Камчатский государственный технический университет

А. Исаков

Практикум
по элементарной физике
(Часть 6)

Колебания и волны

Петропавловск-Камчатский
2011

УДК 53 (083)
ББК 20я73
И − 85

Рецензент
доктор физико-математических наук,
профессор Дальневосточного Федерального университета
Стоценко Л.Г.

Исаков Александр Яковлевич
И85
Практикум по элементарной физике. Часть 6. Колебания и волны.
Справочное руководство по самостоятельной работе: Петропавловск-Камчатский:
КамчатГТУ, 2011. − 246 с.

Справочное руководство по самостоятельной работе содержит большое количество
подробных решений задач курса физики по элементарным вопросам теории колебаний
и волн. В пособие включены задачи, заимствованные из пособий известных авторов:
Н.И. Гольдфарба, А.И. Гомоновой, В.П. Демкова, А.Н. Долгова, В.П. Зубова, Г.В.
Шальнова, Н.В. Турчиной, С.В. Л.И. Рудаковой, О.И. Сурова, Н.Е. Савченко, Г.Г.
Спирина, Т.А. Ющенко, а так же оригинальные задачи преподавателей кафедры физики КамчатГТУ, используемые в течение ряда лет при работе подготовительного отделения университета и индивидуальных занятиях со студентами и курсантами первого
и второго курсов. Помимо программных задач, рассмотрен целый ряд вопросов, касающихся колебательных и волновых процессов, не входящих в школьную программу, но имеющих большое теоретическое и практическое значение.
Основная цель руководства заключается в оказании методической помощи школьникам старших классов, абитуриентам и студентам первого курса при изучении университетского курса общей физики. Руководство представляет так же интерес для студентов заочной формы обучения при выполнении ими индивидуальных заданий в
рамках, предусмотренной программой, самостоятельной работы. Подбор материалов и
последовательность их изложения «От простого − к сложному» позволяет, по нашему
мнению, достаточно быстро восполнить пробелы школьного образования и освоить
основные методические приёмы анализа и решения задач элементарной физики.

2

Оглавление
13. Механические колебания

...........................................................................

4

Свободные собственные колебания материальной точки ……………………… 4
Пружинный маятник ……………………………………………………...……… 29
Математический маятник ………………………………….…………………….. 51
Свободные колебания механических систем …………………...……………… 62
Физический маятник …………………………………………………………….. 72
Затухающие колебания …………………………………….…………………….. 82
Вынужденные колебания ………………………………...……………………… 94
Автоколебательные процессы ………………………………………………….. 110
Суммирование гармонических колебаний …………………………………….. 131

14. Упругие волны …………………..………………………………………. 140
15. Электромагнитные колебания и волны …………………………… 128
Свободные и вынужденные электромагнитные колебания ………….………. 198
Затухающие электромагнитные колебания …………………………………… 219
Переменный электрический ток …………………………………….…………. 226
Электромагнитные волны ……………………………………………………… 237

3

13. Механические колебания
Свободные собственные колебания материальной точки
13.1. Что такое собственные колебания и при каких условиях они могут возникать в
механических системах ? Какими кинематическими и динамическими параметрами характеризуются колебательные процессы?

Решение
1. Прежде всего, несколько слов о колебаниях вообще. Макс Планк утверждал, что
правильная классификация − это уже высокий уровень познания. В теории колебаний
проводить классификацию достаточно сложно ввиду многообразия колебательных
движений в живой и не живой природе на мега, макро и микро уровнях. Академик
Мандельштам на одной из своих лекций заметил: «Резко разграничить, что такое колебания, а что не колебания, так же трудно, как определить, что такое лысый человек
или, что такое куча…». В качестве подтверждения мысли классика на рис.13.1 приведены примеры колебательных систем, которые встречаются в природе и технике.

Рис.13.1. Примеры колебательных систем
2. Наш мир устроен так, что в нём на всех уровнях, от элементарных частиц и до
Галактик, всё находится в непрерывном движении, причём большинство движений
можно классифицировать как колебательные. Например, планеты Солнечной системы
(1), движутся таким образом, что можно установить очевидную повторяемость их кинематических и динамических характеристик, движение по круговым и эллиптическим орбитам изначально представляются периодическими.
3. День на нашей планете систематически, с предсказуемой последовательностью
сменяется ночью, а лето, осенью и, к сожалению, длинной зимой. Даже существование
всего живого на Земле обязано тем, что от Солнца приходит энергия в виде электромагнитных волн.
4. Творения рук человеческих от летательных аппаратов (2), музыкальных инструментов (3) и различных отметчиков времени (4) – всё во многом имеет колебательную
основу.
5. Совсем недавно отечественными учёными Б. Белоусовым и А. Жаботинским обнаружены периодические химические реакции. Подобные реакции, происходящие в
живых организмах, определяют их биологические ритмы. Да и наша жизнь длится до
тех пор, пока работает неутомимый, постоянно колеблющийся, насос – наше сердце
(5), который классифицируется как автоколебательная система. Окружающий нас Мир
мы воспринимаем благодаря наличию двух «колебательно-волновых» каналов информации, настроенных на разные диапазоны частот. Акустический канал информации
человека теоретически может воспринимать упругие колебания воздуха в диапазоне

4

частот 20 Гц − 20 кГц и выше, однако на практике столь широким акустическим диапазоном обладают немногое люди, как правило, реальные возможности скромнее. Человеческим ухом воспринимаются низкие частоты порядка 35 − 45 Гц, а высокие частоты ограничиваются 12 − 15 кГц. С возрастом диапазон воспринимаемых частот ещё
сужается.
6. Оптическое восприятие окружающего мира человек осуществляет в диапазоне
частот электромагнитного излучения 4⋅1014 − 8⋅1014 Гц. Этого оказывается вполне достаточным, чтобы различать цвета от красного до фиолетового цвета. Длинноволновое
электромагнитное инфракрасное излучение человеческий организм распознаёт в виде
повышения температуры участков кожи, коротковолновое ультрафиолетовое излучение человек обнаруживает по его вторичным проявлениям, например по загару кожного покрова. К сожалению, мы не можем обнаруживать в реальном масштабе времени
действия электромагнитных волн рентгеновского и гамма излучения, только последствия, причём, как правило, негативные.
7. Практически все живые организмы ориентируются в пространстве и времени,
находят друг друга и добычу посредствам излучения и приёма различного диапазона
упругих волн, причём граничные частоты, воспринимаемые животными не всегда
совпадают с человеческими. Так, например, собаки, как и многие другие животные,
воспринимают частоты ультразвукового диапазона до 40 кГц, а китообразные, о которых впереди особый разговор, воспринимают без вреда для себя колебания инфразвукового диапазона примерно от 6 − 7 Гц. Человек тоже неосознанно реагирует на инфразвуковые колебания, правда ничего хорошего от этого с ним не происходит, только
неприятные болевые ощущения. Пресмыкающиеся, в частности, змеи, в оптическом
диапазоне практически не видят, различают только движение, причём на инфракрасных частотах. В табл. 13.1 приведены параметры некоторых колебательных процессов
встречающихся в природе.
Наименование процессов
Вековые возмущения планет
Обращения планет
Приливы и отливы
Колебания в машинах
Секундный маятник
Инфразвуковые колебания
Звуковой диапазон
Ультразвуковые колебания
Гиперзвуковой диапазон
Переменный ток
Радиотелеграфия
Инфракрасное излучение
Видимый свет

Частота, Гц
10 − 10
10 -8
10 − 5
1 − 103
100
1 − 10
20Гц − 20 кГц
2 104 − 2 106
106 − 108
50,0
105 − 108
1012
4 1014 − 8 10 14

Таблица 13.1
Период, с
10 10
10 8
10 5
1 − 10 − 3
1
1 − 10 − 1
0,05 − 510 − 5
5 10 − 5 − 5 10 − 7
10 − 6− 10 − 8
0,02
10 − 6 − 10 − 9
10 − 12
2,5 10 − 15 − 1.25 10 −

Ультрафиолетовое излучение
Рентгеновское излучение
Гамма − излучение

8 1014 −1017
3 1016 − 3 1020
1020

1,25 10-15-10-17
310 − 17− 310−21
10 − 20

15

8. При рассмотрении механического движения, как правило, ставились задачи определения кинематических и динамических параметров в конкретно заданный момент
времени. В теоретической механике наработан обширный арсенал методов и средств
решения задач динамики посредствам составления и последующего интегрирования
уравнений второго закона Ньютона или путём использования общих теорем динамики
и законов сохранения. В принципе теория колебаний решает те же задачи, но несколь-

5

ко меняется постановка задач. Теория колебаний кинематические и динамические параметры движения в данный момент времени рассматривает не как конечный результат, а частность. Конечным результатом исследования колебательного движения является выяснение его целостных характеристик
9. Колебательным явлением, колебательным движением или просто колебаниями
принято считать такие процессы, при которых какие-либо характеризующие их физические параметры повторяются через определённые промежутки времени.
10. Для теории колебаний не типичен вопрос о том, что в данный момент времени
и в данной точке происходит. Теория колебаний главным образом устанавливает общий характер процесса.
11. Появление колебаний связано с тем, какой тип равновесия из возможных имеет
рассматриваемая материальная система, устойчивое или не устойчивое или безразличное.
12. На рис. 13.2 приведена схема возможных условий равновесия: в положениях 1 и 3
небольшое сферическое тело находится в состоянии безразличного равновесия, любое из
возможных перемещений не приведёт к изменению его механического состояния, центр
масс этого тела всегда будет находиться на
фиксированном расстоянии от опорной плосРис. 13.2. Типы равновесия
кости. Положение тела 2 характеризуется как
неустойчивое. При возможном перемещении из положения 2, тело станет двигаться в
состояние минимизации потенциальной энергии, пока не достигнет горизонтальной
прямой, т.е. пока тело не займёт положение 1 или 3. Система сил, соответствующая
рассматриваемой ситуации показана на рис.13.3, возникающая результирующая сила
r
F1 , будет стремиться сместить тело из положения равновесия.

Рис. 13.3. Условия возникновения колебаний

В положении 4 ситуация меняется, при смещении тела из положения равновесия
r
возникает сила F2 , которая стремится вернуть тело в первоначальное равновесное соr
стояние. Сила F2 называется возвращающей силой. Возникновение возвращающей
силы является обязательным условием возникновения колебательного процесса.
13. Любой тип колебательного движения
происходит с ускорением, так как сопровождается изменениями направлений. Наличие
же ускорения, в полном соответствии со вторым законом Ньютона свидетельствует о наличии некой силы.
14. Динамические и кинематические параметры колебательных движений повторяют свои значения через определённые промежутки времени, равные периоду колебаРис. 13.4. Возвращающие силы
ний.

6

Из школьного курса физики известны две самые простые колебательные системы,
математический маятник и пружинный маятник (рис. 13.4), которые совершают свободные собственные не затухающие колебания. Эти колебания происходят по гармоническому закону, т.е. их кинематические и динамические характеристики описываются периодическими функциями синуса или косинуса. Возникновение колебаний
становится возможным, потому что при отклонении массы из положения равновесия
r
возникает возвращающая сила FB . В случае пружинного маятника она обусловлена
упругостью пружины FB = k ⋅ Δy , а в случае математического маятника возвращающая

r

сила является результатом геометрической суммы силы тяжести mg и силы натяжения

r

нити T .
15. Получим уравнение движения массы, скреплённой с горизонтальной пружиной
на основе анализа действующей системы сил (рис. 13.5). Горизонтальная пружина
удобна тем, что позволяет не учитывать действие силы тяжести. Будучи смещённой из
положения статического равновесия О в положение В, масса оказывается под действием системы сил
r r r
mg; N; Fвозвр ≡ Fупр = −kx},

{

причём сила тяжести и нормальная реакция связи, могут не учитываться при
дальнейшем рассмотрении, их работа на
перемещении вдоль оси ох равна нулю,
т.к. обе эти силы перпендикулярны направлению перемещения,

(

)

r r
δA = mg ⋅ dx ⋅ cos i ; mg = 0.

16. На направление движения будет
Рис. 13.5. Горизонтальные колебания
иметь проекцию отличную, от нуля, только возвращающая сила, обусловленная, в данном случае, упругостью пружины. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось, таким образом, запишется так
i=n

∑F

kx

i =1

= m&x&; − FB = m&x&; − kx = m&x& ,

где k − коэффициент жёсткости пружины. Преобразуем последнее уравнение к виду
k
&x& + x = 0.
m&x& + kx = 0; ⇒
m
17. Для придания последнему уравнению вида одного из известных типов дифференциальных уравнений, введём обозначение
k
k
= ω2 ; ω =
,
m
m
и перепишем его в виде

d2x 2
+ω x = 0.
dt2

&x& + ω2x = 0,

18. Полученное линейное дифференциальное уравнение второго порядка без свободного члена имеет известное из математики общее решение
x = C1 cos ωt + C 2 sin ωt ,
где С1, C2 − постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Предположим, что в начальный момент времени при t = 0 задано начальное положение
массы x = x(0) и начальная скорость x& (0) . Определим проекцию скорости на направление движения
dx
v x ≡ x& ≡
= −C1ω sin ωt + C 2 ω cos ωt .
dt

7

Образует из уравнений координаты и скорости систему:
x = C1 cos ωt + C 2 sin ωt ; ⎫
⎬
x& = −C1ω sin ωt + C 2 cos ωt.⎭
Подставим с уравнения системы начальные условия
x (0) = C1 cos ω ⋅ 0 + C 2 sin ω ⋅ 0, ⇒ C1 = x (0);
x& (0)
x& (0) = C1ω sin ω ⋅ 0 + C 2 ω cos ω ⋅ 0, ⇒ C 2 =
.
ω
С учётом значений постоянных интегрирования решение исходного дифференциального уравнения перепишется следующим образом:
x& (0)
x = x (0) cos ωt +
sin ωt .
ω
19. Полученное уравнение представляет собой закон движения массы, соединённой с горизонтальной пружиной без учёта сопротивления среды и силы трения. Если
движение будет начинаться без начальной скорости, т.е. x& (0) = 0 , то закон движения
примет вид
x = x 0 cos ωt .
При наличии начальной фазы колебаний уравнение можно переписать следующим
образом
x (t ) = x 0 cos(ωt + ϕ0 ) .
20. Это уравнение справедливо для всех систем, совершающих свободные собственные не затухающие колебания. Различные системы будут иметь разные выражения
для ω2. Квадрат циклической частоты в рассматриваемых случаях является возвращающей силой, приходящейся на единицу массы и единицу смещения.
Существует несколько равноправных форм записи уравнений, с использованием
разных обозначений кинематических параметров
x = A sin (ωt + ϕ0 ) ≡ x 0 sin (ωt + ϕ0 ) ;

⎛ 2π
⎞
x = x max sin ⎜ t + ϕ0 ⎟ ; x = A sin (2πνt + ϕ0 ).
T
⎝
⎠
Так, например, уравнение движения массы, совершающей колебания на вертикальной пружине не отличаются от полученного выше уравнения, необходимо только
учесть статическое удлинение пружины под действием силы тяжести

k ⋅ Δx CT = mg ⇒ Δx CT =

k
;
mg

При вертикальных колебаниях сместится только центр колебаний.
21. А теперь получим дифференциальное уравнение колебаний маятника на основе
анализа движения с энергетических позиций. Это удобно сделать на примере частицы известной массы, находящейся в потенциальной яме. Прекрасной моделью такой
системы может служить металлический шарик внутри криволинейной поверхности
(рис.13.6). При смещении массы из состояния равновесия из положения 1 в положение
2 система приобретает запас потенциальной
энергии. Если шарик считать материальной
точкой, а положение статического равновесия 1 совместить с минимальным значением
потенциальной энергии, то
Π 2 = mgh .
22. Если далее шарик отпустить без наРис. 13.6. Потенциальная энергия
чальной скорости, то он начнёт двигаться в

8

сторону минимизации потенциальной энергии, причём по мере опускания шарика относительно нулевого уровня потенциальной энергии, будет происходить её трансформация в кинетическую энергию. В точке 1 потенциальная энергия станет равной нулю,
шарик будет обладать только кинетической энергией, которая затем снова начнёт преобразовываться в потенциальную энергию. В точке 3 энергия шарика снова станет
только потенциальной. Если пренебречь потерями на сопротивление и трение, то шарик будет бесконечно долго перемещаться внутри потенциальной ямы, совершая гармонические собственные незатухающие колебания.
23. Применительно к массе, скреплённой с горизонтальной пружиной, изменение
потенциальной энергии определится уравнением

П=

kx 2
,
2

величина х в конкретном случае зависит от положения массы, которая будет совершать движение в пределах потенциальной ямы. Потенциальную яму любой формы
можно представить в виде функции смещения, аппроксимируя её степенным рядом

П(x ) = ax 2 + bx 3 + cx + K,
При малых отклонениях х2 >>х3 >>х4, с учётом этого П(x ) ≅ ax2 . В рассматриваемом
случае, при растяжении и сжатии пружины, её потенциальная энергия будет равна

П (x ) =

kx 2
kx 2
, или ax 2 =
,
2
2

⇒a=

k
.
2

Проекция действующей силы для консервативных механических систем связана с
потенциальной энергией известным соотношением

Fx = −

∂П(x )
= −2ax = − kx ;
∂x

Уравнение совпадает с ранее введённым значением возвращающей силы. Перепишем
его следующим образом
или окончательно

Fx = −kx , m&x& + kx = 0 , m&x& + ω2 mx = 0 ,
&x& + ω2 x = 0 ,

что аналогично уравнению колебаний массы на горизонтальной пружине.
24. Рассмотрим далее энергетические особенности гармонических незатухающих
собственных колебаний. Отметим, что упругая сила относится к консервативным силам, работа которых не зависит от вида траектории, а определяется только положением начальной и конечной точки, т.е. для массы, соединённой с горизонтальной пружиной можно записать
r r
Fупрd l = 0 .

∫
L

25. Полная энергия колеблющейся массы должна оставаться постоянной, т.е. справедлив закон сохранения энергии. В процессе колебаний происходит преобразование
потенциальной энергии в кинетическую энергию. На дне потенциальной ямы
(рис.13.6) масса обладает только кинетической энергией, которая имеет максимальной
значение. В крайних положениях массы энергия имеет потенциальный характер
mx& 02 mx 02 ω2
kx 2
.
=
E 2,3 = П max = 0 , E1 = K max =
2
2
2
26. Установим закон изменения кинетической и потенциальной энергии в случае
гармонического колебания, для этого перепишем (1.18) с учётом (1.10)

mx& 2 mx 02ω2
=
sin 2 (ωt + ϕ0 ) ,
2
2
kx 2 kx 02
П (t ) =
=
cos 2 (ωt + ϕ0 ) ,
2
2

K (t ) =

9

Заменяя в уравнениях k на mω2 , и складывая их получим:

E=K+П=

kx 02 mx 02ω2
=
,
2
2

E =

E
.
2

27. Периодичность изменения энергии установим, переписав полученные уравнения в соответствии с тригонометрическими правилами

⎡1 1
⎤
K (t ) = K max sin 2 (ωt + ϕ0 ) = K max ⎢ − cos 2(ωt + ϕ0 )⎥ ,
⎣2 2
⎦
⎡1 1
⎤
П(t ) = П max cos 2 (ωt + ϕ0 ) = П max ⎢ + cos 2(ωt + ϕ0 )⎥ ,
⎣2 2
⎦
очевидно, что кинетическая и потенциальная
энергии изменяются с частотой 2ω , в два раза
превышающей частоту колебаний. В моменты
амплитудного значения смещения кинетическая энергия обращается в нуль, а полная энергия колебаний равна наибольшему значению
потенциальной энергии (рис. 13.7)

E = П max =

kA 2
.
2

При прохождении системой положения
равновесия при х = 0, полная энергия является
кинетической

E = K max

Рис. 13.7. Зависимость смещения
и энергии от времени

mA 2ω2
.
=
2

Разумеется, что в отсутствие сопротивления
значение максимальной кинетической энергии
совпадает со значением максимальной потенциальной энергии колебательной системы.
Средние значения кинетической энергии
< K > и потенциальной < Π > равны половине
полной энергии
E kA 2
< K >=< Π >= =
.
2
4

13.2. Масса, соединенная с пружиной за время τ = 6 с совершает N = 18 колебаний.
Определить величину периода, частоты и циклической частоты этих колебаний.

Решение

1. Период колебаний:
T=

τ
≅ 0,33 c ;
N

2. Частота колебаний
ν=

1
= 3 Гц ;
T

3. Циклическая частота колебаний
ω = 2πν ≅ 18,84 рад / с ≡ 18,84 с −1 ;

10

13.3. За τ = 1с комар совершает 600 взмахов крыльями, а период колебаний крыльев шмеля составляет 5 мс. Какое количество взмахов за за время t = 1 мин сделает
каждое насекомое?

Решение

1. Частота и количество колебаний крыльев комара
N
ν1 = = 600 Гц; N1 = ν1t = 3,6 ⋅10 4 ;
τ
2. Частота и количество колебаний крыльев шмеля
1
1
ν2 = =
= 333,3 Гц; N 2 = ν 2 t = 2 ⋅10 4 ;
−3
T 5 ⋅10
3. Разность количества колебаний за t = 1 мин
ΔN = N1 − N 2 = 1,6 ⋅10 4 ;
13.4. Крылья пчелы колеблются с частотой ν = 240 Гц. Сколько взмахов крыльями
сделает насекомое, при покрытии расстояния s = 500 м при скорости полёта v = 4 м/с?

Решение

1. Определим время полёта пчелы к месту назначения
s
τ = = 125 c ;
v
2. Число взмахов крыльями за время τ
N = ντ = 3 ⋅10 4 ;
13.5. Определить амплитуду, период и частоту колебаний, если они описываются
уравнением: x (t ) = 5 cos 6,28t , см .

Решение

1. Заданное кинематическое уравнение показывает, что амплитуда А = 5 см, циклическая частота ω = 6,28 рад/с, т.е.
ω
1
ω = 2πν; ⇒ ν =
= 1 Гц; T = = 1c .
2π
ν
13.6. Написать уравнение гармонических колебаний, если их частота равна ν = 0,5
Гц, амплитуда − А = 0,8 м. Начальная фаза колебаний равна ϕ0 = 2π/3 рад..

Решение
1. Циклическая частота колебаний
ω = 2πν = π рад / с ;
2. Кинематическое уравнение колебаний
2π ⎞
⎛
x (t ) = A cos(ωt + ϕ0 ) = 0,8 cos⎜ πt +
⎟;
3 ⎠
⎝
13.7. Материальная точка совершает гармонические колебания в соответствие с
законом:

π⎞
⎛
x (t ) = 0,2 sin ⎜ 4πt − ⎟ ;
4⎠
⎝
Найти амплитуду, период, начальную фазу колебаний и смещение точки в начальный момент времени.

11

Решение
1. Величина амплитуды колебаний определяется непосредственно из уравнения: А
= 0,2 м.
2. Период колебаний:
2π
2π 2π
ω = 2πν =
; ⇒ T=
=
= 0,5 c ;
T
ω 4π
3. Смещение точки в начальный момент времени
⎛ π⎞
x (0 ) = 0,2 sin ⎜ − ⎟ = −0,14 м ;
⎝ 4⎠
13.8. Материальная точка совершает гармонические колебания с начальной фазой
ϕ0 = π/2, частотой ν = 2 Гц и амплитудой А = 0,03 м. Записать закон колебаний, если
известно, что он описывается синусоидальной функцией.

Решение

1. Циклическая частота колебаний:
ω = 2πν = 4π рад / с ;
2. Уравнение колебательного процесса:
π⎞
⎛
x (t ) = 0,03 sin ⎜ 4πt + ⎟ ;
2⎠
⎝
13.9. Написать уравнение гармонических колебаний, совершаемых по закону косинуса, если за время τ = 60 с совершается N = 60 полных колебаний, амплитуда которых равна А = 0,08 м, а начальная фаза ϕ0 = 1,5π рад.

Решение

1. Циклическая частота колебаний
ω = 2πν =
2. Уравнение колебаний

2π 2πN
рад
=
= 2π
;
T
τ
с

x (t ) = 0,08 cos(2πt + 1,5π) ;

13.10. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону косинуса с начальной фазой ϕ0 = − π, амплитудой А = 0,06 м и циклической частотой ω = 3π
рад/с. Чему равно смещение точки в начальный момент времени?
Решение

1. Уравнение колебаний материальной точки:
x (t ) = 0,06 cos(3πt − π) ;
2. Смещение точки в начальный момент времени:
x (0) = 0,06 cos(− π) = − 0,06 м;
13.11. Уравнение гармонических колебаний некоторой материальной точки задано
уравнением x (t ) = A cos ω(t + τ ) , ω = π рад/с, τ = 0,2 с. Найти период колебаний Т и начальную фазу ϕ0.

Решение

1. Определим период колебаний

12

ω=

2π
2π
, ⇒ T=
= 2c .
T
ω

2. Начальная фаза колебаний:
ϕ0 = ωτ =

π
рад = 36 0 .
5

13.12. Колебательный процесс задан уравнением x (t ) = A sin ω(t + τ) , циклическая
частота колебаний равна ω = 2,5π рад/с, τ = 0,4 с. Найти период Т, частоту ν и начальную фазу колебаний ϕ0.

Решение

1. Определим период заданного колебательного движения, воспользовавшись
уравнением:
2π
2π
T=
= 0,8 c .
=
ω 2,5π
2. Найдём частоту колебаний
ω 1
ω = 2πν, ⇒ ν =
= = 1,25 Гц .
2π T
3. Начальная фаза колебаний определится как
ϕ0 = ωτ = 2,5π ⋅ 0,4 = π рад .
13.13. Зная уравнение колебательного движения материальной точки
x (t ) = A cos(πt + ϕ0 ) , амплитуду А = 4 см, определить начальную фазу колебаний, если
смещение в начальный момент времени х(0) = 2 см. Найти скорость и ускорение для
момента времени τ = 1 с.

Решение

1. Перепишем заданное уравнение движения для начального момента времени (t =
0) и определим начальную фазу колебаний
1 π
1
A
= A cos ϕ0 , ⇒ cos ϕ0 = , ϕ0 = arccos = .
2 3
2
2
2. Определим смещение точки для момента времени τ = 1 с
π⎞
⎛
x (t ) = A cos⎜ ωt + ⎟,
3⎠
⎝
.
π⎞
⎛
−2
−2
x (τ ) = 4 ⋅ 10 cos⎜ π ⋅ 1 + ⎟ = −2 ⋅ 10 м
3⎠
⎝
3. Скорость материальной точки в заданный момент времени τ
dx
x& (t ) ≡
= −Aω sin (ωt + ϕ 0 ) ,
dt
м
⎛4 ⎞
x& (τ) = −4 ⋅ 10 −2 ⋅ 3,14 sin ⎜ π ⎟ ≅ 0,1 .
3
с
⎝
⎠
4. Ускорение точки в общем виде представится как
d2x
&x&(t ) ≡ 2 = −Aω2 cos(ωt + ϕ0 ) .
dt
5. Перепишем уравнение применительно к условиям данного колебания
м
⎛4 ⎞
&x&(τ ) ≅ −4 ⋅ 10 −2 ⋅ 10 cos⎜ π ⎟ ≅ 0,2 2 .
с
⎝3 ⎠

13

13.14. Точка, колеблющаяся по гармоническому закону с амплитудой А = 4 см и
периодом Т = 2 с в начальный момент времени имеет смещение x(0) = 2 см. Определить момент времени τ, когда скорость достигнет величины − 1 м/с.

Решение

1. По заданным начальным условиям определим начальную фазу колебаний
⎛ 2π
⎞
x (t ) = A cos⎜
t + ϕ 0 ⎟ , x (0 ) = 4 ⋅ 10 −2 cos ϕ0 ,
⎝ T
⎠
−2
2 ⋅ 10
1
1
π
cos ϕ 0 =
= , ϕ0 = arccos , ϕ0 = .
−2
4 ⋅ 10
2
2
3
2. Запишем уравнение для скорости в общем виде
dx
x& (t ) ≡
= −Aω sin (ωt + ϕ 0 ) ,
dt
для заданных условий уравнение скорости перепишется следующим образом
2π ⎛ 2π
6,28 ⎛
π⎞
π⎞
x& (τ ) = − A
sin ⎜
τ + ⎟, − 1 ⋅ 10 −2 = −4 ⋅ 10 −2
sin ⎜ πτ + ⎟ .
T
3⎠
2
3⎠
⎝
⎝ T
3. Разрешим последнее уравнение относительно искомого времени τ
π⎞
⎛
sin ⎜ πτ + ⎟ = 8 ⋅ 10 −2 , (πτ + 0,33π) = arcsin 8 ⋅ 10 −2 ,
3⎠
⎝
πτ + 0,33π = 1,46π, ⇒ τ = 1,13 c .
13.15. Точка перемещается по круговой траектории радиуса R = 0,1 м против хода
часовой стрелки с периодом Т = 6 с. Записать уравнение движения точки, найти для
момента времени τ = 1 с смещение, скорость и ускорение точки. В начальный момент
времени x(0) = 0.

Решение

1. Определим циклическую частоту колебаний
2π π рад
ω=
=
.
T
3 с
2. Запишем уравнение смещения точки в общем виде
⎛π
⎞
x (t ) = R cos⎜ t + ϕ0 ⎟ .
⎝3
⎠
3. Перепишем уравнение для заданных начальных условий, t = 0, x(0) = 0
π
x (0 ) = R cos(ϕ0 ), cos ϕ 0 = 0, ϕ0 = .
2
4. Определим смещение точки в момент времени τ = 1 с
π⎞
⎛π
x (τ ) = 0,1 cos⎜ ⋅ 1 + ⎟ ≅ −8,67 ⋅ 10 −2 м .
2⎠
⎝3
5. Скорость точки в произвольный момент времени
2π ⎛ π
π⎞
x& (t ) = R
sin ⎜ t + ⎟ ,
T
2⎠
⎝3
в момент времени τ = 1 с
2π ⎛ 5 ⎞
м
⎛5 ⎞
x& (τ ) = − R
sin ⎜ π ⎟, x& (τ ) ≅ −0,1 ⋅ 1 sin ⎜ π ⎟ ≅ −5 ⋅ 10 −2 .
T
с
⎝6 ⎠
⎝6 ⎠

14

13.16. Колебания материальной точки происходят по гармоническому закону с амплитудой А = 3 см и циклической частотой ω = π/2 рад/с. Каких максимальных значений
достигают скорость и ускорение точки.

Решение

1. Пусть колебания происходят в соответствие с уравнением
x (t ) = A sin (ωt + ϕ0 ) .
2. Скорость и ускорение на основе уравнения (1) будут определяться следующими
соотношениями
x& (t ) = Aω cos(ωt + ϕ0 ) ,
&x&(t ) = −Aω2 sin (ωt + ϕ 0 ) .
3. Максимальное значение скорости будет иметь место при достижении cos(ωt + ϕ)
= 1, другими словами
x& max = Aω = 3 ⋅ 10 −2 ⋅ 1,57 = 4,7 ⋅ 10 −2 м с .
4. Амплитудное значение ускорения определится на основе аналогичных рассуждений
&x& max = −Aω2 = −3 ⋅ 10 −2 ⋅ 2,47 − 7,4 м с 2 .
13.17. Задан закон гармонических колебаний точки: x(t) = Acosωt, причём, А = 5 см,
ω = 2 рад/с. Определить модуль ускорения для момента времени, когда скорость точки
достигнет значения 8 см/с.

Решение

1. Запишем уравнение для скорости точки
dx
x& (t ) =
= − Aω sin ωt .
dt
2. Для интересующего нас момента времени, когда x& (t ) = 8 м с уравнение перепишется следующим образом
x& (τ) = −Aω sin ωτ ,
рассматривая далее только модули величин, можно определить значение τ
x& (τ )
⎛ x& (τ ) ⎞
= sin ωτ, ωτ = arcsin⎜
⎟ = 0,92 рад ,
Aω
⎝ Aω ⎠
1,5
τ=
= 0,46 c .
ω
3. Определим модуль ускорения точки в момент времени τ = 0,46 с
&x&(τ ) = Aω2 cos ωτ ,

&x&(τ ) = 5 ⋅ 10 −2 ⋅ 4 cos 2 ⋅ 0,46 ≅ 12 ⋅ 10 -2 м с 2 .

13.18. Колеблющаяся гармонически точка достигает наибольшего отклонения от
положения равновесия А = 10 см и максимальной скорости vmax = 20 см/с. Определить
циклическую частоту колебаний и максимальное значение ускорения.

Решение

1. Пусть точка колеблется в соответствие с уравнениями
x (t ) = A sin (ωt + ϕ 0 ) ,
x& (t ) = Aω cos(ωt + ϕ0 ) ,
&x&(t ) = − Aω2 sin (ωt + ϕ 0 ) .
2. Запишем уравнение скорости для амплитудного значения, когда sin(ωt + ϕ0) = 1

15

x& max
рад
=2
.
A
с
3. Максимальное значение ускорения определится как
&x& max = −Aω2 = −0,4 м с .
x& max = Aω, ⇒ ω =

13.19. При нулевой начальной фазе гармонические колебания точки происходят
таким образом, что: наибольшее значение скорости достигает величины vmax = 10 см/с,
а максимальное ускорение аmax = 100 см/с2. Найти циклическую частоту ω, период Т и
амплитуду А.

Решение

1. Выразим амплитудные значения скорости и ускорения, образовав систему уравнений
⎧x& max = Aω;
⎨
2
⎩&x& max = −Aω .
2. Выразим из первого уравнения системы амплитуду и подставим это значение во
второе уравнение
&x&
x&
x&
рад
A = max , ⇒ &x& max = max ω2 , ⇒ ω = max = 10
.
x& max
ω
ω
с
3. Определим период колебаний
2π
2π 6,28
ω=
=
= 0,628 с .
,⇒T=
ω
T
10
4. Амплитуда колебаний определится из первого уравнения системы уравнений
x&
10 −2
A = max =
≅ 10 −2 м .
ω
10
13.20. Гармонические колебания точки характеризуются тем, что в некоторый момент времени τ1 смещение точки из положения равновесия было равно х1 = 5 см. После увеличения фазы колебаний в два раза смещение стало равным х2 = 8 см. Определить амплитуду колебаний, если они протекают по закону x(t) = Asinωt.

Решение

1. Запишем уравнения смещения точки для моментов времени τ1 и τ2
⎧x 1 = A sin ωt;
⎨
⎩x 2 = A sin 2ωt.
2. Преобразуем синус двойного угла
sin 2ωt = 2 sin ωt cos ωt .
3. Перепишем систему уравнений с учетом преобразования
⎧x 1 = A sin ωt;
⎨
⎩x 2 = A 2 sin ωt cos ωt.
4. Поделим уравнения последней системы друг на друга почленно и определим
значение фазы для момента времени τ1
⎛ x ⎞
x1
1
, ⇒ ωt = arccos⎜⎜ 2 ⎟⎟ = arccos 0,8 = 0,64 рад .
=
x 2 2 cos ωt
⎝ 2x1 ⎠

5. Подставим значение фазы в первое уравнение исходной системы и разрешим
полученное соотношение относительно амплитуды
x1
x 1 = A sin 0,64, ⇒ A =
≅ 8,33 ⋅ 10 −2 м .
sin 0,64

16

13.21. Вычислить амплитуду гармонических колебаний, если при значении фазы ϕ
= π/6 рад смещение составляет х = 0,06 м. Колебания происходят по синусоидальному
закону без начальной фазы.

Решение

1. Запишем уравнение гармонических колебаний применительно к заданным условиям
x = A sin ωt = A sin ϕ;
2. Определим величину амплитуды колебаний
x
0,06
A=
=
≅ 0,12 м ;
sin ϕ sin 30o
13.22. Вычислить смещение колеблющейся точки через время τ = 0,4 с после начала колебаний, происходящих по косинусоидальному закону с амплитудой А = 0,12 м
и частотой ν = 50 Гц при нулевой начальной фазе.

Решение

1. Циклическая частота колебаний

ω = 2 πν = 3140 рад / с ;

2. Уравнение колебаний

x (t ) = 0,12 cos(314 t );
3. Смещение точки через время τ
x = 0,12 cos(125,6 ) ≅ 0,12 cos 2o ≅ 0,1199м ;
13.23. Материальная точка совершает гармонические колебания в соответствие с
законом

⎛ 2t 1 ⎞
x (t ) = 1,2 cos π⎜ + ⎟ .
⎝ 3 4⎠
Определить амплитуду, круговую частоту, период и начальную фазу колебаний.
Найти амплитудные значения скорости и ускорения.

Решение

1. Циклическая (круговая) частота колебаний:
2π рад
ω=
;
3 с
2. Начальная фаза колебаний:
π
ϕ0 = ;
4
3. Период колебаний:
2π 2π ⋅ 3
T=
=
= 3c ;
ω
2π
4. Амплитудное значение скорости:

x& =

dx
2π
м
= −Aω sin(ωt + ϕ0 ); x& max ≡ vmax = Aω = 1,2
= −2,5 ;
dt
3
с

5. Амплитудное значение ускорения:
d2x
4π 2
м2
&x& = 2 = Aω2 cos(ωt + ϕ0 ); &x& max ≡ a max = Aω2 = 1,2
= 5,26
;
dt
9
с

17

13.24. Материальная точка совершает колебания с частотой ν = 0,5 Гц. Амплитуда
колебаний составляет А = 0,03 м. Определить скорость точки для момента времени,
когда смещение станет равным х = 0,015 м.

Решение

1. Запишем уравнения для координаты и скорости колеблющейся точки
x = A cos ωt; ⎫
⎬
x& = Aω sin ωt;⎭
2. Возведём уравнения в квадрат и сложим
x 2 = A 2 cos 2 ωt; ⎫
x& 2
2
⇒
x
+
= A 2 (cos 2 ωt + sin 2 ωt ) = A 2 ;
⎬
2
2
2 2
2
ω
x& = A ω sin ωt;⎭
3. Разрешим полученное уравнение относительно скорости
x& = ω A 2 − x 2 = 2πν A 2 − x 2 ≅ 3,14 9 ⋅10 −4 − 2,25 ⋅10 −4 ≅ 8,16 ⋅10 −2

м
;
с

13.25. Материальная точка, совершающая гармонические синусоидальные колебания в некоторый момент времени имеет следующие значения модулей смещения скорости и ускорения: х = 4⋅10 − 2 м; v = 0,05 м/с; а = 0,8 м/с2. Чему равна амплитуда, циклическая частота и период колебаний точки? Чему равна фаза колебаний в рассматриваемый момент времени? Каковы значения максимальной скорости и ускорения точки?

Решение

1. Запишем уравнения для смещения, скорости и ускорения
x = A sin ωt;
⎫
⎪
v = Aω cos ωt
⎬
2
2
a = Aω sin ωt = ω x;⎪⎭
2. Из уравнения ускорения определим величины циклической частоты и периода
колебаний
a
0.8
рад
a = ω2 x ; ω =
=
≅ 4,47
;
−2
x
4 ⋅10
с
2π
2π 6,28
ω=
; Т=
=
≅ 1,4 с .
Т
ω 4,47
3. Для определения амплитуды колебаний возведём первые два уравнения системы
в квадрат и сложим их:
x 2 = A 2 sin 2 ωt; ⎫
v2
2
x
+
= A2 ;
⎬
2
2
2 2
2
ω
v = A ω cos ωt;⎭
v2
= 1,6 ⋅10 −3 + 1,19 ⋅10 −4 ≅ 4,15 ⋅10 −2 м;
ω2
4. Определим, воспользовавшись первым уравнением исходной системы, фазу колебаний
x
x
x = A sin ωt; ⇒ sin ωt = ; ωt = ϕ = arcsin = arcsin 0,964 ≅ 74o ;
A
A
5. Амплитудные значения скорости и ускорения
м
м
v m = Aω ≅ 0,186 ; a m = Aω2 ≅ 0,83 2 ;
с
с
A = x2 +

18

13.26. Период гармонических колебаний составляет Т = 4 с. Определить время t1
за которое тело, совершающее эти колебания, пройдёт путь, равный половине амплитуды, если в начальный момент времени тело проходило положение статического
равновесия; t2 − путь равный амплитуде; t3 − путь равный 2/3 амплитуды.

Решение

1. Поскольку в начальный момент времени тело находилось в положении равновесного состояния, то колебания протекают по синусоидальному закону
x = A sin ωt ;
2. Перепишем уравнение колебаний применительно к заданным условиям, что позволяет разрешить его относительно искомого времени t1, соответствующего прохождению расстояния, равного половине амплитуды:
A
2π
1
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ 1
t1 ⎟;
t1 ⎟; ⇒
t1 = arcsin ;
= sin ⎜
= A sin ⎜
2
T
2
T
T
2
⎝
⎠
⎝
⎠
2π
1
t1 = 0,166π; ⇒ t1 = c ;
T
3
3. Определим время прохождения пути, равного амплитуде колебаний
2π
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
A = A sin ⎜
t 2 ⎟; 1 = sin ⎜
t 2 ⎟; ⇒
t 2 = arcsin 1;
T
⎝ T ⎠
⎝ T ⎠
2π
π
t 2 = ; ⇒ t 2 = 1c ;
T
2
4. Время прохождения пути, равного 2/3 амплитуды
2
2π
2
⎛ 2π ⎞ 2
⎛ 2π ⎞
= sin ⎜
A = A sin ⎜
t 3 ⎟;
t 3 ⎟; ⇒
t 3 = arcsin ;
3
T
3
⎝ T ⎠ 3
⎝ T ⎠
2π
t 3 = 0.23π; ⇒ t 3 = 0,43 c ;
T
13.27. Во сколько раз время прохождения колеблющейся точкой первой половины
амплитуды меньше, чем время прохождения второй половины амплитуды? В начальный момент времени точка проходит положение равновесия.

Решение

1. Время прохождения первой половины амплитуды
A
2π
1
⎛ 2π ⎞ 1
⎛ 2π ⎞
= A sin ⎜
= sin ⎜
t1 ⎟;
t1 ⎟; ⇒
t1 = arcsin ;
2
T
2
T
T
2
⎝
⎠
⎝
⎠
2π
π
t1 = ; ⇒ t1 = 0,083T ;
T
2
2. Время прохождения второй половины амплитуды
T
t 2 = − t1 = 0,25T − 0,083T = 0,167T;
4
3. Отношение времен
t
0,167
ζ= 2 =
≅2;
t1 0,083
13.28. Записать закон гармонического колебания, если известно значение максимального ускорения am = 49,3 см/с2, периода колебаний Т = 2 с. Смещение точки в начальный момент времени составляет х0 = 2,5 см. Колебания происходят по синусоидальному закону.

19

Решение

1. Определим циклическую частоту колебаний
2π
рад
ω=
=π
;
T
с
2. Найдём амплитуду колебаний
a
49,3
a m = ω2 A; ⇒ A = m2 =
≅ 5 см ;
9,86
ω
3. Начальная фаза колебаний
x
1
1 π
x 0 = A sin ϕ0 ; ⇒ sin ϕ0 = 0 = ; ⇒ ϕ0 = arcsin = ;
A 2
2 6
4. Запишем закон заданного гармонического колебания
π⎞
⎛
x (t ) = 5 sin ⎜ πt + ⎟ ;
6⎠
⎝
13.29. Через какую долю периода скорость точки будет равна половину её максимальной скорости? В начальный момент времени точка проходит положение равновесия.

Решение

1. Запишем уравнения для максимального и половинного значения скорости:
v m = Aω cos π; ⎫
⎪
vm
⎬
= Aω cos ϕ;⎪
2
⎭
2. Поделим уравнения друг на друга и определим значение ϕ
соsπ
1
T
π
2=
; cos π = 1; cos ϕ = ; ϕ = ; ⇒ t = ;
6
cos ϕ
2
6
13.30. Материальная точка совершает колебания по закону
x = 0,2 cos(15πt + π ) ;
Принимая массу точки равной m = 0,1 кг, найти силу, действующую на точку при
времени t = 1 c. Определить для этого момента времени величины кинетической и потенциальной энергии, а так же полную энергию.

Решение

1. При заданном времени смещение точки определится как:
cos(15πt + π) = cos16π = 1; ⇒ x t = x m ≡ A = 0,2 м ;
2. Скорость и ускорение точки в заданное время
x& m ≡ v m = Aω; &x& = a m = − Aω2 ;
3. Сила, действующая на точку
2
F = − mA 2ω2 = −0,1 ⋅ 0,22 (15π ) ≅ 89 Н ;
4. Скорость и кинетическая энергия в заданный момент времени
dx
vt =
= 0,2 ⋅ 15π sin 16π = 0; ⇒ K = 0 ;
dt
5. В заданный момент времени потенциальная энергия точки будет равна полной
механической энергии
2
mω2 A 2 0,1 ⋅ (15π) ⋅ 0,22
E=Π=
=
≅ 2,21Дж ;
2
2

20

13.31. Движение тела массой m = 2 кг описывается уравнением:

π⎞
⎛
x = 0,8 sin ⎜ πt + ⎟ .
2⎠
⎝
Найти величину энергии колеблющегося тела и максимальное значение действующей силы.

Решение

1. Механическая энергия колеблющегося тела
mω2 A 2 2 ⋅ π2 ⋅ 0,82
E=
=
≅ 6,31Дж ;
2
2
2. Максимальное значение действующей на тело силы
Fm = mω2 A ≅ 16 H ;
13.32. Какова амплитуда гармонических колебаний тела, если полная энергия колебаний Е = 10 Дж, а максимальная величина силы составляет Fm = 10 3 Н?

Решение

1. Составим систему уравнений, воспользовавшись выражениями для силы и энергии:
F = mω2 A; ⎫
⎪
mω2 A 2 ⎬
E=
;⎪
2
⎭
2. Поделив уравнения, друг на друга, определим амплитуду колебаний
F 2
2E
= ; ⇒ A=
= 2 ⋅ 10− 2 м ;
E A
F
13.33. Точка совершает гармонические колебания по закону
x = 5 sin 2 t ;
Найти момент времени, когда возвращающая сила впервые достигает значения F =
5⋅10 − 3Н, а потенциальная энергия становится равной П = 6⋅10 − 3 Дж.

Решение

1. Образуем систему, записав уравнения для силы и потенциальной энергии
F = kx; ⎫
⎪
kx 2 ⎬
Π=
;⎪
2 ⎭
где k − коэффициент упругости.
2. Поделим уравнение друг на друга
F 2
2Π
= ; ⇒ Fx = 2Π; x =
;
Π x
F
2Π
2Π
2Π
1
2Π
5 sin 2 t =
; sin 2t =
; 2 t = arcsin
; t = arcsin
;
F
5F
5F
2
5F
1
2 ⋅ 6 ⋅ 10−3
t = arcsin
≅ 1,43 c .
2
5 ⋅ 5 ⋅ 10− 3
13.34. Тело, колеблющееся по синусоидальному закону обладает полной энергией
Е = 30 мкДж пи максимальной величине силы Fm =1,5 мН. Период колебаний Т = 2 с,
начальная фаза рана ϕ0 = π/3. Записать уравнение колебаний.

21

Решение

1. Образуем систему из уравнений полной энергии и максимальной силы
mω2 A 2 ⎫
E=
;⎪
2
⎬
2
Fm = mω A; ⎪⎭
2. После деления уравнений друг на друга получаем выражение для амплитуды
колебаний:
E A
2E 6 ⋅ 10−5
= ; ⇒ A=
=
= 0,04 м ;
Fm 2
Fm 1,5 ⋅ 10− 3
3. Запишем уравнение колебательного процесса с учетом заданных параметров
π⎞
π⎞
⎛ 2π
⎛
⎛ 1⎞
x (t ) = 0,04 sin ⎜ t + ⎟ = 0,04 sin ⎜ πt + ⎟ = 0,04 sin π⎜ t + ⎟ ;
3⎠
3⎠
⎝ T
⎝
⎝ 3⎠
13.35. Частица массой m колеблется по гармоническому закону под действием упругой силы F = − kx. Максимальная скорость частицы vm. Найти полную энергию частицы, амплитуду и частоту колебаний.

Решение

1. Энергия упругих колебаний в общем случае равна сумме потенциальной и кинетической энергии частицы, при достижении максимума скорости энергии становится
чисто кинетической, поэтому:
mv2m
E=
;
2
2. Циклическая частота колебаний:
k
ω=
;
m
3. Амплитуда колебаний:
v
m
;
v m = Aω; ⇒ A = m = v m
ω
k
13.36. Платформа совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости с частотой ν = 2 Гц и амплитудой А = 0,01 м. На платформе лежит груз, коэффициент трения которого о платформу равен μ = 0⋅2. Буде ли груз скользить по платформе?

Решение

1. Груз будет находиться в состоянии покоя относительно платформы до того момента, пока сила трения будет равна или будет превосходить фиктивную силу инерции, вызванную ускорением колебательного движения. Запишем условие равновесия
груза на горизонтально колеблющейся платформе
м
м
μmg ≥ m 4π2ν 2 A; μg ≥ 4π2ν 2 A; μg ≅ 2 2 ; 4π2ν 2 A ≅ 1,6 2 ;
с
с
Таким образом, при заданных параметрах колебательного процесса груз относительно платформы будет сохранять состояние покоя.
13.37. На платформе, совершающей гармонические колебания в вертикальной
плоскости с амплитудой А и периодом Т, находится небольшое тело массой m. Определить максимальное значение силы давления на платформу и условие отрыва тела
от поверхности платформы.

22

Решение

1. Максимальное значение силы давления будет иметь место в моменты времени,
когда фиктивная сила инерции, вызванная ускорением, будет складываться с силой
тяжести
⎛ 4π2
⎞
4π2
Fi = m 2 A; Fm = Fi + mg = m⎜⎜ 2 A + g ⎟⎟ ;
T
⎝ T
⎠
2. Тело не отрывается от платформы при превосходстве по величине ускорения
свободного падения g над ускорением колебательного процесса ω2A
4π 2
g > 2 A;
T
13.38. Тело массой m скользит с высоты H по гладкой плоскости, наклоненной под
углом α к горизонту. У основания плоскости тело упруго взаимодействует с преградой
и меняет своё направление движения на обратное, возникает периодическое движение. Определить период колебаний.

Решение

1. Поскольку движение тела происходит тез
сопротивления и взаимодействие с преградой
упругое, то время спуска тела будет равно времени его подъёма, а период движения представится в виде суммы времён
Т = t1 + t 2 = 2 t ;
2. Движение при спуске будет протекать Рис. 13.38. Периодическое движение
вследствие возникновения проекции силы тяжести на направление движения
g sin αt 2
2H
2H
;
H=
; ⇒t=
; T=2
2
g sin α
g sin α
13.39. Будут ли гармоническими колебания, происходящие по закону:
x (t ) = 3 sin ωt + 4 cos ωt ;
Определить амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу колебаний.

Решение

1. Результирующее колебание можно представить как сумму двух гармонических
процессов, протекающих с разными амплитудами, с одинаковой циклической частотой, и сдвинутых по фазе на π/2, т.е. процесс гармонический. В соответствие с принципом суперпозиции амплитуда результирующего колебания определится как:
A = A12 + A 22 = 9 + 16 = 5 м ;
2. Для определения начальной фазы положим в заданном уравнении t = 0 и определим смещение мочки для этого момента времени
x (0 )
4
1
x (0 ) = 4 м; x (0 ) = A sin ϕ0 ; ⇒ ϕ0 = arcsin
= arcsin ≅ 53o ≅ π .
A
5
3
13.40. Будет ли гармоническим колебание материальной точки, радиус-вектор которой изменяется по закону:

r
r
r
r = A sin ωt ⋅ i + A cos 2ωt ⋅ j;

Записать уравнение траектории движения точки.

23

Решение

1. Составим систему уравнений, записав её в виде проекций радиус-вектора на оси
декартовой системы координат
x = A sin ωt; ⎫
⎬
y = A cos 2ωt;⎭
2. Чтобы получить уравнение траектории из уравнений движения необходимо исключить время. Перепишем систему следующим образом
x = A sin ωt;
⎫
⎬
2
y = A (1 − 2 sin ωt );⎭
3. Возведём первое уравнение в квадрат и преобразуем:
⎫
x2
= sin 2 ωt; ⎪
2
⎪
A
⎬
y
1 − = 2 sin 2 ωt;⎪
⎪⎭
A
4. Поделим уравнения друг на друга и получим уравнение траектории:
A − y 2x
2x
= 2; ⇒ y=A−
;
A
A
A
5. Таким образом, точка движется по параболической траектории, т.е это движение
не является гармоническим.
13.41. Колебания материальной точки массой m = 10 − 3 кг протекают с амплитудой
А = 10 − 2 см при частоте ν = 1 Гц. Определить скорость точки с момент времени, когда
её смещение из положения равновесия составит х = 5⋅10 − 3 м. Найти амплитудное значение возвращающей силы, действующей на точку и полную механическую энергию.

Решение

1. Составим систему уравнений, состоящую из зависимостей смещения и скорости
от времени
⎧x (t ) = A cos(ωt + ϕ);
⎨
⎩x& (t ) = −Aω sin (ωt + ϕ).
2. Исключим их уравнений системы время, для чего возведём их в квадрат
x 2 = A 2 cos 2 (ωt + ϕ), x& 2 = A 2 ω2 sin 2 (ωt + ϕ) .
3. Освободимся от коэффициентов при тригонометрических функциях
x2
x& 2
2
(
)
=
cos
ω
t
+
ϕ
,
= sin 2 (ωt + ϕ) .
A2
A 2 ω2
4. Сложим последние уравнения почленно
x2
x& 2
+
= cos 2 (ωt + ϕ) + sin 2 (ωt + ϕ) ,
A 2 A 2 ω2
x2
x& 2
x2
x& 2
+ 2 2 = 1,
+ 2 2 2 =1 .
2
2
A
Aω
A
4π ν A
5. Разрешим уравнение относительно скорости движения точки
x& 2
x 2 + 2 2 = A 2 , x& 2 = 4π 2 ν 2 (A 2 − x 2 ) ,
4π ν
x& = 2πν A 2 − x 2 = 6,28 ⋅ 1 5 ⋅ 10 −3 ≅ ±0,44 м / с .
6. Амплитудное значение возвращающей силы пропорционально массе токи и её
ускорению
F = m&x& = − mω2 A cos(ωt + ϕ), Fmax = −4π 2 ν 2 mA .

24

Fmax ≅ 4 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 −3 ≅ 40 мкН .
7. При гармонических колебаниях суммарная энергия материальной тоски определяется в виде суммы кинетической и потенциальной энергии. Поскольку в этой задаче
речь идёт о колебаниях, протекающих без потерь, то максимальное значение кинетической энергии будет равно максимальному значению потенциальной энергии. Полную энергию целесообразно вычислить, в этой связи, определив максимальное значение кинетической энергии
mv 2max
Π max = Κ max = E =
.
2
8. Амплитудное значение скорости определим из второго уравнения системы (1)
x& max = −A ⋅ 2πν = −10 −3 ⋅ 6,28 ⋅ 1 ≅ −6,28 ⋅ 10 −3 м / с ,
Κ max ≅

10 −3 ⋅ 40
≅ 20 мДж .
2

13.42. Материальная точка массой m = 1 кг колеблется гармонически с периодом Т
= 1 с, при этом максимальное смещение точки из положения равновесия равно А = 1
м. В начальный момент времени смещение точки составляет х(0) = 0,33 м. Определить
смещение, скорость и ускорение точки в момент времени τ = 0,5 с.

Решение

1. Составим уравнение гармонических колебаний точки в соответствии с заданными условиями
⎛ 2π
⎞
x (t ) = A cos⎜
t + ϕ0 ⎟ .
⎝ T
⎠
2. Начальную фазу колебаний ϕ0 определим при подстановке времени t = 0
x ( 0)
= arccos 0,333 ≅ 0,8π рад .
x (0) = A cos ϕ0 , ⇒ ϕ0 = arccos
A
3. Определим смещение точки для заданного момента времени τ
⎛ 2π
⎞
x (t ) = 1 ⋅ cos⎜
⋅ 0,5 + 0,8π ⎟ = 1 ⋅ cos 1,8π ≅ 0,8 м .
⎝ 1
⎠
4. Найдём скорость точки в заданный момент времени
м
2 π ⎛ 2π
⎞
sin ⎜
x& (τ ) = −A
τ + 0,8π ⎟ = −1 ⋅ 6,28 sin 1,8π ≅ 3,7 .
с
T
⎝ T
⎠
5. Ускорение в данный момент времени будет составлять
4π 2
&x&(τ ) = − A 2 cos(1,8π) ≅ −40 cos 1,8π ≅ −32,4 м с 2 .
T
14.43. Материальная точка массой m = 1 кг, соединённая с горизонтальной пружиной колеблется гармонически с амплитудой А = 0,1 м. Период колебаний составляет Т
= 2 с. В начальный момент времени точка имеет максимальное смещение из положения статического равновесия. Определить величину кинетической и потенциальной
энергии для момента времени τ = 1,5 с.

Решение

1. Запишем уравнение колебаний материальной точки
⎛ 2π
⎞
x (t ) = A cos⎜
t + ϕ0 ⎟ .
T
⎝
⎠
2. Определим начальную фазу колебаний из условия, что при t = 0 величина смещения х(0) = А

25

A = A cos ϕ0 , ⇒ cos ϕ0 = 1, ⇒ ϕ0 = 0 .
3. Уравнение колебаний на основании полученных уравнений можно переписать
следующим образом
x (t ) = 0,1 cos(πt ) ,
x (τ) = 0,1 cos(1,5π) ≅ 0 .
4. Запишем уравнение скорости точки
2π
x& (t ) = − A
sin (πt ) .
T
5. Подставим в уравнение скорости заданные параметры колебания
x& (τ) = −0,1π sin (1,5π) ≅ 0,1 м с .
6. Определим величину кинетической энергии в заданный момент времени
mx& 2 1 ⋅ 0,01
Κ=
=
= 0,05 Дж .
2
2
7. Потенциальная энергия точки зависит от упругости пружины и величины смещения
kx 2
Π=
.
2
Поскольку смещение в заданный момент времени τ = 1,5 с равно нулю, то и потенциальная энергия будет нулевой.
13.44. Амплитуда гармонических колебаний составляет А = 0,1 м, максимальное
значение скорости − x& max = 0,5 м/с, начальная фаза равна ϕ0 = 150. Определить смещение, скорость и ускорение точки через τ = 0,2 с после начала движения.

Решение

1. Запишем уравнение смещения и скорости гармонических колебаний в общем
виде
x (t ) = A sin (ωt + ϕ0 ), x& (t ) = Aω cos(ωt + ϕ0 ) .
2. В моменты времени, когда скорость достигает своего максимального значения
cos(ωt + ϕ0) = 1, поэтому
x&
рад
0,5
.
=5
x& max = Aω, ⇒ ω = − max =
с
A
0,1
3. Определим смещение и скорость точки в заданный момент времени τ = 0,2 с, для
чего подставим заданные и найденные значения величин
15 ⎞
⎛
−2
x (τ ) = 0,1 sin ⎜ 5 ⋅ 0,2 + π
⎟ ≅ 9,5 ⋅ 10 м .
180 ⎠
⎝
м
π⎞
⎛
x& (τ ) = A cos⎜ ωτ + ⎟ = 0,1 ⋅ 5 cos(5 ⋅ 0,2 + 0,262 ) ≅ 0,15 .
с
12 ⎠
⎝
4. Ускорение точки при τ = 0,2 с определится следующим образом
π⎞
м
⎛
&x&(τ ) = − Aω2 sin ⎜ ωτ + ⎟ ≅ 0,1 ⋅ 25 ⋅ 0,953 ≅ 2,4 2 .
12 ⎠
с
⎝
13.45. Точка массой m = 1⋅10 − 2 кг колеблется с периодом Т = 10 с при начальной
фазе ϕ0 = π/10. Найти время, через которое смещение точки из положения равновесия
достигнет половины амплитуды. Определить для этого момента времени значения
скорости и ускорения точки если полная энергия колебательного движения составляет
Е = 0,1 Дж.

26

Решение

1. В уравнение гармонических колебаний материальной точки
⎛ 2π
⎞
x (t ) = A sin ⎜
t + ϕ0 ⎟ ,
⎝ T
⎠
подставим заданное условие для смещения точки, когда x(τ) = 0,5A
A
⎛ 2π
⎞
⎛ 2π
⎞ 1
= A sin ⎜
τ + ϕ0 ⎟, ⇒ sin ⎜
τ + ϕ0 ⎟ = .
2
⎝ T
⎠
⎝ T
⎠ 2
2. Полученное уравнение является основанием для определения величины τ
1
⎛ 2π
⎞ π
⎛ 2π
⎞
τ + ϕ0 ⎟ = ,
τ + ϕ 0 ⎟ = arcsin , ⇒ ⎜
⎜
2
⎝ T
⎠ 6
⎝ T
⎠
10 ⎛ 2π π ⎞
τ=
+ ⎟ = 1,5 c .
⎜
2π ⎝ 10 10 ⎠
3. Воспользовавшись уравнением полной энергии при колебательном движении,
определим амплитуду колебаний
mω2 A 2
2E
T 2E
2 ⋅ 0,1
E=
,⇒A =
=
≅ 0,16
≅ 0,7 м .
2
2
ω m 2π m
10 −2
6. Определим далее скорость и ускорение колеблющейся точки при τ = 1,5м с, когда (2π/Т + ϕ0) = π/6
2π
⎛π⎞
cos⎜ ⎟ = 0,38 м с .
x& (τ) = Aω cos(π 6) = A
T
⎝6⎠
м
⎛π⎞
&x&(τ ) = − Aω2 sin ⎜ ⎟ ≅ −0,7 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 ≅ −1,4 2 ,
с
⎝6⎠
знак минус ускорения показывает, что вектор ускорения в данный момент времени
направлен в сторону противоположную векторам смещения и скорости.
13.46. Определить силу, действующую на точку массой m = 10 г в момент времени
τ, когда скорость достигнет величины x& (τ) = 0,5 м/с, если амплитуда колебаний равна А
= 10 см, циклическая частота ω = 10 рад/с, начальная фаза ϕ0 = 0.

Решение

1. Запишем уравнения для смещения и скорости материальной точки
x (t ) = A sin ωt , x& (t ) = Aω cos ωt .
2. Подставим в уравнение скорости, заданные величины и определим время τ
arccos 0,5
π
x& (τ ) = 0,1 ⋅ 10 cos(10τ), cos(10τ) = 0,5; τ =
≅ 0,1 c .
=
10
3 ⋅ 10
3. Определим ускорение в момент времени τ = 0,1 с
&x&(t ) = − Aω sin ωt; &x&(τ ) = −0,1 ⋅ 10 sin (10 ⋅ 0,1) ≅ 0,84 м с 2 .
4. Найдём действующую в момент времени τ силу
F(τ) = m&x&(τ) = 10 −2 ⋅ 0,84 = 8,4 ⋅ 10 −3 H .
13.47. Материальная точка массой m = 0,1 кг совершает гармонические колебания
при нулевой начальной фазе с периодом Т =10 с. За какое время с момента начала
движения точка сместится на половину амплитуды А = 0,2 м. Какой кинетической энергией будет обладать точка?

Решение

1. Запишем уравнение колебаний точки при заданных условиях

27

⎛ 2π ⎞ A
⎛π ⎞
⎛π ⎞ 1
x (t ) = A sin ⎜
τ ⎟,
= A sin ⎜ τ ⎟, sin ⎜ τ ⎟ = ,
⎝ T ⎠ 2
⎝5 ⎠
⎝5 ⎠ 2
π
π
τ = , ⇒ τ = 0,83 c .
5
6
2. Определим скорость в точки в момент времени τ = 0,83 с
м
2π ⎛ π ⎞
sin ⎜ τ ⎟ = 0,2 ⋅ 0,628 sin 0,2π ≅ 0,074 .
x& (τ ) = A
с
T
⎝5 ⎠
3. Сила, действующая на точку
mx& 2 (τ) 0,1 ⋅ 5,45 ⋅ 10 −3
=
≅ 2,7 ⋅ 10 −4 H .
F(τ) =
2
2
14.48. Записать уравнение гармонических колебаний, если известно, что максимальное значение кинетической энергии равно К = 1⋅мкДж, максимальная возвращающая сила Fmax = 1⋅мН, при периоде колебаний Т = 1 с и начальной фазе ϕ0.=π/4.

Решение

1. Максимальное значение кинетической энергии равно полной энергии материальной точки
2π 2 m 2
A .
K max = E =
T2
2. Определим величину максимальной силы
4π 2 m
A.
Fmax = kA =
T2
3. Определим величину амплитуды
K max A
2K max 2 ⋅ 10 −6
= , A=
=
= 2 ⋅ 10 −3 м .
Fmax
2
Fmax
10 −3
4. Запишем уравнение колебаний
π⎞
π⎞
⎛ 2π
⎛
x (t ) = 2 ⋅ 10 −3 sin ⎜
t + ⎟ = 2 ⋅ 10 −3 sin ⎜ 2πt + ⎟ .
T
4
4⎠
⎝
⎠
⎝

28

Пружинный маятник
13.49. Определить период колебаний груза массой m = 0,1 кг, подвешенного к пружине с коэффициентом жёсткости k = 10 Н/м.

Решение

1. Период колебаний массы, соединенной с пружиной
k
2π
k
m
0,1
ω=
=
= 6,28
≅ 0,628 c .
;
; ⇒ T = 2π
m
T
m
k
10
13.50. Во сколько раз нужно увеличить коэффициент жёсткости пружины, чтобы
период колебаний массы, подвешенной на ней, уменьшился в 4 раза?

Решение

1. Составим систему уравнений для периодов двух колебаний
m ⎫
T1 = 2π
;⎪
k1 ⎪
⎬
m ⎪
T2 = 2π
;
k 2 ⎪⎭
2. Поделим второе уравнение системы на первое уравнение
T2
k2
k2
=4=
; ⇒
= 16,
T1
k1
k1
таким образом, для уменьшения периода колебаний в 4 раза, при прочих равных условиях, Необходимо увеличить коэффициент жёсткости пружины в 16 раз.
13.51. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если его масса
уменьшится ровно в n = 9 раз?

Решение
1. Воспользуемся системой уравнений, записанных для двух значений периода колебаний
m ⎫
T1 = 2π
;⎪
T2
k ⎪
= n; n = 3 .
⎬ ⇒
T1
m ⎪
T2 = 2π
;
kn ⎪⎭
13.52. Груз какой массы следует прикрепить к пружине жёсткостью k = 10 Н/м, чтобы период его колебаний стал равным Т = 5 с?

Решение

1. Значение массы определим из уравнения периода колебаний массы, соединённой с пружиной заданной жёсткости
T 2 k 250
m
; ⇒ m= 2 ≅
≅ 6,25 кг ;
T = 2π
k
4π
40

29

13.53. Определить массу груза, который на пружине жёсткостью k = 250 Н/м делает
N = 20 колебаний за время τ = 16 с.

Решение

1. Определим период колебаний массы на пружине заданной жёсткости
τ
T = = 0,8 c ;
N
2. Требуемая величина массы
T 2 k 0,82 ⋅ 250
m= 2 ≅
= 4 кг ;
4π
40
13.54. Во сколько раз уменьшится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать ¾ его длины и подвесить на оставшуюся часть жгута тот
же груз?

Решение

1. Если предположить, что возвращающая сила со стороны жгута подчиняется закону Гука, о изменение его длины приводит к пропорциональному изменению коэффициента упругости, т.е. жгут, имеющий изначальную жёсткость k, будучи укороченным на ¾ длины, станет иметь жёсткость k/4, в этом случае:
m
2π
T2
k =2;
=
T1
4m
2π
k
13.55. Под действием силы F = 2 Н статическое растяжение пружины составило Δx
= 0,01 м. К этой пружине прикрепили груз массой m = 2 кг. Найти период колебаний
массы.

Решение

1. Определим коэффициент жёсткости пружины, считая её подчиняющейся закону
Гука
F
Н
F = kx; ⇒ k =
= 200 ;
Δx
м
2. Найдём период колебаний
m
mΔx
2 ⋅ 0,01
T = 2π
= 2π
= 6,28
= 0,638 c;
k
F
2
13.56. При подвешивании к резиновому шнуру груза он растягивается на y = 40 см.
Найти период малых вертикальных колебаний груза на этом резиновом шнуре.

Решение

1. Условие статического равновесия груза, подвешенного к шнуру
m x
kx = mg; ⇒
= ;
k g
2. Определим период малых колебаний заданной системы
x
0,4
m
T = 2π
= 2π
= 6,28
≅ 1,256 с .
g
10
k

30

13.57. Период колебаний груза на пружине Т = 0,5 с. На сколько уменьшится длина
пружины, если груз с неё снять?

Решение

1. Запишем конечное уравнение предыдущей задачи и разрешим его относительно
удлинения пружины при подвешивании к ней груза
m
Δx
gT 2 10 ⋅ 0,25
T = 2π
= 2π
; ⇒ Δx = 2 ≅
≅ 0,0625 м ;
k
g
4π
40
13.58. К пружине подвешена чашка с грузом. Период вертикальных гармонических
колебаний такой системы равен Т1. После того как на чашку положили дополнительный груз, период колебаний стал равным Т2. Определить, на сколько изменилось положение равновесия этой колебательной системы?

Решение

1. Уравнения изменения длины пружины при подвешивании к ней различных масс
определим из конечного уравнения предыдущей задачи:
gT 2
gT 2
x1 = 12 ; x 2 = 22 ;
4π
4π
2. Изменение положения равновесия
g
Δx = x 2 − x1 = 2 (T22 − T12 );
4π
13.59. К пружине подвешивают поочередно две различные массы. Период гармонических колебаний с первой массой равен Т1, со второй массой − Т2. Чему будет равен период колебаний, если к этой пружине подвесить одновременно две массы? Каков станет период, если массы, соединённые вместе, подвесить к концам двух таких
пружин, закреплённых другими концами в точке подвеса?

Решение

1. Запишем уравнения колебаний поочередно подвешиваемых к одной и той же
пружине масс m1 и m2
m1
m2
T1 = 2π
; T2 = 2π
;
k
k
2. Выразим из уравнений периодов массы
T 2k
T2k
m1 = 1 2 ; m 2 = 2 2 ;
4π
4π
3. Период колебаний пружины при подвешивании двух масс одновременно
T12 k T22
+ 2
2
m1 + m 2
4π = T 2 + T 2 ;
τ1 = 2π
= 2 π 4π
1
2
k
k
4. При параллельном соединении пружин их удлинение будет одинаковым, а суммарная жёсткость увеличится вдвое

T12 k T22
+ 2
2
2
2
m1 + m 2
4π = T1 + T2 ;
τ2 = 2π
= 2π 4π
2k
2
2k
13.60. Если к пружине подвесить поочередно две массы, то она удлиняется на Δх1
= 1 см и Δх2 = 2 см. Определить период колебаний с двумя подвешенными одновременно массами.

31

Решение

1. Условия равновесия при поочередном подвешивании масс
m1g = kΔx1; m 2g = kΔx 2 ;
2. Выразим из уравнений равновесия значения масс
kΔx1
kΔx 2
m1 =
; m2 =
;
g
g
3. Период колебаний системы, состоящей из пружины и двух масс
m1 + m 2
Δx1 + Δx 2
0,03
τ1 = 2π
= 2π
≅ 6,28
≅ 0,34 c ;
k
g
10
13.61. На невесомой вертикальной пружине подвешена пластина массой m0 = 20 г,
на пластине первоначально лежит груз массой m1 = 5 г. Период малых гармонических
колебаний, при этом, составляет Т = 1 с. Затем на пластину вместо первого ставят
другой груз массой m2 = 25 г. Каким станет статическое удлинение пружины?

Решение

1. Заданные параметры первой колебательной системы позволяют выразить жёсткость пружины
m 0 + m1
4π2 (m 0 + m1 )
;
T = 2π
; ⇒ k=
k
T2
2. Условие равновесия пластины при размещении на ней массы m2
(m0 + m 2 )g = kΔx; ⇒ Δx = (m0 + m 2 )g ;
k
2
−2
−3
(m + m 2 )gT ≅ (2 ⋅10 + 5 ⋅10 )⋅10 ⋅1 ≅ 0,14 м ;
Δx = 02
4π (m 0 + m1 ) 40(2 ⋅ 10− 2 + 2,5 ⋅ 10− 2 )
13.62. Груз массой m1 = 0,1 кг, подвешенный на пружине, совершает колебания.
Когда к пружине подвесили ещё один груз, частота колебаний уменьшилась в n = 2
раза. Определить массу второго груза.

Решение

1. Уравнение периода колебаний груза массой m1 позволяет выразить неизвестную
величину коэффициента упругости пружины
m1
4π2 m1
T = 2π
; ⇒ k=
;
k
T2
2. Период колебаний пружины с двумя массами
m1 + m 2
n 2T 2 k
n 2T 2 k
nT = 2π
; ⇒
=
m
+
m
;
m
=
− m1 ;
1
2
2
k
4π2
4π 2
n 2T 2 4π2 m1
m2 =
− m1 = m1 (n 2 − 1) = 0,3 кг ;
4π 2 T 2
13.63.На двух пружинах подвешены грузы массами m1 = 0,1кг и m2 = 0,05 кг соответственно. При этом пружины удлиняются на одинаковую длину. Определить отношение периодов колебаний этих систем. Каков период колебаний первой массы, если
коэффициент жёсткости второй пружины k2 = 10 Н/м? найти коэффициент упругости
первой пружины.

Решение

1. Период колебаний второй пружины с массой m2

32

m2
0,05
= 6,28
≅ 0,44 c ;
k2
10
2. Определим коэффициент жёсткости первой пружины из системы уравнений статического равновесия масс
m1g = k1x; ⎫
m1k 2 0,1 ⋅ 10
Н
=
= 20 ;
⎬ ⇒ k1 =
m 2 g = k 2 x ;⎭
m2
0.05
м
3. Найдём период колебаний первой пружины с массой m1
m1
0,1
T1
T1 = 2π
= 6,28
≅ 0,44 c; ⇒
= 1;
k1
20
T2
T2 = 2π

13.64. Стеклянный и деревянный шары, подвешенные на одинаковых пружинах,
совершают вертикальные колебания. Определить отношение периодов колебаний
шаров, если радиус стеклянного шара в n =4 раза меньше радиуса деревянного шара.
Плотность стекла принять равной ρ1 = 2400 кг/м3, дерева − ρ2 = 600 кг/м3.

