В.З.Пащенков
Математические
ОСНОВЫ
В.З.Пащенков
Математические '
ОСНОВЫ
РАЗВЕДКИ
НЕДР
МОСКВА
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
1995

ББК 26.325
П22
УДК 553.1
Федеральная программа книгоиздания России
Пащенков В. 3.
П22 Математические основы разведки недр: Учеб, пособие
для вузов. — М.: Высш, шк., 1995. — 111 с.: ил.
ISBN 5-06-003290-6
В пособии на основе представления рудных месторождений в виде
аналитической и стохастической моделей с привлечением теории подобия
излагаются способы определения рациональной плотности разведочной
сети, оконтуривания запасов и оценки среднего содержания полезных
компонентов в них. Изложение сопровождается большим количеством
примеров, что поможет заинтересованным читателям творчески применять
математические методы при разведке и освоении'недр.
Рассчитано на студентов горно-геологических вузов и факультетов.
Может быть полезно научным и практическим работникам, занимающим-
ся разведкой и эксплуатацией месторождений полезных ископаемых.
П
1804050000 — 019
001(01) —95
ББК 26325
553
66 — 95
ISBN 5-06-003290-6
© В. 3. Пащенков, 1995
ПРЕДИСЛОВИЕ
l Решение проблемы рационального использования недр требу-
ет глубоких знаний характера распределения и размещения по-
лезных компонентов различной концентрации в пространстве
рудных залежей. Рациональное использование недр связано с ре-
шением таких горно-геологических и горно-технических задач,
как определение рациональной плотности сети разведки и эксплу-
атационного опробования, повышение достоверности оконтури-
вания промышленных участков руд и подсчета запасов полезных
ископаемых. Эти задачи могут быть решены только на основе
исследований и учете структурно-геологических особенностей ло-
кализации оруденения, закономерностей размещения полезных
компонентов и изменчивости их концентрации в пространстве
залежи.
Знание закономерностей размещения полезных компонентов
и изменчивости оруденения является необходимым условием не
только для подсчета запасов и промышленной оценки месторож-
дения, на основе которой проектируется горно-добывающее
предприятие, но и также, что особенно важно, для обеспечения
полноты извлечения полезного ископаемого при эксплуатации
месторождения. Игнорирование или незнание закономерностей
распространения полезных компонентов в рудных залежах может
привести к серьезным просчетам в оценке промышленного значе-
ния месторождения. Неслучайно усилия ученых-геологов и эксп-
луатационников направлены в последние годы на выявление
закономерностей размещения полезных компонентов в рудных
залежал и установление их специфических особенностей, которые
могли бы служить основными отличительными и диагностичес-
кими признаками для научного прогнозирования изменения каче-
ственных и количественных показателей полезных ископаемых
в пространстве рудной залежи и управления на этой основе
горными работами с целью обеспечения минимальных потерь
и разубоживания, а также повышения однородности руды, посту-
пающей на обогатительные фабрики.
Автор на основе представления рудных месторождений в виде
3
аналитической и стохастической моделей с привлечением теории
подобия предлагает вероятностные способы определения рацио-
нальной плотности разведочной сети, оконтуривания запасов
и оценки среднего содержания полезных компонентов в них. Изло-
жению этих главных вопросов рационального использования
недр посвящено настоящее пособие.
В первом разделе в конспективной форме излагаются необ-
ходимые сведения из теории вероятностей (понятия о случайных
событиях и величинах, законах распределения случайных величин
и функций, стационарных и эргодических случайных процессах
и корреляционных функциях). Здесь же даются основные понятия
из теории подобия и моделирования, сформулировано условие
подобия геологических объектов: два геологических объекта (яв-
ления) подобны, если законы распределения основных парамет-
ров (содержания, мощности и др.), характеризующих состояние
этих объектов, одинаковы и полностью определяют изучаемые
явления. В качестве критерия подобия в этом случае может
выступать сама функция распределения.
Второй раздел содержит решение ряда конкретных, наиболее
часто возникающих в геологической практике примеров вероят-
ностно-статистического исследования опытных данных.
Обоснованию рациональной плотности разведочной сети,
оконтуривания и оценки среднего содержания запасов посвящен
третий раздел. Важное место здесь отводится изложению законо-
мерности распространения полезных компонентов в рудных зале-
жах, которая затем используется в качестве аналитической моде-
ли месторождения. Однако главными вопросами третьего раз-
дела являются определение рациональной плотности разведоч-
ной сети (опробования), оконтуривание и оценка среднего содер-
жания запасов. Изложение этих вопросов сопровождается конк-
ретными примерами из геолого-разведочной практики. Здесь же
приводится математический аппарат для оценки достоверности
геолого-разведочной информации и подсчета запасов при исполь-
зовании традиционных и предлагаемых (вероятностных) спосо-
бов оконтуривания и оценки среднего содержания запасов. Раз-
дел заканчивается рассмотрением вопроса сглаживания
(фильтрации) эмпирических данных при геометризации и прогно-
зировании размещения полезных компонентов в рудных залежах.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что эффективность приме-
нения предлагаемого математического аппарата для определения
числа разведочных пересечений (проб) и расстояния между ними,
положения промышленного контура и оценки средних содержа-
ний во многом зависит от строгого учета всей геологической
обстановки. При его практическом использовании обязательно
следует учитывать сплошность оруденения, морфологию и внут-
реннее строение рудных тел, особенности локализации в них
рудной минерализации и т. п.
4
Пособие рассчитано на студентов горно-геологических вузов
и факультетов. Может быть полезно научным и практическим
работникам, занимающимся разведкой и эксплуатацией месторо-
ждений полезных ископаемых. Наличие большого числа приме-
ров делает пособие доступным широкому кругу читателей, име-
ющих математическую подготовку в объеме программы средней
школы.
Автор
Раздел первый
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ
Изучение и исследование интересующего нас явления или
признака начинается обычно с постановки опыта и наблюдения
за его исходом. Исход или результат опыта может быть охарак-
теризован качественно или количественно.
Качественную характеристику исхода опыта принято назы-
вать событием. Например, обнаружение среди образцов пород,
собранных при геологической съемке, образца с оруденением
является событием. Обрушение борта карьера, кровли вырабо-
танного пространства, оседание поверхности, разрушение цели-
ков под влиянием давления горных пород — все это примеры
событий.
Количественная характеристика исхода опыта может быть
представлена в виде числового значения. При неоднократном
воспроизведении одного и того же опыта при неизменных усло-
виях мы в результате каждый раз будем получать различные
числовые значения. Это различие результатов опытов обуслов-
ливается влиянием на протекание опытов каких-то второстепен-
ных, так называемых случайных факторов. Поэтому числовые
значения, полученные в результате проделанных опытов, также
носят случайный характер, а количественная характеристика
опыта получила название случайной величины.
Случайной величиной называется такая величина, которая в ре-
зультате опыта или наблюдения может принимать то или иное
заранее не известное числовое значение. Случайную величину
принято обозначать заглавными латинскими буквами X, Y, Z,...,
а их всевозможные значения — малыми буквами х, у, z, ... .
Различают два вида случайных величин: прерывные (дискрет-
ные) и непрерывные.
Прерывной случайной величиной называется такая величина,
которая в результате опыта или наблюдения может принимать
только целые или счетные (дискретные) числовые значения. Тако-
вы, например, число выбросов газа и пыли в угольных шахтах,
количество проб на определенном участке месторождения (все
6
эти величины могут принимать только целые значения, т. е.
выражаться конечным числом: 5 выбросов угля и пыли в год; 12
проб на участке в 400 м2).
Непрерывной случайной величиной называется такая величина,
которая в результате опыта или наблюдения может принимать
всевозможные числовые значения, как целые, так и дробные. Так,
числовые значения прочности горных пород, мощности рудного
тела или пласта, средних содержаний в пробах являются непре-
рывными случайными величинами.
Выше было установлено, что случайная величина может при-
нимать множество возможных числовых значений. Например,
увеличивая количество испытаний до бесконечности, мы получи-
ли бы бесконечное множество числовых значений случайной ве-
личины. Такое множество числовых значений называется общей
или генеральной совокупностью случайной величины.
Однако увеличивать количество испытаний практически нера-
зумно и, как правило, не всегда возможно. Например, нет ника-
кой необходимости подвергать испытанаю на сжатие всю выда-
ваемую породу из шахты, чтобы определить предел прочности
этой породы на сжатие. Это слишком дорогостоящая и трудоем-
кая работа. Поэтому испытывают ограниченное количество про-
извольно выбранных образцов горной породы. Полученные в ре-
зультате числовые значения, позволяющие с необходимой степе-
нью точности судить об интересующем нас явлении, образуют
частичную или выборочную совокупность случайной величины.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Математический аппарат статистического исследования слу-
чайных величин основан на теории вероятностей.
Вероятностью события А называют отношение числа благо-
приятных исходов к общему числу несовместных равновозмож-
ных исходов:
п
где Р (А) — вероятность наступления (осуществления) события
•4; п — общее число случаев (элементарных исходов опыта);
т — число исходов, благоприятных событию А.
Вероятность достоверного события равна единице, невозмож-
ного события — нулю. Вероятность любого события удовлет-
воряет неравенству
0<Р(Л)<1.
Нам уже известно, что для каждого отдельного опыта случай-
7
ная величина может принимать различные значения, которые
заранее предсказать невозможно. Однако вероятность каждого
из возможных для нее значений подчиняется определенному за-
кону. Кроме того, если эти опыты независимы и события несов-
местны, то сумма всех вероятностей возможных значений пре-
рывной случайной величины равна единице:
Za=i,
i-i
где pt=P (Х=х,), i= 1, 2, 3, ..., п.
Напомним, что независимыми называются такие опыты, каж-
дый из которых не оказывает влияния на исход или вероятность
события в прочих опытах.
События называют несовместными, если появление одного из
них исключает появление других событий в одном и том же
испытании.
Наиболее общей характеристикой случайной величины явля-
ется интегральная функция распределения F (х), которая опреде-
ляет вероятность того, что случайная величина X примет значе-
ние меньше х, т. е. F (х)=Р (Х<х).
Интегральная функция распределения обладает следующими
свойствами:
1)	0<Р(х)<1; F (—оо)=0; Г(+оо) = 1;
2)	F (х2)>F (xi) при x2>xi;
3)	F (x2)-F (x,)=P (x, «£У<х2).
График интегральной функции распределения прерывной слу-
чайной величины изображен на рис. 1, а, а непрерывной — на
рис. 1, б.
Зная интегральную функцию распределения случайной вели-
чины X, можно вычислить вероятность попадания значения этой
величины на определенный участок, например (а, Ь):
8
P (a^X^b)=F (b)—F (a)=P (X^b)-P (X^a).
Как известно, случайные величины, функции распределения
которых непрерывны и дифференцируемы на всей числовой оси,
называются непрерывными случайными величинами. Производная
интегральной функции распределения непрерывной случайной
величины X, т. е.
/(x) = F'(x),
называется плотностью вероятности или дифференциальным за-
коном распределения случайной величины X.
Плотность вероятности обладает следующими свойствами:
1) функция f (х) неотрицательна: / (х)>0;
2) интеграл в бесконечных пределах от f (х) равен единице:
J /(x)dx=l.
— 00
Пользуясь понятием плотности вероятности, можно найти
вероятность попадания значения случайной величины в интервал
(а, Ь\.
P(a<y<6)=f/(x)dx.
а
В табл. 1 приведены наиболее используемые в геологии и раз-
работке месторождений законы распределения непрерывных слу-
чайных величин.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Законы распределения вероятностей, как отмечалось выше,
наиболее полно характеризуют случайную величину. Однако для
решения вопроса выбора закона распределения случайной вели-
чины необходимо прежде всего провести качественный и количе-
ственный анализ случайной величины, соответствия между воз-
можными ее значениями и их вероятностями, определить основ-
ные параметры распределения. К числу таких параметров от-
носятся в первую очередь такие числовые характеристики рас-
пределения, как математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины X, принима-
ющей с вероятностями pt дискретные значения х,- (f= 1, 2, 3,..., и),
определяется равенством
М (Х)=х=^ р(х(.
1
Для непрерывной случайной величины X, распределенной
9
о
Закон и кривая распределения
Плотность распределения
Таблица 1
в интервале (а, Ь) с плотностью вероятности /(х), математичес-
кое ожидание находится из равенства
ь
М(Х)=\ х/(х) dx.
а
В качестве меры рассеяния всевозможных значений случайной
величины х„ х2...х„ относительно математического ожидания
используется дисперсия
D(X)=o2
или среднеквадратическое отклонение (стандарт)
ox=y/DW-
Для дискретной случайной величины дисперсия находится по
формуле
D (Х)=а 2 = £ (X|—х)2 pt.
i-l
Для непрерывной случайной величины, занимающей некото-
рый интервал (а, Ь), дисперсия находится из выражения
ь
D (Х)=а2х=] (х-х)2/(х) dx.
а
Важным параметром случайной величины является коэффи-
циент вариации, который характеризует не абсолютный, а от-
носительный разброс возможных значений случайной величины
вокруг математического ожидания.
Коэффициент вариации V равен отношению среднеквадра-
тического отклонения (стандарта) ох к математическому ожи-
данию х:
v=~.
X
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Геометрическое определение вероятности является обобщени-
ем классического определения на случай, когда число равновоз-
можных исходов бесконечно. К понятию геометрической вероят-
ности прямое отношение имеет задача о бросании наугад точки
в некоторую ограниченную область S, содержащую меньшую по
размерам область s, причем все попадания точки в область
S' считаются равновозможными.
Если событие А состоит в попадании точки в область s, то его
вероятность равна отношению мер областей s и 5:
11
Р(Л)
мера j
мера №
где под мерами областей хи S следует понимать длины отрезков,
размеры площадей или объемов.
Другими словами, геометрическая вероятность случайного
события есть отношение области (длины, площади, объема, по-
ля), благоприятствующей появлению события, ко всей области
(длине, площади, объему, полю).
I
Рис. 2
Пример 1. Пусть отрезок / составляет часть прямой линии
длиной L, т. е. leL (рис. 2). На отрезок L наудачу поставлена
точка. Тогда вероятность попадания точки на отрезок / будет
пропорциональна длине отрезка I и не зависит от места его
расположения внутри прямой L. Вероятность попадания точки на
отрезок / есть
? ДДИВЛ.1
ддвев. L
Вероятность промаха, т. е. непопадания точки на отрезок /,
составит
длинаL
Пример 2. Пусть плоская фигура общей площадью S раз-
делена на ряд произвольных фигур xt, например на три:
Хг и 5з (рис. 3). На фигуру S наугад бросается точка. Здесь могут
иметь место следующие исходы: брошенная точка может ока-
заться в любой точке площади S и фигур х,. Вероятность попада-
ния точки в фигуру х, пропорциональна площади этой фигуры
и не зависит от формы фигуры и места ее расположения внутри
общей площади S'. Тогда вероятность попадания точки:
на фигуру S]
Р(*1)
*1.
s’
12
на фигуру з2
Л
на фигуру s3
Р^=-.
О
Вероятность попадания точки на площадь S равна (с учетом,
что s(eS)
P(S)=P(51)+P(s2)+P(s3)=1.
Найдем вероятность попадания точки А в определенную точ-
ку области S. Поскольку мера точки равна нулю, эта вероятность
равна нулю. Но так как попадание случайной точки А в данную
точку принципиально все же возможно, то мы приходим к выво-
ду: из равенства нулю вероятности еще не вытекает полной
невозможности события.
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Пусть дана функциональная зависимость двух случайных ве-
личин у=(р (х), где функцию (р (х) будем считать заданной, а за-
кон распределения случайной величины X — известным.
Введем обозначения: g (у) — плотность вероятности случай-
ной величины У; f (х) — плотность вероятности случайной вели-
чины Х\ х=ф (у) — обратная функциональная зависимость (при
условии, что функция (р (х) монотонная).
Из теории вероятностей [1, 4, 9] известно, что вероятности
попадания случайных величин X и Y в соответствующие ин-
тервалы (х, х+Дх) и (у, у+Лу) равны, а это означает равенство
дифференциалов вероятностей:
/(х) dx=g (у) dy,
откуда плотность вероятности случайной величины У есть

dx
dy
=fW (У»	(y)|.
Функция распределения случайной величины У находится по
известной формуле
G (у)=Р (Y<y)= f g (у) dy= f /(x) dx.
3y	Ax
13
Для монотонно возрастающей функции ф (х) имеем
G (у)=Р (Y<y)=P {Х<^ (у)}=Р(ф (уУ)=Р (XeSy) (1)
и для убывающей функции
G (у)=Р (Y<y)=P {Х>ф (y)} = l~F (* (У»=Р (*€$,), (2)
где 5,, — область значений х, при которых выполняется условие
х<ф (у); Sy — область значений х, при которых выполняется
условие х>ф (у).
Вероятность G (у) может быть выражена как отношение мер
областей:
ow=4'=1-4'
где S — область (множество) всех возможных значений аргу-
мента X.
Выражения Р (XeSy) и Р (Хе Sy) в формулах (1) и (2) принято
называть вероятностной мерой или вероятностной функцией слу-
чайной величины X. Вероятностная мера, так же как и функция
распределения, является исчерпывающей характеристикой слу-
чайной величины.
Представление вероятности через отношение мер широко ис-
пользуется при решении практических задач, когда при массовых
испытаниях частота появления интересующего события пропор-
циональна области (например, длине, площади, объему или чис-
лу всевозможных значений случайной величины, удовлетворя-
ющим определенным условиям).
Рассмотрим, например, убывающую функцию вида (рис. 4)
Ф (х)=а+6е a<xb.
но, что вероятность попадания
равна
Она взаимно однозначно
отображает некоторый интер-
вал (0, х) в интервал (0, у).
Какова вероятность попа-
дания случайной точки г] в ин-
тервал (0, у), если известна
вероятность F (х) попадания
случайной точки £ в интервал
(О, х)?
Так как функция <р (х) —
монотонно убывающая, то об-
ласть Sj представляет собой
отрезок х>х. Поэтому очевид-
точки г] в интервал (0, у) будет
14
G (y)=P (Y<y)=-=P (У>х)=1-Г(х).
A)
Для описания системы двух случайных величин X и Y кроме
математических ожиданий и дисперсий каждой случайной вели-
чины используются понятия коэффициента корреляции гху. При
этом в практике могут иметь место, когда изучаемые случайные
величины: 1) независимы одна от другой; 2) находятся в функци-
ональной зависимости; 3) находятся в так называемой статисти-
ческой или корреляционной связи.
Коэффициент корреляции между случайными величинами на-
ходится из выражения
Гху------------•
Wy
Значение коэффициента корреляции может принимать значе-
ния от —1 до 1. Отрицательное значение коэффициента кор-
реляции свидетельствует об обратной связи, когда с возрастани-
ем одной случайной величины другая проявляет тенденцию
к уменьшению. Положительные значения коэффициента корреля-
ции бывают при прямой зависимости, когда с увеличением (уме-
ньшением) одной случайной величины другая тоже увеличивается
(уменьшается). Числовое значение коэффициента корреляции
указывает на тесноту статистической связи, причем значения,
мало отличающиеся от единицы, указывают на связь, близкую
к функциональной, а значения, приближающиеся к нулю, свиде-
тельствуют о слабой связи или вообще на отсутствие корреляци-
онной связи.
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайной функцией X (/) называется функция, значения кото-
рой при каждом значении аргумента t, называемом сечением
случайной функции, представляют собой случайные величины.
Конкретный вид х (/), принимаемый случайной функцией X (/)
при опыте, называется ее реализацией. Совокупность реализаций
xi (0, х2 (t),..., х„ (Г), полученная в результате опытов, называется
ансамблем или семейством случайной функции (рис. 5).
~Если имеется п сечений случайной функции X (t), т. е. п слу-
чайных величин X (/J, X (t2),..., X (t„), то такая совокупность этих
случайных величин может характеризовать случайную функцию.
При п-»оо и (/,+1 — /,)-» О совокупность случайных величин X (t,)
будет полностью описывать случайную функцию X (t). Это по-
зволяет использовать числовые характеристики случайных вели-
чин для описания случайных функций.
15
Рве. 5
Основными характеристиками случайной функции являются:
математическое ожидание, корреляционная функция (корреляци-
онный момент) и дисперсия.
Математическое ожидание тх (О случайной функции X (t) —
это неслучайная функция, которая при каждом определенном
значении аргумента t равна математическому ожиданию соответ-
ствующего сечения:
>МО=Л/[*(')]•
Геометрически математическое ожидание случайной функции
интерпретируется как средняя кривая (на рис. 5 тх (/) обозначено
жирной линией), вокруг которой расположены реализации слу-
чайной функции (тонкие линии на рис. 5). При фиксированном
сечении, т. е. при определенном значении аргумента, например /ь
математическое ожидание тх (/]) есть среднее значение ординаты,
около которой расположены возможные ординаты сечения каж-
дой реализации.
Корреляционная (автокорреляционная) функция Кх (/ь /2) слу-
чайной функции X (/) — это неслучайная функция двух аргумен-
тов ti и t2, равная корреляционному моменту двух соответству-
ющих сечений:
Кх (6, t2)=M [{X (tj-mx (/,)} {X (t2)—mx (/г)}].
При равенстве аргументов ti = t2=t корреляционная функция
превращается в дисперсию случайной функции, которая при каж-
дом t равна дисперсии соответствующего сечения:
Kx(t,t)=Dx(t).
По дисперсии Dx (t) находится стандарт случайной функции,
равный при любом t стандарту соответствующего сечения:
16
Ox	(0-
Зная корреляционную функцию Кх (fi, /2) и стандарт ах (t)
случайной функции, можно найти нормированную корреляционную
функцию
р f Kzfrl.fr)Kzfrb fr)
7хх(гь гдл/^Оь fr)’
т. е. неслучайную функцию, которая при паре значений fr и fr рав-
на коэффициенту корреляции двух сечений.
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Среди случайных функций X (t) особое место занимают стаци-
онарные случайные функции. Стационарной называют случайную
функцию X (/), математическое ожидание которой сохраняет по-
стоянное значение при всех значениях аргумента /, а ее кор-
реляционная функция зависит только от разности аргументов
(h~ h)-
Для стационарной случайной функции:
1)	корреляционная функция зависит от одной переменной
t=fr—fr, т. е.
Кх (t2—ti)=Kx (у);
2)	при tl — t2=t переменная т=0, а корреляционная функция
равна дисперсии:
Dx (t)=Kx (t, t)=Kx (t — t)=Kx (0)=const,
т. e. дисперсия стационарной случайной функции постоянна при
всевозможных значениях аргумента t;
3)	любые два сечения X (fr) и X (t2) случайной функции X (г)
образуют систему двух случайных величин с одним и тем же
корреляционным моментом Кх (т) и коэффициентом корреляции
4)	при т-»оо, как правило, Хх (т)-»0, т. е. с увеличением ин-
тервала между сечениями корреляция этих сечений уменьшается.
В связи с этим вводится понятие интервала корреляции тх, т. е.
такого значения т=тх, при котором значение нормированной
корреляционной функции
2-353
17
оказывается достаточно малым.
Очень часто нормированную корреляционную функцию при-
нято аппроксимировать в виде убывающей экспоненциальной
функции
где р — коэффициент спада, определяемый по эксперименталь-
ным данным.
Принято различать абсолютный и максимальный интервалы
корреляции.
Абсолютный интервал корреляции
ra6c=Je dt=-
о р
— это расстояние (интервал) между двумя точками (ординатами
сечений), при котором наблюдается устойчивая корреляционная
связь.
При коэффициенте корреляции рх=0,05 принято считать, что
всякая связь между показателями в двух точках (сечениях) отсут-
ствует. Ему соответствует максимальный интервал корреляции,
равный
з
W--.
Иными словами, при интервале т>тти корреляционная связь
между сечениями случайной функции отсутствует.
Многим случайным функциям присущи так называемые эрго-
дические свойства, заключающиеся в том, что любая ее реализа-
ция обладает одними и теми же статистическими свойствами и на
достаточно большом интервале Т аргумента t ведет себя в сред-
нем так же, как и все другие реализации.
Случайная функция X (/) называется эргодической, если ее
характеристики могут быть получены усреднением по одной
реализации х (/) значительной длительности Т.
