В. ИЛам
Колебания и волны в природе и технике
Компьютеризированный курс
Рекомендовано Региональным отделением УрФО учебно-методического объединения вузов Российской Федерации по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки
210300 - «Радиотехника* в УрФО.
Москва Горячая линия - Телеком 2008
УДК 621.39
ББК 32.88
К12
Рецензенты: академик Российской Академии наук, профессор, директор института «Радиотехники и электроники» Российской Академии наук К) В Гуляев, академик Российской Академии наук, профессор, заведующий кафедрой Московского физико-технического института (МФТИ) А. С. Бугаев; доктор физ.-мат. наук, профессор, главный научный сотрудник института «Радиотехники и электроники» Российской Академии наук £. И. Нефедов
Каганов В. И.
К12 Колебания и волны в природе и технике. Компьютеризированный курс: Учебное пособие для вузов. - М.: Горячая линия-Телеком, 2008. - 336 с.: ил. ISBN 978-5-9912-0008-0.
Изложены основы теории колебаний и волн различной физической природы в механических, электронных, биологических, химических системах и планетарного вида. Анализируются линейные, нелинейные, параметрические, случайные и хаотические колебания в разнообразных объектах. Исследуется прохождение электромагнитных волн в структурах распределенного типа и их распространение в свободном пространстве. Анализируются поверхностные, внутренние, уединенные, акустические и ударные волны в сплошных средах -жидкостях и газах. Рассматриваются волны природного характера, связанные с землетрясениями, цунами и циклонами. Приведено 76 программ на основе универсального математического пакета программ «MathCAD» по большинству разделов дисциплины, позволяющие с помощью компьютера анализировать и рассчитывать колебательные и волновые процессы в различных системах и средах, в том числе с использованием вейвлет-анализа.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям направления «Радиотехника», и аспирантов.
ББК 32.88
Учебное издание
Каганов Вильям Ильич
Колебания и волны в природе и технике Компьютеризированный курс Учебное пособие
Редактор Ю. Н. Чернышов Художник В. Г. Ситников Компьютерная верстка Ю Н Чернышова
Подписано в печать 26.07.2007. Формат 60 х 90‘/1в. Гарнитура Times.
Усл. псч. л. 21. Уч.-изд. л. 22.75. Тираж 2000 экз. (1-й завод 1000 экз.). Изд. №78. Заказ №8000
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО ордена «Знак Почета» «Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова» 214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина, 2.
ISBN 978-5-9912-0008-0	С В. И. Каганов, 2008
© Оформление издательства «Горячая линия-Телеком», 2008
ПРЕДИСЛОВИЕ
По дисциплине «Колебания и волны» издано большое число монографий, учебников и разного рода пособий, глубоких по содержанию и строгих в математическом плане, значительная часть которых приведена в списке литературы. И все же автор решился внести свой дополнительный вклад в эту научную дисциплину. Этот вклад состоит в том, что настоящее учебное пособие имеет три принципиальных отличия от ранее изданных и используемых в учебном процессе.
Первая особенность состоит в анализе разнообразных физических задач, в том числе и повышенной сложности, с помощью компьютерных программ, составление которых вполне посильно студентам, овладевшим навыками программирования в среде MathCAD. Поэтому изложение материала в настоящем учебном пособии проводится с использованием таких прикладных программ.
Руководствуясь сказанным, в книге при решении сравнительно простых задач используются аналитические методы, а повышенной сложности — численные с применением компьютера. В общей сложности в книге приведено 76 прикладных программ на языке MathCAD.
Второе отличие предлагаемой книги состоит в охвате широкого круга задач и проблем колебательного и волнового характера, встречающихся в природе и технике. Анализируются, например, такие задачи, как флаттер, приводящий к разрушению самолета; взаимодействие трех тел в поле тяготения; проблема вращения твердых тел, решенная С.В. Ковалевской; ряд задач по электронике и другие, не рассматриваемые в изданных книгах.
Третья особенность состоит во введении в учебный курс «Колебания и волны» нового, помимо Фурье-преобразования, более углубленного спектрального метода анализа колебаний с помощью вейвлетов, отсутствующего в существующих учебных пособиях, и использование интеграла Дюамеля при анализе линейных волновых систем.
4	Предисловие
Автор надеется, что настоящая книга явится учебным пособием по применению компьютерных технологий при решении разнообразных физических задач по дисциплине «Колебания и волны». Освоив решение таких задач с помощью конкретных примеров и программ, приведенных в настоящей книге, можно будет приступить к самостоятельному решению новых проблем прикладного характера, с которыми студент сможет встретиться при учебе или в своей дальнейшей работе.
Считаю своим долгом выразить признательность за помощь и поддержку член-корреспонденту Российской Академии наук А.П. Реутову и поблагодарить за полезные замечания рецензентов: академиков Российской академии наук Ю.В. Гуляева и А.С. Бугаева, профессора Е.И. Нефедова.
ВВЕДЕНИЕ
Теория колебаний — синтетическая наука. Теория колебаний и волн является синтетической научной дисциплиной, изучающей разнообразные по своему физическому содержанию явления и процессы в природе и технике: от колебаний простого маятника до разрушительных волн цунами, от химических реакций до изменения популяций в животном мире, от транзисторного автогенератора до тропического циклона, от процессов в ядерной физике до явлений социологического характера. Этот список примеров можно бесконечно продолжить. Рассмотрение общих законов, которым подчиняются колебательные и волновые процессы, протекающие в материальном мире, составляет предмет изучения дисциплины «Колебания и волны».
Основой единого подхода к столь разным но своей физической сущности процессам является математическая база, используемая при исследовании колебаний и волн и включающая обыкновенные и с частными производными дифференциальные уравнения и спектральный анализ детерминированных и случайных колебаний.
Поскольку теория колебаний и волн изучает явления разного физического содержания, то она тесно взаимодействует с таким научными дисциплинами, как гидродинамика, оптика, акустика, электродинамика, радиоэлектроника, теория упругости, небесная механика, сейсмология, метеорология. Во всех перечисленных научных дисциплинах изучение колебательных и волновых процессов занимает одно из ведущих мест, что и обусловливает их неразрывную связь с общей теорией колебаний и волн.
Содержание книги. Книга состоит из 15 глав, 10 из которых посвящено колебаниям, а пять — волновым процессам. Исследуются колебания разного вида: вынужденные, свободные, параметрические, случайные, хаотические. Анализ данных видов колебаний проводится с их привязкой к конкретным физическим структу
6
Введение
рам — механическим, электромагнитным, электронным, биологическим, химическим. Такой же подход используется и при анализе волновых процессов в распределенных структурах различного физического свойства: линейных и нелинейных, с потерями и без их учета, дисперсионных и бездисперсионных, активных и пассивных. На основе общих методов исследуются акустические и электромагнитные волны, поверхностные и уединенные, распространяющиеся в твердой, жидкой и газообразной средах. Последняя глава посвящена волнам природного характера, приносящим громадные разрушения: сейсмическим, цунами и связанным с циклонами.
Метод решения рассматриваемых задач. С давних времен в математике решение различных задач проводилось в русле двух основных направлений: аналитическом и численном. В первом случае конечным продуктом решения является формула, позволяющая рассматривать явление в целом и охватывающая широкий класс задач определенного класса. Из общего решения, представленного формулой, путем подстановки в нее чисел вытекает решение обширного множества частных примеров.
Численный способ, связанный с решением конкретной частной задачи путем продвижения от точки к точке с некоторым весьма малым шагом, был более ограничен в своих возможностях до появления компьютера. Чтобы охватить какое-либо явление в целом, необходимо было рассмотреть большое множество частных примеров и выполнить огромный объем рутинных вычислений. Вместе с тем численные методы имеют одно неоспоримое преимущество: с их помощью можно решать обширный класс задач, в первую очередь, нелинейных, которые не поддаются аналитическим методам.
Приведем в этой связи только один пример. Великий математик Леонард Эйлер потратил 20 лет жизни, чтобы вычислить орбиту движения Луны с учетом влияния на нее не только Земли, но и Солнца (так называемая задача о тяготении трех тел). Теперь с применением компьютера такая задача по силам студенту.
Итак, аналитический метод дает общее решение. Но при анализе задач повышенной сложности он во многих случаях не позволяет найти решение. В лучшем случае с его помощью можно найти приближенное решение, внеся упрощения в исходную модель анализируемого процесса. Численный способ позволяет существенно расширить круг решаемых задач, особенно прикладного характера. Однако он требует огромного объема рутинных вычислений. Важное значение и применение имеют, конечно, оба метода: и аналитический, и численный, дополняя и обогащая друг друга.
Появление компьютера внесло радикальные изменения в применение численных методов при решении громадного множества задач
Введение
7
в самых разнообразных областях прикладных наук. Компьютер дал как бы «второе дыхание» численным методам, взяв на себя выполнение огромного объема рутинных вычислений с высокой скоростью и повышенной точностью.
Компьютер позволяет глубже понять и усвоить физическую сущность процессов, протекающих в природе, технических системах и устройствах; исследовать проблемы, недоступные аналитическим методам; найти оптимальные решения при решении разнообразных задач повышенной сложности; провести необходимые расчеты быстро и с высокой точностью.
Поэтому в книге при решении сравнительно простых задач используются аналитические методы, а повышенной сложности — численные с применением компьютера с помощью 76 прикладных программ на языке MathCAD.
Краткая история становления и развития научного направления «Колебания и волны». Трудно отдельно анализировать историю развития такой обобщающей науки, как «Колебания и волны», становление которой происходило в тесном взаимодействии со многими другими научными дисциплинами. К какой науке, например, следует отнести ударные волны, сопровождающие взрывы огромной мощности? К теории волн или физике взрыва? А изучение электромагнитных волн — к теории электромагнитного поля или общей теории волн? Автоколебания генераторов следует изучать в рамках радиоэлектроники или общей теории колебаний? И такие вопросы, не получая по ним однозначного ответа, можно задавать почти по каждой проблеме из курса «Колебания и волны».
Поэтому, не претендуя на полноту изложения, остановимся только на нескольких значительных вехах из истории становления теории колебаний и волн, сыгравших важную роль в ее развитии.
Теория колебаний, по всей видимости, может начинать свой отсчет от маятника, а точнее, от предложения о его применении в часах для улучшения точности их показаний. Первые часы — солнечные — появились в Китае и Древнем Египте. Затем человечество обзавелось водяными и песочными часами. Механические часы — стенные с гиревым заводом и ручные с пружинным — были изобретены в средние века. Общий недостаток первых механических часов — их низкая точность из-за сильной зависимости скорости хода от температуры воздуха, степени загустения масла в опорах и других причин. Вместе с тем потребность человечества в существенном улучшении точности показания часов, в первую очередь, для целей мореплавания, ведения военных действий и астрономии, все более возрастала. Для поощрения изобретателей в ХУП в. были установлены даже высокие
8
Введение
денежные премии (например, в Англии — 20 000 фунтов стерлингов) для тех, кто повысит точность механических часов.
И вот за решение данной проблемы после окончания Лейденского университета взялся молодой Христиан Гюйгенс. Сила его таланта состояла в том, что в одном лице соединились глубокий теоретик и искусный изобретатель, что и помогло ему найти оригинальное решение, позволившее существенно повысить точность механических часов. Сущность идеи Гюйгенса состояла в применении в часах в качестве устройства, обеспечивающего их равномерный ход, маятника. С этой идеей современный человек вполне свыкся. Но ее рождение по своему воздействию на дальнейший ход технического прогресса неоценимо.
После получения в 1657 г. патента на свое изобретение Гюйгенс раскрыл устройство новых часов с маятником в опубликованной им брошюре. Однако после этой публикации ученики Галилея заявили, что великий ученый еще в 1641 г., т.е. за 16 лет до Гюйгенса, пришел к той же идее об использовании в часах маятника. В 1642 г. Галилей умер, не реализовав своей идеи, но успев передать чертежи своим последователям и наказ изготовить часы с маятником, который однако выполнен не был. В историю техники маятниковые часы вошли под двойным именем: Галилея—Гюйгенса. Правда, не будем при этом забывать, что идею Галилея его ученики благополучно схоронили, а вот Гюйгенс сумел воплотить свою в жизнь.
Обратимся к следующей вехе в науке о колебаниях, сыгравшей большую роль в деле практического использования результатов теории в технике. В 1784 г. английский изобретатель Джеймс Уатт получил патент на универсальный паровой двигатель с центробежным регулятором с дроссельной заслонкой для поддержания постоянства числа оборотов вала.
Отметим, что подобный, принцип стабилизации с применением регуляторов используется теперь и во множестве других устройств, например, электрических двигателях. Только в них регулятор выполнен иначе — с применением электронных устройств. Но общий принцип работы остается неизменным: всякое отклонение выходного параметра устройства от нормы вызывает такое противодействие, которое с помощью регулятора возвращает этот параметр к прежнему значению. Однако в одних случаях регулятор Уатта работал нормально, устойчиво, а в других переходил в колебательное движение, т.е. неустойчиво. Решил проблему улучшения устойчивости работы центробежного регулятора профессор Петербургского технологического института И. А. Вышнеградский, опубликовавший в 1876 г. сначала в Петербурге, а затем и в Трудах Парижской академии наук
Введение
9
статью «О регуляторах прямого действия», послужившей отправной точкой развития теории автоматического регулирования и нового направления в общей теории колебаний, связанного с устойчивостью протекающих процессов.
Рассмотрим еще один важный вклад в теорию колебаний. Одним из часто встречающихся видов движения в материальном мире является вращение твердого тела, сопровождающееся колебательными процессами. Так, невидимая ось Земли при своем вращении колеблется, описывая круг с периодически изменяющимся радиусом словно «волчок», вращающийся по твердому полу. В технике, как и природе, многим видам вращения свойственны определенные виды колебаний. Исходя из важности теоретического осмысления данной проблемы, Парижская академия наук в 1888 г. объявила конкурс на соискание премии за лучшую работу на тему: «О движении твердого тела». По условиям конкурса необходимо было усовершенствовать или существенно дополнить теорию по названной проблеме в области механики. Лучшей из представленных на конкурс работ, удостоенной первой премии, оказалась работа Софьи Ковалевской — математика из России, профессора Стокгольмского университета.
Тема научного труда Ковалевской имела такое название: «О движении твердого тела вокруг неподвижной точки». Ранее данной проблемой занимались такие выдающиеся математики, как Эйлер, Лагранж и Пуассон. Первым глубоко разобрался в этой замысловатой задаче Эйлер, изложив теорию вращения «волчка» для одного из частных случаев в работе «Теория движения твердых тел» (1765 г.). Другой частный случай исследовал Лагранж и на этом дело застопорилось. И вот теперь данную проблему в полном объеме решила женщина-математик Софья Ковалевская.
Обратимся теперь к еще одному виду колебаний и волн — акустическим. Здесь одной из первых научных работ следует назвать труд английского физика Дж• Рэлея, опубликовавшего в 1877 г. книгу «Теория звука» и заложившему начала новой науки — акустики, как составной части теории колебаний и волн.
Следует отметить, что теория колебаний, образно выражаясь, развивалась вширь, охватывая все большее число разнообразных физический явлений — из механики, оптики, акустики, электродинамики, и вглубь, переходя от линейных моделей изучаемых явлений, к более совершенным — нелинейным. На этом пути — развитии теории нелинейных колебаний — первостепенную роль сыграли работы выдающихся математиков А. Пуанкаре, Дж. Биркгофа и А.М. Ляпунова.
В русле данного направления проводил исследования и голландский физик Вап-дер-Поль, обосновавший метод медленно меняю
10
Введение
щихся амплитуд для исследования нелинейных колебательных процессов и применивший его для анализа лампового автогенератора.
Еще одной областью исследования общей теории колебаний в начале XX в. явились химия и биология. Первым теоретически обосновал возможность колебательного характера протекания определенного класса химических реакций американский математик А. Лотка, опубликовавший в 1910 г. статью «Теория периодических реакций». Первым экспериментально 40 лет спустя подтвердил данную идею наш соотечественник, химик Б.П. Белоусов.
Колебательный характер развития видов как важной черты эволюционного процесса был замечен биологами в животном мире. Но первым, кто придал математическую форму такому процессу, явился выдающийся итальянский математик В. Вольтерра.
Отправной точкой в теории волновых процессов явились исследования по проблеме колебаний натянутой струны — источнике звука. Современное понимание данной проблемы впервые было сформулировано французским ученым Д'Аламбером, опубликовавшим в 1747 г. работу «Исследование по вопросам о кривой, которую образует натянутая струна, приведенная в колебание», явившейся началом развития математической физики. В становлении нового научного направления, вобравшем в себя изучение волновых процессов, помимо Д'Аламбера деятельное участие приняли крупнейшие математики Эйлер, Лагранж и Фурье.
В 1873 г. английский физик Д-К. Максвелл, основываясь па экспериментах М. Фарадея, опубликовал выдающийся научный труд «Трактат об электричестве и магнетизме», заложившей основы теории электромагнитного поля и обосновавшей возможность распространения в пространстве электромагнитных волн. В 1888 г. Генрих Герц опубликовал статью «Силы электрических колебаний, рассматриваемые согласно теории Максвелла», придав более ясную и законченную форму уравнениям основателя теории и экспериментально подтвердившим существование электромагнитных волн. Так было положено начало новому направлению в общей теории колебаний и волн, связанному с распространением электромагнитных волн.
Важное открытие, связанное с распространением волн в жидкостях и газах, в 1834 г. сделал английский исследователь Скотт Рассел, обнаруживший существование уединенной волны, названной позже солитоном. Книга ученого «Волна переноса» была опубликована в 1885 г., спустя три года после смерти ее автора, а теоретическое объяснение открытия Рассела состоялось только спустя 60 лет. Авторами теории, объяснившей условия возникновения и существования уединенной волны, явились голландские ученые Кортевега и де Фрис.
Введение
11
Составленное и решенное ими нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, доказывающее возможность существования уединенной волны, получило название КдФ — по первым буквам фамилий авторов уравнения.
Важной вехой в теории колебаний и волн явилось теоретическое объяснение явления дифракции, наблюдаемое при распространении волн на границе сред с разными свойствами. Дифракция проявляется в волновых процессах разной физической природы, в том числе, относящихся к гидродинамике, электродинамике, акустике, оптике, сейсмологии. Дифракционное поле возникает там, где на пути распространения волны встречается неоднородность, т.е. объект со свойствами, отличными от основной среды. Два ученых — Гюйгенс в 1690 г., а затем Френель в 1822 г. — обосновали принцип, легший в основу волновой теории света и объяснивший явление дифракции.
Из последних открытий в теории колебаний и волн следует отметить проблему «хаоса». Таким режимом названо возникновение и существование в системе нерегулярных колебаний, близких по своей структуре случайным процессам. Исследования по проблеме «хаоса» привели к открытию нерегулярных, хаотических колебаний в разнообразных по своей природе детерминированных динамических системах 3-го и более высокого порядка — биологических, химических, экономических, физических, механических и других [23, 51]. Теория хаоса помогает вскрыть механизм возникновения нерегулярных колебаний и при необходимости принять меры по их устранению. Первым возможность существования хаотических колебаний в системах невысокого порядка установил Э.Н. Лоренц.
В нашей стране в первой половине XX в. теория колебаний и волн интенсивно развивалась представителями двух научных школ — Московской и Горьковской — учеными, преподававшими на физических факультетах в Московском и Горьковском (современное название Нижегородский) университетах. Назовем имена и работы наиболее известных ученых.
Московскую школу физиков, занимавшихся проблемами колебаний и волн, возглавлял академик Л.И. Мандельштам. Прочитанный им в 1930-1932 гг. в Московском государственном университете курс лекций по теории колебаний, изданный позже в виде монографии [56], явился основополагающей теоретической базой для последующих исследований. Важную роль в развитии теории колебаний сыграла также монография по данной проблеме, авторами которой являлись А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин [2], и книги Г.С. Горелика «Колебания и волны» [17] и С.П. Стрелкова «Введение в теорию колебаний» [77]. Назовем также имена еще двух ученых,
12
Введение
плодотворно развивавших теорию колебаний и волн — Н.Д. Папа-лекси и С.М. Рытова.
Первым руководителем Горьковской школы физиков, занимавшихся проблемами теории колебаний и волн, был академик А.А. Андронов. Выполненные им работы по теории колебаний собраны в едином научном труде [3].
Большую роль в развитии теории колебаний сыграли также работы академика Н.М. Крылова [43], Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [7]. Следует выделить также исследования по проблеме ударных волн, проведенные академиком Я.Б. Зельдовичем [26].
В настоящее время теория колебаний и волн успешно развивается на физических факультетах государственных университетов России: Московском, Нижегородском, Саратовском, Петербургском, и других высших учебных заведениях. Часть книг по тематике «Колебания и волны», изданные профессорами и преподавателями университетов России, приведены в списке литературы [1, 9, 32, 37, 41, 46-49, 59, 60, 69, 71, 79, 80].
Глава 1
ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
1.1. Примеры колебаний и волн в природе и технике
Колебаниями называются разнообразные движения и процессы, имеющие определенную повторяемость и изменчивость во времени. Волнами называются распространяющиеся в одном или нескольких направлениях колебания вещества или поля, имеющие повторяемость и изменчивость не только во времени, но и в пространстве. Физическая сущность колебаний — механических, электрических, магнитных, оптических, акустических, химических, биологических, экономического и иного характера — различна, но законы, которым они подчиняются, в главном совпадают. То же замечание относится и к волнам.
Для определения колебаний следует знать зависимость характеризующих их параметров от времени. Для определения волн следует знать зависимость характеризующих их параметров не только от времени, но и от пространственных координат.
Приведем примеры колебаний природного и технического происхождения.
Колебания маятника как зависимость угла его отклонения относительного вертикального положения 0 = F(t) (рис. 1.1,а).
Затухающие колебания в параллельном колебательном контуре после заряда конденсатора до напряжения Е как зависимость для напряжения и = F{t) (рис. 1.1,6).
Высокочастотные колебания гармонического или релаксационного вида и = F(t) в автогенераторе, т.е. устройстве с обратной связью (рис. 1.1,в).
Колебания корабля в зависимости от амплитуды и частоты набегающих на него волн как зависимость угла отклонения корабля относительного вертикального положения 0 = F(t) (рис. 1.1,г).
14
Глава 1
Рис. 1.1. Примеры колебаний
ДтилЙИмС положения теории колебаний
15
Рис. 1.2. Примеры волновых процессов
Колебания электрических потенциалов в различных участках сердца, записанные в виде электрокардиограммы (ЭКГ) (рис. 1.1,0).
Колебания популяции хищников (количество Ni) и их жертв (количество N?) в природе Ni = F(t) и Nj = <D(t) (рис. 1.1,е).
Хаотические колебания скорости восходящих потоков в атмосфере (рис. 1.1,ж).
Приведем примеры волн природного и технического происхождения.
Электромагнитные волны, распространяющиеся в свободном пространстве. Пример такой плоской волны, определяемой в виде зависимостей напряженности электрического E(x,t) и магнитного полей от координаты х в некоторый момент to приведен па рис. 1.2,о.
16
Глава 1
Колебания струны, представленные в виде «моментальных снимков» в различные моменты (рис. 1.2,6).
Уединенная волна, распространяющаяся по поверхности жидкости в различные моменты (рис. 1.2,в).
Волна цунами, распространяющаяся в океане в результате подводного землетрясения (рис. 1.2,г).
В приведенных примерах ясно прослеживается внешняя схожесть разнообразных по своему физическому содержанию колебательных процессов, что и позволяет изучать их свойства с помощью общих математических моделей в рамках единой научной дисциплины.
Для нахождения колебаний следует составить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, характеризующих процессы, протекающие в исследуемом объекте или системе и определяющие их мгновенное состояние. Решения этих уравнений, найденные аналитическим или численным путем: в форме зависимостей «1 = Ф1 (t), U2 = $2 (*)>•••. = $n(t), определяют колебательный процесс при заданных начальных условиях. Проведенное интегрирование дифференциальных уравнений развертывает начальное состояние объекта или системы в последовательность состояний. В простейшем случае достаточно одного параметра для характеристики протекающего колебательного процесса. Примеры таких колебаний приведены на рис. 1.1. Колебания, зависящие только от времени, относятся к объектам сосредоточенного типа.
Для определения волн, распространяющихся в различных средах, следует составить систему дифференциальных уравнений с частными производными, характеризующие процессы, протекающие во времени и пространстве. При этом необходимо знать начальные условия возникновения процесса, т.е. значения всех параметров при t = О, и граничные условия, определяющие пространственные координаты. Решения этих уравнений, полученные аналитическим или численным путем в форме зависимостей si = $i(t,x,y, z), s? = Ф2(£,х,1/, z),. sn = $n(t,x,y,z), позволяют найти волны, распространяющиеся в среде с известными свойствами. Помимо декартовой (х, у, z) возможна и другая система координат. При параметре з, изменяющемся в одном направлении, например х, волна характеризуется зависимостью з< = ®i(t,x). Примеры таких волн приведены на рис. 1.2. Колебания, зависящие как от времени, так и пространственных координат, развиваются в объектах распределенного типа.
В последующих главах будет проведен подробный анализ всех названных, а также других колебаний и волн природного и технического происхождения.
Исходные положения теории колебаний	17
1.2. Классификация колебаний
Виды колебаний. Различают следующие колебания в зависимости от их внешнего вида и причины возникновения:
•	детерминированные, случайные и хаотические;
•	затухающие, стационарные и нарастающие;
•	собственные, вынужденные, параметрические и автоколебания.
Рассмотрим более подробно названные виды колебаний. (Классификация волн дается в гл. 11.)
Детерминированные колебания. Деление колебаний на детерминированные, хаотические и случайные связано с описывающей их функцией. Детерминированное колебание описывается функцией времени в форме аналитического выражения или графика, что позволяет определить его параметры в любой момент (рис. 1.3).
Детерминированные колебания могут носить периодический характер с периодом повторения Т или быть представлены в форме одиночного, непериодического колебания.
Периодические колебания на интервале времени —оо С t С оо представляются в виде
Ф(*) = Ф(* + пТ),	(1.1)
где Т = 2tt/wi — период колебаний; u>i — круговая частота; f\ = = 1/Т = ц>1/2тг — частота; п — любое положительное или отрицательное целое число.
А)
Рис. 1.3. Детерминированные колебания
2 - 8000
18
Глава 1
a)	б)
Рис. 1.4. Случайные колебания
В свою очередь, периодические колебания подразделяются на гармонические (рис. 1.3,а)
Ф(() = A cos(u>it — ipi),	(1.2)
полигармонические, как сумма конечного числа гармонических колебаний (рис. 1.3,6)
Ф(«) = Со + ^2 Ckcos(ko>it - <pk),	(1.3)
релаксационные (рис. 1.3,в) и импульсные (рис. 1.3,г). При релаксационных колебаниях сравнительно медленные изменения состояния системы чередуются с весьма быстрыми, «скачкообразными». Импульсные колебания характеризуются наличием пауз между колебаниями. Как крайний случай импульсного колебания, занимает одиночный импульс при периоде Т —♦ оо (рис. 1.3,5).
Случайные колебания. Таковыми называются колебания, один или несколько параметров которых случайно зависят от времени и потому относящиеся к классу случайных процессов (рис. 1.4,а).
Особое место среди случайных процессов занимает стационарный случайный процесс, с которым наиболее часто приходится сталкиваться при решении разнообразных практических задач. Одним из свойств стационарного случайного процесса является отсутствие в нем тенденции к возрастанию или убыванию со временем и его однородность. Значительная часть стационарных случайных процессов обладает свойством эргодичности (см. гл. 8).
Хаотические колебания. Данные колебания занимают как бы промежуточное положение между детерминированными и случайными, природа их возникновения достаточно сложна. В одних случаях в хаотические колебания перерождаются периодические автоколебания под действием внешнего гармонического колебания, в других — они зарождаются в «недрах» самой системы с разветвленными внутренними связями и взаимодействием между собой субъектов колебательного процесса. Часто хаотические колебания состоят как бы из фрагментов почти периодических колебаний с разными пе-
Исходные положения теории колебаний
19
а)
б)
в)
' ЩИ»
Г)
Рис. 1.5. Колебания: а — затухающие; б — нарастающие; в, г — вынужденные
риодами колебаний (рис. 1.4,6). Спектр хаотических колебаний более ограничен по сравнению со случайными колебаниями.
Затухающие колебания. Затухающими называются колебания, амплитуда которых при t —♦ оо стремится к 0. Затухающие колебания гармонической формы, представленные на рис. 1.5,а, описываются функцией	
Ф(£) = Ae~at cos(u>it — y?i).	(1.4)
где а > 0.
Нарастающие колебания. Нарастающими называются колебания, амплитуда которых при t —♦ оо неограниченно возрастает. Нарастающие колебания гармонической формы, представленные на рис. 1.5,6, описываются функцией
Ф(£) = Ле“‘ cos(wit — <^i).	(1.5)
где а > 0.
Стационарные колебания. Таковыми называются колебания, амплитуда которых, начиная с некоторого момента, постоянна. Стационарные колебания гармонической формы, представленные на рис. 1.5,в, описываются функцией
Ф(<) = Л(1 — е~“‘) coe(wit - ^>1).	(1.6)
где а > 0.
Собственные колебания. Колебания, происходящие в объекте, после устранения внешнего воздействия, называются собственными. Как правило, собственные колебания со временем затухают (рис. 1.5,а).
Так, стремятся к нулю колебания маятника в часах после полного развертывания пружины или колебания в параллельном колебательном контуре после отключения от него источника постоянного !•
20
Глава 1
напряжения (рис. 1.1,6). Такое затухание колебаний объясняется потерями того или иного свойства, практически всегда имеющиеся в любой колебательной системе. Так, в случае маятника это есть потери, связанные с трением, в случае контура — с рассеиванием мощности в резисторе.
Вынужденные колебания. Таковыми являются колебания, возникающие в объекте под действием приложенного к нему воздействия. В момент приложения к объекту внешнего воздействия в нем одновременно присутствуют вынужденные и свободные колебания. Со временем свободные колебания затухают, а вынужденные остаются. Пример такого одновременного существования обоих колебаний приведен на рис. 1.5,г.
Параметрические колебания. Помимо колебаний под действием внешнего воздействия возможен и другой механизм их возникновения, когда энергия объекту передается посредством периодического изменения какого-либо из ее параметров. Колебания, существующие в объекте вследствие изменения ее параметров, называются параметрическими, а сам процесс их возникновения — параметрическим возбуждением (см. гл. 7). Самым простым примером объекта, в котором возможно существование таких колебаний, являются качели, движения которых поддерживаются за счет периодического изменения центра тяжести.
Автоколебания. Другой механизм возникновения и поддержания колебаний без приложения внешнего воздействия основан на принципе положительной обратной связи, при которой компенсация потерь осуществляется за счет отбора из колебательной системы части энергии и после ее увеличения возврате в тот же самый объект с соблюдением определенных условий (рис. 1.1,в). Иной физический механизм генерации автоколебаний основан на подключении к колебательной системе отрицательного активного сопротивления, компенсирующего потери, или сложных внутренних связях (см. гл. 3-6). В зависимости от устройства и свойств объекта автоколебания могут быть гармоническими, полигармоническими, релаксационными, импульсными или хаотическими. Один из возможных видов установления гармонических автоколебаний приведен на рис. 1.5,в.
1.3. Общий математический подход к колебательным процессам
Объект, подвергающийся колебаниям (например, маятник, корабль, сердце человека и т.д.), или структура, в которой они протекают (например, электрическая цепь, биологическое сообщество, эко
Исходные положения теории колебаний 21
номическая среда и т.д.), называются колебательной системой. Будем рассматривать только системы сосредоточенного типа, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. (Системы распределенного типа, описываемые дифференциальными уравнениями с частными производными, рассматриваются в гл. 11, 12.)
При всем физическом разнообразии колебательных систем их можно разделить на линейные и нелинейные, неавтономного и автономного типа. Математическая модель всех колебательных систем едина: она описывается алгебраическими и дифференциальными уравнениями и может быть представлена в виде
..................................... (1-7)
= Фп(х(0,1/1,У2,УЗ,-,1/п],
где x(t) — внешнее воздействие; j/i, уг> Уз,- • • > Уп — мгновенные значения различных параметров системы.
Начальные условия при t = to в виде yi(to), Уз^о),—, yn(to) должны быть заданы.
Если удается систему уравнений (1.7) разрешить относительно высшей производной, то она принимает вид
_ ф Lfl dycPycPy	= 0	8)
dt" ' ’’ dt’ dt?’ dt3' dt"-1 U‘ 1
Уравнения (1.7) и (1.8) имеют единственное решение, соответствующее заданным начальным условиям и непрерывное со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно при t = to, если функция Ф непрерывна и удовлетворяет условиям Липшица [38, 75].
Система называется линейной, если все описывающие ее уравнения (1.7) и (1.8), являются линейными. Система становится нелинейной, если хотя бы одно из этих уравнений является нелинейным. В автономной системе внешнее воздействие x(t) = 0, в неавтономной — x(t) / 0.
Определенная часть колебательных систем описывается нелинейным дифференциальным уравнением с раздельной линейной и нелинейной частями. Такое уравнение можно рассматривать как частный случай (1.8) и записать его в виде
L(p)y + F(y) = x(t),	(1.9)
где F(y) — нелинейная функция; р = d/dt — символ дифферен
22
Глава 1
цирования;
ч Л < А <** d & dn ,n. b(p) = £«iP =Ea^ = a°-bai^+a2^2+" + a»^r <1л°)
t=0	t=O
— дифференциальный оператор n-го порядка.
Приведем два примера. Линейная колебательная система неавтономного типа 3-го порядка, описываемая линейным дифференциальным уравнением
^+“^+|'г+ч'=1(,)-	(111)
Нелинейная колебательная система автономного типа 2-го порядка, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением (нелинейным в уравнении является член су3)
^ + b^+!/ + cy3 = 0- (1Л2)
аг м
Известны регулярные аналитические методы нахождения решения линейного дифференциального уравнения любого порядка, рассматриваемые в курсе высшей математики (см., например, [38, 75]). Значительно сложнее обстоит дело с нелинейными дифференциальными уравнениями, решения которых во многих случаях можно найти только приближенным путем. К числу таких приближенных аналитических способов относятся метод медленно меняющихся амплитуд, малого параметра, гармонической линеаризации, функционального ряда Вольтерра и другие [2, 7, 38]. Причем их применение связано, как правило, с существенными ограничениями по отношению к нелинейной части системы.
Свободными от многих ограничений являются численные методы нахождения решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые и используются ниже при анализе математических моделей нелинейных колебательных систем природного и технического характера. Поэтому остановимся подробнее на данной проблеме.
Представим дифференциальные уравнения (1.7) в более компактной, векторной форме:
^ = Ф[х(«),У]>	(1.13)
где Y — вектор-столбец функций !Д (0« 1/а(0» • • •» 1/п(0; ф[®Ю> У] — вектор-столбец функций Фх[x(t), тд (t), yz(t).yn(0],
1/2(t),, Уп(t)]. Фп[х(0,	У1 (О-	, МО]-
Для решения уравнений (1.13) при заданных начальных уело-
Исходные положения теории колебаний
23
виях, непрерывности функции Ф и выполнении условий Липшица достаточно знать метод решения нелинейного дифференциального уравнения 1-го порядка
^ = *(t,!/) при y(t0) = yo-	(1-14)
at
Задача отыскания решения дифференциального уравнения (1.14) при заданном начальном условии называется задачей Коши.
Общим правилом для различных методов численного решения уравнения (114), а следовательно, и в целом системы уравнений (1.13), является разбиение непрерывной функции y(t) на интервалы (шаги) и определение решения в конце каждого шага, т.е. в дискретные отсчеты времени, путем некоторой итерационной процедуры.
Предположим, что функция y(t) непрерывна со своими производными на исследуемом интервале от t* до t* + At.
Зная функцию y(t) и ее производные при t = t*., путем ее разложения в окрестности этой точки в ряд Тейлора получим для момента t = tk + At:
y{tk + At) = |/(tfc) + At/(tfc) + ^y"(tk) + |At3y'"(tk) +	(115)
где j^(tfc) — j-я производная функции при t = tk.
Пусть процедура разложения функции в ряд Тейлора согласно (1.15) выполнена в окрестности (n + 1) точек на оси времени, т.е. в моменты to, ti, tz, ...» tn- Заменив At на шаг h и положив tn = nh, получим итерационную формулу для (п + 1)-го шага:
Vn+1 = уп + hy’n +	+ U3C +...	(1.16)
2 О
Формулу (1.16) можно рассматривать как приближенное решение уравнения (114), точность которого улучшается с уменьшением шага h и с увеличением удерживаемых в разложении членов.
Несмотря на свою наглядность, метод Тейлора в численных расчетах при решении уравнения (1.14) практически не используется ввиду необходимости определения производных функции. Зато этот метод выполняет роль определенного эталона по отношению к другим, более удобным методам, например Рунге-Кутта, имеющим следующие достоинства: необходимость вычисления только самой функции Ф(£, j/) без определения ее производных; одношаговость, т.е. возможность определения значения t/n+i только по значениям уп н tn, вычисленных на предыдущем шаге; сопоставимость с методом Тейлора.
24
Глава 1
Математический пакет программ MathCAD предоставляет набор встроенных функций по численному решению дифференциальных уравнений. Две из таких функций: rkfixed и Rkadapt, производящие вычисления согласно методу Рунге-Кутта 4-го порядка, используются в последующих главах (см. Приложение 1).
Для поиска решения в обоих случаях необходимо задать: дифференциальное уравнение, представляемое в виде уравнений 1-го первого порядка согласно (1.7) или (1.13); начальные условия; значения всех постоянных коэффициентов, входящих в эти уравнения; набор точек, в которых следует найти решение.
В функции rkfixed(Y, Xi, х2, n, F) и Rkadapt(Y, xj, х2, n, F) входят следующие параметры:
Y — вектор начальных условий с размерностью, соответствующей порядку к дифференциального уравнения или числу уравнений первого порядка в (1.7);
Xi, х2, п — граничные значения интервала и число фиксированных точек, в которых ищется приближенное решение;
F — вектор, в котором записаны правые части дифференциальных уравнений (1.7) или (1.13).
В результате решения получается матрица, содержащая (к + 1) столбцов и (n + 1) строчек. В первом столбце содержатся фиксированные значения аргумента, ti, t2.tn, во втором — соответствующие им значения искомой функции y(to),	y(tn),B
третьем — значения первых производных в тех же узлах и т.д.
Различие между функциями rkfixed и Rkadapt состоит в следующем. Первая из них ищет приближенное решение с постоянным шагом, вторая — осуществляет адаптивный контроль процесса решения: с более мелким шагом при быстром изменении функции и более крупным — при медленном.
Рассмотрим пример решения нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка, называемого уравнением Ван-дер-Поля [38]:
+У = °- (117)
Представим уравнение (1.17) в виде двух уравнений 1-го порядка:
dy\
-ц = 2/2 ’
- “	(1.18)
где — искомая функция; у2 — ее производная.
Дадим пояснения к составленной программе (рис. 1.6) решения системы уравнений (1.18).
Исходные положения теории колебаний
25
ORIGIN:» 1	р:=01
z
к 2
Z:=rttfixed(y.0,100,2001,F)
Рис. 1.6. Программа решения уравнения Ваи-дер-Поля
О
2
У =
ORIGIN = 1 означает, что нумерация координат вектора начинается с 1.
N = 2001 — число рассчитываемых точек или узлов.
— вектор начальных значений функции yi и ее про
изводной р2.
F(t,y) — вектор правых частей уравнений (9.24);
Xi = 0, х2 = 100 — начальное и конечное значения интервала времени t, внутри которого находится решение;
Z — матрица, содержащая значения решения уравнения и его производной в рассчитываемых точках — узлах сетки;
Z<1:> — столбец, содержащий координаты узлов времени t;
Z<2> — столбец, содержащий значения решения у в этих узлах;
Z<3> — столбец, содержащий значения производной решения в этих узлах.
