Квантовая кинематика и динамика - Швингер Ю.

Автор: Швингер Ю.
Теги: физика квантовая физика
ISBN: 5-02-014348-0
Год: 1992
Похожие
Теория квантованных полей
Биография элементарных частиц
Методы современной математической физики. Том 4. Анализ операторов
Магнетизм микрочастиц
Текст
                    БИБЛИОТЕКА
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Серия основана в 1978 году
Редактор серии Д. В. ШИРКОВ

Ю. ШВИНГЕР
КВАНТОВАЯ
КИНЕМАТИКА
И ДИНАМИКА
Перевод с английского
С.Г.ШЕХОВЦОВА
Под редакцией Б.В.МЕДВЕДЕВА
МОСКВА сНАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1992

ББК 22 3 1 QUANTUM KINEMATICS
Ш35 AND DYNAMICS
УДК530.145
by JULIAN SCHWINGER
W.A.Benjamin, Inc
NEW YORK 1970
ШВИНГЕР Ю. Квантовая кинематика н динамика: Пер. с англ. Под ред.
Б.В.Медведева. -М.:Наука. Гл.ред.фнз.-мат.лнт.,1992 -317с. ISBN 5-02-014348-0.
Кинга Швннгера "Квантовая кинематика и динамика" появилась в 1970 г. В
основу построения- квантовой теорнн автор положил развитую нм теорню селектив-
селективных иэмереннй. В рамках такого подхода обычный геометрическнй язык векторов
состояния получается в результате "расщепления" алгебры иэмереннй, которая
строится автором как естественный снмволнческнй язык опнсания базовых экспе-
экспериментов. Изложения такого подхода на русском языкв нет.
Рекомендуется студентам старших курсов, аспирантам, преподавателям н
научным работникам, специализирующимся в области теоретической н математи-
математической физики, а также всем желающим углубить свои знания в области кванто-
квантовой механики.
Библиогр.: 11 назв.
@ «НаукаЭ. Физматлит,
ш 1604030000 - 014 ,_.,. ., Перевод на русский язык,
053 @2) -92 к*»1 предисловие
.__.. и примечания переводчика,
ISBN 5-02-014348-0 1992

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика "
ifi
Предисловие автора °
Глава 1. Алгебра измерений "
1.1. Символы измерения 1?
1.2. Совместимые свойства. Определение состояния 19
1.3. Измерения, меняющие состояние 20
1.4. Функции преобразования 21
1.5. След 23
1.6. Статистическая интерпретация 24
1.7. Операция сопряжения 25
1.8. Комплексно-сопряженная алгебра 26
1.9. Матрицы 27
1.Ю. Вариации функций преобразования' 29
1.11. Ожидаемое значение 30
1.12. Дополнение: Неселективные измерения 31
Глава 2. Геометрия состояний ' 34
2.1. Пустое состояние . 34
2.2. Реконструкция алгебры измерений 36
2.3. Векторная алгебра 37
2.4. Волновые функции 38
2.5. Унитарные преобразования 40
2.6. Бесконечно малые унитарные преобразования 41
2.7. Последовательные унитарные преобразования 43
2.8. Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты 44
2.9. Отражения 46
2.Ю. Непрерывный спектр 47
2.11. Дополнение: Операторное пространство 48
2.12. Дополнение: Базисы из унитарных операторов 52

6 ¦ Оглавление
Глава 3. Динамический принцип 66
3.1. Оператор действия 67
3.2. Оператор Лагранжа 67
3.3. Принцип стационарного действия 68
3.4. Оператор Гамильтона 69
3;5. Уравнения движения. Генераторы 70
3.6. Перестановочные соотношения 71
3.7. Два класса динамических переменных 72
3.8. Взанмодополнительные переменные первого рода 78
3.9. Неэрмнтовы переменные первого рода 80
З.Ю. Взаимодополнительные переменные второго рода 82
Глава 4. Специальная каноническая группа 86
I. Переменны* первого рода 86
4.1. Дифференциальные операторы 87
4.2. Уравнения Шредиигера 89
4.3. дамруикцнн' преобразования 90
4.4. Дифференциальные формы условий полноты 91
4.5. Неэрмнтоаы канонические переменные 92
4.6. Некоторые функции преобразований 93
4.7. Физическая интерпретация 94
4.8. Композиция с помощью интегрирования по контуру 96
4.9. Измерения оптимальной совместимости ЮО
II. Переменные второго рода 102
4.Ю.. Группа поворотов Ю2
4.11. Внешняя алгебра 1Q3
4.12. Собственные векторы я собственные числа Ю4
III. Унификация переменных Юб
4.13. Конструктивное использование специальной 106
канонической группы
4.М. Функции преобразования 108
15IS. Интегрирование Ш
4.16. Дифференциальные реализации 115

Оглавление 7
Глава 5. Канонические преобразования W
5.1. Групповые свойства и избыточные переменные 118
5.2. Бесконечно малые канонические преобразования 119
5.3. Повороты. Угловой момент 121
5.4. Сдвиги. Импульс 123
5.5. Параметры преобразований 124
5.6. Преобразования Гамильтона-Якобн 126
5.7. Зависимость от пути 127
5.8. Независимость от пути 128
5.9. Линейные преобразования 129
Глава 6. Группы преобразований 132
6.1. Условия интегрируемости 132
6.2. Представление конечными матрицами 133
6.3. Подгруппы 135
6.4. Дифференциальные формы н свойства композиции 136
6.5. Канонические параметры 137
6.6. Пример. Специальная каноническая группа 140
6.7. Другие параметры. Группа поворотов 141
6.8. Реализации дифференциальными операторами 145
6.9. Групповой объем 146
6.Ю. Компактные группы 148
6.11. Операторы проецирования н инварианты 149
6.12. Дифференциальные операторы и группа поворотов 151
6.13. Интегрирование в некомпактных группах 155
6.14. Переменные второго рода 157 .
6.15. Оператор отражения 158
6.16. Конечный операторный базис 158
6.17. Дополнение: Вывод принципа действия МО
6.18. Дополнение по поводу специальной
канонической группы 165
6.19. Дополнение: Квантовые переменные
н принцип действия И®

Оглавление
Глава 7. Трансформационные функции канонических
преобразований ^
7.1. Упорядоченный оператор действия 198
7.2. Трансформационные функции бесконечно малых
канонических преобразований 199
7.3. Трансформационные функции конечных канонических
преобразований 202
7.4. Упорядоченные операторы. Применение трансформационных
функций канонических преобразований 204
7.5. Пример 205
7.6. Упорядоченные операторы и теория возмущений 206
7.7. Применение специальной канонической группы 209
7.8. Вариационные производные 211
7.9. Взаимодействие двух подсистем 215
7.Ю. Дополнение: Внешняя алгебра и принцип действия 217
Глава 8. Функции Грина 230
8.1. Включение печальных условий 230
8.2. Консервативные системы. Фурье-образы 232
8.3. Операторные функции комплексной переменной 233
8.4. Особенности 235
8.5. Пример 236
8.6. Сокращеннея функция Грнне 237
Глава 9. Приложения 239
I. Броуновское движение квантового оссциллятора 239
9.1. Введение 239
9.2. Осциллятор 241
9.3. Внешняя система 257
9.4. Улучшенная трактовка 275
9.5. Обшая теория 305
II. Кулоновская функция Грнна 310

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Одного того, что автор этой книги Юлиан Швингер
(р. 1918), достаточно, чтобы оправдать ее перевод на рус-
русский язык, ибо знакомство с точкой зрения одного из наи-
наиболее глубоких физиков-теоретиков нашего века на такой
непростой предмет как квантовая механика в любом случае
будет небесполезным и дл§ профессионалов, и для начинаю-
начинающих физиков. Однако мы скажем больше - книга Швингера
вправе занять место среди лучших книг по квантовой меха-
механике на русском языке. На первый взгляд это утверждение
может показаться сомнительным. В самом деле, вышла она в
известной серии "Frontiers in Physics" в 1970 году (зна-
(значительную ее часть составили материалы лекций на школе в
Лезуш 1955 г.), к тому же автор — нобелевский лауреат,
т.е'. известность, казалось бы, гарантирована... и тем не
менее, сейчас в 1990 году можно утверждать, что швинге-
рова трактовка квантовой механики мало известна в СССР
и, судя по цитированию и некоторой частной информации,
ие прижилась пока что и за рубежом .
Не вдаваясь в детали процесса происхождения попу-
популярности в науке, заметим, что творчеству Швингера при-
присущи некоторые черты, вообще говоря, не способствующие
быстрому проникновению его представлений и методологии в
физико-математическую среду. В своих построениях он, как
правило, исходит из фундаментальных принципов и, стре-
стремясь к чистоте математических формулировок, избегает эв-
эвристических рассуждений. К тому же Швиигер известен как
мастер формьГ, однако, придавая своим построениям форму,
наиболее адекватно отражающую существо дела, он порой
несколько изменяет смысл привычных обозначений, и это,
конечно, не облегчает изучение его работ, а у профессио-
профессионалов может вызывать раздражение. Так один физик как-то
На русском языке нмеется нзложенне теорнн селектнвных н неселектнвных изме-
измерений Швннгера в [1,гл.5,6], однако оно носит характер обобщающего этюда в бо-
более менее стандартном окружении (при первом чтении эти главы рекомендуется
опустить), и поэтому не дает целостного представления о трактовке Швннгера.
2
В современном учебнике А.Садберн [2], например, довольно подробно рассматри-
рассматриваются альтернативные формулировки, подход Швннгера даже не упоминается.

ТО Предисловие переводчика
сердито сказал: "Некоторые печатают свои произведения
для того, чтобы показать всем, как это делается, а Юлиан
Швиигер публикует свои работы, чтобы показать всем, что
только ои одни и может это сделать" [3, с. 62]. Еще одна
характерная деталь: Швиигер почти ие занимался массовой
популяризацией своих представлений; иа протяжении многих
лет ои читал лекции в самых престижных университетах
США, однако эти курсы ие были обработаны и опубликованы,
как это весьма часто делается. Нельзя сказать, что Швии-
Швиигер недооценивает этот род деятельности, об этом, в ча-
частности, говорит его едииствеииая самостоятельная попыт-
попытка такого рода - двухтомник "Частицы, источники, поля",
так что причина в другом. "Я поставил мировой рекорд по
количеству иезакоичеииых первых глав"- пишет сам Швиигер
[4, с. 4]. И действительно, когда мысль влечет вперед,
бывает очень трудно остановиться, упорядочить и оформить
пройденное.
Происхождение предлагаемой книги в полной мере от-
отражает эти характерные для ее автора особенности: во-
первых, оиа появилась по инициативе ие столько самого
Швиигера, сколько Роберта Кохлера (что, кстати, говорит
о наличии определенного интереса в США); во-вторых, в ее
основе лежит текст первой части незавершенной работы, в
которой Швиигер собирался изложить квантовую теорию по-
полей ab initio, и которая, судя по всему, должна была по-
подытожить известные циклы его работ по квантовой электро-
электродинамике [5, с. 12-114] и теории квантованных полей [5,
с. 115—137; 6]. Кстати, с таким происхождением связан ос-
основной недостаток книги, в общем, дидактического харак-
характера, — отсутствие физических иллюстраций и разработан-
разработанных примеров, что, конечно, сильно затруднит чтение на-
начинающим. Тем ие менее, ее содержательная сторона иску-
искупает этот недостаток, и именно оиа позволяет утверждать,
что книга содержит уникальное построение основ квантовой
механики.
Действительно, Швиигер предлагает такой способ по-
построения математического аппарата, который явно показы-
показывает, что квантовая механика есть форма символического

Предисловие переводчика
выражения закономерностей микроскопического измерения. В
связи с этим структура исходного математического объекта
— алгебры физических измерений — формируется, исходя из
свойств специального класса мысленных экспериментов, на-
названных Швиигером селективными измерениями, над система-
ми с конечным числом состояний. Этот анализ естествен-
естественным образом приводит к внутренним законам композиции —
сложению и умножению символов измерений с полугрупповыми
свойствами и дистрибутивностью между ними; при этом, в
сущности, иет никакого произвола.
В стандартном изложении квантовой механики одним из
самых туманных мест является математическая формулировка
принципа' суперпозиции. Дирак, например, по этому поводу
пишет [8, с. 28]: "Процесс суперпозиции есть нечто вроде
процесса сложения;<...>. Поэтому состояния должны быть
связаны с такими математическими величинами, которые мо-
можно складывать между собой, получая математические вели-
величины того же рода. Наиболее простыми и известными из та-
таких величии являются векторы." Такую аргументацию в
пользу векторного пространства трудно признать рацио-
рациональной, хотя бы потому, что абелева группа все же про-
проще, другое дело, что она недостаточно богата. Короче,
очевидно, что векторная структура выбрана a priori, a
фундаментальный, так сказать, физический принцип попрос-
попросту подгоняется под нее.
У Швингера, как мы уже говорили, естественно возни-
возникает структура полукольца (с нулём и единицей), вся спе-
специфика квантовой механики, можно сказать её секрет, со-
сосредоточена в процедуре введения внешнего закона компо-
композиции, который традиционно интерпретируется как
умножение на "числа". Если, например, допустить, что все
физические величины совместимы, как это предполагается в
классике, то множество этих "чисел" будет состоять в
сущности только из "нуля" и "единицы", т.е. ввести соде-
Ричард Фейимаи в своих широко известных лекциях [7] также начинает изложе-
изложение квантовой механики с весьма подробного изучения свойств фильтраций, си-
речь, по Швиигеру, селективных измерений. Фейимаи, однако, йе использует а
полной мере заложеииый в таком подходе математический потенциал.

12 Предисловие переводчика
ржательиый внешний закон нельзя. Поэтому соотношение,
согласовывающее внутренние и этот внешний законы, можно
по праву назвать основным постулатом квантовой механики.
Уже на этом уровне возникает ряд условий, которым должно
удовлетворять множество "чисел"; в частности, им удовле-
удовлетворяют комплексные числа. Линейные комбинации символов
селективных измерений соответствуют, вообще говоря, из-
измерениям более общей природы - неселективным, например.
Произвольный элемент алгебры измерений Швингер называет
оператором.
Далее, оказывается, что построенную алгебру измере-
измерений можно непротиворечивым образом "погрузить" в другую
алгебру, расширенную с помощью формального введения до-
дополнительного (иефизического и, следовательно, ненаблю-
ненаблюдаемого) состояния системы. В расширенной таким образом
алгебре возникают два замечательных подмножества, одно
из которых инвариантно относительно умножений на элемен-
элементы алгебры справа (точнее, оно является правым идеалом),
другое — инвариантно относительна умножений слева (левый
идеал), а, кроме того, все произведения в пределах этих
подмножеств равны нулю, т.е. нетривиальной остается лишь
структура векторного пространства.
Таким образом, элементы правого .идеала оказываются
левыми (что соответствует дираковским бра-векторам), эле-
элементы левого идеала - правыми (кет-векторам), а операторы
(т.е. элементы исходной алгебры физических измерений)
приобретают смысл линейных отображений векторных прост-
пространств в себя. По построению эти пространства связаны
операцией (эрмитова) сопряжения, что естественным образом
приводит к определению эрмитовой формы (эрмитова произве-
произведения), или другими словами к геометрии векторов состо-
состояний. В сущности, Швиигер, исходя из весьма физичиых по-
посылок, выводит формализм Дирака [8].
Что же дает такое построение математического аппа-
аппарата квантовой механики? Во-первых, последовательиое фи-
физически мотивированное введение математических структур
позволяет четко выделить места, где допускается тот или
иной произвол (см., например, введение комплексных чи-

Предисловие переводчика 13
сел), и что особенно важно - прививает сознательное от-
отношение к математическому формализму.
Во-вторых, выявляется природа формализма Дирака, в
частности более формальная (и вторичная) природа векто-
векторов состояний по сравнению с операторами, которые по по-
построению теснее связаны с описанием физических свойств
системы, чего, например, ие отражает обычная аксиоматика
квантовой механики [2,9], когда исходным объектом явля-
является гильбертово пространство векторов состояний, а опе-
операторы a priori рассматриваются как линейные отображения
на этом пространстве. Кстати, математики иной раз выска-
высказывают суждения об имеющейся, якобы, иестрогости форма-
формализма Дирака, поскольку последний не вполне укладывается
в традиционную для функционального анализа схему пост-
построения спектральной теории (самосопряженных) операторов.
Но, как убедительно показал Швингер, обычная аксиоматика
далеко ие самый естественный язык для квантовой механи-
механики, и, следовательно, этот довод утрачивает свою актуа-
актуальность.
Помимо указанных методических преимуществ такое по-
построение позволяет по-новому понять некоторые весьма
старые вещи. Так, например, ранее не осознавалось, что
введенные еще в 1928 г. Вейлем ..[Л0,.с.331-340] операторы,
которые удовлетворяют носящим теперь его имя перестано-
перестановочным соотношениям, являются образующими полного опера-
операторного базиса системы с любым конечным или бесконечным
(в том числе и несчетным) числом состояний. Это, конеч-
конечно, не случайно. В самом деле, Вейль кладет в основу ки-
кинематики группу поворотов пространства лучей, а физичес-
физические величины интерпретирует как вещественные элементы
соответствующей групповой алгебры [10]: Швиигер, напро-
напротив, имея с самого начала алгебру как результат анализа
измерений определенного типа, выводит фундаментальную
кинематическую группу (раздел 2.12) как некоторую абеле-
ву группу унитарных элементов алгебры; эти элементы оп-
определяют полный набор совместимых физических величии.
Имея целью построить базис алгебры измерений и тем самым
дать полное описание всех возможных физических величии

14 Предисловие переводчика
системы, Швингер с неизбежностью приходит к другому пол-
полному набору физических величии, максимально ие совмести-
совместимых с первыми. Образующие операторы двух этих групп под-
подчиняются перестановочным соотношениям Вей л я. Исследова-
Исследование структуры полученных групп приводит к четкому опре-
определению понятия квантовой степени свободы и возможности
априорной классификации всех возможных степеней свободы.
Таким образом, Вейль и Швингер пришли с разных сторон к
одному и тому же объекту, однако более естественный путь
Швиигера позволил достичь нового уровня понимания.
Поэтому с первыми двумя главами — сказанное выше
относится главным образом к ним - было бы весьма полезно
ознакомиться начинающим. К сожалению, в силу своего
происхождения книга даже в этой, сравнительно элементар-
элементарной, части ие предназначена для первоначального изучения
— в ней почти нет физических иллюстраций. Впрочем, этот
пробел восполняют упомянутые выше лекции Фейнмана [7].
Динамику квантовой системы Швиигер рассматривает с
точки зрения, которую иногда называют "пассивной", т.е.
в каждый момент времени описание должно быть таким, что-
чтобы относительно . него система проявляла такие же свойст-
свойства, как и в любой другой момент времени. По этой причине
в книге нет термина "амплитуда вероятности (перехода)",
вместо' него автор пользуется естественным для такого
подхода термином "функция преобразования". В основу по-
построения динамики автор кладет вариационный динамический
принцип; который впервые был им введен в статье i951 г.
первой из цикла "Теория квантованных полей". Вот как
тогда Швингер определил свою цель [5, с 116]: "Развивае-
"Развиваемая нами в дальнейшем точка зрения заключается в замене
ряда обычных допущений, основанных на классической гами-
льтоиовой динамике и принципе соответствия, одним единс-
единственным динамическим принципом."
К достоинствам динамического принципа Швиигера
стоит отнести ие только его мощь и общность, позволяющую
построить всю теорию с единой точки зрения, ио также и
то, что в рамках математической схемы квантовой механики
он выглядит более естественно, нежели классические ва-

Предисловие переводчика 15
риациоииые принципы в системе понятий ньютоновой механи-
механики.
Целостность изложения автором квантовой механики
привела к еще одному интересному явлению — в ней иет
ссылок на математические теоремы, поскольку все нужные
результаты выводятся по ходу дела (едииствеииое, пожа-
пожалуй, исключение - упоминание в разделе 2.12 теоремы Фер-
Ферма — Эйлера). Поэтому искушенный читатель то и дело бу-
будет узнавать возникающие в тексте математические струк-
структуры и результаты, как правило, без принятых в математи-
математике названий.
Вообще, читатель найдет в книге много интересных и,
возможно, неожиданных для себя деталей. В целом книга по-
позволит читателю существенно углубить понимание квантовой
механики, а интересующимся — упростит чтение других ра-
работ автора.
Последняя глава книги состоит из двух работ, одна
из которых "Броуновское движение квантового осциллятора,
уже выходила иа русском языке в переводе В.Л.Боич-
Бруевича [11,с.96-167]. Этот перевод и воспроизводится в
настоящем издании.
С. Г. Шеховцов
Список литературы
1. Квмпфвр Ф. Основные положения квантовой механики: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1967.
2. Садбери ¦ А. Квантовая механика и физика элементарных частиц: Пер. с англ.
- М.:Мнр, 1989.
3. Ахивзвр Л. И.. Рвкало М. П. Биография элементарных частиц. — Киев: Нау-
кова думка, 1983.
4. Шеингер Ю. Частицы, источники, поля:' Пер. с англ.- М.: Мир, 1973.
5. Новейшее развитие квантовой электродинамики: Пер. с англ. - М.: Изд-во
иностр. лит., 1954.
6. Шеингер Ю. Теория квантованных полей: Пер. с англ. - М.: Изд-во иностр.
лит., 1956.
7. Фвйнман Р.. Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмаиовскне лекции по физике: Пер.
с англ. - М.:Мнр, 1966.- Вып.8,9: Квантовая механика.
8. Дирак П. Принципы квантовой механики: Пер. с англ. — М.: Наука, 1979.
9. Фок Нейман И. Математические основы квантовой механики: Пер. с нем. -
М.: Наука, 1964.
Ю. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика: Пер. с англ.- М.: Наука, 1983.
11. Мартин П.. Шеингер Ю. Теория систем многих частиц. Шеингер Ю. Броу-
Броуновское движение квантового осциллятора: Пер. с англ. - М: Изд-во иностр.
лит.. 1962.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В начале 1955 г. я начал писать статью по кванто-
квантовой теории полей. Вот что говорилось во введении о плане
статьи: "В части А этой статьи в рамках нерелятнвистской
теории строится общая схема квантовой кинематики и дина-
динамики, пригодная для систем с конечным числом динамичес-
динамических переменных. Если оставить в стороне конкретные физи-
физические следствия, к которым приводит требование реляти-
релятивистской инвариантности, то переход к полям в части В
привносит сравнительно мало нового, что позволяет изу-
изучать главные математические особенности теории полей на
примерах более элементарных физических систем".
Предварительная и неполная версия части А была по-
положена в основу лекций на Летией школе теоретической фи-
физики в Лезуше в июле 1955 г. В том же году работа над
частью А прервалась, а часть В так и ие была начата. Не-
Несколько лет спустя я использовал часть этих материалов в
серии заметок, опубликованных в "Proceedings of the Na-
National Academy of Sciences". Положение вещей не менялось
вплоть до недавнего времени, когда Роберт Кохлер (уни-
(университет штата Буффало) напомнил мне о неослабевающем,
интересе к заметкам школы в Лезуше и предложил опублико-
опубликовать их. Кроме того, он вызвался- помочь мне в этом деле.
Результат вы держите в руках.. Основной текст представ-
представляет собой оригинальный, так и не завершенный манускрипт
1955 г., в который я добавил лишь подзаголовки. К основ-
основному тексту добавлены оттиски упомянутых статей из "Pro-
"Proceedings", что обогощает текст, а, кроме того, в конце
книги помещены две статьи, которые иллюстрируют и разви-
развивают дальше методы данной книги.
Белмонт, Массачусетс Юлиан Швингер
1969

ГЛАВА 1
АЛГЕБРА ИЗМЕРЕНИЙ
1.1. Символы измерения
1.2. Совместимые свойства. Определение состояния
1.3. Измерения, меняющие состояние
1.4. Функции преобразования
1.5. След
1.6. Статистическая интерпретация
1.7. Операция сопряжения
1.8. Комплексно—сопряженная алгебра
1.9. Матрицы
1.10. Вариации функций преобразования
1.11. Ожидаемое значение
1.12. Дополнение: Неселективные измерения
Классическая теория измерения строится на предста-
представлении о том, что взаимодействие между изучаемой систе-
системой и измерительным прибором может быть сделано сколь
угодно малым или, по крайней мере, точно скомпенсирова-
скомпенсировано, поэтому можно вполне осмысленно говорить о неком
идеализированном измерении, которое не нарушает ни одно-
одного из свойств системы. Но для атомных явлений характерно
именно то, что взаимодействие между системой и прибором
не является сколь угодно малым. К тому же нарушения, ко-
которые вызывает это взаимодействие, нельзя точно скомпен-
скомпенсировать, поскольку они до некоторой степени неконтроли-
руемы и непредсказуемы. Следовательно, измерение какого-
либо одного свойства может вызвать неизбежное изменение
значения, предварительно установленного для другого
свойства, и поэтому нет смысла говорить о микроскопичес-
микроскопической системе, имеющей точные значения для всех своих при-
признаков. Это противоречит классическому способу представ-
представления всех величин числами. Поэтому законы атомной физи-
физики должны выражаться на некотором неклассическом матема-
математическом языке, который устанавливает определенный спо-
способ символического выражения свойств микроскопического
измерения.
1.1. Символы измерения
Основные положения этой математической структуры мы
разработаем, изучая упрощенные физические системы, а

18 . Гл.1. Алгебра измерений
именно такие, что любая физическая величина А принимает
только конечное число различных значений а,...,ап. При
измерении наиболее элементарного типа прибор разделяет
ансамбль независимых подобных систем на подансамбли, ко-
которые различаются значениями измеряемой физической вели-
величины. Пусть М(а') есть символическое обозначение для та-
такого селективного измерения, которое пропускает системы
со значением а' для свойства А и отбрасывает все другие.
Мы вводим операцию сложения таких символов как способ
описания не столь определенных селективных измерений; а
именно измерений, в результате которых получается подан-
самбль, отвечающий всем фигурирующим в сумме значениям
величины А, т.е. ни одно нз них нельзя различить с по-
помощью такого измерения.
Операция умножения символов измерения обозначает
последовательное выполнение измерений (читать справа на-
налево). Из физического смысла этих операций следует, что
сложение коммутативно и ассоциативно, а умножение
ассоциативно. Обозначив символами 1 и 0 измерения, кото-
которые, соответственно, пропускают и отбрасывают все систе-
системы, Свойства элементарных селективных измерений можно
записать в виде
М(а')М(а') = М(а'), A.1)
М(а')М(а») = О, а'*а" , A.2)
ZfM(a') = 1. A.3)
л
В самом деле, измерение, которому отвечает символ.
М(а'), пропускает каждую систему, порожденную измерением
М(а'), и отбрасывает каждую систему, порожденную измере-
измерением М(а"), а"*а'; в то время как селективное измерение,
не различающее ни одного из возможных значений а', явля-
является измерением, которое пропускает все системы. По смы-
смыслу измерений, обозначенных как 1 и 0, эти измерения об-
обладают алгебраическими свойствами
11 = 1, 0 0 = 0.
10 = 01 = 0,
1 + 0 = 1, A.4)
и

Гл.1. Алгебра измерений 19
\М{а') = М(а')\ = М(а'),
ОМ(а') = М(а')О = О,
М(а') + 0 = М(а'), A.5)
оправдывающими такие обозначения. Различные свойства
символов 0, М(а') и 1 согласуются, если умножение
дистрибутивно. Следовательно,
? М(а')М(а") = М(а') «
= М{а')\ = М(а') %яЩа"). A.6)
Введение очевидным образом чисел 1 и 0 в качестве множи-
множителей позволяет скомбииировать эти законы умножения сим-
символов в единое утверждение
М(а')М(а") = 8(а',а")М(а'), A.7)
где
Г 1. а'=а".
ЪХа'.а") = \ A.8)
I 0. а'*а" .
1.2. Совместимые свойства. Определение состояния
Две физические величины А и Д, называются
совместимыми, если измерение одной не разрушает знания,
полученного предшествующим измерением другой. Соответст-
Соответствующие селективные измерения М(а'^) и М(а'2), выполненные
в том или ином порядке, порождают ансамбль систем, в ко-
котором можно одновременно приписать значение а'^ величине
А. и значение а'2 величине Д,. Символ такого составного
измерения имеет вид:
М(а\а'2) = М(а\)М(а2) = М(а'2)М(а\). A.9)
Под полным набором совместимых физических величин
A.,..tA. мы понимаем такой набор физических величин,
каждая пара которого совместима, и в то же время не су-
существует никаких других- величин, совместимых с каждым
элементом набора, за исключением функций набора А Тогда
символ .
М(а') = ]\Ща'() A.10)
i=\
описывает полное измерение, которое характеризуется тем,
что отобранные системы обладают определенными значениями

20 Гл.1. Алгебра измерений
для максимально возможного числа признаков; любая попыт-
попытка определить значение еще какой-нибудь независимой фи-
физической величины вызовет неконтролируемые изменения од-
одного или более из предварительно установленных значений.
Таким образом, оптимальное состояние знаний о данной си-
системе получается, если подвергнуть ее некоторому полному
селективному измерению. Говорят, что системы, отобранные,
с помощью такого полного измерения М(а), находятся в
состоянии а. Символические* свойства полных измерений
также записываются в виде соотношений A-1), A-2),
A.3).
1.3. Измерения, меняющие состояние
Более общий тип измерения включает возможность на-
нарушений, которые приводят к изменению состояния. Символ
М(а',а") обозначает селективное измерение, при котором
воспринимаются только системы в состоянии а", а возника-
возникают системы в состоянии а'. Процесс измерения М(а') явля-
является частным случаем, в котором не происходит изменения
состояния,
Ща') ш М(а'.а'). A.11)
Свойства последовательных измерений типа М(а',а") симво-
символически записываются в виде ...
Af(a',a")Af(a"\alv) - 5(a",a")Af(a\alv), A.12)
нбо если а"*а"', то вторая ступень составного прибора не
пропустит нн одну из систем, получающихся после первой
ступени измерения, в то время как, если а"=а"', все та-
такие системы войдут во вторую ступень и,. следовательно,
составной прибор служит для отбора систем в состоянии
aiv и перевода их в состояние а'. Заметим, что если эти
две ступени поменять местами, то
М(а"',aIV)Af(a',а") - 5(a\aIV)Af(a"\a"). A.13)
что, вообще говоря, отлично от A.12). Поэтому умножение
символов измерения некоммутативно.
Физические величины, составляющие одни полный набор
А, не охватывают всего многообразия физических признаков

Гл.1. Алгебра измерений 21
системы. Можно построить другие полные наборы В, С, ....
которые взаимно несовместимы, причем для каждого выбора
неинтерферирующих физических характеристик имеется свой
набор селективных измерений, связанных с соответствующей
системой состояний: М(Ь',Ь"), М(с',с"), ... Наиболее об-
общее селективное измерение связывает два набора несовмес-
несовместимых свойств системы. Символом М(а' ,Ь') мы обозначаем
процесс измерения, который отсекает все системы, кроме
систем- в состоянии Ь', а из прибора могут появляться си-
системы в состоянии а'. Составное измерение
М(а' ,b')M(c' ,d') служит для отбора систем в состоянии d'
и перевода их в состояние а', т.е. оно является некото-
некоторым селективным измерением типа M(a',d'). Но в добавок к
этому после первой ступени возникают системы в состоянии
с', тогда как вторая ступень принимает только системы в
состоянии Ь'. До сих пор рассматривались примеры состав-
составных измерений,, которые подразумевали, что между двумя
ступенями измерения либо проходят все системы, либо не
проходит ни одной, что и отражали численные множители 1
и 0. Однако в более общем случае измерения свойства- В,
"выполняемые над системой в состоянии с', которое опреде-
определяется свойствами, не совместимыми с В, будут давать не-
некоторое статистическое распределение возможных значений
для этого свойства. В этом случае только определенная
часть систем, возникающих после первой ступени, будет
приниматься второй частью составного прибора. Мы выра-
выражаем это свойство в виде общего закона умножения
M{a',b')M(c',d>) = <b'\C>M(a',d')-, A.14)
где <&' | с' > есть число, характеризующее статистическую
связь между состояниями Ь' и с'. В частности,
а"). A.15)
1.4. Функции преобразования
Частными примерами соотношения A.14) являются вы-
выражения
М(а')М(Ь',с') = <а'\Ь">М(а',с') A.16)
М(а'.Ь')М(с') = <Ь'\с'>М(а',с'). A.17)

22 Гл.1. Алгебр* измерений
Из фундаментального свойства символа измерения A.3) мы
выводим, что
в Я
= М(Ь'.с') A.18)
и, аналогично,
Е <Ь' Ю Af(a',c') = M(a'(ft'). A.19)
с'
откуда видно, что символы измерения одного типа можно
представлять в виде линейной комбинации символов измере-
измерения другого типа. Общее соотношение имеет вид
M(c',d') = YM(a')M(c',d')M(b') =
= l<a'\c'y<d\b'yM(a',b'). A20)
Роль, которую числа <а'|6'> играют в установлении таких
связей, подсказывает название для них: совокупность чи-
чисел <а' | Ь1 > называется функцией преобразования, связы-
связывающей a-описание и ^-описание; термин "a-описание" оз-
означает описание системы иа языке состояний, которые по-
порождаются селективными измерениями полного набора сов-
совместимых физических величин А
Фундаментальное свойство композиции функций преоб-
преобразования получается при сравнении соотношений
Е М(а')М(Ь')М(с') « Е"<«' I*'>¦<*' IО Ща'.с*) A.21)
6' Ь'
и
Af^^fE,^*')]^^) = М(а')М(с') =
= <a'|C>Af(a',c'), A.22)
а именно
Е,<а'| *'><*'IO -<«'Ю- О-23)
При отождествлении а- и с-описаиий это равенство прини-
принимает вид
«'). О-24)
и, аналогично,
E/ft' I a' ><а'Ю *5(*',П- A-25)
а
Заметим, что как следствие получается соотношение

Гл.1. Алгебра измерений 23
Е,Е,<1 ><Ю Е,
, A.26)
,
которое означает, что N — полное число состояний, полу-
получающихся в некотором полном измерении, - не зависит от
частного выбора измеряемых совместимых физических вели-
величин. Поэтому полное число символов измерения любого кон-
конкретного типа равно N1. Таким образом, аддитивные комби-
комбинации с произвольиыми числовыми множителями при символах
измерения образуют элементы некоторой линейной алгебры
размерности N - алгебры измерений.
Элементы этой алгебры называются операторами.
1.5. След
Число <а/|6/> можно воспринимать как линейную
числовую функцию оператора М(Ь'.а'). Это линейное соот-
соответствие между операторами и числами мы назовем следом:
<а'\Ь'> = ТтМ(Ь'.а'). A.27)
и заметим, что из общего линейного соотношения A-20)
вытекает равенство
Тг М(с'.d') = ? ^а' |с'><af' | Ь'> Тг М(а',Ь') =
а Ь
= Е<р IЫ><Ь' |а'><а' |с'> = <<*' |с'> . A.28)
л Ь
которое подтверждает согласованность определения A.27).
В частности,
ТгМ(а'.а") ш дХа'.а").
ТгЛ1(а') ж 1 . A.29)
След произведения символов, очевидно, есть
ТгM(a',b')M(c',d') = <6''|с'> TrAf(a'.af') =
= <6'|C><d'|a'>; 0-30)
переставим местами сомножители
ТгM(c'.d')M(a'.b') = <d'\a'y ТгМ(с'.Ь') =
= <*'!«'><*'1*'> A.31)
и сравним полученные выражения. Видим, что вопреки не-
некоммутативности умножения след произведения двух сомно-
сомножителей не зависит от порядка умножения. Это применимо

24 Гл.1. Алгебра измерений
для любых двух элементов X, Y алгебры измерения:
Tr XV = Tr YX . A.32)
Частным случаем соотношения A.30) является
ТгМ(а')М(Ь') = <а'\Ь'у<Ь'\а'у. A.33)
1.в. Статистическая интерпретация
Следует обратить внимание на то, что общий закон
умножения и определение следа сохраняются, если выпол-
выполнить замены
М(а',Ь') -» \(а'Г*М(а',Ь'ЩЬ')
<а'\Ь'> -» Ца'Ка'\Ь'>ЦЬ')-\ A.34)
где числа Л(а') и Л(б') могут принимать произвольные не-
ненулевые значения. Ясно, что символы элементарных измере-
измерений М(а') и функции преобразования <а'|а"> остаются при
этом неизменными. Из-за этого произвола функция преобра-
преобразования <а'|6'> не может сама по себе иметь прямой
физической интерпретации, но должна входить в некоторую
комбинацию, остающуюся при замене A.34) инвариантной.
Подходящую основу для статистической интерпретации функ-
функции преобразования можно нащупать, если рассмотреть пос-
последовательность селективных измерений М(Ь')М(а')М(Ь'),
которая отличается от M(b'S~ из-за" возмущений, сопутст-^"
вующих промежуточному Д-нзмеренню. Лишь часть систем,
отобранных первоначальным 5-измерением, пройдет через
весь прибор. В соответствии с этим мы можем написать
символическое равенство
М(Ь')М(а')М(Ь') = р(а',Ь')М(Ь') , A.35)
где число
р(а',Ь') =<а'\Ь'><Ь'\а'> A.36)
инвариантно относительно преобразования A.34). Если мы
выполняем Л-измерение, которое не делает различия между
двумя (или более) состояниями, то имеется отвечающая
этому случаю аддитивность чисел р(а' ,Ь'):
М(Ь')(М(а') + М(а"))ЩЬ') =
= (р(а',Ь') + р(а".Ь'))М(Ь') . A.37)
для Л-нзмерення, которое вообще не различает состояний,
^пЬ1) = М(Ь'), A.38)

Гл.1. Алгебра измерений ' 25
поэтому
Yp(a'.b') = 1. A,39)
а'
Эти свойства позволяют приписать числу р(а' ,Ь') смысл
вероятности обнаружить состояние а' в измерении, выпол-
выполняемом над системой, относительно которой известно, что
она находится в состоянии Ь'. Но вероятность есть вещес-
вещественное неотрицательное число. Поэтому мы налагаем иа
числа, возникающие в алгебре измерений, допустимое огра-
ограничение, требуя, чтобы <а'|6'> и <6'|а'> составляли пару
комплексно сопряженных чисел
<Ь'\а'у . <а'\Ь'>*. A.40)
поскольку тогда
р(а',Ь') ш |<а'М>'>|2 г 0. A.41)
Чтобы соотношение комплексной сопряженности сохранялось,
числа Л(а') в A.34) должны подчиняться равенству
А(а')* - А(а')-1, A.42)
и поэтому
А(а') = е'*"'*, A.43)
где фазы <р(а') могут принимать произвольные вещественные
значения. .
1.7. Операция сопряжения1
Другим вызывающим удовлетворение аспектом формулы
для вероятности A.36) является свойство симметрии
р(а',Ь') - р(Ь',а'). A.44)
Вспомним произвольное соглашение, которое сопутствовало
нашей интерпретации символов измерения и их произведе-
произведений, а именно порядок событий читался справа налево (ле-
восторонность). Но любое содержащее символы измерения
соотношение в равной степени справедливо, если его ин-
интерпретировать противоположным образом (правосторон-
ность), и ии один физический результат ие должен зави-
зависеть от того, какое из соглашений принято. Если принять
правостороннюю интерпретацию, то число <а'|6'> приобре-
В оригинале "adjoint". - Примеч. пер.

26 Гл.1. Алгебра измерений
тает смысл, которым обладало число <&' |а'> при левосто-
левостороннем соглашении. Таким образом, мы заключаем, что ве-
вероятность, связывающая состояния а' и Ь' в данной после-
последовательности, должна строиться из <а'|6'> и <6'|а'>
симметричным образом. Процедуру введения противоположно-
противоположного соглашения для символов измерения будем называть
операцией сопряжения и обозначать символом т. Таким
образом,
M(a',b'f = М(Ь'.а') A.45)
и
M(a',a")f = М(а",а'). A.46)
В частности,
M(a'f ш М(а'). A.47)
что характеризует М(а') как самосопряженный, или эрми-
эрмитов, оператор. Для произведений символов измерений можно
написать
(M(a',b')M(c',d'))f ш M(d' .с')М(Ь'.а') -
- М(с'. d' )fM(a' ,b'f , A.48)
это эквивалентно равенству
«6' \c">M(a',d'))f ш <с' \b">M(d'.a') -
* <6'|с'>*Ма'.^')*. A.49)
На смысл сложения процедура сопряжения не влияет, что
позволяет распространить эти свойства иа все элементы
алгебры измерений:
(X + Y)f ш Xf + Yf ,
(XY)f m YfXf,
(AJf)f - A*^f. A.50)
где Л - произвольное число.
1.8. Комплексно—сопряженная алгебра
Использование комплексных чисел в алгебре измерений
приводит к существованию дуальной алгебры, в которой все
числа заменены соответствующими комплексно-сопряженными
числами и ин один физический результат не может зависеть
от того, какая алгебра используется. Если операторы этой

Гл.1. Алгебра измерений 27
дуальной алгебры записывать как X*, то соответствие меж-
между двумя алгебрами определяется законами
* * *
(XY)* ш Х*У*.
(AJQ* - \*Х* . A.51)
Выполнение операции сопряжения вместе с комплексным со-
сопряжением называется транспонированием
)С ш X*f - Xf*. A.52)
Эта операция удовлетворяет следующим алгебраическим
свойствам:
A.53)
1.9. Матрицы
Символы измерения некоторого заданного описания
дают в наше распоряжение базис для представления произ-
произвольного оператора системой из N чисел, при этом абст-
абстрактные свойства операторов реализуются в виде конкрет-
конкретных законов комбинирования этими наборами чисел; эти за-
законы совпадают с соответствующими законами для матриц. А
именно выражение
X ш ? ?а' | X| а*> М(а',а") A.54)
Л Л - ¦¦
определяет матрицу оператора X в а-описании или, как го-
говорят, в а-представлении; перемножение
ХУ = E<e' \X\a"> M(a',a*)E<aIV|K|a"> Af(aw,o*/) -
A.55)
показывает, что
<a'|XK|a"'> - Ът<*'\Х1аГ><а"\Г\а'">. A.56)
л
Элементы матрицы, представляющей X, записываются в виде
<а' | Х\ а*> - Тг ХМ(а",а'), A.57)
и, в частности,

28 Гл.1. Алгебра измерений
<а' | X | а' > = Тг ХМ(а') . A.58)
Таким образом, сумма диагональных элементов матрицы
является следом оператора. Соответствующий базис дуаль-
дуальной алгебры в а-представлении состоит из операторов
М{а',а")*, а матрицы, представляющие X* и Xх, суть,
соответственно, комплексно-сопряженная и транспонирован-
транспонированная матрицы, представляющие X в данном описании. Опера-
Оператор X ^Х1* как элемент той же алгебры, что и X, предста-
представляется транспонированной комплексно-сопряженной матри-
матрицей, или, что то же самое, (эрмитово) сопряженной матри-
матрицей.
Матрица оператора X в смешанном аб-представлеиии
определяется равенством
X = $<{а'\Х\Ь'>М(а',Ь'), A.59)
а Ь
где
<а'|*|*'> = 1тХМ(Ь'.а') . A.60)
Правило умножения для матриц в смешанном представлении
имеет вид
<а'ЦГПС> - Е,<«'1*1 *'><*'т*'>- A61)
Подставив Л*У»1, мы получаем знакомое свойство компози-
композиции функций преобразования, поскольку
= ТтМ(Ь',а') = <а'|*'>- A.62)
Если мы положим X или У равным 1, то получим примеры
связи между матрицами заданного оператора в различных
представлениях. Общую формулу можно вывести из известных
линейных соотношений между символами измерения. А именно
* 1т XM(d',а') =
- 1^' I*'><*' mc'X*' \d'> . A.63)
ft с
Сопряжение оператора X, представленного в смешанном
afr-базисе, приводит к некоторой матрице в ба-базисе:
V *. . A.64)

Гл.1. Алгебра измерений 29
1.10. Вариации функций преобразования
В качестве применения смешанных представлений мы
рассмотрим операторный эквивалент фундаментальных
свойств функций преобразования:
..Е,<«1
<а'\Ь'У=<Ь'\а'>. A.65)
он строится при помощи диффереициальиого способа описа-
описания функций преобразования. Если 5<а'|6'> и 3<6'|с'>
суть любые возможные бесконечно малые изменения соответ-
соответствующих функций преобразования, то порожденная ими ва-
вариация <а'|с'> есть
5<а|С> Е,
ь
+ <а'| *'>•«<*'к'>]. A-66)
причем
5<а'|6'>*= в<6'|а'>.. A.67)
Совокупность чисел 5<а'|6'> можно рассматривать как мат-
матрицу некоторого оператора в afr-представлеиии. Поэтому
напишем
8<а'\Ь'> = i<a'\8Wab\b'> 0-68)
как определение бесконечно малого оператора 8W .. Если
определить аналогично бесконечно малые операторы SW. и
SW. то дифференциальное свойство A.66) примет вид ма-
матричного равенства
bc]. A-69)
из которого мы выводим равенство
Таким образом, мультипликативный закон композиции функ-
функций преобразования приводит к аддитивному закону компо-
композиции для бесконечно малых операторов 5W.
Если в соотношении A-70) отождествить а- и
6-описаиия, то окажется, что
= ° A-71)

30 Гл.1. Алгебра измерений
ИЛИ
а<а'|а-> = 0; A.72)
что выражает тот факт, что эта функция преобразования
имеет фиксированные числовые значения:
<а'|*"> = д(а'.а"). A.73)
В самом деле, последнее равенство не есть независимое
условие, налагаемое на функции преобразования, а являет-
является следствием свойства композиции и требования, чтобы
функции преобразования как матрицы были несингулярны.
Если теперь отождествить а- я с- описания, то мы устано-
установим, что
b
Далее,
б<а'|*'> =
= -i<b'\dWfab\a'>, A.75)
что должно равняться
а<»'1«#> = кь' lar^i a' >, A.76)
и, следовательно.
Итак, наше свойство комплексного- сопряжения- -функций- пре-
преобразования является выражением утверждения Об эрмито-
вости бесконечно малых операторов 8W.
1.11. Ожидаемое значение
Ожидаемым значением свойства А для системы, находя-
находящейся в состоянии Ь', является среднее по всем возможным
значениям величины А, взвешенное с вероятностями их по-
появления, характерными для состояния Ь'. Если воспользо-
воспользоваться A.33) и записать формулу для вероятности в виде
р{а',Ь') = ТтЩа')ЩЬ'), A.78)
то для ожидаемого значения получим
<А>Ь' - Z.a'pia'.V) =
= ТтАМ(Ь') ш
= <У\А\Ь'>. A.79)

Гл.1/ Алгебра измерений - 31
где введен оператор А.
А = Jo'Mfo'). A.80)
Таким путем установленное соответствие между операторами
и физическими величинами приводит к тому, что произволь-
произвольной функции f(A) свойства А системы соответствует значе-
значение оператора f(A), а операторы, соответствующие некото-
некоторому полному набору совместимых физических величии, об-
образуют полный набор коммутирующих эрмитовых операторов.
В частности, функция свойства А, которая равна единице в
состоянии а' и нулю в любом другом, характеризуется опе-
оператором М(а').
1.12. Дополнение: Неселективные измерения2
Физическая операция, обозначаемая символом М(а'),
предполагает действие некоторого прибора, способного
разделять ансамбль на подаисамбли, отличающиеся различ-
различными значениями а', и вместе с тем отбирающего один из
них и отбрасывающего остальные. Теперь мы будем рассмат-
рассматривать процесс измерения, предшествующий этапу отбора,
который мы называем неселективным измерением; наша цель
- обнаружение его символических двойников. Полезно уста-
установить общую количественную интерпретацию, соответствую-
соответствующую символам такого измерения.
Пусть система в состоянии с' подвергается измерению
М(Ь'), а затем некоторому А-измереиию. Вероятность того,
что система проявит значение Ь'к затем значение а' для
соответствующих свойств, представляется в виде
b'.c') = р(а',Ь')р(Ь',с') = |<<х' \Ь'><Ь' |с'>| 2 =
Если, напротив, промежуточное ^-измерение пропускает все
системы без раэбора, что эквивалентно отсутствию какого
бы то ни было В-измереиия, то соответствующая вероят-
вероятность есть
Текст воспроизводится из "Proceedings of the National Academy of Sciences"-
1959.-V.45.-P.1552-1553.

32 Гл.1. Алгебра измерений
р(а',\,с') = 1<л'|С>|2 = |<<х'| ЪМ(Ь') |С>|2.
Примеры такой связи символа с соответствующей вероятнос-
вероятностью имеются для любого селективного измерения:
/На', с') = |<а' \М\с'у\2.
Пусть теперь наше промежуточное измерение иеселективио,
т.е. оно должно говорить, каковы функции прибора, но не
делать иикакого отбора систем. Соответственно,
р(а',Ь,с') = ltp(a',b')p(b',c') = ? |<<х' \М(Ь')\с'>\2 .
Это соотношение отличается от выражения .
р{а',\.с') = |Е'|
отсутствием интерферирующих членов между различными сос-
состояниями Ь'. Это указывает на то, что с таким иеселек-
тивиым В-измереиием следует связать символ
где вещественные фазы <р., суть независимые, случайным
образом распределенные величины. Таким образом, неконт-
неконтролируемая природа возмущений, которые вызывает измере-
измерение, находит свое математическое выражение в этих слу-
случайных фазовых множителях. Поскольку иеселективиое изме-
измерение не отбрасывает систем, -должно выполняться . соотно-
соотношение
Тр(а',Ь,с') = 1,
а
которое соответствует свойству унитарности операторов
мь-
м\мь = мьм\ = 1.
Кроме того, следует заметить, что в рамках нашего ве-
вероятностного контекста, символы элементарных селективных
измерений получаются из символа иеселективиого измерения
заменой всех фаз, кроме одной, числами с бесконечной по-
положительной мнимой частью, что описывает процесс отсече-
отсечения подаисамблей как некое поглощение.
Общее правило вычисления вероятностей для последо-
последовательных измерений имеет вид

ГлЛ Алгебра измерений 33
Ь'....5',У) - \<a'\M(b')...M(s')\t'>\2,
оно применимо к наблюдению любого типа — нужно лишь под-
подставить подходящий символ измерения. Имеются и другие
версии этого правила
t*a' t') = <t'\(M(a')...M(s'))f(M(a')...M(s'))\t'y
и
Pia' /') = TT(M(a')...M(t'))f(M(a')...M(t')),
каждую из которых можно также перенести на все типы се-
селективных и иеселективиых измерений (в последнем случае
существенна форма сопряжения). Конструкция ожидаемого
значения показывает, что величина, равная единице, если
свойства A,B,...,S последовательно принимают в правосто-
правостороннем смысле значения а' ,Ь',... ,s', и равная нулю в
противном случае, представляется эрмитовым1 оператором
Измерение есть динамический процесс, а из представ-
представления о времени использовано пока только простейшее со-
соотношение порядка. Детальная формулировка квантовой ди-
динамики должна удовлетворять тому требованию согласован-
согласованности, что описание ею взаимодействий, составляющих из-
измерение, должно воспроизводить те символические соотно-
соотношения, которые возникли уже на этом элементарном этапе.
В рассуждениях такого сорта явно подразумевается, что
все измерения атомных явлений в конечной счёте содержат
усиление микроскопических эффектов до уровня макроскопи-
макроскопического наблюдения.
Дальнейший анализ такой алгебры измерения приводит
к геометрии, связанной с состояниями физических систем.
1Ср. работу Дирака в "Rev. Mod. Phys." A945. -V. 17. -P. 195), где вводятся неэрми-
неэрмитовы операторы и комплексные "вероятности".
2 Ю.Швиигер

ГЛАВА 2
ГЕОМЕТРИЯ СОСТОЯНИЙ
2.1. Пустое состояние
2.2. Реконструкция алгебры измерений
2.3. Векторная алгебра
2.4. Волновые функции
2. В. Унитарные преобразования
2.6. Бесконечно малые унитарные преобразования
2.7. Последовательные унитарные преобразования
2.8. Группы унитарных преобразование. Сдвиги и повороты
2.9. Отражения
2.10. Непрерывный спектр
2.11. Дополнение: Операторное пространство
2.12. Дополнение: Базисы унитарных операторов
2.1. Пустое состояние
Неконтролируемые возмущения, сопутствующие измере-
измерению, приводят к тому, что акт измерения является недели-
неделимым. Другими словами, любая попытка проследить историю
системы в ходе процесса измерения обычно меняет природу
выполняемого измерения. Следовательно, физически бессмы-
бессмысленно представлять себе некоторое заданное селективное
измерение М{а',Ь') как. составное. Смысл имеет только то,
что на первой ступени" отбираются системы в состоянии Ь',
а на последней получаются системы в состоянии а'; проме-
промежуточные состояния для измерения в целом не имеют значе-
значения. На самом деле мы можем даже ввести некое иефизичес-
кое состояние, чтобы оно служило нам в качестве посред-
посредника. Назовем это формальное образование пустым состоя-
состоянием2 и напишем
М(а',Ь') = М(а'.0)М@.Ь'). B.1)
Процесс измерения, который отбирает систему в состоянии
Ь' и переводит ее в пустое состояние
М@,Ь') = ЦЬ'), B.2)
А
В оригинале "null state". - Примеч. пер.

