Текст
                    | НАДЕЖНОСТЬ И КАЧЕСТВО
' Межиздательская серия
Надежность
механических
частей
конструкции
летательных
аппаратов
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1979

ББК 39.53 Н17 УДК 029.7,017.1.001.24 Авторы: А. А. Кузнецов, А. А. Золотов, В. А. Комягин, М. И. Титов Рецензент д-р техн, наук Б. А. Дмитриев км КРАСНОЯРСКАЯ I КРАЕВАЯ I БИБЛИОТЕКА—» Н17 Надежность механических частей конструкции лета- тельных аппаратов/А. А. Кузнецов, А. А. Золотов, В,-А. Комягин, М. И. Титов. — М.: Машиностроение, 1979.— 144 с., ил. 50 к. В книге рассмотрены особенности функционирования отделяемых и пово- ротных частей конструкции летательных аппаратов и определены условия их ’ работоспособности. Изложены методы расчета надежности разделения ступе- ней, отделения корпусов хвостовых отсеков и сброса головных обтекателей. Описаны методы расчета надежности функционирования однозвенных и мно- гозвенных шарнирных систем с пружинным приводом. Книга предназначена для инженеров, работающих в области надежности летательных аппаратов. 31808—341 ББК 39 53 Н ------------341—79 3606030000 К 7 038(01)—79 ‘ 6Т5.1 (С) Издательство «Машиностроение» 1979 г.
Предисловие Одной из актуальных проблем проектирования летательных ап- паратов (ЛА) является обеспечение их надежности.'В последние годы уделяется особое внимание созданию методов количественной оценки надежности конструкции на этапе проектирования. В конструкции современных летательных аппаратов широко применяются элементы и узлы, которые в силу функциональных, весовых или габаритных требований, предъявляемых к конструкции в полете, изменяют свое положение относительно корпуса летатель- ного аппарата. Работоспособность таких механических частей кон- струкции определяется не только их прочностью, но и безотказно- стью срабатывания входящих в их состав элементов. Предлагаемая книга посвящена методам расчета надежности двух основных классов механических частей конструкции летатель- ных аппаратов на этапе проектирования — отделяемых и поворот- ных. В книге рассмотрены вопросы расчета надежности по прочности механических частей конструкции ЛА, приведен метод расчета на- дежности элементов конструкции, а также конструктивных узлов при различных видах соединения элементов, .входящих в их состав. Изложены методы расчета надежности механических частей кон- струкции в различных предельных состояниях.' Наряду с общим методом расчета надежности функционирова- ния отдельных частей конструкции описаны методы расчета на- дежности разделения ступеней, отделения корпусов хвостовых от- секов и сброса головных обтекателей. Рассмотрены также методы расчета надежности, функционирования поворотных частей конст- рукции, представляющих собой однозвенные и многозвенные шар- нирные системы с пружинным приводом. Приведен метод расчета надежности функционирования пироустройств, используемых в уз- лах крепления механических частей конструкции к корпусу ЛА. Авторы выражают благодарность рецензенту д-ру техн, наук Б. А. Дмитриеву за ценные замечания, сделанные им при просмот- ре рукописи, а также В. Н. Яроцкому за помощь, оказанную при подготовке рукописи. 1340
Введение Механическими частями конструкции будем называть такие ее элементы, апрегаты и отсеки, которые изменяют свое положение относительно корпуса летательного аппарата (ЛА) в силу функци- ональных, весовых или геометрических требований, предъявляемых к конструкции аппарата в полете или при транспортировании. Механические части конструкции принято делить на отделяе- мые и поворотные (рис. В.1). Отделяемые части конструкции пос- ле выполнения заданных функций сбрасываются с ЛА. К таким частям относятся головные обтекатели, створки хвостовых отсеков, отработавшие ступени и т. д. Поворотные части конструкции перед началом выполнения за- данных функций переводятся в рабочее положение. Перевод осу- Рис. В.1. Части конструкции 4
ществляется поворотом их вокруг оси, связанной с корпусом ЛА. К поворотным частям конструкции относятся антенны, солнечные батареи, светильники и т. д. Чтобы' уменьшить габариты ЛА, эти части конструкции фикси- руются на корпусе до выхода на орбиту, а затем приводятся в ра- бочее положение, поворачиваясь вокруг оси. К механическим частям конструкции относятся также пироза-м- ки, пироножи, пирогголкатели. Особенностью механических частей конструкции является одно- кратное перемещение их относительно других агрегатов (сброс, поворот, движение поршня со штоком). Надежностью называется свойство объекта выполнять задан- ные функции, сохраняя во времени значения установленных экс- плуатационных показателей в заданных пределах, соответствую- щих заданным режимам и условиям использования, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования [20]. В зависимости от назначения объекта и условий его эксплуата- ции надежность может включать в себя безотказность, долговеч- ность, ремонтопригодность и сохраняемость или определенное со- четание этих свойств. Под объектом понимается предмет опреде- ленного целевого назначения. Объектами могут быть изделия, сис- темы и их элементы!, в частности, сооружения, установки, устрой- ства, машины, аппараты, приборы и их части, агрегаты и отдель- ные детали. В данной работе рассматриваются объекты одноразового ис- пользования. Надежность таких объектов определяется безотказно- стью их функционирования. Поэтому при расчетах применяется один из возможных показателей надежности — вероятность безот- казной работы. Механические части конструкции в смысле надеж- ности могут находиться в двух предельных состояниях: по прочно- сти и по функционированию. В дальнейшем именно в этих предель- ных состояниях они и рассматриваются. Предельное состояние — это состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация должна быть прекращена из-за не- устранимого нарушения требований безопасности -или неустрани- мого ухода заданных параметров за установленные пределы. Надежность механических частей конструкции (Н мчк) опре- деляется согласно' соотношению Нмчк = ф(НпрНф), где Нпр— на- дежность по прочности; Нф — надежность по функционированию; Ф — некоторая функция, Надежностью по прочности будем называть такую надежность, которая определяется предельным состоянием по прочности. Надежностью по функционированию будем называть такую на- дежность, которая определяется предельным состоянием, связан- ным с уходом параметров за установленные пределы. Вид функции ф зависит от модели расчета НмЧК по Нпр и Нф. В данной работе принята модель расчета по фиктивным агрегатам. Сущность модели заключается в том, что механическая часть кон- струкции. при расчете надежности заменяется системой, состоящей 5
из последовательно соединенных, зависимых по надежности двух фиктивных механических частей конструкции. Фиктивной механической частью конструкции будем называть рассматриваемую лишь в одном предельном состоянии реальную механическую часть. Таким образом, одну механическую часть кон- ру.кц|ии, способную находиться в нескольких предельных состоя- ниях, можно заменить при расчете надежности несколькими фик- тивными механическими частями, каждая из которых может нахо- диться лишь в одном предельном состоянии (либо по прочности, либо по функционированию). В расчетной модели фиктивные части соединены между собой последовательно, так как отказ реальной механической части кон- струкции происходит или при отказе по прочности, или при отказе по функционированию. Фиктивные части в общем случае зависимы между собой по на- дежности в связи с тем, что внешние силы, действующие на меха- ническую часть, могут быть одними и теми же при расчете на прочность и при расчете на функционированне. Эту зависимость не всегда просто определить. Поэтому часто пользуются формулой Нмчк=НпрНф, принимая фиктивные части независимыми по на- дежности.
ГЛАВА 1 Метод расчета надежности по прочности механических частей конструкции 1,1, НАДЕЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ МЕХАНИЧЕСКИХ ЧАСТЕЙ КОНСТРУКЦИИ 1.1.1. Понятия об элементе, несущей способности, внешних нагрузках Для всех механических частей конструкции методы расчета на- дежности по прочности элементов аналогичны., Аналогичен расчел? надежности по прочности и элементов мироустройств. Величина надежности элементов необходима для расчета на- дежности узлов механических частей конструкции. Элементом называется наименьшая самостоятельная конструк- тивная единица (это может быть и целый лист обшивки, и заклеп- ка, и сварной шов любой длины, и точка электросварки и т. д.), а также некоторая совокупность конструктивных частей, объединен- ных общностью функций и рассчитываемых на прочность как еди- ная часть конструкции (например, штанга антенны, состоящая из сварного короба, при нагружении изгибающим моментом). При расчете величины надежности элемента конструкции необ- ходимо знать несущую способность элемента и действующие наг- рузки на элемент. В самом общем случае под несущей способностью элемента конструкции понимается Ri(t) = од0п(^)5, где одоп(0 —допустимое напряжение в конструкции как случайный процесс; S — функция от геометрических параметров элемента как случайная величина. Допустимое напряжение может быть: предел прочности ств(0 при растяжении; ов(0^а (Аа — коэффициент пластичности) — при изгибе; критическое напряжение при местной потере устойчиво- сти— ом.кр(0 или при общей потере устойчивости — сгОб,кр(0 при сжатии; предел выносливости —при циклических нагруз- ках; предельные касательные напряжения — при кручении и т. д. Это все в том случае, когда под отказом конструкции понимается физическое разрушение. Но можно условиться под отказом пони- мать превышение наперед заданного напряжения, не приводящего» к разрушению, например, предела пропорциональности <yp(f) или условного предела текучести Оо,2 (0 (такие условия задаются обычно для поворотных антенн, чтобы деформация штанги антен- ны от ударных нагрузок при установке на защелку не изменила за- данного направления антенны). ^Несущая способность элемента конструкции представляет со- бой случайный процесс, поскольку в общем случае температура элемента конструкции может измениться в полете, отчего будут ме- няться прочностные характеристики материала. 7
Несущая способность элемента конструкции зависит от прочно- стных характер истин материала и геометрических параметров эле- мента. Геометрические параметры сортамента (толщину листа, площадь поперечного сечения профиля и т. д.) можно рассматри- вать как случайные величины. Под внешней нагрузкой, действующей на элемент, понимается эксплуатационная нагрузка. Она не умножается ни на какие ко- эффициенты безопасности, как это делается при традиционных рас- четах на прочность по детерминированным величинам. При расче- те надежности это не требуется, так как внешние нагрузки рас- сматриваются как вероятностные процессы, изменяющиеся в ши- роких пределах. Под внешней нагрузкой в дальнейшем понимается или растяги- вающая сила, или сжимающая сила перерезывающая сила Q(t), изгибающий Л1ИЗ(/) или крутящий AfK^(Z) момент, продоль- ная nx\\t) или поперечная nyV(t) перегрузка и т. д. 'Внешние нагрузки, действующие на элемент, представляют со- бой случайные процессы. Параметры случайного процесса на эта- пе проектирования могут быть рассчитаны теоретически или опре-, делены приближенно' по данным испытаний предыдущих изделий и теоретических расчетов по разрабатываемому изделию. 1.1.2. Расчет надежности элемента Расчет надежности элемента производится'по формуле h=/>(/?(/)>w)), (1.1) где R(i), N'(t) —случайные процессы: несущая способность эле- мента и действующая нагрузка; tK — время окончания работы эле- мента. Вычтем ив левой и правой части неравенства в скобках значе- ние №(t). Тогда формула (1.1) примет вид Н=Р(У?(/)>.ЛГ(/))=/>(/?(/)—•ЛГ(/)>0=/>(.£(/)>0), (1.2) где Z,(t)=Ri(t)—N,(t) иногда называется композиционной случай- ной функцией. Можно разделить левую и правую часть неравенства в скобках на Тогда формула (1.1) примет вид Н=Р (/?(/) >^(/))=Р (/?(/) W(/f (> !)=/>($(/)> 1), (1.3) R(t) М(0 где £(/)== — соотносительная случайная функция. Таким образом, надежность элемента определяется как вероят- ность невыброса случайного процесса Z(t) за уровень 0 или слу- чайного процесса §(/) за уровень 1. Иногда случайный процесс Z,(t) и случайный процесс |(/) на- зывают одним термином — «функцией работоспособности элемен- та конструкции» и обозначают L(i). Возможный внешний вид этих функций представлен на рис. 1.1 и 1.2, гдеЛ(0, Z(0, М(/), В(0 —реализация рассмотренных выше 8
MW Рис. 1.1. Композиционная .случайная функция Z(t) Рис. 1.3. График замены неста- ционарного процесса отрезками стационарных случайных про- цессов Рис. 1.5. Определение надежности элемента по соотносительной случай- ной величине Рис 1.4. Определение надежности элемента по композиционной случайной величине
функций (см. рис. 1.1, л, и 1.2, а); P(t) — функция надежности эле- мента (icim. 1рис. l.il, б и- 1.2, б); tK — (время работы элемента; /р, /р'—время наступления расчетных случаев нагружения. В данном случае функцией надежности называется вероятность случайного события, заключающегося в невыбросе случайного процесса функции работоспособности элемента за соответствую- щий уровень в течение рассматриваемого времени. Использование случайных процессов при расчете надежности вызывает пока непреодолимые- математические трудности, так как процессы, как правило, нестационарные. Чтобы получить расчет- ные формулы в конечном виде, используют различные допущения. 1. Нестационарный случайный процесс на всем отрезке времени заменяют на малых участках времени работы элемента одрезкамц стационарных процессов с параметрами, равными средним пара- метрам нестационарного процесса на рассматриваемом участке времени (рис. 1.3). На рис. 1.3 плавной кривой представлена реализация функции р а б отоспособ нести элемента констр укции. Ступ ен ч ата я кривая представляет аппроксимацию реализации реального случайного процесса отрезками стационарных случайных процессов (каждый отрезок представляет реализацию нового ста1®онцрнопо случайно- го процесса). < г Математическая теория стационарных случайных процессов раз- работана лучше, поэтому легче решается задача определения на- дежности элемента. 2. Нестационарный случайный процесс заменяют многомерной случайной величиной, образованной из сечений процесса. Тогда расчетные формулы примут вид H=P.(Z(n)>0) или H=Pi(g(n)> >tl), где Zi(n), g(n) — многомерные случайные величины. Отсюда H=P(Z1>0,..., Zrt>O)=J ... J/(z1?...,z^dz^.-dz^ (1.4) где j(zi,..., zn) — плотность распределения многомерной случай- ной величины (Zb ..., Zn); или (1.5) где In)—плотность распределения многомерной случай- ной величины (|ь ..£п). 3. В некоторых частных случаях при расчете надежности слу- чайный процесс можно заменить одномерной случайной величи- ной, образованной из сечения случайного процесса в расчетном слу- чае нагружения. Тогда надежность элемента определяется вероят- ностью превышения несущей способности над внешними нагрузка- ми, т. е. соотношением Н=Р(Я>Л0, (1.6) Ю
Рис. 1.6. Определение надежности Рис. 1.7. Определение надежности из из выражения “ выражения J f # (х) FN (х) dx \fN(x)l\-FR(x)}dx 0 О оде /?, N— ^случайные величины: несущая способность и внешняя нагрузка в расчетном случае нагружения элемента. 'CoiOTiHOHieH'He (4.6) может быть вычислено одним из следующих методов: а) введением кюМ|Пози’Цио1Н1Н0Й случайной величины, т. е.: H=P(/?>W)=P(/?_.V>O)=.P(Z>O)=f f(z}dz, (1.7) о где композиционная случайная величина Z=R—N-, f (z)=fg(x)~ плотность распределения композиционной случайной величины (рис. 1.4) . На рис. 1.4 fN(x), /₽(х) —плотности распределения соответ- ственно внешних нагрузок и несущей способности элемента конструк- ции. Имеем mz-mR — inN-, D2Z=Dn (последнее выполняется при независимых R и N), где mz, т%, mN—математические ожи- дания; D2Z, D2r, D2n — дисперсии; б) введением соотносительной случайной величины т. е. СО Н=Р(/?>ЛГ)=р(-£- > 1)=Р($> 1)= /т (1. 8) 1 где соотносительная случайная величина ^—R/N-, f(£)=ft(x)— плотность распределения соотносительной случайной величины (рис. 1.5). На рис. 1.5 обозначены через fw(x), fR(x) —.плотности распределения соответственно внешних нагрузок и несущей способ- ности элемента конструкции. Для | определение математического ожидания и дисперсии возможно лишь приближенным методом, после линеаризации слу- чайной величины |; в) формальным сравнением случайных величин, т. е. н=Р (R > N) = f fN (х) [ 1 _ Fr (х)] dx = Г fR (х) Fff (X) ах, (1.9) б . о 11
Рис. 1 8. К определению надеж- ности по равномерным законам распределения гДе fr fn{x) — плотности распределения соответственно несу- щей способности элемента и внешних нагрузок/>(х) FN(x) — функции распределения соответственно несущей способности эле- мента и внешних нагрузок (рис. 1.6 и 1.7). На рис. 1.6 представле- ны геометрические построения, связанные с определением надеж- оо ности по формуле Н= fN(x} [1 — FR(x)\dx,% на рис. 1.7 —гео- 6 метрические построения, связанные с определением надежности по оо формуле Н= J* fn(x)FN(x)dx. 6 Какую формулу удобнее использовать в расчетах, укажут ис- ходные данные, которыми располагает инженер. Числовая величина надежности может рассчитываться одним из следующих методов. 1. Теоретически, если приведенные выше формулы могут быть решены в конечном виде или если можно воспользоваться табли- цами или ЭВМ для расчета интегралов от рассматриваемых плот- ностей распределения. Пример 1.1. Пусть случайные величины R и N распределены равномерно на отрезке 0—1 (рис. 1.8) .и fR (х) == fN (х) • Тогда имеем ОО 1 (' ( X2 1 Н = fR{x)FN(x)dx= \ \-x-dx = — о О о 1 2 ' 2. Методам линеаризации функций, от которых зависит надеж- ность элемента. Метод приближенный, позволяющий вычислить лишь числовые характеристики функции по числовым характерис- тикам аргументов. Определить закон распределения функции при этом нельзя. Приходится принимать рабочую гипотезу о том, что функция надежности (в данном случае или композиционная слу- чайная величина, или соотносительная случайная величина) имеет тот или иной закон распределения (чаще всего нормальный). Пример 1.2. Пусть соотносительная случайная величина имеет вид = <р (ав, S, N), где ов, S, N — случайные величины. Тогда линеа- ризация ее приводит к виду 12
(d<₽ \ ( \ ( dy\ + {S~mS}+ \d^]mx{N-m^ Назначив закон распределения для можно приближенно решить задачу определения надежности элемента. 3. Методом статистических испытаний .на ЭВМ (методом Монте- Карло). В ЭВМ вводятся законы распределения случайных вели- чин Ов, 5, N и их числовые характеристики. В пропрамГме организу- ется цикл по определению случайных реализаций указанных вели- чин. С этими, реализациями на каждом шаге цикла выполняются действия, предусмотренные функциональной зависимостью, реали- зуемой на ЭВМ ^или ’ или Z=aBS—Af). В результате по- лучается случайная реализация или g, или Z. Набрав необходимое количество таких реализаций (определяемое согласно требуемой точности) и сравнив g с 1 или Z с О, определяют оценку надежно- сти элемента по формуле H^m/n, где т — число шагов в цикле (число статистических испытаний). Пример 1.3. Пусть R и А— случайные величины, распределенные по нор- мальному закону. Пусть математические ожидания их и дисперсии одинакю1вы и будут — mN = 10; D2# = D2N ~ 1. Тогда из общих соображений очевидно, что H=Pi(R>A)=0,5. Определим методом статистических испытаний на ЭВМ H = P(Z>0), где Z=R—N; т z = D2Z = D2# 4- число испытаний — 250. Программа на АЛГОЛ-60 может иметь вид: begin integer i, К, М; real В, X, Z, Н; array R, N [1: 250]; М :=0; Р 1147 (В); for i :=1 ster 1 until 250 do begin P 1141 (В, X); R [i]: = X 4- Ю; • ' P 1141 (В, X); N[K]: = X 4-10; Z : = R [i] - N [K]; if Z > 0 then M : = M 4- 1; if i = 250 then begin H : = M | 250; P 1041 (H) end end end, В результате расчета .получена надежность Н = 0,532. Эта величина сущест- венно отличается от теоретического значения надежности (Н=0,5). Объясняется это сравнительно небольшим значением числа статистических испытаний (п= =250). Впоследствии число статистических испытаний было увеличено до 1250. Тогда надежность из эксперимента приняла значение Н = 0,5152. При расчете надежности по формуле Н = Р.(£> 1) программа будет такой же, как и приведенная выше, за исключением оператора вычисления Z, который те- перь примет вид Z: = R[i]/N[K]. Надежность элемента в этом случае при числе статистических испытаний /г=250 равнялась Н =0,532. >В том случае, когда число испытаний было увеличено до 1250, значение на- дежности стало по расчету Н =.0,51152. 4. Обычно надежность 'кон1СТ1ру'кц1ии элемента имеет большую величину, в связи с чем число статистических экспериментов цри 13
приемлемой точности расчета оказывается большим. Большим ста- новится и время расчета на ЭВМ. В этом случае используют модифицированный метод статисти- ческих испытаний. При этом методе в каждом испытании фикси- руется величина g (или Z). Полученные значения величины разби- ваются на разряды, строится гистограмма распределения, опреде- ляется теоретический закон распределения по гистограмме с при- менением методов математической статистики и уже по теорети- ческому закону распределения определяется аналитически вероят- ность отказа элементов. Этот метод является более приближенным, но всегда дающим конечный результат уже при 200—'250 статистических испытаний. Можно указать на следующие особенности расчета надежности элемента механических частей конструкции. Расчет надежности элемента производится на этапе проектиро- вания совместно с расчетом конструкции на прочность. Формулы расчета на прочность не ревизуются, т. е. принимаются такими, какими они получены. В формулах расчета на прочность все вели- чины принимаются вероятностными. В этом случае для получения числовых результатов необходимо применить методы теории веро- ятностей. Если несущая способность конструкции и действующая на нее нагрузка рассматриваются как случайные величины, то рас- четные случаи нагружения конструкции принимаются такими же, как и для расчета на прочность. Принимается также, что несущая способность и внешняя нагрузка имеют область изменения от 0 до оо. Несущая способность конструкции не может быть меньше нуля. Больше нуля несущая способность может быть’ любой. К сожале- нию, нельзя указать точную правую границу, больше которой не- сущая способность быть не может. Поэтому считают, что правая граница несущей способности находится в бесконечности. Принимается, что и действующая нагрузка имеет правую верх- нюю границу, уходящую в бесконечность, а левую нижнюю гра- ницу, расположенную в нуле. Хотя при расчете на прочность сжи- мающая сила считается отрицательной, однако при расчете на- дежности. она принимается за положительную величину. 1.1.3. Числовое представление надежности элемента Вероятность безотказной работы элемента может измеряться числом Н, изменяющимся от 0 до 1. Иногда надежность, близкую к единице, измеряют в логариф- мических единицах (белах), определяемых по формуле н6=—ig(i—H)=ig—Ц-. В расчетах, основанных на гипотезе о нормальности законов распределения, иногда пользуются гауссовым показателем надеж- ности Нт, определяемым по формуле- Н7=--£=/7* *(Н). 14
В качестве^ примера представим несколько значений надежно- сти, выраженных в различных показателях: И \о,9 0,99 0,999 0,94 0,95 0,9б Нб \ 2 3 4 5 6 1,28 2,33 3,1 3,71 4,26 4,75 1.1.4. Расчет надежности по таблицам нормального закона распределения Иногда при расчете надежности элементов приходится пользо- ваться таблицами нормального закона распределения. Имеется семь различных таблиц нормального закона распределения. Рас- смотрим метод расчета надежности при использовании, например, "таблицы нормированного нормального распределения, рассчиты- ' х t2 1 (* 2 ваемой по формуле F* ()л — \ е dt, у 2л J — оо .где принятые обозначения указаны на рис. 1.9. Имеем . F*(-oo)=0; F*(0)=-i-; F*(+oo)=l; F*(-x)=l-F*(x). Вероятность попадания случайной величины X на отрезок (а, ₽ $) определяется из соотношения />(а<Л'<₽)=: f (x)dx. а (х-тх)* 1 2D2 Пусть /(х) =-----тт=ге х , где пгк—математическое ожидание; у 2л ^—среднеквадратичное отклонение. Тогда (х—тп )2 ₽-----#— 1 1 2D2 ' Лх- Заменим переменные -——=t. Тогда dx—Dxdt', х—а, t=a ~тх ; Dx Dx Dx Воспользуемся теоремой о разбиении интеграла (для любых а, Ь, с Ь с Ь\ имеем J=J -|- j |, теоремой о перестановке пределов интеграла а а с / I ь а\ I для любых а и в имеем j= —f I, положим с — — оо. Получим Р— т р—т ^Х С e~^dt У 2я J 15
Рис. 1.9. График/ плотности нор>м'иро<ван1Н'01го / норм алчно- го закона распределения Тогда, используя полученный результат, можем найти F(x) = P(^<x) = P(-oo<X<x) = F* ; \ / H = P(Z>0) = P(0<Z<m) = l-= ; \ Dz J \DZI H=P(5>l)=P(l<£<oo)=l-F*(^-^)=F* \ / Для остальных видов таблиц необходимо выполнить аналогичные преобразования и в результате получить расчетные формулы, от- личные от выведенных, или воспользоваться имеющимися форму- лами перехода от одной таблицы к другой. Пользуясь таблицами нормального закона распределения, сле- дует иметь в виду тот факт, что по нормальному закону случайная величина имеет область изменения (—оо, оо). Случайные величины R—несущая способность элемента и N — действующие нагрузки имеют область изменения (0, оо). Не учитывать этот факт нельзя, так как это может привести иногда к абсурдным выводам. Так, если воспользоваться формулой (1.*Ь0), положить внешнюю нагрузку, действующую на элемент, равной ну- (Ш \ А / \ J = F* —- ) 1 при, условии, Dz / \ dr / что, несущая способность элемента является случайной величиной. Таким образом, ненагруженный элемент имеет надежность, не равную 1. Это неправильное заключение получено из-за того, что не было учтено усечение в нуле нормального закона распределения несущей способности элемента. 1.1.5. Учет усечения законов распределения несущей способности элементов и действующей нагрузки Пирозамки, баллоны высокого давления, топливные баки и т. д. после изготовления опрессовываются жидкостью до определенно- го давления. Изделия, не выдержавшие этого давления, отбрако- 16
Рис. 1.10. График учета усечения законов распределения Рис. 1.11. Усеченное и неу-се- ченное равномерное распре- деление вываются, а в жсплуата-цию поступают те изделия, которые выдер- живают ompeocoBiKy без разрушения. В связи с этим несущая спо- собность таких изделий будет не меньше величины опрессовки — закон распределения несущей способности будет усечен в точке опрессовки. Учет усечения слева закона распределения несущей способно- сти при расчете надежности приводит к увеличению надежности по сравнению с тем случаем, когда усечение не учитывается. Соотношения для плотности распределения усеченного /яус(х) и неусеченного законов распределения имеют вид f J *УС V 7 1 _ Д где Ад — параметр, связанный с усечением закона распределения несущей способности, определяемый по формуле о Здесь Хус — точка усечения закона несущей способности. Вывод уравнений для расчета надежности, учитывающих усече- нйе законов распределения как несущей способности, так и дейст- вующих нагрузок, производится из тех же соотношений, что и вы- вод зависимости Р(Х>У), а именно (рис. 1.10): р (* > Г)=Р ((X, У) с= L) - [ С f (х, у) dxdy = [ [/i (*) /2 {y)dxdy, (L) (L) (Ml) так как X и Y рассматриваются независимыми. Их законы рас- пределения могут быть как усеченными, так и неусеченными, что отразится лишь на конфигурации области L. Часто бывают извест- ны именно HeiyceneiHiHbie законы распределения случайных величин. Расчеты производить бывает удобнее с неусеченными законами 17 КРАСНОЯРСКАЯ I КРАГ.□Л Я I
рас1П'ределе1Ния. Тогда представим = Л„(9)=^М 7»ус £ус где дх=] /1(х)дГх; Д/,= 1 fztlfidy, хус, уус—левосторонние усе- 0 о чения соответствующих законов распределения; h(x), fz(y) —со- ответствующие неусеченные законы распределения. Тогда формула (il.ll) может быть переписана так: Р(Х>К) = ff /1 (*) f^ldxdy=-------------\ (/1(.г) 'i fz(y)dy}dx= П 1-Дх 1-Д₽ (1—дж)(1—д^) J Г1к v (^ус) -Гус Уус ' оо = ——ГТЯ—гт\ (1 — Ах) (1 “ &у) J хус Заменив соответственно обозначения переменных, получим Н=Р (₽ > N)=——\ fR (X) [F„ (х) - FN (ЛГус)] dx. I1 ^Д1 Д N) % ^yc (1- 12) Пример 1.4. Пусть и несущая способность, и внешние нагрузки распределены раино-мерно на отрезке 0—/, как показано на |рис. 1.11. Будем считать, что в этом случае законы не усечены, тогда будет надежность ОО 1 Н = Р (R > N) = fR(X) Fn (x)dx = О о В том случае, когда равномерные законы распределения рассматриваются на от- резке 112—/, будем считать, что они усечены в точке 1/2. Тогда что подтверждает правильность формулы (’1.L2). Из формулы (-1.1'2) легко получить сюютношени-е при усечении слева только закона несущей способности. Тоода А^=0, ^(^уС)=0 и формула будет иметь вид оо H=P(/?>7V)=—\ fR{x)FN{x)dx. (1.13) Ус Пример 1.5. Пусть в тючке lj2 усечен закон распределения несущей способ- ности (см. рис. 1.11). Тогда получим 1 Г г*2 I1 3 Н = Р(Л>^ = ^---Г p-x-dx =2—ji/2 = T. i-yv*2 18
Этта же величина получается и тодшл когда к рассматриваемым законам приме- няются обычные формулы расчета. Применив теорему разбиения интеграла и теорему перемены пределов, получим из (113) 1 Гг Гус H=s j_A \/R^)FN(x)dx-^ fR(x)FN(x)dx Я Lo о -------[Нйу-Рд I, 1 ---д L ну ^ycJ я сю где Нну= j" f R(x)FN[x)dx—надежность при неусеченных законах о распределения; P/?yc= I /r (*) FN (х) dx—вероятность. о Очевидно, что в рассматриваемом случае Н>Нну. Если случайные величины 7? и N распределены нормально, то Нну=Г* mR~mN \ . 1-4+^ I' рвгс= /» W pn W to ® F„ (;t„i ’ fe (x) dx — 0 0 =w(V4 \ R f где '^(Xcp) — среднее значение функции закона распределения внешней напрузки. 1.2. НАДЕЖНОСТЬ УЗЛОВ МЕХАНИЧЕСКИХ ЧАСТЕЙ КОНСТРУКЦИИ Надежность узла как системы элементов зависит от величины надежности элементов, образующих узел, от метода соединения элементов, от зависимости элементов между собой в смысле на- дежности, от предельных состояний, в которых может находиться узел (рис. 1.12). Узел может состоять из элементов, соединенных или последо- вательно, или параллельно, или смешанно. Как соединены элемен- ты, следует определять по приведенным ниже правилам. Чтобы элементы были соединены последовательно, необходи- мо^ достаточно1 безотказной работы всех элементов для безотказ- ной работы узла, т. е. п ry3=n/o (1-14) Уиз, — случайные события, состоящие в том, что не отказал соответственно уз,ел, l-й элемент. 19*
Надежность узла Рис. 1.12. Зависимость надеж,но1с'пи1 узла от различных факторов Есть и второе равнозначное определение: чтобы элементы бы- ли соединены последовательно, необходимо "и достаточно отказа одного элемента для отказа всего узла, т. е. п Qy3=UiQp (1-15) где Qy3, Qi — случайные события, состоящие в том, что отказал cooTiBeTicTB-eiHiHo узел, Лй элемент. Чтобы элементы были соединены параллельно, необходимо и достаточно отказа всех элементов для отказа узла, т. е. п Qya^rrQ,- (1-16) Есть и второе определение: чтобы элементы были соединены параллельно, необходимо и достаточно ,нер нарушения хотя бы од- ного элемента для исправной работы всего узла, г. ,е. п Y уз= U Yi- (1-17) Z = 1 Узлом из смешанно соединенных элементов называется такой узел, в котором имеются элементы, соединенные ка<к последовательно, так и параллельно-. Конструктивные элементы, соединенные в узел, могут быть в смысле надежности: 1) независимыми; 2) зависимыми по коэффи- циенту корреляции; 3) зависимыми по отказу конструктивных эле- ментов. Два элемента называются независимыми в смысле надежно- сти, если для них выполняется равенство или PiY. П Y2) = P{Y^P{Y^ (1.19) 20
где Qi и Q2 — случайные события, состоящие в том, что отказал со- ответственно первый, второй эле- менты; Уь У2 — случайные собы- тия, состоящие в том, что не от казал соответственно первый, второй элементы. Для независимости в совокуп- ности при и>2 элементов тре- буется не только попарная неза- висимость, но также и независи- мость при всех сочетаниях их k^n. Элементы в смысле надеж- ности будут зависимыми по ко- эффициенту корреляции тогда, когда отличны от нуля или корреляционные функции (гг, (/1, *2)#-0 или г^, или коэффициенты корреляции {rZlzt 0 или rWs ф 0)- Это наб- Рис. 1.13. К за,висим ости эле мен- то'В по коэффициенту корреляции Рис/1.14. К зависимости по отказу конструктивных элементов и первого и второго людается в том случае, когда в композиционные случайные функ- ции .(композиционные случайные величины) элемента входят одни и те же случайные процессы (величины), на- пример, внешние нагрузки. Пример 1.6. Пусть два элемента 1 и 2, имеющие несущую способность /?1 и #2, соединены последовательно и на них действует одна сила N (рис. 1.13). Тог- да композиционные случайные величины для этих элементов запишутся в виде —-/V; Z2 = /?2—AZ. Момент корреляции между двумя композиционными слу- чайными величинами = A4[(Zi — mz^Z2 — . Коэффициент корреляции г - _ .Зависимость по отказу KOBCTpyiKTiiiBiHbix элементов наблюдается тогда, когда при отказе любого элемента иагрузка, воспринимае- мая до этого этим элементом, перераспределяется на неотказав- шие элементы и изменяет их надежность. Пример 1.7. На рис. 1.14 два элемента 1, 2 соединены параллельно. На узел из двух элементов действует одна сила N, которая воспринимается двумя эле- ментами. Каждый элемент воспринимает такую часть нагрузки, кагор ан пропор- циональна его жесткости (при одинаковом увеличении длины), т. е. AZi —A/AZ; N2 =- K2N; Ki = ; K2 = F ’ 21
Eiy E2— модуль упругости соответственно первого, второго элемента; Si, S2— площадь поперечного сечения соответственно' первого,, второго элемента. При от- казе, например, первого элемента, вся сила, действующая на узел, догружает вто- рой элемент. Нагрузка на второй элемент увеличивается от N2 до N, а надеж- ность соответственно уменьшается. Таким образом, отказ одного элемента влияет на величину отказа другого элемента. В общем случае существуют следующие предельные состояния: по прочности, устойчивости., жесткости, усталостной прочности, длительной прочности, ползучести, акустической прочности, герме- тичности и т. д. В каждом предельном состоянии, в свою очередь, разрушения узла могут быть нескольких видов. Так, в предельном состоянии по прочности разрушение может быть от нормальных напряжений и от касательных напряжений. В общем случае каждый узел может находиться во всех пре- дельных состояниях, только разрушение его в разных предельных состояниях имеет различную вероятность. 1.3. НАДЕЖНОСТЬ УЗЛОВ ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 1.3.1. Методы расчета надежности Надежность узлов из последовательно соединенных элементов определяется как вероятность выполнения для многомерного слу- z чМйного процесса соотношения или Нуз(/)=Р ..... , (Ш> 1Д Нуз(/) = р ... , W)>1/ (1.20) (1.21) где —функции .работоспособности' l-го элемента. Если элементы независимы в смысле надежности, то выраже- ния (1.20) и (1.21) принимают вид Нуз (/) = Р (Zt (/) > 0)... Р (Zn (/) > 0); Нуз(/)=Р(?1)(/)>1)...Р(^(/)>1). В общем случае точное решение отсутствует, так как недоста- точно хорошо разработана методика определения вероятности выброса нестационарного случайного процесса за заданный уро- вень. Приближенно решение находят при следующих допущениях. 1. Каждый случайный процесс заменяется многомерной случай- ной величиной и поэтому рассматривается система многомерных случайных величин. Надежность тогда выражается формулами: 22
