одной линии. Мощность лампы
Р = 100 Вт, число ламп п = 15. Расстояние между лам-
пами 4 м, общая длина L = 60 м. Найти сечение провода
АП В, если Ди = 2%.
Решение.
1.	По механической прочности дмх_2,5 мм2.
2.	Расчетный ток
Т р _ 100 • 15 _ с Q *
^“ЦфСояр 200 1 " ’° А‘
3.	Сечение по току нагрузки qt = 2,0 мм2.
4.	Сечение по потере напряжения
п	15
200£ РД 200 100 • £ Lt
' » 2 2^- ‘ 3,0
5.	Выбранное сечение провода: двыбр = 4,0 мм2.
6.	Действительное значение потери напряжения по
(9.9)
Ди = 2 -	= 1,51%.
4
9.3.3.	К трехпроводной линии присоединены 10 асин-
хронных двигателей с одинаковыми КПД (т] — 0,85) и ко-
эффициентами мощности (совф = 0,82). Линейное
напряжение Ux = 380 В. Выбрать сечение провода
АПРТО при допустимой потере напряжения Ди = 3%.
Мощность двигателей Р2| и расстояния Lt приведены в
таблице 9.3.
Таблица 9.3
Ра, кВт	11	7,5	4,0	15	5,5	4,0	11	3,0	2,2	5,5
Li, м	10	12	15	20	23	25	28	30	32	35
Решение.
1.	По механической прочности ди = 2,5 мм2.
Вывоз пвоводоо
186
2.	Расчетный ток по (9.2) с учетом (9.3) при коэф-
фициенте спроса ke “ 0,44 (см. табл. 9.2)
10
I  ----—isl------ —9,44. 68. ТОО- 3 б5 4 д
• U.cosxp 0,85^3 - 380 * 0,82	’
3.	Сечение проводника по току нагрузки д1 “
=" 16,0 мм2, для которого 7-и, = 60 А больше “
“ 55,6 А.
4.	Сечение провода по допустимой потере напряжения
ю
100*£РЛ
«----LU—_, 1Q0 0,44 1428 10» = 5 д мм».
ЯуДаП; 0,85*88-3 *880*
5.	Выбираем сечение провода - 16 мм*.
6.	Действительное значение потери напряжения
Ли = 3 ^ = 0,61%.
9.4.	Задачи
9.4.1.	Выбрать сечение провода при наличии одного
однофазного электроприемника в конце линии. Напря-
жение <7ф =• 220 В. Способ прокладки проводов, материал
проводящей жилы и допустимая потеря напряжения
задаются отдельно! Мощность электроприемника, коэф-
фициент мощности и длина линии приведены в табли-
це 9.4.
а б л и ц а 9.4
№ п/п	1	2	8	4	5	в	7	8	9	10	11	12
Р. кВт	8	10	8	12	9,6	5,5	7,2	4,5	6	9	8,6	7,5
L. и	50	40	во	2	40	55	65	90	80	65	во	70
совф	0,8	1,0	0,9	0,7	о,в	0,5	0,7	0,8	0,9	0,9	0,8	0,8
9.4.2.	Выбрать сечение провода при наличии одного
трехфазного приемника в конце линии. Напряжение
CZ, — 380 В. Провода проложены в трубе. Материал про-
водящей жилы (медь или алюминий) — по указанию
преподавателя. Мощность электроприемника, коэффи-
циент мощности, длина линии и допустимая потеря
напряжения приведены в таблице 9.5.
186
Электротехника
Таблица 9.5
№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Р, кВт	10	15	20	18	14	7	12	22	16	18	20	11
L, м	50	40	45	55	60	80	35	40	32	48,	42	70
COS(p	1,0	0,8	0,5	0,7	0,75	0,85	0,9	0,95	1,0	0,7	0,8	0,85
Du	2	2	2	2	2	2	2,5	2,5	2,5	3	3	3
9.4.3.	Выбрать сечение провода при наличии одно-
фазных злектроприемников, распределенных вдоль
линии. Напряжение Пф = 220 В. Провода проложены
открыто. Материал проводящей жилы — по указанию
преподавателя. Мощность злектроприемников и рассто-
яние от источника питания для электроприемника при-
ведены в таблицах 9.6...9.7.
Таблица 9.6
а) Рг = 200 Вт; совф = 0,8; Ди = 1,5%;
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
и М	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27
Таблица 9.7
б) Рг = 100 Вт; совф = 1,0} Ди = 1,5%;
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
14, М	10	13	15	18	20	22	25	27	30	32	35	38
в) то же, что а), но совф = 0,6; Ди = 1,0%; Ди = 1,2%;
д) то же, что а), но Pt = 300 Вт;
г) то же, что б), но совф - 0,7;
е) то же, что б), но Pt = 200 Вт.
