Автор: Коширіна О.
Теги: довідник енциклопедичні довідки гуманітарні науки шкільна освіта видавництво торсінг плюс
Год: 2010
Текст
ИЛ1И1
ББК 92я2
Н72
Довідкове видання
Авторський колектив:
Математика: О. М. Роганін, О. М. Титаренко
Фізика: О. П. Бальва
Хімія: О. В. Мєшкова, В. Г. Тищенко
Біологія: Ю. О. Садовниченко
Географія: О. А. Байназаров, Ю. І. Кандиба
НОВІТНІЙ ПОВНИЙ ДОВІДНИК ШКОЛЯРА
Відповідальний редактор О. Каширіна
Коректор Г. Трубіцина
Комп’ютерне макетування П. Ширнін
Дизайн обкладинки В. Кулік
Підписано до друку 29.01.10.
Формат 84x108 У16. Гарнітура Шкільна.
Друк офсетний. Ум.-друк. арк. 60,48- Наклад 20000 прим.
Видання здійснене за ліцензією ФОН Шапіро М. В.
«ТОРСІНГ плюс»
Свідоцтво серія ДК № 2143 від 01.04.05 р.
61057, м. Харків, вул. Сумська, 13
З питань оптових поставок звертатися:
Тел. (057) 717-10-26, 719-98-73
Е-таіІ: іогаіп^ ог'о-'гісіег.сот.иа
Книга — поштою:
61057, м. Харків, а/с «Книжкова ліга»
тел.: 8 (057) 7-199-880
Інтернет-магазин: іогаііщ.сот.иа
Н72 Новітній повний довідник школяра. — Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2010. — 576 с.
І8ВИ 978-611-030-075-9.
У новітньому довіднику школяра подана повна інформація з основних шкільних предметів: математики,
фізики, хімії, біології, географії.
Видання підготовлене відповідно до сучасних вимог шкільної програми. Матеріал викладений послідовно,
за темами, кожний розділ містить завдання для самоконтролю, ілюстративний матеріал (схеми, таблиці, графіки),
що дозволить учням підготуватися до контрольних та самостійних робіт і успішно скласти випускні іспити.
ББК 92я2
І8ВИ 978-611-030-075-9
© Авторський колектив, 2009.
© ФОП Шапіро М. В., макет, 2010
ЗМІСТ
МАТЕМАТИКА
АРИФМЕТИКА
НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА............................14
Натуральні числа..........................14
Арифметичні дії над натуральними числами...15
Числові вирази. Порядок арифметичних дій
у числовому виразі........................15
Ділення з остачею.........................16
Ознаки подільності натуральних чисел......16
Розкладання натурального числа на прості
множники..................................17
Найбільший спільний дільник, найменше
спільне кратне............................17
ДРОБИ.......................................19
Звичайні дроби............................19
Правильні і неправильні дроби.............19
Основна властивість дробу.................20
Скорочення дробу..........................20
Зведення дробів до спільного знаменника...21
Додавання і віднімання дробів.............22
Множення дробів...........................24
Ділення дробів............................24
Десяткові дроби...........................25
Додавання і віднімання десяткових дробів..25
Множення десяткових дробів................25
Ділення десяткових дробів.................25
Перетворення десяткового дробу на
звичайний і звичайного на десятковий.
Періодичні дроби..........................27
ПРОПОРЦІЇ, ВІДСОТКИ.........................29
Відношення. Пропорція.
Властивості пропорції.....................29
Відсотки...................................29
Знаходження відсотків даного числа....ЗО
Знаходження числа за його відсотком...ЗО
Складні відсотки ..........................ЗО
ЦІЛІ, РАЦІОНАЛЬНІ, ДІЙСНІ ЧИСЛА..............31
Додатні і від'ємні числа. Цілі числа.......31
Раціональні й ірраціональні числа..........32
Дійсні числа.
Координатна пряма (числова вісь).........32
Порівняння дійсних чисел...................33
Властивості числових нерівностей...........34
Модуль (абсолютна величина)
дійсного числа........................34
Властивості модулів...................34
Дії з дійсними числами (додавання,
віднімання, множення, ділення).............35
Властивості арифметичних дій над дійсними
числами (основні закони алгебри)...........35
АЛГЕБРА
ДІЇ З АЛГЕБРАЇЧНИМИ ВИРАЗАМИ.................37
Види алгебраїчних виразів..................37
Область визначення алгебраїчного виразу....38
Тотожно рівні вирази.......................38
Степінь натурального числа з натуральним
показником.................................39
Степінь дійсного числа з натуральним
показником.................................39
Властивості степеня дійсного числа
з натуральним показником...................39
Степінь дійсного числа з нульовим
і від'ємним цілим показником...............39
Одночлен і многочлен (загальні поняття)....40
4
Зміст
Многочлен п-го степеня і його окремі
випадки для п = 0,1,2.....................40
Множення многочлена на многочлен...........41
Ділення з остачею многочлена на многочлен...41
Формули скороченого множення...............42
Трикутник Паскаля..........................42
Виділення повного квадрата двочлена із
квадратного тричлена......................42
Розкладання многочлена на множники.........43
Цілі раціональні вирази....................43
Дробові раціональні вирази.
Основна властивість раціонального дробу...44
Скорочення раціональних дробів.............45
Зведення раціональних дробів до спільного
знаменника................................45
Додавання і віднімання раціональних дробів.46
Множення і ділення раціональних дробів.....46
Корінь п-го степеня з дійсного числа.......47
Основні властивості коренів
(правила дій із радикалами)...............47
Винесення множника з-під кореня............48
Внесення множника під корінь...............48
Зведення підкореневого виразу
до цілого вигляду.........................48
Звільнення дробу від ірраціональності
в знаменнику або чисельнику дробу.........48
Степінь дійсного числа з раціональним
показником................................49
Степінь дійсного числа з дійсним показником... .49
Властивості степеня дійсного числа
з дійсними показниками.......................49
Середнє арифметичне і середнє
геометричне. Нерівність Коші..............50
ФУНКЦІЇ І НАЙПРОСТІШІ ГРАФІКИ................52
Область визначення і область значень функції.. .52
Основні способи задання функції............52
Парні і непарні функції....................54
Періодичні функції.........................54
Обмеженість функції........................55
Монотонність функції.......................55
Проміжки знакосталості
і корені функції.......................56
Точки мінімуму і точки
максимуму функції. Екстремум функції....56
Обернена функція............................56
АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ І СИСТЕМИ РІВНЯНЬ.........59
Рівності та їхні властивості. Тотожності....59
Рівняння з однією змінною (загальні поняття) ... .60
Рівносильність рівнянь......................60
Перетворення, при яких рівняння
переходить у рівносильне
йому рівняння..........................60
Сукупність рівнянь..........................61
Класифікація алгебраїчних рівнянь...........61
Лінійні рівняння і рівняння,
що до них зводяться..........................62
Рівняння, які зводяться до лінійних....62
Квадратні рівняння..........................63
Теорема Вієта ..............................63
Двочленні рівняння..........................64
Тричленні рівняння. Біквадратні рівняння....64
Цілі раціональні рівняння вищих степенів.
Теорема Безу.................................65
Симетричні рівняння третього степеня........65
Симетричні рівняння четвертого степеня......66
Розв'язання деяких неповних раціональних
рівнянь вищих степенів.......................67
Розв'язання раціональних і дробово-
раціональних рівнянь методом уведення
нової змінної................................67
Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.. .69
Метод інтервалів (проміжків) при
розв'язуванні рівнянь з модулями.............70
Ірраціональні рівняння......................71
Основні методи розв'язування
ірраціональних рівнянь ................71
Метод піднесення обох частин
початкового рівняння
до того самого степеня.................72
Метод уведення нових змінних...........75
Штучні методи розв'язування
ірраціональних рівнянь.................78
Зміст
5
Системи рівнянь............................79
Основні методи розв'язування
систем рівнянь.........................80
Однорідні системи рівнянь..................83
Симетричні системи рівнянь.................84
АЛГЕБРАЇЧНІ НЕРІВНОСТІ.......................87
Нерівності з однією змінною (основні поняття).. .87
Лінійні нерівності і нерівності, які зводяться
до лінійних................................88
Системи і сукупності нерівностей з однією
змінною....................................89
Геометрична інтерпретація нерівностей......90
Нерівності другого степеня.................93
Графічне розв'язування нерівностей другого
степеня ...................................93
Розв'язання раціональних нерівностей
методом інтервалів.........................94
Метод заміни змінної при розв'язуванні
раціональних нерівностей...................96
Нерівності з модулем.......................96
Ірраціональні нерівності...................98
ПРОГРЕСІЇ...................................100
Поняття числової послідовності............. 100
Арифметична прогресія.....................101
Геометрична прогресія.....................101
Нескінченно спадна геометрична прогресія...102
ТРИГОНОМЕТРІЯ...............................103
Означення тригонометричних функцій........103
Розв'язування важливих прикладів,
доведення тотожностей.....................104
Приклади на доведення
тригонометричних тотожностей..........106
Розв'язування прикладів на тотожні
перетворення тригонометричних виразів ... .107
Обернені тригонометричні функції...........109
Тригонометричні функції від обернених
тригонометричних функцій..................109
Тригонометричні функції від агсзіпх...109
Тригонометричні функції від агссозх...109
Тригонометричні функції від агсїдх....110
Тригонометричні функції від агссїдх...110
Найпростіші тригонометричні рівняння......110
Основні методи розв'язування
тригонометричних рівнянь................113
Розв'язування тригонометричних рівнянь
методом розкладання на множники....113
Спосіб зведення тригонометричного
рівняння до однієї з функцій.......114
Розв'язування тригонометричних рівнянь,
однорідних відносно синуса і косинуса,
а також таких, що зводяться
до однорідних.......................115
Розв'язування тригонометричних рівнянь
за допомогою універсальної підстановки
Ід—= Г..............................116
2
Метод уведення допоміжного
аргументу............................117
Розв'язування рівнянь перетворенням
суми (різниці) тригонометричних функцій
на добуток...........................118
Розв'язування рівнянь перетворенням
добутку тригонометричних
функцій на суму.....................119
Тригонометричні рівняння,
що розв'язуються із застосуванням
формул зниження степеня.............120
Розв'язування рівнянь із застосуванням
формул подвійного і потрійного
аргументів........................120
Розв'язування рівнянь за допомогою
заміни змінних.....................120
Розв'язування тригонометричних
рівнянь виду ^ї(х)=д(х) ...........122
Розв'язування тригонометричних рівнянь
із використанням обмеженості функцій
у = 5ІПХ, у = СО5Х.................122
Тригонометричні рівняння, що містять
обернені тригонометричні функції........123
Системи тригонометричних рівнянь........123
Тригонометричні нерівності..............124
ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ.
ПОКАЗНИКОВІ І ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ,
СИСТЕМИ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТІ.............128
Означення логарифма.
Основна логарифмічна тотожність.........128
6
Зміст
Властивості логарифмів......................128
Логарифмування і потенціювання.........129
Показникові рівняння........................130
Методи розв'язування показникових рівнянь .. .130
Розв'язування найпростіших показникових
рівнянь (передбачається,
що а > 0, а Ф 1, Ь > 0)...............131
Розв'язування показникових рівнянь,
що зводяться до найпростіших,
з використанням методу зрівнювання
показників степенів.....................131
Розв'язування рівнянь виду
а«х) = ьгм (а > 0) ь > о, а Ф і, ь Ф і).132
Розв'язування рівнянь виду
А ,а(МВ ,Ьд(Х)..........................132
Розв'язування показникових рівнянь
методом винесення спільного множника
за дужки................................133
Розв'язування показникових рівнянь,
що зводяться до квадратних або
алгебраїчних рівнянь вищих степенів.....133
Розв'язування показникових рівнянь виду
А. апх + Ватх- Ь(п'т>х + С Ьпх = 0,
(а>0, Ь>0, ад1,бд1)...................135
Розв'язування показникових рівнянь
методом підбору.........................136
Степенево-показникові рівняння..............136
Основні методи розв'язування
логарифмічних рівнянь......................137
Розв'язування найпростіших
логарифмічних рівнянь...................137
Розв'язування логарифмічних рівнянь
потенціюванням..........................139
Розв'язування рівнянь із застосуванням
основної логарифмічної
тотожності аІО97’ = Ь...................140
Розв'язування логарифмічних рівнянь
методом заміни змінної..................140
Розв'язування рівнянь методом
логарифмування..........................141
Розв'язування рівнянь методом ділення
обох частин на показниково-логарифмічну
функцію.................................142
Розв'язування рівнянь шляхом переходу
до іншої основи.........................142
Розв'язування логарифмічних рівнянь
комбінованими методами...............142
Розв'язування логарифмічних рівнянь,
що містять модулі.....................144
Показникові нерівності.....................145
Нерівності виду а/<ХІ > а9ІХІ.........145
Нерівності виду аГІХІ> Ь, а > 0.......145
Нерівності виду а/<ХІ > Ь.............146
Розв'язування показникових нерівностей
методом заміни змінної...............146
Розв'язування нерівностей, що містять
однорідні функції відносно показникових
функцій..............................146
Степенево-показникові нерівності...........146
Нерівності виду (Г(х))вд >1 ..........146
Нерівності виду (Г(х))вд > (Г(х))ад...147
Нерівності виду (Г(х))вд > (д(х))вд...147
Логарифмічні нерівності....................147
Нерівності, що розв'язуються
з використанням означення логарифма ... 148
Нерівності, що розв'язуються
з використанням властивостей
логарифмів...........................149
Логарифмічні нерівності, що розв'язуються
з використанням заміни змінної.......149
Розв'язування показниково-логарифмічних
нерівностей..........................150
Логарифмічні нерівності, що містять
змінну під знаком логарифма
і в основі логарифма.................151
ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІЙОВАНОГО ЧИСЛЕННЯ..........153
Границя функції. Неперервність функції.....153
Означення похідної. Основні формули
і правила диференціювання..................154
Основні формули диференціювання.......155
Основні правила диференціювання.......155
Геометричне значення похідної..............155
Застосування похідної до дослідження
функцій і побудови графіків................156
Достатні умови існування екстремуму...156
Загальна схема дослідження функцій....156
Задачі на знаходження найменшого
і найбільшого значень функції.
Екстремальні геометричні задачі............157
Зміст
7
ГЕОМЕТРІЯ
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ТЕОРЕМИ ГЕОМЕТРІЇ
Пряма і відрізок, промінь,
порівняння і вимірювання відрізків.......161
Кути. Порівняння і вимірювання кутів.......161
Суміжні та вертикальні кути.
Кути при перетинанні двох прямих
третьою прямою......................162
Паралельні прямі. Кути з відповідно
паралельними і перпендикулярними
сторонами................................163
Ознаки паралельності прямих..........163
Властивості паралельних прямих.......163
Кути з відповідно паралельними
сторонами............................163
Кути з відповідно перпендикулярними
сторонами............................164
Трикутник................................ 164
Ознаки рівності трикутників..........165
Рівнобедрений трикутник..............165
Ознаки рівності прямокутних
трикутників..........................167
Теорема Піфагора.....................167
Співвідношення між сторонами і кутами
у прямокутному трикутнику............168
Подібність трикутників...............169
Властивості бісектриси кута трикутника.... 169
Пропорційні відрізки у прямокутному
трикутнику...........................169
Співвідношення між сторонами і кутами
у довільному трикутнику.
Теореми косинусів і синусів..........170
Чотирикутник..............................170
Паралелограм..............................170
Ознаки паралелограма.................171
Властивості паралелограма............171
Властивість суми квадратів діагоналей
паралелограма........................171
Прямокутник...............................171
Ознаки прямокутника..................171
Властивості прямокутника.............171
Ромб......................................172
Ознаки ромба.........................172
Властивості ромба....................172
Квадрат....................................172
Властивості квадрата..................172
Трапеція...................................172
Властивість трапеції..................172
Властивості рівнобічноїтрапеції.......173
Теорема Фалеса.
Середня лінія трикутника і трапеції...173
Геометричні місця точок
(коло, серединний перпендикуляр,
бісектриса кута)...........................173
Пропорційні відрізки у колі...........174
Вписані та деякі інші кути............175
Вписані й описані трикутники..........175
Вписані й описані чотирикутники.......176
Ламана. Випуклі многокутники...............177
Правильні многокутники.....................177
Довжина кола і дуги........................178
Площі плоских фігур........................179
Площа квадрата і прямокутника.........179
Площа паралелограма і ромба...........179
Площа трикутника......................180
Площа трапеції........................180
Площа випуклого чотирикутника.........180
Площа правильного многокутника........180
Площі подібних фігур..................181
Площа круга та його частин............181
Перетворення фігур.
Рухи (центральна симетрія, осьова симетрія,
поворот, паралельне перенесення).........182
Властивості рухів.....................182
Симетрія відносно точки
(центральна симетрія).................182
Симетрія відносно прямої
(осьова симетрія).....................182
Поворот...............................183
Паралельне перенесення................183
Найпростіші геометричні побудови.......... 184
Загальна схема розв'язання задач
на побудову...........................184
Декартові координати на площині.......184
Координати середини відрізка..........185
Відстань між двома точками............185
Рівняння кола.........................185
Рівняння прямої на площині............185
Умови паралельності двох прямих.......185
Умова перпендикулярності двох прямих.......185
8
Зміст
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ СТЕРЕОМЕТРІЇ..................186
Аксіоми стереометрії........................186
Теореми стереометрії........................187
Просторові геометричні фігури..........187
Взаємне розташування прямих
і площин у просторі........................188
Ознака паралельності прямих............188
Ознака паралельності прямої і площини.... 188
Ознака прямих, що схрещуються..........188
Властивості паралельних площин.........189
Властивості паралельних проекцій.......190
Перпендикулярність прямих! площин...........190
Властивості перпендикулярних прямої
та площини............................190
Відстані між точками,
прямими і площинами....................191
Побудови у стереометрії.....................192
Кути у стереометрії.........................193
Властивості перпендикулярних площин.... 193
Призма та її властивості....................195
Бічна і повна поверхні призми..........196
Об'єм призми...........................197
Паралелепіпед...............................198
Піраміда та її властивості..................199
Властивості паралельних
перерізів піраміди.....................200
Бічна і повна поверхні піраміди........201
Об'єм піраміди .............................202
Зрізана піраміда.......................203
Правильні многогранники.....................206
Циліндр і його властивості..................207
Розгортка циліндра.
Бічна і повна поверхні циліндра........208
Об'єм циліндра.........................209
Конус і його властивості....................209
Бічна і повна поверхні конуса..........211
Бічна і повна поверхні зрізаного конуса .... 212
Об'єм конуса...........................212
Об'єм зрізаного конуса.................212
Сфера і куля, частини кулі та сфери.........213
Об'єм кулі.............................214
Формула об'єму частини кулі............215
Формули поверхні сфери та її частин....216
Декартові координати у просторі............217
Координати середини відрізка..........217
Відстань між двома точками............218
Рівняння сфери........................218
Вектори....................................218
Основні властивості складання векторів ... 219
Скалярний добуток векторів............220
Координати вектора....................220
Деякі важливі твердження і формули....220
Компланарні вектори...................221
ФІЗИКА
МЕХАНІКА..............................228
Основи кінематики..........................228
Система відліку........................228
Поступальний рух.......................229
Матеріальна точка......................229
Траєкторія.............................229
Координатний і векторний способи
описування руху матеріальної точки.....229
Вектор переміщення і шлях.............230
Швидкість..............................231
Відносність руху.......................232
Відносна швидкість.....................232
Закон додавання швидкостей.............233
Рівномірний рух........................233
Прискорення............................234
Рівнозмінний рух.......................235
Обертальний рух твердого тіла..........237
Основи динаміки............................238
Перший закон Ньютона..................238
Інерціальні системи відліку...........238
Принцип відносності Галілея...........239
Сила. Принципи незалежності дії сил
(принцип суперпозиції).................239
Рівнодіюча сила.......................239
Другий закон Ньютона..................240
Третій закон Ньютона..................240
Закон всесвітнього тяжіння.............241
Сила тяжіння...........................241
Маса тіла як міра інертності.
Гравітаційна маса......................242
Рух тіла під дією сили тяжіння.
Вільне падіння.........................242
Вага тіла..............................244
Зміст
9
Космічні швидкості....................244
Сили пружності........................245
Закон Гука............................246
Сила тертя............................246
Сила опору твердого тіла,
яке рухається в рідині або в газі.....247
Момент сили...........................247
Рівновага механічної системи
(абсолютно твердого тіла).............248
Закони збереження у механіці...............249
Імпульс матеріальної точки (тіла).....249
Імпульс сили..........................250
Імпульс системи тіл.
Закон збереження імпульсу............250
Робота сили...........................251
Енергія. Кінетична
та потенціальна енергії...............252
Потенціальна енергія..................253
Закон збереження механічної енергії...254
Потужність............................254
Елементи механіки рідин і газів
(гідроаеростатика).........................255
Тиск..................................255
Закон Паскаля.........................256
Тиск нерухомої рідини на дно та стінки
посудини (гідростатичний тиск).............256
Закон Архімеда........................256
МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА. ТЕРМОДИНАМІКА............259
Основи молекулярно-кінетичної теорії.......259
Атомна одиниця маси...................260
Атомна маса
(відносна молекулярна маса)...........260
Моль. Стала Авогадро..................260
Кількість речовини....................261
Молярна маса..........................261
Обґрунтування молекулярно-кінетичної
теорії................................261
Гази, рідини та тверді тіла у МКТ.....264
Ідеальний газ.........................266
Основне рівняння молекулярно-кінетичної
теорії ідеального газу................266
Рівняння Клапейрона - Менделєєва
(рівняння стану ідеального газу)......268
Ізопроцеси в газах....................268
Основи термодинаміки.......................270
Внутрішня енергія.....................270
Теплообмін ...........................272
Кількість теплоти. Питома теплоємність .... 274
Робота у термодинаміці................275
Перший закон термодинаміки............276
Застосування першого закону
термодинаміки до різних
термодинамічних процесів............276
Адіабатичний процес....................278
Необоротний процес.
Другий закон термодинаміки............278
Властивості газів, рідин і твердих тіл.....279
Агрегатний стан речовини..............279
Випаровування та конденсація..........280
Насичена та ненасичена пара...........282
Питома теплота пароутворення..........284
Вологість повітря.....................285
Плавлення та кристалізація............285
Питома теплота плавлення..............286
Питома теплота згоряння...............287
Рівняння теплового балансу............287
ЕЛЕКТРОДИНАМІКА..............................289
Основи електростатики......................289
Взаємодія зарядів.
Два види електричного заряду........289
Закон збереження заряду...............290
Закон Кулона..........................291
Електричне поле.......................292
Напруженість електричного поля........293
Принцип суперпозиції полів............293
Провідник в електричному полі.........294
Діелектрики в електричному полі.......295
Робота електричного поля
з переміщення заряду.................296
Потенціал і різниця потенціалів.......297
Напруга та напруженість однорідного поля .. .298
Електроємність........................298
Електричний конденсатор.
Електроємність плоского конденсатора... 298
З'єднання конденсаторів...............299
Енергія електричного поля.............299
Закони постійного струму...................299
Електричний струм.....................299
Сила струму...........................300
Закон Ома для ділянки кола............301
Електричний опір......................301
10
Зміст
Електричне коло. Послідовне
та паралельне з'єднання провідників....302
Робота та потужність електричного струму... 303
Закон Джоуля - Ленца...................304
Електрорушійна сила....................304
Закон Ома для повного кола.............305
Магнітне поле. Електромагнітна індукція......306
Магнітне поле. Взаємодія струмів.......306
Індукція магнітного поля...............307
Закон Ампера...........................309
Сила Лоренца............................310
Магнітний потік........................311
Явище електромагнітної індукції........311
Правило Ленца..........................312
Закон електромагнітної індукції........313
Індуктивність. Самоіндукція............315
КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ. ОПТИКА............317
Механічні коливання та хвилі...............317
Коливальний рух.......................317
Механічні коливання...................317
Амплітуда коливань....................318
Період коливань.......................318
Частота коливань......................318
Гармонічні коливання..................319
Перетворення енергії при гармонічних
коливаннях............................319
Вільні коливання......................319
Динаміка вільних коливань.............320
Фаза коливань.........................322
Вимушені коливання....................323
Резонанс..............................324
Поширення коливань
у пружних середовищах
(механічні хвилі).....................325
Поздовжня хвиля.......................325
Поперечна хвиля.......................326
Плоска хвиля..........................326
Сферична хвиля........................327
Довжина та швидкість хвилі............327
Звук..................................328
Інтерференція хвиль...................329
Дифракція хвиль.......................330
Електромагнітні коливання та хвилі.........330
Вільні коливання
у коливальному контурі................331
Вимушені електромагнітні коливання.....332
Змінний струм.........................333
Електричний резонанс..................336
Електромагнітне поле..................337
Електромагнітні хвилі та швидкість
їх поширення..........................338
Оптика.....................................339
Геометрична оптика.
Прямолінійне поширення світла.........339
Закон відбивання світла...............340
Побудова зображень
у плоскому дзеркалі...................342
Закони заломлення світла..............342
Абсолютний і відносний показники
заломлення............................343
Повне внутрішнє відбивання............344
Лінзи.................................345
Побудова зображення, що дається
тонкою збиральною лінзою..............346
ХІМІЯ
ЗАГАЛЬНА ХІМІЯ.................................350
Основні хімічні поняття. Речовина...........350
Основні хімічні поняття................350
Хімічні властивості речовин. Молекула.
Елемент. Фізичне тіло. Прості та складні
речовини. Хімічна формула.............351
Чисті речовини та суміші.
Розділення сумішей.....................353
Хімічні реакції. Відносна атомна
(молекулярна) маса. Моль...............355
Число Авогадро.........................356
Закон Авогадро. Молярний об'єм газу.
Відносна густина газу..................357
Валентність............................357
Хімічна реакція.............................358
Закон збереження маси..................359
Закон сталості складу..................359
Закон об'ємних співвідношень газів
під час хімічних реакцій...............360
Швидкість хімічних реакцій.
Хімічна рівновага. Принцип Ле Шательє ... 360
Основні типи хімічних реакцій..........362
Класифікація хімічних реакцій
за енергетичною ознакою................362
Зміст
її
Періодичний закон і періодична система
елементів Д. І. Менделєєва.................367
Порядковий номер елемента..............367
Періоди та ряди елементів.............368
Групи та підгрупи елементів...........369
Сучасна періодична система............369
Будова атома...............................370
Протон, нейтрон,електрон.
Квантові числа........................370
Електронні формули атомів та іонів....373
Хімічний зв'язок...........................374
Ковалентний хімічний зв'язок..........374
Координаційний хімічний зв'язок.......377
Іонний хімічний зв'язок...............377
Металічний хімічний зв'язок...........378
Водневий зв'язок......................378
Молекулярна і немолекулярна
будова речовин........................379
Типи кристалічних ґраток..............380
Електронегативність...................381
Ступінь окиснення.....................381
Розчини....................................382
Поняття про розчини ..................382
Розчинність...........................383
Теорія електролітичної дисоціації.....385
НЕОРГАНІЧНА ХІМІЯ............................388
Основні класи неорганічних сполук..........389
Оксиди................................389
Основи................................393
Кислоти...............................394
Солі..................................396
Амфотерні сполуки ....................399
Металічні елементи та їхні сполуки. Метали .... 401
Загальні відомості
про металічні елементи................401
Ряд активності (напруги) металів......404
Елементи-неметали та їх сполуки.
Неметали...................................406
Елементи-неметали.....................407
ОРГАНІЧНА ХІМІЯ..............................411
Теоретичні основи органічної хімії.........412
Теорія будови органічних сполук
О. М. Бутлерова.......................412
Електронна будова атома Карбону в основному
і збудженому станах......................413
Типи хімічних зв'язків
у молекулах органічних сполук............414
Класифікація органічних сполук..........415
Явище гомології.........................417
Номенклатура органічних сполук..........417
Ізомерія................................419
Взаємний вплив атомів або груп атомів
у молекулах органічних сполук...........422
Кислотні та основні властивості
органічних сполук........................423
Основні властивості органічних сполук...424
Основні типи хімічних реакцій
органічних сполук........................425
БІОЛОГІЯ
МОЛЕКУЛЯРНИЙ РІВЕНЬ ЖИТТЯ....................428
Елементний склад клітини...................428
Неорганічні сполуки в організмах......430
Органічні сполуки в організмах........431
КЛІТИННИЙ РІВЕНЬ ОРГАНІЗАЦІЇ ЖИТТЯ...........436
Організація клітин.........................437
Загальний план будови клітини.........437
Мембрани,їхня структура,
властивості та основні функції........437
Цитоплазма та її компоненти...........440
Немембранні органели..................440
Одномембранні органели................442
Будова та функції ядра................444
Хромосоми, особливості будови
та хімічного складу...................445
Хромосомний набір ядра. Гомологічні
хромосоми.............................446
Аутосоми та статеві хромосоми
(гетерохромосоми). Каріотип...........446
Типи організації клітин...............446
Клітинний цикл........................448
ОРГАНІЗМЕННИЙ РІВЕНЬ ЖИТТЯ...................453
Неклітинні форми життя.....................455
Віруси................................455
Віроїди...............................456
Пріони................................456
Бактерії..............................457
12
Зміст
Рослини.....................................459
Загальна характеристика
царства Рослини........................459
Тканини багатоклітинних рослин,
їхні будова і функції .................459
Органи рослин..........................461
Різноманітність рослин......................468
Відділ Червоні водорості,
або Багрянки...........................469
Відділ Бурі водорості..................469
Відділ Діатомові водорості.............469
Відділ Зелені водорості................470
Відділ Мохоподібні.....................470
Відділ Плауноподібні...................471
Відділ Хвощеподібні....................471
Відділ Папоротеподібні.................472
Відділ Голонасінні.....................472
Відділ Покритонасінні,
або Квіткові рослини....................473
Гриби. Лишайники............................475
Загальна характеристика царства Гриби.... 475
Життєдіяльність грибів.................476
Лишайники,їхня різноманітність,
особливості будови та життєдіяльності ... 476
Тварини.....................................478
Різноманітність тварин.................478
Людина......................................503
Тканини організму людини...............503
Функціональні системи органів..........504
Травлення .............................507
Дихання................................509
Транспорт речовин .....................510
Виділення..............................514
Шкіра..................................515
Нейрогуморальна регуляція процесів
життєдіяльності
організму...........................516
Ендокринна система...................520
Органи чуттів........................521
ГЕОГРАФІЯ
ГЕОГРАФІЯ УКРАЇНИ...........................524
Загальна характеристика природних умов
і природних ресурсів україни..............524
Географічне положення................524
Тектонічні структури.................525
Геологічна будова....................526
Мінерально-сировинні ресурси.........527
Геоморфологічна будова і рельєф......529
Кліматичні умови та ресурси..........530
Внутрішні води.......................532
Природні комплекси і фізико-географічне
районування...............................535
Фізико-географічне районування.......535
ЕКОНОМІЧНА І СОЦІАЛЬНА ГЕОГРАФІЯ УКРАЇНИ.....544
Загальна характеристика господарства
України.................................545
Формування господарського комплексу
України, його структура..............545
Промисловість........................547
Міжгалузеві промислові комплекси.....548
Соціальний комплекс..................560
Легка промисловість..................561
Агропромисловий комплекс.............562
Харчова промисловість................569
Транспортний комплекс................571
МАТЕМАТИКА
АРИФМЕТИКА
НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Натуральні числа. Арифметичні дії над натуральними числами. Числові вирази. Порядок
арифметичних дій у числовому виразі. Ділення з остачею. Ознаки подільності натуральних
чисел. Розкладання натурального числа на прості множники. Найбільший спільний дільник,
найменше спільне кратне.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Натуральні числа
словник Число — це первинне поняття математики, математична абстракція. Цифри — це математичні знаки для позначення чисел.
Числа 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,... нази- ваються натуральними або цілими додатними числами. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... називаються натуральними або цілими додатними числами. Ці числа використовуються для підрахунку пред- метів і для вказівки порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів. Число 0 (нуль) не є натуральним. Перша цифра праворуч у десятковому запису натурального числа називається цифрою першого розряду або розряду одиниць; друга цифра праворуч — цифрою другого розряду або розряду десятків; третя циф- ра праворуч — цифрою третього розряду або розряду сотень; четвер- та цифра праворуч — цифрою четвертого розряду або розряду тисяч; п’ята цифра праворуч — цифрою п’ятого розряду або розряду десятків тисяч тощо. Наприклад, запис 4369 означає: 4 — цифра тисяч, 3 — цифра сотень, 6 — цифра десятків, 9 — цифра одиниць. Звідси можемо записати:
4369 = 4 1000 + 3 100 + 6 10 + 9.
Натуральні числа
15
Арифметичні дії над натуральними числами
В арифметиці визначено 4 дії: додавання, віднімання, множення,
ділення. Результатом додавання або множення двох натуральних чисел
завжди є натуральне число. Якщо а, Ь — натуральні числа, то 8 = а + Ь
також натуральне число, де а, Ь — доданки, 8 — сума', р- а • Ь також
натуральне число, де а, Ь — множники, р — добуток.
Справедливі такі властивості додавання і множення натуральних
чисел-.
1) а + Ь - Ь + а (переставний, або комутативний закон додавання);
2) (а + Ь) + с - а + (Ь + с) (сполучний, або асоціативний закон дода-
вання);
3) а • Ь — Ь • а (переставний, або комутативний закон множення);
4) (а • Ь) • с - а • (Ь • с) (сполучний, або асоціативний закон множення);
5) а • (Ь + с) = а • Ь + а • с (розподільний, або дистрибутивний закон
множення відносно додавання).
Зазначимо, що не можна ділити на нуль. Так, наприклад, записи
7 : 0; 5 : 0; 0 : 0 не мають сенсу.
Нехай а, Ь, с — натуральні числа. Якщо а-Ь-с, то говорять, що
а — зменшуване, Ь — від’ємник, с — різниця. Якщо а : Ь - с, то го-
ворять, що а — ділене, Ь — дільник, с — частка', число а називають
кратним числа Ь, а число Ь — дільником числа а. Якщо а — кратне
числа Ь, то існує таке натуральне число с, що а-Ь с.
Числові вирази.
Порядок арифметичних дій у числовому виразі
Числовий вираз — це запис, що складається з чисел, з’єднаних зна-
ками арифметичних дій і дужок.
Значенням числового виразу називається число, яке отримуємо,
якщо у даному числовому виразі виконати зазначені дії, дотримуючись
порядку арифметичних дій.
Порядок арифметичних дій у числовому виразі такий', спочатку
виконують дії в дужках, усередині будь-яких дужок спочатку викону-
ють множення і ділення, а потім додавання і віднімання.
Наприклад, у числовому виразі ((135 - 15) 5 + 10 12) : 8 - 60 по-
рядок арифметичних дій такий:
1 2 4 3 5 6
((135- 15) 5+ 10 12) : 8-60.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
На нуль ділити не можна!
Зауваження. Іноді використовують ще прямі і фігурні дужки:
[...] і {...}. При цьому спочатку виконують дії в круглих дужках, потім
у прямих, а вже потім у фігурних. Застосовуючи, наприклад, круглі
і прямі дужки, наведений вище вираз можна записати у такий спосіб:
[(135-15) 5+10 12] : 8-60.
16
Арифметика
Ділення з остачею
Якщо натуральне число а не ділиться націло на натуральне число
Ь, то не існує такого натурального числа с, що а = Ь • с. У цьому випад-
ку говорять про ділення з остачею. Так, при діленні 51 на 8 у частці
З
отримуємо 6 і в остачі 3. Таким чином, 51 = 8-6 + 3, або 51:8 = 6+—.
У загальному випадку можемо записати: якщо а — ділене, Ь — діль-
ник (а > Ь), р — частка, г — остача, то а-Ь • р + г, де г < Ь. Інакше
г
можна записати: а і Ь=р . Тут а, Ь, р, г — натуральні числа (якщо
Ь
а ділиться на Ь без остачі, то г = 0, тобто г не є натуральним числом).
Зокрема, запис а = 5 • р + 3 означає, що при діленні числа а на 5 отри-
муємо число р і остачу 3.
Приклад. Знайти частку і остачу від ділення числа 587 на число 31.
Розв’язання.
Виконуємо ділення у стовпчик:
_587 131
31 ГЇ8~
_277
248
29
У результаті ділення отримуємо частку 18, остачу 29. Можемо
записати: 587 = 18 31 + 29, або 587 : 31 = 18 + 29 : 31.
Відповідь', частка дорівнює 18, остача дорівнює 29.
Ознаки подільності натуральних чисел
ЦІКАВО ЗНАТИ
Натуральне число ділиться
на 25, якщо дві його останні
цифри або 25, або 50, або 75,
або нулі.
Ознака подільності на 2. Натуральне число ділиться на 2 тоді і тіль-
ки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2. Наприклад, числа 84,
348, 576, 6284, 60530 діляться на 2.
Ознака подільності на 3. Натуральне число ділиться на 3 тоді і тіль-
ки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3. Наприклад, числа 186, 252,
348, 1062, 15189 діляться на 3.
Ознака подільності на 4. Натуральне число ділиться на 4, якщо дві
його останні цифри утворюють число, що ділиться на 4, або дві його ос-
танні цифри — нулі. Наприклад, числа 80, 132, 448, 700 діляться на 4.
Ознака подільності на 5. Натуральне число ділиться на 5 тоді і тіль-
ки тоді, коли його остання цифра або 0, або 5. Наприклад, 15, 25, 60,
385, 12005 діляться на 5.
Ознака подільності на 9. Натуральне число ділиться на 9 тоді і тіль-
ки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9. Наприклад, числа 162, 261,
828, 3141, 5796 діляться на 9.
Ознака подільності на 10. Натуральне число ділиться на 10 тоді
і тільки тоді, коли його остання цифра 0. Наприклад, числа 100, 180,
250, 1050, 11250 діляться на 10.
Ознака подільності на 25. Натуральне число ділиться на 25 тоді
і тільки тоді, коли дві його останні цифри або 25, або 50, або 75, або нулі
00. Наприклад, числа 125, 150, 975, 2200, 2150, 34875 діляться на 25.
Зазначимо, що справедливі такі властивості подільності суми і до-
бутку: якщо кожен доданок ділиться на деяке число, то і сума ділиться
Натуральні числа
17
на це число {теорема про подільність суми); якщо в добутку хоча б один
з множників ділиться на деяке число, то і добуток ділиться на це число
(теорема про подільність добутку). Наприклад, сума 72 + 99 = 171 ді-
литься на 9. Не виконуючи множення, можна стверджувати, що добуток
39 55 136 ділиться на 5, тому що один з множників 55 ділиться на 5.
Розкладання натурального числа на прості множники
Будь-яке число, крім одиниці, яке ділиться тільки на 1 і саме на
себе, називається простим. Таким чином, просте число має тільки два
дільники: саме це число і одиницю. Число, яке ділиться не тільки на
одиницю і саме на себе, але ще і на інші числа, називається складеним.
Складене число має більше двох дільників. Число 1 (одиниця) не від-
носиться ні до простих, ні до складених чисел.
Будь-яке складене натуральне число можна розкласти на прості
множники, і тільки одним способом.
При розкладанні чисел на прості множники звичайно записують
у стовпчик, при цьому дільник розташовується праворуч від вертикальної
риски, а частка записується під діленим. Так, для чисел 300, 630 маємо:
300 2 630 2
150 2 315 3
75 3 105 3
25 5 35 5
5 5 7 7
1 1
Якщо в розкладанні числа на прості множники той самий множник
а зустрічається п разів, то записують коротко а - а - а - ... а = ап. Вираз
а" називається степенем, де а — основа степеня, п — показник степеня.
Звідси 300 = 22 3 52, 630 = 2 З2 5 7.
Зауваження. Розкладання натурального числа на добуток степенів
простих співмножників (основна теорема арифметики) має вигляд:
де N — будь-яке натуральне число більше 1;
рг, р2, ... , рт_1; р,„ — попарно різні прості числа;
ос, — натуральні числа (і - 1, 2, ..., т - 1, т).
Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне
Дільник даного числа — це таке число, на яке дане число ділить-
ся без остачі (націло). Наприклад, число 9 — дільник числа 63, число
42 — дільник числа 126.
Серед виписаних дільників є однакові — 1, 2, 3, 4, 6, 12. Усі ці числа
називаються спільними дільниками чисел 60 і 72, а найбільше серед
них — найбільшим спільним дільником (для чисел 60 і 72 це — число 12).
Найбільшим спільним дільником кількох чисел називається найбільше
число, на яке усі дані числа діляться без остачі. Найбільший спільний
дільник п чисел щ, а2, ..., ап_±, ап позначається НСД або НСД (а1; а2, ...,
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Число 1 (одиниця) не відно-
ситься ні до простих, ні до
складених чисел.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Основна теорема арифме-
А/= р“' р“2 ... р“^' р“"
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Найменше спільне кратне
двох взаємно простих чисел
дорівнює добутку цих чисел.
18
Арифметика
а„_г, ап). Для знаходження найбільшого спільного дільника знаходиться
добуток спільних простих множників, причому кожний з них береться
з найменшим показником.
Взаємно простими числами називаються числа, що не мають спіль-
них дільників, крім одиниці. Інакше кажучи, якщо а і Ь — взаємно
прості числа, то НСД (а; Ь) - 1.
Найменшим спільним кратним кількох чисел називається найменше
число, що ділиться на кожне з даних чисел без остачі. Наприклад, для
чисел 4 і 6 число 12 — найменше спільне кратне; для чисел 12 і 18 най-
меншим спільним кратним є число 36. Найменше спільне кратне п чисел
щ, а2, ..., ал_1; ап позначається НСК або НСК (а1; а2, ..., а^, а„). Для знаход-
ження найменшого спільного кратного знаходиться добуток усіх простих
множників, причому кожний з них береться з найбільшим показником.
Приклад. Знайти НСД і НСК чисел 126, 540, 630.
Розв’язання.
126 = 2 З2 7, 540 = 22 З3 5, 630 = 2 З2 5 7. Звідси: НСД (126;
540; 630) = 2 З2 = 18;
НСК (126; 540; 630) = 22 • З3 • 5 • 7 = 3780.
Відповідь'. 18; 3780.
Для будь-яких натуральних чисел а і Ь справедлива рівність НСД
(а; Ь) НСК (а; Ь) = а • Ь. Зокрема, якщо числа а і Ь взаємно прості, тоб-
то НСД (а; Ь) - 1, то НСК (а; Ь) - аЬ. Це означає, що найменше спільне
кратне двох взаємно простих чисел дорівнює добутку цих чисел.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 3 наведених числових виразів оберіть те, значення якого — найбільше число.
1) 510: 17 + 24 38 -80: 4; 2) 510 : 17 + 24 (38 - 80 : 4); 3) (510 : 17 + 24) 4) (510 : 17 + 24) 38-80 (38 - 80 : 4; : 4).
2. Число 2004 ділиться без остачі на:
1) 25; 2) 10; 3) 9; 4) 3.
3. Знайдіть НСД (56; 70; 126). 1) 7; 2) 14; 3) 28; 4) 63.
4. Знайдіть НСК (54; 90; 162). 1) 18; 2) 180; 3) 810; 4) 900.
5. Собака погнався за лисицею, коли відстань між ними була 90 м. Через скільки хвилин со-
бака наздожене лисицю, якщо лисиця пробігає за хвилину 320 м, а собака — 350 м?
6. Обчисліть: (377 - 255) 102 - 375 12 + (3075 : 15) 42.
7. Яке найменше число метрів матеріалу повинно бути в рулоні, щоб його можна було продати
без остачі по 3 м, по 4 м, по 5 м?
8. У змаганнях з настольного тенісу брали участь рівні за складом команди, усього 123 хлоп-
чики та 82 дівчинки. Скільки усього хлопчиків було у кожній команді?
9. Знайдіть значення виразу:
((8 - 0,2) (7,2 -5,7) + (5,4 - 3,65) (4,3 - 2,7)) : 7,25.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 3. 2. 4. 3. 2. 4. 3. 5. 3. 6. 16554. 7. 60. 8. 3. 9. 2.
ДРОБИ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Звичайні дроби. Правильні і неправильні дроби. Основна властивість дробу. Скорочення
дробу. Зведення дробів до спільного знаменника. Додавання і віднімання дробів. Множення
дробів. Ділення дробів. Десяткові дроби. Додавання і віднімання десяткових дробів. Множення
десяткових дробів. Ділення десяткових дробів. Перетворення десяткового дробу на звичайний
і звичайного на десятковий. Періодичні дроби.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Звичайні дроби
Звичайним дробом називається одна або кілька рівних частин оди-
ниці. Наприклад, дріб — означає, що одиниця поділена на 4 рівні час-
4
.. 3
тини и узята одна така частина; дріб — означає, що одиниця поділена
5
на 5 рівних частин і узяті три такі частини (рис. 1).
Звичайний дріб записується за допомогою риски і двох натуральних
чисел. Число, яке стоїть під рискою і показує, на скільки рівних частин
поділена одиниця, називається знаменником дробу. Число, яке стоїть
над рискою і показує, скільки взято таких рівних частин, називається
чисельником дробу. Дроби читаються таким чином: і (одна третя).
З
з
Дробову риску можна розглядати як знак ділення. Наприклад, — = 3 : 4 .
4
Одиницю можна зобразити як дріб, у якого чисельник дорівнює зна-
3
меннику. Наприклад, 1 = —.
словник
Звичайним дробом нази-
вається одна або кілька рівних
частин одиниці.
Рис. 1
Правильні і неправильні дроби
Дріб, у якому чисельник менше знаменника, називається правиль-
2 3 25
ним. Наприклад, дроби — , — , — є правильними.
Дріб, у якого чисельник більше знаменника або дорівнює йому, на-
„ „.356
зивається неправильним. Приклади неправильних дробів: — , — , — .
Число, що складається з натурального числа і дробу, називається
19 1
мішаним (або мішаним дробом). Наприклад, 6—, 5—, 135— —мішані
числа (мішані дроби).
Щоб записати мішане число у вигляді неправильного дробу, потрібно
помножити його цілу частину на знаменник дробової частини і до добут-
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Дробову риску можна розгля-
дати як знак ділення.
Одиницю можна розглядати
як дріб, у якого чисельник
дорівнює знаменнику.
20
Арифметика
ку додати чисельник дробової частини. Отримана сума є чисельником
дробу, а знаменником є знаменник дробової частини. Наприклад:
1 6 2 + 1 13 2 9-5 + 2 47
6 — =-----= —; 9 — =------= —.
2 2 2 5 5 5
З будь-якого неправильного дробу можна виділити цілу частину.
Для цього потрібно поділити з остачею чисельник на знаменник. Част-
ка від ділення є цілою частиною числа, остача — чисельником, а діль-
ник — знаменником. Наприклад:
Основна властивість дробу
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Основна мета скорочення
дробу — заміна цього дро-
бу нескорочуваним дробом,
що йому дорівнює.
. а . т ,
Два дроби — і — називаються рівними, якщо а • п - Ь • т. Напри-
Ь п
3 6 5 15
клад, — = — (оскільки 3 10 = 5 6); — = — (оскільки 5 21 = 7 15).
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на те
саме натуральне число, то отримаємо дріб, що дорівнює даному. Ця влас-
л „ 3 6
тивість називається основною властивістю дробу. Наприклад, — = —
(дріб праворуч отримуємо з дробу ліворуч множенням його чисельни-
12 2
ка і знаменника на 2); — = — (поділили чисельник і знаменник дробу
18 З
ліворуч на 6).
У загальному випадку основну властивість дробу можна записати
таким чином:
а
а а - к а р
Ь~~Ь~к’ Ь~~Ь’
к
де /? — будь-яке натуральне число.
Скорочення дробу
Користуючись основною властивістю дробу, іноді можна замінити
даний дріб іншим, що дорівнює даному, але з меншими чисельником
і знаменником. Таку заміну називають скороченням дробу. Інакше ка-
жучи, скорочення дробу — це ділення чисельника і знаменника на їхній
9° 9 .
спільний дільник. Наприклад, = — (чисельник і знаменник ми
поділили на число 10); отриманий дріб знову можна скоротити, якщо
9 З
поділити чисельник і знаменник на 3, тобто — = —. Таким чином,
12 4
90 9 3 „ „ „ . 90 З
---= — = — . Зазначимо, що можна було б відразу записати = —
120 12 4 120 4
(при цьому чисельник і знаменник ми поділили на ЗО).
Дроби
21
Загалом скорочення дробу можливе, якщо чисельник і знаменник не
взаємно прості числа; якщо ж чисельник і знаменник — взаємно про-
тяг 3 5 ІЗ
сті числа, то дріб називається нескоротним. Наприклад, — , — , — —
нескоротні дроби. Основна мета скорочення дробу — заміна даного дробу
таким нескоротним дробом, що дорівнює даному.
Зведення дробів до спільного знаменника
З 8
Нехай дано два дроби — і —. Вони мають різні знаменники: 4 і 7.
4 7
Скориставшись основною властивістю дробу, можна замінити ці дроби
іншими дробами, які їм дорівнюють, причому такими, що в отриманих
дробів будуть однакові знаменники. Таке перетворення називається
зведенням дробів до спільного знаменника. Помноживши чисельник
З 3 3 7 21
і знаменник дробу — на 7, отримаємо: — = ~ 5 помноживши чи-
й 5 * 7 8 * * * 12 8 8 4 8 4
сельник і знаменник дробу — на 4, отримаємо: — = —— = — — . Отже,
.3.8 . . З 21 8 32
дроби — і — зведені до спільного знаменника: — = — ; — = — .
4 7 4 28 7 28
Або можна було звести ці дробі до спільного знаменника 56:
З 3 14 42 8 8 8 64
4 ~ 4 14 ~ 56 ’ 7 “ 7 8 “ 56
і взагалі до будь-якого знаменника, який ділиться одночасно на 4 і на 7.
Таким чином, звести дроби до спільного знаменника можна багатьма
способами, але звичайно намагаються звести дроби до найменшого спіль-
ного знаменника, що дорівнює найменшому спільному кратному зна-
менників даних дробів.
5 7
Приклад. Звести до найменшого спільного знаменника дроби — і —.
Розв’ язання.
Знайдемо найменше спільне кратне чисел 12 і 18, тобто НСК
5
(12; 18) = 36. Маємо 36 : 12 = 3. Тому щоб звести дріб — до знаменни-
12
ка 36, потрібно його чисельник і знаменник помножити на 3:
5 5 3 15
12 ~ 12-3 ~ 36 ’
7
36 : 18 = 2. Тому щоб звести дріб — до знаменника 36, потрібно його
18
чисельник і знаменник помножити на 2:
7 7 2 14
18 ~ 18 -2 ~ 36
тт « • • 5 15 7 14
Дроби зведені до найменшого спільного знаменника: — =—; — =—.
12 36 18 36
22
Арифметика
Числа 3 і 2 називають додатковими множниками відповідно для
першого і другого дробу. Використовуються такі записи:
12 “ 12 “ Зб’ 18 “ 18 “ 36
Таким чином, можна сформулювати правило зведення дробу до най-
меншого спільного знаменника. Щоб звести дріб до найменшого спіль-
ного знаменника, треба:
1) знайти найменше спільне кратне знаменників дробів;
2) обчислити додаткові множники, поділивши найменше спільне
кратне на кожний знаменник;
3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на відповідний
додатковий множник.
Додавання і віднімання дробів
ЦІКАВО ЗНАТИ
При додаванні (відніманні)
дробів не обов'язково зводити
дроби до найменшого спіль-
ного знаменника, а можна
зводити до спільного знамен-
ника, однак у цьому випадку
доводиться мати справу з ве-
ликими числами.
ЦІКАВО ЗНАТИ
При додаванні (відніманні)
мішаних дробів можна по-
передньо подати їх у вигляді
неправильного дробу, а потім
виконувати додавання (відні-
мання).
При додаванні (відніманні) дробів з однаковими знаменниками
до чисельника першого дробу додають чисельник другого дробу (від
чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу) і за-
лишають той самий знаменник. Отриманий дріб, якщо це можливо,
скорочують. Наприклад:
6 26-24
17 17 “ 17 “17
При додаванні (відніманні) дробів з різними знаменниками слід
попередньо звести їх до найменшого спільного знаменника. Наприклад:
5 Л_15 14 15 + 14 29
12 18 “ 12 18 “ 36 36 “ 36 “36’
Зауваження 1. При додаванні (відніманні) дробів не обов’язково
зводити дроби до найменшого спільного знаменника, а можна зводити
їх до спільного знаменника, однак у цьому випадку доводиться мати
справу з великими числами. Наприклад:
5 7 _ 5 18 + 7 12 _ 90 + 84 _ 174 _ 29
12 18“ 216 “ 216 “ 216 “ 36
Як бачимо, раціональніше зводити дроби саме до найменшого спіль-
ного знаменника, а не просто до спільного знаменника.
При додаванні мішаних дробів потрібно додавати окремо цілі час-
тини і дробові частини. Наприклад:
Щ 1 , „ 1 1 „ 2 „ 1 „1
5 —+ 2—= 5 + 2 + — + — = 7 + — = 7 + — = 7 —
4 4 4 4 4 2 2
При відніманні мішаних дробів варто розрізняти такі випадки:
а) дробова частина зменшуваного більше або дорівнює дробовій час-
тині від’ємника; у цьому випадку від цілої частини зменшувано-
го віднімають цілу частину від’ємника, а від дробової частини
зменшуваного — дробову частину від’ємника. Наприклад:
52-3± = 5-3+І-А = 2 + ^^ = 2 + А = 2А;
8 12 8 12 24 24 24
Дроби
23
б) дробова частина зменшуваного менше дробової частини від’ємника
6 9
(наприклад, 5 —-2—). У цьому випадку одну з одиниць цілої
частини зменшуваного потрібно замінити дробом, який їй дорів-
нює. Наприклад:
6 9 6
5---2—=5-2 + —
11 11 11
9 „6-9
— — 3-і---
11 11
2 + 1 +
6-9
11
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Віднімання дробів може при-
вести до поняття від'ємного
дробу, який отримують, якщо
перед додатником поставити
знак «мінус».
11 6-9
11+ 11
11 + 6-9 о8
— ли •
11 11
Зауваження 2. При додаванні (відніманні) мішаних дробів можна
подати їх у вигляді неправильного дробу, а потім додавати (віднімати).
Наприклад:
1 1 10 11 20 + 33 53 5
З —+ 5— = — + — =-------= — = 8—;
3 2 3 2 6 6 6
„5 5 45 41 135-82 53 5
5--3— =--------=---------= — = 2 —.
8 12 8 12 24 24 24
Цим способом звичайно користуються тоді, коли мають справу з не-
великими числами.
Зауваження 3. Віднімання дробів може привести до поняття
від’ємного дробу, який отримують, якщо перед додатним дробом пос-
тавити знак «мінус». Використовуючи від’ємні дроби, можна при від-
німанні мішаних дробів діяти у такий спосіб:
\5 \4 140
„З к 7 о к 3 7 „ 15-28 „ 13 „ , 13
8--5 — — 8 — 5-і-----— 3-і------— 3------— 2 + 1--—
8 10 8 10 40 40 40
о 40-13 о 27
— ли Н- •
40 40
При відніманні дробів можна не використовувати одиницю, тобто
розв’язання вищенаведеного прикладу записувати таким чином:
\+ к4 \ло
З „7 о „ 3 7 о 15-28 о 13 340-13
8 10 8 10 40 40 40
107 __ р27
40 40
Зазначимо, що наведену різницю дробів можна було б визначати
і з використанням неправильних дробів, а саме:
З „7 67 57 67 5-57 4 335-228 107 27
8--5— =---------=-----------=---------=----= 2 —.
8 10 8 10 40 40 40 40
Для даного конкретного прикладу обчислення з використанням не-
правильних дробів, як бачимо, більш громіздкі.
24
Арифметика
Множення дробів
„ . а с а - с
Множення звичайних дробів виконують таким чином:-=--,
Ь д Ьд
тобто перемножують окремо чисельники, окремо знаменники, перший
добуток записують чисельником, другий — знаменником. Отриманий
дріб, якщо це можливо, скорочують. Наприклад:
2 3 2 3 6 3 21 3 21 3 7 3 1
5 13 5 13 65 ’ 7'18 ’ 718 “ 7 3 3 2 “ 2’
При множенні мішаних дробів їх попередньо подають у вигляді не-
правильних дробів, а потім перемножують. Наприклад:
11 7 17 7 17 119 7
З— 4— =----=-----=----= 14 — .
2 4 2 4 2 4 8 8
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Будь-які два дроби — і —
п т
є взаємно оберненими, оскіль-
ки їхній добуток дорівнює 1.
Ділення дробів
При діленні дробу на дріб чисельник діленого множать на знамен-
ник дільника, а знаменник діленого — на чисельник дільника. Пер-
ший добуток служить чисельником, а другий — знаменником частки:
а с а-д 36 37 3 1
— : — =---. Наприклад: — : — =-= — = —.
Ь а Ьс 7 7 7-6 6 2
Два числа називаються взаємно оберненими, якщо їхній добуток дорів-
о.1^.1 . 1 „ . - т . п
нює 1, наприклад, 2 і - , 5 і — , х і — . Будь-які два дроби — і —
2 5 х п т
є взаємно оберненими, тому що їхній добуток дорівнює 1.
„ . а с а - д а д
Правило ділення дробів — : — =-=-----можна коротко сформу-
Ь (1 Ь - с Ь с
. а д
лювати таким чином: при діленні дробів ділене — множиться на дріб —,
Ь с
обернений дільнику —. Наприклад:
<1
3 2 3 7 21
5’7’5 2’10’
Якщо потрібно поділити дріб на дріб, коли один або обидва дро-
би мішані, то потрібно подати мішаний дріб у вигляді неправильного
дробу. Наприклад:
3 . 1 13.3 13-2 26 11
5’ 2~ 5 2~ 5-3 ”15” 15’
Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад:
1 7 п
1 = у, 7 - п = у. Це дозволяє виконувати множення і ділення цілого
числа на дріб (або навпаки). Наприклад:
4 7 4 74 28 11
17 “ї 17 “ 1 17 “17 17 ’
Дроби
25
Десяткові дроби
Дріб, знаменник якого дорівнює 10, 100, 1000 і т. ін., називають десят-
1 7
новим. дробом. Наприклад, — = 0,1; — = 0,7 і т. ін. Десятковий дріб — це
інша форма запису дробу зі знаменником 10", де п — натуральне число.
Значущими цифрами числа називають усі його цифри, окрім нулів,
що стоять на початку. Наприклад, у числі 17,5103 шість значущих
цифр (1, 7, 5, 1, 0, 3); у числі 0,9007 чотири значущі цифри (9, 0, 0, 7);
у числі 0,007 одна значуща цифра (7).
словник
Значущими цифрами числа
називають усі його цифри,
окрім нулів, які стоять на по-
чатку.
Додавання і віднімання десяткових дробів
При додаванні (відніманні) десяткових дробів числа записують так,
щоб однакові розряди були записані один під одним, а кома — під ко-
мою, і додають (віднімають) їх як натуральні числа. Наприклад:
0,234 7,459 13,300
3,153 2,181 9,674
3,387 5,278 3,626
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Якщо до десяткового дробу
дописати праворуч декілька
нулів, то значення дробу не
зміниться. І навпаки, якщо
десятковий дріб закінчується
нулями, то їх можна відкинути.
Множення десяткових дробів
Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати
множення, не звертаючи уваги на коми, і в отриманому добутку відо-
кремити праворуч комою стільки цифр, скільки їх стоїть після коми
в обох множниках разом. Наприклад:
0,132 2,34 = 0,30888; 0,132
Х 2,34
+ 528
396
264
0,30888
Розглянемо множення десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т. ін.
Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. ін., необхідно
в цьому дробу перенести кому праворуч на стільки цифр, скільки нулів
у множнику (дописавши у випадку необхідності до дробу праворуч певне
число нулів). Наприклад:
2,63 10 = 26,3; 3,682 100 = 368,2; 2,589 1000 = 2589;
5,43 10000 = 54300.
Ділення десяткових дробів
Ділення десяткового дробу на натуральне число виконується так
само, як ділення натурального числа на натуральне, а кому у частці
ставлять після того, як закінчене ділення цілої частини. Наприклад,
19,2 : 12 = 1,6.
26
Арифметика
19,2 112
12 1,6
_72
72
0
Зазначимо, що в наведеному прикладі можна безпосередньо перед
діленням помножити ділене і дільник на 10 і, таким чином, ділити не
дріб на число, а ціле число на ціле число, тобто 19,2 : 12 = 192 : 120.
Якщо ціла частина діленого менше дільника, то у відповіді одер-
жуємо нуль цілих. Ділення можна виконувати або безпосередньо, або
збільшуючи чисельник і знаменник у 10, 100 і т. ін. разів. Наприклад,
0,192 : 12 = 0,016. При безпосередньому діленні одержуємо:
0,192
12
_72
72
0
При попередньому множенні на 1000 чисельника і знаменника одер-
жуємо:
12
0,016
192 12000
19200 0,016
12000
_ 72000
72000
0
Розглянемо ділення десяткового дробу на десятковий. Нехай не-
обхідно поділити 3,456 на 0,36. Для цього й у діленому, й у дільнику
перенесемо кому праворуч на стільки цифр, скільки їх стоїть після
коми у дільнику. Таким чином, для нашого прикладу помножимо ділене
і дільник на 100. Одержуємо:
3,456 345,6 „ „
-----—-------— 9,6.
0,36 36
Зазначимо, що ми могли б перенести кому на три цифри у чисель-
нику і знаменнику і ділити натуральне число на натуральне:
3,456 3456 8 9 48 „ „
-----=------=--------= 9,6.
0,36 360 8 9 5
Щоб поділити число на десятковий дріб, потрібно в діленому й у діль-
нику перенести кому праворуч на стільки цифр, скільки їх після коми
в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число. Наприклад:
-±.±Л.2,5.
1,6 16 2
Щоб поділити десятковий дріб на 10" (п — натуральне число), по-
трібно в цьому дробу перенести кому на п цифр ліворуч. Наприклад,
35,13 : 103 = 0,03 5 1 3. Ділення не завжди здійснюється для десяткових
дробів, оскільки в результаті ділення не завжди одержуємо скінченний
2,9 29
десятковий дріб. Поділимо, наприклад, 2,9 на 0,9: = — = 3,222... .
Одержуємо нескінченний десятковий дріб. У таких випадках потрібно
2 9 29 2
переходити до звичайних або мішаних дробів, тобто —-— = — = 3 — .
Дроби
27
Перетворення десяткового дробу на звичайний
І ЗВИЧАЙНОГО НА ДЕСЯТКОВИЙ. ПЕРІОДИЧНІ ДРОБИ
Щоб перетворити десятковий дріб на звичайний, достатньо у чи-
сельнику дробу записати число, що стоїть після коми, а у знаменни-
ку — одиницю з нулями, причому нулів має бути стільки, скільки цифр
праворуч від коми. Наприклад:
0,3 =
З
10
0,37 =
37
100’
0,003 =
З
1000 ’
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
При діленні дробів (або нату-
ральних чисел) можна одер-
жати нескінченний десятко-
вий дріб.
Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, слід поділити чи-
сельник на знаменник за правилом ділення десяткового дробу на ціле
число.
9
Наприклад, — = 0,36. Виконавши ділення у стовпчик, отримаємо:
9,0 25
90 0,36
75
150
150
0
Як уже зазначалося, при діленні дробів (або натуральних чи-
сел) може утворюватися нескінченний десятковий дріб. Наприклад,
— = 0,085714285...
7
Нескінченний десятковий дріб, у якому, починаючи з деякого розря-
ду, цифри повторюються, називається періодичним. Приклади періодич-
них дробів: 0,111..., 4,333..., 5,8777.... Послідовно повторювана група
цифр (мінімальна) після коми в десятковому записі числа називається
періодом. Так, 0,111... — період дорівнює 1; 4,3333... — період дорів-
нює 3. Для стислості заведено період записувати один раз, беручи його
в круглі дужки: 0,111... = 0,(1), 4,333...= 4,(3).
Якщо період починається відразу після коми, то дріб називаєть-
ся чисто періодичним', якщо між комою і періодом є інші десяткові
знаки, то дріб називається мішаним періодичним. Так, наприклад,
3,(41) = 3,414141... — чистий періодичний дріб; 5,8(7) — мішаний пе-
ріодичний дріб.
Будь-який звичайний дріб можна записати у вигляді або скінченного
десяткового дробу, або нескінченного періодичного дробу.
Правило перетворення нескінченного періодичного дробу на зви-
чайний: щоб перетворити періодичний дріб на звичайний, потрібно від
числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого
періоду, і записати цю різницю чисельником; у знаменнику написати
цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, і після дев’яток дописати
стільки нулів, скільки цифр між комою і першим періодом. Наприклад:
. 5812-58 5754 959
5,8(12) =-------=------=-----.
990 990 165
Зауваження. Перетворювати нескінченний періодичний дріб на зви-
чайний можна й іншими способами, не користуючись наведеним вище
правилом. Наприклад, перетворимо на звичайний дріб число 0,(36).
ЦІКАВО ЗНАТИ
Перетворити нескінченний
періодичний дріб на звичай-
ний можна, використавши
формули для суми нескін-
ченно спадної геометричної
прогресії.
28
Арифметика
Позначимо х - 0,(36) = 0,363636... Помноживши обидві частини ос-
танньої рівності на 100, отримаємо: ЮОх = 36,3636... = 36,(36). Звідси
ЮОх - х - 36,(36) - 0,(36) = 36, 99х = 36, х = — . Таким чином,
99 11
0,(36) = А.
Перетворимо тепер 5,8(12) = 5,8121212... на звичайний (неправиль-
ний) дріб. Позначимо у = 5,8(12). Тоді 10г/ = 58,(12), 1000г/ = 5812,(12),
5754 959
1000г/ - 10г/ = 5812,(12) - 58,(12) = 5754, 990г/ = 5754, у = = —.
959
Остаточно: 5,8(12) =---.
165
Перетворювати нескінченний дріб на звичайний можна і з вико-
ристанням формули для суми нескінченно спадної геометричної про-
гресії. Наприклад:
0,3 0,3 З 1
0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = —--= — = - = -.
1-0,1 0,9 9 З
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
4
Велосипедист проїхав — усього шляху. Скільки кілометрів шляху йому залишилося про-
їхати, якщо він проїхав 20 км?
1) 45 км; 2) 40 км; 3) 35 км; 4) 25 км.
2. Басейн наповнюється через першу трубу за 4 години, через другу — за 6 годин. Яка частина
басейну залишиться незаповненною після роботи обох труб протягом двох годин?
1 5 5 1
21 3>|; 41 п-
3. Запишіть десятковий дріб 1,125 у вигляді звичайного дробу.
і) 1І; 2) 11; 3) 11; 4) 11.
4. Подайте періодичний дріб 0,2(35) у вигляді звичайного дробу.
П 47 • 21 235- Зі 233- 41
' 200’ ' 999’ ' 900’ ' 990'
5. Виконайте вказані дії:
(і 3Н):(-1)+2-
6. Знайдіть значення виразу:
((8 - 0,2) (7,2 - 5,7) + (5,4 - 3,65) (4,3 - 2,7)) : 7,25.
7. Обчисліть:
(2,(6)+ 1,8(3)) : 1,5.
8. Обчисліть:
21І-19І .1154-108і
0,012:0,048 0,0004:0,008'
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 4. 2. 1. 3. 4. 4. 4. 5. 5,75. 6. 2. 7. 3. 8. 144,25.
ПРОПОРЦІЇ, ВІДСОТКИ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Відношення. Пропорція. Властивості пропорції. Відсотки. Складні відсотки
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Відношення. Пропорція. Властивості пропорції
Відношенням числа а до числа Ь називається частка чисел а і Ь,
тобто — (або а : Ь). У відношенні — число а називають попереднім
Ь Ь
членом, Ь — наступним членом.
Пропорцією називають рівність двох відношень, тобто — = —, а і п
Ь п
називають крайніми членами пропорції, Ь і т — середніми членами
пропорції.
Властивості пропорції
1) Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх
.. а т 7
членів, тобто якщо — = —, то ап - от.
Ь п
т ... а т ... а т а Ь
2) Із пропорції — = —, випливають пропорції: — = —, — = —;
Ь п Ь п т п
п т п Ь
— - —, — тобто в пропорції можна міняти місцями краи-
Ь а т а
ні і середні члени або ті й інші одночасно.
3) Щоб визначити невідомий крайній (середній) член пропорції,
потрібно добуток середніх (крайніх) членів поділити на відомий
крайній (середній) член пропорції:
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Щоб визначити невідомий
крайній (середній) член про-
порції, потрібно добуток
середніх (крайніх) членів
поділити на відомий крайній
(середній) член пропорції.
х т а п а - т а т ап х = ; — — <=> х = ; п х п т
а х Ь п ап а т Ь т => х = ; — — <^> х = . Ь Ь х а
тт 2 5 2 6 12 х 7 4 7 28
Наприклад: — = — <= х 6 н н н Я II II II н
Відсотки
Відсотком (%) називається сота частина будь-якого числа. Якщо
дане число взяти за одиницю, то 1% складає 0,01 цього числа, 10%
1
складають 0,1 числа, 25% складають 0,25 числа (або — числа), 50%
1 З
складають 0,5 числа (або — числа), 75% складають 0,75 числа (або —
2 4
зо
Арифметика
числа) і т. ін. Щоб число відсотків записати у вигляді дробу, потрібно
число відсотків поділити на 100. Наприклад, 7% =0,07; 150% = 1,5;
350% =3,5; 0,2% =0,002.
Знаходження відсотків даного числа
Щоб знайти р% від числа а, потрібно а помножити на р : 100.
Наприклад, 60% від 90 складають 90 60 : 100 = 54.
Знаходження числа за його відсотком
Якщо відомо, щор% від числа х дорівнює а, то число х можна знайти за
формулою х = а • 100 : р. Наприклад, якщо 5 % внеску до Ощадбанку скла-
дають 250 доларів, то цей внесок дорівнює 250 • 100 : 5 = 5000 (доларів).
Складні відсотки
Кажуть, що на внесок нараховуються складні відсотки (відсотки
на відсотки), якщо процентні гроші приєднуються наприкінці кожного
року до внеску для нарахування їх відсотками в наступні роки.
Нехай поставлена така задача: початковий внесок до Ощадбанку
дорівнює а доларів. За рік нараховується р відсотків. Обчислити суму
внеску через п років.
Розв’язання.
Через 1 рік сума внеску дорівнюватиме: а + а • = а^І +
Через 2 роки сума внеску дорівнюватиме:
а\ Ін—— | + а| 1
І 100) І
+1001100
Через 3 роки сума внеску дорівнюватиме:
/ \2
її Р і
а 1-І-------1-а
І 100)
100
тт • • Р ]
Через а років сума внеску дорівнюватиме аІ^ + у^І •
Таким чином, ми приходимо до формули складних відсотків-.
де 8 — величина внеску через п років; а — початкова величина внеску,
р — число відсотків, п — термін внеску.
Приклад. Початковий внесок до Ощадбанку дорівнює 300 доларів,
за рік нараховується 3 % . Знайти суму внеску через 5 років.
Розв’язання.
( З V
8 = 300 1 +--- =
І 100)
300(1,03)5 « 300 1,159 « 348 (доларів).
Відповідь-. ~ 348 доларів.
Цілі, раціональні, дійсні числа
зі
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. З молока отримують 10 % сиру. Скільки сиру можна отримати з 40 кг молока?
1) 10 кг; 2) 5 кг; 3) 4 кг; 4) 0,4 кг.
2. Визначте відсоток солі у розчині, якщо в 300 г розчину міститься 15 г солі.
1)20%; 2)10%; 3)5%; 4)0,5%.
3. Деякий товар спочатку подорожчав на 10 %, а потім подешевшав на 10 %. Як змінилася
ціна цього товару?
1) Залишилася незмінною.
2) Товар подорожчав на 1 % .
3) Товар подешевшав на 1 % .
4) Визначити неможливо.
4. Знайдіть невідоме х:
1) 9,3;
2)
’ 15’
3) 100;
4) 930.
5. Скільки літрів води треба долити до 7,5 л 12 % -го розчину солі, щоб отримати 10 % -й розчин?
6. Первісний внесок до Ощадбанку дорівнює 400 крб. За рік начислюється 3 % . Визначте суму
внеску через 2 роки.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 3. 2. 3. 3. 3. 4. 4. 5. 1,5. 6. 424,36.
ЦІЛІ, РАЦІОНАЛЬНІ, ДІЙСНІ ЧИСЛА
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Додатні і від’ємні числа. Цілі числа. Раціональні й ірраціональні числа. Дійсні числа. Коорди-
натна пряма (числова вісь). Порівняння дійсних чисел. Властивості числових нерівностей. Модуль
(абсолютна величина) дійсного числа. Дії з дійсними числами (додавання, віднімання, множення,
ділення). Властивості арифметичних дій над дійсними числами (основні закони алгебри).
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Додатні і від'ємні числа. Цілі числа
Числа бувають додатні і від’ємні, натуральні, цілі, раціональні,
ірраціональні, дійсні.
З 9
+5; +7; +0,23; +4,59; +—; +— — додатні числа.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Число 0 (нуль) відокремлює
додатні числа від від'ємних.
32
Арифметика
З
Додатні числа можна писати без знака, тобто замість +5; +4,59; + —
8
З
можна писати 5; 4,59; —.
8
З
-1; -37; -0,2; —; -13,2 — від’ємні числа.
8
1
2
Від’ємні числа не можна писати без знака.
Числа 1 і (-1), 5 і (-5), 5— і | -5—1 називаються протилежними, (+а)
2 у 2 у
і (-а) — протилежні числа. Сума протилежних чисел дорівнює нулю,
тобто (+а) + (-а) - 0.
Цілі числа — це натуральні числа, протилежні їм числа і число
нуль.
0; ±1; ±2; ±3; ... — цілі числа.
Число 0 (нуль) відокремлює додатні числа від від’ємних.
Раціональні й ірраціональні числа
Раціональні числа — це числа, які можна подати у вигляді відно-
шення — , де р і д — будь-які цілі числа, причому д 0. Цілі числа
і дроби є раціональними числами.
Приклади раціональних чисел:
11 = —
1
0,75 =
75 329 1 5
---; 3,29=----; -2- = —
100 100 2 2
- =0,333...
З
Раціональні числа можуть бути подані у вигляді скінченних або
нескінченних періодичних дробів.
Ірраціональні числа — це числа, які не можна подати у вигляді від-
ношення — (д Ф 0) двох цілих чисел. Ірраціональні числа передаються
Я
нескінченними, але неперіодичними десятковими дробами. Приклади
ірраціональних чисел:
*2; л/З; л/7; >/7 - 3; д/б - д/2; я; е; 2 + я; д/я; д/е;
2^; я"; (я = 3,14;е = 2,7).
словник
ПрямулІнІю зобраними на ній
початком відліку, одиничним
відрізком І напрямом назива-
ють координатною прямою,
або числовою віссю.
Дійсні числа.
Координатна пряма (числова вісь)
Дійсні числа — це сукупність усіх раціональних та ірраціональних
чисел. Інакше кажучи, дійсні числа — це нескінченні (періодичні і не-
періодичні) десяткові дроби.
Дійсні числа можна зобразити точками на прямій. Пряму лінію
з обраними на ній початком відліку, одиничним відрізком і напрямом
називають координатною прямою, або числовою віссю. Напрям на коор-
Цілі, раціональні, дійсні числа
зз
динатній прямій зліва направо називається додатним, а протилежний
(тобто справа наліво) — від’ємним. Кожному дійсному числу відповідає
єдина точка координатної прямої, і кожній точці координатної прямої
відповідає єдине дійсне число.
На рис. 2 зображена координатна пряма І. Через 0 позначений по-
чаток відліку. Нехай точка К прямої І відповідає деякому числу г, тоді
це число називають координатою точки К і пишуть К(г). Точка А ві-
дображає число 1; 1 — координата точки А. Точка В відображає число
1 5
-1; -1 — координата точки В. Точка С відображає число -2— = —;
2 2
5
-----координата точки С. Точка О відображає число 0 (нуль); 0 — ко-
2
( 5 А
ордината точки О. Можна записати таким чином: А(1), В(-1), С — , 0(0).
і
С В 0 А Г-Ч
—Н»-І-♦—*—♦-1-1-►
-3-2-10123/
Рис. 2
Порівняння дійсних чисел
Кажуть, що число а більше числа Ь, і пишуть а > Ь, якщо різниця
а - Ь — додатне число. Якщо різниця а - Ь — від’ємне число, то ка-
жуть, що число а менше числа Ь, і пишуть а < Ь. Згідно з цим визна-
ченням будь-яке додатне число більше нуля, будь-яке від’ємне число
менше нуля і менше будь-якого додатного числа. Для будь-яких зада-
них чисел а і Ь справедливе одне і тільки одне з співвідношень: а > Ь,
а <Ь, а-Ь. З геометричної точки зору нерівність а <Ь (а>Ь) означає,
що точка а розташована на координатній прямій ліворуч (праворуч)
від точки Ь.
Знаки «<», «>» називають знаками строгих нерівностей. Вико-
ристовують також знаки «>», «<» — знаки нестрогих нерівностей.
Запис а < Ь означає, що справедливо одне з двох: або число а менше
числа Ь, або число а дорівнює числу Ь. Наприклад, 2 < 10, 7 > 7 —
правильні числові нерівності, 3 < 1 — неправильна числова нерівність.
Нерівності а<Ьіс>д (а <Ьіс<д) називають нерівностями однако-
вого змісту (або одного знака); нерівності а>Ьіс<д(а<Ьіс>д)
називають нерівностями протилежного змісту (або протилежних
знаків). Якщо числа а, Ь, с такі, що а < Ь і Ь < с, то замість цих двох
нерівностей використовується запис а < Ь < с. Така нерівність нази-
вається подвійною.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Кожному дійсному числу від-
повідає одна єдина точка ко-
ординатної прямої, І КОЖНІЙ
точці координатної прямої
відповідає єдине дійсне число.
Приклад. Порівняти числа — і 0,93.
Розв’ язання.
4
Складемо різницю — - 0,93 і знайдемо значення цієї різниці:
5
\^20
4_о 93 4 93 80-93 13
5 5 100 100 100’
4
Різниця від ємна, тому — < 0,93.
5
4
Відповідь: — < 0,93.
5
34
Арифметика
Властивості числових нерівностей
Для будь-яких дійсних чисел а, Ь, с, й виконуються такі властивості.
1) Якщо а > Ь, то Ь < а.
2) Якщо а > Ь і Ь > с, то а > с (властивість транзитивності).
3) Якщо а > Ь, то а + с > Ь + с.
4) Якщо а > & і с > 0, то а с > Ь с. Ця властивість означає, що
якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне
і те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність.
5) Якщо а > Ь і с < 0, то а с < Ь с. Ця властивість означає, що
якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне
і те саме від’ємне число і змінити знак початкової нерівності на
протилежний, то отримаємо правильну нерівність.
6) Якщо а > Ь і с > (і, то а + с > Ь + (і. Ця властивість означає, що
нерівності однакового змісту можна почленно додавати.
7) Якщо а, Ь, с, д, — додатні числа, причому а > Ь і с > <і, то а с >
> Ь • (і. Ця властивість означає, що нерівності однакового змісту
з додатними частинами можна почленно множити.
8) Якщо а > Ь і с < (і, то а - с > Ь - <і. Ця властивість означає, що
дві нерівності протилежного змісту можна почленно віднімати,
залишаючи знак тієї нерівності, з якої ми віднімаємо.
9) Якщо а > Ь > 0, то — < і.
а Ь
10) Якщо а > Ь > 0, то для будь-якого натурального числа виконуєть-
ся нерівність а" > Ь".
Модуль (абсолютна величина) дійсного числа
Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називається саме
це число, якщо а > 0, і протилежне число -а, якщо а < 0. Модуль числа
а позначається |а|. Таким чином,
. . [а, а > 0,
а - ї
1 1 [-а, а<0.
Наприклад, |7| = 7, тому що 7 > 0; |-7| = -(-7) = 7, оскільки -7 < 0;
|л/б - 2| = >/5 - 2 , оскільки >/5 - 2 > 0; Іл/їг - 1| = >/л - 1; оскільки л/тг -1 > 0
(я ~ 3,14); |д/з - б| = -(у/з -б) = 5- >/з, оскільки д/з - 5 < 0.
Геометрично |а| означає відстань на координатній прямій від почат-
ку відліку до точки, що відображає число а.
Властивості модулів
1) |а| > 0 ; 2) |а| > а; 3) |-а| = |а|; 4) |аб| = |а| • |&|; 5)
6) |а| + |&| = а + Ь <=> 7) |а| + |б| = |а + &| <=> аЬ > 0;
8) |а + &| < |а| + |&|; 9) |а - &| > ||а| - |&||.
Цілі, раціональні, дійсні числа
35
Дії з дійсними числами
(додавання, віднімання, множення, ділення)
При додаванні дійсних чисел з однаковими знаками потрібно додати
їхні модулі і перед сумою поставити їхній спільний знак. Наприклад,
(+3) + (+8) =+11; (-4) + (-9) =-13.
При додаванні двох дійсних чисел з різними знаками модуль суми
дорівнює різниці модулів доданків. Знак суми — знак доданка, модуль
якого більше. Наприклад, (+3) + (-9) = -6; (+11) + (-7) =+4.
Віднімання дійсних чисел можна замінити додаванням: а-Ь-
- а + (-&), тобто щоб відняти від числа а число Ь, достатньо до змен-
шуваного додати число, протилежне від’ємнику. Наприклад:
(+3) - (-8) = (+3) + (+8) = 11; (+4) - (+9) = (+4) + (-9) = -5.
При множенні (діленні) двох дійсних чисел потрібно помножити
(поділити) їхні модулі. Перед результатом потрібно поставити знак
за правилом з таблиці знаків.
Таблиця знаків
При множенні При діленні
(+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (+): (+) = (+) (+): (-) = (-)
(-) (-) = (+) (-) (+) = (-) (-): (-) = (+) (-): (+) = (-)
При множенні та діленні дійсних чисел бажано пам’ятати прислів’я:
«Друг мого друга — мій друг, ворог мого ворога — мій друг, друг мого
ворога — мій ворог, ворог мого друга — мій ворог». Наприклад:
(+3)(+4) = +12; (-2)(+5) = -10; (-5)(-3) = 15; 7(->/2) = -7>/2;
(~24) Л. (~18)_ А =
(-6) ’ (+3) ’ (-2) 2 ’
Властивості арифметичних дій над дійсними числами
(основні закони алгебри)
Ці властивості записуються у вигляді таких тотожностей:
1)а + Ь = Ь + а; 2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с); 3) а + 0 = а;
4)а + (-а) = 0; 5)аЬ = Ьа; 6) (аЬ)с = а(Ьс);
7) а(Ь + с) — аЬ + ас; 8) а • 1 = а; 9) а 0 = 0;
10) а — = 1, (а Ф 0).
а
Властивості 1) і 5) передають переставний закон додавання і множен-
ня відповідно; властивості 2) і 6) передають сполучний закон, а влас-
тивість 7) — розподільний закон множення стосовно додавання.
36
Арифметика
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Серед наведених нижче числових виразів виберіть той, що має найменше значення:
1)5-29; 2)-29+16; 3)5-(-16); 4)-8+ (-13).
2. Серед наведених нижче числових виразів виберіть той, що має найбільше значення:
1) 6 (-4); 2) (-8) 7; 3) (-18) : 2; 4) 28 : (-4).
3. Значення якого з наведених виразів кратне 3:
1) 28 - 4 (25 - 33) - 100; 3) (28 - 4) (25 - 33) - 100;
2) 28 - 4 (25 - 33 - 100); 4) (28 - 4) (25 - 33 - 100)?
4. Значення якого з наведених нижче виразів кратне 13:
1) 30 - 120 : 30 - 36; 3) (30 - 120) : 30 - 36;
2) 30 - 120 : (30 - 36); 4) (30 - 120) : (30 - 36)?
5. Які з наведених чисел раціональні:
1) 7^5; 2) у]0,16; 3) я; 4) е.
6. Яким числом є значення виразу і§30°:
1) натуральним; 3) ірраціональним;
2) цілим; 4) раціональним.
7. Яким числом є значення виразу 1о§^ у/б :
1) натуральним; 3) раціональним;
2) цілим; 4) від’ємним.
8. Запишіть вираз |2 - >/з| без знака модуля.
1)2-72; 2) -2-72; 3)2 + 72; 4)72-2.
9. Запишіть вираз |Т2 + 7з - 4| без знака модуля.
1)72 + 7з-4; 2)-72 + 7з-4; 3) 72 - 7з - 4; 4) -72 - 7з + 4.
10. Запишіть вираз х + |х| при х < 0 без знака модуля.
1) 0; 2) 2х; 3) -2х; 4) записати неможливо.
11. Серед наведених нижче числових виразів укажіть той, що має найбільше значення.
1) 570 : 19 - 36 25 - 60 : 2; 3) (570 : 19 - 36) 25 - 60 : 2;
2) 570 : 19-36 (25 - 60 : 2); 4) (570 : 19 - 36) (25 - 60 : 2).
12. Серед чисел 72,1,4, 1-і, 7з найбільшим є:
1) 72 ; 2) 1,4; 3) 1—; 4) 7з .
8
13. Серед десяткових дробів 0,5005; 5,05; 0,0505; 0,505 найменшим є:
1) 5,05; 2) 0,505; 3) 0,5005; 4) 0,0505.
2
14. Порівняйте числа 0,(2) і —.
о 2
1)0,(2)<-; 3) 0,(2) > —;
2
2) 0,(2)=—; 4) порівняти неможливо.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 1. 2. 4. 3. 4. 4. 3. 5. 2. 6. 3. 7. 3. 8. 1. 9. 4. 10. 1. 11. 2. 12. 4. 13. 4. 14. 2.
АЛГЕБРА
ДІЇ З АЛГЕБРАЇЧНИМИ ВИРАЗАМИ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Види алгебраїчних виразів. Область визначення алгебраїчного виразу. Тотожно рівні вирази.
Степінь натурального числа з натуральним показником. Степінь дійсного числа з натуральним
показником. Властивості степеня дійсного числа з натуральним показником. Степінь дійсного
числа з нульовим і від’ємним цілим показником. Одночлен і многочлен (загальні поняття).
Многочлен п-го степеня і його окремі випадки для п — 0, 1, 2. Множення многочлена на мно-
гочлен. Ділення з остачею многочлена на многочлен. Формули скороченого множення. Три-
кутник Паскаля. Виділення повного квадрата двочлена з квадратного тричлена. Розкладання
многочлена на множники. Цілі раціональні вирази. Дробові раціональні вирази. Основна влас-
тивість раціонального дробу. Скорочення раціональних дробів. Зведення раціональних дробів
до спільного знаменника. Додавання і віднімання раціональних дробів. Множення і ділення
раціональних дробів. Корінь п-го степеня з дійсного числа. Основні властивості коренів (правила
дій із радикалами). Винесення множника з-під кореня. Внесення множника під корінь. Зведення
підкореневого виразу до цілого вигляду. Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику
або чисельнику. Степінь дійсного числа з раціональним показником. Степінь дійсного числа
з дійсним показником. Середнє арифметичне і середнє геометричне. Нерівність Коші.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Види АЛГЕБРАЇЧНИХ ВИРАЗІВ
Змінною величиною називається величина, яка набуває різних чис-
лових значень.
Стала величина — це величина, числове значення якої не змінюєть-
ся. Сталу величину часто розглядають як окремий випадок змінної,
у якої всі числові значення однакові. Сталу величину нерідко називають
константою.
Алгебраїчні вирази — це математичні вирази, що утворюються з чи-
сел і змінних за допомогою знаків додавання, віднімання, множення,
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Змінною величиною нази-
вається величина, яка набуває
різних числових значень.
38
Алгебра
ЗАПАМ'ЯТАЙ Стала величина — це вели- чина, числове значення якої не змінюється. Сталу величину часто розглядають як окре- мий випадок змінної, у якої всі числові значення однакові. Сталу величину нерідко нази- вають константою. ділення, піднесення до раціонального степеня, добування кореня і за допомогою дужок. Приклади алгебраїчних виразів: о / / о ч/7Г\5 + Зх“ + 1 5 3 х — 4ху(х + г/“); Іх“ + х + уб 1 ; ; ; у/а — Ь+у/с; Зх®+5гД. Якщо алгебраїчний вираз не містить ділення на змінні і добування кореня із змінних, то він називається цілим. 3 наведених вище при- кладів 1), 2), 3) — цілі вирази. Якщо алгебраїчний вираз утворений з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня з нату- ральним показником і ділення на вирази зі змінними, то він називається дробовим. 4), 5) — приклади дробових алгебраїчних виразів. Цілі і дробові вирази називаються раціональними виразами. 1), 2), 3), 4), 5) — приклади раціональних алгебраїчних виразів. Якщо в алгебраїчному виразі використовується добування кореня із змінних (або піднесення змінних до дробового степеня), то такий алгебраїчний вираз називається ірраціональним. 6), 7) — приклади ірраціональних алгебраїчних виразів. Область визначення алгебраїчного виразу Множина значень змінних, при яких алгебраїчний вираз має зна- чення, називається областю визначення (або областю допустимих значень) алгебраїчного виразу. Наприклад, областю визначення виразу 5 є множина всіх значень х є В, окрім х - -3, тобто х є В \ {-3}. 2х + 6 7а3Ь5 , 7Ч Областю визначення виразу є множина пар чисел (а; о), для яких а — Ь аїЬ. Тотожно РІВНІ ВИРАЗИ
|ЗАПАМ'ЯТАЙ Тотожністю називається рів- ність, правильна за всіх допус- тимих значень змінних. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при всіх значен- нях змінних, що належать спільній області визначення, відповідні зна- чення цих виразів рівні. Тотожністю називається рівність, правильна за всіх допусти- мих значень змінних. Приклади тотожностей: (х + г/)“ = х2 + 2ху + у2, х + 0 = х, х • 1 = х, (а + д)(а -Ь) = а2 - Ь2. Правильні числові рівності також називають тотожностями, напри- 2 4 3 6 клад: — — . — тотожності. 3 6 7 14 Заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називається тотожним перетворенням виразу.
Дії з алгебраїчними виразами
39
Степінь натурального числа з натуральним показником
Нехай а є Ді, п є N. а" — це степінь, а — основа степеня, п — по-
казник степеня. Степінь а" є добутком п множників, кожний з яких
дорівнює а:
а" = а - а - а - ... а .
Степінь дійсного числа з натуральним показником
Поняття степеня натурального числа з натуральним показником
узагальнюється на степінь будь-якого дійсного числа з натуральним
показником. Якщо ає і?, п є У:
Будь-який степінь додатного числа є додатним числом. Наприклад:
/ о ?
511 > 0, (1,2)5>0, - >0, (л/2) >0, (я - З)13 > 0 (я « 3,14).
Парний степінь від’ємного числа є додатним числом. Наприклад:
(-2)12 > 0, (-я)8 > 0, (-е)10 > 0 (е = 2,7).
Непарний степінь від’ємного числа є числом від’ємним. Наприклад:
(-2)3 < 0, (-я)5 < 0, (-2е)7 < 0.
Властивості степеня дійсного числа з натуральним
показником
Нехай ає і?, &є і?, п є У, т є У. Тоді справедливі такі властивості
степеня з натуральним показником:
4) (а&)" =алЬл', 5) М- =рг; 6) 1" = 1; 7) а1 = а.
Степінь дійсного числа з нульовим і від'ємним цілим
показником
Нехай а Ф 0, п є N. Вважатимемо, за означенням а° - 1, а " = —.
а"
Властивості 1)—6) степеня з натуральним показником справедливі і для
степеня дійсного числа з від’ємним цілим показником. Наприклад:
2 « •> о •> 1 1 11 1 2 5 л 5 , ,, л з 1
І = 2“ 3“= — • — =------= —; —- = 2 (“’ = 2 =—;
2 3 4 9 36 2 2 8
, і „ , „ . , „з 1 1 (2 А2 2’2 З2 9
“з7” 27’ Д “ з77 “ 2^ “ 4’
40
Алгебра
Одночлен і многочлен (загальні поняття)
Одночлен — це вираз, який може містити тільки дві дії: множен-
ня змінних і чисел і піднесення змінних до невід’ємного цілого степе-
1
ня. Приклади одночленів: -9, 6х2, 5ах5, Зху2 —, 10а —- 2ху3х4,
З 10
- 12а2х. Тут - 9, 6, 5, —, —, -2, -12 — числові коефіцієнти.
5х3
Вирази х2 + х7, а3 - а5 + 1, —- не є одночленами, тому що являють
собою суму, різницю або частку змінних і чисел.
Стандартним виглядом одночлена називається одночлен, у якого
числовий коефіцієнт стоїть на першому місці, а добуток однакових множ-
ників записаний у вигляді степеня. Так, наприклад, 1Иа2Ьса3 - 10авдс;
1 5
2ааЬ215аЬ4 = 30а3&6; 5ху—у4 = — ху6.
З З
Степенем одночлена стандартного вигляду називається сума показ-
ників степенів змінних. Наприклад, 17 — одночлен нульового степеня;
43х — одночлен першого степеня; 12а2 — одночлен другого степеня;
5х3 — одночлен третього степеня; 5х3г/5 — одночлен восьмого степеня.
Подібними одночленами називаються одночлени, які мають одна-
кові буквені вирази. Наприклад, 5а5&2, 9а5&2, -25а5&2, 0,За5&2 — подібні
одночлени.
Звести подібні члени — це означає додати їх числові коефіцієнти
і результат помножити на спільний буквений вираз.
Многочленом називається алгебраїчна сума одночленів. Приклади
многочленів: х2 - Зх + 1, хв -5ах, х8 + Зх7 - 5х - 6, За2 - 7ах9. Вирази
17 х х
—з— -----, — --- не є многочленами, тому що не є алгебраїчною сумою
X І х І X І 1
одночленів.
Многочленом стандартного вигляду називається такий многочлен,
у якого всі одночлени записані у стандартному вигляді і зведені подіб-
ні члени. Наприклад, 5х3 + 4ах2 - 17, Зх5 - 8х + 3, 7хв - 5ха2 + 4а - 9,
х2 + х + 9 — многочлени стандартного вигляду.
Степенем многочлена стандартного вигляду називається най-
більший степінь одночлена, що входить у цей многочлен. Наприклад,
5х2г/3 + 2х + 7, Зхг/4 - х3, 7х5 - 17х + 5 — многочлени п’ятого степеня.
Многочлен п-го степеня і його окремі випадки
для п = 0,1, 2
Многочлен п-го степеня найчастіше записується у такому вигляді, при
якому він утворює алгебраїчну суму одночленів за спадними степенями:
Рп(х) = аох" + а^х'' ' + а„х" 2 + ... + ап гх + ап, у якому а0 Ф 0;
а0, а1; а2, ..., а,,^, а„ — коефіцієнти многочлена п-го степеня;
аох" — старший член многочлена;
а0 — коефіцієнт при старшому члені;
а„ — вільний член многочлена;
п — степінь многочлена (це степінь старшого члена).
Дії з алгебраїчними виразами
41
Многочлен нульового степеня Р0(х) = а0 називається константою,
многочлен першого степеня Д(х) = аох + ал називається лінійною фун-
кцією, многочлен другого степеня Р2(х) - аох2 + агх + а2 називається
квадратичною функцією, або квадратним тричленом.
Наприклад, х2 + Зх - 9 — многочлен другого степеня (квадратний
тричлен), у якому х2 — старший член, коефіцієнт при старшому члені
дорівнює одиниці, -9 — вільний член многочлена.
Коренем многочлена Рп(х) називається таке значення х, при якому
многочлен обертається на нуль. Наприклад, число х - 2 є коренем мно-
гочлена Р3(х) = х3 - х2 - х - 2 , тому що _Р3(2) = 23 - 22 - 2 - 2 = 0.
Множення многочлена на многочлен
Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожний член
першого многочлена помножити на кожний член другого і отримані до-
бутки додати. При множенні виразів потрібно пам’ятати правила знаків,
а саме: (+х) • (+г/) = ху, (-х) (-у) = ху; (+х) • (-у) = -ху; (-х) (+у) = -ху.
Ділення з остачею многочлена
на МНОГОЧЛЕН
Таке ділення можливе, якщо степінь многочлена, що стоїть у чисель-
нику, більше або дорівнює степеню многочлена, що стоїть у знаменнику.
Щоб знайти частку двох многочленів, потрібно розмістити многочлен
діленого і многочлен дільника за спадними степенями змінної і вико-
нати ділення.
Нехай Рт(х) і фп(х) — многочлени степеня т і п відповідно, причому
т > п:
Р (х) = апхт + а,хт 1 + а„хт 2 + ... + а ,х + а , ап 0.
т' 7 0 1 2 т-1 т 7 0
(д (х) = Ьпх" + Ь.х" 1 + Ь,хп 2 + ... + Ь Лх + Ь , Ь„ 0.
\ / 0 1 2 п-1 п7 0
Поділивши Рт{х) на фп(х), отримуємо:
Єл(х)
Р (х) +
т-п х '
г(х)
0^)’
де Рт_„(х) — многочлен степеня (т- п), що називається цілою части-
ною; г(х) — многочлен степеня не вище (п - 1), що називається остачею.
На практиці ділення многочленів виконується у «стовпчик». Упоряд-
ковуємо обидва многочлени за спадними степенями і записуємо поруч,
відокремивши «стовпчиком». Спочатку ділимо старший член діленого
на старший член дільника і записуємо результат під горизонтальною
рискою. Потім під діленим підписуємо добуток дільника на зазначений
результат і віднімаємо цей добуток від діленого. Тепер задача звелася
до ділення нового многочлена меншого степеня на попередній дільник.
Подальші дії аналогічні описаним. У результаті або многочлен націло
поділиться на многочлен (г(х) = 0), або вийде остача.
42
Алгебра
Формули скороченого множення
1) х2 - у2 - (х - у)(х + у); 2) (х + у)2 = х2 + 2ху + у2;
3) (х - у)2 = х2 - 2ху + у2; 4) (х + у)3 = х3 ч- Зх2г/ + Зхг/2 + у3;
5) (х - у)3 = х3 - Зх2г/ + Зхг/2 - у3; 6) х3 - у3 - (х - г/)(х2 + ху + г/2);
7) х3 + у3 - (х + г/)(х2 - ху + г/2);
8) (х + у + г) = х2 + у2 + г2 + 2(хг/ + хг + г/г);
9) х3 + у3 + 23 - Зхг/г = (х + у + 2)(х2 + у2 + г2 - ху - хг - уг).
Ці формули застосовуються для перетворення (спрощення) виразів.
Часто їх застосовують, читаючи не зліва направо, а справа наліво.
Наведемо приклади використання формул скороченого множення:
(4а)2 - (х + а)2 = (4а - (х + а))(4а + (х + а)) = (За - х)(5а + х);
8х3 - 125г/3 = (2х)3 - (5г/)3 = (2х - 5г/) х ((2х)2 + 2x5г/ + (5г/)2) = (2х - 5г/)
(4х2 + Юху + 25г/2); (За - 25)(9а2 + 6аЬ + 452) = (За - 25) х ((За)2 + За • 2Ь +
+ (25)2) = (За)3 - (25)3 = 27а3 - 853.
Трикутник Паскаля
і
і і
12 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6
Рис. 1
а будь-яке інше число дорівнює суі
Якщо потрібно піднести
двочлен до степеня вище тре-
тього, то швидше за все це
можна зробити з використан-
ням трикутника Паскаля,
який інакше називається
арифметичним пірикутни-
1 ком. Трикутник Паскаля —
це числова таблиця трикут-
ної форми, у якій по бічних
сторонах стоять одиниці,
і двох найближчих до нього чисел
з попереднього рядка. Трикутник Паскаля зображений на рис. 1.
Трикутник Паскаля можна продовжити, заповнюючи елементи будь-
якого рядка. Ми обмежилися виписуванням семи перших рядків.
(а + Ь)4 = а4 ч- 4а3Ь + 6а252 + 4аЬ3 + Ь4.
(а - Ь)3 -а3 - 5а4Ь + 10а352 - 10а253 + 5аЬ4 - Ь3.
З прикладу 2 видно: якщо підноситься до степеня різниця двочле-
на, то спостерігається чергування знаків і після знака «+» обов’язково
ставиться знак «-».
Виділення повного квадрата двочлена
ІЗ КВАДРАТНОГО ТРИЧЛЕНА
Нехай є квадратний тричлен ах2 + Ьх + с і потрібно перетворити його
до вигляду а(х + т)2 + п. Для цього виконуємо такі перетворення:
, , Ь с ) , „ Ь ( Ь У ( Ь У с
ах" + Ьх + с = а їх" Ч—хч—І = а х" + 2х-1- — - — Ч— =
і а а) 2а у 2а І у 2а І а
\ /у \/\/у
Дії з алгебраїчними виразами
43
,9 \ 7 \2 4 т 2
Ь~ с ( Ь ] 4ас - 6“
------ “і— — а \ х н--н---------— =
4а“ а) 2а ) 4а“
( Ь V 4ас - Ь2
= а їх н-н------------.
2а) 4а
Наведемо приклади на виділення повного квадрата:
х2 - 4х + 1 = х2 - 2х2 + 22 - 22 + 1 = (х - 2)2 - 4 + 1 = (х - 2)2 - 3.
Відповідь-, х2 - 4х + 1 = (х - 2)2 - 3.
Розкладання многочлена на множники
Розкладанням многочлена на множники називається перетворен-
ня многочлена на добуток двох або декількох многочленів, серед яких
можуть бути й одночлени. Існує чотири основних способи розкладання
многочлена на множники.
Перший спосіб. Винесення спільного множника за дужки. Наприклад:
10х2г/ - 5хг/3 = 5хг/(2х - у2).
Другий спосіб. Спосіб групування, який полягає у поєднанні в групи тих
членів, які мають спільні множники, і винесенні за дужки спільного множ-
ника кожної з груп. Якщо після такого перетворення в усіх утворених гру-
пах виявиться спільний множник, то його виносять за дужки. Наприклад:
5(х - Зг/)2 - 4х + 12г/ = 5(х - Зг/)2 - 4(х - Зу) - (х - Зу) х
х (5(х - Зу) - 4) = (х - Зг/)(5х - 15г/ - 4);
(х - Зу) — спільний множник.
Третій спосіб. Застосування формул скороченого множення.
а2 + Ь2 + 2аЬ - 4с2 - (а + д)2 - (2с)2 - (а + Ь- 2с)(а + Ь + 2с).
Четвертий спосіб. Розкладання квадратного тричлена на лінійні
множники, якщо відомі його корені. Зазначимо, що якщо квадратний
тричлен ах2 + Ьх + с має дійсні корені х± і х2, то його можна розкласти
на лінійні множники в такий спосіб: ах2 + Ьх + с - а(х - хг)(х - х2).
х2 - Зх - 4 - (х + 1)(х - 4), тому що х2 - Зх - 4 = 0 <=> хг - -1, х2 - 4.
Цілі раціональні вирази
Цілими раціональними виразами називаються всі числові вирази,
а також вирази зі змінними, які можуть містити дії додавання, відні-
мання, множення, піднесення змінних до натурального степеня. Якщо
розглядати вирази від однієї змінної, то найпростішим прикладом ці-
лого раціонального виразу є многочлен степеня п є аох" + а1х"~1 +
+ а2х" 2 + ... + ап_1х + ап, а0 Ф 0.
Інші приклади цілих раціональних виразів: 5х-—ху2, аЬ+7а2,
4
і/2 5х — Зу
0,1ах° - аЬсху. Вирази 5ху , ----, —----- не є цілими раціональ-
15х + 7 х“ + 5у
ними, оскільки містять операції піднесення до цілого від’ємного степеня
і ділення на змінні.
44
Алгебра
Дробові раціональні вирази.
Основна властивість раціонального дробу
Дробовими раціональними виразами (дробово-раціональними вираза-
ми) називаються вирази зі змінними, які можуть містити дії додавання,
віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня
і ділення на вирази зі змінними. Якщо розглядати вирази від однієї
змінної, то прикладом дробово-раціонального виразу є відношення двох
многочленів:
Р(х) аохл + а}х" ' + ... + ап рс + ап
0 (х) Ь„х"’ + Ь.х'" 1 + ... + Ь рс + Ь
V / 0 1 т-1 т
__^Х І 6
Інші приклади дробових раціональних виразів: -----------;
х + 9хцг
2 а З
т - іг т Ьх х
т3 + Зпх п х2 +5у х + 1
Р
Раціональним дробом називається вираз —, де Р і ф — раціональні
0
вирази, причому 0 обов’язково містить змінні. Приклади раціональних
дробів- 1 • а2 +Ьс _ а2 + а + 1 _ х5 + Зх + 2
х2 + х + 1 ах2 + Ьх + с т2 + Зтп х4 + х2 + 1
Основна властивість дробу полягає в тому, що чисельник і знамен-
ник дробу можна помножити або поділити на одне і те саме відмінне від
й р р в „ „ р р/р
нуля число, одночлен або многочлен, — =-, якщо В Ф 0; — =---,
о о в о о/в
В — цілий раціональний вираз.
Наведемо приклади на використання основної властивості дробу.
Зх2 + 15х + 15
х3 + 5х
7х2 + 21х
7х2 + 21х 7Х х + З
49х - 7ху 49х - 7ху 7-у’
7х
Основна властивість дробу може бути використана для зміни зна-
Р
ків у членів дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу — помножи-
0
р -Р
ти на (-1), то отримаємо — =-. Значення дробу не зміниться, якщо
о —о
одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника. Якщо ж змінити
знак тільки у чисельника або тільки у знаменника, то і дріб змінить
-Р Р Р т Р -Р Р
свій знак: --=----=-----. Також можна записати: — =----=------.
о ~о о 0 0 ~о
Наприклад:
2-Зх3 _ _ Зх2 -2 _ Зх2 -2 _ _ 2-Зх3
—5 + 7х —5 + 7х —7х + 5 5 —7х
Дії з алгебраїчними виразами
45
Скорочення раціональних дробів
Скоротити дріб означає поділити чисельник і знаменник дробу
на спільний множник. Можливість подібного скорочення обумовлена
основною властивістю дробу.
Для того щоб скоротити раціональний дріб, потрібно спробувати
розкласти на множники його чисельник і знаменник. Якщо чисельник
і знаменник мають спільні множники, то дріб можна скоротити. Якщо
спільних множників немає, то перетворення дробу за допомогою ско-
рочення неможливе.
Зведення раціональних дробів до спільного знаменника
Спільним знаменником двох або декількох раціональних дробів
називається цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменник
кожного дробу.
5 7х + З
Наприклад, спільним знаменником дробів-- і------ є многочлен
х — 1 2х + 1
(х - 1)(2х + 1), однак не тільки він, але і многочлени 2(х - 1)(2х + 1),
7х(х - 1)(2х + 1), 9х2(х - 1)4(2х + І)7 і т. ін. Краще взяти найменший
спільний знаменник — такий найпростіший спільний знаменник, що
будь-який інший спільний знаменник ділиться на цей найпростіший. Най-
5 7х + З
меншим спільним знаменником дробів ---- і ----- є (х - 1)(2х + 1).
х — 1 2х + 1
Можна записати:
5 5(2х + 1) 7х + 3 (7х + 3)(х -1)
х —1 (х — 1) (2х +1) ’ 2х + 1 (2х + 1) (х — 1)
Зведення початкових дробів до найменшого спільного знаменни-
ка (надалі будемо називати його просто спільним знаменником) було
досягнуте множенням чисельника і знаменника першого дробу на
(2х + 1), а чисельника і знаменника другого дробу — на (х - 1). Много-
члени (2х + 1) і (х - 1) називають додатковими множниками для пер-
шого і другого дробів відповідно. Таким чином, додатковий множник
для даного дробу дорівнює частці від ділення спільного знаменника на
знаменник даного дробу.
Для того щоб кілька раціональних дробів звести до спільного зна-
менника, необхідно:
1) розкласти знаменник кожного дробу на множники, якщо це мож-
ливо;
2) утворити спільний знаменник, включивши до нього як спів-
множники всі різноманітні множники, отримані в пункті 1);
якщо деякий множник є в кількох розкладеннях, то він береться
з показником степеня, що дорівнює найбільшому з наявних;
3) визначити додаткові множники для кожного з дробів, поділивши
спільний знаменник на знаменник кожного дробу;
4) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий
множник.
46
Алгебра
Додавання і віднімання раціональних дробів
Сума (різниця) двох раціональних дробів з однаковими знаменника-
ми тотожно дорівнює дробу з тими самими знаменником і чисельником,
що дорівнює сумі (різниці) чисельників початкових дробів:
д±д д±д
© © (2
Наприклад:
2а+ 5 2 — За 2а+ 5 + 2 — За 7-а
-----+-----=------------=------, (а* 1);
а — 1 а — 1 а — 1 а — 1
х-у Х-у Х-у Х-у
При додаванні (відніманні) раціональних дробів з різними знамен-
никами необхідно звести дроби до спільного знаменника і виконати
додавання (віднімання) дробів зі спільним знаменником:
Р Д Рт ± Ррі
” 8~
й І 8
де т — додатковий множник для першого дробу І т - —
/ \ V ®
з
ковий множник для другого дробу п - — ; 5 — спільний знаменник.
; п — додат-
Множення і ділення раціональних дробів
Добуток двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чи-
сельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку
знаменників дробів, що перемножуються:
Д Д .. РрР.
^2
Це правило розповсюджується на добуток будь-якого скінченного
числа дробів.
Частка від ділення двох раціональних дробів тотожно дорівнює
дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу
і знаменника другого дробу, а знаменник — добутку знаменника пер-
шого дробу і чисельника другого дробу:
Р\ . Д _ Д Оі
©і Д
Якщо дріб множиться або ділиться не на дріб, а на многочлен 7?(х),
то зазначені вище правила залишаються дійсними, але многочлен 7?(х)
необхідно подати у вигляді Е(х) - —-—.
На практиці при множенні або діленні раціональних дробів зви-
чайно спочатку розкладають на множники чисельники і знаменники
початкових дробів (якщо це можливо).
Дії з алгебраїчними виразами
47
Корінь п-го степеня з дійсного числа
Дійсне число х називається коренем п-го степеня з дійсного числа а,
якщо хП - а (п є ДГ, п > 2). Корінь п-го степеня позначається символом
4~а відповідно до означення = а. Число а називається підкорене-
вим числом, чи підкореневим виразом, п — показником кореня. Якщо
п-2, то замість 4а пишуть 4а і називають цей вираз квадратним
коренем. 4а називають кубічним коренем. Замість терміна корінь ужи-
вають термін радикал.
Приклади, а) 4І - 2, тому що 22 = 4; б) ^81 = 3, тому що З4 = 81;
в) >/() = 0; г) 41 = 1; Д) >/243 = 3.
Дія, за допомогою якої визначається корінь п-го степеня, називаєть-
ся добуванням кореня п-го степеня.
Корінь парного степеня добувається тільки з невід’ємного числа,
тобто якщо а < 0, то 24а не існує. Наприклад, вирази 4-ї, 4-і, >/-81,
4-І не мають змісту в області дійсних чисел. Корінь непарного степе-
ня добувається із від’ємного числа. Наприклад, >/-27 = -3, тому що
(-3)“ = -27; 4-ї = -1; ^-8 = -2; ^-32 = -12. Для коренів непарного
степеня 2п+4-а - -2п+4а- Для коренів парного степеня ця властивість
не виконується, тобто 24~а -24а (вона виконується тільки для а - 0).
Таким чином, 24а існує при а > 0, 2п+4а існує для будь-якого а є В.
Щоб уникнути двозначності кореня п-го степеня з дійсного числа а,
уводиться поняття арифметичного кореня.
Арифметичним коренем називається невід’ємний корінь п-го сте-
пеня з невід’ємного числа. Для коренів парного степеня умовилися
брати тільки арифметичний корінь. Таким чином, можемо записати:
4а2 = |а| > 0, 2>/а2’1 = |а| > 0, 4І = 3, >/100 = 10. Помилково записувати
>/9 = ±3, >/Ї00 = ±10.
Зауваження. Іноді арифметичним коренем називають невід’ємний
корінь парного степеня з невід’ємного числа.
Основні властивості коренів
(правила дій із радикалами)
4)
1) ’уаЬ = у/аА/Ь;
рг\ п/ пг _ п-к т'к ,
О І V сі — ,
8) 2^о^ = |а|.
3) = 4а™;
6) {4а^ = а;
7) 4а2 - |а|;
Зауваження 1. Наведені вище властивості 1)—6) справедливі для
а > 0, Ь > 0, якщо розглядати корені парного степеня. Властивості 7)—8)
справедливі для будь-якого а є В.
Якщо ж розглядати корені непарного степеня, то властивості 1)—8)
справедливі для а є В, Ь є В.
48
Алгебра
Зауваження 2. Формули 1)—5) часто застосовують у зворотному
порядку, тобто справа наліво. Наприклад:
л/б • >/з = 5/5-3 = л/ЇЇЇ;
5/2^ = {у[2^ ; >/7 = ^^7; ^3®" =
Винесення множника з-під кореня
Якщо показник степеня множника під коренем більший, ніж по-
казник кореня, то раціональний множник можна винести з-під знака
ті/„п+тп п п пі п пі ~п ~ . г\
кореня: \Іа = у]а а =\]а у/а =а\Іа , а > 0.
Внесення множника під корінь
Якщо раціональний множник стоїть перед коренем, то його можна
внести під корінь. Для цього потрібно цей множник піднести до степеня
кореня: а = у[а” у/ь = УІапЬ, якщо а > 0, Ь > 0.
Для коренів парного степеня залежно від знака а маємо:
а 2у/ь = 2УІа2"Ь , якщо а > 0, Ь > 0; 2у/ь - -2УІа2лЬ, якщо а < 0, Ь > 0.
Зокрема, для квадратних коренів:
ау[ї> = у/а2Ь, якщо а > 0, Ь > 0; ау[ь - -уІа2Ь, якщо а < 0, Ь > 0.
Зведення підкореневого виразу до цілого вигляду
Звести підкореневий вираз до цілого вигляду означає звільнити під-
кореневий вираз від знаменника (якщо він є):
І „ І „ кп-к І Ці-к пі і^п-к -і ,_____________
а а - Ь а - Ь у]а - Ь 1~—
і — = 1 —------ = г-------=----т=— = - а/ а • Ьп .
уьк \ьк ь"к N Ьп ь
Звільнення дробу від ірраціональності
В ЗНАМЕННИКУ АБО ЧИСЕЛЬНИКУ ДРОБУ
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Вирази
(у/а + у/Б) і (у/а-у/Б)
називаються взаємно спря-
женими виразами.
їхній добуток дорівнює різни-
ці підкореневих виразів:
(у[а + у[Ь) (у[а - у[Ь) = а - Ь,
а > 0, Ь > 0.
Дріб можна звільнити від ірраціональності (від ірраціонального виразу)
„ а ау/ь ау/ь
в чисельнику або знаменнику, наприклад: -= = —=-= =----------, отже,
у/Ь у/Ьу/Ь ь
а ... . у[а у[ау[а а
дріб —= звільнили від ірраціональності в знаменнику;---=-------=- - —==,
УІЬ Ь Ьу/а Ьуіа
.ґ у/а ...
отже, дріб --- звільнили від ірраціональності в чисельнику.
Ь
Дії з алгебраїчними виразами
49
Щоб звільнити дріб від ірраціональності в чисельнику або знамен-
нику, можна застосувати формули скороченого множення, які стосовно
до коренів мають вигляд:
= а — Ь;
б) + ЇІь)((^)2 -№ІЬ + «) = (^)3 + (= а + ь-
в) - </б)((^)2 + №у/ь + (ї/ь)2) = (^)3 - (</ь)' = а - Ь.
Вирази (у/а. + у/ї>^ і (у/а-у/ь} називаються взаємно спряжени-
ми виразами. їхній добуток дорівнює різниці підкореневих виразів:
Степінь дійсного числа з раціональним показником
Якщо т є 2, п є Ді, п > 2, а > 0, то вважають, за визначенням, а" = V ат .
Наприклад: б3 = ^/б2 = </36; 57 = Ц53 = </125.
т ______
Зауваження. Формула а11 - у/а™ має зміст не тільки при а > 0. Якщо
т _________________________________
п - 2к + 1 (к є ВГ), то формула а” = \ат справедлива при а є В \ {0}.
Якщо — > 0, то вираз </а™” має значення не тільки при а > 0, але і при
п
а < 0, причому </о™” = 0. Наприклад, мають значення вирази, які можна
записати за допомогою радикалів: (-2)з = ^(-2)5 = </-32 = -</32;
(-0,5)7 = ^(-0,5)2 = </0,25; (-27)І = ^(-27)2 = у/273 = у[¥ = 9;
1. 2 __
О2 = л/о = 0; О3 = л/о^ = 0.
ЦІКАВО ЗНАТИ &
Формула а" =\[а™ має зміст
не тільки при а > 0. Якщо
п = 2к+ 1 (/се А/), то формула
т
а" =\[а"' справедлива при
а є /?\{0}. Якщо — >0, то ви-
ті
раз у[а™ має значення не тіль-
ки при а > 0, але і при а < 0,
причому у/в™ =0. Наприклад
мають значення вирази, які
можна записати за допомогою
радикалів:
(-2)- = >/(-2)5 = 1/-32 = ->І32;
(-0,5)= = =/(_0,5)2 = =/ц25;
(-27)5 = ^(-2 7)2 = = = 9;
1 £
02=х/0 = 0; 03=^0? = 0.
Степінь дійсного числа з дійсним показником
Степінь дійсного числа з дійсним показником має ті ж властивості,
що і степінь із натуральним, цілим, раціональним показниками. Запи-
шемо ці властивості, вважаючи, що а > 0, Ь > 0, х є В, у є В.
Властивості степеня дійсного числа з дійсними показниками
1) а'• ау = а''; 2) = В ; 3) ‘;
4) (аЬ)х = ах Ьх ; 5) = р-; 6) а х = 4" 5 7) а° = 1, а * 0;
8) = 9) Р = 1.
50
Алгебра
Зауваження 1. Вираз ах звичайно розглядається при а > 0, тому
що при а > 0 цей вираз має значення завжди. Однак при а < 0 ах має
значення в таких випадках:
а) для невід’ємних цілих х > 0;
б) для раціональних чисел х - —, у яких знаменник д — непарне
д
число;
в) коли х — ціле від’ємне число.
4 о 1 ( 1 V3 £
Наприклад, вирази (-9) , (-5) , (-0,8) з, — , (-2,5) з існують
\ 2)
1 З £ 1
(мають значення); вирази (-7)2, (-3)7, (-0,5)7, (-5)2 не існують в об-
ласті дійсних чисел.
Зауваження 2. Звичайно змінні позначаються буквами х, у, 2, и, V,
іа, а сталі (або параметри) — буквами а, Ь, с, а, 0, у, 8 тощо. Якщо ос-
нову степеня позначити через х, а показник степеня через а, то степінь
набуває вигляду ха. Оскільки перетворення зі степенями виду ха зуст-
річаються досить часто, запишемо властивості степеня 1)—9), умовно
назвавши їх властивостями степеня зі змінною основою і фіксованим
показником степеня (х > 0, у > 0, а є В, 0 є В).
а п
1) Xа • хр = ха+р; 2) = 3) (х“) = х“р = (хр)“ ;
4) (ху)а = ха-уа;5) М = ^;6) х
< У 7 У х
7) х°= 1; 8) х1 = х; 9) 1“= 1.
Зауваження 3. Вираз ха звичайно розглядають при х > 0, тому що
при х > 0 ха має зміст завжди. Однак при а > 0 (а — ціле) визначене
для будь-якого х є В', якщо а — ціле від’ємне число, то ха визначене
при х є В \ {0}; якщо а = — , де д — непарне число, то х“ визначене не
д
тільки при х > 0®, але і при х < 0.
Середнє арифметичне і середнє геометричне.
Нерівність Коші
Середнім арифметичним п чисел ах, а2, ..., аП є число Д:
а, + а„ +...+ а
1 2 п
п
Середнім геометричним п невід’ємних чисел щ, а2, ..., ап є число О„:
Дії з алгебраїчними виразами
51
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
Запишіть вираз
у вигляді степеня з основою х.
1) х 4; 2) х 2; 3) х2; 4) х4.
4 . З32 + 9. з30
2. Знайдіть значення виразу ---------------
3.
4.
5.
6.
7.
1)0; 2)1; 3)5; 4)10.
Знайдіть частку від ділення многочлена 2х3 - Зх2 - 1 їх + 6 на двочлен х - 3.
1)2х2-Зх + 2; 2)2х2 + Зх + 2;
3)2х2 + Зх-2; 4)2х2-Зх-2.
Знайдіть остачу від ділення многочлена Зх4 + 5х2 + 7 на многочлен х2 + х.
1) —Зх + 8;
3) -8х- 7;
Скоротіть дріб:
х2 — 6х + 8
х2 — Зх — 4
2) 8х + 7;
4) -8х + 7.
4)
1)
4) 1.
Спростіть вираз:
Спростіть вираз
1)а + Ь; 2) а -Ь; 3) аЬ;
4) 4-
аЬ
Спростіть вираз:
^-2)!+^-з)2.
1)1; 2) 2-^7 - 5; 3) 5; 4)-1.
9.
Позбавте дріб
від ірраціональності у знаменнику:
2 х + 2у/ху + у .
х-г/
.. Х~У
4) ---
і) —
х-г/
х - 2у/ху + 4 .
X + у
10. Внесіть множник під знак радикала у виразі х-у/у, якщо х < 0.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 1. 2. 3. 3. 3. 4. 4. 5. 2. 6. 4. 7. 4. 8. 1. 9. 2. 10. 4.
ФУНКЦІЇ І найпростіші графіки
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Область визначення і область значень функції. Основні способи задання функції. Парні
і непарні функції. Періодичні функції. Обмеженість функції. Монотонність функції. Проміжки
знакосталості і корені функції. Точки мінімуму і точки максимуму функції. Екстремум функції.
Обернена функція. Геометричні перетворення графіків функцій.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Область визначення і область значень функції
Нехай -О(У) і £(/) — довільні числові множини. Кажуть, що на мно-
жині -О(У) визначена числова функція у - /(х), якщо кожному числу
х є В(/) поставлено у відповідність єдине, цілком визначене число
у - /(х) є £(/). Множина В(/) називається областю визначення фун-
кції, або областю допустимих значень незалежної змінної (скорочено
ОДЗ), а £(/) — областю значень функції (£(/), також називають областю
зміни, множиною значень):
Нерідко область визначення і область значень функції у - /(х) позна-
чають таким чином: -О(у) — область визначення, Е(у) — область значень.
Довільний елемент х області визначення В(/) називається незалеж-
ною змінною, або аргументом, а величина у - /(х) називається залежною
змінною, або функцією.
Коротко можна сказати: залежність змінної у від змінної х називаєть-
ся функцією, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.
Той факт, що задано функцію у - /(х), х є В(/) з областю визначення
В(/) і областю значень £(/), іноді записують у такій формі:
/: В(/) Е(/), або £)(/) —£(/), або В —Е.
Основні способи задання функції
Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого
для кожного значення аргументу можна було б знайти відповідне зна-
чення функції. Існує чотири основні способи задання функції: 1) аналі-
тичний; 2) графічний; 3) табличний; 4) спосіб словесного опису.
1) Аналітичний спосіб задання функції. При аналітичному способі
функція задається за допомогою формули у - /(х), де /(х) — деякий
вираз із змінною х. Наприклад:
і— 1 2х5, х < 0,
г/=х2, г/ = Ух, г/ = —, у = \ -
х 4х + 1, х > 0.
Функцій найпростіші графіки
53
Якщо функція задається аналітично, то її область визначення не-
рідко називається натуральною областю визначення. Це множина всіх
тих значень х, для кожного з яких формула, що визначає функцію /(х),
має зміст. Так, наприклад, для функції у -х2 натуральна область визна-
чення — множина всіх дійсних чисел, тобто х є (—°°; +оо) = В. Для фун-
кції у - \[х натуральною областю визначення є множина невід’ємних
дійсних чисел, тобто х є [0; +<х>).
2) При графічному способі задання зображають графік функції
у - /(х) у системі координат хОу.
Графіком функції називається зображення на координатній площині
множини упорядкованих пар {(х; у)\у - /(х), х є В(/)}. Кожній упорядко-
ваній парі дійсних чисел (х; у) можна поставити у відповідність точку
на площині. Для цього на площині зображають прямокутну (декартову)
систему координат (рис. 2).
Прямі Ох і Оу взаємно перпендикулярні, О — точка перетину цих
прямих. Ох — вісь абсцис, Оу — вісь ординат, 0 — початок координат.
На кожній з осей Ох і Оу вибирають додатний напрям відліку (на осі
Ох — зліва направо, на осі Оу — знизу вгору). Вибирають також одини-
цю виміру (масштаб). Кожна точка А(хЛ; уА) на координатній площині
має дві координати: хА — абсцису, уА — ординату (рис. 3). Записується
це таким чином: А(ха; уА).
Отже, графік функції у - /(х) — множина точок координатної пло-
щини хОу, абсциси яких є значеннями аргументу х, а ординати — від-
повідні значення функції у. Для того щоб множина точок координатної
площини була графіком деякої функції, необхідно і достатньо, щоб будь-
яка пряма, паралельна осі Оу, перетиналася з цим графіком не більше,
ніж в одній точці.
Графічний спосіб зручний тоді, коли задати функцію аналітично
досить важко (рис. 3).
Зауваження. Осі координат розбивають площину на чотири части-
ни — І, II, III, IV — чверті, або координатні кути (рис. 4).
3) Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що відповід-
ність між елементами множин В(/) і £(/) задається у формі таблиці.
При цьому способі наводиться таблиця, що вказує значення
функції у 1; у2, ..., у„_1, уп для наявних у таблиці значень аргументи
х,, х„,..., х„ х„ (табл. 1).
Таблиця 1
X х. V х„-1
У Уі У2 Уп-1 Уп
Прикладами табличного способу задання функції є таблиці квад-
ратів, квадратних коренів, кубів, логарифмів тощо.
4) При словесному способі задання функції закон, відповідно до яко-
го значення функції відповідають значенням аргументу, формулюється
словесно. Так, наприклад, розмір прибуткового податку є функцією
заробітної плати платника податків.
54
Алгебра
Парні і непарні функції
ЗАПАМ'ЯТАЙ Функція у - /(х) називається парною, якщо для будь-яких х і (-х) з області визначення функції виконується рівність Д-х) = Дх).
ГЦ-х)^-Г(х) Якщо і , тодх) — |Дх) функція загального вигляду. Функція у - /(х) називається непарною, якщо для будь-яких х і (-х) з області визначення функції виконується рівність Д-х) = -Дх). Якщо функція у - /(х) така, що хоча б для однієї пари значень х і (-х) виявило- ся, що Д-х) Ф -/(х), і хоча б для однієї пари значень х і (-х) виявилося, що Д-х) Ф /(х), то функція називається функцією загального вигляду. Г Д—х) Ф ~/(х), Коротко: якщо <! то Дх) — функція загального вигляду. Приклади парних функцій: у - х2, у - х4, у - х4 + х2 + 1, у - -х8 - х4 + 1, 8ІП X У — СО8 X, У — . X Приклади непарних функцій: у - х, у - х3, у - х + х19, у - х9 - х3, у - -х13 + х7, у - 8ІПХ, у - СІ£Х. Приклади функцій загального вигляду: у - х2 + х, у - (х + 2)4, у - (х - І)3, у - х3 + хв, у - х - х4 . 3 означення парних і непарних функцій випливає, що область ви- значення -О(У) як парної, так і непарної функції симетрична відносно початку координат, тобто якщо х є В(/) => (-х) є В(Д. Якщо функція у - /(х) є парною, то її графік симетричний відносно осі ординат. Якщо функція у - /(х) є непарною, то її графік симетричний відносно початку координат. Приклад. З’ясувати, чи є дана функція парною, непарною, загаль- ного вигляду: а) Дх) = 2х4 + Зх2 +7; б) Дх) = х + зіп х; в) Дх) = (х + З)5. Розв’язання. а) Д-х) = 2(-х)4 + 3(-х)2 + 7 = 2х4 + Зх2 + 7 = Дх) => /(х) — парна функція; б) Д—х) = -X + 8Іп(-х) = -X - 8ІПХ = -(х + зіпх) = -Дх) => ?(х) — непарна функція; в) Д-х) = (-х + 3)“, Д-х) Ф /їх), /(-х) Ф ~/(х) => /(х) — функція загального вигляду. Відповідь: а) парна функція; б) непарна функція; в) функція загаль- ного вигляду. Періодичні функції
СЛОВНИК Функція у - /(х) називається періодичною, якщо існує таке чис- ло Т Ф 0, що при будь-якому х з області визначення функції числа
Найменший додатний період називається основним пе- ріодом. (х - Т) і (х + Т) також належать цій області і виконується рівність Дх + Т) - ]\х - Т) - /(х). Число Т у цьому випадку називається періо- дом функції /(х). Будь-яка періодична функція має нескінченну множину періодів, бо якщо Т — період функції у - /(х), то і число виду кТ — період функції (к є 2 \ {0}). На практиці, кажучи про період, нерідко мають на увазі
Функцій найпростіші графіки
55
найменший додатний період (якщо такий існує). Найменший додатний
період називається основним періодом.
Приклади періодичних функцій: у - {х} — дробова частина х, ос-
новний період Т - 1; у - зіп х, основний період Т - 2п; у = Ї£х, основний
період Т = я.
Обмеженість функції
Функція у = /(х) називається обмеженою, якщо її область значень
обмежена, тобто якщо всі її значення лежать на якому-небудь обмеже-
ному проміжку. В іншому разі функцію називають необмеженою.
Приклади функцій, обмежених на всій області визначення:
1 2х х2 + 5
У = ~У = ~У = ;—г , У = 8шх, у = СО8Х.
Зауваження. Можна дати таке означення обмеженості функції:
функція у - /(х) називається обмеженою на всій області визначен-
ня якщо існує таке число С > 0, що |Дх)| < С для кожної точки
х є -О(У).
Зауваження. Функція у - /(х) називається обмеженою на множині
X с Л(/), якщо існує таке число С > 0, що |Дх)| < С для кожного х є X.
Функція, обмежена на деякій множині X с В(/), може бути необме-
женою на всій області визначення. Наприклад, функція у - — обмежена
при х є
— ;10 але на всій області визначення вона є необмеженою.
10
Монотонність функції
Функція у - /(х) називається зростаючою на даному числовому
проміжку X, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше
значення функції Дх), тобто для будь-яких х1; х2 є X і х2 > хг => Дх2) >
> ДхД.
Функція у - /(х) називається спадною на даному числовому про-
міжку X, якщо більшому значенню аргументу х є X відповідає мен-
ше значення функції Дх), тобто для будь-яких х1; х2 є X і х2 > х,
Дх2) < ДхД.
Функція, тільки зростаюча або тільки спадна на даному числовому
проміжку, називається монотонною на цьому проміжку.
Приклади монотонних функцій на всій області визначення: у-х,
у - х3, у - х5, у -2х, у - 1о£ах, у - агсзіп х, у - агсі£ х.
Функція у - х2 не є монотонною на всій області визначення, од-
нак при х є (—°°; 0) вона є спадною, а при х є (0; +°°) є зростаючою.
Функція г/ = 8Іпх не є монотонною на всій області визначення, однак
я я
усередині кожного з інтервалів - — + 2кп < х < — + 2кп, к є 7 вона
я Зя
є зростаючою, а усередині кожного з інтервалів — + 2/гя < х < — + 2/гя,
к є 7 — спадною.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Можна дати таке означення
обмеженості функції: функція
у = Л(х) називається обмеже-
ною на всій області визначен-
ня ОЩ, якщо існує таке число
С> 0, що |Дх)| < С для кожної
тонких є ОЦ).
СЛОВНИК
Функція, тільки зростаюча
або тільки спадна на даному
числовому проміжку, нази-
вається монотонною на цьо-
му проміжку.
56
Алгебра
Проміжки знакосталості і корені функції
55 словник Числові проміжки, на яких функція зберігає свій знак (тобто за- лишається додатною або від’ємною), називаються проміжками знако-
Значення аргументу х є О(і), при яких функція «X) = 0, називаються коренями (або нулями) функції. сталості функції. Наприклад, для функції у - х, у > 0 при х > 0 і у < 0 при х < 0. Значення аргументу х є В(/), при яких функція /(х) = 0, називаються коренями (нулями) функції. Зрозуміло, що значення аргументу, при яких функція перетворюється на нуль, — це абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох. Наприклад, для функції у - х + 2 нулем фун- кції є х - -2; для функції у - х2 - 5х + 6 нулями функції є х± - 2, х2 - 3. Точки мінімуму і точки максимуму функції. Екстремум функції
ЗАПАМ'ЯТАЙ Точки мінімуму і точки макси- муму називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках називається екстремумом функції (відповідно мініму- мом і максимумом). Точка х0 з області визначення функції у - /(х) називається точ- кою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться такий 8-окіл точки х0 х є (х0 -8, х0 + 8), що для всіх х Ф х0 з цього околу виконується нерів- ність /(х0) < /(х). Записується це таким чином: М — тіп /(х). %є(%0 —5, х0 + 3) Точка х0 з області визначення функції у - /(х) називається точ- кою максимуму цієї функції, якщо знайдеться такий 8-окіл точки х0 х є (х0 - 8, х0 + 8), що для всіх х Ф х0 з цього околу виконується нерів- ність /(х0) > /(х. Записується це таким чином: М — шах /(х). хє(х0 —5, х0 + 3) Точки мінімуму і точки максимуму називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках називається екстремумом функції (відповідно мінімумом і максимумом). Обернена функція
ЗАПАМ'ЯТАЙ Д л я то го що б у фу н кц її у = ї(х) при х є [а; Ь] існувала обер- нена до неї функція, необхід- но і достатньо, щоб функція у=Т(х) була монотонною при х є [а; Ь]. Кожному значенню х є В(/) рівність у - ]'(х) ставить у відповідність цілком визначене значення у є £(/). У деяких випадках рівність у - ]'(х) можна розглядати як таку, що кожному значенню у є Е(/) ставить у від- повідність цілком визначене значення х є В(/). Приклад. Рівність у - Зх - 1 кожному значенню у ставить у від- у +1 „ повідність х = —-— . Можна сказати, що рівність у - Зх - 1 визначає х . . . .. у + 1 як деяку функцію змінної у, тобто X = . 3 Нехай функція у - /(х) така, що кожному допустимому значенню величини у можна поставити у відповідність одне і тільки одне значення величини х. Тоді ця рівність визначає х як деяку функцію від у. Позна- чимо цю функцію через ір: х = ф(у). У цьому співвідношенні х = ф(г/) роль аргументу відіграє у, а роль функції — х. Оскільки звичайно х позначає аргумент, у позначає функцію, то запишемо залежність х = ф(г/) у виг- ляді у - ф(х). Функція у - ф(х) називається оберненою до функції у = ї(х).
Функцій найпростіші графіки
57
У + 1 X + 1
Так, наприклад, г/ = Зх - 1 <=> х = -. Тому функція у - --
З З
є оберненою до функції у - Зх - 1.
Для того щоб у функції у - /(х) при х є [а; &] існувала обернена до
неї функція, необхідно і достатньо, щоб функція у - /(х) була монотон-
ною при х є [а; &] (тобто або тільки зростаючою, або тільки спадною).
Так, для функції у - х3 оберненою є у - \[х , х є (-оо; +<х>). Для фун-
кції у - х1 2 при х є (-оо; +00) оберненої не існує, однак при х є (0; +°°)
оберненою ДЛЯ у - X2 Є у - 4х , а при X Є (-оо; 0) оберненою для у - X2
є функція у - -4х.
Якщо точка (х; у) належить графіку функції у - /(х), то точка (у; х)
належить графіку оберненої функції. Тому графіки прямої і оберненої
функцій симетричні один одному відносно прямої у - х (бісектриси 1-го
і 3-го координатних кутів).
Так, наприклад, графік функції у = х3 симетричний графіку функції
у - у[х відносно прямої у - х (рис. 5). Взагалі для функції у - хп (х > 0,
п є У, п > 2) оберненою є у - у[х .
Зауваження. Область визначення оберненої функції збігається
з множиною значень початкової функції, а множина значень оберненої
функції збігається з областю визначення початкової функції, тобто
область визначення і область значень прямої і оберненої функцій мі-
няються місцями.
Рис. 5
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1-х
1. Задано функцію Дх) =---. Знайдіть Дх + 1).
1 + х
1) Дх + 1) = —2)Дх + 1) =-----
х + 2 х + 2
2 1 + х
3)Дх + 1) = --; 4)Дх + 1) = -----.
1 + х 1-х
їх — 4
2. Знайдіть область визначення функції у - .-.
V х +1
1) (-1; 4]; 2) (-оо; -1);
3) [4; +оо); 4) (—оо; —1) и [4; +°о).
3. Знайдіть область визначення функції у - 4х + х2.
1) (-оо; -3) о (3; +°°); 2) [-3; 0];
3) [0; 3]; 4) [-3; 3].
Знайдіть множину значень функції у - —Д
1) Я;
3) 0;—];
2 )
2) | 0;—];
І 2/
4) | 0;— .
І 2
5. Серед наведених нижче функцій парною є функція:
1) у - х2 +|х|; 2)г/ = 5х3;
3) у - х13 + х2; 4) у - \[х.
58
Алгебра
Серед наведених нижче функцій непарною є функція:
1) у — |х| + х; 2) у — \[х;
3) у — л/х; 4) у — \І1 — х3.
Для заданої функції г/ = х2 + 4, х < 0 знайдіть обернену.
1) у — л/х + 4;
2) у — л/х — 4;
3) у — —у/х + 4; 4) у — —у/х — 4.
На рисунку зображений графік функції:
1) У = |х-1|;
2) у = |х-1| + 1;
3) у — |х + 1| — 1;
4) у = |х -1| -1.
10. На рисунку зображений графік функції:
і) у = |4-хГ;
2) у = |х-4|2;
3) у — 4 + х2 ;
4) у — 4-х2 .
11. На рисунку зображений графік функції:
1) у — |х|“ — 4 |х| + 3;
2) у — |х2 — 4 |х| — з|;
3) у — |х2 — 4| — 41х| — 3;
4) у — |х2 — 4 |х| + з|.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 2. 2. 4. 3. 3. 4. 4. 5. 1. 6. 2. 7. 4. 8. 3. 9. 2. 10. 4. 11. 4.
АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ І СИСТЕМИ РІВНЯНЬ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Рівності та їхні властивості. Тотожності. Рівняння з однією змінною (загальні поняття).
Рівносильність рівнянь. Сукупність рівнянь. Класифікація алгебраїчних рівнянь. Лінійні
рівняння і рівняння, що до них зводяться. Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Двочленні
рівняння. Тричленні рівняння. Біквадратні рівняння. Цілі раціональні рівняння вищих сте-
пенів. Теорема Безу. Симетричні рівняння третього степеня. Симетричні рівняння четвертого
степеня. Розв’язання деяких неповних раціональних рівнянь вищих степенів. Розв’язання
раціональних і дробово-раціональних рівнянь методом уведення нової змінної. Рівняння,
що містять змінну під знаком модуля. Метод інтервалів (проміжків) при розв’язуванні рівнянь
з модулями. Ірраціональні рівняння. Системи рівнянь. Однорідні системи рівнянь. Симетричні
системи рівнянь.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Рівності та їхні властивості.
Тотожності
Рівність — це два вирази, з’єднані знаком «=» (дорівнює), х - у —
це рівність, х — ліва частина рівності, у — права частина рівності.
Властивості рівностей:
1) х-у у - х', 2) х - у, у - г => х - з;
3) х -у х + г -у + 2', 4) х - у х г - у г;
_ х У <
5) х = у — = — (з^О).
2 2
Рівність може бути числовою або зі змінними. Числова рівність може
бути правильною або неправильною.
20 12
10-4 = 6, — = 7-3, 4 - 10 =----— правильні числові рівності,
б 2
3 = 5, 3+8=25 — неправильні числові рівності.
X + у = 2 — рівність зі змінними. Змінні х і у у цій рівності можуть
набувати різних числових значень. Якщо х = 0, а у -2, то 0 + 2 = 2 —
правильна числова рівність. Якщо х = 1, а у = 5, то 1 + 5 = 2 — непра-
вильна числова рівність.
Множина значень змінних, при яких ліва і права частини рівності
мають зміст (визначені), називається областю визначення рівності
і позначається звичайно через В.
„ . . а2-9
Наприклад, рівність -----= 1 визначена для будь-якого значення
а + З
а, окрім а - -3. Звідси В(а) = {а | а є В \ {-3}} .
Тотожність — це рівність, правильна при будь-яких значеннях
змінних з області визначення рівності.
ЗАПАМ'ЯТАЙ ВЛ
Властивості рівностей:
1) х = у => у = х;
2) х = у, у = 2^> х = 2;
3)х = у=>х + 2 = у + 2;
4) х = у => х • 2 = у • 2;
5)х = у^> - = ^ (2/0).
2 2
60
Алгебра
Приклади тотожностей:
(х2 -г/2) = (х - у)(х + у);
(а + 1>У — а2 + 2аЬ + Ь2;
= х - 1, х Ф -1;
Рівняння з однією змінною (загальні поняття)
словник
Множина усіх значень змінної
х, при яких мають зміст (виз-
начені) ліва та права частини
рівняння, називається облас-
тю визначення рівняння
(або областю допустимих зна-
чень рівняння) і позначається
через Д (або через ОДЗ).
Рівнянням, з однією змінною називається рівність виду Дх) = ф(х),
де Дх) і ф(х) — деякі задані функції, змінна х — невідома.
Значення змінної х, при якому рівняння Дх) = ф(х) перетворюється
на правильну числову рівність, називається коренем, або розв’ язком,
рівняння. Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або до-
вести, що їх немає.
Множина усіх значень змінної х, при яких мають зміст (визначені)
ліва і права частини рівняння, називається областю визначення рів-
няння (або областю допустимих значень рівняння) і позначається через
В (або через ОДЗ). Для того щоб знайти область визначення рівняння
Дх) = ф(х), необхідно знайти переріз множин, на яких визначені фун-
кції Дх) і ф(х).
РіВНОСИЛЬНІСТЬ РІВНЯНЬ
ЗАПАМ'ЯТАЙ
ї(х) > д(х) <=> і(х) • <р(х) > д(х) • (х),
якщо ф(х) > 0;
Дх)
ф(х)
д(х)
ф(х)'
якщо
ф(х) > 0;
ї(х) > д(х) ї(х)-ф(х) <
< д(х) • ф(х), якщо ф(х) < 0;
„ . , , Дх) д(х)
г(х) >д(х) <=>-----< -—, якщо
ф(х) ф(х)
ф(х) < 0.
Нагадаємо, що якщо з істинності висловлювання А випливає істин-
ність висловлювання В, то вживають знак логічного наслідку =^>, тобто
А => В (читається: з А випливає В).
Якщо А => В і В => А, то такі висловлювання називають рівносильни-
ми (еквівалентними). Записується це таким чином: А <=> В (читається:
А еквівалентне В, А рівносильне В).
Два рівняння називаються рівносильними (еквівалентними), якщо
множини їх розв’язків (коренів) збігаються, тобто це такі рівняння, які
мають ті самі корені. Рівносильними вважаються і рівняння, кожне
з яких не має коренів.
Наприклад, рівняння х+1 = 7іх + 4 = 10 рівносильні, тому що кож-
не з них має єдиний корінь — число 6. Рівносильні і рівняння х2 = -4
і Зх2 + 5 = 0 (в області дійсних чисел), тому що жодне з них не має
коренів.
РІВНЯННЯ X - 8 = 1 І X2 = 81 є не рівносильними, тому що рівняння
х - 8 = 1 має тільки один корінь х = 9, а рівняння х2 = 81 має два корені:
хг - 9 і х2 = -9.
Перетворення, при яких рівняння переходить у рівносильне
йому рівняння
1. Якщо у рівнянні поміняти місцями ліву і праву частини, то отри-
муємо рівняння, рівносильне даному. Наприклад:
х + 4 = 2х + 9<=>2х + 9 = х + 4.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
61
2. Якщо у рівнянні будь-який доданок перенести з однієї частини
в іншу, змінивши його знак на протилежний, то отримуємо рівняння,
рівносильне даному. Наприклад:
2х+7 = х- 3<=>2х-х = -7-3.
3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на те
саме відмінне від нуля число, то отримуємо рівняння, рівносильне даному.
ТТ • Х + 1 • • Л А А '
Наприклад, рівняння-----= х рівносильне рівнянню х + 1 = 4х (рівнян-
4
-< А Х + 1 Г-
ня х + 1 = 4х отримане з рівняння —-— = х множенням обох частин на
число 4).
4. Якщо до обох частин рівняння додати або відняти те саме число,
то отримуємо рівняння, рівносильне даному. Наприклад:
х + 2- 5х <=> х + 2 + 7 = 5х + 7; 5х + 2 = 0 <=> 5х + 2 - 2- 0 - 2.
5. Якщо до обох частин рівняння додати або відняти будь-яку функ-
цію, то отримуємо рівняння, рівнозначне даному за умови, що області
визначення отриманого і даного рівнянь збігаються. Наприклад:
х = 2 <=> х + х2 = 2 + х2; х3 + 5х = 8 + 5х <=> х3 = 8.
Сукупність рівнянь
Декілька рівнянь з однією змінною утворюють сукупність рівнянь,
якщо знаходяться такі значення змінної, кожне з яких задовольняє
принаймні одному з заданих рівнянь. Рівняння, що утворюють сукуп-
ність рівнянь, записуються у стовпчик за допомогою квадратної дуж-
ки. Наприклад,
х + 3 = 2х — 7
о або за допомогою знака «;» (крапка
х Нос і — 0
з комою). Наприклад, х + 3 = 2х - 7; х2 - 5х + 6 = 0.
Розв’ язанням сукупності рівнянь є об’єднання множин коренів рів-
нянь, які складають дану сукупність.
Наприклад, рівняння 2х(х - 1)(х2 - 7х + 12) = 0 рівносильне сукуп-
ності рівнянь:
2х = 0,
2х(х - 1)(х2 - 7х + 12) = 0 о
х — 1 = 0,
х2 - 7х +12 = 0.
Розв’язуючи кожне з рівнянь сукупності, отримуємо корені почат-
кового рівняння: х1-0; х2 = 1; х3 = 3; х4 = 4.
Класифікація алгебраїчних рівнянь
Рівняння Дх) = ф(х) називається алгебраїчним, якщо Дх), ф(х) —
алгебраїчні функції. До алгебраїчних функцій відносяться, наприклад,
цілі раціональні функції (многочлени), дробово-раціональні функції
(відношення двох многочленів), ірраціональні функції.
словник ф
Можна дати Інше визначен-
ня Ірраціонального рівнян-
ня, а саме: це таке рівняння,
в якому змінна знаходиться
під знаком радикала або під
знаком піднесення до дробо-
вого степеня.
62
Алгебра
Приклади алгебраїчних рівнянь:
2х + 5 = 1, х2 - х - 1 = 0, х3 - Зх - О,
——— = —, у/х + 1 = 3, у/х — 1 + у/х + 4 = 5.
х +1 2
Рівняння Дх) = ф(х) називається раціональним, якщо Дх) і ф(х) —
многочлени.
Рівняння Дх) = ф(х) називається дробово-раціональним, якщо Дх)
і ф(х) — раціональні функції, причому хоча б одна з них дробово-ра-
ціональна відносно змінної х.
Рівняння Дх) = ф(х) називається ірраціональним, якщо Дх) і ф(х) —
елементарні алгебраїчні функції і хоча б одна з них ірраціональна від-
носно змінної х.
Рівняння Дх) = ф(х) називається елементарним трансцендентним,
якщо Дх) і ф(х) — елементарні функції і хоча б одна з них трансцен-
дентна відносно змінної х.
Зауваження. Можна дати інше визначення ірраціонального рівнян-
ня, а саме: це таке рівняння, в якому змінна знаходиться під знаком
радикала або під знаком піднесення до дробового степеня.
Приклади алгебраїчних рівнянь різного виду:
1) х - 7 = 2, х2 - х = 0, х5 - 3 = 0 — раціональні рівняння з одним не-
відомим;
2) х2 - у2 - х - у — раціональне рівняння з двома невідомими;
Н-1 2х З
3) -----= 2,---=------- — дробово-раціональні рівняння;
х х +1 5х - 2
4) . 1 + Ух -1 = 2 —ірраціональне рівняння;
ух — 1
5) 2^ = 5,1ц х - -1, х'“'* = 10, зіпх = і — трансцендентні рівняння.
Лінійні рівняння і рівняння, що до них зводяться
Лінійним рівнянням з однією змінною х називається рівняння виду
а х-Ь, де а і & — задані числа; а називається коефіцієнтом при змінній
х, Ь — вільним членом.
Для лінійного рівняння а • х = Ь можливі три випадки:
1) а Ф 0. Тоді а х-Ь х - — — єдиний корінь рівняння.
а
2) а = 0, Ь - 0. Тоді рівняння а • х = Ь має вигляд 0 х = 0, що правиль-
но при будь-якому х, тобто коренем рівняння є будь-яке дійсне
число.
3) а = 0, Ь Ф 0. Тоді рівняння а • х = Ь має вигляд 0 • х = Ь, воно не має
коренів.
РІВНЯННЯ, які зводяться до лінійних
Рівняння виду:
а) - = &; б) - = &;
а х
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
63
в) ах + Ь = с; г) ах + Ь = сх + д;
„ ах + Ь т
д) ------ = —
сх + а п
зводяться до лінійних шляхом перетворень. Запишемо розв’язання цих
рівнянь:
а) — = Ь => х = а • Ь (а Ф 0); б) — = Ь <=> х = — (Ь Ф 0);
а х Ь
в) ах + Ь = с^>х = —--- (а Ф 0); г) ах + Ь = сх + <1 => х =-(а Ф с);
а а — с
х ах + Ь т тд — пЬ
д) ------= — => х =--------- (па - тс Ф 0).
сх + д п па — тс
Квадратні рівняння
Рівняння виду ах2 + Ьх + с - 0 (а Ф 0) називається квадратним рів-
нянням з однією змінною, де а — коефіцієнт при х2 (перший коефіцієнт),
Ь — коефіцієнт при х (другий коефіцієнт), с — вільний член.
Якщо Ь Ф 0, с Ф 0, то квадратне рівняння називається повним. Якщо
а- 1, то квадратне рівняння називається зведеним', якщо а Ф 1 — не-
зведеним. Незведене квадратне рівняння завжди можна перетворити на
зведене, поділивши обидві його частини на перший коефіцієнт а Ф 0:
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Незведене квадратне рівнян-
ня завжди можна перетвори-
ти на зведене, поділивши оби-
дві його частини на перший
коефіцієнт а # 0.
& С
ах2 + Ьх + с = 0<=>х2-\—х-ї— = 0 (а 0) — зведене квадратне рівняння.
а а
Зведені квадратні рівняння звичайно записуються у вигляді
х2 + рх + д = 0.
Корені квадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0 знаходять за формулою
-Ь±УІР
2а
де В-Ь2 - 4ас — дискримінант квадратного рівняння ах2 + Ьх + с - 0.
Якщо В < 0, то рівняння ах2 + Ьх + с - 0 не має дійсних коренів; якщо
В - 0, то хг - х2 - — і рівняння ах2 + Ьх + с - 0 має рівні корені (у цьо-
2а
ЗАПАМ'ЯТАЙ т
му випадку говорять, що рівняння має кратний корінь кратності два);
-Ь-х/Ь2 -Аас
1,2 — ~
2а
якщо В > 0, то рівняння ах2 + Ьх + с - 0 має два різних дійсних кореня.
Отже, В > 0 => х,2
—Ь ± \ІЬ2 — 4ас
2а
Теорема Вієта
Теорема Вієта формулюється таким чином: якщо зведене квадратне
рівняння х2 + рх + д = 0 має дійсні корені хг і х2, то їхня сума дорівнює
(-р), а добуток дорівнює тобто
Таким чином, сума коренів зведеного квадратного рівняння дорів-
нює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, а добуток
коренів дорівнює вільному члену.
64
Алгебра
Зауваження. Оскільки незведене квадратне рівняння завжди можна
перетворити на зведене, поділивши обидві його частини на коефіцієнт
при х2, то теорема Вієта для незведеного квадратного рівняння має
вигляд:
ах2 + Ьх + с - 0 =>
(а Ф 0).
З теореми Вієта для незведеного квадратного рівняння випливає,
що квадратний тричлен може бути розкладений на лінійні множники
у такий спосіб:
ах2 + Ьх + с = а(х - хг)(х - х2),
де х1; х2 — корені рівняння ах2 + Ьх + с = 0.
Двочленні рівняння
Алгебраїчне рівняння називається двочленним рівнянням, якщо
воно має вигляд х" - а = 0 (п є А).
У найпростішому випадку при а - 1 маємо х" - 1 = 0. Тоді:
а) при п - 1 х-1 = 0ох=1;
б) при п = 2х2-1 = 0<=>(х- 1)(х + 1) = 0 <=> хг - 1, х2 - -1;
в) при п = Зх3-1 = 0<=>(х- 1)(х2 + х+1) = 0<=>х=1 — єдиний дій-
сний корінь.
Можна показати, що у загальному випадку для двочленних рівнянь
х" - а = 0 справедливі такі твердження:
1) при будь-якому додатному а рівняння х" - а = 0 має:
а) при будь-якому непарному п (п = 2к - 1, к є А) тільки один
дійсний корінь х - ’у/а;
б) при будь-якому парному п (п- 2к, к є А) тільки два дійсних
корені хг - у[а, х2 - -у[а;
2) при а - 0 рівняння х" - а - 0 має тільки один корінь х - 0;
3) при будь-якому від’ємному а рівняння х" - а - 0 має:
а) при будь-якому непарному п (п = 2к - 1, к є А) тільки один
дійсний корінь х - ’у/а;
б) при будь-якому парному п (п- 2к, к є А) не має дійсних ко-
ренів.
Тричленні рівняння. Біквадратні рівняння
Алгебраїчне рівняння виду ах2" + Ьх" + с - 0 називається тричлен-
ним, якщо п > 2, п є А, а Ф 0, Ь Ф 0, с Ф 0.
При п - 2 тричленне рівняння ах4 + Ьх2 + с = 0 називається біквад-
ратним рівнянням.
Заміною змінної х" - і тричленне рівняння ах2" + Ьх" + с = 0 перетво-
рюється на квадратне аі2 + Ьі + с = 0.
Зокрема, для біквадратного рівняння ах4 + Ьх2 + с = 0 заміна х" - і
приводить його до квадратного рівняння аі2 + Ьі + с = 0.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
65
Цілі раціональні рівняння вищих степенів. Теорема Безу
Рівняння виду аох" + а,х" 1 + а2х" 2 + ... + ап_1х + а„ = 0 (п є А, а0 Ф 0)
є алгебраїчним рівнянням степеня п.
Якщо п - 1, то аох + Щ = 0 — лінійне рівняння.
Якщо п - 2, то а0х2 + а±х + а2 - 0 — квадратне рівняння.
Якщо п > 2, то рівняння називається рівнянням степеня вище дру-
гого, або рівнянням вищого степеня.
Алгебраїчне рівняння степеня п має не більш ніж п дійсних коренів.
Рівняння аох" + а,х" 1 + ... + а^х + а„ = 0 називається незведеним ці-
лим раціональним рівнянням (а0 ї 0, а0 ї 1).
Рівняння хП + р,х" 1 + ... + рп_±х + р„ - 0 називається зведеним цілим
раціональним рівнянням.
Позначимо Р„(х) = аох" + а,х" 1 + ... + ап_1х + ап. Для рівняння Р„(х) = 0
справедлива теорема Безу. многочлен Р„(х) ділиться без остачі на двочлен
(х - а) в тому і тільки в тому випадку, коли а — корінь многочлена Р„(х).
Зауваження. Теорема Безу нерідко формулюється таким чином: ос-
тача від ділення многочлена Р„(х) на двочлен (х - а) дорівнює значен-
ню цього многочлена Р,,(х) при х = а, тобто Р,,(а) = г, де г — остача від
ділення многочлена Р,,(х) на двочлен (х - а).
Якщо Р„(х) — многочлен з цілими коефіцієнтами, то будь-який ці-
лий корінь многочлена Р„(х) є дільником вільного члена ап. Наприклад,
х2-7х+12 — многочлен другого степеня; його коренями хг - 3, х2 = 4
є дільники вільного члена (числа 12).
Якщо нескоротний дріб — є коренем незведеного цілого раціо-
ч
пального рівняння з цілими коефіцієнтами аохп + аххп 1 + а2хп 2 + ...
+ ап_±х + ап - 0, то д є дільником старшого коефіцієнта а0, а р є дільни-
ком вільного члена ап.
Розв’язують рівняння вищих степенів, що мають хоча б один
цілий корінь, у такому порядку:
1) знаходять множину дільників вільного члена а„;
2) за теоремою Безу перевіряють, які з цих дільників є коренями
рівняння Р„(х) = 0;
3) діленням у стовпчик знаходять частку від ділення Р,,(х) на (х - хг~),
де хг — корінь рівняння Р„(х) = 0;
4) записують частку ф,, Дх) як многочлен степеня (п - 1):
Р (х)
—----= в^х) => Р„(х) = (х - х^^іх),
х — х±
де Дх) — многочлен степеня (п - 1);
5) визначають, якщо це можливо, корені многочлена Дх), які
є також коренями початкового рівняння.
Симетричні рівняння третього степеня
Раціональне рівняння третього степеня називається симетричним,
якщо воно має вигляд: ах3 + Ьх2 + Ьх + а = 0 (а Ф 0).
Для розв’язання цього рівняння перетворимо многочлен, що стоїть
у лівій частині рівняння, використовуючи розкладання многочлена
на множники. Маємо такий ланцюжок тотожних перетворень:
66
Алгебра
ах3 + Ьх2 + Ьх + а - ах3 + а + Ьх2 + Ьх- а(х3 + 1) + Ьх(х + 1) =
= а(х + 1)(х2 - х + 1) + Ьх(х + 1) =
= (х + 1) (х2 - х + 1) + Ьх] = (х + 1)[ах2 - ах + а + Ьх] =
= (х + 1) [ах2 + (Ь — а)х + а].
Звідси отримуємо:
ах3 + Ьх2 + Ьх + а - 0 <=> (х + 1) [ах2 + (Ь - а)х + = 0 <=>
х + 1 = 0
ах2 + (Ь — а)х + а — 0.
Маємо сукупність рівнянь, еквівалентну початковому кубічному
рівнянню. Розв’язки отриманої сукупності легко знаходяться, оскільки
вона містить лінійне і квадратне рівняння.
Симетричні рівняння четвертого степеня
Раціональне рівняння четвертого степеня називається симетричним,
якщо воно має вигляд ах4 + Ьх3 + ех2 + Ьх + а = 0 (а Ф 0).
Через те що а Ф 0, поділивши обидві частини на а, отримаємо
рівносильне рівняння
4 Ь о с „ Ь .
х н— х н— х н— х + 1 — 0 .
а а а
Згрупувавши перший член з останнім і другий з четвертим, отри-
маємо:
4 3 Сі, 4 &.0 .С0
х + 1 н—х н—х н—х — х + 1 н—х(х + 1) Н—X .
а а а а а
Зазначимо, що
Xі + 1 = (х2)2 + 1 = (х2)2 + 2 • х2 • 1 + І2 - 2х2 = (х2 + і)2 - 2х2.
Звідси отримаємо ланцюжок тотожних перетворень:
х4 + 1 + — х (х2 + 1) + — х2 = (х2 + 1) - 2х2 + — х (х2 + 1) + — х2 =
а ' ' а ' ' а 'а
— (х2 + 1) -І— х (х2 +1) — 2х2 -І— х2 —
у ' а у ' а
Ь2 4а(с-2а)'
4а2 а
4а(с - 2а) - Ь2
4а2 .
Ь2 - 4а(с - 2а) 2
4 2
4а
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
67
При а 0 маємо:
4 і з і Л | о Ьх ч
ах + Ьх + сх“ + ох + а = 0<=>х“-і-н 1
І 2а
Ь2 -4а(с- 2а)
4а2
х2 = 0.
Останнє рівняння нескладно розв’язати, тому що його розв’язання
зводиться до розв’язання більш простих рівнянь.
Розв'язання деяких неповних раціональних рівнянь
ВИЩИХ СТЕПЕНІВ
Розглянемо розв’язання деяких неповних раціональних рівнянь вищих
степенів, у яких вільний член дорівнює нулю. У подібного виду рівнянь
х - 0 завжди є коренем. Після винесення х за дужки у дужках може бути
отриманий множник, зрівнюючи з нулем який отримуємо рівняння степе-
ня на одиницю менше початкового, яке нерідко вдається легко розв’язати.
Зауваження. Іноді потрібно виносити за дужки не х, а х", де п > 1
(п є И).
Розв'язання раціональних і дробово-раціональних
РІВНЯНЬ МЕТОДОМ УВЕДЕННЯ НОВОЇ ЗМІННОЇ
Метод уведення нової змінної був використаний раніше при
розв’язанні тричленних рівнянь, однак цей метод з успіхом застосовуєть-
ся і при розв’язанні багатьох інших рівнянь, де можлива і корисна замі-
на змінної. Для закріплення цього методу розглянемо кілька прикладів.
Приклади
Розв’язати рівняння (х2 + х) - 8(х2 + х) +12 = 0.
Розв’язання. Поклавши х2 + х = і, отримуємо рівняння і2 - 8і + 12 = 0,
звідки знаходимо - 2; і2 - 6. Тепер задача звелася до розв’язання су-
купності рівнянь х2 + х = 2; х2 + х = 6, тобто
х2 + х — 2 = 0
х2 + х — 6 = 0
(а)
(б).
Рівняння (а) має корені хг = -2, х2 = 1; рівняння (б) має корені х3 = -З,
х4 = 2.
Відповідь-. -2; 1; -3; 2.
/ \2 / \
Т, , . І X ] X ]
Розв язати рівняння ---- - 5 ----- +6 = 0.
х + 1} х + 1}
Розв’ язання.
. х
Заміна -----— і зводить початкове рівняння до квадрат-
х +1
ного і2 - 5і + 6 = 0, корені якого: = 2, і2 = 3. Узявши £4 = 2 =>
=> —-— = 2 <=> х, = -2. Узявши В = 3 <=> —-— = 3 <=> х = - —.
х + 1 1 х + 1 “ 2
Відповідь-. -2;-----
2
68
Алгебра
= -1.
7
Розв язати рівняння —---
X + д
Розв’ язання. Заміна х2 + х + 1 = і зводить початкове рівняння до такого:
7^ 1 16^ + Х)
----------=-1 7(і+ 1)- 16і = -Ді + 1) &
і і +1
++ + 7 — 1б£ + і2 + і — 0 ++ і2 — 8і + 7 — 0 ++ — 1, ^2 — 7.
Узявши - 1, маємо х2 + х + 1 = 1<=>х2 + х = 0<=> х(х + 1) = 0 ++ х, = 0,
х2 = -1.
Узявши і2 - 7, маємо х2 + х + 1 = 7 <=>х2 + х- 6 = 0<=>х3 = -3, х4 - 2.
Відповідь-. 0; -1; -3; 2.
Розв’язати рівняння х2 + х + х 1 + х 2 -
27
4 ’
Розв’язання.
Уведемо заміну: х А- х 1 — х А--і. Тоді і2 - х н— = х2 + 2 н—- -
х \ 2) х“
х2 + х~2 + 2 => х2 + х~2 = і2 - 2. Початкове рівняння записується у вигляді
і2 А-і-2 = — ^і2 + і--= 0 <=> 4і2 + 4і - 35 = 0 а
4 4
-2± >/4+4 35 -2±12 10 5 14 7
1,“ 4 4 1 4 2 “ 4 2
5 1 5 х2 +1 5 „ , „ „
Узявши і. = -, маємо х н— = - <=>--= - <=> 2х“ + 2 = 5х <=>
2 х 2 х 2
<=> 2х2 - 5х + 2 = 0 <=> х, = 2, х2 = —.
2
7 1 7 х2+1 7
Узявши і„ , маємо х-— = =>------------= — <=>
2 х 2 х 2
„ , „ „ „ , „ „ „ -7±>/49-4-2-2 -7±л/зЗ
<=> 2х2 + 2 = -7х <=> 2х2 + 7х+2 = 0 <=± х., =-----=---------.
к“ 2-2 4
Відповідь-. 2; —;-----
2 4
Розв’язати рівняння (х + З)4 + (х + 5)4 = 16.
Розв’ язання.
Рівняння виду (х + а)2'1 + (х + Ь)2" - М (п є У, п > 1) розв’язуються
а + Ь ,
за допомогою заміни і-х^с-ха---------(с — середнє арифметичне
2
3 + 5
чисел а і Ь). Для рівняння (х + З)4 ++ (х + 5)4 = 16 маємо с =-= 4,
2
тоді робимо заміну і - х + 4, звідси х = і - 4, х + 3 = і- 4 + 3 = і-1.
х + 5 = і- 4 + 5 = і+1. Початкове рівняння записується у вигляді
(і-1)4 + (і + І)4 = 16. Застосовуючи трикутник Паскаля, отримуємо:
£4-4^ + 6£2-4і+1+^ + 4£3 + 6£2 + 4і+1 = 16±±
<+> 2Р + 12£2 + 2 = 16 <=> 2Р + 12£2 - 14 = 0 <+> Р + 6і2 - 7 = 0.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
69
Розв’язавши це біквадратне рівняння, отримуємо: 1, і2 = -1.
Узявши - 1, маємо х + 4 = 1 <=> х = -4 + 1 = -3.
Узявши і2 - -1, маємо х + 4 = -1 <=> х = -4 - 1 = -5.
Відповідь-. -3; -5.
Розв’язати рівняння Зх4 - 2х3 - 9х2 - 4х + 12 = 0.
Розв’ язання.
У даному рівнянні відношення першого коефіцієнта до вільного чле-
на і квадрата другого коефіцієнта до квадрата передостаннього рівні,
3 (-2)2 1
тобто — = Такі рівняння називаються зворотними. У за-
гальному випадку рівняння виду ах4 + Ьх3 + сх2 + дх + т-0 називається
а Ь2 п .
зворотним, якщо виконана умова — = —, т Ф 0. Оскільки х - 0 не є
т сР
розв’язком зворотного рівняння, то можна поділити обидві частини рів-
няння на х2 і після заміни змінних одержати квадратне рівняння. Поді-
4 12
ливши початкове рівняння на х2, отримаємо: Зх2 -2х -9-1—- - 0.
X х“
Групуючи доданки, маємо:
12 4 ( 4 \ 7 2 А
Зх2 + — - 2х---9 = 0 => 3 х2 + — - 2 х + — - 9 = 0.
ОС \ 0С~~" ) \ ос)
2
Поклавши х -і— = і, маємо:
х
( 2 V 4 4
#2= х + - = х2+4 + —х2+—7 = і2-4.
\ X) х“ х~
Таким чином, приходимо до рівняння
7
3(і2 - 4) - 21 - 9 = 0 Зі2 - 21 - 21 = 0 Л = 3, і2 = --.
Узявши - 3, маємо:
2 х2 + 2
х-\— = 3 <=>--= 3 <=> х2 + 2 = Зх <=> х2 - Зх + 2 = 0 <=> хх =1, х, =2.
7 2 7
Узявши і., =-, маємо: х -І— = <=>
З х З
<=> х+2 = _ 7 3(^2 + 2) = _7х о + Зх2 + 7х + 6 = 0.
х З
Через те що дискримінант цього рівняння _О = 72- 4 - 3 - 6 = 49- 72 =
= -23 < 0, воно дійсних коренів не має.
Відповідь-. 1; 2.
Рівняння, що містять змінну під знаком модуля
При розв’язуванні рівнянь, що містять змінну під знаком модуля,
найчастіше застосовують методи:
а) розкриття модуля за означенням;
б) піднесення обох частин рівняння до квадрата;
в) метод інтервалів (проміжків).
70
Алгебра
Згадаємо означення модуля:
її [х,х>0, . Г/(х),/(х) > 0,
1 1 [-х, х < 0. [-/(х), /(х) < 0.
Зазначимо властивості модуля, що нерідко використовуються
на практиці: |х| > 0, |х| > х, |хг/| = |х| • |г/|, |х|“ = х2,
|-/(х)| = |/(х)|.
Перш ніж почати розв’язувати рівняння з модулем, зазначимо, що
рівняння |/(х)| = а рівнозначне сукупності рівнянь
/(х) = а,
/(х) = —а
, якщо
а > 0. Якщо ж а < 0, то рівняння |/(х)| = а розв’язків не має.
Метод інтервалів (проміжків) при розв'язуванні рівнянь
з МОДУЛЯМИ
-2 4
Рис. 14
Цей метод полягає у такій послідовності дій:
1) зрівнюються з нулем вирази, що стоять під знаком модуля;
2) отримані значення позначають на числовій прямій, які при цьому
розбивають на інтервали (проміжки), у кожному з яких збері-
гається знак підмодульного виразу;
3) розв’язуються отримані рівняння в кожному з інтервалів.
На практиці метод інтервалів звичайно застосовується тоді, коли
рівняння містить більше одного модуля.
Розглянемо застосування методу інтервалів на конкретному прикладі.
Приклад. Розв’язати рівняння |х + 2| + |х - 4| = 5х - 20.
Розв’язання. х + 2 = 0<=4>х = -2; х-4 = 0<=>х = 4. Відмічаємо на чис-
ловій прямій точки х = -2 і х = 4. Ці точки розбивають пряму на три
інтервали (проміжки), у кожному з яких зберігається знак підмодуль-
ного виразу. Позначимо ці інтервали І, II, III, де І: х < -2; II: -2 < х < 4;
III: х > 4 (рис. 14).
Для інтервалу І маємо:
|х + 2| = —(х + 2) = —х — 2; |х — 4| = —(х — 4) = — х + 4.
Звідси отримаємо розв’язання рівняння у І інтервалі:
22
-х-2-х + 4 = 5х-20<=>-2 + 4 + 20 = х + х + 5х<=>22=7х<=>х = —.
7
22
Однак значення х не належить І інтервалу, де х < -2. Інак-
22
ше кажучи, — й (-<»;-2), звідси в І інтервалі початкове рівняння
|х + 2| + |х - 4| = 5х - 20 розв’язків не має.
Для II інтервалу: |х + 2| = х + 2, |х - 4| = -(х - 4) = -х + 4 => початкове
рівняння має вигляд:
26
х + 2 + (—х + 4) = 5х - 20 => 5х = 2 + 4 + 20 <=> 5х = 26 <=> х = — .
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
71
Однак — не входить до інтервалу -2 < х < 4, отже, у II інтервалі
5
початкове рівняння розв’язків не має.
Для III інтервалу: |х + 2| = х + 2, |х - 4| = х - 4, тоді початкове рів-
няння має вигляд:
х + 2 + х- 4 = 5х-20<=>2-4 + 20 = -х-х + 5х<=>18 = Зх<=>х = 6.
Через те що 6 входить у інтервал х > 4, х - 6 є розв’язком початко-
вого рівняння.
Відповідь-. 6.
Зауваження. Розв’язання можна записати, застосовуючи понят-
тя сукупності змішаних систем, тобто систем, що містять рівняння
і нерівності.
|х + 2| + |х — 4| = 5х — 20.
Маємо три інтервали — І: х < -2; II: -2 < х < 4; III: х > 4. Звідси
залежно від того, у якому інтервалі ми шукаємо розв’язок, початкове
рівняння рівнозначне сукупності таких змішаних систем:
[х < — 2 Г-2 < х < 4
[—(х + 2) — (х — 4) = 5х — 20; [х + 2 — (х — 4) = 5х — 20;
х > 4
х + 2 + х — 4 = 5х — 20,
-2 < х < 4
26
х > 4
х = 6.
Перша і друга системи розв’язків не мають (це означає, що в І і II ін-
22 26
тервалах розв’язків немає), тому що — й (-°°; - 2), — й [-2; 4], а третя
7 5
система має розв’язок х = 6.
Відповідь-. 6.
ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Ірраціональними називаються рівняння, у яких змінна міститься
під знаком кореня (радикала) або під знаком піднесення до дробового
словник
степеня.
Приклади ірраціональних рівнянь:
л/1 — х = 3; >/х^ + л/х®" = 5; у]х — 5 = х — 7; \[х + і]х — 1 = —1;
1 2 1
х3 + 4 = 0; (х - 1)б + (х — 2)5 =15;
І Г . „з/ з" . оз/ 7
\х +2ух +8ух .
Ірраціональними назива-
ються рівняння, у яких змінна
міститься під знаком кореня
(радикала) або під знаком
піднесення до дробового сте-
пеня.
Основні методи розв'язування ірраціональних рівнянь
1. Метод піднесення обох частин рівняння до одного і того самого
степеня. 2. Метод уведення нових змінних. Іноді застосовують також
різні штучні прийоми.
При розв’язуванні ірраціональних рівнянь методом піднесення обох
частин до парного степеня можуть з’явитися сторонні (зайві) корені.
Ці корені можуть з’явитися за рахунок того, що при піднесенні обох
частин початкового рівняння Дх) = ф(х) до парного степеня отримує-
72
Алгебра
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Причиною появи сторонніх
коренів, крім піднесення обох
частин рівняння до парно-
го степеня, може бути також
будь-яка заміна (нееквівален-
тне перетворення), яка ви-
конується, наприклад, у ході
розв'язування рівняння, що
містить кубічні радикали.
мо рівняння, що є наслідком не тільки рівняння Дх) = ф(х), але і рів-
няння Дх) = -ф(х), ОСКІЛЬКИ І (Дх))“ = (ф(х)Г. 1 («X ))“ = (-ф(х))“. Якщо
рівняння Дх) = -ф(х) має корені, то саме вони є сторонніми коренями
початкового рівняння Дх) = ф(х). Так, наприклад, візьмемо рівняння
>/х - 5 = х - 7 . При піднесенні обох частин цього рівняння до квадрата
отримуємо
(у]х — б) = (х - 7)“ <=> х - 5 = х2 - 14х + 49 <=> х2 - 15х + 54 = 0.
Коренями цього рівняння є числа хг = 9, х2 = 6. Однак хг - 9 є ко-
ренем рівняння \Іх - 5 = х- 7,ах2 = 6є стороннім коренем (очевидно,
що х2 = 6 є коренем рівняння у/х - 5 = -(х-7) = 7-х, тобто є коренем
рівняння Дх) = —ф(х), якщо початкове рівняння є Дх) = ф(х)).
Причиною появи сторонніх коренів, крім піднесення обох час-
тин рівняння до парного степеня, може бути також будь-яка заміна
(нееквівалентне перетворення), яка виконується, наприклад, у ході
розв’язування рівняння, що містить кубічні радикали.
При розв’язуванні ірраціонального рівняння, що містить парні
степені радикалів, буває корисним знаходження множин В допусти-
мих значень змінної (ОДЗ — область допустимих значень). Це може
полегшити розв’язання початкового рівняння. При цьому знайдені при
розв’язуванні рівняння значення невідомих, що не належать множині
В, є сторонніми. Однак ті знайдені корені, що належать В, необхідно
перевіряти, тому що і вони можуть бути сторонніми (це можливо в тому
випадку, якщо в процесі розв’язування рівняння виконувались неекві-
валентні перетворення).
Звідси випливає, що в переважній більшості випадків знайдені
корені ірраціонального рівняння необхідно перевіряти. Винятки
складають тільки випадки, коли на всіх етапах розв’язування почат-
кового рівняння виконувались тільки еквівалентні (рівнозначні) пе-
ретворення. Однак при цьому доводиться, як правило, розв’язувати
нерівності. Таким чином, потрібно або робити перевірку знайдених
коренів, підставляючи їх значення до початкового рівняння, або в про-
цесі розв’язування початкового рівняння робити тільки еквівалентні
перетворення, які не можуть привести ні до втрати коренів, ні до на-
буття сторонніх коренів.
Перш ніж розглядати основні методи розв’язування ірраціональ-
них рівнянь, розглянемо деякі нескладні ірраціональні рівняння, при
розв’язанні яких основні методи не застосовуються.
Метод піднесення обох частин початкового рівняння
до того самого степеня
Цей метод полягає у такій послідовності дій:
а) підносять обидві частини початкового рівняння до того самого
степеня, відокремивши один із радикалів;
б) з урахуванням тотожностей \у/а І = а (де а > 0, якщо п — парне;
а є В, якщо п — непарне) отримують рівняння Дх) = ф(х);
в) розв’язують рівняння Дх) = ф(х) і роблять перевірку, яка здій-
снюється за допомогою підстановки знайдених значень змінної
у початкове рівняння.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
73
Зауваження 1. Якщо виконуються лише еквівалентні перетворення
початкового рівняння, то перевірку робити не потрібно.
Зауваження 2. При натуральному п рівняння
2уі/(х) = §(х) <=>
/(*) = (£(х))2"
> 0.
Необхідно враховувати, що нерідко записують:
2уі/(х) = §(х) <=>
/(*) = (£(х))2"
< §(х) > 0
Дх) > 0.
Остання форма запису розв’язку рівняння 2>/Дх) = §(х), що містить
зайву нерівність Дх) > 0, як правило, легше засвоюється, ніж попередня,
тому що вона більш наочна і включає ОДЗ (Дх) > 0).
Зауваження 3.
>//(*) = у]§(х) <=>
Дх) > 0
< §(х) >0 <=>
/(х) = §(х)
/(х)>0 Г^(х)>0
Дх) = §(х) \/(х) = §(х)
З наведених вище трьох систем вибирають звичайно ту, де прості-
ше розв’язати нерівність (Дх) > 0 або §(х) > 0). Якщо ж обидві нерів-
ності Дх) > 0 і §(х) > 0 розв’язати нескладно, то можна вибрати першу
систему, яка, хоча і містить одну зайву нерівність, є більш наочною,
ніж друга або третя системи.
Зауваження 4. Якщо точніше, то
1 - х > 0
(\]х + 11) = (1 - х)2
Хоча така форма запису розв’язання (без х+11>0)іє більш корот-
кою, однак вона менш наочна.
Розв’язати рівняння \)х - 20 = 2.
Розв’язання. Піднесемо обидві частини початкового рівняння до
шостого степеня, отримуємо: х - 20 = 2е, звідки х = 20 + 2е = 20 + 64 = 84.
Перевірка. Підставивши х = 84 у початкове рівняння, отримуємо:
>/84 - 20 = ^64 = 2 , тобто 2 = 2 — правильна рівність => х = 84 є коренем.
Відповідь-. 84.
Розв’язати рівняння і)х - 1 + >/Зх - 1 = у/х + 1 .
Розв’язання. ОДЗ початкового рівняння — уся числова пряма, тобто
х є В. Піднесемо обидві частини початкового рівняння до куба:
(</х-1 + ^Зх-1)3 = (</х + і)3 (</х - і)3 +З(^х-1)2 • </Зх-1 +
+ 3</х-1 • (^Зх-1)2 + (^Зх-1)3 = х + 1 о
<=> х - 1 + 3>/х - 1 • >/Зх - 1 • (у/х - 1 + у/Зх - 1) + Зх -1 =
= х + 1 о 3^(х - 1)(3х - 1) • (</х-1 + З/Зх-1) =
— — х + 1 — Зх + 1 + х + 1 — —3(х — 1).
74
Алгебра
Замінимо вираз у/х - 1 + ^Зх -1 , що є лівою частиною почат-
кового рівняння, правою частиною початкового рівняння, тобто:
у/х - 1 + у/Зх - 1 = у/х + 1 . Дістанемо 3^(х - 1)(3х - 1) • у/х + 1 = -3(х - 1).
Поділимо обидві частини останнього рівняння на 3 і піднесемо їх
до куба:
(х - 1)(3х - 1)(х + 1) = -(х - І)3 <=> (х - 1) (Зх - 1)(х + 1) + (х - І)3 = 0 <=>
<=> (х - 1) [(Зх - 1)(х + 1) + (х - І)2 ] = 0 а
х — 1 = 0 (а)
(Зх - 1)(х + 1) + (х - І)2 = 0 (б)
В отриманій сукупності рівнянь рівняння (а) має корінь х- 1,
а рівняння (б) еквівалентне такому: Зх2 + 3х-х-1 + х2--2х + 1 = 0 <=>
<=> 4х2 = 0<=>х2 = 0<=>х = 0.
Перевірка. При х = 1: >/х -1 + >/Зх -1 = \/1 -1 + >/3 1-1 = 0 + ^2 =
у/х + 1 = VI + 1 = ; ^2 = у/2 => х = 1 є коренем початкового рівняння.
При х = 0: Ух-1 + </Зх-1 = ^0-1 + ^3 0 - 1 = -1 - 1 = -2;
у/х + 1 = ^0 + 1 = 1, -2^1=>х = 0 є стороннім коренем.
Цей сторонній корінь (х = 0) з’явився в результаті заміни лівої части-
ни початкового рівняння на не рівну їй тотожно праву частину, тобто
використання умови початкового рівняння не приводить до рівняння,
еквівалентного початковому.
Відповідь-. 1.
Наведені вище приклади показують, що знаходження ОДЗ рівняння
не позбавляє від необхідності робити перевірку отриманих в результаті
розв’язування рівняння коренів. Ця перевірка, як уже відзначалося,
є зайвою тільки у тих випадках, коли в процесі розв’язування рівняння
застосовуються тільки еквівалентні перетворення.
Як уже відзначалося, знаходити ОДЗ іноді буває корисним і мож-
на навести чимало прикладів, коли знання ОДЗ істотно спрощує
розв’язування.
Приклад. Розв’язати рівняння у/Зх + 4 + у/х - 4 = 2у[х.
Розв’язання. Знайдемо множину В — область допустимих значень
(ОДЗ) початкового рівняння.
В :
Зх + 4 > 0
х - 4 > 0
х > 0
При піднесенні обох частин початкового рівняння до квадрата
отримуємо:
Зх + 4 + 2у/3х + 4 • у/х - 4 + х - 4 = 4х <=>
<=> 2у](3х + 4)(х - 4) = 4х-Зх-4-х + 4<=>
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
75
Перевірка. Через те що хг - й В , він є стороннім коренем почат-
кового рівняння.________
При х - 4: д/Зх., + 4 + ^х2 - 4 = >/3 • 4 + 4 + >/4-4 = >/16 + >/0 = 4,
2^/хГ = 2^/хГ = 2>/4 = 22 = 4, 4 = 4 => х2 = 4 є коренем початкового рів-
няння. Таким чином, знаходження ОДЗ виявилося корисним, тому що
< • 4
дозволило не робити перевірку стороннього кореня х{ = , що не на-
лежить ОДЗ. Відповідь-. 4.
Метод уведення нових змінних
15 ос І ос і З
Розв’язати рівняння В---------н І----- 2.
у х + З V 5 — х
Розв’язання. Зробимо заміну змінної: І - л-----.
у х + З
Тоді Д------
V 5 — х
5-х
7,
5-х
= і 1 = — . Звідси отримуємо:
7
у.2 , -і
= 2<^і2 + 1 = 2£ <^і2 - 2і + 1 = 0 о - І)2 = 0 <=> * = 1.
Через те що використовуються тільки еквівалентні перетворення,
початкове рівняння рівнозначне такому:
5-х 5-х
х + 3 х + З
<=> 5 - х =
= х + 3<=>5-3 = х + х<=><=>2 = 2х<=>х=1.
І & _
Перевірка. Оскільки рівняння Д-----= 1 рівнозначне початковому,
у х + З
то знайдений корінь можна не перевіряти або перевіряти підстановкою
__ X
до рівняння Д----= 1 . При х = 1 маємо:
у х + З
є коренем рівняння І-------= 1, отже, і початкового рівняння,
у х + З
Відповідь-. 1.
Розв’язати рівняння \]х2 - Зх + 5 = -х2 + Зх + 7.
Розв’язання. Перетворимо початкове рівняння до вигляду
>/х2 - Зх + 5 + х2-Зх-7=0<=> 4х2 - Зх + 5 + (х2 - Зх + б) - 12 = 0.
Поклавши >/х2 - Зх + 5 - і , маємо: і2 + і - 12 = 0 <=> і1 = 3, 12 = -4.
Узявши - 3, маємо: >/х2 -Зх + 5 = 3<=>х2-Зх + 5 = 9<=>х2-Зх-4 = 0<=>
<=> X! = 4, х2 = -1.
76 Алгебра
Узявши і2 = -4, отримаємо л/х2 -Зх + 5 = -4 => х є 0 , тому що корінь
парного степеня є числом невід’ємним.
Перевірка. Оскільки початкове рівняння еквівалентне рівнянню
>/х2 - Зх + 5 = 3 , то корені можна перевіряти підстановкою до рівняння
>/х2 - Зх + 5 = 3 . Ця підстановка показує, що хг = 4, х2 = -1 є коренями
цього, отже, і початкового рівняння.
Відповідь-. 4, -1.
Розв’язання. В > 0. Перетворимо вираз, який стоїть у лівій частині
початкового рівняння.
з з
Поклавши х10 = і > 0, отримаємо х5
Звідси початкове рівняння при і > 0 еквівалентне рівнянню
і2 - 26і = 27 <=> і2 - 26і - 27 = 0 <=> іг = 27, і2 = -1. Через те що І > 0, і2 = -1
є стороннім коренем. Узявши = 27, маємо
з
X10 = 27
10
ґ — А’з’
х10
10
(27)3 <=> х
10
= (з3)т = З10 = 59049.
Перевірка. Оскільки початкове рівняння еквівалентне рівнян-
3
ню х10 = 27 , то перевірку можна робити, підставляючи х = 59049
З з З
у це рівняння. При х = 59049 х10 =(59О49)10 =(з10)10 =33 = 27 =^х = 59049
з
є коренем рівняння х10 = 27 , отже, і початкового рівняння.
Відповідь-. 59049.
Розв’язати рівняння ^х3" + 2л/х - д/х3" = 0.
Розв’язання. ОДЗ початкового рівняння х > 0. Зазначимо, що
Зробивши заміну у[х = і > 0, отримаємо
Р + 2Р - Р = 0 Р(і + 2 - і2) = 0 а
Р = о р4 = о рі = о
# + 2-#2=0 #2-#-2 = 0 р, = 2, £3 = -1.
Поклавши = 0, матимемо Цх = 0 <=> хг = 0.
Поклавши і2 = 2, матимемо \[х = 2 <=> х2 = 28 = 256.
Оскільки і > 0 => і3 = -1 є стороннім коренем.
Перевірка. При х1 = 0: ^О3" + 2л/о - л/о3" = 0 + 0- 0 = 0=>0 = 0=>Х! = 0
є коренем.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
77
При х2 = 256: ^2565 = 2^256 - ^2563 = ^(28)5 + 2 16 - ^(28)3 =
= 25 + 32 - 2е = 32 + 32 - 64 = 0 => 0 = 0 => х2 = 256 є коренем.
Відповідь'. 0; 256.
Розв’язати рівняння >/х3 + х2 -1 + >/х3 + х2 +2 = 3.
Розв’язання. Поклавши у[х8 + х2 - 1 = і > 0 , отримаємо х3 + х2 - 1 = і2 <=>
<=> х3 + х2 = і2 + 1. Приходимо до рівняння і + >/#2 +1 + 2 = 3 <=> у/і2 +3 = 3-і.
Зазначивши, що 3 - і > 0, піднесемо обидві частини останнього рівняння
до квадрата.
і2 + 3 = (3 - і)2 = 9 - 6і + і2 і2 + 3 - 9 + 6і - і2 6і - 6 = 0 і = 1.
Поклавши і - 1, отримаємо л/х3 + х2 - 1 = 1. При піднесенні до квад-
рата маємо: х3 + х2 - 1 = 1 <=> х3 + х2 - 2 = 0. Через те що х = 1 є коренем,
то, поділивши у стовпчик х3 + х2 - 2 на х - 1, отримаємо:
х3 + х2 - 2 І х - 1
2х2 - 2
2х2 - 2х
_2х- 2
2х- 2
0
Звідси:
х3 + х2 - 2 = (х - 1)(х2 + 2х + 2) = 0 <=>
х — 1 = 0 (а)
х2 + 2х + 2 = 0 (б).
З (а) маємо, що х - 1 = 0 <=> х = 1. З (б) маємо х2 + 2х + 2 = 0 <=> х є 0,
тому що дискримінант В = 22 - 4 12 = 4- 8= -4<0.
Перевірка. При х- 1:
уіх8+х2-1 + >/х3+х2+2 = >/13+12-1 + >/13 + І2 + 2 =
у/ї + уі4 = 1 + 2 = 3=>3=3=>х = 1 є коренем.
Відповідь'. 1.
а3
до
Розв’язати рівняння
Розв’язання. Зробимо заміну: я— + х = и , я— -х -V. Тоді и + V - 1,
, 2 V 2
1 5 1 5 5 1 1
= —н х , V =---х, и + о = —нх-і—
2 2 2 2
п’ятого степеня, користуючись трикутником Паскаля:
Піднесемо (и + о)
(и + о)5 - и8 + 5и4и + 10и3о2 + 10и2о3 + 5шР + Vі -
- и8 + V5 + 5ии (и8 + V8) + 10и2о2 (и + о);
и + V — 1, [и + о)5 = І5 = 1, и8 + V5 = 1 =>
=^1 = 1 + 5ио(и3 + о3) + 10и2о2 <=> 5ио(и3 + о3) + 10и2о2 = 0 <=>
78
Алгебра
$=> 5ир(и3 + V3 + 2ии) = О
ир = О
и3 + V3 + 2ио - О
(а)
(б).
Розглянемо рівняння (б):
(і2 - Зир)
+ 2ир = 0 <=> 1 - Зир + 2ир = 0 <=> ир = 1 =>
-а 1 1
Відповідь'. —; —
2 2
Штучні методи розв'язування ірраціональних рівнянь
Розв’язати рівняння у4х2 + 6х + 6 + у]4х2 - 6х + 6 = 6х.
Розв’ язання. Оскільки добуток взаємно спряжених чисел дорівнює
різниці квадратів (а + Ь)(а -Ь) = а2 - Ь2, то, помноживши обидві частини
початкового рівняння на вираз
§(х) — \І4х2 + 6х + 6 — \І4х2 — 6х + 6,
отримаємо:
\І4х2 + 6х + 6 + >/4х2 — 6х + 6^>/4х2 + 6х + 6 — у/4х2 — 6х + 6
= 6х ^4х2 + 6х + 6 — >/4х2 — 6х + 6 <=>
<=> (4х2 + 6х + 6) - (4х2 - 6х + 6) =
6х(>/4х2 + 6х + 6 — >/4х2 — 6х + 6^ <=> 12х =
= 6х[у/4х2 + 6х + 6 — 6х + 6 — лІ4х2 — 6х + 6^ <=>
<=> 6x^2 - \І4х2 + 6х + 6 + >/4х2 - 6х + б) = 0 <=>
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
79
6х = 0, (а)
2 — у/4х2 + 6х + 6 + лІ4х2 — 6х + 6 = 0 (б)
З рівняння (а) маємо хг - 0.
