/
Текст
Логцлярные лекции
ПОМ АТЕМАТИКЕ
--—<5OJ>-
В.А. УСПЕНСКИЙ
НЕКОТОРЫЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
МЕХАНИКИ
К МАТЕМАТИКЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 27
В. л. УСПЕНСКИЙ
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
МЕХАНИКИ К МАТЕМАТИКЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ !!ЗДАТЕДЬСТВО
Ф! ЕЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКОЙ Д1ГГЕРАТУРЫ
м о с к в \ 1 р
11-3-1
АННОТАЦИЯ
Настоящая лекция рассчитана па учащихся
средних школ (7—10 классы). В ней рас-
смотрены простые решения различных ма-
тематических задач (иногда довольно с.Т(>ж-
ных)'нри помощи использования некоторых
положений механики.
Успенский В.;адимир Андреевич
Некоторые приложения механики к математике
Редактор Лапко Д. Ф.
Техн, редакюр .Крючкова В. Н. Корректор П.'.етнеьа /. С.
Сдано в набор 2" IV 1958 г. Подписано к печати 30 VII 1958 г. Бумага 84 X 198
Физ, печ. л. 1.5. Услоен. иеч. л. 2,16. Уч.-изд. л. 2.13. Тираж 35 000 экз. Т-оркц
Цена киши 75 кот Заказ К« 1881.
Государственное издательство фи нтко-мч тематической литера гуры
АТосквэ, В-,1, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени Л. А. Жданова
.Московского городского Совнархоза.
Л'.осквэ. Ж-5't. Каловая. 28.
Отпечатано с гоювою набора в типографии и дательова
.‘655. Москва. .Моховая 9 зтьа) 982
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............................................. 4
§ 1. Задача о касательной к окружности .................. 5
§ 2. Задача о касательной к эллипсу ..................... 7
§ 3. Задачи о касательных к параболе и гиперболе ........12
§ 4, Принцип минимума потенциальной анергии.............17
§ 5. Материальные точки и центр тяжести .................21
§ 6. Центр тяжести системы двух материальных точек.......25
§ 7. Теоремы о пересечении прямых........................26
§ 8. Центр тяжести стержня с многими грузами ............29
§ 9. Одна задача из теории чисел (формулировка)..........32
§ 10, Одна задача из теории чисел (решение)..............35
S 11. Нево шожность вечного двигателя....................40
Заключение...............................................42
1
ПРЕДИСЛОВИЕ)
Применения математики в физике ф частноши, т; механике)
общеизвестны: достаточно раскрыть школьный учебник. Выс-
шие разделы механики требуют сложного и тонкого математи-
ческого аппарата.
Существуют, однако, мат ема гпческис задачи, при решении
которых с успехом могут быть использованы понятия и законы
физики; см., например, главы IV и VI книги /I. А. Люстерника
«Кратчайшие .линии», изданной в качестве 19-го выпуска на-
стоящей серии. Ряд подобного рода задач, решаемых методами
механики (а именно с привлечением законов равновесия), был
приведен автором в его лекции «Решение математических
задач методами механики», «штанной для школьников 7—8 клас-
сов в Московском государственном \ ппверситете 19 февраля
1956 г.; эта лекция, с незначительными добавлениями, и со-
ставляет содержание данной брошюры.
Автор глубоко благодарен Исааку Моисеевичу Яшому, об-
стоятельные замечания которого способствовали уменьшению
числа недостатков этой книжки.
§ 1. ЗАДАЧА О КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ
Как известно, касательной к окружности называется пря-
мая. имеющая с этой окружностью ровно одну общую точку (на-
зываемую точкой касания}.В учебниках геометрии доказывает-
ся, что касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному и;
центра окружности в точку касания. Приведем доказательстве
этой теоремы, опирающееся па соображения механики.
С этой целью проделаем мысленно следующий эксперимент.
Иредстагим себе, чго грузик, прикрепленный к концу АТ нити,
висит на .этой нити; другой конец нити закреплен в точке О.
Из повседневного опыта чпгате.ть, конечно, знает, что при этом
(А) Грузик находится. в самом нажнем из возможных
положений, которые он может занимать, будучи связан
нитью.
л)тот факт. имеющий решающее значение для наших рас-
суждений, сам и.) себе совершенно очевиден; полезно, однако,
заметить. чго он представляет собой частное проявление некоей
мощей закономерности (формулируемой в гак называемом «прин-
ципе минимума потенциальной энергии','), с которой нам при-
зе гея встретиться в более сложной обстановке в § 4. Точнее,
при помощи упомянутого «пришита мшшму.ма потенциальной
знергипг’ утверждение (А) выводится из следующего очевид-
ного утверждения (Е):
(Е) Суще ст ну ет только одно положение равновесия гру-
зика, т. е. положение грузика в покое полностью определяется
положением точки О и длиной нити.
Из единственности положения равновесия (утверждение Е)
вытекает, далее, что
(С) Грузик находится на вертикальной прямой, прозе-
1-гнной из точки подвеса.
В самом деле, если бы грузик не находился на этой вер-
тикальной прямой, то. поворачивая вокруг нее нить вместе с
грузиком, мы получили бы новое положение равновесия (рис. 1).
В этом рассуждении мы опираемся, таким образом, еще на
один известный из опыта факт:
(S) Если тело или систему тел, находящихся в равно-
весии, повернуть вокруг, вертикальной прямой, то новое
положение будет также положением равновесия.
Веитцкаппнао
ей мня
Старое
положение
равновесия
Рис. 1.
Из утверждений (А) и (С) вытекает, что
(В) Расстояние от грузика до точки подвеса О равно
длине нити МО (это означает, что нить натянута).
(Заметим вскользь, что утверждения (В) и (С), конечно, не
менее очевидны, чем те, нз которых мы их вывели.)
Перейдем теперь к доказательству нашей теоремы. Пусть
(рис. 2) дана окружность с центром в точке О и прямая р,
касающаяся этой окружности в точке Р. Надо доказать, что
ОР\_Р- Перерисуем наш чертеж на вертикальной стене, при-
чем так, чтобы прямая р была горизонтальна и окружность
была расположена нас) прямой р. (Если поставить эту книжку
вертикально на ее нижний срез, то рис. 3 будет отвечать
указанным только что требованиям.) Заметим, что точка Р бу-
дет при этом самой нижней точкой окружности. Возьмем теперь
нить, длина которой равна радиусу окружности, и закрепим
один ее конец в центре окружности О. К другому концу,
6
который обозначим буквой .И, прикрепим трузтчт в подвесим
его на нити. Покажем, то конец /И попадет в точке И.
Действительно, во-первых, в силу (В), конец Л/ может нахо-
диться лишь па окружности; во-вторых, в силу (А), этот конец
находится в самой нижней точке этой окружности, т, е. в Р.
Таким образом, нить пойдет по радиусу ОР. Стало быть, в
силу (С), этот радиус перпендикулярен прямой р. что и тре-
бовалось доказать.
Разобранный только чы пример, конечно, не очень интере-
сен, ибо он посвящен доказательству хорошо известной и до-
вольно простой теоремы. Однако в дальнейшем этот же метод
бтдет применен к доказательству новых теорем. 11ры этом нам
пригодятся навыки, приобретенные в этом параграфе при «.меха-
ническом» доказательстве теоремы о касательной к окружности.
Прежде всего мы займемся в следующем параграфе естествен-
ным обобщением этой теоремы, а именно теоремой о касатель-
ной к эллипсу.
§ 2. ЗАДАЧА О КАСАТЕЛЬНОЙ К ЭЛЛИПСУ
Окружность определяется как геометрическое место то-
чек Д, расстояние .10 от которых до заданной точки О равно
заданному числу /. Обобщением этою определения является
определение эллипса. Эллипсом |рис. 4) называется геометри-
ческое место точек .4, сумма расстояний АО -J-.-4O, пт кото-
рых до двух заданных точек (\ и О равна заданному числу I.
Точки 0; и 02 называются фокусами эллипса, а I — длиной
большой оси эллипса. Отрезки AOt п АО.,, соединяющие ка-
кую-либо точку .-1 на эллипсе с фокусами, называются сбокаль-
ными радиусами, проведенными в точку А. Окружность есть
частный случай эллипса, когда точки 01 и 02 совпадают.
7
Фокальные радиусы в этом случае тоже совпадают и равнь?
радиусу окружности.
Каждый может нарисовать эллине, если возьмет пить, за-
крепит оба ее конца в каких-нибудь точках Су и О,, выбран-
ных па листе бумаги с тем расистом, чтобы расстояние О1О„
было меньше длины нити, п затем проведет линию, натягивая
нить острием карандаша (рис. 5). О свойствах эллипса см. в
книге А. И. Маркушевпча «Замечательные кривые», составля-
ющей 4-й выпуск настоящей серии.
Как и в случае окружности, прямая называется касательной
к .эллипсу, если она имеет с ним ровно одну общую точку (рис. (о.