Для эргодической стационарной случайной функции при до-
статочно большой продолжительности Т одной реализации х (/)
имеем:
математическое ожидание
x(f)df,	(3)
1 о
18
корреляционная функция
1 г-т
Кх(т)=---- f [х 0+т)-/и*] [х (0-тЛ] dt (4)
т~х о
Обычно практически при расчетах для определения математи-
ческого ожидания и корреляционной функции по эксперименталь-
ной записи одной реализации случайной функции интегралы
в формулах (3) и (4) заменяют суммами. Тогда
£ х(4)
И
1 п—т
Кх(г)=---- % [x(ti+m)-mx^[x(Q-mx^,
п-т
где т в практических расчетах последовательно принимается
равным 0, 1, 2, 3, 4,... и не должно превышать примерно л/4.
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
И МОДЕЛИРОВАНИЯ
При исследовании различных физических объектов и процес-
сов широкое применение находит теория подобия и моделирова-
ния Состояние физического объекта и процесса характеризуется
определенной совокупностью постоянных и переменных параме
тров (величин), связанных наличием определенных закономер-
ностей Отражением этих закономерностей являются функцио-
нальные или статистические соотношения между физическими
характеристиками
Теория подобия и моделирования — это общий метод науч-
ного исследования и решения конкретных задач В общем случае
модель можно определить как некий промежуточный объект,
находящийся в подобии к исследуемому объекту. Более слож-
но— это подобие процессов, протекающих во времени и про-
странстве. Здесь сходственные величины, характеризующие про-
цессы в подобных точках модели и объекта, должны быть пропо-
рциональны.
При моделировании возможны два подхода: первый — клас-
сический, когда каждому параметру объекта (процесса) соответ-
ствует параметр модели, а второй — при котором нет необ-
ходимости всегда отыскивать явное соответствие параметров,
к°гда под подобием понимаются некие схожие результаты.
Теория подобия и моделирования позволяет изучение интере-
сующего нас природного (натурного) явления заменить изучени-
ем физически подобного явления, которое удобнее и выгоднее
19
осуществить. В теории подобия показано, что два явления подо-
бны, если по заданным характеристикам одного явления можно
получить характеристики другого простым пересчетом. Подобие
сложных явлений можно понимать в более широком смысле: два
явления подобны, если законы распределения основных физичес-
ких переменных, характеризующих эти явления, одинаковы
и полностью определяют состояние явления.
Условия подобия двух физических систем (явлений, процессов)
обычно принято записывать в виде следующего соотношения:
— =— = ... = п=idem,
Ч>2 ч>2
где <р 1, <р 1,... — значения физической переменной в системе 1; <р2,
(р'2, ... — значения физической переменной в системе 2; л — кри-
терий подобия; idem означает соответственно одинаково в моде-
ли и оригинале.
При геометрически подобных явлениях условие подобия запи-
сывается в виде соотношения
~= ...=-=idem=mh
1г 12 1у
где /ж и 1У — линейные размеры сходственных величин в модели
и оригинале; т{ — масштабный коэффициент или просто мас-
штаб.
Из множества методов моделирования наибольший интерес
для разведки и эксплуатации месторождений полезных ископа-
емых представляет физическое и математическое моделирование.
Для моделирования любого явления или объекта и прогнози-
рования его состояния необходимо иметь некоторую информа-
цию, которая служила бы основанием выбора и создания той или
иной модели. С этой целью осуществляется так называемое
натурное моделирование — экспериментальные исследования
либо непосредственно во время производственного процесса, ли-
бо специально поставленные исследования в натуре при опреде-
ленных условиях и ограничениях (производственный экспери-
мент).
Физическое моделирование. При физическом моделировании
меняются геометрические размеры и параметры процесса, но
сохраняется в основном природа изучаемого явления. В физичес-
кой модели обычно соблюдается полное или неполное моделиро-
вание и соответственно подобие, что позволяет по характеристи-
кам модели получать необходимые характеристики оригинала
(объекта) простым умножением на масштабные коэффициенты.
К физическим моделям относятся пространственные (геометри-
ческие) модели. Они служат в основном для наглядного изоб-
20
ражения изменения тех или иных параметров, характеризующих
состояние системы в определенный момент времени. Например,
геометрическое подобие, когда куб преобразуется в подобный
куб другого размера, и аффинное подобие, когда куб преобразу-
ется в параллелепипед (аффинное изображение куба). Могут быть
более сложные преобразования, например, когда Земной шар
представляется в виде плоскостной модели — карты. Современ-
ные картографические проекции (модели) разнообразны и по
степени искажения изображений делятся на равноугольные, рав-
новеликие и произвольные. В равноугольных проекциях не ис-
кажаются углы и сохраняется подобие фигур, в равновеликих
сохраняется соотношение площадей, но искажаются углы и очер-
тания фигур, а в произвольных искажаются и углы, и площади,
но в допустимых пределах.
Примером графического моделирования при соблюдении пол-
ного подобия являются топографические планы, что непосредст-
венно заложено в их определении: топографическим планом ме-
стности называется уменьшенное и подобное изображение ее про-
екции на горизонтальной плоскости. На плане линии, углы и кон-
туры объектов местности не искажаются, а степень уменьшения
ее элементов (масштаб изображения) постоянна для всех частей
плана.
Одним из наиболее распространенных способов изучения гео-
логических объектов является моделирование их в виде горно-
геометрических графиков: геологических карт и разрезов, планов
изосодержаний, изомощностей, гипсометрических планов и др.,
на которых по результатам математической обработки исходной
геологической информации отображается (моделируется) изуча-
емое явление в виде непрерывной или дискретной модели в зави-
симости от решаемой задачи. Такие геометрические модели фик-
сируют знания о геологическом строении земной коры и служат
средством для выяснения закономерностей распространения по-
лезных ископаемых.
В заключение отметим, что физическое моделирование нахо-
дит самое широкое применение при изучении и прогнозировании
самых разнообразных физических процессов, явлений и объектов
различной природы.
Математическое моделирование. К сожалению, далеко не все-
гда удается подобрать физическую аналогию для подобных про-
цессов и создать их физические модели в лабораторных условиях.
Тогда единственным средством изучения этих процессов является
их математическая модель. Математическое моделирование ос-
новывается на изофункционализме уравнений, т. е. их способ-
ности описывать отдельные стороны поведения системы при
отсутствии полного описания всего ее поведения.
При математическом моделировании приходится сталкивать-
ся с некорректностью в формулировке математической задачи:
21
некоторые входящие в нее параметры, такие, как функция про-
странственных координат и времени, оказываются порой почти
неизвестными в первую очередь из-за того, что не так просто
получить качественные данные натурных наблюдений и в нужном
объеме. И дело тут не только в технических трудностях измере-
ния тех или иных характеристик, но и подчас в трудной доступ-
ности и большой дороговизне полевых работ, а главное — в
сложности геологических объектов.
Вследствие некорректности в формулировке математической
задачи аналитическое решение значительного числа практических
задач разведки недр и подсчета запасов полезных ископаемых
требует для своего выполнения введения упрощающих процедур,
основанных на теории подобия. Введение упрощающих процедур
позволяет распространить основные условия подобия на модели-
рование процессов, представленных случайными реализациями.
Опыт показывает, что для каждой конкретной задачи лучше
строить свою модель, отражающую те стороны и связи изуча-
емого явления, которые являются наиболее важными именно для
данного исследования. Например, для решения задач определе-
ния плотности разведочной сети, оконтуривания месторождения
и оценки среднего содержания наилучшие результаты получают-
ся при совместном использовании аналитических и вероятност-
но-статистических моделей. Простая аналитическая модель по-
зволяет разобраться в основных закономерностях явления
и в первом приближении указать разумное решение поставленной
задачи. После этого любое уточнение может быть получено
введением в решение вероятностно-статистической модели. Для
повышения точности результатов разведки месторождений
и подсчета запасов полезных ископаемых неоценимым является
привлечение геометрических моделей, характеризующих разме-
щение геологических параметров в рудных залежах: одномерных
(по профилям), двумерных (по площади), трехмерных (в простра-
нстве).
Сформулируем условие подобия применительно к геологичес-
ким объектам (явлениям):
два геологических объекта (явления) подобны, если законы
распределения основных параметров (содержания, мощности
и др.), характеризующих состояние этих объектов, одинаковы
и полностью определяют изучаемые явления. В качестве критерия
подобия в этом случае может выступать сама функция распреде-
ления.
Математическое моделирование является универсальным
средством решения задач научного исследования и прогнозирова-
ния состояния физических явлений, процессов и объектов.
Раздел второй
ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В геологии широко используются вероятностно-статистичес-
кие методы исследования, позволяющие по сравнительно ограни-
ченной и невоспроизводимой геологической информации делать
необходимые выводы и прогнозы.
Главная цель вероятностно-статистических методов исследо-
вания геологических объектов заключается в том, чтобы из небо-
льшого числа наблюдений (экспериментальных данных) извлечь
максимум информации, необходимой для изучения морфологи-
ческих особенностей рудных тел и залежей, выяснения основных
закономерностей и характера размещения полезных компонентов
различной концентрации внутри рудных залежей, установления
взаимосвязи между отдельными компонентами и структурно-мо-
рфологическими элементами месторождения, промышленной
оценки месторождения, оконтуривания промышленных участков
и подсчета запасов полезных ископаемых. Статистические мето-
ды анализа широко также используются для интерпретации гене-
зиса месторождений, особенностей локализации оруденения и об-
разования минерализованных зон и многих других геологических
явлений.
Любой геологический объект характеризуется его состоянием,
или, как принято называть в математической статистике, состоя-
нием природы (или системы). Частную информацию о состоянии
природы может дать эксперимент, который приводит к одному
из возможных результатов наблюдений: хь х2, —, х„. Вероятность
различных результатов наблюдений зависит от того, какими
в действительности являются состояния природы.
ВЫБОР ЧИСЛА ИНТЕРВАЛОВ ГРУППИРОВАНИЯ
ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
После проведения эксперимента возникает вопрос, как следу-
ет обрабатывать результаты наблюдений, чтобы получить мак-
23
симальное количество информации об исследуемом явлении
и сделать обоснованные выводы о состоянии природы.
Результаты наблюдений, с которыми приходится сталкивать-
ся в практике исследовательской работы, часто целесообразно
и возможно разбить на группы или классы таким образом, чтобы
представители каждой группы обладали некоторыми общими
свойствами, которые отсутствуют у представителей других
групп. Правильный выбор класса или интервала при группирова-
нии данных эксперимента может существенно повысить эффек-
тивность исследований.
В практике статистических решений принято определять раз-
мер класса (величину интервала или группы) по формуле Стерд-
жеса:
*inax -^imin
1+3,21g л'
(5)
При выборе максимального значения признака х^„ в геологи-
ческой практике нередко вносится элемент субъективности из-за
наличия аномальных (ураганных) проб. Вследствие этого вычис-
ленная по формуле (5) величина интервала h станет величиной
неопределенной и построенная да этой основе гистограмма не
всегда объективно отразит закон распределения признака. Поэто-
му при выборе интервалов (классов, разрядов) и их границ
необходимо стремиться к тому, чтобы интервальный ряд от-
ражал характерные особенности эмпирического распределения.
Так, при слишком больших интервалах начинают сглаживаться
особенности искомого закона распределения. С другой стороны,
при группировании опытных данных в слишком мелкие интерва-
лы некоторые из них окажутся пустыми или мало заполненными.
Гистограмма в этом случае будет иметь «гребенчатый» вид, по
которому трудно (а иной раз невозможно) сделать выбор те-
оретического закона распределения для описания эмпирического
распределения.
Более подробно вопрос о выборе оптимального числа ин-
тервалов и, следовательно, их величины рассматривается в рабо-
те [19].
Автор настоящей книги рассматривает задачу выбора числа
интервалов при группировании экспериментальных данных как
задачу оптимальной фильтрации случайных отклонений гистог-
раммы от плавной кривой плотности распределения.
Пусть имеются интервальный ряд распределения случайной
величины X и соответствующие каждому интервалу частости
ft и вероятности р, (табл. 2). Величину интервала (х,-, xi+i) обозна-
чим через h, а среднее значение (середину) интервала — через х,-
24
Таблица 2
Классы Л	Среднее значе- ние класса х.	Л		Pi	Pi Xi
0-Xi	0,5Л=Х1	А	0,5/1*	Pl	Q,5Pih
Х1-Х2	1,5Л=х2	fl	1,5/2*	Pl	1,5р2Л
*2-*3	2,5Л = х3	/з	2,5/з*	Рз	2,5p3A
Хк-1~хк	(*-0,5)*=£*	fk	(*-0,5)/**	Pk	(*-0,5) Л*
		к	к	к	к
Е |		Е я-м	Е fixi	Y Pi^W	X= E Pi*i
		1—1	i— 1	i— 1	i—1
Из таблицы имеем:					
	х=0,5Л [у;+3/2+5/з+...+2 (к-			0,5)/J,	(6)
	x=0,5h [р1 + Зр2 + 5р3 + — + 2 (к-			0,5) pA.	(7)
Найдем разность х—х=р:
p=x—x=0,5h	(Л-0,5) (fk-pk)]. (8)
Допустим, что (fi-pt)=(f2-P2)=-=(fk-Pk)=(f-p)- Тогда
выражение (8) примет вид
д=0,5й (f-p) [1 +3 + 5 + ... + 2 (к—0,5)].	(9)
Учитывая, что сумма
1 + 3 + 5+... + (2Л—1)=Л2,
выражение (9) можно записать в виде
р=0,5 к2 h (f-p).	(10)
Если в качестве модели эмпирического распределения прини-
мается нормальное распределение, то для построения гистограм-
мы минимальное количество интервалов должно быть равно
пяти. В этом случае оценка среднего значения случайной вели-
чины х будет равна 2,5h.
Представим абсолютную погрешность р в виде относитель-
ной погрешности р™ в процентах, учитывая формулу (10):
дога=^100=^- 100=20Л2(/-р).	(11)
х 2,5Л
Пусть (f—p)=0,005. Тогда формула (11) примет вид
дотн=0,1Л2,
25
откуда количество интервалов
к--ЮДотн-
(12)
Таким образом, задаваясь допустимой относительной погре-
шностью Доп в процентах (табл. 3), по формуле (12) легко найти
количество интервалов.
Размер ширины интервала h находят из выражения
Л_ R
* VlO^rni’
(13)
где R=xBm—Xmm. Практика показывает, что при группировании
экспериментальных данных за xw.T необходимо принимать вели-
чину (4ч-6) х.
Таблица 3
Допустимые погрешности определения среднего
содержания компонента, %
5	6—7	8	10
Железо	Глинозем	Берилий	Ванадий (пентак- сид)
Кремнезем	Мартане	Кальция оксид	Вольфрам (триок-
Сера в медных, свинцово-цинковых рудах Сульфат бария Хром	Мышьяк	Молибден Медь Ниобий Сера в железных рудах Серебро в полиме- таллических рудах Свинец Тантал Цинк Цирконий	сид) Золото Кобальт Литий, цезий и дру- гие редкие металлы Магний (оксид) Никель Олово Ртуть Сурьма Титановый ангид- рит Фосфор
ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Статистическая обработка экспериментальных данных начи-
нается с их упорядочения и систематизации, представления опыт-
ных данных в виде таблиц и графиков.
В зависимости от характера исследуемой величины (дискрет-
ной или непрерывной) статистическую совокупность можно пред-
ставить в виде безынтервального (вариационного) или интер-
вального (статистического) ряда.
26
В табл. 4 приведены в ранжированном порядке значения
исследуемой дискретной величины X и соответствующие каж-
дому значению х, частоты л,- и частости
Таблица 4
X	*1	*2	*3		*к
п		«2	«3		"к
f	/1=- N	Л N	г л~»	. . .	Пк fk~— N
В табл. 5 приведены поинтервальное распределение наблю-
денных значений непрерывной величины X и соответствующие
им частоты nt и частости /.
Таблица S
X	xq<X^x\	х\<Х^Х2	  -Хк-1<Ж*к
п		п2	. . . пк
f	г Л Л N	« ”2 У2=~~ N	ЙЧ* и
Интервальным рядом можно также представить распределе-
ние дискретной величины, сгруппировав в каждый интервал толь-
ко значения, обладающие одинаковой частостью.
В табл. 4 и 5 через N обозначена сумма частот выборки, т. е.
N= £ л,,
i-1
где к — номер класса (интервала).
При 7V-»oo (генеральная совокупность) числовые характери-
стики эмпирического распределения стремятся (приближаются)
по вероятности к числовым характеристикам искомого теорети-
ческого закона распределения.
Для того чтобы более наглядно представить закономерность
варьирования наблюденных значений случайной величины и по-
лучить предварительно представление об искомом законе рас-
пределения, статистические ряды принято изображать в виде
трафиков. Наиболее распространенными изображениями стати-
стического ряда являются графики в виде полигона, гистограм-
и кумуляты. Все графики строят в прямоугольной системе
координат.
27
Рис. 6
При построении полигона по оси абсцисс откладывают наблю-
денные значения хь х2,хк исследуемой случайной величины X,
а по оси ординат — соответствующие им частоты п2,пк или
частости fi, f2, fk. Высоты перпендикуляров к оси абсцисс
соответствуют частотам или частостям наблюденного значения
случайной величины. Соединив вершины перпендикуляров пря-
мыми линиями, получают геометрическую фигуру в виде много-
угольника, называемую полигоном распределения частот или
частостей. Ломаная линия, соединяющая вершины перпендикуля-
ров, называется вариационной кривой или кривой распределения
частот вариационного ряда (рис. 6). .
Как правило, полигоны применяются для изображения изме-
нений значений дискретной случайной величины, но могут быть
применены и для описания интервальных изменений. В этом
случае из середины интервала, отложенного по оси абсцисс,
восставляют перпендикуляр высотой, равной частоте (или часто-
сти) данного интервала. Соединив вершины перпендикуляров,
получают полигон распределения частот (или частостей).
При построении гистограммы по оси абсцисс откладывают
границы интервалов (классов), по оси ординат — частоты или
частости, соответствующие интервалу. На каждом интервале,
принимая их за основание, строят прямоугольники, высоты кото-
рых равны соответствующим частотам или частостям. В резуль-
тате получают гистограмму распределения частот или частостей
(рис. 7). Гистограмма является аналогом графика плотности
вероятности теоретического распределения. Любую гистограмму
легко преобразовать в полигон. Для этого необходимо последо-
вательно соединить середины верхних оснований прямоуголь-
ников (что равносильно преобразованию интервального ряда
в дискретный).
При построении кумуляты по оси абсцисс откладывают зна
чения границы интервалов, а по оси ординат — накопленные
частоты (или частости). Восставив на верхних границах каждого
интервала оси абсцисс перпендикуляры высотой, равной накоп-
ленным частотам (частостям), и соединив вершины перпендику-
ляров прямыми линиями, получают график, называемый куму ля
28
той или кумулятивной кривой (рис. 8). Кумулятивная кривая
является статистическим аналогом интегральной функции рас-
пределения.
СРАВНЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Для оценки близости эмпирического и теоретического рас-
пределений имеется целый ряд критериев согласия. С ними мож-
но ознакомиться в работах по теории вероятностей и математи-
ческой статистике. Здесь же кратко рассмотрим лишь один из
них — критерий Колмогорова.
Критерий Колмогорова используется для проверки по резуль-
татам выборки (хь х2, ..., хп) объемом п гипотезы о том, что
исследуемая совокупность случайной величины X имеет опреде-
ленную функцию распределения Fo (х). Критерий предполагает
непрерывное, но в остальном неизвестное распределение совокуп-
ности. Он основан на статистике
D=max |F„ (x)-F0 (х)|,
где F„ (х) — эмпирическая функция распределения, построенная
по данным выборки (хь х2..х„).
Критерий Колмогорова, обозначаемый через 2 (лямбда), рас-
считывается по формуле
2=Л<^.	(14)
По вычисленному значению 2 с помощью табл. V Приложе-
ния находят вероятность Р (2). Если вероятность Р (2) мала
(меньше 0,05) или вычисленное значение 2 >1,36, то гипотезу
о согласии эмпирического и теоретического распределений следу-
ет отвергнуть как неправдоподобную. При больших значениях
Р (2) или в том случае, когда вычисленное значение 2 <1,36,
гипотезу можно считать совместимой с опытными данными.
29
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Выше отмечалось, что математический аппарат статистичес-
кого исследования случайных величин базируется на теории веро-
ятностей. При статистической обработке опытных данных чис-
ловые характеристики случайных величин и функций заменяются
их оценками.
Оценка математического ожидания. Для оценки математичес-
кого ожидания случайной величины X служит среднее арифмети-
ческое значение х, вычисленное по формуле
Я
х=^—,	Q5)
п
или в случае сгруппированных данных
к
Е w к
х=—к—= £/*.>	(16)
In
/-1
где хь л, и f — соответственно среднее значение, частота и ча
стость г-го интервала (класса).
Оценка дисперсии. Выборочная дисперсия ст2 находится по
формуле
Е (Xi-xf
а2=^------.	(17)
Л—1
В случае сгруппированных данных оценку дисперсии можно
найти по формуле
*
Е «< (*(-*)2
^2=^Ч-------- (18)
i«l
ИЛИ
ст2=Е/х?-.х2.	(19)
Коэффициент вариации в этом случае равен
Г=-,	(20)
X
30
где <f — стандарт, определяемый по формуле
о=
а2
(21)
Точностью оценки средней арифметической д служит средне-
квадратическая погрешность
&
(22)
Оценка коэффициента корреляции. Оценкой коэффициента кор-
реляции служит коэффициент корреляции г, найденный по выбор-
ке объема л:


(23)
или
- Е (я-*) (у-у)
п,,
(24)
&Х&У
Надежность коэффициента корреляции и, следовательно, ре-
альности связи между рассматриваемыми показателями у и х вы-
текает из следующих условий:
1) если — >3, то коэффициент корреляции считается значи-
аг
мым, а связь — реальной;
2) если — <3, то линейная связь между у и х не доказана
«т
и можно высказать предположение, что значение коэффициента
корреляции, отличное от нуля, получено случайно и не является
объективным. Необходимо произвести проверку на наличие кри-
волинейной связи между величинами х и у.
В условиях 1 и 2 фигурирует величина ап которая является,
ошибкой, характеризующей точность определения коэффициента
корреляции; она находится из выражения
1—г2
<тг=^-.	(25)
Vя
Проверка наличия корреляционной связи статистических ве-
личин независимо от формы этой связи может быть осуществ-
лена с помощью корреляционного отношения ц.
31
Корреляционное отношение, как и коэффициент корреля-
ции, — величина относительная. Однако в отличие от коэффи-
циента корреляции корреляционное отношение всегда является
величиной положительной, принимающей значения от 0 до 1.
Коэффициент корреляции — равнозначная мера для обоих кор-
реляционно связанных величин X и У, тогда как корреляционные
отношения г]ху и tjyx не равны друг другу, т. е. г]ху^т]ух- Равенство
Чху и г/ух осуществимо только при строго линейной зависимости
между величинами У и X. Корреляционное отношение является
универсальным критерием статистической связи: оно позволяет
характеризовать любую форму связи — и линейную, и нели-
нейную.
Корреляционное отношение определяют по формулам:
для большой выборки
Ь»х (ух-у)2
Д», (У(~У)2
_Ъу_ /£л> (*у-*)2
<rx \ Епх (Xi-x)2
для малой выборки
/Д (Ух-у)2
’1ух \1ъ(у,-уУ
Чху =
£ (Xy-xf
Х(х,-х)2
В формулах (26)—(29) у и х — общие, а ух и ху — групповые
среднеарифметические; пу — частоты ряда Y, а пх — частоты ря-
да Х\ оу и аух =— соответственно общее и межгрупповое средне-
квадратическое отклонение.
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ О КАЧЕСТВЕННЫХ И
КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ
ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ
В зависимости от сложности геологического строения и рас-
пределения полезных компонентов месторождения полезных ис-
копаемых подразделяются на следующие группы (табл. 6).