З (б) маємо \І4х2 + 6х + 6 - >І4х2 - 6х + 6 = 2. Додавши це рівняння
до початкового, отримаємо:
2\І4х2 + 6х + 6 = 6х + 2 = 2 (Зх + 1).
Поділимо обидві частини на 2 і піднесемо обидві частини до квадрата:
4х2 + 6х + 6 = (Зх + І)2 = 9х2 + 6х + 1 <=> 5х2 = 5 <=> х2 = 1 <=> х2 = 1, х3 = -1.
Перевірка. Підставляючи знайдені значення хг - 0, х2 = 1, х3 = -1
у початкове рівняння, переконуємося, що йому задовольняє тільки
значення х2= 1. Звідси х- 1 — єдиний корінь початкового рівняння.
Відповідь-. 1.
Системи рівнянь
Кілька рівнянь з двома (або більше) змінними утворюють систему
рівнянь, якщо ставиться завдання знайти множину спільних розв’язків
цих рівнянь. Систему двох рівнянь з двома змінними позначають фі-
гурними дужками і звичайно записують у вигляді
/1(х,у) = ^1(х,у)
/2(х,у) = £2 (х,у).
Множина упорядкованих пар, трійок (у випадку систем із трьома
змінними) тощо значень змінних, які перетворюють на істинну рів-
ність кожне рівняння системи, називається розв’язанням системи
рівнянь.
Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або
довести, що розв’язків немає. Система називається сумісною, якщо
вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жод-
ного розв’язку.
Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має скінченне
число розв’язків, і невизначеною, якщо вона має нескінченну множину
розв’язків.
Дві системи називаються рівносильними, якщо вони мають ту саму
множину розв’язків.
Система рівнянь називається лінійною, якщо всі рівняння, що вхо-
дять до системи, є лінійними. Якщо система з п лінійних рівнянь міс-
тить п невідомих, то можливі такі випадки:
1) система не має розв’язків;
2) система має рівно один розв’язок;
3) система має безліч розв’язків.
Не розв’язуючи систему лінійних рівнянь, можна визначити кіль-
кість її розв’язків за коефіцієнтами при відповідних змінних. Так, для
системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими
а{х + Ь{у = сх
< маємо:
а.,х + Ь„у — с„
80
Алгебра
а) якщо — —, то система має єдиний розв’язок; геометрично
а2 ^2
цей розв’язок ілюструється як точка перетину двох прямих,
що є графіками рівнянь системи;
аі С1 ,
б) якщо — = — Ф —, то система не має розв язків; у цьому випадку
а, Ь., а,
прямі є графіками рівнянь системи, паралельні і не збігаються;
ах Ьг сг
в) якщо — = — = — , то система має нескінченну множину
а, Ь., а,
розв’язків; у цьому випадку прямі збігаються.
Основні методи розв'язування систем рівнянь
1. Метод підстановки.
2. Метод алгебраїчного додавання (або метод перетворення системи).
3. Метод заміни змінних.
При розв’язуванні системи методом підстановки спочатку з будь-
якого рівняння виражають одну змінну через іншу. Отриманий вираз
підставляють в інше рівняння системи, у результаті чого приходять до
рівняння з однією змінною, потім розв’язують це рівняння і знаходять
відповідне значення другої змінної.
При розв’язуванні системи методом алгебраїчного додавання пере-
ходять від даної системи до рівносильної їй системи, у якій одне з рів-
нянь містить тільки одну змінну. При цьому звичайно множать одне або
обидва рівняння на числові множники таким чином, щоб коефіцієнти
при х або у були однаковими, але з протилежними знаками.
Приклади
\2х + 5у — 12
Розв’язати систему рівнянь (
[Зх - 4г/ = -5.
Розв’язання. Розв’яжемо початкову систему двома способами: ме-
тодом підстановки і методом алгебраїчного додавання.
[2х + 5у — 12 (а)
Перший спосіб (метод підстановки). (
Зх — 4г/ = — 5 (б)
12 - 2х 1
З рівняння (а) у -------.
5
Підставляючи в рівняння (б), отримаємо:
(12 — 2хі
Зх - 4 ------ = -а о 15х - 48 + 8х = -25 <=> 23х = 23 <=> х = 1,
І 5 )
12 -2х 12-2 „
У =-------=------= 2.
5 5
Отже, остаточно х = 1, у - 2.
Другий спосіб (метод алгебраїчного додавання). Помножимо перше
рівняння системи на 3, а друге на -2 і додамо:
2х + 5г/ = 12
Зх — 4г/ = —5
6х + 15г/ = 36
—6х + 8 г/ = 10
6х + 15г/ - 6х + 8г/ = = 36 + 10 <=>
<=> 23у = 46 <=> у = 2, х = 12 5у
12-10
2
= 1, остаточно х = 1, у - 2.
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
81
Зазначимо, що розв’язування початкової системи методом підста-
новки можна було б здійснити, використовуючи тільки рівносильні
перетворення і символ <=>.
2х + 5у — 12
Зх — 4г/ = —5
12-2х
5
(12-2х}
I 5
12 -2х Г 12-2х г
У-----У =-------------------7--)у = 2
5 О і 5 <=> /
15х-4(12-2х) = -25 |х = 1 = 1
Відповідь-. (1; 2).
Розв’язати систему
х + у — 7
х2 + у2 = 25.
Розв’язання. Розв’язуємо систему методом підстановки. З першого
рівняння системи у - 7 - х, підставивши в друге рівняння системи за-
мість у вираз 7-х, отримаємо:
у — 7 — х
< X2 + (7 - х)2 = 25.
З другого рівняння системи знаходимо х:
х2 + (7 - х)2 = 25 о х2 + 49 - 14х + х2 = 25 о 2х2 - 14х + 24 = 0 о
<=> х2 - 7х + 12 = 0 => X! = 3, х2 = 4.
Тому дана система має два розв’язки:
уІ = 7 — х, = 7 — 3 = 4
б)
У 2 = 7 - Х2 = 7 - 4 = 3
х, = 4.
Таким чином, хг = 3, уг = 4; х2 = 4, у2 = 3.
Зазначимо, що розв’язування початкової системи з використанням
тільки рівносильних перетворень і сукупності систем можна оформити
у такий спосіб:
х + у = 7
х2 + у2 = 25
У — Ч — х у — 7 — х
х2+(7-х)2=25 |х2 - 7х + 12 = 0
х = З
У = 4
х = 4
г/ = 3.
Відповідь-. (3; 4); (4; 3).
Розв’язати систему
х2 — ху + у2 = З
х3 + у3 = 9.
Розв’язання, х3 + у3 = (х + г/)(х2 - ху + у2). Оскільки х2 - ху + + у2 = 3 (це
перше рівняння початкової системи), то (х + г/) • 3 = =9 <=> х + у-3. Таким
чином, ми отримали рівняння першого степеня (лінійне рівняння), що
разом з першим рівнянням початкової системи утворює нову систему:
82
Алгебра
х + у — З
х2 — ху + у2 = З
у — 3 — х
х2 — х (3 — х) + (3 — х)“ = З
у — 3 — х
х2 — Зх + 2 = О
Відповідь-. (1; 2), (2; 1).
Розв’язати систему
х + у 2х + у
4 12
х + у 2х + у
х = 1
У = 2
х = 2
У = 1-
Розв’язання. Розв’язуємо систему рівнянь методом заміни змін-
„ 1 1
них. Поклавши и -----, V ------, приходимо до системи рівнянь:
х + у 2х + у
2и + 9о = 2
. Помноживши перше рівняння останньої системи на (-2)
4о - 12г = -1
і додавши до другого рівняння, отримаємо:
-4н - 18г? = -4
4и - 12у = -1
—ЗОг = —5 => о = —.
6
Тоді и - 1(2 - 9г) = 1(2- 1 “ Отже, маємо систему рівнянь, рів-
носильну початковій:
1 1
х + у 4 Гх + г/ = 4
< <=> ( => (2х + у) - (х + у) = 6 - 4 <=> х = 2,
1 1^ |2х+г/ = 6
2х + у 6
г/ = 4- х = 4- 2 = 2. Відповідь-. (2; 2).
Розв’язати систему <
х + у + ху = 9.
Розв’язання. ОДЗ:
У
У
ху > 0 <=> х та у — обидва додатні
або обидва від’ємні. У першому рівнянні системи зробимо заміну:
Тоді і —
1 3 #2-1
і
іг = 2, і2
2
1.
2
З
і 2
2і2 -2 = Зі ^2і2 -Зі-2 = 0
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
83
Оскільки і > 0, то і2 - - — є стороннім коренем.
IX X
і = 2, тоді — = 2<=> — = 4<=>х = 4у. Таким чином, отримаємо сис-
\х — 4у
тему, рівносильну початковій: (
[х + у + ху — 9.
Підставивши х - 4у у друге рівняння останньої системи, отримаємо:
9
4г/+ У + ^У • г/ = 9 <=> 4г/2 + 5у - 9 = 0 <=> г^ = 1, г/2 = —
г/і = 1 =$ *1 = 4у1 = 4;
9 л л ( 9
г/2 = — = 4//2 = 4 1 —
/ 9 і
Відповідь'. (4; 1), -9;-------.
9
4
= -9.
Однорідні системи рівнянь
Система двох рівнянь з двома змінними називається однорідною,
якщо ліві частини її рівнянь, що містять змінні, є однорідними много-
членами степеня п від двох змінних. Таким чином, однорідна система
з двома змінними має вигляд:
аохп + а{х" 'у + а2хп 2у2 + ... + ап_1хуП 1 + апуп — а
Ьохп + і^х" 'у + Ь,2х"2у2 + ... + Ьп ^у" ' + Ьпуп = Ь.
Однорідні системи розв’язуються за допомогою застосування методів
алгебраїчного додавання і введення нових змінних.
Приклади
Розв’язати систему <
2х2 + ху — у2 =0
х2 — Зху + у2 = —1.
Розв’язання. Ліві частини обох рівнянь системи — однорідні мно-
гочлени другого степеня від змінних х і у. Якщо в першому рівнянні
системи покласти х = 0, то отримаємо:
202 + 0г/ — г/2 = 0<=>г/2 = 0<=>г/=0.
Однак пара (0; 0), що є розв’язком першого рівняння системи,
не задовольняє другому рівнянню, тому що 02 - 3 0 0 + О2 = 0 Ф -1.
Звідси х Ф 0, і тому можемо обидві частини першого рівняння системи
поділити на х2 Ф 0 (це не приведе до втрати коренів). Поділивши обидві
частини першого рівняння системи на х2, отримаємо:
Зробивши заміну — = і, отримаємо і2 - і - 2 = 0 <=> і = 2,і„ = -1.
х
Тоді — = 2 <=> у = 2х (х Ф 0) або — = -1 <=> у = -х (х Ф 0).
84
Алгебра
Таким чином, початкова система рівносильна сукупності двох сис-
тем рівнянь:
у — 2х, у — —х,
<
х2 — Зху + у2 — —1; х2 — Зху + у2 — — 1.
Перша з цих систем має два розв’язки: хх - 1, уг = 2; х2 = -1, у2 - -2.
Друга система несумісна. Звідси (1; 2), (-1; -2) — розв’язок почат-
кової системи.
Відповідь-. (1; 2); (-1; -2).
Розв’язати систему
х2 - Зху + у2 - -1
Зх2 — ху + Зу2 — 13.
Розв’язання. Помножимо перше рівняння на 13 і додамо до другого
рівняння:
13х2 - 39хг/ + 13г/2 = —13
+ Зх2 — ху + Зу2 = 13
16х2 - 40хг/ + 16г/2 = 0
Поділивши обидві частини отриманого рівняння на 8, маємо:
2х2 - 5хг/ + 2г/2 = 0. Таким чином, отримаємо систему рівнянь, рівно-
сильну початковій:
х2 — Зху + у2 = —1
2х2 — 5хг/ + 2г/2 = 0.
Друге рівняння останньої системи можемо поділити на х2 Ф 0 (х Ф 0,
оскільки якщо покласти х = 0, то отримаємо у = 0, а пара (0; 0) не задо-
вольняє першому рівнянню останньої системи).
і \ / \2
2х2 - 5ху + 2у2 = 0 : х2 0 о 2-5 -М + 2 -Н = 0.
\х} \х)
У •>
Поклавши — = і, отримаємо: 2#“ - 5£ + 2 = 0 <=> ^ = 2, Д
х
Тоді — = 2 <=> у = 2х або — = і <=> х = 2г/.
х х 2
2
Тому початкова система рівносильна сукупності систем:
х2 - Зху + у2 = -1 х2 - Зху + у2 = -1
у = 2х х — 2у
Перша система має розв’язки (1; 2), (-1; -2); друга система — (2; 1),
(-2; -1).
Відповідь-. (1; 2); (-1; -2); (2; 1); (-2; -1).
Симетричні системи рівнянь
Вираз Дх, у) називається симетричним, якщо при заміні х на у,
у на х він не змінюється.
Приклади симетричних виразів: Дх, у) - х + у; /(х, у) = х2 + г/2;
Дх, у) = х3 + г/3; Дх, у) - у]х2 + у2 + ху; /(х, у) - 2х2 + 5хг/ + 2г/2.
Вирази (х + у) і ху називаються основними симетричними много-
членами з двома змінними. Усі симетричні вирази з двома змінними
виражаються через основні симетричні многочлени. Наприклад:
Алгебраїчні рівняння і системи рівнянь
85
х2 + ху + у2 - (х + у)2 - ху; х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху;
х3 + у3 - (х + г/)(х2 - ху + у2) -
— (х + г/) ((х + г/)2 — Зхг/) = (х + г/)3 — 3 (х + г/) ху.
Симетричною системою рівнянь називається система, усі рівняння
якої симетричні. Розв’язувати симетричну систему можна, наприклад,
за допомогою заміни змінних, де новими змінними є основні симетричні
многочлени.
Приклади
Розв’язати систему
Розв’ язання.
Xі + 6х2г/2 + г/4 = 136
х3г/ + хг/3 = ЗО.
х4 + 6х2г/2 + у4 — (х2 + г/2) + 4х2г/2 = ((х + у)2 — 2ху} + 4(хг/)2,
х3 у + ху3 — ху(х2 + у2) — ху ((х + у)2 — 2ху}.
Зробимо заміну х + у - и, ху -V, тоді задана система зводиться до
такої:
[и2 - 2о) + 4гт = 136 (а)
и(и2 —2о)= ЗО. (б)
ЗО
З рівняння (б) останньої системи и2 - 2о = — ; підставляючи в (а),
V
отримаємо:
+ 4о2 = 136 —— + 4о2 = 136
V"
а 4г/ - 136о2 + 900 = 0 о г/ - 34о2 + 225 = 0.
Розв’язуючи це біквадратне рівняння, знаходимо: о = ±5; о = ±3.
З (б) и2 - 2 г? = — <=> и2 = 2 г? + —.
V V
Підставляючи знайдені значення V, отримаємо: о = 5 => н2 = 16 <=>
<=> н = ±4; V - 3 => и2 - 16 <=> и - ±4; (для V - -5, V - -3 дійсних значень
и не існує).
Звідси відносно и, V система має розв’язки:
и{ — 4 и,, — — 4 и3 — 4 и4 — — 4
н1 = 5 г?, = 5 г?3 = 3 о4 - 3.
Таким чином, початкова система рівносильна сукупності систем:
х + у — 4 Гх + г/ = —4 Гх + г/ = 4 Гх + г/ = —4
ху — 5 [ху — 5 [ху — 3 [ху — 3.
Перша і друга системи розв’язків не мають, третя система має
розв’язок (1; 3); (3; 1), четверта система має розв’язок (-1; -3), (-3; -1).
Відповідь: (1; 3); (3; 1); (-1; -3); (-3; -1).
86
Алгебра
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Розв’яжіть рівняння х2 - 6х + 8 = 0 та знайдіть різницю між більшим і меншим коренем.
1)1; 2)2; 3)3; 4)4.
2. Розв’яжіть рівняння 4х2 - 5>/2х + 2=0 та знайдіть частку від ділення більшого кореня на
менший корінь.
1)72; 2)2; 3)4; 4)8.
3. Розв’яжіть рівняння х2 - 2х + 2л/з - 3 = 0 та знайдіть різницю між більшим і меншим коренем.
1) 2-2л/3; 2) 2>/3; 3)2; 4)2>/3-2.
4. Розв’яжіть рівняння |х —1| = З та знайдіть суму коренів.
1)4; 2)2; 3)0; 4)-2.
5. Розв’яжіть рівняння їх2 - Зх + 2І = 2 та знайдіть суму коренів.
1)-1; 2)0; 3)1; 4)3.
6. Розв’яжіть рівняння хв - 9х3 + 8 = 0.
1) 2; 4; 2)4; 3) 1; 2; 4; 4) 1; 2.
[х + у = 9,
7. Розв’яжіть систему рівнянь < та знайдіть х + 2у.
[х — у = З
1)2; 2)4; 3)6; 4)12.
[2х + у = 7,
8. Розв’яжіть систему рівнянь < та знайдіть х + у.
[Зх — у = — 2
1)1; 2)5; 3)6; 4)11.
9. Запишіть квадратичне рівняння, корені якого дорівнюють квадратам коренів рівняння
ах2 + Ьх + с.
1) сх2 + Ьх + а = 0; 2) а2х2 + (2ас - Ь2)х + с2 = 0;
3) сх2 + (2ас + Ь2)х + а = 0; 4) а3х2 + (Ь3 - ЗаЬс)х + с3 = 0.
10. Не розв’язуючи рівняння ах2 + Ьх + с = 0, корені якого — хг і х2, знайдіть х,2 + х22.
.. Ь2 — 2ас Ь2 — 2ас Ь2 + 2ас .. Ь2 + 2ас
1) ; 2) -------; 3) -------; 4) ------.
а“ с“ а“ с“
11. Рівняння уі2х - 9 = \/б - х рівносильне рівнянню:
1) </^" + ^ = 10; 2) л/^ = л/2-х;
3) ^2х-4 = 2; 4) ^Лх = 2.
12. За якої умови рівняння ах + Ь = 0 не має розв’язків?
1) а Ф 0; 2) а = 0; Ь = 0; 3) а = 0; Ь Ф 0; 4) а Ф 0; Ь = 0.
13. Скільки розв’язків має система
X3 + у3 = 7;
ху(х + у) = —2 ?
1) Жодного; 2) один; 3) два; 4) три.
14. Скільки раціональних коренів має рівняння х3 - Зх2 + х + 1 = 0?
1) Жодного; 2) один; 3) два; 4) три.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 2. 5. 4. 6. 4. 7. 4. 8. 3. 9. 2. 10. 2. 11. 1. 12. 3. 13. 3. 14. 2.
АЛГЕБРАЇЧНІ НЕРІВНОСТІ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Нерівності з однією змінною (основні поняття). Лінійні нерівності і нерівності, які зво-
дяться до лінійних. Системи і сукупності нерівностей з однією змінною. Геометрична інтер-
претація нерівностей. Нерівності другого степеня. Графічне розв’язування нерівностей другого
степеня. Розв’язання раціональних нерівностей методом інтервалів. Метод заміни змінної при
розв’язуванні раціональних нерівностей. Нерівності з модулем. Ірраціональні нерівності.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Нерівності з однією змінною (основні поняття)
Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить
одну незалежну змінну. Нерівності зі змінними називають іноді функ-
ціональними нерівностями.
Нехай дано нерівність з однією змінною Дх) > §(х) (замість знака «>»
можуть бути знаки «<», «<», «>»). Областю визначення нерівності Дх) > §(х)
називається переріз областей визначення функцій Дх) і §(х). Розв’язком
нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова
нерівність зі змінною перетворюється на правильну числову нерівність.
Розв’язати нерівність зі змінною означає знайти всі її розв’язки або до-
вести, що розв’язків немає. Дві нерівності з однією змінною називаються
рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збіга-
ються; зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків.
При розв’язуванні нерівностей користуються такими основними
теоремами про рівносильність нерівностей.
1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із
протилежним знаком, то отримаємо нерівність, рівносильну початковій.
2. Якщо до обох частин нерівності Дх) > §(х) додати (або відняти)
будь-яку функцію ф(х), то отримаємо нерівність, рівносильну почат-
ковій за умови, що області визначення отриманої і початкової нерів-
ностей збігаються.
3. Якщо обидві частини нерівності Дх) > §(х) помножити (або поді-
лити) на будь-яку функцію ф(х), яка зберігає сталий знак і відмінна від
нуля, то при ф(х) > 0 отримаємо нерівність, рівносильну початковій,
а при ф(х) < 0 рівносильною початковій буде нерівність протилежного
знака (передбачається, що області визначення отриманої і початкової
нерівностей збігаються).
Таким чином, можемо записати:
Дх) > §(х) <=> Дх) • ф(х) > §(х) ф(х), якщо ф(х) > 0;
Дх) > §(х) <=>-^7 > ^77, якщо ф(х) > 0;
ф(х) ф(х)
Дх) > §(х) <=> Дх) • ф(х) < §(х) ф(х), якщо ф(х) < 0;
Дх) > §(х) <=> Д—7 < ^7, якщо ф(х) < 0.
ф(х) ф(х)
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Нерівністю з однією змін-
ною називається нерівність,
що містить одну незалежну
змінну. Нерівності ЗІ змінни-
ми називають Іноді функціо-
нальними нерівностями.
88
Алгебра
Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше
замість функції ф(х) береться її окремий випадок — відмінна від нуля
константа.
Лінійні нерівності і нерівності, які зводяться до лінійних
Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність вигля-
ду ах > Ь (або ах < Ь, ах < Ь, ах > Ь).
Якщо а > 0, то нерівність ах > Ь х > — <=> х є | —;оо
а \ а
Якщо а < 0, то нерівність ах > Ь <=> х < — <=> х є | -оо; —
а \ а
Якщо а = 0, то нерівність набуває вигляду 0 • х > Ь і вона правильна
для будь-якого х є (-оо; оо), якщо Ь < 0, і не має розв’язків, якщо Ь > 0.
Нерівностями, які зводяться до лінійних, назвемо такі нерівності:
ах + Ь > 0 (або ах + Ь > 0, ах + Ь < 0, ах + Ь < 0), ах + Ь > сх + д
(або ах + Ь > сх + д, ах + Ь < сх + д, ах + Ь < сх + д).
У цих нерівностях ліва і права частини є лінійними функціями від-
носно х. Такі нерівності у процесі перетворень зводяться до лінійних.
Приклади
Розв’язати нерівність 2х + 3 < х - 8.
Розв’ язання. 2х + З < х - 8 <=> 2х - х < -3-8 <=> х < -11 <=>
<=> X Є (-оо; -11]. Відповідь’. X Є (-оо; -11].
—х - 2х > -30 - 10
( 40 і
=> X Є -оо;--- .
І 3 )
Відповідь-, х є
Розв’язати нерівність 3(х + 2) - 4(х - 6) > 2(х - 5).
Розв’язання. 3(х + 2) - 4(х - 6) > 2(х - 5) <=> Зх + 6 - 4х + 24 > 2х - 10 <=>
<=> -х + 30 > 2х - 10 <=>-х - 2х > -30 - 10 о -Зх > -40 <=>
-40 40 ( 40Л
-З З V з)
У процесі розв’язування нерівності ми розкрили дужки, а далі вико-
ристали теореми про рівносильність нерівностей. Варто звернути увагу
. . „ . -40 .
на те, що нерівність -Зх > -40 рівносильна нерівності х < ——, оскільки
при діленні на від’ємне число потрібно змінити знак на протилежний.
’ З Г
Розв’язати нерівність-----< 2х + 1.
2 3
Розв’язання. Розглянемо кілька форм запису розв’язування почат-
кової нерівності.
Перша форма запису.
х „ Зх — 2х
- — < 2х + 1 <=>---------
З
6(2х +1)
6
<=> Зх - 2х < 12х + 6 <=> х - 12х < 6 <=> -11х < 6 <=>
Алгебраїчні нерівності
89
У процесі розв’язування нерівності ми звели ліву і праву частини
початкової нерівності до спільного знаменника, тобто до числа 6, а потім
застосували теореми про рівносильні нерівності.
Друга форма запису.
—- —< 2х + 1 <=> бґ—1 < 6(2х + 1) <=>
2 3 \ 2 3 )
а Зх-2х< 12х + 6 <=> х - 12х <6 а-11х< 6 а
У процесі розв’язування ми спочатку помножили обидві частини
початкової нерівності на 6, а потім застосували властивості нерівностей
(теореми про рівносильні нерівності).
Третя форма запису.
х „ „ Зх —2х —12х
— - 2х < 1 <=>------------< 1 <=>
З 6
—11х
6
6
11
У процесі розв’язування початкової нерівності всі невідомі були
перенесені до лівої частини нерівності, а в правій частині залишилися
тільки сталі. Далі вираз ліворуч було зведено до спільного знаменника,
а потім використані теореми про рівносильні нерівності.
п-а -а ( 6 1
Відповідь', х є---; °° .
І И )
Зауваження. Відповіді до нерівностей не обов’язково давати з ви-
користанням теорії множин. Так, цілком допустимо дати відповідь
6
у ВИГЛЯДІ X >----.
Розв’язати нерівність —-— ---> 1,5х -1,1.
4,2 + 2х
Розв’язання. --------> 1,5х -1,1 <=> 4,2 + 2х > 3(1,5х -1,1) <=>
о 4,2+ 2х > 4,5х-3,3 о 2х - 4,5х >-3,3 - 4,2 о
—7 5
-2,5х > -7,5 о х < —— о х < 3.
-2,5
У процесі розв’язування початкової нерівності обидві частини її були
помножені на число 3, а потім застосовані теореми про рівносильні не-
рівності. Як вже відзначалося, відповідь можна подати або у формі
х < 3, або у формі х є (—оо ; 3).
Відповідь', х < 3.
Системи і сукупності нерівностей з однією змінною
Декілька нерівностей з однією змінною утворюють систему нерівнос-
тей, якщо ставиться задача про відшукання всіх тих значень змінної,
які задовольняють одночасно кожній з цих нерівностей (тобто якщо
відшукуються всі спільні розв’язки початкової нерівності).
90
Алгебра
Декілька нерівностей з однією змінною утворюють сукупність не-
рівностей, якщо ставиться задача відшукати всі ті значення змінної,
кожне з яких задовольняє хоча б одній з цих нерівностей.
Значення змінної, при якому кожна нерівність системи перетво-
рюється на правильну числову нерівність, називається розв’ язком сис-
теми нерівностей.
Дві системи нерівностей називаються рівносильними, якщо вони
мають спільну множину розв’язків, які задовольняють ці нерівності.
Рівносильність систем нерівностей позначається так само, як і рівно-
сильність систем рівнянь.
Очевидно, що розв’язком системи нерівностей є переріз розв’язків
нерівностей, які утворюють систему, а розв’язком сукупності не-
рівностей є об’єднання розв’язків нерівностей, які утворюють су-
купність.
Якщо нерівності /Дх) > £Дх) і /2(х) > £2(х) утворюють систему не-
рівностей, то їх записують у стовпчик за допомогою фігурної дужки:
/і(х) > ^(х),
/2(х) > §2(х).
Так, наприклад, запис
Зх + 5 > 2,
означає, що нерівності Зх + 5 > 2
4х-5<15
і 4х - 5 < 15 утворюють систему нерівностей.
Подвійна нерівність §(х) < /(х) < ф(х) еквівалентна (рівносильна)
системі нерівностей, тобто
§(х) < /(х) < ф(х)
/(х) > §(х),
/(х) < ф(х).
Наприклад,
х + 1 < -5
х +1 > —7
-7 < х + 1 <-5.
Якщо нерівності /Дх) > £Дх) і /Дх) > §2(х) утворюють сукупність
нерівностей, то їх записують або у стовпчик за допомогою квадратної
дужки, або у рядок за допомогою знака «;». Наприклад:
/ (х) > § (х)
!. ' , \ > ^(*); /2(*) > £2(*)-
Т2\Х) > §2 \Х)
Декілька систем нерівностей з однією змінною утворюють сукуп-
ність систем нерівностей, якщо ставиться задача відшукати всі ті
значення змінної, кожне з яких задовольняє хоча б одній з цих систем.
Геометрична інтерпретація нерівностей
х>а
а х
Рис. 15
Розв’язки нерівностей можна показати геометрично на числовій осі.
Так, якщо ми маємо строгу нерівність х > а, то геометрично ця множина
відображається у вигляді тієї частини числової прямої, яка лежить пра-
воруч від точки з абсцисою х = а. При цьому праворуч від точки х = а
наносять штриховку (рис. 15), а саму точку х = а звичайно зображають
у вигляді світлого кружка (говорять, що точку х- а «виколюють»).
х > а
х є (а; оо).
Алгебраїчні нерівності
91
Якщо маємо нестрогу нерівність х < Ь, то на числовій осі наносять
штриховку ліворуч від точки х - Ь (рис. 16), при цьому точку х - Ь зви-
чайно зафарбовують чорним кольором.
х < Ь х є (-оо; Ь].
х<Ь
>
Ь х
Рис. 16
При розв’язуванні систем лінійних нерівностей, що складаються
з двох нерівностей, можна зображати розв’язки за допомогою двох або
однієї числової осі, за допомогою дуг чи без них, наносячи штриховки,
які мають різний кут нахилу відносно числової прямої, внизу або вгорі
або тільки вгорі (внизу) чи без них.
Приклади
Розв’язати систему нерівностей
геометричну інтерпретацію.
Розв’ язання.
2х -1 < З
Зх + 2 > -7’
використовуючи
2х -1 < З
Зх + 2 > -7
Г2х < 1 + З
[Зх > -2 - 7
2х < 4
Зх > -9
х < 2
х > -3.
Дамо чотири варіанти геометричної інтерпретації прикладу 1.
Перший варіант (з використанням двох числових осей).
На одній числовій прямій позначаємо всі ті значення х, при яких
виконується перша нерівність системи, а на другій числовій прямій,
розташованій під першою, — усі ті значення х, при яких виконується
друга нерівність системи (рис. 17). Порівняння цих двох результатів
показує, що обидві нерівності одночасно будуть виконуватися при усіх
значеннях х, що розташовані від -3 до +2, тобто
Рис. 17
-3<х<2<=>хє [-3; 2).
Другий варіант (з використанням однієї числової осі і штриховок
внизу і вгорі осі).
На числову вісь наносимо штриховки, розташовані вище і нижче
числової прямої, і знаходимо переріз розв’язків нерівностей, які утво-
рюють початкову систему.
2х — 1 < 3 Гх < 2
Зх + 2 > -7 [х > -3.
За допомогою координатної прямої (рис. 18) знаходимо, що множина
розв’язків початкової системи є півінтервалом [-3; 2).
Третій варіант (з використанням однієї осі, дуг і штриховок).
2х — 1 < 3 Гх < 2
Зх + 2 > -7 [х > -3.
На числову вісь наносимо задані множини х < 2 і х > -3 за допомо-
гою дуг і штриховок з різним кутом нахилу до координатної прямої
(рис. 19). Шукана множина зображена подвійною штриховкою за до-
помогою накладання двох штриховок.
Четвертий варіант (з використанням однієї осі і дуг).
2х — 1 < 3 Гх < 2
Зх + 2 > -7 | х > -3.
Рис. 19
92
Алгебра
гь
-З 2
Рис. 20
Рис. 21
На числову вісь наносимо задані множини х < 2 і х > -3 за допомогою
лише одних дуг, а штриховку наносимо лише там, де задані множини
перетинаються (рис. 20).
Відповідь', х є [-3; 2).
[4х + 3 < 7
Розв язати систему нерівностей (
[2х + 1 > 5.
Розв’ язання.
Г4х + 3<7 Г4х<7 —З Г4х < 4 Гх < 1
[2х +1 > 5 [2х >5 — 1 [2х >4 [х > 2.
Таким чином, будь-яке число, що задовольняє обом нерівностям
одночасно, повинне бути менше 1 і більше 2 (рис. 21). Але таких чисел
не існує. Тому дана система нерівностей не виконується при будь-яких
значеннях х, тобто х є 0. Про такі системи кажуть, що вони несумісні
(геометрично це означає, що немає накладання штриховок).
Відповідь'. 0.
[2х + 1 > 7
Розв’язати систему нерівностей (
[Зх - 1 < 8.
Розв’ язання.
2х + 1 > 7
Зх - 1 < 8
х > З
х < 3.
Зображуючи дані множини за допомогою дуг і штриховок (рис. 22),
бачимо, що обидві нерівності будуть одночасно виконуватися тільки
при х = 3.
Відповідь'. 3.
Розв’язати сукупність нерівностей
Розв’ язання.
4х + 3 < 7
2х + 1 > 5.
4х + 3 < 7
2х +1 > 5
х < 1
х > 2.
Рис. 24
За допомогою числової прямої (рис. 23) знаходимо, що розв’язком
заданої сукупності є множина, що складається з двох напівнескінчен-
них інтервалів, тобто
X < 1
’ <=> х є (—оо; 1) ЦІ (2; оо).
х > 2
Відповідь', х є (-оо; 1) □ (2; оо).
Розв’язати сукупність нерівностей
Розв’ язання.
2х +1 < 7
Зх -1 < -1
прямої (рис. 24) знаходимо, що
2х + 1 < 7
Зх-1<-1.
х < З
За допомогою координатної
х < 0.
розв’язком початкової сукупності не-
рівностей є напівнескінченний інтервал (-оо; 3).
Відповідь', х є (—оо ; 3).
Розв’язати сукупність нерівностей
2х -1 < З,
Зх + 2 > -7.
Алгебраїчні нерівності
93
Розв’язання.
2х +1 < З, І х < 2
Зх + 2 > -7, |х > -З
За допомогою числової прямої (рис. 25) знаходимо, що розв’язком
заданої сукупності нерівностей є вся числова пряма, тобто х є (-<х>;<х>).
Відповідь-, х є (—00*00^.
Рис. 25
Нерівності другого степеня
Нехай потрібно розв’язати нерівність ах2 + Ьх + с > 0 (аналогічні мір-
кування проводяться при розв’язуванні нерівностей ах2 + Ьх + с > О,
ах2 + Ьх + с < 0, ах2 + Ьх + с < 0). У залежності від знака дискримінанта
квадратного тричлена В = Ь2 - 4ас потрібно розглянути два випадки.
1) Якщо В < 0, а старший коефіцієнт а додатний, то при всіх зна-
ченнях х виконується нерівність ах2 + Ьх + с > 0.
2) Якщо В > 0, то для розв’язання нерівностей виду ах2 + Ьх + с > О
потрібно розкласти квадратний тричлен ах2 + + Ьх + с на множники за
формулою ах2 + Ьх + с - а(х - хД(х - х2), потім поділити обидві частини
нерівності а(х - хг)(х - х2)> 0 на число а, зберігаючи знак нерівності, якщо
а > 0, і змінюючи знак нерівності на додатний, якщо а < 0, потім перейти
до нерівності (х - х,)(х - х2) > 0. Далі використовують той факт, що добуток
двох чисел додатний, якщо співмножники мають однакові знаки (якщо
(х - хД(х - х2) < 0, то співмножники мають протилежні знаки).
Зауваження. Нерівності другого степеня звичайно розв’язують або
графічно, або методом інтервалів. Однак наведені вище способи також
мають право на існування, тому що вони досить прості і наочні.
Графічне розв'язування нерівностей другого степеня
Як відомо, графіком квадратичної функції у - ах2 + Ьх + с є парабола
з вітками, напрямленими вгору, якщо а > 0, і вниз, якщо а < 0 (іноді
кажуть, що парабола напрямлена опуклістю вниз, якщо а > 0, і опук-
лістю вгору, якщо а < 0). При цьому можливі три випадки: парабола
перетинає вісь Ох (тобто рівняння ах2 + Ьх + с = 0 має два різні корені);
парабола має вершину на осі Ох (тобто рівняння ах2 + Ьх + с = 0 має один
корінь, так званий подвійний корінь); парабола не перетинає вісь Ох
(тобто рівняння ах2 + Ьх + с = 0 не має дійсних коренів). Таким чином,
можливі шість положень параболи.
Використовуючи графічні ілюстрації, можна розв’язувати квадрат-
ні нерівності. Графік параболи можна будувати чисто схематично, не
шукаючи координати вершин (якщо В Ф 0) і точку перетину з віссю Оу.
Приклади
Розв’язати нерівність х2 - х - 6 < 0.
Розв’язання. Розглянемо функцію у - х2 - х - 6. Графіком цієї функції
є парабола, вітки якої напрямлені вгору, тому що а = 1 > 0. Розв’яжемо
рівняння х2 - х - 6 = 0. Його корені: хг - -2, х2 = 3. Отже, дана парабо-
ла у - х2 - х - 6 перетинає вісь Ох у точках з абсцисами хг - -2, х2 = 3.
Зобразивши схематично параболу у - х2 - х - 6 (рис. 26), знаходимо,
що у < 0 якщо х є [-2; 3]. Шукана множина на рис. 26 заштрихована.
Відповідь-, х є [-2; 3].
94
Алгебра
у = -2х2 + Зх + 2
Рис. 27
Розв’язати нерівність -2х2 + Зх + 2 > 0.
Розв’язання. Розглянемо функцію у - -2х2 + Зх + 2. Її графіком
є парабола, вітки якої напрямлені вниз (парабола напрямлена опук-
лістю вгору), тому що а = -2 < 0.
-2х2 + Зх + 2 = 0 <=> хг
-1 х -2
2 2
Зобразивши схематично параболу у - -2х2 + Зх + 2, знаходимо,
що у < 0 у кожному з нескінченних проміжків: (2; °°).
Шукана множина заштрихована на рис. 27.
Відповідь-, х є |-°о; - — | ЦІ (2, °о).
Розв'язання раціональних нерівностей
МЕТОДОМ ІНТЕРВАЛІВ
Нерівності виду
р (х) > о (Р (х) < 0, Р (х) > 0, Р (х) < 0),
Р(х) ; оґ Р(х) ;0 Р(х) Р(^)
Ч,(*) /
де Р„(х), <£т(х) — многочлени відповідно степенів піт, тобто
Р (х) = а„х" + а.х" 1 + а,х" 2 + ... + а ,х + а ,
п ' ' 0 1 2 п-1 п1
(д (х) = Ь.х'" + Ь.х'" 1 + Ь,х"' 2 + ... + Ь .х + Ь ,
' 0 1 2 т-1 т7
(х - а) < 0 (х - а) > О
а
Рис. 28
звичайно розв’язують методом інтервалів (методом проміжків). Цей
метод зручний, наприклад, для розв’язування нерівностей такого виду:
Зх
х(х + 1) > 0, ---<0, (х - 1)(х - 2)(х - 5) < 0,
х — З
х2 + 5х + 6 > (х — 1)(х — 3)(х — 5) <
х2 - 5х - 6 ’ (х + 1)(х + 3)
В основі методу інтервалів лежить така властивість двочлена х - а:
точка х = а поділяє числову вісь на дві частини — праворуч від точки
а двочлен х - а > 0, а ліворуч від точки а маємо (х - а) < 0 (рис. 28).
Нехай потрібно розв’язати нерівність (х - аг)(х - а2)...(х - а„) > 0, де
а1г а2,... а„ — фіксовані числа, серед яких немає рівних, причому такі,
що Щ < а2 < ... < ап_х < а„. Для розв’язання нерівності (х -а^х - а2)...
(х - а„) > 0 методом інтервалів поступають таким чином: на числову
вісь наносять числа а1; а2,..., а„_1, а„; у проміжку праворуч від найбіль-
шого з них, тобто числа ап, ставлять знак «плюс», у наступному за ним
справа наліво інтервалі ставлять знак «мінус», потім — знак «плюс»,
потім знак «мінус» і т. д. Тоді множина всіх розв’язків нерівності
(х - щ)(х - а2)...(х - ап) > 0 буде об’єднанням усіх проміжків, у яких пос-
тавлений знак «плюс», а множина розв’язків нерівності (х - аг)(х - а2)...
(х - а„) < 0 буде об’єднанням усіх проміжків, у яких стоїть знак «мінус».
Алгебраїчні нерівності
95
Зауваження 1. На практиці серед двочленів зустрічаються вирази
(а, - х), у цьому випадку праворуч від найбільшого числа х - ап вже не
обов’язково буде стояти знак «плюс». Тому нерівності, де в лівій частині
зустрічаються двочлени виду (а, - х), найкраще розв’язувати у такий
спосіб: знайти знак лівої частини виразу в якомусь одному з інтервалів,
не обов’язково крайньому праворуч, а далі в сусідніх інтервалах будуть
протилежні знаки.
Зауваження 2. Зміну знаків лівої частини нерівності зручно ілюст-
рувати за допомогою хвилеподібної кривої («кривої знаків»), проведеної
через позначені точки вище або нижче від числової осі у відповідності
зі знаком нерівності в розглянутому проміжку.
Зауваження 3. Наведені вище міркування справедливі
і для нерівностей виду Дх) < 0, Дх) > 0, Дх) < 0, де Дх) має вид
(х — аД(х — а,)...(х — а )
/(х) = ----г------—------При цьому числа щ, а2, ап_г, а„, Ьг,
(х-Ь1){х-Ь2)...{х-Ьк)
Ь2, ..., Ьк_г, Ьк попарно різні. Зміни знаків функції Дх) ілюструються
за допомогою «кривої знаків».
Приклади
Розв’язати нерівність (х- 1)(х- 3) > 0.
Розв’язання. Многочлен Дх) = (х - 1)(х - 3) перетворюється на нуль
у точках х- 1, х = 3. Ці точки розбивають координатну пряму на про-
міжки (-оо; 1); (1; 3); (3; +<х>), усередині кожного з яких функція Дх)
зберігає знак. Оскільки в проміжку (3; +°о) співмножники (х - 1), (х - 3)
додатні, то й їхній добуток додатний, тобто Дх) > 0. Позначимо проміжок
(3; +оо) знаком «+». Далі знаки в проміжках чергуються. Проводимо че-
рез визначені точки «криву знаків» (рис. 29). Ілюстрацію за допомогою
«кривої знаків» розуміємо таким чином: на тих проміжках, де «крива
знаків» проходить вище координатної прямої (де ставиться знак «+»),
виконується нерівність Дх) > 0; на тих проміжках, де крива проходить
нижче прямої (де знак «-»), виконується нерівність Дх) < 0. У результаті
знаходимо, що розв’язком початкової нерівності є об’єднання проміжків:
(-оо; 1), (3; +оо). Ця множина на рис. 29 заштрихована.
Відповідь-, х є (-оо; 1) □ (3; +<х>).
Розв’язати нерівність (2 - х)(х + 1)(х - 4) < 0.
Розв’язання. Наносимо на числову вісь точки х - 2; х = -1; х = 4
(рис. ЗО). Оскільки розв’язуємо нестрогу нерівність, то точки х = 2;
х = -1; х = 4 фарбуємо темним кольором (ставимо темні кружки).
Узявши, наприклад, в інтервалі (-1; 2) точку х = 0, визначаємо знак
лівої частини початкової нерівності: (2 - 0)(0 + 1)(0 - 4) = -8 < 0. Звідси
при х є [-1; 2] маємо (2 - х)(х + 1)(х - 4) < 0. Провівши «криву зна-
ків», визначаємо знак лівої частини початкової нерівності у кожно-
му з проміжків. Множина, що дає розв’язки початкової нерівності,
є об’єднанням проміжків: [-1; 2]; [4; +<х>). Ця множина заштрихована
на рис. ЗО.
Відповідь-, х є [-1; 2] ЦІ [4; °о).
96
Алгебра
Метод заміни змінної при розв'язуванні
РАЦІОНАЛЬНИХ НЕРІВНОСТЕЙ
Деякі нерівності зручно розв’язувати, застосовуючи метод заміни
змінної (метод підстановки).
Приклад
Розв’язати нерівність (х2 - х)2 - 8(х2 - х) + 12 < 0.
Розв’язання. Зробивши заміну змінної і - х2 - х, отримаємо
і2 - 8і + 12 < 0. Коренями рівняння і2 - 8і + 12 = 0 є - 2, і2 - 6.
Звідси І2 - 8і + 12 = (і - 2)(і -6)<0<=>2<і<6.
Оскільки і - х2 - х, то отримаємо
2 < х2 - х < 6
х2 - х > 2 (а)
х2 — х < 6 (б).
Розв’язуємо нерівність (а):
х2-х>2<=>х2-х-2>0<=>(х + 1)(х - 2) > 0
Розв’язуємо нерівність (б):
х2-х<6<=>х2-х-6<0<=>(х + 2)(х - 3) < 0 <=> -2 < х < 3.
Звідси
(х2 - х)2 - 8(х2 - х) + 12 < 0
х2 — х > 2,
х2 — х < 6
► Зобразимо отримані множини за допомогою двох координатних пря-
х мих (рис. 31). З рис. 31 бачимо, що розв’язком початкової нерівності
Рис. 31
є об’єднання множин (-2; -1), (2; 3).
Відповідь', х є (-2; -1)ЦІ (2; 3).
Нерівності з модулем
При розв’язуванні нерівностей, що містять змінну під знаком
модуля, використовується означення модуля функції:
/(х), /(х) > 0
-/(х), /(х) < 0.
Можна також користуватися властивостями модуля, зокрема,
такими, як:
|/(х)| > 0; |/(х) • £(х)| = |/(х)| • |£(х)|; |/(х)|2 = (/(х))2;
/(х)
/(х)
§(х) §(х)
|-/(х)| = |/(х)|; |/(х)| > І£(х)| <=> (/(х))“ > (£(х))“
(аналогічні властивості для нерівностей мають місце, якщо в останній
рівносильності є знак «<», «<», «>»).
Алгебраїчні нерівності
97
Іноді використовується геометрична інтерпретація модуля, відповід-
но до якої |х - а| є відстань на числовій прямій між точками х і а.
Нерівність виду |/(х)| < а <=> -а < /(х) < а , якщо а > 0; якщо а < 0, то
нерівність |/(х)| < а розв’язків не має.
Нерівність виду |/(х)| > а <=>
Дх) > а,
/(х) < —а,
якщо а > 0; якщо а < 0,
то розв’язком нерівності |Дх)| > а є множина допустимих значень функ-
ції Дх); якщо а - 0, то розв’язком нерівності |Дх)| > а є множина тих х,
для яких Дх) Ф 0.
При розв’язуванні нерівностей, що містять більше одного модуля,
застосовують метод інтервалів для модулів.
Приклади
Розв’язати нерівність |х + 2| + |х - 2| < 6.
Розв’язання. При розв’язуванні початкової нерівності використовує-
мо метод інтервалів для модулів. Позначимо на числовій прямій точки,
в яких вирази, що знаходяться під знаками модулів, перетворюються
на нуль. Це точки х = -2, х = 2. Уся числова пряма розбивається цими
точками на три інтервали (три проміжки): (-<х>; -2) (1-й інтервал), [-2; 2]
(2-й інтервал), (2; оо) (3-й інтервал). Наведемо чотири форми запису
розв’язування початкової нерівності.
Перша форма запису. На 1-ому інтервалі (-оо; -2) за означенням
модуля маємо:
|х + 2| = —(х + 2) = — х — 2; |х — 2| = —(х — 2) = — х + 2.
Отже, на 1-ому інтервалі початкова нерівність рівносильна такій:
-х-2-х + 2<6о -2х < 6 <=> х > -3.
Через те що розглядається інтервал х є (-оо; -2), до множини розв’язків
входить переріз множин: (-оо;-2) П (-3; °о) = (-3; - 2) — розв’язок почат-
кової нерівності на 1-ому інтервалі.
На відрізку [—2;2] (2-й інтервал): |х + 2| = х + 2;|х-2| = -(х-2) = -х + 2,
і ми маємо х + 2- х + 2<6<=>4<6, тобто правильна числова нерів-
ність. Тому всі значення змінної, які належать цьому відрізку, входять
до множини розв’язків, тобто х є [-2; 2] — розв’язок на 2-ому інтервалі.
На 3-ому інтервалі х є (2; °о): |х + 2| = х + 2; |х - 2| = х - 2, і ми
маємо: х + 2 + х- 2<6<=>2х<6<=>х<3. Оскільки розглядається ін-
тервал х є (2; оо), то до множини розв’язків входить переріз множин
(2; оо)П(-оо; 3) = (2; 3) — розв’язок на 3-ому інтервалі.
Об’єднуючи отримані результати, робимо висновок: початкова не-
рівність виконується при х є (-3; -2)ЦІ [-2; 2] ЦІ (2; 3) = (-3; 3). Таким
чином, х є (-3; 3) — розв’язок початкової нерівності.
Відповідь-, х є (-3; 3).
Друга форма запису. Розглядаючи початкову нерівність на кожному
з трьох проміжків, отримаємо сукупність трьох систем. Таким чином,
Гх < —2 Гх < —2
[—(х + 2) — (х — 2) < 6 [х > —З
|х + 2| + |х - 2| < 6 <=>
-2 < х < 2
х + 2 — (х — 2) <6
х > 2
х + 2 + х — 2<6
-2 < х < 2
4 < 6
х > 2
х < З
98
Алгебра
х є (-3; 2) ЦІ [-2; - 2] ЦІ (2; 3) = (-3; 3).
Третя форма запису. На кожному з трьох інтервалів розглянемо
розв’язання початкової нерівності.
1-й інтервал (х < -2): |х + 2| = -(х + 2); |х - 2| = -(х - 2).
Маємо систему нерівностей
-(х + 2) - (х - 2) < 6
2-й інтервал (-2 < х < 2): |х + 2| = х + 2; |х - 2| = -{х - 2).
Маємо систему нерівностей
х + 2 — (х — 2) <6
3-й інтервал (х > 2): |х + 2| = х + 2; |х - 2| = х - 2.
Маємо систему нерівностей < <=>< <=> 2 < х < 3.
[х + 2 + х — 2<6 [х < З
Розв’язок початкової нерівності утворюється шляхом об’єднання
розв’язків, отриманих на 1-ому, 2-ому і 3-ому інтервалах:
х є (-3; - 2) ЦІ [-2; 2] ЦІ (2; 3) = (-3; 3).
Четверта форма запису. Розглянемо три випадки:
1)
—(х + 2) - (х - 2) < 6
х є (-3; - 2);
2)
х + 2 — (х — 2) <6
х є [-2; 2];
3)
є (2; 3).
Об’єднуючи знайдені множини
□ [-2; 2] ЦІ (2; 3) = (-3; 3).
Відповідь-. -З < х < 3.
значень х, маємо: х є (-3; -2)ЦІ
ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ
При розв’язуванні ірраціональних нерівностей використовуються
ті самі прийоми, що і при розв’язуванні ірраціональних рівнянь: підне-
сення обох частин нерівностей до того самого натурального степеня, від-
ділення радикалу, уведення нових змінних тощо. При розв’язуванні мож-
на дотримуватися, наприклад, такого плану: а) знайти область визначення
початкової нерівності; б) розв’язати початкову нерівність, керуючись
твердженнями про рівносильність нерівностей; в) з отриманих розв’язків
відібрати ті, що належать області визначення початкової нерівності.
Твердження про рівносильність нерівностей мають такий ви-
гляд. Якщо обидві частини нерівностей на множині В набувають тіль-
ки невід’ємних значень, то при піднесенні обох частин нерівностей
Алгебраїчні нерівності
99
до будь-якого парного степеня і при зберіганні знака початкової не-
рівності отримаємо нерівність, рівносильну початковій на множині В.
Піднесення обох частин нерівності до того самого непарного степеня
зі збереженням знака нерівності завжди є рівносильним (еквівалентним)
перетворенням нерівності.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1.
2.
3.
4.
5.
„ , . . . 2х + З
Розв яжіть нерівність ----
2-х
Розв’яжіть нерівність
1) (-оо; -2] ЦІ (-1; +°°);
2) [1; 2);
х — З
3) (-оо; -1,5]ЦІ(2; + оо);
4) (-оо; 1] и (2; +оо).
Розв’яжіть нерівність
2х-1
6
2) (-оо; 1)0 (3; +°о); 3) [-2; -1);
х + 3 Зх + 7
12 18
4) (-1; 3].
1) (-оо; -1)0(1; +оо);
Скільки натуральних розв’язків має нерівність -х2 - х + + 12 > 0?
1)1; 2)2; 3)3; 4)4.
Розв’яжіть нерівність -9 < х2 < 25.
1) [-3; 3]; 2) [-3; 5]; 3) [-5; 3];
3) (-1; 1);
4) [-5; 5].
5х2 (х - 2)8 (х - 4?
6. Розв’яжіть нерівність ------------------< 0.
(х + 2)3
1) (-оо; -2)ЦІ(4; +оо); 2) (-2; 0) ЦІ(0; 2)0(2; 4);
3) (-оо; -2)ЦІ(-2; 0)0(2; 4); 4) (-оо; -2)ЦІ(-2;0) ЦІ(0; 2) ЦІ(2; 4) ЦІ(4; +<х>).
7. Скільки цілих розв’язків має нерівність х6 - 9х3 + 8 < 0?
1) Жодного; 2) один; 3) два; 4) три.
[1 < 2х-1 < 9,
8. Розв яжіть систему нерівностей (
[-1 < 1 - х < 4.
1) [-3; 1); 2) (1; 2]; 3) [2; 5); 4) [-3; 5).
9. Розв’яжіть систему нерівностей
1) [-2; 2)0(0; 3]; 2) [-3; 0)0(0;3); 3) (-2; 0)0(0; 3]; 4) (-оо; -3] 0[3; +°о).
10. Розв’яжіть сукупність нерівностей
1 < Зх - 2 < 4,
-З < 4х + 5 < 1.
1) (-2; 2]; 2) (-1; 1); 3) (-2; 1)0(-1; 1)0(1; 2];
4) (-2; -1)0(1; 2].
11. Розв’яжіть нерівність (х - 5)\/х - 2 > 0.
1) [5; +°°); 2) {2} 0 [5;+оо); 3) [2;+<*>);
12. Розв’яжіть нерівність УІЗ- X < X + 3.
1) [-6; -1]; 2) [-6; 3]; 3) [-1; 3];
4) [2; 5].
4) (-оо; 1]0{3}.
х + 2
100
Алгебра
13. При яких значеннях а нерівність ах > 0 не має розв’язків?
1) а > 0; 2) а < 0; 3) а Ф 0; 4)а = 0.
14. При яких значеннях параметра а нерівність |х + 9| < ах не має розв’язків?
1) а < -1; 2)-1 < а < 0; 3)0<а<1; 4) а < 1.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 4. 2. 3. 3. 2. 4. 3. 5. 4. 6. 2. 7. 3. 8. 2. 9. 3. 10. 4. 11. 2. 12. 3. 13. 4. 14. 3.
ПРОГРЕСІЇ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Поняття числової послідовності. Арифметична прогресія. Геометрична прогресія. Нескін-
ченно спадна геометрична прогресія
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Поняття ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ
Числовою послідовністю називається функція, визначена на мно-
жині натуральних чисел (/ : N —> В, / — функція натурального аргумен-
ту). Позначається числова послідовність звичайно через (х„), де п є А,
хп — п-й член послідовності. Формула хп - /(гі) називається формулою
загального члена послідовності (х„), п є N.
Приклади числових послідовностей
„ „ 1
Нехай числова послідовність задана загальним членом х - — .
2п
Це означає, що кожному натуральному числу п відповідає визначений
член послідовності (хл), тобто п —> — . Надаючи п значення 1, 2, 3...,
2п
, X 1 1 1 1 1
отримаємо послідовність (хл): —; —; —; ... —; ....
Нехай послідовність задана формулою хл - (-1)" . Усі члени послі-
довності з непарними номерами дорівнюють -1, а з парними номерами
дорівнюють 1: х1--1; х2-1; х3--1; х4=1; х5=-1; ... . Дістаємо послі-
довність -1; 1; -1; 1; -1; ... .
Формулою хп - 2 задається послідовність, усі члени якої дорівнюють
2: 2; 2; 2; 2; 2; ... .
Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її член, почи-
наючи з другого, більший від попереднього, тобто якщо для усіх п є N
хл+1> хп. Приклад зростаючої послідовності: 1; 3; 5; 7; 9; ...; (2п - 1); ... .
Прогресії
101
Послідовність називається спадною, якщо кожний її член, по-
чинаючи з другого, менший від попереднього, тобто якщо для всіх
п є N хІН1< хп. Приклад спадної послідовності:
1 1.1.1. .1.
’ 2’ 3’ 4’ 5’"” п’""
Арифметична прогресія
Арифметичною прогресією називається числова послідовність,
кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому,
до якого додається одне й те саме постійне для даної послідовності чис-
ло. Позначається арифметична прогресія звичайно таким чином: (а„).
ап називається гс-им членом арифметичної прогресії.
З означення арифметичної прогресії випливає, що ал+1 = ап + д.
Число д називається різницею прогресії.
Таким чином, д — а„ — а, = а„ — а„ — а, — а„ = ... = а — а ... .
’ 2 1 3 2 4 3 п+1 п
Для того щоб задати арифметичну прогресію (ап), достатньо зна-
ти її перший член Щ і різницю д. Якщо різниця арифметичної про-
гресії — додатне число, то така прогресія є зростаючою', якщо різниця
є від’ємним числом, то спадною. Якщо різниця д арифметичної прогресії
дорівнює нулю, то всі члени прогресії рівні між собою.
Характеристична властивість (ознака) арифметичної прогресії фор-
мулюється таким чином: кожний член арифметичної прогресії, почи-
наючи з другого, є середнім арифметичним сусідніх із ним членів:
а , + а
а = ——----—, п є ./V, п > 2.
" 2
З означення різниці арифметичної прогресії випливає, що ау + ап -
- а2 + ап_г - а3 + ап_2 - ..., тобто сума членів, рівновіддалених від кінців
прогресії, є величиною сталою.
Формула п-го члена арифметичної прогресії має вигляд:
ап - а1 + (п- 1)д.
Формули для суми п перших членів арифметичної прогресії мають
вигляд:
аІ + ап 2а І + (п — 1)д
Геометрична прогресія
Геометричною прогресією називається така числова послідовність
(Ьп), кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому,
помноженому на одне й те саме стале для даної послідовності число,
відмінне від нуля. Перший член геометричної прогресії передбачається
відмінним від нуля. Ьп називається п-им членом геометричної прогресії.
Приклади геометричної прогресії:
а) 1; 2; 4; 8; 16; 32;...;
_ 1 1 1 1
б) 1; —;—;—;-----;...;
4 16 64 256
4 4 4
в) 12; 4;-;-;—;....
З 9 27
102
Алгебра
З означення геометричної прогресії випливає, що д = . Чис-
Ьп
ло д називається знаменником геометричної прогресії. Таким чином,
Ь, Ь, Ь. Ь
_ 2 3 4 _ п+1
ь. ь„ ь„ ь
12 3 п
Для того щоб задати геометричну прогресію (Ьл), достатньо знати
її перший член і знаменник.
Якщо д>0ід^1,то геометрична прогресія є монотонною послідовніс-
тю. Якщо д = 1, то всі члени прогресії рівні між собою. У цьому випадку
геометрична прогресія є сталою послідовністю, що розглядається рідко.
Характеристичні властивості геометричної прогресії формулюються
таким чином:
а) у геометричній прогресії, усі члени якої — додатні числа, будь-
який її член, починаючи з другого, є середнім геометричним
сусідніх з ним членів, тобто при п > 2
ь = , 6 +1 => Ь2 = Ь . • Ь + •
п у п-1 п+1 п п-1 п+1 7
б) добуток членів, рівновіддалених від кінців геометричної про-
гресії, є величиною сталою, тобто
&1 • Ьп = Ь2 Ьп_г = Ь3 Ьп_2 = ... .
Формула п-го члена геометричної прогресії має вигляд:
Ь =Ьлдл1 .
П 1 О-
Формули для суми п перших членів геометричної прогресії мають
вигляд:
Ь, — Ь а
_ 1____П*
1-д
М1-^)
1-д
Нескінченно спадна геометрична прогресія
Будемо називати нескінченно спадною геометричною прогресією
таку геометричну прогресію (Ьп), у якій знаменник |д| < 1 і яка містить
нескінченну кількість доданків. Сумою нескінченно спадної геометрич-
ної прогресії називається границя суми п перших її членів, якщо п —> оо.
Ь.
8 - —і— — сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
1-д
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Знайдіть різницю арифметичної прогресії 0; 2; 4; 5; ...
1)0; 2)1; 3)2; 4)3.
2. В арифметичній прогресії аг = -2, д = -4. Знайдіть ап.
1) -16; 2)-24; 3) -36; 4)-42.
3. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо аг = 7, а1в = 67.
1)2; 2)4; 3)6; 4)10.
4. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо аи = 20, д - -3.
1)12; 2)35; 3)42; 4)50.
5. Знайдіть двадцять третій член арифметичної прогресії 3; 7; 11; 15; ...
1)83; 2)87; 3)91; 4)95.
Тригонометрія
103
6. Знайдіть знаменник геометричної прогресії, якщо Ь7 = 2, Ь5 = 162.
1) ±1; 2) ±2; 3) ±3; 4) ±4.
7. Знайдіть дев’ятий член геометричної прогресії, якщо Ьг - 8, 3.
1) 820; 2) 6561; 3) 52 488; 4) 157 464.
8. У геометричній прогресії Ьі — 11, Ь7 = 88. Знайдіть Ьд.
1) 253; 2) 352; 3) 523; 4) 532.
9. Знайдіть суму перших вісімнадцяти членів арифметичної прогресії, якщо а5 + а8 + аіг + а14 = 26.
1)117; 2)52; 3)63; 4)26.
10. Знайдіть суму дев’яти перших членів геометричної прогресії, у якій Ьг - 8, 3.
1) 9841; 2) 19 682; 3) 78 728; 4)314912.
11. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо а1 + а7 - - 38, а2а4 = 95.
1)-7; 2)-5; 3)5; 4)7.
12. В арифметичній прогресії «17 = 187. Знайдіть ад.
1)7; 2)9; 3)11; 4)13.
13. У геометричній прогресії Ьі-Ь1- 52, Ьі + Ь2 + Ь3 = 26. Знайдіть 56.
1) 91; 2) 182; 3) 364; 4) 728.
14. Знайдіть суму всіх двоцифрових натуральних чисел.
1) 4805; 2) 4905; 3) 5005; 4) 5105.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 3. 2. 4. 3. 2. 4. 4. 5. 3. 6. 3. 7. 3. 8. 2. 9. 1. 10. 3. 11. 4. 12. 3. 13. 4. 14. 2.
ТРИГОНОМЕТРІЯ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Кути та їхні міри. Означення тригонометричних функцій. Розв’язування важливих при-
кладів, доведення тотожностей. Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригономет-
ричних виразів. Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні функції від обернених три-
гонометричних функцій. Найпростіші тригонометричні рівняння. Основні методи розв’язування
тригонометричних рівнянь. Тригонометричні рівняння, що містять обернені тригонометричні
функції. Системи тригонометричних рівнянь. Тригонометричні нерівності.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Означення тригонометричних функцій
Розглянемо спочатку тригонометричні функції гострого кута,
які можна ввести за допомогою прямокутного трикутника (рис. 32).
Нехай у прямокутному трикутнику АВС А АС В - 90°, АВАС = а,
|ВС| = а, |АС| = Ь, |АВ| = с.
Рис. 32
104
Алгебра
зіпа = ВС АВ а с (відношення протилежного катета до гіпотенузи).
соза = АС _ь (відношення прилеглого катета до гіпотенузи).
АВ с
ВС а . .
і£а = АС = — (відношення протилежного катета до прилеглого). Ь
АС ь
сі^а = — = — (відношення прилеглого катета до протилежного).
ВС а
81П СХ СО8 СХ
З останніх двох рівностей випливає, що І£ос=--------, сі£ос=-------.
соз а зіп а
Розглянемо тригонометричні функції довільних значень аргументу.
Символ оо (нескінченність) означає, що або сі§а при відповід-
них значеннях аргументу не визначені і набувають великих значень
за модулем.
Секансом кута а (позначення веса) називається величина, проти-
лежна сова, тобто зеса = —-—, соз а Ф 0.
сов а
Косекансом кута а (позначення созеса) називається величина, про-
тилежна зіпа, тобто созеса = —-— , зіпа Ф 0.
зіп а
Розв'язування важливих прикладів,
ДОВЕДЕННЯ ТОТОЖНОСТЕЙ
Рис. 33
Приклади
Визначити знак виразів: а) зіп 2; б) созб.
Розв’язання. Зобразимо кути в 2 і 6 радіан на тригонометрично-
му колі (рис. 33). Зазначимо, що я = 180°, але, з іншого боку, я = 3,14
я Зя
радіан. Тому — < 2 < я , — < 6 < 2я. Звідси кут а = 2 закінчується в II
2 2
чверті, а кут а = 6 закінчується в IV чверті. Тоді зіп2 > 0, созб > 0.
Відповідь', а) зіп2 > 0; б) созб > 0.
Обчислити А - ізіп 180° - д/з соз180° + зес180° + і§60°.
Розв’язання. А = — • 0 - у/з (-1) + . . + л/з = >/з - 1 + >/з = 2>/з - 1.
2 ] (-1)
Відповідь'. А = 2>/3-1.
Знайти сова, І£а, сі£а, якщо зіпа = —, 90° < а < 180°.
Розв’язання, сова = ±>/1 - зіп2 а. Оскільки за умовою кут а закін-
чується в II чверті, то сова < 0 і перед радикалом потрібно взяти знак
«-». Звідси
Тригонометрія
105
8ІП0С 4 ( З А 4 , 1
іщ/. =-------= — :------=----, сіщ/. =-------
сов а 5 V 5) 3 і§а
,л 3 , 4 , З
Відповідь', сов а = —, , сі§а = —.
~ л зіп2 а х ,
Спростити А =-----------— сі§“а.
1 - зіп“ а
„ , . зіп2 а , , зіп2 а соз2 а
Розв язання. А =-----------— сі§“а =-------------— = 1.
1 - зіп“ а соз“ а зіп“ а
Відповідь'. А - 1.
Спростити А - (зіп а - соз а)2 + (соз а + зіп а)2 - 2.
Розв’язання. (зіп а - соз а)2 + (соз а + зіп а)2 - 2 = зіп2а - 2зіп а соз а +
+ соз2а + соз2а + 2зіп а • соз а + зіп2а - 2 = 2(зіп2а + соз2а) - -2=21-
-2 = 0. Відповідь'. А = 0.
„ . к. . о сх
Спростити А = ЛІ - 31П“ — + Л 1 - СОЗ
2
' ЇЇ
, якщо Зл < а < 4л.
а
Розв’язання. А -
І , а
СОЗ“-----Н
2
' . , а
31П“ —
2
а .а
СО8--Н ЗІП— . Позбудимося
2 2
2
• о л • Зл
модулів. Зл < а < 4л, тоді — <
2
ос 4 л ос
— < — і кут — закінчується в IV чверті,
2 2 2
отже, =}
а а
СО8— = СО8 —
2 2
Сі Сі Сі Сі
ЗІП— = - ЗІП—. Звідси А = СО8-------8ІП —.
2 2 2 2
Відповідь'. А = сов-----зіп —.
2 2
Дано: зіпа + соза = т. Знайти: а) зіпа соза; б) зіп3сх + соз3сх.
Розв’ язання.
а) Піднесемо обидві частини початкового виразу до квадрата:
зіп а + соз а = т => (зіп а + соз а)2 = т2 <=> зіп2а + 2зіп а • соз а +
+соз2а = т2 <=> 1 + 2зіп а • соз а = т2 <=> 2зіп а • соз а = т2 - 1 <=>
т2 -1
зіп а • соз а = 2 ’
б) зіп3а + соз3а = (зіп а + соз а)(зіп2а - зіп а х
х соз а + соз2а) = (зіп а + соз а)( 1 - зіп а • соз а) =
У процесі розв’язування ми врахували, що якщо зіп а + + соз а = т,
т2 -1 . .
то зіп а • соз а =---- відповідно висновкам пункту а).
2
т2 _ і т(3 - т2}
Відповідь', а) ----; б) —---------.
2 2
106
Алгебра
Приклади на доведення тригонометричних тотожностей
При доведенні тотожностей звичайно використовують такі способи:
1) вираз, що стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотож-
них перетворень приводять до виразу, що стоїть в іншій частині
тотожності;
2) вираз, що стоїть у лівій і правій частинах тотожності, приводять
до одного того самого виду;
3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності
дорівнює нулю.
Приклади
(зіп а + соз а)“ - 1 ,
Довести тотожність -------------------= 2і§“а;
сі§а - зіп а сов а
Розв’ язання.
(зіп а + соз а)* * 2 * -1 зіп2 а + 2 зіп а • соз а + соз2 а - (зіп2 а + соз2 а
сігос - зіп а соз а соз а
° -------зіп а • соз а
зіп а
2 зіп а • соз а соз а - зіп2 а • соз а 2 зіп2 а • соз а
зіп а соз а (1 - зіп2 а)
1
2 зіп2 а ,
-----— = 2і#“а.
соз“ а
Довести тотожність зіп4а - соз4а - зіп2а + соз2а = 0;
Розв’язання. Перший спосіб. Застосуємо тотожність
а4 - &4 = (а2)2 - (&2)2 = (а2 - &2)(а2 + &2).
Тоді ліву частину можна перетворити:
зіп4а - соз4а - зіп2а + соз2а = (зіп2 а - соз2 а) (зіп2 а + соз2 а) -
— зіп2 а + соз2 а = (зіп2 а — соз2 а) 1 — зіп2 а + соз2 а =
= зіп2 а - соз2 а - зіп2 а + соз2 а = 0.
Другий спосіб.
зіп4а - соз4а - зіп2а + соз2а = зіп4а - зіп2а - соз4а + соз2а =
= зіп2 а (зіп2 а -1) + соз2 а (1 - соз2 а) =
= зіп2 а(-соз2 а) + соз2 а зіп2 а - - зіп2 а соз2 а + зіп2 а соз2 а = 0.
„ . зіп а 1 - соз а
Довести ТОТОЖНІСТЬ ----------=----------.
1 + соз а зіп а
Розв’язання. Цю тотожність можна розглядати як пропорцію. Щоб
... а с
довести справедливість пропорції — = — , достатньо довести, що аа-ос.
Ь (1
Тому достатньо показати, що зіпос • віпа = (1 + соза)(1 - сова). Ця рів-
ність очевидна, оскільки зіпавіпа = зіп2а, (1 + соза)(1 - сова) = 1 - соз2а,
а зіп2а = 1 - соз2а.
Тригонометрія
107
Розв'язування прикладів на тотожні перетворення
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ
Приклади
Обчислити без допомоги калькулятора А - соз36°соз72°.
Розв’язання. Помножимо і поділимо початковий вираз на 2зіп36°.
Тоді маємо
2 зіп 36° соз 36° соз 72° зіп 72° соз 72°
А =---------------------=-------------=
2 зіп 36° 2 зіп 36°
2 зіп 72° соз 72° зіп 144° зіп (180° — 36°) зіп 36° 1
4 зіп 36° “ 4 зіп 36° “ 4 зіп 36° “ 4 зіп 36° “ 4 ’
Відповідь-, соз 36° соз 72° = —.
4
„ „ А зіп 4а + зіп 5а + зіп 6а
Перетворити на добуток А ----------------------.
соз 4а + соз 5а + соз 6а
Розв’язання. У чисельнику і знаменнику до суми перших і третіх
доданків застосовують формули перетворення суми тригонометричних
функцій на добуток:
зіп 4а + зіп 5а + зіп 6а 2 зіп 5а • соз (-а) + зіп 5а
А =---------------------=--------------—(--------=
соз 4а + соз 5а + соз 6а 2 соз 5а • соз (-а) + соз 5а
соз 5а (2 соз а + 1)
Відповідь-. і§5а.
3-4 соз 2а - соз (4а - я)
Спростити до числа А ---------------------------.
зіп а
Розв’язання. Перетворимо чисельник даного виразу:
соз (4а - я) = соз (я - 4а) = -соз 4а;
З - 4соз 2а - (-соз 4а) = 4 - 1 - 4соз 2а + соя 4а =
= (4 - 4соз2а) - (1 - соя 4а) = 4(1 - соя 2а) - (1 - соя 4а) =
= 4 • 2зіп2а - 2зіп22а = 8зіп2а - 2зіп22а =
= 8зіп2а - 2(2зіп а • соя а)2 = 8зіп2а - 8зіп2а • соз2а =
= 8зіп2а(1 - соя2а) = 8зіп2а • зіп2а = 8зіп4а.
8 зіп4 а о
Тоді А = — = 8.
зіп а
Відповідь-. 8.
Обчислити А -
і£(а + Р)
—--------, якщо зіп(2а + Р) = = Ззіпр.
і§а
Розв’язання. Перетворимо початковий вираз
, , зіп(а + Р) соз а зіп(а + Р) • соз а
А = (а + Р)сі£ а =-----------------= —-----—-----—
соз(а + Р) зіпа зіп а • соз(а + Р)
108
Алгебра
| (зіп<2а + Р)+ зіп Р) зіп(2а + Р) + зіп р
- (зіп(2а + Р) + 8Іп(-Р)) зіп(2а + Р) “ зіп Р
2
. • /о о * ЗзіпР + зіпР 4зіпР
(з урахуванням того, що зіп(2а + Р) = Ззіпр)=---!-----—=------— = 2.
З зіп Р-зіп Р 2зіпР
Відповідь-. 2.
Довести тотожність 4соза • соз (60° - а) • соз (60° + а) = соз За.
Розв’язання. Перетворивши ліву частину початкової тотожності,
маємо:
4соз а • соз (60° - а) • соз (60° + а) = 2соз а • 2соз (60° - а) х
х соз (60° + а) = 2соз а • (соз (60° - а + 60° + а) +
+ соз (60° - а - 60° - а) = 2соза • (соз 120° + соз(-2а)) =
= 2соз а • | - — + соз 2а | = -соз а + 2соз 2а • соз а =
І 2 )
- -соз а + соз За + соз а = соз За.
Відповідь-, тотожність доведена.
Довести тотожність 2 (зіп6 а + соз6 а] +1 = 3 (зіп4 а + соз4 а].
Розв’язання. Перетворимо ліву частину початкової тотожності.
Вираз зіпва + соз6а зобразимо як суму кубів, а 1 запишемо у вигляді
1 = (зіп2 а + соз2а) . Тоді з урахуванням тотожності для суми кубів:
2 (зіп6 а + соз6а) + 1 = 2 ((зіп2 а) + (соз2 а) ) + (зіп2 а + соз2 а) =
= 2 (зіп2 а + соз2а) (зіп4 а — зіп2 асоз2а + соз4а) +
+ зіп4 а + 2зіп2асоз2а + соз4а =
= 2 зіп4 а - 2 зіп2 асоз2а + 2соз4а + зіп4а + 2зіп2асоз2а + соз4а =
= 3 зіп4 а + Зсоз4а = 3(зіп4а + соз4а).
Відповідь-, тотожність доведена.
Довести тотожність І£І° • • ійЗ° • ... • ій45° • ій87° • ій88° х
х ій89° = 1.
Розв’язання. За формулами зведення маємо:
ій89° = ій(90° - 1°) = сій 1°; ій88° = ій(90° - 2°) = сій 1°;
Ій87° = ій(90° - 3°) = сі£3°; ...; Ій46° = ій(90° - 44°) = сій44°.
Тоді вираз можна записати таким чином:
ій 1° • 2° • ій 3° • ... • ій 44° • ій 45° • сій 44° • ... • сій 3° • сій 2° • сій 1° =
= ій 1° • сій' 1° сї§2° • ійЗ° • сій3° ' — ' І&440 • сій44° • ій45° = 1 х
х 1 1 ... 1 1 = 1.
(Ми змінили порядок множників і використали 44 рази тотожність
ійа • сійа = 1, а також той факт, що ій45° = 1).
Відповідь-, тотожність доведена.
Довести тотожність зіп(112° - а) + соз(а + 158°) = 0.
Розв’язання. Перетворимо ліву частину початкової тотожності,
застосувавши формули зведення:
Тригонометрія
109
зіп (112° - ос) = зіп (180° - 68° - ос) = зіп (180° - (68° + а)) = зіп (68° + а);
соз (а + 158°) = соз (а + 90° + 68°) = соз (90° + (68° + а)) = -зіп (68° + а).
Тоді зіп(112° - а) + соз(ос + 158°) = зіп(68° + а) - зіп(68° + ос) = 0.
Відповідь', тотожність доведена.
Обернені тригонометричні функції
Функції, обернені функціям 2/=8ІПХ, 2/=СО8Х, у = ї%х, у = сї%х
на відповідних інтервалах, називаються оберненими тригонометрични-
ми. Вони позначаються: у - агсзіпх, у - агссозх, у - агсі£х, у - агссі£х.
Тригонометричні функції у - зіпх, у - созх не є монотонними на всій
області їхнього визначення. Тому для утворення обернених функцій
виділяють інтервали монотонності.
Тригонометричні функції від обернених
тригонометричних ФУНКЦІЙ
Тригонометричні функції від агсзіпх
я я
Позначимо агсзіпх = а. Тоді зіпа = х, де — < ос < —, -1 < х < 1.
2 2
Нехай х > 0. Тоді можна побудувати прямокутний трикутник, один
з гострих кутів якого дорівнює а, гіпотенуза дорівнює 1, а катет, проти-
лежний куту а, дорівнює х (рис. 34). Тоді за теоремою Піфагора другий
катет дорівнює >/1 - х? . Маємо:
х л/1 — х2 г------
зіп а = — = х ; соз а =-= уі — х“ ;
1 1
х , л/1 — X2
; сі£ос =-----.
VI - х2 х
Оскільки ос = агсзіпх, то отримаємо: зіп(агсзіпх) = х, соз(агсзіпх) =
і----- х 1___х~
- VI - х2 , {^(агсзіпх) = . (х Ф ±1),сі§,(аісзіпх) =---- (х Ф 0).
VI-х2 х
Можна довести, що якщо х < 0, то наведені вище формули справедливі
для |х| < 1 .
Тригонометричні функції від агссозх
Позначимо агссоз х = а. Тоді соз а = х, 0 < а < я, -1 < х < 1. На від-
міну від попереднього випадку, у прямокутному трикутнику тепер
уже прилеглий катет дорівнює х (рис. 35), а гіпотенуза, як і раніше,
дорівнює 1.
х . >/1 — х2 г-------
соз = — = х, зіп а =-------= уі - х“,
1 1
л/1 — X2 X
ос =---------, сій'« = і •
х VI — х2
110
Алгебра
/------ _ х2
Звідси соз(агссозх) = х, зіп(агссозх) = у]1- х2 , і^(агссозх) =-----
х
(х Ф 0), сі£(агссозх) = . Х (х Ф ±1). Формули справедливі для |х| < 1.
л/1 — х2
Тригонометричні функції від агсідх
Позначимо агсідх = а. Тоді І£а = х і у трикутнику потрібно покласти
протилежний катет такий, що дорівнює х, а прилеглий такий, що дорів-
нює 1 (рис. 36). За теоремою Піфагора гіпотенуза дорівнює УІ1 + х2. Тоді
х . х 1 1 .
іа а = — = х , зіп а = , , соз а = , , сій а = = — (х Ф 0) .
X 1
Остаточно отримуємо: зіп(агсі£х) = . , соз(агсі£х) = . ,
л/1 + х2 л/1 + х2
І£(агсі£х) = х, сі£(агсі£х) = — (х Ф 0). Ці формули справедливі для
X
будь-якого X Є (-оо; оо).
Рис. 37
Тригонометричні функції від агссідх
Позначимо агссідх = а. Тоді сі£ос = х, отже, у прямокутному трикут-
нику прилеглий катет дорівнює х, протилежний дорівнює 1 (рис. 37).
Тоді гіпотенуза дорівнює >/1 + х2 .
З наведеного трикутника отримуємо:
, . 1 X 1
сій' ос = х, зіп а = . , соз а = . , і£ а = —.
л/1 + х2 л/1 + х2 х
1 X
Остаточно зіп(агссіех) = , , соз(агссідх) = , ,
і£ (агссі£ х) = — (х Ф 0), сі£(агссі£х) = х.
X
ЦІ формули справедливі ДЛЯ будь-якого X Є (-оо; оо).
Приклад. Обчислити соз —н агссоз(-0,8) .
і 2 у
Розв’язання. Використовуючи формули зведення, а також
формулу зіп (агссоз х) = >/1 - х2 , отримуємо: соз+агссоз(-0,8)^ =
= -8іп(агссо8(-0,8)) = -71-(-0,8)2 = -у/1-0,64 = -у/0,36 = -0,6 .
Відповідь: -0,6.
СЛОВНИК
Рівняння називаються триго-
нометричними, якщо неві-
дома величина знаходиться
під знаком тригонометричних
функцій.
Найпростіші тригонометричні рівняння
Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома вели-
чина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпрості-
шими тригонометричними рівняннями називаються рівняння зіпх = а,
созх = а, Ї£х = а, сї£х = а. Розв’язати найпростіше тригонометричне
Тригонометрія
111
рівняння означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення
а тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є най-
простішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести
до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається
стандартними формулами.
Приклади
І я І
Розв язати рівняння зіп І 2х - — І = 0.
Розв’язання.
( я
зіп \ 2х--= 0
І 4 )
„я „ я
2х--= пп <=> 2х = пп -І—
4 4
я пп
--1---
8 2
Відповідь-.
я пп
х = —І--п є 2 >.
8 2
Розв’язати рівняння созх = -і
Розв’язання. созх = -—<=>х = ±агссоз
2
1
2
2я
+ 2пя = ±----н 2пя, п є 2 .
З
1
1 я 2я
= я - агссоз — = я-= — .
2 3 3
( і") я „ Л
— =-------. Тому бажано
2) З
перевіряти себе на деяких етапах розв’язування рівнянь. Зокрема,
Необхідно зазначити, що агссоз
2
Дуже часто наводиться помилковий запис агссоз
2я
соз—= соз
З
я
я —
З
я 1
= - соз—=----=> агссоз
З 2
1
2
2я . Л 2я
---, ОСКІЛЬКИ 0 < — < я ,
З--З
2я
соз---=
З
1
2
Відповідь-.
2я
±----н 2пя п є 2 і.
З
і я і
Розв язати рівняння \2х -і— =
\ 5)
З
З
Розв’язання.
І 2х + — | =
І 5
З
З
„ Я , л/3 я
2х н— = агсщ-------+ пп =------н пп
5 3 6
З
з
я
6
„ п п 11я 11л ля „
2х =----------І- пп =------Н пп <=> X =------1---, п є /, .
5 6 ЗО 60 2
Відповідь-.
11я пп І
-----+ — п є
60 2
Розв’язати рівняння сі§* 2 З
2х--
4
1
З
Розв’язання. сі§2
2х--
4
4<=>
О
з
З
112
Алгебра
2х--
4
>/3
агссі§-^- + пп, ті є 2
2х--
4
агссі§
п 7п
—н пп =---н пп
З 12
„ п 2п 11л
2х = —І---н кп =----Н кп
4 3 12
2х = —+
4
7л пл
24 ~
11л кп
~24 ~2
Відповідь-.
7п пп 11л кп
1----1----?-----1---
24 2 24 2
п, к є 2 >
Зауваження. Відповідь до цього прикладу можна подати ще в таких
формах:
[ 7л пп 11л кп 7 „
Відповідь-, хє-----1---;----1---п,ке2>.
[ 24 2 24 2
7 л пп
24 ~
11л кп
~2А ~2
11 пп „
-----1---, п є 2.
24 2
В останній формі запису відповіді цілочислові параметри в різних
серіях (множинах) розв’язків рівняння позначені однією і тією самою
буквою п, а не різними буквами, як в інших формах запису. У тих
випадках, коли елементи множин порівнюються між собою, потрібно
використовувати різні букви для позначення цілочислових параметрів.
Завершуючи розгляд найпростіших тригонометричних рівнянь,
наведемо таблицю їх розв’язків (табл. 2).
Таблиця 2
$іпх = а созх = а Ідх = а сідх = а
а <1 (-1)"агс5Іпа + пх ±агссо5а + 2пп агсід а + пп агссіда + пп
а >1 0 0 агсід а + пп агссіда + пп
а = 0 пп л —ь хп 2 пп п —і- пп 2
а = 1 п — + 2лл 2 2лп п —ь пп 4 л —ь пп 4
а = -1 ге н 2т 2 л + 2лп л ь пп 4 л ь пп 4
В усіх наведених формулах таблиці п є 2.
Відзначимо, що при а = 0, а = ±1 загальними формулами також
можна користуватися, вони дають правильний результат, однак най-
частіше ці формули не мають компактного вигляду. Наприклад, якщо
л
використовувати окремі випадки, то зіпх = 1 <=> х = —н 2пл , п є 2. Якщо ж
Тригонометрія
113
скористатися загальною формулою, то зіпх = 1 <=> х - (-1)* агсзіпі + кп -
= (-1)* • + кп, к є 7.
Зауваження. Крім обернених тригонометричних функцій у - агсзіпх,
у - агссозх, у - агсідх, у - агссідх, користуються багатозначними обер-
неними тригонометричними функціями: Агсзіпх, Агссозх, Агсідх,
Агссідх.
При цьому Агсзіпх = (-1)пагсзіпх + пп, Агссозх = ±агссозх + + 2пп,
Агсідх = агсідх + пп, Агссідх = агссідх + пп, п є 7. У цьому випадку
функції агсзіпх, агссозх, агсідх, агссідх називають головними значен-
нями відповідно арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.
Із застосуванням багатозначних обернених тригонометричних фун-
кцій розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь можна
записати таким чином: зіп х = а <=> х = Агсзіп а; соз х = а <=> х = Агссоз а;
х = а <=> х = Агсі£ а; сі£ х = а <=> х = Агссі£ а.
Зауваження. При розв’язуванні тригонометричних рівнянь виду
-----= 0 , де Дх) — одна з тригонометричних функцій (зіпх, созх, Ї£х,
ф(х)-г
Дх) = О
сї§х), їх зводять до систем виду < , тобто необхідно виключити
[(р(х) Ф 0
з розв’язання ті значення х, для яких ф(х) перетворюється на нуль.
Основні методи розв'язування
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Розв’язування тригонометричних рівнянь ґрунтується на вико-
ристанні властивостей тригонометричних функцій і основних співвід-
ношень між ними.
Розглянемо основні методи розв’язування тригонометричних рів-
нянь. Ці рівняння зводяться до найпростіших, розв’язування яких уже
розглянуто раніше.
Розв'язування тригонометричних рівнянь методом
розкладання на множники
Застосування цього методу засновано на тому, що рівняння
Дх) • ф(х) = 0 рівносильне сукупності рівнянь
начення рівняння Дх) • ф(х) = 0.
Дх) = 0
ф(х) = 0
в області виз-
Приклад. Розв’язати рівняння 2созхсозЗх = созх.
Розв’язання. 2соз хсоз Зх = соз х <=> 2соз хсоз Зх - соз х = 0 <=>
<=> соз х(2 соз Зх - 1) = 0 <=>
соз х = 0
2 соз Зх — 1 = 0
х = —н пп, п & 7
2
я 2/гя
---1-----
9 З
Відповідь-.
я я 2/гя
—н пя; ± —і--------
2 9 3
п, к є 7
114
Алгебра
Зауваження 1. Цілочислові параметри у наведеній відповіді можна по-
значати тією самою буквою, тобто відповідь можна записати таким чином:
я , я 2пя
—н пя; ± —і----
2 9 3
п & 2
Зауваження 2. При розв’язуванні рівнянь із застосуванням рівно-
сильних (еквівалентних) перетворень нерідко замість символу <=> став-
лять крапку з комою, кому або не ставлять ніякого розділового знака.
Іноді розв’язування треба для ясності супроводжувати коментаря-
ми, що роз’яснюють суть розв’язання. Так, наприклад, форма запису
розв’язання прикладу 1 може бути такою:
2соз хсоз Зх = соз х, 2соз хсоз Зх - соз х = 0, созх(2соз Зх - 1) = 0.
Тепер задача звелася до розв’язання сукупності рівнянь созх = 0,
Я
2соз Зх - 1 = 0. З рівняння соз х = 0 знаходимо х = —н пп, п є 2.3 рівняння
1 2 1 я
2соз Зх - 1 = 0 знаходимо сов Зх = — і далі Зх = ± агссоз — + 2кп = ± — + 2кп ,
я 2кп
тобто х = ± — -і——, к є 2 . Таким чином, розв’язок початкового рівнян-
ня такий:
х = —н пп , х = ±—і-, п є 2, к є 2
2 9 3
(у різних серіях розв’язків можна писати х з індексами, тобто хг і х2).
Спосіб зведення тригонометричного рівняння
до однієї з функцій
Якщо рівняння, що містить дві або більше тригонометричні фун-
кції, вдається звести до якоїсь однієї (зіпх, СОЗХ, Ї£Х тощо), то після
відповідної заміни змінної тригонометричне рівняння перетворюється
на алгебраїчне відносно зробленої заміни змінної. Якщо алгебраїчне
рівняння вдається розв’язати, то початкове рівняння зводиться до од-
ного або до сукупності декількох найпростіших рівнянь.
Відзначимо тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних
рівнянь. Тут часто використовується основна тригонометрична тотож-
ність 8ІП20СХ + СО82ССХ = 1.
Приклад. Розв’язати рівняння соз42х - 6зіп22х = •
Розв’язання. Враховуючи, що зіп 2х = 1 - соз22х, і позначивши
25 25
соз22х = і, отримаємо рівняння І2 + ----= 0, корені якого =------,
16 4
1 25 1
і„ - —. Рівняння соз22х = —— коренів не має, а рівняння соз22х = —
можна розв’язати двома способами.
„ „ , 1 1 + СО8 4х 1 ,1
Перший спосіб. соз“ 2х = — <=>-------= — <=> сов 4х = — <=>
4 2 4 2
п пп
--1---
6 2
Тригонометрія
115
_ _ соз 2х — —
1 1 2
Другий спосіб, соз2 2х = — <=> соз2х = ±— <=>
4 2^1
соз 2х —-
2
п
х = ± —н кп, к є 2
6
п
х = ±—н тп, т є 2
З
Можна показати, що серії коренів, отримані другим способом, збі-
гаються із серією, отриманою першим способом.
Відповідь-. (±—і------п є 2
6 2
Розв'язування тригонометричних рівнянь, однорідних
відносно синуса і косинуса, а також таких, що зводяться
до однорідних
Однорідними тригонометричними рівняннями називаються рівнян-
ня виду:
а0зіпах + щсозах = 0 (однорідні рівняння 1-го степеня);
а0зіп2ах + щзіпахсозах + а2соз2ах = 0 (однорідні рівняння 2-го сте-
пеня);
а0зіп3ах + а1зіп2ахсоз ах + а2зіпахсоз2ах + а3соз3ах = 0 (однорідні
рівняння 3-го степеня);
ОдЗІп^ах + щзії/’ахсозах + а2зіп'' 2ахсоз2ах + щзіп'' 3ахсоз3ах + ...
... + щсоз^ах = 0 (однорідні рівняння к-го степеня).
Бачимо, що в усіх однорідних рівняннях сума показників степенів
однакова.
Рівняння а0зіп2ах + щзіпахсозах + а2соз2ах = с при с Ф 0 не є одно-
рідним, але його можна звести до однорідного рівняння 2-го степеня,
замінивши число с тотожно рівним йому виразом с(зіп2ах + соз2ах).
Для розв’язування однорідних рівнянь у випадку а0 Ф 0 розглянемо
такі значення х, для яких соз ах = 0. Тоді з початкового однорідного
рівняння випливає, що при тих самих значеннях х має бути і зіп ах = 0,
а це неможливо, оскільки суперечить основній тригонометричній то-
тожності зіп2ах + + соз2ах = 1. Тобто розв’язками однорідних рівнянь
(при а0 Ф 0) можуть бути тільки такі значення х, для яких соз ах Ф 0.
Звідси однорідне тригонометричне рівняння можна звести до рівняння
відносно і§ах, якщо всі його члени поділити на совках і при цьому
(якщо а0 Ф 0) таке ділення не призведе до втрати розв’язків, оскільки
значення х, при яких соз ах = 0, не задовольняють початковому рів-
нянню. Якщо ж а0 - 0, то таке ділення призведе до втрати коренів,
і, отже, у відповідь варто включити розв’язок рівняння совах = 0, тобто
п пп „
X =----1--, п є Л.
2а а
Приклад. Розв’язати рівняння зіп3х - 2зіп2хсозх + соз3х = 0.
Розв’язання. Початкове рівняння є однорідним рівнянням 3-го
степеня. Поділивши обидві його частини на соз3х Ф 0, отримаємо:
116
Алгебра
і§3х - 2і§2х + 1=0. Позначивши х = у, отримаємо у3 - 2у2 +1 = 0.
Оскільки у = 1 є коренем цього рівняння, маємо:
Уі = 1
г/3 — 2г/2 + 1 = (г/— 1)(г/2 — г/— 1) = О
У 2,3
л
X = —н пп
4
і§х = 1
+ 1±ї/б
2
х = агсі§
1±У5
2
+ пп,
п є 2.
л
Відповідь'. < — + пп; агсі§
1± л/5
2
+ пп
п е 2
Розв'язування тригонометричних рівнянь
.. . х
за допомогою універсальної підстановки Ід— = Г
При використанні універсальної підстановки функції зіпх, созх не-
складно передаються через — такими формулами:
\ 2 і
2і£- 1-ІГїї
8 ІII X = -----, СОЗ X = ----- .
1 + ІГ - 1 + -
хи хи
Оскільки використання універсальної підстановки можливо лише
при х Ф п + 2пп, то потрібно перевіряти, чи є числа виду х = п + 2пп,
п е 2 розв’язками початкового рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння 2зіпх - созх = 1.
Розв’язання. Виражаючи зіпх і созх через і враховуючи,
х . . 2і 1-і2 ,
що і§— = і, приходимо до раціонального рівняння 2------------------- = 1.
2 1 “і- і 1 “і- і
„ , . 1 , X 1
Розв язавши це рівняння, отримуємо і = — . З рівняння = — зна-
ходимо х:
X 1 1
— = агсі§— + пп <=> х = 2агсі§— + 2пп, п е 2 .
Перевіряємо, чи є числа виду х = п + 2кп розв’язками початкового
рівняння. Маємо при х = п + 2кп:
2зіп(л + 2кл) - соз (я + 2кл) = 20- (-1) =1; 1 = 1 => х = л + 2кл, ке 2
є розв’язками початкового рівняння.
Відповідь'. < 2агсі§і + 2пп; п + 2кп п,к е 2 >.
Тригонометрія
117
Метод уведення допоміжного аргументу
Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скориста-
тися формулою а зіп х + Ь соз х — у/а2 + Ь2 зіп(х + ф), де соз ф = . а -,
у]а2 +Ь2
Ь а
зіп ф = . . У цьому випадку ф називається допоміжним аргумен-
у]а2 +Ь2
том, або допоміжним кутом.
Приклад. Розв’язати рівняння >/з зіпх -созх = 1 .
Розв’язання. Оскільки + (-1)“ = 2 , то
л/з зіп х - соз х = 1 <=>
7з І І 1лл . 71 . п
Зіп X--------СОЗ X = 1 <=> 2 зіп X соз-зіп — СОЗ X = 1 <=>
2 2 І 6 6 )
1 71 / , \71
— <=> X----= (-1)" — + П71 <=>
2 6 6
X = — + (-1)" — + 7771, п Є 2 .
6 6
л/З
У процесі розв’язування ми врахували той факт, що якщо соз ф =-----,
2
1 . 71
зіпф = — , то ф можна вважати таким, що дорівнює —.
71 71
Відповідь'. /----Н (-1)"---Н 7771 77 є 2> .
6 6
Зауваження. Цей приклад можна розв’язати ще такими способами:
созх
у[з 2зіп — соз— - 2соз2 — = 0 <=> 2соз—І >/з зіп — - соз— = 0 <=>
2 2 2 2І 2 2
соз — = 0
2
л/Ззіп — - соз — = 0
2 2
X = 7! + 27771,
>/зі§--1 = 0°
2
X = 7! + 27771, 77 & 2
71
X =-------Н 2/771, к Є 2
З
Я
Відповідь: <п + 2пп;—н 2/771 п, ке2>.
З
б) Застосовуючи універсальну тригонометричну підстановку
= і, отримуємо:
2
г- 2і 1-і" , 1 >/3 , х УЗ
З-------------- = 1 <=> і = =---<=> !§— =---
1 + /2 1 + /2 л/з 3 2 З
71
х = —н 2/771, к є 2 .
З
118
Алгебра
Необхідно перевірити ще серію коренів х = л + 2пл. Перевіркою пе-
реконуємося, що значення х = л + 2пл задовольняють початковому рів-
нянню, тобто є розв’язками.
Відповідь-.
л
< —н 2кл; л + 2пл
З
п, к є 2 >.
Зазначимо, що відповідь
— + (-1)" — + пл п є 2 >
6 6
збігається з отри-
маними способами а) і б), якщо покласти п=2/?іп=2/г+1. При цьому
в обох серіях розв’язків цілочисловий параметр позначений однією
буквою к.
Розв'язування рівнянь перетворенням суми (різниці)
тригонометричних функцій на добуток
Приклади
Розв’язати рівняння зіп ах = соз0х.
І тс
Розв’язання. Використовуючи формулу зведення СО5 0Х = зіп І —
отримуємо:
зіп ах - соз 0х <=> зіп ах - зіп І — - 0х І = 0 <=>
ах-----н рх ах -і------рх
о 1 9 1
2 зіп-----------соз------------= 0 <=>
2 2
(а + р)х-£
зіп---------= 0
2
(а-0)х + -£
соз---------= 0
2
Л г,
—н 2пл
2
Я г,,
—н 2кл
х = —--------, к є 2.
а - З
а + р
, п є 2
Відповідь-.
л + 4пл _ л + 4кл
2 (а + 3) ’ 2(а - 3)
п, к є 2 >
Розв’язати рівняння соз Зх + зіп 2х - зіп 4х = 0.
Розв’язання. Оскільки зіп 2х - зіп 4х = 2зіп (-х)соз Зх = = -2зіп хсоз Зх,
маємо:
соз Зх + зіп 2х - зіп 4х = 0 <=> соз Зх - 2зіп хсоз Зх = 0
<=> соз Зх( 1 - 2 зіп х) = 0 <=>
л пл „
х = —І-----, п є 2
6 З
соз Зх = 0
1 - 2зіпх = 0
л
х = (-1/ - + кл, к є 2.
6
„ ґ ,.лпл
Зобразивши множину розв язків х = —і-, п є 2
6 З
6
. Л
і х = (-1) —н кл, к є 2 на рис. 38 а, б бачимо, що множина розв’язків
6
Тригонометрія
119
/ -і \к і • .7С 72-7Т __
х = (-1) — + кп ПОВНІСТЮ Є В МНОЖИНІ X - —І------------. Тому ВІДПОВІДДЮ
6 6 3
є тільки ця множина.
Відповідь-.
Рис. 38 а
Рис. 38 6
я пп
Розв'язування рівнянь перетворенням добутку
тригонометричних функцій на суму
Приклад. Розв’язати рівняння соз Зхсоз 9х = соз хсоз 7х.
Розв’язання. Застосовуючи формулу перетворення добутку триго-
нометричних функцій на суму, отримаємо:
і(соз12х +
2у
соз 6х) = і- (соз 8х +
созбх)
<=> соз 12х - соз 8х = 0 <=>
<=> -2 зіп Юх зіп 2х = 0 <=>
зіпІОх = 0
зіп 2х — 0
„ . , . кр
Серія розв язків х - — , /г є 2 є
Юх = пп
2х = кп
пп „
х = —, п є 2
10
кп ,
х = —, к є 2.
2
иідмножиною серії розв’язків
пп „ ...... ПП „ ,
х = —, п є 2, тому у відповіді потрібно записати х = —, п & 2 (при
... пп /гл
п-Ьк серн х - — і х - — збігаються).
Відповідь-. <— пе2>.
10
о ~ . пп . кп
Заиваження. Оскільки елементи множин — і —, п, к є 2 порів-
10 2
нюються між собою, то для позначення цілочислових параметрів у при-
кладі необхідно використовувати різні букви.
120
Алгебра
Тригонометричні рівняння, що розв'язуються
із застосуванням формул зниження степеня
При розв’язуванні подібного роду рівнянь користуються формулами
. , 1 - соз 2а , 1 + соз2а
зниження степеня зіп“ а=-------, СОЗ“ а =-----.
2 2
Приклад. Розв’язати рівняння сов2 Зх + сов2 4х + сов2 5х - —.
Розв’язання. Застосовуючи формулу зниження степеня
, 1 + сов 2ах
соз“ ах =---------, отримуємо:
1 + созбх 1 + соз8х 1 + СОЗІ0х З
----------1---------1----------— — <=>
2 2 2 2
<=> СО8 6х + СО8 8х + СО8 Юх = 0 <=> сов Юх + сов 6х + сов 8х = 0.
Застосовуючи до перших двох доданків формулу перетворення суми
однойменних тригонометричних функцій на добуток, отримуємо:
2 сов 8х сов 2х + сов 8х = 0 <=> сов 8х(2 сов 2х + 1) = 0 <=>
СО8 8х = 0
2 сов 2х + 1 = 0
я пп „
X =----1--, п є Л
16 8
я
х = ±—н кп, к є 2.
З
Відповідь-.
я пя , я
<— + —; + — + кп
16 8 З
п, к є 2 >.
Розв'язування рівнянь із застосуванням формул подвійного
і потрійного аргументів
Приклад. Розв’язати рівняння зіпх = сов2х.
Розв’язання. Перетворимо початкове рівняння, використовуючи
формулу соз 2х = 1 - 2віп2х:
віп х = соз 2х <=> зіп х = 1 - 2зіп2х <=> 2зіп2х + зіп х - 1 = 0 <=>
1
81ПХ = —
2
ЗІПХ = —1
х = (-1) —н пп, п є 2 п
к ' 6 л 2тп
<=> X = —І-----
я 6 3
х =------н 2кп, к є 2
2
п-л -я [Я 2/ПЯ
Відповідь-, і—і-------
[6 З
тп є 2
Розв'язування рівнянь за допомогою заміни змінних
У деяких раніше розглянутих рівняннях застосовувалася заміна змін-
ної, коли ці рівняння зводилися до алгебраїчних відносно однієї з тригоно-
метричних функцій. Розглянемо більш складні випадки заміни змінних.
Тригонометрія
121
Якщо рівняння містить один із виразів (зіп х + соз х) або
(зіп х- соях) і функцію зіп2х (або добуток зіп хсоз х), то, вводячи
нову змінну І - 8ІП X + соя х або І - 8ІП х - соз х, приходимо до рівняння
відносно і. Це пов’язано з тим, що якщо позначити і - зіпх + созх => і2 =
= (зіп X + соз х)2 = зіп2х + 2зіп ХСОЗ X + соз2х = 1 + 2зіп хсоз х = 1 + зіп 2х =>
=> зіп 2х = і2 - 1.
Якщо позначити і - зіп х - соз х => і2 = (зіп х - соз х)2 = 1 - зіп 2х =>
=> зіп 2х = 1 - і2.
Приклад. Розв’язати рівняння 5(зіп х + соз х)2 - 13(зіп х + соз х)+
+ 8 = 0.
Розв’язання. Позначивши і = зіпх + созх, отримаємо:
, ^ = 1 (а)
5і2 -13# + 8 = 0 <=> 1
А =1,6 (б)
Розглянемо кожне з рівнянь сукупності окремо.
(а)
зіп X + СОЗ X = 1
<=> х + — = (-1)" — + пп <=> х = - — + (-1)" — + пп, п є 2.
4 4 4 4
Зазначимо, що рівняння зіпх + созх = 1 можна було б розв’язувати
за формулами зіп х = 2 зіп—соз — і 1 - соз х = 2 зіп2 — , тобто
_ . х х „ . » х
2зіп — соз----2зіп“ — =
2 2 2
зіп— = 0
2
х . х
соз---зіп— = 0
2 2
х = 2тп, т & 2
х
1-і§-=0
х = 2тп, т є 2
п
х = —н 2кп, к є 2
2
Ця відповідь збігається з одержаною раніше, оскільки, вважаючи
п - 2пг і п = 2к + 1, отримуємо збігання відповідей.
(б) зіпх + созх = 1,6 <=> х є 0, оскільки
|зіпх + созх| =
>/2 зіп
< >/2, а число 1,6 >
Відповідь: <- — + (-1)" — + пп
4 4
п & 2
122
Алгебра
Розв'язування тригонометричних рівнянь виду ^/"(х) = д(х)
Приклад. Розв’язати рівняння д/созх - зіпх.
Розв’ язання.
>/сО8Х = 8І11 X <=> <
я
2/гя < х < — + 2/гя, к є 7
2
зіп х > 0
соз х > 0
СО82 X + соз х - 1 = 0
п
2кп < х < —н 2/гя, к є 7
2
+ 2тгя, п&7
оскільки друга серія розв’язків зі знаком «-» не задовольняє нерівності
я
2/гя < х < —н 2/гя, к є 7.
2
Відповідь-.
Зауваження.
Якщо бути більш точним, то л/созх = зіпх <=>
зіпх > 0
(л/сОЗХ ) = (зІПх)“
Розв'язування тригонометричних рівнянь із використанням
обмеженості функцій у = 5ІПХ, у = СО5Х
Розв’язуючи подібні рівняння, нерідко приходять до систем триго-
нометричних рівнянь.
Приклад. Розв’язати рівняння Ззіп7х + 5соз1вх = 8.
Розв’язання. Оскільки |зіпх| < 1, |созх| < 1, то
ІЗ зіп7 х + 5 соз16 х| < 3 |зіп7 х| + 5 |соз16 х| < 3 + 5 = 8.
Знак «=» з урахуванням наведених нерівностей може мати місце
тільки у тому випадку, якщо
зіп7 х = 1
соз16 х = 1
зіпх = 1
І | <=> X є 0
созх = 1
(оскільки зіп2х + СО32Х = 1).
Відповідь-. 0.
Тригонометрія
123
Тригонометричні рівняння,
ЩО МІСТЯТЬ ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
При розв’язуванні рівнянь з оберненими тригонометричними функ-
ціями найпоширеніший прийом — перехід від рівності кутів до рівності
тригонометричних функцій. При цьому отримані рівняння у загальному
випадку не будуть рівносильними початковим, тому що відбувається
розширення області визначення початкового рівняння і, отже, мож-
лива поява сторонніх коренів. Тому необхідна перевірка отриманих
розв’язків, якщо були не скрізь рівносильні перетворення.
Приклад. Розв’язати рівняння агсзіпх + агсі£ — = —.
5 4
Розв’язання. Перенесемо агсі^ — у праву частину рівняння і візь-
5
мемо синус від обох частин. Дістаємо:
зіп(агсзіпх) =
. (п , 1) .я ( , 1А . ( , 1А я \/2 5
= зіп----агсщ— ^х= зіп—соз агсщ— -зіп агсіг— сов —=-------------^=-
І4 5) 4 5} 5} 4 2 ^26
1 ЇЇ2 5 1 2
>/26 2 2>/ЇЗ 2л/ЇЗ >/ЇЗ ’
2
Перевірка показує, що х - ______ є коренем початкового рівняння.
л/13
о-а -я 2
Відповідь'. ----
л/13
Розв’язати рівняння 4(агсзіпх)2- 17(агсзіпх) + 4 = 0.
Розв’язання. Позначивши агсзіпх = і, отримаємо квадратне
рівняння 4і2 - 17і + 4 = 0, корені якого = 4. З рівняння
1 • 1 .
агсзіпх = — => х = зіп —, з рівняння агсзіп х - 4 => х є 0, оскільки
я _ . я
---< агсзіп х < —, а 4 є
2 2
я. я
ЇЇ’ЇЇ
Звідси х - зіп— є єдиним коренем по-
4
чаткового рівняння. Перевірка розв’язку для даного рівняння є зайвою.
Відповідь', зіп —.
4
Системи тригонометричних рівнянь
При розв’язуванні систем тригонометричних рівнянь використо-
вуються ті самі прийоми, що і при розв’язуванні систем алгебраїчних
рівнянь, а також формули тригонометрії. Звичайно при розв’язуванні
тригонометричних систем останні зводять або до одного рівняння з од-
ним невідомим, або до системи рівнянь відносно самих аргументів або
функцій цих аргументів.
124
Алгебра
Приклади
Розв’язати систему
2я
х + у — —,
З
созх + соз у — 1.
Розв’язання. Виразивши у через х з першого рівняння системи і під-
ставивши в друге, отримаємо рівносильну початковій систему:
2я
у =-----х,
З
2я
У =-----х,
З
я
(2я ] .
СОЗ X + СОЗ-----X = 1
І з )
г, Л ( я ]
2 соз —соз х-----= 1
З
З
2я
у =----х,
З
я
х----= 2пя
З
я
у =----2пя, п є 2,
З
я
х = —н 2пя, п є 2.
З
я я
Відповідь', х = —н 2пя, у =-----2пя, п є 2.
З З
Зауваження. Відповідь можна було б записати в такій формі:
(Я я і
< —н 2пя,----2пя \ п є 2 > .
ІЗ 3 )
зіпх • созу = 0,5,
созх • зіпу = -0,5.
Розв’язання. Додавши 1 і 2 рівняння системи, отримаємо:
Розв’язати систему
зіп X • соз у + СОЗ X • зіп у - І - І <=> зіп (х + у) = 0.
При відніманні другого рівняння з першого отримаємо:
1
Зіп X • СОЗ X - СОЗ X • зіп у - —
2
зіп (х - у) = 1.
Таким чином, отримаємо систему, рівносильну початковій:
я пп
X —---1---Ь /Ж,
4 п, к є 2.
я пп
у =----1----кп,
4 2
зіп (х + у) = 0,
зіп (х - у) = 1
І тс
Відповідь: <—н
I 4
X + у = пя,
я
х - у = —н 2/гя
2
пп , Я ПП , ] , г,
--н кп,-1-кп І п, к є 2 і.
2 4 2)
Тригонометричні нерівності
Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких
змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції.
При розв’язуванні нерівностей із тригонометричними функціями
використовуються періодичність цих функцій і їхня монотонність на від-
повідних інтервалах. При цьому корисно користуватися графіками.
2
Тригонометрія
125
Оскільки розв’язування тригонометричних нерівностей зводить-
ся до розв’язування найпростіших, то розглянемо спочатку прикла-
ди розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей, тобто
нерівностей виду Дх) > а (або Дх) < а, /(х) > а, /(х) < а), де Дх) — одна
з тригонометричних функцій.
Оскільки функції у - зіпх, у - соях мають основний період Т - 2я,
то нерівності виду зіпх > а (зіпх < а, яіпх > а, яіпх < а) і соях > а (соях < а,
соях > а, соях < а) достатньо розв’язати спочатку на будь-якому відрізку
довжиною 2я. Множину всіх розв’язків отримаємо, додавши до кож-
ного із знайдених на цьому відрізку розв’язків числа виду 2пп, п є X.
Для розв’язування нерівностей виду 1§х > а (Ї£х < а, 1§х> а, ї%х < а)
і сі§х > а (сі£х < а, сі£х > а, сі£х < а) досить розв’язати їх спочатку на
інтервалі довжиною я. Оскільки функції у - ї%х і у - сі£х мають період
я, то, додаючи до знайдених на відповідних інтервалах розв’язків числа
виду пп, п є X, отримаємо всі розв’язки початкової нерівності.
Приклади
„ , . . >/з
Розв язати нерівність созх >
Розв’язання. На одному і тому самому рисунку побудуємо графіки
>/з
функцій у — соях і у --- (рис. 39). З рисунка видно, що один з інтер-
2
валів, в якому виконується дана нерівність, розташований між най-
4$ Л
меншими за модулем коренями рівняння соя х =-, тобто між точка-
2
я . я . _.....
ми х = і х = —, включаючи ці точки. Усі інші інтервали, у яких
6 6
виконується дана нерівність, дістаються шляхом зміщення відрізка
я. я
ЇЇ’ЇЇ
ліворуч або праворуч на відстані, кратні 2я.
Рис. 39
Тому нерівність соях >-- виконується при
----1- 2яп < х < —і- 2яп, п є X.
6 6
Відповідь-.-----1- 2яп < х < —н 2яп, п є X.
6 6
126
Алгебра
Розв’язати нерівність 1§х < 3.
Розв’язання. На одному тому са-
мому рисунку будуємо графіки функ-
цій у-ї^хіу-З (рис. 40). Виділимо
один з інтервалів значень аргументу,
де графік тангенсоїди нижче графіка
прямої у - 3. Таким інтервалом є, на-
те
приклад, інтервал < х < агсі§3.
Використовуючи періодичність фун-
кції у = Ї£Х, робимо висновок, що
розв’язками початкової нерівності
на всій числовій прямій є ті й тільки
Рис. 40
ті значення х, які задовольняють подвійній нерівності
----1- тт < х < агсі§ 3 + пп, п є 2.
Відповідь'. ЦІ
пє 2
----1- пп; агсі§ 3 + пп
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Знайдіть зіпа, якщо соза = -0,4 і 90° < а < 180°.
>/2Ї 2-721 \/2Ї 5-721
1) --—; 2) —-—; 3) -—; 4) ——.
2 21 5 21
2. Яку з перелічених властивостей має функція у - 2созЗх:
1) спадає на В; 2) парна; 3) неперіодична; 4) зростає на В‘1
3. Функція у - 2зіпЗх - і набуває найбільшого значення, що дорівнює:
1)1; 2)1|; 3) 2І; 4) з|.
4. Через яку з даних точок проходить графік функції у - зіп2х:
1)А(0;0); 2) В|-;1 |; 3) 0(0; 1); 4) В(те; 1)?
у 2 ]
х
5. Найменшим додатним періодом функції у - 4соз— є:
2
1) 2) те; 3) 4те; 4) бте.
а Пя
о. Обчисліть значення виразу зіп——.
1)1; 2)|; 3)0; 4)-1.
„ 1 + І£60С
7. Спростіть вираз —---------—.
і£ ос + сі§ а
1) і£ос; 2) 1§-2ос; 3) і£3ос; 4) 1§-4ос.
Тригонометрія
127
8. Рівняння 1§х - -1 має розв’язки:
1) х = пп, пеИ;
п
3) х =----н пп, п є 2',
4
9. Розв’яжіть рівняння созЗх = —.
2) х = —н пп, п є 2",
4
п
4) х = ±—н пп, п є 2.
4
2п
1) ±----н 2пп, п є 2;
9
, 2п 2пп „
3) ± — +------, п є 2-,
9 З
п 2пп п
2) ±—і----, п є 2‘,
9 З
.. , 2п 2пп „
4) ± — +---, п&2.
З З
10.
Т, . я
Розв яжіть рівняння 81П X - —
. ч я „
1) —н пп, п є 2;
2
2) пп, п є 2",
11.
п
6
12.
3) 1;
Нерівність созх > — має розв’язки:
1) — + 2пп < х < — + 2пп, п є 2;
6 6
3) — + 2пп < х < — + 2пп, п є 2",
З 6
Нерівність зіпх < і має розв’язки:
4) інша відповідь.
п п
2)-----н 2пп < х < —н 2тш, п є 2і,
З З
п п
4)-----н 2пп < х < —н 2тш, п є 2.
6 6
л л
1)----н 2пп < х < —н 2пп, пє2;
6 6 3
3) -^- + 2пп<х< — + 2пп,п є 2;
6 6
2) — + 2пп < х < — + 2пп, п &2‘,
6 6
.. 7п п „
4)-------н 2пп < х < —н 2пп, п є 2.
6 6
13. Знайдіть значення виразу — агсі§0,5 .
\ 2 1
1)5-72; 2)5 + 72; 3)Тб-2;
14. Розв’яжіть рівняння агссоз(х + 2) = п.
1)1; 2)2; 3)3;
4) Тб + 2.
4) 4.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 3. 2. 2. 3. 2. 4. 1. 5. 3. 6. 4. 7. 3. 8. 3. 9. 3. 10. 4. 11. 2. 12. 4. 13. 3. 14. 3.
ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ.
ПОКАЗНИКОВІ І ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ,
СИСТЕМИ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТІ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Означення логарифма. Основна логарифмічна тотожність. Властивості логарифмів.
Логарифмування і потенціювання.
Методи розв’язування показникових рівнянь. Степенево-показникові рівняння. Основні
методи розв’язування логарифмічних рівнянь. Показникові нерівності. Степенево-показникові
нерівності. Логарифмічні нерівності. Приклади розв’язування показникових і логарифмічних
нерівностей підвищеної складності.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Означення логарифма. Основна логарифмічна тотожність
Логарифм додатного числа Ь за основою а (де а > 0, а Ф 1) є показни-
ком степеня, до якого потрібно піднести число а, щоб дістати число Ь.
Логарифм числа Ь за основою а позначається символом 1о§аЬ. Напри-
клад:
(1 у 1 1
З2 = 9 2 = 1о£39; 53 = 125 3 = 1о£5125; - = — о 4 = 1о§. —.
І 2 ) 16 | 16
З означення логарифма випливає, що а'1'"^1’ = Ь . Рівність а1°ваЬ - Ь,
правильна для будь-яких а > 0, а 1, & > 0, називається основною
логарифмічною тотожністю. Наприклад:
1°Є1 7
4
= 7.
Для позначення десяткових і натуральних логарифмів заведені спе-
ціальні позначення: замість 1о§105 пишуть замість 1о§у& пишуть ІпЬ
(е — основа натурального логарифма, е ~ 2,7). Таким чином, 1о§10х = 1%х,
1о£ех - Іпх.
Властивості логарифмів
Перелічимо основні властивості логарифмів-.
1) а°іаЬ - Ь (основна логарифмічна тотожність);
2) 1о£аа = 1 (логарифм основи дорівнює одиниці);
3) 1о£а 1 = 0 (логарифм одиниці дорівнює нулю);
4) якщо Ь > 0, с > 0, то 1о§а(Ьс) = 1о£аЬ + 1о£ас (формула для логариф-
ма добутку, що дорівнює сумі логарифмів). Зазначимо, що якщо
Ь < 0, с < 0, то 1о£а(&с) = 1о£а|&| + 1о£а|с|;
Показникова і логарифмічна функції, рівняння, нерівності
129
5) якщо Ь > 0, с > 0, то 1о§,
— | = 1о§я Ь - 1о§я с (формула для лога-
с )
рифма частки, що дорівнює різниці логарифмів). Зазначимо,
що якщо Ь < 0, с < 0, то 1о§,
|1 = 1о£я Н-1о£я |с| ;
6) якщо Ь > 0, то 1о§я Ьр = />1о§я Ь (формула для логарифма степеня,
що дорівнює добутку показника степеня і логарифма його осно-
ви). Зазначимо, що якщо показник степеня є парним числом 2р,
то справедлива формула 1о§я Ь2р - 2р\о§а, |&|. Тут Ь є В\ {0};
1о§ Ь
7) якщо Ь > 0, то 1о§ Ь -------— (формула переходу до нової
1о§с а
основи логарифма). Зокрема, при с = Ь отримаємо формулу
, , 1о£ьь 1
1о§ Ь =-----— =----;
1о§6 а 1о§6 а
8) 1о§я Ь - 1о§ р Ьр (ця властивість формулюється таким чином: якщо
основа логарифма і число, що стоїть під знаком логарифма, під-
нести до того самого степеня, відмінного від нуля, то значення
логарифма не зміниться). Для доведення властивості 8) достатньо
у правій частині тотожності перейти до основи а:
ІОЦ Ьр ріог Ь
ІО£ ьр = Р = ІО£ Ь;
а 1о£я ар р^о§а а
9) а108'6 = . Для доведення властивості 9) достатньо прологариф-
мувати обидві частини тотожності за основою с.
Зауваження. Необхідно розрізняти логарифм суми і суму логарифмів.
Сума логарифмів дорівнює логарифму добутку, тобто 1о£,ф + 1о£ас = 1о£а(Ьс),
а для логарифма суми 1о§а(& + с) ніякої формули немає.
Логарифмування і потенціювання
Якщо деякий вираз Р складений з чисел або змінних за допомогою
операцій множення, ділення, піднесення до степеня, то можна виразити
1о£а.Г через логарифми вхідних до 1о§а.Г чисел або змінних, використо-
вуючи властивості логарифмів.
Таке перетворення називається логарифмуванням.
сі^Ь^
Приклад. Дано А - ——-. Знайти 1§А, якщо Ь > 0, с > 0.
с
Розв’язання. Використовуючи властивості логарифмів, отримаємо:
1§А = 1§ = 1§(а267)-1§(с43) = 1§а2 + 1§Ь7 -431§с =
\с 7
= 2|а| + 7Ь - 43с.
Відповідь-. 21§|а| + 71§Ь - 431§с.
Потенціювання — це перетворення, обернене логарифмуванню.
При потенціюванні знаходять вираз за його логарифмом.
130
Алгебра
Приклади
Знайти х, якщо 1о§5 х - 1 + —1о§5 3 - 1о§5 3 - 21о§5 2.
З
Розв’язання. Перетворимо праву частину початкового виразу:
-< і
1 + - 1о£5 3 - 1о£5 3-2 1о£5 2 = 1о£5 5 + 1о§5 З3 - (1о§5 3 + 1о§5 22) =
О
1о§5 (б • </з) - 1о§5 (з • 22) = 1о§5
Тоді 1о§5 х = 1о§5
Відповідь-.
12
Знайти х, якщо 1§х -
2
Розв’язання. Маємо: х = — • І — І -(а - Ь) = І — - (а - Ь) =
Відповідь-.
[ІД ЗАПАМ'ЯТАЙ
Основними методами
розв'язування показни-
кових рівнянь є: а) метод
порівняння показників сте-
пенів; б) метод уведення нової
змінної.
Показникові рівняння
Показниковими рівняннями називаються такі рівняння, у яких
змінна міститься в показнику степеня.
Логарифмічними рівняннями називаються такі рівняння, у яких
змінна міститься під знаком логарифма або в основі логарифма.
Показникові і логарифмічні рівняння належать до трансцендент-
них рівнянь, тобто таких рівнянь, що містять трансцендентні функції
(показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернені тригономет-
ричні).
Методи розв'язування показникових рівнянь
Основними методами розв’язування показникових рівнянь є:
а) метод порівняння показників степенів; б) метод уведення нової змін-
ної. Іноді застосовують різні штучні прийоми.
Будемо називати найпростішими показниковими рівняння виду:
ах - 1; аЯх) = 1; аЯх) = ас-, ах - Ь; аКх} - Ь; аКх} - ав{х}. При розв’язуванні цих
рівнянь використовують властивість показникової функції аЯх) = ах,х' <=>
<=> /(х) = §(х), де а > 0, а 1.
Показникова і логарифмічна функції, рівняння, нерівності
131
Розв'язування найпростіших показникових рівнянь
(передбачається, що а > 0, а * 1, Ь > 0)
а) ах - 1<=> ах - а° <=> х - 0;
б) аПх} = 1 <=> аПх} - а° <=> /(х) = 0;
в) аЯх) = <=> Дх) = с;
г) ах = Ь ах - аі°ва ь х = 1о§я Ь (розв’язання рівняння ах - Ь можна
було б записати відразу, тому що х - 1о£а& випливає з означення
логарифма);
д) аЛх) = & <=> Дх) = 1о£а&;
е) аЯх) = ае{х} <=> Дх) = §(х).
Розв'язування показникових рівнянь, що зводяться
до найпростіших, з використанням методу зрівнювання
показників степенів
При цьому спочатку зводять показникові рівняння до однієї основи
в обох частинах рівності, потім зрівнюють показники степенів лівої
і правої частин рівності, після цього розв’язують отримане рівняння.
Приклади
(і ¥
Розв’язати рівняння (121)Л = 1 — 1 •
Розв’язання. Зведемо всі степені до основи 11.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Спочатку зводять показникові
рівняння до однієї основи
в обох частинах рівності, потім
зрівнюють показники степенів
лівої І правої частин рівності,
після цього розв'язують отри-
мане рівняння.
121 = II2, — = 1Г1 .
11
Тоді (121)* = (д) о (112 Г = (П ' Г 112Л = 11 "
<=> 2х = —х2 <=> 2х + х2 = 0 <=> х(2 + х) = 0 <=> хІ = 0, х, = -2.
Відповідь-. 0; -2.
Розв’язати рівняння л/з7 • л/б7 = 225 .
Розв’язання. VI7 45х = уіЗх 5х = ^(3 • 5)" = л/157 = 152 , 225 = 152.
Звідси початкове рівняння еквівалентне такому:
152 = 152 о-= 2 о х = 4.
2
Відповідь-. 4.
Розв’язати рівняння \І27Х 1 = ^92 * .
Розв’язання. 27 = З3, 9 = З2, 27г1 = [з3)"' = З3'*3, 92 Л = (з2)2-* = 3 і 2л .
Звідси отримуємо: уі27х1 = ^9^ л/з3*’3 = уі34~2х <=> 3~ = 3~ <=>
Зх —3 4 —2х ч ,, >. 17
$=> —-— = —-— $=> 3 (Зх - 3) = 2 (4 - 2х) <=> х = —.
оа -а 17
Відповідь-. —.
13
132
Алгебра
Розв'язування рівнянь виду а"*'1 _ іу(м (о > о, Ь > 0, а 1, Ь 1)
ЗАПАМ'ЯТАЙ Ці рівняння розв'язуються шляхом ділення обох частин на Ь/м або на а/м. Ці рівняння розв’язуються шляхом ділення обох частин на ЬГ(х} або на а/(х>. Приклади Розв’язати рівняння Зг= 19г. 3' 19Л 3х (з Розв’язання. 3Л = 19Л <=> = <=> = 1 <=> — = 1 <=> х = 0. 19' 19' 19' 119,1 Відповідь-. 0. Розв’язати рівняння 6Л+1 = 37Л+1. бх+1 ( 6 ¥+1 Розв’язання. 6Л+1 = 37Л+1 <=> = 1 <=> — = 1 <=> х + 1 = 0 <=> 37Л+1 \37^ <=> х - -1. Відповідь-. -1. Розв'язування рівнянь виду А а((х> В Ь9(х>
ЗАПАМ'ЯТАЙ Ці рівняння зводяться до ал- гебраїчних шляхом логариф- мування обох частин рівняння за тією самою основою. Ці рівняння зводяться до алгебраїчних шляхом логарифмування обох частин рівняння за тією самою основою. Приклад. Розв’язати рівняння 2 • 5Г= Зг 1 • 7. Розв’язання. Початкове рівняння можна розв’язати двома спосо- бами. Перший спосіб. Логарифмуємо обидві частини за тією самою осно- вою, наприклад, за основою 3. Тоді маємо: 1о§3 (2 • 5*) = 1о£3 (З*1 • 7) « 1о£3 2 + 1о£3 (б*) = 1о§3 (з*1) + 1о§3 7 « <=> 1о§3 2 + х 1о§3 5 = (х - 1) 1о§3 3 + 1о§3 7 = х - 1 + 1о§3 7 <=> <=> х 1о§3 5 - х = - 1о§3 2 - 1 + 1о§3 7 <=> <=> х (1о£3 5 - 1) = 1о£3 7 - 1о£3 2 - 1 <=> 7 7 т ґ7 1о§3--1о§33 1о£з 6 /7х О X = = = ;—г- = ІО§„ — . 1о§35-1 1о§35-1о§33 Ґ5 А йз 1^3 ) Другий спосіб. Перетворимо початкове рівняння таким чином: о- - .> є.. 3 - 5" 7 Ґ5Ї 7 , Ґ7Ї 2-5 =3 • 7<=>2• 5 = 7— = <=> — = — <=> х = Іоя,. — . 3 Зл 3 2 ^3> 6 Як бачимо, відповіді збіглися, однак другий спосіб для даного при- кладу є більш раціональним. (7} Відповідь-. 1о§5 — . Де;
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
133
Розв'язування показникових рівнянь методом
винесення спільного множника за дужки
Приклади
Розв’язати рівняння 3Л + 3Л+1 = 108 .
Розв’язання. 3Л + 3Л+1 = 108 3Л + 3Л 3 = 108 3 (1 + 3) = 108
& 3Л = — = 27 = З3 о х = 3.
4
Відповідь-. 3.
Розв’язати рівняння 5Л+1 + З 5Л 1 - 6 5Л+ 10 = 0.
Розв’язання. 5Л+1 = 5'*1 • 52 , 5Л = 5'*1" = 5'*1 • 5 . Звідси початкове
рівняння еквівалентне такому:
5 ' 1 5 3 5' 1 - 6 5' 1 5 10 0 < >
5х-1 (а2 + 3 - 6 - а) + 10 = 0 о а-*1 (-2) + 10 = 0 о
5х-1 = 5«х-1=1«х = 2.
Зазначимо, що в даному прикладі можна було б виносити за дужки 5Г
або 5Г + \ однак у цих випадках перетворення були б більш громіздкими.
Відповідь-. 2.
Розв’язати рівняння 3Л + 3Л+1 + 3Л+2 = 4Л + 4Л+1 + 4Л+2.
Розв’язання. У лівій частині початкового рівняння винесемо за дуж-
ки Зг, а в правій частині 4Г. Маємо:
Зг(1 + 3 + З2) = 4Г(1 + 4 + 42) о З* 13 = 4х 21 о
З
4
21
13
X = ІО§3
21А
із /
Відповідь-. 1о§3
4
Розв'язування показникових рівнянь, що зводяться
до квадратних або алгебраїчних рівнянь вищих степенів
а) Рівняння виду А а2х + В • ах+ С = 0 за допомогою підстановки
ах - у зводяться до квадратного рівняння Ау2 + Ву + С = 0.
Приклад. Розв’язати рівняння 52г - 6 5Г + 5 = 0.
Розв’язання. Позначивши 5Г = у > 0, отримаємо у2 - 6г/ + 5 = 0, корені
якого у} - 5, у2 - 1. Звідси початкове рівняння еквівалентне сукупності
рівнянь
5Л = 5
5Л = 1 ’
х — 1,
х — 0.
Відповідь-. 1; 0.
б) Рівняння виду А а2Г(х} + В аГ(х} + С = 0 (а > 0, а Ф 1) за допомогою
підстановки аГ(х} - у зводяться до алгебраїчного (квадратного)
рівняння Ау2 + Ву + С - 0.
134
Алгебра
Приклад. Розв’язати рівняння 32л
Розв’язання. Нехай 3Л = у , тоді
-12 З*2 +27 = 0.
32л“ = (зЛ“ ) = у2. Підставивши
до початкового рівняння, отримаємо:
у2 - 12г/ + 27 = 0 а У1 = 3, у2 = 9
зл2 = З
3х2 = 9
х2 = 1
х2 = 2
Відповідь-. ±1; ± >/2.
в) Розв’язування показникових рівнянь, що зводяться до алгебраїч-
них рівнянь вищих степенів.
Приклад. Розв’язати рівняння 8Г - 2Г+1 -4 = 0.
Розв’язання. 8Г = (23) = (2Л) , 2Л+1 = 2Л -2. Позначивши 2Г = у,
отримаємо: у3 - 2у - 4 <=>
«(г/-2)(г/2 + 2г/ + 2) = 0«
г/-2 = 0
г/2+2г/ + 2=0
у = 2
,^у = 2^2" = 2<=>х = 1.
ує0
Відповідь-. 1. хх
г) Рівняння виду Аах + Ва2Ь2 + СЬХ - 0 зводяться до квадратного
шляхом ділення обох частин початкового рівняння на ах, або
на Ьх, або на (аЬ)2 . Наприклад, при діленні на ах Ф 0 маємо рів-
няння, еквівалентне даному:
Заміна — = у зводить початкове рівняння до квадратного
\а)
А + Ву + Су2 = 0.
Приклад. Розв’язати рівняння 9 16г - 7 12г - 16 9Г = 0.
Розв’язання. Оскільки 12 = 3-4, 16 = 42, 9 = З2, то початкове рівнян-
ня можна записати у вигляді 9 • 42г - 7 • Зг • 4Г - 16 • 32г = 0. Ділимо обидві
частини початкового рівняння на 42г= 16г. Дістаємо:
9 16і - 7 12і -16 9* =0 (: 16і + 0) <+>
Заміна — = у > 0 зводить початкове рівняння до квадратного:
^4 7
9
9 - 7г/ - 16г/2 = 0 <=> 16г/2 + 7г/ - 9 = 0 о г/, = — , у2 = -1. у2 = -1 не за-
16
довольняє умові, тому що у > 0.
„ . 9 7зУ 9 7зУ
Звідси у = — <=> — = — = — <=> х = 2.
16 16 І4^
Відповідь-. 2.
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
135
д) Рівняння виду МІ Ца - у/ь І + N Іуа + у/ь\ - р, де а2 - Ь - 1, зво-
дяться до квадратного за допомогою заміни [у]а - 4ь\ - у або
заміни [уіа + у/ь] -у .
Приклад. Розв’язати рівняння (5/2 + л/з | + (у2- >/з І =4.
Розв’язання
= у , отримаємо:
. Оскільки ^2 + >/з^2 - >/з) = 4 - 3 = 1 , то, замінивши
Звідси початкове рівняння еквівалентне такому:
г/ + — = 4<=>г/2-4г/ + 1= 0<=>г/1,) = 2 ± >/4-1 = 2 ± >/з <=>
У
(V2 + л/з =2 + >/з ^2 + >/з)2 = 2 + >/з
^2 + л/з ) = 2 - >/з [2 + >/з)2 = 2 - >/з = (2 + л/з ) '
х — 2
х — — 2
Відповідь-. 2; -2.
Розв'язування показникових рівнянь виду
Д • апх+ В атх Ь{п т]х + С Ьпх = 0, (а > 0, Ь > 0, а * 1, Ь * 1)
У цьому рівнянні сума показників степенів чисел а і & у кожному
доданку однакова і дорівнює пх.
Поділивши почленно початкове рівняння на Ьпх, отримаємо:
Позначивши — = у, отримаємо алгебраїчне рівняння Ауп +
\Ь )
+ Вут + С = 0. Розв’язавши це рівняння, знаходимо його корені, а потім
повертаємося до змінної х.
Приклад. Розв’язати рівняння 64г + 36г - 10 • 27г = 0.
Розв’язання. 64 = 43, 36 = З2 4, 27 = З3. Звідси початкове рівняння
можна записати у вигляді 43г + 32г • 4Г - 10 • 33г = 0. Поділивши почленно
початкове рівняння на 33г = 27г, отримаємо:
136
Алгебра
Ґ4¥
+ - -10 = 0 о
Із )
І 4 V
<=> у8 + У - 10 = 0 (де у = - > 0 ) о
\ О /
(у - 2)(№ + 2у + 5) = о
У-2 = 0 у = 2
у2 + 2у + 5 = 0 у е0
= 2 о х = 1о§4 2 .
З
Відповідь: 1о£4 2.
з
ЗАПАМ'ЯТАЙ
При розв'язуванні показни-
кових рівнянь цим методом
спочатку шляхом підбору
знаходять корінь початко-
вого рівняння, а потім дово-
дять, що цей корінь єдиний,
з використанням властивості
монотонності показникової
функції.
Розв'язування показникових рівнянь методом підбору
При розв’язуванні показникових рівнянь цим методом спочатку
шляхом підбору знаходять корінь початкового рівняння, а потім дово-
дять, що цей корінь єдиний, з використанням властивості монотонності
показникової функції.
Приклад. Розв’язати рівняння 6Г + 8Г = 10г.
Розв’язання. Підбором знаходимо, що х - 2 — корінь початкового
рівняння. Покажемо, що інших коренів немає. Поділивши початкове
рівняння на 10г, отримаємо рівносильне рівняння:
а) Покажемо, що серед чисел х < 2 коренів немає. Якщо х < 2, то
при х < 2 коренів немає.
б) Покажемо, що серед чисел х > 2 коренів початкового рівняння
також немає. Якщо х > 2, то
Г ЗЇ Ґ1Ї ґ—Т ґ-ї ґ-ї ґ-ї ґ-ї -
=> при х > 2 початкове рівняння коренів немає. Відповідь-. 2.
Степенево-показникові рівняння
словник
Степенево-показниковими
рівняннями називають рів-
няння виду:
(/7(х))фМ = Ц(х))д;'.
Степенево-показниковими рівняннями називаються рівняння виду
(ЯЧГ ’ = {/(<".
Коренями таких рівнянь увижаються розв’язки мішаної системи
/(х) > О
< Дх) * 1
ф(х) = §(х)
і ті значення х, для яких Дх) = 1, якщо при цих значеннях визначені
ф(х) і £(х).
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
137
Зауваження. Оскільки ми припускаємо, що функції виду (Дх))ч><х)
визначені тільки при Дх) > 0, то ті значення х, які формально задоволь-
няють рівнянню (Дх >Г’=(л х))<(х) , але при яких Дх) < 0, ми не будемо
вважати коренями степенево-показникового рівняння.
Слід однак зазначити, що якщо умовою передбачається мож-
ливість Дх) < 0, то при розв’язуванні степенево-показникових рівнянь
(Дх >Г’=(л х))<(х) потрібно розглядати також випадок, коли Дх) < 0,
що значно ускладнює розв’язання.
Розглянемо спочатку степенево-показникові рівняння спрощеного
виду (Дх))ч>(х) = 1.
Це рівняння зводиться до сукупності двох рівнянь Дх) = 1, ф(х) = 0.
Розв’язками початкового рівняння є розв’язки цих двох рівнянь,
для яких вирази Дх) і ф(х) визначені і Дх).
Таким чином,
(к<‘“ = і о
Г(х) = 1
< ф(х) = 0.
Дх) > 0
Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь
Розв’язування логарифмічних рівнянь засноване на властивостях
логарифмічної функції. Розглянемо основні прийоми розв’язування
цих рівнянь.
Розв'язування найпростіших логарифмічних рівнянь
Найпростішими логарифмічними рівняннями будемо називати рів-
няння виду:
а) 1о£ах = Ь-, б) І0£аДх) = Ь-,
в) 1о§аДх) = г) 1о£аДх) = 1о£а£(х);
Д) Іо&^Дх) = Іо^^Сх).
Розглянемо розв’язання цих рівнянь.
а) 1о§ах - Ь х - аь, а > 0, а 1;
б) 1о£аДх) = & <=> Дх) = аь, а > 0, а Ф 1;
в) 1о§аДх) = §(х) <=> Дх) = Щ1*'1, а > 0, а 1;
Г) ІоеЛх) = 1 оц.Є(х) » Лх) > 0 ° > 0 ° 5 0
де а > 0, а Ф 1. 1
На практиці при розв’язуванні логарифмічних рівнянь виду г)
можна розв’язувати або першу систему, або другу, або третю. Пере-
вагою першої системи є її наочність і очевидність, однак доводиться
розв’язувати дві нерівності. Цього недоліку позбавлені друга і третя
системи; при цьому краще розв’язувати ту з двох систем, де простіше
розв’язання нерівності (Дх) > 0 або §(х) > 0).
Відзначимо, що при розв’язуванні рівнянь виду 1о£„Дх) = = 1о£а£(х)
можна не користуватися символами еквівалентності і не розв’язувати
мішані системи. При цьому від початкового рівняння 1о£„Дх) = 1о£а£(х)
переходимо до рівняння Дх) = §(х). Розв’язуючи останнє рівняння, зна-
ходимо його корені, серед яких можуть бути сторонні. Сторонні ко-
рені можна виявити або за допомогою підстановки знайдених коренів
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Розв'язування логарифмічних
рівнянь засноване на власти-
востях логарифмічної функції.
Розглянемо основні прийоми
розв'язування цих рівнянь.
138
Алгебра
до початкового логарифмічного рівняння, або за допомогою знаходжен-
ня області визначення початкового рівняння, що задається системою
„ /(х)>0
нерівностей <
І£(х) > 0
Дх) = £(х)
/(х) = §(х) /(х) = §(х)
/(х) > 0 §(х) > 0
д) Іоя^Дх) = 1о£ф(г)£(х) & §(х) >0 <=> •
ф(х) > 0 ф(х) > 0
чі/І 1 Кл ф(х) Ф 1 ф(х) Ф 1.
ф(х) Ф 1
На практиці можна користуватися будь-якою з наведених вище
трьох систем.
Приклади
Розв’язати рівняння 1о§4(х + 2) = 3.
Розв’язання. 1о£4(х + 2) = 3<=>х + 2 = 43 = 64 <=>х = 64-2 = 62.
Відповідь'. 62.
Розв’язати рівняння 1о§5 (х2 — 1) = 1о§5 (7х-7).
Розв’язання. Наведемо три форми запису розв’язання.
Перша форма запису (за допомогою тільки еквівалентних перетво-
рень).
1о§5(х2 -1) = 1о£5(7х-7)
X2 -1 = 7х-7
< х2 -1 > 0
7х - 7 > 0
х2 - 7х + 6 = 0
< х < —1; х > 1 <=>
х > 1
х = 1; х = 6
< х < —1; х > 1,<=> х = 6.
х > 1
Друга форма запису (за допомогою тільки еквівалентних перетво-
рень).
1о§5 (х2 -1) = 1о§5 (7х - 7) <=>
X2 -1 = 7х-7
7х - 7 > 0
х2— 7х + 6 = 0 Гх = 1; х = 6
х > 1 х > 1
Третя форма запису розв’язання (зі словесними коментарями і з пе-
ревіркою знайдених коренів).
1о§5 (х2 -1) = 1о§5 (7х - 7) => х2 - 1 = 7х - 7 =>
=> х2 - 7х + 6 = 0 <=> х4 = 1, х2 = 6.
Перевірка. Підставляючи х4 = 1 до початкового рівняння, отримаємо,
що вирази зліва і справа не існують, тобто х4 = 1 — сторонній корінь.
Підставляючи х2 = 6 до початкового рівняння, маємо:
1о§5 (х2 -1) = 1о§5 (б2 -1) = 1о§5 35 ,
1о§5 (7х - 7) = 1о§5 (7 • 6 - 7) = 1о§5 35 , Іо^ 35 = 1о£Гі 35.
Звідси х- 6 є коренем початкового рівняння.
Відповідь'. 6.
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
139
Розв’язати рівняння 1о§2л (х2 - Зх) = 1о§2л (бх - 8).
Розв’ язання.
х2 — Зх = 6х — 8
1о§2х (х2 - Зх) = 1о§2х (6х - 8) «
х2 — Зх > 0
6х — 8 > 0
2х > 0
2x^1
х2 — 9х + 8 = 0
Відповідь-. 8.
Розв’язати рівняння 1о§2 (1о§3 (1о§4 х)) = 0.
Розв’язання. ІО8, (1о£3 (1о§4 х)) = 0 <=> 1о£, (1о§з (1о§4 х)) = 1о£, 1 <=>
1о§3 (1о§4 х) = 1 <=> 1о§3 (1о§4 х) = 1о§3 3 <=> 1о§4 X = 3 <=> X = 43 = 64.
Відповідь-. 64.
Розв’язати рівняння 1§х - 2 - 1^5.
Розв’язання. 2 - 1^5 = І£І02 - 1^5 = = 1§20 .
5
Звідси 1§х - 2 - 1^5 <=> І£х = 1^20 <=> х = 20.
Відповідь-. 20.
Розв'язування логарифмічних рівнянь потенціюванням
Приклади
Розв’язати рівняння 1о§3(х + 1) + 1о£3(х + 3) = 1.
Розв’ язання.
1о§3 (х +1) + 1о§3 (х + 3) = 1 1о§3 (х +1) (х + 3)
1о§з (х2 + 4х + з) = 1 х2 + 4х + 3 = 3 х2 + 4х = 0
X > —1 X > —1 X > —1
х = 0; х = — 4
х > —1
<=> х = 0. Відповідь-. 0.
Розв’язати рівняння 1о§4(х + 3) - 1о£4(х - 1) = 2 - 1о£48.
Розв’язання.
2 - 1о§4 8 = 1о§4 42 - 1о§4 8 = 1о§4 — = 1о§4 2.
О
140
Алгебра
Тоді маємо: 1о§4(х + 3) - 1о£4(х - 1) = 2 - 1о£48 <=>
х — 1 > 0
= 1о§4 2
Відповідь-. 5.
Розв'язування рівнянь із застосуванням основної
логарифмічної тотожності аІО9«ь = Ь
Приклади
Розв’язати рівняння 91ОЄз(1~2л) - бх2 -5.
Розв’язання. Перетворимо ліву частину початкового рівняння, за-
стосовуючи властивості логарифмів і основну логарифмічну тотожність:
діовз (1-2*)
і083(1-2л:)
_ д21°83 (1-2*) _ дІ083(1-2*)
\2 2
= (1-2х)“ за умови, що 1 - 2х > 0.
Звідси можемо записати:
91оЄз(1-2х) = 5х2 _ 5
(1 — 2х)“ = 5х2 — 5
1 - 2х > 0
1 - 4х + 4х2 = 5х2 - 5
1
х < —
2
х — — 2 ± уЮ
1
х < —
2
х2 + 4х - 6 = 0
1
х < —
2
х = -2-л/Ю.
Відповідь-. -2--710.
Розв'язування логарифмічних рівнянь методом заміни змінної
При розв’язуванні рівнянь цим методом необхідно звернути увагу
на таке:
1°§2 (х2) = (1о£я х2)" = (21о§п |х|)2 = 22 (1о£я |х|)2 = 41о§2 |х|;
1о§2 х3 = (1о£я х3)" = (31о§я х)“ = З21о§2 X = 91о§2 X.
У загальному випадку 1о§я х"' = (1о§ях'п) = (т1о§я х)” = т" 1о§я х,
де х > 0, якщо пг — непарне число. Якщо пг-2к(т — парне число),
то при х Ф 0
іо§: хт = іо§: х2а = (2&)" • іо§: |х| = тп іо§: |х|.
Розв’язати рівняння (2, б)1оїзЛ + (0,4)1оїзЛ = 2,9.
5 2 (5 Vі
Розв’язання. 2,5 = —,0,4 = —= — .
2 5 Ш
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
141
Звідси початкове рівняння рівносильне такому:
( 5 У°Єз Л (( 5 Vі У°їз Л 29 ( 5 У°Єз Л (( 5 Vої3 Л Vі
( 5 У°Єз Л
Позначивши 1 — 1 = і , отримаємо:
29
10 ‘
29 , 29 п
— + і '-= 0
10 10
++10#2 + 10-29# = 0«
•
З
Розв'язування рівнянь методом логарифмування
Він полягає в тому, що від рівняння /(х) = §(х) переходять до рів-
няння ІО£аДх) = І0£а£(х).
Метод логарифмування звичайно застосовується при розв’язуванні
рівнянь, що містять змінну і в основі, і в показнику степеня.
Приклади
Розв’язати рівняння х1ел = 10.
Розв’язання. Логарифмуючи обидві частини початкового рівняння
за основою 10, приходимо до рівняння, рівносильного початковому:
х1"3 = 10 <=> 1§(х1ел:) = 1§10 <=> 1§х • 1§х = 1 <=> (1§х)“ = 1 <=>
1§х - 1
1§х — — 1
х = 10
X = 10 1 = 0,1
Відповідь-. 10; 0,1.
Розв’язати рівняння х21^3 1,518 х = л/10 .
Розв’ язання.
х21Є3х-1,51Єх = =
(21/х -1,5І8х)18х = | « 41/ х - 31/ х -1 = 0.
Позначивши 1§2 х = і, отримаємо: 4#2 - З# - 1 = 0 <=>
1§2 х = 1
. , 1 «
І£“ X = --
4
1§х = 1; 1§х = -1
= 0,1.
Відповідь-. 10; 0,1.
142
Алгебра
Розв'язування рівнянь методом ділення обох частин
на показниково-логарифмічну функцію
Приклади
Розв’язати рівняння 321ЄЛ = 531ЄЛ.
Розв’язання.
( 9 Vе*
---- =1<=>І£Х = 0<=>Х = 1.
1125^1
Відповідь-. 1.
Розв'язування рівнянь шляхом переходу до іншої основи
Приклади
Розв’язати рівняння ІО£16Х + ІО£4Х + ІО£2Х = 7•
Розв’язання. Розв’яжемо рівняння двома способами.
Перший спосіб. Переходимо до основи 2: 1о§16 х = ^°^2 Х =
1о§,16 4
1о§, X 1о§, X
1о§4 х =--— =----—.
ІО§2 4 2
Позначивши 1о§2х = і, отримаємо:
— + — + і = 7 <=> і = 4 <=> 1о§, х = 4<=>х = 24= 16.
4 2 2
Відповідь: 16.
Другий спосіб.
1о§1й х 1о§1й х
Переходимо до основи 16: 1о§. х - і2— =---і2— = 21о§16 х,
1°§іб4 1
2
ІО£16Х ІО£16Х
ІО£2 х = ! о = ----7^~ = 4 ІО£16 х-
1°§162 1
4
Позначивши 1о§1вх = і, отримаємо: і + 2і + 4і = 7 <=> і-1
<=> 1о£1вх = 1 <=> х= 16. Відповідь-. 16.
Розв'язування логарифмічних рівнянь
комбінованими методами
Приклади
Розв’язати рівняння х1""2'* -Іб х1'”’1 = 17.
Розв’язання. Уведемо нову змінну за формулою і - х1""2'*. Тоді по-
чаткове рівняння рівносильне такому:
і + — = 17 о і2 - 17і + 16 = 0 о
і
~і = 1 Гх1ОЇ2 Л = 1 1о§2 (х1°Ї2") = ІО§2 1
і = 16 ° * = 16 ° 1о£, (х1ОЄ2 Л) = 1о§, 16
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
143
(1о§, х)“ = 0
(1о§, х)“ = 4
Іо^,х = 0
Іо^, х = 2; 1о£, х = -2
х = 1
X = 22 = 4; X = 2’2
£•
4
Відповідь-. 1:4;—.
4
Розв’язати рівняння 2ІОЇ2Х +х1ОЇ2Л = 32.
Розв’язання. Наведемо два способи розв’язання початкового рів-
няння.
Перший спосіб.
21ой х — 21о8з х 1о8з _ ^2ІОЇ2 х у°Ї2 Л = ХІОЇ2 х
Позначивши х1""2'* = і , отримаємо:
і + і-^2^і- 16<=> х1ОЇ2Х = 16 <=> 1о§2 (х1ОЇ2Л) = 1о§216 <=> (1о§2 х)“ = 4а
П „ о х = 22 = 4
Іо^,х = 2
1о§, х = -2 ° х = 2 2 = —
Ь “ І 4
Відповідь-. 4;—.
4
Другий спосіб. Позначивши 1о§2х = у, отримаємо: х = 2у, 2ІОЇ2Л = 2у .
Тоді початкове рівняння має вигляд:
х = 22 = 4
2у2 + (2У)У = 32 о 2у2 +2у2 = 32 о 2у2 = у = 16 = 2і о у2 = 4 о
Гу - 2 ІО8, х = 2
[у = -2 [1о§, х = -2
Відповідь-. 4;—.
4
Розв’язати рівняння 36'8>' = 6 + 5 х1е6.
Розв’язання. Оскільки х1®6 = б1®*, 361ЄЛ = (б2)8 =(б1ел) , то, позна-
чивши б1®2' = і, отримаємо:
і2 — 6 + 5і <=> і2 — 5і — 6 = 0 <=> — 6, і2 — — 1.
З того, що 61бг = 6, випливає 1§х = 1 <=> х = 10. Рівняння 616Г = -1
розв’язків не має, тому що 616Г > 0. Звідси початкове рівняння має один
розв’язок: х = 10.
Відповідь-. 10.
Розв’язати рівняння 21§х2 -(1§(-х)) = 4.
Розв’язання. ОДЗ:
х2 > 0
—х > 0
х < 0.
х 0
х < 0
Оскільки з ОДЗ х < 0, то 1§х2 = 21§|х| = 21§(—х) (нами використаний
той факт, що при х < 0 |х| = -х ). Звідси початкове рівняння при х < 0
рівносильне такому: 2 • 21§(-х) - (1§(-х))“ = 4. Позначивши 1§(-х) = і,
144
Алгебра
отримаємо: 4£-£2 = 4<=>£2-4і + 4 = 0<=>(£-2)2 = 0<=>£-2 = 0<=>£ = 2<=>
<=> І£(-х) = 2 <=> -х = 102 = 100 <=> х - -100. Відповідь-. -100.
Розв’язати рівняння у/бх - -1о§л 5.
Розв’язання.
2
.— 11 1
ІО£Х <5х = 1о§л (5х)2 = -ІО£Х (5х) = = -(ІО£Х 5 + ІО£Х X
хи хи
Позначивши 1о£,5 = і, отримаємо рівняння, рівносильне початковому:
'1(і + 1) = -^
Оскільки при розв’язуванні початкового рівняння застосовувалися
1 „ . .
тільки еквівалентні перетворення, то х = — — єдинии корінь рівняння,
що не потребує перевірки.
Відповідь-. —.
25
Розв'язування логарифмічних рівнянь, що містять модулі
Приклад
Розв’язати рівняння 1о§3 |2х -1| = 2.
Розв’ язання.
ІО£3 |2х - 1| = 2 <=> \2х - 1| = З2 = 9 <=>
Відповідь-. 5; -4.
2х-1=9 х = 5
2х - 1 = -9 х = — 4
Розв’язати рівняння |1о§^ х - 2| - |1о§3 х - 2| = 2.
Розв’ язання.
ІО£ X ІО£ X
1о§ /- х = ---= = —--- = 21о£3 X.
1о§3 л/з 1
2
Позначивши 1о§3х = і, приходимо до рівняння, рівносильного по-
чатковому:
|2* - 2| - |# - 2| = 2 о 21# - 1| -1# - 2| = 2.
Розв’язуємо останнє рівняння методом інтервалів. При цьому маємо
три інтервали (І, II, III):
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
145
І)
і < 1 [> < 1
< о і = -2
2(1-*)-(2-і) = 2 |* = -2
П)
1<*<2 Г1 < і < 2
< о і = 2
2(*-1)-(2-*) = 2 |* = 2
ПІ)
І>2 Iі > 2
2(і - 1) - (і - 2) = 2 [і = 2 1 Є
Таким чином, отримуємо і - -2; і - 2.
9 .
х = З2 = 9
Звідси
1о§3 х — — 2
1о§3 х — 2
Відповідь-. —; 9.
9
Показникові нерівності
Нерівності, що містять змінні в показнику степеня, називаються
показниковими.
Нерівності виду а(м > а9(х>
словник
Нерівності, ЩО МІСТЯТЬ ЗМІННІ
в показнику степеня, назива-
ються показниковими.
Розв’язання нерівностей подібного виду засновано на таких твер-
дженнях:
якщо а > 1, то нерівність аГ(х} > ае(х} рівносильна нерівності
/(х) > §(х);
якщо 0 < а < 1, то нерівність аНх} > ае(х} рівносильна нерівності
/(х) < §(х). Коротко можна записати:
аї(х} > аі(х}
/(х) > §(х) ’
X = 3 2
а/(х> > аі(х} Р<а<1 .
[/(х) < §(х)
Зазначимо, що, застосовуючи будь-який метод при розв’язуванні
нерівностей, що містять знак «>», можна цей самий метод застосову-
вати і при розв’язуванні нерівностей, що містять знаки «<», «>», «<».
Зокрема, можна, наприклад, записати:
а
/(О
< аі(х}
ГО < а < 1
[/(х) > §(х)
Нерівності виду аГ(х> > Ь, а > 0
Необхідно розглянути два випадки:
а) Ь < 0, тоді а/(х} > 6 а х є _О(/) ;
б) Ь > 0, тоді а/(х} > Ь /(х) > 1о§я Ь при а > 1; а/(л) > Ь <=> /(х) < 1о§я Ь
при 0 < а < 1.
При а - 1 початкова нерівність аНх} > Ь рівносильна числовій нерів-
ності 1 > Ь при х є -О(У).
146
Алгебра
Нерівності виду агм > Ь
При розв’язуванні нерівностей подібного виду застосовують лога-
рифмування обох частин за основою а або Ь. З огляду властивості по-
казникової функції отримуємо:
а/(л} > £<і>о) > якщо а > 1;
а/(л} > £<і>о) < якщо 0 < а < 1.
Розв'язування показникових нерівностей методом
заміни змінної
Приклад. Розв’язати нерівність —-— < г .
3Л + 5 З -1
Розв’язання. Позначивши Зг = і, приходимо до нерівності:
_Д_<0» 2<(-3) <о»
і + 5 3#-1 і + 5 3#-1 (* + 5)(3*-1)
і < і < 3 (оскільки Зг = і > 0).
<=> 1
.3
Звідси початкова нерівність рівносильна такій: — < 3Л < З
З
Відповідь-, х є (-1; і).
Розв'язування нерівностей, що містять однорідні функції
відносно показникових функцій
Приклад. Розв’язати нерівність 2 9Л - 5 6Л + З 4Л > 0.
Розв’язання. Поділивши обидві частини початкової нерівності на
/ 2 V (2 Vх (2 V
9Г Ф 0, отримаємо: 2-5 — +3 — >0. Позначимо — = і , тоді
\ 3 / \ 3 / \ 3 /
маємо: З#2 - + 2 > 0
2
З
2
З
2
З
2
З
Відповідь: х є (—оо* о] ЦІ [1; + 00 ) .
Степенево-показникові нерівності
СЛОВНИК
До степенево-показникових нерівностей належать нерівності, що
містять невідоме і в основі, і в показнику степеня.
До степенево-показникових
нерівностей належать нерів-
ності, що містять невідоме
І в основі, І в показнику сте-
пеня.
Нерівності виду (Дх))ад > 1
Розв’язання подібних нерівностей записується у вигляді ланцюжків
еквівалентних нерівностей:
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
147
> 1 « > (Дх))° «
0 < /(х) < 1
Щх) < 0
Дх) > 1
Щх) > 0
Нескладно записати ланцюжок еквівалентних нерівностей, якщо
наявні знаки >, <, <. Так, наприклад:
(/(х)Г} < 1 « (/(х))^ < (Дх))° «
0 < /(х) < 1
Щх) > 0
Дх) > 1
Щх) < 0
Зазначимо, що якщо у початковій нерівності є знак нестрогої не-
рівності, то треба розглянути ще випадок, коли основа Дх) дорівнює 1.
Нерівності виду Щх))и(х> > (Дх))им
При розв’язуванні нерівностей подібного виду істотною є величина
основи Дх): 0 < Дх) < 1 або Дх) > 1.
(Нх))и(х} > (Дх))ГМ
Дх) > 1
Щх) > У(х)
0 < Дх) < 1
Щх) < У(х)
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Початкову нерівність можна
розв'язувати також із вико-
ристанням логарифмування
обох частин.
Початкову нерівність можна розв’язувати також із використанням
логарифмування обох частин. При цьому якщо основа логарифма а > 1,
то знак початкової нерівності не змінюється, якщо 0 < а < 1, то знак
початкової нерівності необхідно змінити на протилежний.
Зазначимо, що якщо початкова нерівність містить знак <, <, >,
то при розв’язуванні подібної нерівності застосовуються ті ж правила,
що і при розв’язуванні нерівності, що містить знак >, тільки у випадку
нестрогої нерівності потрібно враховувати, що розв’язування рівняння
Дх) = 1 може дати розв’язання початкової нестрогої нерівності.
Нерівності виду Щх))и(х> > (д(х))и(х>
Подібного виду нерівності найпростіше розв’язувати логарифму-
ванням обох частин зі зберіганням знака початкової нерівності, якщо
основа логарифма а > 1, і зі зміною знака на протилежний, якщо основа
логарифма 0 < а < 1. Можна також замість логарифмування розглядати
кілька випадків у залежності від величини основи.
Логарифмічні нерівності
Логарифмічними називаються нерівності, які містять змінну під
знаком логарифма або в його основі.
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей знаходження області
визначення початкової нерівності не є обов’язковим, а часто навіть
словник ф
Логарифмічними назива-
ються нерівності, що містять
змінну під знаком логарифма
або в його основі.
148
Алгебра
недоцільне, оскільки умови, що задають область визначення нерівності,
звичайно включають до тієї нерівності, яка є висновком заданої лога-
рифмічної нерівності.
Нерівності, що розв'язуються з використанням
означення логарифма
Нерівності виду 1о£аДх) > Ь розв’язуються таким чином:
1о£а/(х) > Ь
0 < /(х) < аь
0 < а < 1
/(х) > аь
а > 1.
Аналогічно розв’язуються нерівності виду 1о§а/(х) < &:
1о£а/(х) < Ь
/(х) > аь
0 < а < 1
0 < /(х) < аь
а > 1.
Приклади
Розв’язати нерівність 1о§2(1 - х) > -2.
Розв’ язання.
1о£2( 1 - х) > -2 <=> 1о£2( 1 - х) > 1о£2(2~2) <=>
1 З
$=> 1-х>2“<=>1-х> — <=>х<—.
4 4
Відповідь-, х є -оо; —
І 4
Розв’язати нерівність 1о§, 1о§31о§1 (х -1) < 0.
2
Розв’язання. Розв язання початкової нерівності найкраще записати
з використанням ланцюжка еквівалентних нерівностей:
1о§, 1о§3 ІО^ (х - 1) < 0 <=> 1о§, 1о§3 ІО^ (х - 1) < 1о§, 1 &
2 2
<=> 0 < 1о§3 ІО^ (х - 1) < 1 <=> 1о§3 1 < 1о§3 ІО^ (х - 1) < 1о§3 3
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
149
Нерівності, що розв'язуються з використанням
властивостей логарифмів
Розв’язування нерівностей виду 1о§я /(х) > 1о§я §(х) засноване на
тому, що функція у - 1о£ах (а > 0, а Ф 1, х > 0) є спадною при 0 < а < 1
і зростаючою при а > 1.
Таким чином, маємо твердження:
а) 1о§я /(х) > 1о§я & а > 1 /(х) >0 \а > 1 §(х) > 0 ]/(х) > > 0; /(х) > §(х) 0 < а < 1
б) 1о§я /(х) > 1о§я §(х) <=> • /(х) >0 Го < а < 1 §{х) >0 [0 < /(х) < £(х) /(х) < §(х)
Зазначимо, що в нерівностях а) і б) можна використовувати як пер-
шу (більш повну) систему нерівностей, так і другу (скорочену) систему
нерівностей, їй рівносильну. Перевагою більш повної системи нерів-
ностей є її наочність і очевидність, а перевагою скороченої — менша
трудомісткість, тому що доводиться розв’язувати на одну нерівність
менше. Однак перехід від більш повної системи до скороченої не завжди
очевидний для тих, хто малодосвідчений у математиці.
х > 0
х2 — Зх < 0
Приклад. Розв’язати нерівність 1о§02 (х2) > 1о§02 (Зх).
Розв’язання. Враховуючи, що основа логарифмів 0 < 0,2 < 1, отри-
муємо:
х2 > 0
1°§0,2 (*2) > 1°§0,2 (ЗХ) <=> < ЗХ > 0 <
х2 < Зх
х> 0 Гх > 0
$=> < , . $=> < <=> 0 < х < З
х(х — 3) < 0 [0 < х < З
Відповідь-, х є (0; 3).
Логарифмічні нерівності, що розв'язуються з використанням
заміни змінної
Приклади
Розв’язати нерівність 1о§| х - 21о§3 х - 3 < 0.
Розв’язання. Позначивши 1о§3х = і, приходимо до нерівності
і2 -2#-3<0<=>-1<£<3<=>-1< 1о§3 х < 3 <=> 1о§3 3 1 < 1о§3 х < 1о§3 З3 <=>
х < 27.
З
Відповідь-, х є
27
150
Алгебра
Т, . . 1 - ІО§4 X 1
Розв язати нерівність ---------— < — .
1 + 1о§2 х 2
Розв’язання. Перейдемо від логарифма за основою 4 до логарифма
за основою 2:
1о§, х 1о§, х 1
Позначивши 1о§2х = і, приходимо до нерівності:
2-і 1 „ 1 - 2і
----Г - - < 0 <=> ------
2(1 +і) 2 2(1 +і)
Відповідь-, х є
0;
Розв'язування показниково-логарифмічних нерівностей
словник
Покази иково-логаріфміч-
ними нерівностями нази-
ваються нерівності виду
(1/(х))1'ІХ1 > а, де І/(х) містить
логаріфмічні функції (знак не-
рівності може бути <, >, <).
Показниково-логарифмічними нерівностями називаються нерів-
ності виду (П(х))Нх) > а , де У(х) містить логарифмічні функції (знак
нерівності може бути «<», «>», «<»). При розв’язуванні подібних нерів-
ностей доцільно взяти логарифми від обох частин початкової нерівності,
переконавшись, що ці логарифми існують. Знак отриманої логарифміч-
ної нерівності залишиться таким самим, яким він був до логарифмуван-
ня, якщо логарифмування виконується за основою а > 1, і зміниться на
протилежний, якщо логарифмування виконується за основою 0 < а < 1.
х \1Вх-2
І х І
Приклад. Розв язати нерівність І — І < 100.
Розв’язання. Обидві частини початкової нерівності при х > 0 набу-
вають тільки додатних значень, звідси логарифми цих частин існують.
Візьмемо логарифми від обох частин за основою 10. Оскільки 10 > 1,
то знак нерівності не зміниться:
\1§'х-2 / / \1§'х-2\ / \
— І < 100 <=> І£ І—— І < І£І00 <=> (1§Х - 2) • І£І — І < 2 <=>
10,1 (10,1 7 7 (10,1
<=> (і£х-2)(і£х-1)< 2.
Позначивши 1§х = і, отримаємо:
(і - 2) • (і - 1) < 2 і2 - Зі < 0 0 < і < 3 о 0 < 1§х < 3 а
о І£І < І£х < І£І03 о 1 < х < 1000.
Відповідь-, х є [1; 1000].
Показникові і логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності
151
Логарифмічні нерівності, що містять змінну під знаком
логарифма і в основі логарифма
У загальному вигляді розв’язання подібних нерівностей можна
записати таким чином:
1о£<рм /(*) > А
ф(х) > 1
/(х) > (ф(х))А
0 < ф(х) < 1
0 < /(х) < (ф(х))А
1о£Фм /(*) > 1о£Фм $(х)
ф(х) > 1
0 < §(х) < /(х)
0 < ф(х) < 1
0 < /(х) < §(х)
На практиці звичайно розглядають два випадки (якщо основа ло-
гарифма ф(х) > 1 і 0 < ф(х) < 1) і не завжди користуються наведеними
вище еквівалентностями.
Приклади
Розв’язати нерівність 1о§2л (х2 - 5х + б) > 1.
Розв’язання. Розглянемо два випадки залежно від величини основи
логарифма:
[0 < 2х < 1
1) 1 , <=>
0 < х“ — 5х + 6 < 2х
х2 — 5х + 6 > 0
х2 — 5х + 6 < 2х
Відповідь-, х є
—; 11 ЦІ (б; + оо).
2 І к ’
Розв’язати нерівність 1о§г(6х- 1) > 1о£г(2х).
Розв’язання. Знаходимо ОДЗ:
х > 0
X 1
6х — 1 > 0
2х > 0
152
Алгебра
3 урахуванням ОДЗ необхідно розглянути два випадки:
г [1
1 — < X < 1
— < X < 1 6 1 1
1) 5 6 <=Н <=> — < X < —.
16 4
6х -1 < 2х х < —
1 4
г х > 1
, х > 1
2) < <=> < і <=> х > 1.
6х — 1 > 2х х > —
1 4
Розв’язком початкової нерівності є об’єднання розв’язків, отрима-
них при розв’язуванні систем 1) і 2).
Відповідь-, х є | —|ЦІ(Ї;+ °о).
^6 4) у '
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
ґ 1 У
1. Рівняння 81х =1 — 1 рівносильне рівнянню:
1)2Х=1; 2) З2 21 = 1; 3) (0,7)1 л3 = 1; 4)5х = 0.
2. Скільки коренів має рівняння 3х = агсі^л/з ?
1)0; 2)1; 3)2; 4)3.
3. Знайдіть суму коренів рівняння 8х - 7 • 4х + 7 • 2Х+1 = 8.
1)0; 2)1; 3)2; 4)3.
4. Корінь рівняння 1о§31о§2 Іо^ (х -1) = 0 є:
З
1) натуральним числом; 2) цілим числом;
3) ірраціональним числом; 4) дробовим числом.
5. Скільки коренів має рівняння 1о§,(3 + х) + 1о§,(х + 2) = 1 ?
1) 0; 2) 1; 3) 2; “ 4) 3.
6. Скільки натуральних розв’язків має нерівність 3х <9?
1)0; 2)1; 3)2; 4)3.
7. Знайдіть суму цілих розв’язків нерівності 2'х1' < 16.
1)6; 2)7; 3)8; 4)9.
8. Розв’яжіть нерівність 1о§! (х + 2 2)>-1.
1) 0 < х < 2; 2)-2 < х < 2; 3) -2 < х < 0; 4) В.
9. Розв’яжіть систему рівнянь • 2 х + 3у = 7, та знайдіть х + у
3 • 2х + 2 • 3" = 18
1)0; 2)1; 3) 2; 4) 3.
10. Скільки натуральних розв’язків має нерівність 1о§3 (х - 1) < 0?
1)0; 2)1; 3)2; 4)3.
11. Скільки коренів має рівняння х:і г = х?
1)0; 2)1; 3)2; 4)3.
Елементи диференційованого числення
153
12. Нерівність (4х - 1)“Л 1 < 1 має:
1) один розв’язок;
3) три розв’язки;
2) два розв’язки;
4) нескінченно багато розв’язків.
13. При якому значенні параметра а нерівність а2 - 2 • 4Л+1 - а 2Л+1 > 0 не має розв’язків?
1) а < 0; 2)а = 0; 3) а > 0; 4) а Ф 0.
14. При якому значенні параметра а рівняння 25г - (2а + + 1)5Г + а2 + + а = 0 не має розв’язків?
1) а > 0; 2) -1 < а < 0; 3)а<-1; 4) а є Е.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 2. 2. 2. 3. 4. 4. 4. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 8. 3. 9. 4. 10. 2. 11. 3. 12. 1. 13. 2. 14. 3.
ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІЙОВАНОГО ЧИСЛЕННЯ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Границя функції. Неперервність функції. Означення похідної. Основні формули і правила
диференціювання. Геометричне значення похідної. Застосування похідної до дослідження фун-
кцій і побудови графіків. Задачі на знаходження найменшого і найбільшого значень функції.
Екстремальні геометричні задачі.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Границя функції. Неперервність функції
Говорять, що число Ь є границею функції у - /(х) при х, що набли-
жається до а, якщо для будь-якого додатного числа є знайдеться
таке додатне число 8, що при всіх х Ф а, що задовольняють нерівності
|х - а| < 8, справедлива нерівність |/(х) - б| < є. При цьому використо-
вується запис Ііт /(х) = Ь.
Коротко можна записати:
1іт/(х) = 6 <=> \/є > 038 > 0 : Vх, х Ф а, їх - а| < 8 => ІДх) - Ь\ < є.
х—>а 11 1 1
Оскільки нерівність |х - а| < 8 рівносильна нерівності а-8<х<а + 8,
а нерівність |/(х) - б| < є рівносильна нерівності Ь - є < Дх) < Ь + є, то оз-
начення границі можна подати у такій формі: 6 = Ііт Дх), якщо яким би
154
Алгебра
не був є-окіл точки Ь, знайдеться такий 8-окіл точки а, що для будь-
якого значення х Ф а, що належить 8-околу точки а, значення /(х) на-
лежить є-околу точки Ь.
З означення границі функції випливає, що функція повинна бути
визначена на проміжку (а - 8; а + 8), крім, можливо, точки х - а.
На практиці границю функції в точці знаходять, користуючись влас-
тивостями (теоремами про границі), основними з яких є такі:
1) Ііт (/(х) + £(х)) = Ііт /(х) + Ііт §(х);
2) Ііт (/(х) • £(х)) = Ііт /(х) • Ііт §(х);
Г(х) Ит/(х)
3) Ііт---_ ----,1іт^(х)^0;
х^я §(х) 1іт^(х) х^я
4) 1іт(/г • /(х)) = к • 1іт/(х), к - сопзі.
х—х—>а
Передбачається, що у властивостях 1)-4) границі ліворуч і праворуч
існують.
Функція у - /(х) називається неперервною в точці х- а, якщо вона
визначена в деякому околі цієї точки і якщо границя функції при х —> а
дорівнює значенню функції в цій точці, тобто 1іт/(х) = /(а).
Функція, неперервна в кожній точці заданого проміжку, називаєть-
ся неперервною на всьому проміжку.
Якщо функція, визначена в деякому околі точки х = а, у самій точці
х = а не визначена або її границя в точці х = а не дорівнює значенню
функції в цій точці, то говорять, що функція має розрив у точці х- а,
а точку х = а називають точкою розриву.
Наприклад, у -—-—; функція неперервна скрізь, крім х = 2,
х - 2
а в точці х = 2 розривається.
Означення похідної.
Основні формули і правила диференціювання
Нехай у - /(х) — задана функція, х, х0 — два значення незалежної
змінної з області визначення В(/) функції у - /(х). Різниця Дх = х - х0
називається приростом незалежної змінної, або приростом аргументу.
Дх = х-х0<=>х = х0 + Дх.
Різниця /(х) - /(х0) = /(х0 + Дх) - /(х0) між новим значенням функції
/(х0 + Дх) і початковим значенням Дх0) називається приростом функ-
ції в точці х - х0 і позначається Д/(х0), а також через Д/ або Дг/. Таким
чином, ДДх0) = /(х0 + Дх) - Дх0).
Похідною функції у - /(х) в точці х - х0 називається границя відно-
шення приросту функції Д/ у точці х0 до приросту аргументу Дх, коли
Дх —> 0. Це означення можна записати таким чином:
\ т Л«хо) г /(х0 + Дх)-/(х0)
/ (Хо) = 1іт --- = 1іт -------------•
Дх—>0 Дх Дх—>0 Дх
Елементи диференційованого числення
155
Якщо функція у - /(х) має похідну в точці х = х0, то говорять, що
вона диференційована в точці х - х0.
Обчислення похідної функції у = Дх) називається диференціюванням
цієї функції.
Обчислення похідної з використанням її означення зв’язане з гро-
міздкими викладеннями і звичайно на практиці не застосовується. При
практичному знаходженні похідної необхідно знати похідні основних
елементарних функцій і основні правила диференціювання.
Основні формули диференціювання
1. (с)' = 0.
2. (х ')'= ах '1, зокрема (х)'= 1, | — | =—Д,
\х) х“
В] =~7’ и и
3. (зіпх)'= СО8Х. 4. (соях)' = -зіпх.
5. (Ї£х)' = —. 6. (сі£х)' = —гД—.
СОЗ“ X 31П“ X
7. (ах)' = аг1па, зокрема (ех)' - ех.
8. (1о£ах)' =—-—, зокрема (Іпх)' = —.
хіп а х
Основні правила диференціювання
1. (с/(х)) = с/'(х), с = сопзі . 2. (/ + £)' = /' + £'.
з. (/ §)' = Г § + / • 4. Ш
5. /(^(х)) = /'(§) • §'(х), де /(§(хУ) — складена функція (правило
диференціювання складеної функції).
Геометричне значення похідної
З геометричної точки зору похідна функції у = Дх), обчислена в точці
х = х0, є тангенсом кута нахилу дотичної до графіка функції в даній
точці х0. Інакше: Д(х0) є кутовим коефіцієнтом к згаданої вище дотичної
(рис. 41). Таким чином, /'(х0) = к = 1§а.
Рівняння дотичної до кривої у - /(х) в заданій точці М0(х0; у0) має
вигляд:
у - у0 + у'(х0)(х - х0), де (х0; г/0) — координати точки дотику,
Д(х0) — кутовий коефіцієнт дотичної, (х; у) — змінні координати, тобто
координати будь-якої точки, що належить дотичній.
156
Алгебра
Застосування похідної до дослідження функцій
І ПОБУДОВИ ГРАФІКІВ
При застосуванні похідної до дослідження функцій необхідно
пам’ятати такі дві теореми.
Теорема 1. Нехай функція у - /(х) диференційована в точці х - х0.
Якщо похідна функції у = /(х) в точці х - х0 додатна, то функція зростає
в точці х - х0. Якщо похідна функції у - /(х) в точці х - х0 від’ємна,
то функція у - /(х) спадає в точці х - х0.
Теорема 2. Якщо функція у - /(х) має додатну похідну в кожній
точці інтервалу (а; Ь), то функція зростає на цьому інтервалі. Якщо
функція у - /(х) має від’ємну похідну в кожній точці інтервалу (а; Ь),
то функція спадає на цьому інтервалі.
Приклад. Знайти проміжки монотонності функції у - х3 - 27х.
Розв’ язання. у' - Зх2 - 27, у' > 0 при Зх2 -27>0<=>х2>9<=>
<=> |х| > 3 <=> х є (-оо; - 3) ЦІ (3; + оо); у' < 0 при х є (-3; 3). Звідси функ-
ція у - х3 - 27х зростає при х є (-оо; -3) і при х є (3; +°о), спадає при
х є (-3; 3).
Відповідь-, у зростає при х є (-оо; -3) і при х є (3; +оо); у спадає при
х є (-3; 3).
Згадаємо, що критичними точками називаються внутрішні точки
області визначення функції, у яких похідна функції дорівнює нулю
або не існує.
Точки мінімуму і точки максимуму називаються точками екс-
тремуму даної функції, а значення функції в цих точках відповідно
мінімумом і максимумом функції (або екстремумом самої функції).
Необхідна умова існування екстремуму визначається теоремою:
якщо точка х = х0 є точкою екстремуму функції у - Г(х), то в цій точці
похідна дорівнює нулю (тобто Дх0) = 0) або не існує.
Зазначимо, що необхідна умова існування екстремуму не є достат-
ньою, оскільки з того, що похідна перетворюється на нуль або не існує
в заданій точці х = х0, не випливає, що х0 — точка екстремуму.
Так, наприклад, похідна функції у - х3 (у' - Зх2) у точці х = 0 дорів-
нює нулю, однак екстремуму в точці х = 0 функція у - х3 не має.
Достатні умови існування екстремуму
Нехай функція у - /(х) неперервна в точці х = х0 і має похідну Г(х)
в деякому околі (а; Ь) цієї точки. Тоді:
а) якщо /'(х) < 0 на інтервалі (а; х0) і /'(х) > 0 на інтервалі (х0; Ь),
то х0 — точка мінімуму функції у - /(х);
б) якщо /'(х) > 0 на інтервалі (а; х0) і /'(х) < 0 на інтервалі (х0; Ь),
то х0 — точка максимуму функції у - /(х).
Загальна схема дослідження функцій
Загальне дослідження функції і побудову її графіка звичайно про-
водять у такому порядку:
1) знаходять область визначення функції;
2) з’ясовують питання парності, непарності, періодичності функції;
Елементи диференційованого числення
157
3) знаходять, якщо це можливо, точки перетину графіка функції
з осями координат. Іноді для уточнення побудови графіка
потрібно знайти дві-три додаткові точки;
4) знаходять похідну функції та її критичні точки;
5) знаходять проміжки монотонності й екстремуми функції;
6) використовуючи отримані результати, будують графік функції.
Приклад. Дослідити функцію у - -х3 + Зх - 2 і побудувати її графік.
Розв’ язання.
1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел Н = (—00
2. у(-х) - -(-х)3 + 3(х) - 2 - х3 - Зх - 2, тобто у(-х) Ф у(х) і у(-х) Ф
Ф -у(х). Отже, функція ні парна, ні непарна, тобто це функція
загального виду. Функція неперіодична.
3. Знаходимо нулі функції: -х3 + Зх - 2 - 0 <=> х3 - Зх + 2 = 0 <=>
<=> (х - 1)(х2 + х-2) = 0<=>(х- 1)(х + 2)(х - 1) = 0 <=> (х - 1)2(х + 2) =
— точки перетину графіка з віссю Ох. При х - 0
х - -2
2/(0) = -2: точка перетину графіка з віссю ординат.
4. у' - -Зх2 + 3. Зрівнявши похідну до нуля, отримаємо критичні
точки: -Зх2 + 3 = 0<=>х2=1<=>х = -1, х = 1.
5. Знайдені критичні точки розбивають числову пряму на три про-
міжки: (-оо; -1), (-1; 1), (1; +°о).
Запишемо таблицю, що допомагає у побудові графіка.
X (-оо; -1) -1 (-1; і) 1 (1; +°°)
/ — 0 + 0 —
У спади. —4 зрост. 0 спади.
тіп тах
6. Використовуючи отримані результати, побудуємо графік функції
(рис. 42).
Задачі на знаходження найменшого і найбільшого
значень функції. Екстремальні геометричні задачі
Для відшукання найменшого і найбільшого значень функції, дифе-
ренційованої усередині відрізка і неперервної на його кінцях, потрібно
знайти всі критичні точки функції, що лежать усередині відрізка, об-
числити значення функції в цих точках і на кінцях відрізка, а потім
з усіх отриманих чисел вибрати найменше і найбільше.
Приклади
Знайти найменше і найбільше значення функції у - х4 - 8х2 - 9
на відрізку [-1; 3].
Розв’язання. Знаходимо критичні точки функції: у' - (х4 - 8х2 - 9)' =
= 4х3 - 16х = 4х(х - 2)(х + 2) = 0 <=> х = 0, х- -2, х = 2 — критичні точки.
У проміжку х є (-1; 3) лежать дві критичні точки: х = 0, х = 2.
г/(0) = О4 - 8 О2 - 9 = -9, г/(2) = 24 - 8 22 - 9 = -25, г/(-1) = (-1)4 -
-8(-1)2 - 9 = -16, г/(3) = З4 - 8 З2 - 9 = 0.
158
Алгебра
Звідси найменше значення функції у = х4 - 8х2 - 9 досягається
у точці х - 2 і дорівнює -25, а найбільше — у точці х - 3 і дорівнює 0.
Коротко це записується таким чином:
тіп у — у(2) = —25, тах у = у(3) = 0.
[-1:3] [-1:3]
Відповідь', тіп у — у(2) = — 25; тах у — у(3) - 0.
[-1; 3] [-1; 3]
Знайти найменше і найбільше значення функції у - 2соз х - соз 2х
п п
на відрізку —.
Розв’язання. у' - -2зіп х + 2зіп 2х - -2зіп х + 4зіп х соз х -
- 2зіп х(-1 + 2соз х) = 0
У проміжку X є
п _ п
ЇЇ’ЇЇ
Обчислюємо у
п
З
, У
п
ЇЇ
У
п
З
У
п
ЇЇ
зіпх = 0
1
СОЗ X — —
2
х = пп, п є 2
п
х = ±—н 2кп, к е 2.
З
п
лежить тільки одна критична точка х - —
, У
п
її
л
г, л 2л „ 1
= 2 соз-----соз — =2-----------
З 2
З
1_
2
З
2
2п
о л 2л „ уЗ
= 2 соз---соз — = 2-------
6 6 2
3 1=^-1
2 2
У
п
її
п
= 2 соз — - соз п = 0 - (-1) = 1.
п
Звідси найменше значення функції досягається у точці х - —
. . п
а найбільше — у точці х - —.
п
ЇЇ
Відповідь', тіпг/ = у
— 1; тах у — у
п
З
З
2
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Знайдіть значення похідної функції /(х) = хсозх при заданому значенні аргументу х0 = п.
1)-1; 2)0; 3)1; 4) л.
2. Знайдіть похідну функції у - 1п зіпх.
1) созх; 2) зіпх; 3) Ї£х; 4)сі£х.
3. Знайдіть похідну функції у - созІ^Зх.
1) 1-------; 2)-іїї*ї; 4)віп1зЗх.
созЗхіпіО хІпЮ х
4. Знайдіть похідну функції у - 1п у]1 + 1§2х.
1) созх; 2) зіпх; 3) Ї£х; 4)сі£х.
5. У яких точках похідна функції у - х5 збігається зі значенням самої функції?
1)0; 1; 2) 0; 3; 3) 0; 5; 4) 0; 7.
Елементи диференційованого числення 159
6. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = х2 + х у точці х0 - 1.
1)1; 2)2; 3)3; 4)4.
7. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у - е2л у точці х0 = 0.
1)у-2х+1; 2)у-2х-1; 3)у--2х-1; 4)у--2х+1.
з
8. Знайдіть проміжок зростання функції у ------------- .
х + 2 + х2
1) (-оо; -0,5); 2) (-0,5; +оо); 3) (-0,5; 0,5); 4) (-1; 1).
9. Знайдіть екстремуми функції у - І£(16 - х2).
1) Утіп = У(0) = 0; 2) г/тах = г/(0) = 1;
3) г/т111 = г/(1) = 0; 4) г/тах = г/(0) = 0.
Я я
10. Знайдіть найбільше значення функції у - 5 + 4созх - зіп2х на проміжку •
1) 4; 2) 9; 3) 13; 4) 20.
а2
11. Знайдіть кут нахилу дотичної до графіка функції у - — у точці (а, а).
X
1)30°; 2)45°; 3)135°; 4)150°.
12. На кривій у - 4х2 - 6х - 3 знайдіть точку, у якій дотична паралельна прямій у - Юх.
1) (1; 2); 2) (2; 1); 3) (-1; 2); 4) (-2; 1).
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. 1. 2. 4. 3. 2. 4. 3. 5. 3. 6. 3. 7. 4. 8. 1. 9. 4. 10. 2. 11. 3. 12. 2.
ЕОМЕТРІЯ
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ТЕОРЕМИ ГЕОМЕТРІЇ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Пряма і відрізок, промінь, порівняння і вимірювання відрізків. Кути. Порівняння і вимірю-
вання кутів. Суміжні та вертикальні кути. Кути при перетинанні двох прямих третьою прямою.
Паралельні прямі. Кути з відповідно паралельними і перпендикулярними сторонами. Ознаки
паралельності прямих. Властивості паралельних прямих. Кути з відповідно паралельними
сторонами. Кути з відповідно перпендикулярними сторонами.
Трикутник. Ознаки рівності трикутників. Рівнобедрений трикутник. Ознаки рівності прямо-
кутних трикутників. Теорема Піфагора. Співвідношення між сторонами і кутами у прямокутно-
му трикутнику. Подібність трикутників. Властивості бісектриси кута трикутника. Пропорційні
відрізки у прямокутному трикутнику. Співвідношення між сторонами і кутами у довільному
трикутнику. Теореми косинусів і синусів.
Чотирикутник. Паралелограм. Ознаки паралелограма. Властивості паралелограма. Влас-
тивість суми квадратів діагоналей паралелограма. Прямокутник. Ознаки прямокутника. Ромб.
Ознаки ромба. Властивості ромба. Квадрат. Властивості квадрата. Трапеція. Властивість трапе-
ції. Геометричні місця точок (коло, серединний перпендикуляр, бісектриса кута). Пропорційні
відрізки у колі. Вписані та деякі інші кути. Вписані й описані трикутники. Вписані й описані
чотирикутники. Ламана. Випуклі многокутники. Правильні многокутники. Довжина кола
і дуги. Площі плоских фігур. Площа квадрата і прямокутника. Площа паралелограма і ромба.
Площа трикутника. Площа трапеції. Площа випуклого чотирикутника. Площа правильного
многокутника. Площі подібних фігур. Площа круга та його частин.
Перетворення фігур. Рухи (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне пере-
несення). Властивості рухів. Симетрія відносно точки (центральна симетрія). Симетрія відносно
прямої (осьова симетрія). Поворот. Паралельне перенесення. Найпростіші геометричні побудови.
Спільна схема розв’язання задач на побудову.
Декартові координати на площині. Координати середини відрізку. Відстань між двома точ-
ками. Рівняння кола. Рівняння прямої на площині. Умови паралельності двох прямих. Умова
перпендикулярності двох прямих.
Основні поняття і теореми геометрії
161
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Пряма і відрізок, промінь,
порівняння і ВИМІРЮВАННЯ ВІДРІЗКІВ
Точка і пряма є основними геометричними фігурами на площині.
Зазвичай точки позначаються великими латинськими літерами А, В,
С, В, Е, а прямі — малими а, Ь, с, <і, ... . На рис. 1 зображені точка
А і пряма а.
Частина прямої а, обмежена двома точками, називається відрізком.
Точки, що обмежують відрізок, називаються його кінцями. На рис. 2
зображений відрізок із кінцями у точках А і В. Такий відрізок поз-
начається АВ або ВА. Проведемо пряму а і відзначимо на ній точку
О (рис. 3). Точка О розділяє пряму на дві частини, кожна з яких на-
зивається променем, який виходить з точки О. Точка О називається
початком кожного з променів. Зазвичай промінь позначають або ма-
лою латинською літерою (промінь І на рис. 4, а), або двома великими
латинськими літерами, перша з яких позначає початок променя, а дру-
га — довільну точку на промені (промінь ОК на рис. 4, б).
Дві геометричні фігури називаються рівними, якщо їх можна суміс-
тити накладенням. Щоб з’ясувати, рівні два відрізки чи ні, накладають
один відрізок на другий таким чином, щоб кінець одного відрізка суміс-
тився з кінцем іншого. Якщо при цьому два інших кінці також суміс-
тяться, то такі відрізки рівні. Якщо ж два інших кінці не сумістяться,
то меншим вважається той відрізок, який складає частину другого.
Серединою відрізка називається точка цього відрізка, яка ділить
його навпіл (тобто на два рівних відрізки).
Знаходження довжини відрізків засноване на порівнянні їх з яки-
мось відрізком, узятим за одиницю вимірювання (цей відрізок часто
називають масштабним відрізком). Обравши одиницю вимірювання,
можна знайти довжину будь-якого відрізка. На практиці для вимірю-
вання довжин відрізків і знаходження відстаней найчастіше використо-
вують міліметри, сантиметри, дециметри, метри, кілометри. Ці одиниці
вимірювання довжин пов’язані між собою, зокрема, таким чином:
1 кілометр = 1000 метрів, 1 метр = 100 сантиметрів, 1 дециметр =
= 10 сантиметрів, 1 сантиметр = 10 міліметрів.
Кути. Порівняння і вимірювання кутів
Кутом називається фігура, що складається з точки, яка називаєть-
ся вершиною кута, і двох променів, які називаються сторонами кута,
що виходять з цієї точки (рис. 5). Кут позначають знаком На рис. 6
зображений кут із вершиною О і сторонами ОА і ОВ. Цей кут позначають
таким чином: ААОВ (буква, яка позначає вершину, завжди ставиться
посередині) або ЕО (О — буква, що стоїть у вершині кута). Нерідко кут
позначають цифрою, поставленою всередині кута: /А.
Кут називається розгорнутим, якщо обидві його сторони лежать
на одній прямій, тобто кожна сторона розгорнутого кута є продовжен-
ням другої сторони (рис. 7).
а
* В
Рис. 2
а
О
Рис. З
/
О
а)
О К
б)
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
162
Геометрія
Рис. 8
Рис. 7
Два кута називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладен-
ням. Щоб встановити, рівними є два нерозгорнутих кути чи ні, необхід-
но сумістити сторону одного кута зі стороною другого таким чином, щоб
дві інші сторони опинилися по один бік від суміщених сторін. Якщо дві
інші сторони також сумістяться, то кути рівні (рис. 8, а). Якщо ж ці
сторони не сумістяться, то меншим вважається той кут, який складає
частину другого (рис. 8, б). На рис. 8 /Л. - ^3 < Х4.
Бісектрисою кута називається промінь, який виходить з вершини
кута і ділить його на два рівні кути.
За одиницю вимірювання кутів приймають градус (позначається
1°) — кут, який дорівнює частині розгорнутого кута. Меншими оди-
ницями вимірювання кутів є мінута (позначають знаком «'») і секунда
(позначають знаком «"»):
1° = 60', 1' = 60".
