Текст
                    ИЛ1И1

ББК 92я2 Н72 Довідкове видання Авторський колектив: Математика: О. М. Роганін, О. М. Титаренко Фізика: О. П. Бальва Хімія: О. В. Мєшкова, В. Г. Тищенко Біологія: Ю. О. Садовниченко Географія: О. А. Байназаров, Ю. І. Кандиба НОВІТНІЙ ПОВНИЙ ДОВІДНИК ШКОЛЯРА Відповідальний редактор О. Каширіна Коректор Г. Трубіцина Комп’ютерне макетування П. Ширнін Дизайн обкладинки В. Кулік Підписано до друку 29.01.10. Формат 84x108 У16. Гарнітура Шкільна. Друк офсетний. Ум.-друк. арк. 60,48- Наклад 20000 прим. Видання здійснене за ліцензією ФОН Шапіро М. В. «ТОРСІНГ плюс» Свідоцтво серія ДК № 2143 від 01.04.05 р. 61057, м. Харків, вул. Сумська, 13 З питань оптових поставок звертатися: Тел. (057) 717-10-26, 719-98-73 Е-таіІ: іогаіп^ ог'о-'гісіег.сот.иа Книга — поштою: 61057, м. Харків, а/с «Книжкова ліга» тел.: 8 (057) 7-199-880 Інтернет-магазин: іогаііщ.сот.иа Н72 Новітній повний довідник школяра. — Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2010. — 576 с. І8ВИ 978-611-030-075-9. У новітньому довіднику школяра подана повна інформація з основних шкільних предметів: математики, фізики, хімії, біології, географії. Видання підготовлене відповідно до сучасних вимог шкільної програми. Матеріал викладений послідовно, за темами, кожний розділ містить завдання для самоконтролю, ілюстративний матеріал (схеми, таблиці, графіки), що дозволить учням підготуватися до контрольних та самостійних робіт і успішно скласти випускні іспити. ББК 92я2 І8ВИ 978-611-030-075-9 © Авторський колектив, 2009. © ФОП Шапіро М. В., макет, 2010
ЗМІСТ МАТЕМАТИКА АРИФМЕТИКА НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА............................14 Натуральні числа..........................14 Арифметичні дії над натуральними числами...15 Числові вирази. Порядок арифметичних дій у числовому виразі........................15 Ділення з остачею.........................16 Ознаки подільності натуральних чисел......16 Розкладання натурального числа на прості множники..................................17 Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне............................17 ДРОБИ.......................................19 Звичайні дроби............................19 Правильні і неправильні дроби.............19 Основна властивість дробу.................20 Скорочення дробу..........................20 Зведення дробів до спільного знаменника...21 Додавання і віднімання дробів.............22 Множення дробів...........................24 Ділення дробів............................24 Десяткові дроби...........................25 Додавання і віднімання десяткових дробів..25 Множення десяткових дробів................25 Ділення десяткових дробів.................25 Перетворення десяткового дробу на звичайний і звичайного на десятковий. Періодичні дроби..........................27 ПРОПОРЦІЇ, ВІДСОТКИ.........................29 Відношення. Пропорція. Властивості пропорції.....................29 Відсотки...................................29 Знаходження відсотків даного числа....ЗО Знаходження числа за його відсотком...ЗО Складні відсотки ..........................ЗО ЦІЛІ, РАЦІОНАЛЬНІ, ДІЙСНІ ЧИСЛА..............31 Додатні і від'ємні числа. Цілі числа.......31 Раціональні й ірраціональні числа..........32 Дійсні числа. Координатна пряма (числова вісь).........32 Порівняння дійсних чисел...................33 Властивості числових нерівностей...........34 Модуль (абсолютна величина) дійсного числа........................34 Властивості модулів...................34 Дії з дійсними числами (додавання, віднімання, множення, ділення).............35 Властивості арифметичних дій над дійсними числами (основні закони алгебри)...........35 АЛГЕБРА ДІЇ З АЛГЕБРАЇЧНИМИ ВИРАЗАМИ.................37 Види алгебраїчних виразів..................37 Область визначення алгебраїчного виразу....38 Тотожно рівні вирази.......................38 Степінь натурального числа з натуральним показником.................................39 Степінь дійсного числа з натуральним показником.................................39 Властивості степеня дійсного числа з натуральним показником...................39 Степінь дійсного числа з нульовим і від'ємним цілим показником...............39 Одночлен і многочлен (загальні поняття)....40
4 Зміст Многочлен п-го степеня і його окремі випадки для п = 0,1,2.....................40 Множення многочлена на многочлен...........41 Ділення з остачею многочлена на многочлен...41 Формули скороченого множення...............42 Трикутник Паскаля..........................42 Виділення повного квадрата двочлена із квадратного тричлена......................42 Розкладання многочлена на множники.........43 Цілі раціональні вирази....................43 Дробові раціональні вирази. Основна властивість раціонального дробу...44 Скорочення раціональних дробів.............45 Зведення раціональних дробів до спільного знаменника................................45 Додавання і віднімання раціональних дробів.46 Множення і ділення раціональних дробів.....46 Корінь п-го степеня з дійсного числа.......47 Основні властивості коренів (правила дій із радикалами)...............47 Винесення множника з-під кореня............48 Внесення множника під корінь...............48 Зведення підкореневого виразу до цілого вигляду.........................48 Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику або чисельнику дробу.........48 Степінь дійсного числа з раціональним показником................................49 Степінь дійсного числа з дійсним показником... .49 Властивості степеня дійсного числа з дійсними показниками.......................49 Середнє арифметичне і середнє геометричне. Нерівність Коші..............50 ФУНКЦІЇ І НАЙПРОСТІШІ ГРАФІКИ................52 Область визначення і область значень функції.. .52 Основні способи задання функції............52 Парні і непарні функції....................54 Періодичні функції.........................54 Обмеженість функції........................55 Монотонність функції.......................55 Проміжки знакосталості і корені функції.......................56 Точки мінімуму і точки максимуму функції. Екстремум функції....56 Обернена функція............................56 АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ І СИСТЕМИ РІВНЯНЬ.........59 Рівності та їхні властивості. Тотожності....59 Рівняння з однією змінною (загальні поняття) ... .60 Рівносильність рівнянь......................60 Перетворення, при яких рівняння переходить у рівносильне йому рівняння..........................60 Сукупність рівнянь..........................61 Класифікація алгебраїчних рівнянь...........61 Лінійні рівняння і рівняння, що до них зводяться..........................62 Рівняння, які зводяться до лінійних....62 Квадратні рівняння..........................63 Теорема Вієта ..............................63 Двочленні рівняння..........................64 Тричленні рівняння. Біквадратні рівняння....64 Цілі раціональні рівняння вищих степенів. Теорема Безу.................................65 Симетричні рівняння третього степеня........65 Симетричні рівняння четвертого степеня......66 Розв'язання деяких неповних раціональних рівнянь вищих степенів.......................67 Розв'язання раціональних і дробово- раціональних рівнянь методом уведення нової змінної................................67 Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.. .69 Метод інтервалів (проміжків) при розв'язуванні рівнянь з модулями.............70 Ірраціональні рівняння......................71 Основні методи розв'язування ірраціональних рівнянь ................71 Метод піднесення обох частин початкового рівняння до того самого степеня.................72 Метод уведення нових змінних...........75 Штучні методи розв'язування ірраціональних рівнянь.................78
Зміст 5 Системи рівнянь............................79 Основні методи розв'язування систем рівнянь.........................80 Однорідні системи рівнянь..................83 Симетричні системи рівнянь.................84 АЛГЕБРАЇЧНІ НЕРІВНОСТІ.......................87 Нерівності з однією змінною (основні поняття).. .87 Лінійні нерівності і нерівності, які зводяться до лінійних................................88 Системи і сукупності нерівностей з однією змінною....................................89 Геометрична інтерпретація нерівностей......90 Нерівності другого степеня.................93 Графічне розв'язування нерівностей другого степеня ...................................93 Розв'язання раціональних нерівностей методом інтервалів.........................94 Метод заміни змінної при розв'язуванні раціональних нерівностей...................96 Нерівності з модулем.......................96 Ірраціональні нерівності...................98 ПРОГРЕСІЇ...................................100 Поняття числової послідовності............. 100 Арифметична прогресія.....................101 Геометрична прогресія.....................101 Нескінченно спадна геометрична прогресія...102 ТРИГОНОМЕТРІЯ...............................103 Означення тригонометричних функцій........103 Розв'язування важливих прикладів, доведення тотожностей.....................104 Приклади на доведення тригонометричних тотожностей..........106 Розв'язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів ... .107 Обернені тригонометричні функції...........109 Тригонометричні функції від обернених тригонометричних функцій..................109 Тригонометричні функції від агсзіпх...109 Тригонометричні функції від агссозх...109 Тригонометричні функції від агсїдх....110 Тригонометричні функції від агссїдх...110 Найпростіші тригонометричні рівняння......110 Основні методи розв'язування тригонометричних рівнянь................113 Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники....113 Спосіб зведення тригонометричного рівняння до однієї з функцій.......114 Розв'язування тригонометричних рівнянь, однорідних відносно синуса і косинуса, а також таких, що зводяться до однорідних.......................115 Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою універсальної підстановки Ід—= Г..............................116 2 Метод уведення допоміжного аргументу............................117 Розв'язування рівнянь перетворенням суми (різниці) тригонометричних функцій на добуток...........................118 Розв'язування рівнянь перетворенням добутку тригонометричних функцій на суму.....................119 Тригонометричні рівняння, що розв'язуються із застосуванням формул зниження степеня.............120 Розв'язування рівнянь із застосуванням формул подвійного і потрійного аргументів........................120 Розв'язування рівнянь за допомогою заміни змінних.....................120 Розв'язування тригонометричних рівнянь виду ^ї(х)=д(х) ...........122 Розв'язування тригонометричних рівнянь із використанням обмеженості функцій у = 5ІПХ, у = СО5Х.................122 Тригонометричні рівняння, що містять обернені тригонометричні функції........123 Системи тригонометричних рівнянь........123 Тригонометричні нерівності..............124 ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ. ПОКАЗНИКОВІ І ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ, СИСТЕМИ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТІ.............128 Означення логарифма. Основна логарифмічна тотожність.........128
6 Зміст Властивості логарифмів......................128 Логарифмування і потенціювання.........129 Показникові рівняння........................130 Методи розв'язування показникових рівнянь .. .130 Розв'язування найпростіших показникових рівнянь (передбачається, що а > 0, а Ф 1, Ь > 0)...............131 Розв'язування показникових рівнянь, що зводяться до найпростіших, з використанням методу зрівнювання показників степенів.....................131 Розв'язування рівнянь виду а«х) = ьгм (а > 0) ь > о, а Ф і, ь Ф і).132 Розв'язування рівнянь виду А ,а(МВ ,Ьд(Х)..........................132 Розв'язування показникових рівнянь методом винесення спільного множника за дужки................................133 Розв'язування показникових рівнянь, що зводяться до квадратних або алгебраїчних рівнянь вищих степенів.....133 Розв'язування показникових рівнянь виду А. апх + Ватх- Ь(п'т>х + С Ьпх = 0, (а>0, Ь>0, ад1,бд1)...................135 Розв'язування показникових рівнянь методом підбору.........................136 Степенево-показникові рівняння..............136 Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь......................137 Розв'язування найпростіших логарифмічних рівнянь...................137 Розв'язування логарифмічних рівнянь потенціюванням..........................139 Розв'язування рівнянь із застосуванням основної логарифмічної тотожності аІО97’ = Ь...................140 Розв'язування логарифмічних рівнянь методом заміни змінної..................140 Розв'язування рівнянь методом логарифмування..........................141 Розв'язування рівнянь методом ділення обох частин на показниково-логарифмічну функцію.................................142 Розв'язування рівнянь шляхом переходу до іншої основи.........................142 Розв'язування логарифмічних рівнянь комбінованими методами...............142 Розв'язування логарифмічних рівнянь, що містять модулі.....................144 Показникові нерівності.....................145 Нерівності виду а/<ХІ > а9ІХІ.........145 Нерівності виду аГІХІ> Ь, а > 0.......145 Нерівності виду а/<ХІ > Ь.............146 Розв'язування показникових нерівностей методом заміни змінної...............146 Розв'язування нерівностей, що містять однорідні функції відносно показникових функцій..............................146 Степенево-показникові нерівності...........146 Нерівності виду (Г(х))вд >1 ..........146 Нерівності виду (Г(х))вд > (Г(х))ад...147 Нерівності виду (Г(х))вд > (д(х))вд...147 Логарифмічні нерівності....................147 Нерівності, що розв'язуються з використанням означення логарифма ... 148 Нерівності, що розв'язуються з використанням властивостей логарифмів...........................149 Логарифмічні нерівності, що розв'язуються з використанням заміни змінної.......149 Розв'язування показниково-логарифмічних нерівностей..........................150 Логарифмічні нерівності, що містять змінну під знаком логарифма і в основі логарифма.................151 ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІЙОВАНОГО ЧИСЛЕННЯ..........153 Границя функції. Неперервність функції.....153 Означення похідної. Основні формули і правила диференціювання..................154 Основні формули диференціювання.......155 Основні правила диференціювання.......155 Геометричне значення похідної..............155 Застосування похідної до дослідження функцій і побудови графіків................156 Достатні умови існування екстремуму...156 Загальна схема дослідження функцій....156 Задачі на знаходження найменшого і найбільшого значень функції. Екстремальні геометричні задачі............157
Зміст 7 ГЕОМЕТРІЯ ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ТЕОРЕМИ ГЕОМЕТРІЇ Пряма і відрізок, промінь, порівняння і вимірювання відрізків.......161 Кути. Порівняння і вимірювання кутів.......161 Суміжні та вертикальні кути. Кути при перетинанні двох прямих третьою прямою......................162 Паралельні прямі. Кути з відповідно паралельними і перпендикулярними сторонами................................163 Ознаки паралельності прямих..........163 Властивості паралельних прямих.......163 Кути з відповідно паралельними сторонами............................163 Кути з відповідно перпендикулярними сторонами............................164 Трикутник................................ 164 Ознаки рівності трикутників..........165 Рівнобедрений трикутник..............165 Ознаки рівності прямокутних трикутників..........................167 Теорема Піфагора.....................167 Співвідношення між сторонами і кутами у прямокутному трикутнику............168 Подібність трикутників...............169 Властивості бісектриси кута трикутника.... 169 Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику...........................169 Співвідношення між сторонами і кутами у довільному трикутнику. Теореми косинусів і синусів..........170 Чотирикутник..............................170 Паралелограм..............................170 Ознаки паралелограма.................171 Властивості паралелограма............171 Властивість суми квадратів діагоналей паралелограма........................171 Прямокутник...............................171 Ознаки прямокутника..................171 Властивості прямокутника.............171 Ромб......................................172 Ознаки ромба.........................172 Властивості ромба....................172 Квадрат....................................172 Властивості квадрата..................172 Трапеція...................................172 Властивість трапеції..................172 Властивості рівнобічноїтрапеції.......173 Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника і трапеції...173 Геометричні місця точок (коло, серединний перпендикуляр, бісектриса кута)...........................173 Пропорційні відрізки у колі...........174 Вписані та деякі інші кути............175 Вписані й описані трикутники..........175 Вписані й описані чотирикутники.......176 Ламана. Випуклі многокутники...............177 Правильні многокутники.....................177 Довжина кола і дуги........................178 Площі плоских фігур........................179 Площа квадрата і прямокутника.........179 Площа паралелограма і ромба...........179 Площа трикутника......................180 Площа трапеції........................180 Площа випуклого чотирикутника.........180 Площа правильного многокутника........180 Площі подібних фігур..................181 Площа круга та його частин............181 Перетворення фігур. Рухи (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне перенесення).........182 Властивості рухів.....................182 Симетрія відносно точки (центральна симетрія).................182 Симетрія відносно прямої (осьова симетрія).....................182 Поворот...............................183 Паралельне перенесення................183 Найпростіші геометричні побудови.......... 184 Загальна схема розв'язання задач на побудову...........................184 Декартові координати на площині.......184 Координати середини відрізка..........185 Відстань між двома точками............185 Рівняння кола.........................185 Рівняння прямої на площині............185 Умови паралельності двох прямих.......185 Умова перпендикулярності двох прямих.......185
8 Зміст ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ СТЕРЕОМЕТРІЇ..................186 Аксіоми стереометрії........................186 Теореми стереометрії........................187 Просторові геометричні фігури..........187 Взаємне розташування прямих і площин у просторі........................188 Ознака паралельності прямих............188 Ознака паралельності прямої і площини.... 188 Ознака прямих, що схрещуються..........188 Властивості паралельних площин.........189 Властивості паралельних проекцій.......190 Перпендикулярність прямих! площин...........190 Властивості перпендикулярних прямої та площини............................190 Відстані між точками, прямими і площинами....................191 Побудови у стереометрії.....................192 Кути у стереометрії.........................193 Властивості перпендикулярних площин.... 193 Призма та її властивості....................195 Бічна і повна поверхні призми..........196 Об'єм призми...........................197 Паралелепіпед...............................198 Піраміда та її властивості..................199 Властивості паралельних перерізів піраміди.....................200 Бічна і повна поверхні піраміди........201 Об'єм піраміди .............................202 Зрізана піраміда.......................203 Правильні многогранники.....................206 Циліндр і його властивості..................207 Розгортка циліндра. Бічна і повна поверхні циліндра........208 Об'єм циліндра.........................209 Конус і його властивості....................209 Бічна і повна поверхні конуса..........211 Бічна і повна поверхні зрізаного конуса .... 212 Об'єм конуса...........................212 Об'єм зрізаного конуса.................212 Сфера і куля, частини кулі та сфери.........213 Об'єм кулі.............................214 Формула об'єму частини кулі............215 Формули поверхні сфери та її частин....216 Декартові координати у просторі............217 Координати середини відрізка..........217 Відстань між двома точками............218 Рівняння сфери........................218 Вектори....................................218 Основні властивості складання векторів ... 219 Скалярний добуток векторів............220 Координати вектора....................220 Деякі важливі твердження і формули....220 Компланарні вектори...................221 ФІЗИКА МЕХАНІКА..............................228 Основи кінематики..........................228 Система відліку........................228 Поступальний рух.......................229 Матеріальна точка......................229 Траєкторія.............................229 Координатний і векторний способи описування руху матеріальної точки.....229 Вектор переміщення і шлях.............230 Швидкість..............................231 Відносність руху.......................232 Відносна швидкість.....................232 Закон додавання швидкостей.............233 Рівномірний рух........................233 Прискорення............................234 Рівнозмінний рух.......................235 Обертальний рух твердого тіла..........237 Основи динаміки............................238 Перший закон Ньютона..................238 Інерціальні системи відліку...........238 Принцип відносності Галілея...........239 Сила. Принципи незалежності дії сил (принцип суперпозиції).................239 Рівнодіюча сила.......................239 Другий закон Ньютона..................240 Третій закон Ньютона..................240 Закон всесвітнього тяжіння.............241 Сила тяжіння...........................241 Маса тіла як міра інертності. Гравітаційна маса......................242 Рух тіла під дією сили тяжіння. Вільне падіння.........................242 Вага тіла..............................244
Зміст 9 Космічні швидкості....................244 Сили пружності........................245 Закон Гука............................246 Сила тертя............................246 Сила опору твердого тіла, яке рухається в рідині або в газі.....247 Момент сили...........................247 Рівновага механічної системи (абсолютно твердого тіла).............248 Закони збереження у механіці...............249 Імпульс матеріальної точки (тіла).....249 Імпульс сили..........................250 Імпульс системи тіл. Закон збереження імпульсу............250 Робота сили...........................251 Енергія. Кінетична та потенціальна енергії...............252 Потенціальна енергія..................253 Закон збереження механічної енергії...254 Потужність............................254 Елементи механіки рідин і газів (гідроаеростатика).........................255 Тиск..................................255 Закон Паскаля.........................256 Тиск нерухомої рідини на дно та стінки посудини (гідростатичний тиск).............256 Закон Архімеда........................256 МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА. ТЕРМОДИНАМІКА............259 Основи молекулярно-кінетичної теорії.......259 Атомна одиниця маси...................260 Атомна маса (відносна молекулярна маса)...........260 Моль. Стала Авогадро..................260 Кількість речовини....................261 Молярна маса..........................261 Обґрунтування молекулярно-кінетичної теорії................................261 Гази, рідини та тверді тіла у МКТ.....264 Ідеальний газ.........................266 Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу................266 Рівняння Клапейрона - Менделєєва (рівняння стану ідеального газу)......268 Ізопроцеси в газах....................268 Основи термодинаміки.......................270 Внутрішня енергія.....................270 Теплообмін ...........................272 Кількість теплоти. Питома теплоємність .... 274 Робота у термодинаміці................275 Перший закон термодинаміки............276 Застосування першого закону термодинаміки до різних термодинамічних процесів............276 Адіабатичний процес....................278 Необоротний процес. Другий закон термодинаміки............278 Властивості газів, рідин і твердих тіл.....279 Агрегатний стан речовини..............279 Випаровування та конденсація..........280 Насичена та ненасичена пара...........282 Питома теплота пароутворення..........284 Вологість повітря.....................285 Плавлення та кристалізація............285 Питома теплота плавлення..............286 Питома теплота згоряння...............287 Рівняння теплового балансу............287 ЕЛЕКТРОДИНАМІКА..............................289 Основи електростатики......................289 Взаємодія зарядів. Два види електричного заряду........289 Закон збереження заряду...............290 Закон Кулона..........................291 Електричне поле.......................292 Напруженість електричного поля........293 Принцип суперпозиції полів............293 Провідник в електричному полі.........294 Діелектрики в електричному полі.......295 Робота електричного поля з переміщення заряду.................296 Потенціал і різниця потенціалів.......297 Напруга та напруженість однорідного поля .. .298 Електроємність........................298 Електричний конденсатор. Електроємність плоского конденсатора... 298 З'єднання конденсаторів...............299 Енергія електричного поля.............299 Закони постійного струму...................299 Електричний струм.....................299 Сила струму...........................300 Закон Ома для ділянки кола............301 Електричний опір......................301
10 Зміст Електричне коло. Послідовне та паралельне з'єднання провідників....302 Робота та потужність електричного струму... 303 Закон Джоуля - Ленца...................304 Електрорушійна сила....................304 Закон Ома для повного кола.............305 Магнітне поле. Електромагнітна індукція......306 Магнітне поле. Взаємодія струмів.......306 Індукція магнітного поля...............307 Закон Ампера...........................309 Сила Лоренца............................310 Магнітний потік........................311 Явище електромагнітної індукції........311 Правило Ленца..........................312 Закон електромагнітної індукції........313 Індуктивність. Самоіндукція............315 КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ. ОПТИКА............317 Механічні коливання та хвилі...............317 Коливальний рух.......................317 Механічні коливання...................317 Амплітуда коливань....................318 Період коливань.......................318 Частота коливань......................318 Гармонічні коливання..................319 Перетворення енергії при гармонічних коливаннях............................319 Вільні коливання......................319 Динаміка вільних коливань.............320 Фаза коливань.........................322 Вимушені коливання....................323 Резонанс..............................324 Поширення коливань у пружних середовищах (механічні хвилі).....................325 Поздовжня хвиля.......................325 Поперечна хвиля.......................326 Плоска хвиля..........................326 Сферична хвиля........................327 Довжина та швидкість хвилі............327 Звук..................................328 Інтерференція хвиль...................329 Дифракція хвиль.......................330 Електромагнітні коливання та хвилі.........330 Вільні коливання у коливальному контурі................331 Вимушені електромагнітні коливання.....332 Змінний струм.........................333 Електричний резонанс..................336 Електромагнітне поле..................337 Електромагнітні хвилі та швидкість їх поширення..........................338 Оптика.....................................339 Геометрична оптика. Прямолінійне поширення світла.........339 Закон відбивання світла...............340 Побудова зображень у плоскому дзеркалі...................342 Закони заломлення світла..............342 Абсолютний і відносний показники заломлення............................343 Повне внутрішнє відбивання............344 Лінзи.................................345 Побудова зображення, що дається тонкою збиральною лінзою..............346 ХІМІЯ ЗАГАЛЬНА ХІМІЯ.................................350 Основні хімічні поняття. Речовина...........350 Основні хімічні поняття................350 Хімічні властивості речовин. Молекула. Елемент. Фізичне тіло. Прості та складні речовини. Хімічна формула.............351 Чисті речовини та суміші. Розділення сумішей.....................353 Хімічні реакції. Відносна атомна (молекулярна) маса. Моль...............355 Число Авогадро.........................356 Закон Авогадро. Молярний об'єм газу. Відносна густина газу..................357 Валентність............................357 Хімічна реакція.............................358 Закон збереження маси..................359 Закон сталості складу..................359 Закон об'ємних співвідношень газів під час хімічних реакцій...............360 Швидкість хімічних реакцій. Хімічна рівновага. Принцип Ле Шательє ... 360 Основні типи хімічних реакцій..........362 Класифікація хімічних реакцій за енергетичною ознакою................362
Зміст її Періодичний закон і періодична система елементів Д. І. Менделєєва.................367 Порядковий номер елемента..............367 Періоди та ряди елементів.............368 Групи та підгрупи елементів...........369 Сучасна періодична система............369 Будова атома...............................370 Протон, нейтрон,електрон. Квантові числа........................370 Електронні формули атомів та іонів....373 Хімічний зв'язок...........................374 Ковалентний хімічний зв'язок..........374 Координаційний хімічний зв'язок.......377 Іонний хімічний зв'язок...............377 Металічний хімічний зв'язок...........378 Водневий зв'язок......................378 Молекулярна і немолекулярна будова речовин........................379 Типи кристалічних ґраток..............380 Електронегативність...................381 Ступінь окиснення.....................381 Розчини....................................382 Поняття про розчини ..................382 Розчинність...........................383 Теорія електролітичної дисоціації.....385 НЕОРГАНІЧНА ХІМІЯ............................388 Основні класи неорганічних сполук..........389 Оксиди................................389 Основи................................393 Кислоти...............................394 Солі..................................396 Амфотерні сполуки ....................399 Металічні елементи та їхні сполуки. Метали .... 401 Загальні відомості про металічні елементи................401 Ряд активності (напруги) металів......404 Елементи-неметали та їх сполуки. Неметали...................................406 Елементи-неметали.....................407 ОРГАНІЧНА ХІМІЯ..............................411 Теоретичні основи органічної хімії.........412 Теорія будови органічних сполук О. М. Бутлерова.......................412 Електронна будова атома Карбону в основному і збудженому станах......................413 Типи хімічних зв'язків у молекулах органічних сполук............414 Класифікація органічних сполук..........415 Явище гомології.........................417 Номенклатура органічних сполук..........417 Ізомерія................................419 Взаємний вплив атомів або груп атомів у молекулах органічних сполук...........422 Кислотні та основні властивості органічних сполук........................423 Основні властивості органічних сполук...424 Основні типи хімічних реакцій органічних сполук........................425 БІОЛОГІЯ МОЛЕКУЛЯРНИЙ РІВЕНЬ ЖИТТЯ....................428 Елементний склад клітини...................428 Неорганічні сполуки в організмах......430 Органічні сполуки в організмах........431 КЛІТИННИЙ РІВЕНЬ ОРГАНІЗАЦІЇ ЖИТТЯ...........436 Організація клітин.........................437 Загальний план будови клітини.........437 Мембрани,їхня структура, властивості та основні функції........437 Цитоплазма та її компоненти...........440 Немембранні органели..................440 Одномембранні органели................442 Будова та функції ядра................444 Хромосоми, особливості будови та хімічного складу...................445 Хромосомний набір ядра. Гомологічні хромосоми.............................446 Аутосоми та статеві хромосоми (гетерохромосоми). Каріотип...........446 Типи організації клітин...............446 Клітинний цикл........................448 ОРГАНІЗМЕННИЙ РІВЕНЬ ЖИТТЯ...................453 Неклітинні форми життя.....................455 Віруси................................455 Віроїди...............................456 Пріони................................456 Бактерії..............................457
12 Зміст Рослини.....................................459 Загальна характеристика царства Рослини........................459 Тканини багатоклітинних рослин, їхні будова і функції .................459 Органи рослин..........................461 Різноманітність рослин......................468 Відділ Червоні водорості, або Багрянки...........................469 Відділ Бурі водорості..................469 Відділ Діатомові водорості.............469 Відділ Зелені водорості................470 Відділ Мохоподібні.....................470 Відділ Плауноподібні...................471 Відділ Хвощеподібні....................471 Відділ Папоротеподібні.................472 Відділ Голонасінні.....................472 Відділ Покритонасінні, або Квіткові рослини....................473 Гриби. Лишайники............................475 Загальна характеристика царства Гриби.... 475 Життєдіяльність грибів.................476 Лишайники,їхня різноманітність, особливості будови та життєдіяльності ... 476 Тварини.....................................478 Різноманітність тварин.................478 Людина......................................503 Тканини організму людини...............503 Функціональні системи органів..........504 Травлення .............................507 Дихання................................509 Транспорт речовин .....................510 Виділення..............................514 Шкіра..................................515 Нейрогуморальна регуляція процесів життєдіяльності організму...........................516 Ендокринна система...................520 Органи чуттів........................521 ГЕОГРАФІЯ ГЕОГРАФІЯ УКРАЇНИ...........................524 Загальна характеристика природних умов і природних ресурсів україни..............524 Географічне положення................524 Тектонічні структури.................525 Геологічна будова....................526 Мінерально-сировинні ресурси.........527 Геоморфологічна будова і рельєф......529 Кліматичні умови та ресурси..........530 Внутрішні води.......................532 Природні комплекси і фізико-географічне районування...............................535 Фізико-географічне районування.......535 ЕКОНОМІЧНА І СОЦІАЛЬНА ГЕОГРАФІЯ УКРАЇНИ.....544 Загальна характеристика господарства України.................................545 Формування господарського комплексу України, його структура..............545 Промисловість........................547 Міжгалузеві промислові комплекси.....548 Соціальний комплекс..................560 Легка промисловість..................561 Агропромисловий комплекс.............562 Харчова промисловість................569 Транспортний комплекс................571
МАТЕМАТИКА
АРИФМЕТИКА НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Натуральні числа. Арифметичні дії над натуральними числами. Числові вирази. Порядок арифметичних дій у числовому виразі. Ділення з остачею. Ознаки подільності натуральних чисел. Розкладання натурального числа на прості множники. Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Натуральні числа словник Число — це первинне поняття математики, математична абстракція. Цифри — це математичні знаки для позначення чисел. Числа 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,... нази- ваються натуральними або цілими додатними числами. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... називаються натуральними або цілими додатними числами. Ці числа використовуються для підрахунку пред- метів і для вказівки порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів. Число 0 (нуль) не є натуральним. Перша цифра праворуч у десятковому запису натурального числа називається цифрою першого розряду або розряду одиниць; друга цифра праворуч — цифрою другого розряду або розряду десятків; третя циф- ра праворуч — цифрою третього розряду або розряду сотень; четвер- та цифра праворуч — цифрою четвертого розряду або розряду тисяч; п’ята цифра праворуч — цифрою п’ятого розряду або розряду десятків тисяч тощо. Наприклад, запис 4369 означає: 4 — цифра тисяч, 3 — цифра сотень, 6 — цифра десятків, 9 — цифра одиниць. Звідси можемо записати: 4369 = 4 1000 + 3 100 + 6 10 + 9.
Натуральні числа 15 Арифметичні дії над натуральними числами В арифметиці визначено 4 дії: додавання, віднімання, множення, ділення. Результатом додавання або множення двох натуральних чисел завжди є натуральне число. Якщо а, Ь — натуральні числа, то 8 = а + Ь також натуральне число, де а, Ь — доданки, 8 — сума', р- а • Ь також натуральне число, де а, Ь — множники, р — добуток. Справедливі такі властивості додавання і множення натуральних чисел-. 1) а + Ь - Ь + а (переставний, або комутативний закон додавання); 2) (а + Ь) + с - а + (Ь + с) (сполучний, або асоціативний закон дода- вання); 3) а • Ь — Ь • а (переставний, або комутативний закон множення); 4) (а • Ь) • с - а • (Ь • с) (сполучний, або асоціативний закон множення); 5) а • (Ь + с) = а • Ь + а • с (розподільний, або дистрибутивний закон множення відносно додавання). Зазначимо, що не можна ділити на нуль. Так, наприклад, записи 7 : 0; 5 : 0; 0 : 0 не мають сенсу. Нехай а, Ь, с — натуральні числа. Якщо а-Ь-с, то говорять, що а — зменшуване, Ь — від’ємник, с — різниця. Якщо а : Ь - с, то го- ворять, що а — ділене, Ь — дільник, с — частка', число а називають кратним числа Ь, а число Ь — дільником числа а. Якщо а — кратне числа Ь, то існує таке натуральне число с, що а-Ь с. Числові вирази. Порядок арифметичних дій у числовому виразі Числовий вираз — це запис, що складається з чисел, з’єднаних зна- ками арифметичних дій і дужок. Значенням числового виразу називається число, яке отримуємо, якщо у даному числовому виразі виконати зазначені дії, дотримуючись порядку арифметичних дій. Порядок арифметичних дій у числовому виразі такий', спочатку виконують дії в дужках, усередині будь-яких дужок спочатку викону- ють множення і ділення, а потім додавання і віднімання. Наприклад, у числовому виразі ((135 - 15) 5 + 10 12) : 8 - 60 по- рядок арифметичних дій такий: 1 2 4 3 5 6 ((135- 15) 5+ 10 12) : 8-60. ЗАПАМ'ЯТАЙ На нуль ділити не можна! Зауваження. Іноді використовують ще прямі і фігурні дужки: [...] і {...}. При цьому спочатку виконують дії в круглих дужках, потім у прямих, а вже потім у фігурних. Застосовуючи, наприклад, круглі і прямі дужки, наведений вище вираз можна записати у такий спосіб: [(135-15) 5+10 12] : 8-60.
16 Арифметика Ділення з остачею Якщо натуральне число а не ділиться націло на натуральне число Ь, то не існує такого натурального числа с, що а = Ь • с. У цьому випад- ку говорять про ділення з остачею. Так, при діленні 51 на 8 у частці З отримуємо 6 і в остачі 3. Таким чином, 51 = 8-6 + 3, або 51:8 = 6+—. У загальному випадку можемо записати: якщо а — ділене, Ь — діль- ник (а > Ь), р — частка, г — остача, то а-Ь • р + г, де г < Ь. Інакше г можна записати: а і Ь=р . Тут а, Ь, р, г — натуральні числа (якщо Ь а ділиться на Ь без остачі, то г = 0, тобто г не є натуральним числом). Зокрема, запис а = 5 • р + 3 означає, що при діленні числа а на 5 отри- муємо число р і остачу 3. Приклад. Знайти частку і остачу від ділення числа 587 на число 31. Розв’язання. Виконуємо ділення у стовпчик: _587 131 31 ГЇ8~ _277 248 29 У результаті ділення отримуємо частку 18, остачу 29. Можемо записати: 587 = 18 31 + 29, або 587 : 31 = 18 + 29 : 31. Відповідь', частка дорівнює 18, остача дорівнює 29. Ознаки подільності натуральних чисел ЦІКАВО ЗНАТИ Натуральне число ділиться на 25, якщо дві його останні цифри або 25, або 50, або 75, або нулі. Ознака подільності на 2. Натуральне число ділиться на 2 тоді і тіль- ки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2. Наприклад, числа 84, 348, 576, 6284, 60530 діляться на 2. Ознака подільності на 3. Натуральне число ділиться на 3 тоді і тіль- ки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3. Наприклад, числа 186, 252, 348, 1062, 15189 діляться на 3. Ознака подільності на 4. Натуральне число ділиться на 4, якщо дві його останні цифри утворюють число, що ділиться на 4, або дві його ос- танні цифри — нулі. Наприклад, числа 80, 132, 448, 700 діляться на 4. Ознака подільності на 5. Натуральне число ділиться на 5 тоді і тіль- ки тоді, коли його остання цифра або 0, або 5. Наприклад, 15, 25, 60, 385, 12005 діляться на 5. Ознака подільності на 9. Натуральне число ділиться на 9 тоді і тіль- ки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9. Наприклад, числа 162, 261, 828, 3141, 5796 діляться на 9. Ознака подільності на 10. Натуральне число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 0. Наприклад, числа 100, 180, 250, 1050, 11250 діляться на 10. Ознака подільності на 25. Натуральне число ділиться на 25 тоді і тільки тоді, коли дві його останні цифри або 25, або 50, або 75, або нулі 00. Наприклад, числа 125, 150, 975, 2200, 2150, 34875 діляться на 25. Зазначимо, що справедливі такі властивості подільності суми і до- бутку: якщо кожен доданок ділиться на деяке число, то і сума ділиться
Натуральні числа 17 на це число {теорема про подільність суми); якщо в добутку хоча б один з множників ділиться на деяке число, то і добуток ділиться на це число (теорема про подільність добутку). Наприклад, сума 72 + 99 = 171 ді- литься на 9. Не виконуючи множення, можна стверджувати, що добуток 39 55 136 ділиться на 5, тому що один з множників 55 ділиться на 5. Розкладання натурального числа на прості множники Будь-яке число, крім одиниці, яке ділиться тільки на 1 і саме на себе, називається простим. Таким чином, просте число має тільки два дільники: саме це число і одиницю. Число, яке ділиться не тільки на одиницю і саме на себе, але ще і на інші числа, називається складеним. Складене число має більше двох дільників. Число 1 (одиниця) не від- носиться ні до простих, ні до складених чисел. Будь-яке складене натуральне число можна розкласти на прості множники, і тільки одним способом. При розкладанні чисел на прості множники звичайно записують у стовпчик, при цьому дільник розташовується праворуч від вертикальної риски, а частка записується під діленим. Так, для чисел 300, 630 маємо: 300 2 630 2 150 2 315 3 75 3 105 3 25 5 35 5 5 5 7 7 1 1 Якщо в розкладанні числа на прості множники той самий множник а зустрічається п разів, то записують коротко а - а - а - ... а = ап. Вираз а" називається степенем, де а — основа степеня, п — показник степеня. Звідси 300 = 22 3 52, 630 = 2 З2 5 7. Зауваження. Розкладання натурального числа на добуток степенів простих співмножників (основна теорема арифметики) має вигляд: де N — будь-яке натуральне число більше 1; рг, р2, ... , рт_1; р,„ — попарно різні прості числа; ос, — натуральні числа (і - 1, 2, ..., т - 1, т). Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне Дільник даного числа — це таке число, на яке дане число ділить- ся без остачі (націло). Наприклад, число 9 — дільник числа 63, число 42 — дільник числа 126. Серед виписаних дільників є однакові — 1, 2, 3, 4, 6, 12. Усі ці числа називаються спільними дільниками чисел 60 і 72, а найбільше серед них — найбільшим спільним дільником (для чисел 60 і 72 це — число 12). Найбільшим спільним дільником кількох чисел називається найбільше число, на яке усі дані числа діляться без остачі. Найбільший спільний дільник п чисел щ, а2, ..., ап_±, ап позначається НСД або НСД (а1; а2, ..., ЗАПАМ'ЯТАЙ Число 1 (одиниця) не відно- ситься ні до простих, ні до складених чисел. ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Основна теорема арифме- А/= р“' р“2 ... р“^' р“" ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює добутку цих чисел.
18 Арифметика а„_г, ап). Для знаходження найбільшого спільного дільника знаходиться добуток спільних простих множників, причому кожний з них береться з найменшим показником. Взаємно простими числами називаються числа, що не мають спіль- них дільників, крім одиниці. Інакше кажучи, якщо а і Ь — взаємно прості числа, то НСД (а; Ь) - 1. Найменшим спільним кратним кількох чисел називається найменше число, що ділиться на кожне з даних чисел без остачі. Наприклад, для чисел 4 і 6 число 12 — найменше спільне кратне; для чисел 12 і 18 най- меншим спільним кратним є число 36. Найменше спільне кратне п чисел щ, а2, ..., ал_1; ап позначається НСК або НСК (а1; а2, ..., а^, а„). Для знаход- ження найменшого спільного кратного знаходиться добуток усіх простих множників, причому кожний з них береться з найбільшим показником. Приклад. Знайти НСД і НСК чисел 126, 540, 630. Розв’язання. 126 = 2 З2 7, 540 = 22 З3 5, 630 = 2 З2 5 7. Звідси: НСД (126; 540; 630) = 2 З2 = 18; НСК (126; 540; 630) = 22 • З3 • 5 • 7 = 3780. Відповідь'. 18; 3780. Для будь-яких натуральних чисел а і Ь справедлива рівність НСД (а; Ь) НСК (а; Ь) = а • Ь. Зокрема, якщо числа а і Ь взаємно прості, тоб- то НСД (а; Ь) - 1, то НСК (а; Ь) - аЬ. Це означає, що найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює добутку цих чисел. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 3 наведених числових виразів оберіть те, значення якого — найбільше число. 1) 510: 17 + 24 38 -80: 4; 2) 510 : 17 + 24 (38 - 80 : 4); 3) (510 : 17 + 24) 4) (510 : 17 + 24) 38-80 (38 - 80 : 4; : 4). 2. Число 2004 ділиться без остачі на: 1) 25; 2) 10; 3) 9; 4) 3. 3. Знайдіть НСД (56; 70; 126). 1) 7; 2) 14; 3) 28; 4) 63. 4. Знайдіть НСК (54; 90; 162). 1) 18; 2) 180; 3) 810; 4) 900. 5. Собака погнався за лисицею, коли відстань між ними була 90 м. Через скільки хвилин со- бака наздожене лисицю, якщо лисиця пробігає за хвилину 320 м, а собака — 350 м? 6. Обчисліть: (377 - 255) 102 - 375 12 + (3075 : 15) 42. 7. Яке найменше число метрів матеріалу повинно бути в рулоні, щоб його можна було продати без остачі по 3 м, по 4 м, по 5 м? 8. У змаганнях з настольного тенісу брали участь рівні за складом команди, усього 123 хлоп- чики та 82 дівчинки. Скільки усього хлопчиків було у кожній команді? 9. Знайдіть значення виразу: ((8 - 0,2) (7,2 -5,7) + (5,4 - 3,65) (4,3 - 2,7)) : 7,25. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 3. 2. 4. 3. 2. 4. 3. 5. 3. 6. 16554. 7. 60. 8. 3. 9. 2.
ДРОБИ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Звичайні дроби. Правильні і неправильні дроби. Основна властивість дробу. Скорочення дробу. Зведення дробів до спільного знаменника. Додавання і віднімання дробів. Множення дробів. Ділення дробів. Десяткові дроби. Додавання і віднімання десяткових дробів. Множення десяткових дробів. Ділення десяткових дробів. Перетворення десяткового дробу на звичайний і звичайного на десятковий. Періодичні дроби. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Звичайні дроби Звичайним дробом називається одна або кілька рівних частин оди- ниці. Наприклад, дріб — означає, що одиниця поділена на 4 рівні час- 4 .. 3 тини и узята одна така частина; дріб — означає, що одиниця поділена 5 на 5 рівних частин і узяті три такі частини (рис. 1). Звичайний дріб записується за допомогою риски і двох натуральних чисел. Число, яке стоїть під рискою і показує, на скільки рівних частин поділена одиниця, називається знаменником дробу. Число, яке стоїть над рискою і показує, скільки взято таких рівних частин, називається чисельником дробу. Дроби читаються таким чином: і (одна третя). З з Дробову риску можна розглядати як знак ділення. Наприклад, — = 3 : 4 . 4 Одиницю можна зобразити як дріб, у якого чисельник дорівнює зна- 3 меннику. Наприклад, 1 = —. словник Звичайним дробом нази- вається одна або кілька рівних частин одиниці. Рис. 1 Правильні і неправильні дроби Дріб, у якому чисельник менше знаменника, називається правиль- 2 3 25 ним. Наприклад, дроби — , — , — є правильними. Дріб, у якого чисельник більше знаменника або дорівнює йому, на- „ „.356 зивається неправильним. Приклади неправильних дробів: — , — , — . Число, що складається з натурального числа і дробу, називається 19 1 мішаним (або мішаним дробом). Наприклад, 6—, 5—, 135— —мішані числа (мішані дроби). Щоб записати мішане число у вигляді неправильного дробу, потрібно помножити його цілу частину на знаменник дробової частини і до добут- ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Дробову риску можна розгля- дати як знак ділення. Одиницю можна розглядати як дріб, у якого чисельник дорівнює знаменнику.
20 Арифметика ку додати чисельник дробової частини. Отримана сума є чисельником дробу, а знаменником є знаменник дробової частини. Наприклад: 1 6 2 + 1 13 2 9-5 + 2 47 6 — =-----= —; 9 — =------= —. 2 2 2 5 5 5 З будь-якого неправильного дробу можна виділити цілу частину. Для цього потрібно поділити з остачею чисельник на знаменник. Част- ка від ділення є цілою частиною числа, остача — чисельником, а діль- ник — знаменником. Наприклад: Основна властивість дробу ЗАПАМ'ЯТАЙ Основна мета скорочення дробу — заміна цього дро- бу нескорочуваним дробом, що йому дорівнює. . а . т , Два дроби — і — називаються рівними, якщо а • п - Ь • т. Напри- Ь п 3 6 5 15 клад, — = — (оскільки 3 10 = 5 6); — = — (оскільки 5 21 = 7 15). Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на те саме натуральне число, то отримаємо дріб, що дорівнює даному. Ця влас- л „ 3 6 тивість називається основною властивістю дробу. Наприклад, — = — (дріб праворуч отримуємо з дробу ліворуч множенням його чисельни- 12 2 ка і знаменника на 2); — = — (поділили чисельник і знаменник дробу 18 З ліворуч на 6). У загальному випадку основну властивість дробу можна записати таким чином: а а а - к а р Ь~~Ь~к’ Ь~~Ь’ к де /? — будь-яке натуральне число. Скорочення дробу Користуючись основною властивістю дробу, іноді можна замінити даний дріб іншим, що дорівнює даному, але з меншими чисельником і знаменником. Таку заміну називають скороченням дробу. Інакше ка- жучи, скорочення дробу — це ділення чисельника і знаменника на їхній 9° 9 . спільний дільник. Наприклад, = — (чисельник і знаменник ми поділили на число 10); отриманий дріб знову можна скоротити, якщо 9 З поділити чисельник і знаменник на 3, тобто — = —. Таким чином, 12 4 90 9 3 „ „ „ . 90 З ---= — = — . Зазначимо, що можна було б відразу записати = — 120 12 4 120 4 (при цьому чисельник і знаменник ми поділили на ЗО).
Дроби 21 Загалом скорочення дробу можливе, якщо чисельник і знаменник не взаємно прості числа; якщо ж чисельник і знаменник — взаємно про- тяг 3 5 ІЗ сті числа, то дріб називається нескоротним. Наприклад, — , — , — — нескоротні дроби. Основна мета скорочення дробу — заміна даного дробу таким нескоротним дробом, що дорівнює даному. Зведення дробів до спільного знаменника З 8 Нехай дано два дроби — і —. Вони мають різні знаменники: 4 і 7. 4 7 Скориставшись основною властивістю дробу, можна замінити ці дроби іншими дробами, які їм дорівнюють, причому такими, що в отриманих дробів будуть однакові знаменники. Таке перетворення називається зведенням дробів до спільного знаменника. Помноживши чисельник З 3 3 7 21 і знаменник дробу — на 7, отримаємо: — = ~ 5 помноживши чи- й 5 * 7 8 * * * 12 8 8 4 8 4 сельник і знаменник дробу — на 4, отримаємо: — = —— = — — . Отже, .3.8 . . З 21 8 32 дроби — і — зведені до спільного знаменника: — = — ; — = — . 4 7 4 28 7 28 Або можна було звести ці дробі до спільного знаменника 56: З 3 14 42 8 8 8 64 4 ~ 4 14 ~ 56 ’ 7 “ 7 8 “ 56 і взагалі до будь-якого знаменника, який ділиться одночасно на 4 і на 7. Таким чином, звести дроби до спільного знаменника можна багатьма способами, але звичайно намагаються звести дроби до найменшого спіль- ного знаменника, що дорівнює найменшому спільному кратному зна- менників даних дробів. 5 7 Приклад. Звести до найменшого спільного знаменника дроби — і —. Розв’ язання. Знайдемо найменше спільне кратне чисел 12 і 18, тобто НСК 5 (12; 18) = 36. Маємо 36 : 12 = 3. Тому щоб звести дріб — до знаменни- 12 ка 36, потрібно його чисельник і знаменник помножити на 3: 5 5 3 15 12 ~ 12-3 ~ 36 ’ 7 36 : 18 = 2. Тому щоб звести дріб — до знаменника 36, потрібно його 18 чисельник і знаменник помножити на 2: 7 7 2 14 18 ~ 18 -2 ~ 36 тт « • • 5 15 7 14 Дроби зведені до найменшого спільного знаменника: — =—; — =—. 12 36 18 36
22 Арифметика Числа 3 і 2 називають додатковими множниками відповідно для першого і другого дробу. Використовуються такі записи: 12 “ 12 “ Зб’ 18 “ 18 “ 36 Таким чином, можна сформулювати правило зведення дробу до най- меншого спільного знаменника. Щоб звести дріб до найменшого спіль- ного знаменника, треба: 1) знайти найменше спільне кратне знаменників дробів; 2) обчислити додаткові множники, поділивши найменше спільне кратне на кожний знаменник; 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на відповідний додатковий множник. Додавання і віднімання дробів ЦІКАВО ЗНАТИ При додаванні (відніманні) дробів не обов'язково зводити дроби до найменшого спіль- ного знаменника, а можна зводити до спільного знамен- ника, однак у цьому випадку доводиться мати справу з ве- ликими числами. ЦІКАВО ЗНАТИ При додаванні (відніманні) мішаних дробів можна по- передньо подати їх у вигляді неправильного дробу, а потім виконувати додавання (відні- мання). При додаванні (відніманні) дробів з однаковими знаменниками до чисельника першого дробу додають чисельник другого дробу (від чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу) і за- лишають той самий знаменник. Отриманий дріб, якщо це можливо, скорочують. Наприклад: 6 26-24 17 17 “ 17 “17 При додаванні (відніманні) дробів з різними знаменниками слід попередньо звести їх до найменшого спільного знаменника. Наприклад: 5 Л_15 14 15 + 14 29 12 18 “ 12 18 “ 36 36 “ 36 “36’ Зауваження 1. При додаванні (відніманні) дробів не обов’язково зводити дроби до найменшого спільного знаменника, а можна зводити їх до спільного знаменника, однак у цьому випадку доводиться мати справу з великими числами. Наприклад: 5 7 _ 5 18 + 7 12 _ 90 + 84 _ 174 _ 29 12 18“ 216 “ 216 “ 216 “ 36 Як бачимо, раціональніше зводити дроби саме до найменшого спіль- ного знаменника, а не просто до спільного знаменника. При додаванні мішаних дробів потрібно додавати окремо цілі час- тини і дробові частини. Наприклад: Щ 1 , „ 1 1 „ 2 „ 1 „1 5 —+ 2—= 5 + 2 + — + — = 7 + — = 7 + — = 7 — 4 4 4 4 4 2 2 При відніманні мішаних дробів варто розрізняти такі випадки: а) дробова частина зменшуваного більше або дорівнює дробовій час- тині від’ємника; у цьому випадку від цілої частини зменшувано- го віднімають цілу частину від’ємника, а від дробової частини зменшуваного — дробову частину від’ємника. Наприклад: 52-3± = 5-3+І-А = 2 + ^^ = 2 + А = 2А; 8 12 8 12 24 24 24
Дроби 23 б) дробова частина зменшуваного менше дробової частини від’ємника 6 9 (наприклад, 5 —-2—). У цьому випадку одну з одиниць цілої частини зменшуваного потрібно замінити дробом, який їй дорів- нює. Наприклад: 6 9 6 5---2—=5-2 + — 11 11 11 9 „6-9 — — 3-і--- 11 11 2 + 1 + 6-9 11 ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Віднімання дробів може при- вести до поняття від'ємного дробу, який отримують, якщо перед додатником поставити знак «мінус». 11 6-9 11+ 11 11 + 6-9 о8 — ли • 11 11 Зауваження 2. При додаванні (відніманні) мішаних дробів можна подати їх у вигляді неправильного дробу, а потім додавати (віднімати). Наприклад: 1 1 10 11 20 + 33 53 5 З —+ 5— = — + — =-------= — = 8—; 3 2 3 2 6 6 6 „5 5 45 41 135-82 53 5 5--3— =--------=---------= — = 2 —. 8 12 8 12 24 24 24 Цим способом звичайно користуються тоді, коли мають справу з не- великими числами. Зауваження 3. Віднімання дробів може привести до поняття від’ємного дробу, який отримують, якщо перед додатним дробом пос- тавити знак «мінус». Використовуючи від’ємні дроби, можна при від- німанні мішаних дробів діяти у такий спосіб: \5 \4 140 „З к 7 о к 3 7 „ 15-28 „ 13 „ , 13 8--5 — — 8 — 5-і-----— 3-і------— 3------— 2 + 1--— 8 10 8 10 40 40 40 о 40-13 о 27 — ли Н- • 40 40 При відніманні дробів можна не використовувати одиницю, тобто розв’язання вищенаведеного прикладу записувати таким чином: \+ к4 \ло З „7 о „ 3 7 о 15-28 о 13 340-13 8 10 8 10 40 40 40 107 __ р27 40 40 Зазначимо, що наведену різницю дробів можна було б визначати і з використанням неправильних дробів, а саме: З „7 67 57 67 5-57 4 335-228 107 27 8--5— =---------=-----------=---------=----= 2 —. 8 10 8 10 40 40 40 40 Для даного конкретного прикладу обчислення з використанням не- правильних дробів, як бачимо, більш громіздкі.
24 Арифметика Множення дробів „ . а с а - с Множення звичайних дробів виконують таким чином:-=--, Ь д Ьд тобто перемножують окремо чисельники, окремо знаменники, перший добуток записують чисельником, другий — знаменником. Отриманий дріб, якщо це можливо, скорочують. Наприклад: 2 3 2 3 6 3 21 3 21 3 7 3 1 5 13 5 13 65 ’ 7'18 ’ 718 “ 7 3 3 2 “ 2’ При множенні мішаних дробів їх попередньо подають у вигляді не- правильних дробів, а потім перемножують. Наприклад: 11 7 17 7 17 119 7 З— 4— =----=-----=----= 14 — . 2 4 2 4 2 4 8 8 ЗАПАМ'ЯТАЙ Будь-які два дроби — і — п т є взаємно оберненими, оскіль- ки їхній добуток дорівнює 1. Ділення дробів При діленні дробу на дріб чисельник діленого множать на знамен- ник дільника, а знаменник діленого — на чисельник дільника. Пер- ший добуток служить чисельником, а другий — знаменником частки: а с а-д 36 37 3 1 — : — =---. Наприклад: — : — =-= — = —. Ь а Ьс 7 7 7-6 6 2 Два числа називаються взаємно оберненими, якщо їхній добуток дорів- о.1^.1 . 1 „ . - т . п нює 1, наприклад, 2 і - , 5 і — , х і — . Будь-які два дроби — і — 2 5 х п т є взаємно оберненими, тому що їхній добуток дорівнює 1. „ . а с а - д а д Правило ділення дробів — : — =-=-----можна коротко сформу- Ь (1 Ь - с Ь с . а д лювати таким чином: при діленні дробів ділене — множиться на дріб —, Ь с обернений дільнику —. Наприклад: <1 3 2 3 7 21 5’7’5 2’10’ Якщо потрібно поділити дріб на дріб, коли один або обидва дро- би мішані, то потрібно подати мішаний дріб у вигляді неправильного дробу. Наприклад: 3 . 1 13.3 13-2 26 11 5’ 2~ 5 2~ 5-3 ”15” 15’ Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад: 1 7 п 1 = у, 7 - п = у. Це дозволяє виконувати множення і ділення цілого числа на дріб (або навпаки). Наприклад: 4 7 4 74 28 11 17 “ї 17 “ 1 17 “17 17 ’
Дроби 25 Десяткові дроби Дріб, знаменник якого дорівнює 10, 100, 1000 і т. ін., називають десят- 1 7 новим. дробом. Наприклад, — = 0,1; — = 0,7 і т. ін. Десятковий дріб — це інша форма запису дробу зі знаменником 10", де п — натуральне число. Значущими цифрами числа називають усі його цифри, окрім нулів, що стоять на початку. Наприклад, у числі 17,5103 шість значущих цифр (1, 7, 5, 1, 0, 3); у числі 0,9007 чотири значущі цифри (9, 0, 0, 7); у числі 0,007 одна значуща цифра (7). словник Значущими цифрами числа називають усі його цифри, окрім нулів, які стоять на по- чатку. Додавання і віднімання десяткових дробів При додаванні (відніманні) десяткових дробів числа записують так, щоб однакові розряди були записані один під одним, а кома — під ко- мою, і додають (віднімають) їх як натуральні числа. Наприклад: 0,234 7,459 13,300 3,153 2,181 9,674 3,387 5,278 3,626 ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Якщо до десяткового дробу дописати праворуч декілька нулів, то значення дробу не зміниться. І навпаки, якщо десятковий дріб закінчується нулями, то їх можна відкинути. Множення десяткових дробів Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на коми, і в отриманому добутку відо- кремити праворуч комою стільки цифр, скільки їх стоїть після коми в обох множниках разом. Наприклад: 0,132 2,34 = 0,30888; 0,132 Х 2,34 + 528 396 264 0,30888 Розглянемо множення десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т. ін. Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. ін., необхідно в цьому дробу перенести кому праворуч на стільки цифр, скільки нулів у множнику (дописавши у випадку необхідності до дробу праворуч певне число нулів). Наприклад: 2,63 10 = 26,3; 3,682 100 = 368,2; 2,589 1000 = 2589; 5,43 10000 = 54300. Ділення десяткових дробів Ділення десяткового дробу на натуральне число виконується так само, як ділення натурального числа на натуральне, а кому у частці ставлять після того, як закінчене ділення цілої частини. Наприклад, 19,2 : 12 = 1,6.
26 Арифметика 19,2 112 12 1,6 _72 72 0 Зазначимо, що в наведеному прикладі можна безпосередньо перед діленням помножити ділене і дільник на 10 і, таким чином, ділити не дріб на число, а ціле число на ціле число, тобто 19,2 : 12 = 192 : 120. Якщо ціла частина діленого менше дільника, то у відповіді одер- жуємо нуль цілих. Ділення можна виконувати або безпосередньо, або збільшуючи чисельник і знаменник у 10, 100 і т. ін. разів. Наприклад, 0,192 : 12 = 0,016. При безпосередньому діленні одержуємо: 0,192 12 _72 72 0 При попередньому множенні на 1000 чисельника і знаменника одер- жуємо: 12 0,016 192 12000 19200 0,016 12000 _ 72000 72000 0 Розглянемо ділення десяткового дробу на десятковий. Нехай не- обхідно поділити 3,456 на 0,36. Для цього й у діленому, й у дільнику перенесемо кому праворуч на стільки цифр, скільки їх стоїть після коми у дільнику. Таким чином, для нашого прикладу помножимо ділене і дільник на 100. Одержуємо: 3,456 345,6 „ „ -----—-------— 9,6. 0,36 36 Зазначимо, що ми могли б перенести кому на три цифри у чисель- нику і знаменнику і ділити натуральне число на натуральне: 3,456 3456 8 9 48 „ „ -----=------=--------= 9,6. 0,36 360 8 9 5 Щоб поділити число на десятковий дріб, потрібно в діленому й у діль- нику перенести кому праворуч на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число. Наприклад: -±.±Л.2,5. 1,6 16 2 Щоб поділити десятковий дріб на 10" (п — натуральне число), по- трібно в цьому дробу перенести кому на п цифр ліворуч. Наприклад, 35,13 : 103 = 0,03 5 1 3. Ділення не завжди здійснюється для десяткових дробів, оскільки в результаті ділення не завжди одержуємо скінченний 2,9 29 десятковий дріб. Поділимо, наприклад, 2,9 на 0,9: = — = 3,222... . Одержуємо нескінченний десятковий дріб. У таких випадках потрібно 2 9 29 2 переходити до звичайних або мішаних дробів, тобто —-— = — = 3 — .