Помимо самой программы на рис. 1.6 представлены результаты решения в виде таблицы и графиков искомой функции y(t) и фазовой траектории — зависимости ^(l/i)-
Как следует из рис. 1.6, решение уравнения (1.17) стремится к устойчивому предельному циклу. Рассмотрим второй пример решения нелинейного дифференциального уравнения, называемое урав-
26
Глава 1
ORIGIN- I a:=0.2 bsO.OS
П
FO y)*	s ( V
Z > Rkad«pl(y, 0,50,501, F)
a= 0.2 b= 0,05
a.. 0,035 b- 0,01
Рис. 1.7. Программа решения уравнения Дуффиига
пением Дуффинга [38]:
§+4+„+v=0,
dt1 dt
(119)
которое представим в виде двух уравнений 1-го порядка:
dyi
-JT =У2,
™	(1.20)
Ф/2	1 3
— = -ау2 - у\Ьу{,
где i/i — искомая функция; t/2 — ее производная.
Программа решения уравнения (1.19) представлена на рис. 1.7. Все обозначения в программе совпадают с обозначениями в предыдущей программе. На том же рис. 1.7 представлены два случая решения. В первом случае решение носит асимптотически устойчивый характер [j/(t) —» 0], в другом — неустойчивый [y(t) —» оо], что видно также из рассмотрения фазовых портретов. Характер решения определяется значениями коэффициентов а, Ь.
Определение приведенных терминов, связанных с устойчивостью и фазовым портретом, дается в разд. 1.5, 1.6.
Исходные положения теории колебаний
27
1.4. Спектральный Фурье-анализ колебаний
Гармонический анализ периодических колебаний. Колебания, которые можно описать с помощью функции времени Ф(£), называются детерминированными. Периодические колебания разнообразных видов относятся к их числу.
Зависимость Ф(£) может быть выражена в виде полинома, на основе тригонометрических, экспоненциальной и иных функций. Оперировать с такими разнообразными по виду функциями весьма затруднительно. Поэтому естественно желание привести разнообразные по виду функции Ф(£) к какому-либо единому виду или, как принято говорить, единому базису. Такую возможность предоставляет теория функционального анализа [57, 75], позволяющая выразить широкий класс разнообразных периодических функций в виде суммы определенных элементарных, базисных функций:
Ф(0 = £с*Ф*(1),	(1.21)
fc—о
где Фд(<), Ф1(£). Фз(<),	— система базисных функций, Ск[Фк,
Ф({)] — к-я спектральная составляющая.
Квадрат самой функции Ф(<), разлагаемой в ряд по системе базисных функций, должен быть интегрируем на промежутке (а, Ь), отвечая условию ограничения энергии колебания [57]:
Гь
/ |Ф(<)|2 dt < со.
Ja
Ряд Со, Ci, Са,... образует спектр колебания. Таким образом, вместо описания процесса с помощью функции Ф(£), зависящей от времени t, колебание можно определить с помощью спектра, как комбинацию из спектральных составляющих Ск в выбранной системе базисных функций.
Последние должны отвечать определенным требованиям, в частности, быть ортогональными. К числу возможных базисных функций относятся функции Бесселя, Матье, Радимахера, Уолша и др. [38]. Однако наибольшее практическое использование в технических дисциплинах получило разложение функции Ф(£) в ряд Фурье на основе последовательности ортогональных тригонометрических базисных функций — синусов и косинусов: 1, cos(wit), sin(wit), cos(2o>it), sin(2o>it), coe(3u>it), sin(3wit), ...
Для периодических сигналов (1.1) на интервале времени
28
Глава 1
—оо С t оо рад Фурье имеет следующий вид в вещественной форме:
Ф(«) = ао + ^2[afccos(fa*>it) + bk sin(fca>it)], (1-22) где
1 Г2’ ао = — j0
1 Г2'
а* = — /	Ф(а>1£) cos(kwit) d(u>it),
* Jo
1 Г2’
Ьк = — I $(wit)sin(fajit)d(ahO.
к Jo
Функция Ф(<), разлагаемая в рад Фурье, должна быть ограниченной, кусочно-непрерывной и имеющей на протяжении периода конечное число экстремумов. Практически эти условия всегда выполняются.
Рад (1.22) можно также представить в более компактной форме:
$(t) = a0 + ^2CkCOs(*:w1t-</?k),	(1.23)
где Ск = у/ок + tf. — амплитуда; = arctg(bk/afc) при ak > 0 и <рк = к + arctg(bfc/afc) при а* < 0 — фаза; Ск = Ске~^к — комплексная амплитуда.
Для четной функции Ф(*), т.е. при Ф(<) = Ф(—£), коэффициенты
2 Г*
ак = Ск = — / Ф(ы1<) cos(favit) d(a»it), Ьк = 0; рк — 0.
* Jo
Совокупность модулей Ск образуют амплитудно-частотный спектр периодической функции Ф(£), а фаз рк — фазочастотный. Амплитудный спектр является дискретным или линейчатым, в котором отдельные спектральные составляющие, определяемые значениям и>к = кш\, следуют с интервалом равным wj = 2т/Т.
При записи тригонометрических функций в виде
-jwt 1 p->urt
cos(wt) =------------ и sin(uit) = —j-------------
рад Фурье (1.22) представляется в комплексной форме [38]:
ОО
Ф(0 = 52 cfcexp(j*:wit),	(1.24)
к=—оо
Исходные положения теории колебаний
29
где
1 ГТ	1 Г2’
ск = ~ / *(t)exp(-jfavit)(ft = — / *(a>it)exp(-j*wit)dwit =
J Jo	™ Jo
Г (о* - jbk)f2 при к > 0;
I (a* + jbk)/2 при к < 0.
Примеры разложения в ряд Фурье периодической функции Ф(£) разнообразной формы — прямоугольной, косинусоидальной, треугольной и других видов, приведены, например, в [28]. Поэтому рассмотрим только разложение в ряд Фурье периодических колебаний произвольной формы с помощью программы, приведенной на рис. 1.8,а, в которой приняты следующие обозначения: Т и a>i — период и круговая частота повторения импульсов; т — их длительность; а = = т/Т < 1 — относительная длительность импульса; х = w\t — текущая фаза; N — число рассчитываемых гармоник; Ао — постоянная составляющая; Ак, Вк, Ск — амплитуды гармоник, соответствующие обозначениям в (122) и (1.23); V'fc — фазовый угол гармоники в градусах.
В первой части программы, приведенной на рис. 1.8,а, проводится аппроксимация функции, представленной в табличной форме. Программа MathCAD представляет два вида интерполяции функции заданной по точкам: кусочно-линейную и более точную, называемую сплайновой (функции cspline и interp). График колебания за один период, построенного на основании введенных данных, до и после интерполяции приведен в самой программе. После произведенной интерполяции во второй части программы производится разложение периодической функции в ряд Фурье с определением синусной и косинусной составляющих, модуля амплитуды и фазы комплексного спектра. По программе, введя с помощью матрицы исходные данные, можно разложить в ряд Фурье периодическую функцию с колебаниями любой другой сложной формы и определить амплитуду и фазу требуемого числа гармоник N. В программе в 1-ю строку матрицы исходных данных записывается значение аргумента х = wjt в градусах, а во 2-ю — соответствующее ему значение ординаты, т.е. мгновенное значение колебания за один период. В результате по программе рассчитываются амплитуды косинусной (А*), синусной (Вк) и модуль комплексной (Ck) составляющих и фазовый угол <рк при разложении в ряд Фурье периодической последовательности колебаний согласно (1.22, 1.23).
При вычислении фазового спектра последовательности несимметричных импульсов следует учитывать знаки амплитуд косинусной (Ак) и синусной (Вк) составляющих для правильного опреде-
30
Глава 1
f 0 30 60 90 120 150 ISO 225 270 315 360 0 0.25 0.7 0.78 0.2 0.05 О О О О О
IMP- <7	N:-5
X:-1MPW	Y:-IMP W
W:-c«plme(X,Y) Z(x) := mterp(W,X,Y,ri
	' 0.16S '		' 0 '		' 0.16S'		' 0 1
	0.071		0285		0293		75.996
А-	-0.181 -0.082	В-	0.1 -0.079	С-	0206 0.114	V -	151.142 224.111
	0.028		-0.044		0.052		-57.654
	, 8.888x10"’ ,		, 0-017 ,	а)	, 0.019 ,		. 62.508 ,
Рис. 1.8. Программа расчета гармоник импульсов произвольной формы
ления четверти тригонометрического круга, в котором располагается фаза.
По результатам вычислений на рис. 1.8,5 построен амплитудный спектр колебаний.
Одиночный импульс и интеграл Фурье. Рассмотрим теперь случай колебания, представленного в форме одиночного импульса (рис. 1.3,5). Перейти от периодической функции к одиночному импульсу можно путем увеличения периода Т. При этом промежутки между отдельными спектральными составляющими Д/ = 1/Т будут уменьшаться, что позволяет определять спектральные составляющие с помощью выражения
ск = S(wfc)A/ = 5(w*)Aui/2w,
Исходные положения теории колебаний	31
где S’(a’fc) называется спектральной плотностью, размерность которой есть В/Гц в случае напряжения.
Подставив последнее выражение в (1.24), преобразуем ряд Фурье в комплексной форме к виду
ф(«) = — V S(cJfc)exp(jku?it)Aw.
Z7T , х' fc=—ОО
В пределе при периоде Т —♦ оо и частоте wi = 2я/Т —» О дискретные значения частоты Wfc = kwi заменяются на непрерывную величину ш, а сумма ряда Фурье, записанного в комплексной форме, — на интеграл
ф(е) = -L S(u)e>ut(L>.	(1.25)
2тг J-O0
Входящая в (1.25) функция есть спектральная плотность
S(w) = Г Ф(0е-*“*Л.	(1.26)
J— оо
Интегралы (1.25) и (1.26) называются соответственно обратным и прямым преобразованием Фурье. Одним из условий их применимости является абсолютная интегрируемость модуля функции Ф(0 на интервале — оо < t < оо, т.е. выполнение неравенства
[ |Ф(0|Л<оо.	(1.27)
./-оо
Поясним физический смысл приведенных выражений прямого и обратного преобразований Фурье. Согласно (1.25) одиночный импульс произвольной формы, описываемый вещественной функцией Ф(£), представляется бесконечной суммой синусоидальных колебаний. Сами эти колебания бесконечно малы по амплитуде и отличаются по частоте на бесконечно малую величину. Это отличие по частоте составляет df, а амплитуда составляющей S(w)df, где S(w) есть спектральная плотность размерностью В/Гц в случае напряжения. Поскольку S(w) есть непрерывная функция, то спектр одиночного импульса является сплошным.
Представив подынтегральную функцию в (1.26) в виде
Ф(4)е“**'< = Ф(0со8(а4) — }Ф(<) sin(art), запишем комплексное выражение (1.26) для спектральной плотности в форме
S(w) = Л(ш) -;B(w) = |S(w)|e^*<w),
(1.28)
32
Глава 1
где
/оо
Ф(£) coe(ort) Л,
оо
ГОО
В(о>) = /	Ф(£) sm(tizi) <й.
J—оо
(1.29)
Модуль и фаза спектральной плотности
|5(W)| = у/Л(и)2 + В(шУ,
(1.30)
<р(ш) = <
— arctg[B(u>)M(w)] тг — arctg[B(cv)/4(w)]
—7г — arctg[B(u>)/A(u>)]
при Л(ш) > 0, при Л(и>) < 0 и В(ш) < 0,(1.31) при Л(о?) < 0 и В(ш) > 0.
Выражение (1.30), являющееся четной функцией ш, определяет сплошной амплитудный спектр одиночного импульса; выражение (1.31), являющееся нечетной функцией w, — фазовый спектр того же импульса.
С учетом (1.27) преобразуем комплексную функцию (1.25) к виду
1
/ |S(w)|cos[wt + y>(w)]dw+ 2* J-tA
+j — / |S(w)|sin[wt4-y(u>)]dw.
J-oo
Ф(0 =
(1.32)
Из четности модуля (1.30) и нечетности фазы (1.31) следует, что подынтегральная функция в первом интеграле выражения (1.32) — четная, во втором — нечетная. Следовательно, второй интеграл с учетом пределов интегрирования равен 0 и поэтому (1.25) приводится к более удобному для расчетов виду
Ф(0 = 2 [ |S(/)| cos[2ir/t + V(/)] df.	(1.33)
Jo
При четной функции Ф(<)9 т.е. при Ф(£) = Ф(—t), мнимая составляющая спектральной функции (1.29) В(ш) = 0 и поэтому S(w) = = Л(ш), а выражение (1.33) принимает вид
Ф(0 = 2
S<J)coe(2itft)df,
(1.34)
где
S(f) = A(f)
Ф(£) соз(2тг ft)dt
(1.35)
— действительная часть (1-28) спектральной функции.
Исходные положения теории колебаний
33
Таким образом, обратное (125) и прямое (1.26) преобразования Фурье заменяются на два последних выражения, более удобных для вычислений.
При частоте / = 0 из (1.26) и (1.35) получим
5(0) = [ $(t)dt, J —OQ
позволяющее по «площади импульса» быстро определить центральное значение амплитуды спектральной плотности.
Определим энергию одиночного импульса, исходя из спектрального и временного представлений сигнала:
W, = Г°[5(/)]2# = 2 Г[5(/)]2tf и W2 = Гdt, (1.36) J-OO	Jo	Jo
где t — длительность импульса.
Значения энергии, полученные по обоим методам — спектральному и временному, равны: Wi = W2, что следует из равенства Парсеваля [38] и в чем можно убедиться, проведя соответствующие расчеты.
Обратим внимание, что спектральная функция одиночного импульса, являясь «математическим» спектром, согласно (1.26) и (1.35) рассчитывается в пределах — 00 < f < со, т.е. как в области положительных, так и отрицательных значений частоты. При переходе к «физическому» спектру, используя свойство четности спектральной функции, пределы интегрирования следует заменить на 0 и со, а сам интеграл удвоить. Такой операции перехода от двустороннего «математического» к одностороннему «физическому» спектру соответствуют интегралы (1.33), (1.34), а также выражение для определения параметра Wt в (1.36).
Рассмотрим несколько примеров расчета спектральной плотности одиночных импульсных колебаний, составленные с помощью пакета программ MathCAD. Приводимые ниже программы имеют следующие общие черты:
•	в их основе лежат выражения (1.28)-(1.35);
•	длительность одиночного импульса Ф(г) равна т, вне импульса функция Ф(£) = 0. Поэтому бесконечные пределы интегрирования в (1.29) заменяются на конечные величины;
•	размерность величин при расчете следующая: при значении т и временного интервала Т в секундах — частота f в Гц, при т — в миллисекундах f — кГц, при т в микросекундах f — в МГц;
•	значения спектральной плотности вычисляются в N точках частотной оси с шагом DF. Чем больше N и мельче шаг, тем 3 - «ООО
34
Глава 1
выше точность, по и больше время счета. Обычно достаточно принять N = 200...500;
•	спектр рассчитывается в пределах от -fh до + fh с центральным значением f = 0 и fh = к/т, где к = 5...6. Если спектр не спадает существенно к краям, то следует увеличить к\
•	во всех программах сначала представлены исходные параметры и функция Ф(4). Затем согласно (1.29)-(1.30) рассчитываются зависимости Л(и>), В(ш) и S(w). Далее строится график спектральной плотности S(w) по N точкам и при необходимости заполняется таблица с рассчитанными значениями. В случае симметричного импульса относительно оси абсцисс функция В(<д) = 0 не рассчитывается;
•	отличие в приводимых программах состоит только в разной записи исходной функции $(t), описывающей одиночный импульс. При определении спектральной плотности импульса произвольной формы программа, приведенная на рис. 1.9, распадается на две части. В первой — производится аппроксимация функции, представленной в табличной форме, с помощью сплайн-интерполяции (функции cspline и interp в пакете программ MathCAD). В программе в первой строке матрицы исходных данных записывается значение аргумента — время t, а во второй — соответствующее ему значение ординаты, т.е. мгновенное значение импульса. График одного импульса, построенного па основании введенных данных, до и после интерполяции приводится в самой программе. После интерполяции во второй части программы расчитываются спектральные функции с определением синусной и косинусной составляющих и модуля амплитуда спектра согласно (1.29)-(1.30). По результатам расчета строится график модуля спектральной плотности. По составленной программе, введя с помощью матрицы новые исходные данные, можно определить спектральную плотность импульса любой формы, заданного в табличном виде.
С помощью компьютерной программы можно определить также спектральную плотность колебания, описываемого функцией. В качестве примера рассмотрим импульсное колебание, являющееся второй производной гауссова импульса у(х) = ехр(—0,5г2). Само колебание Ф(0 и программа расчета его спектральной плотности представлены на рис. 1.10. При х = (t — b)/a, меняя значения коэффициентов Ь, а, можно перемещать импульс по оси времени и сжимать или растягивать его. По аналогичной программе можно анализировать и другие колебания сложной формы.
Программа расчета спектральной плотности при f > 0 «пакета» гармонических колебаний с огибающей в форме трапецеидального
Исходные положения теории колебаний
35
( О 0.015 0.03 0.045 0 06 0.075 0.09 0.105 0.12 0.135 0.15 U:-
V 0 0.25 0.7 0.78 1	0.6 0 45 0.32 0.22 0.12 О
IMP:-if fh»-50	т>0.15	DF:-0.5	N:-200
n := 0„ N f,fh ♦ (n DF)
A»:-I Ф0) co»(2 « f, t)<tt В,:-	Ф(«) • «ia(2 • f,-t)<tt
’o	•'«

fv:-10	V:=c«plme(f,C)	SCO := mierp(V,
WI>J (SOOl’dx Wl-0.041	W2>J* (Ф(1)УЛ	W2-0.043
W1 KW ------ KW = 0.962
W2
Рис. 1.9. Программа расчета спектральной плотности импульса произвольной формы
импульса приведена на рис. 1.11. По аналогичной программе можно рассчитать спектральную функцию «пакетов» гармонических колебаний и другой сложной формы.
Другие примеры компьютерных расчетов спектральной плотности колебаний различной формы приведены, например, в [28].
Быстрое преобразование Фурье. Помимо рассмотренного способа определения спектральной плотности одиночного импульса согласно прямому преобразованию Фурье (1.26), существует модифицированный вариант данного метода, основанный на дискретном представлении колебания и называемый быстрым преобразованием з»
36
Глава 1
Рис. 1.10. Программа расчета спектральной плотности импульса сложной формы
Фурье или сокращенно БПФ. Рассмотрим два примера применения БПФ в случае прямоугольного и пилообразного импульсов (рис. 1.12).
Обозначим непрерывный сигнал как Ф(£) (рис. 1.12,а, б), а его дискретный аналог путем замены t = кТ, как Ф(кТ), где Т — временной шаг дискретизации, к = 0,1,2, 3,..., (N — 1) — порядковый номер шага, N — число отсчетов по оси времени t, включая 0 (рис. 1.12,в, г). Интервал между спектральными линиями в частотном спектре установим равным Aw, что позволяет принять частоту w = nAw = = 2nTt/NT' где n = 0, ±1, ±2, ±3,	±(N - 1) — порядковый
номер спектральной линии по оси частот. Путем замены непрерывного времени t и частоты w на их дискретные аналоги кТ и 2nir/NT прямое преобразование Фурье — интеграл (1.26) — можно представить в виде суммы:
N-1
ST(nbu) = £ Фт(ЛТ)е->2’п*^1	(1.37)
fc=0
где п = 0,±l,±2,...,±(N - 1)/2.
Исходные положения теории колебаний
37
fh :-50
f := 100
11-0.1
DF0.5
AM 1 N:—200
e 1—0.03
«. AM ’ 0.5-t-c
®(t)r=
(t ♦ 0.5- t)- S- co» (2 я- f-1) if -(0.5 • r)s t S-c
AM a«(2 « f t) if -c < t < c
(-t + 0.5 • t)  S co» (2 • я • f • t) if c S t S 0.5 -1
0 if |t| >0.5-5
n*0..N	f,:-ft + (n DF)
Рис. 1.11. Программа расчета спектральной плотности трапецеидального радиоимпульса
Рис. 1.12. Образование из аналогового колебания (а, б) дискретного (в, а)
38
Глава 1
Уменьшение в (1.37) числа рассчитываемых членов до (N — 1)/2 связано с тем, что коэффициенты с номером, превышающим (N — —1)/2, относятся к отрицательным частотам. Такие коэффициенты при определении амплитудного спектра не дают новых сведений [5].
Выражение (1.37) называется дискретным преобразованием Фурье. Согласно (1-37) для определения значения одной спектральной линии следует произвести N вычислений. Следовательно, для определения N спектральных линий общее число вычислений составит №, что при У 3> 1 приводит к относительно большому общему времени счета частотного спектра.
Существенную экономию времени счета дает метод быстрого преобразования Фурье (БПФ), позволяющий сократить число рассчитываемых вариантов с № до N log2 TV. Так, например, при N — 1024 такая экономия во времени составляет около 100 раз. Известно несколько алгоритмов БПФ [57]. Один из них положен в основу функции FFT(V), входящей в математический пакет программ MathCAD. Функция FFT(V) — позволяет произвести быстрое преобразование Фурье при представлении функции Ф(/сТ) (см. рис. 1.12,в, г) в виде вектора V, состоящего из N = 2т вещественных элементов, где т > 2 — целое число. При использовании функции FFT(V) число отсчетов по временной оси равно N — 2т, по частотной — NF = 1 + N/2 = 1 + 2*”-1. В табл. 1.1 приведены значения TV и NF при т = 5... 10.
Вектор V должен описывать функцию времени и вне импульса. При этом для совпадения масштаба по частотной оси при расчете на основе непрерывного преобразования Фурье (1.26) (см. программы на рис. 1.9-1.11) и согласно быстрому преобразованию Фурье с помощью функции FFT(V) необходимо число дискретных интервалов, приходящихся на импульс с относительной длительностью т < 1, т — Гкмп/'Г, где тнмп — длительность импульса; Т — период их повторения, принимать равным М — tN, округляя результат до целого числа. Значения М при т = 0,1 приведены в табл. 1.1. Остальные значения вектора V при к = М + 1,М + 2,..., N — 1 следует принимать равными 0 (рис. 1.12,в, г).
Таблица 1.1
м	Л’ = 2т	NF = 1 + N/2	М при т = 0,1
5	32	17	3
6	64	33	6
7	128	65	13
8	256	129	25
9	512	257	51
10	1024	513	102
Исходные положения теории колебаний
39
n:= 0..1023
У»-'*
1 if OS aS 102
О if 102 <nS 1023
N :=1024	k:=0_ 102	Vk>]
15-0.1	к :• 103.. 1023	VO
A:-FFT(V) N2>hn(A) N2-512	n:.0„N2	C,:-|aJ
Рис. 1.13. Программа быстрого преобразования Фурье прямоугольного импульса
	0
0	0.101
1	0009
2	0094
Э	о.оев
4	0.076
5	0.064
в	0.06
7	0.036
»	0.023
9	0.01
10	5.8610 «
11	9.49910-3
12	0.016
Программа расчета спектральной плотности прямоугольного импульса (см. рис. 1.12,а, в) по методу БПФ с результатами расчета в виде графика приведена на рис. 1.13; пилообразного импульса (см. рис. 1.12,6, г) — на рис. 1.14. Расчет спектра проводится в NF = 14- N/2 точках частотной оси.
N:-1024	q:. 0.1	т>0.1
k:-0.. 1023	h k if OSkS 102
0 if k > 102
Рис. 1.14. Программа быстрого преобразования Фурье треугольного импульса
40
Глава 1
По аналогии с программами, приведенными на рис. 1.13 и 1.14, по методу БПФ с помощью встроенной функции FFT(V) можно рассчитать спектры импульсов самой разнообразной формы, описав их в N дискретных точках.
1.5.	Устойчивость линейной системы
Возможны различные определения устойчивости движения динамической системы. Воспользуемся определением, приведенным в (57]: «Устойчивость Движения есть свойство движущейся системы мало отклоняться от некоторого движения при малых возмущениях как начального положения системы (в фазовом пространстве), так и самого закона движения. Иногда малые возмущения начального положения берутся не любые, а подчиненные некоторому дополнительному условию; иногда малость возмущения и отклонения измеряется лишь по некоторым параметрам». При этом если начальное возмущение затухает с течением времени и система возвращается к невозмущенному движению, то такое движение называется асимптотически устойчивым. В том случае, когда возмущение не затухает и пе нарастает, то такое движение называется просто устойчивым.
Рассмотрим устойчивость колебательной системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
сРу	<Р-1у	dy	, .	,	.
—а„ + an-i	+ а„_2^г2 + — + 01 + ^У = х(*>> (1-38)
где «о, Д1, й2, аз,..., ап — постоянные коэффициенты; x(t) — внешнее воздействие.
Общее решение уравнения (1.38)
y(t) = co(O + 52ciexp(pajt),	(1.39)
i=l
где co(t) — частное решение неоднородного уравнения (1.38), зависящее от z(t); с, — постоянные коэффициенты, определяемые начальными условиями; ра, — действительные и комплексные корни следующего характеристического уравнения, получаемого из дифференциального уравнения (1.38):
ад + aiA + аз А2 + аз А2 + ... + а„Ап = 0, оо > 0,	(1.40)
т = п при разных корнях уравнения (1.40) и т < п при совпадении части корней.
Первый член в (1.39) определяет вынужденные колебания в системе, второй — свободные. Если все действительные корни и дей
Исходные положения теории колебаний
41
ствительные части комплексных корней ро, уравнения (1.40) отрицательны: Re(po,) < 0, то при t —» оо второй член в (1.39) стремится к 0 при любых начальных возмущениях. Такая система является асимптотически устойчивой. Если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, то система неустойчива — в ней амплитуда колебаний со временем неограниченно возрастает.
Таким образом, для определения устойчивости линейной системы следует найти все корни характеристического уравнения (1.40). Однако для систем высокого порядка можно пользоваться правилами по определению устойчивости без непосредственного вычисления корней этого уравнения (1.40). Одним из таких способов является аналитический критерий устойчивости Рауса-Гурвица, согласно которому все корни уравнения (1.40) имеют отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда положительны все следующие определители:
Z?i — U],	=
<11
<13
<10
<12
D3 =
Л1
<13
<15
<10
<12
<14
О <11 аз
D,
<11
Ов
<10
<12
О <11
О-2П-1
<12п-2
<12п—3
ап
О
где От = 0 при т > п.
В частности, для системы 2-го порядка следует выполнить условия: оо > О, Д1 > 0, а3 > 0; для системы 3-го порядка: oq > О, <21 > 0, 02 > 0, Оз > 0, 0102 — ОоОз > 0.
Об устойчивости нелинейной динамической системы будем судить по графику переходного процесса, определяемого путем решения нелинейного дифференциального уравнения.
1.6.	Фазовая плоскость
Изучать процессы, протекающие в колебательной системе п-го порядка, можно с помощью n-мерного фазового пространства. Координаты точки в этом пространстве отображают мгновенное динамическое состояние системы, а совокупность таких точек образуют фазовую траекторию. В случае системы 2-го порядка фазовое пространство вырождается в плоскость. Для нее уравнения (1.7) принимают вид
dyi dt
= Ф1(<,!/1,1/2);
dy? dt
= ^2G,yi,!/2).
(1.41)
42
Глава 1
E:-l al :-0.3	a2:--0.3
yl(t):-E-<**«)• (lot)
i> 1.500
f>l »>Jif
yKt)^lyl(t) dl
y<t)s.iyS(0 dt
Tt:-0.01i
Yl.-y^T,)	Y2,?-y2(T,) Yl-.yjfT,) Y^-ydfr.)
Рис. 1.15. Программа расчета фазовой траектории
Пусть решениями уравнений (1.41) являются функции зд(4) и 3/2(4). Исключив в них время t, получим зависимость у2 = Ф(з/1) и построим ее график на плоскости, отложив по оси абсцисс координату 3/1, а по оси ординат — з/2. Полученный график 3/2 (l/i) и является фазовой траекторией. Каждой точке этой траектории соответствует одно определенное состояние системы, а в целом фазовая траектория отражает всю совокупность возможных состояний в системе, являясь ее своеобразным «портретом». В случае соотношения
»«)=
фазовая траектория есть зависимость производной функции от самой функции.
Фазовая плоскость позволяет получить «портрет» динамического состояния системы и глубже исследовать происходящие в ней процессы. Рассмотрим несколько примеров построения фазовых траекторий. Пусть колебания описываются выражением
i/(t) = Ae~at cos(art).
С помощью программы, приведенной на рис. 1.15, построим график данного колебания и его фазовую траекторию при a > 0 и a < 0. Результаты расчета в виде графиков представлены на рис. 1.16. При a > 0 процесс носит затухающий колебательный характер, а фазовая траектория имеет вид сворачивающейся спирали (рис. 1.16,а). При а < 0 процесс носит возрастающий колебательный характер, а фазовая траектория имеет вид разворачивающейся спирали (рис. 1.16,6).
Фазовые траектории двух других видов колебаний:
u(t) = Uo(l — е~“‘) cos(cvt),
u(4) = С70(1 — e-o,)(sm<vt — 0,lllsm3a>4 + 0,04sin5a>4),
рассчитанные по программе, аналогичной рис. 1.15, представлены на рис. 1.17,а, б. В обоих случаях на фазовой плоскости четко прослеживается устойчивый предельный цикл, — замкнутая фазовая траектория, к которой при t —* 00 асимптотически стремятся все остальные
Исходные положения теории колебаний
43
vi< а)
Рис. 1.16. Фазовые траектории: а — затухающего колебания при а = 0,3; б — возрастающего колебания при а = -0,3
Рис. 1.17. Фазовые траектории: а — гармонического колебания; б— полигар-ыонического колебания
*1з -1 -аз о оз 1 и
VI
б)
фазовые траектории, что означает установление в объекте незатухающих колебаний в установившемся режиме работы.
44
Глава 1
В зависимости от характера протекающего процесса в колебательной системе фазовые траектории на плоскости могут иметь вид окружности, эллипса, параболы, гиперболы, волнистой кривой, сворачивающейся и разворачивающейся спиралей, а также быть представлены более сложными кривыми. При колебаниях, стремящихся к состоянию динамического равновесия, фазовые траектории стремятся к замкнутой кривой — устойчивому предельному циклу (рис. 1.6, 1.17).
Кроме того, на фазовой плоскости выделяют точки, называемые особыми, которым соответствуют состояния равновесия системы — устойчивые и неустойчивые. Различают четыре типа особых точек: фокус, узел, седло и центр. Все другие точки на фазовой плоскости называются обыкновенными. В автономных системах через каждую обыкновенную точку проходит единственная фазовая траектория, через «седло» — две, через фокус и узел — множество.
На рис.' 1.18 показаны шесть наиболее типичных случаев колебаний в линейной системе и соответствующие им фазовые траектории. При этом: а) устойчивому фокусу соответствуют затухающие периодические колебания; б) неустойчивому фокусу — возрастающие периодические колебания; в) устойчивому узлу — затухающие апериодические; г) неустойчивому узлу — возрастающие апериодические; д) седлу — волнообразно возрастающие, е) центру — стационарные периодические. Три особые точки на рис. 1.18 — фокус, узел и центр — располагаются в начале координат.
Более подробно рассмотрение фазового портрета с центром и седлом на примере качания и вращения маятника проводится в разд. 2.4.
Следует кратко остановиться еще на двух понятиях, относящихся к фазовому пространству, — аттракторе и бифуркации. Аттрактором, т.е. притягивающим множеством динамической системы, называется компактное инвариантное подмножество фазового пространства, которое асимптотически устойчиво и все траектории из некоторой его окрестности стремятся к нему при t —» ос [57]. На фазовой плоскости аттрактором является точка или замкнутая линия, к которым устремляется фазовые траектории при t —» оо. К таким линиям, в частности, относятся предельные устойчивые циклы, показанные на рис. 1.17, на которые как бы наматываются все фазовые траектории.
Понятие бифуркации связано с качественным изменением картины в фазовом пространстве при изменении какого-либо параметра системы [2]. Значение параметра, при котором происходит такая трансформация в системе, называется бифуркационным.
Например, в нелинейной автономной системе при переходе через бифуркационное значение определенного параметра может про-
Исходные положения теории колебаний
45
О 10 70 И «О SO SO 70 «О SO 100
исходить изменение числа равновесных состояний, что приводит к исчезновению имеющихся или появлению новых предельных циклов. Такой случай для автогенератора — нелинейного автономного динамического объекта, когда к существующему устойчивому предельному циклу прибавляется неустойчивый цикл, рассматривается в разд. 5.2.
В случае колебательной системы 3-го порядка, характеризуемой тремя параметрами, фазовая плоскость заменяется трехмерным фазовым пространством. Примеры анализа систем разного порядка с построением их фазовых портретов рассматриваются во всех последующих главах.
46	Глава!
1.7.	Синхронизация колебаний
Синхронизацией называется процесс, связанный с обеспечением единого ритма работы однородных объектов при относительно слабой связи между ними [6, 88). Синхронизация сопутствует самым разнообразным процессам. Так, например, в электроэнергетике благодаря синхронизации обеспечивается равенство частот громадного множества генераторов переменного тока, работающих в общей сети. В радиотехнике синхронизация используется для стабилизации фазового фронта множества сигналов, стабилизации частоты автогенераторов и усиления СВЧ сигналов. Совпадение биоритмов живых организмов также является проявлением синхронизации.
Первым среди ученых синхронизацию в XVII веке обнаружил голландский ученый X. Гюйгенс, предложивший для улучшения точности показания часов использовать маятник. Маятниковые часы, подвешенные им к общей балке, начинали показывать одно и тоже время. Как выяснилось позже, причиной такого равенства показаний являлся режим синхронизма в работе часовых механизмов.
Реализация режима синхронизации возможна тремя основными путями. Первый способ состоит в прямом воздействии на автоколебательную систему с собственной частотой и>с внешнего колебания частотой ша (рис. 1.19,а). В результате при обеспечении режима синхронизма частота шс изменяется и становится равной wB. Помимо обеспечения равенства <дс = ш„ возможно также установление соотношения шс = или шс = (п/тп)шв, где п, тп — целые числа. Синхронизация возможна только в определенной зоне частот, когда первоначальной значение частоты шс отличается от wB на величину не более До>. Отношение (Aw/u^) обычно не превышает 10 %.
Второй способ можно назвать способом взаимной синхронизации. При нем все объекты, входящие в систему, равноправны. Связь между объектами осуществляется через общую сеть (рис. 1.19,6). Именно по такой схеме работает электроэнергетическая система, включающая сотни независимых электростанций, частота колебаний которых, равная 50 Гц, должна совпадать. В другом случае генераторы колебаний не присоединяются к общей сети, а только связываются с близлежащими к ним, образуя замкнутую кольцевую сеть (рис. 1.19,в). Возможны и другие варианты построения синхронизируемых сетей.
В основе третьего способа синхронизации лежит использование петли обратной связи, с помощью которой осуществляется синхронизация колебаний (рис. 1.19,г). Именно такой способ лежит в основе работы цифровых синтезаторов частоты, повсеместно используемых
Исходные положения теории колебаний
47
Рис. 1.19. Типовые схемы синхронизации колебаний: а — внешним сигналом; б— взаимная; в — кольцевая; г — с петлей обратной связи
в радиотехнических устройствах. В качестве сигнала ошибки в одних случаях используется разность частот двух колебаний, в других — разность фаз. В первом случае схема называется частотной системой автоматической подстройки или управления частотой колебания (ЧАП), в другом — фазовой системой автоматической подстройки или управления частотой колебания (ФАПЧ) или фазовой синхронизацией.
При всех трех способах синхронизации наиболее важным параметром, по которому судят о едином ритме работы объектов в синхронизируемой системе, является частота колебаний.
Анализ нескольких схем синхронизации проводится в гл. 5.
1.8.	Энергетический подход к исследованию колебаний
Свойства динамической системы могут быть выражены с помощью одной функции, называемой функцией Гамильтона или гамильтонианом, представляющим собой полную энергию системы [2, 41, 46, 77]. Обратимся в этой связи к колебательному процессу, который сопровождается непрерывным преобразованием одного вида энергии в Другое. Так, при колебаниях маятника происходит непрерывное преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно.
48
Глава 1
В электрической цепи энергия электрического и магнитного поля непрерывно переходит одна в другую. Преобразования энергии синхронны с основными колебаниями в системе.
В консервативной механической системе, т.е. не имеющей потерь, гамильтониан равен сумме кинетической и потенциальной энергии, а в электрическом колебательном контуре без учета потерь сумме энергий электрического и магнитного полей. Но в обоих случаях, несмотря на непрерывные преобразования энергии, гамильтониан, представляющий полную энергию, есть величина постоянная. Докажем последнее утверждение на примере динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением 2-го порядка
У = *(у),	(1 42)
где у е R.
Обозначим кинетическую энергию системы через Т(у), потенциальную— через U(у), а полную энергию как Е(у) = Т(у) + U(y). Для производной этой функции получим
dMw(t)l	d(T + U)	dU.	....	Л
- • = УУ + ~гУ = У 1/ - *(1/) = О-dt	dt	dy
Поскольку производная функции Е(у) равна 0, то сама функция Е(у) = const, т.е. полная энергия есть величина постоянная, в чем и заключается смысл закона сохранения энергии.
Рассмотрим простой пример системы, для которой уравнение (1.42) имеет вид
= -у.	(1.43)
Для энергий при уравнении движения (1.43) имеем
Г=Т’ и=^' Е = +	(144)
Поскольку согласно закону сохранения энергии Е — const, то из (1.44) следует, что на фазовой плоскости каждой фазовой траектории у = F(y) соответствует определенное значение энергии Е. Таким образом, каждая фазовая траектория принадлежит только одному уровню энергии Е(у, у) = const. Найдем выражение для такой фазовой траектории.
Вновь вернемся к уравнению движения (1.42). После умножения (1.42) на у и интегрирования получим
-2 гУ
у+/ *(y)<ty = £b,	(1-45)
2 Jvo
сРу dt?
Исходные положения теории колебаний
49
VXy):-
ORIGIN:= 1	а:=2	b.--6	е:=0.2
ЕНХу) 2.5 ЕН2(у)3.03 ЕНЗ(у) »5
Щу):- » + i«i(y) + Ь  log[l + (с • у)4] vКу> - I (2 |ЕН 1 (у) - U(y)| )м а (PH 1(у) - Щу» г о [о if (EHl(y)-U(y))<0
V2(y)>. (2 |ЕН2(у) - Uty)|)ftS if (EH2(y)-U(y))2 0
0 if (EH2(y)-U(y))<0
I (2 • |EH3(y) - U(y)|)’J if (EHXy)-U(y))2 0
I о if(EH3(y)-U(y))<o
VlH(y):--VKy)
V2H(y) :•-V2[y)
V3H(y)V3(y)
Рис. 1.20. Программа расчета функции потенциальной энергии и фазового портрета
где Ео — начальный запас кинетической энергии при у = jfo.
Для потенциальной энергии системы запишем
U(y) = Г 4y)dy + U(yo),	(1.46)
•'ЗЮ
где U(yo) — начальный запас потенциальной энергии.
Из (1.45) с учетом (1.46) получим уравнение для фазовой траектории
у = x/2|Ei, - Щу)|,	(1.47)
где Е„ = Ео + (7(1/о) — начальный запас полной энергии.
Зависимость для потенциальной энергии U(y) можно задать в виде функции или графика, а затем рассчитать и построить согласно (1.47) фазовые траектории. При этом каждому значению Ев соответствует определенная фазовая траектория.
Рассмотрим в этой связи три примера, в которых функция потенциальной энергии задана в следующем виде:
1)	U(у) = h + ay2;
2)	U(y) = -Лсов(Гу);
3)	U{у) = a + siny + Mog[l + (су)4].
Программа построения графиков этих функций и расчета фазового портрета согласно (1.47) приведена на рис. 1.20. Результаты расчета по данной программе фазовых траекторий для трех функций Щу) при нескольких значениях начального запаса полной энергии Ен приведены для 1-й функции на рис. 1.21, для 2-й — на рис. 1.22, Для 3-й — на рис. 1.23. (В самой программе рис. 1.20 приведена третья функция U(у), в двух других случаях следует произвести ее замену.) В программе производная у обозначена как Vl(y), V2(y), V3(y) * - *ооо
50
Глава 1
Рис. 1.21. Результаты расчета 1-го примера по программе рис. 1.20
Иг)
ЕН1(х> now ЕКХУ)
ЕНЗ
ЕН2
ЕН1
-и.я -««
Рис. 1.22. Результаты расчета 2-го примера по программе рис. 1.20
(ветви положительных значений фазовых траекторий) и как VHl(y), VH2(y), VH3(y) (ветви отрицательных значений тех же траекторий).