Имеет место следующая теорема о касательной к
эллипсу: Касательная к эллипсу образует равные углы
с фокальными радиусами, проведенныма в точку касания
(на рис. 6 такими равными углами являются углы КРО, и LPOy.
Частным случаем этой теоремы является теорема о касатель-
ной к окружности. Действительно, в случае окружности оба
фокальных радиуса совпадают, поэтому теорема о касательной
к эллипсу формулируется для случая окружности так: каратель-
ная образует равные смежные углы с радиусом, проведенным
з точку касания: а это и означает перпендикулярность радиуса
и касательной.
Мы дадим сейчас доказательство теоремы о каслсльной к
эллипсу, аналогичное тому, какое мы дали для теоремы о
касате юной к окружности. Рекомендуем читателю, прежде чем
читать дальше, попытаться самому придумать такое «механи-
ческое . доказательство.
Как п в предыдущем параграфе, мы иредплилем доказгыель-
ству некий механический эксперимент. Фиксируем в вертикаль-
ной плоскости на равной высоте две точки О1 и О2. Возьмем
далее нить, длина которой превосходит расстояние OJJ,. и при-
8
крепи.'.! концы этой нити к точкам Ot и 6 На нить наде-
нем грузик таким образом, чтобы он мог свободно сколь-
зит!, вдоль лиги (например, проденем нить в ушко гпрч, как
это показано на рис. 7). Ec.ii! мы теперь предоставим грузику
свободно висеть на нити, то он попадет в конце концов
в некоторую точку сИ,
покоя. Очевидно, что
где и будет находиться в состоянии
имеют место следующие два факта:
(CJ Плоскость 0,0,-Е
вертикальна (т. е. нроходш
через вертикальную прямую)
Рос. 7.
(С2) авизованные отрезками М Ох и /И О„ с гори-
зонтальной прямой, проведенной через точку Л-1 в плоско-
сти М О,д„, равны.
Заметим. что утверждения (С,) и (»_.,) можно вывесги из утвер-
ждения о едписгвеппосги положения равновесия грузика. С 5-.о,й
целью проведем вертикальную прямую через середину oipeaK.i 0,0.
г повернем выну нить вместе с грузиком вокруг этой прямой пл 180°.
Конец шип О, попадет теперь в точку О,. а конец (Д— в точку О,.
Согласно утверждению (S; из иродыдсщего nanai рафа, мы полечим
..осижнпс равновесия, поэтому, в силу предположенной единственно-
сти э1Ю!(. с< < I, >яняя, пить (а вместе с пей и треугольник .И О, О.р со-
гмссигю' ю оячм прежним положением. Раз треугольник при нови-
poic па ]Чр: .н.гл.д шьется , ам v собой, значит. ось врашеш!;! лежит
в raoCKiKiii трсу: идти. Значит, и.госкосн, МО.О-, прохошг через
в еригкадьчую ,сь. т. е. она вертикальна. Далее, при иоонзведеипом
.O3''u>ie ! Щ.1ГЮНталина!: ч.ымаг. проке теииая че-дз /И в плоскости
A-I O.U,. с-оо!е Т'и 1 .он ,-| .13 о о/нг.. а \ч о.г о'ч'азовапиый ею ; глет-
ком МО,. счочк жгса с тглэм, .Юра юзанным сю же с oiiicjkom ;Й U,.
3;:ачг i. зч ж тча рашы,
Из'лан!!;.ж теперь от предположи! ии. что точки щдвеса
заходято, г:! одинаковой нысото. Пусть О, и О„—прог шот-
’ЫС ЧОЧК!.. ‘Ч1Д10СНМ К ГИД иа mil СИ(.боД|,С: СкО.'1!.3>ЛЩ!Й вдоль
неегрхзпк (рис. 8). livers в покое гртзик находится в точке .II.
Замесим, иго если грузик нахе пися в .-И и если мы закре-
пим н;пз в любой ее точке, то положение грузика не изме-
нится. (Действительно, если, скажем, мы закрепим нить в точке
О,, см. рис. 8, то натяжение участка шип 0,0, заменится
реакцией опоры в точке- О2.) Это обстоятельство нозво.тя-сг
распространить па общий случай выводы, сделанные нам.! про
рассмотрении равновысотных точек подвеса В самом деле, до-
статочно закрепить нить в точке 0„, находящейся на той же
высоте, что п О (рис. 8 *); положение равновесия при этом
не изменится. Положив (?1-—0(, мы придем к разобранному
ранее сличаю равновысотпых точек подвеса С-1, н О,. Поэтому
два ) гверждения:
(А) В положении равновесия грузик закилагш саии-г
нижнее из всех положений, которые он может занимать,
оуоучи. связан нитью (при помощи упомшжвшстосч уже в § 1
принципа минимума потенциальной энергии это утверждение
выводится :в единственности положения равновесия).
(В) В положении уавновеоия нить натянута ото значит,
что отрезки нити MG. и МО. прямолинейны и. следователь-
но. сумма расстояний ог точки Л1 до О. и О., равна длине
нити).
Вернемся к доказательству нашей теоремы касательной.
Пусть лап эллипс с фокусами U, и (?, (см. сиг 6; и длиной
омыдж .с ' и пряная KL, касающаяс$! сто г. шише В. Тре-
с-1 1 " 1 ’> что yGGJ'L. Д ач докатите тьства
и ill' гак, ч годы плоское > в чертежа сг :лз вор гикал:,-
ной, прямая KL горизонтальной, а эллипс был расположен
над прямой !\1. (тогда Р будет самой нижней точкой эллипса).
Вожмем вить длины /, чаденем на нее грузик, закрепим концы
нити в точках О. и О„. после чего отпустим грузик. Он зай-
мет некоторое потожение М. В силу (С,) точка .44 будет ле-
жать в плоскости чертежа. В силу (В) опа будет лежать на
эллипсе. В силу (Л) опа совместится с Р. Таким образом, нить
пойдет по отрезкам Р(р и
РО2. В свету ((B) углы, об-
разованные этими отрезками
с прямой KL. будут равны.
Другое доказательство
этой теоремы, также псполь-
ЗХЮЩС'С COOUpQ7i\C НГ>И МеХаб’.Ю
ки, читатель найдет в § 11
книги Л. А. .постерника
«Кратчайшие лпншп.
Свойство касательясй к
эллипсу образовывать рав-
ные углы с фокальными ра-
диусами дает возможность
построить циркулем и линей!'
скоро заданы ею фокусы? в заданны: точке. Для этого ди-
ета точно провести прямые через точку касания Р и фокусы
О, в О„ (см. рис. !)) и найти биссектрису угла В/?О„ (ши
\ ; дд ТРО.}. Эти бпСССКТрИк-З И бУ.ЛСТ КЗСИТСЛЬНОЙ.
>срОб с касательной к э.-иипст идее ”
i:\io ин геоноегаФно: coin считагь, чю эллипс ->е. > ( i
\ чн ( г е । а, ласлростолняклипесч л iлюскости 1 ч ! 1
лиса. лучи, исход,’Цое ог ючочното ieknihi 1 ' i > и > т-
Г- ОДОЮ! ИЗ ФОКХСОВ. СоберуЪГД и лпу; гб<) р < 1(1
.1 ?йс (;,и генплн). учит обуа'оианпый с э т л п ” пчющ i
С:'-.’ Л\'ЧОЧ С1>С‘а: Лавен ГО законам ОПТИКИ > f А ' > т 7 I 1 1
Hi Раисин иТ^и/кепн’.-]?.! IV4’ v. У; од обдазоп j > н । и Ф’’ n -1 и
(в данном сьчае лучом света н вл тисом», измеряется углом между
ьтон прямой и касательной к кривой, проведенной в вершине угла.
Поскольку падающий луч идет но фокальному радиксу, ю, в силу
доказанной теоремы, отраженный дут пойдет по другому фокаль-
ному радиусу.
§ 3. ЗАДАЧИ О КАСАТЕЛЬНЫХ К ПАРАБОЛЕ
И ГИПЕРБОЛЕ
Параболой, (рис. 11) называется геометрическое место то-
чек О, равноудаленных от некоторой точки F (называемой сбо/гу-
сом параболы) и некоторой прямой б. называемой директрисой
'Ыуабглы. (Подробнее о параболе см. уже у поминавшуюся
к.ним А. 11. Маркушевича.) Парабо ia делит плоскость на две
паст: в одной пз них находится директриса, в друюй (за-
штрихованной на рис. 12) •—фокус. Прямая, ичскмпач с параболой
роьно одну общую точку 11 целиком расположенная в одной
из частей, па которые параболой разделяется плоскость, назы-
вается касательной к параболе. На рис, 13 прямая /> касатсль-
а прямая q не является касательной, хотя н имеет с па-
раболой лишь ('.дну общую точке.
Нпраьед ива следующая теорема о касательной к
па »а боле: Если из npou3Ci\'t,nob точки Р парад алл
(рис. 14) пиосесиш стрлзок РР, co:('itlmiomii4 Pc фокус oui, и
отрезок PD. перпендикулярныЬ к директрисе, то угля, об-
разованные этими отрезками с касательно). р е, точке Р.
