JM1

Доктор физико-математических наук
А. С. КОМПАНЕЕЦ
О СИММЕТРИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Мо сква 1 965

ОТ РЕДАКЦИИ
Вопросы симметрии играют решающую роль в современной
физике элементарных частиц. Вниманию читателей
предлагается научно-популярный очерк профессора А. С. Компаней-
ца, подробно знакомящий с этими интересными вопросами*
Очерк состоит из двух частей: «О симметрии» и
«Симметрия в микромире». Обе части выпускаются в виде отдельных
брошюр, следующих друг за другом»
Первая из них — «О симметрии» представляет собой
общий очерк учения о симметрии, подводящий читателей к
восприятию более сложных вопросов симметрии в механике
микромира. Он представляет и самостоятельный интерес,
позволяя по-новому подойти к общим принципам классической
неквантовой механики и уточняя интуитивно присущее всем
понятие о симметрии.
Вторая брошюра — «Симметрия в микромире» познакомит
читателей с вопросами симметрии в мире элементарных частиц
и микросистем, не подчиняющихся классической механике
Ньютона. В этой части очерка А. С. Компанейца будут
отражены новейшие идеи теоретической ядерной физики, питаемые
многими замечательными экспериментальными открытиями
последних лет,

I. Что такое симметрия
Все мы более или менее представляем себе, что такое
симметрия, но чаще всего житейски примитивно. Например,
букву П считают симметричной, а букву И —
асимметричной. Вероятно потому, что симметрия буквы П больше
напоминает симметрию человеческого тела, чем И. И кажется
кособоким, это бросается в глаза. На самом деле И — тоже
симметричная буква. Сравним его с П. Проведзм на фигуре,
изображающей П, вертикальную линию, как показано на
рис. U Если отразить каждую точку фигуры П относительно
вертикальной линии, проходящей через
ее середину, то вся фигура перейдет сама
в себя. В этом и состоит ее симметрия.
Но существует такое же простое
действие, которое переводит И в самое себя.
Надо провести линию, перпендикулярную
плоскости чертежа, через середину
перекладины и повернуть всю фигуру на 180*
Ясно, что она совместится сама с собой,
в точности так, как П при отражении
относительно средней линии. Поэтому надо
признать, что И столь же симметрично,
как П, но его симметрия проявляется при
другой операции (рис. 2).
Если отойти от привычного
представления о симметрии как свойства,
непременно связанного с нашим внешним обликом, то можно найти
немало фигур, симметричных в том или ином отношении.
Наименее симметричны такие фигуры, как Р или Б. Они
совмещаются сами с собой только при повороте на 360°. Эта
операция называется тождественной.
Рис. 1
3

Но есть и более симметричные фигуры, чем П и И. В
русском алфавита наиболее симметрична буква О. С ней можно
сделать три операции: отразить относительно вертикальной
линии, проходящей через середину, относительно такой же го-
Мризонтальной линии, и еще можно
повернуть О на 180° вокруг линии,
перпендикулярной плоскости чертежа и тоже
проходящей через середину. Здесь три
различные операции симметрии, кроме
тождественной.
На симметрии относительно отражения
основана маленькая практическая шутка,
, которая хорошо удается с
глубокомысленными, но несообразительными людь-
Рис. 2 ми. Наполните слегка подкрашенной
(для убедительности) водой стеклянный цилиндрик, в
котором продаются фотореактивы, и заткните его
пробкой. Напишите на бумаге печатными буквами разных
цветов слова «гелий», «неон», «аргон», «криптон», «ксенон».
Покажите испытуемому слова сквозь трубочку, поставив ее
параллельно надписям. «Гелий», «аргон» и «криптон» будут
казаться перевернутыми, а «неон», и «ксенон» — нет. Не
забудьте только писать прописное Е, а не строчное! Можно еще
сказать, что в трубочке не вода, а некая особая жидкость,
которая одни слова переворачивает, а другие оставляет на
месте. Иной будет искать разгадку, в чем угодно, кроме
симметрии. Слово «неон», отраженное относительно средней линии,
просто переходит в самое себя.
Можно ли утверждать, что в зеркале виден в точности
наш двойник? Он пишет левой рукой, стрелки его часов
движутся не в ту сторону, как у наших, он поворачивает винты
в обратную сторону при завинчивании. Отраженный в
зеркале доктор выслушивает его сердце с правой стороны. Словом,
симметрична только наша внешняя оболочка, более глубокие
свойства организма далеки от симметрии.
А свойства настоящего газа неона, отраженного в зеркале,
такие ли, как у газа неона в реальном мире? В той степени,
как отраженный в зеркале неорганический мир следует
законам реального мира, и свойства отраженного неона такие же.
В разделе 12 будет рассказано и о тонких различиях.
Итак, симметрия относительна. Пример человеческого тела
далеко не единственный. В неживой природе тоже немала
объектов, симметричных по отношению к одним свойствам и
асимметричных относительно других при одинаковой опера»
ции симметрии. Например, каменная соль гораздо более
симметрична по отношению к оптическим, чем к упругим
свойствам.
Вернемся теперь к разбору симметрии плоских фигур.
4

Возьмем равносторонний треугольник. Представим себе, что
он вырезан из бумаги. Перенумеруем его вершины, чтобы
следить за тем, что совершается при операциях симметрии
(рис. 3). Пусть через центр треугольника проведена ось,
перпендикулярная его плоскости.
Треугольник можно поворачивать
вокруг оси на 120° и 240°.
Условимся всегда обозначать
положение треугольника, начиная с
верхнего угла и обходя его
контур по часовой стрелке. Тогда
начальное положение надо будет
записать так: 123. Положение
треугольника, повернутого на
120°—312, и на 240°—231.
Заметим, что если повернуть треуголь- Рис. 3
ник сперва на 120°, а затем на
240°, то получится поворот на 360°, т. е. тождество, он
вернется в исходное положение. Поэтому можно сказать, что
поворот на 240° равносилен повороту на 120°, совершенному
против часовой стрелки. Поворот на 240° иначе можно назвать
операцией, обратной повороту на 120° по часовой стрелке.
Все ли операции симметрии исчерпываются указанными
поворотами? Сразу видно, что не все. Проведем в
треугольнике три высоты. Относительно каждой из них треугольник
поворачивается на 180°. Если не выходить из плоскости бумаги,
то эти вращения заменяются отражениями, как у буквы П.
Тогда мы видим только одну сторону треугольника, а
вращение вокруг высоты открывает другую.
Обозначим высоты треугольника, как те вершины, через
которые они проходят. Тогда поворот вокруг высоты /
переведет треугольник в положение 213, вокруг 2 — в 321 и вокруг
3 — в 213. Вместе с тождественной операцией треугольник
допускает всего шесть операций, при которых он совмещается
сам с собой.
Отметим сразу же одно важное свойство этих операций.
Произведем поворот на 120°. Получим расположение 312.
Затем повернем вокруг высоты / на 180°. Получим 213. Теперь
поступим в обратном порядке: повернем вокруг / в положение
213, а затем повернем на 120° вокруг центра. Выйдет 321.
Иначе говоря, есть такие операции, которые дают разный
результат в зависимости от того в каком порядке они
выполняются. Но это замечательное свойство относится не к любым
двум операциям. Например, результат вращений вокруг
центра на 120 и 240° всегда один и тот же — поворот на 360°,
т. е. тождество.
Проверим на перестановочность еще две операции: пово-
5

роты на 180° вокруг разных осей. Начнем с оси /: получим 132,
затем возьмем ось 3. Выйдет 231. В обратном порядке будет
213, а затем 312. И здесь результат зависит от порядка
действия.
Неперестановочность разных операций — скорее правило,
чем исключение в науке о симметрии.
Обязательно ли симметрия относительно поворотов на
120 и 240° влечет за собой и симметрию относительно
поворотов на 180° вокруг высот, как это получается у правильного
треугольника? Если окрасить нижнюю сторону треугольника
другой краской, чем верхнюю, повороты будут запрещены. Но
относительно высот можно не только вращать, а и отражать.
Чтобы запретить и эти операции, надо приделать к вершинам
треугольника три завитушки, направленные в одну и ту же
сторону, как это показано на рис. 4. Такой треугольник
допускает только вращения на 120 и
240°, и ничего больше. Подобные
привески можно придать и
квадрату, который после этого будет
допускать только повороты на 90,
180 и 270° вокруг центра, или
правильному шестиугольнику, где
останутся лишь повороты на уг-
аы, кратные 60°. Симметрия
такого рода была найдена при
раскопках в древнейших орнаментах.
По мнению нынешних
математиков, ее могли открыть только
высокоодаренные люди.
Но здесь есть и другая сторона дела. Симметрия квадрата
с привесками менее тривиальна, чем квадрата без привесок,
вероятно, потому, что исключает более привычную нам
симметрию относительно отражений. Из-за этого необычная
форма симметрии могла некогда внушать мистические
представления. До нашего времени дошла фигура точно с такой же
симметрией — это получившая печальную известность
свастика.
Удается ли перечислить все возможные виды симметрии
фигур и тел? Такая возможность действительно существует,
но при известных ограничениях. Число видов симметрии,
понимаемой без ограничений, бесконечно. Достаточно
вспомнить, что существуют правильные многоугольники с
произвольным числом сторон. Каждый из них допускает повороты
на долю окружности, обратную числу его сторон. Лишь если
отобрать из всех многоугольников несколько по особому
принципу, окажется, что возможно конечное число операций
симметрии. В следующем разделе мы узнаем, как
производится такой отбор у кристаллов.
6

2. Симметрия кристаллов
Правильную, симметричную форму кристаллов издавна
объясняли симметричным расположением атомов. Само
существование атомов было еще гипотезой, но внешнее
проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю
причину. Быть может правильные пирамиды, сложенные из
пушечных ядер, которые когда-то делались круглыми,
наводили на мысль, что огранка кристаллов обязана способности
атомов самостоятельно укладываться в стройном порядке.
Слово атом значит неделимый, атомы считали такими же
круглыми, гладкими и твердыми, как ядра.
Как ни примитивен такой взгляд с нашей, нынешней точки
зрения, он оказался необычайно плодотворным в науке о
кристаллах, где и сейчас есть понятие плотной упаковки,
такой, как в пирамиде, сложенной из шаров.
Давнее, чисто умозрительное учение о строении кристаллов
принесло большую пользу еще и потому, что позволило
правильно подойти к вопросу о возможных видах симметрии
кристаллов. Мы не собираемся строить полную систему всех
видов симметрии кристаллов. Постараемся дать понятие о
некоторых важных следствиях.
Начнем не с настоящих, трехмерных кристаллов, а с
двумерных, расположенных на плоскости. Надо сказать, что
двумерные кристаллы существуют и реально в виде пленок
некоторых веществ толщиной в одну молекулу, нанесенных на
поверхность другого вещества. Но кристаллические свойства
мономолекулярных пленок не совсем похожи на свойства
трехмерных кристаллов. Так что мы будем говорить о
воображаемом двумерном подобии реальных кристаллов.
Тогда вместо шариков можно говорить о кружках. Как
можно выложить кружками плоскость? Есть, оказывается, не
один способ укладки. Возьмем, например, сетку квадратов и в
каждый квадрат впишем по кружку (рис. 5). А иначе и гуще
кружки расположатся, если вписывать их в шестиугольный
рисунок пчелиных сот (рис. 6). Какие операции симметрии
оставляют плоские сетки неизменными? Возьмем квадратную
сетку (см. рис. 5) и мысленно продолжим ее до
бесконечности во все стороны. Проведем ось, перпендикулярную
плоскости чертежа через центр какого-нибудь кружка. Вокруг
такой оси плоскость можно повернуть на 90, 180 и 270°, Кроме
того, плоскость обладает симметрией относительно отражений,
каких — читатель легко увидит на рисунках 5 и 6.
Но что бы ни значило слово атом, делим он или неделим
на самом деле, никак нельзя заранее утверждать, что на
плоскости он такой же симметричный, как кружок. Допустим, что
на самом деле у него есть такие четыре зубчика, как показано

Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
на рис. 7. Мы вовсе не утверждаем, что зубчики обязаны быть
непременно, а только хотим перебрать все мыслимые виды
симметрии. Тогда почему бы не
нарисовать и зубчики? Симметрия
такой сетки будет, разумеется,
меньше, чем у исходной сетки
квадратов, пропадут операции отражения.
Но останутся вращения на 90, 180
и 270°.
Какие еще операции симметрии,
помимо вращений и отражений,
допускает плоская сетка? Ее можно
транслировать, т. е. переносить
вдоль самой себя, так, чтобы
кружки в новом расположении накрывали кружки в старом
расположении. Для этого достаточно переместить центр одного
кружка в центр любого другого, оставляя стороны квадратов
параллельными самим себе. Очевидно, что наименьшее
расстояние, на которое можно перенести сетку, равно стороне
квадрата. Такая наименьшая длина существует в двух
взаимно-перпендикулярных направлениях. Любую трансляцию
плоской сетки легко представить в виде комбинации
некоторого целого числа таких элементарных переносов. Надо
отметить, что результирующий перенос никак не зависит от
того, в каком порядке осуществлялись частичные переносы.
Два переноса всегда, как говорят, перестановочны.
Итак, мы видэли, что кристаллы допускают операции
симметрии двух видов: во-первых, вращения и отражения и,
во-вторых, трансляции. Однако не любые вращения
совместимы с трансляциями. Переносить удается только такие
многоугольники, которые равномерно покрывают всю плоскость.
Перечислим эти многоугольники. Прежде всего плоскость
8

можно вымостить прямоугольниками (рис. 8). Такая
плоскость совмещается сама с собой при повороте на 180°. Еще
ниже симметрия плоскости, вымощенной неравносторонними
параллелограммами. Здесь есть только поворот на 360°, или
тождество.
Равнобедренные треугольники не дают ничего нового па
сравнению с рис. 8 в смысле поворотов
или отражений. Ведь если провести
диагонали прямоугольников, то вместе со
сторонами они как раз дадут сетку из
равнобедренных треугольников.
Паркеты с большей симметрией, чем у
прямоугольников, дадут равносторонние
треугольники, квадраты и правильные
шестиугольники.
А пятиугольники? Угол между
сторонами правильного пятиугольника ра*вен
108°. Если сложить три пятиугольника
вместе, то останется просвет в 360° — 3 •
.108° = 36° (рис. 9). А четырем
пятиугольникам будет тесно. Вообще, годятся
только такие правильные
многоугольники, у которых угол при вершине целое число раз
укладывается в 360°. Если складывать неправильные многоугольники, то
симметрия относительно поворотов потеряется и будет того
же типа, что у паркета из параллелограммов с неравными
сторонами. Останутся в лучшем случае только переносы, но
не отражения или вращения.
Итак, симметричные
паркеты можно
складывать из прямоугольников,
треугольников, квадратов
и шестиугольников
(разумеется правильных). Это
значит, что паркет, или
плоская сетка,
симметричная относительно
переносов, не допускает никаких
углов поворота, кроме 60,
90, 120 и 180°, или целых
кратных от них. Но так
как плоская сетка есть
проекция
пространственной, то ясно, что и в
пространственных, реальных
Рис. 9 кристаллах не может
быть других углов
поворота.
ш
392-2
9

Геометрия знает два правильных тела, допускающих
повороты на 72° — это двенадцатигранник (додекаэдр) и
двадцатигранник (икосаэдр) (см. обложку). Но никто никогда не
видел природного кристалла такой формы. Очевидно,
правильная форма кристаллов обязана не таинственному влечению
природы к совершенству, а закону внутреннего строения
кристаллов.
Не только не существует икосаэдрических кристаллов, но
вообще никогда не встречаются никакие оси симметрии в
кристаллах, допускающие иные углы поворота, кроме
перечисленных. Если вдуматься, то здесь заключено прямое
доказательство атомистического строения кристаллов. Ведь
только совместное рассмотрение обоих видов симметрии
кристаллов относительно вращений и относительно переносов
привело нас к отбору возможных углов поворота. Но как раз эти
углы и встречаются в природе, других углов никогда не
бывает. Таким образом, симметрия кристаллов однозначно
говорит в пользу атомизма. Не следует думать, что, говоря так, мы
ломимся в открытую дверь — кто теперь сомневается в
реальном существовании атомов! Все возможные типы симметрии
кристаллов были теоретически открыты раньше, чем физика
начала изучать реальное атомное строение кристаллов.
Только по одной симметрии ничего нельзя было узнать о
размерах атомов и о многих деталях их расположения, но без
классификации кристаллов по типам симметрии не удалось
бы привести кристаллографию в стройную систему. Одних
знаний об атомах для этого недостаточно.
В предыдущем разделе был поставлен вопрос, сколько
может быть различных видов вращений и отражений. Сейчас
мы узнали, что у кристаллов могут быть не всевозможные
вращения, а только некоторые, совместимые с переносами.
Оказывается, что есть тридцать два вида симметрии относи-
тельно вращений и отражений. Если же явно включить сюда и
трансляции, т. е. переносы, то получается всего 230 видов.
Трудную задачу нахождения всех этих видов решили з
1893 году Федоров и Шенфлис, отчасти соревнуясь, отчасти
помогая друг другу. В то время научное общение между
странами было столь же просто, как внутри страны.
Надо заметить, что некоторые виды симметрии
различаются лишь в том же смысле, как правая и левая руки, но
практически их и так же нужно отличать.
Лишь через 20 лет после работ Федорова и Шенфлиса
атомное строение кристаллов было прямо подтверждено в
опытах Лауэ по отражению рентгеновских лучей от
кристаллов.
Только что было сказано, что 230 типов исчерпывают
симметрию расположения атомов в кристалле. Но не все
физические свойства кристаллов сводятся только к статическому,
ю

равновесному положению атомов. Есть и такие особенности,
которые обязаны движению электронов.
Движение электронов создает токи, а токи вызывают
магнитное поле. Если движение электронов определенным
образом упорядочено, то создается результирующее магнитное
поле. Кристаллы, в которых есть результирующее магнитное
поле, называются ферромагнитными; таковы железо, кобальт,
никель, РезС>4 и др. Симметрию магнитных свойств
ферромагнетиков надо изучать, рассматривая не только расположение
атомов, но и движения электронов.
Движение всегда направленно, совершается в ту или
другую сторону. Но если внутри тела нет никакого
преимущественного направления токов, то не возникнет и магнитное
поле. Такое тело не может быть ферромагнитным.
Одно направление непременно должно чем-то отличаться
от другого.
В принципе можно представить себе условия, в которых
два направления движения, прямое и обратное, совершенно
неравноправны. Для этого есть даже специальное выражение
в обыденной жизни: «гладить по шерсти» и «против шерсти».
Расположение элементов среды помогает движению в одну
сторону и мешает движению в другую сторону, как зубчики
на храповом колесе. Как на самом деле расположены атомы
в ферромагнетиках, здесь для нас не важно.
Существенно только одно: в ферромагнитном кристалле
не может быть операции симметрии, которая изменила бы
только направление «шерсти», не меняя направления токов.
В противном случае оба направления тока в кристалле были
бы равноценны, и не могло возникнуть магнитное поле.
И наоборот, у неферромагнитных тел непременно есть
такая операция симметрии, которая меняет направление токов
на обратное; она может применяться сама по себе, отдельно
от других операций, изменяющих только расположение
атомов. А у ферромагнитных кристаллов вместе с этой особой
операцией симметрии над токами непременно должна
осуществляться еще какая-то операция над атомной основой
(«шерстью»).
Что же это за особая операция? Направление движения
очевидно изменилось бы, если бы время потекло в обратную
сторону. Здесь несущественно, что время на самом деле назад
не идет. Это только простейший способ определения той
операции симметрии, при которой токи обращают свое
направление. Мы видим, что у ферромагнетиков операция изменения
знака времени непременно должна сопровождаться какой-
либо операцией пространственной симметрии, а у
неферромагнитных кристаллов может осуществляться сама по себе.
Мы не стали бы вообще касаться сложного вопроса о
ферромагнетиках, если бы та же формальная операция изменения
11

знака времени не применялась при классификации симметрии
элементарных частиц. На примере ферромагнетиков видно,
что симметрия относительно обращения времени может иметь
важнейшее значение для физических свойств вещества. Столь
же важна эта симметрия и для свойств элементарных частиц.
Соображения о дополнительной операции симметрии,
связанной с магнитными свойствами тел, высказаны Л. Д.
Ландау.
Любопытно, однако, что еще до Ландау А. В. Шубников
предложил расширить класс преобразований, предложенных
Федоровым, за счет какого-то одного дополнительного
преобразования. Не уточняя, что это за операция, Шубников и
его сотрудники нашли как раз то расширение понятия
симметрии кристаллов, которое Ландау применил к
ферромагнетикам. Исходя из некоторой воображаемой модели кристалла с
дополнительной операцией симметрии, они построили 1651 тип
различных симметрии.
Физика только приступает к изучению симметрии
ферромагнетиков на реальных объектах. Метод исследования будет,
по-видимому, основан на рассеянии незаряженных магнитных
частиц, нейтронов. Рассеяние рентгеновских лучей, т. е.
электромагнитных волн, гораздо меньше пригодно для этой цели.
Дело в том, что взаимодействие электромагнитных волн с
веществом менее чувствительно к операции изменения знака
времени — той, которая в данном случае наиболее
существенна. Рассеяние электромагнитных волн в первую очередь
зависит от расположения рассеивающих волны зарядов, а не от
их движения. Рассеяние нейтронов, которые сами являются
маленькими магнитиками, чувствительно к магнитным силам,
действующим в кристалле.
Как Шубникову удалось изучить новый вид симметрии, не
уточняя, к чему он применяется? Очевидно, что существует
некая алгебра симметрии, не зависящая от того, в чем
конкретно состоят самые операции. Слово «алгебра» употреблено
по аналогии: всем известно, что, например, (а + Ь)9- =
= а2 + 2ab + б2, каковы бы ни были числа а и Ь.
Чтобы показать, в чем состоит эта алгебра, мы пэрейдем
из физического мира кристаллов в совсем иной мир, целиком
созданный человеком. Это область... стихосложения. Показав,
что симметрия может существовать и здесь, мы постараемся
объяснить, какая алгебра управляет операциями симметрии
вообще, безотносительно к их конкретному содержанию.
3. Большая секстина
В XII веке на юге нынешней Франции, в Провансе,
расцвела изысканная поэзия придворных певцов — трубадуров. От
них до нашего времени дошла очень сложная форма стихо-
12

творения, большая секстина. Она состоит из шести
строф по шесть строк каждая (слово секстина и значит
шестерная). Во всех строфах повторяются одинаковые рифмы, но
каждый раз меняют порядок от строфы к строфе, на первый
взгляд, по совершенно непонятному закону,
В русской поэзии вычурная секстина почти не прижилась.
Не очень удачные образцы есть у Л. А. Мея (библиотека
поэта, малая серия, Ленинград, 1951 г., стр. 63) и у В. Я. Брю-
сова (Избранные стихи, Академия, 1933, стр. 354). Надо
заметить, что оба поэта слегка отступили от канонического
построения секстины — переставили по одной паре строк: Мей
в третьей строфе, Брюсов в четвертой. Секстина совсем без
ошибок есть у менее известного, чем Брюсов,
поэта-модерниста Бенедикта Лившица, Об ее особенности мы еще
скажем.
Не будем вдаваться в критику стихов: нас интересует не
гармония, а та алгебра, которой она поверяется.
Достоинство рифм оставим на совести поэтов.
Перенумеруем окончания строк у Мея (у Брюсова в таком же роде) 5
унылый 1
тень 2
силой 3
день 4
милый 5
лень 6
Порядок этих рифм в первой строфе отвечает нумерации?
123456. Те же рифмы в других строфах отвечают следующей
схеме, которую мы, для наглядности, запишем вместе со
схемой первой строфы:
123456
615243
364125
532614
451362
246531
Видно, что порядок окончаний ни разу не повторяется.
Конечно, этого можно было бы достичь совсем другим
способом: расположить цифры по кругу, как на диске телефона и
каждый раз поворачивать круг на 60°,
1
6 2
5 3
4
Из этой схемы получилось бы 123456, 234561, 345612,
456123,561234,612345.
Вероятно, трубадуры не выбрали столь простой рецепт не
потому, что в их время не было телефона. Такое простое
правило чередования строк, видимо, просто не интересовало их.
13