Дроби 27 Перетворення десяткового дробу на звичайний І ЗВИЧАЙНОГО НА ДЕСЯТКОВИЙ. ПЕРІОДИЧНІ ДРОБИ Щоб перетворити десятковий дріб на звичайний, достатньо у чи- сельнику дробу записати число, що стоїть після коми, а у знаменни- ку — одиницю з нулями, причому нулів має бути стільки, скільки цифр праворуч від коми. Наприклад: 0,3 = З 10 0,37 = 37 100’ 0,003 = З 1000 ’ ЗАПАМ'ЯТАЙ у] При діленні дробів (або нату- ральних чисел) можна одер- жати нескінченний десятко- вий дріб. Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, слід поділити чи- сельник на знаменник за правилом ділення десяткового дробу на ціле число. 9 Наприклад, — = 0,36. Виконавши ділення у стовпчик, отримаємо: 9,0 25 90 0,36 75 150 150 0 Як уже зазначалося, при діленні дробів (або натуральних чи- сел) може утворюватися нескінченний десятковий дріб. Наприклад, — = 0,085714285... 7 Нескінченний десятковий дріб, у якому, починаючи з деякого розря- ду, цифри повторюються, називається періодичним. Приклади періодич- них дробів: 0,111..., 4,333..., 5,8777.... Послідовно повторювана група цифр (мінімальна) після коми в десятковому записі числа називається періодом. Так, 0,111... — період дорівнює 1; 4,3333... — період дорів- нює 3. Для стислості заведено період записувати один раз, беручи його в круглі дужки: 0,111... = 0,(1), 4,333...= 4,(3). Якщо період починається відразу після коми, то дріб називаєть- ся чисто періодичним', якщо між комою і періодом є інші десяткові знаки, то дріб називається мішаним періодичним. Так, наприклад, 3,(41) = 3,414141... — чистий періодичний дріб; 5,8(7) — мішаний пе- ріодичний дріб. Будь-який звичайний дріб можна записати у вигляді або скінченного десяткового дробу, або нескінченного періодичного дробу. Правило перетворення нескінченного періодичного дробу на зви- чайний: щоб перетворити періодичний дріб на звичайний, потрібно від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду, і записати цю різницю чисельником; у знаменнику написати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, і після дев’яток дописати стільки нулів, скільки цифр між комою і першим періодом. Наприклад: . 5812-58 5754 959 5,8(12) =-------=------=-----. 990 990 165 Зауваження. Перетворювати нескінченний періодичний дріб на зви- чайний можна й іншими способами, не користуючись наведеним вище правилом. Наприклад, перетворимо на звичайний дріб число 0,(36). ЦІКАВО ЗНАТИ Перетворити нескінченний періодичний дріб на звичай- ний можна, використавши формули для суми нескін- ченно спадної геометричної прогресії.
28 Арифметика Позначимо х - 0,(36) = 0,363636... Помноживши обидві частини ос- танньої рівності на 100, отримаємо: ЮОх = 36,3636... = 36,(36). Звідси ЮОх - х - 36,(36) - 0,(36) = 36, 99х = 36, х = — . Таким чином, 99 11 0,(36) = А. Перетворимо тепер 5,8(12) = 5,8121212... на звичайний (неправиль- ний) дріб. Позначимо у = 5,8(12). Тоді 10г/ = 58,(12), 1000г/ = 5812,(12), 5754 959 1000г/ - 10г/ = 5812,(12) - 58,(12) = 5754, 990г/ = 5754, у = = —. 959 Остаточно: 5,8(12) =---. 165 Перетворювати нескінченний дріб на звичайний можна і з вико- ристанням формули для суми нескінченно спадної геометричної про- гресії. Наприклад: 0,3 0,3 З 1 0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = —--= — = - = -. 1-0,1 0,9 9 З ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 4 Велосипедист проїхав — усього шляху. Скільки кілометрів шляху йому залишилося про- їхати, якщо він проїхав 20 км? 1) 45 км; 2) 40 км; 3) 35 км; 4) 25 км. 2. Басейн наповнюється через першу трубу за 4 години, через другу — за 6 годин. Яка частина басейну залишиться незаповненною після роботи обох труб протягом двох годин? 1 5 5 1 21 3>|; 41 п- 3. Запишіть десятковий дріб 1,125 у вигляді звичайного дробу. і) 1І; 2) 11; 3) 11; 4) 11. 4. Подайте періодичний дріб 0,2(35) у вигляді звичайного дробу. П 47 • 21 235- Зі 233- 41 ' 200’ ' 999’ ' 900’ ' 990' 5. Виконайте вказані дії: (і 3Н):(-1)+2- 6. Знайдіть значення виразу: ((8 - 0,2) (7,2 - 5,7) + (5,4 - 3,65) (4,3 - 2,7)) : 7,25. 7. Обчисліть: (2,(6)+ 1,8(3)) : 1,5. 8. Обчисліть: 21І-19І .1154-108і 0,012:0,048 0,0004:0,008' ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 4. 2. 1. 3. 4. 4. 4. 5. 5,75. 6. 2. 7. 3. 8. 144,25.
ПРОПОРЦІЇ, ВІДСОТКИ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Відношення. Пропорція. Властивості пропорції. Відсотки. Складні відсотки СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Відношення. Пропорція. Властивості пропорції Відношенням числа а до числа Ь називається частка чисел а і Ь, тобто — (або а : Ь). У відношенні — число а називають попереднім Ь Ь членом, Ь — наступним членом. Пропорцією називають рівність двох відношень, тобто — = —, а і п Ь п називають крайніми членами пропорції, Ь і т — середніми членами пропорції. Властивості пропорції 1) Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх .. а т 7 членів, тобто якщо — = —, то ап - от. Ь п т ... а т ... а т а Ь 2) Із пропорції — = —, випливають пропорції: — = —, — = —; Ь п Ь п т п п т п Ь — - —, — тобто в пропорції можна міняти місцями краи- Ь а т а ні і середні члени або ті й інші одночасно. 3) Щоб визначити невідомий крайній (середній) член пропорції, потрібно добуток середніх (крайніх) членів поділити на відомий крайній (середній) член пропорції: ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Щоб визначити невідомий крайній (середній) член про- порції, потрібно добуток середніх (крайніх) членів поділити на відомий крайній (середній) член пропорції. х т а п а - т а т ап х = ; — — <=> х = ; п х п т а х Ь п ап а т Ь т => х = ; — — <^> х = . Ь Ь х а тт 2 5 2 6 12 х 7 4 7 28 Наприклад: — = — <= х 6 н н н Я II II II н Відсотки Відсотком (%) називається сота частина будь-якого числа. Якщо дане число взяти за одиницю, то 1% складає 0,01 цього числа, 10% 1 складають 0,1 числа, 25% складають 0,25 числа (або — числа), 50% 1 З складають 0,5 числа (або — числа), 75% складають 0,75 числа (або — 2 4
зо Арифметика числа) і т. ін. Щоб число відсотків записати у вигляді дробу, потрібно число відсотків поділити на 100. Наприклад, 7% =0,07; 150% = 1,5; 350% =3,5; 0,2% =0,002. Знаходження відсотків даного числа Щоб знайти р% від числа а, потрібно а помножити на р : 100. Наприклад, 60% від 90 складають 90 60 : 100 = 54. Знаходження числа за його відсотком Якщо відомо, щор% від числа х дорівнює а, то число х можна знайти за формулою х = а • 100 : р. Наприклад, якщо 5 % внеску до Ощадбанку скла- дають 250 доларів, то цей внесок дорівнює 250 • 100 : 5 = 5000 (доларів). Складні відсотки Кажуть, що на внесок нараховуються складні відсотки (відсотки на відсотки), якщо процентні гроші приєднуються наприкінці кожного року до внеску для нарахування їх відсотками в наступні роки. Нехай поставлена така задача: початковий внесок до Ощадбанку дорівнює а доларів. За рік нараховується р відсотків. Обчислити суму внеску через п років. Розв’язання. Через 1 рік сума внеску дорівнюватиме: а + а • = а^І + Через 2 роки сума внеску дорівнюватиме: а\ Ін—— | + а| 1 І 100) І +1001100 Через 3 роки сума внеску дорівнюватиме: / \2 її Р і а 1-І-------1-а І 100) 100 тт • • Р ] Через а років сума внеску дорівнюватиме аІ^ + у^І • Таким чином, ми приходимо до формули складних відсотків-. де 8 — величина внеску через п років; а — початкова величина внеску, р — число відсотків, п — термін внеску. Приклад. Початковий внесок до Ощадбанку дорівнює 300 доларів, за рік нараховується 3 % . Знайти суму внеску через 5 років. Розв’язання. ( З V 8 = 300 1 +--- = І 100) 300(1,03)5 « 300 1,159 « 348 (доларів). Відповідь-. ~ 348 доларів.
Цілі, раціональні, дійсні числа зі ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. З молока отримують 10 % сиру. Скільки сиру можна отримати з 40 кг молока? 1) 10 кг; 2) 5 кг; 3) 4 кг; 4) 0,4 кг. 2. Визначте відсоток солі у розчині, якщо в 300 г розчину міститься 15 г солі. 1)20%; 2)10%; 3)5%; 4)0,5%. 3. Деякий товар спочатку подорожчав на 10 %, а потім подешевшав на 10 %. Як змінилася ціна цього товару? 1) Залишилася незмінною. 2) Товар подорожчав на 1 % . 3) Товар подешевшав на 1 % . 4) Визначити неможливо. 4. Знайдіть невідоме х: 1) 9,3; 2) ’ 15’ 3) 100; 4) 930. 5. Скільки літрів води треба долити до 7,5 л 12 % -го розчину солі, щоб отримати 10 % -й розчин? 6. Первісний внесок до Ощадбанку дорівнює 400 крб. За рік начислюється 3 % . Визначте суму внеску через 2 роки. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 3. 2. 3. 3. 3. 4. 4. 5. 1,5. 6. 424,36. ЦІЛІ, РАЦІОНАЛЬНІ, ДІЙСНІ ЧИСЛА ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Додатні і від’ємні числа. Цілі числа. Раціональні й ірраціональні числа. Дійсні числа. Коорди- натна пряма (числова вісь). Порівняння дійсних чисел. Властивості числових нерівностей. Модуль (абсолютна величина) дійсного числа. Дії з дійсними числами (додавання, віднімання, множення, ділення). Властивості арифметичних дій над дійсними числами (основні закони алгебри). СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Додатні і від'ємні числа. Цілі числа Числа бувають додатні і від’ємні, натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні. З 9 +5; +7; +0,23; +4,59; +—; +— — додатні числа. ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Число 0 (нуль) відокремлює додатні числа від від'ємних.
32 Арифметика З Додатні числа можна писати без знака, тобто замість +5; +4,59; + — 8 З можна писати 5; 4,59; —. 8 З -1; -37; -0,2; —; -13,2 — від’ємні числа. 8 1 2 Від’ємні числа не можна писати без знака. Числа 1 і (-1), 5 і (-5), 5— і | -5—1 називаються протилежними, (+а) 2 у 2 у і (-а) — протилежні числа. Сума протилежних чисел дорівнює нулю, тобто (+а) + (-а) - 0. Цілі числа — це натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль. 0; ±1; ±2; ±3; ... — цілі числа. Число 0 (нуль) відокремлює додатні числа від від’ємних. Раціональні й ірраціональні числа Раціональні числа — це числа, які можна подати у вигляді відно- шення — , де р і д — будь-які цілі числа, причому д 0. Цілі числа і дроби є раціональними числами. Приклади раціональних чисел: 11 = — 1 0,75 = 75 329 1 5 ---; 3,29=----; -2- = — 100 100 2 2 - =0,333... З Раціональні числа можуть бути подані у вигляді скінченних або нескінченних періодичних дробів. Ірраціональні числа — це числа, які не можна подати у вигляді від- ношення — (д Ф 0) двох цілих чисел. Ірраціональні числа передаються Я нескінченними, але неперіодичними десятковими дробами. Приклади ірраціональних чисел: *2; л/З; л/7; >/7 - 3; д/б - д/2; я; е; 2 + я; д/я; д/е; 2^; я"; (я = 3,14;е = 2,7). словник ПрямулІнІю зобраними на ній початком відліку, одиничним відрізком І напрямом назива- ють координатною прямою, або числовою віссю. Дійсні числа. Координатна пряма (числова вісь) Дійсні числа — це сукупність усіх раціональних та ірраціональних чисел. Інакше кажучи, дійсні числа — це нескінченні (періодичні і не- періодичні) десяткові дроби. Дійсні числа можна зобразити точками на прямій. Пряму лінію з обраними на ній початком відліку, одиничним відрізком і напрямом називають координатною прямою, або числовою віссю. Напрям на коор-
Цілі, раціональні, дійсні числа зз динатній прямій зліва направо називається додатним, а протилежний (тобто справа наліво) — від’ємним. Кожному дійсному числу відповідає єдина точка координатної прямої, і кожній точці координатної прямої відповідає єдине дійсне число. На рис. 2 зображена координатна пряма І. Через 0 позначений по- чаток відліку. Нехай точка К прямої І відповідає деякому числу г, тоді це число називають координатою точки К і пишуть К(г). Точка А ві- дображає число 1; 1 — координата точки А. Точка В відображає число 1 5 -1; -1 — координата точки В. Точка С відображає число -2— = —; 2 2 5 -----координата точки С. Точка О відображає число 0 (нуль); 0 — ко- 2 ( 5 А ордината точки О. Можна записати таким чином: А(1), В(-1), С — , 0(0). і С В 0 А Г-Ч —Н»-І-♦—*—♦-1-1-► -3-2-10123/ Рис. 2 Порівняння дійсних чисел Кажуть, що число а більше числа Ь, і пишуть а > Ь, якщо різниця а - Ь — додатне число. Якщо різниця а - Ь — від’ємне число, то ка- жуть, що число а менше числа Ь, і пишуть а < Ь. Згідно з цим визна- ченням будь-яке додатне число більше нуля, будь-яке від’ємне число менше нуля і менше будь-якого додатного числа. Для будь-яких зада- них чисел а і Ь справедливе одне і тільки одне з співвідношень: а > Ь, а <Ь, а-Ь. З геометричної точки зору нерівність а <Ь (а>Ь) означає, що точка а розташована на координатній прямій ліворуч (праворуч) від точки Ь. Знаки «<», «>» називають знаками строгих нерівностей. Вико- ристовують також знаки «>», «<» — знаки нестрогих нерівностей. Запис а < Ь означає, що справедливо одне з двох: або число а менше числа Ь, або число а дорівнює числу Ь. Наприклад, 2 < 10, 7 > 7 — правильні числові нерівності, 3 < 1 — неправильна числова нерівність. Нерівності а<Ьіс>д (а <Ьіс<д) називають нерівностями однако- вого змісту (або одного знака); нерівності а>Ьіс<д(а<Ьіс>д) називають нерівностями протилежного змісту (або протилежних знаків). Якщо числа а, Ь, с такі, що а < Ь і Ь < с, то замість цих двох нерівностей використовується запис а < Ь < с. Така нерівність нази- вається подвійною. ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Кожному дійсному числу від- повідає одна єдина точка ко- ординатної прямої, І КОЖНІЙ точці координатної прямої відповідає єдине дійсне число. Приклад. Порівняти числа — і 0,93. Розв’ язання. 4 Складемо різницю — - 0,93 і знайдемо значення цієї різниці: 5 \^20 4_о 93 4 93 80-93 13 5 5 100 100 100’ 4 Різниця від ємна, тому — < 0,93. 5 4 Відповідь: — < 0,93. 5
34 Арифметика Властивості числових нерівностей Для будь-яких дійсних чисел а, Ь, с, й виконуються такі властивості. 1) Якщо а > Ь, то Ь < а. 2) Якщо а > Ь і Ь > с, то а > с (властивість транзитивності). 3) Якщо а > Ь, то а + с > Ь + с. 4) Якщо а > & і с > 0, то а с > Ь с. Ця властивість означає, що якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне і те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність. 5) Якщо а > Ь і с < 0, то а с < Ь с. Ця властивість означає, що якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне і те саме від’ємне число і змінити знак початкової нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерівність. 6) Якщо а > Ь і с > (і, то а + с > Ь + (і. Ця властивість означає, що нерівності однакового змісту можна почленно додавати. 7) Якщо а, Ь, с, д, — додатні числа, причому а > Ь і с > <і, то а с > > Ь • (і. Ця властивість означає, що нерівності однакового змісту з додатними частинами можна почленно множити. 8) Якщо а > Ь і с < (і, то а - с > Ь - <і. Ця властивість означає, що дві нерівності протилежного змісту можна почленно віднімати, залишаючи знак тієї нерівності, з якої ми віднімаємо. 9) Якщо а > Ь > 0, то — < і. а Ь 10) Якщо а > Ь > 0, то для будь-якого натурального числа виконуєть- ся нерівність а" > Ь". Модуль (абсолютна величина) дійсного числа Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називається саме це число, якщо а > 0, і протилежне число -а, якщо а < 0. Модуль числа а позначається |а|. Таким чином, . . [а, а > 0, а - ї 1 1 [-а, а<0. Наприклад, |7| = 7, тому що 7 > 0; |-7| = -(-7) = 7, оскільки -7 < 0; |л/б - 2| = >/5 - 2 , оскільки >/5 - 2 > 0; Іл/їг - 1| = >/л - 1; оскільки л/тг -1 > 0 (я ~ 3,14); |д/з - б| = -(у/з -б) = 5- >/з, оскільки д/з - 5 < 0. Геометрично |а| означає відстань на координатній прямій від почат- ку відліку до точки, що відображає число а. Властивості модулів 1) |а| > 0 ; 2) |а| > а; 3) |-а| = |а|; 4) |аб| = |а| • |&|; 5) 6) |а| + |&| = а + Ь <=> 7) |а| + |б| = |а + &| <=> аЬ > 0; 8) |а + &| < |а| + |&|; 9) |а - &| > ||а| - |&||.
Цілі, раціональні, дійсні числа 35 Дії з дійсними числами (додавання, віднімання, множення, ділення) При додаванні дійсних чисел з однаковими знаками потрібно додати їхні модулі і перед сумою поставити їхній спільний знак. Наприклад, (+3) + (+8) =+11; (-4) + (-9) =-13. При додаванні двох дійсних чисел з різними знаками модуль суми дорівнює різниці модулів доданків. Знак суми — знак доданка, модуль якого більше. Наприклад, (+3) + (-9) = -6; (+11) + (-7) =+4. Віднімання дійсних чисел можна замінити додаванням: а-Ь- - а + (-&), тобто щоб відняти від числа а число Ь, достатньо до змен- шуваного додати число, протилежне від’ємнику. Наприклад: (+3) - (-8) = (+3) + (+8) = 11; (+4) - (+9) = (+4) + (-9) = -5. При множенні (діленні) двох дійсних чисел потрібно помножити (поділити) їхні модулі. Перед результатом потрібно поставити знак за правилом з таблиці знаків. Таблиця знаків При множенні При діленні (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (+): (+) = (+) (+): (-) = (-) (-) (-) = (+) (-) (+) = (-) (-): (-) = (+) (-): (+) = (-) При множенні та діленні дійсних чисел бажано пам’ятати прислів’я: «Друг мого друга — мій друг, ворог мого ворога — мій друг, друг мого ворога — мій ворог, ворог мого друга — мій ворог». Наприклад: (+3)(+4) = +12; (-2)(+5) = -10; (-5)(-3) = 15; 7(->/2) = -7>/2; (~24) Л. (~18)_ А = (-6) ’ (+3) ’ (-2) 2 ’ Властивості арифметичних дій над дійсними числами (основні закони алгебри) Ці властивості записуються у вигляді таких тотожностей: 1)а + Ь = Ь + а; 2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с); 3) а + 0 = а; 4)а + (-а) = 0; 5)аЬ = Ьа; 6) (аЬ)с = а(Ьс); 7) а(Ь + с) — аЬ + ас; 8) а • 1 = а; 9) а 0 = 0; 10) а — = 1, (а Ф 0). а Властивості 1) і 5) передають переставний закон додавання і множен- ня відповідно; властивості 2) і 6) передають сполучний закон, а влас- тивість 7) — розподільний закон множення стосовно додавання.
36 Арифметика ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. Серед наведених нижче числових виразів виберіть той, що має найменше значення: 1)5-29; 2)-29+16; 3)5-(-16); 4)-8+ (-13). 2. Серед наведених нижче числових виразів виберіть той, що має найбільше значення: 1) 6 (-4); 2) (-8) 7; 3) (-18) : 2; 4) 28 : (-4). 3. Значення якого з наведених виразів кратне 3: 1) 28 - 4 (25 - 33) - 100; 3) (28 - 4) (25 - 33) - 100; 2) 28 - 4 (25 - 33 - 100); 4) (28 - 4) (25 - 33 - 100)? 4. Значення якого з наведених нижче виразів кратне 13: 1) 30 - 120 : 30 - 36; 3) (30 - 120) : 30 - 36; 2) 30 - 120 : (30 - 36); 4) (30 - 120) : (30 - 36)? 5. Які з наведених чисел раціональні: 1) 7^5; 2) у]0,16; 3) я; 4) е. 6. Яким числом є значення виразу і§30°: 1) натуральним; 3) ірраціональним; 2) цілим; 4) раціональним. 7. Яким числом є значення виразу 1о§^ у/б : 1) натуральним; 3) раціональним; 2) цілим; 4) від’ємним. 8. Запишіть вираз |2 - >/з| без знака модуля. 1)2-72; 2) -2-72; 3)2 + 72; 4)72-2. 9. Запишіть вираз |Т2 + 7з - 4| без знака модуля. 1)72 + 7з-4; 2)-72 + 7з-4; 3) 72 - 7з - 4; 4) -72 - 7з + 4. 10. Запишіть вираз х + |х| при х < 0 без знака модуля. 1) 0; 2) 2х; 3) -2х; 4) записати неможливо. 11. Серед наведених нижче числових виразів укажіть той, що має найбільше значення. 1) 570 : 19 - 36 25 - 60 : 2; 3) (570 : 19 - 36) 25 - 60 : 2; 2) 570 : 19-36 (25 - 60 : 2); 4) (570 : 19 - 36) (25 - 60 : 2). 12. Серед чисел 72,1,4, 1-і, 7з найбільшим є: 1) 72 ; 2) 1,4; 3) 1—; 4) 7з . 8 13. Серед десяткових дробів 0,5005; 5,05; 0,0505; 0,505 найменшим є: 1) 5,05; 2) 0,505; 3) 0,5005; 4) 0,0505. 2 14. Порівняйте числа 0,(2) і —. о 2 1)0,(2)<-; 3) 0,(2) > —; 2 2) 0,(2)=—; 4) порівняти неможливо. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 1. 2. 4. 3. 4. 4. 3. 5. 2. 6. 3. 7. 3. 8. 1. 9. 4. 10. 1. 11. 2. 12. 4. 13. 4. 14. 2.
АЛГЕБРА ДІЇ З АЛГЕБРАЇЧНИМИ ВИРАЗАМИ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Види алгебраїчних виразів. Область визначення алгебраїчного виразу. Тотожно рівні вирази. Степінь натурального числа з натуральним показником. Степінь дійсного числа з натуральним показником. Властивості степеня дійсного числа з натуральним показником. Степінь дійсного числа з нульовим і від’ємним цілим показником. Одночлен і многочлен (загальні поняття). Многочлен п-го степеня і його окремі випадки для п — 0, 1, 2. Множення многочлена на мно- гочлен. Ділення з остачею многочлена на многочлен. Формули скороченого множення. Три- кутник Паскаля. Виділення повного квадрата двочлена з квадратного тричлена. Розкладання многочлена на множники. Цілі раціональні вирази. Дробові раціональні вирази. Основна влас- тивість раціонального дробу. Скорочення раціональних дробів. Зведення раціональних дробів до спільного знаменника. Додавання і віднімання раціональних дробів. Множення і ділення раціональних дробів. Корінь п-го степеня з дійсного числа. Основні властивості коренів (правила дій із радикалами). Винесення множника з-під кореня. Внесення множника під корінь. Зведення підкореневого виразу до цілого вигляду. Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику або чисельнику. Степінь дійсного числа з раціональним показником. Степінь дійсного числа з дійсним показником. Середнє арифметичне і середнє геометричне. Нерівність Коші. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Види АЛГЕБРАЇЧНИХ ВИРАЗІВ Змінною величиною називається величина, яка набуває різних чис- лових значень. Стала величина — це величина, числове значення якої не змінюєть- ся. Сталу величину часто розглядають як окремий випадок змінної, у якої всі числові значення однакові. Сталу величину нерідко називають константою. Алгебраїчні вирази — це математичні вирази, що утворюються з чи- сел і змінних за допомогою знаків додавання, віднімання, множення, ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Змінною величиною нази- вається величина, яка набуває різних числових значень.
38 Алгебра ЗАПАМ'ЯТАЙ Стала величина — це вели- чина, числове значення якої не змінюється. Сталу величину часто розглядають як окре- мий випадок змінної, у якої всі числові значення однакові. Сталу величину нерідко нази- вають константою. ділення, піднесення до раціонального степеня, добування кореня і за допомогою дужок. Приклади алгебраїчних виразів: о / / о ч/7Г\5 + Зх“ + 1 5 3 х — 4ху(х + г/“); Іх“ + х + уб 1 ; ; ; у/а — Ь+у/с; Зх®+5гД. Якщо алгебраїчний вираз не містить ділення на змінні і добування кореня із змінних, то він називається цілим. 3 наведених вище при- кладів 1), 2), 3) — цілі вирази. Якщо алгебраїчний вираз утворений з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня з нату- ральним показником і ділення на вирази зі змінними, то він називається дробовим. 4), 5) — приклади дробових алгебраїчних виразів. Цілі і дробові вирази називаються раціональними виразами. 1), 2), 3), 4), 5) — приклади раціональних алгебраїчних виразів. Якщо в алгебраїчному виразі використовується добування кореня із змінних (або піднесення змінних до дробового степеня), то такий алгебраїчний вираз називається ірраціональним. 6), 7) — приклади ірраціональних алгебраїчних виразів. Область визначення алгебраїчного виразу Множина значень змінних, при яких алгебраїчний вираз має зна- чення, називається областю визначення (або областю допустимих значень) алгебраїчного виразу. Наприклад, областю визначення виразу 5 є множина всіх значень х є В, окрім х - -3, тобто х є В \ {-3}. 2х + 6 7а3Ь5 , 7Ч Областю визначення виразу є множина пар чисел (а; о), для яких а — Ь аїЬ. Тотожно РІВНІ ВИРАЗИ |ЗАПАМ'ЯТАЙ Тотожністю називається рів- ність, правильна за всіх допус- тимих значень змінних. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при всіх значен- нях змінних, що належать спільній області визначення, відповідні зна- чення цих виразів рівні. Тотожністю називається рівність, правильна за всіх допусти- мих значень змінних. Приклади тотожностей: (х + г/)“ = х2 + 2ху + у2, х + 0 = х, х • 1 = х, (а + д)(а -Ь) = а2 - Ь2. Правильні числові рівності також називають тотожностями, напри- 2 4 3 6 клад: — — . — тотожності. 3 6 7 14 Заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називається тотожним перетворенням виразу.
Дії з алгебраїчними виразами 39 Степінь натурального числа з натуральним показником Нехай а є Ді, п є N. а" — це степінь, а — основа степеня, п — по- казник степеня. Степінь а" є добутком п множників, кожний з яких дорівнює а: а" = а - а - а - ... а . Степінь дійсного числа з натуральним показником Поняття степеня натурального числа з натуральним показником узагальнюється на степінь будь-якого дійсного числа з натуральним показником. Якщо ає і?, п є У: Будь-який степінь додатного числа є додатним числом. Наприклад: / о ? 511 > 0, (1,2)5>0, - >0, (л/2) >0, (я - З)13 > 0 (я « 3,14). Парний степінь від’ємного числа є додатним числом. Наприклад: (-2)12 > 0, (-я)8 > 0, (-е)10 > 0 (е = 2,7). Непарний степінь від’ємного числа є числом від’ємним. Наприклад: (-2)3 < 0, (-я)5 < 0, (-2е)7 < 0. Властивості степеня дійсного числа з натуральним показником Нехай ає і?, &є і?, п є У, т є У. Тоді справедливі такі властивості степеня з натуральним показником: 4) (а&)" =алЬл', 5) М- =рг; 6) 1" = 1; 7) а1 = а. Степінь дійсного числа з нульовим і від'ємним цілим показником Нехай а Ф 0, п є N. Вважатимемо, за означенням а° - 1, а " = —. а" Властивості 1)—6) степеня з натуральним показником справедливі і для степеня дійсного числа з від’ємним цілим показником. Наприклад: 2 « •> о •> 1 1 11 1 2 5 л 5 , ,, л з 1 І = 2“ 3“= — • — =------= —; —- = 2 (“’ = 2 =—; 2 3 4 9 36 2 2 8 , і „ , „ . , „з 1 1 (2 А2 2’2 З2 9 “з7” 27’ Д “ з77 “ 2^ “ 4’
40 Алгебра Одночлен і многочлен (загальні поняття) Одночлен — це вираз, який може містити тільки дві дії: множен- ня змінних і чисел і піднесення змінних до невід’ємного цілого степе- 1 ня. Приклади одночленів: -9, 6х2, 5ах5, Зху2 —, 10а —- 2ху3х4, З 10 - 12а2х. Тут - 9, 6, 5, —, —, -2, -12 — числові коефіцієнти. 5х3 Вирази х2 + х7, а3 - а5 + 1, —- не є одночленами, тому що являють собою суму, різницю або частку змінних і чисел. Стандартним виглядом одночлена називається одночлен, у якого числовий коефіцієнт стоїть на першому місці, а добуток однакових множ- ників записаний у вигляді степеня. Так, наприклад, 1Иа2Ьса3 - 10авдс; 1 5 2ааЬ215аЬ4 = 30а3&6; 5ху—у4 = — ху6. З З Степенем одночлена стандартного вигляду називається сума показ- ників степенів змінних. Наприклад, 17 — одночлен нульового степеня; 43х — одночлен першого степеня; 12а2 — одночлен другого степеня; 5х3 — одночлен третього степеня; 5х3г/5 — одночлен восьмого степеня. Подібними одночленами називаються одночлени, які мають одна- кові буквені вирази. Наприклад, 5а5&2, 9а5&2, -25а5&2, 0,За5&2 — подібні одночлени. Звести подібні члени — це означає додати їх числові коефіцієнти і результат помножити на спільний буквений вираз. Многочленом називається алгебраїчна сума одночленів. Приклади многочленів: х2 - Зх + 1, хв -5ах, х8 + Зх7 - 5х - 6, За2 - 7ах9. Вирази 17 х х —з— -----, — --- не є многочленами, тому що не є алгебраїчною сумою X І х І X І 1 одночленів. Многочленом стандартного вигляду називається такий многочлен, у якого всі одночлени записані у стандартному вигляді і зведені подіб- ні члени. Наприклад, 5х3 + 4ах2 - 17, Зх5 - 8х + 3, 7хв - 5ха2 + 4а - 9, х2 + х + 9 — многочлени стандартного вигляду. Степенем многочлена стандартного вигляду називається най- більший степінь одночлена, що входить у цей многочлен. Наприклад, 5х2г/3 + 2х + 7, Зхг/4 - х3, 7х5 - 17х + 5 — многочлени п’ятого степеня. Многочлен п-го степеня і його окремі випадки для п = 0,1, 2 Многочлен п-го степеня найчастіше записується у такому вигляді, при якому він утворює алгебраїчну суму одночленів за спадними степенями: Рп(х) = аох" + а^х'' ' + а„х" 2 + ... + ап гх + ап, у якому а0 Ф 0; а0, а1; а2, ..., а,,^, а„ — коефіцієнти многочлена п-го степеня; аох" — старший член многочлена; а0 — коефіцієнт при старшому члені; а„ — вільний член многочлена; п — степінь многочлена (це степінь старшого члена).
Дії з алгебраїчними виразами 41 Многочлен нульового степеня Р0(х) = а0 називається константою, многочлен першого степеня Д(х) = аох + ал називається лінійною фун- кцією, многочлен другого степеня Р2(х) - аох2 + агх + а2 називається квадратичною функцією, або квадратним тричленом. Наприклад, х2 + Зх - 9 — многочлен другого степеня (квадратний тричлен), у якому х2 — старший член, коефіцієнт при старшому члені дорівнює одиниці, -9 — вільний член многочлена. Коренем многочлена Рп(х) називається таке значення х, при якому многочлен обертається на нуль. Наприклад, число х - 2 є коренем мно- гочлена Р3(х) = х3 - х2 - х - 2 , тому що _Р3(2) = 23 - 22 - 2 - 2 = 0. Множення многочлена на многочлен Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого і отримані до- бутки додати. При множенні виразів потрібно пам’ятати правила знаків, а саме: (+х) • (+г/) = ху, (-х) (-у) = ху; (+х) • (-у) = -ху; (-х) (+у) = -ху. Ділення з остачею многочлена на МНОГОЧЛЕН Таке ділення можливе, якщо степінь многочлена, що стоїть у чисель- нику, більше або дорівнює степеню многочлена, що стоїть у знаменнику. Щоб знайти частку двох многочленів, потрібно розмістити многочлен діленого і многочлен дільника за спадними степенями змінної і вико- нати ділення. Нехай Рт(х) і фп(х) — многочлени степеня т і п відповідно, причому т > п: Р (х) = апхт + а,хт 1 + а„хт 2 + ... + а ,х + а , ап 0. т' 7 0 1 2 т-1 т 7 0 (д (х) = Ьпх" + Ь.х" 1 + Ь,хп 2 + ... + Ь Лх + Ь , Ь„ 0. \ / 0 1 2 п-1 п7 0 Поділивши Рт{х) на фп(х), отримуємо: Єл(х) Р (х) + т-п х ' г(х) 0^)’ де Рт_„(х) — многочлен степеня (т- п), що називається цілою части- ною; г(х) — многочлен степеня не вище (п - 1), що називається остачею. На практиці ділення многочленів виконується у «стовпчик». Упоряд- ковуємо обидва многочлени за спадними степенями і записуємо поруч, відокремивши «стовпчиком». Спочатку ділимо старший член діленого на старший член дільника і записуємо результат під горизонтальною рискою. Потім під діленим підписуємо добуток дільника на зазначений результат і віднімаємо цей добуток від діленого. Тепер задача звелася до ділення нового многочлена меншого степеня на попередній дільник. Подальші дії аналогічні описаним. У результаті або многочлен націло поділиться на многочлен (г(х) = 0), або вийде остача.
42 Алгебра Формули скороченого множення 1) х2 - у2 - (х - у)(х + у); 2) (х + у)2 = х2 + 2ху + у2; 3) (х - у)2 = х2 - 2ху + у2; 4) (х + у)3 = х3 ч- Зх2г/ + Зхг/2 + у3; 5) (х - у)3 = х3 - Зх2г/ + Зхг/2 - у3; 6) х3 - у3 - (х - г/)(х2 + ху + г/2); 7) х3 + у3 - (х + г/)(х2 - ху + г/2); 8) (х + у + г) = х2 + у2 + г2 + 2(хг/ + хг + г/г); 9) х3 + у3 + 23 - Зхг/г = (х + у + 2)(х2 + у2 + г2 - ху - хг - уг). Ці формули застосовуються для перетворення (спрощення) виразів. Часто їх застосовують, читаючи не зліва направо, а справа наліво. Наведемо приклади використання формул скороченого множення: (4а)2 - (х + а)2 = (4а - (х + а))(4а + (х + а)) = (За - х)(5а + х); 8х3 - 125г/3 = (2х)3 - (5г/)3 = (2х - 5г/) х ((2х)2 + 2x5г/ + (5г/)2) = (2х - 5г/) (4х2 + Юху + 25г/2); (За - 25)(9а2 + 6аЬ + 452) = (За - 25) х ((За)2 + За • 2Ь + + (25)2) = (За)3 - (25)3 = 27а3 - 853. Трикутник Паскаля і і і 12 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 Рис. 1 а будь-яке інше число дорівнює суі Якщо потрібно піднести двочлен до степеня вище тре- тього, то швидше за все це можна зробити з використан- ням трикутника Паскаля, який інакше називається арифметичним пірикутни- 1 ком. Трикутник Паскаля — це числова таблиця трикут- ної форми, у якій по бічних сторонах стоять одиниці, і двох найближчих до нього чисел з попереднього рядка. Трикутник Паскаля зображений на рис. 1. Трикутник Паскаля можна продовжити, заповнюючи елементи будь- якого рядка. Ми обмежилися виписуванням семи перших рядків. (а + Ь)4 = а4 ч- 4а3Ь + 6а252 + 4аЬ3 + Ь4. (а - Ь)3 -а3 - 5а4Ь + 10а352 - 10а253 + 5аЬ4 - Ь3. З прикладу 2 видно: якщо підноситься до степеня різниця двочле- на, то спостерігається чергування знаків і після знака «+» обов’язково ставиться знак «-». Виділення повного квадрата двочлена ІЗ КВАДРАТНОГО ТРИЧЛЕНА Нехай є квадратний тричлен ах2 + Ьх + с і потрібно перетворити його до вигляду а(х + т)2 + п. Для цього виконуємо такі перетворення: , , Ь с ) , „ Ь ( Ь У ( Ь У с ах" + Ьх + с = а їх" Ч—хч—І = а х" + 2х-1- — - — Ч— = і а а) 2а у 2а І у 2а І а \ /у \/\/у
Дії з алгебраїчними виразами 43 ,9 \ 7 \2 4 т 2 Ь~ с ( Ь ] 4ас - 6“ ------ “і— — а \ х н--н---------— = 4а“ а) 2а ) 4а“ ( Ь V 4ас - Ь2 = а їх н-н------------. 2а) 4а Наведемо приклади на виділення повного квадрата: х2 - 4х + 1 = х2 - 2х2 + 22 - 22 + 1 = (х - 2)2 - 4 + 1 = (х - 2)2 - 3. Відповідь-, х2 - 4х + 1 = (х - 2)2 - 3. Розкладання многочлена на множники Розкладанням многочлена на множники називається перетворен- ня многочлена на добуток двох або декількох многочленів, серед яких можуть бути й одночлени. Існує чотири основних способи розкладання многочлена на множники. Перший спосіб. Винесення спільного множника за дужки. Наприклад: 10х2г/ - 5хг/3 = 5хг/(2х - у2). Другий спосіб. Спосіб групування, який полягає у поєднанні в групи тих членів, які мають спільні множники, і винесенні за дужки спільного множ- ника кожної з груп. Якщо після такого перетворення в усіх утворених гру- пах виявиться спільний множник, то його виносять за дужки. Наприклад: 5(х - Зг/)2 - 4х + 12г/ = 5(х - Зг/)2 - 4(х - Зу) - (х - Зу) х х (5(х - Зу) - 4) = (х - Зг/)(5х - 15г/ - 4); (х - Зу) — спільний множник. Третій спосіб. Застосування формул скороченого множення. а2 + Ь2 + 2аЬ - 4с2 - (а + д)2 - (2с)2 - (а + Ь- 2с)(а + Ь + 2с). Четвертий спосіб. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники, якщо відомі його корені. Зазначимо, що якщо квадратний тричлен ах2 + Ьх + с має дійсні корені х± і х2, то його можна розкласти на лінійні множники в такий спосіб: ах2 + Ьх + с - а(х - хг)(х - х2). х2 - Зх - 4 - (х + 1)(х - 4), тому що х2 - Зх - 4 = 0 <=> хг - -1, х2 - 4. Цілі раціональні вирази Цілими раціональними виразами називаються всі числові вирази, а також вирази зі змінними, які можуть містити дії додавання, відні- мання, множення, піднесення змінних до натурального степеня. Якщо розглядати вирази від однієї змінної, то найпростішим прикладом ці- лого раціонального виразу є многочлен степеня п є аох" + а1х"~1 + + а2х" 2 + ... + ап_1х + ап, а0 Ф 0. Інші приклади цілих раціональних виразів: 5х-—ху2, аЬ+7а2, 4 і/2 5х — Зу 0,1ах° - аЬсху. Вирази 5ху , ----, —----- не є цілими раціональ- 15х + 7 х“ + 5у ними, оскільки містять операції піднесення до цілого від’ємного степеня і ділення на змінні.
44 Алгебра Дробові раціональні вирази. Основна властивість раціонального дробу Дробовими раціональними виразами (дробово-раціональними вираза- ми) називаються вирази зі змінними, які можуть містити дії додавання, віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня і ділення на вирази зі змінними. Якщо розглядати вирази від однієї змінної, то прикладом дробово-раціонального виразу є відношення двох многочленів: Р(х) аохл + а}х" ' + ... + ап рс + ап 0 (х) Ь„х"’ + Ь.х'" 1 + ... + Ь рс + Ь V / 0 1 т-1 т __^Х І 6 Інші приклади дробових раціональних виразів: -----------; х + 9хцг 2 а З т - іг т Ьх х т3 + Зпх п х2 +5у х + 1 Р Раціональним дробом називається вираз —, де Р і ф — раціональні 0 вирази, причому 0 обов’язково містить змінні. Приклади раціональних дробів- 1 • а2 +Ьс _ а2 + а + 1 _ х5 + Зх + 2 х2 + х + 1 ах2 + Ьх + с т2 + Зтп х4 + х2 + 1 Основна властивість дробу полягає в тому, що чисельник і знамен- ник дробу можна помножити або поділити на одне і те саме відмінне від й р р в „ „ р р/р нуля число, одночлен або многочлен, — =-, якщо В Ф 0; — =---, о о в о о/в В — цілий раціональний вираз. Наведемо приклади на використання основної властивості дробу. Зх2 + 15х + 15 х3 + 5х 7х2 + 21х 7х2 + 21х 7Х х + З 49х - 7ху 49х - 7ху 7-у’ 7х Основна властивість дробу може бути використана для зміни зна- Р ків у членів дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу — помножи- 0 р -Р ти на (-1), то отримаємо — =-. Значення дробу не зміниться, якщо о —о одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника. Якщо ж змінити знак тільки у чисельника або тільки у знаменника, то і дріб змінить -Р Р Р т Р -Р Р свій знак: --=----=-----. Також можна записати: — =----=------. о ~о о 0 0 ~о Наприклад: 2-Зх3 _ _ Зх2 -2 _ Зх2 -2 _ _ 2-Зх3 —5 + 7х —5 + 7х —7х + 5 5 —7х
Дії з алгебраїчними виразами 45 Скорочення раціональних дробів Скоротити дріб означає поділити чисельник і знаменник дробу на спільний множник. Можливість подібного скорочення обумовлена основною властивістю дробу. Для того щоб скоротити раціональний дріб, потрібно спробувати розкласти на множники його чисельник і знаменник. Якщо чисельник і знаменник мають спільні множники, то дріб можна скоротити. Якщо спільних множників немає, то перетворення дробу за допомогою ско- рочення неможливе. Зведення раціональних дробів до спільного знаменника Спільним знаменником двох або декількох раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменник кожного дробу. 5 7х + З Наприклад, спільним знаменником дробів-- і------ є многочлен х — 1 2х + 1 (х - 1)(2х + 1), однак не тільки він, але і многочлени 2(х - 1)(2х + 1), 7х(х - 1)(2х + 1), 9х2(х - 1)4(2х + І)7 і т. ін. Краще взяти найменший спільний знаменник — такий найпростіший спільний знаменник, що будь-який інший спільний знаменник ділиться на цей найпростіший. Най- 5 7х + З меншим спільним знаменником дробів ---- і ----- є (х - 1)(2х + 1). х — 1 2х + 1 Можна записати: 5 5(2х + 1) 7х + 3 (7х + 3)(х -1) х —1 (х — 1) (2х +1) ’ 2х + 1 (2х + 1) (х — 1) Зведення початкових дробів до найменшого спільного знаменни- ка (надалі будемо називати його просто спільним знаменником) було досягнуте множенням чисельника і знаменника першого дробу на (2х + 1), а чисельника і знаменника другого дробу — на (х - 1). Много- члени (2х + 1) і (х - 1) називають додатковими множниками для пер- шого і другого дробів відповідно. Таким чином, додатковий множник для даного дробу дорівнює частці від ділення спільного знаменника на знаменник даного дробу. Для того щоб кілька раціональних дробів звести до спільного зна- менника, необхідно: 1) розкласти знаменник кожного дробу на множники, якщо це мож- ливо; 2) утворити спільний знаменник, включивши до нього як спів- множники всі різноманітні множники, отримані в пункті 1); якщо деякий множник є в кількох розкладеннях, то він береться з показником степеня, що дорівнює найбільшому з наявних; 3) визначити додаткові множники для кожного з дробів, поділивши спільний знаменник на знаменник кожного дробу; 4) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник.
46 Алгебра Додавання і віднімання раціональних дробів Сума (різниця) двох раціональних дробів з однаковими знаменника- ми тотожно дорівнює дробу з тими самими знаменником і чисельником, що дорівнює сумі (різниці) чисельників початкових дробів: д±д д±д © © (2 Наприклад: 2а+ 5 2 — За 2а+ 5 + 2 — За 7-а -----+-----=------------=------, (а* 1); а — 1 а — 1 а — 1 а — 1 х-у Х-у Х-у Х-у При додаванні (відніманні) раціональних дробів з різними знамен- никами необхідно звести дроби до спільного знаменника і виконати додавання (віднімання) дробів зі спільним знаменником: Р Д Рт ± Ррі ” 8~ й І 8 де т — додатковий множник для першого дробу І т - — / \ V ® з ковий множник для другого дробу п - — ; 5 — спільний знаменник. ; п — додат- Множення і ділення раціональних дробів Добуток двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чи- сельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників дробів, що перемножуються: Д Д .. РрР. ^2 Це правило розповсюджується на добуток будь-якого скінченного числа дробів. Частка від ділення двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу і знаменника другого дробу, а знаменник — добутку знаменника пер- шого дробу і чисельника другого дробу: Р\ . Д _ Д Оі ©і Д Якщо дріб множиться або ділиться не на дріб, а на многочлен 7?(х), то зазначені вище правила залишаються дійсними, але многочлен 7?(х) необхідно подати у вигляді Е(х) - —-—. На практиці при множенні або діленні раціональних дробів зви- чайно спочатку розкладають на множники чисельники і знаменники початкових дробів (якщо це можливо).
Дії з алгебраїчними виразами 47 Корінь п-го степеня з дійсного числа Дійсне число х називається коренем п-го степеня з дійсного числа а, якщо хП - а (п є ДГ, п > 2). Корінь п-го степеня позначається символом 4~а відповідно до означення = а. Число а називається підкорене- вим числом, чи підкореневим виразом, п — показником кореня. Якщо п-2, то замість 4а пишуть 4а і називають цей вираз квадратним коренем. 4а називають кубічним коренем. Замість терміна корінь ужи- вають термін радикал. Приклади, а) 4І - 2, тому що 22 = 4; б) ^81 = 3, тому що З4 = 81; в) >/() = 0; г) 41 = 1; Д) >/243 = 3. Дія, за допомогою якої визначається корінь п-го степеня, називаєть- ся добуванням кореня п-го степеня. Корінь парного степеня добувається тільки з невід’ємного числа, тобто якщо а < 0, то 24а не існує. Наприклад, вирази 4-ї, 4-і, >/-81, 4-І не мають змісту в області дійсних чисел. Корінь непарного степе- ня добувається із від’ємного числа. Наприклад, >/-27 = -3, тому що (-3)“ = -27; 4-ї = -1; ^-8 = -2; ^-32 = -12. Для коренів непарного степеня 2п+4-а - -2п+4а- Для коренів парного степеня ця властивість не виконується, тобто 24~а -24а (вона виконується тільки для а - 0). Таким чином, 24а існує при а > 0, 2п+4а існує для будь-якого а є В. Щоб уникнути двозначності кореня п-го степеня з дійсного числа а, уводиться поняття арифметичного кореня. Арифметичним коренем називається невід’ємний корінь п-го сте- пеня з невід’ємного числа. Для коренів парного степеня умовилися брати тільки арифметичний корінь. Таким чином, можемо записати: 4а2 = |а| > 0, 2>/а2’1 = |а| > 0, 4І = 3, >/100 = 10. Помилково записувати >/9 = ±3, >/Ї00 = ±10. Зауваження. Іноді арифметичним коренем називають невід’ємний корінь парного степеня з невід’ємного числа. Основні властивості коренів (правила дій із радикалами) 4) 1) ’уаЬ = у/аА/Ь; рг\ п/ пг _ п-к т'к , О І V сі — , 8) 2^о^ = |а|. 3) = 4а™; 6) {4а^ = а; 7) 4а2 - |а|; Зауваження 1. Наведені вище властивості 1)—6) справедливі для а > 0, Ь > 0, якщо розглядати корені парного степеня. Властивості 7)—8) справедливі для будь-якого а є В. Якщо ж розглядати корені непарного степеня, то властивості 1)—8) справедливі для а є В, Ь є В.
48 Алгебра Зауваження 2. Формули 1)—5) часто застосовують у зворотному порядку, тобто справа наліво. Наприклад: л/б • >/з = 5/5-3 = л/ЇЇЇ; 5/2^ = {у[2^ ; >/7 = ^^7; ^3®" = Винесення множника з-під кореня Якщо показник степеня множника під коренем більший, ніж по- казник кореня, то раціональний множник можна винести з-під знака ті/„п+тп п п пі п пі ~п ~ . г\ кореня: \Іа = у]а а =\]а у/а =а\Іа , а > 0. Внесення множника під корінь Якщо раціональний множник стоїть перед коренем, то його можна внести під корінь. Для цього потрібно цей множник піднести до степеня кореня: а = у[а” у/ь = УІапЬ, якщо а > 0, Ь > 0. Для коренів парного степеня залежно від знака а маємо: а 2у/ь = 2УІа2"Ь , якщо а > 0, Ь > 0; 2у/ь - -2УІа2лЬ, якщо а < 0, Ь > 0. Зокрема, для квадратних коренів: ау[ї> = у/а2Ь, якщо а > 0, Ь > 0; ау[ь - -уІа2Ь, якщо а < 0, Ь > 0. Зведення підкореневого виразу до цілого вигляду Звести підкореневий вираз до цілого вигляду означає звільнити під- кореневий вираз від знаменника (якщо він є): І „ І „ кп-к І Ці-к пі і^п-к -і ,_____________ а а - Ь а - Ь у]а - Ь 1~— і — = 1 —------ = г-------=----т=— = - а/ а • Ьп . уьк \ьк ь"к N Ьп ь Звільнення дробу від ірраціональності В ЗНАМЕННИКУ АБО ЧИСЕЛЬНИКУ ДРОБУ ЗАПАМ'ЯТАЙ Вирази (у/а + у/Б) і (у/а-у/Б) називаються взаємно спря- женими виразами. їхній добуток дорівнює різни- ці підкореневих виразів: (у[а + у[Ь) (у[а - у[Ь) = а - Ь, а > 0, Ь > 0. Дріб можна звільнити від ірраціональності (від ірраціонального виразу) „ а ау/ь ау/ь в чисельнику або знаменнику, наприклад: -= = —=-= =----------, отже, у/Ь у/Ьу/Ь ь а ... . у[а у[ау[а а дріб —= звільнили від ірраціональності в знаменнику;---=-------=- - —==, УІЬ Ь Ьу/а Ьуіа .ґ у/а ... отже, дріб --- звільнили від ірраціональності в чисельнику. Ь
Дії з алгебраїчними виразами 49 Щоб звільнити дріб від ірраціональності в чисельнику або знамен- нику, можна застосувати формули скороченого множення, які стосовно до коренів мають вигляд: = а — Ь; б) + ЇІь)((^)2 -№ІЬ + «) = (^)3 + (= а + ь- в) - </б)((^)2 + №у/ь + (ї/ь)2) = (^)3 - (</ь)' = а - Ь. Вирази (у/а. + у/ї>^ і (у/а-у/ь} називаються взаємно спряжени- ми виразами. їхній добуток дорівнює різниці підкореневих виразів: Степінь дійсного числа з раціональним показником Якщо т є 2, п є Ді, п > 2, а > 0, то вважають, за визначенням, а" = V ат . Наприклад: б3 = ^/б2 = </36; 57 = Ц53 = </125. т ______ Зауваження. Формула а11 - у/а™ має зміст не тільки при а > 0. Якщо т _________________________________ п - 2к + 1 (к є ВГ), то формула а” = \ат справедлива при а є В \ {0}. Якщо — > 0, то вираз </а™” має значення не тільки при а > 0, але і при п а < 0, причому </о™” = 0. Наприклад, мають значення вирази, які можна записати за допомогою радикалів: (-2)з = ^(-2)5 = </-32 = -</32; (-0,5)7 = ^(-0,5)2 = </0,25; (-27)І = ^(-27)2 = у/273 = у[¥ = 9; 1. 2 __ О2 = л/о = 0; О3 = л/о^ = 0. ЦІКАВО ЗНАТИ & Формула а" =\[а™ має зміст не тільки при а > 0. Якщо п = 2к+ 1 (/се А/), то формула т а" =\[а"' справедлива при а є /?\{0}. Якщо — >0, то ви- ті раз у[а™ має значення не тіль- ки при а > 0, але і при а < 0, причому у/в™ =0. Наприклад мають значення вирази, які можна записати за допомогою радикалів: (-2)- = >/(-2)5 = 1/-32 = ->І32; (-0,5)= = =/(_0,5)2 = =/ц25; (-27)5 = ^(-2 7)2 = = = 9; 1 £ 02=х/0 = 0; 03=^0? = 0. Степінь дійсного числа з дійсним показником Степінь дійсного числа з дійсним показником має ті ж властивості, що і степінь із натуральним, цілим, раціональним показниками. Запи- шемо ці властивості, вважаючи, що а > 0, Ь > 0, х є В, у є В. Властивості степеня дійсного числа з дійсними показниками 1) а'• ау = а''; 2) = В ; 3) ‘; 4) (аЬ)х = ах Ьх ; 5) = р-; 6) а х = 4" 5 7) а° = 1, а * 0; 8) = 9) Р = 1.
50 Алгебра Зауваження 1. Вираз ах звичайно розглядається при а > 0, тому що при а > 0 цей вираз має значення завжди. Однак при а < 0 ах має значення в таких випадках: а) для невід’ємних цілих х > 0; б) для раціональних чисел х - —, у яких знаменник д — непарне д число; в) коли х — ціле від’ємне число. 4 о 1 ( 1 V3 £ Наприклад, вирази (-9) , (-5) , (-0,8) з, — , (-2,5) з існують \ 2) 1 З £ 1 (мають значення); вирази (-7)2, (-3)7, (-0,5)7, (-5)2 не існують в об- ласті дійсних чисел. Зауваження 2. Звичайно змінні позначаються буквами х, у, 2, и, V, іа, а сталі (або параметри) — буквами а, Ь, с, а, 0, у, 8 тощо. Якщо ос- нову степеня позначити через х, а показник степеня через а, то степінь набуває вигляду ха. Оскільки перетворення зі степенями виду ха зуст- річаються досить часто, запишемо властивості степеня 1)—9), умовно назвавши їх властивостями степеня зі змінною основою і фіксованим показником степеня (х > 0, у > 0, а є В, 0 є В). а п 1) Xа • хр = ха+р; 2) = 3) (х“) = х“р = (хр)“ ; 4) (ху)а = ха-уа;5) М = ^;6) х < У 7 У х 7) х°= 1; 8) х1 = х; 9) 1“= 1. Зауваження 3. Вираз ха звичайно розглядають при х > 0, тому що при х > 0 ха має зміст завжди. Однак при а > 0 (а — ціле) визначене для будь-якого х є В', якщо а — ціле від’ємне число, то ха визначене при х є В \ {0}; якщо а = — , де д — непарне число, то х“ визначене не д тільки при х > 0®, але і при х < 0. Середнє арифметичне і середнє геометричне. Нерівність Коші Середнім арифметичним п чисел ах, а2, ..., аП є число Д: а, + а„ +...+ а 1 2 п п Середнім геометричним п невід’ємних чисел щ, а2, ..., ап є число О„:
Дії з алгебраїчними виразами 51 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ Запишіть вираз у вигляді степеня з основою х. 1) х 4; 2) х 2; 3) х2; 4) х4. 4 . З32 + 9. з30 2. Знайдіть значення виразу --------------- 3. 4. 5. 6. 7. 1)0; 2)1; 3)5; 4)10. Знайдіть частку від ділення многочлена 2х3 - Зх2 - 1 їх + 6 на двочлен х - 3. 1)2х2-Зх + 2; 2)2х2 + Зх + 2; 3)2х2 + Зх-2; 4)2х2-Зх-2. Знайдіть остачу від ділення многочлена Зх4 + 5х2 + 7 на многочлен х2 + х. 1) —Зх + 8; 3) -8х- 7; Скоротіть дріб: х2 — 6х + 8 х2 — Зх — 4 2) 8х + 7; 4) -8х + 7. 4) 1) 4) 1. Спростіть вираз: Спростіть вираз 1)а + Ь; 2) а -Ь; 3) аЬ; 4) 4- аЬ Спростіть вираз: ^-2)!+^-з)2. 1)1; 2) 2-^7 - 5; 3) 5; 4)-1. 9. Позбавте дріб від ірраціональності у знаменнику: 2 х + 2у/ху + у . х-г/ .. Х~У 4) --- і) — х-г/ х - 2у/ху + 4 . X + у 10. Внесіть множник під знак радикала у виразі х-у/у, якщо х < 0. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 1. 2. 3. 3. 3. 4. 4. 5. 2. 6. 4. 7. 4. 8. 1. 9. 2. 10. 4.
ФУНКЦІЇ І найпростіші графіки ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Область визначення і область значень функції. Основні способи задання функції. Парні і непарні функції. Періодичні функції. Обмеженість функції. Монотонність функції. Проміжки знакосталості і корені функції. Точки мінімуму і точки максимуму функції. Екстремум функції. Обернена функція. Геометричні перетворення графіків функцій. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Область визначення і область значень функції Нехай -О(У) і £(/) — довільні числові множини. Кажуть, що на мно- жині -О(У) визначена числова функція у - /(х), якщо кожному числу х є В(/) поставлено у відповідність єдине, цілком визначене число у - /(х) є £(/). Множина В(/) називається областю визначення фун- кції, або областю допустимих значень незалежної змінної (скорочено ОДЗ), а £(/) — областю значень функції (£(/), також називають областю зміни, множиною значень): Нерідко область визначення і область значень функції у - /(х) позна- чають таким чином: -О(у) — область визначення, Е(у) — область значень. Довільний елемент х області визначення В(/) називається незалеж- ною змінною, або аргументом, а величина у - /(х) називається залежною змінною, або функцією. Коротко можна сказати: залежність змінної у від змінної х називаєть- ся функцією, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у. Той факт, що задано функцію у - /(х), х є В(/) з областю визначення В(/) і областю значень £(/), іноді записують у такій формі: /: В(/) Е(/), або £)(/) —£(/), або В —Е. Основні способи задання функції Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна було б знайти відповідне зна- чення функції. Існує чотири основні способи задання функції: 1) аналі- тичний; 2) графічний; 3) табличний; 4) спосіб словесного опису. 1) Аналітичний спосіб задання функції. При аналітичному способі функція задається за допомогою формули у - /(х), де /(х) — деякий вираз із змінною х. Наприклад: і— 1 2х5, х < 0, г/=х2, г/ = Ух, г/ = —, у = \ - х 4х + 1, х > 0.