равны (так. на рис. 14 /Р>РК— ./KPF).
Эти теореме можно ч<докатать», опираясь на «механические",
соображения, апологичио теоремам из двух предыдущих пара-
графов. Дадим набросок такого «доказательства».
Проведем на пронзволыюм
'гло ci однако так. любы тонка Р лежала между а л
Поверие-! чюкж так, ч-.оОы он лежал в вертикальной плос-
кости, касал'льная а была горизонта :ьна и парабола быт.-,
расположена нал р. Будем мыслить себе прямую сГ в виде тон-
кою стержня, пл которому скользит кольцо (рис. 15). К кольцу
прикрепим нп>ь д .ины /. другой конец Hinn закрепим в точке F,
На aiy вить наденем грузик, могущий скользить вдоль нее.
Пусть положение равновесия грузика есть /И, а по южениг
кольца в ото вр.мя есть 1У. Нить будет натянута, поэтому
отрезки шит; MF п ЛиУ будет прямолинейны. Заметим прежде
PC О- ), что
.ШУ а. (И
(Если бы ото было щ так. то, как води, щ рис. 16.
составляющая Г, силы Т натяжения юии вдоль стеьж-
нч д' была бы отлична со, нудя ;; заставила бы кольцо
сдвинуться.) Далее, повторяя рассуждения предыдущею пара-
графа. устанавливаем, во-первых. что 'ты, обоаюзанные
отрезками MD' и MF с прямой у, равны и, во-вторых, что
ЛЮ' + .ИД.-^-/. (2;
Проведем /ЛР_!_Л. Так как расстояние между а и Л' равно Л
то из (1) и (2) следует, что
MD=-=MF. (3)
А это означает, что М лежит на параболе, попоем поскольку
М занимает самое нижнее из возмож-
ных положений, а Р есть самая нижняя
точка параболы, то /Л совместится с Р.
Рис. 16.
Следовательно, в конечном счете углы, состав тонные ог-
резкамн PF п PD с прямей о. равны.
фокальными радиусами, проведенными
(так, на риг, 19 Zj^PL—-Z_i-PF^.
тоику касания
.i скользить вдоль нес. Прикрепим один конец нити к
маленькому кольну, а другой закрепим в правом фокусе г.,.
Если aei.ерь повернхть чертеж так, чтобы прямая п (касате.ж-
ная! была горизонтальна, а соответств\юшая ветвь гипербол!»
лежала над прямой ь\ то надетый на нить грузик в положены-
покоя будет находиться в точке Р, Уто обстоятельство и ио-
.!!>(> тле г доказать теорему нрч номоии: \жс применявшихся нами
рассуждений. Заметим, что если точка касания лежит на
левой ветви, то можно повторить построение, описывая окруж-
.!Гкгь из правого фокуса. .'Ложно, однако, и в этом случае
зос1и ьс>1 окр\жиостыо с центром в левом фокусе, только
пн> > наго брать дтины "-'—а.
ha к л предыдущие теоремы о касательных, теорема >•
касат с к гиперболе тает способ ее построения.
g 4. ПРИНЦИП МИНИМУМА. ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Г'рм-чну 'тодюыый 11.1 каю- ю-ь вь.со"\. способен .уч п:>
дппип :гри;рьестм работы т. с. обтадаег цотсициа.и-ной энер
щей К.ч. известно из школьп-лч- курса физикг. потенциальная
энерг:::: । тузика вес-ш у, -.однягого iu вью. к. измеряется
произведением ah. ?4.ы видим, чт. иогеншш-г :ач энергия iex
‘ыньше. «ем ниже лаход’-’сн грыик. Стремление грузика за-
нять с •.•к е нижнее и-<с д::сhi• v связано с гем. что но(ежаымьнач
Э'и’с'рГ’ж; С • рС'НН С>1 - 'ey НЫИНТЬСН. l'-C'HI Гр\'WK 11 pl i.K 0 0 f i.U H К НП1Н.
/О В .6a',Ci ft H ?{,'. C : >0,’{'zKCHI111 Ю. i • 1? ?V '-H Wo'C'!' iM3T 1 >
и^тегннкпьная энергия бу;ит минимальна ikbuw сыгоагшее
i<h wwaaTv-'We гве тес-рез' о кжштсаьюцх решающую раю
ж весжденче ,'А), гтас.шцес. что в nt . ,ч;'ин:и оавноксспи ддзн
...jнемаш ыНмое нижнее на мищ-сиж ни (оженнщ равнасилюс
. ;yi; и1.. ' \ v гйнржденпю:
С ' ;у?д:;жжч-чш жга.шньжид чи':1сИ!П1и.кная эягрги. гг>-
?ияя 'я'пигаяя нлименьшего .
В од) очередь у-верждепие В’* (а знач-п и ЦЗ • яв-
.ыеж',‘ едет-'.еч уышржджиж • н । о едена ыж-нл о и полоне-
'Ж1 разд деды и <ж дующего _ ыжраюднаю
(D3 Если с нсг->Р1 ором пплз},С’'Я’1и грезили (ли потепца-
ильная и нргия ксстигасис н<тмень:и.его значения, ил> л/гс
’’сложение яолнялся нолонсениел г авновесил.
Чтобы вывести отсюда Цщ дошаточно заметит д чти ж м
бы в д>,жжении равновесия потенциальная энергш! не дж;|
газа наименьшего чначеипя. ю су!цс<тво15г,.ч, бы, в силу t'E )
2
cij.ic дгугое iio.’hжепие равновесия, еоотьсгствующес наимень-
шему значению гиюнпиальной энергии; нс* а го нрогпворечн"
мттерждеш’ю it|.
Ут гсржаение ;Г)’; является частным случаем общего нрин-
шл.а механики. называемого пршщшюм >.!иаимума .ютенцналь-
иой энергии, пли принципом Дирихле щбосзог.н.ис этого прин-
ципа ;м., например, в § 13 угоминавюейся уже книги
.о Л, .:юсгерника>. ирштцип щирихле гласит
То положение системы., е котором потенциальная энер-
гия достигает наименьшего знач.енлы:, явлеттсн и-нмо'сснием
равновесия.
Нели положен i о ь ни i динственш-, го принцип Ди
рихле допускает > m с ,,тис
В положении , - > и ни тиольная знер.’.ия системы,
достигает найм: , а с ч
Рис. 21.
Вывод щщщ следствия аналогичен выводу утверждения (U;.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь такие случаи,
когда положение равновесия единственно (возможны и другие
случаи; "ак, на рис. 21 показаны четыре положения оавновесин
j.
Конечно, д о! решения задач о касательных нет надобно-
сти прибегать к принципу минимума потенциальной энергии:
то. ч/о грузик занимает самое нижнее из нозложны?; положе-
нпй, само ом себе является очевидным. Однако в других с iy-
чзн:-;. тогда мы имеем дело не с одним, а с несколькими гру-
зиками. связанными между собой, было бы неверно утверждать,
что в положении равновесия каждый из них занимает самое
нижнее аз возможных положений; здесь прпеодптся находить
положения всех грузиков, а дня этого часто бывает удобным
использовать понятие потенциальной энергии.
Приведем пример.
В замечательной книге нильского математика Г, Штейн-
-ауз.а Мт rt магический катейдо/коп.' Гостехиздат. .V1.— Л,,
1049) ест 1 тага:-: зата'ы (тема 39;
••Для трех деревень нужно построить общую школу. В пер-
вой деревне живут 5'!, so второй 70. а в третьей 90 детей.
Где нужно выбрать место дд шкодь:, чтобы сумма времени,
которое придется тратить в<ем детям на хождение в школу,
была манима тиной?
Для решения этой задачи достаточно положить на стол
план местное;ш (рас. 2д, татем пробуравить в столе отвер-
стия в местах, расположения деревень, пропустить через эти
отверг. 1 ня три веревочки, верхние концы их связать в один
узел, а к нижним подвесить нагрузки соответственно в 50, 70
и 90 единиц (например, 500, 700 и 900 граммов). Школа
должна быт о построена таи, где окажется узел. (Почему?);)
Чтобы ответить на вопрос «почему?», поставленный в за-
даче, подсчитаем потенциальную энергию системы, состоящей
б данном случае из трех грузиков. Если веса грузиков равны
s7i- Д инвест первый грузик находится на высоте /г,, вто-
рой— на высоте Д и третий --на высоте h , то потенциаль-
ная энергия равна сумме потенциальных энергий отдельных
грузиков
£—4-^л,-4-о3лс. (I)
Пусть теперь г г,- расстояния от узла до первой,
второй и третьей деревень соответственно; I,—длины
первой, второй г. третьей нитей и А — высота поверхности
стола. Очевидно, в какой бы точке ни оказался узел и на
каких бы высотах h,, h„ h3 ни находились при этом грузики,
ВЫПОЛНЯЮТСЯ соотношения
о + д4-(Л - гг + (А---й.)^/3
ИЛ!!