Прежде чем перейти к более сложному правилу, лежащему
в основе секстины, отметим прямую аналогию между
вращениями правильного шестиугольника и круговой перестановкой
шести цифр. Если исключить из операций симметрии
правильного шестиугольника все, кроме вращений на углы
кратные 60°, например, перечеркивая каждую сторону одинаковой
косой черточкой, то каждому расположению цифр на диске
отвечает определенный поворот шестиугольника. При этом мы
сохраняем порядок цифр, не разрешая им перемешиваться, и
перенося их по одной с конца в начало.
Но оказывается, что и более сложную схему перестановки
цифр, заложенную в секстине, тоже можно однозначно
сопоставить с вращениями шестиугольника, хотя в секстине
строки тасуются в таком порядке, какой нельзя реализовать при
помощи шестиугольника. Конкретный вид перестановки цифр
иной, но алгебра одна и та же. Покажем, как это получается.
Прежде всего, по какому закону перемещаются строки в
секстине, или заменяющие их цифры? Сравним вторую
строку с первой. 6 становится на место 1, 1 на место 2, 5—3, 2—4,
4—5 и 3—6. Третья строка образуется из второй тем же
способом: 3 с 6-го места переносится на 1-е, 6 — с 1-го на 2-е, 4 с
5-го на 3-е, 1 — со 2-го на 4-е и 5 — с 3-го на 1-е. Повторяя
ту же перестановку еще раз, получим следующую строфу и
так до шестой, где порядок цифр 246531. Если сделать еще
раз то же самое, то 1 станет на 1-е место, 2 — на 2-е, 3 — на
3-е и так далее, в исходном порядке. Вот почему в секстине
ровно шесть строф: седьмая повторяла бы порядок первой.
Современный читатель, привыкший к свободным стихам,
не улавливает сложной гармонии в такой строфике.
Возможно, что в XII веке было иначе. Изощренные в придворных
турнирах стихотворцев трубадуры добивались, вероятно,
соответствия между развитием мысли и чередованием рифм, чего не
получилось в стихах наших поэтов.
Будем, однако, благодарны поэтам за то, что они, пусть
в несовершенном виде, познакомили нас с секстиной.
Установим теперь соответствие между перестановками в секстине и
простыми вращениями шестиугольника. Тех и других, включая
тождественную, ровно шесть. Назовем однократную
подстановку, которая пгреводит первую строфу во вторую, буквой Л.
Как тогда назвать результат двух подстановок, делающих из
первой строфы третью? Третью из второй тоже делает
подстановка Л, так что третью из первой сделает подстановка АА,
четвертую из первой — AAA и т. д. Нет смысла писать АА
или AAA, лучше пользоваться сокращенным обозначением
А2, Л3, Л4.., совсем, как в алгебре. Только надо помнить, что
это не произведения в буквальном смысле, а
последовательные действия операции Л. Шестая строфа получается из
первой путем подстановки Л5, а следующая подстановка Л6 вер-
14

нет нас к порядку первой строфы. Следовательно, Л6 есть
тождественная, или единичная подстановка, которую принято
обозначать буквой Е. Мы пришли к символическому
равенству Л6 = Е. В точности то же самое относилось бы к
вращениям шестиугольника «а 60°. И там шесть последовательных
поворотов приводят к тождеству, и все повороты одинаковы:
на один и тот же угол и вокруг одной и той же оси.
Есть и другие^ шесть подстановок с той же алгеброй. Ими
пользовался в своей секстине Лившиц. Он выбрал в качестве
первой из них ту, которую мы назвали Л5. Квадрат ее равен
^5+5 = л10 = Л6+4. Но Л6 = £, так что Л5+5 = Л4. Так лолу-
чается третья строфа у Лившица, она отвечает четвертой у
Мея. Далее Л5+5+5= Л12+3 = Л3, Л5;4 = А18+2 = Л2, Л5 •5 =
= Л24+1 = А1 = А. Получились те же шесть расположений,
но в обратном порядке, как будто шестиугольник
поворачивался в обратную сторону. Заметим, что никак нельзя было
бы взять в качестве исходной подстановку А2, потому что она
приводит к тождеству уже после третьего раза.
Мы видим, что можно символически умножать операции.
Из предыдущего примера следует, что существует и действие,
обратное умножению, которое можно назвать делением. Де*
ление чисел определяется с помощью умножения на обратные
числа. Например, частное от деления а .на b есть так же
произведение. a*b~l4 Обратное к b число определяется так;
b-b~l = 1. В случае найденных нами подстановок тоже
нетрудно указать обратные. Например, обратная подстановка к
Л есть Л5, потому что Л -Л-5 = Е, или иначе Л-1 == А~5.
Таким же образом видим, что Л4 обратно к Л2у
Последнее равенство может показаться несколько
Странным: какое число, кроме единицы, равно своему обратному?
Но такое число есть — это минус единица. Разумеется, ни Л,
ни Л3 не числа, это операции. Но в каком-то смысле Л3
напоминает минус единицу. Если говорить не о подстановках, а о
вращениях шестиугольника, то Л3 есть поворот на 3 • 60°= 180°.
Такой поворот ничем не отличается от поворота на 180° в
обратную сторону. Важен только результат поворота, и не
важно, через какое плечо поворачиваться по команде
«кругом».
Итак, мы увидели, что за операциями симметрии
действительно лежит некое подобие алгебры. Конечно, она отличается
от алг&бры чисел: в ней есть только умножение, притом
символическое, но нет операции сложения. Бессмысленно было бы
искать операцию сложения, говоря о симметрии. Но алгебра
символического умножения действительно имеет основную
черту той ветви математики, которую принято называть
алгеброй: безразлично, над какими конкретными объектами
выполняются действия, лишь бы они удовлетворяли определенным
правилам. Чтобы показать, насколько алгебра символических
15

операций безразлична к объекту действий, мы и выбрали в
этом разделе пример, столь далекий от естественных и точных
наук. Легко было найти другой пример из области искусства—
симметрию орнаментов. Но здесь было бы трудно не впасть в
повторение того, что говорилось о симметрии плоских сеток.
Более подробно мы скажем об алгебре операций симметрии
в следующем разделе.
4. Абстрактные группы
Подобно тому, как переход от счета конкретных
предметов к абстрактному понятию числа занял тысячелетия работы
человеческой мысли, так и общая алгебра операций симметрии
явилась плодом длительных усилий многих поколений
математиков.
К ней пришли, изучая особый вид симметрии, относящийся
не к геометрическим фигурам, а к коэффициентам
алгебраических уравнений. Хотя мы и не будем заниматься в
дальнейшем уравнениями, полезно иллюстрировать свойства
симметрии еще на одном примере.
Начнем с квадратного уравнения. Его можно записать
двояко: либо так: х2 + ах + b = О, либо в более удобной
форме, через его корни хх и х2: (х — х{) (х — х2) = 0. Если
раскрыть скобки в последнем равенстве и сравнить с первой
формой записи, получим а = — (хх + х2), b = х\х2. Это
соотношение входит и в школьную программу. Те же вычисления легко
произвести и для кубического уравнения хъ + ах2 + Ьх 4- с = 0
и получится а = — (х\ + х2 + х3), b = ххх2 + х2хъ + х$х\, с =
— Х\Х2Хз.
Что замечательно в формулах для коэффициентов
уравнений, выраженных через корни? То, что форма зависимости
совершенно симметрична. Перестановка любых двух корней
оставляет выражения коэффициентов неизменными.
Мы встретились еще с одним видом симметрии.
Математики использовали его для доказательства любопытной теоремы:
уравнение пятой степени и выше не может быть разрешено
при помощи корней (радикалов). В течение более трехсот
лет искали решение уравнения пятой степени в радикалах.
Возникло подозрение, что искомой формулы не существует.
В 1825 году Н. Г. Абель сумел доказать, что решения в
радикалах действительно нет. Полную теорию разрешимости
уравнений в радикалах вскоре после Абеля создал феноменально
одаренный математик Э. Галуа (он погиб, не достигнув
21 года).
Идеи Галуа продолжают развиваться и в настоящее время.
Здесь мы хотели бы отметить, что из его работ в математику
16

вошло понятие абстрактной группы. Теория групп и
есть алгебра, законы которой управляют операциями
симметрии, безотносительно к тому, что представляет конкретный
объект симметрии: фигуру, узор, кристалл, или коэффициент
алгебраического уравнения, выраженный через его корни.
Теперь уже нетрудно объяснить, что такое группа вообще.
Это совокупность некоторых операций, называемых
элементами группы, для которых определена операция умножения.
Под умножением элементов понимают последовательное
действие соответствующих им операций. При этом обязательно,
чтобы:
1) в результате умножения двух элементов группы
получался элемент той же группы;
2) существовал элемент Е, который отвечает
тождественной операции. Он называется единицей группы;
3) каждому элементу группы отвечал некий обратный
элемент, который в произведении с ним равен единице;
4) действовал сочетательный закон (АВ) С = А (ВС)1.
Обозначая элементы абстрактной группы символами А, В,
С... и зная, чему равно произведение любой пары элементов,
мы можем и не знать, что имеется в виду под этими
элементами, подобно тому, как при алгебраических операциях
несущественны численные значения букв. Закон умножения в
группе полностью определяет ее алгебру.
В качестве еще одного примера группы возьмем
совокупность всех целых чисел, положительных и отрицательных,
включая нуль. Оказывается, что она удовлетворяет
определению группы, если под умножением элементов понимать
простое сложение, а единицей группы назвать нуль.
Действительно, сумма двух целых чисел есть целое число. Требование 1
выполнено. Прибавление нуля не изменяет число —
требование 2 тоже выполнено. И, наконец, число с обратным знаком в
сумме с самим числом дает нуль — это требование 3. А то, что
мы произвели некоторые переименования, для существа дела
не важно — математические термины диктуются удобством.
Так как в групповом смысле сложения элементов нет, никакой
путаницы от замены слова сложение на слово умножение
произойти не должно. То же относится к назначению нуля
единицей: это не в арифметическом, а в групповом смысле.
Читатель может вспомнить мольеровского Журдена,
который не знал, что всю жизнь говорил прозой. Журден удивился
бы не меньше, если бы ему сказали, что подводя счеты он
пользовался теорией групп. Но простая арифметика сложения
чисел — для нас только пример. Не все группы столь
элементарны.
1 Пример, где нет сочетательности, — царская резолюция на прошении
о помиловании: «казнить нельзя миловать». Запятая до и после «нельзя*
меняет смысл.
17

Это особенно хорошо видно, если вспомнить, что не все
операции симметрии перестановочны при умножении. Мы
видели это на примере симметрии правильного треугольника.
Вращения на 120 и 180° вокруг разных осей дают разные
результаты в зависимости от того, в каком порядке они
производятся. Если операции вращения на 120 и 180° обозначить
через Л и Б, то в алгебре соответствующей абстрактной группы
АВ=£ВА.
Но есть и такие группы, где умножение всех элементов
перестановочно. Такова группа вращений шестиугольника,
состоящая из единицы Е и степеней элемента А. То же
относится и к «журденовской» группе сложения целых чисел: сумма
не зависит от порядка слагаемых. Это, разумеется, отражено
и в групповой алгебре, которая, конечно, не может
противоречить арифметике по содержанию. Что касается
переименований, то они сами по себе к противоречиям еще не ведут.
Сколько разных абстрактных групп, столько и алгебр.
Группы с одинаковой алгеброй в абстрактном смысле не
считаются разными. Например, группа вращений правильного
шестиугольника и группа подстановок в секстине — это одна
и та же группа. Или еще группы симметрии двух
треугольников (рис. 10). Один из них равносторонний, но его верхняя и
нижняя стороны
окрашены в разные цвета.
Другой
равносторонний, но снабжен
зубчиками по углам. Эти
зубчики загнуты вверх
и вниз поочередно.
Первый треугольник
допускает вращения на
120° вокруг центра и
отражения
относительно своих высот. Второй
Рис. 10 треугольник допускает
те же вращения вокруг
центра, но вместо отражений — вращения вокруг высот на
120°. Ясно, что вращение и отражение геометрически совсем
не одно и то же, но в смысле абстрактной групповой алгебры
обе совокупности операций симметрии равнозначны. В этой
абстрактной группе шесть элементов, причем умножение
некоторых элементов дает разный результат в зависимости от
порядка сомножителей.
Покажем теперь, что в группах, имеющих всего четыре
элемента, умножение всегда перестановочно. Обозначим
элементы группы четвертого порядка А, В, С, Е. Элемент Е
обязан быть во всякой группе. Далее, умножение любых двух
18