Функцій найпростіші графіки 53 Якщо функція задається аналітично, то її область визначення не- рідко називається натуральною областю визначення. Це множина всіх тих значень х, для кожного з яких формула, що визначає функцію /(х), має зміст. Так, наприклад, для функції у -х2 натуральна область визна- чення — множина всіх дійсних чисел, тобто х є (—°°; +оо) = В. Для фун- кції у - \[х натуральною областю визначення є множина невід’ємних дійсних чисел, тобто х є [0; +<х>). 2) При графічному способі задання зображають графік функції у - /(х) у системі координат хОу. Графіком функції називається зображення на координатній площині множини упорядкованих пар {(х; у)\у - /(х), х є В(/)}. Кожній упорядко- ваній парі дійсних чисел (х; у) можна поставити у відповідність точку на площині. Для цього на площині зображають прямокутну (декартову) систему координат (рис. 2). Прямі Ох і Оу взаємно перпендикулярні, О — точка перетину цих прямих. Ох — вісь абсцис, Оу — вісь ординат, 0 — початок координат. На кожній з осей Ох і Оу вибирають додатний напрям відліку (на осі Ох — зліва направо, на осі Оу — знизу вгору). Вибирають також одини- цю виміру (масштаб). Кожна точка А(хЛ; уА) на координатній площині має дві координати: хА — абсцису, уА — ординату (рис. 3). Записується це таким чином: А(ха; уА). Отже, графік функції у - /(х) — множина точок координатної пло- щини хОу, абсциси яких є значеннями аргументу х, а ординати — від- повідні значення функції у. Для того щоб множина точок координатної площини була графіком деякої функції, необхідно і достатньо, щоб будь- яка пряма, паралельна осі Оу, перетиналася з цим графіком не більше, ніж в одній точці. Графічний спосіб зручний тоді, коли задати функцію аналітично досить важко (рис. 3). Зауваження. Осі координат розбивають площину на чотири части- ни — І, II, III, IV — чверті, або координатні кути (рис. 4). 3) Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що відповід- ність між елементами множин В(/) і £(/) задається у формі таблиці. При цьому способі наводиться таблиця, що вказує значення функції у 1; у2, ..., у„_1, уп для наявних у таблиці значень аргументи х,, х„,..., х„ х„ (табл. 1). Таблиця 1 X х. V х„-1 У Уі У2 Уп-1 Уп Прикладами табличного способу задання функції є таблиці квад- ратів, квадратних коренів, кубів, логарифмів тощо. 4) При словесному способі задання функції закон, відповідно до яко- го значення функції відповідають значенням аргументу, формулюється словесно. Так, наприклад, розмір прибуткового податку є функцією заробітної плати платника податків.
54 Алгебра Парні і непарні функції ЗАПАМ'ЯТАЙ Функція у - /(х) називається парною, якщо для будь-яких х і (-х) з області визначення функції виконується рівність Д-х) = Дх). ГЦ-х)^-Г(х) Якщо і , тодх) — |Дх) функція загального вигляду. Функція у - /(х) називається непарною, якщо для будь-яких х і (-х) з області визначення функції виконується рівність Д-х) = -Дх). Якщо функція у - /(х) така, що хоча б для однієї пари значень х і (-х) виявило- ся, що Д-х) Ф -/(х), і хоча б для однієї пари значень х і (-х) виявилося, що Д-х) Ф /(х), то функція називається функцією загального вигляду. Г Д—х) Ф ~/(х), Коротко: якщо <! то Дх) — функція загального вигляду. Приклади парних функцій: у - х2, у - х4, у - х4 + х2 + 1, у - -х8 - х4 + 1, 8ІП X У — СО8 X, У — . X Приклади непарних функцій: у - х, у - х3, у - х + х19, у - х9 - х3, у - -х13 + х7, у - 8ІПХ, у - СІ£Х. Приклади функцій загального вигляду: у - х2 + х, у - (х + 2)4, у - (х - І)3, у - х3 + хв, у - х - х4 . 3 означення парних і непарних функцій випливає, що область ви- значення -О(У) як парної, так і непарної функції симетрична відносно початку координат, тобто якщо х є В(/) => (-х) є В(Д. Якщо функція у - /(х) є парною, то її графік симетричний відносно осі ординат. Якщо функція у - /(х) є непарною, то її графік симетричний відносно початку координат. Приклад. З’ясувати, чи є дана функція парною, непарною, загаль- ного вигляду: а) Дх) = 2х4 + Зх2 +7; б) Дх) = х + зіп х; в) Дх) = (х + З)5. Розв’язання. а) Д-х) = 2(-х)4 + 3(-х)2 + 7 = 2х4 + Зх2 + 7 = Дх) => /(х) — парна функція; б) Д—х) = -X + 8Іп(-х) = -X - 8ІПХ = -(х + зіпх) = -Дх) => ?(х) — непарна функція; в) Д-х) = (-х + 3)“, Д-х) Ф /їх), /(-х) Ф ~/(х) => /(х) — функція загального вигляду. Відповідь: а) парна функція; б) непарна функція; в) функція загаль- ного вигляду. Періодичні функції СЛОВНИК Функція у - /(х) називається періодичною, якщо існує таке чис- ло Т Ф 0, що при будь-якому х з області визначення функції числа Найменший додатний період називається основним пе- ріодом. (х - Т) і (х + Т) також належать цій області і виконується рівність Дх + Т) - ]\х - Т) - /(х). Число Т у цьому випадку називається періо- дом функції /(х). Будь-яка періодична функція має нескінченну множину періодів, бо якщо Т — період функції у - /(х), то і число виду кТ — період функції (к є 2 \ {0}). На практиці, кажучи про період, нерідко мають на увазі
Функцій найпростіші графіки 55 найменший додатний період (якщо такий існує). Найменший додатний період називається основним періодом. Приклади періодичних функцій: у - {х} — дробова частина х, ос- новний період Т - 1; у - зіп х, основний період Т - 2п; у = Ї£х, основний період Т = я. Обмеженість функції Функція у = /(х) називається обмеженою, якщо її область значень обмежена, тобто якщо всі її значення лежать на якому-небудь обмеже- ному проміжку. В іншому разі функцію називають необмеженою. Приклади функцій, обмежених на всій області визначення: 1 2х х2 + 5 У = ~У = ~У = ;—г , У = 8шх, у = СО8Х. Зауваження. Можна дати таке означення обмеженості функції: функція у - /(х) називається обмеженою на всій області визначен- ня якщо існує таке число С > 0, що |Дх)| < С для кожної точки х є -О(У). Зауваження. Функція у - /(х) називається обмеженою на множині X с Л(/), якщо існує таке число С > 0, що |Дх)| < С для кожного х є X. Функція, обмежена на деякій множині X с В(/), може бути необме- женою на всій області визначення. Наприклад, функція у - — обмежена при х є — ;10 але на всій області визначення вона є необмеженою. 10 Монотонність функції Функція у - /(х) називається зростаючою на даному числовому проміжку X, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції Дх), тобто для будь-яких х1; х2 є X і х2 > хг => Дх2) > > ДхД. Функція у - /(х) називається спадною на даному числовому про- міжку X, якщо більшому значенню аргументу х є X відповідає мен- ше значення функції Дх), тобто для будь-яких х1; х2 є X і х2 > х, Дх2) < ДхД. Функція, тільки зростаюча або тільки спадна на даному числовому проміжку, називається монотонною на цьому проміжку. Приклади монотонних функцій на всій області визначення: у-х, у - х3, у - х5, у -2х, у - 1о£ах, у - агсзіп х, у - агсі£ х. Функція у - х2 не є монотонною на всій області визначення, од- нак при х є (—°°; 0) вона є спадною, а при х є (0; +°°) є зростаючою. Функція г/ = 8Іпх не є монотонною на всій області визначення, однак я я усередині кожного з інтервалів - — + 2кп < х < — + 2кп, к є 7 вона я Зя є зростаючою, а усередині кожного з інтервалів — + 2/гя < х < — + 2/гя, к є 7 — спадною. ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Можна дати таке означення обмеженості функції: функція у = Л(х) називається обмеже- ною на всій області визначен- ня ОЩ, якщо існує таке число С> 0, що |Дх)| < С для кожної тонких є ОЦ). СЛОВНИК Функція, тільки зростаюча або тільки спадна на даному числовому проміжку, нази- вається монотонною на цьо- му проміжку.
56 Алгебра Проміжки знакосталості і корені функції 55 словник Числові проміжки, на яких функція зберігає свій знак (тобто за- лишається додатною або від’ємною), називаються проміжками знако- Значення аргументу х є О(і), при яких функція «X) = 0, називаються коренями (або нулями) функції. сталості функції. Наприклад, для функції у - х, у > 0 при х > 0 і у < 0 при х < 0. Значення аргументу х є В(/), при яких функція /(х) = 0, називаються коренями (нулями) функції. Зрозуміло, що значення аргументу, при яких функція перетворюється на нуль, — це абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох. Наприклад, для функції у - х + 2 нулем фун- кції є х - -2; для функції у - х2 - 5х + 6 нулями функції є х± - 2, х2 - 3. Точки мінімуму і точки максимуму функції. Екстремум функції ЗАПАМ'ЯТАЙ Точки мінімуму і точки макси- муму називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках називається екстремумом функції (відповідно мініму- мом і максимумом). Точка х0 з області визначення функції у - /(х) називається точ- кою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться такий 8-окіл точки х0 х є (х0 -8, х0 + 8), що для всіх х Ф х0 з цього околу виконується нерів- ність /(х0) < /(х). Записується це таким чином: М — тіп /(х). %є(%0 —5, х0 + 3) Точка х0 з області визначення функції у - /(х) називається точ- кою максимуму цієї функції, якщо знайдеться такий 8-окіл точки х0 х є (х0 - 8, х0 + 8), що для всіх х Ф х0 з цього околу виконується нерів- ність /(х0) > /(х. Записується це таким чином: М — шах /(х). хє(х0 —5, х0 + 3) Точки мінімуму і точки максимуму називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках називається екстремумом функції (відповідно мінімумом і максимумом). Обернена функція ЗАПАМ'ЯТАЙ Д л я то го що б у фу н кц її у = ї(х) при х є [а; Ь] існувала обер- нена до неї функція, необхід- но і достатньо, щоб функція у=Т(х) була монотонною при х є [а; Ь]. Кожному значенню х є В(/) рівність у - ]'(х) ставить у відповідність цілком визначене значення у є £(/). У деяких випадках рівність у - ]'(х) можна розглядати як таку, що кожному значенню у є Е(/) ставить у від- повідність цілком визначене значення х є В(/). Приклад. Рівність у - Зх - 1 кожному значенню у ставить у від- у +1 „ повідність х = —-— . Можна сказати, що рівність у - Зх - 1 визначає х . . . .. у + 1 як деяку функцію змінної у, тобто X = . 3 Нехай функція у - /(х) така, що кожному допустимому значенню величини у можна поставити у відповідність одне і тільки одне значення величини х. Тоді ця рівність визначає х як деяку функцію від у. Позна- чимо цю функцію через ір: х = ф(у). У цьому співвідношенні х = ф(г/) роль аргументу відіграє у, а роль функції — х. Оскільки звичайно х позначає аргумент, у позначає функцію, то запишемо залежність х = ф(г/) у виг- ляді у - ф(х). Функція у - ф(х) називається оберненою до функції у = ї(х).
Функцій найпростіші графіки 57 У + 1 X + 1 Так, наприклад, г/ = Зх - 1 <=> х = -. Тому функція у - -- З З є оберненою до функції у - Зх - 1. Для того щоб у функції у - /(х) при х є [а; &] існувала обернена до неї функція, необхідно і достатньо, щоб функція у - /(х) була монотон- ною при х є [а; &] (тобто або тільки зростаючою, або тільки спадною). Так, для функції у - х3 оберненою є у - \[х , х є (-оо; +<х>). Для фун- кції у - х1 2 при х є (-оо; +00) оберненої не існує, однак при х є (0; +°°) оберненою ДЛЯ у - X2 Є у - 4х , а при X Є (-оо; 0) оберненою для у - X2 є функція у - -4х. Якщо точка (х; у) належить графіку функції у - /(х), то точка (у; х) належить графіку оберненої функції. Тому графіки прямої і оберненої функцій симетричні один одному відносно прямої у - х (бісектриси 1-го і 3-го координатних кутів). Так, наприклад, графік функції у = х3 симетричний графіку функції у - у[х відносно прямої у - х (рис. 5). Взагалі для функції у - хп (х > 0, п є У, п > 2) оберненою є у - у[х . Зауваження. Область визначення оберненої функції збігається з множиною значень початкової функції, а множина значень оберненої функції збігається з областю визначення початкової функції, тобто область визначення і область значень прямої і оберненої функцій мі- няються місцями. Рис. 5 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1-х 1. Задано функцію Дх) =---. Знайдіть Дх + 1). 1 + х 1) Дх + 1) = —2)Дх + 1) =----- х + 2 х + 2 2 1 + х 3)Дх + 1) = --; 4)Дх + 1) = -----. 1 + х 1-х їх — 4 2. Знайдіть область визначення функції у - .-. V х +1 1) (-1; 4]; 2) (-оо; -1); 3) [4; +оо); 4) (—оо; —1) и [4; +°о). 3. Знайдіть область визначення функції у - 4х + х2. 1) (-оо; -3) о (3; +°°); 2) [-3; 0]; 3) [0; 3]; 4) [-3; 3]. Знайдіть множину значень функції у - —Д 1) Я; 3) 0;—]; 2 ) 2) | 0;—]; І 2/ 4) | 0;— . І 2 5. Серед наведених нижче функцій парною є функція: 1) у - х2 +|х|; 2)г/ = 5х3; 3) у - х13 + х2; 4) у - \[х.
58 Алгебра Серед наведених нижче функцій непарною є функція: 1) у — |х| + х; 2) у — \[х; 3) у — л/х; 4) у — \І1 — х3. Для заданої функції г/ = х2 + 4, х < 0 знайдіть обернену. 1) у — л/х + 4; 2) у — л/х — 4; 3) у — —у/х + 4; 4) у — —у/х — 4. На рисунку зображений графік функції: 1) У = |х-1|; 2) у = |х-1| + 1; 3) у — |х + 1| — 1; 4) у = |х -1| -1. 10. На рисунку зображений графік функції: і) у = |4-хГ; 2) у = |х-4|2; 3) у — 4 + х2 ; 4) у — 4-х2 . 11. На рисунку зображений графік функції: 1) у — |х|“ — 4 |х| + 3; 2) у — |х2 — 4 |х| — з|; 3) у — |х2 — 4| — 41х| — 3; 4) у — |х2 — 4 |х| + з|. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 2. 2. 4. 3. 3. 4. 4. 5. 1. 6. 2. 7. 4. 8. 3. 9. 2. 10. 4. 11. 4.
АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ І СИСТЕМИ РІВНЯНЬ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Рівності та їхні властивості. Тотожності. Рівняння з однією змінною (загальні поняття). Рівносильність рівнянь. Сукупність рівнянь. Класифікація алгебраїчних рівнянь. Лінійні рівняння і рівняння, що до них зводяться. Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Двочленні рівняння. Тричленні рівняння. Біквадратні рівняння. Цілі раціональні рівняння вищих сте- пенів. Теорема Безу. Симетричні рівняння третього степеня. Симетричні рівняння четвертого степеня. Розв’язання деяких неповних раціональних рівнянь вищих степенів. Розв’язання раціональних і дробово-раціональних рівнянь методом уведення нової змінної. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля. Метод інтервалів (проміжків) при розв’язуванні рівнянь з модулями. Ірраціональні рівняння. Системи рівнянь. Однорідні системи рівнянь. Симетричні системи рівнянь. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Рівності та їхні властивості. Тотожності Рівність — це два вирази, з’єднані знаком «=» (дорівнює), х - у — це рівність, х — ліва частина рівності, у — права частина рівності. Властивості рівностей: 1) х-у у - х', 2) х - у, у - г => х - з; 3) х -у х + г -у + 2', 4) х - у х г - у г; _ х У < 5) х = у — = — (з^О). 2 2 Рівність може бути числовою або зі змінними. Числова рівність може бути правильною або неправильною. 20 12 10-4 = 6, — = 7-3, 4 - 10 =----— правильні числові рівності, б 2 3 = 5, 3+8=25 — неправильні числові рівності. X + у = 2 — рівність зі змінними. Змінні х і у у цій рівності можуть набувати різних числових значень. Якщо х = 0, а у -2, то 0 + 2 = 2 — правильна числова рівність. Якщо х = 1, а у = 5, то 1 + 5 = 2 — непра- вильна числова рівність. Множина значень змінних, при яких ліва і права частини рівності мають зміст (визначені), називається областю визначення рівності і позначається звичайно через В. „ . . а2-9 Наприклад, рівність -----= 1 визначена для будь-якого значення а + З а, окрім а - -3. Звідси В(а) = {а | а є В \ {-3}} . Тотожність — це рівність, правильна при будь-яких значеннях змінних з області визначення рівності. ЗАПАМ'ЯТАЙ ВЛ Властивості рівностей: 1) х = у => у = х; 2) х = у, у = 2^> х = 2; 3)х = у=>х + 2 = у + 2; 4) х = у => х • 2 = у • 2; 5)х = у^> - = ^ (2/0). 2 2
60 Алгебра Приклади тотожностей: (х2 -г/2) = (х - у)(х + у); (а + 1>У — а2 + 2аЬ + Ь2; = х - 1, х Ф -1; Рівняння з однією змінною (загальні поняття) словник Множина усіх значень змінної х, при яких мають зміст (виз- начені) ліва та права частини рівняння, називається облас- тю визначення рівняння (або областю допустимих зна- чень рівняння) і позначається через Д (або через ОДЗ). Рівнянням, з однією змінною називається рівність виду Дх) = ф(х), де Дх) і ф(х) — деякі задані функції, змінна х — невідома. Значення змінної х, при якому рівняння Дх) = ф(х) перетворюється на правильну числову рівність, називається коренем, або розв’ язком, рівняння. Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або до- вести, що їх немає. Множина усіх значень змінної х, при яких мають зміст (визначені) ліва і права частини рівняння, називається областю визначення рів- няння (або областю допустимих значень рівняння) і позначається через В (або через ОДЗ). Для того щоб знайти область визначення рівняння Дх) = ф(х), необхідно знайти переріз множин, на яких визначені фун- кції Дх) і ф(х). РіВНОСИЛЬНІСТЬ РІВНЯНЬ ЗАПАМ'ЯТАЙ ї(х) > д(х) <=> і(х) • <р(х) > д(х) • (х), якщо ф(х) > 0; Дх) ф(х) д(х) ф(х)' якщо ф(х) > 0; ї(х) > д(х) ї(х)-ф(х) < < д(х) • ф(х), якщо ф(х) < 0; „ . , , Дх) д(х) г(х) >д(х) <=>-----< -—, якщо ф(х) ф(х) ф(х) < 0. Нагадаємо, що якщо з істинності висловлювання А випливає істин- ність висловлювання В, то вживають знак логічного наслідку =^>, тобто А => В (читається: з А випливає В). Якщо А => В і В => А, то такі висловлювання називають рівносильни- ми (еквівалентними). Записується це таким чином: А <=> В (читається: А еквівалентне В, А рівносильне В). Два рівняння називаються рівносильними (еквівалентними), якщо множини їх розв’язків (коренів) збігаються, тобто це такі рівняння, які мають ті самі корені. Рівносильними вважаються і рівняння, кожне з яких не має коренів. Наприклад, рівняння х+1 = 7іх + 4 = 10 рівносильні, тому що кож- не з них має єдиний корінь — число 6. Рівносильні і рівняння х2 = -4 і Зх2 + 5 = 0 (в області дійсних чисел), тому що жодне з них не має коренів. РІВНЯННЯ X - 8 = 1 І X2 = 81 є не рівносильними, тому що рівняння х - 8 = 1 має тільки один корінь х = 9, а рівняння х2 = 81 має два корені: хг - 9 і х2 = -9. Перетворення, при яких рівняння переходить у рівносильне йому рівняння 1. Якщо у рівнянні поміняти місцями ліву і праву частини, то отри- муємо рівняння, рівносильне даному. Наприклад: х + 4 = 2х + 9<=>2х + 9 = х + 4.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 61 2. Якщо у рівнянні будь-який доданок перенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак на протилежний, то отримуємо рівняння, рівносильне даному. Наприклад: 2х+7 = х- 3<=>2х-х = -7-3. 3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на те саме відмінне від нуля число, то отримуємо рівняння, рівносильне даному. ТТ • Х + 1 • • Л А А ' Наприклад, рівняння-----= х рівносильне рівнянню х + 1 = 4х (рівнян- 4 -< А Х + 1 Г- ня х + 1 = 4х отримане з рівняння —-— = х множенням обох частин на число 4). 4. Якщо до обох частин рівняння додати або відняти те саме число, то отримуємо рівняння, рівносильне даному. Наприклад: х + 2- 5х <=> х + 2 + 7 = 5х + 7; 5х + 2 = 0 <=> 5х + 2 - 2- 0 - 2. 5. Якщо до обох частин рівняння додати або відняти будь-яку функ- цію, то отримуємо рівняння, рівнозначне даному за умови, що області визначення отриманого і даного рівнянь збігаються. Наприклад: х = 2 <=> х + х2 = 2 + х2; х3 + 5х = 8 + 5х <=> х3 = 8. Сукупність рівнянь Декілька рівнянь з однією змінною утворюють сукупність рівнянь, якщо знаходяться такі значення змінної, кожне з яких задовольняє принаймні одному з заданих рівнянь. Рівняння, що утворюють сукуп- ність рівнянь, записуються у стовпчик за допомогою квадратної дуж- ки. Наприклад, х + 3 = 2х — 7 о або за допомогою знака «;» (крапка х Нос і — 0 з комою). Наприклад, х + 3 = 2х - 7; х2 - 5х + 6 = 0. Розв’ язанням сукупності рівнянь є об’єднання множин коренів рів- нянь, які складають дану сукупність. Наприклад, рівняння 2х(х - 1)(х2 - 7х + 12) = 0 рівносильне сукуп- ності рівнянь: 2х = 0, 2х(х - 1)(х2 - 7х + 12) = 0 о х — 1 = 0, х2 - 7х +12 = 0. Розв’язуючи кожне з рівнянь сукупності, отримуємо корені почат- кового рівняння: х1-0; х2 = 1; х3 = 3; х4 = 4. Класифікація алгебраїчних рівнянь Рівняння Дх) = ф(х) називається алгебраїчним, якщо Дх), ф(х) — алгебраїчні функції. До алгебраїчних функцій відносяться, наприклад, цілі раціональні функції (многочлени), дробово-раціональні функції (відношення двох многочленів), ірраціональні функції. словник ф Можна дати Інше визначен- ня Ірраціонального рівнян- ня, а саме: це таке рівняння, в якому змінна знаходиться під знаком радикала або під знаком піднесення до дробо- вого степеня.
62 Алгебра Приклади алгебраїчних рівнянь: 2х + 5 = 1, х2 - х - 1 = 0, х3 - Зх - О, ——— = —, у/х + 1 = 3, у/х — 1 + у/х + 4 = 5. х +1 2 Рівняння Дх) = ф(х) називається раціональним, якщо Дх) і ф(х) — многочлени. Рівняння Дх) = ф(х) називається дробово-раціональним, якщо Дх) і ф(х) — раціональні функції, причому хоча б одна з них дробово-ра- ціональна відносно змінної х. Рівняння Дх) = ф(х) називається ірраціональним, якщо Дх) і ф(х) — елементарні алгебраїчні функції і хоча б одна з них ірраціональна від- носно змінної х. Рівняння Дх) = ф(х) називається елементарним трансцендентним, якщо Дх) і ф(х) — елементарні функції і хоча б одна з них трансцен- дентна відносно змінної х. Зауваження. Можна дати інше визначення ірраціонального рівнян- ня, а саме: це таке рівняння, в якому змінна знаходиться під знаком радикала або під знаком піднесення до дробового степеня. Приклади алгебраїчних рівнянь різного виду: 1) х - 7 = 2, х2 - х = 0, х5 - 3 = 0 — раціональні рівняння з одним не- відомим; 2) х2 - у2 - х - у — раціональне рівняння з двома невідомими; Н-1 2х З 3) -----= 2,---=------- — дробово-раціональні рівняння; х х +1 5х - 2 4) . 1 + Ух -1 = 2 —ірраціональне рівняння; ух — 1 5) 2^ = 5,1ц х - -1, х'“'* = 10, зіпх = і — трансцендентні рівняння. Лінійні рівняння і рівняння, що до них зводяться Лінійним рівнянням з однією змінною х називається рівняння виду а х-Ь, де а і & — задані числа; а називається коефіцієнтом при змінній х, Ь — вільним членом. Для лінійного рівняння а • х = Ь можливі три випадки: 1) а Ф 0. Тоді а х-Ь х - — — єдиний корінь рівняння. а 2) а = 0, Ь - 0. Тоді рівняння а • х = Ь має вигляд 0 х = 0, що правиль- но при будь-якому х, тобто коренем рівняння є будь-яке дійсне число. 3) а = 0, Ь Ф 0. Тоді рівняння а • х = Ь має вигляд 0 • х = Ь, воно не має коренів. РІВНЯННЯ, які зводяться до лінійних Рівняння виду: а) - = &; б) - = &; а х
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 63 в) ах + Ь = с; г) ах + Ь = сх + д; „ ах + Ь т д) ------ = — сх + а п зводяться до лінійних шляхом перетворень. Запишемо розв’язання цих рівнянь: а) — = Ь => х = а • Ь (а Ф 0); б) — = Ь <=> х = — (Ь Ф 0); а х Ь в) ах + Ь = с^>х = —--- (а Ф 0); г) ах + Ь = сх + <1 => х =-(а Ф с); а а — с х ах + Ь т тд — пЬ д) ------= — => х =--------- (па - тс Ф 0). сх + д п па — тс Квадратні рівняння Рівняння виду ах2 + Ьх + с - 0 (а Ф 0) називається квадратним рів- нянням з однією змінною, де а — коефіцієнт при х2 (перший коефіцієнт), Ь — коефіцієнт при х (другий коефіцієнт), с — вільний член. Якщо Ь Ф 0, с Ф 0, то квадратне рівняння називається повним. Якщо а- 1, то квадратне рівняння називається зведеним', якщо а Ф 1 — не- зведеним. Незведене квадратне рівняння завжди можна перетворити на зведене, поділивши обидві його частини на перший коефіцієнт а Ф 0: ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Незведене квадратне рівнян- ня завжди можна перетвори- ти на зведене, поділивши оби- дві його частини на перший коефіцієнт а # 0. & С ах2 + Ьх + с = 0<=>х2-\—х-ї— = 0 (а 0) — зведене квадратне рівняння. а а Зведені квадратні рівняння звичайно записуються у вигляді х2 + рх + д = 0. Корені квадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0 знаходять за формулою -Ь±УІР 2а де В-Ь2 - 4ас — дискримінант квадратного рівняння ах2 + Ьх + с - 0. Якщо В < 0, то рівняння ах2 + Ьх + с - 0 не має дійсних коренів; якщо В - 0, то хг - х2 - — і рівняння ах2 + Ьх + с - 0 має рівні корені (у цьо- 2а ЗАПАМ'ЯТАЙ т му випадку говорять, що рівняння має кратний корінь кратності два); -Ь-х/Ь2 -Аас 1,2 — ~ 2а якщо В > 0, то рівняння ах2 + Ьх + с - 0 має два різних дійсних кореня. Отже, В > 0 => х,2 —Ь ± \ІЬ2 — 4ас 2а Теорема Вієта Теорема Вієта формулюється таким чином: якщо зведене квадратне рівняння х2 + рх + д = 0 має дійсні корені хг і х2, то їхня сума дорівнює (-р), а добуток дорівнює тобто Таким чином, сума коренів зведеного квадратного рівняння дорів- нює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
64 Алгебра Зауваження. Оскільки незведене квадратне рівняння завжди можна перетворити на зведене, поділивши обидві його частини на коефіцієнт при х2, то теорема Вієта для незведеного квадратного рівняння має вигляд: ах2 + Ьх + с - 0 => (а Ф 0). З теореми Вієта для незведеного квадратного рівняння випливає, що квадратний тричлен може бути розкладений на лінійні множники у такий спосіб: ах2 + Ьх + с = а(х - хг)(х - х2), де х1; х2 — корені рівняння ах2 + Ьх + с = 0. Двочленні рівняння Алгебраїчне рівняння називається двочленним рівнянням, якщо воно має вигляд х" - а = 0 (п є А). У найпростішому випадку при а - 1 маємо х" - 1 = 0. Тоді: а) при п - 1 х-1 = 0ох=1; б) при п = 2х2-1 = 0<=>(х- 1)(х + 1) = 0 <=> хг - 1, х2 - -1; в) при п = Зх3-1 = 0<=>(х- 1)(х2 + х+1) = 0<=>х=1 — єдиний дій- сний корінь. Можна показати, що у загальному випадку для двочленних рівнянь х" - а = 0 справедливі такі твердження: 1) при будь-якому додатному а рівняння х" - а = 0 має: а) при будь-якому непарному п (п = 2к - 1, к є А) тільки один дійсний корінь х - ’у/а; б) при будь-якому парному п (п- 2к, к є А) тільки два дійсних корені хг - у[а, х2 - -у[а; 2) при а - 0 рівняння х" - а - 0 має тільки один корінь х - 0; 3) при будь-якому від’ємному а рівняння х" - а - 0 має: а) при будь-якому непарному п (п = 2к - 1, к є А) тільки один дійсний корінь х - ’у/а; б) при будь-якому парному п (п- 2к, к є А) не має дійсних ко- ренів. Тричленні рівняння. Біквадратні рівняння Алгебраїчне рівняння виду ах2" + Ьх" + с - 0 називається тричлен- ним, якщо п > 2, п є А, а Ф 0, Ь Ф 0, с Ф 0. При п - 2 тричленне рівняння ах4 + Ьх2 + с = 0 називається біквад- ратним рівнянням. Заміною змінної х" - і тричленне рівняння ах2" + Ьх" + с = 0 перетво- рюється на квадратне аі2 + Ьі + с = 0. Зокрема, для біквадратного рівняння ах4 + Ьх2 + с = 0 заміна х" - і приводить його до квадратного рівняння аі2 + Ьі + с = 0.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 65 Цілі раціональні рівняння вищих степенів. Теорема Безу Рівняння виду аох" + а,х" 1 + а2х" 2 + ... + ап_1х + а„ = 0 (п є А, а0 Ф 0) є алгебраїчним рівнянням степеня п. Якщо п - 1, то аох + Щ = 0 — лінійне рівняння. Якщо п - 2, то а0х2 + а±х + а2 - 0 — квадратне рівняння. Якщо п > 2, то рівняння називається рівнянням степеня вище дру- гого, або рівнянням вищого степеня. Алгебраїчне рівняння степеня п має не більш ніж п дійсних коренів. Рівняння аох" + а,х" 1 + ... + а^х + а„ = 0 називається незведеним ці- лим раціональним рівнянням (а0 ї 0, а0 ї 1). Рівняння хП + р,х" 1 + ... + рп_±х + р„ - 0 називається зведеним цілим раціональним рівнянням. Позначимо Р„(х) = аох" + а,х" 1 + ... + ап_1х + ап. Для рівняння Р„(х) = 0 справедлива теорема Безу. многочлен Р„(х) ділиться без остачі на двочлен (х - а) в тому і тільки в тому випадку, коли а — корінь многочлена Р„(х). Зауваження. Теорема Безу нерідко формулюється таким чином: ос- тача від ділення многочлена Р„(х) на двочлен (х - а) дорівнює значен- ню цього многочлена Р,,(х) при х = а, тобто Р,,(а) = г, де г — остача від ділення многочлена Р,,(х) на двочлен (х - а). Якщо Р„(х) — многочлен з цілими коефіцієнтами, то будь-який ці- лий корінь многочлена Р„(х) є дільником вільного члена ап. Наприклад, х2-7х+12 — многочлен другого степеня; його коренями хг - 3, х2 = 4 є дільники вільного члена (числа 12). Якщо нескоротний дріб — є коренем незведеного цілого раціо- ч пального рівняння з цілими коефіцієнтами аохп + аххп 1 + а2хп 2 + ... + ап_±х + ап - 0, то д є дільником старшого коефіцієнта а0, а р є дільни- ком вільного члена ап. Розв’язують рівняння вищих степенів, що мають хоча б один цілий корінь, у такому порядку: 1) знаходять множину дільників вільного члена а„; 2) за теоремою Безу перевіряють, які з цих дільників є коренями рівняння Р„(х) = 0; 3) діленням у стовпчик знаходять частку від ділення Р,,(х) на (х - хг~), де хг — корінь рівняння Р„(х) = 0; 4) записують частку ф,, Дх) як многочлен степеня (п - 1): Р (х) —----= в^х) => Р„(х) = (х - х^^іх), х — х± де Дх) — многочлен степеня (п - 1); 5) визначають, якщо це можливо, корені многочлена Дх), які є також коренями початкового рівняння. Симетричні рівняння третього степеня Раціональне рівняння третього степеня називається симетричним, якщо воно має вигляд: ах3 + Ьх2 + Ьх + а = 0 (а Ф 0). Для розв’язання цього рівняння перетворимо многочлен, що стоїть у лівій частині рівняння, використовуючи розкладання многочлена на множники. Маємо такий ланцюжок тотожних перетворень:
66 Алгебра ах3 + Ьх2 + Ьх + а - ах3 + а + Ьх2 + Ьх- а(х3 + 1) + Ьх(х + 1) = = а(х + 1)(х2 - х + 1) + Ьх(х + 1) = = (х + 1) (х2 - х + 1) + Ьх] = (х + 1)[ах2 - ах + а + Ьх] = = (х + 1) [ах2 + (Ь — а)х + а]. Звідси отримуємо: ах3 + Ьх2 + Ьх + а - 0 <=> (х + 1) [ах2 + (Ь - а)х + = 0 <=> х + 1 = 0 ах2 + (Ь — а)х + а — 0. Маємо сукупність рівнянь, еквівалентну початковому кубічному рівнянню. Розв’язки отриманої сукупності легко знаходяться, оскільки вона містить лінійне і квадратне рівняння. Симетричні рівняння четвертого степеня Раціональне рівняння четвертого степеня називається симетричним, якщо воно має вигляд ах4 + Ьх3 + ех2 + Ьх + а = 0 (а Ф 0). Через те що а Ф 0, поділивши обидві частини на а, отримаємо рівносильне рівняння 4 Ь о с „ Ь . х н— х н— х н— х + 1 — 0 . а а а Згрупувавши перший член з останнім і другий з четвертим, отри- маємо: 4 3 Сі, 4 &.0 .С0 х + 1 н—х н—х н—х — х + 1 н—х(х + 1) Н—X . а а а а а Зазначимо, що Xі + 1 = (х2)2 + 1 = (х2)2 + 2 • х2 • 1 + І2 - 2х2 = (х2 + і)2 - 2х2. Звідси отримаємо ланцюжок тотожних перетворень: х4 + 1 + — х (х2 + 1) + — х2 = (х2 + 1) - 2х2 + — х (х2 + 1) + — х2 = а ' ' а ' ' а 'а — (х2 + 1) -І— х (х2 +1) — 2х2 -І— х2 — у ' а у ' а Ь2 4а(с-2а)' 4а2 а 4а(с - 2а) - Ь2 4а2 . Ь2 - 4а(с - 2а) 2 4 2 4а
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 67 При а 0 маємо: 4 і з і Л | о Ьх ч ах + Ьх + сх“ + ох + а = 0<=>х“-і-н 1 І 2а Ь2 -4а(с- 2а) 4а2 х2 = 0. Останнє рівняння нескладно розв’язати, тому що його розв’язання зводиться до розв’язання більш простих рівнянь. Розв'язання деяких неповних раціональних рівнянь ВИЩИХ СТЕПЕНІВ Розглянемо розв’язання деяких неповних раціональних рівнянь вищих степенів, у яких вільний член дорівнює нулю. У подібного виду рівнянь х - 0 завжди є коренем. Після винесення х за дужки у дужках може бути отриманий множник, зрівнюючи з нулем який отримуємо рівняння степе- ня на одиницю менше початкового, яке нерідко вдається легко розв’язати. Зауваження. Іноді потрібно виносити за дужки не х, а х", де п > 1 (п є И). Розв'язання раціональних і дробово-раціональних РІВНЯНЬ МЕТОДОМ УВЕДЕННЯ НОВОЇ ЗМІННОЇ Метод уведення нової змінної був використаний раніше при розв’язанні тричленних рівнянь, однак цей метод з успіхом застосовуєть- ся і при розв’язанні багатьох інших рівнянь, де можлива і корисна замі- на змінної. Для закріплення цього методу розглянемо кілька прикладів. Приклади Розв’язати рівняння (х2 + х) - 8(х2 + х) +12 = 0. Розв’язання. Поклавши х2 + х = і, отримуємо рівняння і2 - 8і + 12 = 0, звідки знаходимо - 2; і2 - 6. Тепер задача звелася до розв’язання су- купності рівнянь х2 + х = 2; х2 + х = 6, тобто х2 + х — 2 = 0 х2 + х — 6 = 0 (а) (б). Рівняння (а) має корені хг = -2, х2 = 1; рівняння (б) має корені х3 = -З, х4 = 2. Відповідь-. -2; 1; -3; 2. / \2 / \ Т, , . І X ] X ] Розв язати рівняння ---- - 5 ----- +6 = 0. х + 1} х + 1} Розв’ язання. . х Заміна -----— і зводить початкове рівняння до квадрат- х +1 ного і2 - 5і + 6 = 0, корені якого: = 2, і2 = 3. Узявши £4 = 2 => => —-— = 2 <=> х, = -2. Узявши В = 3 <=> —-— = 3 <=> х = - —. х + 1 1 х + 1 “ 2 Відповідь-. -2;----- 2
68 Алгебра = -1. 7 Розв язати рівняння —--- X + д Розв’ язання. Заміна х2 + х + 1 = і зводить початкове рівняння до такого: 7^ 1 16^ + Х) ----------=-1 7(і+ 1)- 16і = -Ді + 1) & і і +1 ++ + 7 — 1б£ + і2 + і — 0 ++ і2 — 8і + 7 — 0 ++ — 1, ^2 — 7. Узявши - 1, маємо х2 + х + 1 = 1<=>х2 + х = 0<=> х(х + 1) = 0 ++ х, = 0, х2 = -1. Узявши і2 - 7, маємо х2 + х + 1 = 7 <=>х2 + х- 6 = 0<=>х3 = -3, х4 - 2. Відповідь-. 0; -1; -3; 2. Розв’язати рівняння х2 + х + х 1 + х 2 - 27 4 ’ Розв’язання. Уведемо заміну: х А- х 1 — х А--і. Тоді і2 - х н— = х2 + 2 н—- - х \ 2) х“ х2 + х~2 + 2 => х2 + х~2 = і2 - 2. Початкове рівняння записується у вигляді і2 А-і-2 = — ^і2 + і--= 0 <=> 4і2 + 4і - 35 = 0 а 4 4 -2± >/4+4 35 -2±12 10 5 14 7 1,“ 4 4 1 4 2 “ 4 2 5 1 5 х2 +1 5 „ , „ „ Узявши і. = -, маємо х н— = - <=>--= - <=> 2х“ + 2 = 5х <=> 2 х 2 х 2 <=> 2х2 - 5х + 2 = 0 <=> х, = 2, х2 = —. 2 7 1 7 х2+1 7 Узявши і„ , маємо х-— = =>------------= — <=> 2 х 2 х 2 „ , „ „ „ , „ „ „ -7±>/49-4-2-2 -7±л/зЗ <=> 2х2 + 2 = -7х <=> 2х2 + 7х+2 = 0 <=± х., =-----=---------. к“ 2-2 4 Відповідь-. 2; —;----- 2 4 Розв’язати рівняння (х + З)4 + (х + 5)4 = 16. Розв’ язання. Рівняння виду (х + а)2'1 + (х + Ь)2" - М (п є У, п > 1) розв’язуються а + Ь , за допомогою заміни і-х^с-ха---------(с — середнє арифметичне 2 3 + 5 чисел а і Ь). Для рівняння (х + З)4 ++ (х + 5)4 = 16 маємо с =-= 4, 2 тоді робимо заміну і - х + 4, звідси х = і - 4, х + 3 = і- 4 + 3 = і-1. х + 5 = і- 4 + 5 = і+1. Початкове рівняння записується у вигляді (і-1)4 + (і + І)4 = 16. Застосовуючи трикутник Паскаля, отримуємо: £4-4^ + 6£2-4і+1+^ + 4£3 + 6£2 + 4і+1 = 16±± <+> 2Р + 12£2 + 2 = 16 <=> 2Р + 12£2 - 14 = 0 <+> Р + 6і2 - 7 = 0.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 69 Розв’язавши це біквадратне рівняння, отримуємо: 1, і2 = -1. Узявши - 1, маємо х + 4 = 1 <=> х = -4 + 1 = -3. Узявши і2 - -1, маємо х + 4 = -1 <=> х = -4 - 1 = -5. Відповідь-. -3; -5. Розв’язати рівняння Зх4 - 2х3 - 9х2 - 4х + 12 = 0. Розв’ язання. У даному рівнянні відношення першого коефіцієнта до вільного чле- на і квадрата другого коефіцієнта до квадрата передостаннього рівні, 3 (-2)2 1 тобто — = Такі рівняння називаються зворотними. У за- гальному випадку рівняння виду ах4 + Ьх3 + сх2 + дх + т-0 називається а Ь2 п . зворотним, якщо виконана умова — = —, т Ф 0. Оскільки х - 0 не є т сР розв’язком зворотного рівняння, то можна поділити обидві частини рів- няння на х2 і після заміни змінних одержати квадратне рівняння. Поді- 4 12 ливши початкове рівняння на х2, отримаємо: Зх2 -2х -9-1—- - 0. X х“ Групуючи доданки, маємо: 12 4 ( 4 \ 7 2 А Зх2 + — - 2х---9 = 0 => 3 х2 + — - 2 х + — - 9 = 0. ОС \ 0С~~" ) \ ос) 2 Поклавши х -і— = і, маємо: х ( 2 V 4 4 #2= х + - = х2+4 + —х2+—7 = і2-4. \ X) х“ х~ Таким чином, приходимо до рівняння 7 3(і2 - 4) - 21 - 9 = 0 Зі2 - 21 - 21 = 0 Л = 3, і2 = --. Узявши - 3, маємо: 2 х2 + 2 х-\— = 3 <=>--= 3 <=> х2 + 2 = Зх <=> х2 - Зх + 2 = 0 <=> хх =1, х, =2. 7 2 7 Узявши і., =-, маємо: х -І— = <=> З х З <=> х+2 = _ 7 3(^2 + 2) = _7х о + Зх2 + 7х + 6 = 0. х З Через те що дискримінант цього рівняння _О = 72- 4 - 3 - 6 = 49- 72 = = -23 < 0, воно дійсних коренів не має. Відповідь-. 1; 2. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля При розв’язуванні рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше застосовують методи: а) розкриття модуля за означенням; б) піднесення обох частин рівняння до квадрата; в) метод інтервалів (проміжків).
70 Алгебра Згадаємо означення модуля: її [х,х>0, . Г/(х),/(х) > 0, 1 1 [-х, х < 0. [-/(х), /(х) < 0. Зазначимо властивості модуля, що нерідко використовуються на практиці: |х| > 0, |х| > х, |хг/| = |х| • |г/|, |х|“ = х2, |-/(х)| = |/(х)|. Перш ніж почати розв’язувати рівняння з модулем, зазначимо, що рівняння |/(х)| = а рівнозначне сукупності рівнянь /(х) = а, /(х) = —а , якщо а > 0. Якщо ж а < 0, то рівняння |/(х)| = а розв’язків не має. Метод інтервалів (проміжків) при розв'язуванні рівнянь з МОДУЛЯМИ -2 4 Рис. 14 Цей метод полягає у такій послідовності дій: 1) зрівнюються з нулем вирази, що стоять під знаком модуля; 2) отримані значення позначають на числовій прямій, які при цьому розбивають на інтервали (проміжки), у кожному з яких збері- гається знак підмодульного виразу; 3) розв’язуються отримані рівняння в кожному з інтервалів. На практиці метод інтервалів звичайно застосовується тоді, коли рівняння містить більше одного модуля. Розглянемо застосування методу інтервалів на конкретному прикладі. Приклад. Розв’язати рівняння |х + 2| + |х - 4| = 5х - 20. Розв’язання. х + 2 = 0<=4>х = -2; х-4 = 0<=>х = 4. Відмічаємо на чис- ловій прямій точки х = -2 і х = 4. Ці точки розбивають пряму на три інтервали (проміжки), у кожному з яких зберігається знак підмодуль- ного виразу. Позначимо ці інтервали І, II, III, де І: х < -2; II: -2 < х < 4; III: х > 4 (рис. 14). Для інтервалу І маємо: |х + 2| = —(х + 2) = —х — 2; |х — 4| = —(х — 4) = — х + 4. Звідси отримаємо розв’язання рівняння у І інтервалі: 22 -х-2-х + 4 = 5х-20<=>-2 + 4 + 20 = х + х + 5х<=>22=7х<=>х = —. 7 22 Однак значення х не належить І інтервалу, де х < -2. Інак- 22 ше кажучи, — й (-<»;-2), звідси в І інтервалі початкове рівняння |х + 2| + |х - 4| = 5х - 20 розв’язків не має. Для II інтервалу: |х + 2| = х + 2, |х - 4| = -(х - 4) = -х + 4 => початкове рівняння має вигляд: 26 х + 2 + (—х + 4) = 5х - 20 => 5х = 2 + 4 + 20 <=> 5х = 26 <=> х = — .
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 71 Однак — не входить до інтервалу -2 < х < 4, отже, у II інтервалі 5 початкове рівняння розв’язків не має. Для III інтервалу: |х + 2| = х + 2, |х - 4| = х - 4, тоді початкове рів- няння має вигляд: х + 2 + х- 4 = 5х-20<=>2-4 + 20 = -х-х + 5х<=>18 = Зх<=>х = 6. Через те що 6 входить у інтервал х > 4, х - 6 є розв’язком початко- вого рівняння. Відповідь-. 6. Зауваження. Розв’язання можна записати, застосовуючи понят- тя сукупності змішаних систем, тобто систем, що містять рівняння і нерівності. |х + 2| + |х — 4| = 5х — 20. Маємо три інтервали — І: х < -2; II: -2 < х < 4; III: х > 4. Звідси залежно від того, у якому інтервалі ми шукаємо розв’язок, початкове рівняння рівнозначне сукупності таких змішаних систем: [х < — 2 Г-2 < х < 4 [—(х + 2) — (х — 4) = 5х — 20; [х + 2 — (х — 4) = 5х — 20; х > 4 х + 2 + х — 4 = 5х — 20, -2 < х < 4 26 х > 4 х = 6. Перша і друга системи розв’язків не мають (це означає, що в І і II ін- 22 26 тервалах розв’язків немає), тому що — й (-°°; - 2), — й [-2; 4], а третя 7 5 система має розв’язок х = 6. Відповідь-. 6. ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ Ірраціональними називаються рівняння, у яких змінна міститься під знаком кореня (радикала) або під знаком піднесення до дробового словник степеня. Приклади ірраціональних рівнянь: л/1 — х = 3; >/х^ + л/х®" = 5; у]х — 5 = х — 7; \[х + і]х — 1 = —1; 1 2 1 х3 + 4 = 0; (х - 1)б + (х — 2)5 =15; І Г . „з/ з" . оз/ 7 \х +2ух +8ух . Ірраціональними назива- ються рівняння, у яких змінна міститься під знаком кореня (радикала) або під знаком піднесення до дробового сте- пеня. Основні методи розв'язування ірраціональних рівнянь 1. Метод піднесення обох частин рівняння до одного і того самого степеня. 2. Метод уведення нових змінних. Іноді застосовують також різні штучні прийоми. При розв’язуванні ірраціональних рівнянь методом піднесення обох частин до парного степеня можуть з’явитися сторонні (зайві) корені. Ці корені можуть з’явитися за рахунок того, що при піднесенні обох частин початкового рівняння Дх) = ф(х) до парного степеня отримує-
72 Алгебра ЗАПАМ'ЯТАЙ Причиною появи сторонніх коренів, крім піднесення обох частин рівняння до парно- го степеня, може бути також будь-яка заміна (нееквівален- тне перетворення), яка ви- конується, наприклад, у ході розв'язування рівняння, що містить кубічні радикали. мо рівняння, що є наслідком не тільки рівняння Дх) = ф(х), але і рів- няння Дх) = -ф(х), ОСКІЛЬКИ І (Дх))“ = (ф(х)Г. 1 («X ))“ = (-ф(х))“. Якщо рівняння Дх) = -ф(х) має корені, то саме вони є сторонніми коренями початкового рівняння Дх) = ф(х). Так, наприклад, візьмемо рівняння >/х - 5 = х - 7 . При піднесенні обох частин цього рівняння до квадрата отримуємо (у]х — б) = (х - 7)“ <=> х - 5 = х2 - 14х + 49 <=> х2 - 15х + 54 = 0. Коренями цього рівняння є числа хг = 9, х2 = 6. Однак хг - 9 є ко- ренем рівняння \Іх - 5 = х- 7,ах2 = 6є стороннім коренем (очевидно, що х2 = 6 є коренем рівняння у/х - 5 = -(х-7) = 7-х, тобто є коренем рівняння Дх) = —ф(х), якщо початкове рівняння є Дх) = ф(х)). Причиною появи сторонніх коренів, крім піднесення обох час- тин рівняння до парного степеня, може бути також будь-яка заміна (нееквівалентне перетворення), яка виконується, наприклад, у ході розв’язування рівняння, що містить кубічні радикали. При розв’язуванні ірраціонального рівняння, що містить парні степені радикалів, буває корисним знаходження множин В допусти- мих значень змінної (ОДЗ — область допустимих значень). Це може полегшити розв’язання початкового рівняння. При цьому знайдені при розв’язуванні рівняння значення невідомих, що не належать множині В, є сторонніми. Однак ті знайдені корені, що належать В, необхідно перевіряти, тому що і вони можуть бути сторонніми (це можливо в тому випадку, якщо в процесі розв’язування рівняння виконувались неекві- валентні перетворення). Звідси випливає, що в переважній більшості випадків знайдені корені ірраціонального рівняння необхідно перевіряти. Винятки складають тільки випадки, коли на всіх етапах розв’язування почат- кового рівняння виконувались тільки еквівалентні (рівнозначні) пе- ретворення. Однак при цьому доводиться, як правило, розв’язувати нерівності. Таким чином, потрібно або робити перевірку знайдених коренів, підставляючи їх значення до початкового рівняння, або в про- цесі розв’язування початкового рівняння робити тільки еквівалентні перетворення, які не можуть привести ні до втрати коренів, ні до на- буття сторонніх коренів. Перш ніж розглядати основні методи розв’язування ірраціональ- них рівнянь, розглянемо деякі нескладні ірраціональні рівняння, при розв’язанні яких основні методи не застосовуються. Метод піднесення обох частин початкового рівняння до того самого степеня Цей метод полягає у такій послідовності дій: а) підносять обидві частини початкового рівняння до того самого степеня, відокремивши один із радикалів; б) з урахуванням тотожностей \у/а І = а (де а > 0, якщо п — парне; а є В, якщо п — непарне) отримують рівняння Дх) = ф(х); в) розв’язують рівняння Дх) = ф(х) і роблять перевірку, яка здій- снюється за допомогою підстановки знайдених значень змінної у початкове рівняння.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 73 Зауваження 1. Якщо виконуються лише еквівалентні перетворення початкового рівняння, то перевірку робити не потрібно. Зауваження 2. При натуральному п рівняння 2уі/(х) = §(х) <=> /(*) = (£(х))2" > 0. Необхідно враховувати, що нерідко записують: 2уі/(х) = §(х) <=> /(*) = (£(х))2" < §(х) > 0 Дх) > 0. Остання форма запису розв’язку рівняння 2>/Дх) = §(х), що містить зайву нерівність Дх) > 0, як правило, легше засвоюється, ніж попередня, тому що вона більш наочна і включає ОДЗ (Дх) > 0). Зауваження 3. >//(*) = у]§(х) <=> Дх) > 0 < §(х) >0 <=> /(х) = §(х) /(х)>0 Г^(х)>0 Дх) = §(х) \/(х) = §(х) З наведених вище трьох систем вибирають звичайно ту, де прості- ше розв’язати нерівність (Дх) > 0 або §(х) > 0). Якщо ж обидві нерів- ності Дх) > 0 і §(х) > 0 розв’язати нескладно, то можна вибрати першу систему, яка, хоча і містить одну зайву нерівність, є більш наочною, ніж друга або третя системи. Зауваження 4. Якщо точніше, то 1 - х > 0 (\]х + 11) = (1 - х)2 Хоча така форма запису розв’язання (без х+11>0)іє більш корот- кою, однак вона менш наочна. Розв’язати рівняння \)х - 20 = 2. Розв’язання. Піднесемо обидві частини початкового рівняння до шостого степеня, отримуємо: х - 20 = 2е, звідки х = 20 + 2е = 20 + 64 = 84. Перевірка. Підставивши х = 84 у початкове рівняння, отримуємо: >/84 - 20 = ^64 = 2 , тобто 2 = 2 — правильна рівність => х = 84 є коренем. Відповідь-. 84. Розв’язати рівняння і)х - 1 + >/Зх - 1 = у/х + 1 . Розв’язання. ОДЗ початкового рівняння — уся числова пряма, тобто х є В. Піднесемо обидві частини початкового рівняння до куба: (</х-1 + ^Зх-1)3 = (</х + і)3 (</х - і)3 +З(^х-1)2 • </Зх-1 + + 3</х-1 • (^Зх-1)2 + (^Зх-1)3 = х + 1 о <=> х - 1 + 3>/х - 1 • >/Зх - 1 • (у/х - 1 + у/Зх - 1) + Зх -1 = = х + 1 о 3^(х - 1)(3х - 1) • (</х-1 + З/Зх-1) = — — х + 1 — Зх + 1 + х + 1 — —3(х — 1).
74 Алгебра Замінимо вираз у/х - 1 + ^Зх -1 , що є лівою частиною почат- кового рівняння, правою частиною початкового рівняння, тобто: у/х - 1 + у/Зх - 1 = у/х + 1 . Дістанемо 3^(х - 1)(3х - 1) • у/х + 1 = -3(х - 1). Поділимо обидві частини останнього рівняння на 3 і піднесемо їх до куба: (х - 1)(3х - 1)(х + 1) = -(х - І)3 <=> (х - 1) (Зх - 1)(х + 1) + (х - І)3 = 0 <=> <=> (х - 1) [(Зх - 1)(х + 1) + (х - І)2 ] = 0 а х — 1 = 0 (а) (Зх - 1)(х + 1) + (х - І)2 = 0 (б) В отриманій сукупності рівнянь рівняння (а) має корінь х- 1, а рівняння (б) еквівалентне такому: Зх2 + 3х-х-1 + х2--2х + 1 = 0 <=> <=> 4х2 = 0<=>х2 = 0<=>х = 0. Перевірка. При х = 1: >/х -1 + >/Зх -1 = \/1 -1 + >/3 1-1 = 0 + ^2 = у/х + 1 = VI + 1 = ; ^2 = у/2 => х = 1 є коренем початкового рівняння. При х = 0: Ух-1 + </Зх-1 = ^0-1 + ^3 0 - 1 = -1 - 1 = -2; у/х + 1 = ^0 + 1 = 1, -2^1=>х = 0 є стороннім коренем. Цей сторонній корінь (х = 0) з’явився в результаті заміни лівої части- ни початкового рівняння на не рівну їй тотожно праву частину, тобто використання умови початкового рівняння не приводить до рівняння, еквівалентного початковому. Відповідь-. 1. Наведені вище приклади показують, що знаходження ОДЗ рівняння не позбавляє від необхідності робити перевірку отриманих в результаті розв’язування рівняння коренів. Ця перевірка, як уже відзначалося, є зайвою тільки у тих випадках, коли в процесі розв’язування рівняння застосовуються тільки еквівалентні перетворення. Як уже відзначалося, знаходити ОДЗ іноді буває корисним і мож- на навести чимало прикладів, коли знання ОДЗ істотно спрощує розв’язування. Приклад. Розв’язати рівняння у/Зх + 4 + у/х - 4 = 2у[х. Розв’язання. Знайдемо множину В — область допустимих значень (ОДЗ) початкового рівняння. В : Зх + 4 > 0 х - 4 > 0 х > 0 При піднесенні обох частин початкового рівняння до квадрата отримуємо: Зх + 4 + 2у/3х + 4 • у/х - 4 + х - 4 = 4х <=> <=> 2у](3х + 4)(х - 4) = 4х-Зх-4-х + 4<=>
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 75 Перевірка. Через те що хг - й В , він є стороннім коренем почат- кового рівняння.________ При х - 4: д/Зх., + 4 + ^х2 - 4 = >/3 • 4 + 4 + >/4-4 = >/16 + >/0 = 4, 2^/хГ = 2^/хГ = 2>/4 = 22 = 4, 4 = 4 => х2 = 4 є коренем початкового рів- няння. Таким чином, знаходження ОДЗ виявилося корисним, тому що < • 4 дозволило не робити перевірку стороннього кореня х{ = , що не на- лежить ОДЗ. Відповідь-. 4. Метод уведення нових змінних 15 ос І ос і З Розв’язати рівняння В---------н І----- 2. у х + З V 5 — х Розв’язання. Зробимо заміну змінної: І - л-----. у х + З Тоді Д------ V 5 — х 5-х 7, 5-х = і 1 = — . Звідси отримуємо: 7 у.2 , -і = 2<^і2 + 1 = 2£ <^і2 - 2і + 1 = 0 о - І)2 = 0 <=> * = 1. Через те що використовуються тільки еквівалентні перетворення, початкове рівняння рівнозначне такому: 5-х 5-х х + 3 х + З <=> 5 - х = = х + 3<=>5-3 = х + х<=><=>2 = 2х<=>х=1. І & _ Перевірка. Оскільки рівняння Д-----= 1 рівнозначне початковому, у х + З то знайдений корінь можна не перевіряти або перевіряти підстановкою __ X до рівняння Д----= 1 . При х = 1 маємо: у х + З є коренем рівняння І-------= 1, отже, і початкового рівняння, у х + З Відповідь-. 1. Розв’язати рівняння \]х2 - Зх + 5 = -х2 + Зх + 7. Розв’язання. Перетворимо початкове рівняння до вигляду >/х2 - Зх + 5 + х2-Зх-7=0<=> 4х2 - Зх + 5 + (х2 - Зх + б) - 12 = 0. Поклавши >/х2 - Зх + 5 - і , маємо: і2 + і - 12 = 0 <=> і1 = 3, 12 = -4. Узявши - 3, маємо: >/х2 -Зх + 5 = 3<=>х2-Зх + 5 = 9<=>х2-Зх-4 = 0<=> <=> X! = 4, х2 = -1.