Гл.2. Геометрия состояний 35
можно воспринимать как уничтожение системы в состоянии
Ь'\ а получение системы в состоянии а' вслед за ее отбо-
отбором из пустого состояния,
М(а',0) шЦа'), B.3)
можно характеризовать как порождение системы в состоянии
а'. Таким образом, содержание соотношения B.1) состоит
в неразличимости процесс! М(а',Ь') от этого составного
процесса уничтожения- системы в состоянии Ь' и последую-
последующего порождения системы в состоянии а':
М{а'.Ь') = %а')ЦЬ'). B.4)
Чтобы включить пустое состояние в расширенную ал-
алгебру измерений, символам Ф и Ф нужно придать соответст-
соответствующие свойства символов измерений. Таким образом,
%а')* = Ца'), ЦЬ')'~ЦЬ'), B.5)
Ца'ЩЬ') ш Ца'ЩЬ') = 0 .
М(а'. Ь' Щс') ¦ - Ца') М (У. с') . О . B.6)
в то же время
М(а',Ь'Щс') ш<Ь'\с'уЦа').
Ца')М{Ь',с') =<а'\Ь'>*(с'), B.7)
Ца'ЩЬ') =<a'|6/>M@). B.8)
Некоторые из свойств символа М@) таковы:
9(а')М@) = *(а'),
MtOWa') - Ца'), B.9)
М@Ща') ж Ца')М(О) = 0. B.10)
Кроме того, в расширенной алгебре измерений3
1 = ? М(а') + М@). B.11)
а'
Фундаментальный произвол при введении символов измерения
в гл.1, выражавшийся заменой A.34),
АЦа'.Ь') -> е~'*а">Ща'.Ь')е'*ь'\ B.12)
приводит к соответствующей замене для символов ( g t :
*/>
Следует иметь» виду, что эта единица не является оператором в смысле гл.1,
в частности, ее след равен N+1 - Примеч. пер.

36 . Гл.2. Геометрия состояний
ЦЬ') -> е*ь#)*D'). B.13)
здесь мы эффективно удалили фазу <р@), отсчитывая все
другие фазы относительно нее.
2.2. Реконструкция алгебры измерений
Теперь характеристики операторов измерения М(а',Ь')
можно вывести из свойств символов Ф и Ф. Так,
М(а'.V)**ФF')f«(a')f = %VЩа')=МF' ,а') , B.14)
и
ТтМ(Ь',а') = ТтЦЬ'Ща') ж ТгЦа'ЩЬ') =
= <<х' | Ь' > ТгМ(О) = <а' | Ь' > , B.15)
и в то же время
M(a'.b')M(c'.dr) = Ща*.Ь*Щс*Щ**) =
= <6' |c'>«(a')«(rf') = <Ь' \c'>M(a'.d'). B.16)
Кроме того, замена B.13) преобразует операторы измере-
измерения по формулам B.12).
Различные эквивалентные утверждения, содержащиеся в
B.6), показывают, что едийствеиио существенными, т.е.
не равными тождественно нулю, являются в дополнение к XY
произведения вида *Ф, Ф* и Х9, 9Х, где латинскими буква-
буквами, обозначены операторы, т.е. элементы алгебры физичес-
физических измерений. Согласно конструкции B.4) оператора из-
измерения, все операторы являются линейными комбинациями
произведений ФФ
* = %*(а'Ка'\Х1Ь'>ЦЬ'), B.17)
л Ь
и вычисление произведений Х% ФХ и XY сводится к приме-
применению одного из произведений B.7):
Ца'ЩЬ')Цс') = Ца'ХЬ'\С>.
Ца'ЖЬ')Цс')=<а'\Ь'>Цс'). B.18)
Следовательно, при любой манипуляции с операторами, при-
приводящей к произведению ФФ, оно эффективно равно числу
Ца'ЩЬ') ш<а'\Ь'>, B.19)
и, в частности,
Ца'Ща") ж д(а',а"). B.20)

Гл.2. Геометрия состояний 37
Кроме того, следует заметить, что во всех случаях, когда
1 выступает в качестве оператора, имеем
1 - Е М(а') = ?*(*')*(<*') • B-21)
а а
Следовательно,
X = Е Ца'Ща')ЩЬ'ЩЬ')> B.22)
a*V
откуда видно, что
Ца')ХЩЬ') = <а'\Х\Ь">. B.23)
Бра- и кет-символы
<a'| = Ца'), |6'> = ЦЬ') B.24)
предназначены для того, чтобы сделать этот результат
автоматическим следствием записи (Дирак). В бра- и кет-
записи различные теоремы, такие как закон умножения
A.61), или общая формула замены матричного представле-
представления A.63), получаются как простые применения выражения
для единичного оператора:
1 = ? I'a'Xa'l . B.25)
a
2.3. Векторная алгебра
Мы связали с каждым из N физических состояний неко-
некоторого описания по одному #- и Ф-символу. Далее, символы
одного описания линейным образом связаны с символам»,
другого описания:
W) = Е, *(<*')*(<*'W) = Е7 «(a'Ka7 \Ь'>. B.26)
«(a7) = Z,<a'\b'>W). B.27)
б
что приводит также к установленному ранее линейному со-
соотношению между операторами измерения различных типов.
Таким образом, произвольные числовые кратные Ф- или
Ф-символов образуют элементы двух взаимно сопряженных
алгебр размерности N, которые являются векторными
алгебрами, так как внутри каждой из них нет существенно-
существенного перемножения элементов. Тем самым мы встечаемся с
N-мерной геометрией - геометрией состояний, - из которой
можно вывести алгебру измерений, причем в этом случае ее

38 Гл.2. Геометрия состояний
свойства будут описываться иа геометрическом языке. Эта
геометрия является метрической , так как число ФФ опре-
определяет скалярное произведение. В силу соотношения
B.20), векторы Ца') и Ца') а-описания образуют орто-
иормальиый базис векторов или систему координат, и, сле-
следовательно, уравнения преобразования векторов B.26) и
B.27) описывают замену системы координат. Произведение
оператора с вектором представляет собой отображение иа
другой вектор в том же самом пространстве:
ХЦЬ') = ЕЖа'Ща')ХЩЬ') = Е,*<<*')<<*' 1*16'> .
а а
Ца')Х = Е,<<*'1*1 *'>*(*') B-28)
ь'
Действие оператора
А = Е7 а' %а' )Ца'). B.29)
а
символизирующего свойство А, иа векторы а-коордииатиой
системы описывается формулами
Ща<) = а'Ца'). Ца ' )А = Ца')а' , B.30)
которые характеризуют Ца') и Ф(а'), соответствен но, как
правый и левый собственные векторы полного набора А ком-
коммутирующих операторов с собственными значениями а'. У
каждой векторной алгебры есть дуальная алгебра, в кото-
которой" все' числа заменены комплексно сопряженным».
2.4. Волновые функции
Собственные векторы некоторого описания образуют
базис для представления произвольного вектора набором N
чисел. На этих наборах, известных как волновые функции,
реализуются все абстрактные свойства векторов. Пусть
•- Е/|а/><а/1* = Е,1<*' >И<*'Ь B31)
и аналогично
* = Е#*«#К«#1.
а
ф(а/) = *|а/>- B.32)
Если ФиФ связаны операцией сопряжения, Ф=Ф , то соот-
соответствующие волновые функции связаны соотношением

Гл.2. Геометрия состояний 39
Ф(а') = На')т . B.33)
Скалярное произведение двух векторов имеет вид
¦,*2 - Е,*,1 <*'><<*'1*2 - Е,*, ( а'Ща') B.34)
а
н, в частности,
***« ?Ф(а')тф(а') а 0; B.35)
последнее соотношение характеризует геометрию состояний
как унитарную геометрию. Оператор ?,*2 . представляется
матрицей
<а'|**|6/> Ф{а')<р?Ь'). B.36)
а волновые функции, представляющие ХФ и 9Х, имеют вид
B.37)
Ъ,<
. B.38)
а'
Если положить ЛГ*1, то получатся соотношения, связывающие
волновые функции данного вектора в двух различных пред-
представлениях:
ФF') = E#f(e#Ke#l*#>- B39)
о,
Заметим, что волновая функция, представляющая 4F') в
а-описаиии, имеет вид
= <а' |6'> = <рв/F'). B.40)
С точки зрения расширенной алгебры измерений волновые
функции <р и ф являются матрицами соответственно с одной
строкой -или с одним столбцом.
Удобно принять фиктивное утверждение, что каждый
эрмитов оператор является символом некоторой физической
величины, а каждый единичный вектор — символом состоя-
состояния. Тогда ожидаемое значение свойства X в состоянии ?
записывается в виде 3
<*>, - »fA» = У На') * <*' | Х\ а»Жа'). B.41)
а а
В частности, вероятность получить значение а' при

40 Гл.2. Геометрия состояний ,
Л-измерении, выполненным над системой в состоянии Ф,
')\2. B.42)
2.5. Унитарные преобразования
Автоморфизмы построенной унитарной геометрии сос-
состояний порождаются унитарными преобразованиями
F = *U , Ф = 1ГХЪ, X = и~лХи , B.43)
примененными к каждому вектору и оператору, где
унитарный оператор U подчиняется условию
Uf ш (Г*. B.44)
При таком преобразовании сохраняются все алгебраические
соотношения и все отношения сопряженности. Два последо-
последовательно выполненных унитарных преобразования образуют
унитарное преобразование, обращение унитарного преобра-
преобразования является унитарным, таким образом, унитарные пре-
преобразования образуют группу. Применение унитарного пре-
преобразования к векторам ортонормальиого базиса а-опнса-
ния, которые характеризуются уравнением на собственные
значения
<а'\(А-а') =0, B.45)
порождает ортоиормальные векторы
<а'| =<a'\U, B.46)
которые подчиняются уравнению
<а'\(А-а') = 0. B.47)
Следовательно, векторы <ЕР | являются состояниями некото-
некоторого нового описания, связанного с соответствующими ве-
величинами Д которые обладают тем же спектром собственных
значений, что и свойства А Поскольку при таком преобра-
преобразовании сохраняются все соотношения между операторами и
векторами, имеем
<а'|Г|о*> = <а'\Х\а">,
<а'|Ф~= <а'|*. #Гаг> = #|а'>. B.48)
В. эквивалентных формах последних соотношений
<а'\Х\а"у = <a'1

Гл.2. Геометрия состояний 41
<а'|Ф = \а'\Ш, Ф|а'> = •?/~1|а*> B.49)
а-представнтелн операторов н векторов выражены как
а-представнтелн, связанных с ннмн операторов н векторов.
Базисные векторы любых двух описаний, расположенные в
определенном порядке в рамках своих наборов, связаны
унитарным оператором. А именно:
аЬ ft = 1 N , B.50)
где оператор N
подчиняется условиям
Ulb=Uba = U~al <252>
Функцию преобразования, связывающую а- н
^-представления, можно, таким образом, воспринимать как
матрицу, полностью относящуюся либо к а-, либо к
6-представленню
<а*|*6 = <a*|t/6e|aS = <6*|t/ fc J6*>, B.53)
а все величины 6-представлення можно понимать как
а-представнтелей связанных с этими величинами операторов
и векторов:
<bk\X\bt>=«xk\UabXU~ba\ai>,
<6*|Ф = <а*|?/в6Ф, Ф|6*> = ФС/Ьа|а^>. B.54)
Если две системы свойств А н В обладают одинаковым спек-
спектром значений, то операторы А и В также связаны некото-
некоторым унитарным преобразованием. Действительно, если ба-
базисные векторы упорядочены с помощью соответствующих
собственных значений, то
В =р*|6*><6*| =Еа*1/6в|а^ < ak\Uab= UЬ(/ШаВ B.55)
2.6. Бесконечно малые унитарные преобразовании
Определение унитарного оператора, записанное в фор-
форме

42 Гл.2. Геометрия состояний
(U-l)f(U-l) + A/-1) + ( t/-l)f = 0 B.56)
показывает, что унитарный оператор, бесконечно мало от-
отличающийся от единицы, в общем случае имеет вид
U = 1+iC, U* ш Ц~х = 1-| G , B.57)
где G — бесконечна малый эрмитов оператор. Преобразова-
Преобразование координатных векторов, описываемое таким оператором,
запишется в виде
Зд<а'| =<а'| -<а'| =<а'|'С
Зд|а'> = |а'> - |а'> = -Ю\а'>. B.58)
В силу B.49) такая замена системы координат по своему
действию на представителей операторов и векторов эквива-
эквивалентна соответствующему изменению этих операторов и век-
векторов относительно первоначальной системы координат. А
именно:
6в<а' |Х|а"Ха' \Х\а"> -<а' |X|a">=<a' l« X |а"> B.59)
да<а' |Ф = <а' |6Ф, в Jl|a'> = 6#| а '> , B.60)
где
б» = A/-1)* = iG», 6# = ^tr'-l) = - # iG . B.61)
дХ = UXITX- X ш \{X,G]. B.62)
Прямоугольные скобки означают коммутатор
[А,В] = АВ - ВА. B.63)
Поскольку все алгебраические соотношения сохраняются,
вариации операторов и векторов подчиняются обычным пра-
правилам:
8(XY) = 6XY + X6Y.
5(ХЯ!) = 8X9 + XS9. B.64)
Нужно обязательно различать X+SX и
jf = U'bcU = X' - 5Х ; B.65)
X является оператором, который проявляет те же свойства
относительно a-описаиия, что и оператор X относительно
a-описания. Таким образом, базисные векторы <a"' | являют-
являются собственными векторами оператора А—дА, соответствую-

Гл.2. Геометрия состояний 43
щими собственным значениям а'.
2.7. Последовательные унитарные преобразования
При изучении последовательных унитарных преобразо-
преобразований следует понимать, что преобразованию, заданному с
помощью таблицы числовых коэффициентов, соответствует
тот илн иной унитарный оператор в зависимости от системы
координат, к которой оно применяется. Действительно,
пусть U. и U<>— Два таких оператора, описывающих два
различных преобразования на одной и той же системе коор-
координат. Если первое из этих преобразований уже применено,
то оператор, который соответствует второму преобразова-
преобразованию прн его действии на получившуюся координатную систе-
систему, имеет внд
U2 = U;b2Uv B.66)
Следовательно, оператор, осуществляющий полное преобра-
преобразование, - это _
U{U2 = U2UV B.67)
Такое же обращение с операторами последовательных преоб-
преобразований, перемножаемых справа налево, применимо для
любого числа преобразований. В частности, если вслед за
двумя преобразованиями, последовательно примененными в
одном порядке, применяется обращение компознцнн этих
преобразований, взятых в другом порядке, то унитарный
оператор для результирующего преобразования имеет внд
V
Если оба преобразования бесконечно малы:
^1.2 = i + |С1.2 ' <
то и составное преобразование
Um = 1 + «G[12] B.70)
будет бесконечно малым первого порядка по каждому из от-
отдельных преобразований:
G[12] = 7CG1'C2] =-<W <2-71>
В операторе последнее преобразование производит беско-

44 Гл.2. Геометрия состояний
нечно малое изменение
которое, если его записать с помощью коммутаторов, при-
приводит к известному операторному тождеству (Якоби):
А-Ч = [*.[сг<УЗ- <2-73>
2.8. Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты
Непрерывное повторение некоторого бесконечно малого
унитарного преобразования порождает конечное унитарное
преобразование. Если соответствующий бесконечно малый
эрмитов оператор G — так называемый генератор унитарного
преобразования — записать в виде bxG.^, то обнаружи-
обнаруживается, что применение этого бесконечно малого преобра-
преобразования т/от раз в пределе дает
Щх) = Lim A + ИтОп)тЛт « e*c(l). B.74)
вт-»о • 1У
Эти операторы образуют однопараметрическую непрерывную
группу унитарных преобразований
2) - У(т,+т2).
Щ-т), 11@) ш 1 . B.75)
Набор конечных эрмитовых операторов G..., ... , E.^ по-
порождает ^-параметрическую непрерывную группу унитарных
преобразований в том случае, если эти операторы образуют
линейный базис некоторого Операторного кольца, которое
замкнуто относительно унитарных преобразований этой
группы. Это требует, чтобы все коммутаторы [б(д»6/Л
были линейными комбинациями исходных генерирующих опера-
операторов.
Имеется фундаментальная непрерывная группа унитар-
унитарных преобразований, базирующаяся на понимании измерений
как физических операций в трехмерном пространстве. Изме-
Измерительный прибор определяет систему пространственных ко-
координат, относительно которой описываются физические
свойства. Чтобы выразить свойство однородности простран-
пространства, мы утверждаем, что две системы координат,

Гл.2. Геометрия состояний 45
отличающиеся только местоположением и ориентацией,
внутренне эквивалентны. В частности, физические величи-
величины, аналогичным образом определенные относительно разли-
различных систем координат, обладают одинаковым спектром воз-
возможных значений, а соответствующие операторы должны быть
связаны некоторым унитарным преобразованием. Поскольку
совокупность сдвигов и поворотов системы координат обра-
образует шестипараметрическую непрерывную группу, мы заклю-
заключаем, что существует некоторая изоморфная eft группа уни-
унитарных операторов. .
Чтобы описать бесконечно малое изменение системы
координат, говорят, что точке с радиус-вектором х в на-
начальной системе координат соответствует радиус-вектор
х-Зх в новой системе координат, где
бх = бе + бохх. B.76)
Бесконечно малый генератор соответствующего унитарного
преобразования записывается в виде
i
х ZS* iE
где использовано характерное для трех измерений соответ-
соответствие между аксиальными векторами н кососимметрическими
тензорами. Если по аналогии с B.68) сравнить два поряд-
порядка, в которых можно осуществить пару бесконечно малых
замен координат, то найдем
o2, B.78)
откуда следует, что соответствующие бесконечно малые ге-
генераторы подчиняются перестановочному, соотношению B.71)
day J. B.79)
Поэтому
l
~ 8knJ0n+

46 Гл.2. Геометрия состояний
последнее равенство в трехмерной векторной записи прини-
принимает вид
J х J = а. B.81)
Шесть содержащихся в символах Р и J эрмитовых операторов
— генераторы бесконечно малых сдвигов и поворотов —
идентифицируются как операторы полного импульса и
полного углового момента соответственно. Эти физические
величины возникают измеренными в определенных естествен-
естественных единицах — просто числах для углового момента и об-
обратных длинах для импульса. Связь между такими атомными
единицами и условными макроскопическими стандартами нуж-
нужно найти эмпирически. В случае использования последних
надо ввести переходной множитель — заменить Р и J на
h P и h~l). Постоянная!! имеет размерность действия, а
ее измеренное значение есть
h = 1,0545 • КГ27 эрг- сек. B.82)
Для общетеоретических рассуждений естественные единицы
предпочтительнее, н поэтому они будут использоваться в
этой книге.
2.9. Отражения
Непрерывную группу переходов между кинематически
эквивалентными- системами координат .можно пополнить опе-
операцией отражения положительного направления каждой про-
пространственной оси координат. Такому изменению описания
мы сопоставим унитарный оператор отражения R:
RfR = 1 . B.83)
Отражение, вслед за которым выполняется бесконечно малое
смещение бе, So, равносильно преобразованию, когда сна-
сначала выполняется смещение —бе, 8а, а затем отражение.
Поэтому
[1+/(бе»Р + So»])]R = Rll+i ( -5е«Р + So» J)], B.84)
или
В оригинале — linear momentum. — Примеч. пер.

Гл.2. Геометрия состояний 47
R~*PkR = -Рк. Я V* = *ы ¦ B-85)
2.10. Непрерывный спектр
Мы развнлн общую математическую структуру квантовой
механики как символическое выражение законов атомного
измерения, имея в виду физические системы с конечным чис-
числом состояний. Остановимся теперь очень коротко на том,
как распространить предшествующие рассуждения на системы
с бесконечным числом состояний н на свойства, обладающие
непрерывным спектром возможных значений. При любом изме-
измерении такого свойства отбираются системы, которым соот-
соответствуют значения нз определенного интервала, н, следо-
следовательно, понятие состояния в этом случае относится к
конкретному выбору полного набора совместимых величин в
пределах сколь угодно малых окрестностей предписанных
значений. Такие состояния мы будем изображать символами
|а'>&, &<а' | и выражать их полноту равенством
1 " Е,1а/>дд<а/1- <2-86)
л
Новая нормировка векторов .<
U2
д vVl. B.87)
в которой Да' есть произведение длин интервалов собст-
собственных значений каждого свойства с непрерывным спектром,
в пределе Да'—»0 дает
1 = J|a'>da'<a'l . B.88)
если, конечно, все элементы набора А имеют непрерывный
спектр. Для произвольного вектора Ф, представленного во-
волновой функцией
fta')=<a'|*. B.89)
мы можем написать' соотношение
«a') = J<a'|a->da-<Ka-). B.90)
которое является операциональным определением дельта-
функцин:

48 Гл.2. Геометрия- состояний
<а' |а"> = 5(а'-а"). B.91)
Это соотношение является непрерывным аналогом свойства
0(а') = Е3(а',а"H(а"), B.92)
а*
н вообще во всех формальных соотношениях, относящихся к
непрерывному спектру, суммирования заменяются ннтеграла-
мн. В частности, вероятность того, что измерение, выпол-
выполненное над системой в состоянии Ф, зарегистрирует одно
состояние нз некоторого набора, предстает теперь как ин-
интеграл по этому набору \йа'\ф(а')\ , таким образом, вы-
выражение
dp(a',9) = da'Wa')]2 B.93)
можно понимать как вероятность обнаружить систему, свой-
свойства А которой принимают значения в бесконечно малой
окрестности da' точки а'.
2.11. Дополнение: Операторное пространство.5
Геометрия состояний наделяет элементы алгебры изме-
измерений геометрической интерпретацией операторов на неко-
некотором векторном пространстве. Но операторы и сами по се-
себе образуют векторное пространство, поскольку совокуп-
совокупность операторов замкнута относительно сложения н умно-
умножения- наг-числа; Размерность этого операторного простран-
пространства равна N , так как это есть число линейно независи-
независимых символов, измерения любого заданного типа. Унитарное
скалярное произведение в этом операторном пространстве
определяется как число
<ЛГ|У> = Tr(XfY) = <Г*\Х*>
со свойствами
aiy>* = <ri*>, <х\х>*о.
Вычисление следа
ТгМ(Ь',а')М(а",Ь") = 5(а' ,аи)Щ' ,Ь")
характеризует базнс М(а',Ь') как ортонормальный
Текст воспроизводятся из Proc.Nat.AcadSci.-1960.-V.46.-P 261-265.

Гл.2. Геометрия состояний 49
а на общее линейное соотношение между символами измере-
измерения,
M(c',d') = ?<а'|c'><d' \Ь'>М(а',Ь'),
можно теперь смотреть как на преобразование, связывающее
два ортонормальных базиса. Такая замена базиса описы-
описывается функцией преобразования
<a'b'\c'd'> ¦ <Af(a',6')|Af(c',d')> = <а' |c'><d' 1*'> ,
причем
<a'b'\c'd'> = <d'c'\b'a'>
и
(a'b^c'd'y* = <<:'<*'|а'*'> = <b'a'\d'c'> .
Кроме того, можно подтвердить свойство композиции функций
преобразования
Вероятность, связывающая два состояния, возникает как
частный случай функции преобразования в Операторном про-
пространстве
р(а',Ь') =<а'|*/><*/|а/> = <а'а'\Ь'Ь'> .
Пусть Х(а), a=l,...,N2, суть элементы произвольного
ортоиормального базиса; -
<X(a)|X(a')> = 8(а,а') .
Его связь с базисом М(а',Ь') описывается функцией преоб-
преобразования
<a/6/|a> = 1тМ(Ь',а')Х(а) = <a/|^(a)|6/> .
Кроме того,
и одно из свойств функции преобразования
2 <a/6/|a><a|a"*"> = S(a'b',a"b")
а.
обретает матричный вид:
E<a'|X(a)|6'><n*(a)+|a"> = 6(а',а") W .Ь") ..
a
Если мы умножим последнее равенство на 6-матрицу произ-

50 Гл.2. Геометрия состояний
вольного оператора У н просуммируем, по Ь' н Ь"', то полу-
получим а-матрнчное представление операторного равенства
Е Х(а) У X(a)f = 1 ТгУ ,
a
справедливость которого для произвольного оператора У
эквивалентна полноте операторного базиса Х(а). Поскольку
совокупность операторов Х(а) также образует ортонорма-
льный базис, то одновременно
Е X(a)fYX(a) = 1 ТгУ ,'
a
что в частном случае Y=\/N дает
ос ос
Разложение произвольного оператора относительно нашего
ортонормального базиса Х(а),
X = ? Х(а}х(а) .
а
определяет соответствующие компоненты:
х(а) =a(a)|X>*<a|X> .
Для базиса М(а'.Ь'), например, компонентами являются
элементы матрицы оператора X в аб-представленнн:
х(а'Ь') = ТгМ(Ь'.а')Х = <а
Следовательно,, скалярное произведение в операторном.,
пространстве вычисляется по формуле
<х\г> = Z *(«)*</(«) .
a
И
<Х\Х> = Е \х(а)\2 а 0 .
a
При замене базиса компоненты данного оператора изменяют-
изменяются в соответствии с
4*) - Е <«1Э>*(Э)
э
Для базисов, состоящих из символов измерений, эта форму-
формула принимает вид закона преобразования матриц.
У операторного пространства есть две особенности,
которые не имеют аналогов в пространстве состояний,
операция сопряжения и умножение элементов определены в
том же самом пространстве. Поэтому

Гл.2. Геометрия состояний S1
Х(а) = ? 1"
э
(оЭ) = @а)
Х(а)Хф)
где
Отсюда следуют, в частности, соотношения
= Z Ь
«О
которые обобщают известные свойства сопряжения н умноже-
умножения матриц. Теперь элементы операторного пространства
имеют двойственный характер: с одной стороны — это опе-
операторы, а с другой — объекты для образования матриц
#
С точки зрения этого определения базисы из символов из-
измерений выделяются полной приводимостью таких матриц в
том смысле, что
<а'Ь'\Х\а"Ь»> = <а'\Х\а">8(Ь',Ь") .
Иначе говоря, совокупность N символов измерения Ща'.Ь')
с фиксированным Ь' или а' является соответственно левым
или правым идеалом этого операторного пространства.
В возможности введения ортонормальных базисов из
эрмитовых операторов нетрудно убедиться на примере сис-
системы операторов:
АКа'.а*) + М(а".а')
**»'>• , Mla'.a»f- M(a".a') ПРН а'*а"-
Для любого такого базиса имеем
Точнее, левым (или правым) идеалом является множество элементов вида
5>(а')М(а',Ь'). где b'- фиксироваиио (или 2>F')М(а'У ). а' - фиксирован-
а' *'
но). — Примеч. пер.

52 Гл.2. Геометрия состояний
<а|а'> = (аа') = З(а.а')
а следовательно, компоненты эрмитова оператора X относи-
относительно такого базиса являются вещественными числами, и
поэтому .
<Х\Х> - ? х(аJ а 0 .
a
Таким образом, в подпространстве эрмитовых операторов
царит евклидова геометрия, н замена базиса является ве-
вещественным ортогональным преобразованием:
Х(а) = Е(аЭ)Х(Р).
3
Если в качестве элемента таких базисов берется единичный
оператор (умноженный на N~*/2), то это определяет неко-
некоторое инвариантное подпространство, а свобода в выборе
ортогонального преобразования связана с базисом нз N2-\
операторов с нулевым следом.
Важные примеры ортонормальных операторных базисов
дает изучение унитарных операторов.
2.12. Дополнение: Базисы из унитарных операторов6
Для того чтобы набор операторов можно было квалифи-
квалифицировать как фундаментальные квантовые переменные неко-
некоторой физической системы, его должно быть-достаточно для
построения всех возможных величин этой системы. Поэтому
такие операторы будут восприниматься как образующие не-
некоторого полного операторного базиса. Основным предметом
этой заметки являются базисы унитарных операторов.7
Две системы координат в пространстве векторов сос-
состояний н правило соответствия между ними определяют не-
некоторый унитарный оператор. А именно, задав две упорядо-
упорядоченные системы векторов <a*|, <ft*|, * = 1, ... , N и со-
пряженых к ним векторов, построим операторы
6Текст воспроизводится нз Proc.Nat.Acad.Sci.-196O.-V.46.-P.570-579.
Относительно используемых здесь обозиачеиий и понятий см. ProcNat.Acad.Sci.
-1959.-V.45.-P.1542 и 1960.-V.46.-P.257.

Гл.2. Геометрии состояний S3
которые, очевидно, таковы, что
k k
откуда вытекает свойство уннтарностн
* 1
операторов ?/ , н ?/. . Если задана третья упорядоченная
система координат <с |, * = 1, ... , #, то можно анало-
аналогично определить унитарные операторы Uac* U., которые
обладают свойством композиции:
UabUbc - Uac •
Унитарный оператор получается также нз двух орто-
нормальных операторных базисов в заданном пространстве,
которые имеют одинаковые свойства умножения:
я1
Х(а')Х(а") = ? Х(а)<а|а'сО .
а-1
Y(a')Y(a") - t ^
Пусть по определению
тогда оказывается, что
X(a.')U = А
aa" i
последнее следует нз того, что операторы Y(a) образуют
ортонормальный базис, и поэтому
Y(a)fY(a' )=? У(а')*ТгУ(а)*У(а' )К(а")=Е <а| a'af
а* а"
Справедливо и сопряженное соотношенне
Y(a)fUf = UfX(af ,
нз которого в силу полноты базиса Х(а) следует
UUf = А ? X(a)K(a)ff/f = А Е X(a)f/+X(a)f - 1А

54 Гл.2. Геометрия состояний
Таким образом, оператор U является унитарным, если мы
положим
f = Л*
а
н, следовательно, с точностью до произвольного фазового
множителя,
Стоит остановиться и на обратных теоремах. Для любого
уннтарногооператора U, ортонормальный базис
Y(a) m LTlX(a)U
подчиняется тому же закону умножения, что и базис Х(а),
а операторы Y(a) задаются в точности такой же линейной
комбинацией операторов Y(a), что и операторы Х(а)- через
систему Х(а). В частности, если Х(а) — эрмитов базис, то
н базис У(а) - тоже эрмитов.
Мы не можем удержаться от иллюстрации этих замеча-
замечаний на простейшем нз N -мерных операторных пространств -
пространстве кватернионов, связанном с физической систе-
системой, которая имеет только два. состояния. Если некоторую
конкретную пару состояний обозначить как + и —, то мы
получим четыре символа измерения М(±,±) и можем затем
ввести ортонормальный базис нз эрмитовых операторов
Х(л) = <ra>vT , a = <Ъ..,3 ,
причем такой, что
Соответственно, три других оператора or. , к = 1, 2, 3,
подчиняются условиям
- 0 , 1
а их явные выражения имеют вид
о-, = Л*(+,-) + М(-,+) , €Г2 ш -tM(+>-) + 1Щ-.+) ,
коэффициенты этих выражений образуют хорошо известные
матрицы Паули. С помощью этих определений свойства умно-
умножения операторов а можно выразить в виде

Гл.2. Геометрии состояний 55
нлн, что эквивалентно, через след
klm '
где е., есть альтернирующий символ, заданный условием
?„_ = +1- Если теперь ввести любой другой эрмитов орто-
нормальный операторный базис У(а) = oL/vf, где <го=1, то
возникающее преобразование трехмерного ортонормнрованно-
го базиса
o=fc = S rkfrl , * = 1,2,3,
вещественно н ортогонально:
г* = г , гтг = 1 .
Из свойств умножения элементов с-базнса вытекает, что
Г '
где в силу . ортогональности преобразования det r = ±1.
Если ортогональное преобразование является собственным,
то свойства умножения сг-базнса и с-базнса совпадают,
тогда как в случае несобственных преобразований при вы-
вычислении произведений сг)<г[ эффективно используется i с
противоположным знаком. Следовательно, только в первом
случае — случае чистого поворота — существует унитарный
оператор такой, что
Этот унитарный оператор строится явно следующим обра-
образом:8 3 3
' U * 2 Е'Л " 2 [* + Тг г + 'S
где \/9 ¦ '
А = A + Тг r)~W2 .
Вернемся к определению унитарного оператора как
отображения одной системы координат на другую и отметим,
Довольно удивительно, что в доступной литературе иет явной формулировки это-
этого простого и общего результата. Хорошо известно обратное вычисление, выражаю-
выражающее матрицу трехмерного поворота через элементы этой унитарной матрицы (пара-
(параметризация Эйлера, Кели - Клейна), и совершенно аналогичным образом строится
эта унитарная матрица с помощью углов Эйлера.

56 Гл.2. Геометрии состоииий
что эти два набора векторов могут быть одинаковыми с то-
точностью до порядка. Поэтому рассмотрим определение уни-
унитарного оператора V с помощью циклической перестановки
<ak\V = <а*Ч , * = l....,N ,
где
что означает возможность обозначения одного и того же
состояния любым нз целых чисел, конгруэнтных по модулю
N. Повторные применения V определяют линейно независимые
унитарные операторы . .,
<a*|Vn = <a I .
до тех пор, пока не получим
<ak\VN = <ak+N\ = <a*| .
Таким образом, соотношение
Vм = 1
является минимальным уравнением, т.е. уравнением наиме-
наименьшей степени, которому подчиняется этот оператор, и ко-
которое определяет наличие периода N. Собственные значения
оператора V подчиняются такому же уравнению н, следова-
следовательно, задаются N различными комплексными числами:
v' .. е ы = vk . к = 0...-.-ЛМ.
Унитарные операторы можно рассматривать как комп-
комплексные функции эрмитовых операторов, н поэтому на них
можно перенести всю спектральную теорию эрмитовых опера-
операторов. Если унитарный оператор V имеет N различных собс-
собственных значений, то его собственные векторы образуют
ортонормальную систему координат. Сопряжение правых соб-
собственных векторов |i/'> дает левые собственные векторы
<у' |, связанные с той же системой собственных значений,
а произведения
обладают всеми свойствами, предъявляемыми к символам из-
измерения. Теперь заметим, что факторизация минимального
уравнения для V, записанная в виде

Гл.2. Геометрия состояний S7
JV-1 .
>' - 1) lL(V/v'Y = о ,
дает возможность установить вид этого эрмитова оператора
где множитель N~ выбран для того, чтобы
<и'\Щи') = <»'| .
Умножив М(ик) на <aiV| и воспользовавшись определением
оператора V, получим
откуда следует: „ . „
\<аы\и*>\* = 1/N .
Тогда при надлежащем соглашении о фазе <aiV|t;k> получаем
разложение гж1
которое также можно записать в виде элементов функций
преобразования, связывающих данную систему координат с
системой координат нз собственных векторов унитарного
оператора, циклически переставляющего векторы данной
системы: _ ^
Перейдя к новой системе координат <и*|, мы опреде-
определяем другой унитарный оператор с помощью той же цикли-
циклической перестановки уже этого набора. Удобно ввести опе-
оператор U такой, что ь . и,_.
или, эквивалентным образом,
<uk\U = <*М .
Этот оператор* также имеет период N,
и обладает тем же спектром, что н V,
и' = е * = и* , к = О,.... N-\ .
Воспользовавшись свойством UN~l= IT , запишем соответс-
соответствующий символ измерения в виде

58 Гл.2. Геометрия состояний
Щи') = -Jr Ni\u')lLTl ,
(-0
и, применяя затем описанную выше процедуру, строим собс-
собственные векторы оператора U:
< < ¦
Таким образом, первоначальная система координат восста-
восстановилась и наши результаты теперь можно сформулировать
как обратимое определение двух унитарных операторов и их
собственных векторов:
V *1
Связь между этими двумя системами координат задается те-
теперь равенствами
<и*|о'> - N~U2 е
и, помимо этого, свойствами периодичности
N м
из сравнения равенств
р
UN = Vм = 1
*. <и*|^^ - <« *+-1|в**1— <ик+\и *е~
мы выводим, что .
V4/ = ё "W,
Кроме того, из последнего результата. мы, как следствие,
имеем гж^
У*ик = е¦¦ " UkVl .
Каждый из унитарных операторов U и V является функ-
функцией некоторого эрмитова оператора, который сам формиру-
формирует полный набор физических свойств. Естественно перенес-
перенести это соответствие непосредственно на эти унитарные
операторы, которые более доступны для исследования, чем
соответствующие эрмитовы операторы. Поэтому теперь мы
говорим о статистической связи между свойствами U и V,
как то предписывает вероятность

Гл.2. Геометрия состояний 59
Значение этого результата можно уяснить, если рассмот-
рассмотреть последовательность измерений, которая включает не-
селектнвное измерение, как в формуле
p(u'.v,u") = ^pCu',v')p(v'.и") - \/N .
о
поскольку она утверждает, что вмешавшееся неселектнвное
р-измеренне разрушило все предшествующее знание об
и-состояннях. Таким образом, свойства U н V проявляют
максимальную степень несовместимости. Кроме того, мы по-
покажем, что U я V суть образующие полного ортонормального
операторного базиса в виде набора N2 операторов
Х(тп) = ATv2f/'lV'1 , т. п = 0.....N-1 .
н поэтому они сообща дают основу для полного описания
физической системы, имеющей N состояний. Имея в виду оба
эти аспекта, об U и V говорят как о взаимно
дополнительной? паре операторов.10 Так случилось, что ме-
между операторами U и V имеется полная симметрия, что вы-
выражается инвариантностью всех свойств при замене
U -» V , V -» 1Г1 .
Данное обстоятельство можно было бы подчеркнуть, выбрав
элементы операторного базиса в виде
ЛГ^е * UmVn = .ЛГ^е * VnUm ,
которые инвариантны относительно этой замены в сочетании
с заменой m —* п,, п —> -т.
Одно доказательство полноты операторного базиса,
порожденного U и V, зависит от следующей леммы: Если не-
некоторый оператор коммутирует и с U, и с V, то он обязате-
обязательно является кратным единичному оператору. Так как U
полон сам по себе, такой оператор должен быть функцией
В оригинале "complementary".- Примеч. пер.
Операторы, имеющие алгебраические свойства операторов U и V, давно известны
из книги Г.Вейля "Теория групп и квантовая механика' (М.:Наука,1983.-Гл.4,§14.
- Примеч.мр.), однако не было понимания этих операторов как обраэуюишх полно-
полного операторного базиса для любого N и их оптимальной несовместимости, как это
устанавливает свойство взаимной дополнительности. Никто отчетливо не разгля-
разглядел, что из этих рассуждений выявляется априорная классификация всех возмож-
возможных типов физических степеней свободы.

60 Гл.2. Геометрия состояний
оператора U. Тогда, согласно предположению о коммутатив-
коммутативности с V, для каждого k имеем
о = <h ^b * **1
т.е. эта функция от U принимает одно и то же значение
для каждого, состояния, что отождествляет ее с операто-
оператором, кратным единичному. Теперь для произвольного Y рас-
рассмотрим сумму
Е X(mn)YX(mn)f = jf Л UmVnYV~nU~m = ^ Е VnUmYLTmV~n
ям ям ям
и заметим, что умножение слева на U и справа на 1ГХ или
на V и V~, соответственно, приводит лишь к переуст-
переустройству суммирований. Соответственно этот оператор ком-
коммутирует я с U я V. Взяв след, устанавливаем, что множи-
множитель при единице равен ТгК, и, следовательно,
N-i +
(mn)YX(mny = 1-TrY ,
т.е. получено условие полноты для Н-мерного операторно-
операторного базиса Х(тп). Покажем, с другой стороны, что эти N2
операторы ортонормальны, для этого вычислим
<Х{тп)\Х(т'п')> = ¦j^TrUm'~mVn'~n=a(m,m')a(n,n'),
т, п, т', п' = 0, ,АГ—1 .
То, что это единица 8 случае nv=ni' и n=/i'", очевидно. Если
т*т', то разность т—т' может принимать любое отличное от
нуля значение между (N—X) и -(N-\). Поскольку оператор
Um ~т . изменяет каждый вектор <». | на ортогональный
<» *+m~Al |f то ПрИ вычислении следа в ^-представлении по-
получается нуль. Аналогично, если п*п' и след вычисляется
в а-представлении, то получается нуль, так как каждый
вектор <и | преобразуется оператором Vn ~n в ортогональ-
ортогональный <и*+||/"п|.
Заслуживает внимания одно применение свойства пол-
полноты операторов. Для начала заметим, что операторы
UmVnUV~nU~m = е "*"с/ = unU ,

Гл.2. Геометрия состояний 61
представляют собой унитарные преобразования, которые
производят только циклические спектральные сдвиги. Если
теперь оператор Y задан как произвольная функция U н V,
то условие полноты для нашего операторного базиса можно
записать в виде
1/ЛГ2 YF(u'U,v'V) = 1/ЛГ TrF ;
Это равенство представляет собой разновидность эргоднче-
ской теоремы, поскольку оно уравнивает среднее по всем
спектральным переходам со средним по всем состояниям.
Явное упоминание об операторах можно обойти, если F(U,V)
строится нз членов, которые подобно отдельным операторам
Х(тп), упорядочены так, что U располагается везде слева
от V. Тогда мы можем вычислить матричный элемент этого
операторного равенства, соответствующий состояниям <и°|
и |»°>, который приводит к числовому соотношению
TrF(U,V) = \/NY,F(u'.v') .
Интересно отметить, что некоторые нз степеней Uk,
к = 1,..., ЛГ-1, могут иметь период ЛГ. Это случается тог-
тогда, когда k и ЛГ не имеют общего делителя, н поэтому чис-
число таких операторов равно <p(N), количеству целых чисел,
меньших ЛГ, н взаимно простых с ЛГ. Далее, с каждой такой
степенью оператора U можно связать степень V1, также
имеющую период ЛГ, которая в паре с U подчиняется тому
же операторному равенству, что н операторы U н V,
V*?/* = е " U V .
Это равносильно уравнению
Ы = l(mod N) ,
в силу теоремы Ферма-Эйлера единственное решение этого
уравнения имеет вид
Имеются в виду положительные целые числа, причем единица считается взаимно
простой с любым N. - Примеч. пер.

62 Гл.2. Геометрия состояний
Эта пара операторов также порождает операторный базис
Х(тп) в несколько переставленном порядке.
Теперь мы заменим единственную пару взанмодополнн-
тельных операторов U,V несколькими такими парами, отде-
отдельные члены которых имеют периоды меньшие, чем наше
произвольное N. Это приводит к классификации квантовых
степеней свободы относительно этих различных несократи-
несократимых, простых периодов. Пусть
ЛГ = NtN2 .
где целые числа N. н ЛГ. взаимно простые, и
Ut- и *. С/2 = U ' ,
• » * »
причем '
/, = N2 ' (mod JV,) , l2 = NA ^ (mod NJ .
Видно, что Uv Vx имеют период Ny a t/2, V2 - период Nr
н что эти пары операторов взаимно коммутативны, например
2 2 2
Далее,
VXUX = e Ni UtVt , V2U2 = e *i UJT% ,
так что UyV^ н 42,V2 образуют две независимые пары вза-
взаимно дополнительных операторов, соответствующие относи-
относительным периодам Л^н AL. Кроме того, мы замечаем, что
ЛГ = ^^2 независимых степеней оператора U можно получить
в виде
и"*1 ит* = f/ {т1"г+ т*) mj = ° ^г1 '
12 ' m = О,..., ЛГ-1 ,
ибо в силу взаимной простоты Л^ и N2 все эти степени
различны. Проделав подобное построение для V, мы обнару-
обнаруживаем, что члены нашего ортонормального операторного
базиса, правда, иначе упорядоченные, задаются выражениями

Гл.2. Геометрия состояний' 63
"* V*1 V** = П
где
л д/ 4
\
Другой подход к этой коммутативной факторизации
операторного базиса заключается в параметризации индекса
собственных чисел А=0,...,#-1 с помощью пары целых чисел
12 2 *2= 0 N2-l .
Соответствующим образом мы заменяем
и* = vh = е *
на
к к иЫк . . inlk
и, = о, = е "i и и2 * = v2 2 = е "* ,
что дает
<и*| ~<и*1 и2*\ , <v\ =<»,*• v 2*1 .
Определив эти векторы как собственные векторы пар комму-
коммутирующих унитарных операторов, мы можем определить ^12»
У., с помощью следующих обратимых соотношений:
*, *. *+1 *. *. *„ к *.+1
<«,' u2*\Vf<iu1l u2*\, <u1lu21\Vf<u1iu23 \,
к. к , *+1 * * к , * *+1
которые воспроизводят свойства .
N, N, ¦ ' -z-
U ' ж V I = \ V U = е "i UV
I I ' II ' VI '
вместе с коммутативностью любых двух операторов, соот-
соответствующих различным индексам. В ортонормальности N*N^
N2 операторов Х^т^т^п^п^) теперь можно удостоверится
непосредственно. Кроме того, если надлежащим образом
продолжив предыдущие рассуждения, мы получим функцию
преобразования

64 Гл.2. Геометрия состояний
где
Продолжение этой факторизации обрывается при
где / - полное число простых делителей, включая повторе-
повторения. Мы называем это свойство, характеризующее N,. числом
степеней свободы для системы, имеющей N состояний. Таким
образом, окончательный коммутативно факторнзованный ба-
базис .
Х(тп) = п Х(тл) ,
1"\ ' '
v Up V^ ; my . Я/ =O,...i»yl ,
строится из операторных базисов, соответствующих отдель-
отдельно каждой нз / степеней свободы, а пара неприводимых
взаимодополннтельных величин каждой степени свободы
классифицируется значением простого целого числа v =» 2,
3, 5, .... оо . Например, в случае 17=2 взаимодополнитель-
взаимодополнительные операторы U и V антикоммутируют и их квадрат равен
единице. Поэтому их можно отождествить, например, с о*, и
ст., а соответствующий операторный базис дополнить произ-
произведением -iUV = ary.
Характеристики степени свободы с бесконечным числом
состояний можно изучить, если явно выделить эрмитовы
операторы, от которых зависят операторы U и V:
U = е*« , V = е** , е = Bn/v)U2 ,
где
V* = V - *е . * = 0, ±1, ±2, ..., ±?(»-1) .
Мы ие будем выполнять операций, необходимых для предель-
предельного перехода v —* в», -которые, очевидно, дадут хорошо из-
известную пару взаимодополнительных свойств с непрерывным

Гл.2. Геометрия состояний 65
спектром. Однако одно замечание нужно сделать. При таком
подходе не встречается каких-либо затруднений, где бы
при введении непрерывного спектра требовалось построение
нового формализма, будь то язык дельта-функцин Днрака
или распределений. Правильнее будет сказать, что перед
нами стоит прямая задача - установить природу подпрост-
подпространств физически осмысленных состояний и операторов, для
которых можно единообразно выполнить предельный переход
v —* « .
3 ЮШвннгер

ГЛАВА 3
ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
3.1. Оператор действия
3.2. Оператор Лагранжа
3.3. Принцип стационарного действия
3.4. Оператор Гамильтона
3.5. Уравнения движения. Генераторы
3.6. Перестановочные соотношения
3.7. Деа класса динамических переменных
3.8. Взаимодополнительные переменные первого рода
3.9. Неэрмитовы переменные первого рода
3.10. Взаимодополнительные переменные второго рода
Измерение есть физическая операция в пространстве и
времени. Свойства системы описываются по отношению к из-
измерениям в некий заданный момент времени, и ни одно из
значений этого времени принципиально неотличимо от дру-
другого по результатам измерений над изолированной систе-
системой. Следовательно, операторы, представляющие аналогич-
аналогичные свойства в различные моменты времени, должны быть
связаны с помощью унитарного преобразования. Распростра-
Распространение во времени возмущений, порождаемых измерением,
приводит к тому, что физические величины, относящиеся к
различным моментам времени, вообще говоря, несовместимы.
Поэтому полный набор совместимых свойств будет относить-
относиться к единому времени, а описание состояния требует зада-
задания значений этих величин (вместе с системой пространст-
пространственных координат) и времени. Таким образом, функция пре-
преобразования, связывающая два произвольных описания, при-
принимает вид <ayi|a^2>, частными случаями которого явля-
являются: <a't\b't> - функция, связывающая два различных на-
набора величин в один и тот же момент времени, и
(a'tAa"t? - функция, связывающая аналогичные свойства
в разные моменты времени. Эта связь между состояниями в
различные моменты времени включает всю динамическую ис-
историю системы на данном интервале. Следовательно, свой-
свойства конкретных систем должны полностью содержаться в
динамическом принципе, который характеризует функцию
преобразования общего вида.