• - (ZM>0, . . . Ну8(/г) = Р ......... \Zn Ы > О или Нуз(п)=Р Ч« («л) > 1 где Z{(rti), .соответствующие многомерные случайные ве- личины. , Используя многомерную плотность распределения, можно за- писать Нуз (д)=Р (Zi (Л1) > 0,..., Z„ («„) > 0)=Р (Zn > о,..., zln, > о,... • • Zni0,.• •, Zппп 0)= 1... f f (zu>..., . J 0 J •••’ ^nnn)dz\\...dz\n\...dz„i..-dznnn (1.22) или Hy3(«)=P($1(«i)>l,...|„(na)>l)=P(?1i>l,..., llnl> 1,... • • • » £nl > !»•••> %nnn > 1) = J'' ‘ J f (^11’• • • ’ £1л1’ • • •' $«!’•••’ ?ллл) ^£11... . </$„1...(/^ллЛ. (1. 23) 2. Каждый случайный процесс в некоторых частных случаях можно точно заменить при расчете надежности одномерной слу- чайной величиной, образованной из сечения случайного процесса в расчетном случае нагружения. В этом случае формулы примут следующий вид: a) Hy3=P(Z1>0,...,Z„>0)=f.” J о или Ну8=Р($1> /&,...,|11)flfe1...^u. (1.25) 1 J Соотношения (1.24), (1.25) дают возможность определить на- дежность узла по формулам многомерного распределения компо- зиционных случайных величин или соотносительных случайных ве- личин с учетом зависимости их по коэффициенту корреляции. Если элементы независимы в смысле надежности, то формулы (L24), (1.25) примут вид нУз=Пр(^>°)=П н<- /=1 /=1 0 /=1 или Яу»=ПР&>1)=П \f^d^ = пн< / = 1 ' Z=1 1 Z=1 [/(г1,...,гл)^1...б/гл (1.24) 23
Рис. 1.15. График плотно- сти распределения дейст- вующей нагрузки при ко- эффициенте корреляции, равном I Рис. 1.1(5. Равномерное распреде- ление несущей способности эле- ментов и действующей нагрузки Пример 1.8. Пусть в узле будет два элемента, соединенных последовательно, независимых между собой в смысле надежности и имеющих надежность Hi = 1 111 = Н2 =х —. Тогда надежность узла будет Ну3ч— HiH2 = ~ — = = 0,25. При учете зависимости для узла из двух элементов формула (1.24) примет вид со Нуз= J... J / (Z!, z2) dzxdz2. Пример 1.9. Пусть каждый элемент имеет надежность Hi = H2=1/2 и коэф- фициент корреляции, между Zi и Z2 будет 1> что соответствует случаю, например, когда закон распределения М (х) действующей нагрузки симметричен, а несущая способность каждого элемента Ri, R2 — величина детерминирования (рис. 1.15). Тогда при нормальном законе распределения по [25] имеем arcsin rZiZi 2л 1 1 arcsin 1 2"Т+ 2л 1 1 _1_ 4 + 4 = 2 ’ б) Расчет надежности узла можно производить по условной ве- роятности безотказной работы элементов. Для узла имеем п I п \ Л,= П Г,.; Нуз=Р(Куз)=Р(П Y-t = / = 1 \/ = 1 / / In~1 \ =P(Yi)P(Y2/Yl)...PIYn I (] Kz (1.26) \ I i=l / I In~L \ где H2v=P(Y2/Y1); H„ff=P(Y„/ Kz) . Если элементы независимы в смысле надежности, то (п \ п п rz = Р (Л) Р (Г2)... Р (Г „)=п Hz /=1 / i=l п и формула (1. 26) примет вид Нуз= f] Если к тому же элемен- 24
ты имеют 0|ДИ1на1К01вую (надежность, т. е. Нг—Н, то формула надеж- ности узла из последовательно соединенных элементов будет Нуз=,Нп. Для узла из двух элементов формула (1.26) прижмет вид Ну,=Р(Гу8)=Р(К1 n Y^P^P^/Y^P^P^/Y^. Пример 1.10. Пусть рассматриваемая ситуация соответствует рис. 1.15. Тогда Н1==Н2==-^- и Р (¥%] KJ = Р (К1/У2) = 1» а надежность узла Нуз = я=Р(Г1)Р(Г2/К1)=-у.1== у. в) Иногда применима модель цепи, ковда элементы по несущей способности независимы, но на все элементы действует одна, сила N. Тогда НУз=Р(А>га1п>Л0= J fN(x) [1 - ^mla(x)] dx = о ОО П = рИ*)П [1-FRlW\dx, (1.27) О Z-1 где —функция распределения случайной величины /?т1п= =min (J?j, /?2> • • •, РпУ-> pRt (*) — функция распределения случайной величины Rt. Пример 1.11. Пусть рассматривается узел, состоящий из двук элементов, соединенных последовательно. Несущая способность каждого элемента и дейст- вующая на них растя1пивающа(я сила являются случайными величинами, распре- деленными равномерно .на отрезке 0—1 (рис. 1.16). Тогда можно не рассчитывать коэффициент корреляции, хотя его и не трудно рассчитать (он равен 1/2), а вос- пользоваться формулой .модели цепи, которая примет вид ОО 1 Нуз = J /х ~ Wl2 dx = J1 [1 - Л-1?' dx = г) Имеется ряд приближенных формул для расчета надежно- сти узла из последовательно соединенных элементов. Приведем лишь приближенную формулу для расчета надежности по модели Цепи: п Нуз Н/ Z = 1 дающую точный результат /цр'И =/1/2 или при Нг=4. 1 Пример 1.12^. При условии предыдущего примера, где Н1=Я2=1/2, имеем Нуз = + —-(2-1) = 2 + 2-1=3; Яуз=1/3. Результат получился тот же, что ц .при расчете по' точной формуле модели цепи. 25
д) Расчет надежности1 узла из последовательно соединенных элементов можно выполнить на ЭВМ методом статистических ис- пытаний. Идея метода состоит в том, что задаются законы /распределения и параметры случайных величин ов, S, N для каждого элемента отсека. По найденным реализациям случайных величин произво- дятся функциональные преобразования Полученные данные разбиваются на группы со столькими зна- чениями Zi в каждой группе, сколько элементов в узле. Зависи- мость между элементами в смысле надежности должна учитывать- ся при составлении .программы так, чтобы реализации общих слу- чайных величин, входящих в Z; элементов, были одними и теми же для всех элементов узла. Данные каждого элемента узла проверяются на выполнение неравенства Zi>0, (£i>d), что- классифицируется как безотказ- ность узлов в данном эксперименте. Такие эксперименты повторя- ются n-раз и по их результатам подсчитывается частота отсутст- вия отказов узла, принимаемая за оценку надежности. е) Когда, надежность узла велика, требуется произвести много статистических испытаний, чтобы получить хотя бы- один отказ конструкции. В противном случае точечная оценка будет равна единице, и придется пользоваться интервальной оценкой, что значи- тельно уменьшает величину рассчитываемой надежности. Чтобы найти в этом случае точечную оценку надежности, сле- дует модифицировать метод статистических испытаний: фиксиро- вать не отказ (или отказ) узла, а минимальную величину Z* в каждом узле. Тогда достаточно 200—250 статистических испыта- ний, чтобы построить гистограмму плотности распределения (Д-)тш. С помощью методов математической статистики можно оп- ределить теоретический закон распределения и по нему найти оценку надежности узла. 1.3.2. Влияние зависимости между элементами на надежность узла -Как видно из приведенных примеров, учет зависимости между элементами по надежности приводит к увеличению надежности уз- ла. Это наблюдается лишь при положительной зависимости, когда >0 (или г^. >0), где rz,Zj— коэффициент корреляции между Z{ и Zj. Причина такого увеличения надежности объясняется тео- ремой: при положительной зависимости между Zi и Zj будет P^Yi/Yj) Тогда для узда, например из двух элементов, по- лучим Нуз=Р(Ууз)=Р(У1П У2)=Р(У1)Р(У2/У1). Но Р|(У1)Р|(У2/У1)>Р|(У1)Р(У2), где левая часть неравенства есть на- дежность узла из зависимых элементов, а правая часть — из эле- ментов, когда зависимостью пренебрегают. Наибольшая надежность узла будет при rz{z.= I. Она будет равна надежности одного самого слабого элемента при любом чис- ле элементов, соединенных последовательно в узел. 26
При отрицательной зависимости между элементами О или надежность узла из последовательно соединенных элемен- тов уменьшается при учете этой зависимости. Причина уменьше- ния объясняется теоремой: при отрицательной зависимости меж- ду ZinZj будет P(Yi/Yj)<P(Yi). Наименьшая надежность узла будет при гг.г.=—1. Надежность в этом случае определяется по п формуле Нуз= Ht — (п — 1), где п—число элементов в узле; i=i Н» — надежность i-ro элемента. 1.3.3. Замена случайного процесса одномерной случайной величиной При замене случайного процесса системой случайных величин значительно сокращается объем необходимых исходных данных для расчета и сам расчет надежности элемента значительно упро- щается. Но в большинстве .случаев такая замена приводит к приб- лиженным расчетам. В некоторых частных случаях можно полу- чить точные результаты даже при замене одномерной случайной величиной всего случайного процесса,. Заменять одномерной случайной величиной можно не только ста- ционарные процессы, но и нестационарные, для которых такая за- • мена может оказаться наиболее удобным примером получения числовых результатов. Рассмотрим несколько случаев такой воз- можной замены. 1. Пусть нестационарный случайный процесс можно хотя бы приближенно представить в виде элементарной случайной функ- ции Z(t)—X^(t), где X— случайная величина; <р(/) —неслучай- ная положительная функция времени (как показывают рассужде- ния, приведенные ниже, ее можно и не определять, но следует лишь предположить, что она существует). Следует помнить, что любой случайный процесс можно представить в виде канонического разложения с помощью элементарных функций. Корреляционная функция такой функции будет (fl) где Dx2 — дисперсия величины X. Нормированная корреляционная функция при однозначных не- случайных функциях будет _____=1. О2(^Ог(12) |¥(f1)|Dx|Dx|?(f2)|£>x В этом случае надежность, определенная по .случайному про- цессу на отрезке от О до t, равна надежности, определенной по од- ному сечению этого процесса, сечению, доставляющему минималь- ную вероятность превышения случайной величины над нулевым уровнем (в момент времени /р, рис. 1.17, а). Если рассматривать время до момента /р, то надежность по процесс)' будет уменыпать- 27
Рис. 1.17. Надежность при элементарной случайной функции' ся, приближаясь к надежности, определяемой по сечению с мини- мальной вероятностью. После же времени надежность по про- цессу не уменьшается, а остается неизменной от ./р до ^к, хотя при этом в .каждом сечении процесса вероятность будет расти (см. рис. 1.17, б). Изложенное выше получено при замене случайного процесса многомерной случайной величиной, образованной из сечений про- цесса. Рассмотрим сначала двумерную случайную величину (ZlfZ2), заменяющую весь процесс. Надежность по этой двумерной случай- ной величине будет определяться согласно формуле Н = Р(Д>ОГ ^2>0), а при применении случайных событий — по формуле P(Yi(]Y2)=P(Y1)P(<Y2/Yl)=P(Y2)P(Yl/Y2)) где П и У2 - случай- ные события, состоящие в том, что соответственно Zt>0 и Z2>0. В связи с тем, что гДЛ, t2) =1 и P(Y2)>P(Yi)t имеем Р|(У2/У1)=1 (рис. 1.18) и торда Н=Р(У!). Итак, какую бы пару сечений этого процесса ни рассматривать, всегда надежность будет определяться сечением, имеющим меньшую вероятность превыше- ния нулевого уровня в рассматриваемом случае. Увеличим число сечений процесса до п>2 и рассмотрим я-мер- ную случайную величину (Zb Z2,..., Zn) такую, что P(Z(tx)>Q) < <P,(Z(/2)>0)< ... <P(Z(/n)>0). Тогда U = P(Yl(]Y2n...^Y„) = P(Yl)P(Y2iY1)...P[Y„l (1.28). так как Р(Г2,У1)=1; P(Y n/Y,П Y2f) • • • A U = 1. Увеличивая число и, -будем все больше приближаться к рас- сматриваемому процессу. Но даже при п=оо все равно получим выражение (1.28), т, е. надежность будет определяться сечением, имеющим минимальное значение невыброса. Следовательно, если найдено это сечение или приближенно назначено, как расчетный случай нагружения конструкции, то задача для этого процесса ре-' шена. В этом случае упрощение в расчетах получилось значительным без всякого уменьшения точности. Чтобы понять,' почему- ^(^/У1) = 1 npH^^2=l и Р(Г2)>Р(У1), достаточно ‘ рассмот- 28
реть на рис. 1.18, на котором изображена линейная зависимость между случайными ве- личинами Z1 и Z2(rZxZ* — 1) и представлен слу- чай, когда Из рис. 1.18 видно, что при Zi>0 всегда Z2>0, т. е. Р(У2\У\) = = P(Z2>0/Zi>0) = l. 2. Случай расчета надежности по одному сечению случайного процесса можно распро- странить и на процессы, изображенные на рис. 1.19. У этих процессов априорно известно (или назначено), что минимальное значение реализации Z(7) всегда наступает в одном и том же сечении процесса (см. рис.' 1.19, а). Рис. 1.18. Линейная зависимость между случайными величи- нами' Zi <и Z2 В этом случае это сечение точно определяет величину надежности для всего процесса за время Конечно, при таких процессах отказы могут наступить и раньше ?р, но никогда не наступят позже расчетного случая напружения. В этом случае также надежность по процессу уменьшается по времени лишь ют /=0 до t—t^ а затем ют t=tv дю /=/к остается неизменной (см. рис. 1.19, б), хотя это и противоре- чит основному положению, что надежность со временем уменьша- ется. Это кажущееся противоречие объяснимо той идеальной мо- делью, которая рассматривается в расчете. 3. К этому же случаю можно отнести и тот, когда известны ми- нимальные значения реализаций случайного процесса, если даже эти минимальные значения наступают в разное время течения про- цесса (рис. 1.20). Зная минимальные значения реализаций процес- са gimm, можно перейти от процесса к случайной величине |тш, представляющей собой минимальное значение функции работоспо- собности. Такая одномерная случайная величина, плотность рас- пределения которой строится по. законам математической статисти- ки, дает возможность приближенно определять . надежность как вероятность того, что случайная величина больше некоторого зна- чения. На рис. 1.20 представлены реализации соотносительной слу- чайной функции £(/) (см. рис. 1.20, а) и построен график плотно- сти распределения случайной величины gmm (см. рис. .1.20, б). Тюг- Рис. ид Случайный процесс, имеющий минимальное значение реа- лизации на одном расстоянии от начала координат 29
Рис. 1.20. Случайный процесс при известных минимальных зна-. чениях реализаций да (надежность определится по. формуле H = P,(gmin>ll). Такое поло- жение характерно для математического моделирования случайных процессов. В этом случае фиксируются минимальные значения функции работоспособности с помощью ЭВМ и с помощью же ЭВМ строится график распределения минимальных значений ординат процесса. 1.4. НАДЕЖНОСТЬ УЗЛОВ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Надежность узла из параллельно соединенных элементов опре- деляется по формулам /ZJ/XOA Нуз(^)=1 —Pi....... , 0<7</к (1.29) kz„(/)<0/ А РКЦ или Нузр)=1-Р .........I, (1.30) ч,Р)<1/ Если элементы независимы в смысле надежности, то .выражения (1.29) и ('1.-30) принимают вид Hy3(/)=l-/3(Z1(^)<0)...P(Zfl(/)<0) = l-nP(Zt.(/)<0) 1 = 1 (1.31) илиНуз(/)=1 -Р&(/)<!)...Р(Ш< 1)=1-ГР&0<1). (I-32) i-i Точное решение отсутствует, так как не разработана методика расчета вероятности выброса нестационарного случайного про- цесса за заданный уровень. Приближенное решение заключается в следующем. 1. Каждый случайный процесс заменяется многомерной случай- ной величиной и рассматривается уже система многомерных слу- чайных величин. 30
Надежность тогда выражается формулами: Нуз(«)=1-Р................ . (1.33) \Z„(n„)<0 / /^1(«1)< 1. \ или Нуз(/г)=1 — Р........... . (1.33) '?Л (»Я) < 1 ' Формулы (11.33) и (1.34) можно записать следующим образом: Нуз (п)= 1 - P(ZX (ях) < 0,..., Z„ («„) < 0)= 1 -Р (Zn < 0,... .... Zlni<0,..., Zni<0,..., Z„„n<0)=l-j...j f (гп,.'.,г1Я1,... •— оо • ••» ^п^***ч nn^• •d^'nnfi (1.35) или Hy3(n) — 1 -Pfe(^)< 1,...,ед/гл)< 1)=1-P($u< 1,... i r. . , £1^! !»•••> <C !>•••> ^ППп 1)= 1 * j* * * ’ • > Inn J ^u- • • • -din, • • -dlnn- (1.36) С помощью равенств (4.35) и (4.36) можно определить надеж.- ность узла по формулам многомерного распределения композици- онных (случайных величин (или соотносительных случайных вели- чин) с учетом зависимости их по коэффициенту корреляции. 2. В некоторых частных случаях случайный процесс можно точ- но заменить при расчете надежности одномерной случайной вели- чиной, образованной из сечения процесса в расчетном случае (на- гружения. а) Расчет надежности узла можно- рассчитывать по' формулам: Нуз=1 —P(Z1<O,..., Z„<0)=l —^...J f (z^...,z^dzv..dzn\ (1-37) Нуз=1-Р(К 1)=1-рр0й,...ЛЖ---^л- (1-38) Если можно принять, что элементы независимы между собой в смысле надежности, то формулы примут вид Нуз=1~П7э(г,.<0)=1-П [ f^dz-=\-П(1 — И) (1-39) i-l Z-1 -оо /=1 или Нуз=1-П P&Cl^l-fl [/(^)^=1-П (1-Н). Z = 1 z-1 О Z = 1 (1.40)' 31
Пример 1.13. Пусть n=.2; Hi — Н2 = 1/2 и элементы «независимы в смысле надежности. Тогда имеем _ Ну3 — 1 (1 Н)2 =1 1 ——- _ 0,75. i6) Расчет /надежности узла можно производить ino условной ве- роятности отказов .элементов. Для узла имеем Qy3= 1^ Q/; Р (Оуз)=Р (ftQ^P (Q0 Р^М-..p(Qn I pQ,) ; •/ / п~1 \ —Т Нуз= 1 - р (Qy3) = 1 - р (QJ р Ш • • • Р (Q„I n Qi) • ° / I п—\ \ Если элементы независимы, то P(Q2IQi) — Р(@2)> Р Qn П Qi )= \ / <=1 / i —P(Qn)- Тогда надежность узла может быть рассчитана по формуле Hy3=l-P(Qy3)=l-P(Q1)(P(Q2)...P(QJ=l-n(l-Hz), где Р№)=1-Н1; P(Q2)= 1 -Н2; P(Q„)=1-H„. Пример 1.14. Пусть п=2. Тогда формула (1.41) примет вид Нуз=* = l-^(Qy3) =T-Pi(Qi Л Q2) =l—P^P(QzlQi) = 1-P(Q2)P(Qi/Q2). Пусть элементы зависимы между собой в смысле надежности, так,- что ^(Qa/Qi) =Pi(QilQ2) ~ 1 и пусть Н1=Н2= 1/2. Тогда надежность узла будет / 1 \ 1 нУз = I - Р (Qi) Р (Q2/Q1) = 1 - Р (Q1) I = 1 — (I — но = 1 — 1 — — J . Сравнив полученный результат с результатом предыдущего примера, можно сделать вывод, что учет зависимости по 'коэффици- енту корреияции .при положительном его вначении уменьшает На- дежность узла из параллельно соединенных элементов. Надежность будет минимальной при = и будет равна надежностилод- ного элемента, имеющего наибольшую надежность. '• . При отрицательной зависимости между 'элементами надежность узла повышается но сравнению ,с тем случаем, когда такой зависи- мостью пренебрегают. Наибольшее значение надежности узла (Qyi дет при rZiZ.= — \ и будет равно 1. В предыдущих двух случаях подразумевалась такая схема наг?, ружения параллельно соединенных элементов, по которой при отка- зе одного элемента второй не догружался силой, и надежность его от этого не менялась. ,rinV6oe допущение, так как дейст- Для конструкции это слишк i Р^ого Э1Лемента вся воспринима-1 вующая на узел сила при отка че!Р0 |На,Д1ежность целого эле, ется другим целым элементом, • ЛЬ|НОй схемы нагружения мента значительно понижаете. ,ииИдНТу корреляции элементах даже при независимых по е любого элемента вероят- P(Qy3)^=^(Qi)Pl(Q2)-rra,K ыпХРяйотГХ«тань1 P(Qi) (или P(Q2j^. ность отказа другого П101ВЬ p/zi' / )), ,где Qilz — случайное событие; до величины ^(Qi/г) (или элемент при отказе второго состоящее в том, что откажет р 32
Рис. 1,21. Зависимость по отказу двух конст- руктивных элементов и восприятии первым элементом всей силы, действующей на узел; Q2/i — случайное со- бытие, заключающееся в отказе второго эле- мента при отказе первого и догружении’ второго элемента силой, воспринимаемой ранее первым элементом. в) В Случае зависимости по отказу кон- структивных элементов вероятность отка- за узла, например из двух независимых по коэффициенту корреляции элементов, опре- деляется по формуле полной вероятности <2уз=(Г1П(2Уз) U (Г2П<?Уз)и(ГзПСУз), где Г), Г2, Гз — несовместные гипотезы (рис. 1.21), Г) — отказал один 'элемент узла; Гг—отказали два элемента, узла; Гз — не от- казал ни один элемент узла. Имеем Р (Qy3)=Р (Г! П Qy3) + Р (Г2 П Qy3)+Р (Г3 П Qy3)=Р (ri) X X Р (Qy3/T\)+Р (Г2) Р (Qy3/Г2) + Р (Г3) Р (Qy3/Г3). Входящие в эту формулу соотношения будут Р (rt) = Р (QJ Р (Г2) + Р (Q2) Р (Г,); P(r2)=P(Q1nQ2)==P(Qi)P(Q2); P^^PiY^Y^P^P^)-, Р (Суз/Г0 = Р (Qy2) + Р (Q2/1) - Р (Q,) - Р (Q2); p(Q^t2)=v, ^(<Эуз/г3)=0. Подставив эти соотношения в формулу, получим Р (Qys)=Р (Qi) Р V 2)+Р Ш Р (У Л Р (Qi/г)+Р (Q2/1) - -/>(Qi)-/>(Q2)]+^(Qi)P(Q2).b 'Следовательно, надежность узла Нуз = 1 - Р (Qy3) = 1 - { Р (Qi) Р (Г2) + Р (Q2) Р (Г ,)1 Р (Qi/г) + 4- Р (Q2/1) - р Ш - р. (Q2)]+Р Ш Р (Q2)J- г) При расчете надежности узла с учетом зависимости как по отказу конструктивных элементов, так и по коэффициенту корреля- ции (гг;2;. у^О) применяется также формула полной вероятности. Преобразования остаются аналогичными, а именно: Qy3=(r1 n Qy3) и (Г2 П Qy3) и (Гз П Qy3); Р (Qy3) = Р (Гх) Р (Qy3/rt) + Р (Г2) Р ($уз^ + Р (Г3) Р (Qy3/r3)._ Входящие в эту формулу соотношения будут Р (Г2) = Р (Qx П Q2)=Р (Qi) Р (Q2/Qx); Р (Г3)=Р (П П Г2)=Р (Л) Р (К2/Г0; . 2 1340 33
. P (Qys/ri)=р (Q1/2)+Р (Q2/1) - р (Qi/Q2) - Р (Q2/Q1); ^(Qy3/r2)=i; ч ^(Qys/r3)=o. Подставляя эти соотношения в формулу, получим Р (Qy3)=I/3 (Q1) Р (Г2) 4- Р (Q2) р (^i)I (Q1/2)+Р (Q2/0 - - Р (Q1/Q2) - Р (Q2/Q1)]+Р (Q1) Р (Q2/Qi)- Надежность узла определится Нуз = 1 - Р (Qy3) = 1 - {[Р (Qi) Р (К2) + Р (Q2) Р (Г,)] [Р (Qi/2) + +Р (Q2/1) - Р (Qx/Q2) - р (Q2/Q1)]+Р (Qi) Р (Q2/Qi)}. Если рассматривать 'больше двух элементов в узле, рассуждения будут аналогичны. Число, .гипотез будет больше числа элементов на единицу. Ню, как и в предыдущих случаях, последняя по порядку гипотеза может не учитываться, так как при ней рассматриваемое событие невозможно. д) С помощью ЭВМ методом стастистичеоких испытаний можно решить задачу определения надежности узла из параллельно сое- диненных элементов. Программа должна быть составлена так, что- бы отказ любого элемента приводил к перераспределению силы между неотказавшими элементами и 'происходила их повторная проверка на отказ при увеличенной нагрузке. Если откажет еще какой-нибудь элемент, то внешнюю силу следует вновь перераспре- делить на неотказавшие элементы и опять их проверить на отказ. И так производить проверку либо до отсутствия отказа, либо до отказа последнего элемента в узле. Зависимость по коэффициенту корреляции в программе учитывается тем, что одинаковые случай- ные величины, входящие в функции надежности различных элемен- тов узла, определяются для одного узла один раз на 'Одном цикле программы. е) При большой надежности конструкции, когда отказы узлов не наблюдаются, метод статистических испытаний .может быть мо- дифицирован для сокращения машинного времени при расчетах. 1.5. НАДЕЖНОСТЬ УЗЛОВ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ, СОЕДИНЕННЫХ СМЕШАННО 1.5,1. Расчет надежности Пусть узел из элементов, соединенных смешанно, состоит из подузлов (ПО), сконструированных из последовательно и парал- лельно соединенных элементов, как показано на рис. <1.22. Надежность каждого из подузлов определяется по любому из- ложенному ранее методу. Труднее определить надежность всего узла. В общем шучае подузлы зависимы в смысле надежности как по коэффициенту корреляции, так и по отказу конструктивных элемен- тов. Но в общем случае точно определить зависимость подузлов по 31
Рис. 1.22. Узел из смешанно соединенных элементов коэффициенту корреляции не удается, потому что каж- дый подузел состоит из ряда элементов. И если для каждой пары элементов i и j любых подузлов ц и v 1 2 коэффициент корреляции rz^.zj между композицион- ^д ными величинами ZR- и может быть определен, то в целом для подузлов точно коэффициенты корреля- ции не могут быть определены. Дело в том, что для ----------- подузла в общем случае отсутствует понятие «несущей способности» в вероятностном аспекте. При детерми- 3 нированных величинах несущая способность подузла r Q есть произведение площади поперечного сечения на' допустимые напряжения наиболее слабого элемента ' подузла (например, при растяжении). При вероятно- стных же величинах принять несущую способность 4 слабейшего элемента за несущую способность подузла i невозможно, так как такая замена всего подузла од- н 7 ним элементом с точки зрения надежности не эквива- лентна. Да и априорно не известно, какой элемент более слабый. Правда в некоторых частных случаях можно определить несу- щую способность подузла и найти точное значение коэффициента корреляции, например, между композиционными случайными ве- личинами подузлон, и написать точную формулу для определения надежности всего узла из элементов, соединенных смешанно. Одним из распространенных частных случаев является такой, когда элементы в каждом .цодузле .соединены между собой последо- вательно и напружены так, что к ним можно применять модель це- пи: они независимы по несущим способностям и на них действует в каждом подузле одна и та же сила (на рис. 1.22 это именно и пред- ставлено для 2ПО). Тогда любой р,-й подузел заменяется по несу- щей способности таким одним приведенным элементом, несущая способностыкоторого R^ определяются по формуле 7?nix“inin #2,..Rn), где /?i, Rn — несущие способности соответственно первого, второго, n-го элементов, соединенных последовательно в под узел. Функция распределения несущей способности приведенного эле- мента FRna (х)=1 — П [1 — FR. (*)]» где ГЛ/(х)— функция рас- i=l праделения несущей способности Z-го элемента, входящего в ц-й подузел. При одинаковых несущих способностях элементов будет F# (х)= = 1—• [1—F(x)p. Композиционная случайная величина [*-го подуз> ла Znp.=/?„|х—7V,,., где N».—сила, действующая на [i-ft подузел. 2* 35
Зависимость по коэффициенту корреляции между ц-м и v-м под- узлами определяется величиной коэффициента корреляции Г? П1>. В общем же 'случае в качестве приближенной меры зависимости между подузлами можно принять усредненную величину коэффи- циентов корреляции между композиционными случайными величи- нами элементов рассматриваемых подузлов, т. е. где — коэффициент корреляции между композиционными величинами i-ro элемента ц-го подузла и J-го элемента v-ro подуз- ла; S — общее число коэффициентов корреляции между элемента- ми ц-го и v-ro подузла. 1.5.2. Методы определения коэффициентов корреляции В различных случаях расчета надежности узлов, состоящих из последовательно или параллельно соединенных элементов, зависи- мых в смысле надежности, необходимо' знать корреляционные и взаимно корреляционные функции для случайных процессов и ко- эффициенты корреляции между случайными величинами. Нормированная автокорреляционная и взаимно корреляционная функции между композиционными случайными функциями (соот- носительными случайными функциями) определяются по обычным правилам теории вероятностей [23]. Ниже рассмотрены методы определения коэффициентов корре- ляции. В общем случае коэффициент корреляции можно определить: 1) теоретически по точным формулам; 2) по приближенным формулам путем линеаризации функций; 3) методом статистиче- ских испытаний (Монте-Карло) на ЭВМ. Каждый из указанных методов удобно применять в определен- ных случаях. но с помощью их, если и не точно, то с любой степе- нью приближения .всегда можно определить коэффициент .корреля- ции между случайными величинами. 1. Ниже приводится метод теоретического расчета и некоторые примеры расчета коэффициента корреляции. Пусть ZX=RX-N; (1.43) Z2=R2-N, (1.44) где /?i, N—.случайные величины, независимые друг от друга. Момент корреляции KZlZ,=M[(Zl~ mZ1) (Z2—щг2)]=M [ZXZ2—Z2mzX—ZxmZ2 -|- mzXm&] = =M [ZXZ2] — M [Z2mzl] — M [Zxmz2] ф M [mzlmz2]=M [ZXZ2] — —mz2mzl—/йг1/пг2фmzXmz2=M [ZjZJ—mzXmz2. (1.45) 36
.Учитывая формулы (1.43), (1.44), запишем mzi=mRl — mN, mz2=tnR2 — mN\ Л4 [Z1Z2] = A1 [(/?! —^(/?2 —TV)] = = М [RXR2 - R.N - R2N-\-N2\ = M [ад2] - М [7?^] - - Ж[/?^] + Л1 [№]. Но так как Rv R2, N независимы, то 7И [/?1/?2]=ТИ [/?J М [/?2] = =mRxmR2- М {R^^MiRJMlN^mnmx, M[R2N]=M[/?2]ЛЦЛГ]= Значение M[JV2] определим из формулы D2n=M[(N —mN)2] = = M[N2- 2mNN -\-тк\=М [№] - 2mNM [AT] 4- M [»&] = M [№] - — mb. Откуда 7И[№]=/Пдг-|-£^г. Подставив полученные выражения в формулу (1.45), получим Kz1Zi=mRlmR2—mRlmN — mR2mN+tnR + D2N— — ^mRxmR2 — mRxmN—mR2mN^-inN)==D2N. Таким образом, момент корреляции равен дисперсии случайной величины, входящей в обе композиционные величины. Затем полу- чим г . Кг,г> _ ~ . DzPZi + d2n ]^z>R2 + d2n Очевидно, что если /?i = oBi5i, R2=^^2, оде crB1, оВ2, 5Ь S2 — неза- висимые случайные величины, то формулы (1,43), ,(1.44) примут вид Zi=o3lSi—N; Z2=gb2S2—N, а. коэффициент корреляции гг,2,= У m№l^Sl + mSl^aBl + ^l^Bl + + OTS2^aB2 + ^b2^S2 + ^ЛГ (1-46) ’Проделав аналогичные преобразования, получим коэффициен- ты корреляции для случайных величин, указанных ниже. Для случайных величин (1.47) Z2=R2-K2N, (1.48) где Ri, R2, N — независимые случайные величины; Kit К2 — величи- ны детерминированные. Коэффициент корреляции г ^2 + Kstfy Если величины Rt и R2 — детерминированные, то rZizt =1. 37
д.ля случайных величин Zi = 7<icfbS—TV; Z2=K^BS—N, где aBr TV — независимые 'Случайные (величины, a K\, Лг, 5 — детерминиро- ванные величины, коэффициент корреляции ^1К252^в + 2. Приближенное определение 'коэффициента корреляции осно- вано на линеаризации функций случайных величин. Пусть Zi=<p1(/?1, A), Z2=y2(R2, N), где /?2,//—независи- мые случайные величины. Момент корреляции KZiZi = M [(Zx — znZ1) (Z2 — тг,)]. Разложим в ряд Тейлора функцию <pi (7?ь N) около точки (tnR\„ mN), сохранив только члены первого порядка, а все высшие отбро- сив \v/\l jmx \OiN Jmx К полученной линейной функции применим способ определения числовых характеристик линейных функций. Получим mz^®(mR1> mN). Следовательно, Zx—mzi=(-^~] А+(4тй \dR\}mx \d7V )mx N—N — mN. Аналогично для Z2: mz2—^AmR2‘> mN^ \ dR2Jmx \ON Jmx Тогда (Z.-^.XZ,-^)-^ (5-1^ + \ (J IN lmX /фр2.\ Длг+рц рй уы. \dR\]rnx\dR2]mx \dR\ )mx\dN)тх \dRz jmx\dN ]mx Найдем математическое ожидание ют левой и правой части1 ра- венства. Математические ожидания ют (последних трех слагаемых равны нулю, поэтому получим Kzz=№A А/[(Хг2)]=рП 12 dN )тх \ dN )тх И Ц \ dN )тх (, dN )тх Коэффициент корреляции _ / \ / d?2\ DN Z1Z° \ dN тх dN тх D, D, \ /л.\ /и. ZI Дисперсия при линеаризации функции определяется D^M[(Zl-mzlY] = M\((^-'\ ^)21 = J^x \ dN Jmx ) J =л4/^Ц2 /?? । (—) У L\^rJmx 1 * Jmx \ dN Jrnx \ dN )mx j =pq2 £>2 d^n. \dR1Jmx R1^\dN jmx 38
Аналогично для Z2 имеем Buf>r а. \д%2]тх \dN Jmx Тогда коэффициент корреляции иримет ©ид / d?i \ ( d?2 \ D2 _____ \ \ N_________________ rZ'Z‘~ Г[д^ 2 ,_, /(*?2\2 & .(^\2 г>2 ‘ |/ уд#! )тх Я1 ( )lmx N |/ /?2 j т* N 3. Определение с помощью ЭВМ коэффициента, корреляции между 'случайными 'величинами, являющимися функциями других случайных величин, производится обычным методом ’ статистиче- ских испытаний. Зная законы распределения и числовые характеристики исход- ных случайных величин, получают случайные реализации этих ве- личин на ЭВМ. С числами, представляющими реализации исход- ных величин, производят функциональные преобразования, в ре- зультате которых получаются случайные реализации конечных ве- личин. По реализации находят статистические числовые характе- ристики и далее производится расчет момента корреляции, как при обработке экспериментов по формулам. 2 (^--0(^-0 if* _. * __ ^ZiZ2 2,2а n-1 ’ 212а о’о! ’ где Kgtzt, г*,га—точечные оценки момента и коэффициента корре- ляции DZi, D*z*, tnZl, tnZi — точечные оценки среднеквадратичных отклонений и математических ожиданий. Этот метод определения моментов и коэффициентов корреля- ции дает любую точность определения в зависимости от количест- ва реализаций на ЭВМ. 1.6. НАДЕЖНОСТЬ УЗЛОВ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ 1.6.1. Методы расчета надежности В общем случае узел может разрушиться в любом из возмож- ных предельных состояний с различной вероятностью. Если бы пре- дельные состояния узла не были коррелированы между собой, то общая надежность узла определялась как произведение надежно- сти узла в различных предельных состояниях, т. е. для системы ив последовательно соединенных независимых узлов. Что узлы соеди- нены в систему последовательно, это понятно, так как с отказом узла в любом предельном состоянии такая система выходит из строя. Но узлы в различных предельных состояниях зависимы между собой в смысле надежности (эту зависимость иногда назы- вают коррелированностью по предельным состояниям). 39
Учет зависимости осложняет расчет полной надежности уз«М. В этом случае наиболее удобной может явиться следующая рас- четная модель. Мысленно образуется система из фиктивных узлов, соединенных последовательно. Фиктивным узлом называется реальный узел, рассматриваемый лишь в одном предельном состоянии. Таким образом, один реаль- ный узел, находящийся в нескольких предельных состояниях, заме- няется несколькими фиктивными узлами, каждый из которых нахо- дится в одном предельном состоянии. Надежность узла в предельном состоянии определяется соглас- но формулам, выведенным выше для узла из последовательно, па- раллельно или смешанно соединенных элементов (теперь под эле- ментами следует понимать фиктивные узлы). В общем случае несущую способность фиктивного узла не всег- да возможно- определить. Ее можно определить из эксперимента или расчетом в одном частном случае, корда к узлу применима мо- дель цепи (узел состоит -из последовательно соединенных элемен- тов, независимых по несущей способности, и на все элементы дей- ствует общая нагрузка). В случае применимости модели цепи узел в предельном состоянии заменяется одним приведенным элементом, несущая способность которого /?п определяется по формуле Л?п= = mini(/?i, Т?2,..Rn), где Ri, R2) Rn — несущая способность соот- ветственно первого, второго, n-го элементов. Функция распределения несущей способности приведенного эле- п мента — П W]> где FR. (х)— функция распре- /=1 деления несущей способности /-го элемента узла в рассматривае- мом предельном состоянии. |Компози1ционная случайная величина узла в предельном состо- янии будет 2П=^П—А/, где N — нагрузка на узел, действующая п предельном состоянии. Коррелированность по двум предельным состояниям (1 и 2) оце- нивается величиной коэффициента корреляции ГгП1гп/ В общем же случае таких результатов получить не удается. Дело в том, что для фиктивного узла, состоящего, например, лишь из двух последо- вательно соединенных элементов, каждый из которых нагружен различной силой, не удастся указать, какова несущая способность фиктивного узла. Любые попытки в этом направлении заменят узел ив двух элементов одним элементом, что неравноценно с точки зре- ния надежности. Отсутствие возможности определить несущую .спо- собность фиктивного узла не '.позволяет определить композицион- ную случайную величину фиктивного узла, а следовательно, нет возможности определить коэффициент корреляции между компози- ционными случайными величинами этого узла и другого фиктивно- го узла. 'В этом случае применяют различные приближенные построения для получения коэффициента корреляции, например, осредняя коэффициенты корреляции между элементами разных фиктивных узлов по формуле (1.42). 40
В том случае, когда реальный узел состоит из последователь- но- соединенных элементов, можно произвести расчет надежности узла по предельным состояниям и не усредняя коэффициентов корреляции, а используя модель последовательно соединенных фик- тивных элементов: фиктивные узлы соединяются в систему последо- вательно, а каждый фиктивный узе-л состоит -из последовательно соединенных элементов. Тогда при расчете можно- применять лю- бые методы расчета узла из последовательно соединенных элемен- тов. 1.6.2. Определение приближенных значений действующих нагрузок и несущей способности конструкции Отсутствие теоретических исследований и статистического ма- териала не позволяет предложить метод точного определения веро- ятностных характеристик -внешних нагрузок в расчетных случаях и выбор самих расчетных случаев нагружения конструкции ЛА. По- этому предлагается приближенный метод определения вероятност- ных характеристик внешних нагрузок с учетом тех детерминирован- ных значений нагрузок, которые определены при традиционных расчетах на прочность. Вид законов распределения отдельных па- раметров, определяющих внешние нагрузки на конструкцию, при- нимается таким же, как и для однотипных ЛА, для которых такие законы определены. Тогда по известным данным для предыдущего ЛА определяется коэффициент сравнения '(Лер) и коэффициент ва- риации по формулам- где Хд — детерминированное расчетное значение рассматриваемо- го параметра, принятого при традиционных расчетах на прочность. Эти же значения коэффициентов сравнения и вариации по величи- не принимаются и для вновь проектируемого ЛА. Тогда для вновь проектируемых ЛА «числовые характеристики внешних нагрузок по их детерминированным значениям Уд определяются согласно фор- мулам т,=-----; D=KB------------. У Н-Кср/Св " Ц-КсрКв Подобные приближенные расчеты имеют .смысл .на этапе проек- тирования, когда о создаваемом ЛА известны лишь расчетные дан- ные. Хотя вероятностных данных мо прочности материала, значитель- но больше, чем по внешним нагрузкам, однако к настоящему вре- мени еще не по всем материалам -(и не по всем прочностным пара- метрам каждого материала) имеются вероятностные характеристи- ки. Поэтому в этом случае можно предложить тот же метод приб- лиженного определения вероятностных характеристик прочностных свойств материала, что и для .внешних нагрузок. 41
