В. В. БАТЫГИН, И. Н. ТОПТЫГИН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
И СПЕЦИАЛЬНОЙ
ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Издание четвертое,
переработанное
Я.
ШИТ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • МОСКВА • КРАСНОДАР
2010

ББК22.31я73
Б 28
Батыгин В. В., Топтыгин И. Н.
Б 28 Сборник задач по электродинамике и специальной теории
относительности: Учебное пособие. 4-е изд., перераб. — СПб.:
Издательство «Лань», 2010. — 480с: ил. — (Учебники для
вузов. Специальная литература).
ISBN 978-5-8114-0921-1
Книга представляет собой четвертое переработанное издание сборника
задач по электродинамике. Она предназначена для подготовки специалистов
по экономике высоких технологий. В сборник включен материал разной
степени сложности, рассчитанный на подготовку бакалавров 3-4 годов
обучения, специалистов, магистров и частично аспирантов. Всего в настоящем
пособии содержится более 800 задач и примеров. Основной материал требует
использования высшей и вычислительной математики и классической
механики в объеме стандартного университетского курса высшей физики.
Книга рассчитана на подготовку студентов по физическим и техническим
специальностям. Она может быть полезна также научным работникам,
инженерам-исследователям и преподавателям различных физических дисциплин.
ББК22.31я73
Обложка
А. Ю. ЛАПШИН
Охраняется законом РФ об авторском © Издательство «Лань», 2010
праве. Воспроизведение всей книги или © В. В. Батыгин,
любой ее части запрещается без пись- И. Н. Топтыгин, 2010
менного разрешения издателя. Любые © Издательство «Лань»,
попытки нарушения закона будут пре- художественное оформление, 2010
следоваться в судебном порядке.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое русское издание «Сборника задач по электродинамике» вышло в свет
в 1962 г. Второе издание (Физматгиз, 1970) было дополнено некоторыми
актуальными разделами, в нем были исправлены замеченные ошибки и опечатки. Третье
издание (РХД-ИКИ, 2002) отличалось от второго только исправлением еще
некоторого числа опечаток. Позитивная оценка учебного пособия преподавателями,
студентами и научными работниками, а также перевод книги на несколько
иностранных языков наводят на мысль, что принятый в книге стиль подачи материала
оказался удачным. Главной его особенностью является сочетание основных кратко
изложенных теоретических сведений с большим числом примеров, задач и
упражнений, подчас выходящих за рамки чисто иллюстративного материала. Проработка
такой книги позволяет пользователю закрепить понимание общих законов
электромагнетизма, научиться применять их к решению практически важных конкретных
задач.
Все эти обстоятельства побудили авторов продолжить создание учебных
пособий такого же стиля. Результатом этих усилий явилось написание и издание
двухтомной «Современной электродинамики» (часть 1 — микроскопическая
теория, РХД-ИКИ, первое издание — 2003, второе исправленное издание — 2005;
часть 2 — теория электромагнитных явлений в веществе, РХД-ИКИ, 2005). К
сожалению, большая часть этой работы была выполнена уже после кончины в 1998 г.
В.В.Батыгина. Названные книги построены на сочетании стилей краткого
учебника и сборника задач с ответами и частично с решениями. Все основные
теоретические сведения по электромагнетизму, входящие в университетские программы,
пользователь сможет найти в этих книгах. Кроме того, они содержат в общей
сложности около 1600 задач и примеров по электродинамике и ее важнейшим
приложениям в других естественных науках и технике. Эти книги могут служить
для углубленной и расширенной проработки курса электродинамики, а также в
качестве справочных материалов для преподавателей и специалистов
соответствующих профилей.
Издание этих книг не исключает потребности в более компактном учебном
пособии, полезном при проработке стандартного университетского курса
электродинамики, например в объеме учебника Бредова и др. «Классическая
электродинамика» (Физматгиз, 1985; Лань, 2003). По инициативе издательства «Лань» автор
подготовил такое пособие, которое следует рассматривать как четвертое суще-

4
Сборник задач по электродинамике
ственно переработанное издание «Сборника задач по электродинамике». Основные
изменения, внесенные при переработке и отличающие его от предыдущих изданий,
состоят в следующем.
1. Электродинамика рассматривается как последовательно релятивистская
наука, поэтому акцент на релятивистскую основу усилен и специальная теория
относительности изложена сразу после главы 2, в которой суммированы основные
понятия электродинамики. В этом же направлении уточнено и название сборника.
2. Ввиду ограниченности классической электродинамики при описании
микроструктуры вещества и многих других явлений в сборник включены элементы
квантовой электродинамики (глава 6).
3. Реальные, т. е. не слишком схематизированные, физические явления для
достаточно полного их анализа, как правило, требуют сведений из разных разделов
физики, поэтому авторы в задачнике по электродинамике в необходимых случаях,
кроме квантовых представлений, не избегали использования законов и наиболее
распространенных методов термодинамики, физической кинетики и
статистической физики. В большинстве случаев необходимые сведения не выходят за рамки
университетского курса общей физики для физических и физико-технических
факультетов и должны быть известны уже студентам третьего года обучения.
4. Узловые (по физической значимости либо по методам решения) задачи
названы примерами и даны с подробными решениями. Их рекомендуется проработать
всем учащимся. К остальным задачам даны ответы (если они не содержатся в
формулировке условия) и в некоторых случаях решения. Наиболее важные (в
идейном или методическом отношении) задачи отмечены черным кружком. Задачи
повышенной трудности отмечены звездочкой. Таким образом, в сборник включен
материал разной степени сложности, рассчитанный на подготовку бакалавров 3-
4-го годов обучения, магистров и отчасти аспирантов (впрочем, для аспирантов
больше подходит «Современная электродинамика»). Включенный в сборник
материал используется в различных курсах, которые читаются на четырех физических
факультетах Санкт-Петербургского государственного политехнического
университета.
Авторы хотели бы подчеркнуть, что основная часть задач и теоретического
материала должна быть вполне доступна большинству успевающих студентов-
физиков 3-4-го годов обучения. Неспособность решить такие задачи
свидетельствовала бы о том, что современные учащиеся подготовлены хуже, чем их
предшественники в Советском Союзе второй половины прошлого века. Такую
возможность нельзя исключить заранее ввиду бездумного и бездарного многолетнего
реформирования системы российского образования по классическому рецепту
«хотели как лучше, а получилось — хуже некуда».
Авторы надеются, что сознательные студенты, которые заинтересованы не
только в получении документа о высшем образовании, но и стремятся глубоко
овладеть основами физической науки, смогут самостоятельно пополнить свои знания
и практические навыки решения серьезных задач с помощью данного пособия и
других книг, указанных в списке рекомендуемой литературы. С этой целью в
список включены не только учебники по электродинамике общего типа, изданные на
русском языке, но также монографии по более узким вопросам и обзоры, в редких

Предисловие
5
случаях — оригинальные статьи, получившие (по неформальной оценке научного
сообщества) статус «научной классики».
Всего в настоящем сборнике содержится более 800 задач и примеров.
Книга рассчитана на подготовку специалистов по физическим и техническим
специальностям. Она может быть полезна также научным работникам, инженерам-
исследователям и преподавателям различных физических дисциплин. Авторы
признательны всем своим коллегам и пользователям сборника за замечания, которые
они старались учесть в работе над новым изданием.
2009
И. Н. Топтыгин

Глава 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§1.1. ВЕКТОРНАЯ И ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Выберем в трехмерном пространстве прямоугольную и прямолинейную (декар-
тову) систему координат т,\, хч, £з- Пространство будем считать евклидовым.
Это означает, что в нем выполняются аксиомы геометрии Евклида, известные из
школьного курса математики, и их следствия. В частности, квадрат расстояния
dl2 между двумя близкими точками задается выражением
/2 - лЛ
= dx\ + dx2 + dx%.
ал)
Рассмотрим наряду с исходной другие такие же системы координат, имеющие
общее начало, но повернутые относительно исходной (рис. 1.1).
Скаляром (инвариантом) называется
величина, которая не изменяет своего значения при
поворотах координатной системы, т. е. имеет одно и
то же значение в исходной и повернутой системах
координат:
S' = S = mv. (1.2)
Таким свойством, в частности, обладает dl2 = dl'2 =
= inv.
Вектор в трехмерном пространстве
характеризуется тремя компонентами Va (a = 1,2,3), которые
определены во всех системах координат и
преобразуются при поворотах по правилу
Va = UapVp
(1.3)
(сумма по повторяющемуся значку (3 от 1 до 3!). Здесь V@ — проекции вектора на
оси исходной, a V^ — на оси повернутой системы координат, а^р — коэффициенты
преобразования, представляющие собой косинусы углов между 0-и осью исходной
и а-й осью повернутой системы. Их можно записать как скалярные произведения
единичных векторов (ортов) координатных осей:
аар =е'а #е/з-
(1.4)

§1.1. Векторная и тензорная алгебра
7
Тензор второго ранга в трехмерном пространстве представляет собой девяти-
компонентную величину Тар (каждый из индексов принимает независимо по три
значения 1, 2, 3), определенную во всех системах координат и преобразующуюся
при поворотах координатной системы как произведения компонент двух векторов
AaV(3, т. е. следующим образом:
(1.5)
Аналогичным образом тензор 5-го ранга имеет s индексов и преобразуется как
произведение s компонент векторов:
Т0-к = аР» ' ' ' Uki/Тц...,,. (1.6)
Скаляр и вектор можно рассматривать как тензоры нулевого и первого рангов
соответственно.
Матрица поворота а обладает следующими свойствами:
а) ортогональность:
^ад^/З/г = 8 а 01 ^щь^аи = <W? (1-7)
где
дар = 1 при а = /?, 5ар = 0 при а^/3. (1.8)
Величина Sa@ называется символом Кронекера;
б) определитель матрицы поворота равен единице:
deta = \а\ = \а^\ = 1; (1.9)
в) произведение двух матриц поворота
с = ад, са(з = аосцЯцр (1.10)
описывает такое вращение координатной системы, которое представляет собой
результат двух последовательных поворотов сначала с матрицей д, а потом с
матрицей а;
г) обратная матрица а-1, осуществляющая преобразование
определяется соотношениями
а~ а = Ш~ = 1 или а«дам/з — а<*ца^ф — <W- (1.12)
Она получается из исходной транспонированием, т. е. заменой строк на столбцы
и наоборот:
а~ = а, а~р = аар = ара- (1.13)

8
Глава 1. Математические методы электродинамики
Векторы, преобразующиеся по правилу (1.3) при поворотах, могут двояко вести
себя при инверсии системы координат, т. е. при преобразовании вида
Х'а = "Жа, (1.14)
где матрица преобразования aap = —Sap. Те векторы, компоненты которых, как
и координаты ха, меняют знак при инверсии, называются полярными. Векторы,
компоненты которых при инверсии координат не меняют знака, называются
псевдовекторами, или аксиальными векторами (угловая скорость вращения,
векторное произведение двух полярных векторов А х В и др.) Это определение
распространяется и на тензоры произвольного ранга s: компоненты полярных (истинных)
тензоров при инверсии координат приобретают множитель ( — I)5, а компоненты
псевдотензоров — множитель (—1)5+1.
Тензор называется симметричным (антисимметричным) по паре индексов а
и /3, если его компоненты удовлетворяют условиям
QaPfj, = Q$OL[i (Qa/3/z = -Qflan)- (1.15)
В приложениях очень важны инвариантные единичные тензоры 5ар и еар\.
Первый из них является симметричным истинным тензором, и его компоненты
совпадают с символом Кронекера (1.8), а второй представляет собой
антисимметричный по любой паре индексов псевдотензор, у которого ei23 = 1. Все прочие
компоненты равны ±1 или 0. Оба тензора, преобразуясь по закону (1.6), имеют во
всех координатных системах одинаковые компоненты.
Сумма двух тензоров одинакового ранга образует третий тензор того же ранга,
компоненты которого
Qa(3=Tap + Pap. (1.16)
Из прямых произведений компонент двух тензоров (без суммирования)
составляется тензор, ранг которого равен сумме рангов тензоров-сомножителей, например
Qa0\=Ta/3VX, (1.17)
где Qapx — тензор третьего ранга.
Свертывание тензора — это образование нового тензора, компоненты которого
получаются путем отбора компонент с двумя одинаковыми значками и
последующего суммирования, например Qapp — Аа ~ вектор, Qapa — другой вектор.
В результате свертывания ранг тензора уменьшается на две единицы, в частности
S = Taa = mv (1.18)
— скаляр. Более сложный пример свертывания мы получим, образовав компоненты
векторного произведения С = А х В с помощью единичного антисимметричного
псевдотензора еащ/.
Здесь вектор Са представляет собой результат свертки тензора еа11У с
антисимметричным тензором второго ранга (А^В1У — AJ/Bfil)/2.

§1.1. Векторная и тензорная алгебра
9
При записи равенств между тензорами должно быть выполнено правило
одинаковой тензорной размерности: приравнивать можно только тензоры одинаковых
рангов. Это означает, что число свободных значков (по которым нет
суммирования) в правой и левой частях равенства должно быть одно и то же. Число пар
«немых» значков, по которым ведется суммирование, справа и слева может быть
произвольным.
Пример 1.1. Привести действительный (Sap = 5*^) симметричный (Sap =
= Spa) тензор второго ранга к диагональному виду, т. е. найти такую систему
осей, в которой отличны от нуля только диагональные компоненты тензора.
Решение. Составляем систему алгебраических уравнений
Sapnp = Sna, a = 1, 2, 3, (1.20)
определяющую собственные векторы па и главные значения S
рассматриваемого тензора. Собственные векторы будем нормировать на единицу: папа = 1.
Из уравнений (1.20) и свойств тензора Sap находим, что собственные значения
S — действительные скаляры: S = ri^Sapnp = 5*. Они вычисляются из условия
равенства нулю определителя системы (1.20):
\Saj3-S6aj3\=0. (1.21)
Это алгебраическое уравнение 3-й степени относительно 5, имеющее решением
три вещественных корня S^\ S&\ 5(3). В общем случае они различны, хотя
возможны и кратные корни S^ = S^ ф S^ либо S^ = S^ = S^. Здесь
индексы в скобках не являются тензорными значками!
В случае различных корней, подставляя по очереди в систему (1.20) найденные
значения 5, выражаем две проекции каждого из собственных векторов Па Ф
Ф па ф Па через третью, которая определяется условием нормировки. Все
собственные векторы действительны ввиду действительности коэффициентов
уравнения (1.20). Они взаимно перпендикулярны, что вытекает из той же системы
уравнений: (S^ — S(2))(n(1) -n(2)) = 0, и аналогично для двух других пар.
Принимая собственные векторы в качестве ортов координатной системы (они определяют
главные оси тензора), находим из (1.20) вид тензора в этих осях:
/ sw о о \
S' = [ 0 S<2> 0 . (1.22)
V о о s^ )
В случае двух кратных корней, S^ = S^2\ собственные векторы п^1) и п^2)
определяются неоднозначно — в плоскости, перпендикулярной п^3), можно выбрать
любую пару взаимно перпендикулярных направлений. Если все три корня
одинаковы, то любые три взаимно перпендикулярных направления можно принять за
главные оси. ■
Рекомендуемая литература: [Батыгин и Топтыгин (2003), Арфкен (1970)], [Бо-
рисенко и Тарапов (1966), Кочин (1951), Ли (1965), Мэтьюз и Уокер (1972)].

10
Глава 1. Математические методы электродинамики
Задачи
1.1. Доказать равенство (1.9). Чему будет равен определитель матрицы
преобразования, если поворот сопровождается инверсией координатных осей?
1.2. Доказать равенства 5'a(3 = Sap, e'a^v — еа^ при произвольном повороте
координатной системы.
1.3. Записать правило преобразования компонент псевдотензора 5-го ранга,
которое годилось бы не только при поворотах, но и при отражениях координатных
осей.
1.4. Представить произвольный тензор второго ранга Та@ в виде суммы
симметричного (Sa(3 = S(3a) и антисимметричного (Аа@ = — А@а) тензоров. Убедиться
в единственности такого представления.
1.5. Представить произвольный комплексный тензор второго ранга Та@ в виде
суммы эрмитова (5^ = 5^) и антиэрмитова (А^ = —Аа^) тензоров. Убедиться
в единственности такого представления. Показать, что главные значения эрмитова
тензора действительны, но его собственные векторы могут быть комплексными.
1.6. Показать, что
а) свертка симметричного и антисимметричного тензоров равна нулю: SapAap =
= 0;
б) свертка двух эрмитовых или двух антиэрмитовых тензоров второго ранга
представляет собой действительное число;
в) свертка эрмитова и антиэрмитова тензоров второго ранга представляет собой
чисто мнимое число.
1.7. Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариантное
относительно вращений, т. е. тензор, симметричный (антисимметричный) по паре индексов в
некоторой системе отсчета, остается симметричным (антисимметричным) по этим
индексам и во всех системах, повернутых относительно исходной.
1.8. Показать, пользуясь правилами (1.2) — (1.6), преобразования тензоров,
что
а) Аа — вектор (псевдовектор), если АаВа = inv и Ва — вектор
(псевдовектор);
б) Аа — вектор, если Аа = ТарВр в каждой координатной системе и Тар —
тензор второго ранга, а Вр — вектор;
в) Таа = inv, где Та0 — тензор второго ранга;
г) £а(3 — тензор второго ранга, если Аа и Ва — векторы и во всех координатных
системах Аа = еарВр. Что будет представлять собой £а/#> если Аа — вектор, а Ва —
псевдовектор? Аа и Ва — оба псевдовекторы?
д) Аар\Вар — вектор, если Аар\ и Ва@ — тензоры третьего и второго рангов
соответственно;
е) ТарРар — псевдоскаляр, если Та@ и Ра@ — соответственно тензор и
псевдотензор второго ранга.
1.9. Указать правило преобразования совокупности объемных интегралов
Та(3 = f xaxpdV при поворотах и отражениях (ха, х@ — декартовы координаты).
1.10. Показать, что компоненты антисимметричного тензора второго ранга
Аар = —Ара (полярного или аксиального) можно отождествить с компонентами
некоторого вектора Са (аксиального или полярного), так как они преобразуются

§ 1.1. Векторная и тензорная алгебра
11
одинаково при вращениях и отражениях. Са в этом случае называется вектором,
дуальным тензору Аар (и наоборот: антисимметричный тензор Аа@ дуален
вектору Са).
1.11. Доказать равенства:
а) [А х В]а = еа0хА(зВх,
Ъ) [А х В] • С = еархАаВрСх
Ai A2 А3
В\ В2 Вз
С\ С2 Сз
Как преобразуется векторное, двойное векторное и смешанное произведения при
поворотах и отражениях, если все три вектора полярные?
1.12. Показать, что если в некоторой системе координат соответствующие
компоненты двух векторов пропорциональны, то они пропорциональны и в любой
другой системе координат. Такие векторы называются параллельными.
1.13. Пусть площадь элементарного параллелограмма, построенного на малых
векторах dv и dr', изображается вектором dS, направленным по нормали к
плоскости параллелограмма и по абсолютной величине равным этой площади. Записать
dSa в тензорных обозначениях.
1.14. Записать в тензорных обозначениях объем dV элементарного
параллелепипеда, построенного на малых векторах dr, dr', dv". Как он преобразуется при
вращениях и отражениях?
1.15.
(А х В) • (С х D) - (А • С)(В ■ D) + (А • D)(B . С) = О,
(А х В) • (С х D) + (В х С) • (А х D) + (С х А) • (В х D) = О,
А х (В х С)+В х (С х А) + С х (А х В) = О,
(А х В) х (С х D) - (А • [В х D])C + (А • [В х C])D = О,
(А х В) х (С х D) - (А • [С х D])B + (В ■ [С х D])А = 0.
1.16. Два направления п и л' определяются в сферической системе координат
углами #, а и $', а'. Найти косинус угла в между ними.
1.17. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент
вектора Ах, Ау> Az рассматривать его циклические компоненты, определяемые
формулами A±i = т(Ах ±гАу)/л/2, А0 = Az. Выразить скалярное и векторное
произведения двух векторов через их циклические компоненты. Выразить также
циклические компоненты радиуса-вектора через шаровые функции1 Лежандра.
1.18. Записать матрицу р преобразования компонент вектора при повороте
декартовой системы координат вокруг оси Охз на угол а.
1.19. Составить матрицы преобразования базисных ортов: при переходе от
декартовых координат к сферическим и обратно; при переходе от декартовых
координат к цилиндрическим и обратно.
Определение шаровых функций приведено в разделе 1.3.

12
Глава 1. Математические методы электродинамики
1.20. Найти матрицу g преобразования компонент вектора при повороте
координатных осей, определяемом углами Эйлера ai, 0, «2 (рис. 1.2), путем
перемножения матриц, соответствующих поворотам вокруг оси Охз на угол аь вокруг
линии узлов ON на угол в и вокруг оси 0х'3 на угол а?2.
1.21. Найти матрицу D(ai0a2), с помощью
которой преобразуются циклические компоненты
вектора (см. задачу 1.17) при повороте координатной
системы. Поворот задан углами Эйлера ai, #, а^
(рис. 1.2).
1.22. Показать, что матрица бесконечно малого
поворота может быть записана в виде 2=1 + ?,
где ?— антисимметричная матрица (еа@ = —£/?<*)•
Выяснить геометрический смысл еар.
1.23. Можно ли путем поворота системы
координат в физическом трехмерном пространстве
привести к диагональному виду произвольный
действительный тензор второго ранга (Тар ф Тра)}
Эрмитов тензор второго ранга (Х^ = Tfi*)}
1.24. Записать действительный симметричный тензор второго ранга
Рис. 1.2
произвольной системе координат через его главные значения S^\ S^2\
Sai3 в
,W
орты Па главных осей.
1.25. С помощью характеристического уравнения (1.21) составить инварианты
относительно вращений из компонент произвольного тензора второго ранга Тар.
1.26. Использовав теорему о разложении определителя по элементам
некоторой строки или столбца, найти компоненты обратного тензора Т~}. Его
определение совпадает с определением (1.12) обратной матрицы. Указать условие
существования обратного тензора.
1.27. Доказать тождества:
*-'0(.fi^i*-'0(.VG
71/
$01/ $^v
3(3(7 З-уа
^а/З'у^^уа — OcxfjiO^i/d^Q- + д^г/д^д^^ * ^olg^0\j,^^v даудрцд^о VoniVfioQ^v
йаай/Зг/й'уц
иац
<W &
7M
^acr v{3a О^уа
С помощью третьего тождества доказать формулу векторной алгебры
А х [В х С] = В(А • С) - С(А • В).
1.28. Записать в инвариантной векторной форме.* а) еа0уеаакеу1уГ£еки)£АрА(7В1уГСи)
1.29. Доказать тождество
Та(3АаВ(з - ТарАрВа = 2С • (А х В),

§1.2. Векторный анализ
13
где Тар — произвольный тензор второго ранга, А и В — векторы, С — вектор,
дуальный антисимметричной части тензора Тар.
1.30. Представить произведение (А • (В х С)) (А' • (В7 х С')) в виде суммы
членов, содержащих только скалярные произведения векторов.
Указание. Применить теорему об умножении определителей или воспользоваться
псевдотензором еа^.
1.31. Показать, что единственным вектором, компоненты которого одинаковы
во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякий тензор второго
ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах координат,
пропорционален 5а(з', тензор третьего ранга — е^; тензор четвертого ранга — (6^6^ +
1.32. Пусть п — единичный вектор, все направления которого в
пространстве равновероятны. Найти средние значения его компонент и их произведений:
nQ, nanp, папрЩ, паП0П^пи, пользуясь трансформационными свойствами
искомых величин.
1.33. Найти усредненные по всем направлениям значения следующих
выражений: (а-п)2, (a-n)(b-n), (a-n)n, (axn)2, (axn)-(bxn), (a-n)(b-n)(c-n)(d-n),
если п — единичный вектор, все направления которого равновероятны, а, Ь, с, d
— постоянные векторы.
Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
1.34. Составить все возможные независимые инварианты из полярных
векторов п, п' и псевдовектора I.
1.35. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных
векторов п, п' и одного псевдовектора Z? Из трех полярных векторов ni, n2, п3?
§1.2. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Большинство дифференциальных операций векторного анализа можно
выразить через векторный дифференциальный оператор Гамильтона V (набла). Имеем,
в частности,
gmdS = VS, divA = V-A, rotA = VxA, Л = V2. (1.23)
Последний оператор носит имя Лапласа. В декартовых координатах оператор V
имеет вид
д д д д /1 о„Ч
V = ех— + еу— + е2— = еа-—. (1.24)
ох ду oz оха
В криволинейной системе координат вид оператора V усложняется, а орты еа, в
противоположность декартовой системе, зависят от координат.
В произвольной ортогональной системе координат qi, q<i, <7з квадрат элемента
длины выражается формулой
dl2 = h\ dq\ + h\ dql + h\ dqj, (1.25)
а элемент объема — формулой
dV = hih2h3 dq\dq2dqz, (1.26)

14
Глава 1. Математические методы электродинамики
где
^=№)2+Ф2+(ё)5
(1.27)
— функции координат (коэффициенты Ламэ). Различные дифференциальные
операции записываются так:
1 dS 1 dS l dS
gradS = т-^— ei + 7-^— e2 + 7-^—^3;
hi dqi h2 dq2 h3 dq3
(1.28)
div A =
1
hih2h3
— (h2h3Ai) + ^-(h1h3A2) + — (hih2A3)
dqi dq2 dq3
(1.29)
AS:
1
hih2h3
_d_ (h2h3 dS*
d (hxh3 dS\ d (hxh2 dS
dqi \ hi dqi) dq2 \ h2 dq2 J dq3 \ h3 dq3 J J
; (1.30)
rot A
1
+
+
h2h3
1
hih3
1
hih2
\^-(h3A3)-^-(h2A2)
ldq2K dq3
\^-(hiAi)-^-(h3A3)
[dq3 dqi
\^-(h2A2)-^-(hiAi)
[dqi dq2
ei +
e2 +
ез-
(1.31)
Здесь ei, e2, ез — ортогональный базис единичных ортов.
В цилиндрической системе координат г, a, z, в которой х = г cos а, у = г sin а,
z = zy будем иметь
grad S =
div A =
AS =
rot A =
+
dS_
dr
1 d
IdS
dS
or r ool oz
гаг г аа az
1 d ( dS\ 1 <92S d2S
r dr V dr J ' г2 9а2 022 '
1
r da dz
d
er +
dAr dAz
dz dr
ел +
(rA ) - ^
dr{rAa) da
e2.
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)

§1.2. Векторный анализ
15
В сферической системе координат, в которой х = г sin $ cos а, у = г sin # sin а,
2 = r cost?:
grad S =
div A =
dS IDS 1 dS
аг г av r sin 17 аа
1 д , 2 _ . 1
2я-(гЧ) +
a
is
Д5 = -5
г»П +
r sin 1? 9$
1 d
(Atfsintf) +
1 ЭАЛ
rot A =
+
r2 9r \ dr J r2 sin 1? d$
1 Г д , . . Q. &4*
_(4,em*)- —
r sin г
1
аА' ^м«)
r sin $ da r dr
sin г?
er +
1
е^ +
rsmfi da
dS\ 1 d2S
~d$) +r2sin2t?9a2;
9 ЭД.
При любых А и 5 имеют место тождества:
rot grad 5 = 0, div rot A = 0, div grad S = AS,
rot rot A = grad div A - Л A.
(1.36)
(1.37)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
Следующие основные интегральные теоремы позволяют преобразовывать
объемные, поверхностные и контурные интегралы друг в друга.
Теорема Остроградского-Гаусса:
f divAdV= I A-dS,
(1.41)
где V — некоторый объем, S — замкнутая поверхность, ограничивающая этот
объем.
Теорема Стокса:
rot A-rfS, (1.42)
/а.*-/
где I — замкнутый контур, S — произвольная поверхность, опирающаяся на этот
контур.
Рекомендуемая литература: [Батыгин и Топтыгин (2003), Кочин (1951), Арфкен
(1970), Мэтьюз и Уокер (1972), Борисенко и Тарапов (1966), Морс и Фешбах
(1958), Ли (1965)].
Задачи
1.36. Показать, что оператор Гамильтона (1.24) при повороте декартовой
системы координат преобразуется по правилу (1.3) преобразования вектора.
1.37. Воспользовавшись декартовыми, сферическими и цилиндрическими
координатами, вычислить grad(l-r), (l-V)r, где г — радиус-вектор, 1 — постоянный
вектор.
1.38» Показать, что
grad/(r) = f^

16
Глава 1. Математические методы электродинамики
1.39. Вычислить
1 (Р"г)
grad —д—, р = const.
1.40. Записать систему уравнений, определяющих векторные линии,
соответственно в цилиндрических и сферических координатах. Векторной линией
(устаревшее название — силовая линия) называется кривая, касательная к которой в
данной точке определяет направление вектора А(г) в этой точке.
1.41. Пользуясь сферическими координатами, построить семейство линий,
касательных к вектору
„ 3(p-r)r p
Е = v*\ ; - 4, Р = const.
1.42. Записать циклические компоненты градиента в сферических
координатах. Определение циклических компонент дано в условии задачи 1.17.
1.43» Показать, что divA и оператор Лапласа инвариантны относительно
поворотов декартовой системы координат, a rot А преобразуется как
антисимметричный тензор II ранга либо как дуальный ему вектор.
1.44. Вычислить div r, rot r, div[u; x r], rot [а; х г], где ш — постоянный вектор.
1.45» Вычислить
(ш х г)
Н = rot д—, m = const.
Построить векторные линии для вектора Н (дать рисунок).
1.46. Пользуясь правилами векторной алгебры и анализа и не переходя к
проекциям на оси координат, доказать важные тождества, которыми приходится
часто пользоваться в практических расчетах:
grad((/?V0 — Ф §rad Ф + Ф grad ip;
div((pA) = (р div A + A-grad^;
rot(cpA) = cp rot A - A x grad </?;
div(AxB) = B-rotA-A-rotB;
rot(AxB) = A divB-B div A + (B-V)A - (A-V)B;
grad(A-B) = A x rotB + B x rot A + (B-V)A + (A-V)B.
Здесь <p, ф — скалярные, а А, В — векторные функции координат.
1.47. Доказать тождества, в которых оператор набла действует на все
сомножители, стоящие правее него:
C-V (А-В) = A-(C.V)B + B-(C-V)A;
(OV)(A х В) = Ах (C-V)B - В х (C-V)A;
(V-A)B = (A-V)B + B(VA);
(A x B).(V x C) = B-(A-V)C - A-(B-V)C;
(A x V) x В = (A-V)B + A x (V x B) - A(V • B);
-(V x A) x В = -A(V ■ B) + (A-V)B + A x (V x В) + В x (V x A).
1.48. Вычислить grad<p(r); div </?(r)r; rot<p(r)r; (l-V)ip(r)r.

§1.2. Векторный анализ
17
1.49. Найти функцию <р(г), удовлетворяющую условию div <p(r)r = 0.
1.50. Найти дивергенции и вихри следующих векторов:
(а-г)Ь, (а-г)г, </?(0(а хг), г х (а х г),
где а и b — постоянные векторы.
1.51. Вычислить gradr-A(r), grad A(r) • B(r), div</?(r) A(r), rot<p(r) A(r),
(i-VMr)A(r).
1.52. Доказать, что
(A-V)A = -A x rot А при А2 = const.
1.53. Интеграл по объему Jy(grad <£• rot A)dV преобразовать в интеграл по
поверхности.
1.54. Выразить интегралы по замкнутой поверхности /5r(a-dS), fs(a.-r)dS,
где а — постоянный вектор, через объем, заключенный внутри поверхности.
Указание. Умножить каждый из интегралов на произвольный постоянный вектор
Ъ и применить теорему Остроградского-Гаусса.
1.55* Интегралы по замкнутой поверхности
Ф ntpdS, Ф (n x A)dS, Ф (n-b)AdS, Ф Ta0(r)n0dS
(Ъ — постоянный вектор, п — орт нормали) преобразовать в интегралы по объему,
заключенному внутри поверхности.
1.56. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущей
задаче, вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к
элементам поверхности погруженного в жидкость тела.
1.57* Доказать тождество
/ (A- rot rot В - В rot rot A)dV = Ф (В х rot A - А х rot B)-dS.
Jv Js
1.58. Внутри объема V вектор А удовлетворяет условию div A = 0, а на
границе объема (поверхность S) — условию Ап = 0. Доказать, что fv AdV = 0.
1.59* Доказать, что
Je f A(rf)dVf Л
divr / , ; ,. = 0,
Jv |r-r'|
где А(г) — вектор, определенный в предыдущей задаче.
1.60. Доказать тождества Грина:
/ ((рАф + VipVijj)dV = Ф (pV^-dS,
/ ((рАф - фА^У = Ф (уЧф - V>V<p)-dS,
где <р, ф — скалярные дифференцируемые функции.
1.61. Интеграл по замкнутому контуру §tudf преобразовать в интеграл по
поверхности, опирающейся на этот контур.

18
Глава 1. Математические методы электродинамики
1.62* Доказать интегральные тождества:
Ф <р dl = / (п х V ip)dS\
I(dlxA) = f((nx V) х A)dS;
idl-A = [(nxV)-AdS.
Здесь n — орт нормали к поверхности, <р, А — функции координат, / — замкнутый
контур, S — незамкнутая поверхность, ограниченная этим контуром. Приведенные
тождества можно рассматривать как частные случаи обобщенной теоремы Стокса
£(...)dl= /(nx V)(...)dS,
где символом (...) обозначен тензор произвольного ранга.
1.63. Показать, что если скалярная функция ф является решением уравнения
Гельмгольца А^ + к2ф = 0 и а — некоторый постоянный вектор, то векторные
функции L = grad^, М = rot(a/0), N = rotM удовлетворяют векторному
уравнению Гельмгольца ДА + к2А = О, к2 = const.
§1.3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Цилиндрические функции. Цилиндрические функции Z„(x) удовлетворяют
уравнению Бесселя
Z'l + -Z'v + (1 - -^ J Z„ = 0, i/ = const.
(1.43)
'-«-(Dt-rfeiGf-
Решение уравнения (1.43), которое ограничено при Rev ^ 0, х —» 0, называется
функцией Бесселя I рода. Ее можно представить в виде степенного ряда:
(-1)5 /*n2*
^ s!r(*/ + s + 1)
s=0 ч
Независимая переменная обозначена через z, поскольку ряд сходится при всех v и
во всей комплексной плоскости z с разрезом вдоль отрицательной части
действительной оси.
Вторым линейно независимым решением при v ф п = 0, ±1 • • • может служить
J-„(x). При г/ целом между двумя указанными решениями существует линейная
связь:
J_n(x) = (-l)nJn(x), (1.45)
поэтому в качестве второго решения выбирают функцию Бесселя II рода (она же
функция Неймана и функция Вебера)
Ju(z)cosvit- J-V(z) ^ 4^
SinZ/7T
для которой существует конечный предел при v —> п.

§1.3. Специальные функции математической физики
19
В качестве двух линейно независимых решений можно выбрать также функции
Бесселя III рода (их называют еще функциями Ханкеля):
H?\z) = Mz) + гВД, H?\z) = J„(z) - iYu{z). (1.47)
Все перечисленные функции являются решениями уравнения Бесселя.
Функции Yv, Ни ' ^ имеют особенности при z —► 0. Все решения удовлетворяют
рекуррентным соотношениям
9т/
Zv-!(z) + Zv+1(z) = —Z„{z), (1.48)
Zv.x{z) - Zv+X(z) = 2Z'v{z). (1.49)
Эти рекуррентные соотношения можно переписать в других формах:
Z„±i(z) = -Zv(z) т Z'v(z); Zl/Tl(z) = ±z^-f[z±l/Zl/(z)). (1.50)
z az
В частности,
Mz) = -J'0(z), ВД = -Y{(z). (1.51)
Функции Бесселя целого порядка имеют простое интегральное представление:
i />а+2тг (_j\m p<x+2ir
Jm(x) = ^~ exp(ix sirup — imip)dip = ——— / exp(ixcos(p — irrup)dip.
2тг Ja 27Г Ja
(1.52)
Асимптотические значения: при z —>• 0
J*('> и *т£й)' ^-1.-2-; (1-53)
Y0(z) « -*Я^1)(г)«|Я^)(г)«-1пг; (1.54)
7Г
ВД « _*я<1)(г)«|Я<2)(г)«-^(|)"", Re^>0; (1.55)
при \z\ —> oo и произвольных г/
(1.56)
вд * V^sin(z"T"i)' iar§zi<7r; (L57)
я'1^) « v^expKz~T~l)]' -7Г<аг§г<27г; d.58)
Я<2)(2) « ^exp [-» (z - Ц- - J)] , -27r<arg*<7r. (1.59)
Цилиндрические функции от чисто мнимого аргумента называются
модифицированными функциями Бесселя (а вторая из них — также функцией Макдо-
нальда). Они определяются соотношениями
Iv(z) = e-™l2Jv(iz), K„(z) = ^J^+WHPiiz) (1.60)

20
Глава 1. Математические методы электродинамики
либо
s=0 ч '
(^/2)2S ^ /^ « *-М - W
smz/7r
и удовлетворяют уравнению
И? + l-W'v - (1 + ^ ) Ж, = 0.
(1.61)
(1.62)
Эти функции принимают действительные значения при действительных v и
z > 0. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования получаются из
(1.48) - (1.50) и (1.60). В частности,
Асимптотика: при г —> 0
/ВД « -1пг, ^„(г)«|г(1/)(|)"'', Rei/>0;
ри |г| —> оо:
ад »
#„(*) «
1 .,
У ^ 7
л/2^
l/s-~-
|аг^2:| < тг/2;
|arpz| < 37г/2
(1.63)
(1.64)
(1.65)
(1.66)
(1.67)
Сферические функции Бесселя и Ханкеля нередко возникают при решении
физических задач в сферических координатах. Они имеют полуцелый порядок,
определяются равенствами
Мх) = ^Jl+i(x), Л|1,2) = У^Я^2)(Х), / = 0,1,2... (1.68)
и удовлетворяют уравнению
При малых х
3i(x)
При больших х
ji(x) « -cos
X
х —
// 2 /
zl + ~zl +
1 х L
1-3-•-(2/+ 1)
(/ + 1)тг
/(/ + 1)
zi = 0.
h(1'2) « т
-Z-l
, /if (я) « - exp <[ ± г
1-3-•-(2/-1)'
(г + 1)тт
(1.69)
(1.70)
(1.71)

§1.3. Специальные функции математической физики 21
Задачи
1.64. Вычислить неопределенные интегралы:/хиZ„-i(x)dx, Jx~uZy+i(x)dx.
оо оо оо
1.65. Вычислить определенные интегралы: jJ\(x)dx, JJ2(x)x~1dx,jJn(x)x~ndx.
оо о
оо оо
1.66. Доказать равенство интегралов:/ Jn(x)dx = J Jn+2&)dx, n = 0,1, —
о о
1.67. Получить интегральное представление
2 f cos их
7Г Jo V 1 — U2
Указание. Сделать подстановку и = sin (р.
1.68* Вычислить интегралы:
Г7' 1 ( \ a sinx Г7' 7 / ы 1-cosa:
/ Jo (x cos <р) cos ipdip = , / Ji(xcos(p)a(p = .
7o x Jo x
Указание. Можно воспользоваться разложением в степенные ряды.
1.69. Вывести формулы:
Jn{x) = (-1)**» (J^ (xfc-V„_fc(x)) = (-1)"*» (jj-)" Jo(x).
1.70. Вывести рекуррентные соотношения для модифицированных функций
Бесселя:
2v
I„-i(z) - I„+i(z) = —/„(*), h-x{z) + Iv+1(z) = 2I'u{z),
z
Kv.x(z) - Kv+1{z) = -—K„[z), K^z) + K„+1(z) =-2K'v{z).
Z
1.71* Показать, что
оо
Jo(|ri-r2|)= ^2 Jn(ri)Jn(r2)exp(in'd),
n= — oc
где $ — угол между векторами ri и r2.
1.72* 1. Записать уравнение, которому удовлетворяет функция и(х) = Jn(ax).
2. Вычислить интеграл (Ь ф а):
Г *ЛМЛ0>*>«* = <C№W-yCW), „.„,
7о о — а
3. Пусть а фЬ — корни уравнения Jn(x) = 0, т. е. Jn(a) = Jn(6) = 0. Показать,
что
/ xJn(ax)Jn(bx)dx = 0, / xJ%(ax)dx = -[J'n(o)\2 - (1.73)
Jo jo 2

22
Глава I. Математические методы электродинамики
Замечание. Первое равенство (1.73) выражает свойство, которое называется
ортогональностью функций Бесселя с весом х.
Сферические функции Лежандра. Сферическая функция порядка /, га,
зависящая от полярных углов $, а, определяется формулой
Ylm(0,a) = ^^±M l-^/Ucoe*)^, (1.74)
в которой I = 0,1,2 • • ♦, —l^m^l — целые числа. Через Pim обозначен
присоединенный полином Лежандра
(1.75)
который при га = О совпадает с обычным полиномом Лежандра: Рю(х) = Pi(x).
Присоединенные полиномы Лежандра удовлетворяют дифференциальному
уравнению
1[« - *')^] + ['«+ч - зтт]«-м - ° <'-7«
Некоторые полезные соотношения:
Ylm(0,0)
V^T*"10' У'т(г9,а) = (-^lYlm^ -*>* + «).
Л(1) = 1, р2га(о) = (-1Г (2п),/-\ P2„+i = o.
Сферические функции образуют на поверхности сферы полную ортонормиро-
ванную систему функций от #, а. Это означает, что
(1.77)
где d£l = smtfd'dda — элемент телесного угла, и что произвольная функция от #,
а с интегрируемым квадратом модуля может быть разложена в ряд
/(t?,a) = ^/zmyZm(i?,a), fim= fY^(^a)ma)dSl. (178)
Если r(r,#,a) и r'(r',d',a') — радиусы-векторы двух точек пространства,
причем г7 < г, то
11 1 ^ r'z
Д = ]Г^| = Vr»-2^cos7 + ^ = g ^P'(COS7)' (lJ9)
где COS7 = costfcostf' + sintfsintf'cos^ —a'). Функция 1/Д называется
производящей функцией для полиномов Лежандра. Имеет место также следующая теорема

§1.3. Специальные функции математической физики
23
сложения для сферических функций:
4 1
Л (сое 7) = 2^Y E «^ЖшО*'.*')- (1-80)
m= — l
Подстановка (1.80) в (1.79) приводит к разложению
иг-й =47ГЕ Е (2t+Viyb(^)yw4 (1.8D
Из формулы (1.79) следует (если положить г'/^ = е~\Щ разложение
„ V^Te-^/^Pticosrj). (1.82)
Vch^-cosr/ ^
Вывод многих приведенных выше формул с функциями Бесселя и Лежанд-
ра можно найти в [Арфкен (1970), Батыгин и Топтыгин (2003)] и более полное
изложение в [Никифоров и Уваров (1984)]. Метод теории представлений
группы вращения подробно описан в [Виленкин (1965), Гельфанд и др. (1958)]. См.
также [Абрамовиц и Стиган (1979), Градштейн и Рыжик (1971), Лебедев (1963),
Колоколов и др. (2000)].
Задачи
1.73. Показать, что при х = costf уравнение для полиномов Лежандра
принимает вид
1 d sinifi + J(J + l)fl = 0. (1.83)
sintfoW dd
1.74? Получить рекуррентные соотношения
(21 + 1)хЩх) = (l + l)Pi+1(x) + lPi-i(x), (1.84)
(21 + 1)Ъ(х) = Р[+1(х) - Р^х), (1.85)
где / = 1,2, Для этого можно применить формулу (1.75).
1.75. С помощью рекуррентных соотношений найти пять первых полиномов
Лежандра.
1.76. С помощью формулы (1.75) доказать ортогональность полиномов
Лежандра с разными / и вычислить нормировочный интеграл
J Pl(x)Pv(x)dx=1^-l5w. (1.86)
Указание. Выразить нормировочный интеграл через бета-функцию Эйлера.
1.77. С помощью производящей функции (1.79) для полиномов Лежандра
получить разложение
v-Ll*r*-!>+№#-

24
Глава 1. Математические методы электродинамики
1.78. Записать уравнение (1.76) для присоединенных полиномов Лежандра в
сферических координатах.
1.79. Показать, что сферическая функция Лежандра удовлетворяет уравнению
1 d sintf^ + ^^%+^ + l)*/m = 0. (1.87)
sin # дд дд sin2 д dip2
1.80? Пользуясь формулой (1.75), показать, что
РГЧх) = (-irf^'TW-
Указание. Применить к произведению (х - 1)1(х + I)1 формулу Лейбница для
производной произвольного порядка от произведения двух функций.
1.81. Записать в явном виде присоединенные полиномы Лежандра Р/т для
/ = 0,1,2,3.
Дельта-функция Дирака. К понятию дельта-функции мы приходим,
например, при попытке описать плотность заряда р(т) точечной частицы. Пусть частица
находится в начале координат и имеет заряд е. Тогда, очевидно, функция р(т)
должна обладать следующим свойством:
р(г)=0 при г^О. (1.88)
Но при г —> 0 плотность р(г) должна возрастать столь быстро, чтобы было
p{v)dV = e, (1.89)
/ -
т. е. чтобы интеграл, взятый по любому объему AVy включающему точку, где
находится частица, имел конечное значение, равное заряду е.
Записав р(г) = е<$(г), мы получим из (1.88) — (1.89) условия, определяющие
трехмерную дельта-функцию:
<J(r) = 0, r^O; <J(r)->oo, r^O; / 5(r)dV = 1. (1.90)
JAV
Аналогичными соотношениями определяется одномерная дельта-функция:
6(х) = 6(-х)\ ё(х) = 0, х^О; 5(ж)->оо, х -> 0; S(x)dx = I,
(1.91)
где А — отрезок оси х, включающий точку х = 0.
Дельта-функция относится к классу сингулярных обобщенных функций. Она
приобретает точный смысл под интегралом. Как следует из соотношений (1.91),
интеграл от произведения дельта-функции на произвольную непрерывную и
ограниченную функцию f(x) вычисляется следующим образом:
/ 6(х - a)f(x)dx = /(a), (1.92)

§1.3. Специальные функции математической физики
25
если промежуток (х\, хг) включает точку х = а. В противном случае интеграл
равен нулю. В более сложных случаях имеем
/
2 5(ax)f(x)dx = 7^/(0) 0.93)
XI |«
Jxi
6(g(x))f(x)dx = J2 й^Я*). (1-94)
И*
где oci — действительные корни уравнения д(х) = 0. Последнее свойство дельта-
функции можно записать в виде символического равенства
Если g'(a,i) = 0, т. е. а^ — кратный корень, то соотношения (1.94) и (1.95) теряют
смысл. Точно так же не имеет смысла произведение 5(x)f(x), если функция f(x)
обладает особенностью при х = 0.
Можно определить также производную от дельта-функции. Путем
интегрирования по частям получим
L
-mm^zAdx = Jm (196)
xi дх да
Аналогично определяются производные высших порядков:
f{x)5{n\x - a)dx = (-l)n/(n)(a). (1.97)
/
Функция S(x) может рассматриваться как производная от ступенчатой функции
Хевисайда 6(х). Это следует из очевидного соотношения
Л]
1, х > 0,
5(x)dx = в(х) = { 1/2, я = 0, (1.98)
0, х < 0,
где нижний предел интегрирования х\ — любое отрицательное число.
Дифференцируя это равенство по х, получаем
&(х) = 6(х). (1.99)
В равенстве (1.98) при совпадении предела интегрирования с точкой, в которой
аргумент дельта-функции обращается в нуль, мы взяли половину значения гладкой
функции f(x) = 1, т. е. воспользовались правилом интегрирования
/ f(x)6(x - a)dx = \f(a). (1.100)
Jxi 2
Это правило находится в согласии со свойством четности дельта-функции.

26
Глава 1. Математические методы электродинамики
Трехмерную дельта-функцию можно рассматривать как произведение трех
одномерных дельта-функций:
5(г - а) = 6(х - ax)5(y - ay)8(z - az).
(1.101)
Поэтому все рассмотренные выше свойства одномерных дельта-функций легко
обобщаются на трехмерный случай.
Наглядное представление о дельта-функции и ее
производных можно получить, рассматривая график
некоторой непрерывной функции 5е(х - а), такой,
что JA5e(x - a)dx = 1. Параметр е
характеризует ширину интервала, в котором рассматриваемая
функция отлична от нуля (рис. 1.3). Дельта-функция
и ее производные определяются как пределы
6(х—а) = lim 5е(х-а)
38(х — a) lt d5Jx — a)
—"— '-= lim "- -
ОХ е^О ОХ
Рис.
1.3
5(х)
и т. д.
Свойства дельта-функции приобретают многие
несингулярные функции, зависящие от параметра,
при определенных предельных значениях этого
параметра. Наиболее употребительны такие
представления дельта-функции:
= - lim
7г е^о ez + х/
= -— lim
2m e^o
1
1
х — ie x + ге
— lim
7Г /f-юо
sin Kx
5{х)
6(х)
5(х) = lim -
Из (1.103) получаются следующие представления:
— lim
7Г /С->оо
1
X
sin Kx
Kx2 ;
6(X)
2тг K^ooJ_K
eikxdk ■
- lim
7Г K^oc
f
Jo
cos kxdk.
(1.102)
(1.103)
(1.104)
(1.105)
(1.106)
Их можно рассматривать как разложение дельта-функции в интеграл Фурье (об
интегралах Фурье см. ниже). Иногда формулы (1.106) записывают, опуская знак
предельного перехода и интегрируя в бесконечных пределах.
При вычислении интегралов с дельта-функциями с помощью
представлений типа (1.102) — (1.106) нужно производить предельный переход после
интегрирования. Например, при использовании (1.103) имеем
J -а
S(x)f(x)dx = — lim
7Г AT—>ос
J-O.K KKJ у 7Г J_00 у
(1.107)

§1.3. Специальные функции математической физики
27
тогда как предел (1.103) сам по себе не существует.
В теоретической физике широко используются представления дельта-функции
через контурные интегралы в комплексной плоскости. Воспользуемся формулой
Коши:
-Lf№Ldz = f(a), (1.108)
27гг Jc z - a
где f(z) — функция, не имеющая особенностей внутри области, ограниченной
замкнутым контуром С, и на самом контуре в плоскости комплексного
переменного z, интегрирование по которому производится против часовой стрелки. Из
сравнения (1.108) с (1.92) следует, что величину
1 1
27гг z — a
можно рассматривать как представление S(z - а), если условиться производить
интегрирование по замкнутому контуру, окружающему точку z = а, такому, внутри
которого и на самом контуре другие особенности подынтегрального выражения
отсутствуют. В частности, контур С может представлять собой окружность малого
радиуса.
В приложениях нередко возникает интеграл по действительной оси вида
<■*> f(x)
/
J Хл
х — a
-dx, x\ < a < #2,
где f(x) не имеет особенностей на отрезке [xi, x2], а пределы х\, х2 могут быть
бесконечными. Такой интеграл при а действительном не имеет определенного
значения, так как подынтегральное выражение имеет полюс на контуре
интегрирования. При вычислении интеграла необходима дополнительная информация, которая
должна состоять в указании правила обхода особой точки. Правило обхода
устанавливается обычно на основе физических аргументов:
I mdx=r mdx+r mdx.
Это означает, что стоящий в левой части приведенного выше соотношения
интеграл, в котором интегрирование проводится по всему контуру, может быть
представлен (см. рис. 1.4) в виде суммы двух интегралов. В первом из них
интегрирование ведется либо по верхней, либо по нижней полуокружности малого радиуса
Сг, во втором — по всему остальному, идущему вдоль действительной оси участку
контура (эта часть контура обозначена символом CRe).
Интеграл по полуокружности радиуса е —> 0 дает половину вычета (со знаком
минус для верхнего контура на рис. 1.4, поскольку обход полюса — по часовой
стрелке):
/ ±№-dx=-iirf(a);
Jcr x~a
интеграл по действительной оси с исключенной особой точкой вычисляется в
смысле главного значения:
Г mdx=lim (г mdx + г mdx\ s v r mdx_
JXl x-a e-o [JXi x-a Ja+ex-a J J x - a

28
Глава 1. Математические методы электродинамики
При обходе полюса по нижней полуокружности меняется знак полувычета. В
итоге мы получаем следующие правила вычисления интеграла (формулы Сохоц-
кого):
—*— = =R7T<5(x - а) + V-1-. (1.109)
х — а х — а
Символ V обозначает главное значение (верхний знак — для верхнего контура,
нижний — для нижнего на рис. 1.4).
Вместо деформации контура интегрирования
можно сместить положение полюса на малое
расстояние от действительной оси. Это достигается путем
добавления к числу а малой мнимой части: a —>
— —»a=F^» е->0. При такой замене тождество (1.109)
примет следующую форму:
CRe
a
a
Спе
1 V
lim = =Fi7r<5(x - а) Л . (1.110)
c->o x — a ± te x — a
Рис. 1.4
Оба тождества, (1.109) и (1.110), носят
символический (операторный) характер и должны пониматься
в том смысле, что интегрирование правой и левой
частей с любой непрерывной функцией дает один и тот же результат.
Разделив в левой части равенства (1.110) действительную и мнимую части
комплексного выражения, получим для 6(х — а) представление (1.102) (с заменой
х —> х - а), а для главного значения
lim, Ж~° 0. (1.111)
х - а €->о [х — а)2 + б2 '
Другое представление главного значения, аналогичное представлению (1.102) для
дельта-функции, имеет вид
^ = lim 1~™Кх. (1.112)
X К->ос X
Строгая математическая теория обобщенных функций содержится в
[Владимиров (1976)], а прикладные аспекты описаны в [Зельдович и Мышкис (1972)]. См.
также [Колоколов и др. (2000)].
Задачи
1.82. Вычислить интегралы:
/!2(*2 - х - 5)<J(-3*)dx, f~*0(x + 3)6(x + b)dx, /Q5(x + 5)6(х + 5)сЬ,
J^ exp(ax)S(x2 + x - 2)dx, a = const.
1.83. Упростить выражения: (х - a)S(x - a), f(x)S(x - a), (3x3 - 7x)8(2x2 -
-6x-4).

§1.3. Специальные функции математической физики
29
1.84. Доказать, что представления (1.102), (1.104), (1.106) изображают дельта-
функцию. Для этого вычислить интегралы вида J^°oof(x)5(x)dx от непрерывной
функции f(x), подставляя вместо 5(х) правую часть соответствующего равенства,
и убедиться в том, что после перехода к пределу указанные интегралы дают /(0).
1.85. Записать трехмерные дельта-функции 5(г), 5(т - а) в цилиндрических
координатах, где а = (a±,ao,az) — постоянный вектор, заданный своими
цилиндрическими координатами.
1.86. Сделать то же самое в сферических координатах, а = (а, $0> ао).
1.87. Записать с помощью дельта-функции первую производную от разрывной
функции
{х3, если х < 1,
2, если х = 1,
х2 + 2, если х > 1.
1.88. Пусть функция f(x) имеет разрывы первого рода (конечные скачки) в
точках а*, г = 1,2, ♦• -п. Записать ее первую производную через дельта-функцию.
1.89. Найти правило вычисления интеграла от произведения f{x)xn5("7n\x), где
f(x) — функция, дифференцируемая (в классическом смысле) при х = 0, S^m\x) —
га-я производная от дельта-функции, п — целое положительное число.
1.90. Показать, что функция G(|r - г'|) = 1/|г - г'| удовлетворяет уравнению
Пуассона с дельтаобразной правой частью:
ДС(|г - г'|) = -4тг<5(г - г'). (1.113)
1.91. Пользуясь формулами (1.78), показать, что система сферических функций
Лежандра обладает свойством полноты:
оо /
1=0 m=-l
Преобразование Фурье. Мы будем записывать прямое и обратное
преобразование Фурье в несимметричной форме:
f(x) = Г F(X)eiXx ^, F(X) = Г f(x)e-iXxdx. (1.114)
Действительность интеграла Фурье обеспечивается соотношением
F(-A) = F*(A) (1.115)
при действительных А и f(x).
Разложение в интеграл Фурье легко обобщается на случай нескольких
измерений. Например, в трехмерном пространстве фурье-преобразование можно записать
в виде
/(г) = JF(k)efc-r-0p, F(k) = J f(r)e-ik-rdh. (1.116)
В обоих интегралах интегрирование производится по всему пространству.
Много интегральных преобразований собрано в справочниках [Бейтмен и Эр-
дейи (1969, 1970), Прудников и др. Интегралы и ряды].

30
Глава 1. Математические методы электродинамики
Задачи
1.92. Выразить фурье-образ производной f'(x) через фурье-образ F(X)
функции f(x). Предполагается, что интеграл f_oo \f(x)\dx сходится.
1.93. Сделать то же самое для функции f(ax)exp(ibx).
1.94. Вычислить фурье-образ функции f(x) = (1 + х2)-1.
Указание. Рассматривая х как комплексную переменную, замкнуть контур
интегрирования дугой бесконечного радиуса и применить теорему о вычетах.
1.95. Вычислить фурье-образ функции ехр(—а'2х2).
1.96. Вычислить трехмерный фурье-образ функции f(r) = ехр(—а2г2).
1.97. Вычислить трехмерный фурье-образ функции е~кг/г.
1.98? Вычислить трехмерный фурье-образ функции G(r) = r~l.
1.99* Произвести разложение плоской волны exp(i/cr cos 9) в ряд по
полиномам Лежандра P/(cos$). Вычислить коэффициенты разложения, воспользовавшись
ортогональностью полиномов Лежандра.
1.100. Пусть направления векторов к и г задаются в сферической системе
координат углами (9,ф) и #,<£ соответственно. Разложить плоскую волну exp(ik-r)
в ряд по сферическим функциям Лежандра.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи и теоремой сложения
для сферических функций.
1.101* Доказать тождество
1 Г00
Л * = / e-*W Mkr^dk,
где г± и z — цилиндрические координаты.
§1.4. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.1. Из равенства (1.7), которое является следствием определения (1.4),
вытекает \а\2 = 1 при любых углах поворота, т. е. \а\ = ±1. Но при повороте на нулевой
угол (тождественное преобразование) \а\ = 1. Поскольку элементы матрицы
поворота — непрерывные функции углов, то последнее значение сохраняется для всех
значений углов поворота. При инверсии осей \а\ = —1.
1.3.
Здесь \а\ — определитель матрицы преобразования. При инверсии трех осей
матрица преобразования аа@ = —5а@, поэтому \а\ = —1 и Р^...к = (—l)s+1^a/3--.« в
соответствии с определением псевдотензора 5-го ранга. Формула же (1.6)
правильно описывает преобразование полярного тензора при поворотах и отражениях, но
не описывает отражения псевдотензора (хотя его повороты эта формула описывает
правильно).
1.4. TQ/3 = (l/2)(Ta/3 + Tpa) + (l/2)(Ta/3 - 7>a).
1.5. Т^ = Т^ + Т^, Т^ = (1/2)(Та/3+Т^), Т^ = (1/2)(Та/3-Т^).
1.9. Та/3 образуют полярный тензор второго ранга.
1.10. Са = (l/2)eafoAfr, т. е. d = A2S = -А32, С2 = А31 = -А13, С3 =
= А12 = -А2Ъ

§1.4. Ответы и решения
31
1.11. [А х В] — псевдовектор или дуальный ему полярный антисимметричный
тензор второго ранга АрВ^ — А^Вр; [А х В] х С — полярный вектор, [Ах В]-С —
псевдоскаляр.
1.13. dSa = eap^dxpdx'^ = (l/2)ea)g7dS,)g7, где dS^ = dxpdx'^ — dx^dx'p —
проекция площади параллелограмма на координатную плоскость хрх^.
1.14. dV = [dr x dr'} • dr" = ea(3ydxadx'pdx". Элемент объема представляет
собой псевдоскаляр. При dr = eictei, dr' = в2^Х2, dr" = esdxs получаем обычное
выражение для элемента объема в декартовых координатах dV = dxidx^dx^.
1.16. cos в = cos # cos #' + sin $ sin #' cos(a — a').
a)
6)
/
exy
*3
^4 .
e< У г
/ e".
^^.
ег
x2
Рис. 1.5
U7.(AxB)o = i(A_iB+i-A+iB_i), (AxB)±1 = ±(A0B±1-A±1B0), А В
1.18.
cos a sin a 0
g = [ — sin a cos a 0
0 0 1
1.19. При переходе от декартовых ортов к сферическим (см. рис. 1.5а) имеем
ем = ам£е/з> гДе е(3 (Р = 1,2,3) — декартовы орты, ем (ц = r,#,a) — сферические
орты.
sin $ cos a sin # sin a cos #
a = | cos $ sin a cos # cos a — sin $
sin a cos a 0
?-i
sin $ cos a cos $ cos a - sin a
sin $ sin a cos # sin a cos a
cos # — sin $ 0

32
Глава 1. Математические методы электродинамики
При переходе от декартовых ортов к цилиндрическим ортам ег, еа, е2 (см. рис. 1.56)
имеем
cos а
— sin а
0
sin а
cos а
0
0
0
1
cos а
sin а
0
— sin а
cos а
0
0
0
1
а =
1.20. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, получим
g(ai0a2) = g(<X2)g(0)d(ai) =
cosai cosa2—cos^sinai sina2; sinai cos #2+cos # cos a i sina^; sintfsina^;'
-cosai sin a2 — cos в sin a\ cosa?2; —sinai sina2+cos#cosai cosa?2; sintfcosa^;
sin ai sin 6\ —sin в cos oc\; cos в
1.21.
D{alea2) =
(l/2)(l + cos(9)el{"1+"2); -(i/\/2)sin<9e*"2; —(1/2)(1 - cos(9)e'(a2-ai);
-(i/уД) sin 0eiQtl; cos (9; -(*/V^2) sin 0e"iai;
-(1/2)(1-со80)е*(а1-а2>; -(i/>/2)sin(9e-^2; (1/2)(1 + cos(9)e-^ai+a2)
1.22. Вектор с компонентами 8<pa = (l/2)ea/#7£#7 представляет собой вектор
бесконечно малого поворота, направление которого указывает ось вращения, а
величина — угол поворота.
1.23. Произвольный действительный тензор второго ранга можно записать в
виде Tap = Sap + Аар, а произвольный эрмитов тензор — в виде Т%р = Sa/3 +
+ iAap, где Sap и Аар — симметричный и антисимметричный действительные
тензоры. Антисимметричный тензор Аа@ эквивалентен вектору (см. задачу 1.10),
который нельзя обратить в нуль никаким поворотом. Поэтому диагонализуется
только действительная симметричная часть произвольного тензора второго ранга.
1.24. Sa0 = S^A™ + S^n^nf + S^n^nf.
1.25. Раскрывая определитель (1.21) и учитывая, что главные значения тензора
Т^ будут инвариантами только в случае, если таковыми являются коэффициенты
алгебраического уравнения 3-й степени, находим три инварианта: Д = Тц +Т22 +
+Т33 = Т^+ТМ+Т(3\ I2 = D11+D22 + D33 = tMtW+TMtW+TWT&\ /3 =
= D = Т^Т^Т^\ где D = \Т\ — определитель тензора, а Dap — алгебраические
дополнения этого определителя. Результат справедлив для произвольного тензора
второго ранга.
1.26. Разложения определителя D = \Т\ по элементам строки или столбца
записываются соответственно в виде
TapD<y0 = Dea<y> D^aT^p = D8a/3,
где Dla = ( —1)а+7А7Л — алгебраическое дополнение, Д7а, — минор определителя
D, т. е. определитель, получающийся вычеркиванием в последнем j-й строки и
a-го столбца. Согласно результатам предыдущей задачи, определитель тензора D —
инвариант, а поскольку 5ар — тензор, то алгебраические дополнения Dla также
образуют тензор. Отношения
Т-0 = D0a/D

§1.4. Ответы и решения
33
образуют тензор, обратный^. Для существования обратного тензора необходимо
и достаточно, чтобы D = \Т\ Ф 0.
1.28. а) А2(В • С) + (А • В)(А • С); б) [(А х В) х С] • [(А' х В') х С7].
1.30. (А-А,)(В.В,)(С-С,) + (А-В,)(В-С,)(С.А,) + (В-А,)(С.В,)(А-С/)-
-(А • С,)(С • А')(В • В7) - (А ■ В')(В ■ А')(С • С) - (В • С')(С • В')(А • А').
1.31. Проведем доказательства для вектора и тензора второго ранга.
а) По условию задачи при любом повороте А'а = Аа, т. е. А'х = Ах, Ау =
= Ау, A'z = Az. Повернув систему координат вокруг оси Oz на угол 7г, получим
А'х = —Ах, Ау = —Ау, A'z = Az. Эти равенства совместимы с предыдущими
только в случае Ах = Ау = 0. Произведя поворот вокруг оси Ох на угол 7г, точно
так же докажем, что Az = 0, т. е. вектор А = 0.
б) Любой тензор второго ранга можно представить в виде суммы
симметричного и антисимметричного тензоров: Тар = Sap Н-^а/з- Антисимметричный тензор
эквивалентен некоторому псевдовектору и, в силу доказанного выше, его
компоненты не зависят от системы отсчета только тогда, когда они равны нулю. Поэтому
рассмотрим симметричный тензор Sap.
Выберем систему координат, в которой симметричный тензор имеет
диагональный вид S^Sap. Если S^ не равны друг другу, то компоненты тензора будут
зависеть от выбора осей, т. е. от того, какой цифрой (1, 2 или 3) обозначена
данная ось. Только при S^1 = S^ = S^ = S компоненты тензора S5a(3 не будут
зависеть от выбора осей.
1.32. па = 0, папр = (1/3)5а/з, папрПч = 0,
ПаПрПчПц = (1/15)(<$а/з571/ + <Stt7<W + Sai/Spy).
1.33. а2/3, a-b/3, a/3, 2а2/3, 2a ■ Ь/3,
[(a • b)(c • d) + (a • c)(b • d) + (a • d)(b • c)]/15.
1.34. n2, n'2, I2, n-n', (nxn')-(, (n-l)2, (n'-l)2, (n-l)(ri-l).
1.35. n I, n' I, ni • (n2 x n3).
1.37. I, I
1.39. -^ + £.
1 ДП -^L. r(^a -^ ^- г&& r sin tida
leW* Ar — AtY — Az-> Ar — Ai} — A„ '
1.41. Направляем полярную ось вдоль вектора р и проецируем вектор Е на
орты сферических координат:
2pcos^ psmti
£jT — 5 -> ^'д — о -> &ю — U-
Векторные линии в сферических координатах определяются из системы уравнений
dr rdd r sin fid^f
Er E$ Ер
Обращение в нуль компонента Е^ означает, что должен обратиться в нуль и
дифференциал dip = 0, т. е. (р = const и, таким образом, все векторные линии
лежат в плоскостях, проходящих через вектор р. Подставляя ненулевые проекции
Е в оставшееся единственное уравнение и сокращая общие множители, получаем
дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

34
Глава 1. Математические методы электродинамики
dr/r = 2ctg#d#. Почленное интегрирование правой и левой частей дает In r —
— In г0 = 2 In sin # или r(#) = r0sin2^, где г0 — постоянная интегрирования,
имеющая смысл расстояния от векторной линии до начала координат в плоскости,
перпендикулярной вектору р.
1.42. V±i==F^e±ta suit?— + — ± ^~q7r , V0=costf- —.
v2 \ ar r a# rsmvoaj or r ov
1.44. 3, 0, 0, 2w.
1.4Б.Н=^)£- =
1.48. <p'r/r, Ъф + пр', 0, 1ч> + т(1-т)ф'/г.
1.49. (/?(r) = const/r3.
1.50. (а-Ь), axb; 4(a-r), a x r; 0, (2(/? + r(/?')a-r(a-r)(/?yr; —2(a-r), 3(rxa).
1.51.
А+^А^Д^В+А-ВО",^
1.53.
/ (grad(p-rot A)dV =l(Ax grad(/?)-dS = * <prot A-dS.
Jv Js Js
1.54. aV, aV\
1.55. Использовав метод скалярного умножения постоянного вектора на
каждый из рассматриваемых интегралов, находим следующие соотношения:
<р ncpdS = / gr&dipdV,
/(nxA)dS = [ rotAdV,
Js Jv
/(n-b)AdS = [ (b-V)AdV,
Js Jv
£T-*dS - IMdV-
Все эти соотношения можно рассматривать как обобщенную теорему Остроград-
ского-Гаусса:
/n(...)dS = / V(...)dV;
где символом (...) обозначен тензор любого ранга.
1.61. Js(Vux V/)-dS.
1.64. xuZv{x) + С, -x~uZv(x) + С.
1.65. 1, 1/2, l/(2nn!).
1.72. 1. xu" + u' + x(a2 - n2/x2)u = 0.
2. Интеграл вычисляется с помощью уравнений для функций и(х) и v(x) = Jn(bx).
3. Первое равенство (1.73) следует из (1.72) непосредственно, второе получается
путем предельного перехода.

§1.4. Ответы и решения
35
1.75.
Рх = х, Р2 = ^(Зх2 - 1), Рг = ^(5х3 - Зх),
Р4 = ^(35х4 - ЗОх2 + 3), Рь = ^(63х5 - 70х3 + 15х).
1 тс Id. ndPirn .
1.78. ^^^ sin??—— +
sin v <ш dv
/(/ + 1)
2
тттг
sin2i
Pirn = 0.
1.81.
flo = Л,
Pn = -2Pi _i = (1 - x2)1/2 = sin t?,
p21 = -6P2-i = 3x(l-x2)1/2 = 3costfsintf,
P22 = 24P2_2 = 3(l-x2)=3sin2tf,
P31 = -12P3_1 = ^(5x2-l)(l-x2)1/2 = ^(5cos2^-l)sin^
P32 = 120P3_2 = 15x(l -x2) = 15costf sin2 tf,
P33 = -720P3 -3 = 15(1 - x2)3/2 = 15 sin3 tf.
Заметим, что присоединенные полиномы Лежандра в общем случае содержат
радикалы (1 —х2)1/2 и полиномами, строго говоря, не являются.
1.82. -5/3, -2, 0, exp(a)+exp(-2a).
1.83. 0, f(a)S(x - a), 82<5(x - 4) + 2S(x + 1).
1.85.
5(г) = 5(r±)5(z), 5(т - а) = —5(г± - а±)5(а - a0)S(z - az).
2nr± a±
Чтобы осуществить предельный переход а —► 0, нужно не только устремить к нулю
величины aj_,a2, но и усреднить правую часть по азимутальному углу ао, так как
нулевой вектор не имеет направления.
1.86. 6(г) = -—=6(г), 5{т - а) = —6(г - a)<J(costf - costf0)£(a - a0)-
1.87./'(x)=e(x) + 2«(x-l), 9(x) = {3X2x] ZZltl:
1.88. f(x) = £ + ELi bfk6(x-ak), где ДД = /(afc + 0)-/(afc-0), df/dx -
обычная («классическая») производная на участках плавного изменения функции.
1.89. , ч ,
, ?,7(m"w)(0) ПРИ гп^п, 0 при т<п.
(п — ту.
1.90. При r/r', G — ограниченная дифференцируемая функция, и уравнение
удовлетворяется, так как AG = 0. При г —> г' функция G имеет особенность.
Чтобы выяснить характер особенности AG при г —>• г', проинтегрируем (1.113) по
объему малого шара радиуса R —► 0 с центром в точке г = г'. Применяя теорему
Остроградского-Гаусса, получим
{ AGdV = J divgrad ( - J dV = I (V- J -dS = - f -^R2d£l = -Air.

36
Глава 1. Математические методы электродинамики
Такое же значение дает интеграл по объему от правой части уравнения, которое,
таким образом, удовлетворяется.
1.91. Подставив формулу для fim в разложение (1.78), будем иметь для
произвольной функции с интегрируемым квадратом тождество
/(<?,<*) = [ m,a')Yl\rLW',<S)Yim(0,a)]dQ'.
J lm
Это возможно только при выполнении равенства, указанного в условии задачи.
1.92. *AF(A).
1.93.
1.94. тгехр(-|А|).
1.95.
1.96.
a
— РУП
aeXP{ Тс?)'
7Г3/2 ( k2
exp
a-"1
з -*-. 4a2
где к — радиус-вектор трехмерного пространства переменных Фурье.
1.97. 4тг/(/с2 + /с2).
1.98. Для вычисления интеграла Фурье используем сферические координаты
и выберем ось Oz вдоль вектора к. Выполняя сначала интегрирование по углам, а
затем по г, находим
F(k)= lim ^[l - cos(kR)}.
Формально функция, стоящая в правой части, не имеет предела. Но легко
понять, что предел косинуса можно считать эффективно равным нулю, так как при
выполнении обратного преобразования Фурье член с бесконечно осциллирующим
косинусом даст нулевой вклад. В итоге имеем F{k) = 4тг/к2. Этот же результат
можно получить путем предельного перехода к —► 0 из ответа предыдущей задачи.
1.99. Записываем разложение в форме
оо
exp(i/crcos#) = y^ui(kr)Pi(cos9)
1=0
и, пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра, находим интегральное
представление для искомых функций щ:
2L+ 1 Г rikrx i
Ul(kr) = —^— J eikrxPi(x)dx.
Использование формулы Родригеса (1.75) и интегрирование / раз по частям дает
п (2l + l)(-ikr)1 Г1 гкгх. 2 _.
ui{kr) = ± ^j " J егкгх(х2 - l)ldx.

§1.4. Ответы и решения
37
Далее разлагаем экспоненту в степенной ряд и интегрируем этот абсолютно
сходящийся ряд почленно. Остаются только слагаемые с четными степенями х:
Наконец, переход к новой переменной интегрирования t = x2, dx = dt/2y/i
позволяет выразить интеграл в последнем равенстве через бета-функцию:
В итоге, собирая все сомножители, получаем следующий ряд:
_ ., (кг)1 J", k2r2/2 (fcV/2)2 1_
Ul{kr'~l{2l + 1)l-3...(2l + l)\l l\(2l + 3) + 2\(2l + Z)(2l + 5) "7"
= il(2l + l)ji(kr),
где ji(kr) — сферическая функция Бесселя (см. [Абрамовиц и Стиган (1979),
формула 10.1.2]).
1.100.
оо /
exp(ik-r) = 47r^ E »'ii(Hl|mW)^(^)-
/=0 m=-l

Глава 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ВАКУУМЕ
§2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
В этом разделе содержатся задачи на вычисление потенциала <р(т) и
напряженности поля Е(г) по заданному распределению зарядов, характеризуемому
объемной р(г), поверхностной а (г) или линейной к(г) плотностью. Распределение
точечных зарядов может быть описано объемной плотностью p(r) = J2iQi$(T~Ti)y
где qi — величина г-го заряда, г* — радиус-вектор г-го заряда, 8(т - г$) — дельта-
функция Дирака (см. раздел 1.3). Напряженность электрического поля определяет
силу, действующую на неподвижную частицу малых размеров (силу Кулона)
F = gE, (2.1)
и может быть измерена путем измерения этой силы. В случае неподвижного
точечного заряда q' имеем Е = g'r/r3, и формула (2.1) приводит к закону Кулона
взаимодействия двух точечных зарядов:
F = qq' I (2.1')
Напряженность электрического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла
V Е = 4тгр, V х Е = 0. (2.2)
Уравнения (2.2) являются дифференциальными уравнениями для определения
вектора Е в электростатике. Их интегральная форма получается применением к
соотношениям (2.1) соответственно теорем Остроградского-Гаусса и Стокса:
/ E-dS = 4тг / pdV = 4щ, (pE-dl = [ rot E-dS = 0. (2.2')
Js Jv Ji Js
На заряженной поверхности с поверхностной плотностью заряда а (рис. 2.1)
касательная Ет и нормальная Еп проекции напряженности электрического поля
удовлетворяют граничным условиям
Е2т = EiT, Е2п ~ Е\п — 47ГСГ. (2.3)
Электростатический потенциал и напряженность электрического поля связаны
соотношениями
Е(г) = -Vp(r), (2.4)

§2.1. Электростатика
39
Потенциал уэ определен в электростатике с точностью до постоянной. Он
удовлетворяет уравнению Пуассона
Д<р(г) = —47гр(г).
(2.5)
Потенциал непрерывен и конечен во всех точках пространства, где нет точечных
зарядов, в частности на заряженной поверхности, разделяющей области 1 и 2
(рис. 2.1). Нормальные производные ср терпят разрыв на заряженной поверхности:
dcpi д<р2
дп дп
На поверхности двойного электрического слоя с
мощностью к (см., например, [Бредов и др. (2003),
Батыгин и Топтыгин (2003)])
Ч>1 = Ч>2,
= 47Г СТ.
(2.6)
dip2 dipi
(2.7)
Рис. 2.1
где к — дипольныи момент на единицу
поверхности (нормаль п имеет направление от
отрицательной стороны слоя к положительной).
Если распределениям зарядов р\ и р2
соответствуют потенциалы <pi и ср2у то потенциалом
распределения р = pi -\- р2 является их сумма, <p=<pi + (р2 (принцип суперпозиции). То
же справедливо для электрического поля Е. В частности, принцип суперпозиции
позволяет из потенциалов элементарных зарядов q/r получать путем
суммирования потенциалы сложных систем зарядов:
Ф) = j-
+ С.
(2.8)
В случае поверхностного или линейного распределения зарядов объемный
интеграл в (2.8) заменяется соответствующим поверхностным или линейным
интегралом, а в случае системы точечных зарядов — суммой по зарядам. Это замечание
относится также ко всем нижеследующим формулам, в которых содержатся
объемные интегралы по распределению зарядов.
В большинстве случаев прямое вычисление интеграла (2.8) затруднительно.
В связи с этим часто применяется представление потенциала в виде ряда,
который получается в результате разложения подынтегрального выражения по
степеням х'/r и почленного интегрирования.
Пример 2.1. Система зарядов занимает ограниченную область
пространства размером I Пользуясь представлением электростатического потенциала
в виде объемного интеграла (2.8), вычислить приближенное значение
потенциала на расстояниях г > / от системы с точностью до членов порядка (1/г)2.
Какие величины, характеризующие систему зарядов, нужны для этого?
Решение. Разлагая подынтегральное выражение в (2.8) в ряд по малому
отношению г'/г < 1/гу будем иметь
-1/2
1
1
/ /2
2^ + ^
1 vv' l <* * *
г*'**
<W)>

40
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
Здесь последнее слагаемое записано в тензорной форме с суммированием по
повторяющимся индексам. Подставляя результат в интеграл (2.8), находим
где использованы следующие обозначения:
q= [p(r')dV (2.10)
— полный заряд системы;
р= I р(т')т'<1У' (2.11)
— дипольныи момент системы зарядов;
Qap = J P(r')(3x'ax'0 - r'26a0)dV' (Qaa = 0) (2.12)
— тензор квадрупольного момента системы зарядов. Разложение потенциала
(2.9) может быть продолжено. Оно называется разложением по мультипольным
моментам (мультиполям). ■
Энергия электростатического поля может быть вычислена по одной из формул:
W
= ^JE2dV, W=l-jP4>dV (2.13)
(эти формулы эквивалентны, если заряды сосредоточены в конечной области
пространства, а интегрирование распространяется на все пространство).
Энергия взаимодействия двух систем зарядов 1 и 2 определяется выражениями:
U= /л(гМг)^= /ftfri)^)^. (2.14)
J J |Г1-Г2|
Обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены дифференцированием
U или W по соответствующим обобщенным координатам а$:
F, = -— или Fi = - — . (2.15)
Обобщенная сила положительна, если она стремится увеличить соответствующую
координату.
Пример 2.2. Система, состоящая из N точечных зарядов, находится во
внешнем поле, источники которого расположены далеко от рассматриваемой
системы (рис. 2.2). Поэтому потенциал внешнего поля в пределах ограниченной
системы протяженностью I изменяется медленно. Вычислить энергию
взаимодействия системы с внешним полем с точностью до квадрупольного члена.
Решение. Записываем энергию взаимодействия через потенциал внешнего поля
Ф в виде
N
а=1

§2.1. Электростатика
41
Пользуясь условием гладкости потенциала, разлагаем его в степенной ряд:
Если в пределах рассматриваемой системы нет источников внешнего поля, то
потенциал (р в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа
Д<р
д2ср
0.
С/ JL Q С/ JL Q
Это позволяет записать последний член разложения потенциала в виде
«4г^)^£_.
Подставляя эти разложения в исходное выражение для
энергии, находим
W = qcp - р-Е +
Qa(3 d2(f
б дхадх/з
+ ...
(2.16)
Рис. 2.2
Здесь ip и Е берутся при аргументе R = (x,y,z), a
<Z> P> Qap представляют собой мультипольные
моменты системы точечных зарядов:
N
N
N
Я = ^2еа, Р = ^2 еа*а, Qa(3 = ^ еЛ3хах0 ~ ra<W)'
(2.17)
а=1
а=1
а=1
Разложение производится по отношению 1/L размера системы к масштабу L
неоднородности внешнего поля. ■
Рекомендуемая литература: [Батыгин и Топтыгин (2003), Бредов и др. (2003)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля. Тамм (1976), Френкель (1956)], [Медведев
(1977), Зоммерфельд (1958), Джексон (1975)].
Задачи
2.1. Плоская плита больших поперечных размеров и толщиной а равномерно
заряжена по объему с плотностью р = const. Пренебрегая краевыми эффектами,
вычислить потенциал (р и напряженность Е электрического поля. Рассмотреть
предельный случай бесконечной плоскости, выразить потенциал и напряженность
поля через поверхностную плотность заряда, проверить выполнимость граничных
условий.
2.2. Заряд распределен в пространстве по периодическому закону p(x,y,z) =
= pocosaxcos(3ycosjzy образуя бесконечную пространственную периодическую
решетку. Вычислить потенциал ср электрического поля.

42
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
2.3* Распределение заряда предыдущей задачи ограничено в направлении
оси Oz плоскостями z = ±го, zq = tt/2j и образует плоскую плиту толщиной
2zq. Вычислить электростатический потенциал во всем пространстве. Произвести
предельный переход zo —> 0 при условии постоянства заряда, приходящегося на
единицу поверхности плиты (zopo = const) и ввести поверхностную плотность
заряда <т(х,у).
2.4. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса Д равномерно заряжен
по объему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд к.
Вычислить потенциал ср и напряженность электрического поля Е.
2.5. Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля равномерно
заряженной прямолинейной бесконечной нити. Ее заряд к на единицу длины.
2.6.* В предыдущей задаче нить заряжена неравномерно: k(z) = /^ocos7^-
Вычислить электростатический потенциал. В какой области пространства
потенциал будет приближенно совпадать с потенциалом равномерно заряженной нити?
Проанализировать предельные случаи.
2.7. Найти потенциал (р и напряженность Е электрического поля равномерно
заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающего часть оси Oz от
—а до а; заряд отрезка q.
2.8. Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно заряженного
отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.
2.9. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля шара,
равномерно заряженного по объему. Радиус шара Д, полный заряд q.
2.10. Сделать то же самое для случая, когда заряд распределен равномерно
по поверхности шара.
2.11. Внутри шара радиуса Д, равномерно заряженного по объему с
плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой Дь а центр
отстоит от центра шара на расстояние а (Д > Ri +а). Найти электрическое поле
Е в полости.
2.12. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы
которых Дх и Д2 (Ri < Д2), заряжено с объемной плотностью р = a/r2. Найти полный
заряд д, потенциал (р и напряженность Е электрического поля. Рассмотреть
предельный случай Д2 —> Дь считая при этом q = const.
2.13. Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р(г).
Записать ср и Е в виде однократных интегралов по г, разбив распределение зарядов на
сферические слои.
2.14. На основе результата предыдущей задачи получить решения задач 2.9 и
2.12.
2.15. В атоме водорода, находящемся в невозбужденном состоянии, заряд
электрона распределен с плотностью
( \ е° ( 2г\
РКП = оехР >
iraz \ a )
где а = 0,529 х 10~8 см — боровский радиус атома, е0 — элементарный заряд.
Найти потенциал сре и напряженность электрического поля Еег электронного
заряда, а также полные потенциал ср и напряженность поля Е в атоме, считая, что

§2.1. Электростатика
43
протонный заряд сосредоточен в начале координат. Построить на компьютере
графики величин </?, Е.
Указание. Полезно произвести интегрирование по сферическим слоям.
2.16. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти
максимальное значение напряженности его электрического поля Ещах- Радиус
ядра R = 1,5 х Ю-13^1/3 см, заряд Ze0 (А — атомный номер, Z — зарядовое
число, ео — элементарный заряд).
2.17. В задаче 2.10 записать выражение для объемной плотности заряда через
дельта-функцию и вычислить потенциал и электрическое поле путем
интегрирования по сферическим слоям.
2Л8. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля на оси
равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q. Убедиться
в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Е испытывает скачок
4тга. Рассмотреть поле на больших расстояниях от диска.
2.19. Выразить потенциал tp равномерно заряженного круглого тонкого кольца
с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интеграл первого рода
yj\-k2sm2 /3'
Указание» При интегрировании по азимуту сделать замену о! = 7г — 2/3.
2.20. Получить из общей формулы предыдущей задачи потенциал <р
электрического поля: а) на оси кольца; б) на больших расстояниях от кольца; в) вблизи
нити кольца (асимптотические значения эллиптического интеграла взять из
справочников).
2.21. Записать в сферических координатах выражения для потенциалов
электрического диполя с моментом р и электрического квадруполя для случая
аксиально-симметричного распределения зарядов. Вычислить также напряженности
поля Е^, Eg для этих систем.
2.22. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону a = <то cos #.
Найти потенциал (р электрического поля, используя разложение по мультиполям
в сферических координатах.
2.23.* Произвести разложение электростатического потенциала вне
ограниченной системы зарядов по мультиполям и найти выражения для мультиполь-
ных моментов в сферических координатах. Использовать производящую функцию
(1.79), для полиномов Лежандра и теорему сложения (1.80) для сферических
функций.
2,24* Обобщить результат предыдущей задачи таким образом, чтобы
разложение электростатического потенциала по сферическим функциям Лежандра
годилось для точек наблюдения, находящихся внутри системы зарядов.
2.25. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону a = <то cos д.
Найти потенциал <р электрического поля, используя разложение по мультиполям
в сферических координатах.
2,26. Найти потенциал ср электрического поля на больших расстояниях от
следующих систем зарядов: 1) заряды q,2q, q расположены по оси Oz на расстоянии
а друг от друга (линейный квадруполь); 2) заряды ±q расположены в вершинах
К(к) = [

44
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
квадрата со стороной а так, что соседние заряды имеют разные знаки, причем в
начале координат находится заряд +qf а стороны квадрата параллельны осям Ох
и Оу (плоский квадруполь).
о)
б)
+<7
-3q§
+3q
-я.
+я
a/
-qi
с
+<?.
+q
+q -q
Рис. 2.3
2.27.* Найти потенциал ip электрического поля на больших расстояниях от
следующих систем зарядов: 1) линейный октуполь (рис. 2.3а); 2)
пространственный октуполь (рис. 2.36).
2.28. Точечный заряд q находится в точке со сферическими координатами
го, #о,ско- Разложить по мультиполям потенциал ip этого заряда.
2.29. Эллипсоид с полуосями а, 6, с равномерно заряжен по объему; полный
заряд эллипсоида q. Найти потенциал <р на больших расстояниях от эллипсоида
с точностью до квадрупольного члена. Рассмотреть частные случаи эллипсоида
вращения с полуосями1 a = b, си шара (а = b = с).
2.30. Равномерно заряженные нити, несущие заряды к\ и -к2 на единицу
длины, параллельны между собой и отстоят друг от друга на расстояние h. Найти,
при каком соотношении между щ и к2 в числе поверхностей равного потенциала
этой системы будут круговые цилиндры конечного радиуса. Определить радиусы
и положение осей цилиндров.
2.3L Точечные заряды qi и —q2 находятся на расстоянии h друг от друга.
Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой системы имеется сфера
конечного радиуса. Определить координаты ее центра и радиус. Найти значение
потенциала <р> на поверхности этой сферы, если у?(оо) = 0.
2.32» Каким распределением зарядов создается потенциал, имеющий в
сферических координатах вид ср(т) = (q/r)exp(—ar), где a, q — постоянные?
2.33, Каким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный ими
потенциал имел в сферических координатах вид
(р(г) = 7(7 + 1)ехр("?)'
где е0> а — постоянные?
1 Атомные ядра, обладающие квадрупольным моментом, можно в некотором приближении
рассматривать как эллипсоиды вращения.

§ 2.1. Электростатика
45
2.34. Вычислить силу J7 и крутящий момент N, приложенные к диполю с
моментом р во внешнем поле Е.
2.35. Вычислить электростатическую энергию шара с радиусом R и с зарядом
q, распределенным равномерно: а) по объему; б) по поверхности; в) по закону,
указанному в задаче 2.12.
2.36. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец
одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа, которую
надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из бесконечности в центр
каждого из колец, равна соответственно Ai и А2. Найти заряды qu q2 на кольцах.
2.37. Вычислить энергию взаимодействия U электронного облака с ядром в
атоме водорода. Распределение заряда в атоме приведено в задаче 2.15.
2.38. В некотором приближении можно считать, что электронные облака обоих
электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характеризуются объемной
плотностью
8е0 / 4г\
7га6 \ a J
где а — боровский радиус атома, ео — элементарный заряд. Найти энергию U
взаимодействия электронов в атоме гелия в этом приближении (нулевое приближение
теории возмущений).
2.39* Доказать, что равновесие системы неподвижных точечных зарядов,
взаимодействующих только посредством электрических сил в отсутствие каких-
либо связей, неустойчиво (теорема Ирншоу).
Указание. Использовать для доказательства первую теорему Ляпунова [Айзер-
ман (1974), с. 222]. Если потенциальная энергия U(qa) консервативной системы
в положении равновесия не имеет минимума и если это обстоятельство
устанавливается из рассмотрения членов второй степени в разложении U(qa) в ряд по
степеням qQf то данное положение равновесия неустойчиво.
2.40. Центры двух шаров с зарядами qi и q2 находятся на расстоянии а
друг от друга (а > Ri + R2, где R\, R2 — радиусы шаров. Заряды распределены
сферически симметричным образом. Найти энергию взаимодействия U шаров и
действующую между ними силу F.
2.41. Мыльный пузырь, висящий на открытой трубке, стягивается под
действием поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного натяжения а).
Считая, что диэлектрическая прочность воздуха (напряженность поля, при
которой происходит пробой) равна Е0, выяснить, можно ли, сильно заряжая пузырь,
предотвратить его сжатие. Каков минимальный равновесный радиус R пузыря?
2.42* Два параллельных коаксиальных тонких кольца с радиусами a, b несут
на себе равномерно распределенные заряды <?ь Я.2- Расстояние между плоскостями
колец с. Найти энергию взаимодействия U колец и действующую между ними
силу Т.
2.43. Найти силу J7 и вращательный момент N, приложенные к
электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда q.
2.44. Диполь с моментом pi находится в начале координат, а другой диполь с
моментом р2 — в точке с радиусом-вектором г. Найти энергию U взаимодействия

46
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
этих диполей и действующую между ними силу Т. При какой ориентации диполей
эта сила максимальна?
2.45. Система зарядов характеризуется объемной плотностью р(г) и
занимает ограниченную область в окрестности некоторой точки О. Система помещена
во внешнее электрическое поле, которое в окрестности этой точки может быть
представлено в виде
М*) = Y, у 2i^airnTlYlm{fi,a).
Найти энергию U взаимодействия системы с внешним полем </?i, выразив ее через
aim и мультипольные моменты Qim системы.
§2.2. МАГНИТОСТАТИКА
Напряженность Н(г) постоянного магнитного поля в отсутствие вещества
удовлетворяет уравнениям:
Air
VxH=-j, V-H = 0, (2.18)
с
где с^Зх 1010 см/с — электродинамическая постоянная, j(r) — объемная
плотность электрического тока. Ее можно записать через объемную плотность заряда
р(т) в виде
}=pv, (2.19)
где v — средняя (дрейфовая) скорость движения электрических зарядов. Если ток
создается точечными зарядами еа, находящимися в точках с радиусами-векторами
Га, ТО
j = £>at;a*(r-ra). (2.20)
а
Основные методы вычисления магнитного поля:
Интегрирование уравнений магнитостатики (2.18) с граничными условиями
47Г
п • (Н2 - НО =0, п х (Н2 - НО = —», (2.21)
с
где i — плотность поверхностного тока и нормаль п направлена из первой области
во вторую. Если распределение токов обладает аксиальной симметрией, бывает
полезна интегральная форма первого из уравнений (2.18):
/
47Г
Htdl = —J. (2.22)
с
Здесь интеграл берется по произвольному замкнутому контуру; J — полный ток,
протекающий через произвольную поверхность, опирающуюся на этот контур.
Использование закона Био-Савара. Элемент тока Jdl создает магнитное
поле
dH= -^r(dlxr) (2.23)
сг6

§ 2.2. Магнитостатика
47
(опытный закон Био-Савара, который можно вывести из (2.18)). По принципу
суперпозиции полное поле в данной точке можно получить интегрированием (2.23)
по всем элементам тока (по dl).
Метод векторного потенциала. Векторный потенциал А определяется
соотношением
Н = V х А (2.24)
и дополнительным условием
V • А = 0. (2.25)
Векторный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона для векторной функции
Air
ДА = -—j. (2.26)
с
Граничные условия для векторного потенциала вытекают из граничных условий
(2.21) для Н.
Векторный потенциал, создаваемый заданным распределением токов, может
быть записан в виде интеграла по объему, занятому током:
АМ-Н&2*: (2 27)
с J |r-r'|
Соответствующее выражение для линейного тока получается заменой j dVf —>
—► J dl'. На больших расстояниях от системы (2.27) переходит в
А = 5^1, (2.28)
где
m
Yc /V х l)dV (2.29)
— магнитный дипольныи момент.
Метод скалярного потенциала. В тех областях пространства, где j = 0,
имеем rotH = 0, поэтому можно положить
Н = - VVA (2.30)
где ф — скалярный (точнее — псевдоскалярный, см. раздел 1.1) потенциал,
удовлетворяющий уравнению Лапласа. Однако введенный таким образом скалярный
потенциал в общем случае не будет однозначной функцией точки1. Скалярный
потенциал используется в задаче 2.69.
Реальные системы токов ограничены в пространстве, плотности токов,
потенциалы и напряженности поля таких систем становятся равными нулю на
бесконечности. Однако в ряде случаев бывает удобно рассматривать бесконечные проводники
с током, поле которых не исчезает на бесконечности. Получаемые при этом
результаты правильно описывают поле в средней части конечного проводника, на
расстояниях, малых по сравнению с его длиной.
Более подробно см. |Батыгин и Топтыгин (2003) |.

48
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
Энергия магнитного поля, локализованная внутри некоторого объема V,
выражается интегралом по этому объему:
W =^- [ H2dV. (2.31)
57Г J
Если система токов имеет конечные размеры, ее полная энергия может быть
вычислена также по формуле
W=^J(A-i)dV, (2.32)
в которой интегрирование производится по объему, занятому токами.
Магнитная энергия квазилинейного проводника с током J выражается через
коэффициент самоиндукции L проводника:
W = £. (2.33)
Индуктивность можно также выразить через двойной интеграл по объему
проводника:
^ = 4 / [ЩЩ+dVdV'. (2.34)
J2 J J |r-r'|
Энергия взаимодействия двух проводников с током дается выражениями:
W12 = -L У(Нх • H2)dV = -с J (ji • А2) dVx (W12 = W21). (2.35)
Первый интеграл берется по всему пространству, второй — по объему одного из
проводников. В случае квазилинейных токов энергия может быть выражена через
коэффициент взаимной индукции L12:
W12 = LX2JxJ2jc2 = Ji<b12/c, (2.36)
где Ф12 — поток магнитной индукции, создаваемый вторым током, через контур
первого тока:
*12 = /н2 • dSi = I А2 • dh = ^L12J2. (2.37)
Коэффициент взаимной индукции может быть получен из выражения
энергии (2.35), потока магнитной индукции (2.37) или, в случае линейных токов,
вычислен по формуле
Ll2 = //^?- (238)
Обобщенные силы Fi} действующие между двумя неподвижными токами,
могут быть получены дифференцированием энергии взаимодействия W\2 (или
величины Ui2 = —Wi2f которая называется потенциальной функцией) по
соответствующим обобщенным координатам:

§ 2.2. Магнитостатика
49
Для вычисления сил может быть использована также формула Ампера:
dF= -(ЛхН),
с
(2.40)
где dl — элемент контура с током J, dF — сила, действующая на этот элемент со
стороны внешнего поля Н. На отдельную частицу малых размеров с зарядом е,
движущуюся со скоростью Vy действует в магнитном поле сила Лоренца
Гь
-v хН.
(2.41)
Силу Ампера (2.40) можно получить путем суммирования сил, приложенных к
точечным зарядам в малом элементе проводника с током.
Пример 2.3. Пусть в пределах ограниченной в пространстве системы
постоянных токов с плотностью j(r) внешнее магнитное поле слабо
неоднородно. Выразить потенциальную функцию системы через ее магнитный момент.
Решение. Потенциальная функция U — это магнитная энергия W, взятая с
противоположным знаком: U = —W. Используем формулу (2.35) и положим в ней
ji —► j(r), A2 —► A(R + r), где А — векторный потенциал внешнего поля, а г
отсчитывается от некоторой точки внутри системы токов (см. рис. 2.2, но здесь
надо интегрировать по непрерывному распределению токов). Будем иметь
1)
U = -~с fi{r)-A(R+ r)dV.
Представим векторный потенциал внешнего
поля в виде
A(R + г) « A(R) + (r-V)A(R),
где оператор V действует на R. После подстановки
этого выражения в 1) первый интеграл обращается в
нуль. Второй интеграл преобразуем к другой форме:
- /j(r)(r.V)dVr = y[^x ^t)W x V = m x V.
Рис. 2.4
Подставляя этот результат в 1), находим
потенциальную функцию:
2)
U
-[mx V]-A(R) = -m-H,
где H(R) = Vx A(R) — напряженность внешнего магнитного поля (рис. 2.4). ■
Рекомендуемая литература: [Батыгин и Топтыгин (2003), Бредов и др. (2003)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля. Тамм (1976), Френкель (1956)], [Медведев
(1977), Зоммерфельд (1958), Джексон (1975)].

50
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
Задачи
2.46. Может ли электрический ток с объемной плотностью j(r) = jocos(k-r),
где jo, k — постоянные векторы, обеспечить стационарное (не зависящее от
времени) распределение зарядов в пространстве?
2.47. Найти распределение в пространстве электрического тока, создающего
магнитное поле
Hr = Н0 I - - — J cost?, Щ = H0 ( — - - J sin??, Ha=0 при г < a;
2Я0а3 H0a3 .
Яг = н„ Q cost?, /i^ = ——^r sin??, Ha = 0 при r ^ a.
15r* 15Г"3
2.48. Показать, что однородному и постоянному магнитному полю Н можно
сопоставить векторный потенциал А=Н х г/2. Удовлетворяет ли он условию div A = 0?
2.49. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b
находится коаксиальный с ней провод радиуса а. По этим проводникам текут постоянные
токи одинаковой величины J в противоположных направлениях. Найти магнитное
поле Н, создаваемое такой системой во всех точках пространства. Решить задачу
двумя способами: интегрированием дифференциальных уравнений магнитостатики
и с помощью интегральной формы этих уравнений.
2.50. Найти напряженность магнитного поля Н, создаваемую постоянным
током J, текущим по бесконечному цилиндрическому проводнику кругового сечения
радиуса а. Решить задачу наиболее простым способом — с помощью уравнения
магнитостатики в интегральной форме (2.22), а также путем введения векторного
потенциала А.
2.51. Решить предыдущую задачу для полого цилиндрического проводника
(внутренний радиус а, наружный 6).
2.52. Прямолинейная бесконечно длинная полоса имеет ширину а. Вдоль
полосы течет ток J, равномерно распределенный по ее ширине. Найти магнитное
поле Н. Проверить результат, рассмотрев предельный случай поля на больших
расстояниях.
2.53. Противоположно направленные токи равной величины J текут по двум
тонким бесконечно длинным пластинам, совпадающим с двумя гранями
бесконечной призмы прямоугольного сечения. Ширина пластин а, расстояние между
ними 6. Найти силу взаимодействия на единицу длины /.
2.54. Найти векторный потенциал А и магнитное поле Н, создаваемые двумя
прямолинейными параллельными токами J, текущими в противоположных
направлениях. Расстояние между токами 2а.
2.55. Найти магнитное поле Н, создаваемое двумя параллельными
плоскостями, по которым текут токи с одинаковыми поверхностными плоскостями i = const.
Рассмотреть два случая: а) токи текут в противоположных направлениях; б) токи
направлены одинаково.
2.56. Найти магнитное поле Н в цилиндрической полости, вырезанной в
длинном цилиндрическом проводнике. Радиусы полости и проводника соответственно
а и 6, расстояние между их параллельными осями d (b > a + d). Ток J распределен
равномерно по сечению.

§ 2.2. Магнитостатика
51
2.57* Показать, что если магнитное поле обладает аксиальной симметрией и
описывается в цилиндрических координатах векторным потенциалом с
компонентами Aa(r,z), Ат = Az = 0, то уравнение магнитных силовых линий имеет вид
rAa(r,z) = const.
Указание. Рассмотреть поток магнитного поля внутри трубки, образованной
вращением одной из силовых линий вокруг оси симметрии.
2.58, Исходя из закона Био-Савара (2.23) показать, что для замкнутого
контура с током J напряженность магнитного поля в некоторой точке выражается
формулой Н = — (J/c)gradf2, где Q — телесный угол, под которым контур виден
из этой точки.
2.59» Показать, что магнитное поле бесконечно длинного цилиндрического
соленоида с густой намоткой (п витков на единицу длины, ток J) дается формулами
47Г
Н = —nJez внутри соленоида, Н = 0 снаружи,
с
где ось Oz направлена вдоль соленоида.
Указание, Использовать теорему единственности решения магнитостатической
задачи.
2.60. Найти магнитное поле Н на оси конечного соленоида с густой намоткой,
имеющего форму цилиндра. Высота цилиндра /i, радиус а, число витков на единицу
длины п, сила тока J.
2.61* Сфера радиуса а заряжена зарядом е равномерно по поверхности и
вращается вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью и. Найти магнитное
поле внутри и вне сферы.
2.62. Вычислить магнитный момент m вращающейся сферы, рассмотренной в
задаче 2.61. Сделать то же самое для случая, когда заряд распределен равномерно
по объему. Вычислить магнитное поле на большом расстоянии от сферы и сравнить
с результатом точного решения указанной задачи.
2.63. Показать, что магнитный момент плоского контура с током можно
вычислить по формуле
m = —5п,
с
где J — ток в контуре, S — площадь, ограниченная контуром с током, п — орт
нормали к плоскости контура.
2.64. Пусть система заряженных частиц с одинаковым отношением заряда к
массе е/тп совершает финитное (ограниченное в пространстве) движение в
некотором внешнем поле. Показать, что магнитный момент такой системы частиц
пропорционален ее моменту импульса:
m = r/L,
где т\ = е/2тс — гиромагнитное отношение, L = ^а га х ра — момент импульса
системы частиц.
2.65. Система состоит из двух частиц с разными отношениями е/т. Выразить
ее магнитный момент через полный механический момент L в системе центра масс.
Рассмотреть случай частица-античастица (е-2 = —ei, т^ = ^i).

52 Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
2.66. В возбужденном состоянии атома водорода электрон создает
орбитальный ток
eflr3
Jr=Jti= 0, Ja = ^o 7 вХР
здесь использованы уже применявшиеся в задаче 2.15 обозначения; h « 1,05 х
х Ю-27 эрг • с — квантовая постоянная. Вычислить магнитный момент
орбитального тока.
2,67.* Плотность тока, создаваемая в основном состоянии атома водорода
спиновым1 магнитным моментом электрона, описывается функцией j=(c/e) rot[p(r)/xs],
где /j,s — постоянный вектор, р(г) — объемная плотность распределения заряда в
атоме, не зависящая от углов и экспоненциально убывающая при больших г.
Показать, что магнитное поле в начале координат равно —(8/Зе)7гр(0)д5. Вычислить
магнитный момент, который создается указанным током.
2.68» Вычислить магнитное поле в начале координат и магнитный момент,
создаваемые током
еЙ7"3 ( 2г\ • з о
*=*> = 0' ^ = 2^W^eXPrWS1
в одном из возбужденных состояний атома водорода (сферические координаты).
2.69. Найти псевдоскалярный потенциал ф магнитного поля, создаваемого
бесконечно длинным прямым проводом с током J. Вычислить компоненты магнитного
поля.
2.70. Найти силу F и вращательный момент N, действующие на замкнутый
тонкий проводник с током в однородном магнитном поле Н. Форма контура,
образованного проводником, произвольна. Решить задачу двумя способами: прямым
суммированием сил и моментов сил, приложенных к элементам тока, и с помощью
потенциальной функции. Результат выразить через магнитный момент т.
2.71. Найти потенциальную функцию U двух малых токов, магнитные моменты
которых mi, ni2. Определить силу взаимодействия F этих токов и приложенные
к ним вращательные моменты N. Рассмотреть частный случай mi || т2.
2.72. Найти потенциальную функцию U21 (на единицу длины) двух
параллельных бесконечно длинных прямых токов Ji, J<i и силу / их взаимодействия на
единицу длины.
2.73. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса Ъ
находится коаксиальный провод радиуса а. Найти самоиндукцию С такой линии на
единицу длины.
2.74. Найти коэффициент самоиндукции С на единицу длины бесконечного
цилиндрического соленоида с густой намоткой и с произвольной (не обязательно
круговой) формой сечения. Площадь сечения 5, число витков на единицу длины п.
2.75. Найти коэффициент самоиндукции L катушки из тонкого провода с
числом витков на единицу длины п. Катушка имеет круглое сечение радиуса a
и конечную длину h (h ^> а). Вычисления произвести с точностью до членов
порядка a/h.
1 О спиновых моментах см. ответ к задаче 2.64.
2г
За
sin $ cos2 $,

§2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
53
2.76. Найти коэффициент самоиндукции L тороидального соленоида. Радиус
тора 6, число витков N, сечение тора — круг радиуса а. Определить самоиндукцию
на единицу длины соленоида в предельном случае b —> оо (N/b = const). Решить
ту же задачу для тороидального соленоида, сечение которого — прямоугольник со
сторонами а и h. Как изменится самоиндукция, если равномерно распределенный
ток будет течь, сохраняя то же направление, не по проводу, намотанному на тор,
а прямо по полой оболочке тора?
2.77. Найти коэффициент самоиндукции С на единицу длины двухпроводной
линии. Линия состоит из двух параллельных прямых проводов, радиусы которых a
и 6, расстояние между осевыми линиями h. По проводам текут равные по величине,
но противоположно направленные токи J.
§ 2.3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. СВОБОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Статические электрическое и магнитное поля не связаны взаимно и могут
существовать по отдельности. Переменные во времени электрическое и магнитное
поля, в отличие от полей статических, не могут существовать независимо. Между
ними возникает связь, приводящая к формированию единого электромагнитного
поля, которое описывается двумя напряженностями, Е(г,£) и Н(г,£).
Обобщение уравнений электромагнитного поля, позволяющее на их основе
описывать весьма широкий круг нестационарных электромагнитных явлений,
произвел выдающийся английский физик Дж. К. Максвелл в 1860-х годах:
rotE(M) = -\^, (2.42)
rotH(M) = ^%^ + fjM), (2.43)
divE(r,£) = 4тгр(г,*), (2.44)
divH(r,£) = 0. (2.45)
Уравнения для дивергенций (2.1) и (2.18) сохранили свой вид и при описании
нестационарных явлений. Уравнения для роторов пополнились членами,
содержащими производные по времени. Эти слагаемые и осуществляют связь между
электрическим и магнитным полями. Наиболее наглядно это следует из интегральной
формы уравнения (2.42):
/е-сИ = --4- f H-dS, (2.46)
Ji с dt Js
где / — произвольный замкнутый контур, S — незамкнутая поверхность,
опирающаяся на этот контур. Введем в рассмотрение электродвижущую силу (ЭДС)
индукции 5ind = ffE-dl. Если заменить контур / замкнутым проводником, то
5ind можно рассматривать как меру сил, вызывающих ток в проводнике. Из (2.46)
получаем закон электромагнитной индукции Фарадея:
£ind = --^, (2.47)
с at

54
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
где Ф = fH-dS — магнитный поток через контур. Таким образом, напряженность
электрического поля Е может создаваться не только электрическими зарядами р,
но и переменным магнитным полем dH/dt.
Аналогичным образом, из уравнения (2.43) следует, что переменное
электрическое поле d^E/dt действует подобно току j и участвует в создании магнитного
поля. Слагаемое (1/47г)<ЭЕ/<9£, введенное Максвеллом, называется током
смещения. Применив операцию div к обеим частям (2.43) и использовав (2.44), получим
уравнение неразрывности для плотностей электрического заряда и тока:
^ + div j = 0. (2.48)
Это дифференциальная форма закона сохранения электрического заряда.
Сохранение заряда — его фундаментальное свойство, которое известно из опыта. Оно
выполняется во всех процессах, в которых участвуют заряженные частицы и
любые макроскопические тела.
На поверхностях, на которых р и j имеют особенности, напряженности поля
должны удовлетворять граничным условиям:
nx(E2-Ei) = 0, (2.49)
n-(E2-Ei) = 4trt, (2.50)
nx(H2-Hi) = —i, (2.51)
с
n.(H2-Hi) = 0. (2.52)
Величины а и i представляют собой поверхностные плотности электрического
заряда и тока соответственно.
Напряженности электромагнитного поля можно выразить через
электромагнитные потенциалы A(r,£), (p(r,t):
Н(г,*) = V х A(r,*), E(r,*) = -Vy>(r,*) " 1^^-' <2-53)
Они определены с точностью до калибровочного преобразования
A'(r,<) = A(r,i) + Vx(r,i), p'(r>t)=v?(r>t)_i^Mt (2.54)
в связи с чем на них часто накладывают дополнительное условие Лоренца
divA+i$=0. (2.55)
с at
Потенциалы, подчиняющиеся калибровке Лоренца (2.55), удовлетворяют
неоднородным уравнениям Даламбера
1 В2 A Air
ДА4у - -£• <256)

§2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
55
Уравнение баланса энергии, которое следует из системы уравнений Максвелла
(2.42) — (2.45), имеет вид уравнения непрерывности с источником:
^+div7 = -j-E, (2.58)
где
w = -!-(£2 + Я2), 7 = fExE (2-59)
07Г 47Г
Величины w и 7 имеют смысл плотности электромагнитной энергии и
плотности потока электромагнитной энергии (последняя величина называется вектором
Пойнтинга). Величина j • Е = pv • Е представляет собой работу, которую
производит электрическое поле над заряженными частицами в единице объема за единицу
времени. Магнитное поле работы не производит.
Важнейшим свойством уравнений Максвелла является возможность
существования электромагнитного поля в отсутствие источников, т. е. при р = j = 0. В этом
случае электрический и магнитный векторы удовлетворяют однородному
уравнению Даламбера,
де--1§5 = о, лн-^-о. («о)
которое имеет разнообразные ненулевые решения волнового типа.
Задачи
2.78. Путем перехода к переменным £ = х — ct, г\ = х + ct показать, что
волновое уравнение (2.60) имеет одномерное решение вида
Е(х, t) = EiF(x - ct) + Е2Ф(х + ct),
где Ei, E2 — постоянные векторы, F, Ф — произвольные дважды
дифференцируемые функции одного аргумента. Каков физический смысл этого решения? Как
его записать в такой форме, чтобы поверхность постоянной фазы (плоскость, на
которой Е сохраняет постоянное значение) была перпендикулярна заданному
единичному вектору п?
2.79. Пользуясь уравнениями Максвелла для свободного поля, показать, что
плоские волны, рассмотренные в предыдущей задаче, удовлетворяют условиям
поперечности
п-Е = 0, п-Н = 0.
Показать также, что в плоских волнах, распространяющихся в одну сторону,
электрический и магнитный векторы взаимно перпендикулярны и связаны
соотношениями
Н = пхЕ, Е = Нхп, Е = Н.
Найти связь между плотностью электромагнитной энергии и плотностью потока
энергии (вектором Пойнтинга) в таких волнах.

56
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
2.80! Плоскую монохроматическую1 волну удобно описывать комплексными
функциями
Е = E0e?;(k'r ~ut\ H = Н0е^к'г " "'), (2.61)
понимая под физическими значениями полей действительные части этих функций.
Здесь Ео, Но — постоянные векторы (комплексные амплитуды), величины и
(круговая частота) и к (волновой вектор) — действительные постоянные (при
распространении волн в вакууме).
а) Показать, что частота и волновой вектор плоской монохроматической волны
в вакууме связаны дисперсионной зависимостью2 и2 = с2к2у а амплитуды
удовлетворяют условиям Н0 = п х Е0, Е0 = —п х Н0, где п = к/к — единичный вектор,
определяющий направление перемещения плоскости постоянной фазы ip(r,t) =
= k-r — ut = const.
б) Показать, что расстояние между соседними максимумами электрического
или магнитного полей в направлении п равно длине волны Л = 2тг/к.
в) Показать, что среднее по периоду Т = 2ъ/ш колебаний значение
энергетических величин, квадратичных по монохроматическим компонентам полей вида
А = A0(r)e~luJt, В = Bo(r)e~tUJt, можно вычислять, пользуясь формулами
А2 = [Re{A)}2 = ]-\А\2, АВ = Re{A)Re{B) = ]-Re{AB*). (2.62)
г) Показать, что усредненные по периоду плотность энергии в плоской
монохроматической волне и вектор Пойнтинга связаны соотношением 7 = own, w =
= \Е0\2/8*.
2.81! В общем случае из комплексной амплитуды Е0 = E0i + гЕ02, где
Еоь Е02 — действительные векторы, можно выделить два взаимно
перпендикулярных действительных вектора Еь Е2, таких, что
Е0 = (Ei + iE2)eia, ErE2 = 0, (2.63)
a a (—7г < a ^ 7г) — некоторая начальная фаза.
а) Выразить начальную фазу через первоначально заданные векторы Е0ь Е02-
б) Показать, что наблюдаемое поле (действительная часть комплексного
вектора Е) записывается в виде
Е = Ei cos(k-r - ut + a) - E2 sin(k-r - ut + a). (2.64)
в) Показать, что конец вектора Е описывает в данной точке пространства либо
эллипс (эллиптическая поляризация), либо окружность (круговая, или
циркулярная, поляризация), либо колеблется вдоль некоторой прямой (линейная
поляризация). В случае эллиптической или круговой поляризации возможны два
противоположных направления вращения, а при линейной поляризации —
колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Поэтому при заданном
1 «Одноцветную» волну, колеблющуюся с одной-единственной частотой.
2 В общем случае такой связи между частотами и волновыми векторами гармоник Фурье не
существует.

§2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 57
направлении распространения волны имеется два различных независимых типа
поляризации.
г) Как определить направление вращения вектора Е относительно направления
распространения волны?
2.82. Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны одной
частоты распространяются вдоль оси Oz. Первая волна поляризована вдоль Ох и
имеет амплитуду а, вторая поляризована вдоль Оу, имеет амплитуду Ь и
опережает первую по фазе на \. Исследовать поляризацию результирующей волны в
зависимости от a/b.
2.83. Исследовать в предыдущей задаче зависимость поляризации от сдвига
фаз х Для случая a = b.
2.84. Циркулярно поляризованные волны распространяются вдоль оси Oz.
Записать комплексные орты e^a\ a = 1,2, соответствующие волнам с правой и
левой спиральностями и нормированные условием е^-е^ )* = 5a(T't через декартовы
орты ех, еу.
2.85. Две циркулярно поляризованные волны Е\^ = Еое^1,2^ ехр[г(к-г—ut±a)]
имеют разные начальные фазы. Орты поляризации е^1,2) определены в предыдущей
задаче. Найти амплитуду результирующей волны и определить ее поляризацию.
Частичная поляризация волн. Если волны, распространяющиеся в заданном
направлении п, генерируются многими независимыми источниками, то их
начальные фазы, как правило, случайны, и даже при высокой степени монохроматичности
(малый разброс частот Да;) результирующее поле Е(£) будет случайной функцией
времени. Такое поле будет лишь частично поляризованным. Его принято
характеризовать тензором поляризации
Ja(3 = Ea(t)E*0(t), a, 0 = 1,2, (2.65)
где значения компонент поля берутся в одной точке, а усреднение производится
по времени наблюдения достаточной длительности. При стационарных источниках
усредненные таким образом произведения компонент поля не будут зависеть от
времени. Будем называть сумму диагональных компонент поляризационного
тензора
Jaa = I (2.66)
интенсивностью поля, поскольку эта величина характеризует плотность его
энергии. Заметим, что по определению (2.61) Ja@ = J|a, т. е. поляризационный тензор
эрмитов (см. раздел 1.1).
Пример 2.4. Пользуясь соображениями симметрии, записать тензор
поляризации полностью неполяризованных волн. Записать также все
возможные тензоры поляризации для полностью поляризованных монохроматических
волн.
Решение. В отсутствие поляризации все направления электрического и
магнитного векторов в плоскости, перпендикулярной направлению распространения,
равновероятны. Этому случаю соответствует изотропный тензор
Jap = 2<W (2.67)

58
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
Полностью поляризованной монохроматической волне с амплитудой (2.63) в осях,
направленных вдоль действительных векторов £i, £2, отвечает тензор
1 / £\ ±i£^2
"2
J«* = iuW2 4 '• (2-68)
Такой тензор при произвольных £ь £2 и двух знаках недиагональных компонент
описывает волны с эллиптической поляризацией и двумя возможными
направлениями вращения. Циркулярно поляризованным волнам отвечают тензоры
j«*=H-< !)• J-4J0 i_i)' (269)
описывающие волны разной спиральности. Наконец, двум направлениям линейной
поляризации соответствуют тензоры
Ja0 = -J n n Ь J<* = ^{ n , )• (2-70)
1 / 1 0 \ 1/00
2*{ о 0 ) ' Ja" - Г { 0 1
Обратим внимание на характерную особенность этих тензоров: их определители
|«Л*/з| = J11J22 — {Jul2 обращаются в нуль для поляризованных волн. При частичной
же поляризации \Jap\ > 0 и достигает наибольшего значения /2/4 для полностью
неполяризованных волн. ■
Пример 2.5. Представить тензор Ja@ частично поляризованных волн в виде
суммы двух тензоров,
1 \ 7 п _ т№ , j(P)
из которых
0\ т(п) - IlL ( l °
l) J«V - 2 V 0 1
описывает полностью неполяризованную, а
Ъ т(р) _ 1 / В D
а0 2\ D* С
— полностью поляризованную волну. Из условий
4) В^О, С^О, BC-\D\2=0
найти интенсивности 1п, 1Р полностью неполяризованной и полностью
поляризованной волн, а также степень поляризации волны
D-^^ (2.71)
и степень ее деполяризации
р = 1-Р. (2.72)

§2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
59
Решение. Из 1), 2), 3) находим
B = 2Jn-/n, C = 2J22-/n, D = 2J12, D*=2J2i.
Из равенства нулю определителя тензора 3) получаем
In = Jll + J'22 ± V(Jll-J22)2+4|Ji2|2. (2.73)
Решение со знаком минус перед корнем дает
В = Jn - J22 + л/(J11 - J22)2 + 4| J12I2 > О,
С = J22 - J11 + л/(J11 - J22)2 + 4| J12I2 > О,
тогда как решение со знаком плюс дает В ^ О, С ^ 0 и должно быть отброшено.
Интенсивность полностью поляризованной волны
Ip = i(B + С) = V(Jn-J22)2 + 4|Ji2|2 = V/(Jn + J22)2-4|Ja/5|. (2.74)
Степень поляризации
Jv__.U Wad (275)
/р + /п V (JH+J22)2'
Свертка Jaa = Jn + J22 и определитель \Ja^\ — величины, инвариантные
относительно поворотов (см. раздел 1.1), поэтому разделение полной интенсивности на
1П и 1Р не зависит от выбора осей в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волн. ■
Рекомендуемая литература: [Батыгин и Топтыгин (2003), Бредов и др. (2003)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля. Тамм (1976), Френкель (1956), Гинзбург (1987)],
[Медведев (1977), Зоммерфельд (1958), Джексон (1975), Новожилов и Яппа (1978)]
Задачи
2.86* Представить тензор поляризации в виде разложения по его
собственным векторам (см. пример 1.1). Как связано такое разложение с представлением
этого тензора, рассмотренным в примере 2.5?
2.87. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I распространяется
вдоль оси Oz и поляризована по эллипсу с полуосями а, Ь. Большая полуось
а составляет угол # с осью Ох. Составить тензор поляризации и рассмотреть
возможные частные случаи.
2.88. Электромагнитная волна является суперпозицией двух некогерентных
«почти монохроматических» волн равной интенсивности I с приблизительно
одинаковыми частотами и волновыми векторами. Обе волны поляризованы линейно,
направления поляризации задаются в плоскости, перпендикулярной к их
волновому вектору, ортами е^^(1,0) и е^2)(cost?,sind). Построить тензор поляризации 1^
результирующей волны и определить степень ее деполяризации.

60
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
2Я9. Решить предыдущую задачу для случая, когда интенсивности волн
различны (7i 7^/2), а направления поляризаций составляют угол 7г/4.
2.90* Тензор поляризации электромагнитной волны, который является
эрмитовым, может быть представлен в виде
<2
&
'.^Ц^Ь.^)'1'(1++% \
где I — полная интенсивность волны, & — вещественные параметры,
удовлетворяющие условию £2 = £2 + £2 + £3 ^ 1 (параметры Стокса), ?^-матрицы
f(D = f 0 1 \ ?(2) =f0 -i\ f(3) / 1 О
1 0 у ' ^гОу' V0"1
Выяснить физический смысл параметров &. Для этого выразить степень
деполяризации р волны через & и определить поляризации двух основных волн, на которые
распадается частично поляризованная волна, в следующих трех случаях: a) £i ф О,
& = & = 0; б) £2 ^ О, Ci = & = 0; в) £з ^ 0, & = & = 0.
2.91. Назовем волновым пакетом суперпозицию плоских монохроматических
волн в свободном пространстве
ф(г,*) = f ф(к)ехр[1{к'Г-и>(к)Ь)](Рк,
где Ф(г,£) — любая декартова компонента векторов Е или Н. а) Найти условие,
при котором Ф является решением однородного волнового уравнения Даламбера
независимо от вида амплитудной функции ^(к). б) Построить одномерный
волновой пакет для момента времени t = 0. В качестве амплитудной функции взять
распределение Гаусса ф(к) = аоехр[-(/с - к0)2/Ак2], к = кХу где ао, &о, А/с —
постоянные. Найти связь между шириной Ах волнового пакета и его же шириной
А/с в пространстве волновых чисел.
2.92. Одномерный волновой пакет (см. предыдущую задачу) Ф(х) имеет в
момент t = 0 форму
1. Ф(х) = A0e-«W2; 2. Ф(х) = { A°Q
при \х\ < а,
при |х| > а,
где Ао, а — постоянные. Вычислить произведение Ах2-А/с2, где Ах2 = х2 - х2 и
аналогично для к. Усреднения следует производить по распределению
интенсивности волны в х- и /с-пространствах, т. е. по формулам
1 -1
\ф{к)\2(1к
-1
/сю г лоо ~| Г°° Г Гс
x\V(x)\2dx \ \V(x)\2dx\ , к= k\ip(k)\2dk\
-ОО LJ — ОО J J—ОО LJ—
и т. д.
2.93. Волновой пакет Ф образован суперпозицией плоских
монохроматических волн с разными частотами в свободном пространстве. Амплитудная функция
имеет вид распределения Гаусса ф(и) = аоехр[—(и — lj0)2 / Аси2]у где ао, cj0, Аа; —
постоянные. Найти зависимость амплитуды пакета от времени в точке х = 0.
Получить связь между длительностью волнового импульса At и интервалом частот
Да;.

§2.4. Ответы и решения
61
2.94. Волновой пакет Ф(х, £) образован суперпозицией плоских
монохроматических волн с разными частотами в свободном пространстве. Форма пакета при
х = О, Ф(0,£) = u{t) известна. Найти амплитудную функцию ф(к).
2.95. Некоторый объект, освещаемый светом с длиной волны Л,
рассматривается в микроскоп. Найти минимальный возможный размер объекта Axm-m,
допускаемый условием АхАк > 1.
2.96. Положение некоторого объекта определяется с помощью радиолокации.
С какой предельной точностью можно провести это измерение, если расстояние до
объекта /, длина волны Л?
2.97* Два единичных вектора поляризации, в общем случае комплексных,
удовлетворяют условиям ортогональности е^5 )*-е^ = <$ss/ и поперечности п-е^5^ =
= 0, где s,s' = 1,2, п — единичный вектор в направлении распространения волны.
Доказать соотношения
eWJW* = Sap - папр, (a.e<e>)(t>.e<e>*) = [а х п].[Ь х п],
(276)
где производится суммирование по повторяющемуся индексу s.
§2.4. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.1.
ц>1 = -27гр22, Ei = 47rpzez (\z\ < а/2),
(f2 = -тгра(2\г\ - а/2), Е2 = 2irpazez/\z\
(\z\ > а/2).
Ось Oz направлена по нормали к поверхности плиты. При переходе к заряженной
плоскости а —> 0, но произведение ра = а остается фиксированным. Внутренняя
область исчезает, на плоскости z = 0 выполняется граничное условие для
нормальной компоненты поля.
2.2.
2.3.
4>(x,y,z) =
47гро
4>i
47гр0
cos 72 +
а2 + (З2 + г
7 cosh Xz
■ cos ax cos /Зу cos ^z.
¥2 =
A(cosh(7rA/27) + sinh(7rA/27))
47гро7ехР[Л(7Г/17- I
cosaxcos(3y, \z\ < zq;
cos ax cos (3y, \z\ > zq.
k2X 1 + tanh(7rA/27)
Здесь к2 = a2 + (32 + 72, A = у/а2 + (З2. При предельном переходе к заряженной
плоскости имеем во всем пространстве <р = (27гсг(х,у)/А)ехр(—А|г|), где а(х,у) =
= do cos ax cos (Зу, <то = Цтг()_>о(4гоРо/тг). Экспоненциальное убывание заряда
вдоль оси Oz объясняется тем, что плоскость содержит разноименно заряженные
участки.
2.4. Самый простой метод решения задачи — с помощью электростатической
теоремы Гаусса. При решении методом интегрирования уравнения Пуассона нужно

62
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
записать оператор Лапласа в цилиндрических координатах и воспользоваться тем,
что вследствие симметрии системы потенциал зависит только от г.
При объемном распределении заряда
"2 х 2кг _ч _ , г „ 2к
Ч>1
к[ 1
R2
El = lP (Г^^); ^2
-2к1п-, £2
(г ^ Я).
При поверхностном распределении заряда tpi = 0, ip2 = —2к1п(г/Д).
2,5» <р = —2я1п(г/Д), £ = 2к/г, Д — произвольная постоянная.
2,6» (p(r,z) = 2K0Ko('yr)cosjzy где Хо(7г) — модифицированная функция
Бесселя (1.65). Произвольная постоянная выбрана так, что <р|г^оо —»0. При 7^<
<С 1, (p{r,z) « — 2к(2:)1п7Л т. е. найденный потенциал переходит в потенциал
заряженной нити с локальным значением линейной плотности заряда (см.
задачу 2.5).
Q
2.7. (p(x,y,z)
2a
In
z - a + y/(z - a2) + x2 + y2
z + a + t/(* + a)2 + ,x2 + y2
2.8. Введем обозначения
2i = z + a, z2 = z - a, ri52 = Jx2 + y2 + z\^
С
Z2+T2
Из результата предыдущей задачи следует, что
1)
П + ^2 = 2а——г = const
С-1
(нужно учесть, что z\ - z2 = 2a).
Равенство 1) показывает, что эквипотенциальные поверхности представляют
собой эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами отрезка.
2.9.
_2/3 _ г2 \
qr
*м = И2-т)> El = ^' (г^д);
Mr) = l E2 = g (r>R).
2.10.
Ех = 0 (г < Д); ^2(г)
2.11. Электрическое поле в полости однородно:
4
Е2 = ^ (г>Д).
4 4
Е = -тгрг - -жр(г - а) = -тгра.
2.12. g = 4тга(Д2 - Д1);
Ei =0, Vl =
■шф.
Е2 = -
R2 — R\ R\
q(r-R{) __ q
при г ^ R\\
4>2 = -
-(l-ln — -J при Ri^r^R2;
при г > R2.
{R2-Ri)r2' ^ R2-Ri
^3 = ~2 , <P3 = -
При R2 ^^ Ri = R и фиксированном значении заряда а получаем поле сферы,
равномерно заряженной по поверхности.

§2.4. Ответы и решения
63
2.13.
<р(г)
47Г
Г Р°° 4-тгг Г
\ p(r')r'2 dr' + 4тг / p{r')r'dr'; E(r) = -\ / p(r')r'2 dr'.
Jo Jr r JO
2.15. Поле электронного облака в атоме:
<РеМ
(l - е-2г/а^ + ^0е-2г/а;
е0
1
'2г
(т + 0<
-2г/а
+
2е0
-2т/а
Потенциал полного электрического поля в атоме <р(г) = (ре{г) + ео/т.
2.16. Напряженность поля максимальна на поверхности ядра:
^тах —
2.18.
§ = 6,4 • 1018-|з В/см, -^ = Ш)2 « 3 х 10-10Л2/^2.
Л^ А2/3 £тах V а /
V
2д_
Д2
(v/^2+^
*1);
Ех = Ev = О,
£2
2£/ ^
(i
VWT.
.)•
где г — координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости диска.
2.19. Вследствие симметрии системы потенциал
(р не будет зависеть от азимутального угла а>
поэтому можно без нарушения общности провести
плоскость xz через точку наблюдения. Тогда (рис. 2.5)
?*12 = V г2 + R2 — 2rR sin ft cos о!
<р(г,г?) = 2kR
Г
Jo
da'
\Jr2 + R2 - 2rR sin tf cos a7'
Рис. 2.5
получим
где к = q/27rR.
Произведя подстановку а! = 7г — 2(3 и введя
обозначение
7 о 4гД sin #
j^z — _
vV2 + #2 + 2r#sintf'
4кД /** d/?
= Г
sin tf Jo \/b-
2А:к
vV2 + i?2 + 2ri?sintf,/o ^l-^sin2^ \A\Rsintf
K(k).
2.20. a) ip = q/y/R2 + 22, где 2 — расстояние от плоскости кольца до точки
наблюдения; б) ц> = q/r\ в) обозначив через г' расстояние от точки наблюдения до
нити кольца, получим при г' > R:
г.'2
1_А;2~~Б2' #(*;) = 1п(8Д/г') и ф) = -2к In/ + const,
как и должно быть в случае линейного заряда.