/г, — г, -+- h — /г2 — /ц д- п - - Д. /г, ~~ r8 -j- h — .
Тогда равенство (1) можно переписать гак:
t: — уж, -4- п2/у -Y-qj.---C,
где
С (у, у2 -у. д > h. — у. /1 — у2/2 — q ls
есть величина постоянная, во зависящая от положении грузиков,
’} Дей. гонтелыю, иотешита.зьиая зпер''ия измеряется гой работой,
которая мо-кет быть произведена. Если мы обрежем ни си, то каж-
тый грузик нри падении произведет работе, рависо его потенциаль-
ной энср;ии. а ...ж .исгема — работу, равную cy.i -э этих отдельных
р 3 о о т .
19
В си.’у принципа мпнпмума потепцпальной энергии, если Е
принимавг наименьшее значение, то система находится в рав-
новесии. Отсюда --в предположении единственности потожения
равновесия — с'едует, что в положении равновесия величина Е
минимальна. Но если величина л минимальна, то и величина
т EJ\ “Т ЕЕ -Г ЕЕ ^-Е — С
тоже минимальна. Но Т как раз и есть сумма времени, кото-
рое тратят дети, чтобы дойти из своих деревень в ту школу,
где нзхоиыся узел. Так что при положении узла, соответ-
ствующего равновесию елнчемы, эта сумма времени действи-
тельно достигает своего наименьшего значения.
§ 5. МАТЕРИАЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
До сих пор мы ничего не отворили о размерах тех грузи-
ков. которые подвешивались на нитях. Из проводившихся рас-
суждений видно, что, с одной стороны, мы предполагали гру-
зики очень маленькими по размеру (сто ж маленькими, что о
положении каждого из ни.'- можно было говорить как о точке),
с другой стороны. мы наделяли их определенными весами и.
стало быть, массами.
Подобные рассмотрения подзэдят нас к отно.му и;- основных
понятий механики — понятию матерм.пьной точки '). Под
материальной точкой з мех,, нике понимаю! тело столь
чалое, го е!0 размерами ложно пренебречь. Материальную
точку можно представая!j. собе как геометрическую точку,
которой приписано опреле icиное число Ммасса>. ). Заметим,
что поскольку материальная точка имеет определенную массу,
io она имеет и определенный вес.
Если имеется какая-либо система материальных точек, то
на каждтю из точек действует сила тяжести, пропорциональ-
ная массе точки, равнодействующая всех этих параллельных
сит приложена в особой точке, называемой центром тяжести
чанной системы материальных точек. Положение центра тяже-
с ।ч зависит от положении! точек системы и от их масс,
В механике всякое тело рассматривается как состоящее
иг. весьма большого числа материальных точек. Эти масериаль-
ные точки имеют, вообще говоря, разную массу, так что рас-
о К сожалению, юо важнейшее иопиае па включено в тепе-
решний учебник фишки .1.14 средней школы (А. В. Пе рышки и,
В. В. К р а у к л и с . Курс физики, чают, первая, 'Механика,-, Учпед-
i из, М,, 19.57).
21
’} Более гочне, иод иегичомым телом 'или телом «с нулевой
массой);' мы понимаем тело ? мессий столь малой, что ею можно
пренебречь. Читатель jc-.hiet параллелизм между понятием мате-
риальной точки н пенящем невесомого тела. Пренебрежение массой
тела играет ь механньс ;<е менее важную роль, чем пренебрежение
разменом. Так, во всех и >еды.чущпх рассуждениях мы пренебрегали
весами Что не размерами’) ни сой.
22
Две cib-гГ': м:-:'. и ; < ь * ч оч> к аксивалечтнъ;. .саи,
во-лерсых, кенар' '° ‘ и ' испл лс axxia-xx'h L а хр":-
Г'О.ч aixxcceruu к , во-вторых, лелла ласе
есех тон л: т-рв г/хк i a a срлле хал всех точек
второй еаспхмсс
Нвсдонное гам- чошдте зквнваден гнсстн с.ис аа'л^дпеа:-
'Ч 7СД'< ’lit' jlp;' За.М“.НС ЧаС'Г >i t'viK'J'; OpL(i I ClICTC’ib! С 4.2 '1': X X „ ?\P ’“•
за ’ена’-юн w% м.а дрздеу а системе, а^'вина :ен['нзй аерни-
на^альвой. I 'ргзмльм этому утэтожмирч' более п чет лив с'
формулировку,
Пусть тана система 7 материальных т-очек /И ........41,
г?.......т. и система а сатерчи льны.
1е Включим в а всякую материалы!)ю течку системь- а,
ie совналаюшую по ио.ю/ьенню пи с одной из точек системы з.
2° Включим з а всякую материальную точку системы а, нс
совпадающую но положению ни с одной из точек системы ?.
3' Если некоторая материальная точка /И,системы я совпа-
дает по положению с некоторой материальной точкой Л'Д систе-
мы а, то включим в а. новую .материальную телику, положение
которой совпадает с положенном материальных точек и Л-/,,
а масса которой равна сумме п^-.-т,- масс указанные матерп-
а.-ц.ных точек. Справедливо следующее
Утверждение HI. Если система а. есть результат
объединения систем а и х, а tucme.ua д есть иезультит
объединения систем ли д, и если систем:/ и и с эксиве-
лектны и системы, а и у экеивчлентны, т:> еи-стс.иь: е. и
т ан лее экаивалентиы.
Д <> к а з а г с т ь с i го утверждения И К То, ч и> .г. .•тарные
,:ассы систем з и совпадают, очевидно. Покажем, что совпадаю' с
центры тяжести эпи систем. Равнодействующею сил тяжести, дси
этвующнх на мак'риа.жпяе точки системы «• можно пайпп вледуго-
щи.1 образом: сперва иайти равподейс гвующую Р си.; тяжести. дей-
•.-ibvk.'Uhx ла а, за;см найти равнодействующую Р сил тяжести. леи-
с:кующих на л, и, пакопсп, найти оавиодейсгвующую Р этих равно
’ойствутощих. Точно 1 ?к же равнодействующую С си i тяжести, денем -
зующнх па систему У можно найти как равнодействующ/ю твух т.н ।
У и Q, где Q — равнодействующая ,и.т действующих па i. и Q
равнодействующая сил, действующих на 3, В силу эквивалентное'! в .
и силы Р и Q совпадают. То то так же совпадают силы Р и Q.
немому совпадают и равно тейст в\ юшпе лих сил — ситы Р и (.)
В частности. •. нападают и течки и., притожеппя, т. с. центры тяже
.: н сие : ем т и у
Заметим, что для всякой системы материальных гэток .мод
щ> построить эквиваленiиую ей систему, состоящую всего и»
• •дней материальной точки. Для этого достаточно рассмотри!-
материальную точку, находящуюся в центре тяжести перво-
начальной системы п имеющую массу, равную суммарной ма'се
системы. Эта материальная тонка и обраще: систему, эквива-
лентную первоначальной. .Матернаюную точку, расположенную
в центре тяжести какой-либо системы имеющую массу, рав-
ную суммарной массе системы, будем называть .иатеуиальнь;.':
центром данной системы. Эквивалентные системы можно опре-
делить как такие сисюмы. материальные центры которых совпа-
дают.
21
§ 6. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ ДВУХ МАТЕРИАЛЬНЫХ
ТОЧЕК
Пусть на невесомом стержне укреплены два ip<o, ?•' и Q.
находящиеся на расстоянии d друг от друга (рис, 2.о. Требует-
ся наити центр тяжести стержня с этим» грузами. h ci
утверждения I пз предыдущего
параграфа, наш вопрос равно-
силен вопросе’ о том, в какой точ-
ке О надо подпереть стержень,
чтобы он находился ь равнове-
сии. Обозначил; расстояния иско-
мой точки О от грузов Р и Q че- Рис. 23.
рео к и V. Равновесие наступят
тогда и только тогда, когда произведение силы /’ на
равно произведению силы О на плечо V, т. е.
Ри Qv. г J •
Сравнивая равенство (1; с равенством
га —т’=—</, (2 г
получаем
л’ Q
лхсГчС П1М. ЧТО ЧТО раССТОЯНПЯ ОТ Ц2ТТг.д ’'.т.сС .
ю грузов обратно пропорциональны самим груза?;.
В частности, если оба груза равны по весу, го ic.Hip тяже-
сти находится посредине между грезами (что очеви юс я не-
посредственно); с,братии, если известно, что иск гр тяжести
находите я посредине, то отсюда следует, что оба гре?.;' равны
Если один пз грузов вдвое больше другого, то центр
тяжести находится ближе к большему iрузу, деля расстояние
между грузам:! в отношении 1:2; обратно, если ш.вестшчто
ченгр гяжести де,'шт расстояние между грузами о о;нон:еш>1’
1:2, го один из грузов (а именно гот. который ближе к цент-
ру тяжести; вдвое больше другого.