9.4.4. Выбрать сечение провода при наличии трех-
фазных злектроприемников, распределенных вдоль
линии. Напряжение Un = 380 В. Провода проложены в
трубах. Материал проводящей жилы — по указанию
Выбор проводов
187
преподавателя. Мощность электроприемников и рассто-
яние от источника питания для электроприемника при-
ведены в таблицах 9.8...9.11.
Таблица 9.8
а) P2i = 2,8 кВт; совф = 0,85; Ли = 2,0%; т] = 0,8;
i	1	2	3	4	5	6
Li, м	10	13	16	20	24	28
Таблица 9.9
б) Р2{ = 4,0 кВт; совф = 0,8; Ди = 2,0%; т, = 0,85;
i	1	2	3	4	5	6	7	8
Lt, м	6	9	12	15	18	21	24	27
Таблица 9.10
в) P2t = 1,7 кВт; совф = 0,75; Ди = 2,0%; т] = 0,7;
i	1	2	3	4	5	6	7	8
Li, м	8	12	И	20	24	28	32	36
Таблица 9.11
г) Р21 = 2,0 кВт; совф = 0,6; Ди = 2,0%; т| 0^9;
i	1	2	3 | 4 .	*8 "
Li, м	10	12		40
д)	То же, что а), Ди =^ 0% и
е)	То же, что б), но Ди >**1,5%' Я' Pv.
ж)	То же, что в), но Ди^д^.0%, и.	,8 кВт;
з)	То же, что г), но Ди = 1,0% -й P2i = 3,0 кВт.
Список литературы
1.	Иванов И. И., РавдоникВ.С. Электротехника: Учебник для
вузов. — М.: Высшая школа, 1984. — 375 с.: ил.
2.	РекусГ.Г., Белоусов А. И. Сборник задач по электротехнике
и электронике: Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа,
1991. — 416 с.: ил.
3.	Сборник задач по электротехнике и электронике (под ред.
проф. Герасимова В. Г.): Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая
школа, 1987. — 288 с.: ил.
4.	Читечян В. И. Электрические машины: Учебное пособие для
вузов. *- М.: Высшая школа, 1988. — 231 с.: ил.
5.	Иванов А. А. Справочник по электротехнике: — Киев. Вища
школа, 1984.
6.	Асинхронные двигатели серии 4А: Справочник. — М.: Эиер-
1гоиздат, 1982.
7.	Справочник по электроснабжению промышленных предпри-
ятий (под ред. Федорова А. А.). — М. Энергия, 1980.
8.	Справочник по проектированию электроснабжения (под ред.
Круповича В. И.). — М. Энергия, 1980.
9.	Инструкция по проектированию силового и осветительного
электрооборудования промышленных предприятий (СИ 357-77).
Оглавление
Предисловие...................................  4
1.	Электрические цепи постоянного тока.....	5
1.1.	Основные понятия, определения и законы	5
1.2.	Расчет линейных электрических цепей с ис-
пользованием законов Ома и Кирхгофа . .	9
1.3.	Основные методы расчета сложных элект-
рических цепей......................... 9
1.3.1.	Метод	контурных токов .......	9
1.3.2.	Метод	узловых потенциалов........	11
1.3.3.	Метод	эквивалентного генератора	.	14
1.4.	Примеры............................     15
1.5.	Задачи............................... .	22
1.6.	Контрольные задания......... . ,	.	27
2.	Электрические однофазные цепи синусоидаль-
ного тока....................  -	; -v . ...	29
2.1.	Основные понятия и определения .....	29
2.2.	Основы комплексного метода расчета элект-
рических цепей..........................    32
2.3.	Идеальные пассивные элементы схем заме-
щения  .................................... 36
2.4.	Законы Ома и Кирхгофа в комплексной
форме....................................   37
2.5.	Мощность однофазной цепи синусоидально-
го тока....................  .	........ 40
2.6.	Резонанс в электрических цепях синусои-
дального тока..........................  .	42
190
Оглавление
2.7. Методы расчета сложных электрических
цепей синусоидального тока при установив-
шихся процессах....................... 43
2.8.	Примеры ............................. 43
2.9.	Задачи..............................  51
3.	Трехфазные электрические цепи............ 58
3.1.	Основные понятия и определения.....	58
3.2.	Соединение звездой................... 60
3.3.	Соединение треугольником .........	63
3.4.	Мощность трехфазной цепи ............ 65
3.5.	Примеры.............................  66
3.6.	Задачи ...........................    77
4.	Электрические машины постоянного тока . .	82
4.1.	Общие положения и формулы........... 82,