64
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
2.21.
pcostf 2pcos$ psintf
4>d = о—> ^r = 5 7 ^dtf = ^—> ^da = 0;
/r»Z /r»0 /r»0
^ = 4^з(3сов ^-1) = ^з >
_ 3QP2(costf) _3Qcostfsintf _
*r ~ 2Й ^ ~ 2Й ' *a ~
Здесь P2(cos$) — полином Лежандра.
2.22.
47Г 0 ,_ ^ ^ч 47Г CTo^R3
Vi = —-aorcostf (r^R), ¥2 = — 5—costf (r > R).
Внутри сферы — однородное электрическое поле с напряженностью Eiz=—47rao/3.
Вне сферы — поле диполя с моментом A7raoR3/3.
2.23.
00 1
ф) = £ Е
4тг QjmYim(tf,a)
, т 21 + 1 г^1
/=0 m=-l
где Qzm — мультипольный момент порядка /, га:
Q'm = {щ-ljPir'y^mW^'W.
Здесь интегрирование производится по всему объему, занимаемому системой
зарядов.
2.24. Разбиваем область интегрирования по г' в (2.8) сферической
поверхностью с радиусом г на внутреннюю и внешнюю области. Во внутренней
области используем разложение (1.79) и получаем такую же сумму, как в
предыдущей задаче, за исключением того, что мультипольные моменты Qlm(r)
становятся функциями г. Во внешней области в разложении (1.79) нужно сделать
замены a -> г, г—» г'. В итоге получим
оо /
^) = Е Е У^(^+^тм)«™(^«).
/=0 m=-Z
где
Интегрирование по г' в последнем интеграле проводится в пределах от г до оо.
2.25. Если положительно заряженное полукольцо занимает область х>0 в
плоскости ху, то при х, у < (Я2 + z2)/R получаем, разлагая подынтегральную
функцию в интеграле f (к/г 12) dl в ряд:
4qRx
тг(#2 + г2)3/2'

§2.4. Ответы и решения
65
откуда
тг(Д2 + г2)3/2' ^ ' 2 тг(Д2 + г2)5/2-
При z ^> R получается поле электрического диполя, момент которого направлен
по оси Ох и равен AqR/тт.
2.26.
,3z2 —г2 „ 9P2(cos$) „. Зоо2 sin2 ■& cos a sin a
1) У ~ ga r5 = 2qa ~3 ; 2) <р « ^ "
227.
65o3P3(cos^) ,15cos3tf-9costf
!) у ~ ^ = «а ^ ;
Ibqabcxyz Ibqabc sin21? cos t? sin a cos а
2) ^~ ^ = ^ •
2.28. ц>(г,0,а) = qZi,m Ml^TYim^o,a0)Ylm(e,a) при г < r0;
</>(r, 0,a) = qE,,m 2Ш • 4r^im(^o,ao)Ylm(0,а) при г > r0.
2.29.
ч g a2(3a;2-r2) + 62(3?,2-r2) + c2(3z2-r2)
<p(x,V,z)*s-+q —5 * .
В случае эллипсоида вращения (a = b)
q с2 -a2 P2(costf)
*M) = - + *—g -3—.
В случае шара a = b = с, у? = q/r.
2.30. Выберем цилиндрическую систему координат, ось Oz которой совпадает
с осью цилиндра (рис. 2.6). Вместо условия ip\s = const на поверхности S
цилиндра удобнее использовать вытекающее из него условие (dip/da)s=0. В результате
дифференцирования получим
К1#1 К2'Х'2
R2 + х\ - 2Rx! cos a R2 + х\ - 2Rx2 cos a'
Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с cos a и без
него. В результате получим, что при щ = К2 эквипотенциальной поверхностью
будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой параллельна заряженным
нитям и лежит с ними в одной плоскости, а радиус удовлетворяет условию R2 =
= х\Х2. При х\ = 0 существует решение к 2 = 0. Этот случай соответствует
цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в поле одной нити.
2.31. Воспользуемся рис. 2.7. Радиус R искомой сферы и положение ее центра
определяются уравнениями
1?2 . . Zl «1
К = ZiZ2, — = -о.
^2 Я2
Потенциал на поверхности этой сферы равен нулю.

66
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
Рис. 2.6
Рис. 2.7
2.32.
Д<р = qA-
—ar i e~ar
— =qA-+qA
Г Г л Г
-1
= -4тг^(г) + ^^ + [1 " (1 + ctr) e-ar] =
= -47г<?<5(г) +
qa2e~ar
Таким образом, имеется точечный заряд q в начале координат и сферически
симметрично распределенный объемный заряд с плотностью р = -(qa2/47rr)e~ar}
JpdV = -q.
2.33. Точечный заряд ео в начале координат, окруженный объемным зарядом
с плотностью р(г) = -(ео/7го3)е_'2г/а. Такой вид имеет распределение заряда в
атоме водорода (ср. с задачей 2.15)
2.34.
2.35.
2.36.
2.37.
J="=(p-V)E, N = pxE.
q2 q2 Л-,* ы*»
3^ —>
bR 2R R2 — R\ \ R2 — R\ R\
RVR2 + a2
<7l,2
qa^
(yiP + cPAw - RAh2) ■
U= [^p(r)dV = -^.
J r a
2.38. U = ЬеЦАа.

§2.4. Ответы и решения
67
2.39. Необходимым условием минимума потенциальной энергии является
обращение в нуль всех первых производных и положительность всех вторых
производных потенциальной энергии по обобщенным координатам при некоторых
значениях координат (в точке равновесия системы):
dU d2U
dqa dql
где 37V — число степеней свободы N точечных частиц. Под qa можно понимать их
декартовы координаты. Выделим некоторую частицу и припишем ей координаты
<7ь <72> <7з- Электростатический потенциал всех остальных частиц в этой точке
(р{<И,Я2,Яз) удовлетворяет уравнению Лапласа
А д2ср д2(р d2ip
dq\ dq\ dq\
Следовательно, потенциальная энергия U = е<р(<71,<?2><7з) не может иметь вторые
производные одного знака в точке нахождения данного заряда. Это рассуждение
относится к любому заряду. Таким образом, потенциальная энергия не имеет
минимума, и равновесие системы точечных зарядов неустойчиво.
2.40. U = %&, Р = Ш.
а
2.41. Л =3^.
2 42 TJ — £ £ ni^dli dl2 _ Q1Q2 r2n r2n abdli dl2
• • и ~ ?h fa r12 ~ 4Я jo Jo ,yc2+a2+b2_2abcos(al-a2y
где интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец dl\ и dl2, a\
и а2 — углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по da2 и делая
замену а\ = 7г — 2а, получим
и = ^ВД,
тгу/ао
где
: + (а + 6)2' V } h
— полный эллиптический интеграл первого рода.
^с2 + (а + 6)2' Jo y/l-k2sin2a
[еский
При вычислении силы
dU__ dU_dk
дс дк дс
нужно воспользоваться формулой
^-т-^-^
где Е(к) = /0 v 1 — к2 sin2 a da — полный эллиптический интеграл второго рода.
Окончательно,
qiq2ck3 E(k)
F =
4тг(а6)3/21-/с2'

68
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
2.43.
F= 3gr(p-r) qp N = qp x r
2.44.
sin i? i sin $2 cos $ — 2 cos # i cos $2
tf = P1P2 ^ ,
где #i = Z(r,pi), #2 = ^(r>P2), $ — угол между плоскостями (r,pi) и (r,p2),
_ sin^i sin ^2 cos^ — 2cos$i cos $2
F = 3Plp2 .
Сила максимальна при $i = $2 — ф — 0> т.е. при параллельных диполях.
2.45.
U21= Jp(rf)^(rf)dVf ^^y^a^^y^^aO^^^a^QL.
2.46. Да, при условии jo*k = 0. В противном случае dp/dt ф 0.
2.47.
Яосг
Зг = 3$ = 0, За = ~Л—о sin^ ПРИ r <a\ J = 0 при г > а.
47ГСГ
2.49.
{2Jr/ca2 при г < а,
2J/cr при а ^г ^ Ь,
0 при г > Ь.
2.50. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если
направить ось Oz вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты А будут
удовлетворять уравнениям:
47Г
1) ААХ = О, ААУ = О, AAZ = j2,
причем jz = 0 при г > a, jz = J/тга2 при г ^ а.
Поскольку в уравнения для Ах и Ау заданный ток J не входит, эти компоненты
можно считать равными нулю; Az будет зависеть только от расстояния г до оси Oz.
Интегрируя уравнение для Az и используя условия непрерывности Az и На на
границе г = а и ограниченности Н при г = 0, получим:
при г < а
2) Az=C-J-(r-)\ Ha = ^r;
с \а/ саА
при г > а
7 / г\ 2 7
3) Лг=С--(1+21п-), #а = —.
с V а/ сг
Константа С — произвольна.

§2.4. Ответы и решения
69
2.51. При г < а
AZ=CU B = 0;
при а ^ г ^6
2Ja2 ( г г2 \ 2 J / а2\
при г > b
2 J 6 2 J
А2 = — ln- + C3, Ha = —.
с г сг
Остальные компоненты А и Н равны нулю. Две любые константы, входящие
в Az, можно выразить через третью, использовав условия непрерывности
векторного потенциала на границах.
2.52.
2J/ а + 2х а-2х\ J л Iх" f) + У2
Нх = arctg — + arctg — ), Ну = In ^ ^ » Н* = °-
mV 2^/ 2^/ У са (х + ^\у2
Ось О?/ перпендикулярна полосе и проходит через ее середину.
2.53. Пластины отталкиваются с силой
, 4J2/ а 1м а2 + 6^
2.54.
. 2 J r2 J. (а + х)2 + ?/2
A2 = — In — = - In j ;
<9A2 _ SJ axy dAz _ 2J /a — x a-\-x\
ду с т\т\'' у дх с V r\ r\ )'
Координаты проводников с током в перпендикулярной к ним плоскости
равны (а, 0) для тока +J и (—а,0) для тока — J; т\ и г2 — расстояния от точек (а, 0)
и (-а, 0) до точки наблюдения.
2.55. а) Между плоскостями Н = Ani/c, в остальном пространстве Н = 0;
б) между плоскостями Н = 0, в остальном пространстве Н = Ani/c. В обоих
случаях магнитное поле направлено перпендикулярно току и параллельно
токонесущим плоскостям.
2.56. Ну = (А 2\ > Нх = Hz = 0; ось О?/ нормальна к плоскости,
проведенной через оси цилиндров.
2.57. В любом сечении такой трубки поток индукции будет один и тот же.
Поэтому уравнение поверхности трубки:
N
= / Н • dS = /(r, z) = const,

70
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
где поверхность интегрирования S представляет собой круг радиуса г в плоскости,
перпендикулярной оси симметрии (центр круга лежит на оси симметрии). Так
как Аа не зависит от а, то с помощью теоремы Стокса получим
/ Н • dS = Ф А • dl = 27rrAa(r, z) = const.
Линии пересечения этих поверхностей с плоскостями а
линии магнитной индукции.
2.60. #2 = (27rnJ/c)(cos<9i+cos<92),
где (рис. 2.8):
h-z
cos#i
const и дают искомые
Va2 + (h - zY
COS #2
у/а2 + z2
2.61. Решим задачу методом векторного
потенциала. Плотность поверхностного тока,
возникающего при вращении сферы,
еи
г = ес
Атта
siwd
Рис. 2.8
1)
(полярная ось выбрана вдоль вектора и). Векторный
потенциал во всех точках, не лежащих на
поверхности сферы, удовлетворяет уравнению Лапласа. Как
следует из симметрии системы, векторный
потенциал можно выбрать так, чтобы была отлична от нуля
только компонента Аа, которая не будет зависеть от
угла а. Поэтому уравнение для векторного
потенциала запишется так:
1
АЛ
9 • 2 0 а
rz sin v
0.
Поскольку плотность тока зависит от угла # по закону sin??, естественно искать
решение уравнения 1) в виде
2)
Aa(r,ti) = F(r)sintf.
Как будет видно из дальнейшего, F(r) можно выбрать так, чтобы удовлетворялись
уравнение и граничные условия, и это оправдывает выбор решения 2). Отметим,
что векторный потенциал 2) удовлетворяет условию
div A = 0,
выполнение которого необходимо, чтобы имело место 1).
Определяя F(r) с помощью уравнения 1) и граничных условий, получим Аа
и Н = rot А. В итоге напряженность магнитного поля (г < а):
3)
н =
2еи
3r(m • г) m
r<a\ H = -, г > a,
где m
и — магнитный момент системы.

§2.4. Ответы и решения
71
2.62. Запишем с помощью дельта-функции ток вращающейся сферы (см.
формулу 1) в решении предыдущей задачи) через его объемную плотность:
eU • а г/ ч
J = e"w (г_а)*
С помощью формулы (2.29) находим магнитный момент m = ea2u>/3c, полученный
в предыдущей задаче другим способом. При распределении заряда равномерно
по объему получим m = ea2u;/5c. Магнитное поле, найденное по приближенной
формуле (2.28), во внешней области г > а совпадает с точным решением.
2.64. Подставив в (2.29) выражение (2.20) для плотности тока, создаваемой
точечными частицами, получим
m=E|Kx«a]=5:^[raxpa])
а а
где ра = mava — импульс отдельной частицы. При еа/гаа = е/гп получаем
формулу, приведенную в условии задачи и определяющую магнитный момент системы
частиц, обусловленный их движением в пространстве.
Следует иметь в виду, что магнитный момент является важнейшей
физической характеристикой, присущей как многим макроскопическим телам
(постоянным магнитам, земному шару, Солнцу и звездам), так и почти всем
микрочастицам, заряженным (электроны, протоны, атомные ядра) и электронейтральным
(нейтроны, атомы). Внутренние моменты микрочастиц называются спиновыми, они
не связаны с их движением как целого и обусловлены особенностями (во многих
случаях неизвестными) их внутренней структуры. Между спиновыми магнитным
т5 и механическим L5 моментами выполняется соотношение того же типа
что и для орбитальных моментов, однако коэффициент пропорциональности 7]s
не совпадает с ц = е/2тс и различен для разных частиц. Спиновый магнитный
момент представляет собой квантовое явление, не объясняемое классической
электродинамикой.
2.65.
1 / ел е2 \ mim2
2С \mf ГЩ/ mi + ГП2
2.66.
eh
m = две2, где [iB = « 0,9 x 10"20 эрг/Гс
2mPc
магнетон Бора.
2.67. m = fis.
2.68.
H(0) = 40&e2' m = 6/^e-
2.69. В точках, где j = 0, можно положить Н = — V^. Тогда уравнение rot H =
= 0 выполняется при всех *ф, а уравнение divH = 0 дает
Д<0 = 0.

72
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
Последнее уравнение должно быть решено при дополнительном условии
/
47Г
Н.Д = —J,
i c
где / — любой контур, охватывающий ток j. Вводим цилиндрические координаты г,
a, z и ищем решение в виде ф = ф(а).
Окончательно получим
2J 2J
ф= а, Яа = —, Яг = Я2=0.
с сг
2.70. F = О, N = m х Н, где m = ^ Jn • dS — магнитный момент контура с
током.
2.71. U = mi'm2 - 3(mi'r)(m2T),
3 15
F2 = -Fx = — [(mi • r)m2 + (m2 • r)mi + (mi • m2)r] ^(тх ■ r)(m2 • r)r,
где r — радиус-вектор, проведенный от первого тока ко второму, Fi, F2 — силы,
действующие на первый и второй токи;
3(т2 • r)(mi х г) т2 х тх 3(тх • г)(т2 х г) тх х т2
JMi = ё 1 5 , JN2 = ё 1 о ,
где Ni, N2 — вращательные моменты, приложенные к первому и второму токам
соответственно. Следует отметить, что Ni ^ — N2, но
Ni + N2 + (г х F2) = 0.
Если магнитные моменты параллельны (mi = rain, m2 = ra2n, r = ri*o, n и i-q —
единичные векторы), то получим
3raira2[2ncos$ - r0(5cos2$ - 1)]
F2 = ZA '
где $ — угол между п и i-q.
2.72. Потенциальная функция тока J2 в поле тока Ji\
2«/i«/2
U21 = —~— In a + const,
с2
где а — расстояние между токами.
Сила, действующая на единицу длины второго тока:
f - du<21 - 2JlJ<2
да с2 а
При параллельных токах (Ji и J2 одинакового знака) имеет место притяжение.
2.73. £ = 1/2 + 21п(Ь/а).
2.74. С = Aim2S. Для соленоида большой, но конечной длины h, пренебрегая
краевым эффектом, получим полную индуктивность L = A.im2Sh.

§2.4. Ответы и решения
73
2.75. Вычисляем магнитную энергию по формуле
W = -L ( l-±-^dSidS2.
Здесь dSi и dS2 — элементы поверхности соленоида, R — расстояние между ними,
через г (ii = %2 = г = nJ) обозначена плотность поверхностного тока, которым
заменен ток, текущий в обмотке соленоида, п — число витков на единицу длины.
Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:
с Jo Jo J ^Zl-z2)2+Aa2sm2(a/2) c
где отброшены все члены порядка {a/h)2 и выше. Отсюда
L = 4тг2а2г?2/1(1 - Sa/Snh).
Если пренебречь членом a/h по сравнению с единицей, то получится результат
предыдущей задачи:
L = 4тг2а2п2/?, = 4nn2Sh.
2.76. Для кругового сечения
L = A7rN2(b-Vb2-a2).
Самоиндукция на единицу длины С = Ь/2пЬ для бесконечного соленоида
получится, если сделать предельный переход Ъ —► оо при заданном числе витков на
единицу длины п = N/2irb:
С = 4тг2п2а2 = 4тгп25
(ср. с задачей 2.74).
Для прямоугольного сечения
L = 2Nzh\n
2|1 26 + а
2Ь-а
При 6 > а опять имеем С = Ann2S.
Если ток течет непосредственно по оболочке тора, то самоиндукция
уменьшается в N2 раз по сравнению с самоиндукцией тора, обмотанного проводом.
В соответствии с этим будем иметь:
L = A7r{b-Vb2-a2)
для тора круглого сечения и
L = 2Л In —
2b-a
для тора прямоугольного сечения.

74
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
2.77. Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по формуле (2.32).
Векторный потенциал прямого провода с током был получен в задаче 2.50. Для
провода 1 (рис. 2.9) запишем его в виде
1) Alz = C
Jrl
2
ca
при
r\ < a: A\z = С (1 + 2 In — J при т\ > а.
Векторный потенциал, создаваемый
проводом 2, получится при замене в 1) J на
- J, a на Ъ и ri на т2. Находим
магнитную энергию:
2) W=
J
2тгса2
J
' 2тгсЬ2
J(Au+A2z)dS1-
J(Alz+A2z)dS2.
Рис. 2.9
Интегралы, входящие в 2), можно
вычислить с помощью справочника [Градштейн и Рыжик (1971)]. Учитывая затем
связь между коэффициентом индуктивности и магнитной энергией системы,
получим окончательно:
3)
h2
1 + 21п—.
ао
2.78. В переменных £, т\ одномерное волновое уравнение принимает вид
d2Ei/d£dr] = 0, откуда следует приведенное решение. Оно описывает две плоские
волны произвольной формы, распространяющиеся в противоположных
направлениях оси Ох со скоростью с. Решение, описывающее распространение плоских
волн в направлении п, имеет вид
2.79. 7 = cwn, го
E(r,i) =EiF(n-r-
(£2 + Я2)/8тг =
■ ct) +Е2Ф(п-г + с£).
Е2/4тт. Энергия переносится в
пространстве со скоростью с.
2.81. tg2a = 2Е01 ^02/(^1 + Дог)-
Для определения направлений вращения запишем (2.60) в проекциях на оси
координат, выбрав постоянно используемую правую систему координат с осью Ох
вдоль Ei и осью Oz в направлении распространения волны к. Аргумент
тригонометрических функций запишем так, чтобы он увеличивался с ростом t. Будем
иметь
Ех = Е\ cos(u;£ — k-r — а),
Еу = ±£2 sin (art — k-r — а),
где £\ > 0 и £2 ^ 0, знак плюс во второй формуле отвечает правой тройке
векторов Ei, E2, к, а знак минус — левой тройке. При знаке плюс волна имеет
правую спиральность, т. е. направление вращения вектора Е и направление
распространения образуют правый винт. При знаке минус спиральность левая (винт

§2.4. Ответы и решения
75
с левой нарезкой). По историческим причинам в оптике принята противоположная
терминология: вращение вектора Е в направлении правого винта называют левым,
а противоположное вращение — правым.
2.82. По методике предыдущей задачи, записываем
Е0 = Ei + Е2 = аех + beixey = (Ех + ёЕ2)е*
и находим
Ei = acosaex + bcos(x - ot)ev,
E2 = -asinaex-\-bsin(x-a)ey,
b2 sin 2v
tg2a = —, -7г<а^тг.
az + bz cos 2x
(последнее равенство получено из условия ЕГЕ2 = 0). Спиральность
результирующей волны определяется знаком произведения Е2-е1//, где еу> = n x Ei/£i —
третий орт, составляющий правую тройку с ех/ = Ei/£i и п. Используя
полученные выражения, находим Е2-е1// = a&sinx/£i- Согласно результатам предыдущей
задачи, при ab > 0 и sinx > 0, 0 < х < к, спиральность правая, при sinx < О,
—pi < х < 0 — левая. При \ = 0 и при \ = ±7г поляризации линейные в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях.
2.83. При х = 0 поляризация линейная, плоскость поляризации проходит через
биссектрису угла между осями Ох, Оу. При х = к поляризация тоже линейная,
плоскость поляризации проходит через биссектрису угла между Ох и -Оу. При
X = тг/2 поляризация круговая с правой спиральностью (рис. 2.10а). При х = -к/2
поляризация круговая с левой спиральностью (рис. 2.106). В остальных случаях
она эллиптическая, причем при 0 < х < тг спиральность правая, при -7г < х < О —
левая.
а)
б)
♦ е..
Рис. 2.10
Рис. 2.11
2.84. е*1) = е<2)* = (ех + iey)/y/2.
2.85. Е = y/2Eoef. Поляризация линейная, орт е' составляет угол а с осью
Ох (рис. 2.11).

76
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
2.86.
J a - r(l)e(l)p(D* i/(2)e(2)(2)*
где 7^\ /(2) — главные значения эрмитова тензора (действительные величины),
а е^\ е^2) — его собственные векторы, в общем случае комплексные и
описывающие эллиптическую поляризацию. Они удовлетворяют условиям е^-е^ )* =
= 5<7<т', е» е^ = ^а/з (сумма по повторяющемуся индексу). Введенные в примере
2.5 величины выражаются через 1^ > /С2);
in " ^ ' ip " i i ' ^ " /(1) + /(2) ' P ~ I(D + /(2) '
2.87. Введем прямоугольные оси Ox' || a и Ог/ || b. В этих осях комплексная
амплитуда поля будет иметь вид
Е0 = aexf ±ibey>,
где знак «+» отвечает левой эллиптической поляризации, а знак «-» — правой.
Интенсивность I = а2 -\- Ь2. Фаза выбрана равной нулю для х'-компоненты поля.
Выражая теперь орты ех/, еу> через ех, еу, получим для компонент 1^:
In = a2 cos2 ti + b2 sin2tf, /22 = a2 sin2 tf + 62 cos2 tf,
■f 12 = (k2 - «2) sin tf cos $ =F iab = I%i•
Верхний знак отвечает левой эллиптической поляризации, нижний — правой.
При 6 = 0 поляризация линейна и тензор /^ имеет вид
_ т ( cos2 ^ sni ^ cos ^
г V sin#cost? sin2?!
При а = b = \J 1/2 поляризация круговая и
Т - К l =F*
7г/с " 2 V ±г 1
2.88. Амплитуда суммарной волны
Е = Ei + Е2 = £(е(1) + e(2Va),
где а — сдвиг фаз, меняющийся беспорядочно, |Е|2 = I. Компоненты тензора
поляризации по определению (см. 2.61) равны
Iik = EtE*k = /(e(D +e(2)e^)z(e(D +e(2)e-^)fc.
При усреднении по времени получим e±ia = 0, поэтому тензор поляризации будет
иметь вид
1 + cos2 # sin д cos д
sin # cos д 1 — cos2 д
hk = J

§2.4. Ответы и решения
11
Отсюда, используя (2.75), получим
Р = |costf|.
Этот же результат можно получить, диагонализуя тензор 7^. Приравнивая
нулю определитель системы уравнений (см. пример 1.1 и формулу (1.20)), получим,
что 7i = 1 + | cos #|, 72 = 1- | cosi9|. Отсюда опять Р = (7i -h)/{h + h) = |cos#|.
Базисные векторы ei = (cos(#/2),sin(tf/2)) и е2 = (—sin(tf/2),cos(#/2)). Они
вещественны в рассматриваемом случае.
Результирующая волна состоит из неполяризованной части с интенсивностью
7(1 —|cos#|) и линейно поляризованной вдоль направления ei = (cos(#/2),sin(#/2))
части с интенсивностью /| cosi?|:
/г ч г/, i шч/г ч г. п. /" cos2(t?/2) sin(t?/2)cos(t?)2 \
(irt)=id - icoetfDft*)+но»*! (^ sin(i/^osW2) 3;п2(;д j.
Результирующая волна полностью поляризована (но не монохроматична) при д =
= 0. При # = 7г/2 — полная деполяризация.
2.89. Тензор поляризации
т 1 / 27х+72 72 \
(ось Ох\ совпадает с направлением поляризации первой волны).
Степень поляризации
Р y/W+Ч
7i+72 '
Результирующая волна состоит из неполяризованной волны с интенсивностью (7i +
+72)(1 — Р) и линейно поляризованной волны. Направление линейной поляризации
составляет угол
fi = arctg ——-—■=-*■
с направлением поляризации первой волны.
2.90. р = (1 - £)/(! + £)*> ПРИ С = 0 волна не поляризована, при £ = 1 —
полностью поляризована. Поэтому величина £ называется степенью поляризации.
Положим & = <^77г, где г)* + 7)% + г)% = 1. Тогда
^ = ^(i-o*ife + f (i + Erf}).
Первый член в этом выражении соответствует полностью неполяризованному
состоянию, а второй — полностью поляризованному. В случае а) 773 = 1, щ = щ = 0.
Сравнивая

78
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме
с выражением 1^ = 1щп1, видим, что в данном случае щ = 1, пг = 0, т. е.
тензор I"k описывает волну, линейно поляризованную в направлении оси Ох (волна
распространяется в направлении Oz).
Аналогичным образом легко убедиться, что в случае б) 771 = 1, щ = щ = О
и волна линейно поляризована в направлении, составляющем 45° с осью Ох, а в
случае в) щ = 1, щ = щ = 0 и волна поляризована по кругу.
2.91. Волновой пакет удовлетворяет однородному уравнению Даламбера при
условии и2 = с2/с2. Гауссовой амплитудной функции соответствует пакет
i х2А/с2
Ф(х,0) = А(х,0)ехр(г/с0х), где А(х,0) = а0\/7гА/сехр
Амплитуда волнового пакета А(х,0) имеет форму кривой Гаусса. Она становится
исчезающе малой при \хАк\ ^> 1. Отсюда следует, что ширина пакета Ах связана
с шириной А/с в пространстве волновых векторов соотношением Ах-А/с « 1. Это
соотношение имеет универсальный характер и справедливо как для
электромагнитных волн, так и для волн любой другой природы. Оно играет особую роль для
волн вероятности в квантовой механике, приводя к соотношению
неопределенностей для координаты и импульса микрочастицы.
2.92. l.Ax^-Afc2 = 1/2, 2. Ах^-Afc2 -> ос.
2.93.
Ф(0,£) = A(0,t)exp(-iLU0t), где -4(0,t) = а0л/тгАиехр
t2Au2
At-Abj « 1.
2.94.
2.95.
1 f°°
ф(к) = — / u{t)etkctdt.
27Г J-oo
А
AXmin"27rsin^
где # — половина угла конуса раствора лучей, направленных из объектива
микроскопа к рассматриваемому объекту.
2.96. Волновой импульс, посылаемый радиолокатором, имеет ширину Ах,
связанную с поперечным разбросом волновых векторов к± соотношением Ах-к±^1.
С другой стороны, очевидно, Ах/1 « к±/к. Из этих двух соотношений находим
неточность в определении положения объекта:
Ах > уД\.
2.97. Разложим действительные орты еа, а = 1,2,3 некоторой декартовой
системы координат по трем взаимно ортогональным ортам е^\ е@\ п: еа =
= еа е^ +eiV2) + пал. Составив скалярные произведения, получим Sap =
- J\) Ji)*
— e^-e^ — Cot в
/з
+ е;
(2) J2)*
-\-папр.

Глава 3
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§3.1. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Координаты и время в двух инерциальных системах отсчета (ИСО) S и S'
связаны между собой формулами преобразований Лоренца
х' + V?
^/l-V2/c2'
У = У
t =
t' + Ух'/с2
л/1 - V2/c2'
(3.1)
Это преобразование (которое иногда называют английским словом буст) отвечает
случаю, когда соответствующие оси координатных систем S и S' параллельны
между собой, относительная скорость V направлена вдоль оси Ох (рис. 3.1) и
начала координатных систем совпадают при t = t' =0.
В этой и последующих главах мы будем часто
использовать обозначения
У\ у'\
с
1 =
1
лД3^'
(3.2)
Рис. 3.1
Преобразования, обратные (3.1), получаются
изменением знака относительной скорости и в
обозначениях (3.2) имеют вид
х' = j(x - pet), у' = у, z' = z, t' = j(t - px/c).
(3.3)
Преобразования Лоренца удовлетворяют принципу
соответствия — при V <ti с, у « 1 они переходят в
преобразования Галилея классической механики
Vt, y' = y, zf = z, t' = t.
(3.4)
Пример 3.1. Пусть пространственно-временные координаты х, ct системы
отсчета S откладываются на взаимно перпендикулярных декартовых осях.
Построить на этом же чертеже координатные оси х'', ct''. Указать положение
осей х, ct, если на прямоугольных осях отложены х'\ ct'.
Решение. Временной осью системы S' является прямая х' = 0. В системе осей
ct, х согласно (3.3) эта прямая задается уравнением ct = х/0 и составляет угол

80 Глава 3. Специальная теория относительности
Рис. 3.2 Рис. 3.3
а = arctg(V/c) с осью ct (рис. 3.2). Ось х' в S' задается уравнением ct' = 0,
которое в S принимает вид ct = /Зх и представляет собой прямую, составляющую
тот же угол а с осью х. Новые координатные оси стали косоугольными! Если
откладывать ct', х' на прямоугольных осях, то косоугольными станут оси ct, xy
отклонившись на угол а в другие стороны (рис. 3.3). ■
Преобразования Лоренца оставляют инвариантным интервал si2 между двумя
событиями,
*?2 = c2(ti - t2)2 - (xi - х2)2 - (У1 - y2f - (zi - z2)2, (3.5)
каждое из которых характеризуется четырьмя числами — пространственными
координатами х, у, z и временем t. В четырехмерном пространстве-времени
интервал играет роль расстояния между двумя точками. Геометрия четырехмерного
пространства, в котором расстояние между точками дается выражением (3.5),
называется псевдоевклидовой.
Время, отсчитываемое по часам, неподвижным относительно некоторого
объекта, называется собственным временем этого объекта. Малый промежуток dr
собственного времени пропорционален интервалу, является релятивистским
инвариантом и выражается в виде
ds I v
dr= — = Jl- -jdt < dt, (3.6)
где v(t) < с — скорость инерциальной системы, мгновенно сопутствующей рас-
сматриваему объекту, dt — промежуток времени в системе наблюдателя.
Твердый стержень, имеющий в своей собственной системе длину /0» ПРИ
Движении со скоростью V вдоль своей оси имеет в системе наблюдателя длину
ct
\ fct'
А В
_____/„ -*
7 S'
о/ ^^^х'
I^^\Ol
Оо'

§3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
81
Если некоторая частица имеет в системе S' скорость v' = dr'/dt', то ее скорость
v = dr/dt в системе S будет иметь компоненты
v'x + V л_ v'yy/\-V*/<? л _ v'zy/l-V*/<* (3 8)
х l + Vv'x/c2' y l + Vvfx/c2 ' z l + Vv'x/c2 *
При 1/ « с, t;' « с эти формулы переходят в нерелятивистский закон сложения
скоростей vx = vx-\- V, vy = v'y, vz = v'z.
В псевдоевклидовом пространстве следует вводить два сорта координат — кон-
травариантные и ковариантные, и два типа тензорных значков. Квадрат интервала
(3.5) между близкими точками можно записать в тензорных обозначениях:
ds2 = gikdxidxk\ (3.9)
где
dx° = exit, dx1 = dx, dx2 = dy, dx3 = dz (3.10)
— дифференциалы контравариантных четырехмерных координат,
9гк =
/1
0
0
\о
0
-1
0
0
0
0
-1
0
о\
0
0
-1/
(3.11)
— метрический тензор. Суммирование здесь и в дальнейшем нужно производить
по четырем значениям г, к = 0,1,2,3 совпадающих латинских индексов.
Контравариантные компоненты метрического тензора совпадают с его ковари-
антными компонентами, gkl = ды, и удовлетворяют соотношениям
9ik9kl = Si (3.12)
где 5[ — четырехмерный символ Кронекера.
Всякие четыре величины А0, А1, А2, А3, которые определены во всех инер-
циальных системах отсчета и преобразуются при переходе из одной системы в
другую как координаты и время, т. е. по правилу
А0 = 7(А/0 + /ЗА'1), А1 = j(An + /L4'°), A2 = А'2, А3 = А'3, (3.13)
образуют контравариантные компоненты четырехмерного вектора (4-вектора) Аг,
г = 0,1,2,3. Трехмерный вектор А = (А1, А2, А3) называют пространственной, а
величину А0 — временной составляющими 4-вектора Аг. Ковариантные
составляющие этого вектора Ai определяются по правилу опускания индекса:
Ai=gikAk = {A\-A). (3.14)
Скалярное произведение двух 4-векторов и квадрат 4-вектора представляют
собой инварианты преобразований Лоренца (скаляры в четырехмерном
пространстве)):
АгВ1 = АгВг = дгкАгВк = inv, АгАг = дгкАгАк = inv. (3.15)

82
Глава 3. Специальная теория относительности
Произвольный 4-вектор, как и интервал, может быть нулевым, или изотропным
(АгАг = 0), времениподобным (А^А1 > 0) и пространственноподобным (А^А1 <
< 0). Примерами четырехмерных векторов, кроме 4-радиус-вектора в пространстве
Минковского, могут служить 4-скорость иг частицы и ее 4-ускорение wl\
u* = ^=(-^^=, , V У u,' = ^ = ^, (3.16)
dr \yJl-v2/<? y/l-v2/c2)' dr dr2'
где v = dv/dt — трехмерная скорость частицы, dr — дифференциал
собственного времени. Четырехмерный вектор образуют частота и волновой вектор плоской
волны:
кг = (^, k) , ki = (^, -к) , (3.17)
а фазу можно записать как скалярное произведение двух 4-векторов:
if = k • г - tut = — кгхг. (3.18)
Рекомендуемая литература: [Эйнштейн (1905), Эйнштейн (1955), Батыгин и
Топтыгин (2003)], [Ландау и Лифшиц, Теория поля. Бредов и др. (2003), Вейн-
берг (1975), Фок (1955)], [Гинзбург (1979), Болотовский (1990), Принцип
относительности (1973). Дюге (1973), Окунь (2008), Окунь (2008а)].
Задачи
3.1. Пусть система S' движется относительно системы S со скоростью V
вдоль оси х. Часы, покоящиеся в S' в точке (x'0,yf0,z'0)y в момент t'0 проходят мимо
точки (яо,уо»2о) в системе S, где находятся часы, показывающие в этот момент
время to- Написать формулы преобразования Лоренца для этого случая.
3.2. Система 5" движется относительно системы S со скоростью V. Доказать,
что при сравнении хода часов в системах S и S' всегда будут отставать те часы в
одной из этих систем отсчета, показания которых последовательно сравниваются
с показаниями двух часов в другой системе отсчета. Выразить один промежуток
времени через другой. (Показания движущихся часов сравниваются в момент,
когда они находятся рядом.)
3.3. Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некоторой системе
отсчета, можно находить таким образом: измерять промежуток времени, в течение
которого стержень проходит мимо фиксированной точки этой системы, и умножать
его на скорость стержня. Показать, что при таком методе измерения получается
обычное лоренцево сокращение.
3.4. Система S' движется относительно системы S со скоростью V. В
момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеих систем
показывали одно и то же время t = t' = 0. Какие координаты в каждой из этих
систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая тем свойством, что
находящиеся в ней часы систем S и S' показывают одно и то же время t = t'?
Определить закон движения этой точки.

§3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
83
3.5. Пусть для измерения времени используется периодический процесс
отражения светового «зайчика» попеременно от двух зеркал, укрепленных на концах
стержня длиной /. Один период — это время движения «зайчика» от одного зеркала
до другого и обратно. Световые часы неподвижны в системе S' и ориентированы
параллельно направлению движения. Пользуясь постулатом о постоянстве
скорости света, показать, что интервал собственного времени dr выражается через
промежуток времени dt в системе S формулой (3.6).
3.6. Решить предыдущую задачу для случая, когда световые часы
ориентированы перпендикулярно направлению относительной скорости.
3.7. «Поезд» А'В', длина которого 1о = 8,64х 108 км в системе, где он покоится,
идет со скоростью V = 240 000 км/с мимо «платформы», имеющей такую же
длину в своей системе покоя. В голове В' и хвосте А' «поезда» имеются одинаковые
часы, синхронизованные между собой. Такие же часы установлены в начале (А)
и в конце (В) «платформы». В тот момент, когда голова «поезда» поравнялась с
началом «платформы», совпадающие часы показывали 12ч 00 мин. Ответить на
следующие вопросы: а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо
системе отсчета все часы также показывают 12 ч 00 мин; б) сколько показывают
каждые из часов в момент, когда хвост «поезда» поравнялся с началом
«платформы»; в) сколько показывают часы в момент, когда голова «поезда» поравнялась
с концом «платформы»?
3.8. Какой промежуток времени At занял бы по земным часам полет ракеты
до звездной системы Проксима-Центавра и обратно (расстояние до нее 4 световых
года1), если бы он осуществлялся с постоянной скоростью v = ^/0,9999 с? Из
расчета какой длительности путешествия следовало бы запасаться продовольствием
и другим снаряжением? Каков запас кинетической энергии в такой ракете, если ее
масса Ют?
3.9. Два масштаба, каждый из которых имеет длину покоя /0, равномерно
движутся навстречу друг другу параллельно общей оси Ох. Наблюдатель, связанный
с одним из них, заметил, что между совпадением левых и правых концов
масштабов прошло время At. Какова относительная скорость v масштабов? В каком
порядке совпадают их концы для наблюдателей, связанных с каждым из
масштабов, а также для наблюдателя, относительно которого оба масштаба движутся с
одинаковой скоростью в противоположные стороны?
3.10. Вывести формулы лоренцова преобразования от системы 5" к системе S
для радиуса-вектора г и времени £, не предполагая, что скорость V системы Sr
относительно S параллельна оси Ох. Результат представить в векторной форме.
Указание. Разложить г на продольную и поперечную относительно V компоненты
и воспользоваться преобразованиями Лоренца (3.1).
3.11. Записать формулы преобразования Лоренца для произвольного 4-вектора
Аг = (А0, А), не предполагая, что скорость V системы S' относительно S
параллельна оси Ох.
3.12. Вывести формулы сложения скоростей для случая, когда скорость V
системы 5" относительно S имеет произвольное направление. Формулы представить
в векторном виде.
Световым годом называется расстояние, проходимое светом в пустоте за год.

84
Глава 3. Специальная теория относительности
3.13. Даны три системы отсчета: S> S", S". S" движется относительно Sf
со скоростью V, параллельной оси Ох\ Sf — относительно S со скоростью Vy
параллельной оси Ох. Соответствующие оси всех трех систем параллельны.
Записать преобразования Лоренца от S" к S и получить из них формулу сложения
параллельных скоростей.
3.14* Доказать формулу
/ у2 _ ^/Т^уТ2]^ • л/1 ~ У2/с2
V с2 " l+w'-V/c2
где v wvf — скорости частицы в системах S и 5", V — скорость 5" относительно S.
3.15. Доказать соотношение
_ y/(v' +V)2 - (v' xV)2/c>
V~ 1 + v1 • V/c2 '
где vhi;'- скорости частицы в системах 5 и 5", V — скорость S' относительно S.
3.16* Происходит три последовательных преобразования системы отсчета:
1) переход от системы S к системе S', двигающейся относительно S со
скоростью V, параллельной оси Ох; 2) переход от системы S' к системе S"',
двигающейся относительно S' со скоростью v, параллельной оси Оу'\ 3) переход от
системы S" к системе S'", двигающейся относительно S" со скоростью, равной
релятивистской сумме скоростей —v и — V1. Доказать, что система 5///, как и
следует ожидать, неподвижна относительно S и t'" = t> однако S'" повернута
относительно S на некоторый угол в плоскости ху (прецессия Томаса). Вычислить
угол (р томасовской прецессии2.
Указание. Воспользоваться формулами общего вида для преобразования Лоренца
(см. задачу 3.10) и сложения скоростей (см. задачу 3.12), записав эти формулы в
проекциях на декартовы оси.
3.17. Два масштаба, каждый из которых имеет в своей системе покоя длину /0>
движутся навстречу друг другу с равными скоростями v относительно некоторой
системы отсчета. Какова длина / каждого из масштабов, измеренная в системе
отсчета, связанной с другим масштабом?
3.18. Два пучка электронов направлены навстречу друг другу со
скоростями v = 0,9 с относительно лабораторной системы координат. Какова относительная
скорость V электронов: а) с точки зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки
зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним из пучков электронов?
3.19. Эффекты, возникающие при столкновении двух элементарных частиц, не
зависят от равномерного движения этих частиц, как целого; эти эффекты
определяются лишь их относительной скоростью. Одну и ту же относительную скорость
можно сообщить сталкивающимся частицам двумя способами (предполагается для
простоты, что частицы обладают одинаковой массой т): а) один ускоритель
разгоняет частицы до энергии 5, затем быстрые частицы ударяются о неподвижную
1 Обратим внимание на то, что результирующая скорость зависит от того порядка, в котором
производится сложение скоростей.
2 Современное обсуждение прецессии Томаса см. в обзорах Малыкина (УФН. Т. 176, с. 865, 2006)
и Ритуса (УФН. Т. 177, с. 105, 2007).

§3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
85
мишень из тех же частиц; б) два одинаковых ускорителя расположены так, чтобы
создаваемые ими пучки частиц были направлены навстречу друг другу; каждый
из ускорителей при этом должен разгонять частицы до энергии So < S.
Сравнить между собой значения S и So- Рассмотреть, в частности,
ультрарелятивистский случай. Какую энергию в лабораторной системе должны иметь протоны
в каждом из встречных пучков, чтобы в системе одного из пучков энергия частиц
второго пучка достигла 100 ТэВ (протонный коллайдер)?
3.20. Найти формулы преобразования ускорения v для случая, когда
система Sf движется относительно системы S с произвольно направленной скоростью V.
Представить эти формулы преобразования в векторном виде.
3.21. Выразить компоненты четырехмерного ускорения wi через обычное
ускорение v и скорость v частицы. Найти квадрат 4-ускорения. Пространственнопо-
добно или времениподобно четырехмерное ускорение?
3.22. Выразить ускорение г/ частицы в мгновенно сопутствующей ей инерци-
альной системе через ее ускорение v в лабораторной системе. Рассмотреть случаи,
когда скорость v частицы меняется только по величине или только по
направлению.
3.23. Релятивистская частица совершает «равноускоренное» одномерное
движение (ускорение v = w постоянно в собственной системе отсчета). Найти
зависимость скорости v(t) и координаты x(t) частицы от времени t в лабораторной
системе отсчета, если начальная скорость г>о, а начальная координата хо-
Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.
Указание. Использовать результат предыдущей задачи.
3.24. Ракета, рассматривавшаяся в задаче 3.8, разгоняется от состояния покоя
до скорости v = ^0,9999 с. Ускорение ракеты составляет |г?| =20 м/с2 в системе,
мгновенно сопутствующей ракете. Сколько времени продлится разгон ракеты по
часам в неподвижной системе отсчета и по часам в ракете?
Указание. Влияние сил инерции на ход часов в ракете не учитывать1.
3.25.* Частица движется со скоростью v и ускорением v, так что за малый
промежуток времени St ее скорость в лабораторной системе S меняется на
величину Sv = vSt. Пусть Sf — инерциальная система, мгновенно сопутствующая
частице в момент £, a S" — такая же система для момента времени t-\-St.
Пользуясь преобразованиями Лоренца, показать с точностью до членов, линейных по Sv,
что координаты и время в этих системах связаны формулами:
1) г" = гЧА^хг/- t'Av, t" = t' - ^—Р-,
где
^ч а Г г / ,.v • Sv I A , _ Sv x v
2) Av=7\5v + (j-l)—2~vL Д<р = (7-1) —•
Какой геометрический смысл имеют преобразования 1)? Какой вид приобретают
формулы 2) при v <ti с ъ первом неисчезающем приближении?
1 Это означает, что предлагается вычислить сумму собственных времен dr = dtJl — \ в
последовательности мгновенно сопутствующих ракете инерциальных систем отсчета, выражаемую
интегралом f dr. Подробнее по этому поводу см. [Фок (1955)I, &62, а также [Вейнберг (1975)].

86
Глава 3. Специальная теория относительности
Указание. Удобно рассмотреть цепочку преобразований S" —► S —► S' с помощью
формул, приведенных в ответе к задаче 3.10.
3.26. Частица имеет скорости v и v' в инерциальных системах отсчета S
и S' соответственно. Найти связь между углами # и #', которые эти скорости
составляют с одинаково направленными осями Ох и Ох'. Относительная скорость
систем V.
3.27. Относительно системы S движутся система S' со скоростью V и два тела
со скоростями vi V2- Каков угол а между скоростями этих тел при наблюдении в
системе S и в системе 5"?
Указание. Полезно использовать результаты задач 3.11 и 3.13.
3.28. Что происходит с углом между скоростями двух тел, рассмотренных в
предыдущей задаче, когда скорость системы S' относительно S стремится к с?
3.29. Пучок света распространяется в системе S' под углом д' к оси Ох'.
Какой угол $ с осью Ох он составляет в системе 5?
3.30. В некоторый момент времени направление луча света от звезды
составляет угол $ с орбитальной скоростью v Земли (в системе, связанной с Солнцем).
Найти изменение направления от Земли на звезду за полгода (аберрация света),
не делая приближений, связанных с малостью v/c.
3.31. Найти форму видимой кривой, описываемой звездой на небосводе
вследствие годичной аберрации. Полярные координаты звезды в системе, связанной
с Солнцем, $, а (полярная ось направлена перпендикулярно плоскости земной
орбиты). Орбитальная скорость Земли v«c.
3.32. Пучок света в некоторой системе отсчета образует телесный угол dft.
Как изменится этот угол при переходе к другой инерциальной системе отсчета?
3.33? Некоторый источник испускает свет изотропно во все стороны в своей
системе покоя, так что внутри телесного угла dClo распространяется доля dN =
= dSlo/4ir от полного излучения. Найти функцию распределения излучаемого
света по углам /($) = dN/d£l в системе, относительно которой источник движется
со скоростью v. Построить полярные диаграммы излучения для разных значений
гамма-фактора 7 = (1 — v2/c2)~1^2. Подробно исследовать ультрарелятивистский
случай 7 > 1. Какова характерная угловая ширина излучения движущегося
источника в этом случае?
3.34.* Монохроматический источник генерирует в своей системе отсчета
электромагнитную волну с частотой о;0. Пользуясь законом преобразования
волнового 4-вектора, показать, что наблюдатель зарегистрирует частоту волны
VI - У2/с2
где V — относительная скорость источника и наблюдателя, 0 — угол между
направлением луча и относительной скоростью в системе наблюдателя (эффект
Доплера). Выразить также волновой вектор к в системе наблюдателя через величины
ыо, ко в системе источника.
3.35. Найти частоту световой волны, наблюдаемую при поперечном эффекте
Доплера (направление распространения света перпендикулярно направлению дви-

§3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
87
жения источника в системе, связанной с приемником света). Каково направление
распространения рассматриваемой волны в системе, связанной с источником?
3.36. Длина волны света, излучаемого некоторым источником, в той системе,
в которой источник покоится, равна Ло. Какую длину волны Л зарегистрируют:
а) наблюдатель, приближающийся со скоростью V к источнику и б) наблюдатель,
удаляющийся с такой же скоростью от источника?
3.37. Источник, испускающий свет частоты ио изотропно во все стороны в
своей системе отсчета, движется равномерно и прямолинейно относительно
наблюдателя со скоростью V, проходя от него в момент наибольшего сближения
на прицельном расстоянии d. Число фотонов, излучаемых в единицу времени в
единицу телесного угла (интенсивность потока фотонов), равно Jo в системе
покоя источника. Найти зависимость частоты и и интенсивности J потока фотонов,
регистрируемого наблюдателем, от угла между направлением луча и скорости V.
При каких углах в = во регистрируемые частота и интенсивность потока фотонов
совпадут с cjo и Jo? Какая доля фотонов регистрируется наблюдателем в
интервалах 0 < в ^ #о и #о ^ 0 ^ 7г? Начертить графики зависимостей и; (в) и J (в)
для V/c = 1/3 и V/c = 4/5. Какой характер имеют эти зависимости при V/c —► 1?
3.38. Найти угловое распределение силы света I (световая энергия,
излучаемая в единицу времени в единицу телесного угла), а также полный световой поток
от источника света, рассмотренного в предыдущей задаче.
Указание. Каждый фотон обладает энергией hw, где h — постоянная Планка.
3.39. Зеркало движется нормально к собственной плоскости со скоростью V.
Найти закон отражения плоской монохроматической волны от такого зеркала
(заменяющий закон равенства углов падения и отражения при V = 0), а также закон
преобразования частоты при отражении. Рассмотреть, в частности, случай V —► с.
3.40. Решить предыдущую задачу для случая, когда зеркало перемещается
поступательно вдоль собственной плоскости.
3.41. Непрозрачный куб с ребром Iq в своей системе покоя движется
относительно наблюдателя со скоростью V (рис. 3.4). Наблюдатель фотографирует его в
момент, когда лучи света, испускаемые поверхностью куба, приходят в объектив
фотоаппарата под прямым углом к направлению движения (в системе
фотоаппарата). Куб виден под малым телесным углом, вследствие чего лучи, приходящие от
разных точек куба, можно считать параллельными.
Какой вид будет иметь изображение на фотопластинке? Составить чертеж
изображения, нанести на него те вершины и ребра куба, которые будут
сфотографированы. Вычислить их относительные длины. Изображению какого неподвижного
предмета эквивалентна полученная фотография? Какой вид приняло бы
изображение движущегося куба, если бы были справедливы преобразования Галилея?
3.42. Тонкий стержень M'N' неподвижен в системе 5", имеет в ней длину 1$
и ориентирован так, как показано на рис. 3.5. Система 5" движется со
скоростью V || Ох относительно фотопластинки АВ, покоящейся в системе S. В момент
прохождения стержня мимо фотопластинки происходит короткая световая
вспышка, при которой лучи света падают нормально к плоскости ху фотопластинки.
а) Какова длина I изображения на фотопластинке? Может ли она стать равной
или превысить Zq?

88
Глава 3. Специальная теория относительности
Рис. 3.6 Рис. 3.7 А
^ о
б) При каком угле наклона <У сфотографируется только торец стержня?
в) Каков угол наклона а стержня к оси Ох?
3.43. Шар, движущийся со скоростью V, фотографируется неподвижным
наблюдателем под малым телесным углом. Лучи света от шара падают параллельным
пучком на объектив фотоаппарата, составляя прямой угол с направлением
скорости V. Какую форму будет иметь изображение на фотопластинке? Какая часть
поверхности шара будет сфотографирована?
Указание. Представить шар в виде совокупности тонких дисков, движущихся
параллельно своим плоскостям, и построить изображение каждого диска.
3.44. Пусть движущийся непрозрачный куб фотографируется неподвижным
наблюдателем в момент, когда лучи, приходящие от куба, составляют
произвольный угол а с направлением скорости V куба (в системе наблюдателя). Телесный
угол, под которым виден куб, мал, вследствие чего лучи приходят
параллельным пучком и падают на фотопластинку нормально к ее поверхности (рис. 3.6).
Показать, что фотография должна совпадать с фотографией неподвижного, но по-

§3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
89
вернутого на некоторый угол куба. Найти угол поворота изображения при разных
значениях V и фиксированном а. При каком значении V будет сфотографирована
одна грань А'В'} одна грань В'С?
3.45* Космический корабль движется равномерно вдоль прямой,
соединяющей его с наблюдателем. Находясь на заданных расстояниях 1\ и fo < h от
наблюдателя, корабль испускает две короткие световые вспышки, которые
регистрируются наблюдателем по его часам в моменты времени t\ и t2. С какой
скоростью V корабль приближается к наблюдателю и в какой момент £* он прибудет?
Как связана «видимая» скорость корабля с его истинной скоростью в системе
наблюдателя?
Указание. Под «видимой» или «кажущейся» скоростью следует понимать
отношение пройденного пути h — fa к промежутку времени At = t-2 — t\, который
зарегистрировал наблюдатель. Именно таким образом определялась бы скорость в
классической механике, в которой v < с.
3.46* Космический корабль приближается к наблюдателю с известной
скоростью V. Для определения длины космического корабля наблюдатель посылает два
коротких световых импульса, которые отражаются от зеркал, установленных в
голове и хвосте корабля, и возвращаются к наблюдателю одновременно по его часам.
Как на основе такого мысленного эксперимента найти длины корабля: а)
«кажущуюся» а*, определяемую как расстояние между положениями зеркал, отраженные
импульсы от которых пришли к наблюдателю одновременно; б) длину а в системе
наблюдателя; в) длину ао в собственной системе корабля, в которой он
неподвижен. Какими окажутся искомые длины, если корабль удаляется от наблюдателя?
3.47* Космический корабль движется со скоростью V = const относительно
наблюдателя, который находится в стороне на большом расстоянии от его
траектории (рис. 3.7). Вычислить «кажущуюся» (в том смысле, в каком это понятие
использовалось в задаче 3.46) скорость корабля с помощью световых сигналов.
Найти проекции этой скорости на луч, направленный к наблюдателю, и на
плоскость, перпендикулярную лучу. При каких условиях «кажущаяся» скорость
оказывается сверхсветовой? Рассмотреть, в частности, случай, когда релятивистский
фактор корабля велик, 7 > 1> а угол а мал.
3.48. Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение плоской
монохроматической волны в движущейся со скоростью V среде с показателем
преломления п (фазовая скорость волны в неподвижной диэлектрической среде г/ = с/п).
Найти формулы преобразования частоты, фазовой скорости и угла между
волновым вектором и относительной скоростью.
3.49. Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью V среде
в направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме Л. Найти скорость v
волны относительно лабораторной системы (опыт Физо). Показатель преломления
п определяется в системе 5", связанной со средой, и зависит от длины волны А' в
этой системе. Вычисления проводить с точностью до первого порядка по V/c.

90
Глава 3. Специальная теория относительности
§ 3.2. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ
Преобразования тензоров. При переходе от одной инерциальной системы Sf
к другой S контравариантные компоненты 4-вектора преобразуются по правилу
А1 = АкА'\
(3.19)
где матрица А1^ преобразования Лоренца частного вида (3.1) (буст вдоль оси Ох)
дается таблицей
(3.20)
/ 7 ft 0 0\
ft 7 0 0
0 0 10
\ о о о 1 у
Матрицу преобразования часто записывают через параметр ф («быстроту»)
согласно формулам
ch ф = 7,
sh'0 = ft, ch ф — sh ф = 1.
(3.21)
Ковариантные компоненты 4-вектора, согласно (3.14) и (3.11), преобразуются с
другой матрицей:
Аг = ккА'к, (3.22)
(3.23)
где
/ chV; -sh<0 0 0 \
-sh^ ch-0 0 0
0 0 10
\ 0 0 0 1 У
Определения (3.19), (3.22) непосредственно обобщаются на тензор любого ранга.
Так, смешанный тензор II ранга представляет собой 16-компонентную величину
Тгк (г,к = 0,1,2,3), преобразующуюся по правилу
Т,к = А,тАкпТ
П± ГП'
Матрица, обратная (3.20), имеет вид
(3.24)
(3.25)
с обратным порядком индексов в правой и левой частях.
По-разному могут вести себя при инверсии пространственных координатных
осей 4-тензоры, как и тензоры в трехмерном пространстве (см. раздел 1.1). Кон-
травариантным псевдотензором TV-го ранга называется совокупность AN величин
ргк'"1у которые преобразуются при отражениях и поворотах в четырехмерном
пространстве Минковского по правилу
Pik-1 = |Л|Л*тЛ*п • • • ApP'mn-p.
(3.26)
Определитель |Л| = —1, если преобразование включает в себя отражение
нечетного числа (одной или трех) координатных осей. Примером псевдотензора является

§ 3.2. Четырехмерные векторы и тензоры
91
антисимметричный единичный псевдотензор IV ранга егЫт. Он определяется
условиями:
а) компоненты егк1ш меняют знак при перестановке любой пары значков (это
условие, как и в трехмерном пространстве, обращает в нуль все компоненты, у
которых имеется два или больше совпадающих значков);
б) е0123 = 1;
в) правилом (3.26) перехода в другую систему координат.
Эти правила приводят к тому, что егк1ш оказывается инвариантным
псевдотензором: в любой системе координат
Hklm __ iklm /о о7)
Дуальные тензоры. С помощью тензора егк1гп можно строить новые тензоры.
Так, произвольному ковариантному 4-вектору Вш можно сопоставить
антисимметричный тензор III ранга
Вш = eMmBm. (3.28)
Антисимметричный ковариантный тензор II ранга Aim = —Ami можно превратить
в другой антисимметричный тензор
Агк = (1/2)егк1шА1ш. (3.29)
Наконец, из компонент антисимметричного тензора III ранга можно построить
вектор
Г = (l/3\yklrnJklm. (3.30)
Во всех трех случаях дело сводится к переименованию компонент исходных
тензоров. Пары тензоров с тильдой и без нее называются дуальными друг другу.
В дуальные пары могут входить только антисимметричные тензоры. Если в правые
части двух последних равенств подставить тензоры с произвольной симметрией, то
их симметричные части при суммировании дадут нулевой вклад и, таким образом,
никак не отразятся на значениях левых частей.
Дифференцирование тензора по 4-координатам приводит к изменению его
ранга. Это связано с тем, что оператор производной представляет собой 4-вектор.
Пример 3.2. Показать, что оператор 4-градиента д/дхк преобразуется
как истинный ковариантный 4-вектор.
Решение. С помощью (3.25) находим преобразование
д дх,т д д
дхк дхк дхт дх,гп'
которое совпадает с правилом преобразования (3.22) ковариантного 4-вектора.
Поэтому для обозначения 4-градиента наряду с (3.31) применяют и другие символы,
явно использующие ковариантный (нижний) значок, например:
дФ
= дкФ = ф,к. (3.32)
ох*
При инверсии осей 4-градиент преобразуется как 4-координаты. ■
Рекомендуемая литература:[Ландау и Лифшиц, Теория поля. Медведев (1977)],
[Батыгин и Топтыгин (2003), Рашевский (1953), Паули (1947), Фок (1955), Вейн-
берг (1975)], [Мёллер (1975)].

92
Глава 3. Специальная теория относительности
Задачи
3.50. Показать, что метрический тензор (3.11) имеет одинаковый вид во всех
инерциальных системах координат.
3.51. Доказать равенство
e^AiBkQDr,
А0 Аг А2 Аг
Во В\ В2 Вз
Со С\ С2 Сз
Do A D2 D3
(3.33)
3.52. На основе определения тензора егк1ш доказать равенства (3.27).
3.53. Некоторый контравариантный тензор II ранга обладает свойством
симметрии (Slk = Skl) либо антисимметрии (Агк = —Акг). Как выглядят
соответствующие соотношения для ковариантного и смешанного тензоров?
3.54. Записать тензор II ранга Тк с произвольной симметрией в виде суммы
тензора, пропорционального единичному 5к, и тензора с нулевым следом.
3.55. Имеется тензор Тгк1 с произвольной симметрией. Составить из его
компонент тензоры Slkl и Агк1, которые были бы симметричны и антисимметричны по
любой паре значков.
3.56. Показать, что
^ikln
3.57* Доказать тождества:
а) eiklmeiklm = -24;
б) еШтеМп = -66т;
в) еШте^ =-2(5/^-^4);
Aklm
(3.34)
г)
д)
егк1те —
eiklme —
«Г
8V
si sf
(3.35)
4
%
%
V
3.58. Обратить равенства (3.28) — (3.30) и выразить вектор Вт и тензоры А\ш,
Jkim через Вгк1, Агк и Зг соответственно. Как преобразуются тензоры с тильдой
при отражении координатных осей, если исходные тензоры являются полярными?
3.59. Два непараллельных 4-вектора Аг и Б/с, имеющие общее начало,
определяют двумерную гиперплоскость в 4-пространстве. Показать, что тензор Сгку
дуальный антисимметричному тензору А^В^ — A^Bi, ортогонален любому 4-вектору,
лежащему в указанной гиперплоскости.

§3.2. Четырехмерные векторы и тензоры
93
3,60* Три некомпланарных (линейно независимых) 4-вектора Aif Bj, Ck
являются ребрами 3-мерного гиперпараллелепипеда в 4-мерном
псевдоевклидовом пространстве. Определить объем указанного параллелепипеда. Показать,что
4-вектор Vif дуальный антисимметричному тензору III ранга, изображающему
указанный объем, ортогонален любому 4-вектору, принадлежащему данному
трехмерному гиперпараллелепипеду.
3.61. Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тензор II ранга Тгк
при пространственных поворотах.
3.62* Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется истинный
антисимметричный 4-тензор II ранга Aik при пространственных поворотах и отражениях.
Указание» Использовать результаты задачи 1.10.
3.63. Для антисимметричного тензора А^, рассмотренного в предыдущей
задаче, доказать тождества
АгкАы = p.a*j, АгкАк1 = АгкАы + (1/2)АтпА™б1 (3.36)
где Агк — дуальный тензор, р и а — полярный и аксиальный 3-векторы,
составляющие Aik.
3.64. Два 4-вектора, Ai и Bi} называются параллельными, если
Ао _ М_ _ М_ _ Аз,
Bq В\ В2 -Вз
Доказать, что отношение одноименных компонент параллельных 4-векторов
инвариантно относительно преобразования Лоренца.
Указание» Воспользоваться свойством равных отношений.
3.65. Пространственные повороты координатной системы образуют подгруппу
собственных преобразований Лоренца. Записать матрицу преобразования Лоренца
для пространственного поворота, выбрав в качестве параметров преобразования
углы Эйлера (рис. 1.2).
3.66. Система отсчета S" движется относительно S' со скоростью V\
параллельной оси х\ 5" — относительно S со скоростью V\ параллельной оси х.
Одноименные оси всех трех систем параллельны. Путем перемножения
соответствующих матриц получить матрицу преобразования от S" к S. Получить также
формулу сложения одинаково направленных скоростей.
3.67. Система S' движется относительно S со скоростью V, направление
которой задается в S сферическими углами 9, Ф. Пространственные оси двух систем
параллельны. Получить матрицу преобразования Лоренца путем перемножения
матриц пространственного поворота и буста вдоль одной из координатных осей.
3.68. Запишем бесконечно малое собственное преобразование Лоренца общего
вида в форме
хк=х'к + 6Пк1хп,
где 6Qki — параметры преобразования. Какие ограничения на матрицу 6Qki
накладывает требование инвариантности интервала и каково число независимых
параметров преобразования? Какой геометрический смысл имеют величины Ш^?
3.69. Найти правила преобразования производных Аг^, dkAi, <%X\, где Аг}
Ai — вектор, Tlk — тензор II ранга.

94
Глава 3. Специальная теория относительности
3.70. Показать, что оператор Даламбера
_9^ д*_ д2 1 д2
дх2 ду2 dz2 с2 dt2
(3.37)
— релятивистский инвариант.
3.71. По аналогии с ротором трехмерного вектора rot А определить ротор
4-вектора Ai. Можно ли рассматривать 4-ротор как 4-вектор?
3.72* В четырехмерном псевдоевклидовом пространстве задана гладкая
замкнутая линия /. Для произвольного дифференцируемого 4-вектора А^(х) =
= Ai(x°, х1, х2, хг) доказать теорему Стокса:
^>1*<й*
Г (дАк ЗАЛ
Js V dxi дхк )
dSb
(3.38)
где S — произвольная незамкнутая гиперповерхность, опирающаяся на контур /;
dSlk — направленный элемент этой гиперповерхности, dll — направленный
элемент контура /.
3.73* Доказать теорему Остроградского-Гаусса в четырехмерном
псевдоевклидовом пространстве:
/ A4S% = [
дАг
дх1
d4x,
(3.39)
где Аг — произвольный дифференцируемый 4-вектор, S — замкнутая
трехмерная гиперповерхность, ограничивающая 4-объем Q, dSi — направленный элемент
гиперповерхности, d4x — элемент 4-объема.
Указание. Элементы трехмерной гиперповерхности, перпендикулярные
координатным осям, образуют 4-вектор и даются выражениями (ср. с задачей 3.60)
dS0 = ±dxldx2dx3, dSi = ±dx°dx2dx3, dS2 = ±dx°dx1dx3, dS3 = ±dx°dx1dx2.
Замечание. Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса справедливы для любого
4-тензора ранга s ^ 0. Все индексы кроме тех, по которым производится
суммирование в равенствах (3.38) и (3.39), остаются свободными.
§ 3.3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ
Напряженности электрического и магнитного полей являются компонентами
антисимметричного 4-тензора электромагнитного поля:
Fik =
( °
-Ех
—Еу
\ ~Ег
Ех
0
Hz
-Ну
Еу
-нг
0
нх
Ez
Ну
-Я;
0
\
}
, Flk =
( °
Ех
Еу
\ Ez
-Ех
0
я2
-Ну
—Еу
-нг
0
нх
-Ег \
Ну
-нх
о )
(3.40)
Поучительно сравнить эти две таблицы с общей структурой антисимметричного
тензора II ранга, рассмотренного в задаче 3.62. Из предлагаемого сравнения
следует, что относительно инверсии пространственных осей Е — истинный вектор, а
Н — псевдовектор.

§3.3. Уравнения электродинамики в четырехмерной форме
95
При переходе в другую инерциальную систему компоненты тензора поля
преобразуются по формулам:
ЕХ = Е'Х, ЕУ = 1(Е>У + РН'2), Е2=1(Е'2-РНУ), , ,
НХ = Н'Х, Hy = 1(Hy-pE>z), Нг=-у(Н'г + 0Е'у. КйЛ1'
Здесь ось Ох направлена вдоль относительной скорости V, а оси Оу и Oz
перпендикулярны ей. Поэтому (3.41) легко записать для произвольного направления
скорости V:
Е(,=Е||, El=7(E± + VxH/C),
Hf,=H||, Hi=7(Hi-VxE/c). К6Л1)
Значками || и _1_ отмечены составляющие, параллельная и перпендикулярная V.
При V < с с точностью до линейных членов следует положить в (3.41), (3.42)
7=1. Величины
Н2 - Е2 = inv, Е Н = inv (3.43)
являются инвариантами преобразований Лоренца.
Тензор электромагнитного поля представляет собой четырехмерный ротор от
4-вектора электромагнитного потенциала Ai = (</?,-А):
Fik = дгАк - дкАг. (3.44)
Плотность трехмерного тока j и плотность заряда р образуют 4-вектор плотности
тока
fW = Mr,t), j(r,t)). (3.45)
Уравнение непрерывности записывается в виде равенства нулю четырехмерной
дивергенции:
dij* = ^ + div j = 0. (3.46)
Уравнения Максвелла (2.42) — (2.45) принимают вид
• I 47Г
дкргк = ^ dlF.k + д.Гы + dkFu = 0 (3.47)
С
Еще компактнее выглядят уравнение для потенциала и условие Лоренца:
47Г i
ПАг = —ji, дкАк = 0. (3.48)
С
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля выражается через
компоненты тензора поля:
Ты = -!- (FkiFtl + ]gklFmnFmn) . (3.49)
47Г \ 4 /
Этот тензор симметричен, его след обращается в нуль во всех системах отсчета:
Ткь = 0. Величина
тоо = 1 (Е2 + Н2л (3<50)
87Г Ч '

96
Глава 3. Специальная теория относительности
представляет собой плотность энергии электромагнитного поля. Компоненты
T0a/c = Ta0/c = да (а = 1,2,3) образуют плотность импульса электромагнитного
поля
g=^ExH, (3.51)
47ГС
которая отличается от плотности потока энергии 7 (вектора Пойнтинга)
множителем 1/с2. Трехмерный тензор
(Тар = *** = -Та(3 = -^ (ЕаЕ0 + НаЩ) - i- (E2 + Я2) *а/3 (3.52)
представляет собой максвелловский тензор натяжений. ■
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифщиц, Теория поля. Батыгин и
Топтыгин (2003)], [Бредов и др. (2003), Медведев (1977), Гальцов и др. (1991), Рубаков
(1999), Вейнберг (1975)], [Мёллер (1975)].
Задачи
3.74? Получить уравнения Максвелла в трехмерной форме из равенств (3.47).
3.75. Записать в виде таблиц через напряженности Е, Н тензоры F^ и Flk,
дуальные тензору электромагнитного поля.
3.76. Записать инварианты электромагнитного поля с использованием тензора,
дуального тензору F^.
3.77.* В системе S имеется однородное электромагнитное поле Е, Н. Найти
все возможные инерциальные системы отсчета, в которых поле будет обладать
одним из следующих свойств:
а) напряженности становятся параллельными, Е' || Н', либо
антипараллельными;
б) одна из напряженностей обращается в нуль, Е' = 0 или Н' = 0;
в) напряженности становятся взаимно перпендикулярными, Е7 _L H';
г) напряженности становятся одинаковыми по абсолютной величине, Е' = Н'\
д) обе напряженности обращаются в нуль, Е' = Н' = 0.
Указать, при каких значениях исходных полей Е, Н реализуются эти случаи.
3,78. Бесконечно длинный круговой цилиндр равномерно заряжен с линейной
плотностью к. Вдоль оси цилиндра течет равномерно распределенный ток J. Найти
такую систему отсчета, в которой существует только электрическое или только
магнитное поле. Найти величины этих полей.
3.79? Записать уравнения Максвелла (2.42) — (2.45) и
дифференциальный закон сохранения электрического заряда (2.48) в ковариантной четырехмерной
форме через тензор электромагнитного поля (3.40).
3.80* • Система дифференциальных уравнений для магнитных силовых линий
вида
1) dv х Н = 0
не является релятивистски инвариантной и при переходе в другую инерциальную
систему отсчета не сохраняет своего вида.

§3.3. Уравнения электродинамики в четырехмерной форме
97
а) Показать, что для полей некоторого специального вида система уравнений
2) dr х Н + cEdt = 0, E-dr = О
может рассматриваться как релятивистски инвариантное обобщение системы 1).
б) Выяснить структуру полей, для которых такое обобщение возможно, путем
рассмотрения условий совместности уравнений 2). Сколько независимых
уравнений содержится в системе 2)?
в) Какой вид имеет условие интегрируемости системы 2)?
г) Убедиться в том, что силовые линии, определяемые системой 2),
перемещаются в поперечном направлении со скоростью и = сЕ х Н/#2, т. е. являются
движущимися даже в случае статических полей.
3.81* Показать, что релятивистски инвариантная система уравнений для
электрических силовых линий, аналогичная системе 2) предыдущей задачи, имеет вид
1) elklmFlrndxk = 0.
Какие требования налагаются на Е и Н, а также на распределение зарядов и
токов условиями совместности и интегрируемости системы 1)? Как перемещаются
силовые линии, определяемые системой 1)?
3,82. Найти величину ЭДС электромагнитной индукции, возникающей при
движении проводника в магнитном поле Н. Воспользоваться либо формулами
преобразования напряженностей поля, либо формулами преобразования потенциалов.
3.83? Найти поля <р, А, Е, Н точечного заряда е, движущегося равномерно
со скоростью V, произведя преобразование Лоренца из системы отсчета, в которой
заряд покоится. Записать 4-потенциал в явно релятивистски-ковариантной форме.
Указание. Для ковариантной записи 4-потенциал следует выразить через 4-ско-
рость частицы и 4-радиус-вектор, соединяющий два события: наблюдение поля в
3-точке г в момент t и его генерацию зарядом в 3-точке s(t') в предшествующий
момент времени t'.
3.84. Показать, что электрическое поле равномерно движущегося точечного
заряда «сплющивается» в направлении движения. При этом происходит
ослабление поля Е на линии движения заряда по сравнению с кулоновым полем. Как
согласуется это ослабление с формулой преобразования Е\\ = £.'.?
3.85.' Электрический диполь с моментом р0 в сопутствующей системе
равномерно движется со скоростью V. Найти создаваемое им электромагнитное поле
<Л А, Е, Н.
3.86.' В некоторой системе координат заряженные частицы совершают
нерелятивистское периодическое движение или покоются, создавая при этом диполь-
ные электрический и магнитный моменты ро, га0. Найти правило преобразования
моментов при переходе в произвольную инерциальную систему отсчета.
Указание. Представить совокупность дипольных моментов как интеграл по
трехмерному объему от некоторой ковариантной «плотности момента» и
воспользоваться преобразованиями Лоренца.
3.87. Незаряженная проволочная петля с током J*', имеющая форму
прямоугольника а х 6, движется равномерно со скоростью V параллельно своей сто-

98
Глава 3. Специальная теория относительности
роне а. Провод имеет конечное сечение. Найти распределение электрических
зарядов на петле, а также ее электрический и магнитный моменты, наблюдаемые в
лабораторной системе отсчета.
3.88. Привести тензор энергии-импульса электромагнитного поля к
диагональному виду. Найти все системы отсчета, в которых тензор имеет диагональную
форму. В каком случае диагонализация тензора невозможна?
3.89. Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета S известен тензор Тгк
энергии-импульса поля. Наблюдатель движется относительно S с 4-скоростью щ.
Какие плотности энергии и импульса (в расчете на единицу трехмерного объема)
измерит наблюдатель в своей системе отсчета?
3.90. Показать, что поток тензора натяжений Максвелла через поверхность
некоторого трехмерного объема в статическом случае равен полной
электромагнитной силе, приложенной к частицам, находящимся в этом объеме
(если частицы не пересекают его границ). Какая величина добавляется к этому
балансу в переменном поле?
3.91. Электромагнитное поле отлично от нуля лишь внутри некоторого
конечного пространственного объема V, в котором отсутствуют заряды. Показать, что
полные энергия и импульс поля образуют 4-вектор.
3.92.* Система состоит из частиц и электромагнитного поля и занимает
конечный объем. Из рассмотрения баланса полного момента импульса М^ этой
системы найти выражение для плотности потока R момента импульса поля.
§ 3.4. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.1.
^ _ /г>^ _ х -
х — x,n-\-V(t/ — t'n) / /
хо = а ;2 , 2/-2/0 =2/ -2/о»
t'-t'{) + Xr(x'-x'{))
Z - Z0 = Z - Z0, t-t0 = д •
3.4. Координаты часов, показывающих равное время t = t' в системах S и S':
Из этих формул видно, что точка, в которой t = t't движется равномерно в
каждой из систем S и Sf. Если ввести систему отсчета, относительно которой эта
точка неподвижна, то S и 5" движутся в противоположные стороны с равными
скоростями Vq = с'2 (1 — 7-1)/^ (Н представляет собой релятивистскую
«половину» скорости V в том смысле, что релятивистское сложение двух скоростей Vb
даст V).
3.5, В системе S' продолжительность одного периода X" = 21/с\ в системе S
время Т\ движения «зайчика» вдоль стержня в направлении относительной
скорости V вычисляется из уравнения
T1 = -(ly/l-V2/(P + VT1)i
время движения в обратном направлении Т2 получается заменой V на —V. Для
отношения X" к Т = 7\ + Т2 находим
откуда следует (3.6).

§3.4. Ответы и решения
99
3.7. а) Нельзя. 12ч 00 мин могут показывать одновременно двое часов в
одной из систем отсчета и только одни часы в другой системе отсчета.
б) Показания пространственно совпадающих часов не зависят от выбора
системы отсчета:
tа' = 12 ч 00 мин + -^ = 13 ч 00 мин;
tA = 12ч 00мин + -^а/1
V2
= 12 ч 36 мин.
Показания оставшихся часов В и В' будут зависеть от выбора системы отсчета
вследствие относительности одновременности.
С точки зрения наблюдателя на
«платформе» (рис. 3.8а):
а)
б)
У
S'
$2к
ж
A S
5SL
Вх V A S
Рис. 3.8
351
В'
ts1 = 12 ч 21,6 мин,
1в = ^а = 12 ч 36 мин.
С точки зрения наблюдателя в
«поезде» (рис. 3.86):
tB, = tA, = 13 ч 00 мин, £в = 13 ч 14,4 мин.
в) С точки зрения наблюдателя на «платформе»:
tA = 13ч 00мин = tB,
tB> = 12 ч 36 мин, а)
tA> = 13 ч 14,4 мин. 1' =i
С точки зрения наблюдателя в «поезде»: б)
tA = 12 ч 21,6 мин,
tA, =tB* = 12 ч 36 мин,
tB = 13 ч 00 мин.
з 1
2 с
п2
Рис. 3.9
Во всех случаях отстают те часы, показания которых приходится сравнивать с
показаниями двух часов в другой системе отсчета.
3.8. По земным часам: At = 8 лет. При расчете запасов снаряжения следует
брать в основу промежуток времени Ato = OfilAt « 1 месяц по часам в ракете;
Т = mc2(j - 1) = 2,5 х 1016 кВт/ч.
Это количество энергии на несколько порядков превышает годовую выработку
электроэнергии во всем мире в настоящее время.
3.9. v = /Л ,ч2°—?2 / 2- Для наблюдателя, связанного с первым масштабом
(At) +to/c
(рис. 3.9а), сначала совпадут левые концы, потом правые; для наблюдателя,
связанного со вторым масштабом (рис. 3.96), — наоборот. С точки зрения
наблюдателя, относительно которого масштабы движутся с одинаковой по величине
скоростью, концы совпадают одновременно.

100
Глава 3. Специальная теория относительности
ЗЛО. Введем поперечную и продольную компоненты радиуса-вектора г:
г V , __r'-V
rH=V^> rll=V-^'
Г-L =r-r|h V'± =T' ~r\\-
Применив к гц и г^ преобразования Лоренца (3.1), получим
r||=7(r(|+V0, т±=т'±.
Окончательно:
3.11.
( ki У,Л / 14(A'xV)xV . /,, A'-Vn
312.
«' + V + V[(t/ • V) + V2\(j - I)IV2
7(l+u'-V/c2)
где v и v' — скорости в системах 5 и 5'. Можно также просто
продифференцировать по времени радиус-вектор г, выраженный через г' и t' по формуле, полученной
в задаче 3.10.
3.16. Угол томасовской прецессии определяется соотношением
v2Jl-V2/c2 + V2Jl-v2/c2
V = - arCC°S V2+v2-V2v2/c2 •
При v, V < с угол (р « 0. При v —> с угол (р —>• - arccos y^l - У2/с2; если при этом
И У —> С, ТО (f —> 7г/2.
3-17. 0 0
i_'°l+^/c2'
3.18. а) У = 2-0,9с = 1,8с; б) V = 0,994с.
3.19» Относительная скорость двух частиц в системе, связанной с одной из
них: V = 2г>/(1 + v2/c2). Отсюда
тс
,2
у/\ - V2/C2
тс
\ т,с2 )
В ультрарелятивистском случае £0 > тс2 и, следовательно, S = 2£Цтс2. Если
ускорению подвергаются электроны {тс? = 0,5 МэВ), то, например, при £0 =
= 50 МэВ получается выигрыш мощности ускорителя в 200 раз: S = 10 000 МэВ.
Для указанных в условии задачи протонных пучков имеем релятивистские
факторы 7 = £/гас2^105, 7o~71^2/v/2 « 230. Требуется энергия в пучке £0 « 230 ГэВ.

§3.4. Ответы и решения
101
3.20. Эту задачу, как и задачу 3.12, можно решить двумя способами.
Результат:
1
(7-l)(t/-V)V (v'-V)v'
7252
72.s3c2
73s3V2
где s = 1 + v' • V/c2. Из этих формул видно, что если в одной системе отсчета
частица движется с постоянным ускорением v\ то в другой системе отсчета
ускорение v, вообще говоря, зависит от времени (так как в формулы преобразования
входит переменная скорость v' частицы).
-74 г?2+72^2 < 0, т.е. четырехмер-
3.21. WiW1 = -i
.2 (vxvy
ное ускорение — пространственноподобный вектор.
3.22. Пусть S' — мгновенно сопутствующая частице система. Согласно ответу
к задаче 3.20,
1)
Отсюда квадрат ускорения
2)
г/ = 72
v +
7 - 1,,.
(г; • v)v
г/2 = 74
b2 + fiv^l
2-,
= 7
(Ьх1У
Если скорость частицы меняется только по величине, то v \\ v и
3) г/
j3v.
Если скорость частицы меняется только по направлению, тои_1_г?и1;-г; = 0, так
что
4)
V
J2V.
Результат 2) можно получить и другим, более простым способом,
воспользовавшись выражением квадрата четырехмерного ускорения, найденным в предыдущей
задаче. Квадрат WiW1 является 4-инвариантом. Это значит, что его вычисление как
в системе £\ так и в системе 5" должно дать один и тот же результат. Замечая,
что скорость частицы v' = 0, получим формулу 2).
3 23
^ + ^о(1-/?о2)-1/2
^1+0-2(^ + ^(1-^-1/2)2'
x(t) = ^ |v/l+c-2H+t;o(l-/3o2)-1/2)2-(l-/3o2)"1/2}+^o.
В ультрарелятивистском пределе:
v(t) ^ с, x(t) « ct + хо +
В нерелятивистском пределе:
v(t) = vo + wt, x{t) = хо + vot + 7;wt2-
cv0
w^/Т^Щ'

102
Глава 3. Специальная теория относительности
3.24. Время разгона по часам в неподвижной системе:
т - — Г dv - v
Время разгона по часам в системе, связанной с ракетой,
11 + v/c
Т = ——т In
2\v\ 11 — v/c
= 2,5 года.
3.25. Формулы 1) описывают преобразование Лоренца с малой относительной
скоростью At; и поворот на угол Д<р = |Д<р|, причем ось вращения проходит
через начало координат и параллельна вектору Аср. Эти преобразования вследствие
малости At; и Аср могут производиться в любой последовательности. Таким
образом, мгновенно сопутствующая система является вращающейся. Это вращение
представляет собой чисто кинематический релятивистский эффект и называется
прецессией Томаса (см. задачу 3.16).
При v <ti с формулы 2) принимают вид
At; « Sv, Д<£ « tt^Sv x v.
2cz
В этом пределе величину
А(р 1 .
можно рассматривать как угловую скорость томасовской прецессии мгновенно
сопутствующей системы относительно лабораторной системы S.
3.26.
л v'Jl-V2/c2sm<d'
t/costf' + V
3.27. В системе S: cosa = v\ • V2/|vill^2|- В системе 5":
(«i - V) ■ (V2-V) - 4,(171 X V) • (V2 X V)
cosa = -
y/(Vl - V)2 - £(«1 X V)*y/(V2 - V)2 - 4,(172 X V)2
3.28. Угол в системе S" стремится к нулю. Для того чтобы убедиться в этом,
положим V = V0c, где |V0| = 1. Вычислим cosa7 по формуле, полученной в
предыдущей задаче. Воспользовавшись формулой
(а х Ь) • (ах х Ьх) = (а • ах)(Ь • Ьх) - (а • t>i)(ai • Ь),
получим
с2 _ v . у - v2 • V + (Vl • V)(t;2 . V)/c2 1
cosa = —x^_^_^_^^_ _ -^
>J(c-v1.V/cy.,J(c-V2-V/cy
откуда a7 = 0. Это сужение углового распределения является характерным
релятивистским эффектом, проявляющимся во многих явлениях.

§3.4. Ответы и решения
103
V О v'=-v'£
Рис. ЗЛО
f(v)
14
12
10
8
6
4
2
^--^^^ ;
0,5
1
1,5 2
Рис. 3.11
2,5
3
3.29.
cos?
costf' + /3
l + /?costf'
3.30. Определение угла аберрации сводится к вычислению двух углов
(рис. ЗЛО): угла а\ между направлением луча АС и направлением скорости v
Земли в первом ее положении и угла а^ между направлением ВС луча и
направлением скорости v' Земли во втором ее положении (через полгода). Угол аберрации 5
можно определить как 5 = (п — а^) — оц = 7г — а\ — а2- Углы a<i и a<i вычислим по
формулам задачи 3.26, выразив их через угол #, который наблюдается в системе
отсчета, связанной с Солнцем, между лучом ОС света и вектором скорости Земли:
tg(?r-
. sin??
7(cos v —
РУ
tg(7T-
. sin??
7 (cos
;tf + /?)'
где /3 = v/c, 7 = l/\/l - /З2. Отсюда находим
te-
1 — cos (5
/37sin^.
1 + cos 5
Заметим, что все три угла между скоростями, изображенные на рис. ЗЛО,
относятся к разным системам отсчета и что сам рисунок условен (например, изображенные
на нем отрезки АС = СО = СВ = с).
Из полученных результатов видно, в частности, что угол аберрации 5 зависит
только от относительной скорости v Земли и Солнца и не зависит от скорости
Солнечной системы относительно звезды.
3.3L Если положение Земли на орбите определяется азимутальным углом <р,
и а = (0,а#,аа) — вектор, проведенный из точки (#, а) небесной сферы в точку
видимого положения звезды на небесной сфере, то
0"д = -0 cos $ sin(a - х) »
~Pcos(a - (р).
Отсюда видно, что видимое положение звезды на небосводе в течение года
описывает эллипс с полуосями /3cos$ и р.

104
Глава 3. Специальная теория относительности
3.32. Рассмотрим в системе S пучок внутри телесного угла dQ = sin fidfi da.
В системе S" этот пучок будет наблюдаться внутри угла сКУ = smfi'dfi* da*.
Угол a = a\ a costf' = (costf - /3)/(l —/3cos$). Отсюда
1-32
dfi' = sin tf' d<d' da' = -^—r dfi.
(1 - ficosvy
При этом, разумеется, /сКУ = f cfcl = 47г.
3.33. В системе 5 та же доля oL/V от полного излучения придется на другой
телесный угол dil. Поэтому с помощью формулы из ответа к предыдущей задаче
получим
f( n = г-Р2 = I
Л } (l-/?costf)2 72[l-(l-7~2)1/2costf]2'
где д — угол между направлением наблюдения и скоростью источника. Угловое
распределение света становится анизотропным по мере роста (3 = v/c (рис. 3.11).
При 7 > 1 распределение становится резко анизотропным, так что в направлении
относительной скорости излучается подавляющая часть света: /(0)//(7г) « 472>
> 1. Функцию распределения при углах д < 1 можно упростить путем
разложения cost? в ряд:
4
fW = 72(7-2+^2)2-
Из последней формулы следует, что любой источник света, движущийся с
релятивистской скоростью, будет в основном излучать вперед по движению внутри
конуса с углом раствора
eo^7-1«i,
если его излучение в системе покоя не сильно отличается от изотропного.
3.34.
k = 7(ko + ^)+^(k0xV)xV.
3.35. Если ио — частота в той системе, где источник покоится, и V — скорость
источника относительно приемника света, то приемник зарегистрирует меньшую
частоту и = cjoa/I - ^г (красное смещение). Угол а луча с направлением
движения источника в системе его покоя определяется формулой
V
cos a = .
с
Угол а близок к 90° только при V < с. Если V —> с, то a —> 7г.
3.36. а) Л = \oy/(l-V/c)/(l + V/cy9 б) Л = \oy/(l + V/c)/(l-V/c).
3 37
ш Ы^ПК г г (1-/?2)3/2
U) = Cl>0~ л л» = 0"
l-/?cos0' u(l-/?cos(9)2'
Частоты совпадают, о; = о;о при в = во, где cos#o = (1 — \/l — P2)/fr ПРИ этом J =
= Jo\/l - Р2. Интенсивности сравниваются, J = Jo при в = в\ < #о> cos#i =
= [1 - (1 - (3'2)г/4]/(3. Когда источник света находится далеко от наблюдателя,

§3.4. Ответы и решения
105
приближаясь к нему, так что в < во, частота ш > ио из-за эффекта Доплера
(«фиолетовое» смещение). Если к тому же в < #ь то интенсивность J также
превышает J0 — движущийся источник выглядит более ярким, чем неподвижный.
Интенсивность максимальна при в = 0 и составляет Jmax = J0(l + /3)3/2/>/1 - Р>
При в > во частота и < ио, и наблюдатель видит «красное» смещение;
интенсивность света теперь меньше, чем у неподвижного источника. Эти эффекты особенно
заметны при V ^ с, когда
/1+/? т т(1+£)3/2 т
^тах = <ЧМ/ ., _ ^ > <^0 И Jmax = J0 ^ /3\1/2 ^ °>
а угол
0о«л/2(1-/?)1/4<1,
так что покраснение света начинается, когда источник находится еще далеко от
наблюдателя, приближаясь к нему. Это происходит, начиная с расстояний I ^ d/во*
Число фотонов, излучаемых в единицу лабораторного времени в интервале
углов 0 < в < во, есть
1 + /?-УГ^
= 27rJov/r^(l + cos0o),
а в интервале во < 0 < 7г
7V2 = 2тг70Х/Г^^х/1 Р1 1+^- = 27г70Х/Г^^(1 - cos#0).
Очевидно, что N\ + N2 = 47гJo \/l - Р2 соответствует полному числу фотонов,
излучаемому в единицу времени по всем направлениям. JVi и JV2 равны между
собой при /3 < 1, когда cos#o ~ 0. Если же /3 приближается к единице, то JVi
делается много больше, чем N2. Таким образом в этом ультрарелятивистском случае
подавляющая часть света излучается в узком конусе в < во, испытывая при этом
фиолетовое смещение.
3.38. Используя решение предыдущей задачи, получим
(1-32)2
(l-/3cos<9)3'
где Io = Johuo — изотропно распределенная сила света в системе покоя источника.
Полный световой поток
У(47г) Л (l-^2cos(9)3
одинаков в системе покоя источника и в лабораторной системе.
3.39. Введем систему 5', связанную с зеркалом (S — лабораторная система).
Обозначим через а[ и а2 углы, образуемые волновыми векторами к[ и к2
падающей и отраженной волн с направлением скорости V зеркала (рис. 3.12). Частоту

106
Глава 3. Специальная теория относительности
до и после отражения будем обозначать ш[ и и'2 соответственно. Аналогичные
величины в системе S будем обозначать теми же буквами без штрихов. Будем
исходить из известных законов отражения в системе S': и[ = и'2 = и' и а'2 = 7г - а[,
откуда cos а'2 = - cos a[.
Выражая lu' через и, cos а' через cos а с
помощью формул преобразования 4-вектора и решая
получившиеся уравнения относительно и2 и cosa2,
найдем:
COS OL4 = —
UJ2 = LJi -
(l + /32)cosai -2/3
l-2^cosai + /32 '
L-2/3cosai+/32
1 - /З2
Если /3 —► 1, то при нормальном падении на удаля-
рис з 12 ющееся зеркало и2 —>. 0, а при нормальном падении
на приближающееся зеркало о;2 —► оо.
3.40. cji = CJ2. Угол падения равен углу отражения.
3.41. Изображение создается квантами света, одновременно достигающими
фотопластинки. Но эти кванты испускаются точками движущегося тела, вообще
говоря, неодновременно. Это происходит как вследствие неодинаковости
расстояний различных точек тела до фотопластинки, так и из-за того, что события,
одновременные в одной системе отсчета, неодновременны в другой. Поэтому
изображение движущегося предмета будет не таким, как изображение неподвижного
предмета.
Кванты, испущенные разными точками ребра А'В' одновременно в системе S'
(куба), достигнут фотопластинки одновременно. Длина изображения АВ будет
такой же, как и в случае неподвижного куба, и будет определяться только тем
сокращением, которое обусловлено расстоянием до предмета и фокусным
расстоянием фотоаппарата. Примем эту длину за 1.
У неподвижного куба изображение ребра E'F' было бы слито с
изображением А'В' (в предельном случае сколь угодно малого телесного угла, когда все лучи
параллельны). В случае движущегося куба кванты от ребра E'F' достигнут
фотопластинки одновременно с квантами от ребра А'В\ если первые будут испущены
раньше на время At = lo/c (в системе S). В это время ребро E'F' занимало
положение E[F[ и до испускания света ребром А'В' проделало путь, равный Vlo/c.
Следовательно, теперь ребро E'F' не будет загорожено ребром АВ, изображения
ребер А'Е' и B'F' будут иметь длину V/c = /3, а не нуль, как у
неподвижного куба, и вся грань A'B'F'E' сфотографируется в виде прямоугольника ABFE
(рис. 3.13а) с соотношением сторон 1: /3.
Кванты, создающие изображения ребер А'В' и CD', испускаются кубом
одновременно в системе S. В системе S'y как следует из преобразований Лоренца (3.1),
кванты с ребра CD' должны быть испущены раньше, чем с ребра А'В', на
время At' = jVl/c2y где I — длина ребер В'С и A'D' в системе 5. Можно считать,
что в системе S' в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии Ах' = 1о>

§3.4. Ответы и решения
107
произошли два события, одно на At' позже другого. Расстояние между ними в
системе S определяется с помощью (3.1):
1 = Ах = ч(Ах' -VAt'),
откуда, подставляя Ах' и At'y находим I = 10 \Л - (З2 — длину ребер ВС и AD в
системе S. Они испытали обычное лоренцево сокращение. Их изображения (с
учетом сокращения в фотоаппарате) будут иметь длины д/1 - (З2.
Чертеж изображения куба приведен на
рис. 3.13а. Любопытно отметить, что такое
же изображение даст неподвижный куб,
повернутый относительно V на угол а =
= arcsin(V/c). Видимая форма предмета
в данном случае не испытывает
деформации из-за лоренцева сокращения —
предмет только «повернулся» на угол а. Этот
результат, как оказывается (см. [Вайскопф
(1964)], а также следующие задачи),
имеет место для любого предмета и любого
угла между скоростью и направлением
наблюдения. Нужно только, чтобы предмет
был виден под малым телесным углом.
Если бы были справедливы
преобразования Галилея, то ребра A'D' и В'С не
испытали бы лоренцева сокращения, и изображение приняло бы вид,
показанный на рис. 3.136. Задняя (по отношению к направлению движения) грань куба
по-прежнему была бы сфотографирована. Таким образом, видимая форма
движущегося предмета подверглась бы искажению.
3.42. a) I = lp\\/l - 02cosa' - /3sina'|, (3 = V/c. Значение a'max, при
котором функция | л/l — (З2 cos а! — (3s'ma'\ имеет максимум, определяется
условием tga'max = -(З/л/l - (З2. При этом I = 1$: таким образом, наибольшая длина I
равна Z0- Изображение в этом случае эквивалентно изображению неподвижного
стержня, ориентированного параллельно фотопластинке. Стержень «повернулся»
на угол тг - а^ах.
6)a' = arctg(^^); в этом случае изображение получится таким, как если
бы стержень был неподвижен и ориентирован перпендикулярно фотопластинке.
в) Если два наблюдателя, неподвижных в системе 5, одновременно сделают
зарубки на плоскости ху в точках М и 7V, мимо которых в данный момент проходят
концы стержня, то полученный ими отрезок MN будет составлять с осью Ох угол
а = arctg
tga;
3.43. Изображение будет иметь форму круга. Сфотографируется полусфера,
заштрихованная на рис. 3.14. Она ограничена плоскостью А'В', составляющей

108
Глава 3. Специальная теория относительности
угол
a = arete -
и
с направлением V (в системе шара). Вопреки естественному интуитивному
представлению, движущийся шар не воспринимается наблюдателем как эллипсоид,
сплющенный в направлении движения. Лоренцево сокращение оказывается
невидимым! Но это, разумеется, не означает, что оно отсутствует.
3.44. Видимые положения куба изображены
схематически на рис. 3.15. При V/c < cos a видна
передняя грань A'D' и нижняя грань А'В''. Если в
оптической системе фотоаппарата не происходит
сокращения размеров предмета, то
АВ = Wl-£2
sin a
AD = l0
1 — 0 cos a'
cos a — 0
1 — 0 cos a
С помощью этих формул находим угол #
поворота куба:
*=i
a
О,
t£#
cos a
в( \а
in ад/1- 02
sin
При V/c = cos а имеем # = 7г/2 — а и видна
только нижняя грань А'В'. При V/c > cos a видны
нижняя и задняя грани,
0 — cos a
Рис. 3.14
7Г
— — a + arctg
V^T2
sin a
Наконец, при V/c —► 1 видна только задняя грань, нижняя грань испытала
лоренцево сокращение до нуля, # = 7г - а.
3.45. Скорость корабля У равна отношению расстояния h-fa ко времени Аг =
= Т2 — Ti между моментами испускания световых вспышек. Ввиду независимости
скорости света от скоростей источника и приемника имеем т\^ = t\^ - h^/c.
Поэтому
1) V
h-h
M + {h-l2)lc
где At = t2 - ti — промежуток времени между вспышками, зарегистрированный
наблюдателем. Записав 1) в виде
2)
h-h
V
V/c
At = V*At,
замечаем, что коэффициент пропорциональности между расстоянием h - h и
временем At («кажущаяся» скорость V* = V/(l —V/c)) превышает скорость света при

§3.4. Ответы и решения
109
V
l\ 7r<cosa
>cos a
Tir^r^
о
YAri
~а f- V
Рис. 3.15
Рис. 3.16
V > с/2. «Кажущаяся» скорость и «кажущееся» положение объекта возникают из-
за того, что наблюдатель видит положение объекта не в момент наблюдения, а в
предшествующий момент t — l/c из-за конечного значения скорости света.
Аналогичный эффект конечности скорости звука хорошо заметен при
наблюдениях за движением сверхзвукового самолета: звук отстает от самолета и приходит
к наблюдателю из точек траектории, находящихся позади самолета.
Момент прибытия корабля: £* = n + h/V = т2 + fa/V. Все времена здесь
определены в одной системе отсчета — системе наблюдателя.
3.46. Для определения искомых длин мы располагаем тремя величинами:
двумя скоростями с, У и промежутком времени At между посылками сигналов.
Обозначим времена отражения сигналов от заднего и переднего зеркал
соответственно через т\ и т2 (в системе наблюдателя). Положения корабля в моменты т\
и т2 изображены на рис. 3.16. Времена испускания сигналов:
1)
t1=r1-
1 + а
h =т2-
l-VAr
с с
Времена возвращения сигналов к наблюдателю:
Ат = Т2 — Т\.
2)
А = п +
1 + а
t'2=T2 +
1-VAt
Из условия t[ = t'2 находим а = (c-V)At и из 1) получаем время между
посылками сигналов наблюдателем: At = t2 -1\ = 2Дт, т. е. Ат = At/2. Из этих данных
и рис. 3.16 находим
3)
а + VAr
1-V/c
1 1 / Vs
-cAt, a = - 1 ) с At.
2 2 V с
«Кажущаяся» длина а* корабля из-за конечности скорости света больше, чем его
«истинная» длина а в системе наблюдателя. Длина корабля ао в собственной
системе связана с его длиной а в системе наблюдателя лоренцевской формулой (3.12).

по
Глава 3. Специальная теория относительности
Используя 3) и (3.12), находим
1 + V/c
Вопреки интуитивному представлению о лоренцевском сокращении масштабов,
собственная длина корабля ао меньше его «кажущейся», т. е. «видимой» (с
помощью приборов), длины а*. Этот «парадокс» объясняется использованным способом
измерения длин с помощью световых сигналов и конечностью скорости света. При
с —>. оо все три рассмотренные выше длины совпадают.
Случай корабля, удаляющегося от наблюдателя, получается из рассмотренного
заменой V на -V. При этом кажущаяся длина а* становится меньше двух других
длин, а связь между а и ао остается прежней.
3.47. Пренебрегая собственным размером корабля, рассмотрим его движение
на отрезке I « L. В этих условиях лучи, проведенные из начала и конца
отрезка I к наблюдателю, можно считать параллельными. Свет, испущенный в начале
отрезка I (момент т\) будет зарегистрирован наблюдателем в момент t\ = т\ + (L +
-\-l cos a)/с. Свет, испущенный в конце отрезка (момент т2) придет к наблюдателю
в момент t2 = т2 + L/c (см. рис. 3.7). Поскольку / = VAr, At = t2 — ti = Дт(1 —
— V cos a/с). «Кажущаяся» скорость
I V V
At 1 - (3 cos a c
Проецируя вектор V*, направленный вдоль V, на направление луча и на
перпендикулярную лучу плоскость, получаем
V cos a У sin a
2) Кц = -Л ^тттт, V*±
*" 1 — (3 cos а' 1 — 0 cos a
При 7 = (1 - Р2)~1/2 » 1 и а « 1 имеем
2с тг 2са
3) Кц = —~—~, Кх =
7~2 + а^' ~~,~ 7-2 +а<2
и, следовательно, К||тах ~ 2с72 > с, V*±max « 07 > с. Сверхсветовые
скорости макроскопических объектов (облаков релятивистской плазмы) неоднократно
наблюдались в астрономии. По-видимому, их происхождение объясняют формулы
О-з).
3.48. Пусть в системе отсчета 5", связанной со средой, распространяется
плоская волна с частотой а/ и волновым вектором к' = (/с' cos а', к' sin а', 0), k' JL Oz.
Фазовая скорость волны г/ = c/n = и'/к' в системе S' не зависит от угла а\
определяющего направление распространения волны. Компоненты поля
пропорциональны е~гк-х'\ где к[ = (и'/с,— к'). Так как фаза к^хг = Цх'г — инвариант
относительно преобразования Лоренца, то кг представляет собой 4-вектор
(волновой 4-вектор). Используя (3.13) и (3.17), мы можем найти компоненты ki в системе
отсчета 5, относительно которой среда движется со скоростью V || Ох, откуда
1) и = 7^/(1 + /3ncosa'), tga
7(cos<y + /3/n)'

§3.4. Ответы и решения
111
и 1 + /Зп cos a'
2) v = - = с—
к yjn2 + 2/3n cos а' + (З2(1 - п2 sin2 a7)
Из 2) видно, что фазовая скорость в движущейся среде зависит от направления
распространения. Возникает своеобразная анизотропия, связанная с движением
среды.
3.49. Искомую скорость можно найти по формуле 2) предыдущей задачи [о! =
= 0):
1 + 0п(\') с 1
v = с—,, ,ч « —гттт + V 1
п(А')+/? п(А') V п2(А;)у
Здесь А7 = 27гсДУ, w' — частота, наблюдаемая в системе 5", относительно которой
среда покоится. По формуле 1) предыдущей задачи находим с точностью до членов
первого порядка по V/c:
А' и л nV
А о/ с
откуда
с с с dn nV
п(А') п(А) п2 d\ с
и окончательно
п(Л) V "2(л) п(\) d\ /
3.53. Sik = Ski, Aik = ~А-ы-i Si = S i ф Sk , Ai = —A j ф —А\.г.
3.54. I* = (1/4)1?** + (I* - (1/4)Т/^).
3 55 &Ы = rpikl _|_ rpkli _|_ rpHk _|_ rpkil _|_ rpHk _|_ rplki. Aikl _ rpikl j_ гркН _i_ rplik _
_ rpkil _ rpilk _ rnlki
3.58. Bm = +(1/6)ешШ£Ш, Mm = z(l/2)elmikAik, Jkirn = eikimJ\
Поскольку eikim — псевдотензор, то Biki, Агк и J1 также псевдотензоры, если Вш, Aim и
Jkim, — истинные тензоры.
3.59. Вектор С/, лежащий в плоскости (Аг,Вк), можно представить как
линейную суперпозицию векторов Ai и Вк:
Cl=SAl+PBh
где S и Р — некоторые инварианты. Дуальный тензор согласно (3.29) имеет вид
Сгк = (1/2)егк1т (AtBm - AmBL) = ^к1шА{Вш.
Ортогональность вектора С\ и тензора Сгк означает обращение в нуль их
скалярного произведения С[С1к = 0, что фактически имеет место в силу антисимметрии
псевдотензора егк1ш по любой паре значков.
3.60. В трехмерном пространстве объем, построенный на трех векторах dry
dr'', dr"', можно записать в виде определителя (см. задачу 1.14)
dV
dx\ dx2 dxs
dx[ dx'2 dx'z
dx'{ dx'{ dx'l

112
Глава 3. Специальная теория относительности
Он не имеет направления (является псевдоскаляром), но может быть
положительным или отрицательным. По аналогии трехмерный объем в 4-пространстве можно
выразить в виде определителя, который представляет собой, однако,
антисимметричный 4-тензор III ранга:
Vi
ы
Аг Ак Ai
Bi Bk Bi
Сi Ck Сl
Имеется 4 существенно различных компоненты такого тензора (с индексами 123,
120, 103, 023), которые можно трактовать как компоненты дуального псевдо-
вектора
Уг = (1/6)еШтУк1т = ?ы™АкВ{Сш.
Наличие направления у трехмерного гиперобъема означает возможность
различной ориентации любого элемента трехмерной гиперповерхности в
четырехмерном пространстве (вспомним, что элемент двумерной поверхности в трехмерном
пространстве также может иметь различную ориентацию). В частности,
компонента V0 изображает обычный трехмерный объем, построенный на трехмерных
векторах А, В, С и взятый с тем или другим знаком (в зависимости от того,
правую или левую тройку векторов образуют векторы А, В, С). В зависимости
от знака он может быть направлен вдоль оси Ох° (в будущее) или против нее
(в прошлое). Аналогичный смысл имеют другие компоненты Vх.
Любой вектор G{, принадлежащий трехмерной гиперповерхности, может быть
разложен по 4-векторам, на которых она построена:
Gl=SAl+PBl + QCh
где S, P, Q — инварианты. Векторы G/ и V1 взаимно ортогональны, так как
GiV1 =0.
3.61. На трехмерный тензор II ранга Х7^, /х, i/ = 1,2,3, два трехмерных вектора
Т0^ и Т^° и трехмерный скаляр Г00.
3.62. Любой антисимметричный 4-тензор II ранга включает в себя трехмерный
полярный вектор р и трехмерный аксиальный вектор а:
(
{
и
-Рх
-Ру
-Vz
Рх
0
Q>z
-ay
Ру
—az
0
Gx
Pz \
ay
-a>x
о /
Aik =
Но обратное утверждение неверно: далеко не любая совокупность трехмерных
вектора и псевдовектора образует 4-тензор II ранга.
3.65.
/ 1 0 0 0 \
о
0 9
V0 /
где матрица трехмерного поворота д{а\ва2) определена в ответе задачи 1.20.
АЧ =

§3.4. Ответы и решения
113
г./к
3.67. Искомую матрицу, хг = Аг^х/к, можно представить в виде произведения
Л = Л(0,Ф)Л(У)Л-1(0,Ф),
где Л(0, Ф) — матрица пространственного поворота, переводящего ось Ох3 в новое
положение Ох'3, которое определяется сферическими углами 0, Ф в старой
системе; Л(У) — буст вдоль новой оси Ох'3. Произведя поворот по часовой стрелке на
угол Ф вокруг оси Ох3 и на угол 0 вокруг новой оси Ох'2, находим
Л(в,Ф) =
/1
0
0
V о
0
cos 0 cos Ф
cos 0 sin Ф
— sin0
0
-БШФ
совФ
0
sin 0 cos Ф
sin 0 sin Ф
COS0
\
/
Матрица буста вдоль оси Ох'3 получается из (3.20) перестановкой строк и
столбцов с номерами 1 и 3:
/ cosh?/' 0 0 sinh^ \
0 10 0
0 0 10
у sinh^ 0 0 cosh^ )
k{V)-
Матрица Л х(0, Ф) получается транспонированием Л(0,Ф). После перемножения
матриц (что требует некоторой аккуратности) получим
А(у,е,Ф)=
cosh ip
sinh ipnx
sinh ipriy
sinh tpnz
sinh ipnx
1 + (cosh -ф — l)n2x
(cosh^ - 1)пуПх
(cosh^ — l)nznx
sinh ipriy
(cosh ф — l)nxny
1 + (coshi/> - l)ny
(cosh ф — \)nzny
sinh ipnz
(cosh^ — l)nxnz
(coshi/' - l)nynz
1 + (cosh^ - l)n2z
где nx = sin 0 cos Ф, ny = sin 0 sin Ф, nz = cos0 — проекции орта V/V на
пространственные оси исходной системы координат.
3.68. Инвариантность интервала приводит к условию дцд£1 & + дыЬС1 i
или, используя правило опускания индекса,
btlik = —btlki
0
(3.53)
(антисимметрия). Это свойство сохраняется и при подъеме одного из значков:
5£1гк = -Шкг- Таким образом, имеется всего б независимых параметров
преобразования, соответствующих комбинациям значков г, к = 0,1; 0,2; 0,3; 1,2; 1,3; 2,3.
Величины 5Г£% = Ш°а = Va/c — малые углы псевдоповоротов в плоскостях
(0,а). Величины bQap = <Р(3^а — малые углы обычных поворотов в плоскостях
(0,а) от оси (3 к а.
3.69. A%i = diA1 = inv — скаляр, 4-дивергенция; dkAi — ковариантный тензор
II ранга; дгТ\ — ковариантный вектор.
3.70. Инвариантность оператора Даламбера становится очевидной из записи
его в тензорных обозначениях:
□
Лк
_д д_
dxi дхк
(3.54)

114
Глава 3. Специальная теория относительности
3.71. По аналогии с компонентами 3-ротора дАа/дхр — дА@/дха
четырехмерный ротор следует определить как антисимметричный 4-тензор
_дАъ_дА = А _Л
ik " дх* дхк ~ М ик'
(3.55)
Он имеет 6 существенно различных компонент и не может быть сведен к 4-вектору.
Но ему можно, согласно (3.29), сопоставить дуальный антисимметричный тензор
II ранга
(3.56)
Flk = (l/2)elkLrnFi
3.72. Выделим малый элемент двумерной гиперповерхности, который можно
считать плоским, в форме прямоугольника и введем локальную систему координат,
оси которой г w к параллельны сторонам прямоугольника (рис. 3.17). Рассмотрим
интеграл по замкнутой границе прямоугольника:
гАхк
[Ак(х* + Ах\хк-\-г])-
гАх'
I AjdV = [
-Ak(x\xk+ri)]dn + Г* [Аг(х*+£,хк)
Jo
X + AX
■А;(хЧ(,/ + Д^М
dAk
dxi
Ах*Ахк
дхк V дхг дхк J (a)
~la - контур
x + Ax
Рис. 3.17
Мы воспользовались малостью прямоугольника и учли только члены низшего
порядка.
Левая часть равенства представляет собой инвариант, не зависящий от
системы координат; таким же инвариантом должна быть и правая часть, а AStk
представляет собой, следовательно, контравариантный тензор II ранга, изображающий
направленный элемент двумерной гиперповерхности. Далее следует разделить всю
рассматриваемую гиперповерхность на прямоугольники, которые одновременно
будут элементами касательных плоскостей в соответствующих точках
гиперповерхности, и для каждого из них записать полученное выше соотношение.
Просуммируем правую и левую части приближенного равенства по всей гиперповерхности,
ограниченной контуром Z,
AjdV
Е
дАк
dxi
ЗА
ш) Д5&'
устремляя к нулю площади прямоугольников. В правой части получаем
интегральную сумму, в пределе изображающую интеграл по всей гиперповерхности. В левой
части интегралы по внутренним отрезкам, общим для соседних прямоугольников,
входят с разными знаками и взаимно сокращаются. Остается лишь интеграл по
внешним границам прямоугольников. В результате получается равенство,
приведенное в условии задачи.

§3.4. Ответы и решения
115
3.75.
гк
( о
нх
о
-Ег
En
Ну
Ez
О
—Ет,
н2
-Еу
Ех
О
J
hik
I о — нх —Ну —Hz ^
Нх
НУ
\ Hz
о
-Ех
Е2
О
—Ет
-Е„
Ех
О
J
3.76. h = FikFik = -FikFik = 2(Я2 - £2), I2 = FikFik = -4E-H.
3.77. а) Если в исходной системе Е х Н = 0, т. е. напряженности
параллельны, то это свойство сохранится в любой системе, движущейся вдоль общего
направления Е и Н с произвольной скоростью V < с.
Если в исходной системе Е х Н ф 0, то из условия параллельности Е' х Н' =
= 0 находим систему, обладающую нужными свойствами, которая движется в
направлении Е х Н:
V _ Е2 + Я2 - 7(Д2 - Я2)2 + 4(Е-Н)2
7 ~ 2(Е х Н)2
Е хН,
V
<1.
В любой другой инерциальной системе, движущейся относительно найденной
системы вдоль общего направления Е' и Н', напряженности также параллельны и
имеют значения
Е'2 = (1/2) \Е2 - Н2 + ^(Е2 - Я2)2 + 4(Е-Н)2
Я'2 = (1/2) \Н2-Е2 + ^{Е2 - Я2)2 + 4(Е-Н)2
б) При Е-Н = 0 и Я2 — Е2 > 0 можно обратить в нуль электрическое поле, а
при Е-Н = 0 и Е2 — Я2 > 0 — магнитное. Сохраняются в силе формулы п. а), из
которых следует
V
V
ЕхН
ЕхН
С Е2 '
Н
Н' = ^Я2-£2
н
e' = ^Ve2-h2
Е
при Н > Е,
при Н < Е.
При Е = Н искомая система, реализуемая макроскопическими телами,
отсутствует, так как V = с.
в) В силу инвариантности Е-Н свойство перпендикулярности Е'-Н7 = 0 должно
выполняться во всех инерциальных системах, в том числе и в исходной: Е-Н = 0.
Если же Е-Н ф 0, то и Е'-Н7 ф 0.
г) и д) Е' = Н' возможно лишь при условии Е = Н.
3.78. При к < J/с в системе отсчета, движущейся со скоростью V = с2п/ J
параллельно оси цилиндра в направлении вектора ЕхН, электрическое поле Е' =
= 0, а магнитное поле
Я'=^
сг
1
J2 •

116
Глава 3. Специальная теория относительности
При и > J/с в системе отсчета, движущейся со скоростью V = J/к параллельно
оси цилиндра в направлении Е х Н, имеем
Г V С2К2'
При к, = J/с не существует такой системы отсчета, в которой имелось бы только
электрическое или только магнитное поле. Как видно из приведенных формул, при
к —> J/с скорость такой системы отсчета стремилась бы к с, а величины обоих
полей — к нулю.
3.79.
1) 9iFife = ^jfe, dkjk=0,
2) Fikfl + Fklti + FUfk = 0.
Второе уравнение Максвелла можно записать более компактно через дуальный
тензор Fik = eiklmdiAm:
3) дгРгк = 0.
Из уравнений 1) следует, что совокупность величин jk = (cp,j) образует
четырехмерный вектор плотности тока.
3.80. а) В фиксированный момент времени (dt = 0) получаем уравнения вида
E-dr = 0,dr x H = 0. Из второго уравнения следует, что dr || Н, т. е. dr является
элементом магнитной силовой линии. Систему 2) можно записать в виде Fikdxk =
= 0, откуда следует ее релятивистская инвариантность.
б) Условие совместности системы имеет вид Е-Н = 0. Оно релятивистски
инвариантно и показывает, что релятивистски инвариантные магнитные силовые линии
можно ввести только для взаимно перпендикулярных электрического и магнитного
полей.
в) Условие интегрируемости системы имеет вид
Нх (rotE+-?5 ) -EdivH = 0,
V с dt J
или в ковариантной записи, FikeklmndiFmn = 0, и всегда удовлетворяется в силу
уравнений Максвелла.
г) Записав уравнения 2) в виде (Е _L H):
H(H-dr) ExHu
убеждаемся в справедливости сделанного в условии задачи утверждения г).
3.81. В трехмерной записи система, приведенная в условии задачи, принимает
вид
dr х Е - cHdt = 0, H-dr = 0,
откуда следует, что в любой фиксированный момент времени (dt = 0) выполняется
условие параллельности dr х Е = 0 приращения dr и электрического вектора Е.
Уравнения совместны при Е-Н = 0 и интегрируемы при
1 /9EN
Е х ( rotH — ) +HdivE = 0.
с at

§3.4. Ответы и решения
117
Последнее уравнение накладывает на распределение зарядов и токов условие
Е х j + срН = 0.
Если перечисленные условия не выполняются, то инвариантных силовых линий
электрического поля ввести не удается. Силовые линии движутся поперек своего
направления со скоростью и = -сЕ х Н/Е2.
е л eV ^ eR eK(l-V2/c2) „ V
—— .А = к; = =
Я*'
3.83. </?
сЯ*
72Я*3 дз(1-£81п20)
3/2
,Н = -хЕ;
где i?* = д/(х - Vi)2 + (1 - Р2)(у2 + £2), (Vt,0,0) — координаты движущегося
заряда в момент t, R = (х — Vt,y,z) — радиус-вектор, соединяющий заряд и точку
наблюдения в момент t, fi — угол между R и V.
Чтобы представить 4-потенциал в ковариантной форме, введем 4-скорость
частицы ик и 4-вектор Rk = (c(t - t'),H(t'))f где t' — момент генерации поля
частицей, R(t') — 3-вектор, соединяющий точку наблюдения с положением заряда в
момент t' (рис. 3.18). Не ограничивая общности, полагаем х = 0. Rk — светопо-
добный вектор, т. е. RkRk = 0 и c(t -1') = R(t'). Из рис. 3.18 видно, что отрезок
S'S равен произведению скорости частицы на время запаздывания vR(t')/cf
следовательно, S'N = u-R(£')/c, a R(t') sin fl = r±. Из прямоугольных треугольников
MNS и MSO имеем (MN)2 = (MS)2 - (NS)2 = r]_ + (vt)2 - (vR(t')/c)2 sin2 <д =
= R*2.
Рис. 3.18
S'
vRjt')
Vt
С другой стороны, MN = S'M-S'N = R(t')-v-R(t')/c = c(t-t')-v-R(tf)/c =
= 7~1RkUk, т. е. R* = ^y~1RkUk. Таким образом, ковариантная форма записи
4-потенциала
Ак
3.84. Из формул предыдущей задачи следует, что вдоль линии движения
заряда (# = 0,7г) поле Е ослаблено по сравнению с кулоновым Ее = c/R2 в
1 — V2/с2 раз, а в перпендикулярном направлении (# = 7г/2) поле Е усилено в
(1 — У2/с2)-1/2 раз. При V « с поле велико только в узком интервале углов
Sfl « (1 — V2/с2)1/2 вблизи экваториальной плоскости.
Условие £j| = Е!, относится к одним и тем же точкам 4-пространства. Но
если в системе покоя заряда какая-то точка находится на оси х на расстоянии R
от заряда, то в лабораторной системе та же точка будет находиться от него на
расстоянии Ry/l - (З2. Сравнивая значения Е\\ в точке R^l - (З2 и Е'п в точке Д,
получим
^eR^l^W(l-(i2) = ^_
11 (R^/T^PY R2
E\\i

118
Глава 3. Специальная теория относительности
как и должно быть.
Qft* ,„ Р0'г* л v, -p 3R(p0-r,) - pprj V
7^J с 7 r* c
где R = (x — Vt,у, г), г* = (х — V£,у/7, г/т)» диполь движется по оси х, находясь
в момент t в точке с радиусом-вектором Vt.
3.86. По определению
р = / rpdV, m = — / г х j dV.
Величину ца(3 = - — (xajP - x^ja) можно рассматривать как пространственную
часть антисимметричного тензора II ранга, a fj?P = \j°x^ — как элементы его
первой строки (при условии, что /х00 = 0). Это следует из того, что (ср, j) =
= jk образуют 4-вектор (см. задачу 3.79). Дополняя первый столбец элементами
цг0 = -jjP\ получим антисимметричный 4-тензор «плотности дипольного
момента»1 цгк.
Совокупность риш выразится в виде интеграла J jj,lkdV:
pa= f /x0cW = - f na0dV, m7 = - / ^dV
(в последнем случае индексы а, /3,7 нужно переставлять циклически). Из этих
формул следует, что моменты (р, га) преобразуются как произведение
антисимметричного 4-тензора II ранга на объем и не образуют сами по себе какого-либо
4-тензора. Используя правило (3.42) преобразования антисимметричного тензора
и правило преобразования объема, находим
, 1Ч(У-Ро)У , V , 1Ч(У-го0)У V
Р = Ро - (7 - 1) lV2 + - х m0, m = m0 - (7 - 1)—^ 7 X Po'
3.87. Используя формулы преобразования четырех-
\b I мерной плотности тока, найдем, что стороны 2 и 4
I2 _J!V прямоугольника (рис. 3.19) не заряжены, а стороны 1 и 3
- несут заряды qx = -q3 = -VJ'a/c2> где Jf — ток в системе
Рис. 3.19 ^> связанной с петлей. Отсюда (или из результата
предыдущей задачи) следует, что электрический
дипольный момент петли, наблюдаемый в Sf, равен
р = q3b = Vmf/cy где m! = J'ab/c — магнитный момент петли, наблюдаемый в
системе S'.
3.88. Из вида тензора энергии-импульса, записанного через напряженности
электромагнитного поля (см. (3.49) — (3.52)), следует, что его недиагональные
элементы обращаются в нуль в том и только в том случае, когда напряженность
Е параллельна или антипараллельна Н, либо одна из них равна нулю. При этом
Т00 = —Т11 = Т22 = Т33 = — (Е2 + Н2)
если векторы поля направлены вдоль Ох. Все системы отсчета, обладающие таким
свойством, были найдены в задаче 377. Если поле изменяется в пространстве
1 Кавычки здесь использованы в связи с тем, что введенная величина может рассматриваться как
плотность лишь в чисто формальном смысле — интеграл от нее по объему дает дипольные моменты
системы. Для макроскопических тел такая трактовка значительно более оправдана.
J'

§3.4. Ответы и решения
119
и во времени, то, вообще говоря, диагонализировать тензор путем перехода в
соответствующую инерциальную систему отсчета можно только в одной точке
пространства в определенный момент времени.
Диагонализация невозможна, если в исходной системе отсчета Е1Ни^ = Я.
3.89. Если наблюдатель находится в системе 5", то плотность энергии Н =
_ jvoo _ T'^u^Ufr/c2 = Тгкщик1с2\ плотность проекции импульса на простран-
ственноподобное направление, определяемое единичным вектором п^ (riknk = — 1),
записывается в виде Р'п = Тгкщпк/с.
3.90. В общем случае
i-^-Ш
+ рЕ + - j х Н
d3
X.
Кроме силы, в правую часть равенства входит изменение импульса поля за единицу
времени в рассматриваемом объеме.
3.91. Импульс и энергию поля в объеме V в момент t = x°/c можно выразить
интегралами fTa0dV и fT00dV соответственно, где интегрирование производится
по всему трехмерному пространству. Объединим их и запишем в ковариантной
форме, введя единичный 4-вектор щ = (1,0,0,0): j^,t)TkldSi, где dSi = riidV —
элемент гиперповерхности £(£), определяемой условием t = х°/с = хо/с =
= const, т. е. это элемент трехмерного объема. Обобщим написанный интеграл и
распространим его на замкнутую гиперповерхность T,tot, окружающую 4-объем Q:
1)
E(0 + S(O+S;-
Здесь Е7 — боковая цилиндрическая гиперповерхность, образующие которой
параллельны оси времени х° (см. условный рис. 3.20).
Применим четырехмерную теорему
Остроградского-Гаусса к интегралу по этой
гиперповерхности:
2)
/ TkidS% = [
ОТ
кг
дх"
-сЮ,
Рис. 3.20
где dSi на боковой поверхности, конечно,
имеет вид, отличный от щдУ. Поскольку Q, и
dQ — инварианты, а дТкг/дхг — 4-вектор,
то и интеграл в левой части также 4-вектор.
Векторами являются и его отдельные
слагаемые TkldSi при любой ориентации элементов
dSi, в частности интеграл j^,t)TkodV.
На удаленной боковой поверхности Е;
поле отсутствует, Ткг = 0. Из этого факта, уравнения 1) и уравнения непрерывности
дТкг/дхг = 0, следует, что fTk0(t)dV = fTk0(t')dV, т. е. рассматриваемый
4-вектор, как и должно быть, не изменяется со временем.
3.92. Полный момент импульса частиц и поля в рассматриваемом конечном
3-объеме

120
Глава 3. Специальная теория относительности
1)
с 7E(t)
xapf3
xPpa — момент импульса одной частицы, сумма берется по всем
где Iе"3
частицам. Гиперповерхность E(f) перпендикулярна оси t и представляет собой
конечный трехмерный объем V. Убыль момента импульса системы за время dt:
2)
-dL^ = L°0(t) - L°0(t + dt) = -V^ + -/ - / ...
c JZ(t+dt) c Jv(t)
Перейдем в 2) к интегрированию по замкнутой цилиндрической гиперповерхности
Etot» записав fx(t+dt) +/sm + Je' = /е. .• Здесь Е' — боковая цилиндрическая
поверхность, образующие которой параллельны оси времени (см. рис. 3.21, не
забывая об условности изображения 4-пространства на бумажном листе). Во всех
интегралах элементы dSi должны быть ориентированы вдоль внешней нормали к
гиперповерхности.
Применив теорему Остроградского-Гаусса,
будем иметь
3) yk
I (хаТ0г-х^Таг) dSi= J ^- (хаТ0г-х^Таг) dQ.
С помощью уравнений движения частиц (см. раздел
4.2) убеждаемся, что интеграл по 4-объему в 3)
преобразуется в изменение момента импульса частиц
J2dla(3. В результате 2) преобразуется к виду
4) -dL^ = - [ (хаТ^ - эРТ"*) d57.
t+dt
Рис. 3.21
Элементы гиперповерхности Е' нормальны к оси
времени, их можно записать в виде dS1 = cdtn^df,
где df — элемент обычной двумерной поверхности,
ограничивающей объем V, п — орт нормали к этому
элементу. Это позволяет получить из 4) выражение для убыли момента импульса
в единицу времени:
5)
dL«P
dt
= I(-xaT^ + x^Ta^)n^df.
Введем антисимметричный по значкам а, (3 тензор Ка(31 = х^Та/у - хаТ^.
Этот тензор можно интерпретировать как плотность потока момента импульса,
что вытекает из 5). Компонента Ка(31 равна количеству а/3-компоненты полного
момента импульса La(3f протекающему в единицу времени через единицу
поверхности, перпендикулярной оси с номером 7- Обозначим через L и 1Z 3-векторы,

§3.4. Ответы и решения
121
дуальные антисимметричным тензорам Ьа(3 и TZa^n^. Тогда равенство 5) примет
вид
б, "Ж"/**
где
7) К=Е ^Н rxn-j-rx [E(n-E) + H(n-H)].
07Г 47Г
При получении последней формулы использовано выражение (3.49) для компонент
тензора энергии-импульса и таблицы (3.40).

Глава 4
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§4.1. КИНЕМАТИКА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
Импульс р релятивистской частицы связан с ее скоростью v соотношением
mv
v^?'
(4.1)
где га — масса1 частицы. Полная энергия £ свободно движущейся частицы может
быть выражена через скорость
S = ^^= (4.2)
или импульс:
£ = су/р2 + т2с2. (4.3)
Кинетическая энергия Т частицы отличается от полной энергии на величину
энергии покоя £0 = тс2:
Т = £-тс2. (4.4)
Энергия, импульс и скорость частицы связаны формулой:
Ev = c2p. (4.5)
Энергия и импульс частицы являются временной и пространственной
составляющими 4-вектора энергии-импульса (4-импульса):
Р* = {£/с,р). (4.6)
При переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой энергия
и импульс преобразуются по формулам (3.13). Квадрат 4-импульса является
релятивистским инвариантом:
Ргр* = £2/с2-р2 = т2с2. (4.7)
1 Мы всюду имеем в виду инвариантную массу частицы («массу покоя») и не используем массу,
зависящую от скорости, ввиду невозможности ее корректного определения. См. задачу 4.72.

§4.1. Кинематика релятивистских частиц
123
Приведенные формулы допускают движение частиц с предельной скоростью1
v = с, но лишь в том случае, если их масса га = 0. Это вытекает из соотношений
(4.3), (4.5), которые дают для таких частиц
£ = ср. (4.8)
Такая же связь между энергией и импульсом будет приближенно справедлива
для любой частицы, имеющей энергию £ > гас2 (ультрарелятивистской
частицы). Отношение £/гпс2 = (1 — v2/с2)-1/2 = 7 называют релятивистским
фактором (лоренц-фактором).
Нулевую массу имеют кванты электромагнитного поля — фотоны (фотоны
высоких энергий называют гамма-квантами), а также, возможно, некоторые другие
гипотетические (пока не обнаруженные экспериментально) частицы. Энергия и
импульс фотонов в вакууме связаны с их частотой и и волновым вектором к
квантовыми формулами (см. главу 6)
£ = hw, p= — = hk, (4.9)
с
где h « 1,05 х 10~34 Дж-с « 1,05 х 10~27 эрг-с — постоянная Планка.
Кинематические задачи. Общая кинематическая задача может быть
сформулирована следующим образом. Пусть имеется несколько частиц а, 6,... с
4-импульсами рга, р£,..., находящихся на значительных расстояниях друг от
друга и потому не взаимодействующих. При движении частицы сближаются и между
ними происходит взаимодействие. Характер взаимодействия при решении
кинематических задач не играет роли, требуется лишь, чтобы взаимодействие
выключалось при последующем разлете частиц. Взаимодействие может вызывать упругие
столкновения, при которых сами частицы и их внутренние состояния остаются
неизменными, либо распады и неупругие столкновения, когда могут изменяться
массы частиц, их внутренние состояния, появляются новые частицы. Этот процесс
взаимодействия можно записать в виде
а + Ь+-"—>га + пН .
Считая, что в конечном состоянии частицы га, п,... находятся опять на
значительных расстояниях, имеют 4-импульсы ргт, ргп,-' и не взаимодействуют, мы
можем записать закон сохранения 4-импульса всей системы в виде равенства
Ра+Рь + '-=Рт+Рп + '- > (4.10)
которое выполняется в любой инерциальной системе отсчета. Это равенство
является основой для всех кинематических расчетов. Следует также постоянно иметь в
виду, что квадрат любого 4-импульса есть инвариант и, следовательно, имеет одно
и то же значение во всех системах. Наиболее удобными при кинематических
расчетах являются лабораторная система отсчета S (Л-система) и система центра
1 В научной литературе обсуждалась гипотеза о существовании частиц (тахионов), которые
движутся со скоростями, превышающими предельную скорость с. В экспериментах такие частицы не
обнаружены.