Додатне число, яке показує, скільки разів градус і його частини
вміщуються в даному куті, називається градусною мірою кута. Рівні
кути мають рівні градусні міри. Менший кут має меншу градусну міру.
Якщо промінь ділить кут на два кути, то градусна міра усього кута
дорівнює сумі градусних мір цих кутів.
Розгорнутий кут дорівнює 180°. Якщо сторони кута співпадають,
то величину такого кута вважають рівною 0°.
Суміжні та вертикальні кути.
Кути при перетинанні двох прямих третьою прямою
Суміжними кутами називаються два кути, у яких одна сторона
спільна, а дві інші є продовженням одна одної. На рис. 9 кути АОВ
і ВОС — суміжні. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
Вертикальними кутами називаються два кути, у яких сторони
одного кута є продовженням сторін другого. На рис. 10 вертикальни-
ми кутами є:
ААОВ і АВОС, ААОВ і АВОС.
Вертикальні кути рівні.
Рис. 9
Нехай прямі аїЬ перетинаються третьою прямою с, яка називається
січною. Тоді утворюється вісім кутів (рис. 11), які мають спеціальні
назви. Чотири кути, розташовані між прямими а і Ь, тобто кути 3, 4,
5, 6, називаються внутрішніми кутами, а кути 1, 2, 7, 8 — зовнішніми
кутами. Кути 1 і 5, 2І6, Зі 7, 4І8 називаються відповідними. Кути
З і 6, 4 і 5 називаються внутрішніми, які лежать навхрест. Кути 1 і 8,
Основні поняття і теореми геометрії
163
2 і 7 називаються зовнішніми, які лежать навхрест. Кути 3 і 5, 4 і 6
називаються внутрішніми односторонніми. Кути 1 і 7, 2 і 8 називаються
зовнішніми односторонніми.
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетина-
ються під прямим кутом.
Паралельні прямі. Кути з відповідно паралельними
І ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИМИ СТОРОНАМИ
Паралельними прямими називаються дві прямі, які лежать в одній
площині й не перетинаються (рис. 13).
Паралельність прямих позначається знаком ||. Паралельність прямих
а і Ь записується таким чином: а || Ь.
Аксіома паралельних
Через точку поза прямою можна провести єдину пряму, паралельну
даній (рис. 14).
Ознаки паралельності прямих
1. Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. Якщо а || Ь,
а Ц с (рис. 15), то Ь Ц с.
2. Якщо внутрішні кути, які лежать навхрест, рівні, то прямі па-
ралельні. Якщо АА - А2 (рис. 17) або ^3 = Х4, то а || Ь.
3. Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то
прямі паралельні. Якщо АА + ^4 = 180° (рис. 16) або А2 + ^3 = 180°,
то а Ц Ь.
4. Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні. Якщо АХ - Х5,
або А2 - А6, або ^3 = А7, або ^4 = А8 (рис. 17), то а || Ь.
5. Якщо дві прямі перпендикулярні третій, то вони паралельні.
Якщо а ± с, Ь ± с, то а || Ь (рис. 18).
Властивості паралельних прямих
1. Якщо дві паралельні прямі перетинаються третьою прямою,
то внутрішні кути, які лежать навхрест, рівні.
Якщо а Ц Ь, то (рис. 16) АХ - А2 і ^3 = Х4.
2. Якщо дві паралельні прямі перетинаються третьою прямою,
то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.
Якщо а Ц Ь (рис. 16), то АХ + ^4 = 180°, А2 + А8 - 180°.
3. Якщо дві паралельні прямі перетинаються третьою прямою,
то відповідні кути рівні.
Якщо а Ц Ь (рис. 17), то АХ - 5, А2 - ^6, ^3 = Х7, ^4 = ^8.
Кути з відповідно паралельними сторонами
Візьмемо на площині дві точки О та Р і з цих точок проведемо дві
пари променів ОА || РМ і ОБ || РО таким чином, щоб обидва кути АОВ
і МРО були гострими (рис. 19) або тупими (рис. 20).
Кути АОВ і МРО — кути з відповідно паралельними сторонами.
Доведемо, що ці кути рівні між собою.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Кут називається прямим,
якщо він дорівнює 90° (рис.
12, а), гострим, якщо він мен-
ше 90° (рис. 12, б), тупим,
якщо він більше 90°, але мен-
ше 180° (рис. 12, в).
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
164
Геометрія
Рис. 18
Нехай ОВ перетинає РМ у точці N. ААОВ = АММВ як відповідні
кути при паралельних АО та МР і січною ВО. АММВ - АМРО як від-
повідні кути при паралельних ОВ і Вф, січній МР, отже, ААОВ - АМРО.
Таким чином, кути з відповідно паралельними сторонами рівні, якщо
вони обидва гострі чи тупі.
Неважко довести, що кути з відповідно паралельними сторонами
у сумі складають 180°, якщо один з них гострий, а другий — тупий.
Кути з відповідно перпендикулярними сторонами
Побудуємо довільний гострий кут АОВ. Проведемо через вершину
кута промені, перпендикулярні до його сторін таким чином, щоб вони
утворили гострий кут.
ОМ ± ОВ і О У ± ОА (рис. 21). Ми отримали новий кут МОИ. Сторо-
ни кутів АОВ і МОИ взаємно перпендикулярні. ААОВ - 90° - АВО.У;
АМОИ - 90° - АВОА. Звідси випливає, що ААОВ - АМОА. Побудуємо
довільний тупий кут АОВ і через його вершину проведемо промені, пер-
пендикулярні до його сторін таким чином, щоб вони утворили тупий кут
ОР ± ОА і ОВ ± ОВ (рис. 22), кут РОВ — тупий. Сторони кутів АОВ і РОВ
взаємно перпендикулярні, тому ААОВ = 90° + АРОВ; АРОВ = 90° +
+ АРОВ. Звідси ААОВ - АРОВ. Отже, кути з відповідно перпендику-
лярними сторонами рівні між собою, якщо вони обидва гострі чи тупі.
Неважко довести, що кути з відповідно перпендикулярними сторона-
ми в сумі складають 180°, якщо один із них гострий, а другий — тупий.
Рис. 20
Рис. 21
вершина
вершина сторона вершина
Рис. 23
Д
Вас
Рис. 24
Трикутник
Трикутником називається геометрична фігура, яка складається
з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і відрізків, що з’єднують
ці точки (рис. 23). Точки називаються вершинами трикутника, а відріз-
ки — сторонами трикутника. На рис. 24 зображений трикутник з вер-
шинами А, В, С і сторонами АВ, ВС,АС. Такий трикутник позначають
таким чином: ААВС. Кути САВ, АВС, АСВ називаються кутами три-
кутника. їх нерідко позначають однією буквою: АА, АВ, АС. Сторону
ВС і кут А трикутника АВС називають протилежними. Протилежними
є також сторона АС і кут В, сторона АВ і кут С. Кути АіС, ВіС, АіВ
називають прилеглими відповідно до сторін АС, ВС, АВ.
Периметром трикутника називається сума довжин трьох сторін три-
кутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини
сторін ВС, СА, АВ відповідно через а, Ь, с, то Р - а + Ь + с.
У будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших
сторін (нерівність трикутника), тобто
с < а + Ь; а < с + Ь; Ь < а + с.
Основні поняття і теореми геометрії
165
Два трикутники називаються рівними, якщо їх можна сумістити на-
кладанням. На рис. 25 зображені рівні трикутники АВС і МИР. Рівність
трикутників АВС і МИР позначається таким чином: ААВС - АМИР.
Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони і кути) од-
ного з них відповідно дорівнюють елементам другого трикутника. На
рис. 25 АА = АМ, АВ = АИ, АС = АР, АВ = МИ, ВС = МР, АС = ИР.
На кресленні рівні сторони позначають рівною кількістю рисочок,
а рівні кути — однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників про-
ти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів лежать рівні
сторони.
Ознаки рівності трикутників
Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом
між ними).
Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно
дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі
Рис. 26
Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими
кутами).
Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника від-
повідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам другого
трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 27).
Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами).
Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом
сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 28).
Рис. 28
Рівнобедрений трикутник
Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього дві сторони
рівні. Рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторо-
на — основою. На рис. 29 ААВС — рівнобедрений, у нього АВ = ВС.
Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім або
правильним.
Рис. 29
166
Геометрія
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Властивості рівнобедреного
трикутника
1. У рІвнобедреному трикут-
нику кути при ОСНОВІ рівні.
2. У рІвнобедреному трикут-
нику медіана, проведена до
основи, є бісектрисою І ви-
сотою.
Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений із
вершини трикутника до прямої, яка містить протилежну сторону.
На рис. ЗО ВН — висота трикутника АВС.
Медіаною трикутника називається відрізок, який з’єднує вершину
трикутника із серединою протилежної сторони. На рис. 31АМ — медіа-
на трикутника АВС.
Бісектрисою трикутника називається відрізок бісектриси кута три-
кутника, який з’єднує вершину трикутника з точкою протилежної сто-
рони. На рис. 32 АЬ — бісектриса трикутника АВС. Слід зазначити:
у будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (рис. 33);
бісектриси перетинаються в одній точці (рис. 34); висоти або їх продов-
ження перетинаються в одній точці (рис. 35 а, 35 б, 35 в).
ЦІКАВО ЗНАТИ
Забігаючи трохи наперед, за-
значимо, що з кожним три-
кутником пов'язані чотири
точки. Точка перетину медіан
трикутника — це центр тяжіння
трикутника; точка перетину
бісектрис кутів трикутника —
це центр вписаного у трикут-
ник кола; точка перетину
висот трикутника (абоїх про-
довжень) — це так званий
ортоцентр трикутника; точка
перетину серединних перпен-
дикулярів до сторін трикутни-
ка — центр описаного навколо
трикутника кола. ЦІ чотири
точки називаються визнач-
ними точками трикутника.
Рис. ЗО
Рис. 34
Рис. 35
Зовнішнім кутом трикутника називається кут, суміжний із кутом три-
кутника при цій вершині. На рис. 36 АВСВ — зовнішній кут трикутника
АВС. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не
суміжних із ним. На рис. 36: АВСВ = АВАС + ААВС. Зовнішній кут три-
кутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.
Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого є пря-
мий кут. На рис. 37 ААВС — прямокутний, у ньому АС = 90°. Сторона
прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гі-
потенузою, а дві інші сторони називаються катетами.
Основні поняття і теореми геометрії
167
Гострокутним трикутником називається трикутник, у якого всі кути
гострі (рис. 38).
Тупокутним трикутником називається трикутник, у якого є тупий
кут (на рис. 39 кут В — тупий).
Рис. 37
Ознаки рівності прямокутних трикутників
1. Якщо два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом
катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
2. Якщо катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівню-
ють катету і гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.
3. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного трикутника відповідно
дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника, то такі
трикутники рівні.
4. Якщо гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівню-
ють гіпотенузі й катету другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема Піфагора
Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи
дорівнює сумі квадратів катетів.
На рис. 40 АВ2 = АС2 + СВ2 або с2 = а2 + Ь2.
Висновки з теореми Піфагора
1. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менше гіпо-
тенузи.
2. Квадрат катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи і другого
катета: а2 - с2 - Ь2 і Ь2 - с2 - а2.
3. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного
трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах
(рис. 41): = 82 + 83.
Теорема (протилежна теоремі Піфагора). Якщо квадрат однієї сто-
рони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то цей
трикутник прямокутний.
Нехай ВА — перпендикуляр до прямої а, С — будь-яка точка прямої
а, відмінна від А, тоді ВС — похила до прямої а, АС — проекція похилої
на пряму а (рис. 42), С — основа похилої, А — основа перпендикуляра.
Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр і похилі, то:
1) будь-яка похила більша перпендикуляра;
2) рівні похилі мають рівні проекції;
3) похилі рівні, якщо рівні їхні проекції;
4) з двох похилих більшою є та, в якої проекція більше;
5) з двох проекцій більшою є та, яка відповідає більшій похилій.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Якщо у трикутнику два кути
рівні, то він рівнобедрений.
Рис. 42
168
Геометрія
Співвідношення між сторонами і кутами
у прямокутному трикутнику
Рис. 43
Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається від-
-ВС
ношення протилежного катета до гіпотенузи (рис. 43): 8Іпос = ——.
т4_В
Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається від-
АС
ношення прилеглого катета до гіпотенузи (рис. 43): созос = ——.
Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається від-
-ВС
ношення протилежного катета до прилеглого катета (рис. 43): Ї£ос = ——
-4x0
Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називаєть-
ся відношення прилеглого катета до протилежного катета (рис. 43):
АС
С‘8“=вс-
Значення синуса, косинуса і тангенса деяких кутів наведені у табл. 1.
Таблиця 1
Кут сх Функція 0° 30° 45° 60° 90°
зіп а 0 1 2 У? 2 Уз 2 1
соз а 1 7з 2 >/2 2 1 2 0
Ід сх 0 7з 3 1 Уз не сущ.
Рис. 44
З визначення зіп а, соз а, а, сі£ а отримуємо такі правила.
1. Невідомий катет дорівнює добутку гіпотенузи на синус проти-
лежного кута до невідомого катета або на косинус прилеглого кута
до невідомого катета (рис. 44):
а - с зіп а - с соз 0, Ь - с зіп 0 = с соз а.
2. Невідомий катет дорівнює добутку другого катета на тангенс про-
тилежного кута до невідомого катета або на котангенс прилеглого кута
до невідомого катета (рис. 44):
а - Ь а - Ь сі^ 0, Ь - а 0 = а сі^ а.
Основні тригонометричні тотожності
. , . ? , зіпос , сова
зіп2 ос + соз2 ос = 1, =----, сі§,а = —-,
соза зіпа
ОС • СІ£ ОС = 1, 1 + 1§'2ос = \, 1 + сі£2 ОС = \—.
соз а зіп а
При зростанні гострого кута синус і тангенс кута зростають, а ко-
синус і котангенс зменшуються.
Для будь-якого кута справедливими є формули:
зіп (90° - ос) = соз а, соз (90° - ос) = зіп а, (90° - ос) = сі£ а, сі^ (90°-
-«) = !§ а.
Основні поняття і теореми геометрії
169
Подібність трикутників
Два трикутники називаються подібними, якщо їхні кути рівні,
а відповідні сторони пропорційні. На рис. 45 ААВС подібний ДА^С^
А В Вґ1 СА
оскільки АА = АА,, АВ = АВ,, АС = АС,, — =------= —т~-к. Число
А1В1 В^ С1А1
к називається коефіцієнтом подібності. Подібність трикутників АВС
і А1В1С1 позначається таким чином: ААВС ~ АА1В1С1.
Ознаки подібності трикутників
1. Якщо два кута одного трикутника відповідно дорівнюють двом
кутам другого, то такі трикутники подібні.
2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам
другого трикутника і кути, вміщені між цими сторонами, рівні, то такі
трикутники подібні.
3. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторо-
нам другого, то такі трикутники подібні.
Властивості бісектриси кута трикутника
Теорема 1. Бісектриса будь-якого внутрішнього кута трикутника
ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторо-
нам трикутника.
Якщо у ААВС (рис. 46) АА — бісектриса кута ВАС, тобто
/ПЛАТ /ЛЛЛТ ВА АВ
ХВААТ = ХСААТ, то —— =
АС АС
Рис. 46
Теорема 2. Бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає про-
довження протилежної сторони в такій точці, відстані від якої до кін-
ців цієї сторони пропорційні прилеглим сторонам трикутника. Якщо
(рис. 47) ВВ — бісектриса зовнішнього кута СВК, тобто
ПА А В
АСВВ = АКВВ, то =
Рис. 47
Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику
Якщо довжини відрізків а, Ь і с пов’язані співвідношенням Ь2 - ас,
або Ь - 4ас, то відрізок Ь називається середнім пропорційнім (середнім
геометричним) відрізків а і с.
Теорема. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним
між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу.
На рис. 48 АС2 = АВ • АВ, або АС = у/АВ АВ, ВС2 = АВ • ВВ, або
ВС = >/АВ ВВ.
Теорема. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини
прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпо-
тенузу.
На рис. 48 СВ2 = АВ • ВВ, або СВ = а/АОВВ.
Рис. 48
170
Геометрія
Співвідношення між сторонами і кутами у довільному
трикутнику. Теореми косинусів і синусів
Рис. 49
Теорема косинусів. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює
сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на
косинус кута між ними.
Наприклад, у ДАВС (рис. 49) а2 - с2 + Ь2 - 2сЬ соз а, Ь2 = а2 + Ь2- 2ас соз 0,
с2 = а2 + Ь2 - 2аЬ соз у.
Теорема синусів. У довільному трикутнику відношення будь-якої
сторони до синуса протилежного кута постійне і дорівнює діаметру опи-
саного навколо нього кола:
= 2Л.
зіпа зіпр зіп у
Слід пам’ятати, що синуси суміжних кутів рівні, а косинуси суміж-
них кутів — протилежні числа:
зіп (180° - а) = зіп а, соз (180° - а) = -соз а.
Чотирикутник
Рис. 50
Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох
точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків,
які послідовно поєднують їх і не перетинаються. Дані точки називають-
ся вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх поєднують, — сторо-
нами чотирикутника. На рис. 50 поданий чотирикутник АВСВ; точки
А, В, С, В — його вершини, АВ, ВС, СВ, ВА — сторони чотирикутника
АВСВ. Вершини чотирикутника називаються сусідніми (суміжними),
якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Наприклад, на рис. 52 А і В,
В і С, С і В, А і В — сусідні вершини.
Вершини, які не є сусідніми, називаються протилежними верши-
нами. На рис. 50 вершини А і С, В і В — протилежні. Відрізки, які
поєднують протилежні вершини чотирикутника, називаються діаго-
налями чотирикутника. На рис. 50 АС і ВВ — діагоналі чотирикут-
ника АВСВ.
Сторони, які виходять з однієї вершини, називаються сусідніми
(суміжними) сторонами, а сторони, які не мають спільного кінця,
називаються протилежними сторонами. Периметром чотирикутника
називається сума довжин усіх його сторін: РАВСВ - АВ + ВС + СВ + ВА.
Кут, суміжний із внутрішнім кутом чотирикутника, називається
зовнішнім кутом чотирикутника. На рис. 51 цифрами 1, 2, 3, 4 позна-
чені зовнішні кути чотирикутника АВСВ, причому при кожній вершині
побудований тільки один зовнішній кут.
Паралелограм
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні
сторони попарно паралельні. На рис. 52 чотирикутник АВСВ — пара-
лелограм, оскільки АВ || ВС, АВ || ВС.
Основні поняття і теореми геометрії
171
Ознаки паралелограма
1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину
діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.
2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей
чотирикутник — паралелограм.
3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей
чотирикутник — паралелограм.
Властивості паралелограма
У паралелограмі (рис. 52):
1. Протилежні сторони рівні (АВ - СВ і АВ - ВС).
2. Протилежні кути рівні (АА - АС і АВ - АВ).
3. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл (АО = ОС і ВО = ОВ).
4. Кожна діагональ розбиває його на два рівних трикутники
(ААВС = АСВА, ААВВ = АСВВ).
5. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180° (АА + АВ -
- АВ + АС - АС + АВ - АВ + АА- 180°).
Домовимося одну зі сторін паралелограма називати основою, а пер-
пендикуляр, проведений із будь-якої точки протилежної сторони до
прямої, яка містить основу, — висотою паралелограма. На рис. 53
відрізки ВЬ і МУ — висоти паралелограма.
Властивість суми квадратів діагоналей паралелограма
Теорема. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі
квадратів усіх його сторін.
У паралелограмі АВСВ (рис. 52) АС2 + ВВ2 = АВ2 + ВС2 + СВ2 + АВ2
або АС2 + ВВ2 = 2(АВ2 + АВ2).
Рис. 52
Рис. 53
Прямокутник
Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі.
На рис. 54 паралелограм АВСВ — прямокутник, оскільки АА - АВ -
-АС-АВ-900.
Ознаки прямокутника
1. Якщо у паралелограма один із кутів прямий, то цей паралелог-
рам — прямокутник.
2. Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то цей паралелограм —
прямокутник.
Властивості прямокутника
Прямокутник має всі властивості паралелограма, крім того, діаго-
налі прямокутника рівні.
172
Геометрія
В
Рис. 56
А
о
Ромб
Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.
На рис. 55 паралелограм АВСВ — ромб, оскільки АВ - ВС - СВ = ВА.
Ознаки ромба
1. Якщо у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то цей пара-
лелограм — ромб.
2. Якщо у чотирикутника сторони рівні, то цей чотирикутник —
ромб.
Властивості ромба
Ромб має всі властивості паралелограма, крім того:
1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні: АС ± СВ (рис. 55).
2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. На рис. 55 АА - А2 -
= АЗ = А 4 і А5 = А6 = АЛ = А8.
Квадрат
Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.
(Інше визначення: квадратом називається ромб, у якого всі кути прямі).
На рис. 56 зображений квадрат АВСВ.
Властивості квадрата
Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.
1. У квадрата всі кути прямі і всі сторони рівні.
2. Діагоналі квадрата рівні та перетинаються під прямим кутом.
3. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів. Кожна діагональ
квадрата утворює зі стороною кут у 45° (рис. 57).
Рис. 58
Рис. 59
Трапеція
Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони пара-
лельні, а дві інші сторони не паралельні. На рис. 58 чотирикутник
АВСВ — трапеція. Паралельні сторони трапеції називаються основами,
а непаралельні сторони — бічними сторонами. На рис. 58 сторони ВС
і АВ — основи, АВ і СВ — бічні сторони.
Висотою трапеції називається перпендикуляр, проведений із будь-
якої точки однієї з основ до прямої, яка містить іншу основу (інакше:
висотою трапеції називається відстань між її основами). На рис. 58
МА — висота трапеції АВСВ.
Властивість трапеції
Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.
Рівнобічною (рівнобедреною) трапецією називається трапеція, у якій
бічні сторони рівні. На рис. 59 зображена рівнобічна трапеція АВСВ.
Основні поняття і теореми геометрії
173
Властивості рівнобічної трапеції
У рівнобічній трапеції (рис. 59):
1. Кути при основі рівні: АА. - АВ, АВ - АС.
2. Діагоналі рівні: АС = ВВ.
Прямокутною трапецією називається трапеція, у якої одна з бічних
сторін перпендикулярна до основи (рис. 60). Ця бічна сторона є висотою
трапеції.
Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника і трапеції
Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони
кута, відсікають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відсікають
рівні відрізки й на іншій його стороні.
ЯкщоА^! Ц А2В2 Ц А2В2 іА,А2 -А^ (рис. 61), тоВД = В2В3. В умові
теореми Фалеса замість сторін кута можна взяти будь-які дві прямі,
при цьому висновок теореми залишається незмінним.
Середньою лінією трикутника називається відрізок, який з’єднує сере-
дини двох його сторін. На рис. 62 МИ — середня лінія трикутника АВС.
Теорема про середню лінію трикутника. Середня лінія трикутника
паралельна третій стороні й дорівнює її половині. На рис. 62 || АС
і МУ = | АС.
Сі
Середньою лінією трапеції називається відрізок, який з’єднує середи-
ни бічних сторін. На рис. 63 відрізок МА — середня лінія трапеції АВСВ.
Теорема про середню лінію трапеції. Середня лінія трапеції пара-
лельна основам і дорівнює їхній напівсумі. На рис. 63 || АВ, МИ || ВС
і МА = |(А0 + ВС).
Сі
Геометричні місця точок
(коло, СЕРЕДИННИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР, БІСЕКТРИСА КУТА)
Геометричним місцем точок називається фігура, яка складається
з усіх точок площини, які мають певну властивість.
Колом називається геометричне місце точок площини, рівновіддале-
них від даної точки, яка називається центром кола (рис. 64). Відстань
від точки кола до центра називається радіусом. Радіусом також нази-
вається будь-який відрізок, який з’єднує точку кола з його центром.
На рис. 64 ОА, ОВ, ОВ — радіуси.
Відрізок, який з’єднує дві точки кола, називається хордою. Хорда,
яка проходить через центр, називається діаметром (на рис. 64 ВС —
хорда, ВВ — діаметр).
Пряма, яка проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса,
називається дотичною. На рис. 65 АВ — дотична до кола, А — точка дотику.
Дотичними колами називаються два кола, які мають лише одну
спільну точку (у цій точці вони мають спільну дотичну). Дотикання кіл
називається внутрішнім, якщо центри кіл лежать по один бік від їхньої
спільної дотичної (рис. 66). Дотикання кіл називається зовнішнім, якщо
центри кіл лежать по різні сторони від їхньої спільної дотичної (рис. 67).
174
Геометрія
Рис. 67
Рис. 68
Рис. 66
Рис. 70
Круг — геометричне місце точок площини, відстань яких від даної
точки, яка називається центром, не перевищує даної відстані, яка нази-
вається радіусом (інакше кажучи, кругом називається частина площини,
обмежена колом). На рис. 68 О — центр круга, ОА - г — радіус круга.
Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від двох да-
них точок, є серединний перпендикуляр до відрізка, який з’єднує ці
точки (пряма, що перпендикулярна до відрізка і проходить через його
середину) (рис. 69). Якщо АС = СВ і І — серединний перпендикуляр
до відрізка АВ (рис. 69), то С належить І, і навпаки, якщо С належить
серединному перпендикуляру, то СА = СВ.
Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно прохо-
дить через усі його вершини (рис. 70).
Теорема. Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою пе-
ретину серединних перпендикулярів до сторін трикутника (рис. 71).
Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від сторін
даного кута, є бісектриса цього кута.
Якщо (рис. 72) точка М рівновіддалена від сторін кута АОВ (АМ - МВ,
МА ± ОА, МВ ± ОВ), то точка М лежить на бісектрисі ОС, і навпаки,
якщо М лежить на бісектрисі ОС кута АОВ, то вона рівновіддалена від
його сторін (тобто МА = МВ, МА ± ОА, МВ ± ОВ).
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається
до кожної з його сторін (рис. 73).
Рис. 74
Теорема. Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину
його бісектрис (рис. 74).
Пропорційні відрізки у колі
Теорема про хорди, що перетинаються
Якщо хорди АВ і СВ кола перетинаються у точці 8, то АВ • ВВ = СВ • ВВ
(рис. 75), тобто якщо через точку В, узяту всередині кола, проведено
скільки завгодно хорд, то добуток відрізків кожної хорди є числом,
постійним для усіх хорд.
Основні поняття і теореми геометрії
175
Теорема про дві січні кола,
проведені з однієї точки
Якщо з точки Р до кола проведені дві січні, які перетинають коло
у точках А, В і С, В відповідно, то АР • ВР = ВР • СР (рис. 76).
Теорема про дотичну і січну,
які проведені з однієї точки
Якщо з точки Р до кола проведена дотична РТ і січна, яка перетинає
коло у точках А і В, то РВ РА - РТ2 (рис. 77), тобто добуток січної на
її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної.
Вписані та деякі інші кути
Центральним кутом кола називається кут з вершиною в його центрі.
Він утворений двома радіусами цього кола. На рис. 78 ААОВ — цент-
ральний кут.
Центральний кут вимірюється дугою, на яку він опирається.
На рис. 78 ААОВ = оАВ.
Вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі,
а сторони перетинають це коло. На рис. 79 ААВС — вписаний.
Теорема. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він
опирається (дорівнює половині центрального кута, який спирається
на цю ж дугу).
Нарис. 79 ААВС = |оАС = |аАОС.
Сі Сі
Наслідок 1. Вписані кути, які спираються на одну і ту саму дугу,
рівні між собою. На рис. 80 ААВ^С - ААВ2С - ААВ3С.
Наслідок 2. Вписані кути, які спираються на діаметр, прямі.
На рис. 81 ААВВ = ААСВ = 90°.
Рис. 80
Вписані й описані трикутники
Трикутник називається вписаним в коло, якщо всі його вершини
лежать на цьому колі (рис. 81). Коло при цьому називається описаним
навколо трикутника. Навколо будь-якого трикутника можна описати
коло, і до того ж тільки одне. Центр описаного навколо трикутника кола
є точкою перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін
(рис. 84). Радіус В описаного кола можна обчислити за формулами:
1. В-—де а — довжина сторони трикутника; А — кут три-
2 зіп А
кутника, протилежний стороні а.
я т-> а&с ,
2. В - —. ---, де а, Ь, с — довжини сторін трикутника,
4>/р(р-а)(р-&)(р-с)
а + Ь + с
р-------- — напівпериметр.
Рис. 83
176
Геометрія
Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, знахо-
диться всередині трикутника, навколо тупокутного трикутника — поза
трикутником, навколо прямокутного трикутника — на середині гіпо-
тенузи (рис. 84).
Рис. 84
Рис. 86
Трикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сто-
рони дотикаються до цього кола. Коло при цьому називається вписаним
у трикутник (рис. 85).
У будь-який трикутник можна вписати коло, і до того ж тільки одне.
Центр вписаного у трикутник кола є точкою перетину бісектрис внут-
рішніх кутів трикутника (рис. 86).
Радіус вписаного у трикутник кола можна обчислити за формулою:
І(р-а)(р-д)(р-с)
N Р
де а, Ь, с — довжини сторін трикутника;
а + Ь + с
р — напівпериметр, р---------.
Рис. 87
Вписані й описані чотирикутники
Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини
лежать на цьому колі; коло при цьому називається описаним навколо
многокутника (рис. 87).
Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його
сторони дотикаються до цього кола; коло при цьому називається впи-
саним у многокутник (рис. 88).
У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін
рівні, й навпаки: чотирикутник можна описати навколо кола, якщо
суми його протилежних сторін рівні (рис. 89): АВ + СВ -АВ + ВС.
Рис. 90
Основні поняття і теореми геометрії
177
У будь-якому вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів
дорівнює 180° і навпаки: навколо чотирикутника можна описати коло,
якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180° (рис. 90):
АВ + АВ = АА + АС = 180°.
Зокрема, описати коло можна навколо прямокутника, квадрата,
рівнобедреної трапеції; вписати коло можна в ромб, квадрат, а також
трапецію, в якій сума основ дорівнює сумі бічних сторін.
Ламана. Випуклі многокутники
Ламаною ... А„ називається фігура, яка складається з точок
А1; А2, А3, ..., А„, що називаються вершинами ламаної, і поєднують
їх відрізки А1А2, АзАд, ..., АЛ_1АЛ, що називаються ланками ламаної.
Ламана називається простою, якщо вона не має точок самоперетину.
На рис. 91 ламана проста, на рис. 92 — ламана з самоперетином. Ламана
називається замкненою, якщо у неї кінці співпадають.
Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок.
Теорема. Довжина ламаної не менше довжини відрізка, який поєд-
нує її кінці.
Многокутником називається проста замкнена ламана, сусідні ланки
якої не лежать на одній прямій (рис. 93). Вершини ламаної називаються
вершинами многокутника, а ланки ламаної — сторонами многокутника.
Дві вершини многокутника, які належать одній стороні, називаються
сусідніми. Відрізки, які з’єднують не сусідні вершини многокутника,
називаються діагоналями. Многокутник з п вершинами (з п сторонами)
називається п-кутником.
Плоским многокутником (многокутною областю) називається кін-
цева частина площини, обмежена многокутником (рис. 94).
Многокутник називається випуклим, якщо він лежить по один
бік від кожної прямої, яка проходить через дві його сусідні верши-
ни. На рис. 95 многокутник В\ випуклий, а многокутник В2 неви-
пуклий.
Кутом випуклого многокутника за даної вершини називається кут,
утворений його сторонами, які поєднуються в цій вершині.
Теорема. Сума кутів випуклого п-кутника дорівнює 180° • (п - 2).
Зовнішнім кутом випуклого многокутника за даної вершини на-
зивається кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника при цій
вершині.
Теорема. Сума зовнішніх кутів випуклого п-кутника, узятих по од-
ному при кожній вершині, дорівнює 360°.
Правильні многокутники
Випуклий многокутник називається правильним, якщо у нього всі
сторони й усі кути рівні (рис. 96). Кожний внутрішній кут правильного
180° (п- 2) „ „
п-кутника дорівнює --------Правильний випуклии многокутник
п
є вписаним у коло й описаним навколо кола. Вписане й описане кола
правильного многокутника мають один і той самий центр (рис. 97). Його
називають центром многокутника. Для правильного п-кутника радіуси
Рис. 91
Рис. 93
Рис. 94
Рис. 95
Рис. 96
178
Геометрія
гіК відповідно вписаного та описаного кіл пов’язані між собою спів-
„ 180°
відношенням: Г = ВСО8----.
п
Зв’язки між стороною ап правильного п-кутника (п - 3, 4, 6), радіу-
сом В описаного кола, радіусом г вписаного кола наведені у табл. 2, 3.
Таблиця 2
п п = 3 п = 4 п = б
/? ап „ . 180° 2 51 п п а 7з а л/2 а
г ап „ 180° 2 ід п а 2>/з а 2 йу/З 2
Таблиця З
Н г
л г
йп 180° 2/?5ІП п „ 180° 2г ід п
а3 /?7з 2гу/з
/?л/2 2г
«6 /? 2у/з г 3
Апофемою правильного многокутника називається відрізок перпен-
дикуляра, опущеного з його центра, до перетину зі стороною.
Довжина кола і дуги
Довжина кола обчислюється за формулою: С = 2пВ, де В — радіус
кола (рис. 98).
Довжина дуги кола радіусом В може бути обчислена за формулами:
/ = (рис. 99) або І = <рВ (рис. 100),
180
де І — довжина дуги кола; п° — градусне вимірювання дуги; ф — радіан-
не вимірювання дуги.
Відношення довжин двох кіл дорівнює відношенню довжин їхніх
. . Сі В1
радіусів: 77- = ^-.
С2 лл2
Одиницею радіанної міри кутів є радіан. Кут у 1 радіан — цент-
ральний кут, який спирається на дугу кола, довжина якої дорівнює
радіусу цього кола (рис. 101). На рис. 101 кут АОВ дорівнює 1 радіану,
оскільки довжини всіх сторін криволінійного трикутника АОВ дорів-
нюють радіусу В.
Рис. 100
Основні поняття і теореми геометрії
179
Оскільки довжина напівкола радіусом В дорівнює пВ, то розгорну-
„ . . пВ „
тии кут складає я радіан, оскільки —- = я. Градусна міра розгорнутого
7г
180°
кута дорівнює 180°, тому я - 180°. Звідси 1 радіан = -~57°17'45"
п
(57 градусів, 17 мінут, 45 секунд). Таким чином, зі співвідношення
я = 180° можна переходити від градусів до радіанів і навпаки. Зокрема,
= 0,017 Ра«іан-
ІоУ
Наведемо таблицю переходу від градусів до радіанів найбільш по-
ширених кутів (табл. 4).
Таблиця 4
Градуси 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180°
Радіани 0 п 12 п б п 4 я 3 5к 12 Я 2 Я
Площі плоских фігур
Площа квадрата і прямокутника
Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони (рис. 102): 5 = а2.
Площа квадрата дорівнює половині квадрата його діагоналі (рис. 102):
5 = ^:<і2 Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін
Сі
прямокутника (рис. 103): 5 = аЬ. Площа прямокутника дорівнює поло-
вині квадрата діагоналі, помноженій на синус кута між діагоналями
(рис. 103): 5 = ^й28Іпф.
Сі
Площа паралелограма і ромба
Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони (основи) на
висоту, проведену до неї (рис. 104): 5 = ак.
Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін
на синус кута між ними (рис. 104): 8 - аЬ зіп а.
Площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей
на синус кута між ними (рис. 105): 5 = зіпер.
Сі
Площа ромба дорівнює добутку квадрата сторони на синус кута ром-
ба (рис. 106): 8-а2 зіп а.
Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей (рис. 107):
2 1 2
Зазначимо, що інколи площу ромба визначають, застосовуючи фор-
мулу 5 = ак.
Рис. 106
Рис. 105
Рис. 107
180
Геометрія
А
В 0 а С
Рис. 108
Площа трикутника
Площу 5 трикутника можна обчислити за такими формулами:
1. 5 дорівнює половині добутку його сторони на проведену до неї
висоту (рис. 108): 8-^-ак.
Сі
2. 5 дорівнює половині добутку двох будь-яких його сторін на синус
кута між ними (рис. 108): 8 = ^а&8Іпу.
Сі
3. 5 за формулою Герона дорівнює: 8 = -у/р(р -а)(р-Ь)(р - с), де а,
7 . а+Ь+с
Ь, с — довжини сторін трикутника, а р-------- — напівпериметр.
Сі
Ь
Рис. 109
4. 8 дорівнює: 8 = рг,
„ _ аЬс
4ЇЇ’
де р — напівпериметр; г — радіус
вписаного кола; В. — радіус описаного кола; а, Ь, с — довжини сторін
трикутника.
5. 8 прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його ка-
тетів.
а2>/з
6. 8 правильного (рівностороннього) трикутника дорівнює: 8 = —-—,
де а — довжина сторони трикутника.
Рис. 110
Площа трапеції
Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми основ на висоту
(рис. 109): 8 = ^±^й.
Сі
Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії трапеції на висоту
(рис. 109): 8 = т • й.
Площа випуклого чотирикутника
Площу 8 випуклого чотирикутника можна обчислити за такими
ЦІКАВО ЗНАТИ
Площу довільного випуклого
чотирикутника Інколи зруч-
но знаходити як суму пло-
щин двох трикутників, на які
чотирикутник розбивається
однією з діагоналей.
формулами:
1. 8 будь-якого випуклого чотирикутника дорівнює половині добут-
ку його діагоналей на синус кута між ними: 8 = зіпер (рис. 110).
Сі
а
2. 8 вписаного чотирикутника можна обчислити, знаючи довжини
його сторін:
8 = у](р - а)(р - Ь)(р - с)(р - (і), де а, Ь, с, д. — довжини сторін чотири-
кутника, а р — напівпериметр.
3. 8 описаного чотирикутника дорівнює добутку напівпериметра
чотирикутника на радіус вписаного кола: 8 = рг (рис. 111). Ця формула
правильна для будь-якого описаного многокутника.
Площа правильного многокутника
Площа правильного п-кутника може бути обчислена за такими фор-
мулами (рис. 112).
. Є 1 о е 1 „2 • 360° 2, 180° 1 2 , 180°
1. 8 =рг = — паг-, 2. 8 =—пН 8іп------пг іа-----—пг сіа----,
2 2 п п 4 п
Рис. 111
Основні поняття і теореми геометрії
181
де р — напівпериметр; п — число сторін многокутника; г — радіус впи-
саного кола; В — радіус описаного кола; а — довжина сторони много-
кутника.
Зокрема, площі правильних трикутника, чотирикутника (квадрата),
шестикутника відповідно дорівнюють
а2
, де а — довжини
їхніх сторін.
Площі подібних фігур
Площі подібних фігур співвідносяться як квадрати їхніх відповідних
лінійних розмірів (відношення площин двох подібних фігур дорівнює
квадрату коефіцієнта подібності):
о / \2
7Г= — =&2 (рис. 113).
Площа круга та його частин
Площа круга обчислюється за формулою: 5 = пВ2 (рис. 114), де 5 —
площа круга; В — радіус круга.
Відношення площ двох кругів дорівнює відношенню квадратів їхніх
• • «і %
радіусів: - = -7.
°2 В2
Площа сектора може бути обчислена за формулами:
о лЛ2П° , 1 1 « а -^2(Р / 11Й\
$ = (рис. 115) або 8^—— (рис. 116),
601/ сл
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
У подібних многокутників
кути одного дорівнюють від-
повідно кутам другого, а сто-
рони, що утворюють рівні
кути, є пропорційними.
Рис. 113
де п° — градусне вимірювання дуги сектора; гр — радіанне вимірювання
дуги сектора.
Рис. 114
Рис. 116
Площу кругового сегмента можна обчислити за формулою: 5кр.сегм. =
-'З’кр.сек. + 8Л.аов (рис. 117), причому при а < 180° беремо знак «-», а при
а > 180° — знак « + ».
Площа кільця, утвореного двома концентричними колами радіусами
Вг і В2 (В2 > Вг), обчислюється за формулою:
Рис. 117
Рис. 118
182
Геометрія
Рис. 119
Перетворення фігур.
Рухи (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот,
ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕНЕСЕННЯ)
Вважають, що фігура Рг отримана перетворенням даної фігури Р,
якщо кожна точка фігури Р змістилася якимось чином, утворивши
фігуру Рх (рис. 119).
Рухом називається перетворення фігури Р на Р±, при якому збері-
гається відстань між точками, тобто якщо точки X, ¥ фігури перетво-
рюються на точки Хг, ¥1; то ХУ - Х1У1 (рис. 120). Два рухи, виконані
таким чином, знову дають рух. Перетворення, зворотне руху, також
є рухом.
Властивості рухів
1. При русі прямі переходять у прямі, напівпрямі — у напівпрямі,
відрізки — у відрізки.
2. При русі зберігаються кути між напівпрямими.
Прикладами рухів можуть бути симетрія відносно точки, симетрія
відносно прямої, поворот, паралельне перенесення.
Симетрія відносно точки
(центральна симетрія)
Рис. 122
Дві точки називаються симетричними відносно точки О, якщо О —
середина відрізка ААг (рис. 121).
О — центр симетрії. Точка О симетрична сама собі.
Фігура називається симетричною відносно точки О, якщо для кож-
ної точки фігури симетрична їй точка відносно точки О також належить
цій фігурі. У цьому випадку говорять, що фігура має центральну симет-
рію. На рис. 122 наведені приклади фігур, які мають центральну симет-
рію. Центром симетрії паралелограма є точка перетину його діагоналей,
а центром симетрії кола — центр кола. Кожна пряма має центральну
симетрію, однак на відміну від паралелограма й кола, у яких тільки
один центр симетрії, у прямої їх безкінечно багато — будь-яка точка
прямої є її центром симетрії. Прикладом фігури, яка не має центра
симетрії, є трикутник.
і Симетрія відносно прямої
(осьова симетрія)
4_□_ц__і Дві точки А іАг називають симетричними відносно прямої І, якщо
Р ця пряма проходить через середину відрізка ААг і перпендикулярна
йому (рис. 123). Пряма І називається віссю симетрії. Кожна точка пря-
мої І вважається симетричною самій собі. Фігура називається симетрич-
ною відносно прямої І, якщо для кожної точки фігури симетрична їй
точка відносно прямої І також належить цій фігурі. У цьому випадку
говорять, що фігура має осьову симетрію. На рис. 124 наведені приклади
Рис123 фігур, які мають осьову симетрію.
Основні поняття і теореми геометрії
183
І/,
Рис. 124. Фігури, які мають осьову симетрію
У нерозгорнутого кута одна вісь симетрії — пряма, на якій розташо-
вана бісектриса кута. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник
має одну вісь симетрії, а рівносторонній трикутник — три осі симетрії.
Прямокутник і ромб, які не є квадратами, мають по дві осі симетрії,
а квадрат — чотири осі симетрії. У кола безкінечно багато осей симет-
рії; будь-яка пряма, яка проходить через центр кола, є віссю симет-
рії. Існують фігури, у яких немає жодної осі симетрії. До таких фігур
відносяться, наприклад, паралелограм, відмінний від прямокутника,
рівносторонній трикутник.
Поворот
Поворотом площини навколо даної точки О називається такий рух,
при якому кожний промінь, який виходить із цієї точки, повертається
на один і той самий кут в одному і тому ж напрямку (рис. 125). Точка
О переходить сама у себе. Будь-яка точка X, відмінна від О, переходить
у таку точку Хг, що ХХОХ± - а і ОХ - ОХГ. Кут а — кут повороту.
Паралельне перенесення
Паралельним перенесенням називається такий рух площини, за
якого кожна її точка X перетворюється на точку Хг таким чином, що
промінь ХХГ має заданий напрямок і відрізок ХХГ має задану дов-
жину (рис. 126). Спрямований відрізок ХХг називається вектором
і позначається ХХг, де X — початок, а Хг — кінець вектора ХХг .
Рис. 125
184
Геометрія
Рис. 127
Рис. 128
А(х,;у,)
С(х,;у.)
+ ~Г
І . в (х2;у2)
X, ХС X;
Рис. 129
При паралельному перенесенні точки зміщуються за паралельними (або
співпадаючими) прямими на одну і ту саму відстань. Фігури, які пере-
творюються рухом одна на іншу, є рівними.
Найпростіші геометричні побудови
У курсі геометрії виділяється низка задач на побудову, тобто задач,
в яких потрібно визначити спосіб побудови геометричних фігур за до-
помогою циркуля і лінійки.
Під лінійкою розуміють інструмент, за допомогою якого можна про-
вести довільну пряму. Лінійка вважається безмасштабною і односто-
ронньою, тобто на лінійці немає рисочок і не можна використовувати
обидва її краї.
Під циркулем розуміють інструмент, за допомогою якого можна
на даній прямій відкласти даний відрізок, провести кола довільного
радіуса і радіуса, який дорівнює довжині даного відрізка.
Виконуючи нескладні операції за допомогою цих інструментів, мож-
на розв’язати багато цікавих задач.
Загальна схема розв'язання задач на побудову
1. Аналіз, який полягає у визначенні способу розв’язання задачі
(шукану фігуру будують від руки і, вважаючи, що вона побудована,
встановлюють зв’язки між елементами з метою знайти послідовність
дій для виконання побудови).
2. Побудова (визначають послідовність дій, які дають шукану фігуру).
3. Доведення (доводять, що побудована фігура відповідає за всіма
вимогами умові задачі).
4. Дослідження (з’ясовують, скільки існує рішень задачі, умови
існування шуканої фігури).
Загальна схема дуже громіздка, однак на практиці вона використо-
вується для розв’язання більш складних задач на побудову.
Коли задача проста, то, як правило, аналіз і дослідження пропус-
кають і проводять побудову і доведення.
Декартові координати на площині
Нехай на площині проведені дві взаємно перпендикулярні прямі
х і у — осі координат (рис. 127). Вісь Ох називають віссю абсцис, а вісь
Оу — віссю ординат. Точку перетину осей Ох і Оу (точку О) називають
початком координат. Точка О розбиває вісь на дві напівосі. Домовили-
ся одну з них називати додатною, позначаючи її стрілкою, а другу —
від’ємною.
Кожній точці А площини відповідають два числа (рис. 128) хА, уА,
які називаються її декартовими координатами, відповідно абсцисою та
ординатою. Координати точки записують у дужках поруч із літерою:
А(хл; уА), на першому місці стоїть абсциса, на другому — ордината.
І навпаки, якщо задані два числа хА і уА, то можна побудувати тільки
одну точку А із заданими координатами хА; уА. А(хл; уА).
Основні поняття і теореми геометрії
185
Координати середини відрізка
Якщо задані дві точки А(х1; уг) і В(х2; у2) і С — середина відрізка
, „ X, +х„ у, +у„,
АВ, то хс=—-—; г/с =—-— (рис. 129).
Сі Сі
Відстань між двома точками
Якщо задані дві точки А(хг; уг) і В(х2; у2), то АВ = у/(х2 -хг)2 + (у2 -у1)2
(рис. 129).
Рівнянням фігури називається рівняння з двома змінними х і у, яке
задовольняють координати будь-якої точки фігури. І навпаки, будь-яка
точка, координати якої задовольняють це рівняння, є точкою фігури.
Рівняння кола
1. Із центром на початку координат: х2 + у2 - В2 (рис. 130).
2. Із центром у точці О^а; Ь): (х - а)2 + (у - Ь)2 - В2 (рис. 131).
Рівняння прямої на площині
Будь-яка пряма у декартових координатах х і у має рівняння
ах + Ьу + с = 0, де а, Ь, с — деякі числа.
Якщо Ь Ф 0, то рівняння прямої можна записати у вигляді у - кх + Ь,
Уп ~Ул
де /? — кутовий коефіцієнт прямої, к - ф (рис. 132) або к = —--
ХВ ~ХА
Умови паралельності двох прямих
Якщо прямі Ііпг задані відповідно рівняннями у - кгх + Ьг
і у - к2х + Ь2, то вони паралельні тоді й тільки тоді, коли ку - к2 і Ьг Ф Ь2
(рис. 133).
Якщо /?! = к2 і &і = Ь2, то прямі І і т не співпадають.
Умова перпендикулярності двох прямих
Якщо прямі Ііт задані відповідно рівняннями у - кгх + Ьг
і у - к2х + Ь2, то вони перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли кг • к2 -
- -1 (рис. 134).
Рис. 134
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ СТЕРЕОМЕТРІЇ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Аксіоми стереометрії. Теореми стереометрії. Взаємне розташування прямих і площин у про-
сторі. Ознака паралельності прямих. Ознака паралельності прямої і площини. Ознака прямих,
що перехрещуються. Властивості паралельних площин. Властивості паралельних проекцій.
Перпендикулярність прямих і площин. Властивості перпендикулярних прямої та площини.
Відстані між точками, прямими і площинами. Побудови у стереометрії. Кути у стереометрії.
Призма та її властивості. Бічна і повна поверхні призми. Об’єм призми. Паралелепіпед.
Піраміда та її властивості. Бічна і повна поверхня піраміди. Об’єм піраміди. Зрізана піраміда.
Правильні многогранники. Циліндр і його властивості. Розгортка циліндра. Бічна і повна
поверхні циліндра. Об’єм циліндра. Конус і його властивості. Бічна і повна поверхні конуса. Бічна
і повна поверхні зрізаного конуса. Об’єм конуса.Об’єм зрізаного конуса. Сфера і куля, частини
кулі та сфери. Об’єм кулі. Формула об’єму частини кулі. Формули поверхні сфери та її частин.
Декартові координати у просторі. Координати середини відрізка. Відстань між двома точ-
ками. Рівняння сфери.
Вектори. Основні властивості складання векторів. Скалярний добуток векторів. Координати
вектора. Деякі важливі твердження і формули. Компланарні вектори.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Рис. З
Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі,
називається стереометрією. Основними фігурами у просторі є точки,
прямі та площини. Точки позначаються великими латинськими літе-
рами: А, В, С, В, ...; прямі позначаються малими латинськими літера-
ми: а, Ь, с, (і, ... або двома великими літерами: АВ, СВ, ... . Площини
позначаються грецькими малими літерами: а, 0, X, 8, ... . Площина,
як і пряма, є безкінечною. На кресленні площину зображують у вигляді
паралелограма (рис. 1) або довільної області (рис. 2).
Аксіоми стереометрії
1. Якою б не була площина, існують точки, які належать цій пло-
щині й точки, які їй не належать. На рис. З точка А лежить у площині
а (або належить площині а), а точка В знаходиться поза площиною а
(або не належить площині а). Коротко це записується таким чином:
А є а, В і а.
2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перети-
наються по прямій, яка проходить через цю точку (рис. 4). Дві різні
площини, які мають спільну точку, називаються такими, що перети-
наються.
3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна
провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 5).
Рис. 5
Основні поняття стереометрії
187
Теореми стереометрії
Теорема про існування і єдиність площини, яка проходить через
дану пряму і дану точку. Через пряму і точку, яка не лежить на ній,
можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 6).
Теорема про існування і єдиність площини, яка проходить через три
точки. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести
площину, і до того ж тільки одну (рис. 7).
Якщо А, В, С — точки, які не лежать на одній прямій, то площина,
яка містить їх, позначається таким чином: (АВС).
Теорема про приналежність прямої площині. Якщо дві точки пря-
мої належать площині, то і вся пряма належить цій площині (рис. 8).
Із цієї теореми випливає, що пряма а може лежати у площині а
(коротко це записується таким чином: а с а), пряма а може не лежати
у площині а (пряма має з площиною не більше ніж одну спільну точку).
Якщо пряма і площина мають тільки одну спільну точку, то говорять,
що вони перетинаються (рис. 9).
Просторові геометричні фігури
У стереометрії окрім точок, прямих і площин розглядають просто-
рові геометричні фігури, не всі точки яких лежать в одній площині.
Прикладом просторової фігури може служити геометричне тіло —
частина простору, яку займає предмет. Куб, прямокутний паралелепі-
пед, тетраедр — приклади геометричних тіл.
Куб — це тіло, поверхня якого обмежена шістьома рівними квад-
ратами (рис. 10).
Прямокутний паралелепіпед — це тіло, поверхня якого обмежена
шістьома прямокутниками (рис. 11).
Тетраедр — це тіло, поверхня якого обмежена чотирма трикутни-
ками (рис. 12).
Правильним тетраедром називається тіло, поверхня якого обмежена
чотирма рівними правильними трикутниками (рис. 13).
Многогранником називається тіло, поверхня якого обмежена кін-
цевим числом плоских многокутників. Многокутники, які обмежують
поверхню тіла, називаються гранями, сторони граней називаються реб-
рами, вершини граней називаються вершинами многогранника.
Задача
Дві прямі аіЬ перетинаються у точці А. Довести, що всі прямі, які
не проходять через точку А і перетинають прямі а і Ь, лежать в одній
площині.
188
Геометрія
Рис. 15
а
Рис. 16
Доведення. Згідно з аксіомою стереометрії 3 через прямі а і Ь, які
перетинаються, проведемо площину а (рис. 14).
Тоді будь-яка пряма І, яка перетинає пряму а в точці А1г а пряму Ь
в точці Вг, належить площині а згідно з теоремою про приналежність
прямої площині. Таким чином, усі прямі, які не проходять через точку
А і перетинають прямі а і Ь, лежать в одній площині.
Висновок', твердження доведено.
Взаємне розташування прямих
і площин у ПРОСТОРІ
Дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать
в одній площині і не перетинаються. На рис. 15 прямі а і Ь паралельні.
Паралельність прямих а і Ь позначається таким чином: а || Ь.
Теорема про єдиність прямої, паралельної даній. Через точку поза
даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і при
тому тільки одну.
Ознака паралельності прямих
Дві прямі, паралельні третій прямій, — паралельні: якщо а || Ь, а || с,
то Ь Ц с.
Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають
спільних точок.
На рис. 16 пряма а і площина а паралельні. Паралельність прямої
а і площини а позначається таким чином: а || а.
Ознака паралельності прямої і площини
Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь
прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Якщо а || Ь,
Ь с а, то а || а (рис. 16).
Дві прямі називаються такими, що схрещуються, якщо вони не ле-
жать в одній площині. На рис. 17 прямі аіЬ є такими, що схрещують-
ся, це позначається таким чином: а 4- Ь.
Ознака прямих, що схрещуються
Якщо одна з двох прямих лежить у якійсь площині, а інша пряма
перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то ці
прямі є такими, що схрещуються.
Два відрізки називаються такими, що схрещуються, якщо вони ле-
жать на прямих, що схрещуються.
Дві прямі у просторі можуть:
1) перетинатися, тобто мати одну спільну точку (рис. 18);
2) бути паралельними, тобто лежати в одній площині й не перети-
натися (рис. 19);
3) бути такими, що схрещуються, тобто не лежати в одній площині
(рис. 20).
Основні поняття стереометрії
189
Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається кутова
міра меншого кута, утвореного цими прямими. Певно, 0° < а < 90°, де
а — кут між двома прямими, що перетинаються. Кут між паралельними
прямими вважають таким, що дорівнює нулю.
Кутом між прямими, що схрещуються, називається кут між прями-
ми, які перетинаються і паралельні даним прямим, що схрещуються.
На рис. 21 кут між прямими а і Ь, що схрещуються, дорівнює а, оскіль-
ки кут між прямими щ і &1; що схрещуються, дорівнює а і Щ Ц а, Ьг || Ь.
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
На рис. 22 площини ос і 0 паралельні. Паралельність площин а і 0
позначається таким чином: а || 0.
Ознака паралельності площин. Якщо дві прямі однієї площини, які
перетинаються, відповідно паралельні двом прямим іншої площини,
то ці площини є паралельними.
Якщо а Ц а1; Ь || Ьг, а с а, Ь с а, щ с 0, Ьг с 0, то ос || 0 (рис. 22).
Існування та єдиність площини, паралельної даній площині. Через
точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну
даній, і до того ж тільки одну.
Рис. 22
Властивості паралельних площин
1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі
перетину є паралельними.
На рис. 23 а || 0, у перетинає а по прямій а, у перетинає 0 по прямій Ь,
тоді а Ц Ь.
2. Відрізки паралельних прямих, вміщених між паралельними пло-
щинами, рівні. На рис. 24 а || 0, АВ || СВ, А є а, С є а, В є 0, В є 0,
отже, АВ = СВ.
Нехай задана площина а і пряма, що її перетинає, І (рис. 25). Через
точку А, яка лежить поза площиною а, проведемо пряму, паралель-
ну прямій І. Нехай ця пряма перетинає площину а у точці Аг. Точка
Аг називається паралельною проекцією точки А на площину а, пряма
ААГ — проектуючою прямою, а — площиною проекцій. Щоб побудувати
проекцію довільної фігури (рис. 26), потрібно спроектувати на площину
проекцій кожну точку даної фігури.
Рис. 24
Рис. 25
Рис. 26
190
Геометрія
Властивості паралельних проекцій
Припустимо, що проектовані прямі не паралельні проектуючій пря-
мій. Тоді:
1) прямолінійні відрізки фігури проектуються у відрізки (рис. 27);
2) паралельні відрізки фігури проектуються у паралельні відрізки
(рис. 28) або у відрізки однієї прямої (рис. 29);
Рис. 29
3) якщо точка ділить відрізок, то паралельна проекція цієї точки
Рис. 28
ділить проекцію відрізка в тому ж відношенні. На рис. ЗО —— = 7і 1;
Є В
4) якщо два відрізки паралельні, то їхні паралельні проекції відно-
... „ оо АВ А1В1
сяться, як ці відрізки. На рис. 29 —— = .
Охх Ха
Перпендикулярність прямих і площин
Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною цій
площині, якщо вона перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить
у цій площині.
Перпендикулярність прямої а і площини а позначається таким чи-
ном: а ± а. На рис. 31 зображена пряма а, перпендикулярна площині а.
Ознака перпендикулярності прямої і площини. Якщо пряма перпен-
дикулярна двом прямим, що перетинаються і лежать у площині, то вона
перпендикулярна даній площині. На рис. 32: якщо а ± Ь, а ± с, то а ± а.
Властивості перпендикулярних прямої та площини
1. Якщо дві прямі перпендикулярні одній і тій самій площині,
то ці прямі паралельні. На рис. 33: якщо а ± а і Ь ± а, то а || Ь.
2. Якщо площина перпендикулярна одній із двох паралельних прямих,
то вона перпендикулярна й іншій. На рис. 33: якщо а ± а і а || Ь, то Ь ± а.
3. Якщо пряма перпендикулярна одній із двох паралельних площин,
то вона перпендикулярна й іншій. На рис. 34: якщо а || 0 і а ± а, то а ± 0.
4. Якщо дві різні площини перпендикулярні одній і тій самій пря-
мій, то ці площини паралельні. На рис. 34: якщо а ± а і 0 ± а, то а || 0.
Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, нази-
вається відрізок, який поєднує дану точку з точкою площини і лежить
на прямій, перпендикулярній щодо площини. Кінець цього відрізка,
який лежить у площині, називається основою перпендикуляра.
Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається
будь-який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини, який не
Основні поняття стереометрії
191
є перпендикуляром щодо площини. Кінець цього відрізка, що лежить
у площині, називається основою похилої.
Відрізок, який поєднує основи перпендикуляра і похилої, проведе-
них з однієї і тієї ж точки, називається проекцією похилої на площину.
На рис. 35 АВ — перпендикуляр до площини а. АС — похила до
площини а. ВС — проекція похилої АС на площину а.
Якщо з даної точки проведені перпендикуляр і похила, то перпен-
дикуляр коротший від похилої.
Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, що лежить у пло-
щині, перпендикулярна проекції похилої на цю площину, то вона пер-
пендикулярна і самій похилій. І навпаки: якщо пряма, яка лежить
у площині, перпендикулярна похилій, то вона перпендикулярна і самій
проекції на цю площину.
На рис. 36 зображені: АО — перпендикуляр, АВ — похила, ОВ —
проекція похилої, с — пряма площини. Якщо ОВ ± с, то АВ ± с і нав-
паки: якщо с ВАВ, то ОВ ± с. Зазначимо, що пряма С на рис. 36 може
й не перетинатися зАВ.
Відстані між точками, прямими і площинами
Відстанню від точки до площини називається довжина перпендику-
ляра, опущеного з цієї точки на площину.
На рис. 37 відстанню від точки А до площини а є довжина перпен-
дикуляра АО.
Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається від-
стань від будь-якої точки цієї прямої до площини. На рис. 38 а || а,
АО ± а, отже, відстанню від прямої а до площини а є довжина перпен-
дикуляра АО.
Відстанню між паралельними площинами називається відстань від
будь-якої точки однієї площини до іншої площини. На рис. 39 а || 0,
А є 0, АО ± а, О є а, тоді відстанню між площинами а і 0 є довжина
перпендикуляра АО.
Відстанню між прямими, що схрещуються, називається довжина
їхнього спільного перпендикуляра (відрізка з кінцями на цих прямих,
який є перпендикуляром до кожної з прямих).
На рис. 40 а 4- Ь, А є а, В є Ь, АВ ± а, АВ ± Ь, отже, відстанню між
прямими а і Ь є довжина відрізка АВ.
Задача
Знайти відстань між діагоналями суміжних граней куба, що схре-
щуються, довжина ребра якого дорівнює а.
Розв’язання. Нехай АВСВА1В1С1В1 — куб (рис. 41).
Знайдемо відстань між прямими АВг і ВСг. Через прямі АВг і В^В^
проводимо площину АВ1В1. Через прямі ВСГ і ВВ проводимо пло-
щину ВВСу. Площини АВ1В1 і ВВСХ паралельні. Отже, відстань між
прямими АВг і ВСГ дорівнює відстані між паралельними площина-
ми АВ1В1 і ВВСу. Оскільки АгС — похила до площини АВС, а АС —
проекція цієї похилої та АС ± ВВ, то за теоремою про три перпен-
дикуляри АгС ± ВВ. Оскільки АгС — похила до площини СВВХ,
а СВГ — проекція цієї похилої і СВГ ± ВСГ, то АгС ± ВСг. Оскільки
АгС ± ВВ, АгС ± ВС, то АгС ± (ВВС^. Отже, відстань між площинами
ВВС± і В^В^А дорівнює 88± (де 5 і 8± — точки перетину діагоналі АгС
Рис. 35
Рис. 36
192
Геометрія
Рис. 41
куба з площинами АВ1В1 і ВВС^. Із перерізу ААД^С (рис. 41) маємо:
^(АВ2 +ВС2) + АА2 = ^(а2+а2) + а2 =
О о
Побудови у стереометрії
У стереометрії зображенням фігури називають будь-яку фігуру,
подібну паралельній проекції даної фігури на якусь площину.
Розв’язання задач на побудову у просторі відрізняється від
розв’язання задач на побудову на площині. При розв’язанні задач на
побудову у просторі описується і логічно обґрунтовується процес побу-
дови, який супроводжується схематичними рисунками.
Площина вважається побудованою, якщо зазначені елементи, які
визначають її положення (три точки, що не лежать на одній прямій;
пряма і точка, що лежить поза прямою; дві прямі, що перетинаються
або паралельні).
Лінія перетину площин вважається побудованою, якщо визначені
площини, що перетинаються.
У площині, яка визначена, можна виконати усі побудови, викорис-
товуючи методи, вивчені у планіметрії.
Перерізом тіла називається частина січної площини, обмеженої
лініями перетину цієї площини з поверхнею тіла. На рис. 42 переріз
заштрихований.
При побудуванні перерізу тіла необхідно:
1) визначити положення січної площини;
2) знайти лінію перетину січної площини з поверхнею тіла.
Задача 1
Через кінці трьох ребер ОА, ОВ, ОС прямокутного паралелепіпеда
проведена площина АВС. Діагональ ОВ паралелепіпеда перетинає цю
площину в точці М. Довести, що ОМ = ^-ОВ (рис. 43).
О
Доведення. Нехай Р — середина відрізка АВ. Оскільки АВМС ~
.„,,п , ... РМ ОМ ОР 1 г, гіГГ, о й
~ М)МР (рис. 44), то —= —— = тттт = Отже, МВ - 2 • ОМ, тобто
у 7 МС МВ ВС 2
ОВ = З ОМ ОМ = ±ов.
о
Висновок-, твердження доведено.
Задача 2
Побудувати переріз куба АВСВА1В1С1В1 (рис. 45) площиною, яка
проходить через середини К, Ь, М ребер А41; СС1г ВС.
Побудова. Січна площина а визначається точками К, Ь, М, які не
лежать на одній прямій.
Знайдемо прямі, в яких а перетинає площини граней куба. Ь і М —
спільні точки площини а і площини грані ВССДД, отже, ці площи-
ни перетинаються по прямій МЬ. Прямі ЬМ і ВВГ, ЬМ і В1С1 лежать
Основні поняття стереометрії
193
у площині ІХО^С, прямі ЬМ і ВВг перетинаються в точці X, прямі
ЬМ і В1С1 — точці ¥.
Точки X і К — спільні точки площини а і площини грані ВВ^А^А,
вони визначають пряму КХ, яка перетинає пряму А1В1 в точці X, а ребро
АВ — точці N.
Точки У і X належать площині а і площині грані А1В1С1В1. Пряма
УХ перетинає ребра А1В1 і В1С1 у точках Р і Отже, шуканий переріз —
РЦІАІУК (рис. 45).
Висновок', переріз побудований.
Кути у стереометрії
Кутом між прямою і площиною називається кут між прямою та її
проекцією на площину (рис. 46). Якщо ф — кут між прямою і площи-
ною, то 0° < ф < 90°. Кутом між похилою і площиною називається кут
між похилою та її проекцією на дану площину (рис. 47). Якщо ф — кут
між похилою і площиною, то 0° < ф < 90°.
Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними,
якщо третя площина, перпендикулярна прямій перетину цих площин,
перетинає їх за перпендикулярними прямими. На рис. 48 а ± 0, оскіль-
ки у ± с і аУ Ь.
Ознака перпендикулярності площин. Якщо площина проходить
через пряму, перпендикулярну іншій площині, то ці площини перпен-
дикулярні. Якщо Ь ± а і 0 проходить через Ь, то 0 ± а (рис. 49).
Рис. 47
Властивості перпендикулярних площин
1. Будь-яка площина, перпендикулярна лінії перетину перпендику-
лярних площин, перетинає їх за перпендикулярними прямими. Якщо
а ± 0, у ± с, то а ± Ь (рис. 48).
2. Якщо пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних пло-
щин, перпендикулярна лінії їх перетину, то вона перпендикулярна
і другій площині. Якщо 0 ± а, Ь ± а, то Ь ± а (рис. 49).
194
Геометрія
Рис. 50
Рис. 51
Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює
нулю.
Кутом між площинами, що перетинаються, називається кут між
прямими перетину цих площин з площиною, перпендикулярною до
лінії перетину цих площин. Якщо у ± С, ТО ф — кут між площинами,
0° < ф < 90° (рис. 50).
Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощи-
нами зі спільною прямою, яка їх обмежує (рис. 51). Напівплощини нази-
ваються гранями, а пряма, що їх обмежує, — ребром двогранного кута.
Лінійним кутом двогранного кута називається кут між променями,
за якими площина, перпендикулярна ребру двогранного кута, перетинає
грані. На рис. 52 у± с, ф — лінійний кут двогранного кута, 0° < ф < 180°.
Ортогональним (або прямокутним) проектуванням називається па-
ралельне проектування, при якому проектовані прямі перпендикулярні
щодо площини проекції.
Теорема. Площа ортогональної проекції многокутника на площину
дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокут-
ника і площиною проекції. На рис. 53: 5 = соз а.
Тригранним кутом (8АВС) називається фігура, складена з трьох
плоских кутів (А8В, В8С і С8А) (рис. 54). Ці кути називаються гранями
тригранного кута, а їх сторони — ребрами. Спільна вершина плоских
кутів називається вершиною тригранного кута.
Многогранним кутом ЗА^^... Ап називається фігура, складе-
на з п плоских кутів Аг8А2, А28А3, А38А4, ..., А„_48А„, А„8А1 (рис. 55).
8 — вершина; 8А1; 8А2, ..., 8Ап — ребра, АА48А2, АА28А3, ..., ААп8А1 —
грані многогранного кута. Залежно від кількості граней розрізняють
тригранні, чотиригранні кути і т. д.
Задача 1
Кожний плоский кут тригранного кута дорівнює 60°, на одному з ребер
від вершини відкладений відрізок, який дорівнює З см, і з кінця його про-
ведений перпендикуляр на протилежну грань. Визначити його довжину.
Розв’язання. Нехай 8АВС — заданий тригранний кут (рис. 56).
АА8В = АВ8С = АС 8А = 60°, 8А = 3 см, АО 1 (8ВС). З точки О про-
ведемо ВО ± 8В, СО ± 8С, тоді за теоремою про три перпендикуляри
АВ ± 8В, АС ± 8С. Л8АС = Д8АВ (за гіпотенузою і гострим кутом), отже,
1 З
8С = 8В = А8 соз60° = 3 = (см).
Сі Сі
А8ВО = Д8СО (за гіпотенузою і катетом: 80 — спільна, 8С = 8В),
отже, АО8С = АО8В = 60° : 2 = 30°.
Із Д8ОС: 80 =
8С
соз АО8С
З
2соз30°
3 2 3 ,
---^ = -^ = 73 (см).
2 73 73
Основні поняття стереометрії
195
Із ЛАВО: АО = >ІА82-8О2 = ^З2 -(л/3)2 = >/б (см).
Відповідь: л/б см.
Задача 2
У тригранному куті два плоских кута дорівнюють по 60°, а третій —
прямий. Знайти кут між площиною прямого кута і протилежним ребром.
Розв’язання. Нехай 8АВС — тригранний кут (рис. 56).
АВ8С = 90°, АВ8А = АС8А = 60°. Проведемо АО 1 (В8С), ВО 1 ВВ,
СО ± 8С, тоді АВ ± 8В, АС АВС (за теоремою про три перпендикуляри).
Нехай 8А - х. ААВС = ЛА8В (за гіпотенузою і гострим кутом).
Із ААВС: 8С = хсоз60° = — ЛС8О = ДВ8О (за гіпотенузою і катетом).
Із А8ОС: ВС х 2 х зіп45 2-У2 у/2
Із ЛАВО: соя АА8О = =^> АА8О = агссоз| | = 45°. 8А ^2х 2 \ 2 )
Відповідь: 45°.
Задача З
У тригранному куті два плоских кута дорівнюють по 45°, а третій
плоский кут дорівнює 60°. Знайти двогранний кут, протилежний третьо-
му плоскому куту.
Розв’язання. Нехай 8АВС — даний тригранний кут (рис. 57),
АА8В = ААВС = 45°, АВ8С = 60°.
Через точку В ребра 8А проведемо ВВ ± 8А, ВС ± 8А. ЛВ8В -
- АВ8С (за катетом і прилеглим гострим кутом: ВВ — спільний, АВ8В -
= АВ8С = 45°), а отже, ВВ = ВС і ВВ = ВС. Нехай ВВ = х, тоді з АВВС:
ап г— і—
ВС - х, ВС ----— -х\І2. ЛВ8С — правильний, а отже, ВС = ху2.
соз45°
Рис. 57
Далі з АВВС за теоремою косинусів:
ВС2 = ВС2 + ВВ2 - 2ВС ВВ сояАВВС =>
=> соз АВВС =
ВС2 +ВВ2 -ВС2
2 ВС ВВ
х2 + х2 - 2х2
2хх
= 0.
Отже, АВВС - агссоз 0 = 90°.
Відповідь: 90°.
Призма та її властивості
Призма — це многогранник, у якого дві грані — рівні п-кутники,
які лежать у паралельних площинах, а інші п граней — паралелограми
(рис. 58). Многокутники називають основами призми, а паралелогра-
ми — бічними гранями. Сторони бічних граней та основ називають
ребрами призми. Кінці ребер називають вершинами призми. Бічними
ребрами називають ребра, які не належать основам.
Властивості призми:
1) основи призми паралельні та рівні;
2) бічні ребра паралельні й рівні;
3) бічні грані — паралелограми.
Рис. 58
196
Геометрія
Висотою призми називається перпендикуляр, опущений із точки верх-
ньої основи на площину нижньої основи. На рис. 59 ООГ — висота призми.
Діагоналлю призми називається відрізок, який з’єднує дві вершини,
які не належать одній грані. На рис. 58 АС1г АІ)1 — діагоналі призми.
Діагональним перерізом призми називається переріз її площиною,
що проходить через два бічних ребра, які не належать одній грані.
На рис. 58 АА^С — діагональний переріз призми.
Прямою призмою називається призма, у якої бічні ребра перпен-
дикулярні площинам основ. Призма, що не є прямою, називається
похилою призмою.
Правильною призмою називається пряма призма, у якої в основі
лежить правильний многокутник. На рис. 60 зображені правильні три-
кутна, чотирикутна і шестикутна призми.
Рис. 60
Рис. 61
Бічна і повна поверхні призми
Поєднання бічних граней призми називається бічною поверхнею
призми, а поєднання усіх граней призми називається повною поверх-
нею призми.
Площею бічної поверхні призми називається сума площ її бічних
граней.
Площею повної поверхні призми називається сума площ усіх її граней.
Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра
основи на висоту призми, тобто на довжину бічного ребра. На рис. 61
^бічн = -РДіВС ' ААг.
Площу бічної поверхні призми можна обчислити за формулою:
5бічн = Р • ААг (рис. 62), де Р — периметр перпендикулярного перерізу
(перерізу призми площиною, яка перпендикулярна бічним ребрам
і перетинає їх), ААг — довжина бічного ребра.
Площа повної поверхні призми (5пр) дорівнює сумі площі бічної по-
верхні (5бічн) і площ двох основ (25осн):
Ч = Ч + 24
^пр *^бічн ^^осн*
Задача 1
У похилій трикутній призмі бічне ребро дорівнює 8 см, сторони
перпендикулярного перерізу відносяться як 9 : 10 : 17, а його площа
дорівнює 144 см2. Знайти бічну поверхню цієї призми.
Розв’язання. Нехай сторони перпендикулярного перерізу дорівню-
ють 9х, Юх, 17х, тоді площа 5 = д/р(р-а)(р-Ь)(р- с), де а - 9х, Ь - Юх,
а+Ь+с
с-17х, р--------.
р 2
Отже, 5 = у/18х(18х - 9х)(18х - 10х)(18х -17х) = ^18х-9х-8х = 36х2.
Основні поняття стереометрії
197
Враховуючи умови задачі, маємо: Збх2 = 144, х - 2. Отже, сторони
перпендикулярного перерізу дорівнюють: 18 см, 20 см, 34 см і площа
бічної поверхні 5бічн = 8 • (18 + 20 + 34) = 576 (см2).
Відповідь'. 576 см2.
Задача 2
Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює ф, а пов-
на поверхня дорівнює 8. Знайти висоту призми.
Розв’язання. Нехай сторона основи дорівнює а, а висота призми — к,
тоді Г _ о_.
[4ай = ф; а 4к’
14ак + 2а2 - 8; 0? _с
Г 2 ЇЙ?=8-
О2 о2
З другого рівняння ф + = -^-7 = 5>-ф.
8й 8й
Звідси к-
ф2 ф
8(5-Є) 2^2(5-ф)’
Відповідь'. —.
2^2(5-£)
Рис. 64
Об'єм призми
Об’єм V призми дорівнює добутку площі основи на висоту: V- 50СН • Н
(рис. 63). Об’єм V призми можна обчислити за формулою V - 8,, • А41;
де 5П — площа перпендикулярного перерізу, ААг — довжина бічного
ребра (рис. 64).
Об’єм V будь-якого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи
на висоту: V - 50СН • Н (рис. 65).
Об’єм прямокутного паралелепіпеда V дорівнює добутку трьох його
вимірів: V - аЬс (рис. 66).
Об’єм куба V дорівнює кубу його ребра: V - а3.
Рис. 65
Задача 1
Знайти об’єм правильної трикутної призми, у якої діагональ бічної
грані дорівнює д, а сторону основи видно з протилежної вершини другої
основи під кутом а.
Розв’язання. Нехай АВСАВ,!?, — дана правильна призма (рис. 67),
у якій АВ} - АСг = д, ЛАВ1С1 — рівнобедрений. Провівши висоту АМ
цього трикутника, маємо: АМ — бісектриса і медіана.
Рис. 66
Із ЛАВ,М: зіп АВХАМ - йзіп^, тоді В1С1 -2д зіп^- = АВ.
Сі Сі
Із КАВХВ маємо: ВВ, = ^АВ2 - АВ2 = ^д2 - 4й2 зіп2 =
= д.1 - 4 зіп2 = йЛ/1-2(1-соза) = й-72созос-1.
1
Об’єм призми
.„2 г 4д2яіп2^
У=5 Н= / -ВВ, =--------------—^->/зАл/2соза-1 = д3 зіп2^ЛЗ(2соза-1).
ОСН Л 1 Л > V ' х
Рис. 67
Відповідь', д3 зіп2 ^^/3(2соза -1).
Сі
198
Геометрія
Задача 2
Знайти об’єм похилої призми, у якої основою є трикутник зі сторо-
нами 10 см, 10 см і 12 см, а бічне ребро, яке дорівнює 8 см, з площиною
основи складає кут 60°.
Розв’язання. Нехай АВСА1В1С1 — дана призма (рис. 68), у якої
АВ - ВС = 10 см, АС = 12 см, ССг = 8 см. Проведемо СгМ ± (АВС), тоді
АС,СМ= 60°.
Об’єм призми V - 50СН • Н, де
5осн = у/р(р-а)(р-Ь)(р-с) = 716 6-6-4 = 48 (см2).
н = С,М = СЦ • зіп АСгСМ = 8 • зіп60° = = 4д/з.
Отже, V = 48 4>/з = 192>/3 (см3).
Відповідь'. 192\/з см3.
Задача З
Основою призми АВСА1В1С1 (рис. 69) є правильний ААВС зі стороною
а. Вершина Аг проектується у центр цієї основи, а ребро АЙ! з площиною
основи складає кут ф. Знайти об’єм призми.
Розв’язання. Нехай О — центр ААВС, АО-^^г--^=.
>/з л/з
Із ААОАг: ОАг = АО ААгАО = -у= ф.
•у З
тт ТЛ тт О гтл а2>/з аі£Ф 1 3.
Для об ему V маємо: V = Восн ОА, = — ------=— = ~^а Ї£Ф-
1 з
Відповідь', —а
4
1£ф.
Паралелепіпед
Рис. 70
Рис. 71
Паралелепіпедом називається призма, основи якої — паралелограми
(рис. 70).
Властивості паралелепіпеда:
1) протилежні грані паралелепіпеда рівні та паралельні;
2) усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і ді-
ляться нею навпіл.
Паралелепіпед називається прямим, якщо у нього бічні ребра перпен-
дикулярні основам. Прямий паралелепіпед має усі властивості паралелепі-
педа, і, крім того, бічні грані прямого паралелепіпеда — прямокутники.
Прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники, називаєть-
ся прямокутним паралелепіпедом (рис. 71). Усі грані прямокутного
паралелепіпеда — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного
паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються лінійними
розмірами (або вимірами) прямокутного паралелепіпеда.
Властивості прямокутного паралелепіпеда:
1) усі діагоналі рівні;
2) квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.
На рис. 71 сР - а2 + Ь2 + с2.
Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається
кубом.
Основні поняття стереометрії
199
Задача 1
Довжини діагоналей правильної шестикутної призми дорівнюють
а і Ь (а < Ь). Визначити висоту призми.
Розв’язання. Нехай у правильній шестикутній призмі (рис. 72)
АСг = а, АВг = Ь. Позначимо довжину сторони шестикутника через х,
тоді АВ = 2х, АС - уіАВ2 - ВС2 - уі4х2 -х2 - ху[з, а, отже, .
АВ 2х 2
Із ААСС,: АС = у/АСІ-ССІ = у/а2-СС2.
Із ЛАВВ,-. АВ = у]АВ2 - ВВ2 = у]ь2 - ВВ2.
уІа2-СС2 Дз
Тоді, враховуючи, що ССГ - ВВ1г отримуємо: . =
у]Ь2-СС2 2
Звідси 4а2 - 4СС2 = 3&2 - ЗСС2 4а2 - ЗЬ2 = СС2.
Отже, СЦ = >/4а2-3&2.
Відповідь-, у]4а2 -ЗЬ2.
Рис. 72
Задача 2
Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, якщо діагоналі його
граней мають довжини 11 см, 19 см і 20 см.
Розв’язання. Нехай а, Ь, с — вимірювання паралелепіпеда, тоді
а1 + Ь2 - II2, Ь2 + с2 = 192, с2 + а2 - 202. Склавши почленно три нерів-
ності, отримаємо:
2(а2 + Ь2 + с2) = II2 + 192 + 202 а2 + Ь2 + с2 = 441.
Оскільки д,2 - а2 + Ь2 + с2, де д, — діагональ прямокутного парале-
лепіпеда, то д,2 - 441, д, - 21 (см).
Відповідь-. 21 см.
Задача З
Довести, що в будь-якому паралелепіпеді сума квадратів діагоналей
дорівнює сумі квадратів усіх ребер.
Доведення. Нехай АВСВА1В1С1В1 — даний паралелепіпед (рис. 73).
За властивістю діагоналей паралелограма маємо:
АС2 + АД!2 = 2АА% +2АС2 (для паралелограма ААДДС),
ВВІ +ВД)2 = 2ВВІ + 2ВВ2 (для паралелограма ВВДДВ).
Склавши ці рівності почленно, отримаємо:
АС2+А1С2+ВВ2+В1В2=2АА^ +2АС2+2ВВ2+2ВВ2 =4А412 +2(АС2 +ВВ2)=
= 4 А42 + 2(2АВ2 + 2АО2) = 4 А42 + 4 АВ2 + 4 АО2.
Висновок-, твердження доведено.
Піраміда та її властивості
Пірамідою (п-кутною) називається многогранник, у якого одна грань
є довільним п-кутником, а інші п граней — трикутники, що мають
спільну вершину. На рис. 74 зображена піраміда 8АВСВ. п-Кутник
називається основою, а трикутники — бічними гранями. Спільна вер-
шина бічних граней називається вершиною піраміди.
200
Геометрія
Рис. 74
На рис. 74 АВСВ — основа; А8АВ, А8ВС, А8СВ, А8ВА — бічні грані
піраміди; 5 — вершина піраміди; &4, 8В, 8С, 8В — бічні ребра.
Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із вер-
шини піраміди на площину основи. На рис. 74 80 — висота піраміди.
Правильною пірамідою називається піраміда, в основі якої лежить
правильний многокутник, а основа висоти піраміди співпадає з центром
цього многокутника.
Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини піра-
міди, називається її апофемою.
На рис. 75 зображена правильна трикутна піраміда 8АВС, 8К ± СВ,
8К — апофема.
У правильній піраміді:
• бічні ребра рівні;
• бічні грані рівні;
• апофеми рівні;
• двогранні кути при основі рівні;
• двогранні кути при бічних ребрах рівні;
• кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх
вершин основи;
• кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх
бічних граней;
• кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх
бічних ребер.
Діагональним перерізом піраміди називається переріз площиною,
яка проходить через два бічних ребра піраміди, що не лежать в одній
грані.
Властивості паралельних перерізів піраміди
Теорема. Якщо піраміда перетнута площиною, яка паралельна ос-
нові, то:
1) бічні ребра і висота піраміди діляться цієї площиною на пропор-
ційні частини;
2) переріз — многокутник, подібний основі;
3) площі перерізу й основи відносяться як квадрати їхніх відстаней
від вершини.
Задача
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічне
ребро з висотою утворює кут 30°. Знайти площу перерізу, що проходить
через вершину основи перпендикулярно протилежному ребру.
Розв’язання. Нехай у піраміді 8АВСВ (рис. 76) АО8В - АО8В =
= АО8С - АО8А - 30°. Перерізом є чотирикутник ВКРЬ, площу 8ВКРЬ
якого потрібно знайти. Оскільки за умовою переріз перпендикулярний
до протилежного ребра, то ВР ± В8. Оскільки (А8С) ± (В8В), то КЬ ± ВР.
Оскільки площа довільного чотирикутника дорівнює половині до-
бутку його діагоналей на синус кута між ними, то
8„крт = І КЬ ВР 8Іп90° = І КЬ ВР.
вкгь 2 2
Оскільки В8 = В8 і АВ8В = 60° , то АВ8В — правильний.
ВВ - а^2, звідси сторона правильного АВ8В дорівнює а>І2. ВР —
висота, медіана і бісектриса АВ8В , а М — центр АВ8В,
Основні поняття стереометрії
201
8М = 1 80.
Сі О
Оскільки ДА5С = ДВ8В, 80 — медіана, бісектриса і висота, М —
центр цих трикутників, АК8Ь ~ ДА8С, то
8М КЬ 8М л„ 2 к 2аЛ
Отже,
, _ 1 т^т г>г_1 2«л/2 а>/б _ а2л/12 _ а2>/з
’^ь-2 ^"2 “3“8“"“З”
Відповідь-. —-—.
О
Бічна і повна поверхні піраміди
Площею повної поверхні піраміди називається сума площ усіх її
граней (тобто основи і бічних граней), а площею бічної поверхні пірамі-
ди — сума площ її бічних граней: 5П0ВН = 5бічн + 50СН; 5бічн = 8РАав + 8Рвас +
+ 5ДС5В + 8РАао (рис. 77).
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині до-
бутку периметра основи на апофему: 5бічн = |росн 8К = |росн І (рис. 78),
Сі Сі
де і — апофема, І - 8К.
Якщо бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом, а площа
5
основи піраміди дорівнює 50СН, то площа поверхні піраміди 56ічн = ——.
Рис. 78
Задача 1
Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює Ь і нахиле-
не до площини основи під кутом а. Знайти повну поверхню піраміди.
Розв’язання. Нехай 8АВСВ — правильна піраміда (рис. 79), в якій
8А = 8В = 8С = 8В = Ь, Л8АО = 8ВО = А8СО = Л8ВО = а, 80 1 (АВС).
Із Л8АО: АО = А8 • созАВАО = Ь соз а, 80 = А8 • АпА8АО = Ь зіп а.
Далі: АВ - АО^2 - л/2&соза.
Проведемо апофему 8К, 8К РАВ. З Р8КО-.
ВК-уІКО2 +8О2 +8О2
1-2д2 соз2 а + Ь2 зіп2 а =
4
4&2 соз2 а + Ь2 зіп2 а = -^д/соз2 а + 2зіп2 а.
2 72
Тоді
Зповн = Збічн + 800Н = 4 • І • АВ • 8К + АВ2 = 2 • л/2&соза • -%= л/соз2а + 2зіп2а +
2 72
+2Ь2 соз2 а - 2Ь2 созал/соз2 а + 2зіп2 а + 2Ь2 соз2 а -
- 2Ь2 соза(л/соз2 а + 2зіп2 + сова).
Відповідь-. 2Ь2 сояосіусоя2 а + 2яіп2 -і-соза
202
Геометрія
Задача 2
У правильній чотирикутній піраміді бічна поверхня дорівнює д,
а повна поверхня — ф. Знайти сторону основи і висоту піраміди.
Розв’язання. 5П0ВН = + 5бічн, тобто ф = а2 + д, де а — сторона осно-
ви (рис. 80), то а = у]О~д. Оскільки 5бічн = 2а • І, де І - 8К — апофема,
то І - ''"ш = —, Ц Висоту 80 = Н піраміди визначимо за допомогою
2а
формули:
И-- 1/2 _М2 _ І ?2 у/д2-(О2~2дО + д2) уІ2дО-О2
Ч Ш }4(0-д) 4 2у/0-д 2^0-д
Відповідь: у]О~д; Я—
2уІ0-д
Об'єм піраміди
Рис. 81
Об’єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі основи на ви-
соту: У = ±80СВН (рис. 81).
О
Задача 1
Основа піраміди — трикутник зі сторонами 13 см, 20 см, 21 см.
Знайти об’єм піраміди, якщо двогранні кути при основі дорівнюють 30°.
Розв’язання. Нехай 8АВС — дана піраміда (рис. 82), АВ - 13 см,
ВС = 20 см, АС = 21 см, 80 1 (АВС). Проведемо 8К РАС, 8М РАВ,
8Р' ± ВС, тоді за теоремою про три перпендикуляри ОК РАС, ОМ ±АВ,
ОК ± ВС, отже, Х8КО = Х8МО = Х8КО = 30°. Оскільки двогранні кути
при основі рівні, то вершина проектується в точку О — центр вписаного
в ЛАВС кола.
Об’єм піраміди У = ^8ЖЯН. Обчисливши напівпериметр р осно-
О
13 + 20 + 21 ОГ7 « к -р
ви: р =------------= 27, площу основи знайдемо за формулою Герона:
Сі
50СН =^27 (27-13) (27-20) (27-21) = 126 (см2). Радіус вписаного кола
„„ 50СН 126 14 , .
дорівнює: ОК = = — (см).
14
Із А8КО: Н = 8О = ОК Л^0° = 2А
О
Рис. 83
„ . т, 1 14>/3 196>/3 , зч
Тоді V = -126—-*- = —(см3).
О €7 О
.д 196\/з з
Відповідь: —-— см3.
Уз
з
І4л/3 , ч
—д— (см).
Задача 2
Основа піраміди — ромб із гострим кутом. Усі висоти бічних граней,
проведені з вершини піраміди, дорівнюють й і нахилені до площини її
основи під кутом р. Знайти об’єм піраміди.
Розв’язання. Нехай 8АВСВ — дана піраміда (рис. 83), АВСВ — ромб,
РВАВ = а, 80 1 (АВС).
Основні поняття стереометрії
203
Проведемо МА ААВ, ЬК ± ВС, тоді 8М ± АВ, 8К ± ВС, 8А ± ВС,
8Ь ААВ (за теоремою про три перпендикуляри), отже, 8М - 8К - 8А -
= 8Ь = 1г, А8МО = А8КО = А8АО = А8ЬО = 0.
Оскільки двогранні кути при основі піраміди рівні, то О — центр
вписаного у ромб АВСВ кола.
Із Л8ЬОі 8О = 8Ь АпАЗЬО = И зіп 0, ВО = 8Ь созАЗЬО = И соз 0.
Врахуємо, що ЬК - 21г соз 0. Сторона ромба АВ -------= 2^СО80.
зіп АВАВ зіп а
~ о лг> IV 2ЙСО30 4й2соз20
Отже, 8пт = АВ ЬК = —:--- • 2й соз 0 =-:.
зіпа зіпа
т • тл 1 а ап 1 4Й2 СОЗ2 0 . 4 Й3СО8208ІП0
Тоді V = -• 8осн • 80 = --:--Й81П0 = ----—-----
З 3 зіпа 3 зіпа
4 й3соз20зіп0
Відповідь'. —----Н
З зіпа
Зрізана піраміда
Якщо довільну п-кутну піраміду перетнути площиною, паралельною
основі, то ця площина відітне від піраміди многогранник, дві грані яко-
го — подібні п-кутники, а інші п граней — трапеції. Цей многогранник
називається зрізаною пірамідою (рис. 84).
Паралельні грані зрізаної піраміди називаються основами, а всі інші —
бічними гранями. Висотою зрізаної піраміди називається перпендику-
ляр, проведений з якоїсь точки однієї основи на площину іншої основи.
Зрізана піраміда називається правильною, якщо вона становить
частину правильної піраміди. Висота бічної грані правильної зрізаної
піраміди, проведена до ребра основи, називається апофемою.
У правильній зрізаній піраміді:
• бічні ребра рівні;
• бічні грані рівні;
• апофеми рівні;
• двогранні кути при кожній основі рівні;
• двогранні кути при бічних ребрах рівні;
• кожна точка прямої, яка проходить через центри її основ, рів-
новіддалена від усіх вершин кожної основи, рівновіддалена від площин
бічних граней, рівновіддалена від прямих, на яких лежать бічні ребра.
Задача 1
У правильній зрізаній чотирикутній піраміді сторони основ дорів-
нюють а і Ь (а > Ь), двогранний кут при більшій основі дорівнює а.
Знайти висоту піраміди.
Розв’язання. Нехай АВСВА^В^С^Ву — правильна зрізана чотирикут-
на піраміда (рис. 85), АВ - а, А1В1 - Ь, ООГ — висота, О і Ог — центри
основ. Проведемо ОМ ± ВС і О1М1 ± В1С1, тоді ММ, ± ВС, АМгМО = а.
Враховуючи, що О і Ог — центри квадратів, маємо:
ПроведемоМ^А (АВС), тоді з ЛМ^М:
Сі Сі Сі Сі
Відповідь'.
а-Ь
2
ї£а.
МгИ = ММ і^АМ^М =
а-Ь.
204
Геометрія
Рис. 86
Рис. 87
Задача 2
У правильній зрізаній трикутній піраміді сторона більшої основи
дорівнює а, сторона меншої основи дорівнює Ь, бічне ребро з основою
утворює гострий кут. Знайти площу перерізу, який проходить через
бічне ребро і центр нижньої основи.
Розв’язання. Нехай АВСА1В1С1 — правильна зрізана піраміда,
АВ - а, А1В1 - Ь, ООг ± (АВС), АВ^ВО = а (рис. 86).
ВММ1В1 — шуканий переріз. Із ААВМ:
ВМ = АВАпАВАМ = азіпбО0 =
Із АА.В.М,: В1М1 = А& АпЛВ^М^ = &8Іп60° =
Враховуючи, що О і Ог — центри правильних трикутників, маємо:
ОВ = ^ = -^, О1В1=^Д = -^=.
73 73 7з 7з
Далі, провівши ВУК ± (АВС), із АВ^В:
ВгК = ВК (^ЛВ^ВК = (ОВ - О}В})
V З
Площу 5 перерізу обчислюємо як площу трапеції:
ВМ + В1М1 ау/з + Ьу[з а-Ь. а2-Ь2 ,
5 =----• ВгК = 4 •
Відповідь'. а І£ос.
Бічна і повна поверхні зрізаної піраміди
Площею повної поверхні зрізаної піраміди називається сума площ
усіх її граней (тобто основ і бічних граней), а площею бічної поверхні
зрізаної піраміди — сума площ її бічних граней:
^повн — 'З’ї + ^бічн + &2, ДЄ 5бічн — ^АВВ1А1 ^АС^А, ^ВС^В, (РИС. 87).
Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює до-
Р+Р
бутку напівсуми периметрів основ на апофему: 5бічн = 1 — І (рис. 88),
Сі
де Рг і Р2 — периметри основ, І — апофема.
Рис. 89
Задача 1
Сторони основ правильної трикутної зрізаної піраміди дорівнюють
а і Ь (а > Ь), кут між площинами бічної грані й основи дорівнює ф.
Знайти площу повної поверхні піраміди.
Розв’язання. Нехай АВСВА^В^С^Ву — правильна зрізана піраміда
(рис. 89), в якій АВ = а, А1В1 = Ь. Проведемо АК ± СВ, А1К1 ± С1В1, тоді
А.К\.КА ф. 8&АВС
ААВС, АА.В.С. — правильні ОК-—^=, О,К, =—^= = ОР, тоді
273 273
РК = ОК - ОР = КК. = “~Ь , отже,
273 273 С08ф
= За + ЗЬ а-Ь = 3(а2-&2)
б1чн 2 2>/Зсо8ф 4\/Зсо8ф’
Основні поняття стереометрії
205
3(а2-&2) а2Уз Ь2>/3 _у/з(а2-Ь2 2 Л
“овн 4\/ЗС08ф 4 4 4 І С08ф )
—(а2(1 + созф) - &2(1 - созф)) = 2а2 соз2 - 2Ь2 зіп2 =
4созф 4созф 2 2)
2созф
п-д -д У З [ 2 2 ф 12 • 2 ф
Відповідь'. ----- а соз — -Ь зіп —
2созфк 2 2
Задача 2
Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівню-
ють а і Ь (а > Ь), кут між бічним ребром і площиною більшої основи ф.
Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Розв’язання. Нехай АВСВА1В1С1Р1 — дана піраміда (рис. 90), в якій
АВ - а, А1В1 = Ь, АС^СА = ф. За властивістю діагоналі квадрата ОС - -у=,
\І2
У
Проведемо СгК 1АС, тоді СК = ОС-О& =?^-.
у 2
а-Ь
а — Ь
ІзДСіС-йГ: С,С = -^-
созф ->/2 созф
Провівши у трапеції ІХО^С висоту СГМ, отримаємо:
—~2---1 =
СОЗ ф
2
Відповідь: —
СОЗф
а2-Ь
СОЗф
_ а-Ь
2сО8ф
Остаточно маємо:
„ _ 4а + 4&
— 2
а-Ь
2созф
-Ь2
Об'єм зрізаної піраміди
Об’єм (V) зрізаної піраміди, висота якої дорівнює Н, а площі основ
дорівнюють 5, і 82, обчислюється за формулою: V-^Н^ + у/8^2 +<82)
(рис. 91).
Задача
У правильній трикутній зрізаній піраміді сторони основ дорівнюють
а і Ь (а > Ь), двогранний кут при більшій основі а. Знайти її об’єм.
Розв’язання. Нехай АВСА^В^С^ — правильна зрізана піраміда
(рис. 92), АВ - а, А1В1 - Ь. О, О2 — центри основ. Проведемо ОМ ± ВС,
О1М1 ± В1С1, тоді М і Мг — середини сторін ВС і В1С1, ММг ± ВС, оскіль-
ки ММ± — вісь симетрії рівнобічної трапеції СС^^, отже, АМгМО - а.
2 2 ф т 2 • 2 ф
а соз -^~Ь зіп —
206
Геометрія
Проведемо МХК ± ОМ. За властивістю правильних трикутників отримує-
мо ОМ = ІАО = Ц=, О.М. =ІО,А = -^=, тоді КМ = ОМ-О,М, = 2—^.
2 273 2 273 273
Із АМ.КМ:
МгК = КМ І£ лмгмк =
а-Ь
2>/з
ї£а.
Рис. 92
Враховуючи, що площі основ і 82 відповідно дорівнюють
знаходимо об’єм піраміди:
ТЛ 1 а-Ь,
Г=3^
а-Ь
З
- (а2 + аЬ + Ь2) =
673 4
= ^т(а3-Ь3)і£а.
Відповідь-.
а3-Ь3
24
І£ос-
Правильні многогранники
Випуклий многогранник називається правильним, якщо його грані
є правильними многокутниками з одним і тим самим числом сторін
і в кожній вершині многогранника сходиться одна і та ж кількість ребер.
Існує п’ять типів правильних многогранників: правильний тетраедр
(рис. 92), куб (гексаедр) (рис. 93), правильний октаедр (рис. 94), пра-
вильний додекаедр (рис. 95), правильний ікосаедр (рис. 96).
N
Рис. 97
Задача 1
Знайти двогранні кути правильного октаедра.
Розв’язання. Октаедр складений із двох рівних правильних пірамід
МАВСЬ і ИАВСЬ (рис. 97). К — середина ребра СЬ, тоді МК ± СЬ,
КК ± СВ, тобто МК і Л7ЙГ — висоти, медіани, бісектриси правильних
трикутників МЬС, МЬС. Отже, ЛМКК — шуканий. Очевидно, що
ЛМКК = 2ЛМКО.
Нехай ребро октаедра дорівнює І, тоді з ММКК’.
МК = МС $іп60° = ^. ІзЛОКС: ОК = КС = 1~.
Сі Сі
Основні поняття стереометрії
207
Отже, созАМКО = = -^=. Використовуючи формулу
косинуса подвійного кута соз 2ф = 2 соз2 ф - 1, маємо:
соз АМКМ = 2соз2 АМКО -1 = 2|-1 = -|,
О о
АМКИ - агссоз
==109°28'.
Відповідь-, агссоз
==109°28'.
Задача 2
Довести, що правильні многокутники, які є гранями правильних
многогранників, не можуть мати більше п’яти сторін.
Доведення. Доведемо від протилежного. Припустимо, що в правиль-
ному многограннику грані — п’ятикутні п-кутники (ті > 6), тоді для
кожного плоского кута:
18° (п = 180°(1 --) = 180°-^22> 180°-= 120°.
п \ п/ п п
Оскільки в одній вершині сходяться не менше трьох плоских кутів,
то їхня сума не менше 120° • 3 = 360°, що неможливо. Отже, 3 < п < 5,
де п — число сторін правильного многокутника.
Висновок-, твердження доведено.
в
Циліндр і його властивості
Циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника
навколо його сторони.
На рис. 98 зображений циліндр, утворений обертанням прямокут-
ника АОВО± навколо ОО1; ООГ — вісь циліндра. Сторони ОА і ОДЗ опи-
сують рівні круги, що лежать у паралельних площинах і називаються
основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра.
Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею цилін-
дра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні та рівні АВ, називаються
твірними циліндра.
Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний осно-
вам, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його
твірній.
Перерізом циліндра площиною, перпендикулярною його осі, є круг,
що дорівнює основі (рис. 99), а перерізом площиною, паралельною
осі, — прямокутник (або відрізок) (рис. 100).
Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами, що дорівнює висоті
циліндра і діаметру її основи (рис. 101).
Зауваження. Якщо бути більш точними, то тіло, утворене обертан-
ням прямокутника навколо його сторони, називається прямим круго-
вим циліндром. Саме такі циліндри і розглядають у шкільному курсі
стереометрії та називають їх просто циліндрами. В широкому розумінні
слова циліндр — це тіло, яке складається з двох обмежених плоских
областей, які можна сумістити паралельним переносом, та всіх відріз-
ків, які з’єднують їхні відповідні точки.
Рис. 98
Рис. 99
Рис. 100
Рис. 101
208
Геометрія
Задача
Рис. 102
Кінці відрізка лежать на колах основ рівностороннього циліндра
(осьовий переріз — квадрат), кут між радіусами, проведеними в кінці
відрізка, дорівнює а. Знайти кут між цим відрізком і віссю циліндра.
Розв’язання. Нехай ООГ — вісь циліндра (рис. 102), АВ — даний
відрізок. Кут між радіусами ОА і ОГВ дорівнює куту СОГВ, тобто
АСОГВ - а. Шуканий кут між відрізком АВ і віссю ООГ дорівнює куту
АВВ. Проведемо ОгК ± ВС. Із АСО^К:
СК = СОг АпАСО.К = СОг зіп^СЦВ
= СО1зт—.
Сі
(У €ї
Оскільки СВ = 2СК = 2СО1Ап^, то АВ = 2СО1 зіп^.
Сі Сі
Із ААВС, враховуючи, що ВВ - 2СО1, маємо:
АЛ 2СО18іп| а ( а
Ї^ААВВ-——-————— = зіп^, отже, ААВВ - агсі£ 8Іп^
ВВ 2СО1 2 \ 2
Відповідь-. агсі£
а і
2 )
Розгортка циліндра.
Бічна і повна поверхні циліндра
Рис. 103
Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і якійсь твір-
ній, а потім розгорнути на площині, то отримаємо розгортку циліндра
(рис. 103).
Площею поверхні циліндра називається площа його розгортки. Пло-
ща поверхні циліндра 5>„ дорівнює сумі площ основ 50СН і бічної поверхні
5бічн: = 5бічн + 25осн. Оскільки 5бічн = 2пВН, 50СН = лй2, де В — радіус
основи циліндра, Н — його висота, то 5>„ = 2пВН + 2пВ2 - 2пВ(В + Н).
Рис. 104
Задача 1
Діагональ розгортки бічної поверхні циліндра утворює кут а з ос-
новою розгортки, довжина діагоналі дорівнює д. Знайти площу повної
поверхні циліндра.
Розв’язання. Нехай АВСВ — розгортка бічної поверхні циліндра
(рис. 104), АС = (1, АСАВ = а.
Із ДАСВ-. СВ =АС зіп АСАВ = <1 зіп а, АВ =АС соз АСАВ = Ь соз а.
Якщо В, Н — радіус основи і висота циліндра, то Н - д, зіп а,
2пВ - сі соз а, звідки В - ^С08Р. Отже, площа повної поверхні цилінд-
2л
ра дорівнює:
о о п/п тт\ л /йсозос , . ) й2соза, о о • \
- 2пВ(В + Н) = асозос — -н а зіпа = — --(созр + 2л зіпа).
\ 2л /2л
Відповідь-. с080с(созР + 2л8Іпос).
2л
Задача 2
Площі повної та бічної поверхонь циліндра дорівнюють відповідно
50 см2 і ЗО см2. Знайти радіус основи і висоту циліндра.
Основні поняття стереометрії
209
Розв’язання. Нехай В, Н — радіус основи і висота циліндра, тоді
|2лЯ(Я + Н) = 50;
[2лВН = ЗО.
Розв’язуємо цю систему рівнянь:
2лЯ2 + 2лЯН = 50; [2лЯ2 + 30 = 50; )2лВ2=20;
2лВН = ЗО; ]2лВН = ЗО; [лВН = 15;^
Об'єм циліндра
Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто
V = 80СН • Н = лВ2Н (рис. 105).
Задача
Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 8, кут між діагоналлю
перерізу і площиною основи дорівнює а. Знайти об’єм циліндра.
Розв’язання. Нехай АВСВ — осьовий переріз циліндра (рис. 106),
8АВСВ - АСАВ = а. Об’єм циліндра знайдемо за формулою V - лВ2Н,
де В=АО, Н = СВ.
Із ДАСИ: СВ = АС зіп АСАВ = АС • зіп а;
АВ - АС сояАСАВ = АС соз а.
Враховуючи, що 8АВСВ -АВ СВ, отримуємо: 5 = АС2 зіп а соз а;
І 94
28 = 2АС2 зіп а соз а, 28 = АС2 зіп 2а, звідки АС-. ———.
у зіп 2а
„ . „ (АВ\2 АС2 соз2 а . л .„3 2
Тоді У = лІ—— СВ = л----------АС-8іпа = — АС соз азіпа =
\ Сі / лг лг
Рис. 105
28 V 2 . л( І 28 V 2 •
——— соз азіпа = — ./—----------- соз азіпа =
зіп 2а 7 4 \ у 2зіпасоза )
/ І--------А3 І--------
л І 8 1 2 п 8 8 2г> •
— ------- соз азіпа = — •—--------. —--------соз рзіпа =
41 У зіпасоза/ 4 зіпасоза у зіпасоза
л8 /8 л8 І 8 соз2 а
—г,—--------соза = ——---------
4 у зіпасоза 4 у зіпасоза
= ^-Т8сї^а.
Відповідь: ^-у]8сА£
а.
Конус і його властивості
Конусом називається тіло, утворене обертанням прямокутного три-
кутника навколо одного з його катетів.
Якщо прямокутний трикутник (рис. 107) 8АО обертається навколо
катета 80, то його гіпотенуза 8А опише бічну поверхню, а катет ОА —
Рис. 107
210
Геометрія
Рис. 108
Рис. 109
круг (основу конуса). Радіус цього круга називається радіусом конуса;
точка 5, відрізок 8А, відрізок 80, пряма 80 називаються відповідно
вершиною, твірною, висотою і віссю конуса.
Осьовий переріз конуса — переріз конуса площиною, яка прохо-
дить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса являють рівнобедрені
трикутники, рівні між собою. На рис. 108 Д8АВ — осьовий переріз
(&4 = 8В). Перерізом конуса площиною, паралельною площині основи
конуса, є коло.
Зрізаним конусом називається частина конуса, обмежена його ос-
новою і перерізом, паралельним площині основи (рис. 109). Зрізаний
конус можна отримати, обертаючи рівнобедрену трапецію навколо її осі
симетрії чи обертаючи прямокутну трапецію навколо осі, яка містить
бічну сторону трапеції, перпендикулярну основам.
Осьовий переріз зрізаного конуса — рівнобедрена трапеція.
На рис. 109 АВСВ — осьовий переріз.
Зрізаний конус обмежений двома кругами — його основами —
і бічною поверхнею.
Відстань між основами — висота зрізаного конуса.
На рис. 109 ООГ — висота, АВ — твірна.
Зауваження. Якщо бути більш точними, то тіло, утворене обертан-
ням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів, нази-
вається прямим круговим конусом. Саме такі конуси і розглядають
у шкільному курсі стереометрії та називають їх просто конусами. У ши-
рокому розумінні слова конус — це тіло, утворене всіма відрізками, які
з’єднують дану точку (вершину конуса) з точками якоїсь обмеженої
плоскої фігури (основа конуса).
Рис. 110
Задача 1
Твірна конуса дорівнює І, а радіус основи дорівнює г. Знайти площу
перерізу, який проходить через вершину конуса і хорду основи, що
стягує дугу, кутова величина якої дорівнює а.
Розв’язання. Нехай ВАВ — даний переріз (рис. 110).
8А = 8В = І, АО = ВО = г, ААОВ = а. Проведемо ОК ± АВ, тоді
ОС
ААОК = АКОВ = — і 8К ± АВ (за теоремою про три перпендикуляри).
Сі
ХзКАОК. АК = АО • зіпААОК = гзіп-.
2
ІзААЖ: 8К = ^А82 -АК2 = .І2 - г2 зіп2
І
Площу 5 перерізу знаходимо за формулою:
8 = ^АВ 8К = ^ 2АК 8К = АК 8К = гАп~ Аі2 -г2 зіп2^.
Сі Сі Сі \ Сі
Відповідь', гзіп—• . І2 - г2 зіп2 —.
2 V 2
Задача 2
Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 3 см і 6 см, а твірна —
5 см. Знайти висоту зрізаного конуса, площу осьового перерізу, кут
нахилу твірної до площини основи.
Основні поняття стереометрії
211
Розв’язання. Нехай АВСВ — осьовий переріз зрізаного конуса
(рис. 111), АОГ - 6 см, ВО - 3 см, АВ - 5 см. АВСВ — рівнобічна трапе-
ція. Проведемо ВК ВАВ, тоді ВК = ООг.
Із ЛАВКі
ВК = УІАВ2-АК2 = ^АВ2 -(АО.-ВО)2 = 7б2-(6-3)2 = л/16 = 4 (см).
5 = АВ+ВС вк = 2(АО +ВО) вк = +ВОуВК=(з + ву4 = 36 (см2),
Сі Сі
де 8 — площа осьового перерізу.
ВК 4 4
Із ЛАВКі Ї§ЛВАК = ^ = ?-, тоді = агсі£^.
АтС З З
4
Відповідь1. 4 см; 36 см2; агсі£—.
З
Рис. 111
Бічна і повна поверхні конуса
Площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини
кола основи конуса на його твірну, тобто 5бічн = пВІ (рис. 112).
Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні
та площі основи 5П0ВН = 5бічн + 8ЖВ = пВІ + пВ.2 = пВ(В + І).
Задача
У конусі сума висоти і твірної дорівнює а, найбільший кут між твір-
ними дорівнює а. Знайти площу повної поверхні конуса.
Розв’язання. Нехай &4, 80 — твірна і висота конуса (рис. 113),
8А + 80 - а, ЛАЗ В - а. Л8АВ — рівнобедрений, 80 — висота, медіана
і бісектриса ЛА8В, ЛАВО -
Нехай А8 = х. Із ЛАЗОї
80 = А8-соз ЛА8О = хсоз—. АО-хзіп—.
2 2
ОС
Враховуючи умову задачі А5> + 80 = а, отримуємо: х + хсоз— = а, тоді
Сі
а а _ ...
х---------------. Отже, площа повної поверхні конуса
і . ОС о 2 ос
1 + СО8— 2СО8 —
Сі Сі
8птт = п' АО(АО + А8) = пхзіп^І хзіп^ + х| = пх2 8Іп^(1 + 8Іп^| =
повн 2 \ 2 / 2 \ 2 /
а
2
а2 . а К .а)
= П------ЗІП— 1 + 81П— =
л 4 а 2 \ 2/
4 соз —
4
2 . ОС
7Ш
Г) 2 ОС
2 соз -г
4
о . ос а
2 2зт— СО8-г
па 4 4
л 2 ОС 2 ОС
4 соз — соз —
4 4
ос
1+81ПЇЇГ
2 ОС 2
па соз
СО82 -Г
4
2 і ОС 2 /
па соз н
Відповідь1. -------------
2 а
СОЗ -7-
4
212
Геометрія
Рис. 114
Бічна і повна поверхні зрізаного конуса
Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює напівдобутку
суми довжин кіл основ на довжину твірної, тобто 5бічн = пІ(В, + Л2),
де І — твірна, В, і В2 — радіуси основ (рис. 114). Площа повної поверхні
зрізаного конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні та площ основ
^повн = ^Оічн + + ’ ^повн = + Т?2 ) + + Л-^2 •
Задача
Висота зрізаного конуса дорівнює її, кут між діагоналями осьового
перерізу дорівнює а (обернений до основи), твірна з основою складає
гострий кут р. Знайти площу бічної поверхні.
Розв’язання. Нехай у зрізаному конусі (рис. 115) ОО, - її, ЛАРВ - а,
РВАВ = р. Оскільки 5бічн = я • АВ(АО, + ВО), то необхідно знайти АВ,
АО, + ВО.
Проведемо СМ Ц ОО„ тоді АМ -АО, + ВО. Із ДАСМ:
АМ = СМ сі§АСАМ = її сІ£180°~а
Рис. 116
= йсі49О°-^ = ЙІ£^,
2
отже, АО, +ВО - ІіІ£^.
Сі
ІзЛСМВ: СВ = . С^- . „
зіп АСВМ зіпР
й
і 2 ОС
її а пк ^2
Шукана площа дорівнює: 5бічн = р = 8Іпр •
7 2 СС
лй 1&-
Відповідь: —:—-—.
8іпр
Об'єм конуса
Об’єм конуса дорівнює одній третій добутку площі основи на висоту,
тобто V = ^-пВ2Р[ (рис. 116).
О
Рис. 118
Задача
Із центра основи конуса проведений перпендикуляр до твірної, який
утворює з висотою кут р. Знайти об’єм конуса, якщо твірна дорівнює І.
Розв’язання. Нехай 8А — твірна конуса (рис. 117), 8А - І, 80 —
висота, ОВ АА8, АВО8 = а, АА8О = 90° - АВОС = 90° - р.
Із А8ОА: АО=А8- АпАА8О = І зіп (90° - Р) = І соз Р = А8 • соз АА8О =
= І соз (90° - Р) = І зіп р.
Об’єм V = ^п АО2 •8О = ^-л12соз2р ізіпР = ^—соз2рзіпр.
О О о
тг73
Відповідь: -^-соз2Рзіпр.
Об'єм зрізаного конуса
Об’єм зрізаного конуса дорівнює:
У = |лН(Я2 + Вг + г2),
О
де В і г — радіуси основ, Н — висота конуса (рис. 118).
Основні поняття стереометрії
213
Задача 1
Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють В і г, твірна нахилена
до площини основи під кутом а. Знайти об’єм конуса.
Розв’язання. Нехай ОВ, ОгА — радіуси основ зрізаного конуса
(рис. 119), О,А = В, ОВ = г, АВАО1 - а. Проведемо ВС РАОг, тоді АС =
= АОг - ВО - В - г.
Із ЛАВС: ВС = АС Ї&АВАС = (В - г) І£ а.
Об’єм конуса:
У = |л ВС (АОІ+АО^ ВО + ВО2) = 1-п(В-г)(В2 +Вг + г2)А$а =
О о
= |л(Я3 -Г3)І£0С.
О
Відповідь: ^-п(В3 -г3)ї%а.
О
Рис. 119
Задача 2
Площа осьового перерізу зрізаного конуса дорівнює різниці площ
основ, а радіуси основ дорівнюють В і г. Знайти його об’єм.
Розв’язання. Нехай В, г — радіуси основ зрізаного конуса (рис. 120).
Площа 5 осьового перерізу дорівнює:
5 = 2Д + 2г ОО1 = (В + г) ООг.
Сі
Різниця площ основ 8г = пВ2 - пг2 - п(В2 - г2).
Оскільки за умовою задачі 8Г - 8, то (В + г) ООГ - п(В2 - г2), звідки
л(В2-г2)
°°'= Д + г
Шуканий об’єм дорівнює:
К = |л ОО1 (Л2+Лг + г2) = |л л(Л-г)(Л2+Лг + г2) = |л2(Л3-г3).
О О о
Відповідь: ^п2(В3-г3).
Сфера і куля, частини кулі та сфери
Сферою називається поверхня, яка складається з усіх точок про-
стору, які знаходяться на даній відстані (називаній радіусом) від да-
ної точки (називаній центром). Відрізок, який з’єднує дві точки сфери
і проходить через її центр, називається діаметром сфери. На рис. 121
О — центр сфери, ОА — радіус сфери, АВ — діаметр сфери. Сферу можна
отримати в результаті обертання кола навколо його діаметра. Кулею
називається тіло, яке складається з усіх точок простору, що знаходяться
на відстані, не більшій від даної (називаної радіусом) від даної точки
(називаної центром). Кулю можна отримати у результаті обертання кру-
га навколо його діаметра.
Будь-який переріз кулі площиною є кругом, а переріз сфери пло-
щиною є колом (рис. 122). Центр круга (кола) — основа перпендику-
ляра, опущеного з центра кулі (сфери) на січну площину. Переріз,
що проходить через центр кулі (сфери), називається більшим кругом
(колом). Площина (пряма), яка має з кулею (сферою) тільки одну
спільну точку, називається дотичною площиною (прямою) (рис. 123).
Дотична площина (пряма) перпендикулярна радіусу кулі (сфери),
Рис. 120
Рис. 121
Рис. 123
214
Геометрія
Рис. 124
Рис. 125
Рис. 126
Рис. 127
проведеному в точку дотику. Якщо площина (пряма) проходить через
точку сфери і перпендикулярна радіусу, проведеному в цю точку, то
вона дотикається сфери.
Кульовим (сферичним) сегментом називається тіло (частина сфери),
яке відсікається площиною (рис. 124).
Кульовий сегмент обмежений кругом, який називається основою,
і сферичним сегментом. Відрізок діаметра, перпендикулярного основі
кульового (сферичного) сегмента, вміщений між основою і сферою, на-
зивається висотою кульового (сферичного) сегмента.
Кульовим шаром називається частина кулі, вміщена між двома па-
ралельними площинами (рис. 125).
Сферичним поясом називається частина сфери, вміщена між пара-
лельними площинами. Кульовий шар обмежений двома кругами, які
називаються основою і сферичним поясом.
Висотою кульового шару називається перпендикуляр, проведений
з точки однієї основи до площини іншої. Висотою сферичного пояса
називається висота відповідного кульового шару.
Кульовим сектором називається тіло, утворене обертанням кульо-
вого сектора навколо осі, яка проходить через його центр (рис. 126).
Висотою кульового сектора називається висота частин його сферич-
ної поверхні.
Задача
Радіуси двох куль дорівнюють 13 см і 15 см, а відстань між їх цент-
рами 14 см. Знайти довжину лінії, по якій перетинаються їхні поверхні.
Розв’язання. На рис. 127 зображено переріз куль площиною, яка
проходить через їхні центри О, і О2. Нехай (ДА - 13 см, ОД - 15 см,
ОгО2 = 14 см.
Оскільки ОД + ОД > ОД)2 і ОД - ОД < ОД)2, то поверхні куль пе-
ретинаються по колу. АВ — діаметр цього кола. Знайдемо радіус цього
кола, для чого знаходимо площу ЛАОД)2, застосовуючи формулу Герона:
8^ = >/21 8 6 7 = >/72-42-32 = 84 (см2).
Довжина кола дорівнює: С = 2л СА - 2 п 12 - 24л (см).
Відповідь-. 24л см.
Об'єм кулі
Об’єм (V) кулі дорівнює V = ^пВ3, де В — радіус кулі. Об’єм кулі
О
дорівнює V = 4лй3, де д, — діаметр кулі. Об’єми куль відносяться як
6
й .. . . ( . .д в3 а3
куби їх радіусів (діаметрів): -4- = —^ = —^-.
и2 В2 с12
Задача 1
Якщо радіуси трьох куль відносяться як 1 : 2 : 3, то об’єм більшої
кулі в три рази більший від суми об’ємів менших куль. Довести.
Доведення. Нехай к — коефіцієнт пропорційності, тоді радіуси г1;
г2, г3 куль відповідно дорівнюють т\ - к, г2 = 2к, г3 - Зк.
Об’єм найбільшої кулі
у = |лг3 = |л • 27/г3 = 36 пк3.
3 3 3 З
Основні поняття стереометрії
215
Сума об’ємів менших куль
у + у = .1 я г3 + л г3 = -^ л (/г3 + 8/г3) = 12л/г3.
1 3 З З З
Отже,
36л/?3
12л/?3
Висновок: твердження доведено.
Задача 2
Відстані між центрами трьох куль, які попарно зовні дотикаються,
дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. Знайти об’єми цих куль.
Розв’язання. Нехай г1; г2, г3 — радіуси шуканих куль (рис. 128), тоді
т\ + г2 = 6;
< г2 + г3 = 10;
т\ + г3 = 8.
Рис. 128
Склавши ці три рівності, отримаємо: 2(г\ + г2 + г3), звідки ту + г2 +
+ г3 - 12. Отже ту - 12 - (г2 + г3) = 12 - 10 = 2 (см), г2 - 12 - (^ + г3) =
= 12-8 = 4 (см), г3 = 12 - (ту + г2) = 12 - 6 = 6 (см).
Шукані об’єми У1; У2, У3 цих куль дорівнюють:
уі = У лгі3 = '8 = ^л (см3),
О О о
У2 =-|л-64 = ^|^л(см3), У3 =|л-216 = 288л(см3).
О О о
о • д д 32 з
Відповідь'. — ясм ,
о
“—лем3, 288л см3.
О
Формула об'єму частини кулі
Об’єм кульового сегмента дорівнює: У = л/г2
де В — радіус
кулі, /г — висота кульового сегмента (рис. 129).
Об’єм кульового шару зазвичай знаходять як різницю двох кульових
сегментів.
2
Об’єм кульового сектора дорівнює: У = —л/?2/г, де В — радіус кулі,
О
/г — висота відповідного кульового сегмента (рис. 130).
Задача 1
У напівкулі радіусом В через середину її висоти проведений переріз,
паралельний основі напівкулі. Знайти об’єм отриманого кульового шару.
Розв’язання. Нехай у напівкулі ОВ - ОА - В, ООг - О А (рис. 131).
Об’єм кульового шару знайдемо як різницю об’єму Уг напівкулі й об’єму
У2 кульового сегмента.
у -кіпц3 = ^пВ3; У = л/г2ґй-М
1 2 З 3 2 \ З/
II в2 І
Враховуючи, що Н = —, отримуємо: У, = л • — • І і
Шуканий об’єм У кульового шару дорівнює:
V = ~У2 = |яй3 -^лЛ3 = ЦлЛ3.
Відповідь: ^-л/?3.
24
В2 5В_5пВ3
П 4 6 24 '
Рис. 131
216
Геометрія
с
Рис. 132
Задача 2
Радіус кульового сектора дорівнює г, кут в осьовому перерізі дорів-
нює 120°. Знайти об’єм кульового сектора.
Розв’язання. Нехай О — центр кулі (рис. 132), АВ ± ОС, ААОВ - 120°.
Оскільки ЛАОВ — рівнобедрений і АВ ± ОС, то ААОВ - АВОВ = 60°.
Із ЛАВО: ОВ = АО созААОВ = г со8б0° = ^.
Сі
Далі: ВС = ОС-ОВ = г-^ = ^.
Сі Сі
/ТЛХ тл 2 2 г лг3
Об єм (V) кульового сектора дорівнює: У = —пг — = ——.
О Сі О
1 з
Відповідь: —лг .
О
Рис. 133
Задача З
Дуга в осьовому перерізі кульового сектора дорівнює а, радіус кулі
дорівнює В. Знайти об’єм кульового сектора.
Розв’язання. Нехай в осьовому перерізі кульового сектора (рис. 133)
ОА - ОВ - В, ААОВ - а. Проведемо ОВ ± АВ, тоді ААОС - АСОВ -
Сі
Із ЛАСО: ОС = АО созААОС = Всоз%.
Сі
Рис. 134
Далі:
ВС = ОВ-ОС = В- Дсо8^ = л(1-соз^|.
2 \ 2/
Тепер знаходимо об’єм (V) кульового сектора:
Л аі 4 п3 . 2«
1-соз— =— пВ зіп —.
\ 2/ З 4
V = пВ2 • л(1 - соз^І = пВ3
З \ 2/3
Відповідь: — л/?3зіп2^.
З 4
Рис. 135
Формули поверхні сфери та її частин
Площа поверхні сфери обчислюється за формулою: 5 = 4л7?2, де В —
радіус кулі.
Площа сферичного сегмента (рис. 134) обчислюється за формулою:
5 = 2пВН, де В — радіус сфери, Н — висота сегмента.
Площа сферичного пояса обчислюється за формулою: 5 = 2пВН,
де В — радіус кулі, Н — висота пояса (рис. 135).
„ ... 8, В2
Площі сфер відносяться як квадрати їхніх радіусів: —2- = —-.
^2
Рис. 136
Задача 1
Радіуси основ кульового пояса дорівнюють 20 см і 24 см, а радіус
кулі — 25 см. Знайти поверхню кульового пояса.
Розв’язання. І випадок (центр кулі лежить поза кульовим поясом).
Нехай (рис. 136) В - ОС - ОВ - 25 см, ВВ - 20 см, АС - 24 см.
Із ДОКО: ОВ = ^ОВ2 -ВВ2 = >/252 - 202 =15 (см).
Із ЛОАС: ОА = ^ОС2 -АС2 = >/252 - 242 = 7 (см).
Основні поняття стереометрії
217
Тоді Н - АВ - ОВ - ОА =15-7 = 8 (см) і площа поверхні кульового
пояса дорівнює 5 = 2л • ОС • АВ = 2л • 25 • 8 = 400л (см2).
II випадок (центр кулі лежить всередині кульового пояса). Нехай
(рис. 137) В = ОС = ОВ = 25 см, ВВ = 20 см, АС = 24 см. Тоді ОВ = 15 см,
ОА = 7 см, отже, АВ = ОВ + ОА = 15 + 7 = 22 (см).
Площа поверхні кульового пояса дорівнює: 5 = 2л • ОС АВ = 2л х
х 25 22 = 1100л (см2).
Відповідь'. 400л см2 або 1100л см2.
Рис. 137
Задача 2
Радіус основи кульового сегмента дорівнює г, дуга в осьовому пере-
різі дорівнює 60°. Знайти площу його повної поверхні.
Розв’язання. Нехай у кульовому сегменті (рис. 138) АВ - ВВ - г,
ААОВ - 60°. Повна поверхня кульового сегмента складається з поверхні
сферичного сегмента й основи, отже, 5ПРВИ = 5рЛ, + 5РРВ. З,.,,, - 2л • АО СВ.
л х 77 ноші сір осн сір
4 Г) V
Із ААОВ: АО = ГА=^ = 2г.
зіп 30° 0,5
1 ЙЛ° _
У ЛАОС АС = =75°.
Із ААСВ: СВ = АВ сі£ 75° = г • І£ 15°.
Для повної поверхні кульового сегмента маємо:
5П0ВН = 2 л • 2г • г 15° + лг2 = 4лг2 • 15° + лг2 = лг2(4 15° + 1) ~
~ 6,51г2.
Відповідь: лг2(4 15° + 1) ~ 6,51і2.
Декартові координати у просторі
Нехай у просторі проведені три взаємно перпендикулярні прямі х,
у і г — осі координат (рис. 139), які перетинаються в точці О. Вісь Ох
називається віссю абсцис, вісь Оу — віссю ординат, а вісь Ог — віссю
аплікат. Точку перетину осей Ох, Оу і Ог (точку О) називають почат-
ком координат. Площини хОу, уОг, хОг називаються координатними
площинами.
У прямокутній (декартовій) системі координат кожній точці А про-
стору відповідають три числа, які називають її декартовими координа-
тами. Вони визначаються аналогічно декартовим координатам точок
на площині.
Виберемо на кожній з осей додатний напрямок (на рис. 139 додатні
напрямки вказані стрілками) й одиницю масштабу. Тоді кожній точці
А простору відповідають три її координати: х = а, у = Ь, г = с, тобто
А(а; Ь; с). І навпаки, будь-яким трьом числам а, Ь, с відповідає тільки
одна точка А, яка має координати а, Ь, с. Три числа а, Ь, с — це дека-
ртові координати точки А, відповідно абсциса, ордината й апліката.
Координати середини відрізка
Якщо задані дві точки А(хг; уг; гт) і В(х2; у2; г2), а О — середина
відрізка АВ, то
х, +х2 У,+У2 г.+г„ , „ , _
хс = ——; ус = ; 2С=—— (рис. 140).
Сі Сі
Рис. 140
218
Геометрія
Рис. 143
Відстань між двома точками
Якщо задані дві точки А(х1; уг; г^) і В(х2; у2; г2), то відстань АВ між
точками А(хг; уг; г^) і В(х2; у2; г2) обчислюється за формулою:
АВ = д/(х2 - )2 + (У2 - У1 )2 + (з2 - 2і )2 (рис. 140).
Рівняння сфери
Як відомо, сферою називається поверхня, яка складається з усіх
точок простору, розташованих на даній відстані від даної точки. Дана
точка називається центром сфери, а дана відстань — радіусом сфери.
Рівняння сфери з центром на початку координат і радіусом В має
вигляд: х2 + у2 + г2 - В2 (рис. 141).
Якщо центр сфери знаходиться в точці М(а; &; с), а радіус сфери
дорівнює В, то рівняння сфери має вигляд:
(х - а)2 + (у - Ь)2 + (з - с)2 = В2 (рис. 142).
Задача
Скласти рівняння сфери, якщо відомо, що вона проходить через
точки А(0; 5; 1), В(-2; 0; 4), а її центр лежить на осі Ог.
Розв’язання. Оскільки центр М сфери лежить на осі Ог, то М(0; 0; с),
отже, рівняння сфери має вигляд: х2 + г/2+ (з - с)2 = В2.
Знайдемо с і В за умови, що точки А(0; 5; 1) і В(-2; 0; 4) лежать
на сфері:
[О2 + 52 + (1-с)2 = В2; Ї25 + (1-с)2 =Я2;
|(-2)2+02+(4-с)2 =Л2;°|4 + (4-с)2 =Л2.
Віднімаючи від першого рівняння друге, отримаємо:
21 + (1 - с)2 = (4 - с)2, 21 + 1 - 2с + с2 = 16 - 8с + с2, 6с = -6, с = -1.
Далі, підставляючи у перше рівняння с = -1, отримаємо: В2 - 29.
Таким чином, рівняння сфери: х2 + у2 + (г + І)2 = 29.
Відповідь-, х2 + у2 + (г + І)2 = 29.
Вектори
Вектором називається спрямований відрізок. На рис. 143 АВ —
вектор, А — початок вектора, В — кінець вектора. Позначається вектор
або двома великими літерами зі стрілкою (інколи з рискою) над ними,
або однією маленькою літерою зі стрілкою (рискою). Наприклад: АВ, а
(рис. 143). У друкованому тексті літери, що позначають вектор, інколи
виділяють напівжирним шрифтом, а стрілку (риску) зверху не ставлять.
Довжиною (модулем, абсолютною величиною) вектора називається
довжина направленого відрізка (позначення: ІАВІ, |а|).
Вектор, у якого початок співпадає з кінцем, називається нульовим
вектором. Позначення: 0. Довжина нульового вектора дорівнює 0:
|б| = 0.
Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать
або на одній прямій, або на паралельних прямих; нульовий вектор вва-
жається колінеарним будь-якому вектору. На рис. 144 вектори а, Ь,
с колінеарні.
Основні поняття стереометрії
219
Одиничним вектором (ортом) називається вектор е, довжина якого
дорівнює 1: |е| = 1.
Ненульові вектори а і Ь називаються однаково направленими
(співнаправленими), якщо вони колінеарні та спрямовані в один бік
(рис. 144). Ненульові вектори а і с називаються протилежно на-
правленими, якщо вони колінеарні та спрямовані у протилежні боки
(рис. 144). Вектори а і Ь називаються рівними, якщо вони мають од-
накову довжину й однаково направлені (рис. 145).
Вектори а і Ь називаються протилежними, якщо вони мають одна-
кову довжину і протилежно направлені (рис. 146). Вектор, протилежний
вектору а, позначається через -а.
Теорема. Від будь-якої точки А можна відкласти вектор, що дорів-
нює даному вектору а, і до того ж тільки один.
Сумою двох векторів а і Ь називається третій вектор с, початок
якого співпадає з початком а, а кінець — з кінцем вектора Ь, за умови,
що кінець вектора а співпадає з початком вектора Ь (рис. 147). Це пра-
вило складання векторів називається правилом трикутника. Колінеарні
вектори теж складаються за цим правилом (рис. 148).
Правило складання векторів можна сформулювати і в інший спосіб:
для будь-яких трьох точок А, В, С має місце рівність АВ + ВС-АС.
Основні властивості складання векторів
1) а + Ь-Ь + а (переміщувальний закон складання);
2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сполучний закон складання);
3) а + О-а (закон складання вектора з нульовим вектором);
4) й + (-й) = О (закон складання протилежних векторів).
Властивість 1) дозволяє виконувати складання векторів за правилом
паралелограма (рис. 149): відкласти два вектори від однієї точки, тоді
вектор суми цих векторів буде співпадати з діагоналлю паралелограма,
побудованого на даних векторах.
Різницею векторів а і Ь називається такий вектор с, сума якого
з вектором дорівнює вектору а. Різниця векторів а і Ь позначається
а-Ь. Різницю а-Ь векторів а і Ь можна замінити сумою вектора а
з вектором, протилежним вектору Ь, тобто а-Ь -а + (-Ь).
На рис. 150 подані два способи побудови різності двох векторів а і Ь.
З визначення складання, віднімання двох векторів і властивостей
трикутника випливають властивості модулів двох векторів:
|а| - |й| < |а + &| < |а| +1&|, |а| -1&| < |а - &| < |а| +1&|.
Добутком вектора а на дійсне число X називається вектор Ь - Ха,
колінеарний вектору а, причому:
1) |&| = |Х| |а|;
2) якщо X > 0, то вектор Ь однаково спрямований із вектором а;
3) якщо X < 0, то вектор Ь протилежно спрямований вектору а
(рис. 151).
Властивості множення вектора на число:
1) (Х1Х2)й = Х^Х^) (сполучний закон);
2) Х1а + Х2а-(Х1 + Х2)а (розподільний закон);
220
Геометрія
3) ка + кЬ = к(а + Ь) (розподільний закон);
4) Ой = ХО = б.
Два ненульові вектори а і Ь колінеарні тоді й тільки тоді, коли
Ь - ка, де к — відмінне від нуля число.
Скалярний добуток векторів
Скалярним добутком векторів а і Ь (позначення: а-Ь, або аЬ, або
(а, Ь)) називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між
ними, тобто а• Ь = |й|• |й|• созф (рис. 152). Два ненульових вектори а і Ь
тоді і тільки тоді взаємно перпендикулярні, коли їхній скалярний до-
буток дорівнює нулю, тобто а. ±Ь <=> а-Ь (й 0, й 0).
Властивості скалярного добутку
1) а-Ь = Ь а (переміщувальний закон);
2) а2 - |й|2, або |й| = >/й^ = у/а а;
3) (а + Ь)с = ас + Ьс (розподільний закон);
4) (ка) Ь = к(а-Ь) (сполучний закон).
Рис. 153
Рис. 154
Координати вектора
Нехай Охуг — декартова прямокутна система координат у просторі
і заданий довільний вектор а, початок якого співпадає з початком ко-
ординат. Крім того, нехай і і І — одиничні вектори, відкладені від
точки О в додатних напрямках на осях Ох і Оу відповідно. Три одинич-
них взаємно перпендикулярних вектори називають базисом у просторі
та позначають: і, і, (і,у,їг); вектори і, і, їг —одиничні вектори
координатних осей — називаються координатними векторами, або ба-
зисними векторами. Вони зображені на рис. 153.
Тоді а-ах+ау+аг-ахі + ау] +агк і говорять, що вектор а розкла-
дений за векторами і, ], їг. Вектори ах = ахі, ау-ау] і аг-агїг нази-
ваються складовими вектора а за осями Ох, Оу і Ог відповідно. Ко-
ефіцієнти ах, ау і а2 розкладу вектора а за одиничними векторами і, у,
їг називаються координатами (або проекціями) вектора а (рис. 154).
Вектор а з координатами ах, ау і а2 заведено позначати таким чином:
а(ах; ау; аг). Тоді базисні вектори можна записати у вигляді: і(1;0;0),
7(0; 1; 0), /г(0;0; 1) (рис. 153).
Якщо вектор а має початок у точці А1(х1; уг; гг), а кінець —
у точці А2(х2; у2; г2), то координатами вектора а-А1А2 є числа:
х2 - у2 - г/1; г2 - 21; тобто а = А1А2 = ((х2-х1);(у2-у1);(г2-г1)) або
й = А1А, = (х2 - хг )ї + (г/2 - У1)] + (г2 - гх)їг.
Деякі важливі твердження і формули
Якщо вектор а заданий координатами хг, уг, г1г тобто й(хх; г/^ 2Х),
то довжина вектора й дорівнює: |й| = ^х2 + уі + .
Нехай задані два вектори: (Цх^у^г^ і Ь(х2; у2; г2). Тоді:
1) якщо а-Ь, то хг - х2, уг - у2, г1-г2і навпаки;
2) якщо с-а + Ь, то с(х1 + х2; у1 + у2; гг + г2);
3) якщо с-а-Ь, то с(х1-х2;у1-у2;г1-г2);
4) якщо Ь-ка, то Ь^кх^, куг; кгг), тобто х2 - кхг, у2 - куг, г2 - кгг;
Основні поняття стереометрії
221
5) для скалярного добутку базисних векторів і, ], к справедливі
такі співвідношення:
і • і = і к = і к = 0, і2 = і2 = їг2 -1;
6) скалярний добуток векторів а і Ь дорівнює:
а-Ь = х1-х2+у1-у2+21-г2;
7) косинус кута між ненульовими векторами а і Ь дорівнює:
С08 ф = = Х1'Х2+У1'У2+2Г22
І а| • | & | у]х2 + уі + г2 ^х% + у2 + г2
Компланарні вектори
Компланарними векторами називаються вектори, розташовані
в одній і тій самій площині або паралельні одній і тій самій площині.
Необхідною і достатньою умовою для компланарності трьох векторів
а, Ь, с є існування між ними лінійної залежності, тобто співвідно-
шення ха + уЬ + гс = 0, де коефіцієнти розвинення X, у, 2 не дорівнюють
нулю одночасно.
Теорема. Будь-який вектор можна розвинути за трьома даними не-
компланарними векторами, до того ж коефіцієнти розвинення визна-
чаються у однаковий спосіб.
ЦІКАВО ЗНАТИ
Косинус кута між ненульови-
ми векторами а і Ь вира-
жається формулою
а-Ь
СО5ф =----
ІаІ-ІЬІ
яка випливає з визначення
скалярного добутку.
ЦІКАВО ЗНАТИ
Властивість скалярного
добутку, а саме формула
\а\ = у[д^ = \/а а, дозволяє
вираховувати довжину векто-
ра у загальному випадку.
ЦІКАВО ЗНАТИ
Задача 1
Одиничні вектори а і Ь утворюють кут 120°, а одиничний вектор с
перпендикулярний їм. Знайти довжину вектора а + Ь + с.
Розв’язання. Скористаємося визначенням довжини вектора у за-
гальному випадку:
І а + Ь + с| = у/(а + Ь + с)2.
Перетворимо підкореневий вираз з урахуванням того,
що |а| = |&| = |с| = 1, (а&) = 120°, аіс, с ±с.
Маємо:
(а + їі + с)2 = |й|2 +1&| +1с|2 + 2(а, Ь) + 2(а, с) + 2(Ь, с) =
= І2 + І2 + І2 + 2 1 1 соз 120° + 2 1 1 соз 90° + 2 1 1 соз 90°.
Звідси \а + Ь + с\ = \](а + Ь + с)2 = у/2.
Відповідь-. >І2.
Розподільний закон спра-
ведливий для будь-якого
кінцевого числа доданків.
Наприклад, справедливою
є формула:
(а + Ь + д)с =
= а с +Ь с +д с.
Задача 2
Дані три вектори а, Ь, с. Довести, що вектор (Ь, с)а-(а, с)Ь пер-
пендикулярний вектору с.
Доведення. Позначаємо т - (Ь, с)а - (а, с)Ь і розраховуємо скалярний
добуток (пг, с). Якщо він дорівнюватиме нулю, то це буде доказом того,
що ненульові вектори т і с перпендикулярні.
(т, с) = ((&, с)а - (а, с)Ь, с) = (Ь, с)-(а,с)-(а,с)-(Ь,с) = 0.
Звідси т±с, що і необхідно було довести.
Висновок-, твердження доведено.
222
Геометрія
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Точки А, В, С, В не лежать в одній площині. Довести, що прямі АВ і СВ не перетинаються.
2. Довести, що через будь-яку пряму можна провести принаймні дві різні площини.
3. Довести, що якщо прямі АВ і СВ не лежать в одній площині, то прямі АС і ВВ не перети-
наються.
4. Довести, що через три дані точки, які лежать на прямій, проходить площина. Скільки
існує таких площин?
5. Дані пряма а і точка А, яка не лежить на цій прямій. Довести, що всі прямі, які проходять
через точку А і перетинають дану пряму а, лежать в одній площині.
6. Із точки М, що знаходиться поза двома даними паралельними площинами, проведені дві
прямі, які перетинають площини відповідно в точках К, Р і Рг. Знайти довжину відрізка
якщо РРг = а, МК : АЧ3 = а : п.
7. Відрізки ОА і ОВ перетинають площину а в точках А! і В1; які є серединами цих відрізків.
Знайти відстань АВ, якщо А1В1 = а.
8. Точка 5 розташована поза площиною квадрата АВСВ. Знайти периметр чотирикутника
А^ВуСуВу, якщоА1; В1; С1; Ву — середини відрізків АВ, В8, С8, В8 і АВ = а.
9. Через кінець А відрізка АВ проведена площина а. Через кінець В і точку відрізка АВ про-
ведені паралельні прямі, які перетинають площину а в точках М і N відповідно. Знайти
довжину відрізка СДІ, якщо: 1) АС : СВ - т : п, ВМ - а; 2) АУ : УМ = т : п, МВ - Ь;
3) АВ : ВМ = т : п, АС - с.
10. Через вершини трикутника і точку перетину його медіан проведені паралельні прямі до
перетину з площиною, яка не має з трикутником спільних точок. Довжини відрізків цих
прямих від двох вершин трикутника і точки перетину його медіан до площини відповідно
дорівнюють 43, 29 і 41 см. Знайти довжину відрізка від третьої вершини трикутника до
цієї площини.
11. Через точку О перетину діагоналей квадрата зі стороною 2 см проведена пряма ОК, пер-
пендикулярна площині квадрата. Знайти відстань від точки К до вершин квадрата, якщо
ОК = 0,5 см.
12. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 см і 20 см. З вершини С прямого ку-
та трикутника проведений відрізок СВ, перпендикулярний площині цього трикутника,
СВ = 35 см. Знайти відстань від точки В до гіпотенузи АВ.
13. Прямокутники АВСВ і АВМК лежать у різних площинах. Сума їхніх периметрів дорівнює
46 см, АК - 6 см, ВС - 5 см. Знайти відстань між прямими АК і ВС.
14. До площини квадрата АВСВ проведений перпендикуляр КВ. Сторона квадрата дорівнює
а. Знайти відстань між прямими: 1) АВ і КВ', 2) КВ і АС.
15. До площини рівнобедреного трикутника АВС проведений перпендикуляр АК. Площа три-
кутника АВС дорівнює 48 см2, ВС - 16 см. Знайти відстань між прямими АК і ВС.
16. Із точки, що знаходиться на відстані а від площини, проведені дві похилі, які утворюють
з площиною кути 45° і 30°, а між собою — прямий кут. Знайти відстань між основами
похилих.
17. Із точок А і В, які лежать у двох перпендикулярних площинах, опущені перпендикуляри
ААу і ВВу на пряму перетину площин. Знайти АВ, якщо АВу = а, ВАу - Ь, АуВу - с.
18. У рівнобедреному трикутнику АВС АС - СВ - а, АВАС - 30°, відрізок СМ — перпендикуляр
до площини АВС, СМ - ауІ2. Знайти тангенс двогранного кута з ребром АВ і гранями МАВ
і АВС, а також кут між прямою АМ і площиною МВС.
19. Периметр правильного шестикутника 28 см. Площина проходить через більшу діагональ
шестикутника під кутом 45° до сторони, яку перетинає. Знайти площу ортогональної про-
екції шестикутника на цю площину.
20. Усі плоскі кути тригранного кута прямі. Знайти величини двогранних кутів цього три-
гранного кута.
Завдання для самоконтролю
223
21. Основа прямої призми — чотирикутник із діагоналями 10 см і 32 см. Знайти діагоналі
призми, якщо довжина її бічного ребра 24 см.
22. Знайти бічне ребро прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони його основи дорівнюють
З см і 4 см, а діагональ цього паралелепіпеда з площиною основи складає кут 60°.
23. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань від вершини куба до його діагоналі, яка поєднує
дві інші вершини.
24. Знайти вимірювання прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней дорівню-
ють 51; 52, 53.
25. Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, якщо діагоналі його граней мають довжини
йі, й2, й3.
26. Знайти висоту правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює >/2 см,
а бічне ребро — л/б см.
27. За даною стороною основи а і бічним ребром Ь знайти висоту правильної піраміди: 1) чо-
тирикутної; 2) шестикутної.
28. За даною стороною основи а і висотою к знайти бічне ребро правильної піраміди: 1) три-
кутної; 2) чотирикутної; 3) шестикутної.
29. За даною стороною основи а і висотою к знайти апофему правильної піраміди: 1) трикутної;
2) чотирикутної.
ЗО. Бічні ребра піраміди дорівнюють гіпотенузі прямокутного трикутника, який лежить при
її основі, і дорівнюють 12. Знайти висоту піраміди.
31. Сторони основ правильної трикутної зрізаної піраміди дорівнюють 2 см і 5 см, бічне реб-
ро — 2 см. Знайти висоту й апофему піраміди.
32. Знайти висоту правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо сторони основ дорівнюють
а і Ь (а > Ь) і кут нахилу бічного ребра до більшої основи дорівнює а.
33. Знайти висоту правильної шестикутної зрізаної піраміди, якщо сторони основ дорівнюють
а і Ь (а > Ь), а кут нахилу бічного ребра до більшої основи дорівнює а.
34. У правильній зрізаній трикутній піраміді сторони основ дорівнюють а і Ь (а > Ь), двогран-
ний кут при більшій основі дорівнює а. Знайти висоту піраміди.
35. Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнюють а і Ь (а > Ь), бічне
ребро з площиною основи складає кут а. Знайти площу діагонального перерізу піраміди.
36. Знайти суму плоских кутів при вершині ікосаедра.
37. Знайти суму плоских кутів при всіх вершинах: 1) ікосаедра; 2) додекаедра.
38. Ребро правильного октаедра 4 см. Знайти площу перерізу цього октаедра його площиною
симетрії.
39. Осьовий переріз циліндра — квадрат, площа якого дорівнює Знайти площу основи.
40. Радіус циліндра дорівнює В, висота — Н. Знайти кут нахилу діагоналі осьового перерізу
до площини основи циліндра.
41. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює І і складає з твірною кут ф. Знайти площу
осьового перерізу і площу основи.
42. Твірна конуса дорівнює І і нахилена до площини основи під кутом а. Знайти радіус основи
і висоту конуса.
43. Висота конуса дорівнює радіусу основи. Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса.
44. Радіус основи конуса дорівнює В. Осьовим перерізом є прямокутний трикутник. Знайти
площу перерізу.
45. Куля перетнута площиною на відстані 6 см від центра. Площа перерізу дорівнює 64л см2.
Знайти радіус кулі.
46. Вершини трикутника лежать на сфері радіусом 13 см. Знайти відстань від центра сфери до
площини трикутника, якщо сторони трикутника дорівнюють 6 см, 8 см, 10 см.
47. Знайти поверхню куба за його діагоналлю І.
48. Знайти бічну поверхню прямокутного паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює к, площа
основи — ф, площа діагонального перерізу — 8.
224
Геометрія
49. Знайти площу поверхні правильної трикутної призми, висота якої дорівнює Н, а сторона
основи а.
50. Сторони основи трикутної піраміди дорівнюють 6; 10; 14. Кожний двогранний кут при
основі дорівнює 30°. Знайти бічну поверхню піраміди.
51. Основа піраміди — ромб зі стороною, що дорівнює 6, і гострим кутом у 30°. Кожний двогран-
ний кут при основі дорівнює 60°. Знайти повну поверхню піраміди.
52. Знайти повну поверхню правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорів-
нює а, а висота Н.
53. Знайти повну поверхню правильної зрізаної піраміди: 1) трикутної; 2) чотирикутної;
3) шестикутної, якщо дані висота Н і сторони основ а і Ь (а > Ь).
54. Бічна поверхня циліндра у 3 рази більша від суми площ основ. Знайти відношення висоти
циліндра до радіуса основи.
55. Осьовим перерізом циліндра є квадрат, площа якого дорівнює 16 см2. Знайти повну повер-
хню циліндра.
56. Кут між твірною та віссю конуса дорівнює 45°, твірна 6,5 см. Знайти площу бічної поверхні
конуса.
57. Дана трапеція АВСВ, в якій АА - 90°, АВ - 45°, ВС = 4 см, СВ = Зл/2 см. Знайти площі
бічної та повної поверхонь зрізаного конуса, утвореного обертанням даної трапеції навколо
сторони АВ.
58. Довжина кола великого круга кулі дорівнює 10л см. Знайти площу поверхні кулі.
59. Як зміниться площа поверхні кулі, якщо її радіус зменшити у 3 рази?
60. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми — квадрат, площа якого Знайти
об’єм призми.
61. За даною стороною основи а і бічним ребром Ь знайти об’єм правильної піраміди: 1) три-
кутної; 2) чотирикутної.
62. Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють а і 0,5а, апофема бічної
грані дорівнює а. Знайти об’єм зрізаної піраміди.
63. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює д, і складає з твірною кут а. Знайти об’єм
циліндра.
64. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник, площа якого дорівнює 9 см2. Знайти
об’єм конуса.
65. Рівнобічна трапеція з основами 2>/з см і 8л/з см і гострим кутом 60° обертається навколо
своєї осі симетрії. Знайти об’єм тіла обертання.
66. Висота зрізаного конуса дорівнює 3 см. Радіус однієї основи вдвічі більше другої, а твірна
нахилена до основи під кутом 45°. Знайти об’єм зрізаного конуса.
67. У скільки разів збільшиться об’єм кулі, якщо її радіус збільшити у 3 рази?
68. Об’єм двох куль дорівнює 125. У скільки разів радіус однієї кулі більше радіуса іншої?
69. Радіуси основ кульового шару 3 см і 4 см, а радіус його кульової поверхні 5 см. Знайти
об’єм кулі (два випадки).
70. Дані точки А(0; 1; 1), В{-1; 0; 0), С(0; 0; 1), В(0; -1; 0). Які з них лежать: 1) на осі Ох;
2) на осі Оз; 3) у площині хОу, 4) у площині уОхЧ
71. Знайти відстані від точки А(-2; -3; -1) до координатних площин.
72. Знайти відстань між точками А і В, якщо А(5; 6; 0), В(0; 2; 5).
73. Дані вектори а(3;2;-2), Ь(5; 0; 1), с(0;6;0). Записати розкладання цих векторів за коорди-
натними (базисними) векторами і, ], к.
74. Знайти значення пг і п, за яких вектори а(1;т;3) і &(3;6;а) колінеарні.
75. Знайти кут між векторами а(-2;0;2) і Ь(-1; 1; 0).
76. Вектори і ?2 — одиничні, кут між ними дорівнює 120°. Знайти скалярний добуток аЬ,
якщо а = 3?!-е2, Ь = е1+2е2.
Відповіді на завдання для самоконтролю
225
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
4. Бе 6. — пг 7. 2а 8. 2а. 9. 1) 10. 5 11. 1 12. 3 13. 6 14. 1 15. 6 16. а 17. у/ 18. 2 19. 1 20. 91 21. 21 22. 5 23. а 24. 1 25. <1 26. 2 27. і; 28. і; 29. 1 ЗО. 6 31. 1 зкінечна мне пг + п‘ апг 2) пг + п’ пг 1 см. ,5 см. 7 см. см. ) а; 2) -£=. 72 см. >/б. 'ь2+а2-с2. >/2;30°. 4>/7 см2. 3°. б см і 40 см. л/з см. )Ж] пг + п ’ А 7 ина. ; 3) —. пг
\8г82 . 53 ’ \ /5^3 /ЗД | ‘
+ 6^2 +
см ) ) 4І ) уі СМ 2 [.
Іь2-- Ґ 2>
Ь2-а2.
^г + ^-, 2} Н2+^-; 3) >М2+а2.
77 і; —см. 2 7г2 а2 + 4 ‘
32. а-Ь, — 72
33. (а - &) а.
34. (а-^л/зі^а 6
35. а2 - Ь2 2 Ч"'"
36. 300°.
37. 1) 3600°; 2) 6480°.
38. 16 см2 і 8у/2 см2.
39. 4 ‘
40. х Н ШСІІ2П-
41. і/28Іп2ф; 4л^8іп2а- 2 4
42. 1 соз а, 1 зіп а.
43. 90°.
44. В2.
45. 10 см.
46. 12 см.
47. 212.
48. 2уІ82+2(&і2.
49. |а(а>/з+бн).
50. зо.
51. 54.
52. а(а + уІ4Н2 + а2).
53. 1) + + 7 4і 3 4
2) (а + Ь)уІ4Н2 +(а-Ь)2 +а2+Ь2;
3) |(а + &)74Н2+3(а-&)2+|(а2+&2Ь/з,
54. 3.
55. 24 см2.
56. 169л\/2 2 см2. 8
57. 33>/2 см2; (зЗ>/2 + 65)лсм2.
58. 100л см2.
59. Зменшиться у 9 разів.
226
Геометрія
60.
2
81 п а2уІЗЬ2-а2
’ ’ 12
а2-у/4д2-2а2
} 6
й9 7л/47а3
192 ‘
ПО К(1 . 2
оо. —— зіп а соз а.
4
64. 9л см3.
65. 189л см3.
66. 63л см3.
67. У 27 разів.
68. У 5 разів.
о 9
69. 12—лем3 або 144—лем3.
О о
70. 1) В; 2) С; 3) В, В; 4) А, С, В.
71. 1; 2; 3.
72- л/бб.
73. а = 3і +2] -2к; ї> = 5і +к;
74. т - 2, п - 9.
75. 60°.
76. -1,5.
ФІЗИКА
МЕХАНІКА
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Основи кінематики. Механічний рух. Система відліку. Відносність руху. Матеріальна точка.
Траєкторія. Шлях і переміщення. Швидкість. Додавання швидкостей.
Нерівномірний рух. Середня і миттєва швидкості. Рівномірний і рівноприскорений рухи.
Прискорення. Графіки залежності кінематичних величин від часу при рівномірному і рівно-
прискореному рухах.
Рівномірний рух по колу. Період і частота. Лінійна і кутова швидкості. Доцентрове при-
скорення.
Основи динаміки. Перший закон Ньютона. Інерціальні системи відліку. Принцип віднос-
ності Галілея.
Взаємодія тіл. Маса. Сила. Додавання сил. Другий закон Ньютона. Третій закон Нью-
тона.
Гравітаційні сили. Закон всесвітнього тяжіння. Сила тяжіння. Рух тіла під дією сили тя-
жіння.
Вага тіла. Невагомість. Рух штучних супутників. Перша космічна швидкість.
Сили пружності. Закон Гука.
Сили тертя. Коефіцієнт тертя.
Момент сили. Умови рівноваги тіла. Види рівноваги.
Закони збереження в механіці. Імпульс тіла. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух.
Механічна робота. Кінетична та потенціальна енергія. Закон збереження енергії в механіч-
них процесах. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.
Елементи механіки рідин та газів. Тиск. Закон Паскаля для рідин та газів. Атмосферний
тиск. Тиск нерухомої рідини на дно і стінки посудини. Архімедова сила. Умови плавання тіл
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Основи КІНЕМАТИКИ
Рис. 1
Система відліку
Просторова система координат X, У, 2, тіло відліку, з яким вона
пов’язана, та прилад для вимірювання часу (годинник) утворюють сис-
тему відліку, відносно якої розглядається рух тіла (рис. 1).
Тілом відліку називають тіло, відносно якого розглядається зміна
положення інших тіл у просторі.
Механіка
229
Поступальний рух
Поступальний рух — це такий рух, при якому пряма лінія, що поєд-
нує дві довільні точки тіла, залишається паралельною сама собі, тобто
її орієнтація в просторі не змінюється.
При поступальному русі всі точки твердого тіла описують однакові
траєкторії і мають в кожний момент часу однакові за величиною і на-
прямом швидкості і прискорення.
Матеріальна точка
Матеріальна точка — тіло, розмірами і формою якого в даній зада-
чі можна нехтувати і вважати, що вся маса тіла зосереджена в одній
геометричній точці.
Поняття «матеріальна точка» використовують для опису механічно-
го руху тіл, оскільки описувати рух точки простіше, ніж реального тіла.
Траєкторія
Траєкторія — це лінія, яку описує матеріальна точка під час руху.
Говорити про траєкторію є підстави тільки тоді, коли тіло можна
вважати матеріальною точкою.
Траєкторії бувають різної форми. Інколи цю форму вдається визна-
чити за видимим слідом, який залишає рухоме тіло, наприклад, метеор
у нічному небі або реактивний літак.
Форма траєкторії залежить від вибору тіла відліку. Так, траєкторія
Місяця відносно Землі — коло, відносно Сонця — лінія більш складної
форми (рис. 2).
При вивченні механічного руху за тіло відліку, як правило, визна-
ють Землю.
Відстань між двома заданими точками, відрахована вздовж траєк-
торії, називається шляхом. Шлях — скалярна величина.
Координатний і векторний способи описування руху
матеріальної точки
Положення точки у просторі можна задати двома способами:
1) за допомогою координат; 2) за допомогою радіус-вектора.
У першому випадку положення точки визначається на осях декар-
тової системи координат ОХ, ОТ, 02, пов’язаних із тілом відліку
(рис. 3). Для цього з точки А необхідно опустити перпендикуляри на
площину ТХ (координата х), XX (координата у), XX (координата з) від-
повідно. Отже, положення точки можна визначити записом А(х, у, з),
а для випадку, зображеного на рис. З (х - 6, у - 10, з - 4,5), точка А
позначається таким чином: А(6; 10; 4,5).
Навпаки, якщо задані конкретні значення координат точки в даній
системі координат, то для зображення точки необхідно відкласти зна-
чення координат на відповідні осі і на трьох взаємно перпендикулярних
відрізках побудувати паралелепіпед. Його вершина, протилежна почат-
ку координат О і розміщена на діагоналі паралелепіпеда, і є точкою А.
Якщо точка рухається в межах якоїсь площини, то через вибрані
на тілі відліку точки достатньо провести дві координатні осі ОХ та ОТ.
230
Фізика
0 7 х
' X
Рис. 4
Тоді положення точки на площині визначають двома координатами
х і у (рис. 4).
У випадку, коли точка рухається вздовж прямої, достатньо задати
одну координатну ось ОХ, спрямувавши її вздовж лінії руху.
Визначити положення точки за допомогою радуіс-вектора можна,
з’єднавши точку А з початком координат О (рис. 4). Напрямлений від-
різок ОА — ге радіус-вектором.
X Радіус-вектор — це вектор, який з’єднує початок відліку з положен-
ням точки у будь-який момент часу.
Точка задана радіус-вектором, якщо відомі його довжина (числове
значення) і напрям у просторі, тобто значення його проекцій гх, гу, г2
на осі координат ОХ, ОТ, 02, або величини кутів між радіус-вектором
і осями координат. Для випадку руху на площині (рис. 4) маємо:
X - Гх - ГС08 0С,
у - г,= г зіп ос.
Тут г - | г | — модуль вектора г , гх та гу — його проекції на осі ко-
ординат. Усі три величини — скалярні; одночасно х та у — координати
точки А.
Вектор г можна розкласти на складові вздовж координатних осей
X та У, тобто записати як суму двох векторів:
г — г + г .
X у
Три останні рівняння встановлюють зв’язок між координатним
і векторним способами визначення положення точки.
Способи опису руху точки
Згідно зі способами визначення координат, рух точки можна описати
координатним або векторним способом.
Координатний спосіб передбачає запис зміни координат точки з ча-
сом у вигляді функцій усіх трьох координат:
X - х(і)
У = У(і)
2 - 2(1).
(1-1)
Рівняння (1.1) називають кінематичними рівняннями руху точки,
записаними в координатній формі. Якщо відомі кінематичні рівняння
руху та початкові умови (тобто положення точки в початковий момент
часу), можна визначити положення точки в будь-який момент часу.
Векторний спосіб опису руху точки визначає залежність радіус-век-
тора від часу:
г — г (і).
(1-2)
Вектор переміщення і шлях
Переміщення точки — це вектор, проведений із початкового поло-
ження точки у кінцеве. Він напрямлений вздовж хорди траєкторії точки.
Механіка
231
На рис. 5 вектор М±М2 з’єднує два положення точки — Мг та М2
в моменти часу С та і2 відповідно, і, згідно з означенням, є вектором
переміщення. Якщо точка М1 задана радіус-вектором ї\, а точка М2 —
радіус-вектором г,, то вектор переміщення дорівнює різниці цих двох
векторів, тобто зміні радіус-вектора за час Лі = і2 - ір.
Лг = г2 —т\ .
Оскільки шлях дорівнює довжині частини траєкторії, яку точка
пройшла за певний проміжок часу, в загальному випадку модуль век-
тора переміщення не співпадає з довжиною шляху, пройденого точкою
за час Лі. Адже траєкторія може бути криволінійною або точка може
змінювати напрям руху.
Модуль вектора переміщення дорівнює шляху тільки під час пря-
молінійного руху в одному напрямі. Якщо напрям прямолінійного руху
змінюється, модуль вектора переміщення менший за довжину шляху.
Швидкість
Поняття швидкості визначає, наскільки швидко відбуваються будь-
які зміни в оточуючому світі.
Рух людини по тротуару, політ птаха, розповсюдження звуку,
радіохвиль або світла в повітрі, переміщення хмар, випаровування во-
ди — усі ці явища відбуваються з певною швидкістю.
У механіці визначають середню швидкість і миттєву швидкість,
або швидкість.
Середня швидкість визначається як скалярна величина і як век-
торна.
У першому випадку середня швидкість точки нсер дорівнює відно-
шенню усього пройденого шляху Л« до усього часу руху Лі:
Ля
V = ---.
сер. л#
Такий спосіб визначення дає поняття про середню швидкість руху
на відрізку траєкторії, тобто середню шляхову швидкість.
У другому випадку середня швидкість точки дорівнює відношенню
переміщення точки до проміжку часу, за який це переміщення відбу-
лося:
V — (д) — —.
сеР. \
При розгляданні нерівномірного криволінійного руху таке ви-
значення середньої швидкості не завжди дозволяє визначити реальні
швидкості руху точки. Так, наприклад, якщо точка рухалась уздовж
замкненої траєкторії якийсь проміжок часу (рис. 6), то її переміщення
буде дорівнювати нулю, хоча швидкість нулю не дорівнює. У цьому
випадку краще користуватись першим визначенням середньої швид-
кості. У будь-якому випадку слід розрізняти ці два визначення серед-
ньої швидкості і знати, про яку з них йдеться.
Миттєвою швидкістю, або швидкістю V, називається величина,
яка визначається межею, до якої наближається відношення вектора
переміщення Лг до проміжку часу Лі, за який це переміщення відбу-
лося, за умови, що Лі прагне до нуля.
Рис. 5
232
Фізика
У математиці цю величину називають похідною і позначають
дг
сіі ’
отже,
.. Лг дг
V — Ііт — = —.
'' Л) Лі ді
Рис. 7
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Усі механічні рухи відносні.
і
Це визначення швидкості справедливе для будь-яких рухів — від
криволінійного нерівномірного до прямолінійного рівномірного. Зро-
зуміло, що миттєва швидкість — векторна величина, і вона напрямле-
на завжди по дотичній до траєкторії руху. Вектор миттєвої швидкості
вказує на напрям, за яким відбувався б рух тіла, якщо б з моменту часу
і на нього не діяли інші тіла (рис. 7).
Відносність руху
З відносністю механічного руху ми знайомі ще з дитинства. Дійсно,
коли ми сидимо у вагоні потяга і спостерігаємо за потягом, який стояв
на паралельних рельсах, а потім зрушив з місця, ми не завжди може-
мо визначити, який саме потяг почав рухатись. Тут одразу виникає
запитання: рухатись відносно чого? Відносно Землі, звичайно. Тому
що відносно сусіднього потяга ми почали рухатись незалежно від того,
який із потягів почав свій рух відносно Землі.
Відносність механічного руху полягає у відносності швидкостей
переміщення тіл: швидкості тіл відносно різних систем відліку різні.
Отже, швидкість людини, яка рухається в потязі або летить у літаку,
відрізняється як за величиною, так і за напрямом, в залежності від
того, в якій системі відліку ці швидкості визначаються: у системі від-
ліку, пов’язаній із рухомим транспортним засобом, чи з нерухомою
Землею.
Різні і траєкторії руху тіла у різних системах відліку. Так, напри-
клад, краплі дощу, які падають на Землю вертикально, на вікні ваго-
на рухомого потяга залишають слід у вигляді нахилених до горизонту
прямих ліній. Так само будь-яка точка на пропелері літака, який ле-
тить, або на вертольоті, що спускається на Землю, рухається по колу
відносно літака, проте відносно Землі траєкторія її руху складніша,
а саме — гвинтова (рис. 8).
Шлях, пройдений тілом, також залежить від системи відліку. Повер-
таючись знов до пасажира, який сидить у вагоні потяга, ми розуміємо,
що шлях, пройдений ним відносно потяга під час поїздки, наприклад,
з Києва до Полтави, дорівнює нулю, якщо він не рухався вздовж вагона,
або він набагато менше того шляху, який він пройшов разом з потягом
відносно Землі.
Таким чином, під час механічного руху відносними є його швид-
кість, траєкторія руху і шлях.
Відносна швидкість
Якщо два тіла рухаються в одній і тій самій системі відліку зі швид-
костями та щ , то швидкість першого тіла відносно другого їі12 дорів-
нює різниці швидкостей цих тіл:
У12 = - У2
Механіка
233
Таким чином, якщо тіла рухаються в одному напрямі, модуль від-
носної швидкості дорівнює різниці швидкостей, а якщо в протилежно-
му — сумі швидкостей.
Закон додавання швидкостей
Закон додавання швидкостей встановлює зв’язок між значеннями
швидкості матеріальної точки відносно різних систем відліку, які ру-
хаються одна відносна іншої. У нерелятивістській, або класичній ме-
ханіці, коли розглядається рух зі швидкостями малими у порівнянні зі
швидкістю світла у вакуумі, існує закон додавання швидкостей Галілея,
який визначається формулою:
Щ = О, + V, (1-3)
де щ та — швидкості тіла або точки відносно двох інерціальних
систем відліку, а саме: нерухомої системи відліку К2 і системи відліку
Кг, яка рухається відносно системи К2з постійною швидкістю V .
Закон додавання швидкостей можна отримати також шляхом додавання
векторів переміщення.
Розглянемо це на прикладі руху човна зі швидкістю ог відносно
річки (система відліку Кг), вода якої рухається відносно берега зі
швидкістю V (система відліку К2) (рис. 9). Вектори переміщень чов-
на відносно води Д^, ріки відносно берега — Лг та сумарний вектор
переміщення човна відносно берега Лг, зображені на рис. 10. Як видно
з рисунка,
Лг, = + Лг. (1-4)
Якщо розділити обидві частини рівняння (1.4) на проміжок часу
Лі, отримаємо:
Аг, АЯ Лг
—- - —1 -і---.
Лі Лі Лі
Останнє рівняння — це те саме, що рівняння (1.3). У проекціях век-
тора швидкості на осі координат рівняння (1.3) має вигляд:
Щ = V, + V ,
ЛХ їх X 7
Щ = ІЛ + V .
2« 1« У
Проекції швидкостей додаються алгебраїчно.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Класичний закон додавання
швидкостей справедливий
для швидкостей, значно мен-
ших за швидкість свтла.
Рис. 10
Рівномірний рух
Рівномірним називається рух, при якому матеріальна точка за будь-
які рівні проміжки часу проходить рівні шляхи.
Під час рівномірного руху числове значення (модуль) швидкості
точки — величина стала:
V — |о| = СОП8І .
Рівномірний рух може відбуватись як уздовж прямої лінії, так і по
криволінійній траєкторії.
Закон рівномірного руху точки описується рівнянням:
8 = 80 + ОІ,
(1-5)
234
Фізика
де 8 — відстань до точки вздовж траєкторії відносно початку відліку;
і — час руху точки; 80 — значення 8 у початковий момент часу і - 0.
Шлях, пройдений точкою за час і, у (1.5) визначається складовою ні.
Останнє визначення, як і рівняння (1.5), справедливе також і для
поступального руху абсолютно твердого тіла.
Рис. 1 1
Рівномірний прямолінійний рух
Рівномірний прямолінійний рух — це рух, під час якого тіло пере-
міщується зі сталою за величиною та напрямом швидкістю V - сопзі.
Ця швидкість може бути визначена як відношення переміщення точки
до проміжку часу, за який це переміщення відбулося:
Дг
V = —.
Аі
ІЛгІ
Величина цієї швидкості V - 1—1 визначає шлях, який пройшла
Аі
точка за час Аі.
Скалярне значення швидкості при рівномірному прямолінійному русі
дорівнює відношенню шляху 8 до часу, за який цей шлях був пройдений:
8
V = -.
І
Переміщення при прямолінійному рівномірному русі ВЗДОВЖ ОСІ X
можна розрахувати за формулою:
Ах — ні,
де ох — проекція швидкості на вісь х. Тоді закон прямолінійного рів-
номірного руху має вигляд:
х - х„ + ихі.
Якщо на початковий момент часу х0 = 0, то
х - с,і.
Графік залежності швидкості від часу — пряма лінія, паралельна осі
абсцис, а пройдений шлях дорівнює площі під цією прямою (рис. 11).
Графік залежності шляху від часу визначається прямою лінією, кут
нахилу якої до осі часу Оі тим більший, чим більша швидкість рівно-
мірного руху. Тангенс цього кута дорівнює швидкості (рис. 12).
Прискорення
Зміну швидкості характеризує величина, яка називається приско-
ренням.
Прискорення, або миттєве прискорення а — це векторна фізич-
на величина, яка дорівнює границі, до якої прагне відношення зміни
швидкості До до проміжку часу Аі, за який відбулася ця зміна, за умо-
ви, що Аі прагне до нуля.
Як відомо, ця величина являє собою похідну за часом від швидкості
V або другу похідну за часом від радіус-вектора точки г. Отже,
До до д2г
а — Ііт — = — = —-.
Механіка
235
Прискорення, як і зміна швидкості, завжди напрямлене у бік вогну-
тості траєкторії і може бути розкладене на дві складові. Перша складова
вздовж дотичної до траєкторії руху — це дотичне, або тангенціальне при-
скорення ат, друга складова, напрямлена перпендикулярно траєкторії,
називається нормальним, або доцентровим прискоренням адоц (рис. 13).
Дотичне прискорення визначає зміну швидкості за величиною:
.. До (IV
а = пт — = —.
'' Л.І (1і
Нормальне, або доцентрове прискорення, характеризує зміну швид-
кості за напрямом і визначається за формулою ап - —.
Н
Модуль прискорення визначається за формулою:
а - уіа2 + а2.
V X п
Під час прямолінійного руху повне прискорення дорівнює танген-
ціальному а = от, оскільки доцентрове прискорення ап = 0.
Рівнозмінний рух
Рівнозмінний рух — це рух із постійним прискоренням. Такий рух
може бути:
1) рівноприскореним, коли величина швидкості збільшується, отже,
прискорення паралельне швидкості а ТТ о;
2) рівносповільненим, коли величина швидкості зменшується, і тоді
прискорення за напрямом протилежне швидкості а Т4- V.
Швидкість і прискорення рівнозмінного руху
Оскільки прискорення рівнозмінного руху є величиною сталою, воно
дорівнює зміні швидкості за будь-який кінцевий інтервал часу:
. _ До _ о - о0
а ~ м ~ м
Якщо розглянути проекцію швидкості і прискорення на напрям
руху, то це рівняння матиме такий вигляд:
де г0 — швидкість у початковий момент часу (і0 = 0); V — значення
швидкості в момент часу і.
Якщо тіло починає рухатись із стану спокою (н0 = 0), тоді а = “•
Якщо нулю дорівнює не початкова, а кінцева швидкість (н = 0, галь-
мування рівносповільненого руху), то
а = ——.
і
Користуючись формулою (1.6), можна визначити швидкість:
V = + аі. (1-7)
236
Фізика
Графіки швидкості рівноприскореного руху мають вигляд прямих
ліній, нахил яких показує, наскільки швидко змінюється швидкість
з плином часу. На рис. 14 наведені графіки для величини швидкості
рівносповільненого руху (І) та рівноприскореного руху (II), в обох ви-
падках О0 Ф 0.
Рівняння руху точки зі сталим прискоренням
Як відомо, середня швидкість точки дорівнює півсумі початкової
та кінцевої швидкостей:
V
сер.
Ц)
2
а шлях, пройдений точкою, визначається як добуток середньої швид-
кості на інтервал часу 8 = і?сер • і. Співставляючи дві останні формули
з формулою (1.7), отримаємо вираз для визначення шляху рівнопри-
скореного руху:
ц. + V оп + аі
8 = V І = —---------------І = — І + -2--------------
сер. 2 2 2
аі2
і = ^оі + —.
Шлях точки, пройдений нею при прямолінійному рівноприско-
реному русі, співпадає з проекцією вектора переміщення на напрям
руху, тому координата точки визначається відповідно для х0 Ф 0:
Рис. 15
Для вектора переміщення залежність від часу записується таким
чином:
аі2
г = г0 + о0і + —.
Сі
Графік залежності координати від часу прямолінійного рівнопри-
скореного руху зображений на рис. 15.
Рівномірний рух точки по колу
Окрім рівномірного прямолінійного руху, досить часто зустрічаєть-
ся рівномірний рух по колу. Важливі характеристики рівномірного
руху по колу — період і частота обертання. Періодом обертання на-
зивають проміжок часу Т, протягом якого матеріальна точка здійснює
один оберт. Отже, якщо і - Т, а пройдений точкою шлях — довжина
кола (один оберт), то
кола
і
2пг
V
(1-9)
Величина, яка дорівнює числу обертів за одиницю часу, тобто
зворотна періоду, називається частотою обертання і позначається
буквою V:
1 V
V = — = ---.
Т 2пг
(1-Ю)
Механіка
237
Доцентрове прискорення
Через безперервну зміну напряму швидкості матеріальна точка
рухається по колу з прискоренням. Це прискорення характеризує не
швидкість зміни величини швидкості (вона не змінюється в цьому ви-
падку), а швидкість зміни напряму швидкості.
Прискорення рівномірного руху по колу весь час напрямлено до
центра цього кола, воно називається доцентровим прискоренням. Для
його визначення розглянемо відношення зміни вектора швидкості
До до малого проміжку часу, за який ця зміна відбулася (рис. 16).
Оскільки кут оберту ф малий, зміна швидкості визначається як
Лі? = і?ф. (1-11)
У свою чергу, кут між векторами швидкості точок А і В дорівнює
куту АОВ між радіусами, який дорівнює відношенню довжини дуги до
радіуса В, отже:
иМ
ф =--
В
(1-12)
Співставивши (1.11) та (1.12), отримаємо вираз для визначення ве-
личини вектора доцентрового прискорення:
ЛО V2
а — — — —
М В
Згідно з визначенням періоду (1.9) та частоти обертання (1.10), мож-
на записати:
4тгР
а - —— та а - 4пгВм.
Обертальний рух твердого тіла
Обертальний рух абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі —
найпростіший (після поступального) вид руху. Він характеризується
кутом повороту точок тіла навколо осі ОГО2, жорстко пов’язаної з тілом
(рис. 17). Кут повороту ф розраховується між двома променями, які ви-
ходять з однієї точки на осі ОГО2 та перпендикулярні до неї. Один із про-
менів Ох нерухомий, другий ОА жорстко пов’язаний з тілом (рис. 18).
Під час обертання тіла навколо нерухомої осі всі його точки поверта-
ються на один і той самий кут, проте рухаються по колах різних радіусів
залежно від віддаленості точки від осі обертання.
Рівномірне обертання абсолютно твердого тіла або матеріальної точ-
ки по колу характеризується сталою кутовою швидкістю.
Кутовою швидкістю тіла ю називається відношення кута повороту
до проміжку часу, за який цей поворот відбувся:
Ф
ю = —
М
Одиниця виміру кутової швидкості — радіан за секунду (рад/с).
Кутова швидкість пов’язана з періодом та частотою обертання співвід-
ношеннями:
Рис. 18
ю = — = 2лл’.
Т
238
Фізика
Якщо відома кутова швидкість у початковий момент часу, можна визначити кут повороту тіла за час і і тим самим визначити положення точок тіла. Якщо в початковий момент часу ф0 Ф 0, обертальний рух буде відбуватись згідно з рівнянням ф = ф0 + (0І. Зв’язок між лінійною V та кутовою швидкостями і доцентровим при- скоренням визначається співвідношеннями: 2кВ „ V2 .. V 2лВу; V - (чВ; а - — - со“7?. Т В Основи ДИНАМІКИ
ЗАПАМ'ЯТАЙ Динаміка вивчає причини, які спричиняють ЧИ ЗМІНЮЮТЬ рух тіла. Динаміка — це розділ механіки, в якому вивчаються рух і взаємодія матеріальних тіл, а також зміни характеристик їх руху під дією сил. На відміну від кінематики, у динаміці розглядаються об’єкти, які, крім швидкості і прискорення, мають масу і взаємодіють із навколиш- німи тілами. Перший закон Ньютона Будь-яке тіло зберігає стан спокою або прямолінійного і прямоліній- ного руху, якщо на нього не діють сили, або дія сил компенсується. Так був сформульований Ньютоном у 1687 р. перший закон механі- ки, або закон інерції. Суть закону інерції вперше була висловлена в одній з книг італійсь- кого вченого Галілео Галілея, опублікованій на початку XVII ст. Ньютон узагальнив висновки Галілея, сформулювавши закон інерції, і включив його як перший з трьох законів до основ механіки. Тому даний закон називають першим законом Ньютона. Проте з часом з’ясувалося, що перший закон Ньютона виконується не у всіх системах відліку, а тільки в інерціальних. Тому з точки зору сучасних уявлень перший закон Ньютона формулюється таким чином: Існують системи відліку, які називаються інерціальними, відносно яких вільні тіла рухаються прямолінійно і рівномірно. Під вільним тілом тут розуміють тіло, на яке не діють інші тіла. Інерціальні системи відліку Інерціальна система відліку — це система, в якій виконується за- кон інерції: в інерціальній системі відліку матеріальна точка зберігає стан спокою або прямолінійного і рівномірного руху, якщо на неї не діють сили, або дія сил компенсується. Будь-яка система відліку, яка рухається відносно інерціальної системи прямолінійно і рівномірно, також є інерціальною, і тому зрозуміло, що інерціальних систем може бути як завгодно багато. Система відліку, яка рухається з прискоренням відносно інер- ціальної системи, є неінерціальною, і закон інерції для неї не вико- нується.
Механіка
239
Принцип відносності Галілея
Принцип відносності Галілея стверджує: у всіх інерціальних систе-
мах відліку (ІСВ) закони механіки однакові. Це означає, що рівняння,
які визначають закони механіки, не змінюються (інваріантні) перетво-
реннями Галілея.
Перетворення Галілея являють собою перетворення координат
г(х, у, г) та часу і рухомої матеріальної точки під час переходу від од-
нієї ІСВ до іншої:
г — г' + НІ, і — і' . (1.13)
Для координати х, наприклад, це означає:
X - х' + НІ, І - І',
де і? — відносна стала швидкість руху двох ІСВ, г та г' — радіус-век-
тори, а х та х' — координати точки у цих двох ІСВ.
Згідно з перетвореннями Галілея (1.13), час не змінюється при пе-
реході від однієї ІСВ до іншої. Принцип відносності Галілея заснований
на поняттях про абсолютний час і абсолютний простір, отже, події в усіх
ІСВ відбуваються однаково.
Принцип відносності Галілея означає, що ніякими механічними
дослідами не можна виявити рух однієї ІСВ відносно іншої.
Сила. Принципи незалежності дії сил (принцип суперпозиції)
Величиною, яка визначає міру взаємодії тіл у механіці, є сила Р —
векторна величина.
При механічному русі виявляються такі види сил: сили пружності,
сили тертя і гравітаційні сили (всесвітнього тяжіння).
Дія одного тіла на інше призводить до зміни швидкості усього тіла
як цілого, так і до зміни швидкості його частин. Ця дія може відбутись
за рахунок безпосереднього дотику (тиск, тертя), а також через створені
тілами електромагнітне або гравітаційне поля.
Проявом дії сили є зміна прискорення тіла. Лінією дії сили нази-
вається пряма лінія, уздовж якої напрямлена сила. Важливо також
вказати точку прикладання сили. Якщо йдеться про абсолютно тверде
тіло, то можна вважати, що сила прикладена до будь-якої точки вздовж
лінії її дії.
Отже, сила — векторна величина, яка характеризується величи-
ною, напрямом у просторі і точкою прикладання.
У міжнародній системі одиниць (СІ) одиницею сили є ньютон. Один
ньютон (1 Н) — це сила, яка за 1 с змінює швидкість тіла масою 1 кг
на 1 м/с.
Рівнодіюча сила
Зазвичай на будь-яке рухоме тіло діє не одна сила, а декілька.
Наприклад, на парашутиста, який спускається на землю, діють сила
тяжіння і сила опору повітря; на тіло, яке висить на пружині, діють
сила тяжіння і сила пружності пружини.
У кожному з таких випадків декілька сил, прикладених до тіла,
можна замінити однією сумарною силою Г, рівнозначною за своєю
240
Фізика
дією цим силам. Сила, яка діє на тіло так само, як декілька одночасно
діючих сил, називається рівнодіючою цих сил і дорівнює векторній сумі
всіх сил, що діють на тіло:
Р = У Р = Р+Р.+... + Р .
р і 1 л п
І-1
Останнє співвідношення визначає принцип незалежності дії сил,
або принцип суперпозиції.
Отже, для визначення рівнодіючої сили використовують правило
додавання векторів, у випадку дії двох сил — правило паралело-
грама.
Другий закон Ньютона
Основний (другий) закон динаміки, або другий закон Ньютона, фор-
мулюється таким чином:
Прискорення тіла прямо пропорційне рівнодіючій усіх сил, при-
кладених до тіла, і обернено пропорційне його масі.
Слід зауважити, що у другому законі Ньютона, так само, яків пер-
шому, тілом вважається матеріальна точка, яка рухається в інерціаль-
ній системі відліку.
Математично другий закон Ньютона визначається формулою:
_ Р
а — —
т
або у скалярному вигляді:
Р Р
ал = ^, а = —. (1.14)
л т т
На підставі другого закону Ньютона визначається одиниця сили
в СІ — ньютон (Н). Один ньютон — це сила, з якою потрібно діяти
на тіло масою один кілограм, щоб надати йому прискорення один метр
на секунду в квадраті.
Згідно з (1.14), закон Ньютона можна записати як
Р - та. (1-15)
Отже, через основні одиниці СІ сила ВІН визначається:
1 Н = 1 кг 1 м/с2 = 1 кг • (м/с2).
Третій закон Ньютона
Третій закон Ньютона стверджує:
Дії завжди є рівна і протилежна протидія, або — взаємодія двох тіл
одне на одне рівна за величиною і напрямлена вздовж однієї прямої.
Перший закон Ньютона описує рух тіла, на яке не діють інші тіла
і яке в інерціальній системі відліку рухається рівномірно і прямолінійно
або перебуває у спокої, тобто його прискорення дорівнює нулю.
Другий закон Ньютона розглядає рух тіла під дією зовнішніх сил,
у цьому випадку тіло рухається з прискоренням, яке пропорційне дію-
чій на тіло силі та обернено пропорційне масі тіла.
Третій закон Ньютона розглядає випадок, коли у взаємодії беруть
участь тільки два тіла.
Механіка
241
Отже, третій закон Ньютона можна сформулювати таким чином:
Сили, з якими взаємодіють два тіла, рівні за величиною і проти-
лежні за напрямом: - -Р2.
Знак «мінус» вказує, що вектори сил напрямлені протилежно.
Використавши другий закон Ньютона, можна записати:
а. т„
т^ = —т,,а,, або — = —
а2 т1
Звідси випливає, що відношення модулів прискорення двох взає-
модіючих тіл визначається виключно їхніми масами і не залежить від
природи сил взаємодії.
Закон всесвітнього тяжіння
Закон всесвітнього тяжіння стверджує:
Сила гравітаційного притягання двох тіл з масами т1 та т2 прямо
пропорційна масі кожного з цих тіл і обернено пропорційна квадрату
відстані г2 між ними.
Отже,
т.т„
г
де С — гравітаційна стала.
Гравітацією називається притягання усіх тіл у Всесвіті одне до од-
ного.
Сила тяжіння
Сила, з якою Земля притягує до себе тіло, називається силою тяжін-
ня — Ет.
Ця сила напрямлена вертикально вниз, до центра Землі, і прикла-
дена до центра тяжіння тіла.
Центр тяжіння тіла довільної форми можна визначити експери-
ментально. Для цього тіло підв’язують за нитку у різних його точках.
Точка перетину всіх напрямів, відмічених ниткою, є центром тяжіння
тіла. Для тіл правильної геометричної форми центр тяжіння співпадає
з центром симетрії; ця точка не обов’язково належить тілу (наприклад,
центр симетрії кільця).
Згідно з вищеозначеним, сила тяжіння для тіл, які розташовані
поблизу поверхні Землі:
ЦІКАВО ЗНАТИ &
Закон всесвітнього тяжіння
відкрив Ісаак Ньютон у 1682 р.
ЦІКАВО ЗНАТИ 47
Рівність
6 = 6,672 • 10-11
кг
експериментально доведена
Генрі Кавендишем у 1788 р.
де Д, — радіус Землі, М3 — маса Землі.
Для тіл, які розташовані поблизу поверхні Землі, сила тяжіння, згідно
з другим законом Ньютона, дорівнює добутку маси цього тіла на приско-
рення, яке в цьому випадку називається прискоренням вільного падіння §:
Л = т§.
Співставляючи дві останні формули, записуємо вираз для приско-
рення вільного падіння:
слг
%
(1-16)
242
Фізика
Таким чином, прискорення, з яким тіло падає на Землю, — при- скорення вільного падіння — не залежить від маси тіла та інших його характеристик. Це стала величина для усіх тіл, яка поблизу поверхні Землі дорівнює 9,8 м/с2. Оскільки земна куля сплюснута біля полюсів, то точки, які лежать біля полюса, знаходяться ближче до центра Землі. Тому сила тяжіння на полюсі трохи більша, ніж на екваторі та інших широтах (на екваторі § - 9,78 м/с2, на Північному полюсі § - 9,83 м/с2). Маса тіла як міра інертності. Гравітаційна маса
[’] ЗАПАМ'ЯТАЙ Маса характеризує гравітацій- ні властивості тіл. Маса тіла — це фундаментальна фізична величина, яка характе- ризує інертні та гравітаційні властивості тіла. Інертність — спільна властивість усіх матеріальних тіл, яка про- являється при взаємодіях з іншими тілами. Різні тіла проявляють інер- тність у різній мірі. Наприклад, зупинити більярдну кулю важче, ніж тенісний м’ячик, що рухається з такою самою швидкістю. Міру інертності тіла називають масою. У механіку поняття маси ввів Ньютон для означення важливої динамічної характеристики тіла — імпульсу р. Імпульс тіла р — вектор, який дорівнює добутку маси тіла на його швидкість р - то. Цю масу називають інертною, вона є скаляр- ною величиною і завжди є додатною величиною. Порівнювати маси тіл можна за прискореннями, які ці тіла отримують при взаємодії. Чим менше змінюється швидкість тіла під час взаємодії, тим воно більш інер- тне і тим його маса більша. Зворотне твердження також справедливе. 3 іншого боку, згідно з теорією гравітації Ньютона, маса є джерелом сили всесвітнього тяжіння. Досвід засвідчує, що прискорення, з яким одне тіло падає на інше — прискорення вільного падіння — не залежить від маси тіла та інших його характеристик (об’єму, густини). Цей досвід проводився у полі тяжіння Землі і Сонця і підтвердився 3 точністю до 10“8 та 10-12 відповідно. Ця закономірність називається рівністю інертної та гравітаційної маси. Зрозуміло, що йдеться про одну й ту ж масу — фізичну величину, яка є джерелом двох фізичних явищ — інертності та гравітації. У класичній фізиці маса є мірою кількості речовини, з якої скла- дається тіло. Одиницею виміру маси в СІ є кілограм (кг). Рух тіла під дією сили тяжіння. Вільне падіння
ЗАПАМ'ЯТАЙ Прискорення вільного падін- ня напрямлено вертикально униз та його модуль побли- зу поверхні Землі дорівнює д ~ 9,8 м/с2. Вільним падінням називається рух тіла, обумовлений притяган- ням Землі за умови відсутності початкової швидкості і опору сере- довища. Рух вільно падаючого тіла є поступальним, прямолінійним і рівноп- рискореним. Прискорення, з яким рухається тіло, називається приско- ренням вільного падіння §. Формули, що описують рух вільно падаю- чого тіла, не містять складових, які залежать від форми і маси тіла. Інакше кажучи, тіла різної маси, які впали з однакової висоти, впадуть на поверхню землі в один той самий час. Неспівпадання остан- нього твердження з життєвим досвідом є умовним. Так, дійсно, досвід засвідчує, що пір’їна буде падати набагато довше, ніж стальна кулька, проте це пов’язане з силою опору повітря. Ця сила напрямлена вгору, протилежно силі тяжіння, отже, падіння тіла за рахунок дії цієї сили вже не буде вільним.
Механіка
243
Вільне падіння тіл є прикладом прямолінійного рівноприскореного
руху.
Для визначення висоти тіла над землею к під час вільного падіння
можна скористатись рівнянням (1.8), визначивши початкові умови:
й0 = 0, п0 = 0, а =
Тоді
(1-17)
а графік залежності висоти від часу — парабола (рис. 19).
Використавши формули (1.7) та (1.17), отримаємо зв’язок між швид-
кістю та висотою (при і?0 = 0, а = £):
(1-18)
Рис. 19
Формули (1.17) та (1.18) справедливі для будь-якого прямолінійного
руху зі сталим прискоренням та з і?0 = 0.
Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту
Тіло, кинуте під кутом а до горизонту з початковою швидкістю о0 ,
буде рухатись по параболі, в кожній точці якої прискорення під час
руху тіла залишається сталим а - § - сопзі, а швидкість має горизон-
тальну та вертикальну складові (рис. 20):
ух = у0 соз а
ук - у0 зіп а.