Гл. 3. Динамический принцип 67
3.1. Оператор действия
Любое бесконечно малое изменение функции преобразо-
преобразования <а'1<1|а2<2> можно записать в виде (см. равенство
A.68))
e<a'i'i«a?2> * i<a\t^WX2\a^2y, C,1)
где SWn - бесконечно малый эрмитов оператор, обладающий
свойством аддитивности
ЯГВ + ЯГМ-«ГВ C.2)
для последовательных преобразований. Теперь мы введем
наш фундаментальный динамический постулат: . существует
специальный ' класс бесконечно малых изменений, для
которых соответствующие операторы оТР„ получаются
подходящей вариацией единственного оператора - оператора
действия \ГИ
SWU =ЗрГ?. C.3)
Согласно известным свойствам таких бесконечно малых опе-
операторов введенный оператор действия эрмитов,
<а-»В' C.4)
и обладает аддитивным сочетательным свойством,
WM + ^23 = ^13 • C.5)
3.2. Оператор Лагранжа
Если на переход от описания a2'o K описанию aJy
взглянуть как иа непрерывную во времени череду бесконеч-
бесконечно мало отличающихся описаний, то свойство аддитивности
оператора действия утверждает, что
причем
WtJ --0 . C.7)
поскольку величина <a't\a"t> имеет фиксированное число-
числовое значение. Если написать
™W= *Ч0. ¦ C.8)
з* •

68 Гл. 3. Динамический принцип
то общая форма оператора действия принимает вид
4L, C.9)
где Щ) - оператор Лаграижа - является эрмитовой функ-
функцией некоторых фундаментальных динамических переменных
xJJ) в бесконечно малой окрестности момента времени t.
Без потери общности выбираем операторы х (t) эрмитовыми,
и будем пока считать их число конечным. Мыслимыми объек-
объектами вариации в операторе действия являются начальный и
конечный моменты времени t. и t- , динамические перемен-
переменные и структура оператора Лаграижа.
3.3. Принцип стационарного действия
Для заданной динамической системы изменения в функ-
функции преобразования можно осуществить только явным изме-
изменением состояний, к которым она относится. Такие вариа-
вариации состояний возникают при изменениях физических свой-
свойств или времени, с помощью которых определяется состоя-
состояние, а бесконечно малые преобразования собственных век-
векторов порождаются некими эрмитовыми операторами, которые
зависят только от динамических переменных в соответст-
соответствующее время:
S\a*2t2> = - «?2|а'*2> (ЗЛО)
Следовательно,
3<ау1|а^2> = /<ау1|(О1 - О^|а^2> , C.11)
а поэтому для данной динамической системы получается со-
соотношение
SWU = « J dt ДО = G, - G2, (ЗЛ2)
которое является операторной формулировкой принципа ста-
стационарного действия, ибо оно утверждает, что вариация
интеграла действия содержит динамические переменные, от-
относящиеся только к начальному и конечному моментам вре-
времени. Из этого принципа получаются уравнения движения
для динамических переменных и конкретные выражения для

Гл. 3. Динамический принцип
генераторов бесконечно малых преобразований. Заметим,
что оператор Лагранжа не может полностью определяться
динамической природой системы, поскольку мы должны иметь
возможность осуществлять разнообразные бесконечно малые
преобразования иад данной системой. В самом деле, если
два лагранжиана отличаются на производную по времени
T=L--jjTW, C.13)
то соответствующие операторы действия связаны соотноше-
соотношением
Wu = WVi -(Wy-W2). C.14)
н, следовательно, вариация
8WU = 8WU - (8Wy -8W2) = G x- G2. C.15)
также удовлетворяющая условию стационарного действия,
приводит к новым генераторам бесконечно малых преобразо-
преобразований в моменты времени ^ и f_ , причем
SWX = О, - О 1# 8W2 = G2- G2. C.16)
3.4; Оператор Гамильтопа
Изменение фундаментальных динамических переменных
за бесконечно малый промежуток времени описывается неким
бесконечно малым унитарным преобразованием, которое при-
приводит к дифференциальным уравнениям движения первого по-
порядка для этих переменных. Общая форма оператора Лагран-
Лагранжа, который дает уравнения движения первого порядка,
имеет вид
dx. dxa
L = т?1*Лг*
i [
хАш - afH - "<*>'>. C17)
где АаЬ - числовая матрица. Мы будем говорить об этих
двух частях оператора Лаграижа как о кинематической и
динамической соответственно» Заметим, что кинематическая
часть симметризована относительно перенесения производ-
производной по времени слева направо. Требование эрмнтовости,
Такой симметричный вид оператору Лаграижа можио придать всегда, благодаря
возможности вычленения полной производной not. - Примеч. пер.

70 Гл. 3. Динамический принцип
наложенное на L, относится отдельно к каждой из этих
частей. Поэтому Н, оператор Гамильтона, должен быть эр-
эрмитовым, а конечная матрица А — косоэрмнтовой:
А1* = -А. C.18)
Для изолированной динамической системы время не содер-
содержится явно в Н.
3.5. Уравнения движения. Генераторы
Оператор действия, соответствующий оператору L дан-
данной структуры C.17), имеет вид
WVt = J f^**** - dxAx) - ЯЛ] . (ЗЛ9)
В этой форме пределы интегрирования являются объектами
варьирования. Однако можно представить, что введена не-
некоторая вспомогательная переменная т, н вариации St. и
б*2 получаются изменением функциональной зависимости
t = t(T) по т при фиксированных пределах т,, т2. Эта
процедура уравнивает в правах переменную времени н дина-
динамические переменные: Поэтому
8[±(хА dx - dxAx) - Н dx] -
- d[±(xA6x - SxAx) - HSf] =
= |( Sx A dx - dxASx) - 8H' dt + dHSt, C:2a)
ибо
8dx = 8[x(T+dT) - jk(t)] * dSx r
8dt = 8 [t(x+dx) - t(x)] = d8t. C.21)
таким образом, принцип стационарного действия утверж-
утверждает, что
±(8xAdx - dxASx) = 8Н dt - dHSt C.22)
или
«Я = TT
н дает бесконечно малые генераторы
G = $(хА8х - SxAx) - Hit = Gx+ G( ( 3.24)
в начальный н конечный моменты времени.
Структура оператора Гамильтона пока еще не конкре-
конкретизирована. Коль скоро его вариация имеет вид C.23),
TT8t + ъ(*хАШ-7ГГ

Гл. 3. Динамический принцип 71
где вариации 8х встречаются только слева и только спра-
справа, эти вариации должны обладать некими элементарными
операторными свойствами, характерными для того специаль-
специального класса операторных вариаций, с которыми оперирует
динамический принцип. А именно, мы должны иметь возмож-
возможность перемещать каждую 8ха целиком налево или направо в
выражении вариации 8Н
& Н Я Н '
8Н - $-8t = 8х^- = д^-а*. C.25)
которое определяет левую и правую производные оператора
Н. Ввнду полной снмметрнн между левым н правым мы заклю-
заключаем, что в C.23) члены с дх слева тождественны членам
с Sx справа. Таким образом, получаем
тг - 1т <3-26>
н
,dx_dlM dx . _ ,т d x _ 8гН
последние соотношения должны быть эквнвалентнымн формамн
уравнений движения. Аналогично, бесконечно малый генера-
генератор G имеет следующие эквивалентные формы:
" Gx = -±ЗхЛх = \хА, 8х * \(Атх)8х; C.28)
а в общем случае левосторонняя н правосторонняя формы
связаны операцией сопряжения. В нашем изложении мы будем
предполагать, что матрица А несингулярна. Это означает,
что каждая вариация 8ха фигурирует в Qx независимым об-
образом, и что каждая переменная ха подчиняется явному
уравнению движения.
3.6. Перестановочные соотношения
Бесконечно малый генератор G( = —H St описывает,
очевидно, унитарный переход от описания в момент времени
t к аналогичному описанию в момент времени t+6t, что и
определяет Н как оператор энергии системы. Если F - про-
произвольная функция динамических переменных x(t) н време-
времени, то оператор F, играющий роль F в описании, относя-
относящемся к моменту времени t+6t, имеет вид
T=F-8F = Flx(t+8t),t), C.29)
так как числовой параметр t не затрагивается операторным

72 Гл. 3. Динамический принцип
преобразованием. Следовательно,
? Щ. C.30)
или
dF _ dF + 1 rp fn ,3 з|ч
что есть общее уравнение движения. Подставив F=H, полу-
получим
dH _ дН C.з2)
в согласии с C.26), выведенном из принципа стационарно-
стационарного действия. Такая же согласованность должна иметь место
в уравнениях движения для динамических переменных, кото-
которые требуют, чтобы
7 [**] « ВЗГ- C-33>
.7
¦ C.34)
Переписав эти соотношения в виде
1 д.Н , д,Н
\8х [Ас,Я] = eJtjj—. 7 С-^'Ч Зх = ~~
в силу равенства правых частей и эквивалентности двух
выражений для G в C.28), мы можем заключить, что
[8х,Н] Ах = -хА [вх./TJ . C.36)
Мы будем удовлетворять этому' условию согласованности,
требуя, чтобы каждая вариация 8ха коммутировала с опера-
оператором Гамильтона
[8ха.Н1 = 0 , C.37)
поскольку это требование позволяет придать перестановоч-
перестановочным соотношениям C.35) вид
, , д.Н д Н .
}
н идентифицировать преобразование, генерируемое G , как
изменение каждой динамической переменной ха на величину
ядх . Соответственно, для произвольной функции динами-
динамических переменных в заданный момент времени имеем
1 Л dlF drF\
l ?l ii*. C.39)
3.7. Два класса динамических переменных
Наличие двух эквивалентных версий билинейного по х
8х генератора Gx в действительности означает, что пе-

Гл. 3. Динамический принцип 73
ремещенне. вариации дх через любую динамическую перемен-
переменную индуцирует линейное преобразование этих переменных
8xaXb = [kaX)*Xa > <3-40>
где к — некоторая матрица. Из сопряженного аналога
мы заключаем, что
*:*а -i • <з-42>
Теперь коммутатнвность каждого дха с оператором Гамиль-
Гамильтона Н(х) предстает в виде системы свойств инвариант-
инвариантности
Н(ках) = Н(х) = H(k^x) , C.43)
где последнее равенство выражает эрмитову природу опера-
оператора Н. Образовав коммутатор с другой вариацией 8хь, мы
обнаруживаем, что
H(kakbx) = Н(х), C.44)
т.е. система линейных преобразований ka образует группу
преобразований, оставляющую Н инвариантным (группу инва-
инвариантности Н). Из фундаментальной природы этой группы мы
заключаем, что это должно относиться н к общей структуре
оператора Лагранжа. Его кинематический член инвариантен
относительно преобразовання k , если
/$*, = А. C:45)
Кроме того, из двух эквивалентных выражений для Gx полу-
получаются соотношения _.
м • C46)
совместимые с C.45). Чтобы эта эквивалентность, прису-
присущая переменным х н kax, была полной, они должны быть
эрмитовыми операторами. Следовательно, матрицы k вещес-
вещественны н удовлетворяют соотношению
k2a = 1 . C.47)
Конструкция группы инвариантности, описываемой мат-
матрицами ka, основывалась на вариациях конкретных операто-
операторов 8ха. Однако должна существовать определенная свобода
н во введении новых эрмитовых переменных с помощью
линейного преобразовання старых
7= 1х. C.48)

74 Гл. 3. Динамический принцип
с одновременным переопределением матрицы А н оператора
Гамильтона _j
А= Г АГ\ Щх) = Щх) ш НAАх). C.49)
При таком новом выборе переменных свойства инвариантнос-
инвариантности гамильтониана имеют вид
Щх) = Щках) = Щ1каГХх~), C.50)
т.е.
1ка
Г\
C.51)
С другой стороны, эти матрицы должны возникать непосред-
непосредственно из перестановочных свойств вариаций 8хп:
~a-
Sx x. = [kx] 6x .
Сведя это утверждение к соответствующим характеристикам
прежних вариаций Sx, получим
E'rt**^1)*-" e«/"!V ¦¦8«*а- C-53)
Этот результат не может быть правильным для произвольной
матрицы / из определенной .группы преобразований, за
исключением случая, когда матрицы кь одинаковы для всех
значений Ь, которые могут быть связаны данным линейным
преобразованием. Следовательно, динамические переменные
х должны распадаться на классы так, что линейные преоб-
преобразования допускаются только внутри каждого из этих
классов,, причем классы характеризуются специфическими
значениями матриц к. При наличии такой свободы проделы-
проделывать независимые линейные преобразования в пределах каж-
каждого класса, матрицы ка должны сохранять разбиение на
классы, и потому они состоят исключительно из подматриц,
характерных для каждого класса переменных. Далее, раз-
о
В этих рассуждениях содержится неточность - формула C.51) ие следует из
C.50), но она н ие нужна. В самом деле, с одной стороны
а с другой
а . a a
Отсюда вытекает, что все матрицы к^, одинаковы для компонент, которые переме-
перемешивает преобразование I, т.е. на носителе этого преобразования, что и позво-
позволяет сделать все дальнейшие заключения. - Примеч. пер.

Гл. 3. Динамический принцип 75
биение динамических переменных на части, производимое
любой из матриц ka ,
x = \(\+ka)x + \(\-ka)x, C.54)
вместе с соответствующими свойствами вариаций
«*«?<«*«>*- ЦA±ка>х8ха' <3-55)
означают, что подматрицы матриц ka ведут себя просто как
числа kab , помечающие различные классы. Согласно C.47)
эти числа подчиняются уравнению'
(*«/ = 1 • C.56)
Таким образом, две имеющиеся возможности, *аа=±1, опре-
определяют два различных класса динамических переменных:
*и " +1 • *22 = -1 <3-б7>
Вскоре мы увидим, что ^m^or H поскольку в группе
^-преобразований должно быть тождественное преобразова-
преобразование
kn = +1 , А2, = +1 . C.58)
Если различать эти два класса динамических переменных
как переменные первого рода гк н переменные второго рода
ZK, то операторные свойства вариаций 8zk, 8$K, соб-
собранные в соотношениях
8хаХЬ ш каЬХЬ8ха> ^
явно выписываются в виде
J " °' -fcc'Cx} - 0 • C.60)
где фигурные скобки обозначают антикоммутатор:
{а,в\ = АВ + ВА. C.61)
Инвариантное преобразование гамильтониана, подразумеваю-
подразумевающее коммутативность с 5?,
//(z,-<) - Щг.0 . C.62)
требует, чтобы Н был четной функцией переменных второго
рода, но не накладывает никаких ограничений на зависи-
зависимость от переменных первого рода.
Свойство матрицы Д выраженное равенством C.45), с
учетом противоположности знаков *22 и Д-i показывает,

76 Гл. 3. Динамический принцип
что все элементы Д связывающие два класса переменных,
должны быть нулями. Следовательно, матрица А полностью
распадается на две подматрицы, связанные с двумя типами
переменных, мы их будем обозначать как а и их, соответ-
соответственно. Из соотношения C.46) следует, что матрица а
антисимметрична н потому вещественна
а т -аТ = а*, C.63)
тогда как а — симметрична и вещественна:
а ж ат = а*'. C.64)
Такое полное разделение матрицы А на подматрицы а н to.
приводит к аддитивному разложению генератора Gj
где
Gg = \zaiz = \{а6г)г C.66)
н .
Сс = |СйсвС = -1(Йс5<)С. C-67)
Такая структура генератора- G является проявлением адди-
аддитивности формы кинематического члена в лагранжиане
именно это обстоятельство мы отражаем, называя два таких
набора переменных кинематически независимыми. Для этих
кинематически независимых наборов переменных уравнения
движения имеют вид
д.Н дН
C-69>
dT д.Н д
лг д.Н д Н
а? = зг~ = зг~ ' C70)
Чтобы обозначать характерную для лагранжиана билинейной
структуры симметризацию по переменным первого рода н
антнснмметрнзацню по переменным второго рода, мы примем
единую форму записи:
f - н- <3-71>

Гл. 3. Динамический принцип 77
Перенося дх слева направо в общих перестановочных
соотношениях C.39), мы получаем
(Ax)aF(x) - F(kax)(Ax)a = il?- ,
Л
F(x)(xA)a - (xA)aF(kax) = igi-. C.72)
л
При специальном выборе F(x)=cx. эти равенства можно запи-
записать в виде
ХаХЬ~ коЬ*ЬХа = ^А~\ь'
ХЬХа~ каЬХаХЬ^1^Ьа' <3-73>
и поменяв местами а и 6 в одном из равенств, из другого
выводим:
*..-**¦
Мы уже пользовались содержащимся здесь исключительно ва-
важным утверждением, ^п~^о\' Теперь перестановочные свой-
свойства двух классов динамических переменных выписываются
явно
[v*i]-'<e"V
Заметим, что структура этих операторов воспроизводит
структуру матриц: антисимметричный и косоэрмнтов комму-
коммутатор появляется с антисимметричной, чисто мнимой матри-
матрицей A//)а, тогда как симметричный и эрмитов антикомму-
антикоммутатор связан с симметричной вещественной матрицей ос
Кроме всего прочего матрица а должна быть положительно
определенной, если переменные ?к линейно независимы. Для
переменных первого- рода общее перестановочное соотноше-
соотношение теперь записывается в явном виде,
7[аг-^=Э7- <3-76>
где не различаются левые н правые производные; переста-
перестановочные соотношения с переменными второго рода выписы-
выписываются отдельно для операторов, являющихся их четными н
нечетными функциями: ас g Ъ~
K'f4] -^--Bp-: <3-77>
н d.F д F
л л <3-78>

78 Гл. 3. Динамический принцип
3.8. Взаимодополиительиые переменные первого рода
В силу предположения, сделанного ранее относительно
матрицы Д матрицы а и а несингулярны. Для антисимметри-
антисимметричной матрицы а, связанной с переменными первого рода,
соотношение
det a = det aT = det(-a) C.79)
показывает, что число переменных первого рода не может
быть нечетным. Будем обозначать их число как 2л.. Далее,
матрица, определенная как
о - {c?a)W2 , C.80)
является вещественной, симметричной и положительно опре-
определенной функцией матрицы а, и положив,
а = аХ = Хо, C.81)
обнаруживаем, что X — вещественная антисимметричная мат-
матрица, которая подчиняется уравнению
X2 - -1-. C.82)
Более того, существует вещественная симметричная матрица
р такая, что
рар~х = -а, р2 * 1 . C.83)
Матрица р коммутирует сан антикрммутирует с Л. Подхо-
Подходящим выбором эрмитовых переменных г все эти гл^-мерные
матрицы можно представить в клеточной форме, составлен-
составленной из /^-мерных подматриц,
Г
для матриц а можно дости
1 _—t _ Го -а]
j ' а ~ [а- 1 0 J '
это устанавливает, что для матриц а можно достичь формы
« Г 1]
O
где а - некоторая л,-мерная вещественная симметричная
положительно определенная матрица. Будем обозначать так
разделившиеся наборы л, переменных через г^ н г[2\
k=\,...,nv Согласно формулам C.75) эти переменные под-
подчиняются следующим перестановочным соотношениям:
C.86)

Гл. 3. Динамический принцип 79
При расчлененной таким образом форме матрицы а ки-
кинематический член н бесконечно малый генератор, относя-
относящиеся к переменным первого рода, принимают вид
* *[^-Я^-*Л«^] C-87)
Ож = i (Aa^2) - зАг^ , C.88)
причем этот генератор порождает в 2?" и в г* ' измене-
изменения ?бг^ н j6z*2) соответственно. Теперь - восполь-
воспользуемся возможностью добавлять в лагранжиан производную
по времени с одновременным изменением бесконечно малого
генератора в духе формул C.13) и C.16). Выбрав
¦¦^-4а^°ва^)' <3-89>
мы получим новый кинематический член
а».«Й^- C.90)
н новый генератор
G(J) = а^ава*2} C.91)
вместе с тем W с противоположным знаком дает кинематиче-
кинематический член
ЙЙ C.92)
н генератор
G = -да^аа» = -а»ава«. C.93)
Сравнивая полученные выражения с C.88), устанавливаем,
что генератор G .~ порождает преобразование, при кото-
котором операторы z^" остаются неизменными, а операторы
2^ ' изменяются на Зу '. К оператору G ... применима
обратная интерпретация. Таким образом, мы разделили пе-
переменные первого рода на два набора, которые являются
взаимно дополнительными: каждый из наборов охватывает
генераторы бесконечно малых вариаций переменных другого
набора. Такая интерпретация генераторов G ,_ и G ,_.
у' зг '
выражается равенствами
C94)

80 Гл. 3. Динамический принцип
из которых мы легко восстанавливаем перестановочные со-
соотношения C.86), и выводим уравнения движения для вза-
взаимно дополнительных переменных,
<2> дН „dz^_ дН
что согласуется со следствиями из принципа действия.
Вещественную симметричную положительно определенную
матрицу всегда можно свести к единичной с помощью неко-
некоторого вещественного преобразования; будучи примененным
к а оно приводит к описанию взаимно дополнительными пе-
переменными в канонической форме. Нужное преобразование
получается введением канонических переменных
р-аиД Ч = аУЧ2\ C.96)
поскольку это придает кинематическому члену C.90) вид
Итак, канонические переменные образуют nf кинематически
независимых пар взаимно дополнительных динамических пе-
переменных первого рода. Для канонических переменных осно-
основные соотношения принимают вид:
уравнения движения
ВН dPk ЬН
бесконечно малые генераторы
общие перестановочные соотношения
ЧР-Ы-Ц;- \1Ч-Ъ-Цтк. C.100)
и перестановочные свойства канонических переменных
[Ян . Я^ - I>fc . Р J - 0 .
С^.РД - 1*ы.. C-101)
3.9. Неэрмитовы переменные первого рода
Важно понимать, что динамическая теория, построен-
построенная на базе эрмитовых динамических переменных, допускает
введение иеэрмитовых взаимно дополнительных переменных.

Гл. 3. Дииаыический принцип 81
Положим
у = ^ * U . iy* = *A)+ 1г 2. C.102)
и заметим, что кинематический член C.87), который те-
теперь можно записать в виде
- gf-»«*«/] » C.103)
имеет ту же структуру с iy и у вместо z-' и z*2\
соответственно. Кроме того, это выражение сохраняется
при произвольных комплексных линейных преобразованиях
иеэрмитовых переменных у вместе с надлежащим переопреде-
переопределением а как положительно определенной эрмитовой матри-
матрицы. Формальное применение предыдущих рассуждений к этим
иеэрмитовым переменным приводит, например, к перестано-
перестановочным соотношениям
написанным для вещественной матрицы а; в точности то же
самое получилось бы, если скомбинировать перестановочные
соотношения для эрмитовых переменных в согласии с опре-
определениями неэрмнтовых переменных н соотношениями
1 f 8F _ ,_д?
ду
Если эти соотношения воспринимать как определение диф-
дифференцирования относительно иеэрмитовых переменных, то
из них следует, что
C.106)
что делает законным формальное рассмотрение, в котором у
и у подвергаются независимым вариациям. Поэтому форма-
формальная теория, применяющая иеэрмитовы переменные, дает
верные уравнения движения и перестановочные соотношения.
В частности, можно пользоваться канонической версией та-
таких переменных, и хотя канонические переменные qk и pk
не будут самосопряженными, но
pk = iq\ . C.107)

82 Гл. 3. Динамический принцип
Такими образом, канонические уравнения движения и пере-
перестановочные соотношения можно записать в виде
d1 ЬН :d1k дН
7т Чгт*Г
1як.я\] = «ы . C109)
где пары равенств связаны операцией сопряжения.
3.10. Взаимодополимтельиые переменные второго рода
Для переменных второго рода возникает та же карти-
картина: их число с необходимостью четно и их можно разделить
иа два взаимодополиительиых набора. Действительно, ве-
вещественную симметричную положительно определенную матри-
матрицу а можно свести к единичной подходящим вещественным
преобразованием, которое реально состоит во введении но-
новых переменных
€ = «У2*: ¦ (злю)
Новые канонические эрмитовы переменные удовлетворяют
соотношениям
{*к' *х} - 8КЬ ' К'Х = J V ' <3111)
которые означают, что два различных ^-оператора аитйком-
мутируют, и что квадрат каждого ? кратен единичному
оператору с одинаковым для всех операторов числовым
множителем. Соответствующие уравнения движения в канони-
канонической форме записываются как
dH агн
- vfr • <3-112>
в то время как общие перестановочные соотношения прини-
принимают вид
Теперь мы хотим подчеркнуть особо: требование, чтобы
полная алгебра измерений для систем, описываемых пере-
переменными второго рода, выводилась из фундаментальных ди-
динамических переменных, является допущением, которое со-

Гл. 3. Динамический принцип ' 83
путствует введению таких переменных. Линейно независимые
операторы, которые можно построить из ^-переменных, пе-
ресчитываются следующим образом: единичный оператор; v
операторов ?к; ^(P-l) операторов €*€*' К<Л:
1у(у-1)(у-2) операторов S^x^' K"^<i1'' и так далее
вплоть до последнего, единственного, оператора
?«€о*° °^v'" Полученное таким образом полное число неза-
независимых операторов, т.е. размерность ^-алгебры, равно
Но это число должно быть также размерностью алгебры из-
измерений, равной квадрату целого числа N. которое есть
полное число состояний. Нужная согласованность возможна
только, если v есть четное целое число:
v = 2л2 , N m 2 2. C.115)
Разделив эти эрмитовы канонические переменные на
два семейства равного числа, ^ и ^2\ получаем кине-
кинематический член для переменных второго рода:
• C-Н6)
Описание с взаимодополиительиыми переменными получается
после введения иеэрмитовых канонических переменных вто-
второго рода
которые превращают кинематический член в
Такая структура применима к любому из двух типов взаимо—
дополнительных динамических переменных, так как выраже-
выражения
Р9& ' -7&9Ч (З.И9)
получаются добавлением подходящих производных по време-
времени. Поэтому, уравнения движения
af = 3F-- -#-иг" C12°)

84 Гл. 3. Дннаынческнй принцип
и генераторы бесконечно малых изменений в q и р
Gq=> p8q . Gp = -8pq C.121)
можно относить к любому из двух типов переменных. Разли-
Различие же между двумя классами косвенно состоит в их отно-
отношении к левым и правым производным, а более общо - в
операторных свойствах вариаций Sq и 5р. Таким образом,
для переменных второго рода
Gp = - ISpK qK = lqK 8рк . C.122)
Общие перестановочные соотношения, выражающие смысл этих
генераторов, имеют вид
Ч ?
(З.Ш)
fc'¦&.¦¦ - <
эти утверждения совпадают с результатами, которые полу-
получаются прямо из перестановочных свойств C.113) для
эрмитовых динамических переменных.
В качестве приложения общих перестановочных соотно-
соотношений мы вновь получаем канонические уравнения движения
и выводим перестановочные свойства канонических иеэрми-
товых переменных второго рода
<3-125>
{"к •
Благодаря отношению сопряженности между каноническими
переменными
Рк
Рк = UfK , C.126)

Гл. 3. Динамический принцип 85
уравнения движения и перестановочные соотношения можно
также представить в виде
dq д.Н dqf д Н
C*27)

ГЛАВА 4
СПЕЦИАЛЬНАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ГРУППА
I. ПЕРЕМЕННЫЕ ПЕРВОГО РОДА
4.1. Дифференциальные операторы
4.2. Уравнения Шредингера
4.3. qp—функции преобразования.
4.4. Дифференциальные формы условий полноты
4.5. Незрмитовы канонические переменные
4.6. Некоторые функции преобразований
4.7. Физическая интерпретация
4.8. Композиция с помощью интегрирования по контуру
4.9. Измерения оптимальной совместимости
II. ПЕРЕМЕННЫЕ ВТОРОГО РОДА
4.10. Группа вращений
4.11. Внешняя'алгебра
4.12. Собственные векторы-и собственные числа
III. УНИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
4.13. Конструктивное использование специальной канонической группы
4.14. Функции преобразования
4. IS. Интегрирование
4.16. Дифференциальные реализации
Перестановочные свойства бесконечно малых опера-
операторных вариаций, с - которыми оперирует фундаментальный
динамический принцип, таковы, что сохраняют перестано-
перестановочные соотношения,, которым подчиняются динамические
переменные. Следовательно, эти специальные вариации
имеют черты группы преобразований, к изучению которых мы
теперь приступаем.
I. ПЕРЕМЕННЫЕ ПЕРВОГО РОДА
Вариации 8г для. переменных первого рода коммутируют
со всеми операторами и потому ведут себя просто как бес-
бесконечно малые вещественные числа. Если рассмотреть гене-
генераторы двух независимых бесконечно малых вариаций
(ф- -1&жаж . 0«L $«««,. D.1)
то их коммутатор можно вычислить, воспользовавшись смыс-
смыслом, который имеет каждый из этих операторов будучи
генератором:
-1«»>2,>вB>г . D.2)

Гл. 4. Специальная каноническая группа 87
Эквивалентные канонические формы этого выражения имеют
кчч - кчч - °-
Таким образом, мы устанавливаем, что совокупность беско-
бесконечно малых генераторов Gx или G и G , вместе с беско-
бесконечно малыми кратными единичного оператора, замкнута
относительно образования коммутаторов, и поэтому состоит
из бесконечно малых генераторов некоторой группы, кото-
которую мы назовем специальной канонической группой.
4.1. Дифференциальные операторы
Для изучения преобразований из этой группы полезно
рассмотреть их действие на собственные векторы полного
набора коммутирующих эрмитовых операторов, предоставляе-
предоставляемого »| каноническими переменными q, или же р в заданный
момент времени. Сначала мы рассмотрим интерпретацию
преобразования, порождаемого оператором G , иа собст-
собственных векторах ^-описания, а поскольку в силу B.58)
D.4)
«Р<Р''1 - Kp't\Gp, ....".
все то же самое будет относиться и к р-описаиию. Итак,
вектор <jq't\ +8<q't\ является собственным вектором опе-
операторов q -8q с собственными значениями q'. Но посколь-
поскольку 8q просто числовые кратные единичного оператора,
варьированный вектор точно так же описывается как собст-
собственный вектор операторов q, соответствующий собственным
значениям q' + 8q. Это показывает, что спектр эрмитовых
операторов qk образует континуум, простирающийся от -«о
до +«, и что вариацию 8Sq't\ можно приписать изменению
собственных значений ц' на 8q. Аналогичные рассуждения
применимы к дополнительным переменным р. Таким образом,

88
Гл. 4. Специальная каноническая группа
(Л
Сопряженные соотношения имеют вид
D7)
здесь принято соглашение, что символом дт обозначается
операция дифференцирования, действующая в направлении
противоположном обычному. Для функций, которые можно
построить алгебраически из переменных р и произвольных
функций от q, по индукции устанавливаем1
<q't\F(q,p) =
F(q,p)\q't>
D.8)
эти соотношения позволяют реализовать наши абстрактные
операторы как дифференциальные операторы. Аналогично,
для функций, составленных из алгебраических конструкций
по переменной q и произвольных функций по р, имеем.
<p*t\F{q.P) -
F(q,p)\p't> =
Смысл преобразования, порождаемого G на собствен-
собственных векторах ф-описання и G б
D.9)
вен-
венна собственных векторах
р-описания, усматривается из равенств
= -КЯ' t \Z
Sp<q't\
D.10)
D11)
' Здесь по существу утверждается, что представление D.8) справедливо для
аналитических в окрестности нуля функций р с коэффициентаыи, произвольно
зависяшиыи от q. Вообще, в операторных исчислениях (типа Хевисайда) такого
класса функций (сиыволов операторов) не достаточно. Процедуры расширения,
как правило, сильно зависят от решаеыой задачи, что, впрочеы, практически
не сказывается на форыальиых алгебраических свойствах. - Примеч. пер.

Гл. 4. Специальная каноническая группа 89
а именно: они умножают векторы соответствующих описаний
иа числовые фазовые множители. Преобразования, порождае-
порождаемые бесконечно малыми вещественными кратными единичного
оператора, также умножают векторы иа фазовые множители,
ио не делают различия между двумя описаниями. Следовате-
Следовательно, в результате действия преобразований из специаль-
специальной канонической группы любой собственный вектор в q-
или р-описаииях, соответствующий конкретным собственным
значениям, переходит в вектор с неким другим набором
собственных значений, умноженный иа произвольный фазовый
множитель.
4.2. Уравнения Шрёдиигера
Бесконечно малый оператор G( = -HSt порождает
группу сдвигов времени, с помощью которой описание в лю-
любой заданный момент времени преобразуется в аналогичное
описание для любого другого момента времени. Таким обра-
образом, для бесконечно малого преобразования ^-описания в
момент времени t в «/-описание в момент времени t + 8t
имеем
8t<q't\ = 8t%i<q't\ - Кя't \ Gf. D.12)
и, воспользовавшись реализацией дифференциальными опера-
операторами D.8) для систем, описывающихся переменными пер-
первого рода, получаем
4*''1 = <Я't\H(q,p,t) =
при условии, что Н — алгебраическая функция по р-пере-
меииым. Соответствующее сопряженное утверждение можно
записать в виде
[щ
W*>\т - WЪн[я'> i щ- .<] • D-14)
Произвольное состояние, обозначенное символом Ф, предс-
представляется парой комплексно сопряженных волновых функций
D.15)
9(q't) = r\q't> .
изменение этих функций во времени, таким образом, описы-

90 Гл. 4. Специальная каноническая группа
вается следующими дифференциальными уравнениями (Шрёдин-
гер):
[ * f
т
т <4Л6>
4.3. qp-функцнн преобразования
Функцию преобразования, связывающую q- н /^пред-
/^представления, относящихся к одному моменту времени, можно
построить с помощью интегрирования следующего дифферен-
дифференциального уравнения
i<q't\ (С -
p'k + я'к sp'J <i't\p't>
в котором мы непосредственно использовали операторные
свойства D.10) н D.11). Следовательно,
<q't\p'ty = Се«''' D.18)
<p't\q't> = С*е-*'4' . D.19)
Абсолютная величина константы С устанавливается нз свой-
свойства композиции
= l<q't\p't>dp'<p't\q"f> =
.-efWV; . D.20)
а ее фаза является' принципиально произвольной констан-
константой, которая может свободно меняться при преобразованиях
общего фазового множителя //-состояний по отношению к
р-состоянням. Таким образом, после соответствующего сог-
соглашения о фазе имеем {
С = Bя) 2 "' . D.21)
Благодаря такой структуре функции преобразования, собст-
собственные векторы q- н р-представленнй связаны взаимно
обратными преобразованиями Фурье
<p't\

Гл. 4. Специальная каноническая группа 91
<</'*| = <&)-"'* fetf*' dp'<p't\ . D.22)
Эти выражения позволяют представлять единичный оператор
не только через полные наборы q- или р-состояннй
1 = \\q't>dq' <q't\ =
D-23)
't>d'<p't\
но также в смешанных qp- или /^-представлениях
1 = BпГп/2 J \q't>dq' е*'"'dp' <p't \ =
= Bл)-л/2 J |р'Г> dp' е-*'*dq' <q't\ . D.24)
4.4. Дифференциальные формы условий полноты
Полученным выше равенствам, выражающим свойство
полноты, можно придать альтернативную форму, использую-
использующую не интегрирование, а дифференцирование; это можно
сделать либо прямым преобразованием, либо с помощью
следующих рассуждений. Произвольный вектор Ф получается
из векторов состояний \q'ty н волновой функции 0(</'О в
виде (здесь и ниже параметр / опускаем)
* = J W> dq' M) = 0(<7) J Ю dq'-
= ^)|р/=0М2л)л/2, D^25)
где мы ввели оператор 0(?) и использовали выражение для
состояния \р'У, соответствующего собственному значению
р'=0. С помощью аналогичной процедуры получаем
¦ = \<ftp')dp'<p'\ =
= BK)n/2<q'=0\<p(p) ,
н^ следовательно, скалярное произведение двух векторов
можно записать в виде
*,*2 = Bn)\q'- 019{рЩЯ) |р'- 0> . D.27)
Применение дифференциальных операторных реализаций D.8)
и D.9) дает
*,*2 " <2«>П
| в. D28)

92 Гл. 4. Специальная каноническая группа
ИЛИ
=o. D.29)
Если отвлечься от произвольных векторов, то эти резуль-
результаты принимают вид
1 = B«)п/2 \^)ч^
= B«)л/2 \p'>(-i&r\ , . D.30)
р0
а операция сопряжения приводит к аналогичным свойствам
^ |>
D.31)
\
lq =0
Практическая ценность таких форм записи опирается, разу-
разумеется, на возникающие неким алгебраическим путем опера-
операции дифференцирования. Основной пример такого рода дает
дифференциальная формулировка свойств композиции функций
преобразования <//' |р'> и <р' \q'y :
<Ч' \р'У = W2^' |-^<^|p'> ^ D.32)
н . т
<р' \q'y = Bц)п/2<р' \4> ^1^I^- D-33)
4.5. Неэрмитовы канонические переменные
Теперь мы изучим смысл специальной канонической
группы для неэрмнтовых канонических переменных у, iy ,
которые определяются соотношениями
(Теперь в наших рассуждениях символами q, p будут обоз-
обозначаться эрмитовы канонические переменные). Для соответ-
соответствующих бесконечно малых генераторов формальная теория
дает
Gy= iyf8y , С* = -Of у. D.35)
причем эти операторы подчиняются перестановочным соотно-
соотношениям
О)^) A> $> = 0,

Гл. 4. Специальная каноническая группа 93
^J • D.36)
Чтобы пойти путем, уже испытанным на эрмитовых канониче-
канонических переменных, мы прежде всего должны построить собст-
собственные векторы двух полных наборов коммутирующих опера-
операторов ушу.
4.6. Некоторые функции преобразований
Связь векторов \y'ty с состояниями <</'<| описывает-
описывается функцией преобразования <г/'<| «/'<>> которая удовлетво-
удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
8<q't\y'f> = K4't\ &q- GJly'ty . D.37)
Выражения для генераторов
iGq = ipdq = Sq(V2y-q) D.38)
-iGy = y*6y = (V5q-yNy D.39)
позволяют заменить все операторы соответствующими собст-
собственными значениями
6<q't\y't> = [6q' (vV-«') + №'-у') бу'К<7''!«/''> =
= в[-^ ' 2+^q'y'-iy'2]<q't\y't> , D.40)
. что дает искомое выражение для функции преобразования
<q't\y'f> = Cexpt%i'2+T/? q 'y'-\y'^. D.41)
Поскольку сопряжение уравнения для правых собственных
векторов
У\У> = У'\У'> D-42)
является уравнением на левые собственные векторы опера-
операторов у
</' \yf = <УЬ \УЬ. УЬ = У' *. D.43)
мы заключаем, что комплексное сопряжение выражения
D.41) имеет вид
<yf't\q't> = Се х pe^'VvtyV-Jf*'1} . D.44)
D.45)
Теперь мы можем вычислить функцию преобразования
<yf't\y"t> b

94 Гл. 4. Специальная каноническая группа
которая является аналогом функции <p't\q'f>. В частнос-
частности, скалярное произведение вектора |«/'<> н сопряженного
с ним имеет вид
<yf't\y'f>= lei2*2* I »'l D.46)
н является, очевидно, конечным числом. Следовательно,
собственные векторы \g't> и <j/ t\ существуют для всех
комплексных значений у'. Обратим внимание на то, что
длины этих векторов зависят от величины собственных
значений, и собственный вектор, соответствующий нулевым
собственным значениям, уникально выделен как вектор
минимальной длины. Нормируя последний на единицу, опре-
определяем абсолютную величину константы С, н приняв соот-
соответствующее соглашение о фазе, имеем
е**". D.47)
Аналогичные рассуждения относительно функции преоб-
преобразования <jq't\y*'f> дают
<i't\?*'f> - С'ехрС+^-у^'/'+^Л'2] , D.48)
н, следовательно, ни. один из векторов \у '*> н никакая их
линейная комбинация не имеют конечной длины. Такая асим-
асимметрия между операторами у и у , разительно отличающая
их от случая эрмитовых канонических переменных, очевидна
нз перестановочных соотношений
IAi- <4-49>
поскольку замена у—*у, &Г—*-у, при формальном сохра-
сохранении перестановочного соотношения превращает неотрица-
неотрицательный оператор у у в неположительный оператор —уу.
Таким образом, в отличие от \y'f> и <«/ <| векторы
\у t> и Kjf't] не существуют. Однако ниже мы найдем воз-
возможность определить векторы, которые в некотором ограни-
ограниченном смысле являются правыми собственными векторами у*
и левыми собственными векторами у.
4.7. Физическая интерпретация
Физическая интерпретация состояний |«/'<> требует
некоторых комментариев. Поскольку эти векторы, вообще

Гл. 4. Специальная каноническая группа 95
говоря, не нормируются на единицу, мы должны выражать
ожидаемое значение для таких состояний в виде
. D.50)
Далее,
2
-к ~ у\' )(Ук~ У'к)>у' -' 0 . D.51)
и, положив
у' - <?-±-Ш\ D.52)
МЫ ВЫВОДИМ, ЧТО
-p'^s - i • <454)
Итак, состояния |j/'<> таковы, что ни q-, нн /^переменные
не имеют определенных значений, но распределение около
ожидаемых значений соответствует некоторому (оптимально-
(оптимальному) компромиссу между взаимо дополнительными чертами
этих двух несовместимых наборов переменных. Для нормиро-
нормированных векторов этого описания мы будем использовать
обозначение 1 , а
к'р'О- е'* ' \у ' f> ; D.55)
при такой записи функция преобразования D.47) принимает
вид
2
'р"-р'
е 4 . D.56)
Интерпретация преобразований, порождаемых операто-
операторами G.J, н G на состояниях <у <| и |«/'<> соответствен-
соответственно, совершенно такая же, как и для эрмитовых переменных,
это явно предполагается дон построении формулы D.41).
Таким образом, -
t * а- D57)
и в общем случае
I J

96 Гл. 4. Специальная каноническая группа
F(yf.y)\y't> = W^F^.y'] . D.58)
Следовательно, для систем, которые описываются канони-
каноническими неэрмнтовымн переменными первого рода, волновые
функции 0(gI ,t) н <Piy't) подчиняются соответственно
уравнениям Шрёдннгера
D60)
Преобразования, порождаемые оператором G на векторах
<«/*'<| н оператором G ^ на векторах |y'f>» имеют вид
у
„t
Эти изменения суть бесконечно малые кратные исходных
векторов, но в отличие от случая эрмитовых переменных,
множители здесь не. являются обязательно чисто мнимыми.
То же можно сказать о бесконечно малых кратных единично-
единичного оператора, получающегося как коммутатор двух генера-
генераторов (формула D.36)). Итак, для неэрмнтовых переменных
специальная каноническая группа есть полная совокупность
преобразований, которые переводят собственный вектор с
заданными комплексными собственными значениями в собст-
собственный вектор с любым другим набором собственных значе-
значений, умноженный на произвольные комплексные числа.
4.8. Композиция с помощью интегрирования по контуру
Функция преобразования <i/ f|y"f> отличается от
выражения для <р'<(//'/> только отсутствием степеней 2и,
поэтому удовлетворяет дифференциальному свойству компо-
композиции
=<M*'t\y»f>. D.62)
Отсюда мы заключаем, что

Гл. 4. Специальная каноннческая группа 97
| , . D-63)
или что скалярные произведения произвольных векторов
можно вычислять по формулам
»/»">¦ «НИUi D64)
Такое вычисление в нуле для комплексных собственных
значений можно представить в виде контурного интеграла
(ради простоты будем полагать здесь п = 1; все рассужде-
рассуждения легко переносятся на случай произвольного л). Итак,
*'- Dв5)
где пути интегрирования обходят начало координат в поло-
положительном направлении и окружают только одну особенность
в нуле. Такие пути всегда можно провести, поскольку для
существования пределов в формулах D.64) требуется, что-
чтобы волновые функции типа ф(у t) н <p(y't) были регуляр-
регулярными функциями соответствующей комплексной переменной в
некоторой окрестности нуля . Интегрированием по частям
получаются альтернативные формы этих равенств
*1*2 " т\^' W*'*)*&*'*) =
где мы ввели обозначения
D67)
Эпшн свойствамн Ф(у1' ,t) н f(y' ,t) должны обладать уже как символы операто-
операторов, т.е. еще до перехода к пределу (см. сноску 1). - Примеч. пер.
4 ЮШвннгер

98 Гл. 4. Специальная каноническая группа
Эти функции являются регулярными в некоторой окрестности
бесконечно удаленной точки. Пути интегрирования в форму-
формулах D.66) проходят по общей области регулярности обоих
сомножителей, при этом они окружают область, содержащую
соответственно все особенности 9(у t) или ф(у'г), но ни
одной особенности ф(у*Ч) или <p(y't).
Если волновые функции 0(у'О и <f>(y t) связать с
векторными базисами <jy't\ и \у *>• символически запи-
записанными в виде
<"''1 - (~wM' D68)
и т
***'*> --W,\-$-T.*). D-69)
ут' I дуг' '
то наши формулы для расчета скалярных произведений можно
переписать в виде свойств полноты
V'l/'CX/''!- D-70)
Из этих утверждений вытекает, что
Шi dy' 9(y't)<y't\y*f> = tfjTO D.71)
н
glj | dy* <y't Iy»t> 0(y-O = 0(«/'0 , D.72)
где в силу определения D.68) н выражения для функции
преобразования D.47)
<y't\y*f> - <-|p/'l«/*f>-J/ = е д* 1, =
±у». \У'\>\У~\- D.73)
Выявленная область регулярности соответствует областям
регулярности волновых функций типа ф(у') н ?»(«/*)• В
самом деле,
D-74)
если контур окружает у", но не захватывает особенностей
функции <Piy't), и вместе с тем

Гл. 4. Специальная каноническая группа 99
если путь интегрирования окружает область, в которой
располагаются все особенности 0(у*О» ио нет точки у'. В
последнем случае интеграл вычисляется с помощью окружно-
окружности около бесконечно удаленной точки, где функция 0(y*f)
стремится к нулю. Аналогичные рассуждения применимы и к
функции преобразования
f4 * |/*| > |/' | . D.76)
у - у
Наша символическая конструкция векторов <jy't\ становится
явной, если написать ю
1, = [dyf" «"ftv . D.77)
У О
где путь интегрирования уходят на бесконечность таким
образом, чтобы сходился этот и все последующие интегра-
интегралы. Поэтому ю
<y't\ = J<tyt"<yt"f|e-»t"J'' D.78)
О
и ю
|/'*> = \dy" е-**'»"\y*t> . D.79)
о
С помощью" зтнХ*формул мы можем выяснить, в какой мере
векторы <jy't\ н \у ty являются соответственно левым
собственным вектором оператора y(t) и правым собственным
вектором оператора у (t). Вычислим
п
<У'*\(У-У') = jV'e-^VfS -y']<yf«t\ =
= -</«= 0,/|. D.80)
или, как можно увидеть нз символической формы свойства
полноты D.70),

ЮО Гл. 4. Специальная каноническая группа
если только контур окружает все особенности подынтегра-
подынтегрального выражения. Сопряженное утвержение имеет вид
Итак, как и ожидалось после нашего обсуждения асимметрии
между операторами у и у , векторы <«/'/| и \у t> не явля-
являются истинными собственными векторами , хотя отклонение
от этого свойства проявляется в очень простой форме. Со-
Согласованность нашей теории, в которой результат действия
оператора у на его левые собственные векторы D.81) со-
содержит дополнительный член в виде контурного интеграла,
можно проверить из альтернативных вычислений величины
<«/' \У\У">> где действие на правый собственный вектор
дает
<у'\у\у"> - <у'\у">у" ^
тогда как из свойств левых собственных векторов полу-
получается
У'<У' \У*> " йЬу .
^ ^r. D-84)
4.9. Измерения оптимальной совместимости
Используя формулы D.78) и D.79) для . собственных
векторов, можно представить единичный оператор в виде
который является аналогом формулы D.24). Здесь надо
интегрировать по комплексным переменным у' и у ортого-
ортогональным путем. Если написать
y'^gl+iB.', f.m3L=&, D.8б)
то можно так деформировать эти пути, что интегрирование
Применение комплексных собственных значений было разработанно более
формальным способом в работе Дирака (P.A.M.Dirac - Comm. Dub. Inst. for
Adv. Studies, Ser. A, 1943, No.1) без начального признания асимметрии между
левыми н правыми собственными векторами неэрмитавых переменных. Поэтому в
рвмквх его процедуры альтернативные вычисления элемента <у' | у | у"> приводят
к результатам, отличающимся на единицу и, вообще говоря, заставляют принять,
что две функции типа Цу'), отличающиеся нв произвольный ряд из неотрица-
неотрицательных степеней у', описывают одно и то же состояние.

Гл. 4. Специальная каноническая группа КМ
по f' и р' пойдет независимо по всем вещественным значе-
значениям от -«в до -fee. При этом получится
1 = i%ndp' \y't > ."I»' I V-<l . D.87)
или в обозначениях D.55)
'p'O^ir2 ' <q'p't\ . D.88)
Свойство композиции функций преобразования, к которому
приводит такое выражение условия полноты,
<q*р*t\q*p*t> =S<q'p't\qpt> Ц^^р^р'О . D.89)
можно проверить прямым интегрированием. Хотя векторы
\q'p'ty образуют полную систему, они заведомо не линейно
независимы, поскольку тогда функция пребразовання D.56)
была бы дельта-функцией. Напротив, оказывается, что
изменение собственных значений q'p' и q"p" на величины
порядка единицы не дает существенно отличных состояний.
Однако изменения собственных значений на величины заме-
заметно большие единицы приводят к новым состояниям, поско-
поскольку величина функции преобразования становится очень
малой. Грубо говоря, одно состояние связано с каждой
областью собственных значений (Lq'Ар')//2к -1. Нет ника-
никакой необходимости строить линейно независимые векторы,
которые описывают строго различные состояния, если нас
интересует только сравнение с измерениями на классичес-
классическом уровне (а таким в конечном счете должно быть каждое
измерение), поскольку в этом случае мы имеем дело с
вероятностью того, что система окажется в одном из боль-
большого числа состояний, относящимся к области собственных
значений (A^'Ap')/2ir> 1. В этом смысле можно утвержда-
утверждать, что
dp(q'p't,9) = й3^йй!щч'р4)\2 D.90)
есть вероятность того, что q- и р-измереиия, выполненные
с оптимальной совместимостью на состоянии Ф в момент
времени t, дадут значения q' up', лежащие в интервалах
dq' и dp' соответственно.

Ю2 Гл. 4. Специальная каноническая группа
II. ПЕРЕМЕННЫЕ ВТОРОГО РОДА
4.10. Группа поворотов
Теперь мы вернемся к переменным второго рода. Тре-
Требование, что вариации 3? аитикоммутируют с каждой пере-
переменной этого типа, наиболее просто выражается с помощью
л
канонических эрмитовых перемеииых ?к. Перечень 2=4
различных операторов этой алгебры показывает, что имеет-
имеется только один оператор, аитикоммутирующий с каждой ?.
Им является произведение
которое записано как эрмитов оператор с единичным квад-
квадратом. Таким образом, операторные свойства перемеииых ?
C.111) применимы также и к €2п+1- Мы видим, что вариа-
вариации 3? должны быть бесконечно малыми вещественными
кратными одного единственного оператора €2п+1' скажем
J3€ie = ~ЗШ1с^2п+1* <4-92)
так, чтобы бесконечно малый генератор
б? = ??3? D.93)
принял вид
J
Составив коммутатор двух таких генераторов, мы получим
где ' ,
'**-i}|WI D96)
образуют семейство iy(y-l) = лBл-1) эрмитовых опера-
операторов, которые удовлетворяют
Таким образом, генераторы G- и их коммутаторы можно
строить, исходя из операторного базиса, образованного
лBя +1) эрмитовыми операторами ^, где к и Л меняют-
меняются от 1 до 2я+1. В силу перестановочного свойства
Число пар канонических переменных второго рода п. далее обозначается просто
п. - Примеч. пер.

Гл. 4. Специальная каноническая группа ' ЮЗ
7 ркл - ад - 3xA*- «cV Vx.- yw - <4-98>
этот базис является полным, а совокупность соответствую-
соответствующих преобразований образует группу, которая обладает
структурой группы (собственных) поворотов в 2л +1 изме-
измерениях [сравни с B.80)]. Но это не то, что мы будем,
называть специальной канонической группой для переменных
второго рода.
4.11. Внешняя алгебра
Выше мы рассматривали группу внутренних автоморфиз-
автоморфизмов, т.е. преобразований, построенных из элементов
алгебры, которые сохраняют все алгебраические соотноше-
соотношения и свойства эрмитовости. Для структуры этой алгебры
характерно^ что с каждым ?к.к = 1....,2п аитикоммутиру-
ют лишь операторы, кратные €2п+1. и любые две вариации,
образованные таким образом, коммутируют. Поэтому генера-
генератор одной вариации не коммутирует со второй такой вариа-
вариацией, и, следовательно, две вариации не являются незави-
независимыми. Чтобы получить независимые вариации, операторы
$(\ и 3*2*? должны аитикоммутировать, а это невозможно
для внутренних автоморфизмов. Однако желательной алгеб-
алгебраической независимости вариаций можно достичь, - попла-
поплатившись за это свойствами эрмитовостн, - если рассмот-
рассмотреть внешние автоморфизмы, которые строятся с помощью
подходящим образом определенной внешней алгебры.
Пусть е — набор из 2я полиостью аитикомцутативиых
операторов,
{%.ех} = 0. D.99)
которые коммутируют с элементами физической алгебры.
Такое свойство антикоммутативности означает, в частнос-
частности, что ,
е* = 0 , D.100)
и эти операторы не могут не быть эрмитовыми, не быть
сопряжением какого-либо е-оператора, включенного в этот
набор. Мы видим, что 2л операторных произведений
Автоморфизм называется внутренним, если ои имеет вид X ¦* X « U XU, где U —
элемент алгебры, если такого элемента U не существует, автоморфизм называется
внешним. — Примеч. пер.