124
Глава 4. Релятивистская механика
инерции S' (Ц-система). Последняя определяется как такая система, в которой
полный трехмерный импульс частиц р = ра + р^ + • • • равен нулю.
Как следует из (4Л0), сохраняется полная энергия и полный трехмерный
импульс, но отнюдь не полная масса, понимаемая как сумма масс отдельных частиц.
При неупругом столкновении суммы масс до столкновения и после него, как
правило, неодинаковы:
AM = ma-\-mb + (mn + mk + • • •) ф 0. (4.11)
Величина Q = с2AM называется энергетическим выходом реакции, a AM —
дефектом массы. Дефект массы может достигать значения полной массы частиц,
вступающих в реакцию. Примером таких неупругих столкновений служит
аннигиляция электронно-позитронной или мюонной пары с испусканием гамма-квантов:
е+ + е~ -► 71 + 72, М+ + М~ -> 71 + 72-
Поскольку гамма-кванты не имеют массы, в этих случаях AM = 2гае и AM =
= 2гам. В нерелятивистских процессах (например, в химических реакциях) масса
тоже, строго говоря, не сохраняется. Но дефект массы при этом составляет
чрезвычайно малую долю суммарной массы участвующих в реакции веществ (оценки
см. в задаче 4.37). Поэтому закон сохранения массы при химических реакциях
обычно рассматривают как точный закон природы.
Следует иметь в виду, что понятие дефекта массы имеет достаточно строгий
смысл только в нерелятивистском пределе, когда величина AM мала по сравнению
с ma + гпъ + • • •. В релятивистском случае масса системы взаимодействующих
частиц, аналогичная по смыслу массе отдельной частицы, должна определяться
как инвариантная величина
М= [£2/с4-Р2/с2}1/2 =
т. е. через полную энергию £ и полный трехмерный импульс Р системы,
которые являются аддитивными величинами и выражаются в виде сумм энергий и
импульсов всех частиц. Определенная таким образом масса одинакова до и после
любого процесса взаимодействия частиц, поскольку £ и Р по отдельности
сохраняются. Но она неаддитивна и зависит от углов между импульсами частиц. Лишь
в Ц-системе, в которой Р = 0, она вновь становится аддитивной величиной и
выражается через полные энергии частиц: М = ^2a£a/c2. В этой системе отсчета,
в которой система частиц как целое неподвижна (Р = 0), связь между массой и
полной энергией приобретает вид, аналогичный энергии покоя отдельной частицы:
£ = Мс2. (4.13)
Реакции, идущие по схеме
г.
ЕЭ - Е^
д./*
(4.12)
a + b —► с + d,
(4.14)

§4.1. Кинематика релятивистских частиц 125
Таблица 4.1. Массы некоторых элементарных частиц
Частица
ФОТОН 7
Масса
в единицах гпе
0
в МэВ 1
0
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ БОЗОНЫ |
W±
Z
1,59 х 105
1,81 х 105
8,10 х 104
9,24 х 104
\ ЛЕПТОНЫ |
е±
| Ve,Ve
Г
| Vn,V,i
\т±
\ Ут,Ут
1
«0
207
<0,5
3491,4
<68,5
0,511
«0
105,7
< 0,25
1784,1
<35
Частица
Масса |
в единицах пге
в МэВ |
АДРОНЫ 1
| Мезоны |
1 7Г±
7Г°
1 к*
К\К«
273
264
965,9
974,0
139,6 1
135,0
493,6
497,7 |
| Барионы |
Р,Р
| п,п
А, А
| ft*
1836
1839
2183,2
3272,8
938,2 1
939,5
1115,6
1672,4 1
т. е. такие, при которых две частицы превращаются в две другие частицы,
называются двухчастичными (частным случаем двухчастичной реакции является упругое
рассеяние двух частиц). Кинематику двухчастичных реакций удобно описывать
с помощью инвариантных переменных s, t, uy которые выражаются через
4-импульсы частиц, участвующих в реакции:
5 = {Pa+Pb)i{Pa+Pb)\ t = {Pa-Pc)i{Pa-Pc)\ U= (j>a ~ Pd)i(pa ~ Pd)%• (4.15)
Любую из величин 5, t, u можно выразить через две другие с помощью
соотношения1
s + t + u = (ml + ml + ml + m2d)c2. (4.16)
Наглядное представление о кинематике двухчастичных реакций дает
кинематическая плоскость, на которой откладываются значения переменных s, £, u. Законы
сохранения энергии и импульса ограничивают на кинематической плоскости
область значений параметров, возможную (физическую) для данной реакции.
Многие формулы релятивистской кинематики приобретают более простой вид,
если пользоваться системой единиц, в которой скорость света с = 1. При этом
масса, энергия и импульс измеряются в одинаковых единицах, например в МэВ
(1 МэВ = 106 эВ = Ю-3 ГэВ = 1,602 х Ю-6 эрг). В некоторых задачах этого
раздела используется такая система единиц (что всегда оговаривается). В ряде
случаев массы элементарных частиц измеряют в единицах массы электрона гпе
(т. е. используют систему, в которой гае = 1).
В таблице 4.1 приведены для справок массы ряда элементарных частиц и их
принятые обозначения. Черточками сверху обозначены символы античастиц,
которые могут отличаться от частиц не только знаком электрического заряда, но и
1 В качестве двух независимых величин можно выбрать, например, s и t. Все другие величины
(энергии и углы рассеяния частиц в лабораторной системе и системе центра инерции) выражаются
через них — см. задачи 4.53-4.55.

126
Глава 4. Релятивистская механика
Таблица 4.2. Энергии связи атомных ядер
Изотопы |
В, МэВ
2Ях
| 2,23
4Яе2
28,11
7Ы3
38,96
другими квантовыми числами. Но массы частиц и античастиц одинаковы. Среди
приведенных в таблице частиц фотон 7> бозон Z, все типы нейтрино и, мезоны
7г°, К°у нейтрон п и гиперон Л электронейтральны, остальные частицы имеют
электрические заряды, равные по абсолютной величине элементарному заряду.
Заряженные лептоны имеют названия электрон (позитрон), мюон, таон. Барионы
протон (р) и нейтрон (п) называются нуклонами (ядерными частицами).
В таблице 4.2 приведены значения энергий связи В некоторых атомных ядер.
Верхний индекс указывает число нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре. Нижний
индекс обозначает число протонов и заряд ядра в единицах элементарного заряда.
Под энергией связи понимается величина
В = АМс2 = ^£оп-£о, (4.17)
где £0п — энергия покоя свободного нуклона, £0 — энергия покоя ядра.
Суммирование производится по всем нуклонам ядра.
Рекомендуемая литература: кроме источников, указанных к разделу 3.1, весьма
полезны книги и статьи [Ландау и Лифшиц, Механика. Барашенков (1974), Окунь
(1989)], [Окунь (2000), Медведев (1977), Фейнберг (1974), Никитин и др. (1992),
Бюклинг и Каянти (1975)], [Смородинский (1972)].
Задачи
4.1. Выразить импульс р релятивистской частицы через ее кинетическую
энергию Т.
4.2. Выразить скорость v частицы через ее импульс р.
4.3. Частица с массой га обладает энергией 8. Найти скорость v частицы.
Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.
4.4. Найти приближенные выражения кинетической энергии Т частицы с
массой га: а) через ее скорость г; и б) через ее импульс р с точностью до v4/c4
и р4/га4с4 соответственно, при t;«c.
4.5. Найти скорость v частицы с массой га и зарядом е, прошедшей разность
потенциалов V (начальная скорость равна нулю). Упростить общую формулу для
нерелятивистского и ультрарелятивистского случаев (учесть по два члена
разложения).
4.6. Найти скорость v частиц в следующих случаях: а) электроны в
электронной лампе (£ = 300 эВ); б) электроны в синхротроне на 300 МэВ; в) протоны
в синхроциклотроне на 680 МэВ; г) протоны в синхрофазотроне на ЮГэВ.
Найти также относительную скорость сталкивающихся частиц в протон-протонном
коллайдере на 100 ТэВ (ускорителе на встречных пучках).

§4.1. Кинематика релятивистских частиц
127
4.7. Ускоритель дает на выходе пучок заряженных частиц с кинетической
энергией Т; сила тока в пучке равна J. Найти силу F давления пучка на
поглощающую его мишень и выделяемую в мишени мощность W'. Масса частицы га,
заряд е.
4.8. Некоторое тело движется с релятивистской скоростью v через газ, в
единице объема которого содержится N медленно движущихся частиц с массой га.
Найти давление р, производимое газом на элемент поверхности, нормальный к его
скорости, если частицы упруго отражаются от поверхности тела.
4.9. В линейном ускорителе частица ускоряется в щели между полыми
цилиндрическими электродами — «пролетными трубками», вдоль общей оси которых
проходит траектория частицы. Ускорение происходит под действием
высокочастотного электрического поля с частотой и = const. Разгоняются те частицы, которые
проходят все промежутки между трубками при наличии там ускоряющего поля.
Каковы должны быть длины пролетных трубок, чтобы частица с зарядом е и
массой т пролетала через ускоряющие промежутки в те моменты времени, когда на
них имеется максимальное напряжение Уе? Оценить также полную длину
ускорителя с N пролетными трубками.
4.10. Поток монохроматических мюонов, родившихся в верхних слоях
атмосферы, падает вертикально вниз1. Найти отношение интенсивностей потока
мюонов на высоте h над уровнем моря (Ih) и на уровне моря (70), считая, что в
рассматриваемом слое воздуха толщиной h происходит только ослабление потока за
счет естественного распада мюонов. Энергия мюонов £ = 4,2 х 108эВ, h = Зкм,
среднее время жизни покоящегося мюона то = 2,2 х 10~6с.
4.11. Система отсчета S' движется со скоростью V относительно системы S.
Частица с массой га, обладающая в Sf энергией £' и скоростью t/, движется под
углом д' к направлению V. Найти угол д между импульсом р частицы и
направлением V в системе S. Выразить энергию и импульс частицы в S через #',
£' или #', г/. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский случай £' > тс2,
V « с. Показать, что в этом случае в некотором (каком?) интервале углов можно
пользоваться приближенной формулой # « (1/7) tg(tf/2).
4.12. Система S' движется относительно системы S со скоростью V.
Угловое распределение частиц, имеющих в S' одинаковую энергию 8', описывается
функцией dW/dQ' = F'(d'\a')y где величина dW представляет собой долю частиц,
движущихся в системе Sf внутри телесного угла dQ.'. Ее обычно нормируют так,
что J dW = J F'(d',a')dQ,1 = 1. Угол д' отсчитывается от направления V.
Найти угловое распределение таких частиц в системе S. Рассмотреть, в частности,
ультрарелятивистский случай.
4.13? Показать, что элемент объема в пространстве трехмерных импульсов
d3p преобразуется при переходе в другую ИСО следующим образом:
d3p _ d3p'
£ " £' '
где £, £' — соответствующие энергии.
Задача формулируется в упрощенном виде.

128
Глава 4. Релятивистская механика
4.14* Функция распределения /(р) частиц по импульсам нормирована таким
образом, что полное число частиц dN в системе, импульсы которых лежат
внутри объема d3py дается выражением dN = f(p)dsp. Найти закон преобразования
функции распределения при переходе в другую ИСО.
4.15.* Число частиц dN, находящихся в элементе объема dV и имеющих
составляющие импульсы, заключенные в пределах от рх до рх +dpx, от ру до ру +
+ dpy, от pz до pz + dpz, выражается в виде
dN = f{r,p,t)dVd3p,
где d3p = dpxdpydpz — элемент объема в пространстве импульсов, /(г,р,£) —
функция распределения (или плотность числа частиц в фазовом пространстве).
Найти закон релятивистского преобразования функции распределения /(г,р,£).
4.16. Частицы сорта 1, обладающие в системе S скоростью v\,
рассеиваются неподвижными частицами сорта 2. Как преобразуется сечение рассеяния dai2
при переходе к системе отсчета 5", в которой частицы сорта 2 обладают
скоростью v'2, а частицы сорта 1 — скоростью v[? Рассмотреть, в частности, случай,
когда скорости v[ и v'2 параллельны.
Указание. Сечением рассеяния da\2 называется отношение числа частиц,
рассеиваемых в единицу времени в телесный угол dQ, одним рассеивающим центром,
к плотности потока рассеиваемых частиц J\2 = riivo, где п\ — число
рассеиваемых частиц в единице объема, vo = \vi - v2\ — относительная скорость частиц
1-го и 2-го сорта (ср. с задачей 3.18).
4.17.7г°-мезон движется со скоростью v и распадается на лету на два 7-кванта.
Найти угловое распределение 7_квантов распада dW/dQ, в лабораторной системе
отсчета, учитывая, что в системе покоя 7г°-мезона оно сферически симметрично.
4.18. Выразить энергию 7г°-мезона, рассмотренного в предыдущей задаче,
через отношение / числа 7-квантов распада, испускаемых в переднюю полусферу,
к числу 7-квантов, испускаемых в заднюю полусферу.
4.19. 7г°-мезон распадается на лету на два 7-кванта. Показать, что
минимальный угол $min разлета 7-квантов определяется условием cos($min/2) = v/c в той
системе отсчета, в которой скорость 7г°-мезона равна v.
4.20. Найти зависимость энергии 7-кванта, возникающего при распаде
7г°-мезона (ср. с задачей 4.17), от угла # между направлениями распространения
кванта и движения 7г-мезона. Определить энергетический спектр 7-квантов
распада в лабораторной системе отсчета.
Указание. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что в системе
покоя 7г°-мезона энергия 7-кванта £f = mc2/2 (m — масса 7г°-мезона).
4.21. Показать, что какова бы ни была форма энергетического спектра
7Г°-мезонов, энергетический спектр у-квантов распада в лабораторной системе
отсчета будет иметь максимум при 8= 8\ 8' = тс2/2, где т — масса 7Г°-мезона.
Пусть 81 и 82 — произвольные значения энергии у-квантов распада,
расположенные по разные стороны указанного максимума и отвечающие одинаковым
значениям функции распределения. Выразить массу т 7Г°-мезона через 8 и £ .
Указание. Воспользоваться энергетическим спектром 7-квантов, найденным в
задаче 4.20.

§4.1. Кинематика релятивистских частиц
129
4.22. Определить массу га некоторой частицы, зная, что она распадается на
две частицы с массами rai,ra2. Из опыта известны величины импульсов р\,р2
частиц, образовавшихся при распаде, и угол $ между их направлениями. Вычислить
массу заряженного 7г-мезона, распадающегося по схеме 7г —>• р, + г/, если из
опыта известно, что 7г-мезон до распада покоился, а /х-мезон получил после распада
импульс рм = 29,8МэВ/с. Масса //-мезона приведена в таблице 4.1.
4.23. Определить массу т\ некоторой частицы, зная, что она представляет
собой одну из двух частиц, образовавшихся при распаде частицы с массой га и
импульсом р. Импульс р2у масса гаг и угол #2 вылета второй частицы,
образовавшейся при распаде, также известны.
4.24. Частица с массой rai и скоростью v сталкивается с покоящейся
частицей массы 7П2 и поглощается ею. Найти массу га и скорость V образовавшейся
частицы.
4.25. Покоящееся тело с массой гао распадается на две части с массами rai
и гаг- Вычислить кинетические энергии Т\ и Т2 продуктов распада. Найти
распределение энергии распада в системе покоя распадающейся частицы между: а) а-ча-
стицей и дочерним ядром при а-распаде U238; б) д-мезоном и нейтрино (и) при
распаде 7г-мезона (я- —► /л + v)\ в) 7_квантом и ядром отдачи при излучении
7-кванта.
4.26. Покоящаяся частица а распадается по схеме а —► b + d. Выразить
энергию распада Qa = ma - ть - га^ (с = 1) через кинетическую энергию Ть одной из
частиц распада и массы ть.гщ. Вычислить энергию распада и массу Е+-частицы,
распадающейся по схеме Е+ —> п + 7г+, пользуясь найденным из опыта
значением Тп+ = 91,7 МэВ и массами нейтрона и 7г+-мезона, приведенными в табл. 4.1.
Сделать то же самое для распада Е+ по другой схеме Е+ ^р + 7г°, если
известна Тр = 18,8 МэВ.
4.27. Покоящееся свободное возбужденное ядро (энергия возбуждения AS)
излучает 7-квант. Найти его частоту и. Масса возбужденного ядра га. В чем
причина того, что и Ф АЕ/Ю Как изменится результат, если ядро жестко закреплено
в кристаллической решетке (эффект Мёссбауэра)?
4.28.* Покоящаяся частица а с массой га распадается по схеме a —>• a\ +a<i +
+ as на три частицы с массами гаь Ш2, газ и кинетическими энергиями Ть Гг,
Тз. Исследовать кинематику такого распада с помощью диаграммы Далица. Для
этого ввести переменные х = (Т2 - Т3)/л/3, у = Т\ и рассмотреть плоскость (х, у).
Каждому конкретному распаду отвечает определенная точка на этой плоскости.
а) Доказать, что закон сохранения энергии ограничивает на плоскости (х,у)
область, имеющую форму равностороннего треугольника. Убедиться в том, что
длины перпендикуляров, опущенных из точки, изображающей данный распад, на
стороны треугольника, равны кинетическим энергиям образующихся частиц.
б) Убедиться в том, что двух введенных величин х и у достаточно для
определения величин импульсов образующихся частиц и углов между импульсами в
системе покоя распадающейся частицы.
в) Закон сохранения трехмерного импульса приводит к тому, что не все
точки внутри треугольника отвечают истинным распадам. Найти на плоскости ху

130
Глава 4. Релятивистская механика
область, внутри которой распады кинематически возможны, для частного
случая 7712 = ГПз = 0, 777,1 ¥" ®-
4.29. Построить диаграмму Далица (см. условие предыдущей задачи) для
распадов /х- и К-ыезонов:
а) // -> е± + 2i/, б) К* -> тг° + е± + г/.
В последнем процессе электрон, как правило, рождается ультрарелятивистским, и
его массой покоя можно пренебречь. Определить максимальные энергии частиц.
4.30. Построить диаграмму Далица (см. задачу 4.28) для распада
покоящегося /С+-мезона по схеме
К+ -> 7Г~ +7Г+ + 7Г+.
Энергия распада Q = m#- - Зтпп ~ 75МэВ< mf (с = 1), поэтому рождающиеся
7г-мезоны можно приближенно считать нерелятивистскими. Какова максимальная
энергия каждой из частиц?
4.31. Построить диаграмму Далица (см. условие задачи 4.28) для распада
и-мезона по схеме
Ш —> 7Г+ + 7Г~ + 7Г .
Считать массы трех мезонов одинаковыми, энергия распада Q = тп^ — Зтп^ «
« 360МэВ> Штг, т^ « 780 МэВ (с = 1). Какова наибольшая энергия каждого из
мезонов?
4.32* В условии задачи 4.28 изложены правила построения диаграммы
Далица для распада трех частиц. Вероятность dW распада имеет вид
dW = pdT.
Здесь р — величина, зависящая от сил взаимодействия, ответственных за
распад, и от импульсов частиц, а с2Г — элемент фазового объема Г, определяемого
интегралом
_ [ dsp! d3p2d3p3sr i i i 1Л
где рг — 4-импульс распадающейся частицы (рг = (т, 0) при распаде из
состояния покоя), рга = (£а>Ра)> ol = 1, 2, 3, 4 — 4-импульсы образующихся частиц,
dspa — элемент объема импульсного пространства а-и частицы. Четырехмерная
^-функция выражает собой закон сохранения 4-импульса при распаде и
показывает, что интегрирование производится только по тем значениям импульсов pi,
Р2> Рз> которые совместимы с законами сохранения энергии и импульса. Выразить
dT через dx, dy и показать, что фазовый объем Г выражается в соответствующем
масштабе площадью разрешенной области на диаграмме Далица. Доказательство
произвести для общего случая mi ^ m^ ф w&3 Ф 0-
4.33. Частица с массой m налетает на покоящуюся частицу с массой mi.
Происходит реакция, в которой рождается ряд частиц с общей массой М. Если т-\-
-\-т\ < М, то при малых кинетических энергиях налетающей частицы реакция не
идет — она запрещена законом сохранения энергии. Найти минимальное значение
кинетической энергии налетающей частицы (энергетический порог То реакции),
начиная с которого реакция становится энергетически возможной.

§4.1. Кинематика релятивистских частиц
131
4.34. Промежуточный бозон W+ рождается в реакции v^+p^ д~+VT++р.
Вычислить пороговую энергию Т0 нейтрино z/M.
4.35. Найти энергетические пороги Т0 следующих реакций: а) рождение
7г-мезона при столкновении двух нуклонов (N + N —>• N + N + 7г); б) фоторождение
7г-мезона на нуклоне (N + 7 —► -W + тг); в) рождение /С-мезона и Л-гиперона при
столкновении 7г-мезона с нуклоном (тг -\- N ^ А-\- К); г) рождение пары протон-
антипротон при столкновении протона массы тр с ядром массы га. Рассмотреть,
в частности, столкновение с протоном. Оценить порог для рождения антипротона
на ядре с массовым числом Д считая т « трА.
4.36. Найти приближенное выражение энергетического порога То реакций,
в которых изменение AM массы сталкивающихся частиц составляет малую часть
их общей массы М («реакция между нерелятивистскими частицами»). Применить
полученную формулу к нахождению энергетического порога Т0 реакций: а)
фоторасщепление дейтерия (реакция 7 + Н^ —>. р + п); б) реакция Не^ + Нез —> Li| + р.
Сравнить полученные приближенные значения с точными (см. задачу 4.33).
4.37. Оценить дефект массы AM и относительное изменение массы АМ/М в
следующих процессах:
а) реакция горения водорода на Солнце и в звездах (идет по нескольким
параллельным каналам):
2е~ + Ар ^4Не + 2v + Q, Q = 26,2 МэВ.
В энергетический выход реакции не включены энергии нейтрино г/, поскольку эта
энергия уносится из системы и не приводит к нагреву окружающего вещества.
б) реакция горения дейтерия и трития в установках по управляемому
термоядерному синтезу (или в водородной бомбе):
2Я + 3Я ^4Яе + п + Q, Q = 17,6 МэВ;
в) реакция деления урана под действием медленного нейтрона:
п + 23bU -> А + В + (2 -=- 3)n + Q, Q = 200 МэВ;
г) горение метана в газовой горелке:
СН4 + 202 -> С02 + 2Я20 + Q, Q = 0,67 эВ;
д) реакция плавления льда при 0°С: энергия поглощается, Q = —0,6 х 10~2 эВ
в расчете на одну молекулу, перешедшую из куска льда в воду.
4.38* Электрон и позитрон, имеющие в Jl-системе трехмерные импульсы р_,
р+, аннигилируют на лету в два гамма-кванта. Вычислить инвариантную массу
системы. Какая дополнительная информация необходима для вычисления энергий
квантов £i, £2?
4.39. Доказать, что рождение пары электрон-позитрон одним 7-квантом
возможно только, если в реакции участвует частица с массой покоя mi ф 0 (с этой
частицей не происходит никаких изменений; ее роль состоит в том, что она
принимает часть энергии и импульса, делая возможным выполнение законов
сохранения). Найти порог Т0 реакции рождения пары.

132
Глава 4. Релятивистская механика
4.40. Доказать, что законом сохранения энергии-импульса запрещена
аннигиляция пары электрон-позитрон, сопровождаемая испусканием одного 7~кванта,
но нет запрета на реакцию аннигиляции пары с испусканием двух фотонов.
4.41. Частица с энергией 8 и массой mi налетает на покоящуюся частицу с
массой 7П2. Найти скорость v центра инерции относительно лабораторной системы
отсчета при таком столкновении.
4.42.* Частица с массой mi и энергией £$ испытывает упругое соударение с
неподвижной частицей, масса которой Ш2. Выразить углы рассеяния $ь #2 частиц
в лабораторной системе отсчета через их энергии £ь £2 после столкновения.
4.43. Основываясь на решении предыдущей задачи, выразить энергию частиц,
испытавших упругое рассеяние, через углы рассеяния в лабораторной системе
отсчета.
4.44. Ультрарелятивистская частица с массой m и энергией So упруго
рассеивается на неподвижном ядре с массой М ^> т. Определить зависимость конечной
энергии 8 частицы от угла $ ее рассеяния.
4.45. Решить предыдущую задачу для случая неупругого рассеяния
частицы на ядре. Энергия возбуждения ядра АЕ в системе его покоя удовлетворяет
неравенству тс2 < АЕ < Мс2.
4.46. Частица с массой m испытывает упругое столкновение с неподвижной
частицей такой же массы. Выразить кинетическую энергию Т\ рассеянной частицы
через кинетическую энергию То налетающей частицы и угол рассеяния д\.
4.47. Используя результаты задачи 4.42, найти в нерелятивистском случае
зависимость кинетических энергий Т\ и Т2 частиц, испытавших упругое соударение,
от начальной кинетической энергии Т0 первой частицы и углов рассеяния д\ и #2
в лабораторной системе отсчета (вторая частица до столкновения покоилась).
4.48. Частицы с массами mi и ni2 испытывают упругое столкновение. Их
скорости в Ц-системе — v[ и г>2, угол рассеяния — #', скорость Ц-системы
относительно лабораторной системы — V. Определить угол \ разлета частиц в
лабораторной системе. Рассмотреть, в частности, случай mi = m-2.
4.49. Квант света с частотой шо рассеивается на равномерно движущемся
свободном электроне. Начальный импульс ро электрона составляет угол $о с
направлением движения кванта. Найти зависимость частоты и рассеянного фотона
от направления его движения (эффект Комптона). Рассмотреть, в частности,
случай, когда электрон до столкновения покоился.
4.50. Фотон с энергией hwo рассеивается на ультрарелятивистском электроне
с массой m и энергией So ^> fi^o- Найти максимальную энергию Нои рассеянного
фотона.
4.51. Найти изменение энергии электрона при столкновении его с фотоном.
Начальная энергия электрона — £0> фотона — hu>o, угол между их
импульсами — $. Исследовать результат. При каких условиях электроны будут ускоряться
под действием фотонных ударов?
4.52. Выразить инвариантные переменные s, t, u (4.15) для случая упругого
рассеяния одинаковых частиц через массу т, абсолютную величину импульса q и
угол рассеяния # в Ц-системе.

§4.1. Кинематика релятивистских частиц
133
4.53. Пусть в лабораторной системе частица b покоится. Выразить энергию 8а
частицы а в лабораторной системе, а также энергии Е'а, Е'ъ частиц в Ц-системе
через инвариантную переменную s (см. (4.15)). Сделать то же самое для
абсолютных величин трехмерных импульсов ра, р' (р'а = р'ь = р'). Использовать систему
единиц, в которой скорость света с = 1.
4.54. Выразить энергии £с, Sd частиц, возникающих в результате
двухчастичной реакции, через инвариантные переменные (4.15). Энергии £c,£d относятся к
лабораторной системе отсчета.
4.55. Выразить угол в между трехмерными импульсами ра, рс в лабораторной
системе при двухчастичной реакции через инвариантные переменные s, £, u (4.15).
Выразить через эти же переменные угол в' между импульсами р^, р'с в Ц-системе.
4.56. Построить область допустимых значений переменных s и t (см. (4.15))
для реакции 7 + Р —> тг° + р (фоторождение 7г°-мезона на протоне). Какая точка
этой области соответствует порогу реакции? Каково пороговое значение Tq энергии
7-кванта в лабораторной системе отсчета? Какую кинетическую энергию Тп имеет
в лабораторной системе 7г°-мезон при пороговой энергии 7-кванта?
4.57. Два 7-кванта превращаются в пару электрон-позитрон. Энергия одного
из них задана и равна £q. При каких значениях £2 энергии второго кванта и
угла *д между их импульсами возможна эта реакция? Изобразить эти значения на
плоскости переменных 82у cos$. Найти также область допустимых значений
переменных s,t (4.15). Энергию записывать в единицах тс2, где m — масса электрона.
4.58.* Построить на кинематической плоскости переменных s,t (4.15)
физические области, соответствующие следующим трем процессам:
а) 7г+ + р —>• 7г+ + р — упругое рассеяние,
б) 7г~ + р —>• 7г~ -\-р — упругое рассеяние античастиц,
в) 7г+ + 7г~ —>• р + р — рождение пары протон-антипротон.
Массы всех мезонов и всех нуклонов одинаковы (т и М соответственно).
4.59. Доказать, что излучение и поглощение света свободным электроном в
вакууме невозможно. Исходить из закона сохранения энергии-импульса.
4.60. Доказать, что при равномерном движении заряженной свободной
частицы в среде с показателем преломления п(и) (масса частицы т, заряд е, скорость v)
может происходить излучение электромагнитных волн (эффект Вавилова-Че-
ренкова)1 Выразить угол # между направлением распространения волны и
направлением скорости v частицы через v> u> п{ш).
Указание. В покоящейся среде с показателем преломления п(и) фотон обладает
энергией £ = Нсо и импульсом р = hu>n(u)/c.
4.61. Доказать, что свободный электрон, движущийся в среде со скоростью vy
может поглощать электромагнитные волны, частоты и которых удовлетворяют
неравенству v > с/п(и)> где п(и) — показатель преломления среды.
4.62. Частица, имеющая, вообще говоря, сложную структуру и содержащая
внутри себя электрические заряды (например, атом), движется равномерно со
скоростью v в среде с показателем преломления п(и) и находится в возбужденном
1 Аналогичный эффект может иметь место также при прохождении через вещество нейтральной
частицы, обладающей электрическим или магнитным моментом.

134
Глава 4. Релятивистская механика
состоянии. При переходе в нормальное состояние частица излучает квант с
частотой uo (в системе покоя). Этот квант наблюдается в лабораторной системе отсчета
под углом $ к направлению движения частицы. Какая частота и наблюдается
в лабораторной системе (эффект Доплера в преломляющей среде)? Рассмотреть,
в частности, случай ио —> 0.
Указание. Члены второго порядка по h не учитывать, считать, что fauuo < гас2,
где га — масса частицы.
4.63. Частица, рассмотренная в задаче 4.62, движется равномерно через среду,
находясь в своем нормальном состоянии (остальные условия задачи 4.62
сохраняются). Доказать, что при этом может происходить излучение, сопровождаемое
возбуждением частицы. Выяснить, какие условия необходимы для возникновения
такого излучения. Найти частоту и этого излучения (сверхсветовой эффект
Доплера).
4.64. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что черенковское
излучение одного кванта частоты и невозможно, если показатель преломления
среды п(и) ^ 1 (см. задачу 4.60). В частности, невозможно одноквантовое
черенковское излучение достаточно жестких фотонов, так как при больших
частотах п(и) < 1. Показать, что при равномерном движении быстрой заряженной
частицы с энергией So через среду может происходить излучение сразу двух фотонов,
один из которых (с частотой U2) может быть жестким, так что для него п(ш2) —> 1-
Выяснить, каким условиям должны удовлетворять частота ш\ другого фотона и
скорость vo частицы (hwi <£; сро)У чтобы был возможен такой процесс (жесткое
излучение Вавилова-Черенкова). Какова наибольшая энергия жесткого кванта?
4.65. Рассмотреть кинематику жесткого излучения Вавилова-Черенкова (см.
предыдущую задачу), считая электрон ультрарелятивистским, £0 > гас2, а угол #2
вылета жесткого кванта малым. Определить максимальное значение (fiu^max
энергии жесткого кванта, которого можно достичь в этом случае; рассмотреть
характерные частные случаи.
4.66. Кристаллическая решетка способна принимать импульс только
дискретными порциями q = 27rfig, где g — вектор обратной решетки. В случае
кристаллической решетки, элементарная ячейка которой имеет форму прямоугольного
параллелепипеда с ребрами аь а2, аз, вектор g = (^>^>§f)> где rii, п2, пз —
любые целые числа. Считая, что кристалл, имеющий очень большую массу, не
может принимать от частицы энергию, выяснить, какой характер будет иметь угловое
распределение частиц, рассеиваемых на монокристалле.
4.67. Учитывая связь ро = 27гЙ/Ао между импульсом ро частицы и
соответствующей длиной волны Ао, вывести условие Брэгга-Вульфа: 2asin| = nAo,
где a — расстояние между кристаллическими плоскостями, # — угол рассеяния
частицы.
4.68. Выяснить, какой характер будет иметь энергетический спектр тормозных
квантов, возникающих при рассеянии заряженных частиц на монокристалле (ср. с
задачей 4.66). Угол между направлением распространения тормозного кванта и
первоначальным импульсом частицы фиксирован и мал, # < 1. Частица
ультрарелятивистская, So > гас2.

§4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях
135
4.69? В классической модели электрон можно представить в виде
заряженного шара с некоторым радиусом R. Оценить R в предположении, что масса
электрона имеет электростатическое происхождение, т. е. его энергия покоя равна
электростатической энергии заряженного шара.
§4.2. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Уравнение движения релятивистской частицы в ньютоновской форме имеет вид
$ = Р, (4-18)
at
где F — сила любой природы, действующая на частицу, р — ее релятивистский
импульс (4.1). В электромагнитном поле Е, Н на точечную частицу с зарядом е,
движущуюся со скоростью v, действует сила
F = eE+-vxH. (4.19)
с
Пример 4.1. Записать уравнение (4.18) в релятивистски ковариантной
форме через 4-вектор импульса частицы, введя 4-вектор силы для произвольного
случая.
Решение. Вводим дифференциал собственного времени dr = ^~ldt и записываем
уравнение движения так, чтобы в левой части был 4-вектор:
4£=7Я*, « = 1,2,3; "f^-f = lf *=2Р.Г
ат ат с ат с ар ат с
(второе уравнение не является независимым). Совокупность величин в правых
частях этих равенств образует 4-вектор силы:
J?k = (7p.t;/c, 7F), (4.20)
где F — трехмерная сила, действующая на релятивистскую частицу. Ее можно
выразить через силу, приложенную к частице в ее системе покоя (см. задачу 4.73).
Магнитное поле не совершает работы над частицей, так как магнитная
сила перпендикулярна скорости. Электромагнитная 4-сила выражается через тензор
электромагнитного поля Ftk:
Г = -Flkuk, (4.21)
с
где ик — 4-скорость частицы.
Дифференциальное уравнение движения частицы в четырехмерной записи
имеет вид
^=еГ или т^ = е-Гкчк. (4.22)
ат ат с
Уравнения движения могут быть записаны и в лагранжевой форме. Функция
Лагранжа заряженной частицы в электромагнитном поле с потенциалами <р, А
имеет вид:

136
Глава 4. Релятивистская механика
в релятивистском случае
L = -m.c2\ll-^-U; (4.23)
в нерелятивистском случае
с2
L = ^f-U, (4.24)
где
U = —А-« + е<р. (4.25)
с
Величина U играет роль обобщенной потенциальной энергии взаимодействия
частицы с внешним полем. Уравнения движения частицы в лагранжевой форме
имеют вид
^-^ = 0' (426)
at aqi aqi
где qit qi — обобщенные координаты и скорости.
Пример 4.2. Пользуясь функцией Лагранжа (4.23), найти функцию
Гамильтона Н заряженной частицы и записать уравнения ее движения в гамильто-
новой форме и в виде уравнения Гамилътона-Якоби.
Решение. Выбираем в качестве обобщенных координат декартовы
координаты г = (x,y,z) и вычисляем обобщенный импульс Р путем дифференцирования
функции Лагранжа по скорости:
х. 9L е А
Р = —=Р+-А,
OV С
где р — обычный импульс (4.1). Далее используем формулу аналитической
механики Н = Р-и — L, не забывая выразить функцию Гамильтона через радиус-вектор
и обобщенный импульс:
W(r,P,J) = Wm2c4 + с2 (р - ^A(r,*))2 + eip(r,t). (4.27)
В нерелятивистском случае из (4.27) получим
И(г, Р, t) = ^ (Р - - A(r, *))2 + e^(r, t). (4.28)
Аддитивная постоянная — энергия покоя частицы — опущена. Уравнения
движения в форме Гамильтона имеют вид
В методе Гамильтона-Якоби неизвестной величиной является действие S(r,t),
которое связано с обобщенным импульсом и функцией Гамильтона соотношениями
= -и, V5 = Р. (4.30)
at

§4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях
137
Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид
^ + Wm2c4 + с2 (vS - - А)2 + е<р = 0. (4.31)
Более удобна запись без радикала:
(vs-£cA)2-?(i+e")2+mV=a <4-32)
■
Рекомендуемая литература: [Батыгин и Топтыгин (2003), Ландау и Лифшиц,
Механика], [Ландау и Лифшиц, Теория поля. Голдстейн (1957), Бредов и др.
(2003), Айзерман (1974)], [Френкель (1956), Фок (1955), Паули (1947)].
Задачи
4.70? Вывести уравнение движения релятивистской частицы (4.18) под
действием силы Лоренца (4.19) на основе функции Лагранжа (4.23).
4.71.# Сделать то же самое с помощью функции Гамильтона (4.27).
4.72. Записать релятивистское уравнение движения частицы под действием
силы F, выразив импульс явным образом через скорость v частицы. Рассмотреть,
в частности, случаи, когда скорость: а) меняется только по величине; б) меняется
только по направлению; в) v <С с.
4.73. Выразить друг через друга 3-вектор силы, действующей на частицу в
лабораторной системе (F) и в системе покоя (F'). Скорость частицы v. Проверить
полученные формулы путем применения их к силе Лоренца.
4.74. Какая сила Т действует с точки зрения наблюдателя в мгновенно
сопутствующей системе на тело массы га, находящееся в ракете и неподвижное
относительно нее, если ракета движется с релятивистской скоростью v по круговой
орбите радиуса Л?
4.75. Две частицы с зарядами е\ и е2 движутся параллельно оси х с равными
постоянными скоростями v. Найти силу взаимодействия частиц в лабораторной
системе. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский предел. Показать, что
найденная сила может быть вычислена по формуле F = —e2V^ из так называемого
конвекционного1 потенциала
^ = е1/72Я, где R = у/(Х1 - х2)2 + (1 - P2)[(yi - у2)2 + (*i - *2)2],
г 1,1*2 — радиусы-векторы зарядов.
Указание. Удобно исходить из кулоновской силы в сопутствующей системе и
выполнить ее преобразование по формулам задачи 4.72.
4.76. Найти конвекционный потенциал ф бесконечно длинного прямого
равномерно заряженного провода. Линейная плотность заряда к в той системе отсчета,
1 Конвекционным потенциалом движущейся как целое системы зарядов называется функция
координат, дифференцирование которой дает компоненты силы, действующей в лабораторной системе на
единичный пробный заряд, движущийся вместе с этой системой зарядов.

138
Глава 4. Релятивистская механика
где провод покоится. Провод перемещается поступательно со скоростью v под
углом а к своей длине (в лабораторной системе отсчета). Рассмотреть, в частности,
случаи a = 0, a = 7г/2.
4.77. Бесконечно длинная равномерно заряженная нить с линейной
плотностью заряда к в системе, где нить покоится, перемещается вдоль своей длины
равномерно со скоростью v. На расстоянии г от нее находится точечный заряд,
движущийся параллельно прямой с той же скоростью. Найти электромагнитную
силу Т, действующую на заряд.
4.78. Распределение электронов в параллельном пучке обладает аксиальной
симметрией и характеризуется объемной плотностью заряда р в системе отсчета,
связанной с электронами. Электроны ускорены разностью потенциалов V. Полный
ток в пучке равен J. Найти величину электромагнитной силы Т, приложенной к
одному из электронов пучка в лабораторной системе отсчета.
Указание. Полезно использовать результат предыдущей задачи.
4.79. Найти уширение Аа пучка электронов, рассмотренного в предыдущей
задаче, на пути L вследствие взаимного отталкивания электронов. Сечение пучка
— круг радиуса а. Считать уширение малым (Аа << L).
4.80.** Частица с зарядом е и массой га движется с произвольной скоростью в
однородном постоянном электрическом поле Е. В начальный момент t = 0 частица
находилась в начале координат и имела импульс р0. Определить трехмерные
координаты и время t, а также энергию частицы в лабораторной системе в функции
ее собственного времени т. Исключив т, представить трехмерные координаты в
зависимости от t. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и релятивистский
пределы.
4.81. Найти в аналитической форме траекторию заряженной частицы,
рассмотренной в предыдущей задаче. Построить на компьютере траектории для разных
начальных условий. Исследовать, в частности, нерелятивистский и
ультрарелятивистский случаи.
4.82. Найти пробег I релятивистской заряженной частицы с зарядом е,
массой га и начальной энергией S в тормозящем однородном электрическом поле Е,
параллельном начальной скорости частицы.
4.83.** Релятивистская частица с зарядом е и массой га движется в
однородном постоянном магнитном поле Н. В начальный момент времент t = 0 частица
имела импульс ро и находилась в точке с радиусом-вектором г0. Вычислить
импульс и энергию, а также координаты частицы в функции собственного и
координатного времени.
4.84* Нерелятивистская частица с зарядом е и массой га движется в
скрещенных постоянных однородных электрическом Е = (Q,Ey,Ez) и магнитном Н =
= (О, О, Я) полях. В начальный момент t = 0 частица находилась в начале
координат и имела скорость v = (vOXi0,voz). Определить зависимости компонент
скорости и координат от времени, начертить с помощью компьютера возможные
траектории частицы.
4.85. Релятивистская частица движется в параллельных однородных
постоянных электрическом Е и магнитном Н полях (Е || Н || Oz). При t = 0 частица
находилась в начале координат, обладая импульсом ро = (Рох,0,рО2). Определить

§4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях
139
зависимость компонент импульса и энергии от собственного времени частицы т.
Построить на компьютере проекции траектории частицы на координатные
плоскости.
4.86. Найти зависимость от собственного времени компонент импульса и
энергии релятивистской частицы, движущейся в однородных и постоянных
электрическом Е и магнитном Н (Н > Е) взаимно перпендикулярных полях. Начальный
импульс частицы ро, х = у = z = 0 при t = 0.
4.87. Решить предыдущую задачу для Е > Н. Исследовать путем
предельного перехода Е —>• Н движение частицы в одинаковых по абсолютной величине
взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.
4.88.* : Найти закон движения частицы с зарядом е и массой га в поле плоской
электромагнитной волны, четырехмерный потенциал которой имеет вид
Ai =£*/(*) > ^ = const
(линейно поляризованная волна). Здесь f(s) — произвольная дважды
дифференцируемая функция, ее аргумент s = щх1 выражается через нулевой 4-вектор щ =
= (1,— п), указывающий направление распространения плоской волны (п1щ =
= 0, п2 = 1), е1 — четырехмерный пространственноподобный вектор
поляризации, нормированный условием elEi = — 1 и ортогональный волновому вектору
(nlei = 0). Заданы начальные условия общего вида. Найти также изменение
энергии частицы за конечное время. Рассмотреть, в частности, случаи периодической
плоской волны и волнового пакета конечной протяженности.
Указание. Показать, что собственное время частицы пропорционально аргументу
s плоской волны, и использовать это при решении задачи.
4.89* Решить предыдущую задачу для плоской волны с произвольной
поляризацией. Четырехмерный потенциал Al(s) удовлетворяет условию niAl(s) = 0.
Сделать то же самое в трехмерной форме, выразив в явном виде координаты и
время через напряженности поля E(s) и Н = n x E(s).
4.90. Нерелятивистская заряженная частица с зарядом е и массой m проходит
через двумерное электростатическое поле с потенциалом ф = к(х2 — у2), где к =
= const > 0 (линза с сильной фокусировкой). В момент времени t = 0 частица
находится в точке с координатами (хо,уо»^о)» начальная скорость vo параллельна
оси z. Определить движение частицы.
4.91. Записать дифференциальные уравнения движения релятивистской
частицы в электромагнитном поле, исходя из функции Лагранжа в цилиндрических
координатах.
4.92* Между обкладками цилиндрического конденсатора с радиусами a, b (а <
< Ь) поддерживается разность потенциалов V. В пространстве между обкладками
имеется аксиально симметричное магнитное поле, напряженность которого
параллельна оси конденсатора. Из внутренней обкладки, играющей роль катода,
вылетают электроны с нулевой начальной скоростью. Найти критическое значение
потока магнитного поля Фсг между обкладками, при котором электроны
перестанут попадать на анод вследствие искривления их траекторий в магнитном поле.
4.93. Длинный прямой цилиндрический катод радиуса а, по которому
течет равномерно распределенный ток J, испускает электроны с нулевой начальной

140
Глава 4. Релятивистская механика
скоростью. Эти электроны движутся под действием ускоряющего потенциала V
к длинному коаксиальному аноду радиуса Ь. Каково должно быть минимальное
значение разности потенциалов Vcr между катодом и анодом, чтобы электроны
достигали анода, несмотря на искривление их траекторий магнитным полем тока J?
4.94. По бесконечно длинному прямому цилиндрическому проводу радиуса a
течет ток J. С поверхности провода срывается электрон, начальная скорость vo
которого направлена вдоль провода. Найти наибольшее расстояние 6, на которое
электрон может удалиться от оси провода.
4.95. Решить задачу 4.93, используя преобразование Лоренца к системе
отсчета, в которой имеется только одно поле (Е или Н). Такое преобразование было
рассмотрено в задаче 3.77.
4.96.# Система заряженных частиц совершает нерелятивистское движение
в ограниченной области пространства, а) Найти связь между кинетической и
потенциальной энергиями этой системы, усредненными по большому промежутку
времени, б) Сделать то же самое при наличии однородного магнитного поля Н
при условии, что отношения ea/ma заряда к массе одинаковы для всех частиц.
4.97. Найти траекторию относительного движения нерелятивистских частиц с
зарядами е, е' и массами гаь ^2- Исследовать решение в зависимости от
начальных условий, задаваемых полной энергией взаимодействующих нерелятивистских
частиц S и моментом импульса I их относительного движения.
4.98* Найти дифференциальное сечение рассеяния а(9) нерелятивистских
частиц с зарядом е в поле неподвижного точечного заряда е'. Скорость частиц
вдали от неподвижного рассеивающего центра равна v0.
4.99. Найти дифференциальное сечение рассеяния заряженных частиц на
точно таких же частицах. Записать дифференциальное сечение через угол рассеяния
и энергию, определенные в системе центра масс и в лабораторной системе, в
которой частицы мишени первоначально покоятся.
4.100. На неподвижную частицу с
зарядом е' налетает ограниченный
стационарный поток одинаковых нерелятивистских ча-
—■ j^n стиц с зарядами е, массами m и скоростями
~~2"" е' ' \ v (Рис- 4.1). Концентрация частиц в потоке п.
11^_._."* ■ г Вычислить силу, действующую на неподвиж-
""""" \^у ную частицу, пренебрегая взаимодействием
налетающих частиц друг с другом.
Объяснить причину того, что при радиусе пучка
рис> 4.1 sm —>. оо эта сила обращается в
бесконечность. Сохраняется ли для силы бесконечное
значение, если заряд е' является одним из зарядов нейтральной системы
(нейтральный атом, плазма)?
4.101. «Пробная» частица с зарядом е и массой га движется со скоростью
v в газе, состоящем из одинаковых заряженных частиц. Их массы — га/,
заряды — е', концентрация — г?/, распределение по скоростям описывается функцией
f(v) (J f(v)d3v = п'). Записать выражение для средней силы F(v), действующей
на «пробную» частицу.

§4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях 141
Указание. Использовать результат, полученный при решении предыдущей задачи.
Зависимостью кулонова логарифма от скорости пренебречь.
4.102. Пробная частица с зарядом е и массой га движется в среде, состоящей
из беспорядочно распределенных неподвижных бесконечно тяжелых одинаковых
частиц с зарядами е' и концентрацией п. Как изменяются во времени энергия и
импульс пробной частицы под действием средней силы со стороны среды?
4.103. Частицы среды имеют одинаковые по абсолютной величине скорости
v0> распределенные сферически симметрично, заряды е и массы га. Вычислить
среднюю силу F, действующую на пробную частицу с зарядом е! и массой га/,
которая движется со скоростью v.
Сделать то же самое для случая, когда частицы среды движутся с одинаковой
по величине и направлению скоростью vo-
4.104.* Электроны в плазме совершают беспорядочное тепловое движение и,
кроме того, имеют упорядоченную составляющую скорости, которая возникает под
действием однородного электрического поля Е, созданного внешним источником.
Произвести порядковую оценку зависимости средней силы трения F от
упорядоченной скорости иу считая, что трение вызвано столкновениями с неподвижными
ионами. Показать, что F как функция и имеет максимум, и оценить JTmax. Как
будет вести себя электронный газ под действием электрического поля Е при Е <
< ^тах/е И Е > Jmax/e?
4.105* Релятивистская частица с зарядом — е и массой га движется в поле
неподвижного точечного заряда Ze. Найти уравнение траектории частицы.
Исследовать все возможные случаи движения в зависимости от начальных условий,
задаваемых полной энергией частицы £ и ее моментом импульса I.
4.106* Исследовать процесс падения релятивистской частицы на центр в
кулоновском поле притяжения (см. предыдущую задачу, случай Ze2 > lc): а)
вычислить время At падения с расстояния г; б) показать, что скорость частицы
стремится к с при г —>. 0.
4.107* Релятивистская частица с зарядом е и массой га движется в поле
одноименного неподвижного точечного заряда Ze. Найти уравнение траектории
частицы. Исследовать все возможные случаи движения в зависимости от
начальных условий, задаваемых полной энергией частицы S и ее моментом импульса I.
4.108. Вычислить угол 9 отклонения релятивистской частицы с зарядом ±е,
энергией S > тс2 и моментом импульса / > Ze2/c, пролетающей в кулоновском
поле неподвижного заряда Ze.
4.109. Релятивистская частица с зарядом ±е, массой га и скоростью на
бесконечности v0 рассеивается на малый угол кулоновским полем неподвижного заряда
Ze. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния сг(0).
4.110* В бетатроне во время ускорения электрона магнитное поле непрерывно
нарастает, порождая разгоняющую электрон ЭДС индукции, а орбита ее остается
неизменной. Доказать, что для ускорения электрона на орбите постоянного
радиуса необходимо, чтобы полный магнитный поток Ф, пронизывающий орбиту, был
вдвое больше потока Ф0, который получился бы, если бы поле внутри орбиты было
однородно и равно полю на орбите (бетатронное правило «2:1»).

142
Глава 4. Релятивистская механика
4.111 * Показать, что с точностью до членов v2/c2 энергия запаздывающего
взаимодействия двух заряженных частиц имеет вид1
U(t)
ei£2
R
ы
[vVV2 + («1-п)(«2
■п)]}.
(4.33)
где R — радиус-вектор относительного положения частиц, п = R/Д, vi, v2 —
скорости частиц. Все величины в правой части равенства берутся в момент t.
Указание. Воспользоваться разложениями потенциалов Льенара-Вихерта (см.
следующую главу) по степеням времени запаздывания, учитывая только те члены,
которые не зависят от ускорений и их производных. Произвести калибровочное
преобразование потенциалов таким образом, чтобы скалярный потенциал принял
форму кулоновского потенциала.
4.112. Найти приближенное выражение функции Лагранжа двух
взаимодействующих частиц с зарядами ei, е2 и массами mi, m2y учитывая эффект
запаздывания с точностью до поправочных членов порядка v2/c2.
§ 4.3. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.1. р = ^Т(Т + 2тс2).
4.2. v
ср
\/р2 + т'е
2^2
4.3. /3=| = у/1 - (So/£)2, So = тс2
В нерелятивистском случае (3 « л/2Т/£0, в ультрарелятивистском —/3=1-
-£§/2£*.
Ъту2
4.4. а) Т = \mv2 +
+ ...,
б)т = ^-8^ +
4.5.
!2еУ 1 + eV/2mc2
m (1 + eV/mc2)2'
В частности, при еУ < те2
2еУ / _ 3 еУ
т V 4 тс2
) <с;
при еУ > тс2
1 / тс2 \ 2
с.
4.6. a) v = 3,42 х КГ2 с; б) г; = 0,9999985 с; в) 0,81 с; г) 0,9956 с; (1
0,5х ИГ10) с.
4.7. F = ^Т(Т + 2тс2), ТУ = ^Т.
1 Это выражение носит название формулы Брейта. Аналогичное выражение используется при
приближенном квантовом описании запаздывающего взаимодействия.

§ 4.3. Ответы и решения
143
4.8. р.
2rnv2N
Давление имеет одинаковое значение в системе, связанной с телом, и в системе,
связанной с газом. В этом можно убедиться как путем прямого вычисления
давления в каждой из этих систем отсчета, так и произведя преобразование Лоренца
для четырехмерной силы.
4.9. Длина n-й трубки
г =Па = С_ _ / т,С? \2
Jn 2v 2v\ \nVee + mc2) '
где vn — скорость частицы в n-й трубке. В начале ускорения тс2 » neVe и Ln \
« (l/2u)y/2eVe/m • у/п. В ультрарелятивистском пределе Тп > mc2, v^c и Ln \
« c/2i/.
Оценим длину ускорителя:
С
~~ 2i/eV,.
^/(А^еУе + тс2)2 - т2с4 - тс2 arccos
NeVc+mc2
4.10. Отношение интенсивностей
Ih.
/о
ехр
vt
ехр
h гпцсг
т0с 8
2,5
(т — то/\/1 - г>2/с2 — период полураспада /х-мезона, движущегося со
скоростью г;). Если бы релятивистское преобразование времени не имело места, мы
получили бы для отношения интенсивностей (считая, что скорость мезонов
равна с):
Г h
-£ « ехр — « 94,4.
Наблюдения согласуются с первым результатом (Ih/h ~ 2,5) и тем самым
дают прямое экспериментальное доказательство существования релятивистского
эффекта замедления хода движущихся часов.
4.11. tgi
где
1
7
7
р'
:ostf
sin г?7
+ VE'/c2
1
sin?
/
1
V2
1
~ 7* costi' + V/v"
£ = 7(£'+p'Vcostf')>
p, p' — импульсы частицы в системах S и S" соответственно.
Приведенной в условии для ультрарелятивистского случая приближенной
формулой можно пользоваться, если cos(tf'/2) >
1-^
, где г/ = p'c2 /8'

скорость частицы в S'. Энергия в ультрарелятивистском случае принимает вид
£ърсъ 2^8' cos2(г?72).

144
Глава 4. Релятивистская механика
4.12. Рассмотрим dN частиц, движущихся в системе 5" внутри телесного
угла dVt''. В системе S те же dN частиц будут двигаться внутри телесного
угла сЮ = siwddtida, образованного векторами скоростей этих частиц в системе S.
Угловое распределение частиц в системе S будет описываться функцией F(#,a),
определяемой из равенства
dN
1) F(<d,a)dSl = F'{ti\a')d£l' = dW = —.
Угол д' должен быть выражен через # с помощью формулы:
cos2 "д =
l + tg2i
(costf' + £) + ^sinV
следующей из решения задачи 4.11 (г/ = p'jr — скорость частиц в системе S'j.
Учитывая, что a = а', получим окончательно:
2) F{d,a) = F'{d'(d),a\-
72
(costf' + ^ + ^sinV
l + £costf'
В случае ультрарелятивистских частиц г/ = с и угловое распределение в системе
S упрощается (ср. с задачей 3.33):
1 У±
3) F(d,a) = F'[#'(D),a}
(l-£coe<>)
2'
Заметим, что частицы, движущиеся в системе S под разными углами #,
обладают различной энергией, несмотря на то что в системе 5" у них одна и та же
энергия.
4.14.
/V) = 7 (l + ^) /(7(*4 + V£'/<?),j/y,p'z), 7 = (l - ^)
4.15. Функция распределения / является инвариантной величиной. Это
означает, что при переходе к другой системе отсчета S':
/'(r',p',t') = /(r,P,«).
где в правой части равенства надо выразить г, р и t через штрихованные величины
с помощью преобразований Лоренца.
4.16. Обозначим через п\ и n<i числа рассеиваемых и рассеивающих частиц
в единице объема. Рассмотрим процесс рассеяния в системе 5. Общее число
частиц dN, рассеянных в интервал телесного угла dQ. за время t рассеивающими
частицами, заключенными в объеме У, выражается, согласно определению
сечения, формулой dN = dai2Ji2^2Vtf где J\2 = n\V\. В системе S' можно написать

§4.3. Ответы и решения
145
для того же числа dN аналогичное выражение: dN = da'l2Jri2n2^'*''» гДе ^12 =
= nilvi — Vg| (в этой системе dN представляет собой число частиц, рассеиваемых
в телесный угол dQ*', соответствующий dQ). Таким образом,
1) dN = dai2nin2viVt = da[2n[n2\v[ - v£| W.
Подобно четырехмерной плотности рс, pv электрического тока, совокупность
четырех величин (щс, riiVi) представляет собой 4-вектор (он пропорционален
4-скорости частицы). Отсюда следует, что
2) тп2 = пХ2(1-^),
так как скалярное произведение двух 4-векторов инвариантно. Учитывая 2) и
инвариантность 4-объема, Vt = V't', получим окончательно
3) da[2 = da12 K_vy .
В том частном случае, когда v^ || v'2
vi
и из 3) следует, что сечение инвариантно:
4) da i2 = da[2.
Этот случай имеет место, например, при преобразовании от лабораторной
системы отсчета к Ц-системе. Заметим, что если поток определить формулой Ji2 =
= п{у, где v = г>Л1 * 2 2 )> то сечение будет инвариантно при произвольном
преобразовании Лоренца.
4.17. dW = . ,2п ^ ОТ» Хы dW = !> ™е $ = v/c-
47Г7 (1 -pcos^Y J4ir '
4.18. / = i _ а» откуда £ = me2*. ^ , где m — масса 7г°-мезона.
4.20. Поскольку импульс фотона р = (£/с), то (ср. с задачей 4.11):
7(l-/?costf)' 2 ' с'
~ ,с £'d(l-/3costf)
Сопоставив следующее отсюда выражение dc = 7-^—77-—жт- с угловым рас-
7(1 — pcosvf
пределением 7_квантов распада, найденным в ответе к задаче 4.17, получим
распределение вероятностей для энергий фотонов распада:
dw{s) = ^L_,

146
Глава 4. Релятивистская механика
где £т-ш = £' J -i \ ь — минимальное значение энергии 7-кванта распада (при # =
= к), £тах = £'\1 -I _ о — максимальное значение энергии 7~кванта распада
(при д = 0). Отсюда видно, что спектр 7_квантов распада имеет в лабораторной
системе отсчета прямоугольную форму, т. е. любые значения энергии в промежутке
от Smin до £тах равновероятны.
4.22. т2 = ш\ + ш\ + 2[у/(р( + т?)(р| + т|) - pip2 costf], c= 1;
т^ = 139,58 МэВ.
4.23. га? = т2 + ш\ - 2[\/{р2 + т2)(р?2 + т|) - рр2 cosд2], с = 1.
4.24. т2 = 52 - р2 = га2 + га2 + ^Щ, V=Z = ^ =, с = 1.
VI — г;2 ^ mi + ra2v 1 — v
i ge ф - (™Q-™i)2-™2. Т _ (шр - га2)2 - т? -
а) Та/Тп = 58,5; б) TJT^ = 7,27; в) Т^Тп « 2^f
где m — масса исходного ядра, AS — энергия его возбуждения, причем тс2 > AS.
Из общих формул для Ть Т2, а также из рассмотренных примеров видно, что
большая часть энергии приходится на долю более легкой частицы.
L , Ть + 2тъ
4.26. Qa = Tb
md + y/Tg + 2Tbmb + m;
QE+ = Ю9,б МэВ; МЕ+ = 1188,7МэВ (£+ -> n + тг+);
Qs+ = 116,1 МэВ; Ms+ = 1189,3 МэВ (£+ -> n + тг°).
Оба значения ME+ находятся в хорошем согласии друг с другом.
4'27' _Л^л Л^ >*
U~l^V~2m~d2)'
Энергия Нш, уносимая квантом, меньше, чем AS, на величину энергии
(Д£)2/(2гас2), уносимой ядром отдачи. В условиях жесткой связи ядра с
кристаллической решеткой последняя не получает энергии (так как ее масса М » га
очень велика) и квант уносит всю энергию, fouo = AS.
4.28. а) Закон сохранения энергии ограничивает равносторонний
треугольник ABC (рис. 4.2а), высота ВО которого равна энергии распада Q = т — mi —
- т2 - тз (с = 1). Расстояние от точки D до основания АС равно 7\ по
построению, расстояния от D до АВ и £?С легко вычисляются и оказываются равными Т2
и Тз соответственно.
б) Величины импульсов при заданных массах всех частиц определяются
заданием двух энергий, например 7\ и Т2 (так как Тз = Q - Ti - T2), или их двумя
линейными комбинациями х и у. Импульсы частиц, образовавшихся при распаде,
являются сторонами треугольника (pi + р2 + рз = 0 в системе покоя
распадающейся частицы). Углы треугольника характеризуют относительные направления
вылета частиц и могут быть найдены по известным р\, р2, рз-

§4.3. Ответы и решения
147
Рис. 4.2
в) Границы разрешенной области определяются условиями
VI + V2 > РЗ, -РЗ ^ Pi - Р2 ^ Р3-
Эти условия приводят к области, заштрихованной на рис. 4.26. Сверху область
ограничена прямой у = (га — mi)2/2m, снизу — гиперболой х = ±у ^ лШ1^.
4.29. Диаграмма Далица имеет вид, изображенный на рис. 4.26.
а) Т1тах ^Т2тах ^Т3тах ^69,8МэВ.
б) Tlmax^(m-^l}" ^127МэВ, Т2тах=Т2тах =
т22тт^ ^228МэВ.
Максимальные импульсы всех трех частиц одинаковы.
4.30. Диаграмма Далица в приближении Q < тп приведена на рис. 4.3.
OB = Q, R = Q/3, Tmax = 2Q/3 « 50 МэВ.
С *
Рис. 4.3
Рис. 4.4

148
Глава 4. Релятивистская механика
4.31. Диаграмма Далица приведена на рис. 4.4. OB = Q, Ттах^210МэВ.
Внутренняя замкнутая кривая дается уравнением
х = ± (2т*У + У2Жтч> - ^тг)2 - Ami ~ 2ти>у}
у Щгпш - гпъ)2 - 2тшу]
4.32. ^-функцию от 4-вектора нужно понимать как произведение четырех
^-функций от его компонент:
1) $(Pi - Pil - Рг2 - Ргз) = S(p - Pi - Р2 - РзЖ^ ~ Si - S2 - £з)-
Произведя интегрирование по d3p3 с помощью 1), придем к выражению
2) Г = | А^12 K^P2i+P2+™l + *ViP2 cos tf - S3),
где Ss = m — Si — S2, fl — угол между pi ир2.
Представим d3p2 в виде d3p2 = p2dp2dQ,2y гДе dQ,2 — элемент телесного
угла. Примем за полную ось направление рь тогда dQ,2 = 27rsin$d'#. Кроме
того, p2dp2 = S2dS2, как следует из (4.3). Преобразуем ^-функцию в 2), использовав
формулу (1.95):
3) <*(у Pi + Р\ + ml + 2PiP2 cosд - S3) = 2S35(2pip2 cos tf + p\ + p\ + m\ - 5|).
Поскольку -1 ^ cost? ^ 1, то интеграл 2) будет отличен от нуля только при
выполнении неравенств
Vi + V2 > Рз, Vi - V2 ^ Рз, Vi ~ V2 > -Рз,
но именно эти неравенства определяют границы разрешенной области на
диаграмме Далица.
С помощью 3) и (1.95), выполнив интегрирование по dd, получим
/3,
,/^р = 4^/^52.
Перейдем теперь к интегрированию по переменным
Т2 - Т3 Si + 252 + т3 - m2 - m
y = Ti=Si -mi,
V5 V5
которые использовались при построении диаграммы Далица. Преобразовав
элемент dSi dS2, найдем
Г = 2л/3тг2 /&4
где область интегрирования ограничена внутренней кривой диаграммы (см. рис. 4.26-
4.4).
Последняя формула показывает, что элемент фазового объема dT = 2\/Зтг2 dxdy
пропорционален элементу площади на диаграмме Далица. Энергии ТХ,Т2 и Т3
частиц, образующихся при распаде, можно измерять экспериментально и наносить

§4.3. Ответы и решения
149
соответствующие точки на диаграмму Далица. При этом густота точек будет
пропорциональна величине р (см. условие задачи), которая, таким образом, может
быть найдена из данных эксперимента.
4.33. Рассмотрим 4-вектор энергии-импульса системы частиц рг. Он
сохраняется, т. е. его соответствующие компоненты до и после реакции равны между
собой. При значении кинетической энергии Т0, соответствующем порогу реакции,
образовавшиеся частицы покоятся в Ц-системе (заметим, что в лабораторной
системе отсчета частицы не могут покоиться при пороговом значении Т0, так как это
означало бы нарушение закона сохранения импульса). Вектор полного 4-импульса
системы до реакции имеет в лабораторной системе вид
P(0)4 = (|+mlC)po),
где So — полная энергия и р0 — полный импульс на пороге.
После реакции в Ц-системе 4-импульс равен рп = (Мс,0). Вследствие
инвариантности квадрата 4-вектора и закона сохранения 4-импульса, р^гр\ ' = р,гр\.
Запишем последнее равенство в развернутом виде:
с
М2с2 = -| + 2mi50 + m\c2 - pi,
-(М -mi- га)(М + mi + га).
откуда
2rai
4.34. Т0 « 3,5 х 106 МэВ = 3,5 ТэВ.
4.35. а) Т0=288МэВ; б) Т0=160МэВ; в) Т0=763МэВ; г) To=2mp(m+2mp)c\
га
где тпр — масса протона.
В частном случае столкновения с протоном га = тр имеем
Т0 = 6трс2 = 5,63 ГэВ.
Приближенная формула для пороговой энергии:
т 2М+2) о
Т0 = V }mvc2.
При больших А, Т0 « 2гарс2.
В случае а) имеем по приведенной выше приближенной формуле
AS = Т0 = 2,18 МэВ (га = 0).
По точной формуле мы получили бы больше на \Q\2/2mic2^ 0,0012 МэВ, где Q =
= — (М—mi— т)с2 — тепловой эффект реакции. В случае б) приближенная
формула дает Т0 = 2\Q\ = 7,96МэВ. Отличие от точной формулы составляет 0,003МэВ.

150
Глава 4. Релятивистская механика
4.37.
а)
б)
в)
г)
д)
ДМ, г
4,6 х Ю-'26
3,1 х Ю"2в
3,6 х 10~25
1,2 х Ю-'6'6
10-з5
АМ/М
0,65 х Ю-'2
0,35 х 1СГ'2
0,85 х Ю-'6
1,4 х Ю-11
Зх 10"13
4.38.
М2
2(т2 + 5_5+/с4 - р_-р+/с2) > 0, 5i
£_+£+-£ь
га2с4 + £_£+ — с2р_-р+
(£_ + £+)(!-Кcos<9/с)'
где V = (р_ + р+)/М, 0 — угол вылета первого кванта относительно V, £±
энергии электрона и позитрона в Л-системе.
4.39. Уравнение реакции имеет вид
7 + (частица) —» е+ + е- + (частица).
Порог можно найти по общей формуле (см. задачу 4.33):
Т0 = hu>o = -—(mi + 2m - mi)(mi + 2m + mi) = 2mc2( 1 H ),
2mi V mi /
где m — масса электрона (или позитрона). Когда частицы нет, так что mi —» 0,
пороговая энергия Т0 —► оо, что и означает невозможность реакции.
Последний результат можно также получить, показав невозможность
выполнения равенства ki = p+i +р-ь где kiy p+i, p-i — 4-импульсы фотона, позитрона и
электрона. Возводя обе части равенства в квадрат, будем иметь
/сЧг = (5++5_)2-(Р++р_)2.
Но кгкг = 0, а инвариантная величина, стоящая в правой части, не равна нулю ни
при каких значениях р+,р_. Это становится очевидным, если перейти в систему
отсчета, в которой р+ + р_ = 0.
4.41. v = £^^!.
4.42. По закону сохранения 4-импульса
1) №+P(£=PU+P2i.
Чтобы определить угол рассеяния первой частицы, перенесем рц налево и возведем
обе части получившегося равенства в квадрат:
2)
„(0W0)i , (0)(0)i
(0)J0)i
р'ыУГ + р W + piiPi + 2pi7рГ - Vh;p1 - WM = P2iPl
.(0),
„<°>„« -

§ 4.3. Ответы и решения
151
Согласно (4.7), pf^Pi = Pup\ = -m2c2, p2i р2 = P2iP2 = -m2c2. Скалярные
произведения преобразуются следующим образом: (р;> = 0):
J0)f0)i _ (0) (0) 1 ^(0)^(0) _ р (0) i _ _ р
(0) г (0) 1 с(0)с о ^О^1
PlzVl = Pi Pi " -o^l ^1 = PoPl COS^i - —5-,
где po = (l/c)y/£% — m2c4. Подставляя полученные выражения в 2), найдем:
£i(£o + т2с2) — £о'т2с2 - т2с4
COS^i = -z
Аналогично
4.43.
COS $2
c'popi
(Sp 4- гп2С2)(£2 - m2c2)
C2P0P2
2 (7o + rn2/rni)(l + 7om2/mi) ± costfi^ - l)Wm|/mf - sin2 tfi
1) £i=mi<r ■ ——2—ГТ go '
(7o + ra2/rai)2 - (75 - l)cos2tfi
^ = (7o + m2/mi)2 + (7o ~ 1) cos21?2
(70 + m2/mi)2 - (7^ - l)cos2$2
ГП2С2,
где
So
7o = —2'
micz
Из этих формул видно, что при mi > т2 возможно рассеяние только на
углы $ь не превышающие arcsin \fm2fm[ (подкоренное выражение в 1) должно быть
положительно). При этом каждому значению д\ отвечают два значения энергии Е\.
При т\ = 7П2 угол рассеяния $i не превышает 7г/2 и каждому значению $i
отвечает только одно значение энергии, соответствующее выбору знака «+» в
формуле 1). Знаку «-» отвечало бы значение Е\ = гщс2 независимо от угла рассеяния,
что, очевидно, не соответствует действительности. По аналогичной причине в
числителе формулы 2) для £2 оставлен только знак «+».
При т\ < 7П2 возможно рассеяние на любой угол и каждому значению $i
отвечает одно значение Е\, Если 0 < д\ < 7г/2, то в формуле 1) нужно выбрать
знак «+», если 7г/2 < $i < 7г, то нужно выбрать знак «-». При таком выборе
знаков рассеянию налетающей частицы на больший угол соответствует большая
потеря энергии, как и должно быть.
4.44. Е « тг^Ъ .
1 + M^(1-cost?)
4.45. £ « go-АД .
1 + W*{1-QOS*)

152
Глава 4. Релятивистская механика
4.46. Тг
Tn cos2 ^i
4.47.
Ti =
Tof^^)2[l+f^)2-2sin^1±2cos^n/fW^~2^
Vmi + m2/ L \mi/ \ \mi/
4mim2 _o2 л
-?2 = 7 ; го To cos ^2-
(mi + m2)
Правило знаков сформулировано в решении задачи 4.43.
4.48. Угол разлета частиц \ = $1 + $2 выражается формулой:
tgX " (V2/c2)v[ sin20' + (V - v[)(l - cost?')"
При mi = Ш2 скорости v[ = v'2 = V и
2с2л/1-^2/с2
fa v = - -
toX V2sintf' '
В этом случае \ < 90°. В нерелятивистском пределе \ ~* 90°.
4.49. Поступая так же, как при решении задачи 4.42, получим:
и =
wo(Wc-pocostfo)
£0/c-p0costfi + ^f (1-costf)'
где $ — угол между направлениями движения первичного и рассеянного фотонов;
$i — Угол между направлениями начального движения электрона и движения
фотона после рассеяния.
Если электрон до столкновения покоился, то
и0
и ■■
4.50. Энергия рассеянного кванта максимальна при /do=rd = ixy $i=0, т.е. при
лобовом столкновении с рассеянием кванта назад. При этом
250
1) hw « /k^o
(mc2)2/2£0 + 2/kV
Из 1) видно, что в ультрарелятивистском случае происходит значительное
«ужесточение» кванта, Нсо > fajjQ. Отметим два частных случая. При frwo < mc2(mc2/So)
формула 1) дает: £0 > ho = 4hu)o(£0/mc2)2 > fouoo. Если же hw0 > mc2(mc2So),
то fouo приближается к £о.
л г* с с ъ Poc(cOSt?o - COS^i) + tbUJ^il - COS$) ^
4.51. S - S0 = Йо;0^с о , ь—тт^ o\ • Обозначения углов те
же, что в задаче 4.48. Покоившийся вначале электрон при столкновении с фотоном
всегда увеличивает свою энергию:
£_тс2= (/^o)2(l-cosi9)
тс2 + fajj{\ - costf)"

§4.3. Ответы и решения
153
Если электрон обладает до рассеяния импульсом р0 > hiu/c, то его энергия
увеличивается при рассеянии, если #о < $ь и уменьшается в противном случае.
Максимальное ускорение электрона получится при $0 = 0, д = д2 = я\ При этом
£ — Sq = 2hu>o
Рос + hup
£0 + Рос + ^o *
Если электрон нерелятивистский, но р0с > /kj0> то £-£0 = 2huJo(vo/c) < /kj0-
Если электрон ультрарелятивистский, то S-So ~ fajo и условия ускорения электрона
оптимальны.
4.52. 5 = 4(га2 + g2), £ = -2g2(l - costf), u = -2q2(l + costf).
zmby
ггпь
где
S'a = 2^^S + m" + m&> v' = ^VKs>™>1>™>1)>
A(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 2xy - 2xz - 2yz.
Поскольку в Ц-системе ра = — pby то величина 5 имеет смысл квадрата полной
энергии в этой системе отсчета:
s=(£'a + £'b)2 = (£'c + £'d)2.
4-54- £с = 2^К + m2 - u\ £d = ^(m2 + m2 - t);
c= 1.
4.55. COS0 = (g ~ ma ~ ml)(mb +mc- U) + 2?j(* - ^a - Ш2) .
V^s, m2, mg) \/A(u, mg, m2)
cos6>/ = g2 4- s(2t -m2a-m2b-m2c- m\) 4- (m2 - m2b)(m2c - m2d)
^\{s, m2, m2)^\(s, m2, m2d)
Здесь с = 1, а величина А определена в ответе к задаче 4.52.
4.56. Величина 5 = (£'п + ££) имеет смысл
квадрата полной энергии двух частиц в Ц-системе,
поэтому она всегда положительна. Минимальное м+^т
значение sm-m = (т + М)2 соответствует случаю,
когда 7г-мезон (масса т) и протон (масса М)
покоятся в Ц-системе. Таким образом, (га + М)2 ^
^ 5 ^ СЮ.
Косинус угла рассеяния 0Г в Ц-системе связан с 5
и t формулой
1)
s2 + s(2t - 2М2 - т2) + М2(М2 - т2)
COS У = . .
(в - M2)yfs2 - 2s(M2 + m2) + (М2 - т2)2
Рис. 4.5

154
Глава 4. Релятивистская механика
Рис. 4.7
Поскольку -1 < cos в' < 1, то, подставляя в это двойное неравенство cos 6f
из (1), найдем допустимые при заданном s значения t.
Физическая область заштрихована на рис. 4.5. Порогу реакции отвечает
точка А, причем sA = (М + га)2, tA = -m2M/(M + га).
m°
2M(M + m)'
4.57. Искомые области изображены на рис. 4.6.
4.58. Разрешенные области для первых двух процессов изображены на рис. 4.7а,
для третьего — на рис. 4.76.
Можно построить одну кинематическую диаграмму для всех трех процессов,
рассматривая их как три возможных канала одной реакции, в которой участвуют
два нуклона и два мезона. Начальные и конечные состояния мезонов и нуклонов
в рассматриваемых каналах различаются энергиями, импульсами и зарядами1.
Для построения диаграммы (рис. 4.8) проведем три прямые, на которых
соответственно 5 = 0, t = 0 и и = 0, таким образом, чтобы они, пересекаясь, образо-
А также еще некоторыми характеристиками, изучаемыми в квантовой теории.

§4.3. Ответы и решения
155
вывали равносторонний треугольник с высотой h = s +1 + u = m?a + m\ + m2 + m2d
(c = 1). Значениям s = so = const будет соответствовать прямая, параллельная
оси s = 0 и отстоящая от нее на расстояние |sq|- Эта прямая должна проводиться
с той же стороны, с которой находится треугольник, если 5о > 0, и со стороны,
противоположной треугольнику, при 5о < 0. Аналогично строятся линии t = const
и u = const.
В результате на плоскости построена
косоугольная система координат и любой точке
плоскости сопоставлены три числа s, t и и,
положительные или отрицательные. Сумма
этих трех величин удовлетворяет нужному
условию (4.16). Чтобы в этом убедиться,
возьмем произвольную точку D и опустим из нее
перпендикуляры на стороны АВ, ВС и АС
или их продолжения. Поскольку площадь
ABC = площади ABD - (площадь BCD +
+ площадь ACD), то
D 1) DM-DN-DK = h = m2a+m2b+m2c+m2d.
° Но -DN = 5, -Dk = t, DM = и, откуда и
следует (4.16).
Рис- 4° Для нашей цели удобно несколько
изменить определения s, t и и по сравнению с (4.15). Пусть
2) S = {Pai+Pbi)(Pa + rf)> * = (Pai+PcM+pi), U = {Paz + Pdi){Pa + Pd),
где для частиц, исчезающих в результате реакции, рг = (—£, — р), а для частиц,
рождающихся в реакции, рг = (£,р). Это правило знаков соответствует тому,
что J2aPa = 0> как и в слУчае распада. Припишем индексы а и b мезонам, а с
и d — нуклонами. Тогда для канала в) рга = {-£а,-ра), р\ — (-£ь>~Рь)> Ргс =
= (£с>Рс), Pd = (£d,Pd)\ s = (£'а + £{,) = (£'с + £'d) > 4М2; допустимые значения
t получаются из условия |cos0'| ^ 1.
Граница физической области дается уравнением
з)
2\2
s = -t-
{М2 - гп2)
т
+ 2(М2 + т2) ^4М2
и представляет собой гиперболу с асимптотами t = 0 и и = 0 (рис. 4.9).
В случае канала а) полагаем р\ = (-£а,-ра), р* = (-£<>,-Рс)> р£ = (£ь,рь),
Й = (^d»Pd)- Физическая область ограничена прямой s = 0 и гиперболой
4)
s = -£-
(М2 - m2)
2\2
+ 2(М2 + m2), t^(M + rn)2
которая является второй ветвью гиперболы 3).
Аналогично строится физическая область для канала б). Как видно из
изложенного, полученная диаграмма очень похожа на диаграмму Далица для трехча-
стичного распада (см. задачу 4.28).

156
Глава 4. Релятивистская механика
Сходство обусловлено тем, что в обоих случаях в процессе участвуют
4 частицы, 4-импульсы которых в силу закона сохранения связаны условием
Pai +Ры +Pd +Pdi = ®' И3 4-импульсов частиц с учетом того, что при заданных массах
всех частиц ma2 = ра.р\ и т. д., как нетрудно убедиться, можно составить только
2 независимых инварианта, например s = (ра. + рь.)(р1а + р\) и t. Поэтому для
изображения таких процессов требуется двумерное пространство (кинематическая
плоскость).
4.60. Если частица, двигавшаяся с 4-импульсом рг0, испустила в среде фотон с
4-импульсом кг = (/kj/c, /fcjn/c), то законы сохранения энергии и импульса могут
быть выражены 4-мерным равенством
где р1 — 4-импульс частицы после излучения фотона. Перенесем кг налево и
возведем обе части получившегося равенства в квадрат. После элементарных
преобразований получим
1)
cost?
1
гф
1 +
пХ
где Л = h/mc — комптонова длина волны частицы, Л = 2тгс/сип — длина
волны фотона, (3 = v/c. Второй член, равный по порядку величины Л/Л, обычно
очень мал. Если опустить этот член, выражающий квантовые поправки (Л
пропорциональна ft), то выражение 1) сведется к классическому условию излучения
Вавилова-Черенкова:
cos # = -—.
пр
4.62. Обозначив через poi и р^ 4-импульсы
частицы до и после излучения, через к% — 4-импульс
фотона, напишем закон сохранения энергии и
импульса в виде
POi — ki = Pi.
Щ//////Щ/// Возводя обе части этого равенства в квадрат и от-
' ~!'1' брасывая член с ft2, получим
s = 4M
(га2 -га,о)с2 -2р-к +
250/с
О,
Рис. 4.9
1)
где то — масса возбужденной частицы, га — масса
частицы в нормальном состоянии.
Представим разность (?{т^ - га2) в виде с2(гао — га)(гао + га) « 2ftcj0ra. Тогда
n(w)/?costf = 1 - — \/1-/32,
где (3 = v/c.
При too —> 0 равенство 1) переходит в условие
п(ш)0 cos $ = 1

§4.3. Ответы и решения
157
возникновения излучения Вавилова-Черенкова. Это излучение не связано, таким
образом, с изменением внутреннего состояния частицы.
При ио ф 0 перепишем 1) в виде
2) ы- ^^^
1 — n(o;)/3cos#
Формулой 2) описывается эффект Доплера в преломляющей среде. Она
применима, если п(и)(3 cos $ < 1, и отличается от соответствующей формулы,
описывающей эффект Доплера в вакууме, только наличием п(и) в знаменателе. При 0 < 1
никаких качественно новых явлений не возникает, но при /3 « 1 и при наличии
дисперсии в среде явление усложняется.
В общем случае формула 2) представляет собой нелинейное уравнение
относительно и (п — функция и\) и может иметь более чем одно решение. При этом
вместо одной смещенной линии, как в обычном эффекте Доплера, в лабораторной
системе будет наблюдаться несколько линий (сложный эффект Доплера).
4.63. Поступая так же, как при решении задачи 4.60, получим следующие
результаты.
Излучение частоты и, сопровождаемое возбуждением частицы, может
возникнуть, если скорость v = (Зс движения частицы превосходит пороговое
значение c/n(u) cos $ (# — угол между направлением скорости частицы и направлением
импульса фотона). Необходимая для этого энергия заимствуется из кинетической
энергии частицы. Излучение такого типа наблюдается при фиксированном
значении и только в некотором интервале острых углов д внутри черепковского конуса,
поверхность которого определяется уравнением n/3cos$ = 1. Наблюдаемая
частота ш связана с углом # и величинами /3, п(си) формулой
[щи)(3 cos v > 1J,
п(и)/3 cos tf - 1
представляющей собой, как и в случае задачи 4.62, уравнение относительно и. Это
уравнение допускает, в общем случае, несколько решений (сложный сверхсветовой
эффект Доплера).
4.64. Обозначим через $i угол между начальным импульсом электрона ро
и направлением распространения мягкого кванта, а через д2 — угол между р0 и
направлением распространения жесткого кванта. Из закона сохранения 4-импульса
(ср. задачу 4.58) в предположении hwi <С £о, ^о < £о следует
= С hW2 ^ C-VoCOstfi
von(ui) hu>i von(u;i)
Отсюда видно, что жесткий черенковский квант hu>2 распространяется внутри че-
ренковского конуса, отвечающего мягкому черенковскому кванту с частотой и\.
Угол раствора этого конуса при принятой точности определяется условием cos#i =
= c/von(ui). Для возникновения жесткого излучения Вавилова-Черенкова
необходимо выполнение неравенства vo > с/п(и{), как и в случае обычного черенков-
ского излучения. Это возможно только при n(ui) > 1. Следовательно, один из

158
Глава 4. Релятивистская механика
квантов должен быть достаточно мягким. Решая 1) относительно fia;2, получим
2) ^2 = ^П{^)ЩС°^-С.
с - cos v2
Максимальное значение энергии Нсо2 достигается при $i = #2 = 0;
3) (^2)max = ЙОЛ •
С- t7o
4.65. ho2 = , а/сч, ^^^^"Ч
qZ-
те (Ji) COSt?i — 1] + #2
Максимальное значение fto>2 достигается при $i = #2 = 0. Частные случаи:
при 5о < (mc2)2/hwi
(^2)max -2^i[n(cJi) - 1](—^) ,
\mcz /
при 5о > (mc2)2/hwi
(^2)max ~£()-
Из последнего выражения видно, что жесткий черенковский квант может уносить
большую часть первоначальной энергии ультрарелятивистского электрона.
4.66. Угол рассеяния принимает дискретные значения, определяемые
уравнением
slno = '
2 ар0
где а = \/а\/п\ + a\jn^ + а2/п2 — целые числа.
4.68. При ftw < S0
(qc)2/2S0
hw
(mc2/£0)2 + d2-2(qc/£0y
Энергия hjjj тормозного кванта принимает дискретные значения при
фиксированных значениях угла #, так как передаваемый импульс q = 2ъЪ% дискретен.
4.69. Согласно результатам задачи 2.35 электростатическая энергия
заряженного шара дается выражением W = ae2/Ry где е — полный заряд шара, а —
численный множитель порядка единицы. Приравнивая W = тпес2у находим R =
= ае2/тес2. Величина
е2
г0 = . =2,8х10"13
тесг
называется классическим радиусом электрона. Этот параметр появляется во
многих задачах электродинамики. Однако ему нельзя приписывать буквальный
смысл радиуса элементарной частицы, так как классическая теория, на основе
которой получена его оценка, из-за квантовых эффектов теряет силу уже на
значительно больших расстояниях
А--*-.
тс
Для электрона Л « 137го « 3,9х Ю-11 см. Величина Л называется комптоновской
длиной волны.

§4.3. Ответы и решения
159
4.72.
Частные случаи:
mi) mv(v-v)
(1 - v2/c2y/2 + с2(1 - v2jc2fl2
= F при v || F,
(\-v2jc2y>l2
mv
(1_v2/c2)l/2=F "P" V±F>
mv = F при v <C с.
Величины ra(l —v2/c2)~3^2 и ra(l — v2/c2)~1/2 в старой научной литературе
назывались продольной и поперечной массами соответственно. Но при произвольном угле
между силой и скоростью в релятивистском случае невозможно выделить какой-
либо множитель в качестве коэффициента пропорциональности между силой и
ускорением, которому можно было бы приписать смысл массы. Поэтому термины
«релятивистская масса» или «масса, зависящая от скорости» не могут быть
корректно определены, и пользоваться ими нецелесообразно. Остается единственная
масса m — не зависящая от скорости инвариантная величина.
4.73.
F = -F' + 1 - - v / , F' = 7F - (7 - 1)^—И">
7 V 7
где7 = (1-^2/с2)-1/2.
4.74. Jf = 72mv2/R
4.76.
., 2*(1 -/?2)
л/(1 - /?2) cos2 a 4- sin2 a
где /? = у/с, г — расстояние от точки наблюдения до провода.
4.77.
Т= —
7Г
Решить задачу можно разными способами:
а) непосредственно вычислить электромагнитную силу, действующую на
движущийся точечный заряд со стороны линейного заряда и тока (учесть лоренцево
сокращение!);
б) определить силу в той системе отсчета, в которой магнитное поле
отсутствует, и воспользоваться формулами преобразования 4-силы;
в) воспользоваться конвекционным потенциалом ф, полученным в задаче 4.45.
4.78.
/ v2\ 2J(r)
Т — е ( 1 £ I , где г — расстояние электрона от оси пучка,
J(r) = / p(r)rdr — ток через круг радиуса г,

160
Глава 4. Релятивистская механика
л eV\~L / eV \ 2eV
1 Н г- 1 4- -—о \/ — скорость электронов.
me2 J \ 2тс2) V т
На поверхности пучка на электрон действует сила Т — е(1 -v2/c2)(2J/va), где
а — радиус пучка.
4.79. Ускорение наружного электрона нормально к оси пучка и к скорости
электрона, поэтому в лабораторной системе отсчета имеем
. _ (1 - г/Ус2)1/2 ^ _ 2eJ(l - г;2/с2)3/2
m таг;
(можно использовать результаты задач 4.72 и 478). Уширение пучка
vnt2 vnL2
Да:
2v2 '
Согласно условию Да <С L, откуда vnL/v <C v или йп£ « у < с. Таким образом,
применение нерелятивистской формулы для вычисления Да оправдано.
То же значение Да можно получить, рассматривая уширение пучка в системе
отсчета, движущейся вместе с электронами пучка; в этой системе на электроны
действует только электрическая сила.
4.80. Интегрируя уравнения движения, записанные в ковариантной форме,
dpx _ еЕ dpy _ фрг_ _ dS _ еЕ
dr тс2 dr dr dr m
получим энергию и импульс в функции собственного времени:
Рх = (£о/с) sinh кЕт + pox cosh кЕт, ру = роу, pz = О,
S = So cosh кЕт 4- срох sinh кЕт, к = е/тпс.
Повторное интегрирование уравнений dx/dr = px/m и т. д. позволяет получить
4-координаты в функции собственного времени. В частности,
х°(т) = с* = -% sinh кЕт + ^Щ- (cosh кЕт - 1).
еЕ еЕ
Из последнего уравнения находим
шс Рох + eEt + J(pox + eEt)2 + m2c2 + p\y
T(t) = —^ ln 7Г-, •
eE pox + So/с
Заметим, что т > 0 и растет с ростом t независимо от знака заряда, при е > 0
и е < 0. Подставляя т, выраженное через t, в формулы для х(т), у(т) и £(т),
находим
*) = £
^/(рох + е^)2 + т2с2+р2г/-^
j,(t) = ^T(t), ^) = 0, 5(0 = у/€g - c*plx + (срох + eEct)* .

§4.3. Ответы и решения
161
При ро <С тс и t <C тс/\е\Е движение нерелятивистское. Выражения для х,
у, г переходят при этом в обычные нерелятивистские формулы равноускоренного
движения:
x(t)
Рох+ , еЕ +2 aJ^ _ роу
т 2га
t.
т
По истечении достаточно большого времени с начала движения (t > mc/\e\E)
скорость частицы становится близкой к с (даже если она была мала вначале). При
этом
тс2
x(t) = ct
y(t)
сроу 2\e\Et
еЕ тс
и движение становится равномерным (со скоростью с). Ход x(t) и y(t) представлен
на рис. 4.10а и 4.106 соответственно. Движение, которое получается при р0у = 0
(см. рис. 4.10а), принято называть гиперболическим.
*)
Рис. 4.10
4.81. Траектория частицы определяется уравнением
£0 ( Ее
— cosh у
еЕ \ сроу
1 1 Н — sinh у.
еЕ
СРОу
В нерелятивистском пределе £0 = тс2, р0 <С тс и \еЕу\ <С \сроу. Последнее
следует из того, что еЕт — приобретенный частицей импульс — должен быть в
нерелятивистском случае мал по сравнению с тс. Таким образом,
теЕу2
Оу
. РОх
+ —у-
РОу
4.82.
тс"
еЕ
4.83. Из четырехмерного уравнения движения
dpk
~dr~
тс
-FKlp,

162
Глава 4. Релятивистская механика
получаем уравнения для компонент 4-импульса:
d f £\ n dpx _ dpy _ dpz
где циклотронная частота uc = еН/mc положительна или отрицательна в
зависимости от знака заряда. Из уравнений и начальных условий находим:
£ = £0 = ym2c4 + c2pI = const, pz = p0z = const,
Px = Po± cos(uct + a), py = p01_ sin(a;cT + a).
С помощью уравнений dx/dr = px/m и т. д. находим 4-координаты как
функции собственного времени:
/ ч Ро± . / ч , Роу . £о
х(т) = sin(a;cT + a) + x0 —, t = —«т,
mujc mujc m,cz
у(т) = -?±L cos(wcr + a) + y0 + —, z{t) = ^-т + z0.
mujc mujc mujc
Импульс частицы, оставаясь постоянным по абсолютной величине, вращается
вокруг направления магнитного поля с угловой скоростью luc (в функции
собственного времени) либо с меньшей угловой скоростью
Q = ucmc2/£o = cjc7o 1
в функции координатного времени. Сама частица движется по винтовой линии,
навитой на круговой цилиндр радиуса
R± = сро±/\е\Н = ср±/\е\Н
(ларморов радиус, или гирорадиус частицы) с шагом h = 27r|^02|/|^|- Ось
цилиндра совпадает с силовой линией магнитного поля, имеющей в плоскости хОу
координаты хо, Уо•
4.84.
eEv еЕу vqx
vx = —- 4- vox cos u;ct, x = —- H sin ujct,
muJc m(jJc (jjc
vy = -vox sinuct, у = — (cosu;c£ - 1),
eEz eEz <2
Vz = t + V0z, Z=-—t +V0z,
m 2m
где ис = eH/mc.
Вдоль оси z происходит равноускоренное движение под действием z-состав-
ляющей электрического поля. Движение в плоскости ху представляет собой
обращение заряда в однородном магнитном поле по окружности, радиус которой R =
= Щх/^с = срох/еНу а центр равномерно движется («дрейфует») в направлении,
перпендикулярном плоскости (Е, Н). Скорость дрейфа

§4.3. Ответы и решения
163
Возможные проекции траектории частицы на плоскость приведены на рис. 4.11.
Траектории а, в, д, ж являются трохоидами общего вида, б, е — циклоидами.
Движение будет нерелятивистским во все моменты времени, если vq <С с, Еу/Н <С 1.
4.85.
Рх = Pox cos кНт — роу sin кНт, ру = роу cos кНт — рох sin кНт,
Pz = (PozEIH) cosh кЕт + (£$Е/сН) smb. кЕт,
£ = So cosh кЕт + p0zc sinh кЕт, к = e/mc.
<S *
а) б) в) г) 5)
Рис. 4.11
e) ж)
4.86. Помимо прямого интегрирования уравнения движения, в
рассматриваемой системе отсчета существует другой эффективный метод решения задачи:
преобразование Лоренца из системы, в которой электромагнитное поле и движение
частицы выглядят наиболее просто. Такой системой S' является система,
движущаяся относительно исходной со скоростью ve = СЕ х Н/Я2 вдоль оси Ох, в
которой Е' = 0, а Н' = Ну/Н2 - Е2/Я (см. задачу 3.77). Направив ось Oz вдоль
Н, а ось Оу вдоль Е, запишем решение задачи в системе Sf:
Pox cos ист - р0у sin ист, ру = р0х sin ucr + р0у cos о;ст,
£' = E^ ш'с = eH'/mc = e^H2-E2/mc.
Pz =P0zi
Поскольку г — инвариант и ш'с — инвариант, следует преобразовать в исходную
систему только компоненты импульса и энергию.
В результате получим
8 = 7|(£о - vePox) + 7е(Рох - ve£o/c2)ve coso^t - ^EPoyVE sina£r,
Рх = 1е(£о ~ vePox)ve/c2 + 1е(Рох ~ ve^o/c2) coso^t - ЧЕРоу sina£r,
Ру = Роу cos Jcr + 7s (Pox - ve£o /с2 ) sin Jcr,
P. = Po., 7Е = (1-4/^2Г1/2 = Я/(Я2-Е2)1/2.
Зависимость координат от собственного времени вычисляется путем однократного
интегрирования из уравнений dx/dr = px/m и т. д.

164
Глава 4. Релятивистская механика
4.87.
S =
W-c^)coshKv^-^r+ (434)
Рх = Н(£оЕ- cpof) coshK^^Jf2T + (4.35)
+ ^L8inh,v^Ifl5r+ ^(Фо^-у)
ч/£2 - Я2 с(Е2-Н2) '
Pv = Рог/ cosh куЕ2 - Н2т Н - sinh ку Е2 - Н2т,
У У су/Е2 - Н2
Pz = Poz, к = е/тс.
При Е —► Я, раскрывая неопределенности, находим
5 = (£0 - ср0х)^т2/2 + cpoyiOcr + £о>
Рх = (^o/c-poxVcT2/2 + poycc;cT+pox,
Ру = (^0/с-р0х)^с/7"+Р0у,
Рг = Poz, uc = еН/mc.
Вычисление траектории частицы в параметрической форме (параметр —
собственное время) сводится к однократному интегрированию полученных выражений.
4.88. Построим тензор электромагнитного поля плоской волны:
1) Fik = Ak,i - Aijk = (щек - nkSi)f'(s).
Поскольку n%Fik = 0, из уравнения движения (4.22)
2 т-г1 = -Fikuk
(XT С
находим тс1(щпг)/(1т = 0. Отсюда получаем
3) щпг = щ(0)пг = const,
где введено начальное значение 4-скорости частицы щ(0). Подставляя, далее, в 3)
щ = dxi/dr и выбирая 4-координаты таким образом, чтобы было хДт) = 0 при
т = 0, получаем
4) s = щхг = щиг(0)т;
таким образом, переменные г и s отличаются постоянным множителем, и в
уравнении 2) можно перейти к независимой переменной 5:
5) ш^ = ^щ (Wfc(0) - щекпк) /'(,).

§4.3. Ответы и решения
165
Последнее уравнение упрощается путем умножения его на ег: md(ui€l)/ds =
= —(e/c)f'(s), откуда находим
в)
ще* = щ(0)е* - (e/mc)[f(s) - /(0)].
Подстановка 6) в правую часть 5) дает простое уравнение с известной правой
частью:
dm = e
ds rnc
щ
Si -
гци1(0)
(еЧ(0)-^(/(в)-/(0)))
f'(s).
После интегрирования находим 4-скорость частицы в функции переменной s:
8) щ(з) = щ(0) + :
тс
Si - П.
ekuk(0)
п1щ(0) \
т - /(0)1+2^2 z^r [/w - л»)]2,
: щи1(0)
и 4-координаты
Xi(s) = Xi(0) + / Ui(sf)dsf.
Jo
Последние два равенства дают закон движения частицы в параметрической форме.
Полагая в равенстве 8) г = 0, находим энергию частицы в поле плоской волны:
9) S(s) = So + e
ekuk(0)
п1щ(0) \
[/(*)-/(0)] +
п0
2тсп1щ(0)
[/(*)-/(о)]2
Формула упрощается, если частица в начальный момент покоилась, т. е. £0
= тс2, uj(0) = (c,0):
10)
^)=mc2 + ^r[/(s)-/(0)]2
Если на частицу действует волновой пакет конечной протяженности, т. е. /(0) =
= 0 и f(s) —> 0 при 5 —> ос, то результирующего набора энергии частицей за все
время действия волны не происходит, £(оо) = гас2. В периодическом поле энергия
частицы колеблется около среднего значения
и)
f_ = mc2 + ^[/2+/2(0)]-
Средний импульс первоначально покоившейся частицы, на которую действует
периодическое поле, отличен от нуля в исходной системе отсчета:
12)
[/2 + /2(0)]-
Задачу можно решить также путем интегрирования уравнения движения в
трехмерной форме или методом Гамильтона-Якоби.
4.89.
ul(s) = иг(0) + —
гас
A\s) - А*(0) + ^Щ%(0) (А*(а) - А'(0))

166
Глава 4. Релятивистская механика
В трехмерной форме
Ш(*)=Ш(0) + £ /%il (*')<**'. r±(S)=rx(0) + ^ f'p±(s')ds', t=-±- f S{s')ds\
w Jo ^ Jo c^ Jo
Pll (*) = РЦ (0) + (£(*) " ^(0)) /c, P±(s) = px(0) + - Г Е(«')<**',
c Jo
5(s) = f(o) + - Г E(s,)-P±(s,)ds/, w = 5(0) - cp..(0).
w Jo
Здесь значки ||,_L относятся к направлениям, параллельному и перпендикулярному
относительно п.
4.90.
х = xocosut, у = yocoshut, z = vot + zo, и2 = 2ek/m.
Из полученных зависимостей x(t) и y(t) видно, что с помощью линзы
рассматриваемого типа может быть сформирован пучок заряженных частиц, имеющий форму
плоской ленты.
4.91.
гаг
±
dt \у1-г,2Д2у
d I mr2a
TflTOi 6
Л + eEr + - (-tfai + Ягго),
у/1 - V2/C2 С
dt \y/l-v2/<?
d
mz
dt Xy/l-v^/c2
= e
= e
Ea + -(Hrz-Hzf)
с
Ez + -(Haf- Hra)
4.92. При Н = 0 траектории электронов прямолинейны. По мере
увеличения магнитного поля траектории все больше искривляются в плоскости,
перпендикулярной оси. Введем цилиндрические координаты (г,а, г), где z совпадает с
осью цилиндра. Электроны перестанут попадать на анод, когда при г = Ь их
скорость окажется параллельной поверхности анода, т. е. при г\г=ь = 0. При этом
a\r=b = vmax/b. Воспользуемся одним из уравнений предыдущей задачи, которое
в данном случае принимает вид
mr2a
, . . . = —H(r)r—.
dt \y/l-v2/c2l с у J dt
Проинтегрируем обе части равенства вдоль траектории частицы от г = а до г = Ь:

§4.3. Ответы и решения
167
Отсюда
Фс = -ГГРтах = 2?ГСб
hrnV ( \e\V\
У \е\ \^2гпсУ'
если выразить импульс через кинетическую энергию и положить Ттах = |е|ТЛ
При малой разности потенциалов \e\V <С тс2 (или и«с, что то же самое)
результат упрощается:
Фг = 27гсЬ\
2mV
4.93. Разность потенциалов должна быть больше, чем
К
4J72 , о Ь тп2с4 тс"
—у- In2 - + —= —
cz a ez \e\
При \е\У <С тс2 (нерелятивистские электроны), получаем из общей формулы
Ус
тс^ а
4.94.
b = аехр
Рос
\е\Г
Ро
mvo
Vl-^o2/c2
4.96. а) В нерелятивистском случае кинетическая энергия Г — квадратичная
функция скоростей частиц. По теореме Эйлера об однородных функциях
а а
где суммирование производится по всем частицам в системе. Перепишем это
равенство в виде
\ а /а
и произведем усреднение согласно формуле
дга
rst
/= lim I/ /(*)Л.
Поскольку
X^-ra
1
Si
Z^Pa'ra \t=5t 2^ Ра'Га |t=0
J <5t—кх)
в силу ограниченности импульсов и координат частиц, то
1) 2? = $>а-
ОС/
5га '

168
Глава 4. Релятивистская механика
Потенциальная энергия при кулоновском взаимодействии является однородной
функцией координат степени —1, поэтому
2) У2^ = -и 2Т=-й.
a
a о
При этом сохраняющаяся полная энергия системы заряженных частиц Е = Т 4-
+ U = —Т < 0, так как финитное движение возможно только при отрицательной
полной энергии.
Соотношение 1) называется теоремой вириала Оно дает связь между Г и
U во всех случаях, когда потенциальная энергия представляет собой однородную
функцию координат.
б)
3) 2Г+— lH = -U,
тс
где L = J2ama[ra x va] — полный момент импульса системы.
4.97. Траектория лежит в плоскости, перпендикулярной сохраняющемуся при
движении моменту импульса L При ее' < 0 (притяжение) и 0 > £ ^ -те2е/2/(2/2),
где т = т\т21{гп\ + m<i) — приведенная масса, движение финитно (связанное
состояние). Траектория — эллипс, уравнение которого
п
1)
Здесь
1 + е cos ip
12 L 2^2
2) a=——, c = Wl + —2"?2<1,
т\ее'\ V те1е'1
угол (р отсчитывается от линии, соединяющей частицы в момент их
наибольшего сближения. При £ —► 0 (б —► 1) траектория переходит в параболу, движение
становится инфинитным.
При £ > 0 в обоих случаях, ее' < 0 и ее' > 0, траектория представляет собой
гиперболу
3) г =
=Fl + ecos(/?'
где б > 1. Знак «+» соответствует притяжению, вторая частица находится во
внутреннем фокусе гиперболы (рис. 4.12а). Знак «-» соответствует отталкиванию,
вторая частица при этом находится во внешнем фокусе гиперболы (рис. 4.126).
4.98. Дифференциальное сечение рассеяния можно вычислить по формуле
1) *(*)= sds
sin OdO
где О — угол рассеяния частицы, соответствующий данному значению 5 параметра
соударения (прицельного расстояния). В данном случае О — угол между
направлениями подлета частицы к рассеивающему центру и отлета от него, определяемый

§4.3. Ответы и решения
169
ее' <0
б)
Рис. 4.12
асимптотами гиперболы. Из рис. 4.12а (притяжение) находим О = 2ао — 7г, из
рис. 4.126 (отталкивание) О = 7г — 2ао- Оба случая объединяются в одну
формулу 0/2 = =Ь(7г/2 т <*())• Отсюда и из уравнения траектории 3) предыдущей задачи
находим
ctg2{0/2) = sin-z(0/2) - 1 = cos-2a0 - 1 = ег - 1 = 2£r/(me*eu).
Момент импульса выражается через прицельное расстояние формулой I = mvos.
Таким образом,
2)
е2е'2
m2vi
ctef
О
Дифференцируя и подставляя в 1), получим знаменитую формулу Резерфорда, с
помощью которой было открыто атомное ядро:
3)
/ ее'
2mv$J sin4 (0/2)
Сечение одинаково в случае притяжения и отталкивания частиц.
4.99. В системе центра масс:
da =
4£с
1
+
1
sin4 0/2 cos4 0/2 J
dQc
где Ec = гаг>о/2, т = т\/2 — приведенная масса.
В лабораторной системе:
\2Ei
1
+ ■
1
sin4 д cos4 д
4 cos $dQi,
где Ei = miVo/2, fi — угол рассеяния в лабораторной системе, 0 < ti ^ 7г/2.

170
Глава 4. Релятивистская механика
4.100. Через площадку da = sdsda плоскости, перпендикулярной
направлению движения частиц, проходит за единицу времени nvda частиц. Они передают
неподвижной частице импульс, равный
1) mAvznvda,
где Avz — изменение ^-компоненты скорости одной частицы при рассеянии ее на
неподвижной частице.
Искомая сила, равная полному импульсу, передаваемому за единицу времени,
получится интегрированием 1) по всему сечению пучка частиц. При этом нужно
выразить Avz через прицельный параметр s. Поскольку столкновения упругие,
имеем
Q
2) Avz = -2usin2-,
О — угол рассеяния. Его связь с прицельным параметром была найдена при
решении задачи 4.98 (формула 2). После использования указанной формулы и
предыдущего соотношения 2), а также интегрирования по 5 получим из 1) выражение
для силы:
3) F = ^е2е'2п\^,
ГП V6
тгаг
А = 1п
ее'
При sm —► ос, что соответствует неограниченному пучку, величина Л расходится.
Это объясняется дальнодействующим характером кулоновых сил. Фактически в
нейтральной системе любой заряд экранируется зарядами противоположного
знака, поэтому с данной частицей взаимодействуют только те, которые пролетают от
нее на расстоянии, не превышающем радиуса экранировки. Поэтому в реальных
условиях под sm нужно понимать радиус экранировки (радиус Дебая в плазме,
радиус нейтрального атома при рассеянии частиц в неионизованном веществе и
т. д.).
Величина Л называется кулоновским логарифмом. Пренебрегая слабой
зависимостью его от скорости частицы, обычно считают Л = const.
4.101.
t{v) = .^e2e/2XfjLl^f{v)d^
jl J \V-VfY>
где ji = mm'/(m + mf) — приведенная масса.
Полезно иметь в виду следующую электростатическую аналогию:
приведенное выражение можно записать в виде электрической силы F = #Е, с которой
действует на заряд q = — 47ге2е/2Л/д «электростатическое поле»
E(v) = - grad i>(p(i>) = -V„ y?(v),
где
ff(v')d3v

§4.3. Ответы и решения
171
— «электростатический потенциал», удовлетворяющий уравнению Пуассона,
Av<p(v) = -4тг/(г;).
4.102. Энергия пробной частицы не меняется при столкновениях с
неподвижными бесконечно тяжелыми частицами. Изменение среднего импульса
описывается уравнением
1) *=F
} dt '
где F — средняя сила. Ее удобно вычислять с помощью электростатической
аналогии, указанной в решении предыдущей задачи. Распределение по скоростям частиц
среды описывается функцией f(v) = nS(v). Поэтому (p(v) = n/v, E(v) = nv/v3,
2) F = e2e/2nA^-,
m v6
F имеет характер «силы трения», стремящейся уменьшить направленную скорость
частицы. Но это трение тем меньше, чем больше скорость частицы (|F| ос 1/г>2,
«падающее трение»).
Интегрируя уравнение 1), найдем
v(t) = vq ехр
где т = т2г>3/47ге2е/2пА — характерное время потери частицей направленной
скорости.
4.103.
При V < Vq,
47гпе2е/2Л ( — + — ) -^ при v > vq.
F =
-47гпе2е/2Л ( 1 ) — при v-vo > vh
\m rrv ) vo
47гпе2е/2Л ( 1 ] — при v-vo < vk.
4.104. На электрон, движущийся со скоростью v в среде неподвижных
однозарядных ионов, действует сила трения
47ге4пЛ v
1) F=-
m
(см. решение задачи 4.102). Отметим, что зависимость силы от скорости
можно получить и из следующих полукачественных соображений. Сила трения есть
потеря импульса частицей в единицу времени из-за столкновений. Если среднее
время между столкновениями т, а при каждом столкновении теряется импульс
порядка полного импульса частицы гаг> (это означает,что в результате столкновения
электрон отклоняется на большой угол), то
2) Т^—.
т

172
Глава 4. Релятивистская механика
При таком столкновении электрон подходит к иону на расстояние, на котором его
кинетическая энергия — порядка потенциальной:
з)
9 9
mvA e
2 г
Это приближенное равенство позволяет оценить сечение столкновения
47ге4
4) a « 7гг
2
и среднее время между столкновениями
1 m2vs
5) г « « j.
псгг; 47гпе4
Подставляя г в 2), находим, учитывая тормозящий характер силы,
„ 47гае4г>
6) F^ 5-,
что отличается от 1) отсутствием кулонова логарифма Л. Но это естественно: при
оценке по формулам 2)-5) мы не учитывали далеких столкновений с малыми
передачами импульса, вклад которых и дается кулоновым логарифмом.
Усредним теперь формулу 1) по возможным скоростям электрона. Для этого
положим
7) v = u + vt,
где vt — тепловая скорость, и — скорость, приобретаемая под действием
электрического поля Е. При и <с vt можем положить в знаменателе выражения 1)
v3 « Vj>. В числителе же нельзя пренебречь и по сравнению с vt, так как при
усреднении по направлениям тепловой скорости получим v~t = 0. В итоге будем
иметь
_ - 47гпе4Л
8) F = —и,
где v\ = 3T/mt если применимо распределение Максвелла (Г — температура в
единицах энергии). Таким образом, при и <С vt получаем F оси.
При и > vt полагаем v & и и получаем
. . - 47гпе4Л
(9) F^ 2~u,
mu6
т. е. F ос 1/ti2. Максимуму F, очевидно, будет соответствовать значение u « vt\
при этом обе формулы 8) и 9) дадут одинаковое значение
-f, 47гпе4Л
10) Fmax^ 5—и-
mvjiU
Примерный ход функции Т = \F(u)\ представлен на рис. 4.13.

§4.3. Ответы и решения
173
Если в плазме Е < Fmax/e = Ed, to сила торможения при некотором значении
и, удовлетворяющем равенству F(u) = eEy превысит ускоряющую электрическую
силу еЕ, и электроны не смогут больше ускоряться. Это область значений поля
Е, при которых имеет место обычный закон Ома. В случае Е > Ed
ускоряющая сила превышает торможение, и электроны получают возможность ускоряться
неограниченно1. Это явление получило название «убегающие электроны».
Подставляя в формулу 10) максвелловское
значение vf, получим
ED
еХ
D2
3D2' ~ 4тгпе2'
Точный расчет дает близкое значение
ED = 0,214-^.
Рис. 4.13
4.105. Задачу можно решить различными способами, в частности с помощью
уравнений движения в цилиндрических координатах, приведенных в ответе к
задаче 4.91. Ниже мы используем метод Гамильтона-Якоби, удобный при нахождении
траектории частицы.
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби в плоских полярных координатах с
полярным углом а, отсчитываемым вокруг направления сохраняющегося в центрально-
симметричном поле U(г) = —Ze2/r вектора момента импульса I:
2 -, /о^х2 , /Qn ,2x2
1)
dS_Y
дг)
+
+ га2с2
0.
dS_y _1_ fdS Ze2
да) с2 \dt r
Для решения задачи требуется найти действие 5, зависящее от координат г, а,
времени t и двух независимых и неаддитивных постоянных интегрирования.
Проведя разделение переменных
S(r,ayt) = W(r) + F(a) + f(t)y
находим из уравнения 1)
2)
/(*)= - £t, F(a)=Za, W(r)= ± f [£2/с
2 2
m с
(I2 - Z2e4/c2)r~2 + 2Ze2S/c2r]l/2dr.
Здесь £ и I — постоянные, введенные при разделении переменных и
представляющие собой полную энергию и момент импульса частицы. В данном случае полная
энергия £ включает в себя не только энергию покоя частицы и ее кинетическую
энергию, но также и потенциальную энергию ее взаимодействия с кулоновским
центром:
, Zp2
3) £ = y/c2(p2+p2Jr2) + m2c2 .
Это следует из уравнения 1), если использовать определения обобщенных
импульсов: рт = dS/dr, ра = dS/да = L
Но эта возможность редко реализуется из-за коллективных эффектов в плазме.

174
Глава 4. Релятивистская механика
Чтобы найти траекторию частицы методом Гамильтона-Якоби, нужно
продифференцировать действие S по I и приравнять эту производную некоторой
постоянной, dS/dl = qjo, которая должна быть определена из начальных условий. Это
приведет к уравнению траектории вида
*> </?
&__ 2 2 l2c2 - Z2eA 2Ze2£
-1/2
= ±(а- а0).
Для вычисления интеграла и классификации траекторий удобно ввести другие
постоянные, которые будут обобщать на релятивистский случай величины,
использованные в соответствующей нерелятивистской задаче 4.97:
.. Ze2 (I \ 1 / т2с\л Ze2
Здесь параметры вир безразмерны, а имеет размерность длины. Далее
рассматриваем различные соотношения между параметрами.
Случай 1. р = Ze2/1с < 1, а > 0. Переходя в 4) к интегрированию по
переменной х = а/гу и выбирая а = 0 в одной из точек наибольшего приближения
частицы к центру, приводим интеграл к табличному:
Г/г dx a/r-1 , г-
6) / — = — arccos — = ± л/1
Л+£ лД2 -(х- I)2 е
Таким образом, получаем уравнение траектории:
п
7) г =
р2 а.
1 + е cos y/l — р2 а
Здесь опять может быть несколько вариантов. При е < 1, что, согласно 5), имеет
место при тс2 > £ > тс2л/1 — р2, движение финитно. Траектория в общем случае
имеет вид незамкнутой розетки, заключенной между окружностями с радиусами
а/(1 + в) и а/(1 — е) (см. рис. 4.14). В нерелятивистском случае аналогом такой
траектории является эллипс. Ее можно получить путем вращения (прецессии)
эллипса в своей плоскости. Полное колебание радиуса от минимального значения
7~min = л/(1 + е) (перигей) до максимального значения rmax = а/(1 — е) (апогей)1
и обратно до нового минимума происходит при возрастании а на 2ж/у/\ — /?2.
Перигей орбиты, таким образом, за один период изменения г поворачивается на
угол 27г[(1 — р2)~1/2 — 1]. Если у/1 — р2 представляет собой рациональное число,
то после некоторого числа оборотов траектория замыкается на себя.
При е > 1, что соответствует 8 > тс2, движение инфинитно. Траектория
напоминает гиперболу (она получается из гиперболы путем увеличения полярных
углов в (I — /?2)-1/2 раз). Она имеет две ветви, уходящие на бесконечность при а =
= ±ао, где ао = (1 -/?2)~1/2arccos(-l/e). Частица, приближающаяся к центру по
одной из этих ветвей, может совершить вокруг него несколько оборотов, раньше
1 С равным основанием эти точки можно называть перигелий и апогелий или периселений и
апоселений.

§4.3. Ответы и решения
175
Рис. 4.14
Рис. 4.15
чем уйти на бесконечность по другой ветви (рис. 4.15). При е = 1 (£ = тс?)
движение также инфинитно, а траектория «параболовидна».
При р < 1 рассмотренные траектории переходят в обычные эллипс (е < 1),
гиперболу (е > 1) и параболу (е = 1) нерелятивистской кеплеровой задачи. Это
естественно, так как при v/c <С 1 выполняется условие р <С I1.
Случай 2. р = Ze? /1с > 1, а = —\а\ < 0. Ввиду изменения знаков в
подкоренном выражении интеграла 3) вычисляем его заново и получаем
7)
/
d(\a\/r)
Arcosh
1 + |о|/г_
: ± у/р2 - 1 а,
^(1_|а|/г)2_е2-
что соответствует наиболее простому выбору постоянных интегрирования. Отсюда
получаем уравнение траектории:
8)
-1 + е cosh у/'р2 — 1 а
Траектории имеют вид спиралей, закручивающихся вокруг начала координат при
а —► ±оо. Частица падает на силовой центр (в нерелятивистском случае падение
на центр возможно только при / = 0, р = оо). При Е > тс2 параметр е < 1 и
траектория имеет две ветви, уходящие на бесконечность при а = ±ао, где ао =
= (р2 - l)_1/2ylrcosh(l/£) (рис. 4.16). При 8 < тс2 параметр £>1 и траектория
имеет вид, изображенный на рис. 4.17.
Можно произвести такую оценку величины р в нерелятивистском случае для связанного состоя-
Ze2
По теореме вириала (задача 4.65) \U\ = 2Т « mv
Ze2
rmvc
2
ж.
mvc
так что р « v/c < 1. При инфинитном движении
на большей части траектории \U\ <^ 2T, поэтому р еще меньше.

176
Глава 4. Релятивистская механика
Рис. 4.16
Рис. 4.17
Случай 3. р = Ze? /1с = 1, а = 0. Вычислив интеграл заново, получим
уравнение траектории
9)
2Ze2/S
а2 - 1 ± m2c4/S2 '
Траектория также представляет собой спираль, закручивающуюся вокруг центра
при а —► ±оо, но медленнее, чем в случае р > 1. Общий характер траектории
такой же, как в случае 2.
4.106. При £ > тс? (инфинитное движение)
At-
су/£2 — га2 с4
х IS
vV ± b)2 - d2 - Vb2 - d2
Ze2m2cA r + b+yj(r + b)2- d2
S2 - m2c4
b+Vb2-d2
где
Ze2S
2J2
d* =
Fc
±
Z2e4m2c4
1)
<S2-m2c4' <S2-m2c4 (<S2-m2c4)2*
4.107. В обозначениях задачи 4.105 имеем при р < 1
а
г =
-1 ± е cos y/l — р2а
Траектория имеет гиперболовидный характер (рис. 4.18). Две ее ветви уходят
на бесконечность при а = ±ао, где ао = (1 —/?2)-1/2arccos(l/e). При /?<1
частица движется по гиперболе. Этот случай отвечает нерелятивистскому движению,
vCc. При р > 1

§4.3. Ответы и решения
177
где е < 1. Характер траектории такой же, как в первом случае. Две ее ветви
уходят на бесконечность при а = ±(р2 - l)_1/2arcosh(l/e). В случае р = 1
3)
2Ze2/S
1 - m2c4/£2 - а
2*
Ветви траектории уходят на бесконечность при а
4.108. В случае притяжения
±у/1-т2с*/£2.
21с
VI
2-2
Ze2
1
21с
Vl2c2 - Z2e
= arctg
у0л/12с2 - Z2e4
Ze2c
где vq — скорость частицы на больших расстояниях от рассеивающего центра.
В случае отталкивания
21с
VI
2^2
Z2e
: arctg
voVl2c2 - Z2e4
Ze2c
4.109. Малым углам рассеяния отвечают большие
прицельные расстояния 5. Поэтому, положив I = posy где ро —
импульс частицы при г —► ос, можно найти интересующую
нас зависимость угла рассеяния 0 от s предельным
переходом к большим значениям 5 (при этом, очевидно, / > Ze2/с)
в общих формулах, приведенных в предыдущей задаче. При
выполнении предельного перехода для обоих случаев,
притяжения и отталкивания, получится один и тот же результат:
= 7Г
2 arctg
vqPqs
Ze2
2Ze2
voPos
«1,
откуда s = 2Ze2/voPoO u
Рис. 4.18
o(0)
sds
ode
(Ze2
,voPo
4.110. Ускоряющее электрическое поле:
Ea= i ^?
2-кгс dt '
где г — радиус орбиты электрона, Ф — магнитный поток, пронизывающий орбиту,
а — азимутальный угол.
При передвижении электрона по орбите на расстояние г da поле Еа совершает
работу
5 А = Earda.
Ускорение электрона происходит на орбите постоянного радиуса г = ср/еН0, где
Но — магнитное поле на орбите, перпендикулярное ее плоскости и нарастающее
со временем. Из условия dr = 0 находим dp = pdHo/H0. Энергия электрона S =
= су/р2 + т2с2 увеличивается на dS = c2pdp/S = c2p2dHo/£Ho при увеличении

178
Глава 4. Релятивистская механика
поля на dH0. Очевидно, что 8 А = dS. Используя предыдущие равенства и
соотношение с?р/£ = v = rda/dt, получим после интегрирования
Ф = 2Фо,
где Фо = 7гг2Я0. Последним равенством и выражается искомое правило «2:1».
4.111. Как следует из вида функции Лагранжа (4.23), энергия U
взаимодействия двух заряженных частиц определяется формулой
6 А
и = —A-v + е<р,
с
в которую нужно подставить заряд е\ одной из частиц и запаздывающие
потенциалы1 </?2, А2 поля другой частицы. Воспользовавшись разложениями
запаздывающих потенциалов по степеням времени запаздывания, получим
е2 , е2 d2R e2v2
где R — расстояние между частицами. Выбрав калибровочную функцию х в виАе
_ e^dR
Х~ 2cdt*
произведем градиентное преобразование потенциалов. Новые потенциалы
принимают вид
/ 1дх е2 а/ л , Т7 e2[v2 + (n>v2)n]
^ = ^-^ = ^ A2 = A2 + VX = ^ ,
где n = R/Д. Отсюда для энергии взаимодействия получаем формулу Брейта
U = ецр'2 - ^vi'A2 = ^ \ 1 ~ 2^[vi-v2 + (vi-n)(v2-n)] \ .
Эта формула приближенно учитывает то обстоятельство, что сила, действующая
на одну из двух взаимодействующих частиц, находящихся на расстоянии R друг
от друга, определяется предшествующим положением и состоянием движения
другого заряда. Энергия и импульс передаются зарядами полю и переносятся полем
от заряда к заряду в течение промежутка времени R/c. Частицы и поле
образуют единую систему, и вследствие этого невозможно точное описание движения
системы взаимодействующих частиц без привлечения степеней свободы поля.
4.112.
miv\ mivf m2v\ m2v\ exe2 exe2
Определение запаздывающих потенциалов см. в главе 5.

Глава 5
ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
§5.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ. ИЗЛУЧЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ СИСТЕМ
Электромагнитные потенциалы А(г,£), <р(г>0 удовлетворяют неоднородным
уравнениям Даламбера
л А 1 а2А 4тг., лЧ
а^2
с
1 Я2
A^-3ldr =-4тг/>(г,*),
(5.1)
и условию Лоренца
divA+-^=0. (5.2)
с at
Решения уравнений (5.1) в безграничном пространстве имеют вид
с J |г-г'|
^О^/^*,"1'^'^^ (5.4)
J |г-г'|
Временной аргумент распределения зарядов и токов показывает, что поле в точке
г в момент t определяется значениями величин j и р в точке г' в предшествующий
момент tf = t — |r — г'|/с. Электромагнитные возмущения в вакууме
распространяются со скоростью с. Поэтому решения (5.3), (5.4) называются запаздывающими
потенциалами. Напряженности поля выражаются через запаздывающие
потенциалы по обычным формулам (2.53).
Излучение электромагнитных волн системой заряженных частиц в свободном
пространстве — это процесс, при котором электромагнитное поле отрывается от
источника и распространяется в виде волн на произвольные расстояния. Поэтому
для расчета процесса излучения необходимо исследовать поле на большом
расстоянии от источника, превышающем как размеры источника (г ^> I), так и длину
излучаемой волны (г ^> Л, волновая зона). Структура поля в волновой зоне
упрощается и становится похожей на поле плоской волны с характерными
соотношениями между векторами Е и Н (см. задачу 2.79):
Н = пхЕ, Е = Нхп, Е = Н, (5.5)

180
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
причем в данном случае п = г/г, если источник излучаемых волн находится
вблизи начала координат.
Энергия dl/dQ,, излучаемая в направлении п в единицу телесного угла
(дифференциальная интенсивность излучения), выразится через вектор Пойнтинга 7 в
виде
1=^ = £н>,„. (5.6)
Суммарная по всем направлениям (полная) интенсивность излучения получается
интегрированием (5.6) по телесному углу:
/(г, t) = ^— [ H2(r,t)dil=^- f E2(r,t) dSl. (5.7)
4тг J 47Г J
Зависимость I от г связана только с эффектом запаздывания, и через любую
сферу с центром в источнике излучения в конечном счете пройдет вся излученная
им энергия.
Если движение частиц периодично, то средняя за период Т = 2-k/lo
интенсивность излучения на частоте ojm = гш, m = 1,2,... в заданном направлении
дается выражением
dlm _ СГ*_
dil ~ 2тг
Hm(r)|2, Hm(r) = 1J H(r,*)e**»'cU. (5.8)
Если движение частиц апериодично и излучение продолжается конечное
время, выключаясь при t —> ±оо, то спектр излучения оказывается непрерывным.
Величина
d2Iu сг2
= —\HUr)\2, Нш(г)
/оо
H(r,t)eiuJtdt, (5.9)
-оо
dtodQ 47Г2 J_00
не зависящая от г в волновой зоне, представляет собой энергию, излучаемую за
все время процесса в данном направлении на частоте ш (в расчете на единицу
телесного угла и на единичный интервал частот).
Исследование излучения упрощается, если время распространения 1/с
электромагнитных возмущений в пределах излучающей системы мало по сравнению с
характерным временем Т движения заряженных частиц в системе, либо, что то
же самое, размер системы / мал по сравнению с длиной Л излучаемой волны:
1/с < Т, / < Л. (5.10)
При этом условии можно вычислить векторный потенциал в волновой зоне (г > Л)
приближенно, путем разложения его по малому отношению 1/Х (разложение по
мультиполям). Достаточно учесть лишь члены, обратно пропорциональные
расстоянию г до системы, так как только они дадут вклад в излучаемую системой
энергию. Напряженности поля излучения выразятся в виде
Н=-Ахп, Е = Нхп, (5.11)
с
где точкой обозначена производная по времени.

§5.1. Общая теория. Излучение нерелятивистских систем
181
где
Низший (электрический дипольный) член разложения векторного потенциала
имеет вид:
A(r,*) = ^~J/C\ р(* - г/с) = fr'p(r',t- r/c)dV (5.12)
и дает интенсивность излучения
* _ fc# _ Ц*£», ,_£. (5.13)
dQ 4тгс3 4тгс3 Зс3
Для отдельной частицы р = ег, ее излучение дается формулой Лармора
'-%
В вакууме излучают только частицы, движущиеся с ускорением. Последняя
формула применима лишь для нерелятивистских частиц.
Следующие члены разложения дают магнитно-дипольное и квадрупольное
излучения:
Н=— (mxn)xn+ —6 xn>, E=^-<nxm+ —(Q x n) x n >, (5.15)
czr [ 6с ) czr [6с )
М* - г/с) = iJr'x j(r', t - r/c)dV,
(5.16)
Qap(t ~ Г/с) = j p(r',t - r/c)x'ax'pdV, Qa = QapUp.
По сравнению с интенсивностью электрического дипольного излучения (5.13)
слагаемые в (5.15) содержат малый множитель (//А)2. Поэтому они будут играть
существенную роль только в отсутствие электрического дипольного излучения.
Вектор Герца и излучение антенн. Если излучателем является
макроскопическое тело с размерами I > А, то разложение поля излучения по мультиполям
неприменимо и следует пользоваться точными выражениями (5.3) для
запаздывающих потенциалов. Количество неизвестных функций можно уменьшить, если
вместо потенциалов A(r,£), <p(r,t), связанных условием Лоренца (5.2), ввести одну
векторную функцию Z(r,£) (вектор Герца, или поляризационный потенциал),
через которую выражаются электромагнитные потенциалы. Вектор Герца может
быть двух типов: электрическим Z^ и магнитным Z^mK Первый случай
реализуется, когда источник состоит из электрических дипольных излучателей,
распределенных с объемной плотностью Р, которая называется вектором электрической
поляризации. Электромагнитные потенциалы связаны с электрическим вектором
Герца соотношениями
<p = -divZM, A=-^-. (5.17)
с at
Распределение зарядов и токов электронейтральной системы выражается через
вектор электрической поляризации по формулам
ЭР
p = -divP, J = -^. (5.18)

182
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Уравнение непрерывности при этом выполняется, а полный заряд ограниченной
системы должен быть равен нулю:
/ pdV = -<f P-dS = 0.
Полный электрический дипольный момент выражается в виде интеграла от вектора
Р по объему системы.
Для того чтобы электромагнитные потенциалы удовлетворяли уравнениям (5.1)
и соотношениям (5.17), вектор Герца следует подчинить неоднородному уравнению
Даламбера:
AZ(e)-4^^ = -47rP- (5Л9>
с2 at2
Применяя к обеим частям (5.19) попеременно операторы — div и d/cdt, получим
уравнения для потенциалов (5.1). Решение уравнения (5.19) можно записать по
аналогии с запаздывающими потенциалами:
z(e)M) = y
P(r',t-|r-r'|/c)
г — г'
dV. (5.20)
Магнитный вектор Герца следует вводить, когда источник содержит магнитные
дипольные излучатели, распределенные с плотностью M(r,t), которая называется
вектором магнитной поляризации. В этом случае вместо (5.18) имеем
р = 0, j=crotM, (5.21)
интеграл по объему системы от М даст полный магнитный дипольный момент, а
магнитный вектор Герца должен определяться из неоднородного волнового
уравнения
Электромагнитные потенциалы выражаются формулами
<р = 0, A = rotZ<m). (5.23)
Пример 5.1. Принцип взаимности. Два независимых источника излучения
характеризуются распределениями токов ji, j2 и создают монохроматические
поля одинаковой частоты и. Показать, что токи и напряженности полей
связаны соотношением
yji-E2dV = yJ2-EidV, (5.24)
где интегрирование производится по всему пространству.
Решение. В силу принципа суперпозиции поле каждого из источников
удовлетворяет своей системе уравнений Максвелла:
47г4 го; „ 47Г4 га;
rot Hi = —л Ei, rotH2 = —j2 E2,
с с ее
^ га; ^ Wt>-,,
rot Ei = —Hb rotE2 = —H2.
с с

§5.1. Общая теория. Излучение нерелятивистских систем 183
Простые преобразования этих уравнений с последующим интегрированием по
всему пространству дают соотношение
/jVE2dV= fhEidV+^Ж (HixE2-H2xEi).dS.
На бесконечно удаленной поверхности выражение, стоящее под знаком последнего
интеграла, обращается в нуль в силу свойств (5.5) полей в волновой зоне, так
как векторы пь п2 от источников, находящихся на конечном расстоянии друг от
друга, совпадают. Это приводит к (5.24). ■
Для двух электрических диполей малых размеров соотношение (5.24)
принимает вид
Pi-E2=p2-Ei. (5.25)
Если дипольные излучатели представляют собой квазилинейные проводники,
длины которых малы по сравнению с длиной волны излучения, то путем замены
}dV —> Jdl получим из (5.24)
J1U2(1) = J2U1(2), (5.26)
где Ui(k) = fEk'dli — разности потенциалов, создаваемые источниками г на
концах проводников /с, Ji — силы токов в излучателях. Равенство (5.26) не зависит
от того, в каком режиме — активном (как передатчик) или пассивном (как
приемник) — работает данный диполь. Меняются только силы токов, угловые диаграммы
направленности в обоих режимах одни и те же.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Теория поля. Джексон (1975)],
[Бредов и др. (2003), Батыгин и Топтыгин (2003), Стрэттон (1948)], [Алексеев
(1977), Медведев (1977), Пановский и Филипс (1963)].
Задачи
5.1.• Вычислить электромагнитные потенциалы и напряженности поля на
расстояниях, удовлетворяющих условию / <С г <С А. Учесть электрические ди-
польный, квадрупольный и магнитный дипольный члены.
5.2? Для электрического дипольного излучателя, p(t) = pocoscut, вычислить
в волновой зоне электрическое и магнитное поля через электромагнитные
потенциалы и показать, что они удовлетворяют соотношениям (5.5). Вычислить также
дифференциальную dl/dQ, и полную I интенсивности излучения, усредненные по
периоду колебаний осциллятора.
5.3. Вычислить напряженности поля точечного электрического дипольного
осциллятора с моментом р = p0coso;£ на расстояниях, удовлетворяющих условию
I <С г при любом соотношении между г и А.
5.4. Найти уравнения силовых линий электрического и магнитного полей
электрического осциллятора предыдущей задачи. Проследить за качественным
изменением картины поля в зоне, прилегающей к осциллятору, и в волновой зоне.
5.5* Найти выражение для потери момента импульса в единицу времени
—dli/dt системой, излучающей как электрический диполь.