(1-19)
При цьому горизонтальна складова швидкості не буде змінюватись
з часом, оскільки прискорення вільного падіння не має горизонтальної
складової. Вертикальна складова швидкості буде змінюватись за за-
коном рівнозмінного руху з прискоренням а = §. Таким чином, зміна
координат тіла має вигляд:
х - і • у0 соз а.
§і2
к = і уп зіп а-------.
о о
(1.20)
(1-21)
У рівнянні (1.21) знак «-» враховує протилежний напрям осі ко-
ординат та прискорення. Останні два рівняння дозволяють визначити
рівняння траєкторії руху точки, яке являє собою залежність однієї ко-
ординати від іншої. Для цього з рівнянь (1.20) та (1.21) вилучимо час
і після нескладних перетворень отримаємо:
§
її = х а-----------— х2.
2у~соз“а
244
Фізика
§
Якщо позначити ос = с, а —-------— = Ь, останнє рівняння матиме
2о“ соз“ а
вигляд: у - Ьх2 + сх. Це і є рівняння параболи, вісь якої співпадає з вер-
тикальною віссю.
Отже, траєкторією тіла, кинутого під кутом до горизонту, є пара-
бола, у вершині якої вертикальна складова швидкості дорівнює нулю.
У точці падіння швидкість тіла дорівнює за абсолютною величиною
швидкості тіла у точці кидання, а напрям її складає з віссю х такий
самий кут, як і у точці кидання (відрахований із протилежним знаком).
Це випливає з симетрії параболи як траєкторії руху і має місце за від-
сутності опору повітря.
Траєкторія тіла, кинутого горизонтально, також являє собою па-
раболу; тіло буде рухатись по одній з половин параболи з вершиною
у точці кидання (рис. 20).
Вага тіла
Вага тіла — це сила, з якою тіло завдяки притяганню до Землі діє
на опору або підвіс.
Якщо тіло нерухоме або рухається рівномірно і прямолінійно віднос-
но Землі, то його вага (позначається буквою Р) за числовим значенням
дорівнює діючій на нього силі тяжіння:
Р - Рт- т§.
Вага і сила тяжіння прикладені до різних тіл, а саме: вага прикла-
дена до опори або підвісу, а сила тяжіння — до тіла.
Слід зазначити, що вага і сила тяжіння мають різну фізичну при-
роду. Сила тяжіння виникає внаслідок взаємодії тіла і Землі. Вага тіла
з’являється в результаті взаємодії тіла і опори або підвісу. Опора або
підвіс і тіло при цьому деформуються, а це призводить до появи сил
пружності. Згідно з третім законом Ньютона, вага тіла, тобто сила,
з якою тіло давить на опору (або розтягує підвіс), співпадає за величи-
ною з силою, яка діє з боку опори або підвісу на тіло.
Сила, з якою опора давить на тіло, що розміщене на ній, називається
силою реакції опори N. Отже,
Р = ДГ.
Остання формула є більш загальною, ніж Р - т§, оскільки вона за-
лишається справедливою і в тому випадку, якщо тіло разом з опорою
рухається прискорено.
Вагу тіла не слід плутати з його масою. Маса тіла — це скалярна
величина, вона вимірюється у кілограмах. Вага тіла — вектор, одиниця
виміру якого — ньютон.
Космічні швидкості
Перша космічна швидкість — це швидкість, яку необхідно нада-
ти тілу, щоб воно стало штучним супутником Землі, тобто рухалось
навколо неї з постійною швидкістю по коловій орбіті під дією сили
тяжіння.
Величина цієї швидкості визначається із закону всесвітнього тяжін-
ня з урахуванням швидкості рівномірного руху по колу.
Механіка
245
Як відомо, доцентрове прискорення а тіла, яке рівномірно рухається
ЗІ ШВИДКІСТЮ V по колу радіусом г, дорівнює
V2
а — —
(1.22)
У цьому випадку прискорення а дорівнює прискоренню вільно-
го падіння §, оскільки тіло рухається в полі тяжіння Землі, і, згідно
М
з (1.16), § - С—. Підставивши останній вираз у формулу (1.22),
'з
отримаємо після перетворень значення швидкості:
„=
\ г у св3 +*)
Тут С — гравітаційна стала, М3 — маса Землі, К3 — радіус Землі,
й — висота тіла над поверхнею Землі. Це і є колова швидкість супутни-
ка Землі, з якою він рухається по коловій орбіті на висоті й від поверхні
Землі. Оскільки й набагато менша, ніж В3, то для першої космічної
швидкості можна вважати
V. = С—2-.
V я3
2 разів більша за першу космічну, отже:
Остання формула визначає горизонтальну швидкість, яку треба на-
дати тілу поблизу поверхні Землі, щоб воно стало її супутником.
Друга космічна (параболічна) швидкість — це швидкість, яку треба
надати тілу біля поверхні Землі, щоб воно покинуло Землю, рухаючись
по параболі. Ця швидкість у
V2 - \І2н1 =11,2 км/с.
Рухаючись із другою космічною швидкістю, тіло залишає Землю
і стає супутником Сонця.
Третя космічна швидкість — це та найменша швидкість, з якою
тіло, починаючи рух біля поверхні Землі, покидає Землю. Надалі тіло
долає притягання Сонця і залишає Сонячну систему. Третя космічна
ШВИДКІСТЬ ДОРІВНЮЄ Н3 - 16,7 км/с.
Сили пружності
Пружність — це властивість тіл змінювати форму і розміри (або
деформуватись) під дією навантажень і самочинно відновлювати пер-
вісну форму та розміри після припинення дії зовнішніх навантажень.
Деформацією (від лат. сіе/огтаїіо — спотворення) називають будь-
яку зміну розмірів і форми тіла.
У твердих тілах існують деформації розтягу, стиснення, зсуву, за-
кручення. У рідинах і газах можливі тільки деформації «об’ємного»
розтягу і стиснення, оскільки цим середовищам властива тільки пруж-
ність об’єму, а не форми. Так, рідина набуває форми посудини, в якій
міститься, а газ займає весь наданий йому об’єм.
Якщо деформація з’являється і зникає разом із зовнішньою дією,
то вона називається пружною. Деформація, яка не зникає після при-
пинення зовнішньої дії, називається пластичною.
246
Фізика
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Закон Гука: Рпр = - к\ЛІ\
Закон Гука
Закон, який був сформульований англійським вченим Робертом Гу-
ком у 1660 р. і названий його ім’ям, являє собою основний закон теорії
пружності. Він стверджує:
Сила пружності Гпр, яка виникає при пружній деформації розтя-
гання або стиснення тіла, пропорційна абсолютному значенню зміни
довжини тіла Дї.
Гпр = -кМ.
У цій формулі к — коефіцієнт пропорційності, який називається
жорсткістю тіла. Одиниця виміру цієї величини у системі СІ — ньютон
на метр (Н/м). Знак мінус перед правою частиною останнього рівняння
вказує на протилежний напрям сили та зміну довжини тіла.
Жорсткість — це характеристика тіла. Чим вона більша, тим мен-
ше змінюється довжина цього тіла за рахунок дії певної сили.
5 Гтер
Рис. 21
Сила тертя
Взаємодії, що виникають у місцях дотику тіл у процесі руху одних
тіл або їхніх частин по поверхні інших і перешкоджають їх відносному
руху, називають тертям, а силу, яка характеризує цю взаємодію, —
силою тертя.
Сили тертя, як і сили пружності, мають електромагнітну природу
й обумовлені міжмолекулярною взаємодією в місцях дотикання тіл.
Відрізняють три види тертя: тертя спокою, тертя ковзання і тер-
тя кочення.
Тертя спокою — тертя, яке виникає без відносного переміщення
тіл, що дотикаються.
Тертя спокою утримує вантажі на рухомій стрічці транспортера від
ковзання, перешкоджає розв’язанню шнурків тощо.
Сила тертя спокою перешкоджає виникненню руху одного тіла від-
носно іншого. Ця сила напрямлена завжди проти сили, яка прикладена
ззовні, паралельно поверхні дотику (рис. 21). Виміряти силу тертя спо-
кою можна за допомогою тягаря, перекинутого через блок і пов’язаного
з тілом через динамометр.
Сила тертя спокою зростає разом із силою, яка прагне зсунути тіло
з місця. Проте для будь-яких двох тіл, що дотикаються, вона має мак-
симальне значення (Гтер с )тах, перевищити яке не може. Наприклад, для
дерев’яного бруса, який розміщений на дерев’яній дошці, максимальна
сила тертя спокою складає 0,6 від його ваги. Максимальна сила тертя
спокою пропорційна силі нормального тиску, що дорівнює за величи-
ною силі реакції опору ДГ:
(Р ) =ц Ді,
тер.с./тах гЧзп т ’
де цсп — коефіцієнт тертя спокою.
Максимальна сила тертя спокою не залежить від площі дотичних
поверхонь, а залежить від якості обробки цих поверхонь і речовини
тіла.
Тертя ковзання. Якщо прикласти до тіла силу, яка перевищить
максимальну силу тертя спокою, то тіло почне рухатись. Тертя спокою
тоді зміниться на тертя ковзання.
Механіка
247
Сила тертя ковзання завжди напрямлена протилежно відносній
швидкості тіл, які дотикаються.
Як і максимальна сила тертя спокою, сила тертя ковзання пропор-
ційна силі нормального тиску, а, отже, і силі реакції опору:
£ - п ТУ,
де цк — коефіцієнт тертя ковзання (якщо швидкості малі, то цк < цп),
який залежить від властивостей дотичних поверхонь.
Сила тертя ковзання залежить від відносної швидкості тіл, які
ковзають, причому сила тертя ковзання менша сили тертя спокою
тільки при невеликій відносній швидкості, а коли швидкість зростає,
то .Гтер к > (^тер.сЗшах (рис. 22). Коли швидкості невеликі, їх можна вва-
жати рівними:
^тер.к. (-^тер.сЗтах Ц-Л^.
Тертя кочення. Якщо тіло не ковзає по поверхні іншого тіла,
а, подібно колесу або циліндру котиться, то тертя, яке виникає в міс-
цях контакту, називають тертям кочення. Колесо, яке котиться, весь
час давить на дорогу, і перед ним завжди є невеликий бугор, який треба
подолати. Саме цим і обумовлене тертя кочення. Зрозуміло, що чим
дорога твердіша, тим тертя кочення менше.
Як і у попередніх випадках, сила тертя кочення пропорційна силі
реакції опору (коефіцієнт пропорційності цкоч — коефіцієнт тертя ко-
чення), отже:
тер.коч.
= ц N.
НкочЛ 1 •
Рис. 22
Сила опору твердого тіла, яке рухається в рідині або в газі
На тверде тіло, яке рухається в рідині або газі, діє сила опору сере-
довища. Ця сила напрямлена проти швидкості тіла відносно середовища
і гальмує рух.
На відміну від сили тертя, сила опору середовища має місце тільки
під час руху тіла в цьому середовищі. Величина сили опору середовища
Ео залежить від розмірів, форми і стану поверхні тіла, властивостей
рідини або газу і від відносної швидкості руху тіла і середовища. При-
близний характер залежності Ео від швидкості V наведений на рис. 23.
Отже, при малих швидкостях сила опору лінійно залежить від швид-
кості Ео - де /?! —коефіцієнт, який залежить від розмірів, форми
та стану поверхні тіла і в’язкості рідини.
При збільшенні швидкості відносного руху сила опору набуває па-
раболічної залежності:
Ро = к2у2,
де к2 — коефіцієнт опору, ВІДМІННИЙ ВІД /?!•
Момент СИЛИ
Моментом сили М відносно осі обертання називається фізична ве-
личина, яка дорівнює добутку сили Г на її плече І:
М = Р І.
(1.23)
248
Фізика
Рис. 24
Плечем сили називається найкоротша відстань від лінії дії сили до
осі обертання тіла.
На рис. 24, а зображене тверде тіло, здатне обертатись навколо осі,
яка перпендикулярна до площини рисунка і проходить через точку
О. Плече сили у цьому випадку визначають таким чином. Спочатку
проводять лінію дії сили Рг, а потім з точки О опускають на лінію дії
сили перпендикуляр. Довжина цього перпендикуляра Ц і буде плечем
сили Рг.
Одиницею моменту сили в СІ вважається момент сили у 1 Н, плече
якої дорівнює їм — (Н м)
Правило моментів
Тверде тіло, яке здатне обертатись навколо нерухомої осі, перебуває
у рівновазі, якщо момент сили ІИ1, який обертає тіло за годинниковою
стрілкою, дорівнює моменту сили М2, який обертає тіло проти годин-
никової стрілки.
Му - -М2 або Руїу = ~Р212.
Момент сили вважається додатним, якщо тіло обертається за годин-
никовою стрілкою, і від’ємним, якщо навпаки.
Пара сил
Розглянемо випадок, коли на тіло діють дві рівні за величиною,
паралельні і протилежно напрямлені сили, лінії дії яких не збігаються.
Такі сили називають парою сил. Відстань І між лініями дії сил Рг та Р2
називають плечем пари. Пару сил неможливо замінити рівнодійною,
оскільки векторна сума їх дорівнює нулю. Проте результуючий момент
цих сил відносно будь-якої осі не дорівнює нулю, адже обидві сили ма-
ють моменти, напрями яких збігаються. Якщо тіло закріплене на осі,
то під дією пари сил воно буде обертатись навколо цієї осі. Якщо пара
сил прикладена до вільного тіла, то воно буде обертатись навколо осі,
що проходить через центр тяжіння тіла (рис. 24, б).
Момент пари сил однаковий відносно будь-якої осі, перпендикуляр-
ної до площини пари. Сумарний момент М пари дорівнює добутку однієї
з сил Р на плече пари І, незалежно від того, на які відрізки розподіляє
вісь плече пари:
М = Р1у + Р12 = Р(1у + 12) = Рі.
Момент декількох сил, рівнодіюча яких дорівнює нулю, однаковий
для всіх осей, які паралельні одна одній. Тому дію всіх цих сил на тіло
можна замінити дією однієї пари сил з тим самим моментом.
Рівновага механічної системи
(абсолютно твердого тіла)
Рівновага механічної системи являє собою такий стан, за якого
всі точки механічної системи перебувають у спокої по відношенню до
системи відліку, в якій розглядається рівновага.
Якщо система відліку інерціальна, рівновага абсолютна, якщо сис-
тема неінерціальна — рівновага відносна.
Механіка
249
Для встановлення умов рівноваги абсолютно твердого тіла необхідно
подумки розділити його на велику кількість доволі малих елементів,
кожний з яких можна вважати матеріальною точкою.ДЗили взаємодії
цих елементів між собою називаються внутрішніми Рв. Крім цього,
на якісь (або на всі) точки можуть діяти зовнішні сили — Рв.
Згідно з законами Ньютона, матеріальна точка перебуває у спокої,
якщо геометрична сума сил, які діють на цю точку, дорівнює нулю.
Отже, для будь-якої і-ої точки можна записати:
Р*+Р:; = О. (1-24)
Якщо всі точки тіла перебувають у спокої, то тіло, яке складається
з цих точок, перебуває у стані рівноваги.
Отже, перша умова рівноваги тіла являє собою суму рівнянь (1.24)
за всіма елементами тіла:
У р* + У р° = о.
1 1
Згідно з третім законом Ньютона, будь-якій внутрішній силі від-
повідає сила, що дорівнює за величиною і протилежна за напрямом.
Тому перший додаток останнього рівняння дорівнює нулю, оскільки
він являє собою векторну суму всіх внутрішніх сил системи.
Таким чином, першою умовою рівноваги твердого тіла або системи
тіл є рівність нулю геометричної суми всіх зовнішніх сил, прикладених
до тіла:
Ця умова є необхідною, але не достатньою. У цьому легко переко-
натися, якщо згадати обертаючу дію пари сил, геометрична сума яких
дорівнює нулю.
Другою умовою рівноваги твердого тіла є рівність нулю суми
моментів усіх зовнішніх сил, які діють на тіло, відносно будь-якої осі.
Отже, умови рівноваги твердого тіла у випадку довільного числа
зовнішніх сил мають такий вигляд:
І? = °; =0.
Закони збереження у механіці
Імпульс матеріальної точки (тіла)
Імпульсом (від лат. ітриїзиз — поштовх) матеріальної точки р
називається векторна величина, яка дорівнює добутку маси точки т
на її швидкість а:
р — тії. (1.25)
Якщо тіло можна вважати матеріальною точкою, то так само визна-
чається й імпульс тіла. Імпульс тіла називають також кількістю руху.
Напрям вектора імпульсу завжди співпадає з напрямом швидкості.
Одиницею імпульсу в СІ вважають імпульс тіла масою 1 кг, швид-
кість руху якого 1 м/с, отже, одиниця імпульсу — 1 кг • (м/с).
250
Фізика
Імпульс сили
Якщо на тіло (матеріальну точку) діє стала сила протягом якогось
проміжку часу Лі, то прискорення тіла є сталим:
де Діб, — початкова та кінцева швидкості тіла. Тоді другий закон
Ньютона для цього тіла запишеться таким чином:
(1.26)
м
Якщо розкрити дужки та скористатись формулою (1.25), маємо:
р2 - А =
де р2 - рг = Ар — зміни імпульсу за час Аі. Тоді попереднє рівняння
матиме вигляд:
Ар = РАі. (1-27)
Вираз (1.27) являє собою математичний запис другого закону Нью-
тона в тому вигляді, як його записав сам Ньютон:
Зміна кількості руху пропорційна прикладеній силі і відбувається
вздовж тієї ж прямої, за якою діє сила.
Добуток сили Р на час її дії Аі називають імпульсом сили. Тому
зміна імпульсу точки дорівнює зміні імпульсу сили, діючої на цю точку.
Рис. 25
Імпульс системи тіл. Закон збереження імпульсу
Закон збереження імпульсу є наслідком другого та третього законів
Ньютона.
Розглянемо систему з двох тіл (рис. 25). Сили Р12 та Р21, з якими
тіла взаємодіють між собою, внутрішні. Нехай, окрім внутрішніх сил,
на систему ще діють зовнішні сили Д та Р2. Тоді для кожного тіла
можна записати рівняння (1.27). Додавши ліві та праві частини рів-
нянь, отримаємо:
АА + АА = (А2 + Аі + А + АЖ
Згідно з третім законом Ньютона: Аі = _А2> отже,
АД + ЛД = (Д + Р2)Аі. (1.28)
У лівій частині рівняння (1.28) стоїть сума змін імпульсів усіх тіл
системи — вона дорівнює зміні імпульсу всієї системи Дрснст. Тоді
Ар_=РАі, (1.29)
де Р — сума всіх зовнішні сил, що діють на тіло.
Отриманий результат означає, що сумарний імпульс системи мо-
жуть змінити тільки зовнішні сили, внутрішні сили змінюють тільки
імпульси окремих тіл системи.
З рівняння (1.29) випливає закон збереження імпульсу. Якщо на
систему не діють ніякі зовнішні сили, то права частина рівняння (1.29)
дорівнює нулю, а це означає незмінність сумарного імпульсу системи:
р — т.и. + = сопзі.
сист 11 2 2
Механіка
251
Система, на яку не діють зовнішні сили або рівнодіюча цих сил
дорівнює нулю, називається замкненою.
Отже, закон збереження імпульсу стверджує: сумарний імпульс за-
мкненої системи тіл залишається сталим під час будь-яких взаємодій
тіл системи між собою.
Робота СИЛИ
На відміну від буденного розуміння роботи як корисної діяльності
людини, у фізиці роботу А виконує сила Р, рухаючи тіло на відстань
Дг уздовж лінії своєї дії. Для постійного і прямолінійного переміщення
робота визначається рівнянням:
А = |Г||Д?| соз а,
де а — кут між вектором сили і переміщення (рис. 26). Отже, фізичний
зміст роботи — це міра дії сили, яка залежить від величини сили та її
напряму, а також від переміщення точки під дією цієї сили.
Робота — величина скалярна. Якщо а < 90°, то А > 0, а якщо
90° < а < 180°, то А < 0. У випадку, коли а = 90°, А = 0. Так, сила
тяжіння не здійснює роботу при переміщенні тіла вздовж горизонталь-
ної площини, а також під час руху супутника по коловій орбіті.
Якщо на тіло діє кілька сил, то сума роботи усіх сил або повна робота
дорівнює роботі результуючої сили.
Одиницею роботи в СІ є джоуль (1 Дж). 1 Дж — це робота, яку здій-
снює сила в 1 Н на відстані в 1 м (1 Дж = 1 Н м). Одиниця роботи на-
звана на честь англійського вченого Дж. Джоуля (1818-1889).
Робота сили тяжіння
Розглянемо тіло, яке ковзає по похилій площині з кутом нахилу до
горизонту а і висотою Н (рис. 27). Тоді переміщення точки Ах --
зіпа •
Враховуючи, що сила тяжіння Рт = пг§ складає кут (90° - а) з напрямом
переміщення, отримаємо вираз для роботи сили тяжіння:
££
А = т§ соз(90° - а)--= т§Н.
зіпа
Таким чином, робота сили тяжіння залежить від висоти і не зале-
жить від кута нахилу площини.
Робота сили реакції опору ДГ, як свідчить рис. 27, дорівнює нулю,
оскільки кут а між цією силою і переміщенням дорівнює 90°.
Робота сили тертя
Сила тертя напрямлена протилежно переміщенню Ах і складає з ним
кут 180° (рис. 27), отже, робота сили тертя — від’ємна:
Атер = РтерАх соз 180° = -РтерДх.
Оскільки Ртер = щУ, N - т§ соз а, а Ах - І --, то
зіп а
Атер = рт§Н сій'
252
Фізика
Рис. 28
Робота сили пружності
Нехай на нерозтягнену пружину довжиною 10 діє зовнішня сила Р,
яка розтягує пружину на Д/о = х0 (рис. 28). Якщо х - х0, сила пружності
Рщ - кх0. Після того, як сила Р перестала діяти в точці х0, пружина
стягується під дією Рщ.
Визначимо роботу сили пружності при зміні координати правого
кінця пружини від х0 до х. Оскільки сила пружності на цій відстані
змінюється лінійно, у законі Гука можна використати її середнє зна-
чення:
„ кхп +кх к
Р ----------------- — (х„ + х).
пр.сер. 2 2У 0 7
Тоді робота Апр (з урахуванням того, що напрями Р сер та Дх спів-
падають) дорівнює:
к . .. . кх* кх’
= -(х0+х)(х0-х) = —----—
Можна довести, що вигляд останньої формули не залежить від кута
між Р та Дх, а залежить тільки від деформації пружини у початко-
вому та кінцевому стані.
Енергія. Кінетична та потенціальна енергії
Енергія Е (у перекладі з грецької — дія, діяльність) — скалярна
фізична величина, яка є характеристикою усіх форм руху матерії та
варіантів її взаємодій.
Енергія визначає здатність тіла або системи тіл виконувати роботу.
Повна механічна енергія тіла складається з суми двох енергій — кіне-
тичної та потенціальної.
Кінетична енергія
Енергію, яку має тіло внаслідок руху, називають кінетичною.
Визначимо кінетичну енергію тіла масою пг, яке рухається зі швид-
кістю V. Оскільки кінетична енергія — це енергія, обумовлена рухом,
то нульовим станом для неї є стан, коли тіло перебуває у спокої. Щоб
визначити кінетичну енергію тіла, потрібно визначити роботу, яку треба
здійснити, щоб надати тілу певну швидкість.
Аг
Рис. 29
У випадку співпадіння напрямів вектора переміщення Дг та вектора
сили Р (рис. 29) робота дорівнює
А = ГДх, (1-31)
де Дх = Дг.
Механіка
253
Для рівноприскореного руху переміщення точки має вигляд:
Дх = Н-------
1 2
(1.32)
де і?! — початкова швидкість.
Підставивши до рівняння (1.31) вираз для Лх з рівняння (1.32)
і скориставшись другим законом Ньютона Р - та, отримаємо:
/ -Д2 \
аі
та а,і-\----------
2
таІ
= -^-(2^! + а#),
хи
(1.33)
Щоб привести до остаточного вигляду формули, підставимо до рів-
няння (1.33) значення прискорення, визначене через початкову і кін-
Щ
цеву швидкості а - —-.
Тоді маємо:
ТТіЩ,-^) 777Щ
---у-і- • (2^ + щ - оД = —-
777
Якщо початкова швидкість дорівнює нулю о, = 0, то кінетична енер-
гія визначається таким чином:
(1.34)
хи
З (1.34) випливає, що робота сили по переміщенню тіла з одного
положення в інше дорівнює зміні його кінетичної енергії:
А = Е, -Е. = ДЕ.. (1.35)
к2 ку к V /
Рівняння (1.35) визначає теорему про зміну кінетичної енергії:
Робота всіх сил, які діють на матеріальну точку (тіло), дорівнює
приросту кінетичної енергії цієї точки.
Потенціальна енергія
Потенціальна енергія — це енергія, яка визначається взаємним роз-
ташуванням взаємодіючих тіл або частин одного й того ж тіла.
Оскільки енергія визначає здатність тіла виконувати роботу,
то потенціальну енергію визначають як роботу сили, яка залежить
тільки від взаємного розташування тіл. Такими є робота сили тяжіння
. , , ґ кх% кх2
А - т§кг - т§к2 та робота сили пружності А - —--.
2 2
Отже, потенціальна енергія тіла, яке взаємодіє з Землею, дорівнює
добутку маси т цього тіла на прискорення вільного падіння § та на
висоту тіла над поверхнею Землі к:
Рр-т§к. (1.36)
Потенціальна енергія пружно деформованого тіла дорівнює половині
добутку коефіцієнта пружності к тіла на квадрат видовження (дефор-
мації) А/:
Е=ій(ДЩ. (1.37)
хи
254
Фізика
Таким чином, робота консервативних сил (сили тяжіння і сили
пружності) з урахуванням (1.36) та (1.37) дорівнює:
А = Е -Е --(Е -Е ) =-ДЕ . (1.38)
Р1 Р2 4 Р2 Р1 7 Р У 7
Остання формула дозволяє дати загальне визначення потенціальної
енергії.
Потенціальною енергією системи називається величина, яка зале-
жить від взаємного розташування тіл і зміна якої при переході системи
з початкового стану до кінцевого дорівнює роботі внутрішніх консерва-
тивних сил системи, взятої з протилежним знаком.
Закон збереження механічної енергії
Повною механічною енергією системи називається сума її кінетичної
та потенціальної енергії:
£ = Ек + Ер.
Згідно з теоремою про кінетичну енергію,
Е -Е = А+А ,
к2 кх п нп7
де А,, — робота потенціальних сил, Анп — робота непонтеціальних сил.
У свою чергу, робота потенціальних сил дорівнює різниці потен-
ціальної енергії тіла в початковому стані Е і в кінцевому стані _Ер .
З урахуванням цих обставин отримаємо вираз, який визначає зміну
механічної енергії:
(Е +Е )-(Е +Е ) = А .
' к2 Рг 7 х кі Рх 7 нп
Ліва частина останнього рівняння — зміна повної механічної енергії,
права — робота непотенціальних сил.
Отже, закон зміни механічної енергії свідчить, що зміна механічної
енергії системи дорівнює роботі всіх непотенціальних сил.
Потужність
Крім роботи, у фізиці використовують величину, яка показує кіль-
кісно, наскільки швидко виконується робота. Ця скалярна величина
називається потужністю ДГ, вона дорівнює роботі, виконаній за одиницю
часу
= — (1.39).
М
Якщо в формулу (1.39) підставити вираз для роботи через силу
і переміщення, то отримаємо:
Е ІдгІ сова
N - —1—1----= Еи сов а.
М
Отже, потужність дорівнює добутку величини сили на величину
швидкості і на косинус кута між цими векторами.
Одиницею виміру потужності в СІ є ват — потужність, за якої за 1 с
здійснюється робота 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с = 1 кг • м2/с3).
Механіка
255
Елементи механіки рідин і газів (гідроаеростатика)
Як відомо, всі тіла складаються з атомів і молекул, які перебувають
у безперервному русі. У твердих тілах атоми і молекули здійснюють
коливальні рухи навколо положень рівноваги. При цьому середня від-
стань між молекулами при сталій температурі залишається постійною,
внаслідок чого тверді тіла зберігають свою форму.
У рідинах і газах немає такого сильного зв’язку між молекулами,
як у твердих тілах. Внаслідок хаотичного руху молекул їх розміщення
довільне. Тому рідини і гази — це фізичні тіла, які, не маючи певної
форми, набувають форми тієї посудини, у якій вони містяться. Проте
між ними є суттєва різниця. Рідини не мають конкретної форми, але
характеризуються майже незмінним об’ємом. Гази не мають власного
об’єму. Для зберігання газу необхідна замкнута посудина.
Спільною характеристикою цих середовищ є густина р, яка визначає
кількість речовини в одиниці об’єму:
р = —, [р] = кг/м3.
Вона найбільша у твердих тіл, а найменша у газів.
Основною властивістю газу є силова дія на стінки, дно і кришку
посудини, яка характеризується тиском.
Тиск
Фізична величина, яка дорівнює відношенню величини сили Г, дію-
чої перпендикулярно поверхні, до площі 8 цієї поверхні, називається
тиском:
Одиницею виміру тиску в СІ є паскаль (Па), названа на честь фран-
цузького вченого Блеза Паскаля.
1 Паскаль — це тиск, який здійснює сила ВІН, прикладена до
поверхні площею в 1 м2 (1 Па = 1 Н/м2 = 1 кг/(с2 • м)).
Рідини, на відміну від газів, можуть набувають форми посудини,
в якій перебувають, проте досить легко можуть змінювати цю фор-
му, оскільки мають властивість плинності. Завдяки плинності рідини
змінюють форму і досить легко обтікають тверде тіло, яке занурене
в рідину. Проте зміна форми рідини не призводить до виникнення сил
пружності. Сили пружності в рідинах і газах виникають тільки при
стисненні з усіх боків, а саме тоді, коли змінюється їх об’єм. Стиснення
рідини визначається коефіцієнтом стиснення /.
1 АУ
У Ар’
де ДУ — зменшення об’єму рідини за рахунок зростання тиску Др. Оди-
ниця виміру [/] = 1/Па.
Рідини мають дуже низький коефіцієнт стиснення при відносно
невеликих значеннях тиску. Так, об’єм води під тиском 98 МПа змі-
нюється на 5 %.
256
Фізика
Закон Паскаля
Закон Паскаля — основний закон гідростатики, згідно з яким тиск
на поверхні рідини, спричинений зовнішніми силами, передається рі-
диною однаково у всіх напрямах.
Закон Паскаля справедливий не тільки для рідин, але й для газів,
що обумовлено високою рухомістю частинок, з яких вони складаються.
Таким чином, рідини й гази передають наданий їм тиск у всіх напрямах
однаково.
Тиск НЕРУХОМОЇ РІДИНИ НА ДНО ТА СТІНКИ ПОСУДИНИ
(гідростатичний тиск)
Г Рідини та гази передають в усіх напрямах не тільки зовнішній тиск,
але й той тиск, який існує у них всередині за рахунок ваги власних
частинок.
Тиск нерухомої рідини називають гідростатичним.
Отримаємо формулу для розрахунку цього тиску на довільній гли-
бині й біля точки А на рис. ЗО.
Силу тиску, яка діє з боку вище лежачого вузького стовпчика рідини
на площу його перерізу можна визначити двома способами:
рис 30 1) використавши формулу визначення тиску:
Р=р8; (1.40)
2 ) визначивши вагу самого стовпчика рідини:
Р - т§. (1-41)
Скористаємось також значенням маси рідини як добутку її густини
на об’єм
т = рУ (1-42)
та величиною об’єму
У=81г. (1.43)
Підставляючи у формулу (1.41) значення маси з (1.42) та об’єму
з (1.43), отримаємо:
Р = рУ§ = р8Іг§. (1.44)
Згідно з (1.40), ця сама сила дорівнює добутку р 8, отже, гідроста-
тичний тиск визначається за формулою:
р8 - р8И§ або р - рН§. (1-45)
Таким чином, гідростатичний тиск на будь-якій глибині всередині
рідини не залежить від форми посудини, в якій перебуває рідина. Ве-
личина гідростатичного тиску дорівнює добутку густини рідини на
прискорення вільного падіння і на глибину, на якій визначається тиск.
Закон Архімеда
Закон Архімеда — це закон статики рідин та газів, згідно з яким
на будь-яке тіло, що занурене в рідину або в газ, діє з боку цієї рідини
Механіка
257
(або газу) виштовхуюча сила, яка дорівнює вазі витісненої тілом рідини
(або газу). Ця сила напрямлена вертикально вгору.
Архімедові (виштовхуючі) сили діють на тіло не тільки у воді, але
і у будь-якій іншій рідині, а також у газах.
Завдяки силі Архімеда вага будь-якого тіла, яке перебуває у воді або
у якійсь іншій рідині, виявляється меншою, ніж у повітрі, а у повітрі
меншою, ніж у безповітряному просторі. У цьому легко переконатись,
зваживши вантаж за допомогою пружинного динамометра спочатку
у повітрі, а потім зробивши те саме в посудині з водою.
Зменшення ваги тіла відбувається при переміщенні його з вакууму
у повітря або якийсь інший газ.
Якщо вага тіла у вакуумі (наприклад, у посудині, з якої відкачане
повітря) дорівнює р0, то його вага у повітрі дорівнює
Р = Рп~РА',
повн О А 7
де РА' — сила Архімеда, яка діє на тіло у повітрі. Для більшості тіл
величина цієї сили дуже мала, отже, можна вважати рпов = р0 - пг§.
Вага тіла в рідині зменшується значно більше, ніж у повітрі:
-Ррід — Ро ~ -^А>
де РА — сила Архімеда, яка діє на тіло у рідині, в свою чергу, дорівнює:
^А = Р0-Ррід. (1.47)
Отже, щоб визначити силу Архімеда, яка діє на тіло у будь-якій
рідині, необхідно це тіло зважити у повітрі та у рідині. Різниця отри-
маних значень і є сила Архімеда, або виштовхуюча сила.
З урахуванням формули (1.47) можна зазначити, що виштовхую-
ча сила, яка діє на занурене у рідину тіло, дорівнює вазі рідини, яка
витіснена цим тілом.
Визначити сили Архімеда можна теоретично. Для цього уявимо,
що тіло, яке ми занурили у рідину, складається з такої самої рідини.
Це можна зробити, оскільки сили тиску, які діють на тіло, не залежать
від речовини. Тоді прикладена до тіла Архімедова сила буде врівнова-
жена дією сили тяжіння пг^§ (тр — маса рідини в об’ємі цього тіла):
РА = "М\ (1-48)
Але сила тяжіння т,:§ дорівнює вазі витісненої рідини Рр, отже,
РА - Рр. Враховуючи, що маса рідини дорівнює добутку її густини на
об’єм, формулу (1.48) можна записати у вигляді:
Ра = Рр^р£,
де Ур — об’єм витісненої рідини. Цей об’єм дорівнює об’єму тієї частини
тіла, яка занурена у рідину. Якщо тіло занурене у рідину повністю,
то він співпадає з об’ємом усього тіла, якщо тіло занурене частково —
об’єм витісненої рідини менший за об’єм тіла (рис. 33).
Формула (1.48) справедлива і для сили Архімеда, яка діє в газі.
Враховуючи вищесказане, закон Архімеда можна сформулювати
таким чином:
На будь-яке тіло, занурене у нерухому рідину або газ, діє з боку цієї
рідини або газу виштовхуюча сила, яка дорівнює добутку густини ріди-
ни або газу на прискорення вільного падіння та на об’єм тієї частини
тіла, яка занурена у рідину або газ.
І/ж= V
Рис. 33
258
Фізика
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Яка з точок розташована якнайдалі від площини ХОУ’.
А) А(2; 3; 5); Б) В(2; 3; -5); В) С(6; 5; 3); Г) В(3; 5; 6).
2. Точка задана на площині радіус-вектором г : г - 2, а - 60°. Які координати х та у відпові-
дають цій точці:
А) х = 2; у = 3,3; Б) х = -2; у = 1,73; В) х = 1,5; у = 2; Г) х =1; у =1,73.
3. Автомобіль рухався протягом ЗО хв. зі швидкістю щ, а протягом наступних ЗО хв. зі швид-
кістю н2, подолавши за весь цей час відстань 70 км. Його середня швидкість дорівнювала:
А) 60 км/год; Б) 70 км/год; В) 65 км/год; Г) 75 км/год.
4. Визначте, який графік відповідає рівноприскореному руху матеріальної точки (а > 0):
А) кд Б) 5| В) Г)
5. Під час руху тіла по колу, період обертання якого Т = 0,1 с, кутова швидкість со становить:
А) 6,28 рад/с; Б) 62,8 рад/с; В) 0,628 рад/с; Г) 628 рад/с.
6. Сила В, з якою потрібно діяти на тіло масою пг = 3 кг, щоб надати йому прискорення а = 2 м/с2,
дорівнює:
А) 5 Н; Б) 6 Н; В) 5,5 Н; Г) 2,5 Н.
7. Внаслідок взаємодії двох тіл з масами пг1 = 2 кг та пг2 = 5 кг друге тіло рухається з приско-
ренням а2 - 0,2 м/с2. З яким прискоренням аг рухатиметься перше тіло:
А) 0,5 м/с2; Б) 0,1 м/с2; В) 2 м/с2; Г) 1 м/с2.
8. Значення гравітаційної сталої становить:
А) В = 8,3145 Дж/моль • К; Б) С = 6,67-10 11 Н • м2/кг2;
В) ц0 = 1,256 10е Гн/м; Г) є0 = 8,854-10 12 Ф/м.
9. Внаслідок закону тяжіння вага Р тіла масою ЗО кг (вважаємо, що прискорення вільного
падіння § = 10 м/с2) дорівнює:
А) ЗО Н; Б) 150 Н; В) 300 Н; Г) 100 Н.
10. Який імпульс має тіло масою пг = 2 кг, яке рухається зі швидкістю 0,5 м/с:
А) 2 кг • м/с; Б) 0,5 кг • м/с; В) 1 кг • м/с; Г) 5 кг • м/с.
11. Вкажіть формулу, за якою визначається робота сили тертя:
А)А = т£Н; Б) А = - —; В) N = А/Аі; Г) А = упг§Н • сі^а.
2 2
12. З метою використання переваг правила важеля для виконання однакової роботи застосу-
вали два механізми — простий рухомий блок та звичайний поліспаст з двома нерухомими
та двома рухомими блоками. У скільки разів ефективніше використання такого поліспаста
у порівнянні з простим рухомим блоком:
А) у 2 рази; Б) у 4 рази; В) ефект однаковий; Г) у 3 рази.
13. При застосуванні гідравлічного преса під впливом сили Вг = 5 Н на поршень площею
8Г - 10 см2 на другий поршень цього преса площею 82 - 300 см2 діє сила В2:
А) 300 Н; Б) 50 Н; В) ЗО Н; Г) 150 Н.
14. Якому закону відповідає формулювання: на будь-яке тіло, занурене у рідину (або газ), що
перебуває у спокої, діє з боку цієї рідини (або газу) виштовхуюча сила, яка дорівнює до-
бутку густини рідини (або газу), прискорення вільного падіння та об’єму тієї частини тіла,
яке занурене у рідину (або газ):
А) закону тяжіння; Б) закону Архімеда; В) закону Гука; Г) закону Паскаля.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Г. 2. Г. 3. Б. 4. В. 5. Б. 6. Б. 7. А. 8. Б. 9. В. 10. В. 11. Г. 12. А. 13. Г. 14. Б.
МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА. ТЕРМОДИНАМІКА
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Основи молекулярно-кінетичної теорії. Основні положення молекулярно-кінетичної теорії
та їх дослідне обґрунтування. Маса і розмір молекул. Стала Авогадро. Середня квадратична
швидкість теплового руху молекул. Дослід Штерна.
Ідеальний газ. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу. Температура
та її вимірювання. Шкала абсолютних температур.
Рівняння стану ідеального газу. Ізопроцеси в газах.
Основи термодинаміки. Тепловий рух. Внутрішня енергія та способи її зміни. Кількість
теплоти. Питома теплоємність речовини. Робота в термодинаміці. Закон збереження енергії
в теплових процесах (перший закон термодинаміки). Застосування першого закону термоди-
наміки до ізопроцесів. Адіабатний процес.
Необоротність теплових процесів. Принцип дії теплових двигунів. Коефіцієнт корисної дії
теплового двигуна і його максимальне значення.
Властивості газів, рідин і твердих тіл. Пароутворення (випаровування та кипіння). Конден-
сація. Питома теплота пароутворення. Насичена та ненасичена пара, їхні властивості.
Відносна вологість повітря та її вимірювання.
Плавлення і тверднення тіл. Питома теплота плавлення. Теплота згоряння палива. Рівняння
теплового балансу для найпростіших теплових процесів.
Поверхневий натяг рідин. Сила поверхневого натягу. Змочування. Капілярні явища.
Кристалічні та аморфні тіла. Механічні властивості твердих тіл. Види деформацій.
Модуль Юнга
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Основи МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ
Молекулярна фізика описує будову речовини за допомогою молеку-
лярно-кінетичної теорії.
Згідно з молекулярно-кінетичною теорією (МКТ), усі тіла склада-
ються з окремих частинок — молекул та атомів, тобто не є суцільними.
Основні положення молекулярно-кінетичної теорії будови речовин
такі:
1) речовина складається з частинок (атомів та молекул);
2) ці частинки хаотично рухаються;
3) частинки взаємодіють одна з одною.
Атом — це найменша частина хімічного елемента, яка має його
властивості та здатна самостійно існувати.
Кожному елементу відповідає певний рід атомів, позначений хіміч-
ним символом цього елемента. Наприклад, атом кисню позначається
символом О, водню — Н, гелію — Не тощо.
Атоми можуть існувати у вільному стані (у вигляді окремих атомів)
у газах. У рідинах та твердих тілах вони існують у вигляді молекул,
в яких з’єднуються з атомами того ж елемента або інших хімічних еле-
ментів (або, як говорять, існують у зв’язаному стані).
260
Фізика
Молекула — найдрібніша стійка частинка речовини, що складається
з атомів одного або декількох хімічних елементів та зберігає основні
хімічні властивості цієї речовини.
Атоми можна розглядати як одноатомні молекули.
Атомна одиниця маси
Атомна одиниця маси (а.о.м.) — одиниця маси, яка дорівнює
1/12 маси атома ізотопу вуглецю 12С.
1 а.о.м. = 1,66 • 10 27 кг.
Щоб перевести значення маси атомів або молекул, вираженої
в а.о.м., тобто відносну молекулярну (або атомну) масу речовини Мг,
в одиницю маси СІ (кг), користуються формулою:
М • 10 3 [моль 1 • кг]
т (кг) = —’--------------,
А • [моль Д
де АЛ — стала Авогадро.
то
Мг ---------- ,
1 а.е.м.,
Атомна маса (відносна молекулярна маса)
Відносна молекулярна маса (атомна маса) — відносне значення
маси молекули (атома), виражене в атомних одиницях маси.
7П„
М = °
--тпс
12 ос
де Мг — відносна молекулярна (атомна) маса; т0 —маса молекули (ато-
ма), виражена в одиницях системи СІ (кг); тос — маса молекули ізотопу
вуглецю 12С, виражена в тих самих одиницях, що й т0.
— тпг = 1 а.е.м. = 1,66 10 27
12 ос
кг.
Атомна маса була взята Д. І. Менделєєвим як основна характерис-
тика елемента, коли він відкрив періодичну систему елементів. Атомна
маса — дробова величина, на відміну від масового числа — кількості
нуклонів в атомі.
Відносна молекулярна маса речовини складається з відносних атом-
них мас (а.м.) елементів, що входять до складу молекули. Наприклад,
М,.(Н20) = 2 1 + 16 = 18; М,.(С02) = 12 + 2 х 16 = 44.
Атомні маси всіх хімічних елементів точно виміряні.
Моль. Стала Авогадро
Моль — кількість речовини, маса якої, виражена в грамах, чисельно
дорівнює відносній атомній (молекулярній) масі.
Моль — одиниця кількості речовини в системі СІ (одна з основних
одиниць СІ).
У 1 молі міститься стільки молекул (атомів або інших частинок
речовини), скільки атомів міститься в 0,012 кг нукліду вуглецю 12С
з атомною масою 12.
З цього визначення випливає, що в одному молі будь-якої речовини
міститься одна й та сама кількість атомів або молекул.
Молекулярна фізика. Термодинаміка
261
Число це зветься сталою Авогадро та позначається Аа:
Аа = 6,022054(32) 1023 моль1.
Отже, стала Авогадро (число Авогадро) — це число атомів (молекул
або інших структурних елементів речовини), яке міститься в 1 молі.
Кількість речовини
Кількість речовини — це число частинок речовини (атомів, моле-
кул), виражене в молях.
Враховуючи визначення моля та число Авогадро, можна сказати, що
кількість речовини V дорівнює відношенню числа молекул N в даному
тілі до сталої Авогадро Аа, тобто до числа молекул в 1 молі речовини:
Молярна маса
Молярною масою речовини М називають масу речовини, взятої
в кількості 1 моль.
М - т0АА,
(2.2)
де т0 — маса молекули даної речовини.
Оскільки для будь-якого тіла його маса т пов’язана з кількістю
молекул N в ньому співвідношенням
т - т0А,
(2.3)
то з (2.1), (2.2) та (2.3) отримаємо:
Кількість речовини дорівнює відношенню маси речовини до її мо-
лярної маси.
З (2.4) та (2.1) отримуємо:
т
N = Аа • V = Аа • — — вираз для числа молекул в тілі з масою т
та молярною масою М.
Обґрунтування молекулярно-кінетичної теорії
Дифузія, розчинність та броунівський рух можуть бути пояснені
тільки на підставі поняття про молекулярну будову речовин та є пере-
конливим обґрунтуванням першого та другого положень молекулярно-
кінетичної теорії.
Броунівський рух
Броунівський рух (браунівський рух) — неупорядкований рух малих
частинок, завислих у рідині або газі, який відбувається під дією ударів
молекул оточуючого середовища.
262
Фізика
Броунівські частинки розміром ~1 мкм та менші здійснюють неупо-
рядковані незалежні рухи, описуючи складні зигзагоподібні траєкторії.
Броунівський рух ніколи не припиняється! У краплі води (якщо не
давати їй висихати) рух крупинок можна спостерігати впродовж днів,
місяців, років. Він не припиняється ані влітку, ані взимку, ані вдень,
ані вночі. У шматках кварцу, які пролежали в землі тисячі років, трап-
ляються іноді крапельки води, замуровані в ньому. В цих крапельках
також спостерігали броунівський рух частинок, що плавали у воді.
Інтенсивність броунівського руху збільшується із збільшенням
температури, зменшенням в’язкості середовища, зменшенням розмі-
ру частинок. Він не залежить від хімічної природи частинок та часу
спостереження.
Броунівський рух є доказом існування ще дрібніших частинок —
молекул рідини, невидимих навіть у найсильніші оптичні мікроскопи.
Броунівський рух пояснюється тим, що завдяки випадковій неодна-
ковості кількості ударів молекул рідини по частинці з різних напрямів
виникає рівнодіюча сила певного напряму. Оскільки подібні флуктуації
(флуктуація — випадкове відхилення фізичної величини від її серед-
нього значення) дуже короткочасні, то у наступну мить напрям рів-
нодіючої зміниться, а, отже, зміниться напрям переміщення частинки.
Звідси й хаотичність броунівського руху, яка відображає хаотичність
молекулярного руху.
Дифузія
Явище, при якому відбувається взаємне проникнення молекул од-
нієї речовини між молекулами іншої, називається дифузією.
Явище це пояснюється властивістю молекул перебувати у безпере-
рвному русі.
Підтвердженням руху молекул газу є всім відоме поширення запаху
будь-якої пахучої речовини, внесеної до кімнати.
У рідинах спостерігати взаємне проникнення однієї речовини в іншу
можна, якщо у міцний розчин мідного купоросу обережно додати воду.
Спочатку різка межа між темно-блакитним мідним купоросом та без-
барвною водою з часом зникає. Механізм проникнення молекул такий.
Спочатку внаслідок руху окремі молекули води та мідного купоросу,
які розташовані біля межі між ними, обмінюються місцями. Молекули
мідного купоросу потрапляють у нижній шар води, а молекули води —
у верхній шар мідного купоросу. Межа між рідинами через це розпли-
вається. Проникнувши в шар «чужої» рідини, молекули починають
обмінюватися місцями з її частинками, які розташовані у все більш
глибоких шарах. Межа між рідинами стає більш розпливчатою. Завдяки
безперервному та неупорядкованому руху молекул цей процес врешті-
решт призводить до того, що вся рідина стає однорідною.
У твердих тілах також спостерігається дифузія. Так, в одному з до-
слідів ретельно відшліфовані пластини свинцю та золота поклали одну
на одну та стиснули вагою. Через п’ять років золото та свинець проник-
ли один в одне на 1 мм.
Швидкість дифузії залежить від агрегатного стану речовини та
температури тіла. У газах, де відстань між молекулами дуже велика
у порівнянні з їх розмірами та рух молекул хаотичний, швидкість
дифузії найбільша. В рідинах вона менша, оскільки і відстань між
Молекулярна фізика. Термодинаміка
263
молекулами менша, і рух молекул трохи упорядкованіший. У твердих
тілах, де спостерігається чіткий порядок у розташуванні атомів (або
молекул), а самі вони здійснюють лише невеликі коливальні рухи біля
своїх місць, швидкість дифузії найменша.
Швидкість протікання дифузії зростає зі зростанням температури.
Взаємодія частинок речовини
Третє положення молекулярно-кінетичної теорії про взаємодію моле-
кул є очевидним. Досить згадати, скільки зусиль потрібно, щоб зламати,
наприклад, дерев’яну палицю.
Тверді тіла та рідини не розпадаються на окремі молекули, незва-
жаючи на те, що їх молекули розділені проміжками та перебувають
у безперервному неупорядкованому русі.
Більш того, тверде тіло, наприклад, важко розтягнути або стис-
нути. Чим же пояснити, що молекули в тілах не тільки утримуються
одна біля одної, але й в деяких випадках проміжки між ними важко
збільшити?
Справа в тому, що молекули взаємодіють одна з одною, природа
цієї взаємодії електрична. Молекула складається з заряджених час-
тинок — електронів та ядер. Заряджені частинки однієї молекули
при відповідних відстанях взаємодіють (притягаються або відштовху-
ються) з зарядженими частинками інших молекул. Так, між ядрами
атомів однієї молекули та електронами іншої існують сили тяжіння,
а між електронами сусідніх молекул, як і між їх ядрами, — сили
відштовхування. Залежність сил молекулярної взаємодії Рг від від-
стані г відтворена на рис. 1. Вона складається з сил тяжіння та сил
відштовхування.
На відстанях, що перевищують 2-3 діаметри молекул, результу-
юча сила взаємодії визначається силами тяжіння. Коли відстань між
молекулами зменшується, то сила взаємодії спочатку зростає, а потім
зменшується. Сили взаємодії дорівнюють нулю, коли відстань між мо-
лекулами стає рівною сумі радіусів молекул, зображених на рисунку
пунктиром.
Подальше зменшення відстані призводить до перекриття електрон-
них оболонок, що спричиняє швидке зростання сил відштовхування.
264
Фізика
Гази, рідини та тверді тіла у МКТ
Газ
Газ — це агрегатний стан речовини, в якому атоми та молекули,
що складають його, майже вільно та хаотично рухаються в проміжках
між зіткненнями. Під час зіткнень молекули різко змінюють швидкість
та напрям свого руху. Час зіткнення молекул набагато менший за про-
міжок часу між двома зіткненнями.
Об’єм, який займає газ, набагато сильніше залежить від тиску
та температури, ніж об’єм рідин та твердих тіл.
Газ можна стиснути так, що його об’єм зменшиться у декілька разів.
Це означає, що відстань між молекулами І набагато більша розмірів
самих молекул: І > <і. На таких відстанях молекули дуже слабко при-
тягаються одна до одної. З цієї причини гази не мають власної форми
й постійного об’єму. Не можна заповнити газом, наприклад, половину
пляшки або склянки.
На відміну від рідин та твердих тіл гази не утворюють вільної по-
верхні та заповнюють весь доступний їм об’єм.
Газоподібний стан — найпоширеніший стан речовини Всесвіту (між-
зіркова речовина, туманності, зірки, атмосфери планет тощо). За хіміч-
ними властивостями гази та їх суміші дуже різні — від малоактивних
інертних газів до вибухових сумішей.
Тиск газу. Безперервно та хаотично рухаючись, молекули газу зіш-
товхуються не тільки одна з одною, але й зі стінками посудини, в якій
міститься газ. Молекул в газі багато, тому й кількість їх ударів дуже
велика. Наприклад, кількість ударів молекул повітря, що знаходиться
в кімнаті, об поверхню площиною 1 см3 за 1 с виражається двадцятит-
ризначним числом. Хоча сила удару однієї молекули мала, але дія всіх
молекул на стінки посудини значна, вона й створює тиск газу.
Отже, тиск газу на стінки посудини (та на вміщене у газ тіло) спри-
чинений ударами молекул газу.
Рідина
Рідина — речовина у стані, проміжному між твердим та газопо-
дібним. Це агрегатний стан речовини, в якому молекули (або атоми)
зв’язані між собою настільки, що це дозволяє їй зберігати свій об’єм,
але недостатньо сильно, щоб зберігати і форму.
Властивості рідин. Рідини легко змінюють свою форму, але зберіга-
ють об’єм. За звичайних умов вони приймають форму посудини, в якій
перебувають.
Поверхня рідини, що не торкається стінок посудини, називається
вільною поверхнею. Вона утворюється внаслідок дії сили тяжіння на
молекули рідини.
Будова рідин. Властивості рідин пояснюються тим, що проміжки
між їх молекулами малі: молекули у рідинах упаковані так щільно,
що відстань між кожними двома молекулами менша за розміри моле-
кул. Пояснення поводження рідин на підставі характеру молекуляр-
ного руху рідини було надане радянським вченим Я. І. Френкелем.
Молекула рідини коливається біля положення тимчасової рівноваги,
зіштовхуючись з іншими молекулами з найближчого оточення. Час від
Молекулярна фізика. Термодинаміка
265
часу їй вдається здійснити стрибок, щоб залишити своїх сусідів з най-
ближчого оточення та продовжити здійснювати коливання вже серед
інших сусідів. Час осілого життя молекули води, тобто час коливання
біля одного положення рівноваги при кімнатній температурі, дорів-
нює в середньому 10-11 с. Час одного коливання значно менший —
10-12-10-13 с.
Оскільки відстані між молекулами рідини малі, то спроба зменши-
ти об’єм рідини призводить до деформації молекул, вони починають
відштовхуватись одна від одної, чим й пояснюється мала стисливість
рідини. Течкість рідини пояснюється тим, що «стрибки» молекул від
одного осілого положення до іншого відбуваються по всіх напрямах
з однаковою частотою. Зовнішня сила не змінює помітно число «стриб-
ків» за секунду, вона лише задає їх переважний напрям, чим і пояс-
нюється течкість рідини і те, що вона набуває форми посудини.
Тверде тіло. Кристалічні та аморфні тіла
Тверде тіло — агрегатний стан речовини, який характеризується
сталістю форми та характером руху атомів, які здійснюють малі ко-
ливання біля положення рівноваги.
Кристалічні тіла. Тверде тіло за звичайних умов важко стиснути
або розтягнути. Для надання твердим тілам потрібної форми або об’єму
на заводах та фабриках їх обробляють на спеціальних верстатах: токар-
них, стругальних, шліфувальних.
За відсутності зовнішніх впливів тверде тіло зберігає свою форму та
об’єм. Це пояснюється тим, що тяжіння між атомами (або молекулами)
у них більше, ніж у рідин (і звичайно, у газів). Воно є достатнім, щоб
утримати атоми біля положень рівноваги.
Молекули або атоми більшості твердих тіл, таких як лід, сіль, алмаз,
метали, розташовані у певному порядку. Такі тверді тіла називають
кристалічними. Хоча частинки цих тіл рухаються, рух цей являє со-
бою коливання біля певних точок (положень рівноваги). Частинки не
можуть відійти далеко від цих точок, тому тверде тіло зберігає свою
форму та об’єм.
Крім того, на відміну від рідин, точки положень рівноваги атомів або
іонів твердого тіла розташовуються у вершинах правильної просторової
ґратки, яка називається кристалічною.
Положення рівноваги, відносно яких відбуваються теплові коливан-
ня частинок, називаються вузлами кристалічної ґратки.
Монокристал — тверде тіло, частинки якого утворюють єдину крис-
талічну ґратку (окремий кристал).
Анізотропія монокристалів. Однією з головних властивостей моно-
кристалів, якою вони відрізняються від рідин та газів, є анізотропія їх
фізичних властивостей. Під анізотропією розуміють залежність фізич-
них властивостей від напряму в кристалі. Анізотропними є механічні
властивості (наприклад, відомо, що слюду легко розшарувати в одному
напрямі та дуже важко в перпендикулярному), електричні властивості
(електропровідність багатьох кристалів залежить від напряму), оптич-
ні властивості (явище подвійного променезаломлення, або дихроїзму;
в монокристалах турмаліну — кристал забарвлений різними кольора-
ми — зелений та бурий, в залежності від того, з якого боку на нього
дивитися).
266
Фізика
Полікристал — тверде тіло, що складається з неупорядковано орієн-
тованих монокристалів. Полікристалічними є більшість твердих тіл,
з якими ми маємо справу у побуті — сіль, цукор, різні металеві вироби.
Неупорядкована орієнтація зрослих мікрокристаликів, з яких вони
складаються, призводить до зникнення анізотропних властивостей.
Аморфні тіла. Крім кристалічних, до твердих тіл належать також
аморфні тіла. Аморфний у перекладі з грецької означає «безформний».
Аморфні тіла — це тверді тіла, для яких характерне неупорядковане
розташування частинок у просторі.
У цих тілах молекули (або атоми) коливаються біля хаотично розта-
шованих точок та подібно молекулам рідини мають певний час «осілого
життя». Але, на відміну від рідин, цей час у них дуже великий.
До аморфних тіл належать скло, бурштин, різні смоли, пластмаси.
Хоч при кімнатній температурі ці тіла зберігають свою форму, але при
підвищенні температури вони поступово розм’якшуються та починають
текти як рідини: у аморфних тіл немає певної температури плавлення.
Цим вони відрізняються від кристалічних тіл, які при підвищенні
температури переходять у рідкий стан не поступово, а стрибком (при
цілком визначеній температурі — температурі плавлення).
Усі аморфні тіла ізотропні, тобто мають однакові фізичні власти-
вості у різних напрямах. При ударі вони поводяться як тверді тіла —
розколюються, а при дуже тривалій дії течуть.
Зараз є багато речовин в аморфному стані, отриманих штучно, на-
приклад, аморфні та склоподібні напівпровідники, магнітні матеріали
і навіть метали.
Ідеальний газ
Ідеальний газ — це теоретична модель газу, в якій нехтують роз-
мірами та взаємодіями частинок газу і враховують лише їх пружні
зіткнення.
Інакше кажучи, припускається, що внутрішня енергія ідеального
газу визначається лише кінетичною енергією його частинок (тобто по-
тенціальною енергією взаємодії молекул нехтують).
Модель ідеального газу була запропонована у 1847 р. Дж. Герапатом.
На підставі цієї моделі були теоретично виведені газові закони (закон
Бойля - Маріотта, закон Гей-Люссака, закон Шарля, закон Авогадро),
які раніше були встановлені експериментально. Модель ідеального газу
була покладена в основу молекулярно-кінетичної теорії газу.
Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії
ідеального газу
Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії встановлює зв’язок
між тиском ідеального газу та середньою кінетичною енергією його
молекул.
Виведення основного рівняння МКТ ґрунтується на припущеннях
моделі ідеального газу та твердженні: тиск газу є результатом ударів
молекул о стінку посудини.
Визначимо тиск газу на стінку площею 5 посудини АВСВ (рис. 2).
Кожна молекула масою т0, відскакуючи від стінки після пружно-
го співудару зі стінкою, передає їй імпульс 2т0щ, де щ — проекція
Молекулярна фізика. Термодинаміка
267
швидкості молекули V на вісь Ох, перпендикулярну стінці. Тільки за
одну секунду сумарний імпульс, отриманий стінкою від усіх молекул,
дорівнює 2т^х2, де X — число таких зіткнень (за 1 с) усіх молекул.
N
Очевидно, що 2 - X - п - —, деп — концентрація молекул в одиниці
об’єму; N — число всіх молекул. Число X пропорційне також швид-
кості молекул рх та площі стінки 8: X ~ пмх8. Оскільки всі напрями
при хаотичному русі молекул газу рівноймовірні, то з усіх молекул, які
мають складову швидкості рх, тільки половина рухається у бік стінки
СВ, а друга половина — у бік АВ (тобто зворотний). Тому X - — пгх8,
2
а повний імпульс, переданий стінці за 1 с, дорівнює 2т0ол2 = т0по25.
Оскільки зміна імпульсу точки (тіла) за одиницю часу дорівнює діючій
Д(тпо)
на нього силі В - ——— , то В - топих8. Насправді, оскільки йдеться
про велику кількість молекул, які рухаються з різними швидкостями,
силу потрібно усереднити: В - т0пг28.
Сила ця залежить, таким чином, від середнього квадрата швидкості о2.
Внаслідок хаотичності руху всі напрями рівноправні, отже:
її = її = її. (2.5)
хуг у '
З іншого боку, відомо, що квадрат модуля будь-якого вектора дорів-
нює сумі квадратів його проекцій на осі координат, отже:
о2 = V2 + V2 + V2.
хуг
Усереднюючи цей вираз по всіх молекулах та враховуючи (2.5), от-
римаємо:
2 2,2,2 о 2
V — V + V V — Зі? .
х у г х
Звідси:
2 1 2
V — —V .
Л З
З урахуванням останньої формули В - — пт0г28.
З
Отже, тиск на стінку посудини дорівнює:
Р 1 -
р = її = зт°пУ
(2.6)
Це основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії. Це рівняння —
перше кількісне співвідношення, одержане в МКТ.
Рівняння (2.6) дає змогу отримати зв_’язок між тиском та середньою
- т„Р2
кінетичною енергією молекул Ек ------:
2 —
р - — пЕ .
З
(2.7)
Тиск ідеального газу дорівнює двом третинам середньої кінетичної
енергії поступального руху молекул, які містяться в одиниці об’єму.
268
Фізика
Рівняння Клапейрона-Менделєєва
(рівняння стану ідеального газу)
Рівняння стану ідеального газу — це залежність між параметрами
ідеального газу — тиском р, об’ємом V та абсолютною температурою Т,
які визначають його стан:
рУ = ВТ,
(2.16)
де В залежить від маси газу т та його молекулярної маси М. У такому
вигляді вперше воно отримане у 1834 р. французьким вченим Б. Кла-
пейроном і зветься рівнянням Клапейрона.
У 1874 р. Д. І. Менделєєв вивів рівняння стану для одного моля
ідеального газу: рУ - ВТ, де В — універсальна газова стала. Якщо мо-
лярна маса газу М, то:
рУ = — ВТ.
М
(2.17)
Рівняння стану у формулі (2.17) називається рівнянням Мен-
делєєва-Клапейрона. Воно поєднує газові закони Гей-Люссака, Бой-
ля-Маріотта, Авогадро, Шарля.
Рівняння стану (2.17) може бути отримане з залежності тиску від
температури р - пкТ (2.12), якщо до неї підставити концентрацію мо-
лекул п з виразу
п = — = -— Аа, (2.18)
V V М А
де Ал — стала Авогадро, N — число молекул у тілі.
Зробивши це перетворення, отримаємо:
рУ = —
М А
(2.19)
де кНА — В — універсальна газова стала, яка дорівнює 8,31 • 10 23
Дж/моль К; к — стала Больцмана.
Замінивши в (2.19) /гАл на В, отримуємо рівняння стану у вигляді
(2.16). Відношення рівнянь (2.17) або (2.16) при двох наборах парамет-
рів рг, У1г Тг та р2, У2, Т2 має вигляд:
Ізопроцеси в газах
Ізопроцесами (від грец. «ізос» — рівний) називаються процеси, які
відбуваються при незмінному значенні одного з параметрів: тиску (р),
об’єму (У), температури (Т).
В ідеальному газі ці процеси підпорядковуються газовим законам.
Газовими законами називаються кількісні залежності між двома
параметрами газу при фіксованому значенні третього параметра.
Закон Бойля - Маріотта
Закон Бойля - Маріотта — один з основних газових законів. Описує
ізотермічні процеси в газі.
Молекулярна фізика. Термодинаміка
269
Процес зміни стану термодинамічної системи при постійній темпе-
ратурі називається ізотермічним.
Для даної маси добуток тиску газу та його об’єму постійний, якщо
температура газу не змінюється.
= СОП8І, якщо Т - СОП8І.
Цей закон був експериментально відкритий англійським вченим
Р. Бойлем у 1662 р., а у 1676 р. його сформулював також французький
вчений Е. Маріотт.
Закон строго виконується тільки для ідеальних газів. Для реальних
газів він виконується достатньо добре при невеликих тисках та високих
температурах. Так, при тиску 100 атм. та температурі 0°С відхилення
виміряного значення рУ від розрахункового становить 7 % .
Закон Бойля-Маріотта, як й інші газові закони, є наслідком рів-
няння стану ідеального газу.
Графіки залежності р(У) при Т - сопзі (р = сопзі/У) називаються ізо-
термами, вони являють собою рівнобічні гіперболи (площі 8Г - 82). Чим
вища температура, тим вище лежить відповідна їй ізотерма (рис. 3).
Закон Шарля
Тиск р даної маси газу при постійному об’ємі пропорціональний
температурі.
Тобто
р - сопзі Т, якщо V - сопе!. (2.20)
Закон був відкритий французьким фізиком Ж. Шарлем у 1787 р.
Процес зміни стану термодинамічної системи при постійному об’ємі
називається ізохорним (від грец. «хорема» — місткість).
Закон Шарля, як й інші газові закони, є наслідком рівняння стану
ідеального газу:
= СОП8І, ЯКЩО V - СОП8І.
Згідно з (2.20), тиск газу лінійно залежить від температури при пос-
тійному об’ємі. Ця залежність відтворюється прямою, яка називається
ізохорою (рис. 4). Із зростанням об’єму газу при постійній темпера-
турі тиск його, згідно з законом Бойля-Маріотта, зменшується. Тому
ізохора, яка відповідає більшому об’єму, лежить нижче ізохори, що
відповідає меншому об’єму.
У відповідності з (2.20) всі ізохори починаються в точці Т - 0 (тиск
ідеального газу при абсолютному нулі дорівнює нулю).
Ізохорний процес використовується в газових термометрах постій-
ного об’єму.
Рис. З
Рис. 4
Закон Гей-Люссака
При постійному тиску р об’єм V ідеального газу змінюється лінійно
з температурою.
Тобто
V = Уо (1 + аі),
(2.21)
270
Фізика
де Уо — початковий об’єм, і — різниця початкової та кінцевої темпера-
тур. Коефіцієнт теплового розширення ідеальних газів а = (1/273,15)ЇГ 1
однаковий для всіх газів.
Процес зміни стану термодинамічної системи при постійному тиску
називається ізобарним (від грец. «барос» — вага).
Закон відкритий французьким вченим Ж. Гей-Люссаком у 1802 р.
та незалежно від нього Дж. Дальтоном у 1801 р.
Закон Гей-Люссака, як й інші газові закони, є наслідком рівняння
стану ідеального газу. Це стає очевидним, якщо в (2.21) замінити і на
абсолютну температуру Т - і + 273,15, а коефіцієнт розширення а —
його чисельним значенням 1/273,15:
Т
V = V ------
0 273,15
або
V
— = СОП8І , ЯКЩО р = СОП8І. (2.22)
Для газу даної маси відношення об’єму до температури постійне,
якщо тиск газу не змінюється.
Згідно з (2.22) об’єм газу лінійно залежить від температури при
постійному тиску:
V - СОП8І Т.
Рис. 5
Ця залежність графічно відтворюється прямою, яка називається
ізобарою (рис. 5).
Різним тискам відповідають різні ізобари. Із зростанням тиску об’єм
газу при постійній температурі, згідно з законом Бойля - Маріотта,
зменшується, тому ізобара, яка відповідає вищому тиску р2, лежить
нижче ізобари, яка відповідає нижчому тиску рг.
В області низьких температур усі ізобари ідеального газу сходяться
у точці Т - 0, але це не означає, що об’єм реального газу дійсно дорівнює
нулю. При низьких температурах усі гази стають рідинами, а до рідин
рівняння стану не може застосовуватись.
Основи ТЕРМОДИНАМІКИ
Термодинаміка — наука про найзагальніші теплові властивості мак-
роскопічних тіл.
У термодинаміці не вводяться спрощені моделі явищ, що вивча-
ються, тому висновки термодинаміки мають універсальний характер.
Внутрішня енергія
Внутрішню енергію тіла складають кінетична енергія всіх його мо-
лекул та потенціальна енергія їхньої взаємодії.
Внутрішня енергія входить до балансу енергетичних перетворень
у природі. Після відкриття внутрішньої енергії був сформульований
закон збереження та перетворення енергії. Розглянемо взаємне пере-
творення механічної та внутрішньої енергій.
Молекулярна фізика. Термодинаміка
271
Нехай на свинцевій плиті лежить свинцева куля. Піднімемо її вверх
та відпустимо. Коли ми підняли кулю, то надали їй потенціальної енер-
гії. При падінні кулі енергія зменшується, тому що куля опускається
нижче й нижче. Але зі збільшенням швидкості поступово збільшуєть-
ся кінетична енергія кулі. Відбувається перетворення потенціальної
енергії кулі на кінетичну. Але ось куля вдарилася о свинцеву плиту
та зупинилася. І кінетична, і потенціальна енергії її відносно плити
стали дорівнювати нулю. Розглядаючи кулю та плиту після удару, ми
бачимо, що їхній стан змінився: куля трохи сплющилась, а на плиті
утворилася невеличка ум’ятина; вимірявши температуру, ми помічає-
мо, що тіла нагрілися.
Нагрівання означає збільшення середньої кінетичної енергії моле-
кул тіла. Під час деформації змінюється взаємне розташування части-
нок тіла, тому змінюється їхня потенціальна енергія. Таким чином,
можна стверджувати, що внаслідок удару кулі о плиту відбувається
перетворення механічної енергії, яку мала на початку досліду куля,
на внутрішню енергію тіла.
Внутрішня енергія ідеального газу
Оскільки молекули ідеального газу не взаємодіють одна з одною, то
їхня потенціальна енергія вважається рівною нулю. Внутрішня енергія
ідеального газу визначається тільки кінетичною енергією неупорядко-
ваного поступального руху його молекул. Для її обчислення потрібно
— З
помножити середню кінетичну енергію одного атома Е - — кТ на кіль-
внутрішньої енергії ідеального газу:
Внутрішня енергія ідеального одноатомного газу прямо пропорційна
його температурі.
Якщо скористатися рівнянням Клапейрона-Менделєєва, то вираз
для внутрішньої енергії ідеального газу можна подати у вигляді
V = - рУ.
2
Зауважимо, що згідно з виразом для середньої кінетичної енергії
одного атома (е = та внаслідок хаотичності руху на кожний
з трьох можливих напрямів руху, або кожний ступінь волі, по осі X, ¥
та 2 припадає однакова енергія — .
2
Число ступенів волі — це число можливих незалежних напрямів
руху молекули.
Газ, кожна молекула якого складається з двох атомів, називається
двоатомним. Кожний атом може рухатися за трьома напрямами, тому
загальне число можливих напрямів руху — 6. За рахунок зв’язку між
молекулами число ступенів волі зменшується на один, тому число сту-
пенів волі для двоатомної молекули дорівнює п’яти.
272
Фізика
5 Середня кінетична енергія двоатомної молекули дорівнює —/гТ. Відповідно внутрішня енергія ідеального двоатомного газу дорівнює: 5 т 5 И = ВТ = -рУ. 2 М 2 Формули для внутрішньої енергії ідеального газу можна узагаль- нити: 17 = Ь.—ЦТ = -рУ, 2 М 2 де і — число ступенів волі молекул газу (і - 3 для одноатомного та і - 5 для двоатомного газу). Для ідеальних газів внутрішня енергія залежить тільки від одного макроскопічного параметра — температури і не залежить від об’єму, тому що потенціальна енергія дорівнює нулю (об’єм визначає середню відстань між молекулами). Для реальних газів потенціальна енергія не дорівнює нулю. Тому внутрішня енергія в термодинаміці в загальному випадку однозначно визначається параметрами, що характеризують стан цих тіл: об’ємом (V) та температурою (Т). Теплообмін
ЗАПАМ'ЯТАЙ Робота та теплообмін — способи зміни внутрішньої енергії тіла. Види теплообміну: тепло- провідність, конвекція, про- менистий теплообмін. Теплообмін — це мимовільний (тобто здійснений без примушення) процес передавання теплоти, який відбувається між тілами з різною температурою. Можна сказати, що теплообмін — один із способів зміни внутріш- ньої енергії тіла. Розрізняють три види теплообміну: теплопровідність, конвекція та променистий теплообмін. Теплопровідність Теплопровідність — це вид теплообміну, при якому відбувається безпосереднє передавання енергії від частинок (молекул, атомів) більш нагрітої частини тіла до частинок його менш нагрітої частини. Розглянемо декілька дослідів із нагріванням твердого тіла, рідини та газу. Закріпимо в штативі товстий мідний дріт, а до дроту прикріпимо воском або пластиліном декілька цвяхів. Під час нагрівання вільного кінця дроту в полум’ї спиртівки віск розплавляється, і цвяхи поступово відпадають від дроту. Причому спочатку відпадають ті, що розташо- вані ближче до полум’я, потім по черзі решта. Пояснюється це таким чином. Спочатку збільшується швидкість руху тих частинок металу, які розташовані ближче до полум’я. Температура дроту в цьому місці підвищується. При взаємодії цих частинок із сусідніми швидкість ос- танніх також збільшується, в результаті чого підвищується температура наступної частини дроту. Потім збільшується швидкість руху наступних частинок, доки не прогріється весь дріт. Слід пам’ятати, що при теплопровідності сама речовина не пере- міщується уздовж тіла, переноситься лише енергія.
Молекулярна фізика. Термодинаміка
273
Розглянемо тепер теплопровідність рідин. Візьмемо пробірку з во-
дою. Покладемо в неї шматок льоду та почнемо нагрівати верхню части-
ну пробірки. Вода біля поверхні швидко закипить. Лід на дні пробірки
за цей час майже не розтане. Отже, у рідин теплопровідність невелика,
за винятком ртуті та рідких металів.
Це пояснюється тим, що у рідин молекули розташовані на більших
відстанях одна від одної, ніж у твердих тілах.
Дослідимо теплопровідність газів. Суху пробірку надінемо на па-
лець та нагріємо в полум’ї спиртівки дно. Палець при цьому довго не
відчуватиме тепла.
Це пов’язано з тим, що відстань між молекулами газу ще більша,
ніж у рідин та твердих тіл. Отже, теплопровідність газів ще менша.
Таким чином, теплопровідність у різних речовин різна.
Найбільшу теплопровідність мають метали, особливо срібло та мідь.
Якщо теплопровідність різних речовин порівнювати з теплопровідніс-
тю міді, то виявиться, що у заліза вона менша приблизно у 5 разів,
у води — у 658 разів, у пористої цегли — у 848 разів, у свіжого снігу —
майже у 4000 разів, у вати, тирси та вовни — майже у 10 000 разів,
а у повітря вона менша приблизно у 20 000 разів. Погану теплопровід-
ність мають також волосся, пір’я, папір, корок та інші пористі тіла.
Це пов’язано з тим, що між волокнами цих речовин наявне повітря.
Найнижчу теплопровідність має вакуум (вільний від повітря простір).
Пояснюється це тим, що теплопровідність — це перенесення енергії від
однієї частини тіла до іншої, яке відбувається при взаємодії молекул
або інших частинок. У просторі, де немає частинок, теплопровідність
здійснюватися не може.
Конвекція. Конвективний теплообмін
Конвекція (від лат. сопиесііо — доставка) — це перенесення маси
в результаті переміщення газу або рідини.
Існують різні види конвекції. Ми розглянемо вільну та вимушену
конвекції.
Вільна конвекція в газі або рідині виникає тоді, коли є невеликі
ділянки, в яких густина відрізняється від густини основної оточуючої
їх маси речовини. Тоді за умов земного тяжіння під дією сили Архімеда
ці ділянки починають переміщуватись. Прикладом вільної конвекції
є всім відомий рух повітря в приміщенні, в якому працює піч, є радіа-
тор або інше джерело тепла.
Вимушена конвекція зумовлена зовнішнім механічним впливом на
середовище. Прикладами її є звичайне перемішування рідини ложкою,
рух повітря в кімнаті під дією вентилятора, плин рідини в трубі під
дією гідронасоса тощо. Фізичні процеси, які відбуваються під час ви-
мушеної конвекції, пов’язаної з рухом тіл із великими швидкостями
в атмосфері, моделюються в аеродинамічних трубах, де відтворюється
обтікання нерухомих моделей потоком повітря.
Таким чином, конвективний теплообмін може здійснюватися
в газоподібному та рідкому середовищі за умови, що існує різниця
температур між частинами цього середовища. Для здійснення ефек-
тивного конвективного теплообміну в рідинах та газах за земних умов
їх необхідно прогрівати знизу. Якщо їх прогрівати зверху, конвекція
274
Фізика
не відбувається, тому що теплі шари розташовані зверху та опуститися
нижче холодних, важчих, вони не можуть.
За відсутності сили тяжіння (у ракеті, супутнику, міжпланетному
кораблі) конвекція спостерігатися не буде. Отже, користуватися там,
наприклад, сірниками та газовими пальниками не можна: продукти
згоряння загасять полум’я.
Конвекція у твердих тілах відбуватися не може, тому що частин-
ки в них коливаються біля певної точки, вони утримуються сильним
взаємним тяжінням. У зв’язку з цим при нагріванні твердих тіл пото-
ки речовини в них утворюватися не можуть. Енергія у твердих тілах
передається теплопровідністю.
Променистий теплообмін
Променистий теплообмін — це теплообмін, під час якого енергія
переноситься різними променями.
Це можуть бути сонячні промені, а також промені, випромінені на-
грітими тілами, що розташовані навколо нас.
Так, наприклад, сидячи біля багаття, ми відчуваємо, як тепло пере-
дається від вогню до нашого тіла. Однак причиною такої теплопередачі
не може бути ані теплопровідність (яка у повітря, що знаходиться між
полум’ям та тілом, дуже мала), ані конвекція (тому що конвективні
потоки спрямовані завжди нагору). Тут має місце третій вид теплооб-
міну — променистий теплообмін.
Кількість теплоти. Питома теплоємність
0
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Кількістю теплоти називають кількісну міру зміни внутрішньої
енергії тіла під час теплообміну (або теплопередачі).
Внутрішню енергію можна
змінити, якщо нагріти (или
охладить) тіло, тобто переда-
ти йому (чи забрати у нього)
деяку кулькість теплоти:
Кількість теплоти — це енергія, яку тіло віддає при теплообміні
(без здійснення роботи). Кількість теплоти, як і енергія, вимірюється
в джоулях (Дж).
теплопередача
Питома теплоємність речовини
Теплоємність — це кількість теплоти, яка поглинається тілом під
час нагрівання на 1 градус.
Теплоємність тіла позначається заголовною латинською літерою С.
Фізична величина, яка показує, яка кількість теплоти потрібна для
нагрівання 1 кг речовини на 1 °С, називається питомою теплоємністю
цієї речовини.
У кожної речовини своя питома теплоємність. Питома теплоєм-
ність позначається латинською літерою с та вимірюється в джоулях
на кілограм • градус (Дж/(кг • °С)).
Питома теплоємність однієї й тієї самої речовини в різних агрегат-
них станах (твердому, рідкому та газоподібному) різна. Наприклад,
питома теплоємність води дорівнює 4200 Дж/(кг-°С), а питома теп-
лоємність льоду — 2100 Дж/(кг-°С); алюміній у твердому стані має
питому теплоємність 920 Дж/(кг-°С), а у рідкому — 1080 Дж/(кг-°С).
Молекулярна фізика. Термодинаміка
275
Розрахунок кількості теплоти, потрібної для нагрівання тіла
або виділеної ним при охолодженні
Із сказаного вище зрозуміло, що кількість теплоти, потрібної для
нагрівання тіла, залежить від роду речовини, з якої складається тіло
(тобто його питомої теплоємності), та від маси тіла. Зрозуміло також, що
кількість теплоти залежить від того, на скільки градусів ми збираємося
збільшити температуру тіла.
Отже, щоб визначити кількість теплоти, потрібної для нагрівання
тіла або виділеної ним при охолодженні, потрібно питому теплоємність
тіла помножити на його масу та на різницю між його кінцевою та по-
чатковою температурами:
Я = спг(і2 - іг),
це — кількість теплоти, с — питома теплоємність, пг — маса тіла,
— початкова температура, і2 — кінцева температура.
При нагріванні тіла і2> і1і, отже , ф > 0. При охолодженні тіла
і2 < і, отже , ф < 0.
У випадку, коли відома теплоємність усього тіла С, визначається
за формулою:
в = С(і2 - Л).
Робота у термодинаміці
У термодинаміці, на відміну від механіки, розглядається не рух
тіла як цілого, а лише відносні зміни частин термодинамічної системи,
у результаті якої змінюється її об’єм.
Робота у термодинаміці дорівнює зміні внутрішньої енергії тіла.
Обчислимо роботу, яка виконується газом під час його дії на пор-
шень з силою Р', рівною за величиною та протилежною за напрям-
ком силі Р , що діє на газ з боку поршня (рис. 6): Р' - -Р (згідно
з третім законом Ньютона), Р' - р8 , де р — тиск газу, а 8 — площа
поверхні поршня. Якщо переміщення поршня Лй у результаті розши-
рення невелике, то тиск газу можна вважати сталим, і робота газу
дорівнює:
А' = Р'Мг = р8ЛІг = рАУ.
(2.23)
Якщо газ розширюється, він здійснює додатну роботу, тому що
переміщення поршня збігається за напрямом із силою Р'. Якщо газ
стискається, то робота газу буде від’ємною, оскільки переміщення
поршня протилежне силі Р'. У формулі (2.23) з’явиться знак «мінус»:
ЛУ < 0, оскільки Лй < 0 (рис. 7). Робота зовнішніх сил А, навпаки,
додатна при стисканні газу та від’ємна при розширенні:
А = -А' = —рАУ.
Здійснюючи над газом додатну роботу, зовнішні сили переда-
ють йому частину своєї енергії. При розширенні газу зовнішні сили
відбирають від газу частину його енергії — робота зовнішніх сил
від’ємна.
На графіку залежності тиску від об’єму р(У) робота визначається
як площа, обмежена кривою р(У), віссю У та відрізками аЬ та сд,,
276
Фізика
б
Рис. 8
які дорівнюють тискам рг у початковому (УД та р2 у кінцевому
(У2) станах, як для ізобарного, так і для ізотермічного процесів
(рис. 8, а, б).
Перший закон термодинаміки
Перший закон (перший принцип) термодинаміки — це закон збере-
ження та перетворення енергії для термодинамічної системи.
Згідно з першим законом термодинаміки робота може здійснюватись
тільки за рахунок теплоти або якої-небудь іншої форми енергії. Отже,
роботу та кількість теплоти вимірюють в одних одиницях — джоулях,
як і енергію.
Перший закон термодинаміки був сформульований німецьким вче-
ним Ю. Л. Майером у 1842 р. та встановлений експериментально анг-
лійським вченим Дж. Джоулем у 1843 р.
Перший закон термодинаміки формулюється таким чином:
Зміна внутрішньої енергії системи при переході її з одного стану
до іншого дорівнює сумі роботи зовнішніх сил та кількості теплоти,
що передана системі.
Ли=А + <2, (2.24)
де ДЇ7 — зміна внутрішньої енергії, А — робота зовнішніх сил, б) —
кількість теплоти, переданої системі.
З (2.24) випливає закон збереження внутрішньої енергії. Якщо сис-
тему ізолювати від зовнішніх впливів, то А = 0 та ф = 0, а, отже, і ДЇ7 = 0.
При будь-яких процесах, що відбуваються в ізольованій системі,
її внутрішня енергія залишається незмінною.
Якщо роботу здійснює система, а не зовнішні сили, то рівняння
(2.24) записується у вигляді
ф = ДУ + А', (2.25)
де А' — робота, здійснена системою (А' = -А).
Кількість теплоти, надана системі, йде на зміну її внутрішньої
енергії, та на здійснення системою роботи над зовнішніми тілами.
Перший закон термодинаміки може бути сформульований як немож-
ливість існування вічного двигуна першого роду, який здійснював би
роботу, не використовуючи енергію якого-небудь джерела (тобто тільки
за рахунок внутрішньої енергії).
Дійсно, якщо тілу не надається теплота (ф = 0), то робота А', згідно
з рівнянням (2.25), здійснюється тільки за рахунок зменшення внут-
рішньої енергії А' = -ДЇ7. Після того, як запас енергії буде вичерпаний,
двигун припинить роботу.
Варто пам’ятати, що, як робота, так і кількість теплоти, є характе-
ристиками процесу зміни внутрішньої енергії, тому не можна говорити,
що в системі міститься певна кількість теплоти або роботи. Система
в будь-якому стані має лише певну внутрішню енергію.
Застосування першого закону термодинаміки до різних
термодинамічних процесів
Розглянемо застосування першого закону термодинаміки до різних
термодинамічних процесів.
Молекулярна фізика. Термодинаміка
тп
Ізохорний процес
Залежністьр(Т) на термодинамічній діаграмі зображується ізохорою
(рис. 9).
Ізохорний (ізохоричний) процес — термодинамічний процес, який
відбувається в системі при сталому об’ємі.
Ізохорний процес можна здійснити в газах та рідинах, вміщених
у посудину з постійним об’ємом.
При ізохорному процесі об’єм газу не змінюється (ДУ = 0), та згідно
з першим законом термодинаміки (див. рівняння (2.24)),
дп = ф.
тобто зміна внутрішньої енергії дорівнює кількості наданої теплоти,
тому що робота (А = рЛУ = 0) газом не здійснюється (рис. 9).
Якщо газ нагрівається, то ф > 0 та Л17 > 0, його внутрішня енергія
збільшується. При охолодженні газу ф < 0 та Л17 < 0, внутрішня енергія
зменшується.
Рис. 9
Ізотермічний процес
Ізотермічний процес графічно зображується ізотермою (рис. 3).
Ізотермічний процес — це термодинамічний процес, який відбу-
вається в системі при сталій температурі.
Оскільки при ізотермічному процесі внутрішня енергія газу не змі-
нюється (див. (2.25), (Т - сопзі), то вся надана газу кількість теплоти
йде на здійснення роботи:
<2= А'.
При отриманні газом теплоти ((£ > 0) він здійснює додатну роботу
(А' > 0). Якщо газ віддає теплоту довкіллю, б) < 0 та А' < 0. У цьому
випадку над газом здійснюється робота зовнішніми силами. Для зов-
нішніх сил робота додатна.
Ізобарний процес
Ізобарний процес на термодинамічній діаграмі зображується ізоба-
рою (рис. 8, а).
Ізобарний (ізобаричний) процес — термодинамічний процес, який
відбувається в системі зі сталим тиском р.
Прикладом ізобарного процесу є розширення газу в циліндрі з на-
вантаженим поршнем, що ходить вільно.
При ізобарному процесі, згідно з формулою (2.25), надана газу кіль-
кість теплоти йде на зміну його внутрішньої енергії ДІ7 та на здійснення
ним роботи А' при сталому тиску:
ф = ДП+А'.
Визначається робота ідеального газу на графіку залежності р(У) для
ізобарного процесу (рис. 8, а) (А' - рАУ) як площа прямокутника, який
утворений ізобарою та віссю V.
Для ідеального газу при ізобарному процесі об’єм пропорційний
температурі, у реальних газах частина теплоти витрачається на зміну
середньої енергії взаємодії частинок.
278
Фізика
Адіабатичний процес
Рис. 10
Адіабатний (адіабатичний) процес — це термодинамічний процес,
який відбувається в системі без теплообміну з довкіллям (($ = 0).
Адіабатична ізоляція системи приблизно досягається в посудинах
Дьюара, наприклад, у так званих «адіабатних оболонках». На адіаба-
тично ізольовану систему не впливає зміна температури оточуючих тіл.
Її внутрішня енергія и може змінюватись тільки за рахунок роботи,
здійсненої зовнішніми тілами над системою (або самою системою).
Згідно з першим законом термодинаміки (ДЇ7 = А + ф), в адіабатній
системі
ДП=А,
де А — робота зовнішніх сил.
При адіабатному розширенні газу А < 0.
Отже,
і тп
ДП =-----ВАТ < 0,
2 М
що означає зменшення температури при адіабатному розширенні. Воно
призводить до того, що тиск газу зменшується різкіше, ніж при ізо-
термічному процесі. На рис. 10 адіабата 1-2, що проходить між двома
ізотермами, наочно ілюструє сказане вище. Площа під адіабатою чи-
сельно дорівнює роботі, виконаній газом під час його адіабатичного
розширення від об’єму Уі до У2.
Адіабатне стискування призводить до підвищення температури газу,
тому що в результаті пружних співударів молекул газу з поршнем їх
середня кінетична енергія зростає, на відміну від розширення, коли
вона зменшується (у першому випадку швидкості молекул газу збіль-
шуються, у другому — зменшуються).
Різке нагрівання повітря при адіабатичному стисканні використо-
вується у двигунах Дизеля.
Необоротний процес. Другий закон термодинаміки
Необоротним називається фізичний процес, який може мимовільно
відбуватися тільки в одному певному напрямі.
У зворотному напрямі такі процеси можуть відбуватися тільки як
одна з ланок якогось складнішого процесу.
Необоротними є практично всі процеси, що відбуваються в природі.
Це пов’язане з тим, що в будь-якому реальному процесі частина енергії
розсіюється. Наприклад, теплота, як відомо, завжди переходить від
гарячішого тіла до холоднішого — це найтиповіший приклад необорот-
ного процесу (хоч зворотний перехід не протирічить закону збереження
енергії).
Також кулька (маятник), що висить на легкій нитці, ніколи ми-
мовільно не збільшить амплітуду своїх коливань, навпаки, приведена
одного разу до руху сторонньою силою, вона обов’язково врешті-решт
зупиниться внаслідок опору повітря та тертя нитки о підвіс.
Таким чином, надана маятнику механічна енергія переходить
у внутрішню енергію хаотичного руху молекул (повітря, матеріалу
підвісу).
Молекулярна фізика. Термодинаміка
279
Математично необоротність механічних процесів виражається
в тому, що рівняння руху макроскопічних тіл змінюється зі зміною
знака часу: вони не інваріантні при заміні і на -і. При цьому приско-
рення та сили, що залежать від відстаней, не змінюють свої знаки. Знак
. ( Де А _> •
при заміні і на -і змінюється у швидкості о = — . Відповідно знак
І Аі)
змінює сила, що залежить від швидкості, — сила тертя. Саме тому при
виконанні роботи силами тертя кінетична енергія тіла необоротно пе-
реходить у внутрішню.
На спрямованість процесів у природі вказує другий закон термо-
динаміки.
Другий закон термодинаміки
Другий закон (другий принцип) термодинаміки — один з основних
законів термодинаміки, який встановлює необоротність реальних тер-
модинамічних процесів.
Другий закон термодинаміки був сформульований як закон природи
Н. Л. С. Карно у 1824 р., потім У. Томсоном (Кельвіном) у 1841 р. та
Р. Клаузіусом у 1850 р. Формулювання закону різні, але еквівалентні.
Німецький вчений Р. Клаузіус формулював закон таким чином:
неможливо перевести теплоту від холоднішої системи до гарячішої за
відсутності інших одночасних змін в обох системах або оточуючих тілах.
Це означає, що теплота не може мимовільно переходити від холодні-
шого тіла до гарячішого (принцип Клаузіуса).
Згідно з формулюванням Томсона процес, при якому робота перехо-
дить у теплоту без будь-яких інших змін стану системи, необоротний,
тобто неможливо перетворити у роботу всю теплоту, що береться від тіла,
не здійснюючи ніяких інших змін стану системи (принцип Томсона).
Важливість другого закону термодинаміки полягає в тому, що з ньо-
го випливає висновок про необоротність не тільки процесу теплопереда-
чі, але й інших процесів у природі. Якщо б теплота в деяких випадках
могла мимовільно передаватися від холоднішого тіла до гарячішого,
це дало б змогу зробити оборотними й інші процеси.
Властивості газів, рідин і твердих тіл
Агрегатний стан речовини
Агрегатні (від лат. а££ге£о — приєдную) стани речовини — це стани
однієї і тієї самої речовини в різних інтервалах (проміжках) темпера-
тур та тисків.
Агрегатними станами заведено вважати газоподібний, рідкий
та твердий.
Найпростішими прикладами існування однієї і тієї самої речовини
в цих трьох агрегатних станах, які спостерігаються у повсякденному
житті, є лід, вода та водяна пара. Невидима водяна пара завжди при-
сутня і в оточуючому нас повітрі. Вода існує в інтервалі температур
від 0°С до 100°С, лід — при температурах, нижчих 0°С. При темпера-
турах, вищих 100 °С та нормальному атмосферному тиску, молекули
води існують тільки у газоподібному стані — у вигляді водяної пари.
280
Фізика
Вода, лід та водяна пара — це одна й та сама речовина з хімічною
формулою Н2О.
Різні агрегатні стани існують у кожної речовини. Відрізняються
вони не молекулами, а тим, як ці молекули розташовані та як руха-
ються. Розташування молекул води в трьох агрегатних станах наведене
на рис. 11.
Перехід з одного агрегатного стану в інший. За певних умов речови-
ни можуть переходити з одного агрегатного стану у інший. Усі можливі
при цьому перетворення відображені на рис. 12.
Усього розрізняють шість процесів, під час яких відбуваються
агрегатні перетворення речовини.
Перехід речовини з твердого (кристалічного) стану в рідкий нази-
вається плавленням, зворотний процес називається кристалізацією, або
твердінням. Приклад плавлення — танення льоду, зворотний процес
відбувається при замерзанні води.
Перехід речовини з рідкого стану в газоподібний називається па-
роутворенням, зворотний процес називається конденсацією. Приклад
пароутворення — випаровування води, зворотний процес можна спос-
терігати при випаданні роси.
Перехід речовини з твердого стану одразу в газоподібний (обминаю-
чи рідкий) називається сублімацією, або перегоном, зворотний процес —
десублімацією. Наприклад, графіт можна нагріти до тисячі, двох тисяч
та навіть трьох тисяч градусів і, тим не менше, на рідину він не пере-
твориться: він буде сублімуватися, тобто з твердого стану одразу пере-
ходити у газоподібний. Безпосередньо у газоподібний стан (обминаючи
рідкий) переходить і так званий «сухий лід» (твердий оксид вуглецю
СО2), який можна побачити в контейнерах для транспортування моро-
зива. Усі запахи, які мають тверді тіла (наприклад, нафталін), також
обумовлені перегоном: вилітаючи з твердого тіла, молекули утворюють
над ним газ (або пару), що має запах.
водяна пара
в
Рис. 11
Рис. 12
Випаровування та конденсація
Випаровування
Випаровування — це перехід речовини з рідкого стану у газоподіб-
ний (пару), який відбувається з вільної поверхні рідини.
Сублімацію, або перегін, тобто перехід речовини з твердого стану
в газоподібний, також називають випаровуванням.
З повсякденних спостережень відомо, що кількість будь-якої речо-
вини (бензину, ефіру, води тощо), що міститься у відкритій посудині,
поступово зменшується. Рідина не зникає безслідно — вона перетво-
рюється на пару. Випаровування — це один із видів пароутворення.
Інший вид — це кипіння.
Механізм випаровування. Як відбувається випаровування? Моле-
кули будь-якої рідини перебувають в безперервному та неупорядкова-
ному русі, причому чим вище температура рідини, тим більша кіне-
тична енергія молекул. Середнє значення кінетичної енергії має певну
величину. Але у кожної молекули кінетична енергія може бути як
більшою, так і меншою за середню. Якщо поблизу поверхні з’явиться
молекула з кінетичною енергією, достатньою для поборення сил мо-
лекулярного тяжіння, вона вилетить з рідини. Те саме повториться
Молекулярна фізика. Термодинаміка
281
з іншою швидкою молекулою, з другою, третьою. Вилітаючи назов-
ні, ці молекули утворюють над рідиною пару. Утворення цієї пари
і є випаровуванням.
Поглинання енергії при випаровуванні. Оскільки під час випарову-
вання з рідини вилітають найшвидші молекули, середня кінетична енер-
гія молекул, що залишилися в речовині, стає меншою. Це означає, що
внутрішня енергія рідини, що випаровується, зменшується. Тому якщо
немає припливу енергії до рідини ззовні, температура рідини, що випа-
ровується, знижується, рідина охолоджується (саме тому, зокрема, лю-
дині у мокрому одязі холодніше, ніж у сухому, особливо під час вітру).
Однак при випаровуванні води, налитої у склянку, ми не помічаємо
зниження її температури. Чим це пояснити? Справа в тому, що випа-
ровування в даному випадку відбувається повільно, і температура води
утримується сталою за рахунок теплообміну з оточуючим повітрям,
з якого в рідину надається необхідна кількість теплоти. Отже, щоб ви-
паровування рідини відбувалося без зміни її температури, рідині пот-
рібно надавати енергію.
Кількість теплоти, яку необхідно надати рідині для утворення оди-
ниці маси пари при сталій температурі, називається теплотою паро-
утворення.
Швидкість випаровування рідини. На відміну від кипіння, випаро-
вування відбувається за будь-якої температури, однак з підвищенням
температури рідини швидкість випаровування зростає. Чим вища тем-
пература рідини, тим більше молекул, які швидко рухаються та мають
достатню кінетичну енергію, щоб перебороти силу тяжіння сусідніх
частинок та вилетіти за межі речовини, а, отже, швидше відбувається
випаровування.
Швидкість випаровування залежить від роду рідини. Швидко випа-
ровуються леткі рідини, у яких сили міжмолекулярної взаємодії малі
(наприклад, ефір, спирт, бензин). Якщо крапнути такою рідиною на
руку, ми відчуємо холод. Випаровуючись з поверхні руки, така рідина
охолоджуватиметься та відбиратиме у неї деяку кількість теплоти.
Швидкість випаровування рідини залежить від площі її вільної
поверхні. Це пояснюється тим, що рідина випаровується з поверхні,
а чим більша площа вільної поверхні, тим більша кількість молекул
одночасно вилітає у повітря.
У відкритій посудині маса рідини внаслідок випаровування пос-
тупово зменшується. Це пов’язане з тим, що більшість молекул пари
розсіюється у повітрі, не повертаючись у рідину (на відміну від того, що
відбувається в закритій посудині). Але невелика частина їх повертаєть-
ся в рідину, уповільнюючи цим випаровування. Тому при наявності
вітру, який уносить молекули пари, випаровування рідини відбувається
швидше.
Конденсація
Конденсація (від лат. сопдепваііо — ущільнення, згущення) — пере-
хід речовини від газоподібного стану (пари) у рідкий або твердий стан.
Відомо, що при наявності вітру рідина випаровується швидше.
Чому? Справа у тому, що одночасно з випаровуванням з поверхні рі-
дини відбувається і конденсація. Конденсація відбувається через те,
що частина молекул пари, неупорядковано переміщуючись над рідиною,
282
Фізика
знов повертаються в неї. Вітер же виносить молекули, що вилетіли з рі-
дини, та не дає їм повертатися назад.
Конденсація може відбуватися і тоді, коли пара не прилягає до рі-
дини. Саме конденсацією пояснюється, наприклад, утворення хмар:
молекули водяної пари, яка піднімається над землею, у холодніших
шарах атмосфери групуються у найдрібніші крапельки води, скупчен-
ня яких й являють собою хмари. Наслідком конденсації водяної пари
в атмосфері є також дощ та роса.
Під час випаровування рідина охолоджується, та, ставши холодні-
шою, ніж довкілля, починає поглинати його енергію. Під час конденсації
ж, навпаки, відбувається виділення деякої кількості теплоти у довкілля,
його температура підвищується. Кількість теплоти, яка виділяється під
час конденсації одиниці маси, дорівнює теплоті випаровування.
Насичена та ненасичена пара
Насичена пара
Під час випаровування одночасно з переходом молекул з рідини в пару
відбувається і зворотний процес. Хаотично рухаючись над поверхнею
рідини, частина молекул, які залишили її, знов повертається в рідину.
Якщо випаровування відбувається в закритій посудині, то спочатку
число молекул, що вилетіли з рідини, буде більшим числа молекул, що
повернулись назад у рідину. Тому густина пари в посудині поступово
збільшуватиметься. Зі збільшенням густини пари збільшується і число
молекул, що повернулись у рідину. Досить швидко число молекул пари,
що вилетіли з рідини, дорівнюватиме числу молекул пари, що поверну-
лись назад в рідину. З цього моменту число молекул пари над рідиною
буде сталим. Для води при кімнатній температурі це число приблизно
дорівнює 1022 молекул за 1 с на 1 см2 площі поверхні. Настає так звана
динамічна рівновага між парою та рідиною.
Пара, що перебуває у динамічній рівновазі зі своєю рідиною, нази-
вається насиченою парою.
Це означає, що в даному об’ємі при даній температурі не може пе-
ребувати більша кількість пари.
При динамічній рівновазі маса рідини в закритій посудині не змінюєть-
ся, хоч рідина продовжує випаровуватися. Так само не змінюється й маса
насиченої пари над цією рідиною, хоч пара продовжує конденсуватися.
Тиск насиченої пари. При стисканні насиченої пари, температура
якої підтримується сталою, рівновага спочатку починає порушуватися:
густина пари зростає, внаслідок цього з газу в рідину переходитиме
більше молекул, ніж з рідини в газ; тривати це буде доти, доки кон-
центрація пари в новому об’ємі не стане попередньою — відповідною
концентрації насиченої пари при даній температурі (і рівновага відно-
виться). Пояснюється це тим, що число молекул, що залишають рідину
за одиницю часу, залежить тільки від температури.
Отже, концентрація молекул насиченої пари при сталій температурі
не залежить від її об’єму.
Оскільки тиск газу пропорційний концентрації його молекул,
то й тиск насиченої пари не залежить від об’єму, який вона займає. Тиск
р0, при якому рідина перебуває у рівновазі зі своєю парою, називається
тиском насиченої пари.
Молекулярна фізика. Термодинаміка
283
При стисканні насиченої пари більша її частина переходить у рідкий
стан. Рідина займає менший об’єм, ніж пара тієї ж маси. У результаті
об’єм пари при незмінній його густині зменшується.
Залежність тиску насиченої пари від температури. Для ідеального
газу справедлива залежність тиску від температури, згідно з якою тиск
при постійному об’ємі лінійно зростає із зростанням температури. Сто-
совно насиченої пари з тиском р0 ця залежність виражається рівністю:
р0= пкТ.
(2.27)
Тиск насиченої пари не залежить від об’єму, отже, він залежить
тільки від температури.
Експериментально визначена залежність р0 (Т) відрізняється від за-
лежності (2. 27) для ідеального газу (рис. 13). Зі збільшенням температури
тиск насиченої пари зростає швидше, ніж тиск ідеального газу (ділянка
кривої АВ на рис. 13). Це стає особливо очевидним, якщо провести ізохору
через точку А (пунктирна крива). Відбувається це тому, що під час нагрі-
вання рідини частина її перетворюється на пару, густина пари зростає.
Тому згідно з формулою (2.27) тиск насиченої пари зростає не тільки
внаслідок підвищення температури рідини, але й внаслідок збільшення
концентрації молекул (густини) пари. Головна відмінність у поводженні
ідеального газу та насиченої пари полягає у зміні маси при зміні темпера-
тури при незмінному об’ємі (у закритій посудині) або при зміні об’єму при
постійній температурі. З ідеальним газом нічого подібного відбуватися не
може (МКТ ідеального газу не передбачає фазового переходу газу в рідину).
Після випаровування всієї рідини поводження пари відповідатиме
поводженню ідеального газу (ділянка ВС кривої на рис. 13).
Ненасичена пара
Якщо в просторі, який містить пару якої-небудь рідини, може від-
буватися подальше випаровування цієї рідини, то пара, що знаходиться
в цьому просторі, є ненасиченою парою.
Пара, що не перебуває у стані рівноваги зі своєю рідиною, нази-
вається ненасиченою.
Ненасичену пару можна простим стисканням перетворити на рідину.
Тільки-но це перетворення почалося, пара, що перебуває в рівновазі
з рідиною, стає насиченою.
Кипіння рідини
Кипіння — це інтенсивний перехід рідини в пару, який відбуваєть-
ся з утворенням бульбашок пари по всьому об’єму рідини при певній
температурі.
На відміну від випаровування, яке відбувається при будь-якій тем-
пературі рідини, інший вид пароутворення — кипіння — можливий
лише при цілком визначеній (при даному тиску) температурі — тем-
пературі кипіння.
При нагріванні води у відкритій скляній посудині можна побачити,
що в міру збільшення температури стінки та дно посудини покрива-
ються дрібними бульбашками. Вони утворюються в результаті розши-
рення найдрібніших бульбашок повітря, які існують у заглибленнях
та мікротріщинах не повністю змочуваних стінок посудини.
284
Фізика
Пара рідини, яка знаходиться всередині бульбашок, є насиченою.
Зі зростанням температури тиск насиченої пари зростає, і бульбашки
збільшуються у розмірах. Зі збільшенням об’єму бульбашок зростає
і діюча на них виштовхуюча (архімедова) сила. Під дією цієї сили надве-
ликі бульбашки відриваються від стінок посудини та піднімаються вго-
ру. Якщо верхні шари води ще не встигли нагрітися до 100 °С, то в такій
(холоднішій) воді частина водяної пари всередині бульбашок конден-
сується та йде у воду; бульбашки при цьому зменшуються в розмірах,
і сила тяжіння примушує їх знов опускатися вниз. Тут вони знов збіль-
шуються та знов починають спливати вгору. Навперемінне збільшення
та зменшення бульбашок всередині води супроводжується виникненням
в ній характерних звукових хвиль: вода, що закипає, шумить.
Коли вся вода прогріється до 100 °С, підняті нагору бульбашки вже
не зменшуються в розмірах, а лопаються на поверхні води, викидаючи
пару назовні. Виникає характерне булькотіння — вода кипить.
Кипіння починається після того, як тиск насиченої пари всередині
бульбашок зрівнюється з тиском в оточуючій рідині.
Під час кипіння температура рідини та пари над нею не змінюєть-
ся. Вона залишається незмінною доти, доки вся рідина не википить.
Це відбувається тому, що вся надана рідині енергія витрачається на пе-
ретворення її на пару.
Питома теплота пароутворення
Теплота пароутворення (теплота випаровування) — кількість теп-
лоти, яку необхідно надати речовині при сталому тиску та сталій тем-
пературі для повного перетворення рідкої речовини на пару.
Теплота пароутворення дорівнює кількості теплоти, яка виділяється
при конденсації пари на рідину.
Перетворення рідини на пару при сталій температурі не призводить
до збільшення кінетичної енергії молекул, але супроводжується зрос-
танням їх потенціальної енергії, тому що відстань між молекулами
суттєво збільшується.
Питома теплота пароутворення та конденсації. Дослідами встанов-
лено, що для повного перетворення на пару 1 кг води (при температурі
кипіння) необхідно витратити 2,3 МДж енергії. Для перетворення на
пару інших рідин потрібна інша кількість теплоти. Наприклад, для
спирту вона становить 0,9 МДж.
Фізична величина, що показує, яка кількість теплоти потрібна для
перетворення рідини масою 1 кг на пару без зміни температури, нази-
вається питомою теплотою пароутворення.
Питому теплоту пароутворення позначають літерою г та вимірюють
у джоулях на кілограм (Дж/кг).
Кількість теплоти, необхідна для пароутворення (або виділювана
при конденсації). Щоб обчислити кількість теплоти ф, необхідну для
перетворення на пару рідини будь-якої маси, взятої при температурі ки-
піння, потрібно питому теплоту пароутворення г помножити на масу т:
ф - гт.
При конденсації пари відбувається виділення такої самої кількості
теплоти:
<2 = -гт.
Молекулярна фізика. Термодинаміка
285
Вологість повітря
Вологість повітря — це вміст у повітрі водяної пари.
Оточуюче нас атмосферне повітря внаслідок безперервного випа-
ровування води з поверхні океанів, морів, водоймищ, вологої почви
та рослин завжди містить у собі водяну пару. Чим більше водяної пари
знаходиться в певному об’ємі повітря, тим ближче пара до стану на-
сичення. З іншого боку, чим вища температура повітря, тим більша
кількість пари потрібна для її насичення.
У залежності від кількості водяної пари, що знаходиться при даній
температурі в атмосфері, повітря буває різного ступеня вологості.
Кількісне оцінювання вологості
Для того, щоб кількісно оцінити вологість повітря, користуються,
зокрема, поняттями абсолютної та відносної вологості.
Абсолютна вологість — це кількість грамів водяної пари, що міс-
титься в 1 м3 повітря за даних умов, тобто це густина водяної пари р,
виражена в г/м3.
Відносна вологість повітря ф — це відношення абсолютної вологості
повітря р до густини ро насиченої пари при тій самій температурі.
Відносну вологість повітря виражають у процентах:
ф = (р/р0) • 100 %.
Концентрація пари пов’язана з тиском (р0 = пкТ), тому відносну во-
логість можна визначити як процентне відношення парціального тиску
р пари у повітрі до тиску р0 насиченої пари при тій самій температурі:
Ф = (р/р0) 100 %.
Під парціальним тиском розуміють тиск водяної пари, який вона
здійснювала б, якщо б всі інші гази в атмосферному повітрі були відсутні.
Якщо вологе повітря охолоджувати, то при деякій температурі пару,
що знаходиться в ньому, можна довести до насичення. При подальшому
охолодженні водяна пара почне конденсуватися у вигляді роси.
Плавлення та кристалізація
Перехід речовини з твердого кристалічного стану в рідкий нази-
вається плавленням.
Щоб розплавити тверде кристалічне тіло, його потрібно нагріти до
певної температури, тобто надати теплоти.
Температура, при якій речовина плавиться, називається темпера-
турою плавлення речовини.
Зворотний процес — перехід з рідкого стану в твердий — відбуваєть-
ся при зниженні температури, тобто коли теплота відводиться.
Перехід речовини з рідкого стану у твердий називається твердінням
або кристалізацією.
Температура, при якій речовина кристалізується, називається тем-
пературою кристалізації.
Підкреслимо, що при плавленні речовина поглинає енергію. При крис-
талізації вона, навпаки, віддає її в довкілля. Отримуючи певну кількість
теплоти, що виділяється під час кристалізації, середовище нагрівається.
286
Фізика
Це добре відомо багатьом птахам. Недарма можна помітити взимку у мо-
розну погоду, як вони сидять на льоду, який вкриває ріки та озера. Через
виділення енергії при утворенні льоду повітря над ним виявляється на
кілька градусів теплішим, ніж у лісі на деревах, і птахи цим користуються.
Плавлення аморфних речовин
Наявність певної точки плавлення — це важлива ознака кристаліч-
них речовин. Саме за цією ознакою їх легко можна відрізнити від амор-
фних тіл, які також належать до твердих тіл. До них, зокрема, нале-
жать скло, дуже в’язкі смоли, пластмаси.
Аморфні речовини, на противагу кристалічним, не мають певної тем-
ператури плавлення — вони не плавляться, а розм’якшуються. При на-
гріванні шматок скла, наприклад, спочатку стає з твердого м’яким, його
легко можна згинати та розтягувати; при більшій температурі шматок по-
чинає змінювати свою форму під дією власної ваги. У міру нагрівання гус-
та в’язка маса набуває форми тієї посудини, в якій знаходиться. Ця маса
спочатку густа, наче мед, потім — наче сметана та, нарешті, стає майже
такою малов’язкою рідиною, як вода. Однак вказати визначену темпера-
туру переходу твердого тіла в рідке тут неможливо, тому що вона не існує.
Причини цього полягають у докорінних відмінностях будови аморфних
тіл від будови кристалічних. Атоми в аморфних тілах розташовані неупо-
рядковано. Вони за своєю будовою схожі на рідини. Вже в твердому склі
атоми розташовані неупорядковано. Отже, підвищення температури скла
лише збільшує розмах коливань його молекул, дає їм поступово все більшу
волю переміщення. Тому скло розм’якшується поступово та не виявляє
різкого переходу «тверде-рідке», характерного для переходу від розта-
шування молекул у чіткому порядку до неупорядженого розташування.
Питома теплота плавлення
Теплота плавлення — це кількість теплоти, яку необхідно надати
речовині при сталому тиску та сталій температурі, яка дорівнює темпе-
ратурі плавлення, щоб повністю перевести її з твердого кристалічного
стану в рідкий.
Теплота плавлення дорівнює тій кількості теплоти, яка виді-
ляється при кристалізації речовини з рідкого стану.
При плавленні вся надана речовині кількість теплоти витрачається
на збільшення потенціальної енергії її молекул. Кінетична енергія не
змінюється, тому що плавлення відбувається при сталій температурі.
Вивчаючи на досліді плавлення різних речовин однакової маси, мож-
на помітити, що для перетворення їх на рідину потрібна різна кількість
теплоти. Наприклад, для того, щоб розплавити один кілограм льоду,
треба витратити 332 Дж енергії, а для того, щоб розплавити один кі-
лограм свинцю — 25 кДж.
Фізична величина, що показує, яку кількість теплоти необхідно нада-
ти кристалічному тілу масою 1 кг, щоб при температурі плавлення повніс-
тю перевести її в рідкий стан, називається питомою теплотою плавлення.
Питому теплоту плавлення вимірюють в джоулях на кілограм
(Дж/кг) та позначають грецькою літерою X (лямбда).
Питома теплота кристалізації дорівнює питомій теплоті плавлення,
тому що при кристалізації виділяється така сама кількість теплоти,
Молекулярна фізика. Термодинаміка
287
яка поглинається при плавленні. Так, наприклад, при замерзанні води
масою 1 кг виділяються ті самі 332 Дж енергії, які потрібні для пере-
творення такої самої маси льоду на воду.
Щоб визначити кількість теплоти, потрібну для плавлення крис-
талічного тіла довільної маси, або теплоту плавлення, треба питому
теплоту плавлення цього тіла помножити на його масу:
ф = кт.
Кількість теплоти, що виділяється тілом, вважається від’ємною.
Тому при розрахунках кількості теплоти, що виділяється при кристалі-
зації речовини масою т, варто користуватися тією самою формулою,
але зі знаком «мінус»:
-(д - кт.
Питома теплота згоряння
Теплота згоряння (або теплотворна здатність, калорійність) —
це кількість теплоти, що виділяється при повному згорянні палива.
Для нагрівання тіл часто використовують енергію, що виділяється
при згорянні палива. Звичайне паливо (вугілля, нафта, бензин) міс-
тить вуглець. Під час горіння атоми вуглецю з’єднуються з атомами
кисню, що міститься у повітрі, в результаті чого утворюються моле-
кули вуглекислого газу. Кінетична енергія цих молекул виявляється
більшою за енергію вихідних частинок. Збільшення кінетичної енергії
молекул у процесі горіння називають виділенням енергії. Енергія,
що виділяється при повному згорянні палива, є теплотою згоряння
цього палива.
Теплота згоряння палива залежить від виду палива та його маси.
Чим більша маса палива, тим більша кількість теплоти, яка виділяється
при його повному згорянні.
Фізична величина, що показує, яка кількість теплоти виділяється
при повному згорянні палива масою 1 кг, називається питомою теп-
лотою згоряння палива.
Питому теплоту згоряння позначають літерою ц та вимірюють у джо-
улях на кілограм (Дж/кг).
Кількість теплоти 9, що виділяється при згорянні т кг палива, виз-
начають за формулою:
ф = цт.
Щоб визначити кількість теплоти, що виділяється при повному зго-
рянні палива довільної маси, необхідно питому теплоту згоряння цього
палива помножити на його масу.
Рівняння теплового балансу
У замкнутій (ізольованій від зовнішніх тіл) термодинамічній сис-
темі зміна внутрішньої енергії будь-якого тіла системи ЛШ не може
призводити до зміни внутрішньої енергії всієї системи. Таким чином,
+ДЩ +ДП3 +... = = 0. (2.28)
288
Фізика
Якщо всередині системи не виконується робота ніякими тілами, то,
згідно з першим законом термодинаміки, для будь-якого тіла зміна його
внутрішньої енергії відбувається тільки за рахунок обміну теплотою
з іншими тілами цієї системи: ЛІЛ = Враховуючи (2.28), отримаємо:
Ф1 + ф, + + ••• = ~ 0-
І=1
Це рівняння називається рівнянням теплового балансу. Тут фі —
кількість теплоти, отримана або віддана і-им тілом. Будь-яка з кількос-
тей теплоти фі може означати теплоту, що виділяється при плавленні
будь-якого тіла, згорянні палива, випаровуванні або конденсації пари,
якщо такі процеси відбуваються з різними тілами системи та описува-
тимуться відповідними формулами.
Рівняння теплового балансу є математичним вираженням закону
збереження енергії при теплообміні.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Атомна одиниця маси (а.о.м.) — одиниця маси, яка дорівнює:
А) масі атома водню;
Б) 1/12 маси атома ізотопу вуглецю 12С;
В) 1/2 маси атома кисню;
Г) масі атома вуглецю.
2. Явище, при якому відбувається взаємне проникнення молекул однієї речовини між моле-
кулами іншої, має назву:
А) дифузія; Б) ефузія; В) адсорбція; Г) дифракція.
3. Основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії називають вираз:
7ТІ 1 —
А) РУ = —В.Т-, ^рУ=ВТ; В)р = пкТ-, Г) р = — =-топи2 .
4. Стала Авогадро Ал = 6,022054(32)- 1023 моль-1, число молекул у даному фізичному тілі
становить N - 18,066-102. Чому дорівнює кількість речовини у цьому тілі?
5. Визначте, на якому рисунку наведений графік ізохорного процесу:
А) Р Б) і/ । В) р Г) Р ,
V { [ V
6. Число ступенів волі для двоатомної молекули дорівнює:
А) 2; Б) 6; В) 5; Г) 4.
7. Розмірність питомої теплоємності с становить:
А)Дж/кг-°С; Б)Дж/моль-К; В) Дж/К; Г) Гн/м.
8. Кількість теплоти <2, потрібна для нагрівання тіла масою т - 0,2 кг з теплоємністю
с - 500 Дж/(кг• °С) від 20 °С до 120 °С, дорівнює:
А) 10 кДж; Б) 20 Дж; В) 100 Дж; Г) 120Дж.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Б. 2. А. 3. Г. 4. В. 5. В. 6. В. 7. А. 8. А.
ЕЛЕКТРОДИНАМІКА
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Основи електростатики. Електричний заряд. Закон збереження електричного заряду. Закон
Кулона.
Електричне поле. Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції полів.
Провідники та діелектрики в електростатичному полі. Діелектрична проникність речовин.
Робота електричного поля при переміщенні заряду. Потенціал і різниця потенціалів. На-
пруга. Зв’язок між напругою і напруженістю однорідного електричного поля.
Електроємність. Конденсатори. Електроємність плоского конденсатора. З’єднання конден-
саторів.
Енергія електричного поля.
Закони постійного струму. Електричний струм. Умови існування електричного струму. Сила
струму. Закон Ома для ділянки кола. Опір провідників. Послідовне та паралельне з’єднання про-
відників. Електрорушійна сила. Закон Ома для повного кола. Робота і потужність електричного
струму. Закон Джоуля—Ленца.
Магнітне поле, електромагнітна індукція. Взаємодія струмів. Магнітне поле. Магнітна ін-
дукція. Закон Ампера. Сила Лоренца.
Магнітні властивості речовин. Магнітна проникність. Феромагнетики. Магнітний потік.
Явище електромагнітної індукції. Закон електромагнітної індукції. Правило Ленца. Явище
самоіндукції. Індуктивність. Енергія магнітного поля
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Основи ЕЛЕКТРОСТАТИКИ
Взаємодія зарядів. Два види електричного заряду
Прості досліди з електризації різних тіл показують:
1. Існують заряди двох видів: позитивні (+) та негативні (-). Пози-
тивний заряд виникає при терті скла об шкіру або шовк, а нега-
тивний — при терті янтарю (або ебоніту) об вовну.
2. Заряди (або заряджені тіла) взаємодіють один з одним. Одно-
йменні заряди відштовхуються, а різнойменні притягаються.
3. Стан електризації можна передати від одного тіла до іншого, що
пов’язано з перенесенням електричного заряду. При цьому тілу
можна передати більший або менший заряд, тобто заряд має ве-
личину. При електризації тертям заряду набувають обидва тіла,
причому одне — позитивного, а інше — негативного. Слід під-
креслити, що абсолютні величини зарядів наелектризованих тер-
тям тіл рівні, що підтверджується чисельними вимірюваннями
зарядів за допомогою електрометрів.
Пояснити, чому тіла електризуються (тобто заряджаються) при
терті, стало можливо після відкриття електрона та вивчення будови
атома. Як відомо, всі речовини складаються з атомів; атоми, в свою
чергу, складаються з елементарних частинок — негативно заряджених
словник
Електростатика — наука про
нерухомі заряди та зв'язані
з ними незмінні електричні
поля.
290
Фізика
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Різнойменно заряджені тіла
притягуються.
Однойменно заряджені —
відштовхуються.
електронів, позитивно заряджених протонів та нейтральних частинок —
нейтронів. Електрони та протони є носіями елементарних (мінімальних)
електричних зарядів.
Елементарний електричний заряд (є) — це найменший електрич-
ний заряд, позитивний або негативний, що дорівнює величині заряду
електрона:
е = 1,6021892(46) 10 19 Кл.
Заряджених елементарних частинок існує багато, майже всі вони
мають заряд +е або -е, однак ці частинки є вельми короткотривалими.
Вони живуть менше мільйонної долі секунди. Тільки електрони та про-
тони існують у вільному стані необмежено довго.
Визначення заряду
Необхідно особливо підкреслити, що заряд є невіддільною властивіс-
тю частинки. Частинки без заряду уявити собі можна, але заряд без
частинки — неможливо.
Виявляють себе заряджені частинки у притяганні (різнойменні за-
ряди) або у відштовхуванні (однойменні заряди) з силами, що набагато
перевищують гравітаційні. Так, сила електричного тяжіння електрона
до ядра в атомі водню у 1039 разів більша за силу гравітаційного тяжін-
ня цих частинок. Взаємодія між зарядженими частинками називається
електромагнітною взаємодією, а електричний заряд визначає інтенсив-
ність електромагнітних взаємодій.
У сучасній фізиці заряд визначають таким чином:
Електричний заряд — це фізична величина, що є джерелом елек-
тричного поля, за допомогою якого здійснюється взаємодія частинок,
що мають заряд.
Закон збереження заряду
Закон збереження електричного заряду стверджує, що алгебраїчна
сума електричних зарядів усіх частинок ізольованої системи не змі-
нюється під час процесів, що відбуваються в ній.
Електричний заряд будь-якої частинки або системи частинок є ці-
лим, кратним елементарному електричному заряду (який дорівнює за
величиною заряду електрона) або нульовим.
Одним з доказів закону збереження електричного заряду є рівність
(за абсолютною величиною) електричних зарядів електрона та протона.
Вивчення руху атомів (молекул) та мікроскопічних тіл в електричних
полях підтверджує електронейтральність речовини, та, відповідно, рів-
ність зарядів електрона та протона (та електронейтральність нейтрона)
з точністю до 10-21.
Закон збереження заряду підтверджується й простими дослідами
з електризації тіл. Закріпимо на стрижні електрометра металевий диск
та, поклавши на нього прошарок сукна, поставимо зверху ще один та-
кий самий диск, але з ручкою з діелектрика. Здійснивши декілька рухів
верхнім диском по ізоляційному прошарку, приберемо його у бік. Ми
побачимо, що стрілка електрометра відхилиться, що свідчить про появу
на сукні та диску, що дотикається до нього, електричного заряду. Далі
доторкнемось другим диском (яким ми терли сукно) до стрижня іншого
Електродинаміка
291
електрометра. Стрілка цього електрометра відхилиться приблизно на
такий самий кут, що й стрілка першого електрометра. Це означає, що
під час електризації обидва диски одержали однаковий за модулем за-
ряд. Що можна сказати про знаки цих зарядів? Для відповіді на це
запитання завершимо дослід, з’єднавши обидва електрометра металевим
стрижнем. Ми побачимо, що стрілки обох приладів опустяться вниз.
Нейтралізація зарядів свідчить про те, що вони були рівними за моду-
лем, але протилежними за знаком (а, отже, в сумі давали нуль).
Цей та інші досліди свідчать, що в процесі електризації загальний
(сумарний) заряд тіл зберігається: якщо він дорівнював нулю до елек-
тризації, то таким він залишиться і після неї.
Повний електричний заряд зберігається також у тому випадку, якщо
первинні заряди тіл були відмінними від нуля. Якщо позначити пер-
винні заряди тіл як ер та ^2, а заряд тих самих тіл після взаємодії як
5' та д'2, то можна записати:
<11 + <1'2 = <11+ <12-
При будь-яких взаємодіях тіл їх повний електричний заряд зали-
шається незмінним.
У цьому полягає фундаментальний закон природи — закон збере-
ження електричного заряду.
Закон Кулона
Закон Кулона — один з основних законів електростатики. Він виз-
начає величину та напрям сили взаємодії між двома нерухомими точ-
ковими зарядами.
Під точковим зарядом розуміють заряджене тіло, розмір якого на-
багато менший за відстань його можливої дії на інші тіла. В такому
випадку ані форма, ані розміри заряджених тіл практично не впливають
на взаємодію між ними.
Сила взаємодії двох точкових нерухомих заряджених тіл у вакуумі
прямо пропорційна добутку модулів заряду та обернено пропорційна
квадрату відстані між ними.
Аналітично закон Кулона має вигляд:
Р = ,
г“
де І^І та |д2| — модулі зарядів; г — відстань між ними; к — коефіцієнт
пропорційності, який залежить від вибору системи одиниць. Сила взає-
модії спрямована по прямій, що з’єднує заряди, причому однойменні
заряди відштовхуються, а різнойменні — притягаються.
Сила взаємодії між зарядами залежить також від середовища між
зарядженими тілами.
У повітрі сила взаємодії майже не відрізняється від такої самої сили
у вакуумі. Закон Кулона виражає взаємодію зарядів у вакуумі.
Кулон — одиниця електричного заряду. Кулон (Кл) — одиниця сис-
теми СІ кількості електрики (електричного заряду). Вона є похідною
одиницею та визначається через одиницю сили струму — 1 Ампер (А),
яка входить до числа основних одиниць СІ.
За одиницю електричного заряду приймають заряд, що проходить
через поперечний переріз провідника при силі струму 1А за час 1 с.
292
Фізика
Тобто
1 Кл = 1 А с.
Заряд величиною 1 Кл дуже великий. Сила взаємодії двох точкових
зарядів по 1 Кл кожний, розташованих на відстані 1 км один від одно-
го, трохи менша за силу, з якою земна куля притягує вагу масою 1 т.
Надати такий заряд невеликому тілу неможливо (відштовхуючись одна
від одної, заряджені частинки не можуть утриматись на тілі). А ось
у провіднику (який в цілому є електронейтральним) надати руху та-
кому заряду просто (струм в 1 А — звичайний струм, що проходить по
проводах у наших квартирах).
Коефіцієнт к в законі Кулона при його записі в системі СІ виражаєть-
ся в Н • м2/Кл2. Його чисельне значення, визначене експериментально
за силою взаємодії двох відомих зарядів, що знаходяться на заданій
відстані, становить:
к = 9 109 Н м2/Кл2.
Часто його записують у вигляді к - —-—, де є0 = 8,85 х 10 12 Кл2/Н м2 —
4лє0
електрична стала. У середовищі з діелектричною проникністю є закон
Кулона має вигляд:
р = .
4лєоєг2
Електричне поле
Електричне поле — особлива форма матерії, за допомогою якої
здійснюється взаємодія електрично заряджених частинок.
Електричне поле виникає у просторі, що оточує нерухомий заряд,
так само, як навколо рухомих зарядів — струмів або постійних маг-
нітів — виникає магнітне поле. Магнітне та електричне поля можуть
перетворюватися одне в одне, утворюючи єдине електромагнітне поле.
Електричне поле (як і магнітне) є лише окремим випадком загального
електромагнітного поля. Змінні електричні та магнітні поля можуть
існувати й без зарядів (та струмів), що їх створили. Електромагнітне
поле переносить певну енергію, а також імпульс та масу. Таким чи-
ном, електромагнітне поле є фізичною сутністю, яка має певні фізичні
властивості.
Отже, природа електричного поля полягає у визначеному нижче.
1. Електричне поле матеріальне, воно існує незалежно від нашої
свідомості.
2. Основною властивістю електричного поля є його дія на електричні
заряди з деякою силою. Саме за цією дією встановлюється факт
його існування. Дія поля на одиничний заряд — напруженість
поля — є однією з його основних характеристик, за якою вив-
чається розподіл поля у просторі.
Електричне поле нерухомих зарядів називають електростатичним.
З часом воно не змінюється, нерозривно зв’язане з зарядами, що його
породили, та існує у просторі, який його оточує.
Електродинаміка
293
Напруженість електричного поля
Напруженість електричного поля — векторна характеристика поля,
сила, що діє на одиничний нерухомий у даній системі відліку елект-
ричний заряд.
Напруженість визначається за формулою:
е-Л,
ч
де Е — напруженість поля; Е — сила, що діє на розміщений у даній
точці поля заряд д. Напрям вектора Е збігається з напрямом сили,
що діє на позитивний заряд, та протилежний напряму сили, що діє на
негативний заряд.
Одиницею напруженості в СІ є вольт на метр (В/м).
Напруженість поля точкового заряду. Згідно з законом Кулона, точ-
ковий заряд д0 діятиме на інший заряд з силою, що дорівнює
Е = к'—іА
Модуль напруженості поля точкового заряду д0 на відстані г від ньо-
го дорівнює:
Е = - = к^-. (3.1)
д г“
Вектор напруженості у будь-якій точці електричного поля спрямо-
ваний уздовж прямої, що з’єднує цю точку та заряд (рис. 1).
Принцип суперпозиції полів
Принцип суперпозиції (накладання) полів формулюється таким
чином:
Якщо в даній точці простору різні заряджені частинки створюють
електричні поля, напруженості яких Е1,Е2,Е3 тощо, то результуюча
напруженість поля в цій точці дорівнює: Е - Ег + Е2 + Е3 +.
Принцип суперпозиції полів справедливий для випадку, якщо поля,
створені декількома різними зарядами, ніяк не впливають одне на
одне, тобто поводять себе так, ніби інших полів немає. Досвід свідчить,
що для полів звичайних інтенсивностей, що зустрічаються у природі,
це дійсно має місце.
Завдяки принципу суперпозиції для визначення напруженості поля
системи заряджених частинок у будь-якій точці достатньо скористатися
виразом напруженості поля точкового заряду (3.1). На рис. 2 показано,
як у точці А визначається напруженість поля Е , створена двома точ-
ковими зарядами та д2.
Силові лінії електричного поля
Електричне поле у просторі заведено зображувати силовими лініями.
Поняття про силові лінії увів М. Фарадей при дослідженні магнетизму.
Потім це уявлення було розвинуте Дж. Максвеллом у дослідженнях
з електромагнетизму.
294
Фізика
Рис. 5
б
Рис. 7
Силова лінія, або лінія напруженості електричного поля — це лінія,
дотична до якої в кожній її точці збігається з напрямом сили, що діє на
позитивний точковий заряд, який знаходиться в цій точці поля.
На рис. 3-6 зображені лінії напруженості позитивно зарядженої
кульки (рис. 3); двох різнойменно заряджених кульок (рис. 4); двох
однойменно заряджених кульок (рис. 5) та двох пластин, заряджених
різними за знаком, але однаковими за абсолютною величиною зарядами
(рис. 6).
Лінії напруженості на останньому рисунку майже рівнобіжні
в просторі між пластинами, і густина їх однакова. Це свідчить про
те, що поле в цій області простору однорідне. Однорідним назива-
ють електричне поле, напруженість якого однакова в усіх точках
простору.
В електростатичному полі силові лінії не замкнуті, вони завжди по-
чинаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних. Вони
ніде не перетинаються, перетин силових ліній свідчив би про невизна-
ченість напряму напруженості електричного поля в точках перетину.
Густина силових ліній більша поблизу заряджених тіл, де напруженість
поля більша.
Поле зарядженої кулі. Напруженість поля зарядженої кулі, що про-
водить, на відстані від центра кулі, яке перевищує його радіус г > Н,
визначається за тією самою формулою, що й поля точкового заряду (3.1).
Про це свідчить розподіл силових ліній (рис. 7, а), аналогічний розподі-
лу ліній напруженості точкового заряду (рис. 7, б).
Заряд кулі розподілений рівномірно її поверхнею. Всередині кулі,
що проводить, напруженість поля дорівнює нулю.
Провідник в електричному ПОЛІ
Провідниками називають тіла, по яких електричні заряди пере-
міщуються вільно. До них, в першу чергу, належать метали. Добра про-
відність металів пояснюється існуванням в них вільних електронів, які
рухаються між позитивно зарядженими іонами ґратки. Позитивні іони
не беруть участі в перенесенні заряду.
Електронна природа носіїв струму в металах пояснюється таким
чином. Кристалічна ґратка металу складається з позитивно заряджених
іонів, розташованих у вузлах ґратки, та електронів, що вільно руха-
ються між вузлами. Вільні електрони — це валентні електрони атомів
металу, які залишили «свої» атоми. Вони здійснюють хаотичний рух по
кристалу, «не пам’ятаючи», якому атому вони належали. їх називають
електронним газом. Вільні електрони беруть участь у тепловому русі
та здатні переміщуватись під дією електричного поля.
Всередині провідника, поміщеного у зовнішнє електричне поле,
електростатичне поле відсутнє. Пояснюється це тим, що під дією зов-
нішнього поля вільні електрони, переміщуючись у напрямку, проти-
лежному зовнішньому полю Е , розподіляються поверхнею провідни-
ка. Внаслідок цього одна частина провідника заряджається негативно,
протилежна — позитивно. Розділені заряди створюють внутрішнє поле
Ег , яке компенсує зовнішнє поле Е так, що сумарне поле всередині
провідника дорівнює нулю (рис. 8). На цьому ґрунтується електроста-
тичний захист. Щоб захистити прилади від впливу електричного поля,
їх поміщують у металевий ящик.
Електродинаміка
295
Таким розподілом заряду пояснюється електростатична індукція.
Якщо пластину металу розрізати по лінії Л/1У, обидві половинки вияв-
ляться зарядженими (рис. 8).
Лінії напруженості електричного поля поза провідником завжди
перпендикулярні поверхні провідника. У протилежному випадку наяв-
ність складової поля, паралельної поверхні, призводила б до постійного
переміщення зарядів (електричного струму).
Весь статичний заряд провідника зосереджений на його поверхні.
Інакше всередині провідника існувало б електричне поле, що не від-
повідає дійсності. Це стосується як заряджених, так і незаряджених
провідників, розташованих в електричному полі.
Діелектрики в електричному полі
Діелектрики (або ізолятори) — речовини, які відносно погано про-
водять електричний струм (у порівнянні з провідниками).
Термін «діелектрики» (від. грец. діа — через та англ. еіесігіс —
електричний) був уведений М. Фарадеєм для позначення речовин, через
які передаються електромагнітні взаємодії.
У діелектриках всі електрони зв’язані, тобто належать окремим
атомам, і електричне поле не відриває їх, а лише злегка зсуває, тобто
поляризує. Тому всередині діелектрика може існувати електричне
поле; діелектрик має на електричне поле певний вплив.
Діелектрики поділяються на полярні та неполярні.
Полярні діелектрики складаються з молекул, в яких центри роз-
поділу позитивних та негативних зарядів не збігаються. Такі молеку-
ли можна подати у вигляді двох однакових за модулем різнойменних
точкових зарядів, що знаходяться на деякій відстані один від одного,
названих диполем (рис. 9).
Неполярні діелектрики складаються з атомів та молекул, у яких
центри розподілу позитивних та негативних зарядів збігаються.
Поляризація полярних діелектриків
Розміщення полярного діелектрика в електростатичному полі (на-
приклад, між двома зарядженими пластинами) призводить до розвер-
тання та зсуву до цього хаотично орієнтованих диполів уздовж поля
(рис. 10). Розвертання відбувається під дією пари сил, прикладених
з боку поля до двох зарядів диполя (рис. 11). Зсув диполів називаєть-
ся поляризацією. Однак внаслідок теплового руху відбувається лише
часткова поляризація. Всередині діелектрика позитивні та негатив-
ні заряди диполів компенсують один одне, а на поверхні діелектрика
з’являється зв’язаний заряд: негативний з боку позитивно зарядженої
пластини, та навпаки.
Поляризація неполярних діелектриків
Неполярний діелектрик в електричному полі також поляризуєть-
ся. Під дією електричного поля позитивні та негативні заряди в моле-
кулі зсуваються у протилежні боки, так що центри розподілу зарядів
зсуваються, як у полярних молекул. Вісь наведеного полем диполя
-|ч|
Рис. 9
Рис. 11
296
Фізика
Рис. 13
орієнтована уздовж поля. На поверхнях діелектрика, що прилягають
до заряджених пластин, з’являються зв’язані заряди.
Поляризований діелектрик сам створює електричне полеЦ,
(рис. 12). Це поле послаблює всередині діелектрика зовнішнє електрич-
не поле Ео. Ступінь цього послаблення залежить від властивостей діе-
лектрика. Зменшення напруженості електричного поля у речовині у порів-
нянні з полем у вакуумі характеризується відносною діелектричною
проникністю середовища.
Відносна діелектрична проникність середовища є — це фізична ве-
личина, яка показує, у скільки разів модуль напруженості електроста-
тичного поля Е усередині однорідного діелектрика менший за модуль
напруженості поля Ео у вакуумі:
є = Ео/Е.
У відповідності з цим сила взаємодії зарядів у середовищі в є разів
менша, ніж у вакуумі:
Р = к^.
Робота електричного поля з переміщення заряду
Нехай в однорідному електричному полі напруженістю Е позитив-
ний заряд у переміщується на відстань Дг: з точки 1 у точку 2 (рис. 13).
Сила, що діє з боку поля на електричний заряд, спрямована завжди
уздовж поля та визначається за формулою: Р - дЕ.
Робота А, яка здійснюється постійною силою Р при прямолінійному
переміщенні, дорівнює скалярному добутку Р та Дг:
А = (Р • Дг) = Р • Дг • соз а = Ріг , (3.2)
де а — косинус кута між векторами Р та Дг:. Тут через к позначена
проекція вектора переміщення Дг на напрямок сили, паралельний Е .
Можна показати, що робота поля не залежить від форми траєкторії.
Достатньо розділити її на малі прямолінійні ділянки Дг та застосувати
до них формулу (3.2), пам’ятаючи, що в кожній точці кривої сила Р
паралельна полю Е . Робота сили дорівнює сумі елементарних робіт на
усіх ділянках:
А = У А . = РУ к . = Рк.
1 1
Таким чином, робота по переміщенню заряду в однорідному елек-
тростатичному полі залежить тільки від початкового та кінцевого
положеннь заряду, що рухається, та не залежить від форми траєк-
торії. При переміщенні заряду по замкнутій траєкторії робота дорів-
нюватиме нулю.
Сила називається потенціальною, якщо робота цієї сили залежить
тільки від початкового та кінцевого положення матеріальної точки, на
яку діє сила.
Стаціонарне поле, яке діє на матеріальну точку з силою Р , нази-
вається потенціальним полем, якщо сила Р потенціальна.
Електродинаміка
297
Потенціал і різниця потенціалів
Потенціал електростатичного поля в даній точці чисельно дорівнює
роботі, яку здійснюють сили поля з переміщення одиничного позитив-
ного заряду з даної точки у нескінченність.
Тобто
А
де ф — потенціал, А — робота, д — позитивний заряд.
Потенціал — величина скалярна. Потенціал вважається позитив-
ним, якщо переміщення позитивного одиничного заряду з даної частини
поля у нескінченність здійснюється силами поля, та негативним, якщо
сили поля перешкоджають такому переміщенню.
Оскільки робота в силовому полі дорівнює різниці потенціальних
енергій двох точок поля, між якими здійснюється переміщення, то мож-
на записати:
Робота дорівнює різниці енергій кінцевої та початкової точок, яку
беруть з оберненим знаком: А - ~(Епх - Ел ) . Потенціальну енергію
точки у нескінченності вважають такою, що дорівнює нулю: Еп„ - 0;
Ел = Ел — потенціальна енергія точки поля, що розглядається. Вибір
нульового рівня потенціалу довільний, тому що фізичний сенс має не
самий потенціал, а різниця потенціалів, або напруга поля.
Різниця потенціалів
Різниця потенціалів (напруга) між двома точками поля дорівнює
відношенню роботи поля при переміщенні заряду з початкової точки
в кінцеву точку до цього заряду:
П = ф1-ф2=-. (3.3)
9
Оскільки робота з переміщення заряду в потенціальному полі не
залежить від форми траєкторії, то, знаючи напругу між двома точками,
ми визначимо роботу, що здійснюється полем з переміщення одинич-
ного заряду.
Якщо існують декілька точкових зарядів, то потенціал поля в деякій
точці простору визначається як алгебраїчна сума потенціалів елект-
ричних полів кожного заряду в цій точці:
ф = фі + ф2 + ... + ф„. (3.4)
Еквіпотенціальною поверхнею, або поверхнею рівного потенціалу,
називають поверхню, для будь-яких точок якої різниця потенціалів
дорівнює нулю. Це означає, що робота з переміщення заряду по такій
поверхні дорівнює нулю, отже, лінії напруженості електричного поля
перпендикулярні еквіпотенціальним поверхням (сила Е, що діє на за-
ряд, перпендикулярна дотичній до еквіпотенціальної поверхні). Екві-
потенціальні поверхні однорідного поля являють собою площини, а точ-
кового заряду — концентричні сфери.
298
Фізика
Вектор напруженості Е (як і сила Е) перпендикулярний еквіпотен-
ціальним поверхням. Еквіпотенціальною є поверхня будь-якого провід-
ника в електростатичному полі, тому що силові лінії перпендикулярні
поверхні провідника. Всередині провідника різниця потенціалів між
будь-якими його точками дорівнює нулю.
Напруга та напруженість однорідного поля
В однорідному електричному полі напруженість Е в усіх точках од-
накова, отже, робота А з переміщення заряду д паралельно Е на від-
стань д між двома точками з потенціалами ф, та ф2 дорівнює:
А - Е • д - дЕд - д(ф! - ф2) = ді/, (3.5)
або
Е = (3.6)
а
Таким чином, напруженість поля пропорційна різниці потенціалів
та спрямована в бік зменшення потенціалу. Тому позитивний заряд
рухатиметься у бік зменшення потенціалу, а негативний — у бік його
зростання.
Одиницею напруги (різниці потенціалів) є вольт (В). Згідно з фор-
мулою (3.3), 1В = ІДж/ІКл. Різниця потенціалів між двома точками
дорівнює одному вольту, якщо під час переміщення заряду в 1 Кл між
цими точками поле здійснює роботу в 1 Дж.
Електроємність
Електроємністю провідника С називають чисельну величину за-
ряду, яку потрібно надати провіднику, щоб змінити його потенціал
на одиницю:
С=*.
Ф
Ємність характеризує здатність провідника накопичувати заряд.
Вона залежить від форми провідника, його лінійних розмірів та влас-
тивостей середовища, що оточує провідник.
Одиницею ємності в системі СІ є фарада (Ф) — ємність провідника,
в якому зміна заряду на 1 Кл змінює його потенціал на 1 В.
Електричний конденсатор.
Електроємність плоского конденсатора
Електричний конденсатор (від. лат. сопдепзаіог — той, що ущіль-
нює, згущає) — пристрій, призначений для отримання електричної
ємності заданої величини, який здатен накопичувати та віддавати
(перерозподіляти) електричні заряди.
Конденсатор — це система з двох (або декількох) рівномірно
заряджених провідників з рівними за величиною зарядами, розді-
леними шаром діелектрика. Провідники називаються обкладками
конденсатора. Як правило, відстань між обкладками, що дорівнює
товщині діелектрика, набагато менша за розміри самих обкладок,
Електродинаміка
299
отже, поле в конденсаторі практично повністю зосереджене між
його обкладками. Якщо обкладки — плоскі пластини, поле між ними
є однорідним. Електроємність плоского конденсатора визначається
таким чином:
є0є>8
й~ б ’
(3.7)
де д — заряд конденсатора, 17 — напруга між його обкладками, 5 —
площа пластини, б — відстань між пластинами, є — діелектрична про-
никність середовища, є0 — електрична стала.
Під зарядом конденсатора розуміють абсолютне значення заряду
однієї з пластин.
З'єднання конденсаторів
Електроємність батареї конденсаторів при паралельному з’єднанні
дорівнює сумі електроємностей окремих конденсаторів:
с = Сі + с2 + с3 + ...
При послідовному з’єднанні конденсаторів додаються обернені ве-
личини електроємностей:
Очевидно, що електроємність батареї з послідовно з’єднаних кон-
денсаторів менша за електроємність будь-якого з конденсаторів, а при
паралельному їх з’єднанні — більша.
Енергія електричного поля
Енергія зарядженого конденсатора виражається формулами:
Е . _СЇ}2
" 2 2С 2 ’
які виводяться з урахуванням виразів для зв’язку роботи та напруги
(3.3) та (3.7) для ємності плоского конденсатора.
Об’ємна густина енергії електричного поля (енергія поля в одиниці
об’єму) напруги Е виражається формулою:
єє„Е2
т = —.
Закони постійного струму
Електричний струм
Електричним струмом називають упорядкований (спрямований)
рух заряджених частинок.
Для того, щоб такий рух відбувався, необхідно:
1) наявність в тілі вільних заряджених частинок. Вони називаються
носіями струму;
300
Фізика
2) наявність сили, що примушує носіїв заряду рухатися в заданому
напрямі. Таку силу може забезпечити електричне поле всередині
провідника, яке створює між кінцями провідника різницю потен-
ціалів.
Цим вимогам задовольняє металевий провідник, поміщений в елек-
тричне поле. Короткочасне виникнення струму спостерігається при
з’єднанні таким провідником зарядженого та незарядженого електро-
метрів. Для існування в провіднику постійного струму його необхідно
з’єднати з джерелом струму, яке підтримуватиме різницю потенціалів
в провіднику. Якщо різниця потенціалів не змінюється з часом, струм
називається постійним.
Електричний струм має певний напрям. Напрямом вважають на-
прям руху позитивно заряджених частинок.
Дія електричного струму
Наявність електричного струму можна виявити за тією дією, яку
він спричиняє. Такими є:
1) теплова дія. Вона означає нагрівання провідника. Теплова дія
струму використовується в електронагрівальних приладах;
2) хімічна дія. Вона виявляється, якщо пропускати струм через
розчини кислот, лугів та солей. На електродах спостерігається
виділення атомів (молекул), які входять до складу розчинів;
3) магнітна дія. Провідник зі струмом стає подібним магніту.
Сила струму
Сила електричного струму — це величина (І), що характеризує упо-
рядкований рух електричних зарядів та чисельно дорівнює кількості
заряду Лд, що переноситься через певну поверхню 5 (поперечний переріз
провідника) за одиницю часу.
1=%..
м
1 2
м
Рис. 14
Таким чином, щоб визначити силу струму І, потрібно електричний
заряд Лд, який пройшов через поперечний переріз провідника за інтер-
вал часу Лі, розділити на значення цього інтервалу.
Сила струму залежить від заряду, що переноситься кожною частин-
кою, швидкості їх спрямованого руху та площі поперечного перерізу
провідника.
Розглянемо провідник (рис. 14) із площею поперечного перерізу 8.
Заряд кожної частинки ^0. В об’ємі провідника, обмеженому переріза-
ми 1 та 2, міститься п8АІ частинок, де п — концентрація частинок. їх
загальний заряд - доп8\1. Якщо частинки рухаються з середньою
швидкістю V, то за інтервал часу Лі = Лі/і? всі частинки, які містяться
в об’ємі, що розглядається, пройдуть через поперечний переріз 2. Отже,
сила струму дорівнює:
Лд
Лі
V
У системі СІ одиниця сили струму є основною та носить назву ампер
(А) на честь французького вченого А. М. Ампера (1755-1836).
Електродинаміка
ЗОЇ
Силу струму вимірюють амперметром. Принцип побудови ампер-
метра ґрунтується на магнітній дії струму.
Оцінювання швидкості упорядкованого руху електронів у провід-
нику, проведене за формулою для мідного провідника з площею попе-
речного перерізу 1 мм2, дає надто незначну величину — (—0,1) мм/с.
Закон Ома для ділянки кола
Сила струму на ділянці кола дорівнює відношенню напруги на цій
ділянці до її опору.
Таким чином, закон Ома виражає зв’язок між трьома величинами,
що характеризують проходження електричного струму в колі, — силою
струму І, напругою V та опором В.
Цей закон був встановлений у 1827 р. німецьким вченим Г. Омом,
тому носить його ім’я. У наведеному формулюванні він називається
також законом Ома для ділянки кола (рис. 15). Математично закон
Ома записують у такому вигляді:
Рис. 15
В
(3.8)
Залежність сили струму від прикладеної різниці потенціалів на кін-
цях провідника називається вольт-амперною характеристикою (ВАХ)
провідника.
Для будь-якого провідника (твердого, рідкого або газоподібного)
існує своя ВАХ. Найпростіший вигляд має вольт-амперна характерис-
тика металевих провідників, задана законом Ома (3.8), та розчинів
електролітів. Знання ВАХ відіграє важливу роль при вивченні струму.
Електричний опір
Електричний опір — це фізична величина, що характеризує про-
тидію провідника або електричного кола електричному струму.
Електричний опір визначається як коефіцієнт пропорційності В
між напругою О та силою постійного струму І в законі Ома для ді-
лянки кола.
Одиниця опору називається омом (Ом) на честь німецького вченого
Г. Ома, який запровадив це поняття в фізику. Один ом (1 Ом) —
це опір такого провідника, в якому при напрузі 1В сила струму дорів-
нює 1А.
Питомий опір
Опір однорідного провідника постійного перерізу залежить від ма-
теріалу провідника, його довжини І і поперечного перерізу 8 і може
бути визначений за формулою:
Л = (3-9)
О
де р — питомий опір речовини, з якої виготовлений провідник.
Питомий опір речовини — це фізична величина, що показує, який
опір має виготовлений з цієї речовини провідник одиничної довжини
та одиничної площі поперечного перерізу.
302
Фізика
З формули (3.9) випливає, що
В8
Р = —
Величина, обернена до р, називається питомою провідністю а:
1
о -
Р
Оскільки в системі СІ одиницею опору є 1 Ом, одиницею площі 1 м2,
а одиницею довжини 1 м, то одиницею питомого опору в СІ буде 1 Ом м2/м,
або 1 Ом • м. Одиниця питомої провідності в системі СІ — Ом^-м1.
На практиці площу перерізу тонких проводів часто виражають
у квадратних міліметрах (мм2). В цьому випадку зручнішою одини-
цею питомого опору буде Ом мм2/м. Оскільки 1 мм2 = 0,000001 м2,
то 1 Ом мм2/м = 10 е Омм. Метали мають дуже малий питомий опір —
приблизно (1 • 10 2) Ом мм2/м, діелектрики — у 1015-1020 разів більший.
б
Рис. 16
Рис. 17
Електричне коло.
Послідовне та паралельне з'єднання провідників
Джерело електричного струму, з’єднане дротами з різними електро-
приладами та споживачами електричної енергії, створює електричне коло.
Електричне коло заведено зображувати за допомогою схем (рис. 16),
в яких елементи електричного кола (опори, джерела струму, вмикачі,
лампи, прилади тощо) позначені спеціальними позначками.
Напрям струму в колі — це напрям від позитивного полюса дже-
рела струму до негативного. Це правило було встановлене в XIX ст.
та з того часу зберігається.
Переміщення реальних зарядів може не збігатися з встановленим
напрямом струму. Так, в металах носіями струму є негативно заряджені
електрони, рухаються вони від негативного полюса до позитивного, тоб-
то в зворотному напрямку. В електролітах реальне переміщення зарядів
може збігатися або бути протилежним напряму струму в залежності від
того, які іони є носіями заряду — позитивні або негативні.
Включення елементів в електричне коло може бути послідовним
(рис. 17) або паралельним (рис. 18).
Для послідовного з’єднання провідників (рис. 17) справедливі такі
співвідношення:
а) для загального струму І:
і = Д = А-
де І! та І2 — струм в провідниках 1 та 2 відповідно; тобто при послі-
довному з’єднанні провідників сила струму на окремих ділянках кола
однакова;
б) загальна напруга 17 на кінцях всієї ділянки, що розглядається,
дорівнює сумі напруг на окремих її ділянках:
П = + П2;
в) повний опір В всієї ділянки кола дорівнює сумі послідовно
з’єднаних опорів:
В — Ві + Вр,
Електродинаміка
зоз
г) також справедливе співвідношення:
'у ,1
іі2 ~ в2 ‘ і *—1
Для паралельного з’єднання провідників (рис. 18) справедливі такі ----
співвідношення: •*------
а) електричний струм, що поступає в точку А розгалуження провід- ____________
ників (вона називається також вузлом), дорівнює сумі струмів Ну
у кожному з елементів кола:
Рис. 18
І = Л +12;
б) напруга 11 на кінцях провідників, з’єднаних паралельно, одна
і та сама:
і/ = = П2;
в) при паралельному з’єднанні провідників додаються їх обернені
опори:
1 = 2_ + 2_ п .
г) сила струму та опір у провідниках зв’язані співвідношенням:
А
Робота та потужність електричного струму
Для визначення роботи, яку здійснює струм, що проходить по деякій
^4
ділянці кола, необхідно скористатися визначенням напруги: II - —.
Ч
Звідси випливає, що
А = ді/,
де А — робота струму; д — електричний заряд, що пройшов за даний
час через розглянуту ділянку кола. Підставляючи в останню рівність
формулу д = Іі, отримаємо:
А-ІІЛ. (3.10)
Робота електричного струму на ділянці кола дорівнює добутку на-
пруги на кінцях цієї ділянки на силу струму та на час, протягом якого
здійснювалась робота.
Дію струму характеризують не тільки роботою А, але й потуж-
ністю Р. Потужність струму показує, яку роботу виконує струм за оди-
ницю часу. Якщо за час і була виконана робота А, то потужність струму
^4
Р - Підставляючи в цю рівність вираз (3.10), отримаємо:
Р = Ш.
Цей вираз можна переписати в різних формах, скориставшись
законом Ома для ділянки кола:
II2
Р = Ш = РВ = —.
В
304
Фізика
У системі СІ роботу виражають в джоулях (Дж), потужність —
у ватах (Вт), а час — у секундах (с). При цьому
1 Вт = 1 Дж/с, 1 Дж = 1 Вт • с.
Закон Джоуля - Ленца
Закон Джоуля — Ленца: кількість теплоти, виділена в провіднику
на ділянці електричного кола з опором К під час проходження ним
постійного струму І протягом часу і дорівнює добутку квадрата струму,
опору та часу:
ф = (3.11)
Закон був встановлений у 1841 р. англійським фізиком Дж. П. Джо-
улем, а у 1843 р. підтверджений точними дослідами російського вченого
Е. X. Ленца. Власне явище нагрівання провідника під час проходження
ним струму було відкрите ще у 1800 р. французьким вченим А. Фурк-
руа, якому вдалося розжарити залізну спіраль, пропустивши через неї
електричний струм.
З закону Джоуля — Ленца випливає, що при послідовному з’єднанні
провідників, оскільки в цьому випадку струм у колі скрізь однаковий,
максимальна кількість теплоти виділятиметься на провіднику з най-
більшим опором. Це використовується в техніці, наприклад, для роз-
пилення металів.
При паралельному з’єднанні всі провідники перебувають під дією
однакової напруги, але струми в них різні. З урахуванням закону Ома
І - — з формули (3.11) випливає, що
Н
(3.12)
Отже, на провіднику з меншим опором виділятиметься більше теп-
лоти.
Рис. 19
Електрорушійна сила
Сторонні сили. Для підтримання постійної різниці потенціалів на
кінцях провідника, а, отже, й струму, необхідна наявність сторонніх
сил неелектричного походження, за допомогою яких відбувається роз-
ділення електричних зарядів (рис. 19). Сторонніми силами називають
будь-які сили, що діють на електрично заряджені частинки (в колі),
за винятком електростатичних, тобто кулонівських.
Сторонні сили надають руху зарядженим частинкам всередині всіх
джерел струму: у генераторах, на електростанціях, у гальванічних еле-
ментах, акумуляторах тощо.
При замиканні кола створюється електричне поле в усіх провідниках
кола. Всередині джерела струму заряди рухаються під впливом сторон-
ніх сил проти кулонівських сил (електрони рухаються від позитивно
зарядженого електрода до негативного), а в решті кола їм надає руху
електричне поле (див. рис. 19).
У джерелах струму в процесі роботи з розділення заряджених час-
тинок відбувається перетворення різних видів енергії на електричну.
Електродинаміка
305
За типом перетвореної енергії розрізняють такі види електрорушій-
ної сили:
— електростатична — в електрофорній машині, в якій відбувається
перетворення механічної енергії під час тертя на електричну;
— термоелектрична — в термоелементі — внутрішня енергія нагрі-
того спаю двох дротів, виготовлених з різних металів, перетво-
рюється на електричну;
— фотоелектрична — у фотоелементі. Тут відбувається перетворен-
ня енергії світла на електричну; при освітленні деяких речовин,
наприклад, селену, оксиду міді, кремнію, спостерігається втрата
негативного електричного заряду;
— хімічна — у гальванічних елементах, акумуляторах та інших
джерелах, в яких відбувається перетворення хімічної енергії на
електричну.
Електрорушійна сила (ЕРС) — характеристика джерел струму.
Поняття ЕРС було уведене Г. Омом у 1827 р. для кіл постійного стру-
му. У 1857 р. Кірхгоф визначив ЕРС як роботу сторонніх сил при пере-
несенні одиничного електричного заряду уздовж замкнутого контура:
£ = Аст/д,
де £ — ЕРС джерела струму, Аст — робота сторонніх сил, у — кількість
переміщеного заряду.
Електрорушійну силу виражають у вольтах.
Можна говорити про електрорушійну силу на будь-якій ділянці
кола. Це питома робота сторонніх сил (робота з переміщення одинич-
ного заряду) не в усьому контурі, а тільки на заданій ділянці.
Закон Ома для повного кола
Розглянемо електричне коло, що складається з джерела стру-
му та резистора (рис. 20). Закон Ома для повного кола встановлює
зв’язок між силою струму в колі, ЕРС та повним опором кола, який
складається з зовнішнього опору Е та внутрішнього опору джерела
струму г.
Робота сторонніх сил Аст джерела струму, відповідно до визначен-
ня ЕРС (£), дорівнює Д.т = £с/, де д — заряд, переміщений ЕРС. Згідно
з визначенням струму д = Іі, де і — час, протягом якого переносився
заряд. Звідси маємо:
А^ = £ІІ. (3.13)
Теплота, що виділяється при виконанні роботи в колі, згідно з за-
коном Джоуля — Ленца, дорівнює:
0 = ГЕі + Ггі. (3.14)
Згідно з законом збереження енергії А = ф. Прирівняємо (3.13)
та (3.14), отримаємо:
£ = ІЕ + Іг. (3.15)
Закон Ома для замкненого кола зазвичай записується у вигляді:
1 = -^- (3.16)
Е + г
306
Фізика
Рис. 21
Рис. 22
Сила струму в повному колі дорівнює відношенню ЕРС кола до його
повного опору.
Якщо коло містить декілька послідовно з’єднаних джерел ЕРС £1г
£2, £3 тощо, то повна ЕРС кола дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС окремих
джерел. Знак ЕРС джерела визначається у відношенні до напряму обхо-
ду контура, який обирається довільно, наприклад, на рис. 21 — проти
годинникової стрілки. Сторонні сили всередині джерела здійснюють при
цьому додатну роботу, та навпаки. Для розглянутого кола справедливе
таке рівняння:
£ - £г + £2 + £3 - 1^1 - |£2| + |^з|-
У відповідності з (3.13) сила струму позитивна при позитивній
ЕРС — напрям струму у зовнішньому колі збігається з напрямом обходу
контура. Повний опір кола з декількома джерелами дорівнює сумі зов-
нішнього та внутрішніх опорів усіх джерел ЕРС, наприклад, для рис. 21:
В„ = В + т\ + г2 + г3.
Магнітне поле. Електромагнітна індукція
Магнітне поле. Взаємодія струмів
Магнітне поле — одна з форм матерії (яка відрізняється від речови-
ни), що існує в просторі, який оточує постійні магніти, провідники зі
струмом та рухомі заряди. Магнітне поле разом з електричним полем
утворює єдине електромагнітне поле.
Магнітне поле не тільки створюється постійними магнітами, рухо-
мими зарядами та струмами у провідниках, але й діє на них самих.
Термін «магнітне поле» був запроваджений у 1845 р. М. Фарадеєм.
До того часу була вже відома низка явищ електродинаміки, які потре-
бували пояснення. До них належать, зокрема, такі.
1. Явище взаємодії постійних магнітів (встановлення магнітної
стрілки уздовж магнітного меридіана Землі, притягнення різнойменних
полюсів, відштовхування однойменних), відоме з давніх часів та си-
стематизоване У. Гільбертом (результати оприлюднені у 1600 р. в його
трактаті «Про магніт, магнітні тіла та про великий магніт — Землю»).
2. У 1820 р. датський вчений Г. X. Ерстед з’ясував, що магнітна
стрілка, поміщена поблизу провідника зі струмом, повертається, на-
магаючись розташуватися перпендикулярно провіднику.
3. У тому ж році французький фізик Ампер, якого зацікавили до-
сліди Ерстеда, виявив взаємодію двох прямолінійних провідників зі
струмом (рис. 22). З’ясувалось, що якщо струми в провідниках йдуть
в один бік, тобто рівнобіжні, то провідники притягуються (рис. 22, а),
а якщо в протилежні боки, то відштовхуються (рис. 22, б).
Взаємодії між провідниками зі струмом, тобто взаємодії між рухо-
мими електричними зарядами, називають магнітними, а сили, з якими
провідники зі струмом діють один на одне, — магнітними силами.
Згідно з теорією близькодії, якої дотримувався М. Фарадей, струм
в одному з провідників не може безпосередньо впливати на струм
в іншому провіднику. Аналогічно випадку з нерухомими електрич-
ними зарядами, навколо яких існує електричне поле, був зроблений
Електродинаміка
307
висновок, що у просторі, оточуючому струми, існує магнітне поле, яке
діє з деякою силою на інший провідник зі струмом, вміщений у це
поле, або на постійний магніт. У свою чергу, магнітне поле, створюване
другим провідником зі струмом, діє на струм у першому провіднику.
Подібно до того, як електричне поле виявляється за його впливом
на пробний заряд, внесений у це поле, магнітне поле можна виявити
за орієнтуючою дією магнітного поля на рамку зі струмом невеликих
(у порівнянні з відстанями, на яких магнітне поле помітно змінюєть-
ся) розмірів (рис. 23). Дроти, які підводять струм до рамки, необхідно
сплести (або розташувати близько один до одного), тоді результуюча
сила, що діє з боку магнітного поля на ці дроти, дорівнюватиме нулю.
Сили ж, які діють на таку рамку зі струмом, будуть її обертати, так що
її площина встановиться перпендикулярно лініям індукції магнітного
поля. У прикладі, наведеному на рис. 23, рамка повернеться так, щоб
провідник зі струмом опинився у площині рамки. При зміні напряму
струму в провіднику рамка повернеться на 180°. У полі між полюсами
постійного магніту рамка повернеться площиною перпендикулярно си-
ловим лініям магніту (рис. 24).
Індукція магнітного поля
Магнітна індукція
Магнітна індукція ( В ) — це векторна фізична величина, що харак-
теризує магнітне поле.
Напрямом вектора магнітної індукції В вважають:
1) напрям від південного полюса 5 до північного полюса N магнітної
стрілки, що вільно встановлюється в магнітному полі (рис. 25),
або
2) напрям позитивної нормалі до замкненого контура зі струмом на
гнучкому підвісі, який вільно встановлюється в магнітному полі.
Позитивною вважається нормаль, спрямована у бік переміщення
вістря свердлика (з правою нарізкою), рукоятку якого обертають
за напрямом струму у рамці.
Зрозуміло, що напрями 1) та 2) збігаються, як було встановлено ще
дослідами Ампера.
Що стосується величини магнітної індукції (тобто її модуля) В, яка
могла б характеризувати силу дії струму, то експериментами було вста-
новлено, що максимальна сила В, з якою поле діє на провідник зі струмом
(розміщений перпендикулярно лініям індукції магнітного поля), зале-
жить від сили струму І у провіднику та його довжини Д/ (пропорційна їм).
Однак сила, що діє на елемент струму (одиничної довжини та сили стру-
. • • < • р
му), залежить тільки від самого поля, тобто відношення - для даного
ІД/
поля є величиною сталою (аналогічно відношенню сили до заряду для
електричного поля). Цю величину і визначають як магнітну індукцію:
Індукція магнітного поля в даній, точці дорівнює відношенню мак-
симальної сили, що діє на провідник зі струмом, до довжини провідника
та сили струму в провіднику, поміщеному в цю точку.
Рис. 25
308
Фізика
Рис. 26
Рис. 27
Рис. 28
Рис. 29
Чим більша магнітна індукція у даній точці поля, тим з більшою
силою діятиме поле в цій точці на магнітну стрілку або рухомий елек-
тричний заряд.
Одиницею магнітної індукції в системі СІ є тесла (Тл), названа на
н
честь електротехніка Ніколи Тесли. Як видно з формули, 1 Тл = 1-.
А • м
Лінії магнітної індукції
Для наочного подання магнітного поля М. Фарадей впровадив понят-
тя магнітних силових ліній, які він неодноразово демонстрував у своїх
дослідах. Картина силових ліній може бути легко отримана за допомо-
гою залізних стружок, насипаних на картон (рис. 26-29). На рис. 26
наведені лінії магнітної індукції прямого струму, на рис. 27 — соле-
ноїда, на рис. 28 — колового струму, на рис. 29 — прямого магніту.
Лініями магнітної індукції, або магнітними силовими лініями, або
просто магнітними лініями називають лінії, дотичні до яких у будь-
якій точці збігаються з напрямом вектора магнітної індукції В у цій
точці поля.
Напрям магнітного поля прямого струму можна визначити за пра-
вилом правого свердлика.
Якщо обертати рукоятку свердлика так, щоб поступальний рух
вістря свердлика вказував напрям струму, то напрям обертання руко-
ятки свердлика вкаже напрям силових ліній магнітного поля струму.
Напрям магнітного поля прямого струму можна визначити також
і за допомогою першого правила правої руки.
Якщо обхопити провідник правою рукою, направивши великий
палець за напрямом струму, то кінці решти пальців у кожній точці
вкажуть напрям вектора індукції в цій точці.
Вихрове поле
Лінії магнітної індукції є замкненими, це свідчить про те, що в при-
роді немає магнітних зарядів. Поля, силові лінії яких замкнені, назива-
ють вихровими полями. Тобто магнітне поле — це вихрове поле. Цим
воно відрізняється від електричного поля, створеного зарядами.
Соленоїд
Соленоїд — це дротова спіраль зі струмом.
Соленоїд характеризується кількістю витків на одиницю довжини п,
довжиною І та діаметром д. Товщина дроту у соленоїді та крок спіралі
(гвинтової лінії) малі у порівнянні з його діаметром д та довжиною І.
Термін «соленоїд» застосовують й у більш широкому розумінні — так
називають котушки з довільним перерізом (квадратний соленоїд, пря-
мокутний соленоїд) та не обов’язково циліндричної форми (тороїдний
соленоїд). Розрізняють довгий соленоїд (І » д) та короткий (І « д).
У тих випадках, коли співвідношення між д та І спеціально не огово-
рюється, мають на увазі довгий соленоїд.
Силові лінії магнітного поля соленоїда зображені на рис. ЗО, а. На-
прям цих ліній визначають за допомогою другого правила правої руки.
Електродинаміка
309
Якщо обхопити соленоїд долонею правої руки, спрямувавши чотири
пальці за струмом у витках, то відставлений великий палець вкаже
напрям магнітних ліній усередині соленоїда.
Порівнявши магнітне поле соленоїда з полем постійного магніту
(рис. ЗО, б), можна помітити, що вони дуже схожі. Як і у магніту,
у соленоїда є два полюси — північний (А) та південний (8). Північним
полюсом називають той, з якого магнітні лінії виходять; південним
полюсом — той, до якого вони входять. Північний полюс у соленоїда за-
вжди розташований з того боку, на який вказує великий палець долоні
при її розташуванні у відповідності з другим правилом правої руки.
Соленоїд у вигляді котушки з великою кількістю витків викорис-
товують як магніт.
Дослідження магнітного поля соленоїда свідчать, що магнітна дія со-
леноїда зростає із зростанням сили струму та кількості витків у соленоїді.
Крім того, магнітна дія соленоїда або котушки зі струмом посилюється
при уведенні до нього залізного стрижня, який називається осердям.
Електромагніти
Соленоїд із залізним осердям всередині називається електромагні-
том.
Електромагніти можуть містити не одну, а декілька котушок
(обмоток) та мати при цьому різні за формою осердя.
Подібний електромагніт вперше був сконструйований англійським
винахідником У. Стердженом у 1825 р. При масі 0,2 кг електромагніт
У. Стерджена утримував вантаж вагою 36 Н. У тому ж році Дж. Джо-
уль збільшив підіймальну силу електромагніту до 200 Н, а через шість
років американський вчений Дж. Генрі побудував електромагніт масою
300 кг, здатний утримувати вагу 1 т.
Сучасні електромагніти можуть підіймати вагу масою декілька
десятків тонн. Вони використовуються на заводах при переміщенні
важких виробів з чавуну та сталі. Електромагніти використовуються
також у сільському господарстві для очищення зерна деяких рослин
від бур’янів та в інших галузях промисловості.
Закон Ампера
На прямолінійну ділянку провідника Лі, по якому проходить струм І,
в магнітному полі з індукцією В діє сила Р.
Для обчислення цієї сили використовують вираз:
Г = В|Г|ЛІ8Іпос,
де а — кут між вектором В та напрямом відрізка провідника зі струмом
(елементом струму); за напрям елемента струму приймають напрям,
за яким провідником проходить струм (рис. 31). Сила Р називається
силою Ампера на честь французького фізика А. Ампера, який першим
виявив дію магнітного поля на провідник зі струмом (Насправді Ампер
встановив закон для сили взаємодії між двома елементами провідника
зі струмом. Він був прибічником теорії далекодії та не користувався
поняттям поля. Однак за традицією та для вшанування заслуг вченого
вираз для сили, що діє на провідник зі струмом з боку магнітного поля,
також називають законом Ампера.).
б
Рис. 30
Рис. 31
310
Фізика
Рис. 32
Рис. 33
Напрям сили Ампера визначається за допомогою правила лівої
руки. Якщо розташувати долоню лівої руки так, щоб силові лінії
магнітного поля входили до неї перпендикулярно, а чотири витяг-
нуті пальці вказували напрям струму в провіднику, то відставлений
великий палець вкаже напрям сили, що діє на провідник зі струмом
(рис. 32).
Таким чином, сила Ампера завжди перпендикулярна як вектору
індукції магнітного поля, так і напряму струму в провіднику, тобто
перпендикулярна площині, в якій лежать ці два вектори. Наслідком
дії сили Ампера є обертання рамки зі струмом у постійному магнітному
полі (рис. 32). Це має практичне застосування в багатьох пристроях,
наприклад, в електровимірювальних пристроях — гальванометрах, ам-
перметрах, де рухома рамка зі струмом обертається в полі постійного
магніту та за кутом відхилення стрілки, нерухомо зв’язаної з рамкою,
можна визначити величину струму, що проходить у колі. Завдяки обер-
таючій дії магнітного поля на рамку зі струмом стало можливим ство-
рення та використання електродвигунів — машин, в яких електрична
енергія перетворюється на механічну.
Сила Лоренца
Сила Лоренца — це сила, що діє на рухомий точковий електричний
заряд у зовнішньому магнітному полі.
Нідерландський фізик X. А. Лоренц наприкінці XIX ст. встановив,
що сила, яка діє з боку магнітного поля на рухому заряджену частинку,
завжди перпендикулярна напряму руху частинки та силовим лініям
магнітного поля, в якому ця частинка рухається.
Напрям сили Лоренца можна визначити за допомогою правила лівої
руки.
Якщо розташувати долоню лівої руки так, щоб чотири витягнуті
пальці вказували напрям руху заряду, а вектор магнітної індукції поля
входив у долоню, то відставлений великий палець вкаже напрям сили
Лоренца, що діє на позитивний заряд.
Якщо заряд частинки негативний, то сила Лоренца буде спрямована
у протилежний бік (рис. 33).
Модуль сили Лоренца легко визначається з закону Ампера та ста-
новить
Р - |д|ілВзіпа, (3.19)
де д — заряд частинки, V — швидкість її руху, а — кут між векторами
швидкості та індукції магнітного поля.
Якщо, крім магнітного поля, існує ще й електричне поле, яке діє
на заряд з силою Рел - уЕ , то повна сила, що діє на заряд, дорівнює:
Г = Г + РЛ.
Часто саме цю (повну) силу називають силою Лоренца, а силу, вира-
жену формулою (3.19), називають магнітною частиною сили Лоренца.
Оскільки сила Лоренца перпендикулярна напряму руху частинки,
то вона не може змінити її швидкість (вона не здійснює роботи), а лише
напрям її руху, тобто може тільки викривити траєкторію.
Електродинаміка
311
Магнітний потік
Під магнітним потоком розуміють потік Ф вектора магнітної індук-
ції В через будь-яку поверхню 8.
Магнітний потік Ф, що пронизує контур, дорівнює добутку модуля
вектора індукції магнітного поля В , площі 8, обмеженої цим контуром,
та косинуса кута а між нормаллю до площини контура п та вектором
В (рис. 34):
Ф = В8 сова.
Рис. 34
Добуток В соз а = Вп є проекцією вектора магнітної індукції на нор-
маль до площини контура, тому
Ф = В„ 8.
Магнітний потік пропорційний числу ліній магнітної індукції, які
пронизують поверхню контура, та характеризують розподіл магнітного
поля на поверхні, обмеженій замкненим контуром.
Одиницею магнітного потока у системі СІ є вебер (Вб). Магнітний
потік у 1 Вб створюється однорідним магнітним полем з індукцією 1 Тл
через поверхню площиною 1 м1 2, розташовану перпендикулярно вектору
магнітної індукції.
Явище електромагнітної індукції
Явище електромагнітної індукції було відкрите англійським вченим
М. Фарадеєм у 1831 р.
Полягає воно в тому, що за будь-якої зміни магнітного потоку, що
пронизує контур замкненого провідника, у цьому провіднику виникає
електричний струм, який існує впродовж усього процесу зміни магніт-
ного потоку. Явище електромагнітної індукції можна виявити:
Рис. 35
Рис. 36
1) при відносному русі котушки та магніту (рис. 35 а, б);
2) при зміні індукції магнітного поля в контурі, розташованому пер-
пендикулярно лініям магнітного поля (рис. 36). На цьому рисунку
котушка А, увімкнена в коло джерела струму, вставлена в іншу
котушку С, підключену до гальванометра. При замиканні та роз-
миканні кола котушки А в котушці С виникає індукційний струм.
312
Фізика
б
Рис. 37
Рис. 38
Індукційний струм виникає також при зміні струму в котушці С
або при русі котушок одна відносно одної;
3) при зміні положення контура, розташованого в постійному маг-
нітному полі (рис. 37). Струм у контурі з’являється як при обер-
танні контура в полі постійного магніту (рис. 37, а), так і при
обертанні самого магніту всередині контура (рис. 37, б).
Відкриття електромагнітної індукції належить до найвизначніших
відкриттів XIX сторіччя. Воно спричинило появу та бурхливий розвиток
електротехніки та радіотехніки.
На основі явища електромагнітної індукції були створені потужні
генератори електричної енергії, у розробці яких брали участь вчені та
техніки різних країн. Серед них були і російські вчені: Емілій Хрис-
тиянович Ленц, Борис Семенович Якобі, Михайло Осипович Доливо-
Добровольський та інші, які зробили значний внесок у розвиток елек-
тротехніки.
Правило Ленца
Правило Ленца (закон Ленца) було встановлено Е. X. Ленцем у 1834 р.
Воно уточнює закон електромагнітної індукції, відкритий у 1831 р.
М. Фарадеєм. Правило Ленца визначає напрям індукційного струму
в замкненому контурі при його русі у зовнішньому магнітному полі.
Напрям індукційного струму завжди такий, що сили, яких він за-
знає з боку магнітного поля, протидіють руху контура, а створюваний
цим струмом магнітний потік Ф; намагається компенсувати зміни зов-
нішнього магнітного потоку Ф(.
Закон Ленца є вираженням закону збереження енергії для електро-
магнітних явищ. Дійсно, при русі замкненого контура в магнітному полі
за рахунок зовнішніх сил необхідно виконати деяку роботу проти сил,
що виникають в результаті взаємодії індукованого струму з магнітним
полем та спрямованих у бік, протилежний руху.
Правило Ленца ілюструє рис. 38 а, б. Якщо постійний магніт всо-
вувати в котушку, замкнену на гальванометр, індукційний струм у ко-
тушці матиме такий напрям, який створить магнітне поле з вектором
В', спрямованим протилежно вектору індукції поля магніту В, тобто
виштовхуватиме магніт з котушки або протидіятиме його руху. При
видаленні магніту з котушки — навпаки, поле, створюване індукцій-
ним струмом, притягуватиме котушку, тобто знову перешкоджатиме
його рухові.
Для застосування правила Ленца з метою визначення напряму індук-
ційного струму Іє в контурі слід користуватися такими рекомендаціями.
1. Встановити напрям ліній магнітної індукції В зовнішнього маг-
нітного поля.
2. З’ясувати, чи збільшується потік магнітної індукції цього поля
через поверхню, обмежену контуром (ДФ > 0), чи він зменшується
(ДФ < 0).
3. Встановити напрям ліній магнітної індукції В' магнітного поля
індукційного струму І,. Ці лінії повинні бути спрямованими,
згідно з правилом Ленца, протилежно лініям В , якщо ДФ > 0,
та мати однаковий із ними напрям, якщо ДФ < 0.
4. Знаючи напрям ліній магнітної індукції В' , знайти напрям
індукційного струму І,, користуючись правилом свердлика.
Електродинаміка
313
Закон електромагнітної індукції
М. Фарадеєм було встановлено, що сила індукційного струму пропор-
ційна швидкості зміни магнітного потоку через поверхню, обмежену
контуром-.
І, ~ ДФ/Ді .
Виникнення струму у замкненому контурі означає наявність сто-
ронніх сил, робота яких з переміщення одиничного заряду в контурі
називається електрорушійною силою (ЕРС). Це означає, що при зміні
потоку через поверхню, обмежену замкненим контуром, у контурі
виникає ЕРС £ , яку називають ЕРС індукції. Згідно з законом Ома,
£
для замкненого кола Г = — . Отже, ЕРС індукції пропорційна ДФ/Ді,
В
оскільки опір В не залежить від зміни магнітного потоку.
Закон електромагнітної індукції формулюється таким чином.
ЕРС індукції £ у замкненому контурі дорівнює за модулем швид-
кості зміни магнітного потоку через поверхню, обмежену контуром.
£ ДФ
‘ ~ м '
Застосування правила Ленца до замкнутого контура з додатною нор-
маллю веде до отримання виразу:
ДФ
£ =-----. (3.20)
1 Лі
Формула (3.20) виражає основний закон електромагнітної індукції.
На рис. 39 зовнішнє магнітне поле індукції В зростає з часом та спря-
моване уздовж додатної нормалі до контура зі струмом. Індукований
струм протилежний обраному напряму обходу у відповідності з інду-
кованим магнітним полем В'.
Описані вище досліди свідчать про те, що електромагнітна індук-
ція — це виникнення електричного поля та електричного струму при
зміні з часом магнітного поля або при русі провідника у магнітному
полі. Ці два типи ефектів електромагнітної індукції відрізняються фі-
зичною природою процесів, які відповідають за їх виникнення. Перший
тип обумовлений наведенням вихрового електричного поля змінним
магнітним полем, другий — дією сил Лоренца на рухомі заряди у ста-
ціонарному магнітному полі. В обох випадках виконується основний
закон індукції, виражений формулою (3.20).
Вихрове електричне поле
У першому типі електромагнітної індукції ЕРС виникає у нерухомо-
му замкненому провіднику при будь-якій зміні магнітного поля.
З іншого боку, відомо, що виникнення електрорушійної сили в будь-
якому колі пов’язане зі сторонніми силами, які діють на заряди в цьому
колі. Під сторонніми силами мають на увазі сили не електростатич-
ного характеру. Якою ж є природа цих сил у даному випадку?
Результати різних експериментів з електромагнітної індукції пока-
зали, що ЕРС індукції не залежить ані від матеріалу провідника (метал,
електроліт тощо), ані від його стану (наприклад, величини та розподілу
314
Фізика
Рис. 40
температури). Звідси робимо висновок, що сторонні сили пов’язані з са-
мим магнітним полем. Аналіз явища електромагнітної індукції дозво-
лив Дж. Максвеллу дійти висновку, що причиною появи ЕРС індукції
є електричне поле (рис. 40), яке відрізняється від електростатичного
поля певними особливостями.
1. Виникнення поля ніяк не пов’язане з наявністю провідників;
воно існує в просторі, що оточує змінне магнітне поле, незалежно від
наявності в ньому провідників; провідники є лише індикаторами поля
(якщо провідник замкнений, по ньому проходить струм).
2. Це поле не є електростатичним, оскільки силові лінії електро-
статичного поля завжди розімкнені, вони починаються та закінчуються
на зарядах, та напруга по замкненому контуру в електростатичному
полі дорівнює нулю; електростатичне поле не може підтримувати рух
зарядів у замкненому контурі, тобто привести до виникнення ЕРС.
3. На противагу електростатичному, індуковане змінним магнітним
полем електричне поле є вихровим (як і магнітне поле); воно має за-
мкнені силові лінії, призводить до виникнення ЕРС індукції, що надає
руху зарядам у замкнених дротах (рис. 40).
4. На відміну від електростатичного поля, робота сил вихрового елект-
ричного поля та електрична напруга по замкненому контуру не дорівню-
ють нулю, а значення напруги між двома точками визначається не тільки
їх взаємним розташуванням, але й формою контура, який з’єднує ці точки.
Все вищесказане дозволяє дійти висновку, який виражає перше
основне положення теорії Максвелла: будь-яка зміна магнітного поля
спричиняє появу вихрового електричного поля.
Напрям силових ліній напруженості Е збігається з напрямом інду-
кованого струму. Робота вихрового електричного поля при переміщенні
одиничного позитивного заряду вздовж замкненого нерухомого провід-
ника чисельно дорівнює ЕРС індукції в цьому провіднику. Чим швид-
ше змінюється індукція магнітного поля, тим більшою є напруженість
індукованого електричного поля.
ЕРС індукції у рухомих провідниках
ЕРС індукції у провідниках, що рухаються в постійному магнітному
полі, відповідає другому типу електромагнітної індукції, обумовленому
не змінним зовнішнім магнітним полем, а дією сил Лоренца на вільні
заряди провідника.
ЕРС індукції, що виникає на кінцях провідника довжиною І, який
рухається з постійною швидкістю V під деяким кутом а до вектора
індукції В однорідного магнітного поля, дорівнює:
Рис. 41
„ А ЕЬ1 |д|ілВ/зіпос .
£. - :-: = :-, = -і-і---- = оВІ 81П ОС ,
1 кі кі м
де А — робота сили Лоренца щодо переміщення заряду д на відстані І,
Еь — сила Лоренца, що діє на рухомий заряд.
Якщо такий провідник входить до складу замкненого кола, решта
частин якого нерухомі (рис. 41), то в колі виникає електричний струм.
Сила струму дорівнює:
£ оВІ зіп а
В + г В + г
Електродинаміка
315
де В. — опір навантаження (лампочки); г — опір провідника, який
відіграє роль внутрішнього опору джерела струму (опором з’єднуючих
провідників нехтуємо).
З іншого боку, ту саму ЕРС індукції можна одержати, використо-
вуючи основний закон електромагнітної індукції:
_ ДФ В8 зіп а
‘ Лі Лі '
У цьому випадку зміна потоку відбувається не за рахунок зміни ін-
дукції поля, а за рахунок зміни площі контура, що дорівнює Л8 - -ІнЛі.
У результаті отримаємо:
8І — нВІ зіп а .
Індуктивність. Самоіндукція
Індуктивність, або коефіцієнт самоіндукції (від лат. іпсіисііоп —
наведення, збудження) — параметр електричного кола, який визначає
ЕРС самоіндукції, що наводиться в колі при зміні струму, який прохо-
дить по ньому, або (та) його деформації.
Терміном «індуктивність» позначають також котушку самоіндукції,
яка визначає індуктивні властивості кола.
Самоіндукція — виникнення ЕРС індукції в контурі, що проводить,
під час зміни в ньому сили струму.
Самоіндукція була відкрита у 1832 р. американським вченим
Дж. Генрі. Незалежно від нього у 1835 р. це явище відкрив М. Фарадей.
ЕРС індукції виникає при зміні магнітного потоку. Якщо ця зміна
викликана власним струмом, то йдеться про ЕРС самоіндукції.
ДФ _ ЛІ
о. —____________«
18 Лі Лі
де Ь — індуктивність контура, або його коефіцієнт самоіндукції.
Індуктивність — це фізична величина, яка чисельно дорівнює ЕРС
самоіндукції, що виникає в контурі під час зміни сили струму на 1 А
за час 1с.
Індуктивність, як і електроємність, залежить від геометрії провід-
ника — його розмірів та форми, але не залежить від сили струму в про-
віднику. Крім того, індуктивність залежить від магнітних властивостей
середовища, в якому знаходиться провідник.
Одиницею індуктивності в системі СІ є генрі (Гн): 1 Гн = 1 В с/А.
Енергія магнітного поля
За аналогією з кінетичною енергією тіла для кіл постійного струму
енергія магнітного поля Жм записується у формі, аналогічній виразу
... то2
для кінетичної енергії --:
При цьому індуктивність вміщує в собі частину, пов’язану з енергією
магнітного поля, зосереджену в провідниках, внутрішню індуктивність
£, та зовнішню Ье, пов’язану із зовнішнім магнітним полем: £ = £,+ Ье.
316
Фізика
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Якому закону відповідає таке формулювання: сила взаємодії двох точкових нерухомих за-
ряджених тіл у вакуумі прямо пропорційна добутку модулів заряду та обернено пропорційна
квадрату відстані між ними:
А) закону збереження електричного заряду;
Б)закону Кулона;
В) закону всесвітнього тяжіння;
Г) закону Ома.
2. Електрична стала дорівнює:
А) Я = 8,3145 Дж/моль-К; Б) к = 1,38 23Дж/К;
В) ц0 = 1,256-106 Гн/м; Г) є0 = 8,854-10 12 Кл2/Н-м2.
3. Два точкових нерухомих заряджених тіла, які мають заряди та ^2, знаходяться у вакуумі
на відстані 20 см один від одного. Як зміниться сила взаємодії між цими зарядами, якщо
відстань між ними зменшиться вдвічі:
А) збільшиться в 4 рази; В) зменшиться в 4 рази;
Б) зменшиться в 2 рази; Г) збільшиться в 2 рази.
4. Електроємність батареї конденсаторів при їх паралельному з’єднанні дорівнює:
А) сумі опорів конденсаторів;
Б) сумі обернених величин електроємностей;
В) сумі провідностей;
Г) сумі електроємностей окремих конденсаторів.
5. Напруга на ділянці кола зі струмом 0,5 А, якщо її опір становить 40 Ом, дорівнює:
А) 40 В; Б) 10 В; В) 20 В; Г) ЗО В.
6. Ділянка електричного кола складається з послідовно з’єднаних провідників, які мають опори
В1 - ЗО Ом та В2 - 50 Ом. Якою буде напруга на першому провіднику, якщо напруга на
другому дорівнює 172 - 20 В:
А) 12 В; Б) 20 В; В) 6 В; Г) 15 В.
7. Два провідника з опорами В1 - 60 Ом та В2 - 40 Ом з’єднані паралельно. Загальний опір цієї
ділянки кола дорівнює:
А) ЗО Ом; Б) 20 Ом; В) 24 Ом; Г) 35 Ом.
8. Яку роботу здійснить електричний струм за проміжок часу 10 с на ділянці кола з струмом
1 А, напруга на кінцях якої 20 В:
А) 200 Дж; Б) 20 Дж; В) 100 Дж; Г) 50 Дж.
9. Одиниця індукції магнітного поля в системі СІ називається:
А) вебер; Б) фарада; В) генрі; Г) тесла.
10. Закон Ампера визначає силу, що діє на прямолінійну ділянку провідника зі струмом
за формулою:
А) Р = к ІЯіЬІЯ2!; Б) Р = В\І\М зіпа; В)А = Ші; Г) Р = |д|о В зіпа.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Б. 2. Г. 3. А. 4. Г. 5. В. 6. А. 7. В. 8. А. 9. Г. 10. Б.
КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ. ОПТИКА
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Механічні коливання і хвилі. Коливальний рух. Вільні механічні коливання. Гармонічні
коливання. Зміщення, амплітуда, період, частота і фаза гармонічних коливань. Коливання ван-
тажу на пружині. Математичний маятник, період коливань математичного маятника. Перетво-
рення енергії при гармонічних коливаннях. Вимушені механічні коливання. Явище резонансу.
Поширення коливань у пружних середовищах. Поперечні та поздовжні хвилі. Довжина
хвилі. Зв’язок між довжиною хвилі, швидкістю її поширення та періодом (частотою).
Звукові хвилі. Швидкість звуку. Гучність звуку та висота тону. Інфра- та ультразвуки.
Електромагнітні коливання і хвилі. Вільні електромагнітні коливання в коливальному кон-
турі. Перетворення енергії в коливальному контурі. Власна частота і період електромагнітних
коливань.
Вимушені електричні коливання. Змінний електричний струм. Генератор змінного струму.
Електричний резонанс.
Електромагнітне поле. Електромагнітні хвилі та швидкість їх поширення. Шкала електро-
магнітних хвиль. Властивості електромагнітного випромінювання різних діапазонів.
Оптика. Прямолінійність поширення світла в однорідному середовищі. Швидкість світла
та її вимірювання.
Закони відбивання світла. Побудова зображень, які дає плоске дзеркало.
Закони заломлення світла. Абсолютний і відносний показники заломлення. Повне відбивання.