В первом приближении можно принять «нормальный закон рас- пределения для всех характеристик прочности материала (предела прочности Ов, предела текучести во,2, предела пропорциональности Ор, модуля упругости Е и т. д.). •Математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение нормальных законов приближенно можно определить по форму- лам: Sj/ГОСТ _ ^гост . п _ //Ха — - ~~ « Uq ——» t\ в я у 1+К К Я х 1+ к к “ х сРах вах ~ Х СРСТХ ва где т„у, Da^— соответственно математическое ожидание и сред- неквадратичное отклонение рассматриваемой характеристики проч- ности материала; °</гост —значение по ГОСТу характеристики прочности материала; Квах —коэффициент вариаций, определя- емый по формуле Квв =О^тв . Величина этого коэффициента принимается такой, которая име- ет место для однотипного материала и той же характеристики; /Ссрах—.коэффициент сравнения, определяемый по формуле А’срад.=('’хгост~~/га°х). величина этого коэффициента определяется по данным работы [17], Приближенно его можно принять АГсра ~ ^-3. Для геометрических параметров сортамента ‘(толщины листа б, площади поперечного сечения профилей S, толщины стенок труб А и т. д.) можно воспользоваться некоторыми вероятностными ха- рактеристиками, приведенными в работе [17]. Однако имеющихся данных недостаточно. Поэтому также можно пока использовать приближенные соотношения, аналогичные приведенным выше. Законы распределения геометрических параметров сортамента можно принять нормальными. Математическое ожидание и средне- квадратичное отклонение, например толщины листа б, можно оп- ределить по приближенным формулам: т ___ &ном . г-> __________у 8Н0М 1 । 17 17 > А в8 1 17 17 1 + 1 + ^срб^вб где m5, Dz — математическое ожидание и среднеквадратичное отк- лонение толщины листа; биом — номинальная толщина листа; /Свг— коэффициент вариации толщины листа, определяемый по формуле АГвг = £)а/та- Величина коэффициента принимается такой, которая указана в [17], или такой, которая имеет место для однотипного материала; /СсР8 — коэффициент сравнения, определяемый по формуле „ 8ном — тъ Лс₽5 =----п-----• Указанные методы являются приближенными. Ими рекоменду- ется пользоваться лишь при отсутствии статистических данных для рассматриваемой величины. 42
Расчеты параметров производятся с применением коэффициен- тов сравнения и коэффициента вариации, (которые остаются неиз- менными для двух случайных величин. Такие расчеты гарантиру- ют, что рассматриваемые детерминированные величины для пре- дыдущего ЛА и проектируемого будут квантилями одинакового порядка. 1.7. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ 1.7.1. Пример расчета надежности по прочности однозвенной поворотной антенны При расчете надежности по прочности однозвенная поворотная антенна рассматривается как система, состоящая из последователь- но соединенных зависимых в смысле надежности узлов, подузлов и элементов. В соответствии с расчетом на прочность расчетными случаями нагружения антенны будут: 1) вибрационные нагрузки, действую- щие на активном участке вывода ЛА на орбиту, 2) динамические ударные! нагрузки при раскрытии антенны; 3) вибрационные наг- рузки, действующие на антенну в раскрытом состоянии .(при рабо- те двигателей коррекции, стабилизации, при стыковке аппаратов и Т. д.). В спецификации на антенну указано 90 наименов'аний деталей. Но рассчитывались на прочность в расчетных случаях нагружения лишь некоторые из них. Геометрические параметры, влияющие на прочность других деталей, принимались из конструктивных сооб- Рис. 1.23. Узлы и элементы антенны, рассчитываемые на надежность 43
Рис. 1.24. Схема нагружения кон- струкции антенны динамическими нагрузками, действующими : а—в плоскости раскрытия; б—в плоско- сти, перпендикулярной плоскости раск- рытия ражений с большим запасом прочности. Надежность та- ких элементов не рассчиты- валась, а принималась рав- ной единице. На рис. 1.23 представле- ны предельные состояния конструкции антенны и те ее части, которые рассчиты- вались ,на прочность и кото- рые следует рассчитать на надежность по прочности. Однако в этом примере будет рассчитана надежность по прочно- сти только в первом предельном состоянии от вибронагрузок на активном участке полета при выводе ЛА на орбиту. В двух дру- гих предельных состояниях расчет надежности не приведен, как не имеющий принципиального отличия от изложенного примера. Надежность по прочности антенны на активном участке вывода на орбиту изделия определяется вибропереапрузками, действующи- ми на антенну в двух плоскостях, в плоскости рыскания и в пер- пендикулярной плоскости. Расчетная схема представлена на рис. '1.24, >где a=i290, 6=11085, /=il375, /г=420 мм. В точке 1 приложена сила, равная весу радиоголовки в 6,9 кгс, в точке 2 приложена cnjja, равная приведенному весу штанги 0,485 кгс. Максимальные значения динамических усилий соответственно равны 164,5-0,0437-31,4пха=226пха кгс; Р2л.=С2А1л1йха=8,36-0,0437-31,4«xa= 11,5«ха кгс; Р\у=СгА^пха =114- 0,0692 • 31,4/гха=248nxa кгс; Р2у~С4А^пха=25,5• 0,0692• 31 ,Апха = 55,5пха кгс; где Ci=1164,5 кпс/см — коэффициент жесткости штанги в точке /; С2=8,36 кпс/см—коэффициент жесткости штанги в точке 2; Aj = =0,0437 см — амплитуда колебания заделки; Xi=31,4 —коэффи- циент динамичности; пха— амплитудное значение перегрузки; С3=|114 кгс/ам — коэффициент жесткости штанги в точке 1 в плос- кости, перпендикулярной плоскости раскрытия; C4=i25,5 кгс/см — 'коэффициент жесткости штанги в точке 2 в плоскости, перпендику- лярной плоскости раскрытия; А2=0,0692 см — амплитуда колеба- ния заделки. Если процесс nx(t) распределен по нормальному закону, его амплитудные значения пха подчиняются закону Релея. Тогда 44
тПха=\^Опх^ Dnxa =0,655 Dnx(t), где Dnx}(t) —среднеквадра- тичное 'Отклонение процесса n^(/). Величина Dnx(t) определялась через предельные значения перегрузки по соотношению 2^ //\ (пх (О)гпах (Пх (O)min 0,67 ( 0,67)Q 2 2 где («xi(0)max, («л(0)пип — максимальные и минимальные значе- ния эксплуатационной виброперегрузки. Тогда тПха=>1,253-0,22= =0,276; D„xa =0,655-0,22=0,144. Напряжения при виброперегрузках в плоскости раскрытия и в перпендикулярной плоскости,определяются по 'формулам где AfH3a и М.у — изгибающие моменты, действующие в плоскости раскрытия и в перпендикулярной плоскости; AfKP— (крутящий мо- мент; 1ГИЗЖ=3,9 см3 — момент сопротивления сечения штанги в точке 1 в плоскости раскрытия; 11^=4,8 см3 — момент сопротив- ления сечения штанги в точке 1 в плоскости, перпендикулярной плоскости раскрытия; Ц7кр=7,84 см3 — момент сопротивления кру- чения в точке 1. В плоскости раскрытия антенны изгибающий момент определял- ся в точке 1. Он будет ____P\xab , PiXci_ 226пха-29-108,5 . П,5пха’29_ ”зх~~ ' 2Г— 137,5 Г 2 ~ =5337пха кгс-см. Действующие напряжения ™70пха кгс/см2. Числовые характеристики действующих напряжений будут тя = 1370тя =1370-0,276 = 379 кгс/см2; изх пха 1 1 D, =1370-£>л =1370-0,144=198 кгс/см2. изх пха 1 Несущая способность материала МА2-4 при действии вибрацион- ных сил представляет собой напряжение усталостной прочности, числовые значения которой определялись приближенно по форму- лам т._=<з_х!(\ + А’Хр) = 1450/(1 + 0,027(-0,83) = 1480 кгс/см2; =0,027-1480=40 кгс/см2, где 7(B=iO,027 — коэффициент вариации для материала МА2-1; /fcp= —0,83 — коэффициент сравнения для рассматриваемого ма- териала. 45
Надежность антенны в плоскости раскрытия будет Hx=P(a_1>aII3X)=F*(^)=F*(^=F*(5,6) = l-10-’, где zx=s_,— а- гп^т, — пи =1480 — 379—1101 кгс/см2; Dzx = ]/rDa-i + ^нз;=-|/'4О2 +1982 = 200 кгс/см2. В плоскости, перпендикулярной плоскости' раскрытия антенны, изгибающий момент ,в точке / будет ЛТр=Р1г,аф--^- Р2уа=284гаха-29-|--^- 55,5пха-29= 6000пха кгс-см. гг « бОООям 1ОСП / о Действующие напряжения о^=—=--------— =1250«ха кгс/см2. Wy 4,8 Крутящий момент 7Икр=Р1рй = 248/гха-12=2976/гха кгс-см. т/ ^к₽ 2976пха ооп ,9 Касательные напряжения ткр=^—=—7~^4 =380дха кгс/см2. Напряжение .эквивалентное °экву= K?+3tFP= У(1250/гхв)2+3(380пха)2= 141 Ъпха кгс/см2. Числовые характеристики эквивалентного напряжения будут: =1410/п„ =1410-0,276 = 396 кгс/см2; экв у пха 1 Da = 1410£)я =1410-0,144= 202 кгс/см2. экв у 11 ха 1 Надежность антенны в плоскости, перпендикулярной плоскости раскрытия, будет Н =Р (0_!> a3KB„) = F* f—=F* (5,35)= 1-6 -10-8, у X экву> \DZy ) \2^) где г„=а_1 — а. • mzu=nt, — та =1480 — 386=1084 кгс/см2; у —а экв y't zy w_1 экв г/ 1 Dzy= |/£>t1 + ^9KBp=/4024-2022 = 204 кгс/см2. .Нагружение антенны вибрационными нагрузками в плоскости раскрытия и в плоскости, перпендикулярной плоскости раскрытия, при выводе ЛА на орбиту можно рассматривать, в свою очередь, как два предельных состояния антенны. Тогда надежность антен- ны будет Н=кр((|Нж, Нр). .Рассматривается расчетная схема, соглас- но которой образуется фиктивная система, состоящая из двух фик- тивных элементов: антенны, напруженной в плоскости раскрытия, и той же антенны, нагруженной в плоскости, перпендикулярной плоскости раскрытия. 'Эти фиктивые элементы соединены между со- бой последовательно и зависимы в смысле надежности. Коэффициент корреляции rzxzy определяется по формуле 46
Kz Z Dl + 1371-141 CD* ^x^y a_i nxa r^,= d.^ -/oL,; " __________402+ 1370-1410-0,1442___ i — /402 + 13702-0,1442 /402+ 14102—0,1442 ’ где Kzxzv=м [(Zx—mZj) (Zy—mZy)\=M [(a_j - awx—-|-т,№х) X X (<з_1 - аэту — + ЯЦ,квг,)1 = м [(a_i — awx) (a_j — a^)] = [(a°_1 - (1370nxa - 1370/n„xa)) (/_! - (1410«xa- 1410m„J)] = = M [(Li- 1370nxa) (a_! - 1410«xa)]=M p-i- 1370/^Лх- - 1410c_1raxa+ 1370- 1410n°L]=M[1370- UlOn^J = 2 2 2 2 2 2 =«_1+1370-14100^; О._„=1370Ю„.; D.„„= 14 °—1==<3—1 <3ИЗХ=:ЯИЗХ ^изх’ °ЭКВ0 3ЭКВ1/ П^экву’ При такой величине коэффициента корреляции H = min(Hx, ^=^=1-6.10-15. 1.7.2. Пример расчета надежности по прочности пирозамка крепления антенны При расчете надежности по прочности пирозамюк (рис. 1.25) рассматривается как система, состоящая из последовательно соединенных зависимых в смысле надежности элементов: корпуса, пиропатрона, винта. М5Х8, заглушки, поршня, (прокладки для гер- метичности (рис. 1.26). В смысле надежности корпус представляет .собой систему, сос- тоящую из фиктивных элементов, соединенных последовательно и зависимых между собой: сечение 1—I определяет прочность корпу- са при срабатывании пиропатрона —давление от пороховых газов не должно разрушить корпус по этому сечению; резьба корпуса пи- ропатрона не должна срезаться от давления пороховых тазов на пиропатрон; резьба под винт М'5Х8 не должна срезаться от дейст- вия пороховых газов на винт; резьба под заглушку поршня не дол- жна срезаться от давления пороховых газов на заглушку и от сил инерции движущегося поршня, тормозящегося этой .заглушкой в конце хода. Эти фиктивные элементы соединены последовательно, так как с разрушением любого из них корпус выходит из строя. Фиктивные элементы зависимы между собой в смысле надежно- сти, так как на них действует одна и та .же внешняя сила (давле- ние пороховых газов), и несущая способность каждого элемента оп- ределяется материалом одного и того же конструктивного элемен- та. В этом случае коэффициенты корреляции между композицион- 47
Рис. 1.2'5. Пиров амок: 1—корпус: У—поршень; 3—заглушка; 4—прокладка; 5—пиропатрон; 6— SBBT2 7—толкатель; Я—-проволока стальная КО 08 48
•ними (случайными величинами фиктивных элементов б лизни к еди- нице и могут -быть приняты равными единице. Следовательно, на- дежность корпуса определится по надежности самого слабого фик- тивного элемента. Как показали предварительные расчеты, самым слабым фик- тивным элементом оказалось сечение /—/. Надежность по прочности пиропатрона, винта заглушки, порш- ня принимаем каждую равной единице, так как эти элементы вы- полнены из более прочного материала и не рассчитывались на прочность. Прокладка на прочность не проверяется, а ее уплотня- ющие свойства учитываются при расчете надежности по функцио- нированию. Таким образом, надежность всего пирозамка по прочности оп- ределяется надежностью по прочности одного сечения I—I корпу- са. При этом следует учитывать, что все корпусы г пирозамков опрессовываются давлением жидкости. В рассматриваемом случае давление жидкости было 900 кгс/см2 и выдерживалось оно в те- чение 5 мин. Следовательно, несущая способность пирозамков усе- чена слева. Внешняя нагрузка в виде давления газов сработавшего пиро- патрона определяется по паспортным данным пиропатрона. Имеем тр + 220£+ 18ОО.^;386,1 кгс/см2; /’Отах 2Г1 2-5,18 ' D ______(Рт^)тах (Pzn^)min_ 2200 1800 _|9 9 КГС/СМ2 ₽0тах бГ1 6-5,18 ’ ' ’ где трОта^ ^Ротах — математическое ожидание и среднеквадра- тичное отклонение максимального давления; W1 = WrA + Wnn= =3,58+il,6=5,18 см3; 1ГА=3,58 см3— свободный объем полости А; 1^пп= 1.6 см3 — объем пиропатрона; (рт117)тах, (Pm^)min — мак- симальное и минимальное значения «силы» пиропатрона по пас- порту. Материал корпуса пирозамка АК’8 (ГОСТ 4783—68), свгост= =46 кге/мм2; коэффициент сравнения АСр==—4,18 и коэффициент вариации 7<в=О,О5 (приняты, как для аналогичного материала) позволили определить w»B =58,15 кге/мм2; DB& =2,9 кге/мм2. Несущая способность сечения I—I (Рпред) определялась по формуле как для толстостенной трубы д,ред = -р=-ав1п-у-, где cf2='3O мм—внешний диаметр; </1=|20,2 мм— внутренний диа- метр. Тогда математическое ожидание и среднеквадратичное отклоне- ние предельного давления будут: т„ =-^тв In—=-=- 58,15In-^- = 26,56 кге/мм2— /3 в di /3 20,2 =2656 кгс/см2; 49
Dp = In -^-^= =2,9 ln = ——-= 1,32 кгс/мм2= 132 кгс/см2. рпред /з в Й?1 У 3 20,2 ' Принималось, что несущая способность материала сечения и внешняя нагрузка распределены по нормальному закону. Тогда на- дежность корпуса по прочности в сечении I—I будет 2656 — 386,1 /1322 + 12,92 = F* (17,11)= 1 — 10“66. В связи с тем, что учет усечения слева несущей способности ма- териала пирозамка увеличивает надежность по прочности, примем надежность по прочности пирозамка Hnp.n3=d—10~66. ( т ~тп \ pj у?» | Рпред_________''Отах |___у?» пр/—/ , г“й То | рпред г рОтах
ГЛАВА 2 Надежность функционирования отделяемых частей конструкции 2.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ К отделяемым частям конструкции относятся отделяемые сту- пени .(блоки, отсеки) летательных аппаратов, различного рода сбрасываемые обтекатели, 'отстреливаемые .крышки, люки, экраны и т. п. Для обеспечения безотказного отделения таких частей кон- струкции!, а также крепления их к корпусу летательного аппарата (ЛА) на всех этапах эксплуатации до начала процесса отделения служат специальные системы отделения '(разделения, сброса). Решение задачи расчета надежности функционирования отде- ляемых частей конструкции строится на базе анализа их возмож- ных предельных состояний и характера отказов. Выявление воз- можных предельных состояний и учет вероятностных зависимостей между отдельными отказами приводит к необходимости функцио- нального описания работы систем отделения. Всякая система отделения включает в свой состав по крайней мере две группы элементов ((устройств): разъемные средства креп- ления и средства отделения (перемещения). Кроме того, в состав систем отделения дополнительно могут входить специальные нап- равляющие конструктивные элементы и коммуникационные разъ- емы. Разъемные средства крепления обеспечивают жесткое крепле- ние отделяемых частей конструкции к корпусу ЛА до начала про- цесса перемещения и раскрытие стыков после подачи управляюще- го импульса от системы управления полетом. В качестве средств крепления обычно используются быстроразъемные пироустройства (пирозамки, пироболты, пирочеки), механические замки и т. п. Средства отделения служат для сообщения относительного дви- жения отделяемой части конструкции и корпуса ЛА. Величину уси- лия, необходимого для отделения, находят, исходя из безопасного расстояния, при удалении на которое исключается возможность взаимного соударения разделяемых частей. В качестве средств от- деления применяются различного рода пневматические, пружин- ные или пороховые толкатели, специальные пороховые ракетные Двигатели, тормозные сопла, работающие на газах наддува топлив- ных баков, а в случае горячего разделения ступеней — маршевые и рулевые двигатели верхней ступени {3], [24]. В состав систем отделения дополнительно могут входить специ- альные конструктивные элементы, обеспечивающие в начальный период отделения организованное благодаря кинематическим свя- зям, относительное движение отделяемой части конструкции. 51
В (качестве таких элементов используются различного вида нап- равляющие штыри, шпильки, полозы, узлы вращения и т. п. До на- чала процесса отделения эти элементы совместно со -средствами крепления могут осуществлять фиксацию отделяемых частей отно- сительно корпуса ЛА и частично воспринимать действующие наг- рузки. Так, направляющие шпильки работают на срез, восприни- мая перерезывающие силы и крутящие моменты. Надежность по- добных элементов конструкции определяется их прочностью и рас- считывается по методике, изложенной |в гл. '1. Подвижные части конструкции связаны с корпусом во время по- лета электрическими и пневм-огидр-авлическими коммуникациями, являющимися элементами системы энергопитания, системы управ- ления и пн евм ©гидросистемы ЛА. В процессе отделения осуществ- ляется разрыв этих коммуникаций, для чего применяются штеп- сельные и пневмогидравлические колодки и разъемы. Для раскры- тия разъемов используются различные толкатели, входящие в их состав, или силы, действующие при разделении на: отделяемую часть конструкции и корпус. В зависимости от характера, места приложения и направления сил и моментов, действующих на отделяемую часть конструкции и корпус, системы отделения подразделяются на расталкивающие, тормозящие и» комбинированные. Первые расталкивают корпус и отделяемую часть конструкции силами, действующими в направле- нии их продольных осей; вторые притормаживают или корпус, или отделяемую часть; третьи сочетают расталкивание или приторма'- живание с поворотом вокруг центра масс. В процессе функционирования отделяемых частей конструкции можно выделить четыре характерных участка. Первый участок — от момента старта до момента подачи команды на отделение. На этом участке отделяемая часть конструкции является частью кор- пуса и выполняет возложенные на нее функции, воспринимая наг- рузки, действующие на ЛА в полете.- Второй участок — от момента подачи команды на отделение до фактического отделения, т. е. начала относительного движения от- деляемой части конструкции и корпуса. На этом участке происхо- дит раскрытие средств крепления и электропневморазъемюв, а так- же включение (срабатывание) средств перемещения. Третий участок — участок организованного' относительного дви- жения отделяемой части конструкции и корпуса под действием сил -и моментов, создаваемых средствами отделения. На этом участке сохраняются частичные кинематические связи1 отделяемой части конструкции с корпусом. Четвертый участок — участок свободного движения отделяемой части конструкции относительно корпуса ЛА. В результате действия в процессе отделения ряда случайных факторов векторы абсолютных линейных скоростей центров масс разделяемых частей конструкции и их угловые скорости вращения относительно своих центров масс имеют стохастический характер. Это юбуславлив-ается разбросом таких параметров, как импульс 52
тяги последействия двигателей, силовые характеристики средств отделения, время подачи команды на отделение и время раскрытия средств крепления, параметры движения ЛА к моменту отделения,, параметры набегающего аэродинамического потока, массовые и инерционные характеристики разделяемых частей, точность и увяз- ка геометрических размеров и форм элементов конструкции. Кро- ме того, необходимо учитывать .случайный характер упругих попе- речных колебаний корпуса в период отделения, наличие эксцентри- ситета тяги последействия и эксцентриситета в действии сил средств отделения. Все это приводит к тому, что процесс отделения носит случайный, нестационарный характер. Из конструктивной схемы и принципа работы отделяемых час- тей конструкции следует, что для их (безотказного функционирова- ния необходимо выполнение ряда случайных событий, заключаю- щихся в раскрытии средств крепления (событие и электро- пневморазъемов (событие В2), срабатывании средств перемещения (событие В3) и выполнении требований к траекторным парамет- рам свободного относительного движения разделяемых частей кон- струкции (событие В4). Требования к траекторным параметрам формируются из условия безударности процесса разделения. При этом отказ отделяемых частей конструкции по функционированию’ трактуется как событие, в результате которого элементы системы отделения мгновенно выходят из строя или нарушается условие- безударности разделения. Такая постановка соответствует схеме мгновенных отказов [10], отражающей физическую (картину функ- ционирования отделяемых частей конструкции, относящихся к классу невосстанавлпваемых систем одноразового действия. Надежность функционирования отделяемых частей конструк- ции обуславливается их безотказностью и количественно может быть оценена вероятностью выполнения рассмотренных случайных событий В{ Щ=Р{В1 П В2 n В3 n Bi}=P{Bl}P{B2iB1}^ X р {В^ Л В2} Р {Bl!в, Л В2 Л в,}. (2.1) Обозначим P{Bi}=iHc.k — надежность средств крепления; Р{В2/В1}=|Нэпр — надежность раскрытия электропневморазъемов; Р{В3/В1 Л В2} = Нс о—надежность срабатывания средств отделения; P{Bi/Bl Л в2 л Вз} =)Нбу — надежность безударного отделения (разделения,сброса). Получим Нф=Нс.кН9прНс.0//бг (2.2) Вопросы расчета надежности раскрытия средств крепления (Нск) ® электропневморазъемов (НЭПр), а также надежности сра- батывания средств отделения (Нс.о) рассматриваются в разд. 2.5 и гл._4. 'Критерием безотказного отделения является выполнение уело- вия безударности относительно движения отделяемой части конст- рукции и корпуса ЛА. Аналитически это условие можно записать бедующим образом: е(т)>0; (2-3) 53
Рис. 2.1. Схема относительного движения раз- деляемых частей конструкции ЛА где q(t) — расстояние между опасными в смысле соударения точками раз- деляемых частей конст- рукции; t\, t2 — время от начала свободного относи- тельного движения до момента увода отделяе- мой части конструкции на безопасное расстояние, исключающее возмож- ность соударения. Опасные точки конст- рукции выбираются в ре- зультате анализа конст- руктивно - компоновочной схемы ЛА и принципа функционирования сис- темы отделения. Пусть пространственная граница Г (рис. 2.1) продолжающей функцию1ни<ровать ко1Н1СТрукции [(область Qi) опносителыно связанной -системы координат OiT]£v задана уравне- нием fi'(r), g, q) = 0, а граница у отделяемой части конструкции (область й2) 1задана1 относительно связанной с ней системы коорди- нат Chaffy уравнением /2(а, р, у)=0. Очевидно, в каждый момент времени отделения на границах у .и Г существуют точки, наиболее близко расположенные друг к другу. Эти точки и являются наибо- лее опасными в смысле соударения, а расстояние между ними в каждый момент времени определяет требуемую функцию р(т). Таким образом можно определить траекторию движения опасной в смысле соударения точки отделяемой части конструкции в прост- ранстве O^q. Надежность отделения определяется как вероятность выполне- ния условия безударности H6y=P(nW2b ^<^)=/5(e(t)>0; (2.4 Эта задача может быть .решена различными методами: методом прямого вычисления, основанным на замене многомерного случай- ного процесса совокупностью случайных величин [22] и прямого вы- числения многомерного интеграла надежности; методом теории выбросов случайных функций [23]; методом В. В. Болотина [4], [5]; методом статистических испытаний (метод Монте-Карло) [6] и дру- гими. Однако для практических расчетов наибольший интерес представляет метод статистического моделирования минимума па- раметрической функции [13], .позволяющий свести выражение (2.4) к вычислению одномерного интеграла ОО нбу=Р (Q (г) > 0; Л < т < /2) == Р (min q (т) > 0) = f /Omln (х) dx, х о (2.5) 54
где /omIn W — функция плотности распределения случайной ве- личины min qi(t) =iQmin; х—.независимая переменная интегрирова- ния (7}. Если .случайная величина Qmm имеет нормальный закон распре- деления, то вычислять интеграл (2.5) можно при помощи таблиц [01], [31] по формуле оо Г т \ (2.6) 0J ' emln ' где zreOfflIn, DQmin —математическое ожидание и среднеквадратич- ное отклонение случайной величины Omtn: £*(•) —функция норми- рованного нормального распределения. Функция плотности распределения /ет1п определяется по вы- борке значений случайной величины ртщ известными методами ма- тематической статистики [1'9]. Выборка значений случайной вели- чины Qmin может бытьполучена следующим образом. Задаются различные реализации случайных параметров, входя- щих в дифференциальные уравнения движения разделяемых объ- ектов. В результате многократного решения на ЭВМ уравнений движения для каждой реализации случайных параметров, входя- щих в эти уравнения, определяются соответствующие им реализа- ции случайного процесса q(t) по времени разделения. Минимум процесса q(t) но времени соответствует минимуму расстояния меж- ду опасными точками конструкции, т. е. min Q1 (т) =Qmin- Для определения функции распределения /от1п(х) с достаточ- ной для практических расчетов точностью требуется провести рас- чет порядка 250—300 реализаций процесса отделения. Функция qi(t) в общем случае является нестационарной случай- ной функцией, характеристики которой (могут быть найдены в ре- зультате исследования дифференциальных уравнений движения разделяемых объектов. В инерциальной системе координат OXYZ [1] эти уравнения имеют вид - - (2.7) M2-^=F2; ^-=М2, dt dt ) где Fi, F2— векторы результирующих сил и М2 — векторы ре- зульпирующих_мрментов, действующих на разделяемые части кон- струкции; L\, L2 — векторы кинетического момента; 7ci, ^с2 — век- торы линейных скоростей центров инерции и М\, М2 — массы раз- деляемых частей конструкции. Уравнения (2.7) получены при следующих допущениях: разде- ляемые объекты являются твердыми телами с неизменяющимися в процессе отделения массовыми, инерционными и геометрически- ми характеристиками; в процессе отделения пренебрегаем измене- 55
нием параметров внешней .среды. Эти допущения являются обще- принятыми. Для удобства решения задачи расчета надежности -отделения целесообразно от уравнений (2.7) перейти к системе уравнений, описывающих -относительное движение разделяемых частей -ко нет- рукции ЛА. При этом удобно перейти к связанным системам 'коор- динат OiT)£# и О2сфу, начала которых совпадают с центрами масс, а оси —с осями инерции разделяемых частей. Относительное движение отделяемой части конструкции опреде- ляется движением ее центра масс (точки О2) относительно системы координат связанной ,с корпусом ЛА, и вращательным дви- жением отделяемой части вокруг своего центра масс. Система дифференциальных уравнений, описывающих относи- тельное движение центра масс отделяемой части конструкции, в проекциях на оси связанной системы координат Gxx\iq имеет вид ______^2?) (^wit] Д / dq d^ \ dt2 ~~М^~М^~\ dt dT y~ \ Ц d7~O)1<?57/ - (“17)71+“1^+M) % - ; й2$ _/?25 Д L d<I\ d& M2 Afi \dt dt V \ q dt 1 dt ) - (»1,4 + »цЕ + ”1,?) - »?; dt4 M2 Mi \ dti dt J \ {'dt dt ) — (ш17)Я -f- w19 — <0^, где ©17), <оц, ®i3 — проекции угловой скорости вращения (©]) кор- пуса ЛА относительно собственного центра масс 01 на соответству- ющие оси системы координат O^q. Вращение отделяемой части конструкции относительно собст- венного центра масс 02 подчиняется уравнениям d“2a , dt ' Ла (Л1— /2р)“2₽“21 = АТ2а;' /2р —-—р(Ла— /27)^27^=ЛТгр; } (2*9) dt । d^Qy I /27 7~ + (/23’~ Ла) <Ь2а(О20 = Л127, dt ) где 12л, 1ц, Лт —моменты инерции; о)2а, <огр, (в27 — проекции угловой скорости (Вращения ©2 отделяемой части конструкции вокруг соб- ственного центра масс 02 на соответствующие оси системы коор- динат ОзйРУ АЬ», Мц, Мц — проекции суммарного вектора-мо- мента, действующего на отделяемые части в процессе разделения, на оси системы координат Ог<фу- 56
Разброс времени начала свобод- ного относительного движения учи- тывается введением случайных на- чальных условий. Эти условия оп- ределяются при рассмотрении от- носительного движения на участке организованного перемещения с учетом разброса величины монтаж- ных зазоров между отделяемой ча- стью конструкции и корпусом. При расчете надежности отде- ления крупногабаритных тонкостен- ных конструкций сравнительно ма- лой жесткости отказ по отделению может наступить не только в резуль- тате невыполнения требований к Рж. 2 2. Схема относительного дви- жения разделяемых частей конструк- ции, имеющих в начальный момент свободного движения тючку соприкос- новения траекторным параметрам, но и вследствие деформаций конструкции, которые в этом случае могут достигать значительной величины. Поэтому допущения о неизме- няемости в процессе отделения геометрических и инерционных ха- рактеристик отделяемой части конструкции являются неправомер- ными. При исследовании движения таких конструкций необходимо рассматривать не только уравнения движения конструкции как твердого тела, но и уравнения, описывающие колебания отделяе- мой части конструкции как тела переменной жесткости с неравно- мерно распределенной массой. Метод расчета надежности сброса крупногабаритных тонкостенных конструкций сравнительно малой жесткости изложен в разд. 2.4. При решении задачи расчета надежности функционирО1вания от- деляемых частей конструкции методом статистического моделиро- вания минимума параметрической функции в некоторых случаях могут возникнуть трудности, связанные с определением величины Qmin. В частности это имеет место, когда области Qi и Q2 (ем. рис. 2.1) ,в начальный (момент свободного движения имеют точки соп- рикосновения (рис. 2.2). Например, такого рода ситуация возника- ет для комбинированных систем отделения при пакетной схеме сое- динения ступеней (блоков), когда отсутствует продольный участок организованного относительного движения. В этих случаях функ- ция Qf(r) принимает нулевое значение в начальный момент свобод- ного движения для всех реализаций р(т). Для преодоления этого целесообразно от функции Q(х) перейти к безразмерному параметру Q/znQ. При этом условие безударного отделения (2.4) заменяется эквивалентными неравенствами ^г>° при ^W>0; Л(Т)г^>° ПРИ оте(т)<0, (2.10) 57
где /пе(т)—математическое ожидание функции q(t). Для высоконадежных систем (Н^>0,5), к которым относятся системы разделения, обычно выполняется первое соотношение, ко- торое будем рассматривать в дальнейшем. В этом случае надеж- ность безударного разделения рассчитывается по формуле оо H6y=p{min^>0j=^/c//„e(x)flfx. (2.11) О Покажем, что функция q(t)/ot0(t) определена на всем участке интегрирования, в том числе и в нулевой точке. Для этого найдем перемещение Aq опасной точки отделяемой конструкции в окрест- ности точки касания (см. рис. 2.2): Aq— (Vzc2A/«) 4-([«2^х7] п), (2.12) где FC2 — скорость движения центра масс подвижной системы ко- ординат О2сфу; п — внешняя нормаль к поверхности области Й1 в точке касания; шг— вектор мгновенной угловой скорости враще- ния системы Огсфу; I — радиус-вектор от начала подвижной сис- темы координат до опасной точки. 'Соответственно для /Пде певучим /Пде= (тКс2Мп)-ф- ([т^М х7] X /г). (2.13) Из этого =lim + (М X - . (2.14) «О (°) Д^о(/пДГс2Д<л) + ([7пДа)>Л^] п) Преобразуя выражение (2.,14) по правилу Лопиталя и учитывая уравнения движения разделяемых объектов, нетрудно убедиться в том, что отношение Q(0)/те (0) принимает определенное, конечное значение. Анализ процесса функционирования систем отделения показы- вает, что в некоторых случаях их можно рассматривать как .систе- мы, обеспечивающие выполнение предъявляемых требований даже при частичном отказе отдельных элементов. Например, в случае несрабатывания (нераскрытая) одного или нескольких элементов крепления сохраняется возможность раскрытия стыка' вследствие разрушения нераскрывшихся элементов под действием нагрузок, действующих на стык в процессе отделения. В этом случае задача расчета надежности функционирования отделяемых частей конст- рукции может быть представлена следующим образом. Допустим, что успешное функционирование отделяемой части конструкций обеспечивается при выполнении события В, причем при работе в расчетном (штатном) режиме для выполнения собы- тия В требуется выполнение ряда последовательных событий Ьх, Ь2,...., Ьп. Однако в ряде случаев сохраняется некоторая возмож- ность выполнения события В и при условии невыполнения отдель- ных событий bt. В этом случае при успешном функционировании могут быть реализованы различные варианты, заключающиеся в том, что произошло невыполнение одного из событий &ь b2,..., Ьп, 58
двух, трех... .и, наконец, всех п-событий. Очевидно, события с раз- личным числом отказав являются несовместными и надежность может быть найдена по теореме сложения вероятностей Нф=ТР{В‘П[ U Д »*>*>.ki (П М1^1П6К2П... ПМ), (2.15) 7=1 . ' 7¥^1 >•♦ ’ где bki — .событие, противоположное событию bki; .индекс (I) под- черкивает, что событие В выполняется в условиях невыполнения событий bki, bk2, ., bhi. Для независимых и равновероятных собьи- тий В(<\ 61, &2, • • -,Ьп п нф=2 с1пР (В‘) [Р (btf-1 [ 1 - Р (6;)f. , / = 0 Если по условиям эксплуатации не допускается отказ ни одно- го элемента системы, то выражение (2..16) принимает вид (2.16) (2.17) Оч-евИ|ДгНю, выражение (2.17) тождественно выражению '(2.1). 2.2. НАДЕЖНОСТЬ РАЗДЕЛЕНИЯ СТУПЕНЕЙ Виды, принципы построения и конструктивное воплощение от- деляемых частей конструкции современных ЛА достаточно много- образны. Общий подход к расчету надежности их функционирова- ния изложен в предыдущем разделе. В данном и последующих раз- делах изложены конкретные методические материалы по расчету надежности функционирования отделяемых частей конструкции. Рассмотрим методику расчета надежности разделения ступеней на примере разделения первой (блок 1, рис. 2.3) и второй (блок 2) последовательно соединенных ступеней с огневым разделением. Для конкретности дальнейшего изложения примем следующую схе- му процесса разделения во времени. В конце активного участка блока 1 по срабатыванию чувстви- тельного элемента, связанного с работой двигательной установки '(ДУ) блока 7, формируется команда на включение ДУ второй сту- пени. Часть двигателей (например, четные двигатели) .выключает- ся после выхода на режим главной ступени ДУ второй ступени, а остальные двигатели первой ступени выключаются с некоторой за- держкой по времени (Д7). Одновременно с выключением всех двигателей первой ступени подается команда на подрыв пирозамков поперечного стыка сту- пеней, разрыв элементов пневмогидросистемы и включение орга- нов управления второй ступени. С разрывом элементов связи (пи- ро,замков) и раскрытием электрических разъемов и пневмоколодок начинается отставание отделившегося блока 1 под воздействием газовой струи и ускорения второй ступени. 59.