Исходные положения теории колебаний
51
Рис. 1.23. Результаты расчета 3-го примера по программе рис. 1.20
Из анализа полученных результатов (рис. 1.21-1.23) следует, что при пересечении линий Е„ графика U(y) фазовые траектории замкнуты, что соответствует колебательному процессу в консервативной системе (см. рис. 1.18,е). При отсутствии такого пересечения или при Ен > U(у) (Еп = ЕНЗ на рис. 1.22) по причине возросшей энергии движение становится непрерывным (см. рис. 1.18,5). На рис. 1.22 и 1.23 второй случай, соответствующий значению начальной энергии ЕН2, представляет собой границу между двумя видами движения: колебательным и однонаправленным. При этом через точку неустойчивого положения равновесия (седло — точка 2 на рис. 1.22) проходят две фазовые траектории, называемые сепаратрисами. На всех фазовых портретах имеется особая точка — центр (точка 1 на рис. 1.21 и 1.22).
Еще раз обратим внимание: во всех случаях каждой фазовой траектории, т.е. зависимости у = F(y), соответствует постоянное значение энергии Е. Таким образом, энергетический подход в сочетании с понятиями фазового пространства позволяет более полно исследовать процессы, происходящие в динамической системе. Так, например, сообщив системе определенное количество энергии, по фазовому портрету можно сразу судить о том, каким будет движение.
52
Глава 1
Контрольные вопросы
1.1.	В чем состоит различие между колебаниями и волнами?
1.2.	Как отличить детерминированные колебания от случайных?
1.3.	Как отличить свободные колебания от вынужденных?
1.4.	Чем отличаются полигармонические колебания от релаксационных?
1.5.	Найдите решение уравнения Ван-дер-Поля по программе рис. 1.6 при нескольких значениях параметров а, Ь к разных начальных условиях. Сравните полученные результаты расчета.
1.6.	Найдите решение уравнения Дуффинга по программе рис. 1.7 при нескольких значениях параметра ц и разных начальных условиях. Сравните полученные результаты расчета.
1.7.	Составьте программу определения амплитудного и фазового спектров колебания, представленного в виде периодической последовательности импульсов экспоненциальной формы. Проведите расчеты по составленной программе и постройте спектры.
1.8.	Составьте программу определения спектральной функции колебания, представленного в форме одиночного импульса экспоненциальной формы. Проведите расчеты по составленной программе и постройте график модуля спектральной функции. Сравните результаты расчетов по п.п. 1.7 и 1.8.
1.9.	Составьте программу определения спектральной функции колебания, представленного в форме одиночного импульса экспоненциальной формы, согласно быстрому преобразованию Фурье. Проведите расчеты по составленной программе и постройте график модуля спектральной функции. Сравните результаты расчетов по п. 1.8 и 1.9.
1.10.	Составьте программу построения фазовой траектории затухающего бигармонического колебания. Постройте фазовые траектории такого колебания при разных начальных условиях.
Глава 2
ДВЕ БАЗОВЫЕ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
2.1. Колебательная модель второго порядка
Математической моделью многих колебательных процессов является дифференциальное уравнение 2-го порядка
§ + Л + Ф(у) = ®(0,	(2.1)
at* at
где Ф(у) — нелинейная функция.
С помощью уравнения (2.1) при внешнем воздействии x(t) О в объекте можно определить вынужденные колебания, при x(t) = = 0 — свободные, при а —» 0 исключить влияние потерь, при функции Ф (у) = by провести исследование в рамках линейной модели. К грубым моделям, описываемым с помощью уравнения (2.1), относятся, в частности, качание корабля под действием набегающих волн, вибрация крыльев самолета под напором воздуха, движение электрона в магнитном поле, системы фазовой синхронизации и ряд других объектов.
Для того чтобы исследование не носило абстрактный характер, проведем с помощью уравнения (2.1) анализ двух конкретных моделей, которые назовем базовыми. Первым базовым объектом будет являться электрическая цепь, состоящая из последовательно включенных емкости и индуктивности и называемая последовательным колебательным контуром, вторым — математический маятник. В этих двух простых моделях протекают процессы, составляющие исходную основу теории колебаний. Изучив названные модели, можно перейти к анализу более сложных колебательных систем.
54
Глава 2
2.2. Колебательный контур последовательного и параллельного типа
Последовательный колебательный контур. Схема такого контура приведена на рис. 2.1,0. Сопротивление контура согласно рис. 2.1,0
Z =	+	(1 - J =r(l+JQA) = Я,+>Х„
Ш	(22)
. и> и>р w u>p	WpL 1
где А =---------- = ------Q = —— = ---------— — добротность,
Шр Ш ШШр	Г ГШрС
а)р = 1/ч/£С — резонансная частота.
При малой расстройке по частоте До> = ш — шр параметр
д -	~	~ Ч>Х^' + “р) я 2—	(2 3)
Шр Ш	ШШр	ШШр	Шр
Из (2.1) получим для модуля фазы и комплексного сопротивления:
\Z\ = гУ1 + 32Д2 или |Z|/r = У! + Q2A2j	(2.4)
tg ч> = QA или <р = arctg(AQ).	(2.5)
Графики амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик последовательного колебательного контура, рассчитанные согласно (2.4) и (2.5) при двух значениях добротности Q = 20 и 100 и г = 1 Ом, построены на рис. 2.1,б, в. Из графиков следует, что при большей добротности сужается амплитудная характеристика и круче становится фазовая характеристика.
Составим дифференциальное уравнение для схемы рис. 2.1,а. Напряжение, приложенное к контуру, при Rt г есть сумма трех напряжений:
e(t) = ис + и/, + ия,	(2.6)
Рис. 2.1. Колебательный контур последовательного типа (а) и его характеристики (б, в)
Две базовые колебательные модели
55
Рис. 2.2. Колебательный контур параллельного типа (а) и его характеристики (б, в)
где ис — напряжение на конденсаторе; ид — на индуктивности; ur — на сопротивлении.
Воспользуемся известным соотношением из электротехники и выразим ток, протекающий через последовательный контур, через напряжение па конденсаторе емкостью С, что позволит записать выражения и для двух других напряжений:
. dq duc Tdi „d?uc	„duc
*=Л=СЛ-' '“ = Ldi=LC-^’ = " = W где q — заряд, накапливаемый емкостью С.
С учетом данных выражений преобразуем уравнение (2.6) к виду e(t) = ис + гС^- +
или
§+2a^ + wPJ/ = W₽eW-
(2-8)
где wp = 1/y/LC — резонансная частота; у = ис — напряжение, а = r/2L = wv/2Q — постоянная затухания.
Из сравнения (2.8) с (2.1) видно, что линейное уравнение (2.8) является частным случаем уравнения (2.1). Преобразуем уравнение (2.8) к виду с нормированным значением частоты и времени:
^ + Q^+'y’»~'y,e<T>=0’	(29>
где 7 = /р//о — нормированная частота; т = 2тгfat — нормированное время; /о — частота внешнего сигнала e(t).
Параллельный колебательный контур. Схема такого контура приведена на рис. 2.2,а.
Потери в контуре учитываются с помощью активного сопротивления R, включенного параллельно реактивным элементам. Ком
56
Глава 2
=1+jQA
(2-Ю)
плексные проводимость и сопротивление контура согласно рис. 2.2,а:
„ 1 . „ 1 1 . 1
У = - + }и>С + — = - + juC 1--------YTn
R	jwL R \ arLC
_	1	R	V
Z~Y~ (1+jQA) ~R3+jX3’
(J	W2 — W? Дй?	,__
где Д =---------- = ------- ~ 2—, wp = l/y/LC — резонансная
o,'p ш ша)р	u/p
частота; Q = Ло.’рС = 7?/(wpL) — добротность.
Из (2.10) получим для модуля и фазы комплексного сопротивления:
|Z| = — 	ИЛИ ____________1 _=,	(2.11)
'	0 + (?2Д2 R у/\ + С2Д2	'
tg <р = -фД, или <р = — arctg(QA).	(2-12)
Графики амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик параллельного колебательного контура, рассчитанные согласно (2.11) и (2.12) при двух значениях добротности Q = 20 и 100 и R = 1000 Ом, построены на рис. 2.2,6, в. Из графиков следует, что при большей добротности сужается амплитудная характеристика и круче становится фазовая характеристика.
Составим дифференциальное уравнение для схемы рис. 2.2,а. Для тока в общей цепи запишем
t(i) = ic + »л + *L>	(213)
где ic — ток, протекающий через конденсатор; 1д — сопротивление, ii. — индуктивность.
В соответствии с законами электротехники для трех токов запишем
du	. и	. if..
*с = C-j-, IR = —, il = у / udt, dt	г	L J
udt = i(t),
(2.14)
(2.15)
или
где u — напряжение на контуре (рис. 2.2,а).
Подставив данные выражения в (2.13), получим уравнение ~du и 1 С dt + R + L
которое после дифференцирования левой и правой частей примет вид (Ри , 1 du t 1	di(t)
dt' Rdt L	dt
d2!/ , n dy 2	1 di(t)
где все величины совпадают с уравнением (2.8).
базовые колебательные модели
57
Уравнения (2.8) и (2.15) отличаются только правой частью, определяющей входное воздействие на контур. В виду идентичности уравнений результаты анализа для последовательного и параллельного контуров качественно совпадают, различие сводится только к численным значениям величин. Поэтому все дальнейшие исследования будут связаны только с одним из уравнений — (2.8), определяющим последовательный колебательный контур. Полученные результаты легко перенести на параллельный колебательный контур. Рассмотрим свободные и вынужденные колебания в контуре.
Свободные колебания в контуре. Зарядим до напряжения Е конденсатор С контура (рис. 2.1,а), а затем замкнем ключ. При выполнении данных условий уравнение (2.8) примет вид
ё+2“^+“»’=0’	<216)
где при 4 = 0: у(0) = Ао, у'(0) = Ai-
Согласио [38] решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка (2.16)
y(t) = Ci exp(pi 4) + C2 exp(p2«),	(2.17)
где постоянные Gj и Ci определяются начальными условиями, pi и Pi являются корнями характеристического уравнения
р2 + 2ар+ш’= 0.	(2.18)
Поскольку согласно (2.8) параметр а = uv/2Q, то корни уравнения (2.18)
Pi = а(—1 + ^1-4(?2), р2 = а(—1 - 0-4Q2).	(2.19)
Добротность Q — wpL/r > 0 при сопротивлении г > 0. Однако помимо положительного возможно и отрицательное значение активного сопротивления (г < 0). Физическая возможность существования такого сопротивления будет раскрыта в гл. 5. Сейчас же только отметим, что существуют электронные приборы, имеющие падающий участок вольт-амперной характеристики, например туннельный диод. Выбрав на такой характеристике рабочую точку А, получим г < 0, а следовательно, и Q < 0.
С учетом сделанного замечания значение добротности Q колебательной системы может меняться в пределах от —оо до +оо. В зависимости от значения добротности Q корни pi и рз, определяющие характер протекания переходного процесса и вида свободных колебаний, согласно (2.19) могут принимать четыре пары значений. Рассмотрим в этой связи четыре зоны значений добротности и соответствующие им корни характеристического уравнения (2.18).
58
Глава 2
1-я зона. Добротность — оо С Q < —0,5, коэффициент а < О, корпи pi и Р2 — комплексные числа с действительными частями Re(pi) = |а| > 0 и Re(pj) = |а| > 0.
В результате согласно (2.17) свободные колебания являются гармоническими с нарастающей со временем амплитудой
y(t) = Лоехр(|а|г)соз(<ц« + <р),
где частота ш = у^ш2 — а2.
При Q —» —оо коэффициент а —♦ 0 и амплитуда колебаний постоянна.
2-я зона. Добротность -0,5 < Q < 0, коэффициент а < 0, корни Р1>0ир2>0 — действительные числа.
В результате согласно (2.17) свободные колебания являются апериодическими с нарастающей со временем амплитудой
y(t) = Ci exp(pii) + С2 exp(p2t).
3-я зона. Добротность 0 < Q < 0,5, коэффициент а > 0, корни Р1<0ир2<0 — действительные числа.
В результате согласно (2.17) свободные колебания являются апериодическими с убывающей со временем амплитудой
y(t) = Ci ехр(—|pi|t) + C2exp(-|p2|t).
4-я зона. Добротность 0,5 < Q < оо, коэффициент а > 0, корни pi и р2 — комплексные числа с действительными частями Re(pi) = -а и Re(p2) = -а.
В результате согласно (2.17) свободные колебания являются гармоническими с убывающей со временем амплитудой
y(t) = Ло exp(-crt) cos(urt + <р0),
где частота w = ^со2 — а2.
При Q —» оо коэффициент а —» 0 и амплитуда колебаний по
стоянна.
Определим свободные колебания и построим их фазовые портреты для четырех зон значения добротности Q. Для этого необходимо решить дифференциальное уравнение 2-го порядка (2.16), которое представим в виде двух уравнений 1-го порядка
= 1/2,
(2.20) = -2ау2 -ш*у1,
где j/i — искомая функция, у2 — ее производная.
dyi dt dy2 dt
базовые колебательные модели
59
( * 1
ORIGIN:» 1	у:=
< О J
Q:-10 fpoO.15	а-0.047 ир :-2-к-fp
р!:-а (-1+71-4 О’) р2^о (-1-ф-4 Q2)
р| = -0.047124+ 0.941299i р2 = -0.047124- 0.9412991
( У1
F(t,y)>
(. -2 а у2-тр2 у| J
Z := rirfixcd(y,0,100,1001, F) th :=Ztt U:-Z® Vt-Z^
Рис. 2.3. Программа расчета свободных колебаний в контуре
Программа решения уравнений (2.20), позволяющая рассчитать свободные колебания в колебательной системе и построить их фазо
вые траектории, при разных параметрах и начальных условиях приведена на рис. 2.3. В программе приняты следующие обозначения:
ORIGIN — 1 означает, что нумерация координат вектора начи
нается с 1.
Г
У= О
— вектор начальных значений функции у\ и ее произ
водной у2, которым могут быть заданы разные значения;
fp — резонансная частота /р (при размерности частоты в Гц, кГц или МГц время соответственно в секундах, миллисекундах или микросекундах);
Q — добротность электрической цепи Q;
а — коэффициент затухания;
pl, р2 — корни характеристического уравнения;
F(t,y) — вектор правых частей уравнений (2.20),
Z — матрица, содержащая значения решения уравнения и его
производной в рассчитываемых точках—узлах сетки, N = 1001 — число рассчитываемых точек или узлов.
х! = 0, х2 = 100 — начальное и конечное значения интервала
времени t, внутри которого находится решение,
th, Z<‘> — время t;
U, yi, Z<2> — напряжение на емкости y(t) = uc(t);
V, уг, Z<3) — производная от y(t).
Графики свободных колебаний в контуре U(t) = yi(t) и соответствующие им фазовые траектории V(U) = y-i(yi) в каждой из четырех зон при нескольких значениях добротности Q, рассчитанные по программе рис. 2.3, построены на рис. 2.4. С их помощью па-тлядно прослеживается влияние добротности на характер свободных колебаний — гармонических или апериодических, с затуханием или нарастанием амплитуды.
60
Глава 2
Рис. 2.4. Результаты расчета по программе рис. 2.3 при разных значениях добротности
Из рис. 2.4 следует, что первой зоне, в которой амплитуда гармонических колебаний возрастает, соответствует фазовый портрет с неустойчивым фокусом, поскольку фазовая траектория имеет вид раскручивающейся спирали. Второй зоне, в которой колебания возрастают по кривой, соответствует неустойчивый узел, а третьей зоне, напротив, устойчивый узел, поскольку здесь колебания затухают. Четвертой эоне, в которой амплитуда гармонических колебаний затухает, соответствует фазовый портрет с устойчивым фокусом, поскольку фазовая траектория имеет вид сворачивающейся спирали.
Две базовые колебательные модели
61
t
t
Ряс. 2.5. Графики изменения напряжения и энергии колебательного контура
Стационарным колебаниям при отсутствии потерь в системе, т.е. при |Q| —» оо, соответствует фазовый портрет в форме окружности, размеры которого определяются начальными условиями. В этом случае замкнутые фазовые траектории окружают особую точку, называемую центром, которой соответствует состояние устойчивого равновесия.
Таким образом, переход из одной зоны в другую, обусловленный изменением добротности Q, сопровождается сменой вида колебаний. Причем при положительном активном сопротивлении, или Q > 0, система устойчива, поскольку колебания в ней затухают, а при отрицательном активном сопротивлении, или Q < 0, система становится неустойчивой, поскольку в ней возникают колебания, возрастающие по амплитуде. Данная проблема более подробно обсуждается в гл. 5.
Преобразование энергии при колебательном процессе. В электрической цепи в процессе колебаний энергия электрического и магнитного поля непрерывно переходит одна в другую. Определим эти энергии. С учетом выражений для тока и заряда в цепи (2.7) энергия электрического поля при гармоническом колебании, запасаемая в конденсаторе,
Ыс =	= O,5CC£ sin2 u>pt,	(2.21)
20
гДе Um — амплитуда напряжения на конденсаторе.
Энергия магнитного поля, запасаемая в индуктивности,
WL =	= Ь(С^рСО8“Р*)3 = 0,5СУ2 cos2Wpt. (2.22)
2	2
62
Глава 2
Графики функций изменения двух напряжений в контуре и энергий электрического и магнитного полей (2.21), (2.22) приведены на рис. 2.5.
Полная энергия колебательной системы без потерь согласно (2.21)—(2.22)
VV = Wc + WL =	- 0.5С17’,
ZU
что подтверждает справедливость постоянства функции Гамильтона для электрического контура.
2.3. Вынужденные колебания в контуре
Внешнее воздействие в форме гармонического сигнала. Рассмотрим влияние внешнего воздействия на колебательный контур, обратившись к дифференциальному уравнению (2.8). В случае гармонического колебания данное уравнение, представленное в виде двух уравнений 1-го порядка, по аналогии с (2.20) примет вид
Г ^/1 о
1X	(2М)
[	= -2ау2-ш*у! +w’L7m sin wi,
где w, Um — частота и амплитуда внешнего воздействия.
Решение уравнения (2.23) находится в виде суммы двух составляющих: свободной ui(t), связанной с собственными колебаниями в цепи, и вынужденной определяемой внешним воздействием:
y(t) = ui(t) 4- u2(t) = Uie~ot sin(u?pi + Vh) + l^sin^t + y>2). (2.24)
Согласно (2.24) амплитуда свободной составляющей со временем затухает, вынужденной — имеет постоянное значение. Решение уравнения (2.24) найдем по программе, позволяющей рассчитать колебания в системе и построить их фазовые траектории при разных параметрах и начальных условиях. В программе на рис. 2.6 приняты те же обозначения, что и в программе на рис. 2.3. Кроме того введены следующие дополнительные параметры:
UO, fl), Т — амплитуда, частота и длительность внешнего гармонического сигнала.
Результаты расчета колебаний по программе рис. 2.6 при двух значениях добротности Q = 10 и 20 и двух значениях частоты сигнала /о = 1 и 1,08 приведены на рис. 2.7.
В первом примере (рис. 2.7,а) резонансная частота и частота внешнего сигнала равны. Поэтому в цепи возникает резонанс, сопро-
Две базовые колебательные модели
63
ORIGIN:-1	U0:-l ГО-1 Т:-20
X(t) := I (UO ил(2 ж ГО t)) if 0 £ I S Т У* 0 if |>Т
Q : 10 fp:»1 сор :• 2  я - ф	а := —-
pl :=а • (-1+71-4 Q?) Р2>а	О’)
а = 0.628
pl --0.628319+ 6.251691 р2 • -0.628319- 6251691
(	Уа
FO.y):-	,	3
(-2-ау;-«р У| + «ч> Х(0)
Z:-rtfixed(y.0.100.1001.F) th =Z W U:-Z V:-Z ®
рис. 2.6. Программа расчета вынужденных колебаний при гармоническом воздействии
а)	В)
Рис. 2.7. Результаты расчета по программе рис. 2.6
вождающийся резким увеличением амплитуды колебаний. При резонансе амплитуда напряжения на конденсаторе: Ucm — QUo, где Uo — амплитуда внешнего сигнала. Для реактивной и активной мощностей при резонансе в цепи получим
Рр = 0,5С£т/|Хс| = 0,5U^Q3coC, Ра = 0,5С/Д/г = 0,5С/02/г,
что дает для их отношения Рр/Ра = Q- Резкое — в Q раз — возрастание амплитуды напряжения на реактивном элементе и реактивной мощности при резонансе является характерной особенностью колебательного контура.
Определим время переходного процесса в системе при резонансе. Согласно (2.24) переходной процесс можно считать закопченным при QtneP = 3. С учетом выражения для а [см.(2.8)] длительность пе-
64
Глава 2
реходпого процесса
3	3-2(3	О
(Рпер — 2тг/р^пер = 2тг/р = 2тг/р——— = 6Q ИЛИ tnep =	(2.25)
а	2тг/р	/р
Справедливость данной формулы подтверждают графики на рис. 2.7,а, рассчитанные при двух значениях добротности Q = 10 и 20. Из них следует такой вывод: чем больше добротность цепи Q, тем дольше длится переходный процесс и больше амплитуда сигнала.
В втором примере (рис. 2.7,6) резонансная частота fp и частота внешнего сигнала /о различны, в результате чего в процессе переходного процесса в колебаниях возникают биения с разностной частотой F = /р — /о- Кроме того амплитуда колебаний уменьшается по сравнению со случаем резонанса.
Внешнее воздействие в форме гауссова импульса. В этом случае для внешнего колебания запишем
u(t) = Uoexp(-0|t - t0P), где to — время, соответствующее максимуму импульса, вследствие чего дифференциальные уравнения (2.20) для расчета колебаний в системе примут вид dyi
< f
= -2ау2 -	4-	ехр(—/?|t - to|2).
'at	K
Программа расчета колебаний и их фазовой траектории согласно уравнениям (2.26) приведена на рис. 2.8. В ней приняты те же обозначения, что и в программе на рис. 2.6.
Результаты расчета по программе рис. 2.8 колебаний и их фазовой траектории при воздействии на систему гауссова импульса приве-
(2.26)
I
° )
Х(1)я [ио	if-TStST
|о if |||>т
Q»J ф.-0.5	<ч>:-2«11>	a-0314
pi»«-Ci+/i-4'qO	-«•<?)

pl --0314159» 3 12SS45i p2--0314159- J.I25M5i
-2-a n-«p’ H + Wi’-Xft)
Z:=rkfl«d(y.0,100,1001, F)	UsZ ® V»Z й
Рис. 2.8. Программа расчета вынужденных колебаний при импульсном воздействии
Две базовые колебательные модели
65
Рис. 2.9. Результаты расчета по программе рис. 2.8
дены на рис. 2.9. Программа позволяет определить влияние добротности системы на форму и длительность колебаний. Первый случай на рис. 2.9 соответствует добротности Q = 5, второй — Q = 50.
Внешнее воздействие гармонического колебания с частотой, изменяющейся по линейному закону. Для круговой частоты, изменяющейся по линейному закону, запишем
w(t) = а>о +	(2.27)
где До/д — девиация частоты; Т— длительность сигнала.
Для самого гармонического колебания с учетом (2.27) при 0 < t < Т имеем
u(t) = IZosin	= Ubsin ^2тг/0< +	,	(2.28)
вследствие чего дифференциальные уравнения (2.20) для расчета колебаний в системе примут вид
' dyi
пт = У2,
< .	, Л, х (2.29)
= -2QJZ2 -ufa + ш’Доsin (2vfot +	.
Программа расчета колебаний и их фазового портрета согласно Уравнениям (2.29) приведена на рис. 2.10. В ней приняты те же обозначения, что и в программе на рис. 2.6.
Результаты расчета по программе рис. 2.10 колебаний и их фазовой траектории при воздействии на систему гармонического колебания с изменяющейся частотой (2.28), приведены па том же Рис. 2.10. Программа позволяет определить влияние добротности системы на форму и длительность колебаний. Первый слу-5 - *0<Ю
66
Глава 2
pl:« а • (-1 + 71-« tf) р2 = а G -^!-4<jO
pl = -1JS4437+ 123033371 р2 = -1.25W37-12.5033811
(	У7
FC.y)>	,	,
«	У1 + ®Р W) )
Z-rkfixod(y. 0,10,2001,F) ihz-Z^ U:-Z V:-Z W
Рис. 2.10. Программа и результаты расчета вынужденных колебаний при линейном ЧМ сигнале
чай на рис. 2.10 соответствует добротности Q - 5, второй — Q = 20.
По программам, аналогичным приведенным на рис. 2.6, 2.8, 2.10, можно рассчитать колебания и их фазовый портрет в системе второго порядка при внешнем воздействии самого разнообразного вида.
Колебательный контур с нелинейным элементом. Влияние нелинейного элемента на колебания в контуре рассмотрим на частном примере, добавив к уравнению (2.8) кубичный член, получив уравнение Дуффинга (1.19):
^7 +	+ wp!/ +	(2.30)
Заметим, что уравнение (2.30) описывает как нелинейные колебания пружины [38], так и колебания в электрическом контуре с нелинейным реактивным элементом.
te базовые колебательные модели
67
ORKJIN-1 U0:=l Ю-IM Т:=М |i:=0.02 у:= |(V0 яп(2 к ГО t)) if OStST |о ift>T
Q > 20 fp:«I cap > 2 • я  fp
X(t)>
а -0.157
2 Q
Z.- ЛГххес? у. 0,50,5001, F)
jtttWUllUlUUUll
11 «	5	1» U »
_______________1
-2-a yj-op2 yi-H «p2 (yi? + <np2 X[t)
Рис. 2.11. Программа и результаты расчета вынужденных колебаний в контуре с нелинейным элементом


Программа решения нелинейного уравнения (2.30) приведена на рис. 2.11. Результаты расчета по программе колебаний при воздействии на систему гармонического колебания приведены на том же рис. 2.11. Расчеты проведены при значении коэффициента д = 0,02 для четырех случаев: 1) частота /0 = 1» добротность Q = 10; 2) Л = 1, Q = 20; 3) f0 = 1,08, Q = 10; 4) /0 = 1,08, Q = 20.
Сравнение результатов расчета рис. 2.11 (нелинейный случай) с рис. 2.7 (линейный случай) позволяет определить влияние нелинейного элемента в контуре на характер колебаний.
По программе рис. 2.11 можно рассчитать влияние и других видов нелинейных элементов на колебания в контуре, произведя соответствующие изменения в уравнении (2.30).
2.4. Свободные колебания маятника
Уравнение математического маятника. Покажем, как к Уравнению (2.1) приводятся движения одной из самых первых колебательных систем, подвергшихся всестороннему анализу в рамках теории колебаний, — механического маятника, т.е. груза, подвешен-s’
68
Глава 2
пого на нерастяжимой нити или невесомом стержне и В совершающего движения в одной плоскости под действием силы тяжести (рис. 2.12).
Из общего курса физики известно, что без учета трения оси во втулке и сопротивления воздуха колебания маятника описываются дифференциальным уравнением
J— = M + x(t),	(2.31)
Рис. 2.12.	л
Маятник где ® — угол отклонения маятника от вертикали;
J — момент инерции относительно оси; x(t) — функция, описывающая внешнее воздействие; М — момент сил, действующих на маятник относительно оси, определяемый его длиной L и силой тяжести тд:
М = —rngL sin 9,
(2.32)
где д — ускорение силы тяжести; т — масса маятника.
Приняв внешнее воздействие x(t) = 0, из (2.31) с учетом (2.32) получим
-5-5-+ о/p sin 0 = О,	(2.33)
at* к
где = yJmgL/J — параметр, определяющий круговую частоту колебаний маятника.
При массе маятника, сосредоточенной в точке (такой маятник называется математическим), момент инерции J = mL2 и частота
<др = Vp7Z.	(2.34)
При малой амплитуде колебаний маятника <£ 1 можно принять sin 9 = 9, и тогда уравнение (2.33) становится линейным:
лд
^7+^ = 0,	(2.35)
решение которого есть 9 = 9Ы sin(wpt), что легко проверить, подставив его в (2.35). В этом случае период колебаний маятника
Т = 2я/шр = 2it/y/g/L.	(2.36)
Итак, колебания маятника описываются нелинейным дифференциальным уравнением (2.33), решить которое можно только численным путем. При малой амплитуде колебаний возможна замена нелинейного уравнения линейным (2.35), решение которого определяется аналитическим путем. С учетом сопротивления воздуха и трения оси
базовые колебательные модели
69
шр = 6.2*3
Р(«.У) *
ORIGIN:- 1 а 0.1 fy 1 шр :• 2 •«- fp Уг
-а • Уг - “р‘ »“(У|) )
Zi-rtf«ed(y.O,10,1001,F) H>:-Z W U>ZW V:-ZW Рис. 2.13. Программа расчета колебаний маятника
(2.37)
(2,38)
во втулке при качании маятника, уравнение (2.33) при отсутствии внешнего воздействия x(t) = 0 примет вид
<f)	<» I . „ „
_+о_+„рЯ„«.0,
где а — коэффициент, учитывающий суммарные потери при качании маятника.
Составим программу и определим колебания маятника в рамках нелинейной модели согласно уравнению (2.37), которое, как и ранее (см. (2.20)), представим в виде двух уравнений первого порядка:
di dyi	i
— = -2ауч -	sin yi,
где yi — искомая функция, у? — ее производная.
Программа решения уравнений (2.38), позволяющая рассчитать свободные колебания в колебательной системе и построить их фазовые -траектории, при разных параметрах и начальных условиях приведена на рис. 2.13. В программе приняты те же обозначения, что и в программе, представленной на рис. 2.3. Необходимо только под амплитудой колебаний у (или U) понимать угол отклонения маятника от вертикали в радианах.
Движения маятника без учета потерь. Сначала исследуем колебания маятника без учета потерь, приняв коэффициент а = 0. В этом случае на характер колебаний влияет обобщенный параметр маятника шр = 2тг/р и начальные условия.
Примем следующие начальные условия: t/i(0) = 2,5, Уз(0) = 1, и исследуем зависимость колебаний от значения параметра /р, приняв последовательно /р = 0,35; 0,253; 0,252; 0,15. Графики зависимости колебаний от времени yi(t) и соответствующие им фазовые траектории yi(1/2), рассчитанные по программе рис. 2.13, приведены на рис. 2.14, Из них следует, что с понижением значения параметра /р уменьшается частота колебаний, и при значении /р около 0,2525 колебания из близких к гармоническим становятся непрерывно-
70
Глава 2
Рис. 2.14. Результаты расчета по программе рис. 2.13
Рис. 2.15. Маятник: а — колеблется; б— вращается
волнообразными: маятник не колеблется относительно вертикальной оси, а начинает вращаться по окружности (рис. 2.15) с волнообразно изменяющейся скоростью При этом соответственно меняется и фазовая траектория, приобретая вместо эллипса волнообразный вид. Аналогичная картина имеет место и при других начальных условиях. Двум верхним фазовым -траекториям (см. рис. 2.14) соот
ветствует особая точка типа центра, третьему (при /р = 0,252) — седло.
Аналогичная картина имеет место и при /р = const с увеличением начальной амплитуды yi (0), с определенного значения которой
колебания также из почти гармонических становятся непрерывноволнообразными, что следует из графиков, рассчитанных при /р = 1 и построенных на рис. 2.16. Трем верхним фазовым траекториям
соответствует особая точка типа центра, нижнему — седло.
В целом фазовый портрет колебаний маятника без учета потерь, т.е. при коэффициенте а = 0, согласно расчетам и графикам (рис. 2.14 и 2.16), приведен на рис. 2.17. На этом портрете вложенные друг в друга эллипсы соответствуют колебаниям маятника относительно вертикальной оси (см. рис. 2.15,а), а кривые волнообразного типа —
базовые колебательные модели
71
Рис. 2.16. Результаты расчета по программе рис. 2.13 при отсутствии потерь
вращательному движению (см. рис. 2.15,6). На фазовом портрете имеются два типа особых точек — центр (точка А) и седло (точки Б). Через каждое седло проходит по две фазовые траектории. Само седло является неустойчивой особой точкой, ибо малейшее отклонение от нее приводит к непрерывным колебаниям, т.е. вращению маятника. Таким образом, при изменении параметра fp происходит переход от одной фазовой траектории к другой.
Движения маятника с учетом потерь. Теперь рассмотрим, как потери, при которых коэффициент а > 0, влияют па колебания маятника. Как и ранее, расчеты проведем по программе, приведенной на рис. 2.13. Результаты примера расчета в зависимости от /р
Рис. 2.17. Фазовый портрет колебаний маятника
72
Глава 2
Рис. 2.18. Результаты расчета по программе рис. 2.13 при учете потерь
и а > 0 при неизменных начальных условиях j/i(0) = 2,5, 2/^(0) = 1, совпадающих с рис. 2.14, приведены на рис. 2.18.
Из графиков, приведенных на рис. 2.18, следует, что при а > 0 затухают как гармонические, так и непрерывно-волнообразные колебания. Причем последние в зависимости от значения коэффициента а могут начать затухать не сразу, а после совершения маятником нескольких оборотов (нижний график на рис. 2.18). На фазовом портрете такой процесс затухания отображается переходом волнообразной фазовой траектории в эллипс.
Преобразование энергии при колебаниях маятника. При колебаниях маятника происходит непрерывный процесс преобразования кинетической энергии в потенциальную и обратно. Рассмотрим этот процесс при отсутствии потерь (а = 0) и при малом угле колебания 6М, что позволяет принять 0(4) = sin(upt) [см. (2.35)].
Кинетическая энергия маятника
WK =	= 0,5пю>р02 sin2 wpt.	(2.39)
Потенциальная энергия маятника
Гв
W„ = mw2 / O(t)dt = O,5THWp0^ cos2 wpt. (2.40) Jo
базовые колебательные модели
73
шш.
О 03	1	13	2	23	) М 4	43	9
Рис. 2.19. Графики, характеризующие колебания маятника
Сумма данных энергий постоянна:
W = WK + W„ = 0,5mw^ = const,	(2.41)
что подтверждает справедливость постоянства функции Гамильтона для математического маятника.
Графики функций колебаний маятника 9(t), скорости этих колебаний v(t) и изменения во времени двух энергий (2.39) и (2.40) приведены на рис. 2.19.
2.5. Вынужденные колебания маятника
Рассмотрим влияние внешнего воздействия на колебания маятника, преобразовав уравнение (2.37) к виду
^+o^+w’sini/ = ^sin(y-nt),	(2.42)
Заметим, что помимо маятника уравнение (2.42) имеет и другие физические интерпретации, например движение электрона в постоянном магнитном поле и в поле плоской волны, перемещающейся перпендикулярно магнитному полю [23].
Составим программу и определим движения маятника согласно Уравнению (2.42), которое, как и ранее, представим в виде двух урав-
74
Глава 2
2.5
1
ORIGIN:-! а >0.01	ц>1 у>
ф>1Л ч>>2-« fp ар =9.425 f>i Q>2-K-f
У2
-а • yj - «р‘  ««(у,)* |i' <4>: sin(y, - Я • t) )
Z>rkfixed(y,0,100.I0001.F) fc>Z® U:=Z й
Rt.y)>
Я - 6.283
V>Z W
Рис. 2.20. Программа расчета колебаний маятника при внешнем воздействии
ю
20
10
V4 *
----- 10
20
10
ГД
О » «• 80 100
Рис. 2.21. Результаты расчета по программе рис. 2.20
базовые колебательные модели
75
Таблица 2.1
V	а	я	/р	f
1	0,01	0,01	1,5	1,5
2	0,001 0,01	0,05	1.5	1,5
3		1	1.5	1,0
4	0,01 0,1	1	1,5	1,5
5		1	1.5	1,4
(2.43)
нений первого порядка:
<4/1 _  л = -с*У2 ~ WpSin уг + цы2 sin(j/x - Of), 'at
где j/i — искомая функция, t/a — ее производная.
Программа решения уравнений (2.43), позволяющая рассчитать колебания в системе и построить их фазовый портрет, при разных параметрах и начальных условияк приведена на рис. 2.20. В программе приняты те же обозначения, что и в программе, представленной на рис. 2.13.
Характер колебаний в системе зависит как от ее собственных параметров (a, и/р), так и параметров внешнего воздействия (д, П) и начальных условий. Примем следующие начальные условия: у\ (0) = = 2,5, 1/2(0) = 1 и исследуем зависимость колебаний в пяти частных случаях, представленных в табл. 2.1.
Результаты расчета по программе рис. 2.20 для пяти данных случаев в виде зависимости колебаний от времени yi(t) и соответствующих им фазовых траекторий yi(ya) приведены на рис. 2.21. Из них следует, что при малом значении параметра д, определяющего амплитуду внешнего воздействия, колебания в системе носят гармонический характер. С увеличением значения д колебательный процесс преобразуется в непрерывный хаотического типа, что можно объяснить несовпадении фаз собственных колебаний и внешего воздействия. Во втором случае непрерывный процесс возвращается в колебательный. Хаотический характер процесса колебаний в системе наглядно прослеживается с помощью фазовых портретов. По программе, аналогичной рис. 2.20, можно рассмотреть и иные виды внешнего воздействия на системы, описываемые уравнением (2.42). Другие примеры хаотических колебаний рассматриваются в гл. 9.
Контрольные вопросы
1.	Рассчитайте свободные колебания и постройте фазовые портреты при разных значениях добротности колебательного контура по программе рис. 2.3.
76 Глава 2
На основании полученных результатов определите влияние добротности на вид колебаний.
2.	Рассчитайте вынужденные колебания в контуре при разных значениях добротности и резонансной частоты по программе рис. 2.6. На основании полученных результатов определите влияние двух данных параметров на вид колебаний.
3.	Составьте программу расчета вынужденных колебаний в контуре при внешнем воздействии, частота которого изменяется по квадратичному закону. Сравните результаты нескольких примеров расчета и определите влияние параметров контура и внешнего воздействия на вид колебаний.
4.	Определите по программе рис. 2.13 значение частоты качания маятника, приводящее к смене вида движения, при измененных по сравнению с рис. 2.13 начальных значениях.
5.	Определите по программе рис. 2.13 влияние потерь на вид колебаний маятника и фазовый портрет.
6.	Определите по программе рис. 2.21 влияние параметров маятника и внешнего воздействия на вид колебаний и фазовый портрет. При каком условии гармонические колебания перерождаются в хаотические?
Глава 3
КОЛЕБАНИЯ
ПРИ ВРАЩЕНИИ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
3.1.	Модель с двумя видами движения
Более сложные виды движения. Одним из часто встречающихся видов движения в материальном мире является вращение твердого тела, сопровождающееся колебательными процессами. Приведем несколько хорошо известных примеров. Земля и семь других планет вращаются вокруг Солнца, а Луна вращается вокруг Земли. Все эти движения планет, а также других небесных тел сопровождаются периодическими колебаниями скорости. Невидимая ось Земли при своем вращении колеблется, описывая круг с периодически изменяющимся радиусом словно «волчок», вращающийся по твердому полу. Обратившись к технике, видим, что большинство типов генераторов электроэнергии и двигателей основано на вращении ротора. И этим видам вращения свойственны определенные виды колебаний.
При изучении данных процессов движения используется одно существенное допущение: в случае радиуса орбиты вращения, значительно превышающего размеры вращающегося тела, размеры последнего считаются исчезающе малыми, а масса конечной величиной. Поэтому в рассмотрение вводится понятие «тяжелая или материальная точка», т.е. твердое тело с нулевым объемом и конечной массой. Изучим несколько видов колебательных процессов при вращении твердого тела, начав с шарика, одновременно совершающего два вида движения.
Движение шарика по внутреннему желобу вращающегося обруча (рис. 3.1,а). Такой случай, рассмотренный в [2] без учета силы трения, можно представить в виде движения тяжелой точки по окружности, вращающейся вокруг вертикальной оси (рис. 3.1,6). На рис. 3.1,ft 0 — угол, определяющий положение точки массой тп в системе координат, связанной с вращающейся окружно-
78
Глава 3
Рис. 3.1. Шарик внутри вращающегося обруча
стью, Q — угловая скорость вращения этой окружности радиусом R вокруг вертикальной оси.