32
Таблица 6
Номер группы	Характеристика месторождений			
	качественная по ГКЗ	качественная и количественная по В. М. Крейтеру		
		распределение полезных ком- понентов	коэффициент вариации V, %	месторождения полезных ископаемых
1	Месторождения простого геологичес- кого строения, преобладающая часть за- пасов которых содержится в телах по- лезного ископаемого с ненарушенным или слабонарушенным залеганием, вы- держанными мощностью, внутренним строением и качеством полезного ископа- емого, с равномерным щ делением в них основных ценных компонентов	Равномерное	Менее 40	Месторождения углей, горючих слан- цев, строительных материалов, флю- сов, цементного сырья, серы, каменных и калийных солей, фосфоритов, некото- рых железных и марганцевых руд, не- редко имеющих F=10-r40%
2	Месторождения сложного геологичес- кого строения, характеризующиеся из- менчивыми мощностью и внутренним строением тел полезного ископаемого либо нарушенным их залеганием, невы- держанным качеством полезного ископа- емого или неравномерным распределени- ем основных ценных компонентов, а так- же месторождения углей и ископаемых солей простого геологического строения, но с очень сложными горно-геологичес- кими условиями разработки	Неравномер- ное	40—100	Преобладающее большинство мед- ных и полиметаллических месторожде- ний, часть месторождений вольфрама, молибдена, а также немногие золото- рудные месторождения
UJ
Номер
группы
явственная по ГКЗ
3
Месторождения очень сложного геоло-
гического строения, характеризующиеся
резкой изменчивостью мощности и внут-
реннего строения либо интенсивно нару-
шенным залеганием тел полезного иско-
паемого или невыдержанным качеством
полезного ископаемого и весьма нерав-
номерным распределением основных
ценных компонентов
Месторождения металлов и нерудного
сырья весьма сложного геологического
строения, характеризующиеся резкой из-
менчивостью мощности и внутреннего
строения либо интенсивно нарушенным
залеганием тел полезного ископаемого,
а также невыдержанным качеством и ве-
сьма неравномерным распределение ос-
новных компонентов
Продолжение табл. 6
плеспенвяя и количественная по В. М. Крейтеру		
распределение полезных ком- понентов	коэффициент вариации V\ %	месторождения полезных ископаемых
Весьма не- равномерное	100—150	Некоторые полиметаллические ме- сторождения, большинство месторож- дений олова, вольфрама, молибдена, а также многие месторождения золота
Крайне не-	Свыше 150	Многие месторождения редких ме-
равномерное		таллов, золота, платины
ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ
Пример 3. В табл. 7 приведены средние содержания по
167 скважинам эксплуатационной разведки месторождения же-
лезных руд.
Необходимо вычислить числовые характеристики и подо-
брать закон распределения железа.
Решение. Представим данные табл. 7 в виде интервального
ряда, для этого, принимая из табл. 3 допустимую относительную
ошибку Моти=5%, по формуле (12) находим количество интер-
валов:
^=5/10^=750=7.
Размер ширины интервала найдем по формуле (13):
, R 69,6—2,6 67
Л=—=--------=—» 9,6 =10.
к 7	7
Таблица 7
Содержание железа, %
33,5	27,3	15,9	34,6	34,3	41,2	43,6	13,0
47,7	45,9	20,0	36,6	40,0	34,1	48,5	12,1
46,8	24,7	30,0	39,0	42,9	12,0	48,9	49,3
46,8	34,9	25,8	32,3	43,0	26,9	49,3	14,5
41,9	12,2	24,4	35,1	42,6	33,0	30,0	12,1
47,6	17,1	20,0	40,0	66,4	39,6	40,0	15,9
53,6	22,3	34,7	45,7	52,6	41,2	37,8	12,4
45,2	22,4	35,4	43,7	56,7	57,1	34,6	14,0
42,3	24,1	44,0	52,0	39,5	48,0	35,4	15,6
37,6	30,0	41,1	44,9	30,0	67,1	35,3	12,0
24,2	50,0	47,2	55,8	52,9	56,5	32,5	34,1
24,8	42,4	40,0	40,0	31,0	26,2	69,6	16,7
35,4	31,5	43,8	51,6	48,8	25,9	47,1	45,8
29,9	52,0	41,6	59,4	30,0	40,0	45,3	12,2
24,6	42,1	44,8	33,0	34,3	58,0	26,0	16,7
30,0	49,3	52,3	38,4	34,2	67,3	48,6	15,2
32,4	46,9	33,4	37,9	39,0	30,0	64,1	35,0
34,9	33,0	40,0	30,0	27,9	54,5	50,0	17,7
30,0	29,4	40,0	30,0	40,0	50,0	39,4	2,6
30,0	34,2	46,2	44,5	47,5	55,1	14,1	11,2
39,6	36,5	42,2	38,7	33,3	51,8	15,6	
Установив количество и ширину интервалов, сгруппируем
Данные табл. 7 в интервальный ряд (табл. 8).
35
Таблица 8
Классы, со- держаний, %	Середина класса х.	Результат разноски данных табл. 7	Часто- ты ГЦ	4=— 167	fi*i	ft*]
0 — 10	5	•	1	0,006	0,03	0,15
10 — 20	15	SSL*	23	0,138	2,07	31,05
20 — 30	25	и И и	28	0,168	4,20	105,00
30 — 40	35	ИИИ8И	50	0,299	10,465	366,275
40 — 50	45	ии ни;:	44	0,263	11,835	532,575
50 — 60	55	яи	16	0,096	5,28	290,4
60 — 70	65	Г:	5	0,030	1,95	126,75
Z			167	1,000	х=35,83	1452,2
Вычислим дисперсию по формуле (19):
а2=Е/х?-х2 = 1452,2-35,832 = 168,41,
откуда стандарт 5=V168,41 = 12,98%.
Ошибка х составит
Коэффициент вариации в соответствии с формулой (20) равен
а	12,98
v=~-100=—-100 = 36,2%,
х	35,83
что свидетельствует о принадлежности месторождения железной
руды к первой группе классификации ГКЗ.
На рис. 9 изображена гистограмма распределения железа. По
36
виду гистограммы можно высказать гипотезу о нормальном
законе распределения железа:
(х-х)а
/(x)=-L=e	.
о ^2л
Вычислим теоретические (выравнивающие) частоты п\ по
формуле
I п;=?/(о=^/оа=128,66/(0.
О	1x,7с
где ti=—а /(О находят по табл. I Приложения.
а
Для расчета теоретических частот составим дополнительную
табл 9 по данным табл. 8.
Таблица 9
Середина класса х.	Эмпирические		Xf—X ‘i—r о	/w	Теоретичес- кая частота п\
	частоты П(	частости fi			
5	1	0,006	-2,38	0,0235	3
15	23	0,138	-1,60	0,1109	14
25	28	0,168	-0,83	0,2827	36
35	50	0,299	-0,06	0,3982	51
45	44	0,263	+0,71	0,3101	40
55	16	0,096	1,48	0,1334	17
65	5	0,030	2,25	0,0317	4
Z	167	1,000			165
Найдем значения интегральной функции Fo (х)=Р (Х<х),
пользуясь табл. П Приложения. Результаты вычислений приведе-
ны в табл. 10.
Таблица 10
Интервалы содержа- ний железа (х,, xl+1)	xi+1-x t — ff	ЛЬЮ	P (х,<Х<х(+1)
0-10	-1,99	0,023	0,023
10 -20	-1,22	0,111	0,088
20-30	-0,45	0,326	0,215
30—40	0,32	0,625	0,299
40-50	1,09	0,862	0,237
50—60	1,86	0,968	0,104
60-70	2,63	0,996	0,028
37
Значения функции Fo (х) для положительного аргумента t да-
ются в табл. II Приложения непосредственно, например
Fo (1,09)=0,8621, для отрицательного же аргумента берется до-
полнение до 1, например Fo (— 1,22) = 1 — 0,8888=0,1112.
Проверку соответствия эмпирического распределения нор-
мальному закону произведем с помощью критерия Колмогоро-
ва, для этого составим табл. 11 накопленных частостей и вероят-
ностей по данным табл. 9.
Таблица 11
)=•»(*)	0,006	0,144	0,312	0,611	0,874	0,970	1,000
/%(*)	0,023	0,111	0,326	0,625	0,862	0,968	0,996
	0,017	0,033	0,014	0,014	0,012	0,002	0,004
Максимальное значение D=0,033. Вычислим 2 по формуле
(14):
,	2=2)^=0,033^/167 =0,033 • 12,92 = 0,43.
Из табл. V Приложения имеем Р (2= 0,43)=0,991. Так как
вычисленное значение 2=0,43 < 1,36, то нет оснований сомневать-
ся в том, что нормальный закон распределения с параметрами
х=35,83 и стандартом ст =12,98 достаточно надежно (с вероят-
ностью 0,991) описывает эмпирическое распределение железа.
Полигон f„ (х) и кривая плотности вероятностей f0 (х) изоб-
ражены на рис. 9, а кумулята Ря (х) и интегральная кривая
Ро (*) — на рис. 10.
Пример 4. По данным примера 3 проверить гипотезу о соот-
ветствии эмпирического распределения распределению Вейбулла.
Решение. Имеем: х=35,03; ст= 12,98; Р=36,2%; «=167.
38
1. Из табл. Ill Приложения по коэффициенту вариации
К= 36,2% находим:
5 = 3,0; 5=0,893; 2
0,0000155.
Тогда интегральная функция распределения Вейбулла запи-
шется в виде
— . .	,	-0,0000155*’
F0(x)=l—е
2. Находим значения интегральной функции Fo (х)=Р (Х<х)
и проверяем соответствие ее эмпирическому распределению по
критерию Колмогорова. Результаты вычислений приведены
в табл. 12.
Таблица 12
Клосы содер- жав!, %	/	-0,0000155х3 е	Р			D-|F„- -/ы
0—10	0,006	0,985	0,015	0,015	0,006	0,009
10 — 20	0,138	0,883	0,102	0,117	0,144	0,027
20	30	0,168	0,658	0,225	0,342	0,312	0,030
30—40	0,299	0,371	0,287	0,629	0,611	0,018
40-50	0,263	0,144	0,227	0,853	0,874	0,021
50 — 60	0,096	0,035	0,109	0,962	0,970	0,008
60 -70	0,030	0,005	0,030	0,992	1,000	0,008
 Е	1,000					
Из табл. 12 находим максимальное значение D—0,030. Тогда
JL=Dy/n=0,030^/167=0,39.
Из табл. V Приложения находим Р (2=0,39)=0,997. Так как
вычисленное значение 2=0,39 <1,36, то с вероятностью 0,997
можно считать, что распределение Вейбулла надежно аппрок-
симирует эмпирическое распределение.
Следует отметить, если вычисленный коэффициент вариации
V находится в интервале 85-е-115%; т. е. 85<Ё^115, то эм-
пирическое распределение с достаточной точностью для прак-
тических расчетов можно аппроксимировать экспоненциальным
Распределением с параметром 2=-^«
X
Пример 5. В табл. 13 приведены данные химического анализа
отдельных проб свинца РЬ и меди Си, отобранных при разработ-
ке одного из полиметаллических месторождений.
39
Требуется предварительно выяснить наличие корреляци]
между содержанием свинца X и меди Y.
Таблица 13
Номер пробы	Xi		Xj— X	(х(-х)2	yt-y	(yi-yf	(X,— xfoi- 4 1
1	1,09	0,25	0,34	0,1156	0,11	0,0121	0,0374
2	0,88	0,25	0,13	0,0169	0,11	0,0121	0,0143 J
3	1,60	0,34	0,85	0,7225	0,20	0,0400	0,1700
4	1,06	0,11	0,31	0,0961	-0,03	0,0009	-0,0093 j
5	0,45	0,08	-0,30	0,0900	-0,06	0,0036	0,0180 I
6	0,76	0,19	0,01	0,0001	0,05	0,0025	0,0005 1
7	0,15	0,06	-0,60	0,3600	-0,08	0,0064	0,0480 I
8	0,94	0,07	0,19	0,0361	-0,07	0,0049	-0,0133
9	0,57	0,07	-0,18	0,0324	-0,07	0,0049	0,0126 I
10	0,57	0,05	-0,19	0,0324	-0,09	0,0081	0,0162 1
11	0,15	0,07	-0,60	0,3600	-0,07	0,0049	0,0420 I
Е	8,22	1,54		1,8621		0,1004	0,3364
Решение. 1. Вычислим среднее арифметическое значение со-
держания:
~	8,22 л
свинца х=—=—=0,75;
л 11
-	*’54 Л1Л
меди у=—=—=0,14.
л 11
2. Находим стандарты (среднеквадратические отклонения):
/Г(х,-хГ /1,8621
свинца <тх= /-------= /----=0,43;
л/ л-1 v ю
^(У.-уУ	/0.1004
меди av= /-------= /-----=0,10.
у '< - ’	''10
л-1
3. Вычисляем коэффициент корреляции между содержаниями
свинца и меди:
1 (х,-х)	0,3364
г =-------------=----------=0,71.
у пахау 11 0,43 0,10
Оценим надежность коэффициента корреляции. Для этого
найдем
<т,=1-4=^=0,15.
Jn 3,3166
40
Так как коэффициент корреляции достаточно высок и на-
дежен:
гух=0,71 > За,=0,45,
то приходим к выводу о наличии тесной связи между содержани-
ями свинца и меди.
Пример 6. В примере 5 по небольшой выборке было пред-
варительно установлено наличие связи между содержаниями
свинца и меди. Необходимо найти уравнение связи (регрессию)
между содержаниями этих компонентов. Для этого было отоб-
рано для статистической обработки л=288 проб указанного по-
лиметаллического месторождения, по которым составлена кор-
реляционная табл. 14 (обведена жирной линией). В этой же
таблице выполнены необходимые промежуточные вычисления,
которые особых пояснений не требуют.
Решение. 1. Вычисляем средневзвешенное содержание:
_ Ехлх 204,6 „
свинца х=-----=-----=0,71;
п 288
_ Т.упу 88,6
меди у=—-=—=0,31.
п 288
2.	Находим дисперсии а2 и стандарты а (среднеквадратичес-
кие отклонения):
., Ех2пх _ , 443,32 _	__
свинца стх=------х2=--------0,5041 = 1,0352;
п	288
ffx=>/l’0352= 1,02;
меди ог?=£у ”у—у2=^^—0,0961=0,1258;
у п	288
^=70,1258 = 0,35.
3.	Вычислим средневзвешенное произведение ху:
~~ у£хпху 135,06
ху=------ =-----=0,47.
п 288
4.	Вычисляем значение коэффициента корреляции гух и оцени-
ваем его надежность:
ху-ху 0,47-0,710,31 0,2499 Л
г =-------=-----------=-----—0,70;
У дхЪу 1,02 0,35	0,357
41
Таблица 14
х Y	0,3	0,9	1,5	2,1	2,7	3,3	3,9	4,5	5,1	пУ	УПу	У* 2"у	ExnXj	уХхИду
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0,1	131	29	10		2					172	17,2	1,72	85,8	8,58
0,3	13	22	8	2	2					47	14,1	4,23	45,3	13,59
0,5	6	15	5	1	1	1	1	1		31	15,5	7,75	39,3	19,65
0,7	3		4	1	1	1				10	7,0	4,90	15,0	10,50
0,9		3	1	1				2		7	6,3	5,67	15,3	13,77
1,1		1	2	1			1		1	6	6,6	7,26	15,0	16,50
1,3	1	1	1	1	2				1	7	9,1	11,83	15,3	19,89
1,5		3			1					4	6,0	9,00	5,4	8,10
1,7						2	2			4	6,8	11,56	14,4	24,48
пх	154	74	31	7	9	4	4	3	2	288	88,6	63,92	165,0	135,06
ХПх	46,2	66,6	46,5	14,7	24,3	13,2	15,6	13,5	10,2	Ехлх=204,6				
„2_ X Лх	13,86	59,94	69,75	30,87	65,61	43,54	60,84	60,75	52,02	-	=443,32			
	23,4	26,6	13,1	5,1	6,1	4,6	5,0	2,3	2,4					
м Ъупху У=	 Пх	0,15	Ю,36	0,42	0,73	0,68	1,15	1,25	0,77	U					
ух=0,14+0,24х	0,21	0,36	0,50	0,64	0,79	0,93	1,08	1,22	1,36					
Примечания: 1. Сумма Еуп^=23,4 (колонка 2) получена сложением произведений О,Г 131+0,3 * 13+0,5*6+0,7*3 + 1,3* 1.
2. Сумма Ехлх> = 85,8 (первая строка колонки 14) получена сложением произведений 0,3 * 131 +0,9 * 29 +1,5 * 10+2,7 * 2.
I—г2
0,51
v/288
= 0,03.
Так как ryx=0,70 >3ст,=0,09, то можно сделать вывод о тесной
линейной корреляции между содержаниями свинца и меди, кото-
рая может быть аппроксимирована уравнением ух=а+Ьх.
5 Найдем коэффициенты уравнения регрессии:
6=г -^=0,70• — = 0,24;
У ах 1,02
d=y-bx=0,31 -0,24 0,71 = 0,14.
Следовательно, корреляционная связь выражается линейным
[внением регрессии вида
_ух=0,14+0,24х
Си=0,14+0,24 РЬ,
где РЬ — средние содержания свинца по пробам.
1 Подставляя в уравнение
регрессии значение. содер-
жания свинца, получим со-
держание меди (см. после-
днюю строку табл. 14).
Графически уравнение, ре-
грессии представлено на
рис. 11.
Установление корреля-
ционной зависимости в ви-
де уравнения регрессии, по-
лученного по большой вы-
борке, позволяет по ре-
зультатам химического
анализа проб одного полезного компонента определять расчет-
ное значение среднего содержания другого компонента, химичес-
кие анализы проб которого более трудоемкие и дорогостоящие.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИРОДНОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ РАЗМЕЩЕНИЯ
ПОЛЕЗНОГО КОМПОНЕНТА В РУДНЫХ ЗАЛЕЖАХ
Размещение любого компонента в рудных залежах или место-
рождении в общем виде может быть представлено случайной
Функцией координат точки пространства F (х, у, z). Случайная
функция координат пространства ставит в соответствие каждой
43
точке пространства некоторую случайную величину. Вследствие
этого теорию случайных координат точки пространства также
принято называть теорией случайных полей. Примерами случай-
ных полей могут служить поля содержаний любого компонента,
мощностей рудного тела и других качественных и количествен-
ных характеристик месторождения, объединенных основополож-
ником геометрии недр, выдающимся ученым П. К. Соболевским
в единое понятие — «геохимическое поле».
Сущность учения П. К. Соболевского о геометризации недр
кратко и доступно изложена в § 4 работы [29] доктора техничес-
ких наук, профессора П. А. Рыжова — талантливого последова-
теля П. К. Соболевского:
«Понятия геохимического и тектонического полей необходимо рассматривать
не в абстрактном виде, а в конкретных условиях изучаемого объекта.
П. К. Соболевский под понятием геохимического поля подразумевает совоку-
пность форм, свойств и процессов, связанных между собой единством своего
геологического генезиса, являющегося прямым следствием совершавшихся и со-
вершающихся в недрах процессов.
В одном случае — это понятие поля данного месторождения полезного ис-
копаемого, например рудного поля; в другом случае — это понятие, совпада-
ющее с понятием геохимического узла Ферсмана, представляющего собой геохи-
мическую концентрацию элементов, происходящую в результате наложения не-
скольких тектонических и климатических циклов или типов.
Выше отмечалось, что любое месторождение полезного ископаемого пред-
ставляет собой геохимическое поле, тектоническое поле или сочетание того
и другого.
Вот почему геометрический анализ геохимического поля имеет исключитель-
но важное теоретическое значение.
Если выразить числом Р любое из характерных свойств геохимического поля
для любого его элементарного объема, то это свойство можно рассматривать как
функцию координат точки (центра элементарного объема) и времени, т. е.
P=F (х, у, z, t).
Функция Р удовлетворяет следующим четырем условиям:
1)	конечности, т. е. значение Р не может быть равно ± оо;
2)	однозначности, т. е. для данной произвольной точки поля (х1? уь
и для данного момента времени tj функция Р имеет только одно определенное
значение;
3)	непрерывности, т. е. с незначительным перемещением точки наблюдения
соответственно незначительно изменится и количественная характеристика поля;
4)	плавности, т. е. поверхности, интерпретирующие Р, не имеют ни острых
углов, ни особых точек.
В обшей теории силового поля доказывается, что если функция Р, выража-
ющая количественную характеристику поля, удовлетворяет вышеприведенным
условиям, то такое поле имеет слоисто-струйчатую структуру.
Следовательно, свойства геохимического поля, характеризуемые определен-
ным числом Р, вообще могут быть соединены в систему непрерывных
изо-Р-поверхностей, не пересекающихся между собой. Любое плоское сечение
такого поля приводит к системе непересекающихся изо-Р-линий, т. е. линий
одинаковых свойств этого поля.
Указанным выше четырем условиям удовлетворяет и функция вида
^=/(х,у),
выражающая в общем виде поверхность топографического порядка и интерпрети-
44
руклцая характер изменения свойств геохимического Поля в его любом плоском
горизонтальном сечении в данный момент времени (следовательно, z и t — по-
стоянные).
Первые два свойства очевидны и не вызывают никаких возражений.
Каждой точке пространства геохимического поля (вообще — пространства
недр) соответствует только одно, и притом конечное, значение исследуемого
свойства этого пространства, например содержание металла в единице объема,
взятого около данной точки (считая данную точку центром взятого объема).
Третье и четвертое условия не надо понимать так, что между любыми
элементарными объемами исследуемого пространства обязательно должно суще-
ствовать сплошное тело (сплошной слиток металла) и что совокупность точек —
центров элементарных объемов, лежащих между двумя данными объемами, —
представляет собой плавную непрерывность.
В природе вещей, строго говоря, вообще нет непрерывностей, однако наука
устанавливает функциональные зависимости связанных между собой реально
измеряемых и наблюдаемых средних свойств природы, причем эта функциональ-
ная зависимость отображает непрерывность.
Приведем простые примеры, позволяющие несколько ближе подойти к харак-
теристике непрерывности свойств геохимического поля.
Представим себе, что перед нами обширный лесной участок, в пределах
площади которого нам необходимо сделать подсчет запасов леса (дров). Участок
большой, пересчитать на нем все малые и большие деревья практически невоз-
можно, и мы очутились перед невозможностью разрешения поставленного воп-
роса. Однако это решение не так уж невыполнимо, если от абстрактных выводов
перейти к реальным наблюдениям.
Обследуем данный участок леса, пересекая его в различных направлениях,
и ознакомимся с характером лесонасаждения на периферии и внутри участка Это
непосредственное общение с действительностью создает впечатление, которое
направляет нашу мысль в новое русло, — от отдельных деревьев к плотности
леса, от отдельных индивидуумов к характеристике целого. У нас получается
впечатление, что густота, плотность лесонасаждения распределена по участку
далеко не равномерно: на периферии плотность одна, в глубине участка —
другая.
Впечатление от наблюдаемой густоты леса, точнее от наблюдаемого посте-
пенного изменения этой густоты, рождает мысль о постепенном изменении
плотности леса, т. е. количества леса, которое с перемещением точки наблюдения
постепенно и плавно меняет свою величину. Такая мысль приводит к необ-
ходимости определения количества древесины (деревьев), приходящегося на ка-
кую-то единицу площади. Но на какую? Деревья распределены по всему лесному
участку не непрерывно, а как бы отдельными точками. По мере анализа этого
вопроса становится ясным, что единица площади должна быть больше площади
сечения каждого отдельного дерева; очевидно, эта единица должна включать
в себя целую группу точек — деревьев больших и малых. Ясно также, что
размеры этой площади-единицы должны быть таковы, чтобы при постепенном
перемещении этой единицы в любом направлении так же постепенно менялась
и соответствующая этой единице плотность.
Развивая эту идею об элементарной непрерывно изменяющейся в любом
направлении средней плотности, необходимо в определение единицы площади
внести еще и определение допускаемой средней погрешности этой плотности,
а именно останавливаемся на такой единице площади, при перемещении которой
соответствующие плотности были бы подвержены лишь случайным погрешно-
стям.
Сказанное может быть наглядно иллюстрировано следующим простым при-
мером. Представим себе план лесного участка, на котором все деревья изоб-
ражены отдельными точками, представляющими собой центры окружностей,
площади которых эквивалентны массе каждого дерева; короче говоря, пусть
перед нами лежит план, карта, покрытая сплошь массой кружков самой разнооб-
разной величины. Представим себе, далее, что мы располагаем листом непрозрач-
45
ного картона, в котором сделано отверстие (безразлично какое, квадратное или
круглое). Если этот лист непрозрачного картона наложить на план лесного
участка, то участок окажется сплошь закрытым, за исключением площади отвер-
стия, сделанного в картоне. Это отверстие является своего рода окном, в пределах
площади которого мы можем подсчитать общую массу древесины. Условимся
такое окно называть статистическим окном.
Передвигая постепенно это статистическое окно в любом направлении и про-
изводя подсчет массы через определенные интервалы, получим ряд чисел, вели-
чина и характер изменения которых зависят от размеров самого окна и характера
распределения исследуемого материала на данном плане.