104 Гл. 4. Специальная каноническая группа
полиостью антикоммутируют между собой и, кроме того, аити-
коммутируют с каждым оператором %к. к = 1,...,2п. Сле-
Следовательно, вариации 3?к, определенные как числовые
кратные произведения e^n+i будут удовлетворять соотно-
соотношениям
{«*Ч€ к . *2)$х] - 0 D.101)
н
[5<1)€ к • GC2)] " ° • D102)
Именно последнее свойство ставит генераторы для перемен-
переменных первого и второго рода. на равную ногу и позволяет в
общем случае вычислять коммутатор двух генераторов ^
и G*2* по формуле
* (
D.103)
Каноническая форма . этого соотношения имеет вид D.3),
которая теперь применима к переменным обоих родов.6 Для
р р
переменных второго рода форма б"\х А&^х линейно за-
зависит от произведений еке.. . а эти комбинации коммутиру-
коммутируют и со всеми операторами физической алгебры и внешней
алгебры. Итак, для переменных каждого рода генераторы
независимых вариаций вместе со своими коммутаторами об-
образуют множество бесконечно малых элементов некоторой
группы, которая представляет собой специальную канони-
каноническую группу.
4.12. Собственные векторы и собственные значения
Существование этой группы для переменных второго
рода дает возможность определить собственные векторы
полного набора антикоммутирующих операторов q или
р = iq . Для начала заметим, что в уравнениях для беско-
бесконечно малых преобразований
qK- \[qK. G щ ] = qK~ SqK D.104)
Имеются а> виду канонические взаимио дополиительиые переменные. Ниже почти
всюду это- lie оговаривается. - Примеч. пер.

Гл. 4. Специальная каноническая группа 105
? t]*I(l+/G t] = <?- Sql D.105)
фигурируют только алгебраические свойства операторов и
их вариаций. Более того, если q'K и qK' построены по
тому же образцу, что и независимые вариации, и антиком-
мутируют между собой и с операторами q и q , то мы можем
утверждать, что
A - iG)(qK- q'K)(l + ИМ = qK- (<+ dqj,
D.106)
Следовательно, если существуют векторы, удовлетворяющие
(Як-q'K)\q'*> - 0 D.107)
и
<4f't\(il-<ll') =0, D.108)
то существуют и векторы
(l-rtMU'O = \q'ty + 8\q'ty
<qf't\ fl + iG t] = <qbt)+ S <qf't\ D.109)
<• q J
причем они соответствуют собственным значениям q'+8q и
q + 8q . Ниже мы увидим, что собственные векторы с ну-
нулевыми собственными значениями существуют несомненно, а
это означает, что собственные векторы типа \q'ty и
<<7 'f| можно построить из состояний с нулевыми собствен-
собственными числами при помощи операций из специальной канони-
канонической группы. Следовало бы заметить, что эти правые и
левые собственные векторы не связаны операцией сопряже-
сопряжения, поскольку нет такой связи между q' и q '.
Вектор, удовлетворяющий равенствам
qK\Ot> = 0, к= 1 п, D.110)
является собственным вектором эрмитовых операторов q q
с нулевыми собственными значениями,
<?<7jOf> = 0, к=1,...,п. D.111)
Верно также и обратное, поскольку равенство
<0t\qlqKHt> = 0 D.112)
lqK)
содержит в себе D.110). Операторы q q коммутативны и
действительно образуют полный набор коммутирующих эрми-

Ю6 Гл. 4. Специальная каноническая группа
товых операторов для переменных второго рода. (В равной
степени эти утверждения применимы к неэрмитовым перемен-
переменным первого рода.) Кроме того, из алгебраических свойств
канонических переменных видно, что
як^-я1як)-яУкя1-0, D.113)
т. е. спектр каждого оператора qq содержит только два
значения 0 и 1. Следовательно, имеется состояние, для
которого все операторы q q имеют значение нуль, и кроме
того, это состояние описывается правым собственным век-
вектором неэрмитовых операторов q или сопряженным левым
собственным вектором операторов q с нулевым набором
собственных чисел. Здесь нам следует обратить внимание
на то, что в отличие от случая иеэрмитовых переменных
первого рода между операторами q и q имеется полная
симметрия. Например, когда операторы qKqK имеют нулевые
собственные значения, операторы q q имеют единичные
собственные значения , кроме того, в этом случае сущест-
существуют правый собственный вектор операторов q и левый
собственный вектор операторов q, соответствующие нулевым
собственным значениям. Таким образом выявляется возмож-
возможность определять собственные векторы |V*> и <я'*\ ПРИ
помощи уравнений
\\-iG
<q't\(l+iGJ = <Я'*\ +<КЯ'*\ . D-114)
которые имеют интерпретацию аналогичную уравнениям
D.109).
III. УНИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
4.13. Конструктивное использование специальной
канонической группы
В процессе движения от эрмитовых канонических пере-
переменных первого рода к иеэрмитовым каноническим перемен-
переменным второго рода ценность специальной канонической груп-
группы возросла до того, что она стала явно использоваться
для определения собственных векторов канонических пере-
переменных, а не просто для изучения действия группы соот-

Гл. 4. Специальная каноническая группа Ю7
ветствующих преобразований на независимым образом пост-
построенные векторы. Последний подход универсально применим
для переменных любого рода, поскольку можно построить
собственный вектор канонических переменных q с нулевыми
собственными значениями, а затем с помощью конечной опе-
операции из этой группы определить собственный вектор обще-
общего вида . /
\q'> = в"*" k'=0>. D.115)
Аналогичная общая конструкция для левого собственного
вектора имеет вид , /
<Р'\ = </>'=<) I*"* «. D.116)
Помимо этого наши эрмитовы переменные первого рода и ие-
эрмитовы переменные второго рода допускают построение
векторов вида
\р'У = е*'<1\р'=0>,
<q'\ = <?'=0|ef< D.117)
исключительная ситуация для. эрмитовых канонических пере-
переменных первого рода проистекает из унитарной природы
группы операторов, соответствующей этим переменным,
которая лишает нулевые собственные значения сколь-иибудь
выделенного положения. Смысл действия специальной кано-
канонической группы на .собственные векторы канонических
переменных в общем случае описывают формулы
e-ip<l \qty _ |^/+ q "у D.118)
т.е. они представляют собой совокупность преобразований,
которые меняют собственные значения и умножают собствен-
собственные векторы на коммутативные множители.
Собственные значения в равенствах
Як\я'> - Я'К\Я'> D.120)
<Я'\Я = <Я'\Я'К D121)
получаются перемножением элемента внешней алгебры с чле-
членом физической алгебры, который аитикоммутирует с каждой
Ё или, что эквивалентно, с совокупностью операторов q
и q . Перевод формулы D.91) на язык канонических пере-
переменных придает антикоммутирующему оператору вид

108 Гл. 4. Специальная каноническая группа
<4122>
мы будем обозначать этот оператор буквой р. В состояниях
с нулевыми собственными числами это произведение, будучи
функцией коммутирующих операторов </*<7к . имеет значения
(Р~(-1)П)| «' = <>> = 0.
<<7'=0|0>-1) = 0, D.123)
соответствующие сопряженные утверждения имеют вид
</'=0|(р-(-1)") = 0,
(р-1)|/'=0> = 0. D.124)
В силу чего в формуле
<1«'> = <в " **'|*'-0>« «^'<|*'-0>, D.125)
множитель р, который возникает в q' , можно заменить чи-
числом (-1)п, и результат представить в виде
Я\я'> - Я'\Я'> - \Я'> Я ' . D126)
где заключительное q' целиком является элементом внешней
алгебры. Совершенно аналогично:
<Я' W - <Я' - 01 « ** V - <<7' - ° 1-7'в **' D-127)
<-7'l-7 = <-7'k' - Я'<Я'\; D.128)
элементу внешней алгебры, который появляется в последнем
равенстве не достает числового множителя (-1)", и поэто-
поэтому при нечетных п он отличается по знаку от элемента в
равенстве D.126). Следовательно, только для четных п
имеется полная симметрия между левыми и правыми собст-
собственными векторами, что звучит как эстетический приговор:
в природе нет ни одной системы, которая описывалась бы
нечетным числом (пар) динамических переменных второго
рода.
4.14. Функции преобразования
При построении функций преобразования нужно исклю-
исключать явно входящие операторы данной физической системы,
выражая функцию преобразования через соответствующие
собственные значения, которые для переменных второго
рода являются элементами внешней алгебры. Замена собст-

Гл. 4. Специальная каноническая группа Ю9
венных значений, которые аитикоммутируют с динамическими
переменными, чисто внешними величинами осуществляется,
вообще говоря, равенствами вида
Я"\я'> - \я'>Я". Р'\Я'>= \Я'>Р'. D129)
и получается автоматически для произведений собственных
значений. Для всех переменных функция преобразования
</>' \я'У описывается дифференциальным равенством
q> -p> Sq')\q>> =
-«[-*V ]<?'!*'>. D130)
а ее интегральная форма различается только числовыми
множителями, которые выражают условия нормировки для
конкретного типа переменных. Чтобы достичь универсаль-
универсальности формы
<Р'\Я'> = •*'*'. D.131)
мы должны удалить множитель Bк)~ , который возникает
для эрмитовых переменных первого рода. Это получится,
если все интегрирования выполнять с дифференциалами
ft Й <4132)
при соответствующем переопределении 3-функцни:
3 [Я'1 - Bn)n/28(q'), J d [q' ] 3 [q' ] = 1 . D.133)
Для переменных второго рода эту функцию преобразования
можно представить в более конкретном виде
/Л' а'
</'к'> = е*'" ' =Ц*К "- J](l + *IVJ. D!34)
к к
поскольку квадрат любого собственного значения равен
нулю. Функция преобразования </?'|?'> имеет общее диффе-
дифференциальное свойство композиции
<р'\я'> = (\
\)\^ D-135)
которое символически выражается в виде

1Ю Гл. 4. Специальная каноническая группа
D.136)
Таким образом, для переменных второго рода скалярное
произведение двух векторов можно вычислять из представ-
представляющих волновых функций
Hqf't) = <qf't\9, 9(q't) = *\q' t > D.137)
по формулам
- t\*Jaftn\
Г'=0
- ^'o^ls^'Jl / • <4138>
Если исключить неэрмитовы переменные первого рода,
то можно построить функцию преобразования
<Я'\Р'> = **V. D.139)
которая для переменных второго рода принимает вид
<Я'\Я*'> - *"^/f/ - •**' - Ц A +<?!']• D140)
Кроме того, в качестве аналога формул D.137) и D.138)
имеем волновые функции
<.ЯЧ\*. д<^.0 - •!**'«> D.141)
и формулы для вычисления' скалярного произведения
D.142)
При этом же ограничении функции преобразования <?' |^*> и
<р' |р*> являются осмысленными без какиих-либо оговорок.
В самом деле, дифференциальное уравнение
Кя' Кр V - р «<ГI<Г> -
'-O, D.143)
в сочетании с тождеством
0 - <Я' \{Я-Я)\<Г> = <Я' \Я"ХЯ'-Я*) D144 )
показывает, что <?' \д"У есть функция разностей соответ-
соответствующих собственных значений, которая обращается в нуль
при перемножении с любой из ее переменных. В случае не-

Гл. 4. Специальная каноническая группа . 111
эрмитовых переменных первого рода последнее равенство
гласило бы .
О = <у' \У">(У'-У") - ?Ь§<1у<у\у">. D.145)
это уравнение имеет решение <t/' \у">=(з)'-у")~У Для эрми-
эрмитовых переменных первого рода эти соотношения определяют
дельта-фуикпяю
<q'\tT> = *[Я'-<Г]. D.146)
и мы сохраним эту запись для соответствующей функции,
относящейся ко второму классу переменных,
<Я'\Я"> - 1|<<-<с> = *1Ч*-<П-- D147)
в которой л антикоммутирующих множителей расположены в
некотором стандартном порядке, скажем \,...,п, если чи-
читать слева направо. Для аналогичного преобразования пе-
переменных q напишем
<«*' kS = if К' " «!']-«[/'-«¦*]. D148)
где сомножители располагаются в обратном порядке. Согла-
Согласованность этих определений следует из свойства компози-
композиции
*•
<
¦*• & ><'i«'>l^- if (ri'-Sfc] n к-
поскольку противоположный порядок умножений в двух про-
произведениях позволяет составлять нужные комбинации без
изменений в знаках из-за антикоммутативности собственных
значений. Функция преобразования <? \q > обеспечивает
связь между волновыми функциями ip(q't) и tp{qr't). Свой-
Свойство композиции
<ff'i-<ff'ifV?
N dq
D.150)
дает
и аналогично

112 Гл. 4. Специальная каноническая группа
<*'l =<Я'\Я>(Щ D.152)
дает обратное соотношение
М 0 = Ц (- 4'J * [~ щ> .*\ ¦ D.153)
Кроме того, мы имеем
" 1 К] D-154)
D:155)
Чтобы теперь получить выражение условия полноты, в
котором фигурируют только собственные векторы операторов
q, заметим, что
2S
'=,-=o- DI56>
Если это символическое выражение реализовать с помощью
волновых функций <р, которые коммутируют с соответствую-
соответствующими собственными значениями, или если п - четно, то фо-
формулу для скалярного произведения можно представить в
виде
= id[q'-\<px(q't)V2(q't). D.157)
Интегральная запись предназначена здесь для освежения
аналогии и не несет никакой дополнительной смысловой на-
нагрузки по сравнению с диффереициальиым определением. По-
Подобным образом мы получаем
^ D.158)
o
)*2(рЧ). D.159)
Согласно определениям, которые были подобраны для пере-

Гл. 4. Специальная каноническая группа 113
менных второго рода,
-^ ] Ц (<-fy = 1 D160)
, 1 И T(fl'-.f!-] = 1 • D
Более того, свойство композиции
<Р' \Р"> = 1<*1Я'-\<Р'\Я'><Я' |р"> D.162)
теперь принимает вид
в[р'-р"] = }d[q'] e-b'-P'W, D.163)
и аналогично
&[Ч'-Ч = \d\p'1 elp'{q'~ ч"\ D.164)
Таким образом, расширение обозначений типа дельта-
функций на переменные второго рода вполне обоснованно.
Другой родственный пример формулы, применимой и к обеим
эрмитовым переменным первого рода и к переменным второго
рода, получается, если равенство записать D.153) как
ат
D.165)
и заменить переменные q на р = iq . После подстановки
интегрального представления D.164) это выражение прини-
принимает вид
tftq't) = \d\p'-\ el" 1 ф(рЧ) , D.166)
a D.151) дает обратную формулу
) . D.167)
Для эрмитовых переменных первого рода эти соотношения
совпадают с полученными в D.22) взаимно обратными пре-
преобразованиями Фурье.
4.15. Интегрирование
Несмотря на то, что интегральная форма записи весь-
весьма эффективна для придания единообразия некоторым форма-
формальным свойствам двух классов переменных, природа этих
операций совершенно различна. В самом деле, символ Г
имеет смысл дифференцирования для переменных второго ро-
рода и операции обратной дифференцированию для переменных
первого рода. Наиболее рельефно это проявляется, если

114 Гл. 4. Специальная каноническая группа
подвергнуть собственные значения линейному преобразова-
преобразованию q'—*kq'. Для эрмитовых переменных дифференциальный
элемент объема в ?'-пространстве меняется при этом сле-
следующим образом
*к dWi = |det A|df ч Ч' <4168>
откуда следует, что
ГТ *[«'] <4169>
Но дельта-функцня по переменным второго рода определяет-
определяется как произведение антнкоммутатнвных множителей, и по-
поэтому
V «[А*'] - det-X«[*']. D.170)
Этот результат формально можно записать также в виде
Як- d\\q'] . jgj-jrffo'].. D.171)
Положив, в частности, Л = -1, мы видим, что 5[^'] явля-
является четной функцией эрмитовых переменных, но для пере-
переменных второго рода она обладает этим свойством только
когда л, — четно. Интересное формальное различие возни-
возникает также при вычислении следа некоторого оператора с
помощью интегрирования. Из равенств D.23), выражающих
свойство полноты для эрмитовых переменных первого рода,
выводим интегральную формулу
ТгХ- jd[q'2<q'\X\q'> = \d[ р ']<р' |*|р'> . D.172)
Чтобы получить аналог этого выражения для переменных
второго рода, запишем сперва след в матричном представ-
представлении <р' \X\q'>, что получается нз верной в общем случае
дифференциальной формулы D.136),
тгх - <%H*k>U - <"'\х &
Тогда для переменных второго рода мы выводим (р =«'
= jd[i'K<l'\Xl-q'> D.174)

Гл. 4. Специальная каноническая группа 115
'=0
= jd[p'2<P'\X\-p'>. D.175)
Для четных п2 , к примеру, имеем
= \-q-y, D.176)
и, следовательно, полученную формулу для следа можно так-
также записать в виде
lrX = \d[q'-\ <q'\Xp\q'> = jdtp']<p'\Xp\p'>, D.177)
который до некоторой степени восстанавливает единообра-
единообразие двух наших классов, ибо именно единичный оператор,
коммутирующий со всеми переменными, для переменных пер-
первого рода играет роль оператора р. Поскольку след не
изменяется при замене X на рХр, можно вместо Хр написать
рХ, и поэтому нечетные функции этих переменных имеют
нулевой след. Приведем простейший, пример вычисления сле-
следа
ТП = jd[q'2 <q'\-q'> =
Ц(-2«') = 2П2. D.178)
Само собой разумеется, что для систем, требующих для
своего описания динамических переменных обоих родов,
операции взятия следа по переменным каждого класса долж-
должны накладываться друг на друга. В случае четного л2 дос-
достаточной общности формула получается из D.172), D.174)
и D.166)
ТтХ = jd[q'2 d[p'2 e"V<p' \X\q"> . D.179)
4.16. Дифференциальные реализации
В заключение мы прокомментируем универсальность реа-
реализаций динамических переменных дифференциальными опера-
операторами д
4

116 Гл. 4. Специальная каноническая группа
ат
р{1)\Я'Г> = \Я'*>1щ> . D.180)
и их алгебраических обобщений
<p't\F(qp) =
D.181)
которые приводят к дифференциальным уравнениям Шрединге-
ра:
f ^j D.182),
737 = *Я'*)и[я''}ф >*\- D183)
Состояния <q't\ и \p't> не допускают общих утверждений
такого рода, поскольку помимо асимметрии, характерной
для неэрмитовых переменных первого рода, мы должны раз-
различать два класса динамических переменных в соответству-
соответствующих реализациях дифференциальными операторами
<q't\F(qp) = f(*'.**^/]<*'*[,
F(qp)\p'f> = |р'<>^(к^/ .Р'\ . D.184)
где верхний знак относится к переменным первого рода.
Это различие в знаках проистекает из необходимости изме-
изменения порядка умножения в дифференциальном выражении
Sq<q't\ = i<q't\p8q' = i<q'11(±) 8q'p =
= (±)i6q'<q't\p D.185)
по сравнению с
3p<p't\ = -i<p't\dp'q = -i8p\p't\q. D.186)
Таким образом, уравнения Шредингера, применимые и к
эрмитовым переменным первого рода, и к переменным второго
рода имеют вид
1
ТШ " ^Р'О #[+i^, 'р/'*) ¦ DЛ87)

ГЛАВА 5
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В. I. Групповые свойства и избыточные переменные
В. 2. Бесконечно малые канонические преобразования
S.3. Повороты. Угловой момент
В. 4. Сдвиги. Импульс
В. В. Параметры преобразований
5:6. Преобразования Гамильтона—Якоби
В. 7. Зависимость от пути
В. 8. Независимость от пути
В. 9. Линейные преобразования
Использование оператора Лагранжа канонического вида
- Н E.1)
приводит соответственно к канонической форме генерато-
генераторов, описывающих бесконечно малые преобразования в конк-
конкретный момент времени t,
G = p8q - H8t , E.2)
что в свою. очередь дает канонические перестановочные
соотношения и уравнения движения. Из некого заданного
генератора С можно получать другие генераторы G.t такие
что
G - G = 8W, E.3)
и мы зададимся теперь вопросом: можно ли G также придать
канонический вид по отношению к неким новым динамическим
переменным ~q(i), p\t) и новому оператору Гамильтона
H(qp~t). Эти новые переменные подчинялись бы, очевидно,
каноническим перестановочным соотношениям и уравнениям
движения, нТО характеризовало бы это преобразование ди-
динамических переменныА в момент t как каноническое
преобразование. Дифференциальная фС^ма
8W(qqt) = p8q - Н 8t - р 8q + H 8t E-4)
возникает в результате бесконечно малого варьирова«.?я
переменных в операторе действия W, в котором объектами
варьирования являются операторы q и ^. Однако оператор
действия может содержать н другие, избыточные, канониче-
канонические переменные v, а поэтому

118 Гл. 5. Канонические преобразования
aw aw aw
р~ р = - пг =
Н = Н + |f. E.5)
Таким образом, чтобы преобразование получалось канони-
каноническим, эти неявные операторные уравнения должны иметь
решение для q~ н р.
5.1. Групповые свойства и избыточные переменные
Канонические преобразования образуют группу. Опера-
Оператор действия, который описывает преобразование, обратное
к qp—*~qp, имеет вид
W(q.q) = -W(q,q) , E.6)
а два последовательных преобразования qp —> ~qp —> Ijp*
описываются производящим оператором действия вида
W(q,^) = W(q,q) + W(q,^) . E.7)
Последняя формула иллюстрирует понятие избыточной пере-
переменной. Если отдельные операторы W(q,~q) н W(q,lj) содер-
содержат только указанные переменные, то их сумма включает q,
~q и ~q. Но согласно условиям, наложенным на каждое от-
отдельное каноническое преобразование,
= -Р + Р' * ° - E-8)
r
_ ч
и W(q,~q) должен быть представим как функция только пере-
переменных q н д. Однако далеко не всегда желательно исклю-
исключать избыточные переменные. Это, в частности так, когда
каноническое преобразование содержит алгебраические со-
соотношения между переменными q н ~q, которые препятствуют
их независимому варьированию. Сохранив переменные неко-
некоторого промежуточного преобразования, можно получить
нужное преобразование с помощью независимого дифференци-
дифференцирования. Важный пример такого рода дает тождественное
преобразование. Начнем с обычного преобразования, кото-
которое меняет ролями взаимно дополняющие переменные q н р,
оказывается
Gq-Gp = dW(q,p), E.9)
где
W(q.p) = - W(p.q) = p*q. E.10)

Гл. 5. Канонические преобразования 119
Поскольку
Gp= -pq = - 5 ?qkSpk + ?qKSpK „ E.11)
это преобразование является каноническим
*кж "к- ?к = -*к ,
«к -Рк- К~ "к- <512>
Складывая операторы действия для преобразования q—*p н
обратного к нему р —*¦ q=q, мы получаем следующую харак-
характеристику тождественного преобразования
ЩЯ.1) = Р • (Я-1). E.13)
которое содержит р в качестве избыточной переменной.
Чтобы исключить последнюю мы должны наложить условия
~q=q, что дает W=0 япя тождественного преобразования.
Однако при сохранении этой избыточной переменной диф-
дифференциальные уравнения E.5) остаются применимыми и
воспроизводят это преобразование.
Заданное каноническое преобразование можно получить
дифференцированием по любому из наборов дополнительных
переменных. А именно: с помощью оператора действия
Щяя*)у удовлетворяющего дифференциальным уравнениям
E.5), мы напишем равенство
..W(pqt) = W(p,q) + W(qgt) = -р о q + W(qqt), E.14)
в котором переменные q возникают как избыточные. Диффе-
Дифференциальные свойства нового оператора действия W(p~qt)
теперь имеют вид
atw av dw
Н = Н + ?f, E.15)
очевидно, что эти уравнения в равной степени подходят
для описания преобразования qp—*~qp. Тождественное пре-
преобразование, например, получается из оператора действия
-poq.
5.2. Бесконечно малые канонические преобразования
Преобразования из бесконечно малой окрестности то-
тождественного преобразования — бесконечно малые каноин-

120 Гл. 5. Канонические преобразования
ческие преобразования - должны описываться оператором
действия, который бесконечно мало отличается от операто-
оператора, порождающего тождественное преобразование. Подходя-
Подходящая форма такого оператора с переменными q и Tj имеет вид
W(qqt) = р о (q-q) - G(qpt) , E.16)
где G есть бесконечно малая функция указанных перемен-
переменных, четная по динамическим переменным второго класса и
произвольная в остальном. Воспользовавшись уравнениями
E.5) с р в качестве избыточной переменной, для беско-
бесконечно малого канонического преобразования
¦q = q - Sq, p = р - dp E.17)
мы получаем явные равенства
¦а, а
H(qpt) = H(qpt) - HjGiqpt) . E.18)
Теперь в силу формул C.100) н C.123), которые примени-
применимы и к четным функциям переменных второго рода, имеем
или, без специализации канонических переменных,
Зх = i [x,G] . E.20)
Следовательно,
х = х - 8х = (l-iG)x(\ + iG), E.21)
и если G является эрмитовым оператором, то это преобра-
преобразование унитарно. Таким образом, подгруппа канонических
преобразований, сохраняющих эрмитовость динамических пе-
переменных, эквивалентна группе унитарных преобразований.
Безотносительно к свойствам эрмитовостн преобразование
E.21) сохраняет все алгебраические соотношения, н
поэтому
H(xt) = A -iG)H(xt){\+iG) = H(xt) + X [G,H] , E.22)
откуда
H(xt) - H(xt) = -§jG -j[G,H] = - |f G, E.23)
что делает явной функциональную форму нового гамильтони-
гамильтониана. Бесконечно малые канонические преобразования, не
изменяющие формы оператора Гамильтона, имеют генератора-

Гл. 5. Канонические преобразования 121
ми интегралы движения.
Мы уже сталкивались с примерами бесконечно малых
канонических преобразований. Преобразование, порождаемое
генератором G =-H&t,
6х = \ [х, - НЩ - - |f 6t,. E.24)
заменяет динамические переменные, относящиеся к моменту
времени t, или же в момент времени t+8t
l(t) = х - 5х = x(t+6t) . E.25)
При этом новая форма оператора Гамильтона есть
W(xt) = H(x(t+3t),t+8f) = H(xt) + §YStt' *5'26*
и, следовательно, оператор энергии Н будет интегралом
движения, если Н не является явной функцией t, и это
есть условие сохранения функционального вида оператора
Гамильтона при временных сдвигах. Специальные оператор-
операторные вариации, выделенные своими элементарными перестано-
перестановочными свойствами, возникают как канонические преобра-
преобразования
d(G 8G
Op s GO
- 5<GP _ _ drGp _
где мы ввели индекс s для различения общих бесконечно
малых канонических преобразований и преобразований спе-
специальной канонической группы. Для переменных второго ро-
рода рассмотрение специальной канонической группы в рамках
общих канонических преобразований требует формального
расширения последней через - введение элементов внешней
алгебры.
5.3. Повороты. Угловой момент
Изменение описания, сопровождающее поворот системы
пространственных координат, есть каноническое преобразо-
преобразование с бесконечно малым генератором
G = б» • J , E.29)
однако форма этого канонического преобразования нам еще
не известна. По- разному ориентированные системы коордн-

122 Гл. 5. Канонические преобразования
иат эквивалентны в принципе, и следует ожидать, что
кинематический член в операторе Лагранжа имеет одинако-
одинаковый вид по переменным, относящимся к любой системе коор-
координат. Это соображение относится также н к динамическому
члену, т.е. оператору Гамильтона, физически изолирован-
изолированной системы, для которой оператор полного углового
момента J как генератор преобразования, оставляющего ин-
инвариантной форму Н, является интегралом движения.
Вследствие билинейной структуры кинематического члена
р°4? изменение, возникающее при произвольном повороте
пространственной системы координат, будет линейным пре-
преобразованием на подходящим образом выбранных
^-переменных в сочетании с контрагреднентным преобразо-
преобразованием соответствующих дополнительных переменных. Таким
образом, для бесконечно малого поворота имеем
д.в
V у^-'р*?*!. E3°)
где "компоненты вектора j суть матрицы. Для эрмитовых пе-
переменных компонента / является чисто мнимой матрицей,
тогда как для неэрмитовых переменных, связанных соотно-
соотношением р = lq , матрица / является эрмитовой. Следовате-
Следовательно, общая форма эрмитова оператора углового момента
предстает в виде
J = - ip о )q ; E.31)
куда Дают аддитивные вклады оба рода динамических пере-
переменных. Симметризация или аитнсимметрнзация, фигурирую-
фигурирующие в этой формуле, на самом деле не существенны.
Подвергнув оператор J бесконечно малому преобразо-
преобразованию, порожденному генератором (?„ , мы в силу переста-
перестановочных соотношений B.79) находим
S^J = \ [J , a»»J] = а»х J . E.32)
Но, кроме того,
V - - '¦ WV + V М = "'> 7 И»aw * Ш - E 33>
н,следовательно.

Гл. 5. Канонические преобразования 123
j ; E.34)
таким образом, матрицы j подчиняются тем же перестано-
перестановочным соотношениям, что н оператор углового момента J.
Из этих перестановочных соотношений следует, что след
матрицы j обращается в нуль, и поэтому явная симметриза-
симметризация или антисимметризация множителей в J не является не-
необходимой. Разложение матрицы j на неприводимые под-
подматрицы приводит к разбиению динамических переменных на
кинематически независимые наборы, которые входят
аддитивно в выражение оператора J. Каждый такой набор
определяет некую динамическую переменную, состоящую из
нескольких компонент, именно число этих компонент задает
ее поведение при поворотах, поскольку это целое число,
будучи размерностью соответствующей подматрицы, сущест-
существенно определяет структуру матричных представлений опе-
оператора J. Например, неприводимый набор из трех перемен-
переменных при поворотах с необходимостью преобразуется как
вектор трехмерного пространства. Согласно замечанию,
сделанному в предыдущем разделе, число компонент, со-
составляющих динамическую переменную второго рода, по-
видимому, четно.
5.4. Сдвиги. Импульс
Все сказанное по поводу нивариантности относительно
поворотов системы координат в равной степени применимо к
сдвигам системы координат, которые имеют бесконечно ма-
малый генератор
Ge - Зе • Р . E.35)
Для систем, описываемых конечным числом динамических пе-
переменных, соответствующее преобразование, которое остав-
оставляет инвариантной кинематическую часть оператора Лаграи-
жа L, состоит просто в прибавлении констант к надлежащим
образом выбранным каноническим переменным q. Таким обра-
образом, <?е имеет структуру оператора G , н различные гене-
генераторы этого типа коммутируют, как того требуют переста-
перестановочные свойства полного импульса. Если оператор

124 Гл. 5. Канонические преобразования
подвергнуть бесконечно малому повороту, то в силу
V " Т Р*' Sa'^ * 8ох Р = Vе 5с • E-37)
мы обнаруживаем, что те члены класса динамических
/^-переменных, которые вносят вклад в Р, при поворотах
ведут себя как пространственные векторы. Следовательно,
сдвиг системы координат может действовать только на трех-
компонентные переменные первого рода» Если этот набор
переменных представляется в виде эрмитовых векторов
гу->гп 1 а Ру-'Рп — соответствующне дополнительные
переменные, то надлежащая подгонка относительных масшта-
масштабов собственных значений даст
5erfc = 5е. . E.38)
н поэтому
Р = ipk . E.39)
Выделяя вклад этих векторных переменных в полный угловой
момент, мы получим
J-j>** Р* + '«• E.40)
где последий член содержит все переменные, на которые не
влияют сдвиги. Эти переменные, очевидно, являются
внутренними для системы п частиц, расположение которых в
пространстве описывается векторами г. .
5.5. Параметры преобразований
Полезно взглянуть на бесконечно малое каноническое
преобразование как на результат бесконечно малых измене-
изменений некоторых параметров т^ , s = l,...,v, скажем на ве-
величины -dxg , так что бесконечно малый генератор имеет
вид

Гл. 5. Канонические преобразования 125
где операторы G. . , быть может, явно зависят от этих
параметров. Такая интерпретация преобразования выражает-
выражается соотношениями
3 = * + Еа^ Н*,3 E42)
или
f *>= rfJC • E43)
Соответственно, канонические переменные подчиняются
уравнениям движения
которые управляют эволюцией соответствующего каноничес-
канонического преобразования. Многократное повторение таких бес-
бесконечно малых преобразований порождает конечное преобра-
преобразование, при котором параметры т меняются от значений т.
до т2 вдоль определенного пути. Оператор действия,
характеризующий это конечное преобразование, является
суммой операторов, соответствующих отдельным бесконечно
малым преобразованиям, т
Ч
где согласно определению E.16)
+ ?Gw(«(T-rft).p(T)#T) rfTs. E.46)
Следовательно, оператор
является оператором действия, порождающим конечное кано-
каноническое преобразование, причем операторы, относящиеся
ко всем промежуточным значениям т между т^ н т„ , фигу-
фигурируют здесь как избыточные переменные. Поскольку W^ не
должен зависеть от этих промежуточных переменных, он

126 . |Гл. 5. Канонические преобразования
4
является#стационарным относительно специальных бесконеч-
бесконечно цалых вариаций всех динамических переменных, которые
не относятся к концевым значениям параметра т. Тогда
- d(pSq
= Sp dq - dp Sq + ? [ SG(s)dxs - dG{s)8Tj , E.48)
что, в свою очередь, равно
и, таким образом, требование стационарности, примененное
к некоторому заданному пути в пространстве параметров
(Зт=0), вновь дает дифференциальные уравнения E.44) н,
кроме того,
С = p5q + HG{s)Sts . E.50)
5.6. Преобразование Гамильтона — Якоби
В случае единственного параметра t н генератора
— Н, мы восстанавливаем исходный принцип действия, кото-
который теперь возникает как характеристика канонического
преобразования некоторого описания в момент времени
f(=fj) в аналогичное описание, относящееся к другому мо-
моменту времени *о(=*о)' эт0 преобразование называется
преобразованием Гамильтона — Якоби. Если момент времени
tQ фиксирован, то оператор действия W^W^} удовлетво-
удовлетворяет уравнению
SW «= pSq - HSt- p6Squ, E.51)
которое эквивалентно системе уравнений
J Я + дТ = ° <5'52)
Сравнивая эти выражения с равенствами E.5), мы обнару-
обнаруживаем, что преобразование Гамильтона - Якоби - это
такое преобразование, для которого Я=0, что означает

Гл. 5. Канонические преобразования 127
отсутствие зависимости от t новых динамических перемен-
переменных *(*,})• Таким образом, новый гамильтониан в момент
времени t отличается от Н, вычисленного в момент времени
t, которым определяется зависимость W от параметра t ,
5.7. Зависимость от пути
Для канонического преобразования, оперирующего с
несколькими параметрами, последний член в выражении
E.49) отражает результат изменения пути, вдоль которого
происходит изменение параметров. Поскольку G.. имеет
смысл генератора сдвига по переменной т , имеем
a?f - **^ - } PW <W • E54)
следовательно,
антисимметричен по индексам г и s,
Таким, образом, полная вариация оператора У имеет в
tt = СГ V J 2 *„ 2 Р т ГЛ,- ax/rj . E.57)
Если при фиксированных условиях на концах интервала рас-
рассмотреть две независимые вариации- пути в следующей
комбинации
то это приведет к условию интегрируемости диффереициаль-

128 Гл. 5. Канонические преобразования
ной формы E.57) по ее зависимости от пути в пространст-
пространстве параметров,
dRnr
T ^T Tt3L0 <5-59>
q r s
которое действительно удовлетворяется в силу операторно-
операторного тождества B.73), приложенного к
] E-60)
5.8. Независимость от пути
Коль скоро каноническое преобразование не должно
зависеть от пути интегрирования, то необходимо, чтобы
Я„ - 0 . E.62)
В качестве примера такой ситуации, рассмотрим каноничес-
каноническое преобразование с двумя наборами параметров и генера-
генераторов: t, —H; X, G,... Возвращаясь к определению
E.55), мы вндим, что в этом случае условие независимос-
независимости от пути можно представить в виде
'^ - E.63)
Следовательно, оператор Гамильтона должен быть явной
функцией параметра \, а это говорит о том, что он изме-
изменяет' свой функциональный вид прн бесконечно малом преоб-
преобразовании G.^.dA. Поскольку такое изменение совпадает с
изменением гамильтониана E.23) при некотором бесконечно
малом каноническом преобразовании, мы замечаем, что одно
н то же результирующее каноническое преобразование полу-
получается, либо если система эволюционирует во времени, а
каноническое преобразование выполняется в заключительный
момент времени, либо если каноническое преобразование
происходит непрерывно во времени только при условии, что
конечная точка фнкснроваина. С последней точки зрения
наложение этого непрерывного изменения описания на дина-
динамическое развитие системы описывается эффективным опера-
оператором Гамильтона

Гл. 5. Каиоиичаскна преобразования 129
Я#= Н(\) - G(A)$, E.64)
а соответствующий принцип стационарного действия включа-
включает числовую переменную \(t). Стоит отметить, что когда
GM не является явной функцией времени, зависимость Н
от А. такова, что dH/dk=Q.
5.9. Линейные преобразования
При некоторых обстоятельствах это развитие принципа
действия можно представить как некоторое расширение
класса вариаций без изменения гамильтониана. А именно,
пусть
°<А) ш- Ь**Я. E.65)
это порождает линейное преобразование, описываемое урав-
уравнениями,
Если g - постоянная матрица, то при постоянном t это
Л-преобразоваиие имеет явный вид
e°*q. p(X) ш ре-л*. E.67)
Далее, если эти линейные * операторные соотношения подста-
подставить в оператор Лаграижа, мы получим
i ). p(\). Л] =
= р о |f - Н , E.68)
где все указания на Л-преобразованне исчезли. Здесь мы
использовали то, что при фиксированном Л
р(Л)о|$Ш -p.jf. E.69)
и что
Таким образом, оператор действия представляется как опе-
оператор действия некоторого чистого преобразования Гамиль-
5 Ю.Швиигер

130 Гл. 5. Канонические преобраэоваиия
тона — Якоби. Однако, наше Л-преобразование можно теперь
ввести, если учесть, что специальная вариация операторов
q(\) и бесконечно малое изменение параметра А. в
выражении
°^ E.71)
вызывают специальную вариацию операторов q в комбинации
с линейным преобразованием:
dq - iSXgq. . E.72)
Вместе с подобными свойствами операторов р это дает
некий расширенный класс вариаций для принципа действия.
Чтобы проверить иа прямую корректность этого расширения,
мы заметим, что этот класс вариаций индуцирует следующую
вариацию в L
ЭХ3* "
в которой дН/д\ введен с целью скомпенсировать отсут-
отсутствие инвариантности Н относительно л-преобразовання.
Теперь применение принципа стационарного действия дает,
как и должно быть, равенство E.63) и подтверждает ин-
интерпретацию оператора G--..6X как генератора . бесконечно
малого л-преобразования.
Теперь мы можем рассмотреть частный случай линейно-
линейного преобразования Гамильтона - Якоби, соответствующего
билинейному оператору Гамильтона
Н ш - ip о hq E.74)
и уравнениям движения
|f=p/A. E.75)
В силу уравнений движения
ро^.Д-, E.76)
поэтому оператор действия W(qqQt) является тождественным
нулем, что означает существование алгебраических соотно-
соотношений между переменными q и qQ. Следовательно, это пре-
преобразование удобнее описывать с помощью оператора дейст-

Гл. 5. Канонические преобразования 131
вия W(pqJt) . Согласно E.14) мы должны исключить пере-
переменные q, это осуществляется подстановкой явного решения
уравнений движения
Я = е °qQ, E.77)
(где h — постоянна), после чего получаем
V '"'о) =-poq = -poe °qQ. E.78)

ГЛАВА 6
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
6.1. Условия интегрируемости
6.2. Представление конечными матрицами
6.3. Подгруппы
6.4. Дифференциальные формы и свойства композиции
6. S. Канонические параметры
6.6. Пример. Специальная каноническая группа
6.7. Другие параметры. Группа поворотов
6. S. Реализации дифференциальными операторами
6.9. Групповой овьем
6.10. Компактные группы
6.11. Операторы проецирования и инварианты
6.12. Дифференциальные операторы и группа поворотов
6.13. Интегрирование в некомпактных группах
6.14. Переменные второго рода
6. IS. Оператор отражения
6.16. Конечный операторный базис
6.17. Дополнение: Вывод принципа действия
6.18. Дополнение по поводу специальной канонической группы
6.19. Дополнение: Квантовые переменны* и принцип действия
в.1. Условия интегрируемости
Теперь мы будем изучать построение непрерывной
группы канонических преобразованнйиз ее бесконечно малых
элементов, когда преобразование должно полностью опреде-
определяться значениями параметров и поэтому не зависит от
пути интегрирования. За исключением элементарного случая
полностью коммутативной (абелевой) группы соответствую-
соответствующие генераторы G.. должны быть явными функциями пара-
параметров, коль скоро операторы Rfs должны быть нулями. С
помощью группового свойства каждый из операторов
G. dx,x), число которых предполагается конечным, пред-
представляется как линейная комбинация одинакового числа
операторов, которые не зависят явно от параметров,
а
в то же время условие независимости от пути интегрирова-
интегрирования требует, чтобы коммутаторы операторов G. Ах) были
линейно связаны с этой системой операторов. Написав

Гл. 6. Группы преобразований 133
afiabc • F- 2)
мы получаем следующие дифференциальные уравнения для
функций Са,(т)
~~ ЛА~- F-3)
Числа gabc антисимметричны по последним двум индексам, и
они чисто мнимы, если операторы G, . эрмитовы. Введение
для этого набора чисел с фиксированным вторым индексом
матричной записи
позволяет в удобном виде представлять другие алгебраи-
алгебраические свойства, — перестановочные соотношения F.2),
например, принимают вид
t%> G] - Ggb- <6'5>
Последнее равенство устанавливает соответствие между
оператором G.b) и конечной матрицей gb. Это соответствие
сохраняет перестановочные свойства, ибо в силу тождества
B.73)
1%)-&(ьу О]] ~ [G{by{G{ay G]] =
<66)
и поэтому g- матрицы также удовлетворяют перестановочным
соотношениям F.2). Другим семейством матриц, обладающих
этим же свойством, будут, как следует из соответствия
[С СF)] --fSC. F.7)
матрицы -gT. Квадратичные связи между коэффициентами g,
входящими в перестановочные соотношения, тождественны ус-
условиям интегрируемости дифференциальных уравнений F.3),
что служит проверкой самосогласованное™ операторного
представления F.1).
6.2. Представление конечными матрицами
Соответствие между операторами G, . и матрицами ga
остается справеливым при замене операторного базиса в

134 Гл. б. Группы преобразований
пределах имеющейся свободы преобразований матриц, сохра-
сохраняющих, нужные алгебраические соотношения; несингулярное
преобразование базиса
8)
5
индуцирует матричное преобразование
Важное приложение этой возможности замены операторного
базиса возникает, когда операторы G эрмитовы и имеют
представление ненулевыми линейно независимыми конечно-
конечномерными эрмитовыми матрицами. Тогда след, вычисленный из
представления такими ограниченными матрицами,
г т F. Ю)
- Тг[[С{с) ,G(e)]G{6)J = ЕДо*'*,,'*
полиостью антисимметричен по индексам а, Ь и с, причем
*««' «TrC(a)V> FИ)
- вещественная симметричная положительно определенная
матрица. Поэтому имеется такой эрмитов базис, в котором
матрица у кратна единичной, а числа gabc - полиостью
антисимметричны. Относительно такого базиса, для которо-
которого все еще имеется свобода ортогональных преобразований,
матрицы g антисимметричны
8Та = -8а <612)
и, будучи чисто мнимыми, являются эрмитовыми матрицами.
Таким образом, ^-матрицы квалифицируются как
конечномерное матричное представление при условии, что
они линейно независимы. Линейная связь между матрицами g
возникает только тогда, когда некая линейная комбинация
операторов G. . , a=l,...,v коммутирует с каждым опера-
оператором G. Пусть такая комбинация существует, обозначим ее
G.y. , что всегда можно сделать подходящим ортогональным
преобразованием базиса. Тогда
F.13)
последнее означает, что G.y. никогда не по-

Гл. 6. Группы преобразований 135
явится в выражении для какого бы ни было коммутатора.
Эту процедуру можно продолжить, если существует несколь-
несколько таких линейных комбинаций, и мы приходим к заключе-
заключению, что в конце концов группу можно разложить на произ-
произведение абелевой группы и некоторой некоммутативной
группы, структуру которой характеризует то свойство, что
g-матрицы образуют конечномерное представление порожда-
порождающих ее операторов.
6.3. Подгруппы
Группы последнего типа с необходимостью являются
полупростыми, под этим подразумевается, что они не имеют
инвариантных абелевых подгрупп (простые группы вообще не
имеют инвариантных подгрупп). Смысл этих терминов можно
уяснить на бесконечно малых преобразованиях. Пусть гене-
генераторы разделены на два семейства, обозначенные индекса-
индексами 1 и 2, из которых первое относится к подгруппе. Тогда
в силу условия замкнутости этой подгруппы относительно
образования коммутатора имеем
подгруппа: g . = 0. F. 14)
Эта подгруппа будет инвариантной, если коммутатор любого
элемента подгруппы с внешним оператором также принад-
принадлежит ей,
инвариантная подгруппа: g . = 0; F.15)
Sit
и далее, если эта подгруппа абелева, то .
абелева подгруппа: g.h=0. F.16)
Таким образом, если группа имеет абелеву инвариантную
подгруппу, то в матрице g. отличны от нуля только эле-
°i
менты вида g.hr, и, следовательно, матрица g. не мо-
жет быть антисимметричной. С другой стороны, из этих
свойств абелевой инвариантной подгруппы мы заключаем,
что
-0- <617)
а это противоречит положительной определенности, которой

136 Гл. 6. Группы преобразований
должен обладать этот набор чисел, коль скоро матрицы ga
образуют конечномерное представление. Очевидно, группа,
включающая инвариантную абелеву подгруппу, не может
иметь конечномерных матричных представлений. Фундамен-
Фундаментальный пример такой ситуации дает группа сдвигов и по-
поворотов трехмерного пространства. Взглянув на перестано-
перестановочные свойства B.80), мы обнаруживаем, что сдвиги
образуют инвариантную абелеву подгруппу, а математичес-
математическая невозможность конечномерного представления соответ-
соответствует физическому существованию бесконечного числа
состояний, связанных между собой операциями сдвига.
Напротив, подгруппа поворотов, взятая сама по себе,
является простой, и каждое матричное представление,
помеченное величиной полного углового момента, конечно-
конечномерно.
в. 4. Дифференциальные формы и свойства композиции
Преобразование, описываемое бесконечно малыми изме-
изменениями dx параметров, осуществляется оператором
1 + ? С(г) (*<т).т] dxr ш 1 + ? С(а) (*<т)] 3,та , F.18)
где величины
Slxa = ^^jx)dxr F.19)
образуют систему неполных дифференциалов (дифференциаль-
(дифференциальных форм Пфаффа). Индекс / (лево) соответствует тому,
как этот оператор сочетается с оператором U(x), который
производит конечное преобразование из стандартных (нуле-
(нулевых) значений параметров, а именно
U(x+dx) = t/(x)[l + iZG(a)ix(T)) e^xj =
F.20)
где динамические переменные отнесены к стандартным зна-
значениям параметров с помощью преобразования
x . F.21)

Гл. 6. Группы преобразований 137
Это является иллюстрацией общего свойства композиции
группы
Щх) = UpJUixJ . х ш т(тгт2] , F.22)
когда параметры т. бесконечно малы. Помимо бесконечно
малого преобразования U(x+dx)U(x)~x можно рассмотреть
преобразование U(x)~*U(x+dx), и поэтому должна существо-
существовать вторая система неполных дифференциалов 8гха таких,
U(x+dx) ш U(x)[l + ЪО(а)(х)8та] . F.23)
Бесконечно малое изменение параметра т. в общем свойстве
умножения индуцирует соответствующее изменение т:
+'TG(a)(xM,Ta(T)]t/(T) =
] F'24)
W) F25)
Получающиеся дифференциальные уравнения (Маурера - Кар-
Картина)
вместе с начальными условиями
Т1 = °- *.-.Ъ- F27)
служат для определения свойств композиции групповых. па-
параметров. То же самое назначение имеют дифференциальные
уравнения
Зта(т) = Зта(т2] F.28),
и начальные условия
т2 = 0, т - т,, F.29)
получающиеся из второй системы дифференциалов.
6.5. Канонические параметры
Выбор параметров произволен с точностью до несингу-
несингулярных преобразований т—»т', которые никак не сказыва-
сказываются на неполных дифференциалах
и поэтому

138 Гл. 6. Группы преобразований
^ F-31)
При 'таком преобразовании параметров диффереициальиые
уравнения F.3) сохраняют свою форму. Благодаря такой
свободе в выборе параметров и базиса можно было бы по-
потребовать совпадения базисных операторов G. . и генера-
генераторов G. .(т) при т=0. Это выразилось бы в добавлении к
дифференциальным уравнениям для ?- функций начального
условия
?а6<°> = 8аЬ • F32>
Специальное семейство параметров, называемых каноничес-
каноническими, определяется следующим образом. Пусть при измене-
изменении числа Л от 0 до 1 точка в пространстве т-параметров
перемещается ' из начала координат по кривой, задаваемой
уравнениями
Е ?вг<Т> dTr " *«Л ' <6-33)
где t суть произвольные константы. Точка в т-простран-
стве, соответствующая Л=1, определяется числами t , ко-
которые и составляют новую систему параметров. Согласно
инвариантности диффереициальных форм та же самая траек-
траектория описывается в ^-пространстве уравнениями
F.34)
О , *A) = t.
Если заменить теперь t на у*д , у < 1, точка, в которую
мы попадем при Л=1, совпадает с точкой иа кривой, соот-
соответствующей Л=7, при ^-описании. Следовательно, в ^-про-
^-пространстве эта траектория является прямой линией
fe(A) = Afe, F.35)
а из F.34) получаем
Sta = dta, <6;36)
Е €JW'*-'.• F37)
Оператор, который осуществляет бесконечно малое преобра-
преобразование, характеризуемое изменением d\, имеет вид
dk, F.38)

Гл. 6. Группы преобразований 139
н, следовательно, конечные преобразования группы, выра-
выраженные через канонические параметры, имеют экспоненци-
экспоненциальную форму .- t
U(t) = e (e)e. F.39)
Дифференциальные уравнения для функций ? At) можно
упростить, если воспользоваться свойством F.37). В
самом деле, уравнение
Д 8
принимает вид
[
с с J dc
и применив это уравнение в точке Л?, получим
к 8ab. F.42)
В матричной записи оно гласит
(эх- Я*Л]*«*О = 1. (б-43)
и его формальным решением является
^Ve аа = е ~ -1 . F.44)
О 1Ъ8а*а
Таким образом, дифференциальные формы 5^ выписываются в
явном виде
в/ = С igf 1 dt , F.45)
где мы использовали очевидный способ записи. Выражение
для дифференциальных форм S t теперь можно вывести из
следующего свойства канонических параметров
(/(О = Щ-t) . F.46)
Замена t-+-t-dt, dt-+dt, превращает U(t+dt)U(t)~x
в U(t)~xU(t+dt), а поэтому
Srt = 5Н) dt = 1lgf~tgt dt. F.47)
Общим выражением этой связи между двумя дифференциальны-
дифференциальными формами, характеризующим канонические параметры, яв-
является свойство групповой композиции
t = ф,,у = - *н2,-д. F.48)

140 Гл. 6. Группы преобразований
6.6. Прнмер. Специальная каноническая группа
В качестве простой иллюстрации этих построений рас-
рассмотрим группу трех параметров, определенную перестано-
перестановочными соотношениями
G 1 = id
,)' uB)j »uC) .
F-49)
3C)J " lG<2)' GC)J - ° •
Соответствующие матрицы ga удобно представлять в виде
линейной комбинации
ГО 0 0 1
0 0 0, F.50)
ч -и ° J
из асимметричной формы которой видно, что
(igtf = 0 . F.51)
Итак, матрицы ga ие составляют конечномерного эрмитового
матричного представления, что связано с существованием
одиопараметрической инвариантной подгруппы, порождаемой
генератором С,3). В силу алгебраического свойства F.51)
С@ = 1 + ф, F.52)
имеем ._,
if*-
и дифференциальные уравнения F.26) принимают вид (здесь
штрихи используются для различения разных наборов пара-
параметров)
Л, - dt\ , dt2 = dt'2,
F.53)
Ч + 2- (W " ?h) - dtZ +k [*2dt\ ~ 'W] •
Решение этих уравнений, удовлетворяющее начальным усло-
условиям t'=Q, t=*t" и групповому закону композиции канониче-
канонических параметров, имеет вид
1 t л F.54)
t = /' 4- f — i- Iff — t't"\
в частности оно иллюстрирует свойство отражения F.48).
Здесь содержится операторное утверждение

Гл. в. Группы преобразований Ml
Кэ>«<;^, F55)
скомбинировав параметры с генераторами, этому результату
можно придать вид
F.56)
Не обойдем вниманием тот факт, что перестановочные
соотношения F.49) реализуются специальной канонической
группой. Соответственно, операторы конечных преобразова-
преобразований этой группы
U(q'p'\') = е*"'^'***'* F.57)
обладают правилом умножения
F-58)
= U(q'+ q*. р' + р", А' + А' %
которое применимо ко всем типам динамических переменных.
Аналоги формул F.56) для специальной канонической груп-
группы имеют вид
F.59)
в. 7. Другие параметры. Группа поворотов
Канонические параметры ие всегда наиболее удобны.
Это можно продемонстрировать на примере группы трехмер-
трехмерных поворотов. Мы соберем три соответствующих каноничес-
канонических параметра в вектор и и заметим, что трехмерные эрми-
эрмитовы матрицы j (=ga), определенные перестановочными со-
соотношениями B.81), можно также представить как вектор-
векторную операцию
f ° W3 ~°2 I
to«j = -ю3 0 ю1 = -сек. F.60)
[ J

142 Гл. 6. Группы преобразованнй
Поэтому „ ,
(to»j) = «*Ф*< = оо* - от F.61)
(to«jK = -w?(to«j). F.62)
Последний результат показывает, что собственные значения
любой компоненты j суть числа 1, 0, -1, и поэтому1
Применив этот результат к явной формуле дхо, получающей-
получающейся из F.45), получим
F.64)
или, после простого переустройства.
SJll» * d\^llo\ . F.65)
Поэтому новые параметры
F.66)
таковы, что
+ u2 = 1 F.67)
= uQ</u - uduQ - uxdu. F.68)
Замена и —-» —ш превращает и в -и, тогда как uQ остается
неизменным, а поэтому аналогичное выражение для диффе-
дифференциальной формы $го имеет вид
2г» = uQdu - uduQ + uxdu . F.69)
Спектральное разложение F.63) получается непосредственно из минимального
аннулирующего многочлена F.62). - Примеч. пер.