При неподвижном обруче, т.е. при 0 = 0, движение шарика внутри обруча подчиняется закону маятника (см. разд. 2.4, рис. 2.15). При О / 0 картина усложняется, поскольку в этом случае необходимо принять во внимание дополнительные силы, испытываемые шариком, представляемым в виде тяжелой точки. Как показано в (2], центробежная сила, испытываемая такой точкой, есть Fu = = mn27?sin0; момент этой центробежной силы Л/ц = mfl2R2 sin© х х cos 0; сила тяжести точки Fg — тд; момент этой силы тяжести относительно центра окружности Мд = — mgRsin 0, момент инерции тяжелой точки относительно центра окружности J = mR2. Коэффициент силы трения шарика, двигающегося по желобу, обозначим через к. В результате с учетом силы трения по аналогии с (2.37) составим дифференциальное уравнение, описывающее движение тяжелой точки:
= — к^- — mgRsinQ + mfl2fi2sin0cos0, (3.1) at2 at
которое приведем к виду
+ а~ 4- /?sin 8 — O,5sin(20) = 0,	(3.2)
ат* ат
где т = fit — нормированное время; а = А:/тпЯ2П; 0 = g/R£t2 — обобщенные параметры системы.
Программа решения уравнения (3.2), позволяющая рассчитать колебания в рассматриваемой системе и построить их фазовый порт-
Колебания при вращении твердых тел
79
ORIGIN:- 1	Г 0-5 Л
g:-9.Sl Ri-1 Q:=100 к:=0.03 я>1 У “ I 0.5 J а>--------- а-ЗхКГ*	---- p.MIxlf*
m-R1 О	R Я2
-Г у* 1
(	( -в • У} - ₽ • мп(У|)+0.5-ип(2 'у,) J
Z:-rkfixed (у, 0,200,20001.F)	U6 = Z V6:=Z W
Рис. 3.2. Программа расчета колебаний шарика
Таблица 3.1
	R	Я	к	m	а	0
1	0,0005	100	0	1	0	1,962
2	0,001	100	0	1	0	0,981
3	0,1	100	0	1	0	9,81 -10“3
4	0,182	100	0	1	0	5,39  IO"3
5	0,183	100	0	1	0	5,36  10-3
б	1	100	0,03	1	ЗЮ"4	9,81 • 10"4
per, при разных параметрах и начальных условиях приведена на рис. 3.2. Принцип составления программы и принятые в ней обозначения соответствуют программе, приведенной на рис. 2.3.
Характер колебаний в системе зависит от ее обобщенных параметров (а, 0) и начальных условий. Примем следующие начальные условия: 1/1(0) = 0,5, 1/2 (0) = 0,5 и исследуем зависимость колебаний в шести частных случаях, представленных в табл. 3.1.
Результаты расчета по программе рис. 3.2 для шести данных случаев в виде зависимости колебаний от времени i/i(i) = U(th) и соответствующих им фазовых траекторий j/i(j/a) = V(U) приведены на рис. 3.3. Из них следует, что при относительно большом значении параметра 0 = g/Rft1 (случаи 1-4) колебания в системе носят периодический характер, причем от гармонических (случай 1) они переходят к полигармоническим. Фазовая траектория при этом из окружности преобразуется к фигуре, близкой к восьмерке. При переходе через некоторое значение параметра 0$ (в рассматриваемом случае при выбранных начальных условиях 0$ « 0,1825) колебательный процесс преобразуется в непрерывно-волнообразный (случай 5). Это означает, что если в первых четырех случаях шарик совершал колебательные движения относительно вертикальной оси (см. рис. 3.1,а), то в пятом случае он начинает совершать круговые движения по желобу обруча (см. рис. 3.1,6). Такое резкое изменение характера движения связано или с увеличением скорости вращения Q или радиуса Л обруча. Влияние трения на движение шарика прослеживается с помощью шестого случая. Из него следует, что при а > 0 непрерывноволнообразные колебания шарика через несколько периодов враще-
80
Глава 3
Рис. 3.3. Результаты расчета по программе рис. 3.2
ния по обручу затухают, переходя к колебаниям относительно вертикальной оси. На фазовом портрете такой процесс затухания отображается переходом волнообразной фазовой траектории в эллипс.
По программе, аналогичной рис. 3.2, можно исследовать и другие двойные движения тел, представляемых в виде тяжелой точки.
3.2.	Движение твердого тела вокруг неподвижной опоры
Рассмотрим в историческом аспекте, как развивалось решение задачи, связанной с движением твердого тела вокруг неподвижной опоры и имеющей прямой выход к проблемам технического и природного свойства.
Колебания при вращении твердых тел
81
В 1888 г. Парижская академия наук объявила конкурс па соискание премии за лучшую работу на тему: «О движении твердого тела». По условиям конкурса необходимо было усовершенствовать или существенно дополнить теорию по названной проблеме в области механики.
Когда срок конкурса истек, то жюри, составленное из первых математиков Европы, вскрыло конверты, в которых расшифровывались имена авторов-анонимов — участников конкурса, подававших свои работы под девизами. Удивлению беспристрастных членов жюри не было предела: автором лучшей из представленных работ оказалась Софья Ковалевская — профессор математики из России, преподающая в Стокгольмском университете. (В те времена женщинам в России преподавать в университете не разрешалось.)
На торжественном заседании Парижской академии паук Софье Ковалевской были вручены диплом и денежная премия. Приведем небольшую выдержку из речи президента академии во время состоявшейся церемонии: «Между венками, которые мы даем сегодня, один из прекраснейших и труднейших для достижения возлагается на чело женщины. Наши сочлены из секции «Геометрия» после изучения ме-муара, представленного на конкурс, обнаружили в этой работе не только свидетельство широкого и глубокого знания, но и признак ума великой изобретательности».
Тема работы Ковалевской имела такое название: «О движении твердого тела вокруг неподвижной точки». Ранее данной проблемой занимались такие выдающиеся математики, как Эйлер, Лагранж и Пуассон. Чтобы лучше понять сущность рассматриваемой проблемы, обратимся к частному случаю, связанному с детской игрушкой «волчок». Как объяснить, почему «волчок» может долго вращаться по ровному полу, выписывая замысловатые фигуры, и только израсходовав на трение свою кинетическую энергию, он с шумом падает? Какая сила делает «волчок» устойчивым при вращении, пока его скорость достаточно велика?
Первым глубоко разобрался в этой замысловатой задаче Эйлер, изложив теорию вращения «волчка» для одного из частных случаев в работе «Теория движения твердых тел» (1765 г.). Другой частный случай исследовал Лагранж, и на этом дело застопорилось. И вот теперь вслед за титанами математики за решение проблемы, имеющей прямое отношение к процессам, протекающим в природе, взялась женщина-математик, мало пока известная в научном мире.
6 - «ООО
82
Глава 3
Рис. 3.4. Тело, вращающееся около неподвижной точки
Углубимся в решение данной задачи, начав с первой фразы работы Софьи Ковалевской: «Задача о вращении тяжелого твердого тела около неподвижной точки может быть приведена, как известно, к интегрированию следующей системы дифференциальных уравнений» [36]. Приведем эти уравнения для тела, вращающегося около неподвижной точки (рис. 3.4), сделав предварительно следующие замечания:
•	движение тела рассматривается в двух системах координат с началом в одной и той же точке — опоре «О»: неподвижной — с осями ОХ, ОУ, 0Z; и подвижной — с осями Ох, Оу, Oz, связанными с телом вращения и направленными по его главным осям инерции:
•	Хо, Уо» 2о — координаты центра тяжести тела в подвижной системе координат,
•	Jx, Jy, Jz — главные моменты инерции тела относительно подвижных осей Ох, Оу, Oz. (Напомним, что момент инерции тела J как мера его инертности по отношению к вращательному движению есть отношение момента силы к вызываемому им угловому ускорению; размерность кг • м2. Для материальной точки массой М, движущейся по окружности радиусом R, момент инерции J = Л/Л2.);
•	Сх — соз(хЛХ), Су = cos(yAZ), Cz = cos(zAZ) — косинусы углов, определяющих положение подвижных осей Ох, Оу, Oz относительно вертикальной неподвижной оси 0Z, и называемые направляющими косинусами, сумма их квадратов
С'Х + Су + С\ — 1;
•	П — мгновенная скорость вращения тела вокруг оси;
•	fix, fly, flz — проекции вектора угловой скорости па подвижные оси Ох, Оу, Oz (при вращении тела только вокруг оси 0Z fix — 0, Пу = 0, Пя = fl).
С учетом данных замечаний и введенных обозначений вращение твердого тела относительно точки опоры «О» (рис. 3.4) описывается следующей системой из шести дифференциальных уравнений, впер
Колебания при вращении твердых тел 83
вые составленных Эйлером:
—= ^zCy — ПуСг, at
= ^xCz — ftzCx, at
~ = (lYCx - nxCY.
< dt	(3.3)
Jx-r- = (Jy — Jztflyftz + mp(2^Cy ~ VoCz), at
Jy-jf- = (Jz ~ Jx^z^x +mg(xoCz — z0Cx), at
Jz~^- — (JX — Jy^X^Y + ТПУ^УоСх — XoCy), at
где m — масса тела вращения; g — ускорение силы тяжести.
Решение уравнений (3.3) заключается в определении зависимостей направляющих косинусов C’x(t), Cy(t), Cz(t) от времени, что позволяет найти положение любой точки твердого тела в неподвижной системе координат в каждый момент времени. Характер этого движения зависит от постоянных параметров, входящих в уравнения, и шести начальных условий — значений Пх>	Cxi Су>
Cz при t = 0.
В результате проведенных исследований С.В. Ковалевская пришла к следующему выводу: уравнения (3.3) имеют общее решение только в четырех частных случаях:
1)	при Jx = Jy = Jz'i
2)	при х0 ' = 0, уо — 0> 2о = 01 т.е. когда центр тяжести тела совпадает с точкой опоры, — случай, рассмотренный Эйлером;
3)	при то = 0, уо = 0, Jx = Jy, т.е. при симметричном эллипсоиде инерции, когда центр тяжести тела лежит на его оси вращения, — случай рассмотренный Лаграпжем;
4)	при Jx = Jy — 2Jz, zo = 0, когда центр тяжести тела находится в плоскости экватора эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, — случай, рассмотренный самой Ковалевской.
В остальных случаях, как показала Ковалевская, возможны только частные решения. Суть нового метода, предложенного ей. состояла в применении к решению задачи о вращении твердого тела теории функций комплексного переменного. Мы же воспользуемся для решения дифференциальных уравнений (3.3) численным методом с помощью компьютерной программы, приведенной на рис. 3.5.
Дадим пояснения к составленной программе (рис. 3.5). По программе рассчитывается случай вращения тела при яд = 0, t/о = 0, Jx — Jy, которому соответствует, в частности, шар с одинаковой 6»
84
Глава 3
ORIGIN» 1
А:» 5 B:«l T>17
У1 • У» - У> • Я
УгУ4-УГУ«
«.у)> ПУ,-У.У4 -(А-1)у9у« + А Ву}
(А-1)у4у4-АВ-у, О
' 0.1 ' 0.1 0 9899 0.1 0.1 к Ой»,
ORIGIN:-О
Z:=Rk*d4K(y.0,T, 1001.F)	U:-Z W V:»Z ®
	0	1	2	3	4	в	в
0	0	0.1	0.1	099	0.1	0.1	0.99
1	0.017	0.1	0.1	099	0.102	0.098	0.99
2	0.034	0.1	0.1	0.99	0.104	0.097	0.99
3	0.051	0.1	01	0.99	0.106	0.095	099
4	о.овв	0.1	0.1	0.99	0.106	0.094	0.99
5	0.065	0.1	0.1	0.99	0.11	0.093	0.99
в	0.102	0.1	0.101	099	0.113	0.092	0.99
7	0.110	0.101	0.101	0.99	0.115	0.091	0.99
в	0.136	0.101	0.101	0.99	0.117	0.09	0.99
Рис. 3.5. Программа расчета движения тела вокруг неподвижной точки
плотностью по всему объему (см. рис. 3.4). Модель вращающейся планеты ближе всего соответствует данному случаю, впервые рассмотренному Лагранжем.
Уравнения приведены к нормированному виду, при котором т = fit — нормированное время, А = Jz/Jx = Jz/Jy — отношение главных моментов инерции тела, В = (mpzo)/(Jzfi2) — обобщенный параметр, описывающий свойства тела вращения (безразмерная величина).
В программе приняты следующие обозначения:
т = th = Z<°> — нормированное время;
У! = и = Z(1> = Сх; У2 = V = Z<2> = Су, у3 = Z<3> = Cz — направляющие косинусы, определяющие положение подвижных осей От, Оу, 0z относительно вертикальной неподвижной оси 0Z, т.е. перемещение вращающегося тела в пространстве (см. рис. 3.4);
У4 = Z«> = Пх/П; ye = Z<8> = fiy/fi, ye = Z<®> = fiz/fi — проекции вектора нормированной угловой скорости на подвижные оси От, Оу, От;
А, В — введенные выше обобщенные параметры;
начальные условия в программе представлены в векторе у;
Т — нормированное конечное время расчета.
Результаты расчета по программе рис. 3.5 для четырех случаев согласно данных табл. 3.2 приведены на рис. 3.6.
Колебания при вращении твердых тел
85
Рис. 3.6. Результаты расчета по программе рис. 3.5
Таблица 3.2
X»	А	В	Trtp	^пр
1	10	0,1	7	0,90
2	5	0,1	8	0,79(1
3	10	1	45	0,14(1
4	5	1	17	0,37(1
• Из полученных результатов следует, что ось тела описывает вокруг неподвижной оси 0Z круговой конус. Проекция движения свободного конца тела в неподвижной системе координат на плоскости ОХ-ОУ определяется функцией Сх — Ф(Су) или V = Ф(С7). Четыре таких графика, соответствующих данным табл. 3.2, представлены на рис. 3.6. Траектория движения носит сложный характер и включает две составляющие: по горизонтальному кругу — так называемую прецессию — с периодом обращения Т„р = Ппр1 и сравнительно мелкие перемещения по дуге — нотацию.
Из приведенных на рис. 3.6 примеров следует, что прецессия может быть быстрой при угловой скорости Ппр перемещения свободного конца оси тела в неподвижной системе координат, близкой к его собственной скорости вращения П, которой соответствует нормированное время Т = 2тг. Именно такому случаю соответствуют примеры 1 и 2, для которых Тпр = 7 и 8 и, следовательно, угловая скорость Ппр = 2тгП/Тпр принимает значения flnp = 0,9П и 0,79П.
В другом случае прецессия может быть медленной, как в примерах 3 и 4, соответственно при Тпр = 45 и 17 или Ппр = 0,14П и
86
Глава 3
02|---------------------I-----	0J
tkl .	Л2
Рис. 3.7. Результаты расчета по программе рис. 3.5
Ппр = 0,37П. Обе составляющие траектории движения свободного конца тела — прецессия и нутация — зависят от обобщенных параметров А и В и начальных условий, что следует из графиков, приведенных на рис. 3.6. Величина Тпр определяется путем подбора значения Т, при котором траектория соответствует одному замкнутому кругу.
Зависимость одпой из координат движения от времени Сх — Ф(0 или U = $(th) для четырех случаев согласно табл. 3.2 представлены на рис. 3.7. На них также прослеживается два вида колебаний вращающегося твердого тела — быстрое с малой амплитудой и медленное с большой.
Быстрое вращение тела, в том числе и «волчка», вокруг оси симметрии придает ему устойчивость и является причиной прецессии и нутации. Теория вращения твердого тела, заложенная Эйлером и Лагранжем и развитая Ковалевской, имеет прямую связь с явлениями природы и некоторыми техническими устройствами. Так, вращающиеся небесные тела обладают именно такими качествами, следующими из теории: их оси совершают в космическом пространстве прецессию и нутацию. Ось вращения Земли движется по траектории, напоминающей пример 3 на рис. 3.6.
На использовании свойств быстро вращающегося твердого тела основан прибор, называемый гироскопом, широко применяемый в корабельной, авиационной и космической технике. Термин «гироскоп», введенный французским физиком Фуко, в буквальном переводе означает: «прибор, обнаруживающий вращение». Главной частью гироскопа является ротор — массивный круглый диск, посаженный на ось. Три степени свободы и быстрое вращение ротора гироскопа со
Колебания при вращении твердых тел 87
общают ему способность сопротивляться усилию, стремящемуся изменить направление его оси и плоскость вращения. В результате, несмотря на перемещение объекта, на котором установлен гироскоп, его ось вращения сохраняет свое направление в пространстве в течение определенного времени. Поэтому гироскоп используется для сохранения движения в строго заданном направлении самолета, ракеты и подводной лодки. В других случаях гироскоп используются для стабилизации объектов, например, остронаправленных в космос антенн, расположенных на кораблях, подверженных морской качке.
В заключение несколько слов о самой Софье Ковалевской. Она была незаурядной личностью, с редким, уникальным даром быстро схватывать суть проблемы в самых разнообразных областях знаний — в точных и гуманитарных науках.
Вот фрагмент одной из речей, произнесенных на Стокгольмском кладбище во время ее похорон: «Софья Васильевна! Благодаря вашим знаниям, вашему таланту и вашему характеру вы всегда были и будете славой нашей родины. Недаром оплакивает вас вся ученая и литературная Россия... Вам не суждено было работать в родной стране, и Швеция приняла вас. Честь этой стране, другу науки! Особенно же честь молодому Стокгольмскому университету! Но, работая по необходимости вдали от родины, вы сохранили свою национальность, вы оставались верной и преданной союзницей юной России. России мирной, справедливой и свободной, той России, которой принадлежит будущее. От ее имени прощаюсь с вами в последний раз».
3.3. Взаимодействие двух тел в поле тяготения
Немного истории. Движение планет и других небесных тел в Солнечной системе подчиняется закону всемирного тяготения, открытому Исааком Ньютоном и изложенным им в научном труде «Математические начала естественной философии», впервые опубликованным в 1686 г. Издание «Начал» — так сокращенно называют монографию Ньютона — стало возможным благодаря бескорыстной помощи, оказанной автору Эдмундом Галлеем. Вот что писал по этому поводу сам Ньютон в предисловии к своей монографии: «При издании этого сочинения оказал содействие остроумнейший и во всех областях науки ученейший муж Эдмунд Галлей, который не только правил типографские корректуры и озаботился изготовлением рисунков, но даже по его лишь настоянию я приступил и к самому изданию. Получив от меня доказательства вида орбит небесных тел, он непрестанно настаивал, чтобы я сообщил Королевскому обществу, которое затем своим благосклонным вниманием и заботливостью заставило меня
88
Глава 3
подумать о выпуске их свет.» Изложив свое стройное учение о пространстве, времени, силах и массах, Ньютон не только дал строгое математическое описание картины мира в целом, но и позволил решить обширный класс прикладных задач в механике и астрономии. Неоценим вклад Ньютона, раздвинувшего границы познаваемого, и в духовное развитие человечества, получившего от него ключ к разгадке многих тайн природы. Недаром на монументе, воздвигнутом в Кембридже и изображающим Ньютона с призмой в руках, высечен стих из Лукреция: «Он превзошел умом людское племя». Не будем, однако, забывать, что не окажись рядом с Ньютоном такой благородной и бескорыстной личности как Галлей, то вряд ли бы «Начала» увидели свет еще при жизни автора.
А теперь несколько слов о самом Эдмунде Галлее — человеке редкого мужества, благородства и любознательности. В 20-летнем возрасте Эдмунд отправился в длительное морское путешествие и два года прожил на острове Святой Елены, каждую ночь наблюдая за звездами. Итогом его неусыпных наблюдений явился каталог звезд южного неба — первый подобного рода в астрономии. Позже он совершит другое дальнее путешествие — на южный берег Африки с целью изучения земного магнетизма, результатом чего явится составление первой карты склонений магнитной стрелки. В 1682 г. Галлей, путешествуя по Италии, наблюдал за яркой хвостатой кометой, обогнувшей Солнце и удалявшейся от Земли. И с тех пор он буквально заболел проблемой комет. Сначала Галлей собрал все известные сведения о кометах, которые на протяжении веков были зафиксированы астрономами. Всего получилось 24 кометы, данные по которым он свел в таблицу в изданном им трактате «Обзор кометной астрономии». Таблица помогла Галлею сделать важное открытие: данные трех наблюдений за кометами — его собственные в 1682 г., Кеплера — в 1607 г. и Апиана — в 1531 г. — близко сходятся. Это позволило Галлею сделать обоснованный вывод, что речь идет об одной и той же комете с периодом обращения вокруг Солнца в 75-76 лет и потому ее новое появление ожидается в 1758 г. Поскольку предсказание Галлея с точностью в один год сбылось (комета обогнула Солнце 13 апреля 1759 г.), то она и вошла в историю под его именем.
Открытие Галлей совершил, точнее, вычислил, по объяснить, почему именно комета движется по такой, а не по иной орбите, он не мог. К тому времени уже были известны три эмпирических закона Кеплера, сформулированных им путем обобщения астрономических наблюдений. Но эти законы, давая относительно полное описание движения планет вокруг Солнца, не раскрывали глубинную суть явлений, наблюдаемых в космосе. Описание внешней стороны явления
Колебания при вращении твердых тел	89
без раскрытия их причинной связи не удовлетворяло ученых с аналитическим складом ума, пытавшихся докопаться до строго обусловленных законов природы. К их числу относился и Галлей, который за разрешением не дававшей ему покоя проблемы — открытия общего закона, управляющего движением небесных тел, — обратился к Ньютону. Их встреча состоялась в августе 1684 г.
Трудно представить себе более несхожих людей, чем Ньютон и Галлей. Ньютон, судя по воспоминаниям современников, был сложным человеком: скрытным и молчаливым, высокомерным и гордым, порой подозрительным и недоступным, нетерпимым к мнению других и тщательно оберегающим свой приоритет даже в спорных вопросах. У него не было учеников и друзей. И только Галлей — тонкий психолог, умеющий располагать к себе людей бескорыстием и благородством — сумел завоевать доверие Ньютона. Последний сообщил Галлею, что им открыт закон, объясняющий причину движения планет и позволяющий рассчитывать траектории небесных тел. Ньютон передал Галлею свою рукопись, а спустя некоторое время разрешил ему и опубликовать ее под названием «Математические начала естественной философии» — труд, на строго научной основе объяснивший движение планет и других небесных тел Солнечной системы и на многие годы определивший магистральный путь развития астрономии и физики.
Движение кометы Галлея в поле тяготения Земли. После такого вступления приступим к решению задачи о тяготении двух тел на примере расчета траектории движения кометы Галлея в космическом пространстве и связанным с этим движением колебательных процессов. Согласно закону всемирного тяготения комета Галлея движется по эллиптической орбите, в фокусе которой находится Солнце (рис. 3.8).
Приведем сведения из астрономии, которые потребуются нам при дальнейших расчетах. Точка рассматриваемой орбиты небесного тела, ближайшая к Солнцу, называется перигелием, наиболее удаленная — афелием. (Для небесных тел, вращающихся вокруг Земли, те же точки носят соответственно названия — перигей и апогей.)
Рис. 3.8. Эллиптическая орбита кометы Галлея
90
Глава 3
Комета Галлея
Рис. 3.9. Траектория движения кометы Галлея
Введем следующие обозначения для эллиптической орбиты кометы: большая полуось — а, малая полуось — Ь, расстояние от центра эллипса до фокуса — с, расстояние от фокуса с Солнцем до перигелия — П, до афелия — А, эксцентриситет эллипса — е, угол в полярной системе координат при расположении Солнца в центре системы — р, время обращения кометы вокруг Солнца — Тк, расстояние комета-Солпце — R, абсолютная скорость движения кометы (скорость, касательная к траектории) — V (см. рис. 3.8).
Обработка 11 наблюдений кометы Галлея с 1222 по 1986 г. показывает, что период ее обращения вокруг Солнца колеблется от 74,5 до 79,1 года. Эти колебания вызваны, главным образом, дополнительным влиянием на комету, помимо Солнца, самых массивных планет — Юпитера и Сатурна, когда орбита кометы проходит вблизи них (рис. 3.9). Среднее время периода составляет около То = 76 лет, которое и примем при дальнейших расчетах.
Согласно закону всемирного тяготения Ньютона сила, действующая между двумя телами,
_ wiomi “7 Я2 ’
где 7 = (6,67 ± 0,01) • 10-п [м3/кг  с2] — гравитационная постоянная; mo, mi — массы тел Mq, М\, кг; R — расстояние между центрами тел, м.
При рассмотрении движения планет в одной плоскости тело большей массы Мо помещают в начало координат. Тогда согласно теории Ньютона движение тела Mi, представляемого в виде материальной точки, относительно Mq под действием силы тяготения F описывается двумя дифференциальными уравнениями:
' сРх X dt2 + мЯ3 °’ <?у , У _ п I dt2 ± R? °’
(3.4)
(3-5)
где ц = ~i{mo + mJ, R = \/х2 + у2 — длина радиуса-вектора.
Колебания при вращении твердых тел
91
Поскольку масса mj любой планеты, а тем более кометы, в Солнечной системе ничтожно мала по сравнению с массой Солнца то, то в выражении для р величиной пц можно пренебречь. При массе Солнца то = 1,99 • 1О30 кг значение р = 1,32733 • 1О20 [м3/с2].
Чтобы исключить при расчетах обращение с очень большими числами примем за единицу расстояния одну астрономическую единицу, равную среднему расстоянию Земля—Солнце: 1 а.е. = = 149,6 • 106 км, а за единицу времени — один земной год: 1 год = = 31558150 с. Тогда для константы в Солнечной системе получим р = 39,483 [(а.е)3/год2].
Представим уравнения (3.5) в виде системы четырех уравнений первого порядка:
vx — парциальная скорость вдоль оси От,
vy — парциальная скорость вдоль оси Оу,
dt dy _ di dvx
dt dvv _
‘ dt
В?У'
где R = у/х2 + у2, р = 39,483 [(а.е.)3/год2].
В частном случае — при круговой орбите с радиусом R — const, решение уравнений (3.6) легко найти аналитическим путем. Одно из них х = flcos(wt), другое у — —7?sin(wt). Подставив данные решения в исходные уравнения (3.6), определим условие обращения их в тождества: ш2 = p/R?, откуда для периода обращения небесного тела по круговой орбите вокруг Солнца получим
Ткр = 2тг/ш = 2irRy/H/y/p = RVR [лет],	(3.7)
где R — радиус движения небесного тела, а.е.
Для мгновенного значения скорости, касательной к траектории движения небесного тела при круговой орбите, получим
VKp = Ru> = y/^/R = 6,283/v<R [а.ё./год] = 29,787/Vr [км/с], (3.8) где 1 [а.е./год] = 4,7405 [км/с].
• Из (3.8), например, следует, что средняя скорость движения Земли, двигающейся вокруг Солнца по орбите, близкой к круговой, равна 29,787 км/с (фактически VKp = 29,765 км/с).
Решим численным путем систему уравнений (3.6) с помощью программы, представленной на рис. 3.10. Дадим пояснения к составленной программе.	I
92
Глава 3
у I :-0 .39 у4 .•«-11.4735 ц:= 39.483 ТК.= 76
ORIGIN:" 1
У» У4
4» У1) [<У1У*^1)’ТГЗ . 4* yj) [W*(yiy] л .
ORIGIN:-0	Z:=Rbd4><(y,0,TK.2001.F)
T>Z * x=-z» Y>Z «
VX:- 4.7405- Z W VY> 4.7405- Z W
VA:=Vv^+VY1
	0	1	2	3	4
0	0	0.50	0	0	•11.473
1	0.038	0.515	-0.418	-3677	-10.168
2	0.078	0.338	-0,762	-6332	-8.004
3	0.114	0.124	•1.033	-5.791	•6.339
4	0.152	-0.097	-1.25	-5615	-5.191
5	0.18	-0318	-1.431	-5 896	-4.385
в	0.228	0.529	1.566	•5.533	•3.796
7	0.288	•0.736	-1.722	-5.363	-3.349
8	0.304	-0.936	-1.842	-5.199	-2.998
9	0.342	-1.131	-195	-5.046	-2.715
10	0.38	-1.32	-2.049	-4.903	-2.482
Рис. 3.10. Программа расчета движения кометы Галлея
Значения исходных данных при условии, что в момент времени t = 0 комета находится в перигелии (рис. 3.8): х = t/i = 0,59 а.е., У = Уч = 0, Vx = Уз = 0, Vy = У4 = -11,4735 а.е./год. Параметр д = 39,483, период обращения То — 76 лет.
Значение скорости Vy(O) при t = 0 подбирается таким образом, чтобы при То = 76 координаты точки совпали с ее значениями при t = 0, т.е. чтобы комета совершила полный оборот вокруг Солнца за 76 лет. С учетом введенного выше коэффициента размерность скоростей Vx, Vy, Va из (а.е./год) пересчитывается в (км/с).
Графики, характеризующие движение кометы Галлея вокруг Солнца, полученные в результате расчета по программе, представлены на рис. 3.11, где X, Y — кобрдинаты кометы; Vx, Vy — парциальные скорости кометы, Va — i/V* + ^у — мгновенная или абсолютная скорость кометы.
С помощью данных графиков прослеживается, как меняется расстояние и скорость движения кометы во времени, носящие колебательный характер с периодом То = 76 лет. Согласно произведенным расчетам в наиболее удаленной от Солнца точке орбиты — афелии — комета удаляется от Солнца на 35,315 а.е., т.е. на 5283 млн км, заходя за орбиту Нептуна и заворачивая назад перед орбитой Плутона (см. рис. 3.9). Скорость кометы максимальна в перигелии (54,4 км/с) и минимальна в афелии (0,91 км/с), что следует из графиков, приведенных на рис. 3.9, 3.11.	
Проверку правильности расчета по программе можно произвести с помощью третьего закона Кеплера, согласно которому для планет, вращающихся вокруг Солнца, отношение а3/Т2 = const. В принятой пами системе единиц (расстояние — а.е., время — год) для
Колебания при вращении твердых тел
93
Рис. 3.11. Результаты расчета по программе рис. 3.10
Земли, а значит, и для всех остальных небесных тел Солнечной системы, данное отношение а3/?”2 = 1. Следовательно, для большой полуоси эллиптической орбиты кометы получим а = Т^3 = = 762/3 = 17,94 а.е. Значение расстояние Солнце — перигелий орбиты кометы Галлея определяется в результате астрономических наблюдений: 77 = 0,59 а.е.
Данные значения позволяют вычислить и все остальные введенные выше величины, приведенные на рис. 3.8, 3.9: расстояние Солнце — афелий орбиты А = 2а — П = 35,29 а.е.; эксцентриситет эллипса е = с/а = 0,967; малая полуось эллипса b = а>/1 — е2 = = 4,574 а.е.
В заключение отметим, что последний раз комета Галлея пересекла перигелий 9 февраля 1986 г., совершив оборот за 75,8 года. Наблюдения за ядром кометы осуществлялись с близкого расстояния с помощью российских автоматических межпланетных станций «Вега-1» и «Вега-2» и европейского «Джотто». Результаты грандиозного
94
Глава 3
космического эксперимента широко освещались в периодической и научной печати. Отметим только, что по форме ядро кометы напоминает картофелину длиной около 11 км и поперечным размером 7 км.
В следующий раз комета Галлея должна будет возвратиться в точку перигелия и быть наблюдаема с Земли ориентировочно в 2062 г.
3.4. Взаимодействие трех тел в поле тяготения
Леонард Эйлер и проблема взаимодействия трех тел. Круг научных интересов Эйлера — члена Петербургской. Берлинской, Парижской академий наук и Лондонского Королевского общества — был необычайно широк: помимо математики и механики, в которых он был признан лидером среди европейских ученых, его внимание привлекали самые разнообразные проблемы. Стимулом для его теоретических исследований нередко являлись практические нужды Российского государства. Баллистика и корабельное дело, телескопы и микроскопы, реактивные гидротурбины и зубчатые колеса, магнетизм и мостостроение, приливы и отливы океанов и морей — вот далеко неполный перечень проблем, которыми занимался Эйлер и в решение которых он внес неоценимый вклад.
Но мы остановимся только на одной научной проблеме, которой Эйлер занимался на протяжении сорока лет, — проблеме движения Луны вокруг Земли. Не праздное любопытство и даже не стремление к более глубокому познанию мира влекло ученых к этой проблеме, а насущная потребность мореплавателей правильно определять свое местоположение в дальних странствиях по океанам. Луну пытались использовать в качестве своеобразного маяка, перемещающегося на фоне звезд. Имея таблицы, связывающие время с расположением Луны на звездном небосклоне, можно было бы с высокой точностью определять географическую долготу на Земле. Но рассчитать траекторию Луны, то ускоряющей, а то, наоборот, замедляющей свое движение по орбите, к тому же все время оскулируюшей, т.е. меняющей свое положение, ученым никак не удавалось. Причиной того было отсутствие теории, описывающей движение Луны с учетом разнородных факторов.
В начале XVIII века Британское адмиралтейство назначило даже громадную премию в 20 тыс. фунтов стерлингов за таблицы, которые в любую ночь года при ясном небе предсказывали бы положение Луны с достаточной точностью. Хотя подобные лунные таблицы на основании экстраполяции многочисленных наблюдений в 1773 г. были составлены астрономом Майером, потребность в теории движения Луны оставалась актуальной, ибо не было никакой уверен
Колебания при вращении твердых тел
95
ности в том, что ошибка в определении координат по этим таблицам с годами не будет накапливаться. Заметим, что определение положения Луны на небосводе с точностью до 15 с соответствует примерно точности ориентирования на Земле в 30 км. Без строгой теории решить в полном объеме и па многие годы вперед проблему движения Луны было нельзя.
С чем же связана непредсказуемость движения Луны, в чем состоит трудность в решении данной проблемы? В рамках грубой модели движения планет Солнечной системы, впервые предложенной Кеплером, учитывается только главная сила тяготения по линии Солнце — планета. В действительности же на планету помимо Солнца воздействуют и другие планеты, в первую очередь ближайшие к пей, пусть и незначительно, но все же изменяющие ее орбиту. В полной мере это относится и к триаде: Земля — Луна — Солнце. В первой, грубой модели, такой системы учитываются только отдельные взаимодействия: Солнце — Земля и Земля — Луна. Во второй, более точной модели следует учесть влияние (или, как иначе говорят, возмущение) Солнца на движение Луны. Без учета влияния Солнца Луна обращалась бы вокруг Земли строго по эллипсу с малым эксцентриситетом (первая модель). Вторая, более точная модель учитывает периодическое приближение и удаление Луны от Солнца. Поскольку согласно (3.4) — закону всемирного тяготения Ньютона — сила притяжения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то действие Солнца на Луну носит переменный харак-гер. Поэтому с учетом влияния Солнца не только на Землю, но и на Луну движение последней отклоняется от эллипса и становится более сложным. А без знания точной траектории движения Луны в космическом пространстве и соответственно расположения Луны на звездном небосклоне нельзя использовать ее в качестве ориентира для правильного определения географической долготы наблюдателя с Земли.
Вот именно данной проблемой по созданию теории, учитывающей взаимодействие трех тел, и ее приложением к расчету траектории движения Луны и занимался Эйлер, одновременно решая и много других задач, на протяжении всей своей жизни. Вот что он сам писал по этому поводу в книге «Новая теория движения Луны» (1772 г.): «Сколько раз в продолжение сорока лет я ни пытался развивать теорию Луны и определять на основании законов тяготения ее движение, всякий раз возникали такие трудности, что мне приходилось прерывать работу и дальнейшее исследование... Точное и совершенное движение Луны, на основании которого можно было бы составить астрономические таблицы, точнейшим образом согласующиеся с ис
96
Глава 3
тиной, сопряжено с таким существенными и величайшими трудностями, что представляется превосходящим силы человеческого ума. Без сомнения, наибольшая трудность сводится к решению знаменитейшей задачи о движении трех взаимно притягивающихся тел; полное решение ее оказывается превосходящим силы анализа, несмотря на величайшие усилия геометров».
Уравнения, о которых писал Эйлер, при движении трех тел Солнечной системы имеют вид, отличный от (3.5). При движении трех тел в одной плоскости они принимают следующий вид:
d?x х
dt? +	~*х’
dt2 ^R3 Y'
(3.9)
где Фх, Фу — составляющие ускорения, приобретаемого телом Л/i под действием всех возмущающих сил.
Решим задачу о движении Луны, сформулированную Эйлером, с помощью компьютерной программы. Примем вариант данной задачи, описываемый уравнениями Хилла, решавшего проблему движения Луны спустя 106 лет после издания книги Эйлера. Анализ проведем с учетом следующих допущений:
•	будем считать, что движение трех тел (Луны, Земли и Солнца) происходит в одной плоскости (в действительности они расположены под небольшим углом);
•	в правых частях уравнений (3.9) отбросим члены высших порядков, слабо влияющие на конечный результат,
•	поскольку центральным телом в рассматриваемой задаче является Земля, то будем условно считать, что Солнце движется по орбите вокруг общего центра масс связки Земля — Луна, причем эту орбиту будем считать круговой.
Рис. 3.12. Три небесных тела
Введем систему прямоугольных координат, равномерно вращающихся с угловой скоростью, равной средней угловой скорости движения Земли, вокруг центра, совпадающего с центром Земли (рис. 3.12).
В уравнениях учтем только возмущения, зависящие от отношения средних угловых скоростей движения Солнца и Луны. В результате из (3.9) получим следующие уравнения
Колебания при вращении твердых тел
97
Хилла, описывающие движение Луны (44]:
<Рх х dy
+О!£=о, ат2 КЛ dr
(3.10)
где х, у — координаты, нормированные относительно среднего расстояния Земля-Луна. Безразмерные коэффициенты щ, а?, аз определяются следующим образом:
_ Ц _ ?(гпз + тл) _ 1 + тд/тз ут3Т^ (Пл-Пср)2^ (1-Тл/Тз)24^ЯЗр;
а2 = 2Пср/(Пл - Пер) = 2/(Тср/Тл - 1),	(З П)
аз = 3[Пср/(Пл - Пср)]2 = 3/(Тср/Тл - I)2.
Здесь 7 = 6,67  10"и (м3/кг с2) — гравитационная постоянная;
тпз = 5976 • 1021 и тл = (1/81,3)тз — масса Земли и Луны, кг;
Яер = 384 400 000 м — среднее расстояние Земля-Луна;
Тл = 2 360 591 с — период обращения Луны вокруг Земли;
Тср = 7’з = 31558150 с — период обращения Земли вокруг Солнца или средний период обращения системы координат относительного принятого центра (Земли), Тз/Тд = 13,36875;
Пл — средняя угловая скорость вращения Луны;
Пср — угловая скорость вращения системы координат;
П = Пд — Пср — средняя угловая скорость вращения Луны относительно Солнца;
т = fit — нормированное время.
Подставив приведенные значения параметров в (3.11), получим для коэффициентов: а> = 1,1714; а2 = 0,1617; аз = 0,0196.
Представим (3.10) в виде системы четырех уравнений первого порядка:
— = Vx — парциальная скорость вдоль оси Ох, ат
dy
— = Vy — парциальная скорость вдоль оси Ог/, ат
dVx	х	dy
~d^ = ~aiR3+a^+a3X'
dVy	у	dx
"dT ” -ai R? ~ °2 dr’
(3.12)
где R = y/x2 +y2 — текущее нормированное расстояние Земля-Луна.
7- 8000
98
Глава 3
ORIGINS 1		' 1.105' 0 п	а :=	' 1.171406' 0.1616976	
	у:-				
ТК:=	6* к	и .-1.13, Уз У4		1<м	960964,
Ц'.у) *	-(•i У1) [(Х|У+(хОТ . Ч1! Уз) [(Ут/-*-Ь/Т'5-»! Уз .				