76 Алгебра Узявши і2 = -4, отримаємо л/х2 -Зх + 5 = -4 => х є 0 , тому що корінь парного степеня є числом невід’ємним. Перевірка. Оскільки початкове рівняння еквівалентне рівнянню >/х2 - Зх + 5 = 3 , то корені можна перевіряти підстановкою до рівняння >/х2 - Зх + 5 = 3 . Ця підстановка показує, що хг = 4, х2 = -1 є коренями цього, отже, і початкового рівняння. Відповідь-. 4, -1. Розв’язання. В > 0. Перетворимо вираз, який стоїть у лівій частині початкового рівняння. з з Поклавши х10 = і > 0, отримаємо х5 Звідси початкове рівняння при і > 0 еквівалентне рівнянню і2 - 26і = 27 <=> і2 - 26і - 27 = 0 <=> іг = 27, і2 = -1. Через те що І > 0, і2 = -1 є стороннім коренем. Узявши = 27, маємо з X10 = 27 10 ґ — А’з’ х10 10 (27)3 <=> х 10 = (з3)т = З10 = 59049. Перевірка. Оскільки початкове рівняння еквівалентне рівнян- 3 ню х10 = 27 , то перевірку можна робити, підставляючи х = 59049 З з З у це рівняння. При х = 59049 х10 =(59О49)10 =(з10)10 =33 = 27 =^х = 59049 з є коренем рівняння х10 = 27 , отже, і початкового рівняння. Відповідь-. 59049. Розв’язати рівняння ^х3" + 2л/х - д/х3" = 0. Розв’язання. ОДЗ початкового рівняння х > 0. Зазначимо, що Зробивши заміну у[х = і > 0, отримаємо Р + 2Р - Р = 0 Р(і + 2 - і2) = 0 а Р = о р4 = о рі = о # + 2-#2=0 #2-#-2 = 0 р, = 2, £3 = -1. Поклавши = 0, матимемо Цх = 0 <=> хг = 0. Поклавши і2 = 2, матимемо \[х = 2 <=> х2 = 28 = 256. Оскільки і > 0 => і3 = -1 є стороннім коренем. Перевірка. При х1 = 0: ^О3" + 2л/о - л/о3" = 0 + 0- 0 = 0=>0 = 0=>Х! = 0 є коренем.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 77 При х2 = 256: ^2565 = 2^256 - ^2563 = ^(28)5 + 2 16 - ^(28)3 = = 25 + 32 - 2е = 32 + 32 - 64 = 0 => 0 = 0 => х2 = 256 є коренем. Відповідь'. 0; 256. Розв’язати рівняння >/х3 + х2 -1 + >/х3 + х2 +2 = 3. Розв’язання. Поклавши у[х8 + х2 - 1 = і > 0 , отримаємо х3 + х2 - 1 = і2 <=> <=> х3 + х2 = і2 + 1. Приходимо до рівняння і + >/#2 +1 + 2 = 3 <=> у/і2 +3 = 3-і. Зазначивши, що 3 - і > 0, піднесемо обидві частини останнього рівняння до квадрата. і2 + 3 = (3 - і)2 = 9 - 6і + і2 і2 + 3 - 9 + 6і - і2 6і - 6 = 0 і = 1. Поклавши і - 1, отримаємо л/х3 + х2 - 1 = 1. При піднесенні до квад- рата маємо: х3 + х2 - 1 = 1 <=> х3 + х2 - 2 = 0. Через те що х = 1 є коренем, то, поділивши у стовпчик х3 + х2 - 2 на х - 1, отримаємо: х3 + х2 - 2 І х - 1 2х2 - 2 2х2 - 2х _2х- 2 2х- 2 0 Звідси: х3 + х2 - 2 = (х - 1)(х2 + 2х + 2) = 0 <=> х — 1 = 0 (а) х2 + 2х + 2 = 0 (б). З (а) маємо, що х - 1 = 0 <=> х = 1. З (б) маємо х2 + 2х + 2 = 0 <=> х є 0, тому що дискримінант В = 22 - 4 12 = 4- 8= -4<0. Перевірка. При х- 1: уіх8+х2-1 + >/х3+х2+2 = >/13+12-1 + >/13 + І2 + 2 = у/ї + уі4 = 1 + 2 = 3=>3=3=>х = 1 є коренем. Відповідь'. 1. а3 до Розв’язати рівняння Розв’язання. Зробимо заміну: я— + х = и , я— -х -V. Тоді и + V - 1, , 2 V 2 1 5 1 5 5 1 1 = —н х , V =---х, и + о = —нх-і— 2 2 2 2 п’ятого степеня, користуючись трикутником Паскаля: Піднесемо (и + о) (и + о)5 - и8 + 5и4и + 10и3о2 + 10и2о3 + 5шР + Vі - - и8 + V5 + 5ии (и8 + V8) + 10и2о2 (и + о); и + V — 1, [и + о)5 = І5 = 1, и8 + V5 = 1 => =^1 = 1 + 5ио(и3 + о3) + 10и2о2 <=> 5ио(и3 + о3) + 10и2о2 = 0 <=>
78 Алгебра $=> 5ир(и3 + V3 + 2ии) = О ир = О и3 + V3 + 2ио - О (а) (б). Розглянемо рівняння (б): (і2 - Зир) + 2ир = 0 <=> 1 - Зир + 2ир = 0 <=> ир = 1 => -а 1 1 Відповідь'. —; — 2 2 Штучні методи розв'язування ірраціональних рівнянь Розв’язати рівняння у4х2 + 6х + 6 + у]4х2 - 6х + 6 = 6х. Розв’ язання. Оскільки добуток взаємно спряжених чисел дорівнює різниці квадратів (а + Ь)(а -Ь) = а2 - Ь2, то, помноживши обидві частини початкового рівняння на вираз §(х) — \І4х2 + 6х + 6 — \І4х2 — 6х + 6, отримаємо: \І4х2 + 6х + 6 + >/4х2 — 6х + 6^>/4х2 + 6х + 6 — у/4х2 — 6х + 6 = 6х ^4х2 + 6х + 6 — >/4х2 — 6х + 6 <=> <=> (4х2 + 6х + 6) - (4х2 - 6х + 6) = 6х(>/4х2 + 6х + 6 — >/4х2 — 6х + 6^ <=> 12х = = 6х[у/4х2 + 6х + 6 — 6х + 6 — лІ4х2 — 6х + 6^ <=> <=> 6x^2 - \І4х2 + 6х + 6 + >/4х2 - 6х + б) = 0 <=>
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 79 6х = 0, (а) 2 — у/4х2 + 6х + 6 + лІ4х2 — 6х + 6 = 0 (б) З рівняння (а) маємо хг - 0. З (б) маємо \І4х2 + 6х + 6 - >І4х2 - 6х + 6 = 2. Додавши це рівняння до початкового, отримаємо: 2\І4х2 + 6х + 6 = 6х + 2 = 2 (Зх + 1). Поділимо обидві частини на 2 і піднесемо обидві частини до квадрата: 4х2 + 6х + 6 = (Зх + І)2 = 9х2 + 6х + 1 <=> 5х2 = 5 <=> х2 = 1 <=> х2 = 1, х3 = -1. Перевірка. Підставляючи знайдені значення хг - 0, х2 = 1, х3 = -1 у початкове рівняння, переконуємося, що йому задовольняє тільки значення х2= 1. Звідси х- 1 — єдиний корінь початкового рівняння. Відповідь-. 1. Системи рівнянь Кілька рівнянь з двома (або більше) змінними утворюють систему рівнянь, якщо ставиться завдання знайти множину спільних розв’язків цих рівнянь. Систему двох рівнянь з двома змінними позначають фі- гурними дужками і звичайно записують у вигляді /1(х,у) = ^1(х,у) /2(х,у) = £2 (х,у). Множина упорядкованих пар, трійок (у випадку систем із трьома змінними) тощо значень змінних, які перетворюють на істинну рів- ність кожне рівняння системи, називається розв’язанням системи рівнянь. Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жод- ного розв’язку. Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має скінченне число розв’язків, і невизначеною, якщо вона має нескінченну множину розв’язків. Дві системи називаються рівносильними, якщо вони мають ту саму множину розв’язків. Система рівнянь називається лінійною, якщо всі рівняння, що вхо- дять до системи, є лінійними. Якщо система з п лінійних рівнянь міс- тить п невідомих, то можливі такі випадки: 1) система не має розв’язків; 2) система має рівно один розв’язок; 3) система має безліч розв’язків. Не розв’язуючи систему лінійних рівнянь, можна визначити кіль- кість її розв’язків за коефіцієнтами при відповідних змінних. Так, для системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими а{х + Ь{у = сх < маємо: а.,х + Ь„у — с„
80 Алгебра а) якщо — —, то система має єдиний розв’язок; геометрично а2 ^2 цей розв’язок ілюструється як точка перетину двох прямих, що є графіками рівнянь системи; аі С1 , б) якщо — = — Ф —, то система не має розв язків; у цьому випадку а, Ь., а, прямі є графіками рівнянь системи, паралельні і не збігаються; ах Ьг сг в) якщо — = — = — , то система має нескінченну множину а, Ь., а, розв’язків; у цьому випадку прямі збігаються. Основні методи розв'язування систем рівнянь 1. Метод підстановки. 2. Метод алгебраїчного додавання (або метод перетворення системи). 3. Метод заміни змінних. При розв’язуванні системи методом підстановки спочатку з будь- якого рівняння виражають одну змінну через іншу. Отриманий вираз підставляють в інше рівняння системи, у результаті чого приходять до рівняння з однією змінною, потім розв’язують це рівняння і знаходять відповідне значення другої змінної. При розв’язуванні системи методом алгебраїчного додавання пере- ходять від даної системи до рівносильної їй системи, у якій одне з рів- нянь містить тільки одну змінну. При цьому звичайно множать одне або обидва рівняння на числові множники таким чином, щоб коефіцієнти при х або у були однаковими, але з протилежними знаками. Приклади \2х + 5у — 12 Розв’язати систему рівнянь ( [Зх - 4г/ = -5. Розв’язання. Розв’яжемо початкову систему двома способами: ме- тодом підстановки і методом алгебраїчного додавання. [2х + 5у — 12 (а) Перший спосіб (метод підстановки). ( Зх — 4г/ = — 5 (б) 12 - 2х 1 З рівняння (а) у -------. 5 Підставляючи в рівняння (б), отримаємо: (12 — 2хі Зх - 4 ------ = -а о 15х - 48 + 8х = -25 <=> 23х = 23 <=> х = 1, І 5 ) 12 -2х 12-2 „ У =-------=------= 2. 5 5 Отже, остаточно х = 1, у - 2. Другий спосіб (метод алгебраїчного додавання). Помножимо перше рівняння системи на 3, а друге на -2 і додамо: 2х + 5г/ = 12 Зх — 4г/ = —5 6х + 15г/ = 36 —6х + 8 г/ = 10 6х + 15г/ - 6х + 8г/ = = 36 + 10 <=> <=> 23у = 46 <=> у = 2, х = 12 5у 12-10 2 = 1, остаточно х = 1, у - 2.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 81 Зазначимо, що розв’язування початкової системи методом підста- новки можна було б здійснити, використовуючи тільки рівносильні перетворення і символ <=>. 2х + 5у — 12 Зх — 4г/ = —5 12-2х 5 (12-2х} I 5 12 -2х Г 12-2х г У-----У =-------------------7--)у = 2 5 О і 5 <=> / 15х-4(12-2х) = -25 |х = 1 = 1 Відповідь-. (1; 2). Розв’язати систему х + у — 7 х2 + у2 = 25. Розв’язання. Розв’язуємо систему методом підстановки. З першого рівняння системи у - 7 - х, підставивши в друге рівняння системи за- мість у вираз 7-х, отримаємо: у — 7 — х < X2 + (7 - х)2 = 25. З другого рівняння системи знаходимо х: х2 + (7 - х)2 = 25 о х2 + 49 - 14х + х2 = 25 о 2х2 - 14х + 24 = 0 о <=> х2 - 7х + 12 = 0 => X! = 3, х2 = 4. Тому дана система має два розв’язки: уІ = 7 — х, = 7 — 3 = 4 б) У 2 = 7 - Х2 = 7 - 4 = 3 х, = 4. Таким чином, хг = 3, уг = 4; х2 = 4, у2 = 3. Зазначимо, що розв’язування початкової системи з використанням тільки рівносильних перетворень і сукупності систем можна оформити у такий спосіб: х + у = 7 х2 + у2 = 25 У — Ч — х у — 7 — х х2+(7-х)2=25 |х2 - 7х + 12 = 0 х = З У = 4 х = 4 г/ = 3. Відповідь-. (3; 4); (4; 3). Розв’язати систему х2 — ху + у2 = З х3 + у3 = 9. Розв’язання, х3 + у3 = (х + г/)(х2 - ху + у2). Оскільки х2 - ху + + у2 = 3 (це перше рівняння початкової системи), то (х + г/) • 3 = =9 <=> х + у-3. Таким чином, ми отримали рівняння першого степеня (лінійне рівняння), що разом з першим рівнянням початкової системи утворює нову систему:
82 Алгебра х + у — З х2 — ху + у2 = З у — 3 — х х2 — х (3 — х) + (3 — х)“ = З у — 3 — х х2 — Зх + 2 = О Відповідь-. (1; 2), (2; 1). Розв’язати систему х + у 2х + у 4 12 х + у 2х + у х = 1 У = 2 х = 2 У = 1- Розв’язання. Розв’язуємо систему рівнянь методом заміни змін- „ 1 1 них. Поклавши и -----, V ------, приходимо до системи рівнянь: х + у 2х + у 2и + 9о = 2 . Помноживши перше рівняння останньої системи на (-2) 4о - 12г = -1 і додавши до другого рівняння, отримаємо: -4н - 18г? = -4 4и - 12у = -1 —ЗОг = —5 => о = —. 6 Тоді и - 1(2 - 9г) = 1(2- 1 “ Отже, маємо систему рівнянь, рів- носильну початковій: 1 1 х + у 4 Гх + г/ = 4 < <=> ( => (2х + у) - (х + у) = 6 - 4 <=> х = 2, 1 1^ |2х+г/ = 6 2х + у 6 г/ = 4- х = 4- 2 = 2. Відповідь-. (2; 2). Розв’язати систему < х + у + ху = 9. Розв’язання. ОДЗ: У У ху > 0 <=> х та у — обидва додатні або обидва від’ємні. У першому рівнянні системи зробимо заміну: Тоді і — 1 3 #2-1 і іг = 2, і2 2 1. 2 З і 2 2і2 -2 = Зі ^2і2 -Зі-2 = 0
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 83 Оскільки і > 0, то і2 - - — є стороннім коренем. IX X і = 2, тоді — = 2<=> — = 4<=>х = 4у. Таким чином, отримаємо сис- \х — 4у тему, рівносильну початковій: ( [х + у + ху — 9. Підставивши х - 4у у друге рівняння останньої системи, отримаємо: 9 4г/+ У + ^У • г/ = 9 <=> 4г/2 + 5у - 9 = 0 <=> г^ = 1, г/2 = — г/і = 1 =$ *1 = 4у1 = 4; 9 л л ( 9 г/2 = — = 4//2 = 4 1 — / 9 і Відповідь'. (4; 1), -9;-------. 9 4 = -9. Однорідні системи рівнянь Система двох рівнянь з двома змінними називається однорідною, якщо ліві частини її рівнянь, що містять змінні, є однорідними много- членами степеня п від двох змінних. Таким чином, однорідна система з двома змінними має вигляд: аохп + а{х" 'у + а2хп 2у2 + ... + ап_1хуП 1 + апуп — а Ьохп + і^х" 'у + Ь,2х"2у2 + ... + Ьп ^у" ' + Ьпуп = Ь. Однорідні системи розв’язуються за допомогою застосування методів алгебраїчного додавання і введення нових змінних. Приклади Розв’язати систему < 2х2 + ху — у2 =0 х2 — Зху + у2 = —1. Розв’язання. Ліві частини обох рівнянь системи — однорідні мно- гочлени другого степеня від змінних х і у. Якщо в першому рівнянні системи покласти х = 0, то отримаємо: 202 + 0г/ — г/2 = 0<=>г/2 = 0<=>г/=0. Однак пара (0; 0), що є розв’язком першого рівняння системи, не задовольняє другому рівнянню, тому що 02 - 3 0 0 + О2 = 0 Ф -1. Звідси х Ф 0, і тому можемо обидві частини першого рівняння системи поділити на х2 Ф 0 (це не приведе до втрати коренів). Поділивши обидві частини першого рівняння системи на х2, отримаємо: Зробивши заміну — = і, отримаємо і2 - і - 2 = 0 <=> і = 2,і„ = -1. х Тоді — = 2 <=> у = 2х (х Ф 0) або — = -1 <=> у = -х (х Ф 0).
84 Алгебра Таким чином, початкова система рівносильна сукупності двох сис- тем рівнянь: у — 2х, у — —х, < х2 — Зху + у2 — —1; х2 — Зху + у2 — — 1. Перша з цих систем має два розв’язки: хх - 1, уг = 2; х2 = -1, у2 - -2. Друга система несумісна. Звідси (1; 2), (-1; -2) — розв’язок почат- кової системи. Відповідь-. (1; 2); (-1; -2). Розв’язати систему х2 - Зху + у2 - -1 Зх2 — ху + Зу2 — 13. Розв’язання. Помножимо перше рівняння на 13 і додамо до другого рівняння: 13х2 - 39хг/ + 13г/2 = —13 + Зх2 — ху + Зу2 = 13 16х2 - 40хг/ + 16г/2 = 0 Поділивши обидві частини отриманого рівняння на 8, маємо: 2х2 - 5хг/ + 2г/2 = 0. Таким чином, отримаємо систему рівнянь, рівно- сильну початковій: х2 — Зху + у2 = —1 2х2 — 5хг/ + 2г/2 = 0. Друге рівняння останньої системи можемо поділити на х2 Ф 0 (х Ф 0, оскільки якщо покласти х = 0, то отримаємо у = 0, а пара (0; 0) не задо- вольняє першому рівнянню останньої системи). і \ / \2 2х2 - 5ху + 2у2 = 0 : х2 0 о 2-5 -М + 2 -Н = 0. \х} \х) У •> Поклавши — = і, отримаємо: 2#“ - 5£ + 2 = 0 <=> ^ = 2, Д х Тоді — = 2 <=> у = 2х або — = і <=> х = 2г/. х х 2 2 Тому початкова система рівносильна сукупності систем: х2 - Зху + у2 = -1 х2 - Зху + у2 = -1 у = 2х х — 2у Перша система має розв’язки (1; 2), (-1; -2); друга система — (2; 1), (-2; -1). Відповідь-. (1; 2); (-1; -2); (2; 1); (-2; -1). Симетричні системи рівнянь Вираз Дх, у) називається симетричним, якщо при заміні х на у, у на х він не змінюється. Приклади симетричних виразів: Дх, у) - х + у; /(х, у) = х2 + г/2; Дх, у) = х3 + г/3; Дх, у) - у]х2 + у2 + ху; /(х, у) - 2х2 + 5хг/ + 2г/2. Вирази (х + у) і ху називаються основними симетричними много- членами з двома змінними. Усі симетричні вирази з двома змінними виражаються через основні симетричні многочлени. Наприклад:
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь 85 х2 + ху + у2 - (х + у)2 - ху; х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху; х3 + у3 - (х + г/)(х2 - ху + у2) - — (х + г/) ((х + г/)2 — Зхг/) = (х + г/)3 — 3 (х + г/) ху. Симетричною системою рівнянь називається система, усі рівняння якої симетричні. Розв’язувати симетричну систему можна, наприклад, за допомогою заміни змінних, де новими змінними є основні симетричні многочлени. Приклади Розв’язати систему Розв’ язання. Xі + 6х2г/2 + г/4 = 136 х3г/ + хг/3 = ЗО. х4 + 6х2г/2 + у4 — (х2 + г/2) + 4х2г/2 = ((х + у)2 — 2ху} + 4(хг/)2, х3 у + ху3 — ху(х2 + у2) — ху ((х + у)2 — 2ху}. Зробимо заміну х + у - и, ху -V, тоді задана система зводиться до такої: [и2 - 2о) + 4гт = 136 (а) и(и2 —2о)= ЗО. (б) ЗО З рівняння (б) останньої системи и2 - 2о = — ; підставляючи в (а), V отримаємо: + 4о2 = 136 —— + 4о2 = 136 V" а 4г/ - 136о2 + 900 = 0 о г/ - 34о2 + 225 = 0. Розв’язуючи це біквадратне рівняння, знаходимо: о = ±5; о = ±3. З (б) и2 - 2 г? = — <=> и2 = 2 г? + —. V V Підставляючи знайдені значення V, отримаємо: о = 5 => н2 = 16 <=> <=> н = ±4; V - 3 => и2 - 16 <=> и - ±4; (для V - -5, V - -3 дійсних значень и не існує). Звідси відносно и, V система має розв’язки: и{ — 4 и,, — — 4 и3 — 4 и4 — — 4 н1 = 5 г?, = 5 г?3 = 3 о4 - 3. Таким чином, початкова система рівносильна сукупності систем: х + у — 4 Гх + г/ = —4 Гх + г/ = 4 Гх + г/ = —4 ху — 5 [ху — 5 [ху — 3 [ху — 3. Перша і друга системи розв’язків не мають, третя система має розв’язок (1; 3); (3; 1), четверта система має розв’язок (-1; -3), (-3; -1). Відповідь: (1; 3); (3; 1); (-1; -3); (-3; -1).
86 Алгебра ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. Розв’яжіть рівняння х2 - 6х + 8 = 0 та знайдіть різницю між більшим і меншим коренем. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4. 2. Розв’яжіть рівняння 4х2 - 5>/2х + 2=0 та знайдіть частку від ділення більшого кореня на менший корінь. 1)72; 2)2; 3)4; 4)8. 3. Розв’яжіть рівняння х2 - 2х + 2л/з - 3 = 0 та знайдіть різницю між більшим і меншим коренем. 1) 2-2л/3; 2) 2>/3; 3)2; 4)2>/3-2. 4. Розв’яжіть рівняння |х —1| = З та знайдіть суму коренів. 1)4; 2)2; 3)0; 4)-2. 5. Розв’яжіть рівняння їх2 - Зх + 2І = 2 та знайдіть суму коренів. 1)-1; 2)0; 3)1; 4)3. 6. Розв’яжіть рівняння хв - 9х3 + 8 = 0. 1) 2; 4; 2)4; 3) 1; 2; 4; 4) 1; 2. [х + у = 9, 7. Розв’яжіть систему рівнянь < та знайдіть х + 2у. [х — у = З 1)2; 2)4; 3)6; 4)12. [2х + у = 7, 8. Розв’яжіть систему рівнянь < та знайдіть х + у. [Зх — у = — 2 1)1; 2)5; 3)6; 4)11. 9. Запишіть квадратичне рівняння, корені якого дорівнюють квадратам коренів рівняння ах2 + Ьх + с. 1) сх2 + Ьх + а = 0; 2) а2х2 + (2ас - Ь2)х + с2 = 0; 3) сх2 + (2ас + Ь2)х + а = 0; 4) а3х2 + (Ь3 - ЗаЬс)х + с3 = 0. 10. Не розв’язуючи рівняння ах2 + Ьх + с = 0, корені якого — хг і х2, знайдіть х,2 + х22. .. Ь2 — 2ас Ь2 — 2ас Ь2 + 2ас .. Ь2 + 2ас 1) ; 2) -------; 3) -------; 4) ------. а“ с“ а“ с“ 11. Рівняння уі2х - 9 = \/б - х рівносильне рівнянню: 1) </^" + ^ = 10; 2) л/^ = л/2-х; 3) ^2х-4 = 2; 4) ^Лх = 2. 12. За якої умови рівняння ах + Ь = 0 не має розв’язків? 1) а Ф 0; 2) а = 0; Ь = 0; 3) а = 0; Ь Ф 0; 4) а Ф 0; Ь = 0. 13. Скільки розв’язків має система X3 + у3 = 7; ху(х + у) = —2 ? 1) Жодного; 2) один; 3) два; 4) три. 14. Скільки раціональних коренів має рівняння х3 - Зх2 + х + 1 = 0? 1) Жодного; 2) один; 3) два; 4) три. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 2. 5. 4. 6. 4. 7. 4. 8. 3. 9. 2. 10. 2. 11. 1. 12. 3. 13. 3. 14. 2.
АЛГЕБРАЇЧНІ НЕРІВНОСТІ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Нерівності з однією змінною (основні поняття). Лінійні нерівності і нерівності, які зво- дяться до лінійних. Системи і сукупності нерівностей з однією змінною. Геометрична інтер- претація нерівностей. Нерівності другого степеня. Графічне розв’язування нерівностей другого степеня. Розв’язання раціональних нерівностей методом інтервалів. Метод заміни змінної при розв’язуванні раціональних нерівностей. Нерівності з модулем. Ірраціональні нерівності. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Нерівності з однією змінною (основні поняття) Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Нерівності зі змінними називають іноді функ- ціональними нерівностями. Нехай дано нерівність з однією змінною Дх) > §(х) (замість знака «>» можуть бути знаки «<», «<», «>»). Областю визначення нерівності Дх) > §(х) називається переріз областей визначення функцій Дх) і §(х). Розв’язком нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною перетворюється на правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною означає знайти всі її розв’язки або до- вести, що розв’язків немає. Дві нерівності з однією змінною називаються рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збіга- ються; зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків. При розв’язуванні нерівностей користуються такими основними теоремами про рівносильність нерівностей. 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то отримаємо нерівність, рівносильну початковій. 2. Якщо до обох частин нерівності Дх) > §(х) додати (або відняти) будь-яку функцію ф(х), то отримаємо нерівність, рівносильну почат- ковій за умови, що області визначення отриманої і початкової нерів- ностей збігаються. 3. Якщо обидві частини нерівності Дх) > §(х) помножити (або поді- лити) на будь-яку функцію ф(х), яка зберігає сталий знак і відмінна від нуля, то при ф(х) > 0 отримаємо нерівність, рівносильну початковій, а при ф(х) < 0 рівносильною початковій буде нерівність протилежного знака (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються). Таким чином, можемо записати: Дх) > §(х) <=> Дх) • ф(х) > §(х) ф(х), якщо ф(х) > 0; Дх) > §(х) <=>-^7 > ^77, якщо ф(х) > 0; ф(х) ф(х) Дх) > §(х) <=> Дх) • ф(х) < §(х) ф(х), якщо ф(х) < 0; Дх) > §(х) <=> Д—7 < ^7, якщо ф(х) < 0. ф(х) ф(х) ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Нерівністю з однією змін- ною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Нерівності ЗІ змінни- ми називають Іноді функціо- нальними нерівностями.
88 Алгебра Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції ф(х) береться її окремий випадок — відмінна від нуля константа. Лінійні нерівності і нерівності, які зводяться до лінійних Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність вигля- ду ах > Ь (або ах < Ь, ах < Ь, ах > Ь). Якщо а > 0, то нерівність ах > Ь х > — <=> х є | —;оо а \ а Якщо а < 0, то нерівність ах > Ь <=> х < — <=> х є | -оо; — а \ а Якщо а = 0, то нерівність набуває вигляду 0 • х > Ь і вона правильна для будь-якого х є (-оо; оо), якщо Ь < 0, і не має розв’язків, якщо Ь > 0. Нерівностями, які зводяться до лінійних, назвемо такі нерівності: ах + Ь > 0 (або ах + Ь > 0, ах + Ь < 0, ах + Ь < 0), ах + Ь > сх + д (або ах + Ь > сх + д, ах + Ь < сх + д, ах + Ь < сх + д). У цих нерівностях ліва і права частини є лінійними функціями від- носно х. Такі нерівності у процесі перетворень зводяться до лінійних. Приклади Розв’язати нерівність 2х + 3 < х - 8. Розв’ язання. 2х + З < х - 8 <=> 2х - х < -3-8 <=> х < -11 <=> <=> X Є (-оо; -11]. Відповідь’. X Є (-оо; -11]. —х - 2х > -30 - 10 ( 40 і => X Є -оо;--- . І 3 ) Відповідь-, х є Розв’язати нерівність 3(х + 2) - 4(х - 6) > 2(х - 5). Розв’язання. 3(х + 2) - 4(х - 6) > 2(х - 5) <=> Зх + 6 - 4х + 24 > 2х - 10 <=> <=> -х + 30 > 2х - 10 <=>-х - 2х > -30 - 10 о -Зх > -40 <=> -40 40 ( 40Л -З З V з) У процесі розв’язування нерівності ми розкрили дужки, а далі вико- ристали теореми про рівносильність нерівностей. Варто звернути увагу . . „ . -40 . на те, що нерівність -Зх > -40 рівносильна нерівності х < ——, оскільки при діленні на від’ємне число потрібно змінити знак на протилежний. ’ З Г Розв’язати нерівність-----< 2х + 1. 2 3 Розв’язання. Розглянемо кілька форм запису розв’язування почат- кової нерівності. Перша форма запису. х „ Зх — 2х - — < 2х + 1 <=>--------- З 6(2х +1) 6 <=> Зх - 2х < 12х + 6 <=> х - 12х < 6 <=> -11х < 6 <=>
Алгебраїчні нерівності 89 У процесі розв’язування нерівності ми звели ліву і праву частини початкової нерівності до спільного знаменника, тобто до числа 6, а потім застосували теореми про рівносильні нерівності. Друга форма запису. —- —< 2х + 1 <=> бґ—1 < 6(2х + 1) <=> 2 3 \ 2 3 ) а Зх-2х< 12х + 6 <=> х - 12х <6 а-11х< 6 а У процесі розв’язування ми спочатку помножили обидві частини початкової нерівності на 6, а потім застосували властивості нерівностей (теореми про рівносильні нерівності). Третя форма запису. х „ „ Зх —2х —12х — - 2х < 1 <=>------------< 1 <=> З 6 —11х 6 6 11 У процесі розв’язування початкової нерівності всі невідомі були перенесені до лівої частини нерівності, а в правій частині залишилися тільки сталі. Далі вираз ліворуч було зведено до спільного знаменника, а потім використані теореми про рівносильні нерівності. п-а -а ( 6 1 Відповідь', х є---; °° . І И ) Зауваження. Відповіді до нерівностей не обов’язково давати з ви- користанням теорії множин. Так, цілком допустимо дати відповідь 6 у ВИГЛЯДІ X >----. Розв’язати нерівність —-— ---> 1,5х -1,1. 4,2 + 2х Розв’язання. --------> 1,5х -1,1 <=> 4,2 + 2х > 3(1,5х -1,1) <=> о 4,2+ 2х > 4,5х-3,3 о 2х - 4,5х >-3,3 - 4,2 о —7 5 -2,5х > -7,5 о х < —— о х < 3. -2,5 У процесі розв’язування початкової нерівності обидві частини її були помножені на число 3, а потім застосовані теореми про рівносильні не- рівності. Як вже відзначалося, відповідь можна подати або у формі х < 3, або у формі х є (—оо ; 3). Відповідь', х < 3. Системи і сукупності нерівностей з однією змінною Декілька нерівностей з однією змінною утворюють систему нерівнос- тей, якщо ставиться задача про відшукання всіх тих значень змінної, які задовольняють одночасно кожній з цих нерівностей (тобто якщо відшукуються всі спільні розв’язки початкової нерівності).
90 Алгебра Декілька нерівностей з однією змінною утворюють сукупність не- рівностей, якщо ставиться задача відшукати всі ті значення змінної, кожне з яких задовольняє хоча б одній з цих нерівностей. Значення змінної, при якому кожна нерівність системи перетво- рюється на правильну числову нерівність, називається розв’ язком сис- теми нерівностей. Дві системи нерівностей називаються рівносильними, якщо вони мають спільну множину розв’язків, які задовольняють ці нерівності. Рівносильність систем нерівностей позначається так само, як і рівно- сильність систем рівнянь. Очевидно, що розв’язком системи нерівностей є переріз розв’язків нерівностей, які утворюють систему, а розв’язком сукупності не- рівностей є об’єднання розв’язків нерівностей, які утворюють су- купність. Якщо нерівності /Дх) > £Дх) і /2(х) > £2(х) утворюють систему не- рівностей, то їх записують у стовпчик за допомогою фігурної дужки: /і(х) > ^(х), /2(х) > §2(х). Так, наприклад, запис Зх + 5 > 2, означає, що нерівності Зх + 5 > 2 4х-5<15 і 4х - 5 < 15 утворюють систему нерівностей. Подвійна нерівність §(х) < /(х) < ф(х) еквівалентна (рівносильна) системі нерівностей, тобто §(х) < /(х) < ф(х) /(х) > §(х), /(х) < ф(х). Наприклад, х + 1 < -5 х +1 > —7 -7 < х + 1 <-5. Якщо нерівності /Дх) > £Дх) і /Дх) > §2(х) утворюють сукупність нерівностей, то їх записують або у стовпчик за допомогою квадратної дужки, або у рядок за допомогою знака «;». Наприклад: / (х) > § (х) !. ' , \ > ^(*); /2(*) > £2(*)- Т2\Х) > §2 \Х) Декілька систем нерівностей з однією змінною утворюють сукуп- ність систем нерівностей, якщо ставиться задача відшукати всі ті значення змінної, кожне з яких задовольняє хоча б одній з цих систем. Геометрична інтерпретація нерівностей х>а а х Рис. 15 Розв’язки нерівностей можна показати геометрично на числовій осі. Так, якщо ми маємо строгу нерівність х > а, то геометрично ця множина відображається у вигляді тієї частини числової прямої, яка лежить пра- воруч від точки з абсцисою х = а. При цьому праворуч від точки х = а наносять штриховку (рис. 15), а саму точку х = а звичайно зображають у вигляді світлого кружка (говорять, що точку х- а «виколюють»). х > а х є (а; оо).
Алгебраїчні нерівності 91 Якщо маємо нестрогу нерівність х < Ь, то на числовій осі наносять штриховку ліворуч від точки х - Ь (рис. 16), при цьому точку х - Ь зви- чайно зафарбовують чорним кольором. х < Ь х є (-оо; Ь]. х<Ь > Ь х Рис. 16 При розв’язуванні систем лінійних нерівностей, що складаються з двох нерівностей, можна зображати розв’язки за допомогою двох або однієї числової осі, за допомогою дуг чи без них, наносячи штриховки, які мають різний кут нахилу відносно числової прямої, внизу або вгорі або тільки вгорі (внизу) чи без них. Приклади Розв’язати систему нерівностей геометричну інтерпретацію. Розв’ язання. 2х -1 < З Зх + 2 > -7’ використовуючи 2х -1 < З Зх + 2 > -7 Г2х < 1 + З [Зх > -2 - 7 2х < 4 Зх > -9 х < 2 х > -3. Дамо чотири варіанти геометричної інтерпретації прикладу 1. Перший варіант (з використанням двох числових осей). На одній числовій прямій позначаємо всі ті значення х, при яких виконується перша нерівність системи, а на другій числовій прямій, розташованій під першою, — усі ті значення х, при яких виконується друга нерівність системи (рис. 17). Порівняння цих двох результатів показує, що обидві нерівності одночасно будуть виконуватися при усіх значеннях х, що розташовані від -3 до +2, тобто Рис. 17 -3<х<2<=>хє [-3; 2). Другий варіант (з використанням однієї числової осі і штриховок внизу і вгорі осі). На числову вісь наносимо штриховки, розташовані вище і нижче числової прямої, і знаходимо переріз розв’язків нерівностей, які утво- рюють початкову систему. 2х — 1 < 3 Гх < 2 Зх + 2 > -7 [х > -3. За допомогою координатної прямої (рис. 18) знаходимо, що множина розв’язків початкової системи є півінтервалом [-3; 2). Третій варіант (з використанням однієї осі, дуг і штриховок). 2х — 1 < 3 Гх < 2 Зх + 2 > -7 [х > -3. На числову вісь наносимо задані множини х < 2 і х > -3 за допомо- гою дуг і штриховок з різним кутом нахилу до координатної прямої (рис. 19). Шукана множина зображена подвійною штриховкою за до- помогою накладання двох штриховок. Четвертий варіант (з використанням однієї осі і дуг). 2х — 1 < 3 Гх < 2 Зх + 2 > -7 | х > -3. Рис. 19
92 Алгебра гь -З 2 Рис. 20 Рис. 21 На числову вісь наносимо задані множини х < 2 і х > -3 за допомогою лише одних дуг, а штриховку наносимо лише там, де задані множини перетинаються (рис. 20). Відповідь', х є [-3; 2). [4х + 3 < 7 Розв язати систему нерівностей ( [2х + 1 > 5. Розв’ язання. Г4х + 3<7 Г4х<7 —З Г4х < 4 Гх < 1 [2х +1 > 5 [2х >5 — 1 [2х >4 [х > 2. Таким чином, будь-яке число, що задовольняє обом нерівностям одночасно, повинне бути менше 1 і більше 2 (рис. 21). Але таких чисел не існує. Тому дана система нерівностей не виконується при будь-яких значеннях х, тобто х є 0. Про такі системи кажуть, що вони несумісні (геометрично це означає, що немає накладання штриховок). Відповідь'. 0. [2х + 1 > 7 Розв’язати систему нерівностей ( [Зх - 1 < 8. Розв’ язання. 2х + 1 > 7 Зх - 1 < 8 х > З х < 3. Зображуючи дані множини за допомогою дуг і штриховок (рис. 22), бачимо, що обидві нерівності будуть одночасно виконуватися тільки при х = 3. Відповідь'. 3. Розв’язати сукупність нерівностей Розв’ язання. 4х + 3 < 7 2х + 1 > 5. 4х + 3 < 7 2х +1 > 5 х < 1 х > 2. Рис. 24 За допомогою числової прямої (рис. 23) знаходимо, що розв’язком заданої сукупності є множина, що складається з двох напівнескінчен- них інтервалів, тобто X < 1 ’ <=> х є (—оо; 1) ЦІ (2; оо). х > 2 Відповідь', х є (-оо; 1) □ (2; оо). Розв’язати сукупність нерівностей Розв’ язання. 2х +1 < 7 Зх -1 < -1 прямої (рис. 24) знаходимо, що 2х + 1 < 7 Зх-1<-1. х < З За допомогою координатної х < 0. розв’язком початкової сукупності не- рівностей є напівнескінченний інтервал (-оо; 3). Відповідь', х є (—оо ; 3). Розв’язати сукупність нерівностей 2х -1 < З, Зх + 2 > -7.
Алгебраїчні нерівності 93 Розв’язання. 2х +1 < З, І х < 2 Зх + 2 > -7, |х > -З За допомогою числової прямої (рис. 25) знаходимо, що розв’язком заданої сукупності нерівностей є вся числова пряма, тобто х є (-<х>;<х>). Відповідь-, х є (—00*00^. Рис. 25 Нерівності другого степеня Нехай потрібно розв’язати нерівність ах2 + Ьх + с > 0 (аналогічні мір- кування проводяться при розв’язуванні нерівностей ах2 + Ьх + с > О, ах2 + Ьх + с < 0, ах2 + Ьх + с < 0). У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена В = Ь2 - 4ас потрібно розглянути два випадки. 1) Якщо В < 0, а старший коефіцієнт а додатний, то при всіх зна- ченнях х виконується нерівність ах2 + Ьх + с > 0. 2) Якщо В > 0, то для розв’язання нерівностей виду ах2 + Ьх + с > О потрібно розкласти квадратний тричлен ах2 + + Ьх + с на множники за формулою ах2 + Ьх + с - а(х - хД(х - х2), потім поділити обидві частини нерівності а(х - хг)(х - х2)> 0 на число а, зберігаючи знак нерівності, якщо а > 0, і змінюючи знак нерівності на додатний, якщо а < 0, потім перейти до нерівності (х - х,)(х - х2) > 0. Далі використовують той факт, що добуток двох чисел додатний, якщо співмножники мають однакові знаки (якщо (х - хД(х - х2) < 0, то співмножники мають протилежні знаки). Зауваження. Нерівності другого степеня звичайно розв’язують або графічно, або методом інтервалів. Однак наведені вище способи також мають право на існування, тому що вони досить прості і наочні. Графічне розв'язування нерівностей другого степеня Як відомо, графіком квадратичної функції у - ах2 + Ьх + с є парабола з вітками, напрямленими вгору, якщо а > 0, і вниз, якщо а < 0 (іноді кажуть, що парабола напрямлена опуклістю вниз, якщо а > 0, і опук- лістю вгору, якщо а < 0). При цьому можливі три випадки: парабола перетинає вісь Ох (тобто рівняння ах2 + Ьх + с = 0 має два різні корені); парабола має вершину на осі Ох (тобто рівняння ах2 + Ьх + с = 0 має один корінь, так званий подвійний корінь); парабола не перетинає вісь Ох (тобто рівняння ах2 + Ьх + с = 0 не має дійсних коренів). Таким чином, можливі шість положень параболи. Використовуючи графічні ілюстрації, можна розв’язувати квадрат- ні нерівності. Графік параболи можна будувати чисто схематично, не шукаючи координати вершин (якщо В Ф 0) і точку перетину з віссю Оу. Приклади Розв’язати нерівність х2 - х - 6 < 0. Розв’язання. Розглянемо функцію у - х2 - х - 6. Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору, тому що а = 1 > 0. Розв’яжемо рівняння х2 - х - 6 = 0. Його корені: хг - -2, х2 = 3. Отже, дана парабо- ла у - х2 - х - 6 перетинає вісь Ох у точках з абсцисами хг - -2, х2 = 3. Зобразивши схематично параболу у - х2 - х - 6 (рис. 26), знаходимо, що у < 0 якщо х є [-2; 3]. Шукана множина на рис. 26 заштрихована. Відповідь-, х є [-2; 3].
94 Алгебра у = -2х2 + Зх + 2 Рис. 27 Розв’язати нерівність -2х2 + Зх + 2 > 0. Розв’язання. Розглянемо функцію у - -2х2 + Зх + 2. Її графіком є парабола, вітки якої напрямлені вниз (парабола напрямлена опук- лістю вгору), тому що а = -2 < 0. -2х2 + Зх + 2 = 0 <=> хг -1 х -2 2 2 Зобразивши схематично параболу у - -2х2 + Зх + 2, знаходимо, що у < 0 у кожному з нескінченних проміжків: (2; °°). Шукана множина заштрихована на рис. 27. Відповідь-, х є |-°о; - — | ЦІ (2, °о). Розв'язання раціональних нерівностей МЕТОДОМ ІНТЕРВАЛІВ Нерівності виду р (х) > о (Р (х) < 0, Р (х) > 0, Р (х) < 0), Р(х) ; оґ Р(х) ;0 Р(х) Р(^) Ч,(*) / де Р„(х), <£т(х) — многочлени відповідно степенів піт, тобто Р (х) = а„х" + а.х" 1 + а,х" 2 + ... + а ,х + а , п ' ' 0 1 2 п-1 п1 (д (х) = Ь.х'" + Ь.х'" 1 + Ь,х"' 2 + ... + Ь .х + Ь , ' 0 1 2 т-1 т7 (х - а) < 0 (х - а) > О а Рис. 28 звичайно розв’язують методом інтервалів (методом проміжків). Цей метод зручний, наприклад, для розв’язування нерівностей такого виду: Зх х(х + 1) > 0, ---<0, (х - 1)(х - 2)(х - 5) < 0, х — З х2 + 5х + 6 > (х — 1)(х — 3)(х — 5) < х2 - 5х - 6 ’ (х + 1)(х + 3) В основі методу інтервалів лежить така властивість двочлена х - а: точка х = а поділяє числову вісь на дві частини — праворуч від точки а двочлен х - а > 0, а ліворуч від точки а маємо (х - а) < 0 (рис. 28). Нехай потрібно розв’язати нерівність (х - аг)(х - а2)...(х - а„) > 0, де а1г а2,... а„ — фіксовані числа, серед яких немає рівних, причому такі, що Щ < а2 < ... < ап_х < а„. Для розв’язання нерівності (х -а^х - а2)... (х - а„) > 0 методом інтервалів поступають таким чином: на числову вісь наносять числа а1; а2,..., а„_1, а„; у проміжку праворуч від найбіль- шого з них, тобто числа ап, ставлять знак «плюс», у наступному за ним справа наліво інтервалі ставлять знак «мінус», потім — знак «плюс», потім знак «мінус» і т. д. Тоді множина всіх розв’язків нерівності (х - щ)(х - а2)...(х - ап) > 0 буде об’єднанням усіх проміжків, у яких пос- тавлений знак «плюс», а множина розв’язків нерівності (х - аг)(х - а2)... (х - а„) < 0 буде об’єднанням усіх проміжків, у яких стоїть знак «мінус».
Алгебраїчні нерівності 95 Зауваження 1. На практиці серед двочленів зустрічаються вирази (а, - х), у цьому випадку праворуч від найбільшого числа х - ап вже не обов’язково буде стояти знак «плюс». Тому нерівності, де в лівій частині зустрічаються двочлени виду (а, - х), найкраще розв’язувати у такий спосіб: знайти знак лівої частини виразу в якомусь одному з інтервалів, не обов’язково крайньому праворуч, а далі в сусідніх інтервалах будуть протилежні знаки. Зауваження 2. Зміну знаків лівої частини нерівності зручно ілюст- рувати за допомогою хвилеподібної кривої («кривої знаків»), проведеної через позначені точки вище або нижче від числової осі у відповідності зі знаком нерівності в розглянутому проміжку. Зауваження 3. Наведені вище міркування справедливі і для нерівностей виду Дх) < 0, Дх) > 0, Дх) < 0, де Дх) має вид (х — аД(х — а,)...(х — а ) /(х) = ----г------—------При цьому числа щ, а2, ап_г, а„, Ьг, (х-Ь1){х-Ь2)...{х-Ьк) Ь2, ..., Ьк_г, Ьк попарно різні. Зміни знаків функції Дх) ілюструються за допомогою «кривої знаків». Приклади Розв’язати нерівність (х- 1)(х- 3) > 0. Розв’язання. Многочлен Дх) = (х - 1)(х - 3) перетворюється на нуль у точках х- 1, х = 3. Ці точки розбивають координатну пряму на про- міжки (-оо; 1); (1; 3); (3; +<х>), усередині кожного з яких функція Дх) зберігає знак. Оскільки в проміжку (3; +°о) співмножники (х - 1), (х - 3) додатні, то й їхній добуток додатний, тобто Дх) > 0. Позначимо проміжок (3; +оо) знаком «+». Далі знаки в проміжках чергуються. Проводимо че- рез визначені точки «криву знаків» (рис. 29). Ілюстрацію за допомогою «кривої знаків» розуміємо таким чином: на тих проміжках, де «крива знаків» проходить вище координатної прямої (де ставиться знак «+»), виконується нерівність Дх) > 0; на тих проміжках, де крива проходить нижче прямої (де знак «-»), виконується нерівність Дх) < 0. У результаті знаходимо, що розв’язком початкової нерівності є об’єднання проміжків: (-оо; 1), (3; +оо). Ця множина на рис. 29 заштрихована. Відповідь-, х є (-оо; 1) □ (3; +<х>). Розв’язати нерівність (2 - х)(х + 1)(х - 4) < 0. Розв’язання. Наносимо на числову вісь точки х - 2; х = -1; х = 4 (рис. ЗО). Оскільки розв’язуємо нестрогу нерівність, то точки х = 2; х = -1; х = 4 фарбуємо темним кольором (ставимо темні кружки). Узявши, наприклад, в інтервалі (-1; 2) точку х = 0, визначаємо знак лівої частини початкової нерівності: (2 - 0)(0 + 1)(0 - 4) = -8 < 0. Звідси при х є [-1; 2] маємо (2 - х)(х + 1)(х - 4) < 0. Провівши «криву зна- ків», визначаємо знак лівої частини початкової нерівності у кожно- му з проміжків. Множина, що дає розв’язки початкової нерівності, є об’єднанням проміжків: [-1; 2]; [4; +<х>). Ця множина заштрихована на рис. ЗО. Відповідь-, х є [-1; 2] ЦІ [4; °о).
96 Алгебра Метод заміни змінної при розв'язуванні РАЦІОНАЛЬНИХ НЕРІВНОСТЕЙ Деякі нерівності зручно розв’язувати, застосовуючи метод заміни змінної (метод підстановки). Приклад Розв’язати нерівність (х2 - х)2 - 8(х2 - х) + 12 < 0. Розв’язання. Зробивши заміну змінної і - х2 - х, отримаємо і2 - 8і + 12 < 0. Коренями рівняння і2 - 8і + 12 = 0 є - 2, і2 - 6. Звідси І2 - 8і + 12 = (і - 2)(і -6)<0<=>2<і<6. Оскільки і - х2 - х, то отримаємо 2 < х2 - х < 6 х2 - х > 2 (а) х2 — х < 6 (б). Розв’язуємо нерівність (а): х2-х>2<=>х2-х-2>0<=>(х + 1)(х - 2) > 0 Розв’язуємо нерівність (б): х2-х<6<=>х2-х-6<0<=>(х + 2)(х - 3) < 0 <=> -2 < х < 3. Звідси (х2 - х)2 - 8(х2 - х) + 12 < 0 х2 — х > 2, х2 — х < 6 ► Зобразимо отримані множини за допомогою двох координатних пря- х мих (рис. 31). З рис. 31 бачимо, що розв’язком початкової нерівності Рис. 31 є об’єднання множин (-2; -1), (2; 3). Відповідь', х є (-2; -1)ЦІ (2; 3). Нерівності з модулем При розв’язуванні нерівностей, що містять змінну під знаком модуля, використовується означення модуля функції: /(х), /(х) > 0 -/(х), /(х) < 0. Можна також користуватися властивостями модуля, зокрема, такими, як: |/(х)| > 0; |/(х) • £(х)| = |/(х)| • |£(х)|; |/(х)|2 = (/(х))2; /(х) /(х) §(х) §(х) |-/(х)| = |/(х)|; |/(х)| > І£(х)| <=> (/(х))“ > (£(х))“ (аналогічні властивості для нерівностей мають місце, якщо в останній рівносильності є знак «<», «<», «>»).
Алгебраїчні нерівності 97 Іноді використовується геометрична інтерпретація модуля, відповід- но до якої |х - а| є відстань на числовій прямій між точками х і а. Нерівність виду |/(х)| < а <=> -а < /(х) < а , якщо а > 0; якщо а < 0, то нерівність |/(х)| < а розв’язків не має. Нерівність виду |/(х)| > а <=> Дх) > а, /(х) < —а, якщо а > 0; якщо а < 0, то розв’язком нерівності |Дх)| > а є множина допустимих значень функ- ції Дх); якщо а - 0, то розв’язком нерівності |Дх)| > а є множина тих х, для яких Дх) Ф 0. При розв’язуванні нерівностей, що містять більше одного модуля, застосовують метод інтервалів для модулів. Приклади Розв’язати нерівність |х + 2| + |х - 2| < 6. Розв’язання. При розв’язуванні початкової нерівності використовує- мо метод інтервалів для модулів. Позначимо на числовій прямій точки, в яких вирази, що знаходяться під знаками модулів, перетворюються на нуль. Це точки х = -2, х = 2. Уся числова пряма розбивається цими точками на три інтервали (три проміжки): (-<х>; -2) (1-й інтервал), [-2; 2] (2-й інтервал), (2; оо) (3-й інтервал). Наведемо чотири форми запису розв’язування початкової нерівності. Перша форма запису. На 1-ому інтервалі (-оо; -2) за означенням модуля маємо: |х + 2| = —(х + 2) = — х — 2; |х — 2| = —(х — 2) = — х + 2. Отже, на 1-ому інтервалі початкова нерівність рівносильна такій: -х-2-х + 2<6о -2х < 6 <=> х > -3. Через те що розглядається інтервал х є (-оо; -2), до множини розв’язків входить переріз множин: (-оо;-2) П (-3; °о) = (-3; - 2) — розв’язок почат- кової нерівності на 1-ому інтервалі. На відрізку [—2;2] (2-й інтервал): |х + 2| = х + 2;|х-2| = -(х-2) = -х + 2, і ми маємо х + 2- х + 2<6<=>4<6, тобто правильна числова нерів- ність. Тому всі значення змінної, які належать цьому відрізку, входять до множини розв’язків, тобто х є [-2; 2] — розв’язок на 2-ому інтервалі. На 3-ому інтервалі х є (2; °о): |х + 2| = х + 2; |х - 2| = х - 2, і ми маємо: х + 2 + х- 2<6<=>2х<6<=>х<3. Оскільки розглядається ін- тервал х є (2; оо), то до множини розв’язків входить переріз множин (2; оо)П(-оо; 3) = (2; 3) — розв’язок на 3-ому інтервалі. Об’єднуючи отримані результати, робимо висновок: початкова не- рівність виконується при х є (-3; -2)ЦІ [-2; 2] ЦІ (2; 3) = (-3; 3). Таким чином, х є (-3; 3) — розв’язок початкової нерівності. Відповідь-, х є (-3; 3). Друга форма запису. Розглядаючи початкову нерівність на кожному з трьох проміжків, отримаємо сукупність трьох систем. Таким чином, Гх < —2 Гх < —2 [—(х + 2) — (х — 2) < 6 [х > —З |х + 2| + |х - 2| < 6 <=> -2 < х < 2 х + 2 — (х — 2) <6 х > 2 х + 2 + х — 2<6 -2 < х < 2 4 < 6 х > 2 х < З
98 Алгебра х є (-3; 2) ЦІ [-2; - 2] ЦІ (2; 3) = (-3; 3). Третя форма запису. На кожному з трьох інтервалів розглянемо розв’язання початкової нерівності. 1-й інтервал (х < -2): |х + 2| = -(х + 2); |х - 2| = -(х - 2). Маємо систему нерівностей -(х + 2) - (х - 2) < 6 2-й інтервал (-2 < х < 2): |х + 2| = х + 2; |х - 2| = -{х - 2). Маємо систему нерівностей х + 2 — (х — 2) <6 3-й інтервал (х > 2): |х + 2| = х + 2; |х - 2| = х - 2. Маємо систему нерівностей < <=>< <=> 2 < х < 3. [х + 2 + х — 2<6 [х < З Розв’язок початкової нерівності утворюється шляхом об’єднання розв’язків, отриманих на 1-ому, 2-ому і 3-ому інтервалах: х є (-3; - 2) ЦІ [-2; 2] ЦІ (2; 3) = (-3; 3). Четверта форма запису. Розглянемо три випадки: 1) —(х + 2) - (х - 2) < 6 х є (-3; - 2); 2) х + 2 — (х — 2) <6 х є [-2; 2]; 3) є (2; 3). Об’єднуючи знайдені множини □ [-2; 2] ЦІ (2; 3) = (-3; 3). Відповідь-. -З < х < 3. значень х, маємо: х є (-3; -2)ЦІ ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ При розв’язуванні ірраціональних нерівностей використовуються ті самі прийоми, що і при розв’язуванні ірраціональних рівнянь: підне- сення обох частин нерівностей до того самого натурального степеня, від- ділення радикалу, уведення нових змінних тощо. При розв’язуванні мож- на дотримуватися, наприклад, такого плану: а) знайти область визначення початкової нерівності; б) розв’язати початкову нерівність, керуючись твердженнями про рівносильність нерівностей; в) з отриманих розв’язків відібрати ті, що належать області визначення початкової нерівності. Твердження про рівносильність нерівностей мають такий ви- гляд. Якщо обидві частини нерівностей на множині В набувають тіль- ки невід’ємних значень, то при піднесенні обох частин нерівностей
Алгебраїчні нерівності 99 до будь-якого парного степеня і при зберіганні знака початкової не- рівності отримаємо нерівність, рівносильну початковій на множині В. Піднесення обох частин нерівності до того самого непарного степеня зі збереженням знака нерівності завжди є рівносильним (еквівалентним) перетворенням нерівності. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 2. 3. 4. 5. „ , . . . 2х + З Розв яжіть нерівність ---- 2-х Розв’яжіть нерівність 1) (-оо; -2] ЦІ (-1; +°°); 2) [1; 2); х — З 3) (-оо; -1,5]ЦІ(2; + оо); 4) (-оо; 1] и (2; +оо). Розв’яжіть нерівність 2х-1 6 2) (-оо; 1)0 (3; +°о); 3) [-2; -1); х + 3 Зх + 7 12 18 4) (-1; 3]. 1) (-оо; -1)0(1; +оо); Скільки натуральних розв’язків має нерівність -х2 - х + + 12 > 0? 1)1; 2)2; 3)3; 4)4. Розв’яжіть нерівність -9 < х2 < 25. 1) [-3; 3]; 2) [-3; 5]; 3) [-5; 3]; 3) (-1; 1); 4) [-5; 5]. 5х2 (х - 2)8 (х - 4? 6. Розв’яжіть нерівність ------------------< 0. (х + 2)3 1) (-оо; -2)ЦІ(4; +оо); 2) (-2; 0) ЦІ(0; 2)0(2; 4); 3) (-оо; -2)ЦІ(-2; 0)0(2; 4); 4) (-оо; -2)ЦІ(-2;0) ЦІ(0; 2) ЦІ(2; 4) ЦІ(4; +<х>). 7. Скільки цілих розв’язків має нерівність х6 - 9х3 + 8 < 0? 1) Жодного; 2) один; 3) два; 4) три. [1 < 2х-1 < 9, 8. Розв яжіть систему нерівностей ( [-1 < 1 - х < 4. 1) [-3; 1); 2) (1; 2]; 3) [2; 5); 4) [-3; 5). 9. Розв’яжіть систему нерівностей 1) [-2; 2)0(0; 3]; 2) [-3; 0)0(0;3); 3) (-2; 0)0(0; 3]; 4) (-оо; -3] 0[3; +°о). 10. Розв’яжіть сукупність нерівностей 1 < Зх - 2 < 4, -З < 4х + 5 < 1. 1) (-2; 2]; 2) (-1; 1); 3) (-2; 1)0(-1; 1)0(1; 2]; 4) (-2; -1)0(1; 2]. 11. Розв’яжіть нерівність (х - 5)\/х - 2 > 0. 1) [5; +°°); 2) {2} 0 [5;+оо); 3) [2;+<*>); 12. Розв’яжіть нерівність УІЗ- X < X + 3. 1) [-6; -1]; 2) [-6; 3]; 3) [-1; 3]; 4) [2; 5]. 4) (-оо; 1]0{3}. х + 2
100 Алгебра 13. При яких значеннях а нерівність ах > 0 не має розв’язків? 1) а > 0; 2) а < 0; 3) а Ф 0; 4)а = 0. 14. При яких значеннях параметра а нерівність |х + 9| < ах не має розв’язків? 1) а < -1; 2)-1 < а < 0; 3)0<а<1; 4) а < 1. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 4. 2. 3. 3. 2. 4. 3. 5. 4. 6. 2. 7. 3. 8. 2. 9. 3. 10. 4. 11. 2. 12. 3. 13. 4. 14. 3. ПРОГРЕСІЇ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Поняття числової послідовності. Арифметична прогресія. Геометрична прогресія. Нескін- ченно спадна геометрична прогресія СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Поняття ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ Числовою послідовністю називається функція, визначена на мно- жині натуральних чисел (/ : N —> В, / — функція натурального аргумен- ту). Позначається числова послідовність звичайно через (х„), де п є А, хп — п-й член послідовності. Формула хп - /(гі) називається формулою загального члена послідовності (х„), п є N. Приклади числових послідовностей „ „ 1 Нехай числова послідовність задана загальним членом х - — . 2п Це означає, що кожному натуральному числу п відповідає визначений член послідовності (хл), тобто п —> — . Надаючи п значення 1, 2, 3..., 2п , X 1 1 1 1 1 отримаємо послідовність (хл): —; —; —; ... —; .... Нехай послідовність задана формулою хл - (-1)" . Усі члени послі- довності з непарними номерами дорівнюють -1, а з парними номерами дорівнюють 1: х1--1; х2-1; х3--1; х4=1; х5=-1; ... . Дістаємо послі- довність -1; 1; -1; 1; -1; ... . Формулою хп - 2 задається послідовність, усі члени якої дорівнюють 2: 2; 2; 2; 2; 2; ... . Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її член, почи- наючи з другого, більший від попереднього, тобто якщо для усіх п є N хл+1> хп. Приклад зростаючої послідовності: 1; 3; 5; 7; 9; ...; (2п - 1); ... .