Решение

1. Запишем уравнения масс шаров и их периодов
4
4 r3
m1 = πr13ρ1 ; m 2 = π 13 ρ2 ;
3
3 n
m1
m2
T1 = 2π
; T2 = 2π
;
k
k
2. Отношение периодов колебаний шаров
T1
2400
1
ρ1
=
=
≅ 0,25 = ;
3
T2
n ρ2
64 ⋅ 600
4
13.65. Тело массой m = 1 кг может без трения скользить по горизонтальной поверхности. Тело прикреплено одновременно к двум пружинам с жёсткостью k1 = 1000
Н/м и k2 = 800 Н/м. Определить максимальное значение скорости тела во время его
малых собственных колебаний c амплитудой А = 1 см.

Решение

1. Определим общую жёсткость параллельно соединённых пружин, исходя из того, что они удлиняются на одну и ту же величину х
Рис. 13.65. Параллельное
F1 = k1 x , F2 = k 2 x , F = F1 + F2 = x (k 1 + k 2 ) ,
соединение пружин
kx = x (k 1 + k 2 ), ⇒ k = k 1 + k 2 .
2. Найдём частоту собственных колебаний массы, соединённой с двумя параллельно соединёнными пружинами
k1 + k 2
k
ω=
=
.
m
m
3. Запишем уравнения смещения и скорости гармонического колебания и найдём
максимальное значение скорости
x (t ) = A sin ωt; x& (t ) = Aω cos ωt; x& max = Aω ,
x& max = A

k1 + k 2
1000 + 800
м
= 10 −2
= 0,42 .
m
1
с

13.66. В условиях предыдущей задачи пружины соединили последовательно. Как
это повлияет на величину максимальной скорости колеблющейся массы?

33

Решение

1. В данном случае при растяжении или сжатии пружин на разные величины х1 и х2, сила
приложенная к концам пружин будет одинаковой, т.е. общая жёсткость пружин определится
Рис. 13.66. Последовательное
следующим образом
соединение пружин
x = x1 + x 2 ,
F
F
F = k1x1 , F = k 2 x 2 , x1 = , x 2 =
,
k1
k2
⎛F
⎛1
kk
F⎞
1 ⎞
F = k (x 1 + x 2 ) = k ⎜⎜ + ⎟⎟; 1 = k⎜⎜ + ⎟⎟; k = 1 2 .
k
k
k
k
k
2 ⎠
2 ⎠
1 + k2
⎝ 1
⎝ 1
2. Определим собственную частоту колебаний
k 1k 2
k
ω=
=
.
m
m(k1 + k 2 )
3. Найдём максимальную скорость массы
k 1k 2
1000 ⋅ 800
м
= 10 −2
≅ 0,21 .
x& max = Aω = A
m(k 1 + k 2 )
1(1000 + 800 )
с
Так как эквивалентная жёсткость пружин при последовательном соединении
уменьшается приблизительно в четыре раза в сравнении с параллельным их соединением, то максимальная скорость уменьшается в два раза.
13.67. Во сколько раз отличаются периоды колебаний пружинных маятников одинаковой массы, составленных из двух пружин жесткостями k1 и k2, соединенных один раз
последовательно, а второй раз − параллельно?

Решение

1. Как было показано в предыдущих задачах эквивалентные жесткости составной
пружины при параллельном и последовательном соединении определяются как:
kk
K1 = k 1 + k 2 ; K 2 = 1 2 ;
k1 + k 2
2. Отношение периодов колебаний
m
m(k1 + k 2 )
T2 k1 + k 2
T1 = 2π
; T2 = 2π
;
=
;
k1 + k 2
k1k 2
T1
k1k 2
13.68. Материальная точка, соединённая с горизонтальной пружиной совершает
гармонические колебания с нулевой начальной фазой. Определить отношение кинетической энергии точки к её потенциальной энергии для момента времени τ = Т/12.

Решение

1. Запишем уравнения для смещения и скорости в общем виде
2π
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
x (t ) = A sin ⎜
t ⎟, x& (t ) = A
cos⎜
t⎟ .
T
⎝ T ⎠
⎝ T ⎠
2. Выразим коэффициент упругости пружины через частоту собственных колебаний
k
2π
k
4π 2 m
ω=
,
=
, k=
.
m
T
m
T2

34

3. Запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии точки
mx& 2
kx 2
.
K=
, Π=
2
2
4. Подставим в уравнения значения скорости, смещения и коэффициента упругости пружины
2π 2 m 2
2π 2 m 2 2 ⎛ 2π ⎞
2 ⎛ 2π ⎞
K=
A
cos
t
,
A sin ⎜ t ⎟ .
Π
=
⎜
⎟
T2
T2
⎝ T ⎠
⎝ T ⎠
5. Определим отношение кинетической и потенциальной энергии
K cos 2 (2πt T )
⎛ 2πt ⎞
=
= ctg 2 ⎜
⎟.
2
Π sin (2πt T )
⎝ T ⎠
6. Соотношение энергий материальной точки при τ = Т/12
K
⎛ 2πT ⎞
2 π
= ctg⎜
≅ 3.
⎟ = ctg
Π
6
⎝ 12T ⎠
13.69. Тело массы m = 1 кг подвешенное на вертикальной пружине совершает гармонические колебания с амплитудой А = 0,1 м и максимальным значением скорости 1
м/с. Определить жесткость пружины.

Решение

1. Запишем уравнение для смещения и скорости массы, соединённой с пружиной
⎧x (t ) = A sin ωt;
⎨
⎩x& (t ) = Aω cos ωt.
2. Уравнение амплитудного значения скорости позволяет найти собственную циклическую частоту колебаний ω
x&
рад
1
= 10
.
x& max = Aω, ⇒ ω = max =
с
A
0,1
3. Циклическая частота собственных колебаний массы на пружине без учёта потерь определяется уравнением
k
Н
, ⇒ k = ω2 m = 100 .
ω=
m
м
13.70. Электрическая лампочка, соединённая с пружиной совершает вертикальные
колебания с постоянной частотой ν = 1 Гц и амплитудой А = 20 см. При нахождении
лампочки в крайнем нижнем и крайнем верхнем положении кажется, что она вспыхивает ярче, несмотря на то, что через нить накала течёт постоянный по величине ток.
Почему?

Решение
1. Запишем уравнения смещения и скорости при гармонических свободных колебаниях и построим графики этих зависимостей
2π
⎧
⎪⎪x (t ) = A cos T t;
⎨
⎪x& (t ) = A 2π sin 2π t.
⎪⎩
T
T
2. Из системы уравнений видно, что в Рис. 13.70. Колебания лампочки на пружине
момент времени 1 отклонение лампочки от
положения равновесия будет максимальным, в то время как скорость лампочки (точка
2* нижнего графика) будет равна нулю, другими словами, у наблюдателя будет создаваться впечатление что, лампочка на некоторое мгновение останавливается. В окрест-

35

ностях точек 1*, 3* скорость лампочки будет иметь относительно малое значение.
3. Вычислим максимальное значение скорости
м
π
x& max = 0,2 ⋅ 6,28 sin = 1,25 .
2
с
4. Когда смещение лампочки будет достигать значений х(t) = 0, 95 А скорость лампочки будет равна 0,2 м/с.
13.71. Две одинаковые, недеформированные первоначально, пружины жёсткостью
k, имеют одну общую точку. Груз, какой массы необходимо подвесить к общей точке
пружин, чтобы он опустился в положение равновесия на малое расстояние y?

Решение

1. Определим удлинение пружины в проекции на вертикальную ось
Δy = y cos α .
2. Проекция силы упругости одной пружины в проекцию
на вертикальную ось
F = kΔy cos α = ky cos 2 α .
Рис.13.71. Две пружины
3. При подвешивании к общей точке пружин груза массой m суммарная сила упругости в состоянии равновесия по модулю должна быть
равна силе тяжести
2ky cos 2 α
mg = 2ky cos 2 α, ⇒ m =
.
g
13.72. Небольшое тело массой m = 1 кг соединённое с горизонтальной пружиной,
совершает малые колебания с амплитудой А = 10 см, причём, максимальное значение
энергии достигает величины Е = 50 Дж. Через какой промежуток времени τ смещение
точки после начала движения достигнет половины амплитуды δ = 0,5 А? Какова средняя скорость за это время?

Решение
1. По величине заданной энергии можно определить жёсткость пружины, т.к. при амплитудном смещении массы её энергия будет только потенциальной
kA 2
2E
Рис. 13.72. Горизонтальная
E=Π=
,⇒k = 2 .
пружина с массой
2
A
2. Определим далее частоту собственных колебаний
k
1 2E
рад
ω=
=
≅ 100
.
m A m
с
3. Предположим, что колебания происходят по закону
x (t ) = A sin ωt ,
в этом случае заданное условие смещения, с учётом уравнения (3) можно записать
следующим образом
A
1
= A sin (ωτ), ωτ = arcsin , ωτ = 0,52 рад ,
2
2
0,52
τ=
= 5,3 ⋅ 10 -3 c .
ω
4. Средняя скорость по определению равна частному от деления перемещения на
время, за которое оно совершается
A
м
< v >=
≅ 50 .
2τ
с

36

13.73. На какое расстояние δ необходимо сместить из положения равновесия груз
массой m = 0,5 кг, соединённый с пружиной жёсткостью k = 200 H/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью vm = 10 м/с?

Решение

1. Заданные масса и жёсткость пружины позволяют определить частоту собственных колебаний пружинного маятника
ω= k m .
2. Максимальная скорость груза определится как
v m = ωδ = δ

k
m
, ⇒ δ = vm
= 0,5 м .
m
k

13.74. Колебательная система состоит их вертикальной пружины и небольшого тела массой m1. Ели к колеблющемуся телу прибавить массу m2 = 0,3 кг, то частота колебаний уменьшится в два раза. Определить начальную массу тела.

1. Запишем уравнения собственных частот
⎧
1
k
;
⎪ν1 =
2 π m1
⎪
⎨
k
⎪ν = 1
⎪ 2 2π m + m .
1
2
⎩
2. Поделим уравнения друг на друга
m1 + m 2
n=
.
m1

Рис. 13.74. Определение
начальной массы

3. Разрешим уравнение относительно искомой массы m1
n 2 = 1 + m 2 m1 , m1 = m 2 (n 2 − 1) = 0,1 кг .
13.75. Материальная точка, соединённая с пружиной колеблется с периодом Т = 12
с. За какое время точка пройдёт расстояние от среднего положения до крайнего? Каково время прохождения первой и второй половины этого пути?

Решение

1. Запишем уравнение гармонического колебания в виде
⎛ 2π ⎞
t⎟.
x (t ) = A sin ⎜
⎝ T ⎠
2. Для момента времени τ, когда точка переместится из положения равновесия на
величину амплитуды А уравнение перепишется следующим образом
2π
T
π
⎛ 2π ⎞
A = A sin ⎜
τ1 ⎟, ⇒
τ1 = arcsin 1 = , ⇒ τ1 = = 3 c .
T
2
4
⎝ T ⎠
3. Время необходимое точке для отклонения на первую половину амплитудного
значения определится как
T
1 π
2π
A
⎛ 2π ⎞
= A sin ⎜
τ 2 ⎟, ⇒
τ 2 = arcsin = , ⇒ τ 2 =
= 1c .
12
2 6
T
2
⎝ T ⎠
4. Время прохождения второй половины пути до максимального отклонения
τ3 = τ1 − τ 2 = 2 c .

37

13.76. Небольшое тело массой m = 1 кг подвешено к пружине длиной l0 = 0,2 м с
коэффициентом жёсткости k = 1 кН/м. Найти положение равновесия относительно которого происходят гармонические колебания с малой амплитудой А =1 см и записать
уравнение движения.

Решение

1. Определим статическое удлинение пружины при подвешивании к ней тела массой m
mg
mg = kΔl, Δl =
≅ 0,01 м ,
k
длина пружины при равновесии массы, таким образом, равна
l = l 0 + Δl = 0,21 м .
2. Определим далее циклическую частоту собственных колебаний массы
k
рад
.
ω=
= 1000 = 31,6
m
с
3. Запишем уравнение колебаний
x (t ) = 0,01 sin 31,6t .
13.77. Груз массой m = 0,2 кг, подвешенный на пружине, совершает гармонические
колебания с циклической частотой ω = 6 рад/амплитудой А = 0,02 м. Определить энергию колебаний груза.

Решение

1. Для всякой механической системы без учёта потерь справедлив закон сохранения энергии, потому что силы упругости являются силами консервативными. Процесс
колебаний массы на пружине представляет собой, с энергетических позиций, преобразование потенциальной энергии в кинетическую, и обратно
E = K + Π = K max = Π max ;
2. По данным условия задачи можно определить кинетическую энергию
mv2max mω2 A 2 0,2 ⋅ 36 ⋅ 4 ⋅ 10−4
v max = ωA; K max =
=
=
= 1,44 ⋅ 10− 3 Дж ;
2
2
2
13.78. Груз массой m = 0,27 кг колеблется на пружине жёсткостью k = 56 Н/м с амплитудой А = 0,042 м. Найти полную механическую энергию колебаний. Чему будут
равны кинетическая и потенциальные энергии при смещении груза из состояния равновесия на х = 0,031 м?

Решение

1. Заданные параметры колебаний позволяют сразу определить полную механическую энергию по максимальному значению потенциальной энергии
kA 2 56 ⋅ 1,764 ⋅ 10−3
Π max = E =
=
≅ 5 ⋅ 10− 2 Дж .
2
2
2. Найдём величину потенциальной энергии при смещении массы на расстояние х
kx 2 56 ⋅ 9,61 ⋅ 10−4
Π1 =
=
≅ 2,7 ⋅ 10− 2 Дж ;
2
2
3. Кинетическая энергия при заданной величине смещения
K1 = E − Π1 = 2,3 ⋅ 10−2 Дж ;
13.79. Тело массой m = 0,1 кг растягивает пружину на Δх = 0,049 м. Чему равна
полная энергия колебаний тела, если его сместить по вертикали на х0 = 0,1 м и предоставить самому себе.

38

Решение

1. Определим коэффициент упругости пружины из условия статического равновесия тела
mg
mg = kΔx; ⇒ k =
;
Δx
2. Полная энергия в данном случае будет равна потенциальной энергии при смещении массы на расстояние х0
kx 2 mgx 02 0,1 ⋅ 10 ⋅ 0,01
E=Π= 0 =
≅
≅ 0,1 Дж ;
2
2Δx
2 ⋅ 0,049
13.80. К двум разным пружинам подвешены одинаковые грузы одинаковой массы,
при этом удлинение пружин относится как: Δх1/Δх2 = 2. Найти отношение энергии этих
систем, если колебания происходят с одинак4овой амплитудой.

Решение

1. При одинаковости подвешиваемых масс статические удлинения пружин отличаются в два раза, т.е. в два раза отличаются коэффициенты упругости пружин
mg = k1Δx1; ⎫
k1Δx1
Δx
= 1; k 2 Δx 2 = k1Δx1; k 2 = k1 1 = 2k1;
⎬ ⇒
mg = k 2 Δx 2 ;⎭
k 2 Δx 2
Δx 2
2. При одинаковой амплитуде колебаний полные энергии систем, равные максимальной потенциальной энергии, будут так же отличаться в два раза, потому что
kA 2
E1
E = Π max =
; ⇒
= 2;
2
E2
13.81. Груз массой m = 0,01 кг подвешен на пружине жёсткостью k = 1 Н/м. Определить амплитудные значения смещения, скорости, а так же период колебаний, если
полная энергия колебаний равна Е = 0,1 Дж.

Решение

1. Определим амплитуду колебаний
kA 2
2E
E = Π max =
; ⇒ A=
= 0,2 ≅ 0,45 м ;
2
k
2. Уравнение максимального значения кинетической энергии позволяет определить
амплитудное значение скорости
mv2max
2E
0,2
м
E = K max =
; ⇒ v max =
=
≅ 4,5 ;
2
m
0,01
с
3. Период колебаний
m
T = 2π
= 6,28 0,01 ≅ 0,63 c .
k
13.82. Небольшой груз массой m = 0,1 кг, подвешенный к пружине, совершает гармонические колебания с амплитудным значением скорости vm = 0,1 м/с с амплитудой А
= 0,01 м. Определить жёсткость пружины.

Решение

1. Максимальные значения кинетической и потенциальной энергий равны между
собой и равны полной механической энергии колебательной системы

39

E = K max = Π max ;

mv2m kA 2
mv2 0,1 ⋅ 1 ⋅ 10−2
Н
=
; ⇒ k = 2m =
= 10 ;
−4
2
2
A
1 ⋅ 10
м

13.83. Определить массу небольшого тела, колеблющегося на пружине жёсткостью
k = 300 Н/м по гармоническому закону, если при амплитуде колебаний А = 0,02 м он
имеет максимальную скорость vm= 3 м/с.

Решение

1. Максимальные значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы и
каждая из них равна полной механической энергии колебательной системы
mv2m kA 2
kA 2 300 ⋅ 4 ⋅ 10-4
E = K max = Π max ;
=
; ⇒ m= 2 =
≅ 0,013кг ;
2
2
vm
9
13.84. Определить максимальное смещение из положения равновесия груза массой m = 0,64 кг, закреплённого на пружине жёсткостью k = 400 Н/м, если он проходит
положение равновесия со скоростью v = 1 м/с.

Решение

1. Приравнивая, как и в двух предыдущих случаях, значения кинетической и потенциальной энергии, получим:
mv2m kA 2
m
0,64
E = K max = Π max ;
; ⇒ A=v
=
= 1⋅
≅ 0,04 м;
2
2
k
400
13.85. С пружиной жёсткостью k = 40 Н/м соединена масса m = 0,1 кг, в начальный
момент времени масса смещается вниз на х0 = 0,1 м, массе сообщается вертикально
направленная вверх скорость v0 = 3,5 м/с. Определить амплитуду и период возникших
колебаний.

Решение

1. Период гармонических колебаний не зависит от начальных условий, а определяется только упругостью пружины и колеблющейся массой
m
0,1
T = 2π
≅ 6,28
≅ 0,314c ;
k
40
2. Закон сохранения энергии для данного случая представится следующим образом
kA 2 mv02 kx 02
E = Πm =
;
=
+
2
2
2
A = x 02 +

mv02
0,1 ⋅ 3,52
= 1 ⋅ 10− 2 +
≅ 0,2 м;
k
40

13.86. На материальную точку массой m = 0, 8 кг, подвешенную на пружине жёсткостью k = 2⋅103 Н/м, действует направленная вертикально вниз сила F = 7,2⋅103 Н в течение τ = 10 − 3 с. Найти амплитуду гармонических колебаний, возникших после действия силы.

Решение

1. Воздействующий на массу импульс силы, сообщает ей некоторую скорость
Fτ
Fτ = mv; ⇒ v =
;
m
2. Запишем далее закон сохранения энергии с учётом полученного значения сообщённой скорости

40

kA 2 mv 2
;
=
2
2
A=

Fτ
km

2

kA 2 mF 2
;
=
2
2m 2
=

7,2 ⋅10 3 ⋅10 −3
2 ⋅10 3 ⋅ 0,8

kA 2 =

F2 t 2
;
m

≅ 0,18 м ;

13.87. На невесомую чашку пружинных весов осторожно крадут груз, при этом система начинает совершать гармонические колебания с амплитудой А = 5 см. Каков период колебаний груза.

Решение

1. Уравнение статического равновесия груза на чашке пружинных весов
m A
mg = kA; ⇒
= ;
k g
2. Период колебаний груза
m
A
0,05
T = 2π
= 2π
≅ 6,28
≅ 0,44 c.
k
g
10
13.88. На невесомую чашку, подвешенную на пружине жёсткостью k, с высоты h
падает пластилиновый шарик массой m, испытывая абсолютно неупругий удар. Определить амплитуду возникших гармонических колебаний.

Решение

1. Невесомость чашки позволяет допустить, что в момент абсолютно неупругого удара чашка будет иметь такую же скорость как и пластилиновый шарик, потому что
кинетическая энергия шарика непосредственно перед
ударом будет равна кинетической энергии чашки с шариком сразу после удара.
2. Таким образом, потенциальная энергия шарика
преобразуется в потенциальную энергию растягиваемой Рис. 13.88. Падение шарика
пружины. Если при ударе шарика максимальное отклонение чашки обозначить через
х, то закон сохранения энергии позволяет записать следующее соотношение
kx 2
mgh + mgx =
;
2
kx 2
mg(h + x ) =
;
2
3. Образовалось квадратное уравнение относительно смещения х
kx 2 − 2mg(h + x ) = 0; kx 2 − 2mgx − 2mgh = 0;
2mg
2mg
x2 −
x−
h = 0;
k
k
4. Решением этого уравнения будет выражение:
2

mg
⎛ mg ⎞ 2mgh
x1,2 =
± ⎜
;
⎟ +
k
k
⎝ k ⎠
5. Поскольку в уравнении закона сохранения отсутствует кинетическая энергия, то
рассматриваются моменты времени при которых скорость чашки с шариком равна нулю, т.е. в верхних и нижних положениях чашки, когда она отклоняется от положения
равновесия до амплитудных значений смещения. Величина перед корнем представляет собой положению равновесия чашки с шариком

41

mg
;
k
6. Величину х1,2 модно выразить через амплитуду колебаний
kx1,2 = mg; ⇒ x1,2 =

2

x1,2 =

mg
⎛ mg ⎞ 2mgh
;
± A; ⇒ A = ⎜
⎟ +
k
k
⎝ k ⎠

13.89. Шарик массой m закреплён между двумя пружинами, обладающими жёсткостью k1 и k2⋅, соответственно. Найти циклическую частоту колебаний шарика. Как изменится частота, если пружины поменять местами?

Решение

1. Колебательная система состоит из массы m и двух
параллельно соединённых пружин, изменение размеров
которых будет при колебаниях одинаковым, величина
сжатия одной пружины будет равна величине растяжения другой пружине. Эквивалентный коэффициент упругости определится в виде суммы коэффициентов жёсткости
Рис. 13.89. Параллельные
F1 = k1 x , F2 = k 2 x , F = F1 + F2 = x (k 1 + k 2 ) ,
пружины
kx = x (k 1 + k 2 ), ⇒ k = k 1 + k 2 .
2. Циклическая частота колебаний шарика
k1 + k 2
ω=
;
m
3. Циклическая частота при перемене пружин местами не изменится, изменится
только положение статического равновесия шарика.
13.90. Некий груз массой m = 0,1 кг подвешен на пружине жёсткостью k = 16 Н/м на
невесомой нерастяжимой нити. Какой может быть максимальная амплитуда гармонических колебаний груза?

Решение

Рис. 13.90. Груз на нити
и пружине

1. Малые колебания груза будут носить гармонический
характер, т.е. удовлетворять дифференциальному уравнению
d2y
m 2 − ky = 0 ;
dt
Другими словами нить не должна удлиняться и сокращаться.
2. Такая ситуация будет иметь место при:
d2y
≤g;
dt 2
3. В этом случае изменение размеров пружины, как упругого элемента, будет подчиняться закону Гука, т.е.
mg 0,1 ⋅ 10
≅
≅ 0,0625 м .
mg = kA; ⇒ A m =
k
16

13.91. На пружину подвесили массу, которая её растянула на Δу = 0,16 м. Чему равен период малых гармонических колебаний груза на пружине?

42

Решение

1. Период колебаний груза на пружине равен
m
;
T = 2π
k
2. Удлинение пружины, в данном случае, будет равно амплитуде возникающих после отпускания груза колебаний. Между амплитудой колебаний и упругими свойствами пружины существует очевидная связь, следующая из условия статического равновесия
mg = kA = kΔy,
откуда легко определить отношение массы к коэффициенту упругости
m Δy
Δy
0,16
=
; ⇒ T = 2π
≅ 6,28
≅ 0,8 c ;
k
g
g
10
13.92. Две массы m1 и m2 соединены невесомой пружиной жёсткостью k. Определить период колебаний системы, считая, что перемещение масс происходят вдоль одной прямой.

Решение

1. Движение масс в данном случае будет происходить
при неподвижности центра масс С, т.е. систему можно
рассматривать в виде двух пружинных маятников. Если
первоначальную длину пружины обозначить через х, то
можно записать следующую систему уравнений
m1 x 2 ⎫
Рис. 13.92. Связанные массы
= ; ⎪
m2 x 2 ⎬
x1 + x 2 = x;⎪⎭
2. Выразим из системы уравнений величины х1 и х2
m2
m1
x1 =
x; x 2 =
x;
m1 + m 2
m1 + m 2
3. Коэффициент жесткости пружины, как известно, обратно пропорционален её
длине, т.е. для пружин длиной х1 и х2 можно записать следующие соотношения
k1 x ⎫
= ;
k x1 ⎪⎪
⎬
k2 x ⎪
= ;
k x 2 ⎪⎭
4. Подставим в последние уравнения значения х1 и х2 и разрешим их относительно
k 1 и k2
m + m2
m + m2
k1 = 1
k; k 2 = 1
;
m2
m1
5. Неподвижность центра масс предполагает одинаковость периодов колебаний
масс и движение в противоположные стороны. Исходя из этого, период колебаний определится как:
m2
m1m 2
m1
;
T = T1 = T2 = 2π
= 2π
= 2π
k1
k2
k (m1 + m 2 )

43

13.93. На гладком столе расположены две массы m1 = 0,1 кг и m2 = 0,3 кг, соединённые невесомой пружиной жесткостью k = 50 Н/м. Одна из масс касается стены.
Первоначально массы соединены нитью длиной х0 = 0,06 м, при этом пружина сжата
на Δх = 0,02 м. Описать движение системы после того как нить пережгут.

Решение

Рис. 13.93. Пережигания нити

1. После пережигания нити массы придут в движение: левая масса оторвётся от стены, а правая масса
станет двигаться вправо. Массы начнут колебаться в
противофазе, причём центр масс будет перемещаться
прямолинейно и равномерно, потому что на систему
по условию задачи не действуют внешние силы, а
внутренние силы изменить количества движения не
могут, потому что их геометрическая сумма для лю-

бой системы равна нулю.
2. Методика определения периода колебаний изложена в предыдущей задаче
m1
m2
m1m 2
0,1 ⋅ 0,3
T = T1 = T2 = 2π
= 2π
= 2π
≅ 6,28
≅ 0,24 с ;
k1
k2
k (m1 + m 2 )
50 ⋅ 0,4
3. Определим скорость центра масс при пережигании пружины с учётом того, что
вся потенциальная энергия, первоначально сжатой пружины, трансформируется в кинетическую энергии правой массы
2
k (Δx )
m v2
= 2 2;
2
2
4. Определим скорость правой массы
k
v 2 = Δx
;
m2
5. Левый груз сразу после освобождении пружины покоится, поэтому скорость
центра масс можно определить из закона сохранения импульса
(m1 + m 2 )vC = m1v1 + m 2 v 2 ; ⇒ vC = m1v1 + m 2 v 2 ;
m1 + m 2
vC =

Δx km 2
m1 + m 2

≅

м
0,02 50 ⋅ 0,3
≅ 0,2 ;
с
0,4

13.94. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний
груза Km = 1 Дж, при амплитуде А = 0,05 м. Определить жёсткость пружины, если колебания протекают по синусоидальному закону.

Решение

1. Запишем уравнение кинетической энергии колеблющейся массы
2
mv2 m ⎛ dy ⎞ m 2 2
K=
= ⎜ ⎟ = ω A cos2 (ωt + ϕ) ;
2
2 ⎝ dt ⎠
2
2
m 4π 2
⎞
⎛ 2π
K=
A cos2 ⎜ t + ϕ ⎟ ;
2
2T
T
⎠
⎝
2. Максимальное значение кинетической энергии будет иметь место при:
2π 2 m 2 2π 2 m 2 1 2
⎞
⎛ 2π
A 2 cos 2 ⎜ t + ϕ ⎟ = 1 ; ⇒ K m =
A =
A = A k;
m
T2
2
⎠
⎝ T
k
3. Определим значение коэффициента упругости пружины

44

k=

2K m
2
Н
=
≅ 800 ;
2
2
A
0,05
м

13.95. Как изменится период вертикальных колебаний массы, висящих на двух
одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?

Решение

1. Удлинение пружины определяется условием равновесия
mg
mg = kx; ⇒ x =
;
k
2. Если пружины соединить последовательно, то их удлинение будет одинаковым
k
mg 2mg mg
2mg
=
; ⇒ k1 = ;
;
; x2 =
x 2 = 2x =
2
k
k1
k1
k
3. При параллельном соединении пружин
k 2 = 2k ;
4. Запишем уравнения периодов колебаний
m
m
T1 = 2π
; T2 = 2π
;
k1
k2
5. Отношение периодов колебаний
T1
k2
=
= 4 = 2;
T2
k2
13.96. Медный шарик, подвешенный на пружине, совершает вертикальные гармонические колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый шарик такого же размера?

Решение

1. Периоды колебаний шариков описываются уравнениями
4πr 3ρ1 ⎫
T1 = 2π
;⎪
3k ⎪
⎬
4πr 3ρ2 ⎪
T2 = 2π
;
3k ⎪⎭
2. Отношение периодов
T1
ρ1
8,6 ⋅ 103
=
=
≅ 1,82 ;
T2
ρ2
2,6 ⋅ 103
13.97. К пружине подвешена чашка весов с гирями совершающая гармонические
колебания с периодом Т1 = 0,5 с. На чашку весов положили дополнительную массу,
после сего период колебаний стал Т2 = 0,6 с. Определить, на сколько изменилась длина пружины?

Решение

1. Запишем уравнения периодов колебаний
m
m + Δm
;
T1 = 2π
; T2 = 2π
k
k
2. Возведём уравнения периодов в квадрат и вычтем из второго уравнения первое
уравнения

45

Δm
;
k
3. Коэффициент упругости определим из уравнения закона Гука
Δmg
F = kΔy; ⇒ k =
;
Δy
4. Подставим значение коэффициента упругости в уравнение разности квадратов
периодов
Δy
g
10
T22 − T12 = 4π2
; ⇒ Δy = 2 (T22 − T12 ) ≅ (0,036 − 0,025) ≅ 0,0275 м ;
g
4π
40
T22 − T12 = 4π2

13.98. Масса, висящая на пружине неподвижно, удлиняет её на Δy = 0,05 м. После
смещения массы из положения равновесия возникли гармонические колебания. Определить период этих колебаний.

Решение
1. Из условия равновесия массы на пружине определим отношение статического
смещения к коэффициенту упругости
m Δy
=
;
mg = kΔy;
k
g
2. Подставим полученное соотношение в уравнение периода
m
Δy
0,05
T = 2π
= 2π
≅ 6,28
≅ 0,44 c .
k
g
10
13.99. Платформа с грузом, подвешенная на пружине совершает гармонические
колебания с периодом Т1. После добавления на платформу некоторой массы она стала колебаться с периодом Т2. Определить удлинение пружины после добавления массы, если её первоначальное удлинение составляло у?

Решение

1. Запишем систему уравнений на основании Закона Гука
mg = ky;
⎫
(m + Δm )g = k (y + Δy );⎬⎭
2. Поделим второе уравнение на первое
y + Δy m + Δm
=
;
y
m
откуда
⎛ m + Δm ⎞
Δy = ⎜
− 1⎟ y ;
⎠
⎝ m
3. Величину m + Δm определим из уравнений периодов колебаний
⎫
m
T1 = 2π
;
⎪
k
⎪
⎬
m + Δm ⎪
T2 = 2π
;⎪
k
⎭
4. Возведём уравнения в квадрат и поделим друг на друга
2
⎡⎛ T ⎞ 2 ⎤
⎛ T2 ⎞ m + Δm
⎜⎜ ⎟⎟ =
; ⇒ Δy = ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥ y ;
T
m
⎢⎣⎝ T1 ⎠
⎥⎦
⎝ 1⎠

46

13.100. На невесомой вертикальной пружине закреплена некоторая масса, которая
совершает гармонические колебания с периодом Т = 0,25 с. Если массу не прикреплять и сжать пружину на х0 = 0,05 м, то после отпускания масса отделяется от пружины. На какую высоту h в отсутствие сопротивления подскочит масса.

Решение
1. Потенциальная энергия массы в наивысшей точке её
траектории должна быть равна потенциальной энергии,
запасаемой пружиной
2

mg ⎞
⎛
k⎜ x 0 +
⎟
2
k (x 0 + x )
k ⎠
⎝
mgh =
;
=
2
2
2. Определим из уравнения закона сохранения энергии
высоту подъёма массы
Рис. 13.100. Отскок массы
2
mg ⎞
⎛
k⎜ x 0 +
⎟
kx 02
mg
k ⎠
=
+ x0 +
h= ⎝
;
2mg
2mg
2k
3. Коэффициент упругости пружины и масса неизвестны, но их комбинацию m/k
можно выразить из уравнения периода колебаний
m
T2 m
T = 2π
; ⇒
= ;
k
4π2 k
4. Перепишем уравнение высоты с учётом значения m/k
2π2 x 02 gT 2
h = x0 +
+ 2 ≅ 0,14 м ;
gT 2
8π
13.101. Пластина с насыпанным не её поверхность песком совершает горизонтальные гармонические колебания c циклической частотой ω. Какова амплитуда колебаний
пластины, если песчинки отскакивают от пластины на высоту h = 3 мм по отношению к
их положению статического равновесия.

Решение

1. Запишем уравнение второго закона Ньютона для отскакивающей пластинки
F = m(g + a ) ;
2. Ускорение песчинки вплоть до её отрыва от пластины
определится как:
a = −ω2 x = −4π2ν 2 x; ;
Рис. 13.101. Песчинки
на пластине
3. Отрыв песчинки произойдёт при F = 0
r
g
mg + ma = 0; ⇒ − a ≥ g ; x = 2 ;
ω
4. Запишем закон сохранения энергии для песчинки
mv2 mω2 A 2
mω2 x 2 mg 2
−
=−
=
;
2
2
2
2ω2
5. После отрыва от пластины песчинки движутся только под действием силы тяжести
mv2
g ⎞
⎛
= mg(h − x ) = mg⎜ h − 2 2 ⎟ ;
2
4π ν ⎠
⎝
6. Совместим уравнения законов сохранения

47

g ⎞ ω2 A 2
g
g ⎞ m 4π2ν 2 A 2
mg 2
⎛
⎛
mg⎜ h − 2 2 ⎟ −
= 2;
= 2 2 ; ⎜h − 2 ⎟ −
4π ν ⎠
2
8π ν
g
2ω
ω ⎠
⎝
⎝
ω2 A 2
hω2 − g
g
g ⎛ hω2 − g
g ⎞ g 2h 1
⎜
−
=
=
− 2 ⎟⎟ =
;
;
A
−
2
2
2 ⎜
2
ω
ω ⎝ ω
2ω
g
2ω ⎠ ω g ω2
13.102. Два груза общей массой m = 1 кг, соединённые пружиной жёсткостью k =
100 Н/м, подвешены на нити. Определить расстояние, на которое нужно сместить нижний груз вертикально вниз, чтобы при последующих его гармонических колебаниях
верхний груз оставался неподвижным.

Решение

1. Максимальное статическое смещение m2 соответствует амплитуде последующих колебаний. Верхний груз будет оставаться
в покое при условии
k (A − y 0 ) ≤ m1g ,
т.е. сила тяжести приложенная к верхнему грузу должна быть
больше или равна силе упругости пружины (А − у0), где у0 − статическое удлинение пружины под действием m2.
2. Величина статического удлинения пружины удовлетворяет
условию
mg
Рис. 13.102.Грузы
ky 0 = m 2g; ⇒ y 0 = 2 ;
k
с пружиной
3. Подставим значение у0 в исходное уравнение
m g⎞
⎛
k ⎜ A − 2 ⎟ ≤ m1g; kA ≤ m1g + m 2g = (m1 + m 2 )g = mg;
k ⎠
⎝
mg
A≤
;
k
13.103. Доска с лежащим на ней бруском расположена на гладкой горизонтальной
поверхности стола. Система совершает гармонические колебания под действием упругой пружины с периодом Т = 1 с и максимальной скоростью vm = 0,5 м/с. Доска и брусок относительно неподвижны. При какой величине коэффициента трения между бруском и доской такие колебания возможны?

Решение

1. Заданные по условию задачи максимальная скорость и период связаны соотношением:
Рис. 13.103. Груз на
2π
v T
v m = ωA =
A; ⇒ A = m ;
подпружиненной доске
T
2π
2. Совместные колебания бруска с доской будут происходить в том случае, когда
сила трения будет превосходить или будет рана силе, возникающей вследствие ускоренного движения при гармонических колебаниях
μmg ≥ ma; μg ≥ a; μg ≥ ω2 A;
3. Подставим в последнее уравнение значение амплитуды и разрешим его относительно коэффициента трения μ
4π2 v T
2π v m
μg ≥ 2 m ; μ ≥
≥ 6,28 ⋅ 0,05 ≥ 0,314 ;
T 2π
T g

48

13.104. Два груза общей массой m = 1 кг, связанные нитью, подвешены на невесомой пружине жёсткостью k = 100 Н/м. На какое расстояние можно сместить вниз грузы,
чтобы при возникающих после этого свободных гармонических колебаниях нить не
провисала?

Решение

1. Нить не будет провисать, если сила тяжести нижнего груза будет больше или равна силе, возникающей вследствие ускоренного движения при гармонических колебаниях
m 2g ≥ m 2a; g ≥ ω2 A,
где ω − циклическая частота колебаний, А − амплитуда колебаний, g − ускорение свободного падения.
2. Циклическая частота колебаний
k
k
mg 10
ω=
; ⇒ g ≥ A; ⇒ A ≥
≥
≅ 0,1 м ;
m
m
r
100

Рис. 13.104. Грузы,
связанные нитью

13.105. Между двумя шарами массой m и М связанными нитью вставлена сжатая
пружина жёсткостью k. Система шаров движется вдоль прямой, проходящей через
центры шаров со скоростью v0. Нить пережигают и один из шаров останавливается.
Найти величину начального сжатия пружины.

Решение

1. Судя по направлению движения, остановиться при
восстановлении размеров пружины может только шар
r
r
массой m, потому что силы F = ma и сила упругости со
стороны пружины направлены в противоположные стоРис. 13.105. Связанные шары
роны.
2. Образуем для шаров систему уравнений из закона сохранения импульса и закона
сохранения энергии
(M + m )v0 = Mv;
⎫
⎪
2
2
2
(
kx
M + m )v 0 Mv ⎬
+
=
,⎪
2
2
2 ⎭
где х − первоначальное сжатие пружины, v − скорость шара массы М.
3. Решая систему уравнений относительно х ( из первого уравнения выражается
неизвестная скорость v и подставляется во второе уравнение) получим:
m⎞
m⎛
x = v0
⎜1 + ⎟ ;
k ⎝ M⎠
13.106. На гладком горизонтальном столе покоится шар массой М, соединенный с
горизонтальной невесомой пружиной жёсткостью k. В центр шара попадает горизонтально летящая пуля массой m, со скоростью v0. Происходит абсолютно неупругий
удар в результате которого пуля застревает в центре шара. Определить амплитуду и
период возникших после удара гармонических колебаний шара с пулей внутри.

Решение

1. Запишем уравнения закона сохранения импульса и энергии
(M + m )v = mv0 ;
⎫
⎪
2
2
⎬
kA (M + m )v
−
= 0,⎪
2
2
⎭
49

Рис. 13.106. Пуля в шаре

где А − амплитуда возникших колебаний, v − совместная скорость шара с пулей.
2. Выражая из первого уравнения совместную скорость v и подставляя найденное
значение во второе уравнение системы, получим:
mv0
M+m
A=
;
M+m
k
3. Период колебаний системы
M+m
T = 2π
;
k
13.107. На чашку массой m1, подвешенную на пружине с коэффициентом жёсткости
k, падает с высоты h пластилиновый шарик массой m2. Система приходит в колебательное состояние. Определить амплитуду возникших гармонических колебаний.

Решение

1. Скорость пластилинового шарика в момент соприкосновения с чашкой
v1 = 2gh ;
2. Скорость чашки с шариком определится из закона сохранения импульса
m 2 v1 = (m1 + m 2 )v; m 2 2gh = (m1 + m 2 )v;
m2
2gh ;
m1 + m 2
3. Статическое удлинение пружины до падения пластилинового шарика
mg
kΔy = m1g; ⇒ Δy = 1 ;
k
4. Закон сохранения энергии, применительно к колеблющейся чашке с пластилиновым шариком:
2
ky 2 kΔy 2 (m1 + m 2 )
−
=
+ (m1 + m 2 )g(y − Δy ),
2
2
2
где (m1 + m 2 )g(y − Δy ) = A mg − работа силы тяжести.
v=

5. Подставим в уравнение закона сохранения значение скорости v и Δу
2
ky 2 k ⎛ m1g ⎞ m 22 (m1 + m 2 )
mg⎞
⎛
− ⎜
2gh + (m1 + m 2 )g⎜ y − 1 ⎟ ;
⎟ =
2
2
2⎝ k ⎠
r ⎠
(m1 + m2 )
⎝
6. Получено квадратное уравнение относительно амплитуды А
ky 2
mg⎞
m 22
m 2g 2
⎛
2gh + 1 = 0 ;
− (m1 + m 2 )g⎜ y − 1 ⎟ +
2
k ⎠ (m1 + m 2 )
2k
⎝
ky 2
m g 2 (m1 + m 2 ) 2ghm 22 m12g 2
− y(m1 + m 2 )g + 1
+
+
= 0;
2
k
m1 + m 2
2k

y2 − y

2g(m1 + m 2 ) 2m1g 2 (m1 + m 2 )
4ghm 22
m12g 2
+
+
+
=0
k
k2
k (m1 + m 2 )
k2

m1 + m 2
m 22g 2
2ghm 22
+
g±
;
(m1 + m2 )k
k
k2
Первый член полученного уравнения характеризует положение статического равновесия чашки, второй член − определяет собственно амплитудное значение смещения.
y = yst m A =

50

Математический маятник
13.108. Почему возникают колебания математического маятника?

Решение

1. Рассмотрим математический маятник, представляющий собой точечную массу
m, закреплённую на невесомом, нерастяжимом стержне длиной l, второй конец стержня закреплён шарнирно. При отклонении стержня от вертикали на угол ϕ (рис. 13.108)
возникает восстанавливающая компонента силы тяжести, определяемая как
Fg = − mg sin ϕ .
2. При движении в сторону положения статического равновесия масса приобретает
&& , под действием силы инерции
ускорение lϕ
&& .
Fi = − mlϕ
3. Приравняем далее действующие на массу силы
&& + mg sin ϕ = 0 ,
mlϕ
или
g
&& + sin ϕ = 0 .
ϕ
l
4. Введём обозначение
g
= ω2 ,
l
что даёт основание уравнение переписать следующим
образом
Рис. 13.108. Математический
&& + ω2 sin ϕ = 0 .
ϕ
маятник
5. Таким образом пришли к нелинейному дифференциальному уравнению, которое в принципе можно превратить в линейное уравнение,
если рассматривать малые по амплитуде колебания. Действительно
ϕ3 ϕ5
sin ϕ = ϕ − +
−L ≈ ϕ .
3! 5!
6. Таким образом, для малых колебаний становится справедливым линейное дифференциальное уравнение
&& + ω2ϕ = 0 .
ϕ
ω=

g
2π
l
;
; ⇒ T=
= 2π
l
ω
g

13.109. Какую длину имеет математический маятник с периодом колебаний Т = 1с?

Решение

1. Период колебаний математического маятника
2π
gT 2 10
l
T=
= 2π ; ⇒ l = 2 ≅
≅ 0,25 м ;
ω
g
4π
40
13.110. Во сколько раз изменится частота колебаний математического маятника
при увеличении длины нити подвеса в 3 раза?

51

Решение

1. Определим отношение частот колебаний двух математических маятников разной
длины
1 g ⎫
ν1 =
; ⎪
ν2
2π l ⎪
= 3 ≅ 1,73 ;
⎬ ⇒
ν1
1 g ⎪
ν2 =
;
2π 3l ⎪⎭
13.110 Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один совершил N1 = 10, а другой N2 = 30 колебаний?

Решение

1. Выразим периоды колебаний через общее время τ и число совершенных за это
время полных колебаний
τ
τ
T1 N 2
;
T1 =
; T2 =
; ⇒
=
T2 N1
N1
N2
2. Период колебаний математического маятника, как установил Галилео Галилей,
не зависит от массы груза, а определяется длиной нити подвеса и ускорением свободного падения
l
T = 2π ; ⇒
g

T1
N
l
= 1 = 2; ⇒
l 2 N1
T2

2

l1 ⎛ N 2 ⎞
⎟ =9;
=⎜
l 2 ⎜⎝ N1 ⎟⎠

13.111 Определить длину математического маятника, если один полупериод его
колебания длится ровно 1 с.

Решение

1. Период колебаний заданного математического маятника составляет Т = 2 с, поэтому:
l
T 2g 4 ⋅ 10
T = 2π ; ⇒ l = 2 ≅
≅1м ;
g
4π
40
13.113. Математический маятник длиной l = 2 м за время τ = 1 ч совершает 2536
качаний. Определить величину ускорения свободного падения в месте расположения
маятника.

Решение

1. Выразим период колебаний маятника через заданные величины и определим величину ускорения свободного падения
2τ
4τ2
π2 l
м
l
l
T=
= 2π ; ⇒
= 2 2 ; ⇒ g = 2 N 2 ≅ 9,8 2 ;
N
g
g 4π N
τ
с
13.112. Определить ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы на её поверхности идут в 2,64 раза медленнее, чем на Земле?

Решение

1. Уравнения периодов колебаний маятников на Земле и Луне

52

l
l
; T2 = 2π
;
g1
g2
2. Отношение периодов колебаний одного и того же маятника

T1 = 2π

2

⎛T ⎞
Т1
g2
м
=
; ⇒ g 2 = g1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ≅ 9,81 ⋅ 0,14 ≅ 1,6 2 ;
T2
g1
с
⎝ T2 ⎠
13.113. Математический и пружинный маятники совершают колебания с одинаковым периодом. Определить массу пружинного маятника, если коэффициент жёсткости
пружины k = 20 Н/м, а длина математического маятника составляет l = 0,4 м.

Решение

1. Приравняем уравнения периодов колебаний пружинного и математического маятников
m
l
kl 20 ⋅ 0,4
=
; ⇒ m=
≅
≅ 0,8 кг ;
k
g
g
10
13.114. Один математический маятник имеет период Т1 = 3 с, а другой − Т2 = 4 с.
Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин
данных маятников?

Решение

1. Выразим длины заданных маятников
T 2g
T 2g
l1 = 1 2 ; l 2 = 2 2 ;
4π
4π
2. Запишем уравнение для искомого периода колебаний
l + l2
T = 2π 1
= T12 + T22 ≅ 5 c .
g
3.115. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его отпускают вертикально, а
второй раз отклоняют на небольшой угол. В каком случае шарик быстрее вернется в
положение статического равновесия?

Решение

1. Рассмотрим вначале свободное падение с высоты l
t2
2l
l
l = g 1 ; ⇒ t1 =
≅ 1,41
;
2
g
g
2. В случае движения шарика в режиме математического маятника
T π l
l
;
t2 = =
≅ 1,57
4 2 g
g
3. Сравнивая времена t1 и t2, получим:
t2
≅ 1,11; ⇒ t 2 > t1 ;
t1
13.116. Два математических маятника начинают колебаться одновременно. Кода
первый маятник совершил N1 – 20 полных колебаний, второй за это же время − только
10 полных колебаний. Какова длина первого маятника l 1 , если длина второго l 2 = 4 м?

53

Решение

1. Определим время τ, в течение которого качались маятники
τ
l
l
T2 =
= 2π 2 ; τ = 2πN 2 2 ≅ 40 c ;
N2
g
g
2. Найдём длину первого маятника
τ
l
τ2g
16 ⋅ 10
T1 =
= 2π 1 ; l 1 = 2 2 ≅
≅1м ;
N1
g
N1 4π
400 ⋅ 40
13.117. На сколько уйдут вперёд маятниковые часы за сутки, если их перенести с
экватора Земли на полюс? Ускорение свободного падения на экваторе и полюсе g1 =
9,78 м/с2 и g2 = 9,83 м/с2 соответственно.

Решение

1. Время, демонстрируемое маятниковыми часами, пропорционально числу полных колебаний, которое при фиксированном промежутке времени τ зависит от периода колебаний. Период же колебаний определяется длиной подвеса и ускорения свободного падения
l
l
T1 = 2π
; T2 = 2π
;
g1
g2
τ
τ
; n 2 = ; t1 = n1T1; t 2 = n 2T2 ;
T1
T2
2. Разность показаний часов в этом случае определится как:
⎛
⎛
9,78 ⎞⎟
g ⎞
± Δt = t1 − t 2 = τ⎜1 − 2 ⎟ ≅ 8,64 ⋅ 104 ⎜1 −
≅ 220 c .
⎜
⎜
9,83 ⎟⎠
g1 ⎟⎠
⎝
⎝
n1 =

13.118. Маятниковые часы за t = 1 сутки отстают на Δt = 1 ч. Что надо сделать с
маятником, чтобы часы стали идти верно?

Решение

1. Естественно для регулировки точности хода длину подвеса маятника нужно
укоротить, чтобы период колебаний стал меньше и часы пошли «быстрее», причём
⎛
l ⎞
− Δt = t ⎜1 − 1 ⎟ ;
⎜
l 2 ⎟⎠
⎝
2. Относительное изменение длины подвеса
l −l
ζ= 2 1 ;
l2
3. Из первого уравнения находим:
2

l 1 ⎛ Δt ⎞
2Δt
2Δt
7200
= ⎜ + 1⎟ ≅
+ 1; ⇒ ζ =
≅
≅ 0,1 ;
l2 ⎝ t
t
t
6,84 ⋅ 104
⎠
13.119. Грузик математического маятника, подвешенный на невесомой нити, отклоняется из положения равновесия и отпускается без начальной скорости. Определить, с каким ускорением а1 начинает двигаться грузик, если известно, что в момент
прохождения положения равновесия, его ускорение было равно а2 = 15 м/с2

54

Решение

1. Если длину нити подвеса математического маятника обозначить через l , начальный угол отклонения − через α, то тангенциальная составляющая ускорения в начальный момент времени движения грузика определится как:
a1 = g sin α ;
Рис. 13.119. Ускорение маятника
2. Запишем далее уравнение закона сохранения
энергии
mv2
= mgl(1 − cos α ) ,
2
где h = l(1 − cos α ) − начальная высота подъёма центра масс грузика над уровнем положения равновесия.
3. Будучи предоставленным самому себе, грузик движется по круговой траектории
с ускорением
v2
a2 =
;
l
4. Образуем систему уравнений
а1 = g sin α;
⎫
⎪
2
v
a2
⎪
a2 =
= cos α = 1 − sin 2 α ;
⎬ ⇒ a 2 = 2g(1 − cos α ); 1 −
2
g
l
⎪
v 2 = 2gl(1 − cos α );⎪⎭
2

2

⎛ a ⎞
⎛
a ⎞
1 − ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = sin 2 α; sin α = 1 − ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ;
⎝ 2g ⎠
⎝ 2g ⎠

a1 =

a 2 (4g − a 2 )
15(40 − 15)
м
≅
≅ 9,68 2 ;
2
2
с

13.120. Точные астрономические часы с секундным маятником помещены в камере, находящейся на глубине h = 200 м под поверхностью земли. На сколько отстанут
за сутки часы при перенесении их на поверхность?

Решение

1. В подземной камере часы в течение суток должны делать N полных колебаний
8,64 ⋅ 104
N=
,
T1
где Т1 − «правильный» период колебаний маятника.
2. Если в результате переноса механизма на поверхность период колебаний маятника вследствие изменения величины ускорения свободного падения стал равным Т2,
то отставание за сутки составит величину
Δτ = N(T2 − T1 ) ;
3. Период колебаний маятника в поземной камере и на поверхности
l
l
T1 = 2π
; T2 = 2π
;
g1
g2
4. Отношение периодов:
T1
g2
=
;
T2
g1

55

5. Из закона всемирного тяготения следует, что
g2
R2
=
,
2
g1 (R + h )
где R ≈ 6400 км− радиус Земли.
6. Определим взаимосвязь между периодами колебаний Т1 и Т2
R+h
h
T2 =
T1; T2 − T1 = T1 ;
R
R
7. Отставание часов за сутки составит:
200
hT
Δτ = N 1 ≅ 8,64 ⋅ 104
≅ 2,7 c ;
6,4 ⋅ 106
R
13.121. Маятник укреплён на тележке, скатывающейся без сопротивления по наклонной плоскости. В неподвижном состоянии период колебаний математического маятника равен Т0. Как изменится период колебаний мятника во время скатывания тележки с наклонной плоскости?

Решение

Рис. 13.121. Маятник на тележке

1. Разложим силу тяжести на две составляющих, одна из которых параллельна плоскости, а
вторая − перпендикулярна. Влияние на колебательный процесс будет оказывать только составляющая перпендикулярная опорной плоскости.
2. Колебания маятника, таким образом, бут
r
протекать при воздействии на него на силы mg , а
силы
mg y = mg cos α ;

3. Период колебаний скатывающегося маятника
T0
l
T = 2π
,
=
g cos α
cos α
т.е. ввиду того, что cosα ≤ 1, период колебаний скатывающегося на тележке маятника
становится больше.

13.122. Найти период малых колебаний величин смещения бруска, который может
перемещаться без сопротивления внутри обруча радиуса R.

Решение

1. Движение бруска в данном случае не отличается
от движения массы подвешенной на нити, роль связи,
наложенной на движущееся тело выполняет нормальная
r
реакция связи N .
2. В общем случае период колебаний определяется
как
Рис. 13.122. Брусок в обруче
m
T = 2π
,
k
3. Роль коэффициента k играет величина
mg
R
k=
; ⇒ T = 2π
;
R
g

56

13.123. Найти период малых колебаний математического маятника c массой m и

r

длиной l , помещённого в электрическое поле напряженностью E ,если грузик маятника несёт положительный заряд q.

Решение

1. Заряженный маленький шарик, помещённый на
нити в электрическое поле, находится под действием
суммарной силы, состоящей из силы тяжести и силы Кулона. Закон ньютона в проекции на направление касательной запишется следующим образом
ma = mg + qE ;
qE
;
a =g+
m
2. Период колебаний маятника определится как:
l
ml
;
T = 2π
= 2π
a
mg + qE

Рис. 13.123. Заряженный
шарик маятника

13.124. Кабина лифта движется сначала с ускорением а1 в течение времени τ1, а
затем с замедлением в течение времени τ2. Сколько колебаний сделает математический маятник длиной l за время движения лифта?

Решение

1. Время движения лифта
τ = τ1 + τ2 ;
2. Число полных колебаний за это время
N = N1 + N 2 ;
3. Периоды колебаний при двух режимах движения
l
l
T1 = 2π
; T2 = 2π
;
g + a1
g − a2
4. Число полных колебаний, совершённых маятником
g + a1 + g − a 2
τ τ
N= 1 + 2 =
.
T1 T2
2π l
13.125. Математический маятник совершает малые колебания таким образом, что
через время τ = 0,3124 с после прохождения положения равновесия, отклонение нити
от равновесного положения стало равным α0, а через время 2τ нить отклонилась на
величину

3α 0 ⋅ Определить длину маятника, если 2τ меньше полупериода колебаний.
Решение

1. Уравнение колебаний математического маятника
α(t ) = A sin ωt ;
2. По условию задачи
α 0 = A sin ωτ;
3α 0 = A sin 2ωτ ;
3. Из тригонометрии известно, что
sin2ωτ = 2sinωτcosωτ ;
или

57

3
3 π
; ⇒ ωτ =
= ;
2
2
6
4. Циклическая частота колебаний математического маятника
2
g
⎛τ⎞
ω=
; l = 36g⎜ ⎟ ≅ 3,6 м .
l
⎝π⎠
3α 0 = 2α 0соsωτ; ⇒ cosωτ =

13.126. Маятниковые часы, выверенные при комнатной температуре, уходят за сутки на Δt = 2 мин вследствие понижения температуры, т.к. изменяется длина маятника.
На сколько при данной температуре необходимо изменить длину маятника для верного хода часов?

Решение

1. В течение суток τ ввиду уменьшения длины маятника часы сделают большее
число колебаний, т. к. l 1 > l 2 , a1 = a 2 = g , при этом отставание составит:
⎛
l ⎞
− Δt = τ⎜1 − 1 ⎟ ;
⎜
l 2 ⎟⎠
⎝
2. Запишем относительное удлинение маятника в виде:
l −l
ζ= 2 1 ;
l2
3. Из уравнения Δt определим отношение длин
2
l 1 ⎛ Δt ⎞ 2Δt
+1;
= ⎜ + 1⎟ ≈
τ
l2 ⎝ τ
⎠
4. Разрешим последнее уравнение относительно относительной длины
2Δt
ζ=
≅ 3 ⋅ 10− 3 (≈ 0,3% от l 1 ) ;
τ
13.127. С одной из вершин Гималаев, с высоты h = 6200 м маятниковые часы были
снесены на побережье океана. Насколько изменятся показания часов за сутки в новых
условиях?

Решение

1. От высоты над поверхностью океана зависит величина ускорения свободного
падения, следовательно, и период колебаний математического маятника. Часы, перенесенные с горной вершины, станут делать большее количество колебаний за сутки,
отсюда и нарушение точности хода.
2. Изменение показаний часов за время суток τ, с учётом того, что l1 = l 2 определится как
⎛
g ⎞
− Δt = τ⎜1 − 2 ⎟ ,
⎜
g1 ⎟⎠
⎝
где g1 − величина ускорения свободного падения на высоте h, τ = 8,64⋅104 с − продолжительность суток в секундах.
3. Закон гравитации позволяет определить величину g1
M
g1 = G
,
(R + h )2
где М ≈ 5,88⋅1024 кг − масса Земли, R ≈ 6,4⋅106 м − радиус Земли.
4. Ускорение свободного падения на уровне Мирового океана
M
g2 = G 2 ;
R

58

5. Из двух последних уравнений определим отношение величин ускорений свободного падения
2
g 2 (R + h )
=
;
g1
R2
6. Подставим найденное отношение у уравнение для Δt
3
h
⎛ R+h⎞
4 6, 2 ⋅ 10
≅ 83,7 с ;
− Δt = ⎜1 −
⎟ = −τ ≅ −8,64 ⋅ 10
R ⎠
R
6,4 ⋅ 106
⎝
13.128. С каким ускорением а и в каком направлении должен двигаться лифт, чтобы, находящийся в нём секундный маятник за время τ = 150 с совершил n = 100 колебаний?

Решение

1. В лифте, движущемся в вертикальном направлении с ускорением а, период колебаний в общем случае определяется уравнением:
l
,
T = 2π
g±a
положительный знак ускорения соответствует его направлению вверх, направление же
движения лифта (направление вектора скорости) для периода колебаний значения не
имеет.
2. По условию задачи лифт 100 колебаний совершил за 150 с, а не за 100, как это
предполагается в его стационарном состоянии, следовательно, период колебаний в
данном случае определяется уравнением
τ
l
T = 2π
= ;
g−a n
3. Принимая
l
T0 = 2π
= 1 c,
g
определим отношение периодов
T
τ
g
=
=
;
T0 nT0
g−a
4. Определим из последнего уравнения величину ускорения лифта
⎛ n 2T 2 ⎞
м
a = g⎜⎜1 − 2 0 ⎟⎟ ≅ 5,4 2 ;
с
τ ⎠
⎝
13.129. Математический маятник длины l подвешен к потолку вагона, движущегося горизонтально с ускорением а0. Найти период колебаний маятника.

Решение

1. Грузик маятника в движущемся вагоне
находится под действием одновременно двух
составляющих ускорения: ускорения свободноr
r
го падения g и ускорения вагона a , которые
направлены перпендикулярно друг другу, поэтому модуль результирующего ускорения определится как:
Рис. 13.129. Маятник в вагоне
r
a = g 2 + a 02 ;
2. Период колебаний математического маятника, расположенного в ускоренно

59

движущемся вагоне будет определяться уравнением
l
;
Т = 2π 2
g + a 02
13.130. При какой скорости поезда v подвешенный в вагоне математический маятник длиной l = 1 м станет раскачиваться особенно интенсивно, если длина одного
рельса составляет L = 25 м?

Решение

1. Основной причиной раскачивания маятника будут являться толчки, возникающие при перемещении колёс по стыкам рельс. Очевидно наибольшее воздействие будет иметь место при совпадении частоты этих толчков с частотой собственных колебаний маятника
g
ω0 =
;
l
2. Частота проявления стыков рельс
v
v
ν = ; ω = 2π ;
L
L
3. Условие максимального раскачивания
2πv
g
L g
25
м ⎛
км ⎞
ω0 = ω;
=
; ⇒ v=
=
10 ≅ 12,58 , ⎜ 45,3 ⎟ ;
L
2π l 6,28
с ⎝
ч ⎠
l
13.131. В неподвижном лифте расположен математический маятник с прериодом
колебаний Т = 1 с. С каким ускорением движется лифт, если период колебаний маятника стал равным Т1 = 1,1 с?

Решение

1. Поскольку период колебаний маятника увеличился, то его величина определяется уравнением
l
T = 2π
;
g−a
2. Период колебаний неподвижного маятника
l
T0 = 2π
;
g
3. Отношение квадратов периодов

⎡ ⎛ 1 ⎞2 ⎤
⎡ ⎛ T0 ⎞ 2 ⎤
⎛T⎞
g
⎜ ⎟=
⎜ T ⎟ g − a ; ⇒ a = g ⎢1 − ⎜⎝ T ⎟⎠ ⎥ ≅ g ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ 1,1 ⎟⎟ ⎥ ≅ 0,173g ;
⎝ 0⎠
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥
13.132. Математический маятник длиной l = 1 м с массой повешенного шарика m
= 0,1 кг отклоняют от положения равновесия на δ = 0,1 м. Определить действующую на
шарик силу и зависимость потенциальной энергии шарика от смещения δ.

Решение

1. Изобразим маятник в положении, заданном по условию задачи и приложим к
шарику действующие силы: силу тяжести mg и силу натяжения нити Т. Выберем систему координат, совместив её начало с центром шарика, который в данной задаче
можно считать материальной точкой, так как длина нити подвеса полагается существенно большей размеров шарика.

60

2. Величина возвращающей силы F численно будет равна
проекции силы тяжести mg на направление выбранной оси х
r
F = mg sin ϕ .

3. Выразим угол отклонения маятника ϕ через его параметры
sin ϕ = δ l .
4. Совместив уравнения, получим следующее уравнение для
модуля возвращающей силы
r mgδ 0,1 ⋅ 10 ⋅ 0,1
F=
=
= 0,1 H .
l
1
5. Потенциальная энергия численно равна работе, совершаемой при подъеме шарика на некоторую высоту h . Элементарная
работа, при малых значениях угла отклонения определится в виде произведения возвращающей силы (3) на бесконечно малое Рис. 13.132. Малые
отклонения δ
перемещение шарика dδ
mgδ
dΠ = δA =
dδ .
l
6. Конечное изменение потенциальной энергии определится в виде интеграла
δ
mg
mgδ 2
Π=
δ
δ
=
≅ 0,05 Дж .
d
l ∫0
2l
13.133. Математический маятник массой m и длиной l колеблется гармонически
без сопротивления. Какую работу совершает возвращающая сила за время τ, считая
от момента выхода из равновесного положения, если амплитуда колебаний равна ΔR?

Решение

1. Работа возвращающей силы определяется изменением потенциальной энергии
⎛ ζΔr22 ζΔr12 ⎞
⎟,
A = − ΔΠ = −⎜⎜
−
2 ⎟⎠
⎝ 2
где ⋅ζ − коэффициент пропорциональности, Δr − величина перемещения.
2. В начальный момент времени Δr1 = 0, поэтому
ζΔr22
;
A=−
2
3. Для математического маятника, колеблющегося в поле сил тяжести
mg
g
ζ=
; ω=
;
l
l
4. Перемещение грузика представляет собой периодический процесс
g
Δr ( t ) = ΔR sin ωt = Δr sin
t;
l
5. С учётом полученных соотношений, работа запишется следующим образом
mg
2π
mg
g
ΔR 2 sin 2
τ;
A=−
ΔR 2 sin 2
τ; A = −
T
l
l
l

61

Свободные колебания механических систем
13.134. Шар массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки с кривизной R.
Найти зависимость потенциальной энергии шара от величины его малых колебаний х
из положения статического равновесия.

Решение

1. Охарактеризуем смещение шара из положения
равновесия углом отклонения ϕ. Смещение центра
шара на расстояние х от положения равновесия приведёт к изменению взаимного направления силы тяжести mg и нормальной реакции связи N, что, собственно и является причиной возникновения возвращающей силы F
x
F = mg sin ϕ = mg
.
Рис. 13.134. Шар в Лунке
R−r
2. Бесконечно малое изменение потенциальной энергии будет численно равно элементарной работе, совершаемой на перемещении dx, составит
mgx
dΠ =
dx .
R −r
3. Изменение потенциальной энергии на конечном перемещении запишется в виде
следующего определённого интеграла
x
mg
mgx 2
Π=
xdx
=
.
R − r ∫0
2(R − r )
13.135. Горизонтальный жёлоб слева от нижней линии выгнут по цилиндрической
поверхности радиуса r, а справа − по поверхности радиуса R. Найти отношение наибольших отклонений влево и вправо при малых колебаниях в жёлобе небольшого шарика.

Решение

1. Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение шарика в точке стыковки поверхностей.
В соответствие с законом сохранения энергии, при отклонении шарика из положения статического равновеРис. 13.135. Шарик в жёлобе сия вправо на высоту h, шарик запасёт потенциальную
энергию
mgA12
Π1 =
.
2R
2. После скатывания в точку равновесия шарик по инерции станет подниматься по
жёлобу меньшего радиуса на ту же высоту, но при этом отклонится на меньшее расстояние от положения равновесия
mgA 22
Π2 =
.
2r
3. Поскольку потери при колебаниях отсутствуют, то возможно энергии по разным
профилям поверхности приравнять
mgA12 mgA 22
A
R
Π1 = Π 2 ;
=
.
,⇒ 1 =
2R
2r
A2
r

62

13.136. На концах лёгкого диэлектрического стержня длиной l закреплено два точечных разноимённых, заряда модули, которых одинаковы и равны q. Конструкция помещена в электрическое поле с напряжённостью Е. На заряды действует сила Кулона
F = ± qE. Найти массу каждого шарика m, если амплитуда малых поперечных колебаний равна А, а максимальная скорость vm.

Решение

1. Система электрических зарядов, приведенная на рисунке, находится в положении статического равновесия. При повороте стержня вокруг
оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно плоскости вращения, т.е. вокруг точки
о, возникнут проекции сил Кулона F1 и F2, которые будут стремиться вернуть заряды в исходное
положение. Другими словами возникнет возвращающие силы, являющиеся необходимым услоРис. 13.136. Колебания диполя
вием возникновения колебаний.
2. При амплитудном значении смещения система зарядов будет обладать потенциальной энергией
qEA 2
Π=
.
l
3. В момент прохождения зарядами положения статического равновесия вследствие отсутствия сопротивления, потенциальная энергия преобразуется в кинетическую
энергию
mv 2m qEA 2
2qEA 2
=
.
,⇒m=
2
l
lv 2m
13.137. Маятник, представляющий груз массой m = 1 ruна невесомом стержне длиной l = 1 м, совершает малые гармонические колебания с амплитудой А = 0,1 м. Определить максимальное и минимальное значение силы, действующей на стержень.

Решение

1. Определим угол отклонения стержня
A
ϕ0 = arcsin ≅ 5,74 0 .
l
2. Минимальное значение силы, приложенной к
стержню будет наблюдаться в положении шарика 2,
когда он обладает только потенциальной энергией и
скорость равна нулю. Максимальное значение силы
будет иметь место в момент прохождения массой положения статического равновесия 1.
Рис. 13.137. Силы в стержне
3. При амплитудном отклонении маятника сила,
приложенная к стержню по модулю будет равна проекции силы тяжести на направление отклонённого стержня
F(min) = mg cos ϕ0 ≅ 1 ⋅ 10 ⋅ 0,995 ≅ 9,95 H .
4. В момент прохождения массой точки статического равновесия его энергия будет
только кинетическая, что позволяет, используя закон сохранения найти величину скорости
2
mv (max)
Π = mgh = mgl(1 − cos ϕ0 ) , K =
,
2

63

mgl(1 − cos ϕ0 ) =

2
mv (max)

, v (max) = 2gl(1 − cos ϕ0 ) .
2
5. Поскольку шарик маятника движется по круговой траектории радиуса l, то движение будет ускоренным, величина нормального ускорения определится как
2
v (max)
an =
= 2g(1 − cos ϕ0 ) .
l
6. Максимальное значение силы растяжения стержня в положении массы 1 будет
равно сумме силы тяжести и фиктивной силы инерции, обусловленной наличием нормального ускорения
mv (2vax )
F(max) = mg +
= m[g + 2g(1 − cos ϕ0 )] ≅ 10,1 H .
l
13.138. Посередине натянутой струны длины 2l закреплён шар массой m. Определить суммарную силу FΣ, действующую на шар со стороны струны, если его поперечное смещение из положения равновесия δ << l, а сила натяжения струны F не зависит
от смещения. Как зависит потенциальная энергия шара от его смещения δ? С какой
скоростью движется шар в момент прохождения положения статического равновесия?
Амплитуда смещения шара А.

Решение

1. Определим проекцию силы натяжения
струны на направление смещения шара
δ
Fy = F cos α ≅ Ftgα ≅ F .
l
2. Модуль силы, приложенной к шару со
стороны струны, определится как сумма проекций сил натяжения
2Fδ
2FA
.
FΣ = 2Fy = −
, FΣ (max) = −
Рис. 13.138.Шар на струне
l
l
3. Потенциальная энергия будет численно равна работе силы, приложенной к шару
на перемещении δ
2Fδ 2
.
Π = A 0→δ = 2FΣ δ =
l
4. Ввиду отсутствия затухания, потенциальная энергия шара в нижнем положении
при отклонении на δ = А, полностью трансформируется в кинетическую энергию в
момент прохождения шаром положения статического равновесия
2FA 2 mv 2m
2F
, vm = A
=
.
l
2
ml
13.139. Небольшое тело массой m = 1 кг соединённое с горизонтальной пружиной,
совершает малые колебания с амплитудой А = 10 см, причём, максимальное значение
энергии достигает величины Е = 50 Дж. Через какой промежуток времени τ смещение
точки после начала движения достигнет половины амплитуды δ = 0,5 А? Какова средняя скорость за это время?

Решение

1. По величине заданной энергии можно определить жёсткость пружины, т.к. при амплитудном смеРис. 13.139. Тело на пружине
щении массы её энергия будет только потенциальной
2E
kA 2
,⇒k = 2 .
E=Π=
A
2
2. Определим далее частоту собственных колебаний

64

k
1 2E
рад
=
≅ 100
.
m A m
с
3. Предположим, что колебания происходят по закону
x (t ) = A sin ωt ,
в этом случае заданное условие смещения можно записать следующим образом
1
A
= A sin (ωτ), ωτ = arcsin , ωτ = 0,52 рад ,
2
2
0,52
τ=
= 5,3 ⋅ 10 -3 c .
ω
4. Средняя скорость по определению равна частному от деления перемещения на
время, за которое оно совершается
м
A
< v >=
≅ 50 .
с
2τ
ω=

13.140 . На какое расстояние δ необходимо сместить из положения равновесия груз
массой m = 0,5 кг, соединённый с пружиной жёсткостью k = 200 H/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью vm = 10 м/с?

Решение

1. Заданные масса и жёсткость пружины позволяют определить частоту собственных колебаний пружинного маятника
ω= k m .
2. Максимальная скорость груза определится как
v m = ωδ = δ

k
m
, ⇒ δ = vm
= 0,5 м .
m
k

13.141. Колебательная система состоит их вертикальной пружины и небольшого
тела массой m1. Ели к колеблющемуся телу прибавить массу m2 = 0,3 кг, то частота
колебаний уменьшится в два раза. Определить начальную массу тела.

Решение

1. Запишем уравнения собственных частот
⎧
1
k
;
⎪ν1 =
2 π m1
⎪
⎨
k
⎪ν = 1
⎪ 2 2π m + m .
1
2
⎩
2. Поделим уравнения друг на друга
m1 + m 2
.
n=
m1
3. Разрешим уравнение относительно искомой массы m1
n 2 = 1 + m 2 m1 , m1 = m 2 (n 2 − 1) = 0,1 кг .

13.142. Вагон при скорости v сталкивается с пружинным демпфером. В момент остановки вагона пружина демпфера сжалась на величину х. Определить время взаимодействия вагона и демпфера.

65

Решение

1. Начиная с момента касания буферов вагона демпфера, систему вагон − демпфер
можно рассматривать как типичную колебательную систему с периодом
m
;
T = 2π
k
2. Время взаимодействия будет равно четверти периода, т.е. времени деформации
пружины демпфера
T
τ= ;
4
3. Запишем закон сохранения энергии
m x2
mv2 kx 2
; ⇒
=
=
;
k v2
2
2
4. Совмещая полученные соотношения, запишем уравнение для времени взаимодействия
πx
τ=
;
2v
13.143. На льдину в виде пластины площадью s = 5 м2 с небольшой высоты падает
груз массой m = 80 кг. Вместе с грузом льдина начинает гармонически вертикально
перемещаться с периодом Т = 1 с. Какова толщина льдины?