OR1GIN:-0 Z:"Rkidipt(y,0,TK,6001,F) X:=Z W Y^Z W
thi-Z^ VX- 1.0233-Z W VYs 1.0233-ZW VAs-Jvjd + V^
	0	1	2	3	4
0	0	1.105	0	0	-1.13
1	3.141 10 -5	1.105	-3 549-10 -4	-2 907 10 -»	-1.13
2	6.202 10 -3	1.105	-7.-090-10 -3	-5.813-10 »	-1.13
3	9.423-10 •»	1.105	-0.011	-8.72-10 •»	-1.13
4	0.013	1.105	-0.014	-0.012	-1.13
5	0016	1.105	-0X318	-0.015	-1.13
в	0.019	1.105	<.021	-0.017	-1.13
7	0022	1.105	<025	-0.02	-1.13
в	0.025	1.105	-0.02В	-0.023	-1.13
9	0.026	1.105	-0.032	-0.026	-1.13
10	0.031	1.105	-0.035	<028	-1.129
Рис. 3.13. Программа расчета движения Луны
Относительно уравнений (3.10) и (3.12) следует сделать следующие замечания:
•	при веденном нормированном времени условное время полного оборота Луны вокруг Земли составляет 2тг;
•	для расчета скорости движения Луны по орбите следует ввести множитель перехода от относительных единиц к абсолютным,
Ку =	= 223^1°° = 1.0233 км/с; (3.13)
УЛ 23CHJ&91
•	при безразмерных коэффициентах а2 = 0 и аз = 0 уравнения тождественны уравнениям невозмущенного движения (3.5);
•	члены, содержащие коэффициенты а2, аз, отражают возмущающее влияние Солнца на движение Луны;
•	результат во многом зависит от правильного выбора начальных условий.
Выбор начальных условий при решении рассматриваемой задачи можно произвести в два этапа. На первом этапе следует выбрать начальную точку со значениями х = 1, у = 0, dx/dt — 0, dy/dt = — 1 и
Колебания при сращении твердых тел
99
Рис. 3.14. Результаты расчета по программе рис. 3.13
рассчитать орбиту. На втором этапе следует уточнить значения х и dy/dt таким образом, чтобы через несколько оборотов Луны вокруг Земли происходил бы возврат Луны в начальную точку движения. При этом такой расчет с уточненными начальными условиями придется повторить несколько раз.
Другой путь выбора начальных условий состоит в их определении с помощью справочника по астрономии, в котором содержатся сведения о вращении Луны вокруг Земли.
Систему уравнений (3.12) решим численным путем с помощью программы, приведенной на рис. 3.13. Начальные условия в программе представлены в векторе у. При расчете скорости учтен коэффициент, определяемый согласно (3.13). Количество рассчитыва
100
Глава 3
емых оборотов Луны вокруг Земли определяется параметром Тк, одному обороту соответствует 2тг.
Результаты расчета по программе трех оборотов Луны вокруг Земли приведены на рис. 3.14. На графиках показаны траектория движения Лупы и зависимость рассчитанных параметров — координат X, Y, парциальных Vx, Vy и абсолютной Va скоростей — от времени. Все эти зависимости носят колебательный характер с изменяющейся длительностью периода колебаний.
Следует заметить, что нами в учебных целях рассмотрена упрощенная модель движения Луны. Но даже в ее рамках удается, следуя за Эйлером и Хиллом, определить, пусть и в первом приближении, возмущенное движение Луны под воздействием Солнца. Это первый шаг в решении сложной проблемы. Более полная современная численная теорий движения Луны включает учет следующих факторов: несовпадение плоскостей вращения Луны и Земли вокруг Солнца, притяжение Земли и Луны не только Солнцем, но и остальными восемью планетами Солнечной системы, отклонение форм Земли и Луны от идеального шара, неравномерное вращение Земли.
Контрольные вопросы
3.1.	Рассчитайте колебания шарика и постройте фазовые портреты при разных значениях частоты вращения обруча по программе рис. 3.2. На основании полученных результатов определите влияние частоты вращения на вид колебаний.
3.2.	Рассчитайте по программе рис. 3.5 траектории вращения твердого тела относительно неподвижной оси по при разных значениях параметров А а В. Установите, при каких значениях исходных параметров колебания вращающегося твердого тела являются быстрыми с малой амплитудой и медленными с увеличенной.
3.3.	Рассчитайте по программе рис. 3.10 траекторию и скорости движения какой-либо кометы, помимо кометы Галлея, оборачивающейся вокруг Земли.
3.4.	Сравните по программам рис. 3.10 и 3.13 взаимодействие двух и трех тел в поле тяготения.
3.5.	Составьте программу расчета взаимодействия четырех тел в поле тя
готения.
Глава 4
КОЛЕБАНИЯ
В ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТАХ
4.1. Колебания корабля под действием морских волн
Покажем на конкретных примерах, как теория, рассмотренная в гл. 2, носит не абстрактный характер, а имеет прямое отноиге-ние к процессам, протекающим в реальной жизни и влияющим на работу технических объектов, машин и устройств. Начнем с краткого изложения трагической истории, разыгравшейся в XIX веке на море вблизи берегов Великобритании, рассказанной академиком А.Н. Крыловым [43].
В 1870 г. состав Британского флота пополнился двумя кораблями, построенными на основании двух противоположных концепций. Автором чертежей первого судна, названного «Монарх», был главный инженер британского флота Рид, автором второго — названного «Капитан» — капитан Кольз. Чем же отличались корабли? «Монарх» был высокобортным судном, «Капитан» — напротив, низкобортным, что, по мысли его автора, должно было повысить боевые качества корабля, ибо при низкой посадке вероятность поражения цели орудиями противника понижается.
Рид решительно возражал против постройки «Капитана», считая, что низкая посадка судна ухудшит его остойчивость и сделает легко уязвимым к шквальным ветрам. Как главный инженер британского флота, он наотрез отказался утвердить чертежи Кольза на низкобортный корабль. Более того, весною 1869 г. на собрании корабельных инженеров Рид прочел доклад «Об остойчивости мониторов под парусами» по вопросу изменения метацентра корабля при нарушении его прямого положения.
Сделаем паузу и поясним, что является метацен-гром корабля, обратившись к рис. 4.1, на котором изображен корабль в разрезе и показаны три особые точки: О — центр тяжести корабля; В — центр
102
Глава 4
тяжести массы жидкости в объеме погруженной части корабля, называемый центром водоизмеще-	/
ния; М — метацентр. Как еле-	J	1 * *м
дует из рис. 4.1, метацентром ко-	/	h /	/
рабля является точка пересече-	_! J F /
ния направления выталкивающей (	/
подъемной силы корабля F, при-	G
ложешюй к точке В^с продольной	__/
плоскостью симметрии корабля. Корабль должен обладать остой- Рис. 4.1. Корабль при боковой качке чивостыо — способностью возвращаться в исходное состояние после прекращения действия внешних сил. Таким качеством обладает корабль, у которого центр тяжести О лежит ниже метацентра М, так как в этом случае пара сил, образованная силой тяжести G и подъемной силой, поворачивает накреняющийся корабль в обратном направлении. В противном случае, т.е. при расположении точки М ниже точки О, равновесие становится неустойчивым и корабль может опрокинуться. Положение точки М меняется при боковой качке корабля. Вернемся к рассказу об инженере Риде, который справедливо полагал, что понижение метацентра при крене судна недопустимо, ибо подобное перемещение может привести к опрокидыванию корабля даже при невысокой волне. А именно таким отрицательным качеством, как показывали расчеты, и обладал низкобортный корабль Кольза. Но все предупреждения Рида были напрасны и расценены как интриги. Лорды адмиралтейства, отвергнув по недомыслию справедливые доводы своего главного инженера, дали разрешение на постройку корабля Кольза.
Прошел год. Одновременно с кораблем Кольза был спущен на воду и высокобортный корабль самого Рида. То был переходный период развития морского флота, когда на линейных кораблях наряду с установкой паровых машин и винтовой тяги оставляли и полное парусное снаряжение, а для борьбы с бомбами и ядрами борт судна стали закрывать броней. Такие корабли, которые стали называть броненосцами, Англия и Франция впервые применили против России во время Крымской войны.
Оба корабля — «Монарх» и «Капитан», относящиеся к такому смешанному классу судов — с паровой машиной и парусами — вошли в состав эскадры адмирала Мильна, плававшей в Атлантическом океане. 6 сентября 1870 г. вблизи мыса Финистер состоялись гонки под парусами кораблей этой эскадры. О ее трагическом исходе адмирал Мильн сообщил в своем официальном донесении: «...До 1 ч 30 мин я
Колебания в технических объектах
103
постоянно следил за «Капитаном» глазами. Марсели его были или глухо зарифлены, или марса-реи спущены до эзель-гофтов, фок взят на гитовы, грот закреплен еще в 5 ч 30 мин, косых парусов я не мог видеть. Имея ветер с левой стороны, он лежал все время, сильно накренившись на правую сторону. Красный огонь его был ясно виден в это время. Через несколько минут после этого я снова взглянул в ту сторону, но уже не мог видеть огня его, так как в это время налетел шквал с сильным дождем. Шквалы эти повторялись один за другим и были очень сильны... В 2 ч 15 мин ветер несколько стих и перешел к северо-западу, уже без порывов; погода исправилась, тяжелые массы облаков пронеслись к востоку, небо прочистилось, и, когда взошедшая в это время луна осветила горизонт, на том месте, где был до того «Капитан», мы не видели уже ни одного судна; вдали же ясно виднелись огни нескольких судов. К рассвету эскадра оказалась разбросанною, и мы могли насчитать только 10 кораблей вместо 11; недоставало «Капитана». Мы тотчас же поворотили и легли к назначенному рандеву, предполагая, что «Капитан», отделившись от эскадры, мог направиться туда же; но так как на горизонте не оказывалось ни одного большого судна, я начал опасаться за его целостность, ибо, если бы он и получил повреждение, то должен был бы быть в виду, и поэтому я разослал корабли эскадры по разным направлениям для отыскания его...»
Далее в донесении адмирала говорилось о том, что поиски «Капитана» оказались безуспешными, а один из кораблей, «вернувшийся к заходу солнца от острова Виго, объявил, что он видел на пути два белых катера опрокинутыми и много обломков, по всей вероятности, мостика, между которыми было найдено тело матроса». Заканчивался горестный рапорт словами: «Представив все эти данные, я, к сожалению, не могу придти ни к какому другому заключению, как то, что «Капитан» погиб со всей командой во время одного из шквалов... В лице капитана корабля мы потеряли великолепного офицера с блестящей будущностью. Нельзя не пожалеть также о капитане Кользе, которого постигла та же участь. Он несколько раз уже плавал на своем новом корабле и сильно интересовался всем, что до пего касалось. Я душевно оплакиваю эту потерю, глубоко поразившую всю эскадру».
Как показало дальнейшее расследование, все произошло именно так, как предсказывал компетентный инженер Рид, мнением которого невежественные лорды адмиралтейства пренебрегли. Имея во время гонок под парусами крен в 14°, «Капитан» не выдержал напора внезапно набежавшего шквала в 9 баллов, увеличившего крен корабля до 23...26°, лег на борт и опрокинулся. Из всего экипажа
104
Глава 4
спаслось только 18 человек, а 532 моряка погибли в трюмах «Капитана» или утонули в море. Всем остальным кораблям эскадры, в том числе и новому высокобортному броненосцу «Монарх», тот же шквал не нанес никакого ущерба, ибо для них дополнительный крен под напором сильного ветра был не страшен.
Как напоминание будущим поколениям о происшедшей трагедии, на стене собора Святого Петра в Лондоне была размещена бронзовая доска, на которой крупными буквами был выгравирован суровый приговор английского суда, выражавший строгое порицание «невежественному упрямству» лордов Адмиралтейства несмотря на предупреждение их главного инженера.
Из этой горестной истории видно, как важно при постройке любого корабля добиваться его высоких мореходных параметров: остойчивости, плавучести, скорости, малой качки. Без глубокого знания теории невозможно построить такой корабль. В противном случае можно, подобно лордам адмиралтейства, оказаться навечно занесенным на доску позора по причине невежества и упрямства.
Испытывать качку приходится каждому, кто хотя бы раз плавал на море или по широкой реке. Рассмотрим основы теории качки корабля, которая впервые была разработана англичанином Вильямом Фрудом (1861 г.), а свое развитие и завершение получила в трудах российского академика А.Н. Крылова (1863-1945 гт.) [43].
Под действием внешних сил — морских волн и ветра — корабль, словно маятник, может совершать периодические колебательные движения, называемые морской качкой. Различают боковую (бортовую) качку — при колебаниях вокруг продольной оси корабля, килевую при колебаниях вокруг поперечной оси и качку типа «рысканья» — относительно вертикальной оси. Под их совместным или раздельным действием корабль подвергается сильным изгибающим моментам, что необходимо учитывать при расчете судна на прочность. Качка затрудняет работу радиолокаторов и систем космической радиосвязи и радионавигации.
Теория морской качки дает количественную оценку данному явлению, позволяя рассчитать частоту и амплитуду колебаний и выработать рекомендации по их возможному уменьшению. Колебания при боковой качке, испытываемые кораблем под действием набегающей волны (см. рис. 4.1), согласно теории Фруда-Крылова описываются следующим дифференциальным уравнением [43]:
J^-+r‘T-£r3? +яе = яеО81пшое, (4.1) at* at у at J
где 0 — угол боковой качки корабля; J — момент инерции ко
Колебания в технических объектах	105
рабля; и, гч — коэффициенты, определяющие сопротивление вода качаниям корабля; wo, 0о — угловая частота и максимальный угол склона набегающей волны; Н — параметр, зависящий от метацентрической высоты Л, т.е. превышения метацентра (М) над центром тяжести корабля (О) (см. рис. 4.1); коэффициент
_ ( 1 при dQ/dt < 0;
£ ~ ( — 1 при dQ/dt > 0.
Как было сказано выше, для устойчивого равновесия метацентр (точка М на рис. 4.1) должен находиться выше центра тяжести (точка О на рис. 4.1), т.е. метацентрическая высота h должна быть величиной положительной. Приведем уравнение (4.1) к виду
<Рв п d& .	( dG\(dQ\2	2_ . л .лп.
-Та +2«-ЗГ “Psign I ) ( — )	©о sin Wot, (4.2)
atz dt	\ dt ) \ dt / K. K
где a = и/2J — первый коэффициент затухания; д = r^j J — второй коэффициент затухания;
шр = у/Я/J
— угловая частота собственных колебаний корабля;
, .	fl	при х < 0;
sign (-Х) = <	,	’
ь '	( — 1 при х > 0
— сигнум-функция при отрицательном аргументе.
Решение уравнения (4.2) найдем по программе, представленной на рис. 4.2, аналогичной программе рис. 2.6.
Результаты расчета по программе при ©о — 0,05 рад, а = 0,1 и трех значениях отношения частот /о//р = 0,1; 0,9 и 1 и д = 0 (линейный случай) приведены на рис. 4.3,a-в; при д = 0,1 (нелинейный случай) и /о/fp = 0,9 и 1 — на рис. 4.3,г, д. Угол боковой качки 0 = U1...U5 — в градусах.
ORIGIN:-1	вО г-0.05
Х(1):-в0 tin (2 я ГО |) а := 0.1	fp -- 1
ГО» 1 уз
0.05 0
н 0.1
F(t.y)
-2 а у2-шр 
tip := 2 • я  fp
У»
У| + и - «щп(-у2) (у2)? + ар2 Х(0
Zrkfuted(y,0,50,5001,F) th 1 W U5»| —|Z^
Рис. 4.2. Программа расчета колебаний корабля
106
Глава 4
Рис. 4.3. Результаты расчета по программе рис. 4.2
Из графиков, построенных на рис. 4.3, следуют такие выводы:
•	чем ближе частота собственных колебаний корабля wp, определяемая его конструкцией, к частоте колебаний набегающей волны шо, тем больше амплитуда колебаний корабля;
•	колебания корабля имеют две составляющие: вынужденную, определяемую набегающей волной, и собственную. Собственные колебания со временем затухают. При близости частот wp и wo наступают биения (рис. 4.3,6, г);
•	при линейной модели (// = 0) и равенстве частот ир = wq наступает резонанс (рис. 4.3,в), в результате чего амплитуда боковой качки корабля возрастает в Q раз и становится равной Qm = Q0O, где 0О — максимальный угол склона набегающей волны, Q = о)р/2а = itfv/a — параметр, называемый добротностью;
Колебания в технических объектах 107
•	учет нелинейности приводит к уменьшению амплитуды боковой качки корабля (рис. 4.3,г, д).
При резонансе амплитуда колебаний боковой качки корабля может возрасти настолько, что он опрокинется. Следовательно, корабль должен быть спроектировал таким образом, чтобы его собственная частота колебаний (wp) была далека от возможного диапазона частот волн в океане или море (шо), а метацентр находился выше центра тяжести корабля даже при максимально допустимом крене. В противном случае может произойти трагическое событие, подобное тому, которое случилось с английским кораблем «Капитан».
4.2.	Колебания, разрушающие самолет
К чему могут привести вибрации, испытываемые самолетом. Расскажем вторую историю, связанную с колебаниями, испытываемыми техническими объектами. На сей раз речь пойдет об отказе авиационной техники по причине вибраций, что едва не привело к трагическому исходу. Описываемое ниже событие, произошедшее в тридцатых годах прошлого века, изложено в статье академика М.В. Келдыша «Вибрации на самолете» [35].
При заводских испытаниях серийных истребителей на некоторых самолетах при скорости 590.. .630 км/ч происходила сильная вибрация, которая, однако, прекращалась при снижении скорости. Поскольку один из испытываемых самолетов по причине такой вибрации потерпел аварию, то было принято решение провести специальное расследование, заключавшееся в следующем. Необходимо было в полете вызвать вибрацию самолета, после чего внимательно изучить ее последствия, приводящие к разрушению конструкции. В соответствии с выработанным планом летчик во время полета ввел истребитель в пикирование. При скорости 620 км/ч возникли сильные вибрации, которые прекратились при выходе из пикирования и снижении скорости. Однако поскольку управление самолетом и после прекращения вибраций резко ухудшилось, то летчик пошел па посадку, осуществив ее с большим трудом. При обследовании самолета в ангаре в нем были обнаружены серьезные поломки: разорван фюзеляж возле люка вблизи оперения, на обшивке в нескольких местах появились трещины, разрушены стрингеры и лонжероны. Характер поломок указывал на разрушение фюзеляжа от кручения. Анализ обстоятельств аварии с последующими летными испытаниями показал, что причиной едва не происшедшей катастрофы были изгибные и крутильные колебания хвостового вертикального оперения. Колебания руля направления вызывали колебания фюзеляжа и скручивали его. Частота вибраций происходила с частотой 780 колебаний
108
Глава 4
в минуту. Гибель самолета при таких вибрациях могла произойти в считанные секунды.
Описанное явление, наблюдавшееся и на других типах самолетов в разных странах, получило название флаттер (на английском языке - flutter), означающее в переводе на русский язык — трепетание. Итак, флаттер есть вибрационные колебания с относительно большой амплитудой крыла, хвостового оперения или других частей самолета, опасные для его конструкции и даже разрушающие ее. Причиной возникновения флаттера являются повышенные аэродинамические нагрузки, испытываемые самолетом при близости собственной частоты той или иной части конструкции к частоте внешнего воздействия.
Как можно бороться с флаттером. Академиком М.В. Келдышем и его сотрудниками была разработана теория флаттера, включавшая изучение сложных изгибно-крутильных колебаний частей самолета под действием аэродинамических и других сил, что позволило выработать рекомендации, сводящие на нет гибельные для самолета вибрации. Одна группа рекомендаций сводилась к правильной балансировке органов управления самолета — рулей и элеронов. Так, например, для сведения к минимуму колебаний в описанном выше случае возникновения флаттера было предложено разместить вверху руля самолета дополнительный балансирующий груз (рис. 4.4).
Сущность подобных предложений состояла в смещении собственной, резонансной частоты той или иной части конструкции самолета по отношению к частоте колебаний, вызываемых аэродинами
ческими силами.
Вторая группа предложений по ликвидации причины возникновения флаттера заключалась во внесении в колебательный процесс дополнительного затухания, которое переводило бы периодические колебания в быстро затухающие или даже апериодические. Такое
гашение колебаний осуществляется, в частности, с помощью гидравлическою демпфера, на чем остановимся более подробно.
Колебательный процесс с гидравлическим демпфером. Рассмотрим сначала вертикальные движения тела, подвешенного на пружине (рис. 4.5,а).
Свободные колебания тела в вертикальном направлении определяются си-
Колебания в технических обеектах
109
Рис. 4.5. Груз с гидравлическим демпфером
лой тяжести груза G, а также силами сжатой пружины Fnp и трения Ftp, сумма которых
G + Fnp 4- FTp = 0.
Из последнего уравнения получим
+xTt+ky = 0,	(43)
где т — масса груза; х — коэффициент линейного трения пружины; к — коэффициент жесткости пружины.
Приведем уравнение (4.3) к виду
^+2а|+^ = 0.	(4.4)
Уравнение (4.4) идентично уравнению (2.16), описывающему свободные колебания в контуре, и поэтому имеет то же самое решение (2.17), которое при комплексно-сопряженных корнях приводится к виду
y(t) = Ло ехр(—at) cos(a>t + фо).	(4.5)
где частота и =	— а2, щр = у/к/т — резонансная частота.
График функции (4.5) — гармонических колебаний с убывающей амплитудой — приведен на рис. 4.5,а.
Для ускорения затухания колебаний к грузу прикрепляют поршень, помещаемый в сосуд с вязкой жидкостью, например маслом (рис. 4.5,6). Такое устройство называется гидравлическим демпфером, работа которого оценивается силой сопротивления, возникающей при движении поршня в со скоростью v = dy/dt. FTp = $(dy/dt).
110
Глава 4
I 5 1
ORIGIN-!	’’^koj
fp:-0.2 <q>:~2 я-fp cop - 1.257 a:-0.01 ₽>0.2	«>02	E>1
У1 [-2ay2-Py2-8 юр>[е+ (y2)?] - <Ч>’ У1 .
ORIGIN:-0
Z > rkIixed(y,0,SO, 1001.F)	th! >Z W U1>ZW V1>Z ®
Рис. 4.6. Программа расчета колебаний груза
Рис. 4.7. Результаты расчета по программе рис. 4.6
В простом случае анализа эту функцию считают линейной: Ггр = /3(dy/dt), в более сложном представляют в виде зависимости с линейным и квадратичным членами [35]:
Лр = ^dt +
(4-6)
• / \	|х| Г -1 при х < 0;	,	_
где sign (z) =	п — сигнум-функция; £ — по-
X I 1 при х v стоянная, определяемая конструкцией демпфера. Свободные колебания груза с гидравлическим демпфером описываются уравнением, получаемым из (4.4) путем замены в нем члена,
Колебания в технических объектах
111
ответственного за трение согласно функции (4.6):
j-оУу и. д
Л5‘ + 2°Л+'3
djA dt J
+ 5 sign
2'
+ ^У = 0.	(4.7)
E +
Решим нелинейное дифференциальное уравнение (4.7) с помощью программы, представленной на рис. 4.6.
Результаты расчета по программе при а = 0,01, wp = 1,257, Е = 1 и трех значениях коэффициентов, определяющих трение гидравлического демпфера /3 = б = 0,01, 0,2 и 1, приведены на рис. 4.7. Из графиков отчетливо видно, как с увеличением значения коэффициентов /3, 5 происходит гашение колебательного процесса, а следовательно, и уменьшение влияния вибрации на конструкцию любого объекта, в том числе и самолета.
Эскиз возможной конструкции для гашения колебаний консоли с грузом и присоединенными к ней пружиной и гидравлическим демпфером приведен на рис. 4.8.
В заключение отметим, что теория флаттера помогает конструкторам проектировать самолеты, устраняя гибельные для конструкции изгибно-крутильные колебания под действием аэродинамических сил и других факторов.
Рис. 4.8. Консоль с грузом и демпфером
4.3.	Колебания центробежного регулятора
Центробежный регулятор Уатта. Обратимся к работе первых паровых машин, изобретенных в конце XVIII века. При эксплуатации последних выявилась такая особенность их работы, как изменение скорости вращения вала при увеличении или уменьшении нагрузки со стороны обслуживаемых машиной станков, насосов и других агрегатов. Раскроем подробнее данное утверждение. Пусть, например, станок выключен, что означает резкое уменьшение нагрузки для обслуживающей его паровой машины. В результате нарушения равновесия между действующим и нагрузочными моментами скорость вала паровой машины резко возрастала, что приводило к неприятным последствиям вплоть до поломок. Необходимо было стабилизировать процесс работы паровой машины — свести на нет влияние на нее со стороны нагрузки: включен или выключен станок или иной потребитель энергии, а вал паровой машины Должен был продолжать вращаться с почти постоянной скоростью.
112
Глава 4
Рис. 4.9. Центробежный регулятор
Этой цели послужил центробежный регулятор, изобретенный выдающимся английским инженером Д. Уаттом, устройство которого показано на рис. 4.9 [85].
Согласно рис. 4.9 регулятор имеет две пары вращающихся коромысел 1 и 2, первая из которых соединена с осью вала станка 3, а вторая — с муфтой вертикально передвигающейся вдоль той же оси. На концах коромысел насажены тяжелые чугунные шары 5. При увеличении угловой скорости вращения вала шары под действием центробежной силы расходятся и поднимают муфту, которая с помощью рычага прикрывает заслонку 6, впускающую пар в цилиндр машины 7, в результате чего скорость вращения вала перестает возрастать. При уменьшении угловой скорости вращения вала происходит противоположный процесс: центробежная сила снижается, шары сближаются, муфта опускается, заслонка приоткрывается, количество па]>а, поступающего в цилиндр, увеличивается и скорость вала машины перестает уменьшаться. Таким образом, в обоих случаях, как при увеличении, так и уменьшении нагрузки, обеспечиваются условия, стабилизирующие угловую скорость вращения вала. В этом и заключается сущность процесса саморегулирования в связке: паровая машина — регулятор — нагрузка.
Отметим, что подобный принцип стабилизации с применением регуляторов используется теперь и во множестве других устройств, например электрических двигателях. Только в них регулятор выполнен иначе — с применением электронных устройств. Но общий принцип работы остается неизменным: всякое отклонение выходного параметра устройства от нормы вызывает такое противодействие, которое с помощью регулятора возвращает этот параметр к прежнему значению.
Колебания в технических объектах	113
Но вернемся к регулятору Уатта, который на первых порах проектировали, так сказать, по наитию, руководствуясь только опытом, поскольку теория работы системы: машина — регулятор — нагрузка, отсутствовала. Вследствие этого порой результат был негативным: в связке машина — регулятор наблюдалось явление самораскачива-ния, состоящее в колебаниях муфты и заслонки, а следовательно, и угловой скорости вращения вала станка с определенной частотой. Ответить на вопрос, почему в одних случаях регулятор Уатта работает нормально, устойчиво, а в других переходит в колебательное движение, т.е. неустойчиво, настоятельно требовала новая отрасль — машиностроение, развивающееся ускоренными темпами.
Решение этой проблемы было найдено профессором Петербургского технологического института И.А. Вышнеградским, опубликовавшим в 1876 г. сначала в Петербурге, а затем и в Трудах Парижской академии наук статью «О регуляторах прямого действия», заложившей начала новой науки — теории автоматического регулирования. Основываясь па данной работе, и разберемся в колебательных процессах, свойственных регулятору Уатта.
В рамках линейной модели регулятор Уатта описывается следующим дифференциальным уравнением вертикального перемещения муфты вдоль вращающегося вала (см. рис. 4.9):
(Ру Ф/ 1
_+,_ + *,= л_,	(4.8)
где По — номинальная угловая скорость вращения вала паровой машины; ДП — отклонение этой скорости от номинального значения; q, к, А — постоянные коэффициенты.
Работа самой паровой машины в рамках линейной модели описывается уравнением
~	“ ВУ>	(4-9)
где J — момент инерции машины; ДМ — приращение момента, обусловленное изменением нагрузки; By — дополнительный момент, определяемый работой регулятора.
Совместно решим уравнения (4.8)-(4.9), продифференцировав уравнение (4.8). В результате получим
g+,^ + 2o|+^-£ = 0,	(4.10)
где а = к/2 — коэффициент, определяющий затухание в системе; шр = y/AB/rioJ — резонансная частота системы; Е = A&M/QqJ — обобщенный параметр системы.
8- 8000
114
Глава 4
Решение однородного линейного дифференциального уравнения 3-го порядка (4.10) [38]
y(t) = Ci exp(pit) + С2 exp(p2t) + С3 exp(p3t), (4.11) где постоянные Ci, С2, С3 определяются начальными условиями, pi, р2, Рз — корни характеристического уравнения
р3 + qp2 + 2ар + ы2 = 0.	(4.12)
Согласно критерию Рауса-Гурвица (см. разд. 1.5) для устойчивости системы, описываемой дифференциальным уравнением 3-го порядка (4.10), необходимо иметь положительные значения всех коэффициентов в уравнении (4.12) и соблюдение неравенства
R = 2aq — ш3 > 0.	(4.13)
В устойчивой системе колебания, вызванные любым внешним воздействием, со временем затухают, в неустойчивой, напротив, — возрастают. В нарушении условия устойчивости (4.13) и коренилась причина самораскачивания, состоящая в колебаниях муфты и заслонки регулятора Уатта (см. рис. 4.9). Следовательно, как установил И.А. Вышнеградский, при проектировании центробежного регулятора необходимо обязательное выполнение условия (4.13), обеспечивающего устойчивость его работы. Только в этом случае система автоматического регулирования, поддерживающая постоянство скорости вращения вала при изменении нагрузки, будет нормально функционировать. Вот так теория помогла усовершенствовать одно из важнейших изобретений в машиностроении.
Уравнение (4.12) имеет четыре варианта решений:
1)	один из корней уравнения положительный, два других — комплексно-сопряженные, что приводит к нарастанию амплитуды периодических колебаний (система неустойчива);
2)	один из корней уравнения отрицательный, два других — комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, что приводит к затуханию амплитуды периодических колебаний (система устойчива);
3)	все три корня — действительные и отрицательные, что приводит к апериодическому характеру затухания амплитуды (система устойчива);
4)	все три корня — действительные, но один из них положителен, что приводит к апериодическому характеру увеличения амплитуды (система неустойчива).
Решим дифференциальное уравнение (4.10) с помощью программы, представленной па рис. 4.10.
Колебания в технических объектах
115
ORIGIN.- 1
(Г
У» 1
к 1>
а» 10 fp > 0.7	«p:-2-«fp
Ч>-4.398	q:-08	Е.-1
У1
F(t,y)>
к
-Ч У,-2 а у2-ир2 у, + Е,
R:=2 • а  q - <jp’
R--3.344
ORIGIN:-0
Z:=rkfixed(y,O,SO,I0001.F) th:=ZW U.-Z W V:-Z W S:-Z (з)
Рис. 4.10. Программа расчета колебаний центробежного регулятора
Рис. 4.11. Результаты расчета по программе рис. 4.10
Результаты расчета по программе при а = 10, о>р = 4,398, Е = 1 и трех значениях коэффициента q = 0,8; 1,5 и 5, соответствующие трем первым из приведенных выше решений, в виде графиков переходного процесса и фазовой траектории построены на рис. 4.11. Из графиков отчетливо видно, как с увеличением значения коэффициента q происходит сначала преобразование возрастающего колебательного процесса в затухающий, а затем — в апериодический. Верхний график соответствует неустойчивому режиму работы регулятора (R < 0), два других — устойчивому (R > 0). При устойчивой работе в установившемся режиме при t —» оо: ууСт = Е/ш*.
116
Глава 4
Возникает еще один вопрос по анализу первого из построенных графиков: до каких пор может возрастать амплитуда колебаний в неустойчивой системе? Линейная теория, в рамках которой проводился анализ, не в состоянии ответить на этот вопрос. Здесь необходимо воспользоваться нелинейной теорией, учитывающей нелинейные закономерности в системе, что обсуждается в гл. 5.
Контрольные вопросы
4.1.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 4.2 графики, характеризующие боковую качку корабля под напором волн при разных начальных условиях. Определите, как отношение длины набегающей волны и собственной частоты колебаний корабля влияет на угол качки.
4.2.	Определите по программе рис. 4.2, как параметры /р и д влияют на качку корабля.
4.3.	Рассчитайте по программе рис. 4.6 колебания при разных значения резонансной частоты конструкции и коэффициента 6, определяющего трение. Определите, как значение коэффициента & влияет на характер колебательного процесса.
4.4.	По программе рис. 4.10 рассчитайте возможные виды колебаний центробежного регулятора. Определите условия перехода регулятора из неустойчивого состояния в устойчивое.
Глава 5
КОЛЕБАНИЯ
И АВТОКОЛЕБАНИЯ
В ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВАХ
5.1. Определение автоколебаний
Автоколебаниями называются колебания, самостоятельно возникающие в изолированной, автономной системе, не подверженной внешнему воздействию. Автоколебания свойственны системам разного физического содержания. Параметры автоколебательного процесса определяются исключительно свойствами самой системы с подключенным к ней источником энергии.
Сначала изучим автоколебания в системах с электронными приборами и электрическими контурами. Свободные колебания в таких системах сопровождаются периодическим преобразованием энергии электрического поля в магнитное и обратно. При этом запасенная в начале процесса энергия в системе постепенно расходуется, преобразуясь в тепло из-за наличия потерь в виде активного сопротивления (см. разд. 2.2).
Для незатухающего колебательного процесса в системе с потерями ее необходимо постоянно пополнять энергией, компенсирующей энергию потерь, преобразуемой в тепло. При этом в системе должен существовать определенный физический механизм, обеспечивающий, образно выражаясь, рациональное использование «вливаемой» в систему дополнительной энергии: ее расходование на поддержание требуемых колебаний, а не на иные цели. К таким физическим механизмам поддержания колебаний в электронных схемах относятся положительная обратная связь и использование отрицательного активного сопротивления.
Возникающие в системе автоколебания могут быть самой разнообразной формы (рис. 5.1), причем в зависимости от вида и уровня внутрисистемных связей они могут скачком преобразовываться при переходе через определенные бифуркационные значения д, некоторого параметра системы q. Одна из типичных картин изменения
118
Глава 5
Рис. 5.1. Виды колебаний: о — гармоническое; б— бигармониче-ское; в — полигармоническое; г — релаксационные; д — хаотическое
формы колебаний при усилении обратной связи, определяемой параметром q, приведена на рис. 5.2,а. При слабой связи колебания являются гармоническими (случай 1), а при ее увеличении — становятся полигармоническими: в них сначала помимо 1-й появляется и 2-я гармоника (случай 2), а затем 2-я, 3-я и более высокие гармоники (случай 3). Дальнейшее усиление внутренних связей приводит сначала к релаксационным (случай 4), а затем и хаотическим колебаниям (случай 5).
Рис. 5.2. Диаграммы видов колебаний
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
119
Картина зависимости характера колебаний от значения параметра q может носить и более сложный характер, чем представленная на рис. 5.2, а. Вариант такой усложненной картины приведен на рис. 5.2,б. Здесь в зависимости вида колебаний от параметра q появляется гистерезисный участок, означающий переход системы из одного состояния в другое при разных бифуркационных значениях параметра в случае его возрастания или уменьшения. Кроме того, случайные факторы могут повлиять на появление того или иного вида колебаний в системе. Так, на рис. 5.2,6 система из состояния 3 в равной степени вероятности может перейти в состояние 4 или 5. Помимо картин состояния системы, представленных на рис. 5.2,а, б, возможны и другие варианты.
5.2. Электронный автогенератор высокочастотных колебаний
Принтщп работы и классификация. Назначение электронного автогенератора состоит в генерации высокочастотных (ВЧ) или сверхвысокочастотных (СВЧ) колебаний. В автогенераторе происходит преобразование энергии источника постоянного тока в энергию ВЧ или СВЧ колебаний. Основными параметрами электронного автогенератора являются: мощность, частота и стабильность частоты генерируемых автоколебаний.
Возможны следующие способы стабилизации частоты автоколебаний:
•	параметрическая с использованием обычных колебательных систем;
•	кварцевая с использованием в качестве резонатора кристалла кварца;
•	с диэлектрическим резонатором (только в СВЧ диапазоне);
•	молекулярная за счет индуцированного возбуждения атомов, находящихся на высоком энергетическом уровне. К молекулярным генераторам относится, например, водородный стандарт частоты, использующий излучение атомов водорода на частоте 1420,405 МГц.
По типу электронного прибора и схеме различают два основных типа автогенераторов:
•	с применением транзистора или электровакуумного прибора и использования принципа положительной обратной связи;
•	с применением генераторного СВЧ диода (туннельного, лавиннопролетного или диода Ганна) — двухполюсника с отрицательной активной проводимостью в эквивалентной схеме.
120
Глава 5
Рис. 5.3. Структурная схема автогенератора
Рис. 5.4. Электрическая схема автогенератора
По взаимодействию с другими звеньями радиотехнической аппаратуры различают автогенераторы:
•	действующие в автономном режиме;
•	в режиме синхронизации частоты внешним сигналом;
•	в составе схемы автоматической подстройки частоты.
Обобщенная структурная схема автогенератора приведена на рис. 5.3.
В схеме рис. 5.3 с помощью цепи положительной обратной связи часть мощности сигнала из колебательного контура поступает на вход электронного прибора и после усиления вновь возвращается в контур. При этом необходимо выполнять два условия. Во-первых, количество дополнительной энергии, поступающей в контур, должно быть равно энергии, теряемой в нем за счет его активного сопротивления потерь. Во-вторых, дополнительные колебания должны совпадать по фазе с основными колебаниями. Пример схемы транзисторного автогенератора, отвечающего данным требованиям, приведен на рис. 5.4. (Другие схемы рассмотрены, например, в (30].)
Основное уравнение автогенератора. Возможны два основных принципа построения автогенератора с одним электронным прибором и колебательной системой по реализации обобщенной схемы рис. 5.3. В автогенераторе 1-го типа используется электронный прибор, представляемый в виде нелинейного генератора тока i(uy), где Uy — управляющее напряжение (рис. 5.5,а). За счет цепи обратной связи часть мощности сигнала из колебательной системы поступает на вход электронного прибора. После усиления поступившие колебания возвращаются в колебательную систему, компенсируя потери и поддерживая устойчивый режим автоколебаний. При этом необходимо соблюдение условия синхронизма, состоящего в равенстве фаз колебаний отобранных из колебательной системы и вновь туда поступивших. Для управляющего напряжения запишем:
Uy = ku,	(5.1)
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
121
где и — напряжение в контуре; к — коэффициент положительной обратной связи.
Основой автогенератора 2-го типа являются специальные генераторные диоды, в эквивалентной схеме которых
Рис. 5.6. Автогенератор: а — с обратной связью; б — с генераторным диодом
имеется отрицательная активная проводимость (Например, по причине падающего участка в вольтамперной характеристике или запаздывания сигнала в приборе). Такой прибор при подключении к колебательной системе компенсирует в ней потери, благодаря чему поддерживается устойчивый режим автоколебаний. Эквивалентная схема 2-го типа автогенератора приведена на рис. 5.5,6.
Составим обобщенное дифференциальное уравнение, описывающее работу обеих схем автогенератора при представлении колебательной системы в виде параллельного контура.
Для тока в общей цепи контура запишем (см. рис. 5.5)
 / \ du 1	1 f 
Ъ(и) = С— + ъи + Т / udt'
QC лх	Jq
(5-2)
где Ф(и) — вольт-амперная характеристика электронного прибора, т.е. нелинейная зависимость его тока от напряжения.
После дифференцирования (5.2) получим
сРи £ dr2 + о»
1	с£Ф(и)\
RC du )
du
— + и = О, dr
(5-3)
где г = tot, ш = 1/y/LC — частота, близкая к частоте автоколебаний.
Для 1-й схемы Ф(п) = t(uy), для 2-й — Ф(и) = t(u). Под производной функции во 2-й схеме следует понимать нелинейную дифференциальную проводимость двухполюсника.