Для обеспечения организованного относительного движения в начальный период разделения служат специальные упоры, которые крепятся к хвостовому отсеку второй ступени (так называемое Рис. 2.3. Схема ’разделения блока 1 ,и второй ступени «шпилечное» соединение). До начала свободного относительного движения ступеней эти упоры воспринимают перерезывающие си- лы, действующие на -стыке переходной фермы первой ступени с хвостовым отсеком второй ступени. По окончании «шпилечного» участка движения начинается уча- сток свободного относительного перемощения отделившегося бло- ка 1 и второй ступени. Надежность функционирования отделяемых частей конструкции в общем случае рассчитывается дю формуле (2.2). В рассматривае- мой системе разделения в качестве средств перемещения использу- ются маршевые двигатели второй ступени. Расчет надежности за- пуска и выхода на режим маршевых двигателей (Производится при расчете надежности двигательной установки ЛА. Поэтому при оп- ределени1и надежности систем огневого разделения ступеней расчет надежности маршевых двигательных установок не,’ производится. В этом случае для расчета надежности функционирования может использоваться соотношение Нф=Нс.кНэпрНб" (2.18) где Нс.к, Нэпр, Н§у — надежность соответственно пирозамков связи первой и второй ступеней, раскрытия электропневморазъемов, без- ударного разделения ступеней. Расчет надежности Нс.к и Нэпр производится согласно методу, изложенному в разд. 2.5. Надежность безударного разделения (Нбу) рассчитывается в соответствии с общими положениями, из- ложенными в разд. 2.1. Решение этой задачи применительно к рас- сматриваемой схеме разделения производится следующим образом. На основании анализа компоновочной схемы ЛА и детермини- рованных расчетов процесса разделения выбираются опасные в 60
смысле соуда1рени1Я точки инструкции разделяемых ступеней. Эти же точки рассматриваются и при вероятностных расчетах. Для рассматриваемой схемы геометрическим местом опасных точек конструкции является край донной защиты 1 (точка Oi) ДУ второй ступени и край переходной (точки О2) фермы 2 блока 1 (см. рис. 2.-3). В опасной точке ’конструкции второй ступени /поместим жест- ко связанную с ней систему координат О1Ц^. Ось О1Ц направлена в сторону отделяемого блока и совпадает по направлению с про- дольной осью ЛА, а ось направлена к центру поперечного се- чения. В описанной системе координат расстояние между опасными точками конструкции блока 1 и второй ступени рассчитывается по формуле е (*)=]А2 (т)+ (2.19) где т|.(т),'||(т), q(x) —текущие координаты опасной точки конст- рукции первой ступени; — начальная координата края переход- ной фермы блока /, определяемая величиной монтажного зазора. Входящие в выражение (2Л9) значения текущих координат ту (т), £(т), 9>(т) определяются из уравнения относительного движе- ния опасных точек конструкции. -При выводе уравнений относительного движения опасных точек конструкции для рассматриваемого случая, кроме общепринятых допущений, указанных в разд. 2J, можно принять следующее: не учитывать влияния аэродинамических сил и моментов на процесс разделения; пренебрегать влиянием на вторую ступень от- раженной газодинамической струи; считать, что вращение лета- тельного аппарата, которое происходило до разделения, отсутст- вует. Первое и второе допущения связаны между собой. При огневом разделении на вторую ступень действует отраженная от блока 1 газовая струя от работающих двигателей второй ступени. Газоди- намическая сила газовой струи 'значительно больше аэродинамиче- ской силы сопротивления, которая действует также на вторую сту- пень, но в направлении, противоположном направлению действия газодинамической силы. Следовательно, получающаяся разница в этих силах может только улучшить процесс разделения. Таким об- разом, эти допущения идут в запас надежности. Для крупногабаритных ЛА максимальная угловая скорость, ко- торую они имеют к моменту разделения, обычно невелика и поэто- му боковое перемещение опасных точек конструкции в результате вращения мало. Поэтому вращением ЛА, которое происходило до начала процесса разделения, в этом случае можно пренебречь. С учетом сделанных допущений уравнения свободного относи- тельного движения разделяемых ступеней в связанной системе ко- ординат O\x\^q имеют вид 61
Mi М2 l\ 1=-^Г*+-Г И^ + ^ + ЛТ^]; All *1 ’ “4iT£+^ 1-и«’+л,’’+л'>«1’ (2. 20) где Pi, P2 — тяга двигателей соответственно первой я второй (Сту- пеней; Ргд — газодинамическая сила, действующая на первую сту- пень от струи ДУ второй ступени 1\, TQ — проекции на оси и Oiq боковой силы, действующей на блок 1 от разнотяговости дви- гателей второй (ступени; Р*ь P^q —проекции на оси 0^ и Oiq бо- ковой силы Рж, действующей на -блок 1 от наличии на ней -желобов ’(несимметричных (выступов); Лж, 7ИР, 2Ит —соответственно момент от желобов и моменты от разнотяговости! двигателей первой и вто- рой ступеней МР^ МР1^ Л1Т/7 — проекции моментов Л4Р1 и Л1т на оси Oi^ и Orf; Mi, М2—-Miaсса блока / и второй .ступени; /1 — момент инерции блока /; I — расстояние от центра тяжести блока 1 до края переходной фермы; г —радиус переходной фермы.. Разброс времени начала свободного относительного движения разделяемых ступеней (момент времени t\) учитывается введени- ем случайных начальных условий. Последние получаются при рас- смотрении относительного движения ступеней под действием тяги двигательных установок и газодинамической силы на «шпилечном» участке, а также разброса величины монтажных зазоров между опасными точками конструкции. В рассматриваемом случае начальные условия при t = /i (мо- мент схода блока 1 со шпилек) для интегрирования уравнений (2.20) имеют вид п(^)=-яо+/ш; У \ Ali М2) Ш=0; £(Л)=0; | <2-21) ?М=0; ^(Л)=0. | где т]о, £о — начальные координаты опасной точки конструкции блока 1, определяемые величиной монтажных зазоров; /ш — длина «шпилечного» участка. Силы Pi, Р2, Р^ Рж, Т и моменты 2ИЖ, 2ИТ, 2ИРЬ входящие в пра- вые части уравнений относительного движения (2.20), в общем слу- чае являются случайными функциями времени. Однако, если дви- гательная установка блока 2 к моменту разделения выходит на режим главной ступени, то-величина ее тяги Р2 мало меняется по- времени разделения и может быть принята случайной величиной. Параметры, пропорциональные тяге Р2(РЖ, Ргд, Т, Л4Ж, AfT), также мало изменяются по времени разделения и могут быть приняты случайными величинами. При этом, учитывал, что величина их за- 62
висит от большого числа случайных факторов, закон распределе- ния этих величин может быть принят нормальным. Числовые ха- рактеристики закона распределения (математическое ожидание тх и среднеквадратичное отклонение Dx) могут быть получены или в результате обработки экспериментальных данных или по прибли- женным соотношениям1 т —= Л-max -^mln . £) _ Лапах — J^mln 22) х 2 ’ х 6 ’ \ ‘ > где Хтах и Хтш — максимальное и минимальное расчетные проект- ные значения параметра. Тяга последействия Рщ(т) каждого из п двигателей двигатель- ной установки блока 1 является случайной функцией времени. За- кон изменения математического ожидания /геРп('Г) и среднеквадра- тичного отклонения DPu(x) тяги последействия Рн-(т) по времени разделения с достаточной степенью точности может быть аппрокси- мирован полиномом вида Л k mpuW=^Aixl> DPuW=%aixi' (2-23) Z-0 Z-0 где Ai и at — постоянные коэффициенты аппроксимации, которые могут быть получены по данным стендовой отработки двигателей. Тяга последействия всей двигательной установки блока 1 рав- на п <2-24> Z=1 где п — количество двигателей в ДУ блока,. Для определения момента Мр^х) от разнотяговости двигате- лей блока 1, и его проекций на оси координат используются соот- ношения п 1 7Ир1е=-Г! 2 ри созаг; Z=1 " I (2.25) МР1(1=-гг 2^Ри sinaz; 1=1 Мр=У где Г] —радиус, на котором расположены двигатели ДУ блока 1; az — угол между осью Z-го двигателя и плоскостью отсчета углов. jITipn значении тяги последействия, равной 5—12% от номиналь- ной, имеют место «хлопки» тяги—кратковременное повышение Давления в камере сгорания. Возникновение хлопка — событие случайное. «Хлопок» может привести к повышению импульса тяги последействия или величины разнотяговости двигателей. 63
Плотность распределения времени появления хлопка и плот- ность распределения импульса хлопка /хл устанавливаются экспе- риментально. Выражение для определения тяги одиночного двига- теля с учетом хлопков имеет вад А/(т) = Л(т) + /хл8(т)(т-тхл)Х, (2.26) где /ч(т) —номинальная тяга последействия /-го двигателя; б(т)—дельт а-функция Дирака; % — характеристическая случай- ная величина, равная единице при появлении хлопка и нулю — при отсутствии хлопка. Если разделение ступеней происходит при достаточно высоких уровнях тяги последействия ДУ, то хлопки тяги не оказывают су- щественного влияния на. характер относительного движения разде- ляемых ступеней. Реализации случайных величин Ргд, Лк, Т, Л1Ж, 2ИТ, а- также величины проекций (т]о, |о) начального (монтажного) .зазора меж- ду опасными точками разделяемых конструкций определяются из выражения Xj=tnxJrNjDx, (2.27) пде Xj — j-я реализация случайной величины х; Nj — нормирован- ная нормально распределенная случайная величина [29]. Так как Рж, Т, Ргд, 7ИЖ и Мт прямо пропорциональны тяге ДУ второй сту- пени (Р2), то в каждой реализации Nj для этих параметров выби- рается таким же, как и для Р2. ' Реализации тяги последействия /-го двигателя первой ступени рассчитываются по формуле Puj=mPu (т) 4- NjDPu (т). (2-. 28) оде Nj — нормированная, нормально, распределенная случайная величина, не меняющаяся по времени разделения. Реализации тя- ги последействия всей двигательной установки первой ступени оп- ределяются по формуле '(2.24). В результате многократного решения на ЭВМ уравнений отно- сительного движения (2.20) определяется выборка- значений мини- мального расстояния Omin между опасными точками конструкции разделяемых ступеней. По полученным данным рассчитываются математическое ожидание wOmj и среднеквадратичное отклонение ^°min случайной величины Qmm, строится гистограмма распределе- ния и выдвигается гипотеза о законе распределения Отш. Соответ- ствие выдвинутой гипотезы и статистических данных, полученных опытным путем, проверяется при помощи критериев согласия, нап- ример, критерия Пирсона /2 [29}. Решение задачи расчета надежности разделения ступеней по описанной методике на ЭВМ типа М-220М занимает 10—15 мин машинного времени в зависимости от требуемого числа реализа- ций. Для практических расчетов обычно бывает достаточно 250— 300 реализаций процесса равделения. Для высоконадежных систем, когда надежность разделения близка к единице, наряду с методом статистического моделирова- 64
ния минимума параметрической функции может быть использован аналитический метод, предложенный В. В. Болотиным [4], [5]. При этом надежность безударного разделения Н£у оценивается через интенсивность v(r) случайного потока отказов Нсбту=1 - jv(?)cfr, (2.29) К где Л — время начала раздельного движения ступеней; t2 — время ухода блока 1 на безопасное расстояние. Интенсивность случайно- го потока отказов v (?) = f аТ J / (Гт1П>г; Wmla', ?) <м?7т1п, (2.30) г ш„>0 где W — вектор производной процесса V относительного движе- ния разделяемых блоков; Г — граница области допустимых значе- ний й; ®п — скалярное произведение вектора производной процес- са V и вектора внешней нормали п к границе Г области й. Получение аналитического выражения для v(?) при решении задачи в трехмерной постановке связано со значительными трудно- стями вычислительного порядка. Поэтому представим процесс раз- деления блоков как относительное движение опасных в смысле со- ударения точек конструкции в двухмерном пространстве координат Oi-qg, жестко связанных с блоком 2 (рис. 2.4) и началом их в опас- ной точке конструкции (край донной защиты ДУ блока 2). Как по- казывают проведенные расчеты, погрешности, связанные с таким упрощением, идут в запас надежности. Расстояние между опасными точками конструкции в каждый мо- мент времени разделения может быть найдено из соотношения e(?)=W(T)+m (2.31) где г| (?) и g(?) —текущие значения координат опасной точки кон- струкции блока 1. _ Для выполнения условия безударности (д(?)>0) процесс K(rj, |) не должен выходить за пределы области допустимых зна- чений й. Скалярное произведение вектора производной W (т), £) Рис. 2.4. Схема относительного дви- жения опасных точек конструкции разделяемых ступеней (а—траектория относительного движения опасной в смысле соударения точки конструк- ции блока /) 3 1340 65
процесса V (tj, g) и вектора внешней нормали п к границе области Q равно =[ оо<т1<0; « — п (2.32) В этом случае выражение для определения v(t) имеет вид О оо оо v(t)= J <Zt) С J Р (7g, ОО 0 —ОО 6 - 0 —оо 71 -° (2.33) где P(V\, W) и P(V\, V/) — совместная плотность распределения г-о_ ч-° _ .процесса V (т), |) и его производной W (я, I) соответственно на границе $=0 й т]=0. Для вновь проектируемых систем совместный закон распреде- ления процессов 7(т], g) и W(т|, g) обычно неизвестен. Однако, учи- тывая, что вид и характер этого закона зависят от большого числа случайных факторов, в первом приближении он может быть принят нормальным. В этом случае [20] Р(7, Г) = Л(ть 0Р2(п, I), (2.34) где Рх (л , I) — 2я£>^ /ТТГлг ехр {“ 2 (1—^2) £>2 _ ~k^-тп)^~мк) . (Е~mi)211. ЛА + А ]Г ” d _ J ovJ 1 Г (^^)2 о \ ч > У — - 9 ехр тт.ж 7л '6 - ”li) (Ё ~ тд (Ё - wi)2') . • . DnDk ’ Jf ihn, ih(,, т,^, т^, D'^; D^, D^, D-^ k, ^ — математические ожидания, среднеквадратичные отклонения и коэффициенты взаимной корре- ляции процессов т](т), g(t) и их производных т] (т), £(т). Теперь выражение (2.33) может быть проинтегрировано и полу- чена формула для расчета v(t) сбб (2.35)
где /**{-} —функция нормированного нормального распределения. Входящие в формулу (2.35) числовые характеристики случай- ных процессов т] (т), §(т) и их производных т](т), £(т) находятся в результате решения дифференциальных уравнений движения опас- ных точек конструкции разделяемых блоков (2.20). В двумерной постановке эти уравнения имеют вид П (т)=- -2_ [М* (т)+М ж 4- М т]; М2 Ml J 2 М2 *2 Начальные условия Л (Л)------По + ^ш; Ввиду того, что процесс спада тяги двигателей ДУ блока 1 не является стационарным, процессы ц (т.) и £(т) также не являются стационарными. Поэтому, для того чтобы воспользоваться выра- жением (2.35), необходимо промежуток времени разделения раз- бить на ряд участков, в пределах которых процессы г] (т) и £(т) мо- гут быть приняты как стационарные. Тогда нРа3д>1-2^’ (2-37) I -' ‘ \ где — интервал времени для i-ro участка разбиения; "S - 1 —A; Vi — математическое ожидание числа положительных пересе- чений допустимого уровня в единицу времени для г-го участка разбиения. Для практических расчетов можно.принять: Afi=10~4c; ^ = 0;/2 = 5с. Числовые характеристики случайных процессов ц (т), g(t) и их производных т) (т), £(т), входящих, в выражение (2.35), определя- ются по формулам, полученным в результате решения дифферен- циальных уравнений (2.36): __ 12 Г Лр 4- Bq . Л1 4- Bi . А2 + В2 । Лз 4- #з ^5! । М2 [ 2 ’ 6 ‘12 20 . тР ~12(Л0 + В0) т \ -----+-^U+'»,.+4; (2.38)' DP Ml 3* 67
89 Ц <х) 3<7 (л) U<7 , х 4^1-------------i------ ~ [г(’д V+10«)+!(’1 If+>х v+’14 +10”) ]х х[^)г>+г®]+Н('^+^^-^+^]}=М (|кг) +►>>+ । 9 । s Ч (zi \ । Г г Г Ч , zw 1) . .5 "Ге* o^yj Д ijjsl+J гХ 1W(J + THW(JI + xdQ + |—Wg(7 (Ot ’3) (66 ’3) ZI Уш + жигш 1 ZW TK^ ги + =(л) ^ги
где Ао, Alt Д2, Д3, л0, аи а» а3, Во, Ви В2, В3, b0, blt b2, Ь3 — коэффициенты аппроксимирующих полиномов законов изменения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения ве- личины тяги последействия соответственно четных и нечетных дви- гателей ДУ блока 1 (2.23). Проведенные расчеты показывают хорошую сходимость резуль- татов, полученных по методу статистического моделирования мини- мума параметрической функции и аналитическим методом. 2.3. НАДЕЖНОСТЬ ОТДЕЛЕНИЯ КОРПУСОВ ХВОСТОВЫХ ОТСЕКОВ Для уменьшения массы конструкции ЛА в полете в ряде случаев предусматривается сброс корпусов хвостовых отсеков, который осу- ществляется обычно сразу после разделения ступеней. Конструк- тивно такие сбрасываемые корпуса хвостовых отсеков состоят из нескольких створок, соединенных между собой при помощи меха- нических или пиротехнических замков (крепление по продольным стыкам). Крепление створок хвостового отсека к корпусу ступени осуществляется при помощи пирозамков или пироболтов (крепле- ние по поперечному стыку). Отделение хвостового отсека происходит под действием аэроди- намической силы, осевой перегрузки и усилий специальных средств перемещения, устанавливаемых в поперечном и продольных сты- ках. В качестве средств перемещения обычно используются пру- жинные толкатели или пиротолкатели, а также специальные поро- ховые двигатели сброса. Рассмотрим отделение корпуса хвостового отсека второй ступе- ни (блока 2) крупногабаритного ЛА [24]. Сбрасываемый корпус состоит из трех створок. Кроме того, система отделения включает пирозамки связи поперечного стыка хвостового отсека с блоком 2, механические замки продольных стыков створок хвостового отсека, пружинные толкатели поперечного стыка, двигатели сброса и нап- равляющие шпильки. Функционирование системы отделения происходит следующим образом. Через некоторое время после разделения первой и второй ступеней подается команда на раскрытие пирозамков поперечного стыка. После раскрытия пирозамков хвостовой отсек, как единое целое, движется по направляющим шпилькам под действием аэро- динамической силы, продольной перегрузки и усилий пружинных толкателей поперечного стыка. К моменту схода со шпилек рас- крываются продольные стыки створок (срабатывают рычажные замки) и с некоторой задержкой по времени выдается команда на включение пороховых двигателей сброса, сообщающих створкам хвостового отсека импульс в поперечном направлении. 69
Расчет надежности функционирования отделяемых корпусов хвостовых отсеков производится в соответствии с рбщими положе- ниями, изложенными в разд. 2.1. При этом для рассматриваемой схемы отделения необходимо учитывать, что надежность раскрытия средств крепления характеризует надежность раскрытия попереч- ного и продольных стыков. В этом случае формула для расчета на-, дежности по функционированию НфВ’° преобразуется к виду НГ=Нп.сНпр.сНэпрН,0Н^°, (2.45) где Нп.с, Нпр.с, Нэпр, Нс-0, Нбу ° —надежность соответственно раск- рытия поперечного и продольных стыков, электропневморазъемов, срабатывания средств отделения (толкателей и двигателей сбро- са), безударного отделения корпуса хвостового отсека. Расчет составляющих надежности Нп.с, Нпр.с, НЭПр, Нс.о произ- водится согласно методу, изложенному в разд. 2.5. Поэтому огра- ничимся рассмотрением метода расчета надежности безударного Нхв.о бу корпусов хвостовых отсеков. Решение этой задачи применительно к рассматриваемой схеме отделения производится следующим образом. Надежность безударного отделения корпуса хвостового отсека Нбу в общем случае является функцией надежности безударного отделения каждой из входящих в его состав створок Нст « НХбГ=?(Нст1, Нст2,..., Нстя). (2.46) Расчет надежности Нст i необходимо производить с учетом воз- можности отказа одного или нескольких двигателей сброса, уста- новленных на створке, по формуле п НС1=2С«Н^НГУ> (2.47) Н где Нст^—надежность отделения створки при / отказавших двига- телях сброса; Ня — надежность одного двигателя; Сп} — число со- четаний из п по /; п — количество двигателей, установленных на створке. Надежность отделения створки в общем случае определя- ется по формуле Н<Л=Р(В(/)=Р(еЛт111>0), (2.48) где Вб) — случайное событие, характеризующее безударное движе- ние створки при отделении в случае отказа / двигателей сброса; Qj,min — минимальное расстояние между опасными точками отделя- емой створки и продолжающей функционирование конструкцией ЛА. Опасные точки конструкции выбираются на основании анали- за компоновочной схемы и детерминированных расчетов процесса отделения. Они же остаются и при вероятностных расчетах. 70
В случае плоского движения створки, соответствующего безот- казной работе всех двигателей сброса (/=0), величина р(т) опре- деляется по формуле е W=[*1А (М cos <р — у1А sin <р + *01 (АО+Д-Koi (Т)]2+ 4~[Х1д(А)) sin (A)) CQS ? + Уй1 (Aj)Д#01 (Т)Н“^техн~Ь i/диа]2’ (2- 49) где XoiGo), #01 Go) —координаты центра тяжести створки в инер-^ циальной системе координат XOY в момент времени соответст- вующий началу раздельного движения створок; XiaGo), #iaGo) — координаты опасной точки шпангоута в связанной системе коорди- нат XtYiZf, Дх01(т), Д#о1 (t) —текущие значения приращений ли- нейных координат центра тяжести створки в инерциальной систе- ме координат XYZ; ср — угол поворота створки относительно оси OZ; Утехи, #дин — соответственно величина технологического (мон- тажного) зазора и величина динамического зазора, учитывающего динамические колебания изделия. Значения параметров Дх01(т), Д#о1(т) и <р определяются из уравнений относительного движения створки, имеющих вид Л/(Дх01) = лГcos8( — sin ?)-|-хад-[-я/7; М (A#oi) = пТ cos 8 cos с?; , 50) ^i^1 = «7’(cos 8)ех1, где Т — тяга порохового двигателя сброса; п — количество двига- телей, установленных на створке; б — угол установки порохового двигателя; Хад — аэродинамическая сила лобового сопротивления створки; G и М — вес и масса створки; пх осевая перегрузка, действующая на ступень в момент отделения створки; /г1, ом — мо- мент инерции и угловая скорость вращения створки относительно оси OiZj; еЖ1 — эксцентриситет приложения результирующей тяги двигателей сброса. Наибольшее влияние на траекторию движения створки оказы- вают разброс тяги пороховых двигателей сброса и разброс време- ни включения их. Разброс тяги пороховых двигателей учитывается при решении управлений движения (2.50) при рассмотрении тяги Т как случайной величины. Разброс времени включения двигателей учитывается введени- ем случайных начальных условий для интегрирования уравнений движения. Эти условия могут быть получены при рассмотрении движения корпуса хвостового отсека под действием осевой пере- грузки пх, силы лобового сопротивления корпуса ХаД1 и усилия пружинных толкателей Рт хё^ Мт Мот Мот (2.51) где ЛГОт — масса отсека; Хсопр — сила сопротивления движения от- сека в разъемах; а и b — случайные параметры, через которые оп- ределяется усилие пружинных толкателей; /о — начальная длина 71
пружины. Решение уравнения (2.51) при нулевых начальных усло- виях имеет вид Дх=5 (2.52) где В 4“-^ад1 +я/0+ -Vconp) # * После прохождения отсеком пути Ax=ZT, соответствующего хо- ду толкателей, движение отсека описывается уравнением Дх=nxg4-^251- , (2.53) 'Wot а начальные условия имеют вид Дх(/Т)=/Т; Ax(ZT)=^/(2B-ZT)Zt, где /т — время окончания работы толкателей. Решение уравнений (2.52) можно представить в виде Ио)=-----------^ог/ +^/(25-Z.r)ZrZM+Z.r; Дх (Zo)=(nxg + /п.д+k V{2B-l.t)l.t. \ -Мот / (2.54) Параметры пх, Т, Хад, ХадЬ Рто, Рть, ^сопр, кд, входящие в пра- вую часть уравнений движения (2.20) и начальные условия (2.54), а также значения утеХн и удин в формуле (2.49) являются случай- ными величинами. Закон распределения этих случайных величин и их числовые характеристики могут быть определены в результа- те обработки статистических данных или по приближенным соотно- шениям (2.22). В результате многократного решения на ЭВМ уравнений отно- сительного движения (2.50) по формуле (2.49) определяются ре- ализации случайной функции р(т) и соответствующие реализациям значения QmiI1=ininQ(T). По полученным данным рассчитывает- ся математическое ожидание ^Qmin и среднеквадратичное откло- нение ^omIn случайной величины Qmin, строится гистограмма рас- пределения и выдвигается гипотеза о законе распределения pmin. Соответствие выдвинутой гипотезы и статистических данных прове- ряется при помощи критериев согласия, например критерия Пир- сона х2 [29]. В случае нормального закона распределения случайной вели- чины Qmin надежность безударного отделения z-й створки при усло- вии безотказной работы всех двигателей сброса (/ = 0) определя- ется по формуле HrO)=P(emin>o)=F* (2. 55) 72
где F*(-)—функция нормированного нормального распределе- ния [6]> Аналогичным образом рассчитывается надежность (НстО безу- дарного отделения i-й створки при отказе одного, двух и т. д. дви- гателей сброса. Полная надежность безударного отделения Z-й створки Нст^ вычисляется по формуле (2.47). Если нет возможности провести подобные расчеты, нижняя оценка надежности безударного отделения створки находится по формуле Нст;=Н<{70)Н" (2.56) Для равнонадежных, независимых и последовательно соединен- ных в смысле надежности створок надежность безударного отделе- ния корпуса хвостового отсека рассчитывается по формуле Нбу °=Нет» (2.57) где Нет — надежность безударного отделения одной створки; i— количество створок в корпусе. 2.4. НАДЕЖНОСТЬ СБРАСЫВАНИЯ ГОЛОВНЫХ ОБТЕКАТЕЛЕЙ Сбрасываемые головные обтекатели служат для защиты полезной нагрузки от воздействия скоростного напора и от механических и тепловых нагрузок, свя- занных с ним. После того как скоростной напор становится пренебрежимо мал, головной обтекатель сбрасывается для уменьшения массы, а также для того, что- бы предоставить возможность свободного отделения полезной нагрузки в задан- ный момент времени полета. Конструктивно такие обтекатели обычно представляют собой крупногабарит- ные тонкостенные конструкции сравнительно малой жесткости, состоящие из не- скольких частей, причем каждая часть, в свою очередь, может состоять из ряда створок и сбрасываться самостоятельно. Сбрасывание осуществляется при помо- щи специальных двигателей сброса, различных механических или другого типа толкателей. При этом сбрасывание створок головного обтекателя должно про ходить в определенной последовательности и без соударения створок с продолжа- ющей функционировать конструкцией на всем участке сбрасывания. Для конк- ретности дальнейшего изложения методики расчета, надежности, рассмотрим не- которые особенности конструкции и функционирования гипотетических головных обтекателей подобного типа. Пусть обтекатель состоит из двух частей: верхней конической и нижней ци- линдрической. Каждая часть состоит из двух створок и сбрасывается самостоя- тельно в такой последовательности. Сначала сбрасывается верхняя коническая часть, а затем с некоторой задержкой по времени — нижняя часть. Две створки скрепляются между собой при помощи пироболтов и пирозамков по двум про- дольным образующим. Верхняя и нижняя части между собой и нижняя часть об- текателя к корпусу ЛА крепятся пироболтами и пирозамками по шпангоутам, об- разуя поперечные стыки, а также при помощи конструктивных устройств, позво- ляющих поворачиваться на некоторый угол створкам верхней части относитель- но нижней, а затем нижней — относительно корпуса ЛА. Створки поворачивают- ся вокруг оси пороховыми двигателями сброса створок. По достижении заданного угла поворота створок происходит разрыв кинема- тических связей в узлах вращения створок, срабатывают пружинные толкатели, и створки уводятся от корпуса. При повороте створок раскрываются закрепленные на них отрывные элемен- ты (.гидро-, пневмо-, электроразъемы). Отрывные элементы соединяются со створ- ками тросовыми тягами, которые обеспечивают определенную последовательность раскрытия элементов. 73
Расчет надежности функционирования каждой из стварок обтекателя произ- водится в соответствии с общими положениями, изложенными в разд. 2.1, по формуле Нсг = ?(Нс.к,Нс.о,Н^), (2.58) где Нс.к, Нс.о, HgyB—надежность соответственно средств крепления (надежность раскрытия стыков), средств отделения створки, безударного отделения створки и отрывных элементов. При этом надежность средств отделения створки включает надежность пороховых двигателей сброса створки (Ндс.с) и надежность толка- телей (Нтол). При определении надежности функционирования всего головного обтекателя (Нф°) принимают, что створки соединены последовательно (отказ одной из ство- рок приводит к отказу всего обтекателя). В смысле надежности створки зависи- мы между собой, так как они соединены между собой одними и теми же соеди- нительными элементами (.пироболтами или пирозамками) и на створки действу- ет ряд одних и тех же сил (осевая и нормальная перегрузка, аэродинамическая сила и т. д.). При практических расчетах створки принимают независимыми в смысле надежности, что' идет в запас надежности, но при этом к каждой створке относят лишь половину пироустройств, соединяющих створки между собой. Час- то надежность всех средств крепления вычисляют - отдельно, не включая ее в на- дежность створки. Тогда формула для расчета надежности функционирования головного обтекателя имеет вид т Н£° = НС.КП НС1вг> (2.59) 1=1 где Нек—надежность раскрытия всех стыков головного обтекателя; НСтв г — надежность г-й створки без учета надежности средств крепления; т-—количество ствюрюк в обтекателе (в рассматриваемом случае т=4). Расчет надежности раскрытия продольных и поперечных стыков производит- ся согласно’ методу, изложенному в разд. 2.5. Под надежностью двигателей сброса понимают вероятность запуска и выхо- да на режим двигателей сброса, установленных на створке. Характеристики на- дежности таких двигателей обычно, определяются по экспериментальным дан- ным, полученным при стендовой отработке, и сообщаются разработчикам вместе с другими характеристиками. Если по условиям эксплуатации не допускается отказ ни одного, двигателя, то надежность всех двигателей сброса створки 'Оценивается по формуле п Нд.с.с ~ П^.с.с/, (2.60) Z=1 где /1д с с i—надежность г-го двигателя сброса; п — количество1 двигателей на створке. Однако при отказе одного или нескольких двигателей с некоторой вероятно- стью возможно безударное сбрасывание створки. При этом в зависимости от числа и места расположения отказавших двигателей возможны ^-вариантов сбро- са. С учетом этого надежность функционирования створки рассчитывается по формуле / \ п I \ Неге = Нсбтув0Л« с>с + 2 2 НбуВ'* А"х.с (1 - А»-с.сУ (2.61) 1 = 1 \k=l / где составляющие надежности с индексом jk означают надежность при. отказе j-двигателей для £-го варианта сброса; с индексом 0—надежность при безотказ- ной работе всех двигателей сброса.. Формула (2.61) получена в соответствии с (2.15) в предположении, что на створке установлены однотипные и равнонадеж- ны е двигатели сброса^ что обычно и наблюдается. 74