Прогресії 101 Послідовність називається спадною, якщо кожний її член, по- чинаючи з другого, менший від попереднього, тобто якщо для всіх п є N хІН1< хп. Приклад спадної послідовності: 1 1.1.1. .1. ’ 2’ 3’ 4’ 5’"” п’"" Арифметична прогресія Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме постійне для даної послідовності чис- ло. Позначається арифметична прогресія звичайно таким чином: (а„). ап називається гс-им членом арифметичної прогресії. З означення арифметичної прогресії випливає, що ал+1 = ап + д. Число д називається різницею прогресії. Таким чином, д — а„ — а, = а„ — а„ — а, — а„ = ... = а — а ... . ’ 2 1 3 2 4 3 п+1 п Для того щоб задати арифметичну прогресію (ап), достатньо зна- ти її перший член Щ і різницю д. Якщо різниця арифметичної про- гресії — додатне число, то така прогресія є зростаючою', якщо різниця є від’ємним числом, то спадною. Якщо різниця д арифметичної прогресії дорівнює нулю, то всі члени прогресії рівні між собою. Характеристична властивість (ознака) арифметичної прогресії фор- мулюється таким чином: кожний член арифметичної прогресії, почи- наючи з другого, є середнім арифметичним сусідніх із ним членів: а , + а а = ——----—, п є ./V, п > 2. " 2 З означення різниці арифметичної прогресії випливає, що ау + ап - - а2 + ап_г - а3 + ап_2 - ..., тобто сума членів, рівновіддалених від кінців прогресії, є величиною сталою. Формула п-го члена арифметичної прогресії має вигляд: ап - а1 + (п- 1)д. Формули для суми п перших членів арифметичної прогресії мають вигляд: аІ + ап 2а І + (п — 1)д Геометрична прогресія Геометричною прогресією називається така числова послідовність (Ьп), кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме стале для даної послідовності число, відмінне від нуля. Перший член геометричної прогресії передбачається відмінним від нуля. Ьп називається п-им членом геометричної прогресії. Приклади геометричної прогресії: а) 1; 2; 4; 8; 16; 32;...; _ 1 1 1 1 б) 1; —;—;—;-----;...; 4 16 64 256 4 4 4 в) 12; 4;-;-;—;.... З 9 27
102 Алгебра З означення геометричної прогресії випливає, що д = . Чис- Ьп ло д називається знаменником геометричної прогресії. Таким чином, Ь, Ь, Ь. Ь _ 2 3 4 _ п+1 ь. ь„ ь„ ь 12 3 п Для того щоб задати геометричну прогресію (Ьл), достатньо знати її перший член і знаменник. Якщо д>0ід^1,то геометрична прогресія є монотонною послідовніс- тю. Якщо д = 1, то всі члени прогресії рівні між собою. У цьому випадку геометрична прогресія є сталою послідовністю, що розглядається рідко. Характеристичні властивості геометричної прогресії формулюються таким чином: а) у геометричній прогресії, усі члени якої — додатні числа, будь- який її член, починаючи з другого, є середнім геометричним сусідніх з ним членів, тобто при п > 2 ь = , 6 +1 => Ь2 = Ь . • Ь + • п у п-1 п+1 п п-1 п+1 7 б) добуток членів, рівновіддалених від кінців геометричної про- гресії, є величиною сталою, тобто &1 • Ьп = Ь2 Ьп_г = Ь3 Ьп_2 = ... . Формула п-го члена геометричної прогресії має вигляд: Ь =Ьлдл1 . П 1 О- Формули для суми п перших членів геометричної прогресії мають вигляд: Ь, — Ь а _ 1____П* 1-д М1-^) 1-д Нескінченно спадна геометрична прогресія Будемо називати нескінченно спадною геометричною прогресією таку геометричну прогресію (Ьп), у якій знаменник |д| < 1 і яка містить нескінченну кількість доданків. Сумою нескінченно спадної геометрич- ної прогресії називається границя суми п перших її членів, якщо п —> оо. Ь. 8 - —і— — сума нескінченно спадної геометричної прогресії. 1-д ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. Знайдіть різницю арифметичної прогресії 0; 2; 4; 5; ... 1)0; 2)1; 3)2; 4)3. 2. В арифметичній прогресії аг = -2, д = -4. Знайдіть ап. 1) -16; 2)-24; 3) -36; 4)-42. 3. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо аг = 7, а1в = 67. 1)2; 2)4; 3)6; 4)10. 4. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо аи = 20, д - -3. 1)12; 2)35; 3)42; 4)50. 5. Знайдіть двадцять третій член арифметичної прогресії 3; 7; 11; 15; ... 1)83; 2)87; 3)91; 4)95.
Тригонометрія 103 6. Знайдіть знаменник геометричної прогресії, якщо Ь7 = 2, Ь5 = 162. 1) ±1; 2) ±2; 3) ±3; 4) ±4. 7. Знайдіть дев’ятий член геометричної прогресії, якщо Ьг - 8, 3. 1) 820; 2) 6561; 3) 52 488; 4) 157 464. 8. У геометричній прогресії Ьі — 11, Ь7 = 88. Знайдіть Ьд. 1) 253; 2) 352; 3) 523; 4) 532. 9. Знайдіть суму перших вісімнадцяти членів арифметичної прогресії, якщо а5 + а8 + аіг + а14 = 26. 1)117; 2)52; 3)63; 4)26. 10. Знайдіть суму дев’яти перших членів геометричної прогресії, у якій Ьг - 8, 3. 1) 9841; 2) 19 682; 3) 78 728; 4)314912. 11. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо а1 + а7 - - 38, а2а4 = 95. 1)-7; 2)-5; 3)5; 4)7. 12. В арифметичній прогресії «17 = 187. Знайдіть ад. 1)7; 2)9; 3)11; 4)13. 13. У геометричній прогресії Ьі-Ь1- 52, Ьі + Ь2 + Ь3 = 26. Знайдіть 56. 1) 91; 2) 182; 3) 364; 4) 728. 14. Знайдіть суму всіх двоцифрових натуральних чисел. 1) 4805; 2) 4905; 3) 5005; 4) 5105. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 3. 2. 4. 3. 2. 4. 4. 5. 3. 6. 3. 7. 3. 8. 2. 9. 1. 10. 3. 11. 4. 12. 3. 13. 4. 14. 2. ТРИГОНОМЕТРІЯ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Кути та їхні міри. Означення тригонометричних функцій. Розв’язування важливих при- кладів, доведення тотожностей. Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригономет- ричних виразів. Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні функції від обернених три- гонометричних функцій. Найпростіші тригонометричні рівняння. Основні методи розв’язування тригонометричних рівнянь. Тригонометричні рівняння, що містять обернені тригонометричні функції. Системи тригонометричних рівнянь. Тригонометричні нерівності. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Означення тригонометричних функцій Розглянемо спочатку тригонометричні функції гострого кута, які можна ввести за допомогою прямокутного трикутника (рис. 32). Нехай у прямокутному трикутнику АВС А АС В - 90°, АВАС = а, |ВС| = а, |АС| = Ь, |АВ| = с. Рис. 32
104 Алгебра зіпа = ВС АВ а с (відношення протилежного катета до гіпотенузи). соза = АС _ь (відношення прилеглого катета до гіпотенузи). АВ с ВС а . . і£а = АС = — (відношення протилежного катета до прилеглого). Ь АС ь сі^а = — = — (відношення прилеглого катета до протилежного). ВС а 81П СХ СО8 СХ З останніх двох рівностей випливає, що І£ос=--------, сі£ос=-------. соз а зіп а Розглянемо тригонометричні функції довільних значень аргументу. Символ оо (нескінченність) означає, що або сі§а при відповід- них значеннях аргументу не визначені і набувають великих значень за модулем. Секансом кута а (позначення веса) називається величина, проти- лежна сова, тобто зеса = —-—, соз а Ф 0. сов а Косекансом кута а (позначення созеса) називається величина, про- тилежна зіпа, тобто созеса = —-— , зіпа Ф 0. зіп а Розв'язування важливих прикладів, ДОВЕДЕННЯ ТОТОЖНОСТЕЙ Рис. 33 Приклади Визначити знак виразів: а) зіп 2; б) созб. Розв’язання. Зобразимо кути в 2 і 6 радіан на тригонометрично- му колі (рис. 33). Зазначимо, що я = 180°, але, з іншого боку, я = 3,14 я Зя радіан. Тому — < 2 < я , — < 6 < 2я. Звідси кут а = 2 закінчується в II 2 2 чверті, а кут а = 6 закінчується в IV чверті. Тоді зіп2 > 0, созб > 0. Відповідь', а) зіп2 > 0; б) созб > 0. Обчислити А - ізіп 180° - д/з соз180° + зес180° + і§60°. Розв’язання. А = — • 0 - у/з (-1) + . . + л/з = >/з - 1 + >/з = 2>/з - 1. 2 ] (-1) Відповідь'. А = 2>/3-1. Знайти сова, І£а, сі£а, якщо зіпа = —, 90° < а < 180°. Розв’язання, сова = ±>/1 - зіп2 а. Оскільки за умовою кут а закін- чується в II чверті, то сова < 0 і перед радикалом потрібно взяти знак «-». Звідси
Тригонометрія 105 8ІП0С 4 ( З А 4 , 1 іщ/. =-------= — :------=----, сіщ/. =------- сов а 5 V 5) 3 і§а ,л 3 , 4 , З Відповідь', сов а = —, , сі§а = —. ~ л зіп2 а х , Спростити А =-----------— сі§“а. 1 - зіп“ а „ , . зіп2 а , , зіп2 а соз2 а Розв язання. А =-----------— сі§“а =-------------— = 1. 1 - зіп“ а соз“ а зіп“ а Відповідь'. А - 1. Спростити А - (зіп а - соз а)2 + (соз а + зіп а)2 - 2. Розв’язання. (зіп а - соз а)2 + (соз а + зіп а)2 - 2 = зіп2а - 2зіп а соз а + + соз2а + соз2а + 2зіп а • соз а + зіп2а - 2 = 2(зіп2а + соз2а) - -2=21- -2 = 0. Відповідь'. А = 0. „ . к. . о сх Спростити А = ЛІ - 31П“ — + Л 1 - СОЗ 2 ' ЇЇ , якщо Зл < а < 4л. а Розв’язання. А - І , а СОЗ“-----Н 2 ' . , а 31П“ — 2 а .а СО8--Н ЗІП— . Позбудимося 2 2 2 • о л • Зл модулів. Зл < а < 4л, тоді — < 2 ос 4 л ос — < — і кут — закінчується в IV чверті, 2 2 2 отже, =} а а СО8— = СО8 — 2 2 Сі Сі Сі Сі ЗІП— = - ЗІП—. Звідси А = СО8-------8ІП —. 2 2 2 2 Відповідь'. А = сов-----зіп —. 2 2 Дано: зіпа + соза = т. Знайти: а) зіпа соза; б) зіп3сх + соз3сх. Розв’ язання. а) Піднесемо обидві частини початкового виразу до квадрата: зіп а + соз а = т => (зіп а + соз а)2 = т2 <=> зіп2а + 2зіп а • соз а + +соз2а = т2 <=> 1 + 2зіп а • соз а = т2 <=> 2зіп а • соз а = т2 - 1 <=> т2 -1 зіп а • соз а = 2 ’ б) зіп3а + соз3а = (зіп а + соз а)(зіп2а - зіп а х х соз а + соз2а) = (зіп а + соз а)( 1 - зіп а • соз а) = У процесі розв’язування ми врахували, що якщо зіп а + + соз а = т, т2 -1 . . то зіп а • соз а =---- відповідно висновкам пункту а). 2 т2 _ і т(3 - т2} Відповідь', а) ----; б) —---------. 2 2
106 Алгебра Приклади на доведення тригонометричних тотожностей При доведенні тотожностей звичайно використовують такі способи: 1) вираз, що стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотож- них перетворень приводять до виразу, що стоїть в іншій частині тотожності; 2) вираз, що стоїть у лівій і правій частинах тотожності, приводять до одного того самого виду; 3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності дорівнює нулю. Приклади (зіп а + соз а)“ - 1 , Довести тотожність -------------------= 2і§“а; сі§а - зіп а сов а Розв’ язання. (зіп а + соз а)* * 2 * -1 зіп2 а + 2 зіп а • соз а + соз2 а - (зіп2 а + соз2 а сігос - зіп а соз а соз а ° -------зіп а • соз а зіп а 2 зіп а • соз а соз а - зіп2 а • соз а 2 зіп2 а • соз а зіп а соз а (1 - зіп2 а) 1 2 зіп2 а , -----— = 2і#“а. соз“ а Довести тотожність зіп4а - соз4а - зіп2а + соз2а = 0; Розв’язання. Перший спосіб. Застосуємо тотожність а4 - &4 = (а2)2 - (&2)2 = (а2 - &2)(а2 + &2). Тоді ліву частину можна перетворити: зіп4а - соз4а - зіп2а + соз2а = (зіп2 а - соз2 а) (зіп2 а + соз2 а) - — зіп2 а + соз2 а = (зіп2 а — соз2 а) 1 — зіп2 а + соз2 а = = зіп2 а - соз2 а - зіп2 а + соз2 а = 0. Другий спосіб. зіп4а - соз4а - зіп2а + соз2а = зіп4а - зіп2а - соз4а + соз2а = = зіп2 а (зіп2 а -1) + соз2 а (1 - соз2 а) = = зіп2 а(-соз2 а) + соз2 а зіп2 а - - зіп2 а соз2 а + зіп2 а соз2 а = 0. „ . зіп а 1 - соз а Довести ТОТОЖНІСТЬ ----------=----------. 1 + соз а зіп а Розв’язання. Цю тотожність можна розглядати як пропорцію. Щоб ... а с довести справедливість пропорції — = — , достатньо довести, що аа-ос. Ь (1 Тому достатньо показати, що зіпос • віпа = (1 + соза)(1 - сова). Ця рів- ність очевидна, оскільки зіпавіпа = зіп2а, (1 + соза)(1 - сова) = 1 - соз2а, а зіп2а = 1 - соз2а.
Тригонометрія 107 Розв'язування прикладів на тотожні перетворення ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ Приклади Обчислити без допомоги калькулятора А - соз36°соз72°. Розв’язання. Помножимо і поділимо початковий вираз на 2зіп36°. Тоді маємо 2 зіп 36° соз 36° соз 72° зіп 72° соз 72° А =---------------------=-------------= 2 зіп 36° 2 зіп 36° 2 зіп 72° соз 72° зіп 144° зіп (180° — 36°) зіп 36° 1 4 зіп 36° “ 4 зіп 36° “ 4 зіп 36° “ 4 зіп 36° “ 4 ’ Відповідь-, соз 36° соз 72° = —. 4 „ „ А зіп 4а + зіп 5а + зіп 6а Перетворити на добуток А ----------------------. соз 4а + соз 5а + соз 6а Розв’язання. У чисельнику і знаменнику до суми перших і третіх доданків застосовують формули перетворення суми тригонометричних функцій на добуток: зіп 4а + зіп 5а + зіп 6а 2 зіп 5а • соз (-а) + зіп 5а А =---------------------=--------------—(--------= соз 4а + соз 5а + соз 6а 2 соз 5а • соз (-а) + соз 5а соз 5а (2 соз а + 1) Відповідь-. і§5а. 3-4 соз 2а - соз (4а - я) Спростити до числа А ---------------------------. зіп а Розв’язання. Перетворимо чисельник даного виразу: соз (4а - я) = соз (я - 4а) = -соз 4а; З - 4соз 2а - (-соз 4а) = 4 - 1 - 4соз 2а + соя 4а = = (4 - 4соз2а) - (1 - соя 4а) = 4(1 - соя 2а) - (1 - соя 4а) = = 4 • 2зіп2а - 2зіп22а = 8зіп2а - 2зіп22а = = 8зіп2а - 2(2зіп а • соя а)2 = 8зіп2а - 8зіп2а • соз2а = = 8зіп2а(1 - соя2а) = 8зіп2а • зіп2а = 8зіп4а. 8 зіп4 а о Тоді А = — = 8. зіп а Відповідь-. 8. Обчислити А - і£(а + Р) —--------, якщо зіп(2а + Р) = = Ззіпр. і§а Розв’язання. Перетворимо початковий вираз , , зіп(а + Р) соз а зіп(а + Р) • соз а А = (а + Р)сі£ а =-----------------= —-----—-----— соз(а + Р) зіпа зіп а • соз(а + Р)
108 Алгебра | (зіп<2а + Р)+ зіп Р) зіп(2а + Р) + зіп р - (зіп(2а + Р) + 8Іп(-Р)) зіп(2а + Р) “ зіп Р 2 . • /о о * ЗзіпР + зіпР 4зіпР (з урахуванням того, що зіп(2а + Р) = Ззіпр)=---!-----—=------— = 2. З зіп Р-зіп Р 2зіпР Відповідь-. 2. Довести тотожність 4соза • соз (60° - а) • соз (60° + а) = соз За. Розв’язання. Перетворивши ліву частину початкової тотожності, маємо: 4соз а • соз (60° - а) • соз (60° + а) = 2соз а • 2соз (60° - а) х х соз (60° + а) = 2соз а • (соз (60° - а + 60° + а) + + соз (60° - а - 60° - а) = 2соза • (соз 120° + соз(-2а)) = = 2соз а • | - — + соз 2а | = -соз а + 2соз 2а • соз а = І 2 ) - -соз а + соз За + соз а = соз За. Відповідь-, тотожність доведена. Довести тотожність 2 (зіп6 а + соз6 а] +1 = 3 (зіп4 а + соз4 а]. Розв’язання. Перетворимо ліву частину початкової тотожності. Вираз зіпва + соз6а зобразимо як суму кубів, а 1 запишемо у вигляді 1 = (зіп2 а + соз2а) . Тоді з урахуванням тотожності для суми кубів: 2 (зіп6 а + соз6а) + 1 = 2 ((зіп2 а) + (соз2 а) ) + (зіп2 а + соз2 а) = = 2 (зіп2 а + соз2а) (зіп4 а — зіп2 асоз2а + соз4а) + + зіп4 а + 2зіп2асоз2а + соз4а = = 2 зіп4 а - 2 зіп2 асоз2а + 2соз4а + зіп4а + 2зіп2асоз2а + соз4а = = 3 зіп4 а + Зсоз4а = 3(зіп4а + соз4а). Відповідь-, тотожність доведена. Довести тотожність І£І° • • ійЗ° • ... • ій45° • ій87° • ій88° х х ій89° = 1. Розв’язання. За формулами зведення маємо: ій89° = ій(90° - 1°) = сій 1°; ій88° = ій(90° - 2°) = сій 1°; Ій87° = ій(90° - 3°) = сі£3°; ...; Ій46° = ій(90° - 44°) = сій44°. Тоді вираз можна записати таким чином: ій 1° • 2° • ій 3° • ... • ій 44° • ій 45° • сій 44° • ... • сій 3° • сій 2° • сій 1° = = ій 1° • сій' 1° сї§2° • ійЗ° • сій3° ' — ' І&440 • сій44° • ій45° = 1 х х 1 1 ... 1 1 = 1. (Ми змінили порядок множників і використали 44 рази тотожність ійа • сійа = 1, а також той факт, що ій45° = 1). Відповідь-, тотожність доведена. Довести тотожність зіп(112° - а) + соз(а + 158°) = 0. Розв’язання. Перетворимо ліву частину початкової тотожності, застосувавши формули зведення:
Тригонометрія 109 зіп (112° - ос) = зіп (180° - 68° - ос) = зіп (180° - (68° + а)) = зіп (68° + а); соз (а + 158°) = соз (а + 90° + 68°) = соз (90° + (68° + а)) = -зіп (68° + а). Тоді зіп(112° - а) + соз(ос + 158°) = зіп(68° + а) - зіп(68° + ос) = 0. Відповідь', тотожність доведена. Обернені тригонометричні функції Функції, обернені функціям 2/=8ІПХ, 2/=СО8Х, у = ї%х, у = сї%х на відповідних інтервалах, називаються оберненими тригонометрични- ми. Вони позначаються: у - агсзіпх, у - агссозх, у - агсі£х, у - агссі£х. Тригонометричні функції у - зіпх, у - созх не є монотонними на всій області їхнього визначення. Тому для утворення обернених функцій виділяють інтервали монотонності. Тригонометричні функції від обернених тригонометричних ФУНКЦІЙ Тригонометричні функції від агсзіпх я я Позначимо агсзіпх = а. Тоді зіпа = х, де — < ос < —, -1 < х < 1. 2 2 Нехай х > 0. Тоді можна побудувати прямокутний трикутник, один з гострих кутів якого дорівнює а, гіпотенуза дорівнює 1, а катет, проти- лежний куту а, дорівнює х (рис. 34). Тоді за теоремою Піфагора другий катет дорівнює >/1 - х? . Маємо: х л/1 — х2 г------ зіп а = — = х ; соз а =-= уі — х“ ; 1 1 х , л/1 — X2 ; сі£ос =-----. VI - х2 х Оскільки ос = агсзіпх, то отримаємо: зіп(агсзіпх) = х, соз(агсзіпх) = і----- х 1___х~ - VI - х2 , {^(агсзіпх) = . (х Ф ±1),сі§,(аісзіпх) =---- (х Ф 0). VI-х2 х Можна довести, що якщо х < 0, то наведені вище формули справедливі для |х| < 1 . Тригонометричні функції від агссозх Позначимо агссоз х = а. Тоді соз а = х, 0 < а < я, -1 < х < 1. На від- міну від попереднього випадку, у прямокутному трикутнику тепер уже прилеглий катет дорівнює х (рис. 35), а гіпотенуза, як і раніше, дорівнює 1. х . >/1 — х2 г------- соз = — = х, зіп а =-------= уі - х“, 1 1 л/1 — X2 X ос =---------, сій'« = і • х VI — х2
110 Алгебра /------ _ х2 Звідси соз(агссозх) = х, зіп(агссозх) = у]1- х2 , і^(агссозх) =----- х (х Ф 0), сі£(агссозх) = . Х (х Ф ±1). Формули справедливі для |х| < 1. л/1 — х2 Тригонометричні функції від агсідх Позначимо агсідх = а. Тоді І£а = х і у трикутнику потрібно покласти протилежний катет такий, що дорівнює х, а прилеглий такий, що дорів- нює 1 (рис. 36). За теоремою Піфагора гіпотенуза дорівнює УІ1 + х2. Тоді х . х 1 1 . іа а = — = х , зіп а = , , соз а = , , сій а = = — (х Ф 0) . X 1 Остаточно отримуємо: зіп(агсі£х) = . , соз(агсі£х) = . , л/1 + х2 л/1 + х2 І£(агсі£х) = х, сі£(агсі£х) = — (х Ф 0). Ці формули справедливі для X будь-якого X Є (-оо; оо). Рис. 37 Тригонометричні функції від агссідх Позначимо агссідх = а. Тоді сі£ос = х, отже, у прямокутному трикут- нику прилеглий катет дорівнює х, протилежний дорівнює 1 (рис. 37). Тоді гіпотенуза дорівнює >/1 + х2 . З наведеного трикутника отримуємо: , . 1 X 1 сій' ос = х, зіп а = . , соз а = . , і£ а = —. л/1 + х2 л/1 + х2 х 1 X Остаточно зіп(агссіех) = , , соз(агссідх) = , , і£ (агссі£ х) = — (х Ф 0), сі£(агссі£х) = х. X ЦІ формули справедливі ДЛЯ будь-якого X Є (-оо; оо). Приклад. Обчислити соз —н агссоз(-0,8) . і 2 у Розв’язання. Використовуючи формули зведення, а також формулу зіп (агссоз х) = >/1 - х2 , отримуємо: соз+агссоз(-0,8)^ = = -8іп(агссо8(-0,8)) = -71-(-0,8)2 = -у/1-0,64 = -у/0,36 = -0,6 . Відповідь: -0,6. СЛОВНИК Рівняння називаються триго- нометричними, якщо неві- дома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростіші тригонометричні рівняння Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома вели- чина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпрості- шими тригонометричними рівняннями називаються рівняння зіпх = а, созх = а, Ї£х = а, сї£х = а. Розв’язати найпростіше тригонометричне
Тригонометрія 111 рівняння означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення а тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є най- простішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами. Приклади І я І Розв язати рівняння зіп І 2х - — І = 0. Розв’язання. ( я зіп \ 2х--= 0 І 4 ) „я „ я 2х--= пп <=> 2х = пп -І— 4 4 я пп --1--- 8 2 Відповідь-. я пп х = —І--п є 2 >. 8 2 Розв’язати рівняння созх = -і Розв’язання. созх = -—<=>х = ±агссоз 2 1 2 2я + 2пя = ±----н 2пя, п є 2 . З 1 1 я 2я = я - агссоз — = я-= — . 2 3 3 ( і") я „ Л — =-------. Тому бажано 2) З перевіряти себе на деяких етапах розв’язування рівнянь. Зокрема, Необхідно зазначити, що агссоз 2 Дуже часто наводиться помилковий запис агссоз 2я соз—= соз З я я — З я 1 = - соз—=----=> агссоз З 2 1 2 2я . Л 2я ---, ОСКІЛЬКИ 0 < — < я , З--З 2я соз---= З 1 2 Відповідь-. 2я ±----н 2пя п є 2 і. З і я і Розв язати рівняння \2х -і— = \ 5) З З Розв’язання. І 2х + — | = І 5 З З „ Я , л/3 я 2х н— = агсщ-------+ пп =------н пп 5 3 6 З з я 6 „ п п 11я 11л ля „ 2х =----------І- пп =------Н пп <=> X =------1---, п є /, . 5 6 ЗО 60 2 Відповідь-. 11я пп І -----+ — п є 60 2 Розв’язати рівняння сі§* 2 З 2х-- 4 1 З Розв’язання. сі§2 2х-- 4 4<=> О з З
112 Алгебра 2х-- 4 >/3 агссі§-^- + пп, ті є 2 2х-- 4 агссі§ п 7п —н пп =---н пп З 12 „ п 2п 11л 2х = —І---н кп =----Н кп 4 3 12 2х = —+ 4 7л пл 24 ~ 11л кп ~24 ~2 Відповідь-. 7п пп 11л кп 1----1----?-----1--- 24 2 24 2 п, к є 2 > Зауваження. Відповідь до цього прикладу можна подати ще в таких формах: [ 7л пп 11л кп 7 „ Відповідь-, хє-----1---;----1---п,ке2>. [ 24 2 24 2 7 л пп 24 ~ 11л кп ~2А ~2 11 пп „ -----1---, п є 2. 24 2 В останній формі запису відповіді цілочислові параметри в різних серіях (множинах) розв’язків рівняння позначені однією і тією самою буквою п, а не різними буквами, як в інших формах запису. У тих випадках, коли елементи множин порівнюються між собою, потрібно використовувати різні букви для позначення цілочислових параметрів. Завершуючи розгляд найпростіших тригонометричних рівнянь, наведемо таблицю їх розв’язків (табл. 2). Таблиця 2 $іпх = а созх = а Ідх = а сідх = а а <1 (-1)"агс5Іпа + пх ±агссо5а + 2пп агсід а + пп агссіда + пп а >1 0 0 агсід а + пп агссіда + пп а = 0 пп л —ь хп 2 пп п —і- пп 2 а = 1 п — + 2лл 2 2лп п —ь пп 4 л —ь пп 4 а = -1 ге н 2т 2 л + 2лп л ь пп 4 л ь пп 4 В усіх наведених формулах таблиці п є 2. Відзначимо, що при а = 0, а = ±1 загальними формулами також можна користуватися, вони дають правильний результат, однак най- частіше ці формули не мають компактного вигляду. Наприклад, якщо л використовувати окремі випадки, то зіпх = 1 <=> х = —н 2пл , п є 2. Якщо ж
Тригонометрія 113 скористатися загальною формулою, то зіпх = 1 <=> х - (-1)* агсзіпі + кп - = (-1)* • + кп, к є 7. Зауваження. Крім обернених тригонометричних функцій у - агсзіпх, у - агссозх, у - агсідх, у - агссідх, користуються багатозначними обер- неними тригонометричними функціями: Агсзіпх, Агссозх, Агсідх, Агссідх. При цьому Агсзіпх = (-1)пагсзіпх + пп, Агссозх = ±агссозх + + 2пп, Агсідх = агсідх + пп, Агссідх = агссідх + пп, п є 7. У цьому випадку функції агсзіпх, агссозх, агсідх, агссідх називають головними значен- нями відповідно арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. Із застосуванням багатозначних обернених тригонометричних фун- кцій розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь можна записати таким чином: зіп х = а <=> х = Агсзіп а; соз х = а <=> х = Агссоз а; х = а <=> х = Агсі£ а; сі£ х = а <=> х = Агссі£ а. Зауваження. При розв’язуванні тригонометричних рівнянь виду -----= 0 , де Дх) — одна з тригонометричних функцій (зіпх, созх, Ї£х, ф(х)-г Дх) = О сї§х), їх зводять до систем виду < , тобто необхідно виключити [(р(х) Ф 0 з розв’язання ті значення х, для яких ф(х) перетворюється на нуль. Основні методи розв'язування ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ Розв’язування тригонометричних рівнянь ґрунтується на вико- ристанні властивостей тригонометричних функцій і основних співвід- ношень між ними. Розглянемо основні методи розв’язування тригонометричних рів- нянь. Ці рівняння зводяться до найпростіших, розв’язування яких уже розглянуто раніше. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники Застосування цього методу засновано на тому, що рівняння Дх) • ф(х) = 0 рівносильне сукупності рівнянь начення рівняння Дх) • ф(х) = 0. Дх) = 0 ф(х) = 0 в області виз- Приклад. Розв’язати рівняння 2созхсозЗх = созх. Розв’язання. 2соз хсоз Зх = соз х <=> 2соз хсоз Зх - соз х = 0 <=> <=> соз х(2 соз Зх - 1) = 0 <=> соз х = 0 2 соз Зх — 1 = 0 х = —н пп, п & 7 2 я 2/гя ---1----- 9 З Відповідь-. я я 2/гя —н пя; ± —і-------- 2 9 3 п, к є 7
114 Алгебра Зауваження 1. Цілочислові параметри у наведеній відповіді можна по- значати тією самою буквою, тобто відповідь можна записати таким чином: я , я 2пя —н пя; ± —і---- 2 9 3 п & 2 Зауваження 2. При розв’язуванні рівнянь із застосуванням рівно- сильних (еквівалентних) перетворень нерідко замість символу <=> став- лять крапку з комою, кому або не ставлять ніякого розділового знака. Іноді розв’язування треба для ясності супроводжувати коментаря- ми, що роз’яснюють суть розв’язання. Так, наприклад, форма запису розв’язання прикладу 1 може бути такою: 2соз хсоз Зх = соз х, 2соз хсоз Зх - соз х = 0, созх(2соз Зх - 1) = 0. Тепер задача звелася до розв’язання сукупності рівнянь созх = 0, Я 2соз Зх - 1 = 0. З рівняння соз х = 0 знаходимо х = —н пп, п є 2.3 рівняння 1 2 1 я 2соз Зх - 1 = 0 знаходимо сов Зх = — і далі Зх = ± агссоз — + 2кп = ± — + 2кп , я 2кп тобто х = ± — -і——, к є 2 . Таким чином, розв’язок початкового рівнян- ня такий: х = —н пп , х = ±—і-, п є 2, к є 2 2 9 3 (у різних серіях розв’язків можна писати х з індексами, тобто хг і х2). Спосіб зведення тригонометричного рівняння до однієї з функцій Якщо рівняння, що містить дві або більше тригонометричні фун- кції, вдається звести до якоїсь однієї (зіпх, СОЗХ, Ї£Х тощо), то після відповідної заміни змінної тригонометричне рівняння перетворюється на алгебраїчне відносно зробленої заміни змінної. Якщо алгебраїчне рівняння вдається розв’язати, то початкове рівняння зводиться до од- ного або до сукупності декількох найпростіших рівнянь. Відзначимо тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь. Тут часто використовується основна тригонометрична тотож- ність 8ІП20СХ + СО82ССХ = 1. Приклад. Розв’язати рівняння соз42х - 6зіп22х = • Розв’язання. Враховуючи, що зіп 2х = 1 - соз22х, і позначивши 25 25 соз22х = і, отримаємо рівняння І2 + ----= 0, корені якого =------, 16 4 1 25 1 і„ - —. Рівняння соз22х = —— коренів не має, а рівняння соз22х = — можна розв’язати двома способами. „ „ , 1 1 + СО8 4х 1 ,1 Перший спосіб. соз“ 2х = — <=>-------= — <=> сов 4х = — <=> 4 2 4 2 п пп --1--- 6 2
Тригонометрія 115 _ _ соз 2х — — 1 1 2 Другий спосіб, соз2 2х = — <=> соз2х = ±— <=> 4 2^1 соз 2х —- 2 п х = ± —н кп, к є 2 6 п х = ±—н тп, т є 2 З Можна показати, що серії коренів, отримані другим способом, збі- гаються із серією, отриманою першим способом. Відповідь-. (±—і------п є 2 6 2 Розв'язування тригонометричних рівнянь, однорідних відносно синуса і косинуса, а також таких, що зводяться до однорідних Однорідними тригонометричними рівняннями називаються рівнян- ня виду: а0зіпах + щсозах = 0 (однорідні рівняння 1-го степеня); а0зіп2ах + щзіпахсозах + а2соз2ах = 0 (однорідні рівняння 2-го сте- пеня); а0зіп3ах + а1зіп2ахсоз ах + а2зіпахсоз2ах + а3соз3ах = 0 (однорідні рівняння 3-го степеня); ОдЗІп^ах + щзії/’ахсозах + а2зіп'' 2ахсоз2ах + щзіп'' 3ахсоз3ах + ... ... + щсоз^ах = 0 (однорідні рівняння к-го степеня). Бачимо, що в усіх однорідних рівняннях сума показників степенів однакова. Рівняння а0зіп2ах + щзіпахсозах + а2соз2ах = с при с Ф 0 не є одно- рідним, але його можна звести до однорідного рівняння 2-го степеня, замінивши число с тотожно рівним йому виразом с(зіп2ах + соз2ах). Для розв’язування однорідних рівнянь у випадку а0 Ф 0 розглянемо такі значення х, для яких соз ах = 0. Тоді з початкового однорідного рівняння випливає, що при тих самих значеннях х має бути і зіп ах = 0, а це неможливо, оскільки суперечить основній тригонометричній то- тожності зіп2ах + + соз2ах = 1. Тобто розв’язками однорідних рівнянь (при а0 Ф 0) можуть бути тільки такі значення х, для яких соз ах Ф 0. Звідси однорідне тригонометричне рівняння можна звести до рівняння відносно і§ах, якщо всі його члени поділити на совках і при цьому (якщо а0 Ф 0) таке ділення не призведе до втрати розв’язків, оскільки значення х, при яких соз ах = 0, не задовольняють початковому рів- нянню. Якщо ж а0 - 0, то таке ділення призведе до втрати коренів, і, отже, у відповідь варто включити розв’язок рівняння совах = 0, тобто п пп „ X =----1--, п є Л. 2а а Приклад. Розв’язати рівняння зіп3х - 2зіп2хсозх + соз3х = 0. Розв’язання. Початкове рівняння є однорідним рівнянням 3-го степеня. Поділивши обидві його частини на соз3х Ф 0, отримаємо:
116 Алгебра і§3х - 2і§2х + 1=0. Позначивши х = у, отримаємо у3 - 2у2 +1 = 0. Оскільки у = 1 є коренем цього рівняння, маємо: Уі = 1 г/3 — 2г/2 + 1 = (г/— 1)(г/2 — г/— 1) = О У 2,3 л X = —н пп 4 і§х = 1 + 1±ї/б 2 х = агсі§ 1±У5 2 + пп, п є 2. л Відповідь'. < — + пп; агсі§ 1± л/5 2 + пп п е 2 Розв'язування тригонометричних рівнянь .. . х за допомогою універсальної підстановки Ід— = Г При використанні універсальної підстановки функції зіпх, созх не- складно передаються через — такими формулами: \ 2 і 2і£- 1-ІГїї 8 ІII X = -----, СОЗ X = ----- . 1 + ІГ - 1 + - хи хи Оскільки використання універсальної підстановки можливо лише при х Ф п + 2пп, то потрібно перевіряти, чи є числа виду х = п + 2пп, п е 2 розв’язками початкового рівняння. Приклад. Розв’язати рівняння 2зіпх - созх = 1. Розв’язання. Виражаючи зіпх і созх через і враховуючи, х . . 2і 1-і2 , що і§— = і, приходимо до раціонального рівняння 2------------------- = 1. 2 1 “і- і 1 “і- і „ , . 1 , X 1 Розв язавши це рівняння, отримуємо і = — . З рівняння = — зна- ходимо х: X 1 1 — = агсі§— + пп <=> х = 2агсі§— + 2пп, п е 2 . Перевіряємо, чи є числа виду х = п + 2кп розв’язками початкового рівняння. Маємо при х = п + 2кп: 2зіп(л + 2кл) - соз (я + 2кл) = 20- (-1) =1; 1 = 1 => х = л + 2кл, ке 2 є розв’язками початкового рівняння. Відповідь'. < 2агсі§і + 2пп; п + 2кп п,к е 2 >.
Тригонометрія 117 Метод уведення допоміжного аргументу Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скориста- тися формулою а зіп х + Ь соз х — у/а2 + Ь2 зіп(х + ф), де соз ф = . а -, у]а2 +Ь2 Ь а зіп ф = . . У цьому випадку ф називається допоміжним аргумен- у]а2 +Ь2 том, або допоміжним кутом. Приклад. Розв’язати рівняння >/з зіпх -созх = 1 . Розв’язання. Оскільки + (-1)“ = 2 , то л/з зіп х - соз х = 1 <=> 7з І І 1лл . 71 . п Зіп X--------СОЗ X = 1 <=> 2 зіп X соз-зіп — СОЗ X = 1 <=> 2 2 І 6 6 ) 1 71 / , \71 — <=> X----= (-1)" — + П71 <=> 2 6 6 X = — + (-1)" — + 7771, п Є 2 . 6 6 л/З У процесі розв’язування ми врахували той факт, що якщо соз ф =-----, 2 1 . 71 зіпф = — , то ф можна вважати таким, що дорівнює —. 71 71 Відповідь'. /----Н (-1)"---Н 7771 77 є 2> . 6 6 Зауваження. Цей приклад можна розв’язати ще такими способами: созх у[з 2зіп — соз— - 2соз2 — = 0 <=> 2соз—І >/з зіп — - соз— = 0 <=> 2 2 2 2І 2 2 соз — = 0 2 л/Ззіп — - соз — = 0 2 2 X = 7! + 27771, >/зі§--1 = 0° 2 X = 7! + 27771, 77 & 2 71 X =-------Н 2/771, к Є 2 З Я Відповідь: <п + 2пп;—н 2/771 п, ке2>. З б) Застосовуючи універсальну тригонометричну підстановку = і, отримуємо: 2 г- 2і 1-і" , 1 >/3 , х УЗ З-------------- = 1 <=> і = =---<=> !§— =--- 1 + /2 1 + /2 л/з 3 2 З 71 х = —н 2/771, к є 2 . З
118 Алгебра Необхідно перевірити ще серію коренів х = л + 2пл. Перевіркою пе- реконуємося, що значення х = л + 2пл задовольняють початковому рів- нянню, тобто є розв’язками. Відповідь-. л < —н 2кл; л + 2пл З п, к є 2 >. Зазначимо, що відповідь — + (-1)" — + пл п є 2 > 6 6 збігається з отри- маними способами а) і б), якщо покласти п=2/?іп=2/г+1. При цьому в обох серіях розв’язків цілочисловий параметр позначений однією буквою к. Розв'язування рівнянь перетворенням суми (різниці) тригонометричних функцій на добуток Приклади Розв’язати рівняння зіп ах = соз0х. І тс Розв’язання. Використовуючи формулу зведення СО5 0Х = зіп І — отримуємо: зіп ах - соз 0х <=> зіп ах - зіп І — - 0х І = 0 <=> ах-----н рх ах -і------рх о 1 9 1 2 зіп-----------соз------------= 0 <=> 2 2 (а + р)х-£ зіп---------= 0 2 (а-0)х + -£ соз---------= 0 2 Л г, —н 2пл 2 Я г,, —н 2кл х = —--------, к є 2. а - З а + р , п є 2 Відповідь-. л + 4пл _ л + 4кл 2 (а + 3) ’ 2(а - 3) п, к є 2 > Розв’язати рівняння соз Зх + зіп 2х - зіп 4х = 0. Розв’язання. Оскільки зіп 2х - зіп 4х = 2зіп (-х)соз Зх = = -2зіп хсоз Зх, маємо: соз Зх + зіп 2х - зіп 4х = 0 <=> соз Зх - 2зіп хсоз Зх = 0 <=> соз Зх( 1 - 2 зіп х) = 0 <=> л пл „ х = —І-----, п є 2 6 З соз Зх = 0 1 - 2зіпх = 0 л х = (-1/ - + кл, к є 2. 6 „ ґ ,.лпл Зобразивши множину розв язків х = —і-, п є 2 6 З 6 . Л і х = (-1) —н кл, к є 2 на рис. 38 а, б бачимо, що множина розв’язків 6
Тригонометрія 119 / -і \к і • .7С 72-7Т __ х = (-1) — + кп ПОВНІСТЮ Є В МНОЖИНІ X - —І------------. Тому ВІДПОВІДДЮ 6 6 3 є тільки ця множина. Відповідь-. Рис. 38 а Рис. 38 6 я пп Розв'язування рівнянь перетворенням добутку тригонометричних функцій на суму Приклад. Розв’язати рівняння соз Зхсоз 9х = соз хсоз 7х. Розв’язання. Застосовуючи формулу перетворення добутку триго- нометричних функцій на суму, отримаємо: і(соз12х + 2у соз 6х) = і- (соз 8х + созбх) <=> соз 12х - соз 8х = 0 <=> <=> -2 зіп Юх зіп 2х = 0 <=> зіпІОх = 0 зіп 2х — 0 „ . , . кр Серія розв язків х - — , /г є 2 є Юх = пп 2х = кп пп „ х = —, п є 2 10 кп , х = —, к є 2. 2 иідмножиною серії розв’язків пп „ ...... ПП „ , х = —, п є 2, тому у відповіді потрібно записати х = —, п & 2 (при ... пп /гл п-Ьк серн х - — і х - — збігаються). Відповідь-. <— пе2>. 10 о ~ . пп . кп Заиваження. Оскільки елементи множин — і —, п, к є 2 порів- 10 2 нюються між собою, то для позначення цілочислових параметрів у при- кладі необхідно використовувати різні букви.
120 Алгебра Тригонометричні рівняння, що розв'язуються із застосуванням формул зниження степеня При розв’язуванні подібного роду рівнянь користуються формулами . , 1 - соз 2а , 1 + соз2а зниження степеня зіп“ а=-------, СОЗ“ а =-----. 2 2 Приклад. Розв’язати рівняння сов2 Зх + сов2 4х + сов2 5х - —. Розв’язання. Застосовуючи формулу зниження степеня , 1 + сов 2ах соз“ ах =---------, отримуємо: 1 + созбх 1 + соз8х 1 + СОЗІ0х З ----------1---------1----------— — <=> 2 2 2 2 <=> СО8 6х + СО8 8х + СО8 Юх = 0 <=> сов Юх + сов 6х + сов 8х = 0. Застосовуючи до перших двох доданків формулу перетворення суми однойменних тригонометричних функцій на добуток, отримуємо: 2 сов 8х сов 2х + сов 8х = 0 <=> сов 8х(2 сов 2х + 1) = 0 <=> СО8 8х = 0 2 сов 2х + 1 = 0 я пп „ X =----1--, п є Л 16 8 я х = ±—н кп, к є 2. З Відповідь-. я пя , я <— + —; + — + кп 16 8 З п, к є 2 >. Розв'язування рівнянь із застосуванням формул подвійного і потрійного аргументів Приклад. Розв’язати рівняння зіпх = сов2х. Розв’язання. Перетворимо початкове рівняння, використовуючи формулу соз 2х = 1 - 2віп2х: віп х = соз 2х <=> зіп х = 1 - 2зіп2х <=> 2зіп2х + зіп х - 1 = 0 <=> 1 81ПХ = — 2 ЗІПХ = —1 х = (-1) —н пп, п є 2 п к ' 6 л 2тп <=> X = —І----- я 6 3 х =------н 2кп, к є 2 2 п-л -я [Я 2/ПЯ Відповідь-, і—і------- [6 З тп є 2 Розв'язування рівнянь за допомогою заміни змінних У деяких раніше розглянутих рівняннях застосовувалася заміна змін- ної, коли ці рівняння зводилися до алгебраїчних відносно однієї з тригоно- метричних функцій. Розглянемо більш складні випадки заміни змінних.
Тригонометрія 121 Якщо рівняння містить один із виразів (зіп х + соз х) або (зіп х- соях) і функцію зіп2х (або добуток зіп хсоз х), то, вводячи нову змінну І - 8ІП X + соя х або І - 8ІП х - соз х, приходимо до рівняння відносно і. Це пов’язано з тим, що якщо позначити і - зіпх + созх => і2 = = (зіп X + соз х)2 = зіп2х + 2зіп ХСОЗ X + соз2х = 1 + 2зіп хсоз х = 1 + зіп 2х => => зіп 2х = і2 - 1. Якщо позначити і - зіп х - соз х => і2 = (зіп х - соз х)2 = 1 - зіп 2х => => зіп 2х = 1 - і2. Приклад. Розв’язати рівняння 5(зіп х + соз х)2 - 13(зіп х + соз х)+ + 8 = 0. Розв’язання. Позначивши і = зіпх + созх, отримаємо: , ^ = 1 (а) 5і2 -13# + 8 = 0 <=> 1 А =1,6 (б) Розглянемо кожне з рівнянь сукупності окремо. (а) зіп X + СОЗ X = 1 <=> х + — = (-1)" — + пп <=> х = - — + (-1)" — + пп, п є 2. 4 4 4 4 Зазначимо, що рівняння зіпх + созх = 1 можна було б розв’язувати за формулами зіп х = 2 зіп—соз — і 1 - соз х = 2 зіп2 — , тобто _ . х х „ . » х 2зіп — соз----2зіп“ — = 2 2 2 зіп— = 0 2 х . х соз---зіп— = 0 2 2 х = 2тп, т & 2 х 1-і§-=0 х = 2тп, т є 2 п х = —н 2кп, к є 2 2 Ця відповідь збігається з одержаною раніше, оскільки, вважаючи п - 2пг і п = 2к + 1, отримуємо збігання відповідей. (б) зіпх + созх = 1,6 <=> х є 0, оскільки |зіпх + созх| = >/2 зіп < >/2, а число 1,6 > Відповідь: <- — + (-1)" — + пп 4 4 п & 2
122 Алгебра Розв'язування тригонометричних рівнянь виду ^/"(х) = д(х) Приклад. Розв’язати рівняння д/созх - зіпх. Розв’ язання. >/сО8Х = 8І11 X <=> < я 2/гя < х < — + 2/гя, к є 7 2 зіп х > 0 соз х > 0 СО82 X + соз х - 1 = 0 п 2кп < х < —н 2/гя, к є 7 2 + 2тгя, п&7 оскільки друга серія розв’язків зі знаком «-» не задовольняє нерівності я 2/гя < х < —н 2/гя, к є 7. 2 Відповідь-. Зауваження. Якщо бути більш точним, то л/созх = зіпх <=> зіпх > 0 (л/сОЗХ ) = (зІПх)“ Розв'язування тригонометричних рівнянь із використанням обмеженості функцій у = 5ІПХ, у = СО5Х Розв’язуючи подібні рівняння, нерідко приходять до систем триго- нометричних рівнянь. Приклад. Розв’язати рівняння Ззіп7х + 5соз1вх = 8. Розв’язання. Оскільки |зіпх| < 1, |созх| < 1, то ІЗ зіп7 х + 5 соз16 х| < 3 |зіп7 х| + 5 |соз16 х| < 3 + 5 = 8. Знак «=» з урахуванням наведених нерівностей може мати місце тільки у тому випадку, якщо зіп7 х = 1 соз16 х = 1 зіпх = 1 І | <=> X є 0 созх = 1 (оскільки зіп2х + СО32Х = 1). Відповідь-. 0.
Тригонометрія 123 Тригонометричні рівняння, ЩО МІСТЯТЬ ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ При розв’язуванні рівнянь з оберненими тригонометричними функ- ціями найпоширеніший прийом — перехід від рівності кутів до рівності тригонометричних функцій. При цьому отримані рівняння у загальному випадку не будуть рівносильними початковим, тому що відбувається розширення області визначення початкового рівняння і, отже, мож- лива поява сторонніх коренів. Тому необхідна перевірка отриманих розв’язків, якщо були не скрізь рівносильні перетворення. Приклад. Розв’язати рівняння агсзіпх + агсі£ — = —. 5 4 Розв’язання. Перенесемо агсі^ — у праву частину рівняння і візь- 5 мемо синус від обох частин. Дістаємо: зіп(агсзіпх) = . (п , 1) .я ( , 1А . ( , 1А я \/2 5 = зіп----агсщ— ^х= зіп—соз агсщ— -зіп агсіг— сов —=-------------^=- І4 5) 4 5} 5} 4 2 ^26 1 ЇЇ2 5 1 2 >/26 2 2>/ЇЗ 2л/ЇЗ >/ЇЗ ’ 2 Перевірка показує, що х - ______ є коренем початкового рівняння. л/13 о-а -я 2 Відповідь'. ---- л/13 Розв’язати рівняння 4(агсзіпх)2- 17(агсзіпх) + 4 = 0. Розв’язання. Позначивши агсзіпх = і, отримаємо квадратне рівняння 4і2 - 17і + 4 = 0, корені якого = 4. З рівняння 1 • 1 . агсзіпх = — => х = зіп —, з рівняння агсзіп х - 4 => х є 0, оскільки я _ . я ---< агсзіп х < —, а 4 є 2 2 я. я ЇЇ’ЇЇ Звідси х - зіп— є єдиним коренем по- 4 чаткового рівняння. Перевірка розв’язку для даного рівняння є зайвою. Відповідь', зіп —. 4 Системи тригонометричних рівнянь При розв’язуванні систем тригонометричних рівнянь використо- вуються ті самі прийоми, що і при розв’язуванні систем алгебраїчних рівнянь, а також формули тригонометрії. Звичайно при розв’язуванні тригонометричних систем останні зводять або до одного рівняння з од- ним невідомим, або до системи рівнянь відносно самих аргументів або функцій цих аргументів.
124 Алгебра Приклади Розв’язати систему 2я х + у — —, З созх + соз у — 1. Розв’язання. Виразивши у через х з першого рівняння системи і під- ставивши в друге, отримаємо рівносильну початковій систему: 2я у =-----х, З 2я У =-----х, З я (2я ] . СОЗ X + СОЗ-----X = 1 І з ) г, Л ( я ] 2 соз —соз х-----= 1 З З 2я у =----х, З я х----= 2пя З я у =----2пя, п є 2, З я х = —н 2пя, п є 2. З я я Відповідь', х = —н 2пя, у =-----2пя, п є 2. З З Зауваження. Відповідь можна було б записати в такій формі: (Я я і < —н 2пя,----2пя \ п є 2 > . ІЗ 3 ) зіпх • созу = 0,5, созх • зіпу = -0,5. Розв’язання. Додавши 1 і 2 рівняння системи, отримаємо: Розв’язати систему зіп X • соз у + СОЗ X • зіп у - І - І <=> зіп (х + у) = 0. При відніманні другого рівняння з першого отримаємо: 1 Зіп X • СОЗ X - СОЗ X • зіп у - — 2 зіп (х - у) = 1. Таким чином, отримаємо систему, рівносильну початковій: я пп X —---1---Ь /Ж, 4 п, к є 2. я пп у =----1----кп, 4 2 зіп (х + у) = 0, зіп (х - у) = 1 І тс Відповідь: <—н I 4 X + у = пя, я х - у = —н 2/гя 2 пп , Я ПП , ] , г, --н кп,-1-кп І п, к є 2 і. 2 4 2) Тригонометричні нерівності Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції. При розв’язуванні нерівностей із тригонометричними функціями використовуються періодичність цих функцій і їхня монотонність на від- повідних інтервалах. При цьому корисно користуватися графіками. 2
Тригонометрія 125 Оскільки розв’язування тригонометричних нерівностей зводить- ся до розв’язування найпростіших, то розглянемо спочатку прикла- ди розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей, тобто нерівностей виду Дх) > а (або Дх) < а, /(х) > а, /(х) < а), де Дх) — одна з тригонометричних функцій. Оскільки функції у - зіпх, у - соях мають основний період Т - 2я, то нерівності виду зіпх > а (зіпх < а, яіпх > а, яіпх < а) і соях > а (соях < а, соях > а, соях < а) достатньо розв’язати спочатку на будь-якому відрізку довжиною 2я. Множину всіх розв’язків отримаємо, додавши до кож- ного із знайдених на цьому відрізку розв’язків числа виду 2пп, п є X. Для розв’язування нерівностей виду 1§х > а (Ї£х < а, 1§х> а, ї%х < а) і сі§х > а (сі£х < а, сі£х > а, сі£х < а) досить розв’язати їх спочатку на інтервалі довжиною я. Оскільки функції у - ї%х і у - сі£х мають період я, то, додаючи до знайдених на відповідних інтервалах розв’язків числа виду пп, п є X, отримаємо всі розв’язки початкової нерівності. Приклади „ , . . >/з Розв язати нерівність созх > Розв’язання. На одному і тому самому рисунку побудуємо графіки >/з функцій у — соях і у --- (рис. 39). З рисунка видно, що один з інтер- 2 валів, в якому виконується дана нерівність, розташований між най- 4$ Л меншими за модулем коренями рівняння соя х =-, тобто між точка- 2 я . я . _..... ми х = і х = —, включаючи ці точки. Усі інші інтервали, у яких 6 6 виконується дана нерівність, дістаються шляхом зміщення відрізка я. я ЇЇ’ЇЇ ліворуч або праворуч на відстані, кратні 2я. Рис. 39 Тому нерівність соях >-- виконується при ----1- 2яп < х < —і- 2яп, п є X. 6 6 Відповідь-.-----1- 2яп < х < —н 2яп, п є X. 6 6
126 Алгебра Розв’язати нерівність 1§х < 3. Розв’язання. На одному тому са- мому рисунку будуємо графіки функ- цій у-ї^хіу-З (рис. 40). Виділимо один з інтервалів значень аргументу, де графік тангенсоїди нижче графіка прямої у - 3. Таким інтервалом є, на- те приклад, інтервал < х < агсі§3. Використовуючи періодичність фун- кції у = Ї£Х, робимо висновок, що розв’язками початкової нерівності на всій числовій прямій є ті й тільки Рис. 40 ті значення х, які задовольняють подвійній нерівності ----1- тт < х < агсі§ 3 + пп, п є 2. Відповідь'. ЦІ пє 2 ----1- пп; агсі§ 3 + пп ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. Знайдіть зіпа, якщо соза = -0,4 і 90° < а < 180°. >/2Ї 2-721 \/2Ї 5-721 1) --—; 2) —-—; 3) -—; 4) ——. 2 21 5 21 2. Яку з перелічених властивостей має функція у - 2созЗх: 1) спадає на В; 2) парна; 3) неперіодична; 4) зростає на В‘1 3. Функція у - 2зіпЗх - і набуває найбільшого значення, що дорівнює: 1)1; 2)1|; 3) 2І; 4) з|. 4. Через яку з даних точок проходить графік функції у - зіп2х: 1)А(0;0); 2) В|-;1 |; 3) 0(0; 1); 4) В(те; 1)? у 2 ] х 5. Найменшим додатним періодом функції у - 4соз— є: 2 1) 2) те; 3) 4те; 4) бте. а Пя о. Обчисліть значення виразу зіп——. 1)1; 2)|; 3)0; 4)-1. „ 1 + І£60С 7. Спростіть вираз —---------—. і£ ос + сі§ а 1) і£ос; 2) 1§-2ос; 3) і£3ос; 4) 1§-4ос.
Тригонометрія 127 8. Рівняння 1§х - -1 має розв’язки: 1) х = пп, пеИ; п 3) х =----н пп, п є 2', 4 9. Розв’яжіть рівняння созЗх = —. 2) х = —н пп, п є 2", 4 п 4) х = ±—н пп, п є 2. 4 2п 1) ±----н 2пп, п є 2; 9 , 2п 2пп „ 3) ± — +------, п є 2-, 9 З п 2пп п 2) ±—і----, п є 2‘, 9 З .. , 2п 2пп „ 4) ± — +---, п&2. З З 10. Т, . я Розв яжіть рівняння 81П X - — . ч я „ 1) —н пп, п є 2; 2 2) пп, п є 2", 11. п 6 12. 3) 1; Нерівність созх > — має розв’язки: 1) — + 2пп < х < — + 2пп, п є 2; 6 6 3) — + 2пп < х < — + 2пп, п є 2", З 6 Нерівність зіпх < і має розв’язки: 4) інша відповідь. п п 2)-----н 2пп < х < —н 2тш, п є 2і, З З п п 4)-----н 2пп < х < —н 2тш, п є 2. 6 6 л л 1)----н 2пп < х < —н 2пп, пє2; 6 6 3 3) -^- + 2пп<х< — + 2пп,п є 2; 6 6 2) — + 2пп < х < — + 2пп, п &2‘, 6 6 .. 7п п „ 4)-------н 2пп < х < —н 2пп, п є 2. 6 6 13. Знайдіть значення виразу — агсі§0,5 . \ 2 1 1)5-72; 2)5 + 72; 3)Тб-2; 14. Розв’яжіть рівняння агссоз(х + 2) = п. 1)1; 2)2; 3)3; 4) Тб + 2. 4) 4. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 3. 2. 2. 3. 2. 4. 1. 5. 3. 6. 4. 7. 3. 8. 3. 9. 3. 10. 4. 11. 2. 12. 4. 13. 3. 14. 3.
ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ. ПОКАЗНИКОВІ І ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ, СИСТЕМИ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТІ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Означення логарифма. Основна логарифмічна тотожність. Властивості логарифмів. Логарифмування і потенціювання. Методи розв’язування показникових рівнянь. Степенево-показникові рівняння. Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь. Показникові нерівності. Степенево-показникові нерівності. Логарифмічні нерівності. Приклади розв’язування показникових і логарифмічних нерівностей підвищеної складності. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Означення логарифма. Основна логарифмічна тотожність Логарифм додатного числа Ь за основою а (де а > 0, а Ф 1) є показни- ком степеня, до якого потрібно піднести число а, щоб дістати число Ь. Логарифм числа Ь за основою а позначається символом 1о§аЬ. Напри- клад: (1 у 1 1 З2 = 9 2 = 1о£39; 53 = 125 3 = 1о£5125; - = — о 4 = 1о§. —. І 2 ) 16 | 16 З означення логарифма випливає, що а'1'"^1’ = Ь . Рівність а1°ваЬ - Ь, правильна для будь-яких а > 0, а 1, & > 0, називається основною логарифмічною тотожністю. Наприклад: 1°Є1 7 4 = 7. Для позначення десяткових і натуральних логарифмів заведені спе- ціальні позначення: замість 1о§105 пишуть замість 1о§у& пишуть ІпЬ (е — основа натурального логарифма, е ~ 2,7). Таким чином, 1о§10х = 1%х, 1о£ех - Іпх. Властивості логарифмів Перелічимо основні властивості логарифмів-. 1) а°іаЬ - Ь (основна логарифмічна тотожність); 2) 1о£аа = 1 (логарифм основи дорівнює одиниці); 3) 1о£а 1 = 0 (логарифм одиниці дорівнює нулю); 4) якщо Ь > 0, с > 0, то 1о§а(Ьс) = 1о£аЬ + 1о£ас (формула для логариф- ма добутку, що дорівнює сумі логарифмів). Зазначимо, що якщо Ь < 0, с < 0, то 1о£а(&с) = 1о£а|&| + 1о£а|с|;
Показникова і логарифмічна функції, рівняння, нерівності 129 5) якщо Ь > 0, с > 0, то 1о§, — | = 1о§я Ь - 1о§я с (формула для лога- с ) рифма частки, що дорівнює різниці логарифмів). Зазначимо, що якщо Ь < 0, с < 0, то 1о§, |1 = 1о£я Н-1о£я |с| ; 6) якщо Ь > 0, то 1о§я Ьр = />1о§я Ь (формула для логарифма степеня, що дорівнює добутку показника степеня і логарифма його осно- ви). Зазначимо, що якщо показник степеня є парним числом 2р, то справедлива формула 1о§я Ь2р - 2р\о§а, |&|. Тут Ь є В\ {0}; 1о§ Ь 7) якщо Ь > 0, то 1о§ Ь -------— (формула переходу до нової 1о§с а основи логарифма). Зокрема, при с = Ь отримаємо формулу , , 1о£ьь 1 1о§ Ь =-----— =----; 1о§6 а 1о§6 а 8) 1о§я Ь - 1о§ р Ьр (ця властивість формулюється таким чином: якщо основа логарифма і число, що стоїть під знаком логарифма, під- нести до того самого степеня, відмінного від нуля, то значення логарифма не зміниться). Для доведення властивості 8) достатньо у правій частині тотожності перейти до основи а: ІОЦ Ьр ріог Ь ІО£ ьр = Р = ІО£ Ь; а 1о£я ар р^о§а а 9) а108'6 = . Для доведення властивості 9) достатньо прологариф- мувати обидві частини тотожності за основою с. Зауваження. Необхідно розрізняти логарифм суми і суму логарифмів. Сума логарифмів дорівнює логарифму добутку, тобто 1о£,ф + 1о£ас = 1о£а(Ьс), а для логарифма суми 1о§а(& + с) ніякої формули немає. Логарифмування і потенціювання Якщо деякий вираз Р складений з чисел або змінних за допомогою операцій множення, ділення, піднесення до степеня, то можна виразити 1о£а.Г через логарифми вхідних до 1о§а.Г чисел або змінних, використо- вуючи властивості логарифмів. Таке перетворення називається логарифмуванням. сі^Ь^ Приклад. Дано А - ——-. Знайти 1§А, якщо Ь > 0, с > 0. с Розв’язання. Використовуючи властивості логарифмів, отримаємо: 1§А = 1§ = 1§(а267)-1§(с43) = 1§а2 + 1§Ь7 -431§с = \с 7 = 2|а| + 7Ь - 43с. Відповідь-. 21§|а| + 71§Ь - 431§с. Потенціювання — це перетворення, обернене логарифмуванню. При потенціюванні знаходять вираз за його логарифмом.