Решение

1. Искомая толщина льдины d входит в уравнение её массы M
M = ρ1sd,
−
плотность
льда.
где ρ1
2. При падении груза на льдину предположим, что она погружается в воду на величину Δу, что приведёт к возникновению возвращающей силы, обусловленной изменением величины силы Архимеда
ΔFA = ρ2gsΔy ,
где ρ2 − плотность воды.
3. Циклическая частота колебаний льдины с грузом
ρ1gs
ρ gs
ω=
; ω2 = 1
; ω = 2πν; ν = 1 Гц ;
M+m
M+m
4. Выразим из уравнения циклической частоты массу льдины
ρ gs
M = 2 2 − m;
ω
5. Подставляя значение массы в исходное уравнение, и разрешая его относительно
толщины льдины, получим:
M ρ2gs − mω2
≅ 0,26 м .
d=
=
ω2ρ1s
ρ1s
13.144. Кубик льда с длиной ребра L плавает в воде. Определить период его собственных колебаний.

Решение

1. В своём обычном состоянии кубик льда находится в состоянии равновесия. Сила
тяжести уравновешивается силой Архимеда. При погружении кубика в воду увеличивается объём его погруженной части, сила Архимеда возрастает, т.е. появляется воз-

66

вращающая сила, стремящаяся вернуть систему в
исходное состояние, что, собственно, и является
причиной возникновения колебаний.
2. Второй закон Ньютона представится следующим образом:
mg = ρ1Vg,
где ρ1 − плотность воды, V − объём кубика.
3. Применительно к процессу колебаний уравнение перепишется следующим образом:
− mg + (V − ΔLL2 )ρ1g = ma y ;

Рис. 13.144. Кубик льда в воде

4. Выразим массу кубика через плотность льда
m = ρ2 L3 ;
5. Разрешим уравнение второго закона Ньютона относительно ускорения с учётом
значения массы кубика
d2y ρ g
ay = 2 + 1 y = 0 ,
dt
ρ2 L
другими словами, получено дифференциальное уравнение второго порядка вида:
&y& + ω2 y = 0,
откуда следует, что:
ρ g
ω2 = 1 ;
ρ2 L
6. Период колебаний
ρL
T = 2π 2 .
ρ1g
13.145. Определить период колебаний жидкости в U − образной трубке постоянного
сечения при общей длине заполненной жидкостью части 2L.

Решение

1. Колебания уровня жидкости возникнут в том
случае, если в одном из колен сосуда жидкость
поднимется на величину у, а во втором колене на
такую же величину опустится, при этом разность
давлений по отношению к уровню статического
равновесия будет составлять
Δp = ρg 2 y .
Рис. 13.145. Колебания жидкости
2. Величина возвращающей силы
F = Δps = ρg 2 ys ;
3. Масса жидкости, находящейся в трубке
m = 2ρsL ;
4. Уравнение второго закона Ньютона
g
g
2ρsLa y = −2ρgsy; &y& + y = 0; ⇒ ω2 = ;
L
L
5. Период колебаний уровня жидкости
L
T = 2π
;
g

67

13.146. Математический маятник с длиной нити подвеса L и массой m соединён с
горизонтальной невесомой пружиной жёсткостью k. Определить период малых колебаний системы. Как изменится ответ, если пружину заменить резиновой лентой с эквивалентной длиной и жёсткостью?

Решение

1. Если систему отклонить из положения равновесия
на бесконечно малую величину r, то выражение для полной энергии можно записать в виде
2

E = Ar

2

⎛ dr ⎞
+ B⎜
⎟ ,
⎝ dt ⎠

где А, В − положительные константы. В качестве обобщённой координаты dr может быть использована как лиРис. 13.146. Маятник
нейная величина, так и угловая, например, угол отклонес пружиной
ния нити от вертикали.
2. Если потери при движении системы отсутствуют, то энергия такой системы сохраняется, потому что силы тяжести и упругие силы относятся к консервативным силам. Закон сохранения энергии можно представить так:
⎛ d 2r ⎞
dE
A
A
= 0; ⇒ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = − r; &r& + r = 0; &r& + ω2 r = 0
dt
B
B
⎝ dt ⎠
3. Таким образом, мы пришли к дифференциальному уравнению, описывающему
процесс гармонических колебаний
A
;
ω=
B
4. Запишем уравнение полной энергии применительно к данной системе
mg ⎞ r 2 mr& 2
1⎛
mg ⎞
m
⎛
E = ⎜k +
; ⇒ A = ⎜k +
⎟; B = ;
⎟ +
L ⎠2
2
2⎝
L ⎠
2
⎝
5. Период колебаний системы
2π
B
mL
T1 =
= 2π
= 2π
;
ω
A
kL + mg
6. Если пружину заменить резиновой лентой, то она станет оказывать влияние
только при растяжении, поэтому период колебаний такой системы представится так:
⎛
T
L
mL
L ⎞⎟
T2 = 1 + 2π
= π⎜
+
;
⎜
2
g
g ⎟⎠
⎝ kL + mg
13.147. Во сколько раз изменится частота малых колебаний небольшого груза массой m на стержне, если к середине невесомого стержня прикрепить горизонтальную
пружину жёсткостью k. В равновесном состоянии стержень занимает вертикальное
положение.

Решение

1. Если пружину мысленно убрать, то оставшаяся конструкция будет представлять собой
обычный математический маятник с частотой собственных колебаний
1 g
;
ν1 =
2π L
2. Прикрепление к середине стержня пружины
будет увеличивать величину возвращающей силы,
Рис. 13.147. Стержень с пружиной

68

следовательно, частота собственных колебаний должна возрасти.
3. При отклонении из положения равновесия стержня на бесконечно малую величину r << L, он приобретает потенциальную энергию
mgr 2
,
mgh =
2L
кроме того, при деформации пружины на r/2 ей сообщается дополнительная энергия
2
k (r 2)
ΔΠ =
;
2
4. Полная механическая энергия системы определится как:
2
mr& 2
⎛ mg k ⎞ r
;
E=⎜
+ ⎟ +
2
⎝ L 4⎠ 2
5. Сохранение энергии даёт:
dE
k ⎞
g
k
⎛g
+
;
= 0; &r& + ⎜ +
⎟r = 0; ⇒ ω =
dt
L 4m
⎝ L 4m ⎠
6. Частота колебаний системы
ω
1 g
k
ν2 =
=
+
;
2π 2π L 4m
7. Отношение частот
ν2
kL
= 1+
;
ν1
4mg
13.148. Два математических маятника длиной L соединены пружиной жёсткостью k.
Определить период синфазных и противофазных колебаний системы.

Решение

1. Если маятники отклонить в одну сторону на одинаковый угол, то пружина деформироваться не будет и
период синфазных колебаний будет описываться традиционным для математического маятника уравнением
L
;
T1 = 2π
g
2. При отклонении маятников на одинаковые малые
Рис. 13.148. Маятники
углы в противоположные стороны на бесконечно масоединенные
пружиной
лую величину r пружина начнёт оказывать влияние,
энергия системы запишется в виде уравнения:
2
k (2r )
mgr 2
mr& 2 ⎛
mg ⎞ 2
2
E=
+2
+2
= ⎜ 2k +
⎟r + mr& .
2
2L
2
L ⎠
⎝
3. Из закона сохранения энергии следует, что:
mg
2k +
dE
L r = 0; ⇒ ω = mg + 2kL ;
= 0; ⇒ &r& +
dt
L
mL
4. Период колебаний системы
mL
T2 = 2π
;
mg + 2kL

69

13.149. Известно, что ареометр совершает колебания в воде с периодом Т = 2 с.
Каков будет период колебаний при опускании ареометра в бензин с плотностью ρ =
730 кг/м3?

Решение

1. Ареометр обладает положительной плавучестью, к нему
приложена сила Архимеда, которая в данном случае будет выполнять роль возвращающей силы
FA = ρ L gV = ρ L gsh ,
где ρL − плотность жидкости, g − ускорение свободного падения, V − объём погруженной части ареометра, s − средняя
площадь поперечного сечения, h − глубина погружения.
2. С другой стороны силу, действующую на ареометр при
Рис. 13.149. Ареометр его максимальном заглублении на величину h можно выразить
из уравнения гармонического движения по известной схеме
2π
x (t ) = h sin
t,
T
2π
2π
x& (t ) = h
cos
t,
T
T
2π
4π 2
x& max = h
, &x& max = − 2 h ,
T
T
4π 2
F = −m&x& = −m 2 h .
T
3. Запишем условие равновесия ареометра в проекции на вертикальную ось
m
4π 2
ρ L gsh − m 2 h = 0, ⇒ T = 2π
.
ρ L gs
T
4. Образуем систему уравнений
⎧
m
;
⎪T1 = 2π
ρ
T1
ρ1
1gs
⎪
⇒
=
,
⎨
T2
ρ2
⎪T = 2π m ;
⎪ 2
ρ 2 gs
⎩
где Т1, − период колебаний в воде с плотностью ρ1 = 103кг/м3, Т2 − период колебаний
ареометра в керосине с плотностью ρ2 = 730 кг/м3.
5. Разрешим последнее уравнение относительно периода колебаний ареометра в
керосине
T2 = T1

ρ1
103
=2
≅ 2,34 c .
ρ2
730

13.150. На рабочий стол вибростенда, колеблющийся с
частотой ν = 5 Гц, поставлен для испытания системный блок
персонального компьютера. При какой амплитуде колебаний
блок не будет отрываться от поверхности рабочего стола?

Решение

1. Блок будет оставаться в соприкосновении с поверхностью рабочего стола во всех случаях, когда нормальная реакция связи будет отлична от нуля. Уравнение второго закона
Ньютона в проекции на вертикальную ось можно представить
Рис. 13.150. Вибростенд следующим образом

70

m&y&(t ) = mg − N .
2. Определим максимальное значение ускорения при колебательном движении,
используя уравнение гармонических колебаний
y(t ) = A sin ωt; y& (t ) = Aω cos ωt; &y&(t ) = −Aω2 sin ωt .
&y& max = − Aω2 .
3. Найдём величину циклической частоты и подставим её значение в уравнение
ускорения
ω = 2πν; ⇒ &y& max = −4π 2 ν 2 A .
4. Отрыв системного блока от поверхности стола вибростенда произойдёт при условии &y& max = g , другими словами
4π 2 ν 2 A = g; A =

g
10
≅
≅ 1 ⋅ 10 −2 м .
2 2
4π ν
40 ⋅ 25

13.151. Математический маятник длиной l = 1 м с массой грузика М = 0,5 кг совершает гармонические колебания, отклоняясь от положения равновесия на угол ϕ = 100.
При прохождении в очередной раз положение статического равновесия грузик налетает на кусок пластилина массой m = 0,1 кг, испытывая абсолютно неупругий удар. Во
сколько раз изменится потенциальная энергия грузика с налипшим на него пластилином и период колебаний маятника?

Решение

1. Определим потенциальную энергию маятника при
его движении без пластилина
Π1 = mgl(1 − cos ϕ) .
2. При прохождении маятником положения статического равновесия потенциальная энергия полностью
трансформируется в кинетическую энергию, при этом
Рис. 23.151. Маятник
скорость грузика определится как
2
с пластилином
Mv
,
Mgl(1 − cos ϕ) =
2
v = 2gl(1 − cos ϕ) .
3. Для определения скорости движения грузика с налипшим на него пластилином
воспользуемся законом сохранения импульса
m 2gl(1 − cos ϕ)
Mv
.
Mv = (M + m )u; u =
=
M+m
M+m
4. Кинетическая энергия грузика с налипшим на него пластилином будет равна
максимальному значению потенциальной энергии при максимальном отклонении
(M + m )u 2 = (M + m )m 2 2gl(1 − cos ϕ) .
Π2 = K2 =
2
(M + m )2
2glm 2 (1 − cos ϕ)
.
M+m
5. Определим отношение потенциальных энергий
Π 1 Mgl(1 − cos )(M + m ) M(M + m ) 0,5 ⋅ 0,6
=
=
≅
≅ 0,6 .
Π2
m 2 2gl(1 − cos ϕ)
2m 2
0,5
6. Период колебаний маятника ввиду их изохронности, т.е. независимости от амплитуды, меняться не будет, кроме того, масса маятника в уравнение периода не входит.
Π2 =

71

Физический маятник
13.152. Физический маятник представляет собой однородный
стержень длины l = 2 м. Колебания происходят вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его
верхний конец.

Решение

1. Момент инерции стержня относительно горизонтальной оси
колебаний определится как
1
J x = ml 2 .
3
2. Период малых колебаний физического маятника при расРис. 13.152. Колеба- стоянии от центра масс до оси колебаний δ = l/2, определится пония стержня
средствам уравнения
Jx
2l
4
T = 2π
= 2π
≅ 6,28
≅ 2,3 c .
mgδ
3g
30
13.153. Физический маятник представляет собой тонкий стержень длиной l = 2 ми
массой m0 = 1 кг, на концах которого закреплены свинцовые шарики массами m1 = m2 =
0,5 кг. Маятник совершает малые колебания вокруг оси, проходящей через середину
стержня перпендикулярно его оси. Определить период колебаний.

Решение

1. Период колебаний физического маятника определяется уравнением
T = 2π

Рис. 13.154. Стержень и шары

Jz
,
Mgl C

где Jz − момент инерции маятника относительно оси
колебаний z, M − масса маятника, lС − расстояние от
центра масс маятника до оси.
2. Маятник состоит из двух точечных масс m1 и
m2 и массы стержня m0, поэтому его суммарный мо-

мент инерции определится как
m l2 m l2 m l2 m l2 m l2
J z = J1 + J 2 + J 3 = 1 + 2 + 0 = 1 + 0 ≅ 1,33 кг ⋅ м 2 .
4
4
12
2
12
3. Поскольку маятник симметричен, то ось вращения будет проходить через центр
масс, т.е. lC = l/2, поэтому период маятника определится следующим уравнением
2J z
2,66
T = 2π
= 6,28
≅ 5,12 c .
(m1 + m 2 + m 0 )l
4
13.154. В условиях предыдущей задачи массы шаров равны m1 = 0,3 кг, m2 = 0,6 кг.
Определить период колебаний стержня, длина и масса которого остались неизменными.

72

Решение

1. В этом случае момент инерции стержня с шарами
определится посредствам уравнения
J z = J1 + J 2 + J 3 =

m1l 2 m 2 l 2 m 0 l 2
+
+
= 1,23 кг ⋅ м 2 .
4
4
12

2. Так как на концах стержня закреплены шары разной массы, то ось z, вокруг которой происходят колебания, не будет совпадать с центром масс. Определим
положение центра масс маятника
i =3

l C = XC =

∑ mi x i
i =1
i =3

∑ mi

Рис. 13.154. Разные массы

,

i =1

⎛ l⎞
⎛l⎞
m1 ⎜ − ⎟ + m 2 ⎜ ⎟ + m 0 0
2⎠
⎝2⎠
,
lC = ⎝
m1 + m 2 + m 0
lC =

(m

− m1 )l
0,3 ⋅ 2
=
≅ 0,158 м .
2(m1 + m 2 + m 0 )
3,8
2

3. Период колебаний маятника
T = 2π

Jz
1,23
= 6,28
≅ 4,05 c .
Mgl C
1,9 ⋅ 9,81 ⋅ 0,158

13.155. Однородный диск радиусом R = 30см колеблется около горизонтальной
оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Определите период колебаний этого физического маятника.

Решение

1. В данном случае расстояние между осью, относительно
которой происходят колебания и центром масс диска равно
радиусу диска, т.е. lC = R.
2. Момент инерции диска относительно оси, проходящий
через образующую диска определяется как
3
J x = mR 2 .
Рис. 13.155. Диск
2
3. Период колебаний такого физического маятника будет равен
Jx
3R
0,9
T = 2π
= 2π
= 6,28
≅ 1,345 c .
mgl C
2g
19,62
13.156. На концах невесомого тонкого стержня длиной l =
1 м укреплены одинаковые грузы. Стержень совместно с грузами колеблется вокруг вертикальной оси, проходящей через
точку, удалённую на расстояние d = 0,25 м от одного из грузов. Определить период колебаний маятника и его приведённую длину.

Решение

1. Определим расстояние между центром масс и осью z,
вокруг которой происходят колебания
l
l
l C = − d = = 0,25 м .
2
4
Рис. 13.156. Асимметрия
2. Определим момент инерции маятника

73

[

]

J z = m(l − d ) + md 2 = m l 2 − 2d(l + d ) .
3. Период колебаний данного физического маятника
2

T = 2π

Jz
m[l 2 − 2d(l + d )]
= 2π
≅ 2,45 c .
mgl C
mgl C

4. Приведённая длина маятника определится как
J
4m l 2 − 2d(l + d )
L= z =
= 1,5 м .
mδ
ml

[

]

13.157. На концах невесомого тонкого стержня длиной l = 0,3 м укреплены одинаковые точечные грузы. Стержень совместно с грузами колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку, удалённую на расстояние d = 0,1 м от одного из концов стержня. Определить период колебаний маятника и его приведённую длину.

Решение

1. В отличие от предыдущей задачи, где колебания происходили в плоскости перпендикулярной
вектору силы тяжести, т.е. при движении системы
потенциальная энергия не изменялась, в данном
случае изменение относительного положения грузов будет сопровождаться изменением потенциальной энергии системы. Момент инерции, при этом,
определится как
2
J z = m(l − d ) − md 2 = m l 2 − 2d(l − d ) .
2. Период колебаний такого физического маятника, при учёте того, что lC = l/4, будет определяться уравнением (4) предыдущей задачи

[

Рис. 13.157. Горизонтальные
колебания физического маятника

T = 2π

[

]

]

Jz
m l 2 − 2d(l − d )
= 2π
≅ 1,42 c .
mgl C
mgl C

3. Приведённая длина маятника
J
4m l 2 − 2d (l + d )
L= z =
= 0,5 м .
mδ
m(l − 2d )

[

]

13.158. На невесомом стержне длиной l = 0,3 м закреплены два одинаковых шарика: один в середине стержня, а второй − на одном из его концов. Система тел колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить период колебаний и приведённую длину этого физического маятника.

Решение

1. Определим положение центра масс данной механической системы
i=2
⎛l⎞
m i x i m⎜ ⎟ + ml
∑
3
2
y C = i=i1=3
= ⎝ ⎠
= l.
2m
4
∑ mi
i =1

Рис. 13.158. Два шара
на стержне

2. Найдём далее момент инерции маятника относительно
горизонтальной оси вращения
ml 2
5
Jx =
+ ml 2 = ml 2 .
4
4
3. Приведённая длина физического маятника, с учётом то-

74

го, что расстояние между центром масс маятника и осью, вокруг которой происходят
колебания δ = 3l/4
5 2
ml
5
J
= l = 0,25 м .
L= x = 4
2mδ 2m 3 l 6
4
4. Период колебаний маятника
L
0,25
T = 2π
= 6,28
≅ 1c .
g
9,81
Пример № 52. Физический маятник представляет собой систему трёх точечных
грузов, соединённых невесомыми стержнями одинаковой длины l = 0,3 м колеблется
вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через
общую точку О стержневой системы. Определить период колебаний маятника.
Решение

1. Определим положение центра масс относительно оси колебаний, проходящих через точку О
ml + 2ml
xC =
= l,
3m
ml + ml 2
yc =
= l.
3m
3
2. Расстояние между центром масс и осью колебаний составит
δ = l − yc = l 3 .
3. Момент инерции анализируемой колебательной системы относительно оси, проходящей через
точку О перпендикулярно плоскости чертежа
J z = ml 2 + ml 2 + ml 2 = 3ml 2 .
4. Период колебаний маятника
T = 2π

Рис. 13.159. Три точечные массы

Jz
3ml 2 3
3l
= 2π
=
≅ 1,9 c .
3mgδ
3mgl
g

13.160. Тонкий обруч радиусом R = 0,3 м колеблется вокруг вбитого горизонтально
в стену гвоздя, так что плоскость колебания параллельна стене. Определить период
колебаний такого физического маятника.

Решение

1. В данном случае центр масс обруча не совпадает с осью
колебаний, для определения момента инерции относительно
оси колебаний х, перпендикулярной плоскости чертежа необходимо воспользоваться теоремой Гюйгенса − Штейнера
J x = mR 2 + ma 2 = 2mR 2 .
2. Период колебаний обруча
T = 2π

Jx
2mR 2
2R
0,6
= 2π
= 2π
= 6,28
≅ 1,55 c .
mgδ
mgR
g
9,81

75

Рис. 13.160 Колебания
обруча

13.161. Однородный диск радиусом R = 0,3 м колеблется около горизонтальной
оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Определить период колебаний.
Решение

1. Так же как и в предыдущей задаче, центр масс диска не
совпадает с положением оси х, относительно которой колеблется физический маятник. Для определения момента инерции диска относительно оси х воспользуемся теоремой Гюйгенса − Штейнера
mR 2
3
J x = J C + mR 2 =
+ mR 2 = mR 2 .
2
2
Рис. 13.161. Колебания
2. Период колебаний маятника с учётом того, что δ = R,
сплошного диска
определится посредствам следующего уравнения
Jx
3R
0,9
T = 2π
= 2π
= 6,28
≅ 1,345 c .
mgδ
2g
2 ⋅ 9,81
13.162. Диск радиусом R = 0,24 м колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведённую длину и период колебаний маятника.

Решение

1. По методике, использованной в предыдущих задачах,
определим момент инерции диска относительно горизонтальной оси х, которая разнесена с осью колебаний на расстояние δ
=R
Jx = JC + m

Рис. 13.163. Дисковый
маятник

R 2 mR 2
R2 3
=
+m
= mR 2 .
2
2
4
4

2. Приведённая длина физического маятника
L=

Jx
3 ⋅ 2mR 2 3
=
= R = 0,36 м .
mδ
4mR
2

3. Период колебаний
T = 2π

L
= 1,2 c .
g

13.163. Математический маятник длиной l1 = 0,4 м и физический маятник в виде
тонкого прямоугольного стержня длиной l2 = 0,6 м синхронно колеблются около одной
горизонтальной оси. Определить расстояние δ между центром масс стержня и осью
его колебаний.

Решение

1. Поскольку колебания математического и физического маятников синхронные,
то периоды будут одинаковыми
T1 = T2 ; 2π

l1
l 22
l2
0,36
= 2π
;⇒δ= 2 =
= 0,3 м .
g
3gδ
3l 1 3 ⋅ 0,4

13.164. Физический маятник представляет собой однородный диск радиусом r = 0,4
м, горизонтальная ось колебаний которого проходит на расстоянии δ = r/4 от центра
масс диска. Определить период малых колебаний диска.

76

Решение

1. Момент инерции диска относительно оси, проходящей центр масс, определяется уравнением
J Cx =

mr 2
.
4

2. Момент инерции относительно параллельной
оси, отстоящей на расстоянии δ, определим с помощью
теоремы Гюйгенса − Штейнера
2

mr 2 mr 2
5
⎛r⎞
J x = J Cx + m⎜ ⎟ =
+
= mr 2 .
4
4
16
16
⎝ ⎠

Рис. 13.164. Горизонтальные
колебания диска

3. Период малых колебаний этого физического маятника запишется следующим
образом
T = 2π

Jx
5 ⋅ 0,4
5r
5mr 2 4
= 2π
= 2π
≅ 6,28
≅ 1,4 c .
40
4g
16mgr
mgδ

13.165. Определить частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массой
m = 1 кг длиной l = 1 м вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О, если
противоположный конец стержня присоединён к пружине жёсткости k = 100 Н/м. В статическом положении стержень вертикален и пружина не деформирована.

Решение

1. Момент инерции стержня относительно оси колебаний
Jx =

1 2
ml .
3

2. Рассматриваемая конструкция физического маятника в соответствие с уравнением имеет следующее
значение приведённой массы
μ=

m
.
3

Рис. 13.65. Стержень

с пружиной
3. Циклическая частота колебаний стержня при условии равенства расстояния от оси колебаний до центра масс δ = l/2 определится уравнением
2π
2π
3g
=
ω1 =
=
.
T1
2l
Jx
2π
μgδ
4. Циклическая частота собственных колебаний стержня, один конец которого
присоединён к пружине жёсткостью k
3k
3g 3k
30
рад
ω0 = ω1 +
=
+
=
+ 300 = 17,75
.
m
2l m
2
с
5. Период собственных малых колебаний физического маятника
2π
T=
= 0,35 c .
ω
13.166. Однородный стержень массой m = 1 кг совершает колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О, свободный конец стержня соединён с вертикальной пружиной жёсткости k = 10 Н/м. Определить период малых колебаний физического маятника.

77

1. Физический маятник в данном случае можно
рассматривать как часть массы стержня подвешенной к вертикальной пружине. Присоединённую к
пружине массу определим их уравнения момента
инерции
стержня относительно горизонтальной оси,
Рис. 13.167. Горизонтальный
проходящей через точку О перпендикулярно плосподпружиненный стержень
кости чертежа
ml 2
Jx =
.
3
2. Период колебаний в этом случае запишется как
m
1
T = 2π
= 6,28
≅ 1,4 c .
2k
20
13.167. Найти циклическую частоту собственных малых свободных горизонтальных
колебаний однородного диска массой m = 0,33 кг, соединённого с пружиной жёсткостью k = 50 Н/м. Качение диска по горизонтальной плоскости происходит без проскальзывания.

Решение

1. Если в качестве обобщённой координаты принять
горизонтальное перемещение диска х, то уравнение его
кинетической энергии можно представить в виде суммы энергии поступательного движения и энергии вращения
mx& 2 1
mx& 2 J z x& 2
K=
+ J z ω2 =
+
.
2
2
2
2R 2
2. Момент инерции диска относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через
Рис. 13.167. Подпружиненный
точку крепления пружины к диску
сплошной диск
mR 2
Jz =
.
2
3. Определим энергию диска
mx& 2 mx 2 3
K=
+
= mx& 2 ,
2
4
4
приведённая масса, при этом, равна μ = 3m 2 .
4. Определим частоту собственных колебаний
k
2k
100
рад
ω0 =
=
=
≅ 10
.
μ
3m
0,333 ⋅ 3
с
13.168. Определить собственную частоту колебаний системы, состоящей из упруго
закреплённой горизонтальной рейки А, которая лежит на подпружиненном цилиндре В
и катке С. Массы рейки m1 = 1 кг и цилиндра m2 = 0,5 кг, жёсткости пружин: k1 = 20 Н/м,
k2 = 10 Н/м, радиус качения цилиндра составляет r = 0,2 м. Расстояние от точки крепления вертикальной пружины до оси цилиндра l = 0,22 м.

Решение

Рис. 13.168. Колебательная система

1. Рассматриваемая в задаче колебательная
система имеет одну степень свободы, поэтому
положение любой движущейся точки, принадлежащей системе, можно однозначно охарактеризовать одной обобщённой координатой, в

78

качестве которой целесообразно взять линейное перемещение рейки с началом системы отсчёта в положении статического равновесия.
2. При перемещении рейки на расстояние х каток поворачивается на угол ϕ = x r .
3. Запишем уравнение кинетической энергии колебательной системы
m x& 2 1
K = 1 + J 2 ϕ& 2 .
2
2
4. Подставим в уравнение кинетической энергии значение момента инерции цилиндра и его угловой скорости
m r2
x&
J 2 = 2 ; ϕ& = .
2
r
2
2
mx&
m x&
1⎛
m ⎞
+ 2 = ⎜ m1 + 2 ⎟ x& 2 .
K=
2
4
2⎝
2 ⎠
5. Из последнего уравнения определим приведённую массу (инерционный коэффициент)
1
μ = m1 + m 2 .
2
6. Коэффициент упругости системы определим путём анализа уравнения потенциальной энергии системы
2
l2 ⎞
k x 2 k (lx r ) 1 ⎛
= ⎜⎜ k1 + 2 ⎟⎟ x 2 .
U= 1 + 2
2
2
2⎝
r ⎠
7. Коэффициент упругости системы, таким образом, равен
l2
k 0 = k1 + 2 k 2 .
r
8. Циклическая частота собственных колебаний системы
l2
k2
2
k0
r
ω0 =
=
.
1
μ
m1 + m 2
2
9. Собственная частота колебаний
k1 +

4,8 ⋅10 −2
l2
20
+
10
k
2
1
1
4 ⋅10 −2
r2
ν0 =
=
≅ 4 Гц .
2π m + 1 m
6,28
1 + 0,25
1
2
2
k1 +

13.169. Найти циклическую частоту собственных колебаний механической системы,
состоящей из балки длиной 2l с грузом на конце массой m = 1 кг. Второй конец балки
закреплён шарнирно, в своей средней части балка опирается на пружину с k =36 H/м.

Решение

Рис. 13.169. Балка с грузом

1. В положении равновесия пружина под действием
веса груза деформируется на величину lϕ0, т.е. на середину балки действует сила упругости
Fk (0 ) = klϕ0 .
2. Уравнение моментов относительно центра шарнирной опоры позволяет определить величину ϕ0
2mg
mg ⋅ 2l − klϕ0 ⋅ l = 0; ⇒ ϕ0 =
.
kl
3. Предположим далее, что после сообщения грузу

79

импульса угол отклонения балки составит ϕ + ϕ0, что обеспечит действие со стороны
пружины силы
Fk = kl(ϕ0 + ϕ) .
4. Уравнение вращательного движения балки относительно шарнира будет иметь
следующий вид
kl(ϕ + ϕ0 )l
d2
mgl −
= m2l 2 2 (ϕ0 + ϕ) ,
2
dt
d2
2mgl − kl 2 (ϕ0 + ϕ) = 4ml 2 2 (ϕ0 + ϕ) ,
dt
2
2mgl − kl (ϕ0 + ϕ) = J x ω2 .
5. Приведённая масса системы, таким образом, определяется как
μ = 4m .
6. Циклическая частота собственных колебаний
k
36
рад
ω0 =
=
=3
.
4m
4
с
13.170. Модель крыла самолёта или рулей глубины подводной лодки или торпеды
можно представить в виде жёсткой пластинки с шарнирным закреплением одного конца и подпружиненным вторым концом. Пластинка обтекается потоком газа или жидкости со скоростью v, направленной вдоль пластины. Определить критическое значение
скорости, соответствующее потере устойчивости пластинкой, т.е. возникновению колебаний.

Решение

1. При отклонении пластинки от горизонтального положения статического равновесия, когда
на неё действует сила тяжести и реакции опор,
возникают силы, обусловленные гидродинамическими давлениями. Главный вектор этих сил,
приложенных в сечении пластинки, отстоящем на
расстоянии b от упругой опоры
Рис. 13.170. Возникновение колебаний
⎧
ρv 2
F
=
c
lϕ;
X
X
⎪⎪
2
⎨
2
⎪F = c ρv lϕ,
Y
⎪⎩ Y
2
где СХ, СY − постоянные коэффициенты, ρ − плотность жидкости или газа, ϕ − угол
отклонения пластинки, l − длина пластинки.
2. Момент сил относительно шарнирного закрепления
r
M 0 F = −kl 2ϕ + FX bϕ + FY b ,
r
ρv 2
ρv 2
M 0 F = − kl 2 ϕ + c X
blϕ2 + c Y
blϕ .
2
2
3. Дифференциальное уравнение движения
⎛
ρv 2 ⎞
&& + ⎜⎜ kl − c Y
J 0ϕ
b ⎟ lϕ = 0 .
2 ⎟⎠
⎝
4. Условие устойчивости
ρv 2
2k
.
kl − c Y
b > 0; ⇒ v cr =
2
c Y ρb

()

()

80

13.171. Вычислить кинетическую энергию механической системы, состоящей из
пружины массой m и прикрепленного к ней груза массой M, совершающего малые гармонические свободные колебания. Смещение точек пружины пропорционально их
расстоянию до подвеса О.

Решение

1. Кинетическая энергия колебательной системы будет складываться из энергии возвратно-поступательного движения груза
и кинетической энергии движущейся пружины
K = KM + Km ,
где KМ − кинетическая энергия тела массой М, Km − кинетическая энергия пружины.
2. Если выбрать вертикальную ось oy, направленную вниз, то
кинетическую энергию тела можно представить в традиционном
Рис. 13.171. Энергия
виде
системы
2
My&
KM =
.
2
3. Энергию пружины будем рассматривать, задавшись её длиной в статическом
состоянии l и линейной плотностью ρ (кг/м). Выделим на длине пружины элемент её
длины ds, который будет иметь смещения ξ одинаковые по всей длине пружины и
совпадающие со смещениями груза. Это даёт основание записать следующее соотношение
ξ s
s
s
= ; ⇒ ξ = y; ξ& = y& .
y l
l
l
4. Кинетическая энергия элемента пружины длины dy определится следующим образом
dmξ& 2
dK m =
; dm = ρds .
2
1 ρy& 2 2
dK m =
s ds .
2 l2
5. Энергию всей пружины определится посредствам определённого интеграла взятого в пределах от 0 до l:
l

l
1 ρy& 2 2
1 ρy& s 3
ρy& 2
K m = ∫ 2 s 2 ds =
s
ds
;
=
2l
2 l 2 ∫0
6 l2 0
0
l

Km =

1 ρl ⋅ l 2 y& 2 1
= my& 2 .
6 l2
6

6. Реализуем уравнение энергии, используя значения полученных энергий груза и
пружины
My& 2 my& 2 1 ⎛
1 ⎞
+
= ⎜ M + m ⎟ y& 2 ,
K=
2
6
2⎝
2 ⎠
величина, стоящая в скобках μ = M + 0,5m называется приведённой массой колебательной системы.
7. Таким образом, полученное уравнение энергии при заданном законе движения
груза y(t ) = y max sin (ωt + ϕ 0 ) позволяет определить величину кинетической энергии колебательной системы в любой момент времени, включая и амплитудные значения, которые будут иметь место при sin(ωt+ϕ0) = 1.

81

Затухающие колебания
13.172. Почему свободные собственные колебания в реальных условиях не могут
продолжаться долго, они непременно затухают?

Решение

1. Рассмотренные выше колебательные системы (осцилляторы) во многом идеализированы, потому что условия, при которых они рассматривались в большей или
меньшей степени отличались от реальных условий.
2. Учёт всех практических обстоятельств функционирования колебательных систем существенно усложняет математические представления процессов, в этой связи,
при рассмотрении сложных колебательных систем принято упрощать задачи, пренебрегая свойствами системы не представляющиеся главенствующими в данной задаче.
Для реальной колебательной системы составляется физическая модель в виде рационально выбранной приближённой схемы, позволяющей решать данную задачу с требуемой степенью точности.
3. Одним из первых при анализе колебательных задач, решается вопрос о выборе
необходимого числа степеней свободы, т.е. определение количества независимых переменных посредствам которых возможно достоверно описать колебания рассматриваемой системы.
4. По большому счёту любая из рассмотренных ранее колебательных систем имеют бесконечное число степеней свободы. Действительно, колеблющиеся массы, по
реальной сути, Во-первых, не являются материальными точками, они занимают некий
объём, т. е. состоят из более элементарных образований, во-вторых, при движении
массы могут деформироваться, так же как и прочие элементы колебательной системы.
5. Так, например, конический маятник в общем
случае (рис. 13.173.1) имеет две степени свободы,
однако, при определённом выборе направления
начальной скорости его качания будут протекать в
одной плоскости и в этом систему можно характеризовать только одной степенью свободы, углом
отклонения нити от положения статического равновесия.
6. Следующим важным обстоятельством моделирования колебательных систем является выбор
закона изменения возвращающей силы, которая
является необходимым атрибутом любой механиРис. 13.173.1. Конический маятник ческой колебательной системы. Для колебательных систем с разного рода упругими элементами в виде пружин, восстанавливающая
сила является функцией отклонения массы от положения равновесия, т.е. FB = f (x ) ,
что усложняет составление и дифференцирование уравнений движения. Достаточно часто
функцию зависимости восстанавливающей
силы от координаты можно разлагать в степенной ряд (рис. 13.173. 2)
1 ⎛ d2F ⎞
⎛ dF ⎞
FB (x ) = ⎜ B ⎟ x + ⎜⎜ 2B ⎟⎟ x 2 + L ,
2 ⎝ dx ⎠ x =0
⎝ dx ⎠ x =0
Рис. 13.173.2. Линеаризация
восстанавливающей силы

где величина

82

⎛ dF ⎞
tgα = ⎜ B ⎟ = k ,
⎝ dx ⎠ x =0
называется коэффициентом упругости. Как видно из приведенного графика, восстанавливающую силу упругости конической пружины можно аппроксимировать первым
членом разложения kx , в этом случае восстанавливающая сила рассматривается как
линейная. При рассмотрении математического маятника восстанавливающая сила, которая представляется касательной проекцией силы тяжести, тоже зависит от угла отклонения
1
⎛
⎞
mgl sin ϕ = mgl⎜ ϕ − ϕ3 + L⎟ ≈ mglϕ .
6
⎝
⎠
7. Очевидно, что рассмотренные аппроксимации возможны только при малых колебаниях, при увеличении амплитуды колебаний необходимо возвращаться к более
точным аналитическим зависимостям.
8. Рассмотренные ранее колебательные системы, с позиций закона сохранения
энергии представляют собой PERPETUUM MOBILE, т.е. вечные двигатели первого
рода, т.к. их движение протекало без всяких потерь на трение и разного рода сопротивления. Начавшись единожды, они могли протекать бесконечно длительное время,
чего, естественно, быть не может. Предположение о консервативности систем может
быть допущено только при малых величинах потерь, когда рассеянием (диссипацией)
энергии можно пренебречь. Когда же силы сопротивления игнорировать не представляется возможным, то необходимо располагать уравнениями, характеризующими этот
род сил.
9. На практике достаточное распространение имеют силы сопротивления, не имеющие простого математического выражения. Эти силы, в большинстве своём, определяются экспериментально и в математической интерпретации имеют сложные математические описания. Однако, в ряде случаев зависимости представляется возможным
упростить, например в случае действия силы сухого трения сила принимается постоянной, не зависящей от смещения и скорости
r
Fr = const .
10. Одними из простых зависимостей является прямая пропорциональность силы
сопротивления смещению или скорости движения в первой степени
Fr = − rx ,
Fr = − rv = rx& ,
где r − коэффициент сопротивления. Знак минус показывает, что сила сопротивления
всегда направлена в сторону, противоположную вектору скорости. Действие Сил сопротивления, пропорциональных скорости в первой степени называется в теории колебаний демпфированием.
11. Рассмотрим массу m, совершающую малые вертикальные колебания на спиральной
пружине постоянной жестоки k (рис. 13.173.3). В
этом случае возможно ввести следующие рациональные допущения и условия:
• Движения массы происходит только в одном
направлении, например, вдоль оси х;
• Длина пружины такова, что при сосредоточенной массе и малой скорости деформации,
в ней не возникает практически мгновенная
реакция, без уплотнений и разрежений вдоль
Рис. 13.173.3. Масса на пружине
длины;
• Опора и закрепления пружины не деформируемы;
• В пределах максимальных смещений массы восстанавливающая сила пропорциональна деформации упругого элемента;

83

•

Сила сопротивления, проявляющаяся в системе, пропорциональна скорости в первой степени
• Начало системы отсчёта совмещено с положением статического равновесия массы,
когда в состоянии покоя к массе приложены сила тяжести mg и упругая сила, соответствующая статическому удлинению пружины δ.
12. Для равновесного состояния справедливо, таким образом, уравнение
kδ = mg .
13. При сделанных допущениях уравнение второго закона Ньютона запишется следующим образом
d2x
dx
,
m 2 = −kx − r
dt
dt
или
k
r
&x& = − x − x& .
m
m
14. Введём следующие традиционные для колебательных систем обозначения
k
r
ω0 =
,
, β=
m
2m
с учетом, которых уравнение движения примет вид
&x& + 2βx& + ω02 x = 0 .
15. Величина ω0 представляет собой циклическую частоту собственных колебаний
системы в отсутствии сопротивления, β − коэффициент затухания.
16. Последнее уравнение является однородным линейным и дифференциальным
второго порядка, решение которого имеет вид
− β 2 −ωo2 t ⎞
β 2 −ω02 t
+ C2
x = e −βt ⎛⎜ C1e
⎟,
⎝
⎠
где С1 и С2 − постоянные интегрирования. В зависимости от соотношения величин ω0
и β возможны несколько характерных случаев записи решения x(t)
17. Слабое затухание − β < ω0.

Решение принимает вид

x = e −βt (a cos ωt + b sin ωt ) ,

где
ω = ω02 − β 2 ,
циклическая частота затухающих колебаний, a и b постоянные, определяемые из начальных условий
⎧a = x (0 );
⎪
⎨
x& (0 ) + βx (0).
⎪⎩b =
ω

В частности ели предположить отсутствие затухания β = 0, то решение (2.12) переписывается в виде
x = a cos ω0 t + b sin ωt ,
или
x = A sin (ω0 t + ϕ0 ) ,
где
a = x (0 ); b

2
ω x (0 )
x& (0 )
x& (0 )
2
; A = x (0 ) + 2 , ϕ = arctg 0
,
ω0
ω0
x& (0)

что полностью совпадает ранее полученными решениями для подобной колебательной
системы.

84

Запишем решение в более рациональной форме
x = Ae −βt sin (ωt + ϕ) ,
где постоянные А и ϕ определяются из начальных условий
1
⎫
2
A=
ω2 x (0) + {x& (0 + βx (0))};⎪
ω
⎪
⎬
ωx (0)
⎪
ϕ = arctg
.
⎪⎭
x& (0) + βx (0 )
18. Колебательные процессы, описываемые полученными уравнениями называются экспоненциально затухающими колебаниями. На рис. 13.173.4. показан график экспоненциально
затухающих
колебаний. Приведенный график зависимости смещения
массы от времени уже нельзя
считать гармоническим и периодическим, так как полная
повторяемость
отсутствует,
хотя через каждый промежуток времени
T* π
= ,
2 ω
величина смещения х обращается в ноль. Строго говоря,
Рис. 13.174.4. Экспоненциально затухающие колебания
термин «амплитуда» к затухающим колебаниям не применим, так как перед синусом в уравнении затухающих
колебаний стоит, убывающая со временем величина Ae−βt .
19. В этой связи, используя для затухающих колебаний термины «амплитуда» и
«период» нужно давать себе, отчёт в том, что имеется в виду условный период и смещение для некоторого условного полупериода. Период затухающих колебаний несколько больше периода собственных колебаний
⎧⎪ 1 ⎛ β ⎞ 2
⎫⎪
2π
*
T =
= T ⎨1 + ⎜⎜ ⎟⎟ + L⎬ .
ω02 − β 2
⎪⎩ 2 ⎝ ω0 ⎠
⎪⎭
Из уравнения затухающих колебаний видно, что период затухающих колебаний
больше периода собственных незатухающих колебаний данной системы на величину
2

⎛ β ⎞
ΔT = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ ω0 ⎠
20. При ω0 >> β увеличение периода колебаний практического значения не имеет.
21. Рассмотрим далее энергетические параметры затухающих колебаний. Кинетическая энергия колеблющейся массы, определяется уравнением
mω02 A 2
mx& 2 mω02 A 2
[1 + cos 2(ω0 t + ϕ0 )] ,
K=
=
cos 2 (ω0 t + ϕ0 ) =
2
2
4
из которого видно, что кинетическая энергия изменяется от нуля до максимального
значения
mω02 A 2
K max =
,
2
причём, это изменения происходит с двойной циклической частотой 2ω0 собственных
колебаний.
22. Потенциальная энергия деформированной пружины так же будет являться
функцией времени

85

x

kx 2 kA 2
kA 2
[1 − cos 2(ω0 t + ϕ0 )] .
=
sin 2 (ω0 t + ϕ0 ) =
2
2
4
0
23. Для произвольного момента времени суммарное значение механической энергии системы определится в виде следующей суммы
mω02 A 2 kA 2
E =K+Π =
=
,
2
2
которая равна либо максимальному значению кинетической энергии, либо максимальному значению потенциальной энергии. Это указывает на консервативность колебательной системы.
24. Интенсивность затухания можно определить, записав уравнение периода для
двух соседних максимальных значений смещения
ω
x
β=
ln n .
2π x n +1
25. Натуральный логарифм, входящий в уравнение β называется логарифмическим
декрементом
x
λ = ln n .
x n +1
26. Величина логарифмического декремента остаётся постоянной при любом выборе двух соседних максимальных смещений, поэтому λ характеризует рассматриваемый колебательный процесс в целом. Логарифмический декремент можно выразить
через величину периода затухающих колебаний
1
x
β = * ln n ; ⇒ λ = βT * .
T
x n +1
27. Логарифмический декремент можно определить в более общем виде
x (t )
1
λ = ln
= βT* = ,
x (t + T * )
N
где N − число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшится в е − раз ( е ≅ 2,72
− основание натурального логарифма).
Π = ∫ kxdx =

13.174. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время
τ1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

Решение

1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний
A(t )
θ=
= e −δt ,
A(t + T )
где А(t) − амплитуда колебаний в начальный момент времени, А(t + T) − значение амплитуды через один период колебания, δ − коэффициент затухания.
2. Определим из уравнения (1) величину коэффициента затухания, переписав его
следующим образом
A
ln 0 = δτ1 ; ln 2 = 300δ; δ ≅ 2,3 ⋅10 −3 c −1 .
A
3. Воспользовавшись этими соотношениями, определим искомое время, соответствующее уменьшению амплитуды в восемь раз
ln 8
2,1
ln 8 = δτ2 ; τ 2 =
=
≅ 504 c ≅ 15,1мин .
δ
2,3 ⋅10 −3

86

13.175. Логарифмический декремент маятника θ = 0,003. Определите число полных
колебаний N, которые совершит маятник при уменьшении амплитуды в два раза.

Решение

1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебательного процесса,
воспользовавшись уравнением
A(t )
1
A(t )
,
θ = ln
= δτ = ; ⇒ Nθ = ln
A(t + τ )
N
A(t + τ)
где N − число полных колебаний, соответствующих моменту времени τ.
2. Определим искомую величину
1
N = ln 2 = 231 .
θ
13.176. Определите период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы без потерь равен Т0 = 1с, а логарифмический декремент составляет
θ = 0,628.

Решение

1. Период затухающих колебаний
2π
2π
T=
=
=
ω
ω02 − δ 2

2π
4π 2 θ 2
−
T02 T 2

,

откуда
T2 =

4π 2
;
4π 2 θ 2
−
T02 T 2

T 2 = T02 +

4π 2 T 2
− θ 2 = 4π2 ; 4π 2 T 2 = T02 4π 2 + T02 θ2 ,
T02

T02 θ 2
θ2
0,39438
;
T
=
T
1
+
≅ 1 1+
≅ 1,00498 c .
0
4π 2
4π 2
39,478

13.177. Известно, что при затухающих колебаниях за τ = 0,25 Т смещение тела составило х = 4,5 см, период затухающих колебаний Т = 8 с, логарифмический декремент
θ = 0,8. Начальная фаза колебаний равна ϕ = 0. Подучить уравнение затухающих колебаний и представить его графически.

Решение

1. Определим величину циклической частоты затухающих колебаний
2π π рад
ω=
=
.
T 4 с
2. Коэффициент затухания δ определим из уравнения логарифмического декремента
θ
= 0,1c −1 .
T
3. Значение амплитуды колебаний для момента времени τ определим, воспользовавшись уравнением затухающих колебаний
⎛ δT ⎞ ⎛ πT ⎞
x (τ ) = Ae−δτ sin ωτ = A exp⎜ −
⎟ sin ⎜
⎟,
⎝ 4 ⎠ ⎝ 16 ⎠
π
x (τ ) = A exp(− 0,2 )sin ; x (τ ) = A ⋅ 0,819 ⋅ 1;
2
θ = δT; ⇒ δ =

87

x (τ )
≅ 5,5 см .
0,819
4. Запишем уравнение затухающих колебаний применительно к полученным данным
⎛π ⎞
x (t ) = 5,5 exp(− 0,1t )sin ⎜ t ⎟ .
⎝4 ⎠
5. Для построение графика колебаний
вычислим значение x(t) для моментов
времени: τ1 = T/4 = 2 c; τ2 = T/2 = 4 c; τ3
=3T/4 = 6 c; τ4 = T = 8 c; τ5 = 5T/4 = 10 c;
τ6 = 3T/2 = 12 c. Для чего эти величины
времени, кратные Т/4, последовательно
Рис.13.177. Зависимость x = f(t)
подставим в уравнение
A=

13.178. Задано уравнение затухающих колебаний точки

⎛π ⎞
x (t ) = 10 exp(− 0,1t )sin ⎜ t ⎟ ,
⎝3 ⎠
Найти зависимость скорости движения точки в функции времени, представить зависимость графически.

Решение

1. В данном случае амплитуда колебаний равна А = 10 см, циклическая частота ω =
(π/3) рад/с, коэффициент затухания − δ = 0,1 с − 1, начальная фаза равна нулю.
2. Определим скорость затухающих колебаний, для чего продифференцируем по
времени заданное уравнение движения
dx d ⎧
⎛ π ⎞⎫
x& (t ) =
= ⎨10 exp(− 0,1t )sin ⎜ t ⎟⎬ ,
dt dt ⎩
⎝ 3 ⎠⎭
π
π ⎤
⎡π
x& (t ) = 10 exp(− 0,1t )⎢ cos t − 0,1sin t ⎥ .
3
3 ⎦
⎣3
3. Определим период колебаний
2π
2π 2 ⋅ 3 ⋅ π
ω=
; T=
=
= 6c .
T
ω
π
4. Вычислим значение скорости в следующие моменты времени:
t1 =0,
π
π ⎤
м
⎡π
x& (t1 ) = 10 exp(0 )⎢ cos ⋅ 0 − 0,1sin ⋅ 0⎥ ≅ 10,47 ;
3
3 ⎦
с
⎣3
t2 = T/4 = 1,5 с
м
π
π
⎡π
⎤
x& (t 2 ) = 10 exp(− 0,1 ⋅1,5)⎢ cos ⋅1,5 − 0,1sin ⋅1,5⎥ ≅ −0,32 ;
3
3
с
⎣3
⎦
t3 = T/2 = 3 c
π
π ⎤
м
⎡π
x& (t 3 ) = 10 exp(− 0,3)⎢ cos ⋅ 3 − 0,1sin ⋅ 3⎥ ≅ −7,4 ;
3
3 ⎦
с
⎣3
t4 = T = 6 с
π
π ⎤
м
⎡π
x& (t 4 ) = 10 exp(− 0,6 )⎢ cos ⋅ 6 − 0,1sin ⋅ 6⎥ ≅ 5,5 ;
3
3
3
с
⎣
⎦
t5 = 5T/4 = 7,5 с
м
π
π
⎡π
⎤
x& (t 5 ) = 10 exp(− 0,75)⎢ cos ⋅ 7,5 − 0,1sin ⋅ 7,5⎥ ≅ −4,7 ;
3
3
3
с
⎣
⎦

88

t6 = 3T/2 = 9 c
м
π
π ⎤
⎡π
x& (t 6 ) = 10 exp(− 0,9 )⎢ cos ⋅ 9 − 0,1sin ⋅ 9⎥ ≅ −4 ;
3
3
3
с
⎣
⎦

t7 = 2T = 12 c
м
π
π ⎤
⎡π
x& (t 7 ) = 10 exp(− 1,2); ⎢ cos ⋅12 − 0,1sin ⋅12⎥ ≅ 3 .
3
3
с
⎦
⎣3

Рис. 13.178.Зависимость vx = f(t)
13.179. Математический маятник колеблется в среде, обеспечивающей величину
логарифмического декремента θ = 0,5. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний по истечении одного полного периода колебаний?

Решение

1. Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде
x (t ) = A 0 exp(− θt )sin (ωt + ϕ0 ) .
2. Для определения амплитудных значений отклонений маятника уравнение необходимо переписать при условии sin(ωt + ϕ0) = 1
t⎞
t+T⎞
⎛
⎛
θ
A1 = A 0 exp⎜ − θ ⎟; A 2 = A 0 exp⎜ − θ
⎟ = A 0e ,
T⎠
T ⎠
⎝
⎝
A1
= exp(0,5) = 1,65 .
A2
13.180. Математический маятник в течение 120 секунд уменьшил амплитуду колебаний в 4 раза. Определить величину логарифмического декремента, если длина нити
подвеса составляет l = 2,28 м.

Решение

1. Запишем уравнение затухающих колебаний
t⎞
⎛
A1 = A 0 exp⎜ − θ ⎟ .
T⎠
⎝
2. Определим период незатухающих колебаний маятника

89

l
≅ 3c .
g
3. Перепишем уравнение амплитуды с учётом заданных значений величин и найденного периода
A0
ln 4
⎛ 120 ⎞
= exp⎜ θ
≅ 0,035 .
⎟; 40θ = ln 4; θ =
A1
40
⎝ 3 ⎠
T = 2π

13.181. Математический маятник длиной колеблется в среде с коэффициентом затухания δ = 0,045.Определить время τ, в течение которого амплитуда колебаний
уменьшится в 10 раз.

Решение

1. Уравнение колебаний математического маятника можно записать, представив
отклонение грузика в угловых величинах
ϕ(t ) = ϕ0 exp(− δt )sin ωt ,
где ω − частота затухающих колебаний.
2. Запишем уравнение применительно к амплитудным значениям отклонения
ϕ1 = ϕ0 exp(− δt ); ϕ2 = ϕ0 exp[− δ(t + τ)] .
3. Определим отношение амплитуд
ϕ1
ln 10
= exp(δτ); ln 10 = δτ; τ =
≅ 51c .
ϕ2
δ
13.182. Математический маятник длиной l = 1,09 м колеблется в вязкой среде с коэффициентом затухания δ = 0,3 с − 1. Во сколько раз должен возрасти коэффициент
затухания, чтобы гармонические колебания оказались невозможными?

Решение

1. Запишем уравнение периода затухающих колебаний
2π
,
T=
ω02 − δ 2
из которого следует, что предельное значение коэффициента затухания соответствует
δmax = ω0, или
g
δ max =
≅ 3 c −1 .
l
2. Коэффициент затухания должен увеличиться в ζ - раз
δ
ζ = max = 10 .
δ
13.183. Амплитуда затухающих колебаний за время τ1 = 100 с уменьшилась в n1 =
20 раз. Во сколько раз амплитуда уменьшится за время τ2 = 200 с?

Решение

1. Запишем уравнение для амплитуд затухающих колебаний
A(t ) = A 0 exp(− δt ) .
2. В данном случае
A0
= n1 ; ln n1 = θτ1 .
A(τ1 )
3. Запишем уравнение для момента времени t = τ2

90

ln n 2 = θτ2 ,
4. Решая совместно уравнения относительно величины n2, получим
τ
− 2
⎛ τ2
⎞
A0
⎜
⎟
n2 =
; A(τ 2 ) = A 0 exp⎜ − ln n1 ⎟ = A 0 n1 τ1 ,
A(τ 2 )
⎝ τ1
⎠
откуда
n2 = n

τ2
τ1
1

200

= 20 100 = 20 2 = 400 .

13.184. Колебания некой точки происходят в соответствие с уравнением x(t) =
100exp(−0,01t)cos8πt, мм. Определить амплитуду после того, как будут выполнены N =
100 полных колебаний.

Решение

1. Из заданного уравнения движения следует что: циклическая частота колебаний
составляет ω = 3π рад/с; коэффициент затухания − δ = 0,01 с − 1; начальная амплитуда
колебаний − 100 см.
2. Определим период колебаний и логарифмический декремент
2π
T=
= 0,67c , θ = δT = 6,7 ⋅10 −3 .
ω
3. Амплитуда после истечения заданного числа колебаний определится на основании заданного уравнения так
A N = A 0 exp(θN ) = 100 exp(− 1) = 36,78 мм .
13.185. Математический маятник длиной l = 2 м, колеблющийся в среде с потерями, за время τ = 10 мин потерял 50 % своей энергии. Определить логарифмический
декремент маятника.

Решение

1. В первом приближении можно считать, что энергия затухающих колебаний пропорциональна квадрату амплитуды
E1 ≅ A 02 exp(− 2δt1 );
⎪⎫
⎬
2
E 2 ≅ A 0 exp[− 2δ(t1 + τ )].⎪⎭
2. По условию задачи
E2
= 0,5 .
E1
3. Совместим соотношение энергий с системой уравнений, получим:
E2
= exp(− 2δτ) = 0,5; ⇒ − 2δτ = ln 0,5;
E1
ln 0,5
− 0,693
=−
≅ 5,8 ⋅10 −4 c −1 .
2τ
1200
4. Период колебаний маятника, ввиду малости коэффициента затухания можно
приближённо определить уравнением
l
2
T = 2π
= 6,28
≅ 2,83 c .
9,81
g
5. Логарифмический декремент колебаний определится как
θ = δT = 1,6 ⋅10−3 .
δ=−

91

13.186. Математический маятник длиной l = 2 м колеблется в среде с логарифмическим декрементомθ = 0,01, так что энергия колебаний уменьшилась в ζ = 10 раз. Какое время τ прошло при этом с момента начала колебаний?

Решение

1. Запишем уравнение амплитуд затухающего колебания и определим относительную амплитуду
t⎞
A0
⎛
⎛ θt ⎞
A1 = A 0 exp⎜ − θ ⎟; ⇒
= exp⎜ ⎟ ;
T⎠
A1
⎝
⎝T⎠
2. Подставим в уравнение соотношение для периода колебаний
⎛ θt g ⎞
⎟;
ξ = exp⎜⎜
⎟
π
l
2
⎝
⎠
3. Для того чтобы связать величины ξ и ζ необходимо проанализировать уравнение
энергии колебательного движения
mv 2 m(ωA ) 2 m 2π 2 A 2
E=
=
=
;
2
2
T2
2
⎛ θt g ⎞
E0 ⎛ A0 ⎞
⎟
⎟⎟ ; ⇒ ζ = exp⎜
= ⎜⎜
⎜ π l ⎟;
E 1 ⎝ A1 ⎠
⎠
⎝
ln ζ =

θt g
π l
3,14
2
; t=
ln ζ =
⋅ 2,3 ≅ 326 c = 5,4мин .
2π l
θ g
0,01 9,81

13.187. Определите число полных колебаний N, в течение которых энергия системы уменьшится в два раза. Логарифмический декремент колебаний θ = 0,01.

Решение

1. Для решения задачи воспользуемся уравнением:
1 A
1
E0 1
1
N1 = ln 0 = ln
= ln 2 =
ln 1,41 ≅ 35 .
θ A1 θ
E1 θ
0,01
13.188. Найти период затухающих колебаний математического маятника если период его собственных колебаний составляет Т0 = 1 с, а логарифмический декремент
равен θ = 0,628

Решение

1. Определим циклическую частоту собственных колебаний математического маятника
2π
рад
ω0 =
= 6,28
.
T
с
2. Определим коэффициент затухания
θ = δT; δ = θ T = 0,628 c −1 .
3. Найдём период затухающих колебаний
2π
6,28
T=
≅
≅ 1,0054 с.
2
2
39,4 − 0,39
ω0 − δ
13. 189. Тело массой m = 5кг совершает гармонические затухающие колебания. За
первые 50с колебаний тело теряет 60% своей первоначальной энергии. Определите
коэффициент сопротивления среды.

92

Решение

1. Определим коэффициент затухания δ из следующих соображений
2

E0 ⎛ A0 ⎞
⎟ = exp(− 2δτ); ln 0,4 = −2δτ ,
=⎜
E1 ⎜⎝ A1 ⎟⎠
ln 0,6
δ=
= 9,16 ⋅10 −3 c −1 .
2τ
2. Найдём коэффициент сопротивления среды, в которой колеблется тело
δ = r 2m; r = 2δm = 0,0916 кг с .
A0
= exp(δτ);
A1

13.190. Некое тело массой m = 1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом
сопротивления r = 0,05 кг/с. Тело соединено с двумя одинаковыми недеформированными пружинами жёсткости k = 50 Н/м. Определить логарифмический декремент при
возникновении малых колебаний, период колебаний и коэффициент затухания.

Решение

1. Определим коэффициент затухания, воспользовавшись уравнением:
Рис. 13.190. Колебания с потерями
δ = r 2m = 0,05 2 = 0,025 c −1 .
2. Найдём циклическую частоту и период свободных и затухающих колебаний
системы с учётом того, то пружины соединены параллельно
2k
рад
ω
ω0 =
= 10
; ν0 =
= 1,59 Гц .
m
с
2π
T=

2π
ω −δ
2
0

2

=

6,28
100 − 6,25 ⋅ 10−4

3. Логарифмический декремент колебаний
θ = δT = 0,0157 .

93

≅ 0,628 c .

Вынужденные колебания
13.191. При каких условиях возможно существование незатухающих гармонических
колебаний?

Решение

1. Рассмотренные в предыдущих разделах колебания возникали при создании определённых начальных условий − смещения и скорости. Возникающие при этом движения протекали без участия внешних сил, а если силы, обусловленные сопротивлением, возникали, то колебательные процессы
затухали.
2. На практике часто требуется колебания
поддерживать, что возможно при сообщении колебательной системе энергии от внешнего источника. Такие колебания классифицируются
как вынужденные колебания. Рассмотрим колебательную систему в виде массы, соединённой с
вертикально расположенной пружиной (рис.
13.191). Помимо силы сопротивления к массе
приложена внешняя периодическая сила F(t).
Уравнение движения в этом случае запишется
Рис. 13.191.1. Вынужденные колебания
следующим образом
m&x& + rx& + kx = F(t ) .
3. Рассмотрим случай, когда внешняя возбуждающая сила изменяется по гармоническому закону с частотой Ω, например, по закону косинуса
F = F0 cos Ωt .
4. Уравнение силы перепишется в виде
m&x& + rx& + kx = F0 cos Ωt .
5. Введём следующие обозначения
F
k
r
ω0 =
. f0 = 0 ,
, β=
m
2m
m
что позволяет уравнение переписать в виде
&x& + 2βx& + ω02 x = f 0 cos Ωt .
6. Неоднородное дифференциальное уравнение имеет решение в виде суммы общего решения одноимённого однородного уравнения х1 и частного решения х2 неоднородного уравнения, причём
t β2 −ω02
− t β2 −ω02 ⎞
x1 = e −βt ⎛⎜ C1e
+ C 2e
⎟,
⎠
⎝
x 2 = x 0 cos(Ωt − ϕ) ,
t β2 −ω02
− t β2 −ω02 ⎞
x = x1 + x 2 = e −βt ⎛⎜ C1e
+ C2e
⎟ + x 0 cos(Ωt − ϕ) .
⎝
⎠
7. Первый член уравнения характеризует свободные затухающие колебания. Постоянные интегрирования С1 и С2, как обычно, определяются путём подстановки начальных условий х(0) и x& (0) , имеющих место при t = 0. Второй член этого уравнения
описывает стационарные вынужденные колебания, происходящие с частотой вынуждающей внешней силы Ω с амплитудой, определяемой уравнением

94

F0

x0 =

f0

=

.
2
(
ω02 − Ω 2 ) + 4Ω 2β2
⎛k
⎞
Ω r + ⎜ − Ωm ⎟
⎝Ω
⎠
8. Сдвиг фазы колебаний относительно внешней силы равен
r
2Ωβ
.
ϕ = arctg
= arctg 2
k
ω0 − Ω 2
− Ωm
Ω
9. Для случая малого затухания, т.е. при β→0 уравнение возможно упростить
f
f0
x0 = 2 0 2 =
;
2
ω0 − Ω
⎛Ω⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ω0 ⎠
10. Очевидно, что при ω0 = Ω,
A→∞, но это случай довольно далёк
от реальности, затухание при колебаниях всегда имеет место быть.
Вместе с тем уравнение позволяет
установить некоторые характерные
особенности поведения амплитуды
вынужденных колебаний в зависимости от соотношения частот возмущающей силы и собственных колебаний.
11. Целесообразно выделить три
характерных
диапазона частот (рис.
Рис. 13.191.2. Частотные характеристики
13.191.2).
1. Область низких частот: Ω<< ω0: в этом случае сдвиг фаз близок к нулю, а амплитуда вынужденных колебаний составит
f
x 0 ≅ x 0( Стат ) = 02 ,
ω0
где x0(Стат) − статическое смещение под действием постоянной силы, равной амплитудному значению возмущающей силы, т.е. F = F0.
2. Область высоких частот: Ω >> ω0. Начальная фаза в этом случае α → −π. Колебания происходят в противофазе с вынуждающей силой. Амплитуда с ростом частоты убывает по закону
2

2

2

⎛Ω⎞
x 0 ≅ x 0 ( Стат ) ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ .
⎝ ω0 ⎠
3. Область резонанса: Ω ≅ ω0. В отсутствие сопротивления амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает. В реальных системах увеличение амплитуды будет ограничиваться диссипативными потерями.
12. Частоту вынужденных колебаний, при которой наблюдается явление резонанса,
называют резонансной частотой

Ω Рез‚ = ω02 − 2β2 ;
при β << ω0 , ΩРЕЗ ≅ ω0.
13. Зависимость фазы колебаний от коэффициента затухания называется фазовой
характеристикой колебаний. Такие характеристики при различных значениях затухания представлены в виде графиков на рис. 13.191.3. По мере уменьшения силы сопротивления кривые стремятся к предельной зависимости, претерпевающей разрыв в точке ΩРЕЗ ≅ ω0, т.е. при резонансе. В этой точке при любых значениях коэффициента затухания сдвиг фазы составляет ϕ = π/2. При малых значениях затухания в области час-

95

тот Ω < ω0 вынужденные колебания почти
совпадают по фазе с внешней силой, а при
Ω > ω0 находится с ней в противофазе. Если
частота Ω изменяется плавно, то фаза вынужденных колебаний меняется в области
резонанса на обратную частоту, тем резче,
чем меньше затухание в системе.
14. Процесс вырождения собственных
колебаний и установления вынужденных
колебаний протекает по-разному, в зависимости от соотношения между частотами
Рис. 13.191.3. Фазовые характеристики собственных и внешних колебаний. На рис.
13.191.4. приведены качественные зависимости от времени собственных колебаний
(пунктирная кривая) и вынужденных колебаний (сплошная кривая) для разного соотношения частот.

Рис. 13.191.4. Процесс установления вынужденных колебаний

15. Если величины Ω и ω близки друг к другу, то процесс установления сопровождается чередующимися нарастаниями и спадами типа биений, которые тем глубже,
чем меньше силы затухания и тем реже, чем ближе Ω и ω0. При резонансе, когда ω = Ω
(рис. 13.191.5) вынужденные колебания устанавливаются без биений тем медленнее,
чем меньше затухание, т.е. β1 > β2> β3.

Рис. 13.191.5. Процесс установления вынужденных колебаний при ω0 = Ω

16. Явление резонанса в одинаковой степени типично как для механических, так и
для электрических и электромеханических колебательных систем и поэтому играет
важную роль в самых разнообразных отделах физики и техники.
17. Характер резонанса зависит от свойств как самой колебательной системы, в
которой происходит явление, так и от свойств внешней возмущающей силы, действующей на систему. Особенно сложный характер явление резонанса имеет в системах
с распределёнными параметрами. Например, в струне, резонанс сохраняет свои типичные свойства, однако имеются и отличительные особенности. Система обладает
96

множеством степеней свободы, т.е. целым набором собственных частот. Резонанс может наступать всякий раз, когда одна из гармоник внешней силы совпадает с одной из
собственных частот.
18. Существует масса способов исследования
резонансных свойств колебательных систем, но
самым, пожалуй, распространённым является электродинамический, когда механические колебания в
довольно широкой полосе частот возбуждаются
специальным преобразователем (рис. 13.191.6).
Электродинамический преобразователь использует
взаимодействие катушки с током и мощного постоянного магнита. Катушка питается переменным
током, с частотой которого колеблется исследуемая масса. Такие системы получили особо широкое
распространение в судостроении, авиастроении и
других отраслях машиностроения, где имеют место
высокоинтенсивные источники вибраций. Явление
резонанса имеет огромное влияние на прочностные
характеристики практически всех известных конструкций машиностроения и транспорта. По статистике около 80% аварий и поломок в системе средРис. 13.191.6. Электродинамиченего машиностроения происходит именно из-за,
ский преобразователь
недопустимо высоких амплитуд колебаний.
13.192. Упругая балка, на которой установлен двигатель, погнулась под его весом
на Δy = 1⋅10 − 3 м. Определить частоту вращения ротора электродвигателя n0 при которой может возникнуть опасность резонанса.

Решение

1. Статический прогиб обусловлен силой тяжести электродвигателя, которая равна по модулю и противоположна по направлению реакции
Рис. 13.192. Резонанс упругой балки
связи, вызванной упругостью балки
mg = kΔy .
2. Масса, соединённая с упругим элементом обладает собственной циклической
частотой
k
ω0 =
.
m
3. Совмещая уравнения, получим, по сути, значение частоты собственных незатухающих колебаний системы электродвигатель − упругая балка
k Δy
k
g
g
=
=
;
; ω0 =
;
Δy
Δy
m g
m
ω0 = 2πn 0 ; ⇒ n 0 =

ω0
1
g
1
10
=
≅
≅ 16с −1 .
2π 2π Δy 6,28 10− 3

13.193. Маневровый тепловоз массой m = 1,6⋅105 кг имеет четыре рессоры жесткость каждой, из которых равна k = 500 кН/м. При какой скорости равномерного движения тепловоз будет наиболее сильно раскачиваться в направлении вертикальной оси,
если расстояние между стыками рельс l = 12,8 м.

97

Решение

Рис. 13.193. Колебания тепловоза

1. Раскачивание тепловоза вдоль вертикальной оси будет происходить вследствие
толчков, получаемых колёсными парами на
стыках рельс. Явление резонанса колебательной системы, состоящей из массы тепловоза m и четырёх упругих элементов жесткостью k , будет иметь место при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой следований импульсов на

стыках рельсов.
2. Частота собственных колебаний тепловоза
4k
ω0 =
,
m
ω0
1 4k
.
=
2π 2π m
3. Частота следования импульсов, обусловленных стыками
v
ν= .
l
4. Приравняем уравнения и исходя из условия совпадения собственной частоты и
частоты возбуждающей силы, имеем:
l 4k
1 4k v
,
ν 0 = ν;
= ; ⇒ v=
2π m
2π m l
ω = 2πν; ⇒ ν 0 =

v=

12,8 2 ⋅106
м⎛
км ⎞
≅ 9,1 ⎜ ≈ 33
⎟.
6,28 1 ⋅105
с⎝
час ⎠

13.194. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда женщина стоит
посередине такого мостика, доска прогибается в средней части на расстояние Δy = 0,1
м. Когда же она переходит мостик со скоростью v = 3,6 км/час, то доска начинает так
раскачиваться в вертикальном направлении, что возникает вероятность падения дамы
в воду. Определить длину шага.

Решение

1. Когда дама стоит посередине доски, мо сила её
веса уравновешивается силой, обусловленной упругостью доски
mg = kΔy ,
где k − коэффициент упругости доски, m − масса девочки, Δy − статический прогиб доски.
2. Из уравнения можно определить частоту собственных колебаний системы «девочка − доска»
k
g
g
1
g
Рис. 13.194. Колебания доски
; ⇒ ω0 =
; ν0 =
=
.
m Δy
Δy
2π Δy
3. С другой стороны, частоту раскачивания доски можно выразить через длину шага х и скорость перемещения ребёнка по доске
v
ν= .
x
4. Возрастание амплитуды колебаний будет наблюдаться при совпадении частот

98

1
g
v
= ;
2π Δy x

ν 0 = ν;
x = 2πv

Δy
0,1
= 6,28 ⋅1
≅ 0,634 м.
g
9,81

13.195.На осциллятор массы m без затухания с собственной частотой ω0 действует
периодическая вынуждающая сила F(t) = F0 cosωt. При каких начальных условиях будут протекать только вынужденные колебания? Найти закон изменения смещения x(t).

Решение

1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в общем виде можно
представить следующим образом
r
k
F
&x& + x& + x = 0 cos ωt; &x& + 2βx& + ω02 x = f 0 cos ωt;
m
m
m
f0
x (t ) = A* cos ωt; A* =
.
(ω02 − ω2 )2 + 4β2ω2
Так как осциллятор без затухания, то
β = 0; A* =

f0
,
ω02 − ω2

где ω0 − циклическая частота собственных колебаний осциллятора, ω − циклическая
частота возмущающей силы, А* − амплитуда вынужденных колебаний, f0 =F0/m − приведённая амплитуда внешней силы.
2. Для определения начального смещения х0 подставим в уравнение вынужденных
колебаний t =0
F0
F0
x0 =
cos(ω ⋅ 0) =
.
2
2
2
m(ω0 − ω )
m(ω0 − ω2 )
3. Продифференцируем по времени уравнение колебаний (2)
x& (t ) = A * ω sin ωt; x& 0 = A * ω sin (ω ⋅ 0) = 0 .
(5)
4. Уравнение колебаний в этом случае примет вид
F0
x (t ) =
cos ωt .
2
m(ω0 − ω2 )
13.196. Определить через какой промежуток времени установятся вынужденные
колебания с системе с добротностью Q = 106 при частоте собственных колебаний ω0 =
5 крад/с при воздействии внешней возбуждающей периодической силы.

Решение

1. Добротность колебательной системы Q прямо пропорциональна циклической
частоте собственных колебаний ω0 и обратно пропорциональна удвоенному коэффициенту затухания β
Q = ω0 2β .
2. Время релаксации системы обратно пропорционально коэффициенту затухания
1
ωτ
2Q 2 ⋅106
τ= ; ⇒ Q= 0 ; τ=
=
= 400 c .
β
2
ω0 5 ⋅103

99

13.197. Определить разность фаз ϕ между смещением и вынуждающей силой на
резонансе смещения, если собственная частота колебаний равна ω0 = 50 рад/с, коэффициент затухания δ = 5,2 с − 1.

Решение

1. Разность фаз в режиме резонанса между смещением и вынуждающей силой определяется уравнением
2δω
tgϕ = 2
.
ω0 − ω2
2. Резонансная частота может быть найдена с помощью уравнения
ω = ω02 − 2δ 2 .
3. Подставим в уравнение tgϕ значение резонансной частоты
ω02 − 2δ 2
2δ ω02 − 2δ 2
=
.
ω02 − ω02 + 2δ 2
δ
Внесём далее коэффициент затухания δ под корень
tgϕ =

2

2

⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
tgϕ = ⎜ 0 ⎟ − 2 ; ϕ = arctg ⎜ 0 ⎟ − 2 ≅ 840 .
⎝ δ ⎠
⎝ δ ⎠
13.198. Определить, на сколько герц резонансная частота отличается от частоты
собственных колебаний системы ν0 = 1 кГц, характеризуемой коэффициентом затухания δ = 400 с − 1.