Кроме двигателей сброса на створках могут быть установлены пружинные толкатели, которые отводит створку от изделия при достижении ею некоторого угла разворота при разрыве кинем этических связей створки. Расчет надежно- сти толкателей производится в соответствии с методом, изложенным в разд. 2.5. Под безударным понимается отделение створки, когда она не задевает основ- ной конструкции и закрепленных на ней отрывных элементов. Для створок го- ловного обтекателя безударность определяется на двух характерных участках: на участке разворота, створок и на участке свободного движения створок. На участке разворота створки, вокруг узлов вращения рассматривается безу- дарное движение характерной точки в наиболее опасном сечении и возможность непопадания отрывных элементов в опасные зоны. Опасные сечения выбираются в результате анализа компоновочных схем и возможных деформаций сбрасывае- мых створок Опасные зоны назначаются из условий безотказной работы систем, расположенных вблизи отрывных элементов. На участке свободного движения створки учитывается возможность удара створки по основной конструкции после разрыва кинематических ^связей в.узлах вращения. Надежность безударного отделения оценивается как вероятность того, что минимальный зазор между опасными точками сбрасываемой и основной конструк- ции будет больше нуля, т. е. H§™ = P(emin > 0). (2.62) где Qmin — минимальный зазор между опасными точками конструкции. На участке разворота створки минимальный зазор между опасными точками находится из решения системы дифференциальных уравнений колебательно-вра.- щаггельнопо движения створки. При этом створка обычно рассматривается как тонкостенный стержень-оболочка .открытого сечения, обладающая в плоскости поперечного сечения жестким недеформируемым контуром. При решении учиты- вается кинематическая связь створки с основным корпусом в виде вращательной пары, совместность изгибных и крутильных колебаний, нежесткость узлов вра- щения. Чтобы описать пространственное движение створки, ее колебание в плоско- сти сбрасывания и в плоскости, перпендикулярной к сбрасыванию, а также кру- тильные колебания, используют уравнение изогнутой оси стержня = (2,63) где Е1у(х) —жесткость стержня при изгибе; Е— модуль упругости материала; 1у(х) —момент инерции поперечного сечения; £(х, t) —перемещение; Му (х) — момент внешних и инерционных сил. Напишем такое же уравнение при перемещении по оси Z и продифференци- руем эти два уравнения дважды по координате х: д2 \ f д2 гм д2 г.и дх2 J дХ2 [ 2 дх2 (*)]; (*)]» (2.64) где £(х, /), т](х, t)—перемещение центра жесткости сечения по направлению оси Oz и Оу соответственно.. Записывая выражение для полного крутящего момента и учитывая, что при стесненном кручении внешний крутящий момент ( Ш?к) выражается через изгиб- но-крутящий момент и момент чистого кручения [9], и однократно это выраже- ние дифференцируя по х, получим третье уравнение д ПУ п д дх Е1а(х) Г~, , ^9(*,01 —\Qtd (х) —-— дх3 J дх L ox J (2.65) 75
где 0(х)—угол закручивания сечения относительно! центра жесткости; /ф(х)— бимомент инерции сечения; Zd(x)—момент инерции кручения; G— модуль сдвига. -Расписывая правые части уравнений (2.64) через ингепсивности составляю- щих внешних и инерционных сил, получим уравнения вида 02 г 025(х,т Г 02£ , ч 55 Г«w ЛИ]+ 7757 [ - ]+ да ">+ I г I I + \ т (%) Х* ЛХ + [>П (Х) Лу] + д^2 Х1 / .. 1 д£ .. 00 4- аи \ т (х) xs dx I + — т (х) хя -4 -— J 0Х 0Х Хх J i \ т (х) И (х) dx 4- п + ^т(х) ха1 ч- 0m(x)^s 4- 2 (х — xk) + т (х) g$nz = 0; к=1 0X2 [ И } дх^ J+dx2^2[ т (х) Iz' F 02т] + т (х) 4- I Г .. 020 (* f .. 0V) + ~дх2} m(x')x»dx + ~^\l J m(x)ssdX2+ — zn(x)xs + (2.66) — m (x)<p2 Yd — m (x) gonx sin <p -|- m (x) gr)ny cos <p = 0; д Г <Wx ,01 № Г 77 Iй- w + 7SSJI - ““J+ 7^ " w + 02£ 0X2 I m (x) xa dx v1 {ly - ^y) + -TT- m (x) r2 + 5 [m (x) ifs] + n + 7) [ — m (x) г2] + 0 [ — m (x)i/.s] (ly — ay) + 2 ®JKS' (x — хь) + a=i + т(х)^оигГц.т = О, где m(x) —погонная масса; F — площадь сечения створки; хЕ, га — суммар- ные значения ускорений по направлениям соответствующих осей; ау—координа- та центра жесткости сечения; Rzk, Ryk—составляющие k-й сосредоточенной наг- рузки; 6—дельта-функция Дирака; пх, nVi nz—перегрузки изделия; ф — угол разворота створки при сбросе; уэ — эксцентриситет ц. т. сечения относительно 4 + h 2 оси вращения; г2 =----—4- ау\ гц.т—радиус-вектор в ц. т. створки относи- тельно оси вращения. Эти дифференциальные уравнения совместно с граничными условиями зада- чи определяют пространственные изгибно-крутильные колебания створки. Граничные условия определяются с учетом возможных упругих перемещений опор (узлов вращения створки). 76
При х=0 будет ««Л <52$ (0,0 <55(0,0 Е1У д 9 = : а <5x2 дх д Г д2ч(0,01 ^(0,0 Л £'’М^Ь--О: <50 (0,0 При х = 1 д дх д дх (2.67) = (0,0> г <59(0,0 с -------- дх в ж J °’ (2.68) д Г д29(Z,01 дв -d£'-w «J+o,d^ _ы w»M_o. 2 дх* 0; Для нахождения решения подученных дифференциальных уравнений исполь- зуется метод разложения прогибов и закрутки стержня по собственным функ- циям $(х,0= (0/„$(*); Й=1 ,ад. 2с,и/яи (2.69) п в(х,о= 2МШ Л=1 где Sn(t)9 Cn(t), 'O’mCO—временные функции колебаний n-го тона; fn^ (х), f пу\ (x)> fnb (*) —функции формы изгибных и крутильных колебаний n-го тона. Подставим соответствующие выражения для перемещений в уравнение (2.166), умножим правые и левые части на соответствующие формы колебаний и проин- тегрируем полученные уравнения по х от 0 до I. После некоторых цреобразова- 77
ний из дифференциальных уравнений в частных производных получим уравнения в обыкновенных производных. Введем обозначения: I C df^ fni\dx> $/27)9“ \ ~~dx~ $nrl^Xt d (* dfn^ fr*d^ 0 C dfn§ f n^dx\ ФЛ£9 = d^: f dx; 0 1 dx. (2.70) , .. f d2fn3 ~ J dx2 0 Л _ f fAe Ф^8 J dx2 0 ф .._{d2fnz J dX2 0 I • Мл£5 = f tn (x) dx; Mnii = f.m (x) fnZfn9dx; 0 0 I I tn (X) dx; M„tt = J « (X) /„e dx; ^«7)9 I I f « (х) fmfntdx; 1пы = f т (х) r^f2n6 dx, уравнение вращения створки как твердого тела и, разрешив по времени, запишем а также добавим все четыре уравнения относительно вторых производных систему дифференциальных уравнений движения: #11? 4- #12-5 + #14# = #15; #22§ 4- $24# = #25 > #31? + #33^* “ #35^ #42«S 4" #44# -= #45; где =- !г; »12 = (МТ1 + Mu) (I - xj fnrt (xj; &м = [гь sin (8rtj - 0) Af^ — ~ гт. sin (8Л1+«) MJ (Z - xj + /„o (xTi); &16 = (P1+P3) cos (8Я1+в) (Z-x J + * + (P2 + P4) cos (8„ — 0) (Z — J + AfCTB (gnx sin <f> + gny cos <p) (Z -j- xT) + Mд; I (2.71) #21 = 1; #24 = ay M "0 МЛ« . „ gQng . 2 <, „ч ; »25 = — -----+ —— m (x) fnf dx - »znisn (0 - mn& mn& ' 8°“nf — $л(0-Ы0 Л ФЛ?6 p I I I m (x) y^dxdx + a у m(x)x%dx -Ь ф«ёо f &У (' df nQ .. . mMtdx 4- —— \ —— fn^ m (x) x^dx 4H — j мп^ j ax мп^ Xx u «Е9 #31 — — I ‘, -p- \ tn (x) xfnri dx-, »зз = 1; &35 = —— I 7 j Rykfnn ~ . 78
— zw (x) f^dx &уэ + gQnx sin - gQny cos ?) 1 - <*2nyCn (t) — —-^- Cn — о J ( л l l A 1 w 4 —h (0 j ”7:---\ \m(x) z^dxdx + 2 —---------\ m (x) zz dx + —----zB|; &44 = 1; I Л1л’1’1 • “ '"mi " л1л’Р1 I X i X i X \ 9 „ I Mn^ “1 t c \ a42 = ay ; »45 = *7-------- Э SRK/„e + gonzr +\m(x) fn<jdx - J nW 1 «89 J - “«9»« (0 - К (!) - *n (0 Vy - “у) + Cn (t) zs - П JnW 'М e I Фд£0* г // ч C z 4 •’ , . - ^nW 1 — sn (0 ----[ — (iy — ay) \ m (x) xs dx + y^~--- . ' I 1Я69 * 7/z68 J Здесь <оя9 —частоты изгибных и юр утильных колебаний ft-го тона; Iz—момент инерции створки относительно оси вращения; AfTi и — мас- са кассет с двигателями сброса; МСТв—масса сбрасываемой створки; ЪП1 и &Й2 — углы установки двигателей сброса на- створке относительно плоскости поворота створки; I—длина створки; хУ1, х^—координаты установки двигате- лей сброса гь» гь— радиусы-векторы в точке установки двигателей сброса; МА—момент в узлах поворота; б°—декремент затухания; Pi, Р2, Рз, Pi—тяги двигателей сброса; хт—координата центра тяжести сечения; гт — радиус-вектор центра тяжести сечения от оси вращения створки. Частотные характеристики тонкостенных конструкций существенно зависят от способов крепления на концах. Для рассматриваемой створки, один конец ко- торой свободен, а другой — имеет кинематическую связь в узлах вращения; фор- мы ff fn§ и частоты <дп^, (o^q изгибных и крутильных колебаний зависят от жесткости самих узлов вращения и могут быть определены в резуль- тате динамического расчета конструкции [Ы]. Система дифференциальных уравнений (2.71) разрешается относительно вто- рых производных Ф, S, /, О на каждом шаге интегрирования. Последующее ин- тегрирование дает все необходимые параметры для нахождения траекторий опас- ных точек при детерминированных расчетах. Стохастический характер процесса сбрасывания створок головного обтекате- ля учитывается следующим образом. Начало интегрирования дифференциальных уравнений движения створки соответствует моменту фактического раскрытия пос- ледней группы пироустройств. Этот момент является началом движения створки при сбрасывании и представляет собой случайную величину. Так как двигатели сброса запускаются до раскрытия створок, MioiMeHT фактического раскрытия и на- чала движения створок .играет существенную роль в процессе сбрасывания. Чис- ловые характеристики закона распределения времени начала интегрирования оп- ределяются на базе статистических данных по времени прохождения команд. Другим случайным фактором, играющим большую роль в процессе сбрасыва- ния, является тяга двигателей сброса створки. Числовые характеристики закона распределения тяги двигателей сброса по времени рассчитываются по статисти- ческим данным, полученным в результате испытаний и отработки однотипных по- роховых двигателей. В результате расчета параметров движения створки на ЭВМ методом стати- стического моделирования [6] определяются числовые характеристики закона рас- пределения случайной величины минимального зазора в опасном сечении створки. Надежность безударного движения отрывных элементов количественно оце- нивается вероятностью непопадания их в «опасную зону». Движение отрывного 79
элемента описывается как колебательное движение материальной точки на упру- го заделанной нити с переменной длиной. При этом требуют, чтобы траектория движения отрывного элемента не пересекалась или имела общие точки с грани- цей «опасной зоны». При определении траектории отрывного элемента может быть использован метод Лагранжа [9]. В этом случае за обобщенные координаты qi принимаются угловые перемещения нити (троса) 0 и ₽ и упругие перемещения массы отрывно- го элемента М вдоль нити т|. Тогда d дТ дТ dt dqi dqL (2.72) 1 ... где Т = — М (а:2 -4 у2 + 22) — кинетическая энергия системы; t — время; Q — обобщенная сила; х, у, z— составляющие линейной скорости движения от- рывного элемента в проекциях на оси систем координат XKZ, связанной со створ- кой головного обтекателя. Координаты х, у, z связаны с обобщенными коорди- натами 0, Р и Л соотношениями х — (а 4- Р) sin 0 cos р; ,tft = (оС 4- ц) cos 0; z = (а + tj) sin 0 sin p, где а — длина нити (троса). Отсюда Т = М [(а + ?1)2 (02 4- sin20p2) + ^2]. (2.73) Записывая выражения для производных от Т по соответствующим обобщен- ным координатам и подставляя их в выражения для обобщенных сил в уравне- ния Лагранжа, получим три уравнения движения отрывного элемента в обоб- щенных координатах, описывающие движение отрывного элемента относительно точки закрепления на створке: т] = Г ©2 j- £2 sin 2 0 — т] -}- а (02 4^р2 sin20) — (1 — cos 0) 4- L Al J 0 -4 xr.o cos p sin 0 4- 24.0 sin p sin 0; ' 2 \ • до л .. sin 0 .. cos P cos 0 — 4- И6 4- P sin 0 cos 0 — t/r.o--------------------+ xr,0------------------ k а / а 4 7] а 4 (2-74) sin р cos 0 4- 2г.о ~ ; а 4- h 2 .. л • л хго sin р zro cos р ц6 -2(ctg 0)08 -——-s + -5^--—i-, h 4- т]-----------------------------а* 4- y) sin 0 а'+я sin 0 где M— масса отрывного элемента; с — жесткость пружины; хг.о, z/г.о, zr.o—ус- корения движения створки головного обтекателя в направлении соответствую- щих осей, определяемые из выражений *г.о = 7? (cos <р<р2 + sin ?<р2) + gnx'’ «г.о = R (cos й2 — sin ??2) + gnu; (2 75) .. ' Л4„р гг.о = -— COS 0>trx + gn*, *np где R—расстояние от тючки крепления нити (к створке) до оси вращения; <р — угол поворота створки головного обтекателя; А1пр — приведенный момент, дейст- вующий при кручении; гпр—приведенный момент инерции створки; со — круговая частота колебаний; гж—эксцентриситет расположения точки'крепления нити от- носительно центра жесткости створки gnx, gny, gnz —ускорения по соответству- ющим осям в точках расположения узлов вращения. 80
(Координаты Хот, у от, 2от, характеризующие положение отрывного элемента относительно опасной зоны с учетом движения створ хи определяются из соотно- шений хот — х — хг,0 ~ (а -г ^]) sin 9 cos 0 — — 8 /” t2 •• \ (2 Wot = 1</ + Уг.0 = (а + •»]) (cos 0О — cos 6) + R I <? — — —— I; М • > z0r = z — 2^.0 = (а -И т]) sin 6 sin {3, где хг о, уг о, о — координаты отрывного элемента, полученные путем двойно- го интегрирования выражений (2.75). Из решения системы уравнений (£.76) для каждой реализации случайных па- раметров определяется траектория движения отрывного элемента и соответству- ющее ей минимальное расстояние между характерной точкой отрывного элемента и поверхностью, ограничивающей «опасную зону». Надежность безударного дви- жения отрывных элементов вычисляется по формуле НбГ = Р вЭ > О) = f /еогр.э (X) dx, (2.77) J 0 min где = m.in ^min » Qmin t ~~ случайная величина-, характеризующая мини- мальное расстояние между траекторией движения яго отрывного элемента и со- ответствующей границей «опасной зоны» (по нормали к поверхности «опасной зоны»); f огр.э (аг) — функция плотности распределения случайной величины emin e°mT- Надежность безударного отделения створки -на участке свободного полета рассчитывается следующим образом. На участке свободного полета движение центра масс створки описывается системой дифференциальных уравнений, имеющих вид г°СН- ^2 д2У _ д^2 -^=0, д(2 ’ -f где х, у — координаты центра масс створки; хосн, уосн— ускорение основной конструкции; ф— угол поворота створки относительно основной конструкции. Эти уравнения решаются при следующих начальных условиях: dx$ & = ?сбр^ц.т cos сбебр — Дх; —^7 = ?сбр/*ц.г Sin асбр ± УсбрЛ, (2.79) где фсбр—угловая скорость створки в конце работы толкателя; гц т—радиус- вектор центра тяжести створки от оси вращения; уСбр — угловая скорость вра- щения основной конструкции в момент сброса створки; — расстояние от центра тяжести основной конструкции до оси вращения створки; Лх, A# — составляю- щие приращения скорости от действия толкателей в узлах вращения; аСбр-— угол сброса створки 4 1340 81
(2.80) Величина угловой скорости створки в момент сброса (фсбр) является вели- чиной случайной, зависящей от параметров движения на участке разворота створки. Вероятностные характеристики этой случайной величины рассчитывают- ся по результатам первого участка движения створки. Толкатели створки в узлах вращения установлены в направлении оси у. По- этому Дх=0. Энергия толкателей затрачивается на перемещение створки по нап- равлению оси у и на вращение створки относительно центра масс. При этом на вращение расходуется около 30% энергии толкателей, вследствие чего угловая скорость створки от действия толкателей на порядок меньше угловой скорости от действия двигателей сброса. Поэтому составляющей угловой скорости от дей- ствия толкателей в практических расчетах можно пренебречь. Линейное приращение скорости А// створки, от толкателей рассчитывается по формуле 2ЛГ / Л1ствГц.т cos2ac6p Мств I 1 “Ь 7 \ *z где Ат—работа толкателей; AfCTB—масса сбрасываемой створки; Iz — момент инерции створки относительно узлов вращения. При расчете приращения скорости Ау используются вероятностные характе- ристики работы толкателей, получаемые в результате обработки статистических данных по характеристикам пружин. Дважды интегрируя уравнения (2.78), получим х — — хосн/ + ci; х == -у- x0CHz2 д- at + сг; й = - #осн* + с3; У: = — Уосн<2 4- c^t 4- с4; ^ = с5; <f = c5t 4-с6. 'Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, соответст- вующих параметрам движения створки в конце разворота в момент потери створ- кой кинематической связи, с оснонной конструкцией. Записывая выражение для расстояния между сбрасываемой створкой и ос- новной конструкцией и подставляя значения координат опасных точек из реше- ния уравнений движения, получаем аналитическое решение для величины мини- мального зазора на участке свободного полета створки. По числовым характери- стикам законов распределения случайных параметров рассчитываются математи- ческое ожидание и среднеквадратичное отклонение величины минимального зазо- ра, а по ним — надежность безударного движения ств.орки на участке свободно- го полета. 2.5. НАДЕЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ ОТДЕЛЕНИЯ В данном разделе рассмотрен метод расчета надежности средств крепления Нс.к> электропневморазъемов НЭПр- В качестве средств крепления в современных системах отделе- ния обычно используются пирозамки, пироболты и т. п., а также механические (рычажные) замки с пружинными толкателями [24]. Метод расчета надежности пироустройств изложен в гл. 4. Надежность раскрытия рычажного замка (/грас) рассчитывает- ся как вероятность того, что силы сопротивления при раскрытии не 82 v
превзойдут усилия толкателя на всем потребном пути I перемеще- ния штока толкателя ^рас = ^(^**npW>/7con₽W; 0 X I), (2.81) где Fnp(*)—усилие, развиваемое пружинным толкателем; ^сопр(^) —сила сопротивления перемещению тяги рычажного зам- ка. В штатном режиме функционирования системы отделения для безотказности раскрытия стыка обычно требуют раскрытия всех элементов крепления, установленных в стыке. При этом надежность раскрытия стыка определяется по формуле п Нс,к=ГРс.к/. (2.82) где йс.кг — надежность i-ro элемента крепления; п — общее количе- ство раскрывающихся элементов крепления, установленных в сты- ке. Здесь средства крепления, установленные в стыке, рассматрива- ются как система независимых, последовательно соединенных эле- ментов. Однако при нераскрытой одного или нескольких элементов креп- ления во многих случаях сохраняется возможность раскрытия сты- ков из-за разрушения нераскрывшихся элементов от действующих при отделении нагрузок. В такой постановке надежность Нс.к при условии равнонадежности всех элементов рассчитывается по фор- муле п ^cX^C}nh"7K4^-fie.Kyh}, (2.83) где hj — вероятность разрушения внешними нагрузками j нераск- рывшихся элементов; Сп’ — число сочетаний из п элементов по /; /гс.к— надежность раскрытия элемента крепления; п — общее ко- личество элементов крепления в системе. При высоких значениях надежности /гс.к. члены суммы (2.83) убывают настолько быстро, что суммой членов после третьего можно пренебречь. Вероятность разрушения / нераскрывшихся средств крепле- ния hj представляет собой вероятность того, что действующая при отделении нагрузка превзойдет несущую способность нераскрыв- шихся элементов (см. гл. 1) / i \ h}=P ^>2^ > (2.84) \ *=1 / где N—нагрузка, действующая на нераскрывшиеся элементы крепления; /?к — несущая способность &-го нераскрывшегося эле- мента крепления. При расчете надежности раскрытия продольных стыков створок обтекателей необходимо учитывать степень согласованности време- ни раскрытия и времени срабатывания средств перемещения, уста- 4* 83
новленных на створке. Введение этого условия вызвано тем, что срабатывание средств перемещения створки до раскрытия замков стыка может привести к значительным деформациям створок и заклиниванию замков крепления. Рассмотрим расчет надежности раскрытия продольных стыков корпуса хвостового отсека, состоящего из трех створок. Створки соединены между собой при помощи механических замков. Для сообщения створкам импульса в поперечном направлении на них установлены пороховые двигатели сброса. Команда на включение пороховых двигателей сброса выдается с некоторой задержкой,по времени после раскрытия замков продольных стыков (см. разд. 2.3). Для рассматриваемой схемы надежность раскрытия продоль- ных стыков створок Нпр.с можно рассчитать по формуле Нпр.с=Н,й3р, (2.85) где — вероятность того, что продольный стык раскрывается раньше запуска пороховых двигателей (в противном случае насту- пает отказ); /гр— вероятность раскрытия одного продольного сты- ка (формула получена в предположении идентичности всех стыков и равновероятности их раскрытия). Вероятность раскрытия продольного стыка раньше запуска по- роховых двигателей определяется следующим образом. Команда на раскрытие пирозамков поперечного стыка подает- ся через некоторое время t\ после включения временного механиз- ма. Время ti зависит от времени срабатывания всех пирозамков, установленных в стыке, и является величиной случайной. После раскрытия пирозамков поперечного стыка происходит движение корпуса хвостового отсека, как единого целого, под дей- ствием осевой перегрузки их, силы лобового сопротивления Хад1 и усилия толкателей Рт. Силы, действующие на отсек, являются слу- чайными, что обуславливает случайный характер движения отсека. Уравнение движения отсека на участке действия толкателей имеет вид ~ I *ад1 | а(х + 10)Ь ^сопр xg-t" Мот + Л!ог <т ’ где Мот — масса отсека; ХС0Пр— сила сопротивления в разъемах и толкателях; а и b — случайные параметры, через которые опреде- ляется усилие пружинных толкателей; /о.— начальная длина пру- жины толкателя. Решение этого уравнения при нулевых начальных условиях име- ет вид где 5=(nxM0Tg—. После прохождения отсеком расстояния х=/ь соответствующего ходу толкателей; приводится в действие механизм раскрытия про- 84
дольных стыков. Решение (2.86) позволяет определить время на- чала срабатывания механизма раскрытия продольного стыка t2= arc cos----- 1/ ——. к в ) V |а| Отсюда, используя метод линеаризации, можно определить ма- тематическое ожидание mi2 и среднеквадратичное отклонение Dt2 времени начала срабатывания механизма продольного стыка тпх, та, mb, DB, Dnx. Da, /^ — соответственно математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение случайных парамет- ров В, пх, а, Ь. Время раскрытия замков продольных стыков (Z3) зависит от ря- да случайных факторов, например, жесткости пружин раскрытия замков, силы сопротивления раскрытию и т. п., и является случай- ной величиной. Математическое ожидание и среднеквадратичное отклоне- ние Dtz полного времени раскрытия продольного стыка от момен- та включения временного механизма определяются по формулам V + + ' (2.88) Вероятность того, что продольный стык раскроется раньше запу- ска пороховых деталей, рассчитывается по формуле Н/=Р((/а</„.д)/А)Р(А) + Р((^</п.д)М)(1-Р(А))> (2.89) 85
где событие А характеризует случай включения системы коррек- ции одновременной работы двигателей. Раскрытие продольного стыка происходит при освобождении за- щелок всех замков стыка. Это событие осуществляется при ходе толкателя продольного стыка /т = /т1. Надежность раскрытия сты- ка рассчитывается по формуле Л,=Р(!Г > U=P(NT > Л7сопр), (2.90> где lTi — ход толкателя, потребный для освобождения защелок ме- ханических замков; ЛГт — усилие, развиваемое пружиной толкате- ля; JVconp — сила сопротивления движению. Силы Nt и AZconp являются независимыми случайными величи- нами. В большинстве практических случаев закон их распределе- ния может быть принят нормальным. При этом формула для рас- чета надежности hP имеет вид (тн — mN \ т conL_| , (2.91) 1/221 г и^т+^сопр / где mNx, Wconp, DNi, Z)^onp — соответственно математическое ожи- дание и среднеквадратичное отклонение случайных величин Nt и Л^сопр! Р*(‘) —функция нормированного нормального распределе- ния [7]. Раскрытие пневмогидравлических разъемов и колодок обеспечи- вается пиросредствами (обычно пирозамки) и происходит под дей- ствием усилий пневматических или пружинных толкателей. Для: увеличения надежности раскрытия этих элементов система их рас- крытия в некоторых случаях дублируется механической системой- раскрытия. Штекерные электроразъемы обычно раскрываются ме- ханическими системами, аналогичными дублирующей механиче- ской системе раскрытия пневмогидравлических колодок и разъемов. Надежность раскрытия электропневморазъемов, входящих в состав системы отделения, рассчитывается по формуле к Нэпр=Пнэпр/, (2.92) где НэПр г — надежность z-го электропневморазъема, входящего в состав и системы отделения; k — общее количество электропнев- моразъемов. Формула (2.92) получена в предположении, что элект- ропневморазъемы, входящие в состав системы отделения, пред- ставляют собой в смысле надежности систему независимых после- довательно соединенных элементов. В общем случае надежность раскрытия отдельного электропнев- моразъема оценивается по формуле H9np.z = 1 -(1 - Ап.с)(1 -Лм.с),. (2. 93) где /гп.с — надежность раскрытия электропневморазъема при сра- батывания пиросистемы; /гм.с—надежность раскрытия электропнев- моразъема от механической системы (здесь пиросистема и механи- 86
веская система раскрытия приняты как независимые параллельно -соединенные элементы). Надежность раскрытия электропневморазъема при срабатыва- нии пиросистемы hn с определяется по формуле ^п.с ^п.з^сбросЬ (2.94) где йп.з — надежность пирозамка (см. гл. 4); ЛСброс1 — надежность сброса разъема толкателем. Надежность сброса разъема толкателем рассчитывается как ве- роятность того, что усилие NTy развиваемое толкателем, будет боль- ше силы JVpaci сопротивления раскрытого разъема, т. е. Лсброс=Р(^>ДГрас1). (2.95) Надежность раскрытия электропневморазъема от механической системы рассчитывается по формуле ^м.с===^сброс2Атрос> . (2.96) где ЛСброс2 — надежность раскрытия пирозамка и сброса разъема .под действием внешней нагрузки; ЛтрОс — надежность троса меха- нической системы по прочности. Надежность АраС2 определяется по формуле ^сброс2 (2-97) где N — продольная нагрузка, действующая при отделении; Wpac2=.A^n3+'2Vpacl; Nn3 — усилие, потребное для раскрытия пиро- замка при несработавшем пиропатроне; Npact — сила сопротивле- ния раскрытию разъема. Надежность Лтрос рассчитывается по формуле ЙгРос = /Э(^р>ЛГ₽ас2)’ (2- 98) где Мтр — усилие, потребное для разрыва троса механической сис- темы раскрытия. При практических расчетах закон распределения случайных па- раметров N, Ут, Л^п.з, Л^рась Мгр, входящих в выражения (2.95), (2.97), (2.98), может быть принят нормальным. В этом случае сос- тавляющие надежности /гСбрось ^сбросг, Лтрос могут быть вычислены по формуле /г.=/> (X _ K)=F* [—, (2.99) \ + J где тх, ту — математическое ожидание; Dx, Dv — среднеквадра- тичное отклонение параметров, входящих в выражения (2.95), (2.97) и (2.98); /’*(•) — функция нормированного нормального распределения. 87
ГЛАВА.З Надежность функционирования поворотных частей конструкции 3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Среди систем, входящих в состав летательного аппарата, значи- тельное место занимают такие механические системы, как поворот- ные части конструкции. Поворотные части конструкции на участке выведения должны быть уложены в зону полезного груза, а после выведения, на участке орбитального полета, должны раскрыться на требуемый угол и удерживаться в заданном положении. К поворот- ным частям конструкции относятся панели солнечных батарей, держатели светильников, антенны и другие конструктивные элемен- ты и агрегаты. Системы раскрытия включают следующие группы устройств: средства крепления, страгивания, раскрытия и фиксации, собствен- но конструкцию поворотной части. Средства крепления обеспечивают жесткое крепление поворот- ной части конструкции к корпусу ЛА и освобождают поворотную часть от жесткой кинематической связи с корпусом в расчетный момент. Средства раскрытия обеспечивают перемещение поворотной части относительно корпуса ЛА на заданный угол. Для обеспечения надежного страгивания поворотной части в начальный момент раскрытия могут использоваться специальные толкатели. Фиксация, заданного конечного угла раскрытия поворотной час- ти обеспечивается специальными конструктивными элементами — защелками. При расчете надежности по функционированию рассматривают- ся конструктивно-функциональные схемы работы системы раскры- тия и на этой основе выявляются возможные предельные состояния и характер отказов. Однозвенцые поворотные части конструкции по принципу дейст- вия одинаковы и конструктивно состоят из штанги, одним концом шарнирно соединенной с корпусом изделия. Прибор (соответствен- но радиоголовка или светильник) устанавливается на свободном конце штанги ,и соединяется с системами изделия при помощи элек- трокабелей. До начала функционирования приборов (на участке выведения изделия на околоземную орбиту) поворотная часть конструкции находится в сложенном положении. Для удержания поворотных частей в сложенном положении и осуществления процесса раскры- 88
Рис. 3.1. Схема раскрытия одно- звенной поворотной части конст- рукции: /—штанга; 2—прибор; 3—толкатель; 4— пирозамок; 5—шарнирный узел; 6—за- щелка тия и фиксации в рабочем положе- нии служат механизмы расчековки, раскрытия и стопорения. В сложенном состоянии штанга удерживается при помощи пиро- замка. Раскрытие замков крепления происходит по команде от системы управления полетом после отделе- ния изделия от носителя. В процессе раскрытия штанга перемещается из начального (сло- женного) положения в конечное (раскрытое) положение. Начальное и конечное положения штанги за- даются соответствующими угло- выми координатами хрн и <рк и определяются конструктивной схе- мой поворотной части (рис. 3.1). Движение штанги происходит под действием момента кручения пружины, установленной в шар- нирном узле, и усилия толкателя, улучшающего условия страгива- ния. Энергия пружин привода и толкателя идет на преодоление мо- мента трения в шарнирном узле, момента сопротивления защелок -стопоров и момента сопротивления деформациям кабелей комму- никационных связей, а ее избыток переходит в кинетическую энер- гию звена. Жесткая фиксация штанги в раскрытом положении осуществля- ется при помощи упоров и пружинного стопора, установленного в шарнирном узле или корневом сечении штанги. Стопор срабатыва- ет при достижении штангой конечного относительного положения. При этом защелка стопора под действием усилия пружины входит в специальный паз в ответном элементе конструкции. В результа- те движение штанги становится невозможным' и она жестко фикси- руется (стопорится) .в заданном положении. Из анализа конструктивной схемы и процесса раскрытия следу- ет, что для безотказного раскрытия поворотной части конструкции необходимо выполнение следующих событий: Ai — события, заклю- чающегося в отсутствии разрушения конструкции поворотной части на участке выведения; А2 — события, заключающегося в отсутст- вии разрушения конструкции поворотной части при ее раскрытии и зачековке; А3 — события, заключающегося в неразрушении конст- рукции поворотной части при ее функционировании в раскрытом -состоянии; А4 — события, заключающегося в расчековке, страгива- нии, раскрытия и фиксации звеньев в заданном положении. Надежность по функционированию поворотной части конструк- ции есть вероятность выполнения события А4, т. е. Нф=Р(Д4). (3.1) Событие А4, определяющее надежность по функционированию, .является сложным и заключается в расчековке звеньев системы 89