130 Алгебра Приклади Знайти х, якщо 1о§5 х - 1 + —1о§5 3 - 1о§5 3 - 21о§5 2. З Розв’язання. Перетворимо праву частину початкового виразу: -< і 1 + - 1о£5 3 - 1о£5 3-2 1о£5 2 = 1о£5 5 + 1о§5 З3 - (1о§5 3 + 1о§5 22) = О 1о§5 (б • </з) - 1о§5 (з • 22) = 1о§5 Тоді 1о§5 х = 1о§5 Відповідь-. 12 Знайти х, якщо 1§х - 2 Розв’язання. Маємо: х = — • І — І -(а - Ь) = І — - (а - Ь) = Відповідь-. [ІД ЗАПАМ'ЯТАЙ Основними методами розв'язування показни- кових рівнянь є: а) метод порівняння показників сте- пенів; б) метод уведення нової змінної. Показникові рівняння Показниковими рівняннями називаються такі рівняння, у яких змінна міститься в показнику степеня. Логарифмічними рівняннями називаються такі рівняння, у яких змінна міститься під знаком логарифма або в основі логарифма. Показникові і логарифмічні рівняння належать до трансцендент- них рівнянь, тобто таких рівнянь, що містять трансцендентні функції (показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернені тригономет- ричні). Методи розв'язування показникових рівнянь Основними методами розв’язування показникових рівнянь є: а) метод порівняння показників степенів; б) метод уведення нової змін- ної. Іноді застосовують різні штучні прийоми. Будемо називати найпростішими показниковими рівняння виду: ах - 1; аЯх) = 1; аЯх) = ас-, ах - Ь; аКх} - Ь; аКх} - ав{х}. При розв’язуванні цих рівнянь використовують властивість показникової функції аЯх) = ах,х' <=> <=> /(х) = §(х), де а > 0, а 1.
Показникова і логарифмічна функції, рівняння, нерівності 131 Розв'язування найпростіших показникових рівнянь (передбачається, що а > 0, а * 1, Ь > 0) а) ах - 1<=> ах - а° <=> х - 0; б) аПх} = 1 <=> аПх} - а° <=> /(х) = 0; в) аЯх) = <=> Дх) = с; г) ах = Ь ах - аі°ва ь х = 1о§я Ь (розв’язання рівняння ах - Ь можна було б записати відразу, тому що х - 1о£а& випливає з означення логарифма); д) аЛх) = & <=> Дх) = 1о£а&; е) аЯх) = ае{х} <=> Дх) = §(х). Розв'язування показникових рівнянь, що зводяться до найпростіших, з використанням методу зрівнювання показників степенів При цьому спочатку зводять показникові рівняння до однієї основи в обох частинах рівності, потім зрівнюють показники степенів лівої і правої частин рівності, після цього розв’язують отримане рівняння. Приклади (і ¥ Розв’язати рівняння (121)Л = 1 — 1 • Розв’язання. Зведемо всі степені до основи 11. ЗАПАМ'ЯТАЙ Спочатку зводять показникові рівняння до однієї основи в обох частинах рівності, потім зрівнюють показники степенів лівої І правої частин рівності, після цього розв'язують отри- мане рівняння. 121 = II2, — = 1Г1 . 11 Тоді (121)* = (д) о (112 Г = (П ' Г 112Л = 11 " <=> 2х = —х2 <=> 2х + х2 = 0 <=> х(2 + х) = 0 <=> хІ = 0, х, = -2. Відповідь-. 0; -2. Розв’язати рівняння л/з7 • л/б7 = 225 . Розв’язання. VI7 45х = уіЗх 5х = ^(3 • 5)" = л/157 = 152 , 225 = 152. Звідси початкове рівняння еквівалентне такому: 152 = 152 о-= 2 о х = 4. 2 Відповідь-. 4. Розв’язати рівняння \І27Х 1 = ^92 * . Розв’язання. 27 = З3, 9 = З2, 27г1 = [з3)"' = З3'*3, 92 Л = (з2)2-* = 3 і 2л . Звідси отримуємо: уі27х1 = ^9^ л/з3*’3 = уі34~2х <=> 3~ = 3~ <=> Зх —3 4 —2х ч ,, >. 17 $=> —-— = —-— $=> 3 (Зх - 3) = 2 (4 - 2х) <=> х = —. оа -а 17 Відповідь-. —. 13
132 Алгебра Розв'язування рівнянь виду а"*'1 _ іу(м (о > о, Ь > 0, а 1, Ь 1) ЗАПАМ'ЯТАЙ Ці рівняння розв'язуються шляхом ділення обох частин на Ь/м або на а/м. Ці рівняння розв’язуються шляхом ділення обох частин на ЬГ(х} або на а/(х>. Приклади Розв’язати рівняння Зг= 19г. 3' 19Л 3х (з Розв’язання. 3Л = 19Л <=> = <=> = 1 <=> — = 1 <=> х = 0. 19' 19' 19' 119,1 Відповідь-. 0. Розв’язати рівняння 6Л+1 = 37Л+1. бх+1 ( 6 ¥+1 Розв’язання. 6Л+1 = 37Л+1 <=> = 1 <=> — = 1 <=> х + 1 = 0 <=> 37Л+1 \37^ <=> х - -1. Відповідь-. -1. Розв'язування рівнянь виду А а((х> В Ь9(х> ЗАПАМ'ЯТАЙ Ці рівняння зводяться до ал- гебраїчних шляхом логариф- мування обох частин рівняння за тією самою основою. Ці рівняння зводяться до алгебраїчних шляхом логарифмування обох частин рівняння за тією самою основою. Приклад. Розв’язати рівняння 2 • 5Г= Зг 1 • 7. Розв’язання. Початкове рівняння можна розв’язати двома спосо- бами. Перший спосіб. Логарифмуємо обидві частини за тією самою осно- вою, наприклад, за основою 3. Тоді маємо: 1о§3 (2 • 5*) = 1о£3 (З*1 • 7) « 1о£3 2 + 1о£3 (б*) = 1о§3 (з*1) + 1о§3 7 « <=> 1о§3 2 + х 1о§3 5 = (х - 1) 1о§3 3 + 1о§3 7 = х - 1 + 1о§3 7 <=> <=> х 1о§3 5 - х = - 1о§3 2 - 1 + 1о§3 7 <=> <=> х (1о£3 5 - 1) = 1о£3 7 - 1о£3 2 - 1 <=> 7 7 т ґ7 1о§3--1о§33 1о£з 6 /7х О X = = = ;—г- = ІО§„ — . 1о§35-1 1о§35-1о§33 Ґ5 А йз 1^3 ) Другий спосіб. Перетворимо початкове рівняння таким чином: о- - .> є.. 3 - 5" 7 Ґ5Ї 7 , Ґ7Ї 2-5 =3 • 7<=>2• 5 = 7— = <=> — = — <=> х = Іоя,. — . 3 Зл 3 2 ^3> 6 Як бачимо, відповіді збіглися, однак другий спосіб для даного при- кладу є більш раціональним. (7} Відповідь-. 1о§5 — . Де;
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 133 Розв'язування показникових рівнянь методом винесення спільного множника за дужки Приклади Розв’язати рівняння 3Л + 3Л+1 = 108 . Розв’язання. 3Л + 3Л+1 = 108 3Л + 3Л 3 = 108 3 (1 + 3) = 108 & 3Л = — = 27 = З3 о х = 3. 4 Відповідь-. 3. Розв’язати рівняння 5Л+1 + З 5Л 1 - 6 5Л+ 10 = 0. Розв’язання. 5Л+1 = 5'*1 • 52 , 5Л = 5'*1" = 5'*1 • 5 . Звідси початкове рівняння еквівалентне такому: 5 ' 1 5 3 5' 1 - 6 5' 1 5 10 0 < > 5х-1 (а2 + 3 - 6 - а) + 10 = 0 о а-*1 (-2) + 10 = 0 о 5х-1 = 5«х-1=1«х = 2. Зазначимо, що в даному прикладі можна було б виносити за дужки 5Г або 5Г + \ однак у цих випадках перетворення були б більш громіздкими. Відповідь-. 2. Розв’язати рівняння 3Л + 3Л+1 + 3Л+2 = 4Л + 4Л+1 + 4Л+2. Розв’язання. У лівій частині початкового рівняння винесемо за дуж- ки Зг, а в правій частині 4Г. Маємо: Зг(1 + 3 + З2) = 4Г(1 + 4 + 42) о З* 13 = 4х 21 о З 4 21 13 X = ІО§3 21А із / Відповідь-. 1о§3 4 Розв'язування показникових рівнянь, що зводяться до квадратних або алгебраїчних рівнянь вищих степенів а) Рівняння виду А а2х + В • ах+ С = 0 за допомогою підстановки ах - у зводяться до квадратного рівняння Ау2 + Ву + С = 0. Приклад. Розв’язати рівняння 52г - 6 5Г + 5 = 0. Розв’язання. Позначивши 5Г = у > 0, отримаємо у2 - 6г/ + 5 = 0, корені якого у} - 5, у2 - 1. Звідси початкове рівняння еквівалентне сукупності рівнянь 5Л = 5 5Л = 1 ’ х — 1, х — 0. Відповідь-. 1; 0. б) Рівняння виду А а2Г(х} + В аГ(х} + С = 0 (а > 0, а Ф 1) за допомогою підстановки аГ(х} - у зводяться до алгебраїчного (квадратного) рівняння Ау2 + Ву + С - 0.
134 Алгебра Приклад. Розв’язати рівняння 32л Розв’язання. Нехай 3Л = у , тоді -12 З*2 +27 = 0. 32л“ = (зЛ“ ) = у2. Підставивши до початкового рівняння, отримаємо: у2 - 12г/ + 27 = 0 а У1 = 3, у2 = 9 зл2 = З 3х2 = 9 х2 = 1 х2 = 2 Відповідь-. ±1; ± >/2. в) Розв’язування показникових рівнянь, що зводяться до алгебраїч- них рівнянь вищих степенів. Приклад. Розв’язати рівняння 8Г - 2Г+1 -4 = 0. Розв’язання. 8Г = (23) = (2Л) , 2Л+1 = 2Л -2. Позначивши 2Г = у, отримаємо: у3 - 2у - 4 <=> «(г/-2)(г/2 + 2г/ + 2) = 0« г/-2 = 0 г/2+2г/ + 2=0 у = 2 ,^у = 2^2" = 2<=>х = 1. ує0 Відповідь-. 1. хх г) Рівняння виду Аах + Ва2Ь2 + СЬХ - 0 зводяться до квадратного шляхом ділення обох частин початкового рівняння на ах, або на Ьх, або на (аЬ)2 . Наприклад, при діленні на ах Ф 0 маємо рів- няння, еквівалентне даному: Заміна — = у зводить початкове рівняння до квадратного \а) А + Ву + Су2 = 0. Приклад. Розв’язати рівняння 9 16г - 7 12г - 16 9Г = 0. Розв’язання. Оскільки 12 = 3-4, 16 = 42, 9 = З2, то початкове рівнян- ня можна записати у вигляді 9 • 42г - 7 • Зг • 4Г - 16 • 32г = 0. Ділимо обидві частини початкового рівняння на 42г= 16г. Дістаємо: 9 16і - 7 12і -16 9* =0 (: 16і + 0) <+> Заміна — = у > 0 зводить початкове рівняння до квадратного: ^4 7 9 9 - 7г/ - 16г/2 = 0 <=> 16г/2 + 7г/ - 9 = 0 о г/, = — , у2 = -1. у2 = -1 не за- 16 довольняє умові, тому що у > 0. „ . 9 7зУ 9 7зУ Звідси у = — <=> — = — = — <=> х = 2. 16 16 І4^ Відповідь-. 2.
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 135 д) Рівняння виду МІ Ца - у/ь І + N Іуа + у/ь\ - р, де а2 - Ь - 1, зво- дяться до квадратного за допомогою заміни [у]а - 4ь\ - у або заміни [уіа + у/ь] -у . Приклад. Розв’язати рівняння (5/2 + л/з | + (у2- >/з І =4. Розв’язання = у , отримаємо: . Оскільки ^2 + >/з^2 - >/з) = 4 - 3 = 1 , то, замінивши Звідси початкове рівняння еквівалентне такому: г/ + — = 4<=>г/2-4г/ + 1= 0<=>г/1,) = 2 ± >/4-1 = 2 ± >/з <=> У (V2 + л/з =2 + >/з ^2 + >/з)2 = 2 + >/з ^2 + л/з ) = 2 - >/з [2 + >/з)2 = 2 - >/з = (2 + л/з ) ' х — 2 х — — 2 Відповідь-. 2; -2. Розв'язування показникових рівнянь виду Д • апх+ В атх Ь{п т]х + С Ьпх = 0, (а > 0, Ь > 0, а * 1, Ь * 1) У цьому рівнянні сума показників степенів чисел а і & у кожному доданку однакова і дорівнює пх. Поділивши почленно початкове рівняння на Ьпх, отримаємо: Позначивши — = у, отримаємо алгебраїчне рівняння Ауп + \Ь ) + Вут + С = 0. Розв’язавши це рівняння, знаходимо його корені, а потім повертаємося до змінної х. Приклад. Розв’язати рівняння 64г + 36г - 10 • 27г = 0. Розв’язання. 64 = 43, 36 = З2 4, 27 = З3. Звідси початкове рівняння можна записати у вигляді 43г + 32г • 4Г - 10 • 33г = 0. Поділивши почленно початкове рівняння на 33г = 27г, отримаємо:
136 Алгебра Ґ4¥ + - -10 = 0 о Із ) І 4 V <=> у8 + У - 10 = 0 (де у = - > 0 ) о \ О / (у - 2)(№ + 2у + 5) = о У-2 = 0 у = 2 у2 + 2у + 5 = 0 у е0 = 2 о х = 1о§4 2 . З Відповідь: 1о£4 2. з ЗАПАМ'ЯТАЙ При розв'язуванні показни- кових рівнянь цим методом спочатку шляхом підбору знаходять корінь початко- вого рівняння, а потім дово- дять, що цей корінь єдиний, з використанням властивості монотонності показникової функції. Розв'язування показникових рівнянь методом підбору При розв’язуванні показникових рівнянь цим методом спочатку шляхом підбору знаходять корінь початкового рівняння, а потім дово- дять, що цей корінь єдиний, з використанням властивості монотонності показникової функції. Приклад. Розв’язати рівняння 6Г + 8Г = 10г. Розв’язання. Підбором знаходимо, що х - 2 — корінь початкового рівняння. Покажемо, що інших коренів немає. Поділивши початкове рівняння на 10г, отримаємо рівносильне рівняння: а) Покажемо, що серед чисел х < 2 коренів немає. Якщо х < 2, то при х < 2 коренів немає. б) Покажемо, що серед чисел х > 2 коренів початкового рівняння також немає. Якщо х > 2, то Г ЗЇ Ґ1Ї ґ—Т ґ-ї ґ-ї ґ-ї ґ-ї - => при х > 2 початкове рівняння коренів немає. Відповідь-. 2. Степенево-показникові рівняння словник Степенево-показниковими рівняннями називають рів- няння виду: (/7(х))фМ = Ц(х))д;'. Степенево-показниковими рівняннями називаються рівняння виду (ЯЧГ ’ = {/(<". Коренями таких рівнянь увижаються розв’язки мішаної системи /(х) > О < Дх) * 1 ф(х) = §(х) і ті значення х, для яких Дх) = 1, якщо при цих значеннях визначені ф(х) і £(х).
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 137 Зауваження. Оскільки ми припускаємо, що функції виду (Дх))ч><х) визначені тільки при Дх) > 0, то ті значення х, які формально задоволь- няють рівнянню (Дх >Г’=(л х))<(х) , але при яких Дх) < 0, ми не будемо вважати коренями степенево-показникового рівняння. Слід однак зазначити, що якщо умовою передбачається мож- ливість Дх) < 0, то при розв’язуванні степенево-показникових рівнянь (Дх >Г’=(л х))<(х) потрібно розглядати також випадок, коли Дх) < 0, що значно ускладнює розв’язання. Розглянемо спочатку степенево-показникові рівняння спрощеного виду (Дх))ч>(х) = 1. Це рівняння зводиться до сукупності двох рівнянь Дх) = 1, ф(х) = 0. Розв’язками початкового рівняння є розв’язки цих двох рівнянь, для яких вирази Дх) і ф(х) визначені і Дх). Таким чином, (к<‘“ = і о Г(х) = 1 < ф(х) = 0. Дх) > 0 Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь Розв’язування логарифмічних рівнянь засноване на властивостях логарифмічної функції. Розглянемо основні прийоми розв’язування цих рівнянь. Розв'язування найпростіших логарифмічних рівнянь Найпростішими логарифмічними рівняннями будемо називати рів- няння виду: а) 1о£ах = Ь-, б) І0£аДх) = Ь-, в) 1о§аДх) = г) 1о£аДх) = 1о£а£(х); Д) Іо&^Дх) = Іо^^Сх). Розглянемо розв’язання цих рівнянь. а) 1о§ах - Ь х - аь, а > 0, а 1; б) 1о£аДх) = & <=> Дх) = аь, а > 0, а Ф 1; в) 1о§аДх) = §(х) <=> Дх) = Щ1*'1, а > 0, а 1; Г) ІоеЛх) = 1 оц.Є(х) » Лх) > 0 ° > 0 ° 5 0 де а > 0, а Ф 1. 1 На практиці при розв’язуванні логарифмічних рівнянь виду г) можна розв’язувати або першу систему, або другу, або третю. Пере- вагою першої системи є її наочність і очевидність, однак доводиться розв’язувати дві нерівності. Цього недоліку позбавлені друга і третя системи; при цьому краще розв’язувати ту з двох систем, де простіше розв’язання нерівності (Дх) > 0 або §(х) > 0). Відзначимо, що при розв’язуванні рівнянь виду 1о£„Дх) = = 1о£а£(х) можна не користуватися символами еквівалентності і не розв’язувати мішані системи. При цьому від початкового рівняння 1о£„Дх) = 1о£а£(х) переходимо до рівняння Дх) = §(х). Розв’язуючи останнє рівняння, зна- ходимо його корені, серед яких можуть бути сторонні. Сторонні ко- рені можна виявити або за допомогою підстановки знайдених коренів ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Розв'язування логарифмічних рівнянь засноване на власти- востях логарифмічної функції. Розглянемо основні прийоми розв'язування цих рівнянь.
138 Алгебра до початкового логарифмічного рівняння, або за допомогою знаходжен- ня області визначення початкового рівняння, що задається системою „ /(х)>0 нерівностей < І£(х) > 0 Дх) = £(х) /(х) = §(х) /(х) = §(х) /(х) > 0 §(х) > 0 д) Іоя^Дх) = 1о£ф(г)£(х) & §(х) >0 <=> • ф(х) > 0 ф(х) > 0 чі/І 1 Кл ф(х) Ф 1 ф(х) Ф 1. ф(х) Ф 1 На практиці можна користуватися будь-якою з наведених вище трьох систем. Приклади Розв’язати рівняння 1о§4(х + 2) = 3. Розв’язання. 1о£4(х + 2) = 3<=>х + 2 = 43 = 64 <=>х = 64-2 = 62. Відповідь'. 62. Розв’язати рівняння 1о§5 (х2 — 1) = 1о§5 (7х-7). Розв’язання. Наведемо три форми запису розв’язання. Перша форма запису (за допомогою тільки еквівалентних перетво- рень). 1о§5(х2 -1) = 1о£5(7х-7) X2 -1 = 7х-7 < х2 -1 > 0 7х - 7 > 0 х2 - 7х + 6 = 0 < х < —1; х > 1 <=> х > 1 х = 1; х = 6 < х < —1; х > 1,<=> х = 6. х > 1 Друга форма запису (за допомогою тільки еквівалентних перетво- рень). 1о§5 (х2 -1) = 1о§5 (7х - 7) <=> X2 -1 = 7х-7 7х - 7 > 0 х2— 7х + 6 = 0 Гх = 1; х = 6 х > 1 х > 1 Третя форма запису розв’язання (зі словесними коментарями і з пе- ревіркою знайдених коренів). 1о§5 (х2 -1) = 1о§5 (7х - 7) => х2 - 1 = 7х - 7 => => х2 - 7х + 6 = 0 <=> х4 = 1, х2 = 6. Перевірка. Підставляючи х4 = 1 до початкового рівняння, отримаємо, що вирази зліва і справа не існують, тобто х4 = 1 — сторонній корінь. Підставляючи х2 = 6 до початкового рівняння, маємо: 1о§5 (х2 -1) = 1о§5 (б2 -1) = 1о§5 35 , 1о§5 (7х - 7) = 1о§5 (7 • 6 - 7) = 1о§5 35 , Іо^ 35 = 1о£Гі 35. Звідси х- 6 є коренем початкового рівняння. Відповідь'. 6.
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 139 Розв’язати рівняння 1о§2л (х2 - Зх) = 1о§2л (бх - 8). Розв’ язання. х2 — Зх = 6х — 8 1о§2х (х2 - Зх) = 1о§2х (6х - 8) « х2 — Зх > 0 6х — 8 > 0 2х > 0 2x^1 х2 — 9х + 8 = 0 Відповідь-. 8. Розв’язати рівняння 1о§2 (1о§3 (1о§4 х)) = 0. Розв’язання. ІО8, (1о£3 (1о§4 х)) = 0 <=> 1о£, (1о§з (1о§4 х)) = 1о£, 1 <=> 1о§3 (1о§4 х) = 1 <=> 1о§3 (1о§4 х) = 1о§3 3 <=> 1о§4 X = 3 <=> X = 43 = 64. Відповідь-. 64. Розв’язати рівняння 1§х - 2 - 1^5. Розв’язання. 2 - 1^5 = І£І02 - 1^5 = = 1§20 . 5 Звідси 1§х - 2 - 1^5 <=> І£х = 1^20 <=> х = 20. Відповідь-. 20. Розв'язування логарифмічних рівнянь потенціюванням Приклади Розв’язати рівняння 1о§3(х + 1) + 1о£3(х + 3) = 1. Розв’ язання. 1о§3 (х +1) + 1о§3 (х + 3) = 1 1о§3 (х +1) (х + 3) 1о§з (х2 + 4х + з) = 1 х2 + 4х + 3 = 3 х2 + 4х = 0 X > —1 X > —1 X > —1 х = 0; х = — 4 х > —1 <=> х = 0. Відповідь-. 0. Розв’язати рівняння 1о§4(х + 3) - 1о£4(х - 1) = 2 - 1о£48. Розв’язання. 2 - 1о§4 8 = 1о§4 42 - 1о§4 8 = 1о§4 — = 1о§4 2. О
140 Алгебра Тоді маємо: 1о§4(х + 3) - 1о£4(х - 1) = 2 - 1о£48 <=> х — 1 > 0 = 1о§4 2 Відповідь-. 5. Розв'язування рівнянь із застосуванням основної логарифмічної тотожності аІО9«ь = Ь Приклади Розв’язати рівняння 91ОЄз(1~2л) - бх2 -5. Розв’язання. Перетворимо ліву частину початкового рівняння, за- стосовуючи властивості логарифмів і основну логарифмічну тотожність: діовз (1-2*) і083(1-2л:) _ д21°83 (1-2*) _ дІ083(1-2*) \2 2 = (1-2х)“ за умови, що 1 - 2х > 0. Звідси можемо записати: 91оЄз(1-2х) = 5х2 _ 5 (1 — 2х)“ = 5х2 — 5 1 - 2х > 0 1 - 4х + 4х2 = 5х2 - 5 1 х < — 2 х — — 2 ± уЮ 1 х < — 2 х2 + 4х - 6 = 0 1 х < — 2 х = -2-л/Ю. Відповідь-. -2--710. Розв'язування логарифмічних рівнянь методом заміни змінної При розв’язуванні рівнянь цим методом необхідно звернути увагу на таке: 1°§2 (х2) = (1о£я х2)" = (21о§п |х|)2 = 22 (1о£я |х|)2 = 41о§2 |х|; 1о§2 х3 = (1о£я х3)" = (31о§я х)“ = З21о§2 X = 91о§2 X. У загальному випадку 1о§я х"' = (1о§ях'п) = (т1о§я х)” = т" 1о§я х, де х > 0, якщо пг — непарне число. Якщо пг-2к(т — парне число), то при х Ф 0 іо§: хт = іо§: х2а = (2&)" • іо§: |х| = тп іо§: |х|. Розв’язати рівняння (2, б)1оїзЛ + (0,4)1оїзЛ = 2,9. 5 2 (5 Vі Розв’язання. 2,5 = —,0,4 = —= — . 2 5 Ш
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 141 Звідси початкове рівняння рівносильне такому: ( 5 У°Єз Л (( 5 Vі У°їз Л 29 ( 5 У°Єз Л (( 5 Vої3 Л Vі ( 5 У°Єз Л Позначивши 1 — 1 = і , отримаємо: 29 10 ‘ 29 , 29 п — + і '-= 0 10 10 ++10#2 + 10-29# = 0« • З Розв'язування рівнянь методом логарифмування Він полягає в тому, що від рівняння /(х) = §(х) переходять до рів- няння ІО£аДх) = І0£а£(х). Метод логарифмування звичайно застосовується при розв’язуванні рівнянь, що містять змінну і в основі, і в показнику степеня. Приклади Розв’язати рівняння х1ел = 10. Розв’язання. Логарифмуючи обидві частини початкового рівняння за основою 10, приходимо до рівняння, рівносильного початковому: х1"3 = 10 <=> 1§(х1ел:) = 1§10 <=> 1§х • 1§х = 1 <=> (1§х)“ = 1 <=> 1§х - 1 1§х — — 1 х = 10 X = 10 1 = 0,1 Відповідь-. 10; 0,1. Розв’язати рівняння х21^3 1,518 х = л/10 . Розв’ язання. х21Є3х-1,51Єх = = (21/х -1,5І8х)18х = | « 41/ х - 31/ х -1 = 0. Позначивши 1§2 х = і, отримаємо: 4#2 - З# - 1 = 0 <=> 1§2 х = 1 . , 1 « І£“ X = -- 4 1§х = 1; 1§х = -1 = 0,1. Відповідь-. 10; 0,1.
142 Алгебра Розв'язування рівнянь методом ділення обох частин на показниково-логарифмічну функцію Приклади Розв’язати рівняння 321ЄЛ = 531ЄЛ. Розв’язання. ( 9 Vе* ---- =1<=>І£Х = 0<=>Х = 1. 1125^1 Відповідь-. 1. Розв'язування рівнянь шляхом переходу до іншої основи Приклади Розв’язати рівняння ІО£16Х + ІО£4Х + ІО£2Х = 7• Розв’язання. Розв’яжемо рівняння двома способами. Перший спосіб. Переходимо до основи 2: 1о§16 х = ^°^2 Х = 1о§,16 4 1о§, X 1о§, X 1о§4 х =--— =----—. ІО§2 4 2 Позначивши 1о§2х = і, отримаємо: — + — + і = 7 <=> і = 4 <=> 1о§, х = 4<=>х = 24= 16. 4 2 2 Відповідь: 16. Другий спосіб. 1о§1й х 1о§1й х Переходимо до основи 16: 1о§. х - і2— =---і2— = 21о§16 х, 1°§іб4 1 2 ІО£16Х ІО£16Х ІО£2 х = ! о = ----7^~ = 4 ІО£16 х- 1°§162 1 4 Позначивши 1о§1вх = і, отримаємо: і + 2і + 4і = 7 <=> і-1 <=> 1о£1вх = 1 <=> х= 16. Відповідь-. 16. Розв'язування логарифмічних рівнянь комбінованими методами Приклади Розв’язати рівняння х1""2'* -Іб х1'”’1 = 17. Розв’язання. Уведемо нову змінну за формулою і - х1""2'*. Тоді по- чаткове рівняння рівносильне такому: і + — = 17 о і2 - 17і + 16 = 0 о і ~і = 1 Гх1ОЇ2 Л = 1 1о§2 (х1°Ї2") = ІО§2 1 і = 16 ° * = 16 ° 1о£, (х1ОЄ2 Л) = 1о§, 16
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 143 (1о§, х)“ = 0 (1о§, х)“ = 4 Іо^,х = 0 Іо^, х = 2; 1о£, х = -2 х = 1 X = 22 = 4; X = 2’2 £• 4 Відповідь-. 1:4;—. 4 Розв’язати рівняння 2ІОЇ2Х +х1ОЇ2Л = 32. Розв’язання. Наведемо два способи розв’язання початкового рів- няння. Перший спосіб. 21ой х — 21о8з х 1о8з _ ^2ІОЇ2 х у°Ї2 Л = ХІОЇ2 х Позначивши х1""2'* = і , отримаємо: і + і-^2^і- 16<=> х1ОЇ2Х = 16 <=> 1о§2 (х1ОЇ2Л) = 1о§216 <=> (1о§2 х)“ = 4а П „ о х = 22 = 4 Іо^,х = 2 1о§, х = -2 ° х = 2 2 = — Ь “ І 4 Відповідь-. 4;—. 4 Другий спосіб. Позначивши 1о§2х = у, отримаємо: х = 2у, 2ІОЇ2Л = 2у . Тоді початкове рівняння має вигляд: х = 22 = 4 2у2 + (2У)У = 32 о 2у2 +2у2 = 32 о 2у2 = у = 16 = 2і о у2 = 4 о Гу - 2 ІО8, х = 2 [у = -2 [1о§, х = -2 Відповідь-. 4;—. 4 Розв’язати рівняння 36'8>' = 6 + 5 х1е6. Розв’язання. Оскільки х1®6 = б1®*, 361ЄЛ = (б2)8 =(б1ел) , то, позна- чивши б1®2' = і, отримаємо: і2 — 6 + 5і <=> і2 — 5і — 6 = 0 <=> — 6, і2 — — 1. З того, що 61бг = 6, випливає 1§х = 1 <=> х = 10. Рівняння 616Г = -1 розв’язків не має, тому що 616Г > 0. Звідси початкове рівняння має один розв’язок: х = 10. Відповідь-. 10. Розв’язати рівняння 21§х2 -(1§(-х)) = 4. Розв’язання. ОДЗ: х2 > 0 —х > 0 х < 0. х 0 х < 0 Оскільки з ОДЗ х < 0, то 1§х2 = 21§|х| = 21§(—х) (нами використаний той факт, що при х < 0 |х| = -х ). Звідси початкове рівняння при х < 0 рівносильне такому: 2 • 21§(-х) - (1§(-х))“ = 4. Позначивши 1§(-х) = і,
144 Алгебра отримаємо: 4£-£2 = 4<=>£2-4і + 4 = 0<=>(£-2)2 = 0<=>£-2 = 0<=>£ = 2<=> <=> І£(-х) = 2 <=> -х = 102 = 100 <=> х - -100. Відповідь-. -100. Розв’язати рівняння у/бх - -1о§л 5. Розв’язання. 2 .— 11 1 ІО£Х <5х = 1о§л (5х)2 = -ІО£Х (5х) = = -(ІО£Х 5 + ІО£Х X хи хи Позначивши 1о£,5 = і, отримаємо рівняння, рівносильне початковому: '1(і + 1) = -^ Оскільки при розв’язуванні початкового рівняння застосовувалися 1 „ . . тільки еквівалентні перетворення, то х = — — єдинии корінь рівняння, що не потребує перевірки. Відповідь-. —. 25 Розв'язування логарифмічних рівнянь, що містять модулі Приклад Розв’язати рівняння 1о§3 |2х -1| = 2. Розв’ язання. ІО£3 |2х - 1| = 2 <=> \2х - 1| = З2 = 9 <=> Відповідь-. 5; -4. 2х-1=9 х = 5 2х - 1 = -9 х = — 4 Розв’язати рівняння |1о§^ х - 2| - |1о§3 х - 2| = 2. Розв’ язання. ІО£ X ІО£ X 1о§ /- х = ---= = —--- = 21о£3 X. 1о§3 л/з 1 2 Позначивши 1о§3х = і, приходимо до рівняння, рівносильного по- чатковому: |2* - 2| - |# - 2| = 2 о 21# - 1| -1# - 2| = 2. Розв’язуємо останнє рівняння методом інтервалів. При цьому маємо три інтервали (І, II, III):
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 145 І) і < 1 [> < 1 < о і = -2 2(1-*)-(2-і) = 2 |* = -2 П) 1<*<2 Г1 < і < 2 < о і = 2 2(*-1)-(2-*) = 2 |* = 2 ПІ) І>2 Iі > 2 2(і - 1) - (і - 2) = 2 [і = 2 1 Є Таким чином, отримуємо і - -2; і - 2. 9 . х = З2 = 9 Звідси 1о§3 х — — 2 1о§3 х — 2 Відповідь-. —; 9. 9 Показникові нерівності Нерівності, що містять змінні в показнику степеня, називаються показниковими. Нерівності виду а(м > а9(х> словник Нерівності, ЩО МІСТЯТЬ ЗМІННІ в показнику степеня, назива- ються показниковими. Розв’язання нерівностей подібного виду засновано на таких твер- дженнях: якщо а > 1, то нерівність аГ(х} > ае(х} рівносильна нерівності /(х) > §(х); якщо 0 < а < 1, то нерівність аНх} > ае(х} рівносильна нерівності /(х) < §(х). Коротко можна записати: аї(х} > аі(х} /(х) > §(х) ’ X = 3 2 а/(х> > аі(х} Р<а<1 . [/(х) < §(х) Зазначимо, що, застосовуючи будь-який метод при розв’язуванні нерівностей, що містять знак «>», можна цей самий метод застосову- вати і при розв’язуванні нерівностей, що містять знаки «<», «>», «<». Зокрема, можна, наприклад, записати: а /(О < аі(х} ГО < а < 1 [/(х) > §(х) Нерівності виду аГ(х> > Ь, а > 0 Необхідно розглянути два випадки: а) Ь < 0, тоді а/(х} > 6 а х є _О(/) ; б) Ь > 0, тоді а/(х} > Ь /(х) > 1о§я Ь при а > 1; а/(л) > Ь <=> /(х) < 1о§я Ь при 0 < а < 1. При а - 1 початкова нерівність аНх} > Ь рівносильна числовій нерів- ності 1 > Ь при х є -О(У).
146 Алгебра Нерівності виду агм > Ь При розв’язуванні нерівностей подібного виду застосовують лога- рифмування обох частин за основою а або Ь. З огляду властивості по- казникової функції отримуємо: а/(л} > £<і>о) > якщо а > 1; а/(л} > £<і>о) < якщо 0 < а < 1. Розв'язування показникових нерівностей методом заміни змінної Приклад. Розв’язати нерівність —-— < г . 3Л + 5 З -1 Розв’язання. Позначивши Зг = і, приходимо до нерівності: _Д_<0» 2<(-3) <о» і + 5 3#-1 і + 5 3#-1 (* + 5)(3*-1) і < і < 3 (оскільки Зг = і > 0). <=> 1 .3 Звідси початкова нерівність рівносильна такій: — < 3Л < З З Відповідь-, х є (-1; і). Розв'язування нерівностей, що містять однорідні функції відносно показникових функцій Приклад. Розв’язати нерівність 2 9Л - 5 6Л + З 4Л > 0. Розв’язання. Поділивши обидві частини початкової нерівності на / 2 V (2 Vх (2 V 9Г Ф 0, отримаємо: 2-5 — +3 — >0. Позначимо — = і , тоді \ 3 / \ 3 / \ 3 / маємо: З#2 - + 2 > 0 2 З 2 З 2 З 2 З Відповідь: х є (—оо* о] ЦІ [1; + 00 ) . Степенево-показникові нерівності СЛОВНИК До степенево-показникових нерівностей належать нерівності, що містять невідоме і в основі, і в показнику степеня. До степенево-показникових нерівностей належать нерів- ності, що містять невідоме І в основі, І в показнику сте- пеня. Нерівності виду (Дх))ад > 1 Розв’язання подібних нерівностей записується у вигляді ланцюжків еквівалентних нерівностей:
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 147 > 1 « > (Дх))° « 0 < /(х) < 1 Щх) < 0 Дх) > 1 Щх) > 0 Нескладно записати ланцюжок еквівалентних нерівностей, якщо наявні знаки >, <, <. Так, наприклад: (/(х)Г} < 1 « (/(х))^ < (Дх))° « 0 < /(х) < 1 Щх) > 0 Дх) > 1 Щх) < 0 Зазначимо, що якщо у початковій нерівності є знак нестрогої не- рівності, то треба розглянути ще випадок, коли основа Дх) дорівнює 1. Нерівності виду Щх))и(х> > (Дх))им При розв’язуванні нерівностей подібного виду істотною є величина основи Дх): 0 < Дх) < 1 або Дх) > 1. (Нх))и(х} > (Дх))ГМ Дх) > 1 Щх) > У(х) 0 < Дх) < 1 Щх) < У(х) ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Початкову нерівність можна розв'язувати також із вико- ристанням логарифмування обох частин. Початкову нерівність можна розв’язувати також із використанням логарифмування обох частин. При цьому якщо основа логарифма а > 1, то знак початкової нерівності не змінюється, якщо 0 < а < 1, то знак початкової нерівності необхідно змінити на протилежний. Зазначимо, що якщо початкова нерівність містить знак <, <, >, то при розв’язуванні подібної нерівності застосовуються ті ж правила, що і при розв’язуванні нерівності, що містить знак >, тільки у випадку нестрогої нерівності потрібно враховувати, що розв’язування рівняння Дх) = 1 може дати розв’язання початкової нестрогої нерівності. Нерівності виду Щх))и(х> > (д(х))и(х> Подібного виду нерівності найпростіше розв’язувати логарифму- ванням обох частин зі зберіганням знака початкової нерівності, якщо основа логарифма а > 1, і зі зміною знака на протилежний, якщо основа логарифма 0 < а < 1. Можна також замість логарифмування розглядати кілька випадків у залежності від величини основи. Логарифмічні нерівності Логарифмічними називаються нерівності, які містять змінну під знаком логарифма або в його основі. При розв’язуванні логарифмічних нерівностей знаходження області визначення початкової нерівності не є обов’язковим, а часто навіть словник ф Логарифмічними назива- ються нерівності, що містять змінну під знаком логарифма або в його основі.
148 Алгебра недоцільне, оскільки умови, що задають область визначення нерівності, звичайно включають до тієї нерівності, яка є висновком заданої лога- рифмічної нерівності. Нерівності, що розв'язуються з використанням означення логарифма Нерівності виду 1о£аДх) > Ь розв’язуються таким чином: 1о£а/(х) > Ь 0 < /(х) < аь 0 < а < 1 /(х) > аь а > 1. Аналогічно розв’язуються нерівності виду 1о§а/(х) < &: 1о£а/(х) < Ь /(х) > аь 0 < а < 1 0 < /(х) < аь а > 1. Приклади Розв’язати нерівність 1о§2(1 - х) > -2. Розв’ язання. 1о£2( 1 - х) > -2 <=> 1о£2( 1 - х) > 1о£2(2~2) <=> 1 З $=> 1-х>2“<=>1-х> — <=>х<—. 4 4 Відповідь-, х є -оо; — І 4 Розв’язати нерівність 1о§, 1о§31о§1 (х -1) < 0. 2 Розв’язання. Розв язання початкової нерівності найкраще записати з використанням ланцюжка еквівалентних нерівностей: 1о§, 1о§3 ІО^ (х - 1) < 0 <=> 1о§, 1о§3 ІО^ (х - 1) < 1о§, 1 & 2 2 <=> 0 < 1о§3 ІО^ (х - 1) < 1 <=> 1о§3 1 < 1о§3 ІО^ (х - 1) < 1о§3 3
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 149 Нерівності, що розв'язуються з використанням властивостей логарифмів Розв’язування нерівностей виду 1о§я /(х) > 1о§я §(х) засноване на тому, що функція у - 1о£ах (а > 0, а Ф 1, х > 0) є спадною при 0 < а < 1 і зростаючою при а > 1. Таким чином, маємо твердження: а) 1о§я /(х) > 1о§я & а > 1 /(х) >0 \а > 1 §(х) > 0 ]/(х) > > 0; /(х) > §(х) 0 < а < 1 б) 1о§я /(х) > 1о§я §(х) <=> • /(х) >0 Го < а < 1 §{х) >0 [0 < /(х) < £(х) /(х) < §(х) Зазначимо, що в нерівностях а) і б) можна використовувати як пер- шу (більш повну) систему нерівностей, так і другу (скорочену) систему нерівностей, їй рівносильну. Перевагою більш повної системи нерів- ностей є її наочність і очевидність, а перевагою скороченої — менша трудомісткість, тому що доводиться розв’язувати на одну нерівність менше. Однак перехід від більш повної системи до скороченої не завжди очевидний для тих, хто малодосвідчений у математиці. х > 0 х2 — Зх < 0 Приклад. Розв’язати нерівність 1о§02 (х2) > 1о§02 (Зх). Розв’язання. Враховуючи, що основа логарифмів 0 < 0,2 < 1, отри- муємо: х2 > 0 1°§0,2 (*2) > 1°§0,2 (ЗХ) <=> < ЗХ > 0 < х2 < Зх х> 0 Гх > 0 $=> < , . $=> < <=> 0 < х < З х(х — 3) < 0 [0 < х < З Відповідь-, х є (0; 3). Логарифмічні нерівності, що розв'язуються з використанням заміни змінної Приклади Розв’язати нерівність 1о§| х - 21о§3 х - 3 < 0. Розв’язання. Позначивши 1о§3х = і, приходимо до нерівності і2 -2#-3<0<=>-1<£<3<=>-1< 1о§3 х < 3 <=> 1о§3 3 1 < 1о§3 х < 1о§3 З3 <=> х < 27. З Відповідь-, х є 27
150 Алгебра Т, . . 1 - ІО§4 X 1 Розв язати нерівність ---------— < — . 1 + 1о§2 х 2 Розв’язання. Перейдемо від логарифма за основою 4 до логарифма за основою 2: 1о§, х 1о§, х 1 Позначивши 1о§2х = і, приходимо до нерівності: 2-і 1 „ 1 - 2і ----Г - - < 0 <=> ------ 2(1 +і) 2 2(1 +і) Відповідь-, х є 0; Розв'язування показниково-логарифмічних нерівностей словник Покази иково-логаріфміч- ними нерівностями нази- ваються нерівності виду (1/(х))1'ІХ1 > а, де І/(х) містить логаріфмічні функції (знак не- рівності може бути <, >, <). Показниково-логарифмічними нерівностями називаються нерів- ності виду (П(х))Нх) > а , де У(х) містить логарифмічні функції (знак нерівності може бути «<», «>», «<»). При розв’язуванні подібних нерів- ностей доцільно взяти логарифми від обох частин початкової нерівності, переконавшись, що ці логарифми існують. Знак отриманої логарифміч- ної нерівності залишиться таким самим, яким він був до логарифмуван- ня, якщо логарифмування виконується за основою а > 1, і зміниться на протилежний, якщо логарифмування виконується за основою 0 < а < 1. х \1Вх-2 І х І Приклад. Розв язати нерівність І — І < 100. Розв’язання. Обидві частини початкової нерівності при х > 0 набу- вають тільки додатних значень, звідси логарифми цих частин існують. Візьмемо логарифми від обох частин за основою 10. Оскільки 10 > 1, то знак нерівності не зміниться: \1§'х-2 / / \1§'х-2\ / \ — І < 100 <=> І£ І—— І < І£І00 <=> (1§Х - 2) • І£І — І < 2 <=> 10,1 (10,1 7 7 (10,1 <=> (і£х-2)(і£х-1)< 2. Позначивши 1§х = і, отримаємо: (і - 2) • (і - 1) < 2 і2 - Зі < 0 0 < і < 3 о 0 < 1§х < 3 а о І£І < І£х < І£І03 о 1 < х < 1000. Відповідь-, х є [1; 1000].
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності 151 Логарифмічні нерівності, що містять змінну під знаком логарифма і в основі логарифма У загальному вигляді розв’язання подібних нерівностей можна записати таким чином: 1о£<рм /(*) > А ф(х) > 1 /(х) > (ф(х))А 0 < ф(х) < 1 0 < /(х) < (ф(х))А 1о£Фм /(*) > 1о£Фм $(х) ф(х) > 1 0 < §(х) < /(х) 0 < ф(х) < 1 0 < /(х) < §(х) На практиці звичайно розглядають два випадки (якщо основа ло- гарифма ф(х) > 1 і 0 < ф(х) < 1) і не завжди користуються наведеними вище еквівалентностями. Приклади Розв’язати нерівність 1о§2л (х2 - 5х + б) > 1. Розв’язання. Розглянемо два випадки залежно від величини основи логарифма: [0 < 2х < 1 1) 1 , <=> 0 < х“ — 5х + 6 < 2х х2 — 5х + 6 > 0 х2 — 5х + 6 < 2х Відповідь-, х є —; 11 ЦІ (б; + оо). 2 І к ’ Розв’язати нерівність 1о§г(6х- 1) > 1о£г(2х). Розв’язання. Знаходимо ОДЗ: х > 0 X 1 6х — 1 > 0 2х > 0
152 Алгебра 3 урахуванням ОДЗ необхідно розглянути два випадки: г [1 1 — < X < 1 — < X < 1 6 1 1 1) 5 6 <=Н <=> — < X < —. 16 4 6х -1 < 2х х < — 1 4 г х > 1 , х > 1 2) < <=> < і <=> х > 1. 6х — 1 > 2х х > — 1 4 Розв’язком початкової нерівності є об’єднання розв’язків, отрима- них при розв’язуванні систем 1) і 2). Відповідь-, х є | —|ЦІ(Ї;+ °о). ^6 4) у ' ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ ґ 1 У 1. Рівняння 81х =1 — 1 рівносильне рівнянню: 1)2Х=1; 2) З2 21 = 1; 3) (0,7)1 л3 = 1; 4)5х = 0. 2. Скільки коренів має рівняння 3х = агсі^л/з ? 1)0; 2)1; 3)2; 4)3. 3. Знайдіть суму коренів рівняння 8х - 7 • 4х + 7 • 2Х+1 = 8. 1)0; 2)1; 3)2; 4)3. 4. Корінь рівняння 1о§31о§2 Іо^ (х -1) = 0 є: З 1) натуральним числом; 2) цілим числом; 3) ірраціональним числом; 4) дробовим числом. 5. Скільки коренів має рівняння 1о§,(3 + х) + 1о§,(х + 2) = 1 ? 1) 0; 2) 1; 3) 2; “ 4) 3. 6. Скільки натуральних розв’язків має нерівність 3х <9? 1)0; 2)1; 3)2; 4)3. 7. Знайдіть суму цілих розв’язків нерівності 2'х1' < 16. 1)6; 2)7; 3)8; 4)9. 8. Розв’яжіть нерівність 1о§! (х + 2 2)>-1. 1) 0 < х < 2; 2)-2 < х < 2; 3) -2 < х < 0; 4) В. 9. Розв’яжіть систему рівнянь • 2 х + 3у = 7, та знайдіть х + у 3 • 2х + 2 • 3" = 18 1)0; 2)1; 3) 2; 4) 3. 10. Скільки натуральних розв’язків має нерівність 1о§3 (х - 1) < 0? 1)0; 2)1; 3)2; 4)3. 11. Скільки коренів має рівняння х:і г = х? 1)0; 2)1; 3)2; 4)3.
Елементи диференційованого числення 153 12. Нерівність (4х - 1)“Л 1 < 1 має: 1) один розв’язок; 3) три розв’язки; 2) два розв’язки; 4) нескінченно багато розв’язків. 13. При якому значенні параметра а нерівність а2 - 2 • 4Л+1 - а 2Л+1 > 0 не має розв’язків? 1) а < 0; 2)а = 0; 3) а > 0; 4) а Ф 0. 14. При якому значенні параметра а рівняння 25г - (2а + + 1)5Г + а2 + + а = 0 не має розв’язків? 1) а > 0; 2) -1 < а < 0; 3)а<-1; 4) а є Е. ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 2. 2. 2. 3. 4. 4. 4. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 8. 3. 9. 4. 10. 2. 11. 3. 12. 1. 13. 2. 14. 3. ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІЙОВАНОГО ЧИСЛЕННЯ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Границя функції. Неперервність функції. Означення похідної. Основні формули і правила диференціювання. Геометричне значення похідної. Застосування похідної до дослідження фун- кцій і побудови графіків. Задачі на знаходження найменшого і найбільшого значень функції. Екстремальні геометричні задачі. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Границя функції. Неперервність функції Говорять, що число Ь є границею функції у - /(х) при х, що набли- жається до а, якщо для будь-якого додатного числа є знайдеться таке додатне число 8, що при всіх х Ф а, що задовольняють нерівності |х - а| < 8, справедлива нерівність |/(х) - б| < є. При цьому використо- вується запис Ііт /(х) = Ь. Коротко можна записати: 1іт/(х) = 6 <=> \/є > 038 > 0 : Vх, х Ф а, їх - а| < 8 => ІДх) - Ь\ < є. х—>а 11 1 1 Оскільки нерівність |х - а| < 8 рівносильна нерівності а-8<х<а + 8, а нерівність |/(х) - б| < є рівносильна нерівності Ь - є < Дх) < Ь + є, то оз- начення границі можна подати у такій формі: 6 = Ііт Дх), якщо яким би
154 Алгебра не був є-окіл точки Ь, знайдеться такий 8-окіл точки а, що для будь- якого значення х Ф а, що належить 8-околу точки а, значення /(х) на- лежить є-околу точки Ь. З означення границі функції випливає, що функція повинна бути визначена на проміжку (а - 8; а + 8), крім, можливо, точки х - а. На практиці границю функції в точці знаходять, користуючись влас- тивостями (теоремами про границі), основними з яких є такі: 1) Ііт (/(х) + £(х)) = Ііт /(х) + Ііт §(х); 2) Ііт (/(х) • £(х)) = Ііт /(х) • Ііт §(х); Г(х) Ит/(х) 3) Ііт---_ ----,1іт^(х)^0; х^я §(х) 1іт^(х) х^я 4) 1іт(/г • /(х)) = к • 1іт/(х), к - сопзі. х—х—>а Передбачається, що у властивостях 1)-4) границі ліворуч і праворуч існують. Функція у - /(х) називається неперервною в точці х- а, якщо вона визначена в деякому околі цієї точки і якщо границя функції при х —> а дорівнює значенню функції в цій точці, тобто 1іт/(х) = /(а). Функція, неперервна в кожній точці заданого проміжку, називаєть- ся неперервною на всьому проміжку. Якщо функція, визначена в деякому околі точки х = а, у самій точці х = а не визначена або її границя в точці х = а не дорівнює значенню функції в цій точці, то говорять, що функція має розрив у точці х- а, а точку х = а називають точкою розриву. Наприклад, у -—-—; функція неперервна скрізь, крім х = 2, х - 2 а в точці х = 2 розривається. Означення похідної. Основні формули і правила диференціювання Нехай у - /(х) — задана функція, х, х0 — два значення незалежної змінної з області визначення В(/) функції у - /(х). Різниця Дх = х - х0 називається приростом незалежної змінної, або приростом аргументу. Дх = х-х0<=>х = х0 + Дх. Різниця /(х) - /(х0) = /(х0 + Дх) - /(х0) між новим значенням функції /(х0 + Дх) і початковим значенням Дх0) називається приростом функ- ції в точці х - х0 і позначається Д/(х0), а також через Д/ або Дг/. Таким чином, ДДх0) = /(х0 + Дх) - Дх0). Похідною функції у - /(х) в точці х - х0 називається границя відно- шення приросту функції Д/ у точці х0 до приросту аргументу Дх, коли Дх —> 0. Це означення можна записати таким чином: \ т Л«хо) г /(х0 + Дх)-/(х0) / (Хо) = 1іт --- = 1іт -------------• Дх—>0 Дх Дх—>0 Дх
Елементи диференційованого числення 155 Якщо функція у - /(х) має похідну в точці х = х0, то говорять, що вона диференційована в точці х - х0. Обчислення похідної функції у = Дх) називається диференціюванням цієї функції. Обчислення похідної з використанням її означення зв’язане з гро- міздкими викладеннями і звичайно на практиці не застосовується. При практичному знаходженні похідної необхідно знати похідні основних елементарних функцій і основні правила диференціювання. Основні формули диференціювання 1. (с)' = 0. 2. (х ')'= ах '1, зокрема (х)'= 1, | — | =—Д, \х) х“ В] =~7’ и и 3. (зіпх)'= СО8Х. 4. (соях)' = -зіпх. 5. (Ї£х)' = —. 6. (сі£х)' = —гД—. СОЗ“ X 31П“ X 7. (ах)' = аг1па, зокрема (ех)' - ех. 8. (1о£ах)' =—-—, зокрема (Іпх)' = —. хіп а х Основні правила диференціювання 1. (с/(х)) = с/'(х), с = сопзі . 2. (/ + £)' = /' + £'. з. (/ §)' = Г § + / • 4. Ш 5. /(^(х)) = /'(§) • §'(х), де /(§(хУ) — складена функція (правило диференціювання складеної функції). Геометричне значення похідної З геометричної точки зору похідна функції у = Дх), обчислена в точці х = х0, є тангенсом кута нахилу дотичної до графіка функції в даній точці х0. Інакше: Д(х0) є кутовим коефіцієнтом к згаданої вище дотичної (рис. 41). Таким чином, /'(х0) = к = 1§а. Рівняння дотичної до кривої у - /(х) в заданій точці М0(х0; у0) має вигляд: у - у0 + у'(х0)(х - х0), де (х0; г/0) — координати точки дотику, Д(х0) — кутовий коефіцієнт дотичної, (х; у) — змінні координати, тобто координати будь-якої точки, що належить дотичній.
156 Алгебра Застосування похідної до дослідження функцій І ПОБУДОВИ ГРАФІКІВ При застосуванні похідної до дослідження функцій необхідно пам’ятати такі дві теореми. Теорема 1. Нехай функція у - /(х) диференційована в точці х - х0. Якщо похідна функції у = /(х) в точці х - х0 додатна, то функція зростає в точці х - х0. Якщо похідна функції у - /(х) в точці х - х0 від’ємна, то функція у - /(х) спадає в точці х - х0. Теорема 2. Якщо функція у - /(х) має додатну похідну в кожній точці інтервалу (а; Ь), то функція зростає на цьому інтервалі. Якщо функція у - /(х) має від’ємну похідну в кожній точці інтервалу (а; Ь), то функція спадає на цьому інтервалі. Приклад. Знайти проміжки монотонності функції у - х3 - 27х. Розв’ язання. у' - Зх2 - 27, у' > 0 при Зх2 -27>0<=>х2>9<=> <=> |х| > 3 <=> х є (-оо; - 3) ЦІ (3; + оо); у' < 0 при х є (-3; 3). Звідси функ- ція у - х3 - 27х зростає при х є (-оо; -3) і при х є (3; +°о), спадає при х є (-3; 3). Відповідь-, у зростає при х є (-оо; -3) і при х є (3; +оо); у спадає при х є (-3; 3). Згадаємо, що критичними точками називаються внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує. Точки мінімуму і точки максимуму називаються точками екс- тремуму даної функції, а значення функції в цих точках відповідно мінімумом і максимумом функції (або екстремумом самої функції). Необхідна умова існування екстремуму визначається теоремою: якщо точка х = х0 є точкою екстремуму функції у - Г(х), то в цій точці похідна дорівнює нулю (тобто Дх0) = 0) або не існує. Зазначимо, що необхідна умова існування екстремуму не є достат- ньою, оскільки з того, що похідна перетворюється на нуль або не існує в заданій точці х = х0, не випливає, що х0 — точка екстремуму. Так, наприклад, похідна функції у - х3 (у' - Зх2) у точці х = 0 дорів- нює нулю, однак екстремуму в точці х = 0 функція у - х3 не має. Достатні умови існування екстремуму Нехай функція у - /(х) неперервна в точці х = х0 і має похідну Г(х) в деякому околі (а; Ь) цієї точки. Тоді: а) якщо /'(х) < 0 на інтервалі (а; х0) і /'(х) > 0 на інтервалі (х0; Ь), то х0 — точка мінімуму функції у - /(х); б) якщо /'(х) > 0 на інтервалі (а; х0) і /'(х) < 0 на інтервалі (х0; Ь), то х0 — точка максимуму функції у - /(х). Загальна схема дослідження функцій Загальне дослідження функції і побудову її графіка звичайно про- водять у такому порядку: 1) знаходять область визначення функції; 2) з’ясовують питання парності, непарності, періодичності функції;
Елементи диференційованого числення 157 3) знаходять, якщо це можливо, точки перетину графіка функції з осями координат. Іноді для уточнення побудови графіка потрібно знайти дві-три додаткові точки; 4) знаходять похідну функції та її критичні точки; 5) знаходять проміжки монотонності й екстремуми функції; 6) використовуючи отримані результати, будують графік функції. Приклад. Дослідити функцію у - -х3 + Зх - 2 і побудувати її графік. Розв’ язання. 1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел Н = (—00 2. у(-х) - -(-х)3 + 3(х) - 2 - х3 - Зх - 2, тобто у(-х) Ф у(х) і у(-х) Ф Ф -у(х). Отже, функція ні парна, ні непарна, тобто це функція загального виду. Функція неперіодична. 3. Знаходимо нулі функції: -х3 + Зх - 2 - 0 <=> х3 - Зх + 2 = 0 <=> <=> (х - 1)(х2 + х-2) = 0<=>(х- 1)(х + 2)(х - 1) = 0 <=> (х - 1)2(х + 2) = — точки перетину графіка з віссю Ох. При х - 0 х - -2 2/(0) = -2: точка перетину графіка з віссю ординат. 4. у' - -Зх2 + 3. Зрівнявши похідну до нуля, отримаємо критичні точки: -Зх2 + 3 = 0<=>х2=1<=>х = -1, х = 1. 5. Знайдені критичні точки розбивають числову пряму на три про- міжки: (-оо; -1), (-1; 1), (1; +°о). Запишемо таблицю, що допомагає у побудові графіка. X (-оо; -1) -1 (-1; і) 1 (1; +°°) / — 0 + 0 — У спади. —4 зрост. 0 спади. тіп тах 6. Використовуючи отримані результати, побудуємо графік функції (рис. 42). Задачі на знаходження найменшого і найбільшого значень функції. Екстремальні геометричні задачі Для відшукання найменшого і найбільшого значень функції, дифе- ренційованої усередині відрізка і неперервної на його кінцях, потрібно знайти всі критичні точки функції, що лежать усередині відрізка, об- числити значення функції в цих точках і на кінцях відрізка, а потім з усіх отриманих чисел вибрати найменше і найбільше. Приклади Знайти найменше і найбільше значення функції у - х4 - 8х2 - 9 на відрізку [-1; 3]. Розв’язання. Знаходимо критичні точки функції: у' - (х4 - 8х2 - 9)' = = 4х3 - 16х = 4х(х - 2)(х + 2) = 0 <=> х = 0, х- -2, х = 2 — критичні точки. У проміжку х є (-1; 3) лежать дві критичні точки: х = 0, х = 2. г/(0) = О4 - 8 О2 - 9 = -9, г/(2) = 24 - 8 22 - 9 = -25, г/(-1) = (-1)4 - -8(-1)2 - 9 = -16, г/(3) = З4 - 8 З2 - 9 = 0.