Решение

1. Циклическая частота резонансных колебаний системы определяется уравнением
ωR = 4π 2 ν 02 − 2δ 2 = 3,943 ⋅107 − 3,2 ⋅105 = 6,254 ⋅103 рад с .
2. Частота резонансных колебаний
ω
ν R = R ≅ 996 Гц .
2π
3. Искомая разность частот
Δν = ν 0 − ν R ≅ 4,1 Гц .
13.199. Автомобиль массой m = 1000 кг проходит испытания на устойчивость к переменным нагрузкам, для чего через задний буксировочный крюк он соединён с упругим элементом жесткостью k = 0,7 МН/м. К автомобилю прикладывается гармоническая сила F(t) = 105 sin15t. Определить, пренебрегая сопротивлением воздуха и силами трения уравнение движения автомобиля.

Решение

1. В данном случае исследуемый
движущийся объект имеет одну степень свободы, по этому для описания
достаточно получить уравнение двиРис. 13.199. Уравнение движения автомобиля
жения относительно одной, горизонтальной оси ох с началом отсчёта в положении автомобиля при недеформированном
упругом элементе.
2. Начальные условия задачи при таком выборе системы отсчёта будут выглядеть
следующим образом
при t = 0
x = 0; x& = 0 .
3. На автомобиль применительно к выбранной оси действуют две силы: сила, вызванная наличием упругого элемента Fk = − kx и внешняя гармоническая сила F(t) = F0
sinωt. Уравнение II закона Ньютона запишется так
100

где ω − циклическая частота

m&x& = F( t ) X + FkX ,
F
k
&x& = 0 sin Ωt − x ,
m
m
&x& + ω2 x = f sin Ωt ,

k
рад
ω
≅ 26,5
; ν=
≅ 4,2 Гц ;
m
с
2π
величина приведённой возбуждающей силы
F
м
f = 0 = 100 2 .
m
c
4. Уравнение движения является дифференциальным уравнением второй степени с
постоянными коэффициентами. Решение уравнения складывается из суммы решений,
которые описывают собственные колебания системы и её колебания под действием
периодической внешней силы
x = x1 + x 2 ,
где х1 − общее решение, х2 − частное решение. Характеристическое уравнение запишется следующим образом
r 2 + f 2 = 0; ⇒ r1, 2 = ±fi .
5. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде
x1 = C1 cos ωt + C 2 sin ωt .
6. Для определения вынужденных колебаний, т.е. частного решения х2 необходимо
найти соотношение между циклическими частотами свободных и вынужденных колебаний. Так как ω < Ω, то имеют место вынужденные колебания малой частоты, при
этом решение целесообразно искать в виде
x 2 = A sin Ωt + B cos Ωt ,
где А и В − коэффициенты подлежащие определению.
7. Подставим уравнение для в исходное уравнение
x& 2 = AΩ cos Ωt − BΩ sin Ωt ,
&x& 2 = −AΩ 2 sin Ωt − BΩ 2 cos Ωt ,
ω=

− AΩ 2 sin Ωt − BΩ 2 cos Ωt + ω2 (A sin Ωt + B cos Ωt ) = f sin Ωt ,

− AΩ 2 sin Ωt − BΩ 2 cos Ωt + Aω2 sin Ωt + Bω2 cos Ωt = f sin Ωt .
8. Приравняем коэффициенты, стоящие в левой и правой частях уравнения при соответствующих тригонометрических коэффициентах
f
− AΩ 2 + Aω2 = f ; ⇒ A = 2
,
ω − Ω2
− BΩ 2 + Bω2 = 0; ⇒ B = 0 .
9. Таким образом, частное решение уравнения (9) имеет вид
f
x2 = 2
sin Ωt .
ω − Ω2
10. Совместим далее уравнения
f
x = C1 cos ωt + C 2 sin ωt + 2
sin Ωt .
ω − Ω2
11. Для определения постоянных С1 и С2 продифференцируем по времени уравнение x(t)
x& = −C1ω sin ωt + C 2 ω cos ωt +

fΩ
cos Ωt .
ω − Ω2
2

12. Подставим в уравнения начальные условия задачи: t = 0, x = 0, x& = 0
f
0 = C1 cos 0 t + C 2 sin 0 t + 2
sin 0 t ,
ω − Ω2

101

fΩ
cos Ω0 ,
ω − Ω2
Ω
f
C1 = 0; C 2 = −
.
2
ω ω − Ω2
13. Уравнение движения автомобиля, таким образом, запишется следующим образом
Ω
f
f
x (t ) = −
sin ωt + 2
sin Ωt .
2
2
ω ω −Ω
ω − Ω2
14. Подставим в уравнение заданные по условию задачи величины в решение
15 100
100
x (t ) = −
sin 26,5t +
sin 15t .
26,5 475
475
x (t ) = −0,12 sin 26,5t + 0,2 sin 15t .
15. Первое слагаемое уравнения определяет собственные колебания автомобиля с
амплитудой А0 = 0,12 м, второе слагаемое описывает вынужденные колебания под
действием периодической силы F(t) с амплитудой А1 = 0,2 м.
0 = −C1ω sin ω0 + C 2 ω cos ω0 +

2

13.200. Описанные в предыдущей задаче испытания автомобиля проводятся при
частичном включении тормозной системы, обеспечивающей силу сопротивления движению, пропорциональную скорости в первой степени R = ζv, где ζ = 2,5⋅105 кг/с. Получить уравнение движения.

Решение

1. Второй закон Ньютона в проекции на ось х (см. предыдущую задачу) представится следующим образом
m&x& = F( t ) X + FkX + R X ,
F
k
ζ
&x& = 0 sin Ωt − x − x& ,
m
m
m
где ψ − разность фаз между возбуждающей силой и силой сопротивления, пропорциональной скорости
&x& + 2δx& + ω2 x = f sin Ωt .
3. Используя условия предыдущей задачи определим постоянные коэффициенты
дифференциального уравнения (3)
k
F
ζ
ω=
= 26,5 c −1 ; δ =
= 125 c −1 ; f = 0 = 100 c −1 .
m
2m
m
4. В данном случае движение автомобиля будет происходить при малом затухании,
потому что ω > δ и ω > Ω, т.е. решение дифференциального уравнения ищется в виде
x = x1 + x 2 ,
где х1 − общее решение соответствующего однородного уравнения, х2 − частное решение неоднородного уравнения, причём
x1 = A exp(− δt )sin ω2 − δ 2 t + ϕ0 ,
x 2 = a sin (Ωt + ϕ − ε ) ,
f
a=
,
(ω2 − Ω 2 )2 + 4δ2Ω2

{(

ε = arctg

A(t ) =

)

}

2δΩ
,
ω − Ω2

f

2

sin (Ωt + ϕ − ε ) .
2
− Ω 2 ) + 4δ 2 Ω 2
5. При ω > Ω решение уравнения движения представляется в виде

(ω

2

102

)

(

x (t ) = exp(− δt ) C1 cos ω2 − Ω 2 t + C 2 sin ω2 − Ω 2 t + A(t ) .
6. Проведём необходимые вычисления
ω2 − Ω 2 ≅ 702 − 225 ≅ 22 c −1 ,
f
100
a=
=
≅ 2,7 ⋅10 −2 м ,
7
2
2 2
2
2
484 + 1,4 ⋅10
(ω − Ω ) + 4δ Ω
2δΩ
≅ 1,36 рад .
ω − Ω2
7. С учётом полученных величин, решение перепишется в виде
x (t ) = exp(− 125t )(C1 cos 22 t + C 2 sin 22 t ) + 2,7 ⋅10 −2 sin (15t − 1,36) .
8. Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 найдём производную по
времени уравнения, т.е. получим уравнение скорости
x& (t ) = −125 exp(− 125t )(C1 cos 22 t + C 2 sin 22 t ) +
ε = arctg

2

+ 22 exp(− 125t )(− C1 sin 22 t + C 2 cos 22 t ) + 0,4 cos(15t − 1,36).
9. Подставим в уравнение начальные условия, аналогичные предыдущей задаче: t =
0, x = 0 и определим значение С1
0 = C1 − 2,7 ⋅10 −2 sin (1,36), C1 ≅ 2,64 ⋅10 −2 .
10. Для вычисления С2 подставим: t = 0, x& = 0
0 = −125C1 + 22C 2 + 0,4 cos1,36 ,
125C1 − 0,4 cos1,36
C2 =
≅ 0,146 .
22
11. Подставим полученные значения
x (t ) = exp(− 125t )(2,7 ⋅10 −2 cos 22 t + 0,146 sin 22 t ) +
+ 2,7 ⋅10 −2 sin (15t − 1,36 ).
12. Преобразуем полученное решение к следующему
x (t ) = exp(− 125t )(2,7 ⋅10 −2 cos ωt + 0,146 sin ωt ) +

+ 2,7 ⋅10 −2 sin (Ωt − 1,36).
Наличие перед круглой скобкой экспоненциального множителя с отрицательным
показателем степени, говорит о том, что собственные колебания, протекающие с частотой ω, достаточно быстро исчезнут и автомобиль будет двигаться, совершая вынужденные колебания с циклической частотой Ω.
13.201. Период собственных колебаний пружинного маятника равен Т0 = 0,55 с.
При погружении маятника в вязкую жидкость период стал равным Т = 0,56 с. Найти
резонансную частоту колебаний.

Решение

1. Определим циклическую частоту собственных колебаний маятника
2π
4π 2
ω0 =
= 11,42 c −1 ; ω02 = 2 .
T0
T0
2. Запишем уравнение периода затухающих колебаний из которого выразим коэффициент затухания δ
2π
4π 2
,
T=
; ⇒ T2 =
4π 2
2
ω02 − δ 2
−δ
T02
4π 2 T 2
− T 2 δ 2 = 4π 2 ;
2
T0

4π 2 T 2
− 4π 2 = T 2 δ 2 ,
2
T0

103

4 π 2 4π 2
− 2 .
To2
T
3. Уравнение резонансной частоты колебаний
δ2 =

νR =

⎛ 4π 2 4π 2 ⎞
1
1 4π 2
⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ ,
ω02 − 2δ 2 =
−
2
2π
2π T02
T ⎠
⎝ T0

νR =

2
1
2
1
− 2 =
−
≅ 1,742 c −1 .
2
T
T0
0,314 0,3

13.202. К пружине жёсткостью k = 10 Н/м подвешено тело массой m = 0,1 кг. Тело
совершает вынужденные колебания в среде, обладающей сопротивлением r = 2⋅10 − 2
кг/с. Найти коэффициент затухания δ и величину амплитуды резонансных колебаний,
если амплитуда возмущающей силы равна F0 = 0,01 Н.

Решение

1. На тело действуют три силы: сила тяжести, сила сопротивления , сила упругости
и возбуждающая сила. Уравнение второго закона Ньютона в данном случае содержит
необходимые для решения постоянные коэффициенты
m&x& = −kx − rx& + F0 sin Ωt ,
&x& + 2δx& + ω02 x = f 0 sin Ωt ,
где δ = r 2m = 0,1c −1 − коэффициент затухания; ω02 = k m = 100 c −2 − квадрат собственной
циклической частоты, f 0 = F0 m = 0,1 м ⋅ с 2 .
2. Оценим влияние силы сопротивления на изменение частоты колебаний
ω = ω02 − δ 2 = 100 − 0,01 ≅ 10 с −1 .
3. Найдём амплитуду вынужденных колебаний
f
0,1
A=
=
≅ 5 ⋅10 −2 м .
−
2
2
(ω02 − ω2 ) + 4δ2ω2 4 ⋅10 ⋅100
13.203. Колебательная система совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r = 10 − 3 кг/с. Считая затухание малым определить амплитудное значение возмущающей силы, если на резонансе амплитуда колебаний составила AR = 5⋅10 − 3 м, собственная частота колебаний системы составляет ν0 = 10 Гц.

Решение

1. Амплитуда резонансных колебаний определяется уравнением
f
.
AR =
2δ ω02 − δ 2
2. Ввиду малости затухания, уравнение (1) можно переписать следующим образом
F0
f
F0
m
AR =
=
=
,
2r
2δω0
2πν 0 2πrν 0
2m
откуда амплитудное значение возбуждающей силы определяется как
F0 = 2πrν 0 A R = 6,28 ⋅10 −3 ⋅10 ⋅ 5 ⋅10 −3 ≅ 3,14 ⋅10 −4 H .
13.204. Частота свободных колебаний системы − ω0 = 100 с − 1, резонансная частота
ωR = 99 с − 1. Найти добротность этой колебательной системы.

104

Решение

1. Добротность колебательной системы определяется уравнением
ω
θ= 0 .
2δ
2. Коэффициент затухания определим из следующих соображений
ωR = ω02 − 2δ 2 ; δ =

ω02 − ω2R
.
2

3. Совместим уравнения
θ=

ω0
ω −ω
2
2
2
0

2
R

=

100
10 4 − 9801
2
2

= 5.

13.205. К телу массой m = 0,1 кг колеблющемуся в вязкой среде с начальной амплитудой Amax = 7 мм внезапно начинает действовать внешняя периодическая сила.
Тело начитает совершать вынужденные колебания

3 ⎞
⎛
x (t ) = 5 ⋅10−3 sin ⎜10πt − π ⎟ .
4 ⎠
⎝
Записать уравнение собственных колебаний тела, если коэффициент затухания
равен δ = 1 с − 1.

Решение

1. Поскольку результирующее колебание получилось периодическим, то можно
полагать, что внешняя сила тоже имеет периодические свойства. Другими словами, на
тело действуют три силы: сопротивления (будем считать её пропорциональной скорости) FS = − rv; упругости Fk = − kx и внешняя возбуждающая сила F(t) = F0cosΩt. Дифференциальное уравнение движения представится следующим образом
&x& + 2δx& + ω02 x = f cos Ωt .
2. Собственным колебаниям соответствует решение однородной части уравнения
x (t ) = A 0 exp(− δt )sin ω0 t .
3. Разность фаз между свободными и вынужденными колебаниями, заданная по
условию задачи даёт возможность определить циклическую частоту собственных колебаний следующим образом
2δΩ
⎛ 3 ⎞
= tg⎜ − π ⎟ = 1 ,
tg 2
2
ω0 − Ω
⎝ 4 ⎠
ω0 = Ω 2 + 2δΩ ; ω0 = 10,5π .
4. С учётом значения ω0 уравнение собственных колебаний представится следующим образом
x (t ) = 7 ⋅10 −3 exp(− 1,6t )sin 10,5πt .
13.206. Тело массой m = 2 кг соединено с вертикальной пружиной жёсткостью k = 5
кН/м. Получить зависимость амплитуды колебаний от частоты возбуждающей гармонической силы при прохождении частоты резонанса. Известно, что амплитудное значение внешней силы составляет F0 = 9,8 Н, коэффициент затухания собственных колебаний − δ = 0,75 с − 1.

Решение

1. Период собственных колебаний тела, соединённого с пружиной можно представить двумя уравнениями, из которых следует циклическая частота
m
2π
m
1
k
T0 = 2π
; T0 =
; ⇒
=
; ω0 =
≅ 50 c −1 .
ω0
k ω0
m
k
105

2. Определим величину приведённой внешней силы
F 9,8
f= 0 =
= 4,9 мс −2 .
m
4
3. Амплитуда вынужденных колебаний
f
.
A=
2
2 2
(ω0 − Ω ) + 4δ2Ω 2
4. Для построения зависимости А = f(Ω) зададимся следующими значениями циклической частоты возмущающей силы
4.1. Ω = ω0 (состояние резонанса)
f
4,9
AR =
=
= 6,5 ⋅10 −2 м .
2 2
4 ⋅ 0,56 ⋅ 2500
4δ ω0
4.2. Ω = 0,95ω0
A 0,95 =

f

(ω

)

2 2
0

− 0,95ω

2
0

+ 4δ (0,95ω0 )

2

2

= 1,9 ⋅10 −2 м .

4.3. Ω = 0,9ω0
A 0,9 =

(ω

2
0

f

)

2 2
0

− 0,9ω

A0, 7 =

(ω

2
0

+ 4δ (0,9ω0 )

2

2

= 1 ⋅10 −2 м

f

) + 4δ (0,7ω )

2 2
0

− 0,7ω

2

2

4.4 Ω = 0,7ω0,

= 3,8 ⋅10−3 м ,

0

4.5. Ω = 0,5ω0
A 0, 5 =

(ω

2
0

f

) + 4δ (0,5ω )

2 2
0

− 0,5ω

2

2

= 2,6 ⋅10−3 м ,

0

Рис. 13.206. Резонансная кривая
13.207. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν = 1
кГц. Определите частоту ν0 собственных колебаний, если частота резонанса равна νR
= 998 Гц.

Решение
1. Запишем уравнения для частоты затухающих и резонансных колебаний, образуем систему и разрешим её относительно искомой величины
ν 2 = ν 02 − δ2 ; ⎪⎫
⎬
ν 2R = ν 02 − 2δ 2 .⎪⎭

106

ν 0 = 2ν 2 − ν 2R = 2 ⋅1069,96 ⋅105 = 1002 Гц .
13.208. Установка для исследования индивидуальных средств безопасности пассажиров автотранспорта совместно с манекеном обладает массой m = 510 кг. К установке прикладывают горизонтальную возбуждающую гармоническую силу
F( t ) = F0 sin Ωt ,
4
где F0 = 4⋅10 Н − амплитуда возмущающей силы, Ω = 60 с − 1 − циклическая частота
возмущающей силы. Установка соединена с вертикальной стеной упругим элементом
жёсткости k = 1,7⋅106 Н/м. Определить уравнение движения установки.

Решение

1. Дифференциальное уравнение движения в
проекции на горизонтальную ось в данном случае
представится следующим образом
m&x& = − kx + F0 sin Ωt ,
2. Поделим уравнение на m
k
F
&x& + x = 0 sin Ωt ,
Рис. 13.208.1. Испытания
m
m
воздушной подушки безопасности
3. Введём стандартные обозначения и вычислим циклическую частоту собственных колебаний системы
k
F
м
k
= ω2 = 3364 c −2 ; f = 0 = 78 2 ; ω =
= 58 c −1 .
m
m
с
m
4. Перепишем уравнение движения с учётом введённых обозначений
&x& + ω2 x = f sin Ωt .
5. Сравнение величин ω и Ω показывает, что колебания происходят в области резонанса, но тем не менее ω < Ω
6. Запишем решение в виде
Ω
f
f
x (t ) = −
sin ωt + 2
sin Ωt .
ω ω2 − Ω 2
ω − Ω2
7. Ввиду того, что ω ≅ Ω будем иметь следующие соотношения
ω
≅ 1; ω + Ω ≅ 2ω ≅ 2Ω .
Ω
8. Перепишем уравнение следующим образом
f
(sin Ωt − sin ωt ) ,
x≅
(ω − Ω )(ω + Ω )
или
f
(sin Ωt − sin ωt ) .
x≅
2ω(ω − Ω )
9. Преобразуем выражение, стоящее в скобках
(sin Ωt − sin ωt ) = 2 sin Ω − ω t cos Ω + ω t ≅ 2 sin Ω − ω t cos Ωt .
2
2
2
10. Будем искать решение в виде
x = a (t ) cos Ωt ,
где
a (t ) =

f
Ω−ω
sin
t.
2
ω(ω − Ω )

11. При ω ≅ Ω величина a(t) является медленно изменяющейся во времени с циклической частотой

107

рад
Ω−ω
=1
, (ν a ≅ 0,16 Гц ) ,
2
с
4π
= 6,28 c .
и периодом Ta =
Ω−ω
ωa =

Другими словами, будет иметь место
процесс биений, т.е. гармонических колебаний с периодом Т = 2π/Ω, амплитуда которых изменяется по закону синуса
Рис. 13.208.2. Биения
с малой циклической частотой, определяемой уравнением движения. Вынужденные колебания протекают с периодом Т =
2π/Ω = 0,1 с.
12. Вычислим величину a(t)
78
a (t ) =
sin 1t = −0,67 sin 1t .
58 ⋅ 2
13. Уравнение, описывающее движение исследуемой установки можно в окончательном виде записать следующим образом
x = −0,67 sin 1t cos 60 t .
13.209. Простейшая конструкция прибора для измерения параметров вибраций,
которая, кстати, применяется и в сейсмографах, представляет собой массу, присоединённую к вертикальной пружине. Перемещение массы вызывает изменение одной из
электрических величин: сопротивления, ёмкости, индуктивности, ЭДС индукции и т.п.,
которые включаются в схемы регистрации.
Пусть виброметр представляет собой пружину жёсткостью k = 1 кН/м с присоединенной массой m = 10 кг. Прибор для калибровки поместили на рабочий стол, совершающий колебания в соответствие с уравнением: ξ = a sin Ω⋅t, где а = 5 мм − амплитуда колебаний рабочего стола, Ω = 16 π с − 1 − частота колебаний стола вибростенда.
Записать уравнение колебаний скользящего контакта относительно сопротивления R.

Решение
1. Предположим, что в начальный момент времени масса
находится в покое в положении статического равновесия.
Ось х, вдоль которой происходит движение, направлена вертикально вниз, т.е. совпадает с направлением вектора ускорения свободного падения. Начальные условия задачи в этом
случае можно записать следующим образом:
при t = 0 x = x0 = 0, x& = x& 0 = 0 .
2. В неподвижном состоянии основания виброметра упругий элемент имеет удлинение равное Δ st + x . При смещении основания виброметра полное удлинение пружины составит
Рис. 13.209. Виброметр
Δ X = Δ st + x − ξ ,
где ξ − смещение корпуса прибора совместно с рабочим столом вибростенда.
3. К массе приложены две силы: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз
и сила упругости пружины, направленная, в связи с удлинением, вертикально вверх
Fk = − kΔ X = − k (Δ st + x − ξ ) .
4. Дифференциальное уравнение движения будет иметь традиционный вид второго
закона Ньютона
m&x& = mg − kΔ X ,
m&x& = mg − kΔ st − kx + kξ .
5. В положении статического равновесия x = &x& = ξ = 0 , то можно считать, что
mg − kΔ st = 0 , при этом дифференциальное уравнение движения примет вид

108

где ω = k m = 10 с − 1

m&x& = −kx + kξ .
&
mx& + kx = ka sin Ωt ,
&x& + ω2 x = f sin Ωt ,
− циклическая частота собственных колебаний, f = ka m = 0,5

м⋅с2 − значение приведённой внешней силы.
6. Решение уравнения представляет собой сумму решений однородного уравнения
и частного решения
f
x (t ) = C1 cos ωt + C 2 sin ωt + 2
sin (Ωt + δ ) ,
ω − Ω2
f
x (t ) = C1 cos ωt + C 2 sin ωt + 2
sin Ωt .
ω − Ω2
7. Для определения постоянных интегрирования вычислим производную по времени
fΩ
Ω
f
x& (t ) = −C1ω sin ωt + C 2 ω cos ωt + 2
. C1 = 0; C 2 = −
.
2
2
ω −Ω
ω ω − Ω2
8. Уравнение движения контакта, соединённого с массой представится с учётом
значений постоянных интегрирования следующим образом
Ω
f
f
x (t ) = −
sin ωt + 2
sin Ωt .
2
2
ω ω −Ω
ω − Ω2
9. Подставим заданные значения величин
f
x (t ) = 10 −3 sin 10 t − 2 ⋅10 −4 sin πt . x 2 (t ) = 2
sin Ωt , x 2 (t ) = 2 ⋅10 −4 sin πt .
ω − Ω2
13.210. Танк, проехав по мокрой грунтовой дороге, оставил два ряда углублений,
расположенных на расстоянии l = 8 м друг от друга. Через некоторое время по дороге
проехал легковой автомобиль массой М = 1,3 т, который попав в резонанс стал испытывать ощутимые вертикальные колебания. С какой скоростью двигался автомобиль,
если под действием массы четырёх пассажиров m = 300 кг подвеска автомобиля «проседает» в состоянии покоя на Δх = 2 см.

Решение

1. По величине статической реакции подвески автомобиля определим
коэффициент её жесткости
Mg 1,3 ⋅103 ⋅ 9,81
Н
=
≅ 1,25 ⋅10 4 .
k=
Δx
2 ⋅10−3
м
2. Частота собственных колебаний
автомобиля

Рис. 13.210. Резонансные колебания автомобиля

1 k
1 1,25 ⋅10 4
=
≅ 0,5 Гц .
2π M 6,28 1,3 ⋅103
3. Скорость движения автомобиля, соответствующая резонансным колебаниям
v = lν 0 = 8 ⋅ 0,5 = 4 м / с = 14,4 км / час.
ν0 =

109

Автоколебательные процессы
13.211. Каковы причины и механизмы возникновения автоколебательных процессов?

Решение

1. Автоколебательные процессы широко распространены как в технических системах, так и в живых организмах. Генераторы электрических колебаний, духовые и
струнные музыкальные инструменты, часы, поршневые двигатели, дыхание и работа
сердца − вот неполный перечень автоколебательных систем (рис.13.211.1)

Рис. 13.211.1. Примеры автоколебательных систем

2. Основной особенностью автоколебательных систем является их способность
преобразовывать движения постоянного направления в колебательное движение, причём движение понимается не только в механическом смысле. Следует, однако, иметь в
виду, что не всякое преобразование движения можно относить к автоколебательному
процессу. Так, например, кривошипно-шатунный механизм, преобразующий возвратно-поступательное движение поршней во вращательное движение коленчатого вала не
является автоколебательной системой, потому что возвратно-поступательное движение и равномерное вращение вала связаны жёсткой кинематической связью, каждому
положению кривошипа соответствует вполне и однозначно определённое положение
шатуна. Эта система обратима, т.е. в ней возможно обратное преобразование, вращение коленчатого вала может быть трансформировано в колебательное движение шатуна, что собственно и происходит в поршневых двигателях, получивших широкое распространение для преобразования внутренней энергии топлива в механическую работу. Аналогичными свойствами обладает и электрический генератор, который в принципе может быть превращён в электродвигатель, для этого достаточно привести во
вращение ротор от внешнего источника энергии.
3. Рассмотрим основные признаки
автоколебательной системы на примере простейшего электромагнитного
прерывателя, состоящего из катушки
L, намотанной на стальной сердечник,
батареи постоянного тока ε, переключателя k и контактора p с якорем. При
включении схемы переключателем в
цепи потечёт ток, катушка, намотанРис. 13.211.2. Электромагнитный прерыватель
ная на сердечник превратится в электромагнит и при соответствующем выборе полюсов, переместит якорь вправо, электрическая цепь разомкнётся, притяжение электромагнита исчезнет и цепь снова станет
замкнутой. Таким образом, якорь будет совершать колебательное движение, которое
по всем признакам можно признать автоколебательным.

110

4. Можно выделить следующие составные части, характерные для автоколебательной системы:
4.1. Внешний источник энергии в виде батареи постоянного тока, например аккумулятора.
4.2. Клапан в виде контакта, орган, осуществляющий коммутацию поступающей в
систему энергии.
4.3. Колебательная система − в рассматриваемом случае якорь.
На рис.13.211..3 приведена типичная схема взаимодействия отдельных необходимых и достаточных элементов системы, чтобы возникли и поддерживались автоколебания.

Рис. 13.211.3. Взаимодействие элементов в автоколебательной системе

5. Дозированное поступление внешней энергии в колебательную систему обеспечивается клапаном. С одной стороны клапан управляет движением, а с другой − движение системы управляет работой клапана, т.е. между клапаном и колебательной системой существует обратная связь. Таким образом, автоколебательной системой называется устройство, создающие незатухающие колебания. В состав устройства входит
источник энергии, клапан, колебательная система и обратная связь.
6. Установившиеся автоколебания в системе, т.е. когда амплитуда А остаётся постоянной по величине в течение продолжительного времени, возможны только в том случае,
когда порции, периодически поступающей
энергии будут компенсировать потери. Если
энергию, поступающую в течение одного периода колебаний от внешнего источника обозначить через Е+, а энергию потерь за тот же
период Е−, то стационарность амплитуды будет обеспечиваться при пересечении зависимостей Е+ = f(A) и E− = f(A), которые на качественном уровне изображены на рис.
Рис. 13.211.4. Энергетический баланс
13.211.4. Точка пересечения в начале системы координат соответствует положению статического равновесия колебательной системы, но это состояние неустойчиво, достаточно рассмотреть случай малой, но неравной
нулю амплитуде колебаний. Это говорит о
том, что условие самовозбуждения автоколебаний возможно только в системе с неустойчивым состоянием в покое. Как видно из хода кривых, энергия потерь и энергия от
внешнего источника совпадают по абсолютной величине только при значении амплитуды колебаний А0.
6. Обсуждаемые кривые могут для неко- Рис. 13.211.5. Жёсткое самовозбуждение
торых систем пересекаться в нескольких точках. На рис.13.211.5 таких пересечений три, т.е. система обладает тремя состояниями

111

равновесия, два из которых устойчивы при значениях абсциссы 0 и А0, третье состояние с абсциссой А1 − неустойчиво. Если система предоставлена самой себе, то она будет неопределённо долго находиться в покое, т.е. самовозбуждение отсутствует. Если
в системе путём внешнего воздействия возбудить колебания с амплитудой, превосходящей величину А1, то система самовозбудится и раскачается самостоятельно до амплитуды А0. Такая система, как говорят, обладает жёстким самовозбуждением. Энергетические характеристики, приведенные на рис. 13.211.4 соответствуют случаю мягкого самовозбуждения, когда для раскачивания системы достаточно сколь угодно малого внешнего воздействия.
7. Системы, способные совершать автоколебания являются нелинейными. Если бы
зависимости внешней энергии и энергии потерь от амплитуды были бы линейными, то
графически их необходимо представлять параболами, это когда энергия пропорциональна квадрату амплитуды. В этом случае графики, приведенные на рис. 13.211.4 и 13.211.5 представляли бы собой две параболы, проходящие через начало координат и нигде не пересекающиеся
далее. Одна из парабол в этом случае должна располагаться над другой (рис. 13.211.6). Такие системы могут либо вообще не самовозбуждаться,
либо при возбуждении, колебания бут возрастать
неограниченно и состояния стационарности амплитуды наблюдаться не будет. Таким, образом,
любая автоколебательная система должна содержать нелинейный элемент, причём нелинейность
может быть присуща как клапану, так и цепи обратной связи, а также внешней нагрузке или источнику энергии.
8. Как было показано ранее, колебательные проРис. 13.211.6. Линейная система
цессы графически модно изображать несколькими способами, в виде зависимости
смещения или скорости от времени или зависимости одного из видов циркулирующей
энергии от времени. В случае автоколебательных систем наиболее целесообразной для
рассмотрения является зависимость в переменных сила − перемещение, в электрических системах, электрическое разность потенциалов − заряд. И в первом и во втором
случае произведение выбранных переменных будет представлять собой работу, механическую или работу по перемещению зарядов, причём численно работа будет представляться величиной площади, ограничиваемой кривыми. Напомним, что работа, являясь энергетической характеристикой процесса, измеряется в джоулях. Аналогичные
диаграммы получались при рассмотрении в молекулярной физике и термодинамике
зависимости давления от объёма р = f(V), там δА = рdV. В качестве переменной ординаты логично выбрать внешнюю силу, действию которой на колебательную систему в
соответствие с теоремой об изменении кинетической энергии обеспечивает энергетический приток
mv22 mv12
−
.
A1→2 = K 2 − K1 =
2
2
9. Будем далее считать, что сила имеет положительный знак, если её направление
совпадает с направление перемещения. На рис. 13.211.7 представлены некоторые возможные варианты зависимостей внешней силы от перемещения
10. Диаграмма а изображает работу при возвратно поступательном движении при
наличии постоянной силы трения, не зависящей от скорости. Процесс периодического
поднятия и опускания некоторого груза в поле силы тяжести характеризуется диаграммой b, в этом случае сила постоянна по величине и направлению, она преодолевает постоянную силу тяжести, работа в этом процессе будет равна нулю. Затачиваемая
работа при поднятии массы будет возвращаться источнику энергии при опускании.

112

Рис. 13.211.7. Зависимость внешней силы от перемещения

11. При периодическом растяжении пружины (график с) работа за один цикл так
же будет равна нулю, в этом случае без учёта потерь будет иметь место преобразование кинетической энергии в потенциальную энергию и наоборот. Таким образом, при
однозначной зависимости силы от смещения никакой работы совершаться не может.
Для совершения внешней силы работы, как минимум обсуждаемая зависимость должна быть двухзначной. Однозначная зависимость силы от перемещения системы предполагает, что каждому смещению, вне зависимости от знака, соответствует определённое и единственное значение силы. При двузначной зависимости одинаковому
смещению соответствует два значения силы, одно положительное, второе − отрицательное. На практике могут встречаться многозначные зависимости силы от смещения
(диаграмма d), когда диаграмма образует несколько замкнутых контуров.
13. 212. Воздушное возбуждение автоколебаний положено в основу извлечения
акустических волн во многих музыкальных инструментах, например в гармошках, баянах и аккордеонах. Поясните принцип их действия с позиций теории автоколебательных процессов.

Решение

1. Моделью активного элемента
баяна, гармони, аккордеона, концертино, фисгармонии и язычковых органов
может служить жёсткая тонкая пластинка, расположенная в горизонтальном воздушном потоке, набегающем с
постоянной скоростью v вдоль средней
плоскости пластинки в невозмущённом
состоянии равновесия (рис. 13.212.1).
2. В горизонтальном положении
пластины аэродинамические силы, обу- Рис. 3.212.1. Пластинка в набегающем потоке
словленные взаимодействием с набегающим потоком равны нулю, проявляется только
весьма незначительная сила внутреннего трения воздуха о поверхность пластины (эффект вязкости воздуха).
3. При отклонении пластины от положения равновесия на некоторый угол ϕ начинают проявляться две аэродинамические силы: подъемная сила
ρv 2
lϕ ,
FY = C Y
2
и сила лобового сопротивления
ρv 2
lϕ ,
FX = C X
2
где СY, CX − постоянные аэродинамические коэффициенты, характерные для данной
геометрии обтекаемого тела и структуры потока, ρ − плотность воздуха, l − размер
пластинки в направлении скорости набегающего потока, b − расстояние от точки крепления пластины до центра приложения аэродинамических сил, которое, в первом
приближении для прямоугольной пластины можно считать независящем от угла её
113

отклонения. При ламинарном режиме обтекания пластины её стационарное положение
будет сохраняться.
4. При определённой скорости потока в головной части пластинки произойдёт турбулизация пограничного слоя, которая будет характеризоваться возникновением перемещением и отрывом вихрей. При отрыве вихрей, которые обладают определённым
количеством движения (импульсом) на пластинку будут действовать силы (в соответствие с законом сохранения импульса), которые при определённых условиях могут
нарушить условия равновесия, т.е. отклонить пластину на бесконечно малый угол dϕ,
отклонение пластины на угол dϕ будет сопровождаться нарушением баланса между
силой лобового сопротивления и подъёмной силой. Момент сил, возникающих при
отклонении пластины на малый угол относительно оси шарнира, определится как
M(F) = − kl 2 dϕ + FX bdϕ + FY b ,
где k − коэффициент жёсткости пружины, сообщающей положению пластины упругие
свойства. Подставим в уравнение моментов значение силы лобового сопротивления и
подъёмной силы
ρv 2
ρv 2
M(F) = − kl 2dϕ + C X
bldϕ2 + C Y
bldϕ .
2
2
5. В отклонённом состоянии сила лобового сопротивления будет существенно
меньше подъёмной силы, поэтому ей можно пренебречь
ρv 2
M(F) ≅ − kl 2dϕ2 + CY
blϕ ,
2
ρv 2
M(F) ≅ −kl + C Y
b.
2
6. Поскольку пластина относительно шарнира будет при колебаниях совершать
вращательное движение, то при составлении уравнения движения вместо массы необходимо пользоваться моментом инерции относительно шарнира, а вместо сил, их моментами относительно оси, проходящей через этот центр перпендикулярно плоскости
чертежа
⎛
ρv 2 ⎞
&& + ⎜⎜ kl − C Y
Jϕ
b ⎟ldϕ = 0 .
2 ⎟⎠
⎝
7. Условие устойчивости пластины с учётом последнего уравнения можно представить следующим образом
⎛
ρv 2 ⎞
⎜⎜ kl − C Y
b⎟ > 0 ,
2 ⎟⎠
⎝
откуда можно определить значение критической скорости
2 kl
.
v cr =
C Y ρb
8. В музыкальных инструментах колеблющееся тело представляет собой тонкую металлическую
пластинку, прикрепленной одним
концом к планке с прямоугольным
вырезом, в который пластинка −
язычок должен входить с небольшим зазором. Свободный конец
Рис. 13.212.2. Модель колебательной системы баяна язычка в начальном статическом
положении несколько отогнут. В
баянах (рис. 13.212.2), аккордеонах, губных гармониках имеется целый ряд язычков, имеющих различные частоты
собственных колебаний. В баяне, аккордеоне и гармошке каждая планка с язычком
имеет сообщение с мехом через специальный канал, именуемый входной камерой или
114

резонатором. Планки располагаются таким образом, что давление р1 создаваемое мехом, действует на каждую пластинку, пригибая язычок к проёму в планке. При изменении знака давления язычок не возбуждается.
9. Такая конструкция подвижных элементов позволяет использовать в музыкальных инструментах два ряда планок, один из которых возбуждается при сжатии меха, а
второй − при его растяжении. В рассматриваемой звучащей конструкции будут развиваться несколько отличных от атмосферного р0 давлений. Давление в мехе р1, перепад
давления в камере при колебаниях Δр и рабочий перепад давлений, действующих на
язычок р. Действие конструкции определяется объёмной скоростью воздуха v, стремящегося ввиду разности давлений в проём межу планкой и кромками язычка выйти
наружу.
10. Зависимость величины объёмной
скорости воздуха от положения язычка в
статическом режиме (при неподвижном положении язычка без колебаний) приведена
на рис. 13.212.3, это основная характеристика рассматриваемой автоколебательной системы. Как видно, объёмная скорость становится минимальной при максимальном перекрытии якорем площади прямоугольного
отверстия в планке. При возникновении колебаний язычка начинает «работать» обратная связь, которая проявляется в виде взаимосвязи объёмной скорости воздуха с давРис. 13.212.3. Зависимость скорости
лением внутри устройства.
воздуха от смещения язычка
11. Закон изменения объёмной скорости
от времени будет нелинейным, вследствие
вида зависимости v = f(x). В нелинейности
зависимости объёмной скорости от времени
можно убедиться, представив обсуждаемую
величину как функцию времени (рис.
13.212.4). Нелинейность скорости во времени объясняет то, что звуки всех язычковых
музыкальных инструментов богаты обертонами.
12. Нелинейная зависимость скорости
порождает нелинейную зависимость от вреРис. 13.212.4. Зависимость объёмной
мени рабочей разности давлений: изменение
скорости воздуха от времени
скорости приводит к изменению динамической составляющей давления
ρv (t )
pi ≅ i .
2
13. Кроме того, объём воздуха, заключённого в рабочем пространстве обладает
определёнными упругими свойствами, что следует непосредственно из уравнения
Клапейрона − Менделеева
m
m RT
ρRT
pV = RT, p =
, p=
,
μ
V μ
μ
где V − объём воздуха, μ − молярная масса воздуха, R − универсальная газовая постоянная, Т − абсолютная температура. Кроме того, в режиме переменных давлений воздух обладает инерционностью. При положительном ускорении воздуха рабочая разность давлений уменьшается, при отрицательном ускорении, наоборот − увеличивается.
14. При малых амплитудах колебания язычка объёмная скорость воздуха меняется
практически синусоидально (линейно ниспадающий участок зависимости скорости от
115

смещения язычка), когда же величина скорости достигнет участка излома (язычок
проходит сквозь планку), скорость принимает резко несинусоидальный характер. Такая картина приводит к тому, что при малых амплитудах величина энергии, передаваемой системе Е+ растёт пропорционально квадрату амплитуды, при возрастании амплитуды такая зависимость изменяется, показатель степени становится меньше квадрата, в то время как энергия, теряемая на сопротивление Е− остаётся неизменно пропорциональной квадрату амплитуды. Таким именно образом язычок достигает режима
самовозбуждения по «мягкой» схеме. Зависимость Е+ и Е− от амплитуды и фазовый
портрет колебаний имеют такой же характер.
15. Следует отметить, что режим самовозбуждения зависит от разности давлений
р1 − р0. Под действием этой разности давлений язычок дополнительно прогибается в
сторону проёма, что приводит к смещению точки излома скорости. Если рабочая точка
попадает на точку излома (рис. 13.212.4), то возбуждение колебаний не происходит.
На практике в аккордеоне это происходит при резком растяжении или сжатии мехов.
Решающую роль для возбуждения автоколебаний играет конструкция рамки, без неё
самовозбуждение при таких геометрических размерах язычка стало бы невозможным.
Интересно, что теория автоколебаний активных элементов язычковых воздушных музыкальных инструментов была опубликована Б.П. Константиновым только в 1939 г.,
хотя музыкальные инструменты такого типа используются музыкантами уже не одну
сотню лет. Известно что однорядная саратовская гармонь была изобретена мастером
Ф. Бушманом в 1822 г., а до этого с незапамятных времён использовали рожки, так же
снабжёнными язычками и специальными резонаторами. И всё это без соответствующего теоретического обоснования, методом проб и ошибок.
13.213. Одной из самых распространённых автоколебательных систем являются
механические и электромеханические часы. Каков принцип их автоколебательного
действия?

Решение

1. В быту большое распространение получала автоколебательная система, на основании которой построено большинство, так называемых, электромеханических часов, упрощённая схема которых приведена на рис. 13.213.1. Маятник часов 1 соединён со стальным якорем 2, располагающимся вблизи электромагнита 3. В верхней своей части маятник имеет палец 4, содержащий толкатель седловидной
формы. В электрическую часть конструкции помимо электромагнита входит источник его питания 7 и подпружиненная группа контактов 6. На нижней пластине свободно подвешена собачка 5.
2. Как известно, колебания маятника являются затухаюРис. 13.213.1. Часы
щими, но в данном случае компенсация потерь на трение и
электромеханические
сопротивление компенсируется порционным введением
энергии от внешнего источника. Когда при движении стержня маятника влево собачка
попадает в седло, контакты замыкаются, по цепи начинает течь ток, и маятник посредствам электромагнита получает ускоряющий импульс. Движение маятника влево приводит к размыканию контакта, исчезновению тока в цепи и прекращению действия
электромагнита.
3. Таким образом, компенсируются потери на затухание и колебания носят установившийся характер. Следует отметить, что контактная группа отрегулирована таким
образом, что замыкание контактов происходит в тот момент, когда стержень из положения с заданной амплитудой начинает движение вправо. Если амплитуда колебаний
будет больше требуемой, то контакты не замыкаются; в этом случае палец 4 продвигается дальше влево, и собачка 5 соскальзывает по тыльной стороне толкателя, не заска116

кивая в седло. Система не получает порцию энергии, потери не компенсируются и амплитуда уменьшается, достигая требуемой величины, при которой в крайнем положении оси симметрии собачки и седла совпадают.
4. Применительно к рассматриваемой системе можно выделить все составные части автоколебательной системы: внешним источником энергии является батарея, в качестве колебательной системы выступает маятник, клапаном является управляемая
группа контактов, обратная связь выстраивается при управлении работой (клапана)
внешнего источника энергии маятником. Естественно, если изначально амплитуда колебаний мала, то автоколебания возникнуть не могут, потому что до замыкания контактов дело не доходит, колебания со временем затухают и часики прекращают свой
ход. В этой связи для возбуждения автоколебательного процесса маятник необходимо
отклонить вправо на угол, заведомо превышающий требуемую оптимальную амплитуду. Сделан несколько затухающих периодов, маятник достигнет амплитуды отклонения, при которой собачка станет замыкать контактную группу. Другими словами,
налицо автоколебательная система с жёсткой характеристикой самовозбуждения. Следует отметить, что на практике работа, производимая одним электрическим импульсом, в десятки раз превышает величину потерь за период, поэтому после каждого импульса маятник совершает не одно, а несколько затухающих колебаний.
5. Устройство, описанное выше, в историческом плане не было первым. Задолго до
появления первых конструкций электромеханических устройств использовались чисто
механические маятниковые часы, конструкция которых была впервые предложена Галилео Галилеем (1564 − 1642). В 1636 г. Галилей
писал: «У меня есть такой измеритель времени,
что если бы сделать 4 или 6 таких приборов и запустить их, то мы бы обнаружили (в подтверждение их точности), что измеряемое и показываемое
время не только из часу в час, но и изо дня в день,
из месяца в месяц не отличалось бы на различных
приборах даже на секунду, настолько одинаково
бы они шли».
6. На рис. 13.213.2 приведен рисунок, поясняющий устройство механизма Галилея. Чертёж
сделан сыном Галилея Винченцо Вивиани. Очевидно, что часы Галилея использовали открытый
им изохронизм колебаний маятника, т.е. независимость периода колебаний математического маятника от массы груза
l
.
T = 2π
g
7. Однако патент на часы получил Христиан
Гюйгенс, который утверждал, что о проекте ГалиРис. 13.213.2 Часы Галилея
лея ничего не знал. Сомнительная история, потому что отец Гюйгенса вёл переговоры с Галилеем
от имени администрации Нидерландов о финансировании реализации проекта. Часы Галилея в
качестве внешнего источника использовали потенциальную энергию опускающейся гири, которая преобразовывалась в кинетическую энергию
вращающихся зубчатых колёс. Дозирование энергии, поступающей колебательной системе в часах
Галилея управлялось крючковым спуском оригинальной конструкции.
Рис. 13.213.3. Анкерный ход Грэхема

117

8. В последствии спуск Галилея был усовершенствован с учётом свойств новых
конструкционных материалов. На рис. 13.213.3 показано устройство современного
спускового анкерного механизма Грэхема. Зубчатое колесо 1 получает вращательный
момент от гиревого или пружинного привода. Анкер (якорь) 2, жёстко связанный с
маятником качается на оси и имеет в своём составе палетты 3 и 4. Благодаря форме
палетт маятнику сообщается энергия два раза за один период его качания при прохождении им положения статического равновесия. Когда зубец колеса попадает на скошенный торец палетты, в плоскость импульса, − то, проскальзывая по ней под действием вращающего момента, подталкивает якорь, а следовательно и маятник. В это
время вторая полета опускается и стопорит очередной зубец колеса, пока якорь снова
не возвратится в среднее положение. Рис. 13.213.3 соответствует моменту времени,
когда, двигаясь вправо, маятник только что прошёл среднее положение и получил импульс в том же направлении, т.к. зубец 5 проскользнул по скосу палетты 3, при этом
палетта 4 уже опустилась и удерживает зубец 6, который сообщит импульс противоположного направления посредствам полеты 4
при движении маятника справа налево.
9. В современных наручных часах регулятором подачи энергии в систему вместо маятника
используется баланс (рис. 13.213.4) представляющий массивное кольцо, соединённое со спиральной пружиной. Колебания баланса передаются вилке спускового механизма, которая посредствам палетт через косозубое колёсико и
систему передач соединено с силовой пружиной,
потенциальная энергия которой этим механизмом преобразуется в автоколебательное движеРис. 13.213.4. Часы с балансом
ние, т.е. циклическое движение стрелок.
13.214. Возможно ли появление автоколебаний в гидравлических системах?

Решение

1. Одной из простых автоколебательных гидравлических систем является сосуд Тантала (рис.
13.214.1). Ёмкость 1 наполняется питающей трубой 2. Сосуд снабжён сифоном 3. Когда уровень
жидкости достигает уровня h1, сифон освобождает ёмкость, доводя уровень жидкости до уровня
h2, при этом действие сифона прекращается т.к.
вода из него уходит. Уровень жидкости снова начинает повышаться и процесс повторяется. Налицо периодическое изменение уровня жидкости по
автоколебательной схеме.
2. Пожалуй, самая простая гидравлическая
Рис. 13.214.1. Сосуд Тантала
система представляет собой неплотно закрытый
водопроводный кран, неприятный эффект периодического действия которого многие
испытывали на себе, особенно когда капли с невыносимой многими последовательностью, срываются ночью и в пустую раковину или ванну. Образующиеся из неплотно
завёрнутого крана капли находятся под
действием трёх сил: силы поверхностного натяжения, силы внутреннего трения
и силы тяжести. С поступлением в каплю воды (рис. 13.214.2) её масса растёт
до тех пор, пока сила тяжести не преРис. 13214.2. Образование капель
взойдёт сумму сил поверхностного на118

тяжения и внутреннего трения (сцепление отдельных частичек воды друг с другом). В
этот момент времени капля отрывается, приобретает сферическую форму и под действием силы тяжести с ускорением отправляется вниз, а в это время на срезе крана начинает «созревать» новое событие. Генерация капель происходит не только из неисправных кранов. В помещениях с высокой температурой и большой влажностью, например в предбанниках, на потолке образуются вследствие конденсации капли, которые со временем увеличиваются и отрываются от потолка, на их мете начинает развиваться новая капля. При постоянстве температуры и влажности период отрыва капель
сохраняется достаточно постоянным.
13.215. Одним из самых впечатляющих проявлений автоколебаний является звучание больших органов. Поясните принцип возникновения автоколебаний в этих устройствах.

Решение

1. Издавна отмечено, что в трубах могут возбуждаться достаточно мощные автоколебания воздушного столба, которые широко использовались и используются поныне
в музыкальных инструментах. Автоколебания в трубах характерны тем, что элементом, задающим колебания, является сама труба, представляющая собой систему с распределёнными параметрами. В трубах по их длине с конечной скоростью распространяются упругие волны акустического диапазона.
2. Если рассматривать трубу в установившемся режиме, то она представляет собой
отрезок волновой системы с определёнными условиями на её торцах. Если волна возбуждается в одном торце, то вследствие отражения от второго торца в результате интерференции по длине трубы устанавливается стоячая волна. При определённых соотношениях геометрии трубы и условий возбуждения могут наблюдаться резонансные
явления. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами трубы обладают целой последовательностью резонансных частот, часто образующих более или менее
гармонический ряд. Другими словами, труба может возбуждаться на основном тоне и
обертонах. Трубы могут возбуждаться на частотах, для которых по длине трубы укладывается целое число полуволн или чётное число четвертей волн. Трубы с одним закрытым концом характеризуются тем, что на границе заглушки образуется узел смещения (максимум колебательной скорости частиц среды) и пучность давления, при
этом по длине трубы укладывается нечётное число четвертей длин волн. Основной тон
у закрытой с одного торца трубы в два раза ниже, чем у открытого варианта.
3. Звуковые волны в трубах можно возбуждать в не установившемся режиме, т.е.
при распространении акустических импульсов, длина которых существенно меньше
длины трубы, то, посланные из одного торца, импульсы после отражения от противоположного торца будут возвращаться обратно. Так, например, если по трубе распространяется импульс сжатия, то от открытого конца он вернётся в место излучения так
же в виде импульса сжатия, если же противолежащий торец закрыт, то в точку излучения придёт уже импульс разряжения.
4. Частота возникающих в трубах автоколебаний практически должна совпадать
либо с основной частотой, либо с одним из обертонов. Получить произвольную частоту автоколебаний в трубах невозможно, возможно лишь «перескочить» с одного обертона на другой. В некоторых музыкальных инструментах, например в тромбоне, изменение частоты производится путём изменения длины трубы, для этого предназначена
выдвижная кулиса. Имеющиеся в духовых инструментах клапаны позволяют получать
звукоряд в пределах примерно одной октавы.
5. Духовые музыкальные инструменты делятся на язычковые (кларнет, гобой, саксофон и др.) и мундштуковые (труба, тромбон и др.). В мундштуковых духовых инструментах возбудителем автоколебаний являются губы музыканта, вдавливаемые в чашечку мундштука. Губы в этом случае «работают» по аналогии с голосовыми связками. В органах в области высоких частот используются трубы с язычковым возбуждением. Рассмотренные ранее язычковые автоколебательные системы предполагали, что

119

частота автоколебаний задаётся частотой собственных колебаний язычка, примыкающие же элементы конструкции в лучшем случае исполняли роль «усилителей» эффекта. В случае с трубами, возбуждаемыми язычком труба является задающим элементом,
собственная же частота язычка представляется второстепенной. Как правило, собственная частота язычка выбирается ниже основной (резонансной) частоте трубы.
6. Рассмотрим особенности возбуждения
язычковых труб на примере неустановившегося
режима. Предположим, что в начальный момент времени язычок отогнут, как показано на
рисунке 13.215.1(левая часть), при этом объём
сжатого воздуха (объём с давлением выше атмосферного) врывается в трубу и создаёт импульс сжатия, который прижимает язычок, который, действуя как клапан, закрывает вход,
прекращая поступление в трубу сжатого воздуха. Импульс сжатия распространяется по трубе
и отразившись от второго открытого конца
трубы возвращается обратно уже в виде импульса разряжения, который тоже отражается
теперь уже от закрытого конца и превращается
в импульс сжатия. Давление в трубе при этом
становится практически равным атмосферному,
язычок снова отгибается, открывая вход сжатому воздуху. Продолжительность цикла равна
учетверённому времени пробега импульса длиРис. 13.215.1. Автоколебания в трубах ны трубы, что, собственно и определяет частоту
основного тона. Таким образом, язычок в данном случае можно рассматривать как
клапан, управляемый колебательной системой, т.е. самой трубой. Именно в этом проявляется механизм обратной связи. При установлении автоколебаний амплитуда не
возрастает т.к. потери на сопротивление и излучение волн компенсируется энергией
источника сжатого воздуха. При возрастании давления в импульсе увеличивается
мощность колебаний и энергетический баланс восстанавливается.
7. Классическая органная труба не имеет язычка (правая часть рис. 13.215.1), импульс сжатия поступает в камеру, выходное отверстие которой оформлено в виде узкой щели. Воздушный поток,
проходя щель, обтекает в виде малой по площади струи
клиновидную скошенную часть стенки трубы. Вследствие
установления стоячих волн струя поочерёдно отклоняется
то наружу через щель, то внутрь камеры. В этом случае,
истекающая из щели струя рассматривается как клапан, как
и в предыдущем случае, управляемый трубой. Обратной
связью является давление перед и за щелью, под действием
которого струя изменяет своё направление. Работа устройств последнего типа никак бы не изменилась, если бы
вместо щели со скошенной кромкой использовался бы настоящий клапан в виде язычка (рис. 13.215.2).
8. Описанные выше эффекты помимо музыкальных инструментов нашли применение при создании воздушных
сирен, которые представляют собой два диска: неподвижного статора и вращающегося ротора, снабжённых одинаковым числом косо прорезанных отверстий, которые играют роль лопаток турбины. С другой стороны относительное
перемещение отверстий обеспечивает периодическое прерывание воздушного потока, протекающего через устройстРис. 13.215.2. Подвижный во. Сирена становится проницаемой для воздуха при совпаязычок в щели

120

дении осей отверстий в статоре и роторе. Другими словами, на выходе сирены образуется модулированная воздушная струя. Частота модуляции пропорциональна количеству отверстий статора и ротора и угловой скорости их вращения. Сирену можно рассматривать как клапан, управляемый вращательным движением ротора (рис. 13.215.3)
9. Автоколебания возникают вследствие взаимодействия собственно сирены с
сопряжённой с ней трубой.
Рассмотрим случай, когда в
начальный момент времени в
трубу попадает импульс сжатия, который, пройдя по
длине трубы, отражается от
Рис. 13.215.3. Схема воздушной сирены
открытого конца и возвращается в виде импульса разряжения.
10. Возможны два случая. Если за время пробега импульса в прямом и обратном
направлении ротор проворачивается на угол, соответствующий шагу отверстий, то
разряжение в трубе способствует созданию дополнительного вращающего момента
ротора. Если к моменту прохождения импульса в оба конца он встречает перекрытые
отверстия, отражается от закрытого конца и возвращается после нового отражения от
открытого конца уже в виде импульса сжатия к моменту открытия отверстий. Давление в трубе будет повышенным, поэтому создаются условия для торможения вращения. Естественно в процессе торможения и ускорения ротора найдётся такая частота
вращения, при которой труба не будет оказывать на ротор никакого влияния. Такой
режим будет соответствовать установившейся скорости «стабилизированной» реакцией трубы. Таким, образом, если ротор начнёт вращаться с меньшей угловой скоростью, то труба его «подгонит»; если же ротор разгонится, то произойдёт обратное,
труба за счёт создания на выходе статора области повышенного давления «притормозит» его вращение. Так проявляется механизм обратной связи в этой исключительно
автоколебательной системе.
13.216. При сильном ветре электрические провода издают достаточно интенсивные звуки. Каков механизм их возникновения?

Решение

1. С древнейших времён известно,
что ветер может рождать звуки. Так, например, если в деревянной рамке натянуть, настроенные в унисон струны, то
будучи расположенная перпендикулярно
ветру, она начинает издавать тихие, но
мелодичные звуки. Это, так называемая
эолова арфа, которая услаждала слух
ещё в Древней Греции и Древнем Риме.
Однако внятное объяснение этого акустического эффекта появилось только в
1878 г. в результате специальных исследований, проведенных Струхалем и в
1912 г. Карманом.
2. На основании экспериментов
(рис.13.216.1) обнаружилось, что например, при обтекании ускоряющимся потоком цилиндра в поперечном направле-

Рис. 13.216.1. Схема образования вихрей

121

нии у поверхности в критических
точках возникает отрыв пограничного слоя, который в кормовой
части образует два цилиндрических вихря, которые периодически
отрываются и уносятся набегающим потоком, образуется, так называемая, дорожка Кармана (рис.
13.216.2). Карман, на основании
обработки собственных фотографий обтекания цилиндра обнаружил, что система вихрей становится
устойчивой при условии
Рис. 13.216.2. Дорожка Кармана
h
⎛ πh ⎞
sh ⎜ ⎟ = 1, ⇒
= 0,281 ,
l
⎝ l ⎠
3. Более поздние исследования показали, что более точной является формула Гарнера
⎛ πC ⎞
⎛ πh ⎞
sin ⎜
⎟ = sh ⎜ ⎟ ,
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠
где величина C l характеризует взаимное расположение отдельных вихрей. Устойчивое положение дорожки отвечает поочерёдному отрыву вихрей то с одной, то с другой
стороны обтекаемого цилиндра. Вихри представляют собой некоторый объём сплошной среды, вращающейся вокруг мгновенной оси, что приводит к установлению в
этом объёме распределения скоростей и давлений, отличных от основного потока. Колебания обтекаемых тел происходит преимущественно в плоскости, перпендикулярной направлению набегающего потока, при этом твёрдые тела (струны, стержни, пластины, сферы) возбуждаются на в диапазоне собственных частот. Первое обстоятельство объясняется довольно просто. Отрывающийся вихрь уносит с собой некоторый
импульс, причём в соответствие с законом сохранения импульса, обтекаемое тело получает импульс противоположного направления. Так как вихри срываются периодически, то и воздействие на обтекаемое тело тоже будет периодическим.
13.217. С трагическими последствиями возникновения аэродинамических автоколебаний в авиации столкнулись практически все ведущие авиастроительные страны.
Самолёты, буквально, разваливались на куски при достижении определённой скорости. В чём причина, и какова физическая суть этого явления?

Решение

1. Когда самолёты летали тихо, о катастрофическом явлении трепетания их крыльев никто даже не подозревал. Когда скорость перевалила за 250 − 300 км/ч., в воздухе
начали происходить совершенно невиданные аварии, поставившие, по началу, в тупик
конструкторов и испытателей авиационной техники практически всех успешно летающих стран. Вот, что писал о развитии авиации в тридцатых годах прошлого века
один из известных специалистов в области испытания военной авиационной техники:
«С появлением новых скоростных самолётов в авиации едва ли не всех передовых
стран мира прокатилась волна таинственных необъяснимых катастроф.
Случайные очевидцы, наблюдавшие эти катастрофы с земли, видели почти всегда
одну и ту же картину: самолёт летел совершенно нормально, ничего не внушало ни
малейших опасений, как вдруг внезапно какая-то неведомая сила, будто взрывом, разрушала машину − и вот уже падают на землю изуродованные обломки: крылья, оперение, фюзеляж …
Все очевидцы, не сговариваясь между собой, применяли выражение − взрыв, так
как не представляли себе других возможных причин столь молниеносного и полного
122

разрушения. Однако осмотр упавших обломков не подтверждал этой версии: никаких
следов взрыва − копоти или ожогов − не оказывалось.
Самым надёжным источником информации − докладом экипажа потерпевшего
аварию самолёта − воспользоваться, как правило, − увы! − не удавалось. Те же, насчитываемые буквально единицами лётчики, которым удалось выбраться из стремительно
летящих вниз, беспорядочно вертящихся обломков фюзеляжа и воспользовавшихся
парашютом, ничего сколько-нибудь существенного к рассказам наземных очевидцев
не могли. Очень уж неожиданно и быстро развивались события: всего за несколько
секунд до катастрофы ничего не предвещало её, а затем сразу − удар, треск, грохот, и
самолёт разваливается на куски!
Новому грозному явлению было дано название «флаттер» (от английского flutter −
трепетать), но ещё, если не ошибаюсь, Мольер сказал, что больному не делается легче
от того, что он знает, как называется его болезнь по латыни.
Одна за другой приходили тревожные вести о таинственной гибели французских,
английских, американских скоростных самолётов.
Не миновала сия горькая чаша и нас»
2. Как видно из приведенного откровения, учёные и инженеры столкнулись с каким-то совершенно новым явлением и поначалу никак не могли его внятно объяснить.
Лишь после многочисленных и глубоких теоретических исследований и модельных и
натурных экспериментов удалось установить, что флаттер − это проявление аэродинамической неустойчивости, когда возмущённое движение представляет собой колебания различных частей самолёта со стремительно нарастающей амплитудой. Оказалось,
что система устойчивая при малых скоростях полёта становилась неустойчивой после
того, как скорость достигала некоторого критического значения.
3. Механизм флаттера имеет ярко выраженную аэродинамическую природу. Энергия, необходимая для возбуждения автоколебаний, поступает в систему от встречного
потока воздуха.
4. В современном представлении существует два основных, наиболее разработанных, подхода к объяснению причин появления флаттера. Один из них основывается на
предположении, что разрушения, в частности, крыла происходят вследствие возникновения автоколебаний при периодическом сходе с его кормовой части вихрей. Это,
так называемая динамическая задача аэроупругости. Вторая теория флаттера строится
на предположении, что при определённых скоростях набегающего потока оно теряет
устойчивость и начинает совершать
нарастающие изгибно-крутильные
колебания. В принципе, оба подхода едины в причинах наступления
разрушений, отличаются только
причины к этому приводящие.
5. При обтекании крыла вследствие циркуляции скорости и турбулизации пограничного слоя с его
кромок срываются вихри (рис.
13.217.1), обеспечивая эффект возРис. 13.217.1. Отрыв вихря от крыла
буждения колебаний, механизм
возникновения которых аналогичен рассмотренному ранее.
6. Крыло в первом приближении можно рассматривать в виде балки с одним заделанным концом. Такая балка может совершать колебания двух основных видов: изгибные и крутильные, т.е. система крыло − фюзеляж обладает двумя степенями свободы, а о колебания крыла относятся к задачам о связанных колебаниях. С точки зрения
действующих сил, крыло обладает двумя характерными, несовпадающими в данном
сечении, точками их приложения: центром жёсткости 1 и центром тяжести 2. Центром
жёсткости называется точка приложения главного вектора упругих сил, возникающих
при деформации крыла. Несовпадение центров тяжести и жёсткости приводит к воз-

123

никновению моментов действующих сил: силы тяжести, подъемной силы, силы сопротивления и аэродинамических сил, связанных с отрывом вихрей.
7. На рис. 13.217.2 приведена фотография «собранной» после флаттера нервюры
самолётного крыла. По характеру разрушений видно, что перед тем как распасться на
фрагменты крыло вовершало изгибно-крутильные колебания.

Рис. 13.217.2. Разрушение нервюры крыла при флаттере

Для предотвращения флаттера оптимизируют распределение массы по длине крыла и жёсткость отдельных элементов конструкции. Кроме того, стараются увеличить
отношение жесткость/масса отдельных элементов и крыла в целом с целью смещения
собственных частот в более высокую область. Достаточно эффективным способом
предотвращения флаттера является демпфирование системы, т.е. увеличение коэффициентов трения и внутреннего сопротивления там, где аэродинамические требования
позволяют это сделать.
Кроме «классического» флаттера в технике наблюдается, так называемый, панельный флаттер, когда устойчивость при обтекании потоками воздуха или жидкости теряют конструкции в виде панелей, например висячие мостовые пролёты и перекрытия.
13.218. На практике опасные автоколебания наблюдаются не только в авиации.
Известны случаи повреждений и даже разрушений мостовых конструкций. Почему в
результате возникновения автоколебаний повреждаются и ломаются мосты?

Решение

1. История висячего мостостроения насчитывает несколько обрушений их пролётов под действием ветровых нагрузок. Так, например, в 1852 г. рухнул мост ЛарошБернар, имевший пролёт около 196 м, не поняв причин разрушения, мост восстановили, и он снова рухнул в 1871 г. Спустя всего два года обрушился 336 м. мост в Огайо.
Один из очевидцев так описал эту катастрофу: «В течение нескольких минут мы следили с тревогой за колебаниями, подобными качке корабля в шторм. Один раз мост
поднялся почти на высоту пилонов и затем опустился; при этом вдоль всего пролёта
произошло скручивание, и одна половина проезжей части почти перевернулась. Затем
огромная конструкция с головокружительной высоты устремилась в реку с ужасным
треском и грохотом». Обрушение висячих мостов далее произошли в 1864 г. и 1889 г.
2. Общим для всех катастроф было то, что все они протекали при сильном ветре и
перед обрушением пролёты мостов интенсивно раскачивались. Естественно, что такое
поведение строительных конструкций озадачило инженеров, которые были склонны
видеть причины разрушений в несовершенстве прочностных характеристик. Висячие
мосты строить не перестали, они были весьма эффективны, когда надо было перекрывать большие расстояния.
3. Летом 1940 г. было закончено строительство Такомского моста с пролётом между опорами 854 м. и шириной всего 11,9 м (рис. 13.218.1). Полотно моста висело на
двух стальных канатах, диаметром 46 см. каждый, со стрелой провеса 70,7 м.
4. Методами сопротивления материалов и мостостроительными законодательствами было установлено, что мост вполне надёжен. Но это была статика. Сразу после
окончания строительства обнаружилась чувствительность пространственного положения пролёта к переменным ветровым нагрузкам, которые над реками представляются

124

явлениями обычными. Усиление ветра вызывало колебания с амплитудой до полутора

Рис. 13.218.1. Схема Такомского моста

метров. Озадачились.
5. Разработали целую систему «действенных» мер в виде введением дополнительного ограничения степеней свободы отдельных элементов конструкции и установкой
дополнительных гидравлических демпферов на пилонах (конструкции, подобные автомобильным амортизаторам).
6. Несмотря на принятые меры, 7 ноября 1940 г. с самого утра, с 8 часов, обнаружились незначительные вертикальные изгибные многоузловые колебания пролёта на
частоте 0,6 Гц, при этом ветер имел скорость 17 м/с. Кроме того, наблюдение за мостом, включая непрерывную киносъёмку и фотографирование, обнаружили, что при
усилении ветра в 10 часов до 18,7 м/с начали проявляться одноузловые изгибнокрутильные колебания с частотой порядка 0,2 Гц со значительными амплитудами. Когда амплитуда закручивания достигала максимума, проезжая часть моста имела наклон к горизонту 450. Такое истязание конструкции продолжалось около часа, затем
при очередном порыве ветра большой участок проезжей части полотна отломился и
упал в реку.
7. Крушение Такомского моста стало знаменитым, потому что произошло в день
его официального открытия при стечении почтенной публики и средств массовой информации, в частности киносъёмщиков, которые плёнки не пожалели и запечатлели
все особенности поведения конструкции в течение более чем двух часов. Эта плёнка,
разумеется, была бесценным материалом для учёных и конструкторов. Сразу после
просмотра фрагментов скорбного фильма Т. Карман, обнаруживший периодическую
вихревую структуру за поперечно обтекаемыми телами опубликовал через две недели
после катастрофы результаты своих расчетов критической скорости дивергенции применительно к Такомскому мосту. Теоретическое значение скорости дивергенции оказалась равной 22,2 м/с. Стало ясно, что причинами разрушения стали аэродинамические эффекты. Было установлено, что циклическая частота срыва вихрей для цилиндрических элементов конструкции подчиняется уравнению
0,22 v −1
ωv =
c ,
2πD
где v − скорость потока в м/с, D − диаметр цилиндра в м., коэффициент 0,22 представляет собой число Струхаля для данного типа обтекаемой конструкции. Закон изменения вертикальной периодической силы, вызванной сходом вихрей можно принять в
виде
ρv 2
Fv = c k
S sin ωv t ,
2
где S − площадь проекции обтекаемого тела на плоскость, перпендикулярную направлению потока, ck − коэффициент формы, для цилиндра равный единице. Чем более
плохообтекаемо тело, тем величина ck − больше. Таким образом, было установлено,
что причиной катастрофы Такомского мота стал срывной флаттер.
8. Срывной флаттер был причиной разрушений не только висячих мостов. Описан
случай, когда высокая заводская труба высотой 90 м. при скорости ветра 80 км/час
125

практически мгновенно раскачалась и рухнула. У некоторых дымовых труб флаттер не
приводил к раскачиванию ствола: ось трубы сохраняла своё вертикальное положение,
а оболочка «дышала», изменяя форму своего поперечного сечения. Зрелище, как утверждают очевидцы, не для слабонервных. Способ предотвращения автоколебаний
труб оказался на удивление простым. На поверхности трубы располагали спиральные
стержневые насадки, которые изменяли условия отрыва вихрей, предотвращая тем
самым срывной флаттер.
9. Не обошёл срывной флаттер «своим вниманием» конструкции, перемещающиеся в воде. Известны случаи интенсивных колебаний перископов подводных лодок даже при относительно малой скорости их движения около 8 км/час. Экипажи отмечали,
что вначале наблюдалось размытие изображения, а затем, при увеличении скорости
движения перископ приходил в негодность.
10. Срывной панельный флаттер был причиной разрушения лопаток высокоскоростных турбин турбореактивных авиационных двигателей, когда при высоких скоростях движения возникали высокоинтенсивные колебания лопаток.
11. Периодическое отделение вихрей с кормовой части обтекаемого тела порождает наряду с вертикальной составляющей периодической силы и горизонтальную составляющую, действующую на тело в направлении потока. Отклонение конструкции
от статического положения приведёт к возникновению крутящего момента, зависящего от времени. Переменные во времени величины, по сути, являются параметрическими и при определённых условиях могут усиливать колебательные процессы путём организации наряду с колебаниями изгиба в вертикальной плоскости, колебаний кручения. Исследователями отмечаются случаи, когда срывной флаттер по схеме параметрического резонанса, о котором будет сказано ниже, возникал при чисто крутильных
колебаний, без вертикальных периодических прогибов.
13.219. Какие автоколебательные процессы относятся к параметрическим колебаниям? Каков механизм возникновения и протекания параметрических колебаний?

Решение

1. Рассмотренные ранее случаи возникновения и протекания колебаний были характерны тем, что проявляющиеся в процессе движения силы, можно было отнести к
одной из трёх категорий. Во-первых, встречались, так называемые, позиционные силы, величина которых зависит от положения тела, на которое они действуют. К позиционным силам относится большинство восстанавливающих сил, которые зависят, по
большому счёту, только от обобщённых координат qj. Диссипативные силы, как правило, являются однозначными функциями обобщённой скорости q& j , вынуждающие
силы, в большинстве своём, зависели от времени. Существует, однако, особый класс
сил, которые в явном виде зависят от координат и времени одновременно
Q j = Q j (q1 , q 2 ,Kq s , t ) ( j = 1,2,3,Ks ) ,
причём эти силы нельзя представить в виде некой суммы величин отдельно зависящих
от координат и отдельных величин, зависящих только от времени.
2. В простейшем случае, для системы с одной степенью свободы для малых отклонений от положения равновесия обобщённая сила такого типа определяется уравнением
Q = −kq = k (t )q ,
где k(t) − коэффициент упругости, зависящей от времени. В этом случае дифференциальное уравнение движения представится в виде
~ &q& + k ( t )q = 0 ,
m
~ − обобщённая масса. Поделим уравнение на обобщённую массу
где m
k(t)
&q& + ~ q = &q& + ψ ( t )q = 0 ,
m

126

где ψ(t) − переменный коэффициент. Решение уравнения существенно отличается от
аналогичного уравнения свободных колебаний с постоянным коэффициентом упругости. Достаточно часто на практике встречаются случаи периодического изменения параметра
ψ( t + T) = ψ( t ) .
3. Колебания, возникающие в присутствии изменяющихся во времени параметров
называются параметрическими. Параметрические колебания, как правило, либо происходят с фиксированными амплитудами, либо амплитуды увеличиваются во времени.
Вторая ситуация получила название параметрического резонанса. Параметрический
резонанс имеет необычные свойства и на много опаснее.
4.Таким образом, параметрические колебания характеризуются тем, что энергия
поступает в систему за счёт изменения какого-либо параметра, при условии совершения работы. Эффект параметрического возбуждения колебаний наблюдается только в
тех случаях когда изменение параметра
имеет определённую частоту и должным
образом фазировано относительно движения системы. Простейшим примером
параметрической колебательной системы являются качели (рис. 13.219.1).
5. Для того чтобы увеличить амплитуду колебаний качающемуся достаточно «правильно» поднимать и опускать
свой центр тяжести, приседая и вставая.
Достаточно приседать в крайних положениях и вставать, когда проходится
нижнее положение статического равно- Рис. 13.219.1. Параметрическое возбуждение
весия.
6. Центр тяжести при этом опишет траекторию, показанную на рисунке. Следует
оговориться, что если человек станет приседать и вставать на неподвижных качелях,
находящихся в положении статического равновесия, то колебания не возникнут, потому что работы при этом не совершается. Работа, затрачиваемая при подъёме, возвращается системе при опускании. Известно, что работа при перемещении любого тела в поле силы тяжести по замкнутой траектории эквивалентна нулю. Другое дело,
если качели немного раскачать, например, оттолкнувшись от тверди земной, а потом
уже синхронно приседать и вставать. Это даст результат. Распрямляясь на движущихся качелях, человек развивает некоторое усилие, пропорциональное нормальному ускорению (траектория движения качелей представляет собой часть окружности, т.е.
явно криволинейная) и совершает соответствующую работу.
7. Поскольку нормальное ускорение зависит от квадрата скорости
v2
,
an =
r
то максимум ускорения будет иметь место в средней точке траектории, где вся запасённая потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию. В крайних
точках скорость равна нулю (изменяется направление), следовательно и аn = 0.
8. С позиций теоретической механики приседание и вставание изменяет положение
центра тяжести, а следовательно и величину момента инерции Jz относительно оси
вращения, причём
dω
= 0,
Jz
dt
где ω − угловая скорость. Изменение момента инерции должно неминуемо приводить
к изменению угловой скорости, следовательно, и к изменению линейной скорости. В
качестве модели колебательной системы можно рассматривать качели с приседающим
периодически человеком как физический маятник с изменяющейся длиной подвеса.