Гл. 6. Группы преобразований МЗ
Хотя «0 ие является независимым параметром, его в
большом числе случаев можно считать таковым. Это отража-
отражает структура дифференциалов du, duQ , получающихся из
данной 6р> или 8 иг.
du = «0 2*,» + «х^ю,
1 F70)
duQ ж -и*фр
ИЛИ
d
U " F-71)
duQ ж - u«j3r»,
ибо такое изменение параметров сохраняет нормировку
F67)> d("o2 + u2]=°- F72)
Таким образом, в четырехмерном евклидовом пространстве
имеется единичный вектор, соответствующий каждому трех,-
мериому повороту, и композидни двух трехмерных поворотов
соответствует четырехмерный поворот. Получаемое с по-
помощью и -параметров алгебраическое упрощение заключается
в групповом законе композиции параметров. Инвариантность
билинейной формы для дифференциалов 8w, выражаемая
уравнениями F.26), приводит к линейному соотношению
между параметрами отдельных преобразований и параметрами
композиции. Легко убедится, что
и = и'и" + и'и* - u'xu"
F.73)
"о " и0и0 " u'*u* •
Другим путем «-параметры возникнут, если вспомнить
о существовании автоморфизмов - унитарных преобразований
- алгебры, построенной из 2л эрмитовых канонических пе-
переменных второго рода, которые имеют структуру группы
евклидовых поворотов в 2п+1 измерениях. Следовательно,
представление группы трехмерных поворотов порождается
такими унитарными преобразованиями трех аитикоммутиру-
ющих эрмитовых операторов ?t , ?2 , ?3= -Ы2 ??2 , или
операторов
<rh = V2?fe, k = 1 3, F.74)

144 Гл. 6. Группы преобразований
которые имеют следующие правила умножения
*V<- 3Ы + ''EWm' <6:75>
т
где е - полностью антисимметричная функция своих индек-
индексов, определяемая условием ?123= "*"*• Генераторами трех
независимых бесконечно малых поворотов являются операто-
операторы <г/2, поскольку в силу D.96)
7 [«V «i] -Е«*.К- <6:76>
и, в частности,
?12 = г<гз1к F77)
Таким образом, простейшая нетривиальная алгебра измере-
измерений размерности 2 дает матричное представление операто-
оператора углового момента
2"х 2" = '2"- F.78)
Явные матричные представления получаются, если связать
операторный базис 1, <г с символами измерения. Символы
измерения в о*-представлении содержатся в следующей
таблице , л л
W1 1м* 1 1 Л
F.79)
и, следовательно (Паули),
{til
Далее, с точностью до свободы умножения на числовой фа-
фазовый множитель, любой унитарный оператор этой алгебры
имеет вид
U = и» + ш*<г ,
¦ , F.81)
где четыре числа, содержащиеся в uQ , u , вещественны и
lijj + и2 = 1. F.82)
Последнее также означает, что матрица U унимодулярна
det U = +1 . F.83)
А
По этому поводу см. также раздел 2.12 — Примеч. пер.

Гл. 6. Группы преобразований 145
С любым таким унитарным оператором связан определенный
трехмерный поворот ,
F.84)
г гт = 1 , det г = +1 ,
причем это соответствие типа 2:1, поскольку операторы U
и -U порождают одни и тот же поворот, а последовательные
унитарные преобразования порождают последовательные по-
повороты. Закон композиции параметров, получающийся из
и0 + iwar = {u'Q + ш'«сг) [uQ" + ш"«сг] , F.85)
есть в точности F.73). Кстати, матрица трехмерного по-
поворота г имеет явный вид
г = ц° - folj - 1 + 2t"ou*J " 2(»*J2> ' F86)
где через j обозначено фигурирующее в F.60) матричное
представление трехмерного углового момента.
6.8. Реализации дифференциальными операторами
Дифференцируемое многообразие групповых параметров
позволяет строить реализации бесконечно малых генерато-
генераторов группы в виде дифференциальных операторов. С этой
целью введем два семейства функций 1) (т), ? (т) таких,
что
dx = 5,тт)(т.) = ЗгтС(т). F.87)
Таким образом,
C(t)ttj(t) = 1, F.88)
или, воспользовавшись каноническими параметрами,
С(т) = тК-т). F.89)
Теперь свойства композиции с бесконечно малым преобразо-
преобразованием, установленные в F.20) и F.23), можно предста-
представить в виде
dU = i 5,т GU = / 5гт UG, F.90)
что, полагая
dU = dx^U = оулКх)^ и = SrtW^U, F.91)

146 Гл. 6. Группы преобразований
переписывается как
-аи = -Щ)\^ p
F-92)
Определенные здесь два семейства дифференциальных опера-
операторов коммутируют между собой
V(^-V«/- - °ии%> F93)
а каждое семейство в отдельности удовлетворяет переста-
перестановочным соотношениям для операторов G
[ ] []
F.94)
- V]17
Эти соотношения являются свойствами собственно дифферен-
дифференциальных операторов. Таким образом, можно удостоверить-
удостовериться, что дифференциальные уравнения, получающиеся для
<6-95>
являются прямым следствием уравнений F.3) и соотношения
F.88).
6.9. Групповой объем
Бесконечно малый элемент объема иа групповом много-
многообразии можно определить с помощью системы неполных диф-
дифференциалов F.19)
d[T] = |dete(x)|(dx). F.96)
Этот элемент объема не зависит от выбора параметров и
остается неизменным при преобразовании параметров т.—»
т, это обстоятельство выражает групповое умножение
т=т(т1 , т2]. Альтернативное определение объема исполь-
использует дифференциалы 8т, получающийся элемент объема ин-
инвариантен относительно параметрического преобразования
Тг-> т группового умножения. Соотношение
F-97)

Гл. 6. Группы преобразований ' 147
и его следствие
det ?(-*) = е""*** det €(9 , F.98)
показывают, что эти два определения объема совпадают,
если
Последнее свойство очевидно выполняется, если группа
имеет конечномерное матричное представление, поскольку
тогда все ^-матрицы антисимметричны (или равны нулю) с
точностью до свободы матричных преобразований, не изме-
изменяющих следа. Однако, как то показывает пример F.50),
это условие никоим образом ие является необходимым.
Свойству инвариантности элемента объема, которое форму-
формулируется как
F-100)
можно придать дифференциальный вид; выберем параметры т2
бесконечно малыми и запишем преобразование в явном виде
т =5 т, + т2С(т,]. F-101)
после чего получаем, что
] =0. F-102)
В качестве применения этого результата заметим, что
(det
F103)
такое преобразование сохраняет перестановочные свойства
этих дифференциальных операторов и, кроме того, дает
формально эрмитов дифференциальный оператор для пред-
представления эрмитова производящего оператора G... Таким
образом, изучение v -параметрической группы унитарных пре-
преобразований можно поэтому осуществить с помощью эквива-
эквивалентной динамической системы, описываемой V парами
взаимно дополнительных переменных первого рода, которые,
вообще говоря, являются квазикаиоиическими, ибо за
исключением случая, когда параметры изменяются от -в до

148 Гл. 6. Группы преобразований
о», эти переменные не обладают всеми признаками канони-
канонических переменных.
6.10. Компактные группы
Возможность интегрировать по групповому многообра-
многообразию особенно ценна, когда группа компактна - так выража-
выражаются, если любая бесконечная последовательность элемен-
элементов группы имеет предельную точку, принадлежащую группо-
групповому многообразию. Таким образом, многообразие компакт-
компактной группы является ограниченным, н его объем можно
выбирать за единицу, включая подходящий масштабный
множитель в элемент объема. Для начала заметим, что
матрицы g для компактной группы с необходимостью бес-
следовы н, следовательно, два определения элемента объе-
объема совпадают. Чтобы это доказать» рассмотрим некое кон-
конкретное преобразование U, характеризуемое каноническими
параметрами t н соответствующей конечной матрицей
«(*) = е*'. F.104)
которая возникает в общем соотношении
UGIT* = GU; F.105)
его вариантом для бесконечно малых преобразований явля-
является F.5). Если чисто мнимые матрицы g не антисиммет-
антисимметричны, то определитель
det«(O = еЛт*' F.106)
может отличаться от единицы. Тогда последовательности
операторов U , А = ±1, ±2,..., соответствует последова-
последовательность матриц U , определители которых
det 1^ « (det V)k F.107)
растут без ограничения при *—»+«, если dettt>l, или
при к—*-», если detU<l. Это противоречит, требова-
требованию, чтобы бесконечная последовательность элементов
группы имела на групповом многообразии предельную точку
и соответствующую ей конечную U -матрицу. Следовательно,
матрица U должна быть уннмодулярной, и каждая матрица ga
имеет нулевой след. Здесь стоит заметить, что многообра-
многообразие группы, g -матрицы которой образуют представление ее

Гл. 6. Группы преобразований 149
бесконечно малых эрмитовых генераторов, ограничено.
Согласно явному выражению элемента объема через канони-
канонические параметры
det
(Л). F-Ю8)
границы этого многообразия достигаются, когда весовый
множитель в элементе объема обращается в нуль. Утвержде-
Утверждение, что ^-матрицы эрмитовы н линейно независимы означа-
означает, что для каждого t матрицы gt имеют ненулевые вещест-
вещественные собственные значения. Наибольшее числовое значе-
значение этих собственных -чисел равняется 2п н определяет,
соответственно, конечные точки,, где граница группового
многообразия пересекает луч, направленный нз начала
координат пространства параметров, который задается
относительными значениями параметров t .
в. 11. Операторы проецирования и инварианты
Групповое свойство н аспекты инвариантности элемен-
элемента объема для компактной группы приводят к тому, что
оператор
PQ = Jd|X|i/(T) F109)
имеет следующие характерные свойства
- ро - "W,-
F.110)
] P
и, если пользоваться каноническими параметрами,
р* = Jd[qi/(-o = Ро. F-111)
поскольку интегрирование по t или по -t покрывает груп-
групповое многообразие, а элемент объема инвариантен относи-
относительно преобразования t —* -t. Таким образом, эрмитов
оператор PQ является символом измерения или на геометри-
геометрическом языке - оператором проецирования на подпространс-
подпространство состояний, которые инвариантны при всех преобразова-
преобразованиях группы, и поэтому в этих состояниях всем производя-
производящим операторам можно одновременно приписать значение

ISO Гл. 6. Группы преобразований
нуль. Аналогичным образом равенство
= J 4X1 Щт)~хХЩт) F.112)
описывает строение подалгебры операторов, инвариантных
относительно всех преобразований группы. Последнюю про-
процедуру в слегка модифицированном виде можно применить
также к конечной вещественной матрице Щт), что дает
иР2У [ J '[*,] Ч^УЧ^ ] 4*J =
= J djx] Щт)тЩт). F.113)
Это вещественная симметричная положительно определенная
матрица, и ее можно представить как квадрат матрицы та-
такого же типа, например А. Таким образом, содержание
F.113) можно выразить равенством
(А Щт) \-*]Т[\ Щт) А) = 1 . F-114)
из которого следует, что для эрмитовых производящих опе-
операторов можно найти такой базис, что получатся вещест-
вещественные ортогональные, или унитарные, матрицы Щт) и
антисимметричные матрицы gд .
Если в F.112) в качестве оператора X взять некото-
некоторую алгебраическую функцию производящих операторов G, то
процесс интегрирования породит такие алгебраические
функции, которые коммутируют с каждым G, н поэтому они
через свои собственные значения служат для классификации
различных матричных представлений бесконечно малых гене-
генераторов группы. Теперь
J d[T] U(t)-\G)U(t) = J d[x] / A/(t)-Vm/(t)] =
= Jd[T]/(U(T)G], F.115)
где предполагается, что базис выбран так, чтобы матрица
U получалась унитарной. Эффект интегрирования достигает-
достигается, если потребовать, чтобы
/(U(T)G] = f(G). F.116)
а поскольку в качестве f(G) можно взять симметричную од-

Гл. 6. Группы преобразований 151
нородную функцию различных G у операторная природа пос-
последней несущественна, что позволяет заменить F.116) чи-
числовым условием инвариантности
/С«№) = Ня), <6117)
оперирующим с функциями вектора у в v-мерном пространст-
пространстве. Версию этого свойства инвариантности для бесконечно
малых операторов можно представить в виде
9f(r) = 0 , F.118)
где дифференциальные операторы
hh <вЛ19>
являются реализациями производящих операторов (для полу-
полупростой группы)
][ Jfe. FШ)
которые аналогичны дифференциальным операторам 91 н 9т ,
но являются менее общими, чем они. Семейство инвариант-
инвариантных функций можно построить непосредственно, если из-
известно некоторое конечномерное матричное . представление.
Пусть через О. и U обозначено некоторое к-мерное матрич-
матричное представление соответствующих эрмитовых н унитарных
операторов. Тогда
U(t) (X - Gy) Щт)-Х = А - GU(T)r , F.121)
а функция
Ий-*»-or). Fm)
= Хк - \к~^т Gy - \к~2Мтт(ОгJ - (Тг GyJ] +...
инвариантна. Коэффициенты при степенях X или, что экви-
эквивалентно, следы
Tr[EG(e)jrj\ A-1,.... к F.123)
образуют инвариантные симметричные функции у, и тем
самым операторов G.
в. 12. Дифференциальные операторы и группа поворотов
Рассмотренные выше дифференциальные н интегральные
свойства групп можно проиллюстрировать на примере группы

152 Гл. 6. Группы преобразований
трехмерных поворотов. Возвращаясь к формулам F.70-71),
мы видим, что абстрактные операторы углового момента
реализуются двумя наборами днфференцнальных операторов
} = l fuxa +u°
$ - ЧихЭ -ua
или, если ввести обозначение
. =|( 13 _uia аь
ао at оиь Ь t аиа
эти дифференциальные операторы
перестановкой индексов 123 нз
^О = 2Г L^12 + •
»гЗ = ? L^12 ~~ •
¦о-иодп]-
_ + „оу
= о з.
получаются
F.124)
F.125)
циклической
F.126)
Дифференциальные операторы }ab таковы, что
-0-- (б127)
и связаны, очевидно, с бесконечно малыми поворотами в
четырехмерном евклидовом пространстве. (Они удовлетворя-
удовлетворяют перенесенным на четырехмерный случай перестановочным
соотношениям для углового момента B.80).) Групповое
многообразие, конечно, трехмерно, н если возродить и.
как функцию независимых параметров и, то член, содержа-
содержащий dduQ , в F.124) исчезнет. Трехмерный элемент объема
включает (du) = du.du^du. вместе с множителем |det ?|,
который можно вычислить в лоб или вывести нз соответст-
соответствующей данному случаю формы днфференцнальных уравнений
F.102)
- ^х (u det S) + %ъ C«odet О « 0 . F.128)
Единственное решение этого уравнения утверждает, что
uodet ? - константа. С другой стороны, можно воспользо-
воспользоваться четырьмя переменными и = uQ , u, н элементом
объема, пропорциональным (du)=duQ(du), при соответствую-
соответствующем ограничении на переменную uQ, выражающимся введением

Гл. б. Группы преобразований 153
дельта-функции 6(Uq+u2-1) в качестве множителя. Проинте-
Проинтегрировав по uQ ,мы вновь получаем множитель |«0|~\ ко-
который, согласно предыдущему методу, пропорционален
|det?|. Таким образом, групповое многообразие является
трехмерной поверхностью единичного шара в четырехмерном
евклидовом пространстве, и его элемент объема можно опи-
описывать либо внутренним образом, либо на языке пространс-
пространства, в которое это многообразие погружено,
- ЬаС} (*"> • F129)
Константы здесь выбраны так, чтобы полный объем был ра-
равен единице, хотя в трехмерной форме нужно также - просум-
просуммировать по двум ветвям группы, которые соответствуют
uQ= ± -Л-и . Преимущество четырехмерной формы проистека-
проистекает нз коммутативности 8 {и -1) н дифференциальных опера-
операторов % что позволяет определить последние уже в неог-
неограниченном четырехмерном евклидовом пространстве,
отождествляя, таким образом, четыре переменные и с ка-
каноническими переменными первого рода. Таким образом, об-
общие свойства трехмерного углового момента можно изучать
на языке эквивалентной системы, состоящей нз частицы в
. четырехмерном евклидовом пространстве, причем соответст-
соответствие между ее орбитальным угловым моментом и общим трех-
трехмерным угловым моментом описывается формулами F.126).
Существует только одни независимый оператор, комму-
коммутирующий с каждой компонентой J, это - оператор J ,
поскольку существует только одна независимая функция
трехмерного вектора, инвариантная относительно поворо-
поворотов. Из F.124-6) мы устанавливаем, что
& 2 1 2
F.130)
= ° •
где ¦ квадрат вектора трехмерного углового момента пред-
представляется четырехмерным дифференциальным оператором

154 . Гл. б. Группы преобразований
Таким образом, собственные функции полного углового мо-
момента получаются из четырехмерных сферических гармоник -
решений четырехмерного уравнения Лапласа, являющихся
однородными функциями целых степеней (п=0,1,2,...), - а
собственные значения суть числа
2
_ « F.132)
Другой подход использует комплексные комбинации
этих параметров, причем соответствующая пара комп-
комплексных чисел составлена так, что она образует
какую-нибудь строку или столбец матрицы
U = и +
г«0+;«з
Пусть через у обозначена какая-нибудь двухкомпо-
нентная вектор-строка н аналогично через у' соот-
соответствующий вектор-столбец. Из дифференциальных
свойств композиции
аа = if • з«^ = tiff • а«г
следует
dy' = if • *V: ' *У*' = У*'1? * 5юг •
Соответствующие реализации вектора углового момента
дифференциальными операторами имеют вид
-fc.fr. **&¦
В таких обозначениях квадрат углового момента выра-
выражается, например, в виде
2
н любая однородная степени п (целое) функция у '
дает некоторую собственную функцию, которая соот-
соответствует собственному значению /(/+1), \—п/2. За-
Замечаем, что эти дифференциальные операторы относят-
относятся к некоторой эквивалентной системе, описываемой
двумя парами взаимно дополнительных неэрмнтовых пе-

Гл. 6. Группы преобразований 155
ременных первого рода, н что
Эта эквивалентность была использована для система-
систематического построения теории углового момента в
статье, написанной в 1951 году, но оставшейся не
опубликованной. Сейчас ее можно найти в хрестоматии
"Quantum Theory of Angular Momentum", выпущенной
под редакцией Л.Бнденхарна н Х.Ван Дема издательст-
издательством Academic Press в 1965 году.
Полноту этих собственных функций н спектра трехмерного
углового момента можно вывести из структуры фундамента-
фундаментального решения степени -2, которое относится к неодноро-
неоднородному уравнению
- Е J^y [ ? ("ь " "бJ]'1 " «С"""']- F133>
6.13. Интегрирование в некомпактных группах
Техника интегрирования по группе может быть эффек-
эффективна также н для групп, не являющихся компактными. Мы
проиллюстрируем это на примере специальной канонической
группы, оперирующей с эрмитовыми переменными первого ро-
рода. В качестве айалога оператора, фигурирующего в
F.112) рассмотрим оператор
X = ] 4>'] d[p'] U(q'Pf) X U{q'p')-X. F.134)
где использованы обозначения из {6.57)
U(q'p') = U(q'p'O) = e*W ~р>^ . F.135)
(Преобразования, описываемые параметром \, здесь, очевид-
очевидно, не сказываются.) Интегрирование распространяется на
бесконечный интервал спектра эрмитовых канонических пе-
переменных. Как можно увидеть непосредственно нз группово-
группового закона умножения F.58), оператор X коммутирует с
каждым унитарным оператором U(q'p'). Следовательно, он
коммутирует с обоими наборами канонических переменных q
н р, и поэтому для систем, описываемых переменными пер-
первого рода, X должен быть кратным единичному оператору.

156 Гл. 6. Группы преобразований
Этот результат можно также вывести н нз явного вида мат-
матрицы, представляющей X в некотором каноническом пред-
представлении. Для начала заметим, что
<q"\U(q'p') = <?"|е-*Ч*<'е-*'*'/2 -
= е-*'<*"+*'/2><?'+^|. F.136)
и, следовательно,
ТгХ. F.137)
Таким образом, мы показали, что
J «С*'] «С/»']*/(*'/>')«/(*'/>'Г1 -ТгХ, F.138)
где правая часть кратна единичному оператору. Если в ка-
качестве X берется символ измерения М(а'), то это равенст-
равенство принимает вид
1 = j4>']d[p']</(O')A((a')?/(?'p'r1, F.139)
а умножение справа на ХМ(а') с последующим суммировани-
суммированием по а' превращает наш результат в
X = fd[q'ldlp'lU(q'p')Tr(U(q' />')"'*). F.140)
что является явным выражением любого оператора как функ-
функции фундаментальных динамических переменных первого ро-
рода. Если вместо оператора. X . в .F.1.3&) поставить такую
функцию F(q,p), то это равенство перепишется как
lTrF(q.p) = J diq'idip'IFlq+q'.p+p'). F-141)
В качестве применения этой формулы имеем
Тг ЩЧ»,р») = $diq'}dU>']eto»t'')q"-t'"(<t?qrK =
= 5[?-]5[р"], F.142)
или согласно свойству умножения F.58)
Тг(?/(?'/,')~WV)) -3k'-*"] */>'-/>"]. F-143)
Утверждения, содержащиеся в F.140) и F.143), можно
рассматривать как утверждения о полноте и ортогональнос-
ортогональности операторного базиса, образованного непрерывным семей-
семейством унитарных операторных функций от переменных перво-
первого рода U(q'p').

Гл. 6. Группы преобразований 157
в. 14. Переменные второго рода
Общая формальная аналогия между двумя типами пере-
переменных н характерное различие, связанное с вычислением
следов, дают точный рецепт утверждения F.138) н
F.140—143) применимы для переменных второго рода, если
операцию Тг... заменить на Тг р... . Несколько предосте-
предостерегающих слов не будут, однако, лишними. Собственные
значения, фигурирующие в {/(ф'р')> антнкоммутнруют с пере-
переменными второго рода и содержат, следовательно, множи-
множитель р. тогда как собственные значения,прнннмающне учас-
участие в интегрировании и в выражении для дельта-функцнн,
являются полностью элементами внешней алгебры. Между
прочим, общая формула для следа D.179) возникает теперь
из F.138) н ее аналога для переменных второго рода при
образовании матричного элемента <р'=0| |^'=0>. Кроме то-
того, стоит заметить, что наши результаты можно освободить
от явного присутствия взаимно дополнительных переменных.
Мы частично воспользуемся этой возможностью и преобразу-
преобразуем это утверждение для переменных второго рода нз их не-
эрмнтовых канонических версий к формам, подходящим для
эрмитовых канонических переменных. Это осуществляется с
помощью преобразования C.116) для операторов вместе с
аналогичным преобразованием для собственных значений,
что, в частности, дает
U(q'p') = е*м'-р'ч)= еС? F.144)
или
2п
</(€') = П О + €^3 • F145)
к-1
И аналогично,
Л* Ji,- = Г jf^ F-146)
2»
rn Ц e;. F.147)

158 Гл. 6. Группы преобразований
При использовании этой формы записи нельзя путать символ
€' K'2=0D c собственным значением эрмитова оператора
в. 15. Оператор отражения
Если процесс интегрирования F.109) применить к
операторам U(q'p'X), оперирующим с переменными первого
рода, то мы получим нуль в результате интегрирования по
Л. Следовательно, нет ии одного состояния инвариантного
относительно всех операций специальной канонической
группы. Однако, если интегрирования по А не делать, то
нам придется рассматривать эрмитов оператор
* - ^Н<«Ч<*>']Wp')• Fl48)
такой, что 1
= U(-q», p")R . F.149)
и кроме того,
- J i%P^2uw[f]*[?
Таким образом, R аитикоммутирует с каждой переменной пе-
первого рода
1кГ1ш-р. ' F.151)
и, следовательно,
- J']
F152)
Известный оператор, обладающий этими свойствами, в слу-
случае переменных второго рода аналогичным образом получа-
получается в виде
р = 2n J 4€'] "(€')- <6-153)
6.16. Конечный операторный базис
Формальные соотношения полноты и ортогональности
операторного базиса из переменных второго рода, которые

Гл. 6. Группы преобразований 159
собраны в различных свойствах операторов (/(€')*
1Тг* = J4K'] «/<€')*#/<€'Г1.
X = J <*€'] l/(C) Tr СР ?/(€'Г1*} - F154)
ТгСр 1/(€'Г!1/(Г)) = ЗК'-ГЪ
можно освободить от явного участия специальной канониче-
канонической группы. Вспомним сперва, что (/(?') является произ-
производящей функцией для 22п различных элементов операторной
алгебры. Более точно они определяются равенством
_ и(и-П 2п v
«0>, y2n)=/ 2 II №*&*• F155)
к=1 г
где каждое v принимает значение либо 0, либо 1, причем
2п
Е у • F-156)
к=1
Квадрат так определеииых эрмитовых операторов a{v} равен
единице, и, кроме того,
а{0} = 1 , а{1} = р. (в. 157)
Если мы воспользуемся обозначением a'{v} для произведе-
произведений, составленных таким же образом из собственных значе-
значений ^, то
- Е 2~va'{v}a{v}. F.158)
{}
Произведение двух операторов с индексами {v} и {1-й}
равно с точностью до фазового множителя оператору р
a{v}a{\-v} = ф}р,
e{v) c{l-w} = (-if e{v}2 = 1, F.159)
и поэтому
Р «/(€'Г! = f/(€')P = Е ЯГР^а* {1-v} c{v} a{v}. F.160)
{»}
Символ интегрирования в данном случае означает диф-
дифференцирование по каждому ?^ , и, следовательио, члены,
которые дают вклад в интегралы, имеют вид
ic-l K

160 Гл. 6. Группы преобразований
Однако следует также помнить, что аитикоммутативиый опе-
оператор р должен быть отделен от собственных значений до
интегрирования. Это явно не сказывается, если число соб-
собственных значений в. отдельных членах четно, соответст-
соответственно v = Е»к - четное целое число. Однако для нечетных
v дополнительное р, умноженное на Щр}, дает
р a(v) = c{v} a{l-v}. F.162)
И в том и в другом случае конечный результат имеет один
и тот же вид, который приводит к следующему выражению
свойства полноты 4"-мерного операторного базиса a{v}
" F.163)
Соответствующее свойство ортогональности
ф '} F.164)
можно вывести из полноты и линейной независимости опера-
операторов Щу), или получить прямо из F.154), если заме-
заметить, что
ЗК' -Г] = ^ Е Ф)«' {V} a"{l-u}. F.165)
в. 17.' Дополнение: Вывод принципа действия3 * —
Теперь мы намерены рассмотреть построение конечных
унитарных преобразований из бесконечно малых преобразо-
преобразований для физической системы с п непрерывными степенями
свободы. Итак, все операторы суть функции п пар взаимно
дополнительных переменных q. , р. , которые мы обознача-
обозначаем также единой буквой х. Рассмотрим непрерывное семейс-
семейство унитарных операторов, пронумерованных единственным
параметром, Щх). Смещение из т к x+dx есть бесконечно
малое преобразование
1 + idrG(x,T),
Воспроизводится из Proceedings of the National Academy of Sciences,-1960.-vol.46.
P.893-897.

Гл. 6. Группы преобразований ¦ ' 161
оно учитывает возможность явной зависимости генератора
от параметра т, причем
U(r+dx) = [1 + idxG(x,T)W(T) -
= t/(r)[l + idx G(x(t), t)] ,
где ,
x(x) = U(x)-xxU(x)
суть фундаментальные квантовые переменные системы, кото-
которые соотнесены с' описанием, порожденным преобразованием
У(т). Сопутствующие преобразования состояний указываются
равенствами
<а'|ВД -<а'т|,
Полезное представление этого унитарного преобразования
дает функция преобразования
x
частным случаем которой является
<а'т|6'0> = <а' \Щт)\Ь'>
- матрица оператора U(x) в аб-представлении. Связь между
бесконечно близкими значениями т описывается равенствами
<а'т+</т|6'т> = <a/T|[l+iVfrG(j<T),T)]|6/T> =
= <a'\[l+idTG(x,TI\b'>.
Общее изучение функций преобразования показывает,
что наиболее компактно их характеризуют дифференциальные
соотношения. В соответствии с этим мы заменим это явное
утверждение о функции преобразования <^a'x+dx\b'xy диффе-
дифференциальным описанием, направляющим принципом которого
будет сохранение общности за счет отказа от рассуждений,
использующих конкретный выбор состояний а' и Ь'. Сначала
заметим, что функция преобразования зависит от парамет-
параметров т,т+4т и от вида генератора G(x,x). Бесконечно малые
изменения в этих характеристиках [в'] индуцирует следую-
следующее изменение функции преобразования
где удаление индексов а' и Ь' подчеркивает отсутствие
явной ссылки именно на эти состояния. И все же, чтобы
6 Ю.Швингер

162 Гл. 6. Группы преобразований
получить достаточно полное описание функции преобразова-
преобразования, нужно ввести некотороую вариацию состояний. Для
этого мы воспользуемся бесконечно малыми преобразования-
преобразованиями из специальной канонической группы [в7], которые вы-
выполняются независимо над состояниями, соответствующими
значениям параметров т и x+dx. Таким образом,
5'<т+Л| = *<T+rfr|Gj[T+<fr)>
5'|т>.» -iG/r)|T>,
фигурирующие здесь бесконечно малые генераторы строятся
из операторов, которые относятся к описанию, используе-
используемому для соответствующих векторов, а именно - из x(x+dx)
и х(х). Удобно пользоваться симметричным генератором
G , который порождает изменение переменных х на дх/2.
Тогда
CS(T) = \ {р(х)8д(х) - 8p(x)q(xy] ,
что в сочетании с аналогичным выражением для Gg(x+dx)
дает
где 1
G/X+dx) - GJ[X) = \ [piX+dxtfqCl+dx) + вр(Т) q(X) -
- p(X)8q(X) - 8p(X+dX) q(X+dx)-] ,
a 6jc(t) и 5x(x+dx) суть произвольные независимые беско-
бесконечно малые числа, на которые мы налагаем требование не-
непрерывности по т.
Бесконечно малое унитарное преобразование, которое
связывает х(х) и x(x+dx), получается из
x(r+dx) ш Uix+dx^xUix+dx) -
- [1 - idx G(x(x),xflx(x)[\ + idx G«t),t)]
в виде .•
x(x+dx) = x(x) - \ [x(x). dxGDx).xI ¦
Следовательно, можно написать
GJX+dx) - G/X) m \ {p(x)8q(x+dx) + 5p(T) q(x+dx) -
- p(x+dx)8q(x) - 8p(x+dx) «(t)] -
- I №№) ~ Sp(x) q(x).. dxG(x(x),x)-} =
= 8'[^(p(X)q(X+dx') - p(X+dx)q(X))] +
[dxG(x(x).x). G

Гл. 6. Группы преобразований 163
ИЛИ
Gs(x+dx)-Gs(T) = 8' [^(p(x)q(x+dx)-p(x+dx)q(x)}+dxG(x(x).xy] .
где в' используется для описания изменения q я р на 8q я
8р, происходящего независимо, ио непрерывным образом по
т и т+dx. Эти два вида вариаций можно теперь объединить
в одну: 9=8'+6", я положить
5<т+Л|т> - Kx+dx\d[W]\T>,
где
W(x+dx,x) = ^(p(x)q(x+dT)-p(x+dT)q(x)) + dxG(x(x),x) =
= \{pdq - dpq) + dtG.
Наш результат представляет собой конкретизацию общего
дифференциального описания функций преобразования, бла-
благодаря которому, для некоторого класса изменений, беско-
бесконечно малый оператор 8W получается как вариация одного
единственного оператора W. Это и является квантовым
принципом действия4, a W есть оператор действия, соот-
соответствующий данному преобразованию.
Теперь мы можем непосредственно перейти к принципу
действия, который описывает конечное унитарное преобра-
преобразование,
поскольку мультипликативной, композиции отдельных беско-
бесконечно малых функций преобразования отвечает сложение со-
соответствующих операторов действия,
- J [г<*т)<Мт) - *рСО«<т)) + *gWt),t)] ¦
В такой записи оператор действия зависит от всех опера-
операторов х(х) из интервала между т. и т2 . Однако преобра-
В ранних работах автора, например, Phys.Rev.-1953.-V.9t-P.7t3 (перевод в книге
Швин*вр Ю. Теория квантованных полей,- М.:ИЛ, 1956,- С.13), квантовый принцип
действия постулировался, а не выводился - Примеч. авт.
6*

164 . Гл. 6. Группы преобразований
зоваиия из специальной канонической группы, примененные
к <*,|т^, дают
которое говорит, что S'W^ ие содержит операторов, зави-
зависящих от значений т из открытого интервала между т. и т„,
или что оператор Wu является стационарным относитель-
относительно специальных вариаций в указанном интервале. И дейст-
действительно, этот принцип стационарного действия, как усло-
условие, что конечное унитарное преобразование складывается
из бесконечно малых, дает уравнения для функций а(х) и
р(т) уравнения
d 8G dp _ дв
~ Wp' dt ~ Wq'
которые являются прямыми следствиями из формы различных
бесконечно малых генераторов.
Использование в предыдущих построениях одного пара-
параметра ие является ограничительным. Стоит лишь нам напи-
написать
G(x,x) =
с произвольными функциями т для каждой dxb/dx, а затем
рассматривать это преобразование как преобразование с р
параметрами, меняющимися вдоль некоторого конкретного
пути в пространстве параметров, который определяется* р
функциями Тд(т) параметра т. Тогда
Г12 = j't?^^ " *9Щ) + ЕОй(*(т),т)Лй]
будет оператором действия для преобразоваиия, соответ-
соответствующего предписанному пути, и вообще говоря, зависящего
от него. Если мы рассмотрим бесконечно малую вариацию
пути с фиксированными концами, мы обнаружим, что
где
Х1

Гл. 6. Группы преобразований 165
Чтобы преобразование не зависело от пути, требуется об-
обращение в. нуль каждого нз этих операторов. Когда опера-
операторы Gk(x,r) можно выразить как линейные комбинации рав-
равного числа операторов G (х), которые не являются явными
функциями параметров, требование независимости от пути
приводит.к рассмотренным ранее условиям, требующимся для
образования группы.
Теперь у нас есть основа для общей теории квантовой
динамики и канонических преобразований, по крайней мере
для систем с непрерывными степенями свободы. Возникает
вопрос: можно ли также использовать в квантовом принципе
действия другие типы квантовых переменных.
в. 18. Дополнение по поводу специальной
канонической группы5
Эта заметка посвящена дальнейшему развитию и приме-
применению операторной группы, описанной в предыдущей рабо-
работе.6 А именно: мы будем иметь дело с квантовой степенью
свободы, обозначаемой v=ea, которая характеризуется парой
взаимно дополнительных операторов q.p с непрерывным
спектром. Свойства такой степени свободы получаются как
предел свойств степени свободы с конечным числом состоя-
состояний, задаваемым простым числом V. Напомним, что унитар-
унитарные операторы U н V, удовлетворяющие соотношениям
?/" - V = 1 . VU = evUV,
определяют две ортогональные системы координат <а*| и
<о*|. где
ик = vk ж е2жЛ/1> н
Для любого простого v > 2 можно считать, что целые числа
к и / изменяются от -'/2A>-1) до '/2A>-1), а не от 0 до
Воспроизводится статья The special canonical group" нз Proceedings of the Natio-
National Academy of Sciences.-1960.-V.46.- P, 1401-1415.
Proc.Nat.Acad. -1960.-V.46.-P.883. (Часть этой работы составляет содержание пре-
предыдущего раздела.)
7Ргос Nat. Acad. -1960.-V.46.-P.570. (Перевод: раздел 2.12.)

166 Гл. 6. Группы преобр)
u-1. Произвольное состояние Ф можно представлять двумя
альтернативными волновыми функциями
*(«*)= <ы*|», *о*) = <о*|»,
где
*** = Е 10(«*)Г2 = Е 10(»*I2-
и эти две волновые функции связаны взаимно обратными со-
соотношениями
l
Теперь мы перенесем наше внимание на эрмитовы опе-
операторы q,p, определяемые равенствами
U = е**, V = е** , с
и обладающие спектром
Кроме того, мы переопределим волновые функции так, чтобы
где е = Lq' = Ар7 - интервал между соседними собственны-
собственными значениями. Таким образом, можно написать
7
= Е А*'<2жГ1Л e-V
ч
При беспредельном возрастании v спектр q и р стано-
становится сколь угодно плотным, и собственные значения наи-
наибольшей абсолютной величины неограниченно растут. Поэто-
Поэтому во всех дальнейших рассуждениях мы должны ограничить-
ограничиться таким классом физических состояний, или, другими сло-
словами, - таким физическим - подпространством векторов, -
для которого волновые функции 0(<?') и ф(р') ведут себя
столь хорошо с точки зрения непрерывности и стремления
переменной к бесконечности, что можно выполнять равно-
равномерный переход к пределу tf=», причем

Гл. 6. Группы преобразований 167
tft-
') - \dp' B
Здесь мы ие будем пытаться более точно определить такой
физический класс состояний, ио заметим, что из выписан-
выписанных взаимно обратных соотношений между волновыми функ-
функциями можно составить равенство
которое обязано быть тождеством для волновых функций
этого физического класса, если операции выполняются в
нем в указанном порядке. Кроме того, при этом появляется
класс функций К(р',е) таких, что
К(р\е)
П. е -» О,
\
10. \Р'\ -»
Это как раз то,, что выражает символическая запись (Ди
рак) п
Мы будем также пользоваться записью, созданной по образ-
образцу дискретного случая, заменяя суммы интегралами, напри-
например

168 Гл. 6. Группы преобразований
оо
—со
где
<Я' \р'> = <Р' \Я'У = BжГ™**р'.
Есть и другие приложения предельного перехода v —>
оо. Взаимно обратные свойства операторов U и V выражаются
равенствами
или
исключая случаи, когда ц' или р' являются наибольшими
собственными значениями, ибо тогда q'+e или р'+е совпа-
совпадают с наименьшими собственными значениями —q' или —р'.
Запишем эти соотношения как некоторые утверждения о вол- ¦
новых функциях, а именно:
При переходе к пределу р=«, подпространство физических
векторов Ф характеризуется такими свойствами непрерыв-
непрерывности и поведением волновых -функций на бесконечности,
что пределы при е —» 0 стоящих слева выражений существу-
существуют и являются производными соответствующих волновых фун-
функций. Таким образом, для физического класса состояний мы
заключаем, что
Именно из такого применения предельного перехода к уни-
унитарным операторам exp(ieq) и exp(i'ep) будет также ясно,
что ограничение на физическое подпространство необходи-
необходимо, чтобы выполнялось перестановочное соотношение
1я> р\ = t ¦
Элементы ортоиормального операторного базиса можно

Гл. 6. Группы преобразований 169
выбрать в виде
„-1/2 е*Ьпп/» цтуп _ „-1/2 е-{жЛил/|»
или v-U2U(q'p'). где
U(q'p') =
*+'4
Таким образом, поскольку v~x= Lq'bp'/2n, для произволь-
произвольной функции f(q'p') дискретных переменных д'.р'
r U(q' p')*U(q"p")f(q»p") = f(q'p').
В пределе р=ео имеется класс функций f(q'p') таких, что
оо
Tr U(q'p')f lU3^1U(q№p")f(q"p'') = f(q'p') ,
что мы выразим символически как
Tr U(q' p' fU(q"p») = 2я 5(q'- q") 5(p' -p").
В частности,
00
Тге*рч'-р'Ф = 2u6(q')8(p') =
—00
где в правой части равенства q и р — числовые переменные
интегрирования. .• . .: .
Полнота операторного базиса U(q'p') выражается ус-
условием в
]4<g>Lu(q'p')XU(q'p')f = 1 ТгА-.
—«о
Кроме того, свойства U(q' р' )-базиса по отношению к про-
произвольному дискретному операторному базису Х(а) описыва-
описываются равенствами
00
-во
9' I«><«IЯ"Р"> = 2яS(q'-q") 6(p'-p").
Относительно обозначений см. раздел 2.12. - Примеч. пер.

170 Гл. в. Группы преобразований
Если X берется как функция f(q,p), то можно использовать
операции специальной канонической группы, чтобы привести
выражение свойства полноты к виду
Это операторное соотношение ведет к числовому, если мож-
можно так упорядочить F(q,p), что все операторы q будут на-
находиться, например, слева от операторов р, запишем это
как F(q-,p). Тогда вычисление матричного элемента типа
<у'=0| |р'=0> даст в
Тг
этот результат применим также к системе с п непрерывными
степенями свободы, если считать, что
dqd
Для иллюстрации использования этой упорядочивающей про-
процедуры, отличающейся от уже рассмотренного нами.
TrU(q' p'), заметим, что
-4/i-e-(/th Э)/2 eujr./K*h p -1) eVth ft/1
™е . «
о
и,следовательно,
00
что воспроизводит хорошо известный невырожденный спектр
оператора (^+р*)/2.
Теперь мы будем рассматривать построение конечных
специальных канонических . пребразоваиий из непрерывной
последовательности бесконечно малых, задаваемой измене-
изменением параметра т. Пусть генератор преобразования, соот-
соответствующего т —» x+rfr,

Гл. в. Группы преобразований 171
dtGs ш dx(qP - pQ),
где Q(x) и Я(х) - произвольные числовые функции т. Это
бесконечно малое преобразование
tfx+rfr) - tfx) - -i iq.dxGJ = rfrQ(x),
p(x+rfr) - р(х) = -i [p.rfrGJ = ЛгР(т),
приводит к конечному преобразованию
-J
Легко строятся и некоторые соответствующие ¦ этому случаю
функции преобразования . В самом деле,
или
7Эт<т1
а поэтому
т.
X |f <^' т | р' т^> = <у' т | ^ Я(х)- ?>'+J dx' P(x*)Q(x) ]]| р-
что в сочетании с начальным условием
х = х2:
дает
где
- p'jdxCXT) - Jrfrrfr'Q(x)ij+(x-x')P(x')]]
И, х>х'
т»+(х-х') = J
+ 10, х<х'

172 Гл. б. Группы преобразований
Из этого результата мы выводим
00
6[q'-q" - J<*rQ(T)]e e
-ip"S<*Q -
6[p' - p" - JdxP(T)]e e
используя то, что
1? (Т-Т') = 1 - 1J (Т-Т') = Ц (Т'-Т
полученный результат можно записать и как
Г /
IP -
Р - Jdr Pie
Эти функции преобразования можно также рассматри-
рассматривать как матричные элементы унитарного оператора, эле-
элемента специальной канонической группы, который произво-
производит полное преобразование. В данном случае этот оператор
имеет вид
т..
exp[l[q[drP(T) -
где
Считая функцию преобразования матрицей, можно вычислить
ее след, и он будет равен следу соответствующего унитар-
унитарного оператора, если только другое произвольное пред-
представление не является явной функцией т. Таким образом,
со со

Гл. б. Группы преобразований 173
где из-за 5-функцнй 1) (т-т') можно заменить другой экви-
11 cl х^х' ^
валентной функцией, например, 1) — & » А" е илн о ~
2^2 , r=Tt-T2 . Последний выбор обладает свойством обра-
обращать в нуль величину двойного интеграла, когда либо
Q(t), либо Р(т) - константа. В операторном виде эта фор-
формула для следа является известным результатом
Тг е^ч' -р' « = 2л 8(q' )8(p').
Важно осознавать, что след, будучи гораздо более
симметричным, чем любая отдельная функция преобразова-
преобразования, также приводит к конкретным функциям преобразова-
преобразования. Итак, сделаем замены
0(т) — Q(T) - (q'~ q') 5(т - T,+ еГ) _^
Р(т) -¦ Р(т) + р'5(т-т2-еГ)> С ~*
а затем обозначим последствия этих дополнительных пре-
преобразований с помощью эквивалентных унитарных операто-
операторов, тогда и
Соответственно, если к тому же умножить на
проинтегрировать по dp' /2ц, то получится <уу тJ
в чем можно убедиться непосредственно.
Мы увидим, что полезно дать совершенно иной вывод
формулы следа. Заметим, во-первых, что
со
Tr<T,| (rtT,) - ^Tj)]!^ = \dq\q'Tx\(q' - q')\q'T? = О,
—со
и аналогично ^
? = 0,
что является свойством периодичности по интервалу
T=Tj-t2 . Поэтому представим операторы q(x), р(т) рядами
Фурье л
где коэффициенты выбраны таким образом, чтобы оператор

174 Гл. 61 Группы преобразований
действия для произвольного специального канонического
преобразования
приобрел вид ш п
Wn - Е*А + I («Л - Рп<
—в —в
Штрих в этом выражении означает, что отсутствует член с
"=0>* qo-Jw>. ре-Ь
x,
Pn,-n
Принцип действия для следа имеет вид
а принцип стационарного действия утверждает, что
" ^ = 0 ,
и вместе с тем
qp ^" = 0.
Первый из этих результатов означает, что след содержит
множители oXQ^j) и в(Я0). Зависимость от Qn, Рп, п * О
получается затем из принципа действия
fa (Тг) = 1Тт<т,\(-р^\тр = /Рп(Тг)
(Tr) = /TKt^Jt^ = /Qn(Tr).
Следовательно,
2
где множитель 2те получается сравнением с простым случа-
случаем, когда Q(t) и Р(т) постоянны. Для сравнения с преды-

Гл. б. Группы преобразований 17S
дущими результатами заметим, что
Воспользовавшись представлением
со
Г dqdp
можно записать новую формулу для следа как единообразное
интегральное выражение, ибо теперь мы можем написать
где
- числовая функция, построенная по тому же об-
образцу, что и оператор действия
п +J {япрп - РАЗ •
Можно иначе: воспользовавшись соответствующими рядами
Фурье, определить числовые функции д(т), р(т). Тогда
Щ.Я.Р1 = J [JO** - ^V) ¦+ driqP - pQ)] .
a d[q,p] возникает как мера в квантовом фазовом прост-
пространстве функций д(т), р(т).
Огромным преимуществом специальной канонической
группы является именно то, что эти рассуждения можно в
полной мере применить при изучении произвольных дополни-
дополнительных унитарных преобразований, описывая их соответст-
соответствующим оператором действия.
Гв " J [hpd<f ~ dP 1) + Л(уР - pQ) + rfr G(jc(t), т)] .
Сначала давайте посмотрим — как соответствующая функция

176 Гл. б. Группы преобразований
преобразования <т1|т2>'гя зависит от произвольных функций
0(т), Р(т). Принцип действия утверждает, что
5<зя<т1|т2> = К?Х\
это обстоятельство мы выражаем при помощи записи
f
Более общо, если F(r') есть операторная функция от пере-
переменных хЦт'), но не от Q,P, мы имеем
где |т'>х<т'| обозначает суммирование по полному набору
й
состояний, и поэтому
Здесь ( H - произведение, упорядоченное в смысле разви-
развития событий от т2 к xt . Если т следует за т', то опера-
операторная функция от т располагается слева, если же т пред-
предшествует т', то соответствующий оператор располагается
справа. Такое описание охватывает две алгебраические си-
ситуации: т{> т2 , которую мы называем положительно упоря-
упорядоченной ( )+ , н Tt< т2 , которой соответствует отрица-
отрицательное упорядочение ( )_ . Положим временно т,> т„ и
сравним
' oTjfrJ<Tll ^т+°) I та> = <тi
с
Разность эттх выражений
с одной стороны апеллирует к некоммутативиости взаимно

Гл. б. Группы преобразований 177
дополнительных переменных q и р, а с другой — к "урав-
"уравнениям движения" оператора д(т). Согласно принципу дей-
действия
da . dG n
Зт + Wp= Q-
я, следовательно,
т+е
9(т+0) - <т(т-О) =еД.% J dx
т—е
что дает следующий результат
Таким образом, через применение специальной канони-
канонической группы мы получаем представления любых динамичес-
динамических переменных операторами функционального дифференциро-
дифференцирования. Общее утверждение имеет вид
где F(q,p)Q — упорядоченная функция операторов q(T),
р(т) при всех значениях параметра между т2 и тг и, как
показывает простой пример произведений <у(т)р(т) и
р(т)<у(т), конкретный порядок умножения для операторов с
одинаковым значением т должен воспроизводиться с помощью
подходящего предельного перехода от различных значений
т.
Связь с предыдущими построениями всплывает, если
добавить к G переменный множитель Л. Мы воспользуемся
принципом действия для состояний, соответствующих Tj и
т„ , которые не зависят явно от Л, тогда
хо
Формальное интегрирование этого этого дифференциального

178 Гл. 6. Группы преобразований
уравнения от А=0 до Х=1 дает
<*,1**>Г - «Р
где стоящая последней функция преобразования соответст-
соответствует А=0 и, следовательно, относится только к специаль-
специальной канонической группе. Промежуточная формула, соответ-
соответствующая С = G. + С„ , содержит оператор функционального
дифференцирования, построенный из Gj , который действует
на функцию преобразования, связанную с G2 . Такая же
структура применима и к следам функций преобразования.
Если мы используем интегральное представление для следа
трансформационной функции (см. сноску 1 гл.7) специаль-
специального канонического преобразования и выполняем дифферен-
дифференцирования под знаком интеграла, то получим общую интег-
интегральную формулу
Здесь функционал действия Щд,р] имеет вид
Щ.9.Р\ = J ]fr
он образован, по существу, так же как оператор действия
Wn , порядок умножения некоммутативных операторных мно-
множителей в G восстанавливается подходящими бесконечно ма-
малыми смещениями параметра т. Эрмитов оператор G всегда
можно построить из симметризованных произведений неких
эрмитовых функций от q и от р, а соответствующие число-
числовые функции являются вещественными. Так, оператор
1/2{f1(<7(T)),f2(p(T))} представляется, например, опера-
оператором Vstf/riT-ttJHf^rtT-eW^T)). Ожидается, что
такой усредненный предел при с—» 0 не дает ничего иово-
Эта формулнроака тесно связана с алгоритмом Фейнмана (Phys.Rev.- 19S1.-V.84.
-Р.Ю8, Rev.Mod.Phys.-1948.-V.20.-P.367. - Перевод последней работы см: а сб.
Вопросы прнчннностн а квантовой механнке. -М.: ИЛ, 19S5. - С.167-207). Отличие
от последней заключается а отсутствнн двусмысленности, связанной с некоммута-
тианостью множителей, но главным образом а используемой мере. См.сноску 8.