184 Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
5.6* Найти электромагнитное поле Н, Е заряда е, движущегося
равномерно по окружности радиуса а. Движение нерелятивистское, угловая скорость ш.
Расстояние до точки наблюдения г > а. Найти средние по времени угловое
распределение dldQ и полную интенсивность I излучения, а также исследовать его
поляризацию.
5.7. Две одинаковые металлические пластины радиуса R находятся на
взаимном расстоянии Л « Д и образуют обкладки плоского конденсатора. Разность
потенциалов на обкладках изменяется по закону U(t) = Uq cos ut, причем R <c
<С27гс/о;. Вычислить среднюю по времени интенсивность излучения.
5.8. При переходе электрона в атоме водорода из состояния 2р в Is
эффективная плотность электронного заряда изменяется по закону
p(r,0,a,t) = ^-ге-3г/2а»У0оПо(^,а)е-^,
где ав = h2/mee2 — боровский радиус, ujq = Зе2/8Нав — частота перехода между
электронными состояниями, Y/m — сферические функции Лежандра. Вычислить в
электрическом дипольном приближении среднюю по времени интенсивность
излучения. Сравнить полученный результат с результатом квантового расчета (см.
раздел 6.2, задача 6.18).
5.9. Плоский квадруполь образован четырьмя точечными зарядами ±q,
расположенными в вершинах квадрата со стороной а и вращается со скоростью ш вокруг
оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости. Вычислить
угловое распределение интенсивности излучения, усредненного по времени, и
полную интенсивность при условии а <С 2тгс/и.
5.10. На покоящуюся частицу с зарядом е и массой га в момент t = 0 начинает
действовать электрическое поле Е = E0e~at cosouot, где амплитуда Е0 и а —
постоянные. Найти спектральную плотность излучения dl^/dto.
5.11. Дипольные моменты некоторой ограниченной системы зарядов
изменяются со временем по закону p(t) = poe_t lT , m(t) = m0e~r/r , где po, m0, r —
постоянные величины. Вычислить спектральную плотность излучения dl^/dco в
дипольном приближении (указать критерий применимости приближения).
5.12. В прямоугольной проволочной рамке размером а х b течет ток J(t) =
= Jo cos out, причем a,b <C 2тгс/и. Вычислить среднюю по времени интенсивность
излучения.
5.13. В замкнутой проволочной петле, охватывающей площадь 5, на
промежутке времени —оо < t < oo течет переменный ток J(t) = Jort/(r2 +t2), r, Jo —
постоянные. Вычислить в дипольном приближении спектральную плотность
излучения. Указать критерий применимости приближения.
5.14. Частица имеет внутренние магнитный m и механический s моменты,
связанные соотношением m = r/s. Она влетает в однородное магнитное поле Н,
причем угол между m и Н равен /3. Вычислить среднюю по времени интенсивность
излучения, вызванную прецессией магнитного момента.
5.15. Заряд q и масса га распределены равномерно по объему шара с радиусом
R. Шар вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг своего диаметра,
составляющего угол (3 с внешним однородным магнитным полем Н. Вычислить

§5.1. Общая теория. Излучение нерелятивистских систем
185
коэффициент пропорциональности между магнитным и механическим моментами
шара и среднюю по времени интенсивность излучения, вызванную прецессией
магнитного момента.
5.16. Исследовать влияние интерференции на излучение электромагнитных
волн системой зарядов в следующем примере: два одинаковых электрических
заряда е движутся равномерно с нерелятивистской скоростью и с частотой и по
круговой орбите радиуса а, оставаясь при этом на противоположных концах
диаметра. Найти поляризацию, угловое распределение dl/d£l и интенсивность I
излучения. Как изменится интенсивность излучения, если убрать один из зарядов
(ср. с результатом задачи 5.6).
5.17. Насколько расположение зарядов в предыдущей задаче должно
отличаться от диаметрального, чтобы интенсивности электрического дипольного и квадру-
польного излучений были равны?
5.18. Колебания двух электрических дипольных осцилляторов имеют
одинаковую частоту ы, но сдвинуты по фазе на 7г/2. Амплитуды дипольных моментов
равны по величине ро и направлены под углом ср друг к другу. Расстояние между
осцилляторами мало по сравнению с длиной волны. Найти поле Н в волновой
зоне, угловое распределение dl/dQ, и полную интенсивность I излучения.
5.19. Исследовать состояние поляризации поля излучения системы
осцилляторов, рассмотренных в предыдущей задаче, используя методику, изложенную
в разделе 2.3.
5.20. Найти среднюю по времени плотность 7 потока энергии на больших
расстояниях от заряда, рассмотренного в задаче 5.6, учитывая члены порядка г-3.
Найти вращательный момент N, приложенный к полностью поглощающему
сферическому экрану большого радиуса, около центра которого движется этот заряд.
5.21. Электрический и магнитный диполи взаимно перпендикулярны,
колеблются с частотой too и находятся в одном месте пространства. Найти угловое
распределение dl/dQ. и полную интенсивность I излучения, усредненные по
времени.
5.22.* При выполнении условия I <С А вычислить векторный потенциал
излучающей системы в волновой зоне с учетом членов порядка {l/ty2. Вычислить
также интенсивность излучения в предположении р ф О, m/0, Qa/? Ф 0.
5.23.* Частица с зарядом е колеблется вдоль оси Oz по закону z(t) = a smut.
Вычислить интенсивности dIm/dQ излучения на кратных частотах сит = muj, m =
= 1,2,..., не предполагая отношение а/А малым.
5.24. Вычислить угловое распределение dl/dQ. полного излучения со всеми
частотами осциллятора предыдущей задачи. Вычислить также суммарную по всем
направлениям интенсивность излучения I.
Указание. Использовать соотношение из теории функций Бесселя:
х2(4 + х2)
m=imJ"(mX)= 16(1-^/2-
5.25* Простейшая модель излучения нейтронных звезд (пульсаров) — это
модель наклонного ротатора: шар, имеющий магнитный момент т, вращается в

186
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
вакууме с угловой скоростью и вокруг оси, составляющей угол ц> с
направлением п.
1. Вычислить угловое распределение dl/dQ и полную интенсивность I
излучения, усредненные по времени.
2. Оценить численно по порядку величины магнитный момент пульсара, взяв
из наблюдений характерное значение магнитного поля на поверхности нейтронных
звезд Щ « 2 х 1012 Э и из теории радиус звезды R « 10 км.
3. Оценить численно интенсивность излучения пульсара I и сравнить его со
светимостью Солнца L0 « 4 х 1033 эрг/с, взяв из наблюдений для пульсара в
Крабовидной туманности период вращения Г « 0,033 с.
4. Сравнить полученную выше интенсивность излучения пульсара со
скоростью уменьшения энергии вращения звезды, которую следует оценить на основе
наблюдательных данных об увеличении периода вращения пульсара в Крабовидной
туманности Т/Т « 1,3 х Ю-11 с"1.
5.26. Равномерно заряженная по объему капля пульсирует с неизменной
плотностью. Поверхность капли при этом описывается уравнением
R(d) = До[1 4- aP2 (cos д) cosurt],
где а <С 1. Заряд капли q. Найти угловое распределение dl/dii и полную
интенсивность I излучения, усредненные по времени.
5.27. Электрический заряд q распределен сферически симметричным образом
в ограниченной области и совершает радиальные колебания. Найти
электромагнитное поле Е, Н вне распределения зарядов.
5.28. Найти в векторной форме выражения для напряженностей
электромагнитных полей электрического р и магнитного m дипольных осцилляторов на
расстояниях от них, больших по сравнению с их размерами.
Указание. При дифференцировании по г учитывать, что дипольные моменты
должны быть взяты в ретардированный момент tf = t — г/с и, следовательно, зависят
от г.
5.29* Центры двух электрических дипольных осцилляторов с частотой и и
одинаковыми амплитудами р0 || Ох находятся на оси Oz, на равных расстояниях
от начала координат и на расстоянии Л/4 друг от друга. Колебания осцилляторов
сдвинуты по фазе на 7г/1. Найти угловое распределение излучения dl/dil.
5.30. Показать, что полный электрический дипольный момент ограниченной
системы зарядов и токов равен интегралу по объему от вектора электрической
поляризации, введенного посредством равенств (5.18).
5.31. Показать, что полный магнитный дипольный момент ограниченной
системы зарядов и токов равен интегралу по объему от вектора магнитной поляризации,
введенного посредством равенств (5.21).
5.32. Показать, что напряженности поля выражаются через векторы Герца
Z(e\ Z(m) следующим образом:
1 <9Z(m)
Е = rot rot Z(e) - rot 4тгР;
с dt
1 37i^
Н = rot 7Г- + rot rot Z<m) - 4тгМ.
с dt

§5.1. Общая теория. Излучение нерелятивистских систем
187
5.33. Пусть два независимых ограниченных монохроматических источника
одинаковой частоты создают поля Еь Hi и Е2, Н2. Показать, что для любой
замкнутой поверхности S, внутри которой расположены эти источники, выполняется
соотношение
/[Ei xH2]-dS= /[E2xHi]-dS.
Js Js
5.34. Показать, что для электрических дипольных монохроматических
излучателей соотношение взаимности (5.24) принимает вид pi-E<2 = P2*Ei.
5.35. Найти выражения электрических дипольного Zp и квадрупольного Zq,
а также магнитного дипольного Zm членов разложения электрического вектора
Герца, справедливые при произвольной зависимости токов и зарядов от времени.
Указанные величины должны быть применимы на расстояниях г > а, Л > а
(выполнение условия г » Л не обязательно). Здесь a — размер системы, верхний
индекс (е) у вектора Герца опущен.
5.36. Моменты двух одинаковых электрических диполей направлены по одной
прямой и осциллируют в противофазе с частотой и (амплитуда ро). Расстояние
между центрами а, А > а. Найти электромагнитное поле на расстояниях г > а.
Найти угловое распределение излучения dl/dQ и его полную интенсивность 7.
5.37* В линейной антенне длиной / возбуждена стоячая волна тока J с
амплитудой J0, частотой uj и узлами на концах антенны. Число полуволн тока,
укладывающихся на длине антенны, равно т. Найти угловое распределение
излучения dl/dQ.
5.38. Найти полное излучение I и сопротивление излучения R = I/J%
антенны, рассмотренной в предыдущей задаче.
Указание. Результат выражается через интегральный косинус
Сг(х) = С + \пх + Г cost~1 dt,
Jo t
где С = 0,577 — постоянная Эйлера.
5.39. В линейной антенне длиной I распространяется бегущая волна1 тока J =
= Joel^~wt\ где к = и /с, £ — координата точки на антенне. Найти угловое
распределение dl/dQ и полную интенсивность / излучения.
5.40.* В круглой проволочной петле радиуса а возбуждена стоячая волна тока
вида J = J0 sin na/e-^. Найти электромагнитное поле Н, Е в волновой зоне.
5.41. В линейной антенне (см. задачу 5.37) течет затухающий ток
J = J0sin[/cm(£ + I/2)]e~7t cosu>mte(t), -1/2 < £ ^ Л/2,
где LUm = ckm = mire/1, 6 — ступенчатая функция, m = 1,2,... — число
полуволн, укладывающееся на длине антенны. Вычислить спектральную плотность
излучения d2Iu}/d(jjdQ в плоскости симметрии, перпендикулярной оси антенны.
5.42. В плоскости xz расположено N антенн, параллельных оси Ох, каждая
длиной /. Расстояние между соседними антеннами а задано. В каждой антенне
1 Нагрузки на концах антенны должны быть подобраны таким образом, чтобы отраженной волны
не возникало.

188
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
течет ток J = J0 sin kmz cosLVmt. Вычислить угловое распределение излучения
dl/dQ, усредненного по времени.
5.43. Решить предыдущую задачу для случая, когда антенны расположены
очень густо и создают тонкую пластину шириной 26 и длиной I с поверхностной
плотностью тока го-
5.44. Отражение системы В зарядов p(r,t) и токов j(r,£) в плоскости z = О
состоит в том, что: а) каждая точка г = (х, у, z) переходит в положение г' = (х, у, —
—г); б) плотность заряда меняет знак: p(r,t) = — //(г',£), где р' — плотность
заряда в отраженной системе В'. Выяснить, как при отражении преобразуются
плотность тока j(r,£), электрические р, Q и магнитный m моменты системы,
а также электромагнитное поле Е, Н.
5.45. Доказать, что электромагнитное поле произвольной системы В зарядов
вблизи идеально проводящей плоскости может быть получено как суперпозиция
полей системы В и системы В', отраженной в этой плоскости (см. предыдущую
задачу). Рассмотреть, в частности, излучение электрического дипольного
осциллятора с моментом p(t) = Pof(t) (|ро| = 1, f(t) — произвольная функция),
находящегося на расстоянии b <С Л от такой плоскости и образующего с ней угол ср0 = const
(ограничиться электрическим дипольным приближением).
5.46. Электрический диполь с амплитудой момента ро и частотой и
находится на расстоянии а/2 от идеально проводящей плоскости (а <С А, вектор ро
параллелен плоскости). Найти электромагнитное поле Е, Н на расстояниях г > А
и угловое распределение излучения dl/dQ.
§ 5.2. ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
Точечный заряд е, движущийся со скоростью v(£') и находящийся в момент
времени tf в точке s(£'), возбуждает электромагнитное поле, потенциалы которого
в точке г в момент времени t определяются формулами Лиенара-Вихерта:
(p(r,t) =
R - R • v/c
A(r,*) =
c(R - R • v/c)
(5.27)
где R(£') = r — s(t'). Ретардированное время tf (время, когда было испущено
возмущение) определяется уравнением
c(t - t') = \R(t')\. (5.28)
Из потенциалов Лиенара-Вихерта можно получить напряженности поля:
(1 - v2/c2)(n - v/c) en x [(n - v/c) x v]
Е(Г> *) = eSl / 43 U2 +
(1 - n • w/cfR2 c2(l - n • w/cfR
H = nxEL, (5.29)
где n = H/R. Первый член Е и соответствующий ему член Н описывают
поле, убывающее с расстоянием по закону R~2 (квазистационарное поле), которое
движется вместе с зарядом, не отрываясь от него. Второй член в Е и
соответствующий ему член в Н описывают поле, убывающее с расстоянием по закону R~l
(поле излучения); поток энергии этого поля не зависит от R. Это означает, что

§ 5.2. Излучение релятивистских частиц
189
поле излучения отрывается от породившего его заряда. На большом расстоянии
от заряда (в волновой зоне) квазистационарное поле пренебрежимо мало по
сравнению с полем излучения. Как видно из (5.29), условием возникновения поля
излучения является наличие ускорения v^O.
Поток энергии в единичный телесный угол вычисляется через напряженности
поля в волновой зоне по формуле (5.6). Используя вместо Н2 равную ей величину
Е2, получим
dJ_ e2[nx [(n-t;/c)xi;]]2
dQ 4тгс3(1 - n-v/cf ' V '
где все величины в правой части берутся в момент времени t/ = t — R/c.
Пример 5.2. Произвести анализ углового распределения (5.30), рассмотрев
подробно три случая: а) излучение нерелятивистской (v <C с) частицы; б)
излучение ультрарелятивистской (j = 8/тс2 ^> 1) частицы при v || v; в) то же
при v ± v. В последних двух случаях представить интенсивность излучения в
направлении, составляющем малый угол в со скоростью частицы, в
упрощенной форме, произведя разложение по в. Истолковать полученные результаты
на основе закона преобразования функции распределения (см. задачу 3.33).
Решение, а) Нерелятивистская частица, v <C с. Пренебрегая членами порядка
v/c, получим из (5.30)
где в — угол между ускорением в момент f и направлением наблюдения.
Излучение распределено симметрично относительно направления v и максимально в
направлении, перпендикулярном v. Интегрирование (5.31) по телесному углу дает
формулу Лармора (5.14).
б) Ультрарелятивистская частица, 7 — (1 — г/2/с2)-1/2 » 1, ускорение
направлено вдоль скорости: v \\ v. Обозначив через в угол между п и v> получаем
из (5.30)
d£ = е V sin2 в ( ,
<Kl 4ttc3[1-(^/c)cos(9]6'
Высокая степень знаменателя, весьма малого при cos# ^ 1, приводит к сильной
анизотропии излучения. В наиболее интересной области малых углов произведем
разложение sin# ^ #, cos0 ^ 1 — в2/2. Учитывая, что v ^ с, получим
dl_ 16eV71Q(7fl)2 ,- v
dSl тгс3(1+7202)6'
Излучение сосредоточено в конусе с углом раствора порядка нескольких 1/7.
Это свойство излучения ультрарелятивистских частиц объясняется
релятивистским преобразованием углов и уже было отмечено в разделе 3.1.
в) Ультрарелятивистская частица, ускорение перпендикулярно скорости, v J_ v.
Общая формула (5.30) дает
cU_ = в2*'-2
dQ. 47гс3
V2 f 1 (1-У2/С2) Sin2 в COS2 if]
re3 \[l-(v/c)cos<2]4 [I-(v/с) cos в}6 J

190
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Здесь (р — угол между плоскостями (и,п) и (v,v). Распределение(5.34), как и
(5.32),сконцентрировано в направлении вперед. При малых 0 оно имеет вид
dl_ _ 4еУ78 Г _ 472<92cos2(p
dtt " тгс3(1 + 72#2)4 [ (1 + 72#2)2 J
(5.35)
Спектральная плотность излучения в заданном направлении за все время
движения частицы дается интегралом
й21ш e2uj2
dwdQ, 47г2с3
/оо
п х v(t) exp(i(jjr — ik-s(r))dr
-оо
(5.36)
Излучение приводит к потере частицей энергии —dEjdt' и импульса —dp/dt'.
Эти величины удобно относить к интервалу «ретардированного» времени, dt', в
течение которого происходит испускание возмущения частицей. Потеря энергии
не совпадает с интегралом по углам от интенсивности излучения (5.30), так как
промежутки времени dtf и dt различны:
-1-/0-^)>
Величина —dEjdt' — релятивистский инвариант.
Потеря трехмерного импульса дается соотношением
dp _ v ( dS
~dP = ? \dt'
Релятивистски ковариантное обобщение формул (5.37), (5.38) имеет вид
(5.38)
_d^ = _^wkWkUi^ (539)
dr Зсь
где рг = (£/с,р) — четырехмерный вектор энергии-импульса релятивистской
частицы, т — собственное время, иг и wk — 4-скорость и 4-ускорение.
Заряженные частицы при столкновениях движутся с ускорением и вследствие
этого излучают электромагнитные волны (тормозное излучение). Закон
движения сталкивающихся частиц и излучаемая ими при столкновении энергия
определяются видом взаимодействия и прицельным расстоянием р (если потенциальная
энергия взаимодействия сталкивающихся частиц зависит только от расстояния
между ними). Энергию, излучаемую во всех направлениях при рассеянии потока
частиц некоторым рассеивающим центром, удобно характеризовать
дифференциальным эффективным излучением
dK o Г
dQ
и полным эффективным излучением
d£ra^pdp (5.40)
/»оо
к = 2тг / Srad(p)pdp. (5.41)
Jo

§ 5.2. Излучение релятивистских частиц
191
Здесь dSrad(p)/dQ, — энергия, излучаемая в направлении п в единицу телесного
угла при одиночном столкновении с прицельным параметром р, усредненная по
азимуту в плоскости, перпендикулярной потоку частиц.
Если главную роль при столкновении играет электрическое дипольное
излучение, то (5.40) принимает вид
Нк 1
^ = ^[А +Воссев)], (5.42)
где P2(cos#) — полином Лежандра, в — угол между направлением наблюдения п
и направлением Oz потока падающих частиц,
А = - 27rpdp / p2dt, В = - / 2irpdp / (р2 - 3p2z)dt. (5.43)
^ JO J-оо 3 Jo J-oo
Излучение при распадах и превращениях частиц. Распады частиц и их
превращения в другие частицы сопровождаются внезапным (точнее, происходящим
за короткое время) исчезновением заряженных частиц, совершавших некоторое
заданное движение, или появлением движущихся с некоторыми (часто
релятивистскими) скоростями новых частиц. При этом возникает тормозное излучение,
которое называют внутренним, в отличие от излучения, сопровождающего
столкновение частицы с внешним объектом. Длительность процесса превращения
частиц можно оценить по порядку величины с помощью квантовомеханического
соотношения неопределенности энергия-время:
г .А, (5.44)
где Д£ — характерная энергия данного процесса, h — постоянная Планка.
Методами классической электродинамики можно рассчитать спектр
внутреннего тормозного излучения в приближении г —► 0, т. е. для относительно низких
частот
ш < 2тг/т. (5.45)
Это ограничение относится к неподвижному в лабораторной системе объекту, в
котором происходит превращение частиц. Если объект движется с
релятивистской скоростью, нужно произвести преобразование Лоренца интервала времени и
частоты, что приведет к условию
ит « 2Д -, (5.46)
1 — (v/с) cos в
где в — угол между направлениями скорости и наблюдения волны.
Еще одно ограничение на частоту накладывают законы сохранения энергии и
импульса при испускании фотонов (см. главу 6), которые учитываются в квантовой
теории. Они ограничивают частоту некоторым значением с<;тах. Генерацию
квантов с энергиями hx) порядка максимальной fou)ma,x нужно рассчитывать методами
квантовой механики.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Теория поля. Джексон (1975)],
[Батыгин и Топтыгин (2003), Бредов и др. (2003), Байер и др. (1973), Медведев
(1977)], [Гинзбург (1987), Соколов и Тернов (1983), Тернов и Михайлин (1986)],
[Болотовский и др. (1978), Алферов и др. (1989)].

192
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Задачи
5.47 * Произвести разложение по степеням R/c в общих формулах для
запаздывающих потенциалов (5.3), (5.4) и найти таким путем разложение потенциалов
Лиенара-Вихерта по степеням 1/с.
5.48. Вычислить потенциалы поля равномерно движущегося точечного заряда
из потенциалов Лиенара-Вихерта (5.40), выразив в последних ретардированное
время t' через время t наблюдения поля. Вычислить также напряженности поля
равномерно движущегося точечного заряда.
5.49. Точечный заряд е движется с малой скоростью v и ускорением v в
ограниченной области. Найти приближенные выражения для электромагнитного
поля Е, Н частицы в точках, расстояние г до которых от частицы велико по
сравнению с размером области движения заряда. Определить положение границы
квазистационарной и волновой зон.
5.50. Вычислить угловое распределение dl/dQ, излучения заряда,
рассмотренного в предыдущей задаче. Найти полное излучение I.
5.51. Найти связь
d2S _ d£dt_ _ f _ n-v(t')\ dl
dt'dQ dQ dt' \ с J dQ
между скоростью потерь энергии частицей на единицу телесного угла в данном
направлении и интенсивностью излучения геометрическим способом, рассмотрев
форму области пространства, в которой локализована электромагнитная энергия,
излученная частицей за время dtf.
5.52. Доказать, что если частица совершает периодическое движение, то
средняя за период скорость потерь энергии совпадает со средней интенсивностью
излучения.
5.53. Показать, что если ускорение частицы вызвано действием на нее
внешнего электромагнитного поля с напряженностями Е, Н, то суммарную по всем
направлениям скорость потерь энергии можно записать в виде
d£ 2e27:
2/v2
dt' 3m2c2
(E + it;xH)2-l(E.t,)2
(5.47)
Проанализировать этот результат, рассмотрев случаи продольного и поперечного
(относительно скорости v) ускорения.
5.54. Скорость v релятивистской частицы в некоторый момент ретардиро-
ванного времени t/ параллельна ее ускорению v. Найти мгновенное угловое
распределение интенсивности излучения dI/dQt полную мгновенную интенсивность
излучения 7, а также суммарную по всем направлениям скорость потери энергии
—dSjdt'. Какой характер имеет угловое распределение интенсивности излучения в
ультрарелятивистском случае?
5.55. Скорость частицы убывает от vo до 0 в течение промежутка
времени т. Найти угловое распределение тормозного излучения, испущенного за все
время движения частицы, считая ускорение постоянным. Какая длительность At
импульса будет зарегистрирована покоящимся прибором?

§ 5.2. Излучение релятивистских частиц
193
5.56. Релятивистская частица с зарядом е, массой га и импульсом р движется
по круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле Н. Радиус орбиты
a = ср/еН. Найти суммарную по всем направлениям скорость потери энергии
частицей -dS/dt'.
5.57. Ультрарелятивистский электрон движется в однородном магнитном поле
с напряженностью Н по винтовой линии. Его скорость v составляет угол О с
вектором Н. Найти энергию —d£/dt/, теряемую электроном в единицу времени. Найти
также поток энергии излучения I через неподвижную сферу большого радиуса,
окружающую электрон.
5.58. Найти мгновенное угловое распределение интенсивности излучения
dl/dQ релятивистской частицы, скорость которой в ретардированный момент
времени перпендикулярна ее ускорению. Начертить полярную диаграмму для
случаев v <С с и v ~ с. Определить направления, в которые не происходит излучения.
5.59.* Частица с зарядом е и массой m движется со скоростью v по
окружности в постоянном однородном магнитном поле Н. Найти угловое
распределение dl/dQ. интенсивности излучения, усредненное по периоду обращения частицы
в магнитном поле. Какой характер принимает это угловое распределение в
ультрарелятивистском случае v ~ с?
Указание. Использовать результаты предыдущей задачи. Перейти к сферическим
координатам с полюсом в центре круговой траектории и полярной осью вдоль Н.
При вычислении интеграла по азимутальному углу воспользоваться формулами из
справочников.
5.60* Найти компоненты Фурье поля излучения Ап, Нп заряда е,
движущегося по круговой орбите радиуса а с релятивистской скоростью v. Исследовать
характер поляризации компонент Фурье.
Указание. Использовать формулы из теории функций Бесселя.
5.61. Объяснить наличие высших гармоник в спектре поля заряда,
движущегося с постоянной скоростью по круговой орбите (см. предыдущую задачу). Как
будут меняться интенсивности этих гармоник, когда (3 = г;/с—>0? Какой вид будет
иметь поле излучения в этом случае?
5.62* Заряд е движется по окружности радиуса а со скоростью v = /Зс.
Найти спектральное разложение интенсивности излучения dIn/dQ, в данном
направлении. Вычислить также суммарное по всем направлениям излучение на отдельных
гармониках. При интегрировании по углам использовать интегралы от функций
Бесселя
/ dd sintf ctg2tf J2(n/3sintf) = 2 / -^±^dx - — / J2n(x)dx,
Jo Jo x nP Jo
I d$ sin д ctg2 <dJ* (n/3 sin tf) =
Jo
- £•«<*■» - w Г ^+i ГjMdx-
5.63. Получить угловое распределение полного излучения заряженной
частицы, движущейся по круговой орбите в однородном магнитном поле, путем
суммирования излучений на отдельных гармониках, найденных в предыдущей задаче.

194
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Подробно исследовать ультрарелятивистский случай (7 = S/mc? » 1), записать
упрощенную формулу для углового распределения излучения.
Указание. Использовать формулу из теории функций Бесселя
Е°° 2/2/ ч 4 + Зх2
m=l v '
x2\5/2
и аналогичную формулу из условия задачи 5.24.
5.64* Ультрарелятивистская частица влетает в электрический «ондулятор» —
устройство, в котором на частицу действует периодически изменяющееся
электрическое поле Е(£) = E0coso;o^ перпендикулярное ее начальной скорости, vo -L Ео.
Поле предполагается достаточно слабым, так что траектория частицы лишь
немного отличается от прямой линии. Вычислить угловое распределение dSrad/dQ. и
полную энергию £rad, излучаемую частицей за время пролета ондулятора
длиной L. Оценить по порядку величины характерные частоты излучаемых волн для
электронов с энергией £ = 5 ГэВ, движущихся в радиочастотном поле с Ао =
= 2tt/(jJo = 3 см.
5.65. В магнитном ондуляторе длиной L создано поперечное статическое
магнитное поле в виде циркулярно поляризованной волны
„ / . 2тг 2тг \
H(z) = Hq ex sin —z 4- е^ cos —z , До <С L.
\ А0 А0 /
В ондулятор в момент t = 0 влетает ультрарелятивистский электрон с начальными
значениями координат и скорости х = а, у = z = 0, х = О, у = -fi±c, z = /Зцс,
где /3± = А0о;я/27ГС7 <С 1, но /3± > 7_1> Pf\ = Р2 ~ Р± ~ 1, ин = eH0/mc, a =
= P±c/(jJo, шо = 27г/Зцс/Ао. Вычислить спектральное распределение полной
энергии, излученной электроном. Произвести сравнение со спектром синхротронного
излучения, полученным в задаче 5.64.
5.66* На круговой орбите одновременно находится N электронов (см.
задачу 5.60). Исследовать влияние интерференции полей, создаваемых этими
электронами, на интенсивность излучения n-й гармоники Фурье. Рассмотреть
частные случаи: а) совершенно беспорядочного распределения электронов на орбите;
б) правильного расположения электронов на расстоянии 2tt/N друг от друга.
5.67. Рассмотреть в предыдущей задаче излучение гармоник Фурье сгустком
электронов, размеры которого малы по сравнению с радиусом орбиты. Провести
расчет для двух функций распределения частиц внутри сгустка:
а) равномерное распределение в пределах сектора с угловым размером <р,
fл/л _ / !М "У/2 < 'Ф < ¥>/2;
1W " \ о, \ф\ > <р/2;
б) гауссово распределение,
Вычислить когерентную и некогерентную мощности излучения сгустка.

§ 5.2. Излучение релятивистских частиц
195
5.68. Нерелятивистская частица с зарядом q и массой га испытывает
лобовое столкновение (прицельный параметр р = 0) с рассеивающим центром,
взаимодействие с которым описывается потенциальной энергией U(r). На некотором
расстоянии rmin от центра частица испытывает отражение. Выразить энергию £rad
электромагнитного излучения частицы через потенциальную энергию U(r) и
полную нерелятивистскую энергию £ частицы.
5.69. Вычислить £rad (см. предыдущую задачу) для случая кулоновского
отталкивания: U(r) = Zeq/r, eq > 0. Какая доля энергии частицы расходуется на
излучение?
5.70. Две частицы с зарядами еь б2 и массами гаьга2 (ei/rai ^ ^jm^)
совершают эллиптическое движение. Найти полную, усредненную по времени,
интенсивность излучения I.
5.71. Найти среднюю за период потерю момента импульса dK/dt системой
двух частиц, совершающих эллиптическое движение (см. предыдущую задачу).
Указание. Общая формула для потери момента импульса была получена в
задаче 5.5.
5.72* Найти дифференциальное эффективное излучение dK,n/dQ при
рассеянии потока частиц с зарядами еь массами rai и скоростью vo на одноименно
заряженной частице с зарядом б2 и массой га2.
Указание. При вычислении интегралов А и Б, входящих в формулу (5.42),
перейти от интегрирования по dt к интегрированию по dr, dt = dr/r, где г =
= л/1 — 2a/r — s2/r2, s — прицельное расстояние, 2а — минимальное расстояние,
на которое могут сближаться частицы (оно достигается при 5 = 0). Интегрировать
сначала по ds, затем по dr. При вычислении В необходимо использовать уравнение
траектории относительного движения.
5.73* Частица с зарядом е\ и массой га сталкивается с другой частицей,
масса которой много больше га, а заряд е2) прицельное расстояние s.
Кинетическая энергия налетающей частицы велика по сравнению с потенциальной энергией
взаимодействия частиц е^/г. Вследствие этого скорость v налетающей частицы
может считаться постоянной в течение всего столкновения; она не обязательно
мала по сравнению со скоростью света. Найти угловое распределение полного
излучения dAWn/dQ. Рассмотреть, в частности, случай (3 = v/c <C 1.
Указание. Воспользоваться общей формулой для углового распределения полного
излучения (5.30). Ускорение частицы v выразить через действующую на нее ку-
лонову силу и скорость v частицы с помощью формул v = с2р/£ и р = eie2r/r3.
5.74. Вычислить полное излучение энергии AW и импульса Др частицей,
рассмотренной в предыдущей задаче, за все время ее движения. Сделать это как
непосредственно — путем интегрирования углового распределения, найденного в
предыдущей задаче, так и с помощью формул (5.37), (5.38).
5.75* Частица с зарядом е\ и массой га сталкивается с тяжелой частицей,
заряд которой е2. Прицельное расстояние s велико, так что мистическая энергия
частицы в течение всего времени движения велика по сравнению с ее
потенциальной энергией. Скорость частицы и«с. Найти спектр тормозного излучения
частицы dAWu/du.

196 Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Указание. Воспользоваться формулой
[°° cospxdx ,- f p y+1/2 Ka+1/2(pq)
Jo {q2 + x*)-+* ^\2q) T{s +1) '
5.76* Поток частиц с зарядами е\ и массами тщ рассеивается на частице с
зарядом е2 и массой Ш2 (ei/mi = ег/тг). Выразить дифференциальное
эффективное излучение dKn/du через компоненты Qa/з квадрупольного момента системы.
Результат представить в форме, аналогичной (5.42), (5.43).
5.77* Найти полное эффективное излучение к при рассеянии потока
заряженных частиц (заряд е, масса т, скорость г;о) одинаковой с ними частицей.
5.78. Поток частиц с зарядом е и скоростью v <c с рассеивается на абсолютно
твердой сфере радиуса а. Найти эффективное излучение d«o, в интервале частот
du. Чему равно полное эффективное излучение я? Чему равно дифференциальное
сечение da/dhw генерации фотонов с частотой ш в расчете на единицу энергии ftuj
фотона?
5.79* Решить предыдущую задачу для рассеяния релятивистских частиц.
5.80. Найти интенсивность излучения гармоник Фурье с частотами шп = гыоо,
кратными основной частоте и0, при нерелятивистском эллиптическом движении
двух заряженных частиц (см. задачу 5.70).
Указание. При движении по эллипсу относительные координаты частиц можно
представить в параметрической форме
х = a(costi — е), у = ay 1 — e2sinu, LO$t = u — esmu,
где u — параметр, cjq = (2|£T|)3/2/efe2/x1/2 — частота обращения по эллипсу, е =
= y/l - 2\£\L2/e\e\ii — его эксцентриситет, a = |eie2|/2|5| — большая полуось,
В<0 — полная нерелятивистская энергия системы (энергия связи), L — момент
импульса, 11 — приведенная масса.
5.81. Дипольный момент малой («точечной») системы зарядов, находящийся
в начале координат, мгновенно изменяется от значения pi до р2 = pi 4- Др.
Вычислить электромагнитное поле во всем пространстве и спектральную плотность
излучения в заданном направлении d2IOJ/dojdQ,.
Указание. Записать плотность дипольного момента (вектор электрической
поляризации) в форме
p(r,t) = [Ple(-t) + P2e(tp(r),
где Q(t) — ступенчатая функция, использовать формулы (5.18) и электрический
вектор Герца для вычисления поля.
5.82. Положительный точечный заряд: а) двигался равномерно со скоростью
v вдоль оси Oz и мгновенно остановился при t = 0 в начале координат; б)
покоился в начале координат и внезапно при t = 0 приобрел постоянную скорость v.
Нарисовать картину электрического поля для момента t > 0. Как распределено в
пространстве магнитное поле?
5.83. При бета-распаде атомных ядер происходит изменение их энергии и
зарядового числа ядра на единицу с испусканием электрона (позитрона) и
нейтрино: Nz —► Nz±i + eT + v. Рождающийся электрон может иметь релятивистскую

§5.3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
197
энергию. Рассматривая этот процесс как внезапный старт заряженной частицы
с постоянной скоростью, вычислить величины d2Iu,/dudfl, dl^/duj и число фотонов
Nw с заданной частотой, приходящихся на единичный интервал энергии квантов.
5.84. Возбужденное атомное ядро может передать энергию возбуждения
орбитальному электрону, в результате чего атом ионизуется. Предполагая процесс
конверсии мгновенным, а конверсионный электрон свободным и нерелятивистским,
найти число квантов Nw с заданной частотой в расчете на единичный интервал
энергии.
5.85.* Ядро с зарядом Ze захватывает орбитальный электрон и превращается
в другое ядро с зарядом (Z - 1)е: Nz —► Nz-i + ja Разность энергий ядерных
уровней передается нейтрино. Предполагая, что электрон в атоме движется по
круговой орбите радиуса а с частотой шо, найти число квантов Nw с заданной
частотой на единицу энергии, обусловленное внезапным исчезновением электрона
вместе с его зарядом и магнитным моментом.
Указание. Захват электрона может произойти из любой точки его орбиты.
Направление спина электрона неупорядочено. Поэтому нужно провести усреднение
по начальным фазам движения электрона и по направлениям его спина.
5.86. Пион распадается на мюон и мюонное нейтрино: 7г± —* /х=ь +*v
Кинетическая энергия образовавшихся частиц Г = (m^—m^c2 « 34 МэВ в системе покоя
пиона. Найти число квантов Nu заданной частоты в расчете на единицу энергии.
Из законов сохранения (в предположении нулевой массы нейтрино) определить
максимальную возможную энергию кванта /^тах.
5.87. Каон распадается по схеме К+ —> 7г+ + 7г+ + 7г~, причем пионы можно
считать нерелятивистскими. Вычислить распределение интенсивности излучения
по частотам и по углам в системе покоя каона. Вычислить также распределение
мягких квантов по частотам независимо от угла вылета.
§ 5.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ИЗЛУЧЕНИЕМ
Сила радиационного торможения. При ускоренном движении частицы
возникает ее дополнительное взаимодействие с собственным полем помимо того,
которое испытывает неподвижная или равномерно движущаяся частица. Ускоренное
движение порождает излучение электромагнитных волн, что приводит к потере
частицей энергии и импульса. Следовательно, само движение частицы будет
зависеть от излучения ею электромагнитных волн, и корректная постановка задачи о
движении заряженной частицы требует включения в уравнение движения членов,
учитывающих влияние излучения на движение. Силу радиационного торможения
можно записать в четырехмерной форме:
_ 2е2 (d3Xj 1 dxj dxk d3xk\ (5 48)
3c3 \ dr3 с2 dr dr dr3 J
(вывод этого выражения можно найти, например, в [Батыгин и Топтыгин (2003)]).
Уравнение движения частицы с учетом радиационной силы (уравнение Дирака-
Лоренца) записывается в виде
d2xi е „ dxk 2е2 (d3Xi 1 dxi dxk d3xk\ ,r ^
™>-r^r = -Fik-;- + —г -^ - -^-]--]- -r^r , (5-49)
dr2 с г dr 3c3 V dr3 c2 dr dr dr3

198
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
где га — масса частицы, х% — ее 4-координаты, т — собственное время, F^ —
тензор внешнего электромагнитного поля. Лоренцеву силу радиационного трения
можно записать в более компактной форме, продифференцировав по
собственному времени тождество ukWk = 0, где uh и Wk — соответственно четырехмерные
скорость и ускорение:
л = ё(^ + ?«'<»^))- <5-50)
Пример 5.3. Исследовать роль отдельных членов в правой части уравнения
(5.49). Для этого рассмотреть воздействие на частицу внешнего поля F^
в течение конечного времени и вычислить изменение Api ее 4-импульса за
время действия поля. Установить связь между силой радиационного трения и
потерей частицей энергии и импульса на излучение.
Решение. Пусть при т ^ т\ и т ^ т^ частица движется без ускорения.
Интегрируя уравнение (5.49) по интервалу [ti,t2], будем иметь Api = (Api)ext = (Api)rad,
где первое слагаемое
(Ар,)
. 2
ext
[ -Fikdxk
представляет собой изменение 4-импульса за счет внешнего поля. Второе
слагаемое запишем, использовав формулу (5.50) для радиационной силы:
/ 2е 2е f
:Fidr=3^Wi\ +з?/ WkVjkuidT'
Первое слагаемое в правой части равно нулю ввиду обращения в нуль ускорения.
Оставшийся интеграл совпадает с результатом интегрирования величины (5.39)
и представляет собой, таким образом, изменение 4-импульса частицы вследствие
излучения. ■
Пример 5.4. Записать силу радиационного трения в нерелятивистском
случае. Какие трудности возникают в исследовании движения частицы при
включении в уравнение движения радиационной силы?
Решение. В нерелятивистском приближении d/dr = d/dt, 7=1- Использовав
формулу (5.50), находим в соответствии с общим соотношением (4.20),
связывающим четырехмерную и трехмерную силы, Т% = (F-v/c,F), где
F-g. (5.51)
— нерелятивистская трехмерная сила радиационного трения.
Запишем уравнение движения частицы в отсутствие внешних полей, но с
учетом радиационной силы:
2е2
гаг? = —«v. (5.52)
ос?
Важной особенностью этого уравнения, как и значительно более сложного
уравнения (5.49), является более высокий (третий) порядок производных от координат
по времени по сравнению с обычными уравнениями движения релятивистской

§5.3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
199
(и нерелятивистской) классической механики. Интегрируя уравнение (5.49),
получаем его общее решение
v(t) = а + Ъеь/п\
где a, b — постоянные интегрирования, то = 2го/Зс, го = е?/тс? — классический
радиус частицы. Обратим внимание на то, что показатель экспоненты
положителен, и второе слагаемое представляет «самоускоряющееся» решение: скорость
нарастает в отсутствие ускоряющей силы. Но нельзя забывать о том, что уравнение
(5.49), имея второй порядок относительно скорости, требует задания двух
начальных условий, т. е. скорости и ускорения. В отсутствие внешних сил ускорение
равно нулю, поэтому v(0) = г>о, г;(0) = 0. Определяя из этих условий постоянные
интегрирования, находим b = 0 и получаем правильное для этого простейшего
случая решение v(t) = vo = const. ■
Пример 5.5. Выразить силу радиационного трения через скорость частицы
и внешнее электромагнитное поле. Для этого использовать уравнение
движения частицы в пренебрежении излучением, считая радиационную силу малой.
Рассмотреть подробно случаи нерелятивистского и ультрарелятивистского
движения.
Решение. Из уравнения движения (4.21) находим
йщ е _ k <12щ е dFik k , е2 _ _ы
Wi = -T = —FikUk, -ri = —^ukul + ^FikFklut
dr mc drz mc ox1 (mc)z
и, используя эти результаты, получаем из (5.50) радиационную силу, выраженную
через внешнее поле:
Ti = ^д-ШиЧ + i^{FksUS){Fklui)Ui- (5-53)
В нерелятивистском пределе подставляем в (5.53) ик = (с, v) и с помощью
таблиц (3.40) получаем трехмерную радиационную силу
2е3 • 2е
Е+^-оЕхН Е » vH/c;
F={ Зшс3 3w2c4 (5.54)
2р3 • 2р4
WVXH+3^?HX(VXH) E«v*/-
Здесь
дЕ
Е = — + (v.V)E
и аналогично записывается Н. Малость радиационной силы по сравнению с силой
Лоренца в обоих случаях приводит к ограничению внешнего поля
Я < М (5.55)
Но это ограничение практически неважно, так как квантовые поправки становятся
существенными при меньших значениях поля.

200 Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
В ультрарелятивистском случае uk = j(c,v), 7 > 1> поэтому в (5.50) нужно
учесть только слагаемое, содержащее произведение трех 4-скоростей. Из (5.50) с
помощью (3.40) находим трехмерную силу
F = -|?Ь-{(Е.<;)2 - (сЕ + v х H)2}v, (5.56)
Зга * с*
направленную противоположно скорости частицы. Здесь всюду, кроме 7> следует
считать \v\ = с. Выбрав ось Oz вдоль v, получим более простое выражение для
радиационной силы:
Fz = ~^&{{Ех ~ Ну)2 + {Еу+Нх)2}- (557)
Как следует из (5.56), (5.57), эта сила пропорциональна квадрату энергии частицы
и квадрату внешнего поля. ■
Рассеяние электромагнитных волн частицами. Кроме взаимодействия с
полем собственного излучения, заряженные частицы могут взаимодействовать с
электромагнитными волнами, созданными внешними источниками. Это приводит к
ускоренному движению частиц, и возникает вторичное (рассеянное) излучение.
Процесс рассеяния характеризуется дифференциальным и полным,
йа3 = (Щ^-, <Ts=[das, (5.58)
7о J
сечениями рассеяния. Здесь dl{6,a) = jr2dQ — средняя (по времени)
интенсивность излучения в телесный угол dQ; 7» То — средние плотности потока энергии
в рассеянной и падающей волнах, определяемые через вектор Пойнтинга.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Теория поля. Батыгин и
Топтыгин (2003)], [Джексон (1975), Соколов и Тернов (1983), Гинзбург (1987), Френкель
(1956)], [Байер и др. (1973), Бредов и др. (2003)].
Задачи
5.88?# Найти импульс электромагнитного поля частицы с зарядом е,
движущейся равномерно со скоростью v. Частицу рассматривать в ее системе покоя Sf
как твердый шарик с радиусом го (в системе, где скорость частицы равна vt имеет
место лоренцово сокращение). Ввести электромагнитную массу то покоя частицы,
связанную соотношением Эйнштейна с энергией ее поля в состоянии покоя. Какие
при этом возникают трудности?
5.89. Найти энергию Wm магнитного поля, а также полную электромагнитную
энергию W частицы, рассмотренной в предыдущей задаче.
5.90. Найти силу F, с которой заряженная сферически симметричная
частица действует сама на себя (сила самодействия) при ускоренном поступательном
движении с малой скоростью и«с. Запаздывание и лоренцово сокращение не
учитывать.
Указание. Вычислить равнодействующую сил, приложенных к малым элементам
de заряда частицы, воспользовавшись выражением для напряженности поля
точечного заряда.

§5.3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
201
5.91.** Найти уточненное выражение для силы F самодействия заряженной
сферически симметричной частицы (см. предыдущую задачу). При решении
учитывать эффект конечной скорости распространения взаимодействия с точностью
до первого порядка по времени V — t распространения взаимодействия между
элементами частицы. Рассмотреть, в частности, предельный случай точечной
частицы. Оценить вклад отбрасываемых членов более высокого порядка по t' — t в этом
предельном случае.
5.92.* В задачах (5.88)—(5.91) было показано, что «наивное» определение
собственной энергии и импульса заряженной частицы конечных размеров (модель
Абрагама-Лоренца, см. формулы 1) и 2) из решения задачи (5.88) приводит к
неправильной связи между ними. Ввести ковариантное определение указанных величин,
использовав для этого тензор энергии-импульса электромагнитного поля (3.49) и
произведя интегрирование по некоторой пространственноподобной
гиперповерхности, выбранной таким образом, чтобы в системе покоя частицы выполнялись
условия
So = ^-cJE'2dV\ р0 = 0.
Показать, что в этом случае энергия и импульс частицы образуют 4-вектор с
компонентами рг = (ymc.jmv), где
га = ^- f(E2 - H2)d3x = J- [ E2dVf
8тгс J v } 8тгс J
— инвариантная масса. В первом интеграле интегрирование производится по
трехмерному объему в произвольной инерциальной системе, во втором — в системе
покоя частицы.
5.93. Какое время Т прожил бы резерфордовский атом водорода, если бы
электрон в атоме двигался и излучал как классическая частица? Считать, что
электрон, теряя энергию, движется к протону по пологой спирали, так что в
каждый момент времени он излучает как заряд на круговой орбите (радиус орбиты
медленно меняется со временем). При каком условии справедливо это
предположение? Начальный радиус атома a = 0,5 х 10~8см.
5.94. Релятивистская частица с зарядом е и массой га движется по круговой
орбите в постоянном однородном магнитном поле Н, теряя энергию на
излучение. Найти закон изменения энергии и радиуса орбиты со временем £{t) и r(t).
В начальный момент времени t = 0 энергия частицы равна £о (ср. с задачей 5.89).
5.95. Электрон в бетатроне разгоняется на орбите постоянного радиуса a
вихревым электрическим полем. Последнее индуцируется переменным магнитным
полем частоты и. Найти критическое значение энергии электрона £ct при котором
потери на излучение сравняются с энергией, приобретаемой электроном за счет
работы вихревого электрического поля.
5.96.* Частица с зарядом е и массой га притягивается к некоторому центру
квазиупругой силой —mu^r. В некоторый момент времени t = 0 в этом
гармоническом осцилляторе возникают свободные колебания. Учитывая реакцию излучения,
но считая ее малой, найти закон затухания этих колебаний. Определить форму
спектра такого осциллятора и ширину спектральной линии («естественная шири-

202 Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
на»). Как связаны между собой неопределенность энергии Нш излучаемых фотонов
и время жизни осциллятора?
5.97. Газ состоит из атомов с массой т. Неподвижный атом этого газа
излучает свет с частотой ujq (естественной шириной линии испускания пренебрегаем).
Из-за теплового движения атомов и эффекта Доплера наблюдатель, неподвижный
относительно сосуда с газом, зарегистрирует частоту, отличающуюся от си0. Найти
форму dlu/duj спектра излучения газа, нагретого до температуры Т.
Указание. Скорости атомов газа распределены по закону Максвелла
Щ- - (^)",.-,/я-*л*..
где dN/N — доля молекул, скорость v которых заключена в промежутке dvxdvydvZi
Т — абсолютная температура, выраженная в единицах энергии. Поскольку
выполняется условие v <С с, в формуле, выражающей доплеровское изменение частоты,
можно отбросить все члены, порядок которых выше v/c.
5.98. Излучающий атом, описываемый моделью гармонического осциллятора,
движется в газе; при этом атом испытывает столкновения с другими атомами,
скачком меняющие характер его колебаний. Вероятность того, что время
свободного движения атома имеет продолжительность от т до т + dr, выражается
формулой dW(r) = (Г/2)е~Гг/2б£т (среднее значение промежутка времени
между столкновениями т = 2/Г). Найти, пренебрегая естественной шириной линии,
форму спектра излучения dl^/du такого осциллятора.
5.99* На трехмерный изотропный осциллятор падает группа волн,
характеризуемая спектральным распределением интенсивности Бш и полной
интенсивностью 5 = /0°° S^ dw (S — количество энергии, протекающее через 1 см2 за все
время прохождения группы). Ширина спектрального распределения группы велика
по сравнению с естественной шириной спектральной линии осциллятора 7-
Скорость электрона и«с. Найти энергию, поглощенную осциллятором из световой
волны, учитывая торможение излучением. Как сказывается на результате характер
поляризации и направление распространения волн, входящих в группу?
5.100* Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический
осциллятор. Скорость электрона и«с. Найти дифференциальное da/dQ. и
полное а сечения рассеяния волны с учетом силы лучистого трения. Рассмотреть, в
частности, случаи сильно связанного и слабо связанного электрона.
5.101. Система частиц состоит из N одномерных гармонических
осцилляторов, положения равновесия которых находятся в точках с радиусами-векторами
Tj, j = 1,2.. .N. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния плоской
монохроматической волны малой амплитуды (еЕо/пшс <С 1) этой системой частиц.
Проанализировать различные соотношения между длиной волны и линейным
размером области, в которой находятся частицы.
5.102. Электромагнитная волна малой амплитуды (еЕо/пыос <С 1)
рассеивается на свободном нерелятивистском электроне. Вычислить среднюю за период
волны силу, действующую на электрон. Рассмотреть различные поляризации
падающей волны.
5.103. Частица с зарядом е движется с релятивистской скоростью v в поле
плоской монохроматической волны, распространяющейся в направлении п. Плот-

§5.3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением 203
ность w энергии электромагнитной волны известна. Найти среднюю за период
волны силу, действующую на частицу. Как выразится сила при наличии
немонохроматического пакета плоских волн, распространяющихся в одном направлении?
Указание. В системе покоя частицы использовать силу 3) из решения предыдущей
задачи. Затем преобразовать ее (и все величины, от которых она зависит) в
систему, движущуюся со скоростью v относительно исходной. С помощью результатов
задачи 4.16 убедиться в том, что томсоновское сечение не преобразуется.
5.104.* Бесконечная плоская поверхность испускает электромагнитное
излучение, плотность энергии которого ги, а диаграмма направленности задается
функцией ф(^) = 3//2/27г, ji = cos# > 0, где О — угол между нормалью к
поверхности и направлением излучения. Найти предельную скорость, до которой может
ускориться электрон в поле излучения. Почему электрон не может приобрести
бесконечную энергию?
5.105.* Горячее плоское пятно радиуса а испускает излучение с плотностью
wo вблизи поверхности пятна и с изотропной диаграммой направленности.
Электрон находится на оси симметрии, перпендикулярной плоскости пятна. Вывести и
исследовать дифференциальное уравнение, которое описывает изменение
релятивистского фактора 7 с расстоянием. Получить его численные решения. Определить
предельный лоренц-фактор, до которого возможно ускорение.
5.106. Светимостью L в астрономии называется полная энергия, излучаемая
источником в единицу времени. Светимость измеряется в эрг/с или в единицах
светимости Солнца L0 = 3,86 х 1033 эрг/с. Критическая (эддингтоновская)
светимость Lc — это предельная светимость, при которой сила гравитации еще
может уравновесить силу радиационного давления на плазменную оболочку
звезды. При L > Lc давление излучения приводит к разлету плазменной оболочки.
Вычислить критическую светимость сферической звезды, выразив ее через массу
звезды в предположении, что давление излучения действует на квазинейтральную
водородную (электронно-протонную) плазму.
5.107* На электрон в разреженной плазме действует сильная (еЕ0/тси ^> 1)
электромагнитная волна, поляризованная по кругу, в которой
Ex=E0smw(t J, Ey = EqcosujU J, Hx=Ey, Hy = -Ex.
Рассмотреть рассеяние волны электроном в стационарном режиме, в котором его
скорость в направлении распространения волны vz = 0 и электрон движется по
круговой орбите, лежащей в плоскости ху, а частота его обращения равна частоте
волны uj. Движению электрона в продольном направлении препятствует
электрическое поле, возникающее вследствие поляризации плазмы. Стационарность
движения достигается за счет того, что вся энергия, получаемая от волны, рассеивается
электроном. Показать, что такой режим движения электрона существует, и найти
сечение рассеяния сильной волны электроном [Зельдович Я. Б. (1975)]. На основе
численного расчета построить кривую зависимости полного сечения рассеяния от
амплитуды падающей волны в нелинейном режиме.

204
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
§ 5.4. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.1.
A(r,t)
V(r,i) = - +
Г I -
p(t) m(t) x n
q p(t)-T Qa(3{t)xaX/3
+
2r5
, H(r,t)=VxA:
E(r,J) = -V<p(r,J).
p x n 3n(mn) m
+
r3-
•w» /p4 ' ОГ Г Г
Электрическое поле выражается статическими формулами с зависящими от
времени дипольным и квадрупольным моментами. Магнитное поле содержит
дополнительный член, обязанный закону Био-Савара: если элементарный диполь p(t) =
= q(t)l, то Нв5 = Р х n/cr2 = J(t)[l х r]/cr3 представляет собой поле
элементарного тока J(t) = q(t)> текущего в отрезке I.
5.2.
dl
4 2
- sin"1 (
J _ <Ао
dtl 8тгс3 ' Зс3 "
5.3. В сферических координатах с полярной осью вдоль р0 имеем
Ьг = —z- cos
- cos (fcr — art) 4- fcsin(Ax — ut)
г
£„ = ^sin
—z — k2 ) cos(Ax — ut) H— sin(Ax — ut)
Hfy
Pok2 . Q
sinv
cos( kr — ut) — — sin (Ax — ut)
kr
Ea = i7r = H$ = 0.
5.4. Магнитные силовые линии имеют вид окружностей, плоскости которых
нормальны к оси Oz, а центры лежат на этой оси. Электрические силовые линии
описываются следующими уравнениями:
С\ = sin2 д - cos(kr — ut) 4- k sin(kr — ut)
ir
где Сь С*2 - постоянные.
5.5. Плотность потока момента импульса:
С2 = а,
К
(пхр)(п-р)
27ГС3Г2
При вычислении величины —dL/dt = f7Zr2dQ полезно воспользоваться
формулой щпъ = Sik/З (см. гл. 1).
В результате получим
dL(t)
dt
Зс2
рхр
t'=t-r/c
5.6.
хт 1 д rot Z
Н = ^— = ea
с dt
Г / . U2 U \ ( U2 . U \ Л
е#( —г—^— Н о ) +е<*Нт~ +г^7 cos^
L V czr crz / Vc^r crJ/
,z(fei—u)t+a)

§5.4. Ответы и решения
205
Е = rot rot Z = еа
/ IUJ 1 \ „ / ОТ . UJ 1 \
о +-« )2sintf+ e* -=- +г^ - -rlcostf +
V crz г*5/ \czr crz г*5/
+ ee(i^--4-4)le«fa-«-+e).
V czr crz r* J \
В волновой зоне г ^> Л = 2kc/uj выражения Е и Н упрощаются:
/ i2 , i2
Н=еа^-(-ге^ +eacos^)ei(fer-^+a), Е=еа^г(ед costf + iea)e<(fer-wt+a)=H x n.
При излучении в верхнюю полусферу (cost? > 0) получается левая эллиптическая
поляризация, в частности при # = 0 — левая круговая поляризация. При излучении
в нижнюю полусферу (costf < 0) — правая эллиптическая поляризация,
переходящая в круговую при $ = тт. Волны, излучаемые в экваториальной плоскости,
имеют линейную поляризацию. Угловое распределение и полная интенсивность
излучения:
Ж 2 eVa^ 2 Q4 T 2а;4е2а2
Рассмотренный случай осуществляется, например, при движении заряда в
однородном магнитном поле.
5.7. / = ЩВ*шА/Ш*<?.
5.8. / = 217(eaB)2^/3nc3.
5 9
4 sin2 <9(cos2 0 + 1/2), г *
5.10.
(Ю, 7ГС5 ' 15С5
<ИШ 2е4Е2 ы2 + а2
da; ~ 37гт2с3 [(а; + а;0)2 + а2] [(а; - а;0)2 + а2]'
Критерий применимости: размер системы I <С ст.
S2J<
2и4
5.12./=^£Ц 5 = a6.
б13 ^=2п^т^е_2шт
du Зс5
Критерий применимости: размер системы \/5 <С ст.
5.14. / = 2г/4Я4т2 sin2 /З/Зс3.
с« * г Я2«>2 fqHR\4 . 2
5.15. г? = -—, I = ——— тг sirr/3.
' 2тс 600с Vmc2 / к
5.16. р = т = 0, Q ф 0,
1 • 4еа2а;3
Н = - А х п = г sin $[е$ cos(2ujt/ — 2а) +eQ,cos^sin(2c<;t/ — 2а)].
с сгт
Частота колебаний распределения заряда и тока и, следовательно, частота поля
вдвое превышает частоту и обращения каждого из зарядов по орбите.
Поляризация излучения — эллиптическая, приближающаяся к круговой при $ —> 0, 7г и
переходящая в линейную при $ = 7г/2.

206
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
dl _ 2е2а4ш6
7ГС°
sin tf(l + cos2tf),
7_32 е2а4ш6
Если убрать один из зарядов, то интенсивность излучения возрастет по
порядку величины в (Л/а)2 раз, т.е. весьма значительно, так как выполняется
условие а/Л <С 1.
5.17. Если угол между радиусами-векторами зарядов равен 7г — <р, то
12 auj
5.18. Направим ось Ох вдоль амплитуды момента осциллятора, опережающего
по фазе, а в качестве плоскости ху выберем плоскость, в которой лежат моменты
обоих осцилляторов. Обозначив через tf, a полярные углы орта п, указывающего
направление распространения волны, получим:
H(r,*) = He_i
Ж
dQ
и2р
p2uj4
{e#[sina-\-isin(a — (/?)]+еа [cos a + г cos (a — (/?)] costfje %UJt ,
т V^4
{2 - [cos2 a + cos2(a - </?)] sin2tf },
8тгс3 l L v >vj j> Зсз
Излучение максимально в направлениях fl = 0 и tf = 7г, перпендикулярных
моментам обоих осцилляторов, и неравномерно распределено по азимуту. Это
иллюстрируется на рис. 5.1 полярными диаграммами для случая ср = 45°. На рис. 5.1а
показано угловое распределение в плоскости ср = 90°, на рис. 5.16 — угловое
распределение в плоскости a = ср/2 = 22,5°.
5.19. Сдвинув начало отсчета фазы на 7> получим новую амплитуду
поля Не~г7 = Hi — Щ2. Потребовав, чтобы Hi • Н2 = 0, найдем, что
sin a sin(a — ср) 4- cos a cos(a — cp) cos2 $
i)
tg27
6)
sin2 a — sin2(a — cp) 4- [cos2 a — cos2 (a — #)] cos2 $
Определив с помощью 1) cos7 и shi7, найдем Hi и Н2 в зависимости от $, а, ср.
Рассмотрим некоторые частные случаи. При
$ = 90° поляризация линейная; плоскость
поляризации перпендикулярна плоскости ху. При $ =
= 0,7Г поляризация эллиптическая, причем
отношение полуосей эллипса равно tg(<p/2); в
частности, при ср = 7г/2 и $ = 0, 7г поляризация
круговая. Легко исследуются также случаи a =
= (р/2, (р/2 ± 7г/2, (р/2 + 7г. Во всех этих
случаях поляризация, вообще говоря, эллиптическая.
При a = (р/2, (р/2 + 7г в направлениях,
определяемых условием tg(p/2 = |costf|, поляризация
получается круговой.
При а=ср/2±7г/2 направления с круговой
поляризации определяются уравнением ctg(cp/2) =
= |costf|.
= 22,5'
W
Рис. 5.1

§5.4. Ответы и решения
207
5.20.
2„2,..4 „2„2,.,3 2 е2а2а;3
Последний результат можно получить либо учитывая, что теряемый излучающей
системой в единицу времени момент импульса dK/dt = -^грх р (см. задачу 5.5)
равен вращательному моменту N, приложенному к экрану, либо непосредственно
по формуле
N = - J гХ7г2Л
5.21.
dI/dSl = --^3{p5(l-sin2^cos2a)+m5sin2^}, I = ^(р^ + Щ).
Использована система координат, ось Ох которой направлена вдоль р, а ось Oz —
вдоль т.
5.22.
где
А (г,*) = - + + -pf- + -2- / г 2pdV'+
сг сг бс^г бс^г у
+ ^kIr/{n'rf)2"dVf - ^/*№№)<&',
L = J pr'2r'dVf + /V2j - 3r,(r,.j)dy,J
все остальные обозначения общепринятые и все величины, зависящие от времени,
берутся в запаздывающий момент t' = t — г /с. Обращаем внимание читателя на
последнее слагаемое в выражении для I [Баранова и Зельдович (1977)], которое
отсутствует в большинстве учебников по электродинамике.
5.23. Использовав разложение (5.16) потенциалов в ряд Фурье и вычислив
гармонику Фурье напряженности магнитного поля (5.17), получим
.етш2 егктТ
Ш 27ГС2 Г
/ п х v(r) expi(mu)T - km-s(r))dr,
Jo
где кш = mujn/c, s(r) = ezz(r). Интеграл по времени выражается через функцию
Бесселя. В итоге получим
где /3 = аш/с, 0 — угол между направлением излучения п и осью Oz. Здесь
учтено, что гармоники с номерами га и —га дают одинаковый вклад в излучение.
При /3 <С 1 получим
dl\ e2a2u;4 . о Л
-^г ~ —^—s- sin в
dQ 8тгс3

208
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
— дипольное излучение,
~dtt ~ 2тгс5
sin2 0 cos2 (
— квадрупольное излучение, содержащее по сравнению с дипольным малый
множитель (аси/с)2.
5.24.
dl _ eV2/?2(4 + /?2cos2<9) . 2
dfi 32ttc(1-/?2cos2(9)7/2
sin^ (9,
e2o;2/?2(4-3/?2)
12c(l-/?2)3/2 ' P
5.25. 1. Напряженности поля в волновой зоне вычисляем по формулам (5.15),
полагая в них Q = 0. Угловое распределение излучения
1) ж 1 ™
<К1 4тгс3' ' '
Для вычисления правой части используем уравнение движения магнитного
момента m = ш х т. Получаем (п х т)2 = c*;4mj_(l - sin2 $ cos2 (u;/; - а)), где m_L
— составляющая, перпендикулярная оси вращения; $ — полярный угол,
отсчитываемый от направления u?; cut и а — азимуты векторов mj_ и п в плоскости,
перпендикулярной ил После подстановки в 1) и усреднения по времени находим
dl uj4m2 sm2 (р ^ 9 лч - 2o;4m2sin2(p
2. Предполагая магнитное поле пульсара дипольным, находим по порядку
величины га « H0R3 « 2 х 1030 Э-см3.
3. Подставляя в 2) требуемые величины и sin2<p«l, находим J«l,3xl038 эрг/с,
что составляет « 3xlO4L0.
4. Уменьшение энергии вращения вычисляем по формуле £TOt=Iujib=-2£rotT/T)
где J = (2/5)МД2 — момент инерции шара, М « 1,ЗМ0 « 2,6 х 1033 г — масса
звезды (порядка массы Солнца). Получаем £rot ^-5x 1038 эрг/с.
Близость оценок магнитодипольного излучения пульсара и уменьшения
механической энергии вращения свидетельствует в пользу разумности модели.
Наблюдаемая светимость от Крабовидной туманности ^4х 1037 эрг/с в рентгеновском
диапазоне и « 2 х 1036 эрг/с в оптическом. Эти данные также не противоречат
модели и указывают на то, что около 10% энергии длинноволнового первичного
излучения перерабатывается в окружающей звезду плазме во вторичное
рентгеновское излучение.
5.26.
dl 9 W*tf 2 ^
dn ~ 8007Г с* °1П ^С°° *'
5.27. Е=Ч, Н = 0.
г3
/ =
3
500
u,6q2Ria2
с5

§5.4. Ответы и решения
209
5.28. Поле магнитного диполя:
ETO(l\i):
An
С
п х m(t') n х m(tf)
О I о 5
Hm(r,J) = rotA„
3n(m • n) — т 3n(rh • n) — rh n x (n x m)
+
cr'
+
Поле электрического диполя получится из поля магнитного диполя путем
замены m -> р, Нт -> Ее, Ет -> -Ее.
5.29.
, — Я
~2
Qfcb
d/ U РОп • 2 q 2 ч 2/^ 2 Л
—— = -—^(1-sin #cos a)cos —cos — ,
<Kl 8ttc3V } V2 2/
Рис. 5.2
где #, а — полярные углы, характеризующие
направление излучения (см. полярные
диаграммы на рис. 5.2). Опережающий
осциллятор расположен выше по оси Oz.
5.35. Разлагая вектор Герца Z(r,£) на монохроматические компоненты и
используя затем разложение экспоненты, получим:
р(*')
1)
где t' = t
2)
zPM)
ZqM) = ^Q(0 + ^Q(0,
з)
_ , ,ч m(t') x n с
J m(tf)dtf
x n.
Эти формулы справедливы при г ^> а, где а — размер системы. Произвольная
постоянная, возникающая при вычислении интеграла, входящего в 3), не сказывается
на величине напряженностей поля.
5.36. Дипольные моменты системы равны нулю, электрический квадруполь-
ный момент имеет одну отличную от нуля компоненту Qzz (если направить ось Oz
вдоль ро). Вследствие этого вектор Q будет параллелен оси Oz и равен Q(f) =
= Qo cos д cosix)tfez при соответствующем выборе начала отсчета времени, здесь
<Зо = 2роа-
Удобно проводить вычисления в комплексной форме, спроецировав Z на оси
сферической системы координат. Отделив вещественную часть, получим в
результате:
Я0
Qosin2tf
'к3
U
Qo(3cos2tf-1)
К ОК \ . / , \ дгъ . j ч
j J sm(ut - kr) ^ cos(a;/; - kr)
\r4 r2)
E$ =
Qo sin 2d
cos(ut — kr)
г/ ь 'дкг\ , . ч /А;3
r
ok2
r
— sin(ut — kr)
73 ) 8ШИ " И

210
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
2, ,6
Q^1
2, ,6
sin2 ti cos2 tf, I
Q&
32тгс5^" — > - 60c5 '
где Q0 = 2p0a.
5.37. Выберем координатную систему, как показано на рис. 5.3. Распределение
тока в антенне выражается формулой J = J0sin[£;(£ 4- l/2)]e~lut, где k = си/с =
= гп7г/1.
Электрический дипольный момент единицы длины
антенны Р = (i/uj)Jy согласно (5.18). Элемент d£ антенны
можно рассматривать как электрический дипольный
осциллятор с моментом dp = Pd£. Поскольку выполняется
неравенство d£ <С Л, то создаваемое элементом d£ в
точке А магнитное поле можно вычислить по формулам
электрического дипольного приближения:
dHo(ro,£)
-e^sin^P
(ЧИ
где
г = го — £cos$.
Так как мы интересуемся только полем в волновой зоне, то
величину sin^/r, которая мало меняется в области г » I,
можно вынести из-под знака интеграла. Таким образом,
На
ito sin $
c2r0
joei(kr0-u,t)
Hr = H<j) = 0,
A/2
I
e<fc€coetfsinm7r
1/2
(КИ
Рис. 5.3
Выполнив интегрирование, найдем угловое
распределение по формуле dl/dQ = сН%г%/47г:
72
7ТС
COS'
^f costf)
-2^ при m нечетном,
j2 sin2 faf- cos tf)
7ГС
shTtf
при m четном.
Характер углового распределения виден из полярных диаграмм, приведенных на
рис. 5.4. Штриховой линией показано распределение тока по длине антенны,
сплошной — угловое распределение излучения.
5.38.
т2
1,
I = -У-[1п(2тгт) + С - Сг(2тгт)], R = 2-^ = -[1п(2тгт) + С - Сг(2тгт)]
ZC J г\ С
5.39.
Jg sin2tfsin2[(fc//2)(l-costf)]
2тгс
(1-costf)2

§5.4. Ответы и решения
211
m = 4
Л\с-1+Ы^-Сг{
47г/\ sin(47r//A)
Л ^ЛТ/+ 4тг//Л
где Л = 27г//с — длина излучаемой волны, $ — полярный угол, отсчитываемый от
координатной оси £.
Легко убедиться, что бегущая волна излучает интенсивнее, чем стоячая волна
с теми же значениями I, A, Jq.
5.40. Если расстояние г точки наблюдения А(го,$,а) (рис. 5.5) от петли
велико (г ^> а), то можно считать, что радиусы-векторы г от всех элементов
кольца dl параллельны, причем г = ro-acoscp = го—asin#cos(a' —а). Элемент dl
обладает электрическим дипольным моментом dp = Pdl = (i/u)Jdl, где через Р
обозначен электрический дипольный момент единицы длины провода, и создает в
точке А магнитное поле
dH(r0,*)
и2 dp{tf) х п
^. ?°e-iu;t+ikro-iak sin * cos(a'-a) sin na/[cos(a/ _ a)e# + cos tf sin(a' - a)ea] daf.
c2 r0
В знаменателе последнего выражения пренебрегаем величиной порядка а по
сравнению с го. Этого нельзя делать в показателе степени, так как величина ак,
вообще говоря, не мала и существенно влияет на фазу.
Задача нахождения поля сводится к интегрированию:
щ = _^^ei(kro-ut) Г Cos(a/-a)sinna/e-i/casin^cos^,-a^a/.
С Г0 J-7V
Выражение для На отличается от выражения Н$ заменой в предэкспоненциальном
множителе cos(a/ — а) на sin(a/ — a).

212
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Вводя переменную интегрирования /3 = а' — а, получим
iua Jo
Нл
_ i(kro-cjt) x
С" Го
x l cos па I cos /3 sin гфе~1ка sin * cos ^ d/3+sin na f cos /3 cos гфе~1ка sin * cos " dp).
Первый из интегралов, стоящих в скобке, обращается в нуль вследствие
нечетности подынтегральной функции, второй может быть преобразован к
промежутку 0, 7г (четная подынтегральная функция) и выражен через производную от
функции Бесселя. Таким образом,
Я*(г0,*) = -Еа = ^ - ^(fcro-^-nf) s]nnaj^(kasm0).
Cz Г0
Путем аналогичных вычислений с использованием формулы Jn_i(x)+Jn+i(x) =
= (2n/x)Jn(x), получим
ч ^ 2тга;ап7ое^/сП)-^-П7Г/2) Jn(/casintf)
Ha(ro,t) = E$ = « cos na-
с2 r0
katgd
5.41. Вводим электрический вектор Герца согласно (5.20) и вычисляем
магнитное поле по формуле, приведенной в условии задачи 5.32:
H = rot
1 dZ^
rot
1 Г Р(г',
* - R/c)
R
dVf
= rot-^ / ^sin[^(^ + //2)]x
С J-1/2 R
x cosa;m(t — R/c) exp[—j(t — r/c)]d£.
Рис. 5.5
Пользуясь рис. 5.5, находим R « го — £cos$ « r0, так как в плоскости
симметрии $ = 7г/2. При вычислении интеграла по d£ отличный от нуля результат
получается только для нечетных т. После вычисления ротора и интеграла Фурье
получим для нечетных значений гп компоненту Фурье магнитного поля
М"т + 7(^-7)]
Н,
[п0 х ez\e
iwrn/c
г0с2/ст[сс;2г + (гсс;-7)2]
и спектральную плотность излучения в плоскости симметрии д = ж/2:
<Р1Ш = J02[K-72)2 + 72a,2]
dwdft 47r2cu;2i[(w2,-w2 + 72)2 + 472w2]'
При то четном спектральная плотность излучения в плоскости симметрии
обращается в нуль. При 72 <С u>^ спектр излучения имеет типичную резонансную форму
с острым максимумом на частоте иг
wi + 72-

§5.4. Ответы и решения
213
5.42. Магнитное поле создается N источниками. Вычисляя его через вектор
Герца, как в предыдущей задаче, будем иметь
Н(г0, t) = -Re Ln°xe*Jofc" exp[iiVrn(t - R/c)}x
N_^ .1,2 Л
x y^ exp[iskma sin $ cos ф\ / sin[/cm(£ +//2)] exp[i/cm£cos$]d£ > .
s=o J-W J
Интеграл берется без затруднений, а сумма вычисляется по формуле для
геометрической прогрессии. Интенсивность излучения, усредненная по времени,
вычисляется по формуле
dl _ сг§ 2 _ ^о sin2[(iV/2)A;masintf cos<p] Г cos2[(ra7r/2)cos#], l
dn ~ 8тГ' ~ 27rcsin2^ sin2[(l/2)/cmasintf cos<^] \ sin2[(ra7r/2)costf] J '
где верхнее значение в фигурных скобках относится к га нечетному, а нижнее —
к га четному.
dl _ 2%\ sin2 [kmb sin tf cos ip] J cos2[(ra7r/2)costf], 1
dQ 27rckm sin4 •&cos2<p I sin2[(ra7r/2)costf] J '
где верхнее значение в фигурных скобках относится к га нечетному, а нижнее —
к га четному.
5.44. Так как j = pv = />^£, то (jxJyJz) -> (-j*, -jyjz), при этом
отраженные токи вычисляются в отраженных точках: jx(r) = —jrx{rr) и т.д.
Аналогично, используя обычные определения и формулы для запаздывающих
потенциалов, записанные в декартовых координатах, получим: (рх, ру, рг) —►
^(-Рх,-Р2/,Рг), (Qx,Qy,Qz)^{-Qx,-Qy,-Qz), (rnx,my,mz) -> (mx,my,-mz),
(Ex,Ey,Ez) —> {—Ex, -EV,EZ), (HX,HV,HZ) —► (Hx,Hy, —Hz).
5.45. Граничные условия #n = 0 и £г = 0 на поверхности (г = 0)
проводника выполняются — это прямо следует из результатов задачи 5.44. В частном
случае электрического дипольного осциллятора электромагнитное поле в
полупространстве z > 0 совпадает с полем электрического дипольного осциллятора с
моментом р = 2e2/(£)sin</?o- Оно обращается в нуль при <р0 = 0 (диполь
параллелен плоскости) и максимально при (ро = 7г/2 (диполь перпендикулярен плоскости).
Полная энергия, излучаемая в последнем случае в полупространство z > 0,
вчетверо превышает энергию излучения такого же осциллятора, находящегося вдали
от проводящей плоскости.
5.46.
uj Pod w р$о,
Ел = На = —з— cos 2$ cos a cos utf , £a = — H# = ——-z— cos # sin a cos utf ,
2c6r 2c6r
dl pka2uP . о Л n 9 9 n ♦ 9 n
— = — ^ (cos2 2tf cos2 a + cos2 tf sin2 a).
5.47.
(-1Г дП f да_х ^, ,WT// _ e ^ (_l)n rfn^n-1
n=0 u n=0

214
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
AM)
{-l)n dn{v{t)E%-1)
п=0
спп\
dtn
где Д = |г — г'|, До = |г — г0(£)|. Все величины в правых частях этих равенств
берутся в тот же момент времени, что и в левых. Запаздывающее взаимодействие
формально сводится к мгновенному. Полученными разложениями можно
пользоваться при достаточно медленном (v <C с) и плавном (ограничены ускорение и
его производные всех порядков) движении для не слишком больших Д0.
5.48. См. ответ к задаче 3.83.
5.49. При малых v/c формулы (5.29) принимают вид:
ег ег(г • v) ev ег х (г х v)
Е = ~ч + 3 -Л т Н тгъ
сг*
сгл
t'=t-r/c
ev х г ev х г
Н = - I ^-г-
СТ6 CzTl
t'=t-r/c
Здесь г — расстояние от какой-либо точки области, в которой происходит
движение заряда, до точки наблюдения.
Первые три члена в выражении Е и первый член в Н пропорциональны 1/г2 и
преобладают на сравнительно малых расстояниях от заряда (в квазистационарной
зоне). Электрическое поле в этой зоне сводится в основном к кулонову полю Е =
= ег/г3; магнитное поле описывается формулой Био-Савара Н = ev x г/сг3. На
больших расстояниях от заряда (в волновой зоне) доминируют последние члены
в Е и Н, убывающие по закону 1/г. Эти члены описывают поле излучения и имеют
вид:
Е =
en х (п х v)
Н =
ev х п
где п = г/г. Положение границы квазистационарной и волновой зон определяется
условием e/r2 ~ e|v|/c2n>, откуда гь ~ a(c2/v2), если учесть, что |v| ~ v2/a,
где a — величина порядка размера той области, в которой происходит движение
заряда.
5.50.
dl_
dQ
47ГС3
(v х n)2,
г 2е2.2
n
5.51. Энергия, излученная зарядом в течение
промежутка времени dt't заключена между двумя
сферами. Первая из этих сфер имеет центр в точке О, где
заряд находился в момент t\ вторая — в точке О', где
он находился в момент tf-\-dtf (рис. 5.6). Радиус первой
сферы Д, радиус второй R + cdtJ. Рассмотрим элемент
объема dV = dSdR = R2dQ(c-n-v) dt/. В этом объеме
заключена электромагнитная энергия
dW
Е2
сЕ
Рис. 5.6
47Г 47Г V С )
Отсюда для скорости потери энергии -d2£/dt'dQ,
d2W/dtf dQ, получим значение, приведенное в условии задачи.

§ 5А. Ответы и решения
215
5.54.
dl(t) _ ^E2R2 _ e2t;2sin2tf
dti 4тг 4ttc3(1-^cos^)6'
где д — угол между направлением скорости v и направлением излучения п, /3 =
= v/c. Угловая диаграмма излучения приведена на рис. 5.7. Когда скорость v
частицы мала, излучение вперед и назад имеет одинаковую интенсивность.
Когда v сравнимо с с, преобладает излучение вперед тем в большей степени, чем
ближе v к с. Максимум излучения наблюдается в направлении $0> определяемом
уравнением
costf0 = ^j(\/l + 24/32-1).
При /? -> О tf0^ тг/2; при р -> 1 tf0 -> 0. Таким
образом, в ультрарелятивистском пределе
излучение происходит в основном под малыми углами к
направлению скорости частицы. Полагая tf < 1,
представим dl/dQ, в виде
dl еЧЧ2
dQ 2тгс3[(тс2/<£)2 + ^2]6'
Из этой формулы видно, что ультрарелятивистская Рис. 5.7
частица излучает главным образом внутри конуса
с углом раствора ф = mc? JS.
Полная интенсивность излучения:
-/£*-
2e2v2 1 + (32/Ь
Зс3 (1-/32)4'
Полная скорость потери энергии:
_d£_ _ 2e^ у2
dtf " Зс3 ' (I-/?2)3*
5.55. Полное тормозное излучение в направлении dQ за все время пролета
частицы:
dAW _ [ dT _ [( dS \ , _ e2vl sin2tf
JSldt = I(-J^)dtf
dQ J dQ J V dSldt'J 1бтгс3т costf
[1-(v0/c)costf]4
-1
где $ — угол между направлением скорости частицы и направлением излучения п.
Наблюдаемая длительность импульса зависит от угла $ между скоростью
частицы и направлением излучения:
At = r\l- — costf
L 2c
5.56.
_d£ _ 2е4Я2р2
<й' ~ Зт4с5

216
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
5.57.
d£_
' dt!
2e4tf2sin2<9
Ът2с(1-(32)'
v2/c2 неподвижный наблюдатель, находящийся далеко от элек-
испущенные в те моменты
При 0 > УГ
трона, зарегистрирует отдельные импульсы излучения,
времени, когда скорость электрона направлена на наблюдателя (в пределах конуса
с углом раствора ф « у/1 - v2/c2, см. задачу (5.54)). Время между импульсами
(см. рис. 5.8)
/ v\\ cos6\ m 9 л
т = Т(1-^ J ^Tsin2<9,
где Т = 2тт£/есН — период циклотронного вращения, £ — энергия частицы,
v\\ = vcosO — проекция скорости на направление поля. Таким образом, вследствие
поступательного движения электрона со скоростью v\\ излучение, испускаемое за
время Г, пройдет через неподвижную сферу за время т. Отсюда
_dST _ 2е4Я2
" ~Ж'^ " 3m2c(l-v2/c2)'
При 0 < ф <С 1 будем иметь
2е4Я2 2<92
5.58.
dl_
d£l
9i • 19
envr
3m2c(l - г;2/с2) [(mc2/£)2 + 2<92]
(1 - /?costf)2 - (1 - (32) sin2tf cos2
47ГС3
0:
(l-/3costf)6
Полярная ось направлена вдоль скорости, азимут а от-
считывается от направления ускорения. Угловое
распределение излучения приведено на рис. 5.9. Излучения не
происходит в направлениях, определяемых уравнением 7(1 -
- vcosd/c) = sin#|cos#|. В частности, при a = 0, 7г
(рис. 5.9а), излучения нет в направлении д = a,rccos(v/c).
При a = 7г/2, 37г/2 (рис. 5.96), интенсивность излучения
отлична от 0 при всех $.
5.59. _
dl dS
2/32
_ е4Н20
87г2т2с3
(1-/32)
I
dQ
2тг
(1
dSldV
-/?2)cos2tf+(/3-
sintfcosa)2
Рис. 5.8
е4Я2/?2(1-/?2)
87гт2с3
(1— /3 sin ^ cos a)5
l+cos2^-^2(l + 3/?2)sin4?9
(l-/?2sin2tf)7/2
da=
где /3 = г>/с.
Начало отсчета азимутального угла а, входящего в подынтегральное
выражение, выбрано так, чтобы направление вектора п характеризовалось полярными
углами $, 7г/2. В ультрарелятивистском случае v ~ с излучение сосредоточивается
вблизи плоскости орбиты в интервале углов Д$ « д/1 — /З2.

§5.4. Ответы и решения
217
а)
£« 1
б)
I /|к^^ У *
^« 1
\ с ~ х
5.60.
Рис. 5.9
In* = * cos г? / cosa/ei(na-n/3sintf8ina)da/,
2tt.Ro Jo
epeikR() f2*
/ sinaV(na'-n08in*8ina'W,
где волновой вектор k = nc<;/c, начало координат — в центре орбиты, ось Oz
перпендикулярна плоскости орбиты, направление к характеризуется полярными
углами #, 7г/2; Rq — расстояние от центра орбиты до точки наблюдения. Отсюда
Нп
я,
wd
i—nAn$
с
—г—пАп
с
(3eneikRi)
г ctg$Jn(n/?sin#),
aRo
e(32neikR»
aRo
J'n{n(3smd).
Поляризация излучения оказывается, вообще говоря, эллиптической, с
главными осями в направлениях еа и е$ и отношением полуосей Нп$ и Нпа,
равным /?tg# Jrn(nf3sind)/Jn{n(3sin#). Направление обхода эллипса определяется
знаком этого отношения. При # = 0 поляризация круговая, при # = 7г/2 — линейная.
При достаточно больших п и /3 линейная поляризация получается также в тех
направлениях, которым соответствуют нули или полюсы функции J'n/Jn^
5.61. Наличие высших гармоник в спектре поля объясняется тем, что
время распространения поля между разными точками орбиты конечно и сравнимо,
вообще говоря, с периодом обращения заряда по орбите, если скорость заряда
сравнима со скоростью света с. Вследствие этого время прохождения через
точку наблюдения поля, излучаемого частицей в течение полупериода, когда частица
приближалась к этой точке, меньше, чем время прохождения через нее поля,
излученного в течение второго полупериода. Простой гармонической зависимости
координат частицы от времени соответствует, следовательно, некоторая сложная
периодическая зависимость поля от времени, изображаемая суперпозицией ряда
гармоник Фурье.
Следует ожидать, что при /? —> 0 высшие гармоники исчезнут. Действительно,
при х « 0, п > 0 имеем Jn(x) « xn/2nn!, J'n{x) « хп~1/2п(п-1)!. Из этих формул

218
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
видно, что, когда /3 —> 0, существенны лишь гармоники с наименьшим возможным
значением \п\ = 1. При этом
е(32 cos^sm(kR0) _ е/?2 cos(kR)0
Ha — Ilia -\-H-ia — , iltf — ilitf + il-itf — .
a Ho a Ko
5.62.
^ = ^|Hn|X = ^^[ctg2^(n^sin^ + /?2j;2(n/? sin i?)].
Если движение по окружности происходит под действием постоянного и
однородного магнитного поля Н, то
тс2(3
a =
е#л/1-/32'
<W2tf Г /*2П/3
7- = -^ 2/J2 J^pn/J) - (1 - /З2) jf J2n{x)d2
5.63. Суммирование гармоник приводит к угловому распределению
излучения dl/dQ, усредненному по времени и вычисленному ранее другим способом
(см. задачу 5.59). В сильно релятивистском случае (7 ^> 1) возникает резкая
анизотропия излучения, которая концентрируется в плоскости орбиты: отношение
(dI/dQU=7v/2 7 5
(dl/dn)*=0 §
Введя угол 0 = 7г/2 — $ <с 1 между направлением наблюдения и плоскостью
орбиты, запишем угловое распределение в виде
Ж _ е4Я273(7+127202)
dSl " 16тгт2с3(1+726>2)7/2*
5.64. Для расчета излучения
d2Srad d2S _ е2 [n x [(n _ Vfc) x ^]]2
1)
cft'dQ dt'dQ, 4тгс3 (l-n-v/c)5
(согласно формуле (5.30)) необходимо вычислить v(t) и v(t). Используя уравнение
движения релятивистской частицы, записанное через скорость, будем иметь
{m/yv± 4- m/y3(v±/c2)(v\\V\\ 4- v±-v±) = eE0 cosuJot,
тущ +т73(г>ц/с2)(г>цг;|| -\-v±-v±) = 0,
где обе части уравнения движения спроецированы на направления,
перпендикулярное и параллельное первоначальной скорости частицы vo. В дальнейшем
предполагаем v± <C v\\, v\\ « vo « с, 7 — (1 — ^о/^2)-1^2 ^ 1- Из второго уравнения 2)
следует г>ц « —v_\_-v±/ct т. е. г>ц « vj_vj_/c <C г>_|_. Из первого уравнения 2) теперь
с точностью до членов (v±/c)2 <C 1 получаем
3) v±(t) = usinuot, u = .
гао>о7

§5.4. Ответы и решения
219
4)
Подстановка полученных значений v, г? в 1) дает
d2£rad _ e2ul cos2 u0t' u2{l - n-v/c)2 + 2(гмл)(п-гл)(1 - n-v/c) - 7"2(n-it)2
dt'dSl 4тгс3 (1 - n-v/cf
Угловое распределение полного излучения получится в результате
интегрирования 4) по dtf в пределах [0, L/c], где L/c » 2тт/ио — время движения частицы
в ондуляторе. Это приведет к замене cos2^' на 1/2 и умножению 4) на L/c.
Выбираем ось Oz декартовой системы координат вдоль длины ондулятора и
отсчитываем полярный угол 0 вектора п от оси Oz, а его азимутальный угол ср от
направления Е0- Это позволяет записать nv = t;ocos#, n-u = usmOcoscp и
d£rad ^ eAE2L (! _ ft, egg Of _ 7-2 sin2 Q CQg2 y
' dft ~ 8тгс4т272 (l-/?0cos<9)5
В релятивистском случае характерные углы в « 7-1 ^ 1» поэтому угловое
распределение можно упростить:
rig™* _ e4£gL l
} dfi " тгс4т272(7"2 + ^2)3'
Интегрирование 6) по dQ = 2^0d6 дает полное излучение:
7) Г* = £|гЛ
Характерные частоты, на которых происходит ондуляторное излучение, можно
оценить из следующих соображений. Преобразовав с помощью формул (4.70)
исходное поле Е = E0cosc<;o£ в систему отсчета, движущуюся вдоль оси ондулятора
с невозмущенной скоростью частицы г;0, получим
8) Е' = 7E0cos(u/t + fc'C), Н' = --v0 x Е',
с
где и/ = 7^0) kf = lu'vo/c2 — частота и волновой вектор преобразованного
поля, г и ( - время и координата в сопутствующей системе, в которой
движение частицы нерелятивистское. В этой системе с точностью до членов порядка
7~2 <С 1 выполняются соотношения, свойственные плоским монохроматическим
волнам в вакууме: закон дисперсии и2 - с2к 2 « 0, связь между напряженностя-
ми Е' J_ Н', Е' « Н''. Это означает, что в сопутствующей частице системе на
нее воздействует поле плоской монохроматической волны (или на квантовом
языке «эквивалентные фотоны»). Излучение частицы можно интерпретировать как
рассеяние этой волны.
Частота волны и/, испускаемой частицей в сопутствующей системе, при
переходе в лабораторную систему испытывает еще один доплеровский сдвиг и
приобретает величину
} Ш~ 7(1 -vo cos в/с) ~ 7"2 + О2 ~ ио1 '
При Е=Ъ ГэВ релятивистский фактор электрона 7~Ю4, излучаемые частоты и «
« 27гс/Ло72 ~ 6 х 1018с-1, или длины волн Л « Ао/72 = 3 х 10~8 см —
рентгеновский диапазон.

220
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
5.65. Система уравнений движения с указанными в условии задачи
начальными условиями легко решается и дает
s(t) = a(ex cosuot - еу sinu0t) 4- fi\\ctez.
Траектория представляет собой спираль, скорость электрона составляет с осью
ондулятора угол О = р± <С 1. Характер излучения зависит от соотношения между
6 и характерным углом 0 между скоростью частицы и направлением излучения.
При 1 ^> 6 > 0 « 7-1 излучение направлено вдоль образующей конуса,
определяемого скоростью электрона, в пределах угла 7-1- Наблюдатель будет видеть
короткие вспышки длительностью a/c0±j. Расчет спектрально-углового
распределения мощности излучения можно произвести, предполагая в силу условия L > Л0
ондулятор бесконечно длинным. Затем следует произвести интегрирование по
телесному углу и умножить результат на время движения электрона через ондулятор
L/c. В результате будем иметь
dSrad _ уДе2су0Ь 2lo
~^Г ~ 27TC2/J2 ТГС J2oj/oJ<: Л5/3
/ Къ
J2u>/u>r
(x)dx,
где ис = 3cc;073/?±.
При О « 7_1 излучение заполняет весь конус, и использованный метод расчета
спектра теряет силу.
5.66. При решении задачи 5.60 были получены выражения для n-й гармоники
поля излучения от одного заряда. Выражения этих гармоник для разных
зарядов, очевидно, отличаются друг от друга только начальными фазами. Обозначив
через ф1 сдвиг фазы поля 1-го электрона относительно поля того электрона,
которому приписан первый номер, запишем результирующее поле в вещественной
форме:
..*■- N
ntf = —pz-Jn(npsini}) У^cosn(ut + 4>i).
aR0 ^ V с J
Выражение для Hna аналогично. Среднее значение интенсивности излучения за
период Г = 2tt/oj равно:
dInN = ^'hj {н*о+я"а)dtR2°ш = SndIn'
где dln — интенсивность излучения от одного электрона, найденная в предыдущей
задаче, а SN — коэффициент, учитывающий интерференцию полей электронов
(«фактор когерентности»):
N
SN = N + ^2 cosп(ф1 - #).
Рассмотрим частные случаи:
а) при совершенно беспорядочном расположении электронов на орбите
^cosn('0/ -фу) = 0;

§5.4. Ответы и решения
221
б) при равномерном расположении электронов на орбите
N
>N
= N^2cos2tt(1
1=2
sinn7r
п
N(-l)n
o,
N2
N
L/=i
N
-2n(l-l)j^i
"W + JV
Z = l
если n/7V — не целое число,
если n/N — целое число;
в) если электроны образуют сгусток, то все разности ф[ — фу малы. Для не
слишком больших п, при которых размер сгустка мал по сравнению с
соответствующей длиной волны, можно заменить все cosn(^z - Фи) в выражении Sn
единицами. Тогда Sn = N2. С увеличением п фактор Sn уменьшается,
значение Sn при этом зависит от деталей расположения электронов в сгустке и не
может быть указано в общем виде.
Появление множителя N2 не является, вообще говоря, безусловным признаком
большой интенсивности излучения, так как при этом возрастает и номер
гармоники. Пусть n = kN, где к — целое число. В нерелятивистском случае, при 2kN(3 <C 1,
пользуясь асимптотическими формулами для функций Бесселя, получаем даже при
к = 1
2e2cN(N + l)((3N)N+2
INN
что дает
/ц =
2е2с(34
^22 =
a2(2N + l)(2iV)!
8е2ф6
'зз
243е2с/38
За2 ' гг 5а2 ' ** 70а2 '
т. е. добавление каждого электрона увеличивает мультипольность излучения и
добавляет малый множитель /З2.
В противоположном, сильно релятивистском случае можно получить
&1*Т(2/Ъ) е2с Лг7/3 лг 0 3/0
K-^-t — N7/z, N < 373/2;
INN
е2с
2тг а271/2
ДГ5/2
ехр
~), iV»373/2.
Сравнивая эти результаты со случаем беспорядочного расположения электронов
на орбите, приходим к выводу, что при N ~ 73 фактор когерентного усиления
излучения имеет порядок величины 72-
5.67. Если электроны образуют сгусток, представим фактор когерентности в
виде
N ( N N Л
SN = N + У^ < cos пф12_] cos пфу 4- sinn^YJ sin пфу > ,
i=i I i'=\ i'=i J
где штрих у суммы означает отсутствие члена с V = I. При симметричном
распределении электронов в сгустке относительно нулевого азимута среднее от синуса
равно нулю, и фактор когерентности преобразуется в
SN=N + N(N-l)(cosntl>) ^Ar + 7V2(cosm/>)'

222
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
где первое слагаемое соответствует некогерентному излучению, а второе —
когерентному. Производя усреднение, будем иметь
InN = NIn + N2In x {
Г sin2 (nip/2)
[ exp(-(n(p)2/2).
Здесь верхняя строка соответствует равномерному, а нижняя — гауссову
распределению электронов в сгустке, 1п — интенсивность излучения одного электрона.
5.68.
2л/2д2 Г°° fdU\2 dr
Ът*/*<? ]Tmin\dr ) y/S-ЩтУ
где U{rmin) =8.
5.69.
Srad _ 16g /v\*
~Y~ ~ AbZe \c)
5.70. Выберем начало координат в центре инерции системы зарядов. Тогда
электрический дипольный момент системы
1) р = eiri + е2г2 = /il )г,
где г = ri - г2, /х = mim2/(mi + m2).
Поскольку отношения e/m зарядов различны, то р ^ 0 и система будет
излучать в основном как электрический диполь (v/c <C 1). Мгновенная интенсивность
'<«>-£-£(£-£)v<'>-
Согласно уравнению движения зарядов, /лт = eie2r/r3, так что
/= 2е\е\ / ei _ _^_\2^
Зс3 \rnj_ га2/ ^4
При вычислении средней по времени интенсивности излучения / = (1/Г)/0 /<й'
заменим интегрирование по £' интегрированием по углу а согласно уравнению dtf =
= fir2 da/К (К — момент импульса системы) и воспользуемся уравнением
траектории. В результате получим
7_23/2/ei е2чу/2|е1е2|3|£|3/2/ 2\£\К2-,
Зс3 \m1 m2/ Къ V ме?е2 '
5.71.
Ж _ 27/2м3/2|^|3/2 / ei _ _ег_\2 _К_
Л ~ Зс3 VTOl m2/ К3'

§5А. Ответы и решения
223
5.72. Поступая так же, как при решении задачи 5.70, запишем вторую
производную дипольного момента в виде
1) р=(---)
V 777,1 Шо/
eie2r
m, mo
Вычисление А не вызывает затруднений. Для вычисления В нужно знать pz —
проекцию р на направление первоначального движения рассеиваемых частиц —
в виде функции координат г, а (полярные координаты в плоскости
относительного движения частиц). При этом следует учитывать, что в уравнении траектории
относительного движения -1 + ecosa = а(е2 - \)/г угол а отсчитывается от оси
симметрии (ось Oz') траектории. Таким образом, у' = rsina, z' = rcosa. Угол
между осями Oz и Ozf равен 7г-ао, (cosao = 1/е), поэтому z = -zfcosolq -
-y'sinao = -r((l/e)cosa 4- \/e2 - lsina/e). Используя 1) и заметив, что sin a —
нечетная функция, получим
Г Л°°»2Л , 2 2( ei е2\2 [°° /+°°cos2a+(€2-l)sin2a^ д
\ \ pidtsds = eiei( / / Ц——- dtsds.
Уо У-оо V™1 m2/ У0 У-оо б2Г4
С помощью уравнения траектории выразим cos2 а и sin2 а через г и б и сделаем
подстановку е2 = u, sds = (a2/2)du. После этого выписанный интеграл
преобразуется к виду
(г/а-1)2^
( „а2 а \ 1 /а \2 1 1
+ (-5-+6--2)-+2(--1) -A
г2 /а?
г2 \ г2
du
v2 1
у/(г/а-1)2-и
При вычислении интеграла по du возникает логарифмический член, который
преобразуется интегрированием по частям. Для вычисления внешнего интеграла
по dr целесообразно сделать подстановку х = 2а/т\ которая приводит этот
интеграл к сумме нескольких Б-функций:
= Гх*-1(1-хУ-1Дг=Г(*)Г(0
Окончательно получаем
8тг / ei е2\2
А = —-eie2 /iv0, В = 0.
9 V mi Ш2 /
5.73. В рассматриваемом приближении v = const, а траектория частицы
представляет собой прямую. Пусть движение частицы происходит в плоскости xz
параллельно оси Oz. В этих координатах n = (nx,ny,nz)t где
пх = sin # cos a, ny = sin $ sin а, п2 = cos$,
(s,0,vO, г = \/s2 + v2t'2, v = (0,0, v).

224
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Из известной формулы v = с2р/5, где £ = тс?/у/1 - (З2, (3 = v/c, получим v =
= с?р/£ — с?р£/£2. Согласно уравнению движения частицы, р = eie2r/r3. Закон
сохранения энергии требует, чтобы £ + е\е2/т = const. Дифференцируя последнее
равенство по t\ получим
eie2r eie2Y-v
£ =
так что
v =
е\е<2С? \ р(г-г>)~| е^с2
г —
Подставив найденные выражения в (5.30), получим
х £ т^щ +W - W - ->'£ <??да?}-
Интегрирование дает:
В нерелятивистском пределе ^0 и
dO 32m2cW *** nJ"
В ультрарелятивистском случае /3 « 1 и
сШУп 3efe|(l-/5)
<Ю 29m2c4s3sin4#
2
При $ < л/1 — 0 последняя формула несправедлива, и нужно пользоваться точным
выражением 1).
12m2c3s3u 1-/32' р с2 '
5.75.
5.76. Формулу (5.40) для дифференциального эффективного излучения можно
записать в виде
£-*П
-—dtsds.
dil
Интенсивность излучения dl/dQ, = сЯ2г2/47г, где Н = А х п/с. В формуле 1)
усреднение интенсивности излучения должно быть произведено по всем
направлениям в плоскости, перпендикулярной к направлению потока падающих частиц.

§5.4. Ответы и решения
225
Для выполнения усреднения удобно представить векторное произведение,
входящее в выражение Н, в форме На = с~1еар1А$п1, где еар^ — антисимметричный
единичный псевдотензор, по повторяющимся индексам выполняется
суммирование. Компоненты векторного потенциала Ар выражаются через компоненты квад-
рупольного момента Qpe, определяемые формулой (5.16):
Я(ЗсПе.
р 2с2г
Таким образом,
И
dl _ _}_п»> п»>
Воспользуемся полярной системой координат с полярной осью, направленной
вдоль падающего потока, и с полюсом в точке, где находится частица с зарядом е2
и массой rri2. Усреднение должно выполняться при фиксированном значении
составляющей nz = П3 = cost? ($ — направление излучения). Легко убедиться, что
ЩПкЩПт = \{SikSlrn + SuSkm + SimSkl)(l - п\)2,
гц = щпкЩ = О,
где индексы г, /с, I принимают значения 1, 2.
Воспользовавшись 2), а также формулой
еа{з-уеар'у — дрр'буу — 5ру6ур',
получим
3) ^ = ^5{[(ад2-№зз)2]соз4^+^[(бд;';)2 -
- 2QmQ"00 + {Q"00,)2 - 3(Q'03)2)sin2 0 cos2 0 +
+ \\4Q"w)2 - (Q'00)2 - 3(<Эзз)2 + 2<Эзз<Эда] sin4 *?}.
Подставляя З) в 1), найдем окончательно:
4) ^ = А + BP2{cos<d) + CP4(costf),
где Р2, Ра — полиномы Лежандра,
1 /»оо />оо
6) Б = 168? У те /о [-3^ДО')2 + 2^ДО)2 + 9(^'з)2 " 62зз^> <** (Й,

226
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
1 /»оо /»оо
7) С= 280^ j^ I l-2(Q00')2+2(Q0s)2HQ'^)2-MQs3)2+lOQ'3'3Q;0}sdsdt.
Величины Qa/3 обозначают третьи производные по времени от компонент квадру-
польного момента.
5.77. Полное эффективное излучение
Используя формулы 4) и 5), полученные в предыдущей задаче, можно написать:
/»оо /»оо
1) K = AvA = —J ^ [3(Q^)2-(Q^)2]ededt.
Обозначим через ха декартовы компоненты относительного радиуса-вектора
частиц, а через va = ха — декартовы компоненты относительной скорости частиц.
Тогда, учитывая уравнение относительного движения частиц, найдем
Xq, ^~ , Xq, * 7 •)
mr6 m rb
где
vr = f.
Подставляя эти выражения в формулу 1) и вводя азимутальную компоненту
относительной скорости частиц va (v2 =v% + v$), получим
Вследствие сохранения энергии и момента импульса, v2 = v$ — 4e2/mr и va =
= vqs/г. Выполняя в 2) интегрирование (при этом следует заменить
интегрирование по dt интегрированием по dr, согласно формуле dt = dr/vr = dr/y/v2 - v2,,
причем интегрировать можно в любом порядке), получим окончательно:
47Г e4v%
к = ~^ г-
9 тпсь
5.78. Условие применимости формулы (5.45) выполняется при всех частотах и,
так как время столкновения г = 0. При рассеивании на твердой сфере угол падения
равен углу отражения, поэтому \v2 — vi\2 = 2^sin|, где $ — угол рассеяния.
Угол $ связан с прицельным расстоянием 5 соотношением: 5 = asinf при s < а.
При s > а частица не испытывает рассеяния. Отсюда получаем
2е* 2 Г ■ 2<*о , , 4e2aV j
йкш = -—д4гг / sin —27rsdsduj = ——^— duj.
Найденное дифференциальное эффективное излучение не зависит от частоты.
Поэтому полное эффективное излучение
Jo
оо
<fc = оо.

§5.4. Ответы и решения
227
Эта расходимость объясняется тем, что сфера считалась абсолютно твердой.
На самом деле абсолютно твердых тел не существует, т ф 0, и при больших
значениях и найденное для dn^ выражение незаконно.
5 79
da _e^llnl_±1 y^ p_v
d(huj) he\P 1-/3 J Пы' н с
5.80.
5.81.
In
64£4п2 /ei e2
Ъе\е\с? \mi m<i
1-е
2
■V("€) + —о~ JnK>
Z(r,i) = ^e(r) + ^0(-r), r = t--;
Г Г С
H(r,*) = ^£{*(r) + ^(r)};
Др х г
\0\Т) -h
-3(n(prn)-pi), r<0;
E(r,*) = <{ Hxn, r = 0,
"3(n(p2-n)-p2), T>0.
Результаты как нельзя лучше иллюстрируют конечность скорости
распространения электромагнитных возмущений. При внезапном изменении дипольного
момента распространяется сферическая волна бесконечно малой толщины с радиусом ct.
Магнитное поле отлично от нуля (и сингулярно) только на этой сфере.
Электрическое поле на световой сфере также сингулярно и связано с магнитным обычным
соотношением (5.5) для волновой зоны. Но, в отличие от магнитного, существует
и статическое электрическое поле. В области г > ct, куда не дошло возмущение,
сохраняется статическое электрическое поле диполя с моментом pi. В области
г < ct установилось статическое поле диполя с моментом р2.
5.82. а) При г > ct — статическое электрическое поле точечного заряда с
радиальными силовыми линиями (рис. 5.10а). При г < ct — поле движущегося
со скоростью v = const заряда, вычисленное в задачах 3.83, 3.84. б) Указанные
выше два поля меняются местами (рис. 5.106). В тонком слое в окрестности г = ct
происходит перестройка электрического поля и имеется сингулярное переменное
магнитное поле (см. предыдущую задачу).
5.83. Используем формулу (5.36), полагая в ней v(r) = 0 при т < 0, v(r) =
= v = const, s(t) = vr, где скорость v определяется энергией и направлением
вылета бета-электрона. Получаем
dl„ еV sin2 О т е2 (1 , 1 + (3 л
1ш = — ^ In z т: - 2
dQ 4тг2с3 (1-/3cos<9)2' " ттс\Р 1-/3
Здесь 0 — направление излучения относительно скорости электрона. Бесконечно
осциллирующую экспоненту expia;(l-/3cos^)r|r^00 следует считать равной нулю,
так как ее усреднение по любому малому интервалу Да; спектра дает нуль.
Число квантов Nw в расчете на единичный интервал их энергии определяется
соотношением N(JJhujd{hjo) = I^du, т. е.

228
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
б)
2 = 0 VIF
Рис. 5.10
Число квантов растет неограниченно при и —> 0 («инфракрасная катастрофа»), но
их суммарная энергия остается конечной. Наибольшая энергия кванта,
допускаемая законом сохранения энергии, равна энергии бета-перехода ядра Е0 за вычетом
энергии покоя электрона (и энергии покоя нейтрино, если она отлична от нуля):
^тах =Е0- ГПС2
5.84. Если энергия, переданная электрону, значительно превышает энергию
связи электрона в атоме, то электрон до конверсионного перехода можно считать
неподвижным. В этом приближении
N»
37г hchuj
5.85.
1)
i\L
2тг he
4 /au>o\2 ш2(ш2 +<^о)
3\Т) (v2-u2)2
+
mee?
1
Для сравнения полученного результата с опытными данными Джексон (1975)
отождествляет а;0 с частотой перехода 2р —> Is (так как вращение по круговой
орбите возможно только при ненулевом орбитальном моменте) и пользуется
соотношениями для водородоподобного атома: расстояние между уровнями ftuo =
= 3Z2e2/8a£, a = clb/Z, ав = h2/mee2. Кроме того, он вводит поправочный
фактор, учитывающий уменьшение энергии нейтрино с ростом энергии
испущенного кванта: (1 - hu/Eo)2, где Е0 — энергия ядерного перехода (равная энергии
нейтрино при hw = 0. Последний фактор существен только для жестких квантов,
испускание которых возможно за счет магнитного момента (второе слагаемое в 1)).
В итоге рабочая формула принимает вид
2)
N« = inz2
ш2{ш2+ш1)
(ш2-ш2)2
1 1 е2 Пш
huj 2-7Г he (mec2)2
Eo)
5.86. frwn
17 МэВ.
2 e2 (32 1
+
TVjJ
37Г he frw 2тг he (шцС2)
,2\2*

§5А. Ответы и решения
229
5.87.
d2Iu 2е2 Г_ . 2л лг 16 е2 Г_
sin2 0, Nu, =
dcodQ 7г2с ШтгС2 * ЗтгЙс га^с2/^ *
где Т_ = m^v2 /2 — кинетическая энергия отрицательного пиона, О — угол между
направлениями его импульса и вылета кванта.
5.88. Импульс поля движущейся частицы
■/■
dV,
где g = -—Е х Н, а интеграл берется по всему пространству. Магнитное поле
47ГС
движущейся частицы H = vx|, так как в системе покоя частицы (Sf) магнитное
поле отсутствует. Отсюда
в=4^[«Я2-Е(«.Е)].
С помощью формул преобразования поля находим:
Е' Е'
Ех = Ех, Еу = , Ez =
у ^1^2' z у/Т=р
(ось Ох направлена вдоль v). Элемент объема dV = dV'y/l - ft2 (вследствие
лоренцева сокращения). Таким образом,
1) G = у j{Ef2 + Е12) dVf = V- I IE'2 dV.
Последнее преобразование следует из сферической симметрии поля в системе S''.
Если принять, что масса покоя частицы имеет чисто электромагнитное
происхождение, т.е. представляет собой массу ее электрического поля, определяемую
соотношением Эйнштейна W = т^с2, то она должна равняться
При этом импульс поля должен бы быть равен г^_у однако из формулы 1) видно,
^/1-/32
что это не так1. Импульс поля зависит от скорости v точно так же, как это должно
быть в случае частицы:
3) G = -^=.
Но «масса» т'0 = |то Ф то не совпадает с массой покоя частицы то,
определяемой формулой 2).
1 Энергия поля при таком предположении должна бы быть равна moc2/y/l — (З2, но, как показано
в следующей задаче, это также не имеет места.

230
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Наличие коэффициента 4/3 в выражении G означает, что энергия и импульс
электромагнитного поля частицы не образуют 4-вектора и не могут быть
отождествлены с ее энергией и импульсом.
Отметим, что определяемая формулой 2) электромагнитная масса обращается
в бесконечность в случае точечной частицы.
5.89. Wm = -±- Г Я2 dV = ± . m,°y2 ,
где величина пьг0 определена в решении предыдущей задачи.
Полная энергия электромагнитного поля частицы
не обнаруживает зависимости от скорости m§(? j\J\ - /З2, которая должна иметь
место для энергии частицы (ср. с задачей 5.88).
5.90. Отбросим члены порядка v/c и выше, и рассмотрим действие
некоторого элемента de\ на другой элемент de2. Кулонова часть электрического поля
сферически симметрична и не дает вклада в силу самодействия;
квазистационарное магнитное поле тоже не дает вклада. Таким образом, достаточно рассмотреть
только ту часть напряженности dE электрического поля элемента dei, которая
зависит от ускорения. На элемент de2 действует сила
,^ , ,^ de\de2r. , . ч,
dF = -de2dE = \ v - г0(г0 • v) ,
c/r
где r0 = r/r, r — радиус-вектор, направленный от элемента de\ к элементу de<i*
На частицу в целом действует сила
=/dF=-
4 W0 .
— ♦ v
3 с2 '
где Wo = J(l/2r)deide2 — энергия электромагнитного поля покоящейся частицы;
множитель 4/3 получается при интегрировании по направлениям г0. Определив
массу покоя частицы как т^ = 4Wb/3c2 (см. задачу 5.88), получим для силы
самодействия выражение:
F = —m'0i).
Таким образом, сила самодействия частицы, если пренебречь запаздыванием,
совпадает с силой инерции.
5.91. Сила, действующая на элемент заряда de2 со стороны элемента dei,
определяется ускорением v последнего в момент времени t'\
dm = —^A[v-Mro-v)}\t,=t_r
Разлагая ускорение v по степеням t/ — t = -^, получим
v(t') = v(t) + (t' - t)v(t) = i)(t) - -v(t).
с

§5.4. Ответы и решения
231
Интегрирование по элементам dei, de2 даст (см. предыдущую задачу) искомую
силу самодействия:
2е2
Второй член в правой части представляет собой силу лучистого трения. Он не
зависит от структуры частицы и в предельном случае точечной частицы не
изменяет своего вида. Собственная энергия Wq и, следовательно, электромагнитная
масса то в этом предельном случае обращаются в бесконечность. Неучтенные
члены порядка {tf -t)n, где п > 2, очевидно, пропорциональны rj_1 (r0 — радиус
частицы) и в пределе точечной частицы исчезают.
5.92. Используем симметричный тензор (3.49) энергии-импульса
электромагнитного поля. Интеграл
ijrt
1) Vх = ~ / TWSk, d6Sk = nkd6S
— ковариантный элемент трехмерной гиперповерхности, представляет собой
4-вектор. Компоненты тензора Г00 и Та0/с (а = 1,2,3) образуют соответственно
плотность энергии (3.50) и плотность импульса (3.51) электромагнитного поля.
Пусть в системе покоя S" частицы интеграл 1) превращается в интеграл по
трехмерному объему dV', т. е. по гиперповерхности tf = const. В этой системе Е' —
кулоновское поле частицы, И' = 0, d3Sk = n/kdV', где единичный 4-вектор нормали
п'к = (1,0,0,0). Поэтому интеграл 1) дает значения энергии и импульса частицы в
ее системе покоя:
2)
^'Ll^'-b »'--<*>•-*
В произвольной инерциальной системе S поле выражается согласно формулам
преобразований Лоренца, в частности,
3) Н=(7/фхЕ' = |;хЕ/с, E_l = 7Ej_.
Орт нормали пк выражается через п'к с помощью преобразований Лоренца: пк =
— (7> —jv/c). Инвариантный элемент гиперповерхности можно записать в виде
d3S = dV = <yd3xy где d3x — элемент трехмерного объема в системе 5. Используя
эти результаты, а также (3.50), (3.51), находим
4) -Токпк = ^(Т°° - vg) = ^- \Е2 + Я2 - 2 (- х е) -н1 = ^- \Е2 - Н2} .
С С 87ГС L V С / \ 87ГС L J
Таким образом,
5) р° = ^- / (Е2 - Н2) d3S = 7mc,
откуда электромагнитная масса частицы
— релятивистский инвариант. Аналогичным путем находим

232
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
7) lT^nk^£{E>-H*)
и получаем правильное выражение для импульса частицы р = ymv. Приведенное
рассмотрение позволяет вычислить инвариантную электромагнитную массу
частицы, но не дает настоящего решения проблемы: для точечной частицы масса
оказывается расходящейся величиной, а внутренняя структура протяженной частицы
должна описываться квантовой механикой.
5.93. Г =^!фй^ ю-п с.
Сделанные предположения о характере движения электрона выполняются,
если потеря энергии за период т обращения по орбите мала по сравнению с полной
энергией электрона, т.е. r\d£/dt\ <C |£|, откуда ac/v » r0 = e2/mc2 (r0 —
классический радиус электрона). Это условие начинает нарушаться только на очень
малых расстояниях порядка 10~13 см, на которых вообще неприменима
классическая электродинамика, так как в этой области важную роль играют квантовые
эффекты.
Следовательно, результат задачи — очень малое время жизни атома —
определенно указывает на неправильность классических представлений о движении
электрона в атоме (представление о траектории и т.п.). В процессе преодоления
этой и других фундаментальных трудностей классической физики и была создана
квантовая механика.
5.94. £{t) = me2 cth Г|ЭД« + \ In &±Щ]
v ; L3m3c5 2 £0 -тс21
При t —> ос, £(t) —> те2, т.е. частица останавливается.
Радиус орбиты можно выразить через £{t) по формуле
r(() = i| = _L^wT^.
При t —> ос, r(t) —> 0, т.е. частица движется по закручивающейся спирали.
5.95.
о , 3a2oj e2
£с = тсг{- , г0 =—о*
у 2сг0 т,ег
5.96. Уравнение движения гармонического осциллятора при учете силы
лучистого трения имеет вид
2 2e2 d ••
Уравнению 1) соответствует кубическое характеристическое уравнение
2» *+"*-*&**■
Условие малости силы лучистого трения по сравнению с квазиупругой силой
позволяет решить 2) последовательными приближениями, отбросив в нулевом при-

§5.4. Ответы и решения
233
ближении правую часть; при этом к & к0 = ±iLO$. В первом приближении,
подставив в правую часть 2) вместо к значение /с0 и введя обозначение
3)
7
Згас3 '
получим к « к\ = ±iiOo -7/2. Можно ограничиться одним из решений, например,
тем, которому соответствует знак «—»:
4)
г = г0е
-yt/2 m -iujot
(t > о).
Это решение справедливо при 7 « ^о и имеет характер затухающих колебаний.
Энергия осциллятора убывает как квадрат модуля его амплитуды:
5)
W = \¥0е~^
Величину 1/7 естественно называть временем жизни возбужденного состояния
осциллятора.
Напряженность электрического поля излучения пропорциональна г, так что
Е
-L
+СЮЕше-^={Еое"^е_7(/2 ПРИ i>0'
ОО I
о
Е.
_ Е Г
e-(y/2-\-iuH))t-\-iojt ^ _
при t < 0
Ео
2тг[г{и-и0)-у/2}'
Отсюда находим спектральное распределение интенсивности излучения:
в)
hi
Рис. 5.11
2тг (а;-сс;о)2+72/4'
где Io = f_™dIu; — полная интенсивность
излучения. Спектральное распределение 6)
имеет характер резонансной кривой (рис. 5.11).
Ширина спектральной линии
характеризуется величиной До; = 7-
Естественная ширина линии очень мала (на
графике длин волн она равнялась бы ДА =
= Д(2тгс/а;) = 4тгг0/3 = 1,17 • 1СГ12 см).
Если считать, что излучение происходит
не непрерывно, а дискретными порциями (это
предположение, очевидно, выходит за рамки
классической электродинамики), то
неопределенность энергии фотонов Д£ = hAu = hy
связана со временем жизни возбужденного состояния г = 1/7 соотношением
7)
А£-т = П.

234
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Это частный случай весьма общего квантовомеханического соотношения
неопределенности для энергии-времени.
5.97.
^г = /оехр
(ш -сс;0)
21
7b
где 7d = л/2Ти>ц/тс2 — доплеровская ширина спектральной линии, а через /о
обозначена интенсивность при ш = loq. Ширина линии зависит от температуры и
может служить мерой температуры газа.
5.98. ^ = £ А г2/Л, где / = f+Zdl».
did 2тг {и-иоу +Г2/4 J-°°
5.99. Если волна поляризована вдоль оси Ох, то
1)
где
е-Ед.
га cJq — а;2 — 7,077
2 е2ы2
7 3 " гас3 "
Энергия, поглощенная осциллирующим электроном,
/+00 27ГР2 f00 111}2'**
eEx(t)x(t)dt= / \EXUJ\2--2 7 du>\
-оо т JO Ы ~ U) + ^ 72
так как (х)^ = -iux^. Подынтегральная функция в последнем выражении
описывает спектральное распределение интенсивности поглощения. Из вида этой
функции следует, что мерой ширины линии поглощения является величина 7» как и
в случае испускания. Так как, по условию, ширина спектрального распределения
группы велика по сравнению с естественной шириной линии 7» то
ЛТ1Г 27ге* ,о 2 [°° d£
дИг._|^|^ту^__1_3_,
где £ = и - uq. Нижний предел можно заменить на -ос, так как 7 ^ <^о- В
результате интегрирования получим окончательно:
2тг<°2
bW=—\Exu,0\2 = 2ir2r0cStA,0,
где г0 = е2/тс2 — классический радиус электрона. Результат не зависит от 7-
Зависимость от частоты только косвенная: величина ДИ^ пропорциональна
спектральной плотности Sua ПРИ резонансной частоте а;0 осциллятора. Из вывода ясно,
что тот же результат мы получили бы и в случае падения на изотропный
осциллятор неполяризованной и неплоской группы волн. В этом случае Sw представляла
бы собой сумму интенсивностей всех поляризованных волн частоты и, входящих
в эту группу.
Как легко проверить,
+оо
/ °° A(t)-B(t) dt = 2тг ["(AuBZ + Л*БШ)(Ъ.
J-oo JO

§5.4. Ответы и решения
235
5.100. Уравнение движения гармонического осциллятора в данном случае
принимает вид:
9 2е2 d .. е „ ... )t
если пренебречь неоднородностью электрического поля в области, занятой
осциллятором, и действием магнитной силы — эффектами порядка v/c.
Решение уравнения 1), соответствующее вынужденным колебаниям,
выражается формулой:
е Е
г — — • .
га uJq - uj2 — iu>7'
Отсюда для усредненной по времени интенсивности света, рассеянного в данном
направлении, найдем:
dl 1 — ^ сЕ2
Л ,.,40;Л2
СТО
UTSIII
dtt 4тгс3' ' 8тг (u2-u2)2+u>2j2'
где $ — угол между направлением п распространения рассеянного излучения и
направлением поляризации падающей волны. Плотность потока энергии
(усредненная по времени) в падающей волне 7о = ^г- Дифференциальное сечение
рассеяния:
J~ I AT
da 1 dl о a/sin2^
г
dtt %dQ ' {LU$-LU2)2+LU2<y2'
Полное сечение рассеяния получается отсюда интегрированием по углам:
-/
da ,„ 8я" ., ш4
dQ 3 °(wo-w2)2+w272'
В случае сильно связанного электрона, когда u>o » w,
_ 8тг rgo;4
Характерна зависимость сечения от частоты: а ~ о;4.
В случае слабо связанного электрона при малом лучистом трении 7 ~ 0>
ojo ~ 0 и
_ 8тгг2
3
5.101. Условие малости амплитуды вдали от резонансной частоты ([с*;—c^ol^^o)
означает, что поле волны в области колебаний отдельного осциллятора можно
считать однородным. При резонансе (и « ujq) требуется более жесткое условие
еЕо/mcy <С 1, где 7 — не лоренц-фактор частицы, а ширина резонансной линии
(см. задачи 5.96-5.97). Если эти условия выполняются, то поле, действующее
на j-ю частицу, можно записать в виде Е = Е0ехр(гк-г7- - out), а ее радиус-вектор
Sj(t), отсчитываемый от положения равновесия, определится из уравнения
движения в пренебрежении магнитной силой (v/c <С 1): Sj = аехр(гк-г^ — ut), где
амплитуда колебаний

236
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
Вычисляя поле рассеянных волн в волновой зоне по принципу суперпозиции
с помощью формул для электрического дипольного излучения (см. раздел 5.1),
находим
Y^ esj(t ~ Щ/с) х n/ exp[-ioj(t - г /с)] и2р х n' ^
2) Н = 2^ ^ « ~ т^2^{
3=1
ь3
Здесь Rj = |г —rj| « r-n'-i-j, p = еа, г — радиус-вектор, который отсчитывается
от некоторого начала координат внутри области, занятой частицами. Вектор q =
= tun'/с - к = к7 - к представляет собой изменение волнового вектора волны при
рассеянии. Вычисляя дифференциальное сечение рассеяния по формуле (5.58),
находим
dE r,/ ^d(J
3) 5п=*Н«'
где
da w\ri x p)2
4)
dSl c4|E0|2
— сечение рассеяния отдельным осциллятором либо свободным электроном (при
u)q = 7 = 0), которое было вычислено ранее (см. задачу 5.100). Множитель
5) F(q)
TV
представляет собой фактор когерентности, показывающий, в какой мере
рассеяние системой зарядов отличается от рассеяния на отдельной частице. Он сильно
зависит от соотношения между обратным переданным рассеивателю волновым
вектором q~l и размерами области, в которой движутся частицы. Предельные случаи:
1. Переданный волновой вектор мал, для всех j имеем |q-rj| <C 1. Заменяя в 5)
экспоненты единицами, имеем F = iV2, где N — полное число рассеивателей. Это
случай полностью когерентного рассеяния, когда поля от отдельных частиц
складываются в одной фазе (сравнимый со случаем когерентного излучения сгустком
частиц, задача 5.92). Сечение пропорционально квадрату числа рассеивателей:
6) ^ = N*^.
Если рассеиваются длинные волны, Л > г^, то формула 6) справедлива при всех
углах рассеяния. Если же А ^ г7-, то 6) справедливо только при рассеянии на
малые углы, при которых qrj <С 1, несмотря на то что krj > 1. Поскольку q =
= 2/csin(#/2), где О — угол рассеяния, то область углов когерентного рассеяния
дается неравенством
7) '<'<*>&
где I — размер рассеивающей системы.

§5.4. Ответы и решения
237
2. Переданный волновой вектор велик, |q-rj-| » 1. Запишем 5) в виде
N
»)]•
N
F = ^ехр[гя-(г7- - г,)] + ^ exp[iq-(rj- - гш
3=1 зфгп
Первая сумма, очевидно, равна N. Значения же второй суммы зависят, вообще
говоря, от расположения зарядов. Если оно случайно, то при достаточно большом
N произойдет взаимное гашение осциллирующих слагаемых, и F = N. Поэтому
будем иметь
, d£ _ da
' d&= Ш
Здесь складываются не амплитуды, а интенсивности волн, рассеянных отдельными
частицами, эффект пропорционален числу рассеивателей, а не их квадрату.
Следует иметь в виду, что мы не учитывали вторичного рассеяния уже
рассеянных волн. Это означает, что пробег волн (или фотонов) между рассеяниями
должен превосходить размер рассеивающей системы. Другими словами, ее
«оптическая толща» должна быть малой.
5.102. Сила определяется импульсом, передаваемым частице падающей волной
в единицу времени. Из соображений симметрии ясно, что сила, как и передаваемый
импульс, ориентирована вдоль направления распространения k/fc первичной
волны. Передаваемый импульс равен разности проекций на к импульсов первичной
волны и всех рассеянных волн, интенсивность которых определяется падающей
волной и сечением рассеяния. В итоге будем иметь общую формулу для силы,
усредненной по периоду волны:
Хотя дифференциальное сечение рассеяния зависит от поляризации первичной
волны и для волн с линейной, круговой поляризациями и неполяризованнои волны
принимает соответственно вид
—-^-^ = rg(l - sin2 (9cos2 a),
2) ^g^(1+cos29),
где г0 — классический радиус частицы, в,а — углы, определяющие направление
распространения рассеянной волны, сила нечувствительна к поляризации и для
всех трех случаев будем иметь
3)
Т = Wq<Jt,

238
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
где wo = 7о/с = (l/SflOl^ol2 — плотность энергии в первичной волне,
4) от = 8тгт^/3
— томсоновское сечение рассеяния волны свободным зарядом.
5.103.
F = wT(l--){n-y(l--)-}.
Это выражение для силы справедливо и для немонохроматического излучения,
распространяющегося в направлении п.
5.104. Из соображений симметрии ясно, что результирующая сила,
действующая на электрон, будет направлена по нормали к поверхности. Усредняя по всем
возможным направлениям излучения силу, найденную в предыдущей задаче,
получим
<Fn >= -w<7t12 l+/3:
32
15
/3
Сила положительна при /3 < /3* и отрицательна при
/3 > /3*, где /3* — корень уравнения
/З2
32
15
/3 + 1 = 0,
удовлетворяющий условию 0 < /3* < 1, т. е. /3*^0,7.
Частица ускоряется до приобретения скорости v* «
~0,7с, после чего движется с этой скоростью,
больше не ускоряясь. Это объясняется тем, что по мере
роста скорости частицы все большее число фотонов
в системе покоя частицы участвует во встречных
Рис. 5.12 столкновениях с ней. Из-за этого ускоряющая сила
уменьшается и при v = v* обращается в нуль. При
v > v* встречные столкновения преобладают над догоняющими, и частица
замедляется. Изменение направления движения квантов связано с преобразованием
углов (аберрация света).
5.105. К электрону, находящемуся на расстоянии z от пятна, приходит
излучение, распространяющееся внутри телесного угла ^о = 27г(1 - /io), где //о =
= cos#o = (1 +а2/22)-1/2 (см. рис. 5.12). При изотропном испускании из каждой
точки пятна распределение излучения по углам
1)
i/j(f.i)dQ
Э(/х - /xp)d//
1 -Mo
зависит от координаты z. Плотность энергии излучения также зависит от
координаты по закону
2)
w(z) = ™о^щ =w0(l- iio(z)).

§5.4. Ответы и решения
239
В выражение силы, найденной в задаче 5.102, следует подставить 2) и усреднить
ее с функцией распределения 1). Это даст
3) /(7, z) = <Fz> = p2w0<jT{\ - Мо)[/?2(1 + Mo - 2/х§) - 6/3 + 3(1 + р0)\-
Составив уравнение, описывающее изменение энергии частицы, и перейдя к
дифференцированию по dz = vdty получим
4) ^ = -f(T>*)
dz rnc2
В этом уравнении переменные не разделяются, но можно исследовать знак
производной d'j/dz и асимптотику. На больших расстояниях от пятна, z > zo » ау
уравнение 4) может быть решено в аналитической форме. Максимальный
возможный лоренц-фактор определяется из трансцендентного уравнения
4i+v^T?-arcsi%)=7° W1_4~arcsin4)+is$
где 7о — лоренц-фактор при z = zo, который нужно определять из численного
решения уравнения 4). Он существенно зависит от плотности wq излучения.
5.106. Используем результат задачи 5.102. Плотность энергии излучения
убывает с расстоянием от центра звезды обратно пропорционально г2: w(r) =
= Ь/Атгсг2. Сила светового давления, действующая на электрон:
jp ( \ 2e*L l
Fr = crTw\r)
3m?с5 г2'
На протон действует сила, которая меньше в (me/mp)2 раз. Гравитационная сила
в основном действует на протон и имеет ту же зависимость от расстояния: Fg =
= GMme/r2, где G = 6,67 х 10~8 см3/г-с2 — гравитационная постоянная, М —
масса звезды. Вследствие кулоновского взаимодействия между протонами и
электронами обе силы действуют на квазинейтральную плазму в целом. Из равенства
сил находим
Lc = ^cmpGM k1q38M эрг/с>
От М0
где М0 « 2 х 1033 г — масса Солнца.
5.107. Исходим из уравнения Дирака-Лоренца (5.49), записанного через
импульс и ускорение:
i\ dpi е - k 2е2 (d2Pi 1 , к.
dr rnc l 3mc3 \ dr2 c2
Тензор Fik должен содержать как поле волны, так и поляризационное поле EZy
препятствующее продольному движению электрона. Исследуем стационарное
состояние, в котором энергия частицы £ = mc2/y = const, а трехмерный импульс
вращается в плоскости ху с частотой волны ш\
2) p(t) = р[ех cos((jjt - ф) - еу sin(ut - (/?)], pz = 0,

240
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
где t — координатное время, tp — сдвиг фазы вращения электрона относительно
электрического поля волны.
Компонента % = 0 уравнения 1) при подстановке в него приведенных выше
величин дает уравнение баланса энергии:
3) eE-v = eEovsincp = —-—/3274-
Зс
Здесь в левой части равенства присутствует мощность, получаемая электроном от
волны; правая часть в точности равна потере энергии (5.72) на излучение
частицей, вращающейся по окружности с заданной частотой. В компонентах г = 1,2,3
переходим к дифференцированию по координатному времени, dr = j~ldt, и
выделяем проекцию на направление ускорения частицы, умножая обе части
уравнения 1) скалярно на соответствующий орт e(t) = ех sin(ujt — ср) + еу cos(u;t — <р).
Это позволяет выразить импульс через амплитуду волны и сдвиг фазы:
4) сир = eEocosp.
Последнее уравнение выражает собой баланс центробежной и электрической сил
без участия радиационной силы, так как угловое распределение излучения
симметрично относительно плоскости круговой орбиты. Наконец, проекция уравнения 1)
на ось Oz позволяет выразить продольное электрическое поле Ez через поле
волны:
5) Ez = EoP sin ср.
Уравнения 3) и 4) позволяют вычислить зависимость сечения от амплитуды
волны и проанализировать предельные случаи. Для этого введем безразмерные
параметры Ь = eE^/mcw, к = Зс/г0о; и исключим фазу (р из указанных уравнений:
б) (y_i)^ + i
Полученное алгебраическое уравнение определяет энергию частицы £ = mc2j как
функцию параметров Ъ, к. В области применимости классической
электродинамики к > 1. Это неравенство нарушается только при энергиях квантов Нш >
> 137гас2 « 70 МэВ, т. е. в далекой квантовой области. Полное сечение рассеяния
согласно (5.58) определяется отношением излучаемой в единицу времени энергии,
которая определяется правой частью равенства 3), к плотности потока энергии в
падающей волне 70 = cEq/Att:
Предельные случаи:
а) 7 <^ ft1^3; из 6) получаем 72 ~ 1 + Ь2 и, следовательно, b <C к1^. Это
случай, когда реакция излучения в 1) играет малую роль. Имеем из 7)
8)
сг^стт, !>« 1; аъатЬ2, Ь > 1.

§5.4. Ответы и решения
241
б) 7 >• ft^3; ПРИ этом 7 ~ (ftfr)1/4 и 6 > к;1/3. Этим неравенствам отвечает
превышение реакции излучения над внешней силой. Оценка сечения:
_ч ft
9) сг^сгт-.
Наибольшего значения сечение достигает при b « ft1/3:
Л \2/3
10) <7тах « СГТ^2/3 « СГТ
2тгг0
Классическая теория применима, если характерная энергия кванта составляет
малую долю от энергии электрона: huc <C mc2j. Под характерной энергией
следует понимать энергию квантов в максимуме излучения, т. е. при частотах ис « огу3
(см. формулу 8) из решения задачи 5.83, в которой следует заменить и>о —> и.
Из полученных выше неравенств находим границу, разделяющую классическую и
квантовую области: Е0 « е/Л^, где Ас — комптоновская длина волны электрона.