Лінза. Оптична сила лінзи. Формула тонкої лінзи. Побудова зображень, які дає тонка лінза
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Механічні коливання та хвилі
Коливальний рух
Коливання — це рухи або стани, які повторюються у часі.
Коливання є дуже поширеним видом руху. Це покачування гілок
дерев на вітру; вібрація струн у музичних інструментах; рух поршня
у циліндрі двигуна автомобіля; качання маятника у настінному годин-
нику та навіть биття нашого серця; пульсація випромінювання зірок,
всередині яких відбуваються циклічні ядерні реакції; приливи та від-
ливи на Землі, що спричинені рухом Місяця. Коливання властиві прак-
тично всім явищам природи.
Механічні коливання
Одним з видів коливань, що особливо відокремлюються у фізиці,
є механічні коливання.
Розглянемо коливальний рух на прикладі двох маятників — нит-
кового та пружинного.
Нитковий маятник зображений на рис. 1. Він являє собою кульку,
прикріплену до тонкої легкої нитки. Якщо цю кульку зсунути у бік від
318
Фізика
Рис. 2
положення рівноваги та відпустити, то вона почне коливатися, тобто
здійснювати коливальні рухи, періодично проходячи через положення
рівноваги.
На рис. 2 зображений пружинний маятник. Він являє собою вагу,
яка здатна коливатися під дією сили пружності.
Коливальний рух характеризується амплітудою А, періодом Т
та частотою коливань V.
Амплітуда коливань
Амплітуда коливань (від лат. атріііисіо — величина) — це найбіль-
ше відхилення коливного тіла від положення рівноваги.
Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька
від свого положення рівноваги (рис. 1). Для коливань з малими амп-
літудами такою відстанню можна вважати довжину дуги 01 або 02, або
довжини цих відрізків.
Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини — метрах,
сантиметрах тощо. На графіку коливань амплітуда визначається як
максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, див. рис. 5.
Період коливань
Період коливань — це найменший проміжок часу, через який сис-
тема, що здійснює коливання, знов повертається у той самий стан,
в якому вона перебувала у початковий момент часу, обраний довільно.
Інакше кажучи, період коливань (Т) — це час, за який здійснюється
одне повне коливання. Наприклад, на рис. 1 це час, за який тягарець
маятника переміщується з крайньої правої точки через точку рівнова-
ги О у крайню ліву точку та назад через точку О знов у крайню праву.
За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, що
дорівнює чотирьом амплітудам.
Період коливань вимірюється в одиницях часу — секундах, хвили-
нах тощо. Період коливань може бути визначений за відомим графіком
коливань.
Частота коливань
Частота коливань — це число коливань, здійснених за одиницю
часу, наприклад, за 1 с.
Одиниця частоти в СІ названа герцем (Гц) на честь німецького фізи-
ка Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань (у) дорівнює 1 Гц, це
означає, що за кожну секунду здійснюється одне коливання. Частота
та період коливань пов’язані співвідношеннями:
Т = 1/у, V = 1/Т.
У теорії коливань користуються також поняттям циклічної, або
колової частоти со. Вона пов’язана із звичайною частотою і періодом
коливань співвідношеннями:
2л о
со = — = 2лу .
Т
Циклічна частота — це число коливань, здійснюваних за 2л секунд.
Коливання та хвилі. Оптика
319
Гармонічні коливання
Гармонічні коливання — це коливання, під час яких фізична вели-
чина змінюється з часом за синусоїдальним законом:
х(і) = А зіп (сої + ф),
де х — значення коливної величини на момент часу і, А — амплітуда,
со — колова частота, ф — початкова фаза коливань, (сої + ф) — повна
фаза коливань. При цьому величини А, со і ф — сталі.
Для механічних коливань коливною величиною х є зсув та швид-
кість, для електричних — напруга та сила струму.
Перетворення енергії при гармонічних коливаннях
У процесі коливань відбувається перехід потенціальної енергії ІУр
у кінетичну ІУ/; та навпаки. У положенні максимального відхилення від
стану рівноваги потенціальна енергія максимальна, кінетична дорівнює
нулю. В міру повертання до положення рівноваги швидкість коливного
тіла зростає, а разом з нею зростає і кінетична енергія, сягаючи макси-
муму у положенні рівноваги. Потенціальна енергія при цьому спадає
до нуля. Подальший рух відбувається зі зменшенням швидкості, яка
спадає до нуля, коли відхилення сягає свого другого максимуму. Потен-
ціальна енергія тут збільшується до свого попереднього (максимального)
значення (за відсутності тертя). Таким чином, коливання кінетичної та
потенціальної енергії відбуваються з подвоєною (у порівнянні з коли-
ваннями самого маятника) частотою та перебувають у протифазі (тобто
між ними існує зсув фаз, що дорівнює я). Повна енергія коливань ТУ
залишається незмінною. Для тіла, що коливається під дією сили пруж-
ності, вона дорівнює:
кх2 тії2 кх2 тVг
ТУ = ТУ + ТУ =--+ і- = —2- = 2- ,
р к 2 2 2 2
де і?,„ — максимальна швидкість тіла (у положенні рівноваги).
Через наявність тертя та опору середовища вільні коливання зага-
сають: їх енергія та амплітуда з часом зменшуються. Тому на практиці
частіше використовують не вільні, а вимушені коливання.
Вільні коливання
Вільні коливання (або власні коливання) — це коливання коли-
вальної системи, здійснені тільки завдяки первісно наданій енергії
(потенціальній або кінетичній) за відсутності зовнішніх впливів.
Потенціальна або кінетична енергія може бути надана, наприклад,
у механічних системах через початковий зсув або початкову швидкість.
Тіла, що вільно коливаються, завжди взаємодіють з іншими тілами
та разом з ними утворюють систему тіл, яка називається коливальною
системою.
Системи тіл, які здатні здійснювати вільні коливання, називаються
коливальними системами.
Наприклад, пружина, кулька та вертикальний стояк, до якого при-
кріплений лівий кінець пружини (рис. 3), складають коливальну сис-
тему. Тут кулька вільно ковзає по струні (сили тертя нехтувано малі).
320
Фізика
Якщо відвести кульку праворуч та відпустити, вона здійснюватиме
вільні коливання біля положення рівноваги (точки О) внаслідок дії сили
пружності пружини, спрямованої до положення рівноваги.
І х
І
* , X І
І
Рис. З
Іншим класичним прикладом механічної коливальної системи
є математичний маятник (рис. 4). У даному випадку кулька здійс-
нює вільні коливання під дією двох сил: сили ваги та сили пружності
нитки (до коливальної системи входить також Земля). їх рівнодіюча
спрямована до положення рівноваги. Сили, що діють між тілами ко-
ливальної системи, називаються внутрішніми силами. Зовнішніми
силами називаються сили, що діють на систему з боку тіл, які не вхо-
дять до неї. З цієї точки зору вільні коливання можна визначити як
коливання в системі під дією внутрішніх сил після того, як система
виведена зі стану рівноваги.
Умовами виникнення вільних коливань є:
1) виникнення сили, що повертає систему в положення стійкої рів-
новаги після того, як її вивели з цього стану;
2) відсутність тертя в системі.
Динаміка вільних коливань
Коливання тіла під дією сил пружності. Рівняння коливально-
го руху тіла під дією сили пружності Рпр (рис. 4) може бути отрима-
не з урахуванням другого закону Ньютона (Р - та) та закону Гука
(Рпр = -кх), де т — маса кульки, а — прискорення, отримане кулькою
під дією сили пружності, к — коефіцієнт жорсткості пружини, х — зсув
тіла від положення рівноваги (обидва рівняння записані в проекції на
горизонтальну вісь Ох). Прирівнюючи праві частини цих рівнянь та
враховуючи, що прискорення а — це друга похідна від координати х
(зсуву), отримаємо:
х" — — — х . (4.1)
т
Це диференціальне рівняння руху тіла, що коливається під дією
сили пружності; друга похідна координати по часу (прискорення тіла)
прямо пропорційна його координаті, взятій із протилежним знаком.
Коливання математичного маятника. Для одержання рівнян-
ня коливання математичного маятника (рис. 4) необхідно розклас-
ти силу ваги РТ - т§ на нормальну Рп (спрямовану уздовж нитки)
Коливання та хвилі. Оптика
321
та тангенціальну Р. (дотичну до траєкторії руху кульки — кола) скла-
дові. Нормальна складова сили ваги Рп та сила пружності Рпр в сумі
надають маятнику доцентрове прискорення, що не впливає на величину
швидкості, лише змінює її напрям, а тангенціальна складова Р. є тією
силою, яка повертає кульку у положення рівноваги та примушує її
здійснювати коливальні рухи.
Використовуючи, яків попередньому випадку, закон Ньютона для
тангенціального прискорення та. = Р. та враховуючи, що Р. = -т^зіпос,
отримаємо:
а. = -£8Іпос.
Знак «мінус» з’явився через те, що сила та кут відхилення від по-
ложення рівноваги а мають протилежні знаки. Для малих кутів від-
хилення зіп а ~ а. У свою чергу, а = з/1, де 8 — дуга ОА, І — довжина
нитки. Враховуючи, що ат = з" , остаточно отримаємо:
8" = |8. (4.2)
Вигляд рівняння (4.2) аналогічний вигляду рівняння (4.1). Тільки
тут параметрами системи є довжина нитки та прискорення вільного
падіння, а не жорсткість пружини та маса кульки; роль координати
відіграє довжина дуги (тобто пройдений шлях, як і в першому ви-
падку).
Таким чином, вільні коливання описуються рівняннями однакового
вигляду (підпорядковуються одним й тим самим законам) незалежно
від фізичної природи сил, що спричиняють ці коливання.
Розв’язанням рівнянь (4.1) та (4.2) є функція вигляду:
х - хтсо8(О01 (або х - хтзіп(00і). (4.3)
Тобто координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється
з часом за законом косинуса або синуса, а, отже, ці коливання є гар-
монічними (рис. 5).
У рівнянні (4.3) хт — амплітуда коливання, соо — власна циклічна
(колова) частота коливань. Частота вільних коливань називається влас-
ною частотою коливальної системи.
Циклічна частота та період вільних гармонічних коливань визнача-
ються властивостями системи. Так, для коливань тіла, прикріпленого
до пружини, справедливі співвідношення:
Т = 2к&
V т V к
Власна частота тим більша, чим більша жорсткість пружини або
менша маса ваги, що цілком підтверджується дослідом.
322
Фізика
Для математичного маятника виконуються рівності:
сйо=,Л; т=2п][г
Ця формула була вперше одержана та перевірена дослідом нідер-
ландським вченим Гюйгенсом (сучасником Ньютона).
Період коливань зростає зі збільшенням довжини маятника та не
залежить від його маси.
Варто особливо звернути увагу на те, що гармонічні коливання
є строго періодичними (тому що підпорядковуються закону синуса
або косинуса) і навіть для математичного маятника, що є ідеалізацією
реального (фізичного) маятника, можливі тільки при малих кутах
коливання. Якщо кути відхилення великі, зсув тягарця не буде про-
порційним куту відхилення (синусу кута) та прискорення не буде про-
порційним зсуву.
Швидкість та прискорення тіла, що здійснює вільні коливання, та-
кож здійснюватимуть гармонічні коливання. Беручи похідну за часом
функції (4.3), отримаємо вираз для швидкості:
о = -ит8іпа)оі = -і?,„ х,псо8(со0і + п/2), (4.4)
де і?,„ = (О0хт — амплітуда швидкості.
Аналогічно вираз для прискорення а отримаємо, диференціюючи
(4.4):
а - -ат соз сооі,
де ат - (О20хт — амплітуда прискорення. Таким чином, амплітуда швид-
кості гармонічних коливань пропорційна частоті, а амплітуда приско-
рення — квадрату частоти коливання.
Фаза коливань
Фаза коливань — це аргумент функції, що періодично змінюється
та описує коливальний або хвильовий процес.
Для гармонічних коливань
Х(і) = Асоз((оЛ-ф0), (4.5)
де ф = (ні + ф0 — фаза коливання, А — амплітуда, со — колова частота,
і — час, ф0 — початкова (фіксована) фаза коливання: на момент часу
і - 0 ф = ф0. Фаза виражається в радіанах.
Грецьке слово рііазіз означає «поява», «ступінь розвитку будь-якого
процесу». У повній відповідності зі значенням слова, фаза гармонічного
коливання при сталій амплітуді визначає не тільки координату колив-
ного тіла у будь-який момент часу, але й швидкість та прискорення, що
також змінюються за гармонічним законом (швидкість та прискорення
гармонічних коливань — це перша та друга похідні за часом функції
(4.5), які, як відомо, знов дають синус та косинус). Тому можна сказа-
ти, що фаза визначає при заданій амплітуді стан коливальної системи
у будь-який момент часу.
Два коливання з однаковими амплітудами та частотами можуть
відрізнятися одне від одного фазами. Оскільки со = 2п/Т, то
ф - ф0 = <лі - 2пі/Т.
Коливання та хвилі. Оптика
323
Відношення і/Т показує, яка частина періоду пройшла від момен-
ту початку коливань. Будь-якому значенню часу, вираженому в част-
ках періоду, відповідає значення фази, вираженої в радіанах (рис. 6).
Суцільна крива на рис. 6 — це залежність координати від часу та од-
ночасно від фази коливань (верхні та нижні значення на осі абсцис
відповідно) для точки, яка здійснює гармонічні коливання за законом:
X - Х,пСО8(00 і.
(4.6)
Тут початкова фаза дорівнює нулю ф0 = 0. На початковий момент
часу амплітуда максимальна. Це відповідає випадку коливання тіла,
прикріпленого до пружини (або маятника), яке у початковий момент
часу відвели від положення рівноваги та відпустили. Опис коливань,
що починаються з положення рівноваги (наприклад, при короткочас-
ному поштовху кульки, що знаходилась у спокої), зручніше вести за
допомогою функції синуса:
х - хт8Іпсооі. (4.7)
Як відомо, созф = 8Іп(ф + л/2), тому коливання, що описуються рів-
няннями (4.6) та (4.7), відрізняються одне від одного лише фазами.
Різниця фаз, або зсув фаз, становить л/2. Щоб визначити зсув фаз, необ-
хідно коливну величину виразити через одну й ту саму тригонометричну
функцію — косинус або синус. Пунктирна крива на рис. 6 (це графік
рівняння (4.7)) зсунута відносно суцільної кривої на л/2.
Вимушені коливання
Коливання, що здійснюються тілом під дією зовнішньої сили, яка
періодично змінюється, називаються вимушеними коливаннями.
Зовнішня сила, яка періодично змінюється, називається змушу-
вальною силою.
Прикладами вимушених коливань є трясіння автомобіля, що рухаєть-
ся нерівною дорогою; вібрації кормової частини судна, пов’язані з робо-
тою гребного гвинта; рух гойдалки, яку хтось періодично підштовхує.
Особливий інтерес являють вимушені коливання в системі, здатній
здійснювати вільні коливання, тобто тієї, що має власну частоту коли-
вань. Вони цікаві тим, що їх амплітуда може зростати при відповідній
зміні частоти змушувальної сили. Наприклад, після початку розка-
чування гойдалки (яка є маятником) амплітуда вимушених коливань
зростатиме, тобто амплітуда кожного наступного коливання буде біль-
шою, ніж попереднього (якщо розкачувати гойдалку в такт). Збільшен-
ня амплітуди припиниться тоді, коли втрата енергії на поборення сил
тертя дорівнюватиме енергії, отриманій гойдалкою ззовні за рахунок
роботи змушувальної сили.
У більшості випадків стала частота вимушених коливань встанов-
люється не одразу, а через деякий час після їх початку.
Коли амплітуда та частота вимушених коливань припиняють змі-
нюватись, кажуть, що коливання встановились.
Частота встановлених вимушених коливань дорівнює частоті
змушувальної сили.
На відміну від вільних коливань, що є загасаючими, вимушені ко-
ливання є незагасаючими. Вони відбуваються доти, доки діє змушу-
вальна сила.
324
Фізика
Резонанс
Рис. 7
0 Оіо
Рис. 9
Явище резонансу полягає в тому, що амплітуда вимушених коли-
вань, які встановились, сягає найбільшого значення, коли частота зму-
шувальної сили дорівнює власній частоті коливальної системи.
Характерною властивістю вимушених коливань є залежність їх ам-
плітуди від частоти зміни зовнішньої сили.
Для вивчення цієї залежності можна скористатися обладнанням,
зображеним на рис. 7. На кривошипі з ручкою укріплений пружинний
маятник. При рівномірному обертанні ручки на тягарець через пружину
передається дія сили, що періодично змінюється. Змінюючись із часто-
тою, яка дорівнює частоті обертання ручки, ця сила змушує тягарець
здійснювати вимушені коливання.
Якщо обертати ручку кривошипа дуже повільно, то тягарець разом
із пружиною переміщуватиметься вгору та вниз так само, як і точка
підвісу О. Амплітуда вимушених коливань при цьому буде невеликою.
При швидшому обертанні тягарець почне коливатися сильніше, а при
частоті обертання, що дорівнює власній частоті пружинного маятника
(со = совл), амплітуда його коливань сягне максимальної. При подальшому
збільшенні частоти обертання ручки амплітуда вимушених коливань
тягарця знов стане меншою. Дуже швидке обертання ручки залишить тя-
гарець майже нерухомим: через власну інертність пружинний маятник,
не встигаючи додержуватись змін зовнішньої сили, тремтітиме на місці.
Явище резонансу можна продемонструвати й з нитяними маятни-
ками. Підвісимо на рейці масивну кулю 1 та декілька маятників, що
мають нитки різної довжини (рис. 8). Кожний з цих маятників має
свою власну частоту коливань, яку можна визначити, знаючи довжину
нитки та прискорення вільного падіння.
Тепер, не торкаючись легких маятників, виведемо кулю 1 з поло-
ження рівноваги та відпустимо. Качання масивної кулі спричинять
періодичні коливання рейки, внаслідок яких на кожний з легких маят-
ників почне діяти сила пружності, яка періодично змінюється. Частота
її змін дорівнюватиме частоті коливань кулі. Під дією цієї сили маят-
ники почнуть здійснювати вимушені коливання. При цьому маятники
2 та 3 залишаться майже нерухомими. Маятники 4 та 5 коливатимуться
з ненабагато більшою амплітудою, а у маятника 6, що має таку саму
довжину нитки, а, отже, й власну частоту коливань, як у кулі 1, амп-
літуда виявиться максимальною. Це і є резонанс.
Резонанс виникає через те, що зовнішня сила, яка діє в такт з віль-
ними коливаннями тіла, впродовж усього часу здійснює додатну роботу.
За рахунок цієї роботи енергія коливного тіла збільшується, амплітуда
коливань зростає.
Різке зростання амплітуди вимушених коливань при со = совл нази-
вається резонансом.
Зміна амплітуди коливань у залежності від частоти при одній і тій
самій амплітуді зовнішньої сили, але при різних коефіцієнтах тертя ц
зображена на рис. 4.9, де кривій 1 відповідає мінімальне значення ц,
а кривій 3 — максимальне.
З рис. 4.9 видно, що про резонанс варто говорити, якщо загасання
вільних коливань у системі невелике. Інакше амплітуда вимушених
коливань при со = соо мало відрізняється від амплітуди коливань за ін-
ших частот.
Коливання та хвилі. Оптика
325
Поширення коливань у пружних середовищах
(механічні хвилі)
Збурення, що поширюються у просторі, віддаляючись від місця їх
виникнення, називають хвилями.
Пружні хвилі — це збурення, що поширюються в твердому, рідкому
та газоподібному середовищах завдяки дії в них сил пружності.
Саме ці середовища називають пружними. Збурення пружного сере-
довища — це будь-яке відхилення частинок цього середовища від свого
положення рівноваги.
Візьмемо, наприклад, довгу мотузку (або гумову трубку) та при-
кріпимо один з її кінців до стіни. Туго натягнувши мотузку, різким
боковим рухом руки створимо на її незакріпленому кінці короткочасне
збурення. Ми побачимо, що це збурення «побіжить» уздовж мотузки
та, дійшовши до стіни, відіб’ється назад (рис. 10).
Початкове збурення середовища, що призводить до появи в ньому
хвиль, спричиняється дією в ньому будь-якого чужорідного тіла, яке
називають джерелом хвилі. Це може бути рука людини, що ударила по
мотузці, камінець, що впав у воду, тощо.
Якщо дія джерела має короткочасний характер, то в середовищі ви-
никає так звана поодинока хвиля (див. рис. 10). Якщо ж джерело хвилі
здійснює тривалий коливальний рух, то хвилі в середовищі починають
йти одна за одною. Подібну картину можна побачити, помістивши над
ванною з водою вібруючу пластину, що має наконечник, опущений у воду.
Необхідною умовою виникнення пружної хвилі є поява в момент
виникнення збурення сил пружності, що перешкоджають цьому збурен-
ню. Ці сили намагаються наблизити сусідні частинки середовища, якщо
вони розходяться, та віддалити їх, якщо вони зближуються. Діючи на
все більш віддалені від джерела частинки середовища, сили пружності
починають виводити їх з положення рівноваги. Поступово всі частинки
середовища одна за одною залучаються до коливального руху. Поши-
рення цих коливань виявиться у вигляді хвилі.
У будь-якому пружному середовищі одночасно існують два види
руху: коливання частинок середовища та поширення збурення. Хвиля,
в якій частинки середовища коливаються вздовж напряму її поширен-
ня, називається поздовжньою, а хвиля, в якій частинки середовища
коливаються поперек напряму її поширення, називається поперечною.
Рис. 10
іііііііііііііціііііі
Поздовжня хвиля
Хвиля, в якій коливання відбуваються вздовж напряму поширення
хвилі, називається поздовжньою.
У пружній поздовжній хвилі збурення являють собою стиснення
та розрідження середовища. Деформація стиснення супроводжується
виникненням сил пружності в будь-якому середовищі. Тому поздовжні
хвилі можуть поширюватись в усіх середовищах (у рідких, у твердих
та газоподібних) (рис. 11).
----1----
Напрям
коливань
Напрям
розповсюдження хвилі
Рис. 11
326
Фізика
а
б
Рис. 12
Приклад розповсюдження поздовжньої хвилі проілюстрований на
рис. 12. По лівому кінцю довгої пружини, що підвішена на нитках,
ударяють рукою. Від удару декілька витків зближуються, виникає сила
пружності, під дією якої ці витки починають розходитись. Продовжую-
чи рух по інерції, вони продовжуватимуть розходитися, минаючи поло-
ження рівноваги та утворюючи в цьому місці розрідження (рис. 12, б).
При ритмічному впливі витки на кінці пружини то зближатимуться,
то відходитимуть один від одного, тобто коливатимуться біля свого
положення рівноваги. Ці коливання поступово передадуться від вит-
ка до витка уздовж усієї пружини. Пружиною пошириться згущення
та розрідження витків, або пружна хвиля.
Поперечна хвиля
Хвилі, в яких коливання відбуваються перпендикулярно напряму
їх поширення, називаються поперечними.
У поперечній пружній хвилі збурення являють собою зсуви (зміщен-
ня) одних шарів середовища відносно інших (рис. 13). Деформація зсуву
призводить до появи сил пружності тільки у твердих тілах: зсув шарів
у газах та рідинах виникненням сил пружності не супроводжується.
Тому поперечні хвилі можуть поширюватись тільки в твердих тілах.
Приклад виникнення поперечної хвилі наведений на рис. 10.
Рис. 13
Плоска хвиля
Плоска хвиля — це хвиля, у якої напрям поширення однаковий
в усіх точках простору.
У такій хвилі амплітуда не змінюється з часом (у міру віддалення від
джерела). Отримати таку хвилю можна, якщо велику пластину, що зна-
ходиться в суцільному однорідному пружному середовищі, примусити
коливатися перпендикулярно площині. Тоді всі точки середовища, що
прилягають до пластини, коливатимуться з однаковими амплітудами
та однаковими фазами. Поширюватимуться ці коливання у вигляді
хвиль у напрямі нормалі до пластини, причому всі частинки середо-
вища, що лежать у площинах, рівнобіжних пластині, коливатимуться
з однаковими фазами.
Геометричне місце точок, в яких фаза коливань має одне й те саме
значення, називається хвильовою поверхнею, або фронтом хвилі.
З цієї точки зору плоскій хвилі можна дати таке визначення.
Хвиля називається плоскою, якщо її хвильові поверхні являють
собою сукупність площин, рівнобіжних одна одній (рис. 14).
Лінія, нормальна до хвильової поверхні, називається променем.
Уздовж променів відбувається перенесення енергії хвилі. Для плоских
хвиль промені — це рівнобіжні прямі.
Коливання та хвилі. Оптика
327
Рівняння плоскої синусоїдальної хвилі має вигляд:
8 = 8т ЗІП [ОбІ - х/г) + ф0],
де 8 — зсув коливної точки, 8,„ — амплітуда коливань, со — циклічна
частота, і — час, х — поточна координата, V — швидкість поширення
коливань або швидкість хвилі, ф0 — початкова фаза коливань.
Сферична хвиля
Сферичною називається хвиля, хвильові поверхні якої мають виг-
ляд концентричних сфер. Центр цих сфер називається центром хвилі.
Промені у такій хвилі спрямовані уздовж радіусів, що розходять-
ся від центра хвилі (рис. 15). На рис. 15 джерелом хвилі є пульсуюча
сфера.
Амплітуда коливань частинок у сферичній хвилі обов’язково змен-
шується по мірі віддалення від джерела. Енергія, що випромінюється
джерелом, рівномірно розподіляється поверхнею сфери, радіус якої
безперервно збільшується по мірі поширення хвилі.
Довжина та швидкість хвилі
Кожна хвиля поширюється з якоюсь швидкістю.
Під швидкістю хвилі розуміють швидкість розповсюдження збу-
рення.
Наприклад, удар по торцю сталевого стрижня спричиняє у ньому
часткове стискання, яке потім розповсюджується уздовж стрижня зі
швидкістю приблизно 5 км/с.
Швидкість хвилі визначається властивостями середовища, в якому
ця хвиля поширюється. При переході хвилі з одного середовища до
іншого її швидкість змінюється.
Довжиною хвилі називається відстань, на яку поширюється хвиля
за час, що дорівнює періоду коливань у ній.
Оскільки швидкість хвилі — величина стала (для даного середо-
вища), то відстань, яку пройшла хвиля, дорівнює добутку швидкості
та часу її розповсюдження. Таким чином, щоб знайти довжину хвилі,
потрібно швидкість хвилі помножити на період коливань у ній:
X = уТ, (4.8)
де V — швидкість хвилі, Т — період коливань у хвилі, X — довжина
хвилі.
Формула (4.8) виражає зв’язок довжини хвилі з її швидкістю та
періодом. Враховуючи, що період коливань у хвилі обернено пропор-
ційний частоті V, тобто Т - 1/у, можна одержати формулу, яка виражає
зв’язок довжини хвилі з її швидкістю та частотою:
Х = = V—,
V
ЗВІДКИ
V = XV.
Отримана формула показує, що швидкість хвилі дорівнює добутку
довжини хвилі та частоти коливань у ній.
Рис. 15
328
Фізика
Довжина хвилі — це просторовий період хвилі. На графіку хвилі
(рис. 16) довжина хвилі визначається як відстань між двома найближ-
чими точками гармонічної хвилі, що біжить, які знаходяться в одна-
ковій фазі коливань. Рис. 16 — це немовби миттєві фотографії хвиль
у коливному пружному середовищі на моменти часу і та і + Ді. Вісь Ох
збігається з напрямом розповсюдження хвилі, на осі ординат відкладені
зсуви з коливних частинок середовища.
Рис. 16
Частота коливань у хвилі збігається з частотою коливань джерела,
тобто коливання частинок у середовищі є вимушеними та не залежать
від властивостей середовища, в якому поширюється хвиля. При пе-
реході хвилі з одного середовища до іншого її частота не змінюється,
змінюються лише швидкість та довжина хвилі.
Звук
Звук (або звукові хвилі) — це коливні рухи частинок пружного се-
редовища — газоподібного, рідкого або твердого, що поширюються
у вигляді хвиль.
Під словом «звук» розуміють також відчуття, спричинені дією зву-
кових хвиль на спеціальний орган відчуттів (орган слуху або, простіше,
вухо) людини та тварин: людина чує звук частотою від 16 Гц до 20 кГц.
Частоти цього діапазону називають звуковими.
Отже, під фізичним поняттям звуку розуміють пружні хвилі не тіль-
ки тих частот, які людина чує, а також більш низькі та більш висо-
кі частоти. Перші називаються інфразвуком, другі — ультразвуком
(рис. 17). Найбільш частотні пружні хвилі у діапазоні 109-1013 Гц на-
лежать до гіперзвуку.
Звук, який
, . можна
Інфразвук почути Ультразвук
а б
Рис. 18
Ч-----------1------►
16 20 000 V, Гц
Рис. 17
«Почути» звукові хвилі можна, примусивши тремтіти затиснуту
в лещатах довгу сталеву лінійку. Однак якщо над лещатами виступа-
тиме більша частина лінійки (рис. 18, а), то, викликавши її коливан-
ня, ми не почуємо хвилі, що породжуються нею. Але якщо скоротити
частину лінійки, (рис. 18, б) що виступає, та тим збільшити частоту її
коливань, лінійка почне звучати.
Коливання та хвилі. Оптика
329
Інтерференція хвиль
Інтерференція хвиль (від лат. іпіег — взаємно, між собою та /егіо —
ударяю, вражаю) — взаємне підсилення або послаблення двох або біль-
шої кількості хвиль при їх накладенні одна на одну при одночасному
поширенні у просторі.
Зазвичай під інтерференційним ефектом розуміють той факт,
що результуюча інтенсивність в одних точках простору стає більшою,
в інших — меншою за сумарну інтенсивність хвиль.
Інтерференція хвиль — одна з основних властивостей хвиль будь-якої
природи: пружних, електромагнітних, в тому числі світлових, тощо.
Інтерференція механічних хвиль
Додавання механічних хвиль — їх взаємне накладання — найпро-
стіше спостерігати на поверхні води. Якщо збудити дві хвилі, кинувши
у воду два камені, то кожна з цих хвиль поводиться так, ніби іншої
хвилі не існує. Аналогічно поводяться звукові хвилі від різних неза-
лежних джерел. У кожній точці середовища коливання, викликані
хвилями, просто додаються. Результуючий зсув будь-якої частинки
середовища являє собою алгебраїчну суму зсувів, які б відбувались при
поширенні однієї хвилі за відсутності іншої.
Якщо одночасно в двох точках Ох та О2 збудити у воді дві когерентні
гармонічні хвилі, то спостерігатимуться гребені та западини на поверхні
води, що не змінюються з часом, тобто виникає інтерференція.
Умовою виникнення максимуму інтенсивності в деякій точці М,
що знаходиться на відстанях ф та (12 від джерел хвиль (ф та О2, від-
стань між якими складає І « І « д2 (рис. 19), є:
Ад = кк, (4.9)
Рис. 19
де к - 0, 1, 2, ..., а/. — довжина хвилі.
Амплітуда коливань середовища в даній точці максимальна, якщо
різниця ходу двох хвиль, які збуджують коливання в цій точці, дорів-
нює цілому числу довжин хвиль та за умови, що фази коливань двох
джерел збігаються.
Під різницею ходу Лй тут розуміють геометричну різницю шляхів,
які проходять хвилі від двох джерел, до точки, що розглядається:
Лй = д2- дг. За такої різниці ходу (4.9) різниця фаз двох хвиль дорів-
нює парному числу п, амплітуди коливань додаватимуться (рис. 20).
Рис. 20 Рис. 21
Умовою мінімуму є:
Лй = (2к + 1)Х/2.
330
Фізика
Амплітуда коливань середовища в даній точці мінімальна, якщо
різниця ходу двох хвиль, що збуджують коливання у цій точці, дорів-
нює непарному числу півхвиль та за умови, що фази коливань двох
джерел збігаються.
Різниця фаз хвиль у цьому випадку дорівнює непарному числу п,
тобто коливання відбуваються у протифазі, отже, гасяться; амплітуда
результуючого коливання дорівнює нулю (рис. 21).
Рис. 22
Дифракція хвиль
Дифракція хвиль (від лат. ді/гасіив — розламаний) — у первинному
вузькому розумінні — огинання хвилями перешкод, а в сучасному —
більш широкому — будь-які відхилення від законів геометричної оптики
під час поширення хвиль.
Дифракція хвиль виявляється особливо виразно у випадках, коли
розміри перешкод менші від довжини хвилі або порівняні з нею.
Властивість хвиль огинати перешкоди можна спостерігати на морсь-
ких хвилях, що легко огинають камінь, розміри якого малі у порівнян-
ні з довжиною хвилі. Звукові хвилі також здатні огинати перешкоди,
завдяки чому ми чуємо, наприклад, сигнал машини, що знаходиться
за рогом будинку.
Явище дифракції хвиль на поверхні води можна спостерігати, якщо
поставити на шляху хвиль екран із вузькою щілиною, розміри якої мен-
ші від довжини хвилі (рис. 22). За екраном поширюється колова хвиля,
така сама, як у випадку, якщо б в отворі екрана було розташоване ко-
ливне тіло — джерело хвиль. Згідно з принципом Гюйгенса-Френеля,
саме так і має бути. Вторинні джерела у вузькій щілині розташовані
настільки близько один до одного, що їх можна розглядати як одне
точкове джерело.
Якщо розміри щілини великі у порівнянні з довжиною хвилі, то хви-
ля проходить через щілину, майже не змінюючи своєї форми; лише по
краях можна бачити ледве помітні викривлення хвильової поверхні,
завдяки чому хвиля проходить і у простір за екраном (рис. 23).
Електромагнітні коливання та хвилі
Коливання — це рухи або стани, які повторюються у часі.
У фізиці розглядаються коливання двох типів — механічні та елект-
ромагнітні, а також їх комбінації. Пов’язане це з тим, що гравітаційні та
електромагнітні взаємодії відіграють визначну роль у житті людини. Спра-
ва у тому, що звук та світло, які є коливаннями густини та тиску повітря
(звук) і дуже швидкими коливаннями електричних та магнітних полів
(світло), несуть для нас значну частину інформації про оточуючий світ.
Механічні та електромагнітні коливання підпорядковуються одна-
ковим кількісним законам. Це можна помітити, якщо відволіктися від
природи коливного об’єкта (тягарець на пружині або електричний струм
у колі) та зосередитись на питанні про те, як відбуваються коливання. Тому
в сучасній фізиці існує спеціальний розділ — фізика коливань. У ньому
коливання різного походження розглядаються з єдиної точки зору. Фі-
зика коливань займається дослідженням вібрацій машин та механізмів,
її висновки є підґрунтям електротехніки змінних струмів та радіотехніки.
Коливання та хвилі. Оптика
331
Вільні коливання у коливальному контурі
Коливальний контур — це електричне коло, що містить індуктивність В,
ємність С та опір К, в якому можуть збуджуватись електричні коливання.
Коливальний контур — один з основних елементів радіотехнічних
систем. Розрізняють лінійні та нелінійні коливальні контури. Параметри
В, Ь та С лінійного коливального контура не залежать від інтенсивності
коливань, а період коливань не залежить від амплітуди.
За відсутності втрат (В - 0) у лінійному коливальному контурі від-
буваються вільні гармонічні коливання.
Для збудження коливань у контурі конденсатор попередньо заряджа-
ють від батареї акумуляторів, надавши йому енергії ТРр, та переводять
перемикач у положення 2 (рис. 24). Після замикання кола конденсатор
почне розряджатися через котушку індуктивності, втрачаючи енергію.
У колі з’явиться струм, який спричинить виникнення змінного магніт-
ного поля. Змінне магнітне поле, в свою чергу, призводить до створення
вихрового електричного поля, що перешкоджає струму, внаслідок чого
зміна струму відбувається поступово. В міру зростання струму через
котушку зростає енергія магнітного поля ТРМ. Повна енергія ТУ електро-
магнітного поля контура залишається незмінною (за відсутності опору)
та такою, що дорівнює сумі енергій магнітного та електричного полів.
Повна енергія, за законом збереження енергії, дорівнює максимальній
енергії електричного або магнітного поля:
ЬІ2 д2 д2 ЬІ2
УУ =_____І- Л— = 12- = _’Л.
2 2С 2С 2 ’
(4-Ю)
де Ь — індуктивність котушки, І та Іт — сила струму та її максимальне
значення, ди дт — заряд конденсатора та його максимальне значення,
С — ємність конденсатора.
Процес перекачування енергії в коливальному контурі між елект-
ричним полем конденсатора при його розрядженні та магнітним полем
(зосередженим у котушці) повністю аналогічний процесу перетворення
потенціальної енергії розтягнутої пружини або піднятої ваги матема-
тичного маятника на кінетичну енергію при механічних коливаннях
останніх. Рис. 25 ілюструє сказане вище.
Рис. 25
332
Фізика
Диференційне рівняння, що описує процеси у коливальному кон-
турі, можна одержати, прирівнюючи похідну по повній енергії контура
(4.10) до нуля (тому що повна енергія є сталою) та замінивши в отри-
маному рівнянні струм на похідну заряду за часом. Остаточно рівняння
має такий вигляд:
= ~ — (4.11)
Очевидно, що рівняння (4.11) нічим не відрізняється від відповідного
диференційного рівняння (4.1) для вільних механічних коливань кульки
на пружині. Замінивши механічні параметри системи на електричні за
допомогою наведеної вище таблиці, точно отримаємо рівняння (4.11).
По аналогії з розв’язанням диференційного рівняння для механіч-
ної коливальної системи циклічна частота вільних коливань дорівнює:
(4-12)
у/
Період вільних коливань у контурі дорівнює:
Т = —= 2лл/£С. (4.13)
«0
Формула (4.13) називається формулою Томсона на честь англійсь-
кого фізика У. Томсона (Кельвіна), який її вивів.
Збільшення періоду вільних коливань зі зростанням Ь та С пояс-
нюється тим, що при збільшенні індуктивності струм повільніше на-
ростає та повільніше спадає до нуля, а чим більша ємність, тим більше
часу потрібно для перезаряджання конденсатора.
Гармонічні коливання заряду та струму описуються тими самими
рівняннями, що й їх механічні аналоги:
9 = <Гп соз (йоі,
і - у'= - соод,п зіп сооі = Ітсоз((о0і + л/2),
де у,„ — амплітуда коливань заряду, Іт - соо у,„ — амплітуда коливань
сили струму. Коливання сили струму випереджують за фазою на л/2
коливання заряду.
Вимушені електромагнітні коливання
Рис. 26
Як і у випадку механічних коливань, вимушені електромагнітні
коливання виявляються за наявності зовнішньої сили, яка періодич-
но змінюється. Такі коливання виявляються, наприклад, за наявності
в колі періодичної електрорушійної сили. Змінна ЕРС індукції виникає
в дротовій рамці з декількох витків, яка обертається в полі постійно-
го магніту, рис. 26. При цьому магнітний потік, що пронизує рамку,
періодично змінюється. У відповідності з законом електромагнітної
індукції періодично змінюється й ЕРС індукції, що виникає. Якщо
рамку замкнути на гальванометр, його стрілка почне коливатися біля
положення рівноваги, показуючи, що в колі йде змінний струм.
Характерною особливістю вимушених коливань є залежність
їх амплітуди від частоти зміни зовнішньої сили.
Прикладом вимушених коливань, які найширше застосовуються
у повсякденному житті, є електричний струм.
Коливання та хвилі. Оптика
ззз
Змінний струм
Змінний струм — це електричний струм, що змінюється з часом.
До змінного струму відносять різні види імпульсних, пульсуючих,
періодичних та квазіперіодичних струмів. У техніці під змінним стру-
мом зазвичай розуміють періодичні або майже періодичні струми змін-
ного напряму.
Принцип дії генератора змінного струму
Найчастіше використовують періодичний струм, сила якого змі-
нюється у часі за гармонічним законом (гармонічний або синусоїдаль-
ний змінний струм). Це струм, що застосовується на заводах, фабриках
та в освітлювальній мережі квартир. Він являє собою вимушені елект-
ромагнітні коливання. Частота промислового змінного струму становить
50 Гц. Змінна напруга в гніздах розеток освітлювальної мережі ство-
рюється генераторами на електростанціях. Найпростішою моделлю та-
кого генератора є дротова рамка, яка обертається в однорідному маг-
нітному полі (рис. 27). Потік магнітної індукції Ф, що пронизує
дротову рамку площею 5, пропорційний косинусу кута а між нормаллю
до рамки та вектором магнітної індукції:
Ф = ВЗсозос.
При рівномірному обертанні рамки кут а збільшується пропорційно
часу і: а = 2ппі, де п — частота обертання. Тому потік магнітної індукції
змінюється гармонічно з циклічною частотою коливань со = 2тш:
Ф = В8 соз (Лі.
Згідно з законом електромагнітної індукції ЕРС індукції в рамці
дорівнює:
е = -Ф' = -В5(со8ю0' = £т зіп (лі,
де £,„ - В8(Л — амплітуда ЕРС індукції.
Таким чином, напруга в мережі змінного струму змінюється за си-
нусоїдальним (або косинусоїдальним) законом:
и - и,п зіп (лі (або и - соз сої),
де и — миттєве значення напруги, — амплітуда напруги.
Сила струму в колі змінюватиметься з тією самою частотою, що й
напруга, але між ними можливий зсув фаз фґ. Тому у загальному ви-
падку миттєве значення сили струму і визначається за формулою:
і - Іт8Іп(соі + фґ),
де Іт — амплітуда сили струму.
Сила струму в колі змінного струму з резистором. Якщо електрич-
не коло складається з активного опору В та дротів з нехтовно малою
індуктивністю (рис. 28), а напруга на затискачах змінюється за гар-
монічним законом и - V т соя (Лі, то сила струму в ньому, як і у випадку
постійного струму, визначається за законом Ома.
1
и = и со8(ог
_______ґ
Рис. 28
334
Фізика
Рис. 29
У провіднику з активним опором коливання сили струму за фазою
збігаються з коливаннями напруги (рис. 29), а амплітуда сили струму
визначається з рівності-.
V
т
В
Ефективні (діючі) значення напруги та сили струму
У колі змінного струму його напрям (та амплітуда) змінюються з час-
тотою 50 Гц. Однак енергія, що виділяється на навантаженні, залежить
не від напряму струму в колі, а лише від його абсолютного значення.
Завжди можна підібрати таке абсолютне значення сили постійного стру-
му, щоб енергія, яка виділяється за деякий час цим струмом на ділянці
кола з опором В, дорівнювала енергії, яка виділяється за такий само
час змінним струмом.
Діюче значення сили змінного струму дорівнює силі постійного
струму, який виділяє у провіднику ту саму кількість теплоти, що
й змінний струм за той самий час. Воно визначається за формулою-.
1 = 4^ = 0,711 .
>/2
Діюче значення напруги визначається аналогічно:
И
П = -^ = 0,71П .
>/2
Потужність, визначена з використанням діючих значень струму
та напруги Р - ІП, дорівнює середній потужності змінного струму
за умови збігу фаз коливань струму та напруги:
- І V
__ т т
2
Середню потужність визначають усереднюванням миттєвої потуж-
ності за період коливань:
р — іи — ІтПт соз2 (со#).
Ємнісний опір
і
С и = итсо5оя
___________У
Рис. ЗО
Ємнісний опір у колі змінного струму — це та частина опору, яка
створюється конденсатором, включеним у коло змінного струму (при
нехтовно малій ємності дротів, що проводять).
Для одержання формули ємнісного опору визначимо, як змінюється
сила струму в колі, яке містить тільки конденсатор (рис. ЗО). Напруга
на обкладках конденсатора и - - у>2 - у/С дорівнює напрузі на вході
кола, тому
у - С Пт соз сої.
(4.14)
Для сили струму, яка визначається як похідна заряду ц по часу,
з (4.14) отримаємо:
і - С со17тсо8(а)і + л/2).
(4.15)
Коливання та хвилі. Оптика
335
Між напругою та силою струму в колі з конденсатором спостерігаєть-
ся зсув фаз на л/2 ((див. (4.15)), причому струм випереджає напругу.
Коли конденсатор розряджається (напруга на ньому дорівнює нулю),
струм максимальний (рис. 31).
Амплітуда сили струму дорівнює
іт = итС(й.
(4.16)
и(Г)
Рис. 31
Величина
. 1
с “ соС
(4.17)
називається ємнісним опором. Якщо замість амплітуд сили струму
та напруги в (4.16) використати їх діючі значення, то враховуючи (4.17),
отримаємо:
Це означає, що діючі значення сили струму та напруги на конденса-
торі пов’язані так само, як і сила постійного струму та напруга — згід-
но з законом Ома, причому роль активного опору В відіграє ємнісний
опір Хс.
Чим більша ємність конденсатора та частота напруги, тим менший
ємнісний опір та більший струм перезарядження.
Завдяки зсуву фаз між струмом та напругою в середньому за період
не відбувається ані накопичення енергії на конденсаторі, ані її дисипа-
ції (розсіяння). За чверть періоду, коли конденсатор заряджається до
максимального значення, на ньому відбувається накопичення енергії
електричного поля; у наступну чверть періоду, при розрядці конденса-
тора, ця енергія повертається у мережу.
Індуктивний опір
Індуктивний опір у колі змінного струму — це реактивна частина
опору, яка визначається індуктивністю елементів кола.
Вважають, що елементи кола, для яких середня потужність струму
дорівнює нулю, мають реактивний опір (на відміну від звичайного ак-
тивного опору В, на якому відбувається виділення енергії).
Котушка індуктивності (соленоїд) за відсутності опору В її дроту
має тільки індуктивній опір.
Для визначення формули індуктивного опору визначимо ЕРС са-
моіндукції такої котушки в колі змінного струму, який змінюється за
гармонічним синусоїдальним законом І - 7„, зіпоЦ (рис. 32). ЕРС само-
індукції котушки е, дорівнюватиме за величиною та буде протилежною
за напрямком напрузі 17 на її кінцях, взятій із протилежним знаком:
е, = -Ьі' - -Ь (дІт соз оії.
Враховуючи, що и - -е„ з даної рівності отримаємо:
и = 1/т зіп (сої + л/2),
де 17т - Ь (йІт — амплітуда напруги.
Отже, коливання напруги на котушці випереджають коливання
сили струму на п/2 (рис. 33). Внаслідок цього в середньому за період
Рис. 32
Рис. 33
336
Фізика
не відбувається ані накопичення, ані дисипації енергії в котушці. Двічі
за період енергія накачується всередину котушки (це енергія магнітного
поля) та двічі повертається назад до джерела. Амплітуда сили струму
дорівнює:
и
т __ т
т ~ (дЬ '
Величина со£ = Хь є індуктивним опором. Як і у випадку з ємнісним
опором, індуктивний опір Хь, діюче значення сили струму та діюче
значення напруги пов’язані співвідношенням, подібним закону Ома
для кола постійного струму:
Індуктивний опір залежить від частоти. Чим більша частота, тим
більший індуктивний опір, тим менший струм.
Електричний резонанс
Рис. 34
Явище резонансу полягає в тому, що амплітуда усталених вимуше-
них коливань сягає найбільшого значення, коли частота збурювальної
сили дорівнює власній частоті коливальної системи.
Якщо активний опір В в коливальному контурі малий, то, по ана-
логії з механічною коливальною системою з малим коефіцієнтом тертя
ц, у ньому можливий цілком чіткий резонанс (рис. 34). Сила струму
під час вимушених коливань у контурі сягне максимального значення,
коли частота вимушених коливань со (частота прикладеної до контура
змінної напруги) зрівняється з власною частотою електричного коли-
вального контура соо:
1
(0 = (Оо = -=
у/ЬС
Амплітуда усталених коливань сили струму при резонансі дорівнює:
и
у" _ т
~ В '
При В —> 0 резонансне значення сили струму необмежено зростає:
(І,„)рез—> Навпаки, при великих В говорити про резонанс немає сенсу.
Залежності амплітуди сили струму від частоти (резонансні криві) наве-
дені на рис. 34. Вони подібні резонансним кривим коливань пружинного
маятника (рис. 9), де Хт = І,„, а номерам кривих 1, 2, 3 відповідають
опори контура Вг < В2 < В3.
Амплітуда напруги при резонансі зростає одночасно зі зростанням
сили струму. Напруги на конденсаторі та на котушці індуктивності
стають однаковими та у багато разів перевищують зовнішню напругу.
Оскільки
У.... = У,
а зовнішня напруга пов’язана з резонансним струмом співвідношенням
ит = Іт В, то при в
отримаємо:
Непі ~ VЬт »Ущ-
Коливання та хвилі. Оптика
337
Електромагнітне поле
Електромагнітне поле — це та частина простору, яка містить у собі
або оточує тіла, що знаходяться в електричному або магнітному стані.
Таким є визначення електромагнітного поля, вперше надане
Дж. К. Максвеллом.
Тепер електромагнітне поле визначається як особлива форма матерії,
за допомогою якої здійснюється взаємодія електрично заряджених тіл.
Термін «електромагнітне поле» вперше запровадив М. Фарадей,
причому для нього це був реальний фізичний об’єкт, розподілений
у просторі. Описання електромагнітних явищ за допомогою уявлень
про електромагнітне поле було альтернативою теорії далекодії. Надалі
Дж. Максвелл надав ідеям М. Фарадея математичної форми. Він ви-
значив електромагнітне поле як сукупність взаємопов’язаних векторних
полів та встановив закони, яким вони підпорядковуються. У своїй теорії
Максвелл показав таке:
1) електричне поле може бути створене нерухомими зарядами;
2) електричне поле може бути створене змінним магнітним полем,
у цьому випадку його силові лінії є замкненими; вони охоплюють
магнітний потік, що змінюється (змінне електричне поле нази-
вається вихровим);
3) магнітне поле не має джерел (не має магнітних зарядів), його
силові лінії завжди замкнені;
4) змінне електричне поле (змінний потік електричних силових
ліній) створює змінне магнітне поле. Лінії магнітної індукції
цього поля охоплюють лінії напруженості електричного поля
(рис. 35) аналогічно випадку створення змінним магнітним по-
лем вихрового електричного поля.
(ЛЕ
Однак при зростанні напруженості електричного поля -> 0 на-
\ Д# )
прям вектора індукції В утворює правий гвинт із напрямом вектора Е .
При зменшенні напруженості магнітного поля вектор магнітної індукції
утворює з напрямом вектора Е лівий гвинт.
Джерелом змінного магнітного поля є заряди, що прискорено ру-
хаються. Воно, у свою чергу, створює змінне електричне поле, яке
викликає змінне магнітне поле. Ці змінні магнітні та електричні поля,
що породжуються одне одним, являють собою електромагнітне поле.
Таким чином, джерелом електромагнітного поля є заряди, що при-
скорено рухаються.
Змінні електричне та магнітне поля існують у просторі незалежно
від наявності в них провідників. Провідник, замкнутий на гальвано-
метр, у дослідах Фарадея з електромагнітної індукції став лише інди-
катором, за допомогою якого було виявлене змінне електричне поле,
індуковане змінним магнітним полем.
Згідно з законом Максвелла, змінне електричне поле не може існу-
вати без змінного магнітного, а змінне магнітне поле — без змінного
електричного.
Електричне поле може існувати без магнітного або магнітне без
електричного лише у відношенні до певної точки відліку. Так, заряд,
що перебуває в даній системі відліку у спокої, створює тільки елект-
ричне поле. Однак відносно будь-якої іншої рухомої (відносно даної)
системи відліку він створює магнітне поле. Те саме можна сказати щодо
Рис. 35
338
Фізика
нерухомого магнітного поля (наприклад, постійного магніту). Стосовно
спостерігача, що рухається відносно нього, магнітне поле буде змінним,
а, отже, буде породжувати вихрове електричне поле.
Таким чином, електромагнітне поле — це єдине ціле: в залежності
від системи відліку виявляються ті чи інші властивості поля.
Теорію Максвелла за її значенням можна порівняти з законами
Ньютона.
Передбачення теорії Максвелла у повній мірі були підтверджені ек-
спериментально та стали підґрунтям для всієї сучасної електротехніки
та радіотехніки.
Рис. 36
Електромагнітні хвилі та швидкість їх поширення
Електромагнітні хвилі — це електромагнітні коливання, які поши-
рюються в просторі.
Існування електромагнітних хвиль було передбачене М. Фарадеєм
у 1832 р. Воно випливає з теорії електромагнітного поля Максвелла,
який показав, що електромагнітні коливання поширюються у вакуумі
зі швидкістю світла, яка дорівнює 3 • 108 м/с.
Електромагнітні коливання являють собою коливання (періодичні
зміни абсолютних величин та напрямів) вектора напруженості елек-
тричного поля Е та індукції магнітного поля В у часі та просторі.
(Напруженістю електричного поля Е в деякій точці називається сила,
з якою поле діє на одиничний позитивний заряд, поміщений у цю точку.)
На рис. 36 поданий розподіл електричного та магнітного полів у про-
сторі в деякий момент часу для електромагнітної хвилі, яка рухається
в напрямі осі Е. Як видно з рисунка (і це випливає з теорії Максвелла),
електромагнітна хвиля — поперечна хвиля, тобто коливання електрич-
ного та магнітного векторів поля перпендикулярні напряму поширення
хвилі: Е ± В ± Е .
З теорії Максвелла випливає, що електромагнітна хвиля може пород-
жуватись електронами, які періодично коливаються у провіднику (заря-
дами, які прискорено рухаються). Оскільки заряди, що рухаються з при-
скоренням, створюють електромагнітне поле, то, одного разу виникнувши,
це електромагнітне поле, яке періодично змінюється, поширюється у про-
сторі (у всі боки від джерела хвиль), створюючи електромагнітну хвилю.
У 1888 р. німецький фізик Г. Герц своїми дослідами підтвердив
теорію електромагнітних хвиль Максвелла. Йому вдалося отримати
та зареєструвати електромагнітні хвилі.
Також з теорії Максвелла випливає, що радіохвилі, світло, рент-
генівське випромінювання являють собою електромагнітні хвилі з різ-
ними довжинами хвиль, причому між сусідніми діапазонами довжин
хвиль немає чітких меж.
Довжина світлової хвилі (як і будь-яких інших хвиль) пов’язана
з частотою V та швидкістю поширення V співвідношенням
Х = -.
V
Швидкість світла у вакуумі (або у повітрі, оскільки вони мало відріз-
няються одне від одного) заведено позначати літерою с, тоді:
Х = -.
V
Коливання та хвилі. Оптика
339
Швидкість світла у різних середовищах менша за швидкість у ва-
куумі та залежить від конкретної речовини. При переході з одного се-
редовища у інше змінюється також і довжина хвилі. Частота коливань
(електричного вектора Е ) та період (Т - 1/у) залишаються незмінними.
Електромагнітні хвилі, подібно до всіх інших різновидів хвиль,
зазнають відбиття та заломлення на межі двох середовищ з різною
діелектричною проникністю, а також поглинання.
Оптика
Геометрична оптика. Прямолінійне поширення світла
Геометрична оптика
Геометрична оптика — це розділ фізики, в якому вивчаються зако-
ни розповсюдження світла у прозорих речовинах (середовищах) та по-
будування зображень предметів за допомогою оптичних систем, до яких
відносяться дзеркала, лінзи, призми та інші оптичні елементи.
Геометрична оптика ґрунтується на таких основних законах, вста-
новлених дослідним шляхом ще з давніх-давен:
1) закон прямолінійного поширення світла;
2) закон відбиття світла від дзеркальної поверхні;
3) закон заломлення світла на межі двох прозорих середовищ;
4) закон незалежності світлових пучків. Він полягає в тому, що два
промені поширюються незалежно один від одного, тобто не впли-
вають один на одне. Якщо в якійсь точці простору сходяться
два пучки, то освітленості, створені цими пучками, додаються.
Незалежність поширення пучків означає, зокрема, що при фото-
графуванні якої-небудь місцевості обмеження частини світлових
пучків, які надходять до об’єктива, не призведе до зміни зобра-
ження, що дається рештою пучків.
Закони геометричної оптики використовуються для розрахунку оп-
тичних систем, наприклад, мікроскопів, телескопів, великих дзеркал
та об’єктивів, що використовуються в астрономії, фотоапаратах тощо.
Світловий промінь
Світловий промінь визначає лінію, уздовж якої розповсюджується
потік енергії хвилі, випромінений у певному напрямку джерелом світла.
В однорідному середовищі промінь — пряма лінія. При переході
через межу, що розділяє два середовища з різними показниками за-
ломлення, промінь заломлюється згідно з законом заломлення Снелля.
Під світловим променем в оптиці розуміють достатньо вузький пучок
світла, який на всьому шляху розповсюдження, що підлягає вивченню,
можна вважати нерозбіжним.
Термін «промінь» застосовується також для позначення вузького
пучка частинок (наприклад, електронний промінь).
Розповсюдження світла в однорідному середовищі. Одним з перших
та основних законів геометричної оптики є закон прямолінійного роз-
повсюдження світла.
В однорідному середовищі світло розповсюджується прямолінійно.
340
Фізика
Він був відомий ще Евкліду за 300 років до н. е.
Тінь. Одним з доказів прямолінійного розповсюдження світла
є утворення тіні при освітленні предмета точковим джерелом світла
(рис. 37, а). Якщо б промені розповсюджувались не прямолінійно,
а, скажімо, огинали б предмет, тінь не могла б утворитися.
Напівтінь. Завдяки все тому ж прямолінійному розповсюджен-
ню світла від джерела великих розмірів, порівняних із розмірами
предмета та відстанню до нього та до екрана, утворюється тінь та
напівтінь (рис. 37, б). Тінь (чорне коло на рис. 37, б) утворюється на
тому місці на екрані Е, куди не доходять промені від жодної з точок
джерела. Напівтінь (сіре коло на рис. 37, б) утворюється в місцях,
куди доходять промені тільки від деяких точок джерела (протяжне
джерело світла завжди можна уявити собі складеним з безлічі точ-
кових джерел).
Доказом прямолінійного розповсюдження світла є також одер-
жання чітких зображень предмета за допомогою маленьких отворів
у камері-обскурі, в якій перевернуте зображення предмета на задній
стінці камери утворюється проектуванням предмета за допомогою
прямолінійних променів (рис. 38).
Рис. 39
У природі демонстрацією прямолінійного розповсюдження світла
є місячні та сонячні затемнення. Вони настають тоді, коли Місяць, Зем-
ля та Сонце лежать на одній лінії та Місяць потрапляє в тінь, відкинуту
Землею (місячне затемнення), або Місяць заступає собою на декілька
хвилин Сонце (рис. 39).
Закон відбивання світла
Принцип Гюйгенса. Принцип Гюйгенса — Френеля
Принцип Гюйгенса. Згідно з принципом Гюйгенса, кожна точка
середовища, до якої дійшло світлове збудження, є, у свою чергу, цен-
тром вторинних хвиль; поверхня, що огинає у деякий момент часу ці
вторинні хвилі, вказує положення до цього моменту фронту хвилі, що
дійсно розповсюджується.
Для того, щоб, знаючи положення хвильової поверхні в момент
часу і, визначити її положення в наступний момент часу і + Ді, пот-
рібно кожну точку хвильової поверхні розглядати як джерело вторин-
них хвиль. Поверхня, дотична до всіх вторинних хвиль, являє собою
хвильову поверхню у наступний момент часу (рис. 40). Цей принцип
справедливий для поширення хвиль будь-якої природи, хоч Гюйгенсом
він був сформульований саме для світлових хвиль.
Коливання та хвилі. Оптика
341
Для механічних хвиль принцип Гюйгенса має наочне тлумачення:
частинки середовища, до яких доходять коливання, у свою чергу, коли-
ваючись, надають руху сусіднім частинкам середовища, з якими вони
взаємодіють.
Принцип Гюйгенса — Френеля — основний постулат хвильової тео-
рії, який описує та пояснює механізм розповсюдження хвиль, зокрема,
світлових.
Принцип Гюйгенса — Френеля є розвитком принципу, який запро-
вадив сучасник Ньютона X. Гюйгенс у 1678 р.
О. Френель поєднав принцип Гюйгенса з ідеєю інтерференції вто-
ринних хвиль. Згідно з ідеєю Френеля, хвильова поверхня в будь-який
момент часу являє собою не просто обвідну вторинних хвиль, а резуль-
тат їх інтерференції.
Для того, щоб обчислити амплітуду світлової хвилі у будь-якій точці
простору, потрібно подумки обвести джерело світла сферичною повер-
хнею. Інтерференція хвиль від вторинних джерел, розташованих на
цій поверхні, визначає амплітуду у точці простору, що розглядається.
Розрахунки показали, що результат інтерференції вторинних хвиль
у точці В від джерел, розташованих на сферичній поверхні радіуса В
(рис. 41), виявляється таким самим, ніби лише вторинні джерела на
малому сферичному сегменті аЬ надсилають світло в точку В. Вторинні
хвилі, випромінені джерелами, розташованими на решті поверхні, га-
сять одна одну внаслідок інтерференції. Тому все відбувається так, ніби
світло розповсюджувалось лише уздовж прямої 8В, тобто прямолінійно.
Відбивання світла. Закон відбивання світла
Більшість предметів, що нас оточують, видимі оком не тому, що
випромінюють світло, а тому, що відбивають його.
Закон відбивання світла. Нехай на дзеркальну поверхню !£¥
(рис. 42) падає промінь світла АгА. Промінь називається падаючим про-
менем, точка А перетину цього променя з поверхнею називається точ-
кою падіння. Побудуємо з точки А перпендикуляр АЕ до поверхні МИ.
Кут а між падаючим променем та перпендикуляром називається кутом
падіння. Нехай промінь А^, відбившись від поверхні, розповсюджуєть-
ся в напрямку АА2 під деяким кутом у. Промінь АА2 називається відби-
тим променем, а кут у — кутом відбивання. Площина, в якій лежать
промінь Арі та перпендикуляр АЕ, називається площиною падіння.
Закон відбивання світла.
1. Відбитий промінь лежить у площині падіння.
2. Кут падіння дорівнює куту відбивання (а = у).
Оборотність напрямку світлових променів. Якщо падаючий промінь
на рис. 41 спрямувати уздовж А^А, то він відіб’ється уздовж напрямку
ААг. У цьому полягає принцип оборотності ходу світлових променів.
Він також є одним з основних положень геометричної оптики та вико-
ристовується під час побудування оптичних зображень.
Закон відбивання можна вивести за допомогою принципу Гюйгенса.
Нехай плоска хвиля, позначена променями Арі та ВгВ та плоскою
хвильовою поверхнею АС, падає на дзеркальну площину МИ під деяким
кутом а (рис. 42). Різні ділянки хвильової поверхні АС сягають межі
відбиття не одночасно. Збудження коливань у точці А почнеться на про-
міжок часу М - СВ/и (де V — швидкість хвилі) раніше, ніж у точці В.
342
Фізика
В момент, коли хвиля досягне точки В, і в цій точці почнеться збуд-
ження коливань, вторинна хвиля з центром в точці А являтиме собою
півсферу радіусом г - АВ - иМ - СВ. Зміна радіусів вторинних хвиль
від точок, що лежать між точками А та В, показана на рис. 41. Площи-
на ВВ — обвідна вторинних хвиль, дотична до сферичних поверхонь.
ВВ — хвильова поверхня відбитої хвилі. Відбиті промені А42 та ВВ2
перпендикулярні хвильовій поверхні ВВ; у — кут відбивання.
Оскільки АО = СВ, а трикутники АВВ та АСВ прямокутні, то АВВА -
- АСАВ. Але а = АСАВ та у = АВВА як кути з перпендикулярними сто-
ронами. Отже, кут відбивання дорівнює куту падіння:
а = у.
Крім того, з побудування Гюйгенса випливає, що падаючий промінь,
відбитий промінь та перпендикуляр, побудований в точці падіння, ле-
жать в одній площині, що й потрібно було довести.
Рис. 43
Рис. 44
Побудова зображень у плоскому дзеркалі
Нехай на плоске дзеркало падає пучок променів 80, 8ОГ 8О2 від
точкового джерела 5 (рис. 43). Після відбиття у дзеркалі в око лю-
дини потрапляє розбіжний пучок променів. Якщо тепер продовжити
кожний з відбитих променів за дзеркало, то вони перетнуться в одній
точці 8г, яка і є уявним зображенням точки 8. Те, що промені справді
перетнуться в одній точці, легко довести, використовуючи закон від-
бивання світла та теореми геометрії, як і те, що 8гО - 80, 8гО2 - 8О2,
«іОд = 8О3.
Звідси випливає, що правила побудування предмета в дзеркалі
зводяться до такого (рис. 44): з точки А предмета (в даному випад-
ку це стрілка АВ) опускають перпендикуляр на площину дзеркала;
на продовженні цього перпендикуляра за дзеркалом на такій самій
відстані відкладають точку А^ так само чинять з точкою В. Потім
з’єднують точки А.1 та Вг. Стрілка А1В1 і буде уявним зображенням
стрілки АВ.
З вищесказаного випливає, що зображення предмета в плоскому
дзеркалі симетричне предмету відносно площини дзеркала. Це озна-
чає, що воно є уявним, прямим (тобто не перевернутим), дорівнює
за розміром самому предмету та знаходиться на такій самій відстані
за дзеркалом, на якій предмет розташований перед ним.
Закони заломлення світла
Заломлення світла — це зміна напряму розповсюдження світлового
променя під час його проходження через межу розділу двох прозорих
середовищ.
На рис. 44 показані: промінь АгА, падаючий на межу розділу ММ
двох однорідних середовищ; заломлений промінь А42; перпендикуляр
до площини розділу, що проходить через точку падіння променя А.
Кут а називається кутом падіння, кут 0 — кутом заломлення.
Заломлення світла підпорядковується певним законам.
1. Промінь падаючий та промінь заломлений лежать в одній пло-
щині з нормаллю, проведеною до межі розділу двох середовищ у точці
падіння променя. Площина ця називається площиною падіння.
Коливання та хвилі. Оптика
343
(4.19)
2. Кут падіння та кут заломлення пов’язані співвідношенням:
зіп а
--------------------------- — п ,
ЗІП Р
де п — стала, що не залежить від кутів а та р.
Величина п називається показником заломлення та залежить лише
від властивостей обох середовищ, через межу розділу яких проходить
світло.
Закон заломлення, виражений співвідношенням (4.19), називається
законом Снелля (Снелліуса).
Закон заломлення світла виводиться за допомогою принципу Гюй-
генса. Заломлення світла при переході з одного середовища до іншо-
го викликане відмінністю швидкостей розповсюдження світла в цих
середовищах. Нехай плоска хвиля, позначена променями Арі та ВгВ
та плоскою хвильовою поверхнею АС, падає на дзеркальну площину
МА під деяким кутом а (рис. 46). Різні ділянки хвильової поверхні
АС досягають відбиваючої межі не одночасно. Збудження коливань
у точці А почнеться на проміжок часу Ді = СВ/и1 (де і?! — швидкість
хвилі в першому середовищі) раніше, ніж в точці В. На момент часу,
коли вторинна хвиля в точці В тільки-но почне збуджуватись, хвиля
від точки А в другому середовищі вже має вигляд півсфери радіусом
АВ - и2-Аі, де і?2 — швидкість світла в другому середовищі. Хвильова
поверхня заломленої хвилі (від центрів, що лежать на межі розділу
двох середовищ) в цей момент часу подана площиною ВВ — дотичною
до хвильових поверхонь усіх вторинних хвиль у другому середовищі.
Кут падіння а променя дорівнює АСАВ у трикутнику АВС (сторони
одного кута перпендикулярні сторонам іншого).
Отже,
СВ = щ Ді = АВзіпос. (4.20)
Кут заломлення 0 дорівнює куту АВВ трикутника АВВ. Тому
АВ - и2Аі - АВ зіп0. (4.21)
Розділивши почленно (4.20) на (4.21), отримаємо:
^^ = ^ = 71, (4.22)
ЗІП Р щ
де п — стала величина, що не залежить від кута падіння.
З побудування (рис. 46) видно, що промінь падаючий та промінь
заломлений лежать в одній площині з нормаллю, проведеною до межі
розділу двох середовищ в точці падіння променя. Це твердження разом
із виразом (4.22) являє собою закон заломлення світла.
Таким чином, з принципу Гюйгенса не тільки виводиться закон
заломлення світла, але й розкривається фізичний сенс показника за-
ломлення: він дорівнює відношенню швидкостей світла в середовищах,
на межі між якими відбувається заломлення (див. 4.22).
Абсолютний і відносний показники заломлення
Показник заломлення (коефіцієнт заломлення) — це оптична
характеристика середовища, пов’язана з заломленням світла на межі
розділу двох прозорих, оптично однорідних та ізотропних середовищ
344
Фізика
при переході з одного середовища до іншого та пов’язана з відмінністю
швидкостей розповсюдження світла та щ у цих середовищах.
Величина показника заломлення, що дорівнює відношенню цих
швидкостей п21 - н1/н2, називається відносним показником заломлен-
ня. Якщо світло падає на перше або друге середовище з вакууму, де
швидкість розповсюдження світла дорівнює с, то показник заломлення
називається абсолютним показником заломлення і дорівнює п1- с/о1
або п2 — с/о2 відповідно. Відносний показник заломлення при переході
з першого середовища до другого пов’язаний з абсолютними показни-
ками заломлення цих середовищ співвідношенням: п21 = п2/щ, а закон
заломлення зіпа/зіп0 = п може бути записаний у вигляді:
пу зіпа = п2 зіпр,
де а та Р — кути падіння та заломлення відповідно.
Середовище, в якому швидкість світла більша, називається оптично
менш щільним. Таким чином, при переході з оптично менш щільного
середовища до оптично більш щільного п > 1, тобто кут заломлення
менше кута падіння, та навпаки.
Абсолютний показник заломлення залежить від природи та бу-
дови речовини, її агрегатного стану, температури, тиску, наявності
в ньому пружних напруг. Показник заломлення даного середовища
залежить від довжини хвилі світла. Для більшості прозорих речовин
та твердих тіл показник заломлення у видимій області в середньому
дорівнює 1,5.
Абсолютний показник заломлення повітря для жовтого світла за
нормальних умов дорівнює -1,000292. Тому показники заломлення
різних речовин розглядають відносно повітря.
Повне внутрішнє відбивання
Якщо пучок світла переходить з оптично більш щільного середо-
вища до оптично менш щільного (вакуум), то зі збільшенням кута
падіння а зростає кут заломлення 0 (0 > а) та інтенсивність заломле-
ного світла. При деякому куті падіння а0 кут заломлення сягає свого
максимального значення 0тах = 90° (рис. 47). У відповідності з законом
заломлення світла
зіпа0 _ 1 _
зіп 90° п ’
(1
а0 = аг с зіп —
\ п
де п — абсолютний показник заломлення середовища. При куті падіння
а > а0 світло повністю відбивається від межі розділу, як від дзеркала —
виникає явище повного внутрішнього відбивання.
Мінімальний кут падіння (а0), починаючи з якого виникає явище
повного внутрішнього відбивання, називається кутом повного внутріш-
нього відбивання, або критичним кутом, або граничним кутом.
Для загального випадку, коли друге середовище — не вакуум, кри-
тичний кут а0 визначається з умови: зіпа0 = п21 = п2/п1г де п21 — віднос-
ний показник заломлення двох середовищ (пг > п2; п1г п2 — абсолютні
показники заломлення першого та другого середовищ відповідно).
Коливання та хвилі. Оптика
345
ЛІНЗИ
Лінза (нім. слово Ііпзе походить від лат. Іепз — чечевиця) —
це найпростіший оптичний елемент, обмежений з двох боків сферич-
ними поверхнями.
Зазвичай лінзи виготовляються з оптичного скла (скло спеціального
виготовлення з мінімальною кількістю дефектів: бульбашок повітря,
включень сторонніх мікрочастинок тощо).
Лінзи бувають опуклі та вгнуті. У опуклих лінз середина товща, ніж
краї, у вгнутих — навпаки. В свою чергу, опуклі лінзи поділяються на
двоопуклі, плоско-опуклі та вгнуто-опуклі (рис. 48, а). Вгнуті лінзи
поділяються на двовгнуті, плоско-вгнуті та опукло-вгнуті (рис. 48, б).
На рисунку 48 поряд із зображеннями лінз (праворуч) подані їх умовні
позначення на оптичних схемах.
Тонка лінза. Якщо товщина лінзи нехтовно мала у порівнян-
ні з радіусами кривизни її поверхонь (див. нижні частини рис. 48)
та відстанню від предмета до лінзи, її називають тонкою лінзою. Вер-
шини сферичних сегментів тонкої лінзи розташовані так близько, що
їх вважають однією точкою, називану центром лінзи, та позначають
літерою О. Промінь світла, що проходить через оптичний центр лінзи,
практично не заломлюється.
Пряма СіС2, що проходить через центри сферичних поверхонь О
(рис. 48), які обмежують лінзу, називається головною оптичною віссю
лінзи. Будь-яку іншу пряму, що проходить через оптичний центр, на-
зивають побічною оптичною віссю.
Фокуси лінзи
Опукла (додатна або збиральна) лінза. Якщо на опуклу лінзу спря-
мувати пучок світла паралельно її головній оптичній осі, то після залом-
лення в лінзі він збереться у деякій точці Г на осі лінзи, яка називаєть-
ся головним фокусом лінзи (рис. 49, а). Тому такі лінзи називаються
додатними, або збиральними. Відстань від центра лінзи О до точки Р
називається фокусною відстанню лінзи. У лінзи є два головних фокуси,
з кожного боку по одному.
Якщо на збиральну лінзу спрямувати пучок світла, паралельний
будь-якій з її побічних оптичних осей, він збереться у точці, що лежить
на площині, перпендикулярній головній оптичній осі лінзи, і проходить
через її головний фокус. Ця площина називається фокальною площиною
лінзи (рис. 50).
Угнута (від’ємна, або розсіювальна) лінза. Пучок світла, спрямо-
ваний паралельно оптичній осі вгнутої лінзи, після заломлення в ній
розходиться (рис. 49, б). Якщо промені, що розходяться, подовжити
у зворотний бік, вони зберуться на оптичній осі лінзи (з боку падаючого
пучка) в точку, яка називається уявним фокусом лінзи. Оку, розташова-
ному з правого боку, уявлятиметься, що пучок променів випромінюєть-
ся з точки Р. Така лінза називається від’ємною, або розсіювальною.
Як і у випадку збиральної лінзи, фокусна відстань вимірюється від
оптичного центра до фокуса.
Фокусна відстань лінзи залежить від кривизни поверхонь, що обме-
жують лінзу. Чим більша кривизна поверхні лінзи, тим менша фокусна
відстань.
Рис. 49
346
Фізика
Оптична сила лінзи
Оптичною силою лінзи називається фізична величина, обернена
до фокусної відстані:
Оптична сила лінзи вимірюється в діоптріях (дптр). В СІ одиницею
оптичної сили є метр у мінус першому степені (м ').
Фокусну відстань збиральної лінзи (а, отже, її оптичну силу) до-
мовились вважати додатною величиною, тому що збиральна лінза має
дійсний фокус.
Фокусна відстань розсіювальної лінзи (а, отже, її оптична сила) —
від’ємна величина, тому що у розсіювальної лінзи уявний фокус.
Побудова зображення,
що дається тонкою збиральною лінзою
Рис. 51
Будь-який предмет можна розділити на маленькі ділянки, які умов-
но можна вважати точками. Тому для побудування зображення будь-
якого предмета необхідно знати, як будується зображення довільної
точки.
Для утворення оптичного зображення точки в лінзі достатньо двох
променів. Такими обираються будь-які з трьох променів, хід яких ві-
домий: 1) промінь, що йде паралельно оптичній осі лінзи — промінь
АС (рис. 51), промінь, який після заломлення перетинає оптичну вісь
у фокусі лінзи Р; 2) промінь, що проходить через оптичний центр лінзи,
який не змінює свого напрямку (на рис. 51 це промінь А4Д; 3) промінь,
що проходить через фокус лінзи, який після заломлення піде паралель-
но головній оптичній осі — промінь АВ. Точка Аг перетину цих трьох
променів за лінзою буде зображенням вихідної точки А (рис. 51).
Для побудування зображення точки 8, розташованої на головній
оптичній осі (рис. 52), всі три попередні промені не доречні, тому що
зливаються в один, який йде уздовж головної оптичної осі, тому в цьому
випадку користуються таким методом. З точки 5 проводять довільний
промінь 8В до перетинання з лінзою. Щоб знайти хід цього променя
після заломлення в лінзі, проводять через центр лінзи О промінь, пара-
лельний 8В (такий, який із побічною оптичною віссю лінзи), до перети-
нання з фокальною площиною лінзи в точці (і. Через цю точку пройде
заломлений промінь ВС. Таким чином, побудований хід променів, що
виходять з точки 8. Після заломлення ці промені розходяться. Зобра-
ження 8г буде уявним, тому що джерело розташоване між головним
фокусом та лінзою.
Формула тонкої лінзи
Використовуючи закони геометрії, зокрема, подібність трикутників
(рис. 51), можна вивести формулу, яка зв’язує відстань д, від предме-
та до лінзи, відстань с1у від зображення до лінзи та фокусну відстань
лінзи /.•
1 А-1
(1 б/, /
Коливання та хвилі. Оптика
347
або
1 + 1 = £). (4.24)
а
Рівняння (4.23) та (4.24) називають формулою тонкої лінзи. Ве-
личини, що входять до формули, можуть бути як додатними, так
і від’ємними. Фокусна відстань / збиральної лінзи вважається додат-
ною, а розсіювальної — від’ємною. Відстань д, від лінзи до предмета
додатна, якщо це дійсна світна точка, та від’ємна, якщо уявна (тобто
якщо на лінзу падає пучок променів, що сходяться, продовження яких
сходиться в одній точці). Відстань д,1 від зображення до лінзи додатна,
якщо зображення дійсне, та від’ємна, якщо воно уявне. Враховуючи
сказане, перед кожним членом у формулах (4.23) та (4.24) ставлять
знак « + » або «-». Якщо знаки величин, що входять у формули, неві-
домі, ставлять «+». Якщо в результаті обчислень у будь-якої з величин
отриманий знак «-», це означає, що ця величина — уявна.
Збільшення лінзи
Лінійним збільшенням Г лінзи називається відношення лінійного
її
розміру зображення Н до лінійного розміру предмета к: Г - — .
к
Як випливає з рис. 51, збільшення лінзи дорівнює відношенню від-
стані від зображення до лінзи до відстані від лінзи до предмета:
І<
Лінзи є основною частиною фотоапарата, проекційного апарата,
мікроскопа та телескопа. В оці людини є своя лінза — кришталик.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Матеріальна точка здійснює коливання за гармонічним законом х(і) = 3 зіп(10і + 30°) см.
Амплітуда цих коливань становить:
А) ЗО см; Б) 3 см; В) 10 см; Г) 15 см.
2. Графік гармонічних коливань наведений на рисунку. Визначте, яке рівняння відповідає
цьому процесу:
А) х(ї) = 5 зіп (62,8і + 90°); Б) х(і) = 4 зіп 62,8і;
В) х(і) = 4 зіп (62,8і + 90°); Г) х(і) = 4 зіп (31,4і + 90°).
3. Період коливань математичного маятника визначається співвідношенням:
А) Т = 2лД ; Б) Т = 27^ ; В) 0)0 = Д; Г) Т = — .
у § \ к V ш со
348
Фізика
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Хвиля, у якої напрям поширення однаковий в усіх точках простору, це хвиля:
А) поздовжня; Б) поперечна; В) плоска; Г) сферична.
Хвиля поширюється зі швидкістю V = 100 м/с та має частоту V = 5 • 10е Гц. Довжина X такої
хвилі дорівнює:
А) 10 е м; Б) 5 • 10 е м; В) 5 • 10 5 м; Г) 2 • 10 5 м.
Частоти звукових коливань, які сприймаються людським вухом, знаходяться в діапазоні:
А) < 16 Гц;
В) від 20 кГц до 109 Гц;
Одиниця гучності — це:
А)сон; Б)герц;
Б) від 16 Гц до 20 кГц;
Г) від 109 до 1013 Гц.
В) децибел; Г) люмен.
Як називається таке явище: взаємне підсилення або послаблення двох (або більшого числа)
хвиль при їх накладенні одна на одну при одночасному поширенні у просторі?
А) дифракція; Б) інтерференція; В) поляризація; Г) люмінесценція.
Враховуючи відповідність між механічними та електричними величинами при коливальних
процесах, визначте, якій механічній величині відповідає сила струму і:
А) координаті х; Б) швидкості V; В) масі пі; Г) жорсткості пружини к.
5
10. Індуктивність електричного коливального контура становить —-10е Гн, а його ємність
П
5
— -108 Ф. період вільних коливань у такому контурі дорівнює:
п
А) 510 е с; Б) 10 7 с; В) 5-Ю 7 с; Г) 10 е с.
11. Напруга в електричному колі змінного струму змінюється за законом и - 10 зіпбОі, опір
цього кола 5 Ом. Визначте амплітудне значення струму Іт, що проходить у колі:
А) 2 А; Б) 10 А; В) 5 А; Г) 60 А.
12. Через який час т до радіолокаційної станції надійде відбитий радіосигнал від об’єкта, який
знаходиться від неї на відстані 1,5 км:
А)10 5с; Б) 1,5106 с; В)10 5с; Г)5 10 ес.
13. На рисунку зображені промені світла, що знаходяться на межі двох середовищ з показни-
ками заломлення пу та п2. Визначте, який кут є кутом заломлення світла:
14. Зміна напрямку розповсюдження світлового променя під час його проходження через межу
розділу двох прозорих середовищ це:
А) заломлення світла; Б) відбивання світла;
В) поляризація світла; Г) дифракція світла.
15. Відносний показник заломлення при переході з першого середовища до другого, що мають
абсолютні показники заломлення та п2, дорівнює:
А) п21 = — ; Б) и21 = ^2-; В) п21 = —; Г) п21 = ^-.
пг п± п2 п2
16. Найбільшу оптичну силу В має лінза зі значенням фокусної відстані Е:
А) 0,1м; Б) 0,3 м; В) 0,15 м; Г) 0,25 м.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Б. 2. В. 3. А. 4. В. 5. Г. 6. Б. 7. А. 8. Б. 9. Б. 10. Г. 11. А. 12. В. 13. Б. 14. А. 15. Б. 16. Б.
ХІМІЯ
ЗАГАЛЬНА ХІМІЯ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Основні хімічні поняття. Речовина. Поняття: речовина, фізичне тіло, матеріал, проста ре-
човина, складна речовина, хімічна сполука, хімічна реакція, хімічна формула, схема реакції,
хімічне рівняння, відносна атомна (молекулярна) маса, молярна маса, кількість речовини; назви
і склад окремих типів сумішей речовин; методи розділення сумішей; одиниці вимірювання маси,
об’єму, кількості речовини, густини, молярної маси, молярного об’єму; значення температури
й тиску, які відповідають нормальним умовам (н. у.), молярний об’єм газу (за н. у.); закон
Авогадро; число Авогадро; середня відносна молекулярна маса повітря.
Хімічна реакція. Закони збереження маси речовин, об’ємних співвідношень газів при хімічних
реакціях, принцип Ле Шательє; зовнішні ефекти, що супроводжують хімічні реакції; поняття:
окисник, відновник, окиснення, відновлення, каталізатор, хімічна рівновага; хімічна реакція.
Періодичний закон і періодична система хімічних елементів Д. І. Менделєєва. Періодичний
закон (сучасне формулювання), структура короткого і довгого варіантів періодичної системи, групи
найважливіших елементів, розміщення металічних і неметалічних елементів у періодичній системі.
Будова атома. Склад атома; поняття: нуклон, нуклід, ізотоп, протонне число, нуклонне
число, орбіталь, енергетичний рівень (підрівень), електронна оболонка, спарений (неспарений)
електрон; сутність явища радіоактивності; форми з- і р-орбіталей, розміщення р-орбіталей
у просторі; послідовність енергетичних рівнів у атомі.
Хімічний зв’язок. Основні типи хімічного зв’язку (йонний, ковалентний, водневий, металіч-
ний); типи кристалічних ґраток; поняття електронегативності, ступінь окиснення, кратність
ковалентного зв’язку, полярність ковалентного зв’язку.
Розчини. Компоненти розчину: розчинник, розчинена речовина; кристалогідрат, електроліт,
неелектроліт, ступінь електролітичної дисоціації; забарвлення індикаторів (універсального,
лакмусу, фенолфталеїну, метилоранжу) у кислому, лужному і нейтральному середовищах;
будова молекули води; сутність процесів розчинення, електролітичної дисоціації.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Основні хімічні поняття. Речовина
Основні хімічні поняття
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Речовина — це те, з чого
складаються фізичні тіла.
Речовина
Оточуючі нас повітря, вода, різноманітні речі мають одну спільну
рису: вони складаються з речовин. Отже, речовина — це те, з чого скла-
даються предмети і тіла, які нас оточують.
Загальна хімія
351
Матеріал
Більшість речей, якими ми користуємося, виготовлені з різних ма-
теріалів. Матеріал — це речовина, яка має набір відповідних власти-
востей, що дозволяють виготовляти з нього предмети (речі) певного
призначення. Матеріали можуть складатися з однієї речовини (мідь,
гіпс, лід) або з суміші речовин (чавун, бетон, залізобетон). Матеріалами
зазвичай називають тверді тіла.
Явища
Речовини дуже різноманітні, тому можуть перебувати у різних агре-
гатних станах: газоподібне повітря, рідка вода, тверда сталь. При цьому
одна й та ж речовина за різних умов може існувати у різних агрегат-
них станах. Так, за допомогою машини Лінде можна одержати рідке
повітря. Нам добре відомі водяна пара, рідка вода та тверда вода, тобто
різноманітні модифікації води. Перехід речовини з одного агрегатного
стану у інший є одним з прикладів явищ.
Явища фізичні та хімічні
Відомо, що перетворення води на пару або лід може відбуватися
багаторазово, і при цьому вода залишиться водою. Але якщо у воду,
що містить домішок електроліту (наприклад натрій сульфату) опустити
електроди і пропустити постійний електричний струм, то на одному
електроді (катоді) буде виділятися водень, а на іншому (аноді) — кисень,
тобто речовини, відмінні від води. У першому випадку, коли змінювався
агрегатний стан води, ми спостерігали фізичне явище, а у другому, при
електролізі води, — хімічне. Неважко зрозуміти, що особливою рисою
хімічних явищ є утворення в результаті їх нових речовин.
Хімічні властивості речовин. Молекула. Елемент.
Фізичне тіло. Прості та складні речовини. Хімічна формула
Хімічні явища називають також хімічними реакціями. Про хімічні
реакції ми будемо говорити детально дещо пізніше, а поки необхідно
лише запам’ятати, що хімічною реакцією називається процес,
у результаті якого утворюється хоча б одна нова речовина.
Хімічні властивості речовин
Кожна речовина здатна вступати у різні хімічні реакції. Сукупність
цих реакцій обумовлює хімічні властивості речовини. Таким чином,
хімічні властивості речовини — це сукупність хімічних реакцій, влас-
тивих для цієї речовини. Якщо речовина чиста, тобто не містить до-
мішок, які можна виявити, то хімічні властивості не залежать від її
кількості. Скільки б ми не взяли речовини, її хімічні властивості зали-
шаються незмінними. А якщо взяти речовини небагато? Незалежно від
кількості речовини буде спостерігатися сталість властивостей. Але тут
існує межа! Взагалі (практично це зробити дуже складно), зменшуючи
кількість речовини, ми можемо отримати гранично малу (найменшу)
словник
Физичні явища — явища,
у результаті яких змінюється
тільки фізичний стан речови-
ни чи її положення у просторі,
але нові речовини не утво-
рюються.
Хімічні явища — явища,у ре-
зультаті яких з однієї речови-
ни утворюються ІНШІ.
352
ХІМІЯ
ЗАПАМ'ЯТАЙ Молекула — найменша частинка речовини, яка має її хімічні властивості. частку, подальший поділ якої призведе до утворення частинок інших речовин. Така найменша частинка речовини, що має її хімічні власти- вості, називається молекулою. Слід зазначити, що молекула має лише хімічні властивості речови- ни, але не фізичні — молекули не можна перетворити на пару, лід чи пропустити через них електричний струм. Це все можна зробити, якщо наявна велика сукупність молекул, що є фізичним тілом. Фізичне тіло Сукупність молекул речовини або суміші речовин, що відокрем- лена від зовнішнього середовища поверхнею розділення, називають фізичним тілом. Наприклад, вода — це речовина, а крапля води — фізичне тіло. У результаті хімічних реакцій молекули речовин можуть розпада- тися на менш складні частинки — атоми та іони. Електронейтральною межею поділу молекул є атоми. На відміну від молекул, кількість яких дорівнює кількості відомих речовин (міліардам), кількість видів атомів гранична. На сьогодні відомо 114 видів атомів. Основними характеристи- ками атомів є заряди їх ядер (див. «Будова атома»), а також їхня маса. При цьому якщо заряд ядра атома визначити складно, то маса атома визначається порівняно легко і переважно саме вона є засобом розпізна- вання тих чи інших атомів. Однак найбільш надійною «візитною карткою» атома є заряд його ядра. Всі атоми одного й того ж виду, тобто ті, що мають однакові за- ряди ядер, утворюють сукупність, що називається елементом. Елемент
ЗАПАМ'ЯТАЙ Хімічний елемент — це су- купність атомів з однаковим зарядом ядра. Елемент — це сукупність атомів з однаковим зарядом ядра. Кіль- кість відомих (у тому числі й одержаних штучно) елементів дорів- нює 114. При цьому, якщо сумарна маса атомів одних елементів складає майже половину маси земної кулі (Оксиген), відомі елементи, що мають декілька десятків або навіть декілька атомів (Дубній, НЬ). Хімічні символи Кожний елемент має назву (її, як правило, дає вчений, що відкрив цей елемент) і хімічний символ. Так, Гідроген має назву Нусігоііепіит (той, що утворює воду), його хімічний символ Н; Купрум має назву Сиргит (від назви острова Кіпр, де він добувався на початку бронзового віку), хімічний символ Си. Прості та складні речовини Елементи існують у трьох формах: вільні атоми, прості речовини,
словник складні речовини. Простою називається речовина, молекули якої складаються
Прості речовини: Гідроген, Оксиген, інертні гази, залізо. Складні речовини: вода, вуглекислий газ, цукор. з атомів одного елемента. Іноді елемент утворює одноатомні моле- кули (інертні гази — гелій, неон, аргон тощо), в інших випадках стабільними є не одноатомні, а двохатомні молекули (С12, Н2), трьох- атомні (О3) і т. д.
Загальна хімія
353
Один і той самий елемент може існувати у вигляді кількох простих
речовин. Це явище називається алотропією, а речовини — алотропними
модифікаціями.
Так, Оксиген відомий у трьох алотропних модифікаціях — атомар-
ний Оксиген (О), молекулярний кисень (О2) та озон (О3).
Хімічні властивості алотропних модифікацій дуже різноманітні.
Складною називається речовина, молекули якої складаються з ато-
мів різних елементів. Наприклад: СаО, Ха28О4, К2Сг2О7 тощо. Перелік
елементів, атоми яких наявні у складній речовині, називається якісним
складом молекули.
Якщо нам, крім якісного складу молекули, відоме і число атомів
у цій молекулі, це означає, що ми знаємо кількісний склад молекули
речовини. Існує дуже багато речовин, що мають однаковий якісний, але
різний кількісний склад. Наприклад, натрій сульфіт та натрій сульфат
(Ха28О3 та Ха28О4 відповідно).
Хімічна формула
Для відображення якісного та кількісного складу молекул речовин
використовуються хімічні формули.
Хімічна формула речовини — це група символів хімічних елемен-
тів, що відображають якісний та кількісний склад молекул речовини.
Наприклад, ХаСІ, К28, Са(С1О4)2. Числа при символах елементів (К2) або
їх групах (С1О4)2) відображають кількість атомів хімічного елемента,
що входять до молекули складної речовини, і називаються індексами.
Структурна формула
Іноді для визначення речовини хімічної формули недостатньо. На-
приклад, хімічній формулі С2НвО відповідають дві речовини — етиловий
спирт (Н2С—СН2=ОН) та диметиловий етер (Н3С—О—СН3). У таких
випадках для надійної ідентифікації речовини використовують струк-
турні формули. Структурна формула — це група символів хімічних
елементів, що відображає якісний та кількісний склад, а також взаємне
розташування атомів у молекулі.
Речовини, молекули яких мають однакові хімічні, але різні струк-
турні формули, називаються ізомерами.
Чисті речовини та суміші. Розділення сумішей
Абсолютно чистих речовин у природі не існує. Вони обов’язково
мають домішки, хоча б у незначній кількості, і повне очищення від них
неможливе. І це не потрібно. Необхідний ступінь очищення визначаєть-
ся тим, з якою метою буде використовуватися речовина.
Наприклад, річкова вода достатньо чиста для купання, але непридат-
на для пиття. Джерельна й очищена річкова вода придатні для пиття,
але в парових котлах можуть використовуватися тільки після очищення.
У житті ми маємо справу не з чистими речовинами, а з сумішами
речовин. Ці суміші можуть бути неоднорідними (каламутна річкова
вода з нерозчинними частками піску та глини, які можна побачити
неозброєним оком) і однорідними (розчини спирту, цукру), в яких не
помітна межа розділення між речовинами.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Властивості окремих речовин
у суміші зберігаються.
354
Хімія
Суміші можуть складатися не тільки з твердих, а й з рідких і газо-
подібних речовин. Наприклад, хмари — це суміш повітря з краплями,
дим — суміш твердих часток і повітря, а власне повітря — суміш різних
газів. Прикладом різноманітних сумішей є молоко (краплі рідкого жиру
У воді).
Складові частини сумішей називають компонентами.
Суміші та складні речовини
Слід розрізняти складні речовини та суміші. Основні відмінності
між ними такі:
— суміші можуть бути виготовлені у будь-яких співвідношеннях
компонентів, на відміну від складних речовин, які мають чітко
визначений склад;
— речовини, що входять до складу сумішей, не змінюють своїх
властивостей після їх утворення, а утворення складної речовини
призводить до суттєвих змін властивостей атомів (іонів), з яких
складається молекула;
— утворення і розділення сумішей не супроводжується хімічни-
ми реакціями, тоді як утворення молекул складних речовин та
їх розподіл на вихідні речовини і продукти реакції є хімічними
процесами.
Як приклад можна навести суміш порошків міді та сірки. їх можна
змішати в різних співвідношеннях, але властивості міді і сірки після
утворення суміші не зміняться. Тому і розділити цю суміш можна, ви-
ходячи з властивостей міді та сірки. Якщо таку суміш помістити у воду,
то сірка, яка має нижчу питому вагу, спливе на поверхню, а мідь опус-
титься на дно посудини.
Під час утворення з міді та сірки складної речовини (Си8) одержуємо
речовину чорного кольору, в якій (після очищення) на 64 частини міді
припадає 32 масові частини сірки. Одержати із купрум (II) сульфіду
вихідні мідь і сірку досить складно. Цей процес може бути охаракте-
ризований такими хімічними реакціями:
Сн8 + Н2 = Сн + Н28,
2Н28 + О2 = 2Н2О + 28.
Розділення сумішей
Речовини, що входять до складу сумішей, завжди відрізняються
одна від одної за своїми фізичними властивостями — густиною, щіль-
ністю, розчинністю у різних розчинниках або воді, леткістю, здатністю
притягатися магнітом (для металів) тощо. На цьому засновані засоби
розділення механічних сумішей. Ми наводимо декілька основних за-
собів, що ґрунтуються на цих відмінностях.
1. Відстоювання та декантація.
Якщо компоненти сумішей мають суттєво різну щільність, напри-
клад, один з них може плавати у воді (й < 1), а інші тонуть (й > 1),
то суміш додають до води, перемішують, відстоюють і зливають воду
(декантація) з компонентами суміші, які спливли. За необхідності цей
процес повторюють.
Загальна хімія
355
Суміш двох рідин, що нерозчинні або малорозчинні одна в одній,
поміщають у ділильну лійку і відстоюють доти, доки між ними не
з’явиться чітка межа. Потім відкривають кран і одну рідину випуска-
ють, а іншу залишають у лійці.
2. Фільтрування.
Рідкі та тверді нерозчинні компоненти сумішей пропускають через
пористий матеріал (вата, тканина, фільтрувальний папір), при цьо-
му рідкий компонент (фільтрат) проходить, а твердий залишається на
фільтрі.
3. Дистиляція (перегонка).
Якщо компоненти сумішей розчинні один в одному, але мають різні
температури кипіння, то розчин заливають у прилад для дистиляції,
підігріваюють до температури дещо вищої, ніж показник компонента
з нижчою температурою кипіння, і відганяють його. При цьому в пере-
гоновій колбі залишається інший компонент. Якщо перший компонент
не є цінним (вода), то розчин виливають у плоскодонну посуду і че-
кають, коли компонент із нижчою температурою кипіння випариться
мимовільно або під час нагрівання. Цей різновид перегонки називається
упарюванням.
4. У процесі охолодження тверда речовина з’являється у вигляді
кристалів, цей метод називають кристалізацією.
5. Магнітна сепарація.
Багато металів та їх сплавів притягуються магнітом. Для розділен-
ня магнітних і немагнітних компонентів до суміші підносять магніт
і за його допомогою відокремлюють компонент, що до нього притягнувся.
Хімічні реакції. Відносна атомна (молекулярна) маса. Моль
Для запису хімічних процесів використовують рівняння хімічних
реакцій (їх називають хімічними рівняннями). Наприклад:
Сн8 + Н2 = Сн + Н28,
2Н28 + О2 = 2Н2О + 28.
Рівняння хімічних реакцій
З першого рівняння видно, що при взаємодії однієї молекули купрум
(II) сульфіду (Си8) з однією молекулою водню утворюється один атом
Купруму та одна молекула сірководню. Друге рівняння показує, що дві
молекули сірководню вступають до реакції з однією молекулою кисню
і утворюються дві молекули води та два атоми Сульфуру. Числа, що сто-
ять перед формулами, називаються стехіометричними коефіцієнтами.
З першого рівняння видно, що кількість молекул купрум (II) сульфі-
ду та водню має бути однаковою. Якщо взяти, наприклад, 100 молекул
купрум (II) сульфіду і 120 молекул водню, то реагувати будуть тільки
100 молекул водню, а 20 молекул загубляться. Тому під час проведен-
ня хімічних реакцій завжди прагнуть, щоб співвідношення кількості
молекул реагентів відповідали стехіометричним коефіцієнтам. Як же
підрахувати молекули перед проведенням реакції? Виявляється, це
зовсім нескладно, якщо ввести поняття відносної атомної та молеку-
лярної маси і поняття моля речовини.
356
Хімія
Відносна атомна та молекулярна маси
ЗАПАМ'ЯТАЙ Одиницею відносної атомної маси (скорочено в. а. м.) вва- жають 1/12 маси атома ізотопу Карбону С12. Варто пам’ятати, що атоми і молекули, відповідно і їх маси, настіль- ки малі, що звичайні одиниці виміру маси (в системі СІ це кілограм) непридатні. Одиницею відносної атомної маси (скорочено в. а. м.) вва- жають 1/12 маси атома ізотопу Карбону С12 (тобто того, що має атомну масу, яка дорівнює 12 в. а. м.). Іноді в. а. м. називають вуглецевою одиницею. Маса одного атома хімічного елемента, виражена в одиницях атом- ної маси, називається відносною атомною масою елемента. Так, відносна атомна маса Купруму приблизно дорівнює 64 в. а. м., Сульфуру — 32 в. а. м., Оксигену— 16 в. а. м. Сума мас усіх атомів, що входять до складу однієї молекули речовини, складає молекулярну масу речовини. Тому маса однієї молекули речовини, виражена у в. а. м., називається молекулярною масою речовини. Наприклад, молекулярна маса купрум (II) сульфату (Си8О4) дорівнює 1 64 + 1 32 = 160 в. а. м. Моль
ЗАПАМ'ЯТАЙ Моль — це така кількість речовини, у якій міститься 6 10-23 молекул цієї речовини. Нам відомо, що атом Купруму вдвічі важчий, ніж атом Сульфуру, а атом Сульфуру вдвічі важчий за атом Оксигену. Якщо взяти по N ато- мів кожного з цих елементів, то їх маса складатиме: для Купруму (64 А) в. а. м.; для Сульфуру (32 А^) в. а. м.; для Оксигену (16 А^) в. а. м. При цьому N може бути будь-яким числом. Якщо взяти 6,02 1023 атомів Купруму, то вони будуть мати масу 64 г, стільки ж атомів Сульфуру — 32 г, і така ж кількість атомів Оксиге- ну—16 г. Зазначимо, що в усіх трьох випадках одержуємо масові кількості елементів, що чисельно дорівнюють їх атомним масам. Тобто якщо взяти 6,02-1023 молекул купрум (II) сульфату, то вони матимуть масу 160 г. Масова кількість речовини (у грамах), що чисельно дорівнює її атомній (молекулярній) масі, називається молем цієї речовини. Кількість моль речовини позначається літерою V (ню). Число Авогадро
ЗАПАМ'ЯТАЙ Число Авогадро дорівнює 6,02 1023. 3 викладеного вище очевидно, що молі різних речовин містять од- накову кількість атомів (для елементів) або молекул (для простих або складних речовин). Це число дорівнює 6,02-1023 і називається числом Авогадро. За допомогою поняття про моль легко порахувати число молекул у певній масовій кількості речовини. Наприклад, якщо дано 4 г купрум (II) сульфату, і відомо, що 160 г його містять 6,02-1023 мо- лекул, можна записати: 160 г містять 6,02-1023 молекул; 4 г містять х молекул; 4 6,02 Ю23 „ „3 х = = 0,15 10 молекул. 160 Під час запису формул хімічних сполук слід звернути увагу на те, що індекси при символах елементів дорівнюють одиниці (тоді вони не ставляться — СаО, МаСІ) або невеликим цілим числам.
Загальна хімія
357
Закон Авогадро. Молярний об'єм газу.
Відносна густина газу
Закон Авогадро
У 1811 р. італійський вчений А. Авогадро висунув гіпотезу про те,
що молекули газів двохатомні, а також про те, що в рівних об’ємах різ-
них газів за однакових умов (температурі і тиску) міститься однакова
кількість молекул.
Оскільки А. Авогадро не був відомим ученим, ці припущення з ча-
сом забулися, і лише у 1860 році гіпотеза була визнана законом. Саме
тоді були сформульовані два наслідки, що випливають із цього закону.
Оскільки молі всіх речовин містять однакову кількість молекул, то молі
різних газів за однакових умов займають рівні об’єми.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Закон Авогадро: у рівних
об'ємах різних газів за од-
накових умов (температурі
і тиску) міститься однакова
кількість молекул.
Закон Авогадро. Наслідок 1
За нормальних умов (н. у.) (температура 0 °С, тиск 1 атм.
(101,325 гПа)) цей об’єм дорівнює 1 моль газу, тобто молярний об’єм
У,„ дорівнює 22,4 л (У,„ = 22,4 г/моль).
Закон Авогадро широко використовується під час визначення мо-
лекулярних мас газоподібних речовин. Для цього введене поняття від-
носної густини газу.
Відносна густина газів
Відносна густина — це співвідношення мас рівних об’ємів газів за
однакових умов.
Так, якщо 1 л одного газу має масу а г, а другого — Ь г, то відносна
густина першого по відношенню до другого становить
Закон Авогадро. Наслідок 2
Маса об’єму газу дорівнює масі молекул газу, помноженій на їх
кількість, тобто маса 1 л першого газу дорівнює ау - М1М1, де Мг — мо-
лекулярна маса першого газу. Для другого газу вона буде дорівнювати
Ь2 - М21\'2. Оскільки взяли по 1 л кожного газу (рівні об’єми), то А/ = А2
(за законом Авогадро).
Тоді
д а М.
Ь М2И2 м2 ‘
Виходячи з цього, можна сказати, що відносна густина газів дорів-
нює відношенню їх молекулярних мас.
Молекулярна маса повітря розраховується за його складом: 21 %
О2, 78 % М2 та 1 % інших газів і дорівнює 29 г/моль.
Валентність
Під час хімічних реакцій атоми елементів взаємодіють, і при цьому
приєднують або заміщують ціле число атомів інших елементів. Ця їх
властивість називається валентністю.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Валентність — це властивість
атомів хімічних елементів за-
міщати або приєднувати від-
повідну кількість атомів Інших
елементів.
358
ХІМІЯ
Валентність — це властивість атомів хімічних елементів заміщати
або приєднувати відповідну кількість атомів інших елементів. Вален-
тність виражається числом атомів одновалентних елементів, яке атом
даного елемента може заміщати або приєднувати під час утворення
певної хімічної сполуки.
Існують одновалентні (Н, Ьі, Ма, К, Е, СІ, Вг), двовалентні (М§, Са,
Ва, О, 8), тривалентні (АІ, М, Р), чотиривалентні (С, 8і) і т. д. елементи.
Зрозуміло, що один атом двовалентного елемента сполучиться з двома
атомами одновалентного елемента (СаС12, Н2О), але з одним атомом дво-
валентного елемента (СаО). Атом тривалентного елемента сполучається
з трьома атомами одновалентного елемента (ЕеС13), два атоми — з трьома
атомами двовалентного (А12О3) або з одним атомом тривалентного (АК).
Існують атоми, що мають постійну (Ма, К, Са, АІ, О) та змінну
II III І II III IV V
(Ее і Ее; Н§: і Н^; М, МІМ) валентності.
Усі атоми, що містяться в молекулі, мають електричний заряд,
хоча молекула в цілому електронейтральна. Це означає, що одні
атоми і молекули мають позитивний, а інші — негативний заряди.
Атоми Гідрогену і металів вважаються носіями позитивного, а атоми
Оксигену, галогенів та інших неметалів — негативного заряду. Так,
у молекулі СаО атом Кальцію має позитивний заряд (+2), а атом Окси-
гену— негативний (-2). У молекулі сульфатної кислоти (Н28О4) є чоти-
ри атоми Оксигену, які несуть 8 негативних зарядів, і два атоми Гідро-
гену, що несуть два позитивні заряди. З умови електронейтральності
молекули випливає, що атом Сульфуру повинен нести 6 позитивних
зарядів:
+2 +6 -8
Н28О4.
Величини цих зарядів є формальними, насправді розташування за-
рядів у іоні 8О4 має істотно більш складний характер, однак знання
цього заряду дозволить зрозуміти і передбачити багато хімічних влас-
тивостей речовини.
Ступінь окиснення
Формальний електричний заряд на даному атомі, що випливає
з умов електронейтральності молекули, називається ступенем окис-
нення елемента в даній хімічній сполуці.
Тобто, на відміну від валентності, величина ступеня окиснення є по-
зитивною або негативною.
Хімічна реакція
Протікання хімічних процесів відбувається відповідно до законів
хімії. Закони, що визначають кількісне співвідношення між елемента-
ми в молекулах, а також між кількістю вихідних речовин і продуктів
реакції, називаються стехіометричними. До стехіометричних законів
відносяться закон збереження маси, закон постійності складу, а також
закони Гей-Люссака і Авогадро.
Загальна хімія
359
Закон збереження маси
Основним законом, що підпорядковує всі процеси, які відбувають-
ся в природі, є закон збереження матерії та енергії. Однією з складо-
вих цього закону, що діє в хімії, є закон збереження маси. Закон був
сформульований у 1748 р. М. В. Ломоносовим у його листі до графа
І. І. Шувалова. У 1789 р. цей закон, окрім Ломоносова (оскільки він не
був опублікований Ломоносовим у науковій літературі), сформулював
і опублікував Антуан Лоран Лавуазьє. Тому закон збереження маси
називають (переважно у слов’янських країнах) законом Ломоносова-
Лавуазьє. У сучасній інтерпретації він формулюється таким чином:
Маса речовин, що вступили до реакції, дорівнює масі речовин, що
утворилися внаслідок реакції.
Сутність цього закону полягає в тому, що в процесі хімічної реакції
атоми хімічних елементів не з’являються і не зникають (зникають і утво-
рюються молекули), тобто їх кількість і маса залишаються незмінними.
У зв’язку з цим випливає ще одне формулювання закону.
Маса реагентів і утворюваних речовин на всіх стадіях реакції за-
лишається постійною.
Одним із наслідків цього закону є введення до рівняння хімічної
реакції стехіометричних коефіцієнтів, що зрівнюють кількість атомів
елементів у лівій (вихідні речовини) і правій (продукти реакції) час-
тинах рівняння.
Наприклад:
4МН3 + 5О2 = 4МО + 6Н2О.
З цього рівняння випливає, що для найбільш сприятливих стехіо-
метричних умов проведення реакції необхідно взяти 4 моля амоніаку
та 5 молів кисню, при цьому утворяться 4 моля нітроген (II) оксиду та
6 молів води.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Закон збереження мас: маса
речовин, що вступили до ре-
акції, дорівнює масі речовин,
що утворилися внаслідок ре-
акції.
Закон сталості складу
Закон сталості складу був сформульований у 1797 р. Ж. Прустом
після його довготривалої і запеклої полеміки з К. Бертолле. Сучасне
його формулювання таке:
Якісний і кількісний склад речовини молекулярної будови завжди
сталий і не залежить від місцезнаходження і способів добування.
Закон сталості складу поширюється тільки на індивідуальні речо-
вини (жодна індивідуальна речовина, тобто така, що не містить домі-
шок, до цього часу не одержана). Зазвичай речовини, навіть дуже чисті,
містять деяку кількість домішок, вихідних речовин, що інформують
нас про походження (тобто про те, з якого родовища були отримані
вихідні речовини) та побічних продуктів, що дають інформацію про
метод одержання речовини.
Цікаво, що закон сталості складу не має зворотної сили, бо існує
явище ізомерії, тобто не можна сказати, що якісний і кількісний склад
повністю визначає речовину.
Як уже зазначалося, формулі С2НвО відповідають дві речовини,
а формулі С20Н42 відповідають 360 000 сполук!
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Закон сталості складу: якіс-
ний І кількісний склад речо-
вини молекулярної будови
завжди сталий І не залежить
від місцезнаходження І спо-
собів добування.
360
Хімія
Закон об'ємних співвідношень газів під час хімічних реакцій
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Закон об'ємних співвідно-
шень газів: за однакових
умов об'єми газів, що всту-
пають до реакції, відносяться
між собою І до об'єму утво-
рених газів як невеликі цілі
числа.
Безліч хімічних процесів відбувається або з поглинанням або з виді-
ленням газів, або вони протікають у газовій фазі (наприклад, утворення
води з водню і кисню). Основною стехіометричною характеристикою газу
є його об’єм за даних температурі та тиску. Особливістю газового стану
речовини є те, що, на відміну від твердого і рідкого станів, молекули
газу розташовані на значній (до 30-50 розмірів) відстані одна від одної.
Тому об’єм газу визначається не стільки розмірами молекул, скільки
їх кількістю. У зв’язку з цим стехіометричні коефіцієнти в рівняннях
хімічних реакцій виражають відношення об’ємів реагентів та утворюва-
них газоподібних речовин. Так, з рівняння 28О2 + О2 —> 28О3 випливає,
що для одержання стехіометричних відношень необхідно на 2 об’єми
сульфур (IV) оксиду взяти один об’єм кисню, при цьому утворяться
2 об’єми сульфур (VI) оксиду (у таких випадках кажуть, що реакція
протікає зі зменшенням об’єму).
Закон об'ємних співвідношень газів Гей-Люссака
У 1805-1808 рр. Ж. Гей-Люссак сформулював закон об’ємних спів-
відношень у реакціях між газами.
За однакових умов об’єми газів, що вступають до реакції, відно-
сяться між собою і до об’єму утворених газів як невеликі цілі числа.
Так, у реакції окиснення сульфур (IV) оксиду на сульфур (VI) оксид
відношення між об’ємами реагентних газів дорівнює 2:1, а до продукту
реакції — 3:2.
На основі уявлень, що існували на початку XIX століття, закон
Гей-Люссака неможливо було пояснити. Вважалось, що молекули газів
одноатомні. Так, наприклад, рівняння між воднем і киснем записували
таким чином:
2Н + О = Н2О.
Тобто з трьох об’ємів вихідних газів має утворитися один об’єм
газоподібної речовини води. Насправді ж отримували співвідношення
об’ємів 2 :1: 2 (3: 2).
ЗАПАМ'ЯТАЙ
АС МОЛЬ
Дї л-с
Ап моль
Ай с • м2
о = кС™-С"е.
1> — швидкість реакції;
АГ — інтервал часу (с, хв);
С— молярна концентрація;
Ап — зміна кількості молей
однієї речовини;
5 — площа поверхні;
п, т — коефіцієнти речовин
А і В;
к — константа.
Швидкість хімічних реакцій. Хімічна рівновага.
Принцип Ле Шательє
Під час протікання хімічних реакцій відбувається зміна кількості
вихідних та кінцевих речовин. У першу хвилину після початку ре-
акції концентрація вихідних речовин є максимальною, а кінцевих
речовин — дорівнює нулю. У міру протікання реакції концентрація
вихідних речовин зменшується, а кінцевих — зростає. Для різних ре-
акцій ця зміна концентрацій може відбуватися з різною швидкістю.
Зміна концентрацій реагентних речовин за одиницю часу називаєть-
ся швидкістю хімічної реакції.
Швидкість хімічних реакцій вимірюється в молях за секунду
(моль/сек. або моль сек.-1) і для реакції
А + В—>С
Загальна хімія
361
математично виражається таким чином:
V - к-САСв.
Коефіцієнт к, що дорівнює значенню V, якщо СА - Св - 1 моль, нази-
вається константою швидкості реакції. Цей вираз справедливий тільки
в тому випадку, якщо реакція
СА + В
неможлива (наприклад, С — нерозчинна сполука), тобто реакція є не-
оборотною.
У загальному вигляді її можна записати таким чином:
А + В -> С + £>.
У цьому випадку на початку реакції концентрація вихідних речо-
вин є максимальною і вираз для швидкості прямої реакції має такий
вигляд:
Упр = ^1 ' СА + Св.
У міру протікання реакції концентрація вихідних речовин зменшу-
ватиметься, а кінцевих — зростатиме, тобто швидкість оборотної реакції
Уобор = ^2 ' Сс + Сд
буде зростати, а прямої — зменшуватися. Врешті-решт, настане мо-
мент, коли швидкості прямої та оборотної реакцій зрівняються, тобто
буде досягнений стан хімічної рівноваги. За умов рівноваги концен-
трації всіх речовин не змінюються і називаються рівноважними. Для
рівноважних концентрацій існує особливе відображення — [А], [В], [С],
[В], тобто математичне вираження для стану рівноваги має вигляд:
щр = щбор або МА][В] = /г2[С][В].
Розділимо обидві частини рівняння на /гфАП-В] та відділимо конс-
танти від концентрацій:
г = МС][Д] К = [С][Д]
^[А][В] аб° к2 [А][В] ’
Позначимо ~ відповідно запишемо:
, [С][В]
к =-------.
Р [А][В]
Тут /?р є константою рівноваги. З наведеної формули видно, що якщо
до розчину, що містить компоненти А, В, С, В у рівноважних концент-
раціях, додати деякий компонент, наприклад А, то його концентрація
зросте, а, відповідно, збільшиться знаменник, тобто значення /?р повин-
но зменшитися. Але /?р — це константа, і система має змінитися таким
чином, щоб її значення було постійним. Для цього має активізуватися
пряма реакція, тобто і?! має бути більшим за н2. Це буде продовжувати-
ся доти, доки і?! та г2 знову не зрівняються, тобто настане новий стан
рівноваги.
У газових реакціях, що відбуваються зі зміною об’єму (тобто стехіо-
метричні об’єми вихідних і кінцевих продуктів реакції не дорівнюють
362
Хімія
один одному) на рівновагу системи може впливати також тиск. Так,
вираз для константи швидкості реакції утворення амоніаку Х2 + ЗН2 =
= 2МН3
’ [ВДН2]‘
показує, що під час підвищення тиску концентрація вихідних речо-
вин підвищується пропорційно четвертому степеню, а кінцевої речови-
ни — тільки другому. Тому підвищення тиску буде стимулювати тільки
пряму реакцію, тобто утворення амоніаку.
Наведені приклади ілюструють принцип Ле Шательє, якому підпо-
рядковуються всі рівноважні процеси.
Якщо змінити одну з умов, за яких система перебуває у стані
хімічної рівноваги (концентрацію, температуру, тиск), то рівновага
зміщується у напрямі тієї реакції, що послаблює цей вплив.
Основні типи хімічних реакцій
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Реакції, що відбуваються
Із виділенням теплоти та світ-
ла/ називаються реакціями
горіння.
Рд ЗАПАМ'ЯТАЙ
Умовою протікання хімічної
реакції є дотикання речовин
та нагрівання.
Хімічною реакцією називається процес, при якому з одних речовин
утворюються інші, відмінні від попередніх за складом або будовою.
Під час хімічних реакцій обов’язково відбувається зміна речовин,
за якої розриваються старі і виникають нові зв’язки між атомами.
Хімічні реакції слід відрізняти від ядерних реакцій. Під час хіміч-
ної реакції загальне число атомів кожного хімічного елемента та його
ізотопний склад не змінюються. В ядерній реакції відбувається процес
перетворення атомних ядер при їх взаємодії з іншими ядрами або еле-
ментарними частинками.
Відомо, що реакції можуть відбуватися між речовинами різної
складності або з виділенням різних видів енергії, а також може змі-
нюватися ступінь окиснення атомів, що входять до складу молекул
реагентів та продуктів реакції. Усі ці ознаки і є основою для класифі-
кації хімічних реакцій.
Класифікація хімічних реакцій за енергетичною ознакою
словник
Екзотермічні реакції відбу-
ваються з виділенням енергії
(+0) (від грецьк. «екзо» — на-
зовні), ендотермічні — з по-
глинанням енергії (-0) (від
грецьк. «ендо» — усередину).
Дуже часто хімічні реакції супроводжуються поглинанням або виді-
ленням теплоти. Кількість теплоти, що виділяється або поглинається
під час протікання реакції в стехіометричних співвідношеннях реаген-
тів, називається її тепловим ефектом. Іноді тепловий ефект уводять
у рівняння хімічної реакції, тоді це рівняння називається термохіміч-
ним. При цьому, якщо в результаті реакції тепло виділяється (екзо-
термічна реакція), то тепловий ефект уводиться зі знаком «+», а якщо
поглинається (ендотермічна реакція), то зі знаком «-». Наприклад:
Н2 + С12 = 2НС1 - 184,6 кДж.
Наведене термохімічне рівняння реакції показує, що взаємодія
1 моль водню і 1 моль хлору супроводжується утворенням двох молів
хлороводню, у процесі чого поглинається 184,6 кДж теплової енергії.
Це рівняння можна написати таким чином:
- Н, + - СІ, НС1 - 92, 3 кДж.
2 “ 2
Загальна хімія
363
Отже, зрозуміло, що при утворенні одного моля хлороводню погли-
нається 93,3 кДж тепла.
Кількість тепла, що виділяється і поглинається під час утворення
одного моля речовини, називається теплотою утворення цієї речовини.
Деякі хімічні реакції протікають із виділенням або поглинанням
світла. Реакції, що протікають під дією світла, яке поглинається (на-
приклад, знебарвлення барвників), називаються фотохімічними, а ре-
акції, що супроводжуються виділенням світла (світіння живих організ-
мів або вологого гнилого дерева), називаються хемілюмінесцентними
реакціями.
Під час зарядження і розрядження акумуляторів, що супроводжу-
ються поглинанням і виділенням електроенергії, протікають елект-
рохімічні реакції.
Окисно-відновні реакції
Хімічні реакції, що супроводжуються зміною ступеня окиснення
атомів, які входять до складу реагентних молекул, називаються окис-
но-відновними.
У реакції
2Н2 + О2 = 2Н2О
атоми Гідрогену підвищують ступінь окиснення від 0 до +1 за рахунок
віддачі електронів. Це означає, що вони окиснюються і є при цьому
відновниками. Атоми Оксигену знижують свій ступінь окиснення від
0 до -2, тобто вони відновлюються, однак самі при цьому є окислюва-
чами. Окисно-відновні процеси підпорядковуються принципу електрон-
ного балансу, який стверджує, що число відданих електронів повинно
дорівнювати числу приєднаних. Так, з наведеного рівняння реакції
випливає, що для відновлення двох атомів Оксигену необхідно 4 елек-
трони, які можна отримати від 4 атомів (двох молекул) Гідрогену.
Принцип електронного балансу дозволяє визначати стехіометричні
коефіцієнти у рівняннях окисно-відновних реакцій.
Наприклад, необхідно визначити стехіометричні коефіцієнти у рів-
нянні реакції:
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Хімічні реакції, що супро-
воджуються зміною ступеня
окиснення атомІВ/які входять
до складу реагентних моле-
кул, називаються окисно-вІд-
новними.
Са + НМО3 -> Са(МО3)2 + МН4МО3 + Н2О.
Цю операцію виконаємо у такій послідовності.
1. Визначимо, атоми яких елементів і в якій послідовності зміню-
ють ступінь окиснення. Ми бачимо, що це атоми Кальцію (Са° —> Са2+)
і Нітрогену в кислотному залишку нітратної кислоти (№+ —> №“).
2. Запишемо електронні рівняння:
Са° - 2е -> Са2+,
№+ + 8е -> №’.
3. Складемо електронний баланс. Зрозуміло, що на один акт приєд-
нання 8 електронів до атома Нітрогену №+ повинна припадати втрата
електронів чотирма атомами Кальцію:
4Са° - 2е -> Са2+
4Са° - 8е -> 4Са2+
№+ + 8е -> №-
№+ + 8е -> №-.
364
Хімія
словник
Інгібітори — речовини, ЯКІ
беруть участь у хімічній реак-
ції та уповільнюють її до само-
го припинення.
4. Запишемо сумарне рівняння:
4Са° + №+ -> 4Са2+ + №’.
Отже, бачимо, що у лівій і правій частинах сумарного рівняння за-
ряди дорівнюють +5, тобто електронний баланс збережений.
5. Перенесемо стехіометричні коефіцієнти спочатку у праву, а потім
у ліву частину рівняння:
4Са + НМО3 4Са(МО3)2 + МН4МО3 + Н2О.
Таким чином, у правій частині рівняння 10 атомів Нітрогену,
а у лівій — тільки один. Перед формулою нітратної кислоти ставимо
коефіцієнт 10. Оскільки перед формулою амоній нітрату стехіометрич-
ний коефіцієнт дорівнює одиниці, то для того, щоб одержати у правій
частині рівняння 10 атомів Гідрогену, перед формулою води ставимо
коефіцієнт 3:
4Са + ЮНМ03 = 4Са(МО3)2 + МН4МО3 + ЗН2О.
Перевіряємо число атомів Оксигену в правій і лівій частинах рів-
няння:
— ліва частина — 10 3 = ЗО;
— права частина — 324+3+3= ЗО.
Стехіометричні коефіцієнти розставлені правильно.
Класифікація хімічних реакцій за участю каталізатора
Каталізатори — це речовини, які беруть участь у хімічній реакції,
змінюють її швидкість або напрям, але після закінчення реакції зали-
шаються якісно й кількісно незмінними.
Розрізняють:
1) некаталітичні реакції, що відбуваються без участі каталізатора:
2Н§О Д 2Н§ + О, Т ;
2) каталітичні реакції, що відбуваються за участю каталізатора:
2КС1О3------------> 2КС1 + ЗО, Т .
Понад 70 % хімічних виробництв застосовують каталізатори.
Класифікація хімічних реакцій за напрямом
За напрямом розрізняють:
1) необоротні реакції, що відбуваються за даних умов тільки в од-
ному напрямі:
Ге8 + 2НС1 = ГеС12 + Н28Ї,
Н+ + ОН- = Н2О,
Ае+ + СІ- = АеСЇЇ.
До таких реакцій можна віднести всі реакції обміну, що супровод-
жуються утворенням газу, осаду або слабкого електроліту (води);
Загальна хімія
365
2) оборотні реакції за даних умов відбуваються одночасно у двох
протилежних напрямах:
ЗН,+ ЬГ, ~ 2ИН:і,
СО + С1, СОСІ,.
Класифікація хімічних реакцій за ступенем складності вихідних
і кінцевих речовин
Відповідно до цієї ознаки виділяють чотири типи хімічних про-
цесів— реакції сполучення, реакції розкладу, реакції заміщення та
реакції обміну.
Реакції сполучення
Хімічні реакції, під час яких з двох (або більшої кількості менш
складних речовин) утворюється одна (або декілька) більш складних,
називаються реакціями сполучення.
Реакції сполучення можуть відбуватися:
— між простими речовинами з утворенням однієї складної речо-
вини:
2Ма + С12 = 2МаС1,
Н£ + 8 = Н£8;
— між простими та складними речовинами:
СО + С12 = СОС12,
2Г4О + О2 = 2МО2;
— між складними речовинами:
СаО + СО2 = СаСО3,
Р2О5 + ЗН2О = 2Н3РО4.
Оскільки в молекулах простих речовин ступінь окиснення атомів
дорівнює 0, а після протікання реакції відрізняється від нуля, то всі
реакції сполучення, в яких бере участь хоча б одна проста речовина,
є окисно-відновними.
Реакції розкладу
Хімічні реакції, під час яких з однієї складної речовини одер-
жують дві або декілька простіших речовин, називаються реакціями
розкладу.
Реакції розкладу можуть супроводжуватися утворенням:
— двох (або більше) простих речовин:
2Н£О = 2Н£ + О2,
2НІ + Н2 = І2;
366
Хімія
— однієї (або більше) простої та однієї (або більше) складної речо-
вини:
2М2О5 = 4МО2 + О2,
МпС14 = МпС12 + С12;
— двох (або більше) складних речовин:
МН4С1 = МН3 + НС1,
Сн2(ОН)2СО3 = 2СнО + Н2О + СО2.
Якщо під час реакції розкладу утворюється хоча б одна проста ре-
човина, то реакція є окисно-відновною.
Реакції заміщення
Хімічні реакції, під час яких з однієї простої та однієї складної ре-
човини одержують нову просту і нову складну речовину, називаються
реакціями заміщення.
Реакції заміщення відбуваються в тих випадках, коли елемент, що
заміщує, є більш активним за елемент, який заміщують:
Сн8О4 + 2п = 2п8О4 + Єн,
2МаВг + С12 = 2МаС1 + Вг2.
Оскільки в реакціях заміщення за визначенням завжди бере участь
проста речовина, то всі вони є окисно-відновними.
Реакції обміну
Хімічні реакції, під час яких з двох складних речовин одержують
дві нові складні речовини, називаються реакціями обміну.
Реакції обміну можуть відбуватися:
— між кислотами та основами (гідроксидами) з утворенням солі та
води:
2МаОН + Н28О4 = Ма28О4 + 2Н2О,
Ее(ОН)3 + ЗНС1 = ЕеС13 + ЗН2О;
— між солями та лугами з утворенням нової солі і нового гідро-
ксиду:
ЕеС12 + 2МаОН = Ее(ОН)2^ + 2 МаСІ,
2п8О4 + 2К0Н = 2п(ОН)2ч|/ + К28О4;
— між солями та кислотами з утворенням нової солі і нової кислоти:
ВаС12 + Н28О4 = Ва8ОД + 2НС1,
А£МО3 + НС1 = А§си + НМО3;
— між двома солями з утворенням двох нових солей:
СаС12 + Ма2СО3 = СаСО3 + 2МаС1,
Сн8О4 + К28 = Сн8 + К28О4.
Загальна хімія
367
У зв’язку з тим, що під час реакцій обміну реагують і утворюються
тільки складні речовини, ці реакції не є окисно-відновними.
Умови протікання реакцій обміну
Якщо вступають до реакції дві складні речовини, то це не означає,
що між ними буде протікати реакція. Так, якщо, наприклад, змішати
розчини двох солей калій нітрату та натрій сульфату, то може відбу-
тися реакція:
2КМО3 + Ма28О4 = К28О4 + 2МаМО3.
Однак у цьому випадку ми не побачимо жодних ознак протікання
реакції, оскільки як вихідні речовини, так і продукти реакції розчинні
у воді, тобто їх молекули повністю дисоційовані. Отже, при змішуванні
розчинів цих речовин утворюється набір іонів, склад якого залишається
незмінним протягом часу існування цього розчину.
Але якщо до розчину аргентум (І) нітрату додати розчин, що міс-
тить стехіометричну кількість натрій хлориду, то випадає сирний осад
аргентум (І) хлориду, а в розчині залишається натрій нітрат, тобто від-
бувається хімічна реакція, що має таке рівняння:
АеГТОз + Масі = А§си + МаМО3.
Ця реакція відбувається до кінця, тому що в результаті утворюється
осад.
Саме у такий спосіб з високою ефективністю відбувається реакція
обміну при змішуванні:
— кислоти з гідроксидом;
— сильної кислоти з солями карбонатної кислоти (виділення кар-
бонатної кислоти, яка розкладається на СО2 і Н2О);
— сильної кислоти з солями сульфітної кислоти (виділення вільної
сульфітної кислоти).
Спільним для всіх описаних випадків протікання реакцій обміну
є те, що один із продуктів реакції виводиться з її сфери в результаті
випадіння осаду, утворення води (малодисоційована речовина) або виді-
лення газоподібних продуктів.
Реакції обміну відбуваються тільки в тому випадку, якщо один
з продуктів реакції виводиться з її сфери.
Періодичний закон і періодична система елементів
Д. І. Менделєєва
Періодична система — це таблиця, що містить у собі всі відомі хіміч-
ні елементи, які розташовані відповідно до періодичного закону.
Порядковий номер елемента
Основною характеристикою елемента в періодичній системі є його
порядковий номер, який відповідає заряду ядер атомів елементів. Якщо
відомий порядковий номер елемента, а відповідно і заряд ядра його
атома, то, користуючись закономірностями під час заповнення енер-
гетичних рівнів атома (див. «Будова атома»), можна легко визначити
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Властивості хімічних елемен-
тів та утворених ними речо-
вин перебувають у періодич-
ній залежності від атомних
мас елементів.
368
Хімія
його основні параметри — радіус та число валентних електронів. Але,
користуючись періодичною системою, ми також маємо можливість ви-
значити ці параметри з двох інших характеристик елемента — номера
періоду та номера групи.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
У періоді зростають неме-
талІчнІ властивості І змен-
шується радіус атома.
У групі зростають металічні
властивості та зростає радіус
атома.
Періоди та ряди елементів
Періодом називається горизонтальний ряд елементів у періодичній
системі, що розташовані в порядку зростання зарядів ядер їх атомів,
і починається лужним металом, а закінчується інертним газом.
Таким чином, було встановлено, що відкриті Д. І. Менделєєвим за-
кономірності, які пов’язують атомну масу з хімічними та фізичними
властивостями елементів, мають передбачувальну силу і є хімічним
законом.
У 1869 р. Д. І. Менделєєвим було запропоноване таке формулювання
закону:
Фізичні та хімічні властивості елементів та їх сполук мають періо-
дичну залежність від їхньої атомної ваги.
Однак аналіз експериментальних даних, накопичених до цього часу,
не дозволяє вважати це формулювання точним, оскільки існують ізо-
топи елементів, в яких різні атомні маси, але вони мають однакові
хімічні властивості. Водночас ізобари, в яких однакові атомні маси,
мають різні хімічні властивості.
Уся сукупність експериментальних даних свідчить, що основним
фактором, що зумовлює хімічні властивості елемента, є заряд ядра
його атома. У зв’язку з цим сучасне визначення періодичного закону
Д. І. Менделєєва таке:
Фізичні та хімічні властивості елементів та їх сполук перебувають
у періодичній залежності від величини зарядів їх ядер.
Відкриття періодичного закону мало великий вплив не тільки на
неорганічну хімію, але й на розвиток аналітичної хімії, мінералогії,
геохімії та геології.
Періоди можуть складатися з одного (так звані короткі) і двох (довгі
періоди) рядів. Така структура періодів і рядів визначається порядком
заповнення енергетичних рівнів електронами, які ми і розглянемо.
Перший період починається з Гідрогену, ядро атома якого має заряд
+ 1, і тому атом має один 8-електрон, що є валентним. У наступного
елемента Гелію заряд ядра +2 і на валентному рівні 2 електрони. Від-
повідно до формули N - 2п2, на першому енергетичному рівні може
бути не більше двох електронів. Тому валентний рівень атома Гелію
має стійку електронну конфігурацію і він є інертним газом.
У зв’язку з цим наступний Літій (X - 3) має валентний 8-електрон
на другому енергетичному рівні (І82281), Берилій — два 8-електрони,
тобто заповнену 8-орбіталь (І82282). З атома Бору починається заповнен-
ня 2р-орбіталей (І82282р1), яке завершується у атома Неону (І82282рв).
При цьому другий енергетичний рівень виявляється повністю «уком-
плектованим» (2 22 = 8), і у наступного елемента Натрію (І82282р®381),
який починає третій період, відбувається заповнення третього енерге-
тичного рівня, який завершується в Аргону (І822822рв382/?в). З атома
Калію (1822822рв3823рв481) починається формування четвертого енерге-
тичного рівня, яке продовжується при переході від Калію до Кальцію
([Аг]482). Після заповнення 48-орбиталі третій енергетичний рівень, що
Загальна хімія
369
стає передвалентним, «згадує», що йому для завершення не вистачає
десяти й-електронів, тому при переході від Кальцію до Скандію на ва-
лентному рівні залишаються 28-електрони, а заповнюється й-підрівень
(8с — [АгІЗйМв2). Заповнення й-підрівня відбувається у всіх елементів,
що розміщені у довгому (парному) ряді великого періоду і закінчуєть-
ся в Купрумі (І82282рв382рвЗй10481), який починає короткий (непарний)
ряд великого періоду. Елементи, що розміщені у цьому ряді, форму-
ють валентний рівень, так що у Криптону він виявляється заповненим
(І822822рв382ЗрвЗй104824рв).
Далі все відбувається аналогічно — у довгих парних рядах великих
періодів формується й-підрівень попереднього рівня, а в коротких не-
парних— валентний рівень.
При цьому номер періоду, в якому розміщений той чи інший еле-
мент, відповідає числу енергетичних рівнів у атомі.
У парних рядах великих періодів розміщені елементи, що проявля-
ють в основному властивості металів, а в непарних у зв’язку зі збіль-
шенням від початку ряду до кінця кількості валентних електронів від-
бувається швидке ослаблення металічних та посилення неметалічних
властивостей елемента.
Групи та підгрупи елементів
Вертикальні стовпці елементів у періодичній системі називаються
групами. При цьому елементи, що розташовані під елементом, який
розміщений найвище, відносяться до головних підгруп, а решта —
до побічних. У головних підгрупах розташовані елементи малих пе-
ріодів і коротких непарних рядів великих періодів, в яких формується
валентний рівень атомів елементів. Тому номер групи для елементів
головних підгруп дорівнює (відповідає) числу валентних електронів.
До побічних підгруп відносяться елементи довгих парних рядів ве-
ликих періодів, у яких формуються й-підрівні передзовнішніх рівнів,
а на валентному рівні наявні 1-2 8-електрони (так звані 8-елементи).
Елементи головних підгруп під час хімічних реакцій можуть про-
являти ступінь окиснення, що відповідає номеру групи. При цьому
зростання зарядів ядер елементів тієї чи іншої головної підгрупи (якщо
рухатись по підгрупі зверху вниз) супроводжується зростанням радіуса
атома, а відповідно і посиленням металічних властивостей елементів.
Елементи побічних підгруп проявляють під час дії окислювачів
ступінь окиснення +1 — +3, але під час дії сильних окислювачів їх
максимальний ступінь окиснення відповідає номеру групи. Так, Хром,
який виявляє зазвичай ступінь окиснення +3, може проявляти також
ступінь окислення +6, але при цьому він виявляє властивості неметалу.
Сучасна періодична система
Періодична система елементів була надрукована Д. І. Менделєєвим
у двох формах: короткій, у якій великі періоди підрозділяються на
два ряди — парний і непарний, і довгій, де елементи великих періодів
розташовуються в один ряд (сам Менделєєв користувався коротким
варіантом).
З моменту відкриття періодичної системи було опубліковано декілька
сотень варіантів її зображення не тільки на площині, але й у просторі.
370
Хімія
У новій енциклопедії Британіка, яка виходила друком у 1974-
1994 рр., а також в інших іноземних виданнях і наукових журналах,
наводиться сучасна періодична система елементів Д. І. Менделєєва
(довгий варіант).
У цьому варіанті таблиці збережені періоди, але відсутні парні
та непарні ряди. Таблиця має 18 груп, у групах немає розподілу
на головні й побічні підгрупи. Номери груп позначені арабськими
цифрами (інколи ще паралельно зазначають стару нумерацію рим-
ськими цифрами).
Перша група — група лужних металів, друга — лужноземельних,
третя — група Скандію. Після групи Нікелю розташована 11 — група
Купруму, 17 — група галогенів, 18— інертних газів.
Крім нового розташування елементів, поруч з кожним з них зазна-
чено відносну атомну масу, атомний номер, розподіл електронів, тем-
пературу плавлення, температуру кипіння, електронегативність, назву,
латинську назву.
Будова атома
словник
Атом — найдрІбнІша частинка
хімічного елемента, яка скла-
дається з позитивно заряд-
женого ядра та електронної
оболонки.
Протон, нейтрон, електрон.
Квантові числа
З курсу фізики відомо, що атом складається з позитивно зарядже-
ного ядра та електронів, що рухаються4 навколо нього.
Ядро атома
Якщо уявити собі кулю радіусом 100 м, а в її центрі розташува-
ти тенісний м’ячик, то це дасть можливість уявити, який об’єм має
ядро по відношенню до об’єму атома. Ядро займає одну стотисячну
об’єму атома.
Але, незважаючи на це, практично вся маса атома міститься
в його ядрі. Це пов’язано з тим, що густина ядерної речовини дуже
висока. 1 см3 такої ядерної речовини мав би вагу приблизно 250 млн
тонн.
Нуклони
Ядро складається з нуклонів (від. пусіоз — ядро) — протонів і ней-
тронів.
Протони (позначаються ^р або ]Н ) — частинки, що мають заряд
+ 1, і масу, що дорівнює 1 а. о. м.
Нейтрони (*п) —частинки, що не мають заряду, їх маса дорівнює
1 а. о. м.
Майже всі поняття, викладені у цьому розділі, є модельними. Насправді в ато-
мі діють закони релятивістської і квантової механіки.
Загальна хімія
371
Заряд і маса ядра атома
Кількість протонів в ядрі атома обумовлює величину його позитив-
ного заряду. Оскільки заряд ядра атома — це основна характеристика
елемента, то кількість протонів в ядрах атомів тих чи інших елемен-
тів — завжди стале число.
Нейтрони впливають на масу ядра, але не можуть змінити його за-
ряд, тому ядра атомів одного й того ж елемента можуть мати різну
кількість нейтронів.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Заряд протона дорівнює 1,
тому заряд ядра дорівнює
кількості протонов у його
складі.
Ізотоп, нуклід
Різновиди атомів з однаковим зарядом ядра, але різними масами,
називаються ізотопами.
Так, наприклад, в ядрі атома 35С1 міститься 17 протонів і 18 ней-
тронів, а у 37С1— 17 протонів і 20 нейтронів.
Нуклід можна охарактеризувати числами: 2— протонне число,
що позначає кількість протонів у ядрі даного нукліду, N — нейтрон-
не число, яке показує кількість нейтронів даного нукліду, А — масове
число — сума протонного та нейтронного чисел. Останнє дорівнює від-
носній атомній масі, округленій до цілого числа, тому що маса протона
та нейтрона дорівнюють 1 а. о. м., а маса електрона дуже мала.
Існують атоми різних елементів, що мають однакові атомні маси:
словник
Ізотопи — це нукліди одного
хімічного елемента.
,'2К і ?°Аг, ;Т!Сг і ^,'Ге . Вони називаються ізобарами.
1У 1о л /4 /О х
Електрони
Електрони (позначаються е) — це елементарні частинки, що мають
1
масу ——— в. а. м. і заряд, який дорівнює —1. Електрони в атомі роз-
1836
поділяються навколо ядра в шарах, що називаються стаціонарними
орбітами, або енергетичними рівнями.
Усі електрони, що розташовані на одному рівні, мають однакову
енергію. Електрони, що розташовані на одному енергетичному рівні,
можуть відрізнятися формою орбіти, її орієнтацією стосовно магнітного
поля, а також власним моментом кількості руху.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Заряд електрона дорівнює -1.
У електронейтральному атомі
кількість електронів дорів-
нює КІЛЬКОСТІ протонів у ядрі
атома.
Квантові числа
Стан електрона в атомі повністю описується чотирма параметрами,
які називаються квантовими числами.
Основною характеристикою електрона в атомі є його енергія, що
відповідає номеру енергетичного рівня, на якому він розташований.
Тому номер рівня п, на якому розташований електрон, називається
головним квантовим числом. Головне квантове число може набу-
вати значення п - 1, 2, 3, 4 і т. д. Значення п зумовлює ємність
рівня, тобто максимальну кількість електронів, яка визначається
за формулою 5 = 2п2. Виходячи з цього, на першому енергетичному
рівні можуть розташуватися 2 електрони, на другому — 8, на тре-
тьому — 18 і т. д.
372
ХІМІЯ
5-Орбіталі
Електрони можуть обертатися як за кульовими, так і за витягну-
тими (умовно їх називають еліпсоїдальними) орбітами. Ступінь елеп-
соїдності орбіти (умовно визначається різницею між довгою і короткою
осями еліпса) визначається побічним квантовим числом І. Значення,
яких може набувати І, пов’язані з п. При заданому п значення І можуть
змінюватися від 0 до п - 1. Це означає, що при п - 1 І набуває єдиного
значення — І - 0. Електрони, в яких І - 0, називаються «-електронами.
Орбіти «-електронів мають форму кулі. На другому енергетичному рівні
(п - 2) І набуває двох значень — 0 («-електрони) і 1 (р-електрони). р-Елек-
трони під час свого руху утворюють хмару, що має форму гантелі. Якщо
за початок осей координат узяти центр атомного ядра, то гантелеподібні
хмари розташуються у просторі, як показано на рисунку.
На третьому енергетичному рівні (п = 3) розташовані «-електрони,
р-електрони (І - 1) та й-електрони (І - 2). На четвертому енергетичному рівні
розташовані «-електрони, р-електрони, й-електрони та /-електрони (І - 3).
Магнітне квантове число (пг) визначає проекцію довгої осі орбіти
електрона на напрямок магнітного поля Землі або приладу, яким про-
водять вимірювання. Значення пг змінюється від -І через 0 до +1, тобто
при І - 0 пг - 0, а при І - 1 пг набуває трьох значень — -1, 0, +1.
Останнє квантове число зумовлює власний момент кількості руху
електрона. Умовно його можна подати як обертання електрона (звідки
й походить назва спін від зріп — веретено) навколо осі. Спінове квантове
< 11
число набуває лише двох значень— н— •----.
2 2
Принцип (заборона) Паулі
Слід пам’ятати, що в атомах чітко діє заборона Паулі, яка наго-
лошує, що в атомі не може бути двох електронів, які мають однакові
квантові числа. Але в атомі можуть бути електрони, що мають однакове
значення п, І і пг, але різне 8.
Якщо на орбіталі розташований один електрон, він називається не-
спареним, якщо два, то це спарені електрони, тобто електрони з про-
тилежними спінами.
Оскільки 5 може набувати тільки двох значень, то таких електронів
може бути два.
Атомні орбіталі
Пара електронів, стан яких відрізняється тільки спінами, нази-
вається атомною орбіталлю.
Атомні орбіталі можуть бути заповненими (якщо там 2 електрони),
незаповненими (1 електрон, наприклад атом Гідрогену) і вакантними
(жодного електрона, наприклад іон Гідрогену Н+).
Загальна хімія
373
Послідовність енергетичних рівнів у атомі
Заповнення електронами енергетичних рівнів підпорядковане прин-
ципу мінімальної енергії, тобто в першу чергу заповнюються енерге-
тичні рівні, що розташовані ближче до ядра. На власне енергетичних
рівнях заповнюються спочатку 8-орбіталі, потім р-орбіталі, й-орбіталі,
а потім /-орбіталі.
На основі викладеного вище можна складати електронні формули
атомів.
Електронні формули атомів та іонів
На прикладі атома з зарядом ядра, який дорівнює 20 (Са), пояснимо
процес складання електронних формул.
На першому енергетичному рівні розташовані 28-електрони (І82).
На другому енергетичному рівні розташовані 28-електрони (2в2) та
бр-електронів (2рв). На третьому енергетичному рівні розташовані
28-електрони (Зв2) та бр-електронів (Зр6). На четвертому рівні розта-
шовані 28-електрони (4в2).
Таким чином, електронна формула Са має такий вигляд —
І822822рв3823рв482.
Іноді потрібно відобразити графічну електронну формулу. У цьому
випадку кожній орбіталі відводиться чотирикутник:
п - 4 4в2 |ТТ]
п = 3 3823рв
п = 2 2822р6
п - 1 І82 [Хт].
Іноді електронну формулу елемента порівнюють з електронною фор-
мулою інертного газу, що закінчує попередній період. Так, електронна
формула Аргону—І822822рв3823р®, тобто вона аналогічна тій частині
електронної формули Кальцію, що виступає перед 4в2-орбіталлю. Тому
спрощено електронну формулу Кальцію можна записати [Аг] 4в2.
Під час хімічних реакцій атоми віддають або приєднують електро-
ни, утворюючи заряджені іони. Так, іон Са2+ має електронну формулу,
В ЯКІЙ ВІДСУТНІ 48-ЄЛЄКТрОНИ: І822822/7в3823/7в.
ЛИ1111
1? 1? ТІ}
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Максимальні кількості елект-
ронів на енергетичному рівні:
А 5-------------
4-----------32
З---------18
2-------8
1-----2
(л) (2л2)
Валентний енергетичний рівень, валентні електрони
Особливе місце в атомі посідає зовнішній рівень, який називається
валентним, а електрони, що на ньому розташовані, називаються ва-
лентними електронами. Особливість валентних електронів полягає
в тому, що саме вони беруть участь в утворенні хімічного зв’язку, тобто
обумовлюють хімічні властивості елементів.
Чому і як відбуваються реакції між атомами хімічних елементів?
Вони, як і всі процеси в природі, підпорядковані принципу мінімальної
енергії, тобто відбуваються у напрямі утворення сполук, що є більш
стійкими, ніж вихідні речовини. Стійкість сполук підвищується, якщо
валентні рівні атомів, що входять до складу молекули, набувають стій-
кої електронної конфігурації. Такою конфігурацією для атома Гідрогену
є або повна відсутність валентних електронів (Н+), або наявність на
валентному рівні двох електронів (Н“). Для решти елементів стійкою
електронною конфігурацією зовнішнього енергетичного рівня є кон-
374
Хімія
фігурація, що містить нуль або вісім валентних електронів. Тому для
атомів елементів, які мають на валентному рівні від одного до трьох
електронів, енергетично вигідно їх віддати і перетворитися на пози-
тивно заряджений іон.
І навпаки, атоми елементів, що мають на валентному рівні 5, 6 та
7 електронів, під час хімічних реакцій намагаються приєднати кількість
електронів, яких не вистачає до 8. При цьому вони перетворюються на
негативно заряджені іони.
Таким чином, кількість валентних електронів в атомі є одним з ос-
новних факторів, що визначає хімічні властивості елемента.
Іншим фактором є радіус атома. Зрозуміло, що чим більший радіус
атома, тобто чим далі валентні електрони розміщені від ядра, тим слабше
вони утримуються на валентному рівні. Дійсно, якщо І8-електрон атома
відривається тільки під час дії досить сильних окислювачів, то вже ва-
лентний 2«-електрон атома Літію може бути відірваний атомом Гідрогену:
2Ьі + Н2 = 2ЬІН.
З Натрієм (валентний 3«-електрон), Калієм (валентний 4«-елект-
рон) подібні реакції протікають зі значним виділенням енергії. Таким
чином, для елементів, що мають на валентному рівні 5-7 електронів,
тенденція до приєднання електронів тим більша, чим менший радіус
атома. Так, атом Флуору (2р-вакансія) відриває електрони з валентного
рівня атома Оксигену.
Отже, кількість валентних електронів і радіус атома є основними
факторами, що зумовлюють хімічні властивості елемента.
Обидва ці фактори, у свою чергу, залежать від загальної кількості
електронів у атомі, що відповідає заряду його ядра, тобто заряд ядра
атома визначає всі хімічні властивості елемента.
Хімічний зв'язок
Сили, що утримують атоми в молекулах, називаються хімічними
зв’язками. Утворення хімічних зв’язків відбувається, якщо це суп-
роводжується виграшем енергії, яка виникає, коли кожний атом, що
утворює хімічний зв’язок, одержує стійку електронну конфігурацію.
За способом утворення та існування хімічні зв’язки можуть бути ко-
валентними (неполярний, полярний, координаційний), іонними, ме-
талічними і водневими.
Ковалентний хімічний зв'язок
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Хімічний ковалентний зв'я-
зок може утворюватись за
обмінним та донорно-акцеп-
торним механізмами.
Розглянемо, як утворюється одна з найпростіших молекул — молеку-
ла водню Н2. Атом Гідрогену має єдиний електрон на першому енергетич-
ному рівні, тому стійким станом для нього може бути Н+ (взагалі немає
електронів) або Н“ (два електрони на валентному рівні). Але і в тому,
і в іншому випадках іони Гідрогену через взаємне відштовхування мо-
лекулу утворити не здатні. А два нейтральні атоми можуть об’єднати
свої електрони в електронну пару, яка буде належати одночасно обом
атомам. Ця пара електронів повинна утримувати атоми Гідрогену один
біля одного і таким чином здійснювати хімічний зв’язок між ними.
Загальна хімія
375
Хімічний зв’язок, що здійснюється через об’єднання двох елект-
ронів, називається ковалентним хімічним зв’язком.
Ковалентний хімічний зв’язок зображується або за допомогою рис-
ки між атомами (Н—Н), або у вигляді двох крапок, що зображають
об’єднану електронну пару (Н:Н). Для інших елементів, у яких стійка
електронна конфігурація включає 8 електронів, ковалентний зв’язок
відображається таким чином:
:О: +:О:^(ю^0=) 0=0,
:С1- +-С1:->(ю^) СІ—СІ,
:М: М=М.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Ковалентний зв'язок утво-
рюється за обмінним механіз-
мом, коли атоми утворюють
спільні електронні пари.
Ковалентні зв’язки класифікують за способом перекривання елек-
тронних орбіталей, за числом спільних електронних пар, а також за
зміщенням їх до одного зі зв’язаних атомів.
За способом перекривання електронних орбіталей розрізняють о- та
л-зв’язки (сигма- та пі-).
У молекулі Нітрогену одна спільна електронна пара утворюється
за рахунок о-зв’язку (електронна густина розміщена в одній зоні, що
розташовується на лінії, яка з’єднує ядра атомів, міцний зв’язок).
Дві інші спільні електронні пари утворюються за рахунок л-зв’язків,
тобто бокового перекривання р-орбіталей у двох зонах; л-зв’язок слаб-
кіший за о-зв’язок.
ге
/~~с
N-------N
ге
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Ковалентний зв'язок утво-
рюється за донорно-акцеп-
торним механізмом, коли
донор має електронну пару,
а акцептор — вільну орбІталь,
яку ця пара може заняти.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
с-Зв'язки можуть утворюва-
тись за рахунок перекривання
електронних орбіталей: 5-5
(Н2), 5-р (НСІ), р-р (СІ2).
с-зв'язок
У молекулі Нітрогену між атомами існує один о-зв’язок і два
л-зв’язки, які розташовані в перпендикулярних площинах (взаємодіють
З неспарених р-електрони кожного атома).
Отже, а-зв’язки можуть утворюватися за рахунок перекривання таких
електронних орбіталей: 8-8 (Н2), 8-р (НС1), в-вр3 (СН4), вр2-вр2 (С2Н4) тощо.
За числом спільних електронних пар, що зв’язують атоми, тобто за
кратністю, розрізняють ковалентні зв’язки:
р-р
ге-зв'язок
1) одинарні:
н2 Н—н сн4 н
Н-С-Н; і
водень н метан
2) подвійні: со2 О=С=О карбон (IV) оксид С2н4 Н2С=СН етилен
3) потрійні: М2 с2н2
нс=сн.
азот ацетилен
376
Хімія
За ступенем зміщення спільних електронних пар до одного зі
зв’язаних ним атомів ковалентний зв’язок може бути полярним або
неполярним.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
5р3-гібрідізація валентних ор-
біталей та схема утворення
зв'язків у молекулі метану.
Неполярний ковалентний зв’язок
Ковалентний зв’язок, який утворюється між атомами з однаковою
електронегативністю, називають неполярним.
Електрони, що утворюють хімічні зв’язки в молекулах простих ре-
човин, однаково можуть знаходитися як біля одного, так і біля іншого
атомів, тому що атоми мають однакову електронегативність (єН) —
властивість відтягати до себе валентні електрони від інших атомів.
Наприклад:
Н2 або Н : Н С12 або :С1: СІ: М2або:№:№
Тобто за допомогою ковалентного неполярного зв’язку утворилися
молекули простих речовин-неметалів.
Полярний ковалентний зв’язок
Ковалентний хімічний зв’язок, який утворюється між атомами еле-
ментів з різною електронегативністю, називається полярним.
Якщо ковалентний зв’язок утворюється між атомами різних елемен-
тів, то електронна густина, що утворює зв’язок, стає несиметричною.
Це відбувається через те, що ядра атомів різних елементів з різною
силою притягують валентні електрони (відомо, що вони мають різну
електронегативність).
Так, електронна густина, що утворює ковалентний зв’язок у моле-
кулі НС1
Н—СІ,
має більшу густину біля атома Хлору, на якому таким чином виникає
частковий (менше ніж +1) негативний заряд сг, на атомі Гідрогену
при цьому виникає такий самий частковий позитивний заряд, тоб-
то ковалентний зв’язок, що виникає між атомами Гідрогену і Хлору
в молекулі хлороводню, є полярним. Ковалентний неполярний зв’язок
можна характеризувати довжиною, яка визначається відстанню між
ядрами атомів, які утворили такий зв’язок. При цьому чим сильніше
електронна хмара зміщена до одного з атомів, тим полярніший зв’язок
між ними.
У багатоатомних молекулах виявляється ще одна особливість кова-
лентного зв’язку — його просторова спрямованість.
Розглянемо молекулу води:
Оскільки атом Оксигену утворює ковалентні зв’язки з атомами
Гідрогену за рахунок електронів, що розміщені на р-орбіталях, а кут
між р-орбіталями дорівнює 90°, то і кут між ковалентними зв’язками
повинен бути 90°. Насправді через взаємне відштовхування атомів
Гідрогену він дорівнює 105°. Однак важливим у цьому питанні є те,
що кути між двома ковалентними зв’язками мають чітко визначену
величину.
Загальна хімія
377
Під час утворення ковалентного зв’язку виділяється певна кіль-
кість енергії. Якщо на будь-який ковалентний зв’язок подіяти тією
кількістю енергії, що виділяється при його утворенні, то відбудеться
розрив зв’язку. Енергія, що виділяється при утворенні ковалентного
зв’язку, або та, що необхідна для його розриву, називається енергією
ковалентного зв’язку.
Отже, ковалентний зв’язок характеризується відповідними значен-
нями енергії, довжиною, полярністю та валентним кутом.
Координаційний хімічний зв'язок
Одним із різновидів ковалентного зв’язку є координаційний зв’язок,
який відрізняється від звичайного ковалентного не тільки властивос-
тями, а й механізмом утворення.
Розглянемо реакцію між амоніаком та іоном Гідрогену. Електронна
структура амоніаку має такий вигляд:
Н
н:Й: •
Н
Тобто молекула амоніаку має вільну неподілену електронну пару.
Іон Гідрогену має вільну 8-орбіталь Н+ □, яка може бути заповнена дво-
ма електронами:
її Г н V
Н:№ + ОН+ -> Н:№Н
Н [ Н
Зв’язок, що утворився, має всі ознаки ковалентного, але відріз-
няється від нього механізмом утворення, оскільки він утворюється за
рахунок об’єднання електронної пари, що раніше належала одному
з реакційних партнерів. Ковалентний зв’язок, що утворюється за ра-
хунок об’єднання електронної пари атома однієї з вихідних речовин,
називається координаційним.
Оскільки під час утворення координаційного зв’язку виділяється
не дуже багато енергії, він легко розривається вже при нагріванні до
100 °С:
< нагр. + н+
Іонний хімічний зв'язок
Під час взаємодії елементів, що мають різну хімічну природу (ак-
тивний метал — активний неметал), валентні електрони атомів металів
повністю переходять на валентні рівні атомів неметалів, у результаті
цього утворюються різнойменно заряджені іони:
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Ма° - 1е -
СІ° + 1е - >СІ"
ІМа++ СІ" -> МаСІ.
Па0 + С1° -> Ма+ + СГ.
Електростатичне притягування і формує хімічний зв’язок між ними.
Хімічний зв’язок, що здійснюється за рахунок електростатичного при-
тягування різнойменно заряджених іонів, називається іонним зв’язком.
378
ХІМІЯ
Енергію іонного зв’язку можна обчислити за законом Кулона:
де Ц та 12— заряди іонів, г — відстань між ними, є — діелектрична про-
никність середовища.
У цій формулі величини та 12 є постійними для даної пари іонів,
є — для середовища, де вони розміщені, а значення г може змінюватися
від суми радіусів іонів (наприклад, у кристалі) до суттєво більших вели-
чин (наприклад, у розчинах різної концентрації). Тому іонний зв’язок
не має постійних значень енергії та довжини. Оскільки електроста-
тичне поле зарядженого іона сферично симетричне, то іонний зв’язок
не має і просторової спрямованості. Власне кажучи, не існує й поняття
іонної молекули, оскільки іонізовані речовини утворюють іонну крис-
талічну ґратку.
Таким чином, кристал такої речовини утворює одну гігантську су-
пермолекулу.
Кристали іонізованих речовин мають високу температуру плавлен-
ня, розчинні в полярних (тобто з високим значенням є) розчинниках
(вода, спирти), їх розчини проводять електричний струм.
Металічний хімічний зв'язок
словник Атоми металів, як відомо, легко віддають валентні електрони. Тому під час формування простих речовин, які називають метала- ми, відбувається об’єднання всіх валентних електронів атомів, що складають тіло. Ці електрони (їх іноді називають делокалізованими) вільно руха- ються у кристалічній ґратці металу, що складається з його іонів. Хімічний зв’язок, що здійснюється за рахунок делокалІзованих електронів іонами кристалічної ґратки металу, називається металіч- ним хімічним зв’язком. Наявність у металі вільних електронів обумовлює такі властивості металів, як електропровідність, теплопровідність, високе відбиття (ме- талевий блиск) тощо.
Зв'язок у металах між Іонами, який здійснюється за рахунок делокалІзованих електронів, називається металічним.
Водневий зв'язок Молекули деяких речовин, що мають у своєму складі значно поля- ризовані зв’язки Н—Е (Е — елемент), у деяких випадках можуть здій- снювати міжмолекулярні водневі зв’язки. Типовою речовиною такого виду є вода, на прикладі якої розглянемо поняття водневого зв’язку. Молекула води має два зв’язки Н—О, які є значно поляризованими через зміщення електронної густини до атома Оксигену. Це призводить до того, що на атомах Гідрогену з’являються част- кові позитивні (тобто не рівні одиниці), а на атомах Оксигену — час- ткові негативні заряди. Оскільки різнополярні заряди притягують- ся, то молекули води взаємно орієнтуються таким чином, що атоми Гідрогену однієї молекули починають взаємодіяти з атомами Оксигену другої:
11 ЗАПАМ'ЯТАЙ
...0°"—НГ ... О°-—Н" 1 1 н” н°+ Зодневий зв'язок у воді
Загальна хімія
379
Під час утворення водневого
н 2 8- 8+
^О... 2 8-
^О...
зв’язку відбувається виділення енер-
гії, тому для розриву зв’язку речовина повинна зазнати енергетичного
впливу (як правило, достатньо нагрівання).
Хімічний зв’язок, що здійснюється за рахунок взаємодії атома
Гідрогену з частковим позитивним зарядом однієї молекули з атомом,
що має частковий негативний заряд другої молекули, називається між-
молекулярним водневим зв’язком.
Водневий зв’язок може бути внутрішньомолекулярним, наприклад,
у молекулі саліцилового альдегіду:
Н
Оскільки водневий зв’язок утворюється не з усіма молекулами, що
містять Гідроген (він не спостерігається, наприклад, у молекулі сірко-
водню), то його утворення відносять до специфічної міжмолекулярної
або внутрішньомолекулярної взаємодії.
Утворення водневого зв’язку значною мірою впливає на фізичні
властивості речовин (вода, спирти, карбонові кислоти) — вони мають
високу густину, температуру кипіння, але низьку леткість.
Молекулярна і немолекулярна будова речовин
У хімічну взаємодію вступають не окремі атоми або молекули, а ре-
човини. Речовина за заданих умов може перебувати у трьох агрегат-
них станах: твердому, рідкому або газоподібному. Властивості речо-
вин залежать також від характеру хімічного зв’язку між частинками,
що його утворюють, — молекулами, атомами та іонами. За типом зв’язку
розрізняють речовини молекулярної та не молекулярної будови.
Молекулярні речовини
Речовини, що складаються з молекул, називаються молекулярними.
Зв’язки між молекулами у таких речовинах дуже слабкі, значно слабші,
ніж між атомами всередині молекули. Уже за порівняно низьких тем-
ператур вони розриваються — речовина перетворюється на рідину і далі
на газ (сублімація йоду). Температура плавлення й кипіння речовин,
що складаються з молекул, підвищується із збільшенням молекуляр-
ної маси. До молекулярних речовин відносяться речовини з атомною
структурою (С, 8і, Ьі, Ха, К, Си, Ге, АУ), серед них є метали і неметали.
380
Хімія
словник
Кристали —тверді речови-
ни, частинки яких утворю-
ють періодично повторювану
у просторі структуру — крис-
талічну ґратку.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Типи кристалічних ґраток:
атомна, молекулярна, Іонна,
металева.
Іонна кристалічна ґратка
кухонної солі
Атомна кристалічна ґратка
Прості речовини-неметали можуть мати молекулярну та атомну бу-
дову. Молекулярну будову за н. у. мають гази (Н2, Г42, Е2, С12, О3) або
тверді речовини (І2, Р4, 8а), а також єдина рідина (Вг2). Усі ці речовини
мають молекулярну будову, тому вони леткі. У твердому стані вони
легкоплавкі і можуть сублімувати. Температури кипіння і плавлення
низькі.
Немолекулярні речовини
До речовин немолекулярної будови відносять іонні сполуки. Такі
структури мають більшість сполук металів із неметалами: усі солі (МаСІ,
К28О4), деякі гідриди (ЬіН) і оксиди (СаО, М§О, ЕеО), основи (МаОН,
КОН). Іонні (немолекулярні) речовини мають високі температури плав-
лення та кипіння.
Типи кристалічних ґраток
Тверді речовини поділяються на аморфні та кристалічні.
Аморфні речовини не мають чіткої температури плавлення — під
час нагрівання вони поступово розм’якшуються і переходять до рідкого
стану (пластилін, смоли).
Кристалічні ґратки
Кристалічні речовини характеризуються правильним розташу-
ванням тих частинок, з яких вони складаються: атомів, молекул та
іонів — у чітко визначених точках простору. При з’єднанні цих точок
прямими лініями утворюється просторовий каркас, який називають
кристалічною ґраткою. Точки, в яких розміщені частки кристалу,
називають вузлами ґратки.
Залежно від типу частинок, що розміщуються у вузлах кристалічної
ґратки, і характеру зв’язку між ними, розрізняють чотири типи крис-
талічних ґраток: іонні, атомні, молекулярні та металічні.
Іонні кристалічні ґратки
Іонними кристалічними ґратками називають ґратки, у вузлах яких
розташовані іони. їх утворюють речовини з іонним зв’язком, яким
пов’язані як прості іони Ма+, С1“, так і складні 8О4 , ОН“. Отже, іонні
кристалічні ґратки мають солі, деякі оксиди й гідроксиди металів. На-
приклад, кристал МаСІ складається з переміжних позитивних іонів Ма+
і негативних С1“, які утворюють ґратку куба. Зв’язки у такому кристалі
міцні, речовини з такою ґраткою мають високу міцність і твердість,
вони тугоплавкі.
Атомні кристалічні ґратки
Атомними називають кристалічні ґратки, у вузлах яких знаходять-
ся окремі атоми. У таких ґратках атоми з’єднані міцним ковалентним
зв’язком. Прикладом речовини з таким типом кристалічної ґратки може
бути алмаз — алотропна видозміна вуглецю.
алмаза
Загальна хімія
381
Молекулярні кристалічні ґратки
Молекулярними називають кристалічні ґратки, у вузлах яких роз-
ташовані молекули. Хімічні зв’язки у цих молекулах можуть бути як
полярними (НС1, Н2О), так і неполярними (М2, О2). Незважаючи на те,
що атоми в молекулах зв’язані дуже міцними ковалентними зв’язками,
між самими молекулами діють слабкі сили міжмолекулярного притя-
гання. Речовини з молекулярним типом ґраток мають низьку твердість,
низькі температури плавлення, вони леткі. Молекулярні кристалічні
ґратки мають більшість органічних сполук (нафталін, глюкоза, цукор).
Молекулярна кристалічна
ґратка йоду
Металічні кристалічні ґратки
Речовини з металевим зв’язком мають металічні кристалічні ґратки.
У вузлах таких ґраток розташовані атоми та іони (атоми металу перехо-
дять в іони та віддають зовнішні електрони до спільного використання).
Така внутрішня структура металу визначає його характерні властивості:
ковкість, пластичність, електро- і теплопровідність, металічний блиск.
о> ®. ,Ф >
О 9
О • +• "Ь • +•
Металічна кристалічна ґратка
Електро негативність
У хімії широко застосовується поняття електронегативності (ЕН).
Властивість атомів даного елемента притягувати до себе електрони
від атомів інших елементів у сполуках називають електронегативністю.
Електронегативність Літію умовно вважається одиницею, ЕН інших
елементів вираховують відповідно.
Існує шкала значень ЕН елементів.
Числа ЕН елементів мають наближені значення. Чим вище ЕН еле-
мента, тим яскравіше виявляються його неметалічні властивості. За ЕН
елементи можна записати таким чином:
ЗАПАМ’ЯТАЙ
Електронегативність елемен-
та — безрозмірна величина.
Е > О > СІ > Вг > 8 > Р > С > Н > 8і > АІ > М£ > Са > На > К > Сз.
Найбільше значення ЕН має Флуор, вона дорівнює 4.
У металів ЕН, як правило, менше двох, а у неметалів — більше двох.
ЕН елементів зростає в періодах зліва направо, а в головних підгру-
пах — знизу вгору. На основі періодичної системи можна визначити,
який з двох елементів має вищу ЕН.
Ступінь окиснення
Пригадаємо, що під час утворення іонного зв’язку процес перетво-
рення атомів на іони можна схематично записати таким чином:
0 0 +1-1
Иа + СІ -> Иа + СІ .
Атом Натрію передав свій електрон атому Хлору й перетворився на
іон із зарядом +1, а атом Хлору прийняв електрон і перетворився на
іон із зарядом -1.
Під час утворення ковалентного зв’язку в молекулі НС1 відбуваєть-
ся спарювання неспарених зовнішніх електронів і утворення спільної
електронної пари атомів Гідрогену та Хлору:
ЗАПАМ’ЯТАЙ т
о о
Ступені окиснення: СІ2, ЬІ2,
0 -З +1 +1 -2 +1 +6 -2
СІ2; ЬІН3, Н25, Н25О4 —
сума ступеней:
(+1) 2 + (+6) + (-2) 4 = 0.
Н- + -сі: Н:С1:
382
ХІМІЯ
Під час хімічної взаємодії спільна електронна пара зміщується в бік
8+ 8-
більш електронегативного Хлору: Н —> СІ, електрон переходить від ато-
ма Гідрогену до атома Хлору частково'. Н+018СГ0’18. Якщо уявити собі
повний перехід електрона від атома Гідрогену до атома Хлору в моле-
кулі НС1, то вони б одержали заряди +1 і -1 (як у молекулі ХаСІ). Такі
умовні заряди називають ступенем окиснення.
Ступінь окиснення — це умовний заряд атома хімічного елемента
в сполуці, обчислений за умови, що всі сполуки (іонні і ковалентно-
полярні) складаються тільки з іонів.
Ступінь окиснення може мати негативне, позитивне або нульове
значення, воно зазвичай ставиться над символом елемента:
+2 -3 +1 -З 0
М§3 Х2, Ха, 8, СІ, .
Негативне значення ступеня окиснення мають атоми з найбільшою
електронегативністю, позитивне — з найменшою ЕН.
Нульове значення ступеня окиснення мають атоми в молекулах про-
стих речовин і атоми у вільному стані:
0 0 0 0
Н,, Е>, Ге, Ха.
У сполуках сумарний ступінь окиснення дорівнює нулю.
-2
Визначимо ступінь окислення Хлору у сполуці С1,О7. Відповідно
сім атомів Оксигену мають загальний негативний заряд (-2) 7 = 14.
Загальний заряд двох атомів Хлору дорівнює +14, а одного атома Хлору:
(+14) : 2 = +7; С1,67.
Розчини
Поняття про розчини
Запилене повітря, мутна вода, молоко — це приклади дисперсних
систем. Основною їхнью ознакою є те, що, як правило, невелика кіль-
кість однієї речовини у роздрібленому стані (дисперсна фаза) розподі-
ляється у значно більшій кількості іншої речовини (дисперсне середо-
вище). Розрізняють емульсії (рідина в рідині), суспензії (тверде тіло
в рідині), аерозолі (тверде або рідке тіло в газі). Властивості дисперсних
систем у значній мірі залежать від ступеня роздрібнення (ступеня дис-
персності ) дисперсної фази, саме вона визначає величину поверхні роз-
ділення між дисперсною фазою та дисперсним середовищем. Найбільш
високий ступінь дисперсності мають колоїдні розчини, в яких величина
часток дисперсної фази дорівнює 10“5-10“7 см.
Наявність поверхні розділення між компонентами дисперсних сис-
тем обумовлює їх неоднорідність (гетерогенність).
Якщо у будь-який спосіб підвищити ступінь дисперсності фази
до молекул, поверхня розділення зникає, і система стає однорідною
(гомогенною).
Однорідні (гомогенні) дво- (або більше) компонентні системи,
в яких молекули однієї речовини рівномірно розподілені між моле-
Загальна хімія
383
кулами іншої речовини, називаються молекулярними, або справжніми
розчинами.
У розчинах дисперсна фаза називається розчиненою речовиною,
а дисперсне середовище—розчинником.
Одержання розчинів
1. Розчинення
Процес одержання розчинів називається розчиненням. Коли ре-
човину, що розчиняють, поміщають у розчинник, її молекули почи-
нають взаємодіяти з молекулами речовини, що містяться на повер-
хні її частинок. Внаслідок цього взаємодія приповерхневих молекул
речовини, що розчиняється, з молекулами, що містяться нижче,
ослаблюється, відстань між ними збільшується і врешті-решт моле-
кула речовини, що розчиняється, оточена молекулами розчинника,
потрапляє в розчин.
2. Сольватація, гідратація
Процес взаємодії молекул речовини, що розчиняється, з молекулами
розчинника називається сольватацією (у воді — гідратацією), а оболон-
ка з молекул розчинника називається сольватною (у воді — гідратною)
оболонкою.
Розчинення речовин супроводжується поглинанням або виділенням
теплоти. Так, під час розчинення у воді концентрованої сульфатної кис-
лоти розчин може розігрітися настільки, що можливе його закіпання
й виполіскування за межі посуду. В той же час розчинення нітратів
лужних металів (селітри) супроводжується сильним охолодженням роз-
чинів. Кількість теплоти, що виділяється (поглинається) при розчиненні
1 моля речовини, називається теплотою його розчинення.
Розчинність
Здатність речовини розчинятися в тому чи іншому розчиннику на-
зивається розчинністю. Розчинність вимірюється кількістю речовини
у грамах (гази — у літрах), що здатні розчинитися у 100 грамах роз-
чинника за даних умов (температура, тиск).
Розчинність більшості твердих речовин, за винятком деяких (на-
приклад МаСІ), суттєво збільшується при підвищенні температури,
а газоподібних — знижується. У той же час підвищення тиску не
впливає на розчинність твердих речовин, але суттєво підвищує роз-
чинність газів.
Насичені та ненасичені розчини
Якщо під час розчинення тієї чи іншої речовини досягнута гра-
нична розчинність, то такий розчин називається насиченим. Якщо
охолодити насичений при високій температурі розчин кристалічної
речовини, можна одержати пересичений розчин. Пересичені розчини
більшості речовин є нестабільними системами, з них виділяється над-
лишок розчиненої речовини у вигляді твердих кристалів доти, доки
розчин не стане насиченим. Розчин, у якому не досягнута гранична
концентрація розчинності речовини за даної температури, називаєть-
ся ненасиченим.
384
ХІМІЯ
Концентрація розчинів
ЗАПАМ'ЯТАЙ
с=—,
п — КІЛЬКІСТЬ розчиненої ре-
човини, Т) — об'єм розчину
у літрах.
Для того, щоб кількісно охарактеризувати вміст речовини у розчині, ко-
ристуються поняттям концентрації. Концентрація розчину—це кількість
розчиненої речовини, що міститься в одиниці маси або об’єму розчину.
Способів вираження концентрації розчинів існує дуже багато, але
ми будемо користуватися лише двома з них — масовою часткою речо-
вини в процентах (процентна концентрація) та молярністю (молярною
концентрацією) розчину.
Масова частка розчину
ЗАПАМ'ЯТАЙ
т
(0 = —,
%
о) — масова частка речовини,
т — маса розчиненої речови-
ни, тр — маса розчину
Ф=-^-.
V
(суміш.)
Масова частка — це кількість розчиненої речовини у грамах,
що міститься у 100 грамах розчину. Наприклад, у 100 г 5 % -го розчи-
ну міститися 5 г розчиненої речовини на 95 г розчинника. Визначити
масову частку речовини в розчині — це означає розрахувати, скільки роз-
чиненої речовини міститься у 100 г розчину. Якщо нам відомо, що у 25 г
розчину міститься 2 г розчиненої речовини, то це означає, що у 100 г та-
кого розчину міститься 8 г речовини, тобто розчин є восьмивідсотковим.
Молярність розчину
Кількість молів розчиненої речовини, що міститься у 1 л розчину, на-
зивається його молярною концентрацією (молярністю). Наприклад, якщо
у 1 л розчину міститься 40 г натрій гідроксиду (М - 40 г), то молярна концен-
40 г , .
трація такого розчину дорівнює---= 1 (такі розчини називаються моляр-
40 г
ними). Визначити молярність розчину — це означає розрахувати, скільки
молів розчиненої речовини міститься у 1 л такого розчину. Якщо у 250 мл
розчину міститься 0,1 моля розчиненої речовини, то у 1 л такого розчи-
ну міститься 0,4 моля речовини, тобто молярність розчину дорівнює 0,4.
Густина розчинів
Ми бачимо, що масова частка розчиненої речовини є масовою, а мо-
лярність— об’ємною концентрацією. Для перерахунку від об’єму роз-
чину до його маси і навпаки користуються поняттям густини розчину.
Густина — це маса 1 мл розчину. Густина виражається в грамах, від-
несених до мл (см3) розчину (г/мл). Так, якщо густина розчину дорівнює
1,5 г/моль, то це означає, що 1 мл (см3) такого розчину має масу 1,5 г.
Зрозуміло, що 1 л такого розчину має масу 1,5 кг (пг - (I V, де пг— маса
розчину, д, — його густина, а V—об’єм у мл), наприклад, 150 г його має
об’єм 100 мл \ V = —
І (1
словник
Кристалічні речовини, які
містять молекули води, нази-
вають кристалогідратами,
а воду, що входить до їх скла-
ду, — кристалізаційною.
Кристалогідрати
Під час кристалізації деяких солей із води до складу кристалічної
ґратки речовини, що перекристалізовуються, разом з іонами солі вхо-
дять також молекули води. Такі речовини називаються кристалогідра-
тами. Відомі кристалогідрати купрум (II) сульфату (Си8О4 5Н2О), фе-
рум (II) сульфату (Ре8О4 7Н2О), натрій сульфату (Ма28О4- ЮН2О) тощо.
Загальна хімія
385
Теорія електролітичної дисоціації
Наприкінці XIX ст. стало зрозумілим, що серед неорганічних спо-
лук існує велика група речовин, які мають такі особливості поведінки
в розчинах:
— фізичні властивості їхніх розчинів свідчать, що в них міститься
частинок значно більше, ніж повинні містити молекули;
— при зливанні розчинів цих речовин реакції, якщо вони мали суп-
роводжуватися утворенням малорозчинних сполук, протікали
миттєво;
— розчини цих речовин у воді та інших полярних (тих, що мають
високе значення діелектричної проникності є) розчинниках про-
водили електричний струм, однак за механізмами, які відрізня-
лися від електропровідності металів.
За здатність утворювати розчини, що проводять електричний струм,
ці речовини були названі електролітами. Інші речовини називають
неелектролітами. Після тривалої дискусії шведським ученим С. Ареніу-
сом була запропонована теорія, що дозволяла пояснити всі особливості
поведінки розчинів електролітів. Цю теорію назвали Теорією елект-
ролітичної дисоціації.
Основні тези цієї теорії такі:
— молекули електролітів під час розчинення розпадаються (дисо-
ціюють) на позитивно та негативно заряджені іони; кількість
позитивних та негативних зарядів завжди однакова, оскільки
розчин у цілому електронейтральний;
— процес дисоціації є зворотним.
Процес дисоціації
Для електролітів, що мають іонну кристалічну ґратку, процес дисо-
ціації зрозумілий — при контакті з розчинником іони просто один за од-
ним переходять у розчин. Але дисоціюють і такі речовини, в яких атоми
зв’язані один з одним полярним ковалентним зв’язком. Наприклад, хло-
роводень. Як це відбувається? Молекула хлороводню, потрапляючи до
полярного розчинника, починає взаємодіяти з диполями його молекул.
МД/ V
/А
Таким чином, зрозуміло, що хімічний зв’язок у молекулі хлоровод-
ню поляризується настільки, що валентний електрон атома Гідрогену
повністю переходить на валентний рівень атома Хлору і утворюються
два іони — іон Гідрогену та іон Хлору. Між ними здійснюється іонний
хімічний зв’язок.
Сильні й слабкі електроліти
Якщо при взаємодії речовини з водою утворюються іони, але реакція
не відбувається до кінця і в розчині залишаються молекули вихідної
386
Хімія
речовини, тобто процес електролітичної дисоціації є зворотним, то такі речовини називають слабкими електролітами.
ЗАПАМ'ЯТАЙ Електролітами можіть бути тільки речовини 3 іонним та ковалентним зв'язком (солі, основи, кислоти). До слабких електролітів належать вода, амоніак, малорозчинні ос- нови (не луги), наприклад Си(ОН)2, деякі кислоти (НР, Н2СО3, Н28, ор- ганічні кислоти — оцтова, яблучна, лимонна). Так, наприклад, з кожних 185000 молекул оцтової кислоти у водних розчинах дисоціює лише одна. Сильними електролітами називають речовини, у яких в розчині від- сутні молекули. Дисоціація сильних електролітів проходить незворотно. До таких електролітів належать більшість солей, луги, а також сильні кислоти: НС1, Н28О4, НМО3, НС1О3, НС1О4. Ступінь дисоціації
ЗАПАМ'ЯТАЙ Л/д а = —, ч а — ступінь дисоціації, Л/д — кількість частинок, що розпа- лися на Іони, Л/р — кількість розчинених частинок. Мірою здатності молекул електролітів розпадатися на іони є ступінь дисоціації: N а = —, N заг. де Мдис— число молекул, що продисоціювали; Мзаг— загальне число мо- лекул. Для сильних електролітів, особливо в розбавлених розчинах, зна- чення а наближається до (але ніколи не дорівнює) одиниці, для слабких воно може мати дуже мале значення. Так, ступінь дисоціації купрум (II) сульфату має порядок ІО-64. Іонні реакції Хімічні реакції між електролітами у розчинах — це реакції між іо- нами. У зв’язку з цим рівняння реакції, наприклад, між натрій нітратом та калій хлоридом можна записати у молекулярній МаМО3 + КС1 = МаСІ + КМО3 та іонній Ма+ + МО3 + К+ + СГ = Ма+ + СГ + К+ + МО3 формах. Порівнюючи ці рівняння, бачимо, що якщо перше з них дозволяє припустити, що реакція відбувається, то друге рівняння показує, що і в правій, і в лівій його частині містяться одні й ті ж іони, тобто ре- акція не відбувається. Це пов’язане з тим, що як вихідні, так і кінцеві речовини є сильними електролітами. Реакція між сильними електролі- тами відбувається, якщо в результаті взаємодії утворюється слабкий електроліт. Класичним прикладом є реакція нейтралізації: НС1 + МаОН = МаСІ + Н2О, або в іонній формі: Н+ + С- + Иа+ + ОН- = Иа+ + СГ + Н2О. Якщо вилучити іони, що наявні в правій і лівій частинах рівняння, одержимо:
Н+ + он- = Н2О.
Загальна хімія
387
Перше з наведених іонних рівнянь називається повним, а друге — ско-
роченим іонним рівнянням. З останнього випливає, що в розчинах елек-
тролітів до реакції вступають тільки ті іони, взаємодія яких приводить
до утворення молекул слабких електролітів. За допомогою скорочених
іонних рівнянь можна класифікувати хімічні реакції. Так, наведене вище
скорочене іонне рівняння повністю характеризує всі реакції нейтралізації.
Водневий показник рН
Декількома незалежними методами було визначено, що при 25 °С
ДРн.о= Ю 14, тобто Сн+ = 10 7, тоді 1§ Сн+ = -7 , або - 1§ Сн+ -7.
Від’ємний логарифм концентрації іонів водню називається рН, тобто
для нейтральної реакції середовища рН = 7. При підкисленні розчину
концентрація іонів водню підвищується, а її від’ємний логарифм змен-
шується. Отже, якщо у даного розчину рН < 7, то це означає, що сере-
довище розчину кисле, а при рН > 7 — лужне.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Іонний добуток води дорівнює
10"14 моль/л.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
рН = -Ід[Н+]
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Виберіть твердження, в якому йдеться про хімічний елемент:
А) у рослинний організм фосфор потрапляє з мінеральних добрив;
Б) магній міститься у морській воді;
В) залізо при нагріванні з сіркою утворює сульфід;
Г) природний хлор складається з двох нуклідів.
2. Визначте, яка частинка складається з 8 протонів, 10 нейтронів і 8 електронів:
А) ізотоп Оксигену-8; В) ізотоп Аргону-18;
Б) ізотоп Оксигену-18; Г) ізотоп Оксигену з зарядом -2.
3. Вкажіть кількість і тип орбіталей, що існують на енергетичних рівнях:
А) лише дві орбіталі; Б) дві р-орбіталі; В) одна з-орбіталь; Г) дві з-орбіталі.
4. Визначте ряд хімічних елементів, які розташовані у порядку зростання їхнього атомного
радіуса:
А) Ьі, Ве, В, С; Б) Ве, М§, Са, 8г; В) М, О, Г, Ме; Г) Ма, М§, АІ, 8і.
5. Визначте тип зв’язку у сполуці, утвореній атомом Гідрогену і елементом, що має розподі-
лення електронів у атомі 2, 8, 6:
А) іонний; Б) ковалентний неполярний; В) ковалентний полярний; Г) металевий.
6. Вкажіть, яким чином можна змістити рівновагу реакції 28О2 + + О2 28О3 + 9 у бік вихід-
них речовин:
А) знизити тиск; В) знизити температуру;
Б) підвищити тиск; Г) використати каталізатор.
7. Укажіть ступінь окиснення окисника в реакції: НС1 + МпО2 = С12 + МпС12 + Н2О:
А) +2; Б) -2; В) -1; Г) +4.
8. Виберіть назву процесу вирівнювання атомних орбіталей за енергією та формою:
А) поляризація; Б) іонізація; В) структуризація; Г) гібридизація.
9. Позначте вид частинок, що завжди наявні у водному розчині солей:
А) іони металів; В) гідроксид-іони;
Б) катіони і кислотні залишки; Г) кислотні залишки.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Г. 2. Б. 3. Г. 4. Б. 5. В. 6. А. 7. Г. 8. Г. 9. Б.
НЕОРГАНІЧНА ХІМІЯ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Основні класи неорганічних сполук. Оксиди. Визначення, назви, класифікація, хімічні
властивості, способи добування. Основи. Визначення, назви, класифікація, хімічні властивості,
способи добування. Кислоти. Визначення, назви, класифікація, хімічні властивості, способи
добування. Солі. Визначення, назви, класифікація, хімічні властивості, способи добування.
Амфотерні сполуки. Поняття амфотерності; хімічні властивості, способи добування амфотерних
оксидів і гідроксидів. Узагальнення відомостей про класи неорганічних сполук.
Загальні відомості про металічні елементи та метали. Положення металічних елементів
у періодичній системі; особливості електронної будови атомів металічних елементів; особли-
вості металічного хімічного зв’язку; загальні фізичні властивості, загальні хімічні властивості;
загальні способи добування; поняття корозії, способи захисту металів від корозії; назви та фор-
мули найважливіших сполук металічних елементів; сплавів (чавун, сталь).
Лужні і лужноземельні метали. Хімічні властивості; способи добування; назви та формули
найважливіших сполук; поняття твердості води; галузі застосування найбільш поширених
сполук Натрію, Калію, Кальцію; хімічні формули і назви найбільш поширених калійних
добрив.
Алюміній та сполуки Алюмінію. Хімічні властивості; способи добування; назви та фор-
мули найважливіших сполук; галузі застосування алюмінію та найбільш поширених сполук
Алюмінію.
Залізо та сполуки Феруму. Хімічні властивості; способи добування; назви та формули най-
важливіших сполук; галузі застосування заліза та найбільш поширених сполук Феруму.
Узагальнення відомостей про метали та сполуки металічних елементів.
Неметалічні елементи. Неметалічні елементи (Гідроген, Галогени, Оксиген, Сульфур,
Нітроген, Фосфор, Карбон, Силіцій); електронні формули атомів неметалічних елементів;
хімічні формули і назви простих і найбільш поширених складних речовин неметалічних еле-
ментів; явище алотропії та алотропних модифікацій; явище адсорбції; фізичні властивості
простих і найбільш поширених складних речовин неметалічних елементів; хімічні властивості
простих і найбільш поширених складних речовин неметалічних елементів; способи добуван-
ня простих і найбільш поширених складних речовин неметалічних елементів у лабораторіях
та промисловості; найважливіші галузі застосування простих і найбільш поширених склад-
них речовин неметалічних елементів; якісні реакції для визначення простих і складних іонів
неметалічних елементів.
Водень і сполуки Гідрогену. Електронна формула атома Гідрогену; хімічна формула простої
речовини Гідрогену — водню; фізичні властивості водню і води; хімічні властивості водню
і води; способи добування водню в лабораторіях та промисловості; способи очищення води;
найважливіші галузі застосування водню і води; доведення наявності водню.
Сполуки Галогенів. Електронні формули атомів Флору та Хлору; хімічні формули про-
стих речовин Галогенів (фтору, хлору, брому, йоду); хімічні формули і назви найпоши-
реніших сполук Галогенів; фізичні властивості найважливіших сполук Галогенів (гідроген
хлориду, галогенідів металічних елементів); хімічні властивості хлору і гідроген хлориду;
способи добування хлору та гідроген хлориду в лабораторіях та промисловості; найваж-
ливіші галузі застосування хлору, гідроген хлориду, хлоридів; якісні реакції для визна-
чення галогенід-іонів.
Неорганічна хімія
389
Підгрупа Оксигену. Електронна формула атомів Оксигену і Сульфуру; алотропні мо-
дифікації Оксигену і Сульфуру; хімічні формули простих речовин Оксигену (кисню, озону)
і Сульфуру (сірки) та найпоширеніших сполук Оксигену і Сульфуру; фізичні та хімічні влас-
тивості речовин Оксигену і Сульфуру (кисню, озону, сірки, Сульфур(ІУ) оксиду, Сульфур(УІ)
оксиду, сульфатної кислоти, сульфатів); способи добування кисню, озону, сірки, сульфат-
ної кислоти в лабораторіях та промисловості; умови, що застосовуються на виробництві
сульфатної кислоти; найважливіші галузі застосування кисню, сірки, Сульфур(ІУ) окси-
ду, Сульфур(УІ) оксиду, сульфатної кислоти та сульфатів; якісна реакція для визначення
сульфат-іонів.
Підгрупа Нітрогену. Електронні формули атомів Нітрогену і Фосфору; алотропні мо-
дифікації Фосфору; хімічні формули простих речовин Нітрогену (азоту) і Фосфору (білого
і червоного фосфору), найпоширеніших сполук Нітрогену і Фосфору, найпоширеніших мі-
неральних добрив, що містять Нітроген і Фосфор; фізичні та хімічні властивості простих
і складних речовин Нітрогену і Фосфору (азоту, білого і червоного фосфору, нітроген(ІУ)
оксиду, фосфор(У) оксиду, амоніаку, солей амонію, нітратної кислоти, нітратів, ортофос-
фатної кислоти, ортофосфатів); способи добування азоту, фосфору, амоніаку, нітратної та
ортофосфатної кислот в лабораторіях та промисловості; умови, що застосовуються на ви-
робництві амоніаку; найважливіші галузі застосування азоту, фосфору, фосфор(У) оксиду,
амоніаку, нітратної кислоти, нітратів, ортофосфатної кислоти, ортофосфатів; якісні реакції
для визначення ортофосфат-, амоній- та нітрат-іонів.
Підгрупа Карбону. Електронні формули атомів Карбону і Силіцію; алотропні модифікації
Карбону; поняття адсорбції, адсорбційні властивості вуглецю; хімічні формули простих ре-
човин Карбону (вуглецю) і Силіцію (силіцію) та найпоширеніших сполук Карбону і Силіцію;
фізичні та хімічні властивості простих речовин Карбону, Силіцію і найважливіших сполук
Карбону і Силіцію (карбон(Н) оксиду, карбон(ІУ) оксиду, карбонатів, силіцій(ІУ) оксиду,
силікатної кислоти, силікатів); способи добування вуглецю, силіцію, карбон(Н) оксиду,
карбон(ІУ) оксиду в лабораторіях та промисловості; найважливіші галузі застосування вуг-
лецю, алмазу, графіту, карбон(П) оксиду, карбон(ІУ) оксиду, карбонатів, гідрогенкарбонатів,
силіцій(ІУ) оксиду, силікатної кислоти, силікатів; якісні реакцій для визначення карбонат-,
силікат-іонів.
Узагальнення відомостей про неметали та сполуки неметалічних елементів.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Основні класи неорганічних сполук
Як уже відомо, неорганічні сполуки поділяються на прості
та складні речовини. Складні речовини — це оксиди, основи, кислоти
та солі.
Оксиди
Оксиди — складні речовини, молекули яких містять атоми Оксигену
та атоми іншого елемента.