158 Алгебра Звідси найменше значення функції у = х4 - 8х2 - 9 досягається у точці х - 2 і дорівнює -25, а найбільше — у точці х - 3 і дорівнює 0. Коротко це записується таким чином: тіп у — у(2) = —25, тах у = у(3) = 0. [-1:3] [-1:3] Відповідь', тіп у — у(2) = — 25; тах у — у(3) - 0. [-1; 3] [-1; 3] Знайти найменше і найбільше значення функції у - 2соз х - соз 2х п п на відрізку —. Розв’язання. у' - -2зіп х + 2зіп 2х - -2зіп х + 4зіп х соз х - - 2зіп х(-1 + 2соз х) = 0 У проміжку X є п _ п ЇЇ’ЇЇ Обчислюємо у п З , У п ЇЇ У п З У п ЇЇ зіпх = 0 1 СОЗ X — — 2 х = пп, п є 2 п х = ±—н 2кп, к е 2. З п лежить тільки одна критична точка х - — , У п її л г, л 2л „ 1 = 2 соз-----соз — =2----------- З 2 З 1_ 2 З 2 2п о л 2л „ уЗ = 2 соз---соз — = 2------- 6 6 2 3 1=^-1 2 2 У п її п = 2 соз — - соз п = 0 - (-1) = 1. п Звідси найменше значення функції досягається у точці х - — . . п а найбільше — у точці х - —. п ЇЇ Відповідь', тіпг/ = у — 1; тах у — у п З З 2 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. Знайдіть значення похідної функції /(х) = хсозх при заданому значенні аргументу х0 = п. 1)-1; 2)0; 3)1; 4) л. 2. Знайдіть похідну функції у - 1п зіпх. 1) созх; 2) зіпх; 3) Ї£х; 4)сі£х. 3. Знайдіть похідну функції у - созІ^Зх. 1) 1-------; 2)-іїї*ї; 4)віп1зЗх. созЗхіпіО хІпЮ х 4. Знайдіть похідну функції у - 1п у]1 + 1§2х. 1) созх; 2) зіпх; 3) Ї£х; 4)сі£х. 5. У яких точках похідна функції у - х5 збігається зі значенням самої функції? 1)0; 1; 2) 0; 3; 3) 0; 5; 4) 0; 7.
Елементи диференційованого числення 159 6. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = х2 + х у точці х0 - 1. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4. 7. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у - е2л у точці х0 = 0. 1)у-2х+1; 2)у-2х-1; 3)у--2х-1; 4)у--2х+1. з 8. Знайдіть проміжок зростання функції у ------------- . х + 2 + х2 1) (-оо; -0,5); 2) (-0,5; +оо); 3) (-0,5; 0,5); 4) (-1; 1). 9. Знайдіть екстремуми функції у - І£(16 - х2). 1) Утіп = У(0) = 0; 2) г/тах = г/(0) = 1; 3) г/т111 = г/(1) = 0; 4) г/тах = г/(0) = 0. Я я 10. Знайдіть найбільше значення функції у - 5 + 4созх - зіп2х на проміжку • 1) 4; 2) 9; 3) 13; 4) 20. а2 11. Знайдіть кут нахилу дотичної до графіка функції у - — у точці (а, а). X 1)30°; 2)45°; 3)135°; 4)150°. 12. На кривій у - 4х2 - 6х - 3 знайдіть точку, у якій дотична паралельна прямій у - Юх. 1) (1; 2); 2) (2; 1); 3) (-1; 2); 4) (-2; 1). ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. 1. 2. 4. 3. 2. 4. 3. 5. 3. 6. 3. 7. 4. 8. 1. 9. 4. 10. 2. 11. 3. 12. 2.
ЕОМЕТРІЯ ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ТЕОРЕМИ ГЕОМЕТРІЇ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Пряма і відрізок, промінь, порівняння і вимірювання відрізків. Кути. Порівняння і вимірю- вання кутів. Суміжні та вертикальні кути. Кути при перетинанні двох прямих третьою прямою. Паралельні прямі. Кути з відповідно паралельними і перпендикулярними сторонами. Ознаки паралельності прямих. Властивості паралельних прямих. Кути з відповідно паралельними сторонами. Кути з відповідно перпендикулярними сторонами. Трикутник. Ознаки рівності трикутників. Рівнобедрений трикутник. Ознаки рівності прямо- кутних трикутників. Теорема Піфагора. Співвідношення між сторонами і кутами у прямокутно- му трикутнику. Подібність трикутників. Властивості бісектриси кута трикутника. Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику. Співвідношення між сторонами і кутами у довільному трикутнику. Теореми косинусів і синусів. Чотирикутник. Паралелограм. Ознаки паралелограма. Властивості паралелограма. Влас- тивість суми квадратів діагоналей паралелограма. Прямокутник. Ознаки прямокутника. Ромб. Ознаки ромба. Властивості ромба. Квадрат. Властивості квадрата. Трапеція. Властивість трапе- ції. Геометричні місця точок (коло, серединний перпендикуляр, бісектриса кута). Пропорційні відрізки у колі. Вписані та деякі інші кути. Вписані й описані трикутники. Вписані й описані чотирикутники. Ламана. Випуклі многокутники. Правильні многокутники. Довжина кола і дуги. Площі плоских фігур. Площа квадрата і прямокутника. Площа паралелограма і ромба. Площа трикутника. Площа трапеції. Площа випуклого чотирикутника. Площа правильного многокутника. Площі подібних фігур. Площа круга та його частин. Перетворення фігур. Рухи (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне пере- несення). Властивості рухів. Симетрія відносно точки (центральна симетрія). Симетрія відносно прямої (осьова симетрія). Поворот. Паралельне перенесення. Найпростіші геометричні побудови. Спільна схема розв’язання задач на побудову. Декартові координати на площині. Координати середини відрізку. Відстань між двома точ- ками. Рівняння кола. Рівняння прямої на площині. Умови паралельності двох прямих. Умова перпендикулярності двох прямих.
Основні поняття і теореми геометрії 161 СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Пряма і відрізок, промінь, порівняння і ВИМІРЮВАННЯ ВІДРІЗКІВ Точка і пряма є основними геометричними фігурами на площині. Зазвичай точки позначаються великими латинськими літерами А, В, С, В, Е, а прямі — малими а, Ь, с, <і, ... . На рис. 1 зображені точка А і пряма а. Частина прямої а, обмежена двома точками, називається відрізком. Точки, що обмежують відрізок, називаються його кінцями. На рис. 2 зображений відрізок із кінцями у точках А і В. Такий відрізок поз- начається АВ або ВА. Проведемо пряму а і відзначимо на ній точку О (рис. 3). Точка О розділяє пряму на дві частини, кожна з яких на- зивається променем, який виходить з точки О. Точка О називається початком кожного з променів. Зазвичай промінь позначають або ма- лою латинською літерою (промінь І на рис. 4, а), або двома великими латинськими літерами, перша з яких позначає початок променя, а дру- га — довільну точку на промені (промінь ОК на рис. 4, б). Дві геометричні фігури називаються рівними, якщо їх можна суміс- тити накладенням. Щоб з’ясувати, рівні два відрізки чи ні, накладають один відрізок на другий таким чином, щоб кінець одного відрізка суміс- тився з кінцем іншого. Якщо при цьому два інших кінці також суміс- тяться, то такі відрізки рівні. Якщо ж два інших кінці не сумістяться, то меншим вважається той відрізок, який складає частину другого. Серединою відрізка називається точка цього відрізка, яка ділить його навпіл (тобто на два рівних відрізки). Знаходження довжини відрізків засноване на порівнянні їх з яки- мось відрізком, узятим за одиницю вимірювання (цей відрізок часто називають масштабним відрізком). Обравши одиницю вимірювання, можна знайти довжину будь-якого відрізка. На практиці для вимірю- вання довжин відрізків і знаходження відстаней найчастіше використо- вують міліметри, сантиметри, дециметри, метри, кілометри. Ці одиниці вимірювання довжин пов’язані між собою, зокрема, таким чином: 1 кілометр = 1000 метрів, 1 метр = 100 сантиметрів, 1 дециметр = = 10 сантиметрів, 1 сантиметр = 10 міліметрів. Кути. Порівняння і вимірювання кутів Кутом називається фігура, що складається з точки, яка називаєть- ся вершиною кута, і двох променів, які називаються сторонами кута, що виходять з цієї точки (рис. 5). Кут позначають знаком На рис. 6 зображений кут із вершиною О і сторонами ОА і ОВ. Цей кут позначають таким чином: ААОВ (буква, яка позначає вершину, завжди ставиться посередині) або ЕО (О — буква, що стоїть у вершині кута). Нерідко кут позначають цифрою, поставленою всередині кута: /А. Кут називається розгорнутим, якщо обидві його сторони лежать на одній прямій, тобто кожна сторона розгорнутого кута є продовжен- ням другої сторони (рис. 7). а * В Рис. 2 а О Рис. З / О а) О К б) Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
162 Геометрія Рис. 8 Рис. 7 Два кута називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладен- ням. Щоб встановити, рівними є два нерозгорнутих кути чи ні, необхід- но сумістити сторону одного кута зі стороною другого таким чином, щоб дві інші сторони опинилися по один бік від суміщених сторін. Якщо дві інші сторони також сумістяться, то кути рівні (рис. 8, а). Якщо ж ці сторони не сумістяться, то меншим вважається той кут, який складає частину другого (рис. 8, б). На рис. 8 /Л. - ^3 < Х4. Бісектрисою кута називається промінь, який виходить з вершини кута і ділить його на два рівні кути. За одиницю вимірювання кутів приймають градус (позначається 1°) — кут, який дорівнює частині розгорнутого кута. Меншими оди- ницями вимірювання кутів є мінута (позначають знаком «'») і секунда (позначають знаком «"»): 1° = 60', 1' = 60". Додатне число, яке показує, скільки разів градус і його частини вміщуються в даному куті, називається градусною мірою кута. Рівні кути мають рівні градусні міри. Менший кут має меншу градусну міру. Якщо промінь ділить кут на два кути, то градусна міра усього кута дорівнює сумі градусних мір цих кутів. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Якщо сторони кута співпадають, то величину такого кута вважають рівною 0°. Суміжні та вертикальні кути. Кути при перетинанні двох прямих третьою прямою Суміжними кутами називаються два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженням одна одної. На рис. 9 кути АОВ і ВОС — суміжні. Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Вертикальними кутами називаються два кути, у яких сторони одного кута є продовженням сторін другого. На рис. 10 вертикальни- ми кутами є: ААОВ і АВОС, ААОВ і АВОС. Вертикальні кути рівні. Рис. 9 Нехай прямі аїЬ перетинаються третьою прямою с, яка називається січною. Тоді утворюється вісім кутів (рис. 11), які мають спеціальні назви. Чотири кути, розташовані між прямими а і Ь, тобто кути 3, 4, 5, 6, називаються внутрішніми кутами, а кути 1, 2, 7, 8 — зовнішніми кутами. Кути 1 і 5, 2І6, Зі 7, 4І8 називаються відповідними. Кути З і 6, 4 і 5 називаються внутрішніми, які лежать навхрест. Кути 1 і 8,
Основні поняття і теореми геометрії 163 2 і 7 називаються зовнішніми, які лежать навхрест. Кути 3 і 5, 4 і 6 називаються внутрішніми односторонніми. Кути 1 і 7, 2 і 8 називаються зовнішніми односторонніми. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетина- ються під прямим кутом. Паралельні прямі. Кути з відповідно паралельними І ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИМИ СТОРОНАМИ Паралельними прямими називаються дві прямі, які лежать в одній площині й не перетинаються (рис. 13). Паралельність прямих позначається знаком ||. Паралельність прямих а і Ь записується таким чином: а || Ь. Аксіома паралельних Через точку поза прямою можна провести єдину пряму, паралельну даній (рис. 14). Ознаки паралельності прямих 1. Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. Якщо а || Ь, а Ц с (рис. 15), то Ь Ц с. 2. Якщо внутрішні кути, які лежать навхрест, рівні, то прямі па- ралельні. Якщо АА - А2 (рис. 17) або ^3 = Х4, то а || Ь. 3. Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні. Якщо АА + ^4 = 180° (рис. 16) або А2 + ^3 = 180°, то а Ц Ь. 4. Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні. Якщо АХ - Х5, або А2 - А6, або ^3 = А7, або ^4 = А8 (рис. 17), то а || Ь. 5. Якщо дві прямі перпендикулярні третій, то вони паралельні. Якщо а ± с, Ь ± с, то а || Ь (рис. 18). Властивості паралельних прямих 1. Якщо дві паралельні прямі перетинаються третьою прямою, то внутрішні кути, які лежать навхрест, рівні. Якщо а Ц Ь, то (рис. 16) АХ - А2 і ^3 = Х4. 2. Якщо дві паралельні прямі перетинаються третьою прямою, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. Якщо а Ц Ь (рис. 16), то АХ + ^4 = 180°, А2 + А8 - 180°. 3. Якщо дві паралельні прямі перетинаються третьою прямою, то відповідні кути рівні. Якщо а Ц Ь (рис. 17), то АХ - 5, А2 - ^6, ^3 = Х7, ^4 = ^8. Кути з відповідно паралельними сторонами Візьмемо на площині дві точки О та Р і з цих точок проведемо дві пари променів ОА || РМ і ОБ || РО таким чином, щоб обидва кути АОВ і МРО були гострими (рис. 19) або тупими (рис. 20). Кути АОВ і МРО — кути з відповідно паралельними сторонами. Доведемо, що ці кути рівні між собою. ЗАПАМ'ЯТАЙ Кут називається прямим, якщо він дорівнює 90° (рис. 12, а), гострим, якщо він мен- ше 90° (рис. 12, б), тупим, якщо він більше 90°, але мен- ше 180° (рис. 12, в). Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16
164 Геометрія Рис. 18 Нехай ОВ перетинає РМ у точці N. ААОВ = АММВ як відповідні кути при паралельних АО та МР і січною ВО. АММВ - АМРО як від- повідні кути при паралельних ОВ і Вф, січній МР, отже, ААОВ - АМРО. Таким чином, кути з відповідно паралельними сторонами рівні, якщо вони обидва гострі чи тупі. Неважко довести, що кути з відповідно паралельними сторонами у сумі складають 180°, якщо один з них гострий, а другий — тупий. Кути з відповідно перпендикулярними сторонами Побудуємо довільний гострий кут АОВ. Проведемо через вершину кута промені, перпендикулярні до його сторін таким чином, щоб вони утворили гострий кут. ОМ ± ОВ і О У ± ОА (рис. 21). Ми отримали новий кут МОИ. Сторо- ни кутів АОВ і МОИ взаємно перпендикулярні. ААОВ - 90° - АВО.У; АМОИ - 90° - АВОА. Звідси випливає, що ААОВ - АМОА. Побудуємо довільний тупий кут АОВ і через його вершину проведемо промені, пер- пендикулярні до його сторін таким чином, щоб вони утворили тупий кут ОР ± ОА і ОВ ± ОВ (рис. 22), кут РОВ — тупий. Сторони кутів АОВ і РОВ взаємно перпендикулярні, тому ААОВ = 90° + АРОВ; АРОВ = 90° + + АРОВ. Звідси ААОВ - АРОВ. Отже, кути з відповідно перпендику- лярними сторонами рівні між собою, якщо вони обидва гострі чи тупі. Неважко довести, що кути з відповідно перпендикулярними сторона- ми в сумі складають 180°, якщо один із них гострий, а другий — тупий. Рис. 20 Рис. 21 вершина вершина сторона вершина Рис. 23 Д Вас Рис. 24 Трикутник Трикутником називається геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і відрізків, що з’єднують ці точки (рис. 23). Точки називаються вершинами трикутника, а відріз- ки — сторонами трикутника. На рис. 24 зображений трикутник з вер- шинами А, В, С і сторонами АВ, ВС,АС. Такий трикутник позначають таким чином: ААВС. Кути САВ, АВС, АСВ називаються кутами три- кутника. їх нерідко позначають однією буквою: АА, АВ, АС. Сторону ВС і кут А трикутника АВС називають протилежними. Протилежними є також сторона АС і кут В, сторона АВ і кут С. Кути АіС, ВіС, АіВ називають прилеглими відповідно до сторін АС, ВС, АВ. Периметром трикутника називається сума довжин трьох сторін три- кутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини сторін ВС, СА, АВ відповідно через а, Ь, с, то Р - а + Ь + с. У будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто с < а + Ь; а < с + Ь; Ь < а + с.
Основні поняття і теореми геометрії 165 Два трикутники називаються рівними, якщо їх можна сумістити на- кладанням. На рис. 25 зображені рівні трикутники АВС і МИР. Рівність трикутників АВС і МИР позначається таким чином: ААВС - АМИР. Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони і кути) од- ного з них відповідно дорівнюють елементам другого трикутника. На рис. 25 АА = АМ, АВ = АИ, АС = АР, АВ = МИ, ВС = МР, АС = ИР. На кресленні рівні сторони позначають рівною кількістю рисочок, а рівні кути — однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників про- ти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів лежать рівні сторони. Ознаки рівності трикутників Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними). Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі Рис. 26 Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами). Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника від- повідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 27). Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами). Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 28). Рис. 28 Рівнобедрений трикутник Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторо- на — основою. На рис. 29 ААВС — рівнобедрений, у нього АВ = ВС. Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім або правильним. Рис. 29
166 Геометрія ЗАПАМ'ЯТАЙ Властивості рівнобедреного трикутника 1. У рІвнобедреному трикут- нику кути при ОСНОВІ рівні. 2. У рІвнобедреному трикут- нику медіана, проведена до основи, є бісектрисою І ви- сотою. Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений із вершини трикутника до прямої, яка містить протилежну сторону. На рис. ЗО ВН — висота трикутника АВС. Медіаною трикутника називається відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. На рис. 31АМ — медіа- на трикутника АВС. Бісектрисою трикутника називається відрізок бісектриси кута три- кутника, який з’єднує вершину трикутника з точкою протилежної сто- рони. На рис. 32 АЬ — бісектриса трикутника АВС. Слід зазначити: у будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (рис. 33); бісектриси перетинаються в одній точці (рис. 34); висоти або їх продов- ження перетинаються в одній точці (рис. 35 а, 35 б, 35 в). ЦІКАВО ЗНАТИ Забігаючи трохи наперед, за- значимо, що з кожним три- кутником пов'язані чотири точки. Точка перетину медіан трикутника — це центр тяжіння трикутника; точка перетину бісектрис кутів трикутника — це центр вписаного у трикут- ник кола; точка перетину висот трикутника (абоїх про- довжень) — це так званий ортоцентр трикутника; точка перетину серединних перпен- дикулярів до сторін трикутни- ка — центр описаного навколо трикутника кола. ЦІ чотири точки називаються визнач- ними точками трикутника. Рис. ЗО Рис. 34 Рис. 35 Зовнішнім кутом трикутника називається кут, суміжний із кутом три- кутника при цій вершині. На рис. 36 АВСВ — зовнішній кут трикутника АВС. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним. На рис. 36: АВСВ = АВАС + ААВС. Зовнішній кут три- кутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним. Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого є пря- мий кут. На рис. 37 ААВС — прямокутний, у ньому АС = 90°. Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гі- потенузою, а дві інші сторони називаються катетами.
Основні поняття і теореми геометрії 167 Гострокутним трикутником називається трикутник, у якого всі кути гострі (рис. 38). Тупокутним трикутником називається трикутник, у якого є тупий кут (на рис. 39 кут В — тупий). Рис. 37 Ознаки рівності прямокутних трикутників 1. Якщо два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні. 2. Якщо катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівню- ють катету і гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні. 3. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні. 4. Якщо гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівню- ють гіпотенузі й катету другого трикутника, то такі трикутники рівні. Теорема Піфагора Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. На рис. 40 АВ2 = АС2 + СВ2 або с2 = а2 + Ь2. Висновки з теореми Піфагора 1. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менше гіпо- тенузи. 2. Квадрат катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи і другого катета: а2 - с2 - Ь2 і Ь2 - с2 - а2. 3. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах (рис. 41): = 82 + 83. Теорема (протилежна теоремі Піфагора). Якщо квадрат однієї сто- рони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то цей трикутник прямокутний. Нехай ВА — перпендикуляр до прямої а, С — будь-яка точка прямої а, відмінна від А, тоді ВС — похила до прямої а, АС — проекція похилої на пряму а (рис. 42), С — основа похилої, А — основа перпендикуляра. Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр і похилі, то: 1) будь-яка похила більша перпендикуляра; 2) рівні похилі мають рівні проекції; 3) похилі рівні, якщо рівні їхні проекції; 4) з двох похилих більшою є та, в якої проекція більше; 5) з двох проекцій більшою є та, яка відповідає більшій похилій. ЗАПАМ'ЯТАЙ у] Якщо у трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений. Рис. 42
168 Геометрія Співвідношення між сторонами і кутами у прямокутному трикутнику Рис. 43 Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається від- -ВС ношення протилежного катета до гіпотенузи (рис. 43): 8Іпос = ——. т4_В Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається від- АС ношення прилеглого катета до гіпотенузи (рис. 43): созос = ——. Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається від- -ВС ношення протилежного катета до прилеглого катета (рис. 43): Ї£ос = —— -4x0 Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називаєть- ся відношення прилеглого катета до протилежного катета (рис. 43): АС С‘8“=вс- Значення синуса, косинуса і тангенса деяких кутів наведені у табл. 1. Таблиця 1 Кут сх Функція 0° 30° 45° 60° 90° зіп а 0 1 2 У? 2 Уз 2 1 соз а 1 7з 2 >/2 2 1 2 0 Ід сх 0 7з 3 1 Уз не сущ. Рис. 44 З визначення зіп а, соз а, а, сі£ а отримуємо такі правила. 1. Невідомий катет дорівнює добутку гіпотенузи на синус проти- лежного кута до невідомого катета або на косинус прилеглого кута до невідомого катета (рис. 44): а - с зіп а - с соз 0, Ь - с зіп 0 = с соз а. 2. Невідомий катет дорівнює добутку другого катета на тангенс про- тилежного кута до невідомого катета або на котангенс прилеглого кута до невідомого катета (рис. 44): а - Ь а - Ь сі^ 0, Ь - а 0 = а сі^ а. Основні тригонометричні тотожності . , . ? , зіпос , сова зіп2 ос + соз2 ос = 1, =----, сі§,а = —-, соза зіпа ОС • СІ£ ОС = 1, 1 + 1§'2ос = \, 1 + сі£2 ОС = \—. соз а зіп а При зростанні гострого кута синус і тангенс кута зростають, а ко- синус і котангенс зменшуються. Для будь-якого кута справедливими є формули: зіп (90° - ос) = соз а, соз (90° - ос) = зіп а, (90° - ос) = сі£ а, сі^ (90°- -«) = !§ а.
Основні поняття і теореми геометрії 169 Подібність трикутників Два трикутники називаються подібними, якщо їхні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. На рис. 45 ААВС подібний ДА^С^ А В Вґ1 СА оскільки АА = АА,, АВ = АВ,, АС = АС,, — =------= —т~-к. Число А1В1 В^ С1А1 к називається коефіцієнтом подібності. Подібність трикутників АВС і А1В1С1 позначається таким чином: ААВС ~ АА1В1С1. Ознаки подібності трикутників 1. Якщо два кута одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого, то такі трикутники подібні. 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, вміщені між цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні. 3. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторо- нам другого, то такі трикутники подібні. Властивості бісектриси кута трикутника Теорема 1. Бісектриса будь-якого внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторо- нам трикутника. Якщо у ААВС (рис. 46) АА — бісектриса кута ВАС, тобто /ПЛАТ /ЛЛЛТ ВА АВ ХВААТ = ХСААТ, то —— = АС АС Рис. 46 Теорема 2. Бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає про- довження протилежної сторони в такій точці, відстані від якої до кін- ців цієї сторони пропорційні прилеглим сторонам трикутника. Якщо (рис. 47) ВВ — бісектриса зовнішнього кута СВК, тобто ПА А В АСВВ = АКВВ, то = Рис. 47 Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику Якщо довжини відрізків а, Ь і с пов’язані співвідношенням Ь2 - ас, або Ь - 4ас, то відрізок Ь називається середнім пропорційнім (середнім геометричним) відрізків а і с. Теорема. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу. На рис. 48 АС2 = АВ • АВ, або АС = у/АВ АВ, ВС2 = АВ • ВВ, або ВС = >/АВ ВВ. Теорема. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпо- тенузу. На рис. 48 СВ2 = АВ • ВВ, або СВ = а/АОВВ. Рис. 48
170 Геометрія Співвідношення між сторонами і кутами у довільному трикутнику. Теореми косинусів і синусів Рис. 49 Теорема косинусів. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними. Наприклад, у ДАВС (рис. 49) а2 - с2 + Ь2 - 2сЬ соз а, Ь2 = а2 + Ь2- 2ас соз 0, с2 = а2 + Ь2 - 2аЬ соз у. Теорема синусів. У довільному трикутнику відношення будь-якої сторони до синуса протилежного кута постійне і дорівнює діаметру опи- саного навколо нього кола: = 2Л. зіпа зіпр зіп у Слід пам’ятати, що синуси суміжних кутів рівні, а косинуси суміж- них кутів — протилежні числа: зіп (180° - а) = зіп а, соз (180° - а) = -соз а. Чотирикутник Рис. 50 Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків, які послідовно поєднують їх і не перетинаються. Дані точки називають- ся вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх поєднують, — сторо- нами чотирикутника. На рис. 50 поданий чотирикутник АВСВ; точки А, В, С, В — його вершини, АВ, ВС, СВ, ВА — сторони чотирикутника АВСВ. Вершини чотирикутника називаються сусідніми (суміжними), якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Наприклад, на рис. 52 А і В, В і С, С і В, А і В — сусідні вершини. Вершини, які не є сусідніми, називаються протилежними верши- нами. На рис. 50 вершини А і С, В і В — протилежні. Відрізки, які поєднують протилежні вершини чотирикутника, називаються діаго- налями чотирикутника. На рис. 50 АС і ВВ — діагоналі чотирикут- ника АВСВ. Сторони, які виходять з однієї вершини, називаються сусідніми (суміжними) сторонами, а сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. Периметром чотирикутника називається сума довжин усіх його сторін: РАВСВ - АВ + ВС + СВ + ВА. Кут, суміжний із внутрішнім кутом чотирикутника, називається зовнішнім кутом чотирикутника. На рис. 51 цифрами 1, 2, 3, 4 позна- чені зовнішні кути чотирикутника АВСВ, причому при кожній вершині побудований тільки один зовнішній кут. Паралелограм Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. На рис. 52 чотирикутник АВСВ — пара- лелограм, оскільки АВ || ВС, АВ || ВС.
Основні поняття і теореми геометрії 171 Ознаки паралелограма 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм. 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Властивості паралелограма У паралелограмі (рис. 52): 1. Протилежні сторони рівні (АВ - СВ і АВ - ВС). 2. Протилежні кути рівні (АА - АС і АВ - АВ). 3. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл (АО = ОС і ВО = ОВ). 4. Кожна діагональ розбиває його на два рівних трикутники (ААВС = АСВА, ААВВ = АСВВ). 5. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180° (АА + АВ - - АВ + АС - АС + АВ - АВ + АА- 180°). Домовимося одну зі сторін паралелограма називати основою, а пер- пендикуляр, проведений із будь-якої точки протилежної сторони до прямої, яка містить основу, — висотою паралелограма. На рис. 53 відрізки ВЬ і МУ — висоти паралелограма. Властивість суми квадратів діагоналей паралелограма Теорема. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін. У паралелограмі АВСВ (рис. 52) АС2 + ВВ2 = АВ2 + ВС2 + СВ2 + АВ2 або АС2 + ВВ2 = 2(АВ2 + АВ2). Рис. 52 Рис. 53 Прямокутник Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі. На рис. 54 паралелограм АВСВ — прямокутник, оскільки АА - АВ - -АС-АВ-900. Ознаки прямокутника 1. Якщо у паралелограма один із кутів прямий, то цей паралелог- рам — прямокутник. 2. Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то цей паралелограм — прямокутник. Властивості прямокутника Прямокутник має всі властивості паралелограма, крім того, діаго- налі прямокутника рівні.
172 Геометрія В Рис. 56 А о Ромб Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні. На рис. 55 паралелограм АВСВ — ромб, оскільки АВ - ВС - СВ = ВА. Ознаки ромба 1. Якщо у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то цей пара- лелограм — ромб. 2. Якщо у чотирикутника сторони рівні, то цей чотирикутник — ромб. Властивості ромба Ромб має всі властивості паралелограма, крім того: 1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні: АС ± СВ (рис. 55). 2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. На рис. 55 АА - А2 - = АЗ = А 4 і А5 = А6 = АЛ = А8. Квадрат Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні. (Інше визначення: квадратом називається ромб, у якого всі кути прямі). На рис. 56 зображений квадрат АВСВ. Властивості квадрата Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба. 1. У квадрата всі кути прямі і всі сторони рівні. 2. Діагоналі квадрата рівні та перетинаються під прямим кутом. 3. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів. Кожна діагональ квадрата утворює зі стороною кут у 45° (рис. 57). Рис. 58 Рис. 59 Трапеція Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони пара- лельні, а дві інші сторони не паралельні. На рис. 58 чотирикутник АВСВ — трапеція. Паралельні сторони трапеції називаються основами, а непаралельні сторони — бічними сторонами. На рис. 58 сторони ВС і АВ — основи, АВ і СВ — бічні сторони. Висотою трапеції називається перпендикуляр, проведений із будь- якої точки однієї з основ до прямої, яка містить іншу основу (інакше: висотою трапеції називається відстань між її основами). На рис. 58 МА — висота трапеції АВСВ. Властивість трапеції Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. Рівнобічною (рівнобедреною) трапецією називається трапеція, у якій бічні сторони рівні. На рис. 59 зображена рівнобічна трапеція АВСВ.
Основні поняття і теореми геометрії 173 Властивості рівнобічної трапеції У рівнобічній трапеції (рис. 59): 1. Кути при основі рівні: АА. - АВ, АВ - АС. 2. Діагоналі рівні: АС = ВВ. Прямокутною трапецією називається трапеція, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основи (рис. 60). Ця бічна сторона є висотою трапеції. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника і трапеції Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відсікають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відсікають рівні відрізки й на іншій його стороні. ЯкщоА^! Ц А2В2 Ц А2В2 іА,А2 -А^ (рис. 61), тоВД = В2В3. В умові теореми Фалеса замість сторін кута можна взяти будь-які дві прямі, при цьому висновок теореми залишається незмінним. Середньою лінією трикутника називається відрізок, який з’єднує сере- дини двох його сторін. На рис. 62 МИ — середня лінія трикутника АВС. Теорема про середню лінію трикутника. Середня лінія трикутника паралельна третій стороні й дорівнює її половині. На рис. 62 || АС і МУ = | АС. Сі Середньою лінією трапеції називається відрізок, який з’єднує середи- ни бічних сторін. На рис. 63 відрізок МА — середня лінія трапеції АВСВ. Теорема про середню лінію трапеції. Середня лінія трапеції пара- лельна основам і дорівнює їхній напівсумі. На рис. 63 || АВ, МИ || ВС і МА = |(А0 + ВС). Сі Геометричні місця точок (коло, СЕРЕДИННИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР, БІСЕКТРИСА КУТА) Геометричним місцем точок називається фігура, яка складається з усіх точок площини, які мають певну властивість. Колом називається геометричне місце точок площини, рівновіддале- них від даної точки, яка називається центром кола (рис. 64). Відстань від точки кола до центра називається радіусом. Радіусом також нази- вається будь-який відрізок, який з’єднує точку кола з його центром. На рис. 64 ОА, ОВ, ОВ — радіуси. Відрізок, який з’єднує дві точки кола, називається хордою. Хорда, яка проходить через центр, називається діаметром (на рис. 64 ВС — хорда, ВВ — діаметр). Пряма, яка проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, називається дотичною. На рис. 65 АВ — дотична до кола, А — точка дотику. Дотичними колами називаються два кола, які мають лише одну спільну точку (у цій точці вони мають спільну дотичну). Дотикання кіл називається внутрішнім, якщо центри кіл лежать по один бік від їхньої спільної дотичної (рис. 66). Дотикання кіл називається зовнішнім, якщо центри кіл лежать по різні сторони від їхньої спільної дотичної (рис. 67).
174 Геометрія Рис. 67 Рис. 68 Рис. 66 Рис. 70 Круг — геометричне місце точок площини, відстань яких від даної точки, яка називається центром, не перевищує даної відстані, яка нази- вається радіусом (інакше кажучи, кругом називається частина площини, обмежена колом). На рис. 68 О — центр круга, ОА - г — радіус круга. Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від двох да- них точок, є серединний перпендикуляр до відрізка, який з’єднує ці точки (пряма, що перпендикулярна до відрізка і проходить через його середину) (рис. 69). Якщо АС = СВ і І — серединний перпендикуляр до відрізка АВ (рис. 69), то С належить І, і навпаки, якщо С належить серединному перпендикуляру, то СА = СВ. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно прохо- дить через усі його вершини (рис. 70). Теорема. Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою пе- ретину серединних перпендикулярів до сторін трикутника (рис. 71). Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від сторін даного кута, є бісектриса цього кута. Якщо (рис. 72) точка М рівновіддалена від сторін кута АОВ (АМ - МВ, МА ± ОА, МВ ± ОВ), то точка М лежить на бісектрисі ОС, і навпаки, якщо М лежить на бісектрисі ОС кута АОВ, то вона рівновіддалена від його сторін (тобто МА = МВ, МА ± ОА, МВ ± ОВ). Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до кожної з його сторін (рис. 73). Рис. 74 Теорема. Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину його бісектрис (рис. 74). Пропорційні відрізки у колі Теорема про хорди, що перетинаються Якщо хорди АВ і СВ кола перетинаються у точці 8, то АВ • ВВ = СВ • ВВ (рис. 75), тобто якщо через точку В, узяту всередині кола, проведено скільки завгодно хорд, то добуток відрізків кожної хорди є числом, постійним для усіх хорд.
Основні поняття і теореми геометрії 175 Теорема про дві січні кола, проведені з однієї точки Якщо з точки Р до кола проведені дві січні, які перетинають коло у точках А, В і С, В відповідно, то АР • ВР = ВР • СР (рис. 76). Теорема про дотичну і січну, які проведені з однієї точки Якщо з точки Р до кола проведена дотична РТ і січна, яка перетинає коло у точках А і В, то РВ РА - РТ2 (рис. 77), тобто добуток січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної. Вписані та деякі інші кути Центральним кутом кола називається кут з вершиною в його центрі. Він утворений двома радіусами цього кола. На рис. 78 ААОВ — цент- ральний кут. Центральний кут вимірюється дугою, на яку він опирається. На рис. 78 ААОВ = оАВ. Вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. На рис. 79 ААВС — вписаний. Теорема. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він опирається (дорівнює половині центрального кута, який спирається на цю ж дугу). Нарис. 79 ААВС = |оАС = |аАОС. Сі Сі Наслідок 1. Вписані кути, які спираються на одну і ту саму дугу, рівні між собою. На рис. 80 ААВ^С - ААВ2С - ААВ3С. Наслідок 2. Вписані кути, які спираються на діаметр, прямі. На рис. 81 ААВВ = ААСВ = 90°. Рис. 80 Вписані й описані трикутники Трикутник називається вписаним в коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі (рис. 81). Коло при цьому називається описаним навколо трикутника. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж тільки одне. Центр описаного навколо трикутника кола є точкою перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін (рис. 84). Радіус В описаного кола можна обчислити за формулами: 1. В-—де а — довжина сторони трикутника; А — кут три- 2 зіп А кутника, протилежний стороні а. я т-> а&с , 2. В - —. ---, де а, Ь, с — довжини сторін трикутника, 4>/р(р-а)(р-&)(р-с) а + Ь + с р-------- — напівпериметр. Рис. 83
176 Геометрія Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, знахо- диться всередині трикутника, навколо тупокутного трикутника — поза трикутником, навколо прямокутного трикутника — на середині гіпо- тенузи (рис. 84). Рис. 84 Рис. 86 Трикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сто- рони дотикаються до цього кола. Коло при цьому називається вписаним у трикутник (рис. 85). У будь-який трикутник можна вписати коло, і до того ж тільки одне. Центр вписаного у трикутник кола є точкою перетину бісектрис внут- рішніх кутів трикутника (рис. 86). Радіус вписаного у трикутник кола можна обчислити за формулою: І(р-а)(р-д)(р-с) N Р де а, Ь, с — довжини сторін трикутника; а + Ь + с р — напівпериметр, р---------. Рис. 87 Вписані й описані чотирикутники Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі; коло при цьому називається описаним навколо многокутника (рис. 87). Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола; коло при цьому називається впи- саним у многокутник (рис. 88). У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, й навпаки: чотирикутник можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін рівні (рис. 89): АВ + СВ -АВ + ВС. Рис. 90
Основні поняття і теореми геометрії 177 У будь-якому вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180° і навпаки: навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180° (рис. 90): АВ + АВ = АА + АС = 180°. Зокрема, описати коло можна навколо прямокутника, квадрата, рівнобедреної трапеції; вписати коло можна в ромб, квадрат, а також трапецію, в якій сума основ дорівнює сумі бічних сторін. Ламана. Випуклі многокутники Ламаною ... А„ називається фігура, яка складається з точок А1; А2, А3, ..., А„, що називаються вершинами ламаної, і поєднують їх відрізки А1А2, АзАд, ..., АЛ_1АЛ, що називаються ланками ламаної. Ламана називається простою, якщо вона не має точок самоперетину. На рис. 91 ламана проста, на рис. 92 — ламана з самоперетином. Ламана називається замкненою, якщо у неї кінці співпадають. Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок. Теорема. Довжина ламаної не менше довжини відрізка, який поєд- нує її кінці. Многокутником називається проста замкнена ламана, сусідні ланки якої не лежать на одній прямій (рис. 93). Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, а ланки ламаної — сторонами многокутника. Дві вершини многокутника, які належать одній стороні, називаються сусідніми. Відрізки, які з’єднують не сусідні вершини многокутника, називаються діагоналями. Многокутник з п вершинами (з п сторонами) називається п-кутником. Плоским многокутником (многокутною областю) називається кін- цева частина площини, обмежена многокутником (рис. 94). Многокутник називається випуклим, якщо він лежить по один бік від кожної прямої, яка проходить через дві його сусідні верши- ни. На рис. 95 многокутник В\ випуклий, а многокутник В2 неви- пуклий. Кутом випуклого многокутника за даної вершини називається кут, утворений його сторонами, які поєднуються в цій вершині. Теорема. Сума кутів випуклого п-кутника дорівнює 180° • (п - 2). Зовнішнім кутом випуклого многокутника за даної вершини на- зивається кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника при цій вершині. Теорема. Сума зовнішніх кутів випуклого п-кутника, узятих по од- ному при кожній вершині, дорівнює 360°. Правильні многокутники Випуклий многокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони й усі кути рівні (рис. 96). Кожний внутрішній кут правильного 180° (п- 2) „ „ п-кутника дорівнює --------Правильний випуклии многокутник п є вписаним у коло й описаним навколо кола. Вписане й описане кола правильного многокутника мають один і той самий центр (рис. 97). Його називають центром многокутника. Для правильного п-кутника радіуси Рис. 91 Рис. 93 Рис. 94 Рис. 95 Рис. 96
178 Геометрія гіК відповідно вписаного та описаного кіл пов’язані між собою спів- „ 180° відношенням: Г = ВСО8----. п Зв’язки між стороною ап правильного п-кутника (п - 3, 4, 6), радіу- сом В описаного кола, радіусом г вписаного кола наведені у табл. 2, 3. Таблиця 2 п п = 3 п = 4 п = б /? ап „ . 180° 2 51 п п а 7з а л/2 а г ап „ 180° 2 ід п а 2>/з а 2 йу/З 2 Таблиця З Н г л г йп 180° 2/?5ІП п „ 180° 2г ід п а3 /?7з 2гу/з /?л/2 2г «6 /? 2у/з г 3 Апофемою правильного многокутника називається відрізок перпен- дикуляра, опущеного з його центра, до перетину зі стороною. Довжина кола і дуги Довжина кола обчислюється за формулою: С = 2пВ, де В — радіус кола (рис. 98). Довжина дуги кола радіусом В може бути обчислена за формулами: / = (рис. 99) або І = <рВ (рис. 100), 180 де І — довжина дуги кола; п° — градусне вимірювання дуги; ф — радіан- не вимірювання дуги. Відношення довжин двох кіл дорівнює відношенню довжин їхніх . . Сі В1 радіусів: 77- = ^-. С2 лл2 Одиницею радіанної міри кутів є радіан. Кут у 1 радіан — цент- ральний кут, який спирається на дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола (рис. 101). На рис. 101 кут АОВ дорівнює 1 радіану, оскільки довжини всіх сторін криволінійного трикутника АОВ дорів- нюють радіусу В. Рис. 100
Основні поняття і теореми геометрії 179 Оскільки довжина напівкола радіусом В дорівнює пВ, то розгорну- „ . . пВ „ тии кут складає я радіан, оскільки —- = я. Градусна міра розгорнутого 7г 180° кута дорівнює 180°, тому я - 180°. Звідси 1 радіан = -~57°17'45" п (57 градусів, 17 мінут, 45 секунд). Таким чином, зі співвідношення я = 180° можна переходити від градусів до радіанів і навпаки. Зокрема, = 0,017 Ра«іан- ІоУ Наведемо таблицю переходу від градусів до радіанів найбільш по- ширених кутів (табл. 4). Таблиця 4 Градуси 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° Радіани 0 п 12 п б п 4 я 3 5к 12 Я 2 Я Площі плоских фігур Площа квадрата і прямокутника Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони (рис. 102): 5 = а2. Площа квадрата дорівнює половині квадрата його діагоналі (рис. 102): 5 = ^:<і2 Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін Сі прямокутника (рис. 103): 5 = аЬ. Площа прямокутника дорівнює поло- вині квадрата діагоналі, помноженій на синус кута між діагоналями (рис. 103): 5 = ^й28Іпф. Сі Площа паралелограма і ромба Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони (основи) на висоту, проведену до неї (рис. 104): 5 = ак. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними (рис. 104): 8 - аЬ зіп а. Площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними (рис. 105): 5 = зіпер. Сі Площа ромба дорівнює добутку квадрата сторони на синус кута ром- ба (рис. 106): 8-а2 зіп а. Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей (рис. 107): 2 1 2 Зазначимо, що інколи площу ромба визначають, застосовуючи фор- мулу 5 = ак. Рис. 106 Рис. 105 Рис. 107
180 Геометрія А В 0 а С Рис. 108 Площа трикутника Площу 5 трикутника можна обчислити за такими формулами: 1. 5 дорівнює половині добутку його сторони на проведену до неї висоту (рис. 108): 8-^-ак. Сі 2. 5 дорівнює половині добутку двох будь-яких його сторін на синус кута між ними (рис. 108): 8 = ^а&8Іпу. Сі 3. 5 за формулою Герона дорівнює: 8 = -у/р(р -а)(р-Ь)(р - с), де а, 7 . а+Ь+с Ь, с — довжини сторін трикутника, а р-------- — напівпериметр. Сі Ь Рис. 109 4. 8 дорівнює: 8 = рг, „ _ аЬс 4ЇЇ’ де р — напівпериметр; г — радіус вписаного кола; В. — радіус описаного кола; а, Ь, с — довжини сторін трикутника. 5. 8 прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його ка- тетів. а2>/з 6. 8 правильного (рівностороннього) трикутника дорівнює: 8 = —-—, де а — довжина сторони трикутника. Рис. 110 Площа трапеції Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми основ на висоту (рис. 109): 8 = ^±^й. Сі Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії трапеції на висоту (рис. 109): 8 = т • й. Площа випуклого чотирикутника Площу 8 випуклого чотирикутника можна обчислити за такими ЦІКАВО ЗНАТИ Площу довільного випуклого чотирикутника Інколи зруч- но знаходити як суму пло- щин двох трикутників, на які чотирикутник розбивається однією з діагоналей. формулами: 1. 8 будь-якого випуклого чотирикутника дорівнює половині добут- ку його діагоналей на синус кута між ними: 8 = зіпер (рис. 110). Сі а 2. 8 вписаного чотирикутника можна обчислити, знаючи довжини його сторін: 8 = у](р - а)(р - Ь)(р - с)(р - (і), де а, Ь, с, д. — довжини сторін чотири- кутника, а р — напівпериметр. 3. 8 описаного чотирикутника дорівнює добутку напівпериметра чотирикутника на радіус вписаного кола: 8 = рг (рис. 111). Ця формула правильна для будь-якого описаного многокутника. Площа правильного многокутника Площа правильного п-кутника може бути обчислена за такими фор- мулами (рис. 112). . Є 1 о е 1 „2 • 360° 2, 180° 1 2 , 180° 1. 8 =рг = — паг-, 2. 8 =—пН 8іп------пг іа-----—пг сіа----, 2 2 п п 4 п Рис. 111
Основні поняття і теореми геометрії 181 де р — напівпериметр; п — число сторін многокутника; г — радіус впи- саного кола; В — радіус описаного кола; а — довжина сторони много- кутника. Зокрема, площі правильних трикутника, чотирикутника (квадрата), шестикутника відповідно дорівнюють а2 , де а — довжини їхніх сторін. Площі подібних фігур Площі подібних фігур співвідносяться як квадрати їхніх відповідних лінійних розмірів (відношення площин двох подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності): о / \2 7Г= — =&2 (рис. 113). Площа круга та його частин Площа круга обчислюється за формулою: 5 = пВ2 (рис. 114), де 5 — площа круга; В — радіус круга. Відношення площ двох кругів дорівнює відношенню квадратів їхніх • • «і % радіусів: - = -7. °2 В2 Площа сектора може бути обчислена за формулами: о лЛ2П° , 1 1 « а -^2(Р / 11Й\ $ = (рис. 115) або 8^—— (рис. 116), 601/ сл ЗАПАМ'ЯТАЙ у] У подібних многокутників кути одного дорівнюють від- повідно кутам другого, а сто- рони, що утворюють рівні кути, є пропорційними. Рис. 113 де п° — градусне вимірювання дуги сектора; гр — радіанне вимірювання дуги сектора. Рис. 114 Рис. 116 Площу кругового сегмента можна обчислити за формулою: 5кр.сегм. = -'З’кр.сек. + 8Л.аов (рис. 117), причому при а < 180° беремо знак «-», а при а > 180° — знак « + ». Площа кільця, утвореного двома концентричними колами радіусами Вг і В2 (В2 > Вг), обчислюється за формулою: Рис. 117 Рис. 118
182 Геометрія Рис. 119 Перетворення фігур. Рухи (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕНЕСЕННЯ) Вважають, що фігура Рг отримана перетворенням даної фігури Р, якщо кожна точка фігури Р змістилася якимось чином, утворивши фігуру Рх (рис. 119). Рухом називається перетворення фігури Р на Р±, при якому збері- гається відстань між точками, тобто якщо точки X, ¥ фігури перетво- рюються на точки Хг, ¥1; то ХУ - Х1У1 (рис. 120). Два рухи, виконані таким чином, знову дають рух. Перетворення, зворотне руху, також є рухом. Властивості рухів 1. При русі прямі переходять у прямі, напівпрямі — у напівпрямі, відрізки — у відрізки. 2. При русі зберігаються кути між напівпрямими. Прикладами рухів можуть бути симетрія відносно точки, симетрія відносно прямої, поворот, паралельне перенесення. Симетрія відносно точки (центральна симетрія) Рис. 122 Дві точки називаються симетричними відносно точки О, якщо О — середина відрізка ААг (рис. 121). О — центр симетрії. Точка О симетрична сама собі. Фігура називається симетричною відносно точки О, якщо для кож- ної точки фігури симетрична їй точка відносно точки О також належить цій фігурі. У цьому випадку говорять, що фігура має центральну симет- рію. На рис. 122 наведені приклади фігур, які мають центральну симет- рію. Центром симетрії паралелограма є точка перетину його діагоналей, а центром симетрії кола — центр кола. Кожна пряма має центральну симетрію, однак на відміну від паралелограма й кола, у яких тільки один центр симетрії, у прямої їх безкінечно багато — будь-яка точка прямої є її центром симетрії. Прикладом фігури, яка не має центра симетрії, є трикутник. і Симетрія відносно прямої (осьова симетрія) 4_□_ц__і Дві точки А іАг називають симетричними відносно прямої І, якщо Р ця пряма проходить через середину відрізка ААг і перпендикулярна йому (рис. 123). Пряма І називається віссю симетрії. Кожна точка пря- мої І вважається симетричною самій собі. Фігура називається симетрич- ною відносно прямої І, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка відносно прямої І також належить цій фігурі. У цьому випадку говорять, що фігура має осьову симетрію. На рис. 124 наведені приклади Рис123 фігур, які мають осьову симетрію.
Основні поняття і теореми геометрії 183 І/, Рис. 124. Фігури, які мають осьову симетрію У нерозгорнутого кута одна вісь симетрії — пряма, на якій розташо- вана бісектриса кута. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник має одну вісь симетрії, а рівносторонній трикутник — три осі симетрії. Прямокутник і ромб, які не є квадратами, мають по дві осі симетрії, а квадрат — чотири осі симетрії. У кола безкінечно багато осей симет- рії; будь-яка пряма, яка проходить через центр кола, є віссю симет- рії. Існують фігури, у яких немає жодної осі симетрії. До таких фігур відносяться, наприклад, паралелограм, відмінний від прямокутника, рівносторонній трикутник. Поворот Поворотом площини навколо даної точки О називається такий рух, при якому кожний промінь, який виходить із цієї точки, повертається на один і той самий кут в одному і тому ж напрямку (рис. 125). Точка О переходить сама у себе. Будь-яка точка X, відмінна від О, переходить у таку точку Хг, що ХХОХ± - а і ОХ - ОХГ. Кут а — кут повороту. Паралельне перенесення Паралельним перенесенням називається такий рух площини, за якого кожна її точка X перетворюється на точку Хг таким чином, що промінь ХХГ має заданий напрямок і відрізок ХХГ має задану дов- жину (рис. 126). Спрямований відрізок ХХг називається вектором і позначається ХХг, де X — початок, а Хг — кінець вектора ХХг . Рис. 125
184 Геометрія Рис. 127 Рис. 128 А(х,;у,) С(х,;у.) + ~Г І . в (х2;у2) X, ХС X; Рис. 129 При паралельному перенесенні точки зміщуються за паралельними (або співпадаючими) прямими на одну і ту саму відстань. Фігури, які пере- творюються рухом одна на іншу, є рівними. Найпростіші геометричні побудови У курсі геометрії виділяється низка задач на побудову, тобто задач, в яких потрібно визначити спосіб побудови геометричних фігур за до- помогою циркуля і лінійки. Під лінійкою розуміють інструмент, за допомогою якого можна про- вести довільну пряму. Лінійка вважається безмасштабною і односто- ронньою, тобто на лінійці немає рисочок і не можна використовувати обидва її краї. Під циркулем розуміють інструмент, за допомогою якого можна на даній прямій відкласти даний відрізок, провести кола довільного радіуса і радіуса, який дорівнює довжині даного відрізка. Виконуючи нескладні операції за допомогою цих інструментів, мож- на розв’язати багато цікавих задач. Загальна схема розв'язання задач на побудову 1. Аналіз, який полягає у визначенні способу розв’язання задачі (шукану фігуру будують від руки і, вважаючи, що вона побудована, встановлюють зв’язки між елементами з метою знайти послідовність дій для виконання побудови). 2. Побудова (визначають послідовність дій, які дають шукану фігуру). 3. Доведення (доводять, що побудована фігура відповідає за всіма вимогами умові задачі). 4. Дослідження (з’ясовують, скільки існує рішень задачі, умови існування шуканої фігури). Загальна схема дуже громіздка, однак на практиці вона використо- вується для розв’язання більш складних задач на побудову. Коли задача проста, то, як правило, аналіз і дослідження пропус- кають і проводять побудову і доведення. Декартові координати на площині Нехай на площині проведені дві взаємно перпендикулярні прямі х і у — осі координат (рис. 127). Вісь Ох називають віссю абсцис, а вісь Оу — віссю ординат. Точку перетину осей Ох і Оу (точку О) називають початком координат. Точка О розбиває вісь на дві напівосі. Домовили- ся одну з них називати додатною, позначаючи її стрілкою, а другу — від’ємною. Кожній точці А площини відповідають два числа (рис. 128) хА, уА, які називаються її декартовими координатами, відповідно абсцисою та ординатою. Координати точки записують у дужках поруч із літерою: А(хл; уА), на першому місці стоїть абсциса, на другому — ордината. І навпаки, якщо задані два числа хА і уА, то можна побудувати тільки одну точку А із заданими координатами хА; уА. А(хл; уА).
Основні поняття і теореми геометрії 185 Координати середини відрізка Якщо задані дві точки А(х1; уг) і В(х2; у2) і С — середина відрізка , „ X, +х„ у, +у„, АВ, то хс=—-—; г/с =—-— (рис. 129). Сі Сі Відстань між двома точками Якщо задані дві точки А(хг; уг) і В(х2; у2), то АВ = у/(х2 -хг)2 + (у2 -у1)2 (рис. 129). Рівнянням фігури називається рівняння з двома змінними х і у, яке задовольняють координати будь-якої точки фігури. І навпаки, будь-яка точка, координати якої задовольняють це рівняння, є точкою фігури. Рівняння кола 1. Із центром на початку координат: х2 + у2 - В2 (рис. 130). 2. Із центром у точці О^а; Ь): (х - а)2 + (у - Ь)2 - В2 (рис. 131). Рівняння прямої на площині Будь-яка пряма у декартових координатах х і у має рівняння ах + Ьу + с = 0, де а, Ь, с — деякі числа. Якщо Ь Ф 0, то рівняння прямої можна записати у вигляді у - кх + Ь, Уп ~Ул де /? — кутовий коефіцієнт прямої, к - ф (рис. 132) або к = —-- ХВ ~ХА Умови паралельності двох прямих Якщо прямі Ііпг задані відповідно рівняннями у - кгх + Ьг і у - к2х + Ь2, то вони паралельні тоді й тільки тоді, коли ку - к2 і Ьг Ф Ь2 (рис. 133). Якщо /?! = к2 і &і = Ь2, то прямі І і т не співпадають. Умова перпендикулярності двох прямих Якщо прямі Ііт задані відповідно рівняннями у - кгх + Ьг і у - к2х + Ь2, то вони перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли кг • к2 - - -1 (рис. 134). Рис. 134
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ СТЕРЕОМЕТРІЇ ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ Аксіоми стереометрії. Теореми стереометрії. Взаємне розташування прямих і площин у про- сторі. Ознака паралельності прямих. Ознака паралельності прямої і площини. Ознака прямих, що перехрещуються. Властивості паралельних площин. Властивості паралельних проекцій. Перпендикулярність прямих і площин. Властивості перпендикулярних прямої та площини. Відстані між точками, прямими і площинами. Побудови у стереометрії. Кути у стереометрії. Призма та її властивості. Бічна і повна поверхні призми. Об’єм призми. Паралелепіпед. Піраміда та її властивості. Бічна і повна поверхня піраміди. Об’єм піраміди. Зрізана піраміда. Правильні многогранники. Циліндр і його властивості. Розгортка циліндра. Бічна і повна поверхні циліндра. Об’єм циліндра. Конус і його властивості. Бічна і повна поверхні конуса. Бічна і повна поверхні зрізаного конуса. Об’єм конуса.Об’єм зрізаного конуса. Сфера і куля, частини кулі та сфери. Об’єм кулі. Формула об’єму частини кулі. Формули поверхні сфери та її частин. Декартові координати у просторі. Координати середини відрізка. Відстань між двома точ- ками. Рівняння сфери. Вектори. Основні властивості складання векторів. Скалярний добуток векторів. Координати вектора. Деякі важливі твердження і формули. Компланарні вектори. СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ Рис. З Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі, називається стереометрією. Основними фігурами у просторі є точки, прямі та площини. Точки позначаються великими латинськими літе- рами: А, В, С, В, ...; прямі позначаються малими латинськими літера- ми: а, Ь, с, (і, ... або двома великими літерами: АВ, СВ, ... . Площини позначаються грецькими малими літерами: а, 0, X, 8, ... . Площина, як і пряма, є безкінечною. На кресленні площину зображують у вигляді паралелограма (рис. 1) або довільної області (рис. 2). Аксіоми стереометрії 1. Якою б не була площина, існують точки, які належать цій пло- щині й точки, які їй не належать. На рис. З точка А лежить у площині а (або належить площині а), а точка В знаходиться поза площиною а (або не належить площині а). Коротко це записується таким чином: А є а, В і а. 2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перети- наються по прямій, яка проходить через цю точку (рис. 4). Дві різні площини, які мають спільну точку, називаються такими, що перети- наються. 3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 5). Рис. 5
Основні поняття стереометрії 187 Теореми стереометрії Теорема про існування і єдиність площини, яка проходить через дану пряму і дану точку. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 6). Теорема про існування і єдиність площини, яка проходить через три точки. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 7). Якщо А, В, С — точки, які не лежать на одній прямій, то площина, яка містить їх, позначається таким чином: (АВС). Теорема про приналежність прямої площині. Якщо дві точки пря- мої належать площині, то і вся пряма належить цій площині (рис. 8). Із цієї теореми випливає, що пряма а може лежати у площині а (коротко це записується таким чином: а с а), пряма а може не лежати у площині а (пряма має з площиною не більше ніж одну спільну точку). Якщо пряма і площина мають тільки одну спільну точку, то говорять, що вони перетинаються (рис. 9). Просторові геометричні фігури У стереометрії окрім точок, прямих і площин розглядають просто- рові геометричні фігури, не всі точки яких лежать в одній площині. Прикладом просторової фігури може служити геометричне тіло — частина простору, яку займає предмет. Куб, прямокутний паралелепі- пед, тетраедр — приклади геометричних тіл. Куб — це тіло, поверхня якого обмежена шістьома рівними квад- ратами (рис. 10). Прямокутний паралелепіпед — це тіло, поверхня якого обмежена шістьома прямокутниками (рис. 11). Тетраедр — це тіло, поверхня якого обмежена чотирма трикутни- ками (рис. 12). Правильним тетраедром називається тіло, поверхня якого обмежена чотирма рівними правильними трикутниками (рис. 13). Многогранником називається тіло, поверхня якого обмежена кін- цевим числом плоских многокутників. Многокутники, які обмежують поверхню тіла, називаються гранями, сторони граней називаються реб- рами, вершини граней називаються вершинами многогранника. Задача Дві прямі аіЬ перетинаються у точці А. Довести, що всі прямі, які не проходять через точку А і перетинають прямі а і Ь, лежать в одній площині.
188 Геометрія Рис. 15 а Рис. 16 Доведення. Згідно з аксіомою стереометрії 3 через прямі а і Ь, які перетинаються, проведемо площину а (рис. 14). Тоді будь-яка пряма І, яка перетинає пряму а в точці А1г а пряму Ь в точці Вг, належить площині а згідно з теоремою про приналежність прямої площині. Таким чином, усі прямі, які не проходять через точку А і перетинають прямі а і Ь, лежать в одній площині. Висновок', твердження доведено. Взаємне розташування прямих і площин у ПРОСТОРІ Дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються. На рис. 15 прямі а і Ь паралельні. Паралельність прямих а і Ь позначається таким чином: а || Ь. Теорема про єдиність прямої, паралельної даній. Через точку поза даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і при тому тільки одну. Ознака паралельності прямих Дві прямі, паралельні третій прямій, — паралельні: якщо а || Ь, а || с, то Ь Ц с. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. На рис. 16 пряма а і площина а паралельні. Паралельність прямої а і площини а позначається таким чином: а || а. Ознака паралельності прямої і площини Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Якщо а || Ь, Ь с а, то а || а (рис. 16). Дві прямі називаються такими, що схрещуються, якщо вони не ле- жать в одній площині. На рис. 17 прямі аіЬ є такими, що схрещують- ся, це позначається таким чином: а 4- Ь. Ознака прямих, що схрещуються Якщо одна з двох прямих лежить у якійсь площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то ці прямі є такими, що схрещуються. Два відрізки називаються такими, що схрещуються, якщо вони ле- жать на прямих, що схрещуються. Дві прямі у просторі можуть: 1) перетинатися, тобто мати одну спільну точку (рис. 18); 2) бути паралельними, тобто лежати в одній площині й не перети- натися (рис. 19); 3) бути такими, що схрещуються, тобто не лежати в одній площині (рис. 20).