Из изложенного выше может быть сделан следующий вывод: плотность леса
с определенной допустимой точностью можно рассматривать как непрерывен к
функцию координат точки, представляющей собой центр какой-то элементарной
единицы площади (которую мы назвали статистическим окном), удовлетворя
ющей одновременно и двум первым требованиям: конечности и однозначности
Приведенный выше анализ непрерывности плоскостной или поверхностной
плотности лесонасаждения легко распространить и на аналогичный анализ объ-
емной плотности, только вместо единиц площади появится некоторая объемная
единица.
Указанный в приведенном примере способ (метод) определения объемной
плотности или объемной насыщенности может быть отнесен к любым свойствам
недр, которые можно измерить и выразить числом, и является одним из
случаев применения математической статистики к обработке непосредствеавь х
наблюдений.
Вопрос о непрерывности является весьма важным в геометрии недр. Сущест-
венно важно установить и усвоить правильный взгляд на практическое определ
ние непрерывности путем всестороннего анализа конкретных материалов опробо
ваний, химических и минералогических определений и т. п. Однако необходим
при этом заметить, что природа предоставляет наблюдателю такой разнообраз-
ный и разнохарактерный материал, что самое детальное рассмотрение наблюла
емых материалов одного какого-нибудь месторождения, например золотого
асбестового, полиметаллического или иного, не могло бы дать схему, пригодную
для анализа другого месторождения.
Приведенные выше соображения дают основание минуя анализ конкретных
материалов остановиться на общем значении математической статистики в уста-
новлении понятия о непрерывности.
...Математическая статистика имеет дело с характернейшими массовыми
явлениями природы (Вселенной) — порожденными и порождаемыми природой
и индивидуумами как носителями определенных свойств, причем этими свойст-
вами обладает все, что может подлежать счету и измерению.
Таким образом, сомнения, которые первоначально были связаны с вопросом
о непрерывности функции
P=F (х, у, z, г),
постепенно и последовательно рассеивались по мере накопления материалов,
обработанных методами математической статистики.
Как отмечено выше, в общей теории силового поля доказывается, что если
функция Р, выражающая количественную характеристику поля, удовлетворяет
вышеприведенным условиям, то она имеет слоисто-струйчатую структуру. Следо-
вательно, свойства геохимического поля, характеризуемые определенным числом
вообще могут быть соединены в систему непрерывных изо-Р-поверхностей, не
пересекающихся между собой. Геометрическое место направлений, пронизыва-
ющих^ такое поле нормально к геометрическому месту возможных изоповерх
ностей, составляет некоторый геохимический поток. Любое плоское сечение
такого поля приводит к системе непересекающихся изо-Р-линий, т. е. пиний
одинаковых свойств этого поля.
Как уже отмечалось, поверхность, интерпретирующая характер изменения
46
свойств геохимического поля в его любом плоском горизонтальном сечении
 данный момент времени, является поверхностью топографического порядка.
Следовательно, если мы возьмем ряд плоских и параллельных сечений про-
странства недр Земли и в каждом таком сечении изобразим свойство изучаемого
пространства соответствующими интерпретирующими поверхностями, то полу-
чим полную и ясную картину изучаемого пространства.
Отсюда следует, что система изолиний свойств изучаемого пространства
является графо-математическим методом изображения пространства, заполня-
ющего данную форму, а поверхность топографического порядка приобретает
в изучении геохимического поля (и вообще любого физико-химического поля)
недр значение особого графо-математического выражения, аналогичного тому,
чем в математическом анализе является уравнение».
Рудное месторождение, как известно, является сложным физи-
ческим природным объектом. Для определения его состояния
осуществляется разведка месторождения. В общем случае любая
числовая характеристика случайного поля, например среднее со-
держание полезного компонента, является случайной функцией
координат точки пространства.
При разведке месторождений часто приходится рассматри-
вать случайные функции расстояния Z (рис. 12).
Обозначим истинное значение случайной величины в любом
сечении случайной функции через у (I), измеренное значение —
через у (I). Тогда можно записать
y(l)=y(l)+z(l),	(30)
где z (/) — случайная помеха, не коррелированная с у, т. е. не
зависящая от значения у. математическое ожидание которой
Л/ (z)=0 и дисперсия М (z *)=a i-,=const.
Эта помеха образуется из-за случайных флуктуаций, обуслов-
ленных главным образом генезисом месторождения, и случайных
погрешностей измерений, возникающих из-за неполноты извлече-
Иия керна, технологии и ошибок химанализа проб и др.
47
С учетом равенства (30) и принятых предпосылок природная
изменчивость о2 размещения компонента в рудном теле будет
иметь вид
о2=а2 (у)+«т^,
где а2 (у) — закономерная составляющая ст2, которая при рас-
четах заменяется ее оценкой aj.
Задача заключается в выявлении по результатам разведки
закономерной составляющей а2 и случайной составляющей
о-^п природной изменчивости а2.
Пример 7. В результате статистической обработки и анализа
47 реализаций, представленных линиями буровзрывных скважин
по 11 эксплуатационным горизонтам молибденового месторож-
дения, разрабатываемого открытым способом, были получены
по каждой реализации среднее содержание молибдена х и соот-
ветствующая дисперсия д’2, которую обозначим через у. По этим
данным построена корреляционная табл. 15.
Таблица 15
У	X	0,36	0,60	0,84	1,08	1,32		пуу	ПуУ1
5		1	3	1			5	25	125
15		3	17	5			25	375	5625
25			3	4		1	8	200	5000.
35			1	1	1		3	105	3675
45				2	1		3	135	6075
55							—	—	— 
65						1	1	65	4225
75						1	1	75	5625
85						1	1	85	7225
пх		4	24	13	2	4	47 '	1065	37 575
ЪвухУ		50	410	305	80	225			
Ух		12,5	17,1	23,5	40,0	56,25			
ПхУ1,		625,0	7017,8	7179,2	3200,0	12656,2	30678,2		
ух=7,07+27,17х2		10,7	17,1	26,7	39,5	55,4			
Необходимо найти уравнение регрессии и установить тесноту
связи между дисперсией и содержанием.
Решение. 1. Вычисляем для каждого класса содерж:
48
X дисперсию ух (табл. 15) и строим
соответствующий график (рис. 13).
Цо внешнему виду графика предва-
рительно устанавливаем, что стати-
стическая связь между дисперсией
и содержанием может быть аппрок-
симирована следующим уравнением
второго порядка:
ух=а+Ьх2.
2.	Для подтверждения (или оп-
ровержения) нелинейности связи
между у и х вычислим корреляционное отношение г;ух. Для
этого находим:
общую среднюю
Ь^ = 1»5=
п 47
общее среднеквадратическое отклонение
°У =
„	/37575
у2 = /---------22,662 = 16,91;
X/ 47
межгрупповое среднеквадратическое отклонение
1Ипху ~ 2	/30678,2	«2	11 on
cr = /------У = /-------------22,66 = 11,80.
Ух \l п V 47
Находим корреляционное отношение:
«5	11,80 „ _
~1А01 —0,70.
Оу 16,91
Довольно большое корреляционное отношение, равное
=0,70, свидетельствует о наличии тесной нелинейной зависи-
мости дисперсии от среднего содержания молибдена, аппрок-
симированной уравнением регрессии второго порядка
ух=а+Ьх2.
Значения коэффициентов а и b найдем способом наименьших
квадратов из условия, чтобы сумма квадратов отклонений на-
блюденных значений у от ух была минимальной:
2 Ox-j)2=min.
4-353
49
В этом случае для отыскания параметров а и 6 уравнения
регрессии получаем систему из двух нормальных уравнений:
ап+ЬЪх2—Ly=0,1
dLx2+6£х4 - Zyx2=0. J
Подставляя в эти нормальные уравнения значения ух и х из
табл. 15, получим
5а+4,10406—149,35 = 0,
4,1040а+5,04076 -169,02=0,
откуда	Ь=27,77.
Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид
у,=7,07 + 27,77х2,
или в принятых в геологической практике обозначениях I
ст2=7,07 +27,7С2,
где первый член правой части уравнения представляет собой
случайную составляющую а „=7,07, второй член — закономер-
ную составляющую ст,=27,7 С 2 природной изменчивости ст2.
Графически уравнение регрессии представлено на рис. 13.
Пример 8. В табл. 16 приведены данные кернового опробова-
ния одной скважины молибденового месторождения на интерва-
ле £=60 м. Длина керна 1=2,5 м. Рассматривая результат^
опробования скважины как одну из возможных реализаций слу-
чайной функции, необходимо найти ее основные числовые харац
теристики.
Решение. Находим оценки основных числовых характер!
стик случайной функции по данным табл. 16:
1)	математического ожидания
. 1Д 111,2
- ,5 (/,,= 24 =4А
2)	дисперсии
йг2—-
п
г	1 е 5 191,98
X [* (4)-х]2=- £б?=-^-=8,00;
3)	корреляционной функции
50
кх (/)=— у к (А)-*]	(4U-x]=— "f
п-т	п-т jwJ
где 6i=x (/J-x; S,+m=x (1^-х\ m=O,l, 2, 3, ...;
4)	нормированной корреляционной функции
Все вычисления, связанные с оценкой корреляционной функ-
ции Кх (0 и нормированной корреляционной функции рх (I), выпо-
лнены в соответствующих колонках табл. 16.
Например, в колонке 5 первое число 41,44 получено как
произведение 5,6'7,4=41,44, второе 7,40 равно произведению
7,4' 1,0 и т. д. в последовательном порядке.
Таблица 16
N	*(Jd		(М1	Mi+i	Mi+2	№i+3	^i^i+4	Mi+5	
1	2	1	3	4	5	6	7	8	9	10
1	10,2	5,6	31,36						
2	13,0	7,4	54,76	41,44					
3	5,6	1,0	1,00	7,40	5,60				
4	3,2	— 1,4	— 1,96	-1,40	-10,36	-7,84			
5	9,1	4,5	20,25	-6,30	4,50	33,30	25,20		
6	4,6	0	0	0	0	0	0	0	
7	2,5	~2,1	4,41	0	-9,45	2,94	-2,10	-15,54	-11,76
8	3,0	-1,6	2,56	3,36	0	-7,20	2,24	-1,60	-11,84
9	3,9	-0,7	0,49	1,12	1,47	0	-3,15	0,98	-0,70
10	6,7	2,1	4,41	-1,47	-3,36	-4,41	0	9,45	-2,94
11	6,1	1,5	2,25	3,15	-1,05	-2,40	-3,15	0	6,75
12	8,0	3,4	11,56	5,10	7,14	-2,38	-5,44	-7,14	0
13	3,0	1,6	2,56	-5,44	-2,40	-3,36	1,02	2,56	3,36
14	3,7	-0,9	0,81	1,44	-3,06	-1,35	-1,89	0,63	1,44
15	3,1	-1,5	2,25	1,35	2,40	-5,10	—2,25	-3,15	1,05
16	1,7	-2,9	8,41	4,35	2,61	4,64	-9,86	-4,35	-6,09
17	о,з	-4,3	18,49	12,47	6,45	3,87	6,88	-14,62	-6,45
18	2,4	-2,2	4,84	9,46	6,38	3,30	1,98	3,52	-7,48
19	з,з	-1,3	1,69	2,86	5,59	3,77	1,95	1,17	2,08
20	3,9	-0,7	0,49	0,91	1,54	3,01	2,03	1,05	0,63
21	6,3	1,7	2,89	-1,19	-2,21	-3,74	-7,31	-4,93	-2,55
22	1,9	-2,7	7,29	-4,59	1,89	3,91	5,94	11,61	7,83
23	2,1	-2,5	6,25	6,75	-4,25	1,75	3,25	5,50	10,75
24	3,6	-1,0	1,00	2,50	2,70	-1,70	0,70	1,30	2,20
Z 3	111,2	0	191,98	83,27	12,13	21,01	16,04	-13,56	-13,72
МО			8,00	3,62	0,55	1,00	0,80	-0,71	-7,62
МО			1,00	0,45	0,07	0,12	0,10	-0,09	-0,10
51
В колонке 6 первое число 5,60 получено как произведение
51 = 5,6 на 63 = 1,0, второе число —10,36 получено перемножением
52=7,4 на 54= —1,4 и т. д.
В нижней строке табл. 16
приведены числовые значения
нормированной корреляцион-
ной функции, другими слова-
ми — значения коэффициента,
корреляции между сечениями
реализации, разделенными ин-
тервалом ml. На рис. 14 изоб-
ражен график нормированной
корреляционной функции рх (I),
построенный по данным табл.
16. На этом же рисунке приве-
дена нормированная корреляционная функция (плавная кривая),
аппроксимированная выражением
,Л -fil -0.41
рх (1)=е =е .
Абсолютный интервал корреляции, равный
/,бс“~Г0,4“2,5 М’	I
— это расстояние между сечениями (пробами), при котором на-
блюдается устойчивая связь между содержаниями.
При коэффициенте корреляции рх (0=0,05, как отмечалось
выше, принято считать, что всякая связь между двумя сечениями
(пробами) отсутствует. Ему соответствует максимальный интер-
вал корреляции, равный
/	_3_±_7<
“““/Г0,4 ’ М’
т. е. при расстояниях между пробами />7,5 м содержания по
этим пробам можно считать некоррелированными, т. е. незави-
симыми одно от другого.
Раздел третий
ОБОСНОВАНИЕ ПЛОТНОСТИ РАЗВЕДОЧНОЙ СЕТИ,
ОКОНТУРИВАНИЯ И ОЦЕНКИ
СРЕДНЕГО СОДЕРЖАНИЯ ЗАПАСОВ
О РАЗМЕЩЕНИИ ПОЛЕЗНЫХ КОМПОНЕНТОВ
В РУДНЫХ ЗАЛЕЖАХ
Возрастающие с каждым годом темпы добычи полезных ис-
копаемых вызывают необходимость расширения научных иссле-
дований, направленных на выявление закономерностей размеще-
ния полезных компонентов в месторождениях с целью увеличе-
ния и рационального использования минерального сырья.
Задача геологов состоит не только в том, чтобы найти место-
рождение, но и дать на основе его генезиса примерную закономе-
рность изменчивости размещения полезных компонентов в про-
странстве, занимаемом месторождением и его рудными залежа-
ми. Это позволит более объективно выделить промышленные
участки месторождения и отдельных рудных тел и более до-
стоверно оценить среднее содержание полезных компонентов
в них.
Из геологии и практики разведки и эксплуатации рудных
месторождений с неравномерным, весьма и крайне неравномер-
ным распределением полезных компонентов известно, что повы-
шение концентрации (содержания) полезного компонента при-
урочено, как правило, к структурно-геологическим зонам и эле-
ментам месторождения — трещинам, их пересечениям и др. Уда-
ление от таких зон ведет к резкому падению содержания. Влияние
повышенных содержаний ограничивается в основном размерами
структурных зон (например, мощностью минерализованной тре-
щины, пачки рудных прожилков и др.) [5, 6, 28, 32, 34].
Известно также, что при разведке и опробовании рудных
залежей пробы с повышенным содержанием компонентов встре-
чаются значительно реже рядовых. Степень изменчивости содер-
жания полезных компонентов в рудных залежах оценивается
коэффициентом вариации.
Общие представления о характере размещения полезных ком-
понентов различной концентрации в рудных залежах не позволя-
ли до сих пор решать многие задачи рациональной разведки
и эксплуатации месторождений с неравномерным распределени-
53
ем компонентов. Этим, в частности, объясняется свойственный
всем способам оконтуривания и подсчета запасов недостаток,
заключающийся в том, что они не учитывают изменение содер-
жания полезных компонентов в пространстве рудной залежи от
одной точки опробования (пересечения) к другой.
В. И. Смирнов в своем труде [33] подчеркивает: «Для ис-
следования условий образования месторождений полезных ис-
копаемых и их практической оценки большое значение имеет не
только установление общей формы и условий залегания тел
полезных ископаемых, но и выяснение... концентрации ценных
компонентов в контуре залежей... Содержание в них ценных
компонентов изменяется от одного пункта к другому с той или
иной степенью резкости».
Важное место учету геологических факторов при разведке,
выводе среднего содержания и подсчете запасов отводил
В. М. Крейтер. Так, в работе [16] он отмечает: «Причина неод-
нородности месторождений полезных ископаемых заключается
в их генетических особенностях, порождающих зональность, из-
менчивость качеств и др. ...
Разгадка причин и выяснение характера... зональности играют
большую роль в разведке месторождений, помогая понять зако-
номерности распределения полезного компонента в пространст-
ве, занимаемом месторождением».
В свете изложенного В. М. Крейтер представительность проб
связывает с изменчивостью руд: «Вообще представительность
забойной пробы зависит прежде всего от изменчивости руд,
и отдельная проба может быть представительной для всего ме-
сторождения только при вполне равномерных рудах»
Проблема выявления закономерностей размещения полезных
компонентов различной концентрации в рудных залежах давно
интересует геологов, особенно в связи с решением задачи оценки
средних содержаний месторождений с неравномерным, весьма
и крайне неравномерным распределением полезных компоне-
нтов, когда наряду с рядовыми пробами встречаются так на-
зываемые ураганные пробы. Для ее решения предлагаются раз-
личные математические модели. К настоящему времени известно
более 40 способов выявления и ограничения таких проб. Об-
стоятельный анализ существующих методов учета (ограничения)
ураганцых проб содержится в работах В. И. Смирнова [32],
И. Д. Когана [13], А. Б. Каждана [11], М. П. Иванова,
В. А. Петрова [10] и др.
Наиболее полно решение этих вопросов для месторождений,
отвечающих по своему строению «изотропной схеме», нашло
отражение в разработках Ж. Матерона [17]. Однако следует за-
метить, что им используется сложный и громоздкий математи-
ческий аппарат, применимость которого во многом определяет-
ся, во-первых, наличием корреляционной связи между резуль-
54
татами опробования геологических объектов и, во-вторых, изо-
тропностью характера изменчивости оруденения. Изыскания
Ж Матерона имеют, по-видимому, больше теоретическое, чем
практическое, значение.
Общий недостаток математических методов учета и ограниче-
ния ураганных проб заключается в том, что они не учитывают
структурно-геологические особенности месторождений, прежде
всего зональность и изменчивость распространения полезных
компонентов различной концентрации в пространстве рудных
залежей.
Критически оценивая вероятностные подходы к вопросу
о встрече ураганных проб при опробовании, Н. В. Барышев бо-
лее 45 лет назад отмечал, что они «не всегда могут быть исполь-
зованы при интерпретации вопроса об ураганных пробах по
многим причинам. Основными из них являются: а) далеко не
всегда полная ясность характера распределения ураганных проб
в пространстве и б) неизвестность действительных объемов ча-
стей рудных тел, характеризующихся ураганным содержанием
металла» [2].
Интересно отношение В. М. Крейтера к ураганным пробам:
«Мы считаем, что никаких исключительных (ураганных) проб
вообще не существует и самое понятие «ураганная проба» — ис-
торический пережиток. Только несовершенство наших приемов
опробования вынуждает прибегать к искусственным приемам —
заменять всевозможными путями исключительные пробы» [16].
С этим нельзя не согласиться в целом. Только главное здесь не
в несовершенстве технологии опробования, а в том, что при
оценке средних содержаний геологи идут (как ни странно после
долгих лет искания месторождения) по линии наименьшего со-
противления: оценку средних содержаний компонентов произ-
водят среднеарифметическим методом без учета пространствен-
ного размещения компонентов.
В. И. Смирнов в работе [32] отмечает: «Твердо установленных
понятий о том, какие пробы следует считать выдающимися и как
наиболее правильно их учитывать при подсчете* Запасов, нет».
И далее, говоря о геологических погрешностях (ошибках анало-
гии), связанных с распространением разведочных данных на бли-
злежащие участки, он подчеркивает: «В литературе эта группа
погрешностей (геологических) оценивается недостаточно, а меж-
ду тем именно с ней связаны максимальные ошибки в подсчете
запасов».
А. Б. Каждан в работе [11] констатирует, что «для максималь-
ного снижения погрешности аналогии необходимо оценить
и учесть фактические зоны влияния разведочных пересечений.
Размеры этих зон зависят от особенностей полезных ископа-
емых». И далее: «В качестве научной основы для выявления
и учета ураганных проб может быть принят принцип минимиза-
55
ции дисперсии оценки среднего содержания полезного компонец.
та в блоках с ураганными пробами. Но для этого необходимо
знать размеры фактических зон влияния ураганных (и не только
ураганных. — Авт.) проб, учитывать влияние геометрии разве*
дочной сети, геометрии и числа частных проб. Таких способов...
пока что не разработано.
До тех пор, пока проблема распространения исходных данных
по разведочным пересечениям на тяготеющие к ним участки недр
не будет решена, учет ураганных проб будет зависеть только от
воли разведчиков и от соображений конъюнктурного характера...
При такой постановке вопроса задача выявления ураганных проб
теряет самостоятельное значение, сливаясь с проблемой распро-
странения исходных данных по разведочным пересечениям на
зоны их влияния».
Таким образом, проблема определения зон влияния проб
(области распространения полезных компонентов различного со-
держания) в наше время достаточно созрела. Об этом свидетель-
ствует ряд серьезных работ, рассматривающих отдельные аспек-
ты этой проблемы, в первую очередь это труды В. И. Смирнова,
Н. В. Барышева, А. Б. Каждана, В М. Крейтера, Ж. Матерое а
и других исследователей.
Следует отметить, что на протяжении более чем полувека
неоднократно делались попытки (и делаются в настоящее время)
определить фактические зоны влияния проб (области распрост-
ранения полезных компонентов данной концентрации) путем
опробования прилегающих к основному пересечению участков
залежи по очень густой сети (через 1,0; 0,50 и даже 0,25 м).
Однако из этого ничего не получалось. И не должно получаться,
особенно когда имеют дело с исследованием месторождений,
характеризующихся неравномерным, весьма и крайне неравно-
мерным распределением полезных компонентов. На эту сторону
вопроса еще в 1937 г. обращал внимание В. М. Крейтер: «Каж-
дая проба во многих рудных месторождениях является почти
случайной, и часто через несколько сантиметров или десятке
сантиметров проба в сотни раз отличается от предыдущей (на-
пример, в золоторудных месторождениях)» [15]. Здесь умести®
привести слова выдающегося ученого А. А. Чупрова [20]: «По-
пробуйте, однако, сопоставить единичные измерения: вы встрети-
те столь пеструю картину, что останется только опустить руки,
если вы не склонны навязывать фактам свои предвзятые мнения».
Именно в этом заключалась сложность решения проблемы
определения фактических зон влияния проб. Необходимо через
случайность (пробы) открыть закономерность. Возможность
установления определенной закономерности в случайных явлени-
ях, как правило, связана с методом исследования, которым
пользуются при поиске закономерностей. Автором разработай
метод исследования месторождений, позволяющий определять
56

фактические зоны влияния проб. Способ определения зон влия-
ния проб рассмотрен автором в [23].
определение зон влияния проб
В основу способа определения зон влияния проб положен
стереометрический анализ пространственного строения непроз-
рачных объектов методом случайных секущих, который базиру-
ется на геометрической вероятности пересечения наугад брошен-
ного отрезка прямой линии с системой линий на плоскости [4, 9,
12]. В геологии стереометрический анализ был блестяще приме-
нен А. А. Глаголевым для определения минералогического со-
става горных пород [7, 8].
При стереометрическом анализе исходные данные для расчета
геометрических параметров пространственного микростроения
получают путем измерения и подсчета длин отрезков и площадей
или подсчетом количества точек, отрезков на определенной пло-
щади шлифа, попадаемой в поле зрения микроскопа. При этом
в качестве случайных секущих используется сетка нитей в виде
линейки (рис. 15) или квадратной сетки, расположенной в окуляре
микроскопа.
В дальнейшем на базе стереометрического анализа простран-
ственного строения непрозрачных объектов возникла наука о тре-
хмерной количественной интерпретации двухмерных структур
и изображений — стереология. Оригинальной монографией по
стереометрическому анализу и стереологии является работа
А. С. Салтыкова [30], изучение которой, несомненно, может ока-
зать неоценимую услугу исследователям недр.
Рис. 16
Сущность стереометрического анализа поясним на примере
определения средних размеров отдельных фигур, попавших в по-
ле зрения микроскопа (рис. 16). Для определения среднего раз-
мера, например, фигуры Si шкалу окуляра микроскопа, име-
ющую цену деления q, перемещаем последовательно в положения
I, II и III. В каждом положении шкалы визуально снимаем длины
57
отрезков секущей прямой (шкалы) внутри контура фигуры Si:
4 = 5,39; /11 = 7,89; /ш=6,09- Тогда средний размер фигуры Si будет
равен
- 5,39 + 7,89+6,0? 19,19 , „
/> =----------=-----= 0,3/9.