Глава 6
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
И РАССЕЯНИЯ ФОТОНОВ
§6.1. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Чтобы применить квантовую механику к свободному (не
взаимодействующему с заряженными частицами) электромагнитному полю, будем рассматривать
поле как линейную колебательную механическую систему с большим (в
пределе неограниченным) числом степеней свободы. Как известно из механики, такая
колебательная система эквивалентна набору независимых гармонических
осцилляторов, каждый из которых может колебаться с одной из собственных частот
рассматриваемой системы. Осцилляторные обобщенные координаты в этом случае
называются главными координатами колебательной системы.
Для свободного электромагнитного поля главными координатами являются
коэффициенты разложения bs(t) векторного потенциала A(r,t) по плоским волнам
(см., например, [Батыгин и Топтыгин (2003)])
A(v,t) = J2{bs(t)As(v) + K(t)A;(v)}, As(v) = es^feik-r, (6.1)
S
s = (k,cr) — совокупность волнового вектора и поляризационного индекса а, е$ —
единичный орт поляризации, V — нормировочный объем. Скалярный потенциал
<р(г,£) можно выбрать равным нулю. Обобщенные координаты b3(t) комплексны и
колеблются по гармоническому закону
Ь$ + lv% = 0, и>$ = ск. (6.2)
Возможные значения волнового вектора к образуют бесконечное счетное
множество
2тг 7 2тг 2тг
Кх=-гПи Ку = -гП2, kz = —Пз, ГДе Щ, 712, П3 = 0, ±1,±2, ...
независимы и принимают целочисленные значения. Приведенные значения
компонент волнового вектора соответствуют предположению, что поле периодично по
всем трем декартовым координатам с периодом L. Число собственных колебаний
поля (с учетом двух поляризаций при каждом к) можно выразить в виде
произведения AN = 2АП1АП2АП3 или, в дифференциальной форме, одной из формул
2V 2V
dN = ^—k2dk<mk = —^w2dujdnk, (6.3)
(27Г)'3 {2жс)й

§6.1. Квантовая теория свободного электромагнитного поля
243
где d£tk — телесный угол, внутри которого ориентирован волновой вектор, V = L3 —
нормировочный объем.
Выделим действительную Q3{t) и мнимую Ps(t) части осцилляторных
координат,
h(t)
Qs(t) + —P$(t)
K(t)
Qs(t) - —P,(t)
Далее вычислим напряженности поля
Е:
19А
~c~dt'
Н = Vx A
(6.4)
(6.5)
и найдем энергию Н и импульс Р поля, локализованные в объеме V = L3:
w = sf /v(£2 + H2)dV = з £.№? + "2SQ%
Энергия поля выразилась как сумма энергий
1
(6.6)
T~is
2(P? + "2sQ2s)
(6.7)
линейных осцилляторов, у которых Q$ и Р$ представляют собой канонически
сопряженные координату и импульс. Поэтому Н можно рассматривать как
классическую функцию Гамильтона электромагнитного поля, которое представлено в виде
набора независимых осцилляторов.
Чтобы перейти к квантовой теории электромагнитного поля, нужно
рассматривать осцилляторы поля как квантовые объекты и сопоставить каноническим
переменным квантовомеханические операторы Qs —> Qs, Ps —> Ps. Их следует
подчинить перестановочным соотношениям Гейзенберга:
[^bsi -* sj — Ws*s *sWs — ЪП)
(6.8)
-27
где h « 1,05 х 10_<6' эрг-с — уже встречавшаяся ранее квантовая постоянная
Планка. Любые операторы, относящиеся к разным осцилляторам (s Ф s')> взаимно
коммутируют.
^ --—-2 -—-2
Собственные значения £s оператора Hs = (Ps + u2sQs )/2 позаимствуем из
квантовой механики. Известно, что собственные значения стационарного
уравнения Шредингера ris(ps = Escps для гармонического осциллятора имеют значения
£a = hua(Na +1/2), Ns =0,1,2.
(6.9)
Обращаясь к формулам (6.6), мы находим, что полная энергия £
электромагнитного поля и его импульс Р состоят из отдельных дискретных порций — фотонов:
£ = Y,b"s(N$ +1/2),
5>k,(iV, + 1/2).
(6.10)

244 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
Каждый фотон — это частица (квант электромагнитного поля), энергия которого
Ни и абсолютная величина его импульса ftk определяются частотой. При
заданной частоте и волновом векторе имеются два типа фотонов, которые отличаются
поляризациями a = 1,2 (напомним, что 5 = (к,а)).
Будем описывать состояния квантованного поля заданием чисел заполнения N$
для всей бесконечной совокупности осцилляторов поля1. Тогда волновая функция
электромагнитного поля (его полный вектор состояния) запишется как
произведение векторов состояния всех осцилляторов:
Ф = П3|]У5), (6.11)
где через \N$) обозначен вектор состояния осциллятора, возбужденного на уровень
N$ (которому принадлежит N$ фотонов).
В квантовой теории поля важную роль играют операторы
где крестом обозначено эрмитово сопряжение. Эти операторы обладают свойством
уменьшать или увеличивать число фотонов данного типа s (доказательство см.,
например, в [Батыгин и Топтыгин (2003)]):
c^s\Ns) = yfihTl\Ns + 1), cs\Ns) = ^/N~S\NS - 1). (6.13)
Поэтому они называются операторами рождения и уничтожения фотонов.
Произведение
cjcs=Ns (6.14)
представляет собой оператор числа фотонов: NS\NS) = NS\NS). Оператор
Гамильтона (гамильтониан) поля и оператор векторного потенциала выражаются через
операторы рождения и уничтожения фотонов:
W = 53^e(ctce + l/2), A(r) = £{ceAe(r)+ctA;(r)}, (6Л5)
S S
где
Пример 6.1. Построить операторы электромагнитного поля Е(г), Н(г) и
показать, что эти операторы не коммутируют с гамильтонианом и,
следовательно, напряженности поля не имеют определенных значений в фоковских
состояниях, в том числе и в вакуумном.
1 Такие состояния часто называют фоковскими по имени выдающегося советского физика-теоретика
В. А. Фока (1898-1974). Существуют и другие состояния свободного электромагнитного поля, отличные
от фоковских.

§6.1. Квантовая теория свободного электромагнитного поля
245
Решение. По формулам электродинамики (6.5) находим классические
выражения для напряженностей поля:
E(r,t) = iJ2-{bs(t)As(r)-K(t)A*s(r)},
^-^ с
$
H(r,t) = i^kx {ba(t)As(T) - b*s(t)A*s(r)}.
s
Затем заменяем амплитуды bs(t), b*(t) с помощью соотношений (6.12) операторами
cs, cl и получаем операторы напряженностей поля:
Ё(г) = iV- (csAs(r) - а;л;(г)}, (6.16)
$
Н(г) = i£k x {ceAe(r) - cjA^r)} . (6.17)
S
С помощью последней формулы (6.12) находим коммутаторы [W,E], [W,H] и
убеждаемся, что они не равны нулю. Это означает, что напряженности Е, Н не
имеют определенных значений в состояниях с определенными числами фотонов и
испытывают, в частности, вакуумные флуктуации. ■
Пример 6.2. Записать операторы Hs, Ns, cs, cJ e представлении чисел
заполнения.
Решение. Числа заполнения дискретны, поэтому искомые операторы примут
форму матриц:
NN>N = < N'\N\N > = N5N>N; Hn'n = £n&n'n\ cn>n = VN5N>,N-i\
где Sn дается равенством (6.9). Индекс s опущен. ■
Пример 6.3. Если электромагнитное поле находится в статистическом
равновесии с окружающим равновесным веществом, то вероятность wn,
отдельному осциллятору поля иметь энергию £$ = hu;$(N$ + 1/2), Ns = ОД, 2...
выражается формулой (распределение Гиббса)
1 ( Ss
1) ^ = -exp(^--J,
где Т — абсолютная температура системы в энергетических единицах, Zs —
постоянная нормировки. Вычислить зависимость среднего числа квантов
данного сорта от температуры.
Решение. Вероятность наличия Ns фотонов в данной моде 5 = (к, а) дается
формулой 1). Постоянная нормировки на единицу имеет значение
ОО / r> \ °°
ч z,= i>p(4W"'2x:-"' '""' v
е-ап = - , а =
Т ^ 1-е~а' T
N.,=0 ч 7 п=0
(напомним, что температура Т измеряется в энергетических единицах).

246 Глава б. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
С помощью вероятности 1) находим среднее число фотонов, приходящееся на
рассматриваемый осциллятор поля:
ОО / 0 \ ОО
3) N$= £iNW„ = (l-e-«)(-—)5>-«"
N,=0
д_
да
1
п=0
1
Итак, распределение средних чисел фотонов по частотам при заданной температуре
(распределение Планка) имеет вид
Ns
1
exp{hLjs/T)
(6.18)
7
2 5
2
0,5
/
0,5
1,5
Рис. 6.1
2,5
(см. рис. 6.1; по горизонтальной оси
отложена безразмерная величина х = hw/T).
Число квантов при заданной температуре растет
с уменьшением частоты неограниченно при
и —> 0, но энергия, приходящаяся на
любой конечный интервал Аи, остается
конечной (см. задачу 6.11). Распределение
Планка является частным случаем распределения
Бозе-Эйнштейна для невзаимодействующих
частиц с целыми спинами. ■
Рекомендуемая литература: [Ландау
и Лифшиц, Квантовая механика. Берестецкий и др. (1989), Гайтлер (1956),
Фейнман (2000)], [Дирак (1960), Дирак (1990), Фок (1976), Коэн-Таннуджи и др.
(1992)], [Ициксон и Зюбер (1984), Батыгин и Топтыгин (2003)].
Задачи
6.1. Найти следующие средние значения в n-м стационарном состоянии какой-
либо из мод поля: а) с, ct; б) Р, Q\ в) с2, (с*)2;
6.2* Найти средние значения неопределенностей Q и Р в п-ы состоянии
некоторого осциллятора поля и проверить выполнение соотношения
неопределенностей Гейзенберга у/до2 • Vap2 > h/2.
6.3. Выразить гамильтониан Н электромагнитного поля через операторы с1, с
рождения и уничтожения фотонов, исходя из классического выражения (2.54) для
плотности энергии поля и используя операторы Е, Н.
6.4. Выразить оператор Р импульса электромагнитного поля через операторы
уничтожения и рождения фотонов, исходя из его классического выражения (6.6)
через напряженности Е, Ни заменив классические напряженности их квантовыми
операторами.
6.5. Вычислить среднеквадратичные флуктуации напряженностей поля АЕ2У
АН2 в вакуумном состоянии.
6.6* Параллельные незаряженные металлические пластинки размером L x L
находятся в вакууме на расстоянии z друг от друга. Оценить по порядку величины
силу, действующую между ними, исходя из представления, что она вызвана
вакуумными флуктуациями электромагнитного поля в пространстве между пластинами

§6.L Квантовая теория свободного электромагнитного поля 247
(эффект Казимира). Основная роль должна принадлежать флуктуациям с
длинами волн порядка расстояния между пластинами.
6.7.** Оценить по порядку величины сдвиг между 2s- и 2р-уровнями в атоме
водорода (лэмбовский сдвиг), рассматривая его как результат возмущения
электронных состояний вакуумными флуктуациями электромагнитного поля.
6.8.** Произвести разделение полного момента импульса свободного
электромагнитного поля J на две части: на орбитальный момент L относительно точки с
радиусом-вектором го и спиновый момент S, не зависящий от выбора начала
координат. Записать операторы орбитального и спинового моментов через операторы
векторного потенциала и электрического поля.
6.9* Выразить оператор спинового момента S свободного электромагнитного
поля через операторы рождения и уничтожения фотонов. Для каких квантовых
состояний с определенным числом фотонов спиновый оператор диагонализуется?
Записать для этих состояний спин поля через числа фотонов.
6.10* Выразить интенсивность излучения Ia(uj,n)t имеющего частоту ш,
поляризацию а и направление п, через число квантов N\^at где k = urn/с.
6.11. Вычислить среднюю энергию, приходящуюся на один осциллятор поля
равновесного электромагнитного излучения.
6.12* Вычислить спектральное распределение интенсивности и плотности
энергии равновесного излучения, основываясь на распределении Планка.
Произвести анализ частных случаев. Объяснить природу «ультрафиолетовой
катастрофы» — невозможность получить спектральную плотность излучения при высоких
частотах исходя из классических представлений.
6.13. Показать, что полная интенсивность излучения с единицы площади
поверхности абсолютно черного тела (испускающего равновесное электромагнитное
излучение) выражается формулой Стефана-Больцмана
I = / I(u) cosOdQdu) = сгТ4, где a = —^ « 5,67 х 1(Г5 гс"3^4 (6.19)
J &)h6cz
— постоянная Стефана-Больцмана, кв — постоянная Больцмана, Т — температура
в Кельвинах, угол О отсчитывается от нормали к поверхности и интегрирование
по телесному углу ведется в пределах полусферы. Полная энергия излучения в
объеме V (т. е. внутренняя энергия) дается выражением
£ = —T4V. (6.20)
с
Указание. Использовать табличный интеграл
x3dx 7г4
ех - 1 ~ 15"
6.14. Для равновесного излучения найти распределение р(Х) плотности
энергии излучения по длинам волн Л и сформулировать закон смещения Вина для
такого распределения, т. е. найти связь между температурой и длиной волны, на
которую приходится максимум излучения.
L

248 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
6Л5. Построить функцию распределения Планка, полученную при решении
задачи 6.12, в зависимости от отношений А/Ат и \/\rmi где Ат, \fm — длины
волны, отвечающие максимуму функции распределения по частотам и по
длинам волн. Найти Am, \'m для следующих космических объектов: а) реликтовое
излучение (Т = 3 К); б) поверхность Земли (300 К), /z-Цефея, так называемая
«гранатовая звезда» (2000 К), поверхность Солнца (6000 К), поверхность Сириуса
(11 000 К), поверхность звезды /З-Центавра (22 500 К), центральная звезда
планетарной туманности Лиры (75 000 К), поверхность нейтронной звезды (250 000 К),
внутренние области обычных звезд типа Солнца (25 х 106 К).
§ 6.2. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА АТОМАМИ
Большинство задач о взаимодействии заряженных частиц с фотонами может
быть решено приближенно на основе квантово-механической теории возмущений.
Это связано с тем, что рассматриваемое взаимодействие относительно мало и
безразмерный параметр разложения (постоянная тонкой структуры a = e2/he «
« 1/137) мал. Поэтому уже первое неисчезающее приближение при вычислении
вероятностей квантово-электродинамических процессов часто дает достаточную
точность.
Вероятность перехода в единицу времени с испусканием фотона, имеющего
частоту и и заданную поляризацию, вычисляется по формуле [Ландау и Лифшиц,
Квантовая механика]
dwrad = ||(/|y|i)№i _£f_ MVfc^f4 (6.21)
Эта вероятность является дифференциальной величиной, так как испущенный
фотон находится в непрерывном спектре и величина dv = Vu2dudQ,k/{^c)3
представляет собой число квантовых состояний фотонов с заданной поляризацией,
приходящихся на интервал волновых векторов d3k = k2dkd£lk.
Векторы начального и конечного состояний рассматриваемой системы в целом
представляют собой произведения волновых функций частицы V^V*/ и
электромагнитного поля:
|г) = фгФ{мя}, |/> = ^/Ф{^+1}. (6-22)
В виде индекса указаны числа заполнения только той моды поля, в которую
происходит излучение.
Вероятность поглощения фотона квантовой системой с переходом между теми
же состояниями / —► г (но в обратном направлении) дается той же формулой
(6.21), но при другой последовательности состояний:
*** = f K/W>№' - Sr + МЦ£$±, (6-23)
где |г;) = V/3>{jv.s}> \f) = -0г|Ф{лт.х —1} И величина dv относится к непрерывному
спектру состояний поглощаемого фотона.

§ 6.2. Излучение и поглощение света атомами
249
Орератор V взаимодействия фотона с нерелятивистским электроном можно
получить из гамильтониана Паули, учитывающего наличие спина у электрона:
2
V = -—р.А + тг^А2 - А Н, (6.24)
тс 2тс/
где р = —ihV — оператор импульса, \х — оператор спинового магнитного момента,
А (г), Н(г) — операторы квантованного векторного потенциала и
квантованного магнитного поля. Первые два оператора действуют на координаты и спиновую
переменную электрона. Операторы А(г), Н(г) = V х А(г) действуют не только
на координаты электрона (как операторы умножения), но и на переменные
электромагнитного поля, в качестве которых мы выбираем, как и при рассмотрении
фоковских состояний в разделе 6.1, числа заполнения Nst причем 5 обозначает
совокупность четырех квантовых чисел, характеризующих состояние фотона.
Первый и третий члены в правой части (6.24) описывают процессы излучения
и поглощения одного фотона в каждой моде, тогда как слагаемое с А2
описывает двухфотонные процессы. Интересуясь однофотонными процессами, мы можем
взять оператор взаимодействия без квадратичного слагаемого:
V = -—Ар - £>[V х А]. (6.25)
тс
Пример 6.4. С помощью формул раздела 6 Л вычислить матричные
элементы по переменным электромагнитного поля и представить вероятность
перехода (6.21) в форме
,rad_ W + iv21 ' |2
dW' - 4*W
где
J ifi(T).A*t(T)^
dQk, (6.26)
icfi
j/i = "^ ((^/, VVi) - (УФ/М + cV x (V/,AV>i) (6.27)
называется током перехода электрона из начального в конечное состояние,
Si, Sf — энергии этих состояний, и = (Si - £f)/h — частота перехода.
Решение. Записываем матричный элемент в виде
1)
(f\V\i) = (Ф{лг,+1} ||d3r{-^(^,M)-A(r) - «v.A^HV х А(г)]} Ф{дг,}>.
Здесь d3r — элемент объема обычного пространства, круглыми скобками
обозначена операция суммирования по спиновой переменной. Путем интегрирования по
частям с учетом обращения в нуль волновых функций частицы на бесконечности
внутренний интеграл выражается через ток перехода
2) -- / j/i-A(r)d3r.
"с/*"'
При вычислении матричного элемента от оператора А(г) по переменным поля
воспользуемся формулами (6.13), из которых следует
3) (Ф{дг„+1}|А(г)|Ф{дг,}> = ViVs + lA;(r).

250 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
Из всей бесконечной суммы (6.15) срабатывает только один член с оператором
рождения фотона. В итоге получаем из 1)
4) (f\V\i) = --c^N7Tl j' ifi(v).A*s(v)d3r.
Вычисляя вероятность перехода в единицу времени согласно (6.21) и произведя
интегрирование по частоте фотона, находим вероятность (6.26). ■
Вероятность излучения состоит из двух слагаемых: dwrad = dw%nd 4- dwsp. Одно
из них, dwind = N$dwspy пропорционально числу квантов N$ в рассматриваемой
моде и называется вероятностью индуцированного излучения, другое слагаемое
отлично от нуля и в отсутствие квантов в начальном состоянии. Это излучение
называется спонтанным:
dwsp
и2
Атт2П2съ
J ifi(r).A*s(r)d3r
2
dQk. (6.28)
Пример 6.5. Размер а области локализации частицы удовлетворяет
условию ка <С 1, где к — волновой вектор излученного кванта. Выразить
вероятность спонтанного излучения фотона с заданным волновым вектором и
поляризацией через матричный элемент электрического дипольного момента.
Произвести суммирование по возможным поляризациям кванта и получить
интенсивность излучения на заданной частоте в данном направлении п.
Сравнить полученный результат с классическими формулами (5.13) и с формулами,
приведенными в ответе задачи 5.2.
Решение. При вычислении матричного элемента в (6.28) используем
приближение ехр(—гк-г) « 1 и подставляем в интеграл А* = ^/27гЯс/Уа;е*. Слагаемое
со спиновым магнитным моментом при интегрировании дает нуль, и матричный
элемент приводится к виду
Оператор —ihV/m изображает скорость частицы. Для преобразования интеграла
используем квантово-механические формулы
/ч % Г /ч "I
2) v = г = - IН, г I Н^Фи = £i,ftl>itf,
где Wo — гамильтониан частицы. Используя также эрмитовость гамильтониана
3) AV/> ПоГф^Г = [(H0tl>f, *Фг)(13Г = Sf j\фf, r^)d3r,
приводим интеграл к виду
4) jjfvA*sd3r = -^(Si-Sf)
2-пПс „

§ 6.2. Излучение и поглощение света атомами
251
Здесь (Si — Sf)/h — частота излученного кванта, а
pfi = e [(фг,гфг)(13г (6.29)
представляет собой дипольный момент перехода.
В итоге получим вероятность перехода
dws? = ^^\e*s.Pfi\2dnk. (6.30)
Это выражение дает вероятность испускания кванта с заданной поляризацией.
Суммирование по поляризациям производится с помощью формулы 2.72 (задача
2.97), что дает
dwsp = ^-3 |п х pfi\2d£lk. (6.31)
Интенсивность излучения в данном направлении получится в результате
умножения вероятности (6.21) перехода в единицу времени на энергию кванта ftuj.
В обозначениях предыдущей главы (см. формулы (5.13))
После интегрирования по телесному углу находим интенсивность суммарного по
всем направлениям излучения
/ = f^|p/i|2- (6-33)
Квантово-механический результат для интенсивности излучения получается из
классических формул, усредненных по гармоническим колебаниям, путем замены
р2 - 4о;4|Р/,|2. ■
Рекомендуемая литература: [Берестецкий и др. (1989), Фейнман (2000), Бете
и Солпитер (1960), Ахиезер и Берестецкий (1981), Гайтлер (1956), Батыгин и
Топтыгин (2003)].
Задачи
6.16.* Начальное состояние электрона в центрально-симметричном поле
определяется набором четырех квантовых чисел: главного п = 1,2,..., орбитального
I = 0,1,... п - 1 и двух магнитных, га/ = 0, ±1, ±2, • • • ± /, ms = ±1/2,
определяющих проекции орбитального и спинового моментов на ось квантования. Показать,
что после электрического дипольного излучения фотона возможны конечные
состояния с квантовыми числами
m'a=m8; l' = l±l (V = 1 при / = 0); mz'=mz,mz±l; (6.34)
nf — любое, совместимое с предыдущими условиями и неравенством Sf < Si
(правила отбора для электрического дипольного излучения).

252 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
Указание. Воспользоваться разложением Клебша-Гордана (см. [Ландау и Лиф-
шиц, Квантовая механика], глава 14)
где коэффициенты Клебша-Гордана С отличны от нуля только при выполнении
неравенств треугольника h + l2 > L > \lx — l2\ и подчиняются целому ряду
соотношений симметрии, в частности C£*JlZama = {-^)h+h+LCf^xl2_m2.
6.17. Электрон в атоме водорода находится в возбужденном состоянии 2р.
Вычислить вероятности спонтанных переходов в единицу времени в основное
состояние Is из состояний с разными значениями магнитного квантового числа га/ =
= 0, ±1, которые сопровождаются испусканием одного линейно поляризованного
фотона в заданном направлении п. Сравнить угловые распределения для
различных переходов. Записать, в частности, угловое распределение излучения,
просуммированное по поляризациям фотонов и угловое распределение излучения от непо-
ляризованных атомов.
6.18. Для случая, рассмотренного в задаче 5.8, произвести квантово-механи-
ческий расчет и найти суммарную по всем направлениям интенсивность излучения
атома водорода.
6.19* Вычислить среднее время жизни г атома водорода в возбужденном
состоянии 2р относительно спонтанного излучения фотонов.
6.20. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии Is.
Возможно ли перевести его в возбужденное состояние 2р, raj = +1, облучая атом
поляризованными фотонами? При какой поляризации фотонов будет заселяться
только состояние т/ = — 1? состояние га/ = О?
Указание. Полезно использовать результат решения задачи 6.9.
6.21. Спектральная линия серии Лаймана в атоме водорода возникает как
результат электрических дипольных переходов из состояний 2р, Зр,... в основное
состояние Is. Вычислить и сравнить интенсивности I двух первых спектральных
линий этой серии Lya (переход 2р —► Is) и Ly@ (переход Зр —► Is) при спонтанном
излучении.
Указание. Радиальная волновая функция Зр-состояния имеет вид
Д31(Г)= * з/2е"Г/3а"-
Другие волновые функции приведены при решении задачи 6.17.
6.22* Взаимодействие электрона с нулевыми флуктуациями
электромагнитного поля приводит к расщеплению уровней 25х/2 и 2р1/2 (лэмбовский сдвиг,
Д£ « 1058 МГц « 4,4 х 10~6 эВ, см. задачу 6.18). Индекс 1/2 обозначает
квантовое число j = 1/2 полного момента электрона. Выразить через атомные постоянные
и получить численное значение (в обратных секундах) вероятности спонтанного
перехода 2s1/2 -> 2p1/2.
Указание. Согласно принципу суперпозиции и правилам сложения угловых
моментов в квантовой механике спин-угловую волновую функцию, описывающую

§ 6.3. Ответы и решения
253
состояние электрона с определенными j, rrij, I, можно записать в виде
суперпозиции (разложение Клебша-Гордана, ср. с задачей 6.16)
m,fj.
Здесь Хм — спинор, описывающий состояние с проекцией спина ц = ±1/2 на ось
квантования, коэффициенты разложения обеспечивают неравенство треугольника
I + 1/2 ^ j ^ \1 — 1/2| и правило сложения проекций моментов rrtj = га + \х.
6.23* За счет взаимодействия между магнитными моментами электрона и
протона энергетический уровень атома водорода расщепляется на два подуровня
(сверхтонкое расщепление), расстояние между которыми AS « 1420 МГц « 5,9х
х10~6 эВ. Верхний уровень — триплетный, полный момент атома 5=1, нижний
— синглетный, 5 = 0. Вычислить вероятность электромагнитного перехода между
указанными компонентами сверхтонкой структуры.
6.24* Атом водорода, находящийся в основном состоянии, облучается
направленным пучком фотонов с частотой и. Энергия фотонов удовлетворяет условию
huj ^> /о, где /о — энергия связи (ионизационный потенциал) атома. Вычислить
сечение фотоионизации атома поляризованным излучением с вылетом электрона
в заданном направлении, а также суммарное по всем направлениям сечение
фотоионизации неполяризованным излучением, считая электрон в конечном состоянии
свободным.
6.25. Вычислить полное сечение фоторекомбинации атома водорода (процесс,
обратный фотоионизации). Электрон в начальном состоянии считать свободным,
атом образуется в основном состоянии.
6.26? Записать магнитный дипольный момент перехода
через матричный элемент полного магнитного момента М излучающей частицы:
Hfi = J tl>}Mtl>id3r, М = ^ (* + <?s) , (6.35)
где Z, s — безразмерные операторы орбитального и спинового моментов частицы,
для электрона фактор д « 2.
§ 6.3. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
6.1. а) с = ? = 0; б) Р = Q = 0; в) ? = № = 0.
6.2. у/Д^ • л/дР = П(п + 1/2) ^ П/2.
6.4. В квантовой теории оператор физической величины должен быть
эрмитовым. Поскольку операторы Е и Н не коммутируют (см. задачу 6.12), оператор Р,
построенный по принципу соответствия, необходимо симметризовать:
1) р = ^Гс!у [ё(г) х й(г) - й(*) х ЁМ]^-

254 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
При подстановке в 1) операторов поля (6.14), (6.15) получаем оператор импульса,
выраженный через операторы рождения и уничтожения фотонов:
2) P = £fik(c+cs + l/2).
S
6.5. Обозначив вектор вакуумного состояния поля (с учетом всех мод) через
|0 > и вычисляя средние значения напряженностей поля, получим Е =
= < 0|Ё|0 > =0, Н = 0,
№ = & = <0\Щт)\0> = ^,?^ = ^ ГсЛЬ^ос.
Аналогичным образом получим АН2 = Н2 —>• ос. Эти две бесконечности имеют
ту же природу, что и бесконечная энергия вакуума.
6.6. В предположении L > z вычисляем разность энергий AU вакуумных
флуктуации в пространстве между пластинами при наличии пластин и в их
отсутствие. Тем самым мы избавимся от расходимости энергии нулевых колебаний.
В первом из этих случаев интегрирование по к следует ограничить снизу
значением кт\п « 27г/2, так как в области размером z не может быть флуктуации
с длинами волн, превышающими z. Использовав результат задачи 6.5, найдем в
расчете на единицу площади пластин
AU^—-,zl k3dk- k3dk} = -—^z k3dk = 5—.
{£**-Г **}--£• Г
2тг2
Сила вычисляется путем дифференцирования по z:
dz zA
Пластины притягиваются с силой, быстро убывающей с расстоянием. Точный
расчет [Лифшиц и Питаевский, Статистическая физика] дает для этого случая другой
численный коэффициент: 7г2/240 вместо нашего 67Г2. Ввиду высокой (четвертой)
степени зависимости от кт-т результат чувствителен к этому параметру,
известному только по порядку величины.
6.7. На электрон атома действует не только поле ядра и других электронов, но
и нулевые колебания электромагнитного поля. Эти колебания приводят к
«дрожанию» электрона на его квантовой орбите, вследствие чего изменяется
действующее на него поле и положения энергетических уровней электронов испытывают
некоторые смещения (лэмбовский сдвиг). Количественно изменение
потенциальной энергии выразится следующим образом:
1) SU = Щг + 8т) - Щт) = 4U.6r + I (^-g-) 5XaSX0 + ... .
Усреднив эту величину по нулевым колебаниям, получим в первом неисчезающем
приближении следующую добавочную потенциальную энергию за счет нулевых
колебаний:
2) V(t) = <6U> = hv2U(r)) < дт2 > .

§ 6.3. Ответы и решения
255
Здесь учтено, что нулевые колебания изотропны, поэтому < 5г>= 0, <6ха5х/з> =
>=(1/3)<5г2>6ар.
Оценим средний квадрат смещения электрона по порядку величины, считая его
отклонения от равновесной орбиты квазиклассическими. Если частота «дрожания»
существенно превышает атомные частоты, то уравнение движения осциллятора
под действием поля моды 5 можно записать в виде
3) m5fs = eFjscosust (kdr <C 1).
Решение этого уравнения, 5rs = -eEs(£)/mo;2, возводим в квадрат и усредняем
по вакуумному состоянию электромагнитного поля с помощью результата, полу-
321
2тге2Я
ценного в задаче 6.5, заменяя < Е^(£) > —► < 0|Ё2|0 > = 2ttHu)s/V. Получаем
4) < Sri > =
m2u>%V'
Суммирование по модам с переходом к интегрированию по частотам дает
^ 7гт2с3 А, . и
S win in.
Интеграл расходится логарифмически, и его нужно обрезать на верхнем и
нижнем пределах. Нижний предел должен быть порядка атомной частоты и0 в
соответствии со сделанным ранее предположением. Верхний предел оценивается из
соображения, согласно которому в нерелятивистской системе (атоме) существенны
частоты hjj ^ тс2, где т — масса электрона. Таким образом, полагаем o;min =
= Иь ^max = mc2/h и получаем в итоге
с 2 2e'2h I (mc2
6) < 5г2 > = ^ In —-
7гт/с6 \ пюо
Теперь значение энергии возмущения 2) известно, и можно найти поправку к
энергии электрона в атоме, вызванную этим возмущением, пользуясь стационарной
теорией возмущений [Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]:
7) Д£= <ф\У\ф>,
где ф — волновая функция того состояния, к энергии которого ищется поправка.
В атоме водорода, считая ядро точечным, имеем С/(г) = -e2/r, V2£/(r) = 4же25(г).
Используя этот результат, а также 2) и 5), находим сдвиг уровня энергии:
В рассматриваемом приближении испытывают сдвиг только уровни энергии тех
состояний, у которых ф(0) ф 0. Таким свойством обладают лишь состояния с
орбитальным моментом I = 0 (s-состояния). Волновая функция 25-состояния атома
водорода |^2оо(0)|2 = 1/8тта3в, где ав = Н2 /те2 — боровский радиус. В качестве

256 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
величины hioo используем атомную единицу энергии fiwo = me4/h2. Подставляя
в 8) все указанные величины, получим
9) AW = ^mcVln(^), Д5211/2 = 0, а=^«^-
Здесь в виде индексов у энергетических сдвигов указаны главное квантовое число,
орбитальный момент и полный момент электрона (j = 1/2 в обоих случаях). Если
поправка, связанная с нулевыми колебаниями, не учитывается, то
рассматриваемые два уровня энергии совпадают. При учете нулевых колебаний они
расщепляются. Наш оценочный расчет дал величину расщепления AS2oi/2 = 0,52mc2a5.
Точный расчет [Берестецкий и др. (1989)] дает значение 0,41тс2а5. Этому
значению соответствует частота перехода 1050 МГц.
6.8. Полный момент поля относительно точки с радиусом-вектором г0 в
классической теории вычисляем по формуле
1) J(r0)= /(r-r0) xVdV = J(0)-r0 xP, P = -^ExH
J 47ГС
— плотность импульса. Сделаем подстановку Н = Vx А и преобразуем выражение
для J путем интегрирования по частям в предположении отсутствия поля на
бесконечности (полезно использовать соотношения (1.23а) и тождество (б) из задачи
1.28, а также уравнение Максвелла V-E = 0). В итоге получим два слагаемых:
J(r0) = L(r0) + S, где
2) L(r0) = ^ J Ea[(r - r0) x V]AadV
— орбитальный момент поля, зависящий от выбора начала отсчета;
3) S = JL|[ExA]<fl/
— спиновый (внутренний) момент поля, не зависящий от выбора начала отсчета
координат. Соответствующие операторы получаются из 4), 5) по принципу
соответствия путем «эрмитизации» классических выражений, как это было сделано
для импульса поля (см. решение задачи 6.14):
4) L = -±- [{Ё*[(г - г0) х V]ia + Aa[(r - г0) х V]Ea}dV,
5) S=^-f[ExA-Ax E}dV.
6.9. Пользуясь формулой 5) из решения предыдущей задачи и подставляя в
нее операторы (6.13), (6.14), а также базисные функции (6.16), находим

§ 6.3. Ответы и решения
257
6.11.
При линейной поляризации фотонов орты действительны, векторное
произведение отлично от нуля только при а ф а'\ е^ х е? = \a/k. Спиновый оператор
принимает вид
S = iJ2№/k) (cfk2ckl - cj^)
к
и при усреднении по состояниям с определенным числом фотонов дает нуль.
Циркулярно поляризованные фотоны имеют орты е^±1 = (е^ ± ге^2/у/2. Их
векторное произведение отлично от нуля только при а = а' и дает е^ ±1 х ef =
= =ргк/к. Спиновый момент каждой моды с заданным к направлен вдоль к и равен
квантовой постоянной hy умноженной на разность чисел фотонов с правой и левой
спиральностями:
S = X)(«k/*)K+i-^kl-i)-
k
6.10.
— . /— 1\ 1 . hjjs
es = hws ins + - i = 2coth~^p
6.12. Равновесное электромагнитное излучение распределено изотропно в
пространстве, поэтому спектральная интенсивность излучения 1{и) (плотность потока
энергии излучения в заданном направлении, приходящаяся на единичный
интервал частот) связана со спектральной плотностью излучения р{ш) соотношением
р(и) = 4ж1{ш)/с. Умножая энергию одного кванта hw на среднее число (6.23)
квантов одного осциллятора поля и на число осцилляторов (2.164), приходящихся
на объем V, интервал частот du> и телесный угол dil^, находим соответствующую
энергию
— 2V
1) dSUv) = hwsN-——=uj3dLjdQi<.
(27тсу к
Чтобы получить спектральную плотность энергии, следует проинтегрировать 1) по
телесному углу, поделить на объем V и на интервал dw:
2) "Н = ^еЧГ)-1
(формула Планка для спектральной плотности равновесного излучения).
График спектрального распределения Планка приведен на рис. 6.2. По
вертикальной оси отложена спектральная плотность, по горизонтальной — частота (обе
в произвольных единицах). Температуры для трех изображенных кривых
относятся как 1:1,5:2. Максимум приходится на частоту
По™т л ^ch 0,511
3) *т« 2,822-, Ат = ^^— см,

258 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
где в последнем выражении температуру Г следует брать в Кельвинах.
Зависимость (jjm ос Г называется законом смещения Вина. Из этого закона следует, что
максимум излучения с ростом температуры смещается в сторону более высоких
частот (коротких длин волн). Так, поверхность (фотосфера) желтого Солнца
нагрета до « 6000°, белого Сириуса до « 10 000°, голубой Веги — до « 20 000° и
т. д.
Имеется две области частот, в которых формула Планка упрощается. При
низких частотах T/ftuj >1и
4)
р(ш)
О О
г о; ос uj
— формула Рэлея-Джинса. Именно такой закон дает при всех частотах
классическая физика. Он получается путем умножения средней энергии Г одного
осциллятора на плотность числа осцилляторов, пропорциональную о;2. Спектральная
плотность возрастает неограниченно с ростом частоты («ультрафиолетовая
катастрофа»).
При высоких частотах T/ftuj < 1, и из формулы Планка следует
экспоненциальный спад плотности излучения — закон Вина:
5)
р(ш)
h
■u3e-^T.
Экспоненциальный спад спектральной плотности объясняется дискретностью
энергии осциллятора при заданной частоте. Если fuj > Г, то тепловой энергии атомов
порядка Г нехватает для переброса осциллятора поля на следующий уровень, и
испускание квантов такой энергии затруднено.
Формула Планка 1) описывает всю область частот при любых температурах с
высокой точностью.
6.14.
p'W
16тт'2сП
А5 ехр(2тгсЯ/ЛГ) - 1
(см. рис. 6.3 — то же, что на рис. 6.2, но по
горизонтальной оси отложена длина волны
Л в произвольных единицах). Это
распределение убывает при Л —► 0 по
экспоненциальному закону, а при Л —* оо по степенному
закону и имеет максимум при
Рис. 6.2
Л — А™ —
2ттПс 0,289
4,99Г
см.
Здесь в последнем равенстве температура в Кельвинах. Численный коэффициент
4,99 получается из решения трансцендентного уравнения е~х = 1 — х/5.

§ 6.3. Ответы и решения
259
р
ю
8
6
4
2
Максимум распределения р'(\)
смещается при увеличении температуры в
сторону меньших длин волн, \fm ос 1/Г. В этом
проявляется закон смещения Вина по
длинам волн. Надо отметить, что значение Л^
и соответствующее значение частоты Lu'm =
= 2тгс/\'т не совпадают с Ат, шт,
отвечающими максимуму распределения по
частотам (см. уравнение 3) из решения задачи
6.12). А именно, \'т = 0,565Ат < Am, ujfm =
= 1,77о;т, и это различие весьма заметно.
Например, в случае излучения Солнца при
Г = 6000° максимум распределения по частоте соответствует \т = 8,5 х 10~5 см
(это ближний инфракрасный диапазон), тогда как при распределении по длинам
волн максимуму отвечает Л^ = 4,82 х 10~5 см (синий диапазон!) Наблюдаемый
же визуально желто-белый цвет Солнца находится между Лт и \'т.
6.15.
И
1
LZ
у
\
\
^-^
од
0,2
0,3
Рис. 6.3
0,4 0,5
а
б
в
г
А
е
ж
3
и
Название
реликтовое излучение
поверхность Земли
//-Цефея
Солнце
Сириус
/З-Центавра
туманность Лиры
нейтронная звезда
внутренние области
звезд
Г (К)
3
300
2000
6000
11 000
22 500
75 000
25 0000
2,5 х 107
Хт (см)
0,17
1,7 х Ю-3
2,55 х 10"4
8,5 х КГ5
4,6 х 10"5
2,27 х 10"5
0,68 х 10"5
2 х 10"6
2 х Ю-8
\'т (см)
0,095
0,95 х 10"*
1,43 х КГ4
4,82 х 10"5
2,57 х 10"5
1,29 х 10"5
0,38 х 10"5
1,1 х 10"6
1,1 х Ю-8
Видимый
| цвет
свч
ик
1 темно-
| красный
1 желто-
| белый
| белый
| голубой
УФ
| рентген
рентген
6.17. Переходы из состояния с I = 1 в состояние с I = 0 разрешены
правилами отбора (6.34) для электрического дипольного излучения, поэтому
соответствующие вероятности можно вычислить с помощью формулы (6.30). Спиновое
состояние электрона при переходе не изменяется. Координатные волновые
функции начального и конечного состояний имеют вид [Ландау и Лифшиц, Квантовая
механика]
1)
Фг = R2i(r)Yimi(0,<p), ф/ = Rio{r)Y00, Rio(r)
3/2'
-г/an
R2l(r) =
2л/ба5о/2
г /2а в

260 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
— радиальные волновые функции атома водорода, ав = h2/mee2 — боровский
радиус,
2)
Yc
1
00
47Г
У10(в,<р)
cos О, Ylt±1(6,ip)
sin
0e±ip
— угловые функции (сферические функции Лежандра). Разложим радиус-вектор
по циклическим компонентам (см. задачу 1.17)
+1
з) г= £(-!)%*;;>
(-1)^(0, р), е.
±—7^(ex±iey), e0 = ег.
Выбрав ось Ох в плоскости, определяемой осью квантования (Oz) и волновым
вектором испущенного фотона, и вычислив дипольный момент перехода (6.29),
будем иметь
dwsV _ 2^^{еав)\ , |2
4)
dSlk З10 2тг/^3
Действительные орты линейной поляризации кванта выберем так, чтобы ei лежал
в плоскости xz и имел проекции cos 0,0, - sin# на декартовы оси; при этом е2 = еу.
В этих обозначениях угловая зависимость излучения будет описываться функцией
Fa,mL{Q) = lea*emj2> значения которой приведены ниже в таблице.
mi
а= 1
(7 = 2
Е„Ямщ(0)
1 +1
1 \ cos2 0
1 1
2
±(l + cos20)
0
sin2 (9
0
sin2 (9
-1
\ cos2 0
i
2
±(l + cos20)
В последней строке таблицы приведено угловое распределение излучения,
просуммированного по поляризациям. Для неполяризованного атома угловая функция
Ylrnt F<j,mi (0) — 1 изотропна ввиду отсутствия выделенного направления в
источнике излучения.
6.18. Интенсивность излучения вычисляется как произведение энергии
кванта fkoo = Ei — Ef на суммарную по всем направлениям вероятность перехода в
единицу времени. Из выражения эффективной плотности заряда, приведенного в
условии задачи 5.8, следует, что рассматривается переход из состояния 2р, т/ =
= 0 в основное состояние Is, mi = 0. С помощью результатов предыдущей задачи
получим формулу, в точности совпадающую с ответом задачи 5.8, который можно
записать в другой форме:
'-■'!
Ч 4
а*тееч
ft3
hw0.
Здесь а = е2/he — постоянная тонкой структуры.
6.19. Независимо от магнитного квантового числа mi время жизни атома в
возбужденном состоянии 2р
г- — - f3Va-3 ^
1,6 х 1СГ9 с.

§6.3. Ответы и решения
261
6.20. Согласно результатам задачи 6.9, фотон с правой циркулярной
поляризацией имеет проекцию спина -\-h на ось, направленную вдоль его волнового
вектора к. При поглощении его электроном по закону сохранения момент фотона
будет передан электрону, который перейдет в состояние cm/ = +1. Аналогично,
фотон с левой круговой поляризацией переведет электрон в состояние с т/ = — 1,
а линейно поляризованный фотон — в состояние с mi = О.
6.21. Интенсивность 1а линии Lya уже была вычислена в задаче 6Л9.
Вычислив аналогичным образом J/з, получим Ia/Ip ~ 3,2.
6.22. После интегрирования дифференциального выражения (6.31) для
вероятности электрического дипольного излучения по направлениям вылета фотона
получим
Матричный элемент дипольного момента должен вычисляться с волновыми
функциями
2) Фг = Д20(Г)*00ХМ, */ = Д21(г)Ф1/2т,--
Выразив радиус-вектор через сферические функции Лежандра (см. уравнение 3)
из решения задачи 6.17 и использовав условие ортонормированности спиноров
(Хц',Хц) =<W, поручим
/а /»оо
3) P/i = eyj^Cl'X^m*n jo R2o(r)R2i(r)r3dr.
Полная вероятность перехода должна быть просуммирована по конечным
состояниям полного момента rrij = ±1/2 и усреднена по начальным спиновым состояниям
/л = ±1/2 : w = (1/2)52 um.wSP' Выделив множители, зависящие от магнитных
квантовых чисел, будем иметь
4)
1 Wr1/2m'' л1/^.; , * х^Г^Г^^т^ ~l/2m., ..
2 2-^ 2-^ 1,т.;-м1/2д01,гтг7--д l/2/*VeM-™j "еМ-"Ъ'У ^ 2-^t 2-^l,m7- д 1/2 ix^'l,m.}- д 1/2 д Х*
ттг7- /u. m.j [i
Последнее равенство является следствием ортонормированности спин-угловых
функций $jm.r Пользуясь их определением, данным в условии задачи, находим
-X^rj,rn':i rjmj -Л--/Л
— Z^ /rn 1/2д°/т 1/2/z — °JJ °rn:im:j-
Это значение суммы коэффициентов Клебша-Гордана и использовано при
получении результата 4). Таким образом, вычисляя простой интеграл в 3) и собирая
найденные величины, приходим к выражению
w = f « 0,8 х Ю-9 с х.

262 Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов
6.23. Считая протон неподвижным, запишем волновые функции атома в
начальном и конечном состояниях:
1) Ф{ = #io>oo$im, Ф/ = Дю^ооФоо.
Здесь Rio, Yqo — радиальная и угловая функции электрона, Ф$м — спиновые
волновые функции электрона (е) и протона (р), соответствующие синглетному и
триплетному состояниям:
2) Фоо = -i=[Xi/2(e)X-i/2(p) ~ Xi/2(p)X-i/2
(e)h
( Xi/2(e)xi/2(p), M = 1;
$im = < 75[Xi/2(e)x_i/2(p) - Xi/2{p)X-i/2{e)l M = 0;
{ X-i/2(e)x-i/2(p), M = -1.
Радиационный переход сопровождается изменением спинового состояния двух
частиц и вызывается взаимодействием спина электрона с полем излучения.
Взаимодействие протона с полем меньше в mp/me раз и может не учитываться. В
операторе взаимодействия (6.24) достаточно учесть только спиновую часть,
3) V = -/хв<т.Н,
так как остальные слагаемые дадут нулевой вклад из-за ортогональности спиновых
функций синглетного и триплетного состояний. В 3) & — матричный вектор Паули,
\хв — магнетон Бора. Вычисляя матричный элемент от оператора <т с волновыми
функциями 2), находим (Фоо,<тФю) = е2. Для М = ±1 получим соответственно
±ez/y/2. Для вычисления вероятности перехода в единицу времени используем
формулы (6.17) и (6.26). Полная вероятность, усредненная по начальным
состояниям М = 0, ±1 и просуммированная по поляризациям кванта, запишется в виде
4 w = -iri^r-; « 2 х 1(Г15 с.
; 9 he hm2ecA
Рассмотренный переход между подуровнями сверхтонкой структуры атомов
водорода соответствует длине волны порядка 21 см и широко используется в
радиоастрономии для исследования распределения нейтрального (неионизованного)
водорода во Вселенной. Любопытно сравнить времена жизни триплетного подуровня
и уровня 2р водорода (см. задачу 6.19): в первом случае имеем г = 1/w « 107
лет, тогда как для перехода 2р —► Is в ультрафиолетовом диапазоне получаем
т « 1,6 х 10~9 с. Столь большая разница в основном обязана сильной
зависимости, т ос а;-3, от частоты излучаемого фотона.
6.24. Применяем общую формулу (6.23) теории возмущений,
9тг
1) dwab* = —\(/\У\г)\Ч(ег -Sf + hw)dv,
где
2) V = -(e/mc)A-p,

§6.3. Ответы и решения
263
а векторы начального и конечного состоянии имеют вид
3) |*> = Vioo(r)|JVe>, \/) = фр(т)\М,-1), Ь = ^ЩгП^'Г,Н
— волновая функция свободного электрона в конечном состоянии. При такой
нормировке число состояний в непрерывном спектре следует записать в виде
4) dv = p2dpdQp = 21/2m3/2S£/2dSpdnp.
Спиновое состояние электрона не изменяется под действием оператора 2), поэтому
спиновую волновую функцию можно не выписывать.
Для получения сечения рассеяния нужно поделить 1) на плотность потока jo =
= Nsc/V падающих на атом фотонов. При интегрировании в матричном элементе
по координатам следует учесть, что волновой вектор кванта мал по сравнению с
волновым вектором электрона, к <С p/h. После проведения вычислений получим
дифференциальное сечение фотоионизации атома поляризованными фотонами:
2 / j \ 7/2
5) daph = 64— ( j?- J a2B\es-n\2dQp,
где n = p/p — направление вылета электрона, Jo — энергия связи (ионизационный
потенциал) электрона в основном состоянии атома водорода. После усреднения
по поляризациям кванта и интегрированию по направлениям вылета электрона
получим полное сечение фотоионизации
йч 256тге2 (10\7/2 2
6) <7ph = -Z-ir[1-) aB.
з he \hwJ
Пределы применимости результата: J0 <C Hlj <C тс2.
6.25. По сравнению с предыдущей задачей волновые функции начального
и конечного состояний меняются местами, поэтому квадрат модуля матричного
элемента остается тем же. Вместо усреднения по поляризациям кванта нужно
произвести суммирование по ним, что дает дополнительный множитель 2. Число
конечных состояний dv = Vu2du>dQk/(2яс)3 относится теперь к фотону. Наконец,
вместо плотности потока фотонов нужно использовать плотность потока реком-
бинирующих электронов jo = у/(2тгН)3. В итоге, собирая нужные множители,
находим полное сечение рекомбинации
В области применимости расчета, 1о <£. £р <£. тс2, оно мало по сравнению с
сечением фотоионизации.

Глава 7
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И
ДИЭЛЕКТРИКОВ
§7.1. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВЕЩЕСТВА В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Вектор поляризации Р диэлектрика (электрический дипольный момент
единицы объема) в общем случае является нелинейной функцией макроскопического
электрического поля Е и у некоторых веществ отличен от нуля и в отсутствие
внешнего поля. У большинства изотропных диэлектриков в достаточно слабом
поле вектор Р пропорционален напряженности электрического поля:
Р = <*Е. (7.1)
Диэлектрическая восприимчивость а определяется свойствами диэлектрика и в
общем случае зависит от плотности и температуры.
Вектор электрической индукции D выражается через вектор электрической
поляризации
D = Е + 4тгР = еЕ, (7.2)
где диэлектрическая проницаемость е определяется восприимчивостью:
е = 1 4- 4тга. (7.3)
Для всех веществ в постоянном электрическом поле а > 0, £ > 1. У анизотропных
диэлектриков £а/з и аар представляют собой тензоры второго ранга.
В простейших моделях вещества параметры а, е удается выразить через
характеристики отдельных молекул. В разреженных газах диэлектрическая
восприимчивость пропорциональна числу N частиц в единице объема:
a = N0, £ = 1 + 4тгАГ/3, (7.4)
где /3 — поляризуемость отдельной молекулы, которая может быть вычислена
квантово-механическими методами. В разреженных газах действующее на
молекулу поле £ близко к среднему (макроскопическому) полю Е. В случае плотного
вещества нужно учитывать различие этих полей. Для диэлектриков, молекулы
которых неполярны (т. е. не имеют постоянного дипольного момента в отсутствие
внешнего поля) и либо расположены хаотически, либо образуют кристаллическую
решетку с кубической симметрией, действующее поле выражается в виде
£=Е + уР. (7.5)

§7.1. Поляризация вещества в постоянном электрическом поле
265
Это приводит к тому, что формулы (7.4) заменяются следующими
N(3 е -1 4тг
1-47ГЛГ/3/3' £ + 2 3
Nf3. (7.6)
Соотношения (7.5), (7.6) называются формулами Клаузиуса-Мосотти. В тех
случаях, когда они используются в оптической области спектра, их выражают
через коэффициент преломления п = >/е~ (см. главу 10) и называют формулами
Лоренц-Лорентца. Эти соотношения подтверждаются опытными данными о
поляризации жидкостей, состоящих из молекул с квазиупругими диполями, но не
описывают веществ с твердыми диполями.
Если молекулы обладают электрическими дипольными моментами в отсутствие
внешнего поля, то для вычисления вектора поляризации в заданном поле следует
использовать распределение Больцмана
dN(qi) = С exp
U(qi)
dT. (7.7)
Здесь dN — число частиц в элементе объема dT в пространстве обобщенных
координат, U(qj) — потенциальная энергия одной частицы во внешнем поле, <^ —
совокупность обобщенных координат, характеризующих положение и ориентацию
частицы, Т — температура в энергетических единицах, С — постоянная
нормировки. Распределение молекул по импульсам в равновесном состоянии является
максвелловским:
Ш = Л(^Р = (2^ 6ХР (~^Г) ^ (7-8)
где N — плотность числа частиц со всеми энергиями, которая может зависеть
от координат в неоднородной системе, га — масса молекулы. Это распределение
предполагает, что частицы движутся по классическим законам.
Пример 7.1. Разреженный статистически равновесный газ состоит из
одинаковых диполъных молекул с моментами р и имеет концентрацию N.
Пренебрегая взаимодействием молекул и деформацией их электронных оболочек,
вычислить зависимость вектора поляризации Р от приложенного
электрического поля Е. Вычислить также диэлектрическую проницаемость среды и
указать критерий применимости линейной зависимости (7.1).
Решение. Вычисляем проекцию Р вектора поляризации на направление
внешнего поля с помощью распределения Больцмана (7.7)
_ J* cos tf exp [(pE/T) cos tf] sin *Ш _ д
1* " Р Jq exp [(pE/T) cos #] sin Ыд " ~да П
/ eaxdx,
где U = — p-Ecostf — энергия взаимодействия диполя с внешним полем, а =
= рЕ/Т, х = cost?. Произведя вычисления, получим
2) Р = Np4~ In | - sinha ) = NpL(pE/T),
da \ a /

266
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
где L(a) называется функцией Ланжевена:
L(a) = cotha- -. (7.9)
a
Функция Ланжевена близка к единице при a > 1, а при малом аргументе
разлагается в ряд
3) L(a) = -- — + ..., a<l.
Поэтому при рЕ > Г имеет место насыщение, все диполи ориентированы вдоль
поля. При рЕ <С Т зависимость поляризации от поля линейна с коэффициентом
пропорциональности a = Np2/ЗГ. Это приводит к диэлектрической проницаемости
е = 1 + ^. (7.10)
Несложные молекулы имеют дипольные моменты порядка произведения
элементарного заряда на линейный размер молекулы (боровский радиус), т. е. р « 10~18
CGS единиц. Граница между линейной зависимостью поляризации от
напряженности поля и областью насыщения соответствует значению поля Ес « Г/р, или
Ес « 104 CGSE « Зх 106 В/см при Г « 300 К « 0,03 эВ. Для газа при нормальных
условиях (N « 3 х 1019 1/см3) имеем е-1^4х 10~3.
Внутри проводников макроскопическое электрическое поле Е отсутствует из-за
экранировки внешнего поля свободными зарядами, которые перераспределяются по
поверхности проводника. Микроскопическая структура заряда внутри проводника
и вблизи его поверхности рассмотрена в задачах 7.13-7.15.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных
сред], [Ландау и Лифшиц, Статистическая физика. Тамм (1976), Топтыгин (2005)],
[Бредов и др. (2003), Сивухин, Электричество. Пайерлс (1988)], [Фрелих (1960),
Топтыгин (2005)].
Задачи
7.1. Пусть неоднородная поляризация Р(г) создана в диэлектрике
одинаковыми элементарными диполями р = eZ, распределенными неравномерно. Подсчитать
заряд, заключенный внутри произвольной замкнутой поверхности, и показать, что
плотность pint наведенного внутри среды объемного заряда связана с вектором
электрической поляризации соотношением
Pint(r) = -divP(r). (7.11)
Какой смысл приобретает это соотношение на границе тела?
7.2. Диэлектрический шар радиуса а равномерно поляризован (вектор
поляризации Р = const) и находится в вакууме. Вычислить электрическое поле внутри и
вне шара на основе модельных соображений, рассматривая относительный сдвиг
на малое расстояние положительных и отрицательных зарядов.

§7.1. Поляризация вещества в постоянном электрическом поле 267
7.3. Вычислить поляризуемость атома водорода (3 в слабом внешнем
электрическом поле с помощью следующей классической модели. Пусть плотность
электронного облака описывается функцией р(г) = —(ео/7га3в)ехр(—2г/ав)> где ео —
элементарный заряд, ав — постоянная (боровский радиус). Деформацией
электронного облака пренебречь. Как изменится поляризуемость, если считать, что
электронное облако имеет постоянную плотность внутри сферы радиусом ав?
7.4.* Молекула состоит из двух атомов, находящихся на расстоянии а.
Атомы сферически симметричны, их поляризуемости равны /3' и /?". Найти тензор
поляризуемости молекулы, считая радиусы атомов малыми по сравнению с а.
Рассмотреть, в частности, случай (}' = /3".
7.5. Исходя из закона сохранения энергии доказать, что тензор поляризуемости
молекулы в постоянном поле является симметричным.
7.6. Диэлектрик состоит из одинаковых молекул, не имеющих дипольных
моментов в отсутствие внешнего поля. Тензор поляризуемости отдельной
молекулы fiik известен. Найти коэффициент поляризации диэлектрика а\ рассмотреть
два случая: а) все молекулы ориентированы одинаково; б) молекулы
ориентированы беспорядочно1. Учитывать отличие действующего на молекулу поля от среднего
с помощью формулы Клаузиуса-Мосотти.
7.7.* Если поляризуемости молекулы в разных направлениях различны, то
энергия взаимодействия молекулы с внешним полем будет зависеть от ее
ориентации. Поэтому наряду с деформационным механизмом поляризации будет
действовать ориентационный механизм, хотя молекула и не имеет постоянного
электрического момента. Это вызовет температурную зависимость диэлектрической
постоянной вещества, состоящего из беспорядочно ориентированных неполярных
молекул. Исследовать данный эффект на примере двухатомного газа, находящегося
в слабом постоянном электрическом поле. Вычислить коэффициент поляризации
диэлектрика а. Продольная поляризуемость молекулы газа /3\у поперечная fo.
7.8. Две молекулы в газе имеют дипольные моменты pi и р2 и находятся
на расстоянии R друг от друга. Вследствие столкновений с другими молекулами
их ориентации будут меняться; вероятность данной взаимной ориентации
определяется формулой Больцмана 1.1, в которой U представляет собой энергию
взаимодействия двух диполей. Считая выполненным условие [/«Г, показать, что
величина U> усредненная по распределению Больцмана2, имеет вид
U(R\- 2р*р2
u{r)-~WTr*'
7.9. Молекула с электрическим дипольным моментом р взаимодействует с
неполярной молекулой, поляризуемость которой /3. Показать, что энергия
взаимодействия, усредненная по возможным ориентациям дипольного момента2, имеет
1 Случай а) может иметь место в твердых телах, кристаллических и аморфных; случай б) в газах,
жидкостях и твердых телах. Но следует иметь в виду, что твердое тело в отличие от газа
представляет собой единую систему сильно взаимодействующих частиц. Поэтому представление об отдельных
молекулах в составе твердого тела может оказаться лишенным смысла.
2 При усреднении по направлениям дипольных моментов следует использовать формулы,
полученные в задаче 1.33.

268
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
ВИД о2
"(Я) - -%■
где R — расстояние между молекулами.
7.10.* В диэлектрике, находящемся в постоянном электрическом поле, наряду
с дипольным моментом (вектором поляризации Р) существуют в общем случае
также моменты высших порядков. Найти плотности объемных и поверхностных
зарядов, эквивалентных квадрупольной поляризации Q^ (Q^ — составляющие
квадрупольного момента единицы объема диэлектрика).
7.11. Вычисление диэлектрической проницаемости полярных веществ, для
которых неприменима формула Лоренц-Лорентца, можно произвести следующим
приближенным методом, принадлежащим Онзагеру.
Рассматривается малая сфера, внутри которой может поместиться только одна
молекула. Принимается, что вне этой сферы находится однородный диэлектрик
с диэлектрической проницаемостью е, внутри сферы вакуум, и что поле
внутри сферы совпадает с эффективным полем, действующим на молекулу. Это поле
определяется путем решения макроскопических уравнений электростатики. Найти
таким способом связь диэлектрической проницаемости вещества е с
поляризуемостью его молекул /3.
7.12.* Однородный изотропный диэлектрик имеет диэлектрическую
проницаемость е и не имеет спонтанной поляризации в отсутствие внешнего поля.
Поэтому в любом выделенном макроскопическом объеме V без внешнего поля
дипольныи момент, усредненный по равновесным конфигурациям распределения
зарядов, (V)o = 0, однако мгновенное значение момента флуктуирует и?/0.
По этой причине в общем случае (Р2}о7^0- Показать, что (V2)o выражается через
диэлектрическую проницаемость:
2 УТ(1+2е)(е-1)
{V )о = 4^ '
где Г — температура, V — объем макроскопического шара внутри диэлектрика,
0Р2)о — средний квадрат флуктуационного (в отсутствие какого-либо внешнего
поля) дипольного момента этого шара.
7.13* Ионизированный газ состоит из ионов (заряд Ze, средняя
концентрация АГ0) и электронов (заряд —е, средняя концентрация щ). Газ в целом
электронейтрален, т.е. ZNq = no, и находится в состоянии статистического равновесия
при температуре Г. Считая, что такой газ описывается классической статистикой,
и что энергия взаимодействия частиц друг с другом невелика по сравнению с
тепловой энергией Г, найти распределение плотности заряда вблизи отдельного
иона.
7.14. Бесконечная проводящая пластинка, ограниченная плоскостями х = h
и х = —h, находится в постоянном и однородном поперечном электрическом
поле Eq. Пластинка в целом электронейтральна, средняя концентрация «свободных
зарядов» Nqt диэлектрическая проницаемость е. Считая изменение концентрации
под действием приложенного поля малым (\N — Nq\ «iVo), найти распределение
поля внутри пластинки и определить толщину слоя, в котором
концентрируется «поверхностный» заряд. Частицы-носители заряда подчиняются распределению
Больцмана.

§ 7.2. Основные понятия и методы электростатики
269
7.15.* Слой электролита находится между двумя бесконечными плоскими
электродами, х = h и х = —ft, на которые подана разность потенциалов 2<ро-
Электролит состоит из ионов двух сортов, их заряды +е и —е, средняя концентрация
при отсутствии внешнего поля No. Диэлектрическая проницаемость
электролита е. Найти распределение потенциала между электродами. Частицы подчиняются
распределению Больцмана.
Указание. Использовать метод решения, примененный в задаче 7.13.
§ 7.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
Электростатическое поле в диэлектрике характеризуется вектором
напряженности электрического поля Е и вектором электрической индукции D, которые
удовлетворяют уравнениям
rotE = 0, iE-dl = 0, ]
П \ (7.12)
divD = 47r/?exi, §sT)-dS = Anq J
и уравнению связи (7.2)
Г> = еЕ (Dt£=etlvEv) (7.13)
(последняя форма используется для анизотропного диэлектрика). Здесь pext —
плотность внешних по отношению к диэлектрику зарядов, q — полный внешний
заряд внутри поверхности S. Плотность связанных макроскопических объемных
зарядов диэлектрика дается формулой (7.11). Векторы поля на границах разделов
разных диэлектриков удовлетворяют граничным условиям, которые получаются из
интегральных уравнений (7.12) и имеют вид
(Е2 - Ei) х п = О, (D2 - Di)-n = 47RTexi. (7.14)
Для описания поля удобно пользоваться скалярной функцией —
электростатическим потенциалом <^(г):
Е = -V<p, ф) = f ° E-dr, (7.15)
где (р{то) = 0. Потенциал удовлетворяет уравнению, следующему из (7.12), (7.13):
div(egrad(p) = -47r/?exi, (7.16)
которое в тех областях, где диэлектрик однороден, сводится к уравнению Пуассона
A(p=_^Pexi^ (717)
Граничные условия для электростатического потенциала на границе раздела сред с
разными диэлектрическими свойствами следуют из (7.12), (7.13) и для изотропных
диэлектриков имеют вид
dcpi d(f2 (n \
Ч>\=4>2, el~g £2-q— = 47T<Jext. (7.18)
Орт нормали п направлен из первой среды во вторую.

270
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
Внутри проводников свободные заряды распределяются всегда таким образом,
чтобы электрическое поле было равно нулю. Из электростатической теоремы
Гаусса следует, что при этом внутри проводника р = 0, свободные заряды
локализуются в тонком поверхностном слое (см. задачи 7.14, 7.15). Граничные условия на
поверхности S проводника имеют вид
Er|5 = 0, (f\s = const. (7.19)
Поверхностную плотность заряда на проводнике можно найти по формулам
* = Г^ = -Г-7Г- (720)
47Г 47Г ОП
В общем случае поверхностный заряд проводника распределяется неравномерно,
и его распределение нельзя указать заранее. Но может быть задан полный заряд
проводника qy и в этом случае граничные условия следует дополнить уравнением
/.
VM^d5M = -^, (7.21)
s Е
где интегрирование производится по поверхности проводника.
Имеет место теорема единственности решения электростатической задачи для
ограниченной в пространстве системы тел: решение уравнения (7.16) единственно,
если задано распределение сторонних зарядов рехЬ в диэлектриках, а также либо
электростатические потенциалы щ проводников, либо их полные заряды <&.
Емкостью С конденсатора называется отношение заряда q на одной из его
обкладок (первой) к разности потенциалов V = ipi — ц>2 между обкладками:
С=£. (7.22)
Емкостью уединенного проводника называется отношение заряда проводника к его
потенциалу (потенциал должен обращаться в нуль на бесконечности).
Если имеется п проводников, находящихся в диэлектрической среде, в
которой связь между электрической индукцией и напряженностью поля линейна, то
потенциалы V* проводников зависят от их зарядов <& по линейному закону:
п
Vi = J2sikqk (t = l, 2,..., n). (7.23)
k=l
Величины Sik называются потенциальными коэффициентами. Они зависят от
взаимного расположения, формы и геометрических размеров проводников, а также
от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Матрица s симметрична:
Sik = $ы- (7.24)
Величина s^ представляет собой потенциал, который приобретает г-й проводник,
если сообщить k-му проводнику заряд q^ = 1, а остальные проводники оставить
незаряженными. Все s^ > 0.

§ 7.2. Основные понятия и методы электростатики
271
Из равенств (7.23) следует, что и заряды проводников являются линейными
однородными функциями их потенциалов
п
Яг = ^2<НкУк (i = l, 2,...,n). (7.25)
fe=i
Величины Cik называются емкостными коэффициентами, причем сц > 0
(собственные емкости); с^ = Ck% < 0, г Ф к (взаимные емкости). Величины с^
представляют собой заряд, приобретаемый г-м проводником, когда все проводники
кроме к-ro заземлены, а fc-й проводник имеет потенциал V& = 1. Матрицы Sik и с^
являются взаимно обратными.
В случае одиночного проводника имеется единственный емкостной
коэффициент сц, который называется просто емкостью. Емкость конденсатора (7.22) может
быть выражена через емкостные коэффициенты его обкладок (см. задачу 7.35).
Во многих случаях необходимо знать поляризуемость проводящего или
диэлектрического тела во внешнем однородном электрическом поле. Так называют
тензор второго ранга (За1У, связывающий проекции дипольного момента Va тела с
напряженностью £v поля вдали от тела
Р» = Vpa„S„. (7.26)
Здесь объем тела выделен в отдельный множитель, поэтому тензор (Заи является
безразмерной величиной и характеризует анизотропию формы, а в случае
диэлектрика — и диэлектрическую восприимчивость его вещества. Иногда множитель V
в (7.26) не выделяют, в этом случае тензор поляризуемости приобретает
размерность объема.
Рекомендуемая литература: [Тамм (1976), Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред. Френкель (1935), Смайт (1954), Бредов и др. (2003), Батыгин и
Топтыгин (2003), Топтыгин (2005)], [Зоммерфельд (1958), Власов (1955)].
Задачи
7.16. Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух
однородных бесконечных диэлектриков с проницаемостями е\ и 62. Найти потенциал (р,
напряженность Е и индукцию D электрического поля.
7.17. От некоторой прямой, на которой находится точечный заряд qy
расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла аь с*2,
£*з (<*i + о?2 + «з = 27г). Пространство внутри каждого из углов заполнено
однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно £ь £2, £з- Определить
потенциал <р, напряженность Е и индукцию D электрического поля.
7.18. Центр проводящего шара радиуса а, заряд которого q, находится на
плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с
проницаемостями £i и £2. Найти потенциал у? электрического поля, а также распределение
заряда а на шаре.
7.19. Пространство между обкладками сферического конденсатора частично
заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла Q, с вершиной в
центре обкладок. Радиусы обкладок а и 6, проницаемость диэлектрика а. Найти
емкость С конденсатора.

272
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
7.20. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок а и b
диэлектрическая проницаемость меняется по закону
, ч _ Г €\ = const a ^ r < с,
\ £2 = const с ^r ^b,
где а < с < 6.
Найти емкость С конденсатора, распределение связанных зарядов aint и
полный связанный заряд в диэлектрике.
7.21. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b заполнен
диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния до центра г по
закону e(r) = £oa2/r2. Показать, что емкость такого конденсатора равна емкости
плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с проницаемостью £о,
у которого площадь обкладки 47га2, расстояние между обкладками b — a (краевым
эффектом пренебречь).
7.22. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого
изменяется по закону е = £о(х 4- a)/a, 0 ^ х ^ а, где а — расстояние между
обкладками, ось х направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых S.
Пренебрегая краевым эффектом, найти емкость С такого конденсатора и
распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность
потенциалов V.
7.23. Точечный заряд q находится в точке А на расстоянии а от плоской
границы раздела двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с про-
ницаемостями в\ и е2 (рис. 7.1). Найти потенциал ср электрического поля методом
изображений.
i Указание. Решение искать в виде
Какой результат получится при е2 —> °°> каков
Рис. 7.1 его физический смысл?
7.25. Двугранный угол между двумя заземленными проводящими плоскостями
равен ао. Внутри угла находится точечный заряд q. Найти методом электрических
изображений электрическое поле. Рассмотреть случаи ао = 90°, ао = 60° и ао =
= 45°.
7.26.* Однородный шар радиуса а с диэлектрической проницаемостью £ь
погружен в однородный неограниченный диэлектрик £2. На большом расстоянии
от шара в диэлектрике имеется однородное электрическое поле, напряженность
которого Eq. Найти поле ср во всем пространстве. Построить картину силовых

§ 7.2. Основные понятия и методы электростатики
273
линий для двух случаев: е\ > £2 и е\ < Е2\ найти распределение связанных
зарядов.
7.27. Неограниченный диэлектрик был сначала однороден и равномерно
поляризован (вектор поляризации Р = const). Затем в нем вырезали сферическую
полость. Определить изменение электрического поля ДЕ в полости в двух
случаях: а) если при образовании полости поляризация в окружающем диэлектрике не
изменилась1; б) если вследствие изменения поля поляризация изменяется, т. е. Р =
= (е- 1)Е/4тг.
7.28. Незаряженный металлический шар радиуса R вносится в электрическое
поле, которое в отсутствие шара было однородным и равным Е0. Диэлектрическая
проницаемость окружающей среды £0 = const. Определить результирующее поле <р
и плотность поверхностных зарядов а на шаре.
7.29* Проводящий шар радиуса R находится в поле точечного заряда q,
отстоящего от центра шара на расстояние a > R. Система погружена в
однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал поля ср и распределение a
индуцированных зарядов на шаре, если задан а) потенциал шара V (на
бесконечности (р = 0); б) заряд шара Q. Представить потенциал в виде суммы потенциалов
нескольких точечных зарядов-изображений.
Указание. Использовать решение уравнения Лапласа в виде ряда по шаровым
гармоникам и разложение поля точечного заряда, полученное в задаче 2.28.
7.30. В проводнике с потенциалом V имеется сферическая полость радиуса R,
заполненная диэлектриком с проницаемостью е. На расстоянии а от центра
полости (а < R) находится точечный заряд q. Определить поле в полости. Найти
эквивалентную систему зарядов-изображений.
7.31. Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме полусферы
радиуса а. Центр сферы лежит на плоскости. На оси симметрии системы, на
расстоянии Ь > а от плоскости находится точечный заряд q. Используя метод
изображений, найти поле <р, а также заряд q', индуцированный на выступе.
7.32. Проводящий шар радиуса R\ находится в однородном диэлектрике с
проницаемостью е\. Внутри шара имеется сферическая полость радиуса i?2,
заполненная однородным диэлектриком с проницаемостью еъ- В полости на
расстоянии а от ее центра (а < R2) расположен точечный заряд q. Найти поле ср во всем
пространстве.
7.33. Точечный заряд q находится внутри диэлектрического шара радиуса R с
проницаемостью £\ на расстоянии а от центра шара. Диэлектрическая
проницаемость среды вне шара равна £2- Найти поле <р во всем пространстве. Рассмотреть,
в частности, случай a = 0 (заряд в центре шара).
7.34. Емкости двух уединенных проводников равны С\ и Ci. Эти
проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью е на расстоянии г,
большом по сравнению с их собственными размерами. Вычислить емкостные
коэффициенты системы.
Указание. Определить сначала потенциальные коэффициенты с точностью до
величины 1/г.
1 Это имеет место, если диэлектрик («электрет») состоит из полярных молекул, ориентация которых
фиксирована.

274
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
7.35. Емкостные коэффициенты системы двух проводников равны сц, С22,
ci2 = C21. Найти емкость С конденсатора, обкладками которого служат эти два
проводника.
§ 7.3. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Энергия и термодинамические потенциалы. Если в электрическом поле
находятся диэлектрики и проводники, то изменение поля меняет энергию не только
самого поля, но и находящихся в поле тел. Мы будем рассматривать все эти
объекты как единую систему и приведем основные соотношения, позволяющие
вычислять изменения термодинамических потенциалов, вызванные изменением
электрического поля.
Добавки к термодинамическим потенциалам определяются работой 5А,
которую производят электрические силы. Работа выражается интегралом по всему
пространству
5А= ^- fE-SDdV, (7.27)
4тг J
где <Ш(г) — изменение электрической индукции в точке с радиусом-вектором
г (точнее, в макроскопически малом объеме). Подробный вывод этой формулы
см. в [Топтыгин (2005)].
Поскольку термодинамическое состояние диэлектрика зависит не только от
электрического поля, но также от плотности, температуры, и, возможно, других
параметров, то в зависимости от внешних условий элементарная работа (7.27)
может характеризовать изменение разных термодинамических потенциалов. В случае
теплоизолированного статистически равновесного тела работа электрических сил
производится при постоянной энтропии и представляет собой изменение
внутренней энергии U. Полное изменение внутренней энергии согласно первому закону
термодинамики складывается из теплоты и работы и имеет вид
Ш = TSS + -3- / Е-<TOdV. (7.28)
Здесь S — энтропия тела, Г — его температура, а для малых приращений
термодинамических величин использован символ 5, чтобы отличать их от элемента
интегрирования dV. В (7.28) не включена механическая работа за счет изменения
объема тела.
Если рассматриваемое тело находится в тепловом контакте с окружающими
равновесными телами и его температура не изменяется, то работа представляет
собой изменение свободной энергии Гельмгольца JF, а ее полное изменение
запишется в виде
ЬТ = -SdT + -?- / E-5DdV. (7.29)
Приведенные выше изменения термодинамических потенциалов можно записать и
для удельных величин, относящихся к единице объема диэлектрика:
dU = TdS + Cdr + -?-E-dD, (7.30)
47Г

§ 7.3. Энергия и силы в электростатическом поле
275
dF = -SdT + (dr + -^-Е-сГО. (7.31)
47Г
Поскольку рассматриваемый объем может обмениваться с окружающим
диэлектриком частицами, то в (7.30), (7.31) включено соответствующее слагаемое,
содержащее изменение плотности массы dr и химический потенциал, отнесенный
к единице массы, £ = мД™, где // — химической потенциал, отнесенный к одной
частице с массой га.
В качестве независимой электрической величины в (7.30), (7.31) выступает
индукция D, которая определяется зарядами проводников (и сторонними зарядами
в диэлектрике). Несложно перейти к независимой переменной Е, определяемой
потенциалами проводников. Это достигается введением новых термодинамических
потенциалов
U = U- ^-ED, F = F- ^-ED, (7.32)
47Г 47Г
дифференциалы которых запишутся в виде
d& = TdS + (dr - —D-dE, dF = -SdT + (dr - -5-D-dE. (7.33)
47Г 47Г
Через термодинамические функции можно выразить электрическое поле и
индукцию в диэлектрике:
Пример 7.2. Вычислить добавки к термодинамическим функциям С/, U, F,
F, 5, £ диэлектрика, вызванные наличием электрического поля. Диэлектрик
изотропный, его уравнение связи D = е(Т, т)Е.
Решение. Исходим из соотношения (7.34)
1)
8F\ E D
дТ>)Тт 4тг 4тг£(Г,т)
Интегрируя обе части равенства, получаем
F(T,t,D)-F0(T,t) = ^-. (7.35)
Диэлектрическая проницаемость е не зависит от поля, поэтому ее можно выразить
только через энтропию и плотность диэлектрика: e(S,r). Пользуясь
термодинамическим соотношением U = F + TS, получим
U(S,t,D) - U0(S,t) = -f^. (7.36)
оттв
Далее находим
f F2 fF2
U-U0(S,t) = -—, F - F0(T,t) = -—, (7.37)

276 Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
'~(ЕХ„-*™+£(£Х-
<-(£L-«™-£(i)r-
где можно записать, разумеется, D2/е2 = Е2.
Выше получены плотности термодинамических величин в системе, состоящей
из заряженных проводников и диэлектриков, в которых могут находиться
сторонние заряды. Поэтому плотность электрической энергии отлична от нуля и вне
диэлектрика (в вакууме), тогда как 5 и С в вакууме равны нулю. Проводящие
тела вносят вклад в термодинамические функции 50, Uq и др. без поля, но полевая
добавка от внутренних свойств проводников не зависит, так как поле в них не
проникает. ■
Пример 7.3. Записать энергию электростатического поля (т.е. зависящую
от поля часть внутренней энергии системы проводников и диэлектриков) W =
= U — Щ через заряды проводников qi и их потенциалы V* для случая, когда
сторонние заряды в диэлектрике отсутствуют. Выразить указанную энергию
через потенциальные (7.23) и емкостные (7.25) коэффициенты.
Решение. Записываем энергию (7.36) в виде
где из объема интегрирования исключены проводники, внутри которых Е = 0.
Далее используем равенства Е = — V<p, V((/?D) = <pV-D + D-V<p, уравнение
Максвелла V D = 0 и теорему Остроградского-Гаусса. Получим
W
5>£ §^ = ^Е^- (7Ж))
Сумма берется по всем проводникам. С помощью формул (7.23), (7.25) находим
W = ^J2Sik^k = 2^2CikViVk- (7-41^
г г
Полученные формулы пригодны и для неоднородного диэлектрика. ■
Силы. К единичной площадке поверхности проводника, находящегося в
диэлектрике или вакууме, приложена сила
, dF 2тгс72п еЕ2
Ъ = -т^ = = -=—п. (7.42)
Сила направлена по нормали к поверхности и стремится увеличить объем
проводника.
Плотность силы, действующей на диэлектрик, выражается в виде
,.ft-E-^.+ ^v(B"|r). <7.43)

§ 7.3. Энергия и силы в электростатическом поле
277
(в отличие от (7.42) эта сила объемная). Первое слагаемое представляет собой
силу, действующую на сторонние заряды в диэлектрике. Второе слагаемое связано
с неоднородностью самого диэлектрика. Третий член не дает вклада в полную
силу, действующую на диэлектрическое тело, но влияет на распределение в нем
внутренних напряжений (электрострикция).
Формула (7.43) применима только к жидким и газообразным диэлектрикам,
у которых изменение диэлектрических свойств связано с изменением плотности.
У твердых диэлектриков возможны деформации сдвигового характера, не
вызывающие изменения плотности, но приводящие к изменению электрических свойств,
которые здесь не учтены. Кроме того, полученная формула дает лишь силу,
вызванную электрическим полем. В неподвижной жидкости действует еще сила
гидростатического давления —Vpo(r,T)} которую нужно добавить к (7.43) для получения
полной силы. Величина р0 — давление в жидкости.
Тензор натяжений. Объемные силы, действующие на сторонние и связанные
заряды в некотором объеме У, можно заменить эквавалентной системой
поверхностных натяжений, приложенных к поверхности S этого объема:
/ f dV = <£ <7r
Jv Js
dS, (7.44)
где <?„ — поверхностная сила, приложенная к единичной площадке с внешней
нормалью п. Поверхностные натяжения описываются тензором натяжений сгм„, а
величина <тп представляет собой проекцию сгм„ на направление внешней нормали
п к элементу dS : (<7П)М =
Преобразование от f к сгм„ легко осуществить, воспользовавшись (7.44):
к-*-&*•»<*-LtZ*-
откуда следует
Тензор натяжений строится на основе (7.45) и (7.43). Он имеет вид
**> = ^вд - tE2 (£ - ёт) ^ (7-46)
и представляет собой обобщение на случай наличия диэлектрика максвелловско-
го тензора натяжений, определенного равенством (3.52), при Н = 0. Для учета
гидростатического давления нужно добавить к (7.46) слагаемое Pq5^u.
Член в (7.43), (7.46), содержащий производную от диэлектрической
проницаемости по плотности (стрикционный член), вообще говоря, не мал. Однако, при
вычислении равнодействующей сил, приложенных к диэлектрическому телу, этот
член не дает вклада и может быть отброшен (подробности см. в [Тамм (1976)],
7.34. В этом случае можно использовать более простой (максвелловский) тензор
^ = h{E^-\E2n)- {1Л1)

278
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
На поверхности проводника Е || п, поэтому
fe = *n = n—. (7.48)
87Г
Пример 7.4. Записать условие равновесия плоской границы между
атмосферой (в = 1) и жидким диэлектриком, в котором имеется
электростатическое поле Е.
Решение. Силы, приложенные к поверхности с двух сторон, должны быть
равны по величине и противоположны по направлениям: {cr^u+PoS^n^ = — (сг^Н-
+ PatmSnv)nfu> где п' = -п. Кроме того, имеем граничные условия для компонент
поля: Е£ = Ei, E'n = еЕп. Из этих равенств находим
Р л _ тр2 ftp
Po(r.T) -Vatm = -е-^{еЕ?п + Е%) + T-^fr Ш (7.49)
Задачи
7.36. В однородное внешнее поле Е в вакууме вносится диэлектрическое или
проводящее незаряженное тело. Выразить изменение внутренней энергии тела
через его поляризуемость, считая тело теплоизолированным и пренебрегая
изменением объема.
7.37. Формула (7.36) дает изменение плотности внутренней энергии
теплоизолированного тела при включении электрического поля. При этом температура
тела может изменяться. Вычислить изменение плотности внутренней энергии при
изотермическом (Т = const) процессе. Изменениями объема и плотности массы
пренебречь.
7.38. Вычислить теплоту Q на единицу объема, которую получает или отдает
диэлектрик при изотермическом изменении поля от 0 до Е.
7.39. Записать плотности термодинамических функций для анизотропного
диэлектрика с линейным уравнением связи D^ = s^uEu. Исходя из
термодинамических соотношений, доказать, что тензор диэлектрической проницаемости
анизотропного диэлектрика симметричен, ем„ = eV[l.
7.40. Вычислить производную dT/dD2, характеризующую изменение
температуры теплоизолированного диэлектрика при его поляризации
(электрокалорический эффект). Изменением плотности пренебречь.
7.41. В газообразном диэлектрике, состоящем из жестких дипольных молекул,
электрическое поле адиабатически нарастает от нуля до Е. Вычислить изменение
температуры Т2 — 7\ (в градусах Кельвина) с помощью диэлектрической
проницаемости (7.10). Оценить по порядку величины эффект охлаждения АТ/Т для газа
при нормальных условиях.
7.42* Пусть в изотропной диэлектрической среде с проницаемостью е\
создано поле Ei. Затем в эту среду внесено незаряженное диэлектрическое тело
объемом V с диэлектрической проницаемостью е2. Показать, что внутренняя энергия
системы изменится на величину
= Т~ [ (e1-e2)EvE2dV, (7.50)
8тг Jv
U
iv

§ 7А. Ответы и решения
279
где Е2 — электрическое поле после внесения тела. Величину U можно
рассматривать как энергию взаимодействия диэлектрического тела с внешним полем.
7.43.* Диэлектрическое тело поляризуется в воздухе во внешнем однородном
электрическом поле £, причем форма тела такова, что электрическое поле Е внутри
тела тоже остается однородным. Считая процесс поляризации изотермическим и
изобарическим, вычислить изменение объема тела AV <С V («электрострикция»),
выразив его через поляризуемость, сжимаемость и внешнее поле. Вычислить также
теплоту Q, приобретаемую телом в процессе поляризации.
7.44. Как направлено максвеллово натяжение <т'пУ действующее на
площадку dS, нормаль п к которой составляет угол $ с направлением поля Е? Какова
величина сг^? Как направлено стрикционное натяжение сг^?
7.45. Два одинаковых точечных заряда q находятся в однородном жидком
диэлектрике е на расстоянии а друг от друга. Вычислить с помощью максвеллова или
полного тензора натяжений силу F, действующую на каждый из зарядов.
Выяснить, из каких составляющих складывается сила электрического взаимодействия
зарядов q2/a2e. Для сравнения вычислить силы, приложенные: а) к плоскости
симметрии, перпендикулярной линии, соединяющей заряды; б) к поверхности малой
сферы, в центре которой находится один из зарядов.
7.46. Незаряженная проводящая сфера радиуса R с массой m плавает в
жидкости с диэлектрической проницаемостью е и плотностью т, погрузившись в нее
на четверть своего объема. До какого потенциала <р0 нужно зарядить сферу, чтобы
она погрузилась наполовину? Решить задачу: а) с использованием тензора
натяжений Максвелла; б) с использованием полного тензора натяжений, включающего
стрикционный член.
7.47. Найти силу F, приложенную к точечному заряду в задаче 7.23 (сила
электрического изображения). Решить задачу несколькими способами, в частности
с помощью тензора натяжений Максвелла. Если заряд способен двигаться через
диэлектрики, описать качественно характер этого движения.
7.48.* Два однородных диэлектрика с проницаемостями е\ и е2 заполняют
все пространство, соприкасаясь вдоль бесконечной плоскости. Два заряда q\ и q2
находятся на прямой, перпендикулярной к этой плоскости, на равных
расстояниях а по разные стороны от нее. Найти силы F\ и F2, действующие на каждый из
зарядов. Чем объясняется неравенство этих сил?
7.49. Точечный заряд q находится в однородном диэлектрике на расстоянии а
от плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти электрическое
поле (р в диэлектрике, распределение а индуцированных зарядов на металле и
силу F, действующую на заряд q.
7.50. Электрический диполь с моментом р находится в однородном
диэлектрике вблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти
потенциальную энергию взаимодействия U диполя с индуцированными зарядами, силу F
и вращательный момент N, приложенные к диполю.
§7.4. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
7.1. Рассмотрим произвольный объем V внутри диэлектрика, окруженный
поверхностью 5, и подсчитаем электрический заряд qint = Jv pintdV внутри этого

280
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
Рис. 7.2 Рис. 7.3
объема. Указанный заряд создается только теми диполями, которые пересекаются
поверхностью S (см. рис. 7.2). Все прочие диполи находятся целиком либо
внутри, либо вне объема и не дают вклада в суммарный заряд. Элемент поверхности
dS пересекает в среднем Nl-dS диполей; их заряд, остающийся внутри замкнутой
поверхности, dqint = -eNl-dS = -P-dS. Отсюда qint = - $s P-dS = — Jy div ~PdV,
что и приводит к (7.11).
7.2. Пусть концентрация элементарных диполей р = el в поляризованном шаре
N, так что полный дипольный момент шара V = 47га3Р/3, где Р = АГр — вектор
поляризации. Ввиду условия I <C a поляризованный шар можно рассматривать как
совокупность двух шаров с зарядами q = ±47ra3iVe/3, центры которых раздвинуты
на расстояние I (рис. 7.3). Во внешней области каждый шар создает поле как
точечный заряд, расположенный в соответствующем центре, т. е. два шара создадут
поле диполя с моментом ql = V, потенциал которого
1) Mr) = ^
(см. формулу (2.21)).
Внутри поляризованного шара, на расстоянии г < а от его центра, поле
создается только внутренними зарядами, находящимися на расстояниях, меньших г.
Внешние заряды не создают поля во внутренней области. Поэтому в ней также
применима формула 1), но с заменой V на дипольный момент внутренней области,
равный Vrz/az:
V г
2) <*(р) = -J-.
Напряженность поля во внешней области такая же, как у элементарного диполя,
во внутренней области имеем
V 47Г
3) Е4 = -V^(r) = ~ = -ХР.

§ 7.4. Ответы и решения
281
7.3. /3 = За^/4. При равномерном распределении заряда в электронном облаке
Р = а%.
7.4. Из симметрии молекулы очевидно, что одна из главных осей тензора
поляризуемости будет совпадать с осью молекулы, а две другие оси могут быть
выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной оси молекулы. Поэтому из
трех главных значений тензора поляризуемости только два будут различны: (3^1\
0(2) _ ^(з) для их определения нужно отдельно рассмотреть следующие случаи:
а) Внешнее поле направлено по оси молекулы. Очевидно, что индуцированный
дипольный момент каждого из атомов будет направлен вдоль внешнего поля.
Обозначив эти моменты соответственно через р' и р", получим для их определения
два уравнения
1)
р' = /3'(Е + Е'), р" = /3"(Е + Е"),
где Е — внешнее поле, Е' и Е" — дополнительные поля, вызываемые в центре
каждого из атомов присутствием другого атома. Поля Е' и Е" можно выразить
через дипольные моменты соответствующих атомов, воспользовавшись формулой
для напряженности поля, создаваемого диполем с моментом р и учитывая, что все
векторы направлены вдоль оси молекулы. Определяя затем р' и р" из системы 1),
с помощью формулы р = pf + р" = (З^Е найдем
2)
а^
1
2(а3 + 2/3')
а3 (а3 + 2/3")
-1
+
1
2(а3 + 2/3")
-I -1
а3(а3 + 2/3')
б) Внешнее поле перпендикулярно оси молекулы. Аналогичным путем получаем
3)
/3<2> = /3<3>
1
+
/?'
п -1
+
_1_ а3 - (3"
/3"+ a3(a3/3')J
-1
/3' ' a3(a3-/3")
При /3' = (3" выражения (3^ и /3^ упрощаются:
4) /3^ = 2/37(1 - 2/37А /3(2) = 2/37(1 + 2/?7а3)
Средняя поляризуемость
5)
/3= о(/5( }+/5( }) = -J
1
+
1 - 2/37а3 1 + /37а3
7.6. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным. Главные значения тензора
поляризуемости диэлектрика (ср. 7.6):
а
(*)
N(3^
1-4тгЛГ/?№/3'
б) В случае беспорядочной ориентации молекул в макроскопических объемах
диэлектрика не будет никаких физически выделенных направлений, кроме
направления внешнего поля. Поэтому средний дипольный момент молекулы р будет
пропорционален действующему на молекулу полю £:
Р = ре.

282
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
С другой стороны, имеем, очевидно:
Pi = Pik^k = Pik^k,
где усреднение производится по макроскопическому малому объему. Из сравнения
двух последних формул следует, что
/5 = ^11=^22=^33, &*=0 (i^k).
Таким образом,
/3=^(/3ll+/?22+/?33).
Но сумма диагональных компонент тензора есть инвариант, равный сумме главных
значений (3^ + (3^ -\- (3^. Поэтому
0= I(^(D+ £(*> +/3(з>).
Коэффициент поляризации диэлектрика а связан с /3 обычной формулой (см. 7.6).
7.7. Если ось молекулы ориентирована под углом О к направлению внешнего
поля Ео, то энергия молекулы запишется в виде
W = -^р • Е0 = -^(рг cos2 0 + /32 sin2 0)£2.
Число частиц в единице объема, оси которых направлены под углом О
относительно Ео, дается формулой Больцмана 7.7. Вектор поляризации определяется
формулой Р = JVp, где р — усредненный по распределению Больцмана диполь-
ный момент одной молекулы, N — число частиц в единице объема. Поскольку в
отсутствие поля молекулы ориентированы хаотически, р будет иметь направление
внешнего поля.
В соответствии с этим вычисляем величину р по формуле
Е0 f* ехр (- Уф-) (/?! cos2 О + (32 sin2 О) sin О dO
/owexp(-^)sin0d0
где через рц обозначена компонента дипольного момента молекулы,
параллельная полю. По условию задачи поле слабое, поэтому достаточно учитывать только
члены, линейные по a = (fi1 — /32)Е$/2Т <t^ 1. Использовав далее формулы Р =
= Np = aEo, получим окончательно
a = Np2 + iNth - /у [i + Л(/?i ~/2)д°2].
Как видно из этой формулы, зависимость между Р и Ео получается
нелинейной, и а не является коэффициентом пропорциональности, не зависящим от Ео.
Оценим величину поправочного члена при обычных температурах (Г = 300 К).
Считая /Зг - /32 порядка 10~24см3, получим Т/(/Зг - /32) ~ Ю6. Таким образом,
~р=Н

§ 7.4. Ответы и решения
283
этот член мал, если Е0 <С 103В/см. Пренебрегая поправочным членом, получим
для а прежнее выражение:
(см. задачу 7.6).
7.10. Дополнительный потенциал, обусловленный квадрупольной
поляризацией диэлектрика, запишется в виде
и/
q>2
У(1/Д)
дхгдх^
QikdV,
где R — расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV> а
интегрирование ведется по объему диэлектрика. С другой стороны, потенциал объемных и
поверхностных зарядов в общем случае имеет вид
2) «=JlidV + JaRdS + jT'-vQdS,
где р' — плотность объемных зарядов, а' — плотность поверхностных зарядов,
т' — мощность двойного слоя. Приведя 1) к виду 2), получим
3) Р=2дх~дх-к' а=~2Ж' T* = 2Qk^
Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемным зарядам р'
внутри диэлектрика, поверхностным зарядам а' и двойному электрическому слою
с мощностью т' на поверхности диэлектрика. Поскольку плотности объемных и
поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с вектором поляризации
формулами р' = -divP;, о1 = Р'п, то из 3) следует, что квадрупольная поляризация
эквивалентна дополнительной дипольной поляризации
, 1 dQik
2 dxi
и двойному слою с мощностью т'к.
Формулы 3) можно получить также из рассмотрения энергии диэлектрика,
обусловленной квадрупольной поляризацией.
7.11. е = \
где х = 47гЛГ/3.
формулой
1 + 3x + 3(l + |x + x2V
Поляризуемость (3 для по"лярных веществ в слабых полях дается
Р2
в = —
где р — дипольный момент молекулы, Г — температура.
При х <С 1, когда отличие действующего на молекулу поля от среднего поля
становится очень малым,
е = 1-\-х = 1+ A7rN(3.

284
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
7.12. Описываем заряды внутри шара микроскопически, на основе
классического распределения Больцмана (77), а вне шара рассматриваем диэлектрик как
сплошную среду, характеризуемую диэлектрической проницаемостью е. Пусть а-й
заряд внутри шара смещается на вектор ua относительно равновесного положения.
Совокупность таких смещений обозначим через Q = Q(ui,.. . ita,...). В
отсутствие внешнего поля смещения носят чисто флуктуационный характер.
Взаимодействие зарядов описывается потенциальной энергией Uo(Q), которая включает
взаимодействие зарядов, находящихся внутри шара, между собой. Взаимодействие
с зарядами вне шара происходит по поверхности и пренебрежимо мало ввиду мак-
роскопичности шара. Дипольный момент шара выражается в виде
1) V = J2eaUa-
a
Ввиду отсутствия спонтанной поляризации среднее статистическое дипольного
момента равно нулю:
2) {V)o = j'
Pexp(-^MUQ = 0.
При включении внешнего поля внутри шара возникает однородное
электрическое поле с напряженностью (см. задачу 7.26)
з) е = -^-е.
; 2е + 1
Это поле создается внешними источниками и внешними (относительно шара)
зарядами диэлектрика. В результате потенциальная энергия зарядов внутри шара
приобретет добавочное слагаемое
4) U(Q,E) = U0(Q) - $>aua-£ = U0(Q) - ^y^'E.
a
Эту потенциальную энергию нужно теперь использовать в распределении
Больцмана при вычислении дипольного момента, наведенного внешним полем:
5) (Р(Е)> = У Рехр (-¥\ dQ/Jexp (-^j dQ.
Считая поле Е слабым, разлагаем экспоненту в ряд и получаем
6) ехЧ~т) = [1 + 27Ti^Jex4"
Используя 2), находим
7^ IV (т\ - Зе£, JV^exp(-^)dQ _ ZeEu
' {'"[tj))- (2e + l)T Jexp(-^)dQ ~ (2e + 1)Т{1"' »)с

§ 7.4. Ответы и решения
285
Среднее от компонент дипольного момента преобразуем исходя из соображений
симметрии:
8) (V„VV)0 = |<Р2>о*м,.
Левую часть равенства 7) можно записать через проекцию Р/г вектора
электрической поляризации:
9) {Г1>(Е)) = УР1> = Щ^-Е1>.
Подставляя в 7) результаты 8) и 9), получаем формулу, приведенную в условии
задачи.
Обращаем внимание читателя на то, что эта формула устанавливает связь
между откликом среды на внешнее возмущение, характеризуемым диэлектрической
проницаемостью е, и флуктуацией внутреннего параметра среды ((Р2)о) при
статистическом равновесии в отсутствие внешнего возмущения.
7.13. Концентрации ионов (N) и электронов (п) определяются по формуле
Больцмана (7.7У
1) N = N0 ехр (—^Л , п = п0 ехр (^) ,
где (p(x,y,z) — электростатический потенциал. Множители перед экспонентами
выбраны так, чтобы при Г —► ос, когда взаимодействие частиц становится
несущественным, N и п переходили бы в No и по. На основе 1) плотность заряда
запишется в виде
2) р = ZeN -en = e(ZN0e—^ - n0er J.
Потенциал ц> должен быть определен путем решения уравнения Пуассона:
/ %>.-(р v(p\
3) Д(р = -47гр = -AirelZNoe т - п0е ''' 1.
Чтобы решить это уравнение, используем условие малости энергии взаимодействия
по сравнению с тепловой энергией:
Ze<p
«1,
е<р
<1.
Разлагая экспоненты в ряд с точностью до членов, линейных по <р, и используя
условие электронейтральности газа ZN0 = щУ получим
к2 2 47re2(Z2iVo + no)
4) Р=-^, *2 = f •
1 В этой и двух последующих задачах рассматриваемые величины усредняются по статистическому
ансамблю, но не по объему.

286
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
Это позволяет записать уравнение 3) в виде
5) Ац> = к2<$.
Потенциал ср может зависеть только от расстояния г до рассматриваемого иона.
Сферически симметричное решение 5) имеет вид
-кг ект
Ч> = СХ + С2—.
г г
Потенциал не может возрастать на бесконечности, поэтому С2 = 0. С\
определяется из условия, что при г <С - потенциал должен переходить в чисто кулоновскии
потенциал рассматриваемого иона:
I Ze С* n v
Таким образом, ион окружен облаком электронов и других ионов, плотность
которого убывает по экспоненциальному закону, а средний радиус 1/к тем меньше,
чем ниже температура.
Рассмотренный в этой задаче метод вычисления потенциала принадлежит Де-
баю и Хюккелю и применялся ими в теории сильных электролитов. Константа 1/к
называется радиусом Дебая-Хюккеля.
7.14. Электрическая индукция внутри пластинки описывается формулой
_, ч „ сЪ.кх
°ы = *>**>
где к = у/47ге2по/£кТ. При кН ^> 1 имеем вблизи поверхностей х = ±h
D{x) = E^e-<h-\x\)-)
отсюда следует, что при \х - h\ > 1/к, D(x) = 0, т. е. поле проникает в проводник
на глубину 1/к. В слое такой же толщины концентрируется заряд
р= ±^ = ±^е-*(М*1).
47Г дх 47Г
Плотность «поверхностного» заряда, которая рассматривается в
макроскопической теории, получается интегрированием р. На границе х = h получим
a = Ipdx = -K-tl
кЕ0 [°° __КХ> Л , Ео
4тг'
что совпадает с обычным граничным условием на поверхности проводника.
7.15.
sh кх /Sne2no
Значение к2 в данном случае получается вдвое большим, чем в предыдущей
задаче, так как имеются два сорта подвижных ионов.

§ 7.4. Ответы и решения
287
7.16.
2 q
Ч>\ = ^2 — >
7.17.
Di =
2тг
Ч>\ = <Р2 = <Рз =
eiai 4- ^2^2 + £з<*з
2ei tfr
ег + e2 г3'
r
2e2 tfr
ег + e2 r3
2-KSi qr
Sioli 4- e2a2 4- £3a3 r3
7.18. Граничным условиям {cp = const на поверхности проводника и <р = О
при г —> оо) можно удовлетворить потенциалом вида ip = C/r\ постоянная С
определяется из условия §DndS = Anq, С = 2/{ei +£2)- Отсюда находим потенциал
s
ср = 2q/(ei 4- S2)r и распределение поверхностных зарядов:
qei qe2 q{e\ -1)
°"i — т;—о?—;—\i a2 = 7;—o~7—;—r» ^lmt —
27ra2(e1+e2)' ' 27га2(£1+£2)' 2тга2(е1+е2)'
<?(^2 - 1)
a2int 2тга2(г1+г2)'
7.19.
(e-l)fi . .1 ab
С
7.20.
47Г
+ 1
b — a
1m-i
C_[±(I_I)+±(I-1)V
Связанные заряды находятся в местах неоднородности диэлектрика т. е. на сферах
радиусов а, Ь, с:
_ q ei - 1 q_ e2 - 1 Q_(Jl_1_\
&aint — а о ' ' &bint — j .9 ' 1 &cint л о I )•>
47Г<22 S\ АкЬ2 62 4:7TC2\62 S\J
где q — заряд внутренней обкладки конденсатора.
Полный связанный заряд в конденсаторе равен нулю.
7.22. Емкость конденсатора
An a In 2'
Поверхностная плотность связанных зарядов
°"int —
-tr(l-l/eo) s = 0,
^mt = <T\l-l/2eoj х = а.
Объемная плотность pint = —аа/е^(х 4- а)2 (а — заряд обкладки при х = 0).
7.23. При z ^ 0:
ещ е1(е1+е2)г2
при г ^ 0:
2 g
£l + £2 Г1

288
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
а)
б)
в)
ЯЧ~Ж
i
+ q
'/vm
00 = 90°
>///////////////,
O-g
7.24.
&int
_1_
47Г
(e2 ~ 1)
chpz
dz
(*i ~ 1)
l№
dz
_ qa €\ — 62
z=o 27гг3 ei(ei +62)'
12=0 Г21г=0'
где г = \Jx2 -\- у2 -\- a2 = r\ |
При 62 —> oo получаем случай точечного заряда g, находящегося в
диэлектрике £ь У границы с плоским проводником. При этом aint —> -qa/27T6ir3. Эта
предельная плотность на самом деле представляет собой сумму плотностей связанного
заряда на границе диэлектрика и свободного заряда на поверхности проводника.
7.25. Поле внутри двугранного угла создается системами зарядов,
изображенных на рис. 7.4.
7.26. Введем полярные координаты, выбрав полюс в центре сферы и ось
Oz || Е0. Потенциал можно искать в виде ряда по полиномам Лежандра (ср. с
решением задачи 7.29). Окончательный результат:
Ч>\
Ъб2
ех + 2е2
E0r costf г < a, cp2
(ei -62)E0a3cos#
-£0rcostf + -—7 , о ч о r>a.
(ei + 2e2)r2
Внутри шара получается однородное электрическое поле, напряженность
которого
3^2 r / >£() £2>€U
<Е0
Ei
£1 +2^2 I <^o ^2 <ei.
Вне шара на внешнее однородное поле Е0 накладывается поле электрического
диполя, момент которого
3 £\ - 62
Это вторичное поле вызвано связанными зарядами на поверхности
диэлектрического шара:
3 б\ — е2 -, Q
(Jin* = Ьг\ COSV, Pint = U.
int 4тг ei + 2e2
Легко понять причину такого распределения зарядов, представив себе каждый
малый элемент поляризованного диэлектрика в виде элементарного диполя.

§ 7.4. Ответы и решения
289
7.27. Для диэлектрика с неизменной поляризацией ДЕ = —47гР/3.
Для обычного диэлектрика
ДЕ =
12тге
(2е + 1)(е-1)
7.28.
Ч>-
Eo-r+^J (r^R),
1) V(r,t?>a)=^- + 5^(aZmri + ^-)flTO(coet?)eiTOa>
где р = Д3Ео, Д3 — поляризуемость шара; a = 3£o£ocos$/47r.
7.29. Выберем полюс сферической системы
координат в центре шара (рис. 7.5), полярную ось проведем
fM через точечный заряд. Будем искать потенциал в форме
Ъь\
l,m
где г\ — расстояние от qi до точки наблюдения. Ряд,
входящий в 1), очевидно, описывает поле зарядов,
индуцированных на шаре. Это поле должно исчезать на
бесконечности, поэтому a/m = 0. Вследствие
симметрии потенциал не зависит от угла а, поэтому члены
с m ф 0 также отсутствуют. Оставшиеся константы
Ь{ = Ью определим из граничных условий.
В случае а) потенциал шара у?(Д,#) = V = const.
Воспользуемся разложением для q/r\ (см. задачу 2.28):
qRl bl
Рис. 7.5
<р(М) = Е^К^тг + дгтг)^"»*) = у-
Отсюда bi = -qR2l+l/eal+l при I ф 0, bo = VR - Rq/ea, так что потенциал вне
шара
2)
¥>М)
VR qRy^/R:2\
г еа ^-А a J
1=0
q VR qR^fR2^Pi(costi)
егг
rm
Теперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара:
з)
°^-тЛ
r=R 47ГД 47Г
1=0
В случае б) потенциал V неизвестен и должен быть выражен через заряд Q
шара. Очевидно,
qR
а
Q = 2тг / <т(Д, tf) Д2 sin <д d<d = eVR
откуда V = Q/eR + q/ea. Используя задачу 2.28, можно записать 2) в виде
4) tp:
Q | Q + Q'
ет\ ег

290
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
Рис. 7.6
Рис. 11
где
R
R2
7*2 — V г<2 + а'2 — 2а V cos #, <
а а
Таким образом, потенциал точечного заряда и заряженного шара в области г >
> а сводится к потенциалу четырех точечных зарядов, расположенных на оси
симметрии: заряда q на расстоянии а от начала координат и трех его
изображений — зарядов Q и qf = qR/a в начале координат и заряда -qf в гармонически
сопряженной относительно поверхности шара точке а' = R2/а. Заряд — qf
описывает действие зарядов, индуцированных на ближайшей к q стороне поверхности
шара. Знак этих зарядов, очевидно, противоположен знаку q. Заряд -\-qf описывает
действие зарядов одного с q знака, индуцированных на удаленной от q части шара.
Если шар нейтрален, то член с Q отсутствует. Если шар заземлен (V = 0), то
потенциал принимает вид
5)
7.30.
ip
VJ(M)
ЕТ\ ЕГ2
ег\ ег2
+ V
(рис. 7.6), где
7.31.
(рис. 7.7)у где
Заряд на выступе равен
R
R2
а =
а
tp(M)
П r2 r3 r4
2=т> ь=т-
Q=-Q
1-
b2
bVa2 + b2
7.32. cp = ipt = q/eri — вне шара, ip = cp3 = q/eiRi — в проводнике, ср = ip2 =
q/£2T\ — <7'/£2^2 + q/£\R\ — в полости (см. рис. 7.8), где q' = qRz/a, a' = Щ/а.

§ 7.4. Ответы и решения
291
Рис. 7.9
Рис. 7.8
7.33.
Ч>\
\-Q / —; г, Гпош Pz(cos^) r ^ R;
em ч е1 Z^eil + e2(l + l)R2l+l Д ;
2/ + 1 а1
^ = «££l, + £2(/ + 1)^(costf) г>Д,
где п — расстояние от точки наблюдения до заряда q.
При а = О,
Е\Г V Е\) E2R S2T
7.34.
7.35.
7.36.
Cn^Ci, С22 ~ С2, С12 = C21
С
с11с22 ~ с12
Сц +С22 + 2Ci2
u-Uo = --v-e
С1С2
er
0 V Pfii/t'iit'w
7.37. Из (7.29), (7.38), находим
/ 8U
\dD2JTT 8ne
1
8те
, T (де

292
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
откуда следует
П2 Г Т / Яр
U{T,t,D2) = U0{T,t) + ^~
l+e\dT
Изменения внутренней энергии при изотермическом и адиабатическом процессах
различны.
7.38.
7.39. Полевая добавка к термодинамическим функциям U, F имеет вид
добавка к U, F имеет противоположный знак. Симметрия диэлектрического
тензора следует из равенства перекрестных производных от функции состояния U:
_ д2и д2и
д
7.40.
dT
dD2 ~
dEiidEv
Т de
87Te2CDdT'
дЕудЕ»
—(S).
— теплоемкость диэлектрика при постоянной индукции.
7.41. Ввиду малого отличия е для газов от единицы (см. оценку в примере 7.1)
формулу, полученную в предыдущей задаче, можно записать в упрощенном виде
dT T de
dE2 ~ SirCydT'
где в пренебрежении влиянием электрического поля на теплоемкость Со ~ Су =
= (5/2)N. В этих формулах температура выражена в энергетических единицах,
теплоемкость относится к единице объема и имеет размерность обратную объему.
Множитель 5/2 — безразмерная теплоемкость на одну молекулу, имеющую пять
степеней свободы (три поступательные и две вращательные). Воспользовавшись
формулой (7.10) и перейдя к температуре, выраженной в градусах Кельвина, после
интегрирования получим Т2—Т2 = 2р2Е2/15к%, кв — постоянная Больцмана, или
ДГ v2E2 E2
Т 1Ък2вТ2 15£2'
где Ес^3х 10б В/см — значение напряженности, при которой поляризация
диэлектрика приобретает нелинейный характер. При Е <С Ес электрокалорический
эффект мал.
7.43. Вводим термодинамический потенциал Гиббса тела Ф(Т,р,£) = U —
— TS + pVy полный дифференциал которого с помощью результата задачи (7.36)
записываем в виде
1) ^Ф = -SdT + Vdp - VdS.

§ 7.4. Ответы и решения
293
Здесь мы направили внешнее поле вдоль одной из главных осей тензора
поляризуемости, чтобы направления векторов Р и Е совпадали. Поляризуемость в этом
направлении в дальнейшем обозначаем через /?. Из равенства перекрестных
производных находим
2)
др)Т£
Дифференцируя равенство V = V/3£y получаем из 2)
3)
&V
v)rr'V£
. ^ \др)т\
где к, = —(l/V)(dV/dp)T — изотермическая сжимаемость. Уравнение 3) можно
проинтегрировать по V и по £ путем разделения переменных, имея в виду, что
поляризуемость и сжимаемость при фиксированных Г и р не зависят от объема
(и от внешнего поля). Считая эффект электрострикции малым, находим
4)
V
0к-
др\
др)т
Далее, Q = ГД5, где AS — приращение энтропии, обусловленное внешним
полем. Вычисляя энтропию через Ф(Т,р,£), находим
Q= -VT£2
(3k +
дт
где к = (l/V)(dV/dT)p — коэффициент теплового расширения.
7.44. Тензор максвеллова натяжения <т'п направлен так, что электрическое
поле Е делит пополам угол между п и сг'п (рис. 7.9). \cr'n\ = w = sE2/Sir при любой
ориентации площадки. Стрикционное натяжение сг^ = (Е2тп/8тт) (де/дт) имеет
всегда характер «отрицательного давления» — оно направлено вдоль нормали п к
площадке.
7.45. а) Введем цилиндрические координаты, как показано на рис. 7.10а. На
плоскости ху поле имеет радиальное направление, его величина Е = 2qr/s(r2 +
+ а2/5)3/2. Для вычисления силы F, действующей на один из зарядов, например
на левый, нужно просуммировать напряжения, приложенные к элементам dS этой
плоскости со стороны, обращенной к другому заряду:
azdS
8тг
E2dS
eq* r1
"2^* (г6 + а2/4)3£2
dS,
если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюда
Iaz
dS
1
"2^
eq-
f
Jo
r227rrdr _ q2
£2(r6 + a2/4)3 =~7^

294
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
Рис. 7.10
Именно такое значение обычно принимается для силы, действующей между
зарядами в однородном диэлектрике. Однако, если провести то же самое
вычисление с полным тензором натяжений, то сила будет равна Fz + AFZ, где AFZ =
= q4e~2a~2r^- получается за счет стрикционного члена. Но в теории,
учитывающей электрострикционные натяжения, нужно также учитывать явление
втягивания жидкости в поле и связанное с этим повышение гидростатического давления
27,2_ я,-.
в жидкости на величину Ар = njhpTF- Результирующая гидростатическая
сила AFzh = --^т^тт = ~AFZ. Полная сила взаимодействия зарядов Fz + AFZ +
+AFzh = —q2/ea? совпадает с той силой, которая получается без учета стрикци-
онных сил и представляет собой, таким образом, результирующую электрических
и механических сил.
б) Те же результаты получаются, если рассматривать действие натяжений на
поверхности малой сферы радиуса R с центром в той точке, где находится
заряд qy испытывающий действие силы (рис. 7.106). Введем сферические
координаты и рассмотрим максвелловы натяжения crfn = ■£-('EEr - \Е2еА, где Е =
поле заряда, испытывающего действие силы, Е2 =
поле второго заряда, которое можно рассматривать
как однородное, так как расстояние между зарядами a > R. Просуммировав
натяжения, приложенные к поверхности сферы, получим
= Ei + E2, Ei = (q/sR2)er
= (q/sa2) (е^ sin tf - er cos tf)
h
dS
eaz
Рассмотрение стрикционных натяжений опять не дало бы ничего нового из-за
гидростатической компенсации.
7.46.
^о
8mg
где g — ускорение силы тяжести.

§ 7А. Ответы и решения
295
7.47.
__ q2{el-e2)
4a2e2(ei +£2)*
При £i>£2 заряд отталкивается от границы диэлектриков, при Si<e2 —
притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим е, отталкиваясь от
границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд, находившийся сначала в среде
с меньшим е> притягивается к границе, пересекает ее и затем, будучи уже в
другой среде, отталкиваясь от границы удаляется на бесконечность. (Сказанное будет
справедливо только в том случае, если пренебречь силой трения, действующей на
заряд со стороны среды.)
Приведенное значение силы F можно получить разными способами: а)
рассматривая взаимодействие двух точечных зарядов qf и q"\ б) вычисляя силу,
действующую на точечный заряд со стороны связанных зарядов, находящихся на границе
раздела диэлектриков; в) с помощью тензора натяжений Максвелла. В последнем
случае удобно рассмотреть натяжения, приложенные либо к плоскости раздела
диэлектриков, либо к поверхности малой сферы, окружающей заряд.
7.48. 2
^1 = —? : \1г~ъ +
ei(ei +e2) 4a2 2(ei + e2)a2'
p = e9 ~ Si q\ + qiq2
eg(ei + €1) 4a2 7(ei 4- e2)a2 '
Неравенство сил, действующих на заряды qi и q2 объясняется тем, что эти
заряды сами по себе не образуют замкнутую механическую систему; имеются
еще связанные заряды на границе раздела диэлектриков. Векторная сумма сил,
приложенных к этой границе и к зарядам q\ и q2, равна нулю, как и должно быть.
7.49. Если положить в металле ip = 0, то в диэлектрике <р = q/sri — q/er2
(см. рис. 7.1: заряд q в точке А, заряд —q в точке В; в\ = е, е2 = ос). Член -q/er2,
обусловленный наведенным зарядом проводника и связанными зарядами
диэлектрика, имеет такой вид, как если бы он описывал поле точечного заряда —q/e,
находящегося в точке с координатой z = —а. Заряд — q/e называется
изображением заряда q/e относительно плоскости z = 0 (множитель 1/е учитывает влияние
диэлектрика).
4a F = -q2
27гг3' 4a2£'
где г — радиус-вектор в плоскости 2 = 0.
7.50. Пусть диполь находится в точке (0,0, г). Если проекции дипольного
момента р на оси х, у, z равны psina, 0, pcosa, то проекции его изображения р;
на те же оси будут —psina, 0, pcosa.
„ _ (ррУ-з(рр)(р-г) = _^
2er6 16z2e
1 Множитель 1/2 в выражении U возникает благодаря тому, что поле Е' дипольного момента р'
пропорционально р. При увеличении р на ds (и неизменной ориентации) энергия взаимодействия
возрастает на dU = —E'dp, откуда U = f£dU = -^(Е; • р).

296
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков
Зр2 ^ 2 n лт р2 sin 2а
F = -i6?i(1+cosa)' N" = -^*r-
При любой ориентации р диполь притягивается к плоскости. Вращательный
момент N стремится установить диполь вдоль положительного или
отрицательного направления оси z (a = 0,7г). Момент N = 0 также и при a = 7г/2, но это
положение равновесия неустойчиво.

Глава 8
ПОСТОЯННЫЙ ТОК И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СРЕДАХ
§8.1. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ И ПОСТОЯННЫЙ ТОК
В проводящей среде с удельной электропроводностью к плотность тока j
связана с напряженностью электрического поля Е законом Ома
j = «(E + Eejct), (8.1)
где Eext — напряженность поля, вызванная сторонними электродвижущими
силами (в отсутствие этих сил постоянный ток в замкнутой цепи невозможен).
Удельная электропроводность к является макроскопической характеристикой среды, не
зависящей от Е. Для вычисления электропроводности требуется найти
электрический ток, возникающий под действием слабого электрического поля. Эти задачи
решаются с использованием классической функции распределения либо квантово-
механической матрицы плотности в зависимости от характера движения частиц.
Функция распределения /(г, р,£) заряженных частиц, находящихся в
электромагнитном поле, удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана
f+„g+e(E+I„xB).|=f|/],
где В — вектор магнитной индукции. Функция распределения нормируется
условием
j3„
/
/(r,p,t)d3p = n(r,t), (8.3)
где n(r,£) — плотность числа частиц. В многокомпонентной системе нужно
описывать каждую компоненту своей функцией распределения.
Правая часть уравнения (8.2) называется интегралом столкновений.
Интеграл столкновений описывает процессы взаимного рассеяния частиц и должен
содержать подробную информацию о законах их взаимодействия. Для каждой
системы он имеет свой, как правило, достаточно сложный вид. В большинстве случаев
(хотя и не всегда) уравнение (8.2) представляет собой интегродифференциальное
уравнение относительно функции распределения. Для получения
полукачественных результатов интеграл столкновений часто записывают в приближении
времени релаксации:
№ = -f-TV, (8-4)
т(р)

298
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
где /о — равновесная функция распределения, т(р) — время релаксации,
которое может зависеть от энергии частиц. Эта величина должна рассматриваться как
феноменологический подгоночный параметр, который подбирается из условия
наилучшего согласия с опытными данными или с более строгой теорией. Смысл этого
параметра становится понятным из рассмотрения пространственно однородной
системы в отсутствие внешних полей:
^ = -1-mt)-mi
откуда следует экспоненциальный закон релаксации неравновесного
распределения
ffat) = Л(Р) + №,0)е~'/т(р\ (8-5)
где /о(р) +5f(p,0) — начальная неравновесная функция распределения. Следует
иметь в виду, что приближение к равновесию может происходить по более
сложному закону (например, определяться несколькими различными временами
релаксации), поэтому возможность использования приближения (8.4) следует проверять
в каждом конкретном случае.
Пример 8.1. Вычислить в приближении времени релаксации г = const
электропроводность полупроводника. Концентрация п свободных носителей заряда
достаточно мала, поэтому равновесную функцию распределения можно
считать классической (максвелловской), см. (7.8).
Решение. Записываем стационарное кинетическое уравнение для однородной
системы заряженных частиц в однородном электрическом поле:
1) еЕд/ - -'-L.
др г
Считая формально Е малой величиной (это означает, что еЕт <С р) и учитывая,
что неравновесная добавка к функции распределения также имеет порядок Е,
линеаризуем уравнение 1):
2) еЕ-^ = -*t.
dp т
Подставив в 2) в качестве /0 распределение Максвелла (7.8), найдем
неравновесную часть функции распределения:
ТР
3) Sf = уЕ-»/0(р).
Электрический ток вычисляется по формуле
4) i = ejv5f{p)d3P>
из которой находим тензор электропроводности:
-73
егт f
р-

§8.1. Электропроводность и постоянный ток
299
При изотропном распределении частиц по импульсам электропроводность
изотропна: Ка0 = KSa0> гДе
(8.6)
ne2r
к =
га
— формула Друде. ■
Для описания электрического поля Е и распределения токов j в проводнике
при наличии сторонних сил удобно, как и в электростатике, ввести скалярный
потенциал ср, связанный с напряженностью поля формулой Е = — V<p. Из
последнего соотношения, уравнения (8.1) и условия постоянства тока divj = 0 следует
дифференциальное уравнение для ц>:
V-(«V^) = V-rtEea*.
(8.7)
На поверхностях разрыва к или }ext = кЕехг уравнение (8.7) заменяется
граничными условиями
7-1 7-1 -(ext) -(ext)
к2Е2п - KiEin = j\n - jK2n \ <pi
4>2-
(8.8)
На поверхности изоляторов (к = 0) первое условие (8.8) принимает вид jn = 0
или
nEn+fcxt) = 0. (8.9)
Если среда состоит из ряда однородных областей и не содержит внутри себя
сторонних ЭДС, то внутри каждой такой области
а на границе г-й и /с-й областей (суммирования нет!)
Ч>% = ¥k,
dpi
1 dn
dipt
dn
(8.10)
(8.11)
Из сравнения этих уравнений с уравнениями раздела 7.2 видно, что существует
тесное соответствие между основной токовой задачей по определению потенциала
ср и аналогичной задачей электростатики при наличии сред. Решение токовой
задачи может быть получено из решения задачи электростатики (и наоборот), если
заменить величины электростатические на токовые:
D

Electrostatics
€
= -eVy
47гр
47ГСГ
Steady
currents
я,
• (ext)
J
In
Ъп
(ext)
(8.12)
Методы электростатики могут быть, следовательно, применены и для решения
задачи о распределении в проводящей среде постоянного тока, а существование

300
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
сторонних ЭДС должно учитываться и в чисто электростатических задачах с j =
= 0. Электростатическое поле Е внутри проводника в этом случае не будет равно
нулю:
Е = -Еея*. (8.13)
Если в среду с конечной проводимостью к(т) помещен идеальный (к, —► ос)
проводник — электрод, то на его поверхности S имеет место условие
ip\s = const. (8.14)
Токовая задача с идеальными проводниками аналогична электростатической
задаче о поле системы проводников, помещенных в диэлектрическую среду. Как и
в электростатическом случае, могут встретиться два основных варианта токовой
задачи: а) заданы потенциалы электродов (fk = Vk; б) заданы исходящие от
электродов токи
Jk = j> 3ndSk =-j *^dSk. (8.15)
Из последнего равенства видно, что аналогичными в смысле (8.12) величинами
являются заряд k-го проводника qk в электростатической задаче и ток Jk/4n от
к-го электрода в токовой задаче.
Потенциалы Vk электродов являются линейными функциями токов Jk)
стекающих с электродов:
У\ — RiiJ\-\-Ri2^2-\ + RinJn,
V2 = R21Jl + R22J2 + • • • + R2n Jn,
^n — RnlJl + ^n2^2 + * ' * + RnnJn.
(8.16)
Коэффициенты пропорциональности Rik называются коэффициентами
сопротивления. Они не зависят от потенциалов Vk и токов Jk и определяются
исключительно геометрией электродов и распределением проводимости к. Коэффициенты Rik
аналогичны потенциальным коэффициентам sik электростатической задачи (см.
уравнения (7.23)).
В технике самые распространенные проводники — квазилинейные, поперечные
размеры которых малы по сравнению с их длиной, а ток течет вдоль оси
проводника. Закон Ома для участка проводника принимает вид
JRi2= <Pi- ¥2 + £[Т\ (8.17)
где (fi-(f2 — разность электростатических потенциалов на концах участка, R\2 =
= Im/kS — его сопротивление, Z12, S — его длина и площадь поперечного сечения.
Для замкнутого провода разность электростатических потенциалов обращается в
нуль, и закон Ома приобретает вид
JR = S{ext\ (8.18)
в сопротивление R должно быть включено и сопротивление источника сторонней
ЭДС.

§8.1. Электропроводность и постоянный ток
301
При протекании тока в проводнике электростатическое поле и поле сторонних
сил совершают работу j • (Е + Ееж4) в расчете на единицу объема за единицу
времени. При постоянстве электрических величин и сторонних сил эта работа
превращается в тепло и расходуется на нагрев проводника (джоулево
тепловыделение). Плотность мощности джоулева тепловыделения с помощью (8.1) можно
записать в разных формах:
Q = j.(E + Eejct) = <E + Eext)2 = J—. (8.19)
Наиболее универсальным является последнее выражение (через плотность тока),
которое справедливо независимо от наличия сторонних ЭДС.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных
сред], [Ландау и Лифшиц, Статистическая физика. Ландау и Лифшиц, Квантовая
механика. Тамм (1976)], [Топтыгин (2005), Бредов и др. (2003), Сивухин,
Электричество. Пайерлс, 1988], [Лифшиц и Питаевский, Физическая кинетика. Фрелих
(I960)].
Задачи
8.1. Равновесная плазма с концентрацией электронов п и неподвижными
ионами находится в слабом однородном магнитном поле В = const. Вычислить в
приближении времени релаксации т = const ток в плазме, возникающий под
действием слабого электрического поля, и тензор электропроводности. Учесть в токе
члены не выше первого порядка относительно В.
8.2* Решить предыдущую задачу без ограничения величины магнитного поля.
Вычислить анизотропный тензор электропроводности, проанализировать случаи
слабого и сильного магнитного поля.
8.3. В приближении времени релаксации т(е) вычислить электропроводность
вырожденного электронного газа, имеющего концентрацию п. Вырожденный
электронный газ при температуре Г —> 0 имеет функцию распределения Ферми /о(б) =
= 1, б ^ eF\ fo(e) = 0, б > eFy где eF = Я2(37г2п)2/3/2т — энергия Ферми, m —
масса электрона, h — квантовая постоянная.
8.4! В отсутствие тока проводник квазинейтрален, плотности зарядов ионов
и электронов в нем скомпенсированы: р = р^ + ре = 0. Найти плотность заряда
внутри проводника с магнитной проницаемостью //, по которому течет постоянный
ток с плотностью j [Мартинсон и Недоспасов (1993)].
Указание. Учесть действие магнитной силы на электроны проводимости,
движущиеся с некоторой постоянной дрейфовой скоростью и.
8.5. Аккумуляторная батарея с малым внутренним сопротивлением и ЭДС S
не может обеспечить питания током J некоторого прибора в течение длительного
времени. Чтобы продлить срок службы батареи, включают прибор и батарею в сеть
постоянного тока параллельно друг другу через сопротивление R. Напряжение V
в сети неустойчиво и меняется от V\ до V*i (Vi > V2 > S). Сопротивление R
подбирают так, чтобы при V = V\ батарея не давала тока. Какой ток J будет
давать батарея при V = V2?

302
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
8.6. Каковы должны быть параметры обмотки гальванометра с вращающейся
катушкой, чтобы при заданных ЭДС цепи и внешнем сопротивлении R
(соединение последовательное) отброс гальванометра был максимальным? Угол отброса
стрелки гальванометра пропорционален числу витков п катушки и току J в
цепи. Вследствие ограниченности объема, занимаемого катушкой в кожухе прибора,
произведение nSt где S — сечение провода катушки, является приблизительно
постоянным.
8.7. Квадратная сетка из однородной проволоки состоит из п2 одинаковых
квадратных ячеек. Сопротивление стороны ячейки равно г. Ток входит в один из
углов сетки и выходит из противоположного угла. Найти сопротивление R всей
сетки для случаев п = 2, 3, 4.
8.8. По бесконечному прямолинейному проводу радиуса а с
электропроводностью к течет постоянный электрический ток с плотностью j. Вычислить поток
вектора Пойнтинга через поверхность провода и показать, что он восполняет джо-
улевы потери внутри проводника.
8.9.* Постоянный ток J течет по бесконечно длинному прямому проводу
радиуса а с проводимостью к. Провод окружен толстой коаксиальной с ним
проводящей цилиндрической оболочкой, служащей обратным проводом. Внутренний
радиус оболочки Ьу наружный радиус с —> ос. Найти электрический потенциал <р и
магнитное поле Н во всем пространстве. Определить распределение о
поверхностных зарядов. Диэлектрическая проницаемость среды между проводниками равна е.
8.10. Три проводника с круглыми сечениями одного и того же радиуса г
соединены последовательно, образуя замкнутое кольцо. Длины проводников Zq,
h, h > т\ проводимости ко, кь «2- По объему проводника с проводимостью ко
равномерно распределена сторонняя ЭДС £о> не зависящая от времени. Найти
электрическое поле Е и распределение электрических зарядов внутри кольца.
8.11. Найти потоки энергии 7 через поверхности трех проводников,
рассмотренных в задаче 8.10. Получить таким способом закон Джоуля-Ленца.
8.12. Заземление осуществляется с помощью идеально проводящего шара
радиуса а, наполовину утопленного в землю (проводимость земли к\ = const). Слой
земли радиуса Ь, концентрический с шаром и прилегающий к нему, имеет
искусственно повышенную проводимость К2- Найти сопротивление R такого заземли-
теля.
8.13. Конденсатор произвольной формы заполнен однородным диэлектриком
с проницаемостью е. Найти емкость С этого конденсатора, если известно, что
при заполнении его однородным проводником с проводимостью к, он оказывает
постоянному току сопротивление R.
8.14.* Частицы с зарядом е и массой га могут в неограниченном
количестве испускаться плоским электродом х = 0 под действием электрического поля.
Испущенные с нулевой скоростью частицы ускоряются в направлении к другому
плоскому электроду, параллельному первому и отстоящему от него на
расстояние а. Разность потенциалов между электродами <р0. Эмиссия из первого
электрода продолжается до тех пор, пока поле образовавшегося между электродами
объемного заряда с плотностью р не скомпенсирует внешнее поле у поверхности
первого электрода, так что напряженность результирующего поля —д(р/дх\х=о = 0.