Гл. 6. Группы преобразований 179
го по сравнению с прямым использованием произведения
//<7(т))/2^т))* хотя, конечно, такое же утверждение не-
неверно по отношению к любому из двух членов, содержащих
е. Кстати, из-за периодичности совершенно достаточно
строить действие, например, из р dq, а не из более сим-
симметричных выражений.
Как частный случай этой формулы для следа, положим
Q=P=O и рассмотрим класс операторов G, явно не зависящих
от т. Тогда мы вычисляем
'о
где мы воспользовались возможностью положить т2=0. Про-
Простой пример дает оператор С = 4{р2+ if), в этом случае
J [
рпдп
Г rfgrfP сШр*+аУ2 п
','1 - (Т/2жпJ 2sinGY2)
Этот пример, к тому же, иллюстрирует класс эрмитовых
операторов, спектр которых ограничен снизу и для кото-
которых след оператора exp(<TG) продолжает существовать при
добавлении к Т положительиой мнимой части, и даже в слу-
случае замены Г—»<Э, Э>0. При такой замене выражение
для следа можно записать иначе, если заметить, что ряды
Фурье зависят только от переменной (т-т2)/Т = А, которая
изменяется от 0 до 1, и, следовательно.
-].JA[-
О
Другое свойство этого случая состоит в том, что
вклады в след всех коэффициентов Фурье, исключая л=0.

180 Гл. 6. Группы преобразований
стремятся к единице при достаточно малых значениях Т или
Э- Это верно также для всего класса операторов вида
G=n/r+f(<7). С помощью соответствующего пересчета коэф-
коэффициентов Фурье для р{\) мы можем записать w[q,p] в виде
2
» = J Л [ у Эр W + 2j? [з^] + ^
о
Для достаточно малых Э член, содержащий dq/dk, в который
дают вклад все коэффициенты Фурье за исключением qQ,
будет эффективно подавлять эти коэффициенты Фурье, если
наложены подходящие ограничения на особые точки в облас-
области, где f(q) принимает большие отрицательные значения.
Тогда f(q(h)) ~ f(q0), и мы можем свести интегрирование
к оценке вклада qQ и р„, что выражается формулой
ев'
-со
Сравнение с полученной ранее формулой следа, включающей
упорядочение операторов, показывает, что в этом пределе
неком мутативиость q и р несущественна. Таким образом, мы
вошли в классическую область, где несовместимость физи-
физических свойств на микроскопическом уровне больше не на-
наблюдаема. Кстати, первая поправка к классической оценке
следа, которую мы выпишем явно для одной степени свободы
"~ .ее
L, f d" c
дает точное значение, когда функция f(q) является поло-
положительно кратной q2.
На эту общую задачу можно взглянуть с другой сторо-
стороны, обратив внимание на то, что вытекающие из принципа
стационарного действия уравнения движения
Й?о.9С,л dp _ §G , о
можно записать с помощью функциональных днфференциальных

Гл. 6. Группы преобразований 181
уравнений10
-4p-$q] ~ ow]<*,l V
ivf - ° •
Эти уравнения верны для любых функций преобразования та-
такого типа. Отличительной особенностью следа является
свойство периодичности
из которого следует, что след зависит от Q(t) и Р(т)
только через коэффициенты Фурье Qn и Р , и что функцио-
функциональные производные можно интерпретировать с помощью
обыкновенных производных:
щ?Т = * 1
$ I
Теперь введем функциональный дифференциальный оператор,
который получается из числовой функции действия WJq.p],
которая относится только к преобразованию, порождаемому
оператором G, а именно
и заметим, что дифференциальные уравнения переписываются
в виде
('Р^с 0(т)] + <ЗСг))Тг<т11^оЯ = °'
[i\Wa. Р(т)] н
Просто как дифференциальные уравнения они бывают полезны, только когда
G(qp) — достаточно простая алгебраическая функция q и р. Кинематическая группо-
групповая основа представления уравнений движения функшюналыю-днфференциальны-
мн уравнениями должна заметно отличаться от того динамического языка, который
автор пользовался ранее - Proc.Nat.Acad.-1951.-V.37.-Р.452.

182 Гл. 6. Группы преобразований
что можно записать как
дг -яг яг -яг
е °СЦг) е с(Тг) - е с Р(т) е °(Тг) = 0 .
Последняя форма следует из общего разложения
едВе-д = В + [А.В] ^
если учесть, что коммутатор, например, вида Р^
построен целиком из операторов дифференцирования и по-
поэтому коммутирует с дифференциальным оператором W .
Таким образом,
СЦх)е~№°(Тг) = P(T)e~"Vr) = 0 ,
это означает, что exp (-«WJOTr) обращается в нуль при
перемножении с любым из коэффициентов Фурье Q , Р , и,
следовательно, содержит дельта-фуикцию для каждой из
этих переменных. Итак, мы заключаем, что
&!' S/SP.i 6/6Q]
J
где, предвидя соответствующие нормировочные константы,
положено m
-00
Проверить эти множители можно, положив <3=0, что
возвращает нас ¦ к случаю специальных канонических ореоб-
разований. В этой процедуре мы сталкиваемся с типичным
равенством
для дбказательства которого замечаем, что
Этот результат есть как раз известное выражение для сле-
следа функции преобразования
OS
llQ P
» -И я i
P
я я
Когда в 3{Q,P] каждая дельта функция заменяется ее ин-

Гл. 6. Группы преобразований 183
тегральиым представлением, получаем т
?fA4VA>
и в результате выполнения дифференцирований в W под
знаками интегралов11
где функция действия W[q,p] теперь специальное канони-
каноническое преобразование, описываемое операторами Q и Р.
Мы будем записывать эту общую интегральную формулу
также в виде
1""Ъ
чтобы подчеркнуть взаимность между следом как функцией
Qn ,Pn , или, что то же самое, функционалом от
Q(t).P(t), и exppFJ^.p]) км функцией от дп , рп , или
функционалом от q(x),p(x). В самом деле
g *• —I ^ЯТ1 П1а *
где элемент
_ Z^QndP
п
В этой процедуре ^(т) н р(т) суть непрерывные функцнн параметра т, а представ-
представляющие нх коэффнцненты Фурье суть бесконечное счетное множество переменных
интегрирования. Альтернативный подход состоит в замене непрерывного параметра
т дискретным, а производных по т конечными разностями, S[Q,P] строятся при
этом как произведения дельта-функций для каждого дискретного значения пара-
параметра т. В рамках такой формулировки, которая, по существу, является подходом
Феянмана - Винера, мера <4.q.p] есть произведение элементов dq{x)dp(x)/2* для
каждого значения т, условие периодичности явно накладывается на границах, а
предел заключается в переходе к бесконечно мелкому разбиению интервала
Т>т|-т3 . Этот второй метод несомненно более интуитивен, поско-
поскольку его можно рассматривать как результат прямого связывания последователь-
последовательных бесконечно малых преобразований, но связанная с ним математическая тех-
техника более труднопроходима.

184 Гл. 6. Группы преобразований
¦ч
таков, что
Проверка этой обратной формулы вытекает из последнего
свойства, если для следа взять его формальное выражение
как дифференциального оператора, которое содержит
5[Q,P]. Из вещественности W [q,p\ теперь следует
что эквивалентно
где в X собраны Q и Р.
След обладает свойством композиции
Введенная операция состоит в замене Q(x),P(x) в соответ-
соответствующих множителях на Qf^xy+q'dix-x^), Р(х)+р'8(х-х.) с
последующим интегрированием по dq'dp' /2n. Поэтому стоя-
стоящее слева выражение записывается в явном виде
или ю
I /^^^«^о^^7?> I aVV <a*T ii ^V > fla"V
a a "" =1 <a'T0|5(a',a")|a"T2> = Tr<T
a'a"
в силу полноты операторного базиса, построенного из
На TQ , Tf и т2 не налагается никакой специальной
связи. Если приравнять TQ и т2 , то одна функция преоб-
преобразования в этом произведении комплекно сопряжена с дру-
другой. Однако, чтобы получить полезный результат, мы долж-
должны сделать нечто большее. Наиболее общая процедура со-
состояла бы в выборе канонического преобразования для
Т1<т2|т^*я« Tr<T1|T^>J?p*, которое бы совершенно отлича-
отличалось от преобразования в Тг<т1|т2>?'". Вычислительные
преимущества, которые возникают на этом пути, мы изучим
как-нибудь в другой раз. Здесь же мы будем довольство-

Гл. 6. Группы преобразований' 185
ваться тем, что сделаем эти специальные канонические
преобразования различными только в точке т2 . В этом слу-
случае наша теорема принимает вид
Т1<Та|Т^***/хТ1<Т1|т?***'Г = 2Ж 6{q'-q"N{p'-p").
где
Q'(T) = -Ч'6(т-т2). Р'{х) = -р'5(т-т2)
и аналогичный вид имеют выражения для Q"{x),P"(x). Это
утверждение немедленно вытекает из ортонормальности опе-
операторного базиса U(q'p'), при следующем вычислении лево-
левого выражения:
Тге а 2 е * 2 = гяв^'-^в^'-р").
в. 19 Дополнение: Квантовые переменные и принцип действия12
В предшествующих сообщениях была.дана классификация
квантовых степеней свободы с помощью простого целого
числа vи и сконструирован квантовый принцип действия
для у=в>. Можно ли придумать квантовый принцип действия
для других типов квантовых переменных? Мы изучим этот
вопрос для простейшей квантовой степени свободы у=2.
Рассмотрим сперва единственную в этом случае сте-
степень свободы. Операторный базис порождается парой взаим-
взаимно дополнительных эрмитовых операторов
которые удовлетворяют соотношениям
ад
Базис пополняется единичным оператором и произведением
Мы уже говорили (см. сноску 10) о хорошо известной связи
^Воспроизводится из Proc.Nat.Acad.Sci.-1961.-V.47.-P.1075-1033.
13Pfoc.Nat.Acad.Sci.-«60.-V.46.-P.S70. (Раздел 2.12.)
MProc.Nat.Acad.Sci.-1960.-V.46.-P.883. (Сы. раздел 6.17.)

186 Гл. 6. Группы преобразований
между этими о*к, *=1,2,3, и трехмерными поворотами. На-
Например, наиболее общий унитарный оператор, бесконечно
мало отличающийся от единицы, имеет с точностью до мно-
множителя вид
U(8a) = 1 + Уда-аг,
а соответствующее операторное преобразование
5 = trW = (г - баг
является трехмерным бесконечно малым поворотом
до* = дих о*.
Следовательно, бесконечно малый поворот, который меняет
• ?. и ие меняет ?. • может быть только поворотом вокруг
второй оси:
о.
Соответствующий бесконечно малый генератор имеет вид
c -
Аналогично,
порождаются генератором
а генератор для комбинации таких элементарных преобразо-
преобразований есть F=1,2) -
Очевидно, что G1 и G2 надо дополнить оператором
чтобы получились бесконечно малые генераторы унитарной
группы, которая изоморфна группе трехмерных поворотов.
<?3 индуцирует преобразование
Итак, сосредоточившись только на паре взаимно дополни-
дополнительных операторов ?, и ?2 , мы ие получаем симметричных
выражений для лежащей в основе группы трехмерных поворо-

Гл. 6. Группы преобразований 187
тов. Ситуация до некоторой степени исправляется, если
для тех преобразований, при которых ?, и ?2 изменяются
независимо, использовать генератор, порождающий измене-
изменения V2S€fc . k=\,2:
Произвольное бесконечно малое унитарное преобразо-
преобразование описывается функцией преобразования
Бесконечно малые вариации в х, x+dx *и в структуре G ин-
индуцируют
К этому мы добавим б', преобразования, порождаемые G-,
которые выполняются над состояниями <T+rfr| и |т> незави-
независимо, ио непрерывно по т, т.е.
Здесь
- Ggt) = -
*1
или
где 6' по своему действию на операторы соответствует
специальным изменениям 5?к , /(=1,2, выполняемым незави-
независимо, ио непрерывно, при значениях т и x+dx.
Только тогда, когда последний член равен нулю, по-
получается квантовый принцип действия [5=3'+6"]
5 <x+dx | т> = i <T+rfr 18(W] | т> ,
с оператором
Поскольку специальная вариация такова, что ??, и 5?2
суть произвольные кратные ?3 , необходимо, чтобы опера-
оператор [С»?33 коммутировал с ^ и ^2 . Следовательно, этот
коммутатор должен быть кратным единичного оператора,
причем соответствующий множитель может быть только ну-

188 Гл. 6. Группы преобразований
лем, т.к. как след коммутатора равен нулю, или, по дру-
другому, этого требует равенство [G,?3]=0. Итак, для осу-
осуществимости формулировки принципа действия необходимо и
достаточно, чтобы
[G ад = о
Поэтому члены только с ^ и только с ?„ исключаются из G,
это ограничение выражается также в виде утверждения,'
что допустимые G должны быть функциями, четными по ?fe ,
&=1,2. С точностью до множителей при единичном операто-
операторе, которые порождают фазовые преобразования, единствен-
единственным допустимым генератором будет ?t?2 , что геометричес-
геометрически означает поворот вокруг третьей оси.
Следовало бы заметить, что класс вариаций 8' можно
расширить, включив вариацию, порождаемую G- безотноси-
безотносительно к структуре G. Так,
G3(T+rfr) - G3(t) = - У
где последний член равен
= " h^i^G, К,,?2]] = I ?rfrG,G3] .
и поэтому для 5'-вариаций -такого рода
G3(T+rfr) - G3(t) = 5' [-j?€fc(T+rfmfc(T) + drG] .
Оператор действия для конечного унитарного преобра-
преобразования имеет вид
Х1
или, более симметрично,
X2
поскольку W«. определен только с точностью до аддитивной
константы, и
if Кл(т)J = 0 .

Гл. 6. Группы преобразований 189
Принцип стационарного действия
который относится к фиксированной форме оператора
б(€(т),т), выражает то требование, что конечное преобра-
преобразование возникает из последовательности бесконечно малых
преобразований. Будет весьма поучительно посмотреть,
как, напротив, свойства квантовых переменных вытекают из
этого принципа. Мы не будем явно связывать это обсужде-
обсуждение с единственной парой переменных, соответствующих од-
одной степени свободы, поскольку оно имеет существенно
большую общность.
Билинейная дифференциальная форма
= н<Т [^€b»^?J ¦*" SGdx — dGSx
показывает, что
и, следовательно, дает
Член с генератором G 8х, очевидно, вновь указывает на
смысл оператора G как преобразования. Действие на опера-
операторы выражается бесконечно малым унитарным преобразова-
преобразованием
Р(?(т),т) = A-{'G St)F(€(t),t)A+{G 5t) = F(?(x+dx),x),
которое является общим уравнением движения
dF _ dF I rF ~.
«Гт " Зт ~ Т"'Ч '
Возьмем в качестве 5^fe(T) некую специальную вариа-
вариацию, которую мы определяем при помощи следующих свойств:
A) каждая вариация 3?fe антикоммутирует с каждой ^
= 0;
B) вариация 5Cfe(T) не имеет явной зависимости от т; C)
каждая вариация 5^. есть бесконечно малое числовое крат-

190 Гл. 6. Группы преобразований
мое некоторого общего для всех несингулярного оператора,
который ие изменяется с изменением т. Второе из этих оп-
определяющих свойств означает, что
а это, в силу аитикоммутативиости специальных вариаций с
каждым ?, ограничивает G только четными функциями ?.
Более того, согласно свойству C) производные специаль-
специальной вариации по т также антикоммутируют со всеми ?. ,
и, следовательно,
Поэтому, если мы напишем
что определяет правые и левые производные G по ?. , то
получим dG _ dG
Tt ~ Эт"' '
что согласуется с общими уравнениями движения и
Z_ "I dx
На несингулярный оператор, содержащийся в каждой специ-
специальной вариации, последнее равенство можно сократить, и
произвольность числовых множителей в 5?fe ведет к
Различие в знаках при левых и правых производных указы-
указывает на четность функции G.
Сравнивая две формы уравнения движения для ?. , на-
находим, что д G
Если мы вернем на место специальные вариации, это равеи-

Гл. 6. Группы преобразований - 191
ство примет вид
Левая сторона есть в точности изменение G, порожденное
генератором специальных вариаций Gg, которое возникает
также в G. „, тогда как правая часть дает этот результат
через изменение ?k на l/2&Lk- Поскольку G есть произ-
произвольная четная функция переменных ?fe, мы принимаем этот
результат как общую интерпретацию преобразования, порож-
порождаемого Gg, и потому утверждаем, что для любого операто-
оператора F
%9?
Аналогичное соотношение для нечетных функций ?fe имеет
а*, *,'
а частный случай F=?k дает основные операторные свойства
этих квантовых переменных
<**'*<>= А* •
Таким способом мы удостоверились, что наш квантовый
принцип действия дает согласованное описание всех харак-
характеристик квантовых переменных данного рода.
Операторный базис для одной степени свободы исполь-
используется в ином ключе, когда предметом изучения является
группа трехмерных поворотов, а не преобразования соот-
соответствующей пары взаимно дополнительных физических
свойств. Генератором бесконечно малого поворота 8<г=6ш.(г
является
G = пйЫ'<г = фйг'ба ='-ji8var.
Применив это преобразование независимым, ио непрерывным
образом к состояниям, фигурирующим в функции преобразо-
преобразования <т+<*т|т>, мы обнаруживаем
GJx+dr) - GJr) m -J<eo(T+rfT)-o(T) -\ia(r+dT)'Sair) +

192 Гл. 6. Группы преобразований
Тогда тождество
- [o~,[3o-,dTG]] =
вместе с эквивалентностью двух стоящих слева членов,
каждый из которых равен
5(<)-<гх, \cr,dxG] ,
дает
GJx+dx) - GJx) = &'[-\i<r(x+dx)'<r(x) + rfrG(<r(T),T)] ,
где 5' описывает независимое варьирование операторов
5<г(т)=би(т)х<т(т) в точках т и x+dr. Если мы добавим
вклад от независимых вариаций самих x,x+dx и структуры G
E"), то получим принцип действия15 без каких-либо огра-
ограничений на форму оператора G.
Оператор действия для конечного преобразования
имеет вид
G]
Т2 Т2
Самую общую форму для оператора G, описывающего преобра-
преобразования фазы и повороты, дает выражение
Нас удовлетворит проверка того, что принцип стационарно-
стационарного действия воспроизводит уравнения "Движения, которые
получаются также непосредственно из смысла G :
Принцип действия утверждает, что
где операторные вариации суть произвольные бесконечно
малые повороты: Зсг = 5ш х (Г. Следовательно^ уравнения
На возможность использования компонент вектора углового момента как пере-
переменных в принципе действия указал мне ДВолков в 19S9 году во время конферен-
конференции пофнзнке высоких энергий, проходившей в Киеве.

Гл. 6. Группы преобразований 193
движения принимают вид
искомая форма уравнений получается отсюда, если заме-
заметить, что выражение, стоящее слева, равно
d а х <г_ d _
Q>4t ?l flTT
Переход к случаю л степеней свободы типа v=2 требу-
требует некоторого обсуждения. На первый взгляд, эта процеду-
процедура должна была бы, казалось, быть совершенно прямолиней-
прямолинейной. Операторы, связанные с различными степенями свобо-
свободы, коммутируют, а соответствующие бесконечно малые ге-
генераторы независимых преобразований складываются, что
дает оператор действия рассмотренного выше вида, просум-
просуммированный по я парам взаимно дополнительных переменных.
Однако мы должны были бы также заключить, что G обязан
быть четной функцией взаимно дополнительных переменных,
относящихся к каждой степени свободы отдельно, а это —
излишне сильное ограничение.
Чтобы несколько ослабить строгость условия примени-
применимости принципа действия, мы заменим отношение коммута-
коммутативности между различными степенями свободы антикоммута-
антикоммутативностью. Пусть ?}*? 3 суть операторы, соответствующие
степени свободы а. Положим
И
этот набор 2 л эрмитовых операторов удовлетворяет
Обратная конструкция имеет вид
а в качестве
мы имеем оператор, который расширяет на единицу набор
аитнкоммутнрующнх эрмитовых операторов с квадратом, рав-
7 Ю.Швингер

194 Гл. 6. Группы преобразований
иым 1/2. В частности, этот оператор антиком мутирует с
каждым ?. , k=\...2n.
Бесконечно малое преобразование, изменяющее только
? , должно быть таким, что
= 0, / = 1...2л,
а это означает, что 3?. является бесконечно малым число-
числовым кратным оператору €2п+1- Поэтому мы будем писать
z
а генератор всех таких специальных вариаций имеет вид
Последнее мы можем записать так же как
Составив коммутатор двух таких генераторов, получаем
где лBл-1) эрмитовых операторов
€« = 27 Кг У
удовлетворяют ()
Таким образом, генераторы G? и их коммутаторы можно
строить из базиса, который образуют лBл+1) операторов
?.j, *при k и / меняющихся от 1 до 2л+1. А поскольку
7 Кы
эти операторы являются генераторами некоторой унитарной
группы преобразований, которая имеет структуру группы
евклидовых поворотов в 2л+1 измерениях. Для п>\ из опе-
операторов ?.,, k, Z=1...2n+1, вместе с линейно независимым
набором
можно также образовать. (л+1)Bл+1) генераторов аналогич-
аналогичной группы, связанной с поворотами в 2л+2 измерениях.

Гл. 6. Группы преобразований 195
Следует также заметить, что оператор
Ч* = ?
индуцирует линейное преобразование
** = т к*- gj = -;
и можно написать
Эти генераторы имеют структуру группы поворотов в 2л из-
измерениях.
Обсуждение изменения функции преобразования
<т+^т|т>, вызванного специальными вариациями, которые
осуществляются независимо и непрерывным образом в точках
x+dT и т, проводится так же как и в. рассмотренном част-
частном случае я=1 и приводит к
Г К* [л с'ас j] -о.
в качестве условия, позволяющего сформулировать принцип
действия. Любая специальная вариация пропорциональна
единственному оператору ?„ .. Следовательно, необходи-
необходимо, чтобы [С»С21И-1] коммУтиР°вал с каждым оператором ^fc#
k=\...2n, или, что то же самое, — с каждой парой взаимно
дополнительных операторов ЭТ, <х=1...л. Такой оператор
может быть только кратным единичному, причем коэффициент
пропорциональности должен быть нулем. Поэтому генераторы
бесконечно малых преобразований, которые можно описать с
помощью принципа действия, должны коммутировать с <¦„ +J.
Допустимый оператор G(?) должен быть четной функцией на-
набора аитикоммутирующих операторов ?fe, k+\...2n, которые
порождают 22п-мерный операторный базис. Это единственное
условие заменяет систему их л условий, возникающую в
случае, когда отношением между различными степенями сво-
свободы является коммутативность. Конечно, если рассматри-
рассматриваемый класс преобразований таков, что G является четной
функцией и некоторых четиомериых подмножеств переменных
Г

196 Гл. 6. Группы преобразований
?., можно вполне согласованно принять коммутативность в
качестве отношения между этими различными подмножествами
операторов. Кстати, из коммутативности G с C2n+i(T) вы-
вытекает, что последний оператор не меняется с изменением
т. Поэтому специальные вариации 3?.(т) не зависят явно
от т, а это означает, что специальные вариации антиком-
мутируют с 2га фундаментальными переменными ?fe независимо
от значения т.
Принцип действия справедлив также для линейных ва-
вариаций, вызываемых оператором G , которые не затрагивают
структуры оператора G. В самом деле,
GJx+dx) - GJr) = -У
где последний член равен
что для этого типа 5'— вариаций дает
GjT+dx) - GJx) = 5' [-Цсл(т+*гКЛ(т) + dxCf] .
Оператор действия, соответствующий конечному преоб-
преобразованию, обобщает выражение, встречавшееся нам в слу-
случае га=1.
и прежние рассуждения по этому поводу можно перенести
без изменений. Однако полезно, быть может, подчеркнуть,
что специальные вариации антикоммутируют не только с
каждым €ь(т)> но также и с d^./dr, поскольку это свойст-
свойство не зависит от т. Тогда непосредственно нз выражения
1
^ —J-
которое есть следствие принципа стационарного действия.

Гл. 6. Группы преобразований . 197
получаются уравнения движения
<*€- ЗС d.G
а? а
В практическом смысле принцип действия все еще не-
несколько ограничен , ибо генераторы специальных вариаций
нельзя включить в G, из-за того, что операторы €fe€2n+i
суть нечетные функции 2л фундаментальных переменных.
Именно с целью обойти эту трудность и тем самым превра-
превратить принцип действия в эффективное вычислительное сред-
средство, мы расширим нашу систему чисел, присоединив внеш-
внешнюю, или грассманову, алгебру. .

ГЛАВА 7
ТРАНСФОРМАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
7.1. Упорядоченный оператор действия
7.2. Трансформационные функции бесконечно малых
канонических преобразований
7.3. Трансформационные функции конечных канонических
преобразований
7.4. Упорядоченные операторы. Применение трансформационных
функций канонических преобразований
7.5. Пример
7.6. Упорядоченные операторы и теория возмущений
7.7. Применение специальной канонической группы
7.8. Вариационные производные
7.9. Взаимодействие двух подсистем
7.10. Дополнение: Внешняя алгебра и принцип действия
7.1. Упорядоченный оператор действия
Согласно смыслу оператора действия W(q,~q,t), опре-
определяющего каноническое преобразование в момент /, беско-
бесконечно малые изменения собственных значений, и времени /
вызывают изменение в соответствующей трансформационной
функции канонического преобразования (q' t\7j' ty, описы-
описываемое выражением
Wt\q't> = Kq'i\W{q.q'.t)\q't> ¦ G.1)
Для некоторых преобразований можно воспользоваться пере-
перестановочными свойствами переменных q н ~q, чтобы так пе-
перестроить оператор SW, что q будут везде стоять слева от
~q. Такое упорядоченное дифференциальное выражение будет
обозначаться SW(q\q,t), причем
SW(q,q,t) = dW(q;q,t). G.2)
Из способа, построения последнего оператора следует, что
переменные q н ~q действуют в G.1) прямо на свои собст-
В книге принят двоякий перевод термине transformation function: без дополнитель-
дополнительных определений он переводился квк функция преобразования, при наличии
определений он переводится данным обрвзом. Нвпример, термин special canonical
transformation function переводится квк трансформационная функция специаль-
специального канонического преобразования. — Примеч. пер.

Гл.7. Траисформациоииые функции каноиических преобразоваиий 199
венные векторы, поэтому оно превращается в
8<q't\q't> = i8W(q';q't)<q't\q't>. G.3)
Отсюда SW должно быть полным дифференциалом, и интегри-
интегрирование дает
^q't\q't> = elir<*': *'•'), G.4)
где мультипликативная постоянная интегрирования включена
аддитивно в W. Эта константа частично определяется свой-
свойствами композиции функции преобразования. Следует особо
подчеркнуть, что упорядоченный оператор W не совпадает с
W , он даже не эрмитов, если оператор W обладает этим
свойством. По существу, мы уже продемонстрировали метод
упорядочивания при построении функции преобразования
<?' \Р'У- Для эрмитовых переменных первого рода, на-
например,
{} <7-5)
тогда как
j In 2ж = mqp) + i$
Р + t j In 2ж = mq.p) + i$(/n2ir +1). G.6)
7.2. Трансформационные функции бесконечно
малых канонических преобразований
Трансформационная функция для бесконечно малого ка-
канонического преобразования легко строится этим способом,
если воспользоваться оператором действия
Щр.Ч) = ЩР.Я) + ЩЧ.Ч) = - 1Ра°Ча - G(q.p) , G.7)
а
поскольку
8Щр,7}) = - ? (Ф>а?а + />а3?а] ~ в<?(?»/>) G.8)
приводится к упорядоченному виду, если проделать необхо-
необходимые операции над бесконечно малой величиной 8G с по-
помощью известных перестановочных соотношений между q=q и
р. Удобно добавить к G числовой множитель Л так, чтобы
получить однопараметрическое семейство преобразований,
которое включает исследуемое преобразование (А=1) и тож-

200 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
дествениое преобразование (Л=0). Тогда
S(AG) = 6А G + A SG . G.9)
и операцию упорядочивания надо применять и к G как к 8G.
Таким образом, мы получаем некий эквивалентный оператор,
который мы обозначим G(p;~q), таким образом,
SW ш - S[ J>a?a] - S*G(p;q) - A SG. G.10)
Интегрируемость упорядоченного оператора SW требует те-
теперь, чтобы упорядоченная версия SG была просто вариаци-
вариацией G(p\~q), и, таким об разом, (А=1),
ЩР-.Ч) - - 1РаЧа ~ G(p;q) + const, G.11)
где аддитивная постоянная обеспечивает тождественность
преобразования Щр\я) и зависит от рода используемых
здесь переменных. Поэтому
или
<Р' I Я'> - *тр> ~q')= С ехр [-/1p'aq'a - iG(p'; q')] G.12)
<P'\q'> = <J>'\q'>z~iG{P''q'). C7-13)
а ввиду бесконечно малой природы оператора G получаем
равенство
<Р' I q'> = <P'\q'> P - iG(p';q'Y\ = <p' \l-iG\q'> . G.14)
которое попросту воспроизводит смысл оператора G как ге-
генератора, бесконечно малого преобразования. Когда преоб-
преобразование соответствует бесконечно малому изменению па-
параметров, равенство G.12) принимает вид
[2УХ lf{r)\ G.15)
и, в частности,
[] G.16)
Теперь можно воспользоваться свойствами композиции
функций преобразования, чтобы перейти к другому выбору
канонических переменных. Например, в силу D.21) и

Гл.7. Траисформацноииые функции канонических преобразований 201
G.12) для эрмитовых переменных первого рода имеем
<Я'\Я"> =
Интегрирования легко проделать, когда G - либо линейная
функция переменных р либо несингулярная квадратичная
функция. В первом случае
G(p'.q«) = G(O;q") + ^Р'/п%^ ( 7.18)
Для квадратичных функций р удобно сдвинуть начало отсче-
отсчета р' -переменных в точку, определяемую
Тогда
[g|^]eto. G.21)
где
Исключив р с помощью G.20), находим
G.23)
где M(q") - матрица, обратная d^G/dp dp. В пределе, когда
последняя стремится к нулю, получается выражение с
дельта-функцией G.19). Оба эти результата без труда вы-
выводятся также прямо без обращения к промежуточному
^-представлению. В случае бесконечно малого преобразова-
преобразования Гамильтона — Якоби, где Н удовлетворяет условию не-
несингулярной квадратичной зависимости по р, имеем
<q* 11q"t-dt> = <«' t+dt |q»t> = [det ^gj] e"". G.24)

202 Гл.7. Трансформацноиные функции канонических преобразований
где т - матрица, обратная д Н/дрдр, а
Ър) nT.t) • G.25)
Эквивалентной формой будет
^q"J)\ , G.26)
где р0 определяется уравнениями
f„;?",/) = 0. G.27)
7.3. Трансформационные функции конечных
канонических преобразований
Трансформационную функцию для некоторого конечного
канонического преобразования можно построить с помощью
многократной композиции соответствующей функции для бес-
бесконечно малого преобразования. Чтобы вычислить <т.|т2>
вдоль некоторого конкретного пути в пространстве пара-
параметров, выберем на этой траектории Л' промежуточных точек
н сосчитаем
<х1|х2> = <t1|t<1>>x<t<V<~2>>x...x<tW|t2>, G-28)
где х означает применение некоторого подходящего для ис-
используемых канонических переменных метода композиции. В
пределе N —> а> нужный путь прослеживается как беконечная
последовательность бесконечно малых преобразований. К
примеру, для эрмитовых переменных первого рода н компо-
композиции с помощью интегрирования мы начинаем с
] G.29)

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 203
и получаем
JV+I
G.30)
где
а дельта-функция накладывает ограничение tp + '=</". Для
преобразования Гамильтона-Якоби с гамильтонианом, зави-
зависящим квадратично от р, общее выражение сводится к
X
1'") , G.32)
с ад, задаваемым G.25) или G.26). Применимую в общем
случае технику композиции через дифференцирования можно
применить прямо к трансформационной функции бесконечно
малого преобразования G.15) тогда, с точностью до чис-
числового множителя Bir) для эрмитовых переменных первого
рода, получаем
N+1 д
х ехр Г—*У р[N+X\
N+l
lim Л

204 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
Значения на концах равны
T<°> = V т<"+1> = т2. рЮ-р'. G.34)
а смысл умножения тот же, что и в формуле G.28).
7.4. Упорядоченные операторы.
Применение трансформационных функций
канонических преобразований
Переписав G.15) в виде
= <р' |ехр [/? dxG(rj,q,p,x)\ \ я' > / G.35)
получаем функцию преобразования в виде матрицы, в кото-
которой состояния и канонические переменные не зависят от т.
Результат композиции последовательных преобразований
возникает поэтому как матрица произведения соответству-
соответствующих операторов, и,таким образом, выражение
N+1
G.36)
определяет упорядоченный экспоненциальный оператор. Знак
+ в качестве индекса относится к способу умножения, при
котором • расположение операторов соответствуют пути в
пространстве параметров, как бы деформированному в пря-
прямую линию, с т2-справа, а т( - слева. Если обратить по-
порядок умножения, то мы говорим об отрицательном упорядо-
упорядочении вместо положительного, т.е.
(ехр /J'^T/У *=(ехр ^]'рте(г) ]_. G.37)
Т2 Т2
Когда генераторы не зависят от т, а путь является прямой
линией, порядок не имеет более значения, и
<T,IV " <1еХР ('TTrG(r)]l> ' <78)
что аналогично более специальной групповой структуре

Гл.7. Траисформациоииые функции каиоиических преобразований 205
F.39). Если операторы G. . коммутируют, порождая, таким
образом, абелеву группу, то экспоненциальная форма
G.38) осмысленна и без ссылки на путь интегрирования.
Допустим, что генераторы образуют, или могут быть рас-
расширены до полного набора коммутирующих эрмитовых опера-
операторов. Тогда существует G-представлеиие, а трансформаци-
трансформационную функцию канонического преобразования, описывающую
преобразования группы, скажем <р'т1|</'т2>, можно пред-
представить в виде
<р'тх\Ч'т? = <j>' |ехр [
= J<P' IG' > exp [ij Tfi'( r)]<C | q' > , G.39)
демонстрирующем, как трансформационная функция канониче-
канонического преобразования служит для определения и собствен-
собственных значений операторов G, и волновых функций, представ-
представляющих G-состояиия.
7.5. Пример
Элементарный пример при п=\ предоставляет эрмитов
оператор
G = - i\pq = \%q, G.40)
в котором иеэрмитовы канонические переменные могут быть
любого рода. Прямое построение трансформационной функции
канонического преобразования можно осуществить, исходя
из G.33), многократным примеиеием формулы
= ехр [A+AdxJ pW jjf^] > G41)
получая:
G-42)
V7T7 VnJ

206 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
Так вычисленные собственные значения суть
(?%)' = п = 0, 1,... , G.43)
а волновые функции соответствующих состояиий -
G.44)
Вывод, вообще говоря, применим к переменным обоих родов,
но, для переменных второго рода (q') =(</ ') =0 и суммиро-
суммирование обрывается после л=0,1. которые, действительно,
суть единственные собственные значения операторов q q
Результат G.42) получается, однако, быстрее на пути,
ведущем к E.78). Для иеэрмитовых переменных симметриза-
симметризация или аитисим метризация (о) не является необходимой н
опущена в G.40). Не нужно никакого упорядочения, чтобы
получить
*qo,x) = - iqftA\. G.45)
что немедленно дает G.42). Альтернативная процедура ис-
исходит из соотношения
которое получается, если вспомнить, что решение уравне-
уравнений движения имеет вид
q(xx) = е%(т2) . G.47)
Теперь интегрирование вместе с начальными условиями
<qf'\q'> = e'fV G.48)
дает G.42).
7.6. Упорядоченные операторы и теория возмущений
Более общая форма упорядоченного оператора возника-
возникает при разложении генераторов в сумму:
G
U ¦

Гл.7. Траисформациоииые функции каиоиических преобразоваиий
207
Тогда G.15) можно переписать в виде
drrGJr)(*(T).T)] ]*'т-л) , G.50)
где индексы означают, что бесконечно малое изменение па-
параметра осуществляется, соответственно, генераторами G и
Ci. Трансформационная функция результирующего конечного
преобразования есть
где динамические переменные и состояния, встречающиеся в
правой части равенства, изменяются вдоль пути интегриро-
интегрирования в соответствии с генераторами Ср... В случае пре-
преобразования Гамильтона—Якоби мы имеем
G-52)
Другой вывод последнего результата получается не-
непосредственно из фундаментального динамического принци-
принципа, применяемого теперь к изменению динамических харак-
характеристик системы. Таким образом, для системы с гамильто-
гамильтонианом
нх = н° + ля1
бесконечно малое изменение параметра Л порождает измене-
изменение в гамильтониане и, следовательно, в трансформацион-
трансформационной функции канонического преобразования <'1|'2>, кото-
которое описывается уравнением
= — *</11 \dt "
|'2) =
= -ifd«tJt>x«\H\x(t),t)\t>x<t\t?. G.53)

208 Гл.7. Трансформационные функцин каноннческнх преобразованнй
В последнем выражении зависимость от А заключается в
двух функциях преобразования </,|/> и </|О- Повторное
диффереицироваиие дает
',1 г '
dt
+ jtf'<',|tftaO.Otfto').ni<a>l. G.54)
где члены в скобках равны, а пределы интегрирования
осуществляют альтернативный способ выражения упорядочен-
упорядоченной природы произведения операторов. Можно также напи-
написать
G.55)
а общее утверждение имеет вид
t
'»
Следовательно, функцию преобразования для системы с га-
гамильтонианом Н=Н°+ Н1 (А=1) можно получить формально как
разложение в степенной ряд в окрестности точки А=0, и
она поэтому оказывается выраженной через свойства си-
системы с гамильтонианом /г\
«1
Сопоставление этого результата с формулой G.52) дает
разложение упорядоченной экспоненты

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 209
+ "=°
н\х(№),№)...H\x({n)),t(n))') = G.58)
Задаваемое формулой G.52) построение функции преобразо-
преобразования составляет обоснование теории возмущений, посредс-
посредством которой свойства динамической системы выводятся из
известных характеристик другой системы. Разложение
G.58) лежит в основе аппроксимациоииых процедур.
7.7. Применение специальной канонической группы
Свойства специальной канонической группы можно ис-
использовать как основу для некоторой техники получения
трансформационных функций канонических преобразований.
Если нас интересует преобразование Гамильтона-Якоби с
бесконечно малым генератором -Н 8t, то мы рассматриваем
расширенное преобразование, описываемое генератором
G = -HSt + I [pa8qa - 8раЧа) , G.59)
которое включает бесконечно малые смещения канонических
переменных. Если допустить, что эти смещения выполняются
независимо в каждом бесконечно малом интервале времени,
а именно
Sqa(t) = - Qa(t) St, 8pa(t ) = - PJt) 8t, G.60)
то бесконечно малый генератор примет вид
G = - [И + l{paQa- Pa4a-i]st, G.61)
а расширенное преобразование выглядит как преобразование
Гамильтона - Якоби с неким эффективным гамильтонианом.

210 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
Соответствующие уравнения движения имеют вид
dq д.Н dpn вН
* <* * ?+р"' G62)
в них явно представлены независимые изменения в канони-
канонических переменных, происходящие за малый промежуток вре-
времени. Если смещения Qa и Рa локализованы в момент tQ, a
это значит, что
Qa(t) = q'aS(t-tQ) . Pa(t) = p'aS(t-tQ) . G.63)
то уравнения движения приведут к конечному разрыву в ка-
канонических переменных при прохождении момента времени
4a(t0+0) - qa(tQ-O) = q'a,
Р'а- " ( 764>
В качестве применения последнего результата, можно
заменить произвольные собственные значения канонических
переменных, которые задают состояния в определенный мо-
момент времени, - удобными стандартными значениями с включе-
включением компенсирующего канонического смещения. Так, для
tt>t
<p't^q't? = <p'=0.t?0\q'=QJ2-0>Qp. ..(.7.65)
где локализованные в начальный и конечный моменты време-
времени смещения
Qa(t) = q'a8(t-t2), Pa(t) = -p'a8(t-tj, G.66)
действительно превращают стандартные состояния в требую-
требующиеся для моментов ^(-0) и t2(+0). Доказательство экви-
эквивалентности можно также получить, если применить формулу
G.52) для построения функции преобразования системы с
гамильтонианом Н+^{Р^а-РаЯ^ нз Функции с гамильтониа-
гамильтонианом Н:
4]]J'v G67)

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 211
Для локализованных смещений G.66) этот экспоненциальный
оператор немедленно упорядочивается,
=0 tx|е-11р'а1а(*i> e-'W'X | </' =0 ^ - <р' * ,| ?' fj> , G.68)
так как этн два экспоненциальных оператора производят
нужные канонические преобразования в моменты времени /.
7.8. Вариационные производные
Более существенная польза от специальной каноничес-
канонической группы возникает при рассмотрении произвольных сме-
смещений на всем интервале между I, и t2. В этом случае
удобно унифицировать канонические переменные и писать
Бесконечно малое варьирование Xa(t) порождает соответст-
соответствующее изменение функции преобразования
J dt 15*;e
ции преобразования по X'a(t)
1
которое определяет левую вариационную производную функ-
функG-71)
Используемая здесь операторная структура смещений
Xa(t) = pX'JLt) G.72)
явно относится к переменным второго рода, где X' суть

212 Гл.7. Трансформационные функцин каноннческих преобраэованнй
антиком мутирующие элементы внешней алгебры, ар- опера-
оператор, который антикоммутирует со всеми динамическими пе-
переменными, однако эта структура покрывает также случай
переменных первого рода, если "антикоммутирование" заме-
заменить "коммутированием". В частности, р—*1. Результат
второго варьирования получается из G.55)
'1 '1
G.73)
efb
и, следовательно,
1 8l I Sl у, ,, N _
75X'a(tOdXb{t' )V\*l2> ~
= e^U'K^j (xa(t)xb(t'))+\t?>, G.74)
где
f+1, Ы'
Из свойств 8Х' или явно из G.74) вытекает, что
вариационные производные коммутируют, кроме как, когда
обе относятся к переменным второго рода, тогда они анти-
антиком мутируют.
В пределе, когда в определенном смысле t -> t', мы
получаем произведение операторов, относящихся к одному
времени, порядок перемножения которых все еще определя-
определяется временным порядком. Так
G.76)

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 213
1Ъф#Ч*} G-77)
тогда как
где знак минус возникает только для пар переменных вто-
второго рода. Различие между двумя предельными переходами
связано с перестановочными свойствами фундаментальных
динамических переменных
t f 8t
[7J [8X'b(
b(t+U)
7
где двойные скобки означают коммутатор для переменных
первого рода или одной переменной второго рода, и анти-
антикоммутатор для переменных второго рода. Далее, в силу
уравнений движения для системы с гамильтонианом
. а н
-7ГГА = Шс--Х <7.79)
изменение динамических переменных за малый промежуток
времени, вызванное смещением, имеет вид
¦ *+о
*(*+0) - x(t-O) = J df X(t') Л. G.80)
t—о
Отсюда
1 G.81)
G-82)
что объединяет перестановочные свойства всех фундамен-
фундаментальных переменных.

214 Гл.7. Трансформационные функцнн каноннческнх преобразованнй
Произведение трех операторов, относящихся к одному
и тому же времени, выражается формулой типа G.76)
G83)
и вообще для любой алгебраической функции F(x(t)) дина-
динамических переменных в момент времени t, с единственным
ограничением — быть четной функцией переменных второго
рода, имеем
Y G.84)
где вариационные производные относятся к моментам време-
времени, бесконечно мало отличающимся от t, как предписывает
конкретный порядок умножения операторов. Если оператор
Гамильтона — алгебраическая функция динамических пере-
переменных, мы можем использовать это дифференциально-
операторное представление как средство изучения родст-
родственных систем с гамильтонианом \Н и исследования влия-
влияния бесконечно малого изменения параметра Л,
t
G-85>
Это дифференциальное уравнение по структуре аналогично
уравнению Шредингера, в котором функция преобразования,
зависящая от бесконечного числа переменных X'(t), t&t &
/„, играет роль волновой функции. Формальное решение,
получающееся интегрированием от Л = 0 до Л = 1,
dt w(tsxV
-' J

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 215
представляет функцию преобразования как результат про-
процесса дифференцирования элементарной функции преобразо-
преобразования, которая относится только к специальным каноничес-
каноническим преобразованиям. Более общая форма возникает из раз-
разложения
Я = Я0 + //1. G.87)
Следует заметить, что поскольку Я и Я — с необходи-
необходимостью четные функции переменных второго рода, соответс-
соответствующие дифференциальные операторы коммутативны. Приме-
Применяя сначала экспоненциальный оператор, построенный из
Я0, получаем
<2 нх
что можно было бы также вывести и прямо, модифицировав
надлежащим образом G.52). Это создает основу для теории
возмущений, так как желаемая функция преобразования для
гамильтониана Я получается многократным дифференцирова-
дифференцированием из более простой, соответствующей гамильтониану Я0.
7.9. Взаимодействие двух подсистем
Общая динамическая ситуация системы, образованной
из двух взаимодействующих подсистем, описывается опера-
операторами Гамильтона
Я0 = Я,(х,) + Я2(ж2), Я1 = Я12(хгх2), G.89)
где через х, и *2 обозначены динамические переменные со-
соответствующих подсистем. Поэтому и смещения X распадают-
распадаются на два семейства Х^ и Х^. В системе без взаимодейст-
взаимодействия, описываемой гамильтонианом Я\ две подсистемы явля-
являются динамически независимыми, и, в соответствие с адди-
аддитивной структурой оператора действия, функция преобразо-
преобразования возникает как произведение функций преобразования
для отдельных подсистем
/о =Л1'2/ 0\\*й) ¦ <7-90>

216 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
Поэтому функцию преобразования для взаимодействующих си-
систем дает выражение
G91)
Обе подсистемы фигурируют в этой конструкции совершенно
симметрично. Часто бывает, однако, удобно внести в точку
зрения асимметрию, понимая одну часть системы, как дви-
движущуюся под влиянием другой. Гамильтониан
"i(xlD+"i2 СХ1'?2^^ описывает только первую систему,
которая находится под воздействием внешнего возмущения,
вызванного второй системой, с переменными, рассматрива-
рассматриваемыми как предписанные, но произвольные функции времени.
Функция преобразования для такой усеченной системы будет
иметь вид
<7"92>
a G.91) утверждает, что полную функцию преобразования
можно получить, заменив предписанные переменные второй
системы дифференциальными операторами, которые действуют
на функцию преобразования, относящуюся ко второй системе
без взаимодействия,
G.93)
(tx\t2) = (txU2) , з, , (tx\t2) ¦
После того, как дифференцирования выполнены, смещения
сделали свое дело и будут положены равными нулю на всем
промежутке между tx и *2. Потребность в ннх все еще со-
сохранится лишь в начальный и конечный моменты времени,
если функции преобразования соотносятся с некоторыми

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 217
стандартными собственными значениями, но и они будут
приравнены нулю, если этот прием ие используется. Счи-
Считая, ради простоты записи, что это так, получим функцию
преобразования системы с гамильтонианом Н в виде
G.94)
который имеет форму скалярного произведения, вычисленно-
вычисленного с помощью дифференциальной композиции волновых функ-
функций. Соответственно, с помощью известных эквивалентных
способов вычисления таких произведений, равенству G.94)
можио придавать иные формы, как то
, G.95)
а для переменных первого рода используемый здесь диффе-
дифференциальный метод можио заменить интегральной компо-
композицией.
7.10. Дополнение: Внешняя алгебра и
о
принцип действия
Квантовому принципу действия , разработанному для
квантовьус переменных типа р=2, не достает одной сущест-
существенной детали, которая позволила бы ему работать как вы-
вычислительному инструменту. Чтобы преодолеть эту труд-
ность, мы расширим нашу систему чисел, присоединив внеш-
внешнюю, или грассманову, алгебру.4
2Воспронзводится из Proc.Nat.Acad.Sci.-1962.-V.48.-P.603-611.
3Proc.Nat.Acad.Sci.-1961.-V.47.-P.1075 (Раздел 6.19 этой книги).
Краткое математическое описание можно найти в публикации К.Шемлле (Cheval-
ley С. The Construction and Study of Certain Important Algebras.:The Mathematical
Society of Japan, 1955). Несмотря на то, что такое расширение давно используется
в квантовой теории поля (см., например, Proc.Nat.Acad.Sci.- 1951,-V.37,-Р.452),
имеется очевидная потребность в описании обшей алгебраической н теоретико-
групповой основы этого приема.