3	3
Перемещая далее шкалу микроскопа по каждой фигуре и сни-
мая при этом соответствующие отсчеты, легко находим средние
размеры остальных фигур.
Аналогично находят размеры областей распространения по-
лезных компонентов определенной концентрации (зон влияния
проб) в рудных залежах, только в качестве секущих прямых1
в геологии используют разведочные пересечения (скважины,
штреки и др.), а за единицу измерения (цену деления) в зависимо-
сти от применяемого способа опробования принимают длину
керна, борозды. Кстати, чем меньше длина керна, борозды, тем
больше вероятность появления так называемой ураганной пробы
при разведке рудных залежей. Главным условием применимости
этого способа является наличие сплошного (непрерывного) сек-
ционного опробования разведочного пересечения.
Рассмотрим определение зон влияния проб на следующем
примере.
Пример 9. В табл. 17 приведены результаты сплошного опро-
бования двухметровыми бороздами стенки штрека, пройденного
по простиранию залежи. Среднее содержание компонента по
данным разведки составляет С=56 ед.
Для определения линейных размеров области распростране-
ния полезного компонента (зон влияния проб) составим стати-
стическую таблицу с двумя входами: С и I (табл. 18).
Величину классового промежутка по содержанию примем
равной 40 ед. В табл. 18 классы по содержанию записаны в пер-
вом столбце: 0—40, 40—80 и т. д. В этом столбце записаны также
средние значения каждого класса: 20, 60 и т. д.
Величину классового интервала / по разведочному пересече-
нию примем кратной длине борозды, т. е. 2, 4, 6 и т. д. (верхняя
строка табл. 18).
Для заполнения табл. 18 по данным табл. 17 поступим следу-
ющим образом.
Анализируя данные табл. 17, видим, что содержания проб
№ 1 и № 2 попадают в класс 40—80 табл. 18. Суммарная длина
борозд этих проб равна 4 м В соответствии с этим в клетке,
образованной пересечением классов 40—80 и 4, производим от-
метку в виде точки.
Содержания проб № 3—9 попадают в класс 0—40. Суммар-
ная длина борозд этих проб есть 7 2= 14 м. Соответственно
58
№	Со дер-		Шифр	№	Содержание	
проб	жание С		класса	проб	С	
			табл.18			
1	2		3	1	2	
1 2	50 45J		60x4	41 42	140 301	
3	121			43	11	
4	20			44	5	
5	26			45	5	
6	35	>	20x14	46	5	
7	26			47	10	
8	20			48	7	
9	15.			49	СЛ. 4	
10	52		60x2	50	75	
И	180.		180x2	51	481	
12 13	1001 85 J		100x4	52 53	40 62	
14 15	551 56 J		60x4	54 55	221 25	
16 17	121 13J		20x4	56 57	34 15	
18	52		60x2	58	15	
19	32			59	12	
20	15		20x8	60	45	
21	10			61	172	
22	25			62	55	
23	115.		100x2	63	125	
24	45			64	30	
25	77		60x6	65	125	
26	66			66	10	
Таблица XI
Шифр	№	Содержание		Шифр	№	Содер-		Шифр
класса	проб	С		класса	проб	жание С		класса
табл. 18				табл. 18				табл. 18
3	1	2		3	1	2		3
140x2	81	300		300x2	121	93		100x2
	82	280		260 x2	122	285		300x2
	83	551			123	146		140x2
	84-	55		60x8	124	67		60x2
20x16	85	48			125	205.		220x2
	86	75			126	30		
	87	15		20x2	127	34		20x8
	88	55		60x2	128	10		
	89	180		180x2	129	23 J		
/СЛ ХУ л	90	250		260x2	130	69		
mJ х 4	91	120		100x2	131	46		60x6
20x2	92	165		180x2	132	58.		
60x2	93	17		20x2	133	23		20x2
	94	315		300 x2	134	45		60x2
	95	66		60x2	135	8		
	96	95		100x2	136	20		
20x12	97	30		20x2	137	35		20x8
	98	140		140x2	138	29,		
	99	25		20x2	139	216		220 x2
60x2	100	130		140x2	140	45		60x2
180x2	101	75		60x2	141	290		300x2
60x2	102	28		20x2	142	165		180x2
140x2	103	80		60x2	143	220		220 x2
20x2	104	120		100x2	144	259		260x2
140x2	105	320		300x2	145	122		140x2
20x2	106	139		140x2	146	174		180x2
№	Со дер-		Шифр	№	Содержание		Шифр	№
проб	жание С		класса	проб	С		класса	проб
			табл. 18				табл. 18	
1	2		3	1	2		3	1
27	35		20x2	67	105		100x2	107
28	831		100x4	68	220		220 x2	108
29	92J			69	28		20x2	109
30	40^		20x2	70	75		60x2	110
31	68			71	25		20x2	111
32	71		60x6	72	72			112
33	74,			73	50		60x6	ИЗ
34	177		180x2	74	60			114
35	21			75	90		100x2	115
36	16	>	20x6	76	170		180x2	116
37	12,			77	22		20x2	117
38	55		60x2	78	80		60x2	118
39	120		100x2	79	40		20x2	119
40	58		60x2	80	120		100x2	120
Продолжение табл 17
Содержание		Шифр	№	Содер-		Шифр
С		класса	проб	жание С		класса
		табл. 18				табл. 18
2		3	1	2		3
745			147	49		60x2
75			148	81		100x2
56	►	60x10	149	125		140x2
57			150	46		60x2
75,			151	240		220 x2
140		140x2	152	23		
185		180x2	153	23		20x6
155		140x2	154	5,		
64 \		60x4	155	160'		140x4
55 J			156	110		
311		300x2	157	225		220 x2
65		60x2	158	401		20x4
130		140x2	159	34/		
320		300x2				
X.	I c	2	4	6	8	10	12
20 0—40	И 15 i:	* ’ 2	* * 2	* * 3		* 1
60 40—80	и 19	* ’ 4 • •	* * 4 • •	* 1	• 1	
100 80—120	a 10	* * 2				
140 120—160	ы 12 • •	* 1				
180 160—200	0 9					
220 200—240	r 6					
260 240—280	• •	3 •					
300 280—320	П 7					
Таблица^
14	16	п	Ет/	Em/ п	-0.025С L=2+4,7e
• 1	• 1	25	116	4,64	4,85
		29	96	3,31	3,05
		12	28	2,33	2,38
		13	28	2,15	2,14
		9	18	2,00	2,05
		6	12	2,00	2,02
		3	6	2,00	2,01
		7	14	2,00	2,00
этому в клетке, образованной пересечением классов 0—40 и 14,
также производим отметку в виде точки.
Анализируя таким способом данные табл. 17, заполняем
табл. 18.
Для наглядности в столбце 2 табл. 17 группирование дайны
опробования показано фигурными скобками В столбце 3 указы
вается шифр клетки табл. 18, в которую следует отнести ту или
иную группу. Шифр клетки состоит из двух цифр: первая соответ
ствует среднему значению класса по содержанию (первый сто
лбец табл. 18), вторая — величине интервала / (верхняя строка
табл. 18). Так, первые две пробы табл. 17 отнесены в клетку
60 х 4; пробы № 3—9 отнесены в клетку 20 х 14; проба № 10
в клетку 60 х 2 и т. д.
После заполнения табл. 18 приступаем непосредственно к вы
числению размеров зон влияния проб для каждого класса содер
жания. Для этого в каждом классе подсчитываем частоты
п и суммарную длину интервалов (секций) опробования Еш/.
Так, для класса 0—40 суммарная длина секций опробовани
есть
Ъп1= 15 2+2-4+2-6 + 3• 8+ 1 12+1 14 + Г 16 = 116 м.
0—40
Для класса 40—80 суммарная длина секций составляет
Е/и/=19'2+4 4+4-6 + Г8 + Г10=96 м.
40—«0
Разделив суммы длин секций каждого класса на частоты п,
находим линейный размер L3 области распространения компоне-
нта данной концентрации по формуле

п
Результаты вычислений приведены в табл. 18.
Для наглядности результаты
определений зон влияния проб изоб-
ражены в виде графика на рис. 17,
построенного по данным табл. 18.
Из графика следует, что с увеличе
нием содержания линейные размеры
области распространения (зоны вли-
яния) компонента уменьшаются
Эти изменения линейных размеров
зон влияния проб могут быть ап-
проксимированы формулой
£=Л+Ве“с
(31)
62
Эмпирические коэффициенты Виа легко находят способом
наименьших квадратов. Коэффициент А есть не что иное, как
усредненная длина секций опробования (борозды, керна и т. п.).
Для вычисления эмпирических коэффициентов необходимо
пользоваться лишь данными первых трех-четырех классов, как
наиболее представительных.
В табл. 19 приведены необходимые исходные данные, выпи-
санные из табл. 18.
Таблица 19
Средние значения классов С	20	60	100	140
Линейный размер зоны Д,	4,64	3,31	2,33	2,15
Перепишем формулу (31) в следующем виде:
L—A=Be~aC.
После логарифмирования этого соотношения получим
1пЛ-аС-1л (L—A)=0.
Так как в рассматриваемом примере длина борозды
1=А=2 м, то по данным табл. 19 составим четыре условных
уравнения:
In Л-20а-0,970778=v„
In В-60а- 0,270027=v2,
InB-100а+1,108662=v3,
1пБ-140а+1,897120=v4.
Переходя от условных уравнений к нормальным уравнениям,
имеем
41п В- 320а +1,764977=0,
- 3201л В+33600а - 340,845820 = 0.
Решая нормальные уравнения относительно Виа, получаем
а=0,025; В=4,1.
Таким образом, эмпирическое уравнение, выражающее связь
между линейными размерами зоны влияния проб и содержанием,
имеет вид
L=2+4,7e~°’02SC.	(32)
Значения размеров зон влияния проб, вычисленные по фор-
63
муле (32), приведены в последнем столбце табл. 18. Сравнение
вычисленных и экспериментально найденных значений зон влия-
ния проб указывает на их близость.
ЗАКОНОМЕРНОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОЛЕЗНЫХ КОМПОНЕНТОВ
В РУДНЫХ ЗАЛЕЖАХ
Применение разработанного автором метода определения
зон влияния проб при исследовании одного из месторождений
молибдена в 1976—1977 гг. позволило впервые выявить характер
размещения полезных компонентов различной концентрации
в рудных залежах. В частности, было установлено: чем выше
концентрация молибдена, тем меньше его область распростране
ния. При этом прослеживалась явная экспоненциальная зависи-
мость между концентрацией (содержанием) С молибдена и раз-
мером области его распространения. Дальнейшие исследования
характера пространственного размещения полезных компонен-
тов в рудных залежах ряда месторождений цветных и редких
металлов, выполненные в 1978—1982 гг., показали, что область
распространения полезных компонентов в рудных залежах этих
местрождений также экспоненциально зависит от концентрации
компонентов. Результаты экспериментальных исследований зако-
номерности распространения полезный компонентов в рудных
залежах приведены в Приложении работы [24].
Таким образом, экспериментально установлена общая для
рудных месторождений, различных по генезису и составу руд,
закономерность распространения полезных компонентов в рудных
залежах, состоящая в том, что размеры области распростране
ния полезных компонентов в контуре рудных залежей экспоненци-
ально уменьшаются с повышением концентрации (содержания)
полезных компонентов.
Установленная закономерность изменения области распрост
ранения полезного компонента в рудных залежах в зависимости
от его концентрации С описывается следующей эмпирической
формулой:
L=A+Be~aC,
где В и а — эмпирические коэффициенты.
Коэффициент А есть усредненная длина секций опробования
(борозды, керна), которая служит при определении зон влияния
проб единицей измерения q. Чем меньше q, тем выше вероят-
ность появления ураганной пробы. Максимальное содержание
соответствует минералам, размеры которых колеблются от до-
лей до единиц миллиметров, а их скоплений — от единиц до
десятков сантиметров. Поэтому в соответствии с установленной
64
закономерностью в дальнейшем будем использовать аналитичес-
кую модель вида
L—q+Вй аС, q«B.
(33)
Можно показать, что коэффициент а=——, где Ст — сред-
Отол
нее содержание геологических запасов.
Для этого перепишем соотношение (33) в виде
L-q=Be~aC.
Математическое ожидание (среднее содержание) выражается
через определенный интеграл следующим образом:
1 с™“	1
Сгтол=- f Be"“cdC=-,
"о	“
1
откуда а=-—.
СГеол
Выявленная закономерность подтверждается исследованиями
28 рудных залежей 14 месторождений полезных ископаемых
цветных, редких и рассеянных металлов с неравномерным, ве-
сьма и крайне неравномерным распределением полезных ко-
мпонентов.
Достоверность установленной закономерности также подтве-
рждается ее сильной корреляцией с вероятностно-статистичес-
кими законами распределения компонентов: высоким содержани-
ям соответствует малая площадь (область) распространения по-
лезного компонента в контуре рудной залежи и, следовательно,
малая вероятность появления проб с высоким содержанием, так
как вероятность попадания случайным образом брошенной точ-
ки на любой участок фигуры пропорциональна площади этого
участка [2, 9, 12].
Необходимо подчеркнуть, что если вероятностно-статистичес-
кий закон дает представление о вероятности (частости) появления
той или иной отдельной пробы (содержания) в контуре залежи,
то закономерность распространения характеризует область (од-
но-, двух- или трехмерную), занимаемую полезным компонентом
различной концентрации в контуре рудной залежи. Иначе говоря,
вероятностно-статистический закон распределения проб (содер-
жания) является следствием выявленной закономерности распро-
странения полезных компонентов в залежи.
Установленная закономерность распространения полезных
компонентов в рудных залежах является следствием геохимичес-
ких процессов образования минерализованных зон месторожде-
5-3S3
65
ния, сопровождавшихся наряду с изменениями температуры,
химизма среды и давления, явлениями диффузии, фильтрации,
сорбции и концентрации, которые, как известно, описываются
экспоненциальным законом [5, 6, 33, 34].
Закономерность дает новое представление о характере раз-
мещения полезных компонентов различной концентрации и их
количественном соотношении в контуре рудной залежи и решает
крупную научную проблему распространения исходных данных
по разведочным пересечениям на прилегающие участки рудных
залежей.
Выявленная закономерность позволяет повысить достовер-
ность подсчета запасов и вывода средних содержаний с учетом
зон влияния каждой пробы, в том числе ураганной, определить
экономически целесообразную плотность сети разведки и опро-
бования и установить наиболее соответствующее природе про-
странственного размещения полезных компонентов в рудной за-
лежи положение контура промышленных участков руд с обес -
печением наименьших потерь и разубоживания, удешевления до-
бычи и переработки полезного ископаемого и в конечном счете
наибольшей эффективности рационального использования недр
и повышения качества добываемого сырья.
При обосновании плотности сети разведки, оконтуривания
и оценки среднего содержания балансовых запасов установленная
экспоненциальная закономерность используется в качестве ана-
литической модели месторождения.
ОБОСНОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ РАЗВЕДОЧНОЙ
СЕТИ
В последние годы для выявления особенностей размещения
полезных компонентов в рудной залежи и определения плотности
разведочной сети (опробования) широкое применение находит
математический аппарат теории случайных процессов. На рис. 5,
а, б даны графические изображения соответственно слабо и силь-
но коррелированных случайных функций (тонкими линиями из-
ображены частные реализации случайного процесса).
В настоящее время достаточно основательно разработана
теория стационарных случайных процессов. Однако использова-
ние аппарата теории случайных функций на практике встречает
определенные трудности, которые обусловлены требованиями
стационарности и эргодичности случайных процессов.
Во избежание указанных трудностей при решении задачи
определения плотности разведочных пересечений ниже предлага-
ется метод, основанный на применении различных интерполяци-
онных формул. Основными предпосылками для использования
этого метода являются:
66
1) пространственное размещение полезного компонента
в рудной залежи тесно связано с геолого-структурными особен-
ностями залежи и обладает зональностью в соответствии с уста-
новленной закономерностью;
2) изменение концентрации полезных компонентов от точки
к точке в рудном теле можно приближенно описать случайным
процессом, стационарным в широком смысле и обладающим
свойством эргодичности.
Аргумент, от которого зависит случайная функция, может
быть скаляром, например время (расстояние) /, или вектором,
I наприм р координаты некоторой точки.
В большинстве случаев состояние реальной системы изменя-
ется от точки к точке. Состояние реальной системы в данной
точке может быть охарактеризовано вектором g, являющимся
функцией времени (расстояния) Г.
g=g(t).	(34)
Модель называется прогнозируемой, если известна функци-
ональная зависимость и по состоянию модели в начальный мо-
мент t=t0 можно однозначно определить ее состояние для любо-
го другого момента в заданном интервале:
g (0 =/ (go, t) при t, < t < /ж,
где go=g (io) — начальное состояние вектора системы; f (go, 0 —
заданная зависимость; t„, ъ — границы (начальная и конечная)
интервала прогнозирования.
Ограничение действия зависимости (34) вызвано тем, что
с увеличением интервала прогнозирования, как правило, воз-
растают ошибки используемой модели Поэтому для прогнози-
рования на значительный интервал последний разбивается на
более мелкие интервалы и для каждого из них приходится нахо-
дить свой вектор состояния.
Модель называется непрогнозируемой, если для нее зависи-
мость вида (34) неизвестна либо не может быть составлена или не
может быть использована для решения поставленной задачи.
Большинство месторождений полезных ископаемых можно
рассматривать как непрогнозируемую модель, состояние кото-
рой функционально выразить нельзя (или можно с небольшой
точностью). Поэтому задача определения состояния непрогнози-
руемой модели решается для каждого момента независимо и тре-
бует проведения измерений в точках через определенные интерва-
лы. Выбор величины интервала — задача трудная и зависит от
^Сложности системы. Так, для крайне и весьма неравномерных
месторождений этот интервал может быть чрезвычайно малым.
Еще большие трудности возникают при переносе результатов
определения состояния непрогнозируемой системы в фиксирован-
67
ных точках на промежуточные точки и в особенности для оценки
состояния системы вне выбранного интервала. В первом случае
возникает необходимость в оценке погрешности интерполяции,
во втором — погрешности экстраполяции.
Для решения задачи определения состояния непрогнозиру-
емой модели и ее прогнозирования можно использовать прогно-
зируемые модели, построенные на основе формального примене-
ния некоторых интерполяционных формул.
Рассмотрим использование такой модели применительно
к определению плотности сети разведки и опробования.
Выше показано, что распространение полезных компонентов
в рудных месторождениях может быть воспроизведено аналити-
ческой моделью
L=q+Bc~aC
и вероятностно-статистической
Gnax
F(C)= J/(QdC.
о
Аналитическая модель экспоненциального вида характеризу-
ет область (одно-, двух- или трехмерную), занимаемую полез-
ными компонентами со средним содержанием С в контуре руд-
ной залежи. Для простоты в дальнейшем будем использовать
одномерную модель, которая характеризует область распрост-
ранения полезных компонентов в заданном направлении.
Вероятностно-статистическая модель отражает объективно
существующую закономерность распространения полезных ком-
понентов в пространстве рудной залежи в обобщенном виде.
Разведка месторождения явля-
ется Процессом определения со-
стояния непрогнозируемой моде-
ли в заданных точках через опре-
деленные интервалы, иными сло-
вами — процессом преобразова-
ния непрерывной величины в ди-
скретную, т. е. представлением
непрерывной величины последо-
вательным рядом дискретных
значений через определенные ин-
тервалы I (рис. 18). Чем меньше интервалы /, тем точнее воспро-
изводится характер изменения определяемого показателя и в це-
лом общее состояние системы. Точность воспроизведения харак-
теризуется ошибкой аппроксимации (интерполяции).
Как известно, любую непрерывную функцию f (х) можно
аппроксимировать на заданном участке (х0, х„) различными спо-
68
собами (представлением ее в виде ряда Фурье, полинома и др.).
Все они основаны на минимизации погрешности аппроксимации
Z (Л (x,)~/(x.)]2=nim,
1
где /1 (х) — аппроксимирующая функция.
Наиболее простым методом аппроксимации любой непрерыв-
ной функции /(х) является кусочно-линейная аппроксимация.
При кусочно-линейной аппроксимации функция f (х) заменяется
отрезками прямой с различными наклонами, т. е. значения функ-
ции /(х) заменяются дискретными значениями функции J] (х),
взятыми через интервал /. В этом случае погрешность аппрок-
симации определяется остаточным членом интерполяционной
формулы Ньютона [36]
e=/W-/i (x)=R (х),
где R (х) — остаточный член.
Обозначим через Ек максимальное значение остаточного члена
на к-м интервале разбиения Д*=[х*-1, xj. Тогда в соответствии
с [36] для частной реализации можно записать
у- '2
где / — длина любого интервала; f" — максимальное значение
второй производной на интервале Кк.
Усредняя Ек по всем реализациям на интервале &к и возводя
% в квадрат, имеем
ме1=(?У М(П2.
Обозначая через т усредненное значение Мвк по всем ре-
[зациям на участке интерполяции (х0, х„), получим
(35)
8 У п к-1
где п — число интервалов Д* на участке (х0, х„); М (fk)2 — усред-
ненное значение второй производной по всем реализациям на
интервале Д*.
Выше отмечалось, что чем меньше длина интервалов, на
которые разбивается аргумент функции, тем точнее воспроиз-
водится аппроксимируемая функция. Поэтому для нахождения
максимального значения второй производной f"k разобьем уча-
69
сток интерполяции (х0, х„) на более мелкие интервалы длиной /J
Учитывая, что величина L, определяемая из (33), всегда сущесм
венно меньше реальных расстояний между разведочными Пересе»
чениями I, т. е. L«l, для частной реализации без потери точности
в соответствии с [36] можно записать
или
где А2/ — вторые разности дискретных значений функции.
Усредненное значение второй производной равно
М М &Л2=± 2>А2/=^ 4а2,
L	Lt	L»
где о2 — дисперсия случайного процесса, которая в практич
расчетах заменяется ее оценкой.
Подставляя М (fk)2 из (36) в выражение (35), имеем
/а
т=—
8
I2 1л
8 I?
откуда
/M=2L, £-21,	(3!)
где £„ — размер зоны влияния области распространения полез-
ного компонента, соответствующий среднему значению С пш
месторождению (рудной залежи или его участку); т — допусти-
мая среднеквадратическая погрешность определения среднего сое
держания; — допустимая относительная погрешность оцен-
ки среднего содержания; V — коэффициент вариации.
Индекс «м» при I и L обусловлен введением в решение анали-
тической модели (33).
Известно, что вероятностно-статистическая модель является
отражением объективно существующей закономерности распро-;
странения полезных компонентов в рудной залежи. Поэтому
представляется целесообразным выразить интервал /я через веро-
ятность распределения полезных компонентов.
Для этого, разделив и умножив правую часть формулы (37) на
Lq, получим
70
Lo
(38)
Выражая вероятность через отношение мер, для монотонно
убывающей функции можно записать
—=1-P(C<Q;
Lo
тогда формула (38) примет вид
/м=2£о[1-Р(С<С)]
(39)
Для перехода от модели к объекту (рудной залежи) запишем
соотношение подобия
А<___Lq
ip 1з
(40)
где Д — один из размеров месторождения (рудной залежи или
его участка), вдоль которого проектируется разведочная линия;
А — расстояние между разведочными пересечениями (точками
отбора проб).
Совместное преобразование выражений (39) и (40) дает
4=24 [1-Р
(41)
Выражение (41) позволяет находить рациональное расстояние
между разведочными пересечениями (пробами) по критерию мак-
симальной относительной ошибки, если известен закон распреде-
ления содержания полезных,компонентов для разведуемого ме-
сторождения. Закон распределения содержаний и его параметры
определяются в результате статистического анализа данных
предварительной разведки, если решается задача определения
плотности сети детальной разведки, и данных детальной развед-
ки, если решается задача определения плотности сети опробова-
ния при эксплуатации месторождения.
Полученное выражение (41) дает возможность оптимизиро-
вать задачу определения числа пересечений (проб), необходимого
Для оценки среднего содержания в залежи или эксплуатационном
блоке с заданной точностью.
Введем обозначения: п — число пересечений; /р — площадь,
приходящаяся на одно пересечение; — площадь залежи или
эксплуатационного блока.