§8.2. Магнитное поле в магнетиках
303
Найти зависимость плотности стационарного тока j между электродами от
разности потенциалов <pQ.
Указание. Потенциал в пространстве между электродами определяется
уравнением Пуассона Аср = —47г/>, р = j/vy где v — скорость частиц в данной точке
пространства.
8.15.* Проводник состоит из областей с удельными электропроводностями
к\ и к,2у распределенными по случайному закону, так что его электропроводность
к(х,у) представляет собой случайную функцию точки в плоскости ху и не
зависит от координаты z. Области 1 и 2 статистически эквивалентны, т. е. занимают
равные площади в плоскости ху. Ток течет в плоскости ху и в каждой точке
(локально) подчиняется закону Ома j = /^(х,у)Е, где Е — напряженность
электрического поля. Вычислить эффективное значение электропроводности К, которое
входит в макроскопический закон Ома J = КЕ, связывающий средние по объему
проводника значения плотности тока J = (1/V) JidV и электрического поля Е =
= (1/V) j"EdV. Вычислить также относительные квадратичные флуктуации силы
тока и напряженности поля Aj = ({j2} - J2)/'J2, Д# = ((52) - E2)/E2.
§ 8.2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В МАГНЕТИКАХ
Уравнения и граничные условия. Магнитное поле в средах описывается
вектором магнитной индукции В и вектором напряженности магнитного поля Н,
которые в статическом случае удовлетворяют уравнениям
rotH = %lj, frH-dl = %lj,
divB = 0, §sB'dS = °
и уравнению связи
В = /Ш либо Ва = царНр. (8.21)
(последние уравнения используются для изотропных и анизотропных диа- и
парамагнетиков, /Аар — тензор магнитной проницаемости. О ферромагнетиках см.
ниже). В (8.20) величина j — плотность тока проводимости, a J — полный ток
проводимости через поверхность, опирающуюся на контур I. Плотность
объемного и поверхностного тока намагничения (который определяется совокупностью
«молекулярных» токов) дается формулами
iint = crotM, iint =cnx (M2 - Mi), (8.22)
где М2 - Mi — скачок вектора магнитной поляризации на границе. Этот вектор
связан с В и Н соотношением
В = Н + 4тгМ. (8.23)
Векторы поля на границах раздела магнетиков удовлетворяют граничным условиям
47Г
п-(В2 - ВО = 0, пх (Н2 - Hi) = —i. (8.24)
с
Если всю среду, включая и проводники с током, можно считать однородной
и изотропной (// = const), то напряженность магнитного поля Н в ней, согласно
(8.20)

304
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
(8.20), (8.21) и (8.24), будет такой же, как в вакууме при том же распределении
токов проводимости, а магнитная индукция В = дН изменится в \х раз.
Напомним, что именно магнитная индукция В представляет собой усредненное
микроскопическое магнитное поле. Поэтому макроскопическая сила, действующая на
движущуюся малую макроскопическую частицу с зарядом q в среде, определяется
напряженностью электрического поля и магнитной индукцией:
F = qE + -v х В. (8.25)
с
Уравнения (8.20) допускают введение векторного потенциала А,
В =rotA, (8.26)
удовлетворяющего в однородной изотропной среде уравнению
AA = -^j. (8.27)
С
Ферромагнетики и спонтанная намагниченность. Скалярный потенциал.
Ферромагнетики отличаются от диа- и парамагнетиков в следующих
отношениях: а) многие из них обладают «остаточной намагниченностью», т. е. спонтанной
намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля Н; б) связь между
векторами В и Н нелинейна и неоднозначна, она зависит от истории процесса
намагничивания (гистерезис). Для приближенного расчета магнитных полей в
ферромагнетиках используют модель «идеализированного ферромагнетика», принимая
связь между векторами поля в виде
В = /хН + 4тгМ0. (8.28)
Магнитомягкие материалы имеют большую магнитную проницаемость, ji « 102 -=-
-^10б (см. Григорьев и Мейлихов (1991)). Намагниченность Мо должна
рассматриваться как не зависящая от Н величина, свойственная постоянному магниту. Она
может быть заданной функцией координат.
Поле, создаваемое постоянными магнитами, удобно рассчитывать методом
скалярного потенциала. В отсутствие токов проводимости имеем уравнения
rot Н = 0, div В = 0, В = /хН + 4тгМ0. (8.29)
Первое из этих уравнений позволяет ввести псевдоскалярный потенциал ф
соотношением Н = -\7ф. Потенциал удовлетворяет уравнению
У-(/Л7</0 = -4тгрт, (8.30)
где величина
Рто(г) = -V-Mo(r) (8.31)
играет роль объемной плотности сторонних «магнитных зарядов». На границе
постоянного магнита возникают и поверхностные «магнитные заряды». В однородном
ферромагнетике псевдоскалярный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
д</, = _^. (8.32)

§8.2. Магнитное поле в магнетиках
305
В этом случае к задачам магнитостатики применимы все методы электростатики,
рассмотренные в главе 7.
Рекомендуемая литература: [Тамм (1976), Ландау и Лифшиц,
Электродинамика сплошных сред], [Топтыгин (2005), Джексон (1975), Бредов и др. (2003),
Френкель (1935), Смайт (1954), Пановский и Филипс (1963)].
Задачи
8.16. Вычислить напряженность магнитного поля Н и магнитную индукцию В,
создаваемые постоянным током J, текущим по бесконечному цилиндрическому
проводнику кругового сечения радиуса а. Магнитная проницаемость проводника
равна //о> окружающего проводник вещества равна //. Решить задачу наиболее
простым способом — с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме (8.20),
а также путем введения векторного потенциала А.
8.17. Решить предыдущую задачу для полого цилиндрического проводника
(внутренний радиус а, наружный Ь).
8.18. Свести задачу магнитостатики об определении поля, создаваемого
заданными токами в неоднородной среде с линейным уравнением связи между
векторами поля В = /i(r)H, к задаче электростатики. Для этого представить магнитное
поле в виде суммы двух полей: Н = Но + Н', где Но — «первичное» поле, которое
создавалось бы тем же распределением токов в пустом пространстве, аН' -
поле, обусловленное наличием магнетиков. Ввести для Н' скалярный потенциал ф,
получить для ф уравнение и граничные условия.
8.19. Контур с током лежит в плоскости раздела двух сред с магнитными
проницаемостями дх и \i2- Вычислить напряженность магнитного поля Н во всем
пространстве, считая известным поле, создаваемое этим контуром в вакууме.
8.20. Бесконечный прямой провод с током J расположен параллельно плоской
границе двух сред с магнитными проницаемостями fii и \хъ* Расстояние от провода
до границы а. Вычислить магнитное поле.
Указание. Применить метод изображений, подобно тому, как это делалось в
задачах электростатики (раздел 7.2).
8.21. В однородное магнитное поле Но вносится шар радиуса а с магнитной
проницаемостью \х. Определить результирующее поле Н, индуцированный
магнитный момент m и плотность токов j^, эквивалентных приобретаемой шаром
намагниченности.
8.22. Найти форму силовых линий магнитного поля внутри и вне шара,
рассмотренного в предыдущей задаче.
Указание. Использовать соотношения симметрии.
8.23. В магнетике с магнитной проницаемостью fie имеется однородное
магнитное поле Н. Из магнетика вырезают шар радиуса а и вставляют вместо него
другой концентрический шар радиуса b с магнитной проницаемостью /i*. Можно
ли подобрать jii и Ъ таким образом, чтобы поле в области г > а осталось прежним?
8.24.* Анизотропный неферромагнитный шар вносится в однородное
магнитное поле. Найти результирующее поле Н и момент сил N, действующих на
шар.

306
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
8.25. Вычислить магнитное поле, которое создается тонким прямым проводом
с током J в анизотропном магнетике. Провод ориентирован в направлении одной
из главных осей тензора рар.
8.26. Бесконечно длинная полая цилиндрическая оболочка с внутренним
радиусом а и внешним радиусом b находится во внешнем однородном магнитном
поле Но, перпендикулярном ее оси. Магнитная проницаемость цилиндра — //ь
окружающего пространства — //2- Найти напряженность поля Н в полости.
Рассмотреть, в частности, случай р\ ^> //2-
8.27. Полая сфера, внутренний и наружный радиусы которой соответственно a
и 6, помещена во внешнее однородное магнитное поле Но. Магнитная
проницаемость сферы — //1, окружающего пространства — рч- Найти поле Я в полости.
Рассмотреть, в частности, случай pi » р2.
8.28. Вычислить изменение ДФ потока магнитной индукции через сечение
полого шара радиуса а, рассмотренного в предыдущей задаче, относительно
первоначального потока, который существовал в однородном магнетике. Сечение проходит
через центр шара перпендикулярно направлению внешнего поля.
8.29. Бесконечный прямолинейный провод радиуса а с магнитной
проницаемостью р\ находится во внешнем однородном поперечном поле Но в среде с
магнитной проницаемостью //2- По проводу течет постоянный ток J. Найти
результирующее магнитное поле внутри и вне провода.
8.30. В некоторой ограниченной области задано распределение
намагниченности М(г). Определить скалярный ф и векторный А потенциалы, создаваемые
этим распределением намагниченности. Показать прямым вычислением, что
векторы В = rot А и Н = —&га,(1ф связаны соотношением В = Н + 47гМ.
8.31. Некоторое тело намагничено однородно. Показать, что скалярный
потенциал магнитного поля, создаваемого этим телом, можно записать в виде
ф = -М -grad<£,
где М — намагниченность, а <р — электростатический потенциал равномерно
заряженного (с плотностью р = 1) тела такой же формы и размеров.
8.32. Ток J течет по прямолинейному проводу, совпадающему с осью z. От оси
расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла: аь
с*2, а3 (ai + a<2 + аз = 27г). Пространство внутри каждого из углов заполнено
однородным магнетиком с магнитными проницаемостями соответственно р\у р2,
рз- Определить магнитное поле Щ (г = 1,2,3) в каждом из двугранных углов.
8.33* Пользуясь уравнением связи (8.21), найти поле равномерно
намагниченного постоянного магнита сферической формы. Магнитная проницаемость
сферы — дь внешней среды — р2.
8.34* Найти поле, создаваемое бесконечным цилиндром радиуса а,
намагниченным однородно. Вектор намагниченности Мо перпендикулярен оси цилиндра.
Магнитная проницаемость цилиндра — /хь окружающей среды — р2-
§ 8.3. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В МАГНИТОСТАТИКЕ
Магнитное поле изменяет внутреннюю энергию и другие термодинамические
потенциалы помещенных в него тел. Как и в электростатике, добавки к термоди-

§8.3. Энергия и силы в магнитостатике
307
намическим потенциалам определяются элементарной работой 8АУ которая
записывается в виде
6А-
-^ fn-SBdV, (8.33)
47Г ,
где <Ш(г) — малая добавка к магнитной индукции. Работа (8.33) производится
электрическим полем, сопровождающим изменение магнитного поля.
Малые изменения термодинамических потенциалов, аналогичные введенным в
разделе 7.3 для диэлектриков, записываются в виде:
Ш = TSS + -?- / H-SBdV, (8.34)
47TJ
ЬТ = -SdT + -i- / Н Ж dV, (8.35)
4тг J
dU(S, т, В) = TdS + Cdr + -?-Н cffi, dt/(S, т, Н) = 7US + £dr - -J-B-dH,
47Г 47Г
(8.36)
dF(T, т, В) = -SdT + C,dr + -J-H-dB, dF(T, r, H) = -SdT + C,dr - ^-BdH.
47Г 47Г ,
(8.37)
В отличие от локальных величин Т, 5, т, которые существуют только внутри
рассматриваемого тела, магнитная индукция В отлична от нуля и за его
пределами. Поэтому часто бывают удобны такие термодинамические потенциалы С/*, F*,
у которых независимой полевой переменной выступает намагниченность М, равная
нулю за пределами тела. Эти потенциалы вводятся соотношениями
tf*(S,r,M) = U(S,t,B) - ^Р, F„(T,r,M) = F(T,r,B) - ^, (8.38)
и имеют полные дифференциалы
dU+ = TdS + Cdr + H-dM, (8.39)
dF* = -SdT + Cdr + H-dM. (8.40)
Через термодинамические функции можно выразить магнитное поле и магнитную
индукцию в магнетике:
н-*(£П -*(£) .*--*.(£) ~*(jg) -<84|)
дВ)ч \дВ)Т ' \дН \ан
Наконец, с помощью полученных соотношений определяются конечные полевые
добавки к термодинамическим потенциалам (аналоги формул (7.36)-(7.39)):
F(T,t,B)-Fo(T,t) = ^, U(S,T,B)-U0(StT) = -^. (8.42)
U-U0(Syr) = -^, F-F0(T,r) = -^y (8.43)

308
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
9т/тв ' 87Г//2 \дт)т
Пример 8.2. В однородное внешнее магнитное поле Л в вакууме вносится
диэлектрическое тело с магнитной проницаемостью fi. Выразить изменение
внутренней энергии тела через его магнитный момент, считая тело
теплоизолированным и пренебрегая изменением объема. Как изменится свободная
энергия тела, если вместо теплоизоляции в нем поддерживается постоянная
температура?
Решение. В соответствии с (8.43), изменение внутренней энергии тела
1) АЫ= /Н В~П dV= ±- f(H + H)-(B-H)dV-^ [MHdV,
где из подынтегрального выражения вычтена плотность магнитной энергии в
отсутствие тела, а само выражение преобразовано с учетом формулы В — Н = 47гМ.
В правой части 1) в первом интеграле выражаем через векторные потенциалы
разность В - Л = V • (А - Л). Здесь А, Л — векторные потенциалы при наличии
и в отсутствие магнетика. С помощью формул векторного анализа записываем
тождество
2)
(Н + П) • (В - П) = [V х (Н + П)) - (А - Л) + V - [(А - Л) • (Н + Щ.
Первое слагаемое в правой части дает нуль из-за отсутствия токов проводимости:
V х (Н + 7i) = 0. Второе слагаемое дает нуль при интегрировании по всему
пространству. В итоге получаем из 1)
AZ^ = -i [м-HdV =-±М-Н, (8.46)
где
М
fmdV (8.47)
— магнитный момент тела. В случае изотермического процесса та же величина
(8.46) будет представлять собой изменение свободной энергии. ■
Пример 8.3. Магнитное поле в однородной среде с магнитной
проницаемостью /i(T, r) создается тонкими квазилинейными проводниками с токами. По
аналогии с токами в вакууме (см. раздел 2.2) выразить энергию магнитного
поля через коэффициенты индуктивности. Найти зависимость этих
коэффициентов от магнитной проницаемости среды.
Решение. При фиксированных значениях температуры и плотности среды
энергия магнитного поля представляет собой часть свободной энергии системы:
1) Д^ = — / Н BdV.
-г /н
8тг J

§8.3. Энергия и силы в магнитостатике
309
Преобразуем эту формулу с помощью уравнений (8.20), (8.26). Получим
2) Д^= YcJAidV-
Интеграл по объему можно представить в виде суммы интегралов по
квазилинейным контурам:
ш
3) A?=^^<J>A-dlb.
Это позволяет выразить энергию через магнитные потоки Ф^ = § В • dSb:
4) A^=^EJ^-
Представление в виде суммы по контурам возможно и для векторного
потенциала:
5) А = 5>, Л.<„)-*£/£.
где использовано представление векторного потенциала в виде контурного
интеграла (см. раздел 2.2) с добавленным множителем //, a Rab — расстояние между
элементами длин dla и dlb- В итоге свободная энергия 3) оказывается выраженной
в виде суммы
Д^ = Е^ + Е^ь, (8.48)
a a<b
где
ЬаЬ = ,!Ц^ (8.49)
J КаЪ
— коэффициент взаимной индукции контуров с током а и b> Laa — коэффициент
самоиндукции. Его нужно вычислять с учетом конечности сечения проводника,
т. е. по формуле
_^ /*Ja(r) 'ja(r')
Сравнивая (8.48) с формулой 4), находим выражение для магнитного потока
через контур а:
Фа= -Y^LabJb. (8.51)
с ь
Этот поток обусловлен полем Ва, которое создается током Ja, текущим в этом же
контуре, и полями В5, b ^ а всех прочих контуров. ■
Силы в магнитном поле. Сравнение полученных выше результатов с (2.68),
(2.75) показывает, что при fi = 1 величина AJF переходит в рассмотренную в
разделе 2.2 энергию W системы токов. Поэтому обобщенные силы при постоянных
токах в контурах следует вычислять по формуле
Ъ-(^) , (8-52)
V %* Jt,j
Laa = ^ f j"^-y dVdV. (8.50)
11 J |r - r'l

310
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
где qa — обобщенная координата. Аналогом «потенциальной функции» U,
использовавшейся в разделе 2.2, является величина Д^7, которая отличается от AJ7
только знаком.
Плотность силы, приложенной к магнетику при В = /Ш, выражается в виде
f = Ij х В - -^tf2VM + ^-V (н2%\ . (8.53)
С 87Г 87Г \ ОТ J
Здесь в случае неферромагнитной электропроводной жидкости главный вклад дает
первое слагаемое с током проводимости j. Этой силе соответствует тензор
натяжений
1 Н f Э\±\
*<* = -^Н«В? -^[»- Td^J <W (8'54)
Задачи
8.35. В бесконечном соленоиде с радиусом а и числом витков п на единицу
длины медленно изменяется сила тока J(t). Внутри соленоида магнетик с
проницаемостью ji. Вычислить изменение магнитной энергии dW/dt на единицу длины
соленоида и показать, что оно обеспечивается потоком вектора Пойнтинга через
боковую поверхность соленоида.
Указание. Электрическое поле внутри соленоида вычислить из закона
электромагнитной индукции.
8.36. Вычислить магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля
Н на оси соленоида с густой намоткой, имеющего форму цилиндра. Высота
цилиндра — Л, радиус — а, число витков на единицу длины — п, сила тока — J. Снаружи
и внутри соленоида находится однородная среда с магнитной проницаемостью //.
8.37. Найти коэффициент самоиндукции С на единицу длины бесконечного
цилиндрического соленоида с густой намоткой и с произвольной (не
обязательно круговой) формой сечения. Площадь сечения — 5, число витков на единицу
длины — п. Соленоид заполнен однородным магнетиком с проницаемостью //.
8.38. Найти коэффициент самоиндукции L тороидального соленоида,
заполненного магнетиком с проницаемостью //. Радиус тора — 6, число витков — iV,
сечение тора — круг радиуса а. Определить самоиндукцию на единицу длины
соленоида в предельном случае Ь —> оо (N/b = const). Решить ту же задачу для
тороидального соленоида, сечение которого — прямоугольник со сторонами а и h.
Как изменится самоиндукция, если равномерно распределенный ток будет течь,
сохраняя то же направление, не по проводу, намотанному на тор, а прямо по полой
оболочке тора?
8.39. Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек
с радиусами а и b (a < 6), пространство между ними заполнено веществом с
магнитной проницаемостью //. Найти самоиндукцию С на единицу длины.
8.40. Вычислить коэффициент самоиндукции С на единицу длины
двухпроводной линии. Линия находится в среде с магнитной проницаемостью ji и состоит
из двух параллельных прямых проводов, радиусы которых а и 6, расстояние между
осевыми линиями — /?,, магнитная проницаемость материала — //0. По проводам
текут равные по величине, но противоположно направленные токи J.

§8.3. Энергия и силы в магнитостатике
311
8.41. Вычислить изменение внутренней энергии ДС/ магнетика при
изотермическом намагничивании (магнитная индукция изменяется от 0 до В). Сравнить
полученную величину с С/ — С/о, определенной согласно (8.42) для адиабатического
процесса. Изменением объема и плотности массы пренебречь.
8.42* Пользуясь принципом Нернста в формулировке Планка и полным
дифференциалом величины F(T,r,H) = F-H-B/47T, показать, что магнитная
восприимчивость любого магнетика должна удовлетворять условию (дх/дТ)т —> 0 при
Г —> 0. Принцип Нернста утверждает, что 5(Г,а,г)\т^о —» 0. т. е. энтропия
равновесного тела при стремлении абсолютной температуры к нулю стремится к нулю
при любых фиксированных значениях внешних параметров (давления, внешних
полей, фазового состояния).
8.43.# Кристаллический парамагнетик, магнитная восприимчивость которого
в некоторой области температур подчиняется закону Кюри хСП = С/Т, С =
= const, теплоизолирован и находится в магнитном поле В при температуре Г.
Как изменится его температура при выключении поля?
8.44. Парамагнетик, подчиняющийся закону Кюри (см. предыдущую задачу),
изотермически и обратимо намагничивается при температуре То в магнитном поле,
возрастающем от 0 до Я, и затем изотермически размагничивается до нуля.
Вычислить теплоту Q, получаемую телом в этих процессах. Согласуется ли ее знак
с результатом предыдущей задачи об адиабатическом размагничивании?
8.45.* «Идеальными парамагнетиками» называются вещества,
намагниченность М которых зависит от величин Я и Г только через их отношение1, т. е.
М = /(Я/Г) (рассматриваем изотропную среду). Предполагая плотность
вещества неизменной, показать, что у идеального парамагнетика внутренняя энергия
С/*, определенная согласно (8.38) и рассматриваемая как функция температуры и
намагниченности, на самом деле не зависит от М. Выразить энтропию 5 и С/*
через теплоемкость Су0, предполагая ее зависимость от температуры вида Суо =
= ЬТ3, b = const, и через функцию /(Я/Г).
8.46. Магнетик поляризуется в воздухе во внешнем однородном магнитном
поле Я. Считая поле также однородным внутри тела, а процесс намагничивания
изотермическим и изобарическим, вычислить изменение объема тела AV <С У,
выразив его через поле Я, магнитную восприимчивость \ и изотермическую
сжимаемость /3 = —{l/V)(dV/dp)T, где р — давление.
Указание. Может быть решена по образцу более сложной задачи 7.43.
8.47. Для изотропного магнетика выразить через намагниченность М и
магнитную восприимчивость х(Т,т) связанные с намагничением добавки к величинам
С/*, F*. Эти величины определены равенствами (8.38). Найти аналогичную
добавку к энтропии S. Плотность массы г считать неизменной.
8.48. Вычислить изменение теплоемкости магнетика при постоянном объеме
и магнитной индукции Сув — Суо при включении магнитного поля. Сравнить эту
разность с разностью Сун — CVo> пользуясь уравнением связи В = /х(Г, г)Я.
8.49. Вычислить разность удельных теплоемкостей магнетика Сн - Св, не
предполагая линейного характера зависимости между Я и Я. При этом
сохраняются постоянными также либо объем У, либо давление р.
Такая зависимость возможна только в ограниченном интервале параметров.

312
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
8.50. Доказать, что удельные теплоемкости магнетика можно представить
формулами
где М — удельный дипольный момент магнетика, а индексы указывают, какой
параметр остается постоянным.
8.51. В нелинейном случае магнитная восприимчивость \ = дМ/дН
зависит от условий процесса поляризации: остается ли магнетик теплоизолированным,
или он находится в контакте с термостатом, поддерживающим его при постоянной
температуре. Найти связь между адиабатической и изотермической восприимчи-
востями:
_ См
где теплоемкости См, Сн соответствуют постоянству намагниченности и
магнитного поля.
§ 8.4. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ
Основные опытные факты. Первый сверхпроводник открыл голландский
физик X. Камерлинг-Оннес1 в 1911 г. Ртуть при охлаждении до температуры Тс =
= 4,15 К переходила в состояние, в котором ее электропроводность повышалась
более чем на 10 порядков по сравнению с электропроводностью лучших
проводников (Си, Ад), т. е. сопротивление падало фактически до нуля. Кроме ртути,
в сверхпроводящее состояние переходят многие другие металлы и их
соединения. Долгое время наиболее высокотемпературным сверхпроводником считалось
соединение Nb^Ge (Тс « 23 К). Но во второй половине 1980-х годов в Европе и
Америке были синтезированы высокотемпературные сверхпроводники,
например Bi4(SrCa)6CuOi6, Tc « 105 К, Tl2BaCa2Cu3Oio, Tc « 125 К. В настоящее
время поиск высокотемпературных сверхпроводников интенсивно продолжается и
они находят все новые области применения.
1. Итак, главное свойство сверхпроводников — падение электрического
сопротивления до нуля, которое происходит в узком интервале температур порядка
долей градуса при охлаждении их ниже критической температуры.
2. Достаточно слабое магнитное поле всегда выталкивается из
сверхпроводника, независимо от его предыстории, т. е. от того, до или после перехода
проводника в сверхпроводящее состояние оно было включено (эффект Мейсснера-
Оксенфельда). Это объясняется тем, что внешнее магнитное поле вызывает
электрический ток в тонком поверхностном слое сверхпроводника. Созданное этим
током вторичное магнитное поле компенсирует внешнее поле. В этом отношении
сверхпроводник существенно отличается от идеального проводника (т. е.
проводника с высокой проводимостью). Магнитное поле обладает свойством «вморожен-
ности» в хорошо проводящую среду, поэтому первоначально имевшееся в «идеаль-
1 Любопытно, что при присуждении Нобелевской премии Камерлинг-Оннесу в 1913 г. «за
исследования свойств тел при низких температурах», которые, в частности, привели к получению жидкого
гелия, Нобелевский комитет не счел нужным выделить в своем решении открытие сверхпроводимости.

§8.4. Магнитные свойства сверхпроводников
313
ном» проводнике поле будет в нем сохраняться даже при выключении внешнего
поля.
Плотность поверхностного тока в сверхпроводнике можно найти с помощью
второго соотношения (8.24):
i=-^nxH. (8.55)
47Г
Здесь п — внешняя нормаль, Н — напряженность магнитного поля вне
сверхпроводника, который мы будем считать находящимся в вакууме. Внутри
сверхпроводника поле равно нулю, поэтому внешнее поле, в которое помещен сверхпроводник,
перестраивается таким образом, что на его поверхности
п • Н = Нп = 0. (8.56)
Касательная проекция поля испытывает на этой поверхности скачок в соответствии
с (8.55).
Пример 8.4. Внешнее магнитное поле Н параллельно боковой поверхности
сверхпроводника, имеющего форму длинного кругового цилиндра радиуса а.
Вычислить магнитный момент М на единицу объема сверхпроводника,
создаваемый поверхностным током (8.55), и его поляризуемость во внешнем поле.
Сравнить поляризуемость сверхпроводника с поляризуемостью большинства
обычных диамагнетиков (х ~ 10_6).
Решение. По формуле (2.29), используя выражение для тока (8.55), находим
магнитный момент на единицу длины цилиндра и из него получаем М= —(1/47г)Н.
Этот результат показывает, что сверхпроводник ведет себя в магнитном поле как
идеальный диамагнетик с магнитной восприимчивостью \ — ~~ 1/47Г и магнитной
проницаемостью ц = 0. Поле внутри такого диамагнетика ослабляется до нуля.
Его магнитная восприимчивость на пять порядков превышает восприимчивость
обычных металлов. ■
3. При любой температуре достаточно сильное магнитное поле разрушает
сверхпроводимость и проникает внутрь сверхпроводника. По поведению во внешнем
магнитном поле различают сверхпроводники первого и второго рода. К первой
группе относится большинство чистых металлов, во второй преобладают сплавы
и химические соединения, в том числе высокотемпературные сверхпроводники-
керамики. В схематической форме кривые зависимости намагниченности от
внешнего магнитного поля для цилиндров, ориентированных вдоль поля, приведены на
рис. (8.1) для сверхпроводника I рода и на рис. (8.2) для сверхпроводника II
рода. Начальный прямолинейный участок в обоих случаях соответствует эффекту
Мейсснера-Оксенфельда, когда магнитное поле в толще сверхпроводника
отсутствует.
У сверхпроводников I рода при увеличении поля до значения НС(Т), зависящего
от температуры, магнитное поле «скачком» проникает в толщу сверхпроводника и
он превращается в нормальный металл. При этом намагниченность уменьшается на
5-6 порядков. Зависимость критического поля, разрушающего сверхпроводимость,
от температуры хорошо описывается эмпирической формулой
ЯС(Т) = ЯС(0)[1-(Т/ТС)2].
(8.57)

314
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
-4тгМЬ
-4тгМк
Я„ Я
Рис. 8.1
Рис. 8.2
Значение Яс для чистых металлов составляет сотни эрстед (400 Э для Hg, 800 Э
для РЬ).
У сверхпроводников II рода уменьшение магнитного момента происходит
постепенно, в интервале от Hci до Яс2, причем второе критическое поле, при
котором весь сверхпроводник переходит в нормальное состояние, достигает значений
порядка 105 Э. Кривая намагниченности необратима и зависит от предыстории
процесса (гистерезис). Между значениями Нс1 и Яс2 сверхпроводник находится
в смешанном состоянии, в котором сверхпроводящие и нормальные области
чередуются. При увеличении поля сверх Hci нормальные области зарождаются в
виде тонких нитей, пронизывающих сверхпроводник. В аналогичном состоянии в
некотором интервале значений поля может находиться и сверхпроводник I рода
сложной формы, поле внутри которого неоднородно. Области, в которых Я < Яс,
останутся сверхпроводящими, а области с Я > Яс перейдут в нормальное
состояние. Такое состояние называется промежуточным.
4. Если возбудить незатухающий ток в сверхпроводящем кольце, то плоскость
кольца будет пронизывать некоторый магнитный поток Ф, зависящий от силы тока.
Как показали тонкие эксперименты, магнитный поток квантуется:
Ф = пФ0,
Фо
7Г flC
2х КГ7 Gcm\
0,1,2... ,
(8.58)
где ео — элементарный заряд. Квант магнитного потока Фо — вполне заметная
величина. В капилляре диаметром порядка 10~3 см одному кванту потока
соответствует магнитная индукция порядка 0,1 Гс. Квантование магнитного потока,
создаваемого сверхпроводящим током, указывает на квантовую природу
сверхпроводимости.
5. Изотопический эффект в сверхпроводимости был открыт при
исследовании сверхпроводящих свойств различных изотопов ртути. При изменении
массового числа М изотопа изменялась критическая температура сверхпроводимости по
закону
ТСМ1/2 = const. (8.59)

§8.4. Магнитные свойства сверхпроводников
315
Изотопический эффект свидетельствует о связи явления сверхпроводимости с
колебаниями кристаллической решетки, так как частота колебаний иона в решетке
обратно пропорциональна М1/'2.
Термодинамика сверхпроводников. Основные термодинамические свойства
вещества, связанные со сверхпроводимостью, можно описать, если известна
зависимость ТС(Т). Воспользуемся результатами примера 8.4. При намагничивании
сверхпроводника в полях, не проникающих в его толщу, элементарная работа на
единицу объема 5А = —М • <Ш = Н • dH/47i\ При изотермическом изменении
поля от 0 до Я запишем удельную свободную энергию Гельмгольца в виде (ср. с
формулой 8.46); здесь через Н обозначено внешнее поле, в котором находится
сверхпроводник)
Fa(T,H) = Fa(T,0) + f- (8.60)
(изменением объема и связанной с этим работой пренебрегаем). Пусть поле
становится равным критическому: Н —>• НС(Т). Сверхпроводник переходит в нормальное
состояние и его свободная энергия за вычетом энергии поля в объеме тела
становится равной Fn(T,H) = Fn(T) - М ♦ Н/2 « Fn(T), так как магнитный момент
неферромагнитного вещества пренебрежимо мал по сравнению со
сверхпроводящим. Таким образом, получаем связь между свободными энергиями
сверхпроводящего и несверхпроводящего состояний при заданной температуре Г < Гс:
Fn(T) = Fs(T,0) + ^p-. (8.61)
Из этого соотношения следует, что Fn(T) > Fs(T,0) и при Т <Тс осуществляется
состояние с меньшей свободной энергией, т. е. сверхпроводящее. Следует
отметить, что величина НС(Т) хорошо измеряется только у сверхпроводников I рода.
У сверхпроводников II рода эта величина («термодинамическое критическое поле»)
лежит между значениями Нс\ и НС2 (рис. 8.2) и непосредственно не измеряется,
но может быть вычислена. Термодинамические свойства сверхпроводников I рода
рассматриваются в задачах (8.52)-(8.54).
Рекомендуемая литература: [Гинзбург и Ландау (1950)], [Бардин и Шриффер
(1962), Де Жен (1968), Шриффер (1970), Тилли и Тилли (1977)], [Кресин (1978),
Высокотемпературные сверхпроводники (1988). Шмидт (2000)].
Задачи
8.52. Пользуясь соотношениями (8.60) и (8.61), вычислить разность энтропии
нормального и сверхпроводящего состояний в интервале температур 0 ^ Г < Г0
при наличии внешнего магнитного поля 0 ^ Н ^ НС(Т). На этой основе
указать классификацию фазовых переходов (I или II рода) из сверхпроводящего в
нормальное состояние.
8.53. Вычислить скрытую теплоту перехода из сверхпроводящего в нормальное
состояние, вызванного разрушением сверхпроводимости магнитным полем Н > Нс.
Сравнить этот эффект с адиабатическим и изотермическим размагничиванием
парамагнетика (см. задачу 8.41).

316
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
8.54. Вычислить скачок теплоемкости АС = Cs — Сп вещества в точке
фазового перехода Тс из нормального в сверхпроводящее состояние. Найти
значение АС в калориях на см3 и на градус Кельвина для свинца, у которого
Гс^7,2 К, ЯС(0)«803Э.
Феноменологическая магнитостатика сверхпроводников. В простейшей
модели сверхпроводника предполагается, что свободные электроны вещества (с
концентрацией п) можно разделить на две группы: нормальные и сверхпроводящие,
т. е. n = nn + ns. Соотношение между этими группами зависит от температуры:
n ^ ns ^ 0 при 0 ^ Г < Тс. В статическом случае электрический ток создается
только сверхпроводящими электронами, так как они движутся сквозь
сверхпроводник без всякого трения. Учтем возможность проникновения магнитного поля в
тонкий поверхностный слой и будем рассматривать плотность тока и магнитную
индукцию внутри сверхпроводника как функции координат.
Записываем плотность сверхпроводящего тока js(r) = ens(r)vs(r) и плотность
кинетической энергии сверхпроводящих электронов:
= nsmv2s _ mjl
2 2e2ns'
С помощью макроскопического уравнения Максвелла rot В = 47rjs/c выражаем
плотность кинетической энергии через магнитное поле:
Л2
^МВД
где параметр
у 47re2ns
имеет размерность длины.
Пример 8.5. Haumu уравнение, описывающее распределение магнитного
поля внутри сверхпроводника. Для этого записать свободную энергию Гельмголь-
ца как функционал (интеграл) от магнитной индукции и использовать условие
минимума свободной энергии в равновесном состоянии.
Решение. Свободную энергию (включая энергию поля в объеме тела)
записываем в виде интеграла по объему сверхпроводника:
1) ^РГ,В(г)] = ?s{T) + ^j\B2 + A2(rotB)2]cn/.
Считаем объем тела и температуру неизменными при изменениях магнитного
поля. Далее следует записать необходимое условие минимума для функционала
^5[В(г)], т. е. равенство нулю его первой вариации при варьировании поля. При
этом предполагаем, что
2) <Ш = О
на границе сверхпроводника, на которой задано внешнее поле. Получаем
3) <5.Fs[B(r)] = -^ / (В • SB + Л2 rot В • rotSB)dV = 0.
4?г Jv

§8.4. Магнитные свойства сверхпроводников
317
С помощью тождества
Л2 rot В • rot SB = SB- rot Л2 rot В - div[A2 rot В х SB]
и теоремы Остроградского-Гаусса, а также граничного условия 2) приводим
условие 3) к виду
4) / (В + rot A2 rot В)- Ж dV = О
Jv
и получаем искомое уравнение
rotA2rotB + B = 0. (8.63)
С помощью уравнения Максвелла полученному соотношению можно придать вид
уравнения связи между сверхпроводящим током и магнитным полем:
— rot(A2js) + B = 0. (8.64)
С
Параметр Л имеет смысл глубины проникновения магнитного поля в
сверхпроводник. Поскольку число сверхпроводящих электронов зависит от температуры, то и
Л является функцией температуры. Для чистых металлов Л « 10~5 -г- Ю-6 см.
Изложенная феноменологическая теория была развита немецкими физиками
братьями Ф. и Г. Лондонами в 1935 г. Соотношения (8.61)—(8.62) носят их имя.
Теория Лондонов используется в задачах 8.55-8.64.
Задачи
8.55. Записать уравнения Максвелла и материальное уравнение,
описывающие статическое электромагнитное поле в сверхпроводнике. Вывести уравнения,
описывающие в этом случае распределение тока и магнитного поля.
8.56. Сверхпроводник заполняет полупространство х ^ 0, при х < 0 — вакуум.
В вакууме существует однородное магнитное поле Но || Оу. Найти распределение
магнитного поля и токов в сверхпроводнике в статическом случае.
8.57. Найти силу, действующую на единицу поверхности сверхпроводника,
рассмотренного в предыдущей задаче. В какую сторону направлена эта сила?
8.58.* Сверхпроводящая пленка толщиной 2а, расположенная симметрично
относительно плоскости х = 0, находится в однородном магнитном поле Hq || Oz.
Найти распределение магнитного поля по объему пленки, а также средний
магнитный момент единицы объема.
8.59. В сверхпроводящей пленке, рассмотренной в предыдущей задаче и
находящейся в вакууме, течет ток в направлении оси Oz. Сила тока равна i на
единицу длины сечения пленки в направлении оси Оу. Найти распределение тока
по сечению пленки и магнитное поле внутри и снаружи пленки. Рассмотреть, в
частности, предельные случаи А<аи А>а.
8.60.* Первоначально в свободном пространстве (вакууме) в области х > 0
расположена система проводников, в которой текут токи с объемной плотностью
j(x,y, z), создающие поле H(x,t/,г), причем jx(x,y,z) = 0 всюду в пространстве.
Затем полупространство х ^ 0 заполняется сверхпроводником. Используя метод
изображений, вычислить результирующее поле Н'(х, у, z) в области х > 0.

318
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
Указание. Проанализировать уравнения для векторного потенциала и граничное
условие на поверхности сверхпроводника.
8.61. Бесконечно длинный круговой сверхпроводящий цилиндр находится во
внешнем однородном магнитном поле Но || z. Ось цилиндра параллельна полю.
Найти распределение магнитного поля по объему цилиндра и средний магнитный
момент единицы объема.
8.62. Сверхпроводящий шар радиуса а находится во внешнем однородном
магнитном поле Но- Найти распределение токов в шаре и магнитное поле во всем
пространстве. Рассмотреть предельные случаи а > А и а < А.
8.63. По бесконечно длинному сверхпроводящему прямому проводу кругового
сечения (радиус а) течет ток J. Найти распределение плотности тока j по сечению
провода и магнитное поле во всем пространстве.
8.64. Сверхпроводящее плоское кольцо с самоиндукцией L, в котором течет
ток J, вдвигается полностью в однородное магнитное поле Hq. Найти ток J',
который будет после этого протекать по кольцу. Площадь осевого сечения кольца 5.
Нормаль к плоскости кольца составляет с направлением Но угол д.
8.65. Проводящее кольцо с самоиндукцией L находится в нормальном
состоянии во внешнем магнитном поле (магнитный поток через контур кольца равен Фо).
Затем температура понижается, и кольцо переводится в сверхпроводящее
состояние. Какой ток будет течь по кольцу, если теперь выключить внешнее магнитное
поле?
8.66. По сверхпроводящему прямому проводу радиуса а, находящемуся во
внешнем продольном магнитном поле Hq} течет ток J. Каково критическое
значение тока Jc, при котором провод теряет сверхпроводящие свойства?
8.67. Внешнее магнитное поле Я0 приложено перпендикулярно
сверхпроводящему прямому проводу. Найти критическое значение тока Jc, при котором в
проводе появляется несверхпроводящая область.
§8.5. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
8.1. Неравновесная добавка к функции распределения электронов с учетом в
первом порядке слабых электрического и магнитного полей вычисляется из
кинетического уравнения и имеет вид
1) Sf = (-е(Е^)т + —[Ex В]Ф) ^.
\ тс ) де
Пользуясь этой функцией распределения, вычисляем плотность тока:
2) j = кЕ + Е х а,
где
пе2т пе3т2^
3) к= , а=—^—В.
m mzc
Электропроводность в результате действия магнитного поля становится
анизотропной,
4) кар = к5ар - еа/?7а7,
возникает ток, перпендикулярный магнитному полю (ток Холла).

§ 8.5. Ответы и решения
319
Обратная зависимость между током и электрическим полем в том же
приближении имеет вид
5) E = -j-i?[jxB],
где R = 1/сеп — постоянная Холла.
8.2. Записываем стационарное кинетическое уравнение с учетом членов только
первого порядка по Е, но без ограничения на величину В:
т, З/о er dSf Sf
ар с др т
Умножаем обе части 1) на ev и преобразуем это уравнение в алгебраическое
уравнение для тока j = ejvSfd3p путем интегрирования по импульсам. После
умножения на т получаем
2) kE=j-Tj xu;B,
где к дается формулой 3) предыдущей задачи, и>в = еВ/гас — циклотронная
частота. Разрешая уравнение 2) относительно компонент j, находим ja = карЕр>
где тензор электропроводности имеет вид
к± кн \ к k(wbt)
кар = -кн к± 0 , к± = —— -х, кн = —— -2, «у = к.
о о «и / 1 + (швг) 1 + ^^
Значки ±, || обозначают направления, перпендикулярное и параллельное
магнитному полю. Составляющая кн ответственна за ток Холла.
Величина ивт представляет собой угол поворота поперечного импульса
частицы за время релаксации при ее движении по спиральной траектории. При
ивт < 1 роль магнитного поля мала, и электропроводность почти изотропна.
В обратном предельном случае, ивт > 1, электропроводность резко анизотропна:
8.3. Используем кинетическое уравнение, как в примере 8.1. В качестве
равновесной функции распределения /0(е) в уравнение 2) подставим «ступеньку Ферми»
из условия задачи. Пользуясь соотношением v = де/др, записываем
1) Sf =-e(E.v)r(e)^
и получаем выражение для тока
2) j = -e2 fr(e)v(E-v)
2 / w,Wir..„^ jA_
де (2тг/1)3'
где последняя дробь под интегралом представляет собой число квантовых
состояний с учетом двух проекций спина. Для вырожденного электронного газа имеем

320
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
dfo/de = —S(e — 6F). Подставляя в 2) требуемые величины и производя
интегрирование по энергии с помощью дельта-функции, получим коэффициент
пропорциональности между током и напряженностью электрического поля:
з)
пе2т(ер)
m
Результат совпадает с формулой Друде (8.6).
В реальных металлах электронный газ взаимодействует с кристаллической
решеткой. Это приводит к тому, что зависимость энергии частицы от ее импульса
е(р) усложняется, эффективная масса носителей заряда может стать
анизотропной, а поверхность Ферми в импульсном пространстве — несферической. В этом
случае изложенная простая модель неприменима.
8.4. р = pj2/c2pe. Это малая релятивистская поправка, порядок которой
и2/с2 <С 1 относительно ре.
8.5.
J_
h
V!-V2
V2-£'
8.6. Сопротивление катушки гальванометра должно быть равно внешнему
сопротивлению R.
8.7. R = Зг/2 при п = 2, R = 13г/7 при п = 3, R = 47г/22 при п =
= 4. Использование соображений симметрии позволяет, например, в случае п = 3
ограничиться всего тремя контурными токами.
8.9.
if :
Jz
Jzln(r/b)
na2 ln(a/6)'
0,
0 ^ r ^ a,
a < г ^ 6,
r >b.
Из этой формулы видно, что электрическое поле в пространстве между
проводниками не направлено по оси Oz. Наличие отличной от нуля радиальной
составляющей электрического поля Ег говорит о том, что на цилиндрических поверхностях
проводников имеются поверхностные заряды с плотностями:
<71
еЕг
47Г
eJz
4тг2а3к1пГ
<У2
сЕг
47Г
eJz
r=b
4тг2а2Ьк\п т
При z = 0 плотности о\ и <Т2 обращаются в нуль. Положение сечения, на
котором а\ = 02 = 0, не является определенным. Это сечение может быть
смещено, если на провод поместить добавочный постоянный заряд. Заряды qi = 2iraa\
и q2 = 2тгЬа2 = —qi, приходящиеся на единицу длины провода и оболочки (при
одном и том же z), связаны с разностью потенциалов между ними
V
f
J a
Erdr
Jz

§ 8.5. Ответы и решения
321
соотношением
— = „. /т , ч = const.
V 2ln(b/a)
Отношение qi/V совпадает в данном случае с емкостью на единицу длины
цилиндрического конденсатора в электростатической задаче.
Магнитное поле имеет, очевидно, тот же вид, что и поле бесконечно длинного
прямого провода с током J. Это объясняется тем, что плотность тока в бесконечно
толстой оболочке равна нулю, вследствие чего обратный ток не создает магнитного
поля.
8.10. #о = -k(n2h + KibKo. Ei = кк2£ъ, Е2 = fc«i5o,
где k = /^o/^o(^o^i^2 + ^o^2^i + ^i^2^o)» £o = Eextlo — ЭДС источника. Внутри него
электрическое поле направлено противоположно току (Ео < 0).
Заряды, создающие это электрическое поле, возникают на границах раздела
проводников с разными проводимостями и могут быть определены с помощью
граничных условий; например, заряд на границе 01 равен
г2
goi = -(£i-£o).
8.11. Рассмотрим, например, поток энергии через поверхность 0-го
проводника, в котором действует ЭДС. Магнитное поле вблизи поверхности совпадает с
полем бесконечно длинного прямого провода Н = 2J/cr. Вектор Пойнтинга 7 =
= с(Е0 х Н)/47г (Ео — напряженность электрического поля в 0-м проводнике,
направленная противоположно току), как легко убедиться, направлен из
проводника по нормали к его поверхности. Величина потока энергии через поверхность
этого проводника, следовательно, равна 27гг/о7 = ^^ гДе V = Eolo — разность
потенциалов на концах проводника. Величина JV представляет собой разность
между работой ЭДС 8J (S = Eextlo) и джоулевыми потерями в единицу времени
в самом источнике.
Энергия JV вытекает ежесекундно через наружную поверхность источника,
течет в окружающем проводники пространстве (в основном вне проводников) и
втекает внутрь 1-го и 2-го проводников через их поверхности, превращаясь
внутри этих проводников в джоулево тепло. В том, что общее количество энергии,
втекающей в 1-й и 2-й проводники за единицу времени, равно JVi, JV2, легко
убедиться, рассмотрев вектор Пойнтинга так же, как выше.
тгко \а о/
27г/^2 \а Ь/ 2nKib
8.13. с е
4ttkR
8.14. Плотность тока в пространстве между электродами
1) j = pv
не зависит от х (v(x) — скорость частиц в данной точке х). Скорость связана с
потенциалом <р(х) формулой
2) v = d-*2
V га
(ср = 0 при х = 0).

322
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
Из 1) и 2) следует, что р = jy/—m/2e(p, так как уравнение Пуассона принимает
вид
d2(P Л . I гпГ
3) ~Л = -4W-T-.
dx2 J\j 2e<p'
Интегрируя 3) с граничными условиями dip/dx\ _„ = 0 и <р\ _ = ip0, получим
А\ ■ 1 /21е1| I2
4) J = ^№
(«закон трех вторых»).
8.15. Микроскопические значения тока и электрического поля удовлетворяют
в каждой области однородности к уравнениям
1) j = «5, V х S = 0, V-j = 0.
Следуя Дыхне (1970а), введем новые микроскопические величины
2) j' = (кх/са)1/2^ х £], £' = (кхка)-1/2^ х j],
где е2 — декартов орт. Пользуясь уравнениями 1), убеждаемся, что в каждой из
областей однородности
3) Vxf' = 0, V-j' = 0
и выполняется локальный закон Ома
4) У = «'5',
где
, к 1^2 Г «2 в области 1,
' л к\ в области 2.
Но поскольку области 1 и 2 статистически эквивалентны, то электропроводность
в макроскопическом законе Ома для величин J', Е' должна быть той же самой,
что и для величин J, E, т. е.
6) J' = КЕ'.
Усредняя по объему равенство 2), находим
7) J' = (к1К2)1/2[ег х Е], Е' = (KiK2)-1/2[e2 x J] = (к1К2)-1/2К[ег х Е],
где в последнем равенстве использовано определение К} приведенное в условии
задачи. Подставив 7) в 6), найдем
8) К= («iK2)1/2.
Путем аналогичных расчетов находим
9) Aj = АЕ = 1-
1/4 , ч 1/41 2
«2/ \«1/
>0.

§8.5. Ответы и решения
323
8.16. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если
направить ось z вдоль оси цилиндра, то декартовы компоненты А будут удовлетворять
уравнениям:
1) ААх=0, ААу = 0, AAz = -^jz,
причем jz = 0 при г > a, jz = -^ при г ^ а.
Поскольку в уравнения для Ах и Ау заданный ток J не входит, эти компоненты
можно считать равными нулю; Az будет зависеть только от расстояния г до оси z.
Интегрируя уравнение для Az и используя условия непрерывности Az и На на
границе г = а и ограниченности Н при г = 0, получим:
при г < а
д
2) Аг = С-^Г-)\
с \а/
при г > а
2') AZ=C - -f/io + 2/iln-V
с \ а/
Константа С — произвольна.
8.17. При г <а
Аг=Си В = 0;
2 fio J
caz
_ 2\iJ
>а — >
сг
На = —«г;
саг
2J
На = —.
сг
при а ^ г ^5
Л2 =
при г > 6
>
2/*о Ja2 /r г2 \
c(62-a2)llna"2^J+C2'
Az = -^-ln-+C3,
с г
Ла _ с(62 - а2)
2MJ
^>а = •
сг
Остальные компоненты А и В равны нулю. Две любые константы, входящие
в Azt можно выразить через третью, использовав условия непрерывности
векторного потенциала на границах.
8.18. Вторичное поле Н' удовлетворяет уравнению rotH' = 0, т. е. является
потенциальным. Введя скалярный потенциал по формуле Н' = — grad^, получим
для него уравнение, совпадающее с уравнением электростатики в неоднородной
среде:
div(/igrad^) = -47rpm,
где величина
An = -^Ho-V/x
играет роль плотности магнитных зарядов.
На границе раздела двух сред должны выполняться условия для касательных
компонент поля:
И' -И' и пи Эф1 - Эф2
Н1т-Н2т или -frT-^T

324
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
и для нормальных компонент поля:
дф\ дф2
M2#2n - fliHin = (Mi - №)Ноп или /xi^ ~ ll2~g^ = 47ГСГгп-
Здесь величина
1
<?тп = — (/XI - Р'2)Н0п
играет роль плотности поверхностного заряда. Заметим, что это выражение для ош
может быть получено и из формулы для объемной плотности рт путем предельного
перехода:
От = lira pmh.
h—*0
Заменим поверхность раздела тонким слоем толщиной h. Тогда grad/x будет
направлен по нормали к слою и будет равен (/х2 — р>\)/К откуда
1 /^2 — /Xi 1
/>т = ~Т" Г #0п, ^т = 1ЩртП = — (fJLi ~ /fcJ^On-
47Г Л /i—>0 47Г
8.19.
«1 = **о, ±12 = «О»
Ml + /Х2 Ml + /Х2
где Но — поле, создаваемое контуром с током в вакууме, Hi, H2 — поля в средах
с проницаемостями мь /л2.
8.20. Магнитное поле в среде 1 совпадает с полем, создаваемым в вакууме
двумя прямолинейными токами
J1=»J и j2 = Mi(M2-Mi)J;
Ml + М2
ток J\ течет по тому же проводу, что и начальный ток J; ток J2 течет вдоль
провода, который является зеркальным изображением первого провода относительно
плоскости раздела сред.
Магнитное поле в среде 2 совпадает с полем, которое создается в вакууме
током J\ = 2/iiM2/(Mi + №)J> текущим по тому же проводу, что и начальный
ток J.
8.21. Векторы поля удовлетворяют во всем пространстве однородным
уравнениям rotH = 0, divB = 0, поэтому можно ввести скалярный потенциал ф (Н =
= — grad^), который будет удовлетворять уравнению Лапласа. В результате задача
магнитостатики сведена к задаче электростатики. Решение имеет вид (см.
задачу 8.11):
внутри шара
/х + 2
вне шара
Н2 = Но + Н^гр,
где Hdip — поле, создаваемое магнитным диполем с моментом
m = ^—^а3Н0.
М + 2

§8.5. Ответы и решения
325
Поскольку поле внутри шара однородно, намагниченность постоянна:
M=im = 3(ГР
4тга3 4тг(/х + 2)
Плотность эквивалентного объемного тока будет поэтому равна нулю:
iint =crotM = 0.
Плотность поверхностного тока можно определить по формуле (8.22)
Um =c[nx (M2-Mi)].
Подставляя М2 = 0 и Mi = М, найдем:
47г(/х + 2)
Интересно отметить, что такой поверхностный ток можно получить, если
заставить вращаться вокруг одного из диаметров сферу, заряженную равномерно по
поверхности (см. задачу 2.86).
8.22. Силовые линии представляют собой линии пересечения плоскостей а =
= const с поверхностью вращения вокруг оси Oz
г 2(/х-1) /дчз-
/х + 2 \г)
(х2 + у2) = const,
где г = л/ж2 + у2 + z2.
8.23.
6\3 (/хе-1)(^+2) л
а/ (/^-1)(//е+2)
8.24. Если направить оси координат вдоль главных осей тензора магнитной
проницаемости, то внутри шара компоненты поля будут равны 3#ofc/(/<^ +2),
где Н0 — внешнее поле. Вне шара
Н2 = Но + Н^гр,
где Hdip — поле магнитного диполя с моментом т, причем
M(fc)"l з,
mk = ]ЖТ2а Нок-
Момент сил, действующих на шар:
N = m х Н0.
8.25. Из соображений симметрии следует, что векторы поля лежат в
плоскости, перпендикулярной проводу. Направляем ось Oz вдоль провода и вводим

326
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
векторный потенциал Az = А(х,у), Вх = дА/ду, Ву = —дА/дх. Он должен
вычисляться из уравнения
1)
м
(X)
д2А
дх2
_,_ {у)д2А АжцЮцЫ JSI
Переходя к переменным х' = х/у/ц(х\ у' = y/y/iJ№, приводим уравнение 1) к
виду
2)
д*А д*А W^fo)
д& + W2 = с ЩХ ЖУ ]-
Задача свелась к нахождению магнитного поля провода с эффективным током
Jу/'/л(х) 1а(у) в изотропной среде. Использовав результат задачи 8.16, находим
Вх
2Jyy//JF)
2Jxy/JjJyJ
cr
/2
cr
/2
где г' = у/х2/ц№ +у2/мЫ-
8.26.
Н =
1
[1-(а/6)2](М1-М2)2
Я0.
(М1+М2)2-(а/6)2(М1-/.2)2.
При iii 2> Ц2 поле в полости сильно ослабляется — происходит магнитная
экранировка.
8.27.
Н
2[1-(а/6)3](М1-М2)2
(/Л + 2M2)(2mi + lb) - 2(a/6)3(Mi - M2)2J
Я0.
При iii » ^2 поле сильно ослабляется (Н -С #о)
8 28
АФ = Бо27г(а3"б3)^1"1 М2_1
8.29. Магнитное поле
Mi + 2 М2 + 2
Н = rot A,
где
MlJ~2 + ^^Borsina
47га2
/i2 J , a
Ml + М2
при г < а,
/i2^ л GL / Ш — U,2 CL" \ _
Az = —— In —h (14 • -^ Bqt sin a при г > a.
27Г Г V fil + fJ>2 Tz /
Ось Oz направлена вдоль оси цилиндра; остальные компоненты А равны нулю.
8.32.
н = J_ 27T/ii/i2M3 н
Мг MlM2^3 + М2М3^1 + MlM3^2
где Н0 — поле, которое создается тем же током в вакууме.

§8.5. Ответы и решения
327
Рис. 8.3
Рис. 8.4
8.33. Во внешней области индукция В и магнитное поле Н связаны обычным
соотношением В2 = /42Н2. Внутри шара, согласно (8.28), Bi = /iiHi + 47гМо,
где Мо — постоянная намагниченность. Вводя скалярный потенциал, как в
задаче 8.21, получим
Ф\ = "Hi • Г, '02
где
Нх
47гМ0
m
m • г
47га3М0
Таким образом, поле внутри шара однородно, а вне шара совпадает с полем
магнитного диполя с моментом т.
8.34. Поле внутри цилиндра:
Нх
Поле вне цилиндра:
Н2
_ 47гМ0
М2 + А*1 *
2r(m ♦ г) m
li Z2~'
где Мо — постоянная намагниченность,
8.35.
47га2М0
m = .
М2 + М1
dW _ 4тг2/т2а2
JJ.
8.36. Bz=fiHz = ^f^- (cos01+ cos#2). где (см. рис. 8.3):
h — z
cos 0i =
y/a2 + {h-z)2'
COS 02
V^T*

328
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
8.37. С = 47г/хп25. Для соленоида большой, но конечной длины h, пренебрегая
краевым эффектом, получим полную индуктивность
L = 47г fin2Sh.
8.38. Для кругового сечения
L = 4тг/хЛГ2(6 - Vb2-a2).
Самоиндукция на единицу длины С = Ь/2ттЬ для бесконечного соленоида
получится, если сделать предельный переход 6 —> ос при заданном числе витков на
единицу длины n = N/2nb:
С = 4тгV™ а = 47r/m2S
(ср. с задачей 8.37).
Для прямоугольного сечения
L = 2fiNzh\n
2 , 26 +а
26-а'
При 6 » а опять имеем С = 47г/хп25.
Если ток течет непосредственно по оболочке тора, то самоиндукция
уменьшается в N2 раз по сравнению с самоиндукцией тора, обмотанного проводом.
В соответствии с этим будем иметь:
L = 4тг/Д6 - у/Ь2 - a2)
для тора круглого сечения и
L = 2ah In —
' 2b-a
для тора прямоугольного сечения.
8.39. £ = 2/xln^.
г a
8.40. Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по формуле 2)
примера 8.3. Векторный потенциал прямого провода с током был получен в
задаче (8.16). Для провода 1 (рис. 8.4) запишем его в виде
1)
Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в 1)
J на -J, a на 6 и г\ на г<2.
Находим магнитную энергию:
\z
\z
= с -
= с-
Jr2
caz
- -(/хо + 2/х1п —)
с \ a /
при
при
г\ <а,
т\ > а.

§ 8.5. Ответы и решения
329
Интегралы, входящие в 2), берутся в элементарных функциях. Учитывая затем
связь между коэффициентом индуктивности и магнитной энергией системы,
получим окончательно:
К2
С = /io + 2/i In —.
ао
8.41.
8tt/jL \ fi ОТ
8.42. При т = const записываем (8.37) в форме dF = —SdT — j^BadHa и
используем равенство перекрестных производных:
fds_\ = \_ (двл = (дма\
> \дНа)Тт to\dT)HntT \ дТ )Нп/
При Т —> 0 производная от энтропии в левой части стремится к нулю в
силу принципа Нернста. При линейном уравнении связи Ма = ХарНр это Дает
(дХар/дТ)тНр —> 0 при Т —> 0 и, поскольку Я^ — независимые переменные,
отсюда следует
2) (%^)т^° ПРИ Т^°-
Если зависимость М(Н) нелинейна, то выполняется условие, следующее из 1):
8.43. В теплоизолированном парамагнетике процесс размагничивания
происходит адиабатически, т. е. при
1) 5(Г,В») = const, dS = (§)BdT+ (Ц)/*2 = О-
С помощью формулы (8.45) находим
(dS\ = C^ = Cvo_^__^_fl\ f_dS\ = _J_±(±\
) \дТ)в T T 8тг dT2\fi)' \дВ2)т 8тг dT\fi)'
где Суо = T(dSo/dT)T — теплоемкость магнетика в отсутствие магнитного поля.
В результате получаем из 1) общую связь между температурой и магнитным полем:
Если магнитная восприимчивость зависит от Т по закону Кюри, то d(l//j,)/dT >
> 0 и знаки приращений температуры и поля совпадают. Поэтому при
размагничивании происходит охлаждение парамагнетика. Для конкретной оценки эффекта

330
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
сделаем в 3) замены Су в ~ Суо ~ ЬТ3 (пренебрегли влиянием поля на
теплоемкость, использовали низкотемпературную асимптотику теплоемкости кристаллов)
и 1//х « 1 — 47гх = 1 - 47гС/Т (предполагаем неравенство 4тгС/Т <С 1). Тогда
4) dT = ^rdB2.
Из-за четвертой степени температуры в знаменателе эффект охлаждения велик
при низких теппературах, и таким способом получают температуры ниже 1 К
(а в системе ядерных спинов даже до 10~6 К, см. [Физический энциклопедический
словарь]). Но следует иметь в виду, что при Т —> 0 закон Кюри несправедлив.
8.44. При изотермическом намагничивании тело отдает тепло, Q=—CH2/2To<
< 0, при размагничивании — получает такое же тепло.
8.45. Из (8.39) записываем дифференциал
1) dS = i
aus
dT ,
\ ,т
I dT +
' м
Г1
—
[т
диЛ
—*
\дм)т
#1
т\
dM.
Приравнивая перекрестные производные, учтем, что d(H/T)M/dT = 0, так как
условие М = const приводит к постоянству отношения Н/Т. Получим
2)
{ш) =0' и*{т) = \ьт4' S(T>H) = \ьт3-р(§У1 f{x)dx+const-
Здесь const можно определить из принципа Нернста S(T, #)|т->о —* 0 (см-
задачу 8.42), если известна функция f(x).
8.46.
\дН)рТ~ ~{др)ну V - 2 \Рх др
8.47. Пользуясь уже вычисленными величинами (8.43), (8.44), находим
1) С/, (S, М) = С/0 (S) + т^г, F. (Г, М) = F0(T) +
2X(Sy *v ' ' uv ' 2Х(ТУ
*™--(£).,=*^+да
Аргумент т всюду опущен. Проверим выполнимость термодинамического
тождества Гиббса-Гельмгольца С/* = F*+TS. Подставив в него величины из 1), получаем
2) U0(S) = Fo(T) + TS0(T) + Щ:%-
В левой части переходим к переменной Т, представив S = 5о(Т) +Д5, где AS —
добавка, вызванная магнитным полем. В первом порядке по AS, что
соответствует линейной связи М = х# и квадратичной по полю поправке к энергиям,

§ 8.5. Ответы и решения
331
убеждаемся в справедливости равенства 2), из которого следует очевидная связь
U0(T) = F0(T) +T5o(T). Таким образом, в переменных Т,М имеем
М2 / Т d\
3) С^(Г, М) = U0(T) + -i— (1 + Х
2Х(Т) V Х(Т) dT/
Для парамагнетика, подчиняющегося закону Кюри, х = С/Т и [/* = Щ(Т) в
согласии с результатом задачи 8.45.
8.48.
Су в - Cvo
\дГ*)т м \дт)т
Сун-Су°=1£г{Щт-
8ттц
8.49.
Г(ЭБ/ЭТ)2Н
1} Ся"Св-4тг(^/аЯ)т-
При В = fiH уравнение 1) дает
Это же значение разности можно получить из результатов предыдущей задачи.
Условие г = const означает, что С в, Сн вычисляются при постоянном объеме.
Если поддерживается постоянное давление, то в 1), 2) производные нужно брать
при р = const.
8.52. Согласно (8.60) и (8.61), AF(T,H) = Fn(T) - Fa(T,H) = ~(Н2(Т) -
— Н2)/8тг. Вычисляя энтропию, находим
ЛЧ = -(^1\ Hc{T)dHc
\ дТ ) н 4тг dT '
Как следует отсюда, изменение энтропии не зависит от внешнего магнитного поля.
На концах температурного интервала 0 ^ Т ^ Тс имеем Д5(0) = 0 в силу
принципа Нернста (этот принцип сформулирован в условии задачи 8.42) и Д5(ТС) = О
по определению критической температуры: НС(ТС) = 0. При этих температурах
переходы п <—> s происходят без изменения температуры и являются фазовыми
переходами II рода. При 0 < Т < Тс с помощью (8.57) находим
В этой области температур при изменении внешнего поля происходят фазовые
переходы I рода.
Н2(0)Т2
8.53. Из результатов предыдущей задачи находим Q = TAS —
Т2
2тгТс
1-^7 > 0, тело при намагничивании нагревается, в отличие от парамаг-
нетика (задача 8.44), который при этом охлаждается. Если сверхпроводник будет
теплоизолирован, то при намагничивании он охладится, а при размагничивании
нагреется, тоже в противоположность парамагнетику.

332
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
8.54.
8.55. jn = 0, js
. Для свинца АС « 2,8 х 104 эрг /см3 К и 6,8 х 10~4 кал/см3 К.
Т<;
Е =
rot(A2js)
rot В
divB
0,
-fB,
47Г
47Г .
J s?
с
0.
Исключая из этих уравнений js или В, получим
^-0 s — Т~2 J s •>
8.56. Вх
8.57.
дв = ^в,
0, By = Я0ехр(-х/Л), jx = jy = 0,
с дВ„ сНо
3z =
47Г дх
сИ0 ( х\
1 Г п
dx
Hi
8тг'
Сила Fx стремится вытолкнуть сверхпроводник из поля. В этом проявляется
диамагнетизм сверхпроводника.
8.58.
1)
Вх = Ву — 0,
Bz = Н0
ch(x/A)
ch(a/A)"
О
FV
Рис. 8.5
При a > Л, Bz экспоненциально мало всюду в
толще пленки, кроме тонких слоев вблизи ее границ:
Bz = #oexp[—(a=Fz)/A], где знак минус относится
к границе х = а, знак плюс — к границе х = -а.
Имеет место, таким образом, эффект выталкивания
магнитного поля из сверхпроводника. При А » а
ослабление поля мало.
Для среднего магнитного момента получаем
неожиданный результат. Производя вычисление в
расчете на единицу длины в направлениях осей Оу и
Ozy будем иметь
2) Mz
--Г[
2a2cJ_a[
г х }s]zdx
_L Г
8Wo
dBz Но
X^x~dX=-^
А , aN
-th-
a A,

§8.5. Ответы и решения
333
Mz имеет знак, противоположный полю (диамагнетизм). Но при А « а средний
магнитный момент Mz « -Я0/87г, что вдвое меньше по абсолютной величине, чем
в случае сверхпроводящего цилиндра (пример 8.4; см. также задачу 8.63).
Это отличие вызвано некорректным рассмотрением сверхпроводника с
бесконечно большим размером вдоль оси Оу. В действительности любой сверхпроводник
ограничен. Пусть ширина пленки вдоль оси Оу равна 26, причем 6 » а, Л, тогда
как полутолщина а может быть сравнима с Л (рис. 8.5). В этом случае всюду
внутри пленки можно пользоваться решением 1), за исключением областей вблизи
границ у = ±Ь. Ввиду неравенства 6 » А ток вдоль этих границ можно считать
поверхностным. Вычисляем среднюю намагниченность на единицу длины вдоль
оси Oz:
з) w> = uhf_bdyjyxi°]*dx>
где теперь нужно учесть, что поверхностный ток замыкается вдоль границ у = ±6:
4) j. = ~^ ~ C-^[S(y + b)-S(y-b)]ex.
Здесь поверхностные токи для единообразия записаны с помощью дельта-функции,
выражение 4) относится только к области внутри пленки и к ее границам.
Подставляя это выражение в 3), находим добавочное слагаемое к 2):
*=-#0-^§)-£
Удаленный узкий край пленки дает добавку, превышающую вклад широкой
поверхности. При А «а пленка ведет себя как идеальный диамагнетик: Mz =
= -Я0/47г, х = -1/47Г> М = 1 + 47гх = 0.
8.59. В областях х ^ а, х ^ -а — однородное поле Я0 = ±27гг/с,
направленное соответственно вдоль и противоположно оси Оу. Внутри пленки
sinh(x/A) . _ сЯо cosh(x/A)
у[Х) ~ Mosmh(a/\y Jsz ~ 4^A sinh(a/A) '
При Л < а ток течет в тонком поверхностном слое, в толще пленки ток и поле
отсутствуют (ср. с результатом задачи 2.76, случай б). При Л » а ток распределен
равномерно по сечению, а поле внутри пленки меняется по линейному закону:
Ву(х) = Щх/а.
8.60. На поверхности сверхпроводника должно выполняться граничное
условие обращения в нуль нормальной компоненты результирующего поля: Hfx(0,y,z) =
= 0, а в области х > 0 — уравнения Максвелла и уравнения для векторного
потенциала с заданным током. Все эти требования будут выполнены, если поле
в области вакуума будет создаваться заданными проводниками с током и их
зеркальными изображениями в плоскости х = 0, причем в проводниках-изображениях
должны течь токи той же силы, но противоположного направления.
8.61.
" " A/i(a/A)
В -И WA) М - Но
1-2
а 1о(а/Х)
где /0, h — модифицированные функции Бесселя.

334
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах
8.62. Вне шара
Нг = (tf0 + -^)costf, Щ = (-Н0 + ™)sintf,
где га — постоянная, имеющая смысл магнитного момента.
Внутри шара
ja = /(r)sintf, jr =h =0.
Функция ja(r,i?) удовлетворяет уравнению
1
г
откуда
Aja - ^ Sin2 ti-3cL = 0,
сЛ
^M = ^(shbrhD
Здесь А — постоянная интегрирования. Компоненты Вт и В$ магнитного поля
внутри шара выражаются через ja(r,#):
_ 2Х2А ( Л г г л г\
Вг = —5~ sh — - — en — cos v,
г6 \ л А А/
2Л2
Д
Ч?
r2\ r r r
1 + A^jshA-AchA
sintf.
Постоянные m и А определяются из условий непрерывности векторов поля при
Я0а3 / А .,а А2\ л ЗЯ0а
га = — 1-3- cth - + З^г ,
2 V о, А а2/' 2sh(a/A)'
При А < а получим га = -Яоа3/2 (ср. с ответом 8.21 при /л = 0), А = 0.
При А > а, га = -Я0а5/30А2.
8.63.
^ = ^ = 0' * = ^1да bt = bz = o,
J /р (г/А)
т; т , /ЛЧ при г < а,
27rca/i(a/A) F
J
при r> a,
2тгса
/о, h — модифицированные функции Бесселя.
8.64. J' = -cHoScosd/L + J.
8.65. J = сФо/L.
8.66. J с = (са/2)^/Я2 - Щ, где Яс — критическое поле при рассматриваемой
температуре.
8.67. 7с = (са/2)(Яс-2Я0).

Глава 9
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ
НАЛИЧИИ СРЕД
§9.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ. ПРИНЦИП
ПРИЧИННОСТИ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Уравнения Максвелла. Электромагнитное поле в веществе описывается
макроскопическими величинами, т. е. параметрами, усредненными по статистическому
ансамблю состояний рассматриваемого макроскопического тела. Для
равновесного состояния это — ансамбль Гиббса. Векторы Е (напряженность электрического
поля) и В (магнитная индукция) представляют собой усредненные значения на-
пряженностей поля £, Н вакуумной электродинамики, которая рассматривалась
в главах 1-6 настоящего сборника.
Кроме указанных двух векторов используется еще несколько
макроскопических величин, характеризующих состояние и свойства вещества. В статических
или относительно медленно изменяющихся полях удобно использовать векторы
электрической Р и магнитной М поляризации, которые уже встречались в главах
7,8. Через них выражаются плотности зарядов pint{r,t) и токов jmt(r,£)> навеАен_
ных в веществе,
дР(г t)
Pint(?,t) = -divP(r,t), jint(r,t) = Kgt''J +crotM(r,£), (9.1)
а также электрическая индукция D и напряженность Н магнитного поля:
D = Е + 4тгР, Н = В - 4тгМ. (9.2)
Уравнения Максвелла в этом представлении имеют вид
ratE(r,t) = -1^, (9.3)
с at
„, N 19D(r,t) 4тг. , . ,п Л.
rotH(r,t) = ^r-L + — j«t(r,t), (9.4)
с at с
divD(r,t) = 47rp(Ket(r,t), (9.5)
divB(r,t) = 0, (9.6)
где pext, jext — внешние (по отношению к веществу) заряды и токи.
Это одна из наиболее употребительных форм записи уравнений Максвелла в
средах. Условия на границах раздела сред можно записать в форме
nx(E2-Ex) = 0, n-(D2-D!) = 4тго-ехг; 1
nx(H2-Hx) = ^iext, n-(B2-B!) = 0.
(9.7)

336
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности раздела. В правые части этих
условий входят поверхностные плотности сторонних зарядов и токов.
Недостаток системы (9.3)-(9.6) состоит в том, что в быстропеременном
поле вектор М нельзя рассматривать как магнитный момент на единицу объема, а
лишь как вспомогательный вектор, обеспечивающий представление (9.1) для тока
в веществе. Это вызвано тем, что в быстропеременном поле невозможно
разделить полный ток в веществе на ток поляризации (ЭР/dt) и ток намагничения
(crotM). В этих условиях целесообразно рассматривать полный ток вещества j$nt
без разделения его на две части и ввести вектор обобщенной поляризации среды
V = /ITOJint(r>0<U'> Jtnt(r,t) = ^>(r,t),
rt
(9.8)
(9.9)
Pint(r,t) = -SL0O^vUnt{r,f)dt' = -divP(r,t)
и вектор обобщенной электрической индукции
2>(r, t) = E(r, t) + 4тг J j4nt(r, t') dt' = E + 4тг-р.
Оба эти вектора описывают и электрические, и магнитные свойства среды, не
разделяя их. В этой схеме уравнения Максвелла содержат три вектора поля Е, Х>, В,
где Е, В имеют прежний смысл, а вектор обобщенной электрической индукции Т>
отличен от D и приобретает новые свойства. Система уравнений для указанных
векторов с учетом сторонних зарядов и токов имеет вид
rotEM) = -i^M, (9.10)
с at
^/ ч ldT)(r,t) 47Г. , ч /Л11Ч
rotB(r,t) = A-l2 + _jc:Bt(r,t), (9.11)
с at с
div©(r,*) = 47rpext(r,0, (9.12)
divB(r,t) = 0. (9.13)
Граничные условия:
nx(E2-Ei) = 0, n-(X>2-^l) = 47Г<7ех*;
ПХ(В2-В!) = ^(iext+W), П-(В2-В!) = 0.
(9.14)
Здесь iint — индуцированный в веществе поверхностный ток.
Системы уравнений (9.3)-(9.6) и (9.10)—(9.13) неполны и должны быть
дополнены уравнениями связи. В статических и медленно изменяющихся полях векторы
поля связаны алгебраическими соотношениями
D = eE, B = /xH, (9.15)
где е, /л — скалярные множители, зависящие от свойств среды и ее
термодинамического состояния. В анизотропных средах е, /л — тензоры II ранга.

§ 9.1. Уравнения Максвелла и уравнения связи
337
В быстропеременных и неоднородных полях соотношения (9.15) приобретают
операторный характер. В частности, поляризация Р(£) среды будет зависеть не
только от значения поля Е(£) в тот же момент времени, но и от его значения в
предшествующие моменты, так как перестройка зарядов и токов в среде
вследствие изменения поля происходит не мгновенно, а в течение некоторого конечного
времени релаксации. Аналогичным образом, в данную точку пространства могут
приходить частицы из соседних областей с другим значением поля. Поэтому связь
между векторами поля приобретает интегральный характер. В статистически
однородной среде это приводит к тому, что алгебраические соотношения сохраняются
только для компонент Фурье по времени и координатам:
Da(k,u>) = £ap(k,u)Ep(k,u), Ва(к,ш) = pap(k,u)Hp(k,u). (9.16)
Эффекты зависимости е и р от частоты и волнового вектора называют
соответственно временной (частотной) и пространственной дисперсиями.
Для системы (9.10)—(9.13) уравнение связи имеет вид
Va{k,u) = еар(к,и)Ер(к,и), (9.17)
где тензор комплексной диэлектрической проницаемости при действительных
значениях аргументов и, к обладает свойством симметрии
€ap(k,U>) = €*a0(-k,-U>). (9.18)
Этот тензор описывает и электрические, и магнитные свойства вещества.
Пример 9Л. Пусть среда равновесна, однородна и изотропна, а также
инвариантна относительно инверсии пространственных осей. Показать, что
тензор еар(к,и) комплексной диэлектрической проницаемости определяется
двумя скалярными функциями, зависящими в общем случае от и и к = |к|.
Решение. Тензор второго ранга еар является истинным (полярным) и в
изотропной среде может быть построен только из полярных тензоров 6ар и какр/к2.
Составим из них поперечный и продольный относительно к тензоры S^p = Sap -
— какр/к2у 5^р = какр/к2. Другие тензоры в рассматриваемой задаче отсутствуют.
Общий вид тензора комплексной диэлектрической проницаемости:
ee/J(k,W) = et(k,w)^ + £г(к,ш) (saP - ^) , (9.19)
где £/, et — скалярные функции, в общем случае комплексные, которые можно
назвать продольной и поперечной диэлектрическими проницаемостями. Из
соотношения (9.18) получаем полезные свойства симметрии для действительной ег = Же
и мнимой е" = $s£ частей диэлектрических проницаемостей:
s'tJk,w) = £',,*(*.-") e7,t(*,o;) = -4t(*,-o;). (9.20)
Действительные части ei.t являются четными, а мнимые части ei,t — нечетными
функциями частоты.

338
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
В анизотропных средах вид тензора ба/з(к,и;) усложняется, и он не может быть
представлен в общем случае в форме (9.19). ■
Пример 9.2. Haumu связь между проницаемостями е, \х, входящими в
уравнения (9.16), и величинами Е[, et, введенными равенством (9.19). Для этого
записать систему (9.3)-(9.6) в представлении Фурье с использованием (9.16) и
сравнить ее с системой (9.10)-(9.13). Воспользоваться тем, что векторы Е, В
в обеих системах по определению одни и те же.
Решение. Система (9.3)-(9.6) в представлении Фурье принимает вид
кхЕ(к,а;) = -В(к,а;), (9.21)
с
-кхВ(к,ы) = --sE(k,u)-i — j«rt(k,w), (9.22)
fi С С
ek-E(k,u>) = -i4irpext(k,u>), (9.23)
k-B(k,w) = 0. (9.24)
Системе уравнений (9.10)—(9.13) в представлении Фурье можно придать форму
kxEx(k,w) = -B(k,w), (9.25)
кхВ(к,ы) = --etE-L(k,w)-t—j^t(k,w), (9.26)
£jk-E(k,w) = -i4irpext(k,uj), (9.27)
k-B(k,w) = 0 (9.28)
Из сравнения (9.23) с (9.27) находим
e(k,w) = ei(k,w). (9.29)
После этого записываем равенства (9.22) и (9.26) в виде
1) -к х B(k,w) = -^Ex(k,w) -i^-£xt(k,u),
2) к х В(к,а;) = -^Ех(к,ы) - i^£xt{k,w).
Продольное электрическое поле и продольный ток сократились из (9.22) в силу
уравнения (9.23) и уравнения непрерывности k-jex^ = ujpext. Вычитая почленно
равенство 2) из 1), находим
3) (--l\kxB = ~(el-et)E±.
Для исключения вектора В используем закон электромагнитной индукции (9.21)
и получаем важное соотношение
1 i+^y(ei(k,u)-et(k,u>)). (9.30)
ix(k,uj)

§ 9.1. Уравнения Максвелла и уравнения связи
339
Из этого соотношения видно, что различие между а и et обусловлено
магнитными свойствами среды. Таким образом, при всех ш ф 0, пока векторы В и Е1-
связаны законом электромагнитной индукции, для полного описания
электрических и магнитных свойств однородной и изотропной среды достаточно знать две
скалярные функции и и к. В статическом случае (и = 0) связь между векторами Е
и В отсутствует, вещество описывается двумя проницаемостями е(к,0) = £/(&,0),
jj,(k, 0), которые в случае неоднородного поля могут зависеть от к. ■
Принцип причинности. Причинно-следственные связи между явлениями
позволяют установить некоторые общие свойства функций электромагнитного
отклика, не связанные с конкретными моделями среды. Но при этом очень важно
корректно выбрать величины, характеризующие причину и следствие. Следуя Кирж-
ницу (1987, 1976), будем считать, что величине-причине можно придавать любое
наперед заданное значение, не зависящее от состояния среды. Величина-следствие
определяется причиной и электромагнитным откликом среды. Принцип
причинности в рассматриваемом аспекте состоит в том, что причина всегда предшествует
по времени следствию.
Дадим простейшую иллюстрацию следствий принципа причинности. Более
общее и подробное изложение можно найти в [Топтыгин (2005)]. Запишем в
причинной форме связь между электрической поляризацией среды и электрическим
полем в диэлектрике:
/»СС
P(t)= a{t-t')E{t')dt'. (9.31)
J — со
Здесь a{t—tr) — функция электромагнитного отклика, характеризующая
возникновение электрической поляризации (следствие) под действием электрического поля
(причина). Принцип причинности требует, чтобы функция отклика обладала
свойством a(t — tf) = 0 при tf > t. Пространственную дисперсию не учитываем (к —► 0).
В представлении Фурье имеем Р(ш) = а(ш)Е(и)} где
/•СО
а(и) = / a(r)eiu>Tdr (9.32)
— интегрирование производится только по положительным временам.
Выберем E(t) = Eo5(t). Тогда
/ОО 1 J тр /«СО
а(ш')Е(ш')е-^'г=- = =^ / a(u/)e-^'W, (9.33)
-со 27Г 27Г J-oc
где E(uj() = Ео — компонента Фурье электрического поля. Умножим (9.32) на elujt
и проинтегрируем по t от -оо до 0. В силу условия P(t) = 0 при t < 0 будем иметь
/СО /»0
dw'o(w') / e-*w'-w)tdt = 0.
-ос J —оо
(9.34)
Последний интеграл преобразуем с помощью формул раздела 1.3, относящихся к
теории сингулярных функций:
/° Г° г V
e~lxtdt -> lim / e~txtdt -► lim -(1 - cosxT - ismxT) -► i— + ж5(х).
.оо T^ooJ_T T^ooX X

340 Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
Использовав этот результат и отделяя действительную и мнимую части a = a' +
-На", находим интегральную связь между ними:
а (и) = — / —г—du , а (ал = / —-^ da; . (9.35)
тг 7.^ а/ - а; тг J.^ а/ - и
В применении к диэлектрической проницаемости е = 1 + 47га эти соотношения
принимают вид
тг 7.^ и/ - и) тг 7.^ и/ - и
и называются дисперсионными соотношениями Крамерса-Кронига. Для
проводников в правую часть второй формулы добавляется слагаемое 4тгк/и;, где к —
статическая электропроводность.
Пример 9.3. Из общих систем уравнений Максвелла в ^^-представлении
(см. равенства {9.21)-{9.28)) получить уравнения дисперсии, определяющие
зависимость частоты от волнового вектора для поперечных и продольных
собственных колебаний электромагнитного поля в веществе. Записать
требуемые уравнения через проницаемости £/(к,и;),£г(к,и;) и через е(к,а;),/х(к,а;).
Решение. Собственные колебания происходят в отсутствие внешних
источников, т. е. при ]ext = pext = 0. Как следует из (9.27), в этом случае продольная
часть вектора Е может иметь ненулевое значение только при обращении в нуль
продольной диэлектрической проницаемости. Из этого условия находим уравнение
дисперсии продольных колебаний:
ei(k,u) = 0. (9.37)
Продольные колебания являются чисто электрическими, так как магнитное поле
поперечно (divB = 0) и при продольных колебаниях не может возникнуть.
Положив ]jrxt = 0 и исключив из уравнений (9.25), (9.26) вектор Ех, получим уравнение
дисперсии поперечных волн:
LJ2£t(k,Lj)=C2k2. (9.38)
Уравнения дисперсии, выраженные через £(к,и;),/л(к,ы), можно получить
аналогичным путем:
е(к, и>) = 0, сА(к, w)/i(k, и) = с2к2. ■ (9.39)
Пример 9.4. Вычислить тензор комплексной диэлектрической
проницаемости полностью ионизованной однородной и изотропной бесстолкновительной
газовой плазмы, находящейся в равновесном состоянии при температуре Т
(средние концентрации частиц пе = щ = п). Бесстолкновительной
называется плазма, в которой частота столкновений частиц мала по сравнению
с частотой волны, а свободный пробег частиц велик по сравнению с длиной
волны.

§9.1. Уравнения Максвелла и уравнения связи
341
Решение. Вычислим ток в плазме, вызванный слабым внешним полем с
заданными значениями к, и. Он может быть найден по формуле
1) j = ^2Jev6fd3p,
где Sf — неравновесная часть функции распределения частиц данного сорта,
вызванная внешним полем, сумма берется по всем сортам частиц (мы будем
рассматривать только электроны и однозарядные ионы). Величину Sf вычисляем из
уравнения (8.2), записав интеграл столкновений в форме (8.4): /(/) = —vSfy где
v — малая частота столкновений, которую, однако, можно будет устремить к нулю
только в конце расчета. Считая поле малым, подставляем в (8.2) / = /о + £/,
1^/1 < /о. где /о — максвелловское распределение (7.8), и линеаризуем
уравнение:
2> (!-£+-)"--«И'"'в)4£-
Поскольку Е, В ос exp(ik-r - iut), то зависимость <5/(г, £,р) от координат и
времени можно искать в такой же форме:
3) 5/(г, t, р) = 6f(p) ехр(гкт - iwt).
В случае распределения Максвелла (7.8) производная по импульсу
4) g-2A, „хв,.§&-а
Подставив все это в 2), получим решение
е(Е-ю)/о(р)
5) */(р)^Т(„+ &•„-*,)•
Из полученного выражения становится ясно, почему целесообразно сохранить
даже в бесстолкновительном случае малую частоту столкновений v > 0: знаменатель
последнего выражения не обращается при этом в нуль ни при каких
действительных (физических) значениях k, v, и, и формула 5), как и последующие выражения
на ее основе, математически корректна.
Подставив найденное выражение в 1), можем придать связи между током и
электрическим полем форму закона Ома
где тензор комплексной электропроводности имеет вид
е2 [ vavpf0(p) ,з.
7) ^а/5(к,а;) = ^-у
d*p.
v + ik-v — iu
Согласно (9.9), этот тензор связан с комплексной диэлектрической
проницаемостью соотношением
q\ /I \ х i .47гка/3(к,а;)
8) ба/3(к,о;) = 5а/3 + г - .
UJ

342
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
Выделим из тензора еар инвариантные величины ei и et ъ соответствии с его
представлением (9.19):
л -v-47re2 [ wf/o(p)
J ^ uT J v + ikvu - iu ^
10) 6t = l + iy^ ^/°w. d3p.
^ ujT J v + ifcvn - га;
Здесь использованы проекции скорости, параллельная и перпендикулярная вектору к
Интегрирование по поперечным компонентам импульса в 9), 10) легко
произвести, используя явный вид распределения Максвелла (7.8). В результате формулы
примут вид
ЛЛ, /7 N .v-^47me2 1 fe~x2/2x2dx
И) £i(k,u) = 1 + г> = / —,
^ m уДтгкутм J х ~ s ~ w
12)
.у-^4тгпе/ 1 f e x /2dx
^ m y/27rkvT0J J x-s-tv'
где vt = yTJm — тепловая скорость, s = u/kvr > 0 и z/ = v/kvr > 0
безразмерные величины. Далее преобразуем дробь:
13)
X
1
X + S +
S2
х — s — %v
Интегрирование x+s сводится к табличному интегралу. Последнее интегрирование
выполняем с помощью тождества
± = / е~<У -гв+гх)1 dt
V1 + %{х ~ 8) J0
которое имеет силу благодаря тому, что v' > 0. Имеем
Введем обозначения
14) Z(s) = X(s) - iY(s), где X(s) = se~s^2 Г eu^2du, Y(s) = J^se~a2'2.
Действительная часть выражается через интеграл вероятности (см. [Абрамовиц и
Стиган, (1979)]).
Использовав обозначения 14), а также определив плазменную частоту
и* = \Г^, (9.40)
га

§9.1. Уравнения Максвелла и уравнения связи
343
записываем окончательное выражение для продольной и поперечной проницаемо-
стей бесстолкновительной газовой плазмы при произвольных значениях и и к:
efau,) = l-£^[Z(5)-l], (9-41)
et(k,uj) = 1-J2^Z(S^ (9'42)
Сумма здесь берется по электронам и всем сортам ионов, имеющихся в плазме.
Следует иметь в виду, что частоты о;0е, ^ог и тепловые скорости vre, vn различны
для электронов и ионов из-за различия их масс (и, возможно, температур, если
плазма находится в неполном равновесии).
Заметим, что обе диэлектрические проницаемости si,st имеют согласно 14)
мнимые части, пропорциональные Y(s). Мнимая часть диэлектрической
проницаемости определяет диссипацию электромагнитной энергии (см. ниже раздел 11.2).
Возможность диссипации энергии в бесстолкновительной плазме была открыта
Л. Д. Ландау в 1946 г. и называется затуханием Ландау (см. [Ландау (1946)]).
Как можно увидеть из структуры знаменателей в формулах 9), 10), затухание
Ландау обязано тем частицам, скорость v\\ которых в направлении волнового
вектора близка к фазовой скорости волны: v\\ « vph = w/к. Такие частицы, двигаясь
длительное время в резонансе с волной, могут отбирать от нее энергию. В
неравновесной плазме возможен и обратный процесс — раскачка волн частицами. Но
эффекты затухания и раскачки механизмом Ландау отсутствуют у волн, у
которых vph > с, из-за релятивистского условия v < с для любых частиц с конечными
массами.
Многочисленные применения полученных формул и их анализ будут
произведены в задачах (см. 9.8, 9.9, 9.31, 9.32 и др.). ■
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных
сред. Гинзбург (1987)], [Батыгин и Топтыгин (2003), Памятных и Туров (2000),
Топтыгин (2005), Бредов и др. (2003)], [Силин и Рухадзэ (1961), Александров и
др. (1978), Киржниц (1987), Киржниц (1976)].
Задачи
9.1? Показать, что уравнения (9.4), (9.5) инвариантны относительно
преобразования
D' = D +rotQ, H' = Н+ -^,
с at
где Q(r,t) — произвольный псевдовектор. Неоднозначность определения векторов
D, Н отражает уже обсуждавшуюся в связи с формулами (9.1) неоднозначность
разделения полного тока на ток поляризации и ток намагничения.
9.2.* Записать тензор ба/з(к,и;), определенный равенством (9.17), через
проницаемости e(k,u>), ix(k,ui):
«-.^)+(^)'(l-I)(fc(,-^V (9.43)

344
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
9.3* Обобщим материальные уравнения (9.16) для однородной, изотропной,
равновесной среды и введем разные диэлектрические проницаемости для
продольного и поперечного электрического поля:
D^(k,u>) = e\\(k,u>)EK(k,u>), D±(k,a;) = e_L(^o;)E-L(k,a;),
B(k,a;) =/х±(к,а;)Н(к,а;)
(магнитные векторы оба поперечны и для них введена одна проницаемость).
Показать, что проницаемости е±, р,± можно произвольно менять, оставляя неизменной
величину [Киржниц (1987)]
которая и является реальной физической характеристикой среды относительно
поперечного электромагнитного поля.
9.4* С помощью системы уравнений (9.1)—(9.6) найти связь между фурье-
образами ptot = pint + pext} j^t = jj-nt +j^.t полных заряда и тока и сторонних
величин j^.t, pext. Выразить их через введенные в задаче 9.3 величины е\\(к,и) и
г)(к,ш).
9.5.# Выразить векторы поля Е, В через электромагнитные потенциалы
1 9 А
В =rotA, Е = grad</?. (9.45)
с dt
Выбрать кулоновскую калибровку: divA = 0. С помощью системы уравнений
(9.3)-(9.6) построить в фурье-представлении функции Грина G^(k,u), G±(k,uj)
для равновесной, однородной и изотропной среды, позволяющие выразить
скалярный и векторный потенциалы через сторонние заряды и токи pext(k,uj), jea^(k,u;).
9.6Г Ток, возникающий в металлах под действием низкочастотного
электрического поля Е(£) = Е0е~га;г, хорошо описывается законом Ома j = кЕ, где к —
статическая электропроводность, а связанные заряды вносят исчезающе малый
вклад. Показать, что в этом случае
А-7ГК
е(ш) = е,И = £t(w) = 1 + * (* - 0, ц = 1). (9.46)
из
9.7.*# Вычислить диэлектрическую проницаемость вещества при высоких
частотах ш > (Jo, где и>о — частота движения электронов в атомах (порядка частот
переходов между атомными уровнями). Учесть, что за период волны Т = 2k/uj
нерелятивистский атомный электрон проходит путь 1т « vT, который мал по
сравнению с размером атома и с длиной волны поля Л = сТ. Поэтому электроны
вещества на протяжении нескольких периодов волны могут считаться свободными
и движущимися в слабом однородном переменном поле заданной частоты и.
9.8* На основе полученного в примере 9.4 результата исследовать
распределение электростатического потенциала вокруг неподвижного точечного заряда q,
находящегося в равновесной плазме, средняя концентрация и температура которой
заданы. Сравнить полученное решение с решением задачи 7.13.

§9.1. Уравнения Максвелла и уравнения связи
345
9.9. Получить асимптотические выражения для диэлектрических проницаемо-
стей, вычисленных в примере 9.4 (формулы (9.41), (9.42)) в предельных случаях
S » 1 И S « 1.
9.10. * Заряженный осциллятор с собственной частотой колебаний шо и
постоянной затухания 7 сначала покоится. Затем на него начинает действовать внешнее
электрическое поле Е(£), зависящее от времени произвольным образом. Длины
волн колебаний поля велики по сравнению с амплитудой колебаний осциллятора.
Записать дипольныи момент частицы p(t) = er(t) относительно центра
колебаний в виде интеграла, содержащего внешнее поле, и вычислить функцию отклика
(которая будет характеризовать поляризуемость осциллятора).
9.11* Квазиклассическая модель дисперсии основана на представлении
атомных электронов в виде классических осцилляторов, обладающих собственной
частотой колебаний uq и постоянной затухания 7- В простейшей модели можно
считать все осцилляторы одинаковыми, отличия локального поля от среднего не
учитывать. Вычислить в такой модели диэлектрическую проницаемость е(и) среды,
средняя концентрация электронов в которой равна п. Построить графики
зависимости ег(ш) = $le(uj) и en(u)) = $?е(и) от частоты для прозрачной среды (7 <С ш).
Использовать функцию отклика, полученную в предыдущей задаче.
9.12.* Газообразный диэлектрик, находящийся в состоянии
статистического равновесия при температуре Т, состоит из молекул, концентрация которых TV,
главные значения тензора поляризуемости (3^ = (3 и /3^ = (3^ = (3' (/? и (3'
зависят от частоты и). На него действует постоянное и однородное электрическое
поле Е0. Найти тензор диэлектрической проницаемости диэлектрика для
гармонически зависящего от времени электрического поля Е(£) = £e~liJJt, считая S <С Е0.
9.13. Газообразный диэлектрик состоит из полярных молекул, электрический
дипольныи момент которых при отсутствии внешнего поля ро- Главные значения
тензора поляризуемости молекулы в переменном поле равны /3^ = (3 и (3^ =
= {3^ = /3', причем ось х\ имеет направление ро. На диэлектрик действует
постоянное электрическое поле Е0 и переменное поле Е(£) = £e~tuJt.
Пренебрегая ориентирующим действием переменного поля и ориентационным эффектом,
связанным с анизотропной поляризуемостью молекулы в постоянном поле, найти
тензор диэлектрической проницаемости диэлектрика для переменного поля, если
температура Т, концентрация частиц N.
9.14* Некоторая система зарядов (например, молекула) находится в
электромагнитном поле, меняющемся по гармоническому закону. Показать, что если в
системе не происходит диссипации электромагнитной энергии, то тензор ее
поляризуемости удовлетворяет условию эрмитовости (3^ = /?^.
9.15. Показать, что если тензор (3^ эрмитов, то при соответствующем выборе
координатных осей он может быть записан в виде fak = 0^8ik + ^ш#г, где e>iki —
единичный антисимметричный тензор III ранга (его определение см. в разделе
1.1), g — некоторый вещественный вектор (вектор гирации)1, /?М _ вещественные
поляризуемости.
1 Среды, в которых вектор гирации отличен от нуля, называются гиротропными. Распространение
электромагнитных волн в гиротропных средах рассматривается в гл. 10.

346
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
9.16. Найти поляризуемость атома fak в поле плоской монохроматической
волны при наличии слабого внешнего постоянного магнитного поля Н0. Исходить из
модели упруго связанного электрона (см. задачу 9.10); применить метод
последовательных приближений. Действием магнитного поля плоской волны и потерями
электромагнитной энергии пренебречь. Определить также вектор гирации g.
9.17.* Используя осцилляторную модель атома, найти тензор
диэлектрической проницаемости Sik(u) диэлектрика, содержащего N атомов в единице объема
и находящегося в постоянном магнитном поле Н0 произвольной величины.
Диссипацией электромагнитной энергии и действием магнитного поля плоской волны
пренебречь. При каком условии точное решение перейдет в приближенное решение
предыдущей задачи?
Указание. При интегрировании уравнения движения электрона перейти к
циклическим компонентам
х±1 = Т-т=(х ± iy), х0 = z.
9.18. Получить тензор диэлектрической проницаемости плазмы,
находящейся во внешнем постоянном магнитном поле Б, если средняя концентрация
электронов N. Положительные ионы считать неподвижными, потери энергии учесть
введением «силы трения» —г/т.
9.19. В некоторых случаях функцию e(t-tf), определяющую
интегральную связь между векторами D и Е, можно представить в виде1 e{t - tf) =
= fo®(t — t')exp[—(t — t')/т], где /о и г — постоянные, в — ступенчатая функция,
нелокальность (пространственная дисперсия) отсутствует. Вычислить е(и).
9.20. С помощью дисперсионных соотношений Крамерса-Кронига определить
вещественную часть диэлектрической проницаемости ег{ш)у по известной мнимой
части e,r{u)):
_ (ер - 1)шт
где €0 и г — постоянные.
§ 9.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕМЕННОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Диссипация электромагнитной энергии. Действие переменного поля на
вещество нарушает его термодинамическое равновесие и приводит к процессам
релаксации, которые сопровождаются ростом энтропии и диссипацией энергии
электромагнитного поля. Механизмом такой диссипации могут служить столкновения
между частицами, приводящие к потере направленной скорости и переходу
энергии в неупорядоченную форму, а также ее передача таким возбуждениям среды,
которые слабо взаимодействуют с электромагнитным полем. Плотность мощности
Q диссипируемой в среде энергии монохроматического электромагнитного поля
вычисляется по формуле
Q = Jint-E = -(WE* + jWE), (9.47)
1 Такая форма соответствует, например, модели вещества, состоящего из твердых диполей. Она не
учитывает поляризуемости электронных оболочек.

§9.2. Энергетические соотношения
347
где iint — ток в среде, чертой обозначено усреднение по периоду поля. Усреднение
необходимо для исключения той части мощности, которая попеременно переходит
от поля к частицам и обратно. В итоге получим
Q = --е%Е*аЕ0 = -Kha0E*aE0, (9.48)
1
ah
(еаР - e£J (9.49)
где
*«/з 2
— антиэрмитова часть комплексного тензора диэлектрической проницаемости.
В случае изотропного вещества (9.48) принимает вид
Q = ^{е"\Щ2 + //'|Н|2} = ^{е"& + ц"Н*}. (9.50)
Последнее выражение относится к случаю действительных монохроматических
векторов Е, Н, черта обозначает усреднение по периоду.
В равновесной среде Q > 0 должны выполняться неравенства
При ш —> 0 для диэлектриков неравенства превращаются в равенства, для
проводников первое неравенство принимает вид к > 0. При всех и > 0 мнимые части
г" > 0, \±" > 0, хотя в определенных областях частот они могут быть весьма
малыми. Если
е"<|е'|, //'«И, (9.52)
то диссипация энергии за период изменения поля мала (по сравнению с запасенной
в веществе электромагнитной энергией). Области частот, в которых выполняются
последние неравенства, называются областями прозрачности вещества.
Энергия поля в прозрачной диспергирующей среде. В общем случае
произвольной диспергирующей среды не удается однозначным образом определить
величины, которые можно было бы интерпретировать как изменение плотности
электромагнитной энергии в среде и плотность потока энергии. Это оказывается
возможным сделать только в областях прозрачности среды, в которых
выполняются условия (9.52). Уравнение баланса энергии в этом случае имеет вид (вывод см.
в [Топтыгин (2005)]):
-J«< ■Е=-ё^вд+* { йЬ (ii^w*+в* •в)}+
+div {ife (Е х в*+Е*х в - ^Е°Е')} ■
(9.53)
В левую часть вынесена плотность мощности внешнего источника энергии.
Первое слагаемое в правой части представляет собой плотность диссипируемой
электромагнитной энергии (9.48). Под знаком производной по времени входит
плотность w электромагнитной энергии квазимонохроматического поля:
w
^(^^ВД + В'.В). (9.54)

348
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
Наконец, под знаком дивергенции входит плотность 7 потока электромагнитной
энергии в среде (обобщение вектора Пойнтинга)
(deh \
ЕхВЧЕ*хВ-^ед|. (9.55)
Все перечисленные величины усреднены по периоду.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных
сред], [Гинзбург (1987), Батыгин и Топтыгин (2003), Топтыгин (2005), Силин и
Рухадзе (1961)], [Памятных и Туров (2000), Бредов и др. (2003), Александров и
др. (1978)].
Задачи
9.21* Показать, что в случае изотропной среды без пространственной
дисперсии выражения (9.54), (9.55) приобретают вид
1
w =
167Г
^(и;еИ)Е* • Е + ^(u;M(u;))H* • Н)
7=т|-(Е*хН + ЕхН*),
107Г
(9.56)
где е = е', /л = /л' — действительные части электрической и магнитной проницае-
мостей. Для недиспергирующей среды эти формулы переходят в
w = -^-(еЕ2 + 1лН2), 7 = -£- Е х Н. (9.57)
07Г 47Г
Указание. Использовать формулу (9.30).
9.22.• Вычислить плотность мощности Q диссипируемой энергии
электромагнитного поля для случая, когда уравнения связи имеют вид (9.16). Использовать
исходную формулу Q = —(f^'dS для энергии, втекающей из вакуума внутрь
тела через его поверхность в единицу времени. Вектор Пойнтинга 7 усреднен по
периоду поля. Показать, что искомое выражение можно записать в виде
Q = -^(е$ед? + И$,КНР), (9.58)
где индексами ah обозначены антиэрмитовы части тензоров (ср. с формулой (9.48)).
9.23 .* Получить уравнение баланса энергии, а также выражения для
плотности энергии и плотности потока энергии в анизотропной недиспергирующей и
непоглощающей среде с тензорными проницаемостями еар, /лар. Показать, что
из требования закона сохранения энергии следует симметрия тензоров: еар =
= £(3а, Ца{3 = №(3а-
9.24.** Получить аналог формул (9.54), (9.55) для плотности и потока
энергии в анизотропной прозрачной среде без пространственной дисперсии. Показать,
что искомые величины выражаются в виде
w = ii
-^(ueaf,(u>))EZEf, + ^(ы/ха/3(о;))Я*Я/3
7= -^-(Е*хН + ЕхН*),
107Г
(9.59)

§9.2. Энергетические соотношения
349
где тензоры еар(и), /ха/з(^) должны быть эрмитовыми, €ар = е*ра, \х^ = /х£а,
чтобы можно было ввести плотность w электромагнитной энергии.
9.25* Показать, что статическая проницаемость диэлектрика в
длинноволновом пределе удовлетворяет неравенству е(0,ш)\ш-+о > 1.
9.26. Найти ограничение на значение мнимой части е"(к,и) при произвольных
к,и.
9.27. Выразить величину /x(fc,0) через интеграл по всем частотам от величины
г](к,и)), которая определена равенством (9.44).
9.28* Колебательный контур состоит из конденсатора, заполненного
диспергирующей средой с проницаемостью е(и>)у так что его емкость зависит от частоты,
и катушки с индуктивностью L. Длина волны колебаний велика по сравнению с
размерами контура. Вычислить среднюю по времени электромагнитную часть U
внутренней энергии контура, выразив ее через среднее по времени значение заряда
q(t) на обкладках конденсатора.
9.29. Поляризуемость отдельного атома в поле плоской монохроматической
волны описывается приближенной квантово-механической формулой
га ^-^ и^0 - u)z - i^su)
где u)s0 — частоты атомных переходов, 7s — постоянные затухания, fs —
безразмерные постоянные («силы осцилляторов»).
С помощью этой формулы найти в модели Лоренц-Лорентца (см. раздел 7.1)
диэлектрическую проницаемость среды с учетом отличия локального поля,
действующего на атом, от среднего поля. Рассмотреть частоты вдали от резонансов и
случай, когда частота внешнего поля близка к одной из частот перехода в атоме.
Каковы пределы применимости модели для переменного поля?
9.30. Найти частоту и)[ продольных колебаний вблизи одной из резонансных
частот в среде с диэлектрической проницаемостью, рассмотренной в предыдущей
задаче. Вычислить плотность w электромагнитной энергии и плотность потока
энергии колебаний.
9.31.* Найти частоту щ продольных колебаний бесстолкновительной плазмы,
использовав диэлектрическую проницаемость, найденную в задаче 9.9 в
приближении kvTe <C и), с учетом ее мнимой части. Вычислить плотность w
электромагнитной энергии, скорость Q ее диссипации и плотность 7 потока энергии колебаний.
9.32. Обмен энергией между электронами и ионами в газовой плазме
происходит медленно ввиду резкого различия их масс, поэтому электронная и
ионная подсистемы могут длительное время сосуществовать при разных
температурах Ti ф Те. При этом каждая из подсистем описывается распределением
Максвелла с соответствующей температурой. Используя результат примера 9.4, найти
продольную диэлектрическую проницаемость для промежуточного случая, когда
Si = u/kvn ^> 1, se = u/kvTe <^ 1. Вычислить частоту продольных колебаний
неизотермической плазмы и их затухание. Найти условия, при которых затухание
рассматриваемых колебаний мало.

350
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
§ 9.3. МАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС
Парамагнетики. Удельная намагниченность М парамагнетика,
находящегося во внешнем переменном магнитном поле, удовлетворяет феноменологическому
уравнению Блоха
^ = -г}М х Н - —(Ми - М0) - — М_ь (9.60)
где г/ > 0, Н = Н0 + h(t), H0 — постоянное намагничивающее поле, h(t) —
переменное поле, Мо — намагниченность в постоянном поле, т\^ — времена
релаксации продольной и поперечной (относительно Н0) компонент намагниченности.
При воздействии на парамагнетик переменного магнитного поля и совпадении
частот внешнего поля и прецессии намагниченности имеет место явление
магнитного резонанса — существенно возрастают вектор намагниченности и поглощаемая
парамагнетиком энергия внешнего поля (см. задачу 9.33).
Ферромагнетики. В отличие от парамагнетиков, в которых взаимодействие
между магнитными моментами отдельных частиц вещества невелико, в
ферромагнетиках обменное взаимодействие между спинами приводит к появлению
эффективного магнитного поля, величина которого много больше среднего
(макроскопического) поля. Благодаря этому уже относительно слабое внешнее поле
намагничивает ферромагнетик до насыщения, что мы и будем в дальнейшем предполагать.
Движение вектора намагниченности в пренебрежении диссипативными
процессами описывается уравнением Ландау-Лифшица [Лифшиц и Питаевский.
Физическая кинетика]
^ = -VM х Не/, (9.61)
где эффективное магнитное поле в изотропной ферромагнитной среде имеет вид
Не/ = Н + AM + <?V2M. (9.62)
Поле Вейсса AM выпадает из уравнения (9.61). Частная производная в левой
части (9.61) написана для того, чтобы подчеркнуть возможность рассмотрения
неоднородной намагниченности. Последнее слагаемое в (9.62) как раз и связано с
неоднородностью в распределении намагниченности, которая должна быть малой
(ka « 1, а - межатомное расстояние, к — волновое число). В большинстве
ферромагнетиков коэффициент г/ = ео/тпс, так как главный вклад вносят спиновые
магнитные моменты.
Для того чтобы уравнение (9.61) учитывало потери электромагнитной энергии
в среде, его нужно дополнить диссипативным членом. Обычно предполагают, что
в Не/ входит некоторое поле «сил трения» —pdM/dt, пропорциональное скорости
изменения намагниченности. Тогда уравнение (9.61) примет вид
где р — некоторый параметр (параметр потерь). Если потери малы, а полное
магнитное поле представляет собой сумму постоянного поля Но и переменного
поля h(£): Н = Ho+h(£), причем |h| <С Но, то уравнение (9.63) примет более простой

§ 9.3. Магнитные колебания и магнитный резонанс
351
вид [Гуревич и Мелков (1994)]:
^ = -7(М хН)+ а;г(хоН - М). (9.64)
Здесь хо = Мо/Яо, сог = р72Мз/Хо> ЭД) = |М| — намагниченность насыщения.
Уравнение Ландау-Лифшица является исходным при решении задач о
ферромагнитном резонансе.
В радиотехнике сверхвысоких частот получили широкое распространение
ферромагнетики с очень малой проводимостью (ферродиэлектрики, ферриты).
Распространение электромагнитных волн в ферритах рассматривается в гл. 10.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных
сред], [Лифшиц и Питаевский, Физическая кинетика. Памятных и Туров (2000),
Уайт (1985)], [Топтыгин (2005), Батыгин и Топтыгин (2003), Гуревич и Мелков
(1994), Пейк (1965)].
Задачи
9.33.# На парамагнетик действует постоянное магнитное поле Но и малое
переменное поле h.e~l<jjt, h <С Я0, перпендикулярное Н0. Линеаризуя уравнение
движения (9.60), вычислить магнитную восприимчивость парамагнетика х(и) и
поглощаемую в единицу времени энергию магнитного поля Q(u).
9.34. Вычислить характерные частоты ядерного магнитного резонанса и
электронного парамагнитного резонанса в постоянном магнитном поле
напряженностью Но = Ю3 Э. В первом случае эффект вызван магнитными моментами атомных
ядер, во втором — магнитными моментами отдельных электронов или электронных
оболочек атомов.
9.35. Найти закон движения вектора намагниченности М при отсутствии
потерь в безграничной ферритовой среде, намагниченной до насыщения. Магнитное
поле Н в среде постоянно и однородно.
9.36. Ферромагнетик намагничен до насыщения постоянным магнитным
полем Hq. В пренебрежении диссипацией найти спектр собственных (в отсутствие
внешнего переменного поля) колебаний намагниченности с учетом всех слагаемых
эффективного поля (9.62)
9.37. Решить задачу 9.35 с учетом потерь. Исходить из уравнения Ландау-
Лифшица в форме (9.64). Считать, что отклонения М от направления Н малы
иа;г«ц= 7#о-
9.38.* Пусть в неограниченной ферромагнитной среде наряду с однородным
постоянным полем Но действует высокочастотное поле he~l(Vt (h = const).
Считая h <С Hq и пренебрегая потерями, а также неоднородностью намагниченности,
найти в линейном по h приближении вынужденные колебания вектора
намагниченности М. (Собственные колебания, т. е. ларморова прецессия под действием
постоянного поля Но, затухнут из-за потерь, существующих во всех реальных
системах.)
9.39. Используя результат предыдущей задачи, найти тензоры магнитной
восприимчивости Xik и проницаемости ^/с Для высокочастотного поля. Построить

352 Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
зависимость компонент тензора /х^/с от постоянного магнитного поля Hq при Mq =
= 160 Гс и v = а;/27г = 9375 МГц (Л = 3,2 см). Проследить резонансный характер
изменения этих величин. Определить Hores.
9.40. Получить решение задачи 9.38 с учетом неоднородности
намагниченности (пространственной дисперсии), но в пренебрежении потерями. Вычислить
тензор магнитной проницаемости в этом приближении.
9.41.* В неограниченной намагниченной до насыщения ферритовой среде
кроме постоянного магнитного поля Но = Hz действует переменное поле,
поляризованное по кругу: Нх = hcosut, Ну = hsinut, h = const. Найти точное
решение уравнения Ландау-Лифшица, соответствующее вынужденной прецессии
вектора М с частотой ш внешнего поля. Диссипацию энергии не учитывать.
9.42. Получить решение задачи 9.41 о вынужденных колебаниях вектора
намагниченности с учетом потерь. Использовать уравнение Ландау-Лифшица в
форме (9.64).
9.43. Используя результат предыдущей задачи, найти тензор магнитной
проницаемости fjiik для высокочастотного поля. Получить выражения
действительной и мнимой частей компонент этих тензоров. Построить зависимость обеих
частей компонент тензора магнитной проницаемости от постоянного магнитного
поля для М0 = 160 Гс, v = а;/27г = 9375 МГц, иг = 3 • 109 рад/с. Определить
резонансное поле Hores (т. е. значение Яо, при котором мнимые части компонент
тензора ц имеют максимум).
9.44. Определить полуширину АНо резонансной кривой мнимых частей
компонент тензора магнитной проницаемости, считая ur <С и. Полушириной
резонансной кривой называется расстояние между двумя ординатами //' = /ires и //' =
= №>res/ £-
9.45* Найти, без учета потерь, частоту ларморовой прецессии Uk, в
ограниченном ферромагнитном образце, имеющем форму эллипсоида. Образец находится
во внешнем однородном поле Но, приложенном вдоль одной из осей эллипсоида.
Считать отклонение вектора намагниченности М от равновесного положения
малым.
Указание. В уравнение Ландау-Лифшица войдет теперь внутреннее поле Hi,
которое будет отличаться от внешнего поля Но вследствие размагничивающего
действия формы тела:
Н = Н0-Н', Н'к = 4irNklMt,
где Nki — тензор размагничивающего действия формы. Его главные значения
лежат в пределах 0 < N& < 1 (см., например, задачу 9.51 в [Топтыгин (2005)]).
9.46. Решить предыдущую задачу с учетом потерь. (Учитывать только члены,
линейные относительно ujr.)
9.47* Рассмотреть вынужденные колебания при наличии потерь в малом
образце эллипсоидальной формы. Определить компоненты тензора магнитной
восприимчивости Хгк Для высокочастотного поля, считая амплитуду его h малой по
сравнению с постоянным полем Я0.
9.48. В некоторых ферромагнитных средах (антиферромагнетиках)
результирующая намагниченность М складывается из двух частей: М = Mi +M2, где Mi

§ 9.4. Ответы и решения
353
и М2 создаются ионами, находящимися в разных узлах кристаллической решетки
и образующими две магнитные подрешетки. В равновесном состоянии векторы
намагниченности Mi и М2 ориентированы антипараллельно, так что М = \Mi~M2\.
При прецессии во внешнем магнитном поле антипараллельность векторов Mi и М2
нарушается. В результате этого на каждый из векторов начинает действовать
молекулярное поле Вейсса (см. формулу (9.62)). Определить частоты собственной
прецессии, предполагая, что A|Mi - Af2| > Я0, где Я0 — внешнее поле, А —
постоянная молекулярного поля Вейсса. Считать отклонения векторов Mi и М2 от
равновесного положения малыми.
§ 9.4. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
9.3. Из (9.1), (9.2) и уравнений Максвелла (9.3)-(9.6) находим
продольный ток выражается через pint. В любой среде pint, j^t, E — четко
определенные физические величины, и коэффициенты пропорциональности между
ними являются электромагнитными характеристиками (функциями отклика) данной
среды. Таковыми в рассматриваемом случае выступают £ц = е и г/, но не е± и yuj_,
которые определены только в единой комбинации rj.
9.4.
Ptot = —Pext, Pint = I ~ 1 1 Pext, hot = ~Jexti Jtnt = I ~ ~~ 1 ) Jezf
£\\ \e\\ ) v \v J
9.5.
<p(k,u>) = G4k,u>)Pext(k,u>), A(k,w) = ^(ЬиК^Ъи);
Gll(fc,„) = _^_ G^) 4?Г
Л»е = -^^ k-E, j^ = *v ,_ '(1 - 4)EJ
k4(k,uY v ' y (A:2-a;2/c2)ry(A:,a;)'
Здесь r/(k,uj) — введенная в задаче 9.3 величина, характеризующая влияние среды
на поперечное поле. Функции Грина нормированы так, чтобы в вакууме они давали
результаты, полученные в разделе 5.1 (с учетом того, что там использовалась
лоренцевская калибровка).
Отметим, что величины е = £/, et, \x при и ф 0 комплексны, поэтому, в
отличие от вакуума, в среде знаменатель поперечной функции Грина G^-(k,uj)y
как правило, не обращается в нуль при действительных значениях и и к.
9.7. Движение свободного электрона в слабом поле на временах порядка
нескольких периодов волны описывается упрощенным уравнением Ньютона
1) mv = eEoe"*"* + -v0 x Вое"***,
с
где в малом члене с магнитным полем учтена только начальная (тепловая) скорость
vo. Из этого уравнения находим:
2) ,(t)=,0 + Jgg(*>+fe«o*B(*>.
гпи mcuj

354
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
Макроскопический ток вычисляем по формуле j(£) = eriv(t), где п — средняя
концентрация электронов, v(t) — их средняя по ансамблю скорость. Но в отсутствие
поля ток в веществе равен нулю, поэтому vq = 0 и j(£) = ieriE(t)/rnuj. С помощью
формулы (9.9) находим
откуда
л\ х 1 47гпе'2
ma;2
Пространственная дисперсия в рассматриваемых условиях не сказывается.
9.8. Используем результат задачи 9.5:
47Г
1) <р(ЬШ) = щ^р^М,
где е(к,и>) = €[(k,uj) — продольная диэлектрическая проницаемость, pexi(k, a;)—
фурье-образ плотности заряда pext(r,t) = q6(r), создаваемого неподвижным
точечным зарядом q:
2) pext(k,u) = dsr dtq5(r)exp{-i(k-r-ut)} = 27rqS(uj).
J J — oo
Таким образом, требуется значение ei(k,0). Обращаясь к формулам примера 9.4,
находим Z(s)\$^o —» О,
3) *<(*> о) = 1 + тт^ + 7Г^2 = х + ет>
(toTi)2 (toTe)2 /с2г^
где r2D = Т/8ттпе2 — квадрат радиуса Дебая, совпадающий с величиной l/к в
задаче 7.13 в случае однозарядных ионов. Потенциал вычисляем по формуле
4)
^(Г)= [ ** 2nq6(w)exp{-i(br-ut)}±^ = — Г j^-^eikr dk= ^e~r/r^
^v ; J k2e(k,u) ч у } vx v n (2тг)4 гпг J.^ k2 + r2D r
Последнее интегрирование выполнено путем замыкания контура в верхней
полуплоскости комплексного к дугой большого радиуса.
Характерно, что в этой задаче дебаевское экранирование заряда в плазме
получено с использованием понятия пространственной дисперсии. Экранирование
несколько иного характера имеет место и в случае движущихся зарядов.
В заключение приведем характерные значения дебаевских радиусов (в
сантиметрах) для некоторых сред: металлы (плазма вырожденная, т. е. квантовая), 10~7;
полупроводники, 10~5; плазма в термоядерных установках, 10~3^-10~4; ионосфера
Земли, Ю-1; межпланетная плазма, 103; межзвездная плазма, 103 -г- Ю5.
9.9. s » 1; Y(s) — экспоненциально мало; X(s) = 1 + 1-s-2 + 1-3-s-4 +
+ l-3-5-s-6 + ---
UJ2 \ UJ2 J V 2 ^ vTe

§ 9.4. Ответы и решения 355
et « 1 - 4 (1 + ЦА + i Л^е-"***.,
UJZ \ UJZ ) V 2 OJKVTe
так как а;^ = (те/гщ)и)$е <с Ц)е, s^ » se. Хотя мнимая часть экспоненциально
мала, она придает диэлектрической проницаемости новое качество, так как
приводит к диссипации электромагнитной энергии.
*2
s < 1; X(s) ^s2- s4/3 + • • • ; Y(s) « Vtt/2(s - 5J/2 + • • •)
rD = ^T/Sirne2;
1 . . /7r" 1 f UJ U)
^Wl+ м v> +Ч/7"П v> 1 +
(kro)2 V 8 (kro)2 \kvTe kvTiJ '
1 [ж I fkvTe kvTi
{кто)2 V 8 {кто)2 \ u w
9.10. Записываем уравнение движения осциллятора:
1) r + 7r + a;^r = — Е(£).
Действием магнитного поля волны на осциллятор пренебрегаем ввиду малости
фактора г>/с <С 1. Неоднородность поля не учитываем из-за условия г <^С Л.
Решение этого уравнения можно записать в интегральной форме
2) r(t) = — / G(t-t')E(t')dt',
™ J-oo
где G(£ — tf) — функция Грина, удовлетворяющая уравнению
3) G + 76+ Ц><3 = <*(*-*')•
Ищем частное решение последнего уравнения, отвечающее дельтаобразной
правой части, методом вариации постоянных, т. е. в форме
4) G(t) = A(r)eSlT + B(r)eS2T, r = t-t\
где s\, s2 — корни характеристического уравнения s2 + js + o;q = 0:
5) *1>2 = ±и/о;2-^- _7
y2
4 2'
Функции Л(т), Б(т) определяются из системы уравнений
6) AeSlT + BeS2T = 0, siAe3lT + s2Be82T = <J(r).
Интегрируем эту систему в предположении, что при г —> — оо осциллятор покоился
(адиабатическое включение поля). Получаем
т) ад = -л(г) = ю(т)
2^-72/4'

356
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
где 0(т) — ступенчатая функция. В итоге имеем
8)
G(t) = (ы02 -72/4)-1/2в(г)е-^28т(^а;02 -72/4т).
Дипольный момент осциллятора р (t) = er(t) с помощью 2) и 8) записываем в
виде
9)
Р (*) = Г f(t - t')E(t') dt' = I f(t- t')E(t') dt',
J —oc J —ос
где функция отклика
10)
f(t-t') = -G(t-t').
Из-за наличия ступенчатой функции 0(т) в 8) формула 9) выражает собой
причинную связь дипольного момента осциллятора с внешним полем: p(t)
определяется значениями поля в предшествующие моменты tf ^ t.
9.11. Вектор поляризации среды Р(£) = пр(£),
вектор электрической индукции D(£)=E(£)+47mp(£)
где p(t) дается равенствами 9), 10) из предыдущей
задачи. Вычисляя е(и) = 1 + 4тта(и) с
использованием формул (9.32), (9.31) и явного вида функции
Грина 8), находим
1) €(и) = 1 +
и0е
UZ
■ и2 — iju'
т. е.
2)
е'Н = 1 +
"0e(wi
^0е =
■О,»)
47гпе2
Рис. 9.1
(oJq — о;2)2 + 72^2 '
г»
lUJ^UJ
(u;2-u;2)2 + 72a;2'
Характер зависимости вещественной и мнимой частей е от частоты показан на
рис. 9.1. Мнимая часть е", определяющая поглощение электромагнитной энергии,
заметно отличается от нуля только вблизи собственной частоты и>0 колебаний
осцилляторов среды. Она всюду положительна (при и > 0). В области частот,
лежащих вблизи (jo, £"' убывает с ростом частоты (аномальная дисперсия). В остальной
области частот е' растет с ростом частоты (нормальная дисперсия).
9.12. Молекулы диэлектрика не обладают сферической симметрией,
поэтому внешнее поле Ео частично ориентирует их, и диэлектрик в целом становится
анизотропным. При этом ориентирующим действием переменного поля, в силу
условия £ <С Ео, можно пренебречь. Поскольку причиной анизотропии является
внешнее электрическое поле Е0, одна из главных осей тензора диэлектрической
проницаемости будет совпадать с его направлением, остальные две главные оси
будут перпендикулярны Е0.

§ 9А. Ответы и решения
357
Обозначим компоненты поляризуемости молекулы в этих осях через fi'ik
(значения г, к = 1 соответствуют оси, параллельной Е0). Компоненты fi'ik выразятся
через главные значения j3^ по обычной формуле:
(3[к = auakmPim = (Р - fi^otiiotki + 0'Sik,
где an — косинусы углов между осями симметрии молекулы и главными осями
тензора диэлектрической проницаемости (использовано соотношение аца^ — йь
вытекающее из ортогональности матрицы а^). Чтобы подсчитать тензор
диэлектрической восприимчивости для единицы объема диэлектрика, нужно найти с
помощью формулы Больцмана статистические средние величин fi'ik, т. е. усреднить
произведение осцоск\-
Если обозначить полярные углы оси симметрии молекулы в штрихованной
системе через #, (/?, то величины an запишутся так:
an = cos$, а\2 = sin$cos(£, а\$ = sin д sin ср.
Проводя усреднение с помощью формулы Больцмана (7.7), получим с
точностью до членов, линейных по а = (Д> - (3q)Eq/2T:
1 Л 4
з 1 + ^
ап = т: ( 1 + т^а
-Г — 1 (л 2
airy = aio = -11 — —&
12 ""13 3^ 15*
ацак1 = 0 при г Ф к.
(Ро и (3'0 — статические значения тензора поляризуемости молекулы). Отсюда
Ki = l^-^^ + ^+P''
Пренебрегая отличием действующего на молекулу поля от среднего, получим
главные значения тензора диэлектрической проницаемости:
^ = 1 + 4тгЛГ/^, е{2) = е(3) = 1 + 4тгЛГ/^.
Этот результат показывает, что в сильном постоянном электрическом поле
диэлектрик становится анизотропным по отношению к высокочастотным (например,
световым) колебаниям. Возникновение анизотропии под действием постоянного
электрического поля носит название эффекта Керра. Инерционность этого эффекта
очень мала: время установления или исчезновения анизотропии — порядка Ю-10 с.
(Оно определяется временем установления статистического равновесия в
диэлектрике.) Явление Керра широко используется в технике для быстрой модуляции
силы света.

358
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
9.13. Считая параметр рЕ^/Т = а малым, получим с точностью до членов
порядка а2:
ew = 1 + 4тгАГ^[7, е{2) = е(3) = 1 + 4тгЛГ/^.
Обозначения те же, что и в предыдущей задаче.
9.14. Пусть амплитуда поля £ увеличится на d£ = (d£x,d£y,d£z). При этом
над молекулой будет совершена работа
1) dA = ^Щр • d£*) = J(p • d£* + р* • d£),
где pi = PikEk — компонента дипольного момента системы. Работа усреднена по
периоду изменения поля. Поскольку поглощение энергии отсутствует, эта работа
целиком идет на увеличение средней потенциальной энергии молекулы во внешнем
поле:
dA = dW.
Поэтому выражение dA должно быть полным дифференциалом некоторой функции
амплитуды поля — энергии системы. Перепишем dW в виде
2) dW=\ Y,(fok£k d£* + /%£* dSk).
i,k
Видно, что эта величина будет представлять собой полный дифференциал только
в том случае, если fjik = /?^; тогда
dW=-^YJfck(Zkd£*+£*d£k) = \^Ш(е;£к)=й(±т>.е*\ ,
г, к г,к ^ '
ИЛИ
Точно так же можно доказать эрмитовость тензора магнитной поляризуемости для
системы, внутри которой не происходит диссипации энергии.
9.16. Уравнение движения атомного электрона, связанного с ядром упругой
силой, запишется в виде
1) г + и20т = - \Е0е~ш + (- х Но)1 >
га L \с /-I
где о;0 — частота собственных колебаний. Решая его методом последовательных
приближений, получим в линейном по #о приближении:
2) г=—-^ ov -г 2 ^(ExHq).
т(щ - и2) т2с(щ - ш2)2

§9А. Ответы и решения
359
Чтобы получить тензор поляризуемости атома, используем запись векторного
произведения с помощью антисимметричного тензора е^. Это даст
оч о е2 х eSLuHoi
Л) Ргк — /о 9^0гк г о / о 9\2e^Z-
гп{щ — ujz) mzc{ujQ — ujzY
В соответствии с общим положением, доказанным в задаче 9.14, этот тензор
является эрмитовым. Вектор гирации (см. задачу 9.15 в данном случае имеет вид
esu) 2e2u
4) g = 9 2 ^-Но = Н ^—о w^wl,
m2c(u)Q - и2)2 m(ujQ - и2)2
где шь = —еН0/2гас — ларморова частота, е < 0 — заряд электрона.
/ (е++е-)/2 -г(е+-е-)/2
eik= г{е+-е-)/2 (е++е-)/2
\ О О
где в обозначениях предыдущей задачи
m
с-± _ 1 ^Ое 0 _ -, _ ш0е 2 _
с — ± / i о \ 2' с— ± 9 2i ш0е ~
uj(u ± 2o;l) — o;q a;2 — <Jq
Вектор гирации равен по величине
9 = -^ -О
и направлен по оси Oz.
Результат предыдущей задачи получается из найденного точного решения при
выполнении условия 2а;^а; <С |а;§ — и2\.
9.18. Тензор £г/с имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче. Но его
компоненты е± и е° определяются следующими выражениями:
£± _ 1
и2 + u)(iy =Ь 2u)l) '
£о = х_^^
а;2 + ^7'
2 47re27V ry еБ
Шо< = —^—' 7=m' WL = -2^>a
Из-за наличия «трения» (г/ ^ 0) в электронном газе происходит диссипация
энергии, и тензор €ik неэрмитов.
9.19.
е(и>) = 1 + (е0-1)/(1-1и>т),
где £о — статическое значение диэлектрической проницаемости. Полученное
выражение называется формулой Дебая для полярного диэлектрика. Модель,
позволяющая вычислить постоянную релаксации т, рассмотрена в учебнике Памятных
и Турова (2000). Статическая диэлектрическая проницаемость газообразного
диэлектрика с жесткими диполями вычислена в примере 7.1.

360
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
9.20.
e'(uj) = l + (eo-l)/(l+uJ2T2).
9.23.
dw . eapEaEp /j,apHaHp E D + H В
Ж + dlV7 = -J^'E' ГД6 W = ^^ + ^^ = 8^ '
7 = — ExH.
47Г
9.25. Для диэлектрика £"(0,0) = 0, £|(0,0) = £(0,0). Из первого
дисперсионного соотношения (9.36) находим
7Г Л
/о z
так как здесь £/;(г) > 0 в силу неравенств (9.51).
9.26. we'l{k,J) ^0.
9 27
7Г Jo 2
9 28
1 d{u?C{u>W
uC2(u) du 2 '
Частота колебаний в контуре определяется формулой Томсона: и = с/у/ьЩи).
9.29. Формула Лоренц-Лоренца выводится в предположении однородности
электрического поля в окрестности атома, поэтому должно выполняться условие
А » а, где А — длина волны колебаний, a — размер атома. При этом
1) е(ш) = 1 + 8^И/3,
; V ; 1-4тгЛГ/?Н/3'
поляризуемость атома (3(и>) приведена в условии задачи:
2) р^) = е1^ ?-%—. .
га *-^ и*0 — ujz — ijsuj
Вдали от резонанса в 2) можно пренебречь слагаемыми -i^sUj, поскольку
обычно 7s <^ uso> но сумма сохраняется. Вблизи резонанса с номером s можно
оставить в 2) только одно (резонансное) слагаемое. В этом случае имеем
Qv , v u2s0 + 2u;2/s/3 - и2 - i^su _ u2pfs
6) 6\U) ~ 2 9/ /o 2 : — 1 H 9 о : '
где и2 = 47r7Ve2/m, N — концентрация атомов (а не электронов). Диэлектрическая
проницаемость сохраняет резонансную зависимость от частоты, но резонансная
частота уменьшается за счет эффекта плотности (отличия локального поля от
среднего):
4) (^o)ioc = ^2S- и*о - ^рЛ/3.

§ 9.4. Ответы и решения
361
9.30.
И « ^«5, + ЧЛ/З - <7./2, «, « ^8^^|Eo|2e_T,t-
В рассматриваемом приближении поток энергии отсутствует, происходят
однородные затухающие колебания атомных осцилляторов, Eq — начальная амплитуда
продольного поля.
9.31. Если пренебречь мнимой частью диэлектрической проницаемости,
полагая e"(k,uj) « 0, то
1) ^(*)*^ + 3(^.Л *, = ±\Е\> = ±Ш, 7 = ^f^|£|2.
В этом приближении электронный газ колеблется как целое относительно
неподвижного газа ионов. Плотность энергии колебаний превышает вдвое плотность
энергии электрического поля из-за наличия потенциальной энергии кулоновского
взаимодействия электронов и ионов. Поток энергии колебаний отличен от нуля
благодаря учету пространственной дисперсии, несмотря на отсутствие
магнитного поля и равенство нулю вектора Пойнтинга. Перенос энергии осуществляется
тепловым движением электронов.
С учетом мнимой части е"(к,и) (затухания Ландау) собственная частота u>i(k)
приобретает малую мнимую добавку. Записав щ = cjj + ry» Ы ^ w[> находим uj[ из
уравнения е\{к,ш) = 0 и получаем для нее прежнее значение 1). Малую мнимую
часть частоты находим из уравнения
2) etikw) ъе^Ы) +&{(ЪМ) + ^^
г7 = О,
где мнимую часть диэлектрической проницаемости е" заимствуем из результатов
задачи 9.9. Получаем
3) 7(*)
е"№М) = >А ^Oe -l/4(km)2-
де\(к,ш)/ди)\ш=и}[ 8 (krD)2
■3/2
где го = у/Т/8тгпе2. При и[/куте = 1/л/тткго > 1 затухание продольных
плазменных волн экспоненциально мало. Это объясняется малым количеством частиц
в распределении Максвелла, скорости которых сравнимы с фазовой скоростью
Vph = u/k продольной волны. Плотность мощности диссипации энергии дается
формулой (9.48), которая в рассматриваемом случае примет вид
4) Q = ^e'l'(kM)\E(t)\2.
Здесь |i£(£)|2 = Е^е'2^, Eq — начальное значение амплитуды поля. Величины w
и 7 с учетом затухания описываются по-прежнему выражениями 1) с заменой uji
на и)[. Квадрат поля \Е\2 в них также будет затухать со временем.