(событие Bi), в выполнении условий страгивания (событие В2), в: раскрытии звеньев и их фиксации в конечном положении (событие В3), т. е. Л4=(В, п В2 п в3). (3.2) Ввиду того, что можно допустить независимость события Bi, В2 и Bi, В3, надежность по функционированию представляется в виде Нф=тп В2Г1 Я3)=НрасчР(В2П в3), (3.3> где Нрасч=В(В1) — надежность расчековки звеньев. В современных механических системах раскрытия поворотных частей конструкции в качестве средств зачековки звеньев использу- ются пирозамки различных типов. Методика расчета надежности пирозамков изложена в гл. 4. События В2 и В3, определяющие вероятность Р(В2П^з), зави- симы, так как основные пружины, обеспечивающие раскрытие^ звеньев поворотной части в начальный момент времени совместно’ с толкателями, способствуют страгиванию звена. В общем случае Р(В2 п В3)=Р(В2)Р(В3/В2)=<?(Нсер, Нр.ф), (3.4). где НСТр=Р(В2) —надежность страгивания звеньев из сложенно- го положения; Нр.ф=Р(В3) —надежность раскрытия и фиксации звеньев. Вид функциональной связи ф(НСТр, Нрасч) определяется харак- тером зависимости событий В2 и В3. Надежность страгивания звеньев характеризуется вероятностью превышения моментов движущих сил (толкателей, основных пру- жин) над моментами сил сопротивления страгивания (трения в шарнирах и узлах зачековки) в начальный момент движения Нстр Р (Л4 Дв > сопр), где Мдв — момент движущих сил при страгивании; 3fconp — мо- мент сил сопротивления страгиванию. Нормальное раскрытие и фиксация поворотной части подразу- мевает тот факт, что конечный угол раскрытия звена станет рав- ным заданному значению (углу зачековки). Очевидно, для того чтобы процесс перемещения имел место, дос- таточно выполнения неравенства Мдв(ф) >7ИС0Пр(ф) на всем участ- ке перемещения [фк, <рн]. Вероятность выполнения этого неравенст- ва может служить оценкой надежности функционирования системы: Нр.ф=Р(Л1дв(<р)>7ИСоПр(?); ТкС'рСфн)’ (3.6)- где Л[дв(ф) и МСОПр(ф) в общем случае являются случайными функциями своего аргумента. Однако эта оценка надежности функционирования является за- ниженной, так как не учитывает возможности перемещения под- вижных частей за счет накопленной кинетической энергии даже в случае превышения сил сопротивления над силами привода. По- этому при расчете надежности Нр.ф в качестве параметров функци- онирования, наиболее полно характеризующих процесс перемеще- ния, следует рассматривать функции работы действующих сил по 90
пути перемещения. При этом надежность функционирования опре- деляется как вероятность того, что работа движущих сил системы .Адв(ф) будет больше работы сил сопротивления АСОпр(ф) на всем пути перемещения фк^Ф^Фн, т. е. Нр.ф Р (Адв (<р) Асопр (<р), ср <рн). (3-7) В случае безотказного раскрытия разность работ всегда неотри- цательна. Если в результате срабатывания системы звено раскры- лось не полностью, не дойдя до заданного относительного угла, разность работ отрицательна и определяет недостающее количест- во энергии, которое необходимо сообщить звену для достижения конечного положения. В общем случае работа движущих сил и сил сопротивления оп- ределяется по соотношениям Адв(<р)=J Мдв (?)</<?; Асопр (?)=f M.onp(<p)d<p, <р тде Л1дв(ф) —изменение момента толкателя и пружины кручения б шарнирном узле; 2ИСОПр(а) —изменение момента сил трения и момента сопротивления фиксаторов. Наряду с однозвенными механизмами раскрытия в конструкции летательных аппаратов используются и многозвенные системы. По принципу действия почти все та- кие системы одинаковы и конструктивно состоят из п звеньев (створок), первое из которых шарнирно соединено с корпусом ЛА, второе своим началом шарнирно крепится к концу первой створки, третье— аналогично ко второй и т. д. В сложен- ном состоянии звенья удерживаются при помощи пирозамков и кронштейнов. В ка- честве примера на рис. 3.2 показано на- чальное положение (сплошная линия) и конечное положение (пунктирная линия) панелей солнечных батарей. После срабатывания пирозамков рас- крытие звеньев осуществляется под дей- ствием моментов кручения пружин, уста- новленных в шарнирных узлах. Сначала начинает движение четвертое звено, за- (3.8) тем последовательно третье, второе и -- первое. Страгиванию звеньев из сложенного положения помогают специальные пру- Ри-с ?.2. Схема установки панелей солнечных бата- рей в сложенном и раск- рытом положениях 91
жинные толкатели. Жесткое стопорение звеньев и их фиксация в раскрытом положении осуществляются с помощью стопоров (фик- саторов), расположенных в шарнирных узлах и срабатывающих при достижении звеньями конечного относительного положения. Надежность функционирования таких систем оценивается по общим соотношениям (3.3), (3.4). Под надежностью страгивания будет понимать выполнение ус- ловий страгивания для всех звеньев поворотной части, т. е. (п \ л (Л1ЛВ/ХО11Р/) , (3.9) 1 = 1 / где Мдвг — момент движущих сил при страгивании /-го звена; Afconp г — момент сил сопротивления страгиванию z-го звена. Нормальное раскрытие многозвенника может быть представлено как пересечение следующих случайных событий: Яз^П^П.-.Г! (3.10) где Ci — случайное событие, заключающееся в нормальном рас- крытии /-го звена. Под нормальным раскрытием звена понимается тот факт, что относительный угол между двумя смежными звенья- ми станет равным некоторому конечному значению (углу зачеков- ки). Анализ раскрытия многозвенных систем показывает, что энер* гия закрутки пружины отдельного звена, обеспечивающая его рас- крытие, в. то же время влияет и на процесс раскрытия остальных звеньев, т. е. события Ci зависимы. Надежность раскрытия и фиксации звеньев поворотной части в общем случае определяется по формуле Нр.ф^Р^! П С2П...П Сл)=<р(Нр.ф1,..., Нр.фя), (3.11) где Нр.Фг=Р(С{) —надежность раскрытия и фиксации /-го звена. Вид функциональной связи <р(Нр.Ф1,..Нр.ф п) в каждом конк- ретном случае определяется характером зависимости событий Ct между собой. Оценка надежности раскрытия отдельного звена Нр.ф { требует более внимательного анализа особенностей раскрытия многозвен- ной системы. Для однозвенных поворотных частей надежность раскрытия оп- ределяется соотношением работ движущих сил Адв(ср) и сил соп- ротивления Асопр (<р), а именно: Нр.ф —^(Адв(<р) — АСО1ф(<р)>0; <рк<ф<<р„). (3.12) При этом работа движущих сил идет на преодоление сил трения в шарнирных узлах, сил сопротивления фиксаторов и деформации электрокабеля, а ее избыток переходит в кинетическую энергию звена. Очевидно, кроме работы, в качестве параметра, характеризую- щего процесс раскрытия, может быть принята угловая скорость 92
звена со (<р). При этом надежность раскрытия и фиксации звена будет оцениваться по формуле Нр.ф = Р («>(?)> 0; <рк < <?< <рн). (3. 13) В случае безотказного раскрытия звена скорость всегда неотрица- тельна. В случае остановки звена при угле раскрытия, меньшем за- данного, недостающая скорость (та скорость, которую необходимо сообщить звену для достижения им заданного конечного • положе- ния) берется с отрицательным знаком. При переходе к многозвенным механизмам общее условие (Ог(ф)>0 при (Ош^'Фг^Фгн Уже не является необходимым услови- вием безотказного раскрытия /-го звена. Это обусловлено тем, что в процессе движения и при стопорении (ударах) звеньев, возможно перераспределение кинетической энергии между звеньями. В част- ности при фиксации z-ro звена его энергия передается i— 1 звену, приводя к быстрому изменению угловой скорости последнего на величину Афь При этом результирующая скорость звена может оказаться равной 0 и даже изменить свой знак. Однако при нали- чии положительного запаса по действующим моментам, т. е. когда Л4дв(ф) >МСОПР(Ф), отказа не произойдет. Действительно, наличие запаса по моментам приводит к тому, что через некоторое время от- рицательная скорость гасится, и створка снова начинает раскры- ваться. Таким образом, отказ звеньев, воспринимающих удар, про- исходит при одновременном выполнении двух условий (®/ (<р) < 0: Мдв/ — AfconpZ < 0; <pKZ < ? < ?„,•) (3.14) в один и тот же момент времени при движении. Следовательно, надежность раскрытия звена будет определяться вероятностью невыполнения хотя бы одного из условий (З.Г4) в каждый момент движения, т. е. ^р.ф/== Р(?)0 или 7Илвг АГсопр/>0, ?к<?<?н) = 1 — ^(‘°,(?)<0; А1ДВ1—74сопр,-<0; ?к<<?<?н). 3.2. МЕТОД РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОДНОЗВЕННЫХ ПОВОРОТНЫХ ЧАСТЕЙ КОНСТРУКЦИИ Надежность по функционированию однозвенной поворотной ча- сти оценивается по формуле (3.3) Нф=Нра,,Р(Я2П В3)=Нрасч<р(Нстр, Нр.ф). (3.16) Исследование характера зависимости событий В2 и В3 показа- ло, что в случае высоконадежных систем для расчета вероятности Р(В2 П В3) может быть использована нижняя оценка Р(В2 п Вз)=?(Нсгр, Нр.ф)-> НсгрНр.ф. (3.17) Подставля соотношение (3.17) в формулу (3.16), окончательно по- лучим Нф>НрасчНег₽Нр.ф. (3.18) (3.15) 93
Надежность страгивания поворотной части согласно (3.5) равна Нстр=Р(Л«дв>Л1сопр), (3.19) где Мдв — момент толкателя и основной пружины в момент стра- гивания; Л1Сопр — момент сил трения покоя. Для нормального закона распределения моментов движущих сил и моментов сил сопротивления в предположении их независи- мости имеем (тм — тм \ 7 дв. .= с= |, (3.20) i / 2 2 I 4 ' И Dmдв + Дисопр / где F* — функция нормированного нормального распределения; Шм№> математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение моментов движущих сил при страгивании: /Ял^опр • ^«сопр—математическое ожидание и среднеквадратичное отклоне- ние моментов сил сопротивления. Значения функции F* см. в работе [21]. Числовые характеристи- ки моментов пружин и сил сопротивления в шарнирных узлах за- даются по статистическим данным. Надежность раскрытия и фиксации рассчитывается по соотно- шению Нр4=Р(Адв(ф)>АС011р(<р); <рк<?<?„), (3.21) где АдВ(<р), АС0Пр(<р) —работа движущих сил и сил сопротивления. В дальнейшем преобразуем выражение (3.21), разделив правую и левую части неравенства Адв(ф) >АСОПр(ф) на АСОпр(ф): НР.Ф=р(-ГЛ17Т>1; (3.22) \ Асопр (?) ) где Ла(?)=—!S^—коэффициент энергетического запаса системы. Асопр (?) Для ЛА(?) в точке <р=<рн получаем Чл(т.)=11тЧА(Т)=-^=^-. (3.23) Л1С0пр (?н) Таким образом, функция надежности Нф может быть определе- на на всем участке перемещения [фк, фн]. Событие, состоящее в том, что минимум процесса гшпт]а(ф) на интервале (фк, фн] больше 1, эквивалентно событию, заключающе- муся в том, что на участке фк^ф^фн процесс л (ф) не выйдет за единичный уровень. Следовательно, выражение (3.22) эквивалент- но выражению Нф=Р(П(?)>1; фк<?<<Рн)=р(т1пт]А('р)> 1)= = § /mln чА ({/) dy, (3.24) 94
где /miniiA(y)—функция плотности распределения случайной вели- чины min т]А (<р). В общем случае для определения функции /т1пт|А(*/) воспользуемся методом статистических испытаний (ме- тодом Монте-Карло). Идея метода заключается в том, что по вероятностным харак- теристикам и законам распределения исходных случайных функ- ций 2Идв(<р) и Мсопр(<р) могут быть определены реализаций случай- ной функции J Л»да(5)*е Па (?)=-*---------• (3.25) АН j Л1Сопр (6) <р Для каждой, реализации может быть найдена минимальная вели- чина коэффициента энергетического запаса min т]А, В результате расчетов, которые целесообразно проводить на ЭВМ, может быть определена выборка значений min т]А, г и соот- ветствующая ей функция плотности распределения /т1тА (*/)• Полученная плотность распределения используется для оценки надежности раскрытия и фиксации по соотношению (3.24). Для нормального закона распределения параметра min цА фор- мула (3.24) принимает вид Hp4=F*f-5^^=F*(A), (3.26) \ п I \ ^mln т|А / где znmin,)A, •Omin’iA—оценки математического ожидания и средне- квадратичного отклонения min т]а- Л=Л*,П’|А . ^mln »)А Точность оценки надежности будет тем выше, чем .больше вы- борка значений min т]а- Количественной мерой точности оценки слу- жит нижняя доверительная граница надежности Нр.ф. Для опреде- ления Нр.ф используют приближенное соотношение где Н₽.Ф=^* (Л). (3.27) h-t — квантиль нормального распределения соответствующей веро- ятности у; у — уровень доверительной вероятности; п — объем вы- борки. Для пружинных механизмов раскрытия характер изменения мо- ментов движущих сил и сил сопротивления по углу закрутки пру- жины представлен на рис. 3.3. В начальный момент движения угол 95
Рис. 3.3. Диаграмма моментов, действую- щих на звено в процессе его раскрытия и стопорения закрутки пружины макси- мален <р = фк- По мере рас- крытия поворотной части угол закрутки убывает, до- стигая конечного значения ('<р=|фк) в момент стопоре- ния звена. ' Согласно проведенным исследованиям моментная диаграмма пружины прини- мается линейной, а моменты сил трения постоянными Af п£уж (?) == AfTp = const, (3. 28) где см — жесткость пружины кручения; Л4тр — момент сил тре- ния. Соответственно для работы имеем J*1 — <р2 АЛВм (?) = \ См ydy = См —: V £ АтР=J MTprfcp Af тр (?н ?) • <р (3. 29) Аналогично определяется работа движущих сил пружины толкате- ля Адв.т и работа, затрачиваемая на преодоление сопротивления пружинных фиксаторов Аф Z2—-Z2 А — с к__________н ^дв.т 2 __ф2 АЛ 'ТК ТН Ф— £ф 2 (3.30) где Ст, Сф — соответственно жесткости пружины толкателя и за- щелки; /к, /н, фк, фн — соответственно границы рабочей зоны пру- жин толкателя и защелки. Линейность моментных диаграмм пружин позволяет существен- но упростить расчетное соотношение (3.22), которое примет вид Нр.ф=Р(Пд(<?к)>1). (3.31) Для того чтобы убедиться в справедливости выражения (3.31), по- .кажем, что функция т]А(<р) является возрастающей функцией свое- го аргумента. При решении этой задачи будем условно считать, что в момент .движущих сил формально включены моменты сопротивления фик- саторов. Тогда можно принять, что Мдв(ф) является монотонно воз- растающей случайной функцией <р, a Afconp — случайной функцией, 96
не зависящей от ф. С учетом изложенного выше выражение для коэффициента энергетического запаса можно записать так: п(?) Адв (?) Асопр (?) <р ( Л/дв (?) rf? ______________ Мтр (? - ?н) Дифференцируя выражение (3.32) по <р, получим Я'(?) 1 Afrp (? — ?н)2 ?н Мда (?) d<f — (<Р„ — <р) Мда L(P (?) (3.32) (3.33). Очевидно, знак производной т/(ф) будет определяться знаком выражения в квадратной скобке. Используя теорему о среднем, вы- ражение в квадратной скобке представим в виде J (?)</? — (?н—?)Л1да (<?)=(?„—?)(<«(?) — >Ида(<р)), (3.34) ч> где «р^ф^фн- Учитывая, что функция Лдв(ф) монотонно возрастающая, По- получим ЛТда(ф)-ЛТдв(?)>0. (3.35) Следовательно, производная т/(ф) положительна на всем диапазо- не изменения ф(фк<Ф<Фн)• Таким образом функция ца(ф) является монотонно возрастаю- щей и принимает минимальное значение при ф=фк. Поэтому соот- ношение (3.22) примет вид Н^=Р (тшп(?)>1)-Р(П(?к)>1). ' (3.36) ¥К<'Р<Ч>Н Для практических расчетов выражение (3.36) целесообразно представить в виде Нр.ф=Р (Ада (?к) - Асопр (?к) > 0), (3.37) где Адв (ср^) Адвм (<Рк) 4“ Ддв.т > А-сопр (*?к) Атр (<рк) 4; Аф. Для нормального закона распределения работ движущих сил и сил сопротивления, учитывая их независимость, имеем н отАДВ(?к)-тАсопр(?к) ₽ Ф \ (?«) +DA (?к) 4 V ^ДВ лсопр где Шк , /Пк , , Dk — соответственно математические лдв Асопр лдв лсопр ожидания и среднеквадратичные отклонения работ движущих сил и сил сопротивления движению. (3.38) 97
Числовые характеристики работ движущих сил и сил сопротив- ления, используемые при оценке надежности р-аскрытия и фикса- ции, определяются по соотношениям ^Адв ^АдвМ “Н ^АдВ ^^А^вЛ1-|- ^АДВеТ; отасопр=^атр+/Паф; Согласно (3.29) и (3.30) вероятностные характеристики пара- метров, входящих в выражение (3.39), определяются по соотноше- ниям _________ т Н т К ___ r-ь т н тк№м~ т<^М 2 ’ Z7A.iBiM~Z7CAf /2 - Z2 Z2 тк =тс —-----------2- ; Dk =DC ЛВД.Т сг 2 ЛДв.т сг (3.40) ягАтр=/ил«.гр (%, - <рк); Dk^=Цитр (<рн - <рк); — ф2 л2 — ф2 т —т ™________Ун . п — п I*___11 "^Аф ^Сф 2 ’ ^Аф ^Сф Числовые характеристики случайных параметров жесткости пру- жин и моментов трения в шарнирах, необходимые для расчетов, оп* ределяются по статистическим данным. 3.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПОВОРОТНОЙ части однозвеннои антенны Метод оценки надежности по функционированию однозвенных поворотных частей конструкции проиллюстрирован на примере расчета надежности функцио- нирования антенны (см. рис. 3.1). Поворотная часть конструкции антенны состоит из штанги, которая одним своим концом соединена с корпусом отсека. На участ- ке выведения изделия штанга закреплена в сложенном положении в зоне полез- ного груза при помощи пирозамка. После вывода изделия на орбиту подается команда на раскрытие антенны, срабатывает пиропатрон, пирозамок раскрывает- ся, и щтанга под действием пружины привода, установленной в шарнирном узле, тюворачивается до упора. Жесткая фиксация антенны в раскрытом положении осуществляется при помощи пружинного стопора. Надежность по функционированию поворотной части конструкции антенн оце- нивалась по формуле (3.18), а именно: Нф = НраСЧНСтрНр,ф. (3.41) Расчет надежности пирозамка производится согласно методике, изложенной в гл. 4. Надежность страгивания антенны оценивалась по формуле (3.20), а именно: (тм (?“) - тм „ \ тдв тсопр I 2 • (3.42) Vi*DAfconP / Для оценки надежности раскрытия и фиксации воспользуемся формулой (3.38) / «Адв(?к)-тЛсопр(?к) \ НР-Ф ~F* г 2 2 | ’ (3.43) \ ' DA№ + £>Лсопр / 98
Расчеты надежности проводились при следующих значениях исходных пара- метров: qpH=i8,i639 рад, фк = 5,497 рад — границы рабочей зоны основной пружи- ны; фн=0,806 рад, фк = 1,036—• границы рабочей зоны пружины защелки; К'Г’Мм/рад, =3,759 кг-мм/р ад— математическое ожидание и _ Л кг-мм среднеквадратичное отклонение жесткости основной пружины; тс^ = 15,07----; кг-мм £>Сф = 0,755 ' — математическое ожидание и среднеквадратичное отк- лонение жесткости пружины фиксатора; = 87,2 кг-мм, Dм =42,21 кг-мм— ‘"тр "'тр математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение момента трения при движения; &=1,6 — коэффициент, учитывающий увеличение сил трения при страпивании по. сравнению с трением движения. Числовые характеристики случайных величин Мдв(фн), АГС0Пр(фн), АдвЛ^Фк), Аф, Атр определялись по соотношениям (3.40). Они будут тм DM МДВ тм '"сопр DM. (<рн) = tnCJU <рн = 75,06-8,639 = 648,449 кг-мм; (<Рн) = DCM ?н = 3,759-8,639 = 32,474 кг-мм; = kmM = 1,6-87,2 = 139,52 кг-мм; Л1тр ~kDM = 1,6-12,21 = 19,536 кг-мм; Сопр л1тр 9 9 АдвЛГт/ ем 2 2 ?н —8,6392 — 5,4972 £>а (?к) = Dc ------= 3,759-------------= 83,49 кг • мм; Адвмхтк/ см 2 2 тА =тм (<Рн —?к) = 87,2(8,639 — 5,497) =273,98 кг-мм; тр 2”тр D, =DM («и —«к) = 12,21 (8,639 - 5,497) =38,36 кг-мм; ЛТр т тр тЧ = т^~Т~ _ ф2 Отсюда согласно (^к) = /иА ДВ (Тк)=^ ДВ = ГПА Лгр тА лсопр da сопр (3.44) _ _ 1,0362 - 0,8062 Л 15,07-----------------= 3,19 кг • мм; 2 1,0362-0,8062 = 0,756 ---------------= 0,16 кг - мм; 2 (3.39) получим (<рк) = 1666,91 кг-мм; гд (?к) = 83,48 кг-мм; Адвм = 273,98 + 3,19 = 277,17 кг-мм; -ф = V+a.^ + £>Аф = /38,362 + 0,162 = 38,37 кг-мм. (3.45) (3.46) Подставляя найденные значения числовых характеристик в соотношения для расчета Нстр и Нр.ф, получим J**-.449- = F* (13,4) = 1 - 1.46-10-41; /32,4742 + 19,5382 / Нр.ф = Л* ( 1-^66,91 ~-277’2Z_\ = (15>5) = 1 _ 3,67-10-52 . \ /83.482 + 38,372 / Hcrp = F* (3.47) 99
Таким образом, надежность функционирования антенны без учета надежности расчек-авки равна Нф = НстрНр.ф = (1 _ 1,46-10-41) х (1 — 3,67-10-52) 1 - 1,46 -10-41. (3.48) 3.4. МЕТОД РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ПО ФУНКЦИОНИРОВАНИЮ МНОГОЗВЕННЫХ ПОВОРОТОВ ЧАСТЕЙ конструкции Надежность по функционированию многозвенных поворотных частей согласно (3.3) и (3.17) оценивается по соотношению Нф=НрасчНстрНр.ф. (3.49) Надежность страгивания многозвенника рассчитывается по фор- муле (3.9), а именно: / п \ Нсгр=Р П ли- >^W), (3.50) \ i = 1 / где Л1дВ г — момент движущих сил при страгивании z-го звена; МСопр г — момент сил сопротивления страгиванию z-ro звена. Ввиду того, что параметры, принадлежащие различным звень- ям, характеризующие страгивание, независимы, соотношение (3.50) примет вид п Н„Р-ПН„рр (3.51) Z-1 гдеНстРг = Р (Л4ДВ i>AfConp г) —надежность страгивания /-го зве- на поворотной части. Для нормального закона распределения моментов движущих сил и моментов сил сопротивления расчет надежности страгивания , отдельных звеньев НСТр i рассчитывается по соотношению (тм . “ тм \ , (3.52) V DMwi + D^fconpZ / где D MABi—математическое' ожидание и среднеквадратич- ное отклонение моментов движущих сил при страгивании z-ro зве- на Wjfconp., Вмсопр[ — математическое ожидание и среднеквадра- тичное отклонение моментов сил сопротивления при страгивании z-ro звена. Согласно соотношениям (3.11), (3.15) надежность раскрытия и фиксации звеньев системы определяется по формуле Нр.ф-Р^! n с2 П ... П С„)=/(Нр.ф1,..., Нр.фл), (3.53) где Нр.фг = Р(«)/(<Р)>0 или Afs/(<p)>0; ?к;< <pz<?H/); (3.54) Msi(tU^U (?) —ЛиР»(?)• (3.55) Для оценки надежности раскрытия /-го звена Нр.ф г- воспользу- емся методом статистического моделирования, изложенным в при- ложении 1. 100
С этой целью перейдем от абсолютных значений соДф) и Мы (ср), к безразмерным параметрам W?)- даш.(?) И (ср)— тм^(^ ' В дальнейшем согласно указанному методу строится парамет- рическая функция Qt (<р)=шах (тц (<р); (?)), которая в каж- дый момент перемещения <р совпадает с максимальным значением одного из коэффициентов тц.(?) или ТЕигД®)- Теперь соотношение (3.54) можно представить в виде НР.ф/ = Р (Qi (?) > 0; ?кi < <fi < ?н/) = = Р (min Q,(?)>0)=[/Q (x)rfx, (3.56) где /pinlnW ' —функция плотности распределения случайной величины Qnlin—minQ (ср). Для оценки плотности распределения fq (л) используется метод статистического моделирования, процесса раскрытия пово- ротной части. Сущность метода заключается в том, что многократ- но с помощью ЭВМ воспроизводится процесс функционирования системы. Для каждой реализации случайным образом задаются входные параметры (моменты движущих сил и сил сопротивления) и путем решения дифференци- альных уравнений, описываю- щих движение системы, опре- деляются выходные величины (угловые скорости движения звеньев). Движение многозвенника можно представить состоящим из двух частей: регулярное движение звеньев под действи- ем моментов кручения и уда- ры, которые происходят в сис- теме при стопорении (фикса- ции) звеньев. При регулярном движении имеет место плавное* изменение параметров систе- мы. Удары в системе сопро- вождаются резким изменением угловых скоростей звеньев. Регулярное движение мно- гозвенника при раскрытии опи- сывается системой дифферен- циальных уравнений Лагран- Рис. 3.4. Схема шарнирного п-звенника жа 101
ti путем решения дифференциальных уравнений, описывающих дви- жение системы, определяются выходные величины (угловые скоро- сти движения звеньев). Движение многозвенника можно представить состоящим из двух частей: регулярное движение звеньев под действием моментов кручения и удары, которые происходят в системе при стопорении (фиксации) звеньев. При регулярном движении имеет место плав- кое изменение параметров системы. Удары в системе сопровожда- ются резким изменением угловых скоростей звеньев. Регулярное движение многозвенника при раскрытии описывает- ся системой дифференциальных уравнений Лагранжа а—1 2?^ 1=1 ’ п \ 1Л 2 % + lCOS + ^OT»sin (?/ — <?«) + . /-«+1 / п Г / п \ —/ynacosfo—<ра)]4- 2 (6 2 sin (?/—?«)+ t==a-H J=Z + 1 / 4- bj/Jli COS — <p<x)] -f- M iK) + Afта + MTa_j) a -|- Mтра T -Мкаба + + 2Иф« а=1, 2,..., n. (3.57) где <р» —угол раскрытия г-го звена; Ц — длина Z-ro звена; т^, т, — масса звеньев; 7«Оа—момент инерции а-го звена относительно его начала О«, at, Ь{—'координаты центра тяжести Z-no звена тИ<х —моменты, действующие на a-звено системы со стороны пру- жин, помещенных 'соответственно в начале и конце звена; AfTe— момент от пружин толкателя a-звена, действующих на это звено; в —момент от пружин толкателей (а—11)-звена, дей- ствующих на а-з!в^но; Л4тра— момент от сил трения в шарнирной паре О»; Лукава — момент сопротивления кабеля; — момент фиксатора а-звена;' Составляя уравнения для всех а(1^а^п), получаем систему из п уравнений, описывающую движение п-звенника. Обозначения, принятые при написании уравнений движения, , приведены на схеме, представленной на рис. 3.4. Начальные условия для уравнений (3.57), описывающих регу- лярное движение многозвенника, записываются с учетом перерас- пределения угловых скоростей звеньев при ударах, вызванных сто- порением отдельных звеньев. Для определения в каждом конкретном случае мгновенных из- менений угловых скоростей звеньев при ударах можно воспользо- ваться методом Лагранжа в теории удара [2]. 102
Внешние нагрузки (моменты), входящие в правые части уравне- ний (3.57), носят вероятностный характер. Их числовые характери- стики определяются по статистическим данным. Знание этих харак- теристик позволяет задавать конкретные значения моментов в каж- дой отдельной реализации процесса раскрытия. Для нормальна распределенных случайных величин их реализуемое значение пред- ставляется в виде X—mx-{-NDx, (3.58) где тх, Dx — соответственно математическое ожидание и средне- квадратичное отклонение величины х; N — нормированная нор- мально распределенная случайная величина, задаваемая специаль- ным датчиком случайных чисел или в виде готовых таблиц [6]. В результате решения системы (3.57) для каждой реализации определяется скорость раскрытия г-го звена wi (?)=?/ (?) — <fi-1 (?)• (3.59) Знание выборочных функций процессов <oz (ср) и Л1«(<р) позволяет определить безразмерные параметры , ч “Z (?) z ч И Т1л*вД'Р)— mMs<f * При этом для нахождения яц(<р) используются известные методы математической статистики [19]. Далее для каждой реализации тц (?) и т)Л5.(<р) строится пара- метрическая функция и определяется Qmln. В результате многократных расчетов формируется выборка зна- чений Отт, которая используется для нахождения закона распре- деления /рт1п (•*). Полученная плотность распределения использует- ся для оценки надежности раскрытия и фиксации по соотношению (3.56). Для нормального закона распределения формула (3.56) примет вид Нр.ф/=^* (3.60) ®mln где F*—функция нормированного нормального распределения [21]; ^min’ ^min — математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение, оцениваемое по данным выборки. Точность оценки надежности будет тем выше, чем больше вы- борка значений Qmta. Согласно результатам, полученным в работе [8], нижнюю доверительную границу для Нр.ф можно определить по соотношению (3.61) 10S
( mQ \ где ВI n, у 2),JPI — нижняя граница доверительного интервала ^min' для параметра 6 нецентрального распределения Стьюдента; у — до- верительная вероятность; п — объем выборки. Для упрощения расчетов при оценке Нр.ф г- может быть исполь- зовано приближенное соотношение (3.27). Соотношение (3.56) позволяет оценить надежность раскрытия отдельных звеньев многозвенника. Знание величин Нр.ф позволяет перейти к оценке надежности раскрытия всей многозвенной систе- мы Нр.ф. При положительном коэффициенте корреляции г между пара- метрами Qmin iy характеризующими надежность раскрытия отдель- ных звеньев, в качестве нижней точечной оценки надежности мно- гозвенника может быть использовано соотношение п Нр.ф > п Нр.ф/. (3.62) /=1 Соответственно при отрицательном коэффициенте корреляции . г<0 нижняя точечная оценка надежности многозвенника примет вид п Йр.Ф>2Йр.ф/-(л-1). (3.63) i = l При расчете по формуле (3.62) нижняя граница доверительного интервала для многозвенника может быть оценена по приближен- ному соотношению [8] где Нр.ф — точечная оценка надежности многозвенника; Нр.фг, Нр.ф, — соответственно точечная оценка надежности i-ro звена и нижняя доверительная граница надежности г-го звена, отвечающая доверительной вероятности у. В случае использования соотношения (3.63) выражение для нижней границы надежности примет вид В ряде случаев расчеты по определению надежности звена мож- но упростить. Действительно, формула (3.54) допускает очевидную оценку снизу Нр.ф/ = Р (<«,•(?)> О или iWs, (ср) >0; <рк <?<?„)> > Р (Ми (?) > 0; cpft < ср < ср»).’ (3.66) 104
Учитывая, что функция Jfs(cp) монотонно убывает при раскры- тии звена, получим Йр.Ф/>^(№(?)>0; срк<ср<?н)=Р(Л4двД?к)>Л1С0прДсрк)). (3.67) В предположении нормального закона распределения формула (3.67) еще более упростится / тм . “ тм й \ рД дв* conpz пр.Ф/ г (3.68) / ^дв/ + ^сопр/ Оценка (3.67) является заниженной, так как невыполнение условия необязательно приводит к отказу по раскрытию. Тем не ме- нее формула (3.67) позволяет получить удовлетворительные оцен- ки при наличии больших запасов по моменту. Последнее, как правило, имеет место на всем участке движения звена, предшествующем моменту фиксации. На участке фиксации моменты защелок могут оказаться выше моментов движущих сил. При этом безотказность раскрытия обеспечивается энергией звена, накопленной к моменту фиксации. Для оценки надежности раскрытия звена в этих ситуациях це- лесообразно разбить весь период движения звена на два участка: участок движения звена до фиксации (фн, фф) и участок движения звена в процессе фиксации (фф, <рк). Тогда выражение (3.54) можно представить в виде Н₽.ф, > Р ((dfsz (?) >0; ?ф < ? < ?а) А (ш/ (?) >0; ?к < ? < ??))• (3.69) В случае высоконадежных систем для расчета вероятности (3.69) может быть использована нижняя оценка Нр.ф/ ТI э 1 Hjf/=P(7Wsx-(cp)>0; срф<ср<^ Н(О/ = Р(а)/(ср)>0; срк< <? < срф). Учитывая, что функция 4fsz-(cp) монотонно убывает при раскры- тии звена, выражение для Нлп можно упростить: = (?ф) >0) = Р(тИдв/ W-4fconp/ (?ф)>0). (3. 73) Как правило, на участке действия толкателя функция соДф) также носит убывающий характер. Поэтому выражение Но>. (3.72) примет вид где (3.70) (3.71) (3.72) Hm=P(«>z(?K)>0). (3.74) Для нормального закона распределения параметров Мы (?ф) и wz(<pK) соотношения (3.73), (3.74) могут быть записаны так: тм . (<Рф) - тм . (?ф) цвг * y”conpt v H^=F* . у 9 ...... 9. \]/^дв/(?ф)+ ^Afconp L (?ф) J [ \ ‘ I Dw(<fk) I (3.75) 105
3.5. ПРИМЕР РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ РАСКРЫТИЯ И ФИКСАЦИИ ДВУХЗВЕННОЙ АНТЕННЫ Метод статистического моделирования процесса раскрытия про- иллюстрирован на примере расчета надежности раскрытия и фикса- ции двухзвенной антенны. Положение антенны в сложенном и рас- крытом состояниях показано на рис. 3.5. Звенья антенны удержи- ваются в этом положении с помощью пирозамка IV и захвата III. После раскрытия пирозамка второе звено начинает двигаться под действием толкателей и пружины кручения в шарнирном узле II. После поворота второго звена на 18° происходит освобождение зах- вата и начинается одновременное движение двух звеньев. Жесткая фиксация звеньев при достижении ими конечного угла поворота осуществляется стопорами, расположенными в шарнирных узлах. Сводка основных конструктивных параметров и параметров для привода гипотетической антенны приведена в табл. 3.1. При составлении таблицы были приняты следующие условные обозна- чения cpio — начальная угловая координата z-ro звена; zpiK — конеч- ная угловая координата i-го звена; ф2т — угловая координата второго звена в конце действия толкателя; k — жесткость толкате- ля второго звена; kit k2 — жесткость основных пружин первого и второго звеньев; k3 — жесткость пружин защелок; at, bi — коорди- наты центра масс z-ro звена (см. рис. 3.5); Ц — длина z-ro звена; 7oz — момент инерции z-ro звена относительно оси вращения; — Рис. 3.5. Положение антенны в сложенном и раскрытом состо- яниях 106