У назві оксидів спочатку подається назва електропозитивної скла-
дової з позначенням ступеня окиснення. Далі йде, якщо назв у еле-
мента декілька, слово «оксид». Наприклад: СаО — кальцій оксид;
Ее2О3 — ферум (III) оксид; Г2О — флуор оксид.
390
Хімія
Структурні формули ОКСИДІВ
Схематично структурні формули оксидів зображаються таким чином:
— для одновалентних елементів:
Ма2О На—О—На;
— для двовалентних елементів:
СаО Са=О;
— для тривалентних елементів:
А12О3 О=А1—О—А1=О;
— для чотиривалентних елементів:
8пО2 О=8п=О;
— для п’ятивалентних елементів:
N205 .
Оксиди поділяються на несолетворні і солетворні.
Несолетворні оксиди
Несолетворними називають оксиди, які або не взаємодіють із кисло-
тами й основами (N26, N0), або під час взаємодії з ними не утворюють
солей.
Несолетворні оксиди є оксидами неметалів, що мають найнижчий
ступінь окиснення (СО, 80, КГ2О), вони взаємодіють із киснем. При
цьому утворюються солетворні оксиди:
2СО + О2 = 2СО2.
Або з іншими неметалами:
СО +С12 = С0С12 (фосген),
2МО2 + С12 = 2МО2С1 (хлористий нітрозил).
ПІ ЗАПАМ'ЯТАЙ
Розчинні основні оксиди:
І_і20, І\Іа2О, СаО, К2О, ВаО, 52О.
Нерозчинні: НдО, ЕеО, Си2О,
МпО, Нд2О.
Солетворні оксиди
Солетворними називаються оксиди, які під час взаємодії з водою
можуть утворювати кислоти або основи, а під час взаємодії з кислотами
або основами — солі.
Солетворні оксиди поділяються на основні, кислотні та амфотерні.
Основні оксиди
Основними називаються оксиди, які під час взаємодії з кислотними
оксидами та кислотами утворюють солі. Основні оксиди утворюються
металами, атоми яких мають найнижчий ступінь окиснення ^а20,
СаО, МпО, СнО).
Основні оксиди реагують зі сполуками, що мають кислотний харак-
тер (вода, кислотні оксиди, кислоти):
Неорганічна хімія
391
— оксиди найбільш активних металів реагують з водою (утворення
лугів):
Ма2О + Н2О = 2МаОН,
СаО + Н2О = Са(ОН)2;
— реакція з кислотними оксидами (утворення солей):
СаО + СО2 = СаСО3,
Ма2О + С12О7 = 2МаС1О4;
— реакція з кислотами (утворення солей і води):
СаО + 2НС1 = СаС12 + Н2О,
Ма2О + Н28О4 = Ма28О4 + Н2О.
Кислотні оксиди
Кислотними називають оксиди, які під час взаємодії з водою утворю-
ють кислоти, а з основними оксидами та гідроксидами металів — солі.
Кислотні оксиди утворюються неметалами та металами, атоми яких
мають найвищий ступінь окиснення (8О3, М2О5, С12О7, СгО3, Мп2О7).
Оскільки кислотні оксиди під час взаємодії з водою утворюють кисло-
ти, їх також називають ангідридами кислот (8О3 — сульфатний ангід-
рид, СгО3 — хромовий ангідрид). Кислотні оксиди реагують із речови-
нами, що мають основний характер (вода, основні оксиди, гідроксиди):
— реакція з водою (утворення кислот):
802 + Н20 = Н28О3,
8О3 + Н20 = Н28О4;
— реакція з основними оксидами (утворення солей):
ЗСаО + Р2О5 = Са3(РО4)2,
Ма2О + М2О3 = 2МаМО2;
— реакція з гідроксидами (утворення солей і води):
2ЬІОН + М2О5 = 2ЬІМО3 + Н20,
Са(ОН)2 + 2НС1 = СаС12 + Н20.
Амфотерні оксиди
Амфотерними (тобто такими, що мають подвійний характер) нази-
ваються оксиди, що виявляють властивості як основних, так і кислот-
них оксидів. Амфотерні оксиди утворюються багатовалентними мета-
лами (А13+, РЬ4+) і реагують як з кислотними або основними оксидами,
так і з кислотами або гідроксидами:
— з кислотними оксидами:
А12О3 + 38О3 = А12(8О4)3;
392
ХІМІЯ
— з основними оксидами:
А12О3 + Ма2О = 2МаА1О2;
— з кислотами:
А12О3 + ЗН28О4 = А12(8О4)3 + ЗН2О;
— з гідроксидами:
А12О3 + 2МаОН = 2МаА1О2 + Н2О.
Одержання оксидів
Основні оксиди можуть бути одержані:
— з простих речовин — реакцією металів із киснем:
2Сн + О2 = 2СнО,
22п + О2 = 22пО;
— з простої та складної речовини — реакцією металів з оксидами:
Ре2О3 + А1 = А12О3 + Ре,
А12О3 + ЗВа = ЗВаО + 2А1;
— із складних речовин — розкладом гідроксидів і солей:
Сн(ОН)2 СнО + Н2О (утворення оксиду і води);
Сн8О4 СнО + 8О3 (утворення основного і кислотного оксидів).
Кислотні оксиди можуть бути одержані:
— з простих речовин — реакцією неметалів із киснем:
8 + О2 = 8О2,
С + О2 = СО2;
— з простих і складних речовин — реакцією несолетворних оксидів
з киснем:
2СО + О2 = 2СО2;
— із складних речовин — розкладом кислот і солей:
Н2СО3 = Н2О + со2,
СаСО3 = СаО + СО2;
— горінням деяких складних речовин:
СН4 + 2О2 = СО2 + 2Н2О;
— взаємодією кислот-окисників:
Сн + 2Н28О4 (конц.) = Сн8О4 + 8О2Т + 2Н2О.
Неорганічна хімія
393
Основи
Основами називаються речовини, молекули яких складаються з ато-
мів металів та гідроксильних (—ОН) груп.
Наприклад, МаОН, Са(ОН)2, А1(0Н)3 тощо.
Синонімом терміна «основа» є термін «гідроксид», оскільки гідро-
ксиди мають основні властивості, і їх молекули під час дисоціації виді-
ляють у розчин іон гідроксиду ОН“, що обумовлює лужну реакцію се-
редовища.
У назві основ спочатку йде назва електропозитивної складової з поз-
наченням ступеня окиснення, а потім слово «гідроксид».
Основи найбільш активних металів розчинні у воді і називаються лу-
гами. Найбільш сильні луги (основи лужних металів) у зв’язку з їхньою
здатністю розчиняти («роз’їдати») живі тканини називаються їдкими.
Тривіальні назви, які використовуються у побуті та техніці: для натрій
гідроксиду МаОН — їдкий натр, для калій гідроксиду КОН — їдке калі.
Методи одержання основ
Існує кілька методів одержання основ. їх отримують:
— під час взаємодії найбільш активних металів із водою (утворення
лугів):
2Ма + 2Н2О = 2МаОН + Н2,
Са + 2Н2О = Са(ОН)2 + Н2;
— під час взаємодії основних оксидів з водою (утворення лугів):
К2О + Н2О = 2К0Н,
ВаО + Н2О = Ва(ОН)2;
— під час взаємодії солей із лугами (утворення основи і нової солі):
ГеС12 + 2МаОН = Ге(ОН)2 + 2МаС1,
Сн8О4 + 2К0Н = Сн(ОН)2 + К28О4;
— електроліз розчинів солей (анод нерозчинний графітовий):
2МаС1 + 2Н,О----електроліз-> Н,Т + С12Т + 2МаОН
(натрій гідроксид утворюється у катодному просторі).
Хімічні властивості основ
З простих речовин основи можуть реагувати з металами:
Сн(ОН)2 + 2п = 2п(ОН)2 + Сн;
— найбільш характерна для основ — реакція з кислотами (утворення
солі і води — реакція нейтралізації):
МаОН + НС1 = МаСІ + Н2О,
Са(ОН)2 + 2НМО3 = Са(МО3)2 + 2Н2О;
словник ф
Основи — це електроліти,
які при дисоціації утворюють
як негативно заряджені Іони
тільки гІдроксид-Іони.
словник
Розчинні у воді основи нази-
вають лугами.
394
ХІМІЯ
словник
Кислотами називають елек-
троліти, які при дисоціації
утворюють катіони Гідрогену
та аніони кислотного залишку.
— взаємодія з кислотними оксидами (також утворення солі і води):
Ва(ОН)2 + М2О5 = Ма(МО3)2 + Н2О;
— реакція з амфотерними оксидами (утворення подвійної солі
і води):
Сг,О3 + 2МаОН = 2МаСгО, + Н,О ;
— луги (але не малорозчинні основи) реагують із середніми солями
(утворення основи та нової солі):
Ва(ОН)2 + Ее8О4 = Ге(ОН)2ї + Ва8О4,
2К0Н + Сн(МО3)2 = Сн(ОН)2ї + 2КМО3;
— луги з кислими солями (утворення середньої солі й води):
КНСО3 + КОН = К2СО3 + Н2О;
— термічне розкладання малорозчинних основ:
2Ее(ОН)3 = Ее,О3 + ЗН,О .
Основи багатовалентних металів (багатокислотні основи) виявляють
амфотерні властивості і можуть взаємодіяти з лугами (утворення солі
і води, тобто реакція нейтралізації):
А1(ОН)3 Н3 А1О3 + ЗКОН = К3А1О3 + ЗН,О ,
калій
ортоалюмінат
8п(ОН)4 Н,8О4 + 4ИаОН = Иа48пО4 + 4Н,О .
натрій
ортостанат
Кислоти
Кислотами називаються складні речовини, молекули яких скла-
даються з атомів Гідрогену, здатних заміщатися на атоми металів,
і кислотних залишків.
Наприклад, Н28О4, Н3РО4, НС1, НС1О4.
Розчини кислот мають кислу реакцію та кислі на смак (звідки
й походить назва), тобто їхні молекули виділяють у розчин іони Гідро-
гену Н+.
Оксигеновмісні та безоксигенові кислоти
За вмістом кисню в їхньому кислотному залишку кислоти розді-
ляються на оксигеновмісні (Н28О4, НГ4О3) та безоксигенові (НС1, Н28).
За кількістю атомів Гідрогену, що здатні заміщатися на атоми мета-
лу, кислоти поділяються на одноосновні (НС1, НЬЮ3), двоосновні (Н28О4,
Н28) і т. д.
Неорганічна хімія
395
Хімічні властивості кислот
З простих речовин кислоти, згідно з визначенням, реагують з мета-
лами. Протікання цієї реакції залежить від металу, а також від харак-
теру і концентрації кислоти. Активні метали, як правило, заміщають
у молекулі кислоти атом Гідрогену в результаті реакції:
пе
1
Ме° + тгН+ Ме"+ + — Н,,
2 “
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Кислотні залишки у хімічних
реакціях зберігаються та
переходять з одних сполук
до Інших.
тобто валентні електрони металу переходять на валентний рівень іона
Гідрогену. При цьому атоми металу окиснюються, а іони Гідрогену від-
новлюються і самі при цьому виступають як окислювачі.
Такий характер реакції властивий тільки безокисгеновим кислотам,
оскільки їхні кислотні залишки, маючи заповнений валентний рівень,
можуть бути тільки відновниками.
Тому безоксигенові кислоти взаємодіють тільки з більш активними
металами, ніж водень.
У молекулах безокисгенових кислот атоми елемента, що входять
у кислотний залишок, мають позитивний ступінь окиснення, тому для
них більш характерною є окислювальна здатність. Для атома Нітрогену
в нітратній кислоті ця здатність виражена настільки сильно, що під
час її взаємодії з металами ніколи не виділяється водень, замість нього
утворюються оксиди Нітрогену, азот або амоніак.
У молекулі сульфатної кислоти (8в+) окислювальні властивості має
сульфат-іон тільки у концентрованій кислоті. У цьому випадку реакція
проходить у дві стадії:
Н28О4 + Сн = СнО + Н2О + 8О2,
СнО + Н28О4 = Сн8О4 + Н2О.
Деякі метали (А1, Ге) під час окислювальної дії таких кислот мит-
тєво вкриваються плівками оксидів і далі з кислотами вже не взає-
модіють. Цей процес називається пасивацією металів.
Із складних речовин кислоти взаємодіють з оксидами:
— реакція з основними оксидами супроводжується утворенням солі
і води:
СнО + Н28О4 = Сн8О4 + Н2О,
СаО + 2НС1 = СаС12 + Н2О.
Іноді концентровані кислоти взаємодіють зі своїми ангідридами
з утворенням пірокислот:
Н28О4 + 8О3 = Н282О7,
2Н3РО4 + Р2О5 + Н2О = 2Н4Р2О7;
— реакція з основами з утворенням солі і води:
МаОН + НМО3 = МаМО3 + Н2О,
Ва(ОН)2 + 2НС1 = ВаС12 + Н2О;
396
Хімія
словник
Солями називаються елек-
троліти, які при дисоціації
утворюють катіони металу
(чи амонію МН*) та аніони кис-
лотних залишків.
— реакція з солями з утворенням нової солі та нової кислоти:
АеГТОз + неї = АеСІЇ + нмо3,
РЬ(МО3)2 + Н28О4 = РЬ8О4Ї + 2НС1;
— термічне розкладання:
4НМО3 = 4МО, + 2Н,О + О, .
Одержання кислот
Водневі сполуки елементів, що утворюють під час розчинення безок-
сигенові кислоти, зазвичай одержують із простих речовин:
Н2 + С12 = 2НС1,
Н2 + 8 = Н28;
— оксигеновмісні кислоти утворюються під час взаємодії їх ангід-
ридів (кислотних оксидів) з водою:
802 + Н20 = Н28О3,
8О3 + Н20 = Н28О4.
Слід пам’ятати, що ступінь окиснення елемента в цих реакціях не
змінюється:
— під час взаємодії солей із кислотами (утворюється кислота та нова
сіль, що має бути малорозчинною):
Ва(МО3)2 + Н28О4 = 2НМО3 + Ва8О4ї,
Ва(МО3), + 2НС1 2НМО3 + ВаСІ, —
а ця реакція не відбудеться, оскільки ВаС12 розчинний у воді.
Солі
Солями називаються складні речовини, молекули яких складаються
з атомів металів та кислотних залишків.
Молекули розчинних у воді солей розпадаються в розчині на іони
металу та іони кислотного залишку.
Середні солі
Наведене вище визначення солей відповідає складу лише середніх
солей, які можуть бути розглянуті як продукти повного заміщення ато-
мів Гідрогену в молекулах кислот на атоми металу або гідроксильних
груп у молекулах гідроксидів кислотними залишками:
Ьі +Н28О4 = Ьі28О4 + Н2,
Са(ОН)2 + 2НС1 = СаС12 + Н2.
Неорганічна хімія
397
Кислі та основні солі
При неповному заміщенні атомів Гідрогену в молекулах багато-
основних кислот атомами металів утворюються кислі солі (наприклад,
МаН8О4, СаНРО4), а при неповному заміщенні гідроксильних груп у мо-
лекулах багатокислотних основ кислотними залишками — основні солі
(наприклад, Са(ОН)С1, Си2(ОН)2СО3).
Хімічні властивості солей
З простих речовин солі реагують з металами (якщо метал, що за-
міщує, активний):
Сн8О4 + Ге = Сн^ + Ге8О4;
— солі безоксигенових кислот взаємодіють з неметалами (якщо
неметал, що заміщує, активніший):
2МаВг + С12 = 2МаС1 + Вг2.
Зі складних речовин:
— з кислотними оксидами (утворення нових солей та оксиду):
Ма,СО„ + 8іО, = Иа,8іО„ + СО, Т ;
— з амфотерними оксидами (утворення подвійної солі, оксиду,
кисню):
4КАГО, + 2А1,О„ = 4КА1О, + 4ИО, Т + О, Т ;
— з лугами (з утворенням нової солі і нової основи):
А12(8О4)3 + ЗМаОН = 2А1(ОН)3^ + ЗМа28О4;
— з кислотами (з утворенням нової солі та нової кислоти):
Са(МО3)2 + Н28О4 = Са8О4 + 2НМО3;
— з солями (з утворенням двох нових солей):
ВаС12 + Ма28О4 = Ва8ОД + 2МаС1;
— термічне розкладання:
ВаСО3 = ВаО + СО,.
Кислі солі реагують з основними оксидами та основами:
2МаН8О4 + Ма2О = 2Ма28О4 + Н2О,
МаН8О4 + МаОН = Ма28О4 + Н2О.
Основні солі реагують з кислотними оксидами та кислотами:
Са(ОН)28О4 + 8О3 = 2Са8О4^ + Н2О,
Са(ОН)28О4 + Н28О4 = 2Са8О4^ + 2Н2О.
398
ХІМІЯ
Одержання середніх солей
Одержання середніх солей відбувається:
— з простих речовин — взаємодія металів та неметалів призводить
до утворення солей безоксигенових кислот:
2Ее + ЗС12 = 2ЕеС13,
2Ма + 8 = Ма28;
— з простої та складної речовини: взаємодія солей з металами або
неметалами призводить до утворення нової солі та нової простої
речовини:
2п + СнС12 = 2пС12 + Сн^,
2пВг2 + С12 = 2пС12 + Вг2Т;
Одержання солей відбувається із складних речовин:
— з основних і кислотних оксидів з утворенням солей кислоти,
ангідридом якої є кислотний оксид:
ЗСаО + Р2О5 = Са3(РО)2,
ВаО + 8О2 = Ва8О3;
— з основ і кислотних оксидів з утворенням солі та води:
Сн(ОН)2 + 8О2 = Сн8О4 + Н2О,
2Ее(ОН)3 + Р2О5 = 2ЕеРО4 + ЗН2О;
— з основ або основних оксидів і кислот з утворенням солі та води:
МаОН + НМО3 = МаМО3 + Н2О,
М£О + 2НС1О4 = М£(С1О4)2 + Н2О;
— з солей і кислот з утворенням нової солі та нової кислоти:
А£МО3 + НС1 = А§Си + НМО3,
ВаС12 + Н28О4 = Ва8О4^ + 2НС1;
— з двох солей з утворенням двох нових солей:
АеМОз + Масі = А§си + МаМО3,
СаС12 + Ее8О4 = Са8О4^ + ЕеС12.
Одержання кислих солей
Кислі солі утворюються:
— під час реакцій металів із надлишком багатооснбвної кислоти:
Са + 2Н3РО4 = Са(Н2РО4)2 + Н2;
— під час реакцій основних оксидів та гідроксидів із надлишком
кислоти:
Неорганічна хімія
399
К20 + 2Н28О4 = 2КН8О4 + Н20,
КОН + Н28О4 = КН8О4 + Н2О;
— під час гідролізу солей, утворених сильними основами та слаб-
кими кислотами:
Ма2СО3 + Н2О = МаНСО3 + МаОН.
Одержання основних солей
Основні солі утворюються:
— під час реакцій кислот із надлишком монокислотного гідроксиду:
НС1 + Са(ОН)2 = Са(ОН)С14- + Н2О;
— під час гідролізу солей, утворених слабкою основою та сильною
кислотою:
А1С13 + Н2О = А1(ОН)С12^ + НС1.
Амфотерні сполуки
В оксидах і гідроксидах, що утворюють елементи НІ періоду, наявні
обидва типи хімічного зв’язку — іонний та ковалентний. Нагадаємо, що
гідроксиди можна розглядати як продукти взаємодії оксидів з водою.
У цьому випадку гідроксидом є як основа МаОН (Ма2О + Н2О = 2МаОН),
так і кислота Н28О4 (8О3 + Н2О = Н28О4).
Оксиди (і гідроксиди-основи) металів — іонні, а оксиди (й гідрокси-
ди-кислоти) неметалів — ковалентні сполуки. Відповідно змінюються їх
властивості — основні й кислотні. При цьому має місце безперервний
перехід від іонного зв’язку до ковалентного.
У сполуках МаОН і М§(ОН)2 електронна густина зміщена до ато-
ма Оксигену, зв’язок між атомами іонний. Крім того, атоми Натрію
і Магнію досить значні, тому зв’язок слабкий. У розчині гідроксиди
перебувають у вигляді іонів. Це — луги.
У той же час з малими високозарядними іонами (С17+, 8в+ тощо) в Ок-
сигену утворюється ковалентний зв’язок, що є причиною кислотного
характеру відповідних оксидів і гідроксидів.
Алюміній (А13+) посідає проміжне місце, його оксид і гідроксид ам-
фотерні.
Амфотерними називають сполуки, які залежно від умов можуть
бути як донорами катіонів Гідрогену і виявляти кислотні властивості,
так і їх акцепторами, тобто виявляти основні властивості.
Амфотерні властивості мають оксиди і гідроксиди багатьох еле-
ментів:
Н2ЕО2 ----------- ЕО -------------Е(ОН)2
Кислотна форма ВеО, 2пО, ПеО, Основна форма
8пО, РЬО, ...
Н3ЕО3 ----------- Е2О3 -----------Е(ОН)3,
словник
Амфотерні оксиди та гідрок-
сиди утворюються елемента-
ми побічних підгруп таблиці
Д. І. Менделєєва. Такі елемен-
ти називають перехідними
елементами, або перехід-
ними металами.
400
Хімія
Кислотна ортпоформа нео2 Кислотна метаформа А12О3, Оа2О3, Іп2О3, ті2о3, Сг2О3, Ее2О3, 8Ь2О3, частіше Е2О3 пН2О, ЕО(ОН) Основна форма
Н4ЕО4 ео2 Е(ОН)4,
Кислотна ОеО2, 8пО2, РЬО2, частіше
ортпоформа Н2 ЕО3 Кислотна метаформа УО2, ТіО2, ... ЕО пН2О, ЕО(ОН)2 Основна форма
Хімічні властивості амфотерних сполук
Під час взаємодії з сильними кислотами амфотерні сполуки вияв-
ляють основні властивості:
2п(ОН)2 + 2НС1 = 2Н2О + 2пС12,
2пО + 2НС1 = Н2О + 2пС12,
А1(ОН)3 + ЗНС1 = А1С13 + ЗН,О ,
А1,О3 + 6НС1 = 2А1С13 + ЗН,О .
Під час взаємодії з лугами — сильними основами — вони виявляють
кислотні властивості:
2п(ОН)2 + 2МаОН = Ма2[2п(ОН)4],
2пО + 2МаОН + Н2О = Ма2[2п(ОН)4],
натрій
тетрагідроксоцинкат
А1(ОН)3 + ИаОН = МаАІО,, + 2Н,О (сплавляння),
натрій алюмінат
А1(ОН)3 + МаОН = Ма[А1(ОН)4] (у водному розчині)
натрій
тетрагідроксоалюмінат
А1,О3 + 2ИаОН = 2МаА1О, + Н,О ,
А12О3 + 2МаОН + Н2О = 2[МаА1О2 Н2О].
Під час взаємодії з лугами цинк гідроксид і алюміній гідроксид ут-
ворюють солі, які називають комплексними-.
Ма2[2п(ОН)4] — натрій тетрагідроксоцинкат;
Ма[А1(ОН)4] — натрій тетрагідроксоалюмінат.
Комплексними називають сполуки, в яких хоча б один ковалентний
зв’язок утворився за донорно-акцепторним механізмом.
Неорганічна хімія
401
Одержання амфотерних сполук
Одержання оксидів цинку і алюмінію відбувається за допомогою:
— спалювання порошку металу в кисні:
22п + О, = 22пО ,
4А1 + ЗО, = 2А1,О3 ;
— прожарювання гідроксидів:
2п(ОН), 4 2пО + Н,О ,
2А1(ОН)3 -і А1,О3 + ЗН,О.
Одержання гідроксидів цинку і алюмінію відбувається за допомогою:
— взаємодії розчинів солей металів із розчином лугу, який не може
бути в надлишку:
2пС12 + 2МаОН -> 2п(ОН)2^ + 2МаС12,
А12(8О4)3 + 6МаОН -і 2А1(ОН)3ч|/ + ЗМа28О4;
— взаємодії металу з водою після видалення оксидної плівки з по-
верхні металу:
2А1 + 6Н2О -> 2А1(ОН)2 + ЗН2Т,
2п + 2Н2О 2п(ОН)2 + Н2Т.
Металічні елементи та їхні сполуки. Метали
Загальні відомості про металічні елементи
Відомо, що більшість хімічних елементів відносять до металів —
92 з 114 відомих елементів.
Метали — це хімічні елементи, атоми яких віддають електрони зов-
нішнього (а деякі — і передзовнішнього) електронного шару, і перетво-
рюються на позитивні іони.
Ця властивість атомів металів визначається тим, що вони мають
порівняно великі радіуси і малі числа електронів (від 1 до 3) на зов-
нішньому шарі.
Винятком є 6 металів: атоми Германію, Стануму, Плюмбуму на зов-
нішньому шарі мають 4 електрони, атоми Стібію, Вісмуту — 5, атоми
Полонію — 6.
ЦІКАВО ЗНАТИ &
В организмі людини знайде-
но 62 метали. Са, К, N3, Мд
присутні у більшій кількості
(макроелементи), а Сг, Мп, Ее,
Со, 2п тощо — в малих (мікро-
елементи).
Метали у періодичній системі
Порядок заповнення енергетичних рівнів атомів електронами від-
повідно до зростання зарядів їхніх ядер припускає існування рядів еле-
ментів, що мають на зовнішньому рівні по два електрони. Ці елемен-
ти утворюють парні ряди у великих періодах (4-6) (див. «Періодична
402
Хімія
словник
Метали з низькою хімічною
активністю називають доро-
гоцінними: Ад, Аи, Р(, Оз, Іг,
Ви, Реї, ВИ.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
У побічних підгрупах віднов-
лювальні властивості метал-
лів знижуються (і), тому що
на зв'язок валентних елект-
ронів з ядром більшою мірою
впливає величина заряду
ядра, а не радіус атома.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
ЛІТІЙ — найлегший метал. Най-
важчий — ОСМІЙ.
система») — елементи-метали. Малі (1-3) періоди і непарні ряди ве-
ликих періодів також починаються з металів, при цьому їхнє число
приблизно дорівнює номеру періоду, тобто в першому періоді маємо
один метал (Гідроген), в другому — два (Ьі і Ве), в третьому — три (Ма,
М§, АІ), в непарному ряді четвертого періоду — чотири (Си, 2п, Са, Се)
і т. д. Таким чином, число металів серед хімічних елементів значно
перевищує число неметалів.
У періодичній системі метали розміщені нижче діагоналі Бор-Астат,
а також вище неї у побічних підгрупах. У періодах і головних підгрупах
діють відомі закономірності у зміні металів, отже, відновлювальних
властивостей атомів елементів.
Хімічні елементи, що розташовані поблизу діагоналі Бор-Астат (Ве,
АІ, Ті, Се, N6, 8Ь та ін.), мають подвійні властивості: в одних сполуках
поводять себе як метали, в інших — виявляють властивості неметалів.
У побічних підгрупах відновні властивості металів зі збільшенням
порядкового номера переважно знижуються. Порівняйте активність ві-
домих металів І групи побічної підгрупи: Си, А§, Аи і II групи побічної
підгрупи: 2п, Ссі, Н§.
Це пояснюється тим, що на сталість зв’язку валентних електронів
з ядром атомів цих металів значною мірою впливає величина заряду
ядра, а не радіус атома. Величина заряду ядра істотно зростає, при-
тягання електронів до ядра посилюється. Радіус атома при цьому хоч
і збільшується, але не так істотно, як у металів головних підгруп.
Особливості електронної будови металів
Атоми металів мають порівняно великі розміри, тому їхні зовнішні
електрони значно віддалені від ядра і неміцно з ним пов’язані.
Друга особливість, яка властива атомам найбільш активних ме-
талів— це наявність на зовнішньому енергетичному рівні 1-3 елект-
ронів. Атоми металів легко віддають зовнішні електрони (вони сильні
відновники), а самі перетворюються на позитивні іони.
Спільним у будові металів є атомна кристалічна ґратка. Відірвані
від атома електрони вільно переміщуються між позитивно заряджени-
ми іонами металів. Між цими частинками утворюється зв’язок, який
скріплює шари позитивно заряджених іонів і атомів, що розташовані
у вузлах ґратки. Електрони перебувають у постійному русі, під час
зіткненнях утворюють нейтральні атоми, потім іони і т. ін. Ці електрони
інколи називають електронною хмарою, або електронним газом. Такі
кристалічні ґратки і зв’язки, що виникають, називають металічними.
Фізичні властивості металів
Основною фізичною ознакою металів є електронна провідність,
пов’язаний з нею металічний блиск, а також висока теплопровідність.
Ці властивості металів визначаються наявністю в масі металу іонної
кристалічної ґратки, а також хмари електронів, що вільно переміщу-
ються. Усі інші характеристики металів — міцність, пластичність, тем-
ператури плавлення та кипіння — коливаються в широких межах і для
металів не є характерними.
Висока електрична провідність металів обумовлена наявністю
в їхніх кристалічних ґратках рухомих електронів, які спрямовано
Неорганічна хімія
403
переміщуються під дією електричного поля. Під час нагрівання коли-
вальні рухи іонів у кристалі зростають, що призводить до зниження
електричної провідності. Але під час охолодження електропровідність
зростає і приблизно на рівні абсолютного нуля переходить у надпро-
відність. Найкращими провідниками є срібло та мідь, гіршими — мар-
ганець, свинець і ртуть.
Так змінюється і термопровідність металів, яка також обумовле-
на високою рухомістю вільних електронів: коли вони зіштовхуються
у вузлах ґратки з іонами, відбувається обмін енергією. З підвищенням
температури коливання іонів передається іншим іонам, і температура
всього металу швидко вирівнюється.
Для гладкої поверхні металів характерний металевий блиск — ре-
зультат відбивання світла променів. Алюміній, срібло та паладій мають
найвищу відбивну здатність.
Найважливішою механічною властивістю металів є пластичність.
Пластичність — це властивість речовини змінювати під зовнішньою
дією і зберігати форму після припинення цієї дії.
Пластичність металів обумовлена тим, що під механічним впли-
вом одні шари іон-атомів у кристалах легко зміщуються (ковзають) по
відношенню до інших без розриву зв’язків. Найбільш пластичні мета-
ли— золото, срібло, мідь.
Практичний інтерес являють такі фізичні властивості металів:
щільність, температура плавлення, твердість. Найбільш тверді ме-
тали розташовані у побічній підгрупі VI групи. Так, твердість хрому
наближається до алмазу. Найм’якші — лужні метали (їх можна різати
ножем).
За щільністю метали поділяють на легкі (щільність < 5г/см3)
та важкі (щільність > 5 г/см3). До легких відносять лужні, лужно-
земельні та алюміній. Найлегший метал — це літій (р = 0,53 г/см3).
Найважчий — осмій (р = 22,6 г/см3).
Легкі метали зазвичай легкоплавкі (цезій і талій плавляться в ру-
ках), а важкі — тугоплавкі (температура плавлення вольфраму дорівнює
3380 °С).
У техніці метали поділяють на чорні (залізо та його сплави) і ко-
льорові (решта). Золото, срібло та платину відносять до дорогоцінних
металів.
Хімічні властивості металів
З точку зору хімії, атоми або іони хімічних елементів вивляють ме-
талічні властивості, якщо під час хімічних реакцій віддають електрони.
Віддаючи валентні електрони, атоми або іони окислюються, тобто
є відновниками.
У зв’язку з цим метали:
а) реагують з окислювачами (тобто неметалами), при цьому взає-
модія металів із киснем призводить:
— для активних металів (Ма, К, ВЬ, Са, Са, Ва) — до утворення
пероксидів:
ЦІКАВО ЗНАТИ
Витрати на відшкодування
втрат, пов'язаних із корозією,
становлять ЗО % річного ви-
робництва металів у світі.
к + о2 = ко2,
2Ма + О2 = Ма2О2;
404
Хімія
— для менш активних металів (Хп, АІ, Ге і т. д.) — до утворення
основних оксидів:
4А1 + ЗО2 = 2А12О3,
2Хп + О2 = 2ХпО;
б) під час взаємодії з іншими неметалами утворюються солі безок-
сигенових кислот:
2Ма + С12 = 2МаС1,
2Ма + 8 = Ма28.
Із складних речовин метали взаємодіють:
а) з основними оксидами (утворюється новий оксид):
СнО + Хп = ХпО + Сн;
б) з основами (утворюються нові основи або луги):
Хп(ОН)2 + 2Ма = Хп + 2МаОН,
луг
Ее(ОН)3 + Хп = Ее + Хп(ОН)2;
основа
в) з кислотами (з утворенням солей):
Хп + 2НС1 = ХпС12 + Н2;
г) з солями (утворюється нова сіль):
Сн8О4 + Хп = Хп8О4 + Сн.
Ряд активності (напруги) металів
Під час взаємодії зі складними речовинами (оксидами, гідроксида-
ми, кислотами або солями) атоми металів заміщають в них або атоми
інших металів, або атоми Гідрогену. Ці реакції можуть протікати лише
за умови, що метал, який заміщає, здатний замістити інший метал або
водень, тобто якщо він активніший.
Хп + Сп8О4 = Сн + Хп8О4,
оскільки цинк більш активний метал, ніж мідь. Водночас реакція
Хп8О4 + СпХСп8О4 + Хп
неможлива, оскільки мідь менш активна, ніж цинк.
За здатністю витісняти один одне або водень з їхніх сполук метали
розміщують у ряд активності (ряд напруги):
Ьі К Ва 8г Са Па АІ Мп Хп Сг Ее Со № 8п РЬ Н Сп Н§-
А§- Рі Ап
Ряд активності металів має певні властивості.
1. Чим ближче до лівого краю стоїть метал у цьому ряді, тим силь-
нішим відновником він є.
Неорганічна хімія
405
2. Кожний метал може витісняти (відновлювати) зі сполук у розчині
ті метали, які в ряді напруги металів стоять після нього (ближче до
правого краю).
3. Метали, що розміщені в ряді напруги ближче до лівого краю від
Гідрогену, можуть витісняти водень із розчинів кислот; а розташовані
після нього витісняються ним з оксидів, гідроксидів, солей.
4. Чим далі розташовані один від одного метали в ряді активності,
тим активніше попередній витісняє наступний.
Методи одержання металів
Зазвичай метали зустрічаються в природі у вигляді різних спо-
лук— оксидів, солей, безоксигенових і оксигеновмісних кислот, що
утворюють великі скупчення, які називають рудними тілами. Дуже
часто одне рудне тіло складається з багатьох різних металів (так звані
поліметалічні руди). Іноді метали існують у природному, тобто вільному
стані (Рі, Аи, Аз, Си), але і в цьому випадку вони мають різні домішки,
переважно елементи однієї підгрупи.
Тому завданнями металургії є:
— одержання сировини для виробництва того або іншого металу
в найчистішому вигляді;
— одержання самого металу;
— одержання сумішей металів (сплавів) із заданими властивостями.
Перше завдання вирішується такими численними і різноманітни-
ми засобами, що вони не можуть бути не тільки коротко викладені,
а й перелічені. Кінцева мета цієї стадії — одержання оксиду металу.
В промисловості використовують переважно випал для сульфідів або
термічну обробку для солей оксигеновмісних кислот:
Си8 + О2 = Си + 8О2.
На другій стадії одержання металу здійснюють відновлення з його
оксиду. За відновники використовують вуглець (кокс), карбон (II) ок-
сид, водень, більш активні метали (алюмінотермія):
Сг2О3 + ЗС = 2Сг + ЗСО,
ГеО + СО = Ге + СО2,
СиО + Н2 = Си + Н2О,
ЗГе3О4 + 8А1 = 9Ге + 4А12О3.
Лужні або лужноземельні метали, а також алюміній, які в розплав-
леному стані реагують із зазначеними відновниками, одержують елек-
тролізом розплавів їхніх солей або оксидів:
2МаС1 ------електроліз- 2М + С1
розплав (катод) 2(анод) >
2А1 оч------електроліз-> 4А1, . + ЗО,, . .
2 3 розплав (катод) 2(анод) •
Див. «Електроліз розплавів і розчинів».
406
Хімія
Сплави
У широкій практиці метали рідко використовують у чистому виг-
ляді, тому що їхні властивості (ковкість, міцність, корозійна стійкість)
не відповідають тим чи іншим практичним завданням. Зазвичай до
металів додають ті або інші метали в різній кількості й одержують спла-
ви. Склад сплавів надзвичайно різноманітний, тому перелічимо деякі:
• чавун — сплав заліза з нікелем, манганом, хромом тощо, який
містить більше 1,7 % вуглецю;
• сталь — сплав, основою якого є залізо, у ньому менше 1,7 % вуг-
лецю і легувальних домішок (це можуть бути будь-які метали,
а також кремній);
• бронза — сплав міді з оловом (до 20 %);
• латунь — сплав міді з цинком (від 10 до 50 %);
• дюралюміній — сплав алюмінію, міді (3-5 %), нікелю, мангану,
магнію (по 1 %);
• силумін — сплав алюмінію з кремнієм (12-14 %).
Елементи-неметали та їх сполуки. Неметали
Неметали — це хімічні елементи, для атомів яких характерна здат-
ність приймати електрони до завершення зовнішнього рівня, тому що
на цьому рівні, як правило, наявні чотири і більше електронів, і вони
мають малий радіус атомів порівняно з атомами металів.
Це визначення не стосується елементів VII групи періодичної сис-
теми— інертних або благородних газів, атоми яких мають завершений
зовнішній рівень. Електронна конфігурація цих елементів така, що їх
не можна віднести ні до металів, ні до неметалів.
Таблиця 1
Конфігурація зовнішнього електронного рівня елементів-неметалів
І51 2х2 2р' П52Пр2 П52Пр3 П82Пр4 П52пр5
1 н
2 В С* N 0* р
3 5і* Р* 5* СІ
4 А5* 5е* Вг
5 їе* 1
б Аї
РД ЗАПАМ'ЯТАЙ
У простих речовинах атоми
неметалів зв'язані ковалент-
ним неполярним зв'язком.
Для атомів неметалів характерні високі значення електронегатив-
ності. Вони змінюються від 2 до 4. Неметали — це елементи головних
підгруп, переважно р-елементи, за винятком Гідрогену — «-елемента.
Усі елементи-неметали (крім Гідрогену) займають у періодичній сис-
темі елементів верхній правий кут, утворюючи трикутник, вершиною
якого є Флуор (Г), а основою — діагональ В — Аі.
У атомів неметалів переважають окисні властивості, тобто здатність
приєднувати електрони. Цю здатність характеризують значення елект-
ронегативності, яка в періодах збільшується зліва направо, а в головних
підгрупах зменшується зверху вниз.
Неорганічна хімія
407
Флуор — найсильніший окислювач, його атоми в хімічних реакціях
не здатні віддавати електрони, тобто виявляти відновні властивості.
Інші неметали можуть виявляти відновні властивості, але меншою
мірою, ніж метали. За чисельними показниками значень електронега-
тивності (ЕН) неметали розташовуються в ряд:
Аі, В, Те, Н, Аз, І, 8і, Р, 8е, С, 8, Вг, СІ, М, О, Е
----------------------------------------------------------->
Значення ЕН атомів елементів-неметалів зростає
Окисні властивості підсилюються
Елементи-неметали
У простих речовинах атоми неметалів пов’язані ковалентним непо-
лярним зв’язком, завдяки чому формується більш стійка електронна
система, ніж у ізольованих атомів. При цьому утворюються одинарні
(наприклад, у молекулі водню Н2, галогенів Г2, Вг2, І2), подвійні (моле-
кули 82), потрійні (азот ]\Г2) ковалентні зв’язки.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Хімічних елементів-немета-
лів 16, у них переважно окисні
властивості. Найсильніший
окисник — Флуор.
Будова неметалів
Прості речовини-неметали можуть мати молекулярну та атомну
будову.
Речовини з атомною будовою утворені довгими ланцюгами атомів
(С„, В„, 8і„). Через велику міцність ковалентних зв’язків, вони, як пра-
вило, мають високу твердість, і руйнування цих зв’язків (плавлення,
випаровування) відбувається зі значними витратами енергії. Велика
кількість таких речовин мають високі температури плавлення й кипін-
ня, однак леткість у них мала (у табл. 2 підкреслені символи елементів,
що утворюють атомні кристалічні ґратки).
Алотропія
Велика кількість елементів-неметалів утворюють декілька простих
речовин — алотропних модифікацій. Цю властивість атомів називають
алотропією. Вона може бути пов’язана з різним складом молекул (О2,
О3) і з різною будовою кристалів. Алотропними модифікаціями Кар-
бону є графіт, алмаз, карбін, фулерен. Елементи, що мають алотропні
модифікації, позначені в таблиці зірочками.
Фізичні властивості неметалів
Більшість неметалів не мають металевого блиску. У речовин-не-
металів гама кольорів різноманітна: Р, 8еаморф—червоні; Ваморф—ко-
ричневий; О2(ж) — блакитний; 8і, Азмет—сірі; Р4— блідо-жовтий;
І2(т.) — фіолетово-чорний з металевим блиском; Вг2 — бура рідина;
С12(г ) — жовто-зелений; Е2(г ) — блідо-зелений; 88(т} — жовта.
Фізичні властивості неметалів дуже різноманітні, але є і спільні
риси. Всі газоподібні речовини, рідина бром, а також типові ковалентні
кристали — діелектрики. Кристали непластичні, і будь-які деформації
викликають руйнування ковалентних зв’язків.
408
Хімія
Хімічні властивості неметалів
Атоми неметалів і утворені за їх допомогою прості речовини мають
як окисні, так і відновні властивості.
1. Окисні властивості виявляються під час їхньої взаємодії з ме-
талами:
2На + 8 = На28,
ЗМ£ + Н2 = М£3М2,
Ее + 8 = Ее8,
2Ее + ЗС12 = 2ЕеС13.
2. Окисні властивості неметалів виявляються і в реакціях з воднем,
утворюються леткі водневі сполуки:
Н2 + 8 = Н28,
Н2 + С12 = 2НС1,
ЗН, + И, < Р' *’ К-Р => 2ИН3.
3. Неметал виступає як окисник у реакціях з неметалами, що ма-
ють нижчі значення електронегативності:
2Р + 58 = Р285,
Н2 + Е2 = 2НЕ,
8 + ЗЕ2 = 8Ев.
4. Окисні властивості неметали виявляють і в реакціях із складни-
ми речовинами:
280,-1-0, =Р28О3 ,
СН4 + 2О2 = СО2 + 2Н2О,
2ЕєС12 + С12 = 2ЕеС13,
2КІ + С12 = 2КС1 + 12.
Відновні властивості простих речовин-неметалів:
1. По відношенню до Флуору всі неметали (навіть кисень) виявля-
ють відновні властивості.
2. Зрозуміло, неметали (крім Флуору) є відновниками під час взає-
модії з киснем:
8 + О2 = 8О2,
И, + О, 2Ж> ,
4Р + 50, = 2Р,О5 ,
С + О, = СО,.
3. Неметали можуть виступати у ролі відновника в реакціях із
складними речовинами-окисниками:
Н2 + СнО = Си + Н20,
С + 4ННО3 = С02 + 4НО2Т + 2Н2О.
Неорганічна хімія
409
4. Є такі реакції, в яких один і той же неметал виступає одночасно
як окисник і як відновник. Це реакції самоокиснення — самовідновлен-
ня (диспропорціонування):
0 +1
С1,+ Н,О^НС1 + НС1О,
0 -1
відновник С1+ 1е = СІ,
0 +1
окисник СІ - 1е = СІ.
Таким чином, більшість неметалів виступають у хімічних реакціях
як у ролі окисника, так і в ролі відновника (відновних властивостей не
має тільки Г2).
Водневі сполуки неметалів
Спільною властивістю усіх неметалів є утворення летких водневих
сполук, в яких неметал має найнижчий ступінь окиснення.
Найбільш відомі нам такі речовини: СН4, МН3, Н2О, Н28, НС1. Усі
водневі сполуки, що утворені ковалентними полярними зв’язками,
мають молекулярну будову і за звичайних умов гази або рідина
(вода).
Для водневих сполук характерне різне відношення до води.
Метан практично нерозчинний, амоніак утворює слабку осно-
ву — ЬШ3 • Н2О, а сірководень і галогеноводні утворюють кислоти тієї
ж формули, що й самі водневі сполуки.
Якщо порівняти кислотно-основні властивості водневих сполук,
утворених неметалами, наприклад, другого (КГН3, Н2О, НЕ) або третього
(РН3, Н28, НС1) періодів, то можна зробити висновок про закономірне
підсилення їхніх кислотних властивостей.
Кислотно-основні властивості водневих сполук неметалів в одній
підгрупі також відрізняються. Наприклад, у ряді галогеноводнів НЕ,
НС1, НВг, НІ міцність зв’язку Е—Н зменшується, тому що зростає дов-
жина зв’язку. У розчинах ці сполуки повністю дисоціюють — це сильні
кислоти, їхня сила у підгрупі зростає зверху вниз.
У водневих сполуках збільшуються кислотні і слабшають основні
властивості за періодами і головними підгрупами із збільшенням атом-
них номерів елементів, що їх утворюють.
Оксиди та гідроксиди неметалів
В оксидах неметалів зв’язок між атомами ковалентний, полярний.
Серед оксидів з молекулярною будовою є газоподібні СО2, 8О2, М2О, СО,
N0, рідкі (леткі) 8О3, М2О3, тверді (леткі) Р2О5, М2О5. Твердий, дуже
тугоплавкий оксид 8іО2 — речовина з атомною кристалічною ґраткою.
Оксиди 8іО2, М2О, N0, М02, СО належать до несолетворних. Усі інші
оксиди неметалів солетворні, кислотні і під час розчинення у воді ут-
ворюють гідроксиди, які за своїм характером є кислотами.
Кислоти й кислотні оксиди в хімічних реакціях утворюють солі,
в яких метал зберігає ступінь окиснення.
+6 +6 +6
8О3 ----------> Н,8О4 ---+ме(меДонц-> м§8О4 .
КИСЛОТНИЙ оксид
кислота
сіль
410
Хімія
Оксиди і відповідні їм гідроксиди — кислоти, в яких метал виявляє
ступінь окиснення, що дорівнює номеру групи, тобто її вище значення,
називають вищими-.
+4 +5 +6 +7
8іО, р, о5 8О3 сі2о7
Н28іО3 Н3РО4 Н28О4 НС1О4
----------------------------------------------------->
підсилювання кислотних властивостей оксидів кислот у періоді
У межах однієї головної підгрупи, наприклад, VI, діє така законо-
мірність зміни властивостей вищих оксидів і кислот:
8О3 -> Н28О4
8еО3 -> Н28еО4
ТЄО3 -> НдТвОд
послаблення
кислотних
властивостей
Способи добування простих і найбільш поширених складних речовин
елементів-неметалів у лабораторіях та промисловості; найважливіші
галузі застосування простих і найбільш поширених складних речовин,
а також якісні реакції для визначення простих і складних іонів елемен-
тів-неметалів ми розглянемо пізніше.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Визначте, при взаємодії яких речовин виділяється сульфур (IV) оксид:
А) Ха28О3 і НС1; Б) А§ХО3 і К28О4;
В) ВаСО3 і НЬЮ3; Г) Ма28 і НС1.
2. Визначте речовину, яка при розчиненні у воді підлягає гідролізу:
А) СаВг2; Б) Ва(МО3)2;
В) Ма28О4; Г) А1С13.
3. Виберіть схему реакції, під час якої утворюється основна сіль:
А) Ге(ОН)3 + ЗНС1 —Б) Ге(ОН)3 + 2НС1
В) 2МаОН + Н28О4 Г) МаОН + Н28О4
4. Виберіть твердження, яке характеризує атоми металів у реакціях:
А) приймають електрони і відновлюються;
Б) не змінюють ступінь окиснення;
В) віддають електрони й окислюються;
Г) віддають електрони і відновлюються.
5. Позначте пару реагентів, у результаті взаємодії яких можна одержати ферум (III) гідроксид:
А) Ге з водою; Б) ГеО3 з водою; В) Ге8О4 з лугом; Г) ГеС13 з водою.
6. Виберіть формулу продукту, який утворюється при додаванні розчину соди до розчину алю-
міній сульфату:
А) А12О3; Б) А1(ОН)3; В) А1(Н8О4); Г) А1ОН8О4.
7. Виберіть твердження, яке характеризує за звичайних умов властивості азоту:
А) дуже активний окисник; В) активний неметал;
Б) дуже активний відновник; Г) малоактивний неметал.
8. Укажіть речовину, розчин якої необхідно використати для перетворення карбонату на гідро-
карбонат:
А) луг; Б) кислота; В) кисла сіль; Г) основна сіль.
Органічна хімія
411
9. Виберіть систематичну назву отруйної речовини, яка блокує гемоглобін:
А) карбон (IV) оксид; Б) сірководень; В) карбон (II) оксид.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. А. 2. Г. 3. Б. 4. В. 5. В. 6. А. 7. Г. 8. Б. 9. В.
ОРГАНІЧНА ХІМІЯ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Теоретичні основи органічної хімії. Поняття про органічні сполуки та органічну хімію;
природні та синтетичні органічні сполуки.
Теоретичні основи будови органічних сполук.
Електронна будова атома Карбону в основному і збудженому станах.
Типи хімічних зв’язків у молекулах органічних сполук.
Явища гібридизації електронних орбіталей атома Карбону; зрЗ-, зр2-, зр-гібридизації;
а- і л-зв’язки.
Класифікація органічних сполук.
Явище гомології, гомологів, гомологічних рядів, гомологічної різниці; класи органічних
сполук; загальні формули гомологічних рядів і класів органічних сполук.
Поняття про первинний (вторинний, третинний, четвертинний) атом Карбону.
Номенклатура органічних сполук.
Явище ізомерії; поняття «ізомер»; структурна та просторова ізомерія.
Взаємний вплив атомів або груп атомів у молекулах органічних сполук на основі перерозподі-
лу електронної густини.
Кислотні й основні властивості органічних сполук.
Класифікація хімічних реакцій в органічній хімії.
Вуглеводні. Класифікація, загальні формули гомологічних рядів, будова, номенклатура,
ізомерія вуглеводнів.
Алкани. Загальна формула, номенклатура, ізомерія, будова, фізичні та хімічні властивості,
способи добування алканів; поняття крекінгу, ізомеризації.
Алкени. Загальна формула, номенклатура, ізомерія, будова, фізичні та хімічні властиво-
сті, способи добування алкенів; якісна реакція на подвійний зв’язок; поняття: полімеризація,
полімер, мономер, мономерна ланка, ступінь полімеризації.
Алкіни. Загальна формула, номенклатура, ізомерія, будова, фізичні та хімічні властивості,
способи добування, застосування алкінів; якісна реакція на кратний зв’язок.
Ароматичні вуглеводні (арени). Загальна формула, номенклатура, ізомерія, будова, фізич-
ні та хімічні властивості, способи добування, застосування ароматичних вуглеводнів; поняття
ароматичності.
Природні джерела вуглеводнів та їх переробка. Природний та супутний нафтові гази, на-
фта; крекінг та ароматизація нафтопродуктів, детонаційна стійкість бензину; склад вугілля;
проблеми добування рідкого палива з вугілля та альтернативних джерел.
Оксигеновмісні сполуки. Класифікація оксигеновмісних сполук; характеристичні групи
класів оксигеновмісних сполук; номенклатура оксигеновмісних сполук.
412
ХІМІЯ
Гідроксильні похідні вуглеводнів. Класифікація гідроксильних похідних вуглеводнів;
характеристична група гідроксильних похідних вуглеводнів.
Спирти. Класифікація спиртів. Загальна формула, будова, номенклатура, ізомерія, власти-
вості, способи добування, поширення в природі насичених одноатомних спиртів.
Гліцерол (гліцерин) як представник багатоатомних спиртів; якісна реакція на багатоатомні
спирти.
Фенол. Формула, будова, властивості, способи добування, застосування; якісна реакція на фенол.
Альдегіди. Загальна формула, будова, номенклатура, властивості, способи добування,
застосування, поширення в природі; якісна реакція на альдегідну групу.
Карбонові кислоти. Класифікація, загальна формула, будова, номенклатура, ізомерія, влас-
тивості, способи добування, застосування, поширення в природі карбонових кислот; будова
та властивості мила і синтетичних мийних засобів; негативний вплив синтетичних мийних
засобів на довкілля.
Естери. Жири. Загальна формула, класифікація, будова, номенклатура, ізомерія, власти-
вості, способи добування, застосування, поширення в природі естерів карбонових кислот; біо-
логічна роль жирів.
Вуглеводи. Склад, молекулярні, структурні формули глюкози, фруктози, сахарози, крохма-
лю і целюлози, класифікація, будова, фізичні та хімічні властивості, добування, застосування,
біологічна роль вуглеводів; якісні реакції для визначення глюкози, крохмалю; застосування
глюкози, сахарози, крохмалю, целюлози; поняття про штучні волокна.
Аміни. Загальні формули, будова, номенклатура, ізомерія, властивості, способи добування,
застосування, розповсюдження у природі амінів.
Амінокислоти. Склад, класифікація, будова, номенклатура, ізомерія, фізичні та хімічні
властивості, добування, застосування, біологічна роль амінокислот; поняття: амфотерність
амінокислот, біполярний іон; ди-, три-, поліпептиди.
Білки. Будова, властивості, застосування, біологічна роль білків; кольорові реакції на білки;
біологічна роль амінокислот, білків.
Синтетичні високомолекулярні речовини і полімерні матеріали на їх основі. Класифікація
високомолекулярних речовин; методи синтезу високомолекулярних речовин; будова і власти-
вості полімерів; термопластичні полімери і пластмаси на їхній основі; поняття про синтетичні
волокна; значення полімерів у суспільному виробництві та побуті.
Узагальнення відомостей про органічні сполуки.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Теоретичні основи органічної хімії
Теорія будови органічних сполук О. М. Бутлерова
До середини XIX ст. у галузі вивчення органічних сполук був нако-
пичений значний експериментальний матеріал і виявилося, що органічні
сполуки мають особливості, які не можуть бути пояснені з точки зору
закономірностей, які встановлені для неорганічних речовин. До того часу
було доведено, що в неорганічних сполуках Карбон виявляє ступінь окис-
нення (тоді це називали валентністю), який дорівнює двом або чотирьом.
Це підтверджувалося на прикладі метану (СН4), але в молекулі етану
2
(С2Нв) він дорівнював трьом, а в молекулі пропану (С3Н8)— 2 — . Крім
З
того, виявилося, що одній і тій самий емпіричній формулі відпові-
дає велика кількість різних речовин. Ці ускладнення були вирішені
Органічна хімія
413
О. М. Бутлеровим, який опублікував у 50-60 рр. XIX ст. систему поглядів,
що одержала згодом назву теорії будови органічних сполук.
Основні положення цієї теорії є такими.
1. Атоми в молекулах органічних сполук з’єднуються не безладно,
а у визначеній послідовності, і таким чином, що всі валентності взаємно
насичені.
Це положення дозволяє зрозуміти дробове число валентності вуг-
лецю — воно було одержане при простому діленні числа атомів Гідроге-
ну на число атомів Оксигену (так звана валентність за Гідрогеном) без
обліку вуглець-вуглецевих зв’язків. Якщо їх ураховувати, то формула
пропану буде мати вигляд:
н н н
І І І
н-с-с-с-н,
III
н н н
в якому всі атоми Гідрогену чотиривалентні.
2. Хімічні та фізичні властивості речовин залежать не тільки від
якісного та кількісного складу молекул, а й від їхньої будови.
Це положення дозволяє зрозуміти явище ізомерії (воно в ті часи
для неорганічних сполук було невідоме, різниця властивостей речовин
з однаковою емпіричною формулою пояснювалася різним взаємним
положенням атомів у молекулах, тобто їхньою різною будовою).
3. Атоми в молекулах органічних сполук, що не пов’язані одне з од-
ним, мають взаємний вплив одне на одне.
Це положення було сформульоване на основі праць учня О. М. Бутле-
рова В. В. Марковнікова. Він, зокрема, виявив, що в молекулах хлороц-
тових кислот С1СН2СООН, С12СНСООН та СС13СООН, збільшення числа
атомів Хлору, не пов’язаних безпосередньо з карбоксильною групою,
супроводжується збільшенням їх констант дисоціації.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Н 4^6:
Н: С : С
Н Н
Оцтовий альдегід
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Властивості речовин зале-
жать не тільки від їхньої хі-
мічної будови, а також від
електронної та просторової
будови.
Електронна будова атома Карбону в основному
і збудженому станах
Як уже зазначалося раніше, атом Карбону на валентному рівні має
чотири електрони, у зв’язку з чим його здатність до віддачі та приєд-
нання електронів є однаковою.
Електронна формула Карбону (І822в22р2) показує, що на валентному
рівні атома Карбону мають бути два 8- та два р-електрони, які заповню-
ють одну 8- і одну р-орбіталі. Оскільки спіни електронів, що розташовані
на одній орбіталі, антипаралельні (принцип Паулі), то сумарний спін
атома Карбону має дорівнювати нулю. Такий електронний стан, однак,
характерний для незбудженого атома Карбону (реалізується для одного
атома, що існує при температурі абсолютного нуля). За реальних умов
електронна будова валентних рівнів атомів, що мають 8- і р-електрони,
підпорядковується правилу Хунда, відповідно до якого атомні орбіталі
8р-елементів заповнюються таким чином, що їхній сумарний спін є мак-
симальним. Це означає, що за реальних умов один 8- і один р-електрони
переходять на атомні р-орбіталі, причому цей перехід супроводжується
оберненням їхніх спінів:
414
Хімія
2з2
и
1 1
2 + 2 +
, електронна конфігурація валентного рівня має формулу
При цьому сумарний спін електронів дорівнює двом
1 1
2 + 2
2зг8р3, або простіше зр3. Для переходу до зазначеного стану потрібна
деяка кількість енергії, тому кажуть, що атоми Карбону у 8р3-валентній
конфігурації перебувають у збудженому стані.
Типи хімічних зв'язків у молекулах органічних сполук
В органічних сполуках Карбон завжди чотиривалентний. У збуд-
женому стані в його атомі відбуваються розпаровування 283-електронів
і перехід одного з них на р-орбіталь:
2р
2« Ш І Т І Т І Т І
18 И С*
Такий атом має чотири неспарені електрони і може брати участь
в утворенні чотирьох ковалентних зв’язків.
Явище гібридизації
На основі наведеної електронної формули валентного рівня атома
Карбону можна було б очікувати, що на ньому знаходиться один «-елект-
рон (сферична симетрична орбіталь) і три р-електрони, що мають взаєм-
но перпендикулярні орбіталі (2рх, 2ру, 2р2-орбіталь) з кутами між ними,
які дорівнюють 90°. Насправді всі чотири валентні електрони атома
Карбону цілком еквівалентні і кути між їхніми орбіталями дорівнюють
109 °28' (тетраедричний кут). Крім того, розрахунки показують, що
кожний із чотирьох хімічних зв’язків атома Карбону в молекулі метану
(СН4) на 25 % є «- і на 75 % —р-зв’язком, тобто відбувається змішування
з- і р-станів електронів. Це явище називають гібридизацією, а змішані
орбіталі — гібридними.
<з- і л-Зв'язки. Карбон первинний, вторинний і т. д.
Атом Карбону у 8р3-валентному стані має чотири орбіталі, на кожній
з яких знаходиться по одному електрону. Відповідно до теорії ковалент-
ного зв’язку він має можливість утворювати чотири ковалентні зв’язки
з атомами яких-небудь одновалентних елементів (СН4, СНС13, СС14) або
з іншими атомами Карбону. Такі зв’язки називаються о-зв’язками.
Якщо атом Карбону має один С—С зв’язок, він називається первинним
(Н3С—СН3), якщо два — вторинним (Н3С—СН2—СН3), якщо три — тре-
СН3
шинним (нзС —СН—СН3) якщо чотири — четвертинним (Н3С — С — СН3).
сн3 сн3
Органічна хімія
415
Однією з характерних особливостей атомів Карбону є їх здатність
утворювати хімічні зв’язки за рахунок узагальнення тільки р-елект-
ронів. Такі зв’язки називаються л-зв’язками. л-Зв’язки в молекулах
органічних сполук утворюються тільки в присутності о-зв’язків між
атомами. Так, у молекулі етилену Н2С=СН2 атоми Карбону зв’язані
(У- і одним л-зв’язком, в молекулі ацетилену НС=СН — одним а- і двома
л-зв’язками. Хімічні зв’язки, що утворюються за участі л-зв’язків, на-
зиваються кратними (в молекулі етилену — подвійний, в молекулі аце-
тилену— потрійний), а сполуки з кратними зв’язками — ненасиченими.
зр3-, зр2- і зр-Гібридизації атома Карбону
Під час утворення л-зв’язків змінюється гібридний стан атомних
орбіталей атома Карбону. Оскільки утворення л-зв’язків відбувається за
рахунок р-електронів, то в молекулах з подвійним зв’язком електрони
будуть мати 8р2-гібридизацію (була «р3, але один р-електрон відходить на
л-орбіталь), а з потрійним — «р-гібридизацію (два р-електрони відійшли
на л-орбіталь). Характер гібридизації змінює просторову спрямованість
о-зв’язків. Якщо під час 8р3-гібридизації вони утворюють просторово
розгалужені структури (а), то при 8р2-гібридизації всі атоми лежать
в одній площині і мають кути між о-зв’язками, що дорівнюють 120° (б),
а при 8р-гібридизації молекула є лінійною (в):
— с—с— -с=с- — с=с—
а б в
При цьому осі л-орбіталей перпендикулярні осі о-зв’язку.
Як <д-, так і л-зв’язки є ковалентними, отже, мають характеризува-
тися довжиною, енергією, просторовою спрямованістю і полярністю.
У табл. 2 наводяться ці характеристики.
Таблиця 2
Характеристики одинарних і кратних зв'язків між атомами С
Молекула Тип гібридизації Валентний кут Довжина зв'язку, нм Енергія зв'язку, кДж/моль
сн3—сн3 109°5' 0,154 369
сн2=сн2 120° 0,134 712
сн=сн 180° 0,120 962
Полярність хімічних зв’язків у органічних сполуках залежить від
природи, елементів пар, які їх утворюють, будови молекули, а також
від чутливості конфігурації електронної хмари до поляризуючих ефек-
тів (поляризованість). Поляризованість л-зв’язків дещо вища, ніж
о-зв’язків.
8-Зв'язки у молекулі
метану
Схема утворення тс-зв'язків
у молекулі етилену
Схема утворення тс-зв'язкІв
у молекулі ацетилену
Класифікація органічних сполук
Однією з особливостей органічних сполук є те, що в хімічних ре-
акціях їхні молекули обмінюються не окремими атомами, а групами
атомів. Якщо ця група атомів складається тільки з атомів Карбону
і Гідрогену, то вона називається вуглеводневим радікалом, якщо ж вона
має атоми інших елементів, то називається функціональною групою.
416
Хімія
Так, наприклад, метил (СН3—) і етил (С2Н5—) є вуглеводневими радика-
лами, а оксигрупа (—ОН), альдегідна група (—С ), нітрогрупа (—ЬЮ2)
ХН
і т. д. є функціональними групами спиртів, альдегідів, нітросполук
відповідно.
Як правило, функціональна група визначає хімічні властивості
органічних сполук і тому є основою їх класифікації (табл. 3).
Таблиця З
Основні класи органічних сполук (похідних вуглеводнів)
Назва класу сполук Функціональна група або наявність кратного зв'язку Родове закінчення Приклад сполуки Назва сполуки
Алкани, С„Н2п+2 Усі зв'язки С—С одинарні -ан сн3—сн3 Етан
Алкени, С„Н2„ Один подвійний зв'язок С=С -єн сн2=сн2 Етен (етилен)
Алкіни, С„Н2„_2 Один потрійний зв'язок СН =С -Ін сн=сн Етин (ацетилен)
Галогенопохідні В—Г; Г — галоген —Е, —СІ, — Вг, —1 -радикал СН3—СН2СІ Хлоретан Бромбензен
Алкадієни С„Н2„_2 Два подвійні зв'язки -дієн СН2=СН—сн=сн2 Бутадієн-1,3
Спирти —ОН гідроксильна -ол сн3—СН2ОН Етанол Фенол
Альдегіди ^0 — с хн Карбонільна (альдегідна) -аль п X 1 / \\ X о Оцтовий альдегід, етаналь
Кетони ^0 -С^ Карбонільна -он ^0 сн3 — с ХСН3 Пропанон (ацетон)
Карбонові кислоти 0 — с' ОН Карбоксильна -ова, -на кислота СН3СООН о .с он Оцтова кислота Бензойна кислота
Прості етери О? 1 ? її- -овий етер СН3—0—С2Н5 Метилетиловий етер
Складні естери С„Н2„О2 1 о о \\ / 1 -овий естер -ової кислоти ^0 сн3 — с х0- С2Н5 Етиловий естер оцтової кислоти
Нітросполуки —N0, за вуглевод- нем СН3—N0, м°2 Нітрометан Нітробензен
Первинні аміни —І\ІН2 -амін С2Н5І\ІН2 С6Н5МН2 Аміноетан (етиламін) Анілін
Органічна хімія
417
Явище ГОМОЛОГІЇ
Специфіка органічних сполук змушує вводити нові поняття, з якими
ми не зустрічалися ні в загальній, ні в неорганічній хімії.
Так, здатність атомів Карбону утворювати вуглець-вуглецеві ланцю-
ги дозволяє стверджувати, що коли ми маємо вуглеводень визначеної
будови і властивостей, то можна подати інший вуглеводень, який має
подібні властивості, але відрізняється за будовою від першого на одну
або декілька груп —СН2—.
Наприклад, якщо ми маємо метан (СН4), то можна подати ряд вуг-
леводнів, які відрізняються один від одного групою —СН2—:
Н—СН2—Н -> Н—СН2—СН2—Н -> Н—СН2—СН2—СН2—н
метан етан пропан
Н—СН2—СН2—СН2—СН2—н
бутан
Сполуки цього ряду мають подібні властивості і тому утворюють
гомологічний ряд.
Ряд органічних сполук, в якому кожний наступний член відрізняєть-
ся від попереднього на групу —СН2— і має подібні хімічні властивості,
називається гомологічним рядом, а група —СН2— називається гомо-
логічною різницею.
Гомологічний ряд речовини може бути визначений загальною фор-
мулою. Так, ряд алканів має загальну формулу С„Н2л+2, де п — кіль-
кість атомів Карбону в молекулі. Загальні формули гомологічних рядів
і класів органічних сполук наведені в таблиці.
Номенклатура органічних сполук
Здатність атомів Карбону утворювати довгі та розгалужені ланцюги,
до яких можуть входити атоми інших елементів, а також явище ізо-
мерії призводять до великої різноманітності молекулярних структур.
Тому для органічної хімії було дуже важливо розробити систему назв
(номенклатуру) органічних сполук, яка б допомогла вирішити одне
з двох завдань:
— дати органічній сполуці назву, яка відобразить її молекулярну
структуру;
— чітко визначити молекулярну структуру органічної сполуки за
її назвою.
Коли була відома невелика кількість органічних сполук, то для них
застосовували тривіальні назви. Так, бензальдегід називався маслом
голландських хіміків. Потім, коли для назв органічних сполук вже
не вистачало слів, перейшли до раціональної номенклатури, за якою
всі сполуки даного ряду вважалися похідними найпростішого з них.
Наприклад, пропан (Н3С—СН2—СН2—СН3) можна було назвати диме-
тилметаном. Ця номенклатура дуже зручна для простих сполук і в ряді
випадків використовується до сьогодні.
Зараз використовується номенклатура, що побудована за правилами
ІЮПАК. Повне її зібрання являє собою великий том, тому ми обмежує-
мося основними положеннями.
1. В основі назви органічної сполуки лежать родоначальні струк-
тури (головний ланцюг ациклічної молекули, карбоциклічна або гете-
СЛОВНИК
Речовини однакового хіміч-
ного складу, але різні за бу-
довою молекул, називають
ізомерами.
словник
Гомологами називають ре-
човини, однакові за будовою,
але такі, що відрізняються
за складом на ціле число груп
СН2.
ЗАПАМ'ЯТАЙ т
Порядок старшинства
основних груп:
—с > —с >
^он
> ^С = О > —он > мн,
418
ХІМІЯ
роциклічна система). Наприклад, СН3—СН—СН2—СН—СООН —родо-
СН3 МН2
начальною структурою є ланцюг із п’яти атомів Карбону, що пов’язані
одинарними зв’язками. Основа назви (корінь слова) — пенпіан.
2. Характеристичні групи й замісники (структурні елементи) поз-
начаються префіксами і суфіксами. Ці групи підрозділяються за стар-
шинством:
-с > -с' > С=О > — ОН > — гш2.
хон хн
Виявляють старшу групу, яка позначається за допомогою суфікса,
а інші замісники — за допомогою префікса.
3. До назви включають позначення подвійного та потрійного зв’язку,
яке розміщується після кореня (родове закінчення).
4. Атоми родоначальної структури нумерують таким чином, щоб
замісник був розташований поруч з атомом з найменшим номером.
Н3С-СН-СН3
СН2—СН2— сн3
2-(н-пропіл)-пропан — неправильно
2-метилпентан — правильно
найдовший ланцюг
5 4 3 2 1
а) Н3С-СН2-СН2-СН-СН3
1 2 3 |4 5
сн3
4-метилпропан — неправильно
2-метилпентан — правильно
Якщо замісників декілька, то сума номерів повинна бути наймен-
шою:
СН3 2,4,4,-триметилпентан — неправильно
з |л з а і 2,2,4-триметилпентан — правильно
б) Н3С- с -сн2-сн-сн3
1 І2 з І4 5
сн3 сн3
Повернемось до формули, наведеної у п. 1, з основною назвою пентан
і визначимо старшу характеристичну групу молекули:
5 4 3 2 1
в) СН3-СН-СН2-СН-СООН
1 |2 3 |4 5
сн3 гш2
Це карбоксильна група, тому до корінної частини назви додаємо
родове закінчення -ова кислота. Атоми Карбону нумерують від цієї
групи. Друга група за старшинством — аміногрупа, яка позначається
префіксом -аміно, є ще в молекулі замісник — метил — основа назви
амінометилпентанова кислота. Подвійних та потрійних зв’язків
структура не має.
2-метил-4-амінопентанова кислота — неправильно;
2-аміно-4-метилпентанова кислота — правильно.
5. Функціональні групи і кратні зв’язки називають родовим закін-
ченням після назви вуглецевого ланцюга:
Органічна хімія
419
Н3С- С = С — СН2 - СН = СН2 гексен-1-ін-4
Н3С- С = С — СН2 - СН - СН3 гексин-4-аль-2
1 2 3 4 5 6
Н2С=СН— С =С—СН = СН2 гексадієн-1,5-ін-3
6. У циклічних вуглеводнях спочатку називають функціональні гру-
пи та їхнє положення, а потім вуглеводень з одним із родових закінчень.
З-нітро-5-бромциклогексанол
2,4,6-трибромфенол
Приклад
Назвіть органічну сполуку:
СН3
Н3С-СН2- с -сн-сн-сн2-сн3
он он он
1. Визначаємо найдовший вуглецевий ланцюг (С7 — тобто гептан).
2. Нумеруємо атоми Карбону таким чином, щоб найзаміщеніший
мав найменший номер.
3. Називаємо сполуку: 3-метилгептантріол-3,4,5.
Ізомерія
Однією з особливостей органічних сполук є те, що для них харак-
терне таке явище, як ізомерія. При цьому в різних рядах органічних
речовин існує декілька різновидів цього явища.
Ізомерія скелета
Найпростіший вид ізомерії — це ізомерія вуглець-вуглецевих ланцю-
гів, або ізомерія скелета. Так, вуглеводню із складом С4Н10 відповідають
дві речовини:
С—С—С—С і С - С-С,
І
С
420
Хімія
із складом С5Н12— три: 4
12 3 4 с-с-с-с-с, С-С-С-С 1 2 3 4 5 с 5 с 1 2 І 3 1 с-с-с- 1 с 5
н-пентан 2-метилбутан 2,2 - димети лпропан
Для С20Н42 існує більше 366 000 скелетних ізомерів. Як видно з наве-
дених схем, скелетні ізомери відрізняються один від одного будовою вуг-
лець-вуглецевого ланцюга. Під час ізомеризації вуглеводнів змінюється
кратність атомів Карбону. Так, у молекулі н-пентану перший і п’ятий
атоми Карбону мають по одному С—С зв’язку і є первинними, а другий,
третій і четвертий — два С—С-зв’язки і є вторинними. Атом С3 у молекулі
2-метилбутану має три С—С-зв’язки, а атом С2 в молекулі 2,2-диметил-
пропану — чотири. Вони відповідно є третичними та четвертичними.
Ізомерія положення
Якщо в молекулі вуглеводню наявна функціональна група, то число
ізомерів збільшується за рахунок ізомерів положення, які розрізняють-
ся положенням цієї групи у ланцюзі. Так, якщо в молекулу пропану
(С3Н2), що не має скелетних ізомерів, ввести атом Хлору, то з’являються
ізомери положення:
С—С—С—СІ С-С-С
І
СІ
1-хлорпропан 2-хлорпропан
У циклічних структурах ізомерія положення виникає, якщо до неї
ввести два замісники. Так, для дихлорбензену можливі такі структури:
1,2-дихлорбензен 1,3-дихлорбензен
1,4-дихлорбензен
Міжкласова ізомерія
Якщо один з атомів Карбону замінити на атом якого-небудь іншо-
го елемента (гетероатом), то утворюється особливий вид міжкласової
ізомерії.
Н3С—СН2—СН2—СН2—О—СН3 Н3С—СН2—СН3—О—СН2—сн2
метилбутиловий естер етилпропиловий естер
Цис-транс-ізомерія
Схожою з міжкласовою ізомерією є ізомерія положення кратного
зв’язку в молекулах ненасичених сполук. Так, для вуглеводню С5Н10
можливі такі структури:
54321 54321
с—с —с—с = с с—с—с=с—с
пентен-1 пентен-2
Органічна хімія
421
Для вуглеводнів, що мають у ланцюзі подвійний (але не потрій-
ний) зв’язок, спостерігається ще один тип ізомерії. Так, пентен-2 може
існувати у двох конфігураціях:
СНЗХ ХН СНЗХ /С2Н5
^С=< ^с=<
Нх С2н5 нх хн
транс-пентен-2 цис-пентен-2
Гібридизація орбіталей
Виникає запитання, чому сполуки з подвійним зв’язком утворюють
просторові ізомери, а з одинарним та потрійним зв’язком — ні. Це мож-
на пояснити різною гібридизацією 8- і р-орбіталей атома Карбону. Ва-
лентна орбіталь атома Карбону має електронну конфігурацію 2з22р2
або |УЛ | | , тобто спіни 8- і р-електронів взаємно скомпенсовані,
8 р
їх сума дорівнює нулю. Існує правило Хунда, за яким сумарне спінове
число електронів певного підрівня має бути максимальним. Для атома
Карбону цьому відповідає така конфігурація | | | ] ’ а®° 8Р3’ т°бто
сумарний спін дорівнює 2. зр
Стан зр3 означає, що кожний валентний електрон атома Карбону
на 25 % є 8- і на 75 % —р-електроном.
Змішування електронних станів, що забезпечує максимальний су-
марний стан енергетичного рівня, називається гібридизацією елект-
ронів.
Гібридизація орбіталей призводить до їхнього вирівнювання за фор-
мою та енергією.
Для 8р3-гібридизації характерна тетраедрична орієнтація зв’язків
(кут між зв’язками 109 °54'). Два атоми Карбону у 8р3-стані зв’язуються
один з одним одинарним зв’язком (о-зв’язок), для якого характерна
можливість вільного обертання. Тому такі вуглеводні не утворюють
стійких просторових ізомерів. При утворенні подвійного зв’язку один
з л-електронів кожного атома Карбону змінює симетрію і переходить
на так звану л-орбіталь, у зв’язку з чим гібридизація змінюється на зр2.
л-Зв’язок утворюється за рахунок перекривання чотирьох сферичних
л-хмар (по дві на кожний атом), тому обертання навколо такого зв’язку
ускладнюється.
н3с—сн3 н2с=сн2 сн=сн
Усі одинарні зв’язки атома Карбону, що перебувають у 8/?2-гібри-
дизованому стані, лежать в одній площині, і кут між ними дорівнює
120°. За наявності потрійного зв’язку вже два електрони переходять
на л-орбіталі, і виникає гібридизація зр. Для неї кут між одинарними
зв’язками становить 180°, молекула стає лінійною.
422
Хімія
Взаємний вплив атомів або груп атомів
у молекулах органічних сполук
Молекули органічних сполук — це ізольовані об’єкти, що мають замкне-
ну систему хімічних (найчастіше ковалентних) зв’язків, які утворюються
за рахунок об’єднання електронних хмар. Кожний елемент цієї системи
(атом, радикал або функціональна група) виявляють вплив на електрон-
ну структуру зв’язків не тільки розташованих поряд, але й тих, що роз-
міщені віддалено від збурювального елемента і ніяк з ним не пов’язані.
Вивчаючи реакцію приєднання галогеноводнів до несиметричних
ненасичених сполук, В. В. Марковніков показав, що з двох імовірних
напрямів реакції
.Н.С-СН-СН (1)
СІ
н3с-сн = сн2 + неї
^Н3С—СН2—СН2С1 (2)
незмінно реалізується тільки перший. У 1869 р. він сформулював пра-
вило, відповідно до якого при приєднанні галогеноводнів до несимет-
ричних ненасичених сполук галоген приєднується до найменш гідро-
генізованого атома Карбону.
Пізніше, коли були відкриті електронні ефекти в органічній хімії,
такий характер реакції пояснювався тим, що метильний радикал у мо-
лекулі пропену поляризує л-зв’язок таким чином, що на атомі Карбо-
ну-2 утворюється надлишок позитивного, а на атомі Карбону-3 — над-
лишок негативного заряду, що й призводить до реакції за схемою (1):
Н3С - С = СН2
сг сг
* СН3-СН-СН2.
СІ Н
сг сГ
Слід звернути увагу на те, що атоми Гідрогену, сукупний вплив
яких і створює поляризацію л-електронної хмари, не має хімічних
зв’язків з атомами, що утворюють л-зв’язок. Подальші дослідження
В. В. Марковнікова в цьому напрямі засвідчили, що принцип має за-
гальний характер, і дозволили йому сформулювати третє положення те-
орії Бутлерова — атоми в молекулах органічних сполук, що не пов’язані
безпосередньо, здійснюють один на одне взаємний вплив.
Ефект взаємного впливу атомів добре ілюструється в хімії бензену.
Так, бензен вступає в реакції заміщення з бромом тільки за високих тем-
ператур і за наявності каталізаторів (солі Ге3+), при цьому заміщується
тільки один атом Гідрогену:
+ НВг.
Уведення до молекули бензену оксигрупи (тобто перехід до фенолу)
приводить до перерозподілу електронної густини в бензеновому кільці
так, що в положеннях 2,4,6-бензенового циклу вона зростає. Заміщення
Органічна хімія
423
атомів Гідрогену в цих положеннях полегшується настільки, що реакція
протікає при простому змішуванні фенолу з бромною водою, і на бром
заміщуються три атоми Гідрогену:
+ ЗВг2----►
+ ЗВг.
2,4,6 -трибромбензен
Бензенове кільце (точніше, фенильний радикал), у свою чергу,
здійснює вплив на реакційну здатність оксигрупи — якщо в молекулах
спиртів вона виділяє атоми Гідрогену тільки під час взаємодії з лужни-
ми металами, то в молекулі фенолу її кислотні властивості зростають
настільки, що він реагує з лугами у водних розчинах (тривіальна назва
фенолу — карболова кислота):
+ МаОН ->
натрій фенолят
Так само на реакційну здатність бензенового кільця впливає амі-
ногрупа (МН2—), і слабше — метильний радикал (Н3С—). Функціо-
нальні групи, що підвищують реакційну здатність бензенового кільця,
спрямовують замісники у 2,4,6-положення (орто-, параположення),
називають замісниками першого роду, або електроннодонорними
замісниками.
Є функціональні групи, які спричиняють інші ефекти. Так, нітрогру-
па (О2М—) суттєво зменшує реакційну здатність бензенового кільця,
а якщо реакція все ж відбувається, то замісник спрямовується у положен-
ня 3 (метаположення). Замісники цього типу називаються замісниками
другого роду, або електронноакцепторними замісниками. До замісни-
ків другого роду відносяться альдегідні (— О), карбоксильні (—СООН)
ХН
і деякі інші функціональні групи.
Кислотні та основні властивості органічних сполук
Взаємний вплив не пов’язаних один з одним атомів у молекулах
органічних сполук може бути показаний на прикладі їхніх кислотно-
основних властивостей.
Кислотні властивості
Під кислотними властивостями органічних сполук розуміють їхню
здатність реагувати з активними металами з виділенням водню або
з гідроксидами металів з утворенням води. Серед сполук, що вже були
розглянуті, кислотні властивості можуть виявляти спирти, в тому числі
багатоатомні, феноли і карбонові кислоти. Спирти можна розглядати
як структурні аналоги води, в молекулі якої атом Гідрогену замінили
на алкільний радикал. Тоді можна очікувати, що, подібно до молекул
424
Хімія
води, молекули спиртів можуть дисоціювати на іони Гідрогену й ал-
коголят-іони:
н,о ОН + н+ Н3СОН Н3СО + н+.
дисоціація води метилат-іон
Метильний радикал, що замінив атом Гідрогену в молекулі води,
має електроннодонорні властивості, тому негативний заряд (густина
електронної хмари) на атомі Оксигену в молекулі спирту більший, ніж
у молекулі води. Отже, позитивно заряджений іон Гідрогену в молекулі
спирту притягається до нього сильніше, ніж у молекулі води, і тому
кислотні властивості спиртів виявляються слабше, ніж у води. У ба-
гатоатомних спиртів гідроксильні групи в молекулах розташовані при
суміжних атомах Карбону (етиленгліколь, гліцерин), і кислотні влас-
тивості підсилюються настільки, що вони стають здатними реагувати
з гідроксидами деяких металів (наприклад, міді):
н,с-он нох н,с-ох
І + Сн І Сн +2Н2О.
Н2С- ОН НО / Н2С — 0х
Ще більше посилюються кислотні властивості під час переходу від
спиртів до фенолів, тому що фенильний радикал, на відміну від метиль-
ного, має електронноакцепторні здатності.
Найсильніші кислотні властивості мають карбонові кислоти, тому
що в карбоксильній групі карбонільна група ( С=О) має сильно вира-
жені електронноакцепторні здатності й розташовується поряд із гідрок-
сильною групою:
О
-с
^он
о
-> -с + н .
^о-
В. В. Марковніковим було доведено, що, якщо в метильній групі
оцтової кислоти атоми Гідрогену послідовно замінювати атомами Хлору,
кислотні властивості відповідних хлороцтових кислот підсилюються.
Основні властивості органічних сполук
Основні властивості органічних сполук пов’язані з їхньою здатністю
взаємодіяти з іоном Гідрогену:
В + Н+ —> ВН+ (В — від Ьазе — основа).
Ми будемо розглядати зміни основності органічних сполук пере-
важно на прикладі похідних амоніаку. Основність амоніаку пов’язана
з наявністю в атомі Нітрогену неподіленої електронної пари, яка може
утворювати з іоном Гідрогену координаційний зв’язок. Під час заміни
одного або декількох атомів Гідрогену в молекулі амоніаку на вуглевод-
неві радикали густина електронної хмари атома Нітрогену може бути
збільшена (збільшення основності) або знижена (зменшення основності).
Оскільки алкільні радикали мають електроннодонорні властивості,
то послідовна заміна атомів Гідрогену, наприклад, метильними група-
ми, приводить до підвищення основності відповідних амінів. Заміна ж
атома Гідрогену на електронноакцепторний фенольний радикал знижує
Органічна хімія
425
основність атома Нітрогену. Таким чином, аміни за їхньою основністю
утворюють такий ряд:
(Н3С)3М > (Н3С)2МН > Н3С—МН2 > МН3 -і СвН5МН2 . (СвН5)2МН.
Цікаво, що аналогічна залежність основності від будови молекул
спостерігається і у спиртів. Внаслідок виявлення електроннодонорного
характеру алкільних радикалів третинні спирти більш основні, ніж
вторинні, а вторинні — більш основні, ніж первинні:
(Н3С)3СОН > (Н3С)2СНОН > Н3С—СН2ОН > Н20 > СвН5ОН.
Основні типи хімічних реакцій органічних сполук
Реакції між органічними сполуками, так само, як і між неорганіч-
ними, можуть бути поділені на реакції сполучення, розкладу, заміщен-
ня та обміну. Водночас специфіка органічних сполук обумовлює на-
явність реакцій, малорозповсюджених серед неорганічних сполук.
До них належать реакції конденсації (у тому числі поліконденсації),
внутрішньомолекулярне перегрупування (реакції ізомеризації), а та-
кож реакції полімеризації.
У реакції сполучення (більше використовується термін «приєднан-
ня») переважно вступають ненасичені сполуки, які можуть за кратним
зв’язком приєднувати молекули водню (реакція гідрогенізації), гало-
геноводні, воду, амоніак і аміни і т. ін).
Н2С=СН2 + Н2О —> Н3С—СН2—ОН — гідратація етилену
СН = СН + НС1 -> Н,С=СНС1
Н,С=СНС1 + НС1 -> Н3С—СНС1
2
> гідрогалогенування ацетилену
До реакцій розкладання органічних сполук можна віднести реакції
дегідрогенізації (відщеплення водню), дегідратації (відщеплення води),
а також крекінг вуглеводнів:
СвН12 —> СвНв + ЗН2 —дегідрогенізація циклогексану,
С2Н5ОН —> С2Н4 + Н2О — дегідратація етанолу,
С1вН34 С8Н18 + С8Н1в — крекінг цетану.
До реакції заміщення вступають, як правило, насичені вуглевод-
ні, в молекулах яких атоми Гідрогену можуть заміщуватися на атоми
галогенів (реакції металепсії):
СН4 + 2С12 -> СС14 + 4НС1.
Відмінність цих реакцій від реакцій заміщення в неорганічній хімії
полягає в тому, що в них проста речовина наявна тільки у вихідних
речовинах, в продуктах реакції вже дві складні речовини.
Реакції обміну в органічній хімії зустрічаються порівняно рідко.
Проте як приклад можна навести реакції карбонових кислот:
СН3СООН + МаОН -> СН3СО(Жа + Н2О,
2СН3СООН + СаСО3 -> (СН3СОО)2Са + Н2О + СО2 Т,
2СН,СООН + К28іО, -> 2СН,СООК + Н28іО3.
426
ХІМІЯ
Під реакціями конденсації розуміються процеси, за яких з двох
складних речовин утворюється одна більш складна і одна суттєво більш
проста речовина (НС1, Н2О). До таких реакцій належить складноестерна
конденсація:
СН2 - С 0 + НОС2Н5 —>Н3С—СООС2Н5 +Н2О
хон
або одержання дипептидів з амінокислот:
н2м-сн2-с;
+ІЙЧН—СН2—СООН -> НЦ—СН2—СОПИ—СН2СООН+Н20.
Одержані дипептиди можуть, у свою чергу, конденсуватися один
з одним або з іншими амінокислотами, в результаті чого утворюються
поліпептиди (білки). У таких випадках кажуть про реакції поліконден-
сації. Як відомо, в результаті поліконденсації капролактама одержують
полімерне волокно (капрон).
Реакції ізомеризації (внутрішньомолекулярне перегрупування) від-
буваються внаслідок переходу одних атомів до інших всередині однієї
молекули. Прикладом такого перегрупування є перетворення вініло-
вого спирту, що утворюється під час гідратації ацетилену за реакцією
Кучерова, на ацетальдегід:
Н—с=сн + Н2О ->
вініловий спирт
/Н
ацетальдегід
Реакції полімеризації здійснюються ненасиченими сполуками (моно-
мерами) за рахунок розкриття і взаємного насичення кратних зв’язків:
С=С
С6Н/ ХН
Н Н
І І
—с - с—
I І
СвН5Н
/- сн —СН2—)
' СвН5 і
полістирол
—> п
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Визначте кількість речовин, які відображаються формулами СН3—(СН2)2—СН3, С4Н10,
СН3—СН2—СН3:
А) три різні; Б) одна; В) дві різні; Г) один бутан.
2. Визначте, який тип реакцій характерний для алканів:
А) заміщення; Б) сполучення; В) обміну; Г) розкладу.
3. Виберіть речовину, яка у реакції дегідратації відщеплюється від молекули речовини:
А) водень; Б) вода; В) спирт; Г) галогеноводень.
4. Визначте сполуку, яку можна одержати окисненням пропанолу-1:
А) етаналь; Б) пропанон; В) пропаналь; Г) бутаналь.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. В. 2. А. 3. Б. 4. В.
БІОЛОГІЯ
МОЛЕКУЛЯРНИМ РІВЕНЬ ЖИТТЯ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Елементний склад організмів. Класифікація хімічних елементів за їхнім вмістом в організ-
мах (макроелементи, у тому числі органогенні елементи, мікроелементи). Наслідки недостат-
нього або надлишкового надходження до організму людини хімічних елементів (І, Г, Ге, Са,
РЬ) та способи усунення їхньої нестачі. Ендемічні хвороби.
Неорганічні сполуки в організмах. Роль води, солей та інших неорганічних сполук
в організмі. Гідрофільні сполуки. Гідрофобні сполуки.
Органічні сполуки в організмах. Будова, властивості і функції органічних сполук: ліпідів,
вуглеводів (моносахаридів, полісахаридів), амінокислот, білків, нуклеотидів, АТФ, нуклеїнових
кислот. Рівні структурної організації білків і нуклеїнових кислот. Мономер, полімер, біополіме-
ри, пептиди, поліпептиди, макроергічний зв’язок, комплементарність, реплікація, денатурація,
ренатурація, деструкція, емульгація; ген, регуляторний ген, структурний ген. Ферменти, їхня
будова, властивості та застосування у господарській діяльності людини. Біологічно активні
речовини (вітаміни, гормони, нейрогормони, фітогормони, алкалоїди), їхня біологічна роль.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Елементний склад клітини
У складі живих організмів знайдено близько 80 хімічних елементів
з понад 110 відкритих дотепер. У них не міститься жодного елемента,
якого не було б у неживій природі, проте їхні концентрації в тілах не-
живої природи і живих організмах істотно розрізняються (див. табл. 1).
Лише для 27 з цих елементів відомо, які функції вони виконують. Решта
елементів міститься в живих організмах у незначних кількостях і,
ймовірно, потрапляє до організму з їжею, водою і повітрям.
Таблиця 1
Вміст деяких хімічних елементів у неживій природі і живих організмах, %
Хімічний елемент Земна кора Морська вода Живі організми
0 49,2 85,8 65-75
С 0,4 0,0035 15-18
Н 1,0 10,67 8-10
N 0,04 0,37 1,5-3,0
Молекулярний рівень життя
429
Продовження таблиці
Хімічний елемент Земна кора Морська вода Живі організми
р 0,1 0,003 0,20-1,0
5 0,15 0,09 0,15-0,2
К 2,35 0,04 0,15-0,4
Са 3,25 0,05 0,04-2,0
СІ 0,2 0,06 0,05-0,1
Мд 2,35 0,14 0,02-0,03
№ 2,4 1,14 0,02-0,03
Ре 4,2 0,00015 0,01-0,015
2п < 0,01 0,00015 0,0003
Си < 0,01 < 0,00001 0,0002
1 < 0,01 0,000015 0,0001
Р 0,1 2,07 0,0001
Вміст хімічних елементів у організмі істотно розрізняється. Залеж-
но від концентрації, їх поділяють на макроелементи та мікроелементи.
Макроелементи. Концентрація кожного з макроелементів в організ-
мі перевищує 0,01 % , а їхній сумарний вміст — більше 99 % . До мак-
роелементів відносять Оксиген, Карбон, Гідроген, Нітроген, Фосфор,
Сульфур, Калій, Кальцій, Натрій, Хлор, Магній та Ферум. Перші чо-
тири з перерахованих елементів (Карбон, Оксиген, Гідроген і Нітроген)
називають ще органогенними, або органогенами, оскільки вони входять
до складу основних органічних сполук клітини, таких як білки, вугле-
води, ліпіди та нуклеїнові кислоти. Фосфор і Сульфур також є компо-
нентами деяких органічних сполук, зокрема нуклеїнових кислот і білків
відповідно. Фосфор необхідний і для формування кісток та зубів.
Без інших макроелементів неможливе нормальне функціонування
клітини та організму. Так, Калій, Натрій і Хлор беруть участь у проце-
сах збудження черепашок. Калій також є необхідним для роботи бага-
тьох ферментів і утримання води в клітині. Кальцій входить до складу
клітинних стінок рослин, кісток, зубів і черепашок молюсків і потрі-
бен для скорочення м’язових волокон, а також внутрішньоклітинного
руху та зсідання крові. Магній є компонентом хлорофілу — пігменту,
що забезпечує протікання фотосинтезу. Він бере участь і в біосинтезі
білка. Ферум входить до складу гемоглобіну, який переносить кисень
у крові, є необхідним для протікання процесів дихання і фотосинтезу.
Мікроелементи містяться в організмі у концентраціях менше
за 0,01 %, а їхня сумарна концентрація в клітині не досягає й 0,1 %.
До мікроелементів відносяться Цинк, Купрум, Манган, Кобальт, Йод,
Флуор, Плюмбум та ін. Цинк входить до складу молекули гормону
підшлункової залози — інсуліну. Купрум потрібний для протікання
процесів фотосинтезу і дихання, а також надає блакитного та зеленого
забарвлення дихальним пігментам крові безхребетних. Кобальт є компо-
нентом вітаміну В12, відсутність якого призводить до злоякісної анемії.
Йод входить до складу гормонів щитовидної залози, що забезпечують
нормальний перебіг обміну речовин, а Флуор пов’язаний із формуван-
ням емалі зубів.
430
Біологія
Неорганічні сполуки в організмах
Хімічні елементи клітини утворюють різні сполуки, які поділяють
на неорганічні та органічні. До неорганічних речовин клітини відно-
сяться вода, мінеральні солі, рідше кислоти й оксиди, а до органіч-
них — білки, нуклеїнові кислоти, вуглеводи, ліпіди, АТФ і біологічно
активні сполуки.
Вода (Н2О) — найпоширеніша неорганічна речовина клітини,
якій притаманні унікальні фізико-хімічні властивості. Вона не має
ані смаку, ані кольору, ані запаху. Густина і в’язкість усіх речовин
оцінюється за водою. Як і більшість інших речовин, вода може пе-
ребувати у трьох агрегатних станах: твердому (лід), рідкому (рідина)
і газоподібному (пара). Температура плавлення льоду — 0°С, тем-
пература кипіння — 100 °С, проте розчинення у воді інших речовин
може змінювати ці характеристики. Теплоємність води достатньо
висока — 4200 кДж/мольхК, що надає їй можливості брати участь
у процесах терморегуляції. У молекулі води атоми Гідрогену розта-
шовані під кутом 105°, при цьому спільні електронні пари відтя-
гуються більш електронегативним атомом Оксигену. Це обумовлює
дипольні властивості молекул води (один їхній кінець заряджений
позитивно, а інший — негативно) та можливість утворення між мо-
лекулами води водневих зв’язків. Зчеплення молекул води лежить
в основі явища поверхневого натягу, капілярності та властивостей
води як універсального розчинника. Внаслідок цього всі речовини
діляться на розчинні у воді, або гідрофільні, та нерозчинні в ній —
гідрофобні. Сукупність цих унікальних властивостей зумовила те,
що вода є основою життя на Землі.
Мінеральні солі у клітині перебувають у розчиненому або порозчи-
неному станах. Розчинні солі дисоціюють на іони — катіони й аніони.
Найважливішими катіонами є калій і натрій, які полегшують перене-
сення речовин через мембрану та беруть участь у виникненні й прове-
денні нервового імпульсу; кальцій, який бере участь у процесах скоро-
чення м’язових волокон і згортанні крові; магній, що входить до складу
хлорофілу, і ферум, який входить до складу ряду білків, у тому числі
гемоглобіну. Найважливішими аніонами є фосфат-аніони, що входять
до складу АТФ і нуклеїнових кислот, а також залишок карбонатної
кислоти (карбонат- або гідрокарбонат-аніон), що пом’якшує коливання
рН середовища. Іони мінеральних солей забезпечують і проникнення
самої води в клітину та її утримання в клітині.
Нерозчинні солі (СаСО3, Са3(РО4)2 та ін.) входять до складу кіс-
ток, зубів, черепашок і панцирів одноклітинних і багатоклітинних
тварин.
У деяких частинах організму здатні утворюватися навіть кислоти,
зокрема обкладкові залози шлунка продукують хлоридну кислоту, яка
активує травний фермент — пепсин. Деякі жуки навіть виробляють
сульфатну кислоту для захисту.
Не меншу роль у клітині відіграють оксиди. Так, силіцій оксид
просочує клітинні стінки хвощів і утворює черепашки в діатомових
водоростей, а нітроген оксид виконує сигнальні функції у клітинах
більшості організмів.
Молекулярний рівень життя
431
Органічні сполуки в організмах
Органічні речовини клітини можуть бути представлені як відносно
простими молекулами, так і складними. У тих випадках, коли складна
молекула (макромолекула) утворена значним числом більш простих
молекул, що повторюються, її називають полімером, а її структурні
одиниці — мономерами. Залежно від того, повторюються чи ні лан-
ки полімерів, їх відносять до регулярних або нерегулярних. Полімери
складають до 90 % маси сухої речовини клітини. Вони відносяться до
трьох основних класів органічних сполук — вуглеводів (полісахаридів),
білків і нуклеїнових кислот. Регулярними полімерами є полісахариди,
тоді як білки та нуклеїнові кислоти — це нерегулярні полімери. У біл-
ках і нуклеїнових кислотах послідовність мономерів є дуже важливою,
оскільки вони виконують інформаційну функцію.
Вуглеводи — це органічні сполуки, до складу яких входять здебіль-
шого три хімічні елементи — Карбон, Гідроген та Оксиген. Загальна
формула вуглеводів — С,П(Н2О)„. їх поділяють на прості та складні.
Прості вуглеводи, або моносахариди, містять єдину молекулу цукру,
яка не може бути розщеплена на більш прості цукри. Це кристалічні
речовини, солодкі на смак і добре розчинні у воді. Еталоном солодкості
є сахароза. Моносахариди беруть активну участь в обміні речовин у клі-
тині і входять до складу складних вуглеводів. Моносахариди класифіку-
ють за кількістю атомів Карбону (С3-С10), наприклад пентози (С5) та гексо-
зи (Св). До пентоз відносяться рибоза та дезоксирибоза. Рибоза (С5Н10О5)
входить до складу РНК та АТФ. Дезоксирибоза (С5Н10О4) є компонен-
том ДНК. Гексози (СвН12Ов) — це глюкоза, фруктоза, галактоза та ін.
До олігосахаридів відносяться вуглеводи, утворені декількома за-
лишками моносахаридів. Більшість олігосахаридів добре розчиняються
у воді та є солодкими на смак. Залежно від кількості залишків моно-
сахаридів, що входять до їх складу, розрізняють дисахариди (два за-
лишки), трисахариди (три залишки) і т. ін. До дисахаридів відносяться
сахароза, лактоза, мальтоза і трегалоза.
Полісахариди — це біополімери, мономерами яких є залишки моно-
або дисахаридів. Більшість полісахаридів нерозчинна у воді і несолодка
на смак. До них відносяться крохмаль, глікоген, целюлоза та хітин.
Ліпіди — це різнорідна в хімічному відношенні група низькомолеку-
лярних речовин із гідрофобними властивостями. Ліпіди не розчиняють-
ся у воді, а лише утворюють у ній емульсії при збовтуванні або обробці
іншими речовинами, такими як жовч у травній системі людини, проте
добре розчиняються в органічних розчинниках. Емульсіями назива-
ють суміші рідких речовин, в яких одна речовина розподілена в іншій
у вигляді крапель. Процес утворення емульсій називається емульгацією.
Жири є похідними трьохатомного спирту гліцерину та вищих жир-
них кислот. Більшість жирних кислот містить 14-22 атоми Карбону.
Серед них є як насичені, так і не насичені, тобто такі, що містять подвій-
ні зв’язки. З насичених жирних кислот найчастіше зустрічаються паль-
мітинова та стеаринова, а з ненасичених — олеїнова. Деякі ненасичені
жирні кислоти не синтезуються в організмі людини або синтезуються
в недостатній кількості, тому є незамінними. Жири здебільшого викону-
ють у клітинах запасаючу функцію і слугують основним джерелом енер-
гії. На них багата підшкірна жирова клітковина, яка виконує амортиза-
ційну та термоізоляційну функції, а у водних тварин — ще й підвищує
ЗАПАМ'ЯТАЙ V
Загальна формула вуглеводів:
Ст(Н2О)„.
432
Біологія
Н2М — сн — соон
І
в
Загальна формула
амінокислоти
плавучість. Жири рослин переважно містять ненасичені жирні кислоти,
унаслідок чого вони є рідкими й називаються оліями. Олії містяться
в насінні багатьох рослин, таких як соняшник, соя, рапс та ін.
Воски — це складні суміші жирних кислот і жирних спиртів.
У рослин вони утворюють плівку на поверхні листка, яка захищає від
випаровування, проникнення патогенів і т. ін. У деяких тварин вони
покривають тіло або слугують для побудови стільнику.
До стеринів відноситься такий ліпід як холестерол, або холесте-
рин, — обов’язковий компонент клітинних мембран, надлишок якого
в організмі призводить до атеросклерозу, а до стероїдів — статеві гор-
мони естрадіол і тестостерон.
Фосфоліпіди, крім залишків гліцерину та жирних кислот, містять
залишок фосфатної кислоти. Вони входять до складу клітинних мемб-
ран і забезпечують їхні бар’єрні властивості.
Гліколіпіди також є компонентами мембран, проте їхній вміст там
незначний (до 5 %). Неліпідною частиною гліколіпідів є вуглеводи.
Ліпіди виконують у клітині будівельну, енергетичну, запасаючу,
захисну та регуляторну функції, крім того, вони є розчинниками для
низки вітамінів. Ліпіди утворюють основу клітинних мембран. При
розщепленні 1 г ліпідів виділяється 38,9 кДж енергії. Вони відклада-
ються в запас у різних органах рослин і тварин. До того ж підшкірна
жирова клітковина захищає внутрішні органи від переохолодження або
перегріву, а також механічних впливів. Регуляторна функція ліпідів
зумовлена тим, що деякі з них є гормонами, а інші беруть участь у тер-
морегуляції, перешкоджаючи надмірному виділенню тепла або пере-
охолодженню.
Білки. Це високомолекулярні сполуки, біополімери, мономерами
яких є амінокислоти, сполучені одна з одною пептидними зв’язками.
Амінокислотою називають органічну сполуку, що має аміногрупу,
карбоксильну групу та радикал. Усього в природі зустрічається близько
200 амінокислот, які розрізняються радикалами та взаємним розташу-
ванням функціональних груп, але тільки 20 з них входять до складу
білків. Такі амінокислоти називають протеїногенними.
Пептиди. Послідовність із двох амінокислот, сполучених пептидни-
ми зв’язками, називається дипептидом, із трьох — трипептидом і т. д.
Серед пептидів зустрічаються такі важливі сполуки, як гормони (окси-
тоцин, вазопресин), антибіотики та ін. Ланцюжок з понад десяти амі-
нокислот називається поліпептидом, а поліпептиди, що містять більше
50 амінокислотних залишків, — це білки.
Ферменти, їх будова, властивості та застосування у господарській
діяльності людини. Протікання хімічних реакцій у живих організмах
забезпечується завдяки біологічним каталізаторам білкової природи —
ферментам (від лат. ^егтепіит — бродіння, закваска), або ензимам.
Як і інші каталізатори, ферменти прискорюють протікання хімічних
реакцій у клітині в десятки та сотні тисяч разів, а іноді й узагалі
роблять їх можливими, але не змінюють при цьому ані природи, ані
властивостей кінцевого продукту (продуктів) реакції і не змінюються
самі. Ферменти можуть бути як простими, так і складними білками, до
складу яких, окрім білкової частини, входить і небілкова, — кофактор
(кофермент). Прикладами ферментів є амілаза слини, що розщеплює
полісахариди при тривалому пережовуванні, і пепсин, що забезпечує
травлення білків у шлунку.
Молекулярний рівень життя
433
Механізм дії ферментів полягає у зниженні енергії активації речо-
вин (субстратів), які вступають до реакції за рахунок утворення про-
міжних фермент-субстратних комплексів.
Нуклеїнові кислоти — це біополімери, мономерами яких є нуклео-
тиди. У наш час відомі дві нуклеїнові кислоти: рибонуклеїнова (РНК)
та дезоксирибонуклеїнова (ДНК).
До складу нуклеотиду входять азотиста (нітрогенвмісна) основа
та залишки цукру-пентози й фосфатні кислоти. Сполука, утворе-
на азотистою основою та пентозою, називається нуклеозидом, а вже
додавання до неї залишку фосфатної кислоти перетворює її на нук-
леотид.
Особливості нуклеотидів здебільшого визначаються азотистими ос-
новами, що входять до їхнього складу, тому умовно нуклеотиди позна-
чаються за першими літерами їхніх назв. До складу нуклеотидів вхо-
дять п’ять азотистих основ: аденін (А), гуанін (Г), тимін (Т), урацил (У)
і цитозин (Ц).
Пентози нуклеотидів — рибоза та дезоксирибоза — визначають,
який нуклеотид буде утворений — рибонуклеотид чи дезоксирибонук-
леотид. Рибонуклеотиди є мономерами РНК, можуть виступати як сиг-
нальні молекули (цАМФ) та входити до складу макроергічних сполук,
наприклад АТФ, і коферментів, зокрема НАДФ, НАД, ФАД та ін., тоді
як дезоксирибонуклеотиди входять до складу ДНК.
ДНК (дезоксирибонуклеїнова кислота) — це дволанцюговий біо-
полімер, мономерами якого є дезоксирибонуклеотиди. До складу де-
зоксирибонуклеотидів входять тільки чотири азотисті основи з п’яти
можливих — аденін (А), тимін (Т), гуанін (Г) та цитозин (Ц), а також
залишки дезоксирибози та фосфатної кислоти. Нуклеотиди в ланцюзі
ДНК сполучаються між собою через залишки фосфатної кислоти, ут-
ворюючи фосфодиефірний зв’язок. У дволанцюгових молекулах ДНК
азотисті основи знаходяться всередині молекули, проте з’єднання лан-
цюгів ДНК відбувається не у випадковому порядку, оскільки азотисті
основи протилежних ланцюгів утворюють між собою водневі зв’язки
за принципом комплементарності: аденін сполучається з тиміном дво-
ма водневими зв’язками (А=Т), а гуанін з цитозином — трьома (Г=Ц).
Ця особливість ДНК була відкрита за результатами її хімічного аналізу,
що надало Е. Чаргаффу змоги сформулювати правила Чаргаффа:
1) кількість нуклеотидів ДНК, що містять аденін, дорівнює кіль-
кості нуклеотидів, що містять тимін (А=Т);
2) кількість нуклеотидів ДНК, що містять гуанін, дорівнює кіль-
кості нуклеотидів, що містять цитозин (Г=Ц);
3) сума дезоксирибонуклеотидів, що містять аденін та гуанін, дорів-
нює сумі дезоксирибонуклеотидів, що містять тимін і цитозин
(А + Г = Т + Ц);
4) співвідношення суми дезоксирибонуклеотидів, які містять аденін
і тимін, і суми дезоксирибонуклеотидів, що містять гуанін та
цитозин, залежить від виду організмів.
Просторова структура ДНК була розшифрована Ф. Криком і Дж. Уот-
соном (Нобелівська премія з фізіології та медицини 1962 р.). Згідно
з їхньою моделлю, молекула ДНК є правозакрученою подвійною спірал-
лю, повний виток якої містить 10 нуклеотидних пар і має довжину 3,4 нм.
Найважливішою властивістю ДНК є здатність до реплікації (редуп-
лікації), або самоподвоєння, яка буде розглянута пізніше.
Комплементарність
нуклеотидів ДНК
434
Біологія
Тривимірна модель
будови ДНК
Антикодон
Будова тРНК
Основною функцією ДНК є зберігання і передача спадкової інфор-
мації, записаної у вигляді послідовностей нуклеотидів.
Стабільність молекули ДНК підтримується за рахунок могутніх сис-
тем репарації, або самовідновлення, але навіть вони нездатні повністю
усунути несприятливі впливи, що зрештою призводить до виникнення
мутацій. ДНК еукаріотичних клітин зосереджена в ядрі, мітохондріях
і пластидах, а в прокаріотичних клітинах міститься прямо у цито-
плазмі. Ядерна ДНК є основою хромосом, вона представлена незамкне-
ними молекулами. ДНК мітохондрій, пластид і прокаріот має кільцеву
форму. Віруси так само можуть містити ДНК.
РНК (рибонуклеїнова кислота) — біополімер, мономерами якого
є рибонуклеотиди. Вони містять також одну з чотирьох азотистих ос-
нов — аденін (А), урацил (У), гуанін (Г) або цитозин (Ц), відрізня-
ючись тим самим від ДНК за однією з основ (замість тиміну в РНК
зустрічається урацил). Цукор-пентоза в рибонуклеотидах представле-
ний рибозою. РНК в основному — одноланцюгові молекули, виняток
становлять тільки РНК деяких вірусів. Виділяють три основні типи
РНК: інформаційні, або матричні (іРНК, жРНК), рибосомні (рРНК)
і транспортні (тРНК). Всі вони утворюються у процесі транскрипції —
переписування з молекул ДНК.
іРНК складають найменшу фракцію РНК у клітині (2-4 %), що
компенсується їхньою різноманітністю, оскільки в одній клітині може
міститися декілька тисяч різних іРНК. Це одноланцюгові молекули,
які є матрицями для синтезу поліпептидних ланцюгів. Інформація про
структуру білка записана в них у вигляді послідовностей нуклеотидів,
при цьому кожну амінокислоту кодує триплет нуклеотидів — кодон.
рРНК є найчисленнішим типом РНК у клітині (до 80 %). їхня мо-
лекулярна маса становить 3000-5000. Вони утворюються в ядерцях
і входять до складу клітинних органел — рибосом, утворюючи їхню
основу. рРНК, ймовірно, відіграють певну роль у процесі синтезу білка.
тРНК є найменшими з молекул РНК, оскільки містять усього 73-
85 нуклеотидів. їхня частка від загальної кількості РНК клітини скла-
дає близько 16 %. Функцією тРНК є транспорт амінокислот до місця
синтезу білка (на рибосоми). За формою молекули тпРНК нагадують
листок конюшини. На одному з кінців молекули розташована ділянка
для прикріплення амінокислоти, а в одній з петель — анпіикодон —
комплементарний кодону тРНК триплет нуклеотидів, що визначає, яку
саме амінокислоту переноситиме тпРНК.
Усі типи РНК беруть активну участь у процесі реалізації спадкової
інформації, яка з ДНК переписується на іРНК, а на останній здійс-
нюється вже синтез білка. тРНК у процесі синтезу білка приносить
амінокислоти до рибосом, а рРНК входить до складу власне рибосом.
АТФ (аденозинтрифосфатна кислота) — це нуклеотид, що, крім азо-
тистої основи аденіну та залишку рибози, містить три залишки фосфатної
кислоти. Зв’язки між залишками фосфатної кислоти є макроергічними,
тобто високоенергетичними, оскільки при їхньому розщепленні виді-
ляється понад 40 кДж/моль енергії, тоді як стандартний хімічний зв’язок
при розщепленні дає приблизно 12 кДж/моль. У випадку потреби в енер-
гії макроергічний зв’язок АТФ розщеплюється, утворюються аденозин-
дифосфатна кислота (АДФ), фосфорний залишок і виділяється енергія:
АТФ + Н2О -> АДФ + Н3РО4 + 40 кДж.
Молекулярний рівень життя
435
АДФ також може розщеплюватися з утворенням АМФ (аденозин-
монофосфатної кислоти) і залишку фосфатної кислоти:
АДФ + Н2О -> АМФ + Н3РО4 + 40 кДж.
У процесі енергетичного обміну (під час дихання, бродіння), а та-
кож у процесі фотосинтезу АДФ приєднує фосфатний залишок і пере-
творюється на АТФ. Реакція відновлення АТФ називається фосфори-
луванням. АТФ є універсальним джерелом енергії для всіх процесів
життєдіяльності живих організмів.
Біологічно активні речовини. Біологічно активними речовинами
називають сполуки, які мають суттєвий вплив на перебіг процесів жит-
тєдіяльності організму. До них відносяться вітаміни, гормони, нейро-
гормони, фітогормони, алкалоїди тощо.
Вітаміни (від лат. иііа — життя) — це харчові незамінні чинники,
що беруть участь у процесах обміну речовин як регулятори процесів
життєдіяльності. їхній вплив на ці процеси зумовлений тим, що вони
входять до складу багатьох ферментів та деяких найважливіших ре-
човин. Вітаміни наявні в їжі у невеликих кількостях, і будь-які пору-
шення, пов’язані з їхньою відсутністю чи надмірною кількістю в їжі,
надходженням, обміном і виведенням тощо, призводять до розвитку
таких станів, як авітаміноз (повна відсутність), гіповітаміноз (недостат-
ня кількість) або гіпервітаміноз (надлишок). Усі ці стани є однаково
небезпечними для людини, оскільки пов’язані з порушенням певних
процесів життєдіяльності. Детальніше вітаміни будуть розглянуті далі.
Гормонами (від грецьк. Ігогтао — приводжу до руху, спонукаю) нази-
ваються біологічно активні речовини, які утворюються у спеціалізованих
залозах і спричиняють свою дію в тканинах-мішенях у мікроскопічних
кількостях. Гормони впливають не на весь організм у цілому, а лише на
конкретні клітини, тканини та органи. Ця їхня властивість називається
специфічністю. Нестача або надлишок гормонів однаково негативно вплива-
ють на життєдіяльність організму, призводячи до появи патологічних змін.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Укажіть хімічний елемент, який є необхідним для відновлення емалі зубів:
А) Калій; Б) Магній; В) Флуор; Г) Йод.
2. Позначте, скільки води міститься у клітинах новонародженої дитини:
А) 97,5%; Б) 83%; В) 74 % ; Г) 66 % .
3. Укажіть, до якого класу сполук належать мальтоза та трегалоза:
А) полісахариди; Б) олігосахариди; В) моносахариди; Г) полінуклеотиди.
4. Визначте компоненти фосфоліпідів:
А) гліцерин та жирні кислоти; В) глюкоза та жирні кислоти;
Б) гліцерин, жирні кислоти та ортофосфатна кислота; Г) гліцерин та амінокислота.
5. Укажіть, яка із сполук є найбільш мобільним енергетичним резервом:
А) білки; Б) вуглеводи; В) нуклеїнові кислоти; Г) ліпіди.
6. У результаті додавання кислоти до пробірки білок випав у осад. З яким процесом пов’язані
ці зміни?
А) денатурація; Б) консервація; В) ренатурація; Г) репарація.
7. Визначте кількість аденілових нуклеотидів у молекулі ДНК, якщо цитозинові нуклеотиди
становлять 28 % від загальної кількості нуклеотидів.
А) 44%; Б) 22%; В) 11%; Г) 28 %.
436
Біологія
8. Позначте, яка нуклеїнова кислота утворюється в ядерці:
А) ДНК; Б) іРНК; В) тпРНК; Г) рРНК.
9. Установіть відповідність між класами органічних сполук та їхніми функціями:
1. Білки
2. Ліпіди
3. ДНК
4. Вуглеводи
А) зберігання та передача спадкової інформації;
Б) каталітична;
В) утворення клітинної стінки;
Г) просочування клітинних стінок;
Д) утворення основи клітинних мембран.
10. Установіть послідовність утворення хімічних зв’язків у процесі формування четвертинної
структури молекули білка:
А) водневі; Б) пептидні; В) дисульфідні; Г) електростатичні.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. В. 2. В. 3. Б. 4. Б. 5. Б. 6. А. 7. Б. 8. Г. 9. 1Б; 2Д; ЗА; 4В. 10. Б, А, В, Г.
КЛІТИННИЙ РІВЕНЬ ОРГАНІЗАЦІЇ ЖИТТЯ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Організація клітин. Основні положення сучасної клітинної теорії. Мембрани, їхня структу-
ра, властивості та основні функції. Плазматична мембрана. Транспорт речовин через мембрани.
Надмембранні комплекси (клітинна стінка, глікокалікс). Підмембранні комплекси (мікронитки,
мікротрубочки). Цитоскелет, його функції.
Цитоплазма та її компоненти. Органели. Одномембранні та двомембранні органели. Клітинні
включення. Рибосоми, полірибосоми, клітиний центр, органели руху, ендоплазматична сітка,
апарат Гольджі, лізосоми, вакуолі, мітохондрії, пластиди та їхні типи (особливості їхньої будови
і функцій). Взаємні перетворення пластид. Автономія мітохондрій та хлоропластів у клітині.
Будова та функції ядра. Хромосоми, особливості будови та хімічного складу. Гомологічні
хромосоми. Аутосоми та статеві хромосоми (гетерохромосоми). Каріотип. Хромосомний набір
ядра (гаплоїдний, диплоїдний, поліплоїдний). Типи організації клітин (прокаріотичний та
еукаріотичний).
Особливості організації клітин прокаріотів. Нуклеоїд прокаріотів. Плазміди. Особливості
організації клітин еукаріотів.
Клітинний цикл. Клітинний цикл. Інтерфаза. Мітоз та його фази. Мейоз та його фази.
Кон’югація гомологічних хромосом. Кросинговер.
Обмін речовин та перетворення енергії. Обмін речовин (метаболізм). Пластичний (асимі-
ляція) та енергетичний (дисиміляція) обмін. Джерела енергії для організмів. Автотрофні (фо-
тотрофні, хемотрофні) і гетеротрофні організми. Етапи перетворення енергії в організмі: під-
готовчий, анаеробний (безкисневий) та аеробний (кисневий). Аеробне та анаеробне дихання.
Біосинтез білків та його етапи. Генетичний код і його властивості. Кодон, антикодон, стоп-
кодони, екзони, інтрони. Транскрипція. Трансляція. Біосинтез нуклеїнових кислот. Реакції
матричного синтезу. Фотосинтез. Основні процеси, що відбуваються у світловій та темповій
фазах фотосинтезу. Сумарне рівняння процесу фотосинтезу. Значення фотосинтезу. Виведення
продуктів обміну речовин.
Клітинний рівень організаціїжиття
437
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Організація клітин
Загальний план будови клітини
Організм людини утворений приблизно з 100 000 000 000 000 клі-
тин, представлених близько 200 їхніми видами. Клітини мають сфе-
ричну (яйцеклітина), циліндричну, кубічну, призматичну (епітеліальні
клітини), дископодібну (еритроцити), веретеноподібну (м’язові кліти-
ни), зірчасту (нейрони) або непостійну форму (лейкоцити крові).
Розміри клітин також істотно варіюють: більшість клітин багатоклі-
тинного організму має розміри від 10 до 100 мкм, а найдрібніші —
2-4 мкм. Нижня межа обумовлена тим, що клітина мусить мати міні-
мальний набір речовин і структур для забезпечення життєдіяльності,
проте дуже великі розміри клітини перешкоджатимуть обміну речовин
та енергії з навколишнім середовищем, а також ускладнюватимуть про-
цеси підтримки гомеостазу. Проте деякі клітини можна побачити неоз-
броєним оком. Перш за все, до них належать клітини плодів кавуна та
яблуні, а також яйцеклітини риб і птахів. Навіть якщо один з лінійних
розмірів клітини перевищує середні показники, всі інші відповідають
нормі. Наприклад, відросток нейрона може перевищувати у довжину
1 м, але його діаметр все одно буде відповідати середньому значенню.
Між розмірами клітин і розмірами тіла не існує прямої залежності. Так,
клітини м’язів слона та миші мають однакові розміри.
Незважаючи на всю різноманітність форм і розмірів клітин, усі вони
мають єдиний загальний план будови: вони відокремлені від навколиш-
нього середовища поверхневим комплексом, який обмежує цитоплаз-
му та занурений у неї спадковий апарат. Поверхневий комплекс скла-
дається з плазматичної мембрани, надмембранного та підмембранного
комплексів.
За особливостями організації спадкового матеріалу розрізняють два
основні типи клітин: прокаріотичні та еукаріотичні.
Еукаріопіичними називають клітини, в яких хоча б на одній зі стадій
розвитку наявне ядро — спеціальна структура, в якій знаходиться ДНК.
До еукаріотичних організмів належать рослини, тварини і гриби.
Прокаріотична клітина не має ядра, її спадкова інформація знахо-
диться прямо в цитоплазмі у зв’язаному з білками стані. Цей комплекс
ДНК і білків називається нуклеоїдом. Цитоплазма прокаріотичних клі-
тин містить також невелику кількість органел, тоді як еукаріотичним
клітинам властива значна різноманітність цих структур. Прокаріотами
є бактерії та архебактерії.
Загальний план будови
клітини
1 — поверхневий апарат;
2 — цитоплазма;
З — спадковий апарат
Мембрани, їхня структура, властивості та основні функції
Мембрани, які обмежують клітини та їхні структурні компоненти —
органели, мають подібні хімічний склад і будову. До їхнього складу
входять ліпіди (близько 45%) та білки (близько 50%). Товщина мем-
бран складає 7-10 нм.
Ліпіди мембрани представлені здебільшого фосфоліпідами та хо-
лестерином. Згідно із загальноприйнятої в наш час рідинно-мозаїчною
438
Біологія
4
Будова плазматичної
мембрани
1 — ліпідний бішар;
2 — інтегральні білки;
З — периферичний білок;
4 — залишки вуглеводів
моделлю мембрани, ліпіди утворюють подвійний шар, або ліпідний бі-
шар, в якому гідрофільні головки молекул ліпідів обернуті назовні,
а гідрофільні хвости заховані усередину мембрани. Ліпіди через свою
гідрофобність забезпечують відокремлення водних фаз внутрішнього
середовища клітини та її оточення, тому мембрана є перешкодою для
великих водорозчинних молекул. До того ж ліпідна фаза мембран про-
являє властивості рідини, якій притаманний значний поверхневий на-
тяг. Унаслідок цього ліпідний бішар утворює замкнені порожнини, які
не спадаються. На цій властивості мембран ґрунтується використання
таких носіїв лікарських препаратів і косметичних засобів, як ліпосоми.
Найбільша рухливість притаманна фосфоліпідам мембран, що постійно
й невпорядковано переміщуються у власному шарі або переходять до
іншого шару, при цьому в мембрані утворюються розриви — пори, які
хоч і існують протягом мілісекунд, але через них встигає пройти певна
кількість іонів і неполярних молекул. Рухливість ліпідної фази зростає
з підвищенням температури, тоді як холестерин виступає своєрідним
стабілізатором руху.
З ліпідами різними типами взаємодій зв’язані білки. Більшість біл-
ків мембран є складними білками. Частина білків розташована на повер-
хні мембрани. Такі білки називають периферичними, або поверхневими.
Інші білки частково або повністю занурені у мембрану — це інтеграль-
ні, або трансмембранні, білки. Білки мембран виконують структурну,
транспортну, каталітичну, рецепторну та інші функції.
Будь-яка клітина містить плазматичну мембрану, або плазмолему,
яка утворює основу поверхневого комплексу, а в еукаріотичних клі-
тинах існує до того ж і ціла система внутрішніх мембран, які розме-
жовують різні частини клітини, утворюючи своєрідні відсіки — ком-
партменти, що сприяє розділенню різних процесів обміну речовин
та енергії. Мембрани різних частин клітини розрізняються за складом
і виконуваними функціями, але загальний план будови для них збері-
гається.
Плазматична мембрана
Основу поверхневого комплексу клітини утворює плазматична
мембрана, або плазмолема, крізь яку відбувається обмін речовинами,
енергією та інформацією з оточуючим середовищем, що характери-
зує клітину як відкриту систему. Виконання цих та інших функцій
накладає на хімічний склад і структуру мембрани певний відбиток.
Так, до її складу входять і вуглеводи, проте вони не є незалежними
компонентами мембрани, а пов’язані з білками та ліпідами, утворю-
ючи глікопротеїни та гліколіпіди. Головною особливістю цих молекул
є те, що вони розташовані на зовнішньому боці мембрани, тому вугле-
водні ланцюжки спрямовані у міжклітинний простір. Ця особливість
зумовлена насамперед виконанням цими молекулами таких важливих
функцій, як рецепторна, міжклітинне впізнавання та утворення між-
клітинних сполук. Наприклад, глікопротеїни плазмолеми є настільки
специфічними, що лише завдяки їм відбувається взаємодія спермато-
зоїда з яйцеклітиною.
Крім того, плазмолема виконує також бар’єрну, транспортну,
каталітичну, енерготрансформуючу та інші функції.
Клітинний рівень організаціїжиття
439
Надмембранні комплекси
До складу поверхневого комплексу, окрім плазматичної мембрани,
входять також надмембранні комплекси, які розташовані зовні, та під-
мембранні комплекси, розташовані у периферичній частині цитоплазми.
Надмембранний комплекс тваринних клітин являє собою тонкий
поверхневий шар, утворений сплетінням вуглеводних ланцюжків глі-
копротеїнів і гліколіпідів, його називають глікокаліксом. Він виявле-
ний майже у всіх тваринних клітинах, але ступінь його вираженості
в різних випадках є неоднаковим (10-50 мкм). Глікокалікс забезпечує
безпосередній зв’язок клітини з оточуючим середовищем, у ньому від-
бувається позаклітинне травлення й розміщені рецептори.
Клітини усіх інших організмів — рослин, грибів і бактерій, на відмі-
ну від тварин, мають тверду еластичну клітинну оболонку, або клітинну
стінку, що є продуктом життєдіяльності клітини.
Основу оболонки рослинної клітини утворюють вуглеводи (целю-
лоза, геміцелюлоза, пектини), проте наявні в ній також білки й вода.
Целюлоза, або клітковина, є обов’язковим компонентом оболонок усіх
рослинних клітин. Вона утворює каркас клітинної оболонки зі своєрід-
них пачок молекул целюлози — мікрофібрил.
Оболонка рослинної клітини пронизана каналами — плазмодесмами,
через які проходять мембрани ендоплазматичної сітки. Таким чином
здійснюється транспорт речовин між клітинами. Проте транспорт речо-
вин, наприклад води, може відбуватися і по самих клітинних стінках.
Як і в рослин, у грибів надмембранний комплекс представлений
клітинною стінкою, проте її каркас у більшості випадків утворений
хітином — вуглеводом, що містить Нітроген, а не целюлозою, але про-
міжки між його структурними елементами заповнюються пектиновими
речовинами.
У бактерій до складу клітинної стінки входить вуглевод із фраг-
ментами пептидів, або пептидоглікан, муреїн, однак його вміст сут-
тєво відрізняється в різних груп бактерій. З муреїновим каркасом
зв’язуються фосфоліпіди, глікопротеїни та інші речовини. Зовні від
клітинної стінки можуть виділятися також інші полісахариди, які ут-
ворюють слизову капсулу, що захищає бактерії від зовнішніх впливів.
Оболонка визначає форму клітини, слугує механічною опорою як
власне клітині, так і органам рослин, виконує захисну функцію, забез-
печує осмотичні властивості клітини, обмежуючи розтягання живого
вмісту й запобігаючи розриву клітини, що збільшується внаслідок пог-
линання води. Крім того, клітинну стінку долають вода та розчинені
в ній речовини, перш ніж потрапити до цитоплазми або при виході з неї,
при цьому клітинними стінками транспорт води відбувається швидше,
ніж цитоплазмою.
Підмембранні комплекси
Фізико-хімічні властивості плазматичної мембрани, які наближають
її швидше до рідини, ніж до твердого тіла, зумовлюють необхідність
формування своєрідного внутрішнього каркаса, що перешкоджатиме
спаданню мембрани. Роль такого внутрішнього каркаса виконують під-
мембранні комплекси, зібрані з елементів цитоскелета й розташовані
у периферичній частині цитоплазми. Вони з’єднуються з інтегральними
440
Біологія
або периферичними білками мембрани і підтримують форму та об’єм
клітини, зв’язують плазматичну мембрану з іншими структурними
компонентами клітини, беруть участь у процесах транспорту великих
часточок і т. ін. У деяких одноклітинних, зокрема евглен та інфузорій,
підмембранний комплекс разом із ущільненим поверхневим шаром ци-
топлазми утворюють еластичну оболонку — пелікулу, яка дозволяє їм
як підтримувати певну форму тіла, так і зберігати гнучкість.
Цитоплазма та її компоненти
Цитоплазма (від грецьк. куіоз — вмістище, клітина та ріазта —
виліплене, оформлене) — це внутрішній вміст клітини. У неї занурені
всі органели клітини, спадкова інформація та клітинні включення.
Цитоплазма зв’язує всі частини клітини між собою, в ній відбувають-
ся численні реакції обміну речовин. Цитоплазма відокремлюється від
оточуючого середовища й поділяється на відсіки-компартменти мем-
бранами, тобто клітинам властива мембранна будова. Цитоплазма
може перебувати у двох станах — золю і гелю. Золь — це напіврідкий,
киселеподібний стан цитоплазми, за якого процеси життєдіяльності
протікають найбільш інтенсивно, а гель — більш щільний, драглистий
стан, що ускладнює протікання хімічних реакцій і транспорт речовин.
Основна частина (матрикс) цитоплазми без органел і включень на-
зивається гіалоплазмою (від грецьк. Ігуаіоз — скло), або цитозолем.
Клітинні включення
Включення — це непостійні компоненти клітини, які утворюються
та зникають у процесі її життєдіяльності. До них належать як запасні
речовини, наприклад зерна крохмалю або білка у рослинних клітинах,
гранули глікогену в клітинах тварин і грибів, волютин у бактерій, крап-
лі жиру в усіх типах клітин, так і відходи життєдіяльності, зокрема
неперетравлені в результаті фагоцитозу залишки їжі, що утворюють
так звані залишкові тільця.
Органели
Рибосоми
1 — велика субодиниця;
2 — мала субодиниця
Органелами називають постійні компоненти клітини, які викону-
ють певні функції. За особливостями будови їх поділяють на мембранні
та немембранні (рибосоми, мікротрубочки, мікронитки та клітинний
центр). Мембранні органели, у свою чергу, належать до одномембранних
(ендоплазматична сітка, комплекс Гольджі та лізосоми) або двомемб-
ранних (мітохондрії, пластиди та ядро). Прокаріотам з перерахованих
органел властиві тільки рибосоми.
Немембранні органели
Рибосоми — це невеликі немембранні органели діаметром 15-20 мкм,
що складаються з двох субодиниць — великої та малої. Субодиниці
рибосом в еукаріотів збираються в ядерці, а потім транспортуються
до цитоплазми. Рибосоми прокаріотів, мітохондрій і пластид менші за
розмірами, ніж рибосоми еукаріотів. До складу субодиниць рибосом
входять рРНК та білки.
Клітинний рівень організаціїжиття
441
Кількість рибосом у клітині може сягати десятків мільйонів. Вони
перебувають у цитоплазмі у вільному стані, на шорсткій ендоплазма-
тичній сітці, в мітохондріях і пластидах. Вони беруть участь у синтезі
білка, зокрема здійснюють трансляцію — біосинтез поліпептидного
ланцюга на молекулі ІРНК.
На вільних рибосомах синтезуються білки гіалоплазми, мітохон-
дрій, пластид і власне рибосом, тоді як на прикріплених до шорсткої
ендоплазматичної сітки — для виведення з клітини, збирання мембран
та утворення лізосом.
Рибосоми можуть знаходитися у гіалоплазмі поодинці або утворю-
вати групи у зв’язку з тим, що на одній ІРНК може відбуватися біосин-
тез декількох поліпептидних ланцюгів одночасно. Такі групи рибосом
називаються полірибосомами, або полісомами.
Цитоскелет (від грецьк. куіоз — вмістище, клітина та зкеїеіоз —
той, що висох) — це складна мережа волокон, які забезпечують ме-
ханічну опору для плазматичної мембрани, визначають форму клітини,
розташування клітинних органел та їхнє переміщення під час поділу
клітини. Його утворюють три типи волокон: мікротрубочки, мікрофіла-
менти та проміжні філаменти.
Мікротрубочки — це циліндричні порожнисті органели, які прони-
зують усю цитоплазму клітини. їхній діаметр становить близько 25 нм,
а товщина стінки — 6-8 нм. Вони утворені численними молекулами
білка тубуліну, які спочатку формують 13 ниток, що нагадують намис-
та, а потім складаються у мікротрубочку. Мікротрубочки утворюють
цитоплазматичну мережу, яка надає клітині форми та об’єму, зв’язують
плазматичну мембрану з іншими компонентами клітини, спрямовують
транспорт речовин по клітині, беруть участь у русі клітини та у роз-
поділі генетичного матеріалу. Вони входять до складу клітинного цен-
тру та органел руху — джгутиків і війок.
Мікронитки, або мікрофіламенти, — також немембранні органе-
ли, проте вони мають ниткоподібну форму й утворені не тубуліном,
а актином. Вони беруть участь у процесах мембранного транспорту,
міжклітинному впізнаванні, поділі цитоплазми клітини, русі клітин.
У м’язових клітинах взаємодія актинових мікрониток з міозиновими
волокнами забезпечує скорочення.
Клітинний центр — немембранна органела, розташована у тва-
ринних клітинах поблизу ядра, у рослинних клітинах вона відсутня.
Довжина клітинного центру складає близько 0,2-0,3 мкм, а діаметр —
0,1-0,15 мкм. Клітинний центр утворений двома центріолями, які
лежать у взаємно перпендикулярних площинах, і променистою сфе-
рою з мікротрубочок. Кожна центріоль утворена дев’ятьма групами
мікротрубочок, зібраних по три, — триплетами. Клітинний центр бере
участь у процесах збирання мікротрубочок, розподілі спадкового ма-
теріалу клітини, а також утворенні війок і джгутиків.
Джгутики та війки є виростами клітини, що вкриті плазмолемою.
Основу цих органел руху складають дев’ять пар мікротрубочок, які роз-
ташовані по периферії, та дві вільні мікротрубочки в центрі. Мікротру-
бочки пов’язані між собою різноманітними білками, які забезпечують
узгоджене відхилення мікротрубочок від осі — коливання. Ці коли-
вання є енергозалежними, тобто на цей процес витрачається енергія
макроергічних зв’язків АТФ. Розщеплення АТФ є функцією базальних
тілець, які лежать в основі джгутиків та війок (кінетос).
Клітинний центр
1 — центріолі;
2 — мікротрубочки
442
Біологія
Одномембранні органели
Шорстка
ендоплазматична сітка
1 — мембрана;
2 — рибосоми
Комплекс Гольджі
1 — цистерна;
2 — булька;
З — диктіосома
Ендоплазматична сітка (ЕПС), або ендоплазматичний ретикулум
(ЕР), — це одномембранна органела, що є системою мембранних по-
рожнин і трубочок, які займають до ЗО % об’єму цитоплазми. Діаметр
трубочок ЕПС складає близько 2-30 нм. Розрізняють два типи ЕПС —
шорстку і гладеньку. Шорстка ЕПС несе рибосоми, на ній відбувається
синтез білків. Гладенька ЕПС позбавлена рибосом. Її функція — синтез
ліпідів та вуглеводів, а також знешкодження токсичних речовин. Вона
особливо розвинена в тих клітинах, де відбуваються інтенсивні процеси
обміну речовин, наприклад клітинах печінки — гепатоцитах — і волок-
нах скелетних м’язів. Речовини, синтезовані в ЕПС, транспортуються
в апарат Гольджі. В ЕПС відбувається також збирання мембран клітини,
проте їхнє формування завершується в апараті Гольджі.
Апарат Гольджі, або комплекс Гольджі, — це одномембранна ор-
ганела, яка являє собою систему плоских цистерн, канальців і бульок,
що відокремлюються від них. Структурною одиницею апарата Гольджі
є диктіосома — стопка цистерн, на один бік якої надходять речовини
з ЕПС, а на протилежному боці після перетворень вони упаковуються
у бульки та прямують до інших частин клітини. Діаметр цистерн сягає
2 мкм, а дрібних бульок — близько 20-30 нм. Основними функціями
комплексу Гольджі є синтез окремих речовин і модифікація (зміни)
білків, ліпідів та вуглеводів, що надходять з ЕПС, кінцеве формування
мембран, а також транспорт речовин по клітині, оновлення її структур
та утворення лізосом. Свою назву апарат Гольджі одержав на честь пер-
шовідкривача — італійського вченого К. Гольджі (1898).
Лізосоми (від грецьк. Іузіз — розкладання, розпад, розчинення та
зота — тіло) — невеликі одномембранні органели до 1 мкм у діаметрі,
в яких містяться гідролітичні ферменти, що беруть участь у внутріш-
ньоклітинному травленні. Мембрани лізосом мало проникні для цих
ферментів, тому виконання лізосомами своїх функцій є дуже точним
і адресним. Лізосоми, які щойно відокремилися від апарата Гольджі
й не містять нічого, окрім власних ферментів, називаються первинними.
У процесі фагоцитозу вони зливаються з фагоцитозними бульками, або
фагосомами, й утворюють фаголізосоми, або вторинні лізосоми. Непе-
ретравлені залишки утворюють у клітині так звані залишкові тільця,
які або виводяться з клітини, або залишаються в ній. У випадку голо-
дування або пошкодження певних частин клітини лізосоми перетрав-
люють їх, утворюючи аутофагуючі лізосоми, проте цей тип лізосом
належить до групи вторинних. Сам процес травлення частин клітини
називається аутофагією (від грецьк. аиіоз — сам та рЬ.а§оз — пожирач).
Нещодавно була досліджена роль лізосом у процесах самознищення
клітини — апоптозу.
Вакуоля (від франц. иасиоіе або лат. иасииз — порожній) — це по-
рожнина у цитоплазмі тваринних і рослинних клітин, яка обмежена
мембраною та заповнена рідиною. У клітинах найпростіших містяться
травні та скоротливі вакуолі. Перші беруть участь у процесі фагоцито-
зу, оскільки в них відбувається розщеплення поживних речовин. Другі
забезпечують підтримання водно-сольового балансу за рахунок осморе-
гуляції. У багатоклітинних тварин зустрічаються здебільшого травні
вакуолі. Іноді аутофагуючі лізосоми також називають аутофагуючими
вакуолями.
Клітинний рівень організаціїжиття
443
У рослинних клітинах вакуолі є постійними компонентами кліти-
ни, вони оточені спеціальною мембраною — тонопластом — і запов-
нені клітинним соком. Тонопласт за хімічним складом, структурою
та функціями подібний до плазматичної мембрани. Клітинний сік —
це водний розчин різних неорганічних і органічних речовин, у тому
числі мінеральних солей, органічних кислот, вуглеводів, білків, гліко-
зидів, алкалоїдів тощо. Вакуоля може займати до 90 % об’єму клітини
та відтісняти на периферію ядро. Ця частина клітини виконує запасаю-
чу, видільну, осмотичну, захисну, лізосомну та інші функції, оскільки
в ній відкладаються поживні речовини та відходи життєдіяльності, вона
забезпечує надходження води та підтримку форми й об’єму клітини,
а також містить ферменти розщеплення багатьох компонентів клітини.
До того ж біологічно активні речовини вакуоль здатні перешкоджати
споживанню цих рослин багатьма тваринами. У багатьох рослин за ра-
хунок збільшення вакуоль відбувається й ріст клітини розтягуванням.
Мітохондрії (від грецьк. тііоз — нитка та сігопдгіоп — крупинка,
зернятко) — двомембранні органели кулястої, овальної або палич-
коподібної форми, хоча зустрічаються й спіралеподібні (у спермато-
зоїдах) або іншої форми. Діаметр мітохондрій сягає 1 мкм, а довжи-
на — 7 мкм. Простір усередині мітохондрій заповнений матриксом.
Матрикс — це основна речовина мітохондрій, в яку занурені кільцева
молекула ДНК й рибосоми. Зовнішня мембрана мітохондрій є гла-
денькою, вона проникна для багатьох речовин. Внутрішня мембра-
на, навпаки, має вирости — кристи, які збільшують площу поверхні
мембран для протікання хімічних реакцій. На внутрішній мембрані
мітохондрій розташовані численні білкові комплекси, що складають
так званий дихальний ланцюг, а також грибоподібні ферменти АТФ-
синтази. У мітохондріях відбувається аеробний етап дихання, в про-
цесі якого синтезується АТФ.
Пластиди (від грецьк. ріазіідез — утворюючі) — великі двомембран-
ні органели, притаманні лише рослинним клітинам. Внутрішній простір
пластид заповнений стромою (матриксом). У стромі знаходиться сис-
тема мембранних бульок — тилакоїдів, що зібрані у стопки — грани.
У стромі також знаходяться власна кільцева молекула ДНК і рибосоми.
Існують три види пластид: хлоропласти, хромопласти та лейкопласти.
Хлоропласти — це зелені пластиди діаметром 3-10 мкм, які є добре
помітними під мікроскопом. Вони містяться тільки в зелених частинах
рослин — листках, молодих стеблах, квітках і плодах. Хлоропласти
переважно мають овальну або еліпсоїдну форму, але можуть бути та-
кож чашоподібними, спіралеподібними й навіть лопатевидними. Кіль-
кість хлоропластів у клітині в середньому складає від 10 до 100 штук.
Проте у деяких водоростей, наприклад у хлорели, хлоропласт може
бути один, мати значні розміри та складну форму, тоді його називають
хроматофором. В інших випадках кількість хлоропластів може сягати
декількох сотень, при цьому їхні розміри є меншими. Забарвлення хло-
ропластів зумовлене основним пігментом фотосинтезу — хлорофілом,
хоча в них містяться і додаткові пігменти — каротиноїди. Каротиноїди
стають помітними тільки восени, коли руйнується хлорофіл у листі, що
старіє. Хлоропласти виконують функцію фотосинтезу. Світлові реакції
фотосинтезу протікають на мембранах тилакоїдів, на яких закріплені
молекули хлорофілу, а темпові реакції — у стромі, де містяться чис-
ленні ферменти.
Мітохондрія
1 — зовнішня мембрана;
2 — міжмембранний простір;
З — внутрішня мембрана;
4 — криста;
5 — матрикс
Хлоропласт
1 — зовнішня мембрана;
2 — внутрішня мембрана;
З — строма;
4 — тилакоїди;
5 — грана
444
Біологія
Хромопласти — це жовтогарячі пластиди, які містять лише піг-
менти — каротиноїди. Форма хромопластів може істотно варіювати:
вони бувають трубчастими, сферичними, кристалічними тощо. Вони
надають забарвлення квіткам і плодам рослин, приваблюючи обпилю-
вачів та розповсюджувачів насіння і плодів.
Лейкопласти — це білі або безбарвні пластиди здебільшого кулястої
або овальної форми. Вони поширені в тих частинах рослин, які не здатні
до фотосинтезу, наприклад у шкірочці листка, бульбах картоплі та ін.
У них відкладаються про запас поживні речовини, зазвичай крохмаль,
але в деяких рослин це можуть бути білки чи олія.
Пластиди утворюються у рослинних клітинах з пропластид, які
існують вже у клітинах твірної тканини і являють собою невеликі дво-
мембранні тільця. На ранніх етапах розвитку різні види пластид здатні
перетворюватися один на один, зокрема лейкопласти бульби картоплі
та хромопласти коренеплоду моркви — на хлоропласти, якщо вони пот-
рапили на світло, проте пластиди листя, що пожовкло, вважати хро-
мопластами некоректно у зв’язку з наявністю суттєвих розбіжностей
у структурі.
Будова та функції ядра
Будова ядра
1 — зовнішня мембрана;
2 — міжмембранний простір;
З — внутрішня мембрана;
4 — ядерна оболонка;
5 — гетерохроматин;
6 — еухроматин;
7 — ядерце;
8 — шорстка ендо-
плазматична сітка;
9 — ядерна пора
Ядро — велика двомембранна органела, що лежить у центрі клі-
тини або на її периферії. Розміри ядра можуть коливатися в межах
3-35 мкм. Форма ядра найчастіше сферична або еліпсоїдна, проте є та-
кож паличкоподібні, веретеноподібні, бобоподібні, лопатеві та навіть
сегментовані ядра. Більшість клітин має одне ядро, але, наприклад,
у клітинах печінки та серця їх може бути два, а у ряді нейронів — до 15.
Волокна скелетних м’язів містять зазвичай багато ядер, проте вони не
є клітинами в повному розумінні цього слова, оскільки утворюються
в результаті злиття декількох клітин.
Ядро оточене ядерною оболонкою, а його внутрішній простір за-
повнений ядерним соком, або нуклеоплазмою (каріоплазмою), в який
занурені хроматин та ядерце. Ядро виконує такі важливі функції, як
зберігання і передача спадкової інформації, а також контроль жит-
тєдіяльності клітини.
Ядерна оболонка утворена двома мембранами — зовнішньою та внут-
рішньою, між якими є простір. Міжмембранний простір сполучається
з порожниною шорсткої ендоплазматичної сітки, а зовнішня мембрана
ядра може нести рибосоми.
Місцями зовнішня та внутрішня мембрани ядра зливаються, утворю-
ючи ядерні пори. У пору вбудований так званий поровий комплекс, що
складається з периферичних білків, які облямовують пору, та білкової
плівки-діафрагми зі спеціальними каналами для пропускання моле-
кул певного розміру, яка затягує цей просвіт. Іноді отвір пори неначе
заткнутий центральною глобулою білка, як шийка пляшки пробкою.
Кількість йор коливається від 1 до 9 тис. на ядро, залежно від інтен-
сивності життєдіяльності клітини. Через пори відбувається транспорт
речовин: до ядра входять необхідні білки (у т. ч. ферменти), іони, нук-
леотиди та ін., а виходять з нього молекули РНК, відпрацьовані білки
та субодиниці рибосом, зібрані в ядерці. Функція ядерної оболонки по-
лягає у відокремленні вмісту ядра від цитоплазми, а також у регуляції
обміну речовин між ядром і цитоплазмою.
Клітинний рівень організаціїжиття
445
На внутрішній мембрані ядра розташований своєрідний каркас
ядра — ядерна ламіна, утворена проміжними філаментами особливої
будови. Ядерна ламіна не лише підтримує форму та об’єм ядра, а й слу-
гує місцем прикріплення хромосом у період між поділами клітини.
Нуклеоплазмою, або каріоплазмою, або ядерним матриксом, на-
зивають вміст ядра, в який занурені хроматин та ядерце. Вона являє
собою колоїдний розчин, що за хімічним складом нагадує цитоплазму.
Ферменти нуклеоплазми каталізують обмін амінокислот, нуклеотидів,
білків тощо. Вона пов’язана з гіалоплазмою через ядерні пори. Функ-
ції нуклеоплазми, як і гіалоплазми, полягають у взаємозв’язку всіх
структурних компонентів ядра і здійсненні низки ферментних реакцій.
Ядерце — кулясте, добре помітне під мікроскопом тільце діаметром
1-3 мкм. Воно формується на ділянці хроматину, яка кодує інформацію
про рРНК та білки рибосом і називається ядерцевим організатором.
Функція ядерця — синтез рРНК і формування початкових форм су-
бодиниць рибосом шляхом об’єднання рРНК з білками, що надходять
з цитоплазми. Попередники рибосом виходять з ядра крізь пори в ци-
топлазму, де й закінчується їх збирання. Ядерце в ядрі часто одне, проте
в тих клітинах, де відбуваються інтенсивні процеси життєдіяльності,
ядерець може бути два і більше.
Хроматин — це скупчення тонких ниток і гранул, занурених
у нуклеоплазму. У живих клітинах вміст ядра видається однорідним
у зв’язку з тим, що показники заломлення хроматину та нуклеоплаз-
ми майже не відрізняються, і лише забарвлення виявляє хроматин.
Нитчастий компонент хроматину називають еухроматином, а грануляр-
ний — гетерохроматином. Еухроматин є слабко ущільненим, оскільки
з нього зчитується генетична інформація, натомість більш спіралізова-
ний гетерохроматин є генетично неактивним.
Функції хроматину полягають, по-перше, у синтезі специфічних
для даного організму нуклеїнових кислот, що спрямовують синтез
специфічних білків, по-друге, у передачі спадкових властивостей від
материнської клітини дочірнім, для чого хроматинові нитки у процесі
поділу упаковуються хромосомами.
Хромосоми, особливості будови та хімічного складу
Хромосома (від грецьк. скгота — колір, забарвлення та зота —
тіло) — це структура клітинного ядра, яка містить гени і несе певну
спадкову інформацію про ознаки та властивості організму. Іноді хро-
мосомами називають також кільцеві молекули ДНК прокаріотів. Хро-
мосоми здатні до самоподвоєння, їм притаманна структурна та функ-
ціональна індивідуальність, яка зберігається у ряді поколінь. Кожна
клітина несе всю спадкову інформацію організму, але в ній зчитується
тільки невелика її частина.
Основою хромосоми є дволанцюгова молекула ДНК, упакована з біл-
ками. В еукаріотів з ДНК взаємодіють гістонові та негістонові білки,
тоді як у прокаріотів гістонові білки відсутні. Найкраще хромосоми роз-
глядати під світловим мікроскопом у процесі поділу клітини, коли вони
в результаті ущільнення набувають вигляду паличкоподібних тілець,
розділених первинною перетяжкою — центромерою — на плечі. На хро-
мосомі може бути також і вторинна перетяжка, яка в деяких випадках
відокремлює від основної частини хромосоми так званий супутник.
Будова хромосоми
1 — центромера;
2 — плечі;
З — вторинна перетяжка;
4 — супутник;
5 — теломери
446
Біологія
Кінцеві ділянки хромосом називаються теломерами. Теломери пере-
шкоджають злипанню кінців хромосом і забезпечують їх прикріплення
до оболонки ядра у клітині, що не поділяється. На початкових стадіях
поділу клітини хромосоми є подвоєними і складаються з двох дочірніх
хромосом — хроматид, скріплених у центромері.
Хромосомний набір ядра. Гомологічні хромосоми
Диплоїдний набір хромосом
плодової мухи дрозофіли
Гаплоїдний набір хромосом
плодової мухи дрозофіли
Вивчення хромосом дозволило встановити, що соматичним кліти-
нам (клітинам тіла) організму кожного біологічного виду притаманне
постійне число хромосом. Наприклад, у людини їх 46. Набір хромосом
соматичних клітин називають диплоїдним (2п), або подвійним. У сома-
тичних клітинах хромосоми утворюють пари. Хромосоми однієї пари
називаються гомологічними. В однакових ділянках цих хромосом роз-
ташовані гени, які відповідають за розвиток однієї ознаки.
Статеві клітини, або гамети, — це спеціалізовані клітини, що слу-
гують для статевого розмноження. У них міститься завжди вдвічі менше
хромосом, ніж у соматичних клітинах (у людини — 23), тому набір
хромосом статевих клітин називається гаплоїдним (гі), або одинарним.
В ядрах деяких соматичних клітин кількість хромосом може бути
більшою за диплоїдний набір на один, два та більше гаплоїдних на-
борів — такі ядра називають поліплоїдними (піриплоїдними, тетрап-
лоїдними тощо). У таких клітинах зазвичай відбуваються дуже інтен-
сивні процеси метаболізму.
Кількість ДНК соматичних клітин позначається як 2с, а статевих —
1с. Генетична формула соматичних клітин записується як 2п2с, а ста-
тевих — Іпіс.
Аутосоми та статеві хромосоми (гетерохромосоми). Каріотип
Кількість хромосом сама по собі не є видоспецифічною ознакою, ос-
кільки різні організми можуть мати рівну кількість хромосом, а спорід-
нені — різну. Наприклад, у малярійного плазмодія та кінської аскариди
по дві хромосоми, а в людини та шимпанзе — 46 і 48 відповідно.
Хромосоми людини поділяються на дві групи: аутосоми та статеві
хромосоми (гетерохромосоми). Аупіосом у соматичних клітинах людини
налічується 22 пари, вони є однаковими для чоловіків та жінок, а ста-
тевих хромосом — лише одна пара, але саме вони визначають стать
особини. Існує два види статевих хромосом — X та У. Клітини жінок
несуть по дві Х-хромосоми, а чоловіків — X та У.
Сукупність ознак хромосомного набору організму (кількість хромо-
сом, їхні форма та розміри) називається каріотипом. Умовний запис
каріотипу включає загальну кількість хромосом, статеві хромосоми
та можливі відхилення в наборі хромосом. Наприклад, каріотип чо-
ловіка записується як 46, ХУ, а каріотип жінки — 46, XX.
Типи організації клітин
Незважаючи на те, що всі клітини, які існують на планеті в наш
час, мають однаковий загальний план будови (поверхневий апарат,
цитоплазма, спадковий апарат), за організацією спадкового апарату
розрізняють два типи клітин: прокаріотичні й еукаріотичні.
Клітинний рівень організаціїжиття
447
Прокаріотичними (від лат. рго — перед, раніше і грецьк. кагуоп —
ядро) називають клітини, спадковий матеріал в яких не відокремле-
ний від цитоплазми ядерною оболонкою або іншою мембраною. Більша
частина їхньої спадкової інформації зосереджена зазвичай в особливій
структурі — нуклеоїді.
На відміну від прокаріотичних клітин, еукаріопіичні (від лат. еи —
добре, повністю та грецьк. кагуоп — ядро) мають оформлене ядро хоча б
на одному з етапів розвитку.
Особливості організації клітини прокаріотів
Середні розміри прокаріотичної клітини складають 1-10 мкм. Спад-
кова інформація прокаріотів у більшості випадків записана в кільцевій
молекулі ДНК. Білки прокаріотів, які взаємодіють з ДНК, не можна
віднести до гістонових, проте, за аналогією з еукаріотами, комплекс
ДНК з цими білками називають хромосомою. Хромосома прокаріотів
прикріплюється щонайменш в одній точці до плазматичної мембрани.
Саме в цій точці починається і закінчується самоподвоєння ДНК —
реплікація. Частина цитоплазми, в якій розташована хромосома, на-
зивається нуклеоїдом (від лат. писіеиз — ядро та грецьк. еісіоз — вид).
Нуклеоїд хоча й розташований у центрі клітини, але не відокрем-
люється від цитоплазми жодною мембранною структурою. У деяких
прокаріотичних клітинах може міститися дві-три або більше хромосом,
які є генетичними копіями чи мають різне походження, проте біологіч-
не значення цього явища ще не повністю з’ясоване.
Кількість генів, яку несе ДНК прокаріотів, суттєво коливається,
проте в більшості з них вона не має ділянок, які не несуть спадкової
інформації, — інпіронів, і має оперонну структуру, що свідчить про по-
ходження мітохондрій і пластид еукаріотичних клітин від прокаріотів.
Окрім хромосоми прокаріотична клітина може містити додаткові
маленькі кільцеві молекули ДНК, які називаються плазмідами. Плаз-
міди здатні існувати у клітині вільно або вбудовуватися у хромосому.
Вони передаються від однієї клітини до другої при статевому процесі,
зокрема, кон’югації. Плазміди несуть спадкову інформацію про стій-
кість до лікарських препаратів (антибіотиків), інфекційність бактерій
і т. ін. У наш час ці молекули широко застосовуються в генній інженерії
як носії певних генів, які потрібно вбудувати у геном клітини-мішені.
На відміну від еукаріотів, прокаріоти не мають таких мембранних
органел, як ендоплазматична сітка, апарат Гольджі, лізосоми, мітохон-
дрії та пластиди. Фактично єдиним видом органел у них є рибосоми,
проте й вони відрізняються від рибосом еукаріотів, які знаходяться
у вільному стані в цитоплазмі або пов’язані з ендоплазматичною сіткою.
Разом з тим, вони майже ідентичні рибосомам мітохондрій та пластид.
Відсутність компартментів у прокаріотичних клітинах призводить до
того, що всі їхні ферменти знаходяться або в цитоплазмі, або на неве-
ликій кількості мембран, зокрема мезосомах-вгинаннях плазмолеми.
Лише в деяких прокаріотів є вакуолі, оточені білковою оболонкою, зок-
рема газові, як у ціанобактерій, або тилакоїди, що розташовані вільно
в цитоплазмі, як у зелених бактерій.
Основною запасною речовиною прокаріотів є волютин, проте деякі
з них здатні відкладати крохмаль (ціанобактерії), жири, неорганічні
речовини тощо.
448
Біологія
Тваринна клітина
Бактеріальна клітина
Грибна клітина
Рослинна клітина
Оскільки значна частина прокаріотів здатна до руху, вони мають
органели руху — джгутики або ворсинки, проте структура цих органел
принципово відрізняється від такої в еукаріотичних клітин, оскільки
вони складаються з однієї нитки білка флагеліну. Основу клітинної
стінки прокаріотів складає пептидоглікан муреїн, поверх неї вони час-
то-густо виділяють чітко окреслену капсулу або безформну хмару сли-
зу. У більшості випадків капсула складається з полісахаридів, однак
зустрічаються й білкові капсули. Капсули та слиз забезпечують захист
клітин від механічного пошкодження, висихання або надмірного зво-
ложення, патогенів, закріплюють їх на субстраті, об’єднують з іншими
клітинами в колонії або багатоклітинний організм, полегшують рух,
у них відкладаються у запас певні речовини.
Процес поділу клітини у прокаріотів відбувається після реплікації
ДНК, при цьому клітинна стінка утворює вгинання, відокремлюючи
цитоплазми дочірніх клітин з копіями хромосоми. Деякі прокаріоти
здатні ділитися кожні 20-30 хвилин.
Прокаріотичні організми належать до окремого надцарства Про-
каріоти, або Дроб’янки, до якого включають два царства — Еубактерії
та Архебактерії. В основі цього поділу лежить організація спадкового
апарату, мембран та інших частин клітини.
Особливості організації клітин еукаріотів
Розміри еукаріотичної клітини складають 10-100 мкм. На відміну від
прокаріотичної клітини, вона має оформлене ядро. Ядерна ДНК еукаріотів
представлена незамкненими молекулами, які в результаті взаємодії з гіс-
тоновими та негістоновими білками утворюють хромосоми. Цитоплазма
еукаріотичних клітин, окрім рибосом, має й інші органели, особливо мем-
бранні (мітохондрії, ендоплазматична сітка, апарат Гольджі, лізосоми).
За наявністю пластид, вакуоль та целюлозної клітинної стінки
еукаріотичні клітини належать до рослинних, тоді як наявність клі-
тинного центру та глікокаліксу свідчить про належність їх тваринам.
Клітини грибів відрізняються від них хітиновими клітинними стінками.
Незважаючи на відмінність у виконуваних функціях, всі клітини
мають багато подібних функціональних властивостей та морфологічних
особливостей. Кожна з клітин складається з цитоплазми і зануреного
в неї спадкового апарату. Клітина відокремлена від зовнішнього сере-
довища поверхневим апаратом, який не перешкоджає процесу обміну
речовин та енергії з оточуючим середовищем.
Клітинний цикл
Згідно з клітинною теорією, клітини не виникають кожного разу
наново, вони утворюються тільки в результаті поділу материнських
клітин. Основним способом поділу прокаріотичних клітин є їх поділ
надвоє, а в еукаріотичних організмів існують складніші способи поді-
лу — мітоз і мейоз.
Проміжок часу від утворення клітини в результаті поділу материнсь-
кої клітини до її власного поділу називається клітинним циклом. Він
поділяється на дві основні стадії: інтерфазу та мітоз. Деякі клітини ви-
ходять з клітинного циклу і гинуть, що може бути пов’язане із завершен-
ням виконання цими клітинами своїх функцій, як у клітин епідермісу
Клітинний рівень організаціїжиття
449
шкіри та клітин крові, або з пошкодженням цих клітин певними чинни-
ками довкілля, зокрема патогенами. Генетично запрограмована клітин-
на смерть клітин називається апоппіозом, тоді як випадкова загибель
клітин — некрозом.
Інтерфаза
Інтерфаза — це проміжок часу в клітинному циклі, під час якого
клітина не ділиться, а нормально функціонує. В інтерфазі розрізняють
три періоди: (І!-, 8- та Є2-період.
(^-період (передсинтетичний, постмітотичний) — це період росту та
розвитку клітини, під час якого відбувається активний синтез РНК,
білків та інших речовин, необхідних для повного життєзабезпечення
клітини, яка щойно утворилася. До кінця цього періоду клітина може
почати готуватися до подвоєння ДНК.
У 8-періоді (синтетичному) відбувається процес реплікації ДНК. Єди-
ною ділянкою хромосоми, яка не піддається реплікації, є центромера,
тому молекули ДНК, що утворилися, не розходяться повністю, а зали-
шаються скріпленими в ній; на початку поділу хромосома має Х-подіб-
ний вигляд. Генетична формула клітини після подвоєння ДНК — 2п4с.
Також у 8-періоді відбувається подвоєння числа мікротрубочок цент-
ріолей клітинного центру.
С2-період (постсинтетичний, передмітотичний) характеризується ін-
тенсивним синтезом РНК, білків та АТФ, які є необхідними для процесу
поділу клітини, а також поділом центріолей, мітохондрій і пластид.
До кінця інтерфази хроматин та ядерце залишаються добре помітними,
цілісність ядерної оболонки не порушується, а органели не змінюються.
Частина клітин організму здатна виконувати свої функції протягом
усього життя організму і не переходити до поділу (нейрони нашого го-
ловного мозку, м’язові клітини серця), тоді як інші існують нетривалий
час (клітини кишкового епітелію, клітини епідермісу шкіри), після
чого гинуть. Отже, в організмі повинні постійно відбуватися процеси
поділу клітин, які б заміщали відмерлі. Клітини, здатні до постійного
поділу, називають стовбуровими. В організмі людини вони знаходяться
у червоному кістковому мозку (стовбурові клітини крові), у глибоких
шарах епідермісу шкіри (стовбурові клітини шкіри) та інших місцях.
Використовуючи ці клітини, можна виростити новий орган, досягти
омолоджування, а також клонувати організм.
Мітоз та його фази
Мітозом називають спосіб непрямого поділу соматичних клітин. Під
час мітозу клітина проходить ряд послідовних фаз, у результаті яких
кожна дочірня клітина отримує такий самий набір хромосом і генів,
які були властиві материнській клітині.
Мітоз поділяється на чотири основні фази: профазу, метафазу, ана-
фазу і телофазу. Профаза — найтриваліша стадія мітозу. У ній відбу-
вається конденсація хроматину і стають видимими Х-подібні хромосо-
ми, які складаються з двох хроматид (дочірніх хромосом). При цьому
зникає ядерце, центріолі розходяться до полюсів клітини і починає
формуватися веретено поділу з мікротрубочок. У кінці профази ядерна
оболонка розпадається на окремі бульки.
ЗАПАМ'ЯТАЙ у]
Мітоз — спосіб непрямого
поділу спадкового матеріалу
соматичних клітин.
450
Біологія
У метафазі хромосоми розташовуються вздовж екватора клітини
своїми центромерами, до яких прикріпляються мікротрубочки повністю
сформованого веретена поділу. На цій стадії поділу хромосоми є най-
більш ущільненими і мають характерну форму, що дозволяє вивчати
каріотип.
В анафазі відбувається швидка реплікація ДНК у центромерах,
внаслідок якої хромосоми розщеплюються, і хроматиди розтягуються
мікротрубочками веретена поділу до протилежних полюсів клітини.
Поділ хроматид має бути абсолютно рівним, оскільки саме цей процес
забезпечує підтримку сталості числа хромосом у клітинах організму.
На стадії телофази дочірні хромосоми збираються на полюсах, де-
спіралізуються, навкруг них з бульок формуються ядерні оболонки,
а в ядрах, що утворилися, виникають ядерця.
Після поділу ядра відбувається поділ цитоплазми — цитокінез, під
час якого всі органели материнської клітини рівномірно розподіляються
між дочірніми.
Таким чином, у результаті мітозу відбувається рівномірний розподіл
спадкового матеріалу між дочірніми клітинами, які є точними копіями
материнської (2п2с). Без мітозу були б неможливими існування та ріст
багатоклітинних організмів, які розвиваються з однієї клітини — зи-
готи, оскільки всі клітини таких організмів повинні містити однако-
ву генетичну інформацію, а також процеси безстатевого розмноження
і регенерації (відновлення) пошкоджених тканин і органів.
У процесі поділу дочірні клітини стають все більш різноманітними
за будовою й виконуваними функціями, що пов’язане з активацією
в них все нових груп генів внаслідок міжклітинної взаємодії. Таким
чином, мітоз необхідний і для розвитку організму.
ЗАПАМ'ЯТАЙ
Мейоз — це спосіб непрямо-
го поділу спадкового матеріа-
лу первиннихстатевих КЛІТИН.
Мейоз та його фази
Мейоз — це спосіб непрямого поділу первинних статевих клітин
(2п2с), у результаті якого утворюються статеві клітини (Іпіс). На від-
міну від мітозу, мейоз складається з двох послідовних поділів кліти-
ни, кожному з яких передує інтерфаза. Перший поділ мейозу (мейоз І)
називається редукційним, оскільки при цьому кількість хромосом змен-
шується удвічі, а другий поділ (мейоз II) — екваційним, оскільки в його
процесі кількість хромосом зберігається.
Інтерфаза І поділяється на три періоди — (Ц, 8 та Н2, не відріз-
няючись тим самим від інтерфази перед поділом соматичних клітин.
Мейоз І включає чотири фази: профазу І, метафазу І, анафазу І
й телофазу І. У профазі І відбуваються два найважливіші процеси —
кон’югація та кросинговер. Кон’югацією називають процес злиття гомо-
логічних (парних) хромосом по всій довжині. Ці структури, що утвори-
лися у процесі кон’югації, називаються бівалентами, або тетрадами.
Кросинговер — це взаємний обмін гомологічними ділянками гомо-
логічних хромосом. У результаті кросинговеру хромосоми, одержані
організмом від обох батьків, набувають нових комбінацій генів, що обу-
мовлює утворення генетично різноманітного потомства. У кінці профази
І, як і в профазі мітозу, зникає ядерце, центріолі розходяться до полюсів
клітини, а ядерна оболонка розпадається.
У метафазі І біваленти розташовуються вздовж екватора клітини,
до їхніх центромер прикріпляються мікротрубочки веретена поділу.
Клітинний рівень організаціїжиття
451
В анафазі І до полюсів розходяться цілісні гомологічні хромосоми,
що складаються з двох хроматид.
У телофазі І навкруги скупчень хромосом біля полюсів клітини
утворюються ядерні оболонки, формуються ядерця.
Цитокінез І забезпечує розподіл цитоплазм дочірніх клітин. Дочір-
ні клітини (1п2с) є генетично різнорідними, оскільки їхні хромосоми,
що розійшлися випадковим чином до полюсів клітини, містять неод-
накові гени.
Інтерфаза II дуже коротка, оскільки в ній не відбувається подвоєн-
ня ДНК, тобто відсутній 8-період.
Мейоз II поділяється на чотири основні фази: профазу II, метафазу
II, анафазу II і телофазу II. У профазі II відбуваються ті ж процеси,
що й у профазі І, за винятком кон’югації та кросинговеру, тобто вона
має риси подібності до профази мітозу.
У метафазі II хромосоми розташовуються вздовж екватора кліти-
ни, їхні центромери з’єднуються з мікротрубочками веретена поділу.
В анафазі II хромосоми розщеплюються в центромерах, унаслідок
чого до полюсів розтягуються вже хроматиди.
У телофазі II навкруг скупчень дочірніх хромосом формуються
ядерні оболонки та ядерця.
Після цитокінезу II генетична формула всіх чотирьох дочірніх клі-
тин — Іпіс, проте всі вони мають різний набір генів, що є результа-
том кросинговеру та випадкового поєднання хромосом материнського
і батьківського організмів у дочірніх клітинах.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. На відміну від інших клітинних мембран, плазмолема містить:
А) фосфоліпіди; Б) гліколіпіди;
В) холестерин; Г) білки.
2. Укажіть надмембранну структуру рослинної клітини:
А) мікрофіламент; Б) мікротрубочка;
В) клітинна стінка; Г) джгутик.
3. Яку функцію виконує вказана на рисунку літерою X органела?
X с А) фотосинтез;
Б) аеробне дихання;
В) синтез білків;
Г) модифікація білків.
4. Позначте місце у хлоропласті, де відбуваються темпові реакції фотосинтезу:
А) строма; Б) мембрани тилакоїдів;
В) зовнішня мембрана; Г) міжмембранний простір.
5. Позначте, наявність якої ділянки відрізняє еукаріотичний ген від прокаріотичного:
А) промотора; Б) оператора;
В) кодуючої послідовності; Г) інтронів.
6. Зазначте, яка з реакцій є рівнянням світлової стадії фотосинтезу:
А) 2Н2О + 2НАДФ + ЗАДФ + ЗН3РО4 -> 2НАДФН + Н+ + ЗАТФ + О2Ї;
Б) 6СО2 + 12 НАДФН + Н+ + 18АТФ -> СвН12Ов + 6Н2О + 12 НАДФ + 18АДФ + 18Н3РО4;
В) СвН12Ов + 2Н3РО4 + 2АДФ + 2НАД -> 2С3Н4О3 + 2АТФ + 2НАДН + 2Н+ + 2Н2О;
Г) С3НвО3 + НАД + Н~КоА -> СН3СО~КоА + НАДН + Н+ + СО2Ф.
452
Біологія
7. Ген гормону росту людини містить таку послідовність нуклеотидів:
ТГТЦЦТААТААААТТТАЦГТТГЦАТЦ
Визначте склад і послідовність амінокислот у поліпептидному ланцюзі.
А) ала - про - цис - ліз - іле - тре - вал - ала - про
Б) цис - сер - аси - ліз - іле - тир - вал - ала - сер
В) тре - глу - лей - фен - тир - мет - глн - арг - сер
Г) цис - про - асн - лей - лей - тир - вал - аси - цис
8. Укажіть, чим заповнюється вільний простір, який утворюється внаслідок плазмолізу:
А) повітрям; Б) речовиною, яка викликала плазмоліз;
В) клітинним соком; Г) цитоплазмою.
9. Установіть відповідність між фазами мейозу та подіями, що відбуваються в них:
1. Профаза І 2. Анафаза І 3. Інтерфаза II 4. Анафаза II А) розходження до полюсів гомологічних хромосом, що складаються з двох хроматид; Б) розходження до полюсів однохроматидних хромосом; В) утворення нових ядер; Г) кон’югація гомологічних хромосом; Д) відсутність реплікації.
10. Укажіть послідовність процесів фагоцитозу:
А) виведення остаточного тільця шляхом екзоцитозу з клітини;
Б) утворення фаголізосоми;
В) утворення фагосоми;
Г) всмоктування розчинених речовин клітиною.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Б. 2. В. 3. Г. 4. А. 5. Г. 6. А. 7. В. 8. Б. 9. 1Г, 2А, ЗД, 4Б. 10. В, Б, Г, А.
ОРГАНІЗМЕННИИ РІВЕНЬ ЖИТТЯ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Неклітинні форми життя. Віруси, їх хімічний склад, будова та відтворення. Механізм про-
никнення вірусів в організм та клітини хазяїна. Вплив вірусів на організм хазяїна. Профілак-
тика вірусних хвороб. Роль вірусів у природі та житті людини.
Бактерії. Загальна характеристика прокаріотів (бактерії, ціанобактерії). Особливості будови
та процесів життєдіяльності прокаріотів (живлення, дихання, розмноження, спороутворення,
обмін спадковою інформацією). Взаємозв’язки прокаріотів з іншими організмами (мутуалізм,
коменсалізм, паразитизм). Різноманітність та роль прокаріотів у природі та житті людини.
Хвороботворні бактерії та захворювання, що ними спричинені. Заходи боротьби із збудниками
та профілактика інфекційних захворювань. Загальна характеристика Царства Рослини. При-
нципи класифікації рослин. Життєві форми рослин.
Будова і процеси життєдіяльності рослин. Принципи організації тіла рослин. Тканини ба-
гатоклітинних рослин (твірна, покривна, основна, механічна, провідна), їх будова і функції.
Особливості будови і процесів життєдіяльності нижчих і вищих рослин. Вегетативні орга-
ни рослин (корінь; пагін: стебло, листок; зародковий пагін — брунька), їх будова і функції.
Видозміни вегетативних органів рослин.
Генеративні органи покритонасінних рослин (квітка, насінина, плід), їх будова і функції.
Утворення насіння та плодів. Особливості будови насінини одно- та дводольних рослин. Орга-
ни розмноження вищих спорових рослин (спорангії, гаметангії: антеридії, архегонії). Спори.
Взаємозв’язок органів рослин. Живлення рослин (мінеральне живлення, повітряне живлен-
ня — фотосинтез). Дихання рослин. Транспірація. Рух речовин (органічних і неорганічних).
Розмноження рослин (форми розмноження водоростей, вищих спорових та насінних рослин).
Вегетативне розмноження рослин. Особливості запліднення у вищих спорових і покритонасін-
них рослин. Запилення та його способи.
Ріст і розвиток рослин. Життєві цикли рослин (чергування поколінь, спорофіт, гаметофіт).
Тривалість життя рослин. Подразливість та рухи рослин. Регуляція процесів життєдіяльності
у покритонасінних рослин. Фітогормони.
Різноманітність рослин. Загальна характеристика відділів: Зелені водорості, Бурі водорості,
Червоні водорості, Діатомові водорості, Мохоподібні, Плауноподібні, Хвощеподібні, Папороте-
подібні, Голонасінні, Покритонасінні. Принципи класифікації покритонасінних рослин. Особ-
ливості будови класів Однодольні, Дводольні. Особливості поширення рослин різних таксонів.
Значення рослин різних таксонів у природі та житті людини. Зникаючі види рослин в Україні.
Гриби. Лишайники. Загальна характеристика царства Гриби. Особливості будови, поши-
рення, середовища існування та процесів життєдіяльності (живлення, дихання, розмноження)
шапкових, цвілевих грибів, дріжджів, грибів-паразитів. Роль грибів у природі та житті люди-
ни. Мікориза. Будова лишайників. Форма слані лишайників (накипні, листуваті, кущисті).
Особливості життєдіяльності лишайників. Значення лишайників у природі і житті людини.
Тварини. Загальна характеристика царства Тварини. Принципи класифікації тварин. Зна-
чення тварин в екосистемах.
Будова і життєдіяльність тварин. Принципи організації тіла тварин. Загальний план будови
організму тварин: симетрія тіла (двобічна, радіальна), покриви тіла, опорний апарат (зовнішній
скелет, внутрішній скелет, гідроскелет), порожнина тіла (первинна, вторинна, змішана), органи
та системи органів. Замкнена та незамкнена кровоносна системи, гемолімфа. Подразливість,
рух, живлення, дихання, виділення, транспорт речовин, розмноження, ріст тварин. Регуля-
ція функцій у багатоклітинних тварин. Типи розвитку тварин: прямий і непрямий (із повним
і неповним перетворенням).
454
Біологія
Різноманітність тварин. Загальна характеристика підцарств: Одноклітинні, Багатоклітинні;
типів: Кишковопорожнинні, Плоскі черви, Круглі черви, Кільчасті черви, Молюски, Членис-
тоногі (класів: Ракоподібні, Павукоподібні, Комахи), Хордові — підтипи: Безчерепні (клас
Головохордові), Хребетні (класи: Хрящові риби, Кісткові риби, Земноводні, Плазуни, Птахи,
Ссавці — Першозвірі, Нижчі звірі (сумчасті), Вищі звірі (плацентарні)).
Спосіб життя, особливості зовнішньої і внутрішньої будови, поширення у природі представ-
ників наведених таксонів, їх різноманіття. Значення тварин різних таксонів у природі та житті
людини. Зникаючі види тварин в Україні.
Людина. Положення людини в системі органічного світу. Хромосомний набір клітин люди-
ни. Тканини організму людини (епітеліальна, м’язова, нервова, сполучна), їх будова і функції.
Внутрішнє середовище організму людини. Гомеостаз. Функціональні системи органів.
Функції та будова: органів опорно-рухової системи; крові, лімфи; кровоносної і лімфатичної
систем; систем органів травлення, дихання; імунної, ендокринної, нервової систем; сечовиділь-
ної системи; шкіри; сенсорних систем; органів зору, слуху, рівноваги.
Кровообіг. Лімфообіг. Кровотворення. Імунітет, його види. Зовнішнє і клітинне дихання.
Живлення і травлення. Енергетичні потреби організму. Основні етапи розщеплення білків,
вуглеводів і жирів. Норми і гігієна харчування. Вітаміни, їхні властивості. Авітамінози, гіпо-
та гіпервітамінози. Виділення. Регуляція функцій (нервова, гуморальна). Рефлекс. Рефлекторна
дуга. Терморегуляція. Загартування. Гіподинамія. Вища нервова діяльність людини. Безумовні
й умовні рефлекси. Утворення умовних рефлексів. Тимчасовий нервовий зв’язок. Гальмування
умовних рефлексів.
Динамічний стереотип. Фізіологічні основи мовлення. Перша і друга сигнальні системи.
Мислення і свідомість. Відчуття, сприйняття, увага, пам’ять та її види, емоції. Особистість.
Типи темпераменту. Характер. Обдарованість, здібності. Сон і його значення.
Вплив алкоголю, наркотиків, токсинів та тютюнокуріння на організм людини.
Розмноження організмів. Форми розмноження організмів (нестатеве, статеве). Способи
нестатевого розмноження одноклітинних (поділ, шизогонія, брунькування, спороутворення)
і багатоклітинних організмів (вегетативне розмноження, спороутворення). Клон. Клонування
організмів. Партеногенез. Поліембріонія. Кон’югація. Копуляція. Будова та процеси формуван-
ня статевих клітин. Запліднення та його форми. Роздільностатеві та гермафродитні організми.
Індивідуальний розвиток організмів. Онтогенез. Періоди індивідуального розвитку
організмів. Зародковий (ембріональний) період розвитку, його етапи у тварин. Післязародковий
(постембріональний) період розвитку, його типи і етапи у тварин і людини. Статеве дозрівання
(на прикладі людини). Особливості післязародкового розвитку у рослин.
Ріст, його типи та регуляція. Регенерація. Життєвий цикл. Прості та складні життєві цик-
ли. Чергування різних поколінь у життєвому циклі. Сезонні зміни у житті рослин і тварин.
Спадковість і мінливість. Закономірності спадковості. Генетика. Методи генетичних дослід-
жень (у тому числі спадковості людини). Основні поняття генетики: ген, алель гена, локус гена,
домінантний і рецесивний стани ознак, гомозигота, гетерозигота, генотип, фенотип, спадковість,
мінливість. Закономірності спадковості, встановлені Г. Менделем та їх статистичний характер.
Закон чистоти гамет. Методи перевірки генотипу гібридних особин. Проміжний характер успад-
кування. Неповне домінування. Зчеплене успадкування. Хромосомна теорія спадковості. Гене-
тичні основи визначення статі у різних груп організмів. Співвідношення статей у популяціях.
Успадкування, зчеплене зі статтю. Взаємодія генів та її типи. Організація геному у різних груп
організмів. Цитоплазматична спадковість. Генофонд. Вплив токсичних речовин, наркотиків,
алкоголю та тютюнокуріння на спадковість людини.
Закономірності мінливості. Модифікаційна (неспадкова) мінливість, її властивості і статис-
тичні закономірності. Норма реакції. Варіаційний ряд. Варіаційна крива. Спадкова мінливість
та її види: комбінативна і мутаційна. Типи мутацій. Мутагенні фактори. Спонтанні мутації.
Закон гомологічних рядів спадкової мінливості.
Організменний рівень життя
455
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Неклітинні форми життя
Разом із клітинною формою життя, яка була описана вище, існують
також і неклітинні його форми — віруси, віроїди та пріони. Вони не
лише не мають характерних для клітини структур, а й не проявляють
ознак живого, коли перебувають поза клітиною. Лише проникнення
до клітини дозволяє їм реалізовувати єдину властивість живого, при-
таманну їм, — здатність до репродукції.
Віруси
Загальна характеристика вірусів
Вірусами (від лат. иігиз — отрута) називають найдрібніші об’єкти
життя, не здатні до прояву будь-яких ознак життя поза клітинами.
Факт їхнього існування був доведений ще у 1892 р. російським ученим
Д. Й. Івановським, який встановив, що хвороба рослин тютюну — так
звана тютюнова мозаїка — спричинена незвичайним збудником, що
проходить через бактеріальні фільтри, проте лише у 1917 р. Ф. д’Еррель
виділив перший вірус — бактеріофаг. Вивчає віруси наука вірусологія
(від лат. оігиз — отрута та грецьк. Іо§о8 — слово, наука).
Віруси існують у двох формах: та, що покоїться (позаклітинна), або
латентна, і та, що відтворюється (внутрішньоклітинна). Вільноживучих
вірусів немає, усі вони — внутрішньоклітинні паразити на генетичному
рівні. Власне віруси є паразитами еукаріотичних клітин, а бактеріофаги
паразитують тільки на клітинах бактерій.
Хімічний склад і будова вірусів
На відміну від клітинних організмів, віруси складаються лише з ор-
ганічних речовин — нуклеїнових кислот і білка, проте частина вірусів
містить також ліпіди та вуглеводи.
Усі віруси умовно поділяють на прості та складні. Прості віруси
складаються з нуклеїнової кислоти та білкової оболонки — капсиду.
Капсид не є монолітним — він зібраний із субодиниць білка — кап-
сомерів. У складних вірусів капсид вкритий ліпопротеїновою мембра-
ною — суперкапсидом, до складу якого входять також глікопротеїни.
Віруси можуть містити також і неструктурні білки-ферменти.
Найскладнішу будову мають віруси бактерій — бактеріофаги
(від грецьк. Ьакіегіоп — паличка та рка§08 — пожирач), в яких виді-
ляють головку та відросток, або хвіст. Головка бактеріофагів утворена
білковою оболонкою та вкладеною в неї нуклеїновою кислотою. У хвості
розрізняють білковий чохол і захований усередині нього порожній стри-
жень. У нижній частині стрижня є спеціальна пластинка зі шпильками
та нитками, які є необхідними для взаємодії бактеріофага з поверхнею
клітини.
На відміну від клітинних форм життя, в яких є ДНК та РНК, у віру-
сах наявний лише один із видів нуклеїнової кислоти (ДНК або РНК),
тому їх поділяють на ДНК- (віруси віспи, простого герпесу, аденовіруси,
Вірус тютюнової мозаїки
1 — РНК;
2 — білковий капсид
456
Біологія
деякі віруси гепатиту та деякі бактеріофаги) і РНК-вмісні (віруси тю-
тюнової мозаїки, ВІЛ, енцефаліту, кору, краснухи, сказу, грипу, деякі
віруси гепатиту та бактеріофаги і т. ін.). У деяких вірусів ДНК може
бути представлена одноланцюговою молекулою, а РНК — дволанцю-
говою.
Віроїди
Віроїди (від лат. иігиз — отрута та грецьк. еісіоз — форма, вид) —
це дрібні інфекційні агенти, до складу яких входить лише низькомо-
лекулярна РНК або ДНК. Віроїди можуть викликати лише хвороби
рослин. їхня нуклеїнова кислота, імовірно, не кодує власних білків,
а лише відтворюється у клітинах рослини-хазяїна, використовуючи її
ферментні системи.
Пріони
Пріони — невеликі білкові інфекційні часточки, які мають вигляд
нитки або кристала. На відміну від нормальних білків клітини, вони
мають незвичайну третинну структуру. Потрапляючи до організму
з їжею, вони спричиняють активацію певного гена організму і допома-
гають його продуктам упаковуватися таким самим чином, як вони самі,
що призводить до накопичення таких ненормальних білків у клітині
та до дефіциту нормальних білків. Звичайно, це призводить до пору-
шення функцій нервової тканини — розвитку так званих губчастих
енцефалопатій, прикладами яких є коров’ячий сказ, хвороба Крейц-
фельда-Якоба та ін.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Укажіть, який із перерахованих організмів належить до неклітинної форми життя:
А) дріжджі; Б) бактеріофаг; В) холерний вібріон; Г) хламідомонада.
2. Позначте, яка органічна речовина входить до складу пріонів:
А) ДНК; Б) РНК; В) АТФ; Г) білок.
3. Укажіть, який фермент є специфічним для ретровірусів, наприклад ВІЛ:
А) ДНК-полімераза; Б) РНК-полімераза; В) РНК-залежна РНК-полімераза;
Г) РНК-залежна ДНК-полімераза (зворотна транскриптаза).
4. Установіть відповідність між нуклеїновими кислотами та вірусами, які їх містять:
1. ДНК А) грип;
2. РНК Б) віспа;
В) дизентерія;
Г) ВІЛ;
Д) герпес.
5. Визначте послідовність процесів взаємодії вірусу та клітини-живителя:
А) синтез нуклеїнових кислот та білків вірусу; Б) адсорбція вірусу;
В) злиття мембрани вібріона з мембраною клітини; Г) збирання частинок вірусу.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Б. 2. Г. 3. Г. 4. 1 — Б, Д; 2 — А, Г. 5. Б, В, А, Г.
Організменний рівень життя
457
Бактерії
Загальна характеристика бактерій
Бактерії (від грецьк. Ьакіегіоп — паличка) — типові прокаріоти,
здебільшого представлені одноклітинними та колоніальними, рідше ба-
гатоклітинними формами. Вони були відкриті у XVII столітті А. ван Ле-
венгуком. Бактерії з’явилися на Землі близько 3,5 млрд років тому.
Мешкають вони у всіх середовищах — від льодовикової мінусової
температури до киплячих джерел, їх знаходять навіть на метеоритах,
що впали на Землю, в атмосфері над її поверхнею та в океанських гли-
бинах. У наш час відомо близько 100 000 видів бактерій, однак лише
3000 видів є більш-менш вивченими. Вивченням бактерій займається
наука бактеріологія (від грецьк. Ьакіегіоп — паличка та Іо§о8 — сло-
во, наука), яка є розділом мікробіології (від грецьк. тікгоз — малий,
маленький, Ьіоз — життя та Іо§о8 — слово, наука).
За формою бактеріальної клітини виділяють кулясті бактерії — коки,
паличкоподібні — бацили, у вигляді коми — вібріони та спіралеподіб-
ні — спірили. На відміну від спірил, тонкі, довгі, звивисті спіралеподібні
бактерії, здатні до руху, називаються спірохетами. Поодинокі сферичні
бактерії називаються мікрококами, їхні групи по дві — диплококами,
по чотири — тетракоками, пакети з 8-16 клітин — сарцинами, гроно-
подібні скупчення — стафілококами, а ланцюжки з коків — стрептоко-
ками. Ці морфологічні особливості враховуються у класифікації бактерій.
Якщо справжні бактерії представлені поодинокими клітинами або
колоніальними формами, серед ціанобактерій існує також певна кіль-
кість багатоклітинних форм, в яких клітини навіть розрізняються за
будовою та виконуваними функціями. Так, у водорості анабени серед
вегетативних клітин зустрічаються й більші за розмірами — гетеро-
цисти, досить часто вкриті спільним слизовим чохлом з іншими клі-
тинами. Гетероцисти виконують функції зв’язування атмосферного
азоту та вегетативного розмноження, оскільки саме по цих клітинах
відбувається розрив нитки водорості. Ціанобактерії містять хлорофіл
та інші пігменти фотосинтезу (фікобіліни), що зумовлює їхнє різно-
манітне забарвлення. До них належать носток, анабена, осциляторія
тощо. Особливості будови і процесів життєдіяльності синьо-зелених
водоростей сприяли їх виділенню в окреме підцарство Ціанобактерії,
тоді як решта представників царства належить до підцарства Бактерії.
Особливості життєдіяльності бактерій
Бактеріям властиві всі ознаки живого, в тому числі обмін речовин
та енергії, здатність до самовідтворення і т. ін. За способом живлення
бактерії належать до гетеротрофів та автотрофів. Серед гетеротрофів
є сапротрофні, симбіотичні та навіть хижі бактерії, проте переважна
більшість цих організмів поглинає їжу у розчиненому вигляді через
наявність клітинної стінки. Сапротрофи забезпечують розщеплення
органічних речовин до мінеральних, сприяючи колообігу речовин у при-
роді. Паразитичні бактерії спричиняють численні захворювання, напри-
клад чуму, холеру, туберкульоз, пневмонію та інші. Симбіонтами є бак-
терії шкіри та слизових оболонок людини, а також кишечника. Вони
не тільки захищають людину від інших — хвороботворних — бактерій,
Форми бактерій:
а) коки;
б) бацили;
в) вібріони;
г) спірили
Ціанобактерія анабена
458
Біологія
Поділ бактеріальної клітини
але й здатні синтезувати вітаміни, які не утворюються в організмі лю-
дини. Не менш важливий симбіоз бульбочкових бактерій із корінням
рослин. Ці бактерії здійснюють фіксацію атмосферного азоту у формі,
доступній рослинам, одержують від рослин воду й органічні речовини.
Таким чином, взаємозв’язки між бактеріями та іншими організмами
в багатьох випадках можна схарактеризувати як мутуалістичні.
Автотрофні бактерії одержують енергію за рахунок фотосинтезу або
хемосинтезу. Значна частина фотосинтезуючих бактерій належить до
ціанобактерій, або синьо-зелених водоростей, які представлені вільно
живучими формами і можуть входити до складу лишайників або всту-
пати у симбіоз, зокрема, як синьо-зелена водорість анабена з папороттю
азолою. Серед автотрофних бактерій, що не належать до ціанобактерій,
можна знайти як фототрофів, так і хемотрофів. Останні належать до
сіркобактерій й залізобактерій, нітрифікуючих бактерій тощо.
За потребою у кисні бактерії поділяють на анаеробів та аеробів, тобто
таких, що потребують або не потребують кисню для процесів життєдіяль-
ності. Співвідношення цих форм бактерій залежить від середовища.
Розмноження бактерій відбувається переважно поділом клітини на-
двоє, якому передує подвоєння ДНК. За сприятливих умов середовища
бактерії можуть поділятися кожні 20-30 хв, тому неважко підрахувати,
яку кількість бактерій дасть одна материнська клітина за добу.
Вегетативне розмноження відбувається у багатоклітинних ціанобак-
терій, в яких утворюються і згодом відокремлюються спеціальні нитки
для розмноження, проте нитки здатні розриватися й у гетероцистах.
У бактерій спостерігаються також процеси однобічного перенесення
спадкової інформації. В одних випадках відбувається передача додат-
кової кільцевої молекули ДНК, здатної вбудовуватися у бактеріальну
хромосому — плазміди. Цей спосіб називається кон’югацією. В інших
випадках певну ділянку ДНК від однієї ураженої клітини до іншої пе-
реносить бактеріофаг — це трансдукція. Проте одним із найцікавіших
процесів передачі спадкової інформації є трансформація, за якої кліти-
на не лише отримує ДНК знищеної нагріванням або в інший спосіб клі-
тини, а й вбудовує її у власну ДНК та набуває закодованих у ній ознак.