362
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
9.32.
2 2
"Ti
£{(fc|W)„1+^_4(ri+^
iV ' k2v\€ uj2 \ w2
1)
e"(k,w)
7Г / o;o;Qe . ujuj?
2 V A:34e /c3^
+ ^Ог c-u;2/2fc2^, \
Считая мнимую часть е" малой, определяем действительную и мнимую части
частоты способом, использованным в предыдущей задаче:
2)
w/2(fc)*<4
1 + 3/^1 +
1
k2r2De
1 +
1
*Ие
-1
3) 7(*)«-АЬ-;г1
7Г Шг
8 гае ^3^те
ехр
ил
/2
(к)
2кЧ\г
Здесь введены обозначения гоел = у/Те^/4ттпе2 для электронного и ионного де-
баевских радиусов и использовано предположение о сильной неизотермичности
плазмы: Те > Т$. При выполнении этого условия и неравенств, указанных в
условии задачи, имеем из 2), 3) |7| <С ш[.
В длинноволновом пределе, когда Атое <1 и kroi <С 1, формулы упрощаются:
u;/(fc) « v8fc,
^s =
4)
-kvc
7rme
8ra7-
1 +
rp \ 3/2
Ti
exp
2Tiy
Эти колебания называются ионно-звуковыми, так как их закон дисперсии
(зависимость частоты от волнового вектора) такой же, как у звуковых волн в
нейтральной среде. Скорость ионного звука vs определяется в основном температурой
электронов, но массой ионов.
В коротковолновом пределе (кгое > 1, но по-прежнему kroi <С 1) имеем
ионные плазменные слабозатухающие колебания
5)
ш{(к) « u0i, 7 ~ -\Гт^Г ' 7Х^~ { 1 + \Г^ ( TF ) ехР ( ~ "
1
2kh
Di,
9.33. В установившемся режиме Мц = М0, поэтому линеаризованное
уравнение (9.60) для намагниченности принимает вид
1)
dM± л/г тт M-L л/г 1 -iut
—-— = -т)М± х Н0 7?М0 х he .
at r2

§ 9.4. Ответы и решения
363
Решение для вынужденных колебаний имеет вид
2) М± = хо 2 ,** _ьаЬе-*" + гхо f^^lL „ x he"-,
о;^-(о; + гг2 )2 а;2 - (а; + гт2 )2
где а;о = t)Hq, n — единичный вектор в направлении Но- Из 2) находим тензор
магнитной восприимчивости парамагнетика при наличии постоянного магнитного
поля:
3) Хар(и) = х±(м)(6ар - папр) + ieaf3ugu, X±(v) = хо^ ;—° . _lv?,
u;g - (и + гг2 )J
а;0(а;Ч- гт2-1)
Диссипацию энергии находим по формуле (9.58):
4) Q(u>) = Xo\h\2u2u2
g = ~Хо~ :—, . -ь2п-
r2[(o;2-a;2 + r2-2)2 + 4a;2r2-2]
2Г
Зависимость Q(u) имеет резонансный характер. Если резонанс узкий (т2-1 <С о;о),
то вблизи резонанса (|а; — <jo| «С и>о) форма линии поглощения упрощается и
приобретает лоренцевский вид
Xo\h\2 u%_
4r2 (u50 - a;)2 4- r2"2
0 „„л - .1/0,, ^-2
5) Q(a;) = ^-^ — £ ^, где a;0 = a;0 + 1/2w0t2"
— резонансная частота.
9.34. Резонансная частота имеет порядок величины u>o ~ /лНо/h, где /х —
магнитный момент одной частицы. Если это момент отдельного электрона или
электронной оболочки атома (электронный парамагнитный резонанс, ЭПР, открыт
советским физиком Е. К. Завойским в 1944 г.), то мерой магнитного момента
выступает магнетон Бора /х « jib ~ 0,93 х 10~23 Дж/Тл « 0,93 х 10~20 эрг/Гс. В этом
случае при Но = Ю3 Гс имеем и>о ~ Ю10 рад/с. Если исследуется взаимодействие
переменного поля с магнитными моментами атомных ядер (ядерный магнитный
резонанс, ЯМР, открыт американским физиком Ф. Блохом в 1946 г.), то резонансная
частота при том же постоянном поле определяется ядерным магнетоном, который
в гпр/те « 2 х 103 раз меньше магнетона Бора. В результате имеем
резонансную частоту и>о ~ Ю7 рад/с. Частоты обоих резонансов, таким образом, сильно
взаимно различаются.
9.35» Мх = Asm(uj0t + a), My = Acos(uj0t + a), Mz = С, где uj0 = t)Hq, a —
начальная фаза, А и С — константы, связанные условием М2 = М§, т.е. А2 +
4- С2 = Mq, где М0 — намагниченность насыщения. Движение вектора
намагниченности представляет собой обычную ларморову прецессию.
9.36. Ищем решение в виде М = M04-me"zu;t, m ± M0, га <С М0. Подставив
эффективное поле (9.62) в (9.61) и линеаризовав уравнение, получим
1) iujmx = r}Moqk2my, iujmy = —r}Moqk2mx,

364
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
откуда находим закон дисперсии волн намагниченности (спиновых волн,
магнонов)
2) и (k) = rjM0qk2.
В квантовой теории формула 2) определяет спектр энергии £(к) = Juo(k)
элементарных возбуждений — магнонов. Более точное выражение для спектра магнонов
с учетом ряда поправок см. у Лифшица и Питаевского (1978).
9.37. Ищем решение уравнения
1) ~^г = "^М х Но + о;г(хоН0 - М)
в виде Мх = rnxe~lu;ty Му = туе~ги;г, Mz = М0 + mze~luJt, где и — неизвестная
частота; ось z направлена вдоль Но.
Проецируя 1) на оси координат и подставляя М, получим систему
алгебраических уравнений, условие совместности которой имеет вид
2) ujI - (и + гиг)2 = 0.
Частота и оказывается комплексной: и = ujq — iujr\ наличие потерь приводит, как
обычно, к затухающему движению. Компоненты тх и ту сдвинуты по фазе на 7г/2.
Вектор М совершает затухающую прецессию вокруг Н0.
9.38. Если выбрать ось Oz вдоль Н, то полное магнитное поле будет иметь
составляющие hxe~l(ujt, hye~luJt, Щ + hze~t(ujt. Ищем решение уравнения Ландау-
Лифшица (9.61) без учета неоднородного слагаемого V2M в виде
1) Мх = mxe-iuj\ Му = mye-iLO\ Mz = Af0 + т7е~^\
где Мо — намагниченность насыщения. Эта форма решения соответствует
предположению, что ларморова прецессия прекратилась вследствие затухания и
колебания поддерживаются только высокочастотным (вынуждающим) полем. Поэтому
нужно считать величины тх, rnyj rnz малыми, порядка не ниже h. Подставляя 1)
в уравнение Ландау-Лифшица и отбрасывая квадратичные по h и га члены,
определим компоненты т:
u)q 'Iujujq
тх = хо 2 2hx-Xo 2 2hy,
UJq — UJ u/q — UJ
iujuj0 ul
mv = *o/|2 (ohx-Xoi)2 2V m2 = 0.
CJq — UJ u/q — UJ
Как видно из этих формул, характер зависимости т,х и т,у от и при
фиксированной uj0 = г}Но или от Н0 при заданной и — резонансный: в точке uj = uj0
компоненты тх и ту неограниченно возрастают, наступает ферромагнитный
резонанс.
Неограниченное возрастание амплитуды m связано с приближенным методом
решения уравнения Ландау-Лифшица. Точное решение (см. задачу 9.41) должно
обеспечивать постоянство длины |М|, так как из уравнения Ландау-Лифшица без
учета диссипации следует М2 = const. При решении задачи методом
последовательных приближений с учетом потерь М также остается ограниченным.

§ 9.4. Ответы и решения
365
9.39.
О О О / \ О О /i||
где
2) Х± = Хо^ о» Ха = Хо
о о' да ли о о'
а;п — u;J ВД — иг
о\ 11/1 11 иМ<л>0 л UU>m 1
Здесь введены единообразные обозначения им = 47Г77М0, и;0 = ^Я0. Как видно из
приведенных формул, \гк и №%к — эрмитовы тензоры (iiik = fi*kj). Это означает, что
среда является гиротропной, а потери отсутствуют.
Графики зависимости компонент /х^ от частоты приведены на рис. 9.2. Hres «
-3400Э.
9.40. Выбираем переменное магнитное поле в виде плоской
монохроматической волны, Н = Н0 + hexp(ik • г — iut), и ищем решение в аналогичном виде:
М = М0 + mexp(ik • г - iut). После линеаризации уравнения Ландау-Лифшица
и вычисления коэффициентов пропорциональности между компонентами векторов
m и h находим компоненты тензора магнитной проницаемости:
u>M(vo -\-Vexa2k2) uu)M 1
/ij_ (<*>,«) = 1 + ■ 27^2 2' Ma = 7 , 2~7^\2 2' ^11 = 1*
((Jo + Uex& к ) - V (^0 + WexO» & ) ~ U
Здесь использовано обозначение a;eiCa2 = rjMoq, где a — постоянная порядка
атомных размеров, и;еж — некоторая частота, характеризующая обменное
взаимодействие спинов в ферромагнетике. Из сравнения с результатом предыдущей
задачи следует, что учет пространственной дисперсии приводит к замене и;0 —► и;0 +
+ и>еха2к2. Хотя в макроскопических задачах afc « 1, вклад второго члена может
быть заметным, если иех ^> ujo.
9.41.
1) Мх = ^Ccosust, Mv = ^Csinuit, Mz = С,
Да; Да;
где Да; = а;0 - а;, а;0 = r/#0, w\ = Ф- Постоянная С может быть определена из
условия М2 + My + М2 = M'q, которое следует из уравнения Ландау-Лифшица:
где О = ^Аи2 +о;2.
В выражение С входит модуль |Да;|, так как Mz > 0. Компоненты М примут
вид
Мх = ±jfM0 cos ut = xhx, 1
2) My = ±^M0smujt = XK M* = ^TMo- J

366
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
kHvH-2
Рис. 9.2
н010 э
4 Г
Mi. VI
H-i
Рис. 9.3
kM-i
^1
я0
4 Я0-103э
Здесь знак ± соответствует знаку Да;. Как следует из этих равенств, связь
между М и h нелинейна, коэффициент пропорциональности \ зависит от h:
х = ±-
г/М0
" л/Аи2 + о;2'
Угол прецессии д (угол между М и Но) определяется равенством
Sint? = —г- = —,
М0 SI
где M_l = л/М| + M2. При ферромагнитном резонансе Да; = 0, и из 1) получим
Мх = ±М0 cosut, My = ±М0 sinut, Mz = 0.
Вектор М в этом случае вращается с частотой и в плоскости,
перпендикулярной Но, его компоненты не обращаются в бесконечность.
9.42. М = М0 + те"^, где М0 имеет направление Н0, а компоненты m
определяются формулами
шт
mv
Хо
iXo
О — iujujr
О2 — a;2 — 2ia;a;9
a;a;o
О2 — a;2 — 2iujujr
■К -ixo
К + Хо
a;a;o
O2 — a;2 — 2iu)u)^
ft — iujujr
O2 — a;2 — 2iu)u)<
-fly ,
-hy,
™>x = Xo —hz,
UJr — %UJ
П
yjul+u%, и0=г}Н0.
Как видно из этих формул, наличие потерь (ur ф 0) приводит к тому, что при
резонансе амплитуда m остается конечной.

§9.4. Ответы и решения
367
9.43.
йгк
M-L
Ща
0
~Ща
M-L
0
0
0
И
1 „ Q2(Q2-w2)+2u>2u>2
»- = 1+47ГХ°(^-сТ+4а;Ч2'
а;а;г(02 +а;2)
М± = 47ГХо
Ма = 47ГХ0
(02-а;2)2 + 4а;2а;2,
а;а;о(02 -а;2)
(ft2-u;2)2 + 4u;2u;2'
„ , а;2а;оа;г
Ма = 47ГХ0"
(02-a;2)2 + 4a;2a;2,
/ХЦ = 1 + 4тгхо
а;г
а;г — ги
где О = ^/а^+а;2, а;0 = 77#0, tfres « 3400 Э.
Графики зависимости //_,_ и //_[_ от постоянного поля Щ приведены на рис. 9.3.
Зависимость ц'а и /х^ от #о имеет аналогичный вид.
Мнимые части ц![_ и /х^' имеют максимумы при Hq = Hres « cj/77, а
вещественные части /xj_, ^ принимают экстремальные значения при Щ « (и±иг)/г].
Кривые, изображенные на рис. 9.3, имеют такой же характер, как
дисперсионные кривые для е{и) (см. рис. 9.1).
Мнимые части компонент тензора /х" и /х^', /xj,' определяют диссипацию
электромагнитной энергии. Они обращаются в нуль при иог = 0.
9.44. Д#о = (jJr/v-
9.45. Выберем оси координат вдоль главных осей эллипсоида, ось Oz
направим вдоль поля Hq. В этих осях тензор N^ имеет диагональный вид. Поэтому
уравнение Ландау-Лифшица в проекциях на оси координат запишется так:
Мх = -v[Ho + MN^-NM)Mz}My,
1) Му = 7?[Яо + 4тг(ЛГ(*) -N^)MZ]MX,
Mz = -47rr](N^ - NM)MxMy.
Таким образом, уравнения становятся нелинейными. Предполагая, что отклонения
вектора М от равновесного положения (направление оси Oz) малы, ищем решение
в виде
2) М = М0 + те
-itot
где вектор Mq направлен вдоль оси Oz. Если пренебречь членами с т2, которые
войдут в систему 1) после подстановки 2), то система 1) линеаризуется.
Приравнивая определитель системы нулю, находим
3) и2 = и>1 = V2 \Н0 + 4тг(хУ<*> - N^)M0] [#о + 4тг(А^) - N^)M0

368
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред
9.46. ш = ик + iur [1 + xo(NW + NM)/2], xo = M0/(H0 - N^M0).
Значение u>k приведено в ответе к предыдущей задаче.
9.47.
/ Xi -i>Xa О
Xik = iXa Х2 О
\ 0 0 0
(ось Oz направлена вдоль Н0),
Xi = ^{v2Mo[Ho + (N^-N^)Mo]-iXoMr},
Х2 = ^ {г/2М0 [Я0 + (ЛГ(я) - ЛГ<*>)Мо] - *Хо""г} ,
Ха = -дГ/а;Мо,
где
Д = (а;2 - а;2) - га;а;г h + Xo(N(x) + Л^})
Afn
Xo =
Ho-N(z)Mq'
Поскольку в выражения компонент тензора \ik входят размагничивающие
факторы, положение резонанса и ширина резонансной линии будут зависеть от формы
тела.
9.48. Система уравнений движения для векторов намагниченности Mi и М2
имеет вид
1)
dt
= -77М1 х (Н0 + АМ2),
dM2
dt
-г]М2 х (Ho + AMi).
Ищем решение в виде Мх = M10+mie~i(Vty М2 = M20-\-m2e~iu;t (МШ) М2о —
равновесные значения Мь М2).
При решении системы 1) удобно перейти к циклическим компонентам
mj± = mjx ± irrtjy (j = 1,2).
Частоты собственной прецессии:
2) ljqi = г}Щ, uj02 = r^AIAfio - M20|.
Формулы 2) справедливы при условии Х\Мю — М20| » Я0. Частота uj0i имеет
такую же величину, как и в случае ферромагнетика без подрешеток. Частота и>о2
зависит от молекулярного поля и обычно сильно превышает ujoi.

Глава 10
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§10.1. ВОЛНЫ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ
ВОЛН
Электромагнитные волны в вакууме представляют собой колебания напряжен-
ностей электрического и магнитного полей, которые происходят в отсутствие
источников излучения. Свойства волн в вакууме были рассмотрены в разделе 2.3.
В веществе колебаниям напряженностей поля сопутствуют колебания
заряженных частиц — электронов и ионов вещества. Поэтому колебательные процессы
становятся более разнообразными. В частности, в общем случае в средах
электромагнитные волны непоперечны — векторы поля могут иметь как поперечные
относительно направления распространения, так и продольные компоненты.
Собственные колебания в изотропной среде. Собственные колебания
среды можно исследовать с помощью системы уравнений Максвелла (9.10)—(9.13),
положив в ней pext = }ext = 0. После исключения вектора В получим уравнение
1 д2Т>
rot rot Е = —^-=-=-, (10.1)
с2 дг1
которое надо дополнить уравнением связи между векторами £> и Е. В случае
однородной среды используем уравнение (9.17), связывающее гармоники Фурье
этих векторов:
£>a(k,u;) = ба/з(к,а;)Е/з(к1а;). (10.2)
Преобразовав по Фурье уравнение (10.1), получим с помощью (10.2) систему
однородных алгебраических уравнений относительно компонент поля:
к25а(3 - какр ^-ба/5(к,а;)
Ер(к,и>) =0. (10.3)
Ненулевое решение системы возможно только при равенстве нулю ее
определителя:
0. (10.4)
и2
к 6ар - какр ^ба/5(к, а;)
Уравнение (10.4) связывает частоту и волновой вектор собственных мод среды и
называется дисперсионным уравнением волн в среде. При нахождении явного
вида дисперсионной зависимости задают либо волновой вектор, либо частоту и

370
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
определяют другую величину из дисперсионного уравнения. Первый случай
реализуется, когда волновой вектор определен геометрией тел (например, граничными
условиями в кусочно-неоднородной среде). Тогда дисперсионное уравнение
позволяет найти частоту а;(к), вообще говоря, комплексную ввиду комплексности еар.
Но в областях прозрачности среды мнимая часть диэлектрической проницаемости
может быть пренебрежимо малой. Если поле создается внешним
монохроматическим источником, то задается его частота и;, а волновой вектор к(и) определяется
из дисперсионного уравнения и некоторых дополнительных условий (симметрия,
условия на границах и др.). При этом волновой вектор в общем случае тоже
комплексен,
k = k' + ik", (10.5)
причем действительные векторы к', к" могут иметь разные направления. Такие
плоские волны называются неоднородными. Их направления распространения и
затухания не совпадают.
Как правило, в среде существует несколько ветвей колебаний, которые
определяются уравнением дисперсии и граничными условиями. Каждой ветви
соответствует своя поляризация (соотношение между компонентами вектора Е), которые
определяются из системы (10.3). Способы анализа поляризаций изложены в
разделе 2.3. Магнитный вектор можно найти из уравнения (9.10):
B(k,u;) = -kxE(k,u;). (10.6)
из
В изотропных средах поперечные и продольные колебания могут
существовать раздельно. Дисперсионные уравнения для них были получены в разделе 9.1
(формулы (9.37)-(9.39)). Конкретные дисперсионные зависимости для продольных
волн в некоторых средах рассмотрены в задачах (9.30)-(9.32).
Групповая скорость. Зависимость частоты от волнового вектора у
электромагнитных волн в диспергирующих средах имеет более сложный характер, чем
прямая пропорциональность uj(k) = ck у волн в вакууме. Поэтому фазовые
скорости волн vph(\s) = ио{к)/к могут зависеть от длины волны (или от частоты), т. е.
разные гармоники Фурье распространяются с разными скоростями. Это приводит
к тому, что волновые пакеты в диспергирующей среде (в отличие от вакуума)
не сохраняют своей формы, а скорость переноса энергии не совпадает с фазовой
скоростью.
Пример 10.1. Показать, что квазимонохроматический (Да; <С и) пакет
волн распространяется в диспергирующей прозрачной среде с групповой
скоростью
--^- <1м>
Показать также, что скорость переноса энергии пакетом волн в среде без
пространственной дисперсии совпадает с групповой скоростью.
Решение. Необходимо оценить интеграл вида
1) Е(г, t)= a(k + q) exp[i(k + q) ■ r - iu(k + q)t]
(2тг)3

§ 10.1. Волны в изотропных средах
371
по области значений |q| ^ Д/с, где Д/с <С /с, а;(к) — дисперсионная зависимость
для рассматриваемых волн. Произведем разложение частоты с точностью до
линейных членов:
Л> /1 \ /in duo
2) а;(к + q) « а;(к) + —- • q = ш + vg • q.
Подстановка этого разложения в 1) дает
3) Е(г, t) = А(г - vgt) exp(ik • г - iut),
где
А(г - vgt) = / a(k + q) exp[iq • (г - vgt)] -
d6q
'(27г)3'
Мы получили плоскую волну с медленно меняющейся амплитудой. Ширина пакета
в координатном пространстве порядка 1/Ак. В рассмотренном приближении пакет
не меняет своей формы и перемещается в пространстве с групповой скоростью vg.
Расплывание пакета происходит при учете следующих членов разложения частоты
по q (см. задачу 10.6). Плоскость постоянной фазы ср = к г— cot = const движется
в направлении вектора к с фазовой скоростью
4) vph = -±-.
Скорость переноса энергии v вычислим по формуле v = 7/w, где 7 — плотность
потока энергии, w — плотность энергии, усредненные по времени. Они даются
выражениями (9.56). Магнитный вектор вычисляем из закона электромагнитной
индукции, считая медленно меняющуюся амплитуду постоянной. Получим
5)
Н = —kxE, 7 = -^E*-E, w = ^-
UjJL ОТТШЦ 107Г
l{U€{U))+ll{UJfl{U)\
Е* Е
Из этих соотношений находим
«\ с к
6) V = 4 / / ч / ч к =Vg*
На последнем этапе преобразований нужно использовать уравнение дисперсии
и2е\± = с2 к2. Ш
Отражение и преломление волн на границе двух сред. Если на плоскую
границу раздела двух прозрачных диэлектриков с проницаемостями £1(0;), /xi = 1
и €2(w), //2 = 1 падает под заданным углом 0О к нормали (рис. 10.1а) плоская
монохроматическая волна с произвольной поляризацией, то углы падения 0О,
отражения #1 и преломления 02 связаны следующими соотношениями:
<?1=0о, ^ = -, где nli2 = v^i>0, (10.8)
Sin 0о П'2
— коэффициенты преломления сред. Эти соотношения выполняются при любой
поляризации падающей волны. Если \х Ф 1, то коэффициент преломления
определяется как n = sfe\x > 0. Коэффициенты отражения R определяются как отношение

372
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
нормальных к границе сред компонент плотности потока энергии в отраженной и
падающей волнах:
_ sin2(fl0 - 02)
Kl- = ^^7
R\\ =
tg2(Oo-02)
sin'(o0 + e2y """ tg2(e0 + e2)'
Индексы характеризуют ориентацию поля Е относительно плоскости падения.
(10.9)
а)
wwwwww
ко /
Z
п
/К
f k2
-у п2>о
A\\\\\\\\\\\\\\\\\w .
\ к,
б)
к2\
Z
п
у.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
к0 /
/X
л2<0
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ m
*1 \
\kl
Рис. ЮЛ
Амплитуды отраженной и преломленной волн связаны с амплитудой падающей
волны формулами Френеля:
Е,
#!
Sin(6>2 ~ Op)
sin(6>2 + во)
_ tg(0Q - в2)
' tg(0o 4- 02)
Ео,
Но,
Е2
Но
2 sin 02 cos #o
-Ею;
sin(6>2 + во)
sin 2#o
sin(0o +<92)cos(<90 -02)
#о.
(10.10)
(10.11)
Во всех полученных выше формулах коэффициент преломления определен как
положительная величина: п > 0. Но в конце 1990-х годов были созданы и
исследованы экспериментально и теоретически композитные материалы (периодические
структуры), обладающие отрицательным коэффициентом преломления. В
длинноволновом пределе их можно рассматривать как изотропные среды с е < 0, \± <
< 0, п = -у/ё\х < 0. Поскольку В = /хН, то из (10.6) следует, что при \х > 0
(т.е. в обычных средах) векторы к, Е, Н образуют правую тройку. При \± < 0 они
образуют левую тройку, т. е. при заданных Е, Н направления волнового
вектора и определяемой им фазовой скорости меняются на противоположные. В то же
время направление потока энергии и групповой скорости определяются вектором
Пойнтинга 7 = (с/47г)Е х Н, который всегда образует правую тройку сЕиН.
Поэтому в изотропных средах с п > 0 (обычных, «правых») фазовая и групповая
скорости направлены одинаково, а в средах с п < 0 («левых») эти две скорости
направлены противоположно. Расположение падающего и отраженного лучей на
границе раздела правой и левой сред также изменяются по сравнению с обычным

§10.1. Волны в изотропных средах
373
случаем (см. рис. 10.16). Падающий и преломленный лучи теперь расположены по
одну сторону от нормали к границе. Формула (10.8), связывающая углы падения
и преломления, остается в силе, по при п2 < 0 угол преломления 02 < 0, т. е.
должен откладываться в другую сторону. В левой среде поток энергии направлен,
как и в обычном случае, от границы раздела, но фазовая скорость направлена к
границе. Другие весьма необычные свойства левых сред и их возможные
применения в технике обсуждаются в работах Веселаго (2003), Блиоха и Блиоха (2004).
Мы ниже будем рассматривать только обычные среды.
Пример 10.2. Плоская монохроматическая волна падает наклонно из
области, занятой прозрачным диэлектриком с проницаемостями е\, /л\ = 1 на
границу проводящей среды (/х = 1, е = е! + геп). Найти закон преломления,
т. е. направление распространения, направление затухания и фазовую
скорость волны в проводящей среде.
Решение. В проводящей среде имеем к = к'+гк", где к', к" — действительные
векторы. Обозначив действительные углы между этими векторами и нормалью
через 0, $, из сравнения показателей экспонент всех трех волн найдем равенства
1)
#1 = 0(h &i sin #о = kr sin 0 + ik" sin fl.
Отсюда находим sin# = k\/k', д = 0 (значение д = 7г не подходит ввиду условия
ограниченности полей в проводящей среде). Таким образом, вектор к" направлен
по нормали в глубь проводящей среды. Остается выразить величины к', к" через
Это достигается с помощью уравнения
дисперсии
2) к2 = к'2 - к"2 + 2гк'кп cos О =^r(e' + is").
с2.
Приравнивая действительные и мнимые части,
находим
Плоскость
постоянной
амплитуды
3)
а г
* - 2с2 L
(£isin0o -e') +
+ V/(£isin0o-£/)2+£"2
>0,
U'2
ки = к'и +
п2
s'>0.
Рис. 10.2 с*
Плоская волна в проводящей среде неоднородна (рис. 10.2): Е(г,£)
Е2е"
-к z
х exp^/c'xsinfl + ik'zcosO — iujt). Поверхность постоянной фазы перемещается в
направлении вектора к' с фазовой скоростью vph = и/к', зависящей от частоты
и угла падения волны на границу проводника. Глубина проникновения поля в
проводник 8 = l/к" также зависит от этих величин. Комплексная амплитуда Е2
на границе выражается с помощью граничных условий через амплитуду падающей
волны. ■
Граничное условие Леонтовича. Рассмотрим область частот, в которой
л/ё" ^> л/^7, y/£i (это условие выполняется для металлов в широком
диапазоне). При этом к' « к" « uj\fe"/2c, sinO = к\/к' <С 1, т. е. направления к' и
к" приблизительно совпадают, волна в проводящей среде становится однородной,

374
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
она распространяется и затухает в одинаковых направлениях, по нормали в глубь
среды. Если р ф 1, то k" ~ uj^/s" р/2с. Векторы поля внутри проводящей среды
связаны соотношением, следующим из уравнения Максвелла:
Е = -(1 + %)—п х Н = А/^Н х п,
где е = ieh', n — единичный вектор нормали. В это соотношение входят только
тангенциальные компоненты полей. В силу их непрерывности на границе сред
таким же соотношением связаны тангенциальные компоненты в прозрачной среде
на границе независимо от угла падения волны:
Ег = (Нтхп на 5, где С = \~ (10.12)
— поверхностный импеданс, относящийся к проводящей среде. Поэтому
соотношение (10.12) можно использовать как приближенное граничное условие при
решении внешней по отношению к проводнику задачи (граничное условие Леон-
товича). Это условие применимо при |£| <С 1 не только к плоской, но и к
искривленной поверхности при условии, что локальный радиус кривизны велик по
сравнению с глубиной 5 = 1/к" проникновения поля в проводник. Последняя
величина играет роль длины волны в проводящей среде.
Пример 10.3. Haumu условия существования монохроматических
поверхностных волн на плоской границе диэлектрика и вакуума. Поверхностыми
волнами называются такие электромагнитные возмущения, которые
распространяются вдоль границы двух сред и амплитуда которых убывает при
удалении от границы. Диэлектрик изотропный, без пространственной дисперсии,
имеет скалярные проницаемости е(и), /х(о;).
Решение. Поле поверхностной волны удовлетворяет в каждом
полупространстве уравнениям Максвелла
VxE=-uH, VxH = --eE, (10.13)
с с
причем в вакууме е = р = 1. Обращение в нуль дивергенций векторов Е, Н
вытекает из (10.13). Из этих уравнений следуют также уравнения второго порядка:
ДЕ = -^-^Е (10.14)
с1
и точно такое же уравнение для Н.
Ищем зависимость поля от координат в виде
El = £\ exp(ikx + q\z), Hi = l~i\ exp(ikx + q\z), q\ > 0;
E2 = £2 exp(ikx - q2z), H2 = H2 exp(ikx - q2z), q2 > 0.
(10.15)
Индексы 1 и 2 относятся к вакууму и диэлектрику, соответственно, волна
распространяется вдоль оси Ох и затухает при удалении от границы как в вакууме,
так и в диэлектрике. При действительных проницаемостях затухание не связано

§10.1. Волны в изотропных средах
375
с диссипацией электромагнитной энергии. Волновое число к выбрано одинаковым
в диэлектрике и в вакууме, чтобы можно было произвести сшивание полей на
границе z = 0:
Eir = Е2т, Hir = Н2т; Ein = eE2n, H\n = /лЯ2п. (10.16)
Связь постоянных затухания с частотой и волновым числом находим из
уравнения (10.14), подставив в него решение (10.15):
41 = V *2 " ~2 > °> ^2 = V *2 " -^ИмМ > 0- (ЮЛ7)
с2
Из условий положительности постоянных затухания находим ограничения:
к2> -=-, А:2> —e(uj)li(uj). (10.18)
Рассмотрим возможность существования поверхностной волны с поперечным
магнитным вектором, расположенным в плоскости раздела сред: 7ii = 7i2 = Неу.
Из второго уравнения (10.13) находим амплитуды электрического поля в двух
областях: Six = -(icqi/u)Hy Е\г = -{ck/u)4, S2x = {icq2/uJs)TLy S2z = -(ck/us)H.
Граничные условия (10.15) для магнитного поля и ^-компоненты электрического
поля выполняются тождественно, а приравнивание х-компонент электрического
вектора дает важное соотношение q\ = —q2/e. Из него и (10.17) следует еще одно
ограничение на свойства диэлектрика: е{и) < 0. Пользуясь значениями
постоянных затухания (10.17), находим уравнение дисперсии для поверхностной волны:
Чтобы поверхностная волна могла распространяться вдоль поверхности (к2 > 0),
требуется условие
£-Ц
(е + 1)(е-1)
При /л = 1 оно приводит к ограничению
<0.
е(и>) < -1. (10.20)
Обратим внимание на то, что поверхностная волна непоперечна — электрический
вектор у нее имеет продольную (относительно направления роспространения)
компоненту. Это волна электрического (Е) типа, или ТМ (поперечно-магнитная)
волна.
Аналогичный анализ волны Н типа Нх Ф 0, Hz ф 0, £у ф 0 приводит к
дисперсионному уравнению
^-(^№ИмИ+мИ = 0; мИ<0_ (Ю21)
yjk2 - (и/с)2
Дальнейшие ограничения можно получить аналогично предыдущему случаю. ■

376
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
Рассмотрение поверхностных волн для конкретных моделей среды см. в задачах
(10.21)-(10.22). Волны в световоде (в одномерной модели) рассмотрены в задачах
(10.23МЮ.25).
Рекомендуемая литература: [Батыгин и Топтыгин (2003)], [Памятных и Туров
(2000), Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред], [Фейнберг (1999),
Бредов и др. (2003), Веселаго (2003)], [Борн и Вольф (1970), Вайнштейн и Вакман
(1983), Островский и Потапов (2003), Блиох и Блиох (2004)].
Задачи
10.1.• Плоская волна распространяется в однородной и изотропной недиспер-
гирующей среде, в которой е и \± не зависят от частоты и волнового вектора. Найти
с помощью уравнений (9.39) дисперсионные зависимости для продольных u>i(k) и
поперечных ut(k) волн, а также соотношение между напряженностями
электрического и магнитного полей поперечных волн и соответствующими плотностями
энергий.
10.2. Найти дисперсионную зависимость для поперечных электромагнитных
волн вблизи одной из резонансных частот диэлектрика, молекулы которого не
имеют постоянных дипольных моментов (неполярный диэлектрик).
Диэлектрическая проницаемость неполярного диэлектрика была получена в модели Лоренц-
Лорентца в задаче 9.27. Найти область непрозрачности такого диэлектрика.
Изобразить дисперсионные зависимости на графиках.
10.3. Найти дисперсионную зависимость для поперечных электромагнитных
волн в бесстолкновительной газовой плазме (диэлектрическая проницаемость
вычислена в примере 9.4 и в задаче 9.9).
10.4. Исследовать форму и движение волнового пакета, полученного
наложением плоских волн с одинаковыми амплитудами ао и с волновыми векторами,
лежащими в области |ko — k| ^ q (ко, q — постоянные). Действительный закон
дисперсии о;(к) заменить приближенным соотношением о;(к) = о;(ко) + vg • (к - ко).
10.5. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета в
диспергирующей среде. Для этого выбрать амплитудную функцию в виде кривой
Гаусса a(k) = aoe~a(k~ki)^ и учесть квадратичный член в разложении частоты и по к.
10.6. Найти фазовую vph и групповую vg скорости распространения волн
в средах, диэлектрические проницаемости которых
2 2
е{и) = 1 ^г, (плазма), е(и) = 1 Н—0 р 0 (неполярный диэлектрик).
u;2 uJq - и2
Во втором случае ограничиться рассмотрением только случаев больших и малых
(по сравнению с ujq) частот uj (/л = 1).
10.7. В однородной плазме с концентрацией электронов Ne
распространяются от одного источника два узких волновых пакета, испущенные одновременно.
Несущим (центральным) частотам, которые велики по сравнению с электронной
плазменной частотой и>ое = \/47гА^ее2/те, соответствуют длины волн Ai и А2.
Сигналы приходят на приемник, который находится на расстоянии L от
источника, в разное время, что вызвано различием их групповых скоростей. Использовав

§10.1. Волны в изотропных средах
377
диэлектрическую проницаемость плазмы из предыдущей задачи, выразить время
запаздывания At между приходом сигналов на приемник через их длины волн
и произведение NeLy которое называется в радиоастрономии мерой дисперсии
(Dispersion Measure, DM = N€L).
10.8? Произвести анализ формул (10.9)-(10.12) для случая прозрачных
диэлектриков:
а) показать, что отраженный свет будет полностью поляризован, если угол
падения во = вр удовлетворяет условию tgOp = n2/ni (угол полной поляризации
Брюстера);
б) показать, что при падении света на оптически менее плотную среду (ri2 <
< п\) под углом во = 0ГУ где sin#r = 712/rci, преломленный свет распространяется
параллельно границе; при во > вг происходит полное отражение (т. е. R = 1 при
любой поляризации падающего света; sin #2 > 1, a cos O2 становится чисто мнимой
величиной);
в) показать, что при нормальном падении (во —> 0) коэффициент отражения
для обеих поляризаций дается формулой
R
п\ - п2
rii + п2
г) показать, что волна испытывает полное отражение от среды, у которой е < 0.
10.9. Поляризованная по кругу плоская монохроматическая волна падает
наклонно на плоскую границу диэлектрика. Определить характер поляризации
отраженной и преломленной волн.
10.10.* Пучок почти монохроматического неполяризованного света падает на
плоскую границу диэлектрика. Найти тензоры поляризации 1Ц\ rik' и
коэффициенты деполяризации рь р2 отраженного и преломленного света.
10.11. Неполяризованный почти монохроматический пучок света падает на
плоскую границу раздела диэлектриков. Определить коэффициент отражения R
и коэффициенты деполяризации р\у2 отраженного и преломленного света, если
угол падения равен углу Брюстера.
10.12.* Показать, что после полного отражения от границы диэлектрика
линейно поляризованная волна приобретает в общем случае эллиптическую
поляризацию. При каких условиях поляризация будет круговой?
10.13. Плоская монохроматическая волна падает на плоскую границу раздела
прозрачной среды с вакуумом и частично отражается от нее с коэффициентом
отражения R(0). Вычислить давление волны на границу (световое давление),
выразив его через плотность энергии в падающей волне.
10.14. Плоская монохроматическая волна падает из вакуума на плоскую
границу проводящей среды, коэффициент отражения от которой R(Q) известен.
Прошедшая во вторую среду волна полностью поглощается в ней. Вычислить давление,
которое оказывает падающая волна на проводящую среду.
10.15.* Произвести анализ глубины проникновения поля в проводящую среду
при разных частотах и, воспользовавшись результатами примера 10.2 и модельной

378
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
диэлектрической проницаемостью
e(u)=e0 + i —, к(и) - °{
47г(7 — ш)
Рассмотреть разные соотношения между параметрами среды: а) £о~1> ^ое/72 >>£о
(металл, плазма); б) ео ~ 10, ^leh2 <С £о (полупроводник) , и <С 7 ^ ^0е»
ojoe <С о; <С 7 Вычислить глубину проникновения <5 и поверхностный импеданс
£ проводника.
10.16. Применить модель предыдущей задачи к газовой плазме со
столкновениями. Вычислить глубину проникновения поля в плазму в области частот 7 <С
< и < а;ое и а; > а;0е.
10.17. Пусть в плоской неоднородной волне вектор электрического поля Е
поляризован линейно. Определить взаимное расположение векторов Ео, ?ii, W2»
к', к", {Tii, Л2 — вещественная и мнимая части комплексной амплитуды Но;
к' и к" — вещественная и мнимая части волнового вектора к). Какую кривую
описывает конец вектора Н в фиксированной точке пространства?
Решить ту же задачу для случая, когда вектор Н поляризован линейно.
10.18. Вывести формулы Френеля для случая, когда электромагнитная волна
падает из вакуума на плоскую границу проводящей среды с малым поверхностным
импедансом £.
10.19. Найти коэффициент отражения R от металлической поверхности с
малым поверхностным импедансом £ = £' + г£". При каких углах падения 0$
коэффициент отражения минимален?
10.20. Линейно поляризованная волна падает на плоскую границу проводящей
среды с малым поверхностным импедансом £. Определить характер поляризации
отраженной волны, если угол скольжения падающей волны равен углу Фо,
определенному в предыдущей задаче.
10.21.* В бесстолкновительной плазме и в любой конденсированной среде при
достаточно высоких частотах диэлектрическая проницаемость имеет вид е(и) =
= 1 — с^ое/о;2, а магнитная проницаемость \± = 1. Произвести с помощью формул
(10.19), (10.20) анализ поверхностной плазменной волны, найти для нее
зависимость и (к), рассмотреть частные случаи.
10.22. Сделать то же самое для немагнитного и неполярного диэлектрика с
диэлектрической проницаемостью е(и) = 1 + ш%/(шо ~~ ^2) (поверхностный поля-
ритон).
10.23. Бесконечно протяженный диэлектрический слой заполняет в вакууме
область — а ^ х ^ а и имеет проницаемости е и \i. Показать, что такой слой может
действовать как волновод (для этого нужно, чтобы поле бегущей
электромагнитной волны концентрировалось в основном внутри слоя). Определить типы волн,
которые могут распространяться в таком волноводе. Ограничиться случаем, когда
векторы поля не зависят от координаты у.
10.24. Диэлектрический слой с проницаемостями е, ^, заполняющий
область 0 ^ х ^ а, нанесен на поверхность идеального проводника. В области х >
> a — вакуум. Какие типы электромагнитных волн с амплитудой, убывающей при

§10.2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах
379
удалении от слоя, могут распространяться вдоль слоя? Сравнить возможные типы
волн с системой волн, полученной в предыдущей задаче.
10.25. Диэлектрический слой, рассмотренный в задаче (10.23) и прозрачный
в оптической области, можно использовать как световод. Вычислить для четных
£-волн ту долю К потока электромагнитной энергии, которая передается внутри
диэлектрика (по отношению к полному потоку). При каких условиях она будет
близка к единице?
§10.2. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ И ГИРОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Анизотропные среды. Оптически анизотропными называются такие среды, у
которых электрические и магнитные свойства различны по разным
направлениям. Электрическая и магнитная проницаемости таких сред являются тензорами,
даже если их зависимость от волнового вектора (пространственная дисперсия)
не учитывается. Оптическая анизотропия может быть следствием
кристаллической структуры тела, а также вызываться внешним электрическим полем (см.
задачи 9.12, 9.13) или внешними механическими воздействиями. При отсутствии
внешнего магнитного поля и в пренебрежении потерями тензоры ^(cj) и /лцс(ш)
симметричны:
£г/сМ = £/сг(^), ДОг/сМ = ДО/сгМ- (10.22)
Как известно из общих свойств симметричных тензоров (см. раздел 1.1),
каждый такой тензор в главных осях является диагональным и определяется тремя
скалярными главными значениями. Главные оси взаимно перпендикулярны, их
направления определяются внутренней симметрией среды.
Не обязательно для одной и той же среды обе проницаемости должны быть
тензорами. В большинстве оптических кристаллов до^ = ДО^ь до « 1. В ферритах
(см. раздел 9.3) анизотропны магнитные свойства, а диэлектрическую
проницаемость часто можно считать скаляром.
Из уравнений Максвелла (9.3)-(9.6) при }ext = pext = 0 можно получить
уравнение дисперсии для собственных колебаний в анизотропной среде.
Введем безразмерный вектор n = ck/u и запишем дисперсионное уравнение в
главных осях тензора еар\
n2ix{e^n\ + е<2>п! + е<3>п§) - ц2[еЫ(е™ + е<3>)п? + е^(е^ + е&)т% +
+ е(3)(£(1) + £(2))п§] + eW^M V = 0.
(10.23)
Это — уравнение Френеля, основное уравнение кристаллооптики. В отсутствие
зависимости главных значений диэлектрической и магнитной проницаемостей от
к при заданном направлении распространения уравнение Френеля имеет второй
порядок относительно величины п2 > 0. Следовательно, в каждом направлении
в общем случае будут распространяться две волны с разными фазовыми
скоростями vph = с/n, зависящими от направления распространения. Электрическая
и магнитная индукции в них, согласно уравнениям Максвелла для дивергенций,
перпендикулярны направлению распространения п, но вектор Е будет иметь не
только поперечную, но и продольную относительно п составляющую. Поэтому

380
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
поляризацию удобно определять с помощью вектора электрической индукции D.
Можно убедиться в том, что в двух волнах, распространяющихся в заданном
направлении, вектор D поляризован линейно в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях. Направления, вдоль которых фазовые скорости двух волн совпадают,
называются оптическими осями. Они в общем случае не совпадают с главными
осями тензора еар.
Плотность энергии и плотность потока энергии квазимонохроматического
поля в анизотропной среде определяются выражениями (9.59). Направление
распространения энергии в общем случае не совпадает с направлением волнового вектора
(см. задачу 10.26).
Гиротропные среды. При наличии внешнего постоянного магнитного поля
тензоры £ik и им перестают быть симметричными; но в непоглощающих средах,
которые только и будут рассматриваться в этом разделе, они являются
эрмитовыми:
£ik = £*ki> Vik = tii- 00.24)
В этом случае мнимая часть каждого из тензоров антисимметрична относительно
перестановки индексов, e'^p = {eap -e*ap)/2i = —s'pa, и их можно заменить
дуальными векторами, ge и gm соответственно. Связь между напряженностями полей и
индукциями можно записать в виде (ср. с задачей 9.15)
D = ?'Е + г(Е х ge), В = ДН + г(Н х gm), (10.25)
где ge и gm — векторы гирации (электрический и магнитный), ?'Е — вектор с
компонентами sfikEk. Тензоры ?; и /I' действительны и симметричны. Среды, в
которых векторы поля связаны уравнениями (10.25), называются гиротропными.
Гиротропными средами являются, в частности, плазма и ферритовые
материалы, находящиеся во внешнем магнитном поле. Если ось Oz выбрана вдоль поля,
то в изотропной (в отсутствие поля) ферритовой среде тензор магнитной
проницаемости имеет вид
(//_!_ -ifia 0 \
Ща 1Ы. 0 , (10.26)
0 0 н )
где компоненты /xj_, /хц, /ла действительны, если среда без потерь. Аналогичный
вид имеет тензор Sik (см. задачи 9.16, 9.17). Гиротропией могут обладать некоторые
кристаллические и неупорядоченные среды и в отсутствие внешнего магнитного
поля. В этом случае гиротропию называют естественной оптической
активностью. Вектор гирации в таких средах зависит от волнового вектора
распространяющейся волны.
В гиротропной среде в заданном направлении могут распространяться с
разными фазовыми скоростями две плоские волны одной частоты. Эти волны
поляризованы эллиптически с противоположными направлениями вращения, эллипсы
поляризации имеют одинаковое отношение осей и повернуты друг относительно
друга на 7г/2.
Граничные условия на поверхности анизотропного или гиротропного тела
имеют такой же вид, как и на границе раздела изотропных сред (см. формулы (9.7)).

§10,2, Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах
381
Рекомендуемая литература: [Борн и Вольф (1970), Ландау и Лифшиц,
Электродинамика сплошных сред], [Агранович и Гинзбург (1979), Батыгин и
Топтыгин (2003), Топтыгин (2005), Бредов и др. (2003)], [Гуревич и Мелков
(1994), Федоров (2004)].
Задачи
10.26. С помощью уравнения Френеля (10.23) найти фазовые скорости волн,
распространяющихся вдоль главных осей тензора диэлектрической проницаемости
в анизотропной среде.
10.27.* Среда, в которой два главных значения тензора sap одинаковы (е^ =
= е(2) =£j_, £-(3) =£ц), называется одноосной.
1. Показать, что оптическая ось совпадает с осью 3.
2. Из уравнения Френеля найти фазовые скорости волн, распространяющихся
под углом 0 к оптической оси:
(1) с (2) /ej_ sin2 ^ + £ц cos2 ^
v-^==' vph=c
Первая волна называется обыкновенной, а вторая — необыкновенной (ее скорость
зависит от направления распространения).
3. Найти поляризации обыкновенной и необыкновенной волн.
10.28. С помощью формул, полученных в задаче 9.23, показать, что в
анизотропной недиспергирующей среде плотности электрической и магнитной энергий
плоской монохроматической волны одинаковы:
we=wm = -[Ex H] -п.
Здесь Е и Н — действительные векторы.
10.29* С помощью формул, полученных в задаче 9.23, и уравнений
Максвелла найти скорость vg распространения энергии плоской квазимонохроматической
волны в анизотропной недиспергирующей среде. Определить ее как отношение
плотности потока энергии к плотности самой энергии, vg = j/w, и выразить через
электрические векторы Е, D. Сравнить с фазовой скоростью vph = cn/n2.
Изобразить на рисунке относительное расположение векторов е, D, Н, В, vph, vg.
10.30. Необыкновенная волна распространяется в одноосном кристалле под
углом 0 к оптической оси. Определить угол а между волновым вектором к и
вектором Е, а также угол # между направлением луча (вектором Пойнтинга) и
оптической осью кристалла.
10.31. Плоская монохроматическая волна распространяется в безграничной
ферритовой намагниченной до насыщения среде под углом 0 к постоянному
магнитному полю. Магнитная проницаемость феррита — тензор (10.26).
Диэлектрическую проницаемость феррита е « 15 можно считать скаляром (это объясняется
тем, что в СВЧ-диапазоне влияние постоянного магнитного поля на магнитные
свойства феррита значительно сильнее, чем на электрические). Найти фазовые
скорости распространения нормальных волн.

382
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
10.32. Исследовать волны, полученные в предыдущей задаче, для случая
продольного распространения (0 = 0), использовав компоненты тензора магнитной
проницаемости
М± = 1+ о 2, /Xfl= 2 2, М||=1, (Ю.27)
CJq — U CJq — U
которые были получены в задаче 9.37.
1. Найти дисперсионные зависимости к(и) нормальных волн и области их
существования (построить графики).
2. Определить поляризации нормальных волн и их поверхностные импедансы1
(10.12).
3. Вычислить угол поворота на длине z плоскости поляризации линейно
поляризованной волны (эффект Фарадея).
10.33. Сделать то же самое для случая поперечного распространения (О =
= тг/2):
1. Найти дисперсионные зависимости к(и) для нормальных волн и области их
существования (построить графики).
2. Определить поляризации нормальных волн и их поверхностные импедансы.
3. Найти изменение поляризации волны при поперечном распространении
(эффект Коттона-Мутона).
10.34. Плоская монохроматическая волна оптической частоты
распространяется в ферродиэлектрике, у которого тензоры электрической и магнитной про-
ницаемостей имеют структуру (10.26). Для случая продольного распространения
вычислить угол фарадеевского вращения плоскости поляризации на длине /. При
этом использовать компоненты тензора /х, приведенные в задаче 10.32, и
приближения и) > ММ, ^0» Еа < £±.
10.35. Магнитостатическими волнами называются колебания
намагниченности и магнитного поля, удовлетворяющие условию кс > и. В нулевом
приближении по малому параметру (и/кс) их можно описывать уравнениями
магнитостатики divB = 0, rotH = 0. Найти дисперсионное соотношение о;(к) для магнито-
статических волн в безграничной ферритовой среде с тензором магнитной
проницаемости (10.26) и его компонентами (10.27). Найти интервал частот, в котором
существуют магнитостатические волны, и электрическое поле в волне.
10.36. В однородной плазме с концентрацией электронов Ne и однородным
магнитным полем В распространяются от одного источника две
квазимонохроматические волны, длины которых Ai и Аг. Обе частоты велики по сравнению с
электронной плазменной частотой и>ое = л/47гЛГее2/гае и электронной циклотронной
частотой иве = eB/mec. В источнике обе волны поляризованы линейно в одной
плоскости. Использовав эрмитов (7 = 0) тензор диэлектрической проницаемости,
полученный в задаче 9.18, вычислить относительный поворот А\ плоскостей
поляризации этих волн на пути к приемнику, который находится на расстоянии L
от источника. Выразить его через величину RM = e3NeBL/27r(mec)2y которая в
радиоастрономии называется мерой вращения (Rotation Measure).
В безграничной среде больше подходит термин «волновой импеданс:

§10.3. Рассеяние и дифракция
383
10.37. Плоская поляризованная по кругу волна падает из вакуума нормально
на плоскую границу феррита. Феррит намагничен в направлении падения волны.
Определить характер поляризации и амплитуды отраженной и прошедшей волн.
Найти также коэффициент R отражения электромагнитной энергии от
поверхности феррита, выразив его через поверхностный импеданс. При каких условиях
отражение будет полным?
10.38. Найти с учетом члена gV2M в выражении (9.62) дисперсионное
уравнение для электромагнитных волн, распространяющихся в изотропной,
намагниченной до насыщения ферродиэлектрической среде. Показать, что в такой среде могут
распространяться три типа волн с разными законами дисперсии о;(к). Определить
явный вид зависимости о;(к) для того типа волн, у которого может выполняться
условие uj2e/(ck)2 <С 1. Оценить относительную величину электрического и
магнитного полей для этой ветви колебаний.
10.39. Вычислить поверхностный импеданс ( ферромагнитного проводника,
находящегося в постоянном магнитном поле, параллельном его поверхности.
Тензор магнитной проницаемости приведен в условии задачи 10.32, а компоненты
тензора электропроводности равны кц = К22 = «ь ^зз — ^з> ^12 = — «21 — — ък>2>
«13 = «31 = «23 = «32 = 0.
Указание. Поверхностный импеданс в данном случае — тензор II ранга и должен
быть определен из условия (ср. с (10.12))
Eri = Сг/с(Нг х n)b
где г, к = 1, 2, Ег и Нг — касательные составляющие векторов поля вблизи
поверхности проводника, п — орт нормали к поверхности.
10.40. Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное магнитное
поле нормально к поверхности ферромагнитного проводника.
§10.3. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА МАКРОСКОПИЧЕСКИХ
ТЕЛАХ. ДИФРАКЦИЯ
Точное решение задачи о дифракции электромагнитной волны на проводящем
или диэлектрическом теле сводится к интегрированию уравнений Максвелла при
соответствующих граничных условиях. Оно возможно в немногих случаях (см.,
например, задачи 10.41, 10.45). В ряде случаев может быть найдено приближенное
решение.
Если линейные размеры тела малы по сравнению с длиной волны, то
электромагнитное поле вблизи тела можно считать однородным. Тело, находящееся в
однородном периодическом поле, приобретет электрический и магнитный моменты,
которые будут зависеть от времени по тому же закону, что и внешнее поле.
Рассеянная волна возникает в результате излучения этими переменными
моментами. Задача о рассеянии электромагнитных волн на теле малых размеров
сводится к определению дипольных моментов, которые приобретает тело. Поля
излучения выражаются через дипольные моменты по формулам, приведенным в
разделе 5.1.
Эффективное дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол d£l
определено формулой (5.58). При рассеянии на макроскопическом теле часть электро-

384
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
магнитной энергии поглощается. Эффективным сечением поглощения называется
отношение средней энергии, поглощаемой телом в единицу времени, к средней
плотности потока энергии в падающей волне:
9.
7о'
(10.28)
Up
2тг~г
В противоположном предельном случае, когда длина волны много меньше
размеров тела, применимы методы геометрической оптики. При дифракции
электромагнитной волны на отверстии в бесконечном непрозрачном экране амплитуда
дифрагированного поля в приближении геометрической оптики описывается
формулой
J^eikRdSn, (10.29)
которая может быть выведена из уравнений Максвелла. Здесь up — поле в точке Р
за экраном (рис. 10.3), и — поле на участке dS поверхности отверстия (это поле
предполагается таким же, как при отсутствии экрана, т. е. неискаженным), dSn —
проекция элемента dS поверхности отверстия на направление луча, пришедшего
из источника света О в dS, R — расстояние от dS до точки Р, к — абсолютная
величина волнового вектора световой волны.
Источник света О и точка наблюдения Р могут
находиться как на конечных, так и на бесконечно
больших расстояниях от экрана. Случай, когда
точки О и Р, или хотя бы одна из них, находятся на
конечном расстоянии от экрана, носит название
дифракции Френеля.
Если обе точки О и Р находятся на очень
больших расстояниях от экрана, то лучи света, идущие
от источника к отверстию и от отверстия в точку
наблюдения, можно считать параллельными. В этом
случае, который носит название дифракции Фраун-
гофера, формула (10.29) может быть преобразована:
Рис. 10.3
иР =
ще
ikRo
2mR0
I
e-^dSn.
(10.30)
Здесь q = k'-k — изменение волнового вектора при дифракции, Ро — расстояние
от отверстия до точки наблюдения, щ — амплитуда поля на отверстии.
Интенсивность дифрагированного света пропорциональна квадрату модуля \ир\2.
В случае дополнительных1 экранов имеет место принцип Бабине: пусть щ
и и2 — волновые поля в некоторой точке, соответствующие двум дополнительным
экранам, и — неискаженное волновое поле в той же точке при отсутствии экранов,
тогда
Ui -\-U2 = U. (10.31)
1 Дополнительным называется экран, имеющий отверстия там, где другой экран не прозрачен, и не
прозрачный там, где другой экран имеет отверстия.

§10.3. Рассеяние и дифракция
385
Формулы (10.29) и (10.30) не учитывают поляризации электромагнитных волн
(амплитуда и предполагается скалярной, а не векторной величиной).
Дифракционные формулы, учитывающие векторный характер электромагнитного поля, можно
найти в [Топтыгин (2005)].
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных
сред], [Батыгин и Топтыгин (2003), Бредов и др. (2003)], [Вайнштейн (1988),
Борн и Вольф (1970), Ваганов и Каценеленбаум (1982)], [Вайнштейн (1966b),
Зоммерфельд (1960), Фейнберг (1999), Ахманов и Никитин (1998)], [Виноградова
и др. (1979), Хижняк (1986)].
Задачи
10.41.* На бесконечный круговой идеально проводящий цилиндр радиуса а,
находящийся в вакууме, падает плоская монохроматическая волна в направлении,
перпендикулярном оси цилиндра. Вектор Е0 падающей волны параллелен оси
цилиндра. Определить результирующее поле, распределение тока по поверхности
цилиндра и полный ток, текущий вдоль цилиндра.
10.42. Найти дифференциальное сечение рассеяния das электромагнитной
волны (диаграмму направленности вторичных волн) цилиндром, рассмотренным
в задаче 10.41. Найти также полное сечение рассеяния <т$.
10.43.* Плоская монохроматическая волна падает на идеально проводящий
круговой цилиндр так, что ее магнитный вектор Но = Иоег(к'г~шг) параллелен,
а волновой вектор к перпендикулярен оси цилиндра. Цилиндр находится в
вакууме. Найти результирующее электромагнитное поле. Рассмотреть, в частности,
случай тонкого (ka ^ 1) цилиндра, определить дифференциальное das и полное as
сечения рассеяния для этого случая.
10.44. Пусть d<T\\ и da± — дифференциальные сечения рассеяния на
бесконечном цилиндре плоской волны с вектором Е, направленным соответственно
параллельно и перпендикулярно оси цилиндра. Найти дифференциальное сечение da's
рассеяния волны, у которой вектор Е составляет с осью цилиндра угол ср} а также
дифференциальное сечение do"s рассеяния неполяризованной волны.
Указание. Использовать принцип суперпозиции полей.
10.45* Рассмотреть дифракцию плоской монохроматической волны на
диэлектрическом цилиндре. Цилиндр радиуса а с диэлектрической проницаемостью е
и магнитной проницаемостью /л находится в вакууме. Волна падает нормально
к образующей цилиндра, вектор Е параллелен его оси. Определить
результирующее поле.
10.46* Линейно поляризованная плоская монохроматическая волна
рассеивается на шаре, радиус которого а много меньше длины волны А. Выразить
составляющие электромагнитного поля рассеянного излучения в волновой зоне через
электрическую и магнитную поляризуемости шара. Определить эффективное
дифференциальное сечение рассеяния.
Указание. В силу условия а <^ X считать внешнее поле вблизи шара
однородным и рассмотреть излучение индуцированных электрического р и магнитного m
дипольных моментов.

386
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
10.47. Вычислить дифференциальное das и полное as сечения рассеяния,
а также степень деполяризации р вторичного излучения при рассеянии неполяри-
зованной волны шаром, радиус которого а много меньше длины волны А. Результат
выразить через электрическую /?е, и магнитную (Зш поляризуемости шара.
10.48.* Плоская монохроматическая волна рассеивается некоторой системой
зарядов (например, макроскопическим телом). Электрическое поле на больших
расстояниях от рассеивателя имеет вид
г pikr-
Е = £0 ee*/cг+F(n) —
где п = г/г, е = Е0/£сь к = и/с, Е0 — амплитуда падающей волны, F(n) —
амплитуда рассеяния — функция, характеризующая свойства рассеивателя и
зависящая от частоты. Доказать соотношение («оптическую теорему»):
at = y9[e.F(n0)].
Здесь at = gs + aa — полное сечение взаимодействия волны с системой
зарядов, равное сумме сечений рассеяния gs и поглощения <та, F(no) — амплитуда
рассеяния «вперед», т. е. в направлении распространения падающей волны.
10.49* Плоская монохроматическая волна падает на макроскопическую
частицу, размер которой много меньше длины волны А. Электрическая и магнитная
поляризуемости частицы: (Зе = (З'е + i/3" и /Зт = (5'т + г/?^ — комплексны, поэтому
наряду с рассеянием происходит поглощение электромагнитной энергии.
Вычислить сечение поглощения Ga.
Указание. Поглощаемая в единицу времени энергия равна потоку вектора Пойн-
тинга через поверхность сферы большого радиуса, окружающей частицу.
10.50* Определить среднюю силу F, которая действует на малый шар
радиуса а, находящийся в поле плоской монохроматической волны. Рассмотреть случаи
идеально проводящего шара и диэлектрического шара с диэлектрической
проницаемостью £ (магнитная проницаемость р = 1). Амплитуда падающей волны Eq.
10.51. Точечный источник света расположен на оси, проходящей через центр
круглого непрозрачного экрана радиуса а перпендикулярно его плоскости.
Считая выполненным условие применимости геометрической оптики (А <С а), найти
интенсивность света I в симметричной относительно экрана точке Р.
10.52. В предыдущей задаче рассмотреть дифракцию на дополнительном экране
(т.е. на круглом отверстии в бесконечном непрозрачном экране).
10.53. Найти угловое распределение интенсивности света dl при дифракции
Фраунгофера на кольцевом отверстии (радиусы a > b) в бесконечном
непроницаемом экране. Начальный пучок света падает нормально к плоскости отверстия.
Рассмотреть частный случай дифракции на круглом отверстии.
10.54. Вычислить сечение дифракции Фраунгофера на прямоугольном
отверстии 2li х 212 в непрозрачном экране.
§10.4. КОГЕРЕНТНОСТЬ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
Корреляционные тензоры поля. Время и длина когерентности.
Большинство реальных источников электромагнитных волн состоит из большого числа

§10.4. Когерентность и интерференция
387
независимых (некогерентных) излучателей, испускающих волны со случайными
значениями начальных фаз и амплитуд, а также со всевозможными
поляризациями. Таковы, например, тепловые и люминесцентные источники света, а также
источники, в которых электромагнитные волны испускаются пучком быстрых
электронов при торможении их в веществе или в магнитном поле. Значительно большая
степень согласованности достигается при излучении радиоволн антеннами или при
излучении света оптическими квантовыми генераторами, в которых главную роль
играет вынужденное излучение. Но и в этих устройствах возможны флуктуации
фазы, амплитуды и поляризации из-за теплового движения частиц, спонтанного
излучения и рассеяния на различных флуктуирующих неоднородностях.
Кроме того, каждый отдельный излучатель испускает немонохроматические
волны. Поэтому поле, созданное реальными источниками, во многих случаях
имеет очень сложную структуру: значения поля меняются непредсказуемым,
случайным образом в пространстве и во времени. Такие поля называются случайными.
Для задания случайного поля нужно указать некоторые усредненные
величины, характеризующие такое поле. Способ усреднения тесно связан со способом
измерения соответствующих величин. Чаще всего измерительные приборы
производят усреднение по времени. Промежуток усреднения At должен выбираться так,
чтобы он превышал периоды всех гармонических составляющих случайного поля.
При таком усреднении среднее значение поля излучения обратится в нуль:
Ea(r,t) =0. (10.32)
Отличным от нуля будет корреляционный танзор второго ранга:
•Mri, ti; г2, t2) = Ea(r1,t1)E*(r2,t2), (10.33)
где Еа — комплексная функция, описывающая поле. Для полного описания
случайного поля следует, вообще говоря, задать и бесконечную совокупность
корреляционных тензоров более высоких рангов, но при решении многих задач можно
ограничиться тензором второго ранга. Что касается усредненных характеристик
магнитного поля, то их можно выразить через соответствующие значения
электрического поля с помощью уравнений Максвелла. При совпадающих аргументах
(ri = Г2, t\ = t2, а = Р) тензор (10.33) пропорционален энергии, заключенной в
a-й компоненте электрического поля.
Для того чтобы усредненный тензор (10.33) остался функцией времени,
усреднение нужно производить, зафиксировав времена £ь t2:
1 pAt/2
Ja/3(ri,*i;r2,*2) = — / Ba(n,ti + T)^(r2,t2 + T)dT. (10.34)
At J-At/2
Часто, особенно при измерениях в оптическом диапазоне, усреднение по
времени осуществляется в процессе измерения за счет инерционности
измерительного прибора. Времена срабатывания детекторов оптического излучения составляют
Ю-10 — Ю-12 с, тогда как периоды оптических колебаний — порядка Ю-15 —
-10"16 с.

388
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
Мы в дальнейшем будем интересоваться преимущественно стационарными
случайными полями, усредненные характеристики которых не изменяются со
временем. Это означает, что Jap будет зависеть только от разности времен т = t\ — £2,
но не от начала их отсчета:
«/a/3(ri,ti;r2,t2) = Л*/з(гьг2,т). (10.35)
Если случайное поле однородно также и в пространстве, т.е. его средние (но не
мгновенные) характеристики не зависят от координат, то и радиусы-векторы гь г2
войдут в Jap только в виде разности г = ri - r2. Такими свойствами, например,
обладает поле теплового излучения в замкнутой полости. Но поле, создаваемое
источником конечных размеров в свободном пространстве, неоднородно.
Для случайных полей корреляционный тензор Л*/з(г1,г2,т) обычно достаточно
быстро убывает с ростом времени задержки т. Пусть, например, поле
излучения создается тепловыми источниками — атомами, возбужденными в случайных
столкновениях друг с другом. Каждый атом испускает немонохроматическую
волну конечной длительности тс (волновой пакет) в случайные моменты времени,
поэтому волновые пакеты от отдельных атомов взаимно независимы. Излучение
же каждого отдельного атома когерентно в течение времени тс испускания
отдельного волнового пакета.
Фиксировав некоторую точку пространства ri = r2 = г, рассмотрим среднее
Ea(r,t + т)Е* (г, t) = Ja(3(r, г, r).
Нетрудно сообразить, что это среднее будет отличаться от нуля только для таких
значений т, которые меньше или порядка длительности отдельного волнового
пакета, г ^ тс. Если жег » тс, то усредняться будут поля различных волновых
пакетов, независимые друг от друга. Между ними не будет заметной корреляции,
и среднее от произведения можно будет заменить произведением средних:
Ja/3(r,r,r)«Ba(t + r).^(t)=0, r > тс. (10.36)
Время тс, в течение которого тензор Jap заметно отличен от нуля, называется
временем корреляции, или временем когерентности, компонент поля Еа и Ер.
Это время можно определить и формально, например, следующим образом:
Тс =
Ja/5(r,r,0)
f
Jo
Jap(r,r,r)dT
(10.37)
Оно может быть, вообще говоря, различным для разных пар компонент, но мы в
дальнейшем для простоты будем считать его одинаковым для всех составляющих
поля.
Зависимость корреляционного тензора Jap от координат носит аналогичный
характер: с ростом разностей х\ — х2, у\ - у2, z\ - z<2 корреляция ослабляется.
Можно по аналогии с (10.37) ввести корреляционные длины (длины
когерентности) 1Х, 1у, lz. Они по порядку величины равны пространственным размерам
волновых пакетов, в пределах которых отдельные фурье-гармоники поля связаны

§10.4. Когерентность и интерференция
389
по фазе. В однородном и изотропном поле излучения корреляционные длины по
всем направлениям одинаковы, а тензор Jap зависит только от разности ri — г2.
В таком поле 1С « стс, так как размер волновых пакетов в пространстве
порядка стс, а корреляция будет сильно ослаблена, если поля в точках ri и г2 будут
принадлежать разным волновым пакетам.
В анизотропном поле излучения, например, когда волновые пакеты испускаются
некоторым далеким источником и движутся все в одну сторону, соотношение /ц =
= стс будет справедливо только для продольной (в направлении распространения)
длины когерентности. Поперечная длина когерентности в этом случае
определяется другими факторами и не связана прямым образом с тс (см. ниже).
Для строго детерминированного процесса, каким является в стационарном
случае плоская монохроматическая волна, длина и время когерентности бесконечны.
Но для всех реальных процессов они имеют конечные значения. Так, тепловой
источник света (например, натриевая лампа) имеет характерное время
когерентности тс « 10~10 с и соответствующую длину когерентности /ц = сгс яз 3 см.
Газовый гелий-неоновый лазер, работающий в непрерывном режиме, имеет время
когерентности тс = 0,02—0,002 с и длину продольной когерентности /ц « 60-600 км.
Усреднение по времени (10.34) часто заменяют усреднением по ансамблю
всевозможных реализаций случайного поля. Представим себе большое (в пределе —
бесконечное) число невзаимодействующих макроскопических систем,
тождественных исходной, т. е. состоящих из одинаковых источников излучения вместе с той
частью пространства, в которой это излучение распространяется. Такая
совокупность макроскопически тождественных систем называется ансамблем. Из-за
случайного характера излучения электромагнитных волн значения полей Е'а, Е£,...
в эквивалентных точках пространства в один и тот же момент времени у разных
систем будут, вообще говоря, различными:
Е'а(г,Ь)фК{г,1)фЕ':{т,1)ф....
Среднее по ансамблю (или статистическое среднее) — это среднее арифметическое
{ЕЛгМЕр(r2,t2)) = hm £ 2 ,
(10.38)
где N — полное число систем ансамбля. Для произвольных излучающих систем
нет оснований считать, что усреднение по ансамблю (10.38) и по времени (10.34)
дает одинаковые результаты. Однако для широкого класса случайных процессов,
в том числе для многих реальных излучающих систем, средние по ансамблю и по
времени совпадают. Такие системы называются эргодическими.
Условие эргодичности1 для стационарных случайных полей требует достаточно
быстрого ослабления корреляции с ростом т:
1 fAt
л11т ~^7 / Ja/3(r,r,T)dr = 0.
At—юо /It Jq
1 Доказательство эргодической теоремы и ее более строгую формулировку можно найти в
книгах [Монин и Яглом (1965), Рытов (1976), Рытов (1978), Мандель и Вольф (2000)].

390
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
При теоретическом анализе случайных полей, как правило, пользуются
статистическим усреднением. Мы в дальнейшем также будем производить усреднение
по ансамблю, считая рассматриваемые поля излучения эргодическими. В условиях
эргодичности полученные таким образом результаты будут совпадать со средними
по времени, которые измеряют детекторы излучения.
Влияние временной и пространственной когерентности на
интерференцию волн. Возможность получения картины регулярного усиления и ослабления
волн в пространстве и во времени при их интерференции (наложении) тесно
связана с их когерентными свойствами. Из качественных соображений ясно, что
регулярная интерференционная картина будет наблюдаться, только если разность фаз
отдельных гармоник с одинаковыми частотами остается приблизительно
неизменной за время наблюдения, т.е. колебания являются когерентными.
Связь временной когерентности с интерференционной картиной можно
проследить с помощью интерферометра Майкельсона (рис. 10.4). Луч света от
небольшого источника 5, состоящего из независимых излучателей (возбужденных атомов),
делится полупрозрачным зеркалом 3 на два луча, 1 и 2. Эти лучи в свою очередь
отражаются от зеркал 3i и З2 и смешиваются в области 12, создавая
интерференционную картину (чередование темных и светлых полос) на экране Э. Меняя
длины путей si и s«2, можно вводить временную задержку (разность хода) между
интерферирующими колебаниями.
Выясним условия появления интерференционной
картины в описанной установке. Пусть каждый атом
излучает квазимонохроматичесую волну (волновой
пакет) длительностью тс в интервале частот Аш.
Поскольку волновые пакеты от разных атомов
имеют случайные начальные фазы, то при наложении
таких пакетов интерференционной картины не
образуется — максимумы и минимумы поля отдельных
пакетов будут накладываться случайным образом.
Интерференция возникает при наложении полей,
генерируемых одним атомом и прошедших разные
пути si и s2- Но для того чтобы такое наложение было
возможно, время задержки г = (si-s2)/c не должно
превышать длительности волнового пакета — в противном случае его часть,
распространявшаяся по более длинному пути, дойдет до экрана, когда вторая часть
уже поглотится экраном или отразится от него.
Максимальное время задержки, при котором еще наблюдается
интерференционная картина, не должно превышать длительности отдельного волнового пакета,
которое и есть время когерентности:
т ^ тс ^ -L. (10.39)
Аи
В анизотропном поле излучения, когда волновые пакеты испускаются некоторым
далеким источником и движутся все в одну сторону, продольную (в направлении

§10.4. Когерентность и интерференция
391
распространения) длину когерентности можно оценить соотношением
Да; ~ АЛ '
in
: CTr
(10.40)
Здесь Л — длина излучаемой квазимонохроматической волны, ДА — разброс длин
волн, связанный со спектральной шириной соотношением ДА = (А2/27гс)Ди;.
Рассмотрим теперь интерференционный эксперимент в другой постановке (опыт
Юнга). Пусть квазимонохроматический свет от некоторого теплового источника
конечных размеров а (рис. 10.5), пройдя через две щели D\ и D2 в непрозрачном
экране, создает на другом экране Э интерференционную картину. Стабильную
интерференцию могут создать только волны, испускаемые одним и тем же атомом,
так как излучение разных атомов некогерентно. Для наблюдения интерференции
от всего протяженного источника необходимо, чтобы интерференционные картины
от отдельных атомов складывались примерно с одинаковыми фазами. Найдем
соответствующие условия. Пусть расположение диафрагм, источника и экрана
симметричное, как показано на рис. 10.5. Пусть, далее, расстояние от источника велико:
R > a, R > 1±.
Относительный сдвиг в пространстве двух
пучков света, прошедших через щели D\ и D2,
определяется разностью путей \PD\ — PD2\.
Интерференционные картины от разных атомов будут
усиливать друг друга, если указанная разность путей
не будет превышать длины волны излучения А для
всех атомов-излучателей, независимо от их
расположения на поверхности источника.
Очевидно, что максимальное значение \PD\ —
— PD2\ будет достигаться для атомов, находящихся
на краю источника. Записав
р_
■^~~~1Г
L r -
^м|
Рис. 10.5
(PL>i)2 = R2 + (l± - а)2/4, (PD2)2 = R2 + (l± + a)2/4,
получим \PD\ - PD2\ ~ al±/2R, al±/R < А, где в последнем неравенстве,
справедливом по порядку величины, опущен множитель 1/2. Итак, интерференционная
картина будет наблюдаться при расстоянии между щелями, не превышающем
l± « XR/a •
Д0'
(10.41)
которое играет в данном случае роль поперечной длины когерентности. Вели-
ЧИНЗ Л2/?2
а=i\ * ±4- (10-42>
представляет собой площадь когерентности, а произведение
AV = l{lA = crcA (10.43)
называют объемом когерентности. Здесь S = а2 — площадь поперечного сечения
источника.

392
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
При квантовом описании (см. главу 6) свет представляет собой совокупность
фотонов — квантов электромагнитного поля. Энергия каждого фотона частоты и
равна ftw. Важной характеристикой когерентных свойств поля является параметр
вырождения 6, который равен среднему числу фотонов, находящихся в одном и
том же состоянии поляризации внутри объема когерентности, т. е. среднему
числу фотонов данной поляризации, пересекающих площадь когерентности за время
когерентности.
Пусть 1Ш — среднее число фотонов, испускаемых в единицу времени единичной
площадкой поверхности источника в единичном интервале частот и в единичном
телесном угле нормально к поверхности источника. Если оба возможных
направления поляризации представлены равновероятно, то
S = -IuSAojASItc,
где AQ = A/R2 — телесный угол, под которым площадь когерентности видна из
источника. С помощью (10.39) и (10.42) будем иметь
2тг2г2
5*™-?-1ш. (10.44)
Записанный в такой форме параметр вырождения не зависит от геометрии и
характеризует только свойства источника излучения.
Из определения 5 следует, что чем больше этот параметр, тем более
когерентным является поле данного источника. Для тепловых источников света
наибольшее значение 6 порядка 10~3, т.е. S <С 1. Для лазерных источников i > 1 и
может достигать значений порядка 1014.
Взаимная функция когерентности и контрастность. Найдем
количественную связь между интерференционной картиной, которая наблюдается на экране
интерферометра Майкельсона или в опыте Юнга, и корреляционным тензором
поля излучения. Будем считать для простоты, что свет поляризован линейно и при
распространении его поляризация не меняется. Тогда поле излучения можно
описывать скалярной комплексной функцией U(r,t). Поле в точке Q представляет
собой результат наложения волн от отверстий D\ и D2. Его можно записать в
виде
U(r,t) = AlU{rut- ti) + A2U(r2,t - *2), (10.45)
где t\ = si/c, t2 = s2/c — времена распространения возмущений из D\ и D2 в
Q\ A\, A2 — коэффициенты передачи, вообще говоря, комплексные, зависящие от
размеров и формы отверстий. Их фазы мы в дальнейшем будем считать
одинаковыми.
Интерференционная картина на экране будет определяться интенсивностью
поля 1{т) — усредненным по ансамблю квадратом модуля {U*(r,t)U(r,t)) = /(г).
Ввиду предполагаемой стационарности источника величина I не будет зависеть от
времени. С помощью (10.45) получим
/(r) = |i4i|2/i(r) + |^i|2/2(r)+2|^i^2|»r(n,r2,r). (10.46)

§10.4. Когерентность и интерференция
393
Здесь г = ti - t2 = (si - S2)/c} комплексная величина
r(rbr2,T) = r(ri,^(r2,t + r)) (10.47)
называется взаимной функцией когерентности. Она представляет собой
скалярный вариант корреляционного тензора (10.38) (или отдельную диагональную
компоненту указанного тензора). Интенсивности света в точках r7, j = 1,2 связаны с
взаимной функцией когерентности соотношением
7(г,) = Г(г,-,г„0). (10.48)
Интенсивность поля в точке Q, создаваемая одним отверстием (когда второе
отверстие закрыто) дается выражением
Ij(r) = \A1\2I(rj). (10.49)
Определим также нормированную функцию взаимной когерентности 7(ri,r2,r),
которую называют еще комплексной степенью когерентности:
Г(гьг2,т) /1Л-Лч
7(ri'r2'T) = I7^j7^JF- (1°-50)
Запишем интенсивность поля в точке Q через интенсивности волн, прошедших
через каждое из отверстий по отдельности:
/(г) = /i(r) +/2(г) +2[/1(г)/2(г)]1/2^7(гы2,г). (10.51)
Для квазимонохроматического света, у которого Да; < ш, зависимость U(r,t)
от времени будет определяться в основном множителем ехр(-га;£). Амплитуда A(t)
и добавочная фаза a(t), будучи для некогерентного света случайными функциями,
изменяются значительно медленнее, как ехр(—гДи;£). Поэтому если записать
7(г1,г2,г) = |7(г1,г2,г)|ехр[ш(г1,г2,г) - iwt], (10.52)
то 7 и ехр(га) будут медленными (по сравнению с ехр(—iut)) функциями т, они
существенно изменяются только за время г ^> тс, тогда как ехр(—гшЬ) сильно
изменяется за период оптических колебаний.
Использовав (10.52), перепишем (10.51) в виде
/(г) = /х(г) + /2(r) + 2[/1(r)/2(r)]1/2 cos(a - шт). (10.53)
С учетом сказанного выше о медленности изменения 7 и а мы видим, что cos(a —
— шт) при г <^с тс меняется в основном за счет шт. Следовательно, при
перемещении точки Q по экрану и при изменении разности si - s2 = ст интенсивность
освещенности экрана будет изменяться в пределах от
/max (г) = h + h + 2(/1/2)1/2|7| (10.54)
до
/min(r) = h + h ~ 2(/i/2)1/2|7|. (10.55)

394
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
Поскольку 7^0 при любом соотношении между Д и /2, то из (10.54) и (10.55)
следует, что модуль комплексной степени когерентности может изменяться в
пределах
0<|7(г1,г2,т)|<1. (10.56)
Определим контрастность (видность, видимость) интерференционной картины
в данной точке г параметром
V = (/тах " imin)/(/max + Лит)- (Ю.57)
Из (10.54), (10.55) имеем
V = 2(A/^ + A/^| |7(ri,r2,r)|. (10.58)
В частности, при Д = /2
V=|7(ri,r2,r)|, (10.59)
т. е. контрастность интерференционных полос, измеряемая на опыте, равна модулю
комплексной степени когерентности.
Фазу комплексной степени когерентности можно измерить по положениям
максимумов интенсивности интерференционной картины. Согласно (10.53) положение
максимумов определяется условием
a(rur2,Sl ~S2j - у(51-52) = 2тгт, т = 0,±1,... . (10.60)
Интенсивности Д и /2 - также измеримые величины. Таким образом, функцию
взаимной когерентности Г(г1,г2,т) можно (по крайней мере, в принципе)
определить по наблюдаемой интерференционной картине и по измеренным интенсивно-
стям Iu 12.
Из выражения (10.51) видно, что при |7| = 0 не возникает никаких
интерференционных полос, экран освещен равномерно. Это означает, что два световых
пучка, достигающих экрана из отверстий D\ и D2, полностью некогерентны. Если
|7| = 1, то интерференционные полосы обладают максимально возможной
контрастностью, а интенсивность поля излучения в минимумах освещенности падает
до нуля. Оба пучка полностью когерентны. В промежуточных случаях, 0 ^ I7I ^ 1,
они частично когерентны. Это ясно показывает запись уравнения (10.53) в форме
/(г) = (l-|7|)(/i(r) + /2(r)) + |7|[/i(r) + /2(r) + 2[/1(r)/2(r)]1^cos(a-cjr)]. (10.61)
Мы видим, что поле в точке Q можно представить как смесь полностью
некогерентного и полностью когерентного света. Первый имеет интенсивность (1 -
- ЫХЛ + h)> а второй представляет собой полностью когерентную смесь двух
пучков с интенсивностями |7|^ь \l\h и разностью фаз а -шт.
Понятие о голографии. Если в поле когерентной световой волны находится
некоторый предмет, рассеивающий эту волну, то в области наложения
рассеянного света на поле основной («опорной») волны образуется интерференционная

§10А. Когерентность и интерференция
395
картина, интенсивность которой в каждой точке этой области зависит как от ин-
тенсивностей, так и от разности фаз рассеянной и опорной волн. Эту картину
можно отобразить на фотопластинке, а затем использовать эту фотопластинку как
дифракционную решетку, пропуская через нее когерентный свет. Интенсивность
Г света, прошедшего через проявленную фотопластинку в данной ее точке (х,у)
при освещении пластинки светом, пропорциональна его интенсивности 1(х,у):
Г(х,у)=Т(х,у)1(х,у) (10.62)
и зависит от степени почернения фотопластинки, характеризуемой
«пропусканием» Т(х,у). Пропускание зависит от интенсивности 1$(х,у) первичного поля,
вызвавшего почернение, и от контрастности фотоэмульсии, характеризуемой законом
Т(х,у) ос [7о(я,2/)]~7/2, где 7 — коэффициент контрастности фотоэмульсии.
Фотопластинка, на которой изображена картина интерференции опорной
волны с волной, рассеянной от предмета, называется голограммой. Оказывается, что
при пропускании через голограмму когерентного света за нею образуется
объемное изображение первоначального предмета. Процесс восстановления первичного
волнового поля называется голографией. Теоретические основы голографии
изложены в книге [Сороко (1971)] и иллюстрируются задачами 10.70-10.73.
Рекомендуемая литература: [Мандель и Вульф (2000), Скалли и Зубайри
(2003)], [Бредов и др. (2003), Франсон и Сланский (1967), Сороко (1971)].
Задачи
10.55. Квазимонохроматический источник имеет поперечный размер L и
испускает свет с длиной волны А. Оценить порядок величины того телесного
угла Д£2, в котором его излучение когерентно.
10.56. Каковы поперечная и продольная длина, а также телесный угол и объем
когерентности излучения, испускаемого атомами натрия, находящимися в
атмосфере Солнца. Наблюдается (на Земле) спектральная линия с длиной волны Aq =
= 5 • Ю-5 см, масса атома m = 3,7 • Ю-23. Главный вклад в ширину спектральной
линии дает тепловое движение атомов (температура Т « 6000 К). Среднее
расстояние от Солнца до Земли 1,5 х 1013 см.
Указание. Доплеровская ширина спектральной линии
/8тг2/сГ
где к — постоянная Больцмана (см. задачу 5.97).
10.57. Как изменятся результаты предыдущей задачи, если с Земли
наблюдается звезда типа Солнца, находящаяся на расстоянии 10 световых лет? Один
световой год равен 9,46 х 1017 см.
10.58. Определить продольную и поперечную длины, а также объем
когерентности в непосредственной близости от квантового оптического генератора,
работающего на длине волны А0 = 5 • 10~5 см с разбросом частот Дг/ = 102 гц.
Диаметр зеркал D = 5 см.

396
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
10.59. Найти параметр вырождения 6 излучения абсолютно черного тела,
находящегося при температуре Т. Сделать численные оценки для Л = 1 см и Л =
= 5 • Ю-5 см при Г = 273° и для Л = 5 • 10"5 см при Г = 10000°.
Указание. Спектральная плотность энергии излучения черного тела (см. задачу
6.12)
_ uj2 hw
ш " тг2с3 exp(hw/T) - 1"
Здесь температура Т выражена в энергетических единицах: Т = /сТ°К, где к =
= 1,38- 10~16 эрг/град — постоянная Больцмана.
10.60. Найти параметр вырождения для квантового оптического генератора,
рассмотренного в задаче 10.58. Мощность излучения 200 вт. Какой эффективной
температуре отвечает это значение 6?
10.61. Связать автокорреляционную функцию
Г(г,г,г) = {U*(r,t)U(r,t + T))
со спектром мощности 1(и) излучения. Интенсивность излучения / = (U*(t)U(t)) =
10.62. Найти автокорреляционную функцию излучения, если линия
испускания узкая и имеет прямоугольную форму в интервале шириной До; около ио.
Интенсивность излучения I.
10.63. В интерференционном опыте Юнга наблюдается интерференционная
картина в области перекрытия пучков, дифрагировавших на двух отверстиях
(рис. 10.6). Отверстия расположены на расстоянии D друг от друга в точках с
координатами (0,0) и (ж,у). Источник света протяженный, его размер
значительно превышает D и он находится на расстоянии R от отверстий (R » D). Свет
достаточно монохроматичен, так что для каждого из независимых излучателей
выполняется условие временной когерентности. Выразить коэффициент частичной
когерентности через распределение интенсивности 1(х,у) излучения по
поперечнику источника света.
10.64. Звездный интерферометр Майкельсона представляет собой вариант
интерференционной схемы Юнга, в которой расстояние между отверстиями может
изменяться. Найти зависимость контрастности V интерференционных полос в
интерферометре Майкельсона от расстояния D между отверстиями и от длины
волны А для двух случаев.
а) Наблюдается двойная звезда — система двух близких звезд, находящихся
на угловом расстоянии а друг от друга. Каждую из звезд можно рассматривать
как точечный источник света. Считать светимости обеих звезд одинаковыми.
б) Наблюдается одиночная звезда больших размеров с угловым поперечником a
(можно рассматривать эту звезду как равномерно излучающий диск).
10.65. В звездный интерферометр Майкельсона, рассмотренный в
предыдущей задаче, поступает свет от двойной звезды или от одиночной звезды больших
размеров. При увеличении расстояния D между отверстиями контрастность
интерференционных полос ослабевает и при некотором значении D = D0 обращается в
нуль. Определить: а) расстояние р между компонентами двойной звезды Капелла,
находящейся от нас на расстоянии R = 44,6 световых лет, если Do = 70,8 см, а

§10А. Когерентность и интерференция
397
Рис. 10.6 Рис. 10.7
наблюдение ведется на длине волны Л = 5 • Ю-5 см; б) диаметр d звезды Бетель-
гейзе, расстояние до которой составляет 652 световых года, если Do = 720 см,
а А = 6 • Ю-5 см.
Указание. Первый ненулевой корень функции Бесселя J\{x) равен х\ = 3,8317.
10.66.* В интерферометре Брауна и Твисса (рис. 10.7) независимо
детектируются, а затем перемножаются и регистрируются интенсивности света,
идущего от двух удаленных некогерентных точечных источников или от различных
точек одного протяженного источника. Волны, идущие от источников, можно
считать плоскими (волновые векторы ki и к2), их амплитуды и фазы флуктуируют
случайным образом. Показать, что с помощью интерферометра Брауна и Твисса
можно путем наблюдения корреляции между интенсивностями измерять угловое
расстояние между источниками.
10.67. Плоская волна (длина волны А) падает почти нормально на боковую
поверхность тонкой призмы с углом а <С 1 при вершине и показателем
преломления п. Найти зависимость от х (рис. 10.8) фазового сдвига, который приобретает
волна в плоском слое ABCD, часть которого занята призмой.
10.68. Плоская волна падает на тонкую собирающую или рассеивающую линзу
с радиусами кривизны #i, R2 и показателем преломления п (рис. 10.8 б, в). Длина
волны — А, угол между волновым вектором и оптической осью линзы мал. Найти
зависимость от х фазового сдвига, приобретаемого волной в плоском слое ABCD,
часть которого занята линзой.
10.69. Монохроматическая плоская волна (длина волны А) от квантового
оптического генератора падает на бизеркало Френеля (рис. 10.9) с углом д <С 1
между плоскостями зеркал. В области перекрытия двух плоских волн, идущих
от бизеркала, образуется интерференционное волновое поле. На фотопластинке,
помещенной в эту область и образующей угол di <С 1 с фронтом одной из волн,
возникает система прозрачных и темных интерференционных полос. Какое волно-

398
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
а)
б)
А
D
1
/'/'
1 '
V
*
л
''' \
V
Рис. 10.8
вое поле образуется за этой фотопластинкой, если после проявления пропустить
сквозь нее нормально к поверхности плоскую волну от того же самого оптического
генератора?
10.70. Плоская монохроматическая волна проходит одновременно через
призму и отверстие в непрозрачном экране, находящемся на расстоянии / (рис. 10.10).
Призма тонкая, преломляющий угол а < 1, а показатель преломления ее
вещества — п. На фотопластинке возникает некоторое распределение интенсивности
поля за счет интерференции между «опорной» плоской волной (часть волны,
прошедшая через призму и отклоненная вниз) и волной, дифрагировавшей на
отверстии (угол дифракции считать малым). Найти это распределение.
10.71. Найти распределение пропускания Т(х) сквозь голограмму, полученную
в условиях, описанных в предыдущей задаче. Считать при этом, что при создании
Оптический
генератор
Фотопластинка
Фронт
И/ дефрагированной
волны
Фронт опорной
волны
Рис. 10.9
Рис. 10.10

§10.5. Ответы и решения
399
голограммы интенсивность опорной волны была велика по сравнению с
интенсивностью волны, прошедшей сквозь отверстие. Проследить за процессом
восстановления первоначальных волновых фронтов при пропускании через эту голограмму
нормально падающей плоской монохроматической волны щ = A'0exp[i(kz - ujt)]
(длина волны та же, что и у первичной волны). В частности, проследить за
возникновением точечного изображения первоначального отверстия.
Указание. Волновое поле за голограммой можно получить простым умножением
падающей на голограмму волны щ(х) на пропускание Т(х). Для интерпретации
получившегося выражения следует обратиться к решениям задач 10.67, 10.68.
10.72. На установке, рассмотренной в задачах 10.70, 10.71, получается
голограмма двух отверстий, находящихся на расстоянии 2D друг от друга в плоскости
призмы. По этой голограмме восстанавливается изображение двух отверстий.
Найти это изображение и выяснить, в каком случае оно будет увеличенным.
Указание. Голограмму можно освещать при восстановлении изображения светом
с длиной волны Л', не совпадающей с той Л, которая применялась при получении
голограммы.
10.73. Определить разрешающую способность голограммы, которая
получена на установке типа, рассмотренного в задаче 10.70. Голограмма выполнена на
фотопластинке с размером зерен эмульсии d.
10.74. Электромагнитная волна с фиксированной линейной поляризацией
описывается в некоторый момент времени функцией E(p,z) = £(p)exp(ikz)y где £(р)
— случайная функция, зависящая от поперечных координат р = (х,у). Такое поле
возникает после пропускания плоской волны через экран в плоскости (х,у),
прозрачность которого и набег фазы меняются от точки к точке по случайному закону.
Вычислить поперечную корреляционную функцию К±(р1,р2) = {£(pi)£*(p2)}> ес~
ли известно, что она однородна и изотропна в плоскости (х, у), а распределение
гармоник Фурье случайного поля по поперечным волновым векторам задается сле-
дущим образом:
1. Равномерное распределение в области 0 ^ к ^ ко, т. е. К (к) = К0 = const
при 0 ^ к < к0у К(к) = 0 при к > к0.
2. Гауссово распределение: К (к) = К^ехр{-к2 /к%).
§10.5. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
10.1. ujt(k) = ck/п, n = у/е/2 — показатель преломления. Продольных
колебаний не существует.
с , „ Н Гё еЕ2 fiH2
Н=—кхЕ, - ' -р
LJ/JL E у \1 87Г 87Г
10.2. Электромагнитное поле с частотой и может распространяться в виде
поперечных волн с волновым числом
(полагаем 7s ^ us, uji),
где uj2 = uj2 +(A>lfs — квадрат частоты продольных колебаний, найденный в
задаче 9.28. Волновое число (постоянная распространения) становится чисто мнимой

400
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
в интервале частот us < и < щ, в котором диэлектрик непрозрачен.
Затухание связано не с диссипацией электромагнитной энергии, а с интерференционным
гашением волны колебаниями осцилляторов. Вне этого интервала диэлектрик
прозрачен, при 0 ^ и ^ uji дисперсионная зависимость вида 2ujti(k) = uj2 + с2к2 -
— y/(ojf + с2к2)2 — и2с2к2, 0 ^ к < оо. При частотах и > uj[ закон дисперсии
2(jjt2(k) = uf + c2k2 + y/(uf + с2к2)2 - ио2с2к2, 0 ^ к < оо. В частности, при
ск <С uji имеем ut2 ~ u;/ + (1 — oj2/oj2)c2k2/2y при ск ^> ui дисперсионная
зависимость ujt2 = ск такая же, как в вакууме. В области частот порядка us, u>i
проявляется сильная связь между колебаниями электромагнитного поля и атомных
осцилляторов (поляритонные волны и их квантовые возбуждения — поляритоны).
10.3. к = (и/с)y/l - (jJq€/uj2. Область непрозрачности и < о;ое, поэтому ветвь
поперечных волн в плазме начинается с частоты ujt = u>oe'- ut(k) = д/^ое + с2к2.
Фазовая скорость поперечной волны vph = c/y/l - ujI€/uj2 > с, поэтому затухание
Ландау полностью отсутствует. Тепловые поправки к закону дисперсии имеют
порядок v\el(? «С 1.
10.4. Волновой пакет описывается функцией
Ф(г,*) = 4тга01 / —^J3/2(pq)exp(ik0 • г - iu0t),
где Jz/2{x) = у/2/ъх($\п х/х - cos x) — функция Бесселя, р = |r-v^|. Амплитуда
волнового пакета заметно отлична от нуля только в пространственной (сферически
симметричной) области pq ^ 1. Пакет ограничен по всем трем измерениям.
Как видно из выражения для Ф(г,£), форма пакета со временем не меняется.
Это обусловлено линейным законом дисперсии, который строго справедлив для
электромагнитных волн только в вакууме. При учете следующих членов
разложения а; по & имеет место изменение («расплывание») формы пакета. Пакет движется
как целое с групповой скоростью vg.
10.5. Представив зависимость и (к) в виде
и = о;0 + vg(k - к0) + 0(к - fc0)2,
получим
Ф(ж, t) = a0J *^ exp { -y~ Vg}. + i(k0x - u0t) \ .
a + ipt { 4(a + ipt)
Характер зависимости этой комплексной амплитуды от х и t проще исследовать,
образовав квадрат модуля (именно он определяет интенсивность волны):
Va2 + (/ft)2 I 2(a2 + p2t2)
Из этого выражения видно, что интенсивность волны как функция х при
фиксированном t имеет вид кривой Гаусса, но ее ширина / растет со временем:
1 = М*±№),
у a
а высота убывает за счет множителя (a2 + 02t2)~1/2.

§10.5. Ответы и решения
401
Волновой пакет расплывается. Расплывание происходит симметричным
образом (в сторону t = +00 и в сторону —оо) и, разумеется, не связано с поглощением
энергии, так как к вещественно. Отсутствие диссипации видно и из того, что
интеграл J^°oo\A(x,t)\2dx = л/^&о не зависит от времени, т.е. полная энергия
сохраняется. Причиной расплывания является неодинаковость скоростей
распространения (фазовых) vph = w/k отдельных плоских волн, входящих в
суперпозицию: вследствие дисперсии отношение и/к зависит от к.
10.6. Плазма. При и > о;ое, vph = с/у/е(и), vg = су/е(ш).
Неполярный диэлектрик. При w<wo
с ( l<4«>2\ ^ с Л 3u;2u;2\
где €о = е(0). При и > и0
vv = c[1 + 2i5*)>c' VgZ
В последнем случае vph - vg « с2. Вблизи резонансной частоты (а; « а;0) понятие
групповой скорости теряет смысл.
10.7.
At = ^ X}]DM « 4,б(Л2 - A2)DM мкс.
27T77ieC3
В последнем выражении запаздывание выражено в микросекундах, Л — в см, а
мера дисперсии — в парсеках на см3 (1 пк « 3 х 1018 см). В радиоастрономии меры
дисперсии определяют по запаздыванию сигналов от пульсаров — быстро
вращающихся нейтронных звезд. Ввиду неоднородности межзвездной плазмы таким
путем определяется средняя концентрация электронов на луче зрения от пульсара
согласно формуле DM = J0 Nedl = NeL (если расстояние до пульсара определено
каким-либо другим способом).
10.9. Обе волны будут поляризованы эллиптически. Одна из главных осей
эллипса поляризации лежит в плоскости падения, другая к ней перпендикулярна.
Полуоси имеют следующую величину.
В отраженной волне:
tg(theta0 - 02) F sin(02 - 0р) F
Щ ~ tg(0o + 02) *' ^ " 8т(02 + 0о)^
В преломленной волне:
_ 2 cos 0o sin 02 „ „ _ 2 cos 0O sin 02
11 " sin(0o + 02)cos(0o02) °' X " sin(0o + 02) °'
где 0o — угол падения, 02 — угол преломления, Eq — абсолютная величина
амплитуды падающей волны.
При 0о = 7г/2 - 02 (угол Брюстера) отраженная волна поляризована линейно.

402
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
10.10. Неполяризованный (естественный) свет можно рассматривать как
некогерентную суперпозицию двух «дополнительным образом» поляризованных волн с
одинаковой интенсивностью. Воспользуемся этим и представим падающий пучок
в виде суперпозиции двух некогерентных компонент, одна из которых Е\\
поляризована в плоскости падения, а другая Е± — в перпендикулярной плоскости.
Интенсивности этих волн одинаковы:
После отражения обе компоненты по-прежнему будут некогерентными. С
помощью формул Френеля найдем
(1) sm2(00-e2) ( , , cos2(fl0 + fl2) у и\ cos2(fl0 + в2)
ik Sin2(^0 + е2) V ' " COS2(60 - в2) * V' Pl COS2(^0 - 02 ) '
ex и ell — единичные векторы, указывающие направления поляризации
поперечной и продольной компонент; эти векторы лежат в плоскости, перпендикулярной
направлению отраженного света. Степень деполяризации падающего света равна 1,
при отражении свет поляризуется.
Аналогичный расчет дается для преломленного света:
г(2) _ 4/ cos2 flp sin2 02 ( , . еЦ
sin2(0o + 02) V * k cos2(0o-02)
lik ~ ^ 2/д ■ д \ I ег еА; + ^2/Д_ _ Д.Л Ь ^2 ~ C0S '*° ~ ^ < 1'
(Si — €2)^ ^£\£l
10.11. R = ^- —, Pi = 0, рч = ттт, где е\ и е2 — диэлектриче-
2(ei+£2) (ei+^2)2
ские проницаемости первого и второго диэлектрика.
10.12. Сдвиги фаз между £аь £0 и £ць £0 можно определить с помощью
формул Френеля:
5± у sin2 #o — ™2 ^|| v sin2 #o — ™2
' tg T = cos 6>о ' tg T = п2 cos 6>o '
Поскольку 5± Ф <5ц, волна поляризована по эллипсу.
Эллиптическая поляризация перейдет в круговую при выполнении условий:
а) 6 = 6\\ -6± = -\ б) Е\\ о = Е±о-
Условие б) означает, что падающая волна должна быть поляризована в плоскости,
составляющей угол 7г/4 с плоскостью падения. Исследуем, может ли выполняться
условие а).
Из формул 1) получим:
ЛЧ 6 cos 0О \/sin2 0O — n2
2) ^о = ^^ *
z sin 0О
Отсюда следует, что при 0О = arcsinn и 0о = 7г/2, 6 обращается в нуль, а
между этими точками принимает максимальное значение. Обычным способом легко
найти, что tg5max/2 = (1 - n2)/2n. Чтобы tg5/2 был равен 1 (5 = 7г/2), должны
выполняться неравенства 1 - n2 ^ 2n, n ^ 0,414.

§10.5. Ответы и решения
403
10.13. Удобно использовать квантовую картину электромагнитного поля и
представить падающую волну как поток фотонов (см. главу 6). Давление на
границу будут создавать только отраженные фотоны. Они будут передавать в единицу
времени удвоенную проекцию своего импульса на нормаль к границе, которая и
создаст давление prad-
prad = 2NhkR(0) • ccos 0 = 2wR(0) cos2 0.
Здесь ccos0 — проекция скорости фотона на нормаль, 2hkcos0 — импульс,
передаваемый одним отраженным фотоном, R(0) — доля отраженных фотонов, N —
число фотонов в единице объема, w = Nhuj — плотность энергии в падающей
волне. Давление приложено к слою диэлектрика толщиной порядка длины волны
в диэлектрике Л = 2kc/uj^/sj1.
10.14. В обозначениях предыдущей задачи
Prad =W(1 + R(0)) COS2 в.
10.15. Находим действительную и мнимую части диэлектрической
проницаемости проводника:
1) е'И=ео-^Ц, g»= Л'67 2V
J v J 72+^2 о;(72+о;2)
Глубина проникновения 6 = 1/fc", где к" определяем по формуле 3) из примера
10.2 (6>о = 0): к" = (и>/су/2)у/\е\-е'.
1. и <С 7 < ^Ое; Ч)е/72 > £о. Имеем 5 ^ с/у/27гкоиу где ко = и^е/4тг^ —
статическая электропроводность. £ « (1 — г)л/р,и/8тгко.
2. (jJ0e < W < 7> ^1еМи < £0;
(случай полупроводника). В отличие от первого случая, здесь глубина
проникновения поля не зависит от частоты в области применимости формулы.
10.16. 1. 7 < ^ < ^ое- При этом е' = е0 - ule/uj2 < 0, \е'\ > е" =
— а;0е7/а;35 ^ ~ с/а;ое — в этой области частот столкновительная диссипация
несущественна и поле волны гасится вторичным полем электронных колебаний.
2. и » о;0е. Если при таких частотах дисперсия е0 еще не сказывается, то
6 « 2сл/ёоо;2/а;ое7- Величина £0 учитывает влияние связанных зарядов, входящих
в состав ионов и нейтральных атомов.
10.17. Поскольку вектор Е поляризован линейно, амплитуду Е0 можно выбрать
вещественной. Из уравнения divE = 0 имеем к7 • Е0 = 0, к" • Е0 = 0, т. е. Е0
перпендикулярна к плоскости (к',к"). Из уравнения для rotE следует
^«i = к' х Е0, — П2 = к" х Е0,
с с
т.е. Tii и Н,2 перпендикулярны Ео, Tii J_ k', Л2 А. к".
Конец вектора Н описывает эллипс в плоскости (к', к") (рис. 10.11).

404
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
10.18.
E±i ={-l + 2(cose0)E±0,
£j.2 = 2Ccos0oSlo,
Е\\1 = (1-2С/совв0)Е\\0,
Е\\ 2 = %СЩ\ О-
Формулы для Е\\ 1 и £7ц 2 применимы только в том случае, если угол
скольжения <р0 = 7г/2 - во > |£|.
При (р0 < 1 справедливы формулы
*I|1 = W110'
I?ii
1оС

Соотносительная величина |£| и (р0 при этом произвольна.
10.19. R± = 1 — 4£'cos#o- При всех углах падения R± близок к 1, достигая
минимума при #о — О (нормальное падение);
4С „.. .. * Л _ „, „ _(<Ро-С')2 + С"2
Д:
cos^o ПРИ ^=2^°>>4С'' Д«
(^> + С')2 + С"2
Из условия дЩ/д(р0 = 0 находим угол (р0, при котором Дц минимален:
ICI - С
при (р0 < 1.
<Ро = фо = ICI,
Дн =
ICI+C"
Угол Фо является аналогом угла Брюстера, так как значение Ду при (р0 = Ф0
минимально (при падении волны на границу диэлектрика под углом Брюстера
коэффициент Дц также минимален и равен нулю).
10.20. Характер поляризации отраженной волны определяется разностью фаз
между продольной и поперечной компонентами. Используя результаты двух
предыдущих задач, получим
Е±1 « -Е±0 = е^£±о, 6± = тг;
E\\i =
\i\-c
ICI + C
1/2
ег^цо,
tzSu = —
2Ф0С
00,
<Р„-Ф()
Ф§ - ICI2'
т. е. <5ц = 7г/2.
Таким образом, разность фаз 6 = 6± — 5\\ = 7г/2; отраженная волна в общем
случае окажется эллиптически поляризованной, причем одна из осей эллипса будет
лежать в плоскости падения.
При |U||i| = \E±i\ поляризация будет круговой. При £ц0 =0 или Е_ю = О
поляризация останется линейной.
10.21. Из (10.20) получаем условие и (к) < о;0е/\/2. Подставив заданные е и /л
в (10.19), находим закон дисперсии для поверхностной плазменной волны:
1)
2
^{к) = ^Ое + {ск)2
'1 +
и0е
А(ск)4
Наибольший интерес представляет случай ск ^> и>ое- Частота поверхностной
волны и = иое/у/2 + 0(ojQe/c2k2). Волна в этих условиях является «медленной», ее

§10.5. Ответы и решения
405
Рис. 10.11
X к Зтг 2тг 5тг Зтг 7тт 4тг 9тт 5тг11тг6тг 13тг
2 2 2 2 2 2 2
Рис. 10.12
фазовая скорость vph = u/k <с с. Энергию поверхностного плазмона в
металлах ftw = hu)Qe/\/2 (порядка 10 эВ, см. задачу 9.31) можно хорошо отличить от
энергии /kjQe объемного плазмона. При ck <С и$е имеем и (к) = ск, волна
«быстрая», vph = с. Условия (10.18) выполняются во всем диапазоне волновых чисел
О < к < оо.
10.22. Из условия е(и) < —1 получаем возможный диапазон частот для поля-
ритонной поверхностной волны: u$ < J1 < uii/2 -\-u)q. Уравнение дисперсии:
^2(fc)««(^+a;ge) + (cfc)2
l-i/l-
(ск)<
■ +
4(с/с)4
и)2(к) « л/ujI -\-u)p/2 при ск > u(k)\ u)2(k) = u)q при ск = о;0. Отсюда получаем
диапазон возможных волновых чисел: к ^ ljo/c.
10.23. Пусть волна распространяется вдоль оси Oz, постоянную
распространения обозначим через к.
Волны электрического типа.
а) Поперечные компоненты полей — четные функции координаты х. Поле
внутри диэлектрика может выражаться через тригонометрические либо
гиперболические функции:
при х > а
1) £z = Ae~sx, £х = -Ae~sx, Пу = —Ae~sx, s > 0;
при —а^х^а
%к
2) £2 = Б sin кх, £х = —Bcoskx, Ну = ^^Bcoskx, к>0
к
либо
3) £z = Bs'mhKx, £х =
при х < — а
4) £х = -Ае8Х,
гк
Ну = Bcoskx,
КС
BcoshKX, Hv
IUJS
КС
BcosYikx, к > 0;
сх — /±с ,
S
У SC

406
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
где А = Besa sin/^a; остальные компоненты £ и Л равны нулю. Параметры к и s
удовлетворяют системе уравнений
5) (ва)2 + (ка)2 = ^(еИмИ-1);
с/
6) sa = . . ка tan ка
e(u)
в случае тригонометрических функций либо системе
7) (5а)2_М2 = ^!(£И/хИ_1);
8) sa = ——— ка tanh ка,
е(и>)
если поля выражаются через гиперболические функции.
Обе системы легко проанализировать графически. В первом случае возможные
значения к и s соответствуют точкам пересечения кривых 6) с окружностью
радиуса г = [ujajc)yje\x — 1 (рис. 10.12). Тригонометрические решения имеются при
е > 0, \х > 0, е/л > 1 и при е < 0, /х < 0, £// > 1. При заданных шу а, е} \±
имеется конечное число точек пересечения, т.е. конечное число типов волн, у которых
распределение поля описывается формулами 1), 2), 4). В частности, при г < 7г
существует лишь одна волна типа is^o-
Рассмотрим зависимость постоянной распространения
от частоты ш при заданных параметрах диэлектрического слоя для данного типа
волны. Из рис. 10.12 видно, что при частотах, близких к граничной частоте, при
которой появляется данный тип волны, s близко к нулю, а к — к и/с. Волна при
этих частотах имеет такую же постоянную распространения, как и в вакууме, и
поле проникает на большие расстояния от границы слоя. С ростом ш параметр s
возрастает, а к остается ограниченным. При этом к стремится к (uj/c)^/eJ2y т. е.
к тому значению, которое соответствует волне, распространяющейся в
неограниченной диэлектрической среде с параметрами еу /х. При достаточно больших со и,
следовательно, больших s, поле сосредоточено почти целиком внутри
диэлектрического слоя.
В случае гиперболического решения нужно искать точку пересечения
гиперболы 7) с кривой 8). Поскольку произведение Katernhna неотрицательно, нужное
решение существует только при условиях е < 0, к2 + (о;/с)2(е/х — 1) > 0. Имеется
всего одна точка пересечения, удовлетворяющая этим условиям (рис. 10.13).
б) Поперечные компоненты полей — нечетные функции координаты х. Поле
внутри диэлектрика опять может выражаться через тригонометрические либо
гиперболические функции:

§10.5. Ответы и решения
407
Рис. 10.13
в,н
Рис. 10.14
при х > а
10) Sz = Ae~sx
при —а^х^а
11) Ez = Bcoskx,
либо
12) £z = Bcoshnx,
при х < -а
13)
ох — Л.6 ,
S
&х —
гк
гк
Bsiiikx,
Ех = Bsinhnx,
к
гк
У SC
s >0;
S
гше
Hv = BsiriKX,
КС
IUJS
Ну = BsinhKX,
У КС
Ну = --Ае*\
U SC
к>0
к>0:
где А = Besa cosh «а; остальные компоненты £ и Л равны нулю. Для
тригонометрического решения параметры s и к определяются из системы уравнений
14)
А2
с2
(sa)2 + (ка)2 = —2~(e(u>)fj,(u>) — 1), sa = -^-^KactgKa,
1
ФУ
в гиперболическом случае имеем систему
А2
с2
15) (sa)2 - (ка)2 = —^-(e(w)fj.(w) — 1), sa = -
е(и)
ка ctg ка.
Волны магнитного типа можно проанализировать таким же путем.
10.24. Вдоль слоя могут распространяться четные волны электрического типа
и нечетные волны магнитного типа с теми же характеристиками (постоянная
распространения, конфигурация полей в области х > 0 и др.), что и в предыдущей
задаче.

408
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
10.25.
м
(е sa) cos ка Л е cos ка
1 + т^—r—z ;— > « 1 , , s . ъ— ПРИ sa > e-
I + sin 2«а/ка J sa + (s/«) sinz/^a
Распространение волны внутри диэлектрика в условиях, когда во внешнюю
область поле почти не проникает, можно рассматривать как результат многократного
полного отражения от его границ (см. задачу 10.12).
10.26. Скорости волн вдоль каждой оси определяются главными значениями
е^ вдоль двух других осей. Так, вдоль оси 1 скорости c/y/eWfi и с/у/е^/л и т. д.
10.27. Обыкновенная волна поперечна, векторы D,E оба перпендикулярны
плоскости, проходящей через волновой вектор и оптическую ось (плоскость
главного сечения). В необыкновенной волне вектор D лежит в плоскости главного
сечения и перпендикулярен волновому вектору, а вектор Е тоже лежит в
плоскости главного сечения, но не параллелен D.
10.29.
с(Е • n)D
Скорость распространения энергии в анизотропной среде не совпадает по величине
и направлению с фазовой скоростью. Второе слагаемое в правой части
перпендикулярно фазовой скорости. Расположение векторов см. на рис. 10.14.
10.30.
(£ц -£_L)S1I10COS0 €± ^ .
cos a = . =, tgtf = —tg0.
Je\ cos2 0 + e\ sin2 0 е\\
10.31. Подставляя в уравнения Максвелла выражения полей Е и Н в виде
плоских монохроматических волн, получим уравнение, определяющее амплитуды
и волновые векторы волн, которые могут распространяться в данной среде:
2
1) kx(kxH0) = -^/j5H0.
Введем угол 0 между волновым вектором к и осью z и запишем 1) в проекциях
на оси координат.
Приравнивая нулю определитель системы, получим биквадратное уравнение
относительно к. Его решение дает:
2)
Ji Msin20+ (2Мх/М||) ± Jn2sin4e+(2na/n\\)2cos26
*1>2 = ^ е,± где М± = М,| 2[(/^//,|| - 1) sin^-Ы] '
_ /4 ~ Мд ~ M-LMH
М ~ /У2
Величины /л± можно рассматривать как эффективные магнитные проницаемости
двух нормальных волн.
В каждом направлении могут распространяться две волны с разными фазовыми
скоростями г>1 2 = ^Ai,2, зависящими от угла 0. Направлений, для которых эти

§10.5. Ответы и решения
409
Ч) Ч+^м w
Vcj0(cj0+u;m)cj.2-u;m w
Рис. 10.15
Рис. 10.16
фазовые скорости становились бы одинаковыми, не существует, так как радикал
в 2) не принимает нулевых значений ни при каких 0. В области частот,
близких к резонансным частотам тензора /л, электромагнитное поле сильно связано с
колебаниями намагниченности. В этом случае рассматриваемые волны называют
магнитными поляритонами.
Если в формуле 2) положить \ха = 0, то она будет определять фазовые
скорости волн, которые могут распространяться в негиротропном, но анизотропном
магнитном кристалле:
*? = -о-£Яь
А,*2
£М±£||
с2 /хц cos2 0 + /х_|_ sin 0
Первая из этих волн (обыкновенная) имеет скорость v\ = с/у/ЩГ[у не
зависящую от направления распространения. Скорость второй волны (необыкновенной)
зависит от угла между осью симметрии кристалла и направлением
распространения. При распространении волны вдоль оси симметрии (0 = 0) обе скорости
совпадают, две волны вырождаются в одну.
10.32. 1. При продольном распространении удобно рассмотреть циклические
компоненты полей Е± = Ех =f iEy, H± = Нх =f Шу. Из уравнений Максвелла
вычислим их волновые векторы:
1)
к±
ш
и/ /
■Ma)
-у/е[ 1 + ——
с V ^о =F w
1/2
волна с /с_|_ существует в интервалах частот 0 ^ и ^ ujq и cjq H-cjm ^ ^ < оо, волна
с fc_ — в интервале 0 ^ и < оо (рис. 10.15).
2. Обе волны поляризованы по кругу, волна с fc+ имеет правую спиральность,
волна с к- — левую спиральность. Поверхностные импедансы неодинаковы у двух

410
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
волн:
2) (±. ±j|j . {ЕШ.
3, Линейно поляризованную волну следует рассматривать как совокупность
двух циркулярно поляризованных волн с разными направлениями вращения. Пусть
при z = 0 вектор Ео ориентирован вдоль оси Ох. Тогда на глубине z будем иметь
3) Ех = (l/2)E0[eik+z + eik-% Еу = (i/2)E0[-eik+z + eik~z].
Вводя полусумму k = (fc+ + fc-)/2 и полуразность к = (fc+ — fc_)/2 волновых
векторов, находим Е^г) = E,0ez/c2cos «z, £^(z) = E0elkz sin кг. Отношение Еу/Ех =
= ta,n kz определяет тангенс 8 угла поворота плоскости поляризации: 8 = kz =
= (jfe+ - Jfc_)*/2.
10.33. Пусть волны распространяются вдоль оси Ох. Обыкновенная волна
имеет волновой вектор к\ = соу/ё/с и поляризована линейно, ее компоненты поля
Еу = CiHz 7^ 0, поверхностный импеданс ^ = 1/л/ё.
Необыкновенная волна имеет к2 = о;л/£/ле//с, где /ле/ = /x_l - /z2//i_L,
поляризована линейно, Ez = -QzHy ф 0, & = \/м1 /£• Дисперсионные кривые см. на
рис, 10.16,
Пусть на границе среды (х = 0) волна поляризована линейно, вектор Е
колеблется вдоль биссектрисы угла между осями Оу и Oz. На глубине х имеем
Е(х, t) = Е0[(еу + е2) cos кх + i(ey - ez) sin Kx]elkx~lu)t,
где fc = (fci + k2)/2, « = (fci - /c2)/2. Из приведенной формулы непосредственно
видно, что при фиксированном х конец вектора Е описывает эллипс с полуосями
v^^ocos кх, v^Eosin кх. В точках, где cos кх = sin кх, эллипс превращается в
окружность, а в точках кх = rm/2, n = 0, ±1,... поляризация линейна, но может
быть ортогональна начальной поляризации. Явление изменения поляризации при
поперечном распространении волны в гиротропной среде называется эффектом
Коттона-Мутона.
10.34.
5= -— [и>му/ё1 + £а-
UJ
2С V V Uy/€l
10.35.
;(k) = у u>o(^o + ^м sin2 О
(jj0 ^0 +0>М1
*i
где 0 — угол между направлением волнового вектора и приложенным постоянным
магнитным полем.
Е = -^к х В, В = /Ш, |Е| < |В|.
c/cz

§10.5. Ответы и решения
411
10.36.
Ах = (А? - \l)RM.
Меры вращения в межзвездной среде можно измерить, принимая сигналы на
разных частотах от пульсаров — вращающихся нейтронных звезд. Измерив для тех
же пульсаров меры дисперсии (см. задачу 10.7), можно оценить межзвездное
магнитное поле. В тех случаях, когда магнитное поле направлено под углом к лучу
зрения, а электронная концентрация неоднородна, мера вращения будет
определяться интегралом от проекции поля на направление наблюдения:
ез гь
RM= „ ," очо f NeB\\dL
Jo
2тг(тес2)2
Подробнее см. в [Физика космоса (1986)].
10.37. Из соображений симметрии следует, что волновые векторы отраженной
и прошедшей волн перпендикулярны к границе раздела. Обе эти волны будут
поляризованы по кругу в том же направлении, что и падающая волна. Амплитуды
отраженной и прошедшей волн:
Hl = оТТЯо' Я2 = оПЯо'
где Но — амплитуда падающей волны, £± = д/(м± =Ь ца)/е — поверхностный
импеданс для волн с правой и левой круговыми поляризациями. Коэффициент
отражения
я (с± -1)2
обращается в единицу при £ —► оо и при £ —► 0. Первый случай реализуется вблизи
резонанса, и « uq. Второй соответствует антирезонансу, когда /xj_ ± /ла « 0. Для
феррита с магнитной проницаемостью (10.27) антирезонанс наступает у волны с
правой круговой поляризацией при и = ujq + им-
10.38. Ищем совместное решение уравнений Максвелла и уравнения
движения вектора намагниченности (9.61), имеющее вид плоских монохроматических
волн:
1) Е = E0ei(k"r-Wt), Н = Н0 + hoei(k"r-wt), М = М0 + moei(k"r-wt).
Амплитуды полей и намагниченности удовлетворяют системе уравнений:
2)
с(к х ho) = -о;£Е0, с(к х Ео) = o;(ho + 47rmo), к • (ho + 47гт0) = О,
гилпо = -гу(М0 х h0) - гу(т0 х Н0) + щк2(М0 х т0).
Исключая Ео и ho из 2) и вводя обозначения
u = ^f, * = П' £ = n}f> n = uj0+uJM+ojexa2k2,
3)
ujq = rjHo, иеха2к2 = rjMoqk2, ujm = 4тгг}Мо,

412
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
получим
U
4) гхт0 = 2 ^Л^^2 х т°) + £2(п ' то)(ег х п)] + (1 - u)(ez x т0),
где n = к/А;, e2 — единичный вектор в направлении Hq (Mq параллелен Но).
Выберем ось Ох в плоскости (п, е2) и обозначим угол между е2 и п через 0.
Из 4) следует система линейных уравнений относительно компонент то:
х^е
ixmox + ( 1 + 2 _ 2 ) т0у = О,
/ w£2 \
( * + 2 _<r2 C0S2 ^ ) ШОх ~ ixm0y = °'
Условие разрешимости этой системы дает искомое дисперсионное уравнение
Это уравнение третьей степени относительно и2 (а;2 = 02х2, Q не зависит
от и), поэтому в рассматриваемой среде могут распространяться волны трех
разных типов, различающиеся законами дисперсии. Два из этих законов дисперсии
были исследованы в задаче 10.31 (где мы полагали иех = 0). Им
соответствуют обычные электромагнитные волны, распространяющиеся в гиротропной среде.
Для исследования третьего типа волн используем условие u2e/c2k2 <С 1,
аналогичное условию существования магнитостатических волн (см. задачу 10.35). При
этом х2 <С £2. Пренебрегая в знаменателях в уравнении 4) х2 по сравнению с £2,
получим третий закон дисперсии:
6) а;2(к) = (о;0 + ujexa2k2)((jj0 + uexa2k2 + uM sin2 О).
Из условия uj2£ <С c2k2} считая и>о, и>\ и им сравнимыми по величине, находим,
что закон дисперсии 6) справедлив только при выполнении условия £2 ^> 1.
Найдем относительную величину Eq и ho для волн с законом дисперсии 6).
Используя уравнения Максвелла 2) и условие и2е/с2к2 <С 1, получим
_ 47га; .. . . . , .
Е0 « ~р-(к х m); ho ~ 4тгп(п • ш).
Таким образом, Eq <С ho. Рассматриваемые волны представляют собой чисто
магнитные колебания вектора намагниченности, при которых электрическое поле
очень мало. Они называются спиновыми волнами и определяют многие
магнитные, тепловые и электрические свойства ферромагнетиков. В задаче 9.34 спектр
спиновых волн был получен в приближении uexa2k2 ^> ио, и>м-
10.39. Направим ось Оу в глубь металла нормально к поверхности, ось Oz —
вдоль постоянного магнитного поля. Поскольку импеданс £, если он мал, не
зависит от угла падения волны, рассмотрим случай нормального падения. Решая

§10.5. Ответы и решения
413
уравнения Максвелла и пользуясь определением поверхностного импеданса,
получим
где
2 2 2 2
_ ^1 — ^2 ,, _ M_L ~ Mg
/v — , \X — .
«1 /ij_
Зависимость (^ от частоты носит резонансный характер (см. (10.27)).
Компонента С>хх не обладает резонансными свойствами, так как щ = 1.
10.40.
С± = ±т^ =-(1-г)]1-—±, где /i± = M±±Ma> ^=^±«2,
Е"±1 и ft±i — циклические компоненты Е и h (h±i = T(hx ±ihy))/>/2.
10.41. Удобно ввести цилиндрические координаты с осью Oz вдоль оси
цилиндра и отсчитывать угол а от направления волнового вектора к падающей волны.
Из соображений симметрии следует, что векторы поля не зависят от z и имеют
только компоненты EZy Hr и На. Опуская в дальнейшем везде временной
множитель e~i<jjt, воспользуемся для определения отличных от нуля компонент поля
волновым уравнением (2.56) для Е и уравнением Максвелла (2.42). Первое из них
позволяет определить EZ1 а второе — выразить Нг и На через Ez:
1) нг = — ^, на= ldEz
ikr да ' а гк дг
Вторичное поле Е' = Ez - Eqz, вызванное наличием цилиндра, удовлетворяет
уравнению
- — ( —} —^-К к2Е'-0
г дг\ дг / г2 дг2
Если положить Е' = Я(г)Ф(а) и разделить переменные в уравнении 2), то получим
з) iC + ^ + (fc2-^)^m = o,
4) Ф£ + тЧт = 0.
Через т2 обозначен параметр разделения. Общее решение уравнения 2) запишется
в виде суммы по всем допустимым значениям т:
5) E'(r,a) = Y,*m(a)Rm(r).
т
Чтобы записать решение уравнения Бесселя 3) сразу в удобной для нас форме,
обратимся к граничному условию г —► оо. Поскольку Е( описывает вторичное поле,
создаваемое наводимыми на цилиндре токами, то при г —> оо оно будет иметь вид

414
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
расходящихся цилиндрических волн. Это означает, что Е' должно быть в этой
области функцией вида
6) E' = S0f(a)^.
Условие 6) будет удовлетворено, если в качестве решения уравнения 3) выбрать
функцию Ханкеля Hm (kr) (см. (1.47)), которая при больших г имеет вид
Н£>(кг) = jA.e^r-rn,/2-,/A) (Ат > х)
Второе линейно независимое решение будет содержать член вида (const/у/г)е~гкг,
описывающий сходящуюся цилиндрическую волну, которой в условиях нашей
задачи быть не может. Поэтому решение уравнения 3) запишем в виде Rm(r) =
= Hm(kr). Уравнение 4) имеет решение
$rn{a) = Ameima + Brne-ima.
Так как при изменении а на 27г поле не может измениться, число га должно
быть целым. Если считать, что га принимает и отрицательные значения, то в
выражении для Фт(а) достаточно оставить только один член, например elrn0i.
Окончательно E'(r,a) примет вид
00
7) E'(r,a)=£0 J2 AmH^(kr)eima;
га=-00
на больших расстояниях 7) переходит в 6), причем
/(а) = V ^к ^ ш 6ХР ПШа " Т" " 4 )
m
Коэффициенты Аш ряда 7) нужно определить из граничного условия на
поверхности цилиндра. Поскольку он считается идеально проводящим, то
8) Е' + Е0 = 0 при г = a
или
00
9) exp(i/cacosa)+ ^ AmH^ (ka)eirna = 0.
га=-00
Пользуясь ортогональностью функций егша} получим
/•2тг
/ exp[i(kacosa - ra'a)] da + 27гАт'Н!£/)(ка) = О,
Jo
— in btyj u-bt -г ^/i-ram'j/
откуда с помощью (1.52) находим
10) лш - ?#Ы>.

§ 10.5. Ответы и решения
415
Полное электрическое поле, таким образом, равно
E(r,a) =£exp(ikrcosa) - S0 53 *"У*о)H£(kr)ein
Компоненты магнитного поля определяются по формулам 1):
imJm(ka) H&\kr)
Hr = -Sosinaexp(ikrcosa) - 8о^2—П
m
На = —£о cos a ехр(г£т cos а) + 8$ 2_\
ш Н&\ка) кг
ш-13ш{ка) <Ш&\кг)
m Н£\ка)
d(kr)
Вторичное электрическое поле поперечно во всем пространстве; вторичное
магнитное поле становится поперечным на большом расстоянии от цилиндра,
при кг ^> 1 (волновая зона), когда продольная составляющая Нг исчезает
вследствие наличия лишнего множителя кг в знаменателе.
Поверхностная плотность тока определяется из граничного условия для
касательной составляющей Н:
г(а) = iz(a) = — На(а,а).
Полный ток:
J = --сабо
Ji(ka) -
Мка)н[г)(ка)
Н£\ка)
10.42. В рассматриваемом случае поле двумерно. Поэтому в общей
формуле для дифференциального сечения das = dl/j0 под dl нужно понимать
интенсивность вторичных волн внутри угла da, отнесенную к единице длины
цилиндра: dl = ^rda.
Эффективное дифференциальное сечение рассеяния будет иметь размерность
длины. Пользуясь результатами задачи 10.41, найдем
das = \f(a)\2da,
где
1)
/(<*) =
Е^
,Jm{ka)
1 / г 7Т^ехР
ттк ^ н(и
11г
г(1)
1гп
. f ГП7Г 7Г ч
При произвольных ка формула 1) весьма сложна; она существенно упрощается,
если ка <С 1. В этом случае в бесконечной сумме для f(a) достаточно учесть один
член с га = 0, что дает изотропное распределение вторичного излучения:
2)
das =
nda
А
2k\nz(ka) 4lnz(ka)
da.

416
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
Полное сечение получится интегрированием 1) по da. Воспользовавшись
ортогональностью функций егто\ получим
з) *. = $ У
т= — о<
Формула 3) при ka <^1 переходит в
Jm(ka)
H£>(ka)
ттА
о* =
21п\ка)
10.43.
Hz =
Er =
Еа =
Но
Но
Но
exp(ikrcosa)- f] im J^ H^{kr)eim
TO=-oo Hm (ka)
8inaexp(ikrcosa) + ^- У immJ^ka) H^(kr)eima
m=—oo
H£y(ka)
cos a expirees a) + V im+1 J™^ н£У (кг)е
#m (ka)
m=—oo
где а отсчитывается от направления к, а ось цилиндрической системы координат
совпадает с осью цилиндра.
7г(А:а)3 3
d<7s(a) = у J a(l -2cosa)2da, as = -тг2к3а4.
о 4
10.44. da(s = cos2(pda\\ + sin2(pda_L, da'/ = \(da\\ +da±).
10.45. При г > а
Ez=So
при г < а
exp(ifcrcosa)+ У im V^a)Jrn{Va)-J^a)J>m(k'a) g(i)(Ar)e<nu»
„f^v, H^(ka)JL(к>а)-Сн£> (ka)Jm(k'a)
m= — oo ±±m
Ez=6o{ У
К1)
.m J^(k'a)H^(ka) - J'm(k'a)H^ (ka)
W/
И1)
m=—oo
^(к'а)Н^(ка) - CJm(kfa)H^(ka)
W/
Jmik'ry
Здесь £0 — амплитуда падающей волны, £ = у//л/е, к = и/с, к( = Му/ёЦ/с,
остальные компоненты Е равны нулю.
Поле Е вычисляется по формуле
Н = — rot E.
10.46. Дипольные моменты шара запишутся в виде
р = 0eEoe-*"*, m = /3mH0e-^,

§10.5. Ответы и решения
417
где /Зе и /Зт — электрическая и магнитная поляризуемости шара, которые в общем
случае являются комплексными величинами.
По формулам раздела 5.1 найдем компоненты векторов Е и Н рассеянной
волны:
На = Ei
u2E<
в
(/?е cos в + prn) cos a,
Hq = -Еа =
UJ^Eq
(^e+^m)sin^'
Углы в и а, характеризующие направление рассеяния, указаны на рис. 10.17.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется по формуле (5.58):
das(0,a) _ uja
[|/?e|2(cos20cos2a + sin2a) +
+ |/?J2(cos2 в sin2 a + cos2 a) + (/3el3*m + /3*e/3m) cos в]
10.47.
das{0) = I
as - 3c4
\dcrs(Q, a) + das
(l/^el2 + l/J J2)(l + cos2 0) + 2(/?e/4 + /JJ/?m) cosfl] dS2,
^е|2 + 1^Г).
Рис. 10.17
Чтобы определить степень деполяризации
рассеянного излучения, нужно найти главные
направления тензора поляризации. В рассматриваемой задаче
это легко сделать из соображений симметрии. При
фиксированных кип (см. рис. 10.17) выделенными
направлениями для Ео будут направление нормали
к плоскости рассеяния и направление в плоскости
рассеяния, перпендикулярное к.
Этим направлениям поляризации соответствуют
дифференциальные сечения рассеяния das(6,7г/2) и
das(0,O)y полученные при решении предыдущей
задачи. Степень деполяризации р определяется как
отношение меньшей из этих величин к большей.
Если|/?т|<|/?е|,то
daa(0,0)
9 d<js{0^/2)
10.48. Исходим из соотношения
Pm + pecos0
(3mcos0 + {3e
1)
аа = —^ 5R / (Е х Н*) • nr2 dfi,
Eq J
где n = г/г, аа — сечение поглощения и интегрирование ведется по поверхности
сферы большого радиуса, окружающей рассеиватель. Формула 1) выражает тот
факт, что сечение поглощения пропорционально потоку энергии через поверхность
сферы, направленному к центру.