Поскольку центр тяжес:и стержня, масса которого ...>хре;;ото-
чена в двух точках .И и .V. совпадает с пен гроз: тяжести
сю. гемы двух материальных точек ,И и Л' щ соотиетс щующк-
ми массами;, то мы получил!: следующий се.змльтаг
Центр тяжести системы еву.е материальных точек
кехсит ; а прямой, соес иняющей эти точки. Его расстоя-
ние от этих точек оорапшо пропорционально их яесам
(а значит, и их массам}.
В час;f.'i'i центр тяжести юлит расстояние между точка-
мн non. ;.т-г.- "огта п только тогда, когда обц точки имеют
равные веса, центр тяжести делит расстояние между точками
в отношен!!!! ! :2 тогда и только то'-да, когда одна из точек
вдвое тяжелею другой (при этом центр тяжести ближе к бо-
лее тяжелой точке).
§ 7. ЕОРЕМЫ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПРЯМЫХ.
Ра< смг.т; ;,м какук'-лнбо систему материальных точек а,
явтяю'чуюгя ш'ъедгшидем систем у и J. Обозначим через /4
и .V материальные ксгт, i <• ' ч п 5,В силу утверждения Ш
из § 5 ст геме матери' -m т < М и эквивалентна
системе т.. Поэт...му чат о ~i i 1 i -юр системы а совпадает
с мг !.м системы, состоящей из точек М п
.V, и жит на прямой, соединяющей эти точки.
Поск центр системы расположен в ее центре
тяже in следующую теорему:
}''>Н1Г'р тяжести системы материальных точек, явля-
ющейся сллсинением систем т и ?, лежит на прямой, соеди-
няющей центры тяжести систем у и 5.
Мы .к;'!!!'.’ сейчас три геометрических применения «той
/ее ре мн:,
Мссиано! тренгольнико пересекаюенся в одной точ-:п
Поместим г еоь ины треуголы и: на ратные точечные грузы,
которые .цачим теми же буквами А, А, С, чт., и соотиет-
тглюи’ш. норц’инь; юпс. 26), Почтчонзтю систему материаль-
ных точек разобьем на две части у ч с так. чтобы л входила
г у, а В и 2 з ; Центр тяжести системы у находится в а
центр тчжелщ системы $ в силу дюж "'.’агов ире.тл.чvme.ro
лаоагоафа чах доте:: ? середине Е ст'чш ВС. Согласно теоре-
ме. •,тановленн.тй и начале, настоян'.его параграфа, центр тяже-
сти О системы J. В, С лежит на медиане АВ. Совершенно
так же > беж.даемеж “И' О лежит и ни двух других мелнаних.
• ,Tj 'И: ГЯъ в ЦСе 5 рЦ МРШжгНЬ5 ЯСПрОМСННО OeDCCCI'O'TCH в одной
ТО1‘КО.
Поскольку материал! ный центр Ай системы с 'находящийся
в точке Е': здвое тяжелее материального центра системы у,
соанадаюшего : материал!ной точкой А, то ленто тяжести
системы ;.W, А\ делит отрезок ЕА в отношении 1:2, причем
находится ближе к Е. Но этот центр тяжести и есть центр
тяжести системы Л, В, С, т, о. общая точка пересечения всех
мелили. Мы получили, следовательно, известную теорему отом,
что тонга ;;ерсее-си"л Мс-диа;' стсе!.'ает <п Иалышй медиань,
третью часть считан иг ^ос.т:’етгтврюш.ей сторочы.
Праппранспменный ':мип:-. !1ю'ть ~з::. чрогтран-
•.'твеичый четырехугол: ник ABCD (рис. 27;. Покажем, что
прямые EF п л£, соединяющие середаиь: его противоположных
-торон, пересекаются. Помести?.! в вершины чстырехуготышка
оачные гелзы, которые бтдем
’ 9> 3
считать материальными точеатш ю 3
' . J*
соотношение
Рекомендуем читателю проверить, чго соотношение (!-
действительно имеет место в следующих случаях:
1. Прямые ЛА>; ВВ. и СС\ суть биссектрисы треугольника.
(Указание: использовать теорему о том, что биссектркс;-
угла треугольника делит противолежащую сторону на части,
пропорциональные прилежат им сторонам.) Отсюда вытекает,
что биссектрисы углов треугольника пересекаются в емне.г
сочке.
2. Прямые АА., ВВ, и СС, суть, высоты трехготьнпка
Показание: использовать формулу выражающую дт:жы
отрезков, на которые высота делит соответствуют,ую стороне.
Отсюда вытекает, что высоты остроугольного трех сольника
пересекаются в одной точке.
Перейдем к доказательству теоремы Чевы.
Пусть соотношение (1) имеет место. Покажем, что прямые
L4,. ВВХ, С'С, пересекаются в одной точке. Рассуждение про-
текает так же. как и ь ты.тч пых двух щнк.ах. Л*ы дока-
жем. что при соответствующим образом подобранных грезах.
размещенных и вершинах, центр тяжести сиоемы дожит на
каждой из прямых ЛД ВВ, ,СС . Пусть (в каком-то масштабе'
АВ. о-с
СА,^с. A_B-:d.
ВС,---с, C.A^f,
-ак что
Помесим в вершине И груз, равный М. в вершине В — грут.
равный ас. и в вершине С—груз, равный аа. Центр тяжести
системы {.4. С) лежит а точке, расстояния которой от вершин
Р и С обратно пропорциональны грузам в этих вершинах: нс
।акой точкой является В,. Точно также центр тяжести спеш-
ны 1В. С! лежит в точке Наконец, центр тяжести системы
'.А. В{[ лежит в точке, раштояния которой х п у до верина
4 п В обратно пропорциональны трутам 6Р и ас. т. с.
tf • чз соотиошешь! (2) вытекает,
ас_ f
I’d А
Поэтому л'=/. у — е. С.л слова тел ьно. центр ляжесш системы
;-4, В\ попадет в точку С Остается заметить, что, в силу при-
веденной начале параграфа теоремы, центр тяжести веет ,
'реуголг-.чпкэ лежит па каждой из крямыч ЯП,, ВВ.. (’.С,.
Обратно, пусть прямые .4.4,, Z?/?,, СС, пересекаются и од-
ной точке О; покажем, что имеет место соотношение (1). Для
-лого представим себе чаш треугольник в виде невесомой пла-
стинки; расположим от,) горизонтально, 1'оюпрем в точке О н
помести?.! в вершинах грузы таким 5
образом, чтобы треугольник оказался :
в равновесии (рис. 29). R силу уч вер- " J’C-б л...—
/.едения i из § 3, точка С1 б\дел ' ’ ' \
шатром тяжеши треугольника с но- ?___2
шх'оаннымп. как указано, грузами в p[fi. 2q.
нео-пинах и. следова гсльло, центром
тяжести системы стих грузов. Поэтому точка О должна лежат г.
у. прямой, соединяющей А с центром тяжести системы {В, С\:
следовательно. А, есть цел гр тяжести’ системы {В, С}. Точ'ь
пк же В и С суть центры лгоквсти систем {С. Z.} и ;А В\
Если млссн та гер.ча тьны.т точек А, В, С лб.тшачшп, соотве >-
г'темно через у, о г, то согласно предыдущему параграфу
.45, _ _ < СЛ у ВС, _ у
В. С v ’ A Ji г С Р ~
ч.с+:ач О'!г: иропорц!!!! получаем требуемо:.
§ 8. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СТЕРТАЯ
С МНОГИМИ ГРУЗАМИ
;\l pquCjSiO
г v 6. ::,-!я pei’iuHcT. ифдачя -’cHin гаку?'-
t- C.C.CI1 ci ержсь!, _ п: ерст’ ь эгюй тс-чке и и ска*
'я-'ется о';ь!ЮЕесШ!. BbiHiic.-'ii:? сб,цпсс} л' ьчки gi еры1 *.
С ЙИСС (;И н-мС п; . . CJ а, Гт 3,ki .оси- И h t И
! iycTb абсцисса груза равна а,, абсцисса груза Рг рав*
заJo„ и а, д . наконец аосцисса груза равна Нредпо-
дог-ющ (рас Гб; игот гичка оторы г' чахолитг.1 ••••сжду грузами
и !\ . ( при э гом ас исключается случай, когда один из
s-irx грсао!'. полощен. как раз в С.. Тогда плечи cu . Р,, .... Pk
О', Д''т равны СООТйёГСТЕ’ОЧНО X — .... X —С1;, а ПЛечП сил
Pt,^, ..Р,. будут равны соогвезственно «,,+, —х, аи — х.
Так как стержень ииаодитсг: в равновесии, то сумма моментов
сил. закручивающих его против часовой стрелки, должна быть
равна сумме моментов сил, закручивающих его по часовой
стрелке, т. е.
(Л' a.) -f-.,. -j-Р^{л —ak$
Перенося члены, содержащие х, в .свею часть, а оста сены-?