элементов непременно должно давать один из элементов той
же группы.
Следовательно, могут быть всего четыре варианта
умножений:
1. АВ = С 2. АВ = С 3. АВ = С 4. АВ = Е
АС = В АС = В АС = Е АС = Е
ВС = А ВС = Е ВС = Е ВС = Е
Покажем, что четвертый и третий варианты вообще не
даюг групп. Действительно, из последней пары уравнений
следует, что А = С-1, В = С~\ так что А — В. Но по
определению А и В — разнце элементы, так что оба варианта сразу
отпадают, как возможные типы групповой алгебры.
Возьмем теперь второй вариант. Из третьего равенства
следует, что С = В~{. Но тогда С и В перестановочны при
умножении, потому что прямой и обратный элементы,
перемноженные в любом порядке, дают Е. Теперь легко доказать, что
элементы В и С перестановочны с А.
Предположим противное. Пусть ВА не равно С. Тогда оно
может еще равняться А, или В, или Е. Но в первом случае
В = Е, во втором А = Е. Это противоречит определению
исходной группы, где А я В — не единичные элементы. Наконец,
если бы ВА = Е мы имели А = В~1. Но тогда бы А = С, а это
опять противоречит определению исходной группы, где А и
С — разные элементы.
Прежде чем перейти к первому варианту, построим всю
алгебру второго варианта, помня, что все элементы в нем
перестановочны. Умножим первое уравнение на С. Тогда
получим ABC = С2. Но ВС = Е, так что А = С2. Второе
уравнение умножим на В и переставим В с А — мы доказали, что от
этого произведение не меняется. Из равенства ABC = В2 и
того, что ВС = Е последует, что А = В2. Но мы видели, что
С = В~1. Возведем это равенство в квадрат: С2 = В~2.
Выразим В и С через А. Приходим к равенству А = А~\ или
А2 = Е. Теперь мы знаем результаты умножения любых двух
элементов группы, включая и умножение каждого элемента
на самого себя.
Переходим к первому варианту. Докажем
перестановочность умножения опять от противного. Пусть ВА не равно С.
Тогда останутся три возможности: ВА = А, ВА = В, ВА = Е.
Из первого следовало бы В = £, из второго А = Е, из
третьего В = А~{. Но первые два равенства исключены
определением группы как состоящей из четырех разных элементов, а
из третьего получалось бы, что элементы А и В
перестановочны, так как они взаимно обратны. Поэтому все три равенства
первого варианта не зависят от порядка сомножителей слева.
Построим теперь всю алгебру этой группы. Перемножим
все три равенства. Получим (ABC)2 = (ABC), Самому себе в
19

квадрате равен только единичный элемент, так что ABC = Е.
Следовательно, АВ = С~1. По закону исключенного
третьего С = С~\ или С2 = £. Тем же способом получается
А2 = В2 = £.
Итак, получились две различные группы четвертого
порядка. Очевидно, что никаких других абстрактных групп
четвертого порядка не может быть, потому что мы перебрали все
возможности.
Представим теперь всю алгебру обеих групп из четырех
элементов в виде двух таблиц. Строки и столбцы этих таблиц
отвечают элементам, а в самой таблице стоят их
произведения. Получаются две таблицы умножения в таком виде, как
они печатаются для чисел на обложках школьных тетрадей.
Заметим, кстати, что целые числа не образуют группы
относительно умножения, потому что число, обратное к целому, есть
дробь.
Таблицы умножения выглядят так:
Е
А
В
С
Е
Е
А
В
С
А
А
Е
С
В
В
В
С
Е
А
С
С
В
А
Е
Е
А
В
С
Е
Е
А
В
С
А
А
Е
С
В
В
В
С
А
Е
С
С
В
Е
А
У
I
Теперь укажем конкретные операции, отвечающие группе,
таблица умножения которой стоит слева. Рассмотрим
разносторонний прямоугольный параллелепипед (рис. И). У него
зачернены уголки, чтобы исключить операции симметрии от-
3 2 носительно отражений. Это тело
[ / симметрично только относитель-
^Х но вращений на 180° вокруг осей
1, 2, 3. Сразу видно, что,
операции симметрии удовлетворяют
./ тем же правилам, как и в
абстрактной группе, где Л2 = В2 =
= С2 — Е. Ведь любой поворот
на 180°, повторенный дважды,
приводит к тождеству. Далее,
повороты вокруг осей 1 и 2, т. е-
1 АВ, равносильны повороту во-
Рис. и круг оси 3, или С. В этом легко
убедиться с помощью спичечной
коробки.
Что касается группы, таблица умножения которой стоит
справа, то здесь можно указать две модели. Во-первых,
алгебраическую: Е = 1; А = —
Тогда В2 = С2 = А; В = А~1
У
1; в-у:
1; С = -У-1.
Есть и геометрическая модель. Надо взять квадрат с за-
20

черненными косо уголками. Тогда операция В — вращение на
90°, А — на 180°, С — на 270° (рис. 12).
Как было показано* Y — 1 входит в группу с
перестановочным умножением. Поэтому обращение с комплексными
числами сравнительно просто и мало отличается от операций
с действительными числами.
Существует обобщение теории комплекс- ^^
ных чисел, в которой не одна, а три мни- W^
мые единицы вместо Y —\ ъ обычной тео- [
рии комплексных чисел. Но в группе, кото- 1
рой отвечают такие три единицы, гораздо 1
больше четырех элементов и умножение L
неперестановочно. Поэтому с тремя мнимы- ^
ми единицами, из которых строят
гиперкомплексные числа, довольно сложно
обращаться. Доказательство
неперестановочного характера умножения гиперкомплексных чисел
производится с помощью теории групп. Налагая определенные
разумные требования на мнимые единицы, например, условие
полной симметрии между ними, можно убедиться, что не
существует подходящей группы с перестановочным умножением.
Мы видели, что существуют две группы четвертого
порядка (т. е. с четырьмя элементами). Точно так же можно
перечислить все группы с любым конечным числом элементов, и
составить их каталог, задавая каждую группу своей таблицей
умножения.
5, Симметрия в механике
Целые числа образуют группу, если под действием
группового умножения понимать сложение и считать единицей
группы нуль. Эта группа в одном отношении отличается от группы
вращений шестиугольника: целых чисел бесконечно много, а
вращений шестиугольника, включая тождественное, всего
шесть. Таким образом, бывают группы конечные и
бесконечные.
Но и бесконечности бывают двух видов: исчислимые и
неисчислимые, т. е. непрерывные. Точки на прямой образуют
непрерывную бесконечность.
Отрезки на прямой образуют группу относительно
сложения. Если условиться принимать некоторую точку за начало,
то направо будут лежать все положительные отрезки,
налево — все отрицательные. Каждому положительному отрезку
отвечает отрицательный, т. е. обратный элемент группы.
Сумма двух отрезков равна третьему, нулевой отрезок есть
единица группы. Таким образом, мы построили группу с
неисчислимым количеством элементов,
21

Образуют ли группу точки на отрезке прямой? Если
отрезок имеет концы, то, разумеется, нет. Достаточно сложить две
части отрезка, составляющие больше половины его длины,
чтобы выйти за концевые точки. Но это несовместимо с
определением группы.
Тем не менее из точек отрезка прямой тоже можно
построить непрерывную группу. Для этого достаточно соединить
его концы, т. е. замкнуть в кольцо. Сколько бы ни
складывались отрезки на кольце, сумма никогда не выйдет за его
пределы. При этом надо всегда отсчитывать результат от одной
точки, как на циферблате часов. Например, складывая 5 и
9 часов, следует брать результат равным не 14, а 14—12 =
= 2 часам. Каждый раз, когда сумма двух элементов больше
12, из нее надо вычесть 12.
Вместо движения точки по окружности можно
рассматривать и вращение вокруг оси. Повороты, или элементы группы,
будут задаваться в градусах или в долях окружности. Это
удобнее, чем пользоваться такой единицей угла, как час:
12 часов вчера для нас совсем не то же самое, что завтра, а
поворот на 720°, или на 360°, или на 0° — один и тот же.
Мы нашли, таким образом, две непрерывные группы:
группу сложений, или переносов, на бесконечной прямой, и
группу вращений вокруг оси. На прямой и на окружности эти
группы очень похожи друг на друга. Но в трехмерном
пространстве они существенно различаются: группа переносов
имеет перестановочное умножение, от перемены мест
слагаемых отрезков их сумма не меняется, а группа вращений
трехмерного пространства неперестановочна. Результат двух
вращений вокруг непараллельных осей зависит от порядка
вращений.
Перейдем теперь к конкретным свойствам симметрии
пространства и времени. Рассмотрим сначала симметрию
относительно переноса вдоль любой прямой. Перенос в любом
направлении можно разложить по трем
взаимно-перпендикулярным осям. Таким образом, пространство имеет группу
симметрии относительно произвольных переносов по трем взаимно-
перпендикулярным направлениям. Разумеется, это
утверждение основано на опыте; каким образом, будет сказано дальше
в этом разделе.
Время задается одной величиной, а не тремя, как точка в
пространстве. Насколько можно считать, что симметрия
времени напоминает симметрию прямой относительно переносов,
т. е. что их абстрактная группа симметрии одна и та же?
Ведь только что было сказано, что 12 часов дня вчера и
сегодня, или завтра, совсем не одно и то же для нас. Но
симметрия — понятие относительное. Симметрия времени
уже, чем симметрия бесконечной прямой, если рассматривать
время во всех его аспектах, но, тем не менее не исключена
22

возможность, что время симметрично по отношению к одному,
определенному классу законов природы.
К этому классу принадлежат законы механики, которым
подчинены движения тел в пространстве и во времени.
Удобнее всего выбрать пример чисто механического движения, не
осложненного силами трения или каким-либо иным трудно
контролируемым влиянием внешней среды. Трение всегда
сопровождается переходом движения к молекулам,
составляющим тела, и поэтому сильно осложняет процесс механического
движения.
Без трения, или почти без трения, движутся небесные тела
(небольшое трение при их движении происходит от приливных
волн, но мы отвлечемся от этого явления). Именно небесные
тела послужили моделью Ньютону, когда он формулировал
законы механики, потому что в астрономических явлениях они
проявлялись в наименее осложненном виде. Обращение Земли
вокруг Солнца совершается одинаково в течение десятков
тысяч лет; если бы не влияли другие планеты и приливы, и
Солнце не теряло постепенно свою массу вследствие
излучения, орбита Земли оставалась неизменной сколь угодно долго.
Отсюда надо заключить, что время однородно, т. е. все его
моменты равноценны, по крайней мере, по отношению к чисто
механическим явлениям.
Год в нашу эпоху и на заре человеческой истории равнялся
36574 дням. Следовательно, в качестве начальной даты
летосчисления может быть взята любая. Законы небесной
механики совершенно симметричны по отношению к любому
выбору начального момента времени. Как раз такой симметрией и
обладают точки на бесконечной однородной прямой.
Есть еще одно преобразование симметрии, связанное с
временем. Уподобив его точкам на прямой, мы можем пойти
еще дальше и спросить: существует ли симметрия
относительно перемены направления времени? Абстрактная прямая,
безусловно, обладает такой симметрией, но обладает ли время?
В разделе 2 было сказано, что если изменить (мысленно)
направление времени на обратное, то все материальные
частицы переменят знак скорости. Но попятное движение будет
совершаться строго по тем же траекториям, по каким
происходило движение вперед. В механике причины и следствия
связаны однозначно, в этом состоит принцип механического
детерминизма, который мыслители XVIII века без
достаточных оснований считали универсальным законом природы в
целом.
Но, опять-таки оставаясь в рамках чистой механики, надо
признать, что ее законы полностью симметричны относительно
прошедшего и будущего. Например, затмения Солнца так же
хорошо определяются в прошлом, как и в отдаленном
будущем, Давние астрономические явления используются для да-
2а