масса г-го звена; Л1ДВ — момент, создаваемый пружинами круче- ния; AfT — момент, создаваемый толкателем в момент страгивания; Л1<|>— момент сопротивления, создаваемый защелкой при стопоре- нии; Л1тр — момент сопротивления трения. Таблица 3.1 Основные параметры антенны Параметр Звено 1 Звено 2 /(И, кг-см-с2 2,085 51,623 тг, кг-с2 1,407-10-3 8,65-10-з см Ц, ом 55 79,5 «г, СМ 26,768 75,656 bit ом 0 о : фгО» РЗД 1,570 —1,570 фгк, (РЯД 0,933 0,933 Фгт, -рад — —1,523 Угол расчековки фг^—1,256 — Угол расчсковки at Л1дв, кгс-см 1,064 — ф1^0 ф2 — Ф1>— 0,131 ^(1,745+фО ^2 (1 >658 — Ф2+Ф1) Л4Т) кгс-см —• Л(ф2+1,492) кгс-см М1,247-Ф1) &з(ф2 — Ф1+0,314) ЛГтр, кгс-см ТШ ТШ Надежность раскрытия i-го звена антенны : рассчитывалась по соотношению (3.70) Нр.ф/ Hjh/Hqjj , (3.76) где Нлп = р(Мдвг(?ф)—-Мсопр/(<рф)>0); . Н<О/=Р(«/(?к)>0). В дальнейшем предполагалось, что закон распределения момен- та движущих СИЛ Л1дв i и момента сил сопротивления трения шар- нира (ТШ) —нормальной. Тогда выражение для примет вид Нмг=F*|( от^идв/^ф)-,итш,-(?ф) \ V (?ф) + °ТШ/ (?ф) / (3. 77) Точечная оценка надежности ЬЦ определялась по соотношению оо Н.. — f <лк (х) dx. б (3.78) 107
1 Движение 2-го звени на участке действия толкателя 2 Движение 2-го звена после окончания действия толкателя 3 Включение 1-го звена, совме ст ное движение 2-х звеньев т Включился стопор 1-го звени п 2 Включился стопор * 2-го звени 1-го звена 2-го звена 1-го звена Стопорение ' 2-го звени Включился 5Д стопор 1-го звена R. Включился о-' стопов ___2-го звена й ^Стопорение 1-го звена rz- Б у Стопорение 0,0 2-го звена Включился 0.4 стопор 1-го звена ,| 7/ \Cmon прение 2-го звена 1и Стопорение 4 1-го звена 7 Стопорение 2-го 302на 'ЛСтопорение 1-го звена % 8 Фиксация двухзвенника в раскрытом положении Вис. 3.6. Возможные состояния при раскрытии Д1вухз1венника Плотность распределения оценивалась по выборке значе- ний Юкг, полученной по результатам статистического моделирова- ния процесса раскрытия. Здесь под сок?: понимается относительная угловая скорость раскрытия Лй створки в момент стопорения { ^Т1(41) . ^?2 (^К2) (^к2) /О 7Q\ Шк1 ’ к2 ~Z---------------И 9 Vх V) dt dt dt Блок-схема возможных случаев регулярного движения при рас- крытии двухзвенника представлена на рис. 3.6. Как видно из схемы (рис. 3.6), можно проследить различные пути, приводящие к безотказному раскрытию двухзвенника. При- нятие конкретных параметров двухзвенника задает вполне опреде- ленный путь его раскрытия. Уравнения движения, описывающие процесс раскрытия рассмат- риваемой гипотетической антенны для каждого из возможных сос- тояний, а также условия перехода из одного состояния в другое, приведены ниже. 108
При расчете параметры k, k2, k$ и ТШ принимались случай- ными. Числовые характеристики указанных параметров, получен- ные с учетом результатов обработки статистических данных, для некоторых гипотетических антенн, представлены в табл. 3.2. Таблица 3.2 Числовые характеристики случайных параметров . Параметр k ^2 ^3 ТШ кг-см/рад кг-см Математическое ожида- ние Среднеквадратичное от- клонение 101,78 4,071 18,697 0,704 10,417 0,347 101,60 7,664 5 0,75 Уравнения движения двухзвепника (цифрами пронумерованы состояния двухзвенника, для кото- рых приводятся уравнения движения) 1. Начальные условия: Т20 = 1,570; г/2о = О, — = 1, у2=у2, У= dt = (3,228 -®2)----— (<Р2+1,492)—— . • 51,623' 51,623 1 ’ 51,623 Если ср2+ 1,523 > 0, то 2. 2. Начальные условия <р20= — 1,523; г/2о = г/%, ^=1, Ъ — Уъ У2 =-^_(3,228-®2)-^- . V 51,623 Т 51,623 Если ф2-{-1,256> 0, то 3. 3. Начальные условия: <р10 = 1,570; ^10=0, <р20= — 1,256; у2й= =Уч^ ^=1, <pi=i/i; ?2—1/2> • _ sin (ч>1 - у2) cos (у2 - ?1) 2 I 1,434 sin (yt - у2) 2 . coS2 (<Р1 - у2) - 1,125 i/l‘rcos2(yi-y2)-1,125 У2'+' . 0,0398 (У1 + 1,745£t) . [1,434 + cos (у2 - yQ] (1,658-у2 + yi) £ “Г cos2 (у! - у2) - 1,125 *" 35,993 [cos2 (у, - у2) — 1,125] [2,868 + cos (у2 - у])] ТШ . 35,993 [cos2 —fy2)—1,125] ’ • _ 0,784 sin (у2-у1) 2 , sin (у2 - yi) cos (у2 — yi) 2_ cos2 (у2 - У1) - 1,125 г/1~Г cos2(y2-y1)- 1,125 1,2 (У1 + l,745)cos (yi — у2) ^i (1,658 — у2 + У1)[соз(у1 — у2)+0,784]#2 . 35,993,[(cos2(y2-y1)- 1,125] 35,993 [cos2 (у2 - уг) - 1,125] [cos (yi-y2) +0,392] ТШ -Г 1,799 [cos2(y2 - 91) - 1,125] * 109
Если 1,064 — <р!0, то 4.1; Если <р2 — — 0,131, то 4.2. 4.1. Начальные условия <р10= 1,0647; to=to, <p2o=to; У20—У2ь t=\, <fl = yn <?2~У2' • _ sin (91 — y2) cos (?2 — 91) 2 | 1,434 8111(91-92) 2_|_ yi cos2(?2-9i)—1,125 cos2(92 — 91) — 1»125 .0,0398(9i + l,745)fr . [1,434 + cos (92 - 9i)] (1,658 - 92 - 91) *2 C0S2 (?2 _ ?1) _ i, 125 ' 35,993 [cos2 (?2 - ?1) — 1,125] 0,0398 (1,247 - 91) 63 [2,868 + cos [92 — 91)] ТШ , cos2 (92 - 9i) — 1,125 35,993 [cos2 (92—91) - 1,125 ’ • __ 0,784 sin (92 — 91) 2 , cos (92 - 91) sin (92 — ?i) 2 1,2 cos2(92 —9i)— 1,125 cos2(92-9i)-1,125 У2 (91 + 1,746) cos (9i — 92) 61 (1,658 — 92 — 91) [cos (91—92) + 0,784] 62 35,993 (cos2 (92 — 9i) — 1,125 35,993 [cos2 (92 - 91) — 1,125] ' (1,247 — 91) cos (9i — 92) 63 . [cos (91 — 92) + 0.392] ТШ . 35,993 [cos2 (92 - 9i)—1,125 ‘ 17,996 [cos2 (92— 91)— 1,125] ’ Если 0,933—<pi^>0, to 5.1, если <p2—<pi> —0,131, to 5.2. 4.2. Начальные условия: <pio=tol Ую=У1^ ?2o=to— 0,131; У20 = У2к’ ?1=to <p2 = to * _ sin (91 — 92) cos (92 - 91) 2 1,434 sin (91-92) 2 . У1 cos2 (92-91)-1,125 ^'* 1 ' cos2 (92—9i) — 1,125 * , 0,0398(91 + 1,745)61 . [1,434 + cos (92 - 91)] 0.658 - 92 + 91) *2 1 cos2(92-91)- 1,125^ 35,993[cos2(92-91)-1,125] 1 [1,434 + cos (92 — 9i)] [0,314 + 92 — 91] _ [2,868 + cos (92 — 9i)j ТШ . 35,993 [1,125-cos2 (9i-92)] 3 35,993 [cos2 (92— 91)—1,125] ’ • __ 0,784 sin (92 —91) 2 I cos (92-91) sin (92—91) y2 У2 cos2(92 —9i)—1,125 cos2(92-9i)-1,125 У (91 + 1,745) cos (9i — 92) 61 _(1,658 — 92+91) [cos (91 — 92) +0,784] 62_ 35,993 [cos2 (92—91) - 1,125] 35,993 [cos2 (92 - 91) - 1,125] [0,784 + cos (9i — 92)] [0,314 + 92 — 9i] 1 [cos (91 — 92) + 0,392] ТШ . 35,993 [1,125 — cos2 (91 - 92)] 17,996 [cos2'(92—91) — 1,125] * Если 1,064—<pi^> 0, to 5.3;. если <pi —«рг^-О, то 5.4. 5.1. Начальные условия: fp2o—to’ У20=to + 0,697 cos (<р2А — 0,933)-to’ (=1> У2=Уъ • __ (2,591- У2~ 51,623 Если <р2- 0,802 > 0, то 6.1. 5.3. Начальные условия: <- • . • • (1,745 + 91).. ‘ ТШ~ /—1, <Р1~ to У\ ' 151,859 151,859 Если 1,064— <pi)> 0, то 6.4. 2 51.623 <Рю=сР1й’ш Ую—0,576 У1ь)> ПО
5.2. Начальные услозия: <р10=r?lk; ?2o=?ift — 0,131; У20 = У2к- __ sin (yt — у2) cos (у2 — ?i) 2 , 1,434 sin (yt —у2) 2 , yi cos2 (у2 - yj - 1,125 cos2(?2-?i)-1,125 У2Т 0,0398 (<pi + 1,745)^1 । ['1,434 + cos (?2 - ?i)J (1,658-y2 + ?i)^2 cos2 (y 2—ft) — 1,125 1 35,993 [cos2 (y2 — y2) — 1,125] _ 0,0398(1,247-yi)*3 [1,434 4- cos (y2 - У1)] [0,314 + y2 - ?i] k3 cos2 (?2 yj) - 1,125 35,993 [cos2 (y2 - yi) — 1,125] [2,868 + cos (у2-У1)]ТШ . 35,993[cos2 (y2—yi)—1,125]’ • _ 0,784 sin (y2 —yi) 2 , cos (y2 - yi) sir, (y2 - yt) 2 _ У2 cos (У2-У1)-1,125 cos2 (У2 - У1) - 1,125 У2 _ (У1 + 1,745) cos (yi — y2) fei (1,658 —У2—У1) [cos (У1 — у2) +0.784] . 35,993 [cos2 (У2—У1)- 1,125] 35,993 [cos2 (y2 - yD - 1,125] ~Г (1,247 — yi) cos (yi —у2)^з । [0,784 4-cos (yi + y2)] [0,314 + y2 —yi] Л3 , ’* 35,993 [cos2(y2—У1)- 1,125] ‘ 35,993 [cos2(y2 - yi) - 1,125] । [cos (yi — y2) 4- 0,392] Till 1 17,996 [cos2 (y2—yi) —1,125] Если 0,933 — <pi>0, to 6.2; если <p2 —<pi>-0, то 6.3. 5.4. Начальные условия: y10= 1,064; у2о'— У^~=У^ У2о=У2к (уравнения те же, что и в п. 5.2). 6.1. Начальные условия: <р2о=О,8О2; у^=У2к', /=1; у2=У2, • _ (2»591 — у2)fe2 (У2-0,619)^3 ТШ У2 51,623 51,623 51,623 ’ Если <р2 — 0,993 >0, то stop. 6.2. Начальные условия: у2о—Угэ=1/2* +0,697-cos (®2A.— — 0,933)уХк, t=\, ъ=Уъ (2,591-у2)Л2 (у2-0,619)йз ТШ У2' 51,623 51,623 51,623 ’ Если у2—0,933> 0, то stop. 6.3. Начальные условия: (/ю=«/1а+0>576 (У2к—УиЬ /=1; ^ = 1/!; и = _ (1,745 + У1)^ , ТШ , (1,247-У1)^3 Ух 151,859 151,859 151,859 Если 0,933—<pi 0, то stop. 6.4. Начальные условия: <р10=1,064; Уы=У1.к, 1; • = _ (1,745 +?1)^1 , ТШ I (1,247-у0 fe3 У1 151,859 151,859 151,859 Если 0,933—cpt> 0, то stop. ill
В предположении нормального закона распределения случай- ных параметров их конкретные реализации определялись из соот- ношений (3.80) где Xi — реализация Z-го параметра тх., Dx.—соответственно ма- тематическое ожидание и среднеквадратичное отклонение /-го параметра; Ni — независимые реализации нормально распределен- ных случайных величин, имеющих нулевое математическое ожида- ние и единичную дисперсию. Задавая реализации случайных параметров k, kb k2, k3 и ТШ и решая системы уравнений движения двухзвенника, определяли конкретные реализации искомых параметров и (о^ для каж- дой /-й реализации. Для иллюстрации процесса раскрытия на рис. 3.7 представлен график одной из реализаций функций соДО и <02(0 по времени раскрытия. На графике по оси ординат отклады- ваются текущие значения угловых скоростей звеньев. По оси абс- цисс откладывается время раскрытия. Здесь же показаны интерва- лы, характеризующие время пребывания двухзвенника в различных состояниях при раскрытии. Номера состояний обозначены цифрами и совпадают с обозначениями, приведенными на рис. 3.6. Решение системы производилось численно на ЭВМ. В результа- те решения определялись выборки реализации случайных величин <о(/) и 0)^) к| к2 По выборкам и оценивался вид и параметры закона распределения /<ок.(х). Расчет числовых характеристик произво- дился по известным методам математической статистики: 2 (3.81) Гистограмма и кривая выравнивающих частот, соответствующая нормальному закону распределения, представлены на рис. 3.8 и 3.9. Как видно из графиков, статистические данные хорошо согла- суются с нормальным законом распределения. Это же подтвержда- ет и оценка нормальности закона распределения /<ок/(х), прове- денная по критерию х2: Лок1 (х2)>0,2; Рфк2(х2)>0Д Для нор- мального закона распределения coKi соотношение (3.78) для НШ/ примет вид /и \ =/*№)• (3.82) "к/ / 112
Рис. 3.7. Изменение относительных угловых скоростей звеньев <ог- при их раскрытии (цифрами по оси абсцисс обозначены состояния двухзвенника) Рис. 3.8. Гистограмма и кривая вы- равнивающих частот для (Ом Рис. 3.9. Гистограмма и кривая вырав- нивающих частот для (0/12 1340 113
Расчет нижней границы доверительного интервала производил- ся по соотношениям (3.27) НШ.=Г*(^); 1 (3. 83) где п=250; у=0,95. Точечная оценка надежности раскрытия и фиксации антенны оценивалась по формуле (3.63). Для двухзвенника (п=2) она при- мет вид Нр.ф>Нр.ф1 + Нр.ф2-1, (3.84) где Нр.ф/===Нл1^Н(о/.‘ Расчет нижней границы доверительного интервала надежности Нр.ф производился по формуле (3.65), которая для п=2 примет вид Нр.ф - Нр.ф - У (Нр.ф1 - Нр.ф1)2 + (Нр.ф2-Нр.ф2)2, (3.85) где Нрф^Н^Но).. Основные результаты расчета надежности раскрытия антенны представлены в табл. 3.3. Таблица 3.3 Результаты расчета надежности раскрытия двухзвенной антенны Параметр Размерность Звено 1 Звено 2 Нж/ — 1—10“109 1-Ю-44 "Цк рад/с 1,926 1,588 рад/с 0,041 0,048 й 1 — 10-470 1 — Ю-240 Нр.ф i — 1—10“109 1-10-44 Нр.ф — 1 —10-44 1 — 10-44 — 1 — 10-393 1 — 10-199 ^р.ф/ — 1—10-109 1 — 10-44 Цр-ф — 1 — 10-44 1-Ю-44
ГЛАВА 4 Надежность функционирования пироустройств 4.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Пироустройства, используемые в системах отделения (разделе- ния) и поворота, по своему назначению можно разделить на три основные группы: 1. Пироустройства, предназначенные для жесткого крепления отделяемых и поворотных частей конструкции к корпусу ЛА. К ним относятся пирозамки, пирогайки, разрывные болты. 2. Пироустройства, используемые как средства перемещения в системах отделения и поворота. К ним относятся пиротолкатели, детонирующие шнуры, удлиненные заряды, детонирующие удлинен- ные заряды и удлиненные кумулятивные заряды. 3. Пироустройства, предназначенные для перерезания электро- кабелей и трубопроводов. В эту группу входят пироножи. Помимо пироустройств, перечисленных в трех группах, встреча- ются пироустройства, которые могут совмещать несколько функ- ций, т. е. быть и средством крепления, и средством перемещения, и одновременно перерезать электрокабели (например, пирозамки-тол- катели, пиротолкатели-пироножи, пирозамки-толкатели-пироножи). В настоящей главе дается метод расчета надежности пироуст- ройств, функционирование которых связано с перемещением их конструктивных элементов, таких как пирозамки, пиротолкатели, пироножи, Основными элементами рассматриваемых пйроустройств явля- ются [14]: корпус пироустройства, один или несколько пиропатро- нов, поршень (шток) и чека (стопор); в дальнейшем эти элементы будем называть просто поршень и чека. В корпусе пироустройства согласно конструктивной схеме размещаются перечисленные эле- менты (см. рис. 1.25). Пиропатроны являются источником энергии для движения поршня. Поршень служит для фиксации поворотных частей конструкции ЛА или для' сообщения относительного движе- ния отделяемой части конструкции ЛА. Чека удерживает поршень, от самопроизвольного перемещения относительно корпуса пироуст- ройства. В процессе функционирования пироустройств можно выделить- три характерных момента. Первый — срабатывание пиропатрона. Второй — срез поршнем, находящимся под воздействием силы дав- ления пороховых газов, чеки и преодоление силы трения страгива- нйя. Третий — движение поршня. На последнем участке поршень преодолевает силу трения движения и другие силы сопротивления в зависимости от назначения пироустройства. 5* 115
Надежность по функционированию пироустройств определяется как вероятность пересечения случайных событий Нф=Р(Г1ПГ2ПК3)=Р(Г1)Р(У2/Г3)Р(Г3/Г2ПГ1)1 (4. 1) где — случайное событие, заключающееся в срабатывании пиро- патрона; У2 — случайное событие, заключающееся в срезе поршнем чеки и преодолении им силы трения страгивания; У3 — случайное событие, заключающееся в перемещении поршня в заданное поло- жение. Обозначим ^(У^^Нпп — надежность срабатывания пиропат- рона; Р(У2/У1) =НСр.ч — надежность среза чеки; P(Y3/Y2 П ^1) = = Нпер — надежность перемещения поршня в заданное положение. Получим Нф=НппНср.чНпер. ,(4.2) Условием безотказности функционирования пироустройств явля- ется достижение поршнем заданного конечного положения, т. е. х=хк, где х — текущая координата поршня; хк — конечное поло- жение поршня. Надежность пиропатронов определяется по результатам испыта- ний. Метод расчета составляющих надежности Нср.ч и Нпер изложен в разд. 4.3. 4.2. АНАЛИЗ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПИРОУСТРОЙСТВ Рассмотрим принципиальную схему пироустройств, представ- ленную на рис. 4.1. При подрыве пиропатрона / пороховые газы поступают в рабочую полость В пироустройства. Под действием си- лы давления пороховых газов поршень 3 начинает двигаться, пре- одолевая в момент страгивания силу сопротивления N\C0V(,—Nav+ +^тр.п, где АГср — усилие среза чеки; FTP.n — сила трения покоя. Силу, соответствующую Мюопр, пороховые газы развивают при дав- лении, определяемом по формуле Рис. 4.1. Принципиальная схема пи|роустройства: J—пиропатрон; 2—корпус; ^—поршень; В—рабочая по- лость пироустройства «Й 116 N1сопр . . Ро=-Г~» (4. эф где Fq$ — эффективная площадь поршня. Одновременно после подрыва пиропатро- на и нарастания давления в полости В на- чинается истечение пороховых газов через кольцевые зазоры между отверстиями кор- пуса пироустройства и поршнем, а также штоком, образуемые при использовании в сопряжениях поршень-цилиндр ходовых по- садок. При определении расхода пороховых га- зов через зазоры принимается допущение, что газы перетекают не через кольцевые за- зоры, а через круглое отверстие с пло-
щадью, равной площади кольцевых зазоров, и что противодавление движению поршня отсутствует. Также принимается, что процесс истечения пороховых газов через зазоры является адиабатичес- ким. Секундный весовой расход пороховых газов через зазоры опре- деляется по формуле [27] <4-4) где f — площадь отверстия, через которое истекает газ; k — пока- затель адиабаты; у0 — масса 1 см3 газа; p(t) —давление газа. Знание весового расхода вытекающих газов позволяет опреде- лить потери давления из-за перетекания Pa=kaQ, (4.5) где kG — коэффициент пропорциональности. При достижении давления р0 поршень начинает двигаться. При движении поршня происходит расширение газов, при этом давление газов меняется по известному соотношению , (4.6) где VP=WB~l-VPnn; WB—свободный объем полости В; ^пп — объем пиропатрона; х — путь, пройденный поршнем с на- чала движения. Таким образом, если к некоторому моменту времени t рабочее давление достигло величины р (/), то в следующий момент времени i+At оно примет значение, равное ^(Z-|-A/)^^(Z)_|-A>pA/-|-Apw-Ap0) (4.7) где — коэффициент пропорциональности, полученный в предпо- ложении линейности нарастания давления после подрыва пиропат- рона; Дри — потеря давления при расширении; ApG — потеря дав- ления в результате перетекания. Используя соотношения (4.5) и (4.6) для величин Др№ и ApG, получим следующие выражения: ^Pw = p(t)k А/; (4-8) 4* xFэф Apo=£oQA/, где V(t) —скорость движения поршня. Подставим соотношения (4.8) и (4.4) в (4.7), получим F3lbV(t) •V Т эф -k°f (nn),4i V " (4-9) 117
Отсюда, деля на А/ и переходя к пределу при А/->0, приходим к следующему дифференциальному уравнению: "'('>=*< - v (/W) “ ИЛУ / ITT™’» (4- Ю) Для нахождения скорости движения поршня, входящей в соот- ношение (4.10), воспользуемся уравнением движения , (4.11) м где М — масса поршня. При неподвижном поршне (до среза чеки) уравнение (4.10) не- сколько упростится p'^ = kp-kaf(-^-p 1/ -^-gyop(t). (4.12) При расчетах воспользуемся приближенным решением уравнения, полученным по методу Пикара (4'13) \/v ~“ L J у d “J- X О Выражение (4.13) позволяет определить время нарастания давле- ния до начала перемещения поршня по рекуррентным соотноше- ниям / 2 \ А 1 / 2Л 2 т hd+1 — 7 kp (4. 14) где Pq — давление, при котором происходит срез чеки; kp ' z-номер приближения. Параметры процесса при движении поршня определяются в ре- зультате решения системы уравнений (4.10), (4.11). В дальнейшем в уравнениях удобнее перейти к переменной х. При этом приходим к следующей системе двух уравнений: V (х) р' (х)=kp - - Р(х) V (х) - Vv Xг Эф I * * * I z/ / \ Р ^ЭФ 2сопр V (х 1 —------------------ . (4.15) Уравнения должны удовлетворять начальным условиям У(х=0)=0; ^(х=О)=ро- (4.16) 118
Для некоторых пироустройств, в которых процесс перемещения пор- шня длится меньше времени горения пиропатрона (пироустройства с небольшим ходом поршня), целесообразно использовать прибли- женное решение системы (4.15). В этом случае приближенное реше- ние системы находят в виде р{х)—аУ х^Ь-\-с. (4.17) Подставляя начальные условия и учитывая, что в начальный мо- мент производная dp[dx—oo, получим р(х)=а.У x-\-pQ. (4.18) Очевидно, решение (4.18) должно удовлетворять дифференциаль- ному уравнению (4.15). Подставляя соотношение (4.18) в уравне- ние, получим одно алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Производя линеаризацию нелинейностей в окрестности точки р(х)=р0, приходим к квадратному уравнению относительно р: Ар2(х)-\-Вр(х)-\-С=0, (4.19) Решая уравнение, получим — В ±УВ2- 4 АС 2А а=р-^. У X Тогда (4.20) (4.21) 119
Знание величины а позволяет определить величину давления в каждый момент движения по соотношению (4.18). Воспользовавшись уравнением (4.11), получим следующее выра- жение для скорости движения поршня: ±^х^ + 2(^эф~^сопр) х. (4.22) Знание закона изменения скорости по перемещению позволяет оп- ределить время Z3 прохождения поршнем заданного пути . 37Л | Г 4 ^эф* , j 2 (Ро-^эф — ^2сопр) Г2 (Pq/7Эф ^2сопр) 3~ L И "З АГ ' Х 1 Л4 у Mt (4.23) Для расчета надежности пироустройства по функционированию необходимо знать предельное давление, достигаемое газами в слу- чае внезапной остановки поршня, с учетом перетекания газов че- рез зазоры. Это давление определяется из решения уравнения (4.12) при начальном давлении рОст, соответствующем моменту останова. При этом время интегрирования определяется из соотношения t=t\ — t2— ' (4.24) где t\ — полное время горения пиропатрона; t2 — время нараста- ния давления до начала движения поршня; /3 — время движения до момента останова. Решая уравнение (4.12) методом разложения в ряд и ограничи- ваясь квадратичным приближением, получим Аред (*) = Рост + Р (А>ст) t-Х + .. ..р (U) (4. 25) * г Рост где = -vrr^Yo/W \« -г 1/ У «4-1 4.3. МЕТОД РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ПО ФУНКЦИОНИРОВАНИЮ ПИРОУСТРОЙСТВ Надежность среза чеки определяется вероятностью выполнения .неравенства 2У1ДВ>М1сопр в начальный момент движения. При этом силу ДГ1дв рассчитывают исходя из предельного давления, развива- емого пороховыми газами в предположении, что поршень жестко зафиксирован чекой в начальном положении. Силой сопротивления Niconp в этом случае является усилие среза чеки и сила трения по- коя: ' Предполагается, что величина давления пороховых газов есть величина случайная, распределенная по нормальному закону. Тогда математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение мак- 120
симального давления пороховых газов при определении надежно- сти среза чеки рассчитываются по формулам уп _______________________(Pm^)max Н~ . ^тах 2VT ’ __(Рт^)таХ . Лпах ’ где W— объем полости пироустройства до поршня с учетом объема пиропатрона; (рш^)тах, (Pm^)min— максимальное и минимальное значения «силы» пиропатрона («сила» пиропатрона — это произве- дение pmW максимального давления рт, создаваемого в объеме W образующимися при горении навески пороха газообразными про- дуктами сгорания. Для каждого пиропатрона произведение pmW с небольшой погрешностью можно считать величиной постоянной. Так как при горении навески пороха возможен некоторый разброс по давлению, то такой же разброс будет и при оценке «силы» пи- ропатрона). Математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение силы сопротивления определяются по формулам -V-rriF ; Iconp ср 1 тр.п’ DN = V Dn -\-D2p . Iconp г ср 1 гр.Н где Wcp, Z)jvcp — математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение усилия среза чеки; mF , DP —математическое ожи- J ’ 4 гр.п 1 тр.п дание и среднеквадратичное отклонение силы трения покоя. Величины wcp, Dnz вычисляются по формулам С mN = т,. Fcp, Dn F№, (4.28) ср ср СР ср ср СР’ v где mTcp, Z)Tcp — математическое ожидание и среднеквадратичное от- клонение предела прочности при срезе материала чеки; Fcp — пло- щадь среза. При определении надежности среза чеки Нс1).ч математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение предельного давления, развиваемого пороховыми газами при жестко зафиксированном в начальном положении поршне, с учетом утечки газов через кольце- вой зазор между корпусом пироустройства и поршнем, находятся по формулам, полученным из выражения (4.13) методом линеари- зации (4.26) (4.27) 121
где mkp, £>kp и mk(P DkG — математические ожидания и среднеквад- ратичные отклонения коэффициентов пропорциональности; rrikp — тр &р _—max, —max.^—время от начала подъема давления до р tx тр достижения максимального давления в пиропатроне; mkG— —— > Dp 4 Dk ——2“;^ — величина навески взрывчатого вещества в пиро- ° Я патроне; mf, Df — математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение величины площади зазора; k — показатель адиабаты; g — ускорение силы тяжести; у0 — вес 1 см3 газа; тртаХ и £>Ртах определяются по формулам (4.26). Величины q, k и g принима- ются неслучайными. Затем можно определить математическое ожи- дание и среднеквадратичное отклонение движущей силы Л/)дв: ^1ДВ-тР1пРед^эф’_________________ DnUB = эф^иред + т^1пред°^эф’ (4.30) где — математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение эффективной площади поршня. Закон распределения движущих сил и сил сопротивления при- нимается нормальным. Тогда надежность среза чеки определяется из выражения mN ~ mN ;¥1дв 7VIconp Н = F* 1 1Ср.Ч-1 (4.31) ' F 1дв Iconp Z где F*(«) —функция нормированного нормального распределения. Надежность перемещения поршня Нпер определяется вероятностью достижения поршнем заданного конечного положения, т. е. x=xky где х — текущая координата поршня; хк — конечное положение поршня. Процесс перемещения поршня характеризуется соотношением движущихся сил Л^дв(^), развиваемых пороховыми газами, обра- зуемыми при срабатывании пиропатрона, и сил сопротивления Л^сопрМ, наличие которых обусловлено конструктивной схемой. При этом часть энергии пороховых газов идет на преодоление сил сопротивления на участке перемещения, а ее избыток переходит в кинетическую энергию поршня. Движущую силу Л^2дв(^) рассчитывают исходя из предельного давления, развиваемого пороховыми газами для каждого текущего положения поршня х. В качестве сил сопротивления могут быть силы трения движения, силы для срезания контрящих устройств, силы для раскрытия шариковых замков, силы для перерезания кабелей и т. д. Для того чтобы происходил процесс перемещения, достаточно выполнения неравенства Л^дв(*) >N2conp(*) на всем участке пере- 122
мещения, 0, хк- Вероятность выполнения этого неравенства может служить оценкой надежности функционирования пироустройства: Hnepyv = Р (^2дв (х) > TV2conp (X); 0 < х < xft). (4.32) Оценка надежности по формуле (4.32) получается завышенной, так как при этом не учитывается возможность перемещения подвиж- ных частей вследствие накопленной кинетической энергии даже в случае превышения- сил сопротивления над силами движущими. Поэтому при расчете надежности в качестве параметров функцио- нирования следует рассматривать и функции работы действующих сил по пути перемещения. Тогда отказ по функционированию пи- роустройства Нф определится по формуле HneP=P(Q)=/3(^B(f)^4“np(x)/ : 0<х<хк) . (4.33) \^2дв -^2сопр С^) / Следовательно, надежность пироустройства по функционированию определится по формуле HneP=l-/>(Q)-l-/3P“W<J4“npW : 0<х<хЛ. (4.34) \-^2дв (^) -^2сопр (•^’) / Для оценки вероятности (4.34) воспользуемся методом статистиче- ского моделирования минимума параметрической функции (см. приложение 1). С этой целью от абсолютных значений перейдем к безразмерным параметрам Пл, (Х)=^(х1, Пл (х)=-Л-*-8(^- . (4.35) 2дв ЛГ2сопр(х) Лсопр(х) k Далее согласно указанному методу строится параметрическая функция 0/(х)=тах(Плг2яв(х); Плдв(х)), которая в каждый момент перемещения х совпадает с максималь- ным значением одного из коэффициентов Плг2дв(х) или т]лдв(х). Те- перь отношение (4.34) можно представить в виде Н„ер=Р(Мх)>1; О<х<хк) = = Р{ min 9Дх)> 1)=J /eraIn(x)rfx, (4.36) где /еш1п(х) — функция плотности распределения случайной величи- ны 9mi”=rnin9(x). X Для оценки плотности распределения /в (х) используется ме- тод статистического моделирования процесса перемещения порш- ня. Для каждой реализации, используя уравнение (4.3), по форму- ле (4.12) определяют время /2— время нарастания давления до начала движения поршня. Затем решается система дифференци- альных уравнений (4.15) и получаются значения р(х), V(x). Зна- ние закона изменения скорости по перемещению позволяет опреде- 123
лить время ^з(х) прохождения поршнем пути х. Далее определяет- ся время интегрирования t(x) по формуле t(x)=tx —12 —13 (х), где /i — полное время горения пиропатрона. Затем, решая уравнение (4.12) при начальных условиях f—0; р=р(х) и времени интегрирования t(x), получаем значение пре- дельного давления Ргпред, которое используется для нахождения ЛГ2ДВ(х). Для определения Лдв(х) воспользуемся следующим урав- нением: Лв W = f Р (*) (4.37) 6 где р(х) —давление пороховых газов в текущей точке хода порш- ня; ГЭф — эффективная площадь поршня: Работа сил сопротивле- ния определяется из выражения Лопр (•*) = S N2zmvdx, (4.38) б где Л^2сопр сила сопротивления на пути перемещения поршня. Да- лее определяются безразмерные параметры г1лг2дв(^) и Лддв(х) и для каждой реализации 'Плг2дв(х) и Лддв(х) строится параметрическая' функция и определяется Gmin. В результате многократных расчетов образуется выборка значе- ний 0min, которая используется для нахождения закона распреде- ления /omi (х). Полученная плотность распределения используется для оценки надежности перемещения поршня по соотношению (4.36). В ряде случаев расчеты по определению надежности перемеще- ния поршня можно упростить. Действительно, формула (4.34) до- пускает следующую оценку снизу: PJ __ 1 _ р /^дв («^) < ^сопр (^) . Q < \_ "еР ^2лв^)<ЛГ2сопр(х)’ = 1-Р(А2дв(х)-Л\отр(х)<0; 0OOJ. (4.39) Учитывая, что функция N2kb(x) монотонно убывает при перемеще- нии поршня, получим ИПер' Р (^2дв (^) ^гсопр (*^) 0 X Хк) = = /3(^2дв(х)>^2сопр(х)). (4.40) В предположении нормального закона формула (4.40) еще более упростится: о pJ mVx)~^N2сопр(х) \ H„eP=F* — _ . 2 =. . (4.41) 'г ^conpW 124
(4.42) Оценка (4.41) является заниженной, так как невыполнение усло- вия Л^дв(я)—N2cOnp(*)>0 необязательно приводит к отказу по пе- ремещению. Тем не менее формула (4.41) позволяет получить удов- летворительные оценки при наличии больших запасов по силе. Для нахождения вероятностных характеристик тдг2дв(Х) и Ау2дв(х> движущей силы УУ2дв(х) в ряде практических случаев целесообраз- но воспользоваться приближенным решением системы дифферен- циальных уравнений (4.15). Тогда величина предельного давления р2 пред, создаваемого пороховыми газами в конце хода поршня, определяется по формуле (4.25). Эта формула позволяет опреде- лить методом линеаризации математическое ожидание и средне- квадратичное отклонение тр2пред и ^р2пред* Затем, зная математиче- ское ожидание т/?эф и среднеквадратичное отклонение £)/?эф эффек- тивной площади поршня, можно определить математическое ожида- ние ^2дв(х) и среднеквадратичное отклонение ^лг2дв(л) движущей силы +Ч2предрЧф. Математическое ожидание ^дг2со11р(х) и среднеквадратичное отклоне- ние ^лг2сопр(х) силы сопротивления A^conpW определяются для каж- дого конкретного случая в зависимости от конструктивной схемы пироустройства. Как уже указывалось, силы сопротивления могут включать в себя силы трения движения, силы для раскрытия шари- ковых замков и т. д. ' 4.4. ПРИМЕР РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ПО ФУНКЦИОНИРОВАНИЮ ПИРОЗАМКА КРЕПЛЕНИЯ АНТЕННЫ Рассматриваемый пирозамок (см. рис. 1.25). предназначен для удержания антенны в сложенном состоянии в зоне полезного груза на активном участке полета и снятия связи при раскрытии антен- ны. Фиксация скобы антенны в сложенном состоянии осуществля- ется штоком (рис. 4.2) пирозамка. Для предотвращения самопроиз- . вольного перемещения штока и преждевременного раскрытия шток жестко фиксируется относительно корпуса (рис. 4.3) пирозамка стальной оцинкованной проволокой. При подрыве пиропатрона по- роховые газы поступают в рабочую полость В пирозамка (см. рис. 1.25). Под действием силы давления пороховых тазов на поршень стальная контровочная проволока срезается, шток с поршнем пере- мещается и освобождает кронштейны антенны. В конце хода порш- ня происходит посадка его в заглушку, чтобы предотвратить отход поршня от крайнего положения. Расчет надежности по функционированию пирозамка произво- дится на основе метода, изложенного в разд. 4.3. Надежность функционирования пироустройства включает две последовательно соединенные в смысле надежности составляющие: 125