г правую, имеем
Чсобы вычислить ого отношение, выпишем равен: ра
Р —1 д-б,.'= Is,
Складывая аги равенства, получаем
1“ -4- 2 4- ... 4- (п -4- 1) — 1 -р (1' т 2’’
3 (1 ’’ -!-• 22 -I- ... «4 4- 3
ила
(д-г-13 1 -г 3 (I2 2--f- z/7) -
ИЛИ
(га-i-l) Аг -р2п)
Разделим обе части на 3 (1 4- 2 -j- ... п)
12 -J- 2‘
- п
\п 4~ 1)4га2 -у 2щ
3 (1 -4- 2 -г- ... 4~ п>
В сумме 1 2-j- . . -j- п столько [__
же единиц, сколько заштрихован- [ ? <
иых квадратиков на рис. 31. А Г f
число этих заштрихованных квад- —+
ратиков равно числу незаштрпхо- । _
ванных, т. е. половине числа всех ’
квадратиков прямоугольника, т, е. .......—
(;; -4 1} 4s 4- 2,п)
3 (1 4' 2 -л;
_ {п 4- 1) (га2 4-
жду прочим, получаем, что
4'
П I
2« ж- 1д 4 у- 1;
Пример 2. Пусть те же грузы, что и
грузи! с весами 1, 2, ,.,7 п, расположены в
мп 1'. 24 ... а2. Докажите, что .-.бсписса ш
(У казанпе: воспользовавшись результатом примера 1,
вычислить сумму кубов 1' -j- 23 4- .., — п'.)
И р м е р 3. Пусть в тех же точках, что и в примере 1, т. е.
з точках с абсциссами 1, 2, п, расположены грузы с весами
1*. 22... и2. Докажите, что абсцисса центра тяжести есть
in(n 4- 1)
2(2/z 4- Ы '
§ 9. ОДНА ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (ФОРМУЛИРОВКАj
Механические соображения помогают иногда решать нс
только геометрические, но и арифметические задачи. Один
довольг । неожиданный пример’) такого рода будет сейчас рас
мотрен.
Возьмем строку из положительных чисел 4,, Р.,, .... Р„.
для тою чтобы сократить се длину, чы вычтем из крайних
левое- А и Р„ число Р, равное наименьшему и - этих край-
них членов, а взамен прибавим Р к средним членам (если
средниз членов — один, то оба числа Р прибавляются к
этому т.г;жтиенному среднему члену). При этом (если тюч -
•ко чД4 -дни или два крайних числа обращаются в нуль. т. с.
ничто?•... .1 си; следовательно, полученная строка будет уже
короче -юрвоначальной. Так, например, если первоначальная
’тоог; смела вид
.. ч;: пл г'тм строку
10, 4, 3.
Если . хжача.!ыл!я строка имела вид
6. 2, 6,
.и л;. "',! строк;’, состоящую из одного числа а нчсянс
14
:рю белее ксроткузл 'трок; 5\Дсч называть т.о
, зю-еЮ г пговоиачальвоп. 'Ажим образом строка Ад 4. 4
. с .-„.наводной от строки 1. 9, 3, 4, а стоека 14—i:o„--
-both г роки Ср 2, 6, Заметим, что для строки, состоя-
.д ж г щсез, ес производная совпадает с ней самой.
ЗаTao;-.о; теперь какой-либо строкой а к поступим с.тс-
цощ.о; образом. Найдем производную зтой строки, лбозна-
римеи юСоню „uo6ni.ei!
бергееьитем
чим ее а'. Далее найдем производную строку от строки у.'
Эту новую строку обозначим а" и назовем второй производ-
ной строки а. Производную от а" назовем третьей производ-
ной от а и обозначим а"’ и вообще производитю от (п — 1)-й
производной назовем л-й производной и обозначим у. 1
Поскольку длина каждой следующей производной на одну пли
две единицы меньше длины предыдущей, то, вычисляя после-
довательно производные для строки й, мы придем, наконец,
к строке, длина которой равна 1 или 2; ату строку мы назовем
последней производной или характеристикой строки а. Так.
характеристикой строки 1, !), 3, 4 будет строка 7. 10.
Заметим, что при переходе от строки к ее производной
сумма всех членов строки не меняется. Поэтому сумма в^ех
членов характеристики равна сумме всех членов первоначаль-
ной строки; в сл}чае, когда характеристика состоит из одно-
го члена, его величина как раз и равна этой о мме. Что же
касается случая характеристики длины два, то мы научимся
вычислять величины ее членов (не вычисляя всех промежутсч-
чтлх производных) в следующем параграфе. А теперь поставка
общий вопрос о том. b'Oipia характеристика строки состоит ;;а
одного, а когда пз двух членов. Попытаемся выяснить сперва,
как ибеюпт дело, путем «математического экспериментах.
с. зтой целью вычислим характеристики нескольких строк типа
(, 2, 3. Последовательные производные будем подию
ы-!ват;, друг под другом а подчеркивать средние ч-'сты:
Г! p и O'. 1 - 4 b
7.' ) -j- - -J -
r-" 4 ex . > •} 3
7>! 1 12 8
7 " ' i 4 7
П P 8 - ’ < p - ri 1 2 4 f- 7
rj 2 n -з G G
7. ’ q cs 7 6 4
> r rJ. 8 13 6 i
y.'r/' 7 14 7
Zk '! ’ 28
П p i' >' C p 6 7. 8 9 3 4 <) ( 7 8
Z'. 2 3 6 p. 7 7
c. .;5 3 1 g p '7 7
7."'’ J 3 9 / J
г) 13 13 i
O’/' 16 16 4
12 24
; r, . f \I С- 'X / . 7. 1 ) 3 4 6) (? 7 2-
7 ’ i~} о 4 7 0 7 0 8
a 3 4 8 7 8 6
v"' «- 'J I -- 7 8 3
a 1 G 1 , ib
у.""1 G 19 7
o6"J‘/ ч \ 26 17
30 UJ
мо:кег состоять как из одного, так к из дв\х членов. Можно
•юдметить следующую закономерное :ь: характеристика состоит
из одного чоеиа, если п~- ЗА-'Г1, а в противном случае —
нл двух членов. При этом обнаруживается новая интересная
• (собенность: если характеристика состоит из двух членов, то
один из них вдвое больше другого. Таким образом выявляется
слетуюпшя любопытная теорема:
Характеристика строки 1, 2, 3, . . ., п состоит из
одного члена паи п 3>kJ -1 в из двух при п — 3/е или
и — З.'гА в последнем случае осин из двух членов [нерзьш
при H-—3k и второй при ;i~=3kA-2} вдвое больше другого.
Эта теооеча и будет доказана в следующем параграфе:
при этом нс будет забыт и более обшиб вопрос: даш каких
строк характеристика состо'т из одного, а для каких—из
двух членов (как определить это по числам Р. Г,,, ...,РЧ,
но вычисляя всех производных строк)?
§ 10, ОДНА ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (РЕШЕНИЕ)
дадим ей задаче новое, мсхаинчсскоо пстп тковачне.
Вместо строки чпсст Р3, рассмотрим стержень
рис. 32, М, натруженный в точках А.. А.,. .....4,. (таких
системы сое г; жнеей из двух грузов весом Р каждый шзоора-
жепа нас, стержнем на рпс. 32. б!. При переходе к производ-
но!: системе грузов все грузы системы а. остаются на своих
местах, а грузы системы а сближаются, перемещаясь каждый:
на одинаковое расстояние (чтобы прибавиться к средним чде-
нам!;. Другими словами, производная система Р яв.тяегея объе-
динением двух систем д и S', из которых система а'совпадавi
с системой а, а система а' получается из системы а сближе-
нием обоих грузов последней на одинаковое расстояние. По-
скольку, очевидно, а и а эквпвалешны, то в силу утвержде-
ния Ш из § 5 эквивалентны и системы а и а'. А материаль-
ные центры эквивалентных систем совпадают.
ИТШ-'„ 1101! ПСрс'ХОДС1 ОТ СПС ГСМЫ грузов К ОС И род 3300 ЗОН
материальный центр (а значит, и центр тяжести) снесены !с
меняется. Следовательно. он не менясгся и при иерслоде •• :
nt рвоначальной снсгемы к ее характеристике.
Таким образом, характеристика — ото идип или два зочсччыа
груза, имеющих toi же i ентр гяжеси’, 'по и керьочзчальым:
система грузов. Заметим cine, что положения точечных гр;. зии.
составляющих характерны ику, совпадают с положениями рс-
i.oiopbiA ! первоначальной системы, т. с. с какшп-к1 ;н
Сьчек /),. < . .у . .мели характерпс ыга содержит два гру -.с.
то о: и грузы расположены в соседних точках, Л.- п .’ _ '
центр тяжести характеристики --между ними. Поэтому хар;ж-
геристпка тогда п только тыла сое шит из одного гр\ за. когда
ее центр тяжести (юж, что то же самое, центр тяжести иедво-
,:а!’а.’:ы;ой юыгемп;) -.овпадамг е одной из точек .... /г.