127

9. Другим классическим примером параметрических колебаний является знаменитый опыт, поставленный профессором Мельде в 1859 г. Натянутая струна одним концом крепилась к неподвижной горизонтальной опоре, а вторым концом к ножке камертона (рис.13.219.2). При колебаниях камертона струна периодически изменяла своё
натяжение в соответствии с собственной частотой колебаний камертона.
10.В струне возникали параметрические колебания, при которых периодически изменяемым параметром является натяжение струны.
11. Как случай возбуждения колебаний качелей, так и струны,
можно отличить от прочих вариантов гармонических движений. Дело
в том, что рассматриваемые колебательные процессы происходят
Рис. 13.219.2. Опыт Мельде
под действием периодических механических сил, проявляющихся в направлениях, перпендикулярных направлению
основного движения. Эти силы непосредственно не могут совершать механической
работы, однако их энергетическое проявление, т.е., работа, совершается и вводится в
систему, осуществляется посредством изменения параметров системы. Кроме того,
немаловажен тот факт, что частота изменения параметров ровно в два раза выше частоты возбуждаемых колебаний. Такое соотношение не единственное, отношение частоты параметрических колебаний к частоте изменения параметра может быть равно: 1,
½, 3/2, 2, 2/5 и т.д. Однако на опыте параметрические колебания легче всего возбуждаются при соотношении частот, равном ½.
13.220. Маятник с массой грузика m = 0,1 кг и длиной невесомого стержня l = 0,5 м
совершает вертикальные колебания при периодическом изменении длины подвеса по
закону y1 = y0sinΩt, где Ω = 10 рад/с, у0 = 0,01м. Будут ли устойчивыми колебания маятника, приведёт ли периодическое вертикальное перемещение к возникновению колебаний в горизонтальном направлении?

Решение

1. Для составления дифференциальных уравнений движения изобразим силы, действующие на
грузик маятника в неподвижной декартовой системе координат (рис.13.220.1) {xO1y}
m&x& = − N sin ϕ,
⎫
⎬
m&y& = N cos ϕ − mg.⎭
2. Выразим из первого уравнения системы силу
натяжения стержня N
m&x&
,
N=−
sin ϕ
и подставим это значение во второе уравнение
системы
m&x&
m&y& = −
cos ϕ − mg ,
Рис. 13.220.1. Силы, приложенные к
sin ϕ
грузику маятника
или
m(&x& cos ϕ + &y& sin ϕ) = −mg sin ϕ .
3. Координаты грузика маятника можно представить как функции угла отклонения
ϕ и вертикального смещения у1

128

y = l − l cos ϕ + y1 ,⎫
⎬
x = l sin ϕ.
⎭
4. Вычислим далее вторые производные по времени уравнений системы с учётом
того, что y1 = y0sinΩt
&& sin ϕ + ϕ& 2 cos ϕ) − y 0 Ω 2 sin Ωt;⎪⎫
&y& = l(ϕ
⎬
&& cos ϕ − ϕ& 2 sin ϕ).
&x& = l(ϕ
⎪⎭
удем полагать что, колебания малые, для которых возможно считать, что cosϕ ≅ 1,
sinϕ ≅ ϕ, ϕ2 ≅ 0
⎛ g y Ω2
⎞
&& + ⎜⎜ − 0 sin Ωt ⎟⎟ϕ .
ϕ
l
⎝l
⎠
5. Полученное уравнение приводится к уравнению Матье
d 2ϕ
+ (a + 2q cos 2τ )ϕ = 0 ,
dτ 2
если положить
4g
Ωt
4y
a= 2 ; τ=
; 2q = 0 .
Ωl
l
2
6. Как было показано раннее, в зависимости от значений параметров рассматриваемая колебательная система может либо совершать затухающие колебания, не реагируя на изменение длины подвеса, либо вследствие параметрического резонанса достигать больших углов отклонения.
7. На рис. 13.220.2 приведена диаграмма, полученная
Айнсом − Стреттом по которой
возможно определить, будет ли
при заданных параметрах маятник устойчив. В рассматриваемом случае интересующие
нас величины примут следующие значения
4 ⋅ 10
a≅
≅ 0,8 ,
100 ⋅ 0,5
2y
0,02
q= 0 =
≅ 0,04 .
0,5
l
8. Как видно из полученных
данных при заданных условиях
система будет находиться в
устойчивом состоянии (положение на диаграмме Анса −
Стретта отмечено красной точкой) и в параметрический резоРис. 13.220.2. Диаграмма Айнса − Стретта
нанс впадать не будет. Чтобы
система стала неустойчивой достаточно изменить одно из соотношений для а или q.
Так, например, если частоту колебаний точка подвеса уменьшить до 8,94 рад/с, то a ≅
1, и параметрический резонанс станет возможен. На диаграмме это новое состояние
будет характеризоваться точкой, лежащей в заштрихованной области (светлая точка).
13.221. Что произойдёт, если колебательная система будет возбуждаться не периодическими силами, подчиняющимися законам косинуса или синуса, а силами, носящими случайный во времени характер?

129

Решение

1. Рассматривая вынужденные колебания, было показано, что возбуждающая сила
имеет периодический закон изменения, или имеет известный закон изменения во времени. В реальных колебательных системах колебания зачастую возбуждаются случайными воздействиями. Так, например, строительные конструкции, элементы судового
рангоута и такелажа и т.д. подвергаются ветровым нагрузкам, изменяющимся случайным образом. Выполняя соответствующие расчёты, конструкторы вынуждены пользоваться только статистическими сведениями. Распространённым проявлением случайных колебаний являются колебания транспортных машин, вызываемые неровностями
дороги. Дороги, вообще-то, бывают разные, но далее речь пойдёт именно о привычных для нас, городских «автобанах». Автомобиль, с точки
зрения теории колебаний
(рис.13.221.1), в первом приближении можно представить
как некую массу, снабжённую
упругими элементами (рессоры, пружины, элементы торсионной подвески) и демпфирующими
устройствами
Рис.13.221.1. Колебательная система автомобиля
(амортизаторные стойки устройствами).
2. Неровности дороги будут вызывать смещение кузова автомобиля в вертикальной и горизонтальной плоскости. Рассмотрим колебания центра масс автомобиля С
только в вертикальной плоскости. Следует отметить, что перемещения передней y1 и
задней у2 подвески автомобиля во многом автономны и зависят как от профиля дороги, так и от конструктивных особенностей, а так же от режима загрузки автомобиля.
3. Автомобиль, как и всякая колебательная система с распределёнными параметрами имеет несколько резонансов. Самым неприятным для конструкции являются колебания на собственной частоте. Колебательная система, как бы настраивается на частоту собственных колебаний. Из всего частотного спектра внешних воздействий конструкция «выбирает» именно эту частоту и начинает раскачиваться на ней с возрастающей амплитудой.
4. На рис.13.221.2 приведена качественная частотная
характеристика колебаний
центра масс автомобиля. По
вертикальной оси отложена
относительная
амплитуда
колебаний, а по горизонтальной оси их частота в
герцах. Автомобиль при
этом перемещался по типичной грунтовке с постоянной скоростью, которая
выбиралась исходя из максимума амплитуды колебаний. Обращает на себя вниРис.13.221.2. Частотная характеристика колебаний
мание наличие ярко выраженного резонанса в области частот 6 − 9 Гц, т.е., практически, в инфразвуковом частотном диапазоне.
5. Существенно отметить, что колебания именно в этом частотном диапазоне наиболее опасны как для организма человека, так и для элементов конструкции: кузов,
рама и т.д.
130

Суммирование гармонических колебаний
13.222. В чём заключается суть геометрического сложения гармонических колебаний?

Решение

1. Материальные точки и тела на практике часто могут участвовать одновременно
в нескольких колебательных процессах, при этом происходит их суммирование, так
что мгновенные значения смещений представляются как алгебраическая сумма мгновенных значений кинематических характеристик происходящих одновременно колебательных процессов, в случае их одинаковой направленности.
2. Если колебания происходят по разным
направлениям, то результирующее колебания
является результатом геометрического сложения, т.е. с учётом направления.
3. Как известно, колебания можно задавать
в виде последовательности чисел или в виде
соответствующих графиков. Сложение колебаний и в одном и в другом случае производится
для одних и тех же моментов времени с учётом
знаков слагаемых величин.
Ординаты графика рис. 13.222.1 получены
путём последовательного сложения ординат
процессов а и б для одних и тех же моментов
времени. Подобным образом можно последовательно складывать произвольное число колебательных процессов. Наиболее просто процедура
сложения производится для колебаний заданных относительно простыми математическими Рис. 13.222.1. Сложение двух колебаний одного направления
уравнениями.
13.223. Заданы два колебательных процесса, подчиняющиеся уравнениям

s1 = S1 cos(ωt + ϕ1 ); ⎫
⎬
s 2 = S1 cos(ωt + ϕ2 ),⎭

Найти сумму этих колебаний, т.е. установить закономерность протекания результирующего процесса.

Решение

1. Пусть заданы слагаемые кинематические параметры двух процессов уравнениями вида
s1 = S1 cos(ωt + ϕ1 ); ⎫
⎬
s 2 = S1 cos(ωt + ϕ2 ),⎭
где S1, S2 − амплитудные значения складываемых величин, ϕ1, ϕ2 − начальные фазы, ω
− циклическая частота, по условию задачи одинаковая для обоих процессов. Удобно
складывать величины, предварительно представив их в комплексной форме

131

r r
s1 = S1e jωt = S1e jϕe jωt ;⎫⎪
⎬
r r jωt
s2 = S2e = S1e jϕe jt . ⎪⎭
2. Сумма комплексных величин представится в виде
r r r j ωt
s1 + s2 = Se = Se jϕe jωt = S cos(ωt + ϕ) + jS sin (ωt + ϕ) ,
причём действительная часть уравнения
s = S cos(ωt + ϕ) ,
будет являться определяемой суммой. Величины S и ϕ определяются по общим правилам действий над комплексными величинами
r r
jω t
s1 + s2 = {(S1 cos ϕ1 + S2 cos ϕ2 ) + j(S1 sin ϕ1 + S2 sin ϕ2 )} ,
S2 = (S1 cos ϕ1 + S2 cos ϕ2 ) + (S1 sin ϕ1 + S2 sin ϕ2 ) ,
2

2

S = S12 + S22 + 2S1S2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) ,
3. Результирующая начальная фаза определяется уравнением
S sin ϕ1 + S2 sin ϕ2
ϕ = arctg 1
.
S1 cos ϕ1 + S2 cos ϕ2
Анализ полученных уравнений результирующей амплитуды и фаза показывает,
что при сложении однонаправленных колебаний одинаковой частоты с разными амплитудами и равными циклическими частотами результирующее колебание тоже является гармоническим.
4. В случае равенства S1 и S2 уравнения упрощаются
ϕ − ϕ2
ϕ − ϕ2
, ϕ= 1
.
S = 2S1 cos 1
2
2
5. В случае совпадения начальных фаз, т.е. ϕ1 − ϕ2 = 0 или ϕ1 − ϕ2 = 2πn колебания
синфазные, следовательно
S = S1 + S2 ;⎫
⎬.
ϕ1 = ϕ1 = ϕ⎭
6. При равенстве амплитуд и начальных фаз
S = 2S1 = 2S2 ; ϕ1 = ϕ2 = ϕ .
7. Если колебания находятся в противофазе, когда ϕ1 − ϕ2 = (2n + 1)π , то
S = S1 − S2 .
8. В случае равенства амплитудных значений величин они будут взаимно уничтожаться.
9. Как известно, колебания можно представлять в виде вращающихся векторов, в
этом случае, для какого-то момента времени
мгновенное значение суммарного колебания
определится проекцией вектора суммы
r r
r
S1 + S2 = S на действительную ось (рис.
13.223).
10. По сути, используется правило параллелограмма. Результирующее колебание
отождествляется с диагональю параллелограмма, построенного для данного момента
Рис. 13.223. Векторное суммирование
времени на амплитудных значениях складываемых переменных величин. Следует отметить, что рассматриваемый способ можно
применять только при равенстве частот складываемых колебаний. Если частоты разные, то взаимное расположение векторов на диаграмме меняется во времени, векторное суммирование при этом теряет смысл.

132

13.224. Как складываются процессы, протекающие с различными частотами?

Решение

1. При рассмотрении суммирования колебаний с разными частотами следует различать три характерных случая.
2. Частоты суммируемых колебаний относятся как небольшие целые числа. В этом
случае результирующее колебание имеет периодический характер, результирующий
период является наименьшим кратным периодов суммируемых колебаний. Форма
суммарного колебания зависит от отношения частот и сдвига фаз, поэтому может быть
весьма разнообразной. Дело в том, что незначительное изменение сдвига фаз существенным образом меняет форму колебаний. На рис. 13.224.1. (левые графики) приведены результаты суммирования колебаний с отношением частот 2:1, результирующее
колебание при отношении частот 3:1 показано на правой части рисунка.

Рис. 13.224.1. Суммирование двух колебаний с кратными частотами 2:1 и 3:1

3. Левая часть рисунка иллюстрирует суммирование двух колебаний
s1 = 1sin ωt;
⎫
⎬
s 2 = 0,5 sin (2ωt + ϕ);⎭
причём: а) ϕ = 0; б) ϕ = 300; в) ϕ = 600; г) ϕ = 900.
4. Правая часть рисунка построена для случая
s1 = 1sin ωt; ⎫
⎬,
s 2 = S sin 3ωt;⎭
при этом: а) S = 0,5; б) S = 1; в) S = 2.
5. На рис. 13.224.2 приведен графический результат суммирования трёх колебаний,
описываемых уравнениями (случай а)

133

s1 = sin ωt;

⎫
⎪
s 2 = 0,5 cos 2ωt; ⎬
s3 = −0,25 sin 3ωt.⎪⎭
6. Для случая б
s1 = sin ωt;
⎫
⎪
s 2 = 0,5 cos 2ωt; ⎬
s 3 = 0,25 sin 3ωt.⎪⎭
7. Нетрудно видеть, что даже в
простейшем случае суммирования
трёх колебаний с простой комбинацией параметров, результирующее
колебание может иметь принципиально разные характеристики, но в
любом случае форма колебаний,
являясь, в общем-то, периодической, но не подчиняющейся напрямую законам косинуса или синуса.
Особенно это наглядно проявляется
для случая б.
Рис. 13.224.2. Суммирование трёх колебаний
8. Частота одного из суммируес отношением частот 1:2:3
мых колебаний значительно превышает частоту другого. В том случае, когда амплитуда высокочастотного колебания на много превышает частоту низкочастотного
колебания (на рис. 13.224.3 в двенадцать раз), результирующее колебание имеет форму, представленную графиком в, которая имеет место в случае, когда низкочастотное
колебание меньше по амплитуде,
чем колебание высокочастотное.
Если низкочастотное колебание
имеет большую амплитуду (рис.
13.224.4), то форма результирующего колебания отличается от предыдущего. Случай суммарного колебания (кривая в) часто наблюдаРис. 13.224.3. Сложение двух колебаний
ется при наложении на полезный
с отношением частот 1:12
сигнал низкочастотной наводки от
сети питания с промышленной частотой 50 Гц. Как правило это происходит при недостаточно качественной фильтрации напряжения при его преобразовании из переменного в постоянное, в этом случае наводка проникает в усилительные каскада по
цепям питания.
9. Частоты суммируемых колебаний отличаются незначительно. Этот случай называется биениями. Запишем уравнения суммируемых колебаний следующим образом
s1 = S1 cos(ωt + ε ); ⎫
⎬
s 2 = S2 cos(ω + Δω);⎭
где S1, S2 − амплитуды суммируемых колебаний, ω и ω + Δω − циклические частоты
колебаний, удовлетворяющих условию
Δω << ω ,

134

ε − начальная разность фаз колебаний. Соответствующим выбором начала отсчёта
времени всегда можно сделать так, чтобы начальная фаза у одного из колебаний была
равна нулю.
10. Сумма обсуждаемых колебаний запишется следующим уравнением
s = s1 + s 2 ;
s = (S1 cos ε + S2 cos Δωt )cos ωt −
− (S1 sin ε + S2 sin Δωt )sin ωt.
11. Уравнение упростится, если ввести следующие обозначения
S1 cos ε + S2 cos Δωt = S cos ψ;⎫
⎬
S1 sin ε + S2 sin Δωt = S sin ψ. ⎭

12. В этом случае результирующее колебание можно записать в виде
s = S cos(ωt + ψ ) .
13. Система уравнений позволяет найти
результирующую амплитуду и фазу, пользуясь
следующими соотношениями
S = S12 + S22 + 2S1S2 cos(Δωt − ε ) ,
Рис. 13.224.4. Сложение двух колебаний с
S1 sin ε + S2 sin Δωt
.
отношением частот 1:9
S1 cos ε + S2 cos Δωt
14. Если колебания записать в виде
s1 = S1 sin (ωt + ε ), ⎫
⎬
s 2 = S2 sin (ω + Δω)t ,⎭
результирующее колебание представляется зависимостью
s = s1 + s 2 = S sin (ωt + ψ ) .
15. Значение величин S и ψ определяемые полученными выше уравнениями содержат в качестве параметра время, что говорит о том, что результирующая амплитуда
и фаза будут переменными, периодически изменяющимися во времени величинами.
Амплитуда, к примеру, ввиду наличия в уравнении косинуса будет изменяться в пределах
Smax = S1 + S2 . Smin = S1 − S2 .

tgψ =

13.225. Каков результат сложения двух близких по частотам колебаний?

Решение

1. При сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами результирующее колебание представляет собой, так называемые, биения.
2. Подобные периодические изменения амплитуды называются биениями. Название впервые появилось в акустике: при суммировании двух близких по частотам колебаний человеческое ухо, так же как и микрофоны чётко воспринимают периодическое
усиление и ослабление амплитуды. Такой эффект наблюдается у двухмоторных винтовых самолётов. Участки с максимальными амплитудами называются горбами, с минимальными − талиями.
3. Число νБ полных периодов изменения амплитуды в единицу времени называется
частотой биений, которую можно записать следующим уравнением
Δω
νБ =
= ν1 − ν 2 .
2π
4. Периодом биений называется величина

135

1
2π
TT
=
= 1 2 .
ν Б Δω T2 − T1
5. На рис. 13.225.1 приведен графический результат суммирования двух колебаний
s1 = 2 cos 5t; ⎫
⎬
s 2 = 1,5 cos 6t.⎭
TБ =

Рис. 13.225.1. Суммирование двух, близких по частотам колебаний с
косинусоидальным фазовым совпадением

6. В зависимости от фазовых соотношений суммирование одних и тех же колебаний приводит к разному результату. На рис. 13.225.2 приведены результаты суммирования тех же колебаний что и на рис. 13.225.1. Но в первом случае исходные колебания находятся в фазе по косинусу, а во втором случае − по синусу, т.е. на рис. 13.225.2
представлены колебания, описываемые уравнениями

Рис. 13.225.2. Суммирование двух, близких по частотам колебаний с
синусоидальным фазовым совпадением

136

s1 = 2 sin 5t; ⎫
⎬
s 2 = 1,5 sin 6 t.⎭
7. Когда амплитуды суммируемых колебаний, близких по частоте, одинаковы, т.е.
S1 = S2, то результирующее колебание, возможно, описать уравнением
ε ⎞ ⎡⎛
Δω ⎞ ε ⎤
⎛ Δω
s = 2S1 cos⎜
t − ⎟ cos ⎢⎜ ω +
⎟t + ⎥ .
2 ⎠ ⎣⎝
2 ⎠ 2⎦
⎝ 2
8. На рис. 13.225.3 приведен результат суммирования двух колебаний с одинаковыми амплитудами S1 = S2
s1 = 2 cos 5t; ⎫
⎬
s 2 = 2 cos 6 t.⎭

Рис. 13.225.3. Суммирование равноамплитудных колебаний с близкими частотами

9. Следует отметить, что употребление терминов «периодическое изменение амплитуды» и «начальный фазовый угол» не совсем корректно, потому что ни относятся
к гармоническим процессам, имеющим фиксированные значения обсуждаемых величин. Как видно из приведенных графиков, уместнее говорить о периодическом изменении размаха, потому как результирующее колебание можно считать с некоторыми
оговорками близким к гармоническому, только при малом значении Δω, когда период
биений велик, так что два соседних размаха колебаний мало отличаются друг от друга
по амплитуде. Такое же несоответствие применяемой терминологии к реалиям относится и к огибающей биений. В общем случае эти огибающие не являются синусоидами, хотя визуально походят на них. Верхняя и нижняя огибающие являются зеркальными отражениями друг друга. При их характеристике применяются термины «амплитуда огибающей» и «частота огибающей». Площадь между огибающими, называется полосой биений. Максимальная ширина полосы равна 2(S1 + S2 ) , минимальная
ширина составляет 2 S1 − S2 .
13. 226. Что будет собой представлять результирующее колебание при сложении
периодичных процессов, протекающих во взаимно перпендикулярных плоскостях?

Решение

137

1. Взаимно перпендикулярные колебания удобно представить как происходящие в
направлении осей декартовой системы координат
x = X sin ωt , ⎫
⎬
y = Y cos ωt ,⎭
где х, у − мгновенные значения суммируемых кинематических характеристик суммируемых гармонических процессов, Х, Y − амплитудные значения величин, ω − циклическая частота.
2. С позиций теории, уравнения можно рассматривать как уравнения движения,
потому что они, по сути, задают координаты исследуемой точки в зависимости от времени. Чтобы получить представление о траектории движения необходимо исключить
параметр − время. Если оба процесса протекают с одинаковой частотой, то это делается довольно просто. Преобразуем уравнения к виду
x
⎫
= sin ωt; ⎪
⎪
X
⎬
y
= cos ωt.⎪
Y
⎭⎪
3. Возведём уравнения в квадрат и сложим
2
2
⎛x⎞ ⎛y⎞
2
2
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = sin ωt + cos ωt ,
⎝X⎠ ⎝Y⎠
2

2

⎛x⎞ ⎛y⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1,
⎝X⎠ ⎝Y⎠
т.е. траекторией является симметричный относительно осей координат эллипс.
4. Если уравнения колебаний задать в более общем виде
x = X sin (ωt + ε );⎫
⎬,
y = Y sin ωt.
⎭
то так же можно прийти к уравнению эллипса с центром в начале координат, ориентированного относительно осей произвольным образом, в зависимости от разности начальных фаз ε
2
2
⎛ y ⎞ ⎛ x ⎞ 2xy
cos ε = sin 2 ε .
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ −
Y
X
XY
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5. Определим далее дискриминант δ старших членов уравнения
1
1
−
cos ε
2
1
Y
XY
δ=
= 2 2 sin 2 ε.
1
1
XY
−
cos ε
XY
X2
6. Дискриминант всегда больше нуля, кроме случаев, когда ε = 0 и ε = π. При последовательном изменении сдвига фаз для колебаний одной частоты (m:n = 1) конфигурация эллипса будет меняться. При ε = 0 эллипс вырождается в прямую линию.
7. На рис. 13.226.1 приведены характерные формы сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с различным отношением частот и различными
значениями начального фазового угла ε горизонтального колебания в момент, когда
фазовый угол вертикального колебания обращается в ноль.
8. Рассмотрим, что будет наблюдаться в результате суммирования двух взаимно
перпендикулярных колебаний, происходящих с разными частотами. В этом случае
результирующее колебание представляет собой, так называемые, фигуры Лиссажу.
9. Если частоты суммируемых колебаний несоизмеримы, то траектория будет
замкнутой и не выходящей за пределы прямоугольника со сторонами равными удвоенным амплитудам исходных колебаний. При частотах мало отличающихся друг от
друга результирующая траектория будет близка к эллипсу, непрерывно меняющему
свою конфигурацию как при непрерывном изменении сдвига фаз.
138

Рис. 13.226.. Формы сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний
с различными отношением частот m:n и значениями начального фазового угла ε

10. На рис.13.226.2 показан графический результат сложения трёх взаимно перпендикулярных колебаний.

Рис. 13.226.2. Сложение трёх взаимно перпендикулярных колебаний

139

14. Упругие волны
14.1. При каких условиях возникают упругие волны? Каковы их основные характеристики? Какие принято различать типы волн?

Решение

1. Существование упругих волн, по большому счёту, предрекается уравнениями
законов Ньютона, в частности, основным уравнением динамики
r
i=n r
d(mv )
.
Fi =
∑
dt
i =1
2. Если к торцу длинного тонкого стержня приложить в течение короткого промежутка времени силу, то торцевой слой приобретёт импульс, под действием которого
он сожмётся, т.е. деформируется. Упругие силы передадут движение следующему
слою стержня. Упругие силы, возникшие во втором слое, остановят движение торцевого слоя, но передадут импульс следующему слою. Таким образом, движение и деформация будут распространяться вдоль стержня, т.е. по стержню побежит упругая
волна, которая будет распространять исходное возмущение по длине стержня практически без изменений. Естественно, что со временем в результате внутреннего трения
импульс затухнет. Ударяя по стержню периодически, можно добиться присутствия в
стержне стабильных во времени разряжений и сжатий его структуры. Для возникновения упругого волнового движения необходимы два безусловных условия. Во-первых,
в среде должен быть источник, как правило, это тот или иной колебательный процесс.
Во-вторых, источник колебаний должен располагаться в среде, отдельные части которой упруго связаны между собой.
3. Подобные рассуждения, проведенные с механических позиций, можно распространить и на тепловые явления. Торец стержня можно подвергнуть «тепловому удару», сообщая кратковременный тепловой импульс, который поведёт себя не так как
механический импульс. Градиент температуры концевого слоя со временем расплывётся по длине стержня, не обнаруживая признаки волнового движения. Дело в том,
что передача тепла подчиняется совсем другим законам, отличным от передачи механического движения.
4. При распространении волнового движения в среде протекают два различных
явления: движение отдельных частиц среды и перемещение самой упругой волны по
среде. Первое явление относится к обычному механическому перемещению отдельных микрообъёмов среды, которые моделируются материальными точками. Второе
явление представляется как движение возмущённого состояния среды от одной группы частиц к другой.
5. Величина смещения и скорость частиц определяются параметрами колебательного процесса. Так, например, в звуковой волне смещения и скорости зависят от громкости звука. Частицы следы приобретают движение только в момент прохождения
волны, после прохождения возмущения они возвращаются в своё равновесное состояние, в то время как упругая волна распространяется дальше, вовлекая в колебательное
движение всё новые и новые объёмы среды. Скорости упругих волн относительно велики, в воздухе при нормальных условиях с ≅ 340 м/с, в воде − с ≅ 1500 м/с, в стали − с
≅ 5000 м/с. Скорость распространения звуковых волн, практически, не зависит от параметров источника колебаний, а определяется только физическими характеристиками
самой среды: чем больше упругость среды, тем значительнее силы, возникающие при
деформации, и тем быстрее передаётся возмущение от частицы к частице − тем большее значение имеет скорость звука. На скорость распространения оказывает влияние и

140

плотность среды, чем выше плотность, тем среда более «инертна», частицы «медленнее» приобретают скорость, о чём недвусмысленно намекает уравнение второго закона Ньютона.
6. Скорость звука величина конечная, определяемая упругими свойствами и плотностью среды, другие характеристики оказывают не существенное влияние.
7. Таким образом, волнами, можно считать процессы распространения в пространстве любых изменений состояния материи в форме вещества или поля, не связанных с
переносом среды.
8. Отличие упругих волн, обусловленных механическими колебаниями, от всех
прочих видов движения состоит в том, что при волновом процессе не происходит переноса вещества из одного мета в другое, а переносится лишь форма возмущённой
среды – гребни и впадины поперечной волны или сгущения и разряжения продольной
волны.
9. Всякое колеблющееся тело (камертон, струна, мембрана, диффузор динамика и
т.д.), при условии его нахождения в упругой среде, обозначает своё присутствие излучением упругих волн. Периодические деформации среды, возникающие в окрестности
колеблющихся тел, распространяются в окрестностях, при этом упругие силы, действующие между отдельными частичками среды, стремятся их вернуть в невозмущённое
состояние статического равновесия. Частицы же среды при распространении колебаний колеблются около этого положения. От одних участков среды к другим передаётся только состояние деформации, т.е. форма возмущённой среды.
10. Процесс распространения
колебаний за пределы положения
источника называется волновым
процессом или попросту − волной.
В зависимости от характера упругих деформаций волновые процессы принято делить на продольные
и поперечные (рис.14.1).
11. Если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны, то эта волна
называется продольной. Если же
перемещение происходит в направлении перпендикулярном векРис. 14.1. Продольные и поперечные волны
тору скорости волнового движения, то волна полагается поперечной.
12. Поперечные волны по обыкновению возникают в средах, обладающих сопротивлением сдвигу. Их образование связано с тем, что различные частицы среды начинают колебаться в разное время, поэтому колеблются в разных фазах. Когда одни частицы среды движутся вверх, то другие могут двигаться в это время вниз, среда при
этом вынуждена деформироваться, образуя гребни и впадины.
13. Примером поперечной волны может служить волна, возникающая в длинном
упругом шнуре, один конец которого соединён с колеблющимся вертикально телом, а
второй на значительном удалении закреплён неподвижно. В начальный момент времени (t = 0) все частицы шнура неподвижны (рис. 14.2), т.е. находятся в равновесии, а
конец шнура (точка О) в этот момент получает ускорение, направленное вверх и благодаря наличию связи, увлекает за собой соседние частицы шнура. Через четверть периода, частица находящаяся ранее в точке О, достигает максимального отклонения.
Частица А, отстоящая от начала отсчёта на расстоянии xА = c⋅(T/4) получит ускорение, тоже направленное вверх. В момент времени t = Т/2 первая частица вернётся в
положение равновесия, имея, при этом, ускорение, направленное вниз, частица А достигнет максимального смещения вверх, а частица В, отстоящая от О на расстояние хВ
= с⋅(Т/2), начнёт движение вверх. По истечение времени t = 3Т/4 частица О достигнет
максимального смещения книзу, частица А пройдёт положение равновесия, частица В
141

переместится в крайнее верхнее положение. Частица С, находящаяся на
расстоянии хС = с⋅Т от исходной точки, приобретает ускорение вверх. В
последующие моменты времени процесс повторяется.
14. Продольные волны возникают,
например, в упругой пружине, один
конец которой закреплён, а второй
совершает гармонические колебания.
Отдельные участки пружины будут
колебаться с различными фазами, что
приведёт к возникновению вдоль
пружины сжатий и растяжений. Типичным примером продольных волн
является распространение звуковых и
Рис. 14.2. Образование поперечной волны
ультразвуковых волн в воздухе или
воде, где по мере распространении волнового движения образуются чередующиеся
изменения плотности среды.
15. В реальных средах чаще всего возникают комбинированные волны, анализ которых обнаруживает характерные свойства как продольных, так и поперечных волн.
16. Распространяясь в среде, упругие волны переносят механическую энергию,
которая складывается из кинетической энергии движения частиц волны и потенциальной энергии упругой деформации среды. В зависимости от частотного диапазона волны делятся на инфразвуковые, звуковые, ультразвуковые и гиперзвуковые волны (табл. 14.1).
Таблица 14.1
№ Тип волн
Частотный диапазон
1 Инфразвуковые волны
0 − 20 Гц
2 Звуковой диапазон
20 Гц − 20 кГц
3 Ультразвуковой диапазон
20 кГц − 1 мГц
3 Гиперзвуковой диапазон
1 мГц − 10 гГц
17. Область пространства, в которой колеблются все частицы среды, называется
волновым полем. Поверхность, во всех точках которой частицы колеблются в одинаковой фазе, называется фронтом волны или волновым фронтом.
18. В однородной изотропной среде, т.е. в среде с одинаковыми физическими свойствами во всех направлениях и в отсутствии препятствий, упругие волны распространяются с постоянной скоростью. Наличие препятствий существенно усложняет картину распространения, механизм взаимодействия волн с препятствиями зависит от соотношения размеров препятствий и длин волн. При рассмотрении процесса образования
поперечных волн на примере длинного шнура мы имели дело с, так называемыми бегущими волнами, возникающими при отсутствии отражения. Если размеры среды ограничены, как в скрипичной или гитарной струне, то бегущие волны распространяясь,
будут отражаться от закрепленных концов и на длине струны образуется комбинация
волн и распространяющихся взад и вперёд, в этом случае говорят о стоячих волнах.
19. Как отмечено выше, отдельные осцилляторы (колеблющиеся материальные
точки) образующие среду, не перемещаются вместе с волнами. Они колеблются по
гармоническому закону вблизи положения своего равновесия. В этом легко убедится,
если в середину подходящей лужи, в которой на поверхности плавает мусор, бросить
камень (рис.14.3). Возникшая круговая волна, распространится до самых до берегов, а
вот плавающие предметы практически останутся на месте. Некоторое непродолжительное время, пока волна не затухнет, они будут по мере достижения их волны подниматься и опускаться относительно спокойного уровня воды.

142

14.2. Получите уравнение плоской бегущей волны в отсутствие
затухания в среде распространения.

Решение

Рис. 14.3. Распространение волны в луже

1. Прежде чем приступить к получению уравнения простейшего волнового движения необходимо сделать некоторые замечания о скоростях, фигурирующих в этом
процессе, поскольку смысл и содержание этих величин отличаются от принятых в
классической механике. При рассмотрении волнового движения различают три различных по смыслу и содержанию скорости.
• Колебательная скорость частиц. Это скорость, которую приобретают частицы среды, будучи увлечёнными колебательным движением при прохождении
волны. По сути это скорость колебаний частиц относительно положения равновесия.
• Волновая или фазовая скорость. Это скорость, с которой перемещаются в
пространстве поверхности одинаковой фазы, т.е. скорость с которой перемещаются горбы или впадины волн.
• Групповая скорость. При сложении нескольких волн с разными длинами
(частотами) и скоростями перемещения образуются группы волн (цуги, волновые пакеты). В реальности волны довольно редко наблюдаются в виде отдельных монохроматических компонент. В частности, вспышка белого света имеет
сплошной спектр частот, поэтому характеризуется групповой скоростью распространения. Естественно со временем, вследствие разности фазовых скоростей для отдельных компонент в среде, пакет расплывается. Если среда отсутствует, такое имеет место быть для электромагнитных волн, то все частоты
распространяются с одинаковыми скоростями. Для монохроматических волн
значения фазовой групповой скорости совпадают.
2. Задача исследования волнового движения, как правило, сводится к определению
амплитуды и фазы колебательного движения в различных точках среды, а так же изменение этих величин во времени. Задача решаема, если известен закон, по которому
колеблется тело, являющееся источником волн и по каким законам происходит взаимодействие этого тела с окружающей средой. Правда, в ряде случаев информация об
источнике волн является несущественной, потому что в место параметров колеблющегося тела задаётся расположение волнового фронта или волновой поверхности, а требуется определить состояние колебательного процесса в других точках среды.
3. Рассмотрим простейший случай, когда волна распространяется в положительном
направлении оси ОХ, при этом величину, характеризующую колебательные параметры частиц обозначим как у (рис. 14.2). Этой величиной может быть смещение относительно положения равновесия, отклонение давления или плотности среды. Пусть в
начальный момент времени при t = 0, y = 0 и начальная фаза ϕ = 0
y = y 0 sin ωt ,
где ω = 2π T − циклическая частота, Т −
период колебаний, у0 − амплитуда колебаний, ωt − аргумент синуса, определяющий значение колеблющейся величины в каждый момент времени, другиРис. 14.2. Синусоидальная волна
ми словами ωt − фаза колебаний в точке
О.
4. Точки А волновое движение достигнет га время
x
τ= ,
v
143

фаза колебаний в этой точке определится как
x⎞
⎛
ω⎜ t − ⎟ .
v⎠
⎝
Совмещая уравнения получим значение колеблющейся величины в точке А для
момента времени t
x⎞
⎛
y(x , t ) = y 0 sin ω⎜ t − ⎟ ,
v⎠
⎝
где v − фазовая скорость волны. Если волна распространяется в обратном направлении, то уравнение следует записать следующим образом
x⎞
⎛
y(x , t ) = y 0 sin ω⎜ t + ⎟ .
v⎠
⎝
5. Для волны распространяющейся в обоих направлениях уравнение примет вид
x⎞
⎛
y(x , t ) = y 0 sin ω⎜ t ± ⎟ .
v⎠
⎝
Преобразуем последнее уравнение к виду
ωx ⎞
⎛
y(x , t ) = y 0 sin ⎜ ωt ±
⎟.
v ⎠
⎝
6. Циклическую частоту ω можно выразить через частоту ν, которая измеряется в
герцах, или период Т, который измеряется в секундах, т.е.
ω = 2πν; ω = 2π/Τ.
7. Поскольку изначально было введено предположение о постоянстве амплитуды и
фазовой скорости, т.е. волна предполагалась плоской (поверхности равных фаз представляют собой плоскости). Расстояние, пройденное волной в течение периода, называется длиной волны
λ
⎛ 2π ⎞ v
λ = vT = v⎜ ⎟ = , ⇒ v = νλ + .
T
⎝ ω⎠ ν
8. С учётом введённых обозначений уравнение примет вид
2πx ⎞
2πx ⎞
⎛
⎛
y(x , t ) = y 0 sin ⎜ ωt ±
⎟ = y 0 sin ⎜ 2πνt ±
⎟.
λ ⎠
λ ⎠
⎝
⎝
9. В последнем уравнении присутствует постоянная для данной волны величина
2π/λ, которая называется волновым числом, это векторная величина, модуль которой
равен 2π/λ а направлен вектор волнового числа по направлению распространения волны
r 2π r
k=
i,
λ
r
где i − единичный вектор, направленный по оси ОХ и измеряемый в единицах волнового числа, т.е. в м− 1.
10. Уравнение плоской бегущей
волны, распространяющейся в направлении оси ОХ, окончательно запишется в виде
y(x , t ) = y 0 sin (ωt − kx ) .
Рис. 14.3. Геометрический образ плоской волны
На рис. 14.3 представлен геометрический образ плоской бегущей волны, распространяющейся с фазовой скоростью v.
Если поверхность равных фаз представляет сферу, то эту волну называют сферической, у которой амплитуда колебаний уменьшается обратно пропорционально расстоянию, уравнение для сферической волны представится следующим образом
y
y(r, t ) = 0 sin (ωt − kr ) .
x
144

14.4. Получить уравнение, описывающее распространения плоской бегущей волны
в среде без потерь.

Решение

1. Колеблющаяся физическая величина, зависит одновременно от двух переменных: координаты х и времени t. Скорость изменения у в функции времени t, при постоянстве х, представится в виде частной производной
∂y
⎛ Δy ⎞
lim⎜
=
.
⎟
Δt →0 Δt
⎝
⎠ x =const ∂t
2. Величина ∂y ∂t является уравнением скорости частицы в некоторой фиксированной тоске среды. Изменение у вдоль оси х характеризуется тоже частной производной при фиксации момента времени t
∂y
⎛ Δy ⎞
lim ⎜
=
.
⎟
Δx →0 Δx
∂
x
⎝
⎠ t =const
4. Уравнение определяет разность значений колеблющейся величины, отнесённой
к некоторому расстоянию, отсчитываемому вдоль направления распространения волны, т.е. показывает, каким образом изменяется величина у вдоль оси ОХ (в данный
момент времени).
5. Используя уравнение волнового движения, определим частные производные
рассматриваемой величины у вначале по времени
⎫
∂y
x⎞
⎛
= y 0ω cos⎜ t − ⎟;
u=
⎪
∂t
v⎠
⎝
⎪
⎬
2
∂ y
x⎞
⎛
2
2 ⎪
a = 2 = − y 0ω sin ω⎜ t − ⎟ = −ω y.
⎪⎭
∂t
v⎠
⎝
6. В случае, если у является смещением частицы среды из положения равновесия,
то u будет представлять собой скорость, измеряемую в м/с, естественно, что а будет
ускорением при колебательном движении данной точки среды. Изменение колебательной скорости и ускорения будут периодическими, причём амплитудные значения
составят
u 0 = y 0ω;
⎫
⎬
2
a 0 = y 0ω = u 0 ω.⎭
7. Продифференцируем далее исходное уравнение плоской бегущей волны по координате х для фиксированного момента времени t
⎫
∂y
x⎞
⎛ ω⎞ ⎛
= y 0 ⎜ − ⎟ cos⎜ t − ⎟;
⎪
∂x
v⎠
⎝ v⎠ ⎝
⎪
⎬
2
2
2
∂ y
ω
ωy⎪
x⎞
⎛
= − y 0 2 sin ⎜ t − ⎟ = − 2 .
∂x 2
v
v⎠
v ⎪⎭
⎝
8. Оценим размерности вторых производных
⎫
⎡ ∂2y ⎤ м
⎪
⎢ 2⎥= 2;
⎪
⎣ ∂t ⎦ с
⎬
2
2
⎡∂ y⎤ м ⋅ с
1 ⎪
⎢ 2 ⎥ = 2 2 = .⎪
м⎭
⎣ ∂x ⎦ с ⋅ м
9. Сравнивая размерности вторых производных, можно видеть, что они отличаются
на м2/с2, т.е. на квадрат фазовой скорости, что даёт основание записать
2
∂2y
2 ∂ y
=
.
v
∂t 2
∂x 2
Это есть волновое уравнение для случая одномерной плоской бегущей волны.

145

14.5. Упругая волна, как известно, представляет собой распространяющиеся в среде колебания. От каких параметров колебаний и среды зависит скорость распространения волн?

Решение

1. Рассмотрим распространение плоской продольной волны в направлении оси х в
изотропной безграничной среде. Мысленно выделим некий цилиндрический объём
площадью основания S и высотой Δx (рис. 14.5). Как следует из волнового уравнения
смещение частиц ξ с различными координатами х имеют различные значения, другими словами ξ = f(x).

Рис. 14.5. Определение скорости волн в упругой среде

2. Предположим, что в результате внешнего воздействия среда, заключённая внутри цилиндра деформируется. При перемещении основания c координатой х на величину ξ, то основание с координатой (x + Δx) сместится на величину (ξ + Δξ), т.е. рассматриваемый объём получает удлинение Δξ. Среднюю деформацию цилиндра можно
представить в виде безразмерной величины
Δξ
< ε >=
.
Δx
3. Чтобы получить деформацию ε в некотором сечении х необходимо рассмотреть
предел отношения
Δξ ∂ξ
ε = lim
=
.
Δx →0 Δx
∂x
4. Появление деформации растяжения или сжатия объёма среды свидетельствует о
наличии нормального напряжения σ
∂ξ
σ = Eε = E ,
∂x
где Е − модуль Юнга данной среды.
5. Величина напряжения зависит от координаты х (правая часть рис. 14.5). При значениях х, соответствующих максимальному отклонению частиц от положения равновесия деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят положение равновесия деформация и напряжение достигают максимума, при этом положительные и отрицательные деформации чередуются, что соответствует растяжению или
сжатию среды, таким образом, по длине цилиндра устанавливаются чередующиеся
разряжения и сгущения.
6. Найдём уравнение движения цилиндрического объёма, для чего запишем ускорение точек цилиндра в виде второй производной смещения по времени
d 2ξ
ax = 2 .
dt
7. Масса вещества заключённого в выделенном цилиндрическом объёме определится через плотность ρ недеформированной среды

146

m = ρSΔx .
8. Проекция силы, действующей на основание цилиндра равна произведению его
площади на разность нормальных напряжений в сечениях (х + Δх + ξ) и (х + ξ)
⎡⎛ ∂ξ ⎞
⎛ ∂ξ ⎞ ⎤
−⎜ ⎟ ⎥.
Fx = SE ⎢⎜ ⎟
⎣⎢⎝ ∂x ⎠ x +Δx +ξ+Δξ ⎝ ∂x ⎠ x +ξ ⎦⎥
9. Значение производной ∂ξ ∂x в сечении x + δ при малости δ можно представить
в виде
⎧⎪⎡⎛ ∂ξ ⎞
⎤ ⎡⎛ ∂ξ ⎞
∂ 2ξ
∂ 2ξ ⎤ ⎫⎪
Fx = SE ⎨⎢⎜ ⎟ + 2 (Δx + ξ + Δξ )⎥ − ⎢⎜ ⎟ + 2 ξ⎥ ⎬ ,
⎪⎩⎣⎝ ∂x ⎠ x ∂x
⎦ ⎣⎝ ∂x ⎠ x ∂x ⎦ ⎪⎭
или
∂ 2ξ
∂ 2ξ
(
)
x
SE
Δx .
Δ
+
Δ
ξ
≈
∂x 2
∂x 2
10. Ввиду того, что относительное удлинение ∂ξ ∂x при упругих деформациях
всегда на много меньше единицы, значит Δξ << Δx , следовательно, слагаемыми Δξ
при суммировании можно пренебречь, что позволяет уравнение силы переписать в
виде
∂ 2ξ
∂ 2ξ
Fx = ma x ; ⇒ ρSΔx 2 = SE 2 Δx .
∂t
∂x
11. Проведя сокращения в последнем уравнении, получим
∂ 2ξ ρ ∂ 2ξ
=
.
∂x 2 E ∂t 2
12. Уравнение представляет собой частный случай волнового уравнения, записанного для случая независимости ξ от координат у и z, кроме того, очевидно, что в данном случае фазовая скорость представляется следующим образом
E
v=
.
ρ
13. Фазовую скорость упругой продольной волны можно получить исходя из анализа механических величин. Представим, что в среде расположен реальный бесконечно длинный (длина на много больше длины волны) цилиндр с непроницаемыми стенками. В цилиндр вставлен невесомый подвижный поршень с площадью основания S.
В начальный момент времени t = t0 поршень начинает двигаться внутрь сосуда, где
присутствует следа с плотностью ρ, со скоростью v1, приводя среду внутри цилиндра в
деформированное состояние. За малый промежуток времени Δt деформация распространится на расстояние vΔt. Масса деформированного участка составит
Δm = ρSvΔt .
14. Изменение импульса, пришедшей в движение среды (газа или жидкости) запишется так
1
ΔP = Δmv1 .
2
15. Изменение импульса в соответствии со вторым законом Ньютона можно представить как изменение импульса среднего значения, действующей на среду
ΔP =< F > Δt .
16. Приравняем два последних уравнения
1
1
Δmv1 =< F > Δt ,
ρSvv1 =< F >,
2
2
17. Средняя сила, отнесённая к площади поршня, равна давлению р, т.е.
1
< F >= ΔpS .
2
Fx = SE

147

18. Абсолютное значение давление в соответствии с законом Гука можно выразить
через модуль объёмной упругости К и изменение объёма ΔV
Δp = −Κ (ΔV V) ,
знак минус показывает, что при сжатии среды, давление повышается, а при расширении понижается. Объём среды, подвергшейся деформированию в данном случае равен
V = vSΔt ,
в то время как, объёмная деформация составляет
ΔV = − v1SΔt ,
поскольку за промежуток времени от t0 до (t0 + Δt) частицы среды, прилегающие к
поршню, сместятся на расстояние v1Δt . С учётом этих обстоятельств избыточное давление, возникающее при перемещении поршня можно представить следующим образом
v SΔt
v
Δp = Κ 1
=Κ 1 .
vSΔt
v
19. Средняя сила, с учётом полученных соотношений, запишется в виде
1
v
< F >= ΚS 1 .
2
v
20. Подставим полученное уравнение силы
1
v
1
Κ
Κ
.
ΚS 1 = ρSvv1 ,
= ρv, ⇒ v =
2
v 2
v
ρ
21. Как видно, полученное уравнение фазовой (волновой) скорости продольных
волн совпадает с ранее записанным уравнением, а модуль объёмной упругости является, по сути, модулем Юнга.
22. Проводя подобные рассуждения, можно показать, что скорость поперечных
волн в изотропных средах равна
G
v=
,
ρ
где G − модуль сдвига среды.
23. Полученные уравнения для фазовой скорости показывают, что её величина определяется физическими характеристиками среды. Покажем это на примере идеального газа, находящегося в нормальных условиях (р0 ≅ 105 Па, Т0 ≅ 273 К) или близких к
ним. Состояние идеального газа определяется уравнением Клапейрона − Менделеева
m
pV = RT ,
μ
где μ − молярная масса газа, R − универсальная газовая постоянная, Т − абсолютная
температура. Введём в уравнение состояния плотность газа
m RT ρRT
p=
=
,
μ
V μ
откуда
pμ
ρ=
.
RT
24. Плотность газа при постоянстве его химического состава и температуры зависит от давления, причём эта зависимость определяется способом перехода газа из одного состояния в другое. Обсудим это более подробно. Для начала запишем уравнение
для бесконечно малого изменения объёма, подвергнутого деформации
dV
dp
dp = −Κ
, ⇒ Κ = −V
.
V
dV
25. Значение производной dp/dV зависит от процессов протекающих в газе при изменении состояния. Применительно к волновым процессам возможны два предельных
варианта. Первый вариант наблюдается при относительно медленном процессе де-

148

формации, на низких частотах, а второй при быстропротекающих процессах, что соответствует высокочастотным изменениям параметров колебательной системы, являющейся источником волнового движения.
26. На низких частотах процесс изменения состояния можно представить как изотермический, т.е. протекающий без изменения температуры, он интерпретируется математически законом Бойля − Мариотта
pV = const .
27. Продифференцируем уравнение с учётом того, что в изотермическом процессе
изменяется как давление, так и объём
dp ⋅ V = p ⋅ dV = 0 .
28. Перепишем последнее уравнение следующим образом
p
⎛ dp ⎞
= − . Κ T=const = p ,
⎜
⎟
dV
V
⎝
⎠ T=const
полученное значение давления совместим с зависимостью для ρ

ρ=

Κ T =const μ
, ⇒
RT

Κ T =cons =

ρRT
.
μ

29. Перепишем уравнение фазовой скорости с учётом найденного значения коэффициента объёмной упругости при изотермическом процессе
RT
.
v(T) =
μ
30. Распространение в следе высокочастотных колебаний соответствует адиабатическому процессу, т.е. отсутствием теплообмена между отдельными микрообъёмами
среды и внешними термодинамическими системами. Адиабатический закон изменения
состояния идеального газа описывается
pV γ = const ,
где γ − коэффициент Пуассона (показатель адиабата) для данного газа, определяемый
как отношение молярных или удельных теплоёмкостей γ = C p C V . Как и в предыдущем случае, продифференцируем уравнение
dpV γ + γpV γ −1dV = 0 ,
или
γp
⎛ dp ⎞
= − , ⇒ Κ δQ=0 = γp .
⎜
⎟
V
⎝ dV ⎠δQ=0
31. Подставляя далее значение коэффициента объёмной упругости в отсутствие
теплообмена в уравнение, получим
Κ μ
γρRT
.
ρ = δQ=0 , ⇒ Κ δQ=0 =
γRT
μ
32. Уравнение фазовой скорости для этого случая представится следующим образом
γRT
v=
.
μ
33. Каким же из полученных уравнений нужно пользоваться при определении, например, скорости упругих волн акустического диапазона в воздухе? Подставим следующие данные: R ≅ 8,3 Дж/(Моль⋅К); Т ≅ 293 К (20 0С); μ ≅ 3⋅10 − 2 кг/моль
8,3 ⋅ 293
м
v T=const ≅
≅ 285 .
−2
3 ⋅ 10
с
34. Далее воспользуемся уравнением при γ ≅ 1,4
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 293
м
v δQ=0 ≅
≅ 337 .
−2
3 ⋅ 10
с

149

35. Поскольку измеренное значение скорости звука в воздухе v = 340 м/с, то очевидно, что механизм изменения состояния воздуха при прохождении волны ближе к
адиабатическому процессу.
14.6. Несмотря на отсутствие поступательного движения частиц среды в плоской
бегущей волне, она способна переносить энергию. Как это можно объяснить?

Решение

1. Над тем, что такое волны люди начали задумываться давно. Ещё в XV в. гениальный Леонардо да
Винчи в своих дневника писал о своих наблюдений о
волнах: «Импульс гораздо быстрее воды, потому, что
многочисленны случаи, когда волна бежит от места
своего возникновения, а вода не двигается с места, −
наподобие волн, образующихся в мае на нивах течением ветров; волны кажутся бегущими по полю, между
тем нивы со своего места не сходят».
2. Современный мир полон волн, очевидно, этот
тип движения один из самых распространённых в
природе. Достаточно вспомнить, что подавляющее
большинство живых существ, включая и царя природы, типа, использует каналы информации, основанные
на
восприятии и обработке именно волновых процесРис. 14.6.1.. Леонардо да Винчи
сов. Наши органы слуха используют упругие волны
акустического диапазона. В полосе частот 20 Гц − 20 кГц мы говорим, подслушиваем
и даже, поём. Посредством восприятия электромагнитных волн оптического диапазона
в полосе частот 3⋅1014 − 3⋅1015 Гц мы видим окружающую нас действительность. А уж
современная действительность с телевизорами, навигаторами, мобильными телефонами и прочими атрибутами сегодняшнего времени, буквально повязана с волновыми
процессами самого разного свойства.
3. Как только человек начал размышлять о вонах, он сразу обратил внимание, что
волновые процессы имеют ярко выраженное энергетическое содержание. Сейсмические волны и цунами, приносящие разрушения, прозрачно намекали, − волны несут
энергию, причём немалую. Но даже те из людей, которых минули сейсмические стихии, не могли не обратить внимания на то, что ветровые волны на поверхности водных пространств способны совершать работу, в большинстве своём, негативную, в
виде разрушения плавучих и береговых творений рук человеческих.
4. Что Солнце даёт, по сути, землянам жизнь выяснилось в незапамятные времена.
Солнце на протяжении длительного времени, по сравнению с которым современные
религии могут считать себя эмбрионами, даже полагалось Богом, что было, на наш
взгляд, более логично, чем боги, придуманные потом. Электромагнитные волны света
и тепла, приходящие на Землю от Солнца обладают мощностью примерно 1 кВт/м2.
Современные преобразователи могут трансформировать около 10% энергии в электричество. Солнечная энергия преобразуется растениями в химическую энергию, которая затем при сжигании угля и нефти занимает достойное место в энергетическом
обеспечении цивилизации. В пище, которая поддерживает жизнь человека и животных, несомненно, есть составляющая энергии электромагнитных волн. Во всех приведенных примерах общим является факт переноса волнами энергии, хотя мощность
различных типов волн существенно различна. Ветровые волны способны передвигать
камни массой в несколько тонн, акустические же волны, излучаемые человеческим
голосом переносят относительную энергию. Если все болельщики английского стадиона Уэмбли, будут во всю мощь своих голосовых связок сотрясать воздух все девяносто минут футбольного матча, то суммарной энергии не хватит для увеличения температуры чашки кофе на несколько градусов.
150

5. Так же как и всякое движущееся вещество, волновое движение обладает импульсом, хотя импульс волн не так очевиден, как их энергия. При рассмотрении энергетических характеристик волнового движения следует иметь в виду, что скорость его
распространения конечна. Световые волны движутся со скоростью 3⋅108 м/с, упругие
волны имеют меньшую скорость.
6. Энергия, импульс и скорость являются важными характеристиками волнового
движения, однако есть ещё одно свойство, которое имеет принципиальное значение −
это линейность волн. Если в воду бросить одновременно два камешка, то образованные ими круговые волны станут распространяться, как бы, не замечая друг друга. Одна группа волн без изменений проходит через другую, совокупность таких волн представляет собой суммарный эффект.
7. Получим некоторые количественные характеристики энергетического содержания волнового движения. Определим изменение энергии малого объёма упругой среды dV, связанное с изменениями, вносимыми распространяющейся плоской волной.
Обозначим, как и ранее, смещение частиц через ξ. Если исследуемый объём выбрать
достаточно малым, то можно принять, что все частицы, входящие в состав этого объёма колеблются синфазно с одинаковыми скоростями
dξ
.
v1 =
dt
8. Кинетическая энергия рассматриваемого микрообъёма может быть представлена
в виде
dmv12 ρv12dV
=
.
dK =
2
2
9. Запишем уравнение волны, распространяющейся вдоль оси ОХ в виде
ξ = a sin (ωt − kx + α ) ,
откуда
dξ
v1 =
= aω cos(ωt − kx + α ) .
dt
10. Подставим значение скорости в уравнение изменения кинетической энергии
1
dK = ρa 2ω2dV cos 2 (ωt − kx + α ) .
2
11. Упругие свойства среды предполагают наличие и потенциальной составляющей энергии, причём если рассматриваемую систему считать консервативной, что не
далеко от истины, то справедлив закон сохранения энергии, т.е.
1
dΠ = dK = ρa 2ω2dV cos 2 (ωt − kx + α ) ,
2
или
dW = dK + dΠ = ρa 2ω2dV cos 2 (ωt − kx + α ) .
12. Если последнее уравнение поделить на dV, то получится энергия, отнесённая к
объёму, в котором она проявляется, т.е. объёмная плотность энергии волнового движения ϖ
ΔW dW
ϖ = lim
=
.
ΔV →0 ΔV
dV
13. Таким образом, для объёмной плотности энергии волнового движения можно
записать следующее уравнение
ϖ = ρa 2ω2 cos 2 (ωt − kx + α ) .
14. Объёмная плотность энергии пропорциональная квадрату амплитуды и квадрату циклической частоты изменяется во времени по периодическому закону. Ели раскрыть квадрат косинуса, то получим
a 2ω2
[1 + cos 2(ωt − kx + α )] .
ϖ=ρ
2

151

15. Определим далее скорость распространения энергии u, т.е. скорости распространения поверхности, соответствующей максимальному значению плотности энергии. Определим уравнение поверхности вида ϖ = ϖ max , что соответствует условию
равенства нулю аргумента косинуса в уравнении ϖ
2(ωt − kx + α ) = 0 .
16. Скорость перемещения такой поверхности вдоль оси ОХ запишем в виде производной
dx λ ω
u=
= = = v.
dt T k
17. Из полученного уравнения следует, что для плоской синусоидальной волны
распространение энергии происходит со скоростью совпадающей с фазовой скоростью.
18. Поскольку процесс переноса энергии характеризуется периодичностью, то целесообразно ввести энергетическую характеристику, учитывающую временной фактор. Такой величиной является поток энергии ФW, который представляется в виде
энергии, проходящей через единичную площадку в единицу времени
dW
ΦW =
.
dt
20. Предположим, что поверхность S, через которую определяется поток энергии,
расположена перпендикулярно направлению распространения. За время dt через такую единичную площадку будет перенесена энергия, содержащаяся в слое среды толщиной
dl = udt ,
следовательно
dW = ϖ ⋅ S ⋅ u ⋅ dt ,
что позволяет уравнение потока представить следующим образом
ΦW = ϖ ⋅ S ⋅ u .
21. В общем случае форма поверхности, через которую рассматривается поток
энергии, может иметь любую форму, ориентированную к направлению распространения волны произвольным образом. В этом случае величина потока через отдельные
участки поверхности будет не одинаковой. На интуитивном уровне это свойство потока используется нами часто. Например, всем известно, что на восходе и закате Солнца
загорать лучше стоя, а в районе полудня, − располагая тело горизонтально. Чтобы охарактеризовать это обстоятельство количественно, в рассмотрение ввели новую величину U, плотность потока волновой энергии, которая учитывает взаимное расположения направления распространения волны и
ориентацию рассматриваемой поверхности
(рис. 14.6)
dΦ W
,
U=
dSn
22. За время dt через площадку dS будет переносится энергия, заключённая в затемнённом
косом цилиндре, объём которого составит
dV = u ⋅ dt ⋅ dSn ,
при этом поток определится как
Рис. 14.6. Плотность потока энергии
dΦ ϖ = ϖ ⋅ u ⋅ dSn ,
следовательно,
U = ϖu ,
или в векторной форме
r
r
U = ϖu .

152

23. Вектор плотности потока энергии волнового движения для упругих волн был
впервые введён в практику в 1874 г. отечественным учёным Умовым Н.А., в последствии его стали называть вектором Умова.
14.7. Каковы отличительные особенности и основные характеристики упругих волн
акустического диапазона?

Решение

1. Начиная разговор о звуке, нужно, прежде всего, условиться о терминологии. Что
понимается под словом «звук» – физическое явление распространения колебаний в
среде или ощущения слушателя? Важно подчеркнуть, в этой связи, что и при объективной и при субъективной трактовке звуковых волн их способность переносить энергию является определяющей. Далее мы коснемся физических особенностей образования и распространения упругих волн звукового диапазона, их взаимодействие со средой и, конечно же, реакции человека на этот тип волн.
2. Наука о звуке называется акустикой, это слово греческого происхождения
(akustikos – слуховой). По началу, в период становления, акустика занималась исключительно волнами именно звукового диапазона 20 Гц – 20 кГц. Но, по мере развития,
диапазон волн, входящих в круг интересов акустики, расширялся как в сторону низких
частот – инфразвуковой диапазон 0 Гц – 20 Гц, так и в сторону высоких частот –
ультразвук и гиперзвук до 1013 Гц.
3. В области акустики, в той или иной степени, работали многие классики науки
ещё в те времена, когда все естественные науки входили в состав натурфилософии.
Ещё Пифагор (6 в. до н.э.) обнаружил взаимосвязь между высотой слышимого тона и
длиной струны или трубы. Аристотель (4 в. до н.э.) установил, что звучащее тело распространяет в окружающей среде сжатия и разрежения и объяснил причины возникновения эха. Леонардо да Винчи (15 – 16 вв.) исследовал отражение звука, сформулировал принцип независимости распространения волн от различных источников. Г. Галилей впервые указал на то, что звучащие тела колеблются, при этом частота излучаемых волн зависит от размеров тел, а интенсивность звука – от амплитуды колебаний.
В разные времена звуковыми волнами занимались И. Ньютон, Р. Гук, Гюйгенс, Т.
Юнг, О. Френель, Доплер, Фурье, Рэлей, Джинс, Л.И. Мандельштам, М.А. Исакович.
Особенно в этой славной когорте следует отметить Рэлея, Дж. Стретта, который в
1877 – 78 г. обобщил огромный теоретический и экспериментальный материал по акустике в книге «Теория звука».
4. Существование звуковых волн, как уже отмечалось, вытекает из законов Ньютона. Удар по торцу тонкого длинного стержня сжимает слой, прилегающий к торцу, и
сообщает ему скорость. Возникшие силы упругости ускоряют следующий слой и деформируют его. Упругие силы, возникшие при деформации второго слоя, остановят
первый слой, а второй слой приобретет скорость и т. д. Так движение и деформация
будут передаваться от слоя к слою, - по стержню побежит упругая бегущая волна, которая будет переносить исходное возмущение вдоль по стержню практически без изменения.
5. Во всех других случаях распространения упругих волн в любых средах: твердых, жидких и газообразных, основные черты картины те же, что и для стержня: частицы среды в волне приобретают скорость, деформируются и в них возникают упругие напряжения, которые и передают волну дальше по телу.
6. Заметим, что из приведенной картины еще не следует существование упругих
волн, пока концепция не подкреплена фактическим обращением к законам Ньютона.
Действительно, подобное описание можно было бы повторить и для «теплового
удара» − кратковременного прикладывания нагретого тела к торцу стержня. Первоначально нагреется торцевой слой, затем он нагреет смежный слой, а сам при этом охладится, и т. д. Однако, как можно показать, тепловой волны, переносящей нагретое состояние вдоль стержня, не возникает: нагревание расплывается по начальному участку

153

стержня. Передача тепла описывается совсем другими законами, чем передача механического возмущения.
7. При распространении звуковой волны, как уже отмечалось, следует различать
два совершенно разных явления: движение частиц среды в волне и перемещение самой упругой волны по среде. Первое явление − это движение частиц как материальных точек; второе явление − переход возмущенного состояния среды с одних частиц
на другие. Так, величина смещения и скорость частицы в волне зависят от силы звука,
например для слышимых звуков − от их громкости. Эти величины в звуковой волне,
как правило, очень малы, а после прохождения волны каждая частица практически
остается в своем исходном положении. Волна же удаляется от места возникновения;
скорость ее велика (сотни и тысячи метров в секунду) и не зависит от силы звука, а
только от параметров среды, в частности, от модуля Юнга и плотности среды

c= E ρ.
8. Скорость звука всегда конечна, отсюда следует, что во всех акустических вопросах нужно учитывать как упругость среды, так и ее инерционные свойства; от других
же свойств среды ее акустическое поведение, практически, не зависит.
9. Если к телу приложить силу, то в нем всегда должна создаться упругая волна.
Однако в обычных задачах теоретической механики упругие волны не учитывают.
Изучая движение свободного тела, возникающее под действием прикладываемой к
телу силы, считают, что ускорение получает сразу все тело, а не только участок приложения силы, затем соседний участок и т. д. Аналогично, рассматривая действие силы на закрепленное тело, считают, что тело, деформируясь, приходит в равновесие все
сразу, во всех своих частях. Такой подход равносилен предположению, что скорость
звука в теле бесконечна.
10. В первом примере это соответствует абсолютно жесткому телу (бесконечная
упругость), а во втором - безмассовому телу. Механические задачи при таком подходе
сильно упрощаются; В частности, оказывается возможным в каждой задаче учитывать
либо только массу тела (первый пример), либо только его упругие свойства (второй
пример).
11. Акустика принципиально отказывается рассматривать реальные тела как абсолютно жесткие или безмассовые, потому что при этом теряется изучаемое явление:
распространение волны, т. е. передача возмущения по телу с конечной скоростью.
12. Процесс действия силы на тело можно считать медленным, можно пренебрегать возникающей упругой волной и относить задачу к «обычной» механике, если
L c << Т,
где L − размер тела, с − скорость звука, Т − характерный промежуток времени. Тогда
состояние тела в каждый момент (его ускорение и деформация) зависит только от сил,
действующих на него в этот же момент. Если же это неравенство не выполнено, то
процесс следует считать быстрым. Движение тела определяется при этом в основном
возникшей упругой волной. В частности, ускорение и скорости разных точек свободного тела различны: тело двигается не как одно целое; если же тело закреплено, то его
деформированное состояние определится не только величиной сил в данный момент,
но и ранее созданными волнами.
13. В качестве примера укажем, что синусоидальную силу частотой 1000 Гц, действующую на стальной стержень длиной 10 см, следует считать медленным воздействием. Скорость звука в стали, превышает 5000 м/сек. Если эта сила действует вдоль
стержня на один его конец, то различие в ускорениях между двумя концами меньше
1%; обычно такой малой разницей можно пренебречь. Если второй конец стержня жестко оперт, то таким же малым окажется и различие в сжатиях у опертого конца и
конца, на который действует сила: стержень будет сжиматься и растягиваться «квазистатически», почти равномерно по всей длине. Но ту же силу следует считать быстрым воздействием, если она приложена к длинному рельсу: она создаст в нем типичный волновой процесс (стоячую волну); части рельса будут сжаты в то же время, когда другие − растянуты.
154

14. Для Земли в целом следует считать быстрыми даже воздействия с периодами в
несколько минут при землетрясениях, например, в земной коре возникают упругие
волны с периодами, доходящими почти до часа.
15. В некоторых явлениях упругие волны могут оказаться существенными, даже
если нас интересует только движение данного тела как целого. Например, в классической задаче о соударении идеально упругих шаров пренебрежение возникающими
упругими волнами приводит к ошибке при подсчете скорости шаров после соударения. В самом деле, уравнение сохранения энергии обычно пишут как равенство кинетических энергий системы шаров до, и после соударения. Правильное решение должно учитывать, однако, и энергию возникших при ударе упругих волн. Кинетическая
энергия шаров, рассматриваемых как материальные точки, окажется, поэтому после
соударения всегда меньше, чем перед соударением.
16. Изучать звуковые волны можно двумя принципиально разными способами.
Можно рассматривать волну как движение материальных точек (частиц среды), упруго взаимодействующих между собой. В этом способе объект изучения — отдельные частицы среды и их движение. К частицам можно применить уравнения механики системы материальных точек, учесть силы взаимодействия между ними, их инерцию и найти таким способом движение каждой частицы. Так удается рассмотреть, однако, только простейшие виды волн - бегущие одномерные волны. Для волн же любого вида
этот способ весьма неудобен.
17. В самом деле, силы упругости, действующие на какую-либо частицу, вызваны
деформациями соседних частиц, а эти деформации связаны с движением еще более
удаленных частиц и т. д.; в итоге, чтобы найти движение одной частицы, требуется
выяснить и движение всех остальных частиц среды. Но тогда, оказывается, проще с
самого начала отказаться от громоздкого рассмотрения поведения каждой частицы в
отдельности и вместо этого изучать волну в целом как самостоятельный объект. В
этом и заключается второй способ.
18. Выбор в качестве основного объекта изучения не отдельных частиц среды, а
всей волны в целом диктуется тем, что для волны удается найти простые законы поведения. Законы распространения, законы отражения и преломления на границах разных
сред, законы рассеяния от препятствий, особенности поведения в ограниченных областях среды и т. д. Получить равноценные результаты, изучая движение системы отдельных взаимодействующих частиц, было бы практически невозможно. Конечно, вывод уравнения поведения акустических волн основан на тех же уравнениях механики
частиц.
19. Схема построения акустики как механики упругих волн звукового диапазона
имеет, таким образом, следующий вид. Общие законы поведения упругих волн мы
получим как следствия ньютоновской механики для частиц среды. Но, получив эти
законы, мы в каждой конкретной физической ситуации будем искать поведение волны
в целом, уже не интересуясь движением отдельных частиц среды. В тех же случаях,
когда это понадобится, можно снова перейти к частицам: изучив волну в целом, легко
найти движение каждой частицы.
20. Роль механики акустических волн как самостоятельного раздела физики подчеркивается следующим обстоятельством. В смежных науках − оптике и радиофизике,
также изучающих волны, но там не идёт речь о частицах среды, да и о самой среде
тоже, по крайней мере, для основного явления − распространения электромагнитных
волн в вакууме. Но, вместе с тем, электрические и магнитные явления нельзя связать с
механическим поведением тел, законы электромагнитных волн оказались весьма
близкими к законам механики упругих волн. Волновая картина мира, похоже, универсальна.
21. В отличие от акустики, волновые представления в других науках, имеющих
дело с волновыми явлениями, первичны, но свои исходные понятия и математический
аппарат эти науки в значительной степени заимствовали из акустики как науки о волнах. Исторически акустика послужила прототипом всех волновых наук.

155

22. Основные задачи, решаемые в рамках акустики можно сформулировать следующим образом. Превышение давления Δр в волне над давлением в невозмущенной
среде р (например, в воздухе − превышение над атмосферным давлением рА) будем
называть акустическим давлением или звуковым давлением. Подчеркнем, что эта величина нас интересует сама по себе, а не как приращение невозмущенного давления.
23. Основные величины, характеризующие акустическое состояние жидкости помимо давления, это скорость частиц жидкости (v), а также плотность (ρ) и температура (Т) жидкости. При движении жидкости, в том числе и в любой звуковой волне, все
эти величины изменяются от точки к точке и с течением времени. Изменения этих величин зависят друг от друга. Так, давление зависит от плотности и температуры, изменение скорости частиц с течением времени зависит от пространственного изменения давления и т. п.
24. Если все эти изменения зависят от времени и координат достаточно гладко, то
связь между величинами, характеризующими волну, оказывается чрезвычайно сильной: в этом случае задание пространственно-временной, зависимости только одной из
величин (например, давления) однозначно определяет пространственно-временные
зависимости всех остальных величин.
25. Математически зависимости между величинами, характеризующими упругую
волну, можно выразить дифференциальными уравнениями в частных производных с
независимыми переменными − временем и координатами, т.е. применить ранее полученное волновое уравнение. В гидродинамике идеальной жидкости полная система
состоит из уравнения движения, уравнения непрерывности и уравнения состояния
среды.
26. Основные типы задач, встречающиеся в различных акустических ситуациях и
приводящие к однозначному решению, следующие:
• Задачи о свободных волнах. Нахождение звуковых волн, которые могут распространяться в неограниченной среде в отсутствие внешних воздействий; нахождение типов волн, сохраняющих свою форму при распространении.
• Задачи с начальными условиями. В них задается распределение давления и
скоростей частиц во всей среде для некоторого момента времени (начальный
момент) и требуется найти волну в дальнейшие моменты времени.
• Краевые задачи. В этих задачах изучают волны в ограниченном объёме среды,
свойства границ которого считают заданными. Например, это могут быть абсолютно «жесткие», абсолютно «мягкие» и другие типы стенок. Оказывается,
что в отсутствие внешних воздействий в таком объеме среды возможен только
дискретный набор гармонических колебаний среды; задача сводится к нахождению этого набора.
• Задачи о сторонних воздействиях − источниках звука. В этих задачах рассматривают звуковые волны, создаваемые инородными телами, помещенными в
неограниченную среду и совершающими колебания, или силами, приложенными к среде, и т. п. Звуковое поле в этом случае − волны, расходящиеся от
колеблющихся тел и уходящие в бесконечность.
• Задачи о рассеянии от препятствий. В этих задачах задано звуковое поле и требуется найти, как оно изменится, если поместить в среду те или иные препятствия. Это − задачи об отражении и прохождении звука, а также дифракционные задачи.
Большинство других задач акустики сводится к тем или иным комбинациям перечисленных типов.
27. Общим для этих объективных и субъективных (физических и физиологических) точек зрения является энергетический подход. Звук, как и всякие другие типы
упругих волн, представляет собой поток энергии, в связи с чем, с позиции физических
представлений, он может изменять состояние среды, через которую распространяется.