За несприятливих умов бактерії утворюють спори, що мають щільні
капсули. Ці спори можуть перебувати у неактивному стані протягом
багатьох років (спори сибірської виразки — понад ЗО років), однак за
сприятливих умов «спляча» бактерія відновлює свою життєдіяльність.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Укажіть, яку форму має ДНК бактерій:
А) лінійну; Б) глобулярну; В) кільцеву; Г) розпорошену.
2. Як називається бактерія, схожа на кому:
А) спірила; Б) вібріон; В) бацила; Г) кок.
3. Визначте, яку функцію виконує гетероциста:
А) фіксація атмосферного азоту; Б) фотосинтез; В) дихання; Г) хемосинтез.
4. Установіть відповідність між твердженнями та цифрами на рисунку:
А) складається з муреїну та вуглеводів;
Б) містить ДНК;
В) забезпечує рух клітини. 4 —2 1
' " з
Організменний рівень життя
459
5. Установіть послідовність процесів трансформації бактеріальної клітини:
А) зчитування генів, отриманих з донорною ДНК;
Б) поглинання донорної ДНК клітиною;
В) адсорбція донорної ДНК на поверхні клітини;
Г) вбудовування частини донорної ДНК у власну ДНК.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. В. 2. Б. 3. А. 4. 1Б; 2А; 4В. 5. В, Б, Г, А.
Рослини
Загальна характеристика царства Рослини
До царства Рослини належать автотрофні еукаріотичні організми.
Представники царства також характеризуються значним співвідно-
шенням площі поверхні до об’єму тіла, прикріпленим способом жит-
тя та необмеженим, або відкритим, ростом. Серед них є одноклітинні,
колоніальні та багатоклітинні організми. У життєвому циклі рослин
відбувається чергування статевого та безстатевого поколінь.
На клітинному рівні рослини також відрізняються від інших груп
організмів, оскільки їхні клітини мають пластиди та вакуолі, напов-
нені клітинним соком, а надмембранний комплекс представлений це-
люлозною клітинною стінкою. Основною запасною речовиною рослин
є крохмаль.
Вивчає рослини наука ботаніка (від грецьк. Ьоіапе — рослина, тра-
ва), яка поділяється на морфологію, анатомію, фізіологію, системати-
ку, географію, екологію рослин тощо. Морфологія рослин (від грецьк.
тогріге — форма та Іороз — слово, наука) — це наука про закономір-
ності зовнішньої та внутрішньої будови рослин. Анатомія рослин (від
грецьк. апаіоте — розрізаю) досліджує внутрішню структуру рослини.
Фізіологія рослин (від грецьк. рігузіз — природа) — наука про процеси
життєдіяльності рослинних організмів, їхніх клітин та органів.
Тканини багатоклітинних рослин, їхні будова і функції
На відміну від тканин тварин, в рослинних тканинах клітини
склеєні вуглеводною серединною пластинкою, деінде між ними є між-
клітинники, заповнені повітрям, до того ж тканини рослин іноді бу-
вають утворені мертвими клітинами, від яких залишаються тільки
клітинні стінки. Протягом життя тканини можуть змінювати свої
функції, наприклад клітини ксилеми спочатку виконують провідну
функцію, а потім — опорну. В рослин налічують до 20-30 типів тканин,
які об’єднують близько 80 видів клітин. Рослинні тканини поділяють
на твірні та постійні.
Твірні, або меристематичні, тканини беруть участь у процесах рос-
ту рослини. Вони розташовані на верхівках пагонів і коренів, в основах
міжвузлів, утворюють шар камбію між лубом та деревиною у стеблі,
а також підстилають корок у здерев’янілих пагонах. Постійний поділ
460
Біологія
Продих у розрізі
1 — замикальна клітина;
2 — продихова щілина;
З — простір під продихом
Механічна тканина
<ю здую»о СціЯуааеа
Елементи ксилеми
цих клітин підтримує процес необмеженого росту рослин: твірні ткани-
ни верхівок пагонів та коренів, а в деяких рослин — і міжвузлів забезпе-
чують ріст рослин у довжину, а камбій — у товщину. При пошкодженні
рослини з клітин, що опинилися на поверхні, формуються раневі твірні
тканини, які заповнюють проміжки, що утворилися.
Постійні тканини рослин спеціалізуються на виконанні певних функ-
цій, що відбивається на їхній будові. Вони не здатні до поділу, проте за пев-
них умов можуть знов набувати цієї здатності (за винятком мертвих тканин).
До постійних тканин належать покривні, механічні, провідні та основні.
Покривні тканини рослин захищають їх від випаровування, ме-
ханічних та термічних пошкоджень, проникнення мікроорганізмів, за-
безпечують обмін речовин із навколишнім середовищем. До покривних
тканин належать шкірка та корок.
Шкірка, або епідерма, — це одношарова тканина, позбавлена хло-
ропластів. Вона пронизана продихами і може нести різні волоски
та залозки. Зверху шкірка вкрита кутикулою з жироподібних речовин,
що захищає рослини від надмірного випаровування. Цю ж саму функ-
цію виконують і волоски на поверхні шкірки, тоді як залозки можуть
виділяти різні секрети, у тому числі воду, солі, нектар і т. ін.
Продихи — це спеціальні утворення, через які відбувається ви-
паровування води — транспірація. У продихах замикальні клітини
оточують продихову щілину, під ними розташований вільний простір.
Замикальні клітини здебільшого мають бобовидну форму, в них зустрі-
чаються хлоропласти та зерна крохмалю. Внутрішні стінки замикаль-
них клітин продихів потовщені. Якщо замикальні клітини насичені
водою, ці внутрішні стінки розтягуються, і продих відкривається. На-
сичення водою замикальних клітин пов’язане з активним транспортом
до них іонів калію та інших осмотично активних речовин, а також нако-
пиченням розчинних вуглеводів у процесі фотосинтезу. Через продихи
відбувається не лише транспірація, а й газообмін — поглинання та виді-
лення кисню та вуглекислого газу, які проникають далі по міжклітин-
никах і споживаються клітинами у процесі фотосинтезу, дихання і т. ін.
Клітини корка, які здебільшого вкривають здерев’янілі стебла,
просочуються жироподібною речовиною суберином, що, з одного боку,
викликає загибель клітин, а з іншого — запобігає випаровуванню, спри-
яє термічному та механічному захисту. У корку, як і в шкірці, є спе-
ціальні утворення для провітрювання — сочевички. Корок утворюється
корковим камбієм, який підстилає його.
Механічні тканини рослин виконують опорну та захисну функ-
ції. До них належать коленхіма та склеренхіма. Коленхіма — це жива
механічна тканина, що має видовжені клітини з потовщеними целю-
лозними стінками. Вона зустрічається в органах рослин, що ростуть, —
стеблах, листках, плодах тощо. Склеренхіма — це мертва механічна
тканина, живий вміст клітин якої відмирає внаслідок здерев’яніння
клітинних стінок, і від клітин залишаються лише клітинні стінки,
що сприяє виконанню цією тканиною відповідних функцій. Клітини
механічної тканини здебільшого супроводжують клітини провідної тка-
нини у складі лубу та деревини.
По провідних тканинах здійснюється транспорт речовин тілом рос-
лини. Існує два види провідної тканини: ксилема та флоема. Ксилема,
або деревина, — мертва механічна тканина, від клітин якої залишають-
ся тільки клітинні стінки, як і в склеренхімі. Вони утворюють судини,
Організменний рівень життя
461
по яких від коренів у надземну частину транспортуються вода та роз-
чинені в ній мінеральні речовини.
Флоема — жива механічна тканина, у клітинах якої зникають ядра,
а цитоплазма змішується з клітинним соком, що полегшує транспорт
речовин по них. Клітини флоеми розташовуються одна над одною, клі-
тинні стінки між ними мають численні отвори, що робить їх схожими
на сито. Клітини утворюють ситоподібні трубки. Флоемою транспорту-
ються вода та розчинені в ній органічні речовини з надземної частини
рослини у корені та інші частини рослини. Завантаження та розванта-
ження флоеми здійснюють спеціальні клітини-супутниці, які знахо-
дяться поряд із ситоподібними трубками. Флоема входить до складу
деревини й лубу відповідно.
Основні тканини не лише заповнюють проміжки між іншими тка-
нинами, але й виконують поживну, видільну та інші функції. Поживну
функцію виконують фотосинтезуючі та запасливі тканини. Вони скла-
даються переважно з паренхімних клітин, які мають майже однакові
лінійні розміри: довжину, висоту та ширину. Основні тканини розташо-
вуються в листках, молодих стеблах, плодах, насінні та інших запаса-
ючих органах. Деякі види основної тканини також можуть виконувати
всисну функцію, як, наприклад, клітини всисної зони кореня. Виділен-
ня здійснюють різноманітні волоски, залози, нектарники, смоляні ходи
та вмістища. Особливе місце серед основних тканин займають молочні
судини, в клітинному соку яких нагромаджуються каучук, гута та інші
речовини. У водяних рослин можливе розростання міжклітинників,
унаслідок чого утворюються великі порожнини, за допомогою яких
здійснюється провітрювання.
Фрагмент ситоподібної
трубки
Основна тканина
Органи рослин
Вегетативні органи рослин. Органами називають відособлені части-
ни рослинного організму, що виконують певні функції. На відміну від
тварин, тіло рослин розчленовано на невелику кількість органів. Вони
поділяються на вегетативні та генеративні. Вегетативні органи під-
тримують життєдіяльність організму, проте не беруть участі у процесі
статевого розмноження, тоді як генеративні органи спеціалізуються
саме на цьому процесі. До вегетативних органів належать корінь і пагін,
а до генеративних (у квіткових) — квітка, насінина та плід.
Корінь
Корінь — це підземний вегетативний орган, що виконує функ-
ції ґрунтового живлення, закріплення рослини в ґрунті, транспорту
й запасання речовин, а також вегетативного розмноження.
Морфологія кореня. Корінь має чотири зони: кореневий чохлик, зону
росту, всисну зону та зону проведення. Кореневий чохлик захищає клі-
тини зони росту від пошкодження і полегшує просування кореня серед
твердих частинок ґрунту. Він представлений крупними клітинами, які
з часом ослизнюються й відмирають, що полегшує ріст кореня.
У зоні росту є клітини твірної тканини, здатні до поділу. Пізніше
вони збільшуються в результаті розтягування і починають виконувати
властиві їм функції. Іноді зону росту поділяють на дві зони — поділу
та розтягування.
462
Біологія
Будова кореня
1 — кореневий чохлик;
2 — зона росту;
З — всисна зона;
4 — зона проведення
Поперечний зріз кореня
дводольної рослини
1 — покривна тканина;
2 — первинна кора;
З — центральний циліндр
Кореневі системи
а) стрижнева;
б) мичкувата.
1 — головний корінь;
2 — бічні корені;
З — додатковий корінь
У всисній зоні розташовані клітини кореневих волосків, що викону-
ють функцію поглинання води та мінеральних речовин. Проте живуть
клітини кореневих волосків недовго, вони злущуються через 7-10 днів
після утворення.
У зоні проведення речовини не тільки транспортуються з кореня
у пагін, але й відбувається галуження кореня, тобто утворення бічних
коренів, що сприяє закріпленню рослини в ґрунті. Крім того, у цій зоні
можливе запасання речовин і закладання бруньок, за допомогою яких
відбувається вегетативне розмноження. Зона проведення є найдовшою
зоною кореня.
Внутрішня будова кореня. На поперечному зрізі у зоні всмоктування
кореня видно покривну тканину, первинну кору та центральний циліндр.
Покривна тканина кореня виконує не лише захисну функцію, а й функ-
цію всмоктування, оскільки вона представлена волосконосним шаром.
Первинна кора кореня достатньо потовщена, у ній може відбуватися від-
кладення у запас поживних речовин, через неї проходить транспорт води
та розчинених у ній мінеральних речовин до центрального циліндра.
Центральний циліндр містить провідні тканини, по яких відбувається
транспорт речовин з кореня у пагін та у зворотному напрямку.
Кореневі системи. Сукупність коренів рослини утворює кореневу
систему. Серед них виділяють головний, додаткові та бічні корені.
Головний корінь походить від кореня зародка, тоді як додаткові корені
відростають від стебла. Бічні корені формуються як на головному, так
і на додаткових коренях. У тих випадках, коли головний корінь вираже-
ний, як у кульбаби, говорять про стрижневу кореневу систему, а коли
його наздоганяють у розвитку додаткові або він відмирає — це мичку-
вата коренева система. Перша властива дводольним рослинам, а дру-
га — однодольним.
Видозміни кореня. Видозмінами кореня є коренеплоди, кореневі
бульби, корені-присоски, корені-причіпки, дихальні корені, повітряні
корені, опорні, ходульні, скоротливі корені та кореневі паростки. Коре-
неплоди та кореневі бульби виконують запасаючу функцію та функцію
вегетативного розмноження, як у моркви, редиски, редьки, жоржин
та топінамбура. Корені-присоски, або глаусторії, сприяють закріпленню
рослини в тілі рослини-хазяїна, а також поглинанню поживних речовин
з неї (омела). Корені-причіпки закріплюють рослину на опорі (плющ).
Дихальні корені властиві рослинам болотистих місцезростань, вони за-
безпечують кореневу систему киснем для дихання (кипарис болотяний).
Повітряні корені є в рослин-епіфітів, які за допомогою кореня погли-
нають водяну пару прямо з повітря (орхідея ванда). Опорні корені не
дають опуститися на землю гілкам рослин із дуже великими кронами
(індійський фікус баньян), а ходульні корені підтримують тіло рослин
на хиткому ґрунті, наприклад у мангрових чагарниках у приплив-
ній зоні (ризофора). Скоротливі корені втягують точку росту рослини
в ґрунт за несприятливих умов, як, наприклад, в кульбаби. Існують
також і корені, які виконують функцію вегетативного розмноження
(кореневі паростки бузку).
Пагін
Пагоном називають надземний орган рослини, що виконує функцію
повітряного живлення. Він утворений стеблом, листками та бруньками.
Організменний рівень життя
463
Пагін відрізняється від кореня наявністю численних сегментів, що
повторюються. Місце прикріплення листка до пагона називається вуз-
лом, ділянка пагона між вузлами — міжвузлям, а кут між стеблом
та листком — пазухою.
Якщо міжвузля є настільки невеликими, що здається, нібито листки
виходять майже з одного місця, такий пагін називають укороченим (самі
рослини називаються при цьому розетковими). Він властивий таким
рослинам, як кульбаба, подорожник тощо. У тих випадках, коли листки
є сильно віддаленими один від одного, говорять про видовжений пагін.
Порядок розміщення листків на стеблі називають листкорозміщен-
ням. Виділяють три основні типи листкорозміщення: чергове, супро-
тивне та кільчасте (мутовчасте). Якщо листок у вузлі лише один, то
говорять про чергове листкорозміщення (вишня, яблуня). Якщо їх
два — це супротивне листкорозміщення (бузок), а якщо їх більше,
ніж два, — це кільчасте, або мутовчасте, листкорозміщення (анемо-
на, олеандр).
За розташуванням пагона в просторі виділяють прямостоячі, нахи-
лені, лежачі, повзучі, в’юнкі, звисаючі, чіпкі.
Якщо пагін несе квітки, плоди або інші генеративні органи, його
називають генеративним, за їхньої відсутності — вегетативним.
Пагони, стебла яких усе життя залишаються вкритими шкіркою,
називають такими, що не дерев’яніють, якщо ж шкірка замінюється
корком лише в нижній частині рослини — це напівдерев’янистий пагін.
У тих випадках, коли стебло може вкриватися корком майже до самої
верхівки, говорять про дерев’янистий пагін.
Життєві форми рослин
Життєвою формою називають зовнішній вигляд та біологічну
пристосованість рослинних організмів, які виникають у процесі ін-
дивідуального розвитку під впливом комплексу пануючих умов зрос-
тання. Вищі рослини за особливостями будови вегетативного тіла ма-
ють три основні життєві форми: трав’янисті, чагарникові та деревні.
У трав’янистих рослин стебло ніколи не дерев’яніє, хоча тривалість
їхнього життя може сягати сотень років. Вони поділяються за триваліс-
тю життєвого циклу на однорічні, дворічні та багаторічні. Прикладом
цієї життєвої форми є морква, конвалія, пшениця.
Чагарники характеризуються наявністю декількох здерев’янілих
тією чи іншою мірою стовбуриків, які поступово замінюються протя-
гом життя. До чагарників належать бузок, порічка, аґрус, терен та ін.
У дерев стебло також дерев’яніє, проте воно залишається одне на
все життя і називається стовбуром. Стовбур несе на собі всю сукупність
гілок дерева — крону. Деревами є тополі, береза, осика, дуб.
Брунька
Брунька — це орган пагона, який забезпечує його наростання
в довжину та галуження. Брунька містить зачаток пагона, прикритий
бруньковими лусками. Зачатковий пагін може бути вегетативним або
генеративним, тоді й бруньки називають вегетативними або генера-
тивними (квітковими). Вегетативні бруньки зазвичай більш загострені,
ніж генеративні.
в)
Листкорозміщення
а) чергове;
б) супротивне;
в) мутовчасте
Розташування
бруньок на пагоні
464
Біологія
Будова бруньки
а) вегетативної:
1 — зачаткові листочки;
2 — зачаткова брунька;
З — брунькові луски;
4 — зачаткове стебло;
б) генеративної
Схема внутрішньої будови
гілки липи
1 — корок;
2 — первинна кора;
З — луб;
4 — камбій;
5 — деревина;
6 — серцевина
За розташуванням на пагоні бруньки поділяють на верхівкові та
бічні. Верхівкові бруньки розташовуються в точках росту пагона, тоді
як бічні — у пазухах листків (пазушні) та у будь-якому місці стебла
(додаткові). Бічні бруньки розпускаються зазвичай при пошкодженні
бруньок, що розміщуються вище, або при порушенні їхнього росту.
Бруньки, що покояться, утворюються й по краях листка, наприклад
в бріофілюма.
Стебло
Стебло — це осьова частина пагона, яка виносить листки до світла,
підтримує генеративні органи, забезпечує транспорт речовин від кореня
до листків та у зворотному напрямі, а також може виконувати запаса-
ючу функцію й функцію вегетативного розмноження. Молоді зелені
стебла і стебла кактусів також здійснюють фотосинтез.
На поперечному зрізі стебло може мати циліндричну, тригранну,
чотиригранну, багатогранну, борозенчасту та інші форми.
Внутрішня будова стебла. Внутрішня будова стебла має єдиний
план будови: зовні воно вкрите покривною тканиною, під якою розташо-
вуються первинна кора, центральний циліндр та серцевина (якої не було
в корені). Покривна тканина на перших порах, а в трав’янистих рослин
протягом усього життя представлена шкіркою, у процесі здерев’яніння
вона з часом замінюється на корок. Первинна кора несе клітини основ-
ної та механічної тканини, які виконують не лише захисну, а й запа-
саючу та фотосинтезуючу функції.
Центральний циліндр містить луб та деревину, між якими може
знаходитися камбій. Луб — це сукупність клітин флоеми, механічних
клітин та клітин паренхіми. У деревних рослин луб може функціону-
вати декілька років, а потім сплющуватися. У помірному кліматі він
на зиму закупорюється, щоб уникнути замерзання. Деревина — це
сукупність ксилеми, механічної тканини та паренхіми основної ткани-
ни. Нею проводяться речовини з кореня у пагін. Судини ксилеми фун-
кціонують також тривалий час, на зиму вони закупорюються, а через
декілька років уже не розкупорюються і виконують виключно опорну
функцію. Як деревина, так і луб утворюються в результаті поділу клі-
тин камбію.
За організацією провідних тканин у центральному циліндрі виділя-
ють два типи будови стебла: пучковий і непучковий. За пучкової будови
провідні тканини зібрані в окремі тяжі — пучки, які пронизують стебло.
Пучковий тип властивий трав’янистим рослинам. Характер проходжен-
ня пучків у квіткових рослин є однією з діагностичних ознак: якщо
пучки розташовані по колу — це дводольна рослина, а якщо проходять
безладно — однодольна.
Деревним рослинам притаманний непучковий тип будови стебла,
за якого деревина й луб закладаються суцільними кільцями, причому
деревина розташовується ближче до центра стебла, ніж луб, а між ними
знаходиться кільце камбію. Щорічно відкладається нове кільце дере-
вини, унаслідок чого на поперечному зрізі деревних рослин видно річні
кільця, за якими можна приблизно підрахувати вік рослини. За ними
можна також встановити, які умови були на планеті у минулому: тов-
щі річні кільця свідчать про сприятливі умови, а тонші — про засухи,
заморозки тощо.
Організменний рівень життя
465
У центрі стебла розташовується серцевина, заповнена основною
тканиною. У серцевині відкладаються в запас різноманітні речовини,
у ній може відбуватися виділення продуктів обміну речовин. У багатьох
випадках серцевина руйнується під дією бактерій і грибів, але в де-
яких рослин вона зникає як наслідок розходження клітин. Наприклад,
в соломині злаків усі міжвузля порожнисті, тоді як у вузлах збері-
гаються тоненькі перемички. Така будова стебла допомагає злакам
підтримувати колос, який може бути в десятки разів важчим за саму
соломину.
Листок
Листок — це бічна частина пагона, що здійснює функцію повітряно-
го живлення. Крім того, листок також здійснює газообмін із навколиш-
нім середовищем через продихи, може служити запасаючим органом та
органом вегетативного розмноження.
Морфологія листка. Листок складається з листкової пластинки,
черешка, основи листка та прилистків. Він прикріпляється до стебла
своєю основою у вузлі. Основа листка — це розширення черешка, яке
може розростатися й утворювати піхву, що охоплює стебло, як у злаків.
Ця піхва захищає бруньки та забезпечує тривалий ріст основи між-
вузлів. Черешок слугує для з’єднання листка зі стеблом. За наявністю
черешка листки поділяються на черешкові та сидячі: якщо листок має
черешок, він називається черешковим, а якщо не має його — сидячим.
Прилистки — це парні бічні вирости з боків основи. Зазвичай вони
розвиваються раніше листкової пластинки й захищають молодий лис-
ток, а потім обпадають, проте в деяких видів вони зберігаються і навіть
розростаються настільки, що за розмірами перевищують листкові плас-
тинки, як у гороху. У такому разі вони беруть на себе фотосинтетичну
функцію. Листкова пластинка — це розширена плоска найважливіша
частина листка, в якій відбувається процес фотосинтезу.
За кількістю листкових пластинок розрізняють прості та складні
листки. У простих листків листкова пластинка на черешку лише одна,
і вона обпадає разом з ним, тоді як складний листок має на єдиному
черешку декілька листкових пластинок, кожна з яких може обпадати
самостійно.
Листки розрізняються й за характером проходження провідних
пучків, або жилок, — жилкуванням. Основними типами жилкування
є паралельне, або дугове, та сітчасте (перисто-сітчасте та пальчасто-
сітчасте). Вони мають істотні значення у визначенні належності рослин
до класів покритонасінних (дводольних та однодольних). Від основних
жилок листа беруть початок дрібніші, які з’єднуються між собою тон-
кими перемичками.
Забарвлення, консистенція та інші характеристики листка також
істотно варіюють. Якщо в алое листок м’ясистий, сизий, то в латаття
він тонкий та має темно-зелений колір. Листки багатьох рослин укриті
опушуванням, яке захищає листки від надмірного випаровування.
Внутрішня будова листка. Зовні листок укритий шкіркою, прониза-
ною продихами та вкритою кутикулою. Товщина шкірки та кутикули,
форма замикальних клітин продихів, розташування продихів на листку,
а також наявність волосків та залозок значною мірою залежать від умов
зростання рослини.
Будова листка
1 — листова пластина;
2 — черешок;
З — основа листка;
4 — прилисток
Внутрішня будова листка
1 — шкірка;
2 — стовпчаста паренхіма;
З — губчаста паренхіма;
4 — жилка
466
Біологія
Весь внутрішній простір листка зайнятий основною тканиною,
що виконує функцію фотосинтезу. Більшість рослин має два різнови-
ди цієї тканини — стовпчасту та губчасту. Стовпчаста, або палісадна
паренхіма розташована в 1-2 ряди під верхньою шкіркою листка. Вона
містить багато хлоропластів і забезпечує протікання процесів фотосин-
тезу. Губчаста, або пухка паренхіма займає нижню частину листка.
Вона має великі міжклітинники, окрім фотосинтезу, її основною фун-
кцією є газообмін, у тому числі процес транспірації.
Паренхіма пронизана провідними пучками — жилками, що є сукуп-
ністю ксилеми, флоеми та механічної тканини. Ксилемою в листок надхо-
дять вода та розчинені в ній мінеральні солі, тоді як флоемою відтікають
синтезовані в ньому органічні речовини в запасаючі та молоді органи, що
ростуть. Механічна тканина забезпечує зміцнення листкової пластинки.
Таким чином, жилки виконують як провідну, так і опорну функції.
Квітка
Будова квітки
1 — квітконіжка;
2 — квітколоже;
З — чашолистики;
4 — пелюстки;
5 — тичинки;
6 — маточка
Квіткою називають складний репродуктивний орган покритонасін-
них рослин, який є укороченим та видозміненим пагоном. Винятковість
квітки як генеративного органа полягає в тому, що вона суміщає в собі
всі функції безстатевого та статевого розмноження.
Квітка складається з квітконіжки, квітколожа, оцвітини, тичинок
та маточок. При цьому квітконіжка та квітколоже — це видозмінене
стебло, тоді як листочки чашечки — видозмінені листки.
Квітка може бути розташована на верхівці пагона {верхівкова квіт-
ка) або в пазусі листка {бічна квітка).
За допомогою квітконіжки квітки сполучаються з пагоном. На квіт-
коніжці можуть знаходитися один або декілька листочків — приквіт-
ків. Якщо квітконіжка відсутня, то квітка називається сидячою.
До квітколожа прикріплюється решта частин квітки, у деяких
випадках воно згодом розростається та утворює особливу структуру,
в якій або на якій розташовуються плоди, як, наприклад, у шипшини
та суниць.
Оцвітина захищає генеративну частину квітки та приваблює об-
пилювачів. Вона складається з чашечки та віночка. Чашечка захищає
тичинки та маточку від пошкодження в бутоні. Її чашолистики зазвичай
мають зелений колір. Віночок, утворений пелюстками, зазвичай яскраво
забарвлений і забезпечує залучення обпилювачів. Оцвітина з чашечки
та віночка називається подвійною, а якщо вона має лише чашечку або
віночок — це проста оцвітина. Оцвітина, представлена лише зелени-
ми листочками, називається чашечкоподібною, вона властива кропиві
та коноплям. Якщо її листочки забарвлені в інший колір — це віноч-
коподібна оцвітина (тюльпан, цибуля, анемона). Квітки без оцвітини
називаються голими. Такі квітки властиві в основному рослинам, які
запилюються вітром, у тому числі деревним.
За формою розрізняють двогубий, метеликоподібний, дзвонику-
ватий, лійкоподібний, колесоподібний, цвяхоподібний, язичковий та
трубчастий віночки.
Тичинки в квітці зростаються або залишаються вільними. Сукуп-
ність тичинок у квітці називається андроцеєм (від грецьк. апдгоз —
чоловік та оікіоп — дім, житло). Кожна тичинка складається з тичин-
кової нитки, пиляка та в’язальця.
Організменний рівень життя
467
У гніздах пиляків утворюється пилок — сукупність чоловічих га-
метофітів — пилинок, або пилкових зерен. Кожне пилкове зерно ут-
ворюється в результаті мейозу. Воно вкрите щільною оболонкою, яка
дозволяє пилку деякий час зберігати здатність до проростання. Підви-
щення вологості призводить до розтріскування цієї оболонки, тому біль-
шість рослин має пристосування для захисту пилку в квітці від дощу,
як, наприклад, опушення квітки або самих тичинок. Усередині кожної
пилинки знаходяться дві клітини — вегетативна та генеративна. З ве-
гетативної клітини згодом формується пилкова трубка, а генеративна
клітина поділяється, даючи дві чоловічі статеві клітини — спермії.
Маточка — це найістотніша частина квітки, з якої згодом фор-
мується плід. Маточка або маточки розташовуються зазвичай в центрі
квітки і складаються із зав’язі, стовпчика та приймочки. Зав’язь може
містити один або декілька насінних зачатків, тому його називають одно-
або багатогніздним. Насінний зачаток — це багатоклітинне утворення
насінних рослин, з якого згодом сформується насінина. Насінний зача-
ток укритий щільними покривами — інтегументами — зі спеціальним
отвором — мікропіле, або пилковходом. Усередині насінного зачатка
розташовується нуцелус, або мегаспорангій, в якому формується жі-
ночий гаметофіт — зародковий мішок, утворений шістьма гаплоїдними
клітинами та диплоїдною центральною клітиною. Прямо біля мікропіле
зазвичай лежить яйцеклітина та супроводжуючі її синергіди. Функція
синергід полягає в тому, щоб виділяти хімічні речовини, на які орієн-
тується пилкова трубка, що проростає. На протилежному полюсі зарод-
кового мішка розташовуються три антиподи, а в центрі — центральна
клітина. Сукупність маточок у квітці називається гінецеєм (від грецьк.
§упе — жінка та оікіоп — дім, житло).
Суцвіття
Лише в небагатьох рослин зустрічаються поодинокі квітки (тюльпан,
магнолія, мак), частіше вони зібрані групами, які утворюють суцвіття.
Суцвіття — це система видозмінених пагонів покритонасінної росли-
ни, які несуть квітки. Біологічна перевага суцвіть над поодинокими
квітками безперечна, оскільки велика маса квіток буде завжди більш
помітною для обпилювачів, ніж одна квітка, а загибель однієї квітки
у суцвітті не призведе до зникнення генетичної інформації рослини.
Крім того, квітки у суцвітті розпускаються не одночасно, що додатково
збільшує шанси на запліднення. Кількість квіток у суцвітті коливається
від 1-3 (горох) до 6 000 000 (пальма корифа). Довжина суцвіть може
сягати 12 м (пальма калафус).
Суцвіття поділяють на прості та складні. Прості суцвіття мають
лише одну вісь суцвіття, яка може бути видовженою або вкороченою.
Складні суцвіття утворюються з простих унаслідок розгалуження го-
ловної осі суцвіття.
Насінина
Насінина — генеративний орган рослин, який слугує для розпов-
сюдження насінних рослин. Воно розвивається з насінного зачатка в ре-
зультаті запліднення. Розмір, форма та забарвлення зрілого насіння
різних квіткових рослин є дуже різноманітними. Найбільше насіння
Будова насінини злаків
(однодольні)
1 — насінна шкірка,
яка зрослася з оплоднем;
2 — ендосперм;
З — зародок
468
Біологія
Будова насінини бобових
(дводольні)
1 — насінна шкірка;
2 — сім'ядоля;
З — зародкова стеблинка;
4 — зародковий корінець
Будова плоду
1 — екзокарпій;
2 — мезокарпій;
З — ендокарпій;
4 — оплодень;
5 — насінина
має сейшельська пальма (до 17 кг), а найдрібніше — грушанки, які за
цим параметром випереджають навіть орхідеї. Здебільшого насіння має
округлу форму, рідше зустрічаються витягнуті або сплющені насінини.
Зовні насінина вкрита щільною насінною шкіркою, яка відмежовує
зародок і запасні речовини від навколишнього середовища й захищає їх
від пошкодження. Шкірка має кутикулу, а часом і восковий шар, які
захищають насіння від проникнення вологи. На насінній шкірці в міс-
ці прикріплення насінини у плоді залишається рубчик, поряд з яким
часто можна помітити й сім’явхід, через який проникає вода у процесі
проростання насінини. Поряд з цим отвором розташовується кінчик
зародкового корінця.
Зріла насінина зазвичай містить добре розвинений зародок з усіма
зачатками вегетативних органів: зародковим корінцем, сім’ядолями,
зародковою стеблинкою, або брунькою. Зародок може розташовуватися
як у центрі насінини, так і на її периферії.
У насінині дводольних поживні речовини відкладаються в обох
сім’ядолях, а ендосперм зазвичай невиражений. Ендосперм добре розви-
нений в насінні злаків (однодольних), в яких він займає значну частину
внутрішнього простору. У злаків зберігається тільки одна сім’ядоля,
яка називається щитком. Щиток відокремлює зародок від ендосперму,
у процесі проростання він всмоктує з останнього поживні речовини
і передає їх зародку.
Плід
Плодом називають генеративний орган рослин, що є видозміненою
у процесі запліднення квіткою. У його розвитку беруть участь різні час-
тини квітки, перш за все зав’язь маточки. Плід складається з насіння
та оплодня (перикарпію), який надійно захищає насіння від висихан-
ня, проникнення мікроорганізмів, механічного пошкодження, поїдан-
ня травоїдними тваринами, а іноді й від передчасного проростання.
Оплодень також може сприяти розповсюдженню насіння, як у сухих
розкривних плодів або в соковитих, які поїдаються птахами та інши-
ми тваринами. Стінка плоду складається з трьох шарів: зовнішнього
(екзокарпію), середнього (мезокарпію) та внутрішнього (ендокарпію).
Ендокарпій досить часто буває дерев’янистим і перешкоджає поїданню
насіння та проникненню до нього вологи. Оплодень може зростатися
з насінною шкіркою, що ускладнює визначення приналежності цих
шарів. Кількість насіння в плодах істотно варіює від одного до декіль-
кох тисяч і залежить від кількості насінних зачатків у зав’язі. Так,
у пшениці тільки один насінний зачаток і одна насінина, у маку —
більше 1000, а в орхідей — до 1 млн. Маса плодів може бути різною:
від менш ніж 1 г у пшениці до 500 і більше кілограмів у гарбуза.
Різноманітність рослин
Рослини поширені на Землі повсюдно, від екватора до Арктики
і Антарктиди. їх можна зустріти на глибині 300 м у водах Світового
океану та на висотах до 5000 м і вище. Вони здатні жити в льодах за
від’ємних температур, як хламідомонада сніжна, та у водах киплячих
гейзерів. У наш час до царства Рослини відносять близько 400 тис. видів
Організменний рівень життя
469
організмів, що вражають своєю різноманітністю. До них належать без-
барвна квіткова рослина-паразит під’ялинник і майже чорна водорість
батрахоспермум, мікроскопічні хлорели та гігантські секвої. Навіть
за розмірами квіток у рослинному світі немає одноманітності: до них
належать вольфії з квіткою розміром із шпилькову головку та рафлезії,
діаметр квіток яких досягає 1 м.
Царство Рослини умовно поділяють на вищі та нижчі рослини.
До нижчих рослин належать водорості, тіло яких не розчленоване на
органи і називається таломом, або сланню, а органи статевого і безстате-
вого розмноження зазвичай є одноклітинними. Вищими рослинами вва-
жається вся решта рослин, в яких є диференційовані тканини й органи,
а також багатоклітинні органи статевого та безстатевого розмноження.
Відділ Червоні водорості, або Багрянки
Включає близько 4000 видів морських та прісноводних, головним
чином багатоклітинних водоростей. Забарвлення їхнього талому — від
малиново-червоного до блакитно-сталевого і навіть чорного — зумовлене
хлорофілом та додатковими пігментами фікобілінами. Запасна речовина
червоних водоростей — багрянковий крохмаль. Розмножуються багрян-
ки безстатевим, вегетативним і статевим способами, проте в їхньому
життєвому циклі відсутні джгутикові стадії, що докорінно відрізняє
їх від інших водоростей.
Морські червоні водорості — це порфіра, філофора, родіменія, ко-
раліна, церамій, анфельція тощо. З прісноводних у нашій країні зуст-
річається, наприклад, батрахосперм.
Відділ Бурі водорості
Об’єднує близько 1500 видів виключно багатоклітинних морських
організмів. Забарвлення сланей бурих водоростей варіює від зелену-
вато-оливкового до темно-бурого. Пігментація зумовлена хлорофілом
та каротиноїдами. Розміри їх тіла можуть досягати 60 і більше метрів
(макроцистіс). До субстрату бурі водорості прикріпляються за допомо-
гою спеціальних виростів — ризоїдів, але згодом можуть відриватися
від них і не утворювати нових. На відміну від інших водоростей, в бурих
достатньо добре сформовані тканини, а органи статевого і безстатевого
розмноження можуть бути багатоклітинними. Запасна речовина бу-
рих водоростей — розчинний вуглевод ламінарин, що нагромаджується
в цитоплазмі. Розмножуються бурі водорості вегетативно, безстатевим
або статевим способом. їм властиве чітке чергування поколінь з пере-
важанням у життєвому циклі спорофіту.
Представниками відділу є ламінарія, фукус, саргас, макроцистіс,
постельсія тощо.
Ламінарія
Відділ Діатомові водорості
Відділ представлений 12-25 тис. видів одноклітинних та колоніаль-
них організмів, що мають кремнеземний панцир. Розміри тіла діатомей
украй незначні — в середньому близько 0,02-0,05 мм. Панцир має дві
стулки: верхню і нижню. Забарвлення діатомей зазвичай брудно-жовте,
що зумовлено наявністю каротиноїдів, які маскують хлорофіл. Запасними
470
Біологія
речовинами діатомей є полісахариди хризоламінарин, волютин або олія.
Розмноження цих водоростей здійснюється безстатевим і статевим спосо-
бами. Це прогресуюча група водоростей, яка переважає у всіх прісновод-
них і морських водоймищах, мешкають вони також у ґрунті.
Характерними представниками діатомових водоростей є діатома,
пінулярія, навікула, цимбела, мелозіра та ін.
Відділ Зелені водорості
Хламідомонада
4
Зозулин льон
1 — гаметофіт;
2 — ніжка спорофіту;
З — коробочка;
4 — ковпачок;
5 — ризоїди
До відділу Зелені водорості належать близько 20 000 видів водорос-
тей, забарвлених переважно у зелений колір завдяки наявності хлоро-
філів та каротиноїдів. Вони представлені одноклітинними, колоніаль-
ними та багатоклітинними формами. Багатоклітинні зелені водорості
можуть мати нитчастий або пластинчастий талом. Основною запасною
речовиною зелених водоростей є крохмаль. Розмноження цих водорос-
тей здійснюється безстатевим, вегетативним та статевим способами.
Вони заселили всі можливі екологічні ніші: солоні та прісні водойми,
ґрунт, каміння, льодовики, гейзери і т. ін.
Характерними представниками зелених водоростей є хламідомо-
нада, хлорела, дюналієла, вольвокс, спірогира, улотрикс, кладофора,
ульва та хара.
Відділ Мохоподібні
Об’єднує близько 25 тис. видів спорових рослин, у життєвому цик-
лі яких переважає гаметофіт, на відміну від решти спорових, пред-
ставлених в основному спорофітом. Розміри мохів незначні: більшість
з них не досягає у висоту і 10 см, хоча є й 40-сантиметрові види. Мохи
мешкають переважно у вологих місцях. Більша видова різноманітність
мохів характерна для північних широт, у тому числі зони тундри, про-
те і в тропічних областях зустрічається чимало видів цих організмів.
Гаметофіт мохоподібних може бути представлений пагоном із листоч-
ками та стеблинкою або сланню, але, на відміну від нижчих рослин,
у них є тканини (покривна і основна). Гаметофіт має також ризоїди, які
слугують для прикріплення до субстрата і поглинання води. Спорофіт
мохоподібних не існує самостійно, він паразитує на гаметофіті. Споро-
фіт представлений коробочкою з кришечкою та ковпачком, а також ніж-
кою з гаусторією. Мохи є дуже чутливими до нестачі води, при цьому
вони здатні висихати до повітряно-сухого стану, а через декілька років
при потраплянні у сприятливі умови знову зеленіти і виходити зі стану
пониженої інтенсивності життєдіяльності. Розмножуються мохи ста-
тевим та безстатевим способами. Статеве розмноження здійснюється
за допомогою гамет, а безстатеве — спорами та вегетативно.
Найбільшу кількість представників відділу налічують два класи:
Печіночники та Листкостеблові (Брієві) мохи. Характерними пред-
ставниками печіночників є маршанція та річчія, а листкостеблових —
політріхум та сфагнум.
Політріхум звичайний, більш відомий як зозулин льон, — це лист-
костебловий мох заввишки 10-20 см. Він широко розповсюджений
у тайзі та тундрі, у болотистих місцях, утворюючи іноді суцільний
покрив. Мох зозулин льон, що росте у заболочених місцях, бере участь
в утворенні низинного торфу.
Організменний рівень життя
471
Відділ Плауноподібні
Об’єднує близько 1000 видів найдавніших зі спорових рослин, в яких
переважає спорофіт. Незважаючи на те, що раніше серед плаунів зуст-
річалися й деревні форми, до наших днів збереглися в основному бага-
торічні трав’янисті рослини. У хвойних лісах достатньо звичний плаун
булавоподібний, який має пагони, що стеляться і підіймаються. Вони
усіяні дрібними листочками з єдиною центральною жилкою. У плау-
ноподібних є справжні провідні, механічні та інші тканини, додаткові
корені тощо. Розмножуються вони, як і всі інші спорові, безстатевим
і статевим способами. Спори утворюються на особливих листочках —
спорофілах, зібраних у спороносні колоски на верхівках пагонів. Зі спор
проростають гаметофіти, які ведуть підземний спосіб життя і фактично
паразитують на гіфах гриба протягом 6-20 років, до утворення на них
антеридіїв та архегоніїв. Після запліднення, для якого необхідна волога,
із зиготи проростає спорофіт. Баранець здатний розмножуватися також
за допомогою виводкових бруньок, які утворюються на верхівці пагона.
У нашій країні, окрім плауна булавоподібного, зустрічаються плаун
річний, баранець, плаунка, селагінела тощо.
Відділ Хвощеподібні
До відділу Хвощеподібні належать близько ЗО видів нині існуючих
багаторічних трав’янистих рослин, хоча раніше серед хвощів перева-
жали деревні й чагарникові форми. Хвощі поширені переважно у воло-
гих місцях. їхньою відмінною особливістю є розчленовування пагонів
на вузли та міжвузля. У вузлах розташовані кільця пагонів і крихітні
лускоподібні листочки. На поперечному зрізі стебла хвощів наявні чис-
ленні порожнини, заповнені водою або повітрям. їхні клітинні стінки
просочені кремнеземом, що робить їх дуже жорсткими та неїстівними
для тварин. Підземна частина пагонів хвощів представлена кореневи-
щами, в яких нагромаджуються поживні речовини.
Спори хвощів утворюються в спеціальних спороносних стробілах
(«шишках»), розташованих на верхівках пагонів. Проте ці стробіли мо-
жуть розвиватися як на звичайних вегетативних пагонах, так і на спе-
ціальних — генеративних, які з’являються навесні, раніше за вегетативні.
Спори проростають у гаметофіти, які представлені зеленими пластинками.
На них утворюються статеві клітини, які після запліднення формують
зиготу, що проростає у заросток-спорофіт, що живе за рахунок гаметофіту
допоки не сформує власне коріння і надземний пагін.
Схема життєвого циклу хвоща:
1 — спороносний колосок;
2 — спори з виростами;
З — проростання спор;
4 — антеридій зі сперматозоїдами;
5 — архегоній з яйцеклітинами;
6 , 7 — розвиток спорофіту
Схема життєвого циклу
плауна булавоподібного
1 — спороносні колоски;
2 — спорофіл зі спорами;
З — гаметофіт;
4 — антеридій
зі сперматозоїдами;
5 — архегоній
з яйцеклітиною;
6 — спорофіт
Хвощ
Поперечний зріз стебла
хвоща
472
Біологія
Типовими представниками відділу є хвощ польовий, хвощ річковий,
хвощ лісовий, хвощ строкатий, хвощ великий та інші.
Папороть
Відділ Папоротеподібні
Представлений близько 12 000 видів спорових рослин, які відріз-
няються наявністю великих, часто перисторозсічених листків — вайїв,
з розташованими на них групами спорангіїв — сорусами. Папороті
поширені повсюдно, особливо у тропіках, низка представників відді-
лу опанувала навіть водне середовище (марсилея, сальвінія, азола).
Спорофіт папоротей помірного клімату має кореневище з додат-
ковими коренями і добре розвиненими листками, тоді як у тропіках
та на екваторі зустрічаються й деревовидні рослини. Листки папо-
ротей мають розміри від 2-4 мм до 6 м, серед них зустрічаються як
прості, так і перисторозсічені, і навіть дво- та триперисторозсічені.
Молодий листок папороті — вайя — згорнутий равликом, його ріст
може продовжуватися декілька років, причому наростає він не осно-
вою, а верхівкою.
На нижній стороні зрілого листка утворюються численні спо-
рангії, зібрані у скупчення — соруси, іноді навіть прикриті спе-
ціальним покривальцем. Коли спори дозрівають, вони розсіваються
за допомогою вітру і проростають у гаметофіти, які мають форму
серцеподібної пластинки до 1 см у діаметрі. На нижній стороні га-
метофіту, окрім ризоїдів, формуються жіночі та чоловічі статеві
органи — антеридії та архегонії. В архегоніях утворюються жіночі
статеві клітини — яйцеклітини, а в антеридіях — багатоджгутикові
сперматозоїди. Для запліднення обов’язково необхідна краплин-
норідка волога. Із зиготи розвивається спорофіт, який деякий час
паразитує на гаметофіті.
В Україні зустрічаються щитник чоловічий (чоловіча папороть),
адіантум венерин волос, безщитник жіночий (жіноча папороть),
орляк, страусник звичайний тощо.
Відділ Голонасінні
Включає близько 800 видів насінних рослин, які не формують кві-
ток та плодів. їхні насінні зачатки лежать відкрито (голо) на лусках
жіночих шишок (звідси назва відділу). Майже всі голонасінні — де-
ревні, виключно наземні рослини, які утворюють ліси в різних части-
нах світу. Ріст пагона в довжину відбувається за рахунок верхівкової
твірної тканини, а в товщину — завдяки камбію, який рік за роком
відкладає все нові річні кільця деревини. У голонасінних вперше
з’являється головний корінь.
Різноманіття голонасінних. Відділ Голонасінні поділяють на сім
класів, проте основним з них є клас Хвойні, до якого належать сосни,
ялини, ялиці, модрини, секвої, кедри, ялівці, туї, кипариси тощо. Інші
класи голонасінних представлені вельвічією дивною, гінкго дволопа-
тевим, а також саговниками.
Клас Хвойні включає близько 700 видів голонасінних, що мають
голкоподібне, лускоподібне або іншої форми листя, яке здебільшого
називається хвоєю. Відмінною особливістю хвоїнок є не тільки гол-
коподібна форма, але й анатомічні особливості, пов’язані із захистом
Організменний рівень життя
473
від випаровування: товстий шар кутикули, заглиблення продихів,
наявність додаткового шару клітин під шкіркою — гіподерми, яка
виконує водозапасаючу та механічну функції, а також особлива будова
основної тканини листка. Більшість хвойних — вічнозелені рослини,
але зустрічаються й листопадні (модрина). Часто-густо вони виділя-
ють смолу. Щорічно в них утворюється лише одне кільце гілок, за
кількістю яких можна визначити вік рослини. Хвойні утворюють
пагони двох видів: видовжені й вкорочені, на яких безпосередньо
сидять хвоїнки. Анатомічна будова стебла і кореня наближається до
такої у покритонасінних.
Відділ Покритонасінні, або Квіткові рослини
Представлений приблизно 250 тис. видів найдосконаліших за
своєю організацією сучасних рослин. їхньою відмінною особливістю
є наявність квітки. Квітка захищає від дії несприятливих чинників
тичинки та насінний зачаток, що знаходиться в зав’язі маточки,
а також сприяє процесу запліднення, приваблюючи обпилювачів
та забезпечуючи перенесення пилку не на насінний зачаток, а на
приймочку маточки. Запліднення в квіткових є подвійним, оскільки
один спермій зливається з яйцеклітиною, а інший — з центральною
клітиною, внаслідок чого формується вторинний ендосперм (Зп),
більш стійкий до дії чинників навколишнього середовища, ніж пер-
винний ендосперм голонасінних. Пошкодженню або передчасному
проростанню насінини квіткових перешкоджає оплодень, внаслідок
чого вона може тривалий час зберігати життєздатність. Більш ви-
сокий ступінь організації тканин, особливо провідних, та органів
покритонасінних рослин поєднується з подальшою редукцією гаме-
тофіту. Наприклад, жіночий гаметофіт представлений зародковим
мішком, що спочатку має всього 8 клітин, тоді як у голонасінних
він був багатоклітинним.
Квіткові називають «переможцями у боротьбі за існування»,
оскільки вони заселили всі континенти та всі доступні середовища
існування, навіть водне. Серед них є деревні, чагарникові й трав’янисті
форми. Особливості будови вегетативних і генеративних органів пок-
ритонасінних лягли в основу їхньої класифікації. У наш час виділя-
ють два класи квіткових — Однодольні та Дводольні.
Однодольні відокремилися від дводольних ще на початку еволюції
покритонасінних рослин, але найпримітивніші з них зберігають деякі
риси схожості. Незважаючи на високий ступінь схожості сучасних
лататтєвих (клас Дводольні) з однодольними, вони не можуть роз-
глядатися як безпосередні предки однодольних унаслідок високої
спеціалізації, найімовірніше, вони пішли від якихось ще більш при-
мітивних вологолюбних загальних предків.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Яка систематична одиниця використовується в ботаніці, але не використовується
у зоології:
А) вид; В) клас;
Б) родина; Г) відділ.
474
Біологія
2. Яка тканина з зображених на рисунку є мертвою механічною:
А Б в г
& )|І жПІГ ... 'Ж. Ж? 0
3. Якими коренями утворена мичкувата коренева система:
А) головним та додатковими; Б) головним та бічними;
В) додатковими та бічними; Г) лише бічними.
4. Яку функцію виконує серцевина стебла:
А) видільну; Б) захисну; В) транспортну; Г) механічної опори.
5. У представників якої родини зустрічаються стерильні квітки:
А) Розові; Б) Капустяні; В) Бобові; Г) Айстрові.
6. На відміну від ендосперму голонасінних, ендосперм покритонасінних є:
А) гаплоїдним; Б) диплоїдним; В) триплоїдним; Г) тетраплоїдним.
7. Визначте, якими цифрами на рисунку позначені спорофіт і гаметофіт щитника чоловічого:
А) 1 — спорофіт, 3 — гаметофіт;
Б) 2 — спорофіт; 3 — гаметофіт;
В) 1 — спорофіт; 2 — гаметофіт;
Г) 3 — спорофіт; 2 — гаметофіт.
8. Представники яких відділів багаті на кремнезем:
А) Червоні водорості та Плауноподібні;
Б) Зелені водорості та Мохоподібні;
В) Бурі водорості та Папоротеподібні;
Г) Діатомові водорості та Хвощеподібні.
Організменний рівень життя
475
1) пагін;
2)стебло;
3) листок;
4) корінь.
9. Установіть відповідність між вегетативними органами та рослинами, які мають видозміни
цих органів:
А) картопля;
Б) горох;
В)троянда;
Г) жоржина;
Д) кактус.
10. Визначте послідовність руху речовин коренем:
А) ксилема; Б) кореневі волоски; В) центральний циліндр; Г) первинна кора.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Г. 2. А. 3. В. 4. А. 5. Г. 6. В. 7. А. 8. Г. 9. 1А, 2Д, ЗБ, 4Г. 10. Б, Г, В, А.
Гриби. Лишайники
Загальна характеристика царства Гриби
До царства Гриби належить близько 100 тис. видів одноклітинних
та багатоклітинних еукаріотичних гетеротрофних організмів з необме-
женим ростом. Як і рослини, більшість представників царства не здат-
на до активного переміщення у просторі. Клітини грибів мають одне
або декілька ядер, хітинові клітинні стінки, а основною запасною ре-
човиною в них є глікоген. Клітини деяких грибів містять вакуолі. До од-
ноклітинних грибів належать, наприклад, дріжджі, а багатоклітинни-
ми є цвілеві гриби, мухомор та ін. Клітини багатоклітинних грибів
утворюють тонкі нитки — гіфи, сукупність яких називається грибницею,
або міцелієм (від грецьк. тукез — гриб). Щільне сплетення гіфів утво-
рює несправжню тканину.
Така будова дозволяє грибу максимально опановувати оточуючий
простір для витягання з нього поживних речовин, проте наявність
твердої клітинної стінки змушує гриби виділяти у субстрат ферменти
розщеплення, а потім поглинати розчинені речовини всією поверхнею
клітини. Такий спосіб живлення називається осмотрофним. Він приму-
шує гриб занурюватися у субстрат якомога глибше, що ускладнює його
розповсюдження, яке здійснюється за допомогою спор. Гриби долають
цю незручність завдяки спеціальним виростам міцелію, які виносять
спори на поверхню. Природно, що тіло грибів не може мати таких ве-
ликих розмірів, як тіла тварин і рослин, проте протяжність їхніх гіфів
набагато перевищує довжину всього кореня рослин.
Міцелій деяких грибів може формувати плодові тіла — вмістища
спороносних утворень. Плодові тіла можуть бути украй різноманітними
за розмірами та устроєм, проте найбільшу увагу привертають шапкові
гриби, до яких належить більшість їстівних грибів.
Плодове тіло шапкових грибів чітко поділяється на шапку та ніжку.
На нижній стороні шапки формуються пластинки (у пластинчастих
грибів — печериць, лисичок, гливи) або дрібні трубочки (у трубчас-
тих грибів — білого гриба, підосичника). На пластинках і в трубочках
утворюються спори, які забезпечують розселення гриба.
Міцелій
476
Біологія
Мікориза
Розмноження грибів
спорами
Поперечний зріз
гетеромерного
лишайника
Життєдіяльність грибів
Гриби — типові гетеротрофи. Більшість з них є сапротрофами або
симбіонтами, проте є серед них хижаки та паразити, що спричиняють
хвороби людини, тварин і рослин.
Сапротрофні гриби розщеплюють органічні залишки рослинного
і тваринного походження до більш простих сполук, часто неорганічних.
До сапротрофних грибів належать, наприклад, цвілеві гриби — пені-
цил, мукор, ризопус, що здатні псувати органічні субстрати, на яких
вони поселяються. Незважаючи на те, що гриби — аеробні організми,
вони також можуть здійснювати і процеси бродіння (дріжджі, аспергіл).
Дріжджі одержують енергію із субстрату в процесі спиртового бродіння,
в результаті якого утворюються етиловий спирт та вуглекислий газ.
Симбіотичні гриби утворюють із корінням приблизно 80 % видів сучас-
них рослин грибокорінь, або мікоризу. Обплітаючи корені або проникаючи
в них, міцелій гриба нібито замінює собою кореневі волоски, збільшую-
чи площу поверхні всмоктування. Симбіотичний гриб постачає рослині
воду і мінеральні солі, тоді як рослина надає йому органічні речовини.
Крім того, гриби синтезують біологічно активні речовини, зокрема
фітогормони, переводять сполуки фосфору, що містяться у ґрунті, у більш
доступну для рослин форму, захищають рослини від проникнення па-
разитів тощо. Мікоризними грибами є білий гриб, підосичник, трюфель
тощо. Значна кількість рослин і грибів утворюють настільки стійкі сим-
біози, що без гриба рослина не може навіть проростати, як деякі орхі-
деї. Іншим прикладом симбіозу гриба і рослини є лишайники, які бу-
дуть розглянуті нижче.
Розмножуються гриби безстатевим і статевим способами. Безстате-
ве розмноження в одноклітинних грибів, таких як дріжджі, відбуваєть-
ся брунькуванням або поділом навпіл, тоді як у багатоклітинних мож-
ливий поділ міцелію на декілька частин, проте частіше у них
утворюються спори. Спори грибів — це численні та дуже дрібні утво-
рення, за допомогою яких відбувається розселення. У грибів відомі
й статеві процеси, до того ж вони настільки різноманітні, що врахову-
ються при класифікації грибів.
Лишайники,їхня різноманітність,
особливості будови та життєдіяльності
Лишайники є особливою формою симбіотичних організмів, утворених
грибним і водоростевим компонентами. Водоростевий компонент лишай-
ників здебільшого належить до ціанобактерій або зелених водоростей. Во-
дорість надає грибу органічні речовини, утворені у процесі фотосинтезу,
тоді як гриб забезпечує її водою і мінеральними солями, що він поглинає
із субстрату. Існують дві протилежні думки щодо їхніх стосунків: гриб
та водорість або співіснують на взаємовигідній основі (цей тип взаємо-
стосунків називається мутуалізмом), або гриб паразитує на водорості.
Тіло лишайника не розчленоване на тканини та органи, тому його,
як і у водоростей, називають сланню. Усередині слані лишайника гри-
би або проникають у клітини водорості за допомогою особливих ви-
ростів — гіфів, або здійснюють із ними обмін речовин через товстий
прошарок міжклітинної речовини. На поперечному зрізі помітно, що
в одних лишайниках клітини водоростей рівномірно розподілені у товщі
Організменний рівень життя
477
слані (гомеомерні лишайники), а в інших зверху і знизу є скориночки,
утворені міцелієм гриба, між якими і розташовується фотосинтезуючий
компонент (гетеромерні лишайники).
За морфологією слані лишайники поділяють на накипні, листуваті
та кущисті. Найбільш високоорганізованими з них є кущисті лишай-
ники, що нагадують кущики. Кущистими лишайниками є так званий
оленячий мох, що утворює суцільний килим у тундрі, та бородач, що
звисає з дерев. Накипні лишайники вростають у субстрат, покриваючи
каміння, кору дерев, паркани і ін. До них належать, наприклад, лека-
нора, лецидея та графіс, що вкриває кору граба своєрідним візерунком,
схожим на стародавні письмена. Листуваті лишайники є більш поміт-
ними, ніж врослі у субстрат накипні, особливо впадають в око ксан-
торія (стінна золотянка), що зустрічається майже повсюдно, та сірувата
пармелія на корі дубів та інших дерев.
Розмножуються лишайники вегетативно або спорами. При вегета-
тивному розмноженні від слані відокремлюються невеликі шматочки,
що містять як грибний, так і водоростевий компоненти, або спеціальне
утворення. Спори в лишайниках утворює лише гриб, проте при захоп-
ленні його гіфами клітин водорості утворюється нова слань.
Усього відомо близько 25 тис. видів лишайників, проте їхня система-
тична належність до кінця не з’ясована, оскільки одні автори виділяють
їх в особливий відділ царства Гриби, а інші класифікують за грибним
компонентом.
Морфологія слані
лишайника
а) накипний;
б) листуватий;
в) кущистий
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1.
2.
3.
4.
Яка речовина, властива грибам, не розщеплюється в організмі людини?
А) глікоген; Б) хітин; В) вітаміни; Г) білки.
У який спосіб відбувається розмноження дріжджів?
А) утворенням спор у плодових тілах; Б) множинним поділом клітини;
В) брунькуванням; Г) фрагментацією багатоклітинної слані на окремі шматки.
У який спосіб людина використовує лишайники?
А) як індикатор чистоти повітря; Б) як індикатор забруднення води;
В) для датування віку споруд та виробів; Г) для виробництва продуктів харчування.
Доберіть приклад до кожної групи грибів, який її ілюструє:
1) паразити; А) дріжджі;
2) сапротрофи; Б) бородач;
3) симбіонти; В) фітофтора;
4) цвілеві. Г) пеніцил;
Д) трюфель.
Визначте послідовність подій заселення каменя лишайниками:
А) виділення лишайникових кислот;
Б) руйнування гірської породи;
В) потрапляння вегетативного утворення лишайника, що містить водоростевий і грибний
компоненти, на субстрат;
Г) накопичення органічних залишків.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Б. 2. В. 3. А. 4. 1В, 2А, ЗД, 4Г. 5. В, А, Б, Г.
478
Біологія
Тварини
Різноманітність тварин
Підцарство Одноклітинні, або Найпростіші
Загальна характеристика підцарства Одноклітинні,
або Найпростіші
До найпростіших належать приблизно 40 тис. видів мікроскопічних
одноклітинних та колоніальних тваринних організмів, клітини яких
виконують усі функції цілісного організму. Отже, найпростіші є ор-
ганізмами на клітинному рівні організації.
Перші найпростіші були знайдені у 1675 р. А. ван Левенгуком. Роз-
міри їхнього тіла коливаються від 2-4 мкм до 1000 мкм. Форма клітин
найпростіших може бути надзвичайно різноманітною — від безформної
в амеби до зірчастої променяків.
Клітини найпростіших містять одне або декілька ядер, а також
більш або менш повний набір органел, властивий будь-якій еукаріо-
тичній клітині. Рух клітини забезпечується за допомогою несправжніх
ніжок, або псевдоподій, джгутиків або війок, що слугує систематичною
ознакою. У цитоплазмі прісноводних видів є скоротливі вакуолі, які
виконують функцію осморегуляції, та червоні вічка, що беруть участь
у процесах орієнтації на світло.
Живлення одноклітинних здійснюється в основному шляхом фаго-
цитозу або піноцитозу. Деякі представники навіть мають клітинний
рот та відхідник, за допомогою яких відбувається захоплення їжі
та виведення неперетравлених залишків відповідно.
Більшість вільноживучих одноклітинних — аероби, які одержують
кисень для дихання через поверхню тіла, хоча є серед них й анаероби.
Найпростішим властива й подразливість, прикладами якої є стис-
кання амеби в грудочку, якщо покласти поряд з нею кришталик кухон-
ної солі, а також рух евглени зеленої до світла (фототаксис), у сприй-
нятті світла бере участь червоне вічко.
Розмножуються одноклітинні як безстатевим, так і статевим спо-
собами.
За несприятливих умов деякі одноклітинні здатні набувати куляс-
тої форми та вкриватися щільними захисними оболонками, внаслідок
чого формується циста — тимчасова форма існування, що покоїться.
Цисти можуть переноситися потоками повітря і води на великі відстані,
забезпечуючи розселення цих організмів.
У наш час виділяють до семи типів одноклітинних тварин, найбіль-
шими з яких є типи Саркоджгутикові, Споровики та Інфузорії.
Тип Саркоджгутикові
Об’єднує близько 25 тис. видів одноклітинних і колоніальних ор-
ганізмів, які хоча б на одній зі стадій розвитку пересуваються за до-
помогою несправжніх ніжок або джгутиків. В основному їхні клітини
мають одне ядро. Більшість видів розмножуються безстатевим способом,
але в деяких є і статевий процес. До саркоджгутикових належать авто-
трофні, міксотрофні та гетеротрофні організми. Останні можуть бути
Організменний рівень життя
479
хижаками, паразитами, симбіонтами або сапротрофами. Тип поділяють
на два підтипи: Саркодові та Джгутиконосці.
Підтип Саркодові об’єднує тварин, які не мають постійної форми
тіла, хоча деяким представникам властива здатність до утворення че-
репашки або внутрішнього скелета. Пересуваються вони за допомогою
несправжніх ніжок. Розмноження в основному безстатеве. Більшість
саркодових — вільноживучі водні та ґрунтові види (амеба протей, че-
репашкова амеба арцела, форамініфери, радіолярії, або променяки,
та сонцевики), але зустрічаються й паразити тварин і людини (амеба
дизентерійна).
Підтип Джгутиконосці об’єднує перш за все тварин із джгутиками
та постійною формою тіла, яка підтримується за рахунок пелікули —
ущільнених поверхневих шарів цитоплазми з добре розвиненим підмемб-
ранним комплексом. Рухаються джгутиконосці за допомогою одного або
більше джгутиків. У деяких представників на джгутик, розташований
уздовж тіла, може бути натягнута мембранна перетинка, що хвилеподіб-
но коливається. Розмножуються вони здебільшого безстатевим способом,
шляхом поділу. Живлення джгутиконосців може бути гетеротрофним,
автотрофним або міксотрофним. За цією ознакою їх поділяють на два
класи: Рослинні джгутиконосці та Тваринні джгутиконосці.
До класу Рослинні джгутиконосці належать автотрофні та міксо-
трофні найпростіші, що мають хлоропласти, хоча серед них зустріча-
ються і гетеротрофні види. Представниками класу є евглена зелена,
хламідомонада, вольвокс, які розглядалися у складі відділу Зелені во-
дорості, а також пандорина, евдорина та ін.
Клас Тваринні джгутиконосці об’єднує гетеротрофних джгутико-
носців, значна частина з яких є паразитами людини і тварин. До них
належать трипаносоми, лейшманії, лямблії та ін.
Тип Споровики
Включає близько 4800 паразитичних найпростіших, у яких відсутні
органели руху, а джгутики є лише в чоловічих гамет. У більшості пред-
ставників спостерігається статевий процес, а безстатеве розмноження
здійснюється множинним поділом та утворенням спороподібних утво-
рень. До споровиків належить малярійний плазмодій.
Малярійний плазмодій — збудник небезпечної хвороби людини
малярії, поширеної у помірному та тропічному кліматі. При укусі ма-
лярійного комара плазмодій проникає в кров людини, потім розмно-
жується безстатевим способом у клітинах печінки й еритроцитах крові,
спричиняючи різке підвищення і падіння температури, що супровод-
жується лихоманкою. Статеве розмноження плазмодія відбувається
лише у кишечнику комара, тому він є остаточним хазяїном плазмодія,
тоді як людина — проміжним.
Тип Інфузорії
Об’єднує близько 7500 видів найбільш високоорганізованих найпро-
стіших, рух яких здійснюється за допомогою війок. Клітина інфузорії
має клітинний рот, до якого їжа заганяється завдяки биттю війок. Клі-
тинний рот переходить у клітинну глотку, від якої відшнуровуються
травні вакуолі. Неперетравлені залишки їжі виводяться з клітини че-
рез відхідник. Прісноводні види інфузорій зазвичай мають скоротливі
вакуолі.
Амеба протей
1 — несправжні ніжки;
2 — ядро;
З — скоротлива вакуоля;
4 — травні вакуолі
Евглена зелена
1 — пелікула;
2 — ядро;
З — джгутик;
4 — «вічко»;
5 — клітинний рот;
6 — хлоропласти
Трипаносома
480
Біологія
Інфузорія-туфелька
1 — вегетативне ядро;
2 — генеративне ядро;
З — скоротливі вакуолі;
4 — клітинна глотка;
5 — відхідник;
6 — травна вакуоля
Інфузорії мають два ядра: велике (вегетативне, макронуклеус) і мале
(генеративне, мікронуклеус). Мале ядро містить ДНК та бере участь
у статевому процесі, а велике ядро регулює процеси життєдіяльності
клітини.
Розмножуються інфузорії поділом клітини, у них також відомий
статевий процес — кон’югація, який не супроводжується збільшенням
кількості особин, а полягає в обміні спадковою інформацією.
Більшість видів інфузорій — морські та прісноводні вільноживучі
організми, але серед них зустрічаються паразити та симбіонти людини
і тварин. Характерними представниками є інфузорія-туфелька, на при-
кладі якої й описувалися інфузорії, та балантидій.
Підцарство Багатоклітинні
Загальна характеристика підцарства Багатоклітинні
Багатоклітинні тварини мають більш високий рівень організації, ніж
одноклітинні, оскільки їх тіло складається з безлічі клітин, що викону-
ють різні функції, внаслідок чого втрачають здатність до самостійного
існування. Цілісність їхнього організму підтримується за рахунок між-
клітинних взаємодій. У життєвому циклі багатоклітинних відбувається
чергування багатоклітинних та одноклітинних стадій, оскільки їхній
розвиток при статевому розмноженні відбувається з єдиної клітини —
зиготи. Розміри тіла у багатоклітинних, як правило, більші, ніж в одно-
клітинних, що спричинило ускладнення процесів обміну речовин і пе-
ретворення енергії, а також підтримки гомеостазу. Внаслідок цього
несприятливі чинники довкілля впливають на них набагато менше,
тоді як тривалість життя окремої особини збільшується. В цілому бага-
токлітинні мають низку переваг над одноклітинними і є якісно новим
етапом еволюції тварин.
У більшості багатоклітинних організмів клітини формують тканини,
органи та їхні системи.
За сучасними уявленнями, до багатоклітинних належать приблиз-
но 16 типів тварин, найбільшими з яких є типи Кишковопорожнинні,
Плоскі черви, Круглі черви, Кільчасті черви, Молюски, Членистоногі
та Хордові.
Тип Кишковопорожнинні
Тип Кишковопорожнинні включає понад 10 тис. видів багатоклітин-
них двошарових тварин, що мешкають у прісних і солоних водоймах.
Ознаками типу є радіальна симетрія тіла, наявність кишкової порож-
нини та специфічних органів захисту і нападу — жалких клітин. Серед
них зустрічаються як одиночні, так і колоніальні організми. У киш-
ковопорожнинних розрізняють дві форми: поліпи та медузи. Поліпи
в основному нерухомі або пересуваються за допомогою м’язистої ноги,
крокуючи та перекидаючись, а медузам властивий реактивний рух
за рахунок скорочення зонтика.
Характерний представник типу — прісноводна гідра. Це невеликий
(близько 1 см) одиночний поліп, що має вид стеблинки, прикріпленої
підошвою до субстрату. На верхньому кінці тіла розташований рот,
оточений щупальцями.
Організменний рівень життя
481
Зовнішній шар тіла гідри — ектодерма — утворений епітеліаль-
но-мускульними, жалкими та нервовими клітинами, а внутрішній —
ентодерма — залозистими і травними, що мають джгутики. В обох
шарах є недиференційовані проміжні клітини, з яких може утворюва-
тися будь-який тип клітин тіла гідри. Між ектодермою та ентодермою
знаходиться шар добре розвиненої міжклітинної речовини — мезоглеї.
Стінки тіла утворюють кишкову (гастральну) порожнину, в якій від-
бувається травлення.
Захоплення їжі відбувається за допомогою жалких клітин, розта-
шованих здебільшого на щупальцях. Паралізована здобич поміщається
в кишкову порожнину, де відбувається спочатку порожнинне травлення
під дією ферментів залозистих клітин, а потім і внутрішньоклітинне
травлення в травних клітинах, які подрібнюють неповністю перетрав-
лену їжу за допомогою джгутиків та захоплюють її шляхом фагоцитозу.
Нервові клітини кишковопорожнинних мають зірчасту форму і за
допомогою відростків контактують із сусідніми нервовими клітинами,
утворюючи дифузну нервову систему, схожу на мережу. В деяких груп
кишковопорожнинних зустрічаються скупчення нервових клітин —
нервові вузли, або ганглії. Завдяки наявності нервової системи у від-
повідь на подразнення, спричинене, наприклад, голкою, тіло гідри ско-
рочується, тобто кишковопорожнинним властиві рефлекси. Рефлексом
називається реакція організму, здійснювана за участю нервової системи
у відповідь на дію зовнішніх або внутрішніх подразників. У деяких
кишковопорожнинних є примітивні органи чуття — світлочутливі віч-
ка, органи рівноваги й органи хімічного чуття.
Розмноження гідри здійснюється вегетативно (брунькуванням) і ста-
тевим способом. Кишковопорожнинні є гермафродитами, оскільки ут-
ворюють одночасно чоловічі та жіночі статеві клітини. При статевому
розмноженні статеві клітини утворюються під ектодермою, спермато-
зоїди виходять у воду і через розрив тканин проникають до нерухо-
мої яйцеклітини. Зигота починає дробитися і вкривається оболонкою,
і в такому стані здатна переносити несприятливі умови (промерзання,
пересихання водойми).
Гідри здатні відтворюватися з невеличкого шматка тіла, ця їхня
властивість називається регенерацією.
Класифікація кишковопорожнинних. Тип Кишковопорожнинні поді-
ляють на три класи: Гідроїдні, Сцифоїдні медузи та Коралові поліпи.
Клас Гідроїдні об’єднує головним чином морських, рідше прісно-
водних кишковопорожнинних, які часто-густо утворюють колонії.
В цілому вони мають більш примітивну будову, ніж інші групи киш-
ковопорожнинних. У багатьох представників класу в життєвому циклі
відбувається зміна поколінь: статевого — медуз — та безстатевого —
поліпів. Представники класу — прісноводна гідра, португальський ко-
раблик, обелія, хрестовичок.
Клас Сцифоїдні медузи об’єднує пристосованих до плаваючого спо-
собу життя морських тварин. Більша частина їхнього життєвого циклу
проходить у формі медуз. їм властивий реактивний рух за рахунок ско-
рочення стінок зонтика. Нервова система сцифоїдних розвинута краще,
ніж в гідроїдних, має ганглії, а органи чуття утворюють особливі ком-
плекси. Представники: вухата медуза, або аурелія, ціанея, корнерот.
Клас Коралові поліпи включає морських колоніальних, рідше оди-
ночних кишковопорожнинних, які розвиваються без зміни поколінь.
Схема будови гідри
1 — підошва;
2 — стеблинка (тіло);
З — кишкова порожнина;
4 — рот;
5 — щупальця
Брунькування гідри
482
Біологія
Багато представників класу мають вапняний скелет та беруть участь
в утворенні рифів. Розмножуються коралові поліпи статевим і безста-
тевим способом, причому в колоніальних видів при брунькуванні нова
особина не пориває зв’язку з материнською кишковою порожниною.
Чергування поколінь для коралових поліпів не характерне. Представ-
ники: актинії, благородні корали, морське перо.
Тип Плоскі черви
Об’єднує близько 15 тис. видів тришарових багатоклітинних тварин
з двосторонньою симетрією тіла. У них вперше у процесі ембріонального
розвитку з’являється третій зародковий листок — мезодерма, з якого
формуються внутрішні органи. Серед представників типу є як вільно-
живучі прісноводні та морські види, так і паразити.
Тіло більшості плоских червів сплощене у спинно-черевному на-
прямку, воно вкрите одношаровим епітелієм, під яким розташовані три
шари м’язів (кільцеві, поздовжні та діагональні, іноді є ще й спинно-
черевні). Шкіра та підшкірні шари мускулатури утворюють шкірно-
мускульний мішок. Порожнина тіла у них відсутня, проміжки між
органами заповнені паренхімою.
Травна система плоских червів має лише передній та середній відді-
ли, останній сліпо замкнений, внаслідок чого неперетравлені залишки
їжі виводяться через ротовий отвір. У передній кишці виділяють глотку
і стравохід, середня кишка розгалужена.
Кровоносна та дихальна системи у плоских червів відсутні. Дихання
аеробне або анаеробне, кисень надходить через поверхню тіла.
Планарія молочно-біла
Внутрішня будова планарії: 1 — рот; 2 — глотка; 3 — гілка кишечника;
4 — видільна система; 5 — надглоткові нервові вузли; 6 — нервовий стовбур
Видільна система представлена мережею розгалужених канальців —
протонефридіїв, видільні трубочки яких збираються в один-два вивід-
них канали, що йдуть уздовж усього тіла і відкриваються на задньому
його кінці. Протонефридії виводять з організму надлишок води та про-
дукти обміну речовин.
Нервова система складається з парних надглоткових нервових вуз-
лів та поздовжніх стовбурів, сполучених тяжами. Органи чуття пред-
ставлені світлочутливими вічками, органами рівноваги, дотиковими
клітинами та органами хімічного чуття.
Переважна більшість плоских червів — гермафродити, проте заплід-
нення в них, як правило, перехресне. Розвиток непрямий або прямий.
Класифікація плоских червів. Найбільше значення мають три класи
плоских червів: Війчасті черви, Сисуни та Стьожкові черви.
Клас Війчасті черви включає близько 3500 видів здебільшого вільно-
живучих червів, шкірний епітелій яких вкритий війками. Найчастіше
Організменний рівень життя
483
вони зустрічаються у прісних і солоних водах, проте є й сухопутні фор-
ми, у тому числі ґрунтові. На відміну від паразитичних червів, у них
відсутні спеціальні органи прикріплення, життєвий цикл простий
і достатньо добре розвинені органи чуття.
Плоске тіло війчастих червів має овальну або подовжену форму.
У ньому чітко розрізняються головний та задній кінці. На головному
кінці розташовані вічка та бічні вирости — щупальця, які слугують
органами дотику.
Пересуваються війчасті черви за допомогою війок епітелію та за
рахунок скорочення м’язів.
У більшості війчастих червів є травна система, до якої належать рот,
глотка та 1-3 гілки кишечника. Рот у них зазвичай розташований на
черевній стороні тіла, а глотка може вивертатися для захоплення їжі.
Кишечник сліпо замкнений.
Нервова система примітивна, утворена парним мозковим нервовим
вузлом та нервовими тяжами, що відходять від нього; іноді вона на
вигляд нагадує драбину. Органи чуття — світлочутливі вічка, дотикові
й нюхові війки.
Органи виділення — протонефридії.
Війчасті черви — гермафродити, оскільки продукують одночасно
чоловічі та жіночі статеві клітини, проте в більшості випадків заплід-
нення відбувається перехресно. Розвиток у них прямий або непрямий.
Представники: планарія молочно-біла, планарія чорна.
Клас Сисуни включає близько 4000 видів внутрішніх паразитів (ен-
допаразитів) людини і тварин. їхнє тіло має листкоподібну або веретено-
подібну форму й забезпечене двома присосками (ротовою та черевною).
Розміри тіла сисунів варіюють у межах від декількох міліметрів до 1,5 м.
Епітелій, на відміну від війчастих червів, позбавлений війок, проте
разом з підшкірними шарами м’язів утворює характерний для плоских
червів шкірно-м’язовий мішок.
Травна система сисунів сліпо замкнена і утворена ротом, глоткою
та двогіллястим кишечником. Видільна система представників класу
також має типову для плоских червів будову.
Сисунам властиве статеве та безстатеве розмноження. Переважна
більшість сисунів — гермафродити, проте є й роздільностатеві види.
Запліднення, як правило, перехресне. Деякі сисуни здатні до парте-
ногенетичного розвитку. Життєві цикли сисунів часто-густо є дуже
складними, оскільки в них відбувається чергування статевого та без-
статевого розмноження, а також зміна хазяїв.
Найбільш часто у людини паразитують печінковий, котячий
та кров’яні сисуни.
Клас Стьожкові черви об’єднує близько 3000 видів паразитичних
плоских червів, які на дорослій стадії мешкають в кишечнику хребет-
них тварин. Довжина тіла стьожкових червів коливається від 1 мм
до 12 м. їхнє тіло поділяється на головку, шийку та численні членики.
На головці є спеціалізовані органи прикріплення — присоски та гачеч-
ки. Шийка — це своєрідна зона росту, в якій утворюються нові членики
замість тих, що відокремилися.
Травна, дихальна і кровоносна системи у стьожкових червів відсут-
ні, всмоктування їжі відбувається всією поверхнею тіла. Дорослі особи-
ни — анаероби. Видільна система представлена в них протонефридіями.
Нервова система й органи чуття розвинені слабко.
Внутрішня будова
печінкового сисуна
1 — ротовий присосок;
2 — черевний присосок;
З — глотка;
4 — гілка кишечника;
5 — нервова система;
6 — статева система
Стьожковий черв
1 — головка;
2 — шийка;
З — тіло з члеників
484
Біологія
Статева система гермафродитна, повторюється в кожному члени-
ку. Запліднення може бути перехресним, хоча в крупних стьожкових
червів воно відбувається між члениками тіла. В їхньому життєвому
циклі відбувається зміна господарів і присутня пухирчаста стадія —
фіна. Проміжними хазяями стьожкових червів бувають як хребетні,
так і безхребетні тварини, а остаточними — обов’язково хребетні.
До стьожкових червів належать бичачий і свинячий ціп’яки, ши-
рокий стьожак, ехінокок.
Тип Круглі черви, або Первиннопорожнинні
Об’єднує близько 100 тис. видів первиннопорожнинних безхребет-
них тварин з круглястою на поперечному зрізі формою тіла. Значна
частина круглих червів є паразитами тварин і рослин, проте зустріча-
ються серед них і вільноживучі види.
Тіло більшості круглих червів має веретеноподібну форму із загос-
треними переднім та заднім кінцями. Воно вкрите щільною кутикулою,
під якою розташовується гіподерма, що продукує цю кутикулу. Кути-
кула перешкоджає проникненню речовин усередину тіла, але в той же
час захищає круглих червів від дії агресивних рідин, наприклад киш-
кового соку. Під гіподермою розташовані чотири стрічки поздовжніх
м’язів, завдяки яким круглі черви здатні пересуватися, звиваючись.
Порожнина тіла в них первинна. Вона заповнена рідиною, що знахо-
диться під високим тиском, що дозволяє круглим червам підтриму-
вати сталість внутрішнього середовища, знижувати тертя внутрішніх
органів і підтримувати форму тіла практично за будь-яких умов (гід-
ростатичний скелет).
Травна система круглих червів поділяється на передню, середню
і задню кишки, що закінчується анальним отвором. Як і в плоских
червів, у круглих відсутні дихальна і кровоносна системи. Оскільки
значна кількість представників мешкає всередині тіла хазяїна, вони
є анаеробами. Проте на певних стадіях розвитку їм потрібен кисень,
тобто вони переходять до аеробного дихання.
Видільна система круглих червів представлена протонефридіями,
які збираються у видільні канали, що йдуть з боків тіла і відкриваються
в передній його частині видільним отвором.
Нервова система первиннопорожнинних утворена навкологлотковим
нервовим кільцем та нервовими стовбурами, що відходять від нього
і тягнуться уздовж усього тіла. Органи чуття розвинені у них слабко,
головним чином у вільноживучих особин.
Круглі черви — роздільностатеві тварини, з добре помітними від-
мінностями між самками та самцями (це явище має назву статевого
диморфізму). У самок є парні яєчники, що продовжуються матками та
піхвою, яка відкривається назовні статевим отвором. На відміну від
них, у самців єдиний сім’яник сполучається із сім’явиносним кана-
лом, який відкривається в задню кишку. Запліднення у круглих червів
внутрішнє. Розвиток прямий. Розмножуються круглі черви виключно
статевим способом або партеногенетично.
Класифікація круглих червів. Круглих червів поділяють на
6-7 класів, найзначнішим з яких є клас Нематоди, або Власне круглі
черви. Цьому класу притаманні всі особливості типу. До нього нале-
жить низка паразитів людини: аскарида людська, гострик, трихінела,
волосоголовець та ін.
Організменний рівень життя
485
Тип Кільчасті черви
Тип Кільчасті черви об’єднує близько 12 тис. сегментованих вторин-
нопорожнинних тварин. До нього належать вільноживучі прісноводні
та морські організми, а також ґрунтові та деревні завдовжки до 3 м.
У кільчастих червів виражені головний та задній кінці тіла, між яки-
ми знаходиться сегментований тулуб. На головному кінці розташовані
органи чуття: вічка, органи дотику та хімічного чуття. Наступні сегменти
тіла деяких червів можуть мати парні вирости тіла з війками — параподії.
Тіло кільчаків укрите тонкою кутикулою, під якою розташовані
одношаровий епітелій і кільцеві та поздовжні м’язи, що підстилають
його, утворюючи шкірно-м’язовий мішок. Порожнина тіла в кільчаків
вторинна, або целом. У порожнині тіла наявна рідина, що дозволяє цим
червам підтримувати сталість внутрішнього середовища (гідростатич-
ний скелет).
Травна система кільчаків поділяється на передню, середню та задню
кишки. Через рот їжа потрапляє до глотки, стравоходу, а потім — до ки-
шечника. Рот деяких хижих червів може мати хітинові щелепи, представ-
ники мають слинні або вапняні залози, що нейтралізують кислотність
ґрунту. Деякі види мають шлунок більших або менших розмірів та воло.
Дихальна система у більшості представників типу відсутня, лише
в деяких видів морських багатощетинкових червів є зябра. Кисень над-
ходить через всю поверхню тіла.
У кільчаків уперше з’являється кровоносна система, утворена круп-
ними спинною та черевною судинами, які сполучаються між собою кіль-
цевими перемичками. Від крупних судин відгалужуються дрібніші, що
несуть кров до органів. Кров кільчастих червів може мати червоний
або інший колір, вона виконує дихальну функцію, переносячи кисень
і видаляючи вуглекислий газ. Кровоносна система замкнена.
Виділення в них здійснюється за допомогою розташованих у кож-
ному сегменті парних метанефридіїв. Метанефридії виводять продукти
обміну речовин та підтримують водно-сольовий баланс в організмі.
Нервова система кільчастих червів складається з парного надглот-
кового нервового ганглія та черевного нервового ланцюжка, утворено-
го парними гангліями в кожному сегменті тіла. Органи чуття: вічка,
органи нюху та рівноваги.
Розмноження кільчастих червів відбувається безстатевим або ста-
тевим способом. При безстатевому розмноженні тіло черва поділяється
на декілька частин, які доростають потім до початкових розмірів (фраг-
ментація). Кільчасті черви бувають роздільностатевими або гермаф-
родитами, проте запліднення в них перехресне. Розвиток у більшості
представників непрямий, оскільки із заплідненого яйця виходять ли-
чинки, несхожі на дорослі особини.
Класифікація кільчастих червів. До даного типу належать класи
Багатощетинкові, Малощетинкові та П’явки. В основу класифікації
кільчастих червів покладена наявність параподій і щетинок.
Клас Малощетинкові черви об’єднує здебільшого прісноводних
та ґрунтових червів. Головний і хвостовий відділи у них мають набагато
менше відмінностей, ніж у багатощетинкових. На сегментах тіла пара-
події відсутні, з боків тіла розташовані лише пучки коротких щетинок.
Органи чуття зазвичай розвинені слабко. Гермафродити. Запліднення
зовнішнє. Розвиток прямий. Представники: дощовий черв, каліфор-
нійський черв.
Дощовий черв
Внутрішня будова
кільчастого черва
(поперечний розріз)
1 — епітелій;
2 — м'язи;
З — епітелій;
4 — вторинна порожнина тіла;
5 — кишка;
6 — кровоносні судини;
7 — метанефридії
Внутрішня будова
кільчастого черва
(повздовжній розріз)
1 — рот;
2 — глотка;
З — воло;
4 — шлунок;
5 — кровоносні судини;
6 — статеві залози
486
Біологія
П'явка медична
11 Ю 6 7
1 2 4
Внутрішня будова
черевоногого молюска
1 — рот;
2 — тертка;
З — нервова система;
4 — шлунок;
5 — печінка;
6 — серце;
7 — залишок целому;
8 — зябра;
9 — нирка;
10 — статеві залози;
11 — черепашка
Клас Багатощетинкові черви — головним чином морські вільно-
живучі тварини, що мешкають на дні або в товщі води. На відміну від
інших кільчаків, мають добре відособлений головний відділ із відносно
високорозвиненими органами чуття та параподії з численними щетинка-
ми. Дихання в багатощетинкових в основному шкірне, але деякі мають
зябра. Більшість багатощетинкових роздільностатеві, запліднення у них
зовнішнє. Розвиток непрямий. Представники: тихоокеанський палоло,
нереїда, піскожил, серпула.
Клас П’явки — головним чином кровосисні, рідше хижі кільчаки,
мають сплощене тіло з двома присосками (навколоротовим та заднім).
Параподії та щетинки на сегментах тіла, як правило, відсутні. Сли-
на містить речовину, яка перешкоджає згортанню крові. Нервова
та м’язова системи добре розвинені. Гермафродити. Запліднення внут-
рішнє. Представники: п’явка медична, п’явка кінська.
Тип Молюски, або М’якуни
Молюски являють собою групу несегментованих тварин із вторин-
ною порожниною тіла, яка об’єднує близько 113 тис. видів, більшість
з яких має складку шкіри зі спинного боку, що прикриває внутрішні
органи — мантію. Мантія виділяє вапнякову черепашку, що виконує
захисну та скелетну функції. Більшість молюсків мешкає у прісних
і солоних водоймах, хоча є й сухопутні види.
Тіло молюска має три відділи: голову, тулуб та ногу (деякі з цих
відділів іноді редукуються). Між мантією та стінками тулуба в молюсків
знаходиться мантійна порожнина, в якій розташовані зябра та куди
відкриваються ротовий, анальний, видільний отвори та статеві протоки.
Вторинна порожнина тіла у них зберігається лише у вигляді навколо-
серцевої сумки та порожнини статевих залоз.
У травній системі виділяють рот, глотку, стравохід, шлунок та ки-
шечник, який відкривається назовні анальним отвором. Травні залози
представлені слинними залозами та печінкою. Деякі молюски мають
тертку з хітиновими зубцями для перетирання їжі або хітинові щелепи.
Серед представників типу зустрічаються хижаки, рослиноїдні та філь-
тратори.
Дихання у водних молюсків здійснюється за допомогою зябер, що
знаходяться в мантійній порожнині, а в сухопутних форм — за допо-
могою легенів.
Кровоносна система більшості молюсків незамкнена. Серце в них
трикамерне, з двома передсердями та одним шлуночком. Кров може
містити дихальні пігменти різного кольору.
Виділення у представників типу здійснюється за допомогою нирок,
які одним кінцем відкриваються в порожнину навколосерцевої сумки,
а іншим — у мантійну порожнину.
Молюскам властива нервова система розкидано-вузлового типу:
у відділах тіла знаходиться декілька пар гангліїв, сполучених між со-
бою нервовими стовбурами. Від них відходять нервові тяжі до різних
органів тіла. Органи чуття в них представлені органами зору (очами),
рівноваги, хімічного чуття й дотику.
Більшість молюсків є роздільностатевими, але зустрічаються і гер-
мафродитні форми. Запліднення у них перехресне, причому зустрі-
чається як внутрішнє, так і зовнішнє. Розвиток у більшості молюсків
непрямий.
Організменний рівень життя
487
Класифікація молюсків. Найбільше значення у природі і житті
людини мають представники трьох класів: Черевоногі, Двостулкові
та Головоногі.
Клас Черевоногі включає близько 90 тис. видів водних та наземних
молюсків, раковина яких закручена у вигляді спіралі або конуса. Тіло
черевоногих поділяється на голову з 1-2 парами щупалець та очима,
тулуб і ногу. Травна система черевоногих має тертку з хітиновими зуб-
цями, слинні залози та печінку. Дихання в них зяброве або легеневе.
Кровоносна система незамкнена, серце в більшості представників дво-
камерне. Виділення здійснюється через 1-2 нирки. Нервова система
розкидано-вузлового типу. Органи чуття — очі, органи дотику, рівно-
ваги і хімічного чуття. До них належать як роздільностатеві організми,
так і гермафродити. Запліднення в черевоногих внутрішнє, розвиток
непрямий.
Представники: виноградний равлик, рапана, малий ставковик,
морський заєць, слимаки.
Клас Двостулкові об’єднує близько 20 тис. видів двосторонньоси-
метричних черепашкових молюсків. Черепашка в них має дві стулки,
в деяких навіть з перламутровим шаром. Тіло двостулкових молюсків,
сплюснуте з боків, поділяється на тулуб та ногу. У мантійну порожнину
ведуть два канали — ввідний та вивідний сифони. Більшість двостулко-
вих молюсків — фільтратори. Кровоносна система незамкнена. Нерво-
ва система розкидано-вузлового типу. Органи чуття розвинені слабко.
Двостулкові молюски — роздільностатеві тварини, запліднення у них
в основному зовнішнє. Розвиток непрямий.
Представники: беззубка, перлівниця, мідія, тридакна.
Клас Головоногих об’єднує найбільш високоорганізованих молюсків.
Тіло головоногих розчленоване на голову й тулуб, тоді як видозмінена
нога перетворена на лійку, що бере участь у реактивному русі. Черепаш-
ка в більшості представників класу внутрішня або сильно редукована.
Головоногі молюски — хижаки, в них є могутні хітинові щелепи
та отруйні слинні залози. Дихальна система представлена зябрами.
На відміну від інших груп молюсків, кровоносна система в головоногих
замкнута, серце має два передсердя й один шлуночок. Нервова система
високоорганізована, а головний нервовий вузол навіть називається моз-
ком. Органи чуття також високорозвинені, у тому числі є два високо-
організованих ока. Головоногі — роздільностатеві тварини, їм властиве
внутрішнє запліднення. Розвиток прямий.
Представники: кальмари, каракатиця, восьминіг.
Внутрішня будова
двостулкового молюска
1 — рот;
2 — м'язи;
З — нервова система;
4 — шлунок;
5 — печінка;
6 — нирка;
7 — серце;
8 — анальний отвір;
9 — зябра;
10 — статева залоза
Кальмар
Тип Членистоногі
Об’єднує понад 1 млн сегментованих тварин із щільним хітиновим
покривом і членистими кінцівками, які опанували всі середовища існу-
вання. Членистоногі належать до двобічносиметричних тварин зі змі-
шаною порожниною тіла. їхнє тіло поділяється на три більш або менш
виражені відділи: головний, грудний та черевний, які іноді зливаються.
Головний відділ несе органи чуття та відповідає за орієнтацію у про-
сторі, на грудному відділі розташовані кінцівки, що забезпечують пере-
сування у просторі, а в задньому відділі розміщуються органи, пов’язані
з травленням та розмноженням. Кількість сегментів тулуба коливаєть-
ся від 3-5 до декількох десятків. Членисті кінцівки забезпечують пе-
реміщення організму в просторі або видозмінюються для виконання
488
Біологія
інших функцій, наприклад в органи чуття — антени — або в частини
ротового апарата.
Під хітиновою кутикулою, яка є зовнішнім скелетом, у них знахо-
диться шкіра — гіподерма, яка, власне, і виділяє цей покрив. Хітино-
вий скелет захищає членистоногих від хижаків та впливів довкілля,
а також забезпечує рух організму, оскільки зсередини до нього при-
кріпляються пучки м’язів. У деяких груп хітиновий покрив може бути
просочений вапняком. Оскільки панцир є нерозтяжним, для збільшення
розмірів тіла членистоногі змушені періодично скидати його і нарощу-
вати новий, тобто ріст у них періодичний.
Порожнина тіла у членистоногих змішана (міксоцель), вона утво-
рюється за рахунок злиття первинної і вторинної порожнин. Функцію
порожнинної рідини виконує гемолімфа, яка утворюється в результаті
змішування крові та тканинної рідини.
У травній системі членистоногих виділяють рот, глотку, стравохід,
шлунок та кишечник, з яким сполучається велика травна залоза —
печінка.
Кровоносна система членистоногих є незамкненою, вона складається
з серця та слабко розвинених кровоносних судин. По ній циркулює не
кров, а гемолімфа, яка надходить до серця через бічні отвори, а виш-
товхується з нього по коротких судинах у змішану порожнину тіла.
Дихання у водних членистоногих здійснюється за допомогою зябер,
а у наземних — легень або трахей, хоча дрібні види можуть одержувати
кисень через покриви тіла.
Органи виділення членистоногих представлені нирками (у рако-
подібних вони за традицією називаються зеленими залозами) або маль-
пігієвими судинами.
Нервова система членистоногих представлена надглотковими не-
рвовими гангліями, які утворюють у деяких видів головний мозок,
а також черевним нервовим ланцюжком, хоча у певних представників
спостерігається злиття цих гангліїв у нервову масу. Складна організа-
ція нервової системи забезпечує існування у багатьох видів складних
поведінкових реакцій. Органи чуття — складні фасеткові очі або прості
вічка, органи слуху, нюху, смаку, дотику, рівноваги.
Розмноження у членистоногих статеве, рідше партеногенетичне.
Більшість членистоногих є роздільностатевими, проте зустрічаються
й гермафродити. Розвиток у представників типу може бути як прямим,
так і непрямим.
Класифікація членистоногих. Тип Членистоногі поділяють на низ-
ку дрібніших систематичних груп, проте переважна більшість видів
відноситься до трьох класів: Ракоподібні, Павукоподібні та Комахи.
Клас Ракоподібні об’єднує близько 40 тис. видів переважно водних
тварин. Тіло ракоподібних укрите хітиновим зовнішнім скелетом. Воно
поділяється на голову, груди та черевце, проте частіше голова і гру-
ди зливаються в головогруди. Кожний сегмент їхнього тіла несе пару
членистих двогіллястих кінцівок. На голові у представників типу є дві
пари вусиків, що виконують функцію дотику {антени) та нюху (анте-
ну ли), пара складних очей на стеблинках, а також складний ротовий
апарат. Ротовий апарат обслуговується декількома парами видозмі-
нених кінцівок: трьома парами щелеп та трьома парами ногощелеп.
На грудях, окрім ногощелеп, розташовані п’ять пар ходильних кінці-
вок, причому найбільш розвинені з них передні — клішні, які слугують
Організменний рівень життя
489
для захоплення та розривання їжі. На черевці розташовані плавальні
ніжки, а на кінці — видозмінені кінцівки (хвостовий плавець). Черев-
ні ніжки самок слугують притулком для молодих рачків, а хвостовий
плавець — для пересування.
Травна система ракоподібних має вигляд травної трубки. Рот супро-
воджується складним ротовим апаратом, далі йдуть глотка, стравохід,
шлунок та кишечник, що сполучається з печінкою. У шлунку іноді
знаходяться спеціальні пристосування для перетирання їжі: хітинові
зубці, вапняні зернівки.
Дихання представників типу здійснюється за допомогою зябер, про-
те дрібні представники типу з тонкою кутикулою позбавлені їх.
Кровоносна система незамкнена. Серце має вигляд трубочки з пар-
ними бічними отворами.
Виділення здійснюється за допомогою парних зелених залоз (нирок),
розташованих у головному відділі.
Нервова система представлена головним нервовим вузлом, навколо-
глотковим нервовим кільцем та черевним нервовим ланцюжком. Орга-
ни чуття — складні фасеткові або прості очі, органи дотику (антени),
нюху (антенули) та рівноваги. Фасеткові очі є складним утворенням
з численних простих вічок. Вони формують не суцільне зображення
предмета, а нібито розбите на ділянки, схоже на мозаїку (паззл). Такий
зір називають мозаїчним.
Раки — роздільностатеві тварини, у багатьох з них виражений ста-
тевий диморфізм. Деякі ракоподібні — гермафродити. Розвиток у ра-
коподібних прямий, супроводжується періодичними линяннями.
Клас Павукоподібні. Близько 63 тис. видів. Представлений пере-
важно сухопутними формами. Хітинові покриви у них достатньо тонкі,
зверху вкриті особливим шаром на поверхні панцира, який захищає
від висихання. Тіло поділяється на головогруди та черевце, сегмента-
ція в більшості представників не виражена. На голові вусики відсутні,
є хеліцери з протоками отруйних та слинних залоз, що призначені для
прокушування жертви, педипальпи з дотиковими волосками, прості
вічка (4 пари). Груди несуть чотири пари ходильних ніг, на черевці
відкриваються отворами органи дихання — легені або трахеї. Видозмі-
нені черевні ніжки виконують у них статеву чи дихальну функції або
перетворилися на павутинові бородавки.
Зовнішня будова
ракоподібних
Кровоносна система
річкового рака
Внутрішня будова павука
1 — вічка; 2 — отруйна залоза; 3 — хеліцера; 4 — головний мозок; 5 — рот; 6 — вирости
середньої кишки; 7 — легеня; 8 — яєчник; 9 — павутинні залози; 10 — павутинні бородавки;
11 — анальний отвір; 12 — печінка; 13 — серце; 14 — мальпігієві судини
Зовнішня будова
павука-хрестовика
з черевної сторони
490
Біологія
Будова тіла комахи
(на прикладі жука-красотіла)
Гризучий ротовий апарат
Внутрішня будова комахи
(на прикладі таргана)
1 — шлунок;
2 — кишечник;
З — мальпігієві судини;
4 — нервова система
Травна система у павукоподібних має вигляд трубки. Слинні зало-
зи хижих павуків містять нервово-паралітичну отруту та ферменти,
завдяки яким відбувається зовнішнє травлення. Поглинання розчине-
ного вмісту тіла жертви здійснюється завдяки сисному шлунку. У них
є печінка та сліпі вирости кишечника.
Органи дихання — легеневі мішки й (або) трахеї у вигляді порож-
нистих трубочок.
Кровоносна система незамкнена, серце у вигляді трубочки, з пар-
ними отворами з боків.
Видільна система представлена мальпігієвими судинами (відкрива-
ються у задній відділ кишечника).
Нервова система утворена надглотковим та головогрудним ганглія-
ми, а також нервами, що відходять від них. У деяких представників
надглотковий ганглій редукується. Органи чуття — декілька пар про-
стих вічок (у павуків — 4), органи дотику та нюху (іноді — смаку).
Павуки є роздільностатевими тваринами, у них виражений статевий
диморфізм, запліднення зовнішньо-внутрішнє або внутрішнє. Розвиток
прямий. Розповсюджуються павуки за допомогою тонких павутин, які
вони випускають.
Клас Комахи. Найбільша група тварин, яка об’єднує понад 1 млн
видів, які завоювали всі середовища існування (наземно-повітряне,
ґрунтове, водне і внутрішнє). Тіло комах вкрите хітиновим панциром
із тонким восковим нальотом, який захищає їх від висихання, має явно
виражену сегментацію та розчленоване на три відділи: голову, груди
і черевце.
На голові є одна пара вусиків, що виконують функції нюху й доти-
ку, а також пара складних очей та до трьох простих і ротовий апарат.
Ротовий апарат залежно від характеру живлення може бути гризучим,
колючим, сисним, лижучим тощо.
Груди комах складаються з трьох сегментів, кожний з яких несе
пару кінцівок. На останніх двох відділах грудей розташовані парні
вирости хітинового панцира — крила. Крила комах бувають пере-
тинчастими, сітчастими, перетворюються на жорсткі надкрила або
напівнадкрила.
Кількість сегментів черевця може істотно коливатися, проте вони
рідко несуть кінцівки, хоча черевні ніжки іноді перетворюються на ста-
теві придатки, наприклад яйцеклад у саранових.
Травна система комах обслуговується складним ротовим апаратом,
утвореним верхньою та нижньою губою, а також трьома парами щелеп.
Вона складається з трьох відділів. У передньому відділі, крім рота,
глотки, стравоходу та шлунка, може розвиватися воло. До нього при-
микають слинні залози, що забезпечують травлення, а в деяких комах
виділяють шовк або павутину. Кишечник може мати сліпі вирости, які
покращують ефективність травлення.
Кровоносна система комах незамкнена, з трубчастим серцем, що
виштовхує гемолімфу у змішану порожнину тіла через коротку су-
дину. Гемолімфа комах не виконує дихальної функції, яку беруть на
себе повністю трахеї, проте забезпечує переміщення поживних речовин
та продуктів їх обміну.
Дихальна система утворена системою трахей, які пронизують усе
тіло комахи аж до крил, і забезпечують процес газообміну. Трахеї від-
криваються на черевці особливими отворами — дихальцями.
Організменний рівень життя
491
Виділення в комах відбувається за допомогою мальпігієвих судин,
що примикають до заднього відділу кишечника, та жирового тіла,
що займає більшу частину тіла.
Нервова система високорозвинена — головний нервовий вузол, або
мозок, сполучений із черевним нервовим ланцюжком. Органи чуття —
пара складних фасеткових очей та 1-3 прості, вусики (нюх і дотик),
а також органи смаку, слуху, температурної чутливості. Також комахи
можуть визначати вогкість середовища.
В комах високо розвинута й ендокринна система, яка виділяє гор-
мони, наприклад гормон линьки.
Розвиток нервової системи зумовлює наявність серед комах так
званих суспільних, або соціальних комах, які утворюють постійні або
тимчасові угруповання — сім’ї. У сім’ях є чітке розділення за викону-
ваними функціями на робочі особини та ті, що розмножуються. До сус-
пільних комах належать бджоли, мурашки, терміти тощо. Так, у ме-
доносної бджоли сім’я складається з матки, робочих бджіл і трутнів.
Матка та робочі бджоли — це самки, проте якщо на матці лежить фун-
кція відтворення, робочі бджоли виконують решту функцій, почина-
ючи від збору меду і закінчуючи вигодовуванням личинок. Трутні —
це самці, які розвиваються з незапліднених яєць, вони необхідні для
запліднення самки навесні, а на зиму бджоли їх виганяють.
Комахи — роздільностатеві тварини, з вираженим статевим ди-
морфізмом. У самок є два яєчники з яйцепроводами та піхва. В де-
яких видів може бути яйцеклад — видозмінені черевні ніжки. Ста-
тева система самців утворена парними сім’яниками, сім’япроводами
та сім’явипорскувальним каналом. Запліднення у них внутрішнє. Роз-
виток комах відбувається з неповним або повним перетворенням.
До комах належать близько ЗО рядів, найзначущішими з яких
є Метелики, Блохи, Воші, Двокрилі, Жуки, Клопи, Перетинчастокрилі,
Прямокрилі, Рівнокрилі, Бабки, Таргани тощо.
Тип Хордові
Загальна характеристика типу Хордові. До хордових належать по-
над 40 тис. видів надзвичайно різноманітних за виглядом та розмірами
тварин, які опанували наземно-повітряне, ґрунтове та водне середови-
ща існування. Представники типу зустрічаються у всіх географічних
зонах Землі.
Класифікація хордових. До хордових належать підтипи Безчерепні
та Хребетні, або Черепні. Розділення на підтипи ґрунтується на наяв-
ності мозкового скелета та заміні осьового скелета — хорди — на хря-
щовий або кістковий хребет, а також низки інших рис будови. Підтип
Безчерепні представлений єдиним класом Головохордові, тоді як до
черепних належать класи Хрящові риби, Кісткові риби, Земноводні,
Плазуни, Птахи та Ссавці.
Підтип Безчерепні. Представлений приблизно ЗО видами тварин, що
зариваються у пісок дна у теплих морях. У представників типу протя-
гом усього життя зберігаються всі ознаки хордових. Підтип має усього
один клас — Головохордові, типовим представником якого є ланцетник
звичайний.
Тіло ланцетника формою нагадує старовинний медичний інстру-
мент — ланцет, звідси назва. Довжина тіла складає 5-8 см. Рух тіла
Трахеї комахи
Медоносна бджола
Ланцетник
492
Біологія
здійснюється за допомогою спинного та хвостового плавців, а також
черевних складок. Черевні складки, зростаючись, утворюють навколо-
зяброву порожнину, що захищає зябра від потрапляння до них піску.
У передній частині тіла знаходиться передротова лійка, оточена де-
кількома парами щупалець.
Шкіра ланцетника виділяє тонку кутикулу і має залозисті кліти-
ни, що виробляють слиз на поверхні тіла. Під шкірою розташовані
сегментовані м’язи, що забезпечують рух тіла ланцетника. Опору тіла
забезпечує пружний тяж сполучної тканини — хорда, що тягнеться
по спинній стороні тіла. Хорда має спільний сполучнотканинний чохол
із нервовою трубкою.
2
Внутрішня будова ланцетника
1 — хорда; 2 — нервова трубка; 3 — рот; 4 — щупальця; 5 — глотка; 6 — зябра;
7 — печінковий виріст; 8 — анальний отвір; 9 — видільний отвір
Дихання у ланцетника здійснюється за допомогою зябер, які роз-
ташовані в зябрових щілинах, що пронизують стінки глотки. Зяброві
щілини відкриваються у навколозяброву порожнину, з якої вода ви-
ходить через зяброву пору. В зябрах відбувається процес газообміну.
Кровоносна система ланцетника замкнена, серце відсутнє. Рух крові
здійснюється за рахунок скорочень стінок черевної артерії та нижньої
частини зябрових судин («зябрових сердець»). Кров у ланцетника без-
барвна. Вона збагачується киснем у зябрових судинах, а потім розно-
ситься до всіх органів.
Виділення у ланцетника здійснюється за допомогою системи виділь-
них трубочок — нефридіїв, які впадають у спільний видільний канал,
що відкривається назовні.
Нервова система ланцетників представлена нервовою трубкою
та периферичними нервами, що відходять від неї до органів. Органи
чуття безчерепних украй примітивні — це світлочутливі вічка, роз-
ташовані уздовж усієї хорди, нюхова ямка в передній частині тіла,
а також чутливі клітини по всій поверхні тіла, що сприймають хви-
льове подразнення.
Розмноження у ланцетників статеве, вони є роздільностатевими
тваринами. Статеві залози ланцетників (у самок — яєчники, а у сам-
ців — сім’яники) позбавлені постійних проток, для виділення статевих
продуктів утворюються розриви в стінках тіла. Запліднення у ланцет-
ників зовнішнє.
Підтип Хребетні, або Черепні. До нього належать майже всі відо-
мі хордові тварини, в яких центральна нервова система поділяється
вже на головний і спинний мозок, а скелет — на хребет, череп і ске-
лети кінцівок. У кровоносній системі хребетних з’являється серце,
а у видільній — нирки.
Підтип Хребетні включає шість класів: Хрящові риби, Кісткові риби
(їх об’єднують у надклас Риби), Земноводні, Плазуни, Птахи та Ссавці.
Організменний рівень життя
493
Надклас Риби об’єднує водних хребетних тварин з обтічною формою
тіла, яке вкрите лускою. Риби здатні до активного пересування за допо-
могою плавців. У риб є як парні (грудні і черевні), так і непарні плавці
(спинний, хвостовий, анальний). Скелет риб представлений хребтом
з більш або менш розвиненими ребрами, черепом із зябровими дугами та
щелепами, а також скелетами кінцівок. Живлення риб здійснюється за
рахунок активного захоплення їжі за допомогою рухомих щелеп. У риб
довічно зберігається зяброве дихання. Також у них упродовж усього
життя є такий орган чуття як бічна лінія, який забезпечує сприйняття
коливань води та наявності в навколишньому середовищі різноманіт-
них предметів. Орган слуху у риб представлений трьома півколови-
ми каналами. їхні ніздрі не сполучаються з дихальною порожниною,
обслуговуючи лише орган нюху.
Залежно від того, якою тканиною утворений скелет риби, надклас
поділяють на два класи: Хрящові та Кісткові риби.
Клас Хрящові риби. Порівняно нечисленна група риб (близько
730 видів), скелет у яких довічно залишається хрящовим. Форма тіла
частіше веретеноподібна, воно вкрите лускою. На голові є ніздрі, очі,
ротовий отвір, 5-7 пар зябрових щілин. Парні плавці представлені груд-
ними та черевними, а непарні — спинним та хвостовим. Верхня лопать
хвостового плавника більша за нижню.
Скелет хрящових риб представлений черепом, хребтом з прикріп-
леними до нього ребрами та скелетами кінцівок. Череп представни-
ків класу складається з мозкової частини, зябрових та щелепних дуг.
Хребет має два відділи: тулубний та хвостовий. У тулубному відділі до
хребта приєднуються короткі ребра. У корпусі тіла лежать пояси пар-
них кінцівок (грудних та черевних плавців), до яких прикріпляються
скелети власне кінцівок, утворені променями плавців.
Травна система поділяється на ротову порожнину, глотку, стравохід,
шлунок, тонку та товсту кишки, розділені спіральним клапаном, і за-
кінчується клоакою. Більшість хрящових риб — хижаки. їхні рухомі
щелепи несуть зуби. Спіральний клапан знаходиться на межі між тон-
ким і товстим кишечником, уповільнюючи рух їжі та покращуючи її
розщеплення і засвоєння. У кишечник відкриваються протоки травних
залоз: печінки та підшлункової залози.
Дихання у хрящових риб зяброве. Зяброві щілини, на відміну від
ланцетників, відкриваються назовні окремими отворами.
Кровоносна система у представників класу замкнена, з одним колом
кровообігу, серце двокамерне, складається з передсердя і шлуночка.
Кров із серця проходить через зяброві артерії, де збагачується киснем
і далі розносить його до всіх внутрішніх органів.
Видільна система хрящових риб складається з нирок і сечоводів,
що впадають до клоаки. Видалення амоніаку, що утворюється у процесі
життєдіяльності, частково відбувається і через зябра.
Нервова система хрящових риб поділяється на центральну та пери-
феричну. Центральна нервова система складається з головного та спин-
ного мозку. Головний мозок має п’ять відділів (передній, проміжний,
середній, мозочок та довгастий). У хрящових риб є органи зору (очі),
слуху (внутрішнє вухо), нюху (нюхові мішки) та руху (бічна лінія).
Орган слуху в хрящових риб представлений перетинчастим лабіринтом
та трьома півколовими каналами, розташованими у взаємно перпенди-
кулярних площинах.
Зовнішня будова акули
Внутрішня будова акули
1 — рот;
2 — глотка;
З — зябра;
4 — кровоносні судини;
5 — серце;
6 — печінка;
7 — шлунок;
8 — кишечник;
9 — нирка;
10 — клоака
494
Біологія
Зовнішня будова кісткової
риби
Скелет кісткової риби
Внутрішня будова кісткової
риби
1 — шлунок;
2 — кишечник;
З — яєчник;
4 — плавальний міхур;
5 — нирки;
6 — серце
Хрящові риби — роздільностатеві тварини, запліднення у них внут-
рішнє. Деяким представникам властиве живородіння.
Клас Кісткові риби. Включає переважну більшість представників
надкласу Риби (близько 20 000 видів), що населяють прісні та солоні
водойми. їх скелет у тій або іншій мірі кістковий, в ньому є кісткові
зяброві кришки, що прикривають зябра. Тіло кісткових риб укрите
лускою. У кісткових риб є як парні (грудні та черевні), так і непарні
(спинний та анальний) плавці.
Скелет кісткових риб складається зі скелета голови, тулуба та
скелетів плавців. У скелеті голови, як уже згадувалося вище, окрім
мозкової частини, зябрових дуг і щелеп, з’являються зяброві криш-
ки. Хребет утворений кістковими хребцями та поділяється на тулуб-
ний і хвостовий відділи. У тулубному відділі до відростків хребців
прикріпляються ребра. На відміну від хрящових риб, скелет грудних
плавців кісткових може зчленовуватися з осьовим скелетом за допо-
могою поясів плавців.
Більшості кісткових риб властивий плавальний міхур, що забезпе-
чує зміну об’єму тіла риби та його щільності, що надає їм можливості
підійматися й опускатися в товщі води. У частини риб зберігається
зв’язок міхура зі стравоходом (відкритоміхурні риби), тоді як в інших
він втрачається (закритоміхурні риби).
Травна система кісткових риб утворена ротовою порожниною, глот-
кою, стравоходом, шлунком і кишечником, анальним отвором, що
відкривається назовні. Щелепи багатьох риб озброєні зубами. Ротова
порожнина слабко відмежована від глотки, що веде до короткого стра-
воходу. Розділення на тонкий та товстий кишечник у кісткових риб
виражене слабко. У кишечник відкриваються протоки печінки і слабко
вираженої підшлункової залози.
Дихання у кісткових риб зяброве, хоча деякі представники мають
і легені. Зябра кісткових риб мають зяброві пелюстки, що забезпечують
процес газообміну, а також зяброві тичинки, які захищають зябра від
засмічення. Дихання здійснюється завдяки рухам зябрових кришок та
рота, а також струму води у процесі переміщення риби у товщі води.
Кровоносна система кісткових риб замкнена, з одним колом крово-
обігу. Серце двокамерне, складається з передсердя та шлуночка.
У видільній системі кісткових риб є нирки та сечоводи, що злива-
ються перед виходом назовні в один канал. Цей канал відкривається
назовні окремим отвором позаду анального. Частково виділення про-
дуктів обміну речовин може відбуватися через зябра і шкіру.
Нервова система кісткових риб має дещо більш примітивну будову,
ніж у хрящових, оскільки головний мозок дещо менший за розмірами
та має виражені нюхові частки.
Органи чуття представлені органами зору (очі), слуху (внутрішнє
вухо), нюху, смаку і руху (бічна лінія). Очі мають плоску рогівку та
круглястий кришталик, який для кращого бачення предмета має змі-
нювати своє положення усередині ока. Орган слуху у кісткових риб
представлений перетинчастим лабіринтом та трьома півколовими ка-
налами. Бічна лінія у кісткових риб має вигляд парних довгих каналів
з боків тіла риби, які утворюють на голові складну мережу. Назовні
бічна лінія відкривається множинними отворами в лусці та кістках
риби, а на її дні розташовані численні чутливі клітини, що сприймають
хвильові рухи у воді.
Організменний рівень життя
495
Кісткові риби — роздільностатеві організми, яким властиве зовніш-
нє запліднення. Парні сім’яники і яєчники у кісткових риб супровод-
жуються особливими каналами, які відкриваються назовні окремо від
видільного отвору. Ікра у кісткових риб, як правило, дрібна, з тонкою
драглистою оболонкою.
Клас Земноводні, або Амфібії. Включає близько 4500 видів хребет-
них тварин, частина життєвого циклу яких пов’язана з водою. їх тіло
розчленовується на голову, тулуб, дві пари п’ятипалих кінцівок та хвіст
(якщо є). На голові у земноводних знаходяться очі, ніздрі, ротовий
отвір. За очима розташовані барабанні перетинки, що прикривають
середнє вухо. Задні кінцівки в безхвостих земноводних розвинені силь-
ніше, ніж передні, що пов’язане зі способом їхнього пересування. Між
пальцями кінцівок знаходяться шкірясті перетинки, що є пристосу-
ванням для пересування у водному середовищі. Шкіра в земноводних
гола, містить значну кількість шкірних залоз, секрети яких змочують
її та захищають від проникнення мікроорганізмів, а в деяких випадках
виділяють отруйні речовини.
Скелет земноводних поділяється на скелет голови (череп), тулуба
та кінцівок (передніх і задніх).
У черепі кістки мозкового відділу зростаються з верхньощелепною
кісткою, тоді як нижньощелепна залишається вільною.
Основну частину скелета тулуба складає хребет, який має шийний,
тулубний, крижовий та хвостовий відділи. У шийному відділі 1 хребець,
у тулубному — 7, у крижовому — 1, численні хребці останнього відділу
виражені лише у хвостатих земноводних, тоді як у безхвостих вони
зростаються у хвостову кістку — уростиль. У скелеті тулуба є також
груднина, а у хвостатих земноводних — ще й короткі ребра, що при-
кріпляються до хребців тулубного відділу.
Скелет передніх кінцівок поділяється на скелет пояса передніх
кінцівок (плечовий пояс) та скелет вільних передніх кінцівок. Плечо-
вий пояс складають парні лопатки, ключиці та воронячі кістки, які
прикріпляються до груднини, забезпечуючи зв’язок передніх кінці-
вок з осьовим скелетом. Скелет вільних передніх кінцівок складається
із скелетів плеча, передпліччя, зап’ястка, п’ястка та фаланг пальців.
Скелет плеча утворений плечовою кісткою, скелет передпліччя — лік-
тьовою та променевою кістками, а скелети зап’ястка, п’ястка й фаланг
пальців — більш дрібними кістками. У жаби ліктьова та променева
кістки зростаються в одну кістку у зв’язку зі способом пересування.
Скелет задніх кінцівок складається з пояса задніх кінцівок (тазово-
го пояса) та скелету вільних задніх кінцівок. Тазовий пояс утворений
зрощеними тазовими кістками, які приростають до крижового відділу
хребта. Скелет вільних задніх кінцівок складається із скелетів стегна,
гомілки, передплесна, плесна та фаланг пальців. Скелет стегна утворе-
ний стегновою кісткою, скелет гомілки — велико- та малогомілковою
кістками, а скелети передплесна, плесна й фаланг пальців — декількома
десятками більш дрібних кісток. У жаби кістки гомілки зростаються
в одну, яків передніх кінцівках.
У зв’язку зі способом пересування мускулатура в земноводних до-
статньо добре розвинена, особливо на кінцівках.
Травна система земноводних складається з ротоглоткової порожнини,
стравоходу, шлунка, тонкого та товстого кишечника, що відкриваєть-
ся у клоаку. Щелепи земноводних іноді несуть зуби, що слугують для
Зовнішня будова
земноводного
(на прикладі жаби)
Скелет жаби
1 — череп;
2 — плечовий пояс;
З — передні кінцівки;
4 — тазовий пояс;
5 — задні кінцівки;
6 — уростиль
Внутрішня будова
земноводних
1 — рот;
2 — шлунок;
З — кишечник;
4 — клоака;
5 — печінка;
6 — серце;
7 — сечовий міхур;
8 — нирка
496
Біологія
Скелет черепахи
Травна система черепахи
утримання їжі. Липкий язик у них прикріпляється переднім кінцем.
У ротоглоткову порожнину відкриваються протоки слинних залоз, сек-
рет яких змочує їжу, але не починає її травлення. Травлення відбуваєть-
ся під дією ферментів шлунка, а також печінки й підшлункової залози.
Дихання земноводних здійснюється за допомогою легенів і шкіри
(до 100 % у безлегеневих саламандр), а на ранніх етапах розвитку їм
властиве зяброве дихання.
Кровоносна система земноводних має два кола кровообігу. Серце
в них трикамерне, з двома передсердями та одним шлуночком. До од-
ного передсердя збирається артеріальна кров, збагачена киснем, а до
іншого — венозна, збіднена ним, потім вона одночасно уприскується до
шлуночка, звідки розділяється на три потоки: артеріальний, змішаний
та венозний. Кров, збагачена киснем, поступає до голови, змішана — до
органів, а венозна — до легенів та шкіри.
Виділення в земноводних здійснюється за допомогою нирок, з яких
сечоводи виносять сечу в клоаку, куди може відкриватися і сечовий
міхур.
Нервова система земноводних поділяється на центральну та пери-
феричну. На відміну від риб, у земноводних передній мозок розділений
на дві півкулі, а мозочок розвинений слабко, що зумовлено меншою
різноманітністю рухів на суходолі.
Органи чуття земноводного представлені органами зору (очима),
слуху, нюху, смаку, дотику, бічної лінії.
Земноводним властиве лише статеве розмноження. Амфібії — роз-
дільностатеві тварини. Яєчники самок за допомогою яйцепроводів від-
криваються в клоаку, а в самців парні сім’яники мають спільні протоки
з нирками і також відкриваються в клоаку. Розмноження земноводних
відбувається в невеликих водоймах, що добре прогріваються. Заплід-
нення у них зовнішнє, з ікринок виводяться пуголовки, не схожі на
дорослі особини, тобто розвиток непрямий. Деяким амфібіям властиве
явище неотенії — розмноження на личинковій стадії (амбістома та її
личинка — аксолотль).
Клас Плазуни, або Рептилії. Велика група хордових, яка об’єднує
близько 7000 видів тварин. Ознаками плазунів є легеневе дихання, на-
явність сухої шкіри, вкритої роговими лусками або щитками та позбав-
леної залоз, внутрішнє запліднення. Кінцівки в них прикріпляються до
тіла з боків, унаслідок чого представники класу нібито тягнуть живіт
по землі («плазують»), звідси назва класу. Більшість рептилій мешкає
на суходолі.
Скелет плазунів поділяється на скелети голови, тулуба та кінцівок.
Череп має великий ступінь окостеніння, а у крокодилів і черепах на-
віть формується кісткова перегородка, що розділяє дихальну і травну
порожнини — кісткове піднебіння. Скелет тулуба рептилій складається
з хребта та грудної клітки. У хребті плазунів виділяють такі відділи:
шийний (8 хребців), грудо-поперековий (22 хребці), крижовий (2 хреб-
ці) та хвостовий (декілька десятків хребців). У змій кількість хребців
у грудо-поперековому відділі може сягати 300. До грудних хребців
прикріпляються ребра, які разом з грудниною в низки представників
утворюють грудну клітку. Пояси кінцівок, а також власне кінцівки не
мають істотних відмінностей від таких в амфібій. Мускулатура плазунів
добре розвинена, у них з’являються, наприклад, міжреберні м’язи, які
забезпечують вентиляцію легенів.
Організменний рівень життя
497
Більшість плазунів — хижаки або комахоїдні, деякі всеїдні, пере-
важно рослинною їжею харчується небагато представників. Істотною
відмінністю травної системи рептилій є розділення ротової та дихаль-
ної порожнин піднебінням. Щелепи більшості плазунів усаджені зуба-
ми. У деяких змій є отруйні зуби з протоками отруйних залоз. На дні
ротової порожнини є язик. Слинні залози рептилій розвинені краще,
ніж в амфібій. їжа з ротової порожнини потрапляє до глотки, звідки
проходить через стравохід, шлунок, тонкий і товстий кишечник. У тон-
кому кишечнику вона обробляється секретами печінки й підшлункової
залози. Пряма кишка відкривається в клоаку.
Дихальна система плазунів представлена легенями і дихальними
шляхами: гортанню, трахеєю та бронхами. Вентиляція легень відбу-
вається унаслідок розширення і звуження грудної клітки, які здійс-
нюються завдяки рухам ребер і міжреберних м’язів.
Кровоносна система замкнена, з двома колами кровообігу. Серце
в рептилій трикамерне, з неповною перегородкою у шлуночку, що іс-
тотно знижує змішування крові.
Система виділення представлена нирками та сечоводами, що впада-
ють до клоаки. Сечовий міхур, який є в деяких представників, відкри-
вається у клоаку окремо. Особливістю рептилій є те, що вони виділя-
ють як кінцевий продукт обміну речовин сечову кислоту, яка слабко
розчиняється у воді, дозволяючи їм економити вологу.
Нервова система рептилій є більш високоорганізованою, ніж в амфібій,
оскільки півкулі переднього мозку мають тонкий шар кори, а мозочок
значно більш розвинений. Поведінка плазунів є складнішою, ніж у земно-
водних, зокрема, у них у два рази швидше відбуваються умовні рефлекси.
Органи чуття рептилій представлені органами зору (очима), слуху
(внутрішнє і середнє вухо), нюху, дотику, температурної чутливості.
Рептилії — роздільностатеві тварини. У самок є яєчники та яй-
цепроводи, що відкриваються у клоаку, а у самців — сім’яники та
сім’япроводи. Запліднення у рептилій внутрішнє. Більшість плазунів
відкладає яйця, які мають жовток та вапняну або пергаментну оболон-
ку. Деякі рептилії є яйцеживородними або живородними. Піклуються
про потомство рептилії рідко.
Клас Птахи. Об’єднує близько 9000 видів здатних до польоту тепло-
кровних тварин, тіло яких укрите перами. їх пристосованість до поль-
оту виражається також у наявності крил і хвоста, обтічній формі тіла,
полегшенні скелета, теплокровності та подвійному диханні.
На голові у птахів є дзьоб, пара очей і приховані під перами вушні
поглиблення. Дзьоб є видозміною щелеп, укритих роговими чохлами.
Він складається з наддзьобка та піддзьобка. Біля основи наддзьобка
знаходяться ніздрі.
Шкіра у птахів суха і майже позбавлена залоз, лише у водоплавних
птахів біля основи хвоста є куприкова залоза. Похідними епідермісу
шкіри є пера, рогові чохли на наддзьобку та піддзьобку, рогові луски,
що вкривають нижні кінцівки, а також кігті.
Основу пера птаха утворює стрижень, з боків якого прикріплено дві
бічні пластинки — опахала. Нижня частина пера, що занурена в шкіру,
називається очином. Опахало утворене довгими борозенками першого
порядку, на яких сидять борозенки другого порядку, що зчіпляються
між собою за допомогою гачків. Завдяки такій конструкції опахало
є пружною пластинкою.
498
Біологія
Крило птаха
Пера діляться на контурні та пухові. Контурні пера за розташу-
ванням на тілі птаха поділяються на махові, рульові, криючі та ін. їх
основною функцією є термоізоляція, захист від механічних впливів,
участь у створенні тягової сили та напряму потоків повітря. На відмі-
ну від контурних пер, стрижень пухових пер тонкий і вони не мають
борідок другого порядку, унаслідок чого їх опахала не утворюють плас-
тинок. Пухові пера знаходяться під контурними, вони забезпечують
термоізоляцію, особливо у водоплавних птахів. У птахів спостерігається
постійна зміна оперення.
Структура пера
Контурне перо
Скелет птаха
1 — череп; 2 — шийний відділ хребта; 3 — грудний відділ хребта;
4 — складний криж; 5 — хвостові хребці; 6 — вилочка; 7 — кіль груднини; 8 — крило;
9 — стегно; 10 — гомілка; 11 — цівка; 12 — пальці ніг; 13 — перший палець; 14 — другий
палець; 15 — третій палець; 16 — плечова кістка; 17 — ліктьова кістка; 18 — променева кістка
Особливостями скелета птахів у зв’язку з пристосуванням до польоту
та ходінням на задніх кінцівках є перетворення кінцівок та їхніх по-
ясів, полегшення скелета й зрощення багатьох кісток на ранніх етапах
розвитку.
Скелет птаха складається із скелетів голови, тулуба та кінцівок.
Кістки черепа зрослися в єдину кістку з дуже крупними очними ямка-
ми. Щелепні кістки перетворені на наддзьобок та піддзьобок. Скелет ту-
луба складається з хребта й грудної клітки. Хребет поділяється на п’ять
відділів: шийний (11-25 хребців), грудний (3-10 хребців), поперековий
(6 хребців), крижовий (2 хребці) та хвостовий (6 хребців залишаються
вільними, інші зростаються з крижовими хребцями у складний криж
або у хвостову кісточку). Грудні хребці зрощені між собою та з хребцями
поперекового відділу, вони несуть складні ребра, що є рухомо зчлено-
ваними з грудниною. Груднина несе крупний виступ — кіль, до якого
прикріпляються літальні м’язи.
Пояс передніх кінцівок у птахів утворений парними лопатками,
ключицями та воронячими кістками. Ключиці утворюють вилочку,
а воронячі кістки упираються у груднину. Передні кінцівки у птахів
Організменний рівень життя
499
перетворені на крила, у них розрізняють плече, передпліччя та кисть,
проте частина кісток зап’ястка й п’ястка зростаються, утворюючи пряж-
ку. На передній кінцівці зберігаються лише три пальці (другий, третій
і четвертий) з п’яти.
Скелет задніх кінцівок також зазнає змін у порівнянні з плазунами:
тазові кістки приростають до складного крижа, слабко розвивається ма-
логомілкова кістка, а частина кісток передплесна й плесна зростаються
в цівку (частина задньої кінцівки, що зовні вкрита роговими лусками).
На задній кінцівці залишаються 2-4 пальці.
Мускулатура птахів розвинена набагато сильніше, ніж у рептилій.
Особливо розвинені м’язи, які забезпечують здатність птахів до польо-
ту, — грудні й підключичні м’язи, які знаходяться не власне на крилах,
а кріпляться до кіля груднини, тоді як до крил тягнуться лише сухожилля.
Серед птахів є рослиноїдні, комахоїдні та хижі види. їхня травна
система поділяється на ротову порожнину, глотку, стравохід, шлунок,
тонкий і товстий кишечник, що відкривається у клоаку. Дзьоб птахів
позбавлений зубів і вкритий роговим чохлом. У ротовій порожнині цих
тварин є язик. У ній їжа змочується слиною й надходить до глотки та
стравоходу. Перед шлунком у деяких представників розширення стра-
воходу — воло, де їжа нагромаджується і може починати перетравлю-
ватися. Шлунок складається з двох відділів — залозистого та мускуль-
ного. У залозистому відділі їжа піддається дії травного соку, тоді як
у мускульному відбувається її механічна обробка за допомогою м’язових
стінок шлунка та дрібних камінчиків, які ковтає птах. Із шлунка їжа
потрапляє спочатку в тонкий кишечник, а потім у товстий, який від-
кривається у клоаку. В тонкому кишечнику їжа обробляється секретами
печінки й підшлункової залози. Висока швидкість обміну речовин обу-
мовлює швидке перетравлення їжі. Так, у домового горобця гусениця
перетравлюється за 15 хв., жук — за 1 год., а зерно — за 3-4 год.
Дихальна система птахів представлена дихальними шляхами, леге-
нями та повітряними мішками, що примикають до них. У зв’язку з при-
стосуванням до польоту птахам властиве подвійне дихання, за якого
повітря двічі проходить через легені завдяки наявності повітряних міш-
ків: під час вдиху частина повітря проходить через легені в повітряні
мішки, натомість під час видиху в легенях кисень цього повітря обмі-
нюється на вуглекислий газ. Окрім дихальної функції, повітряні мішки
знижують питому густину тіла птаха. У дихальній системі є дві гортані:
верхня та нижня, в останній розташовані голосові зв’язки.
Кровоносна система птахів замкнена, з двома колами кровообігу.
Серце чотирикамерне, у деяких дрібних птахів воно може скорочува-
тися до 1000 разів на хвилину. З лівого шлуночка бере початок велике
коло кровообігу, що забезпечує мозок та інші внутрішні органи киснем
артеріальної крові. Від органів збіднена киснем кров повертається вже
у праве передсердя і з правого шлуночка виштовхується до легенів ма-
лим колом кровообігу. Закінчується мале коло в лівому передсерді.
Видільна система представлена нирками та сечоводами, що від-
криваються в клоаку. Кінцевим продуктом обміну речовин у птахів,
яків рептилій, є сечова кислота.
Нервова система птахів високоорганізована, особливо розвинені
передні півкулі головного мозку та мозочок. Органи чуттів представ-
лені органами зору (очі), слуху (внутрішнє та середнє вухо), зрідка —
нюху. Очні яблука у птахів відносно крупні, вони захищені повіками
Внутрішня будова птаха
1 — головний мозок;
2 — спинний мозок;
З — серце;
4 — воло;
5 — шлунок;
6 — кишечник;
7 — клоака
Дихальна система птаха
1 — трахея;
2 — легені;
З — повітряні мішки
500
Біологія
Будова яйця
1 — шкаралупова оболонка;
2 — підшкаралупові оболонки;
З — повітряна камера;
4 — жовток;
5 — зародковий диск;
6 — білкова оболонка;
7 — халази
та мигальною перетинкою. Особливо добре розвинений зір у хижих та
нічних птахів. Орган слуху розвинений краще, ніж у рептилій, оскільки
в них равлик більш відособлений, а також з’являється зачаток зовніш-
нього слухового проходу.
Птахи — роздільностатеві тварини, у самців є парні сім’яники
та сім’япроводи, що відкриваються в клоаку, а в самок — парні яєч-
ники та яйцепроводи, з яких зазвичай зберігається лише один у зв’язку
з відкладенням крупних яєць.
В яйці птахів розрізняють жовток, білкову, дві підшкаралупові
та вапняну шкаралупову оболонки. Яйце має відносно великі розміри,
оскільки містить значний запас поживних речовин для розвитку за-
родка (жовток, білок). Зародок розвивається з невеликого зародкового
диска, що знаходиться на поверхні жовтка. Жовток у білковій оболонці
нібито підвішений на своєрідних канатиках — халазах.
Клас Ссавці. Включає понад 4000 видів теплокровних тварин, шкі-
ра яких має волосяний покрив і численні залози. Переважна частина
ссавців народжує живих дитинчат і вигодовує їх молоком. Головний
мозок ссавців відрізняється сильним розвитком кори великих півкуль.
Тіло ссавців поділяється на голову, тулуб, хвіст та кінцівки. На го-
лові знаходяться ротовий отвір, очі, голий ніс із парою ніздрів та більш
або менш виражені вушні раковини. Більшість представників має
м’ясисті губи, що обмежують ротовий отвір. Очі захищені рухомими
повіками та мають слізні залози.
Шкіра ссавців тришарова, утворена епідермісом, дермою, або власне
шкірою та підшкірною жировою клітковиною. Видозмінами епідермісу
є волосся, кігті, нігті, роги та копита ссавців, а також різноманітні залози.
Шерсть ссавців відіграє значну роль у терморегуляції, захищає тіло
від механічних впливів, зменшує випаровування з поверхні тіла, а та-
кож може мати захисне забарвлення.
З 4
Скелет ссавця
1 — череп; 2 — шийний відділ хребта; 3 — грудний відділ хребта; 4 — поперековий
відділ хребта; 5 — крижовий відділ хребта; 6 — хвостовий відділ хребта;
7 — плечовий пояс; 8 — скелет передньої кінцівки; 9 — ребра; 10 — груднина,
11 — тазовий пояс; 12 — скелет задньої кінцівки
Скелет ссавців поділяється на скелети голови, тулуба та кінцівок.
Череп відрізняється великим мозковим відділом, у середньому вусі
в них є три слухові кісточки: молоточок, коваделко та стремінце. Хребет
ссавців має п’ять відділів: шийний, грудний, поперековий, крижовий
та хвостовий. У шийному відділі налічується зазвичай 7 хребців, перші
Організменний рівень життя
501
два хребці — атлант та епістрофей — забезпечують рухливість шиї.
У грудному відділі зазвичай 12-15 хребців, до них прикріпляються
ребра, що утворюють разом із грудниною грудну клітку. Поперековий
відділ складається з 2-9 хребців, а 2-4 хребці крижового відділу зрос-
таються в крижову кістку, до якої прикріпляються тазові кістки. Кіль-
кість хребців у хвостовому відділі сильно варіює.
Пояс верхніх кінцівок утворений лопатками, ключицями та вороня-
чими кістками, проте розвиток окремих кісток залежить від характеру
рухів тварини. Тазові кістки у ссавців зростаються. На кінцівках може
бути різна кількість пальців: у парнокопитих залишаються третій та
четвертий пальці, а в непарнокопитих — лише третій.
М’язова система ссавців сильно розвинена, особливо це стосується
м’язів кінцівок, підшкірних та дихальних м’язів, у тому числі й діафраг-
ми, зміна положення якої пов’язана з процесом вентиляції легенів.
У ссавців уперше з’являються губи, що обмежують спереду пере-
дротову порожнину, позаду її обмежують зуби.
У ротову порожнину відкриваються протоки слинних залоз, що виді-
ляють слину з травними ферментами та бактерицидними властивостя-
ми. Наприклад, у корови виробляється до 50 л слини на добу. З ротової
порожнини через глотку та стравохід їжа потрапляє в добре виражений
шлунок, який може мати до чотирьох відділів, як у жуйних тварин
(рубець, сітку, книжку та сичуг, з яких власне шлунком є сичуг).
Кишечник у ссавців поділяється на тонкий, товстий та прямий відді-
ли. У тонкий кишечник відкриваються протоки печінки й підшлункової
залози, секрети яких забезпечують перетравлення їжі. На межі тонкого
й товстого кишечника у багатьох видів є виражена сліпа кишка. Значну
роль у перетравленні їжі у ссавців відіграють симбіотичні організми:
в жуйних це інфузорії, які мешкають у шлунку (рубці), у зайцеподібних
це джгутиконосці — у сліпій кишці, у людини бактерії — в товстій.
Довжина кишечника сильно варіює залежно від споживаної їжі: у рос-
линоїдних він довший, ніж у хижих та комахоїдних.
Дихальна система ссавців утворена дихальними шляхами (носо-
ва порожнина, носоглотка, гортань із голосовими зв’язками, трахея
й парні бронхи) і парними легенями. У вентиляції легенів беруть участь
міжреберні м’язи та діафрагма.
Кровоносна система ссавців замкнена, з двома колами кровообігу,
серце чотирикамерне.
Виділення кінцевих продуктів обміну речовин у ссавців здійснюєть-
ся через нирки, сполучені із сечовим міхуром сечоводами. Спорожнення
сечового міхура відбувається через сечівник.
Нервова система ссавців високоорганізована, особливо сильно розви-
нений головний мозок. Кора великих півкуль переднього мозку вкрита
корою, у хижих ссавців та приматів є звивини, складки й борозни кори,
що зумовлює наявність складних форм поведінки.
У представників класу розвинені органи слуху (внутрішнє, середнє
вухо з трьома слуховими кісточками та зовнішнє вухо зі слуховим про-
ходом і вушною раковиною), зору (очі), дотику (вібриси), нюху і смаку.
Ссавці — роздільностатеві тварини: у самців є парні сім’яники та
сім’япроводи, останні переважно суміщені з сечівником; у самок —
парні яєчники, маткові труби та матка. Запліднення у них внутрішнє.
Особливості процесу виношування і народження дитинчат покладені
в основу класифікації ссавців. Вони вигодовують дитинчат молоком.
Внутрішня будова ссавця
1 — серце;
2 — легеня;
З — шлунок;
4 — печінка;
5 — кишечник
Шлунок корови
1 — рубець;
2 — сітка;
З — сичуг;
4 — книжка
502
Біологія
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
Яку функцію виконує позначена літерою X органела?
А) фотосинтез;
Б) орієнтація на світло;
В) осморегуляція;
Г) зберігання та передача спадкової інформації.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Який з перерахованих нижче представників класу Гідроїдні є колоніальним?
А) гідра прісноводна; Б) хрестовичок;
В) португальський кораблик; Г) морська оса.
Які органи виділення властиві молюскам?
А) протонефридії; Б) метанефридії; В) нефридії; Г) нирки.
У представників якого відділу вперше з’являється задня кишка та анальний отвір?
А) Плоскі черви; Б) Круглі черви; В) Кільчасті черви; Г) Молюски.
Комахи мають:
А) 1 пару вусиків; Б) 2 пари вусиків; В) 3 пари вусиків; Г) 4 пари вусиків.
Які відділи хребта притаманні кістковим рибам?
А) тулубний і хвостовий;
Б) шийний, тулубний, крижовий і хвостовий;
В) шийний, грудо-поперековий, крижовий і хвостовий;
Г) шийний, грудний, поперековий, крижовий і хвостовий.
Що з перерахованого нижче НЕ належить до пристосувань птахів до польоту?
А) порожнистість кісток; Б) верхня та нижня гортані;
В) подвійне дихання; Г) повітряні мішки.
Визначте, до якого ряду ссавців належить тварина, яка має дві пари різців у верхній щелепі,
та одну у нижній, ікла відсутні, її сліпа кишка розвинута добре, кінцівки п’ятипалі:
А) Гризуни; Б) Зайцеподібні; В) Парнокопиті; Г) Непарнокопиті.
Установіть відповідність між назвами стадій життєвого циклу печінкового сисуна та їхніми
зображеннями на рисунку:
1) яйце сисуна;
2) проміжний хазяїн;
3) остаточний хазяїн;
4) личинка сисуна.
10. Укажіть правильну послідовність систематичного положення ропухи очеретяної:
А) родина Справжні жаби; Б) царство Тварини; В) ряд Безхвості;
Г) підцарство Багатоклітинні тварини; Д) тип Хордові; Е) клас Земноводні;
Є) підтип Хребетні.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Б. 5. А. 6. А. 7. Б. 8. Б. 9. 1Б, 2Г, ЗД, 4А. 10. Б, Г, Д, Є, Е, В, А.
Організменний рівень життя
503
Людина
Тканини організму людини
Тканиною називають сукупність клітин та міжклітинної речовини,
які мають подібні будову й походження та виконують однакові функції.
В наш час у людини і тварин розрізняють чотири основні типи тканин:
епітеліальну, м’язову, нервову та сполучну.
Епітеліальна тканина, або епітелій, покриває тіло, вистилає всі
порожнини внутрішніх органів і утворює різні залози. Цей тип тка-
нин виконує захисну, дихальну, видільну, секреторну та інші функції.
Її клітини щільно прилягають одна до одної, міжклітинної речовини
мало або вона зовсім відсутня, при цьому хоча б один шар клітин кон-
тактує зі сполучною тканиною.
За розташуванням і виконуваними функціями епітелії поділяють
на залозисті та поверхневі. Залозисті епітелії складають основу за-
лоз внутрішньої та зовнішньої секреції, наприклад слізних, слинних,
щитовидної тощо. Вони здатні виробляти різноманітні продукти —
секрети.
Серед поверхневих епітеліїв за кількістю шарів клітин розрізня-
ють одношарові та багатошарові, за формою клітин їх поділяють на
плоскі, кубічні, призматичні, війчасті тощо. Багатошарові епітелії
належать до зроговілих і незроговілих: багатошаровий плоский зро-
говілий епітелій — епідерміс шкіри — покриває наше тіло, тоді як
багатошаровий плоский незроговілий епітелій вистилає, наприклад,
ротову порожнину.
Сполучна тканина заповнює всі проміжки між органами та іншими
тканинами і складає більше 50 % маси тіла людини. Відмінностями її
будови є значна кількість міжклітинної речовини та різноманітність
клітинних елементів. Міжклітинна речовина сполучної тканини у бага-
тьох випадках містить білкові волокна, зокрема колагенові, еластинові
та ін. Сполучна тканина виконує в організмі поживну, транспортну,
захисну, опорну, пластичну та структурну функції.
Сполучну тканину поділяють на власне сполучні тканини, скелетні
та рідкі (поживні). До власне сполучних тканин належать волокнисті
тканини сухожиль і зв’язок, пухка сполучна, ретикулярна та жирова
тканини. Окрім сухожиль та зв’язок, з волокнистої сполучної тканини
складаються дерма та прошарки між органами. Ретикулярна тканина
розташована в органах кровотворення, наприклад лімфатичних вузлах.
Жирова тканина утворює підшкірну жирову клітковину та прошарки
між внутрішніми органами.
Скелетні сполучні тканини представлені кістковою й хрящовою.
Першою з них утворені кістки скелета та тканини зуба. Її клітини —
остеоцити — пов’язані між собою вапняними пластинками. Хрящова
тканина сполучає кістки скелета, формує дихальні шляхи, вушну ра-
ковину тощо. Клітини хрящової тканини — хондроцити — зазвичай
вміщені в спеціальні капсули.
До рідких сполучних тканин належать кров та лімфа, склад і фун-
кції яких будуть розглянуті нижче.
М’язовими називають тканини, здатні до збудження та скорочення.
Елементи м’язової тканини зазвичай мають витягнуту форму. Вони
забезпечують рух організму людини і скорочення стінок внутрішніх
Епітелій
Пухка
Жирова
Ретикулярна
Щільна сполучна
Хрящова
Кісткова
Сполучні тканини
504
Біологія
Гладенька м'язова тканина
Серцева посмугована
м'язова тканина
Нейрон
органів. М’язові тканини поділяють на гладеньку, або непосмуговану,
та посмуговані (поперечно-смугасті) скелетну й серцеву.
Клітини гладенької м’язової тканини — міоципіи — мають веретено-
подібну форму та єдине паличкоподібне ядро. Скорочення міоцитів є рит-
мічними і не залежать від свідомості людини, тому цю тканину називають
ще мимовільною. Цей вид тканини залягає у стінках внутрішніх м’язових
органів, таких як стравохід, шлунок, сечовий міхур, артерії та ін.
Одиницями будови посмугованої скелетної м’язової тканини є ба-
гатоядерні м’язові волокна із характерною посмугованістю. Цією тка-
ниною утворені скелетні та мімічні м’язи, м’язи рота, язика, гортані,
верхньої частини стравоходу й діафрагми.
Посмугована серцева м’язова тканина складається з посмугованих
м’язових клітин із одним-двома ядрами. Завдяки особливим клітинним
контактам вона здатна скорочуватися одночасно. Посмугована серцева
тканина утворює середній шар стінки серця — міокард.
Нервова тканина, яка утворює нервову систему, забезпечує інтеграцію
частин організму в єдине ціле, регуляцію та координацію їхньої діяльності,
взаємодію організму з навколишнім середовищем, а в людини — ще й є біо-
логічною основою мислення, свідомості та мовлення. Нервова тканина здат-
на сприймати подразнення, збуджуватися, виробляти нервові імпульси і пе-
редавати їх. Нервова тканина утворена нейронами та клітинами нейроглії.
Нейрони є основним видом клітин нервової тканини, здатним до
збудження та його проведення. Вони складаються з тіла й відростків.
Відростки, якими збудження надходить до нейрона, називаються ден-
дритами, а ті, що передають його іншим клітинам, — аксонами.
Передача інформації у вигляді нервового імпульсу від одного нейро-
на до іншого або на клітини інших тканин відбувається через особливий
вид клітинних контактів — синапси. Нейрон, що передає імпульс, виді-
ляє шляхом екзоцитозу спеціальну речовину — медіатор, яка сприй-
мається наступною клітиною і викликає її реакцію (збудження або галь-
мування). За характером дії розрізняють збудливі та гальмівні синапси.
Клітини нейроглії виконують поживну, захисну, опорну та ізолю-
вальну функції.
Функціональні системи органів
Орган (від грецьк. ог§апоп — знаряддя, інструмент) — це відособле-
на частина тіла, що має певну будову і виконує певну функцію. Органи
утворені зазвичай комплексом тканин, проте лише одна з них перева-
жає, як, наприклад нервова тканина у головному мозку.
Усі органи, що об’єднані анатомічно і здійснюють певну функцію
організму, утворюють фізіологічну систему органів. В організмі людини
розрізняють такі фізіологічні системи органів: опорно-рухову, травну,
кровоносну, лімфатичну, дихальну, покривну, статеву, нервову, ендок-
ринну та систему виділення.
Натомість тимчасове об’єднання декількох фізіологічних систем
з метою виконання однієї з функцій живого, називається функціональ-
ною системою органів. Зокрема, дихання забезпечується роботою не
лише дихальної, а й опорно-рухової, кровоносної та інших систем.
Узгоджена взаємодія цих систем органів досягається за рахунок
складної системи нейрогуморальної регуляції, здійснюваної нервовою
та ендокринною системами.
Організменний рівень життя
505
Опора і рух
Опорно-рухова система
Опорно-рухова система забезпечує підтримку форми тіла та його
переміщення у просторі, виконує захисну, кровотворну й терморегу-
ляторну функції. Вона поділяється на систему опори (скелет) і систему
руху (м’язова система). Скелет людини утворений кістками, сполучени-
ми між собою, а м’язова система — м’язами, що часто прикріпляються
до кісток.
Будова скелета
Скелет людини поділяється на скелет голови (череп), скелет тулуба
та скелет кінцівок.
Череп захищає від зовнішніх впливів головний мозок й органи чут-
тя, а також є опорою обличчя, початкових відділів травної та дихальної
систем.
У черепі розрізняють лицьовий та мозковий відділи. Лицьовий від-
діл утворений парними носовими, виличними, слізними і верхньоще-
лепними кістками, а також непарною нижньощелепною кісткою, яка
сполучається з верхньощелепними двома суглобами. До мозкового від-
ділу належать парні тім’яні та скроневі кістки, а також непарні лобова
і потилична.
Скелет тулуба утворений хребтом і грудною кліткою. Хребет
зв’язує частини тіла, виконує захисну й опорну функції для спинного
мозку й спинномозкових нервів, підтримує голову, слугує для прикріп-
лення кінцівок, перерозподіляє вагу тіла на нижні кінцівки, а також
обумовлює можливість прямоходіння. У людини хребет складається із
33-34 хребців.
Типовий хребець має тіло та дугу хребця, а також відростки. Отво-
ри між тілами і дугами хребців утворюють хребетний канал, в якому
проходить спинний мозок. Відростки слугують для прикріплення м’язів
та сполучення хребців, яке зміцнюється за допомогою хрящових про-
кладок — міжхребетних дисків.
Хребет поділяється на п’ять відділів: шийний, грудний, попереко-
вий, крижовий та куприковий. У шийному відділі хребта у людини, як
і в інших ссавців, — 7 хребців, він забезпечує рух голови. Перший та
другий хребці шийного відділу (атлант та епістрофей відповідно) мають
дещо відмінну від інших будову. Грудний відділ утворений 12 хребця-
ми, до яких прикріпляються парні ребра. У поперековому та крижо-
вому відділах по 5 хребців, тоді як у куприковому — 4-5. У зв’язку
з прямоходінням величина хребців поступово зростає до поперекового
та крижового відділів, у куприковому ж вони знову стають меншими,
оскільки не несуть істотного навантаження.
Грудну клітку утворюють ребра та груднина, проте десять пар ребер
з дванадцяти тим або іншим чином зчленовуються з грудниною, а дві
пари закінчуються у товщі м’язів. Грудна клітка захищає органи груд-
ної порожнини, а піднімання й опускання ребер забезпечує легеневу
вентиляцію й рух крові та лімфи по судинах.
Функції кінцівок у людини чітко розмежовані: верхні — органи
праці, а нижні — опори та пересування. Ці особливості зумовлюють
і їхню будову.
Скелет людини
1 — череп;
2 — шийний відділ;
З — плечовий пояс;
4 — грудний відділ хребта;
5 — грудна клітка;
6 — плечова кістка;
7 — ліктьова кістка;
8 — променева кістка;
9 — поперековий відділ
хребта;
10 — тазовий пояс;
11 — стегнова кістка;
12 — великогомілкова кістка;
13 — малогомілкова кістка;
14 — кістки стопи;
15 — куприк;
16 — кістки кисті
Череп
1 — лобова кістка;
2 — тім'яна кістка;
З — скронева кістка;
4 — потилична кістка;
5 — носова кістка;
6 — верхньощелепна кістка;
7 — нижньощелепна кістка
506
Біологія
Хребет
Хребець
Будова м'яза
Тонка структура м'язового
волокна
Скелет верхніх кінцівок поділяється на скелет вільних верхніх
кінцівок і пояс верхніх кінцівок. Пояс верхніх кінцівок (плечовий
пояс) утворений парними лопатками та ключицями. Він забезпечує
прикріплення верхніх кінцівок до тулуба. Скелет вільних верхніх кін-
цівок складається із трьох відділів: плеча, передпліччя і кисті. Пле-
че утворене єдиною плечовою кісткою, верхня головка якої рухливо
сполучається з лопатками та ключицями у плечовому суглобі, а ниж-
ня сполучається з кістками передпліччя. До передпліччя належать
ліктьова та променева кістки, а до кисті — кістки зап’ястка, п’ястка
і фаланг пальців.
Скелет нижніх кінцівок поділяється на скелет вільних нижніх кін-
цівок і пояс нижніх кінцівок. Пояс нижніх кінцівок (тазовий пояс),
який слугує для прикріплення їх до тулуба, представлений трьома зро-
щеними парними тазовими кістками. Таз міцно сполучений із крижем.
Скелет вільних нижніх кінцівок складається з трьох відділів: стегна,
гомілки та стопи. Стегно представлене єдиною кісткою — стегновою,
головка якої утворює з тазом тазостегновий суглоб. Скелет гомілки
утворений велико- та малогомілковими кістками, а скелет стопи —
кістками передплесна, плесна і фалангами пальців.
У зв’язку з прямоходінням у людини в порівнянні з іншими ссав-
цями є ряд особливостей будови скелета: поступове потовщення хребта
донизу; наявність чотирьох вигинів хребта (шийного, грудного, попе-
рекового і крижового), що амортизують струс під час руху; відносно
слабший розвиток верхніх кінцівок внаслідок перенесення на нижні
ваги тіла, а також склепінчаста форма стопи, що сприяє ослабленню
коливань при переміщенні тіла.
Будова та функції скелетних м’язів
М’язова система організму представлена скелетними м’язами, утво-
реними посмугованою м’язовою тканиною. Більшість м’язів укрита спо-
лучнотканинною оболонкою, їхнє тіло (черевце) має головку (головки)
та хвіст, які за допомогою сухожиль прикріпляються до кісток. Деякі
м’язи вплітаються у шкіру і не прикріпляються до кісток.
На поперечному зрізі м’яза добре помітно, що він утворений пуч-
ками м’язових волокон, укладених у сполучнотканинні оболонки. Ба-
гатоядерне м’язове волокно, в якому є безліч строго впорядкованих
білкових ниток актину та міозину, є одиницею будови скелетного м’яза.
«Ковзання» ниток актину та міозину відносно один одного, яке потребує
присутності іонів Са2+ та енергії АТФ, зумовлює скорочення м’язового
волокна та м’яза в цілому.
Скелетні м’язи, крім забезпечення руху тіла, також обмежують по-
рожнини тіла (ротову, черевну тощо), утворюють стінки деяких органів
(глотки, гортані та ін.), сприяють функціонуванню дихальної системи,
їхня активність є необхідною для нормального формування нервової
системи у процесі індивідуального розвитку. Безперебійна робота ске-
летних м’язів залежить від постачання кров’ю та іннервації.
Класифікація м’язів
М’язи поділяють на групи за морфологічними особливостями, фун-
кціями та положенням у тілі людини. Так, за розташуванням м’язових
волокон їх відносять до прямих, косих і кругових, що відображається
в їхніх назвах, наприклад коловий м’яз рота.
Організменний рівень життя
507
За функціями м’язів кінцівок розрізняють згиначі та розгиначі.
При цьому м’язи, що виконують одну і ту ж функцію, називаються
синергістами, а ті, що виконують протилежні функції, — антагоніста-
ми. Наприклад, плечовий м’яз та двоголовий м’яз плеча є синергістами,
оскільки згинають руку в ліктьовому суглобі. Натомість двоголовий та
триголовий м’язи плеча — антагоністи, оскільки перший згинає руку
в ліктьовому суглобі, а другий — розгинає її.
М’язи тіла поділяють на три основні групи: м’язи голови, м’язи
тулуба і м’язи кінцівок.
Серед м’язів голови особливе місце посідають мімічні та жувальні
м’язи. Основною функцією жувальних м’язів є забезпечення механіч-
ного подрібнення їжі, тоді як із мімічними пов’язаний вираз обличчя
людини. Розподіл м’язів на ці дві групи є дещо умовним, оскільки часто
вони діють разом (мовлення, жування, ковтання). До мімічних м’язів
належать, наприклад, колові м’язи очей та рота, а до жувальних —
жувальний, скроневий тощо.
М’язи тулуба поділяють на м’язи шиї, грудей, живота та спини.
Перші забезпечують рухи голови, як, наприклад, підшкірний м’яз шиї.
М’язи грудей представлені великим та малим грудними м’язами, міжре-
берними м’язами. До м’язів живота належать перш за все черевні м’язи
(м’язи преса), а до м’язів спини — трапецієподібний та найширший
м’язи спини. М’язом тулуба є також діафрагма, що розмежовує грудну
та черевну порожнини і бере безпосередню участь у дихальних рухах.
Найбільшими м’язами верхніх кінцівок є двоголовий й триголовий
м’язи плеча, а нижніх кінцівок — триголовий та чотириголовий м’язи
стегна, кравецький і литкові м’язи.
Травлення
Сукупність процесів механічного подрібнення та хімічного розщеп-
лення їжі, яке робить її компоненти придатними для всмоктування та
використання у процесі обміну речовин, називають травленням. Воно
є основною функцією травної системи. Травна система забезпечує та-
кож видалення неперетравлених залишків їжі, бере участь у виділенні
токсичних продуктів обміну речовин і підтримці імунітету організму.
Травна система. Роль ферментів у травленні
Травна система людини утворена травним каналом та супутніми
залозами. Загальна довжина травного каналу складає 8-10 м, він поді-
ляється на ротову порожнину, глотку, стравохід, шлунок, тонкий і тов-
стий кишечник.
Ротова порожнина поділяється на присінок рота (передротову по-
рожнину) та власне ротову порожнину. Спереду присінок рота обмеже-
ний щоками та губами, а ззаду — зубами. Губи забезпечують сприйнят-
тя температури та консистенції їжі.
Зуби. Оскільки людина належить до класу Ссавці, у неї відбувається
зміна зубів: у дитини налічується 20 молочних зубів, а у дорослої лю-
дини — 32 постійних. Процес зміни зубів завершується до 12-14 років.
Язик — це м’язовий орган, що прикріплений заднім кінцем. Він
забезпечує сприйняття смаку, температури і консистенції їжі, а також
сприяє перемішуванню їжі в роті та ковтанню харчового клубка.
Основні м'язи тіла людини
1 — великий грудний м'яз;
2 — дельтоподібний м'яз;
З — двоголовий м'яз плеча;
4 — черевні м'язи;
5 — кравецький м'яз;
6 — трапецієподібний м'яз;
7 — найширший м'яз спини;
8 — триголовий м'яз плеча
508
Біологія
Травна система людини
1 — ротовий отвір;
2 — язик;
З — слинні залози;
4 — глотка;
5 — стравохід;
6 — шлунок;
7 — печінка;
8 — підшлункова залоза;
9 — жовчний міхур;
10 — тонкий кишечник;
11 — товстий кишечник;
12 — пряма кишка;
13 — анальний отвір
Будова шлунка
Печінка
й підшлункова залоза
Глотка є частиною травної трубки, яка сполучає ротову і носову
порожнини з одного боку та стравохід із гортанню — з іншого.
Стравохід — це м’язова трубка, вистелена зсередини епітелієм,
якою їжа потрапляє до шлунка. Довжина стравоходу складає близько
23-25 см. Він починається у шийній ділянці, проходить через грудну
порожнину, діафрагму та впадає у шлунок, що лежить у черевній по-
рожнині. Стравохід розташований позаду трахеї.
Шлунок — порожнистий м’язовий орган об’ємом 1,5-2 л. Стінки
шлунка всередині вистелені епітелієм, який виділяє шлунковий сік
та слиз, що запобігає травленню стінок шлунка. До складу шлунково-
го соку входять ферменти (пепсин, ліпаза тощо) та хлоридна кислота.
Унаслідок виділення хлоридної кислоти середовище у шлунку кисле,
проте воно є необхідним для активації ферменту пепсину, який розщеп-
лює білки до амінокислот. Скорочення стінок шлунка забезпечує пере-
мішування їжі та її просування у напрямі кишечника.
На межі шлунка та тонкого кишечника міститься сфінктер — коло-
вий м’яз, який не дозволяє їжі повертатися назад, якщо вона надійшла
до кишечника.
Кишечник у людини поділяється на тонкий і товстий. Довжина
тонкого кишечника складає близько 5-6 м, він утворений дванадця-
типалою, порожньою та клубовою кишками. У дванадцятипалу кишку
відкриваються протоки печінки й підшлункової залози.
У товстому кишечнику, утвореному сліпою, ободовою та прямою
кишками, відбувається всмоктування води і формування калових мас.
У товстому кишечнику мешкають симбіотичні бактерії, які розщеплю-
ють деякі речовини, не перетравлювані організмом людини, і синтезу-
ють вітаміни (наприклад групи В) та інші біологічно активні речовини,
які потім всмоктуються у кров і використовуються організмом. Калові
маси періодично видаляються з організму шляхом дефекації.
Сліпа кишка має червоподібний відросток (апендикс), який є орга-
ном імунної системи. Його запалення називається апендицитом.
Печінка — це найбільша залоза організму, маса якої складає близь-
ко 1,5 кг. Вона забезпечує знешкодження отруйних речовин, що пот-
рапляють до крові, сприяє травленню їжі, а також виконує запасаючу
функцію. Секрет печінки називається жовчю, він сприяє емульгуванню,
омиленню, розщепленню та всмоктуванню жирів, а також стимулює
скорочення стінок кишечника. На добу виділяється близько 1,5-2 л
жовчі, частина якої може тимчасово нагромаджуватися в жовчному
міхурі. Кровоносні судини, які обплітають стінки тонкого кишечни-
ка, збираються у ворітну вену печінки. Кров, принесена ворітною ве-
ною, проходить своєрідне очищення, у процесі якого знешкоджуються
отруйні для організму речовини. Надлишок глюкози у плазмі крові
затримується у печінці й запасається у вигляді глікогену, вивільняю-
чись за потребою. Регулюється даний процес гормонами підшлункової
залози — інсуліном та глюкагоном.
Підшлункова залоза є залозою змішаної секреції, оскільки частина
її клітин виділяє травний сік, що вивільняється в тонку кишку, а інша
частина викидає у кров’яне русло гормони інсулін та глюкагон. Сік
підшлункової залози містить ферменти, що розщеплюють вуглеводи,
білки і жири, наприклад амілазу, трипсин та ліпазу.
Організменний рівень життя
509
Дихання
В організмі людини та багатьох тварин дихання є багатостадійним
процесом, під час якого повітря надходить до легенів, потім кисень
дифундує у кров, переноситься нею до тканин, проникає до клітини,
де нарешті відбувається безпосередньо процес вивільнення енергії, який
називається тканинним диханням.
Зовнішнє дихання, або процес газообміну між організмом і навко-
лишнім середовищем, цілком залежить від функціонування дихаль-
ної системи. Крім того, вона відіграє важливу роль у терморегуляції,
здійсненні виділення та мовленнєвої функції. Підтримка сталості тем-
ператури тіла пов’язана з виділенням водяної пари, утворення якої
призводить до охолоджування тканин. Повітря, що видихається, крім
вуглекислого газу і пари, містить амоніак та інші леткі продукти об-
міну речовин, а із слизом, що відкашлюється, може виділятися, на-
приклад сечовина. Формування звуків також пов’язане з дихальною
системою, оскільки саме в ній розміщені голосові зв’язки, а в деяких
мовах є навіть спеціальні носові звуки.
Дихальна система
Дихальна система людини складається з дихальних шляхів та ле-
генів. Дихальні шляхи, у свою чергу, поділяються на носову порожни-
ну, носоглотку, гортань, трахею та бронхи, що розгалужуються у леге-
нях на численні бронхіоли.
Носова порожнина відкривається назовні ніздрями з одного боку
та сполучається із носоглоткою — з іншого. Вона вистелена війчастим
епітелієм, який затримує різні частинки, зважені у повітрі, а також
збудників захворювань. Носова порожнина сполучається і з навколо-
носовими пазухами, наприклад гайморовою та носослізною протокою,
якою стікає частина слізної рідини. Навколоносові пазухи беруть участь
у зігріванні повітря та є звуковими резонаторами. Верхня частина но-
сової порожнини поділена на три носові ходи, в яких повітря зволо-
жується і надходить у відповідність із температурою тіла (зігріваєть-
ся або охолоджується). У ній також розташовані нюхові рецептори,
які забезпечують сприйняття запаху.
Носоглотка сполучається з носовою та ротовою порожнинами, через
неї повітря потрапляє до гортані.
Гортань є воронкоподібним сполучнотканинним органом, прикри-
тим хрящовим надгортанником. При потраплянні їжі на корінь язика,
коли відбувається рефлекторний акт ковтання, надгортанник повинен
закритися, щоб їжа не потрапила у дихальні шляхи.
Трахея у людини спереду захищена хрящовими півкільцями, а ззаду
затягнута еластичною сполучнотканинною перегородкою, що забезпечує
безперешкодне проходження їжі стравоходом, розташованим безпосе-
редньо за трахеєю. Трахея у нижній частині розгалужується на два
бронхи — правий та лівий.
Бронхи утворені хрящовими кільцями. Входячи до легень, вони
розгалужуються на все дрібніші бронхіоли, що закінчуються міхурця-
ми — альвеолами, зібраними у гроноподібні структури.
Легені — парні органи, що лежать у грудній порожнині, обмеженій
грудною кліткою та діафрагмою. Під лівою легенею розміщене серце,
Дихальні шляхи
Дихальна система людини
1 — носова порожнина;
2 — ротова порожнина;
З — носоглотка;
4 — гортань;
5 — трахея;
6 — бронхи;
7 — легені;
8 — діафрагма
Альвеолярна будова легень
510
Біологія
Кровоносна система
людини
1 — серце;
2 — аорта;
З — сонні артерії;
4 — верхня порожниста вена;
5 — нижня порожниста вена
Будова серця
1 — праве передсердя;
2 — тристулковий клапан;
З — правий шлуночок;
4 — ліве передсердя;
5 — двостулковий клапан;
6 — лівий шлуночок;
7 — аорта;
8 — легенева артерія;
9 — верхня порожниста вена;
10 — нижня порожниста вена;
11 — перегородка
тому вона поступається за розмірами правій. Легені людини мають аль-
веолярну будову. Стінки альвеол вистелені епітелієм та густо обплетені
капілярами, вони виділяють спеціальну рідину, яка сприяє газообміну
та перешкоджає спаданню стінок альвеол. В альвеолах повітря віддає
крові кисень і збагачується вуглекислим газом.
Легені вкриті плеврою, що має два листки — зовнішній та внутріш-
ній, між якими міститься плевральна рідина, що зменшує силу тертя
під час дихальних рухів.
Транспорт речовин
Кровоносна система
Кровообігом називають безперервний рух крові по замкнутих по-
рожнинах серця та кровоносних судинах, оскільки тільки в русі кров
може виконувати свої функції. Кровообіг забезпечується серцевими
скороченнями.
Кровоносна система людини замкнена, має два кола кровообігу. Вона
утворена серцем і судинами, заповненими кров’ю.
Будова серця
Серце — порожнистий м’язовий орган, який ритмічно скорочується
протягом усього життя людини. Воно розташоване у грудній порожнині,
переважно в лівій половині тіла, над діафрагмою. Серце вміщується
у навколосерцевій сполучнотканинній сумці — перикарді, який пере-
шкоджає зайвому розтягуванню серця та його переповнюванню кров’ю.
Між перикардом та стінкою серця міститься спеціальна рідина, що зни-
жує тертя при скороченні серця.
Стінки самого серця тришарові — зовні вони вкриті сполучнотка-
нинним епікардом, зсередини вистелені епітелієм — ендокардом, а між
ними розташований наймогутніший середній шар — міокард, утворений
серцевою посмугованою м’язовою тканиною.
Серце у людини чотирикамерне, воно поділяється перегородкою на
дві половини, що не сполучаються між собою, — праву та ліву. Ліва
половина заповнена артеріальною кров’ю, що збагачена киснем, тоді
як права — венозною, збідненою киснем. Унаслідок більшого наванта-
ження, пов’язаного із забезпеченням артеріального кровотоку, м’язові
стінки лівої половини серця товщі, ніж стінки правої. Кожна половина
поділяється на передсердя та шлуночок, розмежовані клапанами. Між
правим передсердям та правим шлуночком розташований тристулковий
клапан, а між лівим передсердям та лівим шлуночком — двостулковий
(мітральний). До вільних країв клапанів прикріплені сухожильні нит-
ки, які не дозволяють клапанам вивертатися назад і випускати кров із
шлуночків у передсердя, тим самим знижуючи її тиск.
Робота серця
Серце є своєрідним насосом кровоносної системи, який жене кров по
судинах. Цикл роботи серця складається з періодичних почергових ско-
рочення — систоли — та розслаблення — діастоли. Наповнені кров’ю
передсердя скорочуються (систола передсердь — 0,1 с), уприскуючи
Організменний рівень життя
511
кров у шлуночки. Потім стінки передсердь розслабляються, і вони по-
чинають поступово знову наповнюватися кров’ю. Притік крові у перед-
сердя зумовлений різницею тиску у венах і передсерді, скороченнями
скелетних м’язів, а також присмоктуючою дією грудної клітки і власне
передсердя. Скорочення стінок шлуночків (систола шлуночків), які
викидають кров до внутрішніх органів, триває близько 0,3 с. Повер-
ненню крові у передсердя заважають стулкові клапани, тому вся кров
із лівого шлуночка спрямовується до аорти, а з правого — до легеневого
стовбура. Після викиду крові відбувається загальне розслаблення стінок
серця (діастола — 0,4 с), після чого цикл повторюється. Кров із судин не
може повернутися до шлуночків, оскільки перші також мають клапани.
У нормі частота серцевих скорочень (ЧСС) досягає 60-72 скорочень,
проте при фізичному навантаженні навіть у тренованих спортсменів
вона може зростати до 180-200. З віком виявляється тенденція до змен-
шення числа скорочень серця.
За один цикл роботи серце викидає у середньому 65-75 мл крові,
ця кількість крові називається систолічним об’ємом. Відповідно за
хвилину воно перекачує 4-4,5 л крові.
Незважаючи на те, що через серце проходить постійний потік крові,
його безперебійна робота забезпечується завдяки руху крові по коро-
нарних судинах, що тісно обплітають цей орган.
Будова та функції кровоносних судин
Кровоносні судини забезпечують рознесення крові по всьому організ-
му. Розрізняють три види судин: артерії, вени та капіляри. Артеріями
називають судини, які несуть кров від серця до органів. Найбільшими
артеріями організму людини є аорта, що бере початок від лівого шлу-
ночка серця, легеневі та сонні артерії.
Вени — це судини, які повертають кров від органів до серця. Най-
більшими венами організму людини є верхня та нижня порожниста
вени, що збирають кров від верхньої та нижньої половини тіла, а також
легеневі вени.
Стінки крупних судин утворені еластичною сполучною тканиною
та епітелієм, проте артерії відрізняються від вен тим, що у них є до-
датковий шар гладенької м’язової тканини, скорочення якої сприяє
просуванню крові по судинах.
Капіляри — це найдрібніші судини, стінки яких утворені лише епі-
теліальною тканиною. Капіляри утворюють мережу у внутрішніх органах,
забезпечуючи доставку крові до найбільшвіддалених точок організму.
Кола кровообігу
Кровоносна система людини має два кола кровообігу — велике та
мале. Велике коло кровообігу пов’язує серце зі всіма органами, окрім
легенів. Воно починається в лівому шлуночку, кров із якого викидається
в аорту, розтікається по всьому тілу, а потім збирається у верхню та ниж-
ню порожнисті вени, що впадають у праве передсердя. Артерії великого
кола кровообігу несуть артеріальну кров, а вени — венозну. Мале коло
кровообігу зв’язує серце лише з легенями, воно починається у правому
шлуночку і завершується у лівому передсерді. Легеневі артерії малого
кола кровообігу несуть венозну кров, а легеневі вени — артеріальну.
Кола кровообігу
1 — велике коло кровообігу;
2 — мале коло кровообігу
512
Біологія
Лімфатична система
людини
Лімфатична система
Окрім кровоносної, в організмі людини є ще одна судинна систе-
ма — лімфатична, утворена судинами та лімфатичними вузлами, роз-
ташованими по їхньому ходу. До судин лімфатичної системи належать
капіляри і протоки, найбільшою з яких є грудна.
На відміну від кровоносної системи, судини лімфатичної не утво-
рюють замкненого кола, оскільки навіть найбільші з них зрештою впа-
дають у вени великого кола кровообігу поблизу правого передсердя.
Судини лімфатичної системи не проникають до головного та спинно-
го мозку, очей, середнього вуха, хрящів, епітелію шкіри і т. ін. Рух
лімфи відбувається завдяки ритмічним скороченням стінок великих
лімфатичних судин, наявності клапанів у них, присмоктуючій дії груд-
ної лімфатичної протоки та грудної порожнини, а також скороченню
скелетних м’язів. У зв’язку з відсутністю спеціалізованого м’язового
насоса на зразок серця струм лімфи дуже повільний, навіть у великих
лімфатичних судинах він не перевищує 0,01 м/хв, тоді як у венах швид-
кість руху крові може досягати 0,25 м/с.
Проте це не заважає лімфатичній системі виконувати низку най-
важливіших функцій: захисну, дренажну та поживну. Захисна функція
лімфатичної системи пов’язана з утворенням в її вузлах лімфоцитів,
виробленням антитіл та затримкою збудників різних захворювань. Ви-
далення надлишку рідини, що виходить у тканини із кров’яного русла
через нещільно прилеглі одна до одної клітини епітелію капілярів, за-
безпечується капілярами лімфатичної системи, які впадають у більші
судини і, зрештою, у вени великого кола кровообігу. Із лімфою перено-
ситься також частина ліпідів, які всмоктуються у тонкому кишечнику.
Кров та лімфа
Склад та функції крові. Кров — це особливий вид сполучної ткани-
ни, що виконує ряд найважливіших функцій: транспортну, регуляторну
та захисну. Транспортна роль крові полягає у забезпеченні процесів
дихання, перенесенні поживних речовин та виділенні. Переносячи різні
регуляторні молекули та забезпечуючи підтримку сталої температури
тіла, кров тим самим бере участь у регуляції життєдіяльності організму.
Захисна функція крові пов’язана з формуванням імунітету та здатністю
до зсідання.
Кров складається з плазми та формених елементів. Плазма крові міс-
тить неорганічні та органічні речовини. Неорганічні речовини плазми —
це вода (90 %) та мінеральні солі (0,9 %), органічні ж речовини — білки
(7 %), ліпіди (0,8 %) та вуглеводи (0,12 %). Усі ці речовини є життєво
необхідними для організму, оскільки, наприклад, білок фібриноген
бере участь у процесах зсідання крові, а глюкоза забезпечує живлення
клітин. Плазма зв’язує і переносить деяку кількість газів (в основному
вуглекислий газ), поживні речовини та продукти обміну речовин, а та-
кож бере участь у процесах регуляції життєдіяльності та формуванні
захисних властивостей організму.
Групи крові. Переливання крові. При значних крововтратах та де-
яких захворюваннях показане переливання крові, проте у минулому
це призводило до смерті пацієнтів або до важких розладів здоров’я.
Причиною цього явища виявилося склеювання еритроцитів у людей,
Організменний рівень життя
513
яким переливають кров, — реципієнтів. Дослідження показали, що
еритроцити несуть спеціальні речовини — аглютиногени, що познача-
ються великими латинськими літерами А та В. У плазмі крові присутні
білки — аглютиніни, що позначаються грецькими літерами а та 0.
У крові однієї людини не повинні зустрічатися однойменні аглютиніни
й аглютиногени, оскільки це призведе до аглютинації — склеювання
аглютинінами відповідних аглютиногенів та еритроцитів, що несуть їх.
Усього було виділено чотири групи крові за системою АВО, що позна-
чаються римськими цифрами чи літерами латинського алфавіту: І (0),
II (А), III (В), IV (АВ).
Таблиця 2
Групи крові
Група крові Аглютиногени Аглютиніни
1 (0) — а і р
II (А) А Р
III (В) В а
IV (АВ) А і В —
Схема переливання крові
Імунна система
Мільйони збудників різноманітних захворювань — вірусів, бактерій,
грибів та тварин — є невід’ємною частиною середовища існування лю-
дини. їхньому проникненню до організму заважають механічний бар’єр
шкіри, хімічні агенти, зокрема лізоцим сльозової рідини й слини, хло-
ридна кислота шлункового соку, симбіотичні бактерії шкіри, шлунко-
во-кишкового тракту і т. ін. Проте деякі з цих збудників все рівно пот-
рапляють до організму через епітелій дихальної, травної та сечостатевої
систем, пошкодження шкіри, а також за допомогою переносників, що
потребує формування спеціальної системи захисту — імунної системи.
Імунітет (від лат. іттипііая — звільнення) — це здатність організ-
му захищати власну цілісність і біологічну індивідуальність, в основі
якої лежить несприйнятливість організму до інфекційних захворювань.
Імунна система являє собою сукупність органів та скупчень клітин,
що беруть участь в утворенні та дозріванні лейкоцитів. Її органи розта-
шовані по всьому тілу, а її клітини постійно циркулюють організмом
завдяки кровообігу та руху лімфи. Органами імунної системи є червоний
кістковий мозок, тимус, або вилочкова залоза, селезінка, лімфовузли,
мигдалики та інші лімфоїдні утворення кишечника, дихальних шляхів,
сечостатевої системи та шкіри. До клітин імунної системи належать
різні класи лейкоцитів.
Лімфа
Лімфа (від грецьк. Іутрка — волога) — це жовтувата рідина, що за-
повнює лімфатичну систему. За своїм складом вона схожа на кров,
проте в її плазмі міститься набагато менше білків, а формені елемен-
ти представлені в основному лейкоцитами. Лімфа збирається у лім-
фатичних капілярах, куди надходить надлишок тканинної рідини,
поповнюваної плазмою крові та лейкоцитами. У лімфатичних вузлах
лімфа поповнюється лімфоцитами, тут затримуються збудники різних
514
Біологія
захворювань. Лімфа тече по судинах лімфатичної системи в одну сторо-
ну, збираючись у найбільшу з них — грудну протоку, що впадає у ниж-
ню порожнисту вену. Лімфа виконує транспортну та захисну функції.
Будова нирки
1 — кіркова речовина;
2 — мозкова речовина;
З — ниркова миска;
4 — сечовід
Будова нефрону
1 — капсула Шумлянського-
Боумена;
2 — канальці;
З — петля Генле;
4 — капіляри
Виділення
Кінцеві продукти обміну речовин, особливо амоніак, що утворюється
у процесі розпаду білків, можуть бути надзвичайно токсичними для
організму, тому їх потрібно виводити. В організмі людини виділення
здійснюється через сечовидільну, травну, дихальну системи, потові та
сальні залози шкіри. Проте провідну роль у цьому процесі життєдіяль-
ності відіграє видільна система.
Видільна система
До складу видільної системи входять нирки, сечоводи, сечовий міхур
та сечівник. Нирки — це парні бобовидні органи, що лежать у попе-
рековій ділянці черевної порожнини зі спинної сторони. Функція нирок
полягає в утворенні сечі.
На поперечному зрізі нирки виділяють кіркову та мозкову ре-
човину, а також ниркову миску. Функціональною одиницею нирок
є нефрон. У кожній нирці розташовано до 1 000 000 нефронів. Нефрон
складається з капсули Шумлянського-Боумена, що охоплює клубочок
капілярів, та канальців, сполучених петлею Генле. Капсули багатьох
нефронів розташовані у кірковій речовині, тоді як петлі Генле та час-
тина канальців проникають до мозкової.
Утворення сечі
Процес утворення сечі складається з трьох етапів: клубочкової
фільтрації, канальцевої реабсорбції та секреції. У процесі фільтрації
з крові у порожнину боуменової капсули абсорбуються вода та біль-
шість розчинених у ній речовин. У результаті фільтрації утворюється
слабко концентрована первинна сеча. Оскільки кров багато разів про-
ходить через нирки, протягом доби в людини утворюється 150-180 л
первинної сечі.
Проте одразу ж після фільтрації починається процес реабсорбції,
або зворотного всмоктування води та частини розчинених у ній речо-
вин, наприклад глюкози, амінокислот, білків, багатьох іонів. Ті ре-
човини, які в організмі перебувають у надлишкових кількостях, на-
приклад іони калію, антибіотики, барвники та ін., здатні додатково
виділятися в сечу стінками канальців завдяки секреції. У результаті
процесів реабсорбції та секреції утворюється 1-1,5 л вторинної сечі
на добу, яка містить здебільшого продукти розпаду азотистих сполук
(наприклад білків), токсичних для організму, однак має бути вільною
від глюкози та білків.
По канальцях нефронів сеча надходить до збирних трубочок,
а потім — до ниркової миски. З неї сеча по сечоводах збирається до
сечового міхура, звідки по сечівнику вона періодично видаляється.
Сечовий міхур — порожнистий м’язовий орган, що вміщує до 0,5 л
рідини.
Організменний рівень життя
515
Статева система
Протоки видільної системи часто суміщені із статевими протоками
або розташовані поблизу них. Тому часто ці дві системи об’єднують
в одну сечостатеву систему.
Чоловічі статеві органи поділяють на зовнішні та внутрішні. Зов-
нішні чоловічі статеві органи — це статевий член, або пеніс, та калитка,
або мошонка, вкриті шкірою. Функцією статевого члена є введення
сперматозоїдів до статевих органів жінки, а мошонка містить внутрішні
статеві органи.
Статевий член має головку, тіло та корінь. Між головкою і тілом
міститься шийка. Шкіра на головці статевого члена називається край-
ньою плоттю. На вершині статевого члена відкривається сечівник,
суміщений із сім’явиносною протокою.
Усередині статевого члена розміщені печеристі та губчасте тіла, утво-
рені губчастою речовиною, що має багато невеликих порожнин. У стін-
ках цих порожнин знаходяться гладенькі м’язи. Скорочення м’язів
стінок викликає застій крові в порожнинах та ерекцію, або напругу ста-
тевого члена. У стані ерекції, який частіше за все викликаний статевим
збудженням, статевий член збільшується у розмірах та підіймається.
Внутрішні статеві органи у чоловіків — це яєчка, сім’явиносні
шляхи та залози. Яєчка є парними органами, розташованими у мо-
шонці. В них утворюються сперматозоїди. Сперматозоїди дозрівають
у придатку яєчка. Для запліднення сперматозоїди повинні пройти по
сім’явиносних шляхах, які мають декілька залоз, що утворюють спе-
ціальні рідини. Ці рідини разом із сперматозоїдами складають сперму.
Жіночі статеві органи також поділяються на зовнішні та внут-
рішні. Зовнішні статеві органи — це великі та малі соромітні губи,
а також клітор. Соромітні губи є складками шкіри, що закривають
вхід до піхви.
Внутрішні статеві органи у жінок поділяються на яєчники, мат-
кові труби, матку та піхву. Яєчники — парні статеві залози, розта-
шовані в черевній порожнині. У них утворюються яйцеклітини, що
виходять потім до маткових (фаллопієвих) труб, де має відбутися за-
пліднення. По маткових трубах запліднені яйцеклітини потрапляють
до матки — порожнистого м’язового органа, що забезпечує розвиток
плоду та народження дитини. Матка відкривається назовні піхвою.
Шкіра
Будова чоловічої статевої
системи
1 — яєчко;
2 — придаток яєчка;
З — сім'явиносна протока;
4 — простата;
5 — статевий член;
6 — мошонка
Будова жіночої статевої
системи
1 — яєчник;
2 — маткова труба;
З — матка;
4 — піхва;
5 — соромітні губи
Будова та функції шкіри
Шкіра покриває все тіло зовні, вона виконує захисну функцію, ство-
рюючи бар’єр на шляху збудників різних захворювань та оберігаючи
внутрішні органи від механічних пошкоджень, струсу і зневоднення.
Шкіра бере активну участь у процесах обміну речовин, регуляції темпе-
ратури тіла, диханні та виділенні. У ній розміщені численні рецептори,
що забезпечують сприйняття температури, тиску, болю тощо. Шкіра
пов’язана зі всіма органами та системами органів людини. Її площа
складає в середньому 1,5-2 м2.
Шкіра має три шари: епідерміс, дерма, або власна шкіра, та під-
шкірна жирова клітковина.
516
Біологія
Будова шкіри
1 — епідерміс;
2 — дерма;
З — підшкірна жирова
клітковина;
4 — волос;
5 — сальна залоза;
6 — потова залоза;
7 — нервові закінчення
Багатошаровий епідерміс, що лежить на поверхні шкіри, зовні
вкритий мертвими зроговілими клітинами, які постійно злущуються
та замінюються новими. У глибоких шарах епідермісу під дією уль-
трафіолетового випромінювання нагромаджується пігмент меланін, що
надає шкірі смаглявого відтінку. Засмага захищає організм від згубної
дії ультрафіолетового випромінювання.
Похідними епідермісу є волосся та нігті. Волос складається з волося-
ної цибулини й волосяного стрижня. Клітини волосяної цибулини живі
та постійно поділяються, що є причиною росту волоса. Кожний волос
лежить у волосяній сумці, в яку відкривається протока сальної залози.
Положення волоса у просторі визначається м’язовими волокнами, які
піднімають волосся при низькій температурі чи переляку.
Еластична дерма є сполучною тканиною, утвореною клітинними
елементами та волокнами. Вона пронизана кровоносними й лімфатич-
ними судинами, нервовими закінченнями (рецепторами), волосяними
цибулинами, потовими та сальними залозами.
Функцією потових залоз є потовиділення, що слугує для виведення
кінцевих продуктів обміну речовин та терморегуляції (випаровування
води з поверхні шкіри знижує температуру тіла). До складу поту вхо-
дять вода, різні солі та сечовина.
Сальні залози виділяють на поверхню шкірне сало, що покриває
шкіру та волосся і має водовідштовхувальні властивості. Крім того,
сало робить шкіру еластичною. При порушенні правил особистої гігієни
піт вступає у хімічну реакцію із салом з утворенням жирних кислот,
що мають характерний неприємний запах.
Кровоносні судини шкіри забезпечують нормальний перебіг проті-
кання процесів життєдіяльності шкіри та терморегуляцію, у них також
може затримуватися значна кількість крові. Просвіт капілярів шкіри
залежить від температури навколишнього середовища: якщо темпера-
тура повітря висока, діаметр судин збільшується і шкіра віддає тепло,
якщо вона низька — діаметр судин зменшується, а шкіра зберігає тепло.
Під дермою розташована сполучнотканинна підшкірна жирова кліт-
ковина, яка виконує захисну та запасаючу функції.
Нейрогуморальна регуляція процесів життєдіяльності
організму
Багатоклітинні організми потребують складної системи узгодження
всіх своїх процесів життєдіяльності для підтримки сталості внутріш-
нього середовища. В організмі людини цю функцію виконують нервова,
ендокринна та імунна системи. Нервова регуляція — це сукупність по-
казників в організмі людини, які координують роботу окремих органів
і систем, здійснюють взаємозв’язок окремих органів між собою та всього
організму з навколишнім середовищем за рахунок виникнення і пере-
дачі електричних хвиль — нервових імпульсів. Вона забезпечується
функціонуванням нервової системи. В основі діяльності нервової сис-
теми лежать подразливість і збудливість.
Гуморальна регуляція — це координація фізіологічних функцій
за допомогою біологічно активних речовин через рідини організму —
кров, лімфу та тканинну рідину.
Нервова й ендокринна системи являють собою нерозривну єдність,
обумовлену численними прямими і зворотними зв’язками.
Організменний рівень життя
517
Нервова система
Нервова система людини утворена нервовою тканиною, структур-
ною одиницею якої є нейрон. Нейрони здатні генерувати і передавати
нервові імпульси у відповідь на дію достатньо сильних подразників,
наприклад спалахи світла. Нервові імпульси проводяться нейронами
односторонньо.
За характером діяльності нейрони діляться на чутливі, вставні
та рухові. Нервові імпульси від органів до центральної нервової систе-
ми передаються по чутливих нейронах, а з центральної нервової сис-
теми до органів, у тому числі м’язів, — по рухових, тоді як вставними
називають будь-які нейрони, що лежать між чутливими та руховими.
Основною формою діяльності нервової системи є рефлекс. Рефлекс
(від лат. геїіехиз — повернений назад, відображений) — це реакція
організму на будь-який подразник, яка здійснюється за допомогою не-
рвової системи. Шлях, яким проходить нервовий імпульс при реалізації
рефлексу, називається рефлекторною дугою. Елементарна рефлекторна
дуга утворена двома нейронами — чутливим та руховим. Прикладом
такої рефлекторної дуги є дуга колінного рефлексу. Якщо вдарити під
коліно спеціальним молоточком, у відповідь гомілка й стопа будуть
різко викинуті вперед. Більшість рефлекторних дуг в організмі людини
складається з трьох нейронів: чутливого, вставного та рухового.
Рефлекс здійснюється лише в тому випадку, якщо всі ланки реф-
лекторної дуги збуджені. Якщо хоч в одному з них відбувається галь-
мування, то й рефлекс виявлятися не буде.
Анатомічно нервова система поділяється на центральну (ЦНС)
та периферичну (ПНС). ЦНС, у свою чергу, поділяється на головний
та спинний мозок, а ПНС є сукупністю нервів та нервових вузлів, що
лежать за межами ЦНС. За функціями виділяють соматичну та автоном-
ну (вегетативну) нервову систему. Соматична нервова система являє
собою сукупність нервових центрів і нервів, що здійснює управління
роботою м’язів тіла, а контроль над роботою внутрішніх органів нале-
жить вегетативній (автономній) нервовій системі.
Рефлекторна дуга
колінного рефлексу
Будова та функції спинного мозку
Спинний мозок міститься в хребетному каналі, утвореному тілами
та дугами хребців. Ззовні він укритий трьома оболонками: твердою,
павутинною і м’якою. Спинний мозок має вигляд довгого шнура, поді-
леного на праву та ліву половини спеціальними борознами.
Центр спинного мозку займає спинномозковий канал, запов-
нений спинномозковою рідиною. Він оточений сірою речовиною,
а на периферії спинного мозку розташована біла речовина. Біла ре-
човина утворена довгими відростками нейронів, які утворюють про-
відникові шляхи. Сіра речовина складається з тіл рухових і вставних
нейронів. Від спинного мозку відходить 31-33 пари спинномозкових
нервів, що іннервують органи тіла. Спинномозкові нерви утворюються
в результаті злиття передніх (рухових) та задніх (чутливих) корінців
спинного мозку.
Спинний мозок виконує провідникову та рефлекторну функції,
зокрема, в ньому розташовані центри таких рефлексів, як колінний
та сечовипускальний.
Поперечний розріз
спинного мозку
1 — сіра речовина;
2 — біла речовина;
З — задній корінець;
4 — передній корінець;
5 — спинномозковий нерв;
6 — спинномозковий канал
518
Біологія
5
Будова головного мозку
1 — передній мозок;
2 — гіпофіз;
З — гіпоталамус;
4 — таламус;
5 — мозочок;
6 — міст;
7 — довгастий мозок
При пошкодженні спинного мозку порушується його провідність:
нижче місця пошкодження втрачається чутливість частин організму
і здатність до руху.