Для обеих эквивалентных схем автогенератора функцию Ф(и) и ее производную S(u) можно представить в виде суммы нескольких членов степенного ряда. Для 1-й схемы автогенератора (рис. 5.5,а) примем
Ф(и) = biku +	- Ьзк3и3 — Ь^кРи3,	(5.4)
S(u) =	= brk + 2b2fc2u - ЗбзРи2 - 5Ъ<к3и*.	(5.5)
du
Пример нормированных графиков данных функций приведен на рис. 5.6,а, б. Наличие в графиках участка насыщения, определяемого
122
Глава 5
Характеристики нелинейного элемента
нелинейными членами, предотвращает неограниченное возрастание амплитуды автоколебаний, что в реальных схемах приводило бы к выходу из строя электронного прибора, например, по причине пробоя р-п-перехода полупроводникового прибора.
Проводимость нелинейного двухполюсника во 2-й схеме автогенератора (см. рис. 5.5,6) является производной функции Ф(и). Эту проводимость можно представить в виде зависимости
S(u) = G(u) = — Gq + dju + d3u2 + d3u*,	(5.6)
где Go — отрицательная активная проводимость эквивалентной схемы генераторного диода, подключенного параллельно контуру, при малом сигнале, когда всеми другими членами в силу их малости можно пренебречь.
Пример нормированного графика функции (5.6) приведен па рис. 5.6,в.
Подставив (5.5) или (5.6) в уравнение (5.3) и проведя операцию нормирования, получим обобщенное нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее работу обеих схем автогенератора (см. рис. 5.5):
(Pu 1,	2 j.du
-j-r - д(1 + aiu — аъи* - а3и) — + и = 0.	(5.7)
ат*	ат
Таким образом, двухполюсник с отрицательной активной проводимостью и электронный прибор — четырехполюсник с цепью положительной обратной связи — суть эквивалентные понятия, приводящие к одинаковому результату — возможности возникновения и существования автоколебаний. Эта общность схем основана на том,
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
123
ORIGINS 1

к 0.2 ;
У1
+ »1  У| - Ъ fyif - »Э • (У1У] • У2 -У1
ORIGIN-0 Zi-Rfadap^y.O.SO.lOOl.F)
*:-ZW l-ZW	v>ztt
Рис. 5.7. Программа расчета автоколебаний
что в обоих случаях происходит восполнение энергии, теряемой в колебательной системе, за счет внешнего дополнительного источника.
Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка (5.7) в виде двух уравнений 1-го порядка:
{dyi
. (58)
— = д(1 + ам - а2у^ - азу^)у2 - ylt ат
где yi = и — функция, у? = dy^/dr = du/dr — ее производная.
На основании полученного нелинейного дифференциального уравнения (5.7) составим программу (рис. 5.7), позволяющую исследовать работу автогенератора в широком диапазоне изменения его параметров: определять условия возникновения автоколебаний, их устойчивость в установившемся режиме работы, частоту и амплитуду автоколебаний, время переходного процесса.
Заметим, что аналитическое исследование уравнения (5.7), называемого при at = 0, а2 = 1, аз = 0 уравнением Ван-дер-Поля [57], возможно при малом значении параметра д <С 1 (в этом случае д называют малым параметром) с помощью асимптотического метода медленно меняющихся амплитуд и при д » 1 [2, 57, 77]. Численный метод анализа в среде MathCAD позволяет снять данные ограничения и исследовать разнообразные режимы работы автогенератора при любом значения параметра д и характеристике нелинейного элемента, описываемой полиномом высокой степени (5.4).
В программе, приведенной на рис. 5.7, приняты следующие обозначения для нормированного времени или фазы колебаний т = wt, функции и ее производной:
Z<°> = th, Z(1> = U, Zw = V =^.
dr
Результаты расчета по программе в виде графика переходного процесса U(th) и фазовой траектории V(U) для четырех случаев приведены на рис. 5.8,а,б. В двух первых случаях параметр д = 0,2, но
124
Глава 5
Рис. 5.8. Результаты расчета по программе рис. 5.7
различны начальные точки процесса: [7(0) = 0,2 и [7(0) = 4. В третьем и четвертом случаях параметр р = 4 и также различны начальные точки процесса: [7(0) = 0,2 и 17(0) = 2.
При ц < 1 автоколебания близки по форме к гармоническим колебаниям, а фазовый портрет имеет устойчивый предельный цикл, близкий к окружности. При д > 1 автоколебания становятся релаксационными, но фазовый портрет по прежнему имеет устойчивый предельный цикл, только иной формы — близкой к параллелограмму. Во всех четырех случаях вне зависимости от того, где находилась рабочая точка в момент времени t = 0 — вне или внутри устойчивого предельного цикла — переходный процесс заканчивается именно на нем. Такой режим работы автогенератор называется мягким. Но возможен и другой режим работы, называемый жестким. Остановимся подробнее на данном вопросе.
Колебания и автоколебания в электронных устройствах 125
Мягкий и жесткий режимы работы автогенератора. Итак, при мягком режиме, которому соответствуют все четыре случая, представленные на рис. 5.8,а, б, на фазовом портрете имеется единственный предельный цикл, к которому устремляются все фазовые траектории вне зависимости от начальных условий. Образно выражаясь, «гарантом» такого режима является плавно-монотонный характер производной функции S(u) характеристики электронного прибора (см. рис. 5.6,а). При этом, как указывалось выше, неограниченному возрастанию амплитуды колебаний препятствуют нелинейные члены в зависимости S(u).
При жестком режиме может быть два и даже три предельных цикла, к которым устремляются фазовые траектории, но только один из них является устойчивым. Пример такого фазового портрета приведен па рис. 5.8,в, на котором устойчивый предельный цикл имеет больший радиус, неустойчивый — меньший. Причиной появления неустойчивого цикла является немонотонный характер поведения функции Ф(и), имеющей два «горба» (рис. 5.6,6). Колебания в переходном процессе начинают стремится к стационарному состоянию, когда значение функции S(u) из положительного становится отрицательным. При двух «горбах» таких ситуации две, что и объясняет появление второго предельного цикла (рис. 5.8,в). При характеристике рис. 5.6,6 ему соответствует примерное значение х = 3. Незначительные флуктуации выводят автогенератор из состояния, соответствующее неустойчивому циклу: колебания либо затухают, либо к стремятся к состоянию, соответствующее устойчивому циклу.
Переход от мягкого режима возбуждения к жесткому, т.е. от фазового портрета рис. 5.8,а к рис. 5.8,в, в транзисторном автогенераторе происходит при изменении коэффициента обратной связи. Значение этого параметра, при котором происходит такая смена режима и соответственно качественной картины фазового портрета, является бифуркационным.
По программе, аналогичной рис. 5.7, можно исследовать электронный автогенератор и при других видах характеристик электронного прибора.
5.3.	Синхронизация автогенератора внешним сигналом
Под синхронизацией электронных автогенераторов понимается установление равной частоты нескольких источников высокочастотных колебаний. При синхронизации помимо основного случая равенства частот колебаний возможно также их различие в целое или дробное число раз (см. разд. 1.7). В радиотехнике синхронизация
126
Глава 5
используется для стабилизации частоты автогенераторов, управления фазовым фронтом множества сигналов и в измерительных целях. При этом возможны три основных вида синхронизации электронных автогенераторов: внешним сигналом, путем взаимной синхронизации и с помощью системы фазовой автоподстройки частоты [6, 28, 82, 88).
Рассмотрим сначала первый вид синхронизации. В этом режиме колебания автогенератора «захватываются» воздействующим на них внешним сигналом. Например, в схеме рис. 5.4 внешний сигнал подается на базу транзистора. В результате при определенных условиях частота автоколебаний определяется не собственной частотой колебательного контура, а частотой внешнего сигнала. Такой процесс синхронизации вбирает в себя черты двух режимов: генерации автоколебаний и усиления сигнала по мощности. Поэтому данный режим используется для стабилизации частоты автогенератора частотой внешнего сигнала и при усилении сигнала в СВЧ диодных генераторах.
При воздействии на автогенератор слабого сигнала вне полосы его синхронизации возникают биения, частота которых равна разности частот автоколебаний и внешнего сигнала Частота биений используется для измерительных целей, а сам автогенератор в этом случае называется автодином.
Работа электронного автогенератора в режиме синхронизации описывается уравнением вида (5.3) или (5.7) с записью в правую часть последнего функции, отражающей действие внешнего сигнала частотой
- д(1 + aiu - a2u2 — а3и4)	+ и = UB sin fit, (5.9)
ат*	ат
где U,— амплитуда внешнего сигнала; П — его нормированная частота.
Программа расчета режима синхронизации автогенератора согласно (5.9) приведена на рис. 5.9. Как указывалось ранее (см. разд. 5.2), в данном уравнении нормировано время и поэтому под частотой внешнего сигнала в (5.9) следует понимать Q = шв/дд, где wa есть частота собственных автоколебаний.
Результаты расчета по программе в виде зависимости переходного процесса в автогенераторе U(th) и фазовой траектории V(U) для трех случаев при П = 1,2; 1,5 и 2 приведены на рис. 5.10. Из анализа полученных результатов следует, что при П = 1,2 (рис. 5.10,а) частота автоколебаний становится равной частоте внешнего сигнала: происходит так называемый «захват» частоты (ша = = w,) и на фазовой плоскости четко прослеживается устойчивый
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
127
0R10IN> 1	( 0.5 '
• I
<0-01,
р:-0,1
1Л> := 1
О
П«.у) >
У1
. Н [1 ♦ «Г У1 - Ъ  (У1/ - «5 (У1)*] • 11 - У| ♦ иь ™(я «).
ORIGIN:- 0
Z:-rtfixe<ty.0,50,5001,F)	4^Z® U.--Z ® V.-Z ®
Рис. 5.9. Программа расчета режима синхронизации автогенератора
предельный цикл. При П = 1,5 (рис. 5.10,6) имеет место режим биений, при котором «захват» прекращается и одновременно действуют два сигнала: внешний и собственные автоколебания. При П = 2 (рис. 5.10,в) происходит полное прекращение воздействия внешнего сигнала на автогенератор, который возвращается в автономный режим работы. Изменяя значение П в большую и меньшую сторону относительно 1, можно определить зону синхронизации или «захвата», которая обычно не превышает нескольких процентов от частоты несущих колебаний. Причем с увеличением амплитуды внешнего сигнала ширина зоны синхронизации обычно возрастает.
Рис. 5.10. Результаты расчета по программе рис. 5.9
128
Глава 5
5.4.	Взаимная синхронизация ав тогенераторов
В этом режиме все автогенераторы, входящие в систему, обладают равными свойствами (см. разд. 1.7). В результате взаимодействия между всеми автогенераторами при выполнении определенных условий в системе устанавливается единый ритм работы, означающий равенство частот всех автоколебаний и ввод системы в режим синхронизации. Структурная схема системы кольцевого типа при таком режиме приведена на рис. 5.11.
Согласно схеме рис. 5.11 каждый из автогенераторов взаимодействует с М другими, что следует учитывать при составлении дифференциальных уравнений, описывающих работу системы в целом и состоящую из N уравнений — по числу источников колебаний:
-r-г -	+Oiui + y'fcjUi = 0,
атл	dr
t=2
< ^r-P2$2(U2)^+n2U2 + |2^=0’	(5.10)
<^un . . .dun	,V'i.	- n
Mn*n(un) + “nun + у * KjUj — 0,
.	•	.	t=i
где Ф,(и,) -— нелинейная функция; к< — коэффициент связи i-ro
автогенератора с другими; Q, — отношение собственной частоты
Рис. 5.11. Структура системы взаимной синхронизации автогенераторов
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
129
ORIGIN:- 1 • >»	' 0.3 ' 1	н:=|	0.1 >	у >	' 0.1' 0.1	к~|	0.! >
П г-12	, 001,		0.1 J		0.2 , 0.2;		-0-1 )
	Уа
««,У)>	Н1 • [1 ♦ »1 • У1 - »1 	 •> 	• Уа - У| - к1 Уэ У« . На-[1 ♦ *1  У» -Ъ- № - «а  WJ  У« - Уа • Я - *а У1.
ORIGIN:=0 Z > rkfixejy,0,100,5001, F)
lh>ZW U1:»ZW V1>Z ®	U2:-Z W V2>Z W
Рис. 5.12. Программа расчета взаимной синхронизации двух автогенераторов
1-го автогенератора в автономном режиме работы к частоте автоколебаний в системе.
Рассмотрим взаимную синхронизацию двух автогенераторов, работа которых с учетом взаимной связи между ними может быть описана с помощью следующих двух дифференциальных уравнений, вытекающих из уравнения (5.7):
d’ui	..	.	,	ixdui
-3-5— Д1 (1	+ Л1и1	~й2*ч -	datiJ-j—	-I- tij + fciUg	= О,
iT	J	<5|1>
UU2	2	4.CIU2	zx	>	П
-75----Дз(1	+ “iWS	~ °2t*2 -	Язиг)-?-	+ u2»‘ + »2«1	=	0>
, ar*	dr
где ui(t) — колебание 1-го автогенератора; иг(0 — колебание 2-го автогенератора, ki — коэффициент связи 1-го автогенератора со 2-м; /с2 — коэффициент связи 2-го автогенератора с 1-м; П — отношение собственных частот автоколебаний двух автогенераторов при отсутствии связи между ними; т = tot — нормированное время.
Программа расчета режима синхронизации автогенераторов согласно (5.11) приведена на рис. 5.12. В программе каждое из уравнений (5.11) второго порядка представлено в виде двух уравнений 1-го порядка, Ul(th), U2(th) — функции колебаний ui(t) и ui{t), VI, V2 —их производные.
Результаты расчета по программе в виде зависимости переходного процесса в автогенераторах Ul(th) и U2(th) и фазовых траекторий V1(U1) и V2(U2) для двух случаев при ft = 1,2 и 1,4 приведены на рис. 5.13. Из анализа полученных результатов следует, что при fl = 1,2 (рис. 5.13,а) частоты автоколебаний равны, что особенно наглядно просматривается на нижнем рисунке, на котором построены графики обеих функций Ul(th) (сплошная линия) и U2(th) (пунктирная линия). Таким образом, 1-й случай соответствует ре-»- юоо
130
Глава 5
Рис. 5.13. Результаты расчета по программе рис. 5.12
жиму синхронизации, установившемуся в системе. Во втором случае при П = 1,4 (рис. 5.13,6) частоты двух автоколебаний различаются, что означает выход системы из режима синхронизации и переход в режим биений колебаний. Изменяя значение Q в большую и меньшую сторону относительно 1, а также другие параметры системы, можно определить зону синхронизации, которая в рассматриваемом примере составляет около 20 %.
Колебания и автоколебания в электронных устройствах 131
По методике, аналогичной рассмотренной, можно исследовать режим синхронизации в системе при взаимодействии трех и более автогенераторов (см. разд. 6.6).
5.5.	Фазовая синхронизация колебаний
Третьим способом синхронизации колебаний в электронных схемах, как указывалось в разд. 5.3, является фазовая автоподстройка частоты (ФАПЧ). В радиотехнике системы ФАПЧ служат для стабилизации и управления частотой автогенератора по эталонному сигналу [28, 88]. С их помощью можно на несколько порядков повысить стабильность частоты колебаний автогенератора. Назовем несколько наиболее типичных случае применения ФАПЧ:
•	в синтезаторах частоты, с помощью которых формируется дискретное множество частот при одном эталонном сигнале;
•	для стабилизации частоты мощных автогенераторов по слабому сигналу эталонного автогенератора, что позволяет существенно сократить число ВЧ или СВЧ усилительных каскадов;
•	для автоматической подстройки частоты гетеродина радиоприемника по частоте принимаемого сигнала.
Структурная схема ФАПЧ приведена на рис. 5.14. Схема работает следующим образом. В фазовом детекторе схемы происходит сравнение фаз сигналов эталонного и стабилизируемого автогенераторов, в результате чего вырабатывается сигнал ошибки. После фильтрации этот сигнал с помощью управляющего элемента воздействует на частоту стабилизируемого автогенератора, автоматически устанавливая ее равной частоте эталонного генератора.
Типичные характеристики управляющего элемента, фазового детектора и фильтра нижних частот приведены на рис. 5.15.
Дифференциальное уравнение, описывающее работу системы ФАПЧ с однозвенным ЯС-фильтром нижних частот, как показано в [28], имеет вид
^=^_^)+а^со8А (5.12)
Рис. 6.14. Структурная схема фазовой синхронизации
132
Глава 5
Рис. 5.15. Характеристики: а — управляющего элемента; б— фазового детектора; в — фильтра
Л.28 О 6 28	12.56	18*4	»
Рис. 5.16. Характеристики фазового детектора
где ф(0 и Д/ст(0 — фаза и частота стабилизируемого автогенератора; Д/и — начальная расстройка: значение частоты Д/ст(0 при t = 0; Д/у — изменение частоты Д/С1(0 под действием управляющего элемента; Sy — крутизна характеристики управляющего элемента; Т —
постоянная времени фильтра нижних частот, Um — амплитуда сигнала на выходе фазового детектора.
Поскольку частота с фазой сигнала связана соотношениями:
(5.13)
,	4Ы1)	1
ZeH ’	2тг dt ’ dt	2тг dt2 ’
то уравнение (5.12) для фазы колебаний примет вид (Гр	1 dp 2irSyUm
dt2 ~ ~Т T~dt + Т COS*’’
которое называется нелинейным уравнением автоподстройки системы ФАПЧ 2-го порядка.
Характеристика фазового детектора в системе ФАПЧ может отличаться от косинусоидальной формы, в частности, иметь форму близкую к треугольной. Поэтому в более общем виде описывающее работу ФАПЧ, имеет вид (Гр _ 2тгД/н	1 dp 2itSyUm	.
dt2 Т	Т dt Т
уравнение,
(5-14)
где
1 . /, 5тг
+ 25S‘”(5’’+T
25
1 .
— TZSin 49
(5.15)
1
— характеристика фазового детектора треугольной формы (рис. 5.16).
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
133
ORIGIN:- 1
2
UM:—10 SU:=2O I
FH-IOO
5- ж
2

Уа
ra_H^ . SU-UM) T T	.
th:-ZW U:=Z W
V -Z ®
Z Rtad4*(y, 0,10.2001, F)
	1	2	3
1	0	4	2
2	4 89810-3	4.007	0.811
3	9.995-10-3	4.008	-0.348
4	0.015	4.004	-1.512
5	0.02	3993	•2.715
Рис. 5.17. Программа расчета фазовой синхронизации автогенератора
Запишем уравнение (5.14) в виде двух уравнений 1-го порядка:
{dyi
~Л~У2'
(5.16)
где ух = <p(t) — функция, t/2 = dyi /dt — dtp(t)/dt — ее производная.
Программа решения уравнений (5.16), описывающих работу нелинейной модели ФАПЧ 2-го порядка, приведена на рис. 5.17. В программе приняты следующие обозначения:
SU = Sy — крутизна характеристики управляющего элемента;
FH = Д/н — начальная расстройка;
Т — постоянная времени Т фильтра нижних частот,
UM — амплитуда характеристики фазового дтектора;
= th — время;
yi = Z<2> = 9?(t) = U — отклонение фазы стабилизируемого автогенератора;
у2 = Z^ = V — производная функции
При вводе параметров, относящихся к частоте в Гц, постоянная времени фильтра Т и размерность времени переходного процесса, рассчитываемого по программе, — в секундах; при частоте в кГц время — в мс; при частоте в МГц время — в мкс.
Результаты расчета по программе рис. 5.17 четырех случаев согласно данных табл. 5.1 в виде графика переходного процесса <p(t) = U(th) и фазовой траектории U(V) приведены на рис. 5.18.
134
Глава 5
Рис. 5.18. Результаты расчета по программе рис. 5.17
Таблица 5.1
№	им	SU	Т	FH
1	10	20	1	100
2	10	20	0,1	100
3	10	20	0,001	100
4	10	20	2	200
Первые три случая соответствуют нормальной работе схемы ФАПЧ, поскольку в переходном процессе колебания фазы уменьшаются, стремясь к установившемуся значению и, следовательно, постоянству разности фаз двух колебаний, что эквивалентно равенству частот стабилизируемого и эталонного автогенераторов.
При заданных параметры схемы (Sy = 20, Um = 10) время переходного процесса определяется постоянной времени Т = 1, 0,1 и 0,001
Колебания и автоколебания в электронных устройствах 135
фильтра нижних частот. Причем с уменьшением значения Т переходный процесс из колебательного (случаи 1 и 2) становится апериодическим (случай 3). На фазовом портрете колебательному процессу соответствует устойчивый фокус, апериодическому — устойчивый узел. С увеличением начальной расстройки Д/и и значения Т схема перестает нормально функционировать — в ней происходит срыв колебаний (случай 4), а на фазовом портрете появляется неустойчивый узел. С помощью программы рис. 5.17 можно найти значения всех параметров, при которых происходит скачкообразный переход системы ФАПЧ из одного состояния в другое, что фиксируется изменением характера переходного процесса (из колебательного в апериодический, из устойчивого в неустойчивый) и вида фазового портрета.
5.6.	Колебания в контуре с нелинейной индуктивностью
Колебательная система помимо линейных может содержать и нелинейные элементы, которые существенно влияют на вынужденные и свободные колебания. Процесс установления колебаний в нелинейной системе можно исследовать путем составления и решения численным путем нелинейного дифференциального уравнения. Рассмотрим в этой связи конкретный пример: последовательный колебательный контур с нелинейным элементом — катушкой индуктивности с ферритовым сердечником. Схема такого контура с источником возбуждения с внутренним сопротивлением R, г приведена на рис. 5.19.
Нелинейные свойства катушки индуктивности с магнитопроводом отображает зависимость магнитного потока Ф от тока i. (Явление гистерезиса при этом не учитывается.) Данную зависимость Ф(г) можно аппроксимировать с помощью экспоненциальной функции
ф/П = /Фм(1-е-о|<1) при t > 0,
W t "Ml - е~а,’1) при i < 0.	(517)
График этой функции, рассчитанный по программе, приведен на рис. 5.20, где ток г обозначен как х, ФМ — значение магнитного потока при насыщении, а — коэффициент, зависящий от размеров
и марки феррита.
Для случая нелинейной индуктивности запишем
_ Ld*(*) _ jLd*(*) di _ r(^di
(5.18)
R) L r
Рис. 5.19. Цепь с нелинейной индуктивностью
136
Глава 5
а.-1 ФМ-1 LO:=I
Ф(х) := | ФМ G	ifxkO	:-L0 a • «p(-a • |x|)
. »M-[-G J tfx<0
Рис. 5.20. Характеристики нелинейной индуктивности
При $(i) = Фм(1—е	для нелинейной индуктивности получим
L(i) =	= L©e“e|i|,	(5.19)
аг
график которой L(x) представлен па рис. 5.20.
Дифференциальное уравнение (2.8) для схемы рис. 5.19 с учетом (5.18) и (5.19) примет вид
e(t)=uc + rC^ + £(t)C^.	(5.20)
По аналогии с (2.9) приведем уравнение (5.20) к нормированному виду:
<?У . J_1 /₽ *У , 1 (fA2ъ_ 1 //₽ V , . = 2П dr* + F(i) Q f0 dr + F(i) \f0) У F(i)\f0J () - (5’ >
где у = uc — напряжение на емкости, /0 — частота внешнего сигнала е(т), т = wpt — нормированное время, /р = 1/2it\/LqC — резонансная частота цепи при «малом» сигнале, Q = 1 /ш^Ст — добротность контура, F(i) = exp(-a|i|) = ехр(—n\duc/dr\) — нелинейный коэффициент, д = aCwo = a/{yQr) — постоянный коэффициент.
Уравнение (5.21) отличается от ранее составленного уравнения (2.9) только коэффициентом F(i), отражающим нелинейные свойства цепи согласно (5.19).
Программа решения нелинейного дифференциального уравнения (5.21) для нелинейной цепи (см. рис. 5.19) при внешнем воздействии гармонического колебания с частотой, изменяющейся по линейному закону, т.е. ЛЧМ колебания (2.28), представлена на рис. 5.21.
Как и ранее в программе приняты следующие обозначения:
U0, fO, Df, Т — амплитуда, начальное значение частоты, деви-
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
137
ORIGINS 1
U0:=2 г:» 1	ГО .= 100	Df := ISO	Т:=1	а:-1 fp >• 150	оф := 2  it' fp Q50	Z о А
Asli fp ГО	•ГО Т xk=U57xl(f m:-Df T т-Э00У:“(,0> Df	v V>«)	₽-(4кГОТ)	P-5J68X10-4
!»:—-—	н-0.013
T-Qr ф(х):- (uO-rin(t + ₽ ?)) if OStixk
Kt.у)*	0 if t > ik У1 ( q)	t 11  ’ ’ ’W’ * * T’ ’W- ♦(’)
ORIGIN:-О Z:=Rk»d»pt(y.O,2000l2000QF) th:-Z® U>Z W V>Z W
Рис. 5.21. Программа расчета цепи с нелинейной индуктивностью
Таблица 5.2
№	fo	fp	A/»	T	m	Q	а	Uo
1	150	150	0	2	0	50	0,5	1
2	150	150	0	2	0	50	0,5	5
3	150	150	0	2	0	50	0	5
4	100	150	150	2	300	50	1	1
5	100	150	150	2	300	50	1	2
6	100	150	150	2	300	50	0	1
ация и длительность воздействующего на объект ЛЧМ колебания согласно (2.28);
fp, Q — резонансная частота и добротность контура при «малом» сигнале (при размерности частоты в Гц, кГц или МГц время соответственно в секундах, миллисекундах или микросекундах);
тк — значение текущей фазы, соответствующее длительности Т; m = &faT — база ЛЧМ-сигнала;
th, т, Z<°> — текущая фаза;
U, yi, Z(1) — функция, описывающая колебание y(t) = ис',
V, ya, Z<2> — производная функции y(t);
а — коэффициент, определяющий индуктивность согласно (5.19).
Исследуем по программе рис. 5.21 воздействие па нелинейную цепь (см. рис. 5.19) синусоидального колебания e(t), приняв девиацию частоты Д/д = 0 (случаи 1-3), и ЛЧМ колебания при девиации Д/д = 150 (случаи 4-6). Значения остальных параметров для всех шести случаев приведены в табл. 5.2.
Результаты расчета трех первых случае приведены на рис. 5.22, причем случаи 1 и 2 соответствуют нелинейной цепи (а = 0,5), а 3-й
138
Глава 5
Рис. 5.22. Результаты расчета по программе рис. 5.21
случай для сравнения соответствует линейной цепи (а = 0). Как следует из графиков, в силу нелинейности цепи увеличение амплитуды входного колебания в 5 раз приводит к возрастанию амплитуды колебания в цепи только, примерно, в 2 раза. Кроме того, меняется и сам характер переходного процесса: в нем появляются биения. В линейной цепи (а = 0) амплитуда колебания возрастает пропорционально амплитуде воздействующего на объект колебания.
Еще более сложная картина наблюдается при воздействии на нелинейную цепь ЛЧМ колебания: им соответствуют случаи 4-6 из табл. 5.2. Результаты расчета для них по программе рис. 5.21 приведены на рис. 5.23, причем случаи 4 и 5 соответствуют нелинейной цепи (а = 1), а 6-й случай для сравнения соответствует линейной цепи (а = 0). На рис. 5.23 показана огибающая возбужденного колебания. Изменив масштаб по оси абсцисс, можно «заглянуть» и внутрь колебания.
Полученные результаты, приведенные в виде графиков на рис. 5.22 и 5.23, позволяют сделать следующее заключение. Причиной искажения колебаний при быстром изменении частоты воз-
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
139
Рис. 6.23. Результаты расчета по программе рис. 5.21
действующего колебания в линейном объекте является его инерционность. В нелинейном объекте два обстоятельства являются причиной такого искажения: инерционность и нелинейность. В линейной системе при относительно медленном изменении частоты входного ЛЧМ — колебания амплитуда возбужденного колебания повторяет форму статической амплитудно-частотной характеристики колебательного контура. В нелинейной системе подобного не происходит, так как мгновенная резонансная частота в силу нелинейности того или иного элемента (в рассмотренном примере — индуктивности) меняется с амплитудой колебания.
Амплитудно-частотные характеристики, рассчитанные по программе рис. 5.21 при медленном изменении частоты воздействующего на контур колебания и двух значениях амплитуды Uq = 1 и 5 и а = 1, приведены на рис. 5.24. Для сравнения там же построена подобная характеристика для линейного контура при Ua = 1 и а = 0, форма которой остается неизменной вне зависимости от амплитуды входного колебания.
Таким образом, в нелинейной системе по сравнению с линей-
140
Глава 5
Рис. 5.24. Амплитудно-частотные характеристики нелинейной цепи
ной существенно меняется форма амплитудно-частотной характеристики, кроме того, она становится зависимой от амплитуды входного колебания. Сказанное в полной мере относится и к фазочастотной характеристике нелинейного объекта.
Подобные результаты получаются и при анализе нелинейных колебательных объектов иной конфигурации. Причем каждый раз можно получить новые результаты в зависимости от параметров и характеристик нелинейных элементов. Общим остается только подход к решению подобного рода задач: составление и решение аналитическим, а в большинстве случаев численным путем нелинейного дифференциального уравнения, описывающего работу объекта, при заданном входном воздействии на нее.
5.7.	Колебания в контуре с нелинейной емкостью
В радиоэлектронных устройствах для перестройки, т.е. изменения резонансной частоты, высокочастотных контуров при сравнительно небольшой мощности сигнала повсеместно используются варикапы — полупроводниковые диоды с обратно смещенным р-п-пере-ходом, являющимся нелинейным элементом. Емкость такого диода определяется выражением
= приЕо + и>0;
\ (Ео + <ро + и)р Ф(и)
( Си	при Ео + и < 0,
(5.22)
где Ф(и) = (ipo + Ео + и)р/(<ро + £е)р, Р = 0,3...0,5 — коэффициент, ip0 « 0,5...0,8 В, остальные обозначения ясны из графика функции (5.22) на рис. 5.25.
Схема последовательного контура с варикапом приведена на рис. 5.26.
Дифференциальное уравнение (2.8) для схемы рис. 5.26 с учетом нелинейной зависимости для емкости варикапа (5.22) примет вид
e(t) = uc + rC(uc)^ + LC(uc)^, (5.23)
Колебания и автоколебания в электронных устройствах
141
Рис. 5.2в. Цепь с нелинейной
Рис. 5.25. Характеристика емкости
полупроводникового диода
емкостью
Рис. 5.27. Программа расчета цепи с нелинейной емкостью
которое по аналогии с (2.9) приведем к нормированному виду:
+	+	= т'2ф(у)е(т)>	(5-24)
где у = ис — напряжение на емкости; /о — частота внешнего сигнала е(т); т =	— нормированное время; /р = 1/2лд/ГСо — резонанс-
ная частота цепи при «малом» сигнале; Q = l/wpGor — добротность контура; 7 = /р//о — отношение двух частот; Ф(у) — нелинейная функция, определенная в (5.22).
Программа решения нелинейного дифференциального уравнения (5.24) для нелинейной цепи с варикапом (рис. 5.26) при внешнем
142
Глава 5
воздействии гармонического колебания с частотой, изменяющейся по линейному закону, т.е. ЛЧМ колебания (2.28), представлена на рис. 5.27. Все основные обозначения в программе совпадают с принятыми для программы с нелинейной индуктивностью (рис. 5.21).
Результаты расчета колебаний в цепи по программе рис. 5.27 в четырех случаях приведены на рис. 5.28. В двух первых случаях (рис. 5.28,5, в) рассмотрено воздействие на цепь линейного типа (коэффициент р = 0) гармонического и ЛЧМ сигнала, в двух других (рис. 5.28,г, д) тех же сигналов на нелинейную цепь с варикапом (р = 0,5). В результате удается сравнить, как нелинейный элемент — варикап — влияет на переходный процесс и установившиеся колебания в цепи.
4г ** О 20 <0 «0 К ™ И l« W IB И И Ж Ж м Ж
ф'10 • » « и в IB I» IB IB IB » а ж ж » ж
Рис. 5.28. Результаты расчета по программе рис. 5.27
Колебания и автоколебания в электронных устройствах 143
По программам, приведенным на рис. 5.21 и 5.27, можно рассчитать воздействие гармонического к ЛЧМ колебаний на цепь с любым другим нелинейным реактивным элементом, заменив только в них функцию, описывающую этот элемент.
5.8.	Генерация релаксационных колебаний
Релаксационными называются периодические колебания с резким, почти скачкообразным изменением описывающей их функции (см. разд. 1.2). Генерация релаксационных колебаний возможна в электронном автогенераторе, в котором при увеличении положительной обратной связи гармонические колебания перерождаются в релаксационные (см. разд. 5.2, рис. 5.8).
Наряду с таким способом формирования релаксационных колебаний их генерация возможна также с помощью специально предназначенных для этого схем. Одной из них является симметричный мультивибратор, схема которого на полевых транзисторах приведена на рис. 5.29,а. В схеме емкости конденсаторов Ci = С2, сопротивления Ri = R2, R3 = Rj.
Считая транзисторы идеальными ключами, представим схему рис.5.29,о в виде эквивалентной схемы рис. 5.29,6, на которой транзисторы заменены ключами. Схема рис. 5.29 работает следующим образом. Транзисторы VTi и VT3 или соответствующие им ключи Kj и Кг открываются и закрываются попеременно. Пусть в момент времени to ключ Кг закроется. При этом напряжение 14 = — до которого был заряжен конденсаторе Сг, скачком будет приложено к затвору транзистора VTi, в результате чего он закроется, т.е. ключ К; окажется разомкнутым. Напряжение на конденсаторе С2 начнет спадать по экспоненциальному закону
V3(t) = -E<exp(-t/Tp),	(5.25)
где Тр = R3C2 — постоянная времени цепи разряда конденсатора.
144
Глава 5
Рис. 5.30. Графики колебаний в мультивибраторе
При падении напряжения Vz(t) до значения напряжения насыщения транзистора —Vo транзистор VTi или соответственно ключ Ki откроются, а транзистор VT2 или соответственно ключ Кг, наоборот, закроются, поскольку к затвору транзистора скачком будет приложено отрицательное напряжение —Е„. И так попеременно один транзистор будет открываться, а другой закрываться. Эпюры напряжений в различных точках схемы протекающего процесса представлены на рис. 5.30.
Для периода сформированных в симметричной схеме мультивибратора релаксационных колебаний согласно (5.25) получим
Т = 2Tpln(Ee/V0).	(5.26)
Так, например, при Ez/Vq — 10 имеем Т = 4,6ТР.
Таким образом, в результате скачкообразного, ключевого режима работы транзисторов будут сформировано колебание, называемое меандром и относящееся к классу релаксационных. С уменьшением периода колебаний следует учитывать инерционные свойства транзистора, приводящие к завалу фронтов импульсов и формированию не прямоугольных, а близких к трапецеидальной форме импульсов.
5.9.	Движение электрона в электрическом и магнитном полях
Одним из типов мощных генераторов колебаний, применяемых в СВЧ диапазоне, являются приборы магнетронного типа, называемые также приборами типа М. Их отличительным признаком является движение потока носителей зарядов — электронов — в скрещенных электрическом и магнитном полях по сложной траектории, состоящей из отрезков циклоид. Принципиальное устройство одного из типов приборов типа М — магнетрона — показано на рис. 5.31.
В приборе постоянное электрическое поле направлено от катода к аноду, а постоянное магнитное, создаваемое с помощью специальных магнитов, — перпендикулярно плоскости рисунка.
Колебания и автоколебания а электронных устройствах
145
Рис. 5.31. Принцип устройства магне- Рис. 5.32. Траектория движения
трона
электрона в магнетроне
В магнетроне поток электронов группируется в форму спиц, вращающихся по окружности в пространстве между катодом и анодом с угловой скоростью а%. Проходя мимо зазора резонатора, настроенного па частоту о>р, близкую к ws, такой поток возбуждает в нем электромагнитные колебания. Генерируемый магнетроном СВЧ сигнал выводится из резонатора.
В теории магнетрона первого приближения рассматривается плоская модель пространства взаимодействия электрона с электрическим и магнитным полями (рис. 5.32). В этом случае следующие дифференциальные уравнения, приведенные к нормированному виду, определяют движение электрона [33]:
(5-27)
Ody - F dt2 dt Ex' <?У ±c>dy -w -dfi+a~dt-Er'
где Ex, Ey — величины, пропорциональные напряженности суммарного электрического поля по осям х, у, включающие постоянную и переменную составляющие; 0 — частота, называемая циклотронной. Программа решения дифференциальных уравнений (5.27), представленных в виде четырех уравнений первого порядка, приведена па рис. 5.33, а результаты расчета по ней одного частного случая — на рис. 5.34 в виде графиков перемещения электрона вдоль осей: у = $i(t), х = $2(0, скорости Vy = 4>3(t) = V2(t) и траектории движения у = Фч(г). Из графиков следует, что по причине действия постоянного электрического и магнитного полей электрон движется по траектории, близкой к циклоиде, а ввиду действия переменного электрического поля на это движение накладываются колебания. Меняя исходные данные — параметры А, Е (постоянные составляющие напряженности электрического поля), Ет (амплитуду напряженности 10- 8000
146
Глава 5
ORIGIN:-1	О:=4 А:=20	Е:-100 ЕМ:-1000
к -а У1 + Е+ ЕМ яп(2 к-П 0
ORIGIN-O Z:=rWed(y,O.S,2001.F)
th:-ZW X:-ZW Y>Z® Vl^Z W V2:-Z W
Рис. 5.33. Программа расчета движения электрона
Рис. 5.34. Результаты расчета по программе рис. 5.33
переменного поля), О — циклотронную частоту, можно получить требуемую траекторию движения электрона.
Контрольные вопросы
5.1.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 5.7 графики колебаний и фазовый портрет автогенератора при разных начальных условиях. Определите, как значение параметра р влияет на форму колебаний.
5.2.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 5.9 графики колебаний и фазовый портрет автогенератора, синхронизированного внешним сигналом, при
Колебания и автоколебания в электронных устройствах 147
разных начальных условиях. Определите, как значение параметра П влияет на режим синхронизма колебаний.
5.3.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 5.12 графики колебаний и фазовый портрет двух связанных между собой автогенераторов при разных начальных условиях. Определите, как значение параметра П влияет на режим синхронизма колебаний.
5.4.	По аналогии с программой рис. 5.12 составьте программу расчета синхронизации трех связанных между собой автогенераторов. Определите условия синхронизма в такой системе.
5.5.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 5.17 графики установления колебаний и фазовый портрет системы фазовой синхронизации. Определите, как изменение постоянной времени фильтра Т влияет на характер и время протекания переходного процесса.
5.6.	По аналогии с программой рис. 5.17 составьте программу установления колебаний в системе фазовой синхронизации при косинусоидальной характеристике фазового детектора. Проведите расчеты по составленной программе при разных начальных условиях.
5.7.	Рассчитайте по программе рис. 5.21 вынужденные колебания в контуре с нелинейной индуктивностью при разных значениях частоты гармонического воздействия. На основании полученных результатов определите влияние добротности контура на вид колебаний.
5.8.	Рассчитайте по программе рис. 5.21 вынужденные колебания в контуре с нелинейной индуктивностью при воздействии на контур колебания с линейной частотной модуляцией. На основании полученных результатов определите влияние скорости нарастания частоты внешнего воздействия на вид колебаний.
5.9.	Рассчитайте по программе рис. 5.27 вынужденные колебания в контуре с нелинейной емкостью при воздействии на контур колебания с линейной частотной модуляцией. На основании полученных результатов определите влияние скорости нарастания частоты внешнего воздействия на вид колебаний.
5.10.	Рассчитайте по программе рис. 5.33 траекторию движения электрона при изменении напряженности электрического поля. Определите влияние на эту траекторию соотношения между напряженностью постоянной и переменной составляющих напряженности электрического поля.
10*
Глава 6
АВТОКОЛЕБАНИЯ
В БИОЛОГИЧЕСКИХ
И ХИМИЧЕСКИХ
СТРУКТУРАХ
6.1. Механизм автоколебаний в биологических и химических структурах
Автоколебания свойственны системам разного физического содержания, в том числе биологическим и химическим структурам. Однако механизм их возникновения и поддержания на определенном уровне отличается от электронных схем.
В биологических системах колебания, в первую очередь, связаны с численностью популяций двух и более видов, размножающихся естественным путем в общей среде обитания. Переменными здесь являются численности разных видов животных. Если один из видов служит пищей для другого, то система характеризуется в понятиях «хищник» и ее «жертва». Причем, роль хищника могут играть не только крупные животные, но и насекомые или микробы, уничтожающие представителей другого вида. В других случаях роль хищника внутри одного вида отводятся молодым по возрасту особям, поедающим старые. В более общем виде можно утверждать, что колебания численности популяции могут происходить на всех уровнях биологических структур — от одноклеточных до многоклеточных.