тировки исторических событий тех лет, когда затмениям
приписывалось сильно преувеличенное влияние на нашу, земную
жизнь.
Таким образом, по отношению к определенному классу
явлений — механическим движениям, время допускает замену
Прошедшего на будущее. Можно сделать и более общее
определение: все законы физики, в таком виде, как мы знаем их до
сих пор, симметричны относительно изменениям знака
времени.
Явления в окружающем нас мире отнюдь не столь
симметричны, и мы не знаем пока, происходит ли это от влияния
каких-то еще не известных нам физических законов, или от
того, что материя в прошлом находилась в особых условиях и
эволюционировала по простым законам вероятности. По
таким законам смешиваются два газа, приведенных в
соприкосновение, и потом, сколько бы ни ждать, они сами собой не
разделятся ни за какие мыслимые космические промежутки
времени. Но за сверхкосмические промежутки времени
разделение когда-нибудь по законам вероятности может
осуществиться.
Мы не знаем, связана ли .наблюдаемая нами необратимость
времени просто с законами вероятности и больших чисел, или
заложена в каких-нибудь элементарных законах природы, еще
не открытых.
Так или иначе, в вопросах симметрии относительно
изменения знака времени есть еще нерешенные проблемы. Раньше
полагали, что по отношению к перемене знака
пространственных координат никакой проблемы нет, и здесь можно свободно
выбирать знаки по произволу. В дальнейшем это не
оправдалось. Но прежде чем говорить об асимметрии пространства,
разъясним, в чем заключалась предполагавшаяся симметрия,
Есть существенная разница между координатной системой
на плоскости и в пространстве. Координатные системы на плос<
кости всегда могут быть полностью совмещены друг с другом.
Действительно, пусть совмещены абсциссы. Тогда возможны
два случая: либо ординаты тоже совмещены, либо они
направлены в противоположные стороны. В первом случае нечего
больше доказывать, а во втором случае надо повернуть одну
из систем вокруг абсциссы на 180°, выведя ординату из
плоскости.
Теперь посмотрим, как обстоит дело в пространстве. Две
оси легко совместить только что описанным способом. После
этого третьи оси могут иметь либо одинаковое, либо
противоположное направление. В последнем случае их невозможно
совместить никаким поворотом. Ведь если повернуть систему
вокруг оси абсцисс, то ординаты тоже повернутся вместе С
третьей осью. Следовательно, если две из трех осей совпадают,
24

Рис. 13
а третьи направлены противоположно, то такие координатные
системы невозможно совместить (рис. 13).
Если читатель не хочет
прибегать к
пространственному воображению,
чтобы убедиться в этом,
то можно тут же сделать
модели обеих систем... из
трех пальцев каждой
руки. Большие и
указательные пальцы обеих рук
надо сложить вместе,
тогда средние пальцы будут
смотреть в
противоположные стороны. По аналогии
с руками координатные
системы называются правой и левой. Отличать их следует
так. Обычный «правый» (винт направляют (мысленно) по оси г.
Тогда, если вращать головку винта от оси х к оси у по
часовой стрелке, то сам винт будет перемещаться по оси г.
Правый винт, отраженный в зеркале, становится левым: мы уже
говорили, что стрелки часов у нашего зеркального двойника
вращаются в обратную сторону.
Возможно, что выбор правой системы нарезки винтов в
качестве стандартной связан с устройством мускулов на правой
руке человека, например, такой винт удобнее затягивать,
вращая его по часовой стрелке. По отношению к человеческому
телу правая и левая система координат неравноценны, так как
внутренние органы и вся функциональная деятельность орга*
низма асимметричны относительно правого и левого.
Но законы механики такой асимметрии в себе не содержат.
Они совершенно тождественно формулируются в обеих
системах координат. Винты с правой и левой нарезкой
неравноценны для механика, но равноценны для механики.
Правая и левая система все же оказались
неравноценными в неорганической природе, но эта область физики лежит
далеко за пределами ньютоновской механики и учения об
электричестве (см. вторую часть, глава 5).
Что касается асимметрии в живой природе, то ее причины
далеко нельзя считать ясными. Иногда высказывают
догадки, что это результат простой случайности при самом
зарождении жизни. Но как появилась жизнь, тоже пока неизвестно,
так что гипотезы нельзя сопоставить с какими-либо фактами.
О таких областях науки вежливо говорят, что они находятся
в зачаточном состоянии.
Всегда следует помнить, что симметрия того или другого
рода есть свойство определенных законов движения, а не
25

абстрактного пространства, как его представляют себе по
учебникам геометрии. Всякие физические законы выражают
известное приближение к истине: абсолютных законов пока
кет, и мы не знаем, существуют ли они. Поэтому свойства
симметрии — приближенные в той же мере, как сами
законы движения, обладающие этими свойствами.
Столь осторожное высказывание относится к законам,
которые еще не уточнены: мы не можем предугадать, в какую
сторону пойдет уточнение. Но бывают случаи, когда свойства
симметрии не нарушаются при переходе к более детальным
закономерностям движения. Так, все, что сказано о симметрии
пространства и времени в ньютоновской механике, целиком
переносится в квантовую механику. Особенно важно при этом
свойство симметрии относительно правого и левого: в
квантовой механике из него получается новый закон сохранения,
который нельзя формулировать в классической механике.
Пространство обладает еще одним видом симметрии —
относительно поворотов координатных систем. Эта идея
давалась человечеству с большим трудом: ведь когда-то
думали, что Земля плоская, и вертикальное направление
абсолютно. То, что Земля — шар, стало известно культурным людям
еще в древности. Для них вертикальное направление не было
абсолютным, а менялось на земной поверхности от точки к
точке. Но Земля в представлении большинства образованных
людей до эпохи Коперника была центром мироздания.
Поэтому для них равноценными были не все направления в
пространстве, а все прямые, проходящие через центр Земли. Там
находилась особая, выделенная точка, центр симметрии
Вселенной.
Открытие Коперника лишило Землю ее преимущественно-
ного положения. Центр Земли для мыслящих людей перестал
быть центром Вселенной. Чем же он физически выделен для
нас? Очевидно, тем, что к нему направлена сила притяжения
Земли. Но достаточно далеко от всех тяготеющих тел все
точки пространства равноценны, равно как все прямые,
проведенные через любую точку. Вокруг любой прямой можно
повернуть координатную систему на любой угол, и повернутая
система будет во всех отношениях равноценна с
первоначальной.
Таким образом, мы формулировали еще одно свойство
симметрии пространства. Условимся о терминологии.
Симметрию относительно поворотов будем называть
изотропией, а относительно переносов — однородностью.
Право-левую симметрию пока не придумали, как назвать
одним словом.
Может показаться, что рассуждение о свойствах симметрии
пространства, основанное на законах движения, ничего не при-
26

бавл^ет к нашим действительным знаниям о движении. Все
свойства пространства заключены в геометрии Евклида,
которой механика пользуется от своего зарождения и по сей
день.
Но интуитивное чувство реальности, с которым связано
применение геометрии Евклида, основано в конечном счете на
повседневном опыте. Насколько он хорош в масштабе
солнечной системы? А во всей Вселенной? Ньютон высказался
очень осторожно в этом смысле, понимая, что свойства
пространства могут быть определены только физически, а не
чисто геометрически. Но последующие поколения ученых
были более догматичны.
По-новому подошел к вопросу только А. Эйнштейн,
который реально показал, что пространство удовлетворяет
аксиомам Евклидовой геометрии приближенно. Как раз
отклонения от евклидовости воспринимаются как действие сил
тяготения. Но механика Эйнштейна существенно уточняет
ньютоновскую. В рамках механики Ньютона пространство
однородно и изотропно.
Что же мы все-таки выигрываем, привлекая свойства
симметрии пространства в явном виде при анализе законов-
механики? Не достаточно ли простых формулировок, вроде «сила
равна массе на ускорение» и т. п.? Реальное удобство от
пользования понятиями симметрии заключено в том, что из него
легко и непринужденно вытекают все механические законы
сохранения. Перечислим их и попытаемся показать, или, по
крайней мере, упросить читателя поверить, что с каждым
свойством изотропии и однородности связан закон сохранения
в ньютоновской механике.
1. Однородность пространства. Чтобы понять,
какое отношение она имеет к механике, начнем с простого
вопроса: почему камень падает вниз? Потому что на него
действует сила тяжести. Иными словами, пространство вблизи
земной поверхности физически неоднородно: все тела
стремятся занять самые низкие положения, поближе к Земле.
Столь же неоднородно пространство вблизи Солнца:
орбиты всех тел солнечной системы искривлены. Но вся
солнечная система, как целое, движется прямолинейно, по
крайней мере, в течение сотни миллионов лет отклонения от
прямолинейности в ее движении, по-видимому, не было.
Пространство, в котором она движется, свободно от
тяготеющих тел, и здесь можно говорить об однородности. Иными
словами, на солнечную систему как целое не действуют
внешние силы. Согласно второму закону Ньютона, внешняя сила
равна изменению импульса тела за единицу времени
(импульсом системы тел называется их суммарная масса, умноженная
на скорость центра инерции. Он равен также векторной сумме
27

импульсов всех тел системы. Вместо «импульс» часто говорят
«количество движения», но мы не будем пользоваться этим
термином).
Когда результирующая внешняя сила, действующая на
систему, равна нулю, импульс системы не изменяется со
временем, т. е. сохраняется.
Мы не пытаемся подменить второй закон Ньютона
рассуждением об однородности пространства. Наоборот,
утверждается, что из второго закона Ньютона следует прямолинейность
и равномерность движения центра инерции системы тел в
однородном пространстве (напомним, что центр инерции
системы из двух тел с равной массой лежит посередине между ними,
если массы относятся, как 2:1, то вдвое ближе к тяжелому
телу, чем к легкому и т. д.). Никакие внутренние силы в
системе не нарушают однородности пространства по отношению
к системе как целому. Поэтому действие внутренних сил
оставляет импульс системы неизменным.
Когда ракета летит в безвоздушном пространстве и
достаточно удалена от тяготеющих тел, приобретенный ею импульс
равен и противоположен по знаку импульсу, унесенному
пороховыми глазами. Закон сохранения общего импульса
системы, один из важнейших в механике, непосредственно
связан со свойствами однородности пространства.
Импульс, равный произведению скалярной величины —
массы на векторную величину — скорость, сам есть величина
векторная. Поэтому закон его сохранения фактически
содержит три закона сохранения, для каждой компоненты в
отдельности. Компоненты вектора независимы, и не обязательно
должны сохраняться все вместе. Исходя из свойств симметрии
можно указать, какие из составляющих вектора сохраняются.
Около поверхности Земли поле тяжести можно
приближенно считать постоянным на небольших участках. Например,
на расстоянии 10 километров направление силы тяжести
меняется на 0,Г. На участке земной поверхности диаметром
10 километров сила тяжести не имеет составляющей,
перпендикулярной силе в средней точке участка, если пренебречь
малыми величинами, обусловленными отклонением в 0,1°.
Короче, поле тяжести можно приближенно считать плоским
на небольших площадках. Тогда оно однородно и обладает
симметрией относительно смещений, параллельных земной
поверхности. Соответственно должен сохраняться импульс
летящего тела в направлении, перпендикулярном силе тяжести.
Вертикальная составляющая импульса меняется под
действием тяжести, а горизонтальная остается неизменной, если,
конечно, пренебречь сопротивлением воздуха.
Поставим теперь, скорее для примера, следующий вопрос:
какая составляющая импульса сохраняется в поле тяжести
бесконечного однородного цилиндра? Ясно, что здесь поле
28

имеет симметрию относительно переносов вдоль оси цилиндра-
Следовательно, эта составляющая импульса и сохраняется.
В поле шара нет симметрии относительно переносов в
любом направлении, поэтому не сохраняется ни одна
составляющая импульса. Когда рассчитывают движение ракет дальнего
действия и спутников, закон притяжения к Земле приходится
брать в точном виде. В первом приближении он имеет
обычный ньютоновский вид: сила притяжения обратно
пропорциональна расстоянию до центра Земли. Креме того, надо
вводить поправки на сплющенность Земли у полюсов.
В поле шара нет симметрии относительно переносов, но
зато есть симметрия относительно вращений. Из-за этого
получаются иные законы сохранения, которые мы сейчас
рассмотрим.
2. Изотропия пространства. Вблизи
притягивающего шара нет полной изотропии пространства. Есть только
симметрия относительно вращений вокруг центра шара, а не
вокруг произвольной точки, как вдали от тяготеющих тел.
Но мы начнем с более наглядного случая движения тела
около неподвижного притягивающего шара. Разложим
скорость тела в некоторой точке на две составляющие:
радиальную и перпендикулярную радиусу (рис. 14, а). По второму
закону Ньютона, составляющая, перпендикулярная радиусу,
здесь не меняется, потому что в этом направлении не
действует никакая сила.
а гх 6
Рис. 14.
Возьмем теперь три соседних положения точки и проведем
радиусы из центра притягивающего тела. Получившиеся
треугольники имеют общую сторону, которая показана на
рисунке как г2 и равные высоты #±£если промежутки времени /,
отделяющие соседние положения точки, равны, поскольку v±
одинакова. Следовательно, площади треугольника l/2v± r2t
одинаковы. Но такое же построение можно произвести для
следующего момента и т. д.
Каждый раз площадь нового треугольника будет равна
площади предыдущего треугольника. Если сократить на
общий множитель /, то получатся площади, которые точка опи-
2D