Тогда число пересечений находят из простого выражения
71
I2,
n=—,
p
v
которое с учетом (41) после соответствующих преобразований
приводят к виду
V
(42)
Для определения расстояний между разведочными пересече-
ниями (пробами) и их количества можно пользоваться упрощен-
ными формулами:
/р=0,8/3
(43)
п
Выражения (41)—(43) объективно отражают известное в гео-
логической практике положение: расстояние между пробами за-
висит от степени неравномерности оруденения. Чем неравномер-
нее оруденение, тем интервалы должны быть меньше, и, наобо-
рот, чем равномернее оруденение, тем расстояние между точками
отбора проб должно быть больше.
Необходимо отметить, что выбор допустимого значения по-
грешности как критерия оптимальности интервала опробовании
представляет сложную задачу. Это прежде всего связано с тем,
что до настоящего времени нет ясности в вопросе о необходимой
(требуемой) точности определения среднего содержания и под-
счета запасов полезных ископаемых как по эксплуатационным
блокам, так и в целом по месторождению. Решение этих двух
взаимосвязанных вопросов (необходимая точность оценки сред-
него содержания и допустимая погрешность подсчета запасов)
естественно должно базироваться на строгом учете геологии
месторождения, технологии добычи и переработки руд и эконо-
мических последствий.
Для расчетов плотности сети разведки можно пользоваться
допустимыми погрешностями табл. 3. Погрешности подсчета
запасов не должны превышать 10—15%.
Пример 10. В результате предварительной разведки месторо-
ждения установлено:
1) распределение полезных компонентов на месторождении
подчиняется показательному закону, интегральная функция кото-
рого имеет вид
F (С)= 1 - е“°’015С; V= 100%;
72
2) размеры рудной залежи по внешнему контуру: по прости-
ранию = 500 м; вкрест простирания 4р = 200 м; среднее содер-
жание полезного компонента в рудной залежи С=66,1 ед.
Для проведения детальной разведки требуется определить
расстояния между разведочными пересечениями по простиранию
и вкрест простирания при условии, что в результате детальной
разведки должно быть получено среднее содержание с относи-
тельной погрешностью, не превышающей шотв=10%.
Решение. Используя интегральную функцию распределения,
имеем Р (С^О=0,632. По формуле (41) находим расстояние
между разведочными пересечениями:
по простиранию
/рлф=2 500 [1-0,632]
— =116,4 м;
100
вкрест простирания
/р,р=2 200 [1-0,632]
Число разведочных пересечений находим по формуле (42):
100
п=-------------— = 18.
4 [1 -0,632]2 10
Найдем расстояние между разведочными пересечениями и ко-
личество пересечений по упрощенным формулам (43):
/рпр = 0,8 500 /— =126,5 м;
/рлр=0,8 200 /— = 50,6 м;
Таким образом, плотность разведочной сети 125 х 50 м обес-
печит требуемую точность определения среднего содержания раз-
ведуемого месторождения.
Пример 11. Пройден штрек длиной /=100 м. Необходимо
найти количество проб для определения среднего содержания по
штреку с относительной ошибкой, не превышающей:
1) щоти=Ю%; 2) тотн = 5%. Закон распределения компонента
имеет вид F (С)= 1 — е
Решение. Находим количество проб при топ= 10%:
73
по формуле (42)
100
и=----------—=18,
4 [1 -0,632]2 • 10
по приближенной формуле (43)
1,8 100
п=-----=18.
ю
Количество проб при /лота=5%:
по формуле (42)
100
п=---------—-—ЪТ,
4 [1 —0.632]2 5
по приближенной формуле (43)
1,8 100
п=-----------
= 36.
5
Таким образом, для определения среднего содержания с от-
носительной погрешностью 10% необходимо взять 18 проб через
5 м, а для обеспечения 5% погрешности необходимо отобрать 16
проб с расстоянием между пробами около 2,5—3 м.
Пример 12. Определить количество проб при Точечном опро-
бовании забоя штрека для определения среднего содержания
с погрешностью 10%, если коэффициент вариации содержания
данного участка месторождения равен И=65%.
Решение. По формуле (43) находим
1,8 65
п =------=12 проб.
10
ОКОНТУРИВАНИЕ РУДНЫХ ТЕЛ
В настоящее время в практике геолого-разведочных работ
и эксплуатации месторождений для определения положения кон-
тура балансовых запасов полезных ископаемых между некон-
диционной и кондиционными пробами в соответствии с установ-
ленными кондициями широкое применение находят два способа:
первый способ основан на линейной интерполяции между проба-
ми; второй — на интерполяции на середину, т. е. на проведения
контура посередине между указанными пробами.
Первый способ оконтуривания позволяет находить надежное
положение промышленного контура для месторождений с равно-
мерным размещением полезного компонента в залежи при до
пущении постепенного (прямолинейного) изменения показателя
74
ддежду пробами. В то же время из практики геолого-разведочных
работ и эксплуатации месторождений с неравномерным, весьма
а крайне неравномерным распределением полезных компонентов
а изучения их размещения известно, что повышенные содержания
полезных компонентов приурочены, как правило, к структурно-
дологическим элементам (например, трещинам, их пересечениям
а т. п.). Удаление от таких элементов ведет к резкому падению
содержания полезного компонента. Поэтому способ определения
положения контура линейной интерполяцией неэффективен при
оконтуривании рудных тел и месторождений с неравномерным,
весьма и крайне неравномерным распределением полезных ком-
понентов.
Применение интерполяции на середину предполагает вообще
отсутствие какой-либо закономерности в размещении полезного
компонента, и его использование на практике нередко снижает
достоверность подсчета запасов и приводит к большим потерям
и разубоживанию, удорожанию добычи и переработки руд при
эксплуатации месторождений с неравномерным оруденением
и распределением полезных компонентов.
Предлагаемый ниже способ оконтуривания промышленных
участков руд базируется на учете структурно-геологических осо-
бенностей месторождения и зональности размещения полезных
компонентов и основан на совместном использовании аналити-
ческой и стохастической моделей месторождений полезных ис-
копаемых.
Выше было показано, что распространение полезных ко-
мпонентов в рудных месторождениях цветных, редких и рас-
сеянных металлов может быть воспроизведено аналитической
моделью
L=q+Bt~'C, q«B
и вероятностно-статистической
<4I1U
^(О= f f(C)dC.
о
Рассмотрим аналитическую модель (33), отражающую зако-
номерность размещения полезных компонентов в рудных зале-
жах (рис. 19). На рисунке ось ординат L для наглядности рас-
положена горизонтально.
Задача заключается в определении положения контура между
кондиционной пробой 1 с содержанием С. и некондиционной
2 с содержанием Ст по бортовому содержанию С6.
Пользуясь положениями геометрической вероятности и пред-
ставлением вероятности через отношения мер, можно записать:
75
(45)
—=P(C<Q-P(C<C6).
Ьо
Разделив (45) на (44), получим
Р(С<Ск)-?(С<Сб)
1„~ Р^С^-Р^С^’
откуда положение контура на модели есть
к =1 Р(С<Сж)-Р(С<С6)
“ №Р(С^С1)-Р(С^СВ)
(46)
Для перехода от модели к объекту (рудной залежи) воспользу-
емся соотношением подобия
«м=4<
к 1р’
(47)
где 4 — расстояние между разведочными пересечениями (проба-
ми); К — расстояние от разведочного пересечения (пробы) с кон-
диционным содержанием до контура.
Подставляя в (47) значения Кы из (46), после соответствующе*
преобразований находим
K=l Р(С^СХ)-Р(С<С6)
pP(c<Q)-P(C<cra)
(48)
76
Выражение (48) является универсальным. Им можно успеш-
но пользоваться при оконтуривании месторождений рудных
тел и эксплуатационных блоков, если известны закон распре-
деления полезных компонентов и расстояние между кондицион-
ной и некондиционной пробами с учетом установленных кон-
диций.
На рис. 20 дана графическая интерпретация сравнения трех
способов оконтуривания кондиционных руд: оконтуривания на
середину К^, способом линейной интерполяции Кя и вероятност-
ным способом Kt. Из рисунка следует, что оконтуривание на
середину ведет к потерям руды, а применение способа линейной
интерполяции приводит к включению в подсчитываемые запасы
некондиционных руд. Вероятностный способ оконтуривания яв-
ляется более объективным, так как он позволяет находить поло-
жение контура с учетом распространения полезного компонента
в рудном теле.
В любом случае оконтуривание рудных тел, отдельных участ-
ков и эксплуатационных блоков должно базироваться на тща-
тельном изучении, анализе и учете геологического строения ме-
сторождения, на взаимной увязке смежных разведочных пересече-
ний с учетом геологии вмещающих пород, рудоконтролирующих
факторов, литологического и тектонического контроля орудене-
ния, так как достоверность подсчета запасов находится в прямой
зависимости от полноты использования всей геологической ин-
формации об условиях залегания, морфологии и вещественного
состава руд и закономерности распространения полезных ком-
понентов в рудных залежах.
Пример 13. Месторождение раз- .	к =45,8 м t
ведано по сети 50 х 50 м. Необходи-	2_ Г	**Ц> —
мо найти положение промышленно- бб |х Lll&H J 77
го контура между разведочными пе-
ресечениями № 1 и № 2 (рис. 21) по	Рис. 21
бортовому содержанию С6=20 ед.
Среднее содержание полезного ком-
понента по разведочному пересечению № 1 есть С] = 66 ед., по
пересечению № 2—С2=17 ед.
По данным статистической обработки разведочных данных,
распределение полезного компонента в месторождении подчиня-
ется показательному закону, интегральная функция которого
имеет вид
F(C)= 1- е-0’015С.
Решение. Необходимые вычисления вероятностей для
определения положения промышленного контура приведены
в табл. 20.
77
Таблица 20
С	-0,015С е	-0,015С
С2»17	0,775	-0,015Ст Р(СЦСт)=1-е	“=0,225
Сб=20	0,741	Р (С<С6)=1-е~0,°15Сб=0^59
С1=66	0,372	-0,015С< Р(С^Ск)=1-е	=0,628
Подставляя значения Р(С^СЖ), 7>(С<Сб) и Р(С^СЖ)
в формулу (48), получим величину К, определяющую положение
промышленного контура:
0,628 —0,225
45,8 м.
Откладывая от разведочного пересечения № 1 в сторону пере -
сечения № 2 величину К, получим точку А, через которую прой
дет промышленный контур, соответствующий бортовому содер-
жанию (рис. 21).
ОБОСНОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ОЦЕНКИ СРЕДНЕГО
СОДЕРЖАНИЯ БАЛАНСОВЫХ ЗАПАСОВ
Выбор и обоснование способа вычисления (оценки) средних
содержаний полезных компонентов в руде являются важнейшим
вопросом подсчета запасов. Ошибки в оценке качества руды
негативно сказываются на технологии их переработки. Более
того, если содержания полезных компонентов по данным развед-
ки и эксплуатационного опробования окажутся завышенными,
что нередко бывает при разработке месторождений цветных
и редких металлов, то предприятие не будет выполнять план по
выпуску продукции и вынуждено терпеть убытки или в против
ном случае прибегать к «селективной» отработке обогащенные
участков месторождения.
Известно также, что на действующих предприятиях довольно
часто возникают разногласия между геологами и технологами по
поводу неподтверждения содержаний полезных компонентов
в рудах. Геологи объясняют это неудовлетворительным состоя-
нием учета потерь и разубоживания руд при добыче, техноло-
ги —несовершенством способов оконтуривания и особенно оцен-
ки средних содержаний. Как ни парадоксально, геологи и тех-
нологи все-таки находят компромисс (скорее всего — выход)
в планировании предприятиям завышенных показателей разубо-
живания: для ряда предприятий, разрабатывающих месторожде-
ния цветных и редких металлов, устанавливают непомерно высо
78
кие нормативы разубоживания — до 40% и более. Ни один рачи-
тельный хозяин не позволит такой «роскоши».
Вопрос о применимости и условиях использования того или
иного способа оценки среднего содержания полезных компонен-
тов в руде постоянно обсуждается в научно-технической литера-
туре. Во многих опубликованных по этому поводу работах неред-
ко содержатся самые противоречивые взгляды и выводы. Здесь
нет необходимости останавливаться на анализе этих работ, так
как это не входит в задачу настоящей книги. Необходимо лишь
отметить, что если оценка средних содержаний среднеарифмети-
ческим способом (который на практике находит широкое приме-
нение из-за его простоты) дает удовлетворительные результаты
для месторождений с равномерным распределением полезных
компонентов, то для месторождений с неравномерным, весьма
и крайне неравномерным распределением полезных компонентов
вычисленные среднеарифметические оценки средних содержаний,
как правило, значительно отличаются от истинных средних, так
как при распространении данных разведочных пересечений на
прилегающие к ним участки недр возрастают погрешности ана-
логии. Следовательно: 1) при разведке и эксплуатации месторож-
дений с неравномерным, весьма и крайне неравномерным рас-
пределением полезных компонентов пользоваться формулой про-
стой арифметической средней для вычислений средних содержа-
ний не следует, поскольку она, как правило, дает необъективную
оценку средних; 2) оценку средних содержаний необходимо про-
изводить с учетом зон влияния всех проб, в том числе ураганных.
Предлагаемый ниже способ оценки средних содержаний ос-
нован на использовании установленной закономерности распро-
странения полезных компонентов, так как более достоверные
результаты оценки среднего содержания могут быть получены
только при учете изменения концентрации полезных компонентов
в прилегающих к пересечению участках рудной залежи.
Использование установленной закономерности при подсчете
запасов снимает проблему ураганных проб. Применение законо-
мерности в качестве аналитической модели совместно с вероят-
ностно-статистической моделью с использованием теории подо-
бия позволяет объективно производить оценку средних содержа-
ний и в конечном счете повысить достоверность подсчитанных
запасов полезных ископаемых.
Рассмотрим аналитическую модель вида
L=q+BeaC, q«B.
Если бы отрабатывался только столб руды, ограниченный
зоной влияния OL* (рис. 22), то в извлеченной руде среднее
содержание компонента соответствовало бы среднему содержа-
нию по пересечению Ск. Фактически отрабатывается столб руды,
79
ограниченный бортовым или минимально промышленным соде-
ржанием С6, т. е. столб OL6. Вследствие этого в извлекаемый из
недр столб руды вовлекаются руды с содержанием ниже, чем
полученное по пересечению. Поэтому в извлеченном из недр
столбе руды О£б содержание, естественно, будет ниже, чем по
пересечению. Именно этим можно объяснить некоторое снижение
содержания в рудах при отработке прилегающих к богатой сква-
жине (пробе) участков недр и некоторое повышение содержания
полезных компонентов в рудах, прилегающих к бедным скважи-
нам, так как в последнем случае в отработку вовлекаются примы-
кающие к бедным рудам участки с повышенным (относительно
бедных) содержанием полезных компонентов.
Среднее содержание Сизвл в извлекаемом столбе руды ОЬЪ
с учетом изменения концентрации от С* до С6 выражается через
определенный интеграл:
Cj-	Сж
Ствл=Сб+у- f LdC=C6+y- J (я+веас) dC. (49)
с6	Ь с6
Интегрируя выражение (49), получаем
Г -Г	(e"eC6-e"a<i)
''ИЗВЛ “ '-'б I	I	J
-аСб	, л -«^бк
q+Be а(д+Ве )
ИЛИ
С
'-'ИЗ ВЛ
----7^
(50)
Перейдем к вероятностной оценке среднего содержания. Веро-
ятностная оценка среднего содержания базируется на следующей
80
предпосылке: вероятностно-статистический закон распределения
полезных компонентов в рудной залежи справедлив для отдель-
ных участков залежи. Эта предпосылка с увеличением размеров
отдельных участков залежи становится более правомерной.
Умножим и разделим на Lq знаменатель второго члена пра-
вой части формулы (50):
г -г ^?(Сж-С6) + СВ(е-вСб-е-вСж)
Ьвм — <^б “т-----------------------•
£о [?+Ве	®]
(51)

Учитывая основные положения теории вероятностей, за-
пишем:
в (е~аСб—е~аСт)
^ = \-Р(С<С^\,
=P(C6<C<CJ=P (C<CJ-P (С<С6);
_ -аСб
\-Р(С<Съ).
(52)
(53)
(54)
С учетом (52)—(54) выражение (51) примет вид
Саы-С6+
[1-Р (С<Стал)] (С,-Сб)4-С [Р (С<СД)-Р (С<Сб)]
1-Р(С<С6)
(55)
Для перехода от вероятностной оценки среднего содержания
в модели (55) к оценке среднего содержания в объекте (рудной
залежи) выразим Ст„ через С, где С — среднее содержание гео-
логических запасов, равное среднему для выборки объема N.
По известной формуле математической статистики напишем
выражение для С (рис. 23):
к
Е cini
/S_cO”o + clnl + —+с*-1и*-1
~	N	~ N '
где 2У=л0+п1 + ...+лк; с, и и, — соответственно среднее содержа-
ние и количество проб i-го класса.
Для геологических запасов, ограниченных сверху содержани-
ем Ск, можно записать
. _eono + Cini + -4-Q|nJfc i_C0n0+C|ni+...+Q|nfc|+Ct.nJfc-Qnib
6-353
81

Разделив и умножив знаменатель выражения (56) на Дг
получим
£ _CQ»o + cini+...+cjt_int_1+citnit-citwJt_co»o + cini+- + cfc_i Л^_1+С^Ид
к~	N(F nJ)	~	NQ^nk)
N	N
Wk _ £
*(*-,») N^nk NW^nk)	( 1
N N N
Так как при ЛГ-*оо имеем
^Р(ОСк),
N
то выражение (57) примет вид
(58)
к~~P(C<Q)	
Среднее содержание в модели согласно (55) при С6=0 будет
равно
Сы=СР(С<Ск).	(59)
Из соотношения подобия
$ = 1
с учетом (58) и (59) можно записать
C-QP(OCt)_
Р(С<Ск)
СР (С<Ск),
откуда после соответствующих
Ск находим
преобразований относительно
С1.-У,(с<с.)1	(60)
1-Р(С<С*)	1
При С»-*Ст„ выражение (60) примет вид
Cmx=C[H-P(C<Cnex)].	(61)
Так как Р (С<Сп,.т) = 1, то из выражения (61) получаем
C^lC.
82
Подставляя значения С„.,=2С в формулу (55), окончательно
имеем выражение для оценки среднего содержания в балансовых
запасах
. _	[1 -Р(С<2С)] (Сж-Сб)+С [Р (C<Q)-P (С<Св)]	(62)
'-'бал—^6i	, _	.
1-Р(С<С6)
При практическом использовании формулы (62) для оценки
среднего содержания балансовых запасов может быть три под-
хода:
1)	содержание по каждому разведочному пересечению Сж пе-
реводится по формуле (62) в вероятностное содержание С„ а сре-
днее содержание балансовых запасов находится делением суммы
вероятностных содержаний на их количество;
2)	первоначально находят простое среднеарифметическое со-
держание Сар, а затем, заменяя в формуле (62) Сж на находят
среднее содержание балансовых запасов из выражения
_ _	[l-/’(C<2Q](CBp-C6)+C[P(C«?41)-P(C<C6)]	(63)
1-Р(С<С6)
Оба подхода, как будет показано ниже, по точности оценки
среднего содержания равноценны, однако первый способ более
трудоемкий. Поэтому при вероятностной оценке среднего содер-
жания балансовых запасов рекомендуется пользоваться выраже-
нием (63);
3)	среднеарифметическим способом, предварительно заменив
ураганные пробы на 2С (где С — среднее содержание геологичес-
ких запасов, или выборочное среднее).
На практике для получения среднего содержания запасов сред-
неарифметическим способом необходимо предварительно ураган-
ные пробы с содержанием свыше 2Сар заменить на 2Сар (где
Сар — среднее арифметическое из всех проб, включая ураганные).
Вероятностный способ оценки средних содержаний по формуле
(62) является более объективным, так как он базируется на
учете, во-первых, структурно-геологических особенностей локали-
зации оруденения, проявляющейся в зональности размещения по-
лезных компонентов; во-вторых, вероятностно-статистических
законах, которые в обобщенном виде характеризуют размещение
полезных компонентов различной концентрации в пространстве
рудных залежей, и, в-третьих, на учете изменения содержания
полезных компонентов в пределах установленных кондиций в при-
легающих к пересечению участках недр, т. е. от СТ до Се- И нако-
нец, вероятностная оценка менее чувствительна к изменениям
геометрии проб и их размерам, имеющим место при разведке
и эксплуатации месторождений.
В заключение необходимо еще раз подчеркнуть, что независи-
83
мо от применяемого математического аппарата оконтуривание
рудных тел, отдельных участков месторождений и эксплуатаци-
онных блоков, оценка средних содержаний и в конечном счете
подсчет запасов должны базироваться на тщательном изучении,
анализе и учете геологического строения месторождения, на вза-
имной увязке смежных разведочных пересечений с учетом геоло-
гии вмещающих пород, рудоконтролирующих факторов, литоло-
гического и тектонического контроля оруденения, так как до-
стоверность подсчета запасов находится в прямой зависимости
от полноты использования всей геологической информации об
условиях залегания, морфологии и вещественного состава руд
и закономерности распространения полезных компонентов в руд-
ных залежах.
ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ ГЕО ЛОГО-РАЗВЕДОЧНОЙ
ИНФОРМАЦИИ
В настоящее время степень достоверности разведанных запа-
сов полезных ископаемых и отнесение их к той или иной катего-
рии, как известно, определяется густотой (плотностью) разведоч-
ной сети, качеством и количеством полезного ископаемого и ря-
дом других требований, регламентированных Классификацией
запасов месторождений твердых полезных ископаемых и соответ-
ствующими инструкциями по ее применению.
Объективной оценкой достоверности разведанных запасов яв-
ляется точность подсчета запасов полезных ископаемых. Точ-
ность подсчета запасов зависит от достоверности геолого-разве-
дочной информации (площади и мощности рудного тела, средне-
го содержания и др.). Для месторождений с неравномерным,
весьма и крайне неравномерным распределением полезных ком-
понентов доминирующее влияние на точность подсчета запасов
оказывают погрешности определения средних содержаний полез-
ных компонентов. Поэтому в качестве количественной оценки
достоверности геолого-разведочной информации принята средне-
квадратическая ошибка определения среднего содержания по ме-
сторождению в зависимости от плотности разведочной сети,
иными словами, от расстояния между разведочными пересечени-
ями. Чем меньше среднеквадратическая ошибка, тем достовер-
ность оценки среднего содержания выше.
Для нахождения среднеквадратической ошибки определения
среднего содержания воспользуемся математическим аппаратом
теории случайных функций с использованием установленной зл-
кономерности распространения полезных компонентов. Такой
подход к оценке достоверности среднего содержания базируется
на следующих основных предпосылках:
1) пространственное размещение полезного компонента
84
в рудной залежи тесно связано с геолого-структурными особен-
ностями месторождения, обладает зональностью в соответствии
с установленной закономерностью;
2) основной характеристикой распределения полезного ком-
понента в пространстве рудной залежи наряду с зональностью
является природная изменчивость — дисперсия сг. Последняя
слагается из закономерной (неслучайной) trf и случайной Стщ со-
ставляющих природной изменчивости:
Закономерная составляющая а* природной изменчивости за-
висит от математического ожидания случайной функции и харак-
теризует разброс показателя относительно среднего (оценки ма-
тематического ожидания).
Случайная составляющая природной изменчивости не за-
висит от величины показателя (содержания), тесно связана с гене-
зисом оруденения, и каждый тип оруденения характеризуется
своей, ему присущей случайной составляющей.
Исследованиями установлено, что случайная составляющая
равна
Как известно, на-
ибольшее отклонение ек
воспроизводящей функ-
ции от действительного
значения измеряемой ве-
личины получается в сере-
дине интервала (рис. 24).
Выразим ек через кор-
реляционную функцию
р ([) и расстояние между
разведочными пересече-
ниями I:

(64)
где е0 и £/ — случайные погрешности.
Переходя к среднеквадратическим ошибкам и обозначая
£о и Б/ через £M, имеем
85

то
т2-М
—M
-/w+-/w-/y+VJ =M

7‘W +
4
l/2(0 +л/[^ -лф(0№)
+Ml/(xo)ecJ+A/[/-(/)6oi]-
^PG)60”.
(65)
Так как математические ожидания
М \f2 (хо)]=^ (0); М \f2 (1)}=КХ (0);
=Кх(0)\ M[f(x0)f(I)]=Kx(!);
[/М/(0р, (0; М [/(0/w]-«, (0;
М IZ(xo) 6cJ=0;
M[f (0 EcJ=O; JW
НО
^СЛ — 0,
+ M
[^/(xo)/(O
+ M
М
м
«Lx=^x (0) [1,5 + 0,5р (l)—2p fА+^г],
\^/	(V)
ИЛИ
"*^=^3 [1,5+0,5р (/)—2р
(66)
где Кх (0)=<Тз — корреляционная функция (дисперсия) при /=0;
Кх (I) и Кх — корреляционные функции при интервалах, рав-
ных / и 1/2 соответственно; р (/) и р ^0 — нормированные кор-
реляционные функции.