Рассмотрим простой пример возникновения колебаний в биологической системе. Пусть в некоторой среде обитания взаимозависимо обитают два вида животных — А (хищники) и В (жертвы), служащие пищей для хищников. Хищники поедают жертвы, численность которых уменьшается, что приводит к сокращению и числа хищников, поскольку они начинают испытывать недостаток пищи. В свою очередь, уменьшение числа хищников создает благоприятные условия для размножения жертв, число которых начинает возрастать и т.д. Такое взаимодействие живых организмов видов А и В
Автоколебания в биологических и химических структурах
149
взаимодействия двух видов
можно отобразить с помощью структурной схемы, приведенной на рис. 6.1.
Согласно схеме рис. 6.1 автоколебания в системе возникают и поддерживаются за счет воздействия одного субъекта (А) на другой (В) через область взаимодействия. Никакого колебательного контура в системе нет. В этом от
ношении схема рис. 6.1 в определенном смысле напоминает схему мультивибратора, генерирующего релаксационные колебания (см. разд. 5.8).
Обратимся теперь к химическим системам, в которых колебания связаны с изменением концентрации веществ, участвующих в реакции. Поэтому такие колебания называют концентрационными [21]. Пусть, например, в химической реакции участвуют вещества А и В. Концентрация вещества А есть X, вещества В есть Y, а скорость изменения концентрации каждого из веществ пропорциональна произведению концентраций обоих веществ- В этом случае можно записать
7ЙГ = ~klXY’
iY
(6.1)
где ki, k? — постоянные коэффициенты.
Это взаимодействие двух и более веществ в процессе реакции может принять колебательный характер и также быть отображено с помощью структурной схемы, приведенной на рис. 6.1. Помимо схемы рис. 6.1 возможны и другие более сложные варианты отображения колебательного процесса, обусловленного взаимодействием в системе более двух субъектов и разветвленными связями между ними.
Колебательные процессы, протекающие в биологических и химических структурах, как и в ранее рассмотренных механических и электронных системах, могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнений. Следует только помнить, что с помощью этих уравнений определяются разные переменные: в механических системах — координаты, скорость и ускорение твердого тела; в электронных — напряжения и токи в разных участках схемы; в биологических — изменение числа особей; в химических — концентрация изменения реагентов, участвующих в реакции.
150
Глава 6
6.2. Автоколебания в мире животных
Как биолог обратился за помощью к математику. В Италии 1925 г. тесная дружба связала двух непохожих друг на друга людей: Вито Вольтерра — 65-летнего сенатора Италии, всемирно известного математика, действительного члена Национальной, Римской и многих других академий — и Д’Анкону, молодого зоолога, имя которого было известно в то время лишь узкому кругу ученых-биологов, занимающихся изучением взаимодействия животных с окружающей их средой обитания.
Во время одной из встреч Д’А икона рассказал Вольтерра об интересном для него, зоолога, явлении, связанным с периодическим, в несколько лет, возрастанием и убыванием улова промысловых рыб. Статистические данные, собранные ученым за 1905-1923 гг., привели его к следующему выводу. В период первой мировой войны интенсивность рыбной ловли в Средиземном море резко снизилась, что привело к возрастанию рыб-хищников, питающихся промысловыми рыбами. В результате численность последних резко упала, что, в свою очередь, привело к гибели и части хищников, поскольку их пища стала исчезать.
Таким образом, чрезмерно размножаясь и поедая большое число более слабых своих «собратьев», хищники тем самым невольно выносили смертный приговор и себе. Обжорство хищников являлось причиной их гибели, что создавало условия для возрождения косяков промысловых рыб и повторения всего цикла процесса. Обсуждая данное явление, происходящее в животном мире, ученые пришли к выводу, что, помимо внешних условий (например, смена времен года и колебания климата), существуют причины особого свойства, влияющие на популяцию того или иного вида животных. Есть некий внутренний механизм, свойственный самому сообществу животных, существенным образом влияющий на их развитие, которое сопровождается резким спадом и крутым подъемом числа особей. Но как все то, что можно качественно описать словами, выразить с помощью уравнений и формул? Как количественно оценить этот процесс гибели и последующего восстановления численности животных? Можно ли предсказать, как будет развиваться та или иная популяция в животном мире? Поиск ответа на поставленные вопросы и привел Вольтерра к уравнениям, позже получившим его имя, которые вскрыли внутренний механизм явления, подмеченный в природе Д’Анконой.
Следует добавить, что подобные особенности в животном мире были отмечены и другими зоологами. Так, обработка статистических данных о числе зайцев (жертвы) и рысей (хищники) на севере
Автоколебания в биологических и химических структурах
151
Канады также выявила колебательный характер изменения их количества с периодом 9-10 лет.
Наши дальнейшие рассуждения будут носить хотя и несколько абстрактный, однако, не лишенный здравого смысла характер. Пусть в некоторой среде обитания с неограниченными запасами пищи проживает определенный вид животных, который мирно уживается с другими видами и поэтому живет как бы изолированно. Обозначим общее число особей вида в данный момент через N. Примем, что прирост AN особей за малый промежуток времени At пропорционален числу особей N и потому определяется зависимостью:
AN = fcNAt, от которой перейдем к дифференциальной записи: dN
где к — коэффициент пропорциональности..
Интегрируя (6.2), получим
N = No exp[£(t — to)],
(6-2)
(6.3)
где Л’о — число особей при t = t<>.
Таким образом, согласно (6.3) в изолированной системе число особей возрастает со временем по экспоненциальному закону. Ситуация усложняется, если часть прироста особей поедается некими «хищниками». С учетом данного фактора Вольтерра при составлении уравнений, описывающих такой более сложный процесс в животном мире, исходил из следующих, вполне реальных допущений:
•	пища «жертвы» не ограничена средой обитания;
•	«хищник» питается только жертвой;
•	прирост «жертв» пропорционален их численности;
•	убыль «жертв» пропорциональна произведению числа «жертв» и «хищников»;
•	прирост «хищников» пропорционален произведению числа «хищников» и «жертв»;
•	убыль «хищников» пропорциональна их числу.
Модель такого биоценоза, т.е. некоторого сообщества животных, с учетом введенных допущений определяется следующей системой из двух дифференциальных нелинейных уравнений:
( ^- = o1N1-/32N1N2,
J at
1 dN2
4 at
(6-4)
152
Глава 6
ORIGIN:- 1
В:-4
F(t.X)
в • yi (1 - ъ)
ORIGIN:-О lh:-Z W
Z > ЮииЬфЦу.О.ЗО, 3001, F)
Xr-Z*0 Y:-ZW
	0	1	2
0	0	2	1
1	9 997 10'3	2	1.01
2	0.02	1.998	1Л2
3	0.03	1.996	1.03
4	0.04	1.994	1.041
5	0.05	1.99	1.051
п (л-1) .
2
1
Рис. 6.2. Программа расчета колебаний в модели Вольтерра
где Ni — число особей «жертв»; Ni — число особей «хищников»; с»! — коэффициент естественного прироста «жертв»; аг — коэффициент естественной убыли числа «хищников»; 01 — коэффициент уничтожения «хищниками» своих «жертв»; 02 — коэффициент защиты «жертв» от «хищников».
Приведем уравнения (6.4) к нормированному виду:
dx
— = Вх(1 —у), iT
(6-5)
где х = NiPi/aq — относительное число «жертв»; у = N^Pt/ai — относительное число «хищников»; т = ta2 — нормированное время; В = ai/aj — постоянный коэффициент.
Для определим колебания числа «жертв» и «хищников» решим нелинейные дифференциальные уравнения (6.5), составив программу, приведенную на рис. 6.2.
Результат решения по программе при В = 4 в виде графиков приведен на рис. 6.3. Из рис. 6.3 следует, что функции х(<) («жертвы») и y(t) («хищники») имеют колебательный характер, причем максимум y(t) сдвинут по фазе относительно x(i) на определенную величину. Такой же характер имеют графики, построенные на основании экспериментальных данных при близком соблюдении условий существования биоценоза, положенных в основу уравнений Вольтерра. Сле
Рис. 6.3. Результаты расчета по программе рис. 6.2
Автоколебания в биологических и химических структурах
153
довательно, развитие жизни при определенных условиях может носить колебательный характер, что с помощью математики подтвердил Вольтерра. Фазовый портрет системы в форме зависимости у(х) имеет вид замкнутой кривой — искривленного эллипса.
К такому же выводу, независимо от Вольтерра и Д’Анконы, пришли в 20-е годы и русские генетики Н.Г. Четвериков и Н.В. Тимофеев-Ресовский, высказавшие идею о «волнах жизни». По их мнению, эволюция вида, его приспособляемость к условиям существования, повышение жизнестойкости идут более быстрыми темпами, если этот процесс выглядит как колебательный. В таком процессе при убывании численности вида в первую очередь погибают наиболее слабые его представители, а сильные выживают. Тем самым естественный отбор наиболее благоприятных признаков вида ускоряется, усиливаясь от цикла к циклу. Следовательно, колебательный характер развития вида является важной чертой всего эволюционного процесса.
В заключение несколько слов о том, как сложилась жизнь Вито Вольтерра — выдающегося итальянского математика, творившего на рубеже двух веков. В 1928 г. в возрасте 68 лет он был вынужден навсегда покинуть родину — Италию, воспользовавшись приглашением дирекции Парижского института имени Анри Пуанкаре прочитать цикл лекций по математической теории биологических флуктуаций. Причиной расстаться с родиной явилось принципиальное несогласие Вольтерра с установленным в Италии фашистским режимом, с его открытым выступлением в сенате в защиту конституции против передачи власти диктатору.
Вольтерра считал, что тоталитарная власть и наука — несовместимы, что свободно творить в стране, управляемой диктатором, невозможно. Умер Вольтерра в эмиграции в 1940 г. в возрасте 80 лет, так и не дождавшись освобождения своей родины от тоталитарного режима.
6.3.	Автоколебательный химический процесс
Как химия приобщилась к колебательным процессам. В 1910 г. американский математик Альфред Лотка опубликовал статью «Теория периодических реакций», в которой доказывал возможность существования колебательной химической реакции. Рассмотрим данную проблему на примере трех реагентов А, В, С, вступивших в реакцию. В процессе реакции вещество А превращается в В, вещество В — в С, а из вещества С образуется конечный продукт Д. В короткой форме данные превращения запишем следующим образом:
А - В, В —♦ С, С -»Д.
154
Глава 6
Обозначим концентрации трех веществ теми же буквами. Скорость V гомогенной, т.е. протекающей в замкнутом объеме, реакции есть изменение концентрации вещества в единицу времени. Для вещества А эта скорость протекания реакции:
VA = — А dt
Различают реакции 1-го и 2-го рода. Скорость протекания реакции 1-го рода линейно зависит от концентрации исходного вещества:
где к — постоянный коэффициент. Количество исходного вещества в процессе реакции пополняется, и поэтому концентрация А может быть принята постоянной.
Скорость протекания реакции 2-го рода, называемой автокаталитической, линейно зависит как от концентрации исходного вещества А, так и от концентрации образующегося продукта В:
dA , . _
Ул = — = кАВ.
м
Лотка предложил две модели реакции: с одним автокаталитическим преобразованием, которое на схеме обозначается как
и двумя автокаталитическими преобразованиями, которые на схеме обозначаются как
(6-6) кзВС — к^С,
Второй тип реакции запишется в виде двух следующих дифференциальных уравнений, называемых в химии кинетическими:
= к\АВ - к2ВС, ат dC dr
Шли годы, а обнаружить таинственные А, В, С, отгадать, какие именно вещества и какой концентрации за ними скрываются, так и не удавалось. И поэтому все громче звучал голос тех, кто считал, что в химических гомогенных системах существование концентрационных колебаний невозможно, что циклический процесс в них поддерживаться не может.
Автоколебания в биологических и химических структурах
155
Первым в 1950 г. экспериментально доказал возможность существования химической циклической реакции русский химик Б.П. Белоусов [21]. После долгих и упорных поисков он нашел вещества, обеспечивавшие протекание такого процесса. В ходе химической реакции, включавшей разбавленную в отношении 3:1 серную кислоту, лимонную кислоту, бромат натрия и кристаллы сульфата церия, используемого в качестве катализатора, происходили устойчивые колебания в течение десятков периодов цвета раствора. Благодаря периодическим изменениям концентрации церия, бесцветного в низшем, трехвалентном состоянии, и приобретавшим желтый цвет в высшем, четырехвалентном состоянии, и происходило изменение окраски раствора, что наглядно свидетельствовало об открытии ученым колебательной химической реакции. При добавлении к раствору железа-фенатролина смена цветов становилась более яркой — от синего к красному и снова к синему.
Концентрационные колебания. Результаты работы Б.П. Белоусова, впервые опубликованные им в виде короткого реферата в 1959 г. и продолженные А.М. Жаботинским, явились началом открытия целого класса автоколебательных химических реакций. Первая из них получила название «реакция Белоусова-Жаботинского». В дальнейшем было экспериментально и теоретически доказано, что в гомогенной химической системе возможно существование многих типов автоколебаний, подобных колебаниям свойственных механическим и электрическим системам.
Модель, предложенная Лотка, хотя и является относительно грубой моделью процессов, наблюдаемых при химических реакциях, позволяет, однако, вскрыть главную суть этих процессов.
Преобразуем сначала уравнения (6.6) к нормированному виду:
'	= Кх(1 - Му),
iT
= y(z - 1),
(6-7)
где х = В(кз/к^), у = С, т = kAt, К = к\А/к^\ М = кз/{к\А).
Количество исходного вещества в процессе реакции пополняется, и поэтому концентрация А величина постоянная.
Решим нелинейные дифференциальные уравнения (6.7), составив программу, приведенную на рис. 6.4.
Результат решения по программе одного из частных случаев при М = 2 и К = 0,1 в виде графиков приведен на рис. 6.5. Из рис. 6.5 следует, что функции X(t) и Y(t), определяющие концентрации веществ В и С, вступивших в химическую реакцию, носят колебательный характер. Фазовый портрет системы в форме зависимости Y (X)
156
Глава 6
К«.У)
К у, (1-М у2) П • (у 1 - О
ORIGIN:-»
ORIGIN-1	М:=2 К:=0.1
X:-Z W Y:=Z «
Z > Rk»d«pt(y,0,100,5001, F)
	0	1	2
0	0	05	05
1	002	05	0.406
2	0.04	05	0.40
3	o.oe	05	0.466
4	0.06	05	0.46
5	0.1	05	0.476
Рис. 6.4. Программа расчета колебаний в модели Лотка
Рис. 6.5. Результаты расчета по программе рис. 6.4
имеет вид замкнутой кривой — искривленного эллипса. Следует заметить, что характер процесса в сильной степени зависит от начальных условий и значений обобщенных коэффициентов К и М, определяющих концентрацию реагентов. Затухание колебаний связано с ограниченным количеством исходного вещества, расходуемого в процессе реакции.
Концентрационным колебаниям при протекании химических реакций в большинстве случаев соответствуют значительно более сложные схемы, чем лежащая в основе уравнений (6.7), с участием нескольких реагентов и с разветвленными связями между ними [68]. Так, в реакции Белоусова-Жаботинского участвуют более 30 продуктов и промежуточных соединений, причем эволюция различных путей реакции в значительной степени зависит от концентрации исходных веществ. Удовлетворительное описание этой химической реакции можно получить по упрощенной схеме, предложенной Хадсоном, в рамках системы из следующих трех уравнений, записанных относительно изменения концентрации (z, у, z) трех веществ [47]:
— - ах + у + 0, lz,
at
аУ _
dt ~~Х'
= 7{-4(z + z3 + z) + th[100(l - 16z + 4z)]}.
dt
(6.8)
Автоколебания в биологических и химических структурах
157
ORIGIN.-1 а *0.1 у .-10

ач + %+0.1%
-Ч
Т• [~<[ч ♦ (ч/ + ч] ♦	(* - ,6- Ч + 4- чЙ
20
Ю,
ORIGIN:-0
X:-rkfixal(x,0,50,1001.F) Л*Х W U:»X W У»Х® S*XW
Рис. в.в. Программа расчета колебаний в модели Хадсона
Решим нелинейные дифференциальные уравнения (6.8), составив программу, приведенную на рис. 6.6.
Результат решения по программе одного из частных случаев при а = 0,1 и 7 = 10 в виде графиков приведен на рис. 6.7. Из графиков следует, что изменения концентрации трех веществ, участвующих в химической реакции, носят колебательный характер. Проекции фазового портрета на плоскость приведены на том же рис. 6.7. Следует заметить, что характер процесса в сильной степени зависит от начальных условий и значений коэффициентов а и 7. Только при определенных значениях последних можно получить концентрационные колебания. Затухание колебаний связано с ограниченным количеством исходного вещества, расходуемого в процессе реакции.
Рис. 6.7. Результаты расчета по программе ряс. 6.6
158
Глава 6
6.4.	Автоколебательный процесс энергообеспечения живой клетки
Естественно задать вопрос: существует ли в природе колебательная химическая реакция помимо реакции, искусственно вызываемой в сосуде? Да, проявление ее многогранно. Назовем только один пример: живую клетку, в которой в процессе гликолиза происходят колебания концентрации реагентов протекающей биохимической реакции. Сам гликолиз представляет собой сложную цепь химических реакций, приводящих к расщеплению молекул глюкозы и синтезу вещества, с помощью которого клетка пополняет запасы энергии. Всякий раз, когда живая клетка черпает энергию, происходят концентрационные колебания. Вычисленные согласно теории периоды этих колебаний и необходимые значения концентраций реагентов, участвующих в процессе гликолиза, удовлетворительно согласуются с биохимическими экспериментами.
Процесс гликолиза, распадающийся на несколько стадий, в упрощенном виде может быть описан с помощью двух нелинейных дифференциальных уравнений, предложенных Дж. Хингинсом [47]:
di
— = 1 - жу, at
dy (	1+/А
dt	y\	У + 0/
(6.9)
где x, у — безразмерные переменные, определяющие концентрации участвующих в реакции реагентов; а, 3 — постоянные коэффициенты, влияющие на скорость протекания реакции.
Программа решения уравнений (6.9) приведена на рис. 6.8. Результаты решения по программе при а — 100, 0 = 10 (1-й случай) и а = 10, 0 = 10 (2-й случай) в виде графиков зависимостей концентраций реагентов от времени x(t) = 17(t) и y(t) = V(t), а также фазовые портреты системы х(у) = U(V) приведены на рис. 6.9. В первом случае процесс гликолиза носит колебательный характер, во втором — затухающий колебательный. Изменяя параметры а и 0, легко найти их бифуркационные значения, означающие переход от одного вида колебаний к другим. Так, при 0 = 10 = const система из состояния
ORIGIN:- 1 а 100	0	10
1-Х1Ч
Г (1*Р)1 а • ло - № - **-—
I L
X^ricfix«tx.0,30.J001,F) th:=XW
U:-XW V:=XW
Рис. 8.8. Программа расчета колебаний процесса гликолиза
Автоколебания в биологических и химических структурах
159
Рис. 6.9. Результаты расчета по программе рис. 6.8
U1
2)<₽10, Р-10

стационарных автоколебаний переходит к затухающим при а « 17. В первом случае — при стационарных колебаниях — фазовый портрет имеет устойчивый предельный цикл в виде замкнутой кривой по форме, близкой к треугольнику, во втором — при затухающих колебаниях — в виде сворачивающейся спирали с устойчивым фокусом.
Затухание колебаний связано с ограниченным количеством исходного вещества, расходуемого в процессе реакции.
Период колебаний Т в системе в определенной зоне изменения параметров а и 3 слабо зависит от их значений. Так, в рассматриваемых примерах значение Т = 2,35. Такое постоянство периода колебаний позволяет ввести такое понятие, как «химические часы» [68].
Во многих случаях при протекании химических реакций периодические колебания концентраций реагентов перерождаются в хаотические, а затем вновь возвращаются к периодическому характеру колебаний.
6.5.	Автоколебательный процесс при кросскатализе
В биологии важное место занимает класс каталитических реакций, называемый кросскатализом, т.е. «перекрестным» катализом. Схема одной из таких реакций представлена на рис. 6.10 [68].
Согласно схеме рис. 6.10 химическая реакция протекает следующим образом: из вещества А образуется вещество X, превращаемое затем в Е, не реагирующее ни с одним из реагентов и выводимое
160
Глава 6
А—► X В+Х -► Y+O 2X+Y —» ЗХ
Х-> Е
Рис. 6.10. Структурная схема кросскатализа
из реакции. Реагент Y, получаемый из X, одновременно участвует в создании X, что графически отображается с помощью петель обратной связи. Исходные концентрации всех веществ, участвующих в реакции, заданы.
Следующая система дифференциальных уравнений, разработанная И. Пригожиным и его сотрудниками и получившая название «брюсселятор» (по месту работы авторов уравнений в г. Брюсселе), является математической моделью химической реакции, приведенной на рис. 6.10:
- а- (Ь+ 1)хЧ-х2у, dy .	2
(- = 6х-жУ,
(6.10)
где х, у — меняющиеся в процессе протекания реакции концентрация реагентов X, Y; а, Ь — исходные концентрации реагентов А, В, влияющие на скорость и характер протекающей реакции.
Программа решения уравнений (6.10) приведена на рис. 6.11, а результаты решения по ней при а = 1 и трех значениях Ь = 4, 3 и 1,9 — на рис. 6.12. Расчеты по программе и анализ полученных результатов показывает, что характер протекающего в системе процесса зависит от дискриминанта Д = а2 — Ь. При Д > Дкр процесс изменения концентраций X, Y носит затухающий характер и система приходит в стационарное состояние, означающее постоянство концентрации веществ X, Y, определяемое условиями dx/dt = 0 и dy/di = 0. При Д < Дкр в системе начинается автоколебательный процесс, связанный с колебаниями концентраций веществ X, Y с определенным периодом Т. Границе между двумя данными состояниями химической системы соответствует значение Дкр = — 1 при а = 1. Сказанное подтверждается графиками, построенными на рис. 6.12. Фазовый портрет системы У(Х), приведенный на том же рис. 6.12, показывает, что периодическому колебательному процессу соответствует устойчивый предельный цикл, затухающему — устойчивый фокус.
Автоколебания в биологических и химических структурах
161
ORIGIN:-1	1>1 Ь := 3
Г*-(Ь + О-У1 + (у|У Уг
К ,,)> к ( V ЬУ1-(У1/У1
Z :=tkfixed (у,0,30,5001,F) (Ь :=Z W
X>z“ Y:=z“
Рис. в.11. Программа расчета колебаний а модели «брюсселятор»
Рис. в.12. Результаты расчета по программе рис. 6.11
Важно заметить, что характер протекающих в системе процессов не зависит от начальных условий.
В заключение отметим, что автоколебательные процессы помимо рассмотренных систем свойственны и многим другим биологическим и химическим структурам. При известных математических моделях этих систем анализ протекающих в них процессов может проводиться по программам, аналогичным приведенным в настоящей главе.
6.6.	Моделирование аритмии сердца
В 1928 г. голландские ученые Ван-дер-Поль и Ван-дер-Марк разработали динамическую модель сердца (см. рис. 1.1,д) в виде трех п - ново
162
Глава 6
Рис. в.13. Структурная схема взаимодействия трех автогенераторов
связанных между собой автогенераторов [46]. С помощью созданного устройства ученые пытались моделировать некоторые болезни сердца, в том числе и аритмию. Повторим такое исследование с помощью компьютерного моделирования •трех связанных автогенераторов А-1, А-2, А-3 (рис. 6.13).
Аритмией называется нарушение нормального ритма сокращений сердца. Проявляется аритмия в учащении или замедлении сердечных сокращений, в нару
шении их последовательности и силы. Пример возможной электро-
кардиограммы сокращений сердечной мышцы при аритмии приведен на рис. 6.14 [8].
Составим систему дифференциальных уравнений для трех связанных между собой автогенераторов. Такая система как частный

Рис. 6.14. Электрокардиограмма сокращений сердечной мышцы

Hi • [1 + »1 • У1 - ъ • (yif - *»  fri)*]' У» - У1 • °1 -к| • Уа ” Уа
У4
на [• + »!•	-«а М] па-к»’ У|-к«Уа
У*
MJ • [1 + *1 • Уа - Ъ • (fif -  (ysf ] • У« - Уа • О > - kj • у 1 - к*  у>
ORIGIN:- О
Z:=rtfix«ty.O,200,10001.F) th-Z^ UlsZ® V1.-=Z W
U2:-Z W V2»Z W U3:-Z W V3-Z W
Рис. 6.15. Программа расчета колебаний модели сердца
Автоколебания в биологических и химических структурах
163
где
’о 20 40 М <0 100 120 140 1М 110 200	J-3 -13 0	1.3 3
th	ш
'в П 40 40 00 100 130 140> за ISO 300 	’-3 43 6	33 3
th	.	U3
th
Рис. в.1в. Результаты расчета по программе рис. 6.15 (пример 1)
случай уравнений (5.10) примет вид
— Д1(1 + aiuj — аги? — ази?)^- + ujfli + fciu2 + ^и3 = О, ат*	ат
'	, ,2 — дг(1 + uiu2 — а2и3 — изи2)—т-^- + и2П2 + ^зиз + &4и3 = О,
ат*	ат
(Ри3	2	4 du3
-у-х- - д3(1 + ази3 - а2и5 - a3uj)— + и3П3 + ^sUi + fr«u2 = О, ат*	ат
(6.Н)
ui(t), u2(t), u3(t) — колебания 1-го, 2-го и 3-го автогенерато-
164
Глава 6
Рис. 6.17. Результаты расчета по программе рис. 6.15 (пример 2)
ров; — коэффициенты связи между автогенераторами (см. рис. 6.13); П1, Пг, Оз — отношение собственной частоты i-го автогенератора в автономном режиме к частоте автоколебаний в системе; т — и/t — нормированное время.
Программа расчета режима синхронизации автогенератора со
Автоколебания в биологических и химических структурах
165
гласно (6.11) приведена па рис. 6.15. В программе каждое из уравнений (6.11) второго порядка представлено в виде двух уравнений 1-го порядка, Ul(th), U2(th), U3(th)— функции колебаний ui(t), uj(t), из(<); VI, V2, V3 —их производные.
Результаты расчета по программе двух примеров в виде зависимости переходного процесса в автогенераторах Ul(th), U2(th), U3(th) и фазовых траекторий V1(U1), V2(U2), V3(U3) приведены на рис. 6.16 и 6.17. Исходные данные для первого примера приведены в начале программы рис. 6.15, для второго — перед графиками на рис. 6.17.
Из анализа полученных результатов следует, что при относительно небольшом (в пределах 10 %) расхождении собственных частот колебаний автогенераторов в системе устанавливается режим синхронизма, при котором частоты автоколебаний становятся равными, о чем свидетельствуют графики, на которых совмещены функции Ul(th), U2(th), U3(th) (см. рис. 6.16). При большем расхождении частот автоколебаний в пределах 15...30 % режим синхронизма нарушается и колебания автогенераторов приобретают вид биений (см. рис. 6.17), напоминающий электрокардиограмму при аритмии сердца (см. рис. 6.14).
Таким образом, с помощью компьютерного анализа подтверждается идея Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка о возможности моделирования работы сердца с помощью трех связанных между собой автогенераторов.
Контрольные вопросы
6.1.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 6.2 графики колебаний и фазовый портрет при разных значениях параметра В. Определите, как значение этого параметра влияет на вид колебаний.
6.2.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 6.4 графики колебаний и фазовый портрет при разных значениях параметров М и К. Определите, как значения этих параметров влияют на вид колебаний.
6.3.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 6.6 графики колебаний и фазовый портрет при разных значениях параметров о и 7. Определите, как значения этих параметров влияют на вид колебаний.
6.4.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 6.8 графики колебаний и фазовый портрет при разных значениях параметров а и /3. Определите, как значение этих параметров влияют на вид колебаний.
6.5.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 6.11 графики колебаний и фазовый портрет при разных значениях параметров а и Ь. Определите, как значение этих параметров влияют на вид колебаний.
6.6.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 6.15 графики колебаний и фазовый портрет трех связанных между собой автогенераторов, моделирующих работу сердца, при разных начальных условиях. Определите, как значения собственных частот автоколебаний автогенераторов влияют на режим синхронизма.
Глава 7
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
КОЛЕБАНИЯ
7.1.	Уравнения системы с переменными параметрами
В предыдущих главах рассматривались собственные и вынужденные колебания, возникающие в системе под действием внешней силы, а также автоколебания. Собственные или свободные колебания в системе затухают, вынужденные колебания прекращаются только после отключения внешнего источника возбуждения, автоколебания — после окончания энергопотребления системой.
Однако возможен и другой механизм возникновения колебаний, когда энергия передается системе посредством периодического изменения какого-либо из ее параметров. Колебания, существующие в цепи вследствие изменения ее параметров, называются параметрическими, а сам процесс их возникновения параметрическим возбуждением.
Параметрические колебания могут возникать в самых разнообразных по физическому содержанию системах: механических, электрических, оптических и других. В случае системы 2-го порядка описывающее его работу дифференциальное уравнение (2.30) при параметрическом возбуждении преобразуется к виду
^ + а^ + Ф(у)х(г) = о,	(7.1)
где x(t) — периодическая функция, характеризующее внешнее воздействие на один из параметров системы.
Например, в случае маятника функция x(t) описывает периодический закон изменения его длины, а электрического контура — емкости или индуктивности.
Параметрические колебания
167
В частном случае уравнение (7.1) приводится к виду
+ [р + 2q cos(2r)]y = 0,	(7.2)
которое называется уравнением Матье. Решение уравнения (7.2) находится в виде (38, 75, 85]
у(т) = Лехр(дт)Ф!(г) + Вехр(-дт)Ф2(т),	(7.3)
где А, В — постоянные, зависящие от начальных условий; ФЦт), Фг(т) — периодические функции с периодом кк; к — некоторое целое число; р — комплексное число.
Как следует из (7.3), только при значении Re(p) = 0 решение уравнения (7.2) устойчиво, поскольку при действительной части Re (д) > 0 или Re (д) < 0 один из членов решения (7.3) неограниченно возрастает. Поэтому при анализе важно найти устойчивые решения уравнения (7.2), зависящие от параметров системы р, q. Численное решение уравнения (7.1) снимает многие из ограничений и позволяет быстро найти такие устойчивые решения.
7.2.	Маятник с переменными параметрами
Рассмотрим анализ системы с переменными параметрами на примере параметрического возбуждения механической модели, связанный с раскачиванием качелей. Поддерживать их качание можно не только за счет приложения внешней силы, компенсирующей потери,
связанные с трением, но и путем резкого выпрямления человека при проходе качелей через нижнее положение. Центр тяжести всей си-
стемы — качелей и человека — в этом случае периодически подни-
мается и опускается, описывая траекторию, показанную на рис. 7.1.
Раскачать описанным способом неподвижные качели нельзя, но поддерживать процесс качания, возникший под действием внешнего толчка, можно. При этом дополнительная энергия вводится в систему путем изменения одного из ее параметров — положения центра тяжести. Эскиз, представленный на рис. 7.1, можно рассматривать и как математический маятник с периодически изменяющейся длиной:
L(t) = Lq+Lm sin(fcurt) = Lo[l+Msin(favt)] = £ox(t),
(7-4) где M = LM/Lo — коэффициент относительного
Рис. 7.1. Структурная схема модели качелей
изменения длины маятника.
168
Глава 7
ORIQIN:= 1 а 5=0.11
иО
T = 6.344
1Л:-10
g.-=9.»l
LM:=5
к:-2
шО = 0.99045
fp 5=0.157635 «p:-2*fp шр - 0.99045
M = 0.5	»(t) := 1 + М sm(k  шр  t)
F(t.y)^
г :• ritfiiuxjy.o. 100.10001,F)
V:-Z W
Рис. 7.2. Программа расчета параметрических колебаний маятника
В случае маятника параметрические колебания возникают за счет изменения его длины, на что расходуется определенная энергия. Проверим данное утверждение, рассчитав сначала колебания маятника при его постоянной д лине L, а затем изменяя ее с определенной частотой. С учетом данного условия и выражения (7.4) уравнение (2.37), описывающее движения маятника с потерями, примет вид +а^+!:;^й=0	(7.5)
где x(t) = 1 + М sin(favt) — закон изменения длины маятника.
Программа решения нелинейного дифференциального уравнения (7.5) приведена на рис. 7.2.
(Гу dt2
4 в ююэвмяммввяио *’-э -1 -I о i г ‘>
Рис. 7.3. Результаты расчета по программе рис. 7.2

Параметрические колебания
169
Результаты расчета колебаний маятника и фазового портрета при постоянной длине L, т.е. при М = 0, и при ее изменении по закону (7.4) при М = 0,5 и частоте 2wp, т.е. примерное в два раза превышающей собственную частоту колебаний маятника, приведены на рис. 7.3.
В первом случае (рис. 7.3,а) колебания маятника быстро затухают, а фазовый портрет имеет вид сворачивающейся спирали с устойчивым фокусом. Во втором случае (рис. 7.3,6) колебания являются незатухающими, т.е. имеет место существование параметрических колебаний. При этом фазовый портрет имеет устойчивый предельный цикл, близкий по форме к эллипсу. Следует отметить, что параметрические колебания возникают только при определенных значениях частоты изменения длины маятника, т.е. в рассматриваемом случае коэффициента к, и величины М. Как показывает анализ и расчеты, помимо случая рассмотренного по программе, параметрические колебания возможны, например, при к = 4 и М = 0,8, а случай к = 3 приводит к неустойчивости.
7.3.	Электрический контур с переменными параметрами
Управляемый реактивный элемент. В электрической системе также можно возбудить параметрические колебания путем периодического изменения величины одного из ее реактивных элементов — емкости или индуктивности. Практическое применение параметрического возбуждения контура находит способ, связанный с периодическим изменением емкости закрытого р-п-перехода, статическая характеристика которого приведена на рис. 7.4.
Характеристика имеет два участка: один соответствует открытому р-п-переходу при приложении к нему прямого напряжения, другой — закрытому р-п-переходу при обратном напряжении. Полярность прикладываемого напряжения показана на рис. 7.4. Обратное напряжение, превышающее по абсолютной величине напряжение t7npo6, приводит к электрическому пробою р-п-перехода.
Закрытый р-п-переход характеризуется барьерной или зарядовой емкостью
где С„ — начальная емкость р-п-перехода; и — обратное напряжение, приложенное к р-п-переходу; — контактная разность потенциалов (<р0 = 0,5...0,8 В — для кремния); 7 — коэффициент перехода, зависящий от состава примесей в переходе (обычно 7 = 0,5). График функции (7.6) приведен на рис. 7.5.
Рис. 7.5. Характеристика барьерной емкости р-п-перехода
Рис. 7.4. Вольт-амперная характеристика р-п-перехода
При напряжении внешнего смещения Uq из (7.6) полупим для емкости р-п-перехода
С„
(1 + \и0\м^
Совместно решая (7.6) и (7.7), имеем
(^o + W
С° to) + u)7 ’
(7.7)
(7-8)
При Uo и u » ipo и 7 = 0,5 выражение (7.8) примет вид t
ОД) = С0^5.	(7.9)
Приложим к диоду постоянное напряжение смещения и переменное напряжение и = Um sin(iv„t). В результате из (7.9) получим
С = Со .  ffi-. - « -г----------г,	(7.10)
yJUo — UmSinu>„t (1 — тп sin t)
где m = Um/lUo — коэффициент модуляции; ш„ — частота изменения емкости.
Таким образом, согласно (7.10) можно управлять емкостью р-п-перехода с частотой приложенного напряжения.
Параметрическое возбуждение. Рассмотрим цепь — параллельный колебательный контур, в котором в качестве емкости используется закрытый р-п-переход (рис. 7.6). Подключим к контуру генератор сигнала с частотой а емкость будем изменять с частотой согласно (7.10) с помощью так называемого генератора
пакачки.
Параметрические колебания
171
Рис. 7.6. Схема одноконтурного параметрического генератора
Ток и напряжение в емкостной цепи связаны соотношениями
<=л=с^; u = ^[idt-	<711)
dt dt	J
Ток в емкостной цепи, вызванный генератором сигнала,
i = ICM coswct.	(7.12)
где 1см — амплитуда.
Для напряжения на нелинейной емкости с учетом действия генератора накачки согласно (7.11), (7.10) и (7.12) получим
и = sin(wct) =	 sin(wct)(l — msin(wHt)) =
= >fCM- [sin(a?e£) — 0,5mCos(w„ — u>c)t + 0,5mcos(iJH -I- u»c)t].
Cqu)c
Приняв значение частоты генератора накачки = 2и?с, где шс — частота усиливаемого сигнала, преобразуем последнее выражение к виду
и = 2е** (sin(u;et) — 0,5тпcos(wct) + 0,5mcos(3wct)].	(7.13)
Сопоставим выражения для тока (7.12) и напряжения (7.13) в емкостной цепи. Первый член в (7.13) находится в квадратуре (т.е. повернут на 90°) с током и, следовательно, определяет емкость величиной Ср. Второй член в (7.13) находится в противофазе (т.е. повернут на 180°) с током и, следовательно, представляет собой отрицательное активное сопротивление величиной
Третью гармонику сигнала [третий член в (7.13)] можно не принимать во внимание, поскольку она будет отфильтрована контуром, настроенным на частоту 1-й гармоники.
Таким образом, благодаря воздействию генератора накачки на нелинейную емкость цепь приобретает новое качество — в емкостной ветви появляется отрицательное активное сопротивление
172
Глава 7
Рис. 7.7. Эквивалентные схемы контура с нелинейной емкостью
(7.14) и эта ветвь может быть представлена в виде, показанном на рис. 7.7,а.
Преобразуем последовательное соединение двух сопротивлений в параллельное (рис. 7.7,«, б):
7 _	1 т> _ 1 + jWcCoRvrp
jwcC0 "*”p” MG) ’
у _ 1 _ MG> _ Дотр(^Со)2	^сСр
Z 1 + jucCoRorj> 1 + (-RorpWcCo)2 1 + (flarpWcCo)2
При (/?orpWcCo)2 « 1 имеем Y = Л>трМСо)2 + ja)cCQ.
Из последнего выражения следует, что при действии генератора накачки емкостная нелинейная цепь может быть представлена в виде параллельного соединения емкости Со и отрицательного активного сопротивления (рис. 7.7,6), величина которого с учетом (7.14)
1	2	’	„
Яэ.отр — — р Z Л \2 — — Л •	(7.15)
Из равенства модулей сопротивления потерь R и отрицательного сопротивления Т^отр определим критическое значение пара-метра р •
2 R = |Яэ.отр| или R = ------—,
mKpu)cCo
откуда получим
2	2
Шкр " R^ " Q’	(7Л6)
где Q — собственная добротность колебательного контура на частоте сигнала шс.
Таким образом, согласно (7.16) при значении параметраm = 2/Q сопротивление потерь контура будет полностью скомпенсировано отрицательным активным сопротивлением, возникающим в результате действия генератора накачки на нелинейную емкость (рис. 7.7,в), и поэтому в контуре возникнут незатухающие автоколебания с частотой wc. Таким образом, в электрическом контуре на рис. 7.6 про-
Параметрические колебания
173
ORIGIN:- 1
М > 0.001
а >0.07 U0>10 UM>5
к>2	fl>>0J5	q»2-s tp
сор - 1.571
М> —	М-0.5	X(t)>l + M -cot (к ар |)
Ji
₽(».У):“	Г	*ор2у1
-2-a yi Ll + H ----------
Z>ikfix«(y.0.100,10001.F) л>г® u>zw v>zw
Рис. 7.8. Программа расчета параметрических колебания
изойдет то же самое, что и в рассмотренном выше примере механической модели с качелями. Такой режим работы контура с переменными параметрами называется регенеративным параметрическим возбуждением.
При значении параметра т < тпхр в цепи рис. 7.6 возбуждения не происходит, но за счет частичной компенсации сопротивления потерь обеспечивается усиление сигнала с частотой = 0,5u>n. Такой режим усиления сигнала называется регенеративным.