сывает за единицу времени. Оказывается, что при движении
точки в поле центральной силы эти площади одинаковы
(второй закон Кеплера, иначе — закон площадей).
Нам будет удобнее придать полученному закону несколько
иную форму. Прежде всего важно, что нами найден на самом
деле не скалярный, а векторный закон сохранения. На первый
взгляд не видно, где здесь векторные величины, но так
получилось просто потому, что мы заранее рассматривали
движение точки в плоскости ее орбиты.
Но почему можно было считать орбиту плоской? Потому,
что радиальная сила не выводит точку из заданной плоскости,
если движение первоначально происходило в этой плоскости.
Фактически составляющая скорости v ±, перпендикулярная к
некоторому направлению, есть величина не скалярная, а
векторная. Пока в поле прятягивающего центра движется одна
точка, ничто не препятствует нам выбирать одну плоскость
орбиты, но если движущихся точек несколько, орбиты могут
и не совпадать. Например, планетные орбиты только
приближенно находятся в одной плоскости, они несколько наклонены
одна к другой.
В этом, более общем случае движение каждой точки надо
разложить по трем координатным плоскостям, вычерчивая
проекцию орбиты на каждую плоскость в отдельности. И для
всех трех проекций получится закон площадей одинакового
вида.
Каждую плоскость можно задать по направлению нормали
(т. е. перпендикуляра) к ней. Например, плоскость ху
задается нормалью г, плоскость х — нормалью у, плоскость yz —
нормалью х. Три сохраняющиеся площадки на координатных
плоскостях отвечают, таким образом, одному вектору, у
которого х-овая проекция равна площади, описываемой точкой на
плоскости yz, и т. д. (рис. 14, б).
Почему это так важно для механики? Потому что отсюда
получается закон сохранения для системы частиц. Прежде
всего в системе частиц сохраняются не суммы площадей в
проекции орбит на координатные плоскости, а произведения
проекций площади на массы соответствующих частиц.
Большие массы дают и большие вклады, как в законе сохранения
импульса системы частиц.
Итак, мы построили векторную величину,
характеризующую систему частиц. Ее принято называть моментом
импульса, или, короче, просто моментом системы. В механике есть
и другие величины, которые называются моментами,
например, момент силы, но мы не будем нигде им пользоваться.
Название «момент» для сохраняющейся векторной величины
общепринято среди физиков.
Теперь мы можем снять одно ограничение, поставленное
вначале. Считалось, что все точки движутся в поле сил одного
30

притягивающего центра. Об их взаимодействии между собой
ничего не было сказано. Фактически сохраняется и момент в
системе взаимодействующих частиц. Не обязательно считать
одну из них центром, наподобие Солнца в планетной системе.
Сохранение векторной величины означает, что постоянны
все ее три составляющие в отдельности. Таким свойством
обладает момент систехмы частиц, достаточно удаленных от всех
других тел, иначе говоря — замкнутой системы.
Изотропия пространства сказывается в том, что никакие
причины не выводят момент из его первоначального направле-
ления: все направления в пространстве равноценны, и если по
тем или иным причинам момент был ориентирован вдоль
какой-либо прямой, его ориентация не изменится.
На замкнутую систему вообще не действуют внешние
силы, теперь уже не обязательно рассматривать симметрию
относительно вращений вокруг какой-либо выделенной точки.
Любая точка достаточно подходит, чтобы производить
вращения вокруг нее, хотя чаще всего момент определяется
относительно центра инерции.
Сохранение момента используется и в земной механике, не
только в применении к небесным телам. Все, вероятно,
слыхали про гироскоп, т. е. волчок, подвешенный таким образом,
что любое вращение имеет центром его центр инерции.
Действие силы тяжести тем самым компенсировано, потому что
гироскоп уравновешен в любом положении. Поэтому у
гироскопа сохраняются при вращении все три составляющих
момента, он «помнит» некоторое направление в пространстве.
Ясно, какое значение это имеет для навигации.
Соображения о симметрии силового поля полезны и в тех
случаях, когда система симметрична относительно вращений
только вокруг одного, выделенного направления. Например,
поле тяжести вблизи земной поверхности не меняется при
поворотах вокруг вертикального направления. Следовательно,
сохраняется только вертикальная, но не горизонтальная
составляющая момента.
Известно,, что падающая кошка становится на лапы, с
какими предосторожностями ее ни уронили бы, чтобы не дать ей
оттолкнуться во время бросания. Это не противоречит закону
сохранения момента, потому что кошка поворачивается вокруг
горизонтальной оси. При всем желании кошка не могла бы
повернуться вокруг вертикальной оси и стать головой не в ту
сторону, куда была брошена.
3. Однородность времени. Пространство однородно при
переносах в трех направлениях и изотропно при вращении
вокруг любой из трех координатных осей. Это приводит к
законам сохранения двух векторных величин: импульса и
момента.
Смещение по времени, относительно которого законы меха-
31

ники тоже симметричны, приводит к сохранению одной
величины, очевидно, скалярной.
Отличие вектора от скаляра в первую очередь состоит в
том, что вектор — совокупность трех величин, а скаляр —
одна величина. Разумеется, не любые три величины образуют
вектор, а только такие тройки, как компоненты импульса,
момента, силы и т. п., но мы не будем вдаваться в строгое
математическое определение. Во всяком случае, одна величина,
не имеющая себе подобных, как совокупность компонент
вектора, есть скаляр.
Пример скалярной величины в механике — масса. Но
масса характеризует частицу при всяком ее движении, это не
тот скаляр, который связан с однородностью времени.
Симметрия относительно смещений во времени приводит к закону
сохранения скалярной величины энергии замкнутой
системы. В общем виде читателю придется принять это
утверждение на веруа Но на частном примере это можно
«прочувствовать».
Однородность времени хорошо видна в том, с каким
постоянством происходит вращение Земли вокруг Солнца.
Параметры орбиты связаны с энергией вращения Земли.
Сохранение параметров орбиты от оборота к обороту
свидетельствует о неизменности условий движения во времени. А это и
есть, по определению, однородность времени по отношению к
механическому движению.
Приведенные здесь примеры и рассуждения показывают,
что свойства симметрии пространства и времени неразрывно
связаны с законами сохранения механических величин. Вряд
ли разумно утверждать, что величины сохраняются потому,
что пространство и время так устроены. Не лучше ли сказать,
что в свойствах симметрии мы находим особенно общую
формулировку законов механики, проверенных на опыте?
6. Симметрия и относительность движения
То же самое можно будет утверждать и о других свойствах
симметрии движения, которые мы будем рассматривать в
настоящем разделе. Не все виды симметрии механических
законов могут быть формулированы в терминах симметрии
пространства и времени. Есть и еще один признак симметрии,
который проявляется в кинематике движения.
В равномерно идущем поезде предметы падают
вертикально вниз, так же как в комнате, неподвижной относительно
земной поверхности. Землю теперь никто не считает
неподвижной, но ее вращение вокруг Солнца очень трудно заметить по
движению земных предметов. Здесь сказывается относи-
32

тельность всякого движения, которая в особенности
отчетливо проявляется при движении прямолинейном и
равномерном.
Скажем несколько слов о неравномерном движении, чтобы
затем удобнее было перейти к равномерному. Хотя всякое
движение может быть определено только по отношению к
какому-нибудь другому телу, нельзя утверждать, что вполне
безразлично во всех случаях, какое тело считать неподвижным,
какое движущимся. Например, когда человек вращается на
карусели, или плывет по морю при сильной качке, он чувствует
себя совсем не так, как стоящий на твердой Земле.
Относительность движения здесь чисто кинематическая, никакой
динамической относительности при ускоренном движении нет.
Ведь и вращающиеся, и качающиеся тела обладают
ускорениями, которые воспринимаются органами чувств или
физическими приборами.
Не может быть зарегистрировано только прямолинейное
равномерное движение, точнее говоря, не существует
физических способов для того, чтобы определить, какое из тел «на
самом деле» равномерно и прямолинейно движется, какое
покоится. За короткие промежутки времени Земля в своем
вращении вокруг Солнца очень мало отклоняется от
прямолинейного пути, и мы не испытываем таких ощущений, как на
карусели.
Итак, мы нашли еще один вид симметрии: по отношению
к двум наблюдателям, движущимся прямолинейно и
равномерно, динамические законы совершенно тождественны.
Безразлично, какого из наблюдателей считать неподвижным,
какого движущимся. Практически удобнее во многих случаях
считать неподвижным наблюдателя, стоящего на Земле, но
это чисто житейское соглашение. В астрономии применять
его, разумеется, нельзя.
Тот вид симметрии, который мы таким образом
формулировали, называется иначе относительностью движения. Слово
«наблюдатель» в нем совсем не обязательно, поскольку
имеется в виду не наблюдающий человек, а любой
регистрирующий объективные показания прибор. Вряд ли кто-нибудь
сомневается в том, что в вагоне равномерно идущего поезда
отвес одинаково хорошо показывает вертикальное
направление вне зависимости от того, есть ли в вагоне пассажиры или
нет их.
Точно так же в ваго,не предмет, который уронили без
начальной скорости в горизонтальном направлении, падает
прямо вниз, а брошенный предмет летит по такой же
траектории, как на земле. При одинаковых начальных условиях
движение в вагоне и на земле совершается одинаковым
образом — это и содержится в утверждении, что динамические
законы тождественны.
33

Выразим теперь операцию симметрии, связанную с
относительностью движения, в виде явной формулы.
На рис, 15 изображены две координатные системы на
плоскости ху и х1у{. Направление осей х и х1 совпадает с
направлением относительной скорости v обеих систем. К примеру, ось
х направлена вдоль рельсов прямолинейного участка пути,
ось хх — вдоль поезда,
9 Пусть А — некото-
У | У рый предмет в вагоне.
Относительно вагона
его координаты xlyx, a
по отношению к земле
ху. Если у1 так же, как
_ у| у, отсчитьгаается прямо
1 от поверхности земли,
X1 х т' будет просто у=у1. Из
! ^ рисунка столь же легко
О
ур JC видеть, что x=xl + vt,
где t — время, отсчи-
Рис. 15 тайное от того момента,
когда оба начала
координат совпадали.
Полученные здесь формулы перехода принято называть
преобразованиями Галилея, впервые установившего закон
относительности движения.
Нетрудно показать в общем виде, что преобразования
Галилея не меняют динамических законов движения, т. е. законов
Ньютона. Действительно, если предмет А имеет относительно
вагона скорость Vх (для простоты допустим, что он движется
вдоль вагона), то относительно Земли его скорость равна
vx+V. При этом надо считать v постоянной величиной, потому
что в противном случае нельзя объявить две системы
координат равноценными.
Но если v постоянно, то ускорение тела wl относительно
вагона равно его ускорению w относительно земли. Массу га
предмета мы считаем независимой от скорости, и
действующую силу тоже. Например, в закон тяготения Ньютона
отнюдь не входят скорости тел, а только их относительные
положения. Постоянство массы при движении хорошо
подтверждено огромным числом опытных фактов, согласующихся с
механикой Ньютона.
Итак, оказалось, что произведение массы на ускорение
тождественно на земле и в вагоне, движущемся равномерно,
и равно одной и той же силе. Закон «сила равна массе на
ускорение» совершенно одинаково выглядит в системах,
движущихся друг относительно друга прямолинейно и
равномерно. А это выражает известную симметрию.
Все сказанное на первый взгляд самоочевидно. Задачи на
34