218 Гл.7. Трансформацнонные функции канонических преобразований
Внешняя алгебра порождается N элементами е ,
K=l...N, для которых-Ге^еЛ = О,
в частности, е2 = 0.
Базнс этой внешней алгебры образуют единичный эле-
элемент и однородные произведения степени d
для d=\...N. Полное число линейно независимых элементов
составляет
N
N ! _ о»
-d)l
Алгебраические свойства образующих не меняются при про-
произвольных несингулярных линейных преобразованнях.
Чтобы представить, чего можно достичь на этом пути,
рассмотрим новый класс специальных вариаций, строящихся
как произведение ?. . с произвольной вещественной бес-
бесконечно малой линейной комбинацией образующнх внешней
алгебры
Элементы такого класса благодаря множителю €2п+« антн-
коммутнруют со всеми переменными ?fe и между собой
= 0,
поскольку они являются линейными комбннацнямн образующнх
внешней алгебры. Поэтому генератор специальной вариации
_ 1
коммутирует с любой такой вариацией
=0.

Гл.7. Трансформационные функцнн каноннческнх преобразований 219
Если рассмотреть коммутатор двух генераторов, получим
где правая часть пропорциональна единичному оператору н
билинейной функцнн образующих' элементов внешней алгебры
Последнее выражение коммутирует со всеми операторами и
со всеми элементами внешней алгебры. Поэтому коммутатор
коммутирует с любым генератором С., н совокупность новых
специальных вариаций имеет групповую структуру, изоморф-
изоморфную структуре специальной канонической группы для степе-
степеней свободы типа v=co. Именно она, а не изучавшиеся ранее
группы поворотов, является специальной канонической
группой для переменных типа v=2.
Все это заставляет нас пересмотреть принцип дейст-
действия, используя теперь бесконечно малые вариации из спе-
специальной канонической группы. Класс генераторов преобра-
преобразований С, удовлетворяющих условию
[S(-k,G} = О,
включает не только все четные операторные функции 2л- пе-
переменных ?fe, но и четные функцнн ?fe, умноженные на чет-
четные функцнн элементов &к. Генераторы специальных канонн-
каноннческнх преобразований входят в последнюю категорию.
Понятие эрмитова оператора требует обобщения, чтобы
приспособиться к некоммутатнвностн числовых элементов.
Обращение порядка умножения, связанное с операцией со-
сопряжения, означает теперь, что
где А. - число, и мы, несмотря на расширение системы чи-
чисел, продолжаем использовать прежние обозначения и
язык. Таким образом, комплексное сопряжение получает ал-
алгебраическое свойство

220 Гл.7. Трансформацнонные функции канонических преобрвзоввннй
Антикоммутативность образующих элементов сохраняется при
такой операции, и поэтому мы рассматриваем комплексное
сопряжение во внешней алгебре как линейное отображение
^-мерного подпространства образующих
Матрица R удовлетворяет условию
Я*/? - 1 ,
которое не является утверждением об унитарности. Тем не
менее, существует параметризация Кэли:
г* = г,
если det(l+/?) * 0. Тогда
ё = е + /V г .е.
к к L кА А
удовлетворяют
ё* = ё ,
это означает, что всегда можно выбрать базнс с вещест-
вещественными образующими. После этого еще остается свобода
вещественных несингулярных линейных преобразований.
Сделанное заключение останется в силе, если R имеет
собственное значение -1. В таком случае мы можем по-
построить p(R), многочлен по R, обладающий свойствами
A + R)p = 0 , рA - р) = 0 , р* = р н р(-1) = 1 .
Матрица
/?' = /?A - 2р) = /?A - р) + р
также удовлетворяет /?'*/?'=1, причем det(l+/?')*O, по-
поскольку обратное привело бы к существованию нетривиаль-
нетривиального вектора v, такого что
A + R')v = (A + /?)A - р) + 2p)v = 0 ,

Гл.7. Траисформациоииые функции канонических преобразоваинй 221
или, что эквивалентно,
pv = 0 , A + R)v = 0 ,
а это невозможно, нз—за р(—1)=1. Теперь,
1 ^ ~ 1 - р + ip'
н если мы воспользуемся представлением Кэлн для /?' через
вещественную матрицу г', являющуюся функцией /?, со свой-
свойством /•'(—1) = 0, то получим
" ~ 1 - р - ip r^TF' ~ 1 - р - <ip A
Это устанавливает общность представления
/? = *
где несингулярные матрицы р н р* коммутативны и, следо-
следовательно, доказывает вещественность набора образующих
Когда вещественные образующие выбраны, остальные
элементы вещественного базиса задаются не обращающимися
в нуль произведениями
-d(dr-\)/2c е ... е
ибо
fe ек • • 'ек ")* = ек • • -ек = (-l)^'7^ ек' • ск .
Эрмитовы операторы в расширенном смысле получаются как
линейные комбинации обычных эрмитовых операторов, умно-
умноженных на вещественные элементы внешней алгебры. Генера-
Генераторы G. — эрмитовы, как н коммутаторы /[G^.G^].
Функция преобразования <х^\х^, связанная с неким
обобщенным унитарным преобразованием, является элементом
внешней алгебры. Она обладает свойствами
/т I т \ — /т I т \ н /т I т \ — /т I т \ v /т I т \

222 Гл.7. Трансформационные функцнн каноннческнх преобразованнй
где символ х обозначает суммирование по полному набору
состояний, которые, по крайней мере пока, понимаются в
обычном смысле. Эти свойства согласуются с природой ком-
комплексного сопряжения, ибо
Для бесконечно малого преобразования имеем
<т+Лг|т> =
где С — эрмитов, это означает, что его матрица нз эле-
элементов внешней алгебры удовлетворяет
Последующее обсуждение принципа действия не требует яв-
явного обращения к структуре специальных вариаций, и, сле-
следовательно, принцип действия преобретает двоякий смысл,
зависящий от природы системы чисел.
Нам понадобятся некоторые свойства дифференцирова-
дифференцирования во внешней алгебре. Поскольку е, = 0, любую функцию
образующих можно представить единственным образом в двух
альтернативных формах
-'
о
где fQ.ff.ff. не содержат ev По определению ff и /^ суть
правая и левая производные функцнн /(е) по ?., соответ-
соответственно:
Если f(e) однородна степени d, ее производные суть одно-
однородные функцнн степени d—\, левая н правая производные
совпадают для нечетных d н противоположны по знаку, ког-
когда d четно. В частном случае нечетной функцнн е имеем
с = е A - 8. ) + е.а. ,
поэтому
де
~х

Гл.7. Трансформационные функцни каионнческнх преобразованнй 223
Поскольку производная не зависит от элемента, по которо-
которому дифференцируется, повторное дифференцирование обраща-
обращает любую функцию в нуль,
Чтобы определить более общие вторые производные, на-
пншем для А*д,
'' ' = 'О Х'Х Ч Ч л ц'Лц '
в этом выражении коэффициенты не зависят от ед и е . По-
Последний член имеет две альтернативные формы
X tdXfi Ч- A'fiA
где
Тогда
atf _ t a,f
м
= f a' a' f = f.
показывают, что различные производные антнкоммутнруют
1^-- Я?^)/(е) = °-
Аналогичное утверждение применимо н к правым производ-
производным.
Определение производной было дано на чисто алге-
алгебраическом языке. Рассмотрим теперь функцию /(е+де), где
через 5е. обозначена линейная комбинация элементов внеш-
внешней алгебры с произвольными бесконечно малыми числовыми
коэффициентами, и заключим, что
v

224 Гл.7. Трансфориационные функции канонических преобразований
в первом порядке по бесконечно малым числовым парамет-
параметрам. Если это дифференциальное свойство использовать для
идентификации производных, то его нужно дополнить требо-
требованием, чтобы производная имела степень ниже, чем исход-
исходная функция, поскольку к производной можно добавить лю-
любое числовое кратное произведения е\е2~ eN' не изменив
разностной формы. Кроме того, обратим внимание на воз-
возможность использования в днфференцнрованнн произвольных
несингулярных линейных комбинаций элементов е , это вы-
выражается матричной формулой
которая непосредственно следует нз разностного выраже-
выражения.
Применим теперь расширенный принцип действия к су-
суперпозиции двух преобразований, одного, порожденного
обычным эрмитовым оператором С, четной функцией ?., и
другого - специального канонического преобразования, вы-
выполняемого произвольно, но непрерывно по т. Эффективный
генератор имеет вид
где -Xk(x)dx есть специальная вариация, индуцированная в
?.(т) за время dr. Объекты ^(т) строятся как произведе-
произведения ?2 . и линейной комбинации е с вещественными чис-
числовыми коэффициентами, являющимися произвольными непре-
непрерывными функциями т. Чтобы воспользоваться принципом
стационарного действия, сделаем то наблюдение, что каж-
каждый Хк(т) коммутирует, как специальная вариация, с гене-
генератором специальных вариаций, и поэтому
8'Х (т) = 0.
Тогда принцип действия будет утверждать, что

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 225
где 6?fe суть вариации, построенные нз элементов внешней
алгебры. Мы не можем сделать окончательный вывод, что
dx
так как остается произвол, связанный с членами e^'-e^.,
как н в определении производных нз разностной формы. Одна-
Однако такой член не возникает при следующем вычислении
d.G
Эта явная неполнота принципа действия исчезает, если на-
наложить очевидное условие, что функция преобразования
^TilT2^ есть обыкновенное число, когда все ХАт) обраща-
обращаются в нуль. Таким образом, элементы внешней алгебры
входят только через произведения операторов Х.(т) с
?fe(T), в то время как последние получаются интегрирова-
интегрированием уравнений движения, и члены, содержащие е ¦¦•€„, в
этих уравнениях не оказывают никакого влияния.
Изучим теперь, как функция преобразования <Ст.\хЛ^
зависит от Хк(т). Необходимо все время помнить о двух
различных множителях, формирующих X (т).
Здесь
a X'k(r) является полностью элементом внешней алгебры.
Таким образом, функция преобразования зависит по сущест-
существу именно от Х'(т). Их бесконечно малое изменение вызы-
вызывает
=
где опущен индекс суммирования к. Повторение таких ва-
8 Ю.Швннгер

226 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
рнацнй дает упорядоченное произведение
в21"^,!^ = JrfT1---dT2m<T1|
эта форма характерена для четного числа вариаций. Эле-
Элементы внешней алгебры подвергаются комплексному сопряже-
сопряжению с целью обратить порядок умножения. Чтобы прийти к
последнему выражению, мы воспользовались тем обстоятель-
обстоятельством, что специальные канонические вариации не являются
явными функциями т, и, следовательно, антнкоммутнруют с
?., не взирая на значения т. Таким образом, 2/п величин
5Х(т*),...,5Х(т2т) можно собрать вместе, . и это произве-
произведение кратно единичному оператору, так как р =1. Множи-
Множителем является соответствующее произведение элементов
внешней алгебры 5Х'(Т )•' •5Х/(тгт), которое, будучи чет-
четной функцией, полностью коммутирует со всеми элементами
внешней алгебры н, следовательно-, его можно вынестн из
матричного элемента. Обращение порядка умножения элемен-
элементов внешней алгебры точно учитывает изменение знака,
связанное с антикоммутативностью.
Этот результат можно записать на языке функциональ-
функционального дифференцирования. Так, используя левые производ-
производные, имеем
где в следствие антикоммутативности производных на внеш-
внешней алгебре
( ?_ 5 I = ео(т1...т2т] ё_ ? —.
Здесь
ео(т1...г2т] =±1,

Гл.7. Трансформационные функции каноннческнх преобразованнй 227
в зависимости от того, четная нлн нечетная перестановка
требуется для упорядочения последовательности
Т1,...,т2т. Эта запись, однако, упускает один существен-
существенный момент. На внешней алгебре с N образующими элемента-
элементами не существует производных порядка выше, чем N. Если
мы хотим вычислять неограниченное количество производ-
производных, чтобы строить, соответственно, общие функции дина-
динамических переменных, мы должны положить N=ca, т.е. вы-
выбрать внешнюю алгебру бесконечной размерности. Тогда мы
можем утверждать, что для любой четной функцнн перемен-
переменных ? (т):
V* - F* Х
В последнем альтернативном выражении с правой производ-
производной дт означает, что последовательные дифференцирования
выполняются слева направо, а не обычным образом. Заметим
также, что конкретный порядок умножения для произведений
операторов, относящихся к одному времени, должен уста-
устанавливаться с помощью предельного перехода из неравных
значений т. В качестве применения функцнн преобразования
<TllT2>c мы вставим в четную операторную функцию G пе-
переменный множитель А. н вычислим
ax<TlV = «T
что даст формальное выражение
Т2
в котором последняя функция преобразования целиком отно-
относится к специальной канонической группе.
Соответствующие теоремы для нечетных упорядоченных
функций переменных ?4 имеют вид

228 Гл.7. Трансформационные функцин каноннческнх преобразованнй
при условии, что состояния понимаются в обычном смысле.
Поскольку вариации SX(r) не зависят явно от т, множители
ре можно отнести к любому значению т. Если его выбрать
как Tj или т2, то останется один оператор р, а произве-
произведение нечетного числа элементов внешней алгебры можно
вынести из матричного элемента, если оно, как мы предпо-
предполагаем, коммутирует с состояниями <Tj| и |т.>. Различие
в знаках в выражениях с левой и правой производной про-
проистекает непосредственно нз свойства ? 8Х = —SX ?.
Пусть, например, F(?) — нечетная функция, которая
появляется в левой части уравнения движения
. .е d.G
flg • / _ у
Поскольку Х(т) суть специальные канонические смещения,
вычисление соответствующих функциональных производных
дает
или
и это приводит к функциональнб^дифференциальным уравне-
уравнениям для функции преобразования <т,|т^>
d 8. d.G fS.
+ < [
~ X'{T)\ - °
Из того, что мы узнали о нечетных функциях, можно
вывести некоторые свойства следа функции преобразования.
А именно

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 229
так как расчет обеих частей равенства дает
У <a>\p\a»><.a»Tx\F\a>T?.
ал
Соответственно,
н, в частности,
что показывает, что след является четной функцией эле-
элементов X' (т). С другой стороны природу следа характери-
характеризует соотношение
* = Тг<т|{р{т^(т^}|т^>= О,
являющееся утверждением об эффективной антнперноднчностн
операторов €(т) на интервале Т = Tj- т2. Эквивалентные
ограничения на след функции преобразования имеют вид
i
или

ГЛАВА 8
ФУНКЦИИ ГРИНА
1.I. Включение начальных условий
8.2. Консервативные системы. Фурье—образы
8.3. Операторные функции комплексных переменных
8.4. Особенности
8. S. Пример
8.6. Сокращённая функция Грина
8.1. Включение начальных условий
Самым простым методом построения трансформацнонных
функций канонических преобразований, соответствующих па-
параметризованным преобразованиям, является прямое решение
дифференциальных уравнений, которые управляют зависи-
зависимостью от параметров. Для развития во времени нмн явля-
являются уравнения Шредннгера
о,
?2 - я] . о дел
здесь через Я обозначены дифференциально-операторные
представители гамильтониана, относящиеся к моментам
времени I, нлн *2, которые зависят от конкретного выбора
канонического представления. Искомая функция преобразо-
преобразования выделяется из всех решений этих уравнений Шреднн-
Шредннгера начальным условием для равных времен
< I >, (8.2)
означающего, что трансформационная функция канонического
преобразования не зависит от общего времени, а определя-
определяется только отношением между описаниями. Этот формализм
становится на операторную почву, ёслн написать
(83)
где унитарный оператор эволюции по времени
UQv*d* = tf('2.'i3 = fCW1 (8.4)
должен стариться как функция динамических переменных,

Гл.8. Функции Грина 231
которые не зависят от времени, путем решения дифференци-
дифференциальных уравнений
- Н)
с начальным условием
U(t,t) = 1 . (8.6)
Полезно включить начальные условия, которые харак-
характеризуют функции преобразования нлн оператор временной
эволюции, прямо в днфференцнальные уравнения. Это эле-
элегантно осуществляется введением подходящих разрывных
функций времени, так называемых функций нлн операторов
Грина. Запаздывающие и опережающие функции Грина суть
матрицы, представляющие в том нлн ином представлении за-
запаздывающие нлн опережающие операторы Грнна, которые оп-
определяются, соответственно, равенствами
где
U > tn
ЧЛ',.У = ч+('2.(,) = 1 - ч+(',.у <89>
Разрывы функций т)+ н т)_ выражаются в дифференциальной
форме как
У - n('y -'* «РУ <810>
и поэтому, вследствие дифференциальных уравнений (8.5) и
начальных условий (8.6), запаздывающий н опережающий

232 Гл. 8. Функции Грина
операторы Грнна удовлетворяют неоднородным уравнениям
Два оператора Грнна различаются как решения этих уравне-
уравнений, удовлетворяющие условиям
что, очевидно, согласуется с отношением сопряжения
WaJ* = GA*r'd- <813>
Унитарный оператор временной эволюции строится нз этих
операторов в виде
[ ] (814>
1.
8.2. Консервативные системы. Фурье-образы
Для консервативной системы, у которой t не появля-
появляется в операторе Гамильтона, оператор временной эволюции
и операторы Грнна могут зависеть только от относительно-
относительного времени
С/РГУ = Щ*). G{tvt2y = G(t), t = f, - t2, (8.15)
н определяющие операторы Грина свойства предстают тогда
в виде. т
[i^j - H}G(t) = G(t)[-%j - Я] = 5@ ,
Gr(t) = O, t<0; Ga(t) = Gr(-tf= 0 , Ь0. (8.16)
Теперь зависимость по времени в операторах Грнна можно
удалить, определив операторов
до
Gr(E) = J* e/?'Gr@ = Jdf e/?*Gr@ . Im ? > 0
В оригинале "transforms". — Примеч. пер.

Гл.8 Функции Грина 233
а> о
Ga(E) = jdt elEtGa(t) = jdt elEiGJ<t) , Im E <O. (817)
_oo —go
Как мы уже указывали, поскольку интегрирование распро-
распространяется только на полубесконечные интервалы, этн
фурье—образы существуют для комплексных значений энерге-
энергетического параметра Е, лежащих в подходящей полуплоскос-
полуплоскости. Применение этого преобразования к дифференциальным
уравнениям (8.16) дает
(Е - Н) G(E) = G(?)(? - Н) = 1 , ( 8.18)
для обоих грнновскнх операторов, определенных теперь как
функции комплексного параметра Е в указанных в (8.17)
областях регулярности. Отношение сопряженности между ни-
ними выглядит теперь как
? = Ga(E*). (8.19)
Обращение (8.17) содержится в
с@ = SW \dE<TiEt G(E), (8.20)
где путь интегрирования проходит параллельно веществен-
вещественной осн, сдвинутой в область регулярности рассматривае-
рассматриваемого оператора Грнна.
8.3. Операторные функции комплексной
переменной
Оба грнновскнх оператора формально задаются выраже-
выражением
7г4-тг - У |?Т>^/у/| < 8-21>
и поэтому образуют вместе единую операторную функцию
комплексного переменного Е, определенную везде за исклю-
исключением, быть может, общей границы двух полуплоскостей,
т.е. вещественной осн. В самом деле, выражение (8.21),
написанное на языке собственных векторов оператора Н н

234 Гл. 8. Функции Грина
дополнительного набора интегралов движения у, показыва-
показывает, что особенностями функции G(E) являются простые по-
полюса на вещественной оси Е, которая совпадает со спект-
спектром значений, энергии системы. Таким образом, построение
функции Грииа в некотором удобном представлении и иссле-
исследование ее особенностей даст весь энергетический спектр
системы вместе с автоматически нормированным н полным
набором волновых функций этих энергетических состояний.
Например, для системы с гамильтонианом H(q ,q) функция
Грнна G{q ' ,q' ,Е) могла бы получаться решением неодно-
неоднородного дифференциального уравнения
<qf'\q'> = exp fe^Vj • (8-22)
Представив решение в виде
/~/ч ^g'r'|g'> # (823)
обнаруживаем всю желаемую информацию о значениях энергии
и волновых функциях. Следует также обратить внимание на
возможность построения частичной функции Грина, которая
содержит информацию о некоторой выделенной группе состо-
состояний. А именно: если мы положим собственные значения q' в
дифференциальном уравнении (8.22), равными нулю, то оно
примет вид
? _ н\Ч*'д-±т 11 G(q+'.0,E) = 1 . (8.24)
а его решения будут давать значения энергии только для
тех состояний, для которых <?'у' |0> * 0. Все эти состоя-
состояния все еще представлены и в еще более специальной, функ-
функции Грина
FV
%1, (8.25)

Гл.8 Функции Грииа 235
где коэффициенты |<?'у'|0>| удовлетворяют условию
Е 1<?'У'|0>|2 = 1. (8.26)
Е'Г'
и, следовательно, дают вероятности реализации различных
энергетических состояний в измерениях на состоянии |0> с
нулевым собственным значением.
8.4. Особенности
Особенности функции Грнна можно определять из ее
разрывов, которые встречаются при пересечении веществен-
вещественной ?-осн. Так, для вещественных ?
lim [G(E+ie) - G(?-te)] =
е-»+0
tt+Ш - Ttte] - -^iS(E-H) ш
« 2m- Г 5(?-?') |?'y'><?'у' | , (8.27)
e r'
согласно известному представлению дельта-функции
5B) = lim | , е ,. (828)
Заметим, что (8.27) дает также меру неэрмнтовой части
Gf(E) для вещественных ?:
lim [G(?+&) - С(? - te)]= G (?) - G*(?) . (8.29)
Разрывов нет и G (?) эрмитова во всех точках веществен-
вещественной оси, не принадлежащих энергетическому спектру систе-
системы, в то время как дискретные значения энергии распозна-
распознаются по соответственно расположенным разрывам. Если
спектр энергий непрерывен, начиная с ?., разрыв для ? >
?0 равен
*~~ ("<*?'5(?-?')|?'у'><?'Г'I = -2ni? |?y'><?y'| (8.30)
*т у'

236 Гл. 8. Функции Грина
Существование такого конечного разрыва для каждого ? >
EQ означает, что <3(?) имеет точку ветвления при ?" = ?.,
а непрерывная линия полюсов, простирающаяся от EQ до бес-
бесконечности образует разрез Е—плоскости. Таким образом,
точная природа спектра энергий системы содержится, в ха-
характере особенностей, проявляющихся в G(?) как в функции
комплексной переменной.
8.5. Пример
Элементарный пример единственной свободной частицы
в пространстве нерелятивистскй описывается в г—пред-
г—представлении уравнением для функции Грина
[Е + Ш
Ш} (t,t',E) = З(г-г') . (8.31)
В его решении
С(г,г',?) = - ff^lr-V I ' . ; р = BmE)U2 (8.32)
фигурирует двузначная функция Е комплексного энерге-'
тического параметра, которую надо интерпретировать как
+»|?|1/2 при ?<0, чтобы функция .Грнна оставалась ограни-
ограниченной при |г-г'| -» со. Соответственно, для Е>0 мы должны
иметь ? =+|?| сверху от вещественной оси и
?1/2=-|?|1/2 - снизу. Следовательно, прн пересечении ве-
вещественной осн есть разрыв для ?>0, составляющий весь
энергитический спектр, поскольку функция Грнна всегда
ограничена как функция ?. Разрыв составляет
Gr(r,r',?) - Ge(r,r',?) = 2i Im Gr(r,r',?)
(8.33)
где в последнем выражении интегрируется по всем направ-
направлениям вектора р = рп. Сравнивая с (8.30), видим, что
различные состояния с заданной энергией можно помечать

Гл.8. Функции Грина 237
единичным вектором п, определенным с точностью до беско-
бесконечно малого телесного угла da. Соответствующне волновые
функции в г-представленнн имеют вид
<г|?п> = UJ^U^Vp-' = f^EL ll'^e*"', (8.34)
L BitKJ lBnK"J
где (dp) — элемент объема в р—пространстве.
8.6 Сокращённая функция Грнна
Сокращенное выражение функции Грнна оказывается по-
полезным в двух общих ситуациях,. которые частично могут
совпадать. А именно: может случиться, что, благодаря уче-
учету симметрии, имеется одни . нлн несколько совместимых ин-
интегралов движения, и требуется исследовать состояния
лишь для конкретных значений этих величин, нлн когда в
целях классификации интересно построить состояния некой
возмущенной системы, которые наиболее близки к опреде-
определенным состояниям родственной невозмущенной системы. Обе
ситуации можно характеризовать как разделение полного
набора состояний на две части, нлн на два подпространст-
подпространства, что символически записывается в виде
1 = А*, + М%. (8.35)
где символы - измерения, нлн операторы проецирования, удо-
удовлетворяют соотношениям
2 = А*М* =
А*,2 = А*,. М* = М2 , М%М2 = M2Mt = 0 . (8 .36)
а требуется построить спроецированный оператор Грнна,
относящийся только к подпространству Мл
Mfi(E) М% = ,G,(?). (8,37)
Из уравнения
(? - H)G(E) = 1 (8.18)
получаем равенства
X = M% (8.38

238 . Гл.8.Функции Грина
М2(Е-Н) (М^ МХЩЕ) Мх = 0 , ¦ (8.39)
которые мы запишем в виде
(?- Mfi{E) - ,H22G,(E) = М%
(Е - 2Н2) 2G{E) - 2Н^ fi{E) = 0 . (8.40)
В пределах подпространства М2 второе уравнение формально
разрешается
2Gi<?> = E-r^F2 2^1 iGi(?). (8«)
и мы получаем для определения .GAE) уравнение
[? - ^ - A^(E)-]ft(E) = Л*,, (8.42)
где
АЯ = Я Е Н Н\ • (
А1Я1 = 1Я2 Е - 2Н2 2Н\
Если эти два подпространства относятся к различным зна-
значениям интегралов движения для полного гамильтониана, то
не найдется ни одного матричного элемента, связывающего
эти подпространства, т.е. fl2 = 2Н^ = 0, и (8.42) преоб-
ретает вид фундаментального уравнения для функции Грина
(8.18), определенного теперь только в рамках простран-
пространства My

ГЛАВА 9
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
9.1. Введение
9.2. Осциллятор
9.3. Внешняя система
9.4. Улучшенная трактовка
9.5. Общая теория
II. КУЛОНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
I. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОГО
ОСЦИЛЛЯТОРА1
В настоящей работе излагается метод прямого вычис-
вычисления средних значений с помощью принципа действия. Ме-
Метод детально иллюстрируется на конкретном примере гармо-
гармонического осциллятора, испытывающего воздействие со сто-
стороны какой-то другой системы. Эта простая задача, будучи
значительно проще сложных проблем квантовой теории поля
или теории многих тел, имеет вместе с тем и непосредст-
непосредственные физические применения, например для вычисления
сопротивления излучения или усиления одной из волновых
мод в полом резонаторе за счет вынужденного испускания.
Последовательно рассматривается поведение осциллятора
под действием внешних сил, случай осциллятора, слабо
связанного с некоторой внешней системой, и улучшенная
трактовка той же задачи. В заключение дается краткое из-
изложение общей методики.
9.1. Введение
Заглавие этой работы относится к элементарному фи-
физическому примеру, которым мы воспользуемся для довольно
подробной иллюстрации решения следующей методической за-
задачи. Квантовый принцип действия2 представляет собой
Воспроизводится статья Schwinger 1. // J.Math.Phys.- 1961. - V.2, No.3. - Р.40Г
(Перевод В.Л.Боич-Бруевича.)
2
В связи с квантовый принципом действия см., например, Phys.Rev.- 1951.- V.82,-
Р.914; 1953. - V.91. - Р.713; Phil.Mag. - 1953.- V.44. - P. 1171. Первые две работы

240 Гл.9. Приложения
дифференциальную характеристику функций преобразования,
<а'^1|й//2>, и, следовательно, идеально приспособлен для
практического вычисления вероятностей перехода (включая
и определение стационарных состояний). Во многих зада-
задачах, однако, приходится вычислять не вероятности отдель-
отдельных переходов, а скорее средние значения тех или иных
величин при заданном начальном состоянии:
t = I m<b't2\
2 л л
В более общем случае и начальное состояние является сме-
смешанным. Спрашивается: нельзя ли, основываясь на принципе
действия, развить метод, который позволял бы вычислять
эти средние значения непосредственно, без предваритель-
предварительного определения индивидуальных функций преобразования?
Согласно принципу действия
= -Kb't2\d[[dtL]\a't}.
Здесь и в дальнейшем h=l; мы будем считать также, что
*.> t2 . Эти комплексно сопряженные выражения соответст-
соответствуют двум возможным точкам зрения: развитие во времени
можно изучать, либо продвигаясь вперед, либо двигаясь
попятно, во времени. Две введенные здесь функции преобра-
преобразования связаны соотношением
] 0,
выражающим условие сохранения нормировки
<ЬЧ2\ЬЧ? « Щ'.Ь").
включены также в сборник "Selected Papers on Quantum Electrodynamics.'*- N.Y.,
1958. Недавняя дискуссия содержится в Proc.Nat.Acad.Sci.- I960. - V.46. - P.883.
(Переводы первых трех работ см. в [8,9] цитируемой литературы Предисловия
переводчика, перевод последней дай в разделе 6.17.- Примеч.пер.)

Гл.9. Приложения 241
Пусть теперь развитие во времени в положительном
направлении подчиняется одному динамическому закону, а в
отрицательном направлении — другому! Тогда функция пре-
преобразования для процесса, "замкнутого во времени",, будет
вытекать из принципа действия:
Г г' г' П
« [<*21 / }>*« ,11} ] = i<t} 8 [jdtL - jdtL _]| t} .
Здесь знак умножения символизирует композицию функций
преобразования, фактически осуществляемую путем суммиро-
суммирования по полной системе функций. Если, в частности, опе-
операторы Лагранжа L+ содержат слагаемые \+(t)X(t), то
и, следовательно,
В последнем равенстве величины А+ уже можно отождествить
друг с другом.
Итак, подобрав должным образом лагранжиан возмуще-
возмущения , зависящий от знака времени, и вычислив функцию
преобразования для пути, замкнутого во времени, мы можем
определить среднее значение любой физической величины.
Начальное состояние при этом может быть как чистым, так
и смешанным.
9.2. Осциллятор
Для иллюстрации высказанного замечания рассмотрим
прежде всего осциллятор, на который действует произволь-
произвольная внешняя сила. Эта система описывается оператором
Мы пользуемся здесь языком динамики. Одиако фактически измеиеиие гамильто-
гамильтониана системы может иметь и кинематическое происхождеиие, что связано с рас-
рассмотрением не динамического (порождаемого гамильтонианом), а какого-то друго-
другого преобразования. См. разделы 6.19, 6.21.

242 Гл.9. Приложения
Лагранжа
Здесь пара взаимно дополнительных неэрмнтовых операторов
у, iy связана с эрмитовыми операторами q, p равенствами
Из принципа действия вытекают уравнения движения
• du v • du 1* ж**
I -fir — CiM/ = Л , — I -TT — toy = Л .
Решение имеет вид
y(t) = e'^'Vi^L) -
для «/ надо написать сопряженное выражение. Поскольку мы
теперь считаем силы, действующие при эволюции в положи-
положительном (/С+(О.Я*(О) н отрнцательном (K_(t).K*Jit)) на-
направлениях во времени, различными, следует вычислять ин-
интеграл вдоль соответствующего пути. Так, двигаясь в по-
положительном направлении от момента ?2 к t>t2 , имеем
y+(t2) - i\dt'<T"*M »/С+(Г).
С другой стороны, при обратном движении, когда мы воз-
возвращаемся к моменту t от более позднего момента t. ,
Заметим, что

Гл.9. Приложения 243
Начнем с вычисления функции преобразования для ос-
основного состояния иевозмущеииого осциллятора <0fJ0f2>*±.
Это состояние характеризуется условием
<fU2\y\t?y(tJ\0t? =О,
эквивалентным следующим задачам иа собственные значения:
y(t2) |о*2> = о, <р^\у\^ = о.
При К+=К_ и #*=#* функция преобразования равна просто
единице. Поэтому надо посмотреть, что получится при не-
независимом изменении К+ и К_ и /С* и /С*.
Согласно принципу действия мы имеем
Принятый нами выбор начального состояния влечет за собой
следующие граничные условия для уравнений движения:
У+('2)->0, yf_(t2)-*0.
Соответственно
у Jit) = -i\dt' <r**"'hiJit-t')KJif)
hi_(t-tf )K_(t') .
К этим выражениям надо добавить еще сопряженные им;

244 Гл.9. Приложения
таковые получаются, если поменять местами значки + и
"—".Для удобства мы ввели здесь ступенчатые функции
П, t-f > 0 . П. t-f <
) (t-f ) = J 1) (t-f ) = \
+ [О. t-f < 0 . " [0. t-f >
. t-f < 0
0
T,+(t-f)
Мы будем также пользоваться нечетной функцией
e(t-f) = n+(t-f) -Tljt-f).
Пользуясь выражением для y+(t) и y+(t), можно получить
дифференциальное уравнение для ln(Qt2\0t?>K± ; его реше-
решение имеет вид
exp |-j
Здесь приняты матричные обозначения:
W) =
В силу тождества т}++ т}_= 1 сумма всех элементов матрицы
GQ равна нулю. Это обстоятельство обеспечивает обращение
функции преобразования в единицу при совпадении К+ с К_
и К*+ с К*_.
Операторное представление GQ можно получить, сос-
составляя вторую вариацию:
3К* S^Ot^Ot^t | _ ,_= -i\dtdf 8K*(t) G^t-f) 8K(t').
В общем случае, выполняя два варьирования по различным
параметрам, фигурирующим в операторе Лагранжа L и не

Гл.9. Приложения 245
входящим явно в аргументы динамических переменных в дан-
данный момент времени, получаем
<' 2l \dtdt>
- 8%L_(t)82L+(t') -
Здесь все множители расположены в хронологическом поряд-
порядке.
Соответственно
0 l-WC')>o
где средние значения берутся по основному состоянию не-
невозмущенного осциллятора, а операторы являются гейзен-
гейзенберговскими относительно соответствующего гамильтониана.
Отмеченное выше свойство матрицы GQ —равенство нулю сум-
суммы строк и столбцов — вытекает здесь из алгебраического
тождества
Выбор именно основного состояния осциллятора в ка-
качестве начального не составляет существенного ограниче-
ограничения, ибо аналогичные результаты можно получить и для лю-
любого другого начального состояния. Для этой цели введем
дельтаобразиые силы
K+(t) = iy"8{t-t2), K*_(t) = -iyf'8(t-t2),
результат действия которых выражается равенствамц
Как мы видим, под действием этих сил функции |0*„> и
<(Н0| к моменту 1о+0 превращаются соответственно в
• ф • ,
\у"*2> и <У '^о' ~ пРавыи и левый собственные векторы
соответственно операторов y(t2) и у (^2) ¦ Принимая во

246 Гл.9. Приложения
внимание прочие силы произвольного вида, получаем для
функции преобразования на пути, замкнутом во времени:
где
'y" - «Л f f
J dtK*(t)G0(t-t2) у"- /j dtdt' K*(t)GQ(t-t' )K(t') ,
«. J+ r J
f 'r« 1 r'
j J dtGQ(t2-t)K(t) - J
- K+(tJ2
l 1
J Л/Г(/)С0(/-/2) = J
J
Собственные функции неэрмитовых канонических переменных
образуют полную систему и допускают физическую интерпре-
интерпретацию в терминах "максимально совместимых" измерений ве-
величин q и р . Сейчас, однако, нас больше интересуют не-
возмущеиные Стационарные состояния осциллятора. Связь
между этими двумя способами описания можно установить,
рассматривая функцию преобразования для невозмущениого
осциллятора:
Очевидно,
Т
Поскольку
Представление в неэрмитовых переменных было рассмотрено автором в Lectures
on Quantum Mechanics (Les Houches, 1955), неопубликовано. (См. раздел 4.9.
— Примеч. пер.)

Гл.9. Приложения 247
правая часть предыдущего равенства принимает вид
и, следовательно,
Отсюда видно, что собственные значения оператора у у
суть неотрицательные целые числа, а соответствующие
собственные функции имеют вид
Соответственно функцию преобразования в иеэрмитовых ка-
канонических переменных можно рассматривать хак производя-
производящую для функции преобразования, относящейся к невозму-
невозмущенным стационарным состояниям осциллятора.
Интересуясь, в частности, выражением ^^
позволяющим вычислить любые средине значения при началь-
начальном состоянии л, мы должны найти коэффициент при
(у*'у")п/п! в разложении экспоненты
Все члены, дающие вклад в исхомый коэффициент, со-
содержатся в сумме
Здесь мы воспользовались равенством

248 Гл.9. Приложения
Таким образом,
nt^Kt = exp[-ijdtdt' K*{
х Ln[ [fdtK*(t)GQ(t~t2)] [ fdtGQ(t2-t)K(t)] ].
где L — полином Лагерра; он появился здесь в силу соот-
n
ношения
• Можно получить, однако, гораздо более изящные фор-
формулы (из которых вытекают и полученные только что ре-
результаты), если в качестве начального состояния взять
определеииую смесь. Именно, припишем л-му стационарному
состоянию осциллятора (в начальный момент времени) веро-
вероятность
A - е^е-"*»,
где величину /З можно интерпретировать как температуру.
Принимая во внимание равенство
ю
= A - e-^-jiyf^e* [1 -
получаем
где
/Со(/-/') + —±—GQ(t-t2)+-_G0(t2-t')

Гл.9. Приложения 249
i_G0(t2-t)
Введем обозначение
Имеем
Кроме того, элементы матрицы Gtf можно выразить через
"термические" средине значения для иевозмущеииого осцил-
осциллятора:
Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что действи-
действительно <л>в=<у уу^, как это и должно быть. .
"Термические" выражения можно получить и непосред-
непосредственным путем, решая уравнения движения, как это уже
делалось при вычислении <0/2|0<2>*±. Следует лишь заме-
заменить диагоиальиый элемент
статистическим средним
00
n=0
Заметим, что

250 Гл.9. Приложения
н примем во внимание равенство, основанное на инвариант-
инвариантности следа относительно циклической перестановки со-
сомножителей
fS] [у] = Тг
Тогда
Это соотношение заменяет прежнее граничное условие
Далее,
У-('2) ~ У+(*2) - -i}dt ***~Ч [K+(t)-K_(tJ ,
и, следовательно,
t
г
Таким образом, к полученному ранее выражению для y+(t)
надо добавить член
в результате находим
ул. I л. v *\± ^ уJ- I J- V *\± ^
Это и есть наш прежний результат.
В качестве элементарного приложения найденных фор-
формул вычислим среднее значение энергии осциллятора в мо-
момент t., если в момент I. система находилась в состоя-
состоянии термодинамического равновесия, а затем подверглась

Гл.9. Приложения
251
воздействию произвольных, зависящих от времени сил. Мы
имеем
= w
Вычисляя функциональную производную 5/5/C*(ft), получаем
множитель
-Л J<tfG#(fr *')*(/')] ;
последующая вариация по /(_(*,) дает
и в результате находим искомое среднее:
t. *
Более обще, средние значения всех функций от y(t.)
и у (t ) можно вычислить, зная среднее от экспоненты
Последнюю величину можно найти, добавляя к /С+ и /С* дель-
таобразные силы
K+(t) = XS(t-tJ , K*+(t)
Заметим, что в данном случае величины К+ и /С* не обязаны
быть комплексно сопряженными в буквальном смысле слова.

252 Гл.9. Приложения
Таким путем получаем
= ехр [-
'2 '¦«
Здесь использовано частное значение ступенчатой функции
V°> -г-
С другой стороны, положив
мы получили бы
Г
= ехр -Ар<л V
1
В связи с этими формулами стоит заметить, что столь
повышенное внимание к средним значениям не лишает нас
возможности вычислять и индивидуальные вероятности пере-
перехода. Действительио, пусть иас интересуют вероятности
переходов между отдельными стационарными состояниями ос-
осциллятора. Введем операторы проекций на эти состояния,
выразив их через у и у . Средине значения названных про-
проекционных операторов как раз и дают искомые вероятности.
Как известно, оператор
Рп = \п><п\
изображается матрицей

Гл.9. Приложения - 253
и, следовательно,
со
Здесь точка с запятой обозначает упорядоченное в указан-
указанном смысле произведение операторов. Удобно ввести произ-
производящую функцию для этих операторов :
Заметим в связи с этим, что
l«*P ..(l-*&fe.-**,-*r| о
?.„ n I Л=ц«о
Таким образом, выражение
] |х=
дает вероятность обнаружить осциллятор в п-и квантовом
состоянии, если на него действовала произвольная сила,
зависящая от времени, а в начальный момент мы имели тер-
термодинамическую смесь.
Чтобы вычислить выражение
заметим прежде всего, что
" (-ЛКл> - Г]ехр [

254 Гл.9. Приложения
Отсюда
дХ _ уП-а)
и, следовательно.
Здесь
в чем легко убедиться либо прежним путем, либо прямым
разложением в ряд. Таким образом.
]•
где
|у|2 = Udte**K(t)\2.
Обращаясь к использованной уже формуле для суммы полино-
полиномов Лагерра, мы получаем
р{пЛ.К) = A - e-e-Je-'tf-'expHyl^l - е"**)] х
Этот результат не только описывает физическую ситуацию,
в которой в начальный момент мы имеем термодинамическое
равновесие, но и позволяет получить производящую функцию
для вероятностей перехода между отдельными стационарными
состояниями осциллятора:
п?0
ехр[-|у|2A -
Этот результат (равно как и вытекающие из него формулы
для вероятностей перехода) уже был ранее получен в дру-

Гл.9. Приложения 255
гой связи ; здесь мы приведем лишь окончательное выраже-
выражение
Л / Л П —I» г (ч ~П ) л 1* 1~1*
р(п,п',К) = ^
где л и л - соответственно большее и меньшее из целых
чисел л ил'.
Легко вычислить также и вероятности перехода в со-
состояния непрерывного спектра эрмитового оператора
¦ т
q = (у + у J/VJ или р = -/(у - у )/V5 .
Для этой цели положим X = ц = -р' /V5; тогда
где
Умножая предыдущую формулу на exp(-ip'q') и интег-
интегрирую по р'Х2п в пределах от -ш до -н», мы получаем сред-
среднее значение б-функцнн, &[q(t.)-q'']> те- вероятность
найти значение q(t^) в единичном интервале около точки
»1/2
p(q',tvfi.K)
Обратим внимание на еще один способ вывода формулы
для термодинамических средних. Именно, пусть теперь об-
обратное движение во времени заканчивается в другой момент
/' = /,- Г. Будем рассматривать соответствующую функцию
преобразования как матрицу и вычислим отношение следов
SSchwing*r J.yy PhysRev. - 1953. - V.91. - P.728. (Перевод: Швиигер Ю. Теория
квантованных полей. - М.: ИЛ, 1956. - Гл.2).

256 Гл.9. Приложения
которое обращается в единицу в отсутствие внешних сил.
Согласно принципу действия, зависимость от величин /С+@
и K+(t) по-прежнему входит через операторы y+{t). y^t).
Связь последних с силами дается решениями уравнений дви-
движения, в частности
У_«>2) = е-**>-Ч y+(t2) -
'1 / '1
- if еие***-*1>КМ) + i\ dt^t~ti)K (t).
j +x ' J -v '
Заметим далее, что из структуры следа вытекает следующее
граничное условие
Действительно, рассмотрим выражение
Здесь операторы а, определяющие выбор представления,
произвольны, с тем лишь условием, чтобы они не завнсили
явно от времени. Мы имеем
<a't'2\y_(t2) = l<*'\y\a"><a~t'2\
а',а»
Это и есть искомое граничное условие.
Начальное условие теперь принимает вид
и, пользуясь принципом действия, мы получаем для отноше-
отношения следов
ехр [-*•]<« dt' K*(t) G0(t-t')K(t')] x
fcli dt

Гл.9. Приложения 257
Здесь временные аргументы К+ и К_ изменяются соответст-
соответственно в пределах от I, до ^ и от t'2 до /,. В нашей кон-
конкретной задаче, функция K_(t} обращается в нуль в интер-
интервале от t'2 до t2, так что все интегралы по времени можно
вычислять в пределах от t2 до ty Тогда, поскольку
<Г2| = </2|е"*<^-4>", п =
полученное выражение будет равно
Поскольку это отношение сохраняет смысл при замене
-iT -> Э > 0 ,
получаем искомый результат
9.3. Внешняя система
Закончив предварительное исследование осциллятора
как такового, обратимся теперь к интересующей нас кон-
конкретной физической задаче — задаче об осцилляторе при
наличии заданных внешних- сил, слабо связанном с некото-
некоторой макроскопической внешней системой. Воздействие внеш-
внешних сил иа осциллятор и его взаимодействие с макроскопи-
макроскопической системой будем описывать выражениями, линейными
по координатам осциллятора, иначе говоря, выберем опера-
оператор Лагранжа в виде
Здесь ?внеш относится к внешней системе, Q(t) - эрмитов
оператор, действующий на переменные этой системы.
Начнем с рассмотрения функции преобразования
*±, описывающей в начальный момент внешнюю сие-
¦„¦
тему в состоянии термодинамического равновесия при тем-
температуре 0 и, независимо, осциллятор в равновесии при
9 Ю.Швннгер

258 - Гл.9. Приложения
температуре 0Q. Температуру #0 можно понимать либо бук-
буквально, либо просто как параметр, с помощью которого
удобно вычислять средние значения для отдельных стацио-
стационарных состояний осциллятора. Чтобы исследовать взаимо-
взаимодействие между осциллятором и внешней системой, припишем
члену взаимодействия переменный параметр X и составим
производную
-i(t21 [dt
'2)X±.
Различие между прямым и обратным путями развития во вре-
времени возникает здесь только за счет различия внешних сил
K+(t), действующих на разных участках замкнутого во вре-
времени пути. Условие макроскопичности внешней системы на-
находит свое выражение в предположении, что состояние по-
последней лишь незначительно меняется за счет взаимодейст-
взаимодействия с осциллятором. Соответственно в первом приближении
операторы Q+(t) можно заменить просто числом <0@>ф- В
этом приближении удается выявить лишь сравнительно три-
тривиальные эффекты; поэтому будем считать, что
<<?(')>,= 0.
Это заставляет нас перейти .к следующему приближению.
Составляя вторую производную по \, имеем
/±
Предполагая, что состояние макроскопической системы мало
меняется при возмущении, получаем приближенно
'2
v*±

Гл.9. Приложения 259
где
4t-t') = Г)]4>*
и отброшены все члены, содержащие y(t)y(t') и
у (t)y (f )¦ Последняя аппроксимация обусловлена предпо-
предполагаемой слабостью взаимодействия осциллятора с внешней
системой: за много периодов, необходимых для накопления
эффекта возмущения, величины с временной зависимостью
вида exp [±iu>Jt+t')] будут подавлены по сравнению с за-
зависящими от времени по закону exp[±t<i>Q( {-{')]. Выясним
теперь, какой член в операторе действия (относящемся к
замкнутому пути осциллятора во времени) обуславливает
это приближенное значение величины C/ЗЛ) <7„|О при
Л=0. Для полного действия, удовлетворяющего этому усло-
условию, мы находим (полагая Л =1)
w = j <tt|[//|jf - %yfy
'.
- у Л*' )y+(t)A+_(t-t') + 0/f( W)] _A_(t-f)].
Применяя к этому выражению принцип действия, получаем
нелокальные по времени уравнения движения
1Ш+-ыУ+Ч dt' \К^-1' Уу+«
'2
'-1} dV
'2
а также
t
М dt' till*
ll*')AJL*'-*)-?(*'

260 Гл.9. Приложения
Последние два уравнения получаются из первых с помощью
формальной операции сопряжения и перестановки индексов
плюс и минус у операторов и у функций K(t). Обратим вни-
внимание еще на одну полезную пару уравнений:
1, .
'^^/-/') + AJLt-ГУ} х
Здесь
-'') - - {A-Jt-П -
Нелокальный характер полученных уравнений не играет
большой роли, если, например, в макроскопической системе
корреляция между значениями Q{t) н Q(t') исчезает, когда
величина \t~t'\ еще мала по сравнению с периодом коле-

Гл.9. Приложения 261
баний осциллятора. Действительно, при малых интервалах
времени функция y(t) ведет себя приближенно, как
ехр(—&tf); поэтому матрица A(t—t') в рассматриваемом
случае эффективно заменяется на
¦на
и уравнения движения принимают вид
(а )+ О - +
Здесь
[Л() 4()] = и
и -
о(и) = v4 (и) + А (о).
Заметим, что i4+_(w) и i4_+(w) - вещественные положитель-
положительные величины. В самом деле,
|г/2 "It т/2
Г Ле**«0 Г dte~MQ(t))
-г/г J -г/2 7
Отсюда, в частности, следует, что
а(ь)) = а(-ы) г о
Кроме того, из соотношения
вытекает, что величина
Л (и) - i4. (ю)

262 Гл.9. Приложения
вещественна. Далее
где
и, следовательно,
-i [Л++(ь>) - Л_(о)] = i ? J 5%^, у(с').
-00
Таким образом, ш оказывается вещественной величиной:
До сих пор мы не делали никаких предположений о характе-
характере усреднения в макроскопической системе. Допустим те-
теперь, что оно является термодинамическим:
^ = С Тг е~*иХ , С = Тге~э//,
где И — оператор энергии внешней системы. Тогда средине
значения будут удовлетворять условию
= С Тг e-*H
Здесь использовано формальное равенство
e~$MQ(t)^" = Q(t+ip).
Производя преобразование Фурье по времени, получаем от-
отсюда явное соотношение
и, следовательно.

Гл.9. Приложения 263
Это - четная положительная функция и. Отсюда следует,
что
а(и) th Щ s 0 при |3и > О ,
т.е. иными словами,
Окончательный результат этой части расчета состоит в
том, что нам удалось полностью исключить нз рассмотрения
внешнюю систему как динамическое образование. Мы получи-
получили эффективные уравнения движения для у+ и у_ , содержа-
содержащие заданные внешние силы и три параметра: круговую час-
частоту и (ям), у и а; последние два не независимы, коль
скоро задана температура макроскопической системы. До-
Дополнительные условия имеют вид
а также (если в начальный момент мы имеем термодинамиче-
термодинамический ансамбль)
yjt2) = exp[!30o]i,+(*2).
Далее,
t
) = if dt*<?-«'-%Jt-t')[KМ'У-К+УУ} .
откуда вытекает начальное условие для второго уравнения
движения:
у+«2) + v(«2) - cth f j
'2
Искомое решение имеет вид
= J dt'e-to'

264 Гл.9. Приложения
Соответствующие выражения для у\ получаются перестанов-
перестановкой индексов + и — в формально сопряженном уравнении.
Полученные формулы опнсывают дифференциальную зави-
зависимость функции преобразования <*„|О*± от внешних
*о*
сил; явная формула получается отсюда интегрированием и
имеет вид
о
Здесь
. ,, ,/х Г п+1 -п I
<V'-'*'''-V = е + 1?+('-'')I -п-1 n J
-n-1 п+1
где no = <n>, n = <п>.. Этот результат можно выразить
о
и иначе, а именно
"О
= е"
-" 1 +
-п-1 Tijt-i')+nj
- „,(.! -1]

Гл.9. Приложения 265
Проще всего, однако, рассматривать G как решение диффе-
дифференциального уравнения
Г п -я
[-п-\ я+
где символ сГ означает оператор дифференцирования, дейс-
действующий налево; начальное условие имеет вид
(пп+ \ -яп 1
1 1 •
""о" х яо+ 2J
а граничные условия суть
То же уравнение можно представить в более симметричном
виде:
виде:
Я + п- "Я
я
Заметим, что сумма всех элементов матрицы G равна нулю.
Далее, из равенства
-(? J]c('vr(? J] = са^'
вытекает, что комплексное сопряжение действительно при-
приводит к перестановке двух сегментов замкнутого во време-
времени пути; это равенство означает, что
-G(t', t)l_ = G(t, f)+_ , -G(t', t)Z+ = G(t, f )_^ ,
-G(t',tf_ = G(t,t'\.