Корреляционная функция, как известно, характеризует сте-
пень связи показателей в двух точках, отстоящих одна от другой
на расстоянии /.
Очень часто нормированную корреляционную фунм^ию при-
86
пято аппроксимировать в виде убывающей экспоненциальной
функции
Р (1)=^,
(67)
где Р — коэффициент спада, определяемый по данным экспери-
мента.
Учитывая (67), выражение (66) для оценки точности определе-
ния среднего содержания в зависимости от расстояния между
разведочными пересечениями перепишем в виде
'	I
2
2]+^. (68)
Усредняя «и., по всем интервалам А* на разведочной линии
и учитывая, что среднеквадратическая ошибка т в ^/З раз мень-
ше максимальной ошибки, имеем
т2=^,	(69)
зк
где К — число интервалов А* длиной I на разведочной линии.
Введем следующие обозначения: г — число разведочных ли-
ний; д — среднеквадратическая ошибка определения среднего со-
держания разведанных запасов. Тогда с учетом (68) и (69) можно
записать
/
а2
1,5+0,бе4"-2е 2
ft
2п
(70)
где п — число разведочных пересечений.
Выражение (70) позволяет находить среднеквадратическую
ошибку оценки среднего содержания разведанных запасов в зави-
симости от расстояния между разведочными пересечениями.
При больших расстояниях между разведочными пересечени-
ями /, значительно превышающими максимальный радиус кор-
реляции, т. е. при /»/юртах, корреляционные функции р (/)—»0
и Р Поэтому без существенной потери точности в прак-
тических расчетах среднеквадратическую ошибку можно нахо-
дить по упрощенной формуле:
, 0,5ffJ tr2 ff^+a2 а2
Д2=—i+-2=-^------5=—
п 2п 2п 2п
(71)
87
Пример 14. Месторождение меди разрабатывается открытым
способом. Закон распределения меди в месторождении — экс-
поненциальный:
Г (0=1- е"0052С
при С= 193,4; а= 178,6; Г=92,3%.
Рис. 25
На рис. 25 приведен плав
эксплуатационного блока
горизонта с данными опро-
бования буровзрывных сква-
жин, расстояние между ко-
торыми равно /р=6,0 м (в
числителе — номер скважи-
ны, в знаменателе — содер-
жание меди). Содержание
меди и стандарта даны
в условных единицах.
Требуется:
1.	Оконтурить промыш-
ленные запасы по бортово-
му содержанию С6=50.
2.	Вычислить среднее со-
держание меди в промыш-
ленных запасах:
а)	среднеарифметическим способом;
б)	среднеарифметическим способом с заменой ураганных
проб на 2&,	|
в)	вероятностным способом.
3.	Оценить точность определения содержания меди в промы-
шленных запасах.
Решение. Сведем все данные опробования в табл. 21. В этой
же таблице приведены результаты промежуточных вычислений.
1. Вычислим положение промышленного контура по формуле
K=l
рР(С<Сж)-Р(С<С„)
между скважинами (при Р (С<Сб)=0,229):
№ 5и№ 1
*5.1 =6-
0,878—0,229
0,878-0,179
5,6 м;
№ 2и№ 1
*21=6
0,305 -0,229
0,305-0,179
м;
88
№ 2 и № 3
	*2.3 = 6	0,305-0,229 , Л •	= 1,8 м; 0,305-0,051
№ 7и№ 3	*7.3 = 6	0,347-0,229 Л л 	=2,4 м;
№ 4и№ 3	*4.3 = 6	0,347-0,051 0,253-0,229 Л „ 	=0,7 м.
		0,253-0,051
Таблица 21
Номер СКВ ЯХИНЫ	Содержание меди по скважине С/	Вероятности P(C^Q	Вероятностное содержание меди по скважине Св	Содержание меди по скважине с за- меной ураганных проб на 2С
1	38	0,179	—	—
2	70	0,305	72,5	70
3	10	0,051	—	—
4	56	0,253	64,0	56
5	404	0,878	274,3	386,8
6	166	0,578	157,7	166
7	82	0,347	85,1	82
8	93	0,383	98,1	93
9	745	0,979	358,8	386,8
10	137	0,510	135,5	137
11	68	0,298	70,4	68
12	85	0,357	88,2	85
13	408	0,880	275,5	386,8
14	121	0,467	122,0	121
15	231	0,699	199,4	231
16	344	0,833	252,6	344
Е	ЗОЮ*		2254,1	2613,4
* Сумма без проб № 1 и № 3.
Откладывая величину К5Л на плане от пробы № 5 в сторону
□робы № 1, получим точку 5.1, соответствующую положению
контура между пробами № 5 и № 1. Аналогично находим поло-
жение промышленного контура между пробами № 2 и № 1
(точка 2.1). Проведя через точки 5.1 и 2.1 прямые линии, как это
показано на рис. 25, получим контур 5.1—2.1, соответствующий
бортовому содержанию.
89
Таким же образом находится положение промышленного кон-
тура 2.3—7.3—4.3.
2. Вычислим среднее содержание меди промышленных за-
пасов:
а)	среднеарифметическим способом
, =£^=3010=215
*Р п 14
где Ch — содержание кондиционных проб; п= 14 — количест
кондиционных проб в контуре промышленных запасов;
б)	среднеарифметическим способом с заменой ураг
проб на 2С=386,8:
_	2613,4
Сф-и>—-~~	186,7;
14
в)	вероятностным способом по формуле (62)
-	„ , [1 -Р (С«2С)] (Ск-Се)+С [Р(С<Сж)-Р (С«Се)]
1-Р(С<С6)
Подставив в вышеприведенную формулу значения Се=50,
С= 193,4, [1 -Р (С<2С)]=0,134, Р (С<Сб)=0,229 и [1-Р(С<
Се)] = 0,771, получим
С.=50+
0,134 (Сж-С6)+193,4 [Р (С«5С,)-0,229]
0,771
ИЛИ
€.=50+0,1738 (Сж+Се)+250,843 [Р (С < С.)-0,229]. (72)
Рассмотрим два подхода к расчету среднего содержания:
1. Подставляя в формулу (72) значения содержаний меди
Cte из табл. 21, получим вероятностную оценку средних содержа-
ний по каждому пересечению.
Результаты расчета вероятностных средних содержаний
С. приведены также в табл. 21.
Среднее содержание меди промышленных запасов будет
равно
« ХС, 2254,1	, „ л
С1ж=—= -= 161,0.
п 14
2. Приравняв С. = Сар=215 и подставив это значение в фор-
90
мулу (72), получим вероятностную оценку среднего содержания
цеди в промышленных запасах:
€2,=50+0,1738 (215-50)+ 250,843 (0,673-0,229) =190,0,
где Р (С<215)=0,673.
Второй подход к расчету имеет ряд преимуществ перед
первым:
1)	он менее трудоемок;
2)	по результатам расчета он ближе подходит к среднеариф-
метическому способу с заменой ураганных проб на 2С: в данном
примере С2,=0,190; СЖ1>_УР=186,7;
3)	по сравнению с простым среднеарифметическим способом
вероятностная оценка занижает содержание на 24%, так как
что хорошо согласуется с данными рудника и обогатительной
фабрики за ряд лет (поправочный коэффициент к результатам
разведки колеблется в пределах 0,67—0,90, составляя в среднем
0,75).
3. Оценим точность каждого способа определения содержа-
ния меди в промышленных запасах.
Для оценки точности определения среднего содержания меди
в промышленных запасах воспользуемся формулой (71):
/ £ (Q-o2
или в процентах
100.
Все вычисления погрешностей определения средних содержа-
ний различными способами приведены в табл. 22.
Таблица 22
№	("ар=215,0		—ур—186,7		C2,= 190,0	£jB= 161,0	
	Ох	(Ох~Ор)2	Ci	(Q“	ур)2	(Ox-O.)1	CB	(C.-G,)2
1	70	21025	IQ	13618,89	14400	72,5	7832,25
2	56	25281	56	17082,49	17756	64,0	9409,00
3	404	35721	386,6	39960,01	38651,56	274,3	12836,89
4	166	2401	166	428,49	576	157,7	10,89
91
Продолжение табл. ц
№	С.р=215,0		Сар—ур““ 186,7		С2в= 190,0	С1,= 161,0	
	Cfr	(Ож~^ар)2	Q	(Q— Сар—ур)2	(Cfc-CaJ2	Св	
5	82	17689	82	10962,09	11664	85,1	5760,81
6	93	14884	93	8779,69	9409	98,1	3956,41
. 7	745	280900	386,6	39960,01	38651,56	358,8	39124,84
8	137	6084	137	2470,09	2809	135,5	650,25
9	68	21609	68	14089,69	14884	70,4	8208,36
10	85	16900	85	10342,89	11025	88,2	5299,84
11	408	37249	386,6	39960,01	38651,56	275,5	13110,25
12	121	8836	121	4316,49	4761	122,0	1521,00
13	232	256	231	1962,49	1681	191,4	1474,56
14	344	16641	344	24743,29	23716	252,6	8390,56
Е		505476		228676,62	228635,68		117585,91
Д		. 37,26		25,06	25,06		17,97
Доти		17,3		13,4	13,2		11,2
Из табл. 22 следует, что предлагаемые способы оценки сред-
них содержаний балансовых запасов в 1,3—1,5 раза точнее про-
стого среднеарифметического.
В заключение настоящего раздела приведем результаты под-
счета запасов рудного тела № 501 Волковского месторождения
меди.
Волковское месторождение расположено в восточной части
Баранчинского интрузивного массива и приурочено к габбро,
габбро-диоритам и диоритам.
Рудное тело № 501 имеет плосколинзовую форму, падает на
запад под углом 45° и является слепым. Длина рудного тела по
падению составляет 460 м. Наиболее богатое медно-сульфидное
оруденение представляет собой густую вкрапленность, шлировые
обособления и гнезда в габбро. Для руд характерны неравномер-
но вкрапленные, шлировые, массивные и равномерно вкраплен-
ные текстуры. По классификации ГКЗ рудное тело относится ко
2-й группе месторождений. Коэффициент вариации меди в руд-
ном теле равен F=91,2%. Закон распределения меди в рудном
теле — экспоненциальный, интегральная функция которого име-
ет вид
F(C)=l-e_*’c.	I
Рудное тело разведано 22 наклонными скважинами. Опробо-
вание керновое.
Для подсчета запасов в 1960 г. использовались следующие
кондиции:
бортовое содержание Се=0,4%;
минимальная мощность рудного тела — 2 м;
92
максимально допустимая мощность безрудных прослоев
—-2 м.
Оконтуривание балансовых запасов производилось интерпо-
лированием на середину между кондиционной и некондиционной
выработками.
Средние содержания меди в балансовых запасах рассчитыва-
лись как средневзвешенные: на длину керна при расчете содержа-
ний по рудным интервалам, по мощностям рудных интервалов
при расчете содержаний по разрезам.
Результаты подсчета запасов руды и меди по общепринятой
методике приведены в первой строке табл. 23.
В 1986 г. в порядке апробации предлагаемой методики был
произведен перерасчет балансовых запасов руды и меди.
В отличие от общепринятой методики оконтуривания, когда
контур балансовых запасов проводился посередине между кон-
диционной и некондиционной выработками, в предлагаемой ме-
тодике положение контура балансовых запасов определялось по
формуле
К=1 Р(С<СХ)-Р(С<С6)
р Р (C^CJ-P (С<С„)’
где К — расстояние до контура, откладываемое на плане от
кондиционной выработки в сторону некондиционной, м;
1р — расстояние между кондиционной и некондиционной выра-
ботками; Се — бортовое содержание, равное 0,4%; Сж — содер-
жание в кондиционной выработке; Ст — содержание в некон-
диционной выработке.
После оконтуривания балансовых запасов средневзвешенное
по мощности рудных интервалов содержание Сж переводилось
в вероятностное содержание по формуле
[1-Р (С<2О] (Сж-С6)+<: [Р(C^CJ-P (С«С6)]
с,=с6 н------------------------------------.
1-Р(С<С6)
Результаты пересчета запасов руды и меди приведены во
второй строке табл. 23. В этой таблице в третьей строке приведе-
ны изменения (прирост) запасов.
Таблица 23
Способ оконтуривания и подсчета балансовых запасов	Запасы руды, млн. т	Запасы меди, тыс. т	Среднее со- держание меди, %
По общепринятой методике с оконту- риванием на середину	19,6	166,5	0,85
93
Продолжение табл. 2з
Способ оконтуривания и подсчета балансовых запасов	Запасы руды, млн. т	Запасы меди, тыс. т	Среднее со- Держдаве меди,%
По предлагаемому — вероятностному способу оконтуривания и оценки среднего		173,7	
содержания	22,7		0,77
(абсолют.) Прирост запасов	+ 3,1	4-7,2	—0,08
(относит. %)	4-15,8	4-4,3	-9,4
Как видно из табл. 23, несмотря на снижение среднего содер-
жания меди на 9,4% при его оценке вероятностным методом
запасы металла увеличились на 4,3% при увеличении запасов
руды на 15,8 % за счет применения вероятностного способа
оконтуривания.
ВЕРОЯТНОСТНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ ПРИ ГЕОМЕТРИЗАЦИИ И
ПРОГНОЗИРОВАНИИ
Важным фактором рационального использования недр явля-
ется полнота и достоверность геолого-разведочной и эксплуата-
ционной информации об особенностях размещения полезных ко-
мпонентов в пространстве рудной залежи. Информация, получен-
ная в процессе разведки и эксплуатации месторождения, должна
содержать не только количественные показатели (мощность, со-
держание, запасы и т. д.), но и позволять судить о закономер-
ности распространения полезных компонентов, а главное — про-
гнозировать их размещение в недостаточно изученных участках
месторождения.
Узловым вопросом прогнозирования является выбор модели
прогнозируемого объекта. Моделирование таких геологических
объектов, какими являются рудные месторождения с неравно-
мерным распределением полезных компонентов, представляет
сложную задачу из-за наличия, во-первых, ограниченной инфор-
мации и, во-вторых, большого числа взаимосвязанных геологи-
ческих, геохимических и других факторов, которые целесообраз-
но учитывать при моделировании.
В зависимости от вида прогнозируемого объекта и наличия
информации о его состоянии (неопределенности) модели могут
быть детерминированными и стохастическими. Рудные месторо-
ждения цветных, редких и рассеянных металлов можно пред-
ставить стохастической моделью в непрерывной или дискретное
форме. Опыт показывает, что для каждой конкретной задаче
лучше строить модель, отражающую те стороны и связи изуча-
94
емого явления, которые являются наиболее важными именно для
данного исследования. Например, при исследовании и прогнози-
ровании особенностей размещения полезных компонентов в руд-
ных залежах могут быть построены модели: одномерные (по
профилям и разрезам), двумерные (по площади), трехмерные (в
пространстве). Степень соответствия модели реальному объекту
определяет качество прогнозирования.
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что недостаточность
исходной геологической информации, связанная с большими тру-
дностями ее получения, лишь частично может быть компенсиро-
вана введением разумных гипотез и выбором соответствующих
моделей и методов их воспроизведения.
Одним из наиболее распространенных способов изучения гео-
логических объектов по-прежнему является моделирование их
в виде горно-геометрических графиков и карт (планов), на кото-
рых по результатам математической обработки исходной геоло-
гической информации отображается изучаемое явление в виде
непрерывной или дискретной модели в зависимости от решаемой
задачи. Так, при прогнозировании особенностей размещения по-
лезных компонентов в пространстве залежи удобнее строить
непрерывные модели в виде погоризонтных планов изосодержа-
ний. При решении вопросов усреднения руд дискретные модели
имеют ряд преимуществ перед непрерывными моделями.
Геометризация месторождений и прогнозирование качествен-
ных и количественных показателей минерального сырья должны
базироваться на исследовании особенностей размещения полез-
ных компонентов в хорошо обследованных участках месторожде-
ния и на интерполяции и экстраполяции обнаруженных закономе-
рностей на участки, еще недостаточно изученные.
Следует отметить, что во всякой исходной информации неиз-
бежно присутствуют элементы случайности. Поэтому моделиро-
ванию обычно предшествует математическая обработка исход-
ной информации, в результате которой решается задача сглажи-
в.шия (фильтрации) эмпирических данных. В настоящее время
имеется несколько способов сглаживания: с помощью статисти-
ческого «скользящего» окна, экспоненциального сглаживания
и др. Здесь нет необходимости останавливаться на сущности
каждого способа сглаживания, их достоинствах и недостатках.
Следует лишь подчеркнуть, что выбранный способ сглаживания
должен отвечать не столько целям моделирования, сколько соот-
ветствовать природе прогнозируемого объекта.
Предлагаемый ниже способ вероятностного сглаживания ос-
нован на представлении и рассмотрении месторождения в виде
стохастической модели. Для вероятностного сглаживания вос-
пользуемся формулой
С(ТЛ=Спр[1 + Р(С<С)-Р(С<Сир)],	(73)
95
где Сщ> — среднее содержание в пробе до сглаживания; Сстл
среднее содержание в той же пробе после сглаживания. Операция
расчета (73), выполняемая с каждым наблюдением, есть вероят-
ностное сглаживание.
Естественно, при геометризации и прогнозировании с исполь-
зованием вероятностного сглаживания необходимо должное вни-
мание уделять учету всей геологической обстановки.
Пример 15. В результате статистического анализа разведоч-
ных данных был установлен вероятностный закон распределения
полезных компонентов, интегральная функция распределения ко-
торого имеет вид
F(Q = l-e_00,sc.	
В табл. 24 приведены данные опробования рудной залежи
(второй столбец).
Таблица 24
Номер пробы	Содержание в пробах, ед.			
	до сглаживания Qip	после сглаживания		
		однократного	двукратного	трехкратного
1	2	3	4	5
1	48	54	58	61
2	68	67	67	67
3	150	ПО	90	80
4	40	47	53	57
5	38	45	51	56
6	110	90	80	74
7	44	50	55	59
8	38	45	51	56
9	20	27	35	43
С	61,8	59,4	60,0	61,4
о	41,8	25,7	16,6	10,9
F, %	67,7	43,3	27,7	17,8
Для построения одномерной модели выполним вероятност-
ное сглаживание данных опробования по формуле (73), пред-
варительно подставив в нее Р (С С)=0,632:
сетл=Сор [1,632-Р (С< ад.	(74)
Результаты вероятностного сглаживания приведены в табл. 24
и графически изображены на рис. 26.
При сглаживании необходимо стремиться к тому, чтобы в ре-
зультате фильтрации не были потеряны характерные особенно-
96
сти размещения показателя. В некоторых случаях для фильтра-
ции исходных данных от случайной составляющей прибегают
к двух- и трехкратному сглаживанию. В частности, рекомендует-
ся для месторождений с неравномерным распространением по-
лезных компонентов (коэффициент вариации V=40 -5-100%) ис-
пользовать однократное сглаживание (на рис. 26 показано
сплошной плавной кривой), с весьма неравномерным распределе-
нием (V= 1004-150%) — двукратное сглаживание (на рис. 26
штрихпунктирная линия), для месторождений с крайне нерав-
номерным распространением (К> 150%) — трехкратное сглажи-
вание (на рис. 26 пунктирная линия). Каждая последующая опе-
рация сглаживания осуществляется подстановкой в формулу (73)
соответствующих значений, полученных при предыдущем сгла-
живании.
Так, для второго сглаживания получим выражение
^'О'лП = ^<тл1 [1+Р(С<О-Р(С<Сстл1)];
для третьего сглаживания — выражение
^'сглШ ~ ^сглП [14-Р (С<О-Р (С<Сетлп)].
Пример 16. Выполним с применением вероятностного сгла-
7-353
97
Рис. 27
живания геометризацию участка месторождения, если F (С)=
= 1_е-<ц)19с> £=5244 еД ) с6=40 ед.
Исходные данные приведены на рис. 27. На этом же рисунке
даны изолинии содержаний без предварительного сглаживания
данных опробования.
На рис. 28 представлена непрерывная геометрическая модель
этого же участка месторождения, построенная после вероятност-
ного сглаживания данных опробования по формуле (74).
Если рассмотреть первую модель (см. рис. 27), построенную
98
без сглаживания, то можно сделать вывод о неравномерном
(мелкосопочном) характере распространения полезного компоне-
нта на площади указанного участка залежи, и при его отработке
встает вопрос усреднения руд, подаваемых на обогатительную
фабрику.