418
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
Подставляя в 1) выражение для Е из условия задачи и
н
= £о{(п0 х e)eikz + [n x F(n)]^}
и используя условие поперечности п • F(n) = 0, получим:
2) ^Ж(ЕхН*)-п= („0.„) + S!+I[(e.F) + (no-n)(e.F)-(e.n)(no-F)]^^+
+ I[(e*.F*) + (no-n)(e*.F*)-(e*.n)(n0-F*)]^^.
При интегрировании по углам первое слагаемое даст нуль, а второе — полное
сечение рассеяния о8. Интегралы от остальных слагаемых могут быть
преобразованы с помощью интегрирования по частям:
1- Лпо ■ п)(е ■ F)eife<r-*>r2 dQ = 1 / " * dtp ([(no • n)(e • F)e^r(i-cosd)^=-_
_ Ге<М1-сов^)^_^( nj(e.F)dcostf\
Jo 9costf4 J
Последний интеграл при повторном интегрировании по частям дает члены,
пропорциональные 1/г, и поэтому может быть отброшен. Кроме того, нужно
отбросить член с осциллирующим множителем е2г/сг, так как он дает нулевой вклад в
полный поток энергии. Чтобы убедиться в этом, учтем, что представление о
строго монохроматической волне является идеализацией. В действительности, всякая
реальная «монохроматическая» волна является суперпозицией гармоник, частоты
которых лежат в более или менее узком интервале Аш. При усреднении
множителя е2гкг по любому такому интервалу получим нуль, так как г очень велико.
Поэтому
\!
(п0 • п)(е • F)e^r"2V2d£l = -^[е . F(n0)b
к
Аналогично вычисляются интегралы от других слагаемых. Члены, содержащие
множители (е-п) и (е* • п), при интегрировании не дадут вклада вследствие того,
что (е-п0) = 0. Подставляя вычисленные интегралы в 1), получим окончательно
3) <rt = y9[e-F(no)].
Оптическая теорема 3) допускает простую физическую интерпретацию: полное
сечение дает меру ослабления первичной волны. Это ослабление является
результатом интерференции падающей волны с той частью рассеянной волны, которая
имеет ту же поляризацию и направление распространения, что и падающая волна.
Поэтому полное сечение оказывается связанным с амплитудой рассеяния «вперед».
10.49. Рассеянная волна создается электрическим и магнитным дипольными
моментами, которые индуцируются падающей волной. Амплитуда рассеяния F(n)
(см. предыдущую задачу) определяется по формулам раздела 5.1 (излучение
электрического и магнитного диполей).

§10.5. Ответы и решения
419
Окончательный результат:
°а = (Ре + /*т
10.50. Для идеально проводящего шара:
для диэлектрического шара:
a6w4/e-l\2,
F
Зс4
О*
10.51. Применяем дифракционную формулу (10.29). В качестве поверхности
интегрирования выберем плоскость, в которой находится экран. Тогда на
поверхности интегрирования
u = А—-—, dSn = 37rrdrcos(Ri,z) = 2к-— dr,
Hi Hi
где А = const. После подстановки этих выражений в (10.29) переходим к новой
переменной интегрирования р = R + Дх:
лоо eik(R+Ri) roo егкр
1) uP(z) = -ikAZl ^ -1Щ-г dr = -ikAz, ^ ^^ dp,
где
A)
л/а2 + z2 + ^a2 + z\.
Интегрированием по частям можно представить 1) в виде ряда по
возрастающим отрицательным степеням кр\ условие А <С а позволяет отбросить все члены
ряда, кроме первого. Это дает
up(z) = щ
z eikVa2+z2
PO
где uq = A exp(ik\/a2 + z2)/\/a2 + z\ — амплитуда падающей волны на границе
экрана.
Переходя к интенсивности I ~ \up\2y имеем
2) I(z)=I0-
(л/а^ТЩ + Va^Tz^Y
В точке, симметричной относительно экрана (z\ = z),
I(z) =
h г2
4 a2 + z2'
Таким образом, в симметричной точке за экраном, не слишком близкой к нему,
будет светлое пятно.

420
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
Этот результат, противоречащий представлению о прямолинейном ходе
световых лучей, был теоретически предсказан Пуассоном (1818), который выдвигал его
в качестве возражения против теории дифракции Френеля и волновой теории
света в целом. Однако эксперименты, выполненные Араго и Френелем, подтверждали
наличие пятна, появляющегося вследствие симметрии экрана. Волны, огибающие
его края, приходят в среднюю точку с одинаковыми фазами. Очевидно, таким
свойством обладают все точки, лежащие на средней линии: в этих точках
интенсивность света будет значительно больше, чем в соседних, не лежащих на оси Oz.
10.52. Используя принцип Бабине (см. (10.32)), получим при z = z\ > a:
т т • 2 ka<2
I = /о sin -—,
2z
где /о — интенсивность первичной волны на краю отверстия.
10.53. Пользуясь формулой (10.30) для дифракции Фраунгофера, находим
dI = ^[аМака)-ЬМЬка)}2 ^
а2 '
где а — угол дифракции, /0 — интенсивность падающего света.
В случае круглого отверстия
dI=I,jn^idn
тта2
где Iq ~ тта2\ио\2 — полная интенсивность падающего на отверстие света.
Ю.54.
da _ f4:lil2\ /sin kl\6x\ /sin kl<20yx
10.55.
dQ \ X J \ kliOx J \ kfaOy
где 9Ж « 1, Jy « 1 - углы дифракции в направлении соответствующих осей.
Телесный угол когерентности не зависит от расстояния R до источника.
10.56. ДА « 3,52 • 10"10 см; 1± ~ Af = 5,4 • 10"3 см; 2„ - -^ = 7,1 см;
ДО - 1,3 • 10"31 стерад; AV = 12±1{1 ~ 2,1 • 10"4 см3.
10.57. R = 9,46-1018 км, т. е. в 6,3-105 раз больше, чем расстояние от Земли
до Солнца. Отсюда следует, что 1± « 3,4-103 см — в 6,3-105 раз больше, чем 1± в
предыдущей задаче. Что же касается /ц « А2/ДА « 7,1 см и ДО « 1,3-10~31
стерад, то они сохраняют те же значения, что и в предыдущей задаче. Объем
когерентности AV « 8,3 • 107 см3 — в 4- 1011 раз больше, чем объем когерентности
солнечного излучения на Земле. Характерным является увеличение степени
когерентности света по мере его распространения. Это относится только к поперечной
когерентности.
10.58. /ц ~ А/ДА « 3 • 108 см. Так как от оптического генератора идет конус
лучей с углом раствора Ад ~ X/D = 10~5, то прилегающий к генератору объем
когерентности имеет вид конуса, обращенного к генератору вершиной.
f D = 5 см у генератора,
± ~ I 1\\Т> ~ ^000 см У основания конуса когерентности,

§10.5. Ответы и решения
421
AV
1 (1±\<
28 • 1014 см3.
10.59.
6 =
6 «
6 =
S =
exp(ftw/T) -
200
2тгНс
л-юо
10
-43
1 ехр(2тгПс/\кТ) -1'
при Л = 1 см, Г = 273 К,
при
Л = 5 • 10~5 см, Г = 273 К,
ехр(2,73) - 1
:0,07
при
Л = 5х Ю-5 см, Т = 10000 К.
10.60. 6 = 5 х 1018, Т = 1,4 х 1023 К.
10.61. Г(т) = ^/0°°/(u;) cosu;rdu;.
10.62. Г(г) = 2/51п(^г/2) castor.
10.63. Разность хода для света от одного из независимых излучателей,
находящегося в точке (xf,yf)} есть si - s2 ~ (xxf + yyf)/R (см. рис. 10 6), если учесть,
что поперечные размеры источника много больше, чем D = у/х2 -\-у2. Поле в
точках i*i(0,0), г2(х,у) создается всеми излучателями источника:
U(r1,t) = Y,Ui(t), U(r2,t) = Y,Ui(t)^p[-i^^k],
i i
где £/i(r,£), Ui(r,t) — амплитуды поля г-го излучателя на первом и втором
отверстиях в момент времени t. Корреляционная функция
+ EWWW^W>exp
., xx'i + yy'j
-ik
R
Второй член в Г пропадает из-за некогерентности независимых излучателей.
Первый же член представляет собой усредненную интенсивность излучения от
отдельных излучателей с учетом разности хода si — s2. Перейдя от суммирования к
интегрированию, получим
7(*,2/)
fsI(x',y')exp
-ikXX' + VV'
R
dx! dyf
fsI(x',y')dx'dy'
где интегрирование выполняется по поперечному сечению источника.
10.64. а) B(D) = |7(Д 0)| = cos(7rDa/A);
б) B(D) = (2A/7rD)Ji(7raD/A).
10.65. а) р = aR = XR/2D0 = 1,47 х 108 км;
б) d = R/a = DR/1,22\ = 6,28 х 108 км;
диаметр звезды Бетельгейзе приблизительно в 450 раз больше диаметра Солнца
и, следовательно, больше, чем диаметры орбит не только Земли, но и Марса!

422 Глава 10. Распространение электромагнитных волн
10.66. От первого источника идет плоская волна U\ = vliexp[ikir] =
= |^i|exp[i(kir + ai)], фаза a\ и амплитуда А\ которой меняются случайным
образом, причем А\ = 0, а \А\\2 имеет постоянное ненулевое значение. От второго
источника идет волна U2 = ^2exp[ik2r], обладающая аналогичными свойствами.
Обе эти волны поступают в фотоэлементы Р\ и Р2. Неусредненный сигнал от
фотоэлемента Pi был бы пропорционален
1) 1(^,1) = \Ul{rl,t) + U2{rl,t)\2 =
= \АХ\2 + \А2\2 + AYA\ехр[г(к! - к2) • г] + ;4*j42exp[-t(ki - к2) • г].
Сигнал 1) испытывает случайные флуктуации за счет флуктуации фаз А\ и А2 на
частотах, значительно меньших, чем частота волн U\, U2y пришедших от
источников. Эти флуктуации, тем не менее, не регистрируются и наблюдается усредненная
интенсивность. При включении только одного детектора усредненная
интенсивность
I(r1,t) = \A1\2 + \A2\2 = I(r2,t)
не зависит от ki — k2 (фазы Ai и А2 флуктуируют независимо, так что {А\А2) =
= (Л1>(Л5> = о).
Пусть теперь сигналы от фотоэлементов Pi и Р2 поступают сначала в
умножитель, в котором интенсивности I(ri,t) и I(r2,t) перед регистрацией
перемножаются. Наблюдаемый на выходе сигнал будет пропорционален
2) </(n,t)J(r2,*)> = «Hi|2> + <|Л2|2» + 2{\A1\2){\A2\2)coS[(k1 - к2) • (п - г2)].
Он зависит от ki —к2 и, следовательно, от углового расстояния между удаленными
источниками. Меняя расстояние ri— r2 между детекторами и наблюдая ослабления
и усиления сигнала, можно найти это угловое расстояние.
10.67. Аср = (27г/Л)(п—1)х, где координата х отсчитывается от преломляющего
ребра перпендикулярно ему.
Если любым способом осуществить на плоскости ху фазовый сдвиг Аср ос х, то
такая плоскость будет поворачивать фронт плоской волны в сторону больших х,
т. е. действовать так же, как призма.
10.68. Фазовый сдвиг на расстоянии х от оси линзы в случае собирающей
линзы есть
7ГХ2
где / — фокусное расстояние, определяемое равенством
7-<-< + £)-
В случае рассеивающей линзы
7ГХ2

§10.5. Ответы и решения
423
10.69. Распределение интенсивности света на фотопластинке имеет вид
1{х) = \Ai expl'ikx'di] + A2exp[ikx/d2]\2 = h + ly/hhcosk'dx,
где $2 = $ + $ь & = 27г/А, I\ = |vli|2, /2 = \M^> координата x отсчитывает-
ся вдоль фотопластинки, как показано на рис. 10.9. Распределение почернения
на проявленной фотопластинке определяется распределением интенсивности 1(х).
Пропускание Т(х) пропорционально [7(х)]~^/2, где 7 — коэффициент
контрастности фотоэмульсии, и является периодической функцией х с периодом А/#. Оно
может быть записано в виде Т(х) = а + bcoskdx (а и b — постоянные), если
оставить только две низшие гармоники. Проявленную фотопластинку можно
рассматривать как дифракционную решетку, которая разбивает падающую плоскую
волну на плоские пучки, направления 0 распространения которых определяются
соотношением (А#) sin# = пА, п = 0, ±1, ±2,.... Главными являются центральный
пучок нулевого порядка и два пучка первого порядка в направлениях 0 = ±#.
Заметим, что эти три основных пучка можно получить, умножив падающую
волну Aoex.p[ikz] на пропускание Т(х). При этом получим волновое поле за
фотопластинкой вида
A0aexp[ikx] + A0-exp[ik(z + fix)] + А0- exp[ik(z - $х)],
где первый член описывает неотклоненный центральный пучок, второй — пучок
первого порядка, отклоненный на -И?, третий — пучок первого порядка,
отклоненный на —#.
10.70. Опорное поле на пластинке имеет вид
тт л г -о 1 о 27Г(П- 1)а
иг = А0 ехр[-гДх], (3 =
Мы не пишем здесь и далее общего множителя exp[i(kz — ut)]. Поле,
дифрагировавшее на отверстии,
[7ГХ "I
?:7а~г
Суммарное поле U(x) = U\ + [/"2» а интенсивность
2
/(ж) = |u(x)|2 = Al + Л2(х) + 2Л0Л(ж) cos(/te + ^-).
Распределение интенсивности содержит информацию о фазе дифрагировавшей
волны только благодаря наличию опорного пучка.
10.71. Пропускание Т(х) проявленной фотоэмульсии
Т(х) ос [/(х)]-^ = V{l + ^ + 2^ coe(/te + ^) J"72 «
« V"2{^ - \А2{х) - lAuA{x) cos(/te + y£) },

424
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
если использовать условие Aq > A(x). Последнее соотношение можно переписать
в виде
Т(х) oc2A%-jA2(x)-jA0A(x)exp[i(px + ^^ -iAoA(x)exp[-i(j3x+ ^-)] •
Это соотношение называется формулой голограммы Габора.
При освещении голограммы плоской монохроматической световой волной
Aoexp[i(kz-ujt)] за голограммой возникает волновое поле, представляющее собой
результат дифракции на голограмме. Это поле можно получить (ср. решение
задачи 10.69) просто путем умножения первичного волнового поля A'0exp[i(kz — ut)]
на пропускание Т(ж), выражаемое формулой Габора 1). При этом получится поле
вида
2) U ~ (2Al-jA2(x))exp[i(kz-ujt)}-jAoA(x)exp[i(kz-ujt)]-exp\i((3.
kx2\
"Та/
jfex2-
- jAoA(x)exp[i(kz - wt)] • exp -if/За; + —pr) •
Первый член в 2) соответствует неравномерному дифракционному (из-за А2(х))
ослаблению падающей волны. Угол дифракции мал, так как А(х) — плавно
меняющаяся функция по сравнению с участвующими экспонентами. Второй член
действует как комбинация призмы, отклоняющей пучок вверх, и рассеивающей
линзы с фокусным расстоянием / (см. задачи 10.67, 10.68). Третий член
действует как комбинация призмы, отклоняющей пучок вниз, и собирающей линзы. В
итоге при пропускании плоской монохроматической волны через голограмму
восстанавливаются первоначальные волновые фронты (рис. 10.18): плоская волна и
сферический фронт от отверстия. Последний воссоздается два раза: в виде волны
от действительного и от мнимого изображений.
10.72.
47Г
W
jA0Alexp\'
exp[ik'z]T(x) ос
+
2Ло - 2jA2(l + cos t^-Dx)] exp[ik'z] -
(x - D)2] +
exp [i A(x + D)2] \ exp[i((3x + k'z)\ -
A/
7^ovl<exp
-г —(ж
A/v
+
+ exp[-i-^-(:r + D)2] \exp[-i(/3x - k'z)}.
A/
Второй и третий члены, как и в задаче 10.71, описывают поле, отклоненное вверх
и вниз и сфокусированное в две пары точек. Однако фокусные расстояния
соответствующих рассеивающей и собирающей линз другие, а именно
/' = -/■

§ 10.5. Ответы и решения
425
Неотклоненный
(ослабленный)
пучок
Мнимое
изображение
Действительное
изображение
Рис. 10.18
Линейное увеличение выражается формулой
2Д
2D
1
- +
V
p + q
V
1 1
q~f~~
У я
А/
Л'
= А/'
где
р — расстояние от источника волн Л' до голограммы, ад — расстояние
изображения от голограммы (рис. 10.19). Чтобы достичь увеличения, надо использовать
при восстановлении длину волны Л' > Л, а источник помещать на конечном
расстоянии р от голограммы.
10.73. Распределение интенсивности на голограмме может быть передано без
существенных искажений, если пространственный период дифракционной картины
больше, чем d,
\P+(nx/f\)\>d
(см. решение задачи 10.70). Этим условием ограничивается максимальный размер
голограммы в направлении х: 2xmax « 2Xf/d. Этот размер играет роль диаметра
линзы в теории разрешающей способности Рэлея (см. задачу 10.70). Применяя
критерий Рэлея для минимального размера s предмета, который может быть раз-

426
Глава 10. Распространение электромагнитных волн
Неотклоненный
пучок
Действительное
изображение
РИС. 10.19
решен, мы получим
2д
А/
2хп
d
2'
Здесь д — половина угла раствора конуса лучей, идущего от голограммы к
изображению.
10.74. Из однородности и изотропии поля в плоскости (х, у) следует, что
1) Kl(Pi>P2) = Kl(IPi -Р2|) = Kl(IpI), P = Pi -P2-
Координатная корреляционная функция выражается через интеграл Фурье от
спектральной функции:
d2K
2)
К±(р) = / К {к) ехр(гк • р)
(27Г)2
При изотропии волновых векторов и отсутствии выделенного направления К±
зависит только от модуля \р\ = р. Равномерное распределение:
3)
Гауссово распределение:
4)
К±(р) =
27Г КоР
К±(Р) = ^-ехР{-(к0р)2/2}.

Глава И
ИЗЛУЧЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ В СРЕДАХ
§11.1. ГЕНЕРАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗАДАННЫМ ТОКОМ
В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Введение. Задачи об излучении электромагнитной энергии заданным
электрическим током в средах с дисперсией значительно сложнее, чем аналогичные
задачи для вакуума, которые рассматривались в главах 5, 6. В вакууме в отсутствие
каких-либо макроскопических тел поперечные электромагнитные волны
(собственные колебания поля) генерируются только при ускоренном движении заряженных
частиц. При наличии вещества собственные колебания среды в виде поперечных,
продольных или иных, более сложных волн, могут генерироваться и частицами,
движущимися без ускорения.
Сложность проблемы излучения вызвана также наличием в общем случае в
среде с дисперсией большого числа собственных мод, уравнения дисперсии
которых и геометрия векторов поляризации могут сильно различаться. Эти
особенности присущи в наибольшей степени анизотропным и гиротропным средам. Но и в
изотропных средах число собственных мод возрастает по сравнению с вакуумом
(возможны продольные колебания и различные типы поляритонных колебаний,
см. разделы 10.1, 10.2). Поэтому анализ собственных мод среды, включая их
поляризацию, представляет собой необходимую составную часть общей проблемы
излучения. Ниже мы приведем общее решение задачи о генерации собственных
мод заданным током в произвольных прозрачных средах с дисперсией, пользуясь
статьей Топтыгина и Флейшмана (2008).
В принципе в диспергирующей среде всегда имеется поглощение,
пропорциональное антиэрмитовой части комплексного диэлектрического тензора (см. раздел
9.2). Этот факт следует из соотношений (9.36) Крамерса-Кронига. Но в
определенных частотных диапазонах поглощение может быть весьма малым. Мы
будем рассматривать такие «окна прозрачности» и исследовать поле излучения на
расстояниях от источника колебаний, которые меньше длины поглощения волн в
данной среде, но больше зоны формирования излучения.
Вычисление энергии поля, генерированного заданным током. Исходим из
баланса энергии в диспергирующей прозрачной среде:
+ V.7 = -J-E, (11.1)

428
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
где w, 7 ~~ плотности энергии и потока энергии электромагнитного поля (см.
раздел 9.2). Правую часть равенства (11.1) можно рассматривать как источник
энергии поля, создаваемого заданным током j(r,£), если поле Е генерируется этим же
током. Проинтегрировав обе части равенства (11.1) по всему пространству и по
времени, найдем приращение W энергии поля за все время существования стороннего
тока:
/ОО /» су /'ОО /»
dtj i(r,t)-E(r,t)d3r=-—ЖК / dw I j*(uj,k)-E(uj,k)d3k.
(11.2)
Здесь мы перешли к представлению Фурье и использовали свойства компонент
Фурье произвольной действительной функции /*(<j,k) = f(—uj,—k) Равенство
(11.2) можно переписать в форме
W = fw^dudSl, (11.3)
где dtt — телесный угол вектора к,
W^ = -TT\iStl J*(",k)-E(o;,k)*2d* (11.4)
— энергия, излучаемая сторонним током в направлении к = k/k на частоте и.
Множитель 2 и знак выделения вещественной части в (11.4) появились из-за того,
что в последнем равенстве (11.2) проводится интегрирование только по
положительным частотам.
Вычислим теперь электрическое поле, создаваемое сторонним током j в
анизотропной среде. Рассмотрим однородную среду, электромагнитные свойства которой
при действительных значениях k, uj характеризуются эрмитовым тензором
диэлектрической проницаемости еар(ш,к) = e*pa(uj,k) и магнитной проницаемостью
li=l. Электрические векторы связаны соотношением
Da(u,k) = еа(з(ш,к)Ер(и,к). (11.5)
Из уравнений Максвелла следует, что вектор Е макроскопического электрического
поля удовлетворяет в представлении Фурье уравнению
Ta0(w,k)E0(w,k) = -i—ja(o>,k), (11.6)
UJ
где тензор
Та0(и,к) = еа0(и,к) - ^ (ба0 - ^) . (11.7)
мы будем для краткости называть максвелловским.
Запишем решение системы (11.6) через обратный тензор Т-1, удовлетворяющий
условию Т^Т"1)^ = 8Ш/.
Е0 = -i—(T-l)0vjv. (11.8)
UJ

§11.1. Излучение в однородных средах
429
Как известно из линейной алгебры, при Д ф О
(Г-V = %£. (11.9)
Здесь Д = |Та/з| — определитель тензора Тару A$v — его алгебраические
дополнения. С помощью (11.8)—(11.9) записываем электрическое поле в виде
47Г
Еа = -i—r-jyAva. (11.10)
и А
Этот вектор в анизотропной и гиротропной среде в общем случае не поперечен
относительно к. Поперечное направление имеют векторы индукций D и В.
Потерю энергии на генерацию собственных колебаний среды согласно (11.4)
можно представить интегралом
W"*> ~ 2.3
1 ш. Г э»ь»«з« edk (1111)
7Г3 70 ыД(ы,к)
Поскольку при интегрировании по вещественным значениям k, uj на пути
интегрирования имеются точки, в которых Д = 0, то необходимо ввести правила
обхода этих точек в комплексной плоскости таким образом, чтобы генерированные
сторонним током возмущения асимптотически (на больших расстояниях)
представляли собой расходящиеся волны. Аналогичное правило обхода вводится и в
случае вакуума. В среде для получения нужного результата достаточно учесть
малое затухание.
Дисперсионные соотношения для собственных мод. Дисперсионные
зависимости и векторы поляризации е/з(о;,к) собственных мод должны вычисляться из
системы однородных уравнений
Та(3(и,к)е(з(и,к) = 0, а = 1,2,3. (11.12)
Условием наличия нетривиального решения этой системы является равенство нулю
ее определителя
Д(о;,к) = |Та/9(а;,к)|=0. (11.13)
Эрмитов тензор £ар = sfa^ + ге'^р имеет симметричную, sfa^ = е^а,
действительную часть и антисимметричную, е"^ = —£"$а, мнимую часть. Последнюю можно
записать через псевдовектор гирации да:
£ар = e'a/з + «еа/з7р7. (11.14)
Примем во внимание инвариантность определителя тензора относительно
пространственных поворотов и выберем координатные оси вдоль взаимно
перпендикулярных главных осей симметричного тензора ега(3, обозначив его главные значения
через £-1, £-2, £"з- В указанных осях тензор Тар принимает вид
_ £i - п2(1 - к\) igs + ri2KiK<2 -ig2 + n2KiKs
T=[ -гдз + п2к>1К>2 £2-п2(1-к?2) igi-\-ri2K2K3 J, (11.15)
ig2 + n2KiKZ -igi + п2к2к3 es - n2(l - к\)

430
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
где к = к/А: — единичный вектор в направлении распространения волны, п =
= ck/uj — ее коэффициент преломления.
Приравняв нулю определитель Д, найдем значения показателей преломления
собственных мод рассматриваемой среды. Раскрывая определитель, убеждаемся,
что слагаемые, пропорциональные п6, взаимно сокращаются, и уравнение
относительно п2 приобретает вид
an4 - [ei(e2 + £з)«? + Ы£г + £з)«2 + £s(£i + £2)«§ + (« * g)2 ~ g2]™2+ (П 16)
+ ei^2^3 - ^iPi - е2д% ~ £з9з = °>
a(uj, к) = ei^f + £2^2 + ^з^з-
Это уравнение представляет собой обобщение уравнения Френеля (10.23) на
случай гиротропной среды. Величина а(и,к) = еа/зкакр представляет собой
продольную относительно вектора к диэлектрическую проницаемость.
Полученные результаты позволяют записать определитель максвелловского
тензора в виде произведения трех сомножителей
Д = а(га2-га?)(га2-п£), (11.17)
причем обращение в нуль каждого из сомножителей приводит к правильной
дисперсионной зависимости одной из возможных собственных мод.
Удобство записи определителя в форме (11.17) проявляется в том случае, когда
пространственная дисперсия отсутствует, т. е. величины £Ь £2, £3, 9 зависят
только от и, но не от к. Тогда соотношения п? = п\ 2 оказываются решениями
уравнения дисперсии в общем случае, так что в каждом направлении (при заданном к) в
рассматриваемой среде могут распространяться две волны с разными, вообще
говоря, фазовыми скоростями v1)2 = сДн,2, где п^Ол к) — положительные решения
биквадратного уравнения (11.16), зависящие только от частоты и направления
распространения соответствующей волны. Корни п2 в некоторых диапазонах частот
могут быть отрицательными. При эрмитовом тензоре диэлектрической
проницаемости это означает затухание без диссипации, т. е. отсутствие соответствующей
моды. Соотношение а = 0 соответствует в этом случае колебательным модам
среды, свойства которых не зависят от величины волнового вектора, причем вектор
электрического поля в этих модах направлен вдоль вектора к, т. е. эти колебания
являются продольными.
При наличии пространственной дисперсии соотношения а = 0 и п2 = п\2
представляют собой уравнения, из которых нужно определить показатели преломления,
а не решения уравнения дисперсии, поскольку а и щ^ сами являются
функциями п. Поэтому в принципе число собственных мод, являющихся решениями этих
уравнений, ничем не ограничено. Для нахождения коэффициентов преломления в
этом случае необходимо задаться явной зависимостью диэлектрического тензора
от а; и к.
Спектральная плотность излучения. Ниже будем рассматривать более
простой случай, когда величины П1)2(и;,к) известны и представляют собой
коэффициенты преломления. Общее рассмотрение можно найти в статье [Топтыгин и

§11.1. Излучение в однородных средах
431
Флейшман (2008)]. Воспользуемся формулой (11.11) для излучаемой в данном
направлении спектральной плотности энергии. Использовав (11.17), запишем
знаменатель под интегралом (11.11) в виде
и
и A ac2(nf - п\) [к2 — u2ri\/c2 к2 - и2п%/с2
В итоге запись потерь на излучение (11.11) принимает форму
w^ = ^m[
ac2(n2 — n|) [к2 — и2п2/с2 к2 — uj2n22/c2
k2dk.
(11.18)
(11.19)
При интегрировании учтем малое затухание собственных мод, приводящее к
наличию малых положительных мнимых частей коэффициентов преломления: Эп^ > 0
при uj > 0. Эти условия и дают правила интегрирования в окрестностях особых
точек, так как
&
к2 — и>2п%/с2
3nJ^+0
-^(k-una/c).
(11.20)
Следует также учесть, что тензор А^ эрмитов, ДМ7У = Д*д. Поэтому свертка
J^iivJt действительна при действительных а;, к. После интегрирования (11.19) с
помощью (11.20) получим
W«>" = ~4n2aJ(n2 - п2) MiaAa/3ig)i - n2(jaAa(3fp)2].
(11.21)
Представим теперь алгебраические дополнения, входящие в (11.21), через
векторы поляризации собственных мод среды. Убедимся в том, что вектор
поляризации можно записать в виде
з(*> = A'A
«
(11.22)
где г — номер корня, Аг — постоянная нормировки, индекс \± имеет произвольное
значение. При подстановке значения п = щ и решения (11.22) в систему (11.12) она
превращается в систему тождеств, причем два равенства (с /х ф а) выполняются
независимо от значения п, а третье (с ^ = а) при п = щ — в силу обращения в
нуль определителя. Аналогичным образом, пользуясь эрмитовостью тензора Тару
убеждаемся, что первый индекс алгебраического дополнения нумерует компоненты
комплексно сопряженного вектора поляризации е*. Это позволяет выразить
алгебраические дополнения при п = щ через нормированные векторы поляризации:
д(г) _ Мг)Р*р
(11.23)
где е*ем = 1, С^ = А^ — действительная постоянная нормировки, которая
может иметь разные знаки. Подчеркнем, что алгебраические дополнения сводятся к
векторам поляризации только при выполнении соответствующего дисперсионного
соотношения; в произвольном случае соотношение (11.23) не имеет места.

432
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
С учетом последних соотношений спектральная плотность излучения
запишется через векторы поляризации:
Эта формула описывает преобразование энергии стороннего тока в энергию
электромагнитного излучения. Заметим, что в случае изотропной среды, когда п\ = пг,
в формулах (11.21), (11.24) возникает неопределенность 0/0; для ее устранения
необходимо выделить из числителя и знаменателя множитель, обращающийся в
нуль (см. пример 11.1).
Пример 11.1. Излучение Вавилова-Черенкова. Частица с зарядом е
движется в изотропном прозрачном диэлектрике по прямолинейной траектории
со скоростью v = const (рассеянием частицы пренебрегаем). Проницаемости
диэлектрика — е(и), /л = 1. Найти условие, при котором частица будет
излучать поперечные электромагнитные волны. Найти также спектр и угловое
распределение излучения.
Решение. Полагаем в (11.15) £\ = е2 = £з = £, 9 = 0 и вычисляем определитель
и алгебраические дополнения максвелловского тензора:
1) А = е(е - п2)2, Аа/5 = (е - n2)(eSaf3 - п2какр).
При подстановке этих величин в формулу (11.10) общий множитель из
числителя и знаменателя сокращается, и мы получаем фурье-образ электрического поля,
созданного сторонним током в изотропном диэлектрике:
4тг . . о/ .ч 1 . 47га;
2) Е = -г— 2\[ei-n2(K-i)K] = -i 2 272
(jjs(s - пг) еиг - сгкг
С учетом 2) формула (11.4) дает
з) wK,„ = -=-з»(
и т, ., f°° k2dk
Jo
2п3ес2 v ''Jo k2-uj'2s/c2
£J-
2u2
c2(k-j)k
c2k
^l-T3-lJii
где j|| — проекция фурье-образа тока на волновой вектор.
Чтобы проинтегрировать по dkt учитываем бесконечно малую положительную
мнимую часть е в сингулярном знаменателе и пользуемся формулами из теории
дельта-функции (раздел 1.3):
4) Я-
-> п6(к2 - и2е/с2) = ^-6(к - шу/е/с).
к2 - и)2г/с2 - щ
Использование этого соотношения позволяет получить
5) И^ = ^|Ы",«)12-
Заряженная точечная частица создает плотность тока j(r,t) = ev6(r - vt), а его
фурье-образ содержит дельта-функцию: j(k,u>) = 2тгеу6(и; - k- v). Это приводит
при подстановке в формулу 3) к квадратичной сингулярности:
6) WKJU = ^У"2(1 _ cos2в)Р(и, -k-v),

§11.1. Излучение в однородных средах
433
где 0 — угол между скоростью частицы и направлением излучения. Бесконечность
вызвана тем, что наша исходная формула (11.4) дает спектральную плотность за
все (бесконечное) время движения частицы и существования ее тока. Физический
же смысл имеет излучение частицы за единицу времени (или на единице пути).
Чтобы получить нужную величину, преобразуем квадрат дельта-функции,
представив один из сомножителей через интеграл Фурье:
7) ^2(a;-k^)=^(a;-k^)^-lim|T^00 / e^^^dt = ^-S(u-k-v)2T\T^oo-
Z7T J-T 27Г
Здесь 2Т — бесконечное время движения частицы. Поделив обе части 6) на это
время, найдем спектрально-угловое распределение излучения Вавилова-Черенко-
ва за единицу времени:
8) wK„= ^ = '^fV-cos^^-k-tt) = ^(l-cos2e)6(cos6-vph/v),
где vph = с/п(ио) — фазовая скорость излучаемой волны, п(ш) = у/е{ш) — ее
показатель преломления. Из полученного выражения ясно видно, что излучение
на заданной частоте возможно лишь при условии, что скорость частицы превышает
фазовую скорость волны. Излучение направлено под вполне определенным углом:
cos0=^ = —V, v>—^=, е(и)>0. (11.25)
v n(uj)v Vе (u)
Проинтегрировав 8) по всему телесному углу, получим спектральную плотность
излучения:
^ = ^(i-t£V). 01-26)
Полное излучение на всех частотах в единицу времени:
w
?/ fl~ 2/C, 2)u>d«>. ■ (1L27)
2 Jnv>c\ n2(u)v2)
Интегрирование производится по области частот, в которой выполняются
условия излучения (11.25). Это излучение было обнаружено в экспериментах С. И.
Вавилова и П. А. Черенкова в 30-х годах XX века. Теоретическое объяснение
эффекта дали И. Е. Тамм и И. М. Франк (1937). В 1958 г. П. А. Черенкову, И. Е. Тамму
и И. М. Франку была присуждена Нобелевская премия по физике «за открытие,
объяснение и использование эффекта, носящего имя Черенкова». История
экспериментальных и теоретических исследований этого эффекта подробно описана
участником открытия И. М. Франком в его монографии (1988).
Рассмотренные в предыдущем примере волны поперечны. Волны в
анизотропных средах, излучение которых описывается формулами (11.21), (11.24), можно
назвать квазипоперечными, так как они, выходя из среды, превращаются в чисто
поперечные вакуумные моды и имеют отличный от нуля магнитный вектор, В ф 0.

434
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
В средах могут существовать также моды с В = 0 и чисто продольным
(относительно направления распространения) электрическим полем. Они удовлетворяют
в представлении Фурье уравнениям
47Г
к х Е = 0, ka£apEp = -г—kaja(u, к). (11.28)
и
Ищем поле в виде Е = Е\\к и из приведенных уравнений находим
^11 = ~* 1—Г\ > где £Kw>k) = л(о;,к) = KaKpeai3(Wik). (11.29)
UJ£i{UJ,K)
Вычисление спектральной плотности генерированных продольных волн с помощью
формулы (11.4) с учетом бесконечно малой мнимой части продольной
диэлектрической проницаемости е\ приводит к результату
<"=(^/0 dk\k-j(ojM2S(ei(oJ,k)). (11.30)
Здесь, в отличие от формулы (11.24), для корректного расчета пространственная
дисперсия должна быть учтена. В ее отсутствие генерированные током колебания
не могут распространяться в виде волн и переносить энергию в пространстве. В
пренебрежении пространственной дисперсией такие колебания могут существовать
только при определенных дискретных частотах. В качестве простейшего примера
рассмотрим генерацию ленгмюровских колебаний в изотропной плазме.
Пример 11.2. Генерация плазмонов. Частица с зарядом е движется в
изотропной бесстолкновительной плазме по прямолинейной траектории со
скоростью v = const. Найти энергию, которую затрачивает частица на генерацию
плазменных колебаний в расчете на единицу пути.
Решение. Используем простейшее выражение для продольной диэлектрической
проницаемости (без учета пространственной дисперсии), полученное в примере 9.4
и задаче 9.9: ei(u) = 1 —и%е/и:2. Используем также фурье-образ тока частицы из
примера 11.1. После деления на путь 2vTy пройденный частицей, и интегрирования
по телесному углу получим выражение для спектральной плотности генерации
ленгмюровских волн на единице пути частицы:
14 l e'2uJ0er, ч Г dk
1) V>l=-J*S(«>-<O0e) у.
Интеграл по dk расходится на верхнем пределе. Это вызвано пренебрежением
пространственной дисперсией (зависимостью диэлектрической проницаемости от
волнового вектора к). Для получения приближенного результата следует заменить
верхний предел интегрирования таким значением fcm, который соответствует
обратному дебаевскому радиусу кт « (^ое/^те- Это соответствует расстояниям, на
которых сказывается ячеистая структура квазинейтральной плазмы. В результате
получим
^=^5(W-U,0e)ln(^y (11.31)
^0е

§11.1. Излучение в однородных средах
435
В рассмотренном приближении колебания происходят на единственной частоте
о>ое. Дискретные квантовые порции ftwoe энергии колебаний называются плазмо-
нами.
Рекомендуемая литература: [Тамм и Франк (1937), Франк (1988), Гинзбург
(1987), Гинзбург (2002)], [Базылев и Жеваго (1987), Батыгин и Топтыгин (2003),
Топтыгин (2005), Топтыгин и Флейшман (2008)], [Флейшман(2008),Тер-Микаелян
(1969), Тер-Микаелян (2003), Амусья и др. (1987), Король и др. (2004)].
Задачи
11.1* Частица с зарядом е движется со скоростью v = const в однородной
и изотропной среде. Диэлектрическая проницаемость среды — е(ио), магнитная
проницаемость /х = 1. Определить составляющие электромагнитного поля,
создаваемого движущейся частицей.
11.2* Частица движется в непоглощающем диэлектрике с постоянной
скоростью v = 0с. Используя результаты предыдущей задачи, исследовать создаваемое
частицей поле на больших расстояниях от ее траектории. Показать, что
достаточно быстрая частица будет излучать поперечные электромагнитные волны (эффект
Вавилова-Черенкова). Найти условия возникновения этого излучения и полную
величину черенковских потерь w на единице пути.
11.3. Частица с зарядом е движется с постоянной скоростью через вещество,
диэлектрическую проницаемость которого можно приближенно описать формулой
(jJq — UJ
Определить энергию излучения w Вавилова-Черенкова на единице пути, если
скорость частицы удовлетворяет условию v2eo > с2, где е0 — статическое значение
диэлектрической проницаемости. В каком интервале углов сконцентрировано
излучение? Сделать численную оценку, положив ц=бх 1015с-1, £0 = 2, v = с.
11.4. Получить условие cos# = l//?n, определяющее направление излучения
Вавилова-Черенкова, из рассмотрения интерференции отдельных волн,
испускаемых частицей в разных точках ее траектории.
11.5. Черенковское излучение частицы можно рассматривать как следствие
резонанса между собственными колебаниями среды и вынуждающей силой,
связанной с движущейся частицей. Получить условие возникновения эффекта Вавилова-
Черенкова из сравнения частот собственных колебаний среды и вынуждающей
силы.
11.6. Релятивистская частица, имеющая скорость v, проходит через
диэлектрическую пластинку толщиной I перпендикулярно ее плоскости. Показатель
преломления пластинки — п, дисперсию не учитывать. Найти длительность т
вспышки черенковского излучения, которую зарегистрирует неподвижный относительно
пластинки наблюдатель. Определить поток энергии I черенковского излучения
через поверхность пластинки во время вспышки. Краевым эффектом пренебречь.

436
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
11.7. Показать, что минимальная скорость движения частицы vm-m, при которой
возникает излучение Вавилова-Черенкова в данном направлении, удовлетворяет
условию
vm-mcosO = vg(ujm),
где vg — групповая скорость электромагнитных волн в диэлектрике, иш — частота,
при которой показатель преломления имеет максимум, 0 — угол между
направлениями излучения и скорости частицы. Диэлектрик считается непоглощающим.
11.8* Частица движется с постоянной скоростью v = (5с в недиспергирую-
щей среде с проницаемостями е, \±. Найти электромагнитные потенциалы ср и А.
Рассмотреть два случая, v < vph и v > vph, где vph — фазовая скорость
электромагнитных волн в рассматриваемой среде.
11.9. Прямолинейный провод, параллельный оси Ох, перемещается вдоль
оси Оу со скоростью v = const в непоглощающей среде с проницаемостями е(ш),
/i(u>). В лабораторной системе отсчета провод электронейтрален, по нему течет
ток J в направлении оси Ох1. Найти условие, при котором возникает излучение
Вавилова-Черенкова. Определить полную энергию излучения w с единицы
длины провода на единице пути. Подсчитать тормозящую силу f, действующую на
единицу длины провода со стороны созданного им поля.
Указание. Векторный потенциал имеет одну компоненту Ax(y,z,t). При
выполнении обратного преобразования Фурье использовать правило обхода полюсов,
сформулированное в предыдущей задаче.
11.10. Два точечных заряда е\ и в2 движутся с одинаковыми постоянными
скоростями v вдоль одной прямой на расстоянии / друг от друга в среде с
проницаемостями е{и), ц = I (I измерено в лабораторной системе отсчета). Найти
энергию излучения Вавилова-Черенкова w на единице пути. Рассмотреть два
случая: а) е\ = в2 = е; б) е\ = —в2 = е. Путем предельного перехода получить
черенковские потери энергии точечного электрического диполя, ориентированного
вдоль направления движения.
11.11.* Два точечных заряда +е и — е движутся с одинаковыми постоянными
скоростями v на расстоянии / друг от друга в среде с проницаемостями s{uj),
/jL = 1. Линия, соединяющая заряды, составляет угол а с направлением скорости
(/ и а измерены в лабораторной системе). Методом, использованным в предыдущей
задаче, найти энергию излучения Вавилова-Черенкова w на единице пути, считая /
малым по сравнению с длиной волны.
11.12* Магнитный диполь2 движется с постоянной скоростью v = 0с в
непоглощающей среде, проницаемости которой е(ш) и jj,(uj). Магнитный момент,
измеренный в лабораторной системе, имеет величину m и ориентирован вдоль
скорости. Определить потери энергии на излучение Вавилова-Черенкова w на единице
пути.
Указание. С помощью преобразования Фурье проинтегрировать уравнения для
потенциалов. Движущийся магнитный момент создает ток j(r, £)=crotm<5(r-v£).
1 Быстро перемещающиеся токонесущие пучки частиц могут существовать в ускорителях и при
некоторых видах разряда.
2 Нейтральная система (сгусток) частиц, имеющая магнитный момент, излучает как магнитный
диполь, если длина волны в среде много больше размеров сгустка.

§11.2. Излучение в неоднородных средах
437
11.13.* Быстрая частица с зарядом е движется через непоглощающий
диэлектрик с проницаемостью
е(ш) = 1 +
UJZ
■ и
2'
где Up = AKe2N/m, m — масса электрона. Вычислить потери энергии {-dS/dl)
в расчете на единицу пути на расстояниях от траектории частицы,
превышающих межатомные расстояния а (параметр а должен быть выбран так, чтобы в
области г > а было справедливо макроскопическое рассмотрение). Выяснить
физический смысл отдельных членов в выражении потерь энергии.
11.14.* Заряженная частица движется со скоростью v = (Зс через плазму,
диэлектрическая проницаемость которой
Ф)
и:
,2'
где up = y/47re27V/ra — электронная плазменная частота. Найти потери энергии
{-dS/dl) на единице пути за счет «далеких» столкновений. Под далекими нужно
понимать столкновения с параметром удара г > а, где а — расстояние, на
котором становится справедливым макроскопическое рассмотрение, не учитывающее
пространственной дисперсии.
§11.2. ИЗЛУЧЕНИЕ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Пример 11.3. Переходное излучение Плоскость (я, у) разделяет две
немагнитные среды с диэлектрическими проницаемостями £\ и е<2 (рис. 11.1).
Частица с зарядом е и скоростью v = const движется в положительном направлении
оси Oz. Вычислить гармоники Фурье электромагнитного поля, создаваемого
частицей.
Решение. Разлагаем уравнения Максвелла
1)
Vx£ = —, Vx6= --^т- н vS(r-vt)
с dt'
с dt
Рис. 11.1
2)
в интеграл Фурье по переменным х, у, t, обозначив
волновой вектор в плоскости (х,у) через к. После
исключения вектора В и проецирования
полученного уравнения на направления е2ик получим два
уравнения для поперечных и продольных компонент
вектора Е:
Ш2£
+ г— к • Е = г
OZ
Атгеи)
,iujz/v
dz2
+
U2S
дЕ
к-Е = ш2 —-, г^О,
OZ
где амплитуды Фурье электрического и магнитного полей обозначены через Е, В.
Из этих равенств получаем неоднородное уравнение для продольной компоненты:
з)
d2Ez
dz2
+
и>2е
Ez
Anew
1
ev
aiuiz/v

438
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
Решение этого уравнения складывается из частного решения
r>2 \ //.i2<r /.»2ч
4) Ф = ^ 1-^) Ч-«2-^) *"'">
соответствующего заданной правой части, и общего решения однородного
уравнения
Частное решение описывает электромагнитное поле, распространяющееся в
пространстве со скоростью частицы v. В него входит как квазистационарное поле,
создаваемое частицей, так и поле черенковского излучения, если последнее
возможно (т. е. выполнено условие v > с/п(и), см. пример 11.1). Поперечная
составляющая поля Е(<?) определяется из второго равенства 2):
6) к • Е<«> = ^- (^ - к2 - ^) _1 е"»/".
EV \ С* V2
Вторая поперечная составляющая отсутствует.
Общее решение однородного уравнения 5) имеет вид
7) Eirad> = Aeiqz + Се~*\ q=J^-K2, 3g >0,
где А, С — постоянные. Они должны быть найдены из граничных условий и
условия ограниченности решения. При выбранном значении q ограниченность при
больших \z\ требует, чтобы было А = 0, z <0 и С = 0, z > 0:
8) 47d)\z<o = Ce-^',q1
1 с2
lu>2£2
-к2
-к1
при z < 0;
при z > 0.
Е£*>\х>0 = Ае*», q2-.
Верхний индекс (rad) указывает на то, что это решение может описывать поле
излучения. Например, в прозрачном диэлектрике полю Е™ соответствует
дисперсионная зависимость
9) к12 = к + <7i,2 = o~~->
свойственная распространяющимся плоским монохроматическим волнам, если
£i,2 > 0' <Zi,2 > 0- Ниже мы увидим, что это излучение вызвано резким
изменением диэлектрической проницаемости от значения £i до г2. Оно называется
переходным. Полученные решения удовлетворяют условию V-E^m^ = 0, которое
приводит к соотношениям
ю)
K-E(rod) = qiE{zrad) при z<0; K-E{rad) = -q2E{™d) при z > 0.

§11.2. Излучение в неоднородных средах
439
Эти соотношения определяют поперечные компоненты поля E^md^ через его
продольную компоненту.
Условия на границе раздела выражают непрерывность нормальной компоненты
электрической индукции и тангенциальной компоненты напряженности полного
электрического поля:
и) ei(E[f + E[r;d%=_0 = £2(4qJ + 4:ad%=+o,
(к - E(«> + qiE^)z=.0 = (к • E<<> - q2E%sad))z=+0.
Отметим, что составляющие поля Шга^ вдоль третьего направления, е2 х к, не
связаны никакими соотношениями с полем частицы и не могут ею создаваться,
поэтому в данной задаче они равны нулю. Из двух алгебраических уравнений 11)
вычисляются постоянные С и А:
С(Я2 + W/V) J '
12) c = i W(i-?/*i) г
13) *=-*< 4Т2(1йУ/£21/2Л1+т^^1-
v(eiq2 + e2qi)(q2 ~ v2/v2) { c(qi - u/v) J
Они обращаются в нуль, если диэлектрическая проницаемость не испытывает
скачка.
Таким образом, электрическое поле в первой и второй средах определяется
найденными величинами: Ei>2 = Е^ + Ej™ » гДе Е^2, Е\™ даются формулами
4), 6), 8), 12), 13). Магнитное поле определяется с помощью первого уравнения
Максвелла 1). В частности, та часть магнитного поля, которая обусловлена резкой
границей сред, имеет вид
14) B{{ad) = Щ\п х eJCe"*12, z < 0; B{™d) = Щ[к х еЛАе1я2\ z > 0. ■
ск2, ск1
Пример 11.4. Пусть в предыдущем примере обе среды представляют собой
на рассматриваемых частотах прозрачные диэлектрики. Вычислить спектр и
угловое распределение переходного излучения частицы в переднюю и заднюю
полусферы за все время ее пролета через границу.
Решение. Вычисляем полную энергию Q переходного излучения, прошедшую
через плоскость (х,у) в областях соответственно z —► —оо и z —> оо:
ЛОО ЛОС ЛОО
1) Qi = — / dx I dy / duj[£\ x Bi] • ez, 2: —> -00;
^" J—ОС J — OO J —OQ
ЛОО /»OG /»00
2) Q2 = -7- I dx I dy I duj[£2 xB2]-ez, z —► +00.
^^" J— oc J — ос J — ос
Здесь и далее всюду опускаем индекс (rad). Подставим в 2) разложение
d2ft da;
/ Е2(2:,к,д2,<
3) £2 = Е2(г, к, g2, u>) exp(i« • r± - ш£)
(2тг)2 2тг

440 Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
и аналогичное разложение для B2t где q2 — продольная компонента волнового
вектора. Воспользуемся соотношением
4) E(z,K,q,u) = E*(z,-K,-q,-u)
и получим энергию излучения как интеграл по частоте и поперечному волновому
вектору:
5) Q2 = T^u® Г du Jd2K[E2 x В*2] • ez.
Теперь в это выражение не входит координата z.
С помощью формул из предыдущего примера находим
6) [Е2 х В*2] • ez = ^E2zB?2 = ^r\A\2, где E2z = Ае**\ В*2 = ^A*e~i(*z.
к ск1 ск
Выразим все величины, входящие в подынтегральное выражение 5), через частоту
и угол 02 между скоростью частицы v и волновым вектором к2 = K + qi^z в среде
2 (см. рис. 11.1). Имеем
7)
k2 = —y/s2, к2 = /с|-д| = k2-q2, q2 = k2cos92, d2n = k% cos Q2d£L2, 02^-.
Из приведенных формул следует также
8) qi = — y£i -^2sin26>2, £iq2 + £2qi = k2[sicos02 + уSis2 - e|sin202].
Использовав полученные результаты, извлечем из подынтегрального выражения 5)
спектрально-угловое распределение переходного излучения вперед:
dudQ2
_ e2$2JT2(e2 - £l)2 sin2 02 cos2 02\p2s2 + py/sj - s2 sin2 02 - 1|2
7T2c((32£2COS202 - 1)2|(^1C0S6>2 + yj£& ~ 4 ЯП2 02 )(/?\Al " ^2 sin2 6>2 - 1)|2 '
cos02^l//ye2. (П-32)
Здесь использован знак модуля, так как радикалы могут быть мнимыми даже в
случае прозрачных сред. Это связано с тем, что некоторые волны могут
испытывать полное внутреннее отражение на границе. Излучение назад вычисляется

§11.2. Излучение в неоднородных средах
441
аналогичным образом:
dudQi
e2p2y/€^(€2-€1)2sm201cos201\p2€1 - (3\/е2 - ег sin2 вг - l|2
тг2с(р2£1 cos201 - l)2|(^2cos6>i + y/£lE2 - е\ sin2 0г )(PV^2 - £i sin2 0г + 1)|2'
cos(9i ^1//уёГ. (11.33)
Результат выражен через угол 0\ ^ 7г/2 между вектором —v и направлением
волнового вектора ki в первой среде (рис. 11.1). Особенности выражения (11.32) при
cos $2 = 1/(Зу/е~2 и (11.33) при cos#i = 1/(3<>/si связаны с эффектом Вавилова-
Черенкова. Излучение в указанных направлениях можно вычислить путем
предельного перехода. ■
Переходное излучение предсказали на основе теоретического исследования
советские ученые В. Л. Гинзбург и И. М. Франк в 1946 г. В настоящее время это
хорошо развитая область электродинамики, имеющая многочисленные практические
приложения (см. [Гинзбург и Цытович (1984), Платонов и Флейшман (2002)]).
Переходное излучение поверхностных волн. Согласно результатам раздела
10.1 дисперсионное соотношение для поверхностных волн при /л\ = рь2 = 1 имеет
вид 2
^2 = а; £le2 >Q^ £le2<o, £l + е2 < 0. (11.34)
С £l + €2
При этом величины g1? q2y определяющие поле F,(rad\ найденное в примере 11.3,
имеют значения
С S\ + S2 С1 €\ + €2
Отсюда следует, что поле переходного излучения в этом случае сконцентрировано
в приповерхностной области:
E(rad) = Ce\Ql\z^ Z<Q. E{rad) = Ae-\q*\z^ Z>Q^ (И 36)
т. е. имеет место генерация поверхностных электромагнитных волн быстрой
частицей. Вычисление энергии, излученной в форме поверхностных волн, нетривиально
(см. [Гинзбург и Цытович (1984)]). Спектральная плотность излученной энергии
имеет вид
db = 262/?2|£2-£l||£l£2|(l + /?2|£l+£2|)
*» cy/\£l + e2\[\£i + Ы + ^e?][|ei + Ы + Р*е%'
Поляризационное тормозное излучение
Пример 11.5. Заряженная частица движется по прямолинейной
траектории в разреженном атомарном газе со скоростью, значительно превышающей
скорости атомных электронов. Динамическая поляризуемость а(и)
отдельного атома в однородном переменном поле известна. Вычислить спектральное

442
Глава П. Излучение быстрых частиц в средах
распределение излучения электронных оболочек атомов на частотах
порядка атомных частот переходов ojo, генерируемое пролетающей частицей на
единице ее пути. После излучения атом остается в основном состоянии.
Решение. Движение частицы квазиклассично и в рассматриваемых
условиях (излучение мягких оптических квантов) слабо возмущается взаимодействием
с атомами. Поэтому можно рассматривать движение частицы по прямолинейной
траектории с постоянной скоростью. Излучение происходит в результате
поляризации атомных оболочек полем пролетающей частицы. При пролетах на расстоянии
р^> R поле в пределах атома почти однородно и достаточно учесть только диполь-
ную поляризацию. Для вычисления электрического дипольного момента атома на
частоте и используем формулу
1) Pu, = a(u;)Eu;,
где Е^ — компонента Фурье поля частицы в точке нахождения атома.
Энергию £ы , излученную нерелятивистскими атомными электронами,
вычислим по формуле электрического дипольного излучения (5.13):
где t — время с учетом запаздывания. Полная энергия, излученная атомной
оболочкой за все время пролета частицы:
/ОО Г) /»ОС /»СЮ
откуда имеем
4) ег) = ^-з1Р.|2
2 ... ,9 2г£с
Рс^| =
Зтгс3'^1 Зтг
ти2
а(и)
2
|Е„(р)|2.
Здесь использована формула 1), г0 — классический радиус электрона.
Чтобы найти излучение d£u/dz на единице пути, надо умножить спектр
излучения отдельного атома 4) на концентрацию атомов па и проинтегрировать по
прицельным параметрам:
5)
d£u _ 2г%пас | ти2
dz 37г
■а(и)
2 /-Ртах
у |
^ Pmin
E^nnpdp.
Нижний предел интегрирования должен быть порядка нескольких радиусов атома
R, т. е. рт-ш « Я, поскольку при меньших прицельных параметрах формула 1)
теряет силу. Верхний предел ввиду быстрой сходимости интеграла (см. ниже)
можно считать бесконечным: ртах —► оо.
Компоненты Фурье электромагнитного поля релятивистской частицы в вакууме
можно получить из решения задачи 11.1:
6) ^=2^М-)--^М-У-^ »>°-
7^ \iv) р 7 v \lv J v

§11.2. Излучение в неоднородных средах
443
После подстановки в 5) и интегрирования по прицельному параметру получим
7)
dz
Здесь
8)
8g2rgnQct4i
3v2
mu)
a(uj)
\ Ko(Un
)K2(um)-
1-
1
Kl{um)—=Ko(um)
'}■
ujR
*yv
Re
^Xv
< 1.
В диапазоне оптических частот условие малости выполняется не только для
релятивистских, но и для быстрых (v » vat) нерелятивистских частиц, так как
R/X « 10~3 при таких частотах. Использовав приближенные формулы из
раздела 1.3 для модифицированных функций Бесселя, получим с логарифмической
точностью окончательное выражение:
9)
dz
16qzr$nac
3v2
mu)
a(u)
\ujRJ
В случае релятивистских частиц, 'у ^> 1, последняя формула применима и в
рентгеновской области, где X < R. При частотах и ^> ujo атомные электроны
ведут себя как свободные, а атомная поляризуемость принимает вид
10)
a(uj)
Ze2
muz
uj > uq.
В этом диапазоне излучение на единицу пути релятивистской частицы:
dS» _ 16Z2q2r2na
П)
dz
Зс
In
\ujRJ
Рассмотренное излучение называют поляризационным (или динамическим)
тормозным излучением. В этом названии термин «тормозное» не вполне
адекватен, так как излучение возможно без всякого торможения быстрой частицы, при ее
прямолинейном равномерном движении. С большим основанием его можно назвать
переходным (в широком смысле) излучением или рассеянием, так как в данном
случае излучение вызвано рассеянием поля быстрой частицы на микроскопических
неоднородностях — электронных оболочках атомов. Подробное изложение теории
переходного излучения и переходного рассеяния см. в монографии [Гинзбург и Цы-
тович (1984)]. Поскольку излучает нерелятивистская система, то это излучение,
даже генерированное релятивистской частицей, не имеет острой направленности
вперед, ее анизотропия, как при любом электрическом дипольном излучении,
невелика. Но интенсивность может быть значительной ввиду резонансной зависимости
атомной поляризуемости от частоты.
Длина 1Ш = ^yv/u под знаком логарифма в 9) имеет смысл прицельного
параметра, приводящего к излучению на заданной частоте. Если это расстояние больше
межатомных расстояний среды, то при расчете поляризационного тормозного
излучения необходимо учитывать влияние соседних атомов, т. е. диэлектрической

444
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
проницаемости среды как на поле быстрой частицы, так и на распространение
излученных фотонов.
Рекомендуемая литература: [Гинзбург и Франк (1946), Гинзбург (1987),
Гинзбург (2002), Базылев и Жеваго (1987), Гинзбург и Цытович (1984)], [Батыгин
и Топтыгин (2003), Топтыгин (2005), Платонов и Флейшман (2002), Флейшман
(2008)], [Тер-Микаелян (2003), Тер-Микаелян (1969), Амусья и др. (1987), Король
и др. (2004)].
Задачи
11.15.* Точечная частица с зарядом е движется в вакууме нормально к
границе идеального проводника. Определить спектральное и угловое распределение
излучения, возникающего при переходе заряда из вакуума в проводник,
пренебрегая ускорением заряда под действием силы электрического изображения. Скорость
заряда v = /?с.
Указание. Поле в вакууме создается зарядом и его изображением, движущимися
навстречу друг другу с равными постоянными скоростями. Когда частица
пересекает границу проводника, ее заряд мгновенно экранируется свободными
электронами проводника, что эквивалентно внезапной остановке заряда и его изображения
в одной и той же точке на границе проводника.
11.16.* Точечная частица с зарядом е имеет скорость v = /Зс и
движется в вакууме нормально к границе непоглощающего диэлектрика с
проницаемостью £(u))(ix = 1). При переходе заряда из вакуума в диэлектрик возникает
излучение. Пренебрегая ускорением заряда под действием силы электрического
изображения, определить спектральное и угловое распределение излучения в вакуум
(т. е. в область х > 0, см. рис. 11.1, в котором следует положить е\ = £, £2 = 1).
Указание. Плотности заряда и тока, создаваемые движущейся частицей, заменить
эквивалентным набором гармонических осцилляторов. Для определения поля в
волновой зоне использовать теорему взаимности (см. раздел 5.1): рв • Ед(В) =
= рЛ • ~ЕВ(А). Здесь ЕВ(Л) — поле, создаваемое в точке А дипольным
гармоническим осциллятором рв, находящимся в точке В\ Е,а(В) — поле, создаваемое
в точке В осциллятором рд, находящимся в точке А. Так как точка
наблюдения А находится на большом расстоянии от точки встречи заряда с диэлектриком
(в волновой зоне), то при вычислении Ед(Б) можно воспользоваться формулами
Френеля.
11.17. Записать спектрально-угловые распределения (11.32), (11.33)
переходного излучения для нерелятивистской частицы, v/с = |3 < 1. Сравнить полученные
выражения с результатами двух предыдущих задач.
11.18.* Записать спектрально-угловые распределения (11.32), (11.33)
переходного излучения для ультрарелятивистской частицы, 7 = £/mc2 ^> 1. Показать,
что излучение в некотором спектральном интервале сконцентрировано в
направлении вперед и оценить раствор конуса излучения. Оценить также частотный
диапазон излучения.
11.19.* Получить на основе формул (11.32), (11.33) спектральное
распределение жесткого (с частотами много больше атомных частот среды) переходного

§ 11.3. Ответы и решения
445
излучения при влете ультрарелятивистской частицы из вакуума в среду либо при
вылете из среды в вакуум. Проанализировать предельные случаи. Вычислить
полную энергию переходного излучения.
§11.3. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
11.1. Разложив векторы поля в интеграл Фурье по координатам и времени:
E(R,*)= /*£(k,u;)e*(k'R-
ut) d3k du
(2тг)3 2тг "'"'
получим из уравнений Максвелла систему алгебраических уравнений
относительно амплитуд Фурье:
1)
кпх £{к,и) = 7i{k,u),
ппх Н{к,и>) = -s{uj)£{k,uj) - г ^^ s(%n-v-l\
к е(ш)п • £{к, ш) = -г ^^ б(% п • v - l),
кп-Н(к,и) = 0.
Здесь 7i(k,uj) — амплитуда Фурье магнитного поля, к = ижп/с, к, — параметр,
выражающийся через и и к, п — единичный вектор. При выводе 1) нужно учесть,
что амплитуда Фурье функции 6(R - vt) равна 2тт6(к • v - и) и что 5{ах) =
= {1/\а\)ё{х). Из системы 1) определяются £ и Л:
2)
5М = -^-^f^n-v-l),
Для определения полей нужно произвести обратное преобразование Фурье.
Начнем с вычисления EZ{H,t). Как следует из 2):
Sz{k,u)
поэтому
3) Ez{R,t)--
ге
2тг2с2
. 8тг2ес kcosO- /Зе
-г —х -г-~ —d{pKcosO - 1),
и2 е{к2 -г)
/ ujduje шъ I nzdn / ——5—
х ехр< г—я[г sin#cos(<£ -(f)- zcosO] >6{(3ncos0 - 1) sm0d9d§.
Здесь через г обозначена составляющая R в плоскости ху} ср — угол между г и
осью Ох} (3 = v/c} 0 и Ф — полярные углы п.

446
Глава П. Излучение быстрых частиц в средах
Интеграл по Ф выражается через функцию Бесселя Jq от аргумента (и/с)кг sinO.
Интеграл по О имеет вид
4) Г f(0)S(pKcosO-l)smOdO=^- f <p(y)5(y-l)dy.
JO PK J-0k
Он отличен от нуля только в случае, если (Зк ^ 1, поэтому нижний предел
изменения к равен 1/(3. В формуле 3) это учитывается автоматически, вследствие
наличия дельта-функции, но после интегрирования по dy дельта-функция
исчезнет, и нужно будет учесть нижний предел интегрирования в явном виде.
Интегрируя 4) по dy, получим
5)
h*™= hm
cos 0=1//Зк
Подставим 5) в 3) и введем вместо к переменную х = J к2 — I//?2; поскольку к
меняется в пределах от 1/(3 до оо, х будет меняться от 0 до оо. Тогда Ez(H,t)
запишется в виде
Jo(torx/c)xdx
Ег(к'°=^/1ш^ехр МН)] (х -/Щ
О *2 + l//J2-£-
Произведя интегрирование по х с помощью формулы
Jo(xr)xdx
6)
находим
7)
/
Jo
c2 + k2
K0(kr)
^(R-*) = ^ /_~ 0 " дУ^о(*г)ехр [iu(l - t)] a; da;,
где обозначено s2 = uj2/v2 — (a;2/c2)e(uj). Знак s нужно выбирать так, чтобы
было 3fe > 0, в противном случае интеграл по и оказывается расходящимся.
Интегрирование по а; в 6) можно провести, только задавшись конкретным видом
функции е(ш).
При вычислении ЕХ(И,t) также начинаем с интегрирования по Ф.
Интегрирование по 0 выполняется с помощью дельта-функции. При последующем
интегрировании по х = у/'к2 — 1/(32 нужно воспользоваться формулой
F
Jo
Ji(xr)x2 dx
х2 + k2
кКг(кг),
которая получается из 6) дифференцированием по г, если учесть, что J$ = — Ji,
Щ = -Кг.
В результате находим
е [°° s г (z \
ЕХ(И, t) = cos(£>— / -Ki(sr)ex.p\iu)[ t)
7TVj_oc£ L \V J
duj.

§11.3. Ответы и решения
447
Компоненты Ey(R,t) и H(R, £) определяются таким же путем. Еу отличается
от Ех заменой cos(p на sincp; поэтому в цилиндрических координатах имеем
8)
е Г°° s г /z м
Er(R,t) = — / -Ki(sr)exp \ш - -t)\ du,
ttv J^ s L \v J)
Е^ = 0.
Для Н получим
9) HJR,t) = — f sKi(,<?r)exp \ш(- - t)] du, Hz = Hr = 0.
'ncJ_oc L Vu /J
Как следует из формул 7)-9), электромагнитное поле обладает аксиальной
симметрией.
Полученные формулы справедливы только в области г » а, где а —
величина порядка межатомных расстояний. В области г ^ а необходимо учитывать
пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости.
11.2. Как следует из формул 7)-9) предыдущей задачи, монохроматические
компоненты полей E^(R, t) и H^R, £) имеют вид:
1)
где
2)
EU^t) = ^(l - -L)K0(,r)exp [i^-t)
uj2 uj2
e(u), 9b >0,
a Kn — модифицированные функции Бесселя.
В волновой зоне \sr\ » 1, вследствие чего можно использовать
асимптотическое выражение (1.170) для функций Кп\
з)
Kn(sr) = J —
Из 2) следует, что при вещественном е(и) s будет вещественным, если 1/(32 >
> s(uj) или /Зп(и) < 1 (п(и) — показатель преломления для волн с частотой и).
При /Зп(и) > 1 параметр s будет чисто мнимым.
Если s — вещественная величина (в силу 2), при этом s > 0), то в волновой
зоне поле будет затухать экспоненциально, излучения не происходит. При чисто
мнимом s амплитуда полей в волновой зоне будет меняться как 1/у/г, что
соответствует цилиндрическим волнам. Покажем, что эти волны будут расходящимися,
т. е. в этом случае действительно будет происходить излучение.
Запишем s в виде
4)
= ±^-*И = ±^»>/Аа - 1
и выясним, какой знак нужно выбрать перед корнем. Для этого нужно принять
во внимание, что рассматриваемый диэлектрик без потерь является предельным

448
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
случаем слабо поглощающего диэлектрика с комплексным показателем
преломления п = п' + in". Чтобы мнимая часть показателя преломления п" действительно
описывала поглощение энергии (т. е. чтобы амплитуда соответствующей волны
затухала, а не возрастала), требуется выполнение условий п" > 0 при и > 0 и п" < О
при uj < 0. Считая п" весьма малым, можем записать
^ V + in»)* - 1 « у/?п» - 1 (l + ip^Tj)■
Отсюда следует, что условие 92s > 0 будет выполняться, если выбрать в 4) знак
минус. Устремив после этого п" к нулю, получим
5) s = -i^Jfn?-\.
С v
Но такой знак как раз соответствует расходящимся волнам, так как
экспоненциальный множитель в выражениях 1) примет вид
6) expi(k ♦ R - ujt) = expi[k(zcos6 + rsin#) — ut],
где к = ujn/c, cos 0 = l//3n, s'mO = y/l — l/(32n2, kcosO = kz = k\\ и к sin 0 = k± —
компоненты волнового вектора.
Таким образом, при выполнении условия (Зп(и) > 1 частица, движущаяся в
диэлектрике с постоянной скоростью v = j3cy излучает электромагнитные волны
с частотой uj (излучение Вавилова-Черенкова). Условие (Зп > 1 означает, что
скорость частицы должна превосходить фазовую скорость волны с частотой и
в данной среде. Как следует из выражения для волнового вектора к, излучение
направлено под углом 9 к скорости частицы, причем
7) cos0
0п(и>)'
Эта характерная направленность излучения является следствием когерентности
волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории (см. задачу 11.3).
Фазовая скорость волн Вавилова-Черенкова
UJ С
vph = - = -
СП
— такая же, как у всех поперечных электромагнитных волн. Поляризацию
излучения легко определить из формул 1): вектор Н направлен перпендикулярно
плоскости, проходящей через траекторию частицы и волновой вектор к, а вектор Е
лежит в указанной плоскости (и перпендикулярен к в волновой зоне). В
перпендикулярности к и Е можно убедиться, вычислив скалярное произведение к-Е^.
Полная энергия черенковского излучения w на единице пути равна интегралу
по времени от потока вектора Пойнтинга через бесконечно удаленную
цилиндрическую поверхность единичной длины, окружающую траекторию частицы:
Г°° с сг Г°°
2тгг / —(ExH)rdt=—г- / H^EZ
J -ос 4тг 2 J-oo
8) w = 2тгг / — (Е х H)r dt = -— / H(pEz dt.

§11.3. Ответы и решения
449
Переходя к компонентам Фурье, можно представить 8) в виде
9)
w = — 27гсг9?
/
Jen
рп{и>)>1
HZ<pEu
:du,
где монохроматические компоненты Нш<р, Ешг должны быть взяты в волновой
зоне, а интегрирование ведется по области частот, в которой выполняется условие
излучения /Зп(и) > 1. С помощью формул 1)-3) находим окончательно:
г2 Г ( с2 \
w=— I [1 ~-z)Ljdu.
10)
= е-[ (
<? J0(u,)>l\
п.з.
w
eW
^(/?2-l) +
**<«
l)ln
£o
2v2 хи ; 2v2 v~u ''"'го -Г
При указанных в условии задачи значениях параметров w « 5000 эВ/см.
Излучение сконцентрировано в интервале углов 0О ^ 0 ^ 7г/2, где /?2£ocos2#o = 1.
11.4. Каждую точку траектории можно рассматривать как источник
элементарного возбуждения, распространяющегося в виде сферической волны со
скоростью vph = ^ (рис. 11.2). Фронт результирующей волны представляет собой
огибающую элементарных сферических волн. Нормаль к фронту составляет с
траекторией угол 0, причем, как следует из рисунка, cos# = 1/рп.
11.5. Поле равномерно движущейся заряженной
частицы представляет собой суперпозицию плоских
волн с частотами и = k- v, где v — скорость
частицы, к — волновой вектор. В неограниченном
диэлектрике возможны колебания с частотами и = kc/n,
где п — показатель преломления среды
(собственные колебания среды). Из условия резонанса
кс
— = к • v = kv cos 0
п
следует, что cos# = c/vn. Так как cos#< 1, то
vn/c > 1, а это и есть условие существования
излучения Вавилова-Черенкова.
r = (l/v) tg20, I = wvctg20, где cos# = c/nv, w — энергия черенковского
излучения на единице длины, вычисленная в задаче 11.2.
11.8. При (Зп < 1 (т. е. при v < vph)
1) <р =
Рис. 11.2
11.6.
:^(z-vt)2 + r2(l
/3V)
Это решение можно получить, вычислив гармонику Фурье потенциала из
неоднородного волнового уравнения и выполнив обратное преобразование Фурье.
При 0п > 1 и к2 = е/л(к • v)2/c2 подынтегральное выражение будет иметь
полюс. Введя в пространстве к цилиндрические координаты, запишем ip в виде
' exp[ikz(z — vt) + ik±r cos a
(p(R,t)
e Г ex
2^7 ~
[k\ - kl(jPn* - 1)]
-k± dk± dkz da.

450
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
Для вычисления интеграла по kz воспользуемся теоремой о вычетах.
Знаменатель имеет нули в точках kz = ±к_\_/у(32п2 — 1; чтобы выяснить правило обхода
этих полюсов, допустим, что п имеет малую мнимую часть п" > 0 при kz > 0,
п" < 0 при kz < 0 (в данном случае знак и совпадает со знаком kZy так как и =
= k- v). Поэтому оба нуля будут смещены в нижнюю полуплоскость комплексной
переменной кг. При z > vt нужно замкнуть контур интегрирования дугой
бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (на этой дуге подынтегральная
функция обращается в нуль). Так как знаменатель не имеет нулей в верхней
полуплоскости, интеграл по kz в этом случае будет равен нулю. При z < vt замыкаем
контур интегрирования в нижней полуплоскости. Вклад в интеграл дают оба
полюса, в результате интегрирования получим
J —с
exp\ikz(z - vt)] „ 27Г . k±(z-vt)
dkz = sin-
fc2 -fc2(/?2n2-l) Z к±у/02П?-1 J$4>
Интеграл по а выражается через функцию Бесселя Jo(k±r) (см. раздел 1.3).
Последний интеграл по к± вычислим с помощью формулы (6.671, 7), приведенной в
справочнике Градштейна и Рыжика (1971). Таким образом, при {Зп > 1 имеем
2е
I F+/(?.-vt.V
2) (p(R,t)
при
z <vt- ryJ02n2 - 1,
e^(z-vt)2-r2((32n2-l)
0 в остальном пространстве.
Векторный потенциал А получается умножением ср на e/xv/c.
Формула 2) показывает, что при выполнении условия Вавилова-Черенкова
/Зп > 1 поле является разрывным. Оно существует только внутри конуса,
поверхность которого описывается уравнением
3) z-vt + r^/(32n2 -1 =0.
Нормаль к поверхности конуса составляет с направлением движения частицы
угол О = arccos(l//?n). Как следует из 3), коническая волна распространяется
вдоль оси Oz со скоростью частицы.
Рассмотренную структуру могут иметь не только электромагнитные волны, но
и волны другой природы. Например, разрывные акустические волны
указанного типа возбуждаются снарядом, движущимся в воздухе со скоростью, большей
скорости звука (ударная баллистическая волна). Тот же характер имеют волны,
образованные на поверхности воды достаточно быстро движущимся судном.
11.9. Излучение Вавилова-Черенкова происходит при условии рп>1, где п{и)=
= y/e{(jj)ii{ijj)\ векторный потенциал имеет вид
iJ [ exp[(iuj/v)(y — vt + yj(32n2 — l\z\) ii(uj)duj
I
С J у/042 - 1
w
~ c2v J0n>1
VP:
■2„2

§ 1L3. Ответы и решения
451
Тормозящая сила вычисляется по формуле f = (j x B)/c, где В должно быть
взято в точке z = 0, у = vt. Сила приложена в направлении, обратном оси Оу, и
по абсолютной величине равна потере энергии на единице пути: Fy = —tu. Этот
результат прямо вытекает из закона сохранения энергии.
11.10.
2е2
с J(3n>
Lb-M^)^-
Знак плюс соответствует случаю а), минус — случаю б). Спектральная плотность
излучения двух одинаковых зарядов отличается от спектральной плотности
излучения одного заряда множителем 2(1 + cos(tul/v). Поэтому интенсивность
гармоник с частотами
u>=—n (n = 0,l,2,,..)
возрастает в 4 раза, а гармоники с частотами
и = —(2п + 1)
исчезнут. При различных по знаку зарядах картина станет обратной. Для перехода
к случаю точечного диполя, ориентированного по направлению движения, нужно
разложить 1 - cos(ljI/v) в ряд, считая аргумент косинуса малым. Это даст
г2
W
Jpn>\
где р — электрический момент диполя, измеренный в лабораторной системе.
11.11.
^Lj1-^)"'^
■sLt'-^H"?*''^-11.
w
Jpn>l
и3 du,
где п = y/ey p — электрический дипольный момент в лабораторной системе отсчета.
11.12.
^2
c2v2 JPn>1\ P2n2J
W
Jpn>l
11.13. Потери энергии на единицу пути выражаются интегралом по времени от
потока энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и радиуса а,
окружающую траекторию частицы. Для вычисления потерь можно
воспользоваться формулой 9), полученной при решении задачи 11.2, если в этой формуле взять
значения полей при г = а и вести интегрирование по всем частотам от 0 до оо.
Используя выражения компонент поля, найденные в задаче 11.1, и указанный в
условии данной задачи конкретный вид функции e(w), получим
df 2е2ш% г00 / 1 _ -2
dl ttv2
Г°° / 1 - т2 \
/ ( =Цг -/З2 5*aKi(5*a)K0(sa)x^,
J0 \£0-Xz J
где x = uj/ojo, e(0) = £o = 1 + Wp/Ц) — статическое значение диэлектрической
проницаемости,
2> *-Ш->)^- '-

452
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
Как следует из формулы 1), в потери вносит вклад только мнимая часть
интеграла. Функции Ко и К\ — вещественны при вещественном аргументе, поэтому
интересующая нас мнимая часть интеграла будет определяться только той
областью изменения х, в которой s будет комплексным. Эта область, как видно из 2),
зависит от знака и величины параметра Ь. Если b > 0 (это означает, что v < c/^/Iq),
то s будет чисто мнимым при значениях х в интервале (л/Ь, 1) и вещественным вне
этого интервала. Если 6 < 0 (этому соответствует v > /Лу/ёо), то s будет мнимым
при 0 ^ х ^ 1 и вещественным при х > 1.
Кроме указанных интервалов изменения х, вклад в мнимую часть интеграла
будут давать отдельные точки, в которых знаменатель подынтегрального
выражения €о — х2 обращается в нуль: х = i^/ёо. Поскольку интегрирование в 1) ведется
по значениям х > 0, нужно рассмотреть один полюс х = у/ёо > 1. Если пренебречь
потерями, то этот полюс окажется на вещественной оси. При учете потерь, как
легко видеть из явного выражения е(и) (см. задачу 9.11), он переместится в нижнюю
полуплоскость комплексной переменной и. Чтобы получить правильное значение
интеграла, нужно или ввести параметр затухания и после вычисления интеграла
устремить этот параметр к нулю, или слегка деформировать путь
интегрирования, произведя обход вокруг полюса по окружности бесконечно малого радиуса в
верхней полуплоскости. Используем второй способ. Обозначив интегрирование по
указанной полуокружности значком ^, получим
3)
1-х2*ь-/*\ь-/\л .1-го uody/eors {u0ay/£^\ /ш0ау/ё^\
^s aKi(s a)Ko(sa)xdx = г—-— ♦ —iv0 — ivi — .
€o - x2 2 v \ v / \ v /
Теперь вычислим интеграл по области, в которой s чисто мнимо. Для этого
заметим, что при чисто мнимом аргументе цилиндрические функции Ко и К\ связаны
зависимостью
7Г
s* aKi(s* a)Ko(sa) — saKi(sa)Ko(s*a) = г —,
которая следует из свойств вронскиана системы решений уравнения Бесселя.
Поэтому
с 1 2 г 1 2
4) Кг / ( ~Х 0 - p2)s*aK1(s*a)K0(sa)xdx = ~ / (——% - {32)xdx.
Js*<oK£o-x2 J 2Js2<0V£o-x2 /
Последний интеграл вычисляется элементарными методами. Пределы
интегрирования выбираются так, как указано выше.
Подставляя 3) и 4) в 1), получим при v < с/у/ёо
L
d8 2ne4N
5) ~^T = 2~
dl mvz
и при v > с/у/ёо:
dS 2тге4АГ
6) -"77 = 2"
dl rnv2
*^Къ(?^)кх(?^)-р-ых-р)
2аси0у/£о
к0 (^у^) к, (?**&) - г-^4 + ш ^Ч
V V / V V / €п — 1 £п — 1
Та часть полных потерь, которая не исчезает при а —► оо (члены, не содержащие а
в 5) и 6)), представляет собой потери энергии на излучение поперечных волн

§11.3. Ответы и решения
453
(эффект Вавилова-Черенкова):
7> -(f)v.»-"-^i-^-¥i-rti "p»"<^.
2/,)2 / 1 _ /З2 ^ ч с
8) - ( —) =w=—f{ ^- + 1п^^- при v>
\dUv-Ch 2v2 \ е0 - 1 e0-l/
v^o'
Выражение 8) было получено в задаче 11.3.
Члены с Ко, К\ в 5) и 6), зависящие от а, возникли в результате обхода полюса
в точке и = Q = a/o;q + и;2, в которой £ обращается в нуль. Но при таких частотах
возбуждаются продольные колебания (см. задачи 9.30, 9.31), поэтому выражение
-(f) =е^рк0(^)к1(^)
\ dl Jpol v6 \ v J \ v J
описывает потери на возбуждение продольных колебаний (поляризационные
потери). При Qa/v < 1 формула 9) принимает простой вид:
\dl J vol vz Ma
При tta/v » 1 величина —{d£/dl)poi становится очень малой (она
пропорциональна ехр(—fia/v)). Это показывает, что влияние поляризации среды при малых
скоростях мало.
Изложенный в этой задаче макроскопический метод расчета потерь
принадлежит Ферми (1940).
11.14.
Если параметр upa/v < 1, что имеет место при достаточно большой скорости
частицы, то можно использовать приближенные формулы (1.168) для
модифицированных функций Бесселя. При этом 1) переходит в
2) * = *$ъ.Ъ>
dl v2 ^ира
Как следует из формул 1), 2), потери частицы существенно зависят от
величины ир. Она представляет собой частоту продольных плазменных колебаний.
Излучения Вавилова-Черенкова в плазме не возникает, так как при всех
частотах е(и) < 1 и условие излучения (32е ^ 1 не выполняется (но черенковское
излучение становится возможным, если плазма находится в магнитном поле).
При квантово-механическом рассмотрении возбуждение плазменных колебаний
эквивалентно возникновению некоторых дискретных элементарных возбуждений
(квазичастиц — «плазмонов»). Энергия каждого плазмона равна hup, где К =
= 1,05* 10~27эрг-сек — постоянная Планка. Для металлов величина hup лежит в

454
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
пределах от 5 до 30 эВ. Таким образом, при возбуждении плазменных колебаний
частица теряет энергию дискретными порциями. Как уже отмечалось, изучение
этих дискретных (или характеристических) потерь энергии позволяет получать
ценные сведения о свойствах твердых тел.
11.15. Разложим плотность тока (рис. 11.3)
-ev6(z - vt)6(x)6(y)
i) ;
-ev6(z + vt)6(x)6(y)
в интеграл Фурье по времени:
при 2^0,
при 2^0, -оо < £ ^ О,
2)
J = jj,
-lOJt
dt,
3)
--ф- exp(-iujz/v)6(x)6(y) при z ^ 0,
-■^ exp(iuz/v)S(x)S(y) при z ^ 0.
Введем вектор поляризации согласно (5.18):
р — -hi.
гы —
Вектор Рш направлен по оси Oz.
Формулы 2) и 3) показывают, что плотность
заряда и плотность тока, создаваемые движущейся
частицей, эквивалентны набору гармонических
осцилляторов, распределенных в пространстве по закону
4)
^iuiexp(-iujz/v)5(x)5(y) при z ^ О,
■LUJ
ге
Тки
ге
-"Ш exv(iuJZ/v)5(x)5(y) ПРИ z ^ °-
Наличие 5(х)5(у) в 4) означает, что фактически
осцилляторы находятся только на линии движения
заряда.
Осцилляторы, находящиеся на отрезке dz,
создадут в точке М волновой зоны магнитное поле (см. рис. 11.3):
Рис. 11.3
5)
dJIu = —
JleikR
c2R2
(Рш х R) dz = -
u2eikR
c2R
Рш sin $eadz.
Интегрируя 5) no dz, получим полное поле:
"0 e(iu>z/v)+ikRsinfl
Нш
геи
2^?
/
R
dz +
I
ос e-(iuz/v)+ikRSinfl
R
dz
В последнем выражении интегралы берутся от произведения убывающей и
осциллирующей функций, поэтому основной вклад в них даст область вблизи z = 0.
С точки зрения физики это объясняется тем, что излучение имеет место при
переходе из вакуума в металл. Вычислим интегралы приближенно, для чего положим
в показателях экспонент R = г - zcosO. Выражая sin$ через R, получим
~ikrrsmO\ f° exp\i(oj/v)(l-/3cos0)z] 7 . f00 ехр[-г(о>/г;)(1 + 0cos0)z
tlojoc —
геше
2ттс2
/
Ы — с
exp[i(cj/v)(l - /3 cos 0)z]
В?
dz+
Jo
R2
■ dz

§11.3. Ответы и решения
455
Интегрированием по частям можно представить эти интегралы в виде рядов по
степеням l/R\ оставляя только члены, линейные по этому параметру, получим
ей)
6) На=Ев =
1
+
sin О eikr
2тгс2 l(u/v)(l- pcosO) (u/v)(l+0cos0)\ г
Второй член в этом выражении описывает поле излучения, возникающего при
внезапной остановке заряда, а первый член — излучение, создаваемое изображением.
Интенсивность излучения на единичный интервал частот в телесный угол dtt
определяем по формуле
2„2
e*v
sin20dQ
7) ^^) = c№,.)|V^=7r2c3 (1_^cos2,)2-
В нерелятивистском пределе ((3 <С 1) формула 7) дает дипольное излучение:
2 2
8) dJ(u, 0) = ^т sin2 0 dft,
7TZC6
интенсивность которого пропорциональна квадрату скорости частицы. Отметим,
что интенсивность излучения не зависит от массы частицы.
Интегралы от 7) и 8) по а;, дающие угловое распределение полного
излучения (со всеми частотами), будут расходящимися. Это обусловлено тем, что металл
считался идеально проводящим. В действительности, уже в инфракрасной
области спектра металл нельзя считать идеально проводящим, так что при высоких
частотах результаты 7) и 8) неверны.
Спектральное распределение полного излучения получится интегрированием 7)
по верхней полусфере:
Q. 4eV ( 3(/92 +1) , 1+/3 3 ч
В ультрарелятивистском пределе, когда полная энергия частицы 8 много больше
энергии покоя тс2, формула 9) дает
2е2 Е
10) JH = — I*—j.
7гс mcz
Интенсивность излучения растет логарифмически с ростом энергии.
В нерелятивистском пределе выражение в скобках обращается в единицу:
id m = А44-
J v J Зтгс3
11.16. Компонента Фурье вектора поляризации имеет вид
1) Рш = -^)е-^'Ч{х)6{у).
Определим сначала поле в точке А от осцилляторов, находящихся в области z > О
(рис. 11.4). Достаточно рассмотреть осцилляторы, лежащие вблизи точки 2 = 0,
так как только они создают поле излучения (см. предыдущую задачу).

456
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
При использовании теоремы взаимности выберем осциллятор рв на оси Oz
вблизи z = 0 (точка В), а осциллятор ра в точке А} поле в которой мы
должны определить. Пусть оба они одинаковы по абсолютной величине и направлены
вдоль Oz, а расстояние между ними велико по сравнению с длиной волны.
Осциллятор рв создает в точке А поле, амплитуда Е+ которого составляет с осью Oz
угол, приближенно равный 7г/2 - 0 (см. рис. 11.4). Волны из А в В приходят
двумя путями: непосредственно и после отражения от границы диэлектрика.
Соответствующие амплитуды обозначены на рисунке через Е' и Е". Они составляют
с Oz такие же углы 7г/2 — #' « 7г/2 — 0. Поэтому по теореме взаимности
имеем Е_|_ = Е' + Е" или, учитывая, что в волновой зоне осциллятора Н = n x E,
получаем Н+ = -Н' - Н" (все три вектора Н+, Н', Н" перпендикулярны
плоскости AOz).
Волна, приходящая из А в В
непосредственно, создает поле
2)
dH'
u2eikR
c2R
Рш sin О dz.
Амплитуду отраженной волны можно
определить с помощью формул Френеля, так как
расстояние АС велико и волна, испускаемая
из точки Д может рассматриваться вблизи
точки С как плоская. С помощью формул
Френеля, учитывая изменение фазы волны и то,
что #' « 0, получим
где
Рис. 11.4
/
3)
dH"
u2fe
ikR'
c2Rf
-PuSmOdz,
е cos 0 — ye — sin2 0
R' = ACB.
e cos 0 + v e - sin2 0
To поле H_j_, которое создается в точке А всеми осцилляторами, находящимися в
области z > 0, получится интегрированием суммы -{dH' + dH") по dz от 0 до оо.
Интегрирование проводится точно так же, как в предыдущей задаче. Результат
имеет вид
4)
Я+ =
ev
(-
1
+
/
sin вегкг
2тгс2 Vl+/3cos0 1 -pcosO
Эту формулу легко понять путем сравнения с аналогичной формулой 6)
предыдущей задачи. Первый член описывает поле частицы, движущейся в вакууме и
внезапно останавливающейся в точке z = 0; второй — поле изображения (— е/),
движущегося в диэлектрике навстречу частице и также останавливающегося в
точке z = 0. В отличие от случая идеального проводника, изображение слабее
в / раз, его величина зависит от частоты ш рассматриваемой гармоники
(через е(и)) и от положения точки наблюдения (через угол в).

§11.3. Ответы и решения
457
Поле Н_ от диполей, лежащих при z < 0, определяем таким же путем. Волна
придет из Л в Б, преломившись на границе раздела. Используя снова формулы
Френеля, получим
5) dH.=--^^(l + f)Pusm^e^dz.
Здесь R" = V + /" — длина ломаной линии АСВ' (см. рис. 11.4). Фаза <р учитывает
запаздывание:
ip= -l' + -y/el".
с с
При \z\ < г (z < 0) имеем /' = г + ztgd" sinO, /" = -z/cosd". Учитывая закон
преломления sin??" = sin^'/v^ и заменяя #' на 0, находим
ио ио / ;—о—
ср = —г zv £■ — sin 0.
с с
Проинтегрировав 5) от —оо до 0, получим поле от диполей, лежащих в области
z <0:
Полное поле в точке А равно сумме Н+ + Я_. Интенсивность излучения на
единичный интервал частот в телесный угол d£l:
7) dJ(u, 0) = ^-^A2(u, 0) sin2 0 dSl,
^OT + <1+«
1
.e(l-0y/e- sin20) 1-/Jcos0j'
Величина Л зависит от частоты через e(w).
В нерелятивистском пределе (3 <с 1 получаем
, т/ „ч е2«2 (е-l)2sin20cos20 ,^
8) d J(w, 6») = -^г • -i i—. dn.
^ c (ecos6>+V£-sin26>)2
11.17.
d2/^ _ e2p2^(s2-£i)2sm2e1cos2e1
dudSlj- 7r2c|£2cos01 + ^ea-efsin2^!2'
d2J,l,2) e2/?2Vg5(g2-ei)2Bin2fl2Cos2fl2
^dQ2 тг2с | £i cos 02 + ^/eie2 - 4 sin2 02 |2
При £i = 1, e2 = £ первая формула совпадает с нерелятивистским пределом в
задаче (11.17). При £i = l, £2 —» оо она переходит в нерелятивистский случай задачи
(11.16). (Учесть, что dJ/dQ. = d2I/dwdQ.)

458
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах
11.18. Из вида знаменателей формулы (11.32) следует, что максимум излучения
при малых углах 02 = 0 возможен лишь при выполнении условия \е\у2 — 1| <С 1-
Это имеет место при частотах u> ^> u>pi,2> где u>pi,2 ~ плазменные частоты двух
сред. При этом £i52 = 1 —Vplt2/w2- Запишем (11.32) в приближении малых углов,
воспользовавшись разложениями
1)
1 -/32e2cos20«7-2+ 'ф- + у, 0у/е1-е2«п2в-1 « \ L-' + ^k+oA .
Получим
d2/i2> _ е2 (Аи,$\2 е*
2)
dudSl2 тг2с I ш2 I (7~2 + w22/w2 + 02/2)2(7"2 + u^/w2 + 02)2 '
До;2 = W2! - w22.
Отсюда следует, что характерный угол излучения по порядку величины
определяется условием
3) «2«7-а + ^,
где иор — большая из двух плазменных частот. Порядковую оценку для спектра
можно получить, взяв 2) при 0 ж 00 и умножив его эту величину на 0$:
> dw ~ тг2с ^ а;2 ) (7-2 + u;22/u;2 + 6>2/2)2(7-2 + w^/w2 + 0О2)2 '
При частотах, удовлетворяющих условию ujp/lo ^ 7_1> зависимость спектра 4) от
частоты слабая, так как характерный угол с уменьшением частоты растет,
числитель и знаменатель в 4) нарастают приблизительно одинаково. При и ^> уир
характерный угол определяется фактором 7. поэтому спектр убывает с ростом
частоты как о;-4. Таким образом, основное излучение идет на частотах меньше
и порядка 7<^р> хотя в принципе спектр ограничен лишь частотой u;max = (7 —
— l)mc2/h. Приведенные соображения позволяют дать оценку также полной
энергии переходного излучения. Подставляем в 4)
характерную частоту j(jjp и умножаем правую часть на эту же частоту:
с с т,с2
Излученная энергия пропорциональна энергии релятивистской частицы.
Излучение назад не обладает острой направленностью, а генерируемые частоты
значительно меньше ^ujp. Поэтому вперед излучается основная энергия.
11.19.
diL2) _
(ко

ЛИТЕРАТУРА
[Абрамовиц и Стиган (1979)] Абрамовиц М. Справочник по специальным
функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. — М. : Наука, 1979.
[Агранович и Гинзбург (1979)] Агранович В. М. Кристаллооптика с учетом
пространственной дисперсии и теория экситонов / В. М. Агранович,
В.Л.Гинзбург. - М. : Наука, 1979.
[Айзерман (1974)] Айзерман М. А. Классическая механика / М. А. Айзерман. —
М. : Наука, 1974.
[Александров и др. (1978)] Александров А. Ф. Основы электродинамики плазмы/
А. Ф. Александров, Л. С. Богданкевич, А. А. Рухадзе. — М. : Высшая
школа, 1978.
[Алексеев (1977)] Алексеев А. И.Сборникзадачпоклассическойэлектродинамике/
А. И. Алексеев. — М. : Наука, 1977.
[Алферов и др. (1989)] Алферов Д. Ф. Излучение релятивистских электронов в
магнитном ондуляторе / Д. Ф. Алферов, Ю. А. Башмаков, П. А. Черенков //
УФН. - Т. 157. - 1989. - С. 389-436.
[Амусья и др. (1987)] Амусья М. Я. Поляризационное тормозное излучение частиц
и атомов / М. Я. Амусья, В. М. Буймистров, Б. А. Зон [и др.]. — М. : Наука,
1987.
[Арфкен (1970)] Арфкен Г. Математические методы в физике / Г. Арфкен. — М. :
Атомиздат, 1970.
[Ахиезер и Берестецкий (1981)] Ахиезер А. И. Квантовая электродинамика /
A. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. — М. : Наука, 1981.
[Ахиезер и Шульга (1993)] Ахиезер А. И. Электродинамика высоких энергий в
веществе / А. И. Ахиезер, Н. Ф. Шульга. — М. : Наука, 1993.
[Ахманов и Никитин (1998)] Ахманов С. А. Физическая оптика / С. А. Ахманов,
С. Ю. Никитин. — М. : Изд-во Московского университета, 1998.
[Базылев и Жеваго (1987)] Базылев В. А. Излучение быстрых частиц в веществе
и во внешних полях / В. А. Базылев, Н. К. Жеваго. — М. : Наука, 1987.
[Байер и др. (1973)] Байер В. Н. Излучение релятивистских электронов /
B. Н. Байер, В. М. Катков, В. С. Фадин. — М. : Атомиздат, 1973.
[Баранова и Зельдович (1977)] Baranova N. В. On the expansion of radiation
intensity into a/A pover series in electrodynamics / N. B. Baranova,
B. Ya. Zel'dovich // Optic Communications. - V. 22. - 1977. - P. 53.

460
Сборник задач по электродинамике
[Барашенков (1974)] Барашенков В. С. Тахионы. Частицы, движущиеся со
скоростями больше скорости света / В. С. Барашенков // УФН. — Т. 114. —
1974. - С. 133-150.
[Бардин и Шриффер (1962)] Бардин Дж. Новое в изучении сверхпроводимости /
Дж. Бардин, Дж. Шриффер. - М. : ГИФМЛ, 1962.
[Батыгин и Топтыгин (2003)] Батыгин В. В. Современная электродинамика. Ч. 1.
Микроскопическая теория / В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин. — М.; Ижевск:
ИКИ, 2003.
[Бейтмен и Эрдейи (1969, 1970)] Бейтмен Г. Таблицы интегральных
преобразований. Т. I. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина / Г. Бейтмен, А. Эрдейи
(при участии В. Магнуса [и др.]). — М. : Наука, 1969. Т. II.
Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций / Г. Бейтмен, А. Эрдейи
[и др.]. - М. : Наука, 1970.
[Бердышев (1992)] Бердышев А. А. Введение в квантовую теорию магнетизма /
A. А. Бердышев. — Екатеринбург : Изд-во Уральского университета, 1992.
[Берестецкий и др. (1989)] Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика /
B. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М. : Наука, 1989.
[Бете и Солпитер (I960)] Бете Г. Квантовая механика атомов с одним и двумя
электронами / Г. Бете, Э. Солпитер. — М. : ГИФМЛ, 1960.
[Блиох и Блиох (2004)] Блиох К. Ю. Что такое левые среды и чем они интересны?/
К. Ю. Блиох, Ю. П. Блиох // УФН. - Т. 174. - 2004. - С. 439-447.
[Болотовский и др. (1978)] Болотовский Б. М. Об излучении электромагнитных
волн при мгновенном изменении состояния излучающей системы / Б. М.
Болотовский, В. А. Давыдов, В. Е. Рок // УФН. - Т. 126. - 1978. - С. 311-321.
[Болотовский (1990)] Болотовский Б. М. О видимой форме движущегося тела /
Б. М. Болотовский // Эйнштейновский сборник 1986-1990. — М. : Наука,
1990. - С. 279-328.
[Борисенко и Тарапов (1966)] Борисенко А. И. Векторный анализ и начала
тензорного исчисления / А. И. Борисенко, И. Е. Тарапов. — М. : Высшая школа,
1966.
[Борн и Вольф (1970)] Борн М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. — М. :
Наука, 1970.
[Бредов и др. (2003)] Бредов М. М. Классическая электродинамика / М. М.
Бредов, В. В. Румянцев, И. Н. Топтыгин. — СПб.: Лань, 2003.
[Бюклинг и Каянти (1975)] Бюклинг Е. Кинематика элементарных частиц / Е. Бю-
клинг, К. Каянти. — М. : Мир, 1975.
[Ваганов и Каценеленбаум (1982)] Ваганов Р. Б. Основы теории дифракции /
Р. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум. — М. : Наука, 1982.
[Вайнштейн (1966b)] Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации/
Л. А. Вайнштейн. — М. : Советское радио, 1966.
[Вайнштейн (1988)] Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны / Л. А.
Вайнштейн. — М. : Радио и связь, 1988.
[Вайнштейн и Вакман (1983)] Вайнштейн Л. А. Разделение частот в теории
колебаний и волн / Л. А. Вайнштейн, Д. Е. Вакман. — М. : Наука, 1983.
[Вайскопф (1964)] Вайскопф В. Видимая форма быстродвижущихся тел / В. Вай-
скопф // УФН. - Т. 84. - 1964. - С. 183

Литература
461
[Вейнберг (1975)] Вейнберг С. Гравитация и космология / С. Вейнберг. — М. :
Мир, 1975.
[Веселаго (2003)] Веселаго В. Г. Электродинамика материалов с отрицательным
коэффициентом преломления / В. Г. Веселаго // УФН. — Т. 173. — 2003. —
С. 790-794.
[Виленкин (1965)] Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления
групп / Н. Я. Виленкин. — М. : Наука, 1965.
[Виноградова и др. (1979)] Виноградова М. Б. Теория волн / М. Б. Виноградова,
О. В. Руденко, А. П. Сухоруков. — М. : Наука, 1979.
[Владимиров (1976)] Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической
физике / В. С. Владимиров. — М. : Наука, 1976.
[Власов (1955)] Власов А. А. Макроскопическая электродинамика / А. А.
Власов. - М. : ГИТТЛ, 1955.
[Высокотемпературные сверхпроводники (1988)] Высокотемпературные
сверхпроводники. — М. : Мир, 1988.
[Гайтлер (1956)] Гайтлер В. Квантовая теория излучения / В. Гайтлер. — М. :
ИИЛ, 1956.
[Гальцов и др. (1991)] Гальцов Д. В. Классические поля / Д. В. Гальцов,
Ю. В. Грац, В. Ч. Жуковский. — М. : Издательство Московского
университета, 1991.
[Гельфанд и др. (1958)] Гельфанд И. М. Представления группы вращений и
группы Лоренца / И. М. Гельфанд, Р. А. Минлос, 3. Я. Шапиро. — М. : Физ-
матгиз, 1958.
[Гинзбург (1975)] Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика.
Дополнительные главы / В. Л. Гинзбург. — М. : Наука, 1975.
[Гинзбург (1987)] Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика.
Дополнительные главы / В. Л. Гинзбург. — М. : Наука, 1987.
[Гинзбург (1979)] Гинзбург В. Л. О теории относительности / В. Л. Гинзбург. —
М. : Наука, 1979.
[Гинзбург (2002)] Гинзбург В. Л. Несколько замечаний об излучении зарядов и
мультиполей, равномерно движущихся в среде / В. Л. Гинзбург // УФН. —
Т. 172. - 2002. - С. 373-376.
[Гинзбург и Ландау (1950)] Гинзбург В. Л. К теории сверхпроводимости /
В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау // ЖЭТФ. - Т. 20. - 1950. - С. 1064.
[Гинзбург и Франк (1946)] Гинзбург В. Л. Излучение равномерно движущегося
электрона, возникающее при его переходе из одной среды в другую /
В. Л. Гинзбург, И. М. Франк // ЖЭТФ. - Т. 16. - 1946. - С. 15-28.
[Гинзбург и Цытович (1984)] Гинзбург В. Л. Переходное излучение и переходное
рассеяние (некоторые вопросы теории) / В. Л. Гинзбург, В. Н. Цытович. —
М. : Наука, 1984.
[Голдстейн (1957)] Голдстейн Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. — М. :
Гостехиздат, 1957.
[Градштейн и Рыжик (1971)] Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М. : Наука, 1971.

462
Сборник задач по электродинамике
[Григорьев и Мейлихов (1991)] Физические величины : справочник / под ред.
И. С. Григорьева и Е. 3. Мейлихова. — М. : Энергоатомиздат, 1991.
[Гуревич и Мелков (1994)] Гуревич А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г.
Гуревич, Г. А. Мелков. — М. : Физматлит, 1994.
[Де Жен (1968)] Жен П. де. Сверхпроводимость металлов и сплавов /
П. де Жен. - М. : Мир, 1968.
[Дирак (1990)] Дирак П. А. М. К созданию квантовой теории поля / П. А. М.
Дирак. - М. : Наука, 1990.
[Дирак (I960)] Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики / П. А. М.
Дирак. — М. : Физматгиз, 1960.
[Джексон (1975)] Jackson J. D. Classical Electrodynamics / J. D. Jackson. — N. Y. :
John Wiley & Sons, 1975 (русский перевод предыдущего издания: Дж.
Джексон. Классическая электродинамика. — М. : Мир, 1965).
[Дюге (1973)] Дюге М. Свет, сфотографированный на лету / М. Дюге // УФН. —
Т. 109. - 1973. - С. 157-166.
[Зельдович (1975)] Зельдович Я. Б. Взаимодействие свободных электронов с
электромагнитным излучением / Я. Б. Зельдович // УФН. — Т. 115. — 1975. —
С. 161-197.
[Зельдович и Мышкис (1972)] Зельдович Я. Б. Элементы прикладной математики/
Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкис. — М. : Наука, 1972.
[Зоммерфельд (1958)] Зоммерфельд А. Электродинамика / А. Зоммерфельд. —
М. : ИЛ, 1958.
[Зоммерфельд (I960)] Зоммерфельд А. Оптика / А. Зоммерфельд. — М. : ИЛ,
1960.
[Ициксон и Зюбер (1984)] Ициксон К. Квантовая теория поля / К. Ициксон,
Ж.-Б. Зюбер. Т. 1 и 2. - М. : Мир, 1984.
[Киржниц (1976)] Киржниц Д. А. Всегда ли справедливы соотношения Крамерса-
Кронига для диэлектрической проницаемости вещества? / Д. А. Киржниц //
УФН. - Т. 119. - 1976. - С. 357.
[Киржниц (1987)] Киржниц Д. А. Общие свойства электромагнитных функций
отклика / Д. А. Киржниц // УФН. - Т. 152. - 1987. - С. 399.
[Колоколов и др. (2000)] Колоколов И. В. Задачи по математическим методам
физики / И. В. Колоколов, Е. А. Кузнецов, А. И. Мильштейн [и др.]. — М. :
Эдиториал УРСС, 2000.
[Король и др. (2004)] Король А. В. Поляризационное тормозное излучение /
А. В. Король, А. Г. Лялин, А. В. Соловьев. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004.
[Кочин (1951)] Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления/
Н. Е. Кочин. - М. : Изд-во АН СССР, 1951.
[Коэн-Таннуджи и др. (1992)] Cohen-Tannoudji С. Atom-Photon Interactions (Basic
Processes and Applications) / С Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc,
G. Grynberg. — N. Y. : John Wiley and Sons, Inc., 1992.
[Кресин (1978)] Кресин В. 3. Сверхпроводимость и сверхтекучесть/В. 3. Кресин.—
М. : Наука, 1978.
[Кубо (1967)] Кубо Р. Статистическая механика / Р. Кубо. — М. : Мир, 1967.
[Кубо (1970)] Кубо Р. Термодинамика / Р. Кубо. - М. : Мир, 1970.

Литература
463
[Ландау (1946)] Ландау Л. Д. О колебаниях электронной плазмы/Л. Д. Ландау//
ЖЭТФ. - Т. 16. - 1946. - С. 574. (см. также Собрание трудов. 1969. Т. 2.
С. 7-25).
[Ландау и Лифшиц, Механика] Ландау Л. Д. Механика / Л. Д. Ландау,
Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1988.
[Ландау и Лифшиц, Теория поля] Ландау Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау,
Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1973.
[Ландау и Лифшиц, Квантовая механика] Ландау Л. Д. Квантовая механика /
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1988.
[Ландау и Лифшиц, Статистическая физика] Ландау Л. Д. Статистическая
физика. Ч. 1. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1978.
[Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред] Ландау Л. Д.
Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1982.
[Лебедев (1963)] Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения /
Н. Н. Лебедев. — М.; Л. : Физматгиз, 1963.
[Леонтович (1983)] Леонтович М. А. Введение в термодинамику. Статистическая
физика / М. А. Леонтович. — М. : Наука, 1983.
[Ли (1965)] Ли Цзун-дао. Математические методы в физике / Цзун-дао Ли. —
М. : Мир, 1965.
[Лифшиц и Питаевский, Статистическая физика] Лифшиц Е. М. Статистическая
физика. Ч. 2./ Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М. : Наука, 1978.
[Лифшиц и Питаевский, Физическая кинетика] Лифшиц Е. М. Физическая
кинетика / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М. : Наука, 1979.
[Мандель и Вольф (2000)] Мандель Л. Оптическая когерентность и квантовая
оптика/ Л.Мандель, Э. Вольф. — М. : Физматлит, 2000.
[Максвелл (1989)] Максвелл Д. К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I и
II / Д. К. Максвелл. - М. : Наука, 1989.
[Мартинсон и Недоспасов (1993)] Мартинсон М. Л. О плотности заряда внутри
проводника с током / М. Л. Мартинсон, А. В. Недоспасов // УФН. —
Т. 163. - № 1. - 1993. - С. 91-92.
[Медведев (1977)] Медведев Б. В. Начала теоретической физики / Б. В.
Медведев. — М. : Наука, 1977.
[Мёллер (1975)] Мёллер К. Теория относительности / К. Мёллер. — М. : Атомиз-
дат, 1975.
[Монин и Яглом (1965)] Монин А. С. Статистическая гидромеханика. Ч. 1 /
А. С. Монин, А. М. Яглом. — М. : Наука, 1965.
[Морс и Фешбах (1958)] Морс Ф. М. Методы теоретической физики. Т. I /
Ф. М. Морс, Г. Фешбах. - М. : ИЛ, 1958.
[Морс и Фешбах (I960)] Морс Ф. М. Методы теоретической физики. Т. II /
Ф. М. Морс, Г. Фешбах. - М. : ИЛ, 1960.
[Мэтьюз и Уокер (1972)] Мэтьюз Дж. Математические методы физики /
Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. — М. : Атомиздат, 1972.
[Никитин и др. (1992)] Никитин Ю. П. Сборник задач по физике элементарных
частиц / Ю. П. Никитин, В. П. Протасов, Э. П. Топоркова [и др.]. — М. :
Энергоатомиздат, 1992.

464
Сборник задач по электродинамике
[Никифоров и Уваров (1984)] Никифоров А. Ф. Специальные функции
математической физики / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. — М. : Наука, 1984.
[Новожилов и Яппа (1978)] Новожилов Ю. В. Электродинамика / Ю. В.
Новожилов, Ю. А. Яппа. - М. : Наука, 1978.
[Окунь (1989)] Окунь Л. Б. Понятие массы (масса, энергия, относительность) /
Л. Б. Окунь // УФН. - Т. 158. - 1989. - С. 511-530.
[Окунь (2000)] Окунь Л. Б. О письме Р. И. Храпко «Что есть масса?» /
Л. Б. Окунь // УФН. - Т. 170 - 2000. - С. 1366-1371.
[Окунь (2008)] Окунь Л. Б. Формула Эйнштейна: Ео = тс2. «Не смеется ли
Господь Бог»? / Л. Б. Окунь // УФН. - Т. 178. - 2008 - С. 541-555.
[Окунь (2008а)] Окунь Л. Б. Теория относительности и теорема Пифагора /
Л. Б. Окунь // УФН. - Т. 178. - 2008. - С. 653-663.
[Островский и Потапов, 2003] Островский Л. А. Введение в теорию
модулированных волн / Л. А. Островский, А. И. Потапов. — М. : Физматлит, 2003.
[Пайерлс, 1988] Пайерлс Р. Сюрпризы в теоретической физике / Р. Пайерлс. —
М. : Наука, 1988.
[Памятных и Туров (2000)] Памятных Е. А. Основы электродинамики
материальных сред в переменных и неоднородных полях / Е. А. Памятных, Е. А.
Туров — М. : Наука, Физматлит, 2000.
[Пановский и Филипс (1963)] Пановский В. Классическая электродинамика /
В. Пановский, М. Филипс. - М. : ГИФМЛ, 1963.
[Паули (1947)] Паули В. Теория относительности / В. Паули. — М.-Л. : ГИТТЛ,
1947.
[Пейк (1965)] Пейк Дж. Парамагнитный резонанс / Дж. Пейк. — М. : Мир, 1965.
[Платонов и Флейшман (2002)] Платонов К. Ю. Переходное излучение в
случайно-неоднородных средах / К. Ю. Платонов, Г. Д. Флейшман //
УФН. - Т. 172. - 2002. - С. 241-300.
[Принцип относительности (1973)] Принцип относительности : сборник работ по
специальной теории относительности. / Сост. А. А. Тяпкин. — М. : Атомиз-
дат, 1973.
[Прудников и др. Интегралы и ряды] Прудников А. П. Интегралы и ряды.
Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — М. :
Наука, 1983; Интегралы и ряды. Дополнительные главы. — М. : Наука, 1986.
[Рашевский (1953)] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ /
П. К. Рашевский. - М. : ГИТТЛ, 1953.
[Ритус (2008)] Ритус В. И. Асимметрия релятивистского закона сложения
скоростей относительно их перестановки и неевклидова геометрия / В. И. Ритус//
УФН. - Т. 178. - 2008. - С. 739-752.
[Рубаков (1999)] Рубаков В. А. Классические калибровочные поля / В. А. Руба-
ков. - М. : Эдиториал УРСС, 1999.
[Рытов (1976)] Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Ч. I.
Случайные процессы / С. М. Рытов. — М. : Наука, 1976.
[Рытов (1978)] Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Ч. II.
Случайные поля / С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский. — М. : Наука,
1978.

Литература
465
[Сивухин, Электричество] Сивухин Д. В. Курс общей физики. Т. III.
Электричество / Д. В. Сивухин. — М. : Наука, 1977.
[Силин и Рухадзе (1961)] Силин В. П. Электромагнитные свойства плазмы и плаз-
моподобных сред / В. П. Силин, А. А. Рухадзе. — М. : Госатомиздат, 1961.
[Скалли и Зубайри (2003)] Скалли М. О. Квантовая оптика / М. О. Скалли,
М. С. Зубайри — М. : Физматлит, 2003.
[Смайт (1954)] Смайт В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт — М. :
ИИЛ, 1954.
[Смородинский (1972)] Смородинский Я. А. Геометрия Лобачевского и кинематика
Эйнштейна / Я. А. Смородинский // Эйнштейновский сборник 1971. — М. :
Наука, 1972. - С. 272-301.
[Соколов и Тернов (1983)] Соколов А. А. Релятивистский электрон / А. А.
Соколов, И. М. Тернов. - М. : Наука, 1983.
[Сороко (1971)] Сороко Л. М. Основы голографии и когерентной оптики /
Л. М. Сороко. - М. : Наука, 1971.
[Стрэттон (1948)] Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма / Дж. А. Стрэт-
тон. — М. : Гостехиздат, 1948.
[Тамм (1976)] Тамм И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. — М. :
Наука, 1976.
[Тамм и Франк (1937)] Тамм И. Е. Когерентное излучение быстрого электрона в
среде. ДАН СССР. Т. 14 / И. Е. Тамм, И. М. Франк. - 1937. - С. 107.
[Тер-Микаелян (1969)] Тер-Микаелян М. Л. Влияние среды на электромагнитные
процессы при высоких энергиях / М. Л. Тер-Микаелян. — Ереван : Изд-во
АН Арм. ССР, 1969.
[Тер-Микаелян (2001)] Тер-Микаелян М. Л. Радиационные электромагнитные
процессы при высоких энергиях в периодических средах / М. Л. Тер-
Микаелян // УФН. -Т. 171. - № 6. - 2001. - С. 597-624.
[Тер-Микаелян (2003)] Тер-Микаелян М. Л. Электромагнитные процессы при
высоких энергиях в аморфных и неоднородных средах / М. Л.
Тер-Микаелян // УФН. - Т. 173. - № 12. - 2003. - С. 1265-1286.
[Тернов и Михайлин (1986)] Тернов И. М. Синхротронное излучение. Теория и
эксперимент / И. М. Тернов, В. В. Михайлин. — М. : Энергоатомиздат,
1986.
[Тилли и Тилли (1977)] Тилли Д. Р. Сверхтекучесть и сверхпроводимость /
Д. Р. Тилли, Дж. Тилли. - М. : Мир, 1977.
[Топтыгин (2005)] Топтыгин И. Н. Современная электродинамика. Ч. 2. Теория
электромагнитного поля в веществе / И. Н. Топтыгин. — М.; Ижевск : ИКИ,
2005.
[Топтыгин и Флейшман (2008)] Топтыгин И. Н. Генерация собственных мод
заданным током в анизотропных и гиротропных средах / И. Н. Топтыгин,
Г. Д. Флейшман // УФН. - Т. 178. - 2008. - С. 385-396.
[Уайт (1985)] Уайт Р. Квантовая теория магнетизма / Р. Уайт. — М. : Мир, 1985.
[Угаров (1977)] Угаров В. А. Специальная теория относительности / В. А.
Угаров. — М. : Наука, 1977.

466
Сборник задач по электродинамике
[Федоров (2004)] Федоров Ф. И. Оптика анизотропных сред / Ф. И. Федоров. —
М. : УРСС, 2004.
[Фейнберг (1974)] Фейнберг Дж. О возможности существования частиц,
движущихся быстрее света / Дж. Фейнберг // Эйнштейновский сборник 1973. —
М. : Наука, 1974. - С. 134-177.
[Фейнберг (1999)] Фейнберг Е. Л. Распространение радиоволн вдоль земной
поверхности / Е. Л. Фейнберг. — М. : Наука, Физматлит, 1999.
[Фейнман (2000)] Фейнман Р. Квантовая электродинамика / Р. Фейнман. —
Новокузнецк : ИО НФМИ, 2000.
[Ферми (1940)] Fermi E. Ionization energy losses in gases and condensed media /
E. Fermi // Phys. Rev. - V. 57. - 1940. - P. 485.
[Физика космоса (1986)] Физика космоса. Маленькая энциклопедия. — М. :
Советская энциклопедия, 1986.
[Физический энциклопедический словарь] Физический энциклопедический
словарь / гл. ред. А. М. Прохоров. — М. : Советская энциклопедия, 1984.
[Флейшман (2008)] Флейшман Г. Д. Стохастическая теория излучения /
Г. Д. Флейшман. - М.; Ижевск : ИКИ, 2008.
[Фок (1955)] Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения / В. А. Фок. —
М. : ГИТТЛ, 1955.
[Фок (1976)] Фок В. А. Начала квантовой механики / В. А. Фок. — М. : Наука,
1976.
[Франк (1988)] Франк И. М. Излучение Вавилова-Черенкова. Вопросы теории /
И. М. Франк. - М. : Наука, 1988.
[Франсон и Сланский (1967)] Франсон М. Когерентность в оптике / М. Франсон,
С. Сланский. — М. : Наука, 1967.
[Френкель (1956)] Френкель Я. И. Собрание избранных трудов. Т. I / Я. И.
Френкель. - Л.; М. : Изд-во АН СССР, 1956.
[Френкель (1935)] Френкель Я. И. Электродинамика. Т. 2 / Я. И. Френкель. —
Л.; М. : ОНТИ, 1935.
[Фрелих (I960)] Фрелих Г. Теория диэлектриков / Г. Фрелих. — М. : ИИЛ, 1960.
[Хижняк (1986)] Хижняк Н. А. Интегральные уравнения макроскопической
электродинамики / Н. А. Хижняк. — Киев : Наукова Думка, 1986.
[Шмидт (2000)] Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников /
В. В. Шмидт. - М. : МЦНМО, 2000.
[Шриффер (1970)] Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости / Дж. Шриффер. —
М. : Наука, 1970.
[Эйнштейн (1905)] Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел : собрание
научных трудов. Т. 1 / А. Эйнштейн. — М. : Наука, 1965. — С. 7.
[Эйнштейн (1955)] Эйнштейн А. Сущность теории относительности / А.
Эйнштейн. - М. : ИИЛ, 1955.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Аберрация света 86
Адиабатическое размагничивание 311
Амплитуда
комплексная 56
рассеяния 386
Асимптотика
модифицированных функций Бесселя 20
сферических функций Бесселя 20
цилиндрических функций 19
В
Вакуумные флуктуации полей 245
Вектор
Герца 181
Пойнтинга 55
аксиальный (псевдовектор) 8
в трехмерном пространстве 6
волновой 56
гирации 345, 380
ковариантный 81
контравариантный 81
магнитной индукции 297, 303, 335
магнитной поляризации 182, 335
напряженности магнитного поля 303,
335
напряженности электрического поля 335
обобщенной поляризации среды 336
обобщенной электрической индукции
336
объемной плотности тока 46
поляризации в гиротропной среде 431
полярный 8
состояния 244
четырехмерный 81
электрической индукции 264, 335
электрической поляризации 181, 264, 335
Вектор напряженности поля
магнитного 46, 53
электрического 38, 53
Вероятность
квантового перехода 248
Волна
плоская 55, 74
плоская неоднородная 370, 373
поверхностная 374
поперечная 340
продольная 340
спиновая 412
Волновая зона 179
Восприимчивость
диэлектрическая 264
Время
релаксации 297
Время когерентности 388
Высокотемпературные сверхпроводники 312
Г
Гамильтониан электромагнитного поля 244
Гамма-квант 123
Генерация
продольных колебаний 434
Геометрия
евклидова трехмерная 6
псевдоевклидова четырехмерная 80
Главные значения тензора 9
Голография 394
Граничные условия
Леонтовича 374
в магнитостатике 46
в электростатике 39, 269
для уравнений Максвелла 54

468
Сборник задач по электродинамике
для уравнений Максвелла в средах 335,
336
Д
Двухчастичные реакции 124, 125
Дебаевское экранирование 286
Дефект массы 124
Диаграмма Далица 129
Дисперсионные соотношения
Крамерса-Кронига 340
Диссипация
электромагнитной энергии 346, 348
Дифракция
Фраунгофера 384
Френеля 384
Диэлектрическая проницаемость
бесстолкновительной плазмы 343, 355
металла 344
при высоких частотах 354
Длина когерентности 388
3
Закон
Био-Савара 46
Джоуля-Ленца 301
Кулона 38
Ома 297
Ома для квазилинейного проводника 300
Стефана-Больцмана 247
Фарадея 53
отражения и преломления 371
сложения релятивистских скоростей 81
смещения Вина 258
сохранения электрического заряда 54
Затухание Ландау 343
И
Излучение
Вавилова-Черенкова 432
равновесное (формула Планка) 257
магнитно-дипольное, квадрупольное 181
ондуляторное 194
переходное 438
поляризационное тормозное 443
потеря энергии и импульса 190
пульсара 186
синхротронное 194
спектральная плотность 190
спонтанное и индуцированное 250
тормозное 190
тормозное внутреннее 191
угловое распределение 189
электрическое дипольное 181
Импульс
релятивистской частицы 122
электромагнитного поля 96, 243
Инвариант преобразования Лоренца 81
Инвариантные кинематические параметры
125
Инверсия системы координат 8
Интегральная форма
уравнений магнитостатики 46
уравнений электростатики 38
Интенсивность излучения 180
Интерферометр
Брауна-Твисса 397
Майкельсона 390
Ионный звук 362
К
Калибровочное (градиентное)
преобразование) 54
Квант магнитного потока 314
Классический радиус электрона 158
Комплексная степень когерентности 393
Комптоновская длина волны 158
Коэффициенты
емкостные 271
индуктивности 48
потенциальные 270
сопротивления 300
Критическая (эддингтоновская) светимость
203
Л
Ларморов радиус (гирорадиус) 162
Линия
векторная 16
Лэмбовский сдвиг 247
М
Магнетон Бора 71
Магнитные поляритоны 409
Магнитострикция 311
Матрица
трехмерного поворота 7, 12
Мера
вращения 382
дисперсии 377
Момент
дипольный перехода 251
магнитный дипольный 47
электрический дипольный 40
электрический квадрупольный 40

Предметный указатель
469
О
Области прозрачности 347
Обобщенные координаты электромагнитного
поля 242
Объем когерентности 391
Ондулятор 194
Оператор
Гамильтона набла 13
Лапласа 13
векторного потенциала 244
взаимодействия фотона с электроном 249
рождения (уничтожения) 244
Оптические оси 380
Ортогональность
сферических функций Лежандра 22
функций Бесселя 22
Осцилляторы электромагнитного поля 243
Отрицательный коэффициент преломления
372
П
Параметр вырождения 392
Параметры Стокса 60
Плазменные колебания
электронные (ленгмюровские) 349, 361
Плазменные колебания
ионные 362
Поверхностный импеданс 374
Полиномы
Лежандра 22
Лежандра присоединенные 22
Поляризация
плоской монохроматической волны 56
Поляритоны в диэлектрике 400
Поперечность
электромагнитных волн 55
Поток энергии
в диспергирующей среде 347, 349
Правила отбора 251
Преобразование
Фурье 29
Преобразования
Галилея 79
Лоренца 79
Принцип
Бабине 384
взаимности 182
причинности 339
суперпозиции 39
Производная
от дельта-функции 25
Проницаемость
диэлектрическая 264
магнитная 303
Р
Радиус Дебая 354
Разложение
по мультиполям 40, 43
Разложение Клебша-Гордана 252
Распределение
Больцмана 265
Максвелла 265
Планка 246
Релятивистский фактор (лоренц-фактор) 123
Релятивистское движение в кулоновском
поле 174
С
Сверхтонкое расщепление 253
Световое давление 377
Сечение поглощения 384
Сечение рассеяния 200
Сила
Ампера 49
Кулона 38
Лоренца 49
приложенная к диэлектрику 277
приложенная к магнетику 310
приложенная к проводнику 276
радиационного торможения 197
четырехмерная 135
Символ
Кронекера 7
Система отсчета
центра инерции 124
Скаляр
в трехмерном пространстве 6
Скорость
групповая 370
фазовая 371
Собственное время 80
Спектр магнонов 364
Спин элементарных частиц 71
Спиновый момент электромагнитного поля
256
Спиральность и направление вращения 75
Степень
деполяризации 58
поляризации 58

470
Сборник задач по электродинамике
Т
Тензор
аксиальный (псевдотензор) 8
в трехмерном пространстве 7
дуальный 11, 91
комплексной диэлектрической
проницаемости 337
корреляционный 387
максвелловский 428
метрический 81
натяжений в диэлектрике 277
натяжений в магнетике 310
натяжений максвелловский 96
поляризации 57
полярный 8
симметричный (антисимметричный) 8
четырехмерный 90
электрической поляризуемости 271
электромагнитного поля 94
энергии-импульса электромагнитного
поля 95
эрмитов (антиэрмитов) 10
Теорема
Ирншоу 45
Остроградского-Гаусса 15
Остроградского-Гаусса обобщенная 34
Стокса 15
Стокса обобщенная 18
вириала 168
оптическая 386, 418
сложения сферических функций 23
Термодинамические потенциалы
диэлектрика 274
магнетика 307
Тождества Грина 17
Ток
намагничения 303
перехода (квантовый) 249
проводимости 303
смещения 54
Ток Холла 319
Томсоновское сечение рассеяния 238
У
Убегающие электроны 173
Угол
полного отражения 377
полной поляризации 377
Удельная электропроводность 297
Уравнение
Гамильтона-Якоби 137
Ландау-Лифшица 350
Бесселя 18
Блоха 350
Больцмана кинетическое 297
Гельмгольца 18
Дирака-Лоренца 197
Пуассона 39, 47
Френеля 379
дисперсии 369, 430
неразрывности (непрерывности) 54
Уравнения
Гамильтона релятивистской частицы 136
Даламбера 54, 179
Лагранжа релятивистской частицы 136
Максвелла 95
Максвелла в вакууме 53
Максвелла в средах 335, 336
движения релятивистской частицы 135
дисперсии 340
магнитостатики 46, 303
связи между векторами поля 336, 337
электростатики 38, 269
Уширение спектральных линий
доплеровское 234
радиационное (естественное) 233
столкновительное 234
Ф
Фаза
плоской монохроматической волны 56
Феноменологическая термодинамика
сверхпроводников 317
Ферромагнитный резонанс 364
Формула
Вина 258
Рэлея-Джинса 258
Формула Брейта 178
Формула Резерфорда 169
Формулы
Клаузиуса-Мосотти 265
Сохоцкого 28
Френеля 372
Фотон 123, 243
Функции
Бесселя и Ханкеля
сферические 20
Функция
Бесселя
модифицированная 19

Предметный указатель
471
интегральное представление 19
рекуррентные соотношения 19
Гамильтона релятивистской частицы 136
Лагранжа релятивистской частицы 135
Ланжевена 266
Неймана, Вебера, Ханкеля 18
волновая 244
дельта Дирака 24
потенциальная магнитного поля 48
распределения 297
ступенчатая Хевисайда 25
Ч
Частица
ультрарелятивистская 123
Частота
круговая 56
плазменная 342
Четырехвектор плотности тока 116
Четырехмерная скорость 82
Четырехмерное ускорение 82
Четырехмерный волновой вектор 82
Четырехмерный импульс частицы 122
Четырехмерный псевдотензор 90
Числа заполнения 244
Э
Электромагнитные потенциалы 54
Лиенара-Вихерта 188
векторный 47
запаздывающие 179
псевдоскалярный 47, 304
скалярный 38
Электронный парамагнитный резонанс, ЭПР
363
Энергетический выход реакции 124
Энергия
магнитного поля 48
поля в диспергирующей среде 347, 348
релятивистской частицы 122
электрического поля 40
электромагнитного поля 55, 96, 243
Эргодичность 389
Эффект
Коттона-Мутона 382, 410
Мейсснера-Оксенфельда 312
Вавилова-Черенкова 133
Доплера 86
Казимира 247
Керра 357
Комптона 132
Фарадея 382
изотопический 314
Я
Ядерный магнитный резонанс, ЯМР 363

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Математические методы электродинамики 6
§1.1 Векторная и тензорная алгебра 6
§1.2 Векторный анализ 13
§1.3 Специальные функции математической физики 18
§1.4 Ответы и решения 30
Глава 2. Электромагнитные явления в вакууме 38
§2.1 Электростатика 38
§2.2 Магнитостатика 46
§2.3 Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 53
§2.4 Ответы и решения 61
Глава 3. Специальная теория относительности 79
§3.1 Принцип относительности и преобразования Лоренца 79
§3.2 Четырехмерные векторы и тензоры 90
§3.3 Уравнения электродинамики в четырехмерной форме 94
§3.4 Ответы и решения 98
Глава 4. Релятивистская механика 122
§4.1 Кинематика релятивистских частиц 122
§4.2 Движение заряженных частиц в электромагнитных полях 135
§4.3 Ответы и решения 142
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн 179
§5.1 Общая теория. Излучение нерелятивистских систем 179
§5.2 Излучение релятивистских частиц 188
§5.3 Взаимодействие заряженных частиц с излучением 197
§5.4 Ответы и решения 204
Глава 6. Основы квантовой теории излучения и рассеяния фотонов 242
§6.1 Квантовая теория свободного электромагнитного поля 242
§6.2 Излучение и поглощение света атомами 248
§6.3 Ответы и решения 253
Глава 7. Электростатика проводников и диэлектриков 264
§7.1 Поляризация вещества в постоянном электрическом поле 264
§7.2 Основные понятия и методы электростатики 269
§7.3 Энергия и силы в электростатическом поле 274
§7.4 Ответы и решения 279

Оглавление 473
Глава 8. Постоянный ток и магнитное поле в средах 297
§8.1 Электропроводность и постоянный ток 297
§8.2 Магнитное поле в магнетиках 303
§8.3 Энергия и силы в магнитостатике 306
§8.4 Магнитные свойства сверхпроводников 312
§8.5 Ответы и решения 318
Глава 9. Уравнения электромагнитного поля при наличии сред 335
§9.1 Уравнения Максвелла и уравнения связи.
Принципы причинности и дисперсионные соотношения 335
§9.2 Энергетические соотношения
для переменного электромагнитного поля 346
§9.3 Магнитные колебания
и магнитный резонанс 350
§9.4 Ответы и решения 353
Глава 10. Распространение электромагнитных волн 369
§10.1 Волны в изотропных средах.
Отражение и преломление волн 369
§ 10.2 Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах 379
§ 10.3 Рассеяние электромагнитных волн
на макроскопических телах. Дифракция 383
§ 10.4 Когерентность и интерференция 386
§ 10.5 Ответы и решения 399
Глава 11. Излучение быстрых частиц в средах 427
§ 11.1 Генерация собственных колебаний заданным током
в однородных средах 427
§11.2 Излучение в неоднородных средах 437
§11.3 Ответы и решения 445
Литература 459
Предметный указатель 467

Владимир Владимирович БАТЫГИН
Игорь Николаевич ТОПТЫГИН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
И СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Учебное пособие
Издание четвертое,
переработанное
Художественный редактор С. Ю. Малахов
Редактор Н. М. Баскакова
Корректор Т. А. Кошелева
Подготовка иллюстраций М. О. Мопгыгина
Выпускающие Е. А. Петрова, О. В. Шилкова
ЛР №065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10
от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lpbl.spb.ru; www.lanbook.com
192029, Санкт-Петербург, Общественный пер., 5.
Тел./факс: (812)412-29-35, 412-05-97, 412-92-72.
Бесплатный звонок по России: 8-800-700-40-71
Подписано в печать 10.06.10.
Бумага офсетная. Гарнитура Литературная. Формат 70x100 V1(
Печать офсетная. Усл. п. л. 39,00. Тираж 1500 экз.
Заказ №
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных материалов в ОАО «Дом печати — ВЯТКА»
610033, г. Киров, ул. Московская, 122