Согласно § S, центр ।:-жесги перк,.начальной сисыемы i
абсциссу
bi тали гд-
Р.-' -Р . ,.--Р, а
Р, — Р,-- -- Р,’
Чиюы непер тяжес.н совместился с одной из це.кжпе и. и: ь:х
ючек у, -Г, .....у., необходим'! и достаточно, чтобы .-г.
абсцисса выражалась целым чис.юм. Отсюда вытекает оконча-
тельно. чп, иасактеристтса строки Р.,.....P,t тсссп^
и тал'со то?, с, состоит из орико члена, ко?!-- т:с.н
В ч<!С1 кос гп, если Р,— PFP., — 22.Г'п =. г.-. г, (см. пример 3
гиклгда не ивляется целым (за исключением триал.стиилг-> сдтиач
—1). Действительно, если бы -ио число биги ц •дым, то было бы
, Зп (а 4-1,
.:?.:ыи п число ч—(—г . А тогда пелы.м чие.являлась оы
2 (2/7 — ’)
И роЗИ.ДТЬ
при ;; 1 характерна! икс строки 1, 4, 9, .... гг осот i1 сксюит из
дв с таге.'.
Если 1\ -----1, Р„ ~-2, . • ., Рп--п, то (см. пример 1 из § S'
Г\ • 1 4- .. . — Р,.-п 2п — 1
еипсм выражении —------------?п>~' служи г чисто - - - .
р.с.тп а -----3/? -J- 1, то число ,5L-= 2/г —- 1 це.ь v и харакге-
дгстпка состоит из одного и тема. Если п ----- с>к, то —
2« — ; если « —3'2ф-2, то — (2/2 — -1)----~ ; в
Зи 4- ’
• а,;)их иогдернпх случаях —г— пе есть ие юе 1Тпс.т> и харзк-
"зрксыжа смстопт из /пух членов. Этим доказана иерзад ’’аса '
оюемы, еформстированной ?. конце предычи гего параграфа,
Ес.т:: п —-Зр, то донтр гяяссстп системы грузов 1. 2 ,. . ., /;
1
Пысет, как только ”io чоказано, абслптсу 2чо. ечклов.г
второго
!' эазга 2 - --' - - ф. , J («икр !/:,«<
ст хее.д.; ткаками .4 ,, _ и .4 ::
ЛГтС; КД !>Т;/рО(! И!, !>' Г ' ( Т| . О'! ОМ' Гр\ 3 <\/< р.'! ИТЗр'!
§11. НЕВОЗМОЖНОСТЬ ВЕЧНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Рассмотрим какой-нибудь выпуклый многоугольник и точку О
внутри него. Опустим из точки О перпендикуляры на сто-
роны многоугольника. Основания этих перпендикуляров могут
лежать как на самих сторонах (как, например, перпендикуляр,
опущенный на сторону АВ па рис. 33), так и на продолжениях
сторон (как пеопеидику.ляры на стороны FA и FF на том же
чертеже). .Может, конечно, случиться, что основания всех пер-
пендикуляров попадут на стороны (так будет, например, если
и есть центр правильного многоугольника). Спрашивается:
лжет ли случиться, что основания всех перпендикуляров по-
1дут не па стороны, а па продолжения сторон? Оказывается,
го так случиться не может, т. е. основание хотя бы
'того 'жрнендикуляра лежит на соответствующей сто-
роне ба не на ее продолжении).
Для доказательства этого ут-
верждения используем принцип,
Аналогичная теорема справедлива и для мн< .п-гранинка
Именно, пусть дан выпуклый многогранник п точка О вттрп
него. Опустим из этой точки на плоскости всех граней мно-
гогранника перпендикуляры. Тогда основание хотя о г-4 одного
ив этих перпендикуляров лежит на самой грани (а не на
ее продолжении).
Для доказательства представим себе многогранник в виде
материального тела с центром тяжести в О. (Будем, например,
считать весь многогранник невесомым, а в точку О поместим
точечный груз.) Поставим теперь наш многогранник какой-либо
его гранью на горизонтальный пол. Многогранник либо оста-
цекя стоять в равновесии, либо покатится; в последнем
слтчае рано пли поздно он опять-таки остановится в равновесии.’.
Итак, у многогранника существует положение, в котором он
неподвижно стоит на полу. Рассмотрим ту грань, которая
является его площадью опоры. В силу утверждения И из § о
перпендикуляр, опущенный из О на плоскость этой ipai.ii, про-
ходит через самое эту грань. Мы нашли, таким образом, грань,
у ювл'.’творяюшую сформулированным в ;еэремс требованиям.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Все задачи, которые мы разбирали, можно было бы решить и
шсто магматически. Однако не следует думать, что исполь-
зование для решения математических ыдач механических со-
ображении- -просто игра ома. Подобные .методы имеют п исто-
рическое, и практическое значение.
Еще Архимед применял чаконы равновесия к нахождению
площадей крив клиненных фигур: так, для вычисления площади
параболического сегмента (т. е. фигуры, ограниченной дугой
параболы и. стягивающей згу дугу хордой) он '.подвешивал
сегмент к плечу рычага’). Во все времена механические и физи-
ческие соображения оказывали и оказывают существенное влияние
на получение математических результатов (если не в форме пря-
мого доказагелтства, то в качестве наводящих рассуждений ф.
Применение в математике законов механики — частный слу-
чай общего приема, заключающегося н обратном исп<гшзовашш
связи между явлениями природы и их математическим описанием.
Описать математически какое-либо явление — означает найти
формулы, позволяющие вычислять физические характерноики
-;гого явления (скорости, температуры, расстояния и т. л.),
или сравнения, решениями которых служа! указанные харак-
терце । пкп Прямое использование математического описания
состоит в том, что мы можем узнать численные значения ха-
рактеристик, не наблюдая самого явления, а производя вы-
числения но соответствующим формулам или решая соответ-
ствующие уравнения. Так поступать це.лссо.-бразно тогда, когда
’) См. Kiiciii: В. Ф. К а г .и. Архимед. М. — Л.. Госгс.хазла!.
1949 и С. Я. Лурье, Архимед. М. — Л., ики АН СССР. 1945.
о Добавление при к о о р с к л v р е. сЗм. в этой евши
। лаву IX ( Физическая ма ie.\ia i ика ) вышедшей недавно в русском
иереволе книги Д. ’Л о й а, Маюмачика и правдоподобные рассужде-
ния, .51., ИЛ. 1957.
12
само явление сложно, а его математическое описание просто.
Можно, однако, поступить наоборот: вместо того, чтобы вы-
числять значения формул или решать уравнения, осуществить
само явление опытным путем, измерить интересующие нас
характеристики и тем самым экспериментально получить, зна-
чения формул и решения уравнений. Такой путь целесообразен
тогда, когда мы имеем дело со сложными формулами пли
|рудно решаемыми сравнениями, описывающими, однако, явле-
ния. которые сравнительно легко осуществить.
Это: принцип лежит в основе моделирования н. е. иссле-
лования физических процессов на моделях), при котором осу-
ществляется следующая схема: нужно изучить процесс -1
(моделируемый); он описывается формулами и уравнениями Е;
одновременно Е служит описанием для процесса /V (м 'цедирую-
щего'). осуществимого в лабораторных условиях; осуществляют
процесс /V, тем самым находят значения формт.л и решения
уравнений Е и, следовательно, устанавливают- нужные свойства
процесса .4. О процессе Л (а также о формулах п уравне-
ниях Е) говорят, что он моделируется процессом Ад Прибавим
еще, что если два процесса описываются одними и теми же
формутами inn уравнениями, то в таким случае говорят об
имеющей место между этими процессами аналогии.
Простейшим примером моделирования является изложенное
в § 4 решение задачи Штейнгауза. Моделируемое явление .4 —
хождение детей в школу; интересующая нас характеристика —
затрачиваемое время. Это время яв тяется значением некоторой
формулы. Находится моделирующее «..втенпе .'Г (подвешивание
грузов на нитях), для которого згиг-.ением этой же формулы
служит величина потенциальной энергии. Последнее явление
эсущесгвтяегея экспериментально.
Метод модч.'шроваппя имеет большое практическое значение1’
|.° качестве м<до шрешишх испоть тсюгся главным обра юм
гидродинамические н электрические процессы). В частности,
этот метод нежит в основе многих типов так натыкаемых инте-
грирующих машин; с пртшщшом действия простейшей из них -
фрикционного интегратора --мы сейчас познакомимся.
Пусть дана прямая у и кривая /, лежащая по одну сгор-шу
от этой прямой (рис. 35), причем каждый перпендикуляр к у
пересекает / не более чем в одной точке. Возьмем два таких
перпендикуляра АВ и CD и будем искать члэщать S криво-
См. ciaibiiA.H. К о л м о г о р о в а. Модеточовтше'!! Л. 11. ['у-
rei!'.i а х е р а. Моделирование ма шмаюгтеское. т: 28-м томе вто-
рого издания Йо ияпой Советской Эпштктопед’.ш.