Анализ модели, построенный после вероятностного сглажива-
ния данных опробования (рис. 28), свидетельствует о более рав-
номерном характере распространения полезного компонента
с коэффициентом вариации Кал=34,8% (против коэффициента
вариации Р=52,6% до сглаживания), и поэтому задача усредне-
ния руд в процессе добычи и переработки здесь так остро не
стоит.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица I
Значения функции f(t)
										
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3856	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3696
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3189	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	ЗОН	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2372	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1624	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
и	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0289	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	ОНО	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	ООН	ООП	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001
100
Таблица П
Значения функции F (х)
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	,5000	,5040	,5080	,5120	,5160	,5199	,5239	,5279	,5319	,5359
0,1	,5398	,5438	,5478	,5517	,5557	,5596	,5636	,5675	,5714	,5753
0,2	,5793	,5832	,5871	,5910	,5948	,5987	,6026	,6064	,6103	,6141
о,3	,6179	,6217	,6255	,6293	,6331	,6368	,6406	,6443	,6480	,6517
0,4	,6554	,6591	,6628	,6664	,6700	,6736	,6772	,6808	,6844	,6879
0,5	,6915	,6950	,6985	,7019	,7054	,7088	,7123	,7157	,7190	,7224
0,6	,7257	,7291	,7324	,7357	,7389	,7422	,7454	,7486	,7517	,7549
0,7	,7580	,7611	,7642	,7673	,7703	,7734	,7764	,7794	,7823	,7852
0,8	,7881	,7910	,7939	,7967	,7995	,8023	,8051	,8078	,8106	,8133
0,9	,8159	,8186	,8212	,8238	,8264	,8289	,8315	,8340	,8365	,8389
1,о	,8413	,8438	,8461	,8485	,8508	,8531	,8554	,8577	,8599	,8621
1,1	,8643	,8665	,8686	,8708	,8729	,8749	,8770	,8790	,8810	,8830
1,2	,8849	,8869	,8888	,8907	,8925	,8944	,8962	,8980	,8997	,9015
1,3	,9032	,9049	,9066	,9082	,9099	,9115	,9131	,9147	,9162	,9177
1,4	,9192	,9207	,9222	,9236	,9251	,9265	,9279	,9292	,9306	,9319
1,5	,9332	,9345	,9357	,9370	,9382	,9394	,9406	,9418	,9429	,9441
1,6	,9452	,9463	,9474	,9484	,9495	,9505	,9515	,9525	,9535	,9545
1,7	,9554	,9564	,9573	,9582	,9591	,9599	,9608	,9616	,9625	,9633
1,8	,9641	,9649	,9656	,9664	,9671	,9678	,9686	,9693	,9699	,9706
1,9	,9713	,9719	,9726	,9732	,9738	,9744	,9750	,9756	,9761	,9767
2,0	,9772	,9778	,9783	,9788	,9793	,9798	,9803	,9808	,9812	,9817
2,1	.9821	,9826	,9830	,9834	,9838	,9842	,9846	,9850	,9854	,9857
2,2	,9861	,9864	,9868	,9871	,9875	,9878	,9881	,9884	,9887	,9890
2,3	,9893	,9896	,9898	,9901	,9904	,9906	,9909	,9911	,9913	,9916
2,4	,9918	,9920	,9922	,9925	,9927	,9929	,9931	,9932	,9934	,9936
2,5	,9938	,9940	,9941	,9943	,9945	,9946	,9948	,9949	,9951	,9952
2,6	,9953	,9955	,9956	,9957	,9959	,9960	,9961	,9962	,9963	,9964
2,7	,9965	,9966	,9967	,9968	,9969	,9970	,9971	,9972	,9973	,9974
2,8	,9974	,9975	,9976	,9977	,9977	,9978	,9979	,9979	,9980	,9981
2,9	,9981	,9982	,9982	,9983	,9984	,9984	,9985	,9985	,9986	,9986
Таблица III
Параметры распределения Вейбулла
V	6	b	V	6	b
6,2	20,0	0,973	72,3	1,4	0,911
п,о	10,0	0,951	77,5	1,3	0,924
19,5	6,0	0,927	83,7	1,2	0,941
22,4	5,0	0,918	91,0	1,1	0,965
24,5	4,5	0,913	100,0	1,0	1,0
28,3	4,0	0,906	110,0	0,909	1,05
31,6	3,5	0,900	121,0	0,833	1,10
36,0	3,0	0,893	132,0	0,769	1,17
40,0	2,7	0,889	143,0	0,714	1,24
42,8	2,5	0,887	155,0	0,667	1,33
44,4	2,4	0,887	167,0	0,625	1,43
46,1	2,3	0,886	180,0	0,588	1,54
101
Продолжение табл, Щ
V	6	Ь	V	6	Ь
48,0	2,2	0,886	194,0	0,556	1,68
49,6	2,1	0,886	208,0	0,526	1,83
52,3	2,0	0,886	224,0	0,500	2,00
54,7	1,9	0,887	240,0	0,476	2,20
57,5	1,8	0,889	257,0	0,455	2,42
60,5	1,7	0,892	275,0	0,435	2,68
64,0	1,6	0,897	293,0	0,417	2,98
68,1	1,5	0,903	314,0	0,400	3,52
Таблица IV
Функция редуцированного распределения Вейбулла
F(x)**Fy (y)~F
fb \
-х)
Л /
У	Ь							
	од	ОД	од	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
0,010	0,4679	0,3284	0,2221	0,1466	0,0952	0,0611	0,0390	0,0248
012	4741	3383	2330	1567	1038	0680	0442	0286
014	4793	3468	2426	1658	1116	0743	0491	0323
016	4838	3543	2512	1741	1188	0802	0538	0359
018	4879	3609	2589	1817	1256	0859	0583	0394
020	4915	3670	2660	1887	1319	0912	0626	0428
022	4948	3726	2726	1953	1378	0963	0668	0461
024	4978	3777	2787	2014	1435	1012	0708	0493
026	5005	3824	2844	2073	1489	1059	0748	0525
028	5031	3868	2897	2128	1541	1104	0786	0556
030	5055	3910	2948	2180	1590	1148	0823	0587
035	5109	4004	3063	2302	1706	1252	0913	0661
С )	5156	4086	3166	2411	1813	1349	0997	0733
045	5197	4160	3259	2512	1911	1441	1078	0803
050	5234	4226	3344	2604	2004	1527	1156	0870
055	5268	4287	3422	2691	2091	1609	1230	0936
060	5299	4343	3495	2771	2173	1688	1302	1000
065	5327	4395	3562	2847	2250	1763	1372	1062
070	5354	4443	3626	2919	2325	1836	1440	1123
075	5378	4488	3686	2987	2396	1905	1505	1183
080	5401	4531	3742	3052	2464	1973	1569	1242
085	5423	4571	3796	3114	2529	2038	1632	1299
090	5443	4609	3847	3173	2592	2101	1692	1356
095	5463	4645	3895	3230	2652	2162	1752	1411
10	5481	4679	3942	3284	2712	2221	1809	1466
11	5515	4743	4029	3387	2823	2335	1921	1572
12	5547	480	4110	3483	2928	2444	2028	1675
13	5576	4857	4185	3574	3027	2547	2132	1776
102
Продолжение табл. IV
У	д							
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
14	5602	4908	4256	3658	3121	2646	2232	1873
15	5627	4955	4322	3739	3211	2741	2328	1969
16	5651	5000	4385	3815	3297	2832	2421	2061
17	5673	5042	4444	3887	3379	2920	2512	2152
18	5693	5082	4500	3957	3457	3005	2600	2240
19	5713	5120	4553	4023	3533	3087	2685	2327
20	5732	5156	4605	4086	3606	3166	2768	2411
21	5749	5190	4653	4147	3676	3243	2849	2494
22	5766	5223	4700	4206	3744	3318	2928	2576
23	5782	5254	4745	4262	3810	3390	3005	2655
24	5798	5284	4789	4317	3873	3461	3081	2733
25	5813	5313	4830	4369	3935	3529	3154	2810
30	5879	5443	5018	4609	4217	3847	3498	3173
40	5985	5651	5322	5000	4687	4385	4094	3815
50	6066	5813	5561	5313	5069	4830	4597	4369
60	6133	5946	5760	5574	5391	5210	5031	4855
70	6190	6059	5928	5798	5668	5540	5412	5285
80	6239	6157	6075	5993	5912	5830	5749	5668
90	6282	6244	6205	6166	6127	608$	6050	6011
1,00	6321	6321	6321	6321	6321	6321	6321	6321
1,05	6339	6357	6375	6393	6411	6429	7	6465
1,10	6356	6391	6426	161	6496	6531	6566	6601
1,15	6373	6424	6475	6527	6578	6629	6681	6732
1,20	6388	6455	6522	6589	6656	6723	6789	6856
1,3	6418	6514	6610	6707	6802	6898	6993	7087
1,4	6445	6569	6692	6815	6937	7059	7179	7299
1,5	6470	6619	6768	6915	7062	7207	7350	7492
1,6	6494	6666	6838	7009	7177	7344	7508	7669
1,7	6516	6711	6904	7096	7285	7471	7654	7832
1,8	6537	6753	6966	7178	7386	7590	7789	7982
1,9	6557	6792	7025	7255	7480	7700	7914	8120
2,0	6576	6830	7080	7327	7569	7803	8030	8247
2,1	6594	6865	7133	7396	7652	7900	8138	8364
2,2	6611	6899	7183	7461	7731	7991	8239	8473
2,3	6627	6931	7230	7523	7805	8076	8333	8573
2,4	6643	6962	7276	7581	7876	8157	8421	8666
2,5	6658	6991	7319	7637	7943	8232	8503	8752
2,6	6672	7020	7360	7690	8006	8304	8580	8833
2,7	6686	7047	7400	7741	8066	8371	8652	8907
2,8	6699	7073	7438	7790	8124	8435	8720	8976
2,9	6712	7098	7475	7837	8179	8496	8784	9040
3,0	6725	7123	7510	7881	8231	8553	8844	9100
3,2	6748	7169	7577	7966	8328	8659	8954	9208
3,4	6770	7212	7639	8044	8418	8756	9051	9302
3,6	6791	7253	7697	8116	8500	8843	9138	9384
3,8	6811	7291	7752	8184	8576	8922	9216	9455
103
Продолжение табл. IV
У	6							
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
4,0	6830	7327	7803	8247	8647	8995	9286	9518
4,2	6847	7362	7852	8306	8712	9061	9348	9572
4,4	6864	7394	7898	8361	8773	9122	9405	9621
4,6	6880	7425	7942	8414	8829	9178	9455	9663
4,8	6896	7455	7983	8463	8882	9229	9501	9700
5,0	6911	7484	8022	8510	8931	9277	9543	9733
У	6							
	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
0,01	0157	0100	0063	0040	0025	0016	0010	0006
02	0291	0198	0134	0091	0062	0042	0028	0019
04	0537	0392	0286	0208	0151	ОНО	0080	0058
06	0764	0582	0443	0336	0255	0193	0146	ОНО
08	0979	0769	0603	0471	0368	0287	0224	0174
10	1183	0952	0764	0611	0489	0390	0311	0248
20	2094	1813	1566	1349	1161	0997	0856	0733
30	2871	2592	2335	2101	1886	1692	1515	1356
40	3549	3297	3058	2832	2620	2421	2235	2061
50	4148	3935	3728	3529	3338	3154	2978	2810
60	4682	4512	4345	4183	4024	3868	3717	3570
70	5159	5034	4911	4789	4669	4550	4433	4317
80	5587	5507	5427	5347	5268	5189	5111	5033
90	5973	5934	5896	5857	5819	5780	5742	5704
1,00	6321	6321	6321	6321	6321	6321	6321	6321
1,50	7632	7769	7903	8034	8162	8287	8407	8524
2,00	8453	8647	8828	8995	9148	9286	9409	9518
3,0	9320	9502	9649	9762	9846	9905	9945	9970
4,0	9693	9817	9899	9949	9977	9991	9997	9999
5,0	9858	9933	9972	9990	9997	9999	1,0000	1,0000
У	6							
	1,7	1,8	1,9	2.0	2,2	2,4	2,6	2,8
0,02	0013	0009	0006	0004	0002	0001	0000	0000
04	0042	0030	0022	0016	0008	0004	0002	0001
06	0083	0063	0048	0036	0020	0012	0007	0004
08	0136	0106	0082	0064	0039	0023	0014	0008
10	0198	0157	0125	0100	0063	0040	0025	0016
12	0268	0218	0176	0143	0094	0061	0040	0026
14	0347	0286	0236	0194	0131	0089	0060	0041
16	0434	0363	0303	0253	0176	0122	0085	0059
18	0528	0446	0377	0319	0227	0162	0115	0082
20	0628	0537	0459	0392	0286	0208	0151	ОНО
22	0734	0634	0548	0472	0351	0261	0193	0143
24	0846	0738	0643	0560	0424	0320	0242	0182
104
Продолжение табл. IV
У	6							
	1,7	1,8	1,9	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8
26	0963	0847	0744	0654	0503	0387	0297	0227
28	1085	0962	0852	0754	0590	0460	0359	0279
30	1212	1082	0965	0861	0683	0541	0428	0338
32	1342	1207	1084	0973	0783	0629	0504	0403
34	1477	1336	1208	1092	0890	0723	0587	0476
36	1615	1470	1337	1216	1003	0825	0678	0556
38	1755	1607	1471	1345	1122	0934	0776	0644
40	1899	1748	1608	1479	1247	1050	0882	0740
0,42	2045	1893	1750	1617	1378	1172	0995	0844
44	2194	2040	1895	1760	1515	1301	1116	0955
46	2344	2190	2044	1907	1657	1437	1244	1075
48	2496	2342	2196	2058	1804	1578	1379	1202
50	2649	2496	2350	2212	1956	1726	1521	1338
52	2804	2652	2507	2369	2112	1879	1669	1481
54	2959	2810	2667	2529	2272	2033	1825	1632
56	3115	2968	2827	2692	2437	2202	1986	1790
58	3271	3128	2990	2857	2604	2370	2154	1955
60	3427	3288	3154	3023	2775	2543	2328	2128
70	4204	4092	3982	3874	3664	3461	3267	3081
80	4956	4879	4803	4727	4578	4431	4287	4145
90	5666	5627	5589	5551	5476	5400	5325	5250
1,00	6321	6321	6321	6321	6321	6321	6321	6321
1,10	6915	6949	6984	7018	7087	7155	7223	7291
1,20	7442	7505	7568	7631	7754	7875	7994	8110
1,30	7903	7988	8072	8155	8315	8470	8617	8757
1,40	8300	8400	8497	8591	8771	8938	9091	9231
1,50	8636	8744	8847	8946	9128	9291	9433	9555
1,55	8783	8893	8997	9095	9274	9429	9561	9670
1,60	8918	9027	9131	9227	9399	9545	9664	9760
1,65	9039	9148	9249	9343	9507	9641	9747	9828
1,70	9150	9257	9355		9598	9719	9812	9879
1,75	9249	9353	9447	9532	9675	9783	9862	9917
1,80	9339	9439	9529	9608	9739	9834	9900	9944
1,85	9419	9515	9600	9674	9792	9874	9929	9963
1,90	9491	9582	9661	9729	9835	9906	9950	9976
1,95	9555	9641	9715	9777	9870	9930	9966	9985
2,00	9612	9693	9761	9817	9899	9949	9977	9991
2,05	9662	9738	9800	9850	9922	9963	9984	9994
2,10	9707	9777	9833	9878	9940	9974	9990	9997
2,15	9746	9811	9862	9902	9954	9981	9993	9998
2,20	9781	9840	9886	9921	9965	9987	9996	9999
2,25	9811	9865	9906	9937	9974	9991	9997	9999
2,30	9838	9886	9923	9950	9981	9994	9998	1,0000
2,35	9861	9905	9937	9960	9986	9996	9999	1,0000
2,40	9881	9921	9949	9968	9990	9997	9999	1,0000
2,45	9898	9934	9959	9975	9992	9998	1,0000	1,0000
2,50	9913	9945	9967	9981	9995	9999	1,0000	1,0000
105
Продолжение табл, ГУ
У	б				У	<5			
	3,0	3,5	4,0	5,0		3,0	3,5	4,0	5,0
0,05	0001	0000	0000	0000	92	5410	5262	5115	4827
10	0010	0003	0001	0000	94	5642	5530	5419	5200
12	0017	0006	0002	0000	96	5872	5797	5723	5575
14	0027	0010	0004	0001	98	6098	6061	6024	5950
16	1	0016	0007	0001	1,00	6321	6321	6321	6321
18	0058	0025	0010	0002	1,02	6540	6576	6612	6685
20	0080	0036	0016	0003	1,04	6753	6825	6896	7038
22	0106	0050	0023	0005	1,06	6961	7066	7170	7377
24	0137	0067	0033	0008	1,08	7163	7299	7435	7699
26	0174	0089	0046	0012	1,10	7358	7524	7687	8002
28	0217	0115	0061	0017					
30	0266	0147	0081	0024	1,12	7546	7739	7927	8284
					1,14	7727	7944	8153	8542
32	0322	0184	0104	0033	1,16	7901	8138	8365	8776
34	0385	0227	0133	0045	1,18	8066	8322	8561	8985
36	0456	0276	0167	0060	1,20	8224	8494	8743	9170
38	0534	0333	0206	0079	1,22	8373	8654	8909	9330
40	0620	0397	0253	0102	1,24	8514	8803	9060	9467
42	0714	0469	0306	0130	1,26	8647	8941	9196	9582
44	0817	0549	0368	0164	1,28	8772	9068	9317	9678
46	0927	0639	0438	0204	1,30	8889	. 9183	9425	9756
48	1047	0738	0517	0252					
50	1175	0846	0606	0308	1,32	8997	9288	9520	9818
					1,34	\	9383	9602	9867
52	1312	0964	0705	0373	1,36	9192	9468	9673	9905
54	1457	1093	0815	0449	1,38	9278	9544	9734	9933
56	1611	1231	0937	0536	1,40	9357	9611	9785	9954
58	1773	1381	1070	0635	1,42	9429	9670	9829	9969
60	1943	1541	1216	0748	1,44	9495	9722	9864	9980
62	2121	1711	1374	0875	1,46	9555	9767	9894	9987
64	2306	1892	1545	1018	1,48	9609	9806	9918	9992
66	2499	2083	1 28	1177	1,50	9658	9840	9937	9995
68	2698	2284	92	1353					
70	2904	2495	2135	1547	1,6	9834	9944	9986	1,0000
					1,7	9926	9983	9998	1,0000
72	3115	2715	2357	1759	1,8	9971	9996	1,0000	1,0000
74	3332	2943	2591	1990	1,9	9990	9999	1,0000	1,0000
76	3553	3180	2837	2240	2,0	9997	1,0000	1,0000	1,0000
78 80	3778 4007	3424 3674	3094 3361	2508 2794	2,1	9999	1,0000	1,0000	1,0000
									
82 84	4238 4472	3930 4191	3637 2	3098 3418	Пример По данным примера 4 (с. 39) имеем 5=3.0: b»0.893: 2=35.03.				
86 88	4706 4941	4456 4723	4213 4510	3753 4101	Найдем F (х) для х= 10:				
90	5176	4992	4811	4459				/0,893 10	
					Л(х)=К		(у)=^1		I3S
								\ 35,03 ,	
=Fy (0,25)=0,015.
106
Таблица V
Вероятности Р (А) распределения Колмогорова
А	Р(Л)	А	Р(Л)	Л	Р(А)
0,30	1,0000	0,70	0,7112	1,20	0,1122
0,35	0,9997	0,75	0,6272	1,30	0,0681
0,40	0,9972	0,80	0,5441	1,40	0,0397
0,45	0,9874	0,85	0,4653	1,50	0,0222
0,50	0,9639	0,90	0,3927	1,60	0,0120
0,55	0,9228	0,95	0,3275	1,70	0,0062
0,60	0,8643	1,00	0,2700	1,80	0,0032
0,65	0,7920	1,10	0,1777	1,90	0,0015
ЛИТЕРАТУРА
2.	Барыщев Н. В. Контроль опробования. — М.—Л.: Госгеолиздат, 1948.
\\ 3. Веников В. А. О моделировании. — М.: Знание, 1974.
4.	Bent цель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Физматгиз, 1962.
5.	Генёзис эндогенных рудных месторождений/ Под ред. В. И. Смирно-
ва. > Му Недра, 1968.
б.	Геохимические методы поисков рудных месторождений. Сб. статей под
ред. В. 41. Смирнова. — М.: ИЛ, 1954.
7.	Г лаг о л ев А. А. О геометрических методах количественного минералоги-
ческого анализа горных пород. — М.—Л.: ОНТИ, 1933.
8.	Глаголев А. А. Геометрические методы количественного анализа аг-
регатов под микроскопом. — Львов: Госгеолиздат, 1941.
9.	Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.:
Высшая школа, 1977.
10.	Иванов М. П., Петров В. А. Ураганные пробы и последствия их
ограничения. — М • ВИЭМС, 1980.
11.	Каждая А. Б. Разведка месторождений полезных ископаемых. — М.:
Недра, 1977.
12.	Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. — М.: Наука,
1972.
13.	Коган И. Д. Подсчет запасов и геолого-промышленная оценка рудных
месторождений. — М.: Недра, 1974.
14.	Красу л ин В. С. Справочник техника-геолога. — М.: Недра, 1974.
15.	Крейтер В. М. Основные принципы классификации и подсчета запасов
полезных ископаемых. — М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1937.
16.	Крейтер В. М. Поиски и разведка месторождений полезных ископаемых.
Ч. 2. — М.: Недра, 1961.
17.	Матерой Ж. Основы прикладной геостатики. — М.: Мир, 1968.
18.	Милютин А. Г. Геология и разведка месторождений полезных ископа-
емых. — М.: Недра, 1989.
19.	Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов
измерений. —- Л.: Энергоатомиздат, 1991.
20.	О теории вероятностей и математической статистике (Переписка
А. А. Маркова и А. А; Чупрова.) — М.: Наука, 1977.
21.	Пащенков В. 3. Поправочные коэффициенты к результатам буровой
разведки россыпных месторождений. Сб. трудов № 25. — М.: МГИ, 1959.
22.	Пащенков В. 3. Исследование случайной и закономерной составляющих
природной изменчивости. Тезисы докладов к Всесоюзному научно-техническому
семинару. — М.: Цветметинформация, 1978.
23.	Пащенков В. 3. и др. Способ определения зон влияния проб. Авт. свид*
№ 694824, 1979.
108
24.	Пащенков В. 3. Закономерность распространения полезных компонен-
тов в рудных залежах. — М.: Высшая школа, 1985.
25.	Пащенков В. 3. Теория подобия в приложении к рациональному исполь-
зованию недр. Сб. докладов VII Международного конгресса по маркшейдерскому
делу. Л., 1988.
26.	Пащенков В. 3. Теория подобия в приложении к рациональному исполь-
зованию недр. Сб. научных трудов ВЗПИ. М., 1991.
27.	Пугачев В. С. Теория случайных функций. — М.: Физматтиз, 1962.
28.	Рудные месторождения СССР. Т. 1—3. — М.: Недра, 1978.
29.	Рыжов П. А. Геометрия недр. — М.—Л.: Углетехиздат, 1952.
30.	Салтыков С. А. Стереометрическая металлография. — М.: Металлур-
гия, 1970.
31.	Сборник руководящих материалов по геолого-экономической оценке ме-
сторождений полезных ископаемых. Т. 1. — М.: ГКЗ СССР, 1985.
32.	Смирнов В. И. Подсчет запасов минерального сырья. — М.: Госгеолиз-
дат, 1950.
33.	Смирнов В. И. Геология полезных ископаемых. — М.: Недра, 1976.
34.	Теоретические основы поисков разведки твердых полезных ископаемых
/Под ред. В. М. Крейтера. — М.: Недра, 1968.
35.	Уиттен В. X. Т. Задачи математической геологии. Сб. докладов 27-го
Международного геологического конгресса. М., 1984.
36.	Численные методы. — М.: Высшая школа, 1976.
37.	Шарапов И. П. Применение математической статистики в геоло-
гии. — М.: Недра, 1971.
38.	Юл Д., Кендалл М. Теория статистики. — М.: Наука, 1960.
ПРИМЕРЫ, РАССМОТРЕННЫЕ В ПОСОБИИ
Пример 1. Вероятность попадания точки на отрезок................ 12
Пример 2. Вероятность попадания точки на плоскую фигуру......... 12
Пример 3. Вычисление числовых характеристик, построение гисто-
граммы и проверка гипотезы нормальности эмпирического
распределения...................................... 35
Пример 4. Проверка гипотезы о соответствии эмпирического распре-
деления теоретическому распределению Вейбулла ....	38
Пример 5. Вычисление коэффициента корреляции................. 39
Пример 6. Установление статистической линейной связи (уравнения
регрессии)................................................ 41
Пример 7. Вычисление корреляционного отношения и установление
нелинейной статистической связи........................... 48
Пример 8. Вычисление числовых характеристик случайной функции
по одной реализации....................................... 50
Пример 9. Определение зон влияния проб....................... 58
Пример 10. Определение плотности разведочной сети............ 72
Пример 11. Определение количества проб при опробовании штрека . . 73
Пример 12. Определение количества проб при точечном опробовании
заооя..................................................... 74
Пример 13.	Определение положения промышленного контура...... 77
Пример 14. Оконтуривание запасов и вычисление средних содержаний
с оценкой точности........................................ 88
Пример 15.	Вероятностное сглаживание......................... 96
Пример 16.	Геометризация с применением вероятностного	сглажива-
ния 	   97
СОДЕРЖАНИЕ
13
15
17
19
Предисловие....................................................... 3
Раздел первый. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	6
Случайные события и величины................................. б
Распределение вероятностей случайной величины......
Числовые характеристики случайной величины.........
Геометрические вероятности.........................
Закон распределения функций одной случайной величины . .
Случайные функции и их основные характеристики.....
Стационарные случайные функции.....................
Необходимые сведения из теории подобия и моделирования
Раздел второй, ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДО-
ВАНИЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ............................................ 23
Общие положения............................................ 23
Выбор числа интервалов группирования опытных данных......	23
Эмпирическое распределение случайной величины.............. 26
Сравнение эмпирического и теоретического распределений...	29
Статистические оценки числовых характеристик............... 30
Необходимые сведения о качественных и количественных характери-
стиках месторождений полезных ископаемых................... 32
Примеры статистической обработки геологических данных....	35
Исследование природной изменчивости размещения полезного ком-
понента в рудных залежах................................... 43
Раздел третий. ОБОСНОВАНИЕ ПЛОТНОСТИ РАЗВЕДОЧНОЙ СЕ-
ТИ, ОКОНТУРИВАНИЯ И ОЦЕНКИ СРЕДНЕГО
СОДЕРЖАНИЯ ЗАПАСОВ.............................................. 53
О размещении полезных компонентов в рудных залежах......... 53
Определение зон влияния проб............................... 57
Закономерность распространения полезных компонентов в рудных
залежах . . ............................................... 64
Обоснование рациональной плотности разведочной сети........ 66
Оконтуривание рудных тел................................... 74
Обоснование вероятностной оценки среднего содержания балансо-
вых запасов................................................ 78
Оценка достоверности геолого-разведочной информации........ 84
Вероятностное сглаживание при геометризации и прогнозировании 94
Приложение....................................................... 100
Литература....................................................... 108
Примеры рассмотренные в пособии.................................. ПО
111
Учебное издание
У
MATEMAT ЧЕТКИЕ ОСНОВЫ РАЗВЕДКИ НЕДР
Редактор Л, М. С, дский Художественный редактор Е. Д. Косырева.
Технический редактор JI. А. Овчинникова. Оператор С. Р. Луковенкова.
ИБ № 10276
ЛР № 010146 от 2542.91. Изд. № ФМ — 149. Сдано в набор 23.11.94. Подл,
в печать 10.01.95. Формат бОхвв1/^. Бум. тип. № 2. Гарнитура Таймс. Печать
офсетная. Объем 6,86 усл. печ. л., 7,11 усл. кр.-отг., 6^30 уч.-изд. л. Тираж 1000 экз.
Заказ № 353.
Издательство «Высшая школа». 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Набрано на персональном компьютере издательства.
Отпечатано в АООТ «Оригинал», 101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.
Математические
ОСНОВЫ
РАЗВЕДКИ НЕДР