4.2.	Генераторы постоянного тока. Основные по-
ложения и формулы . ...................... 84
4.3.	Двигатели постоянного тока. Основные по-
ложения и формулы......................... 84
4.4.	Примеры.............................  86
4.5.	Задачи............................    93
4.6.	Контрольные задания................  100
5.	Трансформаторы . . ..................... 101
5.1.	Основные положения и формулы.......	101
5.2.	. Примеры.......... ................ 107
5.3.	Задачи.............................. 114
5.4.	Контрольные задания................ .	119
6.	Трехфазные асинхронные двигатели.......	121
6.1.	Общие положения и	формулы........... 121
6.2.	Примеры............................. 126
6.3.	Задачи...........................    132
7.	' Трехфазные синхронные машины.......... 135
7.1.	Общие положения ...................  135
7.2.	Синхронные генераторы'.............. 135
7.2.1.	Электромагнитные процессы при на-
грузке. Основные положении и фор-
мулы ..............................   135
7.2.2.	Характеристики генератора при ра-
боте на автономную нагрузку . . .	138
Оглавление
191
7.2.3.	Работа генератора параллельно с
сетью.................................. 139
7.3.	Синхронные двигатели.................. 140
7.4.	Примеры..............................  141
7.5.	Задачи..............................   148
7.6-	Контрольные	задания.................. 155
8.	Выбор электродвигателей................... 157
8.1.	Основные сведения об электроприводе и ре-
жимах работы электродвигателей............ 157
8.2.	Принципы выбора электродвигателей ... 161
8.3.	Определение мощности двигателя. Выбор
двигателя по каталогу..................... 162
8.4.	Определение мощности двигателей для не-
которых механизмов. .	............  165
8.5.	Примеры..............................  171
8.6.	Задачи............................ 174
8.7.	Контрольные задания............ 176
9.	Выбор проводов . . ......................  178
9.1.	Выбор марки провода............ 178
9.2.	Выбор сечения провода.............. 178
9.2.1.	Выбор по механической	прочности	179
9.2.2.	Выбор по току нагрузки	........	179
9.2.3.	Выбор по потере	напряжения ....	182
9.3.	Примеры.............................. 183
9.4.	Задачи .............................   185
Список литературы...........................  188
ИВАНОВ Иван Иванович
ЛУКИН Александр Федорович
СОЛОВЬЕВ Герман Иванович
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
Основные иоложения,
прямеры ж вадачм
Игдание второе, исправленное
Генеральный директор А Л. Кноп
Директор иадатальства О. В. Слшршма
Главны* редактор Ю. А. СаиЛмов
Художественный редактор С. Л. Шапиро
Подготовка оригикал-какета С. В. Павлова
Выпускающий А. В. Яковлев
ЛРМ 066466 от 21.10.97 г.
Гигиенический сертификат 78.01.07.968.П.001666.08.02
от 18.08.02, выдан ЦГСЭН в СПб
Иадатеяьетво «ЛАНЬ»
lan@ipbl.epb.ni www.ianpbl.apb.ni
198012, Санкт-Петербург, пр. Обуховской обороны, 277,
издательство: тал.: (812)262-1178;
pbl@lpbl.epb.ni (издательский отдал),
проиавоЛммениый отЛл: (812)262-2485;
print@lpbl.apb.ru (проивводственный отдал),
сшиб Л» (.факс: (812)267-2792,267-1868.
trado@lpbl.apb.ru (торговый отдал),
19ЭД29» пр» Елкзврошц lt
склад Л» 2: (812)266-0088,567-6498,667-1445. root@lanpbl.epb.ru
Филиал в Москве:
Москва, 7-я ул. Текстильщиков, 6,
тел.: (096)919-964)0,787-69-47,787-59-48.
Филиал а Краснодаре:
850072, Краснодар, ул. Зкповская, 7, тал.: (8612)62-97-78.
Подписано в печать 10.01.02.
Вуыагатипшрафская. Формат 84х108Ц».
Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Усл. п. л. 10,08. Тираж 6000 ака. Вакаа М0*.9* .
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ООО «СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ПЕЧАТНЫЙ ДВОР»
188360, Ленинградская обл., г. Гатчина, ул. Солодухина, д. 2