10ZC5 £ 0,5x45 0,5x45° 10*1 0,5x45° Рис. 4.2. Поршень надежность среза чеки НСр1Ч и надежность перемещения поршня в заданное положение Нпер- При определении величины максимального давления в пирозам- ке предполагается, что в момент срабатывания пиропатрона и дос- тижения максимального давления пороховых газов полость В пиро- замка изолирована. Математическое ожидание ВР(^ и среднеквад- ратичное отклонение £^Отах величины максимального давления Ротах пороховых газов в свободном объеме полости В с учетом объ- ема пиропатрона определяется по формулам (4.26) тр + (РтЮтш^22()0 + 1800_ = 38б 1 кгс/см2; /'Отах 21Г1 2-5,18 гл _____(Ага^)тах — (ЛтЗЮиПп_2200 — 1800 _игг/рм2 Ротах 6Г1 6-5,18 ' где Н71 = 1^в-|-1ГШ1=3,58+1,6=5,18 см3; We — свободный объем полости В\ Гпп — объем полости пиропатрона; (рт№) max, (Pm^)min — максимальное и минимальное значения «силы» пиро- патрона (предполагается, что номинальное значение «силы» пиро- патрона равно 20 кгс-м, а разброс «силы» ±2,0 кгс-м). Фактиче- ское максимальное давление в полости В пирозамка меньше дав- ления ротах, так как в процессе срабатывания пиропатрона и нара- стания давления имеет место истечение пороховых газов из поло- сти В в полость А. Вследствие этого принятое выше допущение идет в запас надежности по функционированию. При расчете давлений принимается допущение, что образовав- шиеся при срабатывании пиропатрона пороховые газы перетекают из полости В пирозамка (см. рис. 1.25) через отверстие в полость А за время ^=0,004 с, т. е. время заполнения полости А равно вре- мени от начала подъема давления до достижения максимального давления. Процесс перетекания газа из полости В в полость А принимает- ся адиабатическим. Тогда математическое ожидание и среднеквад- ратичное отклонение величины давления ртах в свободном объеме W2 пирозамка (до поршня) с учетом потерь при срабатывании пи- ропатрона и при истечении газов из полости В в полость А опреде- 126
Рис. 4.3. Корпус пи|розам1ка ляются по следующим формулам: =276,988 кгс/см2; D„ =l~fD. 12,87=9,233 кгс/см2, Fmax \ 1F2 / ^Отах \6,817/ где k — показатель адиабаты. Для расчета давления газов в полости Д, при котором происхо- дит срез контровочной проволоки (чеки) и поршень начинает дви- жение, определяются вероятностные характеристики прочности ма- териала чеки. Используется стальная оцинкованная проволока диа- метром 0,8 мм (ГОСТ 792—41), имеющая ,ав = 37 кгс/мм2. Для этой проволоки коэффициент сравнения &ср= —1,43 и коэффициент ва- риации /Св = 6,8% [17]. Получилось п\ = 40,98 кгс/мм2 и — = 2,787 кгс/мм2. Для усилия среза контровочной проволоки (срез по двум плоскостям) математическое ожидание и среднеквадра- тичное отклонение определяются по формулам (4.28) niN =тх /7ср=0,6та Fc0=0,6-40,98-1,005—24,71 кгс; zvcp ср ’ В СР Dn = Dz Fcp=0,6Z)oFcp=0,6-2,787-1,005 =1,68 кгс. /vcp ср ср ’ ’ Математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение силы сопротивления рассчитывались по формулам (4.27) ^iconp=24’71 + 38,2 = 62,91 кгс; К7й€р+Й”=/1,682+7,642=7,822 кгс. 127
где Я1/?грп=38,2 кгс и Д/?грп=7,64 кгс—математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение силы трения покоя [14]. Закон нарастания давления по времени принимается линейным, т. е. р кр где mk =—— = 276,988 кгс/см1 2 3/с — коэффициент пропорциональ- р ности; /Пртах — математическое ожидание максимального давления в полости Л, вычисленного по формуле (4.43); /1 = 0,004 с — время от начала подъема давления до достижения максимального давле- ния в камере пирозамка. При определении расхода пороховых газов через зазоры прини- мается допущение, что газы перетекают через круглое отверстие с площадью, равной площади обоих кольцевых зазоров (между што- ком и цилиндром, поршнем и цилиндром) и что противодавление газам отсутствует. Принимается также, что поршень и шток порш- ня представляют co6oii гладкие цилиндрические поверхности. -При определении надежности среза чеки Нсрч математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение предельного давления, развиваемого пороховыми газами при жестко зафиксированном в начальном положении поршне, находятся по формулам (4.29): / 2 \— / 2k 2 — - Vf (ги?-1 V Ш Т = =69247 • 0,004 - 553976 • 0,0212 (---х \1,21 + 1 / ’ X /21’+! 981 • 3,13 • IO"6 • 69247 • у 0,004^=258,2 кгс/см2; ^1пред [1 RQ 2 /^ + 1/ V й+1ёУ0 3 1J +[-4МгЬ4 т +[-^Д (^4 х 1 __1_ /9 0,004 - 553976 — 69247 2 • 0,0212 I----------- 2 ' 2-1,21 1,21 + 1 X V-------------- 9 3 12 X 981-3,13-10~6 —0,0042 2308,22+ 3 ’ / 2 \ 1 — 692472 -0,0212(——-]о1тх \1,21+1/ ’ 128
х 1 / 2'1.)21981-3,13- 10-6— 0,0042Т 184662+[—553976 X у 1,21 + 1 3 J L X 69247* (—-—У5*11 Л 2--’2-1.. 981.3,0013 • 10~6 —0,004*] 0,2772 4- \1,21+1/ у 1,21+1 3 J ' 4-2 0,004 — 553976 — 69247 2 • 0,0212 (—-—/21 х L 2 \1,21 + 1 ] Х1Л2,1)21 981-3,13- 10-6- 0,004*][-69247*-0,0212(——'jAх У 1,21 + 1 3 JL (1,21 + 1) з 1 2 У 1,21 + 1 3 х|/981.3,13- 10-6— 0,004* V 1,21+1 3 J 0,0005 °’004 2308,22—74,781 кгс/см4, где mk , Dk и /пйс, Z/Q—математические ожидания и среднеквад- ратичные отклонения коэффициентов пропорциональности; £) = 2308,2 кгс/см2/с; Р 0,004 ' q 0,0005 =553976 кгс/см2/кгс; £)fto=^2S. =^4^=18466 кгс-см2/кгс. Отсюда математическое ожидание и среднеквадратичное откло- нение движущей силы Д^дв будут равны %в=%еЛф =258’2,0’7415= 1911455 КГС: D^l№== К^эф£)/'1пред + ^Шред^эф^ =у0,7422 - 74,781-J-258,22• 0,001722=6,427 кгс. Hcp,4=F* Тогда надежность среза чеки определится из выражения iconp \ _/ 191,455 - 62,91 \ V D* +&n I [/6,4272 + 7,8222 J V 1дв iconp ' =F* (12,7)= 1- 1,0- IO-36. При расчете надежности перемещения поршня математическое ожидание предельного давления ргпред, создаваемого в момент ос- танова поршня, т. е. при посадке его в заглушку, определяется по формуле (4.25) методом линеаризации ( % \йЛ1/ 2й 2 mDn_„ =то -Vm-,, jnt ''Зпред рост 1 Р('ост) 1 2 К^Рост = 124,223+64531-0,00129 / 2 \ 1- 553976-0,0212 —------- 0)21 _____________U.21+1/ 2/124,223 Х1/ -2-!1’21 981.3,13. ю-e.64531-0,001292 = 205,243 кгс/см2, г 1,21 + 1 129
где т-. ^=тк ~mkrmf g\omp = 69247 — /’Сост) кр *<* /\k + l) У k + lb p°ct -553976• 0,0212 (-----------1 Г 2,1‘21...981 • 3,13• 10~6• 124,223 = \ 1,21 + 1/ У 1,21 + 1 =64531 кгс/см2/с; тв + Ут2в — 4тАтс 167,261+/167,2612+4-4,815-95080,29_ р°ст 2т А 2-4,815 = 124,223 кгс/см2 —давление, соответствующее моменту останова поршня; тА ктРэф \ ^2 + ^Лэф/ , / 4 0,742-1,6 |/ 3 0,0000347 , Л 3 /0,742-84,84-^ 19,1\ 2 V 2 \ 0,742 ) Р-^.. 1'21-QJ42. \ 4)815. \2-1,6 ' 6,817 + 1,6-0,742 ) + тк0т/ 4 0,742-1,6/ 1 3 0,0000347 \2-1,6 1 2/^7 1 ро 553976• 0,0212(--------°>2> 1 f 2-1,21 981 • 3,13• 10-в 1____= \1,21 + 1/ у 1,21 + 1 2 /84,84 = 167,261; 13 0
т^ф ---х м Ро г эф Ро 2сопр 3 I ^^эф^ро ^^2сопр ~2 '«'’эф Х-И = —84Л 2 2-1,6 4 0,742-1,6Г 3 0,0000347 1 2k Wlgy°x 84,84 0,742-84,84 - 19,1\ 0,742 ) 3 /0 742-84 84— 19 1\ /9 \-^~ d ---1УДX _ 69247 55397б. 2 /---2----X0>21 х 2 \ 0,742 ) 1 \ 1,21 + 1 / х 2-1,21 981-3,13- 10-бК84,84 = —95080,29; 1,21 + 1 2 х= 1,6 см; М=0,0000347 кг-с2/см — масса поршня; mt=tx — mtl — mtl; , „ ч i mPo + m^Gmf mt==------------- Ik 2 ,,<> -----— тгГ + 16 и v 3 Z2,l т*р (2 \-1— 2-1 21 --------- 0,21 ~7Г------981-3,13-10-6-69247 _______________________1,21 + 1/_________1,21 + 1 ______________ 69247 2 1 Х — 0,001222 =0,00127 с—время нарастания давления до начала движения поршня; ^=84i81=0,00122c; ткр 69247 ЗМ mt=------ тГэфта 2,1 4 тРэфт“ 3~ М ^Ро^эф-^гсопр V^“m*2conp 3-0,0000347 0,742-31,133 OTc== 2ГтР| -тк -\-mbQtnf м "^эф М X 4 0,742-31,133-/1,6 , /84,84-0,742— 19,1 3 0,0000347 \ 0,0000347 84,84-0,742— 19,1 , 0,0000347 = 0,00144 с — время движения поршня до 131
его останова; = = 124.223-84^4 = з, _ 133 а Vx /1,6 Определив математическое ожидание /Пр2прел предельного давления Аиред’ можно найти математическое ожидание тцг№{х} движущей силы ЛГ2да(х) по формуле ™«w« = ”^„“^ = 205.243-0742= 152,188 кгс. Среднеквадратичное отклонение предельного давления £>р2пред оп- ределяется по методу линеаризации и вычисляется по формуле ^=V^D^+D^_ где ^(pmw)—(?(pmw)^(pmw) DPq = уPqDPq, -—составляю- щие среднеквадратичного отклонения ДР2пред, обусловленные соот- ветственно разбросом зазора в сопряжении поршень—цилиндр, раз- бросом величины «силы» пиропатрона и разбросом давления, при котором происходит срез чеки и поршень начинает двигаться; ср' = ^Р2пред ' ^Р2пред ' ^Р2пред =------- ф w)=----------и с₽п0=--------частные производные пре- дЪ ^p™w} d(pmW) др0 F Е дельного давления р2пред, развиваемого пороховыми газами в конце хода поршня, по зазору, «силе» пиропатрона и давлению р0. Опре- деление частных производных^, и уРо аналитическим мето- дом приводит к вычислению очень громоздких формул. Поэтому в настоящем примере эти производные вычислялись графоаналити- ческим методом. Частная производная определяется в предположении линей- ной зависимости р2прсд от площади зазора в сопряжении поршень- цилиндр. Одна точка для этой прямой рассчитывается для пиро- замка (рассматриваемый пирозамок), детали которого выполне- ны с точностью, указанной в рабочих чертежах. Для второй точки Ргпред определяется для сопряжений поршень-цилиндр, выполнен- ных по другому классу точности, например, по 5-му классу точно- сти. По найденным значениям р2преД строится график (рис. 4.4), по оси ординат которого отложены значения предельного давления ^р211РеД’ а по оси абсцисс — площадь зазора в сопряжении пор- , шень-цилиндр. По этому графику определяется значение производ- „ допрел _ допрел нои по площади зазора ——— . Эта производная равна ——— — = 10,771кгс-у2-. Необходимая для расчетов производная рассчитывается из следующего соотношения: ' ^Д2иред _ ~ дД2пред 6,28-5,993-10,771=405,377'^X11 , ММ2 132
Рис. 4.4. Зависимость предельного давления от величины зазора в соп- ржжении поршень-цилиндр Рис. 4.5. Зависимость пре- дельного давления от вели- чины «силы» пиропатрона кольцевого зазора (рассмат- где 7?с.—средний радиус приведенного ривается общая площадь двух кольцевых зазоров). Закон распреде- ления размеров отверстия и поршня принимается нормальным. Тогда величина среднеквадратичного отклонения А определяется по фор- муле £>5=8пр/6, где 8пр—величина приведенного кольцевого зазора; - f 2,122 п пссл n ТТ 0,0564 _ ппп. 8„d=—-— =— --------=0,0564 мм. Поэтому D^ =-------=0,0094 мм "р 2л/?с 6,28-5^993 J 6 . и тогда А=ч>8 /-Л—405,377-0,0094=3,81 кгс,см2. Для определения производно“i —строится график зависи- (Рп№) мости р2|фгд от „силы" пиропатрона (рис. 4.5). Эта зависимость также является линейной. Одна точка для прямой уже получена (Р2Пред—205,243 кгс/см2). Для второй точки /?2||ред определяется при использовании в рассматриваемом пирозамке пиропатрона- с большей «силой» (в приводимом примере взят пиропатрон с «силой» pmW = =60 + 5 кгс-м). По построенному графику находится производная «(„ у) — д/>2"ред _ ю 262 -ГС|/—- Среднеквадратичное отклонение- d(pmW) кгс-м _ «силы» пиропатрона известно и равно D(PmW)=Q,66 кгс-м. Отсюда D(pmw)=<f'(Pmw)D(pmw)= 10,262-0,66 = 6,773 кгс/см2. При определении третьей составляющей среднеквадратичного отклонения Д>2пред расчеты показали очень слабую зависимость Ргпред от величины давления р0 и поэтому в- примере составляющей DPq пренебрегаем. Таким образом, среднеквадратичное отклонение &р2пре предель- ного давления р2пред равно ^2пред=/^ + ^(^)--=1/3’812+6’7732 = 7>771 КГС/СМ2‘ 133;
Среднеквадратичное отклонение Dn2]^(X) движущей силы Л/'2дв(х) определяется методом линеаризации: Р^^^эф^-^пред ^А^пред^^эф =]/0,7422• 7,7712+ 205,2432• 0,001722=-5,773 кгс. Сила сопротивления A/^conpW Для рассматриваемого пирозамка включает в себя только силу трения движения, математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение которой равны [15] ^2conp<-v)=19’1 КГС’ ^2сопр(^ = 2’865 КГС- Тогда надежность перемещения поршня в заданное положение Нлер определится по формуле (4.41) и ( т^2д.в^х^ ^^conpt*) А H„eP=F* .............. 2 . V Г %дв(^) + ^Цсопр^) + 2/ЧДв(^2сопр(^ / Проведенные расчеты показали, что зависимость между #Мг2дв(х) и tf^conpW очень незначительна и поэтому в этом примере ею прене- брегаем. Окончательно получаем ту г?* ( ^сопр^ \ Е1* / 152,188— 19,1 \ Нпео=^ —____________ —=7^* . - Ь= I + / ^5,^ + 2, =5* (20,65)= 1- 1,0-10-». Таким образом, надежность пирозамка по функционированию без учета надежности пиропатрона равна Нф=Нср.чНпеР=(1- 1,0- IO"36)(1 — 1,0- 10-эо)= 1 — 1,0-10-4
ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ Важным показателем надежности технических устройств явля- ется вероятность их безотказной работы. В ряде случаев сложность аналитического расчета надежности вызывает необходимость оцен- ки надежности методом статистического моделирования [6]. Идея этого метода заключается в моделировании возможных реализаций функционирования устройства на ЭВМ. При каждой реализации случайным образом задаются входные возмущения и с помощью математической модели, описывающей поведение системы, опреде- ляются параметры ее функционирования. При этом в качестве про- стейшей оценки надежности устройства может быть принята вели- чина Н=— , (П. 1) N V где N — общее количество реализаций; М — количество безотказ- ных реализаций. При достаточно большом числе испытаний частота появления события будет близка к истинному значению надежности устройст- ва Н и в пределе, при JV->oo величина Н сходится к Н. Однако на практике ввиду ограниченности числа испытаний ве- личина Н носит случайный характер и отличается от истинного зна- чения. Это обстоятельство заставляет интересоваться достоверно- стью определения точечной оценки Н. Такой мерой достоверности служит вероятность, с которой истинное значение будет находиться в некотором интервале. Указанная вероятность и соответствующий ей интервал обычно называют доверительными. Согласно опреде- лению для симметричного доверительного интервала его ширина 2е определяется условием Р(|Я-/7|<е)>а, . (П.2) где а — заданная доверительная вероятность. Соответственно для верхних (О, Н) и нижних (Н, 1) односто- ронних интервалов имеем Р(Н<Н)>а; Р(Н<Н)>а. (П.З) 135
Верхние Н и нижние Н границы двустороннего доверительного ин- тервала для Н определяются решением уравнений [30] 2 (1 - Hf-'=(1 — а)/2; j i=MM _ _ I (П-4> 2^//г(1-НГ'=(1-а)/2. I <-=о J В случае безотказных испытаний (M=N) получим Н=^Т^; Н=1. (П.5) Соотношение (П.5), как правило, характерно для высоконадеж- ных систем. Оно показывает, что для подтверждения высокого уровня надежности требуется проведение очень большого числа ис- пытаний, что связано с весьма значительными трудностями даже при применении быстродействующих ЭВМ. Трудность статистиче- ского подтверждения высокого уровня надежности изделий при ма- лом числе испытаний заключается в том, что во всех рассмотрен- ных выше случаях в процессе испытания получаем очень скудную информацию о вероятностных свойствах изучаемого объекта. Дей- ствительно, в формулах (П.4) и (П.5) используется минимальный объем информации типа «да—нет», и этот недостаток информации, получаемой при каждом испытании, нужно компенсировать увели- чением количества самих исйытаний. Следовательно, для подтвер- ждения требуемого уровня надежности изделия при малом числе реализаций необходимо в процессе моделирования получать боль- шую полную информацию о вероятностных свойствах объекта. Оче- видно, для этого необходимо знание самой модели функционирова- ния объекта, исходя из чего можно определить параметры, харак- теризующие условия его безотказной работы. Таким образом, для решения задачи необходимо в результате моделирования получать статистические данные для функции работоспособности изделия. В дальнейшем рассмотрим случай, когда поведение системы можно охарактеризовать п параметрами, а условие работоспособности имеет вид 9i>0, Q2>0;...e„>0. (П.6) Тогда надежность системы будет определяться вероятностью вы- полнения п условий (П.6) Н=Р(р1>0; е2>0;...,ел>0). (П.7) Очевидно, что событие (П.6) эквивалентно одному неравенству рга1п=п11пе;>0. (П.8) I Следовательно, выражение (П.7) можно переписать так: Н=Р (emin > 0) = f /Omin (х) dx, (П. 9) 136
где Anin(x) — функция плотности распределения случайной вели- чины Qmin Таким образом, для определения надежности требуется знать плотность распределения случайной величины gmin. Если имеется выборка значений Qmin, статистическая плотность распределения может быть оценена с помощью известных методов математиче- ской статистики [19].. Для нормального закона распределения формула (П.9) примет вид (П. 10) mQ где и= min ; У7* —функция нормированного нормального распре- ®min деления и ^omIn^Qmin — математическое ожидание и среднеквадра- тичное отклонение Qmin, оцениваемые по данным выборки. Очевидно, оценка надежности по формуле (П.10) окажется точ- нее, чем по соотношению (П.1), так как здесь используется более полная информация о характере функционирования устройства. Этот факт обуславливает сужение доверительного ,интервала для Н. Согласно результатам, полученным в работе [8], односторонняя нижняя доверительная граница для и может быть представлена в виде Величина дн, входящая в соотношение (П.11), находится из ре- шения уравнения ^ч(2,Вн)-1-а, (П.12) где FN-i(u, 8) — функция нецентрального распределения Стью- дента с N—1 степенью свободы и смещением 8 — УNu. Результаты расчета нижней границы доверительного интервала пн при доверительной вероятности а=0,95 для диапазона значений и=1 ... 20 и разного количества испытаний Af=5, 10, 20 представ- лены на рис. П.1 (сплошные кривые). Для сравнения приведены значения Н, рассчитанные по формуле (П.5) (пунктирные прямые). Приведенные результаты показывают, что использование инфор- мации о реализации значений Qmin позволяет существенно повысить точность оценки. Для расчета по формуле (П.9) требуется определить выборку^ отражающую объективные свойства генеральной совокупности зна- чений случайной величины Qmin- С этой целью определяются конк- ретные значения параметров Q(/\...,Qn7) для каждой /-й реализа- ции и выбирается минимальный из них. В результате получим вы- борку реализации случайной величины Qmin. Полученная выборка используется для нахождения закона рас- пределения /рт1п (*) случайной величины Qmin. 137
В общем случае для аппроксимации вида произвольной кривой распределения по статистическим данным может быть использован метод разложения закона распределения f(x) в ряд по плотности нормального распределения q(x) и ее производным [22] f (X) = ср (х) —i- ср(З) (X) + (-§Г - 3) ?(4) (X) - где = Hz —центральные моменты r-го порядка, полученные по данным выборки. Полученное выражение принципиально позволяет учесть стати- стические моменты любого порядка, соответствующие рассматрива- емой выборке Qmin. Знание плотности распределения (ПЛЗ) позво- ляет определить оценку надежности по соотношению о Н= 1 - \ /(X)</х= 1 -(f*тЬ(2)(-»+ — оо 4- — рц—3')cp(3>f———-/Л— 10-^-W—, (П. 14) ' 41 \ £>* Г \ Dx) 51 \ • £>3 УY \ Dx)) k где F* — функция нормированного нормального распределения. Однако при произвольно сформированной выборке, особенно для высоконадежных систем, использование оценки (ПЛЗ) может оказаться малоэффек- тивным, так как потребуется учет слишком большого коли- чества членов разложения для получения точной аппроксима- ции крайних значений распре- деления. Поясним это утверждение для двумерного случая. Пред- положим, что параметры рабо- тоспособности iqi и р2 независи- мы и распределены по нор- мальному закону. Очевидно, что надежность такой системы будет равна Рис. П.1. Изменение нижней довери- тельной границы надежности Н при 95%-ной доверительной вероятности в зависимости от числа испытаний N и отношения \ UQi / \ / (П. 15) "" °min U — “------- °min С другой стороны, эту оценку можно получить через плот- ность распределения Qmln по формуле 138
H=P(eraln>o)=j/mln(x)rfx. (П. 16) В дальнейшем произведем преобразование случайных величин У1==^; y2=k^. (П.17) Нетрудно видеть, что для любых £i>0 и &2>0 справедливо равен- ство Н = Р(У1>0, f/2>O)^P(Q1>O, 62>0)=fX (П. 18) так как системы неравенств (qi>0; р2>0) и (^igi>0; 62р2>0) эк- вивалентны. Соотношение (П.18) показывает, что для оценки надежности в качестве параметров функционирования можно рассматривать не только сами значения и р2, но и их линейные преобразования и ^2Q2- При этом величина надежности не изменится. Однако состав выборок min (yi, у2) будет существенно зависеть от задания коэффициентов kx и k2. Действительно, вероятность того, что У1>у2 будет определяться по соотношению t _ *2 mQ. Р^>у^[ ^~ту2 )=/*--— kl- т-----------------------, 2 \ КЧ/1 + D.fi J 1/ й2(Сг) /^2с.\2 + л2 (С1) Е % гдеМб<)=—• При малых значениях kx и больших k2 эта вероятность будет мала и, следовательно, в выборке ymtn будут преобладать в основном зна- чения уь Соответственно при больших значениях и малых k2 ос- новную роль в выборке будет играть величина у2: Таким образом, в рассматриваемых предельных случаях влия- ние одного из параметров уг- на характеристики выборки будет ма- ло и может быть упущено при статистической обработке опытных данных, что недопустимо. Это предопределяет трудности, возника- ющие при подборке закона распределения который обя- зан отражать объективные свойства данного распределения. По- этому для данного случая необходимо учитывать вклад всех значе- ний t/i выборки, неоднородных по своему составу, при статистиче- ской оценке закона распределения, так как эта неоднородность вы- текает из самой сущности закона распределения минимальных зна- чений. В предельных случаях, рассмотренных выше, учет влияния край- них значений распределения на параметры выборки потребует су- щественного увеличения ее объема. Очевидно, с этой точки зрения, целесообразно величины и k2, влияющие на функцию (П.19), вы- бирать так, чтобы обеспечить равное участие параметров и g2 в 139
формировании выборки Qmin. Это достигается, когда функция (П.19) оказывается равной 0,5. Из этого следует, что коэффициен- ты ki и k2 должны удовлетворять соотношению -^--^-=1. (П.20) *1 «гС1 В частности, равенство (П.20) может быть достигнуто переходом от параметров и q2 к безразмерным коэффициентам П1=—; 112 = —. (П.21) т. е. kx принимается равным l/we,, а Л2 —равным l//nOi. При этом предполагается неотрицательность значений /гг01 и тВг, что характерно для высоконадежных систем. Аналогичные рассуждения справедливы и для случая многих па- раметров. Таким образом, для определения надежности системы необходи- мо рассматривать не сами параметры q15 а их безразмер- ные значения iii = -^-> t}n=Qn тв , которые исдоль- mQi п зуются в дальнейшем для оценки плотности распределения 11т1п= = minri. Очевидно указанный подход может быть распространен и' на случайные функции, представляющие собой предельный случай системы многих случайных величин, а также на векторные случай- ные процесы. В случае одномерных процессов вводим безразмерную функцию т| (/) = для которой определяем выборку минимальных зна- чений r|^in=minr| (/), используемую при оценке надежности [16]. В многомерном случае для оценки надежности в каждой / реа- лизации определяется величина T]mtn=rnin | min min t mQi W (0 \ которая используется для формирования выборки T)min. График, иллюстрирующий построение такой выборки для двумерного слу- чая, представлен на рис. П.2. Предложенный метод может быть использован и в тех случаях, когда условия работоспособности (П.6) имеют несколько другой вид. В частности, для безотказной работы некоторых технических устройств необходимо выполнение не всех условий, а хотя бы одно- го из них, т. е. необходимо, чтобы хотя бы одна из функций Qi(t) не вышла за нулевой уровень. Тогда для оценки надежности нахо- дят выборку значений Tlmin=niin (max /-^-77 ,• • •. • < I ‘ I OTc,(0 140
Рис. П. 3. График построения Рис. П. 2. График построения . ( еУЧо е(2п (О — min 1 min —т?г, min ——ттг JmIn i { t mQt t mQ2 (0 max g(iy) (О л»в1(0’ 6^(011 «o/ojf для двумерного случая для двумерного случая График, иллюстрирующий построение такой выборки для двумер- ного случая, представлен на рис. П.З.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абгарян К. А., Раппопорт И. М. Динамика ракет. — М.: Машиностроение, 1969. —380 с. •. 2. Аппель П. Теоретическая механика. — М.: Физматгиз, т. 2, 1960. — 487 с. 3. Баррер М. и др. Ракетные двигатели. — М.: Оборонгиз, 1962. — 800 с. 4. Болотин В. В. Теория надежности механических систем с конечным числом степеней свободы. — Механика твердого тела, 1969, № 5, с. 73—81. ,5. Болотин В. В. Теория надежности распределенных механических систем.— Механика твердого тела, 1969, № 6, с. 72—79. Б. Бусленко Н. П. и др. Метод статистических испытаний. — М.: Физматгиз, 1962,— 162 с. - ' 7. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1968, — 576 с. ‘8 . Волков Е. Б. и др. Основы теории надежности ракетных двигателей. — М.: Машиностроение, 1974, — 399 с. 9. Воронков И. М. Курс теоретической механики. — М.: Наука, 1965. — 596 с. 10. Герцбах И. Б., Кордонский X. Б. Модели отказов. — Советское радио, 1966, — 166 с. 11. Гладкий В. Ф. Динамика конструкции летательного аппарата.—М.: Нау- ка, 1969. — 496 с. 12. Гнеденко Б. В. и др. Математические методы в теории надежности. — М.: Наука, 1965. — 524 с. 13. Золотов А. А., Комягин В. А. Методы определения надежности функцио- нирования некоторых механических систем. — Надежность и контроль качества, 1974, № 3, с. 68—74. 14. Колесников К. С. и др. Динамика разделения ступеней летательных аппа- ратов — М.: Машиностроение, 1977. — 220 с. 15. Крагельский И. В. Трение и износ. — М.: Машиностроение, 1968. — 480 с. 16. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. — М: Мир, 1969. —398 с. 17. Кузнецов А. А. и др. Вероятностные характеристики прочности авиацион- ных материалов и размеров сортамента —М.: Машиностроение, 1970. — 568 с. 18. Мак-Кракен Дж. Программирование на АЛГОЛе. — М.: Мир, 1964.— 184 с. 19. Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. — М.: Физмат- гиз, 1961. — 480 с. 20. Надежность в технике. Термины и определения. ГОСТ 13377—75.—М.: Комитет стандартов, 1975. — 12 с. 21. Оуэн Д. Б. Сборник статистических таблиц. — ВЦ АН СССР, 1966.— 586 с. 22. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам ав- томатического управления. — М.: Физматгиз, 1960. — 659 с. 23. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — М.: Наука, 1968 —463 с. 24. Синюков А. М. Конструкция управляемых баллистических ракет. — М.: Воениздат, 1969. — 444 с. 25. Смирнов Н. В., Большее Л. Н. Таблицы для вычислений двумерного нор- мального распределения — АН СССР, 1962. — 204 с. 26. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и ма- тематической статистики для технических приложений. — М.: Наука, 1965.— 511 с. 27. Справочник машиностроителя. 3-е изд., перераб. — М.: Машгиз, 1962,, т. 2 — 651 с. 28. Уманский А. А. Строительная механика самолета.—М.: Оборонгиз^ 1961. —529 с. 29. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах, — М.: Мир, 1969. — 395 с. 30. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надеж- ности. — Радио, 1962.—552 с. 31. Янко Я. Математико-статистические таблицы. — М.: Госстатиздат, 1961,— 244 с. 142
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Предисловие.............................................>. 3 Введение .............................................................. 4 Глава 1. Метод расчета надежности по прочности механических частей конструкции........................................................... 7 1.1. Надежность элементов механических частей конструкции ... 7 1.1.1. Понятия об элементе, несущей способности, внешних нагруз- ках ............................................................. 7 1.1.2. Расчет надежности элемента . :........................ 8 1.1.3. Числовое представление надежности элемента.................14 1.1.4. Расчет надежности по таблицам нормального закона распреде- ления ...........................................................15 1.1.5. Учет усечения законов распределения несущей способности эле- ментов и действующей нагрузки....................................16 1.2. Надежность узлов механических частей конструкции .... 19 1.3. Надежность узлов из > последовательно соединенных элементов . 22 1.3.1. Методы расчета надежности......................... . . 22 1.3.2. Влияние зависимости между элементами на надежность узла 26 1.3.3. Замена случайного процесса одномерной случайной величиной 27 1.4. Надежность узлов из параллельно соединенных элементов . . 30 1.5. Надежность узлов из элементов, соединенных смешанно ... 34 1.5.1. Расчет надежности.........................................34 1.5.2. Методы определения коэффициентов корреляции .... 36 1.6. Надежность узлов по предельным состояниям ....................39 1.6.1. Методы расчета надежности ................................39 1.6.2. Определение приближенных значений действующих нагрузок и несущей способности конструкции..................................41 1.7. Примеры расчетов .............................................43 1.7.1. Пример расчета надежности по прочности однозвенной пово- ротной антенны...................................................43 - 1.7.2. Пример расчета надежности по прочности пирозамка крепления антенны ...........................................47 Глава 2. Надежность функционирования отделяемых частей конструкции 51 2.1. Общие положения...........................................51 2.2. Надежность разделения ступеней.................. . . » . 59 2.3. Надежность отделения корпусов хвостовых отсеков .... 69 2.4. Надежность сбрасывания головных обтекателей...............73 2.5. Надежность элементов систем отделения.....................82 Глава 3. Надежность функционирования поворотных частей конструкции 88 3.1. Общие положения...........................................88 3.2. Метод расчета надежности функционирования однозвенных пово- ротных частей конструкции.........................................93 3.3. Пример расчета надежности функционирования поворотной части однозвенной антенны...............................................98 143
Стр. 3-.4 Метод расчета надежности по функционированию многозвенных поворотных частей конструкции...............................100 3.5. Пример расчета надежности раскрытия и фиксации двухзвенной антенны......................................................106 Глава 4. Надежность функционирования пироустройств..............115 4.1. Общие положения........................................115 4.2. Анализ функционирования пироустройств..................116 4.3. Метод расчета надежности по функционированию пироустройств 1J0 4.4. Пример расчета надежности по функционированию пирозамка крепления антенны ..............................................125 Приложение. Метод статистического моделирования для оценки надежно- ности технических устройств.........................................135 Список литературы...................................................142 <ИБ № 1871 Алексей Алексеевич Кузнецов, Александр Алексеевич Золотов, Вячеслав Александрович Комягин, Михаил Иванович Титов НАДЕЖНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ ЧАСТЕЙ КОНСТРУКЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ . . . , Редактор А. А. Хрусталева Технический редактор Е Л4. Коновалова Корректор А. И. Карамышкина Сдано в набор 24 10 78 Формат 60X90 1/16 Печать высокая Тираж 1330 >экз. Подписано в печать 29 03.79 Т-01200 Бумага типографская № 2 Гарнитура литературная Усл. печ. л. 9. Уч.-изд. л. 9,85 Заказ 1340 Цена 50 к. Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, ГСП-6, 1-й Басманный пер., д 3 Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. • * * Хохловский пер., 7.