266 Гл.9. Приложения
Заметим, что функция . G (/—*„,f'—f,) ие зависит от *„
о
(и представляет собой функцию разности t-t'), только
если
Это, очевидно, соответствует случаю, когда в начальный
момент осциллятор находится в термодииамическом равнове-
равновесии с внешней системой при температкре Ф0=Ф > 0; в от-
отсутствие внешних сил это равновесие ие нарушается. Если
в начальный момент термодинамического равновесия .нет, то
оио установится с течением времени и будет соответство-
соответствовать температуре макросистемы Ф>0. Таким образом, на-
начальная температура осциллятора ие оказывает влияния на
поведение функции G At-to,t'-t0), коль скоро при за-
о
данном значении t-t'
> 1 .
Закон релаксации начальной энергии осциллятора можно вы-
вывести из соотношения
он имеет вид
Пользуясь указанным ранее приемом введения дельтаобраз-
дельтаобразных сил, действующих в момент времени ty можно получить
более общий результат:
+ Aj ette^'r^/CV) - Mj
i

Гл.9. Приложения 267
Эта- формула позволяет найти целый ряд средних значений и
функций распределения.
Приведенная выше выкладка иллюстрирует одно общее
свойство матрицы G(t,t'), связанное с отсутствием зави-
зависимости от момента времени ty Действительно, этот ко-
конечный момент времени отнюдь не обязан явно входить в
функцию преобразования </2|/2> ±, и все интегралы по
времени можно брать в пределах от t~ до -н». При этом под
t. следует подразумевать момент, после которого исчезает
различие между К, и К_, и функция G не должна зависеть
от каких-либо моментов времени, больших t.. Так, напри-
например, в нашем случае введение дельтаобразной силы в мо-
момент времени t. приводит к члену
00
$dtG(trt2, t-t2) x(t),
в котором функции /С+ и К_ уже отождествлены между собой.
Следовательно, должны выполняться равенства
G(t.t')[ 1 ) = 0. Г > t,
A 1) G(U') = 0, t > f .
Они означают, что складывая соответственно столбцы н
строки матрицы G(t-t'), мы получаем запаздывающие и опе-
опережающие функции аргумента t—t'. В обоих случаях сумма
двух элементов должна равняться нулю. Справедливость
этих утверждений в. применении к вычисленной ранее матри-
матрице G^Jit—t-.t'-tq) легко проверить непосредственно; в
о
общем случае они вытекают из операторного представления
<&/(')</V))J>
Действительно, как мы уже видели в связи
Q-произведениями,
V \ = y(t)y\f) - Л

268 Гл.9. Приложения
Между прочим, из только что полученных формул вытекает,
что
Еще одно общее свойство матрицы G, также иллюстри-
иллюстрируемое предыдущими соотношениями, состоит в положитель-
положительной определенности величии —G{/,*').,_:
= (t2\[jdtK(t)y(t)]
Как мы видели.
Очевидно условию, положительной определенности здесь дол-
должен удовлетворять каждый член в отдельности. Для первого
члена это тривиально:
= |j<fte-<w+('-<2)/C@|2> 0;
второй член также обладает требуемым свойством, что вид-
видно из формулы
2 " sin <*'(t-t ) sin o'(t'-t )

Гл.9. Приложения 269
Все полученные ранее результаты, касающиеся свойств
осциллятора, удобно представлять, введя в рассмотрение
силы
K±(t) = А±@ + K(t), Kl(t) = МО + K*(t)
и описывая влияние членов Л+A) и М+@ с помощью хроно-
хронологических произведений:
jdtdt'K*(t)<TlaJt-t">TiJt-t')[\+(t') - \Jt')] -
Эта формула позволяет иепосредствеиио вычислять средние
значения произвольных функций от y(t) и у (t). Менее яв-
явный, но зато более простой результат можно получить, со-
составляя средине значения функций от операторов
- K(t) = К ft).
Заметим прежде всего, что
0 ,
и, следовательио, флуктуации величии y(t) и у (t) можно
приписать влиянию сил К, и К.. Последние представляют
собой, таким образом, квантовый аналог случайных сил,
фигурирующих в классической теории броуновского движения
по Лаижевеиу. Чтобы перейти к этой новой точке зрения,
надо ввести величины

270 Гл.9. Приложения
Простоты ради мы будем считать, что функции u(t), v(t)
обращаются в нуль на границах области интегрирования (по
времени). Тогда, интегрируя по частям по t, мы заменим
операторы у, у соответственно на К» К..
Чтобы выполнить эту программу, докажем следующую
лемму о хронологических произведениях:
. в]}
Написанное равенство справедливо, если операторы
[j4(f).B@] и \dB(t)/dt,B(t)] коммутируют со всеми ос-
остальными; делается также несущественное допущение, что
функция B(t) исчезает на границах области интегрирова-
интегрирования. Доказательство легко получить, заменяя B(t) иа
\B(t) и дифференцируя по Л:
К
Далее, HHterpHpyn по частям, имеем,- принимая во внимание
сделанные предположения,
' L
*2 *2
*2 '2
Интегрируя получающееся дифференциальное уравнение, при-
приходим к искомому результату.

Гл.9. Приложения 271
Значение леммы легко уяснить себе с помощью преоб-
преобразования
* * ф ^f- vy) .
Отсюда сразу видно, что соответствующий коммутатор кра-
теи единичному оператору:
+ IjB, В] = -i\Xyf+ \uj, uy*- vy] = -Him +
В последнем преобразовании отброшена полная производная,
не дающая вклада в окончательный результат. Чтобы вычис-
вычислить коммутатор [А,В], вспомним, что представляют собой
величины К, и К,. Согласно истинным уравнениям движения,
К ft) = «*Ж«ь-ю+>»@ • к)& = ;O(O-K«b-«L)»t(O.
и тогда
Это выражение также пропорционально единичному операто-
оператору. Соответственно
(exp[-ijdt(Ау++лу]]]+= (exp[-ijdt{и {K*+K])+v (/С+/С;])]]
Комплексно сопряженное выражение дает аналогичный ре-
результат для аитихроиологического произведения.
Пользуясь теперь дифференциальным уравнением для
функции G, находим
tf
\t^f = exp[-jdtv(t)Ku(t)] ,
*]] \^f [j

272 Гл.9. Приложения
где
Элементы этой матрицы можно представить также в виде
K&(t-t')
-<Kf№)(t')>
Эти средние значения представляют собой окончательный
результат, описывающий свойства осциллятора в условиях
применимости использованных нами аппроксимаций.
Заметим, что когда число п достаточно велико и все-
всеми прочими величинами можно принебречь, то
при этом порядок следования операторов в произведении
становится несущественным, и мы получаем классический
предельный случай: '
Мы заменили здесь и+— и_ на и, a v — о_ на и. Вводя ве-
вещественную и мнимую части случайной силы
'*, - J: С^С, + «2) . ^f =v| С*, - iK2) .
получаем классический результат в виде
Флуктуации в различные моменты времени здесь неза-
независимы. Рассмотрим среднюю (по времени) силу
К = хг

Гл.9. Приложения 273
Беря соответствующий Фурье-образ, находим
А'Г, 2+ К'2
Это есть гауссово распределение вероятностей того, что
значение силы, усредненной по интервалу времени А/, бу-
будет лежать в малой окрестности точки К'- В этом класси-
классическом предельном случае дисперсия а связана с множите-
множителем затухания у и макроскопической температурой Ф с по-
помощью соотношения
Наши упрощенные уравнения можно применить также к
случаю, когда внешняя система ие находится в состоянии
термодинамического равновесия. Для этой цели обратимся к
вещественным положительным функциям А_+(ы), А^ (»), опи-
описывающим внешнюю систему, и заметим, что в общем случае
Это свойство удобно выразить, полагая
где Э(ю) - вещественная четная функция, которая может
принимать значения от -оо до +оо. Коль скоро играет роль
только одна частота ы, все мыслимые характеристики внеш-
внешней системы можно свести к одному параметру Э; величина,
ему обратная, играет роль эффективной температуры макро-
макроскопической системы. Новая физическая ситуация, которая
может возникнуть при этом, характеризуется отрицательной
температурой C<0. Поскольку константа а по сути дела по-
положительна, знак должна изменить величина у:
При этом взаимодействие осциллятора с макросистемой при-
приводит ие к затуханию, а к усилению его колебаний.

274 Гл.9. Приложения
Рассмотрим следующую последовательность событий.
Пусть в момент *2 на осциллятор , описываемый термодина-
термодинамической смесью состояний при температуре $_, начинают
действовать внешние силы, причем действуют они в течение
времени малого по сравнению с \/\ц\. По истечении интер-
интервала времени ~С']-'2). достаточно продолжительного для
того, чтобы усиление стало весьма большим, т.е. чтобы
стало справедливым неравенство
произведем измерение (в момент, близкий к t{). Результа-
Результаты всех возможных измерений содержатся в общей формуле
для средних значений. Аппроксимации, отражающие данную
физическую ситуацию, сводятся к следующему:
\dtdf [м+@ - м_
ffe*" [X+(t') - \Jt')] ,
и, далее.
x \dt Di+(O-H_(O]е-*"]Л' \X+(t' )-\Jt')]е"'.
Поскольку сюда входят только комбинации д - д = д,
Л - Л_= Л, некоммутативиость операторов больше не играет
роли: осциллятор возбужден до классического уровня. Что-
Чтобы выразить результаты наиболее простым путем, положим
оэ

Гл.9. Приложения 275
Полагая, далее,
и = fcJ<tteto'A(O , v =
получаем результат, не зависящий от времени
<е-«+<Ъ = ехр [-
Отсюда следует, что
- 0 .
Таким образом, координата осциллятора {/(/) представляет
собой усиленную суперпозицию двух гармоник. Одна из них
обладает определенной амплитудой и фазой ("сигнал");
другая же характеризуется случайными амплитудой и фазой,
распределенными по двумерному гауссову закону ("шум").
Эти соображения относительно усиления можно рас-
рассматривать как примитивную модель мазера , в которой ос-
осциллятор соответствует одной из волновых мод полого ре-
резонатора, а внешняя система - ансамблю атомов. В послед-
последнем должна быть тем или иным способом осуществлена ин-
инверсия населениостей для некоторой выбранной пары уров-
уровней (этого можно добиться, например, с помощью простран-
пространственного разделения или электромагнитной накачки).
9.4. Улучшенная трактовка
В этом разделе мы попытаемся снять некоторые
введенные ранее ограничения. Чтобы рассматривать осцил-
осциллятор с нелокальным по времени взаимодействием, удобно
перейти от неэрмитовых операторов к эрмитовым. Соответ-
Соответственно начнем все с начала, записывая теперь оператор
Л а гран жа в виде
Аналогичную модель недавно рассмотрели Сербер и Таунс(Serier R ,Townes C.H.
//Symposium on Quantum Electronics. - N.Y., 1960).

276 Гл.9. Приложения
величина Q теперь отличается от прежней постоянным мно-
множителем. Можно было бы включить сюда и заданные внешние
силы, зависящие от, скорости. Воспроизведем вновь прибли-
приближенный расчет функции преобразования <<9|О/Г± с по-
мощью эффективного оператора действия, учитывающего
только простейшие корреляции в макроскопической системе.
Эти корреляции описываются матрицей
Для оператора действия мы находим без дальнейших аппрок-
аппроксимаций
|J dtdf
Соответственно, .уравнения движения будут (мы записываем
их в виде уравнений второго порядка, исключая р с по-
помощью равенства p=dq/dt):
[d2
[dt2
и
[
Заметим, что операция сопряжения эквивалентна переста-
перестановке индексов + и -.
Положим
-iAjJt-f) =< [0@. W

Гл.9. Приложения 277
-lAa[t-f) = -< [Q@. Ф' )]>„Т)_('-'') » A++-A_^ Л+-" А~'
a(t-t')
Тогда наши интегро-дифференциальные уравнения примут внд
и
2 V
SI J df' Ar{t-t') [q+
2
+ i\dt'a(t-t')[q_(t')-q+(t'I = F+{t)+FJt)
Граничные условия суть
ch
sh Powo + 5/ ch
или в более удобной форме
Эти граничные условия заменяют аналогичные условия в
случае неэрмитовых переменных:
y_(t2) = % !

278 Гл.9. Приложения
Заметим, что в эти выражения входит иевозмущеииая собст-
собственная частота осциллятора aQ, так как в начальный мо-
момент мы имеем термодинамическую смесь иевозмущеиных со-
состояний осциллятора.
Искомое решение уравнения для q_-q может быть за-
записано в виде
\dt'Ga{t-t')[F_{t') -
+00
где Ga(t-t') - действительиая функция Грина, определяе-
a
мая уравнением
B4 +ю
d ЛI г
di2 °J e _„
и граничным условием
G(t-t')=O, t>t' .
a(
Здесь мы ввели момент времени ^, начиная с которого
разность F_- F+ обращается в нуль. Граничные условия для
второго из написанных уравнений имеют вид
q+(t2)+qjt2) = i cth -ipj d^
° '2
*
Соответствующая функция Грина для уравнения, которому
удовлетворяет сумма q++ q_, определяется равенством
-JL + «J\Gr(t-t')- $dTAr(t-T)Gr(T-t') = d(t-t'),
J —00
GJJt-t') = Q, t<t'.
Две вещественные функции Сд и Gf связаны соотношением
GJt-Г) = Gf{t'-t).

Гл.9. Приложения 279
Искомое решение второго из дифферециальных уравнений
имеет вид
00
qAt)+q (/) = Г dt'G(t-t') [F(t')+F (t')l -
0°
- ij dt'w(t-t2,t'-t2) [F_(t') - F+(t')],
где
00
w{t-t2,t'-t2) = J dxdT'Gr(t-T)a(T-T')Ga(T'-t')+
Очевидно, wff—tpt'—t-) есть вещественная симметричная
функция своих аргументов.
Отсюда вытекает следующее уравнеие для функции пре-
преобразования:
SF±<t2\t2>F± = i(t2\jdtFF+q+-6F_q_\t2) =
решение его есть
¦n\dtdt'lF_(t) - F+@] G (t-f) x
*[F+(t') + F_(t')] - \ldtdt'[F_(t)-F+(t)]x
xw(t-t24t'-t2)
Это можно записать также в матричном виде

280 Гл.9. Приложения
где
^I-l -П
Матрица G удовлетворяет соотношениям
о
G\t',t) ш G(W),
и элементы ее имеют вид
о
Заметим, что
Gr(t-t') =
Видно также, что сумма столбцов G пропорциональна функ-
функции G (t—f), а сумма строк — функции Ga(t—t').
Предположим, что при t-t'-*to функция GJ^t-t1) воз-
возрастает не быстрее экспоненты, е"^ ~* '. Тогда в верхней
полуплоскости при
Im С > «
существует фурье-образ
со
-со
В явном виде мы получаем

Гл.9. Приложения 281
где
00
или, поскольку разность Л —А есть нечетная функция ь>.
7 д. *с^
- J "ж
Как уже отмечалось, в самом общем случае можно написать
Соответственно положим
th
откуда
7
- J
7 ца(Ь)) th
о
Будучи четной функцией С это выражение представляет
также фурье-образ функции G в нижней полуплоскости
Если ' эффективная температура для всех частот поло-
положительна и конечна (?(о>) > 0), то величина G(Q, рас-
рассматриваемая как функция С > не может иметь полюсов в
комплексной плоскости С ¦ Действительно, наличие полюса
в точке С2 = x+iy, у*0 означало бы, что функция G~'(C)
в этой точке обращается в нуль, откуда с необходимостью
вытекает равенство
!

282 Гл.9. Приложения
Это, однако, невозможно, так как величина в квадратных
скобках заведомо больше еднннцы. Устремляя у к нулю, ви-
видим, что функция G(C) может нметь полюс в точке
х = о)' > 0, только если а(о)') = 0. Если система за счет
взанмодействня с осциллятором может отзываться на любую
частоту, то прн всех и> а(ч) > 0, н на положительной ве-
щественной полуоси ? полюсов быть не может. Что касает-
касается отрицательной вещественной полуоси, то прн С2 = *
функция С (С) монотонно убывает от +оо (прн х=— оо);
следовательно, она не может обращатся в нуль прн * < 0,
если она еще положительна прн х = 0. Соответствующее
условие имеет внд
о
Прн указанных условиях а = 0, ибо функция G(Q не имеет
других особенностей, кроме линии ветвления на положи-
положительной вещественной полуоси ? . Иначе говоря, в плоско-
плоскости С все особенности G(Q лежат только на вещественной
осн. Это можно явно выразить, полагая
Л
где В(ч ) — положительная величина:
Рассматривая асимптотику функции G(C), можно получить
некоторые интегральные соотношения. Так,
00 00
J d(j?B(u?) = 1 , J
о

Гл.9. Приложения ' 283
и, далее,
00 00
0 О
с другой стороны, полагая ?=0, мы имеем
Чтобы найти функцию Грина, надо лишь выполнить об-
обратное преобразование Фурье:
контур интегрирования надо провести в той полуплоскости,
где данная функция G(C) регулярна.
Таким образом,
Gr(t-t-) = J rtatf) s^W-t') %{t-t')
о
и
Указанные выше интегральные соотношения можно переписать
и в терминах временных функций Грина. Так,
с другой стороны, в предельном случае малых положитель-
положительных т имеем
sin ыпт _S
Gr<T> - s^- ~ h <['Q

284 Гл.9. Приложения
Это соотношение описывает влияние взаимодействия с внеш-
внешней системой в начальной стадии процесса.
Функция В((а) ограничена, и, следовательно, функции
Грина должны стремиться к нулю, когда \t—t' | -»ю. Это
означает, что с течением времени должно исчезнуть всякое
"воспоминание" о начальном состоянии осциллятора, и ве-
величина ?2 должна выпасть из соответствующих формул. При
достаточно больших значениях разностей t—t~, t'-t~ функ-
функция aiit-tpt'—t^) принимает вид
w(t-t') = fdTdT'Gr(t-x)a(T-T')Ga(T'-t') =
Но
и, следовательно,
00
w(t-t') = J du?B(v?) cth [^РФ)] 5 cos u(t-t').
о
Соответствующая асимптотика матрицы G(t—t~,t'—tA дается
выражением
oa
G(t-t') =• t
t-f
где
Это O3Ha4aet, что на всех частотах осциллятор находится
в равновесии с внешней системой. Коль скоро температура
не завист от частоты - это термодинамическое равновесие.

Гл.9. Приложения 285
Заметим также, что при температуре, равной нулю, я(ь>)=Ю,
и граничное условие для функции G(t—t' ) соответствует
выбору расходящихся воли: положительным (отрицательным)
значениям разности t-f отвечают положительные (отрица-
(отрицательные) частоты. Так же обстоит дело и для G(f-f')_;,
рассматриваемой как функция t'—t.
Теперь уже нельзя утверждать, что, полагая Э0=Э. мы
исключаем всякое влияние начальных условий. Для того
чтобы установилось термодииамическое равновесие при об-
общей температуре, должно пройти некоторое время. В ска-
сказанном легко убедиться, вычисляя производную по f_ от
функции w(t-t2,t'-t2):
= -Gr(t-t2) J dT'a(t2- T) Ge(T'- t') -
- J dxGf(t- т) а(т - t2) Ga(t2- t',)
00
00
Чтобы это выражение обратилось в нуль, интегралы, содер-
содержащие, например, Gf, должны представиться в виде линей-
линейных комбинаций функции G (t-tJ) и ее производной по вре-
времени. Это возвращает нас к приближенному рассмотрению
предыдущего параграфа, включая и приближенное отождест-
отождествление величины ь> с эффективной частотой осциллятора.
Таким образом, равенство Ф=Ф ие соответствует начально-
начальному условию термодинамического равновесия между осцилля-
осциллятором и внешней системой. Ясно, однако, что такая ситуа-
ситуация должна описываться матрицей G(t-t'), и желательно
вновь проделать всю выкладку, предполагая, что в началь-
начальный момент имеет место термодииамическое равновесие.

286 Гл.9. Приложения
Для этой цели воспользуемся уже известным нам прие-
приемом: вычислим след функции преобразования <('|Of±,
предполагая, что обратный во времени путь заканчивается
в момент t'2- t2-T * t2, и внешняя сила F_(t) равна нулю
в интервале между /„ н ti. Выгода от использования следа
станет особенно ясной, если составить производную по па-
параметру \, служащему мерой интенсивности взаимодействия
между осциллятором н внешней системой:
ft\ty± = i(t'2\{]ldtq+(t)Q+(t) -
- | dtq_(t)Q_(t) + Gx(t'2) -
Операторы G, порождают бесконечно малое преобразование
отдельных собственных функций (отнесенных к соответст-
соответствующим моментам времени), если эти функции принадлежат
операторам, зависящим от А. (например, полной энергии).
Однако это преобразование не -дает вклада в след, ибо
последний не зависит от выбора представления (предпола-
(предполагаемого одним и тем же в моменты t2 и t'2), н можно вы-
выбрать полную систему функций, не зависящих от \. Опера-
Оператор Gx(t'2) так же действует на функции <t'2\. как
- на <*2|; поэтому
0.
Таким образом, эффективный оператор действия можно вычис-
вычислять, как н раньше, меняя лишь соответствующим образом
пределы интегрирования по времени; кроме того, для внеш-
внешней системы следует положить
Тем самым предполагается, что
<Ф№2)> =
или, поскольку эти корреляционные функции зависят только

Гл.9. Приложения 287
от разностей времен,
'AJLt-tJ = AJLt-t'2).
Последнее равенство можно переписать также в виде
A_J[a) = e^^X^Ju).
Уравнения движения при t>t~ имеют вид
B -» со
J ^00
00
?_('')] + J dt'a(t-t') [q_(t')-q+(
Их нужно дополнить уравнением, описывающим поведение ко-
координаты q_(t) в интервале времени от t'2 до /„:
И + "^ Ч-W + 4 м'А—(*~*')яЛ*') =
ldt J "{'
2
00
= -i\dt'AJ,t-t'){q_(t')-qJt')l
соответствующее граничное условие имеет вид
Для разности q- q мы получаем, как и раньше,
+00
Я @-<7j0 = \ dt'G (t-t')[F(t')-F (*')];
-a

288 Гл.9. Приложения
в то же время
-н»
со
00 2
- 2iJ dxGr{t-T) J ittMJi-C)^') +
*ж
Здесь предполагается, что внешние силы равны нулю вплоть
до момента tT
Далее, по-видимому, проще всего исследовать зависи-
зависимость q++ q_ от t2 при заданном Т. Принимая во внимание
равенства
+00 ¦ +00
jdxAr(t-T)Gr(T-t') = ]dxGr(t-T)Ar(T-t'),
-00 -00
получаем
во
% "J dt'Gr(t-t' )Ar(t'-t2) [q+(t2
2 ; • . *,
00
+ 4jt2n + /J dt'Gr(t-t')a(t'-t2)lqJt2)-q+(t2)-\ -
*ж
oo
'2
Поскольку при положительных значениях временного аргу-
аргумента
а - 1Аг = 2А_+,
а + iAr = 2A^_,

Гл.9. Приложения 289
мы находим, что
vrto+V) + <rJ*yi = о.
Насколько полезен этот результат, зависит от того, стре-
стремится ли функция Грина к нулю при увеличении модуля вре-
временного аргумента. В последнем (в указанных ранее усло-
условиях) легко убедиться, производя замену Т -> /р. Тогда
можно совершить предельный переход /.-»-(», что приводит
к уравнению
-и»
w(t-t') = JrfrrfT'Gr(/-T)a(T-T')Ge(T'-/'),
-co
как н следовало ожидать.
Итак, мы нашли отношение следов
'2\t2y±= Tr(t'2\eiTH\t2)F±
Тг е'™
где Н — полный гамильтониан всей системы; подстановка
Т -»<Э дает, далее, функцию преобразования
*-" ехР [Ц**'FV)GJt-f)nn] .
где
') = \Gr(t-t') (_}_}
со
du)B(u?) cth
-co
Ю Ю.Швиигер

290 Гл.9. Приложения
Можно написать также
+00
w(t-t') = $dTC(t-T)lGa(T-t') - Gr(T-t')l
-00
где
+00
Отсюда можно получить явные выражения для средних значе-
значений в присутствии внешней силы F(t). Надо лишь положить
F±(t) = /±@ + F(t)
и учесть влияние операторов f+(t) с помощью хронологиче-
хронологических произведений:
= exp { ? j dtdf f(t) G?t-t') f(t') +
+ i I dtdf [f+(t) - fJt)]Gr(t-t')F(t')} .
Таким образом,
+00 .
<<*')>?= \dt'G^t-t')F{t').
а те свойства разности fl-<^>#, которые не зависят от
F, можно получить, полагая F=0 в соответствующей общей
формуле. В частности, мы вновь приходим к матричному то-
тождеству:
Л
J-
При этом соотношение между величинами w и Сд- Gr пред-
представляет собой не что иное, как просто связь между сред-
средними значениями антикоммутатора и коммутатора:
+00
-о»

Гл.9. Приложения 291
Помимо отношения следов, которое дает нам среднее термо-
термодинамическое значение функции преобразования <*1*^
можно вычислить также и след
= Тте1ГН -» Tr
Последний описывает энергетический спектр всей системы,
а следовательно, и все термодинамические свойства ос-
осциллятора, находящегося в равновесии с внешней системой.
Чтобы явно найти этот след, положим F+=0 при t>t2; с
другой стороны, в промежутке времени от ti до /„ пусть
действует произвольная внешняя сила F_(t). Далее, в
член, описывающий взаимодействие системы с осциллятором,
в эффективном операторе действия включим переменный мно-
множитель Л (ранее обозначавшийся через Л2). Получим
'21 J dtdt'A_(t-f)(q(t)q(t'))_\t\
Здесь величина qjt) должна удовлетворять уравнению дви-
движения
и граничным условиям
представляющим собой не что иное, как условия периодич-
периодичности с периодом T = t'2-t2. Решение этого уравнения
имеет вид
qjt) = fdt'G(t-t')F_(t').
'i
10"

292 Гл.9. Приложения
где функция Грина G удовлетворяет уравнению
| _й! + и2, I G(t-t') + A fdTA_(t-T)G(T-t') = d(t-t')
[ dt J ti
н условиям перноднчностн. Теперь в дифференциальном
уравнении для следа можно положить F_= О, что дает
^ In Тг<*'21 /д> - - ^ fdtdt' A_(t-t' )G(t-f).
Функцию Грина, удовлетворяющую условию перноднчностн,
можно представить в виде ряда Фурье
С(л).
- t_
n=-eo
где
G(n) =
и
При этом следует помнить, что
ААы) = е-**А (и).
н, следовательно, подынтегральное выражение не имеет
особенностей в точках ыГ = 2тг|л|.
Таким образом,
fen.Tr-11 то(п)=-\дш J
Принимая во внимание начальное условие при Л = О,
I «п+1/2>«Г = (Тг)
Ц
2 si n 2

Гл.9. Приложения
293
находим
in J»er I 2n?-« L «5-
2 sin
Ранее уже была введена функция
«rta '¦*-С - JЧ
и были исследованы некоторые ее свойства при вещест-
вещественных н положительных значениях А ((А) н А (и). Мы мо-
можем вернуться к ией, полагая Т ¦* ifi\ тогда
Z ш Тг е
3"
e2 sh
Эта величина существует прн всех Э > 0, если G^) >
при всех С# Для которых С2= ~{2ял/РJ, т. е. на всей
отрицательной полуоси
че говоря, неравенство
включая начало координат- Ина-
ИнаG~\0) > О
представляет собой условие устойчивости.
Для вычисления суммы по л удобнее всего дать другое
представление функции ln(G~ (С,)/- С )• В плоскости ?2
все ее особенности лежат на линии ветвления 0^ С2<о; при
С ¦¦• исследуемая функция обращается в нуль в разрезан-
разрезанной плоскости. Следовательно, можно написать
при этом частное значение
= п
отражает наличие полюса функции G (?2)/(-С2) в точке
<2= 0 . Сравнивая это с прежним выражением для G~1(?)>

294 Гл.9. Приложения
получаем
со
00
Jdur а(т) t h
откуда
CO
Правая часть этого равенства положительна при ь> -»0;
следовательно, при ь>*0 функция <р(ы) стремится к и снизу.
Далее, если а(ь>)>0 при всех ы, то
п 2 Мы) > 0 ,
причем нижний предел достигается при ь>-»со.
Сравнивая асимптотические выражения для G~1(C). ви-
видим, что
о
в то время как
Производную от фазы по частоте можно ввести и непосред-
непосредственно в формулу для G~'(C):

Гл.9. Приложения
295
Приравнивая теперь два выражения для G @), находим
'"о2 = ш[«5-J^ib-tf
Итак, мы имеем'
™
Г2яп
2irn
l"P"J
2 •
Пользуясь представлением гиперболического синуса в виде
бесконечного произведения, можно получить формулу сумми-
суммирования
+оо
2itn"
IS
~Р~
2
2
= In
J6
n—ее
С ее помощью находим окончательно:
со
sh
Второй сомножитель здесь описывает осциллятор, свойства
которого изменены в результате взаимодействия с макро-
макроскопической внешней системой. Средняя ' энергия осцнлля-
,-1
тора при температуре Ф=|3 есть
Пользуясь этой формулой, следует помнить о температурной
зависимости фазы <Р(ы). В предельном случае высоких тем-
температур, когда для всех существенных частот uf3«l, мы
имеем
Е * 31
и простой классический результат ?=Ф получается, если
величина <Q >. пропорциональна iJ. Энергия осциллятора

296 Гл.9. Приложения
при абсолютном нуле температуры дается формулой
при этом вклад осциллятора исчезает.
Простая модель, рассмотренная в предыдущем парагра-
параграфе, соответствует следующей ситуации. Пусть функция а(ы)
заметно отлична от нуля вплоть до частот, больших по
сравнению с 0)Q, и пусть вместе с тем a(b>)th(uf3/2)«ы?.
На значения а(ы) при частотах, превышающих ioQ, наложим
только условие отсутствия быстрых изменений и условие
устойчивости. Последнее, вообще говоря, выполняется,
если
о
Будем считать, что условие устойчивости удовлетворяется
с запасом, так что правая часть формулы для ctg<p(a)) при
достаточно низких частотах составляет заметную долю ug.
Тогда tg<p при таких частотах очень мал, т.е. <р(о)) ~ п;
так будет обстоять дело, пока мы не достигнем непосред-
непосредственной окрестности частоты ays a>0, такой, что
Заметим, что рассматриваемая функция Re G~\w+iO) дейст-
действительно должна иметь нуль: она положительна при ы = 0 и
асимптотически стремится к —ю при неограниченном возра-
возрастании частоты. В указанных условиях главный вклад в
интеграл дает область высоких частот, и, следовательно,
нулевое значение достигается в точке

Гл.9. Приложения 297
Несколько более точная формула для ш, имеет вид
где
оо
Как мы увидим, значение В меньше единицы, но в принятых
предположениях лишь незначительно.
Вблизи точки (О. уравнение для фазы <р(ы) приближенно
принимает вид
- \ а(ы,) th Н-1 ctg <р(и>) = В~Ц- ы2) ,
т. е.
где, по определению,
1 th
у
Таким образом, когда частота увеличивается, проходя
значение ы., фаза резко уменьшается от ~ л до ~ 0. В да-
дальнейшем она меняется сравнительно плавно, постепенно
приближаясь к нулю при ы-хя. Среднюю энергию осциллято-
осциллятора легко вычислить, если интервал частот и> > w, где фу-
функция a((i)) заметно отлична от нуля, таков, /Зо>»1. В
этой области не должно наблюдаться заметной температур-
температурной зависимости; в частности, величина и>. практически не
будет зависеть от температуры. Тогда, замечая, что вблн-

298 Гл.9. Приложения
зи u-Uj функция -(\/n)(d<p/dio) « 8(ы-@.), мы получаем
приближенно
>«.
Эта формула описывает обычный осциллятор с частотой ы. и
со сдвинутым началом отсчета энергии.
Заметим, что если фаза <р(и>) очень мала при часто-
частотах, несколько превышающих о>., и обращается в нуль при
(i) -»оо, то
1
I
Соответственно
00
2
^ « | Г da) о)ф((|)) > 0 .
><•>.
Из последнего соотношения следует, что действительно
В < 1. Несколько более точная формула для В имеет вид
оо
= exp[ -
Пусть, далее, главный вклад во все указанные интег-
интегралы происходит от области частот вблизи п»u>Q. Тогда

Гл.9. Приложения 299
годятся грубые оценки
*J
- f < " f
12
'~ I— « 1 •
При этом ни сдвиг энергии, ни отклонение множителя В от
единицы не существенны.
Приближенное представление функции Re G~\o + <0) в
виде B~\(J^— ur), очевидно, справедливо при частотах от
нуля до некоторого верхнего предела, заметно превосходя-
превосходящего W.. В этом интервале частот мы имеем
или
где
th
= J Ba(w)
Если, в частности, (За), с 1, то соответствующие частоты
попадают в классическую область, и функция f превращает-
превращается в константу, не зависящую от частоты:
7 = \ Ва@)Р.
В случае квантового осциллятора величину f можно
считать постоянной только в достаточно узком интервале
частот вблизи о>.. Функцию В(ь?) можно вычислить из соот-
соотношения
2 i _В 1

300 Гл.9. Приложения
Это дает
(w2- J\J + (уыJ v I w*+ jyw - w2
Ограничиваясь, далее, непосредствеииой окрестностью точ-
точки «j, когда | cj — CJj | ~ у, находим
1 „
S 1 2" *
(ш - WlJ+ ( J у]
Таким образом, основной вклад - в разность 1 - В вносит
интеграл Г db? В(ь?), взятый по области шириной у вблизи
„точки резонанса" <<>,. Такой же результат, правда, можно
было бы получить, не делая последней аппроксимации.
Остальная часть разности 1-6 в рамках принятых предполо-
предположений происходит от частот, значительно превышающих ы..
Аналогичным образом можно представить и выражения
для функций Грина. Так, при t > t'
Gr(t-t') « в]
T J
or tyw + or
—00 1
00
Второй („высокочастотный") член быстро убывает с увели-
увеличением, разности t-t' (характерное время г 1/Wj). Соот-
Соответственно, пользуясь функцией Грина, например при вычи-
вычислении интеграла
оо
J dt'G?t-t')F(t')
и считая, что внешняя сила меняется сравнительно медлен-
медленно, мы можем написать для вклада от «высокочастотного"
члена:
F(t) ] d{t-t') J Л*»В(«?) sin g^-f/> = F{t) J
> »*

Гл.9. Приложения • 301
Но
00
и, следовательно, отклик системы иа внешнюю силу такого
типа удовлетворительно описывается одной лишь низкочас-
низкочастотной частью функции Грина. Описанную ситуацию можно
представить эквивалентным диффереициальиым уравнением
А I
=
которое не нуждается в комментариях; поскольку колеба-
колебания носят классический характер: в квантовой области,
однако, оио справедливо лишь, если должным образом огра-
ограничить интервал частот: в пределах последнего величина у
должна быть постоянной. Заметим, что внешняя сила как бы
уменьшилась в В раз. В указанных свыше условиях, однако,
этот эффект не играет роли, и в дальнейшем мы положим В
равным единице.
Ограничим теперь локализуемость измерений во време-
времени так, что интерес представят только временные средние
от q{t). В формуле для средних значений это отражается
условием, согласно которому можно рассматривать лишь до-
достаточно плавно изменяющиеся функции /+(*)¦ Тогда функ-
функции Грнна можно повсюду заменить их низкочастотными ча-
частями:
Gf{t-t') -> е. *<'-''> У sin ыр-Г) y+(t-t'),
Ga(t-t') * -е *•'-'' I ^ sin u>ft-t') Ti_(t-t').
Соответственно для w(t—i') мы получим
w(t-f) * j± cth И е-5 * I '"''I cos iox(t-t').

302 Гл.9. Приложения
и вся матрица Gfl-t') будет удовлетворять дифференци-
дифференциальному уравнению
\\ ] ( _J J
Здесь а = а^).
Как и раньше, результаты принимают особенно простой
вид в рамках метода Ланжевена, когда главное внимание
уделяется не оператору координаты q(t), а случайной си-
силе, определяемой уравнением
+ 7
Иначе говоря,
^0 = 0@ + Г^1 + («{ - «J)
Переход к методу Ланжевеиа осуществляется подстановкой
необходимые при этом интегрирования по частям выполняют-
выполняются с помощью установленной ранее леммы о хронологических
произведениях, которая в данном случае принимает вид
(exp [*J<«fa]]+= (exP [ijdtk(F + Ff)]]+ x
х ехр { ^ J dt [Ц- .{) k2+ J\k2- (*Ц-?1)
Мы получаем
([ ехр [ -i J dt k_F])_ [ exp [ , J dt k+F])^ =
= exp [ 4 J dt dt' k(t) ф-t') kit') ] .

Гл.9. Приложения 303
Последнюю матрицу можно представить в виде
t')>, -<(Fft)Fft'))y
В классическом предельном случае
<exp(tf dt kFp^ = ехр(-1 af dt k2)
и
\a = у*
Сравнивая эти выражения с аналогичными результатами преды-
предыдущего параграфа, можно заметить, что теперь расширен
интервал допустимых частот и снято ограничение ш, ~ o>Q.
На этом мы закончим несколько затянувшееся рассмот-
рассмотрение термодинамического равновесия. Обратимся теперь к
одному предельному случаю, когда температура внешней си-
системы отрицательна. Имеиио, допустим, что
а(а>) = ад(о> - и>г), о> > О
Полагая
мы получаем
Теперь функция G(Q имеет полюсы в комплексной плоскос-
плоскости С , если

304 Гл.9. Приложения
Пусть для простоты, 0)t= (i)Q и д«o>Q. Тогда полюсы функ-
функции
7 f-3—1
лежат в точках ? = ± Ги^ч-? fil и ? = *["Ь**)•
Следовательно, G(Q регулярна вне полосы ширины 2а = (X.
Соответствующие функции Грииа даются выражениями
ch [ \ №-f)] J^sin ыо(t-
" ch ( 7 ^^')] 5Qsin
а функция wit-trt'-t2) при
имеет вид
Если еще и /i(f-f2)>l, #it/*—/2) > 1, то
2 cos wQ(t-f) х
2 е 2
где
Пусть, далее, момент t близок к моменту t. — такому, что
фактор умнсжения

Гл.9. Приложения 305
Тогда осциллятор будет характеризоваться классической ко-
координатой
где
со
qs(t) = J df L si
qn(t) = qx cos Ш + q2 sin dtf.
Величины q. и q. здесь характеризуются формулой для
среднего значения экспоненты:
<exp[«(i7/1+ qjjb = ехр ["^1(/?+ /J)].
в которой
Соответственно вероятность получить значения <7i и <72 в
интервалах d<7i и d<72 равна
4 (()- Г (()- | „
2[ГехР "iT2"^1+
Здесь ^п и <р — амплитуда и фаза величины q (t). С точ-
точностью до множителя 1/2 в формуле для фактора умножения
мы пришли к тем же результатам, что и раньше, хотя в на-
настоящем параграфе были сделаны совсем иные предположения
о поведении внешней системы.
9.5.* Общая теория
До сих пор мы неизменно предполагали, что состояние
внешней системы лишь очень мало изменяется в присутствии
осциллятора. Попытаемся теперь включить эту аппроксима-
аппроксимацию в рамки общего формализма. Заметим в сязи с этим.

306 Гл.9. Приложения
что более тщательное рассмотрение необходимо и практиче-
практически, коль скоро мы интересуемся усилением колебаний ос-
осциллятора: в этом случае обратное влияние осциллятора на
систему рано или поздно станет заметным, если только нет
какого-либо компенсирующего процесса
Удобно дополнить принятый ранее оператор Лаграижа
слагаемым q'(t)Q, где q'{t) — произвольная классическая
функция времени; будем считать также, что член взаимо-
взаимодействия qQ содержит переменный множитель X.
Тогда
1 = i( | jdt(q+Q_- q_Qj
'2
" - 'j dt[st+(tNq' +{t)~6tjt) Sqtf
При этом предполагается, что либо состояния, к которым
относится функция преобразования, не зависят от взаимо-
взаимодействия между системой и осциллятором, либо вычисляется
след функции преобразования. То же справедливо и для фу-
функции преобразования с различными конечными, временами.
Написанное выше дифференциальное уравнение влечет за со-
собой и интегральное соотношение, в котором функция преоб-
преобразования для системы с полным взаимодействием (А=1) вы-
выражается через таковую для системы без взаимодействия
(А=0). Последняя функция преобразования представляет
собой произведение функций преобразования для независи-
независимых осциллятора'и внешней системы. Мы имеем
t.
<wF± -
Здесь указано, что если мы интересуемся только осцилля-

Гл.9. Приложения 307
тором, то в окончательном выражении нужно положить
Рассмотрим теперь именно макроскопическую систему,
находящуюся под действием возмущения q'Q. Влияние пос-
последнего описывается формулой
Введем величины
При </+@ - ?'@ мы имеем
Это есть среднее значение Q(t) в присутствии возмущения,
описываемого функцией q'(t). По предположению, оно равно
нулю при q'(t) = Q и зависит, вообще говоря, от поведе-
поведения q'(t) в интервале от момента <2 до данного момента
времени.
Средние значения операторов q+(t) можно получить,
варьируя функцию преобразования по F+(t) (с добавлением
множителя ± j). Поскольку уравнение движения для иевоз-
мущеииого осциллятора имеет вид
dt2 '
Такие положительно н отрицательно упорядоченые по времени произведения
используются в недавно опублнкованной работе Снманчнка [9], которая появилась
после того, как эта статья была уже написана и ее содержание легло в основу лек-
лекций, прочнтанных в Брандейской летней школе (июль I960 г.).

308
Гл.9. Приложения
Перемещая F+(t) налево от экспоненты, получаем
Но
4
и, далее.
ехр[
В результате мы приходим к следующему уравнению в функ-
функциональных производных для функции преобразования
[ (а?
Здесь предполагается известной реакция внешней системы
иа возмущение ?+(')¦ Заметим, что необходимо отличать
знаки "±", стоящие при тех или иных компонентах, от ин-
индексов, нумерующих динамические переменные из принятого
полного набора.
Дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию
системы во времени, надо дополнить граничными условиями.
Именно, в момент ty когда исчезает различие между функ-
функциями F+(t) и F_(t), мы имеем
Далее, начальные условия для функции преобразования

Гл.9. Приложения 309
F+
в~в имеют вид
а а 1 , i
Теперь видно, что предположение, принятое в преды-
предыдущих разделах, состоит в возможности аппроксимировать
Q+(t, q+) линейной функцией q+:
Q+(*.4i) - 'jdt'lAJlt-t'W)-AjLt-fWjt')},
¦QJt.qi) - i\dt'[A_+(t-t')q'+(t')-A_Jt-t')q'St')\
При этом как линейные уравнения для операторов q+(t),
так и определения последних через функциональные произ-
производные по F+ объединяются в пару уравнений в функциональ-
функциональных производных. Чтобы сделать это более ясным, предста-
представим функцию преобразования в виде
F+ )
<t3\t? ± = е
и заметим, что по определению
Тогда уравнение в функциональиых производных принимает

310 Гл.9. Приложения
ВИД
В качестве граничных условий мы имеем теперь
<7+('2> F±) + q_(tT F±).+ u^
X Щ [ *+<'*• F±> ~ iJ
[W F> + 1(t F)] i^cth f
Wr F±> + 1_(tr F±)] - i^cth f j
= 0
jj j x
Если величины Q+ линейно зависят от <7+» то функциональ-
функциональные производные исчезают8, и мы возвращаемся к линей-
линейным уравнениям для q+(t). Они в свою очередь приводят к
квадратичному виду функции W(F+), что было характерно
для всего предыдущего рассмотрения.
II. Кулонова функция Грина
Давно было известно, что вырождение связанных сос-
состояний в иерелятивистской кулоиовой задаче можно описать
с помощью группы четырехмерных евклидовых поворотов, и
что для реализации этой связи всего удобнее импульсное
представление. Однако, по-видимому, ие было понято, что
тот же подход можно использовать для явного построения
Уравнения в функциональных пронзводных вырождаются в обыкновенные диф-
дифференциальные уравнення также в том случае, когда движение осциллятора явля-
является классическим и не подвержено флуктуации.
9Воспронзводится из J.Math.Phys. - 1964. - V.5, N 11. - Р.1606-1608.

Гл.9. Приложения 311
функции Грииа для этой задачи. Дадим здесь этот вывод.
В импульсном представлении уравнение для функции
Грииа имеет вид (h=l)
= 3(р~р/)
Мы будем решать это уравнение, предполагая сначала, что
Е ~ ~
вещественно и неотрицательно. Общий же результат получа-
получается аналитическим продолжением.
Параметры
2РОР
с
2'
Р
определяют поверхность единичной четырехмерной евклидо-
евклидовой сферы
е2 + е2 = 1
точки которой состоят во взаимно однозначном соответст-
соответствии с точками импульсного пространства. Элемент поверх-
поверхности на сфере есть
Г2РО "
Если помнить, что р ^ pQ соответствуют двум полусферам
?0 = + (I-?2]1/2. В качестве другой формы этого соотноше-
соотношения придадим дельта-фуикции, связывающей две точки иа
единичной сфере, вид
[2 + 2,3
-тр7"| 3(р-р/)-
Он был разработан для курса квантовой механнкн, который я читал в Гарварде
в конце 40-х. Спасти его от тнхой смерти в конспектах лекций меня побудили
недавнне публнкацин в этом журнале, в которых построены альтернативные фор-
формы функцнн Грнна: Wichmann E.H., Woo C.H. J.Math.Phys. - 1961. - V.2. - P. 178;
Hostler L. ibid. - 1964. - V.5. - P.591.

312 Гл.9. Приложения
Заметим, далее, что
к„ - е;:2 + ге - о
Тогда, если определить
Г(П,П') = -^-г СР? + P2]2G(p,p')(pJ + р'2]2.
то эта функция удовлетворит на четырехмерной евклидовой
поверхности интегральному уравнению
Г(П.П') - 2у Jd?T ?К€-€") Г(О",П') = 5(О-П') ,
где
у =
4я2(С-
Ze2m
Функция D, определенная подобным образом во всем
евклидовом пространстве, является функцией Грина четы-
четырехмерного уравнения Пуассона
Ее можно построить с помощью полного набора четырехмер-
четырехмерных шаровых функций. В сферических координатах р,П они
имеют вид
где квантовые числа 1,т дают трехмерную гармоническую
классификацию четырехмерных гармоник. Наибольшее значе-
значение, которое может принимать / для однородного многочле-
многочлена pn~^Ynlm(Q), есть степень п-1 этого многочлена. Таким
образом,
-I s m s I, 0? I ? п-\
2
нумеруют п различных гармоник, которые имеют одно и то
же значение индекса п.

Гл.9. Приложения 313
Функция Грина представляется в виде
частный случай
5(Q—Q') = ) У
п 1т
выражает нормировку и полноту сферических гармоник. Мож-
Можно убедиться, что D имеет радиальный разрыв, вызванный
дельта-образной неоднородностью дифференциального урав-
уравнения,
-Р3л^Д?-?') Г =3@-0').
В интегральном уравнении для Г используется функция D, у
которой р=р'=1. Его решением является
У , (П)У , (Q')*
nlmx ' nlm> '
Г(П,П') =
^ v
nlm n
Особенности этой функции при v = п = 1,2,... дают
ожидавшиеся отрицательные собственные значения энергии.
Вычеты G в соответствующих полюсах на ?-плоскости дают
нормированные волновые функции, которые имеют вид
С/О
С помощью разложения D можно представить Г(Я,Я') в
совершенно замкнутом виде. Воспользуемся следующей вер-
версией этого разложения
;?а-рLе-г)' - ЪГ *
где ? и ?' имеют единичную длину, а 0 < р < .1. Заметим,

314 Гл.9. Приложения
кстати, что, если мы положим. ?=?' и проинтегрируем по
единичной сфере площади 2яг, то получим
оо
где т есть кратность квантового числа п. Это подтверж-
подтверждает, что т„—п •
Тождество
_1_^ . 1 + 2. + „2—1-
л т " л(л - у)
вместе с интегральным представлением
верным для v<l, дает
. V 1
r(Q.Q')
Зя2^-?'J
2
2
-^ Гф p~v J 5 . (9.1)
2л2;» A-рJ+Р(?_?'J
2л2
Интегрирование по частям дает эквивалентные выражения
1
d{iJ(ee'J
2
\ {dp p-v * Р*1 ~ Р > - (9.3)
1^1 dp[( 1 _рJ+р(?-?'J]2
1 dp[(
в последнем случае использовано предельное соотношение
А
Заметим, что Г является функцией единственного перемен-
переменного 2

Гл.9. Приложения 315
Ограничение v<l можно сиять, если заменить интеграл
по отрезку вещественной оси контурным
о с
Контур С начинается в точке р=1+0(, где фаза р равна ну-
нулю, а кончается в точке р=1-0( после обхода начала коор-
координат по единичной окружности. Выражения функции Грина,
получающиеся из A), B) и C), имеют вид:
./ч S(P-P'1 Ze2 I 1 1 Ze2 1
5
(р-р'Jр -
(Р-Р ) Р (Е-
1
о ^Х
рП-р2)
[(р-р'Jр -
Функция Грина регулярна на комплексной ?-плоскости
всюду, кроме спектра физических энергий. Ои состоит из
уже определенных отрицательных собственных значений
энергии и континуума положительных энергий. Интегральные

316 Гл.9. Приложения
представления (I'), B') и C') не вполне общи, посколь-
поскольку требуется, чтобы
Re rt) = -Im т) < 1 .
Но это ограничение, как мы уже указывали, можно сиять.
Однако в этом нет необходимости, если мы интересуемся
пределом вещественных к. Поэтому эти представления можно
непосредственно применить к физической задаче о рас-
рассеянии.
Асимптотические условия, которые характеризуют от-
отклонения на конечный угол, имеют вид
Е - Т О . ? - Г О . (р - р'J > 0.
В нашем случае всего удобнее второе из трех приведенных
выражений для G. Асимптотическое поведение определяется
малыми значениями р, и мы немедленно получаем
С(р.р') G°<P) f J—lf(P>P'
где
pU
-p'r L (p-p
Мы получили бы то же самое асимптотическое выраже-
выражение для любого потенциала, который убывает иа больших
расстояниях быстрее кулоиова, но с (/(р)=(?-Г)~. Множи-
Множители G°(p') и и (р) описывают распространение частицы
соответственно до и после соударения, a f идентифициру-
идентифицируется как амплитуда рассеяния. Такая же интерпретация
применима и в данном случае, поскольку модифицированная
Ср как раз включает эффект дальнодействия кулонова по-
потенциала. Всего очевиднее это из асимптотического пове-

Гл.9. Приложения 317
деиия соответствующей простраиствеииой функции, которая
является искаженной сферической волной,
f^3 (P) ZlfrPW т»1п2Лг
B11)
С * arg ГA-/Т}).
Получающаяся таким путем амплитуда рассеяния совпадает с
известным результатом
щ-csc2 ? ехР [-"»1п