Будова та функції головного мозку
Головний мозок людини міститься у порожнині черепа і має такі
ж три оболонки, що й спинний мозок, — тверду, павутинову та м’яку.
Ззовні й зсередини, у шлуночках, мозок омивається спеціальною рі-
диною — ліквором. Середня маса головного мозку складає близько
1300-1400 г.
Головний мозок анатомічно поділяють на довгастий мозок, міст,
мозочок, середній, проміжний та передній мозок.
У довгастому мозку розташовані центри дихання, серцебиття, жу-
вання, ковтання, потовиділення, захисних рефлексів (кашель, чхання,
блювота) та ін. Крім рефлекторної функції він виконує також і про-
відникову, оскільки через нього проходять нервові тракти із спинного
мозку до мосту.
Міст, у свою чергу, сполучає середній та довгастий мозок, і голо-
вним чином виконує провідникову функцію, хоча тут є й дихальний
центр.
Мозочок утворений двома півкулями, вкритими корою і сполучени-
ми черв’яком. Він координує рухи організму, бере участь у підтримці
тонусу м’язів та регуляції роботи внутрішніх органів.
У середньому мозку розташовані центри первинного аналізу ін-
формації, що надходить від органів чуття, а також провідні шляхи.
У відповідь на спалах світла або сильний звук людина повертає голову
в напрямі подразника (орієнтовний рефлекс). Середній мозок відіграє
важливу роль і в регуляції тонусу скелетних м’язів.
Проміжний мозок утворений таламусом та гіпоталамусом. У тала-
мусі розташовані центри голоду та насичення, спраги, аналізу зорової
інформації, больової чутливості тощо. Він інтегрує нервові шляхи, що
йдуть до переднього мозку і від нього, а також здійснює швидкий аналіз
та перемикання на різні ділянки кори переднього мозку інформації,
яка надходить від різних органів тіла. Гіпоталамус є вищим центром
нейрогуморальної регуляції в організмі людини, у нижній частині він
сполучений із гіпофізом, що є залозою внутрішньої секреції. Функціями
гіпоталамусу є регуляція обміну речовин, діяльності серцево-судинної
та травної систем, сечовиділення, залоз внутрішньої секреції, сну і не-
спання, емоцій, а також терморегуляція.
Терморегуляція (від грецьк. іігегте — тепло та лат. ге§иІо — впоряд-
ковую, регулюю) є фізіологічною функцією, яка забезпечує підтриман-
ня оптимальної для даного виду температури глибоких ділянок тіла
за мінливих температурних умов довкілля.
Температура тіла визначається кількістю утвореного у процесі об-
міну речовин тепла, тепловіддачею та поведінковими реакціями. Вона
контролюється спеціальними центрами у гіпоталамусі та великих пів-
кулях переднього мозку завдяки сигналам, які надсилають терморе-
цептори шкіри й підшкірних тканин, а також термочутливі клітини
власне гіпоталамусу. Зниження температури довкілля і тіла призводить
до підсилення обміну речовин, у тому числі, до напруження й скоро-
чення дрібних м’язів шкіри, а також до викиду гормонів щитовидної
Організменний рівень життя
519
та надниркових залоз: тироксин активує обмін речовин, а адреналін
спричиняє звуження судин, що знижує процес тепловіддачі.
Підвищення температури довкілля та тіла, навпаки, знижує тепло-
продукцію та збільшує тепловіддачу. Основними механізмами тепловід-
дачі є випромінювання, теплопроведення, конвекція і випаровування
поту з поверхні тіла.
До складу проміжного мозку входить також шишкоподібна залоза —
епіфіз, яка належить до ендокринної системи.
У цілому проміжний мозок разом із середнім здійснює складні реф-
лекторні, або інстинктивні, реакції. Деякі його центри беруть участь
в утриманні уваги, не пропускаючи до кори великих півкуль непотрібні
на даний момент сигнали. Спереду він переходить у великі півкулі кін-
цевого мозку.
Великі півкулі переднього мозку займають більшу частину черепної
коробки, що пов’язано з розвитком функцій даного відділу мозку. Вони
вкриті корою з сірої речовини, під якою знаходиться підкірка — біла
речовина. Сіра речовина головним чином складається з тіл нейронів,
а підкірка — це їхні численні відростки, серед яких зустрічаються та-
кож невеликі скупчення нейронів — підкіркові центри або ядра.
Кора великих півкуль утворює численні борозни та звивини, що
збільшує площу поверхні кори. Найбільші борозни поділяють кору на
частки: лобову, скроневу, тім’яну і потиличну. У лобовій частці роз-
міщені центри шкірно-м’язового відчуття та нюху, в тім’яній — центри
шкірно-м’язового відчуття та смаку, у скроневій — слуху, а в потилич-
ній — зору.
Ділянки кори, що відповідають за виконання певних функцій, на-
зивають зонами, або центрами. Чітких меж між ними не існує, проте
всього виділяють від 50 до 200 таких центрів. їх можна поділити на три
групи: сенсорні, рухові та асоціативні. Сенсорні зони сприймають сигна-
ли від різних рецепторів, у рухових формуються сигнали до відповідних
органів, тоді як асоціативні об’єднують діяльність сенсорної та рухо-
вої зон, а також забезпечують інтеграційну функцію мозку. З їхньою
діяльністю пов’язані вищі психічні функції — мислення та свідомість.
Також у корі розташовані центри мовлення, читання, писання та ін.
У підкірці розташовані центри стародавніх рефлексів, наприклад
мигального. Між півкулями існують численні зв’язки; тривалий час
навіть вважалося, що в лівші домінує права півкуля, а у правші — ліва.
Таким чином, передній мозок виконує рефлекторну й провідникову
функції. Він також є основою психічної діяльності людини.
Частки кори великих
півкуль
1 — лобова;
2 — тім'яна;
З — потилична;
4 — скронева
Вегетативна (автономна) нервова система
Вегетативна нервова система, що охоплює відділи головного мозку
та нерви з їхніми розгалуженнями, іннервує в основному внутрішні
органи — серце, судини, залози внутрішньої секреції тощо. Вона поді-
ляється на два відділи — симпатичний та парасимпатичний. У біль-
шості випадків внутрішні органи мають одночасно іннервацію від обох
відділів, які діють протилежно.
Вузли симпатичного відділу лежать у грудному та поперековому
відділах спинного мозку, а також по обидві сторони від хребетного
стовпа. Симпатичний відділ вегетативної нервової системи відповідає
за мобілізацію резервів організму у відповідь на сильні подразники.
520
Біологія
При цьому зростають частота й сила серцевих скорочень і дихальних
рухів, розширяються судини та зіниці, підвищується концентрація цук-
ру в крові, але в той же час послаблюються процеси травлення та виді-
лення.
Вузли парасимпатичного відділу розміщуються у довгастому мозку,
крижовому відділі спинного мозку та внутрішніх органах. Парасимпа-
тичний відділ нормалізує життєдіяльність організму, при цьому знижу-
ються частота й сила серцевих скорочень і дихальних рухів, звужуються
зіниці, знижується концентрація цукру в крові, проте посилюються
травлення та виділення.
Ендокринна система
людини
1 — епіфіз;
2 — гіпофіз;
З — щитовидна залоза;
4 — ти мус;
5 — надниркові залози;
6 — підшлункова залоза;
7 — яєчник;
8 — сім'яник
Ендокринна система
Залози організму людини поділяються на залози зовнішньої, внут-
рішньої та змішаної секреції. До залоз зовнішньої секреції (екзокрин-
них) належать усі залози, що мають протоки і що періодично виводять
свої продукти в порожнину органів або назовні. Це слинні, слізні, по-
тові, сальні залози і печінка. Вони виробляють травні ферменти, слізну
рідину, шкірне сало тощо. Залози внутрішньої секреції продукують
гормони, що надходять у внутрішнє середовище організму. Залози змі-
шаної секреції виділяють свої продукти у кров і до органів тіла (під-
шлункова залоза). Сукупність залоз внутрішньої секреції називається
ендокринною системою організму. Будову та функції залоз внутрішньої
секреції вивчає наука ендокринологія.
Ендокринну систему організму людини утворюють гіпоталамус,
гіпофіз, епіфіз, щитовідна залоза, паращитовидні залози, надниркові
та статеві залози.
Гіпоталамус — відділ проміжного мозку, що є вищим центром нейро-
гуморальної регуляції в організмі людини. У ньому виробляються речови-
ни, що впливають на утворення гормонів гіпофіза, а також два гормони,
які лише вивільняються ним, — вазопресин (антидіуретичний гормон) та
окситоцин. Вазопресин затримує воду в організмі у процесі сечоутворен-
ня. Зниження концентрації цього гормону призводить до швидкої втрати
води й навіть зневоднення, наприклад при вживанні алкоголю. Оксито-
цин стимулює пологову діяльність, викликаючи вигнання плоду з матки.
Гіпофіз — невелика залоза, що розташована біля основи головного
мозку й виділяє низку гормонів, а також вивільняє вазопресин та окси-
тоцин, які виробляються гіпоталамусом. Гормони гіпофіза стимулюють
діяльність інших залоз внутрішньої секреції. До них належать адрено-
кортикотропний гормон (АКТГ), гонадотропні гормони — лютеїнізую-
чий та фолікулостимулюючий, лактотропний гормон, або пролактин
(ЛТГ), меланоцитстимулюючий (МСГ), соматотропний (СТГ) та тиреот-
ропний (ТТГ) гормони.
Епіфіз, або шишкоподібна залоза, бере участь у регуляції біоло-
гічних ритмів організму та продукує гормон мелатонін, що викликає
посвітління шкіри.
Щитовидна залоза, розташована у середній ділянці шиї, виділяє
тиреоїдні гормони тироксин і трийодтиронін, а також кальцитонін.
Тиреоїдні гормони регулюють обмін речовин в організмі, сприяючи
нормальним процесам росту, розвитку та диференціювання тканин.
Кальцитонін знижує концентрацію кальцію та фосфору в крові, спри-
яючи їхньому відкладанню у кістках.
Організменний рівень життя
521
Паращитовидні залози розташовані на поверхні щитовидної залози
і виділяють паратгормон, що є антагоністом кальцитоніну.
Надниркові залози — парні ендокринні органи, що лежать поблизу
верхньої частини нирок. Вони мають кірковий шар та мозкову речови-
ну. У надниркових залозах утворюються кортикостероїди й адреналін.
Кортикостероїди регулюють обмін органічних і неорганічних речовин
в організмі людини, тоді як адреналін виділяється наднирковими за-
лозами у багатьох критичних ситуаціях. Він підсилює роботу серця,
звужує кровоносні судини, гальмує травлення, підвищує споживання
кисню, збільшує концентрацію глюкози у крові, кровотік у печінці
тощо. Гіпофункція надниркових залоз призводить до розвитку Адісо-
нової, або бронзової, хвороби, яка виражається в наявності бронзового
відтінку шкіри, ослабленні та схудненні.
До залоз змішаної секреції належать підшлункова та статеві зало-
зи. Підшлункова залоза, крім травних ферментів, виділяє у кровотік
гормони інсулін і глюкагон, що регулюють вуглеводний обмін. Інсулін
знижує концентрацію глюкози у крові, сприяючи її відкладенню в пе-
чінці та інших органах, а глюкагон, навпаки, підвищує концентрацію
глюкози у крові внаслідок розщеплення глікогену в печінці. Нестача
інсуліну, що призводить до підвищення концентрації глюкози у крові,
спричиняє розвиток цукрового діабету.
Статеві залози, крім статевих продуктів, виділяють статеві гор-
мони (жіночі — естрогени, чоловічі — андрогени), що спричиняють
значний вплив на процеси росту, розвитку та статевого дозрівання,
а також регулюють формування вторинних статевих ознак.
Органи чуттів
Аналізаторами (від грецьк. апаїузіз — розкладання, розчленову-
вання) називають системи чутливих нервових утворень, що сприйма-
ють і аналізують різні зовнішні та внутрішні подразники. Особливістю
аналізаторів людини є те, що за їх допомогою вона сприймає не тіль-
ки предмети та явища матеріального світу, але й поняття виражені
у формі слів, математичних символів, образів, художніх творів. Термін
«аналізатор» введений І. П. Павловим у 1909 р. Замість нього в су-
часній фізіології частіше використовують термін «сенсорні системи».
Аналізатори мають три основні компоненти: периферичну, або спри-
ймаючу, частину, провідникову частину (нервові шляхи) та центральне
представництво в корі великих півкуль переднього мозку. Периферична
частина аналізаторів може бути представлена або спеціальними рецепто-
рами (нюхові рецептори, сосочки язика), або складно влаштованими орга-
нами (око, вухо). Аналізатори, які забезпечують сприйняття подразників
із навколишнього середовища, за традицією називають також органами
чуттів. До них належать органи зору, слуху, нюху, смаку та дотику.
Усі аналізатори мають загальні властивості: специфічність сприйма-
ного подразнення, поріг збудливості, адаптація, трансформація енергії
у нервові імпульси.
Сенсорна інформація, що надходить від різних аналізаторів, підсу-
мовується і дозволяє сформувати цілісне сприйняття об’єкта або явища.
Наприклад, тільки зовнішній вигляд полуниці не дає повноти інформа-
ції про неї, яка досягається виключно в результаті взаємодії зорового,
нюхового та смакового аналізаторів.
522
БІОЛОГІЯ
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Визначте, на якому з рисунків зображено кісткову тканину.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
А
Скелет стопи людини
Б
включає кістки:
А) зап’ястка; Б) кисті; В) плюсни; Г) п’ястка.
Які ферменти травної системи є активними у кислому середовищі?
А) амілаза; Б) мальтаза; В) трипсин; Г) пепсин.
Газообмін в організмі людини найбільш активно відбувається у:
А) альвеолах; Б) бронхах; В) трахеї; Г) носоглотці.
Розташуйте формені елементи крові в порядку зростання їхньої кількості на 1 мм3 крові
дорослої людини:
А) еритроцити —> лейкоцити —> тромбоцити;
Б) лейкоцити —> тромбоцити —> еритроцити;
В) лейкоцити —> еритроцити —> тромбоцити;
Г) тромбоцити —> лейкоцити —> еритроцити.
Які вітаміни синтезуються мікрофлорою кишечника?
А) вітамін А; Б) вітаміни групи В; В) вітамін С; Г) вітамін В.
Який механізм підсилення тепловіддачі в людини є найбільш ефективним при температурі
повітря +39°С та низькій вологості повітря:
А) звуження периферичних судин шкіри;
Б) зменшення потовиділення;
В) збільшення потовиділення;
Г) розширення периферичних судин шкіри.
Виберіть вірне судження про фазу швидкого сну в людини:
А) температура тіла знижується;
Б) тривалість фази більша, ніж фази швидкого сну;
В) активні рухи очних яблук відсутні;
Г) частота дихання підвищена.
Установіть відповідність між гормонами та місцем їхнього синтезу:
1) антідіуретичний гормон; А) гіпоталамус;
2) кальцитонін; Б) гіпофіз;
3) кортикостероїди; В) сім’яники;
4) тестостерон. Г) надниркові залози;
Д) щитоподібна залоза.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Б. 2. В. 3. Г. 4. А. 5. Б. 6. Б. 7. В. 8. Г. 9. 1А; 2Д; ЗГ; 4В.
ГЕОГРАФІЯ
ГЕОГРАФІЯ УКРАЇНИ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Географічне положення. Предмет фізичної географії України. Географічне положення, кор-
дони. Характеристика географічного положення України.
Рельєф, геологічна будова і корисні копалини. Основні риси рельєфу: низовини, височини, гори.
Тектонічна будова і тектонічні структури. Особливості геологічної будови території України.
Геоморфологічна будова і основні форми рельєфу.
Закономірності поширення, характеристика та господарська оцінка паливних, рудних
і нерудних корисних копалин.
Клімат і кліматичні ресурси. Основні кліматотвірні чинники. Загальні риси клімату. Типи
повітряних мас. Розподіл температур повітря й опадів на території України. Енергетичні клі-
матичні ресурси. Прогноз погоди.
Моря, поверхневі та підземні води. Водні ресурси. Чорне і Азовське моря. Загальні риси їх
природних умов. Гідрологічний і гідрохімічний режими, флора і фауна. Природні ресурси морів.
Поверхневі води, особливості їх формування і розподілу. Основні ріки. Канали.
Озера і водосховища. Підземні води.
Водні ресурси України, шляхи їх раціонального використання й охорона.
Ґрунтовий покрив, земельні ресурси. Умови ґрунтоутворення, основні генетичні типи ґрунтів,
закономірності їх поширення. Господарське використання ґрунтів. Земельні ресурси України.
Рослинність і тваринний світ. Різноманітність видового складу, закономірності поширення
рослинності. Рослинні комплекси лісів, степів, луків, боліт.
Різноманітність видового складу тварин. Фауністичні комплекси лісової, лісостепової, степо-
вої зон, Українських Карпат і Кримських гір. Несприятливі фізико-географічні процеси і явища.
Природні комплекси України і фізико-географічне районування. Умови розвитку і харак-
терні риси природних комплексів. Зміна ландшафтів України за історичний час. Класифікація
ландшафтів. Фізико-географічне районування України, його наукове і практичне значення.
Природно-господарська характеристика природних зон України: мішаних лісів, лісостепової,
степової, Українських Карпат і Кримських гір.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Загальна характеристика природних умов
І ПРИРОДНИХ РЕСУРСІВ УКРАЇНИ
Географічне положення
Україна — держава Центрально-Східної Європи. Вона займає пів-
денний захід Східно-європейської рівнини, частину Карпат і Кримські
гори. На півдні Україну омивають води Азовського та Чорного морів.
Географія України
525
Територія України складає 603 700 км2. За цим показником вона
займає 41-ше місце у світі. З півночі на південь наша держава простя-
гається на 893 км, із заходу на схід — 1 316 км. Україна має сухопут-
ний і морський кордони, загальна довжина яких становить 7 590 км.
Сухопутний кордон країни простягається на 5 631 км і складається
з трьох ділянок — західної, північної та східної. Довжина морського
кордону 1 959 км. На суходолі Україна межує з Російською Федера-
цією (2 063 км), Республікою Білорусь (975 км), Республікою Польща
(542,5 км), Словацькою Республікою (98 км), Угорщиною (135 км),
Румунією (608 км) і Республікою Молдова (1 194 км). Вихід до країн
Центральної і Західної Європи забезпечується ділянкою кордону за-
вдовжки 2 590 км.
Україна — самостійна, незалежна держава. 24 серпня 1991 року
є датою проголошення незалежності нашої держави. Україна стала 176-ю
за часом появи незалежною країною на сучасній політичній карті світу.
Адміністративно Україна складається з Автономної Республіки
Крим, 24 адміністративних областей та двох міст державного підпо-
рядкування (Київ та Севастополь). В Україні налічується 453 міста,
889 селищ, 28 619 сіл, а її територія розділена на 490 адміністратив-
них районів. Найбільшими за площею областями України є Одеська,
Дніпропетровська, Чернігівська та Харківська області, кожна з яких
займає понад ЗО тис. км2.
Тектонічні структури
Значну частину території України займають платформи — Східно-
Європейська, Західно-Європейська та Скіфська. Поверхня кристалічного
фундаменту в межах названих платформ залягає на різних глибинах, пе-
рекрита осадовими та осадово-вулканогенними утвореннями різного віку.
Фундамент Східно-Європейської платформи складений різного сту-
пеня метаморфізованими осадовими, осадово-вулканогенними та ін-
трузивними породами архею — нижнього протерозою, що виходять
на денну поверхню в межах Українського щита, а за його межами —
на території, що відноситься до Руської та Волино-Азовської плит, —
занурюється на значні (до 20 км) глибини.
Український щит — складна горстово-брилова споруда, в якій нижній
структурний комплекс складений докембрійськими породами, а верх-
ній — горизонтально залягаючими осадовими породами незначної по-
тужності. Внутрішня тектонічна будова щита визначається поєднанням
складчастих структур, блоків та міжблокових шовних зон. Тут виділя-
ються три платформені геоблоки — Волино-Подільський, Центрально-
Український, Приазовський, які розділені Голованівською та Орєхо-
во-Павлоградською шовними зонами (пропюгеосинкліналями), а також
значна кількість дрібніших блоків, які розділені глибинними розломами.
Руська плита — велика тектонічна структура, що прилягає до
Українського щита зі сходу. На півночі виходить далеко за межі те-
риторії України, на сході межує з Донецькою складчастою спору-
дою. В українській частині Руської плити виділяється значна ліній-
на структура — Дніпровсько-Донецька западина. Кристалічний
фундамент залягає на глибинах 1,5 - 22,5 км. У будові осадового чохла
Дніпровсько-Донецької западини беруть участь палеозойські, мезозой-
ські та кайнозойські утворення, максимальна потужність яких 22,5 км.
526
Географія
Західно-Європейська платформа заходить на територію України не-
великим фрагментом на північному заході, між Східно-Європейською
платформою та Передкарпатським крайовим прогином.
Скіфська платформа (плита) межує на півночі зі Східно-Європейсь-
кою платформою, на півдні — зі складчатою спорудою Кримських гір.
Кристалічний фундамент залягає на глибинах 2,8 - 9 км. Осадова тов-
ща представлена породами різного віку. Характерний високий ступінь
роздрібненості території розломно-блоковими структурами.
Складчасті структури Українських Карпат, Гірського Криму
та Донбасу облямовують давню та молоді платформи на південному
заході та півдні, мають різний вік складчастості. Згідно з сучасними
уявленнями, найдавнішою є Донецька складчаста споруда, яка виник-
ла внаслідок активізації тектонічних рухів у палеозої. Центральним
структурним елементом Донецької споруди є Головна антикліналь,
паралельно якій простягаються дрібніші антиклінальні та синкліналь-
ні структури, ускладнені серією субмеридіональних та субширотних
розломів.
Гірський Крим — це підняття, південна частина якого занурена під
рівень Чорного моря. Переважають породи осадового та вулканічного
походження.
Карпатська покривно-складчаста споруда, облямована прилеглими
Передкарпатським крайовим та Закарпатським внутрішнім прогинами,
є асиметричною структурою, що складається з серії покривів, насунутих
один на один у північно-східному напрямі. Значне місце у структурному
плані посідають розломно-брилові структури.
На всіх етапах неотектонічної історії розвитку території Украї-
ни виділяються області стійких, дуже активних та активних піднять
або опускань, а також області, які характеризуються нестійким нео-
тектонічним режимом, подекуди зміною знаку рухів земної кори.
Неотектонічні рухи земної кори зумовили активізацію багатьох давніх
розривних порушень не тільки в орогенному поясі, але також у плат-
форменій частині території.
Геологічна будова
Дочетвертинні утворення території України представлені всіма
підрозділами стратиграфічної шкали. Докембрійські породи — най-
давніші за віком — складають кристалічний фундамент різновікових
платформ. Вони представлені осадочно-метаморфічними комплексами
архею та протерозою. На кристалічних породах Українського щита роз-
винута давня кора вивітрювання, що на більшій частині території має
середньомезозойський вік.
У межах різних структурно-тектонічних елементів на території Ук-
раїни виявлено стратиграфічні підрозділи від протерозойського віку до
антропогену. Протерозойські відклади представлені переважно конгло-
мератами, пісковиками, слабометаморфізованими вапняками та слан-
цями. Кембрійські відклади (потужність 130-250 м) мають переважно
глинисто-піщаний склад з проверстками алевролітів. Ордовицькі відкла-
ди (50-60 м) — вапняки та карбонатні пісковики. У складі силурійських
відкладів (600-700 м) переважають вапняки, мергелі з проверстками
глин та аргілітів. Девонські відклади мають дуже диференційовані по-
тужності — від 300 м до 2 000 м. Вони досить різноманітні. Серед них
Географія України
527
зустрічаються піщано-глинисті відклади, доломітові вапняки, глинисті
сланці, мергелі, соленосні породи, мергельно-ангідритові відклади.
Кам’яновугільні (карбонові) відклади (найбільша потужність — понад
10 км — зафіксована у Донбасі) представлені вапняками, пісковиками,
алевролітами, сланцями з шарами кам’яного вугілля. Пермські відкла-
ди мають вапняково-доломітовий, глинисто-вапняково-ангідритовий,
глинисто-піщаний склад. Тріасові відклади (300-350 м) представлені
пісками, глинами, рідше — мертелями, пісковиками, кременистими
сланцями. Юрські відклади — це переважно глини, піски (часто гла-
уконітові), мергелі, вапняки. Трапляються вулканічні породи. Крей-
дові відклади (2-3 км) відрізняються на платформі (карбонатні фації
порід — крейда, мергелі, вапняки) та у гірському облямуванні (піща-
но-глинисті породи). Палеогенові відклади (від кількох метрів до 400 м
у платформеній частині до 2 000 м — у Карпатах) переважно піщано-
го, мергельного, глинистого, пісковикового, конгломератового складу.
В еоценових відкладах наявні буровугільні породи. Неогенові відклади
(від одиниці до кількох сотень метрів) представлені дуже різноманіт-
ними породами — вапняками, пісками, глинами, гіпсами. Магматичні
неогенові породи поширені у Закарпатті.
У різних структурно-тектонічних умовах повнота геологічного розрі-
зу, потужності осадової товщі (від протерозою до неогену) та окремих її
підрозділів суттєво відрізняються, що свідчить про досить різні умови
опадонакопичення.
Четвертинні (антропогенові) відклади поширені на території Украї-
ни майже повсюдно, за винятком крутих схилів Карпатських і Крим-
ських гір, Донецького кряжа та річок, які перетинають Український
щит. Характеризуються різноманітним складом, відносно невеликою
потужністю та генетичним розмаїттям.
Мінерально-сировинні ресурси
Україна має різноманітні корисні копалини, вигідне територіальне
зосередження та високий ступінь їх розвіданості. У надрах України
виявлено близько 20 000 родовищ і проявів 114 видів корисних копа-
лин. З них 9079 родовищ 96 видів корисних копалин мають промислове
значення. До промислового освоєння залучено 3 285 родовищ.
Горючі корисні копалини представлені родовищами вугілля, нафти
і природного газу, горючих сланців та торфу. У паливно-енергетичному
балансі провідне місце посідає кам’яне вугілля. Найважливішим є До-
нецький кам’яновугільний басейн. Середня глибина розробки пластів
становить близько 600 м, у деяких шахтах — 1 000 м. Близько 50%
усіх запасів припадає на вугілля високоякісних марок. Перше родови-
ще кам’яного вугілля відкрито у 1721 р. Саме з того часу і розпочалось
видобування вугілля. У Львівсько-Волинському вугільному басейні по-
тужність вугільних пластів становить від 2 см до 2 м. Вони залягають
на глибині від 300 до 1200 м. Глибина розробки пластів досягає майже
600 м. Розробку вугілля в басейні розпочато у 1754 р.
Родовища бурого вугілля мають більш місцеве значення і зосеред-
жені в основному в Дніпровському буровугільному басейні. Потужність
пластів — до 18 м із глибиною залягання 10-120 м. Видобуток вугілля
розпочато наприкінці XIX ст. Родовища бурого вугілля наявні і в інших
регіонах України.
528
Географія
В Україні виявлено 134 родовища нафти і 155 родовищ газового
конденсату. Вони зосереджені у кількох регіонах. Найбільшою є Дніп-
ровсько-Донецька нафтогазоносна область. Потужність нафтогазонос-
них товщ — понад 1 000 м. Глибина їх залягання — до 4 500 м. Газові
та газоконденсатні залягають до 5 000-5 800 м. У межах даної провінції
перші поклади виявлено у 1939 р. Передкарпатська нафтогазоносна
область має глибину залягання нафтових родовищ 500-4 800 м, газо-
вих — 100-4 800 м. Добування нафти в цій області відоме з XVII ст.
У Причорноморсько-Кримській нафтогазовій провінції глибина заля-
гання нафтогазових товщ від 100 до 4 500 м. Промислове освоєння
родовищ розпочато після 1965 р.
Незважаючи на досить значне поширення горючих сланців, вони
в Україні не використовуються. Поклади сланців виявлено в межах
Дніпровсько-Донецької западини, Волино-Подільської плити, в Кар-
патах і Кримських горах.
В Україні розробляється близько 505 родовищ торфу. Основні з них
розташовані на Поліссі та в лісостепу.
Металічні корисні копалини представлені покладами залізних,
марганцевих, титанових, цирконієвих, алюмінієвих та інших руд.
Налічують 139 родовищ, які розробляються. Основна роль належить
залізним рудам. Найбільшим в Україні є Криворізький залізорудний
басейн. Глибина залягання рудного тіла майже 2 500 м, але у деяких
місцях руди виходять на поверхню. Вміст заліза в руді досягає 66 % .
Освоєння родовищ залізних руд розпочалося з кінця XIX ст. Про-
довженням цього басейну є Кременчуцький залізорудний район. Тут
видобувають руду з 1970 р. Крім названих є ще Білозерський залі-
зорудний район, Керченський залізорудний басейн. Останнім часом
розвідано ряд нових родовищ. Марганцеві руди виявлені у районі
Нікополя (одне з найбільших родовищ світу). Потужність рудонос-
ного пласта становить 1,5-5 м, глибина його залягання 15-140 м.
Промислові розробки в басейні розпочато з 1886 р. Незначні родови-
ща марганцевих руд виявлені в інших регіонах України, але вони не
мають промислового значення. В Україні розробляється 4 родовища
титанових руд, 2 — нікелю та кобальту, по одному — руд танталу,
ніобію, руд цирконію.
Неметалічні корисні копалини представлені 1 749 родовищами, які
розробляються. Серед них 43 родовища гірничо-хімічних корисних
копалин (бром, сировина карбонатна для вапнування кислих ґрунтів,
сировина для виробництва мінеральних пігментів, сіль калійна, сіль
кухонна, сіль магнієва, сірка, фосфорити), 39 родовищ гірничо-руд-
них корисних копалин (глини бентонітові, графіт, каолін, озокерит,
сировина абразивна, сировина п’єзооптична, сировина польовошпато-
ва, цеоліти), 36 родовищ нерудних корисних копалин для металургії
(вапняк флюсовий, глина для вогнетривів, доломіт для металургії,
кварцит і кварц для вогнетривів, пісок формувальний, ставроліт,
флюорит), 1631 родовище корисних копалин для будівництва (бітум,
вапняк для випалювання на вапно, гіпс та ангідрит, глина тугоплавка,
камінь будівельний, камінь облицювальний, камінь пиляний, пісок
будівельний тощо).
Здавна в Україні виявлено різноманітне ювелірне та виробне камін-
ня — гірський кришталь, моріон, топаз, берил, опал, бурштин та ін.
Географія України
529
Геоморфологічна будова і рельєф
Рельєф території України представлений низовинами (70%), висо-
чинами (25%) та низько- і середньовисотними горами (5%). Середня
висота поверхні рівнинної частини території України складає 175 м,
максимальна — 515 м (г. Берда на Хотинській височині), мінімальна —
5 м нижче рівня моря (на узбережжі Куяльницького лиману). У рів-
нинній частині території виділяються Придніпровська (середні висоти
150-240 м, максимальна — 323 м), Подільська (середні висоти 180-
400 м, максимальна — 471 м), Волинська (середні висоти 220-250 м,
максимальна — 342 м), Приазовська (середні висоти 100-300 м, мак-
симальна — 324 м), Донецька (середні висоти 260-320 м, максималь-
на — 367 м) та відроги Середньоросійської (середні висоти 190-200 м,
максимальна — 236 м) височини, Поліська (середні висоти 150-200 м,
максимальна — 316 м), Придніпровська (середні висоти 50-170 м, мак-
симальна — 236 м) та Причорноморська (середні висоти 10-170 м, мак-
симальна — 179 м) низовини. На півдні та південному заході рівнини
облямовані гірськими системами Кримських гір (максимальна висота
1 545 м, г. Роман-Кош) та Українських Карпат (максимальна висота
2 061 м, г. Говерла — найвища точка України).
У геоморфологічному відношенні територія України характери-
зується значною різноманітністю. Вона розташована в межах трьох
геоморфологічних країн — Східно-Європейської рівнини, Карпатської
та Кримсько-Кавказької гірських країн.
Платформені морфоструктури представлені у сучасному рельєфі
найбільшими височинами та низовинами, відповідають великим гео-
структурним одиницям. Вони характеризуються певними типами
взаємозв’язку між рельєфом та структурою. Так, Придніпровська і При-
азовська височини відповідають підняттям докембрійського фундаменту
Українського щита, Придніпровська низовина — Дніпровсько-Донецькій
западині, Донецька височина (кряж) — складчастій споруді, Причор-
номорська низовина — западині тієї ж назви, а Волинська та Поділь-
ська височини — Дністровському прогину в межах Подільської плити.
Гірські споруди України утворилися в умовах новітніх піднять, го-
ризонтальних рухів земної кори, вулканічних та складкоутворюючих
процесів. За походженням морфоструктури орогенного поясу України
представлені денудаційно-тектонічними та структурно-денудаційними
типами гір, а також вулканічно-денудаційними горами. Рельєф зон
зчленування гір та платформених рівнин утворює окрему категорію
морфоструктур перехідного типу, що, як правило, відповідають перед-
гірським прогинам та частково — прилеглим районам платформ.
Вік морфоструктур України варіює від докембрію (Український
щит), ранньо-середнього девону (Дніпровсько-Донецька западина),
пермі-тріасу (Донецька складчаста споруда) до міоцену (Подільська
плита). Морфоскульптурні особливості території України визначаються
поєднанням зональних (реліктових та сучасних) й азональних форм
рельєфу, які генетично пов’язані з різноманітними рельєфоутворюю-
чими процесами.
Платформені рівнини території України характеризуються пе-
реважанням денудаційного рельєфу, морфологічні особливості яко-
го сформувалися внаслідок дії лінійної та бокової ерозії, карстових,
гравітаційних та інших деструктивних рельєфоутворюючих процесів.
530
Географія
Акумулятивний та акумулятивно-денудаційний рельєф найбільш поши-
рений у межах материкових заледенінь, у великих транзитних річко-
вих долинах та в області поширення елювіально-делювіальних лісових
відкладів, що охоплює понад 50 % території України.
Реліктова льодовикова морфоскульптура ранньо-середньочетвертин-
ного періоду представлена повним комплексом льодовикових та вод-
но-льодовикових форм рельєфу — моренними рівнинами, кінцево-мо-
ренними пасмами, горбами, водно-льодовиковими терасами, озами,
камами тощо.
Флювіальний рельєф представлений комплексом надзаплавних терас
та заплав пліоцен-четвертинного періоду.
Морські тераси та лиманно-морські форми рельєфу четвертинного
періоду фрагментарно трапляються на Керченському півострові, пів-
денному узбережжі Азовського моря та між гирлами Дунаю та Дніпра
на узбережжі Чорного моря.
Найбільш поширеними у рівнинній частині є форми яружно-балко-
вої морфоскульптури.
У групі гравітаційних форм значне місце належить зсувам
та обвалам, які є як у рівнинних, так і у гірських областях. Карстові
та суфозійно-просадкові форми ускладнюють поверхні рівнин Поділля,
Прикарпаття, Причорномор’я та ін.
Кліматичні умови та ресурси
Особливості положення території України, характер атмосферних
процесів, наявність гірських масивів, височин, близькість теплих морів
зумовлюють різноманітність кліматичних умов.
Клімат України характеризується чітко вираженими сезонами —
зима, весна, літо, осінь. Найхолодніший сезон року — зима. Її початком
заведено вважати дату стійкого переходу середньої добової температури
повітря через 0°С у бік зниження.
В Україні зима настає в різні строки: найраніше (середина листо-
пада) — на північному сході, а до кінця місяця — на більшій частині
території. На Південному березі Криму тривалого зимового періоду не
буває. Найтепліший з трьох зимових місяців — грудень, найхолодні-
ший — січень, інколи лютий. У січні найнижча середня температура
повітря (-7-8 °С) відмічається на північному сході, сході та в Українсь-
ких Карпатах. На решті території вона становить -4-6 °С. Найвища
середня місячна температура (+3-4 °С) на Південному березі Криму.
Лютий за температурним режимом мало відрізняється від січня. Ха-
рактерною особливістю зимового сезону в Україні є відлиги. Вони від-
мічаються кожного року. В середньому буває 8-10 відлигових періодів.
Залежно від особливостей розвитку атмосферної циркуляції зими
поділяють на аномально теплі та аномально холодні. Теплі зими спос-
терігаються при виході циклонів атлантичного або середземноморсько-
го походження. Холодні зими бувають під час вторгнення арктичних
повітряних мас. Такі зими складають 20 % від їх загального числа. При
сильних затоках холоду на сході та північному сході спостерігають-
ся найнижчі (абсолютний мінімум) значення температур (-42-40 °С).
На більшій частині території він складає -38-30°С. На південному за-
ході абсолютний мінімум температури повітря становить - 30-23 °С,
а на Південному березі Криму -18-15 °С.
Географія України
531
Кількість опадів взимку найменша, але вони досить тривалі, пе-
реважно у вигляді снігу та дощу. Виняток становлять Кримські гори
і Південний берег Криму. Саме взимку там спостерігається найбільша
кількість опадів. Зимові місяці за кількістю опадів мало відрізняються
один від одного. На рівнині в грудні-лютому випадає 20-30 мм за мі-
сяць, у гірських районах Карпат, на Закарпатті та Південному березі
Криму їх значно більше (75-100 мм), у Кримських горах понад 150 мм.
Взимку опади випадають у вигляді снігу. Тривалість залягання сні-
гового покриву зменшується з півночі на південь від 115 до ЗО днів,
в гірських районах спостерігається різке її збільшення.
Найбільша тривалість зимового сезону у високогір’ях Українських
Карпат (150 днів), у північно-східних районах зима трохи коротша
(140 днів), а найменша тривалість зими на крайньому півдні (60 днів).
Весна — перехідний сезон між зимою і літом, за її початок беруть
стійкий перехід середньої добової температури повітря через 0 °С у бік
підвищення. В Україні раніше за все настає весна в кінці лютого —
на початку березня, пізніше за все — в третій декаді березня.
За строками настання весни поділяються на ранні та пізні, за тем-
пературним режимом — на теплі та холодні, а за характером розвит-
ку — на дружні та затяжні.
У березні ще зберігається зимовий характер розподілу темпера-
тури повітря (0°-(+2°)С), а в травні переважає вже погода літньо-
го типу — середня температура повітря на 5-8 °С вища за квітневу.
Ближче до літа циклонічна діяльність слабне, повітря прогрівається,
температура стає більш однорідною. Навесні можуть спостерігати-
ся спекотні дні. У березні максимальна температура повітря може
підвищуватися до +20 °С, у квітні — до +29-32 °С. У травні рекордні
максимуми складають +32-35 °С. Навесні ще часті й затоки холоду,
спричинені перебудовою поля атмосферного тиску. Абсолютний міні-
мум температури повітря у травні має від’ємні значення на більшій
частині території. Для весняного сезону характерні приморозки, які
бувають майже щороку.
Кількість опадів у березні мало відрізняється від зимової. У квітні
відбувається перехід від зимового розподілу опадів на літній: кількість
опадів збільшується. Навесні певний характер опадів — обложні дощі
змінюються зливовими, розвивається грозова діяльність.
Найтепліша пора року в Україні — літо, цей період обмежений да-
тами стійкого переходу середньої добової температури повітря через
+15 °С. За датами настання літо буває раннє і пізнє, за температурним
режимом — тепле і холодне.
Влітку переважний вплив на формування погодних умов має радіа-
ційний чинник. Важливу роль відіграє трансформація повітряних мас
в областях підвищеного тиску. Циклонічна діяльність представлена сла-
бо вираженими циклонами, які спричиняють зливи з грозою і градом.
Найвищих значень середня температура повітря досягає в липні.
На північному заході та півночі вона дорівнює +18-20 °С, на пів-
дні +21-23 °С, в Кримських горах +16 °С, а в Українських Карпатах
+13-14 °С. Серпень у 20-30% років буває теплішим за липень. Після
стійкого переходу середньої добової температури через +20 °С спостері-
гається дуже тепла погода і створюються умови для встановлення ви-
сокої температури повітря (+25 °С і вище).
532
Географія
Особливістю розподілу кількості днів із високою температурою
є збільшення їх у напрямку з півночі та північного заходу на південь
та південний схід. На півдні кількість днів із високою температурою
за рік становить 80-90 днів, в напрямку на північ та північний захід
зменшується до ЗО днів. Абсолютний максимум температури повітря за
рік на значній території складає +38-40 °С. На захід максимум поступо-
во знижується до +36 °С, у високогірних районах Карпат він дорівнює
+26 °С, а в горах Криму не перевищує +29 °С.
Майже на всій території України, за винятком Криму, найбільша
кількість опадів випадає в літній сезон — у липні-червні, у серпні їх
трохи менше. У липні найбільше опадів (до 200 мм) випадає в Українсь-
ких Карпатах, у західних районах — 80-100 мм за місяць. На схід
та південний схід кількість опадів поступово зменшується. Мінімум
(40-50 мм) припадає на узбережжя. Як найбільш вологі, так і найбільш
сухі роки спостерігаються один раз на 10 років. Аномалії з опадами біль-
ше норми найчастіше бувають у західних районах України, а з опадами
менше норми — у східних, південно-східних районах.
Тривалість літнього сезону в межах України зростає у південному
напрямку від 90-140 до 150-160 днів. Закінчується літо на території
України в середньому в першій декаді вересня.
Осінь — перехідна пора року між літом і зимою — починається зі
стійкого переходу середньої добової температури повітря через 15 °С у бік
її зниження. Зниження температури відбувається поступово: до +10 °С,
потім до +5 °С і нарешті до 0°С. Період із температурою від +15 °С до
+10 °С, що триває 20-25 днів, можна вважати ще продовженням літа.
Вдень нерідко максимальна температура може досягати +30 °С і більше.
Тривалість періоду з температурою від +5 до 0°С складає в середньому
25-30 днів. Він відрізняється похмурою дощовою погодою з частими
туманами. Восени посилюється роль циркуляційних факторів. У вересні
зменшення температури становить у середньому 4-8 °С, від жовтня до
листопада відбувається найбільш інтенсивне зниження на 6-8 °С.
Літній характер розподілу опадів зберігається до жовтня, але кіль-
кість їх поступово зменшується. У кінці осені часті опади обложного
характеру. Залежно від циркуляційних процесів, осінь буває теплою
і сухою, холодною і вологою.
Восени спостерігаються явища, характерні як для літа, так і для
зими. У вересні ще гримлять грози, а в листопаді вже мете хуртовина.
З вересня починаються заморозки. Змінюється вид опадів з рідких,
у вигляді дощу і мряки, — у вересні та жовтні — на змішані опади,
у вигляді дощу зі снігом, — у листопаді. З’являється перший сніговий
покрив, який довго не зберігається.
Внутрішні води
На території України нараховується більше 72 тис. річок та струмків
загальною довжиною понад 248 тис. км. Серед них — 7 великих та 83 се-
редні річки. Основна кількість водотоків відноситься до категорії малих
річок (площа водозбору до 2 000 км2, довжина до 100 км). Понад 4 тис.
річок мають довжину, що перевищує 10 км, з них близько 3 тис. річок
менше 25 км, 940 річок — від 26 до 100 км і лише 132 мають довжину
понад 100 км. Великими річками є Дніпро, Дністер, Дунай, Південний
Буг, Прип’ять, Десна, Сіверський Донець.
Географія України
533
Річки України несуть свої води до басейнів Чорного і Азовського
морів (98 %) і басейну Балтійського моря (2 %). Найбільша кількість
річок припадає на басейни Дніпра (27,7%), Дністра (23,7%), Дунаю
(26,3 %), Південного Бугу (9,3 %). Більшість річкових басейнів (95,9 %)
мають площі до 50 км2, 3,5 % з них — 50-500 км2 і лише 0,6 % басейнів
з площами понад 500 км2.
Режим річок визначається джерелами живлення. Більшість річок
України мають переважно снігове живлення, а також мішане з пере-
важанням снігового. Для частини річок характерне дощове живлен-
ня влітку. За річним розподілом стоку для річок рівнинної території
України характерне весняне водопілля, стійка літня межень, яка по-
рушується зливовими і дощовими наводками, невеликим підвищенням
рівня річок восени і низькою водністю взимку. Гірські річки мають па-
водковий режим. В Українських Карпатах він простежується протягом
усього року, в Кримських горах — переважно в зимово-весняний період.
Початок весняного водопілля на рівнинних річках припадає пере-
важно на першу половину березня, інколи на кінець лютого. Закін-
чується воно у другій половині квітня, інколи в першій декаді травня.
Водопілля триває 1,5-2 місяці. Найбільших значень рівні підйому
води набувають у басейні Південного Бугу, Десни та Сіверського Дінця
(5 і більше метрів). Літньо-осіння межень триває з травня по жовтень-
листопад. Цей період характеризується наводками після затяжних
дощів та злив, тривалість яких коливається від 3-5 днів до 1,5 місяця.
В Українських Карпатах весняне водопілля пов’язане з таненням
снігу, яке дуже часто супроводжується сильними дощами, що призво-
дить до значних, а часом і катастрофічних паводків. Початок танення
снігу припадає в основному на першу половину березня. Максимальні
витрати води на річках басейнів Дністра (праві притоки) і Дунаю при-
падають не на період весняного водопілля, а на період літньо-осінньої
межені. Ця особливість характерна і для річок Криму.
Мінімальний стік характерний для літньо-осінньої межені, а для
деяких річок — зимової. Для деяких малих річок цей період харак-
теризується відсутністю стоку — вони пересихають або промерзають.
Стійкий льодостав на рівнинних річках України утворюється
у другій половині грудня, в Карпатах найчастіше в першій декаді січня.
Льодові явища, залежно від фізико-географічних умов, спостерігаються
від 10-25 до 90 і більше днів. На багатьох річках льодостав неоднора-
зово переривається скресанням під час відлиг. Середні дати весняного
скресання річок припадають на південному заході на початок березня,
а на північному сході — на його другу половину.
Селі. Під час паводків на гірських річках Українських Карпат
та Криму утворюються водно-грязекам’яні потоки — селі. Швидкість
селевих потоків в середньому перевищує 10 м/с і досягає ЗО м/с, щіль-
ність потоків — 2,5 г/см3, а об’єми валунів та брил — 4,7-10 м3.
За походженням селі України відносяться переважно до дощових
та зливових (85%), інші — до дощових із таненням снігу. В Криму
головною причиною утворення селів є зливи. В Карпатах мають розви-
ток усі типи, але найбільше їх утворюється під час дощів. На другому
місці причиною є зливи. Незначна кількість селів утворюється під час
сніготанення з дощами.
Лавини — це рух значної маси снігу вниз по схилу. Виникнення
лавин пов’язане з великою масою снігу на схилах крутизною 20-45°,
534
Географія
наявністю в нижній частині снігової маси крихкого перекристалізова-
ного снігу. Швидкість руху лавин — від 5-30 м/с при мокрих лавинах
до 20-40 м/с при пилових лавинах. В Україні лавини найбільш поши-
рені в Карпатах. Особливістю утворення лавин в Українських Карпатах
є їхня виникнення та схід у лісовій зоні, часом серед густого деревостою,
найчастіше серед листяних, особливо букових лісів на схилах крутизною
від 30° до 50°. Режим сходження лавин — зимово-весняний. Найбіль-
ша їх кількість припадає на березень — 49 % всіх зафіксованих лавин.
Максимальні об’єми лавин можуть перевищувати 100 тис. м3 снігу.
Озера, болота та водосховища є складовими поверхневих вод Ук-
раїни. Озера за своїм походженням представлені такими типами: річ-
кові (у заплавах річок); провальні, карстові та просадкові; остаточні
(відділені частини заток моря, бухт та гирл річок); карові та завальні
(в Українських Карпатах). Територія України характеризується невели-
кою озерністю — близько 0,7 % . Нараховується 8 073 озера (без ураху-
вання дуже малих). Озер із площею дзеркала води більше 1,0 км2 всього
192, серед них налічується 43 озера з площею дзеркала води понад
10 км2. Більшість із них знаходяться в долинах Дніпра, Прип’яті, Де-
сни, Орелі, Самари, Сіверського Дінця, річок Причорномор’я та в Кри-
му. На Поліссі знаходяться найбільш глибокі озера — Світязь — 58,4 м
і Сомине — 56,9 м. Більшість великих озер — це лимани Чорного та
Азовського морів. Найбільшими серед них за площею дзеркала є опріс-
нений лиман (озеро) Сасик (210 км2) та лиман Молочний (170 км2). Най-
більшим серед прісних озер заплавного типу є озеро Ялпуг — 149 км2.
Порівняно мало озер в Українських Карпатах, це здебільшого карові
та завальні малі озера. У рівнинному Криму поширені солоні озера,
солоність води яких становить від 10 до 20 % .
Площа боліт на Україні досягає 940 тис. га, що складає 1,6% всієї
території. За умовами водно-мінерального живлення, типом торфового
покладу і особливостями рослинного покриву виділяють низинні, вер-
хові та перехідні болота. Найбільше поширення (до 97% від загальної
кількості) мають низинні болота, які розташовані переважно в долинах
річок. Найбільше боліт на Поліссі. У лісостеповій і степовій зонах бо-
лота здебільшого розміщені в заплавах річок. За рівнем заболоченості
й характером боліт в Україні виділяють п’ять торфоболотних областей —
Полісся, Мале Полісся, Лісостеп, Степ, Карпати. Значна частина боліт
осушена й використовується у сільському та лісовому господарстві.
Для перерозподілу річкового стоку і регулювання його залежно
від потреб господарства в Україні створено більше 27 тис. водоймищ.
З них понад 1 000 становлять водосховища, загальний об’єм води яких
дорівнює 55 млрд м3. Більша частина зарегульованого стоку припадає
на дніпровський каскад водосховищ (загальний об’єм 43,8 км3). Най-
більші з них — Кременчуцьке і Каховське. Вони є основними регуля-
торами стоку Дніпра. До інших великих водосховищ відносяться та-
кож Дністровське на Дністрі, Червонооскільське на Осколі, Печенізьке
на Сіверському Дінці, Карачунівське на Інгулі та ін.
Ресурси поверхневих вод України становлять 87 км3 (без ураху-
вання Дунаю) на рік, з них 52 км3 складає місцевий стік і 35,3 км3 —
транзитний стік. За цими показниками Україна є одним із найменш
водозабезпечених регіонів Європи. Середній показник водозабезпечення
власними водними ресурсами в Україні становить майже 1 тис. м Зна рік
на одного мешканця. Ресурси поверхневих вод розподілені по території
Географія України
535
дуже нерівномірно. Найбільш забезпечені ресурсами місцевого стоку
західні області, де на 1 км2 території припадає від 200 до 600 тис. м3,
а на одного мешканця — від 2 до 7 тис. м3. До найменш забезпечених
ресурсами поверхневих вод відносяться Херсонська, Донецька, Дніп-
ропетровська і Запорізька області.
Природні комплекси і фізико-географічне районування
Фізико-географічне районування
Територія України розташована в межах помірного поясу Землі
(крім Південного берега Криму з рисами субтропічного поясу). За по-
ложенням території в межах великих геоструктур з характерними ри-
сами рельєфу, єдністю атмосферної циркуляції, тепло- і вологообміну
з відповідною горизонтальною зональністю рівнин і вертикальною пояс-
ністю в горах виділяють фізико-географічні країни. Територія України
розташована в межах Східно-Європейської рівнинної та двох гірських
країн — Карпатської і Гірсько-Кримської.
У межах рівнинної частини України простежується широтна геогра-
фічна зональність — закономірна, з півночі на південь, зміна природ-
них зон, які виділяються за певною спільністю гідрометеорологічного
режиму (в першу чергу, за балансом тепла і вологи) та ґрунтово-рос-
линного покриву — мішаних лісів, широколистяних лісів, лісостепо-
вої та степової. Останню поділено на три підзони — північно-степову,
середньостепову і південно-степову (сухостепову). Гірським країнам
властива вертикальна поясність ландшафтів.
Зона мішанихлісів
Зона мішаних лісів в Україні представлена Українським Поліссям.
Південна межа Полісся проходить поблизу Львова, Шепетівки, Жито-
мира, Києва, Ніжина, Глухова.
Поверхня Полісся — хвилясто-горбиста рівнина, складена переваж-
но піщаними і супіщаними льодовиковими відкладами.
Клімат помірно континентальний, літо тепле, вологе, у липні від
+17°С (на заході) до +19°С (на сході). Зима м’яка, із частими відлига-
ми, особливо на заході. Температури січня з заходу на схід змінюються
від -4,5 °С до -8 °С. У середньому за рік в Українському Поліссі випадає
600-680 мм опадів. Кліматичні умови і рельєф обумовлюють велику
густоту річкової мережі, утворення боліт.
Ґрунти зони дерново-підзолисті та болотні. Природну рослинність
складають лісові, лучні та болотні види.
З лісів переважають соснові (бори), дубово-соснові (субори) і дубово-
грабові. У ХУІ-ХУП століттях вся територія Полісся на захід від Дніпра
була покрита лісами. Нині лісистість складає лише ЗО % .
Середня розораність Полісся понад ЗО %, а ділянки середньопідзо-
листих (досить родючих) ґрунтів розорані на 80 % . Луки займають 10 %
території. Багато боліт осушено і перетворено на сільгоспугіддя. Знач-
на частина цієї зони постраждала від аварії на Чорнобильській атом-
ній електростанції. В останні десятиріччя лісистість зони знижується,
це пов’язано із зростанням господарської діяльності людини.
536
Географія
Для Полісся характерні типово лісові тварини — козуля, лось, ди-
кий кабан, вовк, лисиця, рись, куниця, заєць, білка, борсук; із птахів —
тетерук, глухар, рябчик. Мешкають бобер, видра.
Українське Полісся поділяється на п’ять фізико-географічних об-
ластей: Волинське, Житомирське, Київське, Чернігівське і Новгород-
Сіверське Полісся.
Зона лісостепу
Лісостепова зона простяглася від Прикарпаття до Середньоруської
височини. Північна межа (із Поліссям) проходить поблизу Львова, Шепе-
тівки, Житомира, Києва, Ніжина, Глухова, а південна — по лінії Анань-
їв — Знам’янка — Олександрія — Красноград — Балаклія — Куп’янськ.
Рельєф лісостепу різноманітний. На Правобережжі зона займає Во-
лино-Подільську і Придніпровську височини, на Лівобережжі — час-
тину Придніпровської низовини і відроги Середньоруської височини.
Зональними типами ґрунтів є сірі лісові ґрунти (під лісовими ма-
сивами), а також типові чорноземи (під лучним різнотравним степом).
У заплавах річок поширені лучно-чорноземні ґрунти.
Клімат лісостепу помірно континентальний. Із заходу на схід січ-
неві температури змінюються від -5 °С до -8 °С, липневі — від +18 °С
до +22 °С. На заході випадає 550-750 мм, на сході — 450 мм опадів на
рік. Густота річкової мережі зменшується із заходу на схід.
У лісостепу переважають широколисті ліси, перш за все діброви.
Бук утворює великі масиви на крайньому заході. Граб характерний
для лісів Придніпровської височини. На Лівобережжі домінує дуб
із домішкою клена, липи, ясена. Соснові та сосново-дубові ліси зай-
мають піщані тераси річок.
Ландшафти лісостепу сильно змінені людиною. За останні сторіччя
лісистість зменшилася від 40-50 до 5-10%. Середня розораність лі-
состепу складає 75 % , а на Лівобережжі навіть 90 % . Природні умови
сприятливі для вирощування пшениці, кукурудзи, гречки, цукрового
буряка і багатьох інших культур.
Для лісостепу характерним є поєднання тваринного світу Полісся
і степу. У лісах водяться лось, дикий кабан, козуля, вовк, барсук, куниця,
білка. На степових ділянках типові такі тварини: заєць-русак, лисиця,
гризуни (ховрашки, хом’яки, миші); із птахів — сіра куріпка, перепел.
Лісостеп України поділяється на чотири фізико-географічні провін-
ції — Західно-Українську, Дністровсько-Дніпровську, Лівобережно-
Дніпровську, Середньоруську.
Зона степу
Степова зона займає майже 40 % території України. На півночі степ
межує з лісостепом по лінії Ананьїв — Знам’янка — Олександрія — Крас-
ноград — Балаклія — Куп’янськ. Степ охоплює Причорноморську низо-
вину, південні частини Придніпровської височини та Придніпровської
низовини, Донецьку і Приазовську височини, а також рівнини Криму.
Порівняно з іншими зонами України степ одержує найбільшу кіль-
кість сонячного тепла, але найменшу кількість опадів. Із заходу на схід
температури січня змінюються від -2 °С до -9 °С, температури липня —
від +20 °С до +24 °С. Річна сума опадів зменшується з північного заходу
Географія України
537
на південний схід — від 450 до 300 мм. Це є причиною маловодності
степових річок.
Природних лісів у степу дуже мало. Вони ростуть переважно в бал-
ках (байрачні дубові ліси), у заплавах рік (заплавні ліси), на піщаних
терасах (соснові ліси). Є й штучні лісові масиви. Повсюдно в степу ство-
рено лісові полезахисні смуги.
Степ сильно змінений людиною. Природна рослинність збереглася
в заповідниках, на схилах річкових долин і балок. У північних районах
є лучні степи з пишним різнотрав’ям (конюшина, шавлія, сон-трава та
ін.) і степовими злаками.
Ґрунти — звичайні чорноземи, типові чорноземи. Далі на південь
різнотравно-типчаково-ковилові степи на звичайних чорноземах пос-
тупово переходять у типчаково-ковилові на південних чорноземах.
Ще далі на південь — сухі степи з розрідженим травостоєм із злаків,
полину, солянок на каштанових ґрунтах.
Тваринний світ характерний тим, що, крім численних дрібних гри-
зунів, у степу живуть землерийки, кроти, сліпці. Байбак звичайний
зараз зберігся тільки в Луганському заповіднику та у двох заказниках
Харківської області. Типові для степу ховрашки, зустрічаються ласка,
горностай, степовий тхір, борсук, лисиця та ін.; із птахів — жайворон-
ки, перепели, куріпки, рідко дрохви, орли.
Рілля в степу складає 75 % земельного фонду. Головні сільськогос-
подарські культури — це озима пшениця, соняшник, цукровий буряк,
баштанні.
Степова зона України поділяється з півночі на південь на три під-
гони: північно-степову, середньостепову та південно-степову.
Українські Карпати
Гірська система Українських Карпат розташована на заході України,
у Закарпатській, частково Львівській, Івано-Франківській та Чернівець-
кій областях. Площа понад 24 тис. км2. Довжина їх становить близько
280 км, ширина понад 100 км. Гірські хребти, розділені поздовжніми
улоговинами та розмежовані глибокими поперечними долинами, простя-
гаються з північного заходу на південний схід. Абсолютні висоти гірської
системи коливаються від 120 - 400 м біля підніжжя гір до 500-800 м
у міжгірних улоговинах та 1 500-2 000 м уздовж основних хребтів. Усі
найвищі вершини — Говерла (2 061 м — найвища точка України), Бре-
бенескул (2 032 м), Піп-Іван (2 022 м), Петрос (2 020 м), Гутин Томнатик
(2 016 м), Ребра (2 010 м) — зосереджені на гірському масиві Чорногора.
В геологічній будові переважають крейдово-палеогенові породи, трап-
ляються виходи юрських вапняків, палеозойських кристалічних сланців.
Неогенові вулканогенні утворення представлені андезитами, базальтами
та туфами.
Природа Українських Карпат представлена складною системою те-
риторіальних одиниць, що створюють високогірний, середньогірний,
низькогірний та передгірський яруси. До високогірного ярусу належать
давньольодовиково-високополонинські флішеві гірські ландшафти з мак-
симумом відносних перевищень до 1 500 м (масиви Чорногора, Свидовець
та ін.) в осьовій частині гір. Іншим видом гірських ландшафтів цього
ярусу є давньольодовиково-високополонинські кристалічні (Марма-
роський масив, Чивчини). Три види ландшафтів становлять наступний,
538
Географія
основний за площею, середньогірний ярус. Ландшафти середньогірно-по-
лонинські (перевищення до 1 300 м) представлені масивами Полонинсь-
кого хребта (Пікуй, Боржава, Красна, Стій). Потужне зовнішнє пасмо —
середньогірно-скибові ландшафти (перевищення до 1 000 м), найтиповіше
виражені в Бескидах, Покутсько-Буковинських горах. Уздовж південного
краю Українських Карпат простягаються середньогірно-давньовулканіч-
ні ландшафти Вулканічного хребта (Маковиця, Синяк, Великий Діл,
Бужора, Тупий). Ландшафти низькогірного ярусу простягаються двома
смугами всередині гір та формують їхні крайові структури. Міжгірно-
верховинські ландшафти (перевищення до 400 м) пов’язані з Головним
Карпатським вододілом (Стрийсько-Санська, Воловецька та ін. верхови-
ни, а також Міжгірська, Верхньобистрицька, Ясінська, Ворохтянська
та Верховинська улоговини). Тут розташовані основні карпатські пе-
ревали (Ужоцький, Верецький, Воловецький та ін.). До регіонального
розлому, що обмежує флішеві Карпати на півдні, приурочені низькогір-
но-стрімчакові ландшафти — Угольський, Свалявський та ін. (переви-
щення до 400 м). Тут зосереджені найвідоміші карстові печери регіону.
Північно-східний край Українських Карпат становлять низькогірно-ски-
бові ландшафти (перевищення до 400 м) у межиріччях Дністра, Стрию,
Свічі, Лімніці, Бистриці, Пруту, Черемошу, Сірету. Горбогірно-улого-
винні ландшафти (перевищення 300 м) характерні для межиріч Тиси,
Тересви, Тереблі, Ріки, Боржави, Латориці на Закарпатській низовині.
З корисних копалин найбільше значення мають нафта, природний
газ, озокерит, сірка, мінеральні лікувальні води.
Клімат Українських Карпат помірно континентальний, теплий,
з циклонічними та антициклонічними вторгненнями атлантичного
повітря. Температура найтеплішого місяця (липень) у передгір’ях
+18-20°С, у високогірному ярусі +8-10°С; найхолоднішого (січень) —
відповідно -3, -6 °С і -8, -9 °С.
Кількість опадів — від 500-800 мм у передгір’ях до 1 600-2 000 мм
на найвищих хребтах. За цих умов формується густа (до 1,5 км/км2)
гідрографічна сітка — численні витоки Тиси, Дністра і Пруту. Вони на-
лежать до річок мішаного живлення з переважанням дощового. Режим
паводковий протягом усього року. У давньольодовиково-високополо-
нинських ландшафтах збереглися карові озера (Бребенескул, Верхнє,
Несамовите, Ворожеська, Апшинець та ін.). Найбільшим з озер обваль-
ного типу є Синевир. Трапляються залишки штучних водойм — гатей.
Висотна ландшафтна диференціація рослинного і ґрунтового пок-
риву виражається в пануванні субальпійських лук та пустищ з гірсько-
лучнобуроземними ґрунтами на полонинах; субальпійського криволісся
з гірської сосни, ялівцю сибірського, вільхи зеленої та ін. порід у карах
та високих водозборах; смерекових та буково-ялицево-смерекових лісів
з бурими гірсько-лісовими ґрунтами на крутих схилах хребтів високопо-
лонинських та скибових ландшафтів; букових лісів з гірсько-лісовими
буроземами на схилах середньогірно-полонинських та давньовулканіч-
них ландшафтів. На низькогір’ях та горбогір’ях збереглися осередки
первинних дубових лісів. У міжгірно-верховинних ландшафтах та в річ-
кових долинах поширені луки, характерні угрупування вільхи, верби.
Карпатським лісам властиві домішки з грабу, явора, ясена, зрідка бе-
рези і кедра. Лісистість Українських Карпат перевищує 50% .
Розміщення тварин у Карпатах складне і мозаїчне. Більшість кар-
патських звірів — ведмідь бурий, олень, козуля, свиня дика, рись, білка
Географія України
539
карпатська, кіт лісовий, горностай, куниця лісова, соні та ін., багато
видів амфібій, птахів і риб — мають широкий діапазон поширення. Вони
заселяють територію від передгірних рівнин висотою в 200 м до зони суб-
альпійських чагарників висотою 1 600 і навіть 1 850 м. Обмежене верти-
кальне поширення мають землерийки, білозубки, більшість рукокрилих,
тхір степовий, видра, норка, ховрахи, хом’як, ондатра. Високо в гори
вони не піднімаються. Типових високогірних видів лише два — бурозубка
альпійська і полівка снігова, що мешкають на висотах 1 650-2 000 м.
В Українських Карпатах зосереджено понад 1 400 природоохоронних
об’єктів, що займають 2,8% загальної площі гір (найвищий показник
по Україні). Для вивчення та охорони природи створено Карпатський
заповідник, Карпатський природний національний парк, природний
національний парк Синевир, численні заказники, пам’ятки природи
державного і місцевого значення.
Кримські гори
Межа між степовим і Гірським Кримом проходить від Севастополя,
північніше міста Сімферополя до Феодосії. За характером ландшафтів
Гірський Крим нагадує Карпати. Тут добре виражена висотна поясність
ландшафтів, поширені широколистяні, зокрема букові ліси.
Гірський Крим у тектонічному відношенні відноситься до альпійсь-
кого складчастого поясу. У гірському Криму виділяють три паралельні
гірські пасма: Головне (найвище) та два передових куестових. Вони
розташовані на північ від Головного і чітко простежуються у західній
і середній частинах Гірського Криму. Західна частина Головного пасма
є цілісною структурою з платоподібною поверхнею, а східна розпадаєть-
ся на ряд більш-менш ізольованих платоподібних масивів. Плоскі вер-
шинні поверхні пасма складені переважно вапняками юрського віку.
Особливістю Головного пасма є карстові форми рельєфу. Вони вважа-
ються класичним прикладом карсту середземноморського типу. У багатьох
місцях вапняки позбавлені ґрунтового покриву й утворюють карстові
поля, які характеризуються великою кількістю замкнутих форм рельєфу
і тріщин, через них талі снігові та дощові води проникають у вапнякові
товщі. Підземні карстові води Кримських гір живлять численні джере-
ла, ріки і відіграють важливу роль у забезпеченні водою всього регіону.
На території Криму переважають повітряні маси помірних широт
континентального і морського походження. Влітку сюди надходять кон-
тинентальне й морське тропічне повітря, значний вплив на клімат має
відріг Азорського антициклону. Циклонічна діяльність у межах області
зв’язана перш за все з Ісландським мінімумом, взимку — з виходами
середземноморських циклонів. Цими циклонами зумовлений також зи-
мовий максимум опадів, особливо добре виражений у Кримських горах,
які є бар’єром для фронтальних розділів і зумовлюють їхнє загострен-
ня та активізацію. Кримські гори також перешкоджають проникненню
холодних повітряних мас із півночі. Одночасно з отеплюючим впливом
Чорного моря й середземноморськими циклонами це призводить до фор-
мування на Південному березі Криму особливого середземноморського
клімату з теплою зимою і максимумом опадів у цю пору року.
Передгірна область охоплює Внутрішнє і зовнішнє куестові пасма
і збігається з поширенням лісостепових передгірних ландшафтів. Внут-
рішнє пасмо простяглося від Інкерманських висот на заході до гори
540
Географія
Агармиш на сході. Воно складене вапняками, мергелями і глинами верх-
ньокрейдового і палеогенового віку. У західній частині Внутрішнє пасмо
роздвоюється, розчленоване тектонічно-ерозійною долиною. Ерозійно-
денудаційні зниження між пасмами складені крейдовими і палеогено-
вими породами. В рельєфі виражені долини, балки, яри. У кліматі лі-
состепового передгір’я помітні перехідні риси від степового до вологого
помірно теплого клімату Головного пасма. Вегетаційний період триває
8-9 місяців, сума активних температур становить 3 000 - 3 450 °С. Річна
сума опадів — 550 мм. Передгір’я розчленовує досить густа сітка річок,
серед них найбільшими є: Салгір з притоками, Індол, Бельбек, Альма,
Кача, Чорна та ін. Вони мають мішане живлення. На цих річках побудо-
вані невеликі водосховища, які допомагають регулювати стік. Локальне
поширення мають форми поверхневого карсту.
Область Головного гірського пасма простягається від Каранських
висот до горбистих височин мису Іллі (310 м). Південний схил пасма
короткий, крутий, місцями прямовисний; північний — пологий. Його
центральна частина складена з поверхні твердими верхньоюрськими
вапняками і є найбільш піднятою. Головне пасмо розчленоване на ок-
ремі плосковершинні масиви — яйли. На яйлах найбільш поширеними
карстовими формами є лійки різних розмірів, закладені в нешаруватих
і товстошаруватих вапняках, тріщини порід, замкнені та напівзамкнені
улоговини, печери та ін.
Інтенсивному карстоутворенню сприяють кліматичні умови.
На Головному пасмі випадає від 1000 мм (на заході) до 600-700 мм
(на сході) опадів, причому 50-60% у вигляді снігу. Клімат яйлинських
плато прохолодний. Середні температури липня +15-16 °С, січня -4°С.
Характерні сильні вітри, ожеледь, часті тумани. На схилах до висоти
450 м зима м’яка, літо тепле, середні температури липня +20-21 °С.
Сума активних температур становить 3 100-3 300 °С. На схилах до 700 м
вона зменшується до 2 700-1 500 °С. Головне пасмо є акумулятором
підземних вод, які розподіляються між його північним і південним
схилами і дають початок струмкам і річкам.
На південному березі Кримських гір зі збільшенням висоти знижуєть-
ся температура і зростає кількість атмосферних опадів. Це є проявом
висотної поясності клімату, що зумовлює зміну ґрунтово-рослинного
покриву. Червоно-бурі ґрунти змінюються буроземами, а дуброво-ялів-
цеві ліси нижнього поясу — широколистяними. У їхньому складі пере-
важає дуб. На вапнякових породах поширені ліси із кримської сосни.
Цей пояс рослинності розташований на висоті 300-900 м.
Верхню частину південного схилу Кримських гір до вершинного
плато займає пояс букових лісів. Крім бука, тут поширені граб, клен,
кримська сосна й особливо крючкувата сосна. Букові ліси піднімають-
ся до висоти понад 1 000 м і різко обриваються. На вершинному плато
вони зустрічаються лише на окремих ділянках. Вершинна поверхня
Кримських гір належить до верхньої ландшафтної зони. Її особливості
визначаються кліматичними умовами і характером материнських
порід. На плато гір літо прохолодне (середня температура липня ста-
новить близько +16 °С) зі значною кількістю опадів. У західній частині
вона сягає 100-1 200 мм. Для верхньої ландшафтної зони характерні
кам’янисті гірські луки й лугові степи. На закарстованій поверхні вап-
няків росте ялівцевий стелюх. У зоні поширені гірсько-лугові чорнозе-
моподібні ґрунти, які на сході переходять у гірські чорноземи.
Географія України
541
Для рослинності плато типовими є типчак, тонконіг, стоколос, сте-
пова осока та ін. У найбільш сухих місцях сформувались лугово-степові
угруповання, а в краще зволожених — лугові. В їхньому складі є ку-
цоніжка, вівсяниця лугова, конюшина та ін. Трав’яниста рослинність
східних карстових плато сильніше остепована, ніж західних. На від-
критих безлісих просторах переважають остеповані луки й лугові степи,
нижче вони переходять у гірський степ.
Північний схил Кримських гір, як і південний, займають ліси на
буроземних ґрунтах. У верхньому поясі ростуть бук, граб, місцями дуб
(на схилах південної експозиції), крючкувата сосна. Нижче 700-600 м
ростуть дубові ліси, в їх складі переважає скелястий дуб. Буроземні
ґрунти змінюються коричневими. На північних відрогах, а також
у смузі куест панівне положення має ксерофільний низькорослий пух-
настий дуб. У північному напрямку лісові ландшафти змінюються пів-
денним лісостепом. У лісостепу низькорослі зарості з дуба, держидерева
та грабника чергуються з ділянками степової рослинності.
Таким чином, у верхніх частинах південних і північних схилів
Кримських гір спостерігається значна подібність ландшафтів, але на
нижніх рівнях — істотні відмінності. Це дає підстави говорити про
різну структуру висотної поясності південного та північного схилів.
Вона зумовлена кліматичним бар’єрним впливом Кримських гір, який
виявляється у різній кількості опадів і температурному режимі.
На північних схилах гір у лісах Кримського заповідника зберігла-
ся багата фауна. Тут поширені благородний олень, косуля, лисиця,
кам’яна куниця та ін. Характерними представниками птахів є сойка,
синиця, дикий голуб, дрізд.
Прибережну смугу південного схилу Головного пасма (завширшки
2-12 км та заввишки 400-450 м) називають Південним берегом Криму.
Для нього типовим є ерозійний рельєф, а також вулканічні утворення
на зразок лаколітів (Ведмідь-гора, Карастель). Гірський масив Карадаг
поблизу Феодосії — давній зруйнований вулкан.
У гірському Криму чітко простежується висотна поясність ланд-
шафтів. На південному схилі гір до нижнього поясу лежить Південний
берег Криму. Тут поширені червоно-бурі (перехідні від буроземів до
червоноземів) і коричневі ґрунти.
Рослинність Південного берега характеризується значною (близько
1 500) кількістю видів. Вона подібна до середземноморської. В її складі
багато ендеміків, вічнозелених дерев і чагарників. Ксерофільний дуб-
рово-ялівцевий низькостовбурний ліс поширений на висотах майже
300 м. Його підлісок становлять вічнозелені чагарники. Типовими
представниками таких лісів є деревовидний ялівець, пухнастий дуб,
скипидарне дерево. Ці ліси чергуються з чагарниковими заростями
шиблякового типу.
Природну рослинність на значних площах замінили виноградники,
сади і парки. Тут добре пристосувалися середземноморські, американсь-
кі та східно-азиатські представники рослинного світу: кипарис, лавр,
лавровишня, магнолія тощо. Багата колекція рослин із різних районів
півострова та світу зібрана в кримському Нікітському ботанічному саду.
Внаслідок збільшення сухості клімату на захід від Алушти вічнозе-
лені рослини зникають, а ліс поступово заміщується чагарниковими за-
ростями шиблякового типу. На схилах гір поширені розріджені зарості
сухолюбивих трав і напівчагарників. Далі на схід рослинність набуває
542
Географія
степового характеру. В районі Судака, а також у західній частині Пів-
денного берега поширена реліктова сосна.
Крим має неабияке рекреаційне значення. Сприятливі кліматичні
умови, тепле море, наявність лісів і мальовничих краєвидів забезпечили
можливості для розвитку санітарно-курортної мережі.
Слід зазначити, що для Криму складною є проблема водозабезпе-
чення. Вона вирішується шляхом створення водосховищ на річках,
використання підземних вод, транспортування води Північно-Кримсь-
ким каналом. Але труднощі з водозабезпеченням все ще залишаються.
Останнім часом досить гострою для Криму є екологічна проблема. Вона
зв’язана із забрудненням атмосферного повітря промисловими викида-
ми у північно-західних районах півострова, автотранспортом у містах
і з забрудненням Чорного та Азовського морів. Усе це впливає на в ці-
лому гарні перспективи подальшого соціально-економічного розвитку
регіону.
Природні комплекси морів, що омивають Україну
Україну омивають води двох морів — Чорного та Азовського.
Чорне море — внутрішнє море басейну Атлантичного океану, омиває
береги України, Росії, Грузії, Туреччини, Болгарії і Румунії. Площа
422 тис. км2, середня глибина 1 271 м, максимальна — 2 245 м. Кер-
ченською протокою Чорне море сполучене з Азовським, протокою
Босфор — з Мармуровим морем. У Чорне море впадають великі річки
Дунай, Дніпро, Дністер, Південний Буг та ін.
Найбільший півострів — Кримський, найбільші затоки біля берегів
України — Каркінітська, Каламітська, Феодосійська, Джарилгацька.
Островів мало (Зміїний, Джарилгач та ін.). Поширені піщані коси. Вза-
галі береги розчленовані мало.
Кліматичні умови Чорного моря визначаються розташуванням
значної його частини в субтропічному поясі. Зима тепла і волога, літо
жарке і сухе.
Середня солоність Чорного моря 21,8 % . Температура поверхневих
вод влітку від +24 °С до +26 °С, у мілководних затоках — до +29 °С.
Взимку температура води в середньому становить +8 °С. У суворі зими
в північно-західній і північно-східній частинах Чорне море замерзає.
Характерною особливістю моря є наявність у його глибинних водах
сірководню, рівень якого підвищується і вже досяг позначок 100-200 м,
що негативно відбивається на органічному житті.
У Чорному морі промислове значення мають червоні водорості,
із риб — хамса, ставрида, кефаль, камбала, скумбрія, із безхребетних —
мідії, креветки, устриці. Узбережжя Чорного моря — головний рекреа-
ційний район України: море відіграє велику роль у внутрішніх і зовніш-
ніх транспортних зв’язках (порти Одеса, Іллічівськ, Південний та ін.).
Розпочато освоєння шельфу (видобуток газу, у перспективі — нафти).
Азовське море — внутрішнє море басейну Атлантичного океану
в межах України і Росії. Площа 39 тис. км2, середня глибина 7,4 м,
максимальна — 15 м (наймілководніше море Землі).
Найбільші затоки — Сиваш, Обитічна, Бердянська, Таганрозька.
Островів мало. Характерні довгі піщані коси — Арабатська Стрілка
(довжина 115 км), Федотова, Бердянська, Білосарайська та ін. У море
впадають Дон, Кубань, а також малі річки.
Географія України 543
Для району Азовського моря характерним є помірно континенталь-
ний клімат. Влітку температура води в морі підвищується до +25-30 °С,
взимку на півночі температура від 0°С до -З °С, на півдні — від 0 до +3°С.
У суворі зими море може повністю покритися кригою товщиною до 90 см.
Солоність води в морі збільшується, оскільки скоротився річковий
стік головних річок. Рівень води в Азовському морі підтримується
за рахунок надходження солоніших вод Чорного моря. Солоність води
в Азовському морі зараз досягла в середньому 13,8 % і продовжує зро-
стати, що згубно впливає на прісноводні види органічного світу.
Органічний світ Азовського моря характеризується високою продук-
тивністю. Водяться азовський дельфін, 79 видів риб, з яких найбільше
значення мають тюлька, хамса, камбала, бички, оселедець, а також
осетрові — осетер, севрюга. Останнім часом успішно акліматизовано пе-
ленгаса, який почав навіть шкодити іншим рибам, поїдаючи їхню ікру.
Узбережжя Азовського моря використовується для рекреації. Най-
важливіші порти — Маріуполь, Бердянськ. Промислове значення мають
солі Сиваша. Шельф перспективний для пошуків нафти, газу, розсип-
них родовищ корисних копалин. У 1999 р. біля мису Казантип відкрито
перше газове родовище.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Вкажіть, який тип живлення має переважна більшість річок України:
А) снігове; Б) дощове; В) підземне; Г) мішане.
2. Вкажіть, яку частину території України займають гори:
А) 5 %; Б) 25 % ; В) 50 % ; Г) 95 % .
3. Вкажіть форми рельєфу, які становлять понад 70% рівнинної території України:
А) низовини; Б) височини; В) плоскогір’я; Г) кряжі.
4. Вкажіть гірську породу, в якій утворилися численні печери Поділля:
А) крейда; Б) гіпс; В) вапняк; Г) доломіт.
5. Вкажіть тектонічну структуру, в межах якої розташовано майже 50 % території України:
А) Причорноморська западина; В) Український щит;
Б) Дніпровсько-Донецька западина; Г) Скіфська плита.
6. Вкажіть, яка природна зона України розташована у північній та північно-західній частині
нашої держави:
А) лісостеп; Б) мішані ліси; В) субтропіки; Г) степ.
7. Вкажіть кліматичний пояс, в якому розміщена переважна частина території України:
А) арктичний; Б) помірний; В) тропічний; Г) екваторіальний.
8. Вкажіть особливість природи Чорного моря:
А) наявність на глибині шару сірководню; Б) солона вода;
В) наявність водоростей; Г) наявність піщаних кос.
9. Вкажіть гірський масив, на якому зосереджені всі найвищі вершини Українських Карпат:
А) Східні Бескиди; Б) Горгани; В) Полонинський хребет; Г) Чорногора.
10. Вкажіть регіон України, частина території якого розташована в субтропічному поясі:
А) Чернігівська область; Б) Закарпатська область;
В) Луганська область; Г) Автономна Республіка Крим.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Г. 2. А. 3. А. 4. Б. 5. Б. 6. Б. 7. Б. 8. А. 9. Г. 10. Г.
ЕКОНОМІЧНА І СОЦІАЛЬНА ГЕОГРАФІЯ УКРАЇНИ
ВИМОГИ НАВЧАЛЬНОЇ ПРОГРАМИ
Економіко- і політико-географічне положення України. Проголошення незалежності
України та її вплив на геополітичну ситуацію в Європі. Економіко-географічне положення
і його господарська оцінка. Сучасний адміністративний розподіл. Геополітичні аспекти взає-
модії з іншими державами. Місце України на політичній і економічній карті світу.
Населення і трудові ресурси. Територіальні відмінності і чинники розміщення і щільності
населення. Природні й екологічні умови, які впливають на основні показники розміщення
населення. Природний рух населення. Вікова і статева структура. Погіршення демографічної
ситуації та шляхи розв’язання цієї проблеми. Економічна криза і демографічна політика. Міг-
рація населення, її види та причини.
Національний та етнічний склад населення. Українська діаспора та причини її виникнення.
Урбанізація та регіональні відмінності в її рівнях. Типи міських поселень. Функції міст
і міські агломерації. Сільське розселення та його територіальні відмінності. Демографічні про-
блеми сільського населення України, шляхи їхнього вирішення.
Розподіл трудових ресурсів у галузях господарства та регіонах. Раціональне використання
трудових ресурсів. Безробіття і його географічні аспекти.
Історія формування господарського комплексу. Основні риси галузевої структури господарс-
тва. Сучасні проблеми її розвитку та територіальної організації.
Промисловість. Загальна характеристика розвитку і розміщення промисловості. Галузева
структура, спеціалізація та основні міжгалузеві комплекси. Сучасні проблеми і перспективи
розвитку та розміщення промисловості.
Паливно-енергетичний комплекс. Структура, місце і роль у господарському комплексі.
Вугільна промисловість. Райони добування і використання вугілля. Проблеми і перспективи
подальшого розвитку. Нафтова і газова промисловість. Основні райони нафто- і газовидобут-
ку. Перспективи розвитку нафтової і газової промисловості. Електроенергетика, її структура,
розвиток і розміщення основних типів електростанцій. Екологічні проблеми розвитку паливно-
енергетичного комплексу.
Металургійний комплекс. Структура, місце і роль у господарстві. Чинники розвитку і роз-
міщення. Сировинна база. Географія чорної металургії. Кольорова металургія. Основні галузі
та їх розміщення. Проблеми і перспективи розвитку металургійного комплексу.
Машинобудівний комплекс. Значення, місце і роль у господарстві. Структура і принципи
розміщення. Розміщення окремих галузей. Територіальна організація машинобудування. Про-
блеми і перспективи розвитку.
Хімічний комплекс. Значення, місце і роль комплексу. Сировинна база. Галузева структура
хімічної промисловості. Географія окремих галузей хімічної промисловості. Проблеми і перс-
пективи розвитку.
Лісопромисловий комплекс. Структура і значення. Лісове господарство (лісозаготівельна
промисловість). Деревообробна промисловість. Целюлозно-паперова промисловість. Лісохімічна
і гідролізна промисловість. Проблеми і перспективи розвитку лісопромислового комплексу.
Будівельний комплекс. Структура і значення. Чинники розвитку і розміщення. Географія
цементної промисловості.
Соціальний комплекс. Галузева структура і значення. Легка промисловість, її структура,
принципи розміщення і географія. Сфера послуг, її розвиток і розміщення. Проблеми і перс-
пективи розвитку комплексу.
Агропромисловий комплекс (АПК). Роль, місце і значення АПК. Структура комплексу
та основні його ланки. Земельний фонд. Рослинництво. Зернові культури. Галузі, що переробляють
Економічна і соціальна географія України
545
продукцію зернового господарства. Вирощування технічних культур. Галузі переробки техніч-
них культур. Вирощування картоплі й овочів, садівництво, ягідництво і виноградарство. Пере-
робні галузі. Тваринництво. Галузі переробки тваринницької продукції. Агропромислові зони.
Транспортний комплекс і міжнародні економічні зв’язки. Роль і значення транспорту.
Основні види транспорту й особливості їхнього розміщення. Зовнішні економічні зв’язки.
Економічні райони. Географічний поділ праці й економічне районування. Донецький район.
Придніпровський район. Північно-східний район. Столичний район. Центральний район. При-
чорноморський район. Подільський район. Північно-західний район. Карпатський район (ко-
ротка економіко-географічна характеристика).
Раціональне використання природних умов і природних ресурсів та їх охорона. Вплив
господарської діяльності людини на природні умови і природні ресурси. Геоекологічна ситуація
в Україні. Раціональне використання та охорона природних умов і природних ресурсів. Міне-
рально-сировинні ресурси. Кліматичні ресурси. Проблеми охорони природних систем Чорного
і Азовського морів та водних ресурсів. Земельні ресурси та їх використання. Біотичні ресурси,
їхнє раціональне використання й охорона. Рекреаційні ресурси. Природоохоронні комплекси.
Географія своєї області. Загальна характеристика.
СТИСЛИЙ ЗМІСТ РОЗДІЛУ
Загальна характеристика господарства України
Формування господарського комплексу України,
його структура
Поняття про господарство, його галузева структура. Господарство
країни — це система виробництва, обміну, розподілу та споживання
продуктів, яка історично склалась і розвивається на її території.
Галузь господарства — це сукупність підприємств, установ, за-
кладів, які виготовляють однорідну продукцію чи надають послуги,
які задовольняють однорідні потреби. Галузями спеціалізації є галузі,
продукцією яких країна себе достатньо забезпечує і має експортний
потенціал.
Галузева структура господарства — це склад, співвідношення
і зв’язки між окремими його галузями. Усі галузі господарства тісно
пов’язані між собою і утворюють господарський комплекс країни.
Господарство охоплює галузі матеріального виробництва — вироб-
ничу сферу — і галузі невиробничої сфери. Галузі виробничої сфери
виготовляють матеріальні цінності (товари). Головними галузями
матеріального виробництва є промисловість, сільське господарство,
будівництво. Галузі невиробничої сфери надають послуги, що задо-
вольняють різноманітні побутові та духовні потреби. До них належать
транспорт і зв’язок, житлово-комунальне господарство, побутове
обслуговування, торгівля, громадське харчування, освіта, наука,
культура, охорона здоров’я тощо. В Україні провідне місце за част-
кою зайнятих посідає виробнича сфера, тоді як у розвинених краї-
нах головною є невиробнича сфера, і її значення все більше зростає.
Невиробнича сфера визначає науково-технічний прогрес, сприяє підви-
щенню продуктивності праці у виробництві, забезпечує високий рівень
обслуговування населення.
546
Географія
Сукупність галузей господарства та видів діяльності, що обслугову-
ють виробництво та населення, називають інфраструктурою. Інфра-
структура поділяється на виробничу і соціальну. До об’єктів виробничої
інфраструктури належать транспортні шляхи, лінії електропередачі,
водопроводи, теплотраси, склади тощо, тобто споруди, які не беруть
безпосередньої участі у випуску продукції, але сприяють цьому. Со-
ціальна інфраструктура охоплює заклади освіти, культури, охорони
здоров’я, відпочинку, побутового обслуговування тощо.
За спорідненістю продукції, що випускається, за особливостями тех-
нологічних зв’язків галузі господарства поєднуються у міжгалузеві
комплекси. У господарстві України виділяють паливно-енергетичний,
машинобудівний, металургійний, хімічний, лісопромисловий, будівель-
ний, агропромисловий, транспортний, соціальний комплекси.
Підприємства України перебувають у державній, колективній
та приватній власності. У результаті приватизації частка державних
підприємств скорочується, а приватних і колективних зростає.
Територіальна структура господарства. Територіальна структура
господарства — поєднання, взаємозв’язки і взаєморозташування під-
приємств, закладів та населених пунктів на території країни. Формами
територіальної структури господарства є промислові центри, вузли,
агломерації, райони.
Промисловий центр — населений пункт, де зосереджено кілька про-
мислових підприємств (більшість районних центрів).
Промисловий вузол — сукупність на обмеженій території промисло-
вих центрів, які мають спільну інфраструктуру і трудові ресурси (се-
редні міста Донбасу з прилеглими робітничими поселеннями).
Промислова агломерація — зосередження різних галузей промисло-
вості у великих міських агломераціях, в яких існують тісні виробничі
та трудові зв’язки центру з містами-супутниками. Найбільшими в Ук-
раїні є Донецько-Макіївська, Харківська, Київська, Дніпропетровська
та інші промислові агломерації.
Промисловий район — поєднання промислових центрів, вузлів
і агломерацій на певній території з чітко вираженою господарською
спеціалізацією. Найбільшими промисловими районами України є Дон-
бас і Придніпров’я.
Недоліком територіальної структури господарства України є над-
мірна концентрація важкої промисловості в густонаселених районах
Донбасу і Придніпров’я, що ускладнює екологічну ситуацію в цих
регіонах. Недостатній розвиток інфраструктури стримує соціально-
економічний розвиток України, не дозволяє залучати інвестиції в не-
обхідних об’ємах.
Важливою проблемою є обґрунтування розміщення нових підпри-
ємств. Раніше це питання вирішувалося з центру адміністративними
вказівками, адже всі підприємства були державними. За ринкових
умов першорядну роль відіграють економічні важелі. Власник сам
визначає, де розміщувати підприємство з урахуванням наявності си-
ровини, інфраструктури, ринку збуту, трудових ресурсів тощо. Для
стимулювання приватного підприємництва держава має створювати
для нього податкові, кредитні, митні та інші пільги, обмежити не-
обґрунтоване втручання адміністративних органів у діяльність бізне-
сових структур.
Економічна і соціальна географія України
547
Промисловість
Промисловість — найбільша галузь господарства, яка виготовляє
знаряддя праці та предмети споживання. Промисловість є провідною га-
луззю матеріального виробництва України, вона визначає ефективність
економіки в цілому, рівень соціально-економічного розвитку країни.
Промисловість поділяється на добувну і обробну. Добувна про-
мисловість займається добуванням сировини. До неї належать вугіль-
на, нафтова, газова, залізорудна, гірничо-хімічна та інші галузі.
На її частку припадає 15 % промислової продукції України. Обробна
промисловість переробляє добуту сировину і виготовляє готову про-
дукцію — це машинобудування, харчова, легка, хімічна промисловість
та ін. Обробна промисловість виробляє 85 % промислової продукції
України.
Промисловість поділяють ще на важку, легку і харчову. Важка
промисловість забезпечує всі галузі господарства засобами виробниц-
тва — машинами, обладнанням, сировиною, паливом, електроенергією.
Галузями важкої промисловості є машинобудування, чорна і кольорова
металургія, електроенергетика, паливна, хімічна, лісова, промисловість
будівельних матеріалів. Важка промисловість посідає провідне місце
в структурі промислового виробництва України, виготовляючи 70%
продукції галузі. Легка і харчова промисловість забезпечують населен-
ня предметами споживання. Недостатній розвиток галузей, що вироб-
ляють предмети споживання, особливо легкої промисловості, негатив-
но впливає на рівень соціального розвитку в країні, що проявляється
в погіршенні якості життя населення, неможливості задовольнити
базові потреби.
Провідне місце в промисловому виробництві України належить
металургії — 22,1% промислової продукції. За нею йдуть харчо-
ва (18,9%), машинобудування (13,4%), електроенергетика (11,2%),
хімічна (7,2%), легка промисловість (1,4%) та інші галузі. Галузями
спеціалізації промисловості України є чорна металургія, важке маши-
нобудування, хімічна, харчова, вугільна промисловість.
Галузі промисловості України формують міжгалузеві комплекси —
паливно-енергетичний, металургійний, машинобудівний, хімічний,
лісопромисловий, будівельний.
Однією з головних проблем розвитку промисловості України є ви-
робництво неконкурентоспроможної продукції, яка часто поступається
за якістю і собівартістю імпортним товарам. (Собівартість — витрати
на виготовлення одиниці продукції). Розв’язувати цю проблему необ-
хідно шляхом технічного та технологічного переозброєння промисло-
вих підприємств, із залученням іноземних інвестицій (інвестиції —
вкладення капіталу у придбання обладнання, технологій для розвитку
виробництва). Для зменшення собівартості продукції перспективним
напрямком є скорочення енерго- і матеріаломістких виробництв, пе-
реоснащення їх на основі екологічно безпечних, енергозберігаючих та
мало- і безвідходних технологій. Йдеться, в першу чергу, про чорну
і кольорову металургію, хімічну промисловість. Україна здатна здійс-
нити технологічний прорив у наукоємних галузях транспортного маши-
нобудування (особливо авіа- і суднобудування), виробництві штучних
матеріалів, створенні новітніх технологій, які матимуть застосування
у багатьох галузях промислового виробництва. Для розв’язання цих
548
Географія
завдань необхідна державна політика, спрямована на підтримку вітчиз-
няного виробництва, система пільгового оподаткування і кредитування,
фінансування найбільш перспективних проектів.
Міжгалузеві промислові комплекси
Паливно-енергетичний комплекс. Паливно-енергетичний комплекс
(ПЕК) охоплює галузі промисловості, які зайняті добуванням пали-
ва (паливна промисловість) та виробництвом електроенергії (електро-
енергетика). ПЕК є одним із найважливіших у господарстві будь-якої
країни, оскільки від його розвитку залежить діяльність усіх галузей.
Паливна промисловість є однією з найважливіших галузей промисло-
вого виробництва. До її складу входять вугільна, нафтова, газова
і торф’яна промисловість. У паливно-енергетичному балансі України
переважає вугілля — понад 2/3, що відповідає ресурсам цього виду па-
лива. На частку природного газу припадає понад 1/4, нафти — близько
5 % усього видобутого палива у перерахунку на умовне паливо.
Вугільна промисловість включає видобуток, збагачення і брике-
тування кам’яного і бурого вугілля. Вугільна промисловість є най-
розвинутішою галуззю паливної промисловості України. Вугілля
є не лише паливом, а й сировиною для виробництва багатьох цінних
продуктів.
Кам’яне вугілля видобувають у Донецькому і Львівсько-Волинсько-
му кам’яновугільних басейнах. Головним районом видобутку є Донбас,
який щорічно дає близько 75 млн т вугілля. Понад 40% вугілля Донба-
су є коксівним, тобто використовується для виробництва коксу в чор-
ній металургії. Разом з тим донецьке вугілля має високу собівартість,
що пов’язано з великою глибиною залягання (в середньому 500-700 м
і до 1 200 м) та малою потужністю пластів (0,5-2 м). Видобуток вугілля
здійснюється підземним (шахтним) способом. У Львівсько-Волинському
басейні видобувається щороку близько 3,5 млн т вугілля, яке вико-
ристовується для забезпечення паливом та електроенергією західних
регіонів України.
Буре вугілля видобувають у Дніпровському буровугільному басей-
ні, переважно на території Черкаської (Ватутіне) та Кіровоград-
ської (Олександрія) областей. Буровугільні пласти потужністю від
3-6 до 12 м залягають на невеликій глибині (150-170 м), що дозво-
ляє вести видобуток вугілля відкритим способом. Щорічний видобу-
ток бурого вугілля в Україні незначний і становить менше 1 млн т.
Це вугілля досить вологе і зольне, низькокалорійне. Його викорис-
товують у близько розташованих районах, тому що перевезення на
значні відстані є нераціональним.
З діяльністю вугільної промисловості України пов’язана низка
проблем. Вироблення більш потужних пластів вугілля на невеликих
глибинах призводить до скорочення його видобутку, підвищення собі-
вартості, закриття шахт. Розробка вугільних шарів на великій гли-
бині вимагає модернізації обладнання, для чого необхідні величезні
матеріальні та наукові витрати. Старі шахти необхідно реконструювати
з метою підвищення безпеки праці шахтарів. З вугільною промисловіс-
тю пов’язана низка екологічних проблем — терикони, порушення рів-
новаги гірських порід, погіршення якості підземних вод тощо.
Економічна і соціальна географія України
549
Нафтова і газова промисловість спеціалізується на видобутку
та переробці нафти і газу. Регіонами, які мають запаси нафти і газу,
в Україні є Дніпровсько-Донецька нафтогазоносна область, Карпатська
та Причорноморсько-Кримська нафтогазоносні провінції. Близько 80 %
видобутку нафти і газу зосереджено у Дніпровсько-Донецькій нафтога-
зоносній області. Найбільшими нафтовими родовищами тут є Гнідин-
цівське, Прилуцьке (Чернігівська обл.), Качанівське, Охтирське (Сумсь-
ка обл.), Зачепилівське, Радченківське, Сагайдацьке (Полтавська обл.).
У Передкарпатті найважливішими родовищами нафти є Бориславське
(Львівська обл.) і Долинське (Івано-Франківська обл.). Щорічний видо-
буток нафти в Україні становить близько 4 млн т, що забезпечує потреби
країни лише на 10-12 % . Перспективним є добування нафти на шельфі
Чорного та Азовського морів, хоча це потребує великих капітальних
витрат і може мати негативні екологічні наслідки.
В Україні створено потужну нафтопереробну промисловість, яка
виробляє понад 50 видів різних нафтопродуктів — рідке пальне, мас-
тильні й електроізоляційні матеріали, розчинники, бітуми тощо. Про-
дукцію нафтопереробної промисловості використовують підприємства
нафтохімічної та гумоазбестової промисловості. Підприємства нафто-
переробної промисловості розміщуються за сировинним принципом-.
поблизу родовищ нафти (Дрогобич, Надвірна), магістральних нафтопро-
водів (Лисичанськ, Кременчук) та у морських портах (Херсон, Одеса,
Бердянськ). Найбільшим нафтопереробним заводом є Лисичанський
НПЗ. Нафтопереробні заводи України працюють переважно на імпорт-
ній сировині, переробляючи нафту, що надходить із Росії. їхня потуж-
ність дає можливість щорічно переробляти 60 млн т нафти.
Великі родовища природного газу розташовані на Лівобережній
Україні — Шебелинське, Західнохрестищенське, Єфремівське (Хар-
ківська обл.). Близько 1/5 видобутку природного газу України зосе-
реджено в Передкарпатті — Дашавське (Львівська обл.), Косівське,
Надвірнянське (Івано-Франківська обл.) родовища. Найбільшими
у Причорноморсько-Кримській нафтогазоносній провінції є Голіцинсь-
ке, Джанкойське, Глібівське родовища. Зростає видобуток газу
з дна Чорного моря. Щорічний видобуток газу в Україні становить
18-19 млрд м3, що забезпечує потреби країни приблизно на 1/4. Неста-
ча власного природного газу компенсується за рахунок його доставки
з Росії та Туркменистану.
Україна має великі перспективні нафтогазоносні площі, особливо
на шельфі Чорного та Азовського морів. Прогнозні запаси нафти і газу
в одному тільки Чорному морі більші, ніж у Північному і Каспійському
морях. Собівартість видобутку газу значно нижча, ніж вугілля, а теп-
лотворна здатність вища, і в порівнянні з іншими видами палива він
значно менше забруднює навколишнє середовище. Тому використання
природного газу має перспективи: дедалі більше автотранспорту пере-
ходить на використання газу як пального.
Торф’яна промисловість розвинута у північній частині України,
на Поліссі, в районах зосередження основних запасів торфу (Чернігівсь-
ка, Житомирська, Рівненська, Волинська, Львівська області). Торфу ви-
добувається небагато, його використовують переважно як місцеве паливо.
Для поліпшення транспортування з нього виготовляють торфобрикети.
Електроенергетика — галузь промисловості, що виробляє і транс-
портує електроенергію, забезпечує нею споживачів. Електроенергетика
550
Географія
є базовою галуззю господарства, від рівня розвитку якої залежить функ-
ціонування всіх інших галузей.
Україна має значний електроенергетичний потенціал, і галузь в ос-
новному задовольняє потреби держави. Електроенергію в Україні ви-
робляють теплові (ТЕС), атомні (АЕС) та гідроелектростанції (ГЕС).
Крім електростанцій, до складу електроенергетичного господарства вхо-
дять лінії електропередач (ЛЕП), які передають вироблену електрое-
нергію до споживачів. Усі електростанції України виробляють щорічно
близько 180 млрд кВт/год електроенергії, майже 50% якої дають ТЕС,
45 % — АЕС і 5 % — ГЕС (2003 р.).
Теплові електростанції працюють на вугіллі, газі та мазуті. Вони
розміщені в усіх регіонах й орієнтовані на споживача. Найбільшими
ТЕС є Запорізька, Криворізька-2, Зміївська (Харківська обл.), Бурш-
тинська (Івано-Франківська обл.), Ладижинська (Вінницька обл.),
Трипільська (Київська обл.). Найбільша концентрація ТЕС на Донбасі,
де є запаси кам’яного вугілля. Найбільші з них Старобешівська, Ку-
рахівська, Вуглегірська ТЕС. Більшість ТЕС поряд з електроенергією
виробляють і тепло для опалення міст. Такі електростанції називаються
теплоелектроцентралі (ТЕЦ). ТЕС є найбільшими забруднювачами
навколишнього середовища, бо викидають в атмосферу велику кількість
шкідливих речовин.
Атомні електростанції використовують енергію ядерного палива
і розміщуються в районах із дефіцитом паливних ресурсів. АЕС пра-
цюють на вітчизняному та привізному (з Росії) діоксиді урану. В Ук-
раїні діють чотири потужні АЕС — Запорізька, Південно українська,
Рівненська і Хмельницька. У 2000 р. була закрита Чорнобильська АЕС.
Для подальшого розвитку атомної енергетики Україна має значну сиро-
винну базу (запаси урану). Атомні електростанції майже не забрудню-
ють навколишнє середовище, однак постає проблема із захороненням
радіоактивних відходів. Крім того, гостро стоїть питання безпечної
роботи АЕС, без вирішення якого нарощування нових потужностей та
будівництво нових АЕС не буде проводитись. Із застосуванням нових
екологічно безпечних технологій атомна енергетика України має значні
перспективи розвитку.
Гідроелектростанції посідають порівняно незначне місце в елект-
роенергетиці України. Вони розміщені на Дніпрі та Дністрі. Основний
обсяг виробництва гідроелектроенергії дає каскад Дніпровських ГЕС —
це Київська, Канівська, Кременчуцька, Дніпродзержинська, Дніпрогес
і Каховська. Працюють також Дністровська ГЕС і Дністровська гідро-
акумулятивна станція (ГАЕС). ГЕС побудовані в Україні на рівнин-
них річках, тому перед їх греблями створили великі водосховища, які
затопили сільськогосподарські угіддя, населені пункти. Швидкість течії
Дніпра уповільнилась, вода водосховищ застоюється, на дні акумулю-
ються різні шкідливі речовини. Греблі стають перешкодою для розвитку
рибного господарства, заважаючи міграції по річках промислових риб.
Можливості спорудження нових потужних ГЕС в Україні обмежені.
Певний інтерес являє освоєння гідроенергоресурсів Карпатських і Крим-
ських гір, а також окремих невеликих річок.
В Україні починають освоюватися нетрадиційні (альтернативні)
джерела енергії — вітрова, сонячна. Невеликі вітрові електростанції
(ВЕС) працюють поблизу Євпаторії, в західній частині Кримського півос-
трова, в Новоазовську (поблизу Маріуполя). Будуються ВЕС у Карпатах
Економічна і соціальна географія України
551
(у Східниці поблизу Борислава). Невелика експериментальна геліоус-
тановка (працює від енергії сонячного проміння) функціонує в Сімфе-
рополі.
В Україні створено єдину енергосистему, яка об’єднує лініями елек-
тропередач (ЛЕП) високої напруги великі та частину середніх елект-
ростанцій. Найбільшою ЛЕП є Донбас — Західна Україна — Альбер-
тірша (Угорщина).
Для поліпшення енергозабезпеченості господарства України слід
застосовувати на всіх виробничих об’єктах енергозберігаючі технології,
дотримуватись економії електроенергії у виробництві, на транспорті,
у комунальному господарстві та побуті населення.
Металургійний комплекс. Металургія є базовою галуззю промисло-
вості України, яка забезпечує потреби країни в чорних і кольорових
металах. За випуском продукції їй належить провідне місце — 22,1 %
загального обсягу промислового виробництва (2003 р.). Зростання час-
тки металургії у промисловому виробництві України відбувалося не за
рахунок збільшення випуску продукції, а в результаті меншого порів-
няно з іншими галузями його скорочення.
Металургія поділяється на чорну і кольорову. В Україні головною
є чорна металургія. За випуском чорних металів наша країна посідає
одне з провідних місць у світі. Продукція металургії широко викорис-
товується в усіх галузях господарства, найбільшим споживачем є ма-
шинобудування .
Чорна металургія — складна галузь, що охоплює низку вироб-
ництв — видобуток та збагачення залізних і марганцевих руд; вироб-
ництво коксу, флюсових вапняків, вогнетривів; виплавка чавуну, сталі,
виробництво прокату, феросплавів; вторинна обробка металів.
Для розвитку чорної металургії в Україні є всі сприятливі умови —
великі сировинні та паливні ресурси розташовані територіально близько
одне до одного; розвинута мережа транспортних магістралей, особливо
залізничних; наявність кваліфікованих трудових ресурсів.
Сировиною для чорної металургії є залізні та марганцеві руди. Родо-
вища залізної руди сконцентровані у Криворізькому (один із найбільших
у світі) та Керченському басейнах, Кременчуцькому та Білозерсько-
му районах. Марганцеві руди видобувають у Нікопольському басей-
ні, який є одним із найбільших у світі. Видобуток руд чорних металів
здійснюється переважно відкритим (кар’єрним) способом і становить
близько 60 млн т залізних і 2,5 млн т марганцевих руд на рік.
Як паливо в чорній металургії використовується кокс — продукт
переробки коксівного вугілля, яке видобувається в Донбасі. Центрами
коксохімічного виробництва є Дніпродзержинськ, Дніпропетровськ,
Кривий Ріг (де є споживач), Донецьк, Макіївка, Горлівка (де є сирови-
на). У технологічному процесі чорної металургії задіяні також флюсові
вапняки та вогнетривкі глини, родовища яких розміщені в Донбасі та
Придніпров’ї. Виробництво чорних металів є водомістким, тому роз-
міщується поблизу джерел водних ресурсів.
Характерною формою організації виробництва в чорній металургії
є комбінування — поєднання на одному підприємстві декількох ви-
робництв на базі послідовної обробки сировини, її комплексного вико-
ристання та переробки відходів.
Найбільші металургійні комбінати розміщені в Кривому Розі,
Запоріжжі, Дніпропетровську, Маріуполі, Макіївці, Єнакієвому,
552
Географія
Алчевську. Виробництво трубного прокату зосереджено в Нікополі,
Харцизьку, Новомосковську, Дніпропетровську.
Україна є одним із найбільших в Європі виробників феросплавів.
їх виплавляють на багатьох підприємствах Донбасу та Придніпров’я.
Доменний дзеркальний чавун і феромарганець виплавляють у Крама-
торську, Коспіянтинівці та Комунарську (Донецька обл.), електро-
сплави — у Запоріжжі, Нікополі, Кадіївці.
Вигідне поєднання та близькість джерел сировини і паливної бази
зумовили територіальну концентрацію чорної металургії в трьох райо-
нах — Придніпров’ї, Донбасі та Приазов’ї.
Придніпровський металургійний район утворився завдяки величез-
ним запасам залізних і марганцевих руд на великій водній магістралі
Дніпра поблизу вугільної бази Донбасу. Найбільшими центрами чорної
металургії в цьому районі є Кривий Ріг, Дніпропетровськ, Дніпродзер-
жинськ, Запоріжжя, Нікополь.
Донецький металургійний район виник на основі родовищ коксів-
ного вугілля, вапняків Донбасу і руд Придніпров’я. Найбільші центри-.
Макіївка, Донецьк, Алчевськ, Єнакієве, Харцизьк.
Приазовський металургійний район сформувався на перехресті
шляхів з Керченського залізорудного басейну та Донбасу (коксівне
вугілля). Головним центром є Маріуполь.
Кольорова металургія охоплює добування і збагачення руд кольоро-
вих металів, виробництво та обробку кольорових металів та їхніх сплавів.
Продукція кольорової металургії широко використовується у точному
машинобудуванні, літакобудуванні, електроніці, робототехніці тощо.
Кольорова металургія в Україні набула меншого розвитку, ніж чор-
на, що пов’язано з недостатньою сировинною базою галузі. Україна має
значні запаси титанових руд (Житомирська та Дніпропетровська обл.),
магнієвих солей (Передкарпаття, Північний Крим), невеликі поклади
алюмінієвих (Дніпропетровська, Донецька обл.), нікелевих (Кіровоград-
ська обл.), ртутних (Донецька обл.) руд, золота (Закарпаття).
Виробництво легких кольорових металів дуже енергоємне, тому під-
приємства розміщуються поблизу джерел електроенергії. Виробництво
алюмінію, титану, магнію зосереджене в Запоріжжі та базується на
дешевій енергії Дніпрогесу і привізній сировині. Запоріжжя є також
великим центром електродної промисловості. До джерел електроенер-
гії тяжіють Костянтинівський цинковий завод і Артемівський завод
обробки кольорових металів.
На імпортних бокситах із Західної Африки працює Миколаївський
глиноземний завод, продукція якого поступає на Запорізький алюмініє-
вий завод для виплавки алюмінію.
Поблизу джерел сировини розміщені Калуський хіміко-металургій-
ний (виготовлення металевого магнію) та Іршанський гірничо-збага-
чувальний (збагачення титанових руд) комбінати. У смт Побузькому
(Кіровоградська обл.) видобувають нікелеві руди та виплавляють ні-
кель, у Микитівці (Донецька обл.) — ртуть, в с. Мужієве в Закарпатті —
золото (золотополіметалічний комбінат).
Машинобудівний комплекс. Машинобудівний комплекс — сукуп-
ність галузей промисловості, які виробляють машини й устаткування
для всіх галузей господарства та товари для населення. Машинобуду-
вання відіграє визначальну роль не лише для багатьох галузей госпо-
дарства, але й значною мірою забезпечує рівень економічного розвитку
Економічна і соціальна географія України
553
країни, є основою технічного і технологічного прогресу. В структурі
промислового виробництва України машинобудування посідає 3-тє міс-
це (після металургійної і харчової промисловості), випускаючи 13,4%
продукції промисловості (2003 р.). До цього призвели кризові явища
в українській економіці в перше десятиліття незалежності, що суп-
роводжувалися спадом виробництва, розривом економічних зв’язків
з республіками колишнього СРСР.
Машинобудування — надзвичайно складна галузь, що поділяється
на кілька десятків галузей і виробництв. Основними галузями машино-
будівного комплексу є важке, електротехнічне, транспортне, сільсько-
господарське машинобудування, верстатобудування і приладобудуван-
ня. Особливостями машинобудування є:
— металомісткість — витрати значної кількості чорних і кольо-
рових металів. Найбільш металомісткими галузями є важке
і транспортне машинобудування;
— трудомісткість — потреба в трудових ресурсах високої кваліфі-
кації і тривалий час для виготовлення готової продукції. До най-
більш трудомістких галузей належать верстатобудування, при-
ладобудування, електротехнічна, автомобільна промисловість;
— наукоємність — необхідність об’єднаних зусиль науково-дослід-
них інститутів із конструкторськими бюро і заводами, впровад-
ження до виробництва наукових досягнень. Наукоємними га-
лузями є авіаційна, електронна, радіотехнічна промисловість,
суднобудування, приладобудування;
— кооперування — співробітництво, виробничі зв’язки окремих під-
приємств, спрямовані на спільне виробництво певного продукту.
Важке машинобудування випускає обладнання для електроенерге-
тики, гірничодобувної, металургійної, хімічної, будівельної промисло-
вості. Підприємства цієї галузі розміщуються в районах, де є метал
і споживачі готової продукції. Найбільшими центрами важкого ма-
шинобудування є: енергетичне обладнання — Харків, Краматорськ,
Дніпропетровськ', гірничошахтне і гірничо-рудне —Донецьк, Дружків-
ка, Горлівка, Ясинувата, Красний Луч', металургійне — Краматорськ,
Маріуполь, Дніпропетровськ, Слов’янськ.
Електротехнічна промисловість випускає продукцію для енер-
гетичних систем. Підприємства галузі розміщуються в центрах,
де є кваліфіковані трудові ресурси. Трансформатори виготовляють
у Запоріжжі та Хмельницькому, електродвигуни та високовольтну
апаратуру — у Харкові, Києві, Полтаві', потужні генератори для па-
рових і гідравлічних турбін, а також тягове устаткування для елект-
ровозів — у Харкові (завод «Електроважмаш»). Виробництво кабелю
налагоджено у Харкові, Донецьку, Одесі, Києві, Бердянську, Кам’янці-
Подільському.
В Україні розвинуті всі галузі транспортного машинобудуван-
ня — залізничне, автомобільне, авіаційне і суднобудування. Залізнич-
не машинобудування у своєму розміщенні орієнтується на наявність
металу, споживача та кваліфікованих трудових ресурсів. Тепловози
виготовляють у Луганську і Харкові, вагони — у Кременчуці, Дніпро-
дзержинську, Спіаханові, залізничні цистерни — у Маріуполі.
Важливою і перспективною галуззю транспортного машинобудуван-
ня, яка в Україні ще не набула належного розвитку, є автомобільна
промисловість. Її розміщення пов’язане з наявністю кваліфікованих
554
Географія
трудових ресурсів та джерел металопостачання. Центрами автомобіле-
будування є Запоріжжя (легкові автомобілі), Кременчук (вантажні авто-
мобілі), Луцьк (вантажно-пасажирські автомобілі), Львів (автобуси і мо-
педи), Київ (мотоцикли і тролейбуси), Дніпропетровськ (тролейбуси).
Літакобудування зосереджено в Києві (завод «Авіант») і Харкові —
містах, які мають потужний науково-технічний потенціал. Пасажирські
(ТУ) і транспортні (АН) літаки українського виробництва створюють
конкуренцію провідним авіабудівним компаніям світу. Запоріжжя ви-
пускає авіадвигуни (завод «Мотор-Січ»). Дніпропетровськ є одним із
найбільших центрів ракетобудування у світі. Тут виготовляють кос-
мічні ракети для виведення на орбіту супутників Землі.
Суднобудування є добре розвинутою галуззю машинобудування
України, продукція його користується значним попитом на світовому
ринку. Виробництво суден зосереджене у морських та річкових портах.
Морські судна будують у Миколаєві та Херсоні, річкові — у Києві.
Судноремонтні заводи працюють в Одесі, Маріуполі, Севастополі, Керчі.
В Україні розвинене верстатобудування, однак випуск його про-
дукції останнім часом скоротився. В Україні виготовляються ковальсь-
ко-пресові машини, токарні автомати й напівавтомати, алмазорозточні
верстати, верстати з числовим програмним управлінням, автоматизо-
вані лінії. Верстатобудування тяжіє до центрів із кваліфікованими тру-
довими ресурсами (Харків, Київ, Одеса, Бердичів, Черкаси, Дніпропет-
ровськ, Краматорськ).
Приладобудування включає виробництво різних приладів для кон-
тролю, вимірювання, а також засоби обчислювальної техніки, авто-
матики тощо. На розміщення приладобудування вирішальний вплив
має наявність висококваліфікованих інженерно-технічних і робітни-
чих кадрів. Центрами приладобудування є великі вузівські та наукові
центри, де готують такі кадри. Прилади для контролю і регулювання
технологічних процесів випускають у Києві, Івано-Франківську, Луцьку,
Харкові. Найбільшими центрами виробництва електровимірювальних
приладів є Київ, Львів, Житомир', радіовимірювальних приладів —
Львів, Ужгород, Київ', приладів для механізації та автоматизації інже-
нерної та управлінської праці — Кіровоград, Умань, Харків', засобів
обчислювальної техніки — Київ, Вінниця, Чернівці; оптико-механічних
приладів і апаратури — Харків, Суми, Одеса.
Сільськогосподарське машинобудування забезпечує сільське гос-
подарство необхідною технікою. Підприємства цієї галузі розташовані
в районах споживання готової продукції. Потужні трактори випускає
Харківський тракторний завод. У Харкові також виготовляють трак-
торні двигуни і тракторні самохідні шасі, у Києві — тракторні деталі,
у Мелітополі і Кіровограді — тракторні гідроагрегати, у Вінниці —
тракторні агрегати. Налагоджено випуск комбайнів: бурякозбираль-
них — у Дніпропетровську і Тернополі, зернозбиральних — у Херсоні
та Олександрії, кукурудзозбиральних — у Херсоні. Ґрунтообробні
машини виготовляють в Одесі, жниварки — у Бердянську, сівалки —
в Кіровограді, машини для хімічного захисту рослин і виробництва кор-
мів — у Львові. Центрами виробництва машин та устаткування для
тваринництва і кормовиробництва є також Ніжин, Бердянськ, Біла
Церква, Коломия, Умань та ін.
В Україні налагоджено випуск устаткування і для інших галу-
зей господарства: для хімічної промисловості — у Львові, Бердичеві,
Економічна і соціальна географія України
555
Павлограді, Сумах, Києві, Дніпропетровську; для легкої промисловості —
у Чернівцях, Харкові, Донецьку, Дніпропетровську, Києві. Устатку-
вання для харчової промисловості випускається в багатьох областях.
Підприємства машинобудування в Україні розміщені дуже нерів-
номірно. Понад 50% випуску машинобудівної продукції і вартості
основних виробничих фондів зосереджено в трьох машинобудівних
районах — Донбаському, Придніпровському і Харківському. Водно-
час досить низький рівень розвитку машинобудування характерний
для Західного району.
Найбільшим машинобудівним районом України є Харківський, що
спеціалізується на випуску різноманітного устаткування — сільсько-
господарської техніки, енергетичного та електротехнічного обладнання,
верстатобудуванні, літакобудуванні. Розвиток багатопрофільного маши-
нобудування в цьому районі зумовлений наявністю потужного науково-
технічного потенціалу, кваліфікованих трудових ресурсів, близькістю
металургійних баз Донбасу і Придніпров’я.
Донбас випускає переважно продукцію важкого машинобудування,
яке забезпечує регіон гірничо-шахтним, металургійним та енергетичним
обладнанням і працює на місцевій металургійній базі.
У Придніпров’ї розвинуте транспортне, електротехнічне, важке
машинобудування, яке використовує місцеві метали і кваліфіковані
трудові ресурси.
У західних регіонах України, які віддалені від джерел сировини
(металургійних центрів Придніпров’я), переважає точне неметаломіс-
тке машинобудування — електронна та радіотехнічна промисловість,
приладобудування, виробництво засобів зв’язку.
Машинобудівний комплекс Київського району відрізняється роз-
витком наукоємних галузей (приладобудування, верстатобудування,
літакобудування), а також випускає устаткування для легкої і харчової
промисловості.
У південних (приморських) регіонах розвинуте суднобудування, сіль-
ськогосподарське машинобудування, електротехнічна промисловість.
Подальший розвиток машинобудування України потребує технічно-
го переозброєння, реконструкції, переспеціалізації на основі високих
технологій світового рівня. Новим напрямком розвитку є створення
невеликих і середніх підприємств, що випускатимуть прилади, побутову
техніку. Необхідно зберегти і посилити експортний потенціал літако-
і суднобудування, важкого і зокрема енергетичного машинобудування.
Перспективними галузями машинобудівного комплексу України є ав-
томобільна, електротехнічна промисловість, верстатобудування.
Хімічний комплекс. Хімічний комплекс поєднує галузі промисло-
вості, в яких переважають хімічні методи обробки сировини. Хімічна
промисловість є базовою галуззю господарства і має велике значення:
вона поряд із машинобудуванням визначає науково-технічний прогрес,
створює нові матеріали із заданими властивостями, сприяє більш пов-
ній переробці відходів інших галузей господарства, виготовляє товари
народного споживання. На частку хімічної промисловості припадає
7,2% випуску всієї промислової продукції України (2003 р.).
Хімічний комплекс складається з таких основних галузей: гірничо-
хімічної, основної хімії, хімії органічного синтезу (хімії полімерів),
фармацевтичної, побутової хімії.
556
Географія
Гірничо-хімічна промисловість займається добуванням корисних
копалин, які є сировиною для хімічної промисловості. Головні райони —
Передкарпаття і Донбас. У Передкарпатті добувають сірку (Новий Роз-
дол і Новояворівськ Львівської обл.), калійну сіль (Калуш Івано-Фран-
ківської обл., Стебник Львівської обл.); в Донбасі — кухонну (кам’яну)
сіль (Слов’янськ, Артемівськ). Кухонну сіль добувають також у Криму
(затока Сиваш). Україна достатньо забезпечена гірничо-хімічною сиро-
виною, має особливо великі запаси сірки і кам’яної солі.
Сировиною для хімічної промисловості є також кам’яне і буре вугіл-
ля, нафта, природний газ, фосфорити, крейда, вапняки, відходи чор-
ної і кольорової металургії, харчової промисловості, лісопромислового
комплексу. Основна хімія представлена виробництвом мінеральних
добрив, кислот, лугів, соди. Виробництво азотних добрив орієнтується
на джерела сировини і розміщується в районах коксохімічних заводів
(Дніпродзержинськ, Горлівка, Сєверодонецьк), в районах видобутку при-
родного газу та поблизу великих газопроводів (Рівне, Черкаси, Одеса).
Центри виробництва калійних добрив — Калуш і Стебник у Перед-
карпатті, де видобувають калійні солі. Виробництво фосфорних добрив
тяжіє до споживача, оскільки маса готової продукції удвічі більша від
маси сировини. Фосфорні добрива виробляють на основі імпортної сиро-
вини (апатитів Кольського півострова) та місцевих фосфоритів у районах
сільськогосподарського виробництва (Одеса, Вінниця), а також у цент-
рах виробництва сірчаної кислоти (Суми, Костянтинівка).
Виробництво сірчаної кислоти зосереджено в районах її споживання
у зв’язку з великими витратами на її перевезення. Оскільки найбільши-
ми її споживачами є підприємства з випуску фосфатних добрив, основні
центри виробництва цих добрив є одночасно і центрами виробництва сір-
чаної кислоти — це Суми, Одеса, Костянтинівка. Сірчану кислоту випус-
кають також коксохімічні заводи, розташовані в Донбасі та Придніпров’ї.
Україна — важливий регіон з виробництва соди. Содове виробництво
орієнтується на наявність сировини і розміщується в районах видобутку
кам’яної солі. Соду виготовляють у Донбасі (Слов’янськ, Лисичанськ)
та в Північному Криму (Красноперекопськ).
Хімія органічного синтезу (хімія полімерів, нафтохімія) вико-
ристовує як сировину нафту й газ, а також кам’яне вугілля, тому
вона розміщена в районах їхнього видобутку та у містах, куди під-
ведені нафто- та газопроводи. Деякі галузі хімії полімерів тяжіють
до споживача. До хімії органічного синтезу належить виробництво
синтетичних смол, пластмас, хімічних волокон, синтетичного каучу-
ку, гумотехнічних виробів.
Центрами виробництва хімічних волокон є Київ, Черкаси, Чернігів,
Житомир, Сокаль. Виробництво синтетичних смол і пластмас зосеред-
жене в Донецьку, Лисичанську, Запоріжжі, Луцьку. Найбільшими цен-
трами гумоазбестової промисловості є Дніпропетровськ (виробництво
шин), Біла Церква.
Високого рівня розвитку в Україні набула лакофарбова про-
мисловість. Центрами її виробництва є Дніпропетровськ, Львів, Одеса,
Харків, Київ, Кривий Ріг, Маріуполь.
Значний розвиток в Україні має хіміко-фармацевтична про-
мисловість, яка випускає лікарські засоби — антибіотики, вакцини, де-
зинфікуючі засоби та ін. Галузь належить до наукоємних і розміщується
у великих містах — Києві, Харкові, Львові, Одесі, Дніпропетровську.
Економічна і соціальна географія України
557
Усе більшого значення в Україні набуває галузь побутової хімії,
яка випускає миючі засоби, товари для побуту.
В Україні сформувалися три райони хімічної промисловості — це
Донбас, Придніпров’я і Передкарпаття. Хімічна промисловість Дон-
басу використовує місцеву кам’яну сіль, відходи чорної металургії та
природний газ із магістральних газопроводів і спеціалізується на ви-
робництві соди, мінеральних добрив, лакофарбових виробів, полімерів.
У Придніпров’ї розвинута переважно хімія полімерів, лакофарбо-
ва прмисловість, виробництво азотних добрив, що працюють на від-
ходах металургії і коксохімії, на привізній нафті та орієнтуються на
споживача.
На базі місцевої гірничо-хімічної сировини та продуктів нафтопе-
реробки в Передкарпатті розвинулося виробництво калійних добрив,
хімічних волокон, лакофарбова та фармацевтична промисловість.
У структурі хімічної промисловості України провідне місце посідає
основна хімія, недостатній розвиток отримала органічна хімія через
брак власної і високу ціну імпортної сировини. Оскільки хімічні під-
приємства є значними забруднювачами навколишнього середовища,
у перспективі розвиток галузі в країні має здійснюватись без будівниц-
тва нових підприємств, за рахунок технічного переоснащення і реконс-
трукції діючих із впровадженням ресурсозберігаючих мало- і безвід-
ходних технологій, замкнутого водообороту. Важливе значення також
має перепрофілювання екологічно шкідливих виробництв на безпечні,
виведення окремих підприємств за межі населених пунктів.
Лісопромисловий комплекс. Лісопромисловий комплекс — сукуп-
ність галузей і виробництв, підприємства яких здійснюють заготівлю,
комплексну обробку і переробку деревини. Господарське значення де-
ревини дуже велике — вона використовується у будівництві, промисло-
вості, сільському господарстві, на транспорті.
Лісопромисловий комплекс включає лісозаготівельну, деревооб-
робну, целюлозно-паперову та лісохімічну й гідролізну промисловість.
Найбільшого розвитку в Україні набула деревообробна промисловість.
Розвиток лісозаготівельної промисловості обмежений лісовими ре-
сурсами України. Лісистість її території складає 14 % , що значно нижче
ряду розвинутих європейських країн. Потреби в деревині за рахунок
власних ресурсів Україна задовольняє лише на 1/3, решта імпортуєть-
ся з Росії та Білорусі. Лісозаготівельна промисловість сформувалась
у лісистих районах — у Карпатах і на Поліссі.
Деревообробна промисловість розміщена в Україні досить рівно-
мірно, хоч у сировинних районах (Карпати і Полісся) концентрація
її підприємств вища. Вона виготовляє пиломатеріали, будівельні деталі,
меблі, фанеру, сірники тощо. Лісопильне виробництво тяжіє до районів
лісозаготівлі. Найбільшими його центрами є Берегомет (Чернівецька
обл.), Надвірна (Івано-Франківська обл.), Рахів (Закарпатська обл.),
Ковель (Волинська обл.), Костопіль, Сарни (Рівненська обл.), Овруч,
Коростень (Житомирська обл.).
Найбільшою галуззю деревообробної промисловості є меблева.
Її підприємства розміщуються здебільшого в районах споживання го-
тової продукції, переважно у великих містах — Києві, Харкові, Одесі,
Дніпропетровську, Донецьку, Львові та ін. Багато підприємств меблевої
промисловості працює в лісопромислових районах {Івано-Франківськ,
Мукачеве, Ужгород, Житомир).
558
Географія
В Україні налагоджено виробництво деревостружкових і деревоволок-
нистих плит: Київ, Вигода (Івано-Франківська обл.), Свалява (Закарпат-
ська обл.), Малин (Житомирська обл.), Чернігів, Ковель (Волинська обл.);
дерев’яних будівельних деталей і будинків (Костопіль), фанери {Київ,
Харків, Одеса, Львів та ін.), сірників (смпі Березне Рівненської обл.).
Целюлозно-паперова промисловість з рослинної сировини ви-
робляє різні види паперу, картону. Основною сировиною є деревина
хвойних порід та відходи її обробки, а також солома, костриця коно-
пель і льону, очерет, макулатура. Целюлозно-паперове виробництво
енерго- і водомістке, потребує значної кількості сировини, тому його
розміщують в районах, де є ліс, дешева електроенергія, вода. Найбіль-
шими центрами целюлозно-паперової промисловості є паперові фабри-
ки в Малині та Дніпропетровську, Понінківська картонно-паперова
фабрика (Хмельницька обл.), де виробляють учнівські зошити, картон-
но-паперові комбінати в Жидачеві (Львівська обл.) і Обухові (Київсь-
ка обл.), Корюківська фабрика технічного паперу (Чернігівська обл.),
целюлозний завод в Ізмаїлі і целюлозно-паперовий завод у Херсоні.
Виробництво паперу не задовольняє потреби України, тому його імпор-
тують з різних країн, насамперед з Росії.
Підприємства лісохімічної і гідролізної промисловості переробля-
ють відходи деревини і розміщуються в районах лісових ресурсів. Вони
виробляють камфору, каніфоль, скипидар, метиловий спирт, ефірну
олію, оцтову кислоту, деревне вугілля та ін. В Україні лісохімія не
набула значного розвитку, найбільшими центрами є Великий Бичків,
Перечин, Свалява (Закарпатська обл.), Вигода (Івано-Франківська обл.),
Коростень (Житомирська обл.).
Гідролізна промисловість є порівняно новою. На підприємствах цієї
галузі методом гідролізу деревини (тирса) і нехарчової сировини (куку-
рудзяні качани без зерна, солома, костриця, соняшникове лушпиння)
виробляють етиловий і метиловий спирти, білкові дріжджі, кристаліч-
ний цукор та ін. Основними підприємствами галузі є гідролізно-дріжд-
жові заводи у Верхньодніпровську (Дніпропетровська обл.) та Запоріжжі.
Головною проблемою розвитку лісопромислового комплексу України
є нестача сировини. Безсистемна інтенсивна вирубка лісу, особливо в Кар-
патах, завдає великої шкоди навколишньому середовищу, призводить до
зсувів ґрунту, великих паводків, затоплення значних площ, руйнування
мостів, доріг, дамб, населених пунктів. Лісові масиви України дуже
виснажені. Крім того, переробляється лише близько 1/3 відходів де-
ревини. Тому потрібна систематична робота з відтворення лісу на ді-
лянках, де він був вирубаний. Винятково важливого значення набуває
проблема комплексного використання деревини та переробки її відходів.
Будівельний комплекс. Промисловість будівельних матеріалів —
група галузей важкої промисловості, які виготовляють матеріали і ви-
роби, деталі та конструкції для всіх видів будівництва. Галузь набуває
дедалі більшого значення в Україні, що пов’язано із зростанням буді-
вельних робіт.
До промисловості будівельних матеріалів належать цементна
й азбестоцементна, виробництво збірних залізобетонних і бетонних
конструкцій, стінових матеріалів, нерудних будівельних матеріалів,
скляна промисловість.
Сировиною для виробництва будівельних матеріалів є вапняки, мер-
телі, доломіти, крейда, скляні піски, глини, граніти, мармур, лабра-
Економічна і соціальна географія України
559
дорит, базальт, пісковики, туфи, гіпс. Україна достатньо забезпечена
будівельною сировиною і має експортні можливості.
Розміщення галузей будівельного комплексу визначається двома
головними чинниками — наявністю сировини та споживача готової
продукції.
Однією з провідних галузей промисловості будівельних матеріалів
є цементна промисловість. Вона є матеріаломісткою, тому розміщуєть-
ся поблизу родовищ мергелю, вапняків, доломітів, крейди, а також біля
металургійних заводів, оскільки шлак є сировиною для виробництва
портланд-цементу та ін.
В Україні сформувалися райони цементної промисловості — Донбас,
Придніпров’я, а також західні та південні регіони. Великий центр це-
ментної промисловості — Амвросіївка (Донецька обл). Крім того, на До-
неччині цементні заводи є в Єнакієвому і Краматорську. В Придніпров’ї
цементні заводи працюють у Дніпродзержинську і Кривому Розі. Вели-
ке цементне підприємство знаходиться в Балаклії (Харківська обл.).
У Західній Україні сформувався досить великий район цементної про-
мисловості, що охоплює підприємства у Здолбунові (Рівненська обл.),
Кам’янці-Подільському (Хмельницька обл.), Миколаєві (Львівська
обл.). На півдні України цементне виробництво налагоджено у Бахчи-
сараї (АР Крим), Миколаївській області, Одесі.
Виробництво збірних залізобетонних і бетонних конструкцій
посідає провідне місце в промисловості будівельних матеріалів Украї-
ни. Воно зосереджене в районах інтенсивного будівництва, тобто в міс-
цях споживання готової продукції: (великі міста, райони проведення
зрошувальної та осушувальної меліорації, дорожнього будівництва).
Головними центрами є Київ, Харків, Дніпропетровськ, Донецьк, Одеса,
Кривий Ріг, Запоріжжя, Маріуполь та ін.
Стінові матеріали (цеглу) виготовляють і використовують повсюд-
но, оскільки сировина для їхнього виготовлення є майже скрізь. Неве-
ликі цегельні заводи споруджені навіть у селах. В Україні виробляють
глиняну і силікатну цеглу.
Налагоджено виробництво легких наповнювачів — керамзиту і тер-
мозиту, яке зосереджене в Керчі, Одесі, Львівській, Житомирській,
Київській, Харківській областях. Теплоізоляційні вироби випускають
Київський, Запорізький, Донецький і Маріупольський заводи. М’які
покрівельні матеріали (руберойд, толь) виробляють у Києві, Одесі,
Львові, Слов’янську, Умані; тверді (шифер) — у Києві, Краматорську,
Запоріжжі, Харкові, Балаклії. Багато підприємств України виробляють
будівельну кераміку, керамічну плитку, сировиною для якої є тугоплав-
ка або вогнетривка глина. Основні центри — Харків, Львів (керамічні
заводи), Артемівськ (завод будівельної кераміки), Слов’янськ (кераміч-
но-ізоляторний завод).
Скляна промисловість тяжіє до сировинних ресурсів (родовищ
скляних пісків) та споживача. Найбільшими центрами випуску скла
є Артемівськ, Лисичанськ, Костянтинівка. Скло виробляють також
у Києві, Запоріжжі, Львові та інших містах.
Україна має великі запаси будівельного каменю, який широко ви-
користовується в будівництві. Граніт добувають у Житомирській, Чер-
каській, Київській областях та в Криму. В Криму та Одеській області
добувається мармур і черепашник.
560
Географія
Соціальний комплекс
Соціальний комплекс — сукупність галузей господарства, які
обслуговують населення, надаючи різноманітні матеріальні та духов-
ні послуги {сфера послуг). Від рівня розвитку сфери послуг залежить
продуктивність праці, збільшення кількості вільного часу, підвищення
кваліфікації, забезпечення всебічного і гармонійного розвитку людини.
Сфера послуг складається із соціально-побутового та соціаль-
но-культурного комплексу. Соціально-побутовий комплекс включає
житлово-комунальне господарство, побутове обслуговування, торгівлю
і громадське харчування, громадський транспорт і зв’язок. До соціаль-
но-культурного комплексу належать освіта, наука, охорона здоров’я,
культура і мистецтво, фізична культура і спорт, інформаційне забез-
печення, туризм і відпочинок. На частку соціально-культурної сфери
припадає близько 10% ВВП України, що значно менше, ніж у високо-
розвинених країнах світу.
Житлово-комунальне господарство задовольняє потреби населен-
ня в житлі та забезпечує належний стан житлових приміщень: (водо-
і енергопостачання, опалення, каналізація, прибирання сміття тощо).
В Україні гострою залишається проблема нестачі житла, зберігаються
значні територіальні відмінності у рівні благоустрою міст і сіл. Найвищий
він у столиці — м. Києві, нових містах, обласних центрах; найнижчий —
у сільській місцевості. Ринкові форми господарювання сприяють не тіль-
ки активному будівництву, але й підвищенню якісного рівня житла.
Позитивні зрушення відбуваються в галузях побутового обслуго-
вування, торгівлі, громадського харчування і зв’язку, що також по-
яснюється переходом на ринкові відносини і масовою приватизацією.
Збільшується кількість магазинів, кафе, ресторанів, підприємств з ре-
монту побутової техніки та надання різноманітних послуг. Близько
28 млн громадян України користуються послугами мобільного зв’язку,
1,5 млн — послугами Інтернету.
До закладів освіти належать насамперед середні загальноосвіт-
ні денні, вечірні та заочні школи. Зростає мережа приватних нав-
чально-виховних закладів, гімназій і ліцеїв, де поряд із загально-
освітніми дисциплінами більш поглиблено вивчають гуманітарні
та технічні предмети. До мережі навчальних закладів належать також
позашкільні — будинки школярів, станції юних натуралістів, техніків,
дитячі спортивні школи тощо.
Важливу роль у соціальній сфері відіграють заклади культури —
бібліотеки, музичні школи, школи мистецтв, музеї, театри, кінотеатри,
сконцентровані переважно у великих містах — Києві, Львові, Харкові,
Донецьку, Одесі, містах АР Крим.
Система закладів охорони здоров’я, фізичної культури працює на
профілактику захворювань, відновлення здоров’я людей, за здоро-
вий спосіб життя. Найбільша кількість лікарів на 10 тис. населен-
ня зосереджена в Києві (86), Львівській (55), Харківській областях
та АР Крим (54). Найменша забезпеченість лікарями в Кіровоградській
(35), Сумській, Миколаївській та Херсонській (36) областях.
Важливе місце в соціальному комплексі посідає рекреаційне гос-
подарство — сукупність установ і закладів, які задовольняють пот-
реби населення в оздоровленні та відпочинку. Рекреаційне господарс-
тво представлене санаторіями, курортами, пансіонатами, будинками
Економічна і соціальна географія України
561
і базами відпочинку, туристичними базами тощо. Розвиток цієї галузі
відбувається на основі використання рекреаційних ресурсів (морських,
гірських районів, лісів, джерел мінеральних вод, лікувальних грязей
тощо). Найбільше рекреаційних закладів у Криму, Карпатах, на узбе-
режжі Чорного й Азовського морів.
Особливо сприятливими рекреаційними ресурсами відзначається
Крим, зокрема його Південний берег із м’яким середземноморським
кліматом, де щороку лікується і відпочиває майже 4 млн чоловік.
Основними санаторно-курортними центрами є Ялта, Алушта, Євпаторія.
Другим великим санаторно-курортним і туристичним регіоном Укра-
їни є причорноморські та приазовські області — Одеська, Миколаївська,
Херсонська, Запорізька, Донецька. Територія приморських областей має
значні рекреаційні ресурси — помірно континентальний клімат, тепле
море, піщані пляжі, лікувальні грязі (Куяльницький, Хаджибейський,
Тилігульський лимани), мінеральні води. Значними центрами відпочинку
та оздоровлення є Одеса, Білгород-Дністровський, Бердянськ, Генічеськ.
У Карпатах зосереджені такі відомі оздоровчі центри, як Труска-
вець, Східниця, Моршин, Любінь Великий, Шкло, що виникли на базі
унікальних цілющих мінеральних вод. Передкарпатські курорти мають
значні перспективи розвитку. Мальовничі гірські ландшафти Карпат
привабливі і для розвитку туризму і зокрема гірськолижного, для якого
необхідно створити належну інфраструктуру. Прикордонне положен-
ня Карпатських гір, їхнє близьке розташування до країн Центральної
Європи у перспективі сприятиме перетворенню їх на гірськолижний
курорт європейського значення.
В Україні багато історико-архітектурних пам’яток світового зна-
чення, які теж є складовою частиною рекреаційних ресурсів. Найбільше
їх зосереджено в Києві, Львові, населених пунктах Криму.
Легка промисловість
Легка промисловість — сукупність галузей, які спеціалізуються на
виробництві товарів народного споживання — тканин, одягу, взуття
тощо. До її складу входять текстильна, швейна, трикотажна, шкіряна,
взуттєва, хутрова галузі.
Легка промисловість не набула в Україні значного розвитку, і про-
тягом 90-х років пережила скорочення виробництва у 4 рази відносно
рівня 1990 р. У 2003 р. легка промисловість випускала лише 1,4% всієї
промислової продукції країни.
Легка промисловість — надзвичайно трудомістка галузь, в якій
зайняті переважно жінки. Оскільки продукція легкої промисловості
використовується населенням, то галузь розміщується повсюдно, орієн-
туючись на споживача. Підприємства легкої промисловості не потре-
бують великої кількості енергії та води. При розміщенні підприємств
враховують також сировинний чинник.
Текстильна промисловість є однією з найважливіших галузей лег-
кої промисловості, підприємства якої виробляють бавовняні, льняні,
вовняні, шовкові тканини. Процес виготовлення тканин складаєть-
ся з кількох стадій. Спочатку сировину піддають первинній обробці
на бавовноочисних, льонопереробних, вовномийних підприємствах.
Потім з підготовленого волокна виробляють пряжу — нитки, з ниток
тчуть тканину, яку потім фарбують.
562
Географія
Бавовняна промисловість посідає перше місце в текстильному ви-
робництві. Вона працює на імпортній сировині, тому найбільші підпри-
ємства розміщуються насамперед у великих містах, через які проходять
транспортні магістралі, а також є споживачі продукції. Бавовняні ком-
бінати працюють у Херсоні, Тернополі, Донецьку, у Нікополі — бавов-
няно-прядильний комбінат. Бавовняні підприємства є також у Києві,
Харкові, Львові, Полтаві, Чернівцях.
Вовняна промисловість працює на місцевій та імпортній сировині.
Найбільші центри — Луганськ, Чернігів, Одеса, Суми. Виробництво
килимів зосереджено у Києві, Черкасах, Богуславі, невеликих містах
Чернівецької і Закарпатської областей.
Льняна промисловість розміщується в районах вирощування льону
(Полісся). Основними центрами є Рівне і Житомир, де працюють вели-
кі льонокомбінати. Випуск шовкових тканин зосереджено в Києві та
Черкасах (шовкові комбінати).
Швейна промисловість посідає перше місце в структурі виробниц-
тва продукції легкої промисловості. Її підприємства розміщені в усіх
регіонах України і переважно концентруються у великих містах, орієн-
туючись на споживача. Найбільші центри — Київ, Харків, Львів, Оде-
са, Луганськ, Суми.
Трикотажна промисловість випускає верхній одяг, білизну, пан-
чішно-шкарпеткові вироби і розміщується у великих містах, де є спо-
живач — Києві, Харкові, Львові, Одесі, Луганську.
Шкіряна та взуттєва промисловість у своєму розміщенні також
тяжіє до споживача і розвинута переважно у великих містах — Києві,
Луганську, Дніпропетровську, Львові, Харкові, Запоріжжі, Одесі,
Миколаєві. Проте якість вітчизняного взуття ще не відповідає сучас-
ним вимогам, хоча в країні є умови для цього — кваліфіковані трудові
ресурси та якісна сировина (натуральні і штучні шкіри). Необхідно
забезпечити підприємства сучасним високопродуктивним обладнанням,
застосовувати нові технології виробництва.
В Україні дістало певного розвитку хутрове виробниц-
тво, підприємства якого розміщуються здебільшого в невеликих
містах — Балті (Одеська обл.), Жмеринці (Вінницька обл.), Краснограді
(Харківська обл.), Тисьмениці (Івано-Франківська обл.). Значним
центром хутрової промисловості є Харків.
Найвищий рівень концентрації легкої промисловості у Київській,
Чернігівській, Житомирській, Донецькій, Харківській, Львівській об-
ластях.
Підвищення рівня життя населення стимулюватиме розширення
випуску продукції легкої промисловості України.
Агропромисловий комплекс
Агропромисловий комплекс (АПК) — складна система галузей госпо-
дарства, які беруть участь у виробництві сільськогосподарської продук-
ції і доведенні її до споживача. Основними ланками АПК є: 1) сільське
господарство; 2) заготівля, зберігання, транспортування і переробка
сільськогосподарської продукції (у тому числі харчова промисловість);
3) галузі, які забезпечують АПК машинами, устаткуванням (машинобу-
дування), добривами, засобами захисту рослин (хімічна промисловість),
а також науковими розробками і кадрами (наука, освіта).
Економічна і соціальна географія України
563
Загальна характеристика сільського господарства. Сільське госпо-
дарство є провідною ланкою АПК України, яка забезпечує населення
продуктами харчування, а промисловість — сировиною. Особливістю
сільського господарства є те, що воно значно більшою мірою, ніж про-
мисловість, залежить від природних факторів, ґрунтово-кліматичних
і гідрологічних умов.
Сільське господарство виробляє 12% ВВП України (2003 р.).
1/3 продукції галузі виробляють сільськогосподарські підприємства,
2/3 — господарства населення. Незважаючи на сприятливі природні
умови, сільське господарство є однією з найбільш проблемних галузей
економіки України. Протягом 1990-1999 рр. виробництво сільськогос-
подарської продукції скоротилось удвічі. Проблеми галузі зумовлені як
пережитками командно-адміністративної системи господарювання, яка
висмоктувала з сільського господарства всі ресурси (масова насильниць-
ка колективізація, розкуркулювання заможних селян, штучні голо-
домори), так і неправильною стратегією розвитку галузі в перші роки
незалежності України.
Після здобуття Україною незалежності відбуваються повільні зміни
в сільському господарстві в напрямі до ринкових відносин. На зміну
колгоспам прийшли господарські товариства, приватні підприємства,
виробничі кооперативи. Фермерський рух не набув в Україні належного
розвитку — на фермерські господарства припадає менше 8 % сільсько-
господарських угідь. Земля в Україні залишається власністю держави.
Одним із найбільш перспективних напрямків виходу сільського госпо-
дарства із затяжної кризи є об’єднання реальних власників землі та роз-
виток фермерства, основою якого стала б приватна власність на землю.
Земельний фонд України становить 60,37 млн га (площа країни).
Україна характеризується високим ступенем освоєння земельного фон-
ду — на сільськогосподарські угіддя припадає 41,8 млн га, або 69 % його
площі, що зумовлено сприятливими природними умовами території —
переважно рівнинним рельєфом, сприятливим помірно континенталь-
ним кліматом, наявністю родючих ґрунтів (чорноземи займають 60%
сільськогосподарських угідь).
Характерною рисою структури сільськогосподарських угідь Ук-
раїни є висока питома вага (78% їх їхньї площі) розораних земель
(32,5 млн га) — це 54% території України. Така висока розораність свід-
чить про екстенсивний характер сільського господарства і спричиняє ряд
екологічних проблем — виснаження ґрунтів, водну і вітрову ерозію тощо.
8 млн га (19% сільськогосподарських угідь) займають сінокоси і пасо-
вища, 1,3 млн га (3 %) — багаторічні насадження (сади, виноградники).
На структуру сільськогосподарських угідь впливають природні та со-
ціально-економічні чинники. Найвища розораність сільгоспугідь у лісо-
степовій і степовій зонах (80-90 %), найменша — на Поліссі, в Карпатах,
де значні площі зайняті природними пасовищами. Значні площі пасовищ
є і в південних та південно-східних посушливих степах. В Україні є не-
великий потенціал для збільшення площі сільськогосподарських угідь.
Це заболочені землі Полісся і землі, що потребують зрошування (пів-
день України). їхня частка у структурі земельного фонду складає 2,5 % .
Сільське господарство складається з двох основних галузей — рос-
линництва і тваринництва.
Рослинництво. Рослинництво — провідна галузь сільського госпо-
дарства України, на частку якої припадає 58 % виробництва продукції
564
Географія
галузі, причому питома вага рослинництва постійно зростає. Рослин-
ництво включає вирощування зернових, технічних, кормових, овоче-
вих, баштанних культур, картоплі, садівництво, виноградарство та ін.
У структурі посівних площ провідне місце посідають зернові культу-
ри — до 50% всіх посівів. Технічні культури займають понад 20%
посівних площ, так само і кормові. До 9 % посівів складають овочебаш-
танні культури і картопля.
Зерно є основним продуктом харчування людини і сировиною для
багатьох галузей промисловості, воно також забезпечує тваринництво
цінними кормами. Тому в структурі посівних площ зернові культури
посідають 1-ше місце. Із зернових культур в Україні вирощують озиму
і яру пшеницю, жито, озимий і ярий ячмінь, кукурудзу, овес, гречку,
просо, рис. Переважають озимі культури, оскільки вони більш урожай-
ні. Однак нерідко несприятливі погодні умови призводять до знищення
посівів озимих культур і доводиться пересівати їх ярими. За рівнем
виробництва зерна Україна посідає одне з провідних місць у світі.
Основна зернова культура України — озима пшениця. Площа її
посівів значно змінюється з року в рік. Урожайність цієї культури
становить 20-30 ц/га, що значно нижче, ніж у розвинутих країнах.
Основними районами вирощування озимої пшениці є лісостеп і північ
степової зони, де урожаї найвищі.
Яра пшениця має нижчу врожайність порівняно з озимою, тому вона
має незначне поширення, переважно у степових районах, де нестійкий
або часто відсутній постійний сніговий покрив взимку.
Цінною продовольчою культурою України є озиме жито, посіви
якого зосереджені переважно на Поліссі та у західній частині країни,
де більш прохолодний і вологий клімат. Урожайність жита становить
15-20 ц/га.
Велике значення в Україні мають зернофуражні культури — ячмінь,
кукурудза, овес. Значне місце в посівах зернових належить ярому яч-
меню. Площі ячменю розширюються в ті роки, коли ним пересівають
озимі. Ячмінь вирощують всюди, але найбільше у південних степових
районах. Широке використання посівних площ під ячмінь пояснюється
порівняно високою його врожайністю (15-25 ц/га), невибагливістю до
ґрунтів і значною кормовою цінністю.
Цінною продовольчою, технічною і кормовою культурою є кукуруд-
за. За останні роки зросли площі, зайняті під нею. Урожайність куку-
рудзи — 30-35 ц/га. Найбільші посіви кукурудзи розміщені в північній
і центральній частині степу, на півдні лісостепу, де тепліший клімат.
Овес вирощують в основному в північній та західній частинах
України, в умовах більш вологого клімату. Посівні площі — 600 тис. га,
урожайність цієї культури — до 20 ц/га.
Велике значення у харчовому раціоні людини мають круп’яні
культури — гречка, просо, рис. Але посівні площі та валові збори цих
культур невеликі. Гречка — типова українська культура. Найбільші
її посіви зосереджені на Поліссі, а також частково в лісостепу. Порів-
няно невисокою є урожайність — до 10 ц/га. Просо належить до по-
сухостійких круп’яних культур і поширене в лісостепових і степових
районах, де дає сталі врожаї в посушливі роки (10-13 ц/га). Рис як
продовольчу культуру вирощують на поливних землях у Миколаївській,
Херсонській областях та в Криму, де він дає досить високі і стабільні
врожаї (35-40 ц/га), але посівні площі під рисом незначні (22 тис. га).
Економічна і соціальна географія України
565
Дуже цінними кормовими та харчовими культурами є зернобобові —
горох, квасоля, вика. Крім того, їхнє вирощування збільшує вміст азо-
ту в ґрунті. Горох і вику вирощують переважно на півдні лісостепу
і на півночі степу.
З технічних культур в Україні вирощують цукрові буряки, соняш-
ник, сою, льон-довгунець, хміль, тютюн. Провідне місце серед техніч-
них культур належить соняшнику — головній олійній культурі нашої
країни. Посівні площі соняшнику збільшились до 4 млн га. В Україні
отримують досить високі та стабільні врожаї цієї культури (10-12 ц/га).
За обсягами вирощування соняшнику Україна посідає 1-ше місце
у світі. Основні площі соняшнику зосереджені у степовій зоні, головні
регіони вирощування — Дніпропетровська, Кіровоградська, Донецька,
Запорізька, Миколаївська області.
Важливе місце з-поміж технічних культур займають цукрові буряки,
які використовуються для виробництва цукру. Однак посівні площі
під них скорочуються протягом останніх років. Урожайність цукро-
вих буряків складає 180-200 ц/га. Основними регіонами вирощування
є області лісостепу та північного степу — Тернопільська, Вінницька,
Черкаська, Хмельницька.
Соя містить багато білків і олії, вона використовується у консервній,
хлібопекарській, маргариновій, м’ясній та інших галузях. Головний
район вирощування — південь, де її культивують на зрошуваних зем-
лях. Протягом останніх років площі посівів сої швидко збільшуються
і становлять 200 тис. га.
Льон-довгунець вирощують для отримання льоноволокна. Посівні
площі під льон за останні роки поступово зростають і займають понад
ЗО тис. га, а вихід льоноволокна становить 4-5 ц/га. Льон вирощу-
ють у північній та західній частині країни, у поліських районах Чер-
нігівської, Житомирської, Рівненської, Волинської та Сумської облас-
тей, а також у Львівській та Івано-Франківській областях. З інших
волокнистих культур в Україні висівають коноплі, однак посіви цієї
культури різко скоротилися. Південні коноплі вирощують у степовій
зоні, середньоруські — у лісостеповій.
Для потреб пивоварної, дріжджової та хлібопекарської промисло-
вості використовують хміль. Цю культуру вирощують здебільшого
у Житомирській і Рівненській областях.
Плантації тютюну поширені в Криму, Придністров’ї та у Закар-
патті. Тютюн нижчої якості та махорку вирощують у Чернігівській,
Полтавській та Сумській областях.
У Криму вирощують ефіроолійні культури, які використовуються
для виробництва лікарських препаратів, ароматизаторів.
Овочі в Україні вирощують повсюдно. На півночі та в централь-
них районах переважають такі овочеві культури, як капуста, морква,
столові буряки, огірки, на півдні — помідори, перець, баклажани, ци-
буля. Особливого розвитку овочівництво набуло навколо великих міст,
де необхідно забезпечити населення продуктами харчування, які є ма-
лотранспортабельними.
Важливе місце в раціоні харчування населення України посідає кар-
топля. Її посіви поширені на значній території, проте основні масиви
картоплі розміщені на Поліссі та в лісостепу. Вирощують її також нав-
коло великих міст. Під картоплею зайнято понад 1,5 млн га.
566
Географія
Значні площі в Україні займають баштанні культури (кавуни, дині,
гарбузи, кабачки, патисони), які є цінними продуктами харчування.
Основні площі баштанних культур розміщені у степовій зоні.
Великі площі в Україні займають кормові культури (у 2003 р. — по-
над 5 млн га), однак їхні посіви постійно скорочуються. До цих культур
належать багаторічні трави (конюшина, люпин, люцерна), одноріч-
ні трави, кукурудза, кормові коренеплоди і кормові баштанні. Кор-
мові культури вирощують у багатьох регіонах, переважно у північних
і західних областях. Люпин в основному висівають на піщаних ґрунтах
Полісся, люцерну — на поливних землях південної частини країни.
Важливими галузями сільськогосподарського виробництва є садів-
ництво і виноградарство. Садівництво розвинуте в усіх регіонах Украї-
ни. Найбільш поширені такі плодово-ягідні культури, як яблука, груші,
сливи, вишні, черешні, аґрус, полуниці, смородина, малина. У півден-
них районах вирощують абрикоси, персики, аличу. Найбільші масиви
садів зосереджені в лісостеповій і степовій зонах. Головними районами
поширення плодово-ягідних культур є приміські зони великих міст.
Виноградарство поширене у південних областях, Криму і в Закар-
патті. Виноград переробляють на соки, вина, використовують у свіжому
вигляді.
Україна має всі можливості для збільшення збору сільськогоспо-
дарських культур за рахунок підвищення їх урожайності, яка є ще дуже
низькою. Висока урожайність значною мірою залежить від організації
агрохімічної служби. Нераціональне використання мінеральних добрив
та засобів захисту рослин спричиняє хімічне забруднення ґрунтів і як
наслідок — зниження якості сільськогосподарської продукції.
Велике значення має меліорація земель, яка проводиться з метою
поліпшення властивостей ґрунту. Проте дуже часто меліоративні заходи
проводяться непродумано і замість користі завдають шкоди. Надли-
шок води при зрошуванні у посушливих регіонах сприяє засоленню
ґрунтів, осушення боліт призводить до загибелі лісів, зниження рівня
ґрунтових вод.
Тваринництво. Тваринництво є другою найбільшою галуззю сіль-
ського господарства України. Воно забезпечує населення цінними
продуктами харчування — молоком, маслом, м’ясом, яйцями, а харчову
і легку промисловість — сировиною.
Тваринництво виробляє 42 % сільськогосподарської продукції
України (2003 р.), і його питома вага зменшується. Понад 70% про-
дукції тваринництва вирощують індивідуальні господарства населення.
Тваринництво переживає найбільший спад виробництва, воно є нерен-
табельним, тобто збитковим (крім птахівництва).
У складі тваринництва виділяються галузі — скотарство, свинар-
ство, птахівництво, вівчарство, конярство, кролівництво, рибництво,
бджільництво, звірівництво, шовківництво. На структуру, розміщення,
спеціалізацію тваринництва країни істотний вплив має кормова база,
яка в різних регіонах різна і залежить від місцевих особливостей (клі-
матичних, ґрунтових тощо).
Провідною галуззю тваринництва є скотарство — розведення ве-
ликої рогатої худоби. Галузь забезпечує потреби населення в молоці,
м’ясі, дає сировину для харчової та легкої промисловості. Поголів’я
великої рогатої худоби нараховує 7,7 млн голів (2003 р.). Розведення
великої рогатої худоби поширене в усіх регіонах України. Залежно від
Економічна і соціальна географія України
567
регіональних особливостей, природних та економічних умов скотар-
ство має певні територіальні відмінності у рівні розвитку і виробничій
спеціалізації. Найбільше поголів’я великої рогатої худоби у західних
областях — Вінницькій, Львівській, Хмельницькій. В основному ско-
тарство має м’ясо-молочний напрям (переважає м’ясна продукція).
У приміських зонах великих міст переважає молочно-м’ясний напрям
(більше виробляють молока). На Поліссі традиційно розвивається мо-
лочно-м’ясне скотарство, де є для цього кормова база, у південних райо-
нах — м’ясо-молочне. М’ясні породи великої рогатої худоби вирощують
на відгодівельних пунктах поблизу цукрових, спиртових, крохмале-
патокових заводів, у спеціалізованих господарствах.
Свинарство в Україні посідає 2-ге місце і налічує 7,3 млн голів. Воно
забезпечує споживача м’ясом, салом, шкірами. Свинарство поширене
в усіх регіонах, але найбільше — у спеціалізованих господарствах при-
міських зон великих міст та поблизу центрів харчової промисловості,
відходи якої воно використовує. На Поліссі та в лісостепу переважають
породи м’ясо-сального, у степу — сального напрямів.
Важливе місце серед галузей тваринництва посідає птахівництво,
яке дає дієтичне поживне м’ясо, яйця, а також пір’я і пух. У струк-
турі птахівництва переважає розведення курей, розводять також качок,
гусей, індиків. Птахівництво набуло повсюдного поширення. В останні
роки поблизу великих міст створюються бройлерні господарства. Кормо-
вою базою птахівництва є концентровані корми. Найкраще птахоферми
поєднуються з молочним скотарством та вівчарством, оскільки ці галузі
не є конкурентами у споживанні кормів.
Допоміжною галуззю тваринництва є вівчарство, яке забезпечує
легку промисловість вовною, смушками та овчиною. Крім того, вів-
чарство дає м’ясо (баранина), молоко, жир. Воно поширене в районах,
де недостатня кормова база для великої рогатої худоби (посушливий
клімат) або в умовах гірського рельєфу. На півдні розводять тонкорун-
них і напівтонкорунних овець, смушкове і молочне вівчарство є тра-
диційним для Карпат. Найбільше поголів’я овець в Одеській області,
АР Крим, в Закарпатті. Внаслідок екстенсивного характеру вівчарства
витрати праці тут менші, ніж в інших галузях тваринництва країни.
Перспективною галуззю є рибництво. Воно розвивається на основі
ставків, водосховищ Дніпра, Дністра, Південного Бугу, Сіверського
Дінця, а також на багатьох середніх річках. Розводять коропа, судака,
ляща, товстолобика, білого амура. У Карпатах і на Поліссі створено
спеціалізовані форелеві господарства.
Давні традиції в Україні має бджільництво. Воно дає цінну про-
дукцію — мед, віск, прополіс. Крім того, бджільництво сприяє підви-
щенню врожайності таких культур, як гречка, соняшник, багаторічні
трави, фруктові дерева, оскільки бджоли запилюють їх. Бджільництво
поширене в усіх регіонах України. За рівнем виробництва меду Україна
посідає одне з перших місць у світі.
В Україні відроджується і швидко зростає така колись важлива га-
лузь тваринництва, як конярство. Коней розводять у районах Карпат,
Закарпаття, на Поділлі та Поліссі. У спеціалізованих господарствах,
розташованих у східній частині України (Луганська, Полтавська обл.),
розводять племінних коней.
Товарною галуззю тваринництва у багатьох районах є кролівництво.
Найбільшого розвитку воно дістало на Поліссі та у лісостепу. В усіх
568
Географія
регіонах України організовано кліткове звірівництво — розведення
хутрових тварин (нутрій, норок, лисиць, песців).
Шовківництво розвивається у південних районах, де зосереджено
основні площі шовковиці, листям якої живиться гусінь тутового шов-
копряда. З її коконів виробляють натуральне шовкове волокно.
Агротериторіальні комплекси. Сільське господарство України має
зональний характер спеціалізації, зумовлений поступовою зміною теп-
ла і вологи на рівнинній частині країни з півночі-північного заходу на
південь-південний схід. Відповідно до зміни кліматичних умов зональ-
но поширюється ґрунтово-рослинний покрив. Географічні особливості
ґрунтово-кліматичних ресурсів зумовлюють ту чи іншу спеціалізацію
сільського господарства у різних регіонах. На сільськогосподарську спе-
ціалізацію території впливають також соціально-економічні умови —
характер розселення населення, транспортна доступність району тощо.
На основі різної спеціалізації виділяють агротериторіальні ком-
плекси — території з переважанням певної спеціалізації сільського
господарства, зумовленої природними, соціально-економічними та іс-
торичними чинниками.
В Україні виділяють три агропромислові зони — лісову, лісостепо-
ву, степову, два гірські регіони — Карпатський і Кримський, а також
азональні приміські агротериторіальні комплекси.
Лісова агропромислова зона охоплює північну частину України,
яка в основному збігається з територією Українського Полісся. Сіль-
ське господарство зони спеціалізується на молочно-м’ясному скотар-
стві, свинарстві, зерновому господарстві, картоплярстві, льонарс-
тві. Переважання галузей тваринництва зумовлене наявністю значних
площ природних пасовищ і сінокосів, великою питомою вагою кормових
культур у структурі посівних площ. Крім того, тваринництвом компен-
сується недостатній розвиток рослинництва внаслідок прохолодного
клімату з надмірним зволоженням малородючих дерново-підзолистих
і сірих лісових ґрунтів, високої лісистості і заболоченості території.
Головною зерновою культурою лісової зони є озиме жито, а також овес.
Українське Полісся — основний район осушувальної меліорації країни.
Значні площі Київського, Житомирського, Рівненського Полісся мають
підвищену радіоактивність. Причорнобильська 30-кілометрова зона
вибула з господарського обороту, передусім із сільськогосподарського.
Важливими напрямами розвитку землеробства і тваринництва лісової
агропромислової зони є впорядкування осушувальних меліоративних
систем, економне і повніше використання сільськогосподарських угідь,
удосконалення сільського розселення.
Зона лісостепу розташована на південь від лісової зони і займає
центральну частину України. За своїм ґрунтово-кліматичним потенціа-
лом (родючі ґрунти — чорноземи, помірні температури і зволоження)
лісостеп України належить до винятково сприятливих для розвитку
сільського господарства регіонів світу. Спеціалізація сільського гос-
подарства така: зернове господарство, буряківництво, м’ясо-молочне
скотарство, свинарство. Головними зерновими культурами є ози-
ма пшениця, кукурудза, ячмінь. Український лісостеп — основний
в Україні та один із найбільших у світі регіонів вирощування і пере-
робки цукрових буряків.
Зона степу займає в Україні найбільшу площу, простягаючись
на півдні до Азово-Чорноморського узбережжя та до Кримських гір.
Економічна і соціальна географія України
569
Це найтепліша і найбільш посушлива агропромислова зона, з перева-
жанням чорноземних ґрунтів. Вона спеціалізується на вирощуванні
зерна, соняшнику, овочівництві, садівництві, виноградарстві, баш-
танництві, м’ ясо-молочно му скотарстві. Серед зернових культур
найбільші площі займають озима пшениця і кукурудза. Провідною
технічною культурою є соняшник. Вівчарство і свинарство мають до-
поміжне значення. Стабільні врожаї сільськогосподарських культур,
особливо в посушливі роки, можливі лише при широкому застосуванні
зрошувальної меліорації. У степовій зоні є всі необхідні передумови для
перетворення її на один із найбільших районів Європи з вирощування
озимої пшениці. Основний шлях розвитку в зоні степу землеробства
і тваринництва — розбудова і реконструкція зрошувальних систем від-
повідно до сучасних вимог.
У гірських і передгірних районах Карпат і Криму існують своєрід-
ні природні умови, що позначається на особливостях господарювання.
Провідною галуззю сільського господарства в горах є тваринництво,
зокрема вівчарство і м’ясо-молочне скотарство. Карпатські полонини
і Кримські яйли — місця випасу овець, великої рогатої худоби і коней.
На Південному березі Криму переважає субтропічний середземно-
морський клімат, який дозволяє займатись виноградарством, садівниц-
твом, тютюнництвом, вирощуванням ефіроолійних культур. Однак
невелика площа цієї території густо забудована, зайнята природоохо-
ронними та рекреаційними об’єктами, що значно обмежує сільськогос-
подарські угіддя.
У Передкарпатті розводять велику рогату худобу, вирощують зер-
нові, льон, хміль, картоплю. У Закарпатті галузями спеціалізації сіль-
ського господарства є садівництво, виноградарство, тютюнництво, мо-
лочно-м’ясне скотарство.
Навколо великих міст і промислових центрів сформувалися примісь-
кі агропромислові комплекси, які мають задовольняти потреби населен-
ня міст у малотранспортабельній продукції рослинництва і тваринниц-
тва. Це — свіже молоко і вироби з нього, яйця, свіжі овочі, ягоди тощо.
Господарства приміських районів переходять на цілорічне виробництво
свіжої продукції землеробства (в теплицях, парниках) і тваринництва.
Утворення приміських сільськогосподарських районів та їх спеціаліза-
цію визначають не природні умови, а потреби споживача. Найбільшу
територію приміські АПК займають у високоурбанізованих районах
Донбасу, Придніпров’я, Київської, Харківської, Одеської міських аг-
ломерацій.
Харчова промисловість
Харчова промисловість є найважливішою складовою другої ланки
АПК (заготівля, зберігання, транспортування і переробка сільськогос-
подарської продукції). Головне її завдання — виробництво продуктів
харчування. Харчова промисловість найбільше пов’язана з сільським
господарством, від якого одержує сировину і повертає відходи.
У структурі промислового виробництва України харчова про-
мисловість посідає 2-ге місце (після металургії), випускаючи майже
19% продукції галузі. Зросла конкурентоспроможність українських
продуктів харчування на внутрішньому і зовнішньому ринках. Майже
95 % продовольчих товарів, які реалізуються на внутрішньому ринку,
570
Географія
є продуктами вітчизняного виробництва. Досить високий рівень розвит-
ку харчової промисловості України пояснюється наявністю в достатній
кількості сировини, стабільно високим попитом на харчові продукти,
значним обсягом залучених інвестицій (понад 1 млрд дол. США).
Харчова промисловість об’єднує понад 40 галузей і виробництв.
Головними галузями є борошномельно-круп’яна, хлібопекарська, цук-
рова, олійно-жирова, плодоовочева, пивоварна, спиртова, виноробна,
м’ясна, молочна, рибна.
Підприємства харчової промисловості розміщуються практично
скрізь, де є споживач. Однак при розміщенні деяких галузей врахову-
ються інші чинники, зокрема сировинний.
Підприємства борошномельно-круп’яної промисловості виробля-
ють із зернових культур борошно і крупи, а відходи галузі використо-
вуються для виробництва комбікормів. Обсяг вирощування зернових
культур в Україні повністю забезпечує галузь сировиною. Підприємства
борошномельно-круп’яної промисловості розміщуються як у районах
вирощування зерна, так і в місцях споживання борошна — переважно
у великих містах, де працюють хлібозаводи, макаронні фабрики, ви-
робляється кондитерська продукція. Найбільшими центрами є Київ,
Харків, Дніпропетровськ, Одеса, Львів, Запоріжжя.
Хлібопекарська промисловість використовує борошно як сировину
і розміщується, орієнтуючись на споживача, оскільки хлібобулочні ви-
роби недоцільно перевозити на далекі відстані. Хлібозаводи є не тільки
у великих містах, а й у малих та в селищах міського типу.
Олійно-жирова промисловість набула в Україні високого розвит-
ку. Вона виробляє олію, майонез, маргарин, мило та інші продукти.
Великі посіви соняшнику в південних і центральних областях створю-
ють потужну сировинну базу як для задоволення внутрішніх потреб
у соняшниковій олії, так і для її експорту. За обсягом виробництва олії
Україна посідає 1-ше місце у світі. Найбільші олійно-жирові комбінати
працюють у Дніпропетровській, Запорізькій, Донецькій, Кіровоградсь-
кій, Харківській, Одеській областях, тобто в районах, де є відповідна
сировина — вирощуються олійні культури (соняшник, а також льон,
кукурудза, ріпак, соя, гірчиця). Сировинна орієнтація галузі зумовлена
значними сировинними витратами: на виробництво 1 т олії необхідно
витратити від 3 до 8 т насіння олійних культур.
Важливою і традиційною для України галуззю харчової промисло-
вості є цукрова. Виробництво цукру розвинуте в районах вирощування
цукрових буряків, оскільки вихід цукру з маси переробленої сировини
становить понад 10%. В Україні працює понад 150 цукрових заводів,
основні з яких зосереджені в лісостеповій зоні — у Вінницькій, Тер-
нопільській, Черкаській, Київській, Хмельницькій областях. Цукрові
підприємства розміщуються переважно у невеликих містах та район-
них центрах. Навколо цукрових заводів виникає низка суміжних ви-
робництв, які працюють на їх відходах (дефектний цукор, меляса)
і виробляють спирт, дріжджі, вітаміни. Інші відходи (жом) викорис-
товують відгодівельні господарства. Продуктивність вітчизняних цук-
рових заводів низька порівняно з підприємствами інших країн. Важ-
ливими напрямками розвитку є поліпшення технічного забезпечення
і технологічне оновлення цукрових заводів.
На відходах переважно цукрової промисловості (меляса) розвиваєть-
ся спиртова промисловість, яка у своєму розміщенні орієнтується
Економічна і соціальна географія України
571
на сировинну базу. Частково як сировину використовують картоплю
(на Поліссі), зерно (на півдні). Підприємства з виробництва спирту роз-
міщуються переважно у невеликих містах, селищах міського типу. Ве-
ликими спиртовими комбінатами є Барський, Калинівський (Вінницька
обл.), Лохвицький (Полтавська обл.). Лікеро-горілчана промисловість зо-
середжена в основному у великих містах — Києві, Харкові, Львові та ін.
В Україні розвинута плодоовочева промисловість, яка виробляє
плодові та овочеві консерви, варення, джеми, соки тощо. Овочі та пло-
ди — малотранспортабельна продукція. У зв’язку з цим підприємства
галузі тяжіють до районів їхнього вирощування. Основні підприємства
розміщені у степовій і лісостеповій зонах. Потужні спеціалізовані кон-
сервні, овочесушильні підприємства зосереджені в Криму, Херсонській,
Миколаївській, Одеській, Закарпатській, Вінницькій областях.
За останні роки відбувся значний спад виробництва продукції
м’ясної промисловості, пов’язаний зі скороченням поголів’я худоби.
В Україні виробляється лише 11 кг м’яса на 1 особу, що набагато мен-
ше, ніж у розвинутих країнах. Галузь займається переробкою м’яса:
яловичини, телятини, свинини, птиці, баранини. Головний тип підпри-
ємств — м’ясокомбінати — зосереджені у великих містах (наявність
споживача), а також у районах розвинутого тваринництва (сировина).
Найбільші з них — у Києві, Полтаві, Харкові, Львові, Одесі, Донець-
ку, Дніпропетровську. Найбільшими виробниками м’яса є Київська,
Дніпропетровська, Черкаська, Вінницька області.
Молочна промисловість випускає широкий асортимент продук-
ції на основі переробки молока — масло, сир, сметану, кефір, йогурт,
сухе молоко, молочні консерви, продукти дитячого харчування тощо.
Молочна промисловість включає молококомбінати, маслоробні та си-
роварні підприємства. На розміщення молокопереробних заводів впли-
ває сировинний чинник та наявність масового споживача, залежно від
характеру продукції, що випускається. Виробництво продукції з не-
збираного молока зосереджено у великих містах, тобто орієнтується
на споживача — провідне місце займають Київська, Дніпропетровська,
Харківська, Миколаївська області. Маслосироробні підприємства роз-
ташовуються у невеликих містах і селищах у сільськогосподарських
районах із розвинутим молочним тваринництвом (Полтавська, Чер-
каська, Вінницька, Сумська області).
Рибна промисловість отримала певний розвиток в Україні.
Риболовецькі судна України ведуть рибний промисел як у Азово-Чорно-
морському басейні, так і в різних районах Світового океану. Скорочення
вилову тріски, оселедців, морського окуня компенсується розширенням
промислу менш цінних видів — мойви, минтая, сардин, скумбрії, ставриди.
Головні рибопереробні підприємства розташовані у приморських містах —
Херсоні, Миколаєві, Одесі, Севастополі, Керчі, Бердянську, Маріуполі.
Транспортний комплекс
Транспортний комплекс. Транспорт — одна з найважливіших
галузей господарства, яка забезпечує потреби господарства і населен-
ня країни в усіх видах перевезень. Поєднання різних видів транспор-
ту, допоміжних і обслуговуючих підприємств та організацій на певній
території утворює транспортний комплекс. Транспорт забезпечує об-
мін товарами між окремими територіями, тобто внутрішні та зовнішні
572
Географія
економічні зв’язки. Транспортний чинник певною мірою визначає га-
лузеву і територіальну структуру господарського комплексу. Він може
прискорювати або затримувати процес територіальної концентрації
промислових підприємств у певних господарських центрах. Чим роз-
виненіша, різноманітніша і розгалуженіша транспортна мережа, тим
сприятливіше транспортне положення будь-якого об’єкта території.
Найдоцільніше розміщувати господарські об’єкти там, де транспортні
витрати найменші. У більшості випадків такими місцями є населені
пункти, де перетинаються магістралі різних видів транспорту і здійс-
нюються перевалки вантажів — транспортні вузли.
З огляду на середовище переміщення розрізняють сухопутний, вод-
ний і повітряний транспорт. Сухопутний транспорт поділяється на
залізничний, автомобільний, трубопровідний', водний — на морський
і річковий. В Україні розвинуті всі види сучасного транспорту. Виділя-
ють ще так званий електронний транспорт, що передає інформацію
через підключення до міжнародної комп’ютерної мережі Інтернет.
Транспортна система країни являє собою сукупність усіх видів
транспорту, об’єднаних між собою транспортними мережами і вузла-
ми. Територією України проходять міжнародні транспортні коридо-
ри — поліпшені залізничні та автомобільні шляхи високої провізної
здатності, які значною мірою забезпечують транзитні перевезення
вантажів і пасажирів (перевезення з однієї країни в іншу через про-
міжні країни без перевантажень). Транзитні перевезення є важливим
джерелом валютних надходжень держави з огляду на її вигідне еконо-
міко-географічне положення.
Одними з основних показників роботи транспорту є вантажообо-
ропі і пасажирооборот. Вантажооборот — це кількість вантажу, що
перевозиться за певний період на певну відстань, він вимірюється тон-
но-кілометрами. Пасажирооборот — це кількість пасажирів, що пе-
ревозиться за певний період часу на певну відстань, та вимірюється
пасажиро-кілометрами.
У структурі вантажообороту на окремі види транспорту України
припадає: залізничний — 49 % , трубопровідний — 42 % , автомобіль-
ний — 6%, морський — 2%, річковий — 1%, повітряний — 0,1%.
За величиною пасажирообороту виділяється залізничний (43%)
і автомобільний (33 %) транспорт.
Провідним видом транспорту України є залізничний транспорт,
який має найбільший вантажо- і пасажирооборот. Ним перевозиться
27% всіх вантажів у країні. У структурі перевезень залізницею пе-
ревозять будівельні матеріали, кам’яне вугілля, залізну руду, чавун,
сталь, прокат, нафту і нафтопродукти. Значний відсоток перевезень
припадає на зерно та продукти його переробки, мінеральні добрива, ліс.
Середня дальність перевезення 1 т вантажу становить понад 500 км,
1 пасажира — 110 км.
Довжина залізничних колій загального користування в Україні
становить 22,1 тис. км, що дорівнює майже 37 км на 1000 км2 її те-
риторії. Близько 1/3 залізниць електрифіковано, а 2/3 працюють на
тепловозній тязі. Найбільш розвинутий залізничний транспорт у Дон-
басі і Придніпров’ї та у західних областях. Висока густота залізничних
колій зумовлена тут різними причинами: на сході — необхідністю транс-
портного обслуговування добре розвинутого виробництва, на заході
— прикордонним положенням і спорудженням у зв’язку з цим густої
Економічна і соціальна географія України
573
мережі залізничних колій стратегічного призначення. Найінтенсивніші
залізничні перевезення здійснюються між Донбасом і Придніпров’ям:
на захід транспортується донецький кокс, на схід — криворізька заліз-
на руда і нікопольський марганець. Важливим в Україні є південний
напрям, інтенсивні транспортні потоки якого пов’язані з перевезенням
експортно-імпортних вантажів як до морських портів, так і у зворот-
ному напрямі, а також пасажирів, які їдуть на відпочинок і лікування
на курорти Криму, Причорномор’я та Приазов’я. Інтенсивні залізничні
перевезення здійснюються лініями Київ — Харків, Київ — Львів —
Чоп, Київ — Одеса, Дебальцеве — Синельникове —Дніпропетровськ —
Кривий Ріг, Маріуполь — Донецьк — Харків — Курськ — Москва.
В Україні сформувалася система залізничних вузлів, найбільши-
ми з яких є Харків, Київ, Дніпропетровськ, Запоріжжя, Львів, Одеса,
Лозова, Ясинувата, Дебальцеве, Коростень, Жмеринка, Ковель.
Автомобільний транспорт має велике значення для перевезень
вантажів і пасажирів на короткі відстані. Автомобільний транспорт
займає 1-ше місце у перевезенні вантажів (59%) і пасажирів (43%).
Середня відстань перевезення вантажів — 25 км, а пасажирів — лише
12 км. Автотранспортом здійснюються зв’язки між містами і селами,
між підприємствами. Зростає роль автомобільного транспорту в пере-
везенні сільськогосподарських вантажів, пасажирів у містах та при-
міській зоні. Його переваги — значна маневреність і швидкість руху,
недолік — висока собівартість у зв’язку зі зростанням цін на пальне.
Внаслідок рівнинного рельєфу в Україні склалися сприятливі умо-
ви для розвитку автомобільного транспорту. У країні створено розга-
лужену мережу автомобільних шляхів, загальна довжина яких ста-
новить понад 169 тис. км, а середня густота — 273 км на 1 000 км2.
Це у 7 разів більше, ніж такий самий показник залізничного транспор-
ту. Однак за якістю дорожнього покриття автомобільні шляхи України
значно поступаються європейським дорогам. В Україні діють важливі
автомобільні магістралі, якими здійснюються міжрегіональні переве-
зення: Київ — Житомир — Рівне — Львів — Ужгород; Київ — Пол-
тава — Харків — Дебальцеве; Київ — Дніпропетровськ — Донецьк;
Київ — Умань — Одеса; Харків — Новомосковськ — Запоріжжя —
Сімферополь; Харків — Севастополь. Важливими автомагістралями,
які сполучають Україну із сусідніми державами, є Київ — Москва; Оде-
са — Київ — Санкт-Петербург; Харків — Москва; Харків — Ростов-
на-Дону; Донецьк — Ростов-на-Дону; Київ — Брест; Одеса — Кишинів;
Кіровоград — Кишинів.
Великими автотранспортними вузлами є Київ, Полтава, Харків,
Донецьк, Дніпропетровськ, Запоріжжя, Львів, Одеса, Сімферополь,
Кіровоград.
Трубопровідний транспорт забезпечує безперервне передавання
рідких, газоподібних і сипучих речовин по трубопроводах під тиском.
В Україні трубопровідним транспортом передаються рідке паливо, газ,
хімічні продукти. Для нього характерні низька собівартість перевезень,
висока продуктивність, гнучкість обсягів постачань продукції.
Вигідне транспортно-географічне положення України між країнами
Центральної Європи на заході та Росією на сході сприяє формуванню
потужної системи транзитних нафто- і газопроводів, які простягають-
ся переважно в широтному напрямі. В обсязі транспортування нафти
і газу, які доставляються з Росії до країн Центральної Європи, провідне
574
Географія
місце посідає їх транзит через територію України. Відповідно до цього
трубопровідний транспорт посідає 2-ге місце у вантажообороті (після
залізничного), перевозячи 42% всіх вантажів в Україні. Протяжність
трубопроводів становить 43,5 тис. км, що вдвічі більше, ніж довжина
залізничних колій загального користування. Середня відстань транс-
портування 1 т вантажу — майже 890 км.
Перебуваючи у складі СРСР, Україна була головним районом пос-
тачання газу. Було збудовано магістральні газопроводи із Передкар-
паття до інших регіонів СРСР: Дашава — Київ — Москва; Дашава —
Мінськ — Вільнюс — Рига. Магістральний газопровід «Братерство»
перекачував газ від м. Долини (Івано-Франківська обл.) до Чехосло-
ваччини. На сході України діють газопроводи Шебелинка — Харків;
Шебелинка — Полтава — Київ; Шебелинка — Дніпропетровськ —
Кривий Ріг — Одеса — Кишинів. Через Україну із Західного Сибіру
та інших районів Росії пролягають магістральні газопроводи до країн
Центральної Європи: «Союз», Уренгой — Помари — Ужгород; газопровід
з Туркменистану Шашлик — Саратов — Шебелинка.
Територією України проходять також нафтопроводи з Росії до країн
Центральної Європи: транс’європейський нафтопровід «Дружба»,
Самара — Лисичанськ — Кременчук — Херсон — Одеса; Мічурінськ —
Кременчук. Найбільші місцеві нафтопроводи: Гнідинці — Прилуки —
Кременчук на Лівобережжі, Долина — Дрогобич; Битків — Надвірна
у Передкарпатті.
За останні роки в Україні створено мережу продуктопроводів:
аміакопровід Тольятті (Поволжя) — Горлівка — Одеса; етиленопро-
від Тисауйварош (Угорщина) — Калуш (Івано-Франківська обл.)
та деякі інші.
У перспективі велике значення для України має налагодження транс-
портування нафти трубопроводами з Казахстану і Азербайджану через
території країн Закавказзя до Чорного моря, а звідти — до Одеського
нафтотерміналу. З Одеси прокладено нафтопровід до м. Броди (Львівсь-
ка обл.). З Бродів є можливість продовжити нафтопровід до Балтійсь-
кого моря через територію Польщі. Це значно послабить залежність
України від поставок російської нафти.
Морський транспорт відіграє важливу роль у зовнішній торгівлі
України завдяки її вигідному приморському положенню. За собівартіс-
тю перевезень морський транспорт є найдешевшим. Середня дальність
перевезень вантажів велика — понад 1 100 км, а пасажирів — лише
7 км. Загальна довжина берегової лінії України перевищує 2 000 км.
Чорне та Азовське моря майже не замерзають узимку і сполучаються
з Середземним морем через протоку Босфор, Мармурове море і протоку
Дарданелли. У зручних бухтах і пониззях судноплавних річок виникли
великі порти, найбільшими з яких є Одеса, Іллічівськ, Южний, Херсон,
Миколаїв, Ізмаїл, Маріуполь, Керч, Бердянськ, Білгород-Дністровський.
Всього в Україні діє 18 морських портів. Через ці порти здійснюються
торговельні зв’язки з причорноморськими, придунайськими країнами,
а також державами Середземномор’я, Африки, Азії та інших регіонів
світу. Морські порти взаємодіють із річковим і сухопутним транспортом.
Основними вантажами морського транспорту в перевезенні між
портами України (каботажні перевезення) є будівельні матеріали,
вугілля, метали, машини, цукор, хімічні продукти тощо. У закор-
донних перевезеннях переважають руди, метали, машини й устатку-
Економічна і соціальна географія України
575
вання, продукція хімічної промисловості. За допомогою морського
транспорту до України надходять нафта, різноманітне обладнання
і машини, тропічні фрукти тощо.
Між Іллічівськом і болгарським портом Варна працює міжнарод-
на поромна переправа протяжністю 435 км. Діють поромні перепра-
ви Іллічівськ — Поті (Грузія), Євпаторія — Стамбул (Туреччина). Для
поліпшення зв’язків України з Північним Кавказом споруджено заліз-
нично-поромну переправу через Керченську протоку.
Річковий транспорт використовує як шляхи сполучення русла
річок і канали. Для нього характерна низька собівартість. Недолі-
ками є залежність від природних умов (сезонність роботи), невелика
швидкість руху. По річках вигідно перевозити великі вантажі, які не
потребують швидкої доставки — вугілля, будівельні матеріали, руди
і метали, зерно. Середня дальність вантажних перевезень річковим
транспортом становить 470 км, а пасажирів — 26 км.
Загальна довжина судноплавних річок в Україні становить
2,2 тис. км. Найдовшою водною артерією України є Дніпро. Споруд-
ження на Дніпрі каскаду водосховищ забезпечило судноплавство по всій
його довжині. По Дніпру та його найбільших притоках Прип’яті й Десні
здійснюється понад 90 % всіх перевезень річкового транспорту в країні.
Для річкового судноплавства використовують ще Дністер, Південний
Буг, а також тверський Донець та деякі невеликі річки. Основною вод-
ною магістраллю, якою здійснюються міжнародні перевезення, є Дунай.
Головними річковими портами України є: на Дніпрі — Київ, Черка-
си, Кременчук, Дніпродзержинськ, Дніпропетровськ, Запоріжжя, Ніко-
поль, Каховка, Херсон', на Південному Бузі — Миколаїв, Вознесенськ та
Первомайськ', на Дністрі — Білгород-Дністровський', на Дунаї — Рені,
Кілія та Ізмаїл', на Десні — Чернігів.
Пасажирські перевезення річковим транспортом здійснюються суд-
нами на підводних крилах, які мають високу швидкість. Великими
пасажирськими річковими портами є Київ, Черкаси, Дніпропетровськ,
Запоріжжя.
Повітряний (авіаційний) транспорт спеціалізується на пере-
везенні пасажирів на далекі відстані та цінних термінових вантажів
(зокрема пошти). Середня відстань перевезення 1 пасажира становить
понад 1 600 км. Повітряний транспорт є найшвидшим і найдорожчим
видом транспорту.
Повітряним транспортом України здійснюються регулярні міжоб-
ласні та міжнародні рейси. Відбулася переорієнтація пасажирських
потоків із внутрішніх на міжнародні авіарейси, на які припадає тепер
понад 60 % усіх перевезень пасажирів. Україна пов’язана повітряними
лініями з багатьма зарубіжними країнами. Найбільші аеропорти діють
у Києві, Сімферополі, Одесі, Донецьку, Харкові, Львові.
Україна має великі перспективи розвитку транспортного ком-
плексу, виходячи з вигідності її економіко-географічного і зокрема
транспортно-географічного положення. Необхідно збільшити кількість
електрифікованих залізниць, розширити будівництво та налагодити
ремонт доріг із твердим покриттям, перейти на екологічно чистіші
види пального.
576
Географія
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Вкажіть область України, яка має прикордонне положення:
А) Вінницька; Б) Кіровоградська; В) Хмельницька; Г) Тернопільська.
2. Вкажіть область, яка має найменшу щільність населення:
А) Чернівецька; Б) Чернігівська; В) Херсонська; Г) Житомирська.
3. Вкажіть етнічну меншину в Україні, чисельність якої протягом 90-х років XX ст. зменши-
лась у 5 разів:
А) поляки; Б) росіяни; В) кримські татари; Г) євреї.
4. Вкажіть область, в якій переважає сільське населення:
А) Закарпатська; Б) Львівська; В) Кіровоградська; Г) Полтавська.
5. Вкажіть місто, яке виконує переважно транспортні функції:
А) Нікополь; Б) Луганськ; В) Жмеринка; Г) Дніпродзержинськ.
6. Вкажіть центр кольорової металургії України:
А) Кривий Ріг; Б) Миколаїв; В) Маріуполь; Г) Дніпропетровськ.
7. Вкажіть головний чинник розміщення меблевої промисловості:
А) кваліфіковані трудові ресурси; В) споживач;
Б) джерела електроенергії; Г) водні ресурси.
8. Вкажіть центр льняної промисловості України:
А) Рівне; Б) Черкаси; В) Тернопіль; Г) Херсон.
9. Вкажіть спеціалізацію сільського господарства лісостепової зони:
А) м’ясо-молочне скотарство, свинарство, зернове господарство, буряківництво;
Б) м’ясо-молочне скотарство, зернове господарство, картоплярство, льонарство;
В) зернове господарство, вирощування соняшнику, молочно-м’ясне скотарство, птахівництво;
Г) садівництво, виноградарство, овочівництво, молочно-м’ясне скотарство.
10. Вкажіть морський порт України:
А) Черкаси; Б) Сімферополь; В) Запоріжжя; Г) Маріуполь.
11. Вкажіть найбільший за площею економічний район України:
А) Причорноморський; Б) Донецький; В) Столичний; Г) Північно-Східний.
12. Вкажіть економічний район, який має найнижчий рівень соціально-економічного розвитку:
А) Причорноморський; Б) Подільський; В) Північно-Західний; Г) Центральний.
13. Вкажіть економічний район, спеціалізацією якого є чорна та кольорова металургія, елек-
тротехнічне та транспортне машинобудування, хімічна, олійно-жирова промисловість:
А) Донецький; Б) Придніпровський; В) Північно-Східний; Г) Центральний.
14. Вкажіть господарську спеціалізацію Північно-Східного економічного району:
А) багатогалузеве машинобудування, хімічна, нафтогазова, легка, харчова промисловість,
буряківництво, зернове господарство, м’ясомолочне скотарство;
Б) важке машинобудування, основна хімія, промисловість будівельних матеріалів, сільське
господарство приміського типу;
В) транспортне машинобудування, кольорова металургія, електроенергетика, вирощування
зернових культур і соняшнику;
Г) точне машинобудування, хімічна, лісова, легка, промисловість будівельних матеріалів,
зернове господарство, вирощування соняшнику, м’ясо-молочне скотарство.
15. Вкажіть галузь спеціалізації сільського господарства Причорноморського економічного
району:
А) картоплярство; Б) буряківництво; В) свинарство; Г) баштанництво.
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. А. 2. Б. 3. Г. 4. А. 5. В. 6. Б. 7. В. 8. А. 9. А. 10. Г. 11. А. 12. В. 13. Б. 14. А. 15. Г.