43
линейной трапеции' ABDC. С
на мелкие части точками
этой целью разобьем отре
А А’ А' X X =С
1 ’ 1 2’ S’ ' ' ' ’ - 1 П + 1
(на рис. 36 ч = 6). В каждом из отрезков Л. zY- выберем
точку "Г., из которой восставим перпендикуляр до пересечения
с кривой / в ючке Из каждой точки /,• проведем прямые,
параддельные р, до встречи с перпендикулярами, восставлен-
ными в точках А';. Площадь S' ступенчатой фигуры, заштрихо-
ванной на рис. 36, приближенно равна площади S криволиней-
ной трапеции, причем тем ближе к площади последней, чем
мельче отрезки А' АЗ, , на которые разбито основание АС
4а
Пюгь глины отрезков Л",............Хп ,X',,j i равны course'-
ciBC-Hiio г.р . . . , а длины отрезков Т, . . . , T„Yn равны
соответственно у}, . . , уп. Тогда площадь S' равна
ai3,J-------Н„Л- (1)
Рассмотрим теперь систему, состоящую из диска I и ко-
леса 11, прижатого своим ободом к диску 1 (рис. 37). Ко-
лесо П может перемещаться вдоль своей оси. Пусть в какой-
:о момент расстояние колеса II от центра О диска I равно у.
Поверием диск I на угол а (в радианной мере). Та, лежащая
на диске I точка, которая до поворота диска соприкасалась
с колесом II, пройдет при этом дугу, равную ху; такое же
расстояние пройдет и точка, лежащая на ободе колеса 11.
Колесо П повернется при этом на угол 3. Поскольку прп повороте
котеса И на дтол 3 точка его окружности проходит дугу рг. где
/---радиус колеса II, то т.у —Зг. Примем, что г-^ 1; тогда ч —
- ху .Если теперь установить колесо И на расстоянии.)/t or цен гра
О и поверимте диск па угол а,, затем установить колесо li на
расстояние у, от центра О и повернуть диск на угол а„ и т. д.,
наконец, установить колесо II на расстоянии у„ or центра О
е повернуть диск на хчол д„, го суммарный угол, на который
в результате повернется колесо И, будет численно равен ве-
личине <1), т. е. площади S' ступенчатой фигуры, заштрихо-
ванной па рис. 36
Нарисуем прямую /; и кривую / на аисте бумаги (рис. 38I.
Рассмотрим следующий механизм. Рейка укреплена на двух
колесиках, одно из которых катится по прямой р (так что рейка
постоянно перпендикулярна к этой прямой). На рейку насажен
движок, способный перемещаться вдоль рейки. В центре движ-
ка укреплен штифт, конец которого касается бумаги. Пред-
ставим себе, что рейка связана с диском I и колесом II сле-
дующим образом: поворот колесика рейки вызывает поворот
лиска I на тот же угол; расстояние колеса II от центра диска О
равно в любой момент расстоянию центра движка от начала
рейки. Радиус колесика рейки примем равным 1, Будем
Рис. 38.
обводить штифтом контур ступенчатой фигуры, построен-
ной на рис. 38; при этом рейка будет катиться вдоль пря-
мой р, а движок перемещаться по рейке. Из сказанною
в предыдущем абзаце вытекает, что в результате колесо 11
повернется на величину, равную площади S'. Чем мельче раз-
биение на части отрезка АС, тем ближе ломаная, составля-
ющая контур ступенчатой фигуры, приближается к кривой '
и тем ближе S' приближается к S. Если поэтому обводить
штифтом не ломаную, а самое кривую I, то колесо И повер-
нется па величину, равную S. Поворот колеса II может ре-
гистрироваться на специальной шкале.
Моделируемым процессом здесь является процесс измерения
площади криволинейной трапеции при помощи вычисления пло-
щадей ступенчатых фигур. 'Этот процесс описывается форму-
лой (1). Та же формула, как оказалось, описывает некоторый
другой пропесс. связанный с фрикционным механизмом, изобра--
дюнным на рис. 37. Это дает нам возможность моделировать
посредством указанного механизма формулу (1) и выражаемый
ею процесс итмерения площади.
Механические аналоги!! нраве.!!! нас, таким пора н>.м. к при-
бору для вычисления площадей криволинейных фшур (правда
фпгур особого вида — криволинейных трапеiгпй 11).
Закапчивая паше наложение, сделаем одно замечание принципиаль-
ного характера. Все рассуждения, основанные на привлечении меха-
нических соображений, moivi ыокалгпься придирчивому читателю не-
корректными. Уже первый, самый простой пример, разобранный в
§ 1, способен вызвать возражения. Действительно, шив не есль
прямая (она имеет определенную толщину, и, если на нее носмогреть
в микроскоп, окажется довольно неправильной формы), так что фраза
•шить идет по прямой» не имеет точного смысла. Далее, ь сцююм
смысле нельзя говорить о конце ниш как о точке (да и само yii'cp-
ждение, что груз прикреплен к шпп в определенной точке, гоже
не является безупречным). Наконец, всякая реальная шпп растяжи-
ма, поэтому длина пили с грузом больше длины нити без груза.
Можно было бы привести много критических замечаний подобно! о
рода, относящихся как к только что проведенному рассуждению,
так п к аналогичным рассуждениям, которые лежат в основе всего
изложения. Однако не следует думать, что все эти рассуждения тем
самым лишаются познавательной ценности. Мы считаем их це менее
убедшельпыми, чем геометрические доказаюльслва. Дело в том, что
все наши утверждения о нитях, грузах н т. н. incwt .типи, нрибли-
зи1 единый характер и выполняются юм точнее, чем более совершен-
ными свойспшш обладает взятый нами объект (пип,, iруз, и г. п.).
В пашем случае некоторые утверждения (например, «пить идет по
прямой»; выполняются тем точнее, чем юпьше выбранная нить; в
таком случае говорят, чго эти утверждения выполняются для беско-
нечно тонкой инти. Другие утверждения (например, что д.гипыу.шп!
с грезом и без груза равны,1 выполняются тем ючнее, чем менее
растяжима нить; в таком случае про эти утверждения i оворят, что они
выпо П1яю1ея д bi абсолютно нерастяжпмой шпи Ясно, что бесконеч-
но юшшх и абсолютно нерастяжи>;ых нитей в природе нс бывает.
Это такое же идеа льное понятие, как, например, швее гное из школь-
ною курса ппияше точки приложения силы; выгоды, сделанные для
сил. приложенных в точках, выполняются реально тем точнее, чем
меньше поверхность взапмодсйствня тел. Такой же идса.тизаннсй
является и понятие материальной 1очкЩ факты, ус iановлепные для
материальных >очек, выполняются для реальных iе ; юм точнее, чем
меньше их объемы.
Хочется подчеркнуть здесь, чю все поияшя и законы механик,'
так и вообще фишки) связаны с идеализацией явлений природы:
поэтому уже школьник, быть можец не отдавая себе в том огчета
chtoiiii: и рядом сталкивается с подощыми идсалинишами. Возьмем,
) Приборы, дающие площадь криволинейной трапеции при обводе
ее криволинейной стороны, называются иптегрпмеграмп (см. Б. I!. Д е-
л о и с. Краткий курс математических машин, ч. 1, М. - Л., Гостсх-
пщат. 1952). Приборы, дающие площадь произвольной фш уры при
полном обводе ее контура, называются планиметрами. () планиметрах
см. в упомянутой только что книге Б. Н. Делоне и в книге А. .51. Лоп-
iiuiiia. Вычисление площадей ориентированных фш vp. составляющей
29-й выпуск настоящей серии.
например. • ,xiio из начальных понятий механики — понятие равно-
мерного движения. Совершенно равномерных движений в природе
ие/бываел iiipn тщательном измерении оказывается, что даже стрелки
азеов движутся неравномерно). Однако в целом ряде случаев неравно-
мерность столь мала, что сю целесообразно пренебречь; так и возни-
\,юг понятие равномерного движения. То же самое можно сказать
о первом законе Ньютона: ведь тел, па которые не действуют другие
лета.* не бывает. Список подобных примеров можно было бы нро-
тплжать до бесконечности, они пролизывают всю физику.
Мы ви шм, таким образом, что механика оперирует, по существу,
по с реальными, а с идеальными телами и процессами, такими, как
<то-Ю. ня которое не действуют другие тела», «прямотипсйпос равно-
мершю движение'-) и г. д. При этом мы обращаемся с утимн идеаль-
ными объекта мп как с реальными, т. е. так, как если бы они суще-
ствовали в действительности.
Отметим, наконец, что механические абстракции (такие, как
ма 1 еС'Иа-’ьпая точка, невесомая бесконечно топкая абсолютно керас-
тяжимая вить и др.) ничем не отличаются по своей природе ог гоо-
-,о*iоическпх абстракций (таких, как точка, прямая, плоскость и т. д.;%
ведь точки, прямые и плоскости не существуют в природе в виде
шашчых объектов, и реальный смысл утверждений, которые о них
лслаюгея. состоит в том, что они выполняются тем точнее, чем больше
езятые рос 1ьные объекты приближаются по своим свойствам к точкам,
'рЛМЫМ. н~ скостим и т. л.