сложение скоростей решают школьники, еще не проходившие
механику, и, если соображают, у них получается по ответу!
Но ответы правильны потому, что в условиях задач стоят
поезда и пароходы, которые движутся сравнительно медленно.
Вероятно, в задачниках скоро появятся и космонавты,
скорость которых около 10 км/сек. Но и тогда ошибки школьных
задачников будут еще очень малы. Преобразования Галилея
нельзя будет применять к космонавтам будущего, скорость
которых приблизится к скорости света. Неверен будет и
«очевидный» закон сложения скоростей v = vl ■+- V.
Конечно, наука имеет дело не только с космонавтами.
Физика уже давно изучает движение частиц, разогнанных до
огромных скоростей, почти не уступающих скорости света.
Как мы сейчас покажем, к таким частицам нельзя применять
преобразования Галилея и закон сложения скоростей в том
виде, как он из них следует.
Начнем с вопроса о том, применимы ли преобразования
Галилея к распространению света, точнее, не сами эти
преобразования, а вытекающий из них простой закон сложения
скоростей. Оказывается, что он придет в противоречие с более
общими требованиями относительности всякого движения.
Мы покажем, как выявилось это противоречие исторически.
Раньше думали, что свет распространяется-в особой
упругой среде, эфире. Но около ста лет назад К. Максвелл создал
электромагнитную теорию света, где никакого «эфира» нет.
Световые колебания совершает электромагнитное поле,
самостоятельный физический объект, столь же реальный и
первичный, как вещество.
Не означают ли слова «электромагнитное поле» просто
«эфир»? Оказывается, что нет, и вот почему. «Эфир», согласно
предположению, особая среда, которая переносит световые
волны так, как воздух переносит звуковые. Тогда
относительно эфира можно и покоиться, и двигаться, и физически это
означает совсем не одно и то же.
Если скорость света относительно эфира 300 000 км/сек, то
относительно движущегося предмета или наблюдателя она
больше или меньше, смотря по тому, в какую сторону он
движется: навстречу световому лучу или по его направлению.
При распространении звука в воздухе это явление
наблюдается. Свист пули слышен после того, как она пролетела:
пуля обгоняет звук. Впереди нее звук не слышен.
Электромагнитное поле мы не представляем себе, как
среду: это особый вид движения. Естественно ожидать, что к
нему применим принцип относительности. Тогда скорость
распространения света, типично электромагнитного явления,
должна быть одинакова относительно всех наблюдателей,
движущихся прямолинейно и равномерно по отношению друг
к другу. Если окажется, что скорость света одинакова во всех
35

направлениях только для одного наблюдателя, а для всех
других различна, смотря по тому, в каком направлении они
движутся, то тогда существует абсолютный покой.
Именно тот особый наблюдатель, у которого свет
одинаково быстро бежит во все стороны, покоится относительно
эфира. Само понятие эфира обретет при этом физическую
реальность и перестанет быть только «существительным от
глагола колебаться», как острили до Максвелла. В те
времена эфир представляли себе в виде упругой среды, и,
естественно, находили противоречия не только с принципом
относительности движения. Вернее, о них как раз не думали, а
ломали себе голову над тем, как сквозь упругую среду без
сопротивления движется Земля,— проблема в стиле
средневековой схоластики.
Если же реально само электромагнитное поле, то
естественно ожидать, что к нему применим принцип относительности
движения. Тогда равноценны все наблюдатели, движущиеся
прямолинейно и равномерно. Сначала это выглядит совсем
невинно. Но если вдуматься, то получаются весьма
неожиданные выводы. Поскольку все наблюдатели равноправны и
среди них нет абсолютно покоящегося, то любой из них
обнаружит, что скорость света относительно его системы одна и
та же во всех направлениях. Ведь это основной закон
распространения света, и для всех наблюдателей он должен быть
одинаков, как и законы механики. Когда же скорость света
может быть во всех направлениях одинакова? Только если она
не складывается ни с какой другой скоростью, в какую
сторону ни двигался бы наблюдатель.
Такой вывод пришел в физику не путем логических
умозаключений. Наоборот, все физики были уверены, что закон
сложения скоростей применим к свету, так что луч, бегущий
вдоль движения Земли, имеет относительно нее иную
скорость, чем луч, бегущий перпендикулярно ее движению.
Но физика ничего не принимает на веру, В 1887 году Май-
келсон осуществил прямой опыт по измерению скорости света,
распространяющегося в разных направлениях относительно
скорости движения Земли. Результат был неожиданным для
того времени: скорость света не зависела от направления
луча.
Правильное толкование опыта Майкелсона дал в 1905 году
А. Эйнштейн в специальной теории относительности. Эйнштейн
распространил принцип относительности так, чтобы
охватывать не только механические, но и электромагнитные явления.
В такой формулировке теория Эйнштейна выглядит очень
безобидно, на самом же деле следствия из нее в корне
изменили физические представления о пространстве и времени, и
до сих пор усваиваются с огромным трудом людьми,
имеющими недостаточную подготовку.
36

Поскольку наша главная тема — вопросы симметрии
движения, мы постараемся не пугать читателя кажущимися
парадоксами теории относительности, и даже несколько сгладим
углы. Подробное популярное изложение вопросов теории
относительности можно найти в другом месте1.
Сравним между собой принцип относительности в том
виде, как он заключен в галилеевских преобразованиях и
посмотрим, как надо видоизменить его, чтобы он мог
применяться к распространению света.
При выводе формул, выражающих преобразование
Галилея, молчаливо были сделаны два допущения:
1. Время в системе обоих наблюдателей всегда совпадает,
если оно совпадало в начальный момент, так что t = Р. На чем
основано убеждение в том, что это действительно так? Только
на привычке, или, лучше сказать, на повседневном опыте. Так,
пассажир, едущий в поезде, сверяет свои часы со всеми
станционными часами, и если они показывают одно и то же,
спокойно решает, что все в порядке. Но пассажир едет
гораздо медленнее, чем распространяется свет, так что рискованно
столь широко обобщать житейский опыт.
2. Отрезок 01А на рис. 15, измеренный обоими
наблюдателями, имеет равную длину. На рисунке это очевидно, но
ведь обе координатные системы, изображенные на бумаге,
покоятся. А так ли это, если они находятся в движении друг
относительно друга? Привлечь мы можем только
повседневный опыт, а это надо делать с осторожностью.
Но пусть какой-нибудь упрямый физик очертя голову все
же примет допущения 1 и 2, лежащие в основе
преобразований Галилея. Тогда уже чисто логически получится тот самый
закон сложения скоростей, который нельзя применять к
распространению света.
Вместо того чтобы догматически утверждать недоказанное,
постараемся следовать опытным данным. Согласно опыту
Майкелсона, скорость света в обеих системах строго
одинакова и равна одной и той же постоянной величине с =
= 300 000 км/сек. Относительно одной системы сигнал
проходит за время t путь х = ct, а относительно другой за время
tl путь х1 = ct1.
Надо так определить формулы перехода от штрихованной
системы к нештрихованной, чтобы скорость света с
действительно оставалась неизменной, то есть не складывалась с
относительной скоростью обеих систем. Вывод формул имеется
в указанной выше литературе, мы приведем сразу готовый ре-
1 Л. Д. Ландау и Ю. Б. Р у м е р. Что такое теория
относительности. М., 1959. А. С. Компанеец. Пространство и время в теории
относительности. «Знание», 1962. Я. А. Смородинский. Геометрия
Вселенной. «Знание», 1963. К. Д ь ю р е л л». Азбука теории
относительности. М, 1964.
37

зультат. Обозначим отношение V/c = р, у= 1/У 1 — рг Хогда
xi= (X_^)Y,<i= (< —p-f-;Y-
Решая эти уравнения относительно х и t, легко найдем
х = (л:1 + W*)y, * = (tl + P~)Y- Деля одно равенство на дру-
гое, получим: x/t = х' + V?) {V + р—). Если подставить сюда
х = ct, х' = cf, мы действительно придем к тождеству с — с,
т. е. скорость света одинакова в обеих системах. Мы хотя и не
вывели формул преобразования, но по крайней мере
проверили, что они удовлетворяют основному требованию: не
меняют скорости света.
Второе естественное требование заключается в том, чтобы
при малых отношениях V/c, т. е. при малых р, получались
формулы преобразования Галилея. Ведь при малых скоростях
они прекрасно проверены повседневным опытом, которым
никак нельзя пренебрегать там, где он заведомо применим.
Действительно, отбрасывая все члены, содержащие р,
получим х' = х + Vt, f = t, как и требуется.
Исходя из требований симметрии, мы вынуждены были
отказаться от гипотезы об универсальности времени. Время
оказалось величиной относительной. Это один из самых
поразительных выводов Эйнштейна.
Мы видели, что второй закон Ньютона симметричен
относительно преобразований Галилея. Если применить
преобразования, написанные только что (они называются
преобразованиями Лоренца), то форма уравнений Ньютона изменится
при переходе от одного равномерно движущегося
наблюдателя к другому. Поэтому Эйнштейн соответственно уточнил
механику, так чтобы преобразования Лоренца не меняли вида
основных законов.
В механике Эйнштейна импульс не равен просто
произведению массы частицы на ее скорость v, а содержит еще
множитель у. Только в у входит скорость самой частицы v. Еще
больше изменено по сравнению с ньютановским выражение
энергии частицы через ее скорость. В частности, оказывается,
что покоящаяся частица с массой т обладает энергией тЛ
Это выражение особенно существенно, когда изучаются
взаимные превращения частиц, при которых массы меняются.
Не вводя энергии покоя тс2, невозможно удовлетворить'
закон сохранения энергии. Например, покоящаяся частица
может распасться на две движущиеся. В ньютоновской
механике кинетической энергией обладает только частица,
находящаяся в движении. Откуда она взяла бы энергию, образуясь
из покоящейся частицы? Только теория относительности в
состоянии ответить на этот вопрос.
38

В нашу задачу не входит сколько-нибудь подробное
изложение теории относительности Эйнштейна. Мы только хотели
подчеркнуть, что здесь в общей форме выражается симметрия
законов движения по отношению к различным наблюдателям,
движущимся прямолинейно и равномерно друг относительно
Друга.
Теория относительности входит неотъемлемой частью в
учение об элементарных частицах, и не только потому, что без
нее нельзя удовлетворительно понять процессы взаимного
превращения частиц. Элементарные частицы в условиях
физического эксперимента обычно имеют скорости, близкие к
скорости света. Даже если опыт исходит из покоящихся
частиц, в процессе превращений получаются быстрые
частицы.
Но механика быстрых частиц и есть область применения
теории относительности. Механика Ньютона, применяемая в
этой области, приводит просто к абсурдам. Например,
определенное событие, скажем, столкновение двух частиц, будет
происходить, с точки зрения одного наблюдателя, и не
осуществится, с точки зрения другого. Но такой вывод противоречит
физике, результаты которой не могут зависеть от точки
зрения.
Так получилось потому, что механика Ньютона
недостаточно симметрична относительно разных наблюдателей, когда
приходится рассматривать движения со скоростями,
близкими к скорости света. Нарушение симметрии привело к
нарушению основного требования, предъявляемого к физике и к
науке вообще: объективности выводов.
7. Симметрия колебательного движения
В этом разделе мы рассмотрим значение симметрии для
другой области механики, где изучается движение не
отдельных точек, а сплошных, непрерывных сред.
Простейший пример непрерывной механической системы—
струна. Можно представить себе (хотя нельзя изготовить)
бесконечно длинную натянутую струну. Или, иначе говоря,
выделить участок очень длинной струны весьма далеко от обеих
точек прикрепления.
Однако удобнее говорить все-таки о бесконечно длинной
струне. Она обладает симметрией относительно переносов.
Каким образом такая симметрия сказывается на колебаниях
струны?
Прежде чем ответить на вопрос, вспомним, что всякое
механическое движение обладает симметрией относительно
переносов во времени. Разумеется, это относится к идеальному
случаю колебаний струны, когда ее энергия не переходит во
внутреннее, тепловое движение и не излучается в виде звука
39