156

28. С физиологической точки зрения звук вызывает в живых организмах определённые ощущения, возникающие вследствие воздействия через слуховой аппарат на
мозг, по крайней мере, у человека и ряда млекопитающих.
29. Наличие у живых организмов акустического канала информации, позволяет
дополнять информационные оптические потоки. Достаточно вспомнить, что речь человека и средства общения многих животных основана на излучении и приёме упругих волн акустического диапазона, т.е. − звука. Анализ звука с физиологической точки
зрения более сложен, чем весь комплекс физических процессов, сопровождающих излучение и приём звука.
14.8. Почему акустические поля принято характеризовать параметрами в логарифмическом масштабе?

Решение

1. Уравнения акустического поля должны удовлетворять граничным условиям, т.е.
требованиям, налагаемым на величины {ξ, v, p} физических свойств, окружающих
поле поверхностей раздела. Так, например, на абсолютно жёсткой границе нормальная
компонента колебательной скорости vn должна обращаться в нуль; на свободной поверхности в нуль должно обращаться акустическое давление; на границе, характеризующейся акустическим импедансом, отношение давления к нормальной составляющей колебательной скорости должно равняться удельному акустическому импедансу
границы; на поверхности раздела двух сред величины р и vn по обе стороны поверхности должны быть попарно равны.
2. В реальных жидкостях и газах должно выполняться ещё одно граничное условие: на жёстких ограничивающих поверхностях должна обращаться в нуль колебательная скорость и равенство компонент на поверхности раздела двух сред.
3. В акустике принято характерные параметры поля {ξ, v, p, NA, I,} выражать не в
абсолютных, а в относительных единицах. Дело в том, что смещение частиц, колебательная скорость и даже акустическое давление можно выразить вполне определёнными числами, более трудно дать количественную оценку мощности и интенсивности
звука. Причин тому две. Во-первых, мощность звука чрезвычайно мала по сравнению
с другими видами энергии, при её записи приходится перед значащими цифрами рисовать множество нулей. Во-вторых, несмотря на абсолютную малость, диапазон изменения акустических величин невероятно огромен. Например, отношение акустических мощностей взлетающего реактивного лайнера и шелеста листьев в глухом лесу
равно, примерно, десяти миллионам (107). Тем не менее, оба эти звука физиологически
и аппаратурно фиксируются.
4. Шкала, которую применяют для объективной градуировки интенсивности звука,
является отражением нашего субъективного восприятия. Это, так называемая шкала
децибел. Она подобна логарифмической шкале. Децибелами обычно измеряют уровень интенсивности или энергетический уровень физических величин, в частности,
акустических. Децибел − это десятичный логарифм отношения акустической величины к выбранному стандартному значению. Например, уровень акустической мощности, интенсивности и давления определяются следующими уравнениями
⎫
⎛ N⎞
⎟;
⎪
L N = 10 lg⎜⎜
⎟
⎪
⎝ N0 ⎠
⎪
⎛ I⎞
⎪
L I = 10 lg⎜⎜ ⎟⎟ ;
⎬
⎝ I0 ⎠
⎪
2
⎪
⎛ p⎞
⎛ p ⎞⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
L p = 10 lg⎜ ⎟ = 20 lg⎜ ⎟,
⎪
⎝ p0 ⎠
⎝ p0 ⎠ ⎭
где р0 = 2⋅10 −5 Па − пороговый уровень звукового давления, воспринимаемого человеком, I0 = 10 −12 Вт/м2 − пороговый уровень интенсивности. Термином «уровень» при157

Рис. 14.8.1. Среднеквадратичное давление

ходится пользоваться для того, чтобы выделить некоторое значение,
выше порогового. Вместе с тем
уравнения не дают ответа на вопрос, является ли, например, давление р амплитудным или эффективным значением данной величины,
либо это среднеквадратичное значение.
5. Все акустические измерения
проводят приборами, которые калиброваны в единицах среднеквадратичных значений. Среднеквадратичное значение давления определяет «эффективное» постоянное
давление, превышающее уровень
атмосферного давления. Среднеквадратичное давление эквивалентно статическому давлению, превышающему уровень давления окружающей среды, которое имеет такую же акустическую энергию, как
и флуктуационное давление. На
рис. 14.8.1 иллюстрируется численный метод расчёта среднеквадратичного акустического давления по
результатам измерения его мгновенных значений

p12 + p 22 + p32 + L + p 2n
.
Рис. 14.8.2. Среднеквадратичная величина
n
синусоидального акустического давления
6. Последовательность этапов
определения среднеквадратичного давления приведена на рис. 14.8.2. Прежде всего
«чистый» или тональный акустический сигнал, преобразованный в пропорциональное
электрическое напряжение, например, микрофоном, возводится в квадрат, а затем находится среднее значение и из этого значения извлекается квадратный корень. Таким
образом среднеквадратичная величина акустического давления представляет собой
постоянную эквивалентную величину, которая характеризуется такой же энергией ,
как и переменное во времени давление. Для синусоидальной функции среднеквадратичное значение равняется величине функции, делённой на 2 , или умноженной на
0,707.
7. Пиковое (максимальное) зарегистрированное значение акустического давления
составило рm = 3⋅10 − 3 Па, определить уровень этого давления. Воспользовавшись
третьим уравнением исходной системы, получим:
p Ск =

2

2

⎛ 0,707 ⋅ p m ⎞
⎛ 0,707 ⋅ 3 ⋅ 10 −3 ⎞
⎟ = 10 lg⎜⎜
⎟⎟ = 40,5Дб .
L p = 10 lg⎜⎜
⎟
p0
2 ⋅ 10 −5
⎝
⎠
⎝
⎠
8. Наряду с акустическими полями звукового и ультразвукового диапазона в исследовательских целях используются гиперзвуковые поля, в которых упругие волны
возбуждаются в средах источниками с частотами колебаний от 109 до 1013 Гц. По физической природе гиперзвуковые поля ничем не отличаются от звуковых и ультразвуковых полей. Вместе с тем, благодаря существенно меньшим длинам волн становится
актуальным их взаимодействие со структурными элементами среды − молекулами,
атомами и электронами.

158

9. Область частот гиперзвуковых полей соответствует частотам электромагнитных
волн миллиметрового диапазона (СВЧ −частотам). В воздухе частоте колебаний 109 Гц
соответствует длина волны порядка 3⋅10 −7 м, что соизмеримо с длиной свободного
пробега молекул. Упругие волны могут распространяться в средах, когда их длина во
много раз превышает длину свободного пробега молекул, поэтому в воздухе при нормальных условиях гиперзвуковые волны не распространяются. Сравнительно хорошими проводниками гиперзвуковых волн являются твёрдые тела с кристаллической
структурой. Например, в монокристалле кварца волны с частотой 1,5⋅109 Гц ослабляются по амплитуде в два раза при прохождении расстояния в 1 см.
14.9. Каковы физиологические особенности восприятия акустических волновых полей человеком? Как формируются звуковые образы?

Решение

1. Свойствами субъективного восприятия человеческим органом слуха акустических полей определяется, в частности, круг требований, предъявляемых к широкому
классу современной телекоммуникационной, воспроизводящей, записывающей, передающей и приёмной аппаратуре. Практически все транспортные средства и строительные конструкции в обязательном порядке должны учитывать особенности человеческого слуха, а если этого не происходит, или происходит не с должным вниманием,
то влияние таких конструкций и устройств на человеческий организм негативно. Кстати, одно из основных законодательных препятствий полётов гражданских самолётов в
европейские страны заключается в превышении уровня акустических шумов, создаваемых ими при взлёте и посадке. Это же относится и к отечественным автомобилям.
2. Серьёзные анатомические исследования органов человеческого слуха начались
относительно недавно, не многим более 100 лет назад под эгидой «психофизиологии
восприятия». Основная суть этих исследований сводится к получению количественных параметров реакций человека на звуковые раздражители. Знание тонких свойств
слуха необходимо для понимания того, какие составляющие звуков являются информативными.
3. Устройство органа слуха человека показано на рис. 14.9.1 Оно состоит из трёх
функциональных частей: наружного уха, среднего уха и внутреннего уха.
Наружное ухо состоит из ушной раковины и слухового канала, соединяющего её с
барабанной перепонкой.

Рис. 14.9.1. Орган слуха человека

159

4. К настоящему времени установлено, что ушная раковина выполняет в основном
функции по определению направления на источник звука. Однако, до конца не ясно,
какими физическими и физиологическими причинами обусловлена форма ушной раковины. Установлено, что слуховой канал, помимо защитных функций внутреннего
уха, является своеобразным резонатором. Резонансные частоты слухового канала лежат в интервале 1000 − 5500 Гц, что определяет диапазон максимальной частотной
чувствительности слуха.
5. Слуховой канал заканчивается барабанной перепонкой, представляющей собой
мембрану, которая является, по сути, чувствительным элементом уха, потому что приходит в колебательное состояние при падении на неё акустических волн.
Среднее ухо представляет собой канал, расположенный в височной кости, в котором находятся, связанные друг с другом, три небольшие косточки: молоточек, наковальня и стремя (рис. 19.9.2). Рукоятка молоточка находится в акустическом контакте
с барабанной перепонкой, а головка молоточка соприкасается с наковальней, которая
соединена со стременем.

Рис. 14.9.2. Внутренне ухо

6. Стремя, в свою очередь, контактирует с овальным окном, которым начинается
внутреннее ухо. Среднее ухо можно рассматривать как концентратор акустической
энергии, падающей на ушную раковину. Система косточек помимо функций передачи
колебаний, исполняют роль трансформатора. Во-первых, акустическое давление, приходящееся на относительно большую по площади барабанную перепонку, трансформируется таким образом, что, в конечном счете, передаётся стременем на существенно
меньшую площадь овальной поверхности окна, что увеличивает значение эффективных сил. Площадь овального окна примерно в 10 − 30 раз меньше площади барабанной перепонки, поэтому и давление на него во столько же раз больше. Во-вторых, система «молоточек − наковальня − стремя» работают наподобие механического рычага,
примерно, в три раза увеличивая мощность колебаний. Таким образом «конструкция»
среднего уха обеспечивает увеличение давления почти на два порядка (примерно в ≅
90 раз).
7. Поднятие уровня давления необходимо потому, что дальнейшее распространение волн происходит в жидкости. По сути, увеличение давления компенсирует эффекты отражения на границе сред с различными акустическими сопротивлениями. Среде
ухо, наряду с уже упомянутыми функциями, выполняет предохранительную роль. Де160

ло в том, что все три косточки снабжены микро мышцами. В обычном режиме колебания, практически, непосредственно передаются по рассмотренной схеме, при высоких
значениях акустического давления (взлетающий реактивный самолёт, дискотека) под
действием микро мышц ось вращения стремени смещается, уменьшая тем самым силу
давления на овальное окно. Если уровень шума продолжает возрастать, то мышцы барабанной перепонки сообщают её большее натяжение, понижая тем самым, чувствительность. Если человек длительное время находится в области интенсивных или
сверх интенсивных акустических полей, то защитные функции среднего уха слабеют,
что чревато частичной, временной или полной потерей слуха.
8. Следует заметить, что процессы, протекающие в наружном и среднем ухе, мож-

Рис. 14.9.3. Полость улитки

но считать в достаточной степени изученными, чего нельзя сказать о дальнейшем ходе
акустических событий во внутреннем ухе. От овального окна акустические волны распространяются в жидкой среде (перилимфе), которой заполнена улитка. Улитка практически по всей длине разделена барабанной лестницей на две части (рис. 14.9.3).
9. Звуковые волны, попавшие на овальное окно, доходят до перегородки, огибают
её и далее распространяются почти к тому же месту, где они впервые коснулись перегородки, но уже с другой её стороны. В конце концов, волны рассеиваются круглым
окошечком улитки. Перегородка улитки имеет переменное сечение, она более натянута в области овального окошечка и «прослаблена» к хвостовой части. Кстати, за исследования акустических свойств улитки Георг фон Бекеши из Будапешта в 1961г.
был удостоен Нобелевской премии. Бекеши исследовал структурные особенности и
механизм взаимодействия среднего и внутреннего уха. Учёным было показано, что
акустическими колебаниями на поверхности основной мембраны создаётся волнообразная рябь, причём гребни волн определённых частот лежат в определённых участках
мембраны. Волны с малыми длинами волн (высокочастотные колебания) создают максимум в более тонких областях мембраны с большим натяжением, т.е. вблизи овального окна. Низкочастотные волны группируются в хвостовой части улитки, где мембрана более «дряблая» и утолщённая. Такое устройство улитки позволяет на качественном уровне объяснить, каким образом человек различает отдельные частоты.
10. Таинство превращения акустических волн, в то, что мы чувствуем как речь,
музыку или шум происходит в органе Корти, находящемся над верхней частью основной мембраны и представляющем собой набор из 23500 «мясистых» ячеек, расположенных в четыре рада по его длине (рис. 14.9.4). Над органом Корти находится текториальная мембрана, которая, так же как и орган Корти погружена в жидкость, именуемую физиологами эндолимфой. Эти два органа внутреннего уха отделены от остального содержания улитки мембраной Райсснера. Внутри органа Корти имеются
волоски, которые, практически, пронизывают поверхность текториальной мембраны.
Основная мембрана, на которой расположен орган Корти, вместе с волосистыми ячейками шарнирно подвешен на текториальной мембране.
11. Деформация основной мембраны вызывает изгибы волосков, которые соединяют две мембраны. Вследствие изгиба волосков, как предполагают учёные, «вклю-

161

чаются» электрохимические реакции в клетках, которые вырабатывают электрические

Рис. 14.9.4. Поперечный разрез органа Корти

импульсы.
12. Следует подчеркнуть, всё что касается «акустической» стороны функционирования органа слуха, в большей или меньшей степени выяснено. В прошлом веке даже
была предпринята достаточно удачная попытка моделирования уха, как акустического
приёмника. А вот, что касается преобразования «акустики» в «электричество» − тёмный лес. Наука о человеческом организме с позиций его физического устройства находится на дальних подступах к пониманию сути происходящего. Для физиологов
оказалось вполне достаточным выяснить, что орган Корти играет роль электродинамического преобразователя, каковым является, например, микрофон. Но в основе
принципа действия микрофона, лежит закон электромагнитной индукции Майкла Фарадея.
13. В простейшем случае катушка, соединённая с мембраной, под воздействием
акустического переменного давления перемещается в кольцевом зазоре постоянного
магнита. В катушке возникает ЭДС индукции, которую далее усиливают, ещё раз преобразуют, теперь уже обратно в более мощный акустический сигнал. Исключая нюансы, которые присутствуют в любой отрасли человеческих знаний, основные принципы
электродинамических преобразований установлены. Что же касается органов слуха,
сотворённых природой за миллионы лет усовершенствований, то тут приходится ограничиваться общими фразами. Известно, что внутренние клетки в виде волосков генерируют электрические импульсы, которые каким-то образом в нашем мозге воспринимаются либо как милые нашему существу голоса и мелодии или − «как железом по
стеклу».
14. Сущность и природа кодировки акустической информации в органе слуха не
установлены, хотя над этим вопросом ломают головы во многих странах мира учёные
различных специализаций. К настоящему времени общей картины нет. Установлены
некоторые частности, которые часто только усложняли задачи. Так, например, было
установлено, что волосистые ячейки генерируют электрические импульсы и в абсолютной тишине, т.е. в отсутствие акустических полей.
15. Нельзя утверждать, что попыток создания теории слуха не предпринималось.
Крупный физик и врач Г. Гельмгольц (1821 − 1894) в течение длительного времени
исследовал строение внутреннего уха и даже сделал попытку разработки резонансной
теории слуха. Согласно этой теории волокна основной мембраны представляют собой
набор большого числа резонаторов, настроенных на разные частоты, и именно они
возбуждают соответственные отделы слухового нерва. Это предположение не подтвердилось. Поскольку волокна расположены в жидкости, то их резонансные колебания невозможны. Упоминавшийся ранее нами Бекеши, в 1948 г. убедительно доказал,
что от частоты воспринимаемого звука, зависит какая группа волокон возбуждается в
кортиевом органе. От 23 500 волосовых клеток в общей сложности от них отходит
3000 нервных волокон, т.е. количество типов раздражителей фантастически велико.
По мнению акустиков и физиологов именно наличие как минимум 7⋅107 вариантов
реагирования на различные звуки, обеспечивает восприятие весьма тонких особенностей звука, как по его силе, так и по спектральному составу.

162

14.10. Задано уравнение плоской бегущей волны ξ(x , t ) = 5 ⋅10 −3 cos(628t − 2x ) , найти
частоту колебаний частиц среды ν, длину волны λ, фазовую скорость распространения
волны vf, амплитудное значение скорости ξ& m и ускорения &ξ& m .

Решение

1. Циклическая частота колебаний частичек среды при распространении заданной
волны ω = 628 с − 1, при этом частота определится как
628
ω
ν=
=
= 100 Гц .
2π 6,28
2. Длину волны λ определим из уравнения волнового числа k, при условии, что k =
2 м−1
2π
2π
k=
; λ=
= 3,14 м.
k
λ
3. Фазовая скорость распространения волны
v f = λν = 314 м с .
4. Амплитудное значение скорости колеблющихся частиц
dξ
м
ξ& (t ) =
= −ωξ m sin ω; ξ& m = −ωξ m = 628 ⋅ 5 ⋅ 10− 3 = 3,14 .
dt
с
5. Амплитудное значение ускорения
2
&ξ& = d ξm = −ω2ξ = 1,97 ⋅ 103 м .
m
m
dt 2
с2
14.11. Точки некоторой среды совершают незатухающие колебания, которые распространяются с фазовой скоростью v. Получить уравнение волнового движения и показать его физический смысл.

Решение

1. При нулевой начальной фазе смещение частиц среды при распространении упругой волны можно записать следующим образом
⎡ ⎛ x ⎞⎤
ωx ⎞
⎛
ξ(x , t ) = ξ m sin ⎢ω⎜ t − ⎟⎥ = ξ m sin ⎜ ωt −
⎟,
v ⎠
⎝
⎣ ⎝ v ⎠⎦

⎛ 2πt 2πx ⎞
⎡ 2πt 2πx ⎤
= ξm ⎜
−
ξ(x , t ) = ξ m sin ⎢
−
⎟.
⎥
λ ⎠
Tv ⎦
⎝ T
⎣ T

2. Количество длин волн λ, укладывающихся на отрезке 2π, называется волновым
числом
k=

2 π 2π ω
=
= .
λ
vT v

3. Введём в уравнение волны волновое число

ξ(x , t ) = ξ m sin (ωt − kx ) .

4. Найдём частные производные уравнения по времени t и координате x
∂ξ
= u = ξ m ω cos(ωt − kx ) ;
∂t
∂ 2ξ
= a = −ξ m ω2 sin (ωt − kx ) = −ω 2 ξ(x , t ) ;
∂t 2
∂ξ
= ξm (− k )cos(ωt − kx);
∂x
∂ 2ξ
4π2ν 2
ω2
2
(
)
(
)
=
−
ξ
k
sin
ω
t
−
kx
=
−
ξ
x
,
t
=
ξ(x, t ) .
m
∂x 2
v2
v2

163

5. Ввиду того, что переменные x и t не зависят друг от друга, то, сравнивая уравнения, получим
2
∂ 2ξ
2 ∂ ξ
=
v
∂t 2
∂x 2

или

∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
=
.
∂x 2 v 2 ∂t 2

6. Полученное уравнение является дифференциальным уравнением плоской бегущей волны. Это уравнение описывает не только распространение плоской волны в упругой среде, но и широкое многообразие других волновых процессов, поэтому называется волновым уравнением.
7. В частности для акустической волны в твёрдых телах волновое уравнение принимает вид
∂ 2ξ E ∂ 2ξ
=
;
∂t 2 ρ ∂x 2

где Е − модуль упругости (модуль Юнга), ρ − плотность среды. Так например, для
стали Е = 2⋅10 11 Н/м2, ρ=7800 кг/м3, скорость звука равна
c = E ρ ≅ 5100 м c .
8. Распространения упругих волн в газах, если считать их идеальными, описывается уравнением адиабаты PV γ = const , из которого следует, что
dPV − PγdV = 0 .
9. Это уравнение можно преобразовать к волновому уравнению , в котором скорость определится как
c = (Po ρ o ) ⋅ γ,
где γ = cр/cv − показатель адиабаты, p0 = n0kT − давление в отсутствие волны, ρ0 −
плотность невозмущённого газа, n0 – концентрация молекул в невозмущённой среде, k
= 1,38⋅10 – 23 Дж/К, Т − абсолютная температура. С учётом того, что n0 = ρ0/m0,
ρ RT
1
p 0 = ρ 0 kT
= 0
;
μ
m0
10. Скорость определится как:
RT
c= γ
;
μ
Уравнение показывает, в частности, что скорость звука в газах по величине совпадает со скоростью теплового движения молекул.
14.12. Плоская упругая волна генерируется источником колебаний с частотой ν =
200 Гц с амплитудным значением смещения ξm = 4⋅10 − 3 м. Записать уравнение колебаний среды для случая ξ(0,t), если в начальный момент времени смещение максимально. Определить смещение точек среды через время τ1 = 0,1 с на удалении от источника х1 = 1 м, принимая скорость распространения волнового движения с = 300 м/с.

Решение

1. Уравнение плоской бегущей волны с учётом приведённых в условии данных,
запишется следующим образом
ξ(x , t ) = ξ m cos(ωt − kx ) .
2. В точке расположения источника при х = 0 уравнение (1) примет вид
ξ(0, t ) = ξ m cos ωt = 4 ⋅10 −3 cos 2πνt .
3. Определим смещение частичек среды в момент времени τ1 на удалении от источника х1 = 1 м
ξ(x 1 , τ1 ) = 4 ⋅10 −3 cos(2πντ1 − kx 1 ) ;
2πν ⎞
⎛
x1 ⎟ ;
ξ(x 1 , τ1 ) = 4 ⋅10 −3 cos⎜ 2πντ1 −
c
⎠
⎝

164

x ⎤
⎡
ξ(x 1 , τ1 ) = 4 ⋅10 −3 cos ⎢2πν − 1 ⎥ ;
c⎦
⎣
1 ⎞
⎛
−3
ξ(x 1 , τ1 ) = 4 ⋅10 −3 cos⎜ 6,28 ⋅100 ⋅ 0,1 −
⎟ = 1,83 ⋅10 м .
300
⎝
⎠

14.13. Акустические волны с частотой колебания ν = 0,5 кГц, амплитудой смещения
частиц ξm = 2,5⋅10 − 4 мм и длиной волны λ = 0,7 м распространяются в упругой среде.
Определить групповую скорость волны v и амплитудное значение колебательной скорости частиц ξ& m .

Решение

1. Определим скорость распространения волны
v = λν = 350 м с .
2. Амплитудное смещение частичек среды найдём из следующих соображений
ξ(x , t ) = ξ m cos(ωt − kx ) ;
ξ& (t ) = −2πνξ m sin (ωt − kx ) ;

ξ& m = −2πνξ m ≅ 0,79 м с .
14.14. Плоская волна с периодом Т = 3 мс с амплитудой колебания частиц среды
ξm = 2⋅10 − 4 мм и длиной волны λ = 1,2 м распространяется в упругой среде. Для точек
удалённых от источника колебаний на расстояние х1 = 2 м определить в момент времени τ = 7 мс: смещение частиц среды, их скорость и ускорение, считая начальную
фазу нулевой.

Решение

1. Запишем уравнение плоской волны
ξ(x , t ) = ξm sin (ωt − kx ) .
2. Подставим в уравнение заданные величины
2π ⎞
⎛ 2π
x1 ⎟ ,
ξ(x1 , τ) = ξ m sin ⎜ τ −
λ ⎠
⎝ T
6,28 ⎞
⎛ 6,28
7 ⋅ 10− 3 −
ξ(x1 , τ) = 2 ⋅ 10− 4 sin ⎜⎜
2 ⎟ = 175 мкм .
−3
1,2 ⎟⎠
⎝ 3 ⋅ 10
3. Колебательную скорость частиц среды определим, продифференцировав исходное уравнение по времени
dξ 2π
2π ⎞
⎛ 2π
ξ& (x 1 , τ ) =
=
ξ m cos⎜ τ −
x1 ⎟ ,
λ
dt
T
⎝ T
⎠
−3
⎞
⎛
6,28
7 ⋅ 10
2
м
⎟⎟ = 0,33 .
2 ⋅ 10− 4 cos 6,28⎜⎜
ξ& (x1 , τ) =
−
−3
3 ⋅ 10− 3
3
10
1
,
2
с
⋅
⎠
⎝
4. Ускорение частиц жидкости
2
2
&ξ&(x , t ) d ξ = − 4π ξ sin 2π⎛⎜ τ − x1 ⎞⎟ = 767 м .
1
m
dt 2
T2
с2
⎝T λ ⎠
14.15. Упругая волна с амплитудным значением смещения ξm = 0,1 м распространяется без затухания прямолинейно. Найти величину смещения частиц среды на удалении от источника колебаний х1 = 3λ/4 для момента времени τ = 0,9 Т.

Решение

1. Запишем уравнение смещения для плоской упругой волны

165

ξ(x , t ) = ξm sin (ωt − kx ) .
2. Подставим в уравнение условия прямолинейного распространения волны
2π 3λ ⎞
⎛ 2π
−2
ξ(x1 , τ ) = ξ m sin ⎜ 0, T −
⎟ = ξ m sin 0,3π = 8,1 ⋅ 10 м .
λ
4
T
⎝
⎠
14.16. Волна, имеющая период Т = 1,2 с и амплитудное значение смещения частиц
среды ξm = 2⋅10 − 2 м распространяется прямолинейно со скоростью v = 15 м/с. Определить смещение частицы среды, находящейся на расстоянии х1 = 45 м от источника
колебаний, если с момента их возникновения прошло τ = 4 с.

Решение

1. Запишем уравнение смещения при распространении упругой волны следующим
образом
2π ⎞
⎛ 2π
ξ(x1 , τ ) = ξ m cos⎜ τ −
x1 ⎟ ,
Tv ⎠
⎝ T
6,28
⎛ 6,28
⎞
4−
45 ⎟⎟ = 1,2 ⋅ 10− 2 м .
ξ(x1 , τ ) = 2 ⋅ 10− 2 cos⎜⎜
1,2 ⋅ 15 ⎠
⎝ 1,2
14.17. Для точек, находящихся на расстоянии Δх = 0,5 м друг от друга на прямой,
вдоль которой распространяется упругая волна со скоростью v = 50 м/с и периодом Т =
5⋅10 − 2 с, определить разность фаз колебаний ΔФ.

Решение

1. Запишем уравнения фазы колебаний для заданных по условию задачи точек
2π ⎞
⎛ 2π
Φ = (ωt − kx ) = ⎜ t −
x⎟ ,
Tv ⎠
⎝ T
2π ⎞
⎛ 2π
Φ1 = (ωt − kx1 ) = ⎜ t −
x1 ⎟ ,
Tv ⎠
⎝ T
2π ⎞
⎛ 2π
Φ 2 = (ωt − kx 2 ) = ⎜ t −
x2 ⎟ ,
Tv ⎠
⎝ T
2. Определим разность фаз
2π
2π
2π
2π
2π
t−
x1 −
t+
x2 =
ΔΦ = Φ1 − Φ 2 =
Δx = 1,26 рад (72,20 ) .
T
Tv
T
Tv
Tv
14.18. Упругая волна распространяется вдоль прямой со скоростью v = 40 м/с при
частоте колебаний частиц среды ν = 5 Гц. Определить разность фаз колебаний между
источником и точкой отстоящей от него на расстоянии х1 = 2 м.

Решение

1. Запишем уравнение фаз колебаний для источника и заданной точки с учётом того, что х1 = 0, х2 = 2 м
2πν ⎞
2πν ⎞
⎛
⎛
x 1 ⎟ ; Φ 2 = ⎜ 2πνt −
x2 ⎟ .
Φ 1 = ⎜ 2πνt −
v
v
⎠
⎝
⎠
⎝

2. Разность фаз колебаний между рассматриваемыми точками
2πν
6,28 ⋅ 5
ΔΦ =
Δx =
2 = 1,57 рад (90 0 ) .
v
40

166

14.19. Волновой фронт распространяется со скоростью v = 100 м/с. Наименьшее
расстояние между точками среды, колеблющимися синфазно, составляет Δх = 1 м.
Определить частоту колебаний.

Решение

1. Расстояние между двумя ближайшими точками, совершающими синфазные колебания, преодолевается волной за время одного полупериода. Зная скорость распространения волнового фронта, можно определить период и частоту колебаний частиц
среды
2Δx
1
v
T=
; ν= =
= 50 Гц .
v
T 2Δx
14.20. При распространении плоской волны частицы среды колеблются с частотой
ν = 25 Гц. Частицы среды, отстоящие друг от друга на расстоянии Δх = 0,1 м, колеблются с разностью фаз ΔФ = 600. Найти скорость распространения волны.

Решение

1. Запишем уравнение разности фаз и определим скорость распространения волны
2πν
Δx ,
ΔΦ =
v
π 2πν
Δx; ⇒ v = 6νΔx = 15 м с .
=
3
v
14.21. Звуковая волна в воздухе распространяется со скоростью v = 340 м/с, период колебания частиц среды равен Т = 1 мс. Определить, на каком расстоянии от источника направление движения частиц поменяется на обратное. Как изменится это
расстояние при увеличении частоты колебаний источника вдвое?

Решение

1. Изменение направления смещения частиц на обратное происходит при изменении фазы на ΔФ = 1800 = π рад, поэтому уравнение предыдущей задачи возможно записать следующим образом
2π
Tv
π=
Δx; Δx 1 =
= 0,17 м .
Tv
2
2. При увеличении частоты вдвое период уменьшится тоже в два раза, следовательно, минимальное расстояние между точками среды, колеблющимися в противофазе, составит Δх = 8,5 см.
14.22. Бегущая акустическая волна описывается уравнением
ξ(x , t ) = ξ m cos(1560t − 5,2x ) ,
где величины времени t и расстояния х выражены в секундах и метрах, соответственно. Вычислить частоту колебаний частиц среды ν, скорость распространения волны с и
её длину λ.

Решение

1. По условию задачи заданы следующие параметры волнового движения: циклическая частота колебаний ω = 1560 рад/с, волновое число k = 5,2 м − 1.
2. Частота колебаний частиц среды относительно положения равновесия
ω
ν=
= 248 Гц .
2π
3. Длина волны определится из следующих соображений

167

2π
2π
; λ=
= 1,21м .
λ
k
4. Скорость распространения волны
ω
ω
м
k = ; c = = 300 .
c
k
с
k=

14.23. Акустическая волна, распространяющаяся в воздухе, описывается уравнением
ξ(x , t ) = 6 ⋅ 10 −5 cos(1800 t − 5,3x ) ,
где время t выражено в секундах, расстояние х − в метрах. Найти отношение амплитудного значения смещения частиц среды к длине волны и отношение максимального
значения колебательной скорости частиц к скорости распространения волны.

Решение

1. Из заданного уравнения следует, что: ξ m = 6 ⋅10 −5 м; ω = 1800 рад/с; k = 5,3 м − 1,
поэтому длину волны можно определить следующим образом
2π
λ=
= 1,18 м .
k
2. Отношение амплитуды смещения частиц при колебаниях к длине волны, таким
образом, будет равно
ξ m 6 ⋅ 10−5
=
= 5,1 ⋅ 10− 5 .
λ
1,18
3. Определим амплитудное значение колебательной скорости
d ξ (x , t )
м
ξ& m =
= −ωξ m = 1800 ⋅ 6 ⋅ 10− 5 = 0,11 .
dt
с
4. Скорость распространения волны
ω
м
c = = 340 .
k
с
5. Отношение амплитудного значения колебательной скорости к скорости распространения волны
ξ& m 0,11
=
= 3,24 ⋅10 −4 .
c
340

14.24. Плоская акустическая волна, распространяющаяся со скоростью с возбуждает колебания частичек упругой среды с циклической частотой ω. Направление распространения волны составляет углы α, β и γ с осями декартовой системы координат
X, Y, Z. Определить разность фаз колебаний точек среды с координатами {x1,y1,z1} и
{x2,y2,z2}.

Решение

Рис. 14.24. Плоская волна

1. Фаза в общем случае распространения волны вдоль одной из осей определяется уравнением
ω
Φ = ωt − x .
c
Для выделенных в пространстве точек 1 и 2 величины ω и t будут одинаковыми, т.е разность
фаз ΔФ определяется в данном случае только координатами точек. В векторном представлении
r r r
ΔΦ = k ( r1 − r2 ) ,
r

r

где k = kn − волновой вектор, определяемый в

168

r

виде скалярного произведения волнового числа k на единичный вектор n , перпендиr r
кулярный волновой поверхности, r1 , r2 − радиус-векторы точек.
2. Запишем разность векторов в скалярной форме через направляющие косинусы
r r
r1 − r2 = (x1 − x 2 )cos α + (y1 − y 2 )cos β + (z1 − z 2 )cos γ .
3. Подставим уравнение (2) в соотношение (1) с учётом значения модуля волнового
вектора k = ω/c
ω
ΔΦ = (x1 − x 2 )cos α + (y1 − y 2 )cos β + (z1 − z 2 )cos γ .
c
14.25. Найти волновой вектор k и скорость распространения волны, заданной уравнением
ξ(x , y, z, t ) = ξm cos(ωt − αx − βy − γz ) .

Решение

1. По условию заданы проекции волнового вектора kx = α, ky = β, kz = γ, поэтому,
используя единичные векторы ex, ey, ez волновой вектор можно представить следующим образом
r
r
r
r
r
k = α 2 + β 2 + γ 2 , k = α e x + β e y + γe z .
2. Скорость распространения волны
ω
ω
.
c= r =
2
k
α + β2 + γ 2
14.26. Плоская акустическая волна распространяется со скоростью с, имеющей на
оси декартовой системы координат, проекции {cx, cy, cz}. Записать уравнение волнового вектора, если циклическая частота колебаний частиц среды рана ω.

Решение

1. Модуль вектора скорости через его проекции на оси декартовой системы координат можно выразить следующим образом
r
c = c 2x + c 2y + c 2z .
2. С другой стороны

r
r ω
⎛ er x e y er z ⎞
⎜
+ + ⎟.
k = r =ω
⎜c
⎟
c
⎝ x cy cz ⎠

14.27. Вычислить скорость распространения продольных акустических волн в алюминии, латуни, меди, никеле, серебре и органическом стекле.

Решение

1. При распространении акустической волны следует различать два совершенно
разных явления: движение частиц среды в волне и перемещение самой упругой волны
в среде. Первое явление − это движение частиц как материальных точек; второе явление − переход возмущенного состояния среды с одних частиц на другие. Так, величина смещения и скорость частицы в волне зависят от силы звука, например для слышимых звуков − от их громкости. Эти величины в звуковой волне, как правило, очень
малы, а после прохождения волны каждая частица практически остается в своем исходном положении. Волна же удаляется от места возникновения; скорость ее велика

169

(сотни и тысячи метров в секунду) и не зависит от силы звука, а только от параметров
среды, в частности, от модуля Юнга и плотности среды
2. Скорость звука всегда конечна, отсюда следует, что во всех акустических вопросах нужно учитывать как упругость среды, так и ее инерционные свойства; от других
же свойств среды ее акустическое поведение не зависит.
3. Если к телу приложить силу, то в нем всегда должна создаться упругая волна.
Однако в обычных задачах теоретической механики упругие волны не учитывают.
Изучая движение свободного тела, возникающее под действием прикладываемой к
телу силы, считают, что ускорение получает сразу все тело, а не только участок приложения силы, затем соседний участок и т. д. Аналогично, рассматривая действие силы на закрепленное тело, считают, что тело, деформируясь, приходит в равновесие все
сразу, во всех своих частях. Такой подход равносилен предположению, что скорость
звука в теле бесконечна.
4. В первом примере это соответствует абсолютно жесткому телу (бесконечная упругость), а во втором – без массовому телу. Механические задачи при таком подходе
сильно упрощаются; В частности, оказывается возможным в каждой задаче учитывать
либо только массу тела (первый пример), либо только его упругие свойства (второй
пример).
5. Скорость распространения продольных волн, как показано ранее, в упругой среде вычисляется по формуле
c= E ρ,
модуль Юнга Е для упругого стержня длиной l определяется по величине деформации:
σ
σ
E=− =−
,
Δl l
ε
где σ - упругое напряжение в стержне, Δl l = ε - относительное удлинение.
6. Для вычисления скорости звука в заданных по условию задачи металлах приведём значения модуля Юнга и плотности
№
1
2
3
4
5
6

Металл
Алюминий
Латунь
Медь
Никель
Серебро
Органическое
стекло

Е, 107 Н/м2

Таблица 14.27
ρ, 103 кг/м3
6650
9500
10800
20400
8270

2,7
8,55
8,93
8,75
10,52

525

1,18

c1 =

6,65 ⋅1010
м
9,5 ⋅ 1010
м
≅
4960
;
c
=
≅ 3300 ;
2
3
3
2,7 ⋅10
с
8,55 ⋅ 10
с

c3 =

1,1 ⋅ 1011
м
2 ⋅1011
м
≅
3510
;
c
=
≅ 4790 ;
4
3
3
8,93 ⋅ 10
с
8,75 ⋅10
с

c5 =

8,2 ⋅1010
м
5,25 ⋅10 9
м
≅
2790
;
c
=
≅ 2110 ;
6
4
3
1,052 ⋅10
с
1,18 ⋅10
с

14.28. Ухо человека воспринимает акустические волны в диапазоне частот от νmin =
16 Гц до νmax = 20 кГц. Определить соответствующие этим частотам длины волн, если
скорость звука в воздухе составляет с = 340 м/с.

170

Решение

1. Скорость звука, длина волны и частота колебаний частиц среды связаны следующим соотношением
c
c = νλ; ⇒ λ = ,
ν
откуда
λ min =

c
ν min

= 21,3 м; λ max =

c
ν max

= 1,7 см .

14.29. Звуковые колебания распространяются в азоте N2 при температуре Т = 300
К. Определить скорость звука.

Решение

1. Распространения упругих волн в газах, если считать их идеальными, описывается уравнением адиабаты PV γ = const , из которого следует, что
dPV − PγdV = 0 .
2. Это уравнение можно преобразовать к волновому уравнению
2
∂ 2ξ
∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
2 ∂ ξ
c
или
,
=
=
∂x 2
∂x 2 c 2 ∂t 2
∂t 2
при этом скорость определится как
p0 γ
c=
,
ρ0
где γ = cр/cv − показатель адиабаты, p0 = n0kT - давление в отсутствие волны, ρ0 - плотность невозмущённого газа, n0 –концентрация молекул в невозмущённой среде, k =
1,38⋅10 – 23 Дж/К, Т − абсолютная температура. С учётом того, что n0 = ρ0/m0,
ρ RT
1
p 0 = ρ 0 kT
= 0
;
μ
m0
скорость определится как:
RT
c= γ
;
μ
3. Уравнение скорости показывает, в частности, что скорость звука в газах совпадает со скоростью теплового движения молекул. Скорость распространения упругих
волн, в большинстве своём, не зависит от амплитуды колебаний, исключение составляют волны взрывного типа, которые относятся к нелинейным волнам, когда колебания среды, порождающие эти волны, не являются гармоническими.
3. Двухатомная молекула азота N2 состоит из двух атомов, т.е. обладает пятью степенями свободы i = 5
i+2
γ=
= 1,4 .
i
Молярная масса азота μ(N2) = 28⋅10 − 3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R =
8,3 Дж/моль⋅К. Скорость звука определится как
γRT
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 300
м
c( N 2 ) =
=
≅ 354 .
−3
28 ⋅10
с
μ
14.30. Получить зависимость скорости звука в воздухе при изменении его температуры от Тmin = 230 K до Тmax = 320 K.

Решение
1. Для воздуха μ = 3⋅10 − 2 кг/моль, γ = 1,4, поэтому уравнение предыдущей задачи
можно переписать следующим образом

171

c = 19,7 T .
2. На рис. 14.30 приведена зависимость скорости звука в воздухе от температуры

Рис. 14.30. Зависимость скорости звука в воздухе от температуры
14.31. На расстоянии х = 800 м от импульсного источника звука, расположенного в
воздухе находятся два приёмника, один из которых расположен в воде. Задержка между сигналами в воде и воздухе составляет Δτ = 1,84 с. Определить скорость звука в
воде, если температура воздуха равна Т = 295 К.

Решение

1. По графику зависимости скорости звука от температуры воздуха, приведенному
в предыдущей задаче, определим скорость при заданной в условии температуре − с1 =
337 м/с.
2. Определим время распространения звуковой волны в воздухе τ1
x
τ1 = = 2,37 c .
c1
3. Время распространения сигнала в воде
τ 2 = τ1 − Δτ = 0,533 c .
4. Скорость звука в воде
x
м
c2 =
= 1500 .
с
τ2
14.32. Скорость звука в некотором газе при нормальных условиях равна с = 308
м/с. Плотность газа равна ρ0 = 1,78 кг/м3. Определить отношение удельных теплоёмкостей сp/cV.

Решение

1. Воспользуемся для определения скорости уравнением
p0γ
,
c=
ρ0
откуда

γ=

c 2ρ0
,
p0

при р0 = 1⋅105 Па
172

γ=

cp
cV

=

308 2 ⋅1,78
= 1,69 .
10 5

14.33. Найти отношение скоростей распространения акустической волны в водороде и углекислом газе, если эти газы находятся в одинаковых условиях.

Решение

1. Отметим, что заданные газы имеют следующие параметры при нормальных условиях: для водорода H2 − μ1 = 2⋅10 − 3 кг/моль, γ1 = 1,4; для углекислого газа СО2 − μ2 =
48 кг/моль, γ2 = 1,33
2. Составим систему уравнений
γ RT ⎫
c1 = 1 ; ⎪
μ1 ⎪
⎬
γ 2 RT ⎪
c2 =
.
μ 2 ⎪⎭
3. Поделим уравнения системы друг на друга
c1
=
c2

γ1μ 2
1,4 ⋅ 48 ⋅ 10−3
=
≅5.
1,33 ⋅ 2 ⋅ 10− 3
γ 2μ1

14.34. При подъёме от поверхности Земли температура изменяется от Т0 = 300 К
до Т2, увеличиваясь на ΔТ = 7 мК/м. Оценить, за какое время акустическая волна распространится на высоту h = 8 км.

Решение
1. Определим температуру на высоте h над поверхностью Земли
T1 = T0 − ΔTh = 300 − 7 ⋅ 10−3 ⋅ 8 ⋅ 10−3 = 244 K .
2. Найдём конечную и начальную скорость звука
1,33 ⋅ 8,3 ⋅ 300
м
γRT0
c0 =
=
≅ 332 ;
−2
3 ⋅ 10
μ
с
1,33 ⋅ 8,3 ⋅ 244
м
γRT1
=
≅ 300 .
−2
3 ⋅ 10
с
μ
3. Среднее значение скорости звука
c +c
м
< c >= 0 1 = 316 .
2
с
4. Примерное время распространения на высоту h
h
8 ⋅10 3
τ=
=
= 25,3 c .
<c>
316
c1 =

14.35. Для акустической волны возбуждающей в среде колебания с циклической
частотой ω, получить зависимость групповой скорости u от фазовой скорости с.

Решение

1. Как известно, постоянная фаза упругой волны может быть выражена следующим
уравнением
⎛ x⎞
Φ = ω⎜ t − ⎟ + ϕ0 = const .
c⎠
⎝

173

2. Продифференцируем уравнение с учётом того, что переменными величинами
являются t и x
1
dx
,
dt − dx = 0; ⇒ c =
c
dt
где с − скорость распространения волны.
3. В соответствие с разложением Фурье всякая волна может быть представлена в
виде суперпозиции (суммы) нескольких волн. Другими словами, в пространстве будет
распространяться волновой пакет (группа волн). Если две составляющие волнового
пакета незначительно отличаются по циклической частоте, так что dω << ω и dk << k ,
то уравнение пакета записывается следующим образом
ξ(x, t ) = ξm cos(ωt − kx ) + ξm cos[(ω + dω)t − (k + dk )x ] ,
⎛ tdω − xdk ⎞
ξ(x , t ) = 2ξm cos⎜
⎟ cos(ωt − kx ) .
2
⎝
⎠
4. Амплитуда такого волнового движения будет медленно изменяться как функция
времени и координаты
⎛ tdω − xdk ⎞
ξ(x , t ) = 2ξ m cos⎜
⎟.
2
⎝
⎠
5. В качестве характерной кинематической характеристики волны принимается
скорость распространения максимума амплитуды. При условии tdω − xdk = const
dx dω
=
=u.
dt dk
Величина u называется групповой скоростью, которая связана с фазовой скоростью следующим образом
dω
ω 2π
u=
; c= =
,
dk
k
λ
dc
⎛ λ2 ⎞ dc
d (ck )
⎟
= c + k ⎜⎜ −
,
u=
= c + k dλ
d ⎛ 2π ⎞
dk
2π ⎟⎠ dλ
⎝
⎜ ⎟
dλ ⎝ λ ⎠
с учётом того, что λ/2π = 1/k
dc
u =c−λ
.
dλ
14.36. Фазовая скорость акустической волны, удовлетворяет уравнению
ℵ
c=
,
ν+ϑ
где ν = 1 кГц − частота колебаний, ϑ = 200 Гц, ℵ = 10 м⋅с − 3/2 − постоянные размерные
коэффициенты. Найти групповую скорость для частоты ν = 1 кГц.

Решение

1. В данном случае длину волны можно представить следующим образом
c
ℵ
λ= =
.
ν ν ν+ϑ
2. Групповая скорость определяется следующим уравнением
dω
dν
= 2π ,
u=
dk
dk
где k = 2π λ − волновое число.
3. Подставим значение волнового числа в уравнение

174

dν
.
⎛1⎞
d⎜ ⎟
⎝λ⎠
4. Вычислим знаменатель последнего уравнения
⎛ 1 ⎞ 1,5ν + ϑ
d⎜ ⎟ =
dν .
⎝λ⎠ ℵ ν+ϑ
5. Совместим уравнения
u = 2π

u=

м
dνℵ ν + ϑ ℵ ν + ϑ 10 103 + 200
≅ 0,2 .
=
=
3
(1,5ν + ϑ)dν 1,5ν + ϑ 1,5 ⋅10 + 200
с

14.37. Поплавок на поверхности воды за время τ = 30 с совершил n = 40 колебаний
вокруг положения равновесия, рыбак, расположившейся на берегу, на двадцатиметровом отрезке насчитал N = 20 гребней волн. Определить скорость волн, распространяющихся в водоёме.

Решение

1. Период колебаний частиц жидкости при распространении волны можно выразить через параметры колебаний и характеристики волны
τ
λ
T= ; T= ,
n
v
откуда
λn
v=
.
τ
2. Длину волны в данном случае целесообразно выразить, воспользовавшись результатами наблюдений λ = s N , тогда скорость представится следующим образом
sn 20 ⋅ 40
м
=
v=
= 1,33 .
τN 30 ⋅ 20
с
14.38. Некто, не обременённый возрастом, исключительно в познавательных целях, бросает в середину круглой лужи камень, отмечая, что за время τ1 = 80 с к его ногам «подошло» n = 15 гребней волн. Расстояние между гребнями составляло λ = 0,2 м,
первый «сигнал» от камня распространялся в течение τ2 = 20 с. Каким образом по результатам этих наблюдений модно вычислить радиус лужи.

Решение

1. Если волновой фронт перемещается с постоянной скоростью, то s = vτ1. С другой стороны скорость волн можно выразить через их длину v = λ/T = λn/τ2.
2. Подставим далее значение скорости в уравнение расстояния, проходимого волновым фронтом
τ
0,2 ⋅15 ⋅ 80
R = λn 1 =
= 12 м .
τ2
20
14.39. Услышав, пришедший сверху звук пролетающего самолёта, наблюдатель
обнаружил его визуально под углом α = 450 к горизонту. Определить скорость самолёта v и расстояние до него s, если звук распространялся в течение τ = 2 с.

Решение

1. Расстояние L и высоту H звук проходит за одно и то же время, что даёт основание записать следующие соотношения

175

L = vτ; H = cτ ;
Y
c
c
м
= tgα = ; ⇒ v =
= 340 .
L
v
tgα
с
2. Расстояние s определится из равнобедренного
прямоугольного треугольника OAM
cτ
340 ⋅ 2
s=
=
= 962 м .
sin α 0,707
Рис. 14.39. Звук самолёта
14.40. Из корабельного орудия главного калибра установленного на максимальную
дальность стрельбы вылетает снаряд с начальной скоростью v0 = 500 м/с и поражает
надводную цель. Через какой промежуток времени канониры услышат звук взрыва,
если движение снаряда в воздухе происходит с пренебрежимо малым сопротивлением?

Решение

1. Время прошедшее после выстрела будет представлять собой
сумму двух промежутков: собственно
времени полёта снаряда до цели и
Рис. 14.40. Звук взрыва пораженной цели
времени распространения звуковой
волны от цели к атакующему судну
x max
x
τ = τ1 + τ2 =
+ max ,
v 0 cos α
c
⎛
1
1⎞
τ = x max ⎜⎜
+ ⎟⎟ .
⎝ v 0 cos α c ⎠
2. Максимальная дальность стрельбы при прочих равных условиях обеспечивается
при α = 450, при этом
v 2 sin 2α v02
=
.
x max = 0
g
g
3. Совместим уравнения
v ⎛ 1
⎞
τ= 0 ⎜
+ M ⎟ ≅ 144 c ,
g ⎝ cos α
⎠
где М = v0/c = 500/340 = 1,47 − число Маха.
14.41. При измерениях установлено, что акустические колебания при переходе из
одной среды в другую увеличивают длину волны в три раза. Во сколько раз, при этом
изменяется скорость распространения волны?

Решение
1. При распространении акустических вол в средах с различными волновыми сопротивлениями ( ℜ = ρc ) период и частота колебаний остаются постоянными, изменяются только скорость звука и длина волны
λ1 = c1T; ⎫
c1 λ1
.
=
⎬ ⇒
λ 2 = c 2T.⎭
c2 λ 2

2. Подставим в уравнение соотношение длин волн, заданное по условию задачи 3λ2

= λ1

c1 3λ 2
=
= 3.
c2
λ2

176

14.42. На прямой, вдоль которой в воде распространяется упругая волна выделены
две точки, одна из которых отстоит от источника на расстоянии х1 = 100 м, а вторая на
расстоянии х2 = 160 м. Определить разность фаз колебаний в этих точках, если частота источника колебаний равна ν = 10 кГц.

Решение

1. Запишем уравнение колебаний точек среды на заданных расстояниях
ξ1 = ξ m cos(ωt1 − kx1 ); ⎫
⎬.
ξ2 = ξ m cos(ωt 2 − kx 2 ).⎭
2. Разность фаз в этом случае определится уравнением
ΔΦ = Φ 2 − Φ1 ,
x
x
2πν
(x 2 − x1 ) ,
ΔΦ = 2πν 2 − 2πν 1 =
c
c
c
6,28 ⋅ 104
(160 − 100) = 8 ⋅102 π рад .
ΔΦ =
1500
14.43. Два синфазных источника акустических волн генерируют в упругую среду
колебания с длиной волны λ = 0,6 м и амплитудой смещения частиц среды ξm(1) = ξm(2)
= 10 − 3 м. Определить амплитуду результирующих колебаний ξm в точке пространства,
которая располагается на удалении х1 = 3,5 м и х2 = 5,4 м от источника, а направление
волновых векторов совпадает.

Решение

1. Запишем уравнение заданных волн
ξ1 = ξm (1) cos(ωt − kx1 ); ⎫⎪
⎬
ξ2 = ξ m (1) cos(ωt − kx 2 ).⎪⎭
2. Определим разность фаз колебаний между заданными точками волнового пространства
2π
(x 2 − x1 ) ,
ΔΦ = Φ1 − Φ 2 = k (x 2 − x1 ) =
λ
3. Поскольку в заданных точках колебания, с одинаковыми амплитудными значениями смещения ξ m (1) = ξ m ( 2 ) = ξ m , движутся в данный момент времени в одном направлении, то суммарное смещение можно выразить следующим образом
ΔΦ
π(x 2 − x1 )
ξ = 2ξ m cos
= 2ξ m cos
;
2
λ
ξ = 2 ⋅ 10− 3 cos

3,14 ⋅ 1,9
≅ 1,73 ⋅ 10− 3 м.
0,6

14.44. Бегущая волна отражается от границы раздела сред и распространяется в
противоположном направлении, образуя стоячую волну. Найти местоположение узлов
и пучностей стоячей волны, если скорость прямого и обратного волнового фронта распространяются в среде с фазовой скоростью с = 340 м/с при частоте колебания частиц
среды ν = 3,4 кГц.

Решение

1. Запишем уравнения двух упругих волн, распространяющихся в противоположных направлениях
ξ1 (x , t ) = ξ m cos(ωt − kx + ϑ1 ); ⎫
⎬
ξ 2 (x , t ) = ξ m cos(ωt + kx + ϑ 2 ).⎭

177

2. Сложим уравнения и преобразуем по формуле для суммы косинусов
ξ( x , t ) = ξm [cos(ωt − kx + ϑ1 ) + cos(ωt + kx + ϑ2 )] ,
ϑ − ϑ1 ⎞
ϑ + ϑ2 ⎞
⎛
⎛
ξ(x, t ) = 2ξm cos ⎜ kx + 2
⎟ ⋅ cos ⎜ ωt + 1
⎟.
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
3. Уравнение стоячей волны можно упростить, если начало системы отсчёта выбрать таким образом, чтобы разность фаз прямой и отражённой волны оказалась равной нулю, т.е. ϑ2 − ϑ1 = 0, а момент времени − чтобы ϑ2 + ϑ1 = 0 и выразить волновое
число через длину волны k = 2π/λ
⎛ x⎞
ξ(x , t ) = 2ξ m cos⎜ 2π ⎟ ⋅ cos ωt .
⎝ λ⎠
Из уравнения видно, что все точки пространства занятые стоячей волной колеблются с той же частотой ω что и взаимодействующие волны. Амплитуда стоячей волны А является функцией координаты х, изменяясь по закону косинуса
⎛ x⎞
A = 2ξ m cos⎜ 2π ⎟ .
⎝ λ⎠
4. Амплитуда стоячей волны достигает максимума в, так называемых, пучностях
λ
(m = 0,1,2,...) ,
x max = ± m
2
c
340
x max(1) = ± m
= ±1
= ±0,05 м ,
2ν
6800
x max( 2 ) = ±0,1 м;

5. Минимум амплитуды имеет место в точках (узлы стоячей волны)
1⎞ c
⎛
.
x min = ±⎜ m + ⎟
2 ⎠ 2ν
⎝
x min(1) = ±0,075 м; x min( 2 ) = ±0,15 м .
14.45. Определить длину бегущей волны, если в стоячей волне расстояние между
первой и седьмой пучностями составляет l1−7 = 0,15 м

Решение

1. Отметим, что расстояние между источником волн пучностями определяется
уравнением (6) предыдущей задачи
λ
(m = 0,1,2,...) .
x max = ± m
2
2. Расстояние между первой и седьмой пучностями l1−7 определится при m = 6
2λ
λ
l 1− 7 = 6 ; λ = 1− 7 = 0,05 м .
2
6
14. 46. Определить длину бегущей волны, если расстояние между первым и четвёртым узлом в стоячей волне составляет l1−4 = 0,15 м.

Решение

1. Координаты точек пространства с нулевым смещением, занятого стоячей волной
определяются уравнением
1⎞λ
⎛
x min = ±⎜ m + ⎟ .
2⎠2
⎝
2. Для заданных условий уравнение необходимо переписать в следующем виде
178

1⎞λ
⎛
l 1− 4 = ⎜ 2,5 + ⎟ ; λ = 0,1м .
2⎠ 2
⎝
14.47. Динамики стереосистемы излучают тональный сигнал фиксированной частоты и расположены на расстоянии d = 3 м друг от друга. При перемещении микрофона,
расположенного на удалении х = 6 м от плоскости излучения параллельно этой плоскости на расстояние а = 1,7 м он фиксирует первый интерференционный минимум.
Найти частоту звука приняв с = 340 м/с.

Решение

1. Рассмотрим простейший случай распространения в одном и том же пространстве двух волн, описываемых уравнениями
ξ1 = ξ m1 sin (ω1t − k1r1 + ϕ1 ) = ξ m1 sin Φ1;

ξ 2 = ξ m 2 sin (ω2 t − k 2 r2 + ϕ2 ) = ξ m 2 sin Φ 2 ;

где r1 и r2 расстояние от источников волн до рассматриваемой точки М2, k − волновое число, ϕ1, ϕ2 − наРис. 14.47. Стереосистема
чальные фазы интерферирующих волн. Результирующее колебание в точке М2 определится исходя из принципа суперпозиции, т.е. необходимо определить суммарное смещение частичек среды при одновременном действии обоих волн
ξ = ξ1 + ξ 2 = ξ sin Φ;
Величины ξ и Ф могут быть найдены методом векторных диаграмм
ξ 2 = ξ 2m1 + ξ 2m 2 + 2ξ m1ξ m 2 cos(Φ 2 − Φ1 );
ξ m1 sin Φ1 + ξ m 2 sin Φ 2
;
ξ m1 cos Φ1 + ξ m 2 cos Φ 2
Преобразуем разность фаз складываемых колебаний
Φ = arctg =

Φ 2 − Φ1 = (ω2 − ω1 )t − (k 2 r2 − k1r1 ) + (ϕ2 − ϕ1 ) .

2. С учётом того, что волновое число является функцией циклической частоты колебаний и скорости распространения волны − k= ω/с, разности фаз можно придать
вид, более удобный для дальнейшего анализа
⎛ω r ω r ⎞
Φ 2 − Φ1 = (ω2 − ω1 )t − ⎜⎜ 2 2 − 1 1 ⎟⎟ + (ϕ 2 − ϕ1 ) .
c1 ⎠
⎝ c2
3. В данном случае складываются когерентные волны, для которых
ω1 = ω2 = ω; c1 = c 2 = c,
то уравнение (5) для разности фаз можно переписать следующим образом
ω
Ф 2 − Ф1 = − (r2 − r1 ) + (ϕ2 − ϕ1 ) ,
c
4. Условие минимума при интерференции когерентных волн можно представить
следующим образом
λ
Δ min = r2 − r1 = (2m + 1) ,
2
при m = 0, Δ min = λ 2 .
5. Выразим расстояния r1 и r2 через заданные геометрические параметры
r1 = x 2 + (a − 0,5d ) ,
2

r2 = x 2 + (a + 0,5d ) .
6. Выразим частоту через скорость звука и длину волны
2

179

c
c
=
.
λ 2(r2 − r1 )
7. Подставим в уравнение значение r1 и r2
c
ν=
,
⎡ 2
2
2 ⎤
2
2 ⎢ x + (a + 0,5d ) − x + (x − 0,5d ) ⎥
⎣
⎦
340
ν=
= 100 Гц .
2 36 + 10,2 + 36 − 10,2
ν=

(

)

14.48. От первого источника акустических волн колебания достигают микрофона М
за время τ1 = 0,67 с. От второго источника, начавшего работать одновременно с первым, колебания в точку расположения микрофона доходят за τ2 = 0,7 с. Минимальный
или максимальный сигнал будет фиксировать микрофон, если волны с λ = 6,8 м когерентные

Решение

1. Усиление сигнала при интерференции будет иметь место если на разности хода
волн Δr = r2 − r1 будет укладываться чётное целое число полуволн. Минимум, т.е. ослабление, будет наблюдаться при нечётном целом числе полуволн.
2. Определим величину Δr, выразив расстояния от излучателей до микрофона через
скорость волн и заданные времена
r1 = cτ1 ; r2 = cτ2 ; Δr = c(τ2 − τ1 ) .
3. Разделим разность хода волн на величину λ/2
2Δr 2c(τ2 − τ1 ) 2 ⋅ 340 ⋅ 3 ⋅ 10−2
ς=
=
=
= 3.
λ
λ
6,8
Поскольку на разности хода волн укладывается нечётное число полуволн, то микрофон, расположенный в заданной точке, будет фиксировать ослабление сигнала.
14.49. Камертон с частотой собственных колебаний ν = 680 Гц поместили над цилиндрическим сосудом высотой h = 1,5 м который постепенно заполняют водой. При
каком уровне жидкости звук камертона будет усиливаться?

Решение

1. Акустическое сопротивление воздуха равно ρ1с1 ≅ 41
кг/м2с, а воды − ρ2с2 ≅ 1,6⋅106 кг/м2с, т.е. поверхность воды
можно рассматривать в данном случае как твёрдое тело, от
которого отражается, возбуждаемая камертоном звуковая волна. В этой связи при падении и отражении волны на поверхности жидкости должен находиться узел стоячей волны, а на
уровне верхнего края сосуда − пучность.
2. Расстояние между соседними узлом и пучностью равно
λ/4, расстояние между соседними узлами или пучностями равны
λ/2, что даёт основание записать для высоты воздушного
Рис. 14.49. Камертон
столба воздуха следующее условие:
λ
λ
h−H = +m .
4
2
3. Определим длину волны в воздухе при с1 = 340 м/с
c
340
λ= 1 =
= 0,5 м .
ν 680
4. Определим усиления звука при m = 0

180

h 0 (1) = h − H =

λ
= 0,125 м;
4

при m = 1
h 0( 2) =

λ λ
+ = 0,15 м ;
4 2

h 0 ( 3) =

λ
+ λ = 0,625 м ;
4

при m =2

при m = 3
h 0(4) =

λ
+ 1,5λ = 0,875 м ;
4

14.50. Труба длиной l = 1,2 м, заполненная воздухом при температуре Т = 300 К,
расположена вблизи акустического излучателя. Найти минимально возможную частоту
колебаний воздушного столба для открытой и закрытой с обоих концов трубы.

Решение

1. Определим скорость звука при заданной температуре
γRT
c=
,
μ
где γ = (i+2)/i = 1,33 − показатель адиабаты, R = 8,3 Дж/моль⋅К − универсальная газовая постоянная, μ ≅ 28⋅10 − 3 кг/моль − молярная масса воздуха
1,33 ⋅ 8,3 ⋅ 300
м
c=
= 344 .
−3
28 ⋅ 10
с
2. Колебания воздушного столба в открытой трубе будут протекать с минимальной
частотой в том случае, когда на длине трубы будет укладываться половина длины
волны
λ
l = ; λ max = 2l = 2,4 м .
2
3. Соответствующая этому условию минимальная частота
c
344
ν min =
=
= 143 Гц .
λ max 2,4
4. В случае закрытой трубы будет образовываться стоячая волна, для которого условие (3) примет следующий вид
λ
l = ; λ max = 4l = 4,8 м ,
4
соответствующая минимальная частота будет равна
c
344
ν min =
=
= 71,7 Гц .
λ max 4,8
14.51. Вертикальный стеклянный сосуд заполнен водой. Над сосудом помещён звучащий на частоте 440 Гц громкоговоритель. Когда уровень воды в сосуде при открывании нижнего крана, опустился на Δy1 = 19,5 см, звук камертона достиг максимального
значения. Определить скорость звука в воздухе.

Решение

1. Усиление силы звука при понижении уровня жидкости в сосуде будет происходить, когда высота воздушного столба над водой будет кратна нечётному количеству
четвертьволновых отрезков, т.е.

181

λ
λ
λ
; Δy 2 = 3 ; Δy 3 = 5 .
4
4
4
2. Величина Δу1, таким образом, даёт основание определить длину волны
λ = 4Δy1 = 0,78 м .
3. Скорость звука в воздухе
c1 = λν = 343 м с .
Δy1 =

14.52. Для измерения скорости звуковых волн в латунном стержне длиной l = 0,8 м,
закреплённом в его среднем сечении С используют метод акустической интерферометрии, когда на одном из концов стержня помещается лёгкий диск В. В закрытом цилиндрическом воздушном пространстве D возбуждается стоячая волна, которая визуализируется мелкодисперсным порошком. В одном из измерений длина стоячих
волн оказалась равной λ1 = 8,5 см. Определить скорость звука в латуни.

Решение

1. Частоту колебаний стержня определим по длине стоячей волны λ1 в
воздухе, принимая скорость звука в
воздухе с1 = 340 м/с
Рис. 14.52. Интерферометр
c
ν= 1 .
λ1
2. Первая собственная частота стержня соответствует максимумам смещения его
торцов и максимуму колебательной скорости в среднем сечении
λ2 = l .
3. Скорость звука в латуни, с учётом уравнения (2) определиться как
c
340
м
= 3200 .
c 2 = l 1 = 0,8
−2
λ1
8,5 ⋅ 10
с
14.53. Локомотив, приближающийся к неподвижному наблюдателю со скоростью v1
= 144 км/ч, даёт гудок на частоте основного тома ν = 300 Гц. Определить кажущуюся
частоту, воспринимаемого наблюдателем звука. Как изменится эта частота при удалении локомотива?

Решение
1. Изменение частоты воспринимаемого звука
будет наблюдаться вследствие эффекта Доплера,
который фактически заключается в том, что при
приближении движущегося источника звука возбуждаемый его сиреной волны воспринимаются как
более высокие, а при удалении от наблюдателя −
как более низкие.
Рис. 14.53. Изменение частоты
2. Рассмотрим вначале вариант удаления источника со скоростью v1. За время одного периода Т0 источник смещается в среде на расстояние
v
v1T0 = 1 ,
ν0
где ν0 − частота колебаний источника. Естественно, что длина волны движущегося
источника λ будет отличаться от длины волны неподвижного источника λ0
c + v1
λ = λ 0 + v1T0 = (c + v1 )T0 =
,
ν0

182

где с − фазовая скорость волны в данной среде.
3. Частота волны, воспринимаемая приёмником определится уравнением
c
ν0
.
ν= =
λ 1 + v1
c
4. В случае приближения приёмника уравнение перепишется следующим образом
ν0
c
.
ν= =
λ 1 − v1
c
5. Подставим в уравнения заданные по условию задачи величины
300
ν прибл . =
= 340 Гц ;
40
1−
340
300
ν удал. =
= 268 Гц .
40
1+
340
14.54. Мимо неподвижного электровоза, сирена которого излучает тональный сигнал на частоте ν0 = 300 Гц движется пассажирский поезд со скоростью u = 40 м/с. Какую частоту воспринимает пассажир поезда при приближении и удалении от электровоза?

Решение
1. Уравнения эффекта Доплера для рассматриваемого в задаче случая можно представить одним соотношением
c±u
ν0 ,
ν=
c
c+u
340 + 40
ν прибл . =
ν0 =
300 = 335 Гц ,
c
340
c−u
340 − 40
ν удал. =
ν0 =
300 = 265 Гц .
c
340
14.55. Мимо неподвижного наблюдателя проходит электропоезд. При приближении
электропоезда наблюдатель воспринимает кажущуюся частоту сирены ν1 = 1100 Гц, а
при удалении поезда − ν2= 900 Гц. Определить скорость электропоезда и истинную
частоту излучаемого звука.

Решение

1. Выразим из уравнения эффекта Доплера величину ν0
νc
ν0 = 1 .
c+u
2. Подставим значение ν0
c − u ν1c
c−u
ν2 =
= ν1
.
c c+u
c+u
3. Выразим скорость электропоезда
ν 2 (c + u ) = ν 1 (c − u ) ,
м
км
c(ν1 − ν 2 ) 340 ⋅ 200
u=
=
= 34 = 122
.
2000
с
ч
ν1 + ν 2
4. Подставим значение скорости электропоезда u и определим частоту излучения
его сирены
ν c 1100 ⋅ 340
ν0 = 1 =
= 1000 Гц .
c + u 340 + 34

183

14.56. В момент прохождения электропоезда мимо неподвижного наблюдателя он
воспринимает скачкообразное изменение тональности сирены локомотива. Определить относительное изменение частоты Δν/ν0, если скорость поезда равна u = 15 м/с.

Решение

1. В соответствие с уравнениями эффекта Доплера образуем систему уравнений
c+u ⎫
ν прибл. =
ν 0 ;⎪
⎪
c
⎬
c-u
ν удал. =
ν0 . ⎪
⎪⎭
c
2. Запишем величину Δν/ν0, используя систему уравнений
c+u
c−u
⎛c+u c−u⎞
ν прибл . − ν удал. = Δν =
ν0 −
ν0 = ν0 ⎜
−
⎟,
c
c
c ⎠
⎝ c
Δν 2u 30
=
=
= 0,09 .
ν0
c
340
14.57. Неподвижный резонатор, настроенный на длину волны λ = 4,2⋅10 − 2 м и движущийся источник звука с частотой излучения ν0 = 8 кГц расположены на одной прямой. В каком направлении и с какой постоянной скоростью должен двигаться источник,
чтобы звучание резонатора было максимальным?

Решение

1. Определим первую собственную частоту
резонатора
c
ν = = 8100 Гц .
Рис. 14.57. Резонатор
λ
2. Поскольку ν > ν0 источник звука должен приближаться к резонатору со скоростью u, при этом
c+u
ν=
ν0 ,
c
откуда
c(ν − ν 0 ) 340 ⋅ 100
м
u=
=
= 4,2 .
8000
с
ν0
14.58. Поезд движущейся мимо неподвижного наблюдателя со скоростью u = 120
км/ч, даёт звуковой сигнал продолжительностью τ0 = 5 с. Какова будет кажущаяся продолжительность сигнала при приближении и удалении поезда при скорости звука с =
348 м/с?

Решение

1. При приближении поезда к наблюдателю при фиксированном числе колебаний τ
= NT кажущаяся частота будет увеличиваться, период, соответственно уменьшаться,
поэтому время восприятия N колебаний можно записать следующим образом
c−u
348 − 33,3
τприбл. =
τ0 =
5 = 4,52 c .
c
348
2. При удалении поезда длительность сигнала будет восприниматься как
c+u
τ удал. =
τ0 = 5,48 с .
c

184

14.59. Скорый поезд со скоростью u = 20 м/с приближается к станции, на которой
стоит электричка, которая подаёт сигнал с частотой ν0 = 600 Гц. Определить кажущуюся частоту, воспринимаемую машинистом движущегося скорого поезда.

Решение

1. В данном случае эффект Доплера проявляется потому, что имеется движущийся
источник и неподвижный приёмник. Кажущаяся частота определяется уравнением
ν=

c
340
ν0 =
600 = 638 Гц .
c−u
340 − 20

14.60. На скоростном загородном шоссе сближаются два автомобиля со скоростями u1 = 30 м/с и u2 = 20 м/с. Первый автомобиль подаёт сигнал на частоте ν1 = 600 Гц.
Чему равна кажущаяся частота звука ν2, воспринимаемого водителем второй машины
во время сближения и удаления? Изменится ли результата при подаче сигнала второй
машиной? Скорость звука принять равной с = 332 м/с.

Решение
1. При сближении автомобилей и
при подаче сигнала первым автомобилем кажущаяся частота, воспринимаеРис. 14.60. Сближение автомобилей
мая водителем второго автомобиля определится уравнением
c + u2
332 + 20
ν2 =
ν1 =
600 = 699 Гц .
c−u
332 − 30
2. При удалении автомобилей кажущаяся частота составит
c − u2
332 − 20
ν *2 =
ν2 =
600 = 517 Гц .
c + u1
332 + 30
3. При подаче сигнала вторым автомобилем в режиме сближения
c + u1
332 + 30
ν1* =
ν1 =
600 = 696 Гц ,
c − u2
332 − 20
в режиме удаления
c − u1
332 − 30
ν1* =
ν2 =
600 = 515 Гц .
c + u3
332 + 20
14.61. При скоростных испытаниях гоночного автомобиля, движущегося мимо контрольного пункта со скоростью u = 360 км/ч, частота основного тона работающего двигателя меняется скачком. Какой процент от истинной частоты основного тона двигателя составляет скачёк? Скорость звука принять равной с = 340 м/с.

Решение

1. В соответствие с принципом Доплера частота воспринимаемого звука определяется уравнением
c + u пр
ν1 =
ν0 ,
с − u ист
где ν0 − истинная частота основного тона, излучаемого работающим двигателем, ν1 −
кажущаяся частота. В рассматриваемом случае скорость приёмника uпр = 0, поэтому
c
ν1 =
ν0 .
с − u ист
2. При движении болида к наблюдателю уравнение перепишется следующим образом

185

ν1 =

c
ν0 ,
c − u ист

при удалении от наблюдателя
c
ν0 .
c+u
3. Определим величину доплеровского скачка частоты
c
c
Δν = ν1 − ν1* =
ν0 −
ν0 ,
c−u
c+u
1 ⎞ Δν
1
1
⎛ 1
Δν = cν 0 ⎜
−
=
−
,
⎟;
⎝ c − u c + u ⎠ ν0 c − u c + u
ν1* =

Δν
1
1
⎛
⎞
= 340⎜
−
⎟ ≅ 64,6 % .
ν0
⎝ 340 − 100 340 + 100 ⎠
14.62. Автомобиль на скоростном шоссе проходит мимо неподвижного наблюдателя со скоростью u = 180 км/ч. Наблюдатель воспринимает доплеровский скачёк частоты основного тона сигнала автомобиля Δν = 200 Гц. Принимая скорость звука в воздухе равной с = 340 м/с определить частоту основного тона сигнала.