Основні поняття стереометрії 189 Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається кутова міра меншого кута, утвореного цими прямими. Певно, 0° < а < 90°, де а — кут між двома прямими, що перетинаються. Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює нулю. Кутом між прямими, що схрещуються, називається кут між прями- ми, які перетинаються і паралельні даним прямим, що схрещуються. На рис. 21 кут між прямими а і Ь, що схрещуються, дорівнює а, оскіль- ки кут між прямими щ і &1; що схрещуються, дорівнює а і Щ Ц а, Ьг || Ь. Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. На рис. 22 площини ос і 0 паралельні. Паралельність площин а і 0 позначається таким чином: а || 0. Ознака паралельності площин. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються, відповідно паралельні двом прямим іншої площини, то ці площини є паралельними. Якщо а Ц а1; Ь || Ьг, а с а, Ь с а, щ с 0, Ьг с 0, то ос || 0 (рис. 22). Існування та єдиність площини, паралельної даній площині. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну. Рис. 22 Властивості паралельних площин 1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину є паралельними. На рис. 23 а || 0, у перетинає а по прямій а, у перетинає 0 по прямій Ь, тоді а Ц Ь. 2. Відрізки паралельних прямих, вміщених між паралельними пло- щинами, рівні. На рис. 24 а || 0, АВ || СВ, А є а, С є а, В є 0, В є 0, отже, АВ = СВ. Нехай задана площина а і пряма, що її перетинає, І (рис. 25). Через точку А, яка лежить поза площиною а, проведемо пряму, паралель- ну прямій І. Нехай ця пряма перетинає площину а у точці Аг. Точка Аг називається паралельною проекцією точки А на площину а, пряма ААГ — проектуючою прямою, а — площиною проекцій. Щоб побудувати проекцію довільної фігури (рис. 26), потрібно спроектувати на площину проекцій кожну точку даної фігури. Рис. 24 Рис. 25 Рис. 26
190 Геометрія Властивості паралельних проекцій Припустимо, що проектовані прямі не паралельні проектуючій пря- мій. Тоді: 1) прямолінійні відрізки фігури проектуються у відрізки (рис. 27); 2) паралельні відрізки фігури проектуються у паралельні відрізки (рис. 28) або у відрізки однієї прямої (рис. 29); Рис. 29 3) якщо точка ділить відрізок, то паралельна проекція цієї точки Рис. 28 ділить проекцію відрізка в тому ж відношенні. На рис. ЗО —— = 7і 1; Є В 4) якщо два відрізки паралельні, то їхні паралельні проекції відно- ... „ оо АВ А1В1 сяться, як ці відрізки. На рис. 29 —— = . Охх Ха Перпендикулярність прямих і площин Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною цій площині, якщо вона перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині. Перпендикулярність прямої а і площини а позначається таким чи- ном: а ± а. На рис. 31 зображена пряма а, перпендикулярна площині а. Ознака перпендикулярності прямої і площини. Якщо пряма перпен- дикулярна двом прямим, що перетинаються і лежать у площині, то вона перпендикулярна даній площині. На рис. 32: якщо а ± Ь, а ± с, то а ± а. Властивості перпендикулярних прямої та площини 1. Якщо дві прямі перпендикулярні одній і тій самій площині, то ці прямі паралельні. На рис. 33: якщо а ± а і Ь ± а, то а || Ь. 2. Якщо площина перпендикулярна одній із двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й іншій. На рис. 33: якщо а ± а і а || Ь, то Ь ± а. 3. Якщо пряма перпендикулярна одній із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна й іншій. На рис. 34: якщо а || 0 і а ± а, то а ± 0. 4. Якщо дві різні площини перпендикулярні одній і тій самій пря- мій, то ці площини паралельні. На рис. 34: якщо а ± а і 0 ± а, то а || 0. Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, нази- вається відрізок, який поєднує дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній щодо площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини, який не
Основні поняття стереометрії 191 є перпендикуляром щодо площини. Кінець цього відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої. Відрізок, який поєднує основи перпендикуляра і похилої, проведе- них з однієї і тієї ж точки, називається проекцією похилої на площину. На рис. 35 АВ — перпендикуляр до площини а. АС — похила до площини а. ВС — проекція похилої АС на площину а. Якщо з даної точки проведені перпендикуляр і похила, то перпен- дикуляр коротший від похилої. Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, що лежить у пло- щині, перпендикулярна проекції похилої на цю площину, то вона пер- пендикулярна і самій похилій. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна похилій, то вона перпендикулярна і самій проекції на цю площину. На рис. 36 зображені: АО — перпендикуляр, АВ — похила, ОВ — проекція похилої, с — пряма площини. Якщо ОВ ± с, то АВ ± с і нав- паки: якщо с ВАВ, то ОВ ± с. Зазначимо, що пряма С на рис. 36 може й не перетинатися зАВ. Відстані між точками, прямими і площинами Відстанню від точки до площини називається довжина перпендику- ляра, опущеного з цієї точки на площину. На рис. 37 відстанню від точки А до площини а є довжина перпен- дикуляра АО. Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається від- стань від будь-якої точки цієї прямої до площини. На рис. 38 а || а, АО ± а, отже, відстанню від прямої а до площини а є довжина перпен- дикуляра АО. Відстанню між паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до іншої площини. На рис. 39 а || 0, А є 0, АО ± а, О є а, тоді відстанню між площинами а і 0 є довжина перпендикуляра АО. Відстанню між прямими, що схрещуються, називається довжина їхнього спільного перпендикуляра (відрізка з кінцями на цих прямих, який є перпендикуляром до кожної з прямих). На рис. 40 а 4- Ь, А є а, В є Ь, АВ ± а, АВ ± Ь, отже, відстанню між прямими а і Ь є довжина відрізка АВ. Задача Знайти відстань між діагоналями суміжних граней куба, що схре- щуються, довжина ребра якого дорівнює а. Розв’язання. Нехай АВСВА1В1С1В1 — куб (рис. 41). Знайдемо відстань між прямими АВг і ВСг. Через прямі АВг і В^В^ проводимо площину АВ1В1. Через прямі ВСГ і ВВ проводимо пло- щину ВВСу. Площини АВ1В1 і ВВСХ паралельні. Отже, відстань між прямими АВг і ВСГ дорівнює відстані між паралельними площина- ми АВ1В1 і ВВСу. Оскільки АгС — похила до площини АВС, а АС — проекція цієї похилої та АС ± ВВ, то за теоремою про три перпен- дикуляри АгС ± ВВ. Оскільки АгС — похила до площини СВВХ, а СВГ — проекція цієї похилої і СВГ ± ВСГ, то АгС ± ВСг. Оскільки АгС ± ВВ, АгС ± ВС, то АгС ± (ВВС^. Отже, відстань між площинами ВВС± і В^В^А дорівнює 88± (де 5 і 8± — точки перетину діагоналі АгС Рис. 35 Рис. 36
192 Геометрія Рис. 41 куба з площинами АВ1В1 і ВВС^. Із перерізу ААД^С (рис. 41) маємо: ^(АВ2 +ВС2) + АА2 = ^(а2+а2) + а2 = О о Побудови у стереометрії У стереометрії зображенням фігури називають будь-яку фігуру, подібну паралельній проекції даної фігури на якусь площину. Розв’язання задач на побудову у просторі відрізняється від розв’язання задач на побудову на площині. При розв’язанні задач на побудову у просторі описується і логічно обґрунтовується процес побу- дови, який супроводжується схематичними рисунками. Площина вважається побудованою, якщо зазначені елементи, які визначають її положення (три точки, що не лежать на одній прямій; пряма і точка, що лежить поза прямою; дві прямі, що перетинаються або паралельні). Лінія перетину площин вважається побудованою, якщо визначені площини, що перетинаються. У площині, яка визначена, можна виконати усі побудови, викорис- товуючи методи, вивчені у планіметрії. Перерізом тіла називається частина січної площини, обмеженої лініями перетину цієї площини з поверхнею тіла. На рис. 42 переріз заштрихований. При побудуванні перерізу тіла необхідно: 1) визначити положення січної площини; 2) знайти лінію перетину січної площини з поверхнею тіла. Задача 1 Через кінці трьох ребер ОА, ОВ, ОС прямокутного паралелепіпеда проведена площина АВС. Діагональ ОВ паралелепіпеда перетинає цю площину в точці М. Довести, що ОМ = ^-ОВ (рис. 43). О Доведення. Нехай Р — середина відрізка АВ. Оскільки АВМС ~ .„,,п , ... РМ ОМ ОР 1 г, гіГГ, о й ~ М)МР (рис. 44), то —= —— = тттт = Отже, МВ - 2 • ОМ, тобто у 7 МС МВ ВС 2 ОВ = З ОМ ОМ = ±ов. о Висновок-, твердження доведено. Задача 2 Побудувати переріз куба АВСВА1В1С1В1 (рис. 45) площиною, яка проходить через середини К, Ь, М ребер А41; СС1г ВС. Побудова. Січна площина а визначається точками К, Ь, М, які не лежать на одній прямій. Знайдемо прямі, в яких а перетинає площини граней куба. Ь і М — спільні точки площини а і площини грані ВССДД, отже, ці площи- ни перетинаються по прямій МЬ. Прямі ЬМ і ВВГ, ЬМ і В1С1 лежать
Основні поняття стереометрії 193 у площині ІХО^С, прямі ЬМ і ВВг перетинаються в точці X, прямі ЬМ і В1С1 — точці ¥. Точки X і К — спільні точки площини а і площини грані ВВ^А^А, вони визначають пряму КХ, яка перетинає пряму А1В1 в точці X, а ребро АВ — точці N. Точки У і X належать площині а і площині грані А1В1С1В1. Пряма УХ перетинає ребра А1В1 і В1С1 у точках Р і Отже, шуканий переріз — РЦІАІУК (рис. 45). Висновок', переріз побудований. Кути у стереометрії Кутом між прямою і площиною називається кут між прямою та її проекцією на площину (рис. 46). Якщо ф — кут між прямою і площи- ною, то 0° < ф < 90°. Кутом між похилою і площиною називається кут між похилою та її проекцією на дану площину (рис. 47). Якщо ф — кут між похилою і площиною, то 0° < ф < 90°. Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна прямій перетину цих площин, перетинає їх за перпендикулярними прямими. На рис. 48 а ± 0, оскіль- ки у ± с і аУ Ь. Ознака перпендикулярності площин. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну іншій площині, то ці площини перпен- дикулярні. Якщо Ь ± а і 0 проходить через Ь, то 0 ± а (рис. 49). Рис. 47 Властивості перпендикулярних площин 1. Будь-яка площина, перпендикулярна лінії перетину перпендику- лярних площин, перетинає їх за перпендикулярними прямими. Якщо а ± 0, у ± с, то а ± Ь (рис. 48). 2. Якщо пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних пло- щин, перпендикулярна лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і другій площині. Якщо 0 ± а, Ь ± а, то Ь ± а (рис. 49).
194 Геометрія Рис. 50 Рис. 51 Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює нулю. Кутом між площинами, що перетинаються, називається кут між прямими перетину цих площин з площиною, перпендикулярною до лінії перетину цих площин. Якщо у ± С, ТО ф — кут між площинами, 0° < ф < 90° (рис. 50). Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощи- нами зі спільною прямою, яка їх обмежує (рис. 51). Напівплощини нази- ваються гранями, а пряма, що їх обмежує, — ребром двогранного кута. Лінійним кутом двогранного кута називається кут між променями, за якими площина, перпендикулярна ребру двогранного кута, перетинає грані. На рис. 52 у± с, ф — лінійний кут двогранного кута, 0° < ф < 180°. Ортогональним (або прямокутним) проектуванням називається па- ралельне проектування, при якому проектовані прямі перпендикулярні щодо площини проекції. Теорема. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокут- ника і площиною проекції. На рис. 53: 5 = соз а. Тригранним кутом (8АВС) називається фігура, складена з трьох плоских кутів (А8В, В8С і С8А) (рис. 54). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони — ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Многогранним кутом ЗА^^... Ап називається фігура, складе- на з п плоских кутів Аг8А2, А28А3, А38А4, ..., А„_48А„, А„8А1 (рис. 55). 8 — вершина; 8А1; 8А2, ..., 8Ап — ребра, АА48А2, АА28А3, ..., ААп8А1 — грані многогранного кута. Залежно від кількості граней розрізняють тригранні, чотиригранні кути і т. д. Задача 1 Кожний плоский кут тригранного кута дорівнює 60°, на одному з ребер від вершини відкладений відрізок, який дорівнює З см, і з кінця його про- ведений перпендикуляр на протилежну грань. Визначити його довжину. Розв’язання. Нехай 8АВС — заданий тригранний кут (рис. 56). АА8В = АВ8С = АС 8А = 60°, 8А = 3 см, АО 1 (8ВС). З точки О про- ведемо ВО ± 8В, СО ± 8С, тоді за теоремою про три перпендикуляри АВ ± 8В, АС ± 8С. Л8АС = Д8АВ (за гіпотенузою і гострим кутом), отже, 1 З 8С = 8В = А8 соз60° = 3 = (см). Сі Сі А8ВО = Д8СО (за гіпотенузою і катетом: 80 — спільна, 8С = 8В), отже, АО8С = АО8В = 60° : 2 = 30°. Із Д8ОС: 80 = 8С соз АО8С З 2соз30° 3 2 3 , ---^ = -^ = 73 (см). 2 73 73
Основні поняття стереометрії 195 Із ЛАВО: АО = >ІА82-8О2 = ^З2 -(л/3)2 = >/б (см). Відповідь: л/б см. Задача 2 У тригранному куті два плоских кута дорівнюють по 60°, а третій — прямий. Знайти кут між площиною прямого кута і протилежним ребром. Розв’язання. Нехай 8АВС — тригранний кут (рис. 56). АВ8С = 90°, АВ8А = АС8А = 60°. Проведемо АО 1 (В8С), ВО 1 ВВ, СО ± 8С, тоді АВ ± 8В, АС АВС (за теоремою про три перпендикуляри). Нехай 8А - х. ААВС = ЛА8В (за гіпотенузою і гострим кутом). Із ААВС: 8С = хсоз60° = — ЛС8О = ДВ8О (за гіпотенузою і катетом). Із А8ОС: ВС х 2 х зіп45 2-У2 у/2 Із ЛАВО: соя АА8О = =^> АА8О = агссоз| | = 45°. 8А ^2х 2 \ 2 ) Відповідь: 45°. Задача З У тригранному куті два плоских кута дорівнюють по 45°, а третій плоский кут дорівнює 60°. Знайти двогранний кут, протилежний третьо- му плоскому куту. Розв’язання. Нехай 8АВС — даний тригранний кут (рис. 57), АА8В = ААВС = 45°, АВ8С = 60°. Через точку В ребра 8А проведемо ВВ ± 8А, ВС ± 8А. ЛВ8В - - АВ8С (за катетом і прилеглим гострим кутом: ВВ — спільний, АВ8В - = АВ8С = 45°), а отже, ВВ = ВС і ВВ = ВС. Нехай ВВ = х, тоді з АВВС: ап г— і— ВС - х, ВС ----— -х\І2. ЛВ8С — правильний, а отже, ВС = ху2. соз45° Рис. 57 Далі з АВВС за теоремою косинусів: ВС2 = ВС2 + ВВ2 - 2ВС ВВ сояАВВС => => соз АВВС = ВС2 +ВВ2 -ВС2 2 ВС ВВ х2 + х2 - 2х2 2хх = 0. Отже, АВВС - агссоз 0 = 90°. Відповідь: 90°. Призма та її властивості Призма — це многогранник, у якого дві грані — рівні п-кутники, які лежать у паралельних площинах, а інші п граней — паралелограми (рис. 58). Многокутники називають основами призми, а паралелогра- ми — бічними гранями. Сторони бічних граней та основ називають ребрами призми. Кінці ребер називають вершинами призми. Бічними ребрами називають ребра, які не належать основам. Властивості призми: 1) основи призми паралельні та рівні; 2) бічні ребра паралельні й рівні; 3) бічні грані — паралелограми. Рис. 58
196 Геометрія Висотою призми називається перпендикуляр, опущений із точки верх- ньої основи на площину нижньої основи. На рис. 59 ООГ — висота призми. Діагоналлю призми називається відрізок, який з’єднує дві вершини, які не належать одній грані. На рис. 58 АС1г АІ)1 — діагоналі призми. Діагональним перерізом призми називається переріз її площиною, що проходить через два бічних ребра, які не належать одній грані. На рис. 58 АА^С — діагональний переріз призми. Прямою призмою називається призма, у якої бічні ребра перпен- дикулярні площинам основ. Призма, що не є прямою, називається похилою призмою. Правильною призмою називається пряма призма, у якої в основі лежить правильний многокутник. На рис. 60 зображені правильні три- кутна, чотирикутна і шестикутна призми. Рис. 60 Рис. 61 Бічна і повна поверхні призми Поєднання бічних граней призми називається бічною поверхнею призми, а поєднання усіх граней призми називається повною поверх- нею призми. Площею бічної поверхні призми називається сума площ її бічних граней. Площею повної поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину бічного ребра. На рис. 61 ^бічн = -РДіВС ' ААг. Площу бічної поверхні призми можна обчислити за формулою: 5бічн = Р • ААг (рис. 62), де Р — периметр перпендикулярного перерізу (перерізу призми площиною, яка перпендикулярна бічним ребрам і перетинає їх), ААг — довжина бічного ребра. Площа повної поверхні призми (5пр) дорівнює сумі площі бічної по- верхні (5бічн) і площ двох основ (25осн): Ч = Ч + 24 ^пр *^бічн ^^осн* Задача 1 У похилій трикутній призмі бічне ребро дорівнює 8 см, сторони перпендикулярного перерізу відносяться як 9 : 10 : 17, а його площа дорівнює 144 см2. Знайти бічну поверхню цієї призми. Розв’язання. Нехай сторони перпендикулярного перерізу дорівню- ють 9х, Юх, 17х, тоді площа 5 = д/р(р-а)(р-Ь)(р- с), де а - 9х, Ь - Юх, а+Ь+с с-17х, р--------. р 2 Отже, 5 = у/18х(18х - 9х)(18х - 10х)(18х -17х) = ^18х-9х-8х = 36х2.
Основні поняття стереометрії 197 Враховуючи умови задачі, маємо: Збх2 = 144, х - 2. Отже, сторони перпендикулярного перерізу дорівнюють: 18 см, 20 см, 34 см і площа бічної поверхні 5бічн = 8 • (18 + 20 + 34) = 576 (см2). Відповідь'. 576 см2. Задача 2 Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює ф, а пов- на поверхня дорівнює 8. Знайти висоту призми. Розв’язання. Нехай сторона основи дорівнює а, а висота призми — к, тоді Г _ о_. [4ай = ф; а 4к’ 14ак + 2а2 - 8; 0? _с Г 2 ЇЙ?=8- О2 о2 З другого рівняння ф + = -^-7 = 5>-ф. 8й 8й Звідси к- ф2 ф 8(5-Є) 2^2(5-ф)’ Відповідь'. —. 2^2(5-£) Рис. 64 Об'єм призми Об’єм V призми дорівнює добутку площі основи на висоту: V- 50СН • Н (рис. 63). Об’єм V призми можна обчислити за формулою V - 8,, • А41; де 5П — площа перпендикулярного перерізу, ААг — довжина бічного ребра (рис. 64). Об’єм V будь-якого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту: V - 50СН • Н (рис. 65). Об’єм прямокутного паралелепіпеда V дорівнює добутку трьох його вимірів: V - аЬс (рис. 66). Об’єм куба V дорівнює кубу його ребра: V - а3. Рис. 65 Задача 1 Знайти об’єм правильної трикутної призми, у якої діагональ бічної грані дорівнює д, а сторону основи видно з протилежної вершини другої основи під кутом а. Розв’язання. Нехай АВСАВ,!?, — дана правильна призма (рис. 67), у якій АВ} - АСг = д, ЛАВ1С1 — рівнобедрений. Провівши висоту АМ цього трикутника, маємо: АМ — бісектриса і медіана. Рис. 66 Із ЛАВ,М: зіп АВХАМ - йзіп^, тоді В1С1 -2д зіп^- = АВ. Сі Сі Із КАВХВ маємо: ВВ, = ^АВ2 - АВ2 = ^д2 - 4й2 зіп2 = = д.1 - 4 зіп2 = йЛ/1-2(1-соза) = й-72созос-1. 1 Об’єм призми .„2 г 4д2яіп2^ У=5 Н= / -ВВ, =--------------—^->/зАл/2соза-1 = д3 зіп2^ЛЗ(2соза-1). ОСН Л 1 Л > V ' х Рис. 67 Відповідь', д3 зіп2 ^^/3(2соза -1). Сі
198 Геометрія Задача 2 Знайти об’єм похилої призми, у якої основою є трикутник зі сторо- нами 10 см, 10 см і 12 см, а бічне ребро, яке дорівнює 8 см, з площиною основи складає кут 60°. Розв’язання. Нехай АВСА1В1С1 — дана призма (рис. 68), у якої АВ - ВС = 10 см, АС = 12 см, ССг = 8 см. Проведемо СгМ ± (АВС), тоді АС,СМ= 60°. Об’єм призми V - 50СН • Н, де 5осн = у/р(р-а)(р-Ь)(р-с) = 716 6-6-4 = 48 (см2). н = С,М = СЦ • зіп АСгСМ = 8 • зіп60° = = 4д/з. Отже, V = 48 4>/з = 192>/3 (см3). Відповідь'. 192\/з см3. Задача З Основою призми АВСА1В1С1 (рис. 69) є правильний ААВС зі стороною а. Вершина Аг проектується у центр цієї основи, а ребро АЙ! з площиною основи складає кут ф. Знайти об’єм призми. Розв’язання. Нехай О — центр ААВС, АО-^^г--^=. >/з л/з Із ААОАг: ОАг = АО ААгАО = -у= ф. •у З тт ТЛ тт О гтл а2>/з аі£Ф 1 3. Для об ему V маємо: V = Восн ОА, = — ------=— = ~^а Ї£Ф- 1 з Відповідь', —а 4 1£ф. Паралелепіпед Рис. 70 Рис. 71 Паралелепіпедом називається призма, основи якої — паралелограми (рис. 70). Властивості паралелепіпеда: 1) протилежні грані паралелепіпеда рівні та паралельні; 2) усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і ді- ляться нею навпіл. Паралелепіпед називається прямим, якщо у нього бічні ребра перпен- дикулярні основам. Прямий паралелепіпед має усі властивості паралелепі- педа, і, крім того, бічні грані прямого паралелепіпеда — прямокутники. Прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники, називаєть- ся прямокутним паралелепіпедом (рис. 71). Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються лінійними розмірами (або вимірами) прямокутного паралелепіпеда. Властивості прямокутного паралелепіпеда: 1) усі діагоналі рівні; 2) квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. На рис. 71 сР - а2 + Ь2 + с2. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.
Основні поняття стереометрії 199 Задача 1 Довжини діагоналей правильної шестикутної призми дорівнюють а і Ь (а < Ь). Визначити висоту призми. Розв’язання. Нехай у правильній шестикутній призмі (рис. 72) АСг = а, АВг = Ь. Позначимо довжину сторони шестикутника через х, тоді АВ = 2х, АС - уіАВ2 - ВС2 - уі4х2 -х2 - ху[з, а, отже, . АВ 2х 2 Із ААСС,: АС = у/АСІ-ССІ = у/а2-СС2. Із ЛАВВ,-. АВ = у]АВ2 - ВВ2 = у]ь2 - ВВ2. уІа2-СС2 Дз Тоді, враховуючи, що ССГ - ВВ1г отримуємо: . = у]Ь2-СС2 2 Звідси 4а2 - 4СС2 = 3&2 - ЗСС2 4а2 - ЗЬ2 = СС2. Отже, СЦ = >/4а2-3&2. Відповідь-, у]4а2 -ЗЬ2. Рис. 72 Задача 2 Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, якщо діагоналі його граней мають довжини 11 см, 19 см і 20 см. Розв’язання. Нехай а, Ь, с — вимірювання паралелепіпеда, тоді а1 + Ь2 - II2, Ь2 + с2 = 192, с2 + а2 - 202. Склавши почленно три нерів- ності, отримаємо: 2(а2 + Ь2 + с2) = II2 + 192 + 202 а2 + Ь2 + с2 = 441. Оскільки д,2 - а2 + Ь2 + с2, де д, — діагональ прямокутного парале- лепіпеда, то д,2 - 441, д, - 21 (см). Відповідь-. 21 см. Задача З Довести, що в будь-якому паралелепіпеді сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх ребер. Доведення. Нехай АВСВА1В1С1В1 — даний паралелепіпед (рис. 73). За властивістю діагоналей паралелограма маємо: АС2 + АД!2 = 2АА% +2АС2 (для паралелограма ААДДС), ВВІ +ВД)2 = 2ВВІ + 2ВВ2 (для паралелограма ВВДДВ). Склавши ці рівності почленно, отримаємо: АС2+А1С2+ВВ2+В1В2=2АА^ +2АС2+2ВВ2+2ВВ2 =4А412 +2(АС2 +ВВ2)= = 4 А42 + 2(2АВ2 + 2АО2) = 4 А42 + 4 АВ2 + 4 АО2. Висновок-, твердження доведено. Піраміда та її властивості Пірамідою (п-кутною) називається многогранник, у якого одна грань є довільним п-кутником, а інші п граней — трикутники, що мають спільну вершину. На рис. 74 зображена піраміда 8АВСВ. п-Кутник називається основою, а трикутники — бічними гранями. Спільна вер- шина бічних граней називається вершиною піраміди.
200 Геометрія Рис. 74 На рис. 74 АВСВ — основа; А8АВ, А8ВС, А8СВ, А8ВА — бічні грані піраміди; 5 — вершина піраміди; &4, 8В, 8С, 8В — бічні ребра. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із вер- шини піраміди на площину основи. На рис. 74 80 — висота піраміди. Правильною пірамідою називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а основа висоти піраміди співпадає з центром цього многокутника. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини піра- міди, називається її апофемою. На рис. 75 зображена правильна трикутна піраміда 8АВС, 8К ± СВ, 8К — апофема. У правильній піраміді: • бічні ребра рівні; • бічні грані рівні; • апофеми рівні; • двогранні кути при основі рівні; • двогранні кути при бічних ребрах рівні; • кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх вершин основи; • кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней; • кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних ребер. Діагональним перерізом піраміди називається переріз площиною, яка проходить через два бічних ребра піраміди, що не лежать в одній грані. Властивості паралельних перерізів піраміди Теорема. Якщо піраміда перетнута площиною, яка паралельна ос- нові, то: 1) бічні ребра і висота піраміди діляться цієї площиною на пропор- ційні частини; 2) переріз — многокутник, подібний основі; 3) площі перерізу й основи відносяться як квадрати їхніх відстаней від вершини. Задача Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічне ребро з висотою утворює кут 30°. Знайти площу перерізу, що проходить через вершину основи перпендикулярно протилежному ребру. Розв’язання. Нехай у піраміді 8АВСВ (рис. 76) АО8В - АО8В = = АО8С - АО8А - 30°. Перерізом є чотирикутник ВКРЬ, площу 8ВКРЬ якого потрібно знайти. Оскільки за умовою переріз перпендикулярний до протилежного ребра, то ВР ± В8. Оскільки (А8С) ± (В8В), то КЬ ± ВР. Оскільки площа довільного чотирикутника дорівнює половині до- бутку його діагоналей на синус кута між ними, то 8„крт = І КЬ ВР 8Іп90° = І КЬ ВР. вкгь 2 2 Оскільки В8 = В8 і АВ8В = 60° , то АВ8В — правильний. ВВ - а^2, звідси сторона правильного АВ8В дорівнює а>І2. ВР — висота, медіана і бісектриса АВ8В , а М — центр АВ8В,
Основні поняття стереометрії 201 8М = 1 80. Сі О Оскільки ДА5С = ДВ8В, 80 — медіана, бісектриса і висота, М — центр цих трикутників, АК8Ь ~ ДА8С, то 8М КЬ 8М л„ 2 к 2аЛ Отже, , _ 1 т^т г>г_1 2«л/2 а>/б _ а2л/12 _ а2>/з ’^ь-2 ^"2 “3“8“"“З” Відповідь-. —-—. О Бічна і повна поверхні піраміди Площею повної поверхні піраміди називається сума площ усіх її граней (тобто основи і бічних граней), а площею бічної поверхні пірамі- ди — сума площ її бічних граней: 5П0ВН = 5бічн + 50СН; 5бічн = 8РАав + 8Рвас + + 5ДС5В + 8РАао (рис. 77). Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині до- бутку периметра основи на апофему: 5бічн = |росн 8К = |росн І (рис. 78), Сі Сі де і — апофема, І - 8К. Якщо бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом, а площа 5 основи піраміди дорівнює 50СН, то площа поверхні піраміди 56ічн = ——. Рис. 78 Задача 1 Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює Ь і нахиле- не до площини основи під кутом а. Знайти повну поверхню піраміди. Розв’язання. Нехай 8АВСВ — правильна піраміда (рис. 79), в якій 8А = 8В = 8С = 8В = Ь, Л8АО = 8ВО = А8СО = Л8ВО = а, 80 1 (АВС). Із Л8АО: АО = А8 • созАВАО = Ь соз а, 80 = А8 • АпА8АО = Ь зіп а. Далі: АВ - АО^2 - л/2&соза. Проведемо апофему 8К, 8К РАВ. З Р8КО-. ВК-уІКО2 +8О2 +8О2 1-2д2 соз2 а + Ь2 зіп2 а = 4 4&2 соз2 а + Ь2 зіп2 а = -^д/соз2 а + 2зіп2 а. 2 72 Тоді Зповн = Збічн + 800Н = 4 • І • АВ • 8К + АВ2 = 2 • л/2&соза • -%= л/соз2а + 2зіп2а + 2 72 +2Ь2 соз2 а - 2Ь2 созал/соз2 а + 2зіп2 а + 2Ь2 соз2 а - - 2Ь2 соза(л/соз2 а + 2зіп2 + сова). Відповідь-. 2Ь2 сояосіусоя2 а + 2яіп2 -і-соза
202 Геометрія Задача 2 У правильній чотирикутній піраміді бічна поверхня дорівнює д, а повна поверхня — ф. Знайти сторону основи і висоту піраміди. Розв’язання. 5П0ВН = + 5бічн, тобто ф = а2 + д, де а — сторона осно- ви (рис. 80), то а = у]О~д. Оскільки 5бічн = 2а • І, де І - 8К — апофема, то І - ''"ш = —, Ц Висоту 80 = Н піраміди визначимо за допомогою 2а формули: И-- 1/2 _М2 _ І ?2 у/д2-(О2~2дО + д2) уІ2дО-О2 Ч Ш }4(0-д) 4 2у/0-д 2^0-д Відповідь: у]О~д; Я— 2уІ0-д Об'єм піраміди Рис. 81 Об’єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі основи на ви- соту: У = ±80СВН (рис. 81). О Задача 1 Основа піраміди — трикутник зі сторонами 13 см, 20 см, 21 см. Знайти об’єм піраміди, якщо двогранні кути при основі дорівнюють 30°. Розв’язання. Нехай 8АВС — дана піраміда (рис. 82), АВ - 13 см, ВС = 20 см, АС = 21 см, 80 1 (АВС). Проведемо 8К РАС, 8М РАВ, 8Р' ± ВС, тоді за теоремою про три перпендикуляри ОК РАС, ОМ ±АВ, ОК ± ВС, отже, Х8КО = Х8МО = Х8КО = 30°. Оскільки двогранні кути при основі рівні, то вершина проектується в точку О — центр вписаного в ЛАВС кола. Об’єм піраміди У = ^8ЖЯН. Обчисливши напівпериметр р осно- О 13 + 20 + 21 ОГ7 « к -р ви: р =------------= 27, площу основи знайдемо за формулою Герона: Сі 50СН =^27 (27-13) (27-20) (27-21) = 126 (см2). Радіус вписаного кола „„ 50СН 126 14 , . дорівнює: ОК = = — (см). 14 Із А8КО: Н = 8О = ОК Л^0° = 2А О Рис. 83 „ . т, 1 14>/3 196>/3 , зч Тоді V = -126—-*- = —(см3). О €7 О .д 196\/з з Відповідь: —-— см3. Уз з І4л/3 , ч —д— (см). Задача 2 Основа піраміди — ромб із гострим кутом. Усі висоти бічних граней, проведені з вершини піраміди, дорівнюють й і нахилені до площини її основи під кутом р. Знайти об’єм піраміди. Розв’язання. Нехай 8АВСВ — дана піраміда (рис. 83), АВСВ — ромб, РВАВ = а, 80 1 (АВС).
Основні поняття стереометрії 203 Проведемо МА ААВ, ЬК ± ВС, тоді 8М ± АВ, 8К ± ВС, 8А ± ВС, 8Ь ААВ (за теоремою про три перпендикуляри), отже, 8М - 8К - 8А - = 8Ь = 1г, А8МО = А8КО = А8АО = А8ЬО = 0. Оскільки двогранні кути при основі піраміди рівні, то О — центр вписаного у ромб АВСВ кола. Із Л8ЬОі 8О = 8Ь АпАЗЬО = И зіп 0, ВО = 8Ь созАЗЬО = И соз 0. Врахуємо, що ЬК - 21г соз 0. Сторона ромба АВ -------= 2^СО80. зіп АВАВ зіп а ~ о лг> IV 2ЙСО30 4й2соз20 Отже, 8пт = АВ ЬК = —:--- • 2й соз 0 =-:. зіпа зіпа т • тл 1 а ап 1 4Й2 СОЗ2 0 . 4 Й3СО8208ІП0 Тоді V = -• 8осн • 80 = --:--Й81П0 = ----—----- З 3 зіпа 3 зіпа 4 й3соз20зіп0 Відповідь'. —----Н З зіпа Зрізана піраміда Якщо довільну п-кутну піраміду перетнути площиною, паралельною основі, то ця площина відітне від піраміди многогранник, дві грані яко- го — подібні п-кутники, а інші п граней — трапеції. Цей многогранник називається зрізаною пірамідою (рис. 84). Паралельні грані зрізаної піраміди називаються основами, а всі інші — бічними гранями. Висотою зрізаної піраміди називається перпендику- ляр, проведений з якоїсь точки однієї основи на площину іншої основи. Зрізана піраміда називається правильною, якщо вона становить частину правильної піраміди. Висота бічної грані правильної зрізаної піраміди, проведена до ребра основи, називається апофемою. У правильній зрізаній піраміді: • бічні ребра рівні; • бічні грані рівні; • апофеми рівні; • двогранні кути при кожній основі рівні; • двогранні кути при бічних ребрах рівні; • кожна точка прямої, яка проходить через центри її основ, рів- новіддалена від усіх вершин кожної основи, рівновіддалена від площин бічних граней, рівновіддалена від прямих, на яких лежать бічні ребра. Задача 1 У правильній зрізаній чотирикутній піраміді сторони основ дорів- нюють а і Ь (а > Ь), двогранний кут при більшій основі дорівнює а. Знайти висоту піраміди. Розв’язання. Нехай АВСВА^В^С^Ву — правильна зрізана чотирикут- на піраміда (рис. 85), АВ - а, А1В1 - Ь, ООГ — висота, О і Ог — центри основ. Проведемо ОМ ± ВС і О1М1 ± В1С1, тоді ММ, ± ВС, АМгМО = а. Враховуючи, що О і Ог — центри квадратів, маємо: ПроведемоМ^А (АВС), тоді з ЛМ^М: Сі Сі Сі Сі Відповідь'. а-Ь 2 ї£а. МгИ = ММ і^АМ^М = а-Ь.
204 Геометрія Рис. 86 Рис. 87 Задача 2 У правильній зрізаній трикутній піраміді сторона більшої основи дорівнює а, сторона меншої основи дорівнює Ь, бічне ребро з основою утворює гострий кут. Знайти площу перерізу, який проходить через бічне ребро і центр нижньої основи. Розв’язання. Нехай АВСА1В1С1 — правильна зрізана піраміда, АВ - а, А1В1 - Ь, ООг ± (АВС), АВ^ВО = а (рис. 86). ВММ1В1 — шуканий переріз. Із ААВМ: ВМ = АВАпАВАМ = азіпбО0 = Із АА.В.М,: В1М1 = А& АпЛВ^М^ = &8Іп60° = Враховуючи, що О і Ог — центри правильних трикутників, маємо: ОВ = ^ = -^, О1В1=^Д = -^=. 73 73 7з 7з Далі, провівши ВУК ± (АВС), із АВ^В: ВгК = ВК (^ЛВ^ВК = (ОВ - О}В}) V З Площу 5 перерізу обчислюємо як площу трапеції: ВМ + В1М1 ау/з + Ьу[з а-Ь. а2-Ь2 , 5 =----• ВгК = 4 • Відповідь'. а І£ос. Бічна і повна поверхні зрізаної піраміди Площею повної поверхні зрізаної піраміди називається сума площ усіх її граней (тобто основ і бічних граней), а площею бічної поверхні зрізаної піраміди — сума площ її бічних граней: ^повн — 'З’ї + ^бічн + &2, ДЄ 5бічн — ^АВВ1А1 ^АС^А, ^ВС^В, (РИС. 87). Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює до- Р+Р бутку напівсуми периметрів основ на апофему: 5бічн = 1 — І (рис. 88), Сі де Рг і Р2 — периметри основ, І — апофема. Рис. 89 Задача 1 Сторони основ правильної трикутної зрізаної піраміди дорівнюють а і Ь (а > Ь), кут між площинами бічної грані й основи дорівнює ф. Знайти площу повної поверхні піраміди. Розв’язання. Нехай АВСВА^В^С^Ву — правильна зрізана піраміда (рис. 89), в якій АВ = а, А1В1 = Ь. Проведемо АК ± СВ, А1К1 ± С1В1, тоді А.К\.КА ф. 8&АВС ААВС, АА.В.С. — правильні ОК-—^=, О,К, =—^= = ОР, тоді 273 273 РК = ОК - ОР = КК. = “~Ь , отже, 273 273 С08ф = За + ЗЬ а-Ь = 3(а2-&2) б1чн 2 2>/Зсо8ф 4\/Зсо8ф’
Основні поняття стереометрії 205 3(а2-&2) а2Уз Ь2>/3 _у/з(а2-Ь2 2 Л “овн 4\/ЗС08ф 4 4 4 І С08ф ) —(а2(1 + созф) - &2(1 - созф)) = 2а2 соз2 - 2Ь2 зіп2 = 4созф 4созф 2 2) 2созф п-д -д У З [ 2 2 ф 12 • 2 ф Відповідь'. ----- а соз — -Ь зіп — 2созфк 2 2 Задача 2 Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівню- ють а і Ь (а > Ь), кут між бічним ребром і площиною більшої основи ф. Знайти площу бічної поверхні піраміди. Розв’язання. Нехай АВСВА1В1С1Р1 — дана піраміда (рис. 90), в якій АВ - а, А1В1 = Ь, АС^СА = ф. За властивістю діагоналі квадрата ОС - -у=, \І2 У Проведемо СгК 1АС, тоді СК = ОС-О& =?^-. у 2 а-Ь а — Ь ІзДСіС-йГ: С,С = -^- созф ->/2 созф Провівши у трапеції ІХО^С висоту СГМ, отримаємо: —~2---1 = СОЗ ф 2 Відповідь: — СОЗф а2-Ь СОЗф _ а-Ь 2сО8ф Остаточно маємо: „ _ 4а + 4& — 2 а-Ь 2созф -Ь2 Об'єм зрізаної піраміди Об’єм (V) зрізаної піраміди, висота якої дорівнює Н, а площі основ дорівнюють 5, і 82, обчислюється за формулою: V-^Н^ + у/8^2 +<82) (рис. 91). Задача У правильній трикутній зрізаній піраміді сторони основ дорівнюють а і Ь (а > Ь), двогранний кут при більшій основі а. Знайти її об’єм. Розв’язання. Нехай АВСА^В^С^ — правильна зрізана піраміда (рис. 92), АВ - а, А1В1 - Ь. О, О2 — центри основ. Проведемо ОМ ± ВС, О1М1 ± В1С1, тоді М і Мг — середини сторін ВС і В1С1, ММг ± ВС, оскіль- ки ММ± — вісь симетрії рівнобічної трапеції СС^^, отже, АМгМО - а. 2 2 ф т 2 • 2 ф а соз -^~Ь зіп —
206 Геометрія Проведемо МХК ± ОМ. За властивістю правильних трикутників отримує- мо ОМ = ІАО = Ц=, О.М. =ІО,А = -^=, тоді КМ = ОМ-О,М, = 2—^. 2 273 2 273 273 Із АМ.КМ: МгК = КМ І£ лмгмк = а-Ь 2>/з ї£а. Рис. 92 Враховуючи, що площі основ і 82 відповідно дорівнюють знаходимо об’єм піраміди: ТЛ 1 а-Ь, Г=3^ а-Ь З - (а2 + аЬ + Ь2) = 673 4 = ^т(а3-Ь3)і£а. Відповідь-. а3-Ь3 24 І£ос- Правильні многогранники Випуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з одним і тим самим числом сторін і в кожній вершині многогранника сходиться одна і та ж кількість ребер. Існує п’ять типів правильних многогранників: правильний тетраедр (рис. 92), куб (гексаедр) (рис. 93), правильний октаедр (рис. 94), пра- вильний додекаедр (рис. 95), правильний ікосаедр (рис. 96). N Рис. 97 Задача 1 Знайти двогранні кути правильного октаедра. Розв’язання. Октаедр складений із двох рівних правильних пірамід МАВСЬ і ИАВСЬ (рис. 97). К — середина ребра СЬ, тоді МК ± СЬ, КК ± СВ, тобто МК і Л7ЙГ — висоти, медіани, бісектриси правильних трикутників МЬС, МЬС. Отже, ЛМКК — шуканий. Очевидно, що ЛМКК = 2ЛМКО. Нехай ребро октаедра дорівнює І, тоді з ММКК’. МК = МС $іп60° = ^. ІзЛОКС: ОК = КС = 1~. Сі Сі
Основні поняття стереометрії 207 Отже, созАМКО = = -^=. Використовуючи формулу косинуса подвійного кута соз 2ф = 2 соз2 ф - 1, маємо: соз АМКМ = 2соз2 АМКО -1 = 2|-1 = -|, О о АМКИ - агссоз ==109°28'. Відповідь-, агссоз ==109°28'. Задача 2 Довести, що правильні многокутники, які є гранями правильних многогранників, не можуть мати більше п’яти сторін. Доведення. Доведемо від протилежного. Припустимо, що в правиль- ному многограннику грані — п’ятикутні п-кутники (ті > 6), тоді для кожного плоского кута: 18° (п = 180°(1 --) = 180°-^22> 180°-= 120°. п \ п/ п п Оскільки в одній вершині сходяться не менше трьох плоских кутів, то їхня сума не менше 120° • 3 = 360°, що неможливо. Отже, 3 < п < 5, де п — число сторін правильного многокутника. Висновок-, твердження доведено. в Циліндр і його властивості Циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони. На рис. 98 зображений циліндр, утворений обертанням прямокут- ника АОВО± навколо ОО1; ООГ — вісь циліндра. Сторони ОА і ОДЗ опи- сують рівні круги, що лежать у паралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра. Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею цилін- дра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні та рівні АВ, називаються твірними циліндра. Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний осно- вам, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його твірній. Перерізом циліндра площиною, перпендикулярною його осі, є круг, що дорівнює основі (рис. 99), а перерізом площиною, паралельною осі, — прямокутник (або відрізок) (рис. 100). Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами, що дорівнює висоті циліндра і діаметру її основи (рис. 101). Зауваження. Якщо бути більш точними, то тіло, утворене обертан- ням прямокутника навколо його сторони, називається прямим круго- вим циліндром. Саме такі циліндри і розглядають у шкільному курсі стереометрії та називають їх просто циліндрами. В широкому розумінні слова циліндр — це тіло, яке складається з двох обмежених плоских областей, які можна сумістити паралельним переносом, та всіх відріз- ків, які з’єднують їхні відповідні точки. Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100 Рис. 101
208 Геометрія Задача Рис. 102 Кінці відрізка лежать на колах основ рівностороннього циліндра (осьовий переріз — квадрат), кут між радіусами, проведеними в кінці відрізка, дорівнює а. Знайти кут між цим відрізком і віссю циліндра. Розв’язання. Нехай ООГ — вісь циліндра (рис. 102), АВ — даний відрізок. Кут між радіусами ОА і ОГВ дорівнює куту СОГВ, тобто АСОГВ - а. Шуканий кут між відрізком АВ і віссю ООГ дорівнює куту АВВ. Проведемо ОгК ± ВС. Із АСО^К: СК = СОг АпАСО.К = СОг зіп^СЦВ = СО1зт—. Сі (У €ї Оскільки СВ = 2СК = 2СО1Ап^, то АВ = 2СО1 зіп^. Сі Сі Із ААВС, враховуючи, що ВВ - 2СО1, маємо: АЛ 2СО18іп| а ( а Ї^ААВВ-——-————— = зіп^, отже, ААВВ - агсі£ 8Іп^ ВВ 2СО1 2 \ 2 Відповідь-. агсі£ а і 2 ) Розгортка циліндра. Бічна і повна поверхні циліндра Рис. 103 Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і якійсь твір- ній, а потім розгорнути на площині, то отримаємо розгортку циліндра (рис. 103). Площею поверхні циліндра називається площа його розгортки. Пло- ща поверхні циліндра 5>„ дорівнює сумі площ основ 50СН і бічної поверхні 5бічн: = 5бічн + 25осн. Оскільки 5бічн = 2пВН, 50СН = лй2, де В — радіус основи циліндра, Н — його висота, то 5>„ = 2пВН + 2пВ2 - 2пВ(В + Н). Рис. 104 Задача 1 Діагональ розгортки бічної поверхні циліндра утворює кут а з ос- новою розгортки, довжина діагоналі дорівнює д. Знайти площу повної поверхні циліндра. Розв’язання. Нехай АВСВ — розгортка бічної поверхні циліндра (рис. 104), АС = (1, АСАВ = а. Із ДАСВ-. СВ =АС зіп АСАВ = <1 зіп а, АВ =АС соз АСАВ = Ь соз а. Якщо В, Н — радіус основи і висота циліндра, то Н - д, зіп а, 2пВ - сі соз а, звідки В - ^С08Р. Отже, площа повної поверхні цилінд- 2л ра дорівнює: о о п/п тт\ л /йсозос , . ) й2соза, о о • \ - 2пВ(В + Н) = асозос — -н а зіпа = — --(созр + 2л зіпа). \ 2л /2л Відповідь-. с080с(созР + 2л8Іпос). 2л Задача 2 Площі повної та бічної поверхонь циліндра дорівнюють відповідно 50 см2 і ЗО см2. Знайти радіус основи і висоту циліндра.
Основні поняття стереометрії 209 Розв’язання. Нехай В, Н — радіус основи і висота циліндра, тоді |2лЯ(Я + Н) = 50; [2лВН = ЗО. Розв’язуємо цю систему рівнянь: 2лЯ2 + 2лЯН = 50; [2лЯ2 + 30 = 50; )2лВ2=20; 2лВН = ЗО; ]2лВН = ЗО; [лВН = 15;^ Об'єм циліндра Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто V = 80СН • Н = лВ2Н (рис. 105). Задача Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 8, кут між діагоналлю перерізу і площиною основи дорівнює а. Знайти об’єм циліндра. Розв’язання. Нехай АВСВ — осьовий переріз циліндра (рис. 106), 8АВСВ - АСАВ = а. Об’єм циліндра знайдемо за формулою V - лВ2Н, де В=АО, Н = СВ. Із ДАСИ: СВ = АС зіп АСАВ = АС • зіп а; АВ - АС сояАСАВ = АС соз а. Враховуючи, що 8АВСВ -АВ СВ, отримуємо: 5 = АС2 зіп а соз а; І 94 28 = 2АС2 зіп а соз а, 28 = АС2 зіп 2а, звідки АС-. ———. у зіп 2а „ . „ (АВ\2 АС2 соз2 а . л .„3 2 Тоді У = лІ—— СВ = л----------АС-8іпа = — АС соз азіпа = \ Сі / лг лг Рис. 105 28 V 2 . л( І 28 V 2 • ——— соз азіпа = — ./—----------- соз азіпа = зіп 2а 7 4 \ у 2зіпасоза ) / І--------А3 І-------- л І 8 1 2 п 8 8 2г> • — ------- соз азіпа = — •—--------. —--------соз рзіпа = 41 У зіпасоза/ 4 зіпасоза у зіпасоза л8 /8 л8 І 8 соз2 а —г,—--------соза = ——--------- 4 у зіпасоза 4 у зіпасоза = ^-Т8сї^а. Відповідь: ^-у]8сА£ а. Конус і його властивості Конусом називається тіло, утворене обертанням прямокутного три- кутника навколо одного з його катетів. Якщо прямокутний трикутник (рис. 107) 8АО обертається навколо катета 80, то його гіпотенуза 8А опише бічну поверхню, а катет ОА — Рис. 107
210 Геометрія Рис. 108 Рис. 109 круг (основу конуса). Радіус цього круга називається радіусом конуса; точка 5, відрізок 8А, відрізок 80, пряма 80 називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса. Осьовий переріз конуса — переріз конуса площиною, яка прохо- дить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса являють рівнобедрені трикутники, рівні між собою. На рис. 108 Д8АВ — осьовий переріз (&4 = 8В). Перерізом конуса площиною, паралельною площині основи конуса, є коло. Зрізаним конусом називається частина конуса, обмежена його ос- новою і перерізом, паралельним площині основи (рис. 109). Зрізаний конус можна отримати, обертаючи рівнобедрену трапецію навколо її осі симетрії чи обертаючи прямокутну трапецію навколо осі, яка містить бічну сторону трапеції, перпендикулярну основам. Осьовий переріз зрізаного конуса — рівнобедрена трапеція. На рис. 109 АВСВ — осьовий переріз. Зрізаний конус обмежений двома кругами — його основами — і бічною поверхнею. Відстань між основами — висота зрізаного конуса. На рис. 109 ООГ — висота, АВ — твірна. Зауваження. Якщо бути більш точними, то тіло, утворене обертан- ням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів, нази- вається прямим круговим конусом. Саме такі конуси і розглядають у шкільному курсі стереометрії та називають їх просто конусами. У ши- рокому розумінні слова конус — це тіло, утворене всіма відрізками, які з’єднують дану точку (вершину конуса) з точками якоїсь обмеженої плоскої фігури (основа конуса). Рис. 110 Задача 1 Твірна конуса дорівнює І, а радіус основи дорівнює г. Знайти площу перерізу, який проходить через вершину конуса і хорду основи, що стягує дугу, кутова величина якої дорівнює а. Розв’язання. Нехай ВАВ — даний переріз (рис. 110). 8А = 8В = І, АО = ВО = г, ААОВ = а. Проведемо ОК ± АВ, тоді ОС ААОК = АКОВ = — і 8К ± АВ (за теоремою про три перпендикуляри). Сі ХзКАОК. АК = АО • зіпААОК = гзіп-. 2 ІзААЖ: 8К = ^А82 -АК2 = .І2 - г2 зіп2 І Площу 5 перерізу знаходимо за формулою: 8 = ^АВ 8К = ^ 2АК 8К = АК 8К = гАп~ Аі2 -г2 зіп2^. Сі Сі Сі \ Сі Відповідь', гзіп—• . І2 - г2 зіп2 —. 2 V 2 Задача 2 Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 3 см і 6 см, а твірна — 5 см. Знайти висоту зрізаного конуса, площу осьового перерізу, кут нахилу твірної до площини основи.
Основні поняття стереометрії 211 Розв’язання. Нехай АВСВ — осьовий переріз зрізаного конуса (рис. 111), АОГ - 6 см, ВО - 3 см, АВ - 5 см. АВСВ — рівнобічна трапе- ція. Проведемо ВК ВАВ, тоді ВК = ООг. Із ЛАВКі ВК = УІАВ2-АК2 = ^АВ2 -(АО.-ВО)2 = 7б2-(6-3)2 = л/16 = 4 (см). 5 = АВ+ВС вк = 2(АО +ВО) вк = +ВОуВК=(з + ву4 = 36 (см2), Сі Сі де 8 — площа осьового перерізу. ВК 4 4 Із ЛАВКі Ї§ЛВАК = ^ = ?-, тоді = агсі£^. АтС З З 4 Відповідь1. 4 см; 36 см2; агсі£—. З Рис. 111 Бічна і повна поверхні конуса Площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола основи конуса на його твірну, тобто 5бічн = пВІ (рис. 112). Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні та площі основи 5П0ВН = 5бічн + 8ЖВ = пВІ + пВ.2 = пВ(В + І). Задача У конусі сума висоти і твірної дорівнює а, найбільший кут між твір- ними дорівнює а. Знайти площу повної поверхні конуса. Розв’язання. Нехай &4, 80 — твірна і висота конуса (рис. 113), 8А + 80 - а, ЛАЗ В - а. Л8АВ — рівнобедрений, 80 — висота, медіана і бісектриса ЛА8В, ЛАВО - Нехай А8 = х. Із ЛАЗОї 80 = А8-соз ЛА8О = хсоз—. АО-хзіп—. 2 2 ОС Враховуючи умову задачі А5> + 80 = а, отримуємо: х + хсоз— = а, тоді Сі а а _ ... х---------------. Отже, площа повної поверхні конуса і . ОС о 2 ос 1 + СО8— 2СО8 — Сі Сі 8птт = п' АО(АО + А8) = пхзіп^І хзіп^ + х| = пх2 8Іп^(1 + 8Іп^| = повн 2 \ 2 / 2 \ 2 / а 2 а2 . а К .а) = П------ЗІП— 1 + 81П— = л 4 а 2 \ 2/ 4 соз — 4 2 . ОС 7Ш Г) 2 ОС 2 соз -г 4 о . ос а 2 2зт— СО8-г па 4 4 л 2 ОС 2 ОС 4 соз — соз — 4 4 ос 1+81ПЇЇГ 2 ОС 2 па соз СО82 -Г 4 2 і ОС 2 / па соз н Відповідь1. ------------- 2 а СОЗ -7- 4
212 Геометрія Рис. 114 Бічна і повна поверхні зрізаного конуса Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює напівдобутку суми довжин кіл основ на довжину твірної, тобто 5бічн = пІ(В, + Л2), де І — твірна, В, і В2 — радіуси основ (рис. 114). Площа повної поверхні зрізаного конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні та площ основ ^повн = ^Оічн + + ’ ^повн = + Т?2 ) + + Л-^2 • Задача Висота зрізаного конуса дорівнює її, кут між діагоналями осьового перерізу дорівнює а (обернений до основи), твірна з основою складає гострий кут р. Знайти площу бічної поверхні. Розв’язання. Нехай у зрізаному конусі (рис. 115) ОО, - її, ЛАРВ - а, РВАВ = р. Оскільки 5бічн = я • АВ(АО, + ВО), то необхідно знайти АВ, АО, + ВО. Проведемо СМ Ц ОО„ тоді АМ -АО, + ВО. Із ДАСМ: АМ = СМ сі§АСАМ = її сІ£180°~а Рис. 116 = йсі49О°-^ = ЙІ£^, 2 отже, АО, +ВО - ІіІ£^. Сі ІзЛСМВ: СВ = . С^- . „ зіп АСВМ зіпР й і 2 ОС її а пк ^2 Шукана площа дорівнює: 5бічн = р = 8Іпр • 7 2 СС лй 1&- Відповідь: —:—-—. 8іпр Об'єм конуса Об’єм конуса дорівнює одній третій добутку площі основи на висоту, тобто V = ^-пВ2Р[ (рис. 116). О Рис. 118 Задача Із центра основи конуса проведений перпендикуляр до твірної, який утворює з висотою кут р. Знайти об’єм конуса, якщо твірна дорівнює І. Розв’язання. Нехай 8А — твірна конуса (рис. 117), 8А - І, 80 — висота, ОВ АА8, АВО8 = а, АА8О = 90° - АВОС = 90° - р. Із А8ОА: АО=А8- АпАА8О = І зіп (90° - Р) = І соз Р = А8 • соз АА8О = = І соз (90° - Р) = І зіп р. Об’єм V = ^п АО2 •8О = ^-л12соз2р ізіпР = ^—соз2рзіпр. О О о тг73 Відповідь: -^-соз2Рзіпр. Об'єм зрізаного конуса Об’єм зрізаного конуса дорівнює: У = |лН(Я2 + Вг + г2), О де В і г — радіуси основ, Н — висота конуса (рис. 118).
Основні поняття стереометрії 213 Задача 1 Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють В і г, твірна нахилена до площини основи під кутом а. Знайти об’єм конуса. Розв’язання. Нехай ОВ, ОгА — радіуси основ зрізаного конуса (рис. 119), О,А = В, ОВ = г, АВАО1 - а. Проведемо ВС РАОг, тоді АС = = АОг - ВО - В - г. Із ЛАВС: ВС = АС Ї&АВАС = (В - г) І£ а. Об’єм конуса: У = |л ВС (АОІ+АО^ ВО + ВО2) = 1-п(В-г)(В2 +Вг + г2)А$а = О о = |л(Я3 -Г3)І£0С. О Відповідь: ^-п(В3 -г3)ї%а. О Рис. 119 Задача 2 Площа осьового перерізу зрізаного конуса дорівнює різниці площ основ, а радіуси основ дорівнюють В і г. Знайти його об’єм. Розв’язання. Нехай В, г — радіуси основ зрізаного конуса (рис. 120). Площа 5 осьового перерізу дорівнює: 5 = 2Д + 2г ОО1 = (В + г) ООг. Сі Різниця площ основ 8г = пВ2 - пг2 - п(В2 - г2). Оскільки за умовою задачі 8Г - 8, то (В + г) ООГ - п(В2 - г2), звідки л(В2-г2) °°'= Д + г Шуканий об’єм дорівнює: К = |л ОО1 (Л2+Лг + г2) = |л л(Л-г)(Л2+Лг + г2) = |л2(Л3-г3). О О о Відповідь: ^п2(В3-г3). Сфера і куля, частини кулі та сфери Сферою називається поверхня, яка складається з усіх точок про- стору, які знаходяться на даній відстані (називаній радіусом) від да- ної точки (називаній центром). Відрізок, який з’єднує дві точки сфери і проходить через її центр, називається діаметром сфери. На рис. 121 О — центр сфери, ОА — радіус сфери, АВ — діаметр сфери. Сферу можна отримати в результаті обертання кола навколо його діаметра. Кулею називається тіло, яке складається з усіх точок простору, що знаходяться на відстані, не більшій від даної (називаної радіусом) від даної точки (називаної центром). Кулю можна отримати у результаті обертання кру- га навколо його діаметра. Будь-який переріз кулі площиною є кругом, а переріз сфери пло- щиною є колом (рис. 122). Центр круга (кола) — основа перпендику- ляра, опущеного з центра кулі (сфери) на січну площину. Переріз, що проходить через центр кулі (сфери), називається більшим кругом (колом). Площина (пряма), яка має з кулею (сферою) тільки одну спільну точку, називається дотичною площиною (прямою) (рис. 123). Дотична площина (пряма) перпендикулярна радіусу кулі (сфери), Рис. 120 Рис. 121 Рис. 123
214 Геометрія Рис. 124 Рис. 125 Рис. 126 Рис. 127 проведеному в точку дотику. Якщо площина (пряма) проходить через точку сфери і перпендикулярна радіусу, проведеному в цю точку, то вона дотикається сфери. Кульовим (сферичним) сегментом називається тіло (частина сфери), яке відсікається площиною (рис. 124). Кульовий сегмент обмежений кругом, який називається основою, і сферичним сегментом. Відрізок діаметра, перпендикулярного основі кульового (сферичного) сегмента, вміщений між основою і сферою, на- зивається висотою кульового (сферичного) сегмента. Кульовим шаром називається частина кулі, вміщена між двома па- ралельними площинами (рис. 125). Сферичним поясом називається частина сфери, вміщена між пара- лельними площинами. Кульовий шар обмежений двома кругами, які називаються основою і сферичним поясом. Висотою кульового шару називається перпендикуляр, проведений з точки однієї основи до площини іншої. Висотою сферичного пояса називається висота відповідного кульового шару. Кульовим сектором називається тіло, утворене обертанням кульо- вого сектора навколо осі, яка проходить через його центр (рис. 126). Висотою кульового