в окружающую среду. Позволительно рассматривать
идеализированные условия движения, если при этом не возникает
противоречия с основными законами физики.
Однородность струны по длине в состоянии покоя отнюдь
не означает, что она останется однородной и при движении,
т. е. что все ее точки будут одновременно совершать одно и
то же движение. Если по струне провели смычком, то тем
самым была нарушена симметрия в начальных условиях
движения. Возникло определенное смещение во времени между
колебаниями соседних точек струны.
На рис. 16 слева изображен некоторый участок
неколеблющейся струны в начальный момент времени t0l когда ее
касался смычок, посредине тот же участок, пришедший в движе-
Рис. 16
ние (t\), справа показано, как движущийся участок
переместился по струне (/2), а его начальное положение изображено
пунктиром. Но форма участка, находящегося в любой данный
момент в движении, осталась без изменения. За время (t2—1\)
уступ переместился по струне на расстояние / = u(t2 — ^1).
Очевидно, что буква и здесь означает скорость
распространения уступа.
Симметрия относительно переносов по длине и по времени
сказалась здесь в том, что форма уступа не изменилась.
Существенно, чтобы скорость распространения любого выступа
была одна и та же и не зависела от его формы. Это связано
не только с симметрией, но и со свойствами упругости струны.
Есть и более симметричная форма движения струны, чем
бегущий по ней выступ произвольного профиля. Отдельный
выступ не обладает никакой симметрией по времени и по
длине, взятым в отдельности, а лишь по совместному
смещению на h — t\ по времени и на / = u(t2 — ^1) по координате.
Существует, однако, и такая форма движения струны, когда
есть симметрия по длине, но не такая высокая, как у струны
неподвижной, которая совмещается сама с собой при
переносе на любой, сколь угодно малый отрезок длины. Симметрия
по длине колеблющейся струны может состоять в том, что ее
форма повторяется при сдвиге на конечное расстояние Я, или
на 2Я, на ЗА, и т. д. Получается не один выступ ограниченной
длины, как на рис. 16, а периодическая волна, бегущая по
струне с той же скоростью и.
На рис. 17 сплошной линией показано положение струны
s
40

в некий момент времени tu а пунктиром — в момент %. За
время h —1\ поменяются местами наивысшая и наинизшая
точка колеблющейся струны. Из рисунка видно, что за время
^2 — t\ волна успела пробежать расстояние Я/2, или ^ — U =
= Х/2 и. Это половина периода колебаний. За целый период
на место гребня станет соседний гребень, так что период равен
л
~~ .Следовательно, через любую данную точку гребень будет
проходить ul% раз в секунду. Эта величина называется
частотой волны и обозначается буквой v.
Но мы еще не условились о том, какую форму имеет
струна между гребнем и впадиной. Оказывается, что среди всех
мыслимых форм существует простейшая, так сказать, наибо-
Рис. 17
лее симметричная. Рассмотрим длинный цилиндр такого же
диаметра, как размах колебаний на рис. 17. На поверхности
цилиндра нарисуем винтовую линию с шагом винта К. Тогда
волна на рис. 17 есть проекция винтовой линии на плоскость,
параллельную оси. Если цилиндр равномерно вращается,
проекция будет иметь вид бегущей волны.
Как известно, в развертке цилиндра на плоскость
винтовая линия превращается в обыкновенную прямую линию.
Именно поэтому она и обладает наибольшей симметрией
относительно смещений. Для цилиндра с данным радиусом
винтовая линия полностью определяется ее углом с образующей
цилиндра, или просто шагом винта А,, других параметров для
ее задания не надо. Б том же смысле волна, которая
получается в проекции винтовой линии, тоже задана, если
известна ее амплитуда и длина X или частота v. Такая простейшая
волна называется гармонической. При звучании ей отвечает
чистый музыкальный гармонический ток.
На бесконечной струне выбор длины волны X ничем не
ограничен. Соответственно и частота колебаний v может
быть любой. Как мы уже говорили, колебание с длиной волны
Я симметрично относительно переноса всей струны на Я,
2Я, 31 и т. д.
Какие чистые, гармонические тоны способна издавать
струна конечной длины, жестко закрепленная с двух концов?
Очевидно, что в местах закрепления всегда должны находиться
41

точки струны с нулевым отклонением, иначе называемые
узлами. Отсюда видно, что по закрепленной струне волна
бежать не может — ведь на неограниченно длинной струне
узлы бегут вместе со всеми точками волнового профиля.
Но и закрепленная струна сможет издавать чистые тоны,
только не любой высоты (частота колебаний отвечает высоте
музыкального тона). Нужно только, чтобы на длине струны
укладывалось целое число полуволн: полволны, одна волна,
три полуволны, две целые волны и т. д. При этом в точках
закрепления каждый раз будут получаться узлы* Частота
обратно пропорциональна длине волны. Поэтому самый низкий
тон звучит, когда на струне укладывается ровно полволны*
Ясно, что тогда на всей длине струны узлов больше нет.
Самый низкий тон струны называется основным. Когда
на струне помещается целая волна, то как раз посредине есть
еще один узел. Тогда частота колебаний вдвое больше, чем у
основного тона. При двух узлах частота в три раза больше,
чем у основного тона. Колебания с большими частотами, чем
у основного тона, называются обертонами.
Обертоны есть не только у одномерной механической
системы, струны, но и у двумерных и трехмерных систем.
Пример двумерной колебательной системы — мембрана, жестко
натянутая на контур определенной формы.
Рассмотрим наиболее симметричную круглую мембрану.
Какой будет симметрия возможных гармонических
колебаний? Колебания снова удобно классифицировать по числу
узлов, только теперь узловыми должны быть не отдельные
точки, как на струне, а сплошные линии на поверхности
мембраны. Узловые линии на мембране становятся видными
глазу, если насыпать на ее поверхность тонкий порошок. Он стрях-:
нется с пучностей и соберется к узлам (фигуры Хладного),,
Целый ряд колебаний обладает той же симметрией, что и
сама мембрана (рис, 18, 1> 2, 5). Знаки «+» и «—» условно
Рис» 18
обозначают гребень и впадину для некоторого момента
времени, через полпериода они поменяются местами.
Случай / отвечает основному тону, 2> 3 — обертонам.
Частоты таких колебаний не только не кратны, но несоизмеримы*
42

Колебания 1, 2, 3 и им подобные, сохраняющие симметрию
мембраны, можно назвать полносимметричными. Подобно
этому человеческая фигура сохраняет свою симметрию при
некоторых вольных гимнастических движениях.
Другие движения, в том числе простая ходьба, нарушают
симметрию тела. Аналогично колебания 4, 5, 6 имеют гораздо
меньшую симметрию, чем покоящаяся мембрана. Эти три
колебания имеют узловые линии по диаметру мембраны.
В этих случаях мембрана симметрична только относительно
поворотов на 180° и 120° (см. рис. 18, 5, 6), или вообще не
симметрична (см* рис. 18, 4). Таким образом, колебания могут
иметь и самую высокую симметрию, ту же самую, как у
мембраны, и самую низкую, допускающую только операцию
тождества — поворот на 360°*
Перейдем теперь к трехмерному случаю. Наиболее
удобный для «ас пример трехмерной механической системы —
воздушная полость сферической формы внутри резонатора с
жесткими стенками. В этом случае колеблются скорость и
давление воздуха в резонаторе. На стенках резонатора
радиальная составляющая скорости колебаний равна нулю, так
как воздух не может ни втекать в стенку, ни вытекать из нее.
Это условие аналогично закреплению концов струны.
Колебание воздуха вызывает избыток давления в одних точках
полости и недостаток — в других. Перепад давления и создает ту
силу, которая заставляет воздух колебаться.
Чем больше перепад давления на единицу длины, тем
больше и скорость, чем меньше перепад, тем скорость меньше.
Отсюда видно, что там, где скорость обращается в нуль,
равен нулю и перепад давления: давление принимает
наибольшее или наименьшее значение. (Вблизи максимума величина
больше не растет, а вблизи минимума — не падает, по
определению минимума и максимума).
Следовательно, давление может быть распределено по
сечению резонатора примерно так, как показано на рис, 19, /.
Вертикальные линии на рисунке означают стенки, точка
О — центр, линия А — А — уровень равновесного давления.
На самом деле, надо представить себе целую сферу с
радиусом, равным расстоянию от центра до стенки. Поверхность
стенки — узловая для скорости, а для давления узловая
сфера имеет радиус, равный расстоянию от центра до той точки,
где давление равно невозмущенному. На рис. 19,2 показано
распределение давлений у обертона в резонаторе. Здесь не
одна, а четыре концентрические узловые поверхности.
Колебания, у которых все узловые поверхности имеют вид
концентрических сфер, имеют ту же симметрию, что и сама
сфера. На примере круглой мембраны мы видели, что есть и
гораздо менее симметричные колебания. И у сферы узловые
поверхности могут лежать не только концентрически с ней.
43

Есть колебания, у которых узловые поверхности проходят
через меридианы сферы и делят ее на равные секторы,
похожие на ломти арбуза (рис. 20,/). У других колебаний
узловые поверхности проходят через параллели, имея вид двойных
конусов с вершиной в центре
* сферы (рис. 20, 2). Бывает и
комбинация тех и других
поверхностей (рис. 20, <?), так
что поверхность сферы
расчерчена подобно глобусу. Каждый
конус считается за одну
поверхность, так что на рис. 20,2
изображены две конические
узловые поверхности. Вполне
возможна комбинация
концентрических поверхностей с
таким «глобусом», но ее трудно
изобразить на рисунке.
Картина довольно сложная.
Кроме большей сложности,
здесь есть одна принципиально
новая особенность по
сравнению с мембраной. Там каждой картине узловых линий
отвечала своя определенная частота колебаний. Не было двух
разных картин со строго одинаковыми частотами. Здесь же
оказывается, что частота зависит только от общего числа нулей
типа 1, 2 или 3, на рис. 20, а не от того, сколько поверхностей
плоских и сколько — конических. Лишь концентрические
поверхности существенно меняют частоту, их должно быть
строго одинаковое количество при разной частоте.
Не, представляется возможным доказать элементарно в об-
Рис 19
щем виде, что частота зависит только от того, сколько есть
неконцентрических узловых поверхностей (т. е. плоских и
конических). Для иллюстрации укажем только на один пример.
Частым случаем конуса является такой, у которого угол
при вершине равен 90°. Но это уже не конус, а плоскость,
41

проходящая через экватор. Ясно, что такая плоскость, или
плоскость, проходящая через полюса и пересекающая сферу
по меридиану, дают совершенно одинаковую картину
узловых поверхностей. В данном случае безразлично, что считать
меридианом, что экватором, следовательно, здесь будут и
равные частоты колебаний.
Колебания, имеющие одинаковые частоты при разных
волновых картинах, называются вырожденными.
Любопытно, что вырождение появляется в тех случаях, когда в
исходной группе симметрии есть неперестановочные операции.
Симметрия мембраны не приводит к таким операциям, так как
там есть только операции вращения вокруг одной оси. А
такие вращения, как мы говорили в разделе 1 и дальше, всегда
перестановочны. Соответственно, у мембраны нет и
вырожденных колебаний, каждое колебание имеет свою частоту, не
равную частотам всех других колебаний. Вращения вокруг
разных осей, которые допускает сфера, неперестановочны —
здесь появляются и вырожденные колебания.
Настоящая глава носит не только иллюстративный
характер. Дело в том, что механика движения электрона в атоме
сводится к волновой картине, симметрия которой во многом
сходна с симметрией сферического разонатора. Точнее, группа
симметрии здесь совпадает — это группа вращений
пространства вокруг центра шара. Поэтому многие выводы, в
особенности о вырождении, целиком будут перенесены в атомную
механику.
Мы довольно подробно останавливались на симметрии
свойств классического движения, потому что она целиком
сохраняется при квантовом движении и еще осложняется
своими, специфическими для квантовых законов, видами
симметрии. Однако симметрию, унаследованную квантовой теорией
от классической, надо было рассмотреть в связи с
классическим движением. Это должно было подготовить нас к
восприятию свойств симметрии в микромире элементарных частиц.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
От редакции .......... 2
1. Что такое симметрия ш 3
2. Симметрия кристаллов , 7
3. Большая секстина ,,.*,*»- 12
4. Абстрактные группы «.»«.«. 16
5. Симметрия в механике , 21
6. Симметрия и относительность движения - - 32
7. Симметрия колебательного движения „ . _ 39

Александр Соломонович КОМПАНЕЕЦ
Редактор И. Б. Файнбойм
Художеств, редактор Е. Е. Соколов
Технический редактор М. Т. Перегудова
Корректор Н. Д. Мвлешкина
Обложка А. Г. Ординарцева
Сдано в набор 3/Н 1965 г. Подписано к печати 4/Ш 1965 г. Изд. № 21.
Формат бум. 60X907i6. Бум. л. 1,5. Печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,74.
А 01025. Цена 9 коп. Тираж 52 300 экз. Заказ 392,
Издательство «Знауие». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4.
Типография изд-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4,

ДОРОГОЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Просим Вас отзыв о данной книжке и
свои пожелания присылать в издательство
«Знание».
Наш адрес: Москва, Центр4 Новая пл.,
Д. 3/4,

коп- Индекс
70072
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Москва 1965