1. Воспользуемся уравнениями эффекта Доплера
c
c
ν 0 ; ν1* =
ν0 .
ν1 =
c−u
c+u
2. Доплеровский скачёк частоты Δν
2ucν 0
Δν = ν1 − ν1* =
.
(c - u )(c + u )
3. Разрешим уравнение относительно ν0
(c − u )(c + u )Δν = (340 − 50)(340 + 50) ⋅ 200 ≅ 665 Гц .
ν0 =
2uc
2 ⋅ 340 ⋅ 50
14.63. По цилиндрической трубе диаметром d = 0,2 м и длиной l = 5 м, расположенной в сухом воздухе, распространяется акустическая волна, обладающая средней за
период интенсивностью < I > = 50 мВт/м2. Найти среднюю за период энергию акустического поля < W >, заключенного в трубе.

Решение

1. Определим объёмную плотность акустической энергии в трубе
I
I =< ϖ > c; < ϖ >= .
c
2. Энергия акустического поля, заключенного в трубе
I πd 2l 5 ⋅ 10−2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 ⋅ 10−2 ⋅ 5
≅ 2,3 ⋅ 10− 5 Дж .
< W >=< ϖ > V =
=
c 4
4 ⋅ 340
14.64. Интенсивность звука равна I = 1 Вт/м2. Определить среднюю объёмную
плотность энергии акустической волны < ϖ > при скорости звука, равной с = 332 м/с.

Решение

1. Воспользуемся уравнением
I =< ϖ > c; < ϖ >=

I
1
Дж
=
= 3 ⋅10 −3 3 .
c 332
м

186

14.65. Изотропный источник излучает акустическую мощность N = 10 Вт. Найти
величину средней объёмной плотности энергии < ϖ > на расстоянии r = 0,1 м от источника при температуре сухого воздуха Т = 250 К.

Решение

1. Интенсивность точечного изотропного источника связана с его мощностью следующим соотношением
N
I=
.
4πr 2
2. Скорость звука в заданных условиях
γRT
c=
.
μ
3. Средняя объёмная плотность акустической энергии
I
N
10
Дж
< ϖ >= =
=
≅ 0,254 3 .
c
м
γRT
1,33 ⋅ 8,3 ⋅ 250
4πr 2
12,56 ⋅ 10− 2
−3
μ
28 ⋅ 10
14.66. Определить мощность точечного изотропного источника акустических волн
N, если на расстоянии r = 25 м интенсивность составляет I = 20 мВт/м2. Найти среднюю объёмную плотность акустической энергии < ϖ > на заданном расстоянии.

Решение

1. Определим мощность источника
N
I=
; N = I ⋅ 4πr 2 = 2 ⋅ 10− 2 ⋅ 12,56 ⋅ 625 = 157 Вт .
2
4πr
2. Средняя объёмная плотность акустической энергии
I 2 ⋅10 −2
мкДж
.
< ϖ >= =
≅ 60
c
340
м3
14.67. Определить удельное акустическое сопротивление ZS воздуха при нормальных условиях.

Решение

1. Физические характеристики воздуха при нормальных условиях: температура
абсолютная Т = 273, 15 К; давление р = 1⋅105 Па; молярная масса μ = 29⋅10 − 3 кг/моль;
показатель адиабаты γ = (I + 2)/I = 1,4, плотность − ρ = 1,32 кг/м3.
2. Определим скорость звука в воздухе при заданных условиях
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 273
м
γRT
c=
=
≅ 330 .
−3
29 ⋅10
с
μ
3. Удельное акустическое сопротивление воздуха
кг
Па ⋅ с
ZS = ρc = 1,32 ⋅ 330 = 436 2 ≡ 436
.
м ⋅с
м
14.68. Определить удельное акустическое сопротивление воды ZS при температуре
Т= 290 К.

Решение
1. Скорость звука в жидкости определяется уравнением
1
1
м
c=
=
= 1430 ,
4,9 ⋅ 10−8 ⋅ 103
βρ
с

187

где β = 4,9⋅10 − 10 Па − 1 − сжимаемость воды, ρ ≅ 1⋅103 кг/м3 − плотность воды.
2. Удельное акустическое сопротивление
1
МПа ⋅ с
ρ
ZS = ρc = ρ
=
= 1,43
.
м
βρ
β
14.69. Найти максимальную колебательную скорость частиц кислорода, при прохождении через него акустической волны с амплитудным значением давления pm = 0,2
Па при температуре Т = 300 К и нормальном атмосферном давлении.

Решение

1. Звуковое давление связано с амплитудным значением колебательной скорости
уравнением
p m = ρcξ& m .
2. Определим плотность кислорода и скорость звука в нём при заданных условиях,
воспользовавшись уравнением Клапейрона − Менделеева
кг
m
p μ 105 ⋅ 16 ⋅ 10−3
p 0 V = RT; p 0μ = ρRT; ρ = 0 =
= 0,643 3 .
м
RT
8,3 ⋅ 300
μ
γRT
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 300
м
=
= 467 .
μ
16 ⋅ 10− 3
с
3. Разрешим уравнение (3) относительно амплитудного значения колебательной
скорости и подставим найденные величины
p
0,2
м
ξ& m = m =
= 6,7 ⋅ 10− 4 .
с
ρc 0,643 ⋅ 467
c=

14.70. Найти акустическое сопротивление воздуха, находящегося в трубе диаметром d = 0,2 м при температуре Т = 300 К и внешнем давлении р = 2⋅105 Па.

Решение

1. Определим плотность воздуха в трубе
ρ=

pμ 2 ⋅ 105 ⋅ 29 ⋅ 10−3
кг
=
= 2,33 3 .
RT
8,3 ⋅ 300
м

2. Скорость звука в трубе
γRT
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 300
м
=
= 346 .
−3
μ
29 ⋅10
с
3. Акустическое сопротивление
c=

ZA =

ZS 4ρc 4 ⋅ 2,33 ⋅ 346
Па ⋅ с
= 2 =
= 2,57 ⋅ 104
.
−2
s
3,14 ⋅ 4 ⋅ 10
м3
πd

14.71. Через азот при температуре Т = 290 К и давлении р = 104 кПа проходит акустическая волна с частотой колебаний частиц среды ν = 400 Гц. Амплитуда звукового
давления при этом составляет pm = 0,5 Па. Найти амплитудное значение смещения
частиц среды из равновесного положения.

Решение
1. Определим скорость звука в азоте при заданных условиях

188

c=

1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 290
м
γRT
=
= 346 .
−3
28 ⋅ 10
с
μ

2. Плотность азота
кг
pμ 1,04 ⋅ 105 ⋅ 28 ⋅ 10−3
= 1,21 3 .
=
м
RT
8,3 ⋅ 290
3. Запишем уравнение звукового давления, выразив его величину через амплитудное значение смещения
pm
0,5
p m = 2πνρcξ m ; ξ m =
=
= 475 нм .
2πνρc 6,28 ⋅ 400 ⋅ 1,21 ⋅ 346
ρ=

14.72. Найти амплитуду звукового давления, если частицы воздуха колеблются с
амплитудой ξm = 1⋅10 − 6 м на частоте ν = 600 Гц.

Решение

1. Будем считать, что колебания частиц воздуха происходят при нормальных условиях: Т = 273 К, р = 1,04⋅105 Па, при этом μ = 29⋅10 − 3 кг/моль.
2. Плотность воздуха и скорость звука при нормальных условиях
кг
pμ 1,04 ⋅ 105 ⋅ 29 ⋅ 10−3
= 1,33 3 .
ρ=
=
м
RT
8,3 ⋅ 273
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 273
м
γRT
=
= 330 .
−3
29 ⋅10
с
μ
3. Амплитудное значение звукового давления
p m = 2πνρcξ m = 6,28 ⋅ 1,33 ⋅ 600 ⋅ 330 ⋅ 10−6 = 1,65 Па .
c=

14.73. Удельное акустическое сопротивление воздуха составляет ZS = 420 Па⋅с/м.
На расстоянии r = 100 м от изотропного источника акустических волн амплитудное
значение давления равно pm = 0,2 Па. Определить мощность источника волн N.

Решение

1. Определим амплитудное значение колебательной скорости частиц воздуха при
прохождении акустической волны, воспользовавшись уравнением
p
м
p m = ρcξ& m ; ξ& m = m = 4,76 ⋅ 10− 4 .
ZS
с
3
2. Приняв плотность воздуха равной ρ = 1,33 кг/м , найдём объёмную плотность
акустической энергии
1
Дж
< ϖ >= ρξ& 2 = 0,5 ⋅ 1,33 ⋅ 2,27 ⋅ 10− 7 = 1,7 ⋅ 10− 7 3 .
2
м
3. Интенсивность акустической волны
I =< ϖ > c = 1,51 ⋅ 10−7 ⋅ 330 = 4,98 ⋅ 10−5 Вт / м 2 .
4. Акустическая мощность источника
N = 4πr 2 I = 12,56 ⋅ 104 ⋅ 4,98 ⋅ 10−5 = 6,25 Вт .
14.74. Для точечного источника акустических волн мощностью N = 1 Вт, находящимся в воздухе найти на расстоянии r = 100 м амплитудное значение звукового давления pm.

Решение
1. Интенсивность акустического поля, создаваемого источником

189

N
.
4πr 2
2. Выразим среднюю объёмную плотность акустической энергии рассматриваемого источника через его интенсивность и амплитуду акустического давления
N
1 p 2m
.
< ϖ >=
; < ϖ >=
2
4πr c
2 ρc 2
3. Совместим последние уравнения и разрешим относительно искомой величины
N
p 2m
1 NZs
1 1 ⋅ 420
; pm =
=
=
= 8,2 ⋅ 10− 2 Па .
2
2
4πr c 2ρc
r 2π 100 6,28
I=

14.75. В сухом воздухе при нормальных условиях интенсивность звука составила I
= 10 − 11 Вт/м2. Определить амплитуду акустического давления рm.

Решение

1. Определим скорость звука в воздухе при нормальных условиях, т.е. при Т0 = 273
К, р0 = 105 Па, μ = 29⋅10 − 3 кг/моль
γRT
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 273
м
=
= 330 .
c=
−3
μ
29 ⋅10
с
2. Найдём плотность воздуха при нормальных условиях
pμ 1,04 ⋅ 105 ⋅ 29 ⋅ 10−3
кг
ρ=
=
= 1,33 3 .
RT
8,3 ⋅ 273
м
3. Удельное акустическое сопротивление воздуха
ZS = ρc = 439 Па ⋅ с / м .
4. Воспользуемся соотношениями
I 1 p 2m
1 p 2m
;
I
< ϖ >= =
=
; ⇒ p m = 2IZS = 8,8 ⋅ 10− 5 Па .
2
c 2 ρc
2 2ρc
14.76. Слуховой орган среднего статистического человека может воспринимать
акустические колебания в интервале частот νmin = 22 Гц, νmax = 18 кГц. Определить
диапазон длин волн для температур окружающего воздуха t1 = − 25 0C и t2 = 40 0C.

Решение

1. Определим скорость звука при заданных условиях принимая внешнее давление
равным р = 105 Па, молярную массу μ = 29⋅10 − 3 кг/моль, число степеней свободы молекул воздуха i = 5, показатель адиабаты γ = 1,4
γRT1
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 248
м
=
= 315 ,
c1 =
−3
μ
29 ⋅10
с
γRT2
1,4 ⋅ 8,3 ⋅ 313
м
=
= 354 .
−3
μ
29 ⋅ 10
с
2. Искомые диапазоны длин волн
c
315
λ max = 1 =
= 14,3 м .
ν min
22
c
315
λ min(1) = 2 =
= 1,75 ⋅ 10− 2 м .
3
ν max 18 ⋅ 10
c2 =

190

14.77. Сравнить скорости распространения акустических волн в стали и меди, приняв модуль Юнга для стали ЕFe = 216 ГПа, для меди ЕCu = 118 ГПа.

Решение

1. Примем величину плотности стали ρFe = 7,7⋅103 кг/м3, плотности меди − ρCu =
8,6⋅103 кг/м3 и определим скорости звука в заданных металлах
cFe =

E Fe
=
ρFe

2,16 ⋅ 1011
м
= 5296 .
3
7,7 ⋅ 10
с

E Cu
1,18 ⋅ 1011
м
=
= 3360 .
3
8,6 ⋅ 10
с
ρCu
2. Определим отношение скоростей звука в металлах
c Fe
= 1,58 .
c Cu
cСu =

14.78. В результате акустических измерений было установлено, что скорость звука
в ацетоне равна с1 = 1190 м/с при плотности ρ1 = 790 кг/м3 а в глицерине с2 = 1950 м/с
при плотности ρ2 = 1260 кг/м3. В каком соотношении находятся сжимаемости этих жидкостей?

Решение

1. Модуль Юнга является величиной, обратно пропорциональной сжимаемости β =
1/Е, с другой стороны
E = ρc 2 ,
откуда
1
β= 2 .
ρc
2. Определим далее сжимаемости заданных жидкостей и найдём их отношение
1
1
1
β1 =
=
≅ 9 ⋅ 10−10
.
2
ρ1c1 790 ⋅ 1190
Па
β1
1
1
1
β2 =
=
≅ 2 ⋅ 10−10
.
= 4,5 .
2
β2
Па
ρ2c 2 1260 ⋅ 1950
17.79. Определить разность глубин океана, если в первой точке измерения интервал времени между акустической посылкой и отражённым от дна сигналом составил τ1
= 6 с, а во второй точке это время было равным − τ2 = 1 с. Принять сжимаемость морской воды равной β = 4,6⋅10 − 10 Па − 1, плотность ρ = 1,03⋅103 кг/м3.

Решение

1. Определим скорость звуковых волн в морской воде
1
1
м
c=
=
= 1450 .
−10
3
4,6 ⋅ 10 ⋅ 1,03 ⋅ 10
с
βρ
2. Разность глубин океана в точках измерения составит
cτ 1450 ⋅ 6
2h 1 = cτ; h 1 = 1 =
= 4530 м .
2
2
cτ
1540 ⋅1
h2 = 2 =
= 770 м , Δh = h1 − h 2 = 3760 м .
2
2

191

14.80. Измерения показали, что среднеквадратичная скорость молекул водяного
пара составила < v > = 600 м/с. Определить скорость распространения акустической
волны.

Решение

1. Запишем уравнения для среднеквадратичной скорости молекул и скорости звука
γRT
3RT
< v >=
; c=
.
μ
μ
2. Разделим уравнения друг на друга
γ
1,33
м
c =< v >
= 600
≅ 400 .
3
3
с
14.81. Пары ксенона в сферической проекционной лампе находятся при давлении
р = 2⋅105 Па и температуре Т = 500 К. Определить скорость звука в данном состоянии
газа. Как изменится результат при заполнении колбы парами ртути?

Решение

1. Ксенон является одноатомным газом, молекула которого обладает тремя степенями свободы i = 3. молярная масса газа − μ1 = 131,3⋅10 − 3 кг/моль, показатель адиабаты γ = (i+2)/i = 1,67.
2. Скорость распространения звука в ксеноне
1,67 ⋅ 8,3 ⋅ 500
м
γRT
c Xe =
=
= 230 .
−3
131,3 ⋅ 10
с
μ1
3. При заполнении колбы папами ртути скорость звука изменится, так как молярная масса ртути μ2 = 200,59⋅10 − 3 кг/моль
1,67 ⋅ 8,3 ⋅ 500
м
γRT
c Hg =
=
= 186 .
−3
200,59 ⋅ 10
с
μ2
14.82. Известно, что средняя молярная кинетическая энергия поступательного
движения молекул атомарного водорода составляет < εμ > = 2⋅102 Дж/моль. Определить скорость звука в этом газе.

Решение

1. Уравнение средней кинетической энергии поступательного движения молекул
даёт основание для определения температуры этого газа
2 < εμ >
3
< ε μ >= RT; ⇒ T =
;
2
3R
2. Скорость звука в данном состоянии газа определится уравнением
c=

2γ < ε μ >
3⋅μ

=

2 ⋅1,67 ⋅ 2 ⋅10 2
м
= 472 .
−3
3 ⋅10
с

14.83. Измерение температуры разреженного газа, включая верхние слои атмосферы, термометрическими методами невозможно, так как традиционные термометры
ввиду малой концентрации молекул приходят в термодинамическое равновесие длительное время. Измерение температуры возможно с помощью вертикально запускаемых ракет, на борту которых имеются звуковые гранаты. Определить температуру на
высоте h = 20 км, если между взрывами гранат на высоте h1 = 30 км и h2 = 28 км зафиксирована задержка прихода регистрируемого на месте старта звука на Δτ = 5 с.

192

Решение

1. Скорость акустической волны в газах, наряду с их физическими свойствами, определяется и температурой
γRT
c=
.
μ
2. За фиксируемое время Δτ звуковая волна преодолевает расстояние Δh = h1 − h2, другими словами,
h − h2
Δh = cΔτ; c = 1
.
Δτ
3. Приравняем уравнения
2
γRT (h 1 − h 2 )
=
.
μ
Δτ 2
4. Разрешим уравнение (3) относительно температуры
2
μ (h1 − h 2 )
29 ⋅ 10−3 4 ⋅ 106
T=
=
= 207 K (− 66 0C ) .
γR Δτ2
1,4 ⋅ 8,3 48

Рис. 14.83. Ракета

14.84. Для увеличения коэффициента полезного действия ультразвуковых магнитострикционных излучателей, нагружаемых на воду, для их согласования со средой
снабжают специальными накладками. Из какого материала следует изготавливать согласующий элемент для никелевого преобразователя, излучающего в воду. Плотность
никеля ρ1 = 8,75⋅г/см3, модуль Юнга − Е1 = 2⋅1011Н/м2, скорость звука − с = 4785 м/с.

Решение

1. Наибольший коэффициент полезного действия излучателя можно получить, когда его удельное акустическое сопротивление ZS1 будет равно
удельному акустическому сопротивлению среды, в
Рис. 14.84. Излучатель волн
данном случае − воды.
2. Удельное акустическое сопротивление воды равно
ZS3 = ρ3c3 = 1 ⋅ 103 ⋅ 1500 = 1,5 ⋅ 106 кг / м 2с .
в то время как удельное сопротивление никеля составляет
ZS1 = ρ1c1 = 8,75 ⋅ 103 ⋅ 4785 = 4,2 ⋅ 107 кг / м 2с .
3. Анализ удельных акустических сопротивлений показывает, что наиболее совместимы с водой накладки из эбонита, плотность которого ρ2 = 1,15⋅103 кг/м3, скорость звука − с2 = 1570 м/с. Удельное акустическое сопротивление эбонита
ZS 2 = ρ2c 2 = 1,8 ⋅ 106 кг / м 2с ,
что не намного отличается от удельного акустического сопротивления воды.
14.85. Интенсивность акустических волна равна I1 = 10 − 10 Вт/м2 и I2 = 0,01 Вт/м2.
Определить уровень их интенсивности LP.

Решение

1. Уровень интенсивности (уровень акустической мощности) измеряется в децибелах и определяется уравнением
⎛ I ⎞
L P = 10 lg⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝ I0 ⎠
где I0 = 1⋅10 − 12 Вт/м2 − нулевой уровень интенсивности за который принимается порог
слышимости среднестатистического органа слуха человека на частоте ν = 1 кГц, соот193

ветствующее стандартному акустическому давлению р0 ≅ 2⋅10 − 5 Па.
2. Уровень интенсивности заданных акустических волн на основании исходного
уравнения определится следующим образом
⎛ 10−10 ⎞
L P(1) = 10 lg⎜⎜ −12 ⎟⎟ = 20 Дб .
⎝ 10 ⎠
⎛ 0,01 ⎞
L P(2) = 10 lg⎜ −12 ⎟ = 100 Дб .
⎝ 10 ⎠
14.86. Точечный изотропный акустический источник обеспечивает на расстоянии r1
= 24 м уровень интенсивности звука LP(1) = 32 дБ. Определить уровень интенсивности
источника на удалении r2 = 16 м.

Решение

1. Используя взаимосвязь между интенсивностью и мощностью источника, можно
записать следующие соотношения
N = 4πr12 I; N = 4πr22 I ,
r12
.
r22
2. Поделим обе части последнего уравнения на величину пороговой интенсивности I0 = 1⋅10 − 12 Вт/м2
I 2 I1 r12
=
.
I 0 I 0 r22
3. Прологарифмируем уравнение и умножим обе его части на 10
I
I
r2
10 lg 2 = 10 lg 1 + 10 lg 12 .
I0
I0
r2
4. По условию задачи
I
10 lg 1 = L P (1) = 32 дБ ,
I0
следовательно
r2
576
L P ( 2 ) = 32 + 10 lg 12 = 32 + 10 lg
= 35,5 дБ .
r2
256
I1r12 = I 2 r22 ; ⇒ I 2 = I1

14.87. Пройдя через звукоизолирующую конструкцию, акустическая волна уменьшила уровень своей интенсивности на ΔLP = 30 дБ. Во сколько раз при этом уменьшилась интенсивность звука.

Решение

Рис. 14.87. Интенсивность
звуковой волны

1. Условие ослабления акустической волны звукоизолирующей перегородкой математически можно записать
следующим образом
I
I
I
I
ΔL P
10 lg 1 − 10 lg 2 = ΔL P , ⇒ lg 1 − lg 2 =
= 3.
I0
I0
I0
I0
10
2. Выразим далее из уравнения отношение интенсивностей акустической волны до перегородки и после
I1
= 10 3 = 1000 .
I2

194

14.88. Уровень шума от работы одного электродвигателя составил LP(1) = 60 дБ.
Каков будет уровень шума при одновременной работе двух и десяти таких электродвигателей?

Решение

1. Определим интенсивность акустического излучения одного электродвигателя
I
I
I
L P (1) = 10 lg 1 = 60 дБ; lg 1 = 6; 1 = 106 ;
I0
I0
I0
I1 = I0 ⋅ 106 ; I1 = 106 ⋅ 10−12 = 1 ⋅ 10−6 Вт / м 2 .
2. При работе одновременно двух электродвигателей уровень шума определится из
следующих соображений
I +I
2 ⋅ 10−6
I 2 = 10 lg 1 1 = 10 lg −12 = 63 дБ .
I0
10
3. Если одновременно будут работать десять электродвигателей, то уровень создаваемого ими шума будет составлять
10I
10 −5
I10 = 10 lg 1 = 10 lg −12 = 70 дБ .
I0
10
14.89. Три источника акустических волн с частотами ν1 = 50 Гц, ν2 = 200 Гц и ν3 = 1
кГц в некоторой точке поля создают одинаковый уровень интенсивности LP(1) = LP(2) =
LP(3) = 40 дБ. Найти уровни громкости этих источников.

1. Звуковые волны, наряду с объективными параметрами принято характеризовать
субъективными параметрами.
2. Высота тона - это субъективная оценка
частоты звука. Чем больше частота, тем выше тон воспринимаемого звука. Однако способность уха различать звуки по их тональности зависит от частоты. На рис. 14.89
представлена полученная из опыта кривая
зависимости относительного изменения частоты звука Δν ν ,при котором человек отмечает изменение высоты тона от частоты. При
малых и больших частотах изменение частоты звука должно быть значительным, чтобы
ухо могло заметить изменение тона. Для частот от 1000 до 600 Гц (область наибольшей
остроты уха) это относительное изменение Рис. 14.89.1. Относительное изменение
частоты наименьшее ( Δν ν =0,3).
3. Громкость является субъективной оценкой интенсивности звука. Восприятие
интенсивности зависит от частоты звука, потому что наш акустический тракт имеет
вполне определённую частотную характеристику, и она отнюдь не является линейной.
Может оказаться, что звук большей интенсивности одной частоты воспринимаются
нами как менее громкий, чем звук малой интенсивности другой частоты.
4. Опыт показывает, что для каждой частоты в области слышимых звуков (20 −
20⋅103 Гц) имеется так называемый порог слышимости. Это минимальная интенсивность, меньше которой ухо не реагирует на звук. Кроме того, опытом установлено, что
для каждой частоты имеется так называемый порог болевых ощущений, т. е. то значение интенсивности звука, которое вызывает боль в ушах. Повышение интенсивности
звука выше порога болевых ощущений опасно для уха.

195

14.89.2. Физиологтческие характеристики слуха

5. Интенсивность волн акустического диапазона, встречающихся в природе, занимает несколько порядков, даже применительно к динамическому диапазону человеческого слуха. Операции с абсолютными величинами, в этой связи, представляются не
очень удобными. Числа получаются либо очень большие, либо очень маленькие. Интенсивность акустических волн удобно оценивать относительными единицами, уровнем интенсивности, измеряемым обычно в децибелах
I
Δp
L = 10 lg = 20 lg
,
I0
Δp 0
Вт
;
м2
6. Величина I0 представляет собой интенсивность порога слышимости на частоте
1000 Гц. Громкость звука, соответствующая этой интенсивности, равна нулю (звук не
воспринимается). Единица уровня громкости L называется белом. Обычно громкость
звука выражают в децибелах (Дб); эту дольную единицу еще называют фоном (фон): 1
Бел = 10 Дб (фон). Всему диапазону интенсивностей звука, воспринимаемых ухом от
порога слышимости до порога болевых ощущений, соответствуют значения громкости
от нуля до 130 дБ.
7. Совокупность точек, отвечающих порогу слышимости, и точек, соответствующих порогу болевых ощущений, образуют на диаграмме уровень интенсивности −
частота две кривые. Область, ограниченная этими кривыми, называется областью
слышимости. Приведенные кривые иллюстрируют ту наименьшую величину интенсивности звука, которую воспринимает определённый процент обследованных на специальной аудио акустической аппаратуре людей. Кривая соответствующая 1% получена при обследовании слуха профессиональных «слухачей», определяющих на слух
качество звуковоспроизводящей аппаратуры.
8. Такие же показатели слуха имеют гидроакустики на боевых надводных и подводных кораблях. Из диаграммы видно, что наше ухо может воспринимать звуки, различающиеся по интенсивности в 1013 раз! Ни один прибор, созданный руками человека, не имеет столь широкого диапазона изменения измеряемой величины. Опыт показывает, что субъективная оценка интенсивности звука − громкость возрастает гораздо
медленнее, чем сама интенсивность звука: при возрастании интенсивности звука в
геометрической прогрессии громкость возрастает приблизительно в арифметической
прогрессии, т. е. линейно. Это обстоятельство тоже делает удобным использование
уровня громкости.
I 0 = 10 −12

196

9. Возвращаясь к заданным величинам, на основании анализа диаграммы можно
видеть, что акустическая волна с частотой ν1 = 50 Гц будет иметь нулевой уровень
громкости LN(1) = 0, для волны с частотой колебаний ν2 = 200 Гц уровень громкости
составит LN(2) = 20 дБ, для волны с ν3 = 1 кГц − LN(3) = 40 дБ.
14.90. В фиксированной точке пространства две акустические волны отличаются по
уровню громкости на четыре фона. Найти отношение интенсивностей этих волн.

Решение

1. Уровень громкости в G = 1 фон соответствует уровню интенсивности LP = 1 дБ,
другими словами, уровень интенсивности анализируемых волн ΔLP = 4 дБ.
2. Запишем уравнения интенсивностей волн
I
I
L P (1) = 10 lg 1 ; L P ( 2 ) = 10 lg 2 .
I0
I0
3. Выразим величину ΔLP через уравнения (1)
⎛ I
I ⎞
I
ΔL P = L P (1) − L P ( 2 ) = 10⎜⎜ lg 1 − lg 2 ⎟⎟ = 10 lg 1 .
I0 ⎠
I2
⎝ I0
4. Определим отношение интенсивностей
ΔL P
I
I
= lg 1 ; ⇒ 1` = 10 0 , 4 = 2,51 .
10
I2
I2
14.91. Источник акустических волн в помещении, где он расположен, воспринимается с уровнем громкости G1 = 80 фон, а в соседнем помещении за стеной − с уровнем
G2 = 60 фон. Определить отношение интенсивностей волн в смежных помещениях.

Решение
1. Воспользовавшись уравнением предыдущей задачи, получим
⎛ I
I ⎞
I
ΔL P = L P (1) − L P ( 2 ) = 10⎜⎜ lg 1 − lg 2 ⎟⎟ = 10 lg 1 ,
I0 ⎠
I2
⎝ I0
ΔL P = 20дБ;

ΔL P
I
= lg 1 ; ⇒
10
I2

I1`
= 10 2 = 100 .
I2

14.92. При измерении интенсивности акустического шума в помещении соседним с
машинным отделением судна оказалось, что с открытым и закрытым люком результаты отличались в 104 раз. На сколько фонов при этом уменьшался уровень громкости?

Решение
1. В соответствие с уравнением предыдущей задачи
I1
= 10 4 ,
I2
следовательно, уровень громкости увеличивается на 40 фон.
lg

197

15. Электромагнитные колебания и волны
Свободные и вынужденные электрические колебания
15.1. Какими свойствами обладают, являясь нелинейными элементами, ёмкости и
индуктивности в цепях постоянного тока? Что общего между электрическими и механическими системами?

Решение

1. Удивительной особенностью колебательных и волновых процессов является
универсальность их свойств. Периодические события, протекающие в физике, химии,
биологии, геологии и в других отраслях знаний, даже в социологии и политологии,
несмотря на несопоставимые, на первый взгляд параметры, обладают общим свойством повторяемости. Некоторые характеристики процессов неоднократно принимают
прежние значения, или значения, уменьшающиеся или увеличивающиеся по определённому закону через определённые промежутки времени. Эта общность позволяет
использовать единые физико-математические подходы при анализе колебательных и
волновых процессов, казалось бы, совершенно не совместимых по своей сути. Дело в
том, что колебание скрипичной струны, математического маятника, крыла самолёта и
процессы в электрическом колебательном контуре имеют единую «идеологическую»
основу и могут быть описаны сходными по структуре уравнениями. Распространение
упругих и электромагнитных колебаний имеют, несомненно, существенные отличия,
но вместе с тем, структура и свойства волнового уравнения сохраняются.
2. Напомним, что в электрических цепях с постоянной силой тока распределение
электрических величин во времени стационарно. Электромагнитное поле в этом случае состоит из электростатического поля неподвижных зарядов и магнитного поля постоянного тока, причём эти поля существуют автономно друг от друга.
3. При изменении одного из электрических параметров на некотором участке цепи,
«сведения» об этом событии достигнут остальных элементов за достаточно малое
время τ, которое определяется как
L
τ = << T ,
c
где L − расстояния между наиболее удалённых точек цепи, с ≅ 3⋅108 м/с скорость распространения электромагнитного сигнала, которая принимается равной скорости света, Т − период колебаний.
4. При скорости процессов изменения состояния цепи меньшей скорости распространения электромагнитного возмущения с, каковым является свет, процессы называются квазистационарными. Поскольку скорость света несоизмеримо велика по сравнению со скоростью упругих волн, то изменение состояний в электрических цепях
тоже будет протекать гораздо быстрее, нежели в системах с упругими элементами.
Так, например, для цепи с L = 3 м, запаздывание τ ≅ 10 − 8 с, т.е. для колебательных
процессов до Т ≅ 10 − 6 с (что соответствует частоте ν ≅ 106 Гц) изменение токов можно
считать квазистационарными. Для токов промышленной частоты ν = 50 Гц, сила тока
квазистационарна до L ≅ 100 км. Для квазистационарных токов справедлив закон Ома
и правила Кирхгофа.

198

5. Квазистационарные процессы протекают, например, в цепи постоянного тока,
содержащей активное сопротивление R и
электрическую ёмкость C (рис. 15.1.1), т.е.
схема для зарядки конденсатора.
6. Если переключатель поставить в положение 1, то конденсатор С начнёт заряжаться от источника тока с ЭДС, равной ε
через сопротивление цепи R, включающее
Рис. 15.1.1. Цепь для зарядки конденсатора
и внутреннее сопротивление источника.
7. Начиная с момента времени, соответствующего замыканию переключателя в
цепи возникнет электрический ток, зависящий от времени i(t), переносящий положительный заряд на левую пластину конденсатора q(t). Падение напряжения на конденсаторе, с одной стороны, можно представить как разность между ЭДС источника и
напряжением на нагрузке, с другой стороны, как отношение доставленного заряда к
величине ёмкости конденсатора
q
ε − iR = ,
C
где q C = u C − падение напряжения на конденсаторе.
8. Рассматривая процесс зарядки конденсатора с позиций закона сохранения заряда, изменение заряда на конденсаторе может протекать только при наличии тока i, поэтому
dq
i=
.
dt
9. Совместим два последних уравнения
dq q
R
+ =ε,
dt C
но
dq
q
= i,
= uC ,
dt
C
тогда
u C = ε − Ri ,
где i − мгновенное значение силы тока, uC − падение напряжения на конденсаторе. С
другой стороны,
q
dq
dq q
= ε− R,⇒ R
+ =ε.
C
dt
dt C
10. Преобразуем уравнение к виду более удобному для интегрирования
RCdq
dq
dt
=−
= εC − q ,
,
q − Cε
RC
dt
dq
dt
t
∫ q − Cε = −∫ RC , ln(q − Cε ) = − RC + K ,
где К – произвольная постоянная интегрирования.
11. Определим К по начальным условиям, т.е. при t = 0, q = 0
ln(− Cε ) = K ,
и подставим значение К из (17.8) в уравнение (17.7)
t
ln (q − Cε ) − ln(− Cε ) = −
,
RC
или, после преобразования
q ⎞
t
⎛
.
ln⎜1 −
⎟=−
RC
⎝ Cε ⎠

199

12. Избавимся далее от логарифма в левой части
q
⎛ t ⎞
1−
= exp⎜ −
⎟,
Cε
⎝ RC ⎠
и решим полученное уравнение относительно искомой величины − заряда конденсатора
t
−
⎞
⎛
q(t ) = Cε⎜⎜1 − e RC ⎟⎟ .
⎠
⎝
13. Получим зависимость зарядного тока в функции времени, для чего достаточно
продифференцировать по времени уравнение q(t)
dq ε − RCt
i(t ) =
= e .
dt R
Изменение напряжения на конденсаторе будет протекать в соответствии с уравнением
t
−
⎞
q(t ) ⎛
U(t ) =
= ε⎜⎜1 − e RC ⎟⎟ .
C
⎠
⎝

14. Величина RC = τ [Ом ⋅ Ф ≡ (В А ) ⋅ (Кл В) ≡ Кл (Кл c ) ≡ c] − называется постоянной времени. Постоянная времени характеризует промежуток времени, за который
заряд на конденсаторе достигает (1 − e −1 ) или 63% своего максимального значения, т.е.
0,63Cε . Значение τ, таким образом, характеризует скорость зарядки конденсатора.
Из уравнения U(t) следует, что заряд может достичь своего максимального значения Q = Cε ,только через бесконечно большое время. Рассмотрим динамические особенности процесса на конкретном примере.
15. Пусть цепь составлена из последовательного соединения конденсатора ёмкостью С = 2 мкФ, резистора сопротивлением R = 1,5 кОм, и источника тока с ЭДС ε =
12 В. Определим постоянную времени и установить зависимость заряда и напряжения
на конденсаторе от времени.
• Определим постоянную времени заданной цепи
• τ = RC = 1,5 ⋅ 103 ⋅ 2 ⋅ 10−6 = 3 ⋅ 10−3 c.
• Максимальная величина заряда конденсатора определится из соотношения
• Q max = Cε = 2 ⋅ 10−6 ⋅ 12 = 2,4 ⋅ 10−5 Кл ≡ 25мкКл .
• Определим зависимость заряда, напряжения и зарядного тока от времени, воспользовавшись, записанными выше уравнениями
t

Q(t ) = 2,4 ⋅ 10− 5 (1 − e τ ) ,
−

⎛ −t ⎞
i(t ) = 8 ⋅ 10− 3 ⎜⎜ e τ ⎟⎟ ,
⎝ ⎠
t
⎛
⎞
U(t ) = 12⎜⎜1 − e τ ⎟⎟ ,
⎝
⎠
16. Представим расчетные данные для заряда конденсатора и протекающего по нему тока в виде соответствующих графиков (рис. 15.1.2). Как и следовало ожидать, кривые имеют экспоненциальный вид, т.е. заряд конденсатора и сила тока асимптотически приближаются к своим экстремальным значениям.
16. Если заряженный конденсатор отсоединить от источника, т.е. перевести переключатель в положение 2 и замкнуть на сопротивление, то, описанные выше процессы, начнут протекать в обратной последовательности. Уравнение (17.6) перепишется
при условии ε = 0
dq
Q
R+ =0.
dt
C
Решение этого уравнения для заряда и силы тока будут иметь вид:

200

i (t ) =

ε − RCt
e .
R
t

q(t ) = q max e RC ,
т.е. сила тока в цепи и заряд конденсатора убывают во времени по экспоненциальному закону, с той же постоянной времени.
17. При подаче питания на схему, изображённую на рис 15.1.3 в цепи величина тока будет увеличиваться от нулевого значения до номинала в течение некоторого промежутка вреРис. 15.1.2. Зависимость
мени вследствие явления самоиндукции. Воззаряда конденсатора от времени
никающие экстратоки в соответствие с правилом Ленца всегда направлены противоположно, т.е. они препятствуют вызывающей их причине. Они препятствуют увеличению тока в
цепи.
18. При подключении коммутатора в положение 1 экстратоки станут препятствовать увеРис. 15.1.3. Токи замыкания
личению тока в цепи, а в положении 2, наобои размыкания
рот, экстратоки будут замедлять уменьшение
основного тока. Будем считать для простоты анализа, что включённое в цепь сопротивление R характеризует сопротивление цепи, внутреннее сопротивление источника
и активное сопротивление катушки L. Закон Ома в этом случае примет вид
ε + εsi = iR ,
где ε − ЭДС источника, εsi − ЭДС самоиндукции, i − мгновенное значение величины
тока, который является функцией времени. Подставим в закон Ома уравнение ЭДС
самоиндукции
di
L + iR = ε .
dt
Разделим в уравнении переменные
Li
Ldi = (ε − iR )dt ,
= dt ,
(ε − iR )
и проинтегрируем, считая L постоянной величиной
di
L∫
= dt ,
ε − iR ∫
L
ln (ε − iR ) = t + const .
R
19. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно представить в виде
R
− t
ε
i(t ) = − cons ⋅ te L .
R
20. Постоянную интегрирования определим из начальных условий. При t =0 в момент подачи питания ток в цепи равен нулю i(t) = 0. Подставляя нулевое значение тока
в уравнение i(t)
ε
const = .
R
Решение уравнения примет вид
L
t⎞
ε⎛
i(t ) = ⎜⎜1 − e R ⎟⎟ .
R⎝
⎠
21. Отметим, что между механическими и электрическими колебаниями существует глубокая взаимосвязь, хотя бы по представлению энергетики колебательных про−

201

цессов. Так, например, кинетическая энергия массы m, движущейся прямолинейно со
скоростью v, определяется известным уравнением, следующим из второго закона
Ньютона
mv 2
Κ=
,
2
а электростатическая энергия конденсатора и энергия магнитного поля, концентрирующего в индуктивности, определяются как
Cu 2
Li2
, WB =
.
WE =
2
2
15.2. Каковы причины возникновения колебаний электрических величин в цепи, состоящей их конденсатора, катушки индуктивности и источника постоянного тока?

Решение

1. Электрический колебательный контур состоит из последовательно соединённых конденсатора С и индуктивности L (рис. 15.2.1). Если,
предварительно заряженный конденсатор замкнуть на индуктивность, то запасённая в конденсаторе электрическая энергия будет преобразовываться в энергию электромагнитного поля, заРис. 15.2.1. Колебательный контур пасаемую индуктивностью
CU 2
Li 2
WЭ =
⇔
WМ =
.
2
2
2. Колебания, возникающие в контуре можно сопоставить с колебаниями математического маятника или груза на пружине, суть процессов, в энергетическом плане
даёт к этому все основания. В механических колебательных системах происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную энергию, а в рассматриваемом
контуре энергия магнитного поля преобразуется в энергию электрического поля. На
рис. 15.2.1 показаны пять стадий развития колебательного процесса в идеальном (без
сопротивления) контуре и пружинном маятнике .
3. Дифференциальное уравнение такого осциллятора можно получить из условия

Рис. 15.2.1. Электромеханические аналогии

202

равенства напряжений на конденсаторе UC и индуктивности UL
q
di
UC = ;
U L = −L ,
C
dt
где q − заряд конденсатора, i − ток через индуктивность, С − ёмкость конденсатора, L
− индуктивность катушки.
4. Сумма падений напряжения на ёмкости и индуктивности в соответствие с законом сохранения энергии должна быть рана нулю, т.е.
q
di
dq
d 2q 1
+ L = 0; i =
⇒ L 2 + q = 0;
C
dt
dt
dt
C
1
&q& +
q = 0.
LC
1
2
= ω0 , получим
5. Вводя традиционное обозначение
LC
2
q + ω0 q = 0,
уже знакомое дифференциальное уравнение, имеющее стандартное решение

q (t ) = q 0 sin (ω0 t + ϕ).

6. Период колебаний данного осциллятора определяется формулой Томсона
T=

2π
= 2π LC .
ω0

7. Изменение силы тока в контуре определится путём дифференцирования уравнения q(t)
dq
= ω0 q 0 cos(ω0 t + ϕ);
dt
т.е. колебания тока опережают по фазе колебания заряда на 0,5 π .
8. Электрическая и магнитная энергия определятся уравнениями
q 2 q 02
WЭ =
=
sin 2 (ω0 t + ϕ);
2C 2C
i(t ) =

Li2 1 2 2 2
1 Lq02 2
= Lω0q0 cos (ω0t + ϕ) =
cos (ω0t + ϕ);
2 2
2 LC
WΣ = WМ + WЭ ;
9. В контуре происходит непрерывное преобразование электрической энергии в
магнитную энергию и наоборот. Когда магнитная составляющая достигает максимума,
электрическая составляющая обращается в нуль. Таким образом
q2
q 2 LI 2
WΣ = 0 ;
< WЭ >=< WM >= 0 = 0 ;
2C
4C
4
10. Как видно из полученных уравнений, процессы колебаний в механических и
электрических системах подчиняются одинаковым законам, отличие заключается в
обозначениях и сути физических величин. Это обстоятельство легло в основу разработки одного из результативных методов анализа – метода электромеханических аналогий.
11. Если предположить, что в электрической цепи конденсатор является аналогом
массы в механической системе, а индуктивность – аналогом упругого элемента – пружины, то можно механические колебательные системы моделировать электрическими
цепями. Этот метод широко используется при оптимизации электродинамических
преобразователей энергии, таких как микрофоны и громкоговорители. Удобно так же
характеристики колебаний исследовать на электрическом макете. Методы и средства
измерения токов, напряжений, разности фаз и электрических энергий гораздо проще,
точнее и надёжнее, чем анализ величин, характеризующих механические колебательные системы.
WМ =

203

15.3. Почему в реальных колебательных контурах происходит затухание колебаний? Куда девается электрическая и магнитная энергия?

Решение

1. Рассмотрим затухающие электромагнитные
колебания в контуре, обладающим омическим
сопротивлением R (рис. 15.3). Всякий реальный
контур обладает собственным активным сопротивлением, даже если это только сопротивление
катушки индуктивности. Изменение заряда конденсатора будет носить периодический характер.
Уравнение гармонических колебаний в электрическом контуре при учёте сопротивления пере-

Рис. 15.3. Реальный контур

пишется следующим образом
&q& + 2βq& + ω02 q = 0;
где введены следующие обозначения
R
1
β=
; ω0 =
.
2L
LC
2. Изменение заряда конденсатора во времени будет описываться уравнением аналогичным по структуре уравнению, записанному для механической колебательной
системы с затуханием
R

q(t ) = q 0e 2 L sin (ωt + ϕ0 );
3. В природе и технике существуют колебательные системы с самой различной
степенью затухания, причём в одних случаях затухание специально уменьшается, а в
других, наоборот – затухание стараются увеличить до возможного предела.
4. Для количественной оценки скорости убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятиями логарифмического декремента и добротностью.
Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Θ, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) системы в произвольный промежуток времени t к убыли этой энергии от t до t + T, т.е. убыли энергии затухающих колебаний за один условный период
W (t )
Θ = 2π
.
W (t ) − W (t + T )
−

t

5. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то

A 2 (t )
;
A (t ) − A 2 (t + T )
Поделим числитель и знаменатель на А2 (t)
Θ = 2π

Θ=

2

2π
2π
=
;
2
A (t + T ) 1 − e − 2 δ
1−
A 2 (t )

6. При малых значениях логарифмического декремента δ << 1
1 − e −2 δ ≈ 2δ;
В этом случае
ω
1
π
π
=
Θ= =
= 0;
2
2β
δ βT0
⎛ ω⎞
2 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1
⎝ ω0 ⎠
7. Добротность электрического колебательного контура определится из условия
того, что

204

ω0 =

1

; β=

LC
1⋅ L

R
;
2L

ω0
1 L
=
=
;
2β
LC ⋅ R R C
8. Добротность пружинного маятника
k
r
1
; β=
ω0 =
; Θ=
km ;
m
2m
r
Θ=

15.4. Каким образом частота и амплитуда внешнего воздействия влияет на параметры колебаний, возникающих к цепи состоящей из конденсатора, катушки индуктивности и активного сопротивления?

Решение

1. Рассмотрим последовательное соединение RLC с источником переменной ЭДС (рис.
15.4.1), которая обеспечивает периодическое
поступление в контур энергии. Пусть переменное напряжение питания контура описывается
уравнением
Рис. 15.4.1. Последовательный
RLC- колебательный контур
u = u m cos Ωt .
2. Запишем далее закон Ома для этой цепи
q
di
iR = − − L + u m cos Ωt .
C
dt
Отметим, что
dq di d 2q
=
,
i= ;
dt
dt dt 2
что позволяет закон Ома переписать следующим образом
q
d 2q
dq
R + + L 2 = u m cos Ωt .
dt
C
dt
2. Поделим последнее уравнение на величину индуктивности L
R
q
u
q& +
+ &q& = m cos Ωt ,
L LC
L
и введём следующие обозначения
R
1
= 2β;
= ω0 ,
L
LC
и подставим их в дифференциальное уравнение заряда
&q& + 2βq& + ω02q = U cos Ωt .
3. Как нетрудно видеть мы пришли к дифференциальному уравнению
&x& + 2βx& + ω02 x = f 0 cos Ωt ,
которое имеет известное решение
q = q m cos(Ωt − ψ ) ,
где
U
,
qm =
(ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2
2βΩ
.
ω02 − Ω 2
4. Силу тока в рассматриваемой цепи определим, продифференцировав уравнение
qm по времени
ψ = arctg

205

i=

dq
π⎞
⎛
= −Ωq m sin (Ωt − ψ ) = i m cos⎜ Ωt − ψ + ⎟ ,
dt
2⎠
⎝

где
U

i m = Ωq m =

.
2
1 ⎤
⎡
R + ⎢ΩL −
ΩC ⎥⎦
⎣
5. Перепишем исходное уравнение закона Ома с виде суммы падений напряжений
на отдельных элементах рассматриваемой схемы
u R + u L + u C = u m cos Ωt ,
т.е. сумма падений напряжений на активном сопротивлении, индуктивности и ёмкости
в каждый момент времени равна внешнему напряжению.
6. Определим далее величины напряжения на каждом их элементов
u R = Ri m cos(Ωt − ϕ) .
7. Разделив уравнение на величину ёмкости С получим падение напряжения на
конденсаторе
π⎞
q q
⎛
u c = = m cos(Ωt − ψ ) = u Cm cos⎜ Ωt − ϕ − ⎟ .
C C
2⎠
⎝
8. Амплитудное значение падения напряжения на конденсаторе определится следующим соотношением
q
U
i
u Cm = m =
= m .
2
C
ΩC
1 ⎤
⎡
ΩC R 2 + ⎢ΩL −
ΩC ⎥⎦
⎣
2

9. Напряжение на индуктивности определится как
π⎞
di
⎛
u L = L = −ΩLi m sin (Ωt − ϕ) = u Lm cos⎜ Ωt − ϕ + ⎟ ,
dt
2⎠
⎝
при этом
u Lm = i m ΩL .
10. Из полученных уравнений видно, что
напряжение на ёмкости отстаёт от тока по
фазе на π/2, в то время как напряжение на
индуктивности опережает тока на π/2. Напряжение на активном сопротивлении находится в фазе с током, что подчёркивает линейность этого элемента цепи. Если колебания изобразить в виде вращающихся векторов, то в некоторый момент времени получится диаграмма, приведенная на рис.
15.4.2.
11. Сумма падений напряжения на активном сопротивлении, индуктивности и
ёмкости должна быть равна приложенному
Рис. 15.4.2. Векторная диаграмма
напряжению u.
12. Явление резонанса напряжения, так же как и в механических колебаниях сопровождается максимальным значением заряда и напряжения на конденсаторе
1
R2
− 2 ≤ ω0 .
LC 2L
13. Явление резонанса характеризуется превышением напряжения на конденсаторе
амплитудного значения напряжения, подводимого к контуру от внешнего переменного
источника. Характерной величиной в этом случае является величина добротности контура, определяемая уравнением
Ω r = ω02 − 2β2 =

206

u Cr
1
LC 1 L
=
=
=
.
U ω0CR
CR
R C
14. Добротность контура помимо прочего определяет остроту резонансных кривых
15. На рис. 15.4.3 приведена зависимость амплитудного значения напряжения на
конденсаторе uCm в зависимости от частоты Ω возбуждающего напряжения. В
случае наличия потерь на активном сопротивлении и на собственном омическом сопротивлении индуктивности
резонансная частота определится уравнением
Ω Рез = ω02 − 2β2 .
16. Уравнению резонансной частоты возбуждения контура можно придать иной вид, если подставить в уравнение значения ω0 и β
Рис.15.4.3. Резонансные кривые RLC − контура
2
1
R
Ω Рез =
− 2 .
LC 2L
17. Как видно, резонансные кривые
имеют общую точку, когда uCm = U, что
соответствует напряжению, появляющемуся на обкладках конденсатора при
его подключении к источнику постоянного напряжения величины U. Максимум uCm получается острее и тем большим, чем меньше отношение
R
β=
,
2L
18. Чтобы добиться наилучших резонансных свойств контура, необходимо уменьшать активное сопротивление
и увеличивать ёмкость.
19. Нормированные резонансные
Рис. 15.4.4. Резонансная кривая тока
кривые для силы тока приведены на
рис. 15.4.4, они получены при реализации уравнения im = f(Ω). Эта зависимость аналогична кривой зависимости скорости от частоты механической возбуждающей силы
при упругих колебаниях. Амплитудное значение силы тока
1
ΩL −
=0,
ΩC
20. Резонансная частота для силы тока совпадает с частотой собственных колебаний, определяемая уравнением
1
ΩiРРе = ω0
.
LC
21. Прохождение резонансной кривой тока через нуль свидетельствует о том, что
при Ω = 0, т.е. случай постоянного тока, цепь разрывается конденсатором.
Q=

15.5. К последовательной RLC − цепи подводится переменное напряжение
u = u m cos ωt .
Установить закономерности изменения тока и напряжения на элементах схемы.
Определить электрическую мощность, выделяемую на элементах схемы.

207

Решение

1. Полученные выше соотношения позволяют рассматривать последовательный
RLC- контур, как цепь, по которой протекает переменный во времени ток, изменяющийся по гармоническому закону. Возникновение переменного тока обусловлено подводимым к контуру переменным напряжением
u = u m cos ωt .
2. Для тока в этом случае справедливо уравнение
i = i m cos(ωt − ϕ) ,
при этом амплитудное значение силы тока определяется уравнением
U
,
im =
2
1
⎡
⎤
R 2 + ⎢ΩL −
ΩC ⎥⎦
⎣
где X L = ΩL − реактивное сопротивление переменному току катушки индуктивности,
XC = 1/ΩC − реактивное сопротивление переменному току электрической ёмкости. Ток
отстаёт по фазе от напряжения на угол ϕ, который зависит от параметров цепи
1
ΩL −
ΩC .
ϕ = arctg
R
3. Знаменатель уравнения представляет собой полное электрическое сопротивление контура переменному току, которое называется импедансом
Z = R 2 + [X L − X С ] .
2

4. Реактивная составляющая сопротивления RLC-контура равная X = X L − X C , и
его активное сопротивление определяют, в конечном счёте, сдвиг фаз между током и
напряжением
X
ϕ = arctg .
R
5. Мощность в цепи переменного тока определяется произведением мгновенных
значений тока и напряжения
N( t ) = u ( t ) ⋅ i( t ) = u m cos Ωt i m cos(Ωt − ϕ) .
6. Воспользовавшись тригонометрической формулой
cos α cos β = 0,5 cos(α − β ) + 0,5 cos(α + β ) ,
перепишем уравнение мощности
1
1
N( t ) = u m i m cos ϕ + u m i m cos(2Ωt − ϕ) .
2
2
7. Определим среднее за период значение мощности, с учётом того, что
< cos(2Ωt − ϕ) >= 0
u i
R
< N >= m m cos ϕ = .
2
Z
8. Воспользовавшись законом Ома, получим для средней мощности
Ri 2
< N >= m ,
2
что эквивалентно мощности постоянного тока силой I = i m 2 и напряжением
U = u m 2 , тогда среднюю мощность через действующие значения силы тока и напряжения можно записать так
< N >= UI cos ϕ .

208

15.6. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью С = 1 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,01 Гн. Вычислить период колебаний в контуре.

Решение

1. Воспользуемся формулой Томсона
T = 2π LC ≅ 6,28 0,01 ⋅ 10− 6 ≅ 6,28 ⋅ 10− 4 c; ν =

1
≅ 1592 Гц ;
T

15.7. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 2,5⋅10 − 6 Гн и
двух конденсаторов, соединённых между собой параллельно, ёмкостью С = 5⋅10 − 3
мкФ каждый. Определить период электрических колебаний в контуре.

Решение

1. Суммарная ёмкость параллельных конденсаторов
С Σ = 2С ;
2. Период колебаний в контуре
T = 2π L2C ≅ 6,28 2,5 ⋅ 10− 6 ⋅ 1 ⋅ 10− 2 ≅ 10− 3 c; ν =

1
≅ 1 кГц ;
T

15.8. В колебательном контуре частота собственных колебаний ν1 = 30 кГц, при замене конденсатора частота стала ν2 = 40 кГц. Какой будет частота колебаний в контуре: а) при параллельном соединении обоих конденсаторов; б) при последовательном
их соединении?

Решение

1. Из уравнений частот собственных колебаний в контурах выразим ёмкости
1
1
; ⇒ C1 = 2 2 ;
ν1 =
4π ν1 L
2π LC1
ν2 =

1
2π LC2

; ⇒ C1 =

1
;
4π ν 22 L
2

2. Собственная частота колебаний контура при параллельном соединении ёмкостей
1
1
30 ⋅ 40
ν1ν 2
ν3 =
=
=
=
≅ 24 кГц ;
2
2
2π L(C1 + C2 )
2500
ν1 + ν 2
⎛ 1
1 ⎞
2π L⎜⎜ 2 2 + 2 2 ⎟⎟
⎝ 4π ν1 L 4π ν 2 L ⎠
3. Собственная частота колебаний контура при последовательном соединении конденсаторов
1
1
ν4 =
=
= ν12 + ν 22 = 50 кГц ;
1
1
⎛ CC ⎞
⎡
⎤
2π L⎜⎜ 1 2 ⎟⎟
⎢ 4π 2 ν 2 L ⋅ 4π 2 ν 2 L ⎥
1
2
⎝ C1 + C 2 ⎠ 2π L ⎢
⎥
⎢ 1 + 1 ⎥
⎢⎣ 4π2ν12 L 1π2ν 22 L ⎥⎦

15.9. Колебательный контур состоит из воздушного конденсатора с площадью параллельных металлических обкладок s = 100 см2 и цилиндрической катушки с индуктивностью L = 10 − 5 Гн. Период свободных колебаний в контуре Т = 10 − 7 с. Определить
расстояние между пластинами конденсатора.

209

Решение

1. Из уравнения Томсона определим величину ёмкости конденсатора
T2
T = 2π LC ; ⇒ C = 2 ;
4π L
2. Ёмкость плоского воздушного конденсатора определяется как:
εε s
εs
ε s ε s 4π2 L 9 ⋅ 10−12 ⋅ 10−2 ⋅ 40 ⋅ 10−5
C = 0 ; ε = 1; C = 0 ; d = 0 = 0 2 ≅
≅ 3,6 ⋅ 10− 3 м ;
d
d
C
T
10−14
15.10. Найти частоту собственных колебаний в контуре, состоящем из соленоида
длиной х = 3 см, площадью поперечного сечения цилиндра s1 = 1 см2 с N = 1000 витков
проволоки и воздушного конденсатора с площадью пластин s2 = 30 см2 с расстоянием
между ними d = 0,1 см.

Решение

1. Определим ёмкость плоского воздушного конденсатора и индуктивность цилиндрического соленоида
ε s
μ N 2s
C = 0 ; L = 0
,
d
x
где ε0 ≈ 9⋅10 − 12 Ф/м − электрическая постоянная, μ0 ≈ 4π⋅10 − 7 Гн/м − магнитная постоянная.
2. Найдём частоту собственных колебаний в контуре
1
1
1
xd
ν=
=
=
;
2
2π LC
μ 0 N s1 ε 0s 2 2πN μ0ε 0s1s 2
2π
x
d
ν=

1
3 ⋅ 10−2 ⋅ 10−4
≅ 5 ⋅ 105 Гц ;
6,28 ⋅ 1000 12,56 ⋅ 10− 7 ⋅ 9 ⋅ 10−12 ⋅ 1 ⋅ 10− 4 ⋅ 3 ⋅ 10− 3

15.11. Найти отношения амплитудных значений сил тока Im, напряжений Um , электрических WBm и магнитных WEm мощностей, если начальный заряд qm на конденсаторе, включенном в идеальный колебательный контур, увеличился в 10 раз.

Решение

1. Предположим, что электрический заряд в колебательном контуре изменяется по
закону
q = q m sin (ω0 t + ϕ0 ) ,
в этом случае уравнение силы тока представится следующим образом
dq
i=
= ω0 q m cos(ω0 t + ϕ0 ) = i m cos(ωt + ϕ0 ) ,
dt
где ω0 − циклическая частота собственных колебаний в электрическом контуре.
2. Образуем систему уравнений для амплитудных значений сил токов, из которых
найдём их отношение
i m1 = q m1ω0 ; ⎫
im2 qm2
=
= 10 .
⎬ ⇒
i m 2 = 10q m1ω0 ;⎭
i m1 q m1
3. Взаимосвязь между зарядом и напряжением установим из следующих соображений
q
q
Um2 qm2
=
= 10 .
C = m1 ; C = m1 ; ⇒
U m1
Um2
U m1 q m 2

210

4. Ввиду идеальности колебательного контура для энергии можно записать следующие соотношения
WBm = WEm

q2
= m; ⇒
2C

WBm ( 2 )
WBm (1)

=

WEm ( 2 )
WEm (1)

2

⎛q
⎞
= ⎜ m ( 2 ) ⎟ = 100 .
⎜q ⎟
⎝ m (1) ⎠

15.12. В идеальном колебательном контуре амплитудное значение напряжения на
конденсаторе увеличивается на ΔUm = 10 В, при этом максимальная сила тока через
индуктивность возросла в 3 раза. Определить амплитуду напряжения до увеличения
напряжения и начальное напряжение на конденсаторе.

Решение

1. Для идеального колебательного контура закон сохранения энергии можно записать следующим образом
CU 2m (1) LI2m (1) ⎫
;⎪
=
2
2 ⎪
⎬
CU 2m ( 2 ) LI2m ( 2 ) ⎪
.
=
2
2 ⎪⎭
2. Поделим уравнения друг на друга почленно
CU m2 ( 2 )
CU m2 (1)

2

2

⎛U
⎞ ⎛I
⎞
= 2 ; ⇒ ⎜ m ( 2) ⎟ = ⎜ m ( 2) ⎟ ,
⎜
⎟
⎜
⎟
LIm (1)
⎝ U m (1) ⎠ ⎝ I m (1) ⎠
U m(2) Im( 2)
=
.
U m (1) I m (1)

LIm2 ( 2 )

3. Из уравнения следует, что
U m ( 2 ) = U m (1)

Im (2)
I m (1)

.

4. Изменение напряжения можно записать следующим образом
⎛I
⎞
I
U m ( 2 ) − U m (1) = ΔU m = U m (1) m ( 2 ) − U m (1) = U m (1) ⎜ m ( 2 ) − 1⎟ ,
⎜
⎟
I m (1)
⎝ I m (1)
⎠
откуда
10
ΔU m
U m (1) =
=
= 5B ,
Im( 2)
2
−1
I m (1)
U m ( 2 ) = U m (1) + ΔU = 15B .
15.13. В идеальном колебательном контуре амплитудное значение напряжения на
конденсаторе равно Um = 100 В, а максимальная сила тока через индуктивность − Im =
100 мА. Определить силу тока через индуктивность и напряжение на конденсаторе,
когда электрическая энергия, запасаемая в конденсаторе, совпадает по величине с
магнитной энергией, присутствующей в индуктивности.

Решение

1. Равенство двух видов энергии, электрической и магнитной и закон сохранения
энергии дают основание записать следующие соотношения
WΣ = WE + WB = 2 WE ,
WEm =

CU 2m
Cu 2
; WE =
,
2
2
211

CU 2m
Cu 2
U
=2
; ⇒ u = m = 70,7B .
2
2
2
2. Аналогичные соотношения можно записать и для силы тока через индуктивность
LI2
Li 2
WBm = m ; WB =
,
2
2
LIm2 Li 2
I
2
, i = m = 70,7 мА .
2
2
2
15.14. В идеальном контуре наблюдаются электромагнитные колебания с периодом Т = 100 мкс. Какой промежуток времени пройдёт с момента возникновения колебаний до состояния равенства электрической и магнитной составляющих энергии?

Решение

1. В соответствие с законом сохранения энергии имеем:
WEm = Wm + WB = 2 WE .
2. С другой стороны
CU 2m
Cu 2
U
WEm =
; Wm =
; ⇒ u= m .
2
2
2
3. При нулевой начальной фазе ϕ = 0,
2π
u (t ) = U m cos
t.
T
4. Совместим уравнения
Um
2π
2π
1
,
= U m cos
t; cos
t=
T
T
2
2
⎛ 1 ⎞ π
2π
⎟⎟ = ;
t = arccos⎜⎜
T
⎝ 2⎠ 4

2t 1
T
= ; ⇒ t = = 12,5 c .
T 4
8

15.15. Определить, через какой промежуток времени после начала колебаний в
идеальном LC − контуре заряд на конденсаторе с периодом колебаний Т = 100 мкс
достигнет впервые, величины равной половине амплитудного значения.

Решение

1. Запишем уравнение, характеризующее изменение во времени заряда конденсатора
2π
q = q m cos ωt = q m cos
t.
T
2. Подставим в уравнение заданное условие
qm
2π
2π
1 π
t; ⇒
t = arccos = ,
= q m cos
2
T
T
2 3
2
1
T
t = ; t = = 16,7 мкс .
T
3
6
15.16. В идеальном колебательном RC − контуре ёмкость конденсатора увеличилась в 100 раз, а индуктивность катушки уменьшилась в 25 раз. Как при этом поменялась частота собственных колебаний?

212

Решение

1. Уравнение периодов и частот собственных колебаний
T1 = 2π L1C1 ; T2 = 2π L 2 C 2 ,
ν1 =

1
1
.
; ν2 =
2π L1C1
2π L 2 C 2

2. Отношение частот при заданном изменении ёмкости и индуктивности
ν2
L1C1
1 1
=
=
= .
ν1
L 2C2
4 2
Частота, таким образом, уменьшилась в два раза.
15.17. В некоторый момент времени при возникновении колебаний в идеальном
контуре энергия, накопленная в конденсаторе, становится в три раза больше энергии,
запасаемой индуктивностью. В каком отношении будет находиться мгновенное значение напряжения на обкладках конденсатора с амплитудным значением. Определить в
единицах периода промежуток времени от начала колебаний до наступления заданного режима.

Решение

1. По условию задачи магнитная составляющая энергии WB в три раза меньше магнитной составляющей WE, т.е.
W
Cu 2
WB = E =
,
n
2n
в соответствие с законом сохранения энергии
CU 2max Cu 2 Cu 2
WE (max) =
=
+
,
2
2
2n
2. Разрешим последнее уравнение относительно действующего напряжения
n
u
n
U max = u
;
=
= 0,866 .
n + 1 U max
n +1
3. Уравнение колебаний напряжения на обкладках конденсатора позволяет определить искомый промежуток времени
π
⎛ 2π ⎞ 2π
u (τ) = U max cos⎜ τ ⎟;
τ = arccos 0,866 = ,
T
T
6
⎝
⎠
1
τ= T.
12
15.18. В колебательном контуре без затухания при увеличении ёмкости на ΔС = 0,2
мкФ, частота колебаний уменьшилась в 1,2 раза. Определить начальную и конечную
ёмкость контура.

Решение

1. Частота собственных колебаний контура без затухания связана с его параметрами, следующими соотношениями
1
1
ν1 =
,
; ν2 =
2π LC1
2π LC2
откуда
2

2

⎛ν ⎞
C 2 ⎛ ν1 ⎞ C 2
ν1
; ⎜⎜ ⎟⎟ =
; C 2 = C1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ .
=
C1 ⎝ ν 2 ⎠
C1
ν2
⎝ ν2 ⎠
2. Уравнение позволяет записать изменение ёмкости и найти искомые величины С1

и С2

213

2

⎛ν ⎞
2 ⋅10 −7
ΔC
=
= 0,455 мкФ .
ΔC = C1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ − C1 ; ⇒ C1 =
2
1,25
⎛ ν1 ⎞
⎝ ν2 ⎠
⎜⎜ ⎟⎟ − 1
⎝ ν2 ⎠

C 2 = C1 + ΔC = 0,655 мкФ .
15.19. Идеальный колебательный контур, включённый в антенный блок радиоприёмника содержит конденсатор ёмкостью С = 9 пФ и катушку с индуктивностью L =1
мГн. На какую длину волны настроен колебательный контур?

Решение

1. Используя формулу Томсона и соотношение между длиной волны и периодом
электромагнитных колебаний, получим
T = 2π LC ; λ = cT ,
λ = 2πc LC = 6,28 ⋅ 3 ⋅108 10 −3 ⋅ 9 ⋅10 −12 ≅ 180 м .
15.20. Плоский конденсатор с площадью обкладок s = 10 − 3 м2 и расстоянием между пластинами d= 10 − 3 м, включён в идеальный колебательный контур радиоприёмника, содержащий катушку с индуктивностью L = 50 мкГн. Определить диэлектрическую
проницаемость материала, помещённого между обкладками конденсатора, если радиоприёмник настроен на длину волны λ = 250 м.
Решение

1. Запишем уравнение ёмкости плоского конденсатора с заполнением пространства
между пластинами диэлектриком с проницаемостью ε
εε s
C= 0 .
d
2. Длину волны, на которую настроен контур, определим уравнением
λ = 2πc LC .
3. Подставим в последнее уравнение значение ёмкости
4π 2 εε 0sL
εε 0sL
.
λ = 2πc
; ⇒ λ2 =
d
d
4. Разрешим уравнение относительно диэлектрической проницаемости
6,25 ⋅10 4 ⋅10 −3
λ2 d
ε= 2 2
=
≅ 39 .
4π c ε 0sL 39,5 ⋅ 9 ⋅1016 ⋅ 9 ⋅10 −12 ⋅10 −3 ⋅ 5 ⋅10 −5
15.21. В некоторый момент времени сила тока в проводниках, подключенных к
квадратным пластинам со стороной а = 1 м плоского конденсатора с диэлектрическом
из титаната бария (ε = 1000), составила i = 10 А. С какой скоростью изменяется напряжённость электрического поля в конденсаторе?

Решение

1. Выразим силу тока через скорость изменения заряда, а электрическую ёмкость
через напряжение на обкладках
dq
dq idt
,
i= ; C=
=
dt
du du
εε 0s idt εε 0sdu
=
;
= idt .
δ
δ
du

214

2. Напряжённость электрического поля между пластинами конденсатора определится как
du dE
i
9
В
dE =
;
=
=
= 109
.
2
−12
δ
dt εε 0 a
1000 ⋅ 9 ⋅10 ⋅1
м⋅с
15.22. Частица массой m и зарядом q влетает в однородное электрическое поле,
напряжённость которого изменяется со временем по закону E=E0sinωt. Начальная скорость частицы v0 направлена перпендикулярно вектору напряжённости. Определите
уравнение движения частицы.

Решение

1. Запишем уравнение второго закона Ньютона для
заряженной частицы, на которую действует сила Кулона,
изменяющаяся по закону синуса
Рис. 15.22. Переменное поле
m&x& = qE 0 sin ωt ,
qE
&x& = 0 sin ωt .
m
2. Проинтегрируем уравнение дважды
qE t
qE
x& = 0 ∫ sin ωtdt = − 0 cos ωt + C1 ,
m 0
m
t

x=−

t

qE
qE
cos ωt + ∫ C1dt + C 2 = −
sin ωt + C1 t + C 2 .
m ∫0
m
0

3. Постоянные интегрирования определим из начальных условий
qE
qE
⎤
⎡
v 0 + 0 = C1 ; C 2 = 0; ⇒ x (t ) = ⎢ v 0 + 0 (1 − sin ωt )⎥ t .
m
m
⎦
⎣
15.23. Напряжение на обкладках конденсатора ёмкостью С = 10 мкФ, включенного
в идеальный колебательный контур изменяется в соответствие с законом u(t) = 100
cos103πt. Определить индуктивность катушки, период колебаний и закон изменения
силы тока через индуктивность.

Решение

1. В данном случае циклическая частота собственных колебаний контура − ω0 =
103π рад/с, поэтому период колебаний
2π
6,28
T=
= 3
= 2 ⋅10 −3 c .
ω0 10 ⋅ 3,14
2. Индуктивность катушки определим, воспользовавшись уравнением Томсона
T2
2 ⋅10 −6
≅ 5 мГн.
T = 2π LC ; L = 2 =
4π C 4 ⋅ 9,87 ⋅10 −5
3. Закон изменения силы тока определится уравнением
du
i(t ) = C
= −CU 0 ω sin ωt = 10 −5 ⋅100 sin 103 πt ,
dt
i(t ) = −10 −3 sin 103 πt .
15.24. Сила тока через индуктивность изменяется в соответствие с законом i(t) = −
10 − 2sin62,8πt. Определить амплитудные значения электрической и магнитной составляющих энергии, запасаемой в идеальном контуре, обладающем индуктивностью L = 1
Гн.

Решение
1. Заданное уравнение силы тока позволяет определить период колебаний

215

2π 6,28
=
= 0,1c .
ω0 62,8
2. Ёмкость конденсатора определим из формулы Томсона
T2
0,01
T = 2π LC ; C = 2 ≅
≅ 2,5 ⋅10 −4 Ф = 250мкФ .
4π L
40
3. Амплитудное значение магнитной составляющей энергии
Li 2
1 ⋅10−4
WB(max) = max = WE (max) =
= 5 ⋅10−5 Дж = 50мкДж .
2
2
T=

15.25. После того, как конденсатору, входящему в состав колебательного контура,
сообщили заряд qmax = 1 мКл, возникли электромагнитные колебания, которые через
некоторое время исчезли. Определить количество выделившегося при этом тепла,
если цилиндрический конденсатор длиной l = 5 см с внешним радиусом r1 = 1 см и
внутренним − r2 = 0,5 см снабжён фторопластовым диэлектриком с проницаемостью ε
= 150.

Решение

1. Найдём ёмкость цилиндрического конденсатора с заданными параметрами
2πεε0 l 6,28 ⋅150 ⋅ 9 ⋅10 −12 ⋅10 −2
C=
=
≅ 121пФ .
ln(r1 r2 )
ln 2
2. Согласно закону сохранения, вся первоначальная энергия, сообщённая колебательной системе, в конечном счете, перейдёт в тепло
q2
10 −12
WE (max) ≅ Q; WE(max) = max =
≅ 4мДж .
2C 2,42 ⋅10 −10
15.26. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности длиной l = 0,2 м и
диаметром D = 0,01 м с числом витков на единицу длины z = 1000 м − 1. Внутрь цилиндрического каркаса помещён стальной сердечник с магнитной проницаемостью μ =
200. Плоский конденсатор, состоящий из n = 10 параллельно включенных квадратных
металлических пластин со стороной а = 1 см, между которыми помещена слюда, толщиной 100 мкм. Определить число полных колебаний N в контуре за время τ = 1,2 с.

Решение

1. Определим ёмкость конденсатора
100 ⋅ 9 ⋅10 −12 ⋅10 −4
εε 0 a 2
= 10
≅ 9 нФ ,
δ
10 −4
2. Найдём индукцию катушки
D2
2
L
z
=
μμ
l
π
,
Рис. 15.26. Колебательный
0
4
контур
200 ⋅1,26 ⋅10 −6 ⋅106 ⋅ 0,2 ⋅ 3.14 ⋅10 −4
L=
≅ 4 мГн .
4
3. Период колебаний контура
C=n

T = 2π LC = 6,28 9 ⋅ 10 −9 ⋅ 4 ⋅ 10−3 ≅ 1,2 ⋅ 10−4 с .
4. Количество колебаний за время τ
τ
N = = 1 ⋅10 4 .
T

216

15.27. В идеальном колебательном контуре с ёмкостью С1 = 2 мкФ резонансные
колебания устанавливаются на частоте ν1 = 500 Гц. При подключении параллельно
первому конденсатору ёмкости С2, резонансная частота понизилась до ν2 = 250 Гц.
Определить ёмкость конденсатора С2.

Решение

1. Запишем условия резонанса
⎫
⎪
⎪
⎬.
1
⎪
ν2 =
2π L(C1 + C 2 ) ⎪⎭
2. Поделим уравнения почленно
ν1 =

1
;
2π LC1

L(C1 + C 2 )
ν1
=
;
ν2
LC1

2

⎛ ν1 ⎞
C
⎜⎜ ⎟⎟ = 1 + 2 ,
C1
⎝ ν2 ⎠

откуда
⎡⎛ ν ⎞ 2 ⎤
C 2 = C1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ = 2 ⋅10 −6 (4 − 1) = 6 мкФ .
⎥⎦
⎢⎣⎝ ν 2 ⎠
15.28. Конденсатор ёмкостью С = 1 мкФ включен в идеальный контур с двумя параллельными катушками L1 = 0,1 Гн, L2 = 0,2 Гн. Найти амплитудное значение силы
кока в контуре, если максимальное напряжение на обкладках конденсатора составляет
um = 10 В.

Решение

1. Запишем закон сохранения энергии применительно к
контуру
Cu 2m = L1i 2m1 + L 2i 2m 2 .
2. При возникновении электромагнитных колебаний обе
катушки пересекаются один и тем же магнитным потоком,
т.е.
L
Φ B1 = Φ B 2 ; L1i m1 = L 2i m 2 ; ⇒ i m 2 = i m1 1 .
L2
Рис. 15.28. Ёмкость
3. Суммарный ток в этом случае можно представить слеи две индуктивности
дующим образом
L
i m = i m1 + i m 2 = i m1 + i m1 1 .
L2
4. Выразим из уравнения максимального тока значения токов через катушки определятся как
i L
i
i L
im2 = m 1 .
i m1 = m = m 2 ,
L1 L1 + L 2
L1 + L 2
1+
L2
5. Подставим значения токов im1 и im2 в исходное уравнение закона сохранения
энергии
i 2m L22
i 2m L21
,
Cu 2m = L1
L
+
(L1 + L 2 )2 2 (L1 + L 2 )2
откуда
im = u m

C(L1 + L 2 )
10 −6 ⋅ 0,3
≅ 38,7 мА .
= 10
L1L 2
0,1 ⋅ 0,2

217

15.29. Идеальный колебательный контур состоит из пяти конденсаторов одинаковой ёмкости С1 = ⋅⋅⋅⋅ =С5 = 1 мкФ и
катушки индуктивности L = 1 мГн. определить частоту собственных колебаний контура.

Решение

Рис. 15.29. Батарея
конденсаторов

1. Так как ёмкости всех конденсаторов одинаковы, то
будут одинаковыми и потенциалы точек 1 и 2, т.е. ϕ1 = ϕ2,
четыре конденсатора соединены параллельно, что даёт
возможность частоту контура записать так
1
1
ν0 =
=
= 2,52 кГц .
2π 4CL 6,28 4 ⋅10 −6 ⋅10 −3

15.30. RLC − контур, использующийся в качестве сетевого фильтра, имеет следующие параметры: R = 100 Ом, L = 1 Гн, С = 100 мкФ. Контур включен в стандартную
сеть с эффективным значением напряжения u* = 220 В и частотой ν = 50 Гц. Записать
уравнения изменения силы тока и напряжения в контуре и определить падение напряжения на отдельных элементах контура.

Решение

1. Найдём ёмкостное и индуктивное сопротивление контура
1
R L = 2πνL; R C =
.
2πνC
2. Определим амплитудное значение силы тока, протеРис. 15.30. Сетевой
кающего через катушку и активное сопротивление
RLC − фильтр
u
2u *
2u *
,
im = m =
=
2
2
Z
R 2 + (R L − R C )
1
⎞
⎛
R 2 + ⎜ 2πνL −
⎟
2πνC ⎠
⎝
1,41 ⋅ 220
im =
≅ 1A .
2
1
⎞
⎛
10 4 + ⎜ 6,28 ⋅ 50 −
⎟
6,28 ⋅ 50 ⋅10 −4 ⎠
⎝
где u* − эффективное значение напряжения, Z − импеданс (суммарное сопротивление),
RL − индуктивное сопротивление, RC − ёмкостное сопротивление.
3. Амплитудное падение напряжения на элементах схемы
i
1
u C = im R C = m =
= 32 B ,
2πνC 6,28 ⋅ 50 ⋅10 −4
u R = i m R = 100 B; u L = 2πνLi m = 314 B .
4. Сдвиг фаз между колебаниями силы тока в цепи и колебания сетевого напряжения
R
R
,
cos ϕ = =
2
Z
1
⎛
⎞
R 2 + ⎜ 2πνL −
⎟
2πνC ⎠
⎝
100
1
cos ϕ =
= ; ⇒ ϕ ≅ 0,4π .
2
4
3
10 + (314 − 31,8)
5. Уравнения колебаний силы тока и напряжения
u (t ) = u m sin ωt = 310 sin 100t .
i(t ) = i m sin (ωt + ϕ) = 1sin (100πt + 0,4π) .

218

Затухающие электромагнитные колебания
15.31. В RLC − контуре в течение N = 10 полных колебаний амплитуда напряжения
на конденсаторе уменьшилась в 1,5 раза. Определить добротность контура.

Решение

1. Запишем уравнения для добротности Q и логарифмического декремента θ контура
π
Q = ; θ = δT .
θ
2. Выразим амплитуду напряжения через указанный в условии задачи промежуток
времени
u N = u 0 exp(− δt ) = u 0 exp(− δNT ) = u 0 exp(− θN ) .
3. Преобразуем уравнение к виду
u0
u
ln 1,5
= exp(− θN ); θN = ln 0 = ln 1,5; θ =
.
uN
uN
N
4. Сопоставляя уравнения, получим
πN
Q=
= 774 .
ln 1,5
15.32. Колебательный RLC − контур имеет следующие параметры: R = 100 Ом, С =
1 мкФ, L = 1 Гн. Определить число полных колебаний N в течение которых амплитуда
уменьшится в е раз.

Решение

1. Запишем соотношение амплитудных значений силы тока для колебательной системы с затуханием
i
exp(− δt ) = 0 = e; ⇒ δt = 1 .
iN
2. Выразим коэффициент затухания δ через параметры контура и подставим его
значение в уравнение
R
2L
δ=
; t=
.
2L
R
3. Найдём период затухающих колебаний
2π
2π
T=
=
.
ω
ω02 − δ 2
4. Циклическая частота и период собственных незатухающих колебаний
2π
ω0 = 1 LC . T =
.
1
R2
−
LC 4L2
5. Определим искомое число колебаний
N=

t
L
=
T πR

1
R2
1
1
10 4
− 2 =
−
≅ 3.
LC 4L
314 1 ⋅10 −6
4

219

15.33. Имеется последовательное соединение активного сопротивления R = 1 кОм,
индуктивности L = 10 –2 Гн и ёмкости С =0,2 нФ. Определите сопротивление цепи при
подаче на неё напряжения с частотой 1 МГц и падение напряжения на каждом элементе, если амплитуда внешнего напряжения составляет um = 100 В.

Решение

1. Определим полное сопротивление заданной цепи, с учётом того, что
ω = 2πν = 6,28 ⋅106 c −1 ,
2

1 ⎞
⎛
Z = R 2 + ⎜ ωL −
⎟ ;
ωC ⎠
⎝

.
2
1
⎛
⎞
Рис. 15.33. Последовательный
Z = 109 + ⎜104 − 6
⎟ ≅ 32 кОм
10 ⋅ 2 ⋅ 10−10 ⎠
RLC − контур
⎝
2. Определим амплитудное im и эффективное i* значение силы тока
u
i
i m = m ≅ 3 мА; i* = m ≅ 2 мА .
Z
2
3. Определим падение напряжения на активном сопротивлении R, конденсаторе С
и индуктивности L
i
u R = i*R = 2 B; u C = * = 1,6 B; u L = i*ωL = 126 B .
ωC
15.34. Внешняя цепь переменного тока с частотой ν = 1000 Гц состоит из активного
сопротивления R = 10 Ом и катушки индуктивностью L = 10 –2 Гн. Определите падение
напряжения на индуктивности, когда максимальное напряжение на активном сопротивлении составляет uR(m) = 8,82 В?

Решение

1. Определим циклическую частоту колебаний
ω = 2πν = 6,28 ⋅103 c −1 .
2. Найдём полное сопротивление заданной цепи

Z = R 2 + (ωL ) = 100 + (6,28 ⋅103 ⋅10 −2 ) ≅ 63 Ом .
3. Амплитудное и эффективное значение силы тока в цепи
u
i
i m = m = 0,141 A; i* = m ≅ 0,1 A .
Z
2
4. Падение напряжения на активном сопротивлении uR и индуктивности uL
u R = i*R = 1B; u L = i*ωL = 62,8B .
2

2

15.35. Катушка индуктивностью L = 1 Гн, конденсатор ёмкостью С = 1 мкФ и активное сопротивление R = 10 Ом образуют колебательный контур. Конденсатору первоначально сообщают заряд qm = 1 нКл. Найти логарифмический декремент затухания
колебаний, период колебаний и записать уравнение изменения напряжения на обкладках конденсатора.

Решение

1. Определим циклическую частоту собственных незатухающих колебаний в контуре
1
ω0 =
= 1 ⋅103 c −1 .
LC
2. Коэффициент затухания δ прямо пропорционален величине активного сопротивления и обратно пропорционален удвоенной индуктивности контура

220

δ = R 2 L = 5 c −1 .
3. Определим циклическую частоту затухающих колебаний через параметры контура
ω = ω02 − δ 2 =

1
R2
− 2 .
LC 4L

4. Найдём период затухающих колебаний
2π
6,28
T=
=
≅ 6,28 мс .
2
1
100
1
R
−
−
10 −6
4
LC 4L2
5. Логарифмический декремент колебаний
θ = δT = 3,14 ⋅10−2 .
6. Амплитудное значение напряжения на обкладках конденсатора определим, воспользовавшись зависимостью заряда, ёмкости и разности потенциалов
q
um = m .
C
7. Если предположить, что напряжение изменяется по закону косинуса без начальной фазы, то уравнение можно записать следующим образом
q
u (t ) = m exp(− δt ) cos ωt , 10 −3 exp(− 5t ) cos 318πt .
C
15.36. Энергия колебательного контура в течение N = 100 полных колебаний
уменьшилась в z = 225 раз. Найти величину логарифмического декремента.

Решение

1. В соответствие с законом сохранения энергии, амплитудное значение электрической составляющей энергии должно быть равным магнитной составляющей, запасаемой в индуктивности
Li 2
WB = m .
2
2. Отношение энергий z можно представить через величины соответствующих сил
токов
i
WB( 0 )
2WB
im =
; m(0) =
= z,
L
im( N)
WB( N )
с другой стороны, декремент затухания определяется через период Т и коэффициент
затухания δ θ = δT , откуда следует, что
i
δNT = ln m ( 0 ) = ln z ; Nθ = ln z .
im( N)
3. Уравнение позволяет найти величину логарифмического декремента
ln z
θ=
= 5,42 ⋅10 −2 .
N
15.37. В колебательном контуре с добротностью Q = 103 происходят колебания с
циклической частотой ν =⋅103 с −1. За какой промежуток времени амплитудное значение
силы тока через индуктивность уменьшится в 23 раза?

Решение

1. Запишем уравнение изменение силы тока в контуре с затуханием
i(t ) = i m exp(− δt ) cos ωt ,
221

откуда
i m (0)
im( N)

= exp(δτ); ln

i m (0)
im( N)

= δτ = ln 16 .

2. Выразим из уравнения время τ, в течение которого происходит заданное затухание
ln 16
τ=
.
δ
3. Коэффициент затухания связан с добротностью контура следующими соотношениями
π π πν
πν
Q= =
=
; δ=
.
θ δT δ
Q
4. Подставим значение коэффициента затухания
Q ln 16 103 ⋅ 3,14
τ=
=
= 1c .
3,14 ⋅103
πν
15.38. На последовательно соединённые: активное сопротивление R = 800 Ом, катушку с индуктивностью L = 1,27 Гн и конденсатор ёмкостью С = 1,59 мкФ подаётся
действующее напряжение u* = 127 В промышленной частоты ν = 50 Гц. Определить
действующее значение силы тока в цепи, сдвиг фаз между током и напряжением, а так
же действующие значения падения напряжения на элементах схемы, мощность выделяемую в цепи.

Решение

1. Найдём величину циклической частоты колебаний и амплитудное значение напряжения
ω = 2πν; u m = u * 2 .
2. Определим далее импеданс цепи
2

1 ⎞
⎛
Z = R 2 + ⎜ 2πνL −
⎟ .
2πνC ⎠
⎝
3. Амплитудное значение силы тока в цепи
u
u* 2
.
im = m =
2
Z
1 ⎞
⎛
2
R + ⎜ 2πνL −
⎟
2πνC ⎠
⎝
4. Действующее значение силы тока
u*
,
i* =
2
1 ⎞
⎛
2
R + ⎜ 2πνL −
⎟
2πνC ⎠
⎝
127
i* =
≅ 71мА .
2
5
6,4 ⋅10 + (399 − 2000 )
4. Разность фаз между током и напряжением определяется отношением активной
составляющей сопротивления к реактивной составляющей
1 ⎞
⎛
⎟
⎜ 2πνL −
2πνC ⎟ = arctg 2; ϕ = 63,40 .
ϕ = arctg⎜
R
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
5. Падение напряжения на элементах схемы
i
u R = i*R = 56,8 В; u L = i* 2πνL = 28,3 B; u C = * = 142 B .
2πνC

222

6. Мощность, выделяемая в цепи
p = i*2 R = 4 Вт .
15.39. К бытовой сети с действующим напряжением u* = 220 В и частотой ν = 50 Гц
подключена схема, состоящая из последовательно включенного активного сопротивления R = 10 Ом и катушки индуктивностью 30 мГн. Какое количество тепла выделится
в активном сопротивлении за время τ = 1 с?

Решение

1. Запишем уравнение полного сопротивления цепи
Z R ,L = R 2 + (2πνL ) = 55,7 Ом .
2. Действующая сила тока, потребляемая цепью
i (1)* = u * Z R ,L = 3,95 А.
2

3. Количество тепла, выделяющееся на активном сопротивлении
u 2 Rτ
4,84 ⋅10 4 ⋅10 ⋅1
Q1 = i (21)*Rτ = 2 * 2 2 2 =
≅ 156 Дж .
R + 4π ν L
100 + 2960
15.40. Колебательный R,L,C − контур обладает собственной частотой колебаний ν0
= 1 кГц, резонанс контура проявляется на частоте νr = 800 Гц. Найти частоту затухающих колебаний контура.

Решение

1. Циклическая частота затухающих колебаний контура
ω = ω02 − δ 2 ; ⇒ ω02 = ω2 + δ 2 .
2. Циклическая частота резонансных колебаний
ωr = ω02 − 2δ 2 ; ⇒ ω02 = ωr2 + 2δ 2 .
3. Объединим уравнения
ω2 + δ 2 = ω2r + 2δ 2 ; ⇒ δ 2 = ω2 − ω2r .
4. Подставим значение коэффициента затухания δ
ω02 = ω2 + ω2 − ω2r = 2ω2 − ω2r ; ⇒ ω =
ν=

ω02 + ω2r
,
2

ν 02 + ν 2r
= 906 Гц .
2

15.41. В RLC − контуре наблюдаются затухающие колебания с периодом Т = 100
мс. В течение 10 периодов колебаний амплитудное значение силы тока в цепи уменьшилось в 20 раз. Найти величину резонансной частоту колебательного контура.

Решение

1. Амплитудное значение силы тока при затухающих колебаниях можно представить следующим образом
i m (1) = i m ( 0 ) exp(− δT ); i m (10 ) = i m ( 0 ) exp(− 10δT ) ,
2. Определим отношение амплитудных значений силы тока при первом и десятом
колебании
i m (1)
= exp(9δT ) = 20; 9δT = ln 20 .
i m( 6)
3. Выразим из последнего уравнения величину коэффициента затухания

223

ln 20
.
9T
4. Запишем уравнение для циклической частоты затухающих колебаний в контуре
δ=

2

2π
⎛ 2π ⎞
ω = ω − δ; ω =
; ω02 = ⎜ ⎟ + δ 2 .
T
⎝ T ⎠
5. Определим далее циклическую резонансную частоту
2
0

2

2

2

⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎛ ln 20 ⎞
ωr = ω02 − 2δ 2 = ⎜ ⎟ + δ 2 − 2δ 2 = ⎜ ⎟ − ⎜
⎟ ,
⎝ T ⎠
⎝ T ⎠ ⎝ 9T ⎠
2

2

2

2

1 ⎛ 2π ⎞ ⎛ ln 20 ⎞
1 ⎛ 6,28 ⎞ ⎛ 3 ⎞
νr =
⎜
⎟ −⎜
⎟ ≅ 9,98 Гц .
⎜ ⎟ −⎜
⎟ =
2 π ⎝ T ⎠ ⎝ 9T ⎠
6,28 ⎝ 0,1 ⎠ ⎝ 0,9 ⎠
15.42. Конденсатор ёмкостью С = 10 мкФ, после сообщения ему электрического
заряда q = 1 мКл, подключают к цепи, состоящей из катушки с индуктивностью L = 1 Гн
с активным сопротивлением R = 100 Ом. Определить период колебаний контура и логарифмический декремент θ. Как во времени будет изменяться напряжение на обкладках конденсатора? Получить аналитическую и графическую зависимость uC = f(t).

Решение

1. Определим амплитудное значение напряжения на
обкладках конденсатора в момент времени t = 0
q 10 −6
u m = = −5 = 0,1 B .
C 10
2. Найдём величину коэффициента затухания цепи
R
Рис. 15.42.1. Схема контура
δ=
= 50 .
2L
3. Период затухающих колебаний
2π
2π
T=
=
=
ω
1
R2
−
LC 4L2
.
6,28
−2
=
≅ 2 ⋅ 10 c
1
10 4
−
10−5
4
4. Запишем уравнение изменения напряжения на обкладках конденсатора
u (t ) = u m exp(− δt ) cos ωt ,
u (t ) = 0,1exp(− 50 t ) cos(316 t ) .
5. Как видно, амплитудное
значение напряжения на обРис. 15.42.2. Процесс затухания
кладках конденсатора будет
изменяться по экспоненциальному закону
u m (t ) = 0,1exp(− 50t ) .
Таблица 15.42

t, c
um, B

0
0,1

0,02
0,0368

0,04
0.0135

0,06
5⋅10 - 3

224

0,08
1,8⋅10 − 3

0,1
6,7⋅10 − 4

15.43. Цепь состоит из конденсатора ёмкостью С = 1 мкФ и катушки индуктивностью L = 1 Гн и активного сопротивления R. За время τ = 1 с напряжение на обкладках
конденсатора уменьшилось в n = 10 раз. Определить логарифмический декремент колебаний θ и величину сопротивления R.

Решение

1.Определим период колебаний, воспользовавшись формулой Томсона
T = 2π LC = 6,28 ⋅10 −3 c .
которая справедлива при
2

1
⎛ R ⎞
>> ⎜
⎟ ,
LC
⎝ 2L ⎠
в рассматриваемом случае (1/LC) = 106.
2. Запишем закон изменения напряжения на обкладках конденсатора и определим
логарифмический декремент
⎛u ⎞
T ln⎜ m ⎟
−3
⎛ θt ⎞
⎝ u ⎠ = 6,28 ⋅10 ln 10 ≅ 1,45 ⋅10 −2 .
u = u m exp⎜ − ⎟ ; ⇒ θ =
τ
1
⎝ T⎠
3. Величину сопротивления определим из уравнения взаимосвязи логарифмического декремента θ и коэффициента затухания δ
RT
2θL 2 ⋅1,45 ⋅10 −2 ⋅1
θ = δT =
; ⇒ R=
=
= 4,62 Ом .
2L
T
6,28 ⋅10 −3
15.44. Цилиндрическая катушка индуктивности длиной l = 1 м и площадью поперечного сечения s = 1⋅10 − 4 м2 включена в бортовую сеть судна с частотой изменения
силы тока ν = 400 Гц. Найти активное сопротивление катушки, если она содержит N =
6000 витков при разности фаз между током и напряжением ϕ = 600.

Решение

1. Определим циклическую частоту колебаний
ω = 2πν .
2. Заданные по условию задачи данные позволяют определить индуктивность катушки
μμ N 2s
L= 0
.
l
3. Разность фаз между силой тока и напряжением в общем случае R,LC − цепи определяется уравнением
1 ⎞
⎛
⎟
⎜ ωL −
ωC ⎟ ,
ϕ = arctg⎜
R
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
отсутствие в цепи конденсатора, позволяет формулу упростить
2πνL
tgϕ =
.
R
4. Подставим уравнение индуктивности в уравнение сдвига фаз
2πνμμ0 N 2s
.
tgϕ =
Rl
5. Разрешим уравнение (5) относительно активного сопротивления катушки R
2πνμμ0 N 2s 6,28 ⋅ 400 ⋅ 3,6 ⋅106 ⋅10 −4 ⋅1,26 ⋅10 −6
R=
=
≅ 0,66 Ом .
1 ⋅1,73
ltgϕ

225

Переменный ток
15.45. Циклическая частота переменного тока ω = 100 π рад/с. Определить период
и частоту переменного тока.

Решение

1. Частота и период определяются уравнениями
ω 3,14 ⋅ 100
1
ω = 2πν; ν =
=
≅ 50 Гц; T = = 0,02 c .
2π
6,28
ν
15.46. Частоту вращения проволочной рамки в однородном магнитном поле увеличили в 3 раза. Во сколько раз изменится частота переменного тока в рамке и ЭДС индукции.

Решение

1. Частота вращения рамки связана с её циклической частотой соотношением:
ω = 2πν,
другими словами, увеличение частоты вращения в три раза приведёт к возрастанию
частоты генерируемого переменного тока тоже в три раза.
2. При вращении рамки магнитный поток через рамку изменяется по закону
Φ B = Bs cos ωt ;
3. ЭДС индукции возбуждаемой в рамке при её замыкании на нагрузку
dΦ
⎛ ΔΦ ⎞
= ωsB sin ωt ,
εi = lim ⎜ −
⎟=−
Δt → 0
dt
⎝ Δt ⎠
из уравнения видно, что ЭДС индукции прямо пропорциональна циклической частоте
вращения, т.е. εI тоже вырастет в три раза.
15.47. Амплитудное значение ЭДС при вращении витка в магнитном поле εm = 20 В.
Определить мгновенное значение ЭДС через промежутки времени t, равные 1/12, ¼, и
½ периода, если в начальный момент времени плоскость витка параллельна направлению вектора магнитной индукции.

Решение

1. Мгновенные значения ЭДС в заданные промежутки времени определятся как:
2π
π
ε1 = ε m sin
t1 = 20 sin = 20 sin 30o = 10 B;
T
6
π
2π
ε 2 = ε m sin
t 2 = 20 sin = 20 sin 90o = 20 B;
T
2
2π
ε3 = ε m sin
t 3 = 20 sin π = 20 sin 180o = 0 B;
T
15.48. Прямоугольная рамка площадью s = 4⋅10 − 2 м2 вращается с угловой скоростью n = 3000 об/мин в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл. Определить период и максимальное значение ЭДС, если ось вращения рамки перпендикулярна направлению поля.

Решение

1. Определим частоту вращения рамки
ν = n 60 = 500 Гц ;
226

2. Период вращения рамки
1
= 0,02 с;
ν
3. Амплитудное значение ЭДС индукции
ε m = 2πBn = 6,28 ⋅ 0,5 ⋅ 2 ⋅ 10−2 = 6,28 B .
T=

15.49. Задан закон изменения ЭДС индукции

εi = 100 sin 800πt .
Найти амплитуду, частоту, период, фазу и начальную фазу колебаний.

Решение

1. Амплитудное значение ЭДС индукции
ε m = 100 B ;
2. Частота изменения ЭДС
ω = 800π = 2πν; ⇒ ν =

ω
= 400 Гц;
2π

3. Период изменения ЭДС
1
≅ 2,5 ⋅ 10− 3 c ;
ν
4. Фаза и начальная фаза изменений во времени ЭДС
ϕ = 800πt; ϕ0 = 0;
T=

15.50. Круговой контур радиусом R вращается с постоянной угловой скоростью ω в
однородном магнитном поле с индукцией В. Найти закон изменения во времени ЭДС
индукции, возникающей в контуре, если: а) ось вращения находится в плоскости контура, проходит через его центр и совпадает по направлению с вектором В; б) ось вращения находится в плоскости контура и проходит через его центр перпендикулярно
вектору В.

Решение

1. В первом случае при вращении контура его плоскость не будет пересекать силовые линии поля, т.е. изменения потока магнитного поля через сечение контура происходить не будет
dΦ B
= 0; ⇒ εi = 0 ;
dt
2. Во втором случае
dΦ B
−
= εi = Bsω sin (ωt + ϕ0 ) ;
dt
15.51. При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле поток,
пронизывающий рамку, изменяется со временем по закону
Φ = 0,01cos10πt .
В каком положении была рамка в начальный момент времени? Чему равно максимальное значение потока магнитной индукции? Определить зависимость возникающей
ЭДС от времени.

Решение

1. Для определения начального положения рамки в уравнении магнитного потока
положим t = 0
r r
Φ 0 = Φ m = 0,01cos 0o ; cos 00 = 1; ⇒ s ⊥ B ;
т.е. в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна вектору магнит-

227

ной индукции, поток, пронизывающий рамку максимален.
2. Максимальное значение магнитного потока через рамку
Φ m = 0,01 Вб ;
3. Зависимость ЭДС индукции от времени
dΦ
εi = −
= 0,01 ⋅ 10π sin 10πt = 0,314 sin 10πt ;
dt
15.52. Сколько витков имеет рамка площадью s = 500 см2, если при вращении её с
частотой ν = 20 Гц в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, амплитудное
значение ЭДС εm = 63 В?

Решение

1. Амплитудное значение ЭДС индукции, возбуждаемой во вращающейся рамке с
N витками провода, определится как:
εi
63
εi = NBsω = 2πνNBs; ⇒ N =
=
≅ 100 ;
2πνBs 6,28 ⋅ 20 ⋅ 0,1 ⋅ 5 ⋅ 10− 2
15.53. Рамка площадью s = 400 см2 имеющая N = 100 витков провода вращается в
однородном магнитном поле с индукцией В = 10 − 2 Тл с периодом вращения Т = 0,1 с.
Ось вращения рамки перпендикулярна силовым линиям. Найти максимальное значение ЭДС индукции в рамке.

Решение

1. Запишем соотношения между периодом и циклической частотой
2π
ω = 2πν =
;
T
2. Амплитудное значение ЭДС индукции
2πNBs 6,28 ⋅ 100 ⋅ 10−2 ⋅ 4 ⋅ 10−2
εm =
=
≅ 2,5 B ;
T
0,1
15.54. Рамка площадью s = 300 см2 имеющая N = 200 витков вращается в однородном магнитном поле с индукцией В = 1,5⋅10 − 2 Тл. Ось вращения рамки перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Определить период вращения рамки, если
амплитудное значение ЭДС индукции равно εm = 14,4 В.

Решение

1. Для определения периода вращения воспользуемся соотношением:
2π
2πNBs 6,28 ⋅ 200 ⋅ 1,5 ⋅ 10−2 ⋅ 3 ⋅ 10−2
εm =
NBs; T =
=
≅ 0,04 c .
T
εm
14,4
15.55. Рамка площадью s = 300 см2 имеет N= 200 витков и находится с магнитном

r

r

поле с индукцией В = 1,5⋅10 − 2 Тл. Из положения, когда B ⊥ s рамка начинает вращаться вокруг оси, перпендикулярной силовым линиям поля, так, что амплитудное
значение ЭДС индукции составляет εm = 7,2 В. Определить ЭДС индукции через время
τ = 0,01 с после начала вращения.

Решение

1. Выразим циклическую частоту вращения рамки
ε
ε0 = ωBsN; ω = 0 ; ε0 ≡ ε m ;
BsN
2. Уравнение ЭДС индукции для вращающейся рамки:

228

ε(τ ) = ε m sin ωτ = ε m sin

7,2 ⋅ 0,01
εm
;
τ = 7,2 sin
BsN
1,5 ⋅ 10− 2 ⋅ 3 ⋅ 10− 2 ⋅ 200

ε(τ ) ≅ 7,2 sin 0,8 = 7,2 sin 46o ≅ 5,1 B;

15.56. Квадратная рамка площадью s с замкнутой обмоткой из медного провода
вращается в однородном магнитном поле с индукцией В вокруг оси, лежащей в плоскости рамки, перпендикулярно силовым линиям поля, совершая при этом n оборотов в
секунду. Определить, пренебрегая потерями (тепловыми и электрическими), изменение температуры ΔТK за время τ.

Решение

1. Введём следующие обозначения: ρR − удельное сопротивление меди, ρ − плотность меди, с − удельная теплоёмкость меди.
2. Электрическая энергия, выделяемая в проводнике рамки за время τ

E

= Pτ =

ε 2m
τ ;
R

3. Определим сопротивление замкнутой рамки
L ρ 16 s
R = ρR = R 2 1 ,
ζ
πd
где ζ − площадь поперечного сечения проводника, d − диаметр проводника.
4. Подставим значение сопротивления в уравнение электрической энергии
4π2 n 2 B2s12 τ ⋅ πd 2 π3n 2 B2s12d 2 τ
;
E=
=
16ρR s1
4ρR s1
5. Количество тепловой энергии поглощённой медным проводником
πd 2
Q = cmΔTK = cρV = cρLζΔTK = cρ4 s1
ΔTK = cρ s1 πd 2 ΔTK ;
4
6. В отсутствие электрических и тепловых потерь, энергии можно приравнять
π2 n 2s1B2 τ
π3n 2 B2s12d 2 τ
;
= сρ s1 πd 2 ΔTK ; ⇒ ΔTK =
4cρρ R
4ρR s1
15.57. Генератор переменного тока имеет на роторе шесть пар полюсов. Какой
должна быть частота вращения ротора с обмотками, чтобы генератор возбуждал ток
промышленной частоты ν = 50 Гц?

Решение

1. За один полный оборот обмотки шесть раз пересекают поле, поэтому
ν
об
об
;
n = = 8,3
= 500
k
с
мин
15. 58. Напряжение на выходе цепи, по которой течёт переменный ток, изменяется
во времени по закону
u = u m sin (ωt + π 6) .
В момент времени t = Т/12 напряжение равно u = 10 В. Найти амплитудное значение напряжения и циклическую частоту, если период колебаний Т = 0,01 с.

Решение

1. Найдём циклическую частоту
ω = 2πν =

2π 6,28
=
= 628 c −1 ;
T 0,01

229

2. Определим искомое амплитудное значение напряжения
π
u
⎛ 2π T
⎞
+ π 6 ⎟ = u m sin = u m sin 600 ; u m =
≅ 11,54 B ;
u = u m sin ⎜
sin 60o
3
⎝ T 12
⎠
15.59. ЭДС синусоидального тока для фазы ϕ = 30о равна ε = 120 В. Найти амплитудное и эффективное значение электродвижущей силы.

Решение

1. Определим амплитудное значение ЭДС
ε = ε m sin 30o ; ⇒ ε m =

ε
= 240 B .
sin 30o

2. Определим эффективное значение ЭДС
ε
240
εd = m =
≅ 170 B ;
2 1,41
15.60. Сила тока в цепи изменяется по закону

i = 8,5 sin (314 t + 0,651) .
Определить действующее значение силы тока, его начальную фазу и частоту. Чему будет равна сила тока в цепи в момент времени t1 = 0,08 с; t2 = 0,042 с?
Решение

1. Действующее значение силы тока в цепи
i
8,5
id = m =
≅6A;
2
2
2. Начальная фаза
0,615π
ϕ0 = 0,615 рад =
≅ 0,2π ;
3,14
3. Частота изменения величины силы тока
рад
ω 314
ω = 314
; ω = 2πν; ν =
=
≅ 50 Гц ;
с
2π 6,28
4. Сила тока в момент времени t1 = 0,08 с
⎛ 180 ⋅ 25,8 ⎞
i1 = 8,5 sin (314 ⋅ 0,08 + 0,651) = 8,5 sin 25,8 = 8,5 sin ⎜⎜
⎟⎟ ≅ 8,5 ⋅ 0,63 ≡ 5,34 A ;
⎝ 3,14 ⎠
5. Сила тока в момент времени t2 = 0,042 с
i 2 = 8,5 sin (314 ⋅ 0,042 + 0,651) = 8,5 sin 13,8 ≅ 8,5 ⋅ 0,95 ≅ 8,1 A ;
15.61. На какое напряжение рассчитаны изоляторы электролинии, если действующее напряжение в ней составляет ud = 430 В?

Решение

1. Определим амплитудное значение напряжения
u m = u d 2 ≅ 606,3 B ;
15.62. Тепловой вольтметр, включенный в цепь переменного тока, показывает 220
В. Найти амплитудное значение напряжения в цепи.

230

Решение

1. Вольтметр данного типа, использующий тепловое действие электрического тока,
демонстрирует на своей шкале действующее значение напряжения, поэтому:
u m = u d 2 = 310,2 B .
15.63. Неоновая лампа включена в промышленную сеть переменного тока (ν = 50
Гц) с эффективным (действующим) напряжением ud = 71 В. Найти промежуток времени
Δt, в течение которого длится вспышка лампы, а так же частоту вспышек n, если напряжение зажигания лампы равно u1 = 86,66 В соответствует напряжению горения u2.

Решение

1. Амплитудное значение напряжения в сети
u m = u d 2 = 100 B ;
2. Закон изменения напряжения в сети
2π
u = u m sin
t;
T
3. Поджог и гашение лампы происходит в моменты времени t1 и t2 происходит, когда мгновенное напряжение в сети становится равным напряжению зажигания
2π
2π
u
u1 = u m sin
t1 ⇒ sin
t1 = 1 = 0,866 ;
t
T
um
π
πT T
2π
t1 ≅ ; t1 =
= ;
T
3
6π 6
4. Поскольку процесс протекает в течение полупериода колебаний
T T T
t2 = − = ;
2 6 3
5. Время горения лампы
T T
1
τ = t 2 − t1 = − =
≅ 333 ⋅ 10− 3 c ≅ 3,3 мс ;
3 6 50 ⋅ 6
6. Неоновая лампа будет вспыхивать как в течение положительного полупериода
колебаний напряжения, так и в течение отрицательного полупериода, поэтому
n = 2ν = 100 Гц ;
15.64.Действующее напряжение в промышленной сети переменного тока ud = 120
В. Определить время, в течение которого горит неоновая лампочка, если лампочка
зажигается при напряжении u1 = 84 В.

Решение

1. Амплитудное значение напряжения в сети
u m = u d 2 ≅ 169 B ;
2. Определим моменты времени, соответствующие вспыхиванию t1 и угасанию t2
неоновой лампы
2π
2π
u
84
u1 = u m sin
t1 ⇒ sin
t1 = 1 =
≅ 0,5 ;
t
T
u m 169,2
π
πT T
2π
t1 ≅ ; t 1 =
= ;
T
6
12π 12
T T
5
⎛5 1⎞ 1
t 2 = − = T; τ = t 2 − t1 = T⎜ − ⎟ = T ≅ 0,067 c ;
2 12 12
⎝ 12 12 ⎠ 3

231

15.65. К генератору переменного тока подключили электропечь с сопротивлением
R = 220 Ом. Найти, пренебрегая тепловыми и электрическими потерями, количество
теплоты, выделяемое печью за τ = 1 час, если амплитудное значение силы тока равно
im = 10 А.

Решение

1. Определим действующее значение тока
i
id = m ≅ 7 A ;
2
2. Выделяемое в течение времени τ тепло
i2
Q = i d2 Rτ = m Rτ = 50 ⋅ 220 ⋅ 3600 ≅ 39,6 МДж ;
2
15.66. Определить период и частоту переменного тока, если конденсатор емкости
С = 1 мкФ представляет для него сопротивление ХС = 16 Ом.

Решение

1. Формула сопротивления конденсатора переменному току позволяет определить
период и частоту
1
1
XC =
; ⇒ ω = 2πν =
;
ωC
X CC
ν=

1
1
≅
≅ 104 Гц;
−6
2πX CC 6,28 ⋅ 10 ⋅ 16
1
T = = 10− 4 c .
ν

15.67. В промышленную сеть переменного тока с эффективным напряжением ud =
156 В включена цепь, состоящая из последовательно соединённых активного сопротивления R = 200 Ом и конденсатора ёмкостью С = 40 мкФ. Определить амплитудное
значение силы тока в цепи.

Решение

1. Закон Ома для участка цепи, содержащей последовательно включенные R и С
u 2
ud 2
;
im = d
=
2
Z
⎛ 1 ⎞
2
R +⎜
⎟
⎝ ωC ⎠
im =

ud 2
1
R + 2 2 2
4π ν C
2

≅

220
1
4 ⋅ 10 +
40 ⋅ 2,5 ⋅ 103 ⋅ 1,6 ⋅ 10− 9

≅1A ;

4

15.68. В промышленную сеть со стандартным напряжением включили лампочку от карманного фонаря и
конденсатор. Какой следует выбрать ёмкость конденсатора, чтобы лампочка, рассчитанная на напряжение u1 =
3,5 В и силу тока i1 = 0,3 А горела нормальным накалом?

Решение
Рис. 15.68. R-C цепь

1. Ток протекающий в цепи в соответствие с законом Ома определится как:

232

i1 =

u0
1
R + 2 2 2
4π ν C

=

2

i1

u0
2
1
2
1

u
1
+ 2 2 2
i
4π ν C

;

i12 u12
i12
+
= u0 ;
i12
4π2 ν 2C 2

u12
1
+ 2 2 2 = u0;
2
i1 4π ν C

i12
i12
2
2
;
u
−
u
=
;
0
1
4π2ν 2C 2
4π 2 ν 2 C 2
i
i1
0,3
u 02 − u12 = 1 ; ⇒ C =
≅
≅ 4,3 мкФ ;
2
2
2πνC
2πν u 0 − u1 6,28 ⋅ 50 4,84 ⋅ 104 − 12,25
u 02 = u12 +

15.69. Найти зависимости для полного сопротивления цепи Z и сдвига фаз ϕ между
током и напряжением при различных способах включения активного сопротивления R,
конденсатора C и катушки индуктивности L. Рассмотреть варианты:
а) R и С включены последовательно;
б) R и С включены параллельно;
в) R и L включены последовательно;
г) R и L включены параллельно;
д) R, L и С включены последовательно.

Решение

1. Если все три элемента R, L и С включены последовательно, то полное сопротивление цепи и разность фаз определяется как:
2

1 ⎞
⎛
Z = R + ⎜ ωL −
⎟ ;
ωC ⎠
⎝
1
ωL ωC ;
tgϕ =
R
2. Если R и С включены последовательно (вариант а), то L = 0, то уравнения для Z
и ϕ перепишутся следующим образом
2

2

1
⎛ 1 ⎞
Za = R + ⎜
⎟ ; tgϕ а =
ωСR
⎝ ωC ⎠
3. Если R и С включены параллельно (вариант б), то L = 0
R
1
1
2
=
+ (ωC ) ; ⇒ Zб =
; tgϕб = −ωCR ;
2
Zб
R
1 + R 2ω2C 2
4. Элементы R и L включены последовательно (вариант в) С = 0
ωL
2
;
Zв = R 2 + (ωL ) ; tgϕв =
R
5. Элементы R и L включены параллельно (вариант г) С = 0
2

1
=
Zг

2

1 ⎛ 1 ⎞
+⎜
⎟ ; ⇒
R 2 ⎝ ωL ⎠

Zг =

RωL

; tgϕг =

1 + (ωL )
5. Все три элемента включены последовательно (вариант д)
1
2
ωL 1
⎛
⎞
ωC ;
Z д = R 2 + ⎜ ωL −
⎟ ; tgϕд =
C
R
ω
⎝
⎠

233

2

R
;
ωL

15.70. В цепь переменного тока напряжением u = 220 В с промышленной частотой
ν = 50 Гц включены последовательно ёмкость С = 35,4 мкФ, индуктивность L = 0,7 Гн и
активное сопротивление R = 100 Ом. Найти силу тока в цепи и падение напряжения на
элементах цепи.

Решение

1. Сила тока в цепи определится законом Ома для участка цепи
u
i=
;
2
1 ⎞
⎛
2
R + ⎜ 2πνL −
⎟
2πνC ⎠
⎝
220
i=
≅ 1,34 A;
2
1
⎛
⎞
104 + ⎜ 6,28 ⋅ 50 ⋅ 0,7 −
⎟
6,28 ⋅ 50 ⋅ 35,4 ⋅ 10− 6 ⎠
⎝
2. Падение напряжения на активном сопротивлении
u R = iR = 134 B ;
3. Падение напряжения на конденсаторе
i
1,34
u C = iX C =
=
≅ 120 B ;
2πνC 6,28 ⋅ 50 ⋅ 35,4 ⋅ 10− 6
4. Падение напряжения на индуктивности
u L = iX L = i 2πνL = 1,34 ⋅ 6,28 ⋅ 0,7 ≅ 294,5 В ;
15.71. Индуктивность L = 22,6 мГн и активное сопротивление R включены в промышленную сеть параллельно. Сдвиг фаз между током и напряжением составляет ϕ =
60о. Найти величину активного сопротивления.

Решение

1. Для параллельной R – L цепи можно записать следующие соотношения

1
=
Z
tg 60o =

2

1 ⎛ 1 ⎞
+⎜
⎟ ; ⇒
R 2 ⎝ ωL ⎠

Z=

Rω L
R + (ωL )
2

2

; tgϕ =

R
R
=
;
ωL 2πνL

R
R
=
; ⇒ R = 2πνLtg60o ≅ 6,28 ⋅ 50 ⋅ 22,6 ⋅ 10− 3 ⋅ 1,73 ≅ 12,3 Ом ;
ωL 2πνL

15.72. Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и
включены в промышленную сеть переменного тока с напряжением u = 127 B. Найти
величины активного сопротивления и индуктивности, если известно, что цепь потребляет мощность Р = 404 Вт и сдвиг фаз между током и напряжением составляет ϕ = 60о.

Решение

1. Для Параллельного включения активного сопротивления и индуктивности справедливы соотношения
2

1
1 ⎛ 1 ⎞
R 2πνL
R
;
=
+⎜
; tgϕ =
⎟ ; ⇒ Z=
2
2
Z
R ⎝ ωL ⎠
2πνL
R 2 + (2πνL )
2. Действующее значение напряжения и тока
u
u
;
ud =
; id =
2
2
3. Сила тока в соответствие с законом Ома

234

u u R 2 + (2πνL )
;
=
Z
2πνRL
4. Электрическая мощность, потребляемая цепью,
2

i=

u 2 R 2 + (2πνL )
P = i d u d cos ϕ; P =
;
4πνRL
5. Из уравнения сдвига фаз выразим индуктивность
R
tgϕ2πνL = R ; ⇒ L =
,
2πνtgϕ
и подставим в уравнение мощности
2

2

⎛ R ⎞
⎟⎟
u tgϕ R + ⎜⎜
u 2 tg 2ϕ + 1 127 2 1,732 + 1
⎝ tgϕ ⎠
P=
;
⇒
R
=
≅
≅ 39,9 А ;
2R 2
2P
808
6. Выразим из уравнения сдвига фаз активное сопротивление и подставим в уравнение мощности
2

2

R = 2πνLtgϕ; P =

u2

(2πνLtgϕ)2 + (2πνL )2
4π2νL2 tgϕ

; ⇒ L=

u 2 tg 2ϕ + 1
≅ 74 мГн ;
4πνPtgϕ

15.73. В цепь переменного тока с с напряжением u = 220 B включены последовательно конденсатор ёмкостью С, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти
падение напряжения на сопротивлении uR, если известно, что падение напряжения на
конденсаторе uC =2uR, на индуктивности uL = 3uR.

Решение

1. Так как элементы схемы включены последовательно, то справедливо соотношение
u
u
u
u= R + L + C ;
2
2
2
2. С другой стороны
u C = 2u R ;
u L = 3u R ;
3. Совместим уравнения
u
2u
3u
2u
u = R + R + R = R = 2u R ; ⇒
2
2
2
2

y = uR =

u
= 155,6 В ;
2

15.74. В цепь из последовательно соединённых индуктивности, конденсатора и активного сопротивления включен генератор синусоидального переменного напряжения
с изменяющейся частотой. При каких частотах будут достигаться максимальные значения амплитуд колебаний силы тока?

Решение
1. Запишем закон Ома для цепи, включённой в сеть переменного тока
um
;
im =
2
1
⎛
⎞
R 2 − ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
2. Анализ уравнения показывает, что сила тока будет максимальной при условии
1
1
1
1
;
; ⇒ ω0 =
; 2πν0 =
; ⇒ ν0 =
ω0 L =
ω0C
LC
2π LC
LC

235

15.75. Два конденсатора одинаковой ёмкости С1 = С2 = С и катушка индуктивности L
включены параллельно, причём один из конденсаторов − через ключ. В начальный
момент времени ключ разомкнут, конденсатор С1 заряжен до разности потенциалов u,
а конденсатор С2 не заряжен. Определить максимальное значение силы тока через
катушку сразу после замыкания ключа и период возникших колебаний.

Решение

1. Сразу после замыкания ключа заряд, запасённый в
первом конденсаторе, перераспределится между двумя
конденсаторами. Заряды конденсаторов станут равными
СU
;
q1 = q 2 =
2
2. Полная энергия конденсаторов определится как
CU 2 CU 2 CU 2
Рис. 15.75. Разряд
+
=
;
конденсатора
8
8
4
3. После перераспределения зарядов возникнут электромагнитные колебания с периодом
T = 2π 2CL ;
4. Максимальную силу тока в катушке можно определить, используя закон сохранения энергии
C
CU 2 LI2m
;
=
; ⇒ Im = U
2L
4
2
15.76. Активное сопротивление, включенное в первичную обмотку идеального
трансформатора R = 1 кОм. Вторичная обмотка замкнута на конденсатор ёмкостью С =
1 мкФ. Вторичная обмотка содержит в два раза больше витков, чем первичная. Найти
амплитудное значение тока в цепи первичной обмотки и сдвиг фаз между током и напряжением.

Решение

1. Для идеального трансформатора можно записать следующие соотношения
u 1 n1
i
n
= ; 1 = 2;
u2 n2
i 2 n1
2. Ток и напряжение во вторичной обмотке, ввиду наличия конденсатора, сдвинуты по фазе на π/2, такой же сдвиг будет наблюдаться между током и напряжением в
первичной обмотке. Таким образом, трансформатор можно рассматривать как конденсатор ёмкостью
2

⎛n ⎞
Сэ = С⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 4 мкФ ;
⎝ n1 ⎠
3. После такой замены схема станет состоять из последовательно включенных активного сопротивления R и конденсатора Сэ, сила тока в цепи определится стандартным уравнением:
u
u
u
=
≅ 0,17 A;
i= =
2
4
Z
n
2
⎛
⎞
1
R + 2 12 4
⎟⎟
R 2 + ⎜⎜
4π C n 2
⎝ 2πνC1 ⎠
4. Сдвиг фаз:
⎛
⎞
n2
R
ϕ = arctg
= arctg(R 2πνCэ ) = arctg⎜⎜ 2πν 22 RC ⎟⎟ ≅ 52o ;
n1
XC
⎝
⎠

236

Электромагнитные волны
15.77. Каков механизм излучения в пространство электромагнитных волн?

Решение

1. Прежде чем приступить к обсуждению особенностей излучения электромагнитных волн, следует сказать несколько слов о проблеме передачи взаимодействий в природе и теории мирового эфира.
2. Проблема пустоты с давних времён занимала умы учёных, вызывая постоянно
оживлённые дискуссии. Повседневный опыт на уровне наших ощущений говорит о
том, что взаимодействия происходят при непосредственном контакте взаимодействующих объектов. Обобщил житейские наблюдения Аристотель, введя понятия силы
тяги, силы давления и силы удара. Аристотель полагал, что брошенное тело «ведёт»
среда. В пустоте взаимодействие а, следовательно, и движение не возможно, значит −
пустота, тоже невозможна. Довольно логично.
3. Идея Аристотеля о невозможности пустоты была поставлена под сомнение только в ХVII веке после изобретения ртутного барометра учеником великого Галилея,
Эванжелистой Торричелли (1608 – 1647). Торричелли, по сути, открыл вакуум, свойства которого потом исследовали французский математик, физик, философ и писатель
Блез Паскаль (1623 – 1662) и бургомистр Магденбурга Отто фон Герике. Эксперименты показали, помимо прочего, что вакуум не проводит звук, но проводит свет.
4. Следующим, кто всерьёз занялся свойствами пустоты, был неутомимый Рене
Декарт. Принципиально отвергая существование пустоты, он ввёл понятие эфира.
Мир, по Декарту, заполнен эфиром – тонкой материей, в которой возникают вихри,
способные обеспечивать взаимодействие, опять же исключительно механическим путём.
5. В следующем, ХVIII веке тория великого Ньютона своим блеском и величием
затмила все прочие теории, показав несостоятельность по многим позициям учения
Аристотеля. Ньютон был настолько популярен в Европе, что существовали даже курсы «Ньютонизм для дам». Всё что происходило в науке, оценивалось с позиций теории механического движения Ньютона. Но механика Ньютона была не всесильна.
6. Трудности возникли при объяснении взаимодействия на расстоянии, например
гравитационного. И со светом, тоже было не совсем всё понятно. Ньютоновские корпускулы стали на долгие времена причиной переноса различных действий на расстояние. Каждое конкретное действие требовало своих корпускул. В науку пришло туманное, но романтическое понятие эфира. Так появился флогистон – некое невесомое, летучее, невидимое вещество, определяющее тепловое состояние тел. А потом стали в
моде разного рода флюиды в виде теплорода, электрических флюидов Кулона и т.д.
Одним словом, появление нового явления, где взаимодействие происходило без непосредственного контакта, сопровождалось введением нового сорта флюида, который
помещался между взаимодействующими объектами.
7. Постепенно, по мере установления аналогий между явлениями, количество
флюидов уменьшилось, и все их заменили одним, ещё более туманным все проникающим универсальным эфиром. Но все попытки обращения к эфиру для трактовки
передачи действия на расстоянии оказались бесплодными, потому что автоматически
на него переносились свойства обычной материи.
8. К окончанию ХIХ века уже было установлена непрерывность пространства, было ясно, что в каждой точке любая физическая величина имеет вполне определённое
значение, причём переход от точки к точке носит непрерывный и плавный характер.
Эфир постепенно вытеснялся более прагматичным понятием поля. Образом поля в
237

различных отделах физики, в принципе, начали
пользоваться со второй половины ХIХ века. Например, при объяснении явлений электрического и
магнитного свойства.
9. Генрих Рудольф Герц является настолько неординарной личностью в современной и классической физике, что о нём следует сказать особо и более подробно. Родился Герц в г. Гамбурге в семье
адвоката. Образование Герц получил совершенно
стандартное для того времени: реальное училище,
городская гимназия, высшее Дрезденское техническое училище, мюнхенский университет, берлинский университет.
Рис. 15.77.1. Генрих Герц
10. На всех этапах учёбы Генрих блистал и был
замечен одним из самых знаменитых немецких физиков Германом Гельмгольцем
(1821 − 1894), это решило дальнейшую научную судьбу способного молодого человека. Этот волевой и целенаправленный учёный с широчайшими научными интересами,
что вполне типично для того времени, имел на Герца огромное влияние. Гельмгольц,
не подозревая о работах Ломоносова и Майера − Джоуля, в довольно юном возрасте
обосновал закон сохранения и превращения энергии, затем он не без успехов занимался физиологией (одно из образований было медицинским), но научная зрелость была
посвящена теории электричества, последняя, так сказать, любовь.
11. Гельмгольц, пожалуй, первый обратил достойное внимание на работы Максвелла. Они производили на него неоднозначное впечатление. С одной стороны он
понимал роль промежуточной среды в теории электромагнитных волн, с другой стороны, смириться с тем, что этой средой может быть «ничто» он не мог. Будучи приверженцем идей Канта, о невозможности познания мира, он исповедовал в электричестве учение о дальнодействии, несмотря на его очевидные несоответствия с реалиями.
Генрих Герц всю свою короткую, но яркую жизнь старался подтвердить научные
взгляды своего учителя, но никогда не прогибался и всегда был предельно честен.
12. День 14 ноября 1886 г. можно считать днём открытия (вопреки себе и учителю)
электромагнитных волн. Именно в этот день, по-немецки пунктуальный, Герц записал
в своём дневнике: «Посчастливилось установить индукционное действие друг на друга двух незамкнутых цепей с током. Длина цепей 3м, расстояние между ними 1,5м. »
Экспериментальная установка герца была до
удивления проста и не содержала ни одного
нового элемента. Всё что использовал юный
гений, можно было отыскать в любой даже
самой захудалой физической лаборатории того времени (рис. 15.77.2).
13. Установка состояла из индуктора Румкорфа 1, представляющего собой в современном понимании, повышающий трансформатор, у которого обе обмотки расположены на
одном незамкнутом цилиндрическом сердечнике.
В цепи первичной обмотки включался
Рис.15.77.2. Установка Герца
источник ЭДС 3 и механический прерыватель
2, в виде диэлектрического вращающегося диска с проводящей вставкой и двумя радиальными контактами. Вторичная обмотка соединялась с разрядниками 4, между которыми проскакивала искра во время размыкания контактов в цепи первичной обмотки. Идея использования механического прерывателя для получения импульсов напряжения довольно значительной величины (несколько киловольт) используется в некоторых карбюраторных двигателях внутреннего сгорания.
14. Недалеко от разрядников 4 Герц разместил ещё пару разрядников, соединённых
с проволочным контуром. Проводя эксперимент в тёмной комнате, Герц обнаружил
238

искрение между разрядниками. Это означало, что электрический импульс был передан
на расстояние около полутора метров совершенно без проводов. Вопреки первоначальным установкам Гельмгольца, всё шло к тому, что англичанин прав − волны существуют.
15. В ходе дальнейших захватывающих экспериментов Герцу удалось установить,
что предсказанные Максвеллом волны экранируются стальным листом, а фанерные и
деревянные препятствия для них не являются преградой.
16. Обнаруженные Герцем искровые волны в явном виде демонстрировали свойства аналогичные свету. Посчитав приближённо скорость распространение исследуемых
волн, Герц убедился, что и тут Максвелл прав - волны распространялись со скоростью
очень близкой к скорости света. Чтобы окончательно убедить себя, а особенно, своего
учителя, в том что он имеет дело именно с волнами, Герц ставит эксперимент с преломлением на асфальтовой призме весом около двух тонн. Поместив призму между
излучателем и приёмником, он обнаруживает отклонение от прямолинейного распространения.
17. Как пишет по этому поводу В. Карцев: « Трудно сейчас представить себе бурю,
вызванную открытиями Герца. Для физиков, они, прежде всего, означали полный триумф уравнений Максвелла и забвение всех других электродинамических теорий. Все
неисчислимое бумажное многопудье курсов электродинамики Неймана, Вебера,
Гельмгольца и множества других авторов нашло свою гавань в пыльных архивах науки, уступив место нескольким строкам максвелловских уравнений». Следует, однако,
отметить, что появление теории стало возможным благодаря предшественникам, заложивших основы знаний об электромагнетизме.
18. Рассмотрим физические особенности процесса
генерирования электромагнитных волн на примере
двух проводящих стержней, подключенных к источнику постоянного тока (Рис.15.77.3). При замыкании
ключа верхний стержень быстро приобретает положительный заряд, а нижний - отрицательный. Структура
электрического поля показана в виде концентрических
окружностей. Во время перемещения зарядов по
стержням текут токи, стрелками показано направление
движения положительных зарядов. Электрический ток
создаёт магнитное поле
B=

μμ 0 I
;
2πr

19. Линии магнитной индукции этого поля представляют собой концентрические окружности, охватывающие стержни. Представим далее более сложную
Рис.15.77.3. Образование
электромагнитных волн
ситуацию, когда вместо источника постоянного тока в
цепи стержней включен генератор переменного тока
ε(t ) = ε 0 sin (ωt ).
20. Такая конструкция называется электрическим дипольным вибратором. В любой
момент времени существует разделение зарядов, что обеспечивает наличие дипольного момента. Так как знак заряда на стержнях будет периодически меняться, то дипольный момент антенны осциллирует.
21. В этом случае ток в стержнях будет менять своё направление, следовательно,
будет меняться и направления полей, причём ввиду невозможности исчезать мгновенно, линии замыкаются. При замыкании силовых линий образуются контуры, которые
продолжают распространяться в окружающем пространстве.
r
r
22. В любой точке пространства, таким образом, векторы B и E перпендикулярны
друг другу и вектору скорости распространения волны. Модули напряжённости и индукции будут меняться по синусоидальному закону, в соответствии с изменением
ЭДС.

239

E = E y = E 0 sin ωt;
B = Bz = B0 sin ωt;
23. Электромагнитные волны являются поперечными, потому что векторы Е и В
лежат в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения.
24. Интересным является и тот факт, что электромагнитные волны образуются колеблющимися зарядами, т.е. зарядами, движущимися с ускорением. В этой связи естественно предположить, что всякий движущийся с ускорением заряд излучает электромагнитные волны.
25. Таким образом, по Максвеллу, электрические и магнитные поля не могут существовать обособленно. Невозможно создать переменное магнитное поле в пространстве, чтобы не возникло при этом электрическое поле и наоборот.
26. Рассмотрим подробнее «антенну», схема которой приведена
на рисунке 15.77.4, источник постоянного тока заменим генератором, обеспечивающим изменение
тока по синусоидальному закону.
До настоящего времени законченной теории ближнего поля излучателей не существует. Поле существенно упрощается на расстояниях r
>> λ .
27. Если генерирование электромагнитных волн происходит в
однородной изотропной среде, то
волновой фронт будет сферическим
Рис.15.77.4. Излучение диполя
r r
Векторы E и B в каждой точке
волнового фронта будут взаимно перпендикулярны и перпендикулярны радиус – вектору, проведенному из центра диполя. Диполь обладает направленными свойствами. Для диполя диаграмма направленности имеет вид восьмёрки.
28. Диаграмма направленности характеризует свойство антенны концентрировать электромагнитную энергию в определённом направлении. Чем уже диаграмма направленности, тем
больше дальность действия излучателя. Ширина диаграммы направленности определяется конструктивными параметрами антенны и несущей частотой. Для относительно высокочастотных
антенн формирование направленности не представляет труда, но высокочастотные волны распространяются на меньшие расстояния, чем низкочастотные вследствие большего их поглощения. Особую значимость направленные свойства излучающих устройств имеют в радиолокации, где передающие и приёмные антенны должны удовлетворять определённым требованиям,
исходя из условий пеленга объектов на выбранной несущей частоте.

29. Следует обратить внимание на то, что максимальный поток электромагнитной
энергии излучается в плоскости, перпендикулярной оси диполя. Вдоль своей оси диполь не излучает энергии. Герц использовал элементарный диполь в качестве излучающей и приемной антенн при экспериментальном доказательстве существования
электромагнитных волн.
30. Когда обнаружилось, что электромагнитные волны могут распространяться в
пустоте, являясь одновременно и переносчиком световой энергии, то стало предельно
очевидным, каким образом Солнце снабжает энергией нашу планету. Солнечный свет
представляет собой, по сути сложный набор электромагнитных волн инфракрасного,
оптического и ультрафиолетового диапазона. Дальнейшие исследования обнаружили,
что электромагнитное излучение проявляется в чрезвычайно широком диапазоне длин
волн, в зависимости от величины длины волны излучение имеет разнообразные энергетические проявления. В таб. 15.77.1 приведены, обнаруженные к настоящему времени электромагнитные волны. Обращает на себя внимание диапазон длин электромагнитных волн от более чем 100 км, до 10 − 12м, что составляет 17 порядков. Представить

240

себе образно 1017 достаточно сложно, но, тем не менее, мы живём в Мире, сама сущность жизни в котором имеет электромагнитную основу, включая рыб, млекопитающих и даже − «венец природы».
Таблица 15.77.1

Длина
100 км и более

Наименование
Низкочастотные электрические колеба-

Частота
0 − 3 кГц

ния

100 км − 1 мм
100 −10 км
10 − 1км
1 км − 100 м
100 − 10 м
10 − 1 м
1 м − 10 см
10 − 1 см
1 − 1 мм

3 кГц − 3ТГц
3 − 30 кГц
30 − 300 кГц
300 кГц − 3МГц
3 − 30 МГц
30 − 300 МГц
300 − 3ГГц
3 − 30 ГГц
30 − 300ГГц

Радиоволны:
мириаметровые (очень низкие частоты)
километровые (низкие частоты)
гектометровые (средние частоты)
декаметровые (высокие частоты)
метровые (очень высокие частоты)
дециметровые (ультравысокие частоты)
сантиметровые (сверхвысокие частоты)
миллиметровые
децимиллиметровые (гипервысокие час1 − 0,1 мм
тоты)
Инфракрасное излучение
2 мм − 760 нм
760 − 380 нм

Видимое излучение

380 − 3 нм

Ультрафиолетовое излучение

10 нм − 1 пм
до 10 пм

Рентгеновское излучение
Гамма-излучение

300 − 3ТГц
150 ГГц − 400ТГц
400 ТГц − 800
ТГц
800 ТГц − 100
ПГц
300ПГц − 300ЭГц
до 30 ЭГц

15.78. Обладают ли электромагнитные волны энергией?

Решение

1. Электромагнитные волны способны распространять в пространстве энергию,
свидетельством тому, в частности, является факт существования всего живого на нашей планете исключительно за счёт энергии, излучаемой Солнцем в виде света и тепла каковые, по сути, являются электромагнитными волнами соответствующих диапазонов. Кто в детстве не развлекался в солнечный день увеличительным стеклом (линзой), поднимая локально температуру подвернувшихся под руку предметов? Ведро
холодной воды, выставленное на солнце, со временем увеличивает свою температуру.
Эти факты свидетельствуют о том, что солнечное электромагнитное излучение обладает энергией, способной, в частности, перейти в тепло.
2. Получим энергетические соотношения, характеризующие электромагнитное поле. Для электрической составляющей поля можно использовать энергетические соотношения конденсатора
εε s
CU 2
U
WE =
;
C= 0 ;
E= .
2
d
d
3. Заменяя в уравнении для WE C и U, получим
εε sE 2 d 2 εε 0 E 2
εε E 2
=
WE = 0
sd = 0 V.
2d
2
2
4. Плотность энергии электрического поля, при этом, определится как

241

ϖE =

WE 1
⎡ Дж ⎤
= εε 0 E 2 , ⎢ 3 ⎥;
V
2
⎣м ⎦

5. Магнитное поле рассмотрим на примере соленоида, длиной l , площадью поперечного
сечения s, содержащего N витков. Такой соленоид обладает индуктивностью

L=

μμ 0 N 2s
;
l

6. Величина магнитной индукции внутри соленоида зависит от силы тока, текущего по обмотке и магнитной проницаемости сердечника, если таковой имеется

μμ 0 NI
B2l 2
;
⇒ I2 =
l
(μμ 0 )2 N 2
7. Энергия поля, заключенного внутри соленоида, равна
LI 2
WB =
.
2
8. Подставим в уравнение для WB значения L и I2
1 μμ 0 N 2s B 2 l 2
B2
1 B2
WB =
l
s
V;
=
=
2
2
l
2 μμ 0
(μμ 0 ) N 2 2μμ0
9. Объёмная плотность энергии магнитного поля запишется так:
1 B2
.
ϖB =
2 μμ 0
10. Объёмная плотность электромагнитного поля в вакууме определится в виде
суммы уравнений
1
1 B2
;
ϖ = ϖE + ϖB = ε0E 2 +
2
2 μ0
1
1
ϖ = ε 0 E 2 + μ 0 B2 ;
2
2
11. Для вакуума или воздуха скорость распространения электромагнитных волн
определится как
B
1
E
1 B2 1
=c=
⇒ B = = E ε 0μ 0 ;
= ε0E2 .
E
c
2 μ0 2
ε 0μ 0

B=

12. С учётом последних преобразований (18.52) возможно записать плотность энергии в окончательном виде
ε0
B2
ϖ = 2ϖ E = 2ϖ B = ε 0 E 2 =
=
EB.
(18.53)
μ0
μ0
13. Для электромагнитного поля в среде, обладающей диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ определится как
εε 0
ϖ=
EB = εε 0 μμ 0 EH .
μμ 0
14. Таким образом, полная плотность энергии электромагнитного поля складывается из двух равных по величине вкладов, соответствующих плотностям электрического и магнитного полей.
15. Определим далее энергию, переносимую электромагнитной волной в единицу
времени через единичную площадь. Эту векторную величину называют обычно вектором Умова - Пойтинга.
16. Умов Николай Алексеевич (1846 − 1915), выпускник московского университета. После
получения магистерского и доценского званий преподавал в Новороссийском университете.
После смерти Столетова был приглашён заведовать кафедрой физики московского университета. В 1911 г. в знак протеста против политики правительства в области образования, ушёл из
университета, занялся научной деятельностью. В 1874 г. Умовым была защищена докторская

242

диссертация на тему «Уравнения движения энергии», где и была предложена новая векторная
величина, так называемый − вектор Умова.

17. Пойтинг Джон Генри (1852 - 1914), выпускник Кембриджа, профессор Мезон −
колледжа (г. Бирмингем), приятель знаменитого Дж. Дж. Томсона. В 1884 году (десятилетие спустя поле Умова) опубликовал работу «О переносе энергии в электромагнитном поле», где без всяких, подобающих такому случаю ссылок, ввёл вектор Умова,
который в западных изданиях именуется как вектор Пойтинга.
18. Определим энергию электромагнитной волны
ϖ = εε 0 E 2 ;⇒W = εε 0 E 2 ⋅ V.
19. Запишем выражение для плотности потока энергии через единичную площадку
s за время dt
1 dW 1 d
(εε0E 2sdx ) = εε0E 2 dx = εε0E 2c ,
ℜ=
=
dt
s dt
s dt
поскольку
1
1
E = cB; c =
;v =
,
ε 0μ 0
εμ
то для вакуума
ℜ = ε 0 cE 2 =

cB2 EB
.
=
μ0
μ0

r
20. Вектор ℜ по направлению совпадает с направлением переноса энергии, т.е. с
r
r
r r
вектором v , ℜ перпендикулярен E и H . Такое взаимное расположение векторов
описывается, как известно, векторным произведением
r
r r
1 r r
ℜ=
E×B = E×H.
μ0

[

] [

]

r

21. За один период колебаний величина ℜ дважды достигает своего максимального значения и дважды обращается в ноль, среднее же значение модуля вектора Умова-Пойтинга равно
r EH
ℜ=
.
2
22. Ещё одной важной характеристикой электромагнитных волн является интенсивность J − величина, численно равная энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения
волны

r
J =< ℜ > .

23. Процесс поглощения электромагнитной волны веществом сопровождается сообщением
структурным элементам среды импульса, т.е. электромагнитная волна оказывает на поглощающее тело давление. Давление возникает вследствие направленного движения заряженных
частиц вещества и их взаимодействия с магнитным полем. Давление электромагнитных волн
имеет весьма малое значение. Солнечное излучение на абсолютно поглощающей поверхности
создаёт давление порядка 5 мкПа. Экспериментально давление света обнаружено Петром Николаевичем Лебедевым (1866 – 1912), который асестировал А.Г. Столетову в Московском университете.
Импульс ЭМ - волны можно записать так

1
p = W.
c
24. Полагая импульс равным p = mc , получим, что W = mc 2 . Это уравнение впервые было записано Оливером Хевисайдом, за несколько лет до Эйнштейна.
25. Электромагнитные волны могут возбуждаться только ускоренно движущимися
зарядами. Цепи постоянного тока, в которых носители заряда движутся с неизменной
скоростью, не являются источником электромагнитных волн. В современной электро-

243

нике излучение электромагнитных волн производится с помощью антенн различных
конструкций, в которых возбуждаются, изменяющиеся по определённым законам
электрические токи. Простейшим излучателем электромагнитных волн, является электрический диполь с изменяющимся во времени дипольным моментом. Такой элементарный диполь называется диполем Генриха Герца.
15.79. Сколько колебаний происходит в электромагнитной волне с длиной волны λ
= 30 м в течение одного периода звуковых колебаний с частотой ν = 200 Гц?

Решение

1. Определим период колебаний в электромагнитной волне
λ
30
λ
c = λ1ν1 = ; ⇒ T = 1 ≅
≅ 1 ⋅ 10− 7 c ;
T1
c 3 ⋅ 108
2. Период звуковых колебаний
1
T2 = ≅ 5 ⋅ 10− 3 c ;
ν
3. Отношение периодов
T2 5 ⋅ 10−3
=
= 5 ⋅ 104 ;
−7
T1 1 ⋅ 10
15.80. На какой частоте передаётся сигнал бедствия SOS, если по международным
соглашениям длина электромагнитной волны должна быть λ = 600 м?

Решение

1. Частота передачи тревожного сигнала
c 3 ⋅ 108
c = λν; ⇒ ν = ≅
≅ 0,5 МГц ;
λ
600
15.81. Чему равна длина волн, посылаемых радиопередатчиком, работающим на
частоте ν = 1,4 МГц?

Решение

1. Длина волны радиопередатчика
c = λν; ⇒ λ =

c
3 ⋅ 108
≅ 214 м ;
≅
ν 1,4 ⋅ 106

15.82. В 1897 г. русский физик П.Н. Лебедев получил электромагнитное излучение
с длиной волны λ = 6 мм. Определить период и частоту таких электромагнитных волн.

Решение

1. Частота и период полученной электромагнитной волны определятся следующим
образом
c 3 ⋅ 108
1
c = λν; ⇒ ν = ≅
≅ 5 ⋅ 1010 Гц; Т = ≅ 2 ⋅ 10−11 с ,
−3
ν
λ 6 ⋅ 10
15.83. Определить длину волны, на которой работает передатчик искусственного
спутника, если частота колебаний равна ν = 20 МГц.

244

Решение

1. Длина волны спутниковой радиостанции
c 3 ⋅ 108
c = λν; ⇒ λ = ≅
≅ 15 м ;
ν 2 ⋅ 107
15.84. Электромагнитные волны распространяются в некоторой среде со скоростью с1 = 2⋅108 м/с. Какую длину волны имеют электромагнитные колебания, если их
частота в вакууме ν0 = 1 МГц? Какова длина волн этих колебаний в вакууме?

Решение

1. Длина волн в вакууме
c0 3 ⋅ 108
≅
≅ 300 м ;
ν 0 1 ⋅ 106
2. Свойства среды влияют на скорость распространения электромагнитных волн,
но если отсутствует дисперсия, то на частоту колебаний влияния не оказывают
c
2 ⋅ 108
ν 0 = ν1 ; ⇒ c1 = λ1ν; ⇒ λ1 = 1 ≅
≅ 200 м ;
ν 0 1 ⋅ 106
c0 = λν; ⇒ λ =

15.85. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью С = 0,4 мкФ и катушки индуктивности L = 1 мГн. Определить длину волны в вакууме, излучаемую этим
контуром.

Решение

1. Определим частоту собственных колебаний контура, воспользовавшись формулой Томсона
1
;
ν=
2π LC
2. Определить длину излучаемой волны
с
с = νλ; ⇒ λ = = 2πс LC ≅ 6,28 ⋅ 3 ⋅ 108 4 ⋅ 10− 7 ⋅ 10− 3 ≅ 37,75 км ;
ν
15.87. Определить индуктивность контура, ёмкость которого С = 700 пФ, если он
излучает электромагнитные волны с длиной λ = 50 м.

Решение

1. Запишем уравнение длины волны, из которого определим индуктивность заданного контура
2,5 ⋅ 103
λ2
λ = 2πс LC ; ⇒ L = 2 2 ≅
≅ 1 ⋅ 10− 6 Гн = 1 мкГн ;
4π c C 40 ⋅ 9 ⋅ 1016 ⋅ 7 ⋅ 10−10
15.88. В каком диапазоне длин волн работает передатчик, если ёмкость его колебательного контура может изменяться в пределах от С1 = 60 пФ до С2 = 240 пФ при
индуктивности L = 5⋅10 − 5 Гн.

Решение
1. Определим диапазон длин волн, излучаемых передатчиком
λ1 = 2πс LC1 ≅ 6,28 ⋅ 3 ⋅ 108 5 ⋅ 10−5 ⋅ 6 ⋅ 10−11 ≅ 193,2 м ;

245

λ 2 = 2πс LC2 ≅ 6,28 ⋅ 3 ⋅ 108 5 ⋅ 10−5 ⋅ 2,4 ⋅ 10−10 ≅ 206,4 м ;
2. Радиопередатчик работает в средневолновом диапазоне радиоволн.
15.89. На какую длину волны настроено приёмное устройство, если его колебательный контур имеет ёмкость С – 0,1 пФ и в контуре возникает ЭДС самоиндукции εis
= 0,2 В, при скорости изменения силы тока в контуре Δi/Δt = 2 А/с?

Решение

1. Определим индуктивность контура
Δi
0,2
ε
εsi = L ; ⇒ L = 1 ≅
= 1 ⋅ 10−3 Гн ;
Δt
Δi Δt
2
2. Длина волны, излучаемая контуром
λ = 2πс LC ≅ 6,28 ⋅ 3 ⋅ 108 1 ⋅ 10−3 ⋅ 1 ⋅ 10−13 ≅ 188,4 м ;
15.90. Ёмкость переменного конденсатора колебательного контура изменяется в
пределах от С1 до С2 = 9С1. Найти диапазон длин волн, принимаемых контуром, если
ёмкости С1 соответствует длина волны λ1 = 3 м.

Решение

1. Запишем систему уравнений, описывающих длины волн при заданных ёмкостях
λ1 = 2πc LC1 ; ⎫⎪
⎬
λ 2 = 2πc LC2 ;⎪⎭
2. Поделим второе уравнение на первое
λ2
C2
=
= 3; ⇒ λ 2 = 9 м ;
λ1
C1
15.91. Какую электроёмкость должен иметь конденсатор, чтобы колебательный
контур радиоприёмника, состоящий из этого конденсатора и катушки индуктивности L
= 10 мГн, был настроен на длину волны λ = 1000 м?

Решение

1. Величину ёмкости определим из уравнения длины излучаемой волны
106
λ2
λ = 2πс LC ; ⇒ C = 2 2 =
≅ 28 пФ .
4π c L 40 ⋅ 9 ⋅ 1016 ⋅ 10− 2

246