Анализ на основании решения дифференциального уравнения. Раскрыв физический механизм возбуждения параметрических колебаний в параллельном контуре путем изменения его емкости, решим теперь более строго данную задачу, обратившись к дифференциальному уравнению системы. При изменении емкости контура по синусоидальному закону согласно (7.10) уравнение (2.16), описывающее свободные колебания в контуре с потерями, примет вид §+йк1+^+^=0, (7.17) где x(t) = 1 + М cos(fccjt) — закон изменения емкости контура; (1 + +др2) — параметр, характеризующий возрастание потерь в контуре с увеличением амплитуды колебании, благодаря чему ограничивается неконтролируемый рост последних.
Программа решения нелинейного дифференциального уравнения (7.17) приведена на рис. 7.8.
Результаты расчета колебаний и фазового портрета при постоянном значении емкости контура, т.е. при М = 0, и при ее изменении по закону (7.10) при М = 0,5 и частоте 2wp, т.е. примерно в два раза превышающей собственную частоту колебаний контура, приведены на рис. 7.9.
В первом случае (рис. 7.9,а) колебания в контуре быстро затухают, а фазовый портрет имеет вид сворачивающейся спирали с
174
Глава 7
Рис. 7.9. Результаты расчета по программе рис. 7.8
устойчивым фокусом. Во втором случае (рис. 7.9,6) колебания являются незатухающими, т.е. имеет место существование параметрических колебаний. При этом фазовый портрет имеет устойчивый предельный цикл, близкий по форме к эллипсу. Следует отметить, что, как и ранее, при анализе колебаний маятника, параметрические колебания в контуре возникают только при определенных значениях частоты изменения емкости, т.е. в рассматриваемом случае коэффициента к, и величины М. Как показывают анализ и расчеты, помимо случая рассмотренного по программе при к = 2, параметрические колебания возможны также, например, при к = 4 и М = 0,9...0,99.
7.4. Параметрический делитель частоты
Покажем, что с помощью нелинейной емкости — варикапа — помимо случая, рассмотренного в разд. 7.3 по возбуждению колебания с частотой в два раза меньшей частоты внешнего воздействия (к = 2), параметрические колебания возможны и при других значениях коэффициента к. С этой целью обратимся к уравнению (5.24) и к программе рис. 5.27 по его решению. Зададим в схеме рис. 5.26 отношение резонансной частоты /р последовательного колебательного контура к частоте /0 внешнего гармонического сигнала 7 = /р/fo = 2 (1-й случай) и 7 = 3 (2-й случай), т.е. рассмотрим деление частоты сигнала в 2 и 3 раза. Результаты расчета по программе (рис. 7.10) приведены на рис. 7.11.
На рис. 7.11,о приведен входной гармонический сигнал с частотой fo, а на рис. 7.11,6, в — колебания с частотой /р, возбужденные в параметрическом делителе частоты. Из приведенных графиков еле-
Параметрические колебания
175
ORIGIN:- 1
U0:-I Е0:= 10
ID:-150
Df:=O Т top 2 • к • fp
р:=0.5
ЦОИ ,(q0 * Н»’_
B-OJlt
(qO ♦ BO* (40 * И»’ .
В tf(EO+i$SO
Л:-2яГОТ dt-UMSxltF m:-I>fT m = 0
Df v '.= — ID
*04>
if (E0+x)>0
0(1$:"-----
10
ф(т)?
lUO- sin1
7-------г p-0	y-0.5
(4-яП-Т)
B =
У =
О
О
if т > dt
Кт.у)?
У1
{q) У2 _ *6Г|)’yi ’1,1+т^‘)’ T
OR1G1N:-0 Z:-Rknd«pt(y,0,300,3000.F) th:=ZW U:-Z W
V^Z ®
Рис. 7.10. Программа расчета колебаний делителя частоты
• 0	5	10 IS №	25	30	8	40	45 SO
в)	*
Рис. 7.11. Результаты расчета по программе рис. 7.10
дует, что действительно в параметрическом устройстве с варикапом можно возбуждать колебания при разных значениях коэффициента деления. Колебания при этом, правда, несколько отличаются от синусоидальной формы.
176
Глава 7
Контрольные вопросы
1.	В чем состоит различие между вынужденными и параметрическим колебаниями?
2.	С помощью программы рис. 7.2 определите возможность возникновения параметрических колебаний при разных значениях параметра М, помимо случая Л/ = 0,5, рассмотренного по программе.
3.	С помощью программы рис. 7.6 определите условия возбуждения параметрических колебаний при разных значениях параметров аир. Рассчитайте и постройте графики колебаний и фазовый портрет.
4.	С помощью программы рис. 7.10 определите условия деления частоты параметрического колебания в 4 раза.
Глава 8
СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
8.1. Стационарный (гауссовский) случайный процесс
В природе и технике помимо детерминированных колебаний, т.е. описываемых функцией, большую роль играют случайные колебания, один или несколько параметров которого случайно зависят от времени, и потому относящиеся к классу случайных процессов. Такие процессы описываются случайной функцией y(t), которая при измерении дает каждый раз новый конкретный вид неизвестный однако заранее. Пример таких случайных колебаний приведен на рис. 8.1.
Каждая из зависимостей yj(t), полученная расчетным или опытным путем, называется реализацией процесса или выборочной функцией. В целом случайный процесс y(t) можно рассматривать как совокупность реализаций yj(t) (см. рис. 8.1).
Приведем некоторые, наиболее важные характеристики случайного процесса, которые потребуются для дальнейшего описания случайных колебаний.
Среднее значение по множеству, определяемое по серии реализаций:
2/(0 = [ yp(y,t)dy, (8.1)
где p(y,t) — функция плотности распределения вероятности 1-го порядка, в общем случае зависящая от времени t.
Рис. 8.1. Графики случайного процесса
12-4000
178
Глава 8
Среднее значение по времени, определяемое по одной реализации,
y(t) = lim f y(t) di.	(8.2)
T—>oo ZJ J-T
В общем случае значение (8.2) различно для всех функций множества, определяющих случайный процесс.
Обратимся к рассмотрению стационарного случайного процесса — однородного во времени случайного процесса, статистические характеристики которого не меняются со временем [11, 57]. Многие из стационарных случайных процессов, имеющих прямое отношение к решению практических, инженерных задач, обладают свойством эргодичности, сущность которой состоит в следующем: большое число наблюдений над множеством произвольно выбранных однотипных источников случайного процесса в один и тот же момент времени t* имеют те же статистические свойства, что и большое число наблюдений за единственным источником в течение произвольно выбранного длительного интервала времени [tj, tn] (см. рис. 8.1). В дальнейшем изучение стационарного случайного процесса будет проводиться с учетом свойства эргодичности, одним из признаков которого является равенство среднего значения по множеству (8.1) среднему значению по времени (8.2):
1/(0 = Ж-
Поскольку при стационарном, эргодическом процессе выбранный для измерения момент времени не играет значения, то вместо плотности распределения вероятности р(у, t) используется выражение р(у).
Определив значения функции стационарного случайного процесса y(t) в разные моменты времени, получим ряд j/i, у2, Уз>---> уп. Вероятность того, что величина у к этого ряда находится внутри определенного интервала [6, а],
Р[Ь<у^а]= / p(y)dy,	(8.3)
Jb где р(у) — плотность распределения вероятности стационарного процесса.
Сказанное поясняется с помощью рис. 8.2, на котором построен график случайного процесса y(t), совмещенный с графиком функции р(у)- Вероятность Р[Ь < у < а] численно равна заштрихованной площади.
При более «тонком» анализе свойств случайного процесса помимо плотности распределения вероятности 1-го порядка необхо-
Случайные колебания
179
Рис. 8.2. Графики стационарного случайного процесса
димо знать данную функцию более высокого порядка. Так, например, с помощью плотности распределения вероятности 2-го порядка Рг(У1 , <151й, ta) можно определить вероятность того, что функция y(t) имеет значения, лежащие в интервале [i/i,i/i 4- dy] в момент ii и в интервале [уг,У2 + dy] в момент t^:
dP = P2(yi,tr,y2,t2)dyidy2.
В случае стационарного случайного процесса для данной функции важен не выбор момента времени, а разность т — <2—<i- Поэтому последняя формула примет вид
dP = P2(l/i,S/2,r)dyi dy-i.
Функция плотности распределения вероятности отличает один стационарный случайный процесс от другого. Наиболее распространенным среди них, описывающим многие процессы в технике связи, является нормальный закон распределения вероятности, называемый также законом Гаусса. Главная особенность нормального, или гауссовского, закона состоит в том, что он является предельным: к нему приближаются другие законы распределения при достаточно часто встречающихся типичных условиях. В теории вероятностей доказывается, что сумма достаточно большого числа слабо зависимых случайных величин с учетом некоторых ограничений приближенно подчиняется нормальному закону [11]. Плотность распределения вероятности нормального закона определяется выражением
p(i) = —L_ exp f -y-j -  ) ,	(8.4)
<7V2tt \	2а*	)
где ц — среднее значение случайной величины, а — ее среднеквадратическое значение.
На рис. 8.3,а приведена программа расчета функции (8.4) при любых значениях параметров при д, а и в качестве примера построены графики при ц = 0, а = 1 и при д = 1, а = 1.
12*
180
Глава 8
Рис. 8.3. Программа расчета нормального закона распределения вероятности
Функция распределения вероятности (8.3) есть определенный интеграл От плотности вероятности. При Ь = — оо этот интеграл
Р(а)= Г p(x)dx,	(8.5)
J— оо где а — возможное значение х.
Вычисленное значение Р(а) есть вероятность того, что случайная величина х находится в пределах — оо х $ а. При а = ос интеграл Р(а) = 1.
На рис. 8.3,6 приведена программа вычисления интеграла (8.5) и в качестве примера построены графики при ц = 0, а = 1 и при р = 1, <7 = 1. При расчетах вместо нижнего предела Ь = —оо можно принимать значение х, при котором функция р(х) « 0, что практически не снижает точности результатов.
8.2. Функция корреляции и энергетический спектр
Наряду со спектральной теорией периодических колебаний (см. разд. 1.4) хорошо разработана и спектральная теория стационарных случайных процессов [11]. С ее помощью можно подвергнуть спектральному анализу по определенным базисным функциям случайный сигнал, относящийся к классу стационарных случайных процессов. В частности, возможно представление случайного колебания в
Случайные колебания 181
виде ряда Фурье (1.22):
Ф(<) = 5 At coe(ujfct) + Bk sin(wfct).	(8.6)
Данное выражение отображает случайное колебание, разложенное на гармонические колебания теоретически бесконечного множества частот u>i, u>2>	• •• < wn- Но в отличие от разложения детерми-
нированного колебания (1.22) здесь амплитуды Л* и Bk являются случайными величинами.
Для описания свойств случайного сигнала — стационарного случайного процесса — вводятся два фундаментальных понятия: корреляционная функция (ее называют также автокорреляционной) и энергетический спектр. Поэтому остановимся более подробно на данных понятиях, приняв во внимание также свойство эргодичности. Для стационарного эргодического процесса корреляционная функция есть среднее значение во времени произведения y(t)y(t -I- т), где т — сдвиг во времени:
__________ 1 гт
= y(t)y(t + т) = lim — / y(t)y(t + т) di. (8.7) 1 “*О© ZJ J_______________•p
Корреляционную функцию можно также определить как среднее значение по множеству:
Я(т)=/	/ y\y2pi{y\,y2,T)dyidyi,	(8.8)
J-оо J-оо
где Р2(У1,£/21т) — плотность распределения вероятности 2-го порядка.
Функция Я(т) дает меру зависимости значений случайной функции в моменты времени, отстоящие на т. Вычислить функцию Я(т) согласно (8.7) можно следующим образом. Необходимо построить два графика — заданный y(t) и сдвинутый на т: y(t + т) (рис. 8.4,а). Далее следует перемножить ординаты этих двух кривых, соответствующих одним и тем же значениям времени t. В результате получим график, зависящий от t. Площадь, ограниченная этим графиком и осью абсцисс в пределах от — Т до +Т, разделенная на длину интервала 2Т, определит одну точку корреляционной функции при выбранном значении т. Причем точность результата улучшается с увеличением Т. Произведя аналогичные построения и вычисления при других значениях т, можно по точкам построить корреляционную функцию Я(т) (рис. 8.4,6). Именно описанный алгоритм положен в основу приводимых ниже программ вычисления корреляционной функции.
182
Глава 8
Рис. 8.4. Графики: о — случайного процесса; б— функции корреляции
К основным свойствам корреляционной функции относятся:
•	четность относительно т: Я(т) = Я(—т);
•	равенство функции Я(0) = [^(tjjcp при т = 0, т.е. среднему значению квадрата случайной функции y(t);
•	максимум функции при т = 0 и справедливость неравенства Я(т) < Я(0).
При сравнении двух различных функций и 1/2(0 случайного стационарного процесса вводится понятие взаимной корреляционной функции. Для ее определения в (8.7) следует подставить функции t/i(t) и j/a(t + т).
Другой важной характеристикой стационарного случайного процесса является энергетический спектр, определяемый выражением
VW) = ta ' T—*oo Т
где Sr(jf) — комплексный спектр отрезка длительностью Т некоторой реализации случайной функции y(t).
Дисперсия случайного процесса
/•ОО
<72 = Я(0)=/ W(f)df.	(8.9)
Jo
В случае напряжения размерность корреляционной функции — В2; энергетического спектра — В2/Гц при т в секундах, В2/кГц — при т в миллисекундах, В2/МГц — при т в микросекундах.
Нормальные стационарные процессы отличаются друг от друга видом корреляционной функции и энергетического спектра. В большинстве случаев знание этих двух характеристик случайного процесса достаточно для определения параметров колебательной системы, находящейся под внешним воздействием, носящим случайный характер.
При анализе стационарного случайного процесса интегралы прямого и обратного преобразования Фурье (1.26), (1.25) можно рассматривать как их обобщение на непериодическую функцию, разлагаемую на сумму элементарных гармонических колебаний с непрерывным
Случайные колебания
183
спектром. При переходе от детерминированного сигнала к случайному в интегралах Фурье колебание Ф(0 заменяется на корреляционную функцию Я(т), а спектральная плотность S(u>) — на энергетический спектр W(u>). В результате интегралы Фурье, называемые формулами Винера—Хинчина, для случайного сигнала принимают вид: IV(w) = Г° Я(т)е-^т(1т.	(8.10)
J—оо
Я(т) = ^- [ W(ut)^rdu.	(8.11)
2тг J-оо
Используя свойства четности корреляционной функции и заменяя двусторонний «математический» спектр па односторонний «физический» (/ > 0), данные выражения приобретают следующий вид, используемый при конкретных расчетах [11]:
И/(/)=4 I Я(т) со8(2тг/т) dr,	(8.12)
Jo
R(r) = f W(f) соз(2тг fr)df.	(8.13)
Jo
Рассмотрим три примера расчета корреляционной функции и энергетического спектра.
Пример 8.1. Энергетический спектр многих случайных процессов описываются функцией вида
W(/) =
t^ + c2/2’
(8-14)
где а, Ь, с — постоянные коэффициенты.
Программа численного расчета корреляционной функции Я(т) согласно (8.13) при энергетическом спектре W(f) (8.14) приведена на рис. 8.5. Функция Я(т) рассчитывается в N точках с шагом Dt в пределах от —тЛ до +rh.
График функции энергетического спектра W(f) (8.14) и трех графиков корреляционной функции Я(т), вычисленных по программе рис. 8.5, приведены на рис. 8.6. Функция R(r) вычислялась для полосы частот от 0 до /а- Как следует из графиков (рис. 8.6), значение частоты /а существенно влияет на вид корреляционной функции. С увеличением значения /а корреляционная функция сужается и в ней появляются дополнительные всплески.
».•»!	Ь:=2	с:-1
Л:-2.5 Dr := 0.025 Q:-l
W(f) :=---------- N := 200
b2 + c2.f2
n : 0.. N t, : -ih + a  Dt
R,:=f W(f) co»(2 a f t,)df 'о
Рис. 8.5. Программа расчета корреляционной функции
184
Глава 8
Рис. 8.в. Результаты расчета по программе рис. 8.5
А : I b:-l М:-2 T>J К(т)^А«ф[ч-(|т|Г] DfxW>l N:-200	n:-0.. N f,.--Dfn
W, .-= 4-J R(t>co« (2 af, т)<1т
Рис. 8.7. Первая программа расчета энергетического спектра
Рис. 8.8. Результаты расчета по программе рис. 8.7
По программе (рис. 8.5) можно рассчитать корреляционную функцию Я(т) при любом виде энергетического спектра IV(/) путем новой записи этой функции.
Пример 8.2. Корреляционная функция Я(т) имеет вид гауссова импульса. Программа численного расчета энергетического спектра W(f) с шагом Df в N точках согласно (8.12) приведена на рис. 8.7. Графики R(t) и для двух частных случаев при b = 1, М = 2 и b = 0,2, М = 2 построены па рис. 8.8. Значение параметра Т выбирается из условия спада функции Я(т) к значению, близкому к 0.
По программе (рис. 8.7) можно рассчитать энергетический спектр И''(/) при любом виде корреляционной функции Л(т) путем ее новой записи.
Пример 8.3. Рассмотрим наиболее общий случай по определению корреляционной функции R(r) и энергетического спектра W(/)
Случайные колебания
185
[ -10 -9 -8 -7	-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V:=
< 5 8 5 -6 -S 0 9 5 7 -8 7 -7 2 -5 4 11 -10 6 1 12 6
Ur-V1 X:-IF W	Y>UW
Q:=c»plii>e(X,Y) Z(l) := inleq>(Q.X,Y,t)
K:=400	k:=O..K	тк:=-2 + 0.01к	T:-9
R0:-m«XS) i :-4	р:-2 у :-2 R(j$RO
Df:«0.01	N»200
n:-0..N

rlT
WB : 4  I R(x)  cos (2 • я • f, • x)dx
'o
Рис. 8.9. Вторая программа расчета энергетического спектра
случайного сигнала при его задании в табличной форме или в виде графика. Пусть в результате измерения случайного процесса получена осциллограмма y(t). С помощью N отсчетов заменим непрерывную функцию y(t) на дискретную. Для правильного определения функций Я(т) и W(/) должна быть взята достаточно длинная реализация случайного процесса y(t). Соответственно и значение W должно быть достаточно большим, обычно не менее 100, в зависимости от характера протекающего случайного процесса.
х
Рис. 8.10. Результаты расчета по программе рис. 8.9
186
Глава 8
Программа определения функций й(т) и W(/), приведенная на рис. 8.9, включает три пункта:
1)	аппроксимацию исходной функции y(t), заданной по точкам в табличной форме, с помощью сплайн-интерполяции;
2)	численный расчет корреляционной функции согласно (8.13), аппроксимацию полученной функции Sfc с помощью функции Я(т);
3)	численный расчет энергетического спектра W(/) согласно (8.12).
В программе рис. 8.9 используются применявшиеся ранее обозначения в рассмотренных выше программах. Исходная функция задается в виде матрицы V, которая затем транспонируется в матрицу U. Графики функций: до аппроксимации — У*, после — Z(t), приведены на рис. 8.10. Там же построены графики вычисленных функций: корреляционной R(x) (х есть время задержки т) и энергетического спектра W(f).
8.3. Воздействие случайного колебания на колебательную систему
Согласно теории случайных процессов при воздействии случайного стационарного колебания i(t) на линейную систему с постоянными параметрами возникающее колебание y(t) также является стационарным [11]. Изменяются только энергетический спектр W(f) и корреляционная функция Я(т) возникшего колебания по отношению к возбуждающему, которые по-прежнему связаны между собой согласно (8.12)-(8.13).
Основой проводимого анализа является спектральный метод, приложимый как детерминированному, так и случайному колебанию [28]. Для детерминированного колебания спектры возбуждающего и возникшего под .его воздействием колебания в линейной системе связаны соотношением
5ВыхМ = ^'(jw)Wbx(w),	(8.15)
где K(jw) — комплексный коэффициент передачи системы.
В случае случайного колебания задача сводится к определению функций WBha(f) и Явых(т) возникшего случайного колебания при известных функциях случайного возбуждающего колебания W„(J) и Явх(т) и комплексного коэффициента передачи колебательного объекта К (Ju). Согласно спектральной теории стационарных случайных процессов случайное колебание может быть представлено рядом Фурье, т.е. в форме суммы гармонических колебаний со случайными амплитудами. Следовательно, с определенным допущением выражение (8.15), связывающее спектры двух колебаний при известном
Случайные колебания
187
коэффициенте передачи объекта можно распространить и на случайное стационарное колебание. Возведя в квадрат левую и правую части выражения (8.15), перейдем от спектральной плотности колебания к энергетическому спектру:
waM(u) = |Л7(_Ди)|2И'шх(«л).	(8.16)
Выражение (8.13) для корреляционной функции выходного сигнала с учетом (8.16) примет вид
Л»ых(т) = Г Wabtx(f) cos(2tt/t) df =
Jo
= Г Ж,х(/)|Я0-2я/)|2со8(27г/т)4Г.	(8.17)
Jo
Средняя мощность выходного случайного колебания пропорциональна его дисперсии при равенстве нулю среднего значения:
<.х = Я.ых(0) = Г	df.	(8.18)
Jo
Мощность случайного сигнала в участке (/i, Д] частотного спектра пропорциональна интегралу:
Р.ых = [h И;ых(/)df =	W,x(/)|K(j2tt/)|2 df. (8.19)
Jfi	Jjx
На основании (8.16)-(8.19) составим программу определения энергетического спектра и корреляционной функции случайного колебания объекта при входном возбуждающем колебании, имеющим в широкой полосе частот постоянное значение плотности энергетического спектра Wo- В качестве объекта рассмотрим колебательный контур (см. разд. 2.2), коэффициент передачи которого
1*(/)|2 = 1/(1 + О’Д2),	(8.20)
ш Шт} w2 — оЛ Ди	---
где Д =----------- = ------Е ~ 2—,	= \/y/LC — резонансная
Щр Ш ОШр	щр
частота; Q — ЛшрС — R/(upL) — добротность.
В программе (рис. 8.11) приняты следующие обозначения:
f — частота, т — время корреляции (при значении времени с, мс, мкс частота соответственно в Гц, кГц, МГц);
W0 — плотность энергетического спектра возбуждающего колебания, В2/Гц или В2/кГц, В2/МГц;
W(f) — плотность энергетического спектра возбужденного колебания той же размерности;
188
Глава 8
th:-l IX:-0 002	W0:-l
ф:-50	Q:-20	Л:-ф-30	<2:-ф+30
I ' = wto^wo-dmol)1 71 + о’-ХП2
N^IOOO n:-0..N т„ :=-th + nDr
RB>f W(f) ixn(2»ft,)df Р - f W(f)df P-3.814 Jn	Jn
Рис. 8.11. Программа расчета характеристик случайного колебания
Рис. 8.12. Результаты расчета по программе рис. 8.11
fl, f2 — крайние значения частоты энергетического спектра;
rh — предельное значение времени корреляции при расчете;
Dt — шаг при расчете времени корреляции;
N — число рассчитываемых точек;
R — значения функции корреляции;
Р — параметр, пропорциональный мощности колебания в полосе частот fl-f2;
fp, Q — резонансная частота и добротность колебательного контура.
В программе (см. рис. 8.11) сначала рассчитывается энергетический спектр возбужденного колебания WBblx(f) с учетом коэффициента передачи объекта К (jot), а затем корреляционная функция ЯеЫХ(т) согласно (8.17). Результаты расчета по программе в виде графиков модуля коэффициента передачи объекта корреляционной функции Я»ых(т) и энергетического спектра W’BWX(/) возбужденного колебания приведены на рис. 8.12.
С помощью составленной программ легко проследить, как параметры объектов резонансного типа, приводящихся к модели колебательного контура, влияют на энергетический спектр и корреляцией-
Случайные колебания
189
Рис. 8.13. Структурная схема формирования узкополосного колебания
ную функцию возбужденного стационарного случайного колебания. Общий вывод: чем уже полоса пропускания колебательного объекта, тем шире корреляционная функция и уже энергетический спектр.
Рассмотрим, каким по форме становится колебание объекта с узкой резонансной характеристикой при воздействии на него случайного колебания с равномерным энергетическим спектром в широкой полосе частот, называемого белым шумом. Возможные осциллограммы и энергетические спектры такого случайного колебания показаны на рис. 8.13, где &s(t) — зависимость, обратная амплитудно-частотной характеристике объекта.
Нормальный случайный процесс после прохождения через любую линейную цепь не изменяет свой закон распределения, т.е. остается нормальным. При этом, как показывает анализ, колебание па выходе узкополосной цепи, т.е. с узкой резонансной характеристикой, вырезающей узкий спектр частот, становится квазигармониче-ским с амплитудной и фазовой модуляцией. Такое колебание можно представить в виде
u(t) = U(t) 8ш[2тг/о* + ¥>(*)]>	(8-21)
где U(t), ip(t) — случайные, медленно меняющиеся функции времени амплитуды (огибающей) и фазы колебания; /о — центральная частота полосы пропускания цепи (рис. 8.13).
Функции U(t), <p(t) являются медленными по сравнению с колебанием 8ш(2тг/о0- Можно показать [28], что при сигнале u(t), являющимся нормальным стационарным процессом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2, амплитуда сигнала U(t) подчиняется закону Релея, а фаза </?(t) — равномерному.
Одномерная плотность вероятности огибающей при законе Релея
_ f (l//o2)exp(—U2/2a2) при U > О, \ 0	при U С 0.
Вероятность превышения амплитудой колебания U некоторого
W(U)
(8.22)
190
Глава 8
Рис. 8.14. Программа расчета характеристик узкополосного колебания
о if е >2-я
Рис. 8.15. Результаты расчета по программе рис. 8.14
порога Uo согласно (8.3) с учетом (8.22) составит
р(и * и°}=1У{и) du=ГУехр (-S)du=етр •
(8.23)
Фаза сигнала y>(t) с равной степенью вероятности в любой из моментов времени может находиться в пределах от 0 до 2тг. Поэтому плотность вероятности фазы соответствует равномерному закону в данном интервале:
W(<p) = 1/2я.
(8-24)
Программа расчета функций согласно (8.22)-(8.24) представлена на рис. 8-14,а; графики, вычисленные по ней при а = 0,5, 0,7 и 1, построены на рис. 8.15.
Легко показать, что максимум функции W(L7), равный W(UU) = = 0,607/ст, соответствует значению U„ = <7. Средняя мощность узкополосного по спектру колебания пропорциональна Рср = ст2, среднее значение (математическое ожидание) амплитуды
Г°°	Г°° U2 / Г/2 \	/7
M(U) = / UW(U)dU = / —т-exp I —= ст»/^ = 1,25ст.
Ju0	Ju0 a \	) V 2
(8.25)
Итак, мгновенное значение узкополосного по спектру случайного колебания u(t) подчиняется нормальному закону, его амплитуда —
Случайные колебания
191
закону Релея, фаза — равномерному. Такое колебание является квазигармониче-ским.
Рассмотренная теория приложима к анализу колебаний объекта, находящегося под действием большого числа источников возбуждения. Пусть, например, на некоторой платформе располагается большое число разного рода генераторов и двигате-
Рис. 8.16. Платформа с источниками колебаний
лей, а сама платформа обладает резонансными свойствами с собственной частотой колебаний /р (рис. 8.16).
Все генераторы и двигатели (1-9) являются источниками вибрационных колебаний, вкупе создавая случайное колебание с широким спектром, действующее на платформу. Тогда зная резонансные свойства платформы, по программам рис. 8.11 и 8.14 можно определить параметры случайного колебания, которые будет испытывать платформа. Подобные примеры можно продолжить, заменив платформу другим объектом технического назначения.
Контрольные вопросы
8.1.	В чем состоит смысл эргодической гипотезы? К каким случайным процессам она приложима?
8.2.	По аналогии с рис. 8.3 постройте графики плотности распределения вероятности и функцию распределения вероятности нормального закона при ц = 1 и а = 2.
8.3.	С помощью программы рис. 8.5 постройте графики корреляционной функции при разных значениях коэффициентов а, Ъ, с. Определите, как вид функции энергетического спектра влияет на корреляционную функцию.
8.4.	С помощью программы рис. 8.7 постройте графики энергетического спектра при разных значениях параметра М. Определите, как значение этого параметра влияет на вид энергетического спектра.
8.5.	С помощью программы рис. 8.9 постройте график энергетического спектра при произвольно заданной в 30 точках корреляционной функции.
8.6.	С помощью программы рис. 3.11 постройте графики энергетического спектра и корреляционной функции при разных значениях добротности колебательного контура. Определите, как значение этого параметра влияет на вид энергетического спектра и корреляционной функции.
Глава 9
ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
9.1.	Режим хаоса в колебательных системах
Возникновение и существование в системе нерегулярных колебаний, близких по своей структуре случайным процессам, называется режимом хаоса, а сами колебания хаотическими, т.е. заранее непредсказуемыми, с непрерывным или дискретным изменением таких параметров, как форма, частота и амплитуда колебаний. Пример хаотических колебаний, резко отличающихся от периодических колебаний, приведен на рис. 5.1,5.
Исследования по проблеме «хаоса» привели к открытию нерегулярных, хаотических колебаний в разнообразных по своей природе детерминированных динамических системах 3-го и более высокого порядка — биологических, химических, экономических, физических, механических и других [14, 23, 24, 27, 51, 59, 68]. Теория хаоса помогает вскрыть механизм возникновения нерегулярных колебаний и при необходимости принять меры по их устранению.
Возможны по меньшей мере три причины возникновения хаотических колебаний:
1)	в результате внешнего воздействия на автоколебательную систему 2-го и более высокого порядка;
2)	в нелинейной системе не ниже 3-го порядка со сложными взаимосвязями;
3)	с размножением гармоник и субгармоник первоначального автоколебания в самой системе в результате ее неустойчивости, вследствие чего спектр из линейчатого становится сплошным, подобным спектру случайного процесса. Последний случай назовем режимом размножения колебаний.
Структуры колебательных систем в этих случаях возникновения режима хаоса приведены на рис. 9.1,a-е соответственно.
Хаотические колебания
193
Рис. 9.1. Структурные схемы возбуждения хаотических колебаний
Первая причина возникновения хаоса анализировалась в разд. 2.5 при внешнем воздействии на колеблющийся маятник. Графики преобразования периодических колебаний маятника в хаотические при увеличении амплитуды внешнего, воздействия приведены на рис. 2.21.
Каким образом режим размножения колебаний приводит к картине хаоса, демонстрируют графики на рис. 9.2, на котором показаны три случая колебаний и соответствующие им спектральные функции, рассчитанные согласно (1.27)-(1.30). При существовании небольшого числа гармонических колебаний сохраняется периодический характер суммарного колебания. Такому режиму соответствует рис. 9.2,а, на котором представлен случай наличия трех гармонических колебаний, что наглядно прослеживается также с помощью спектра. При одновременном существовании большого числа колебаний периодический характер колебания сходит на нет, а спектр практически становится сплошным, как у случайного процесса. Такому случаю соответствуют графики, приведенные на рис. 9.2,в. Промежуточный случай между периодическим и хаотическим режимами работы демонстрируют графики на рис. 9.2,6, относящиеся к наличию семи колебаний.
Относительно второго случая возникновения хаотических колебаний следует отметить следующее. Причина возникновения хаотических колебаний, по виду напоминающих случайные колебания, состоит не в большом числе степеней свободы системы и не в наличии флуктуаций, а в асимптотической неустойчивости системы, в результате чего ее начальное состояние существенно влияет на характер протекающих процессов. В такой системе малая по своей величине причина вызывает значительные, непредсказуемые последствия.
13-8000
194
Глава 9
Рис. 9.2. Графики колебаний и их спектры
t
Рис. 9.3. Фазовый портрет колебаний: а — стационарных; б— хаотических
Важным «инструментом» при исследовании режима хаоса является фазовое пространство, на котором выделяют область, притягивающую к себе все или множество фазовых траекторий и называемую аттрактором (на английском языке attract, что в переводе означает привлекать, притягивать). Как указывалось выше, в устойчиво работающем автогенераторе периодических колебаний аттрактором является устойчивый предельный цикл в форме эллипса, на который как бы «наматываются» все фазовые траектории (рис. 9.3,а). Данная проблема подробно обсуждалась в гл. 5.
Картина значительно усложняется при анализе хаотических автоколебаний. В режиме хаоса в фазовом пространстве динамической системы все (или почти все) соседние траектории внутри некоторой области разбегаются, оставаясь, однако, внутри ограниченного,
Хаотические колебания
пусть и большого, объема фазового пространства. В противном случае автоколебания неограниченно возрастали бы, как показано на рис. 1.16,6 при а = —0,3. Пример фазового портрета на плоскости хаотических колебаний приведен на рис. 9.3,6, па котором фазовые траектории стягиваются не на одну замкнутую кривую, а на целую область. Такой аттрактор, занимающий некоторый ограниченный объем фазового пространства (на плоскости — площади), называется странным аттрактором, представляющим собой математический
Рис. 9.4. Фазовый портрет в трехмерном пространстве
образ хаотических колебаний.
Пример фазовой траектории в трехмерном фазовом пространстве в случае хаоса показан на рис. 9.4. Фазовая точка, раскручиваясь по спирали (колебания медленно возрастают), резко затем
уходит вверх вдоль оси z, сваливаясь затем к началу координат, после чего весь процесс повторяется, но с некоторой иной начальной точки. Поэтому следующая траектория оказывается отличной от первой, хотя она и лежит в некотором ограниченном объеме фазового пространства. В результате один «кусок» колебаний x(t) не повторяет другой, и в целом колебание носит нерегулярный харак
тер, т.е. является хаотическим.
Перейдем к рассмотрению нескольких случаев возникновения хаоса в колебательных системах.
9.2.	Тепловая конвекция в слое жидкости
Рассмотрим задачу Релея-Бенара: конвекцию в подогреваемом снизу слое жидкости толщиной К при разности температур между краями слоя ДТ =	— Т\ (рис. 9.5,а). Случай подогреваемой снизу
тонкой трубы, согнутой в кольцо и заполненной жидкостью, показан на рис. 9.5,6.
Жидкость у Охлаждение
iobbooi
8'8 ь
Подогрев
а)
Рис. 9.5. Конвекция в подогреваемом слое жидкости
11
196
Глава 9
Слой подогревается снизу до температуры Тг и охлаждается сверху до температуры Т\. Разность температур ДГ = Tj — 7) > 0. Нагретая снизу жидкость легче холодной, находящейся вверху. Поэтому жидкость снизу поднимается вверх, вытесняя холодную, которая под действием силы тяжести G начинает опускаться вниз. В результате в слое жидкости образуется конвективное движение (рис. 9.5,в), а в трубке-кольце — вращение жидкости по кругу (рис. 9.5,6). Рассматриваемое конвективное движение жидкости в рамках строго анализа описывается уравнениями Навье-Стокса (14, 51]. Наряду со строгим подходом к рассматриваемой проблеме Э.Н. Лоренцу удалось упростить данную задачу, сведя ее к решению следующих трех дифференциальных уравнений:
Idx
~ = гх - у - хг	(9.1)
at
dz — = xy — bz at
где x (ниже в программе V) — величина, пропорциональная скорости конвективного движения жидкости; у (ъ программе Т) — величина, пропорциональная разности температур между восходящим и нисходящим потоками в точках А и В (рис. 9.5,6); z (в программе S) — величина, пропорциональная отклонению вертикального профиля температуры от линейного закона; 6 — параметр, зависящий от формы трубы, по которой течет жидкость [6=1 для случая кольца (рис. 9.5,6)]; с — параметр, определяемый отношением коэффициентов вязкости и теплопроводности; г — параметр, характеризующий степень нагрева жидкости и разность температур ДТ.
Программа решения уравнений (9.1) приведена на рис. 9.6.
Результаты решения по программе при 6=1 (случай кольца — рис. 9.5,6), с = 10 и трех значениях параметра г = 1, 10, 100 в виде графиков зависимости V = O(th) и Т = Ф(1Ь), где th — время, приведены на рис. 9.7.
Из графиков следует, что при слабом нагреве (г = 1) конвективное движение жидкости отсутствует (V = 0 и Т = 0). С повышением температуры нагрева (г = 10) начинается упорядоченное, в одну сторону вращение жидкости по кольцу. Причем по окончании переходного процесса колебательный характер движения сменяется на стационарный, при котором V = const и Т = const. Таким образом, при умеренном нагреве имеет место ламинарное движение жидкости по кругу в одну сторону внутри кольца. При дальнейшем нагреве
Хаотические колебания
197
О RK3 !!*=<)
X- Afix«I».0,30.3001.F) *»XWV>XW Т»ХЙ Sj-X W
ТК>ЭО DF-OOOS N:-1000
W >c4>tt>e(tb,V) »(t)iBtctpfW.th.V.t)
n-О.. N f.VB-DF
O<t) <»»(2 wf, t)dt B..f ®(t) en(2 l
Рис. 9.6. Программа расчета уравнений Лоренца
Рис. 9.7. Результаты расчета по программе рис. 9.6
жидкости (г — 100) упорядоченное движение переходит в хаотическое: все время меняется не только скорость течения жидкости, но и ее направление, па что указывает смена знака величин V и Т.
По программе, приведенной на рис. 9.6, можно рассчитать как функции, характеризующие движение жидкости V = <I>(th), Т = = <D(th), S = 0(th), т.е. ее скорость и температуру (рис. 9.7), так и спектральную функцию C(j) полученной реализации колебательного процесса. Такой спектр для случая г = 27 приведен на рис. 9.8. На том же рисунке построены проекции фазовой траектории на две плоскости, на которых явственно просматривается странный аттрактор, являющийся отображением хаотического колебания.
198
Глава 9
Рис. 9.8. Результаты расчета спектра по программе рис. 9.6
Исследования, аналогичные проведенным по анализу хаотических колебаний жидкости, проводятся и для химических, биологических, электронных и других систем [51, 59].
9.3.	Хаос при размножении колебаний
Обратимся к третьему случаю возникновения хаоса, связанному с последовательной бифуркацией частоты колебаний, что, например, свойственно многим биохимическим реакциям [68]. В таких системах присущая им неустойчивость при малейшем изменении того или иного параметра приводит к резкому изменению периода размножающихся колебаний, одновременное существование множества которых и есть хаос.
Рассмотрим сначала просто случай существования в системе всего двух гармонических колебаний с разными частотами. Система
Хаотические колебания
199
уЯО.уЗО.ХО.ЛО.ЛО.ЛО
Рис. 9.9. Фазовые траектории бигармонических колебаний
определяется двумя переменными yj.(t) и ее производной:
yk(t) = sm(2ir/ot) + sm(Aw/oO; xk(t) = dy^~.	(9.2)
at
Фазовые траектории, описываемые уравнениями (9.2) при к = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8,2; 9,1; 10,3 построены на рис. 9.9. В первых шести случаях аттрактор представляет собой устойчивый предельный цикл, усложняющийся по форме по мере возрастания целого значения к. В трех последних случаях при дробном значении к и особенно при совместном действии шести колебаний аттрактор преобразуется в «паутину», занимающую на фазовой плоскости определенную область. Конечно, если функция (9.2) задана, то ее значение можно вычислить в любой момент t. Но если задана не сама функция, а только ее экспе
200
Глава 9
риментально полученный график, то предсказать поведение системы в различные моменты времени и синтезировать исходную функцию даже при относительно ограниченном числе гармонических составляющих практически невозможно. Соответствующий им аттрактор в виде паутины можно причислить к числу странных — математическому образу хаотических колебаний. Таким образом, даже при ограниченном числе гармонических колебаний в целом можно получить картину, весьма близкую к «идеальному» хаосу, а сами колебания считать квазихаотическими (рис. 9.2,в).
Теперь рассмотрим, как в системе 3-го порядка небольшое изменение одного из ее коэффициентов приводит к бифуркации, связанной со скачкообразным изменением периода колебаний. Система описывается тремя дифференциальными уравнениями, называемыми уравнениями Спрогга [51]:
dx
И = -аУ
dV , 2 л=х + г
(9-3)
dz
— = 1 +1/ -az
где a — параметр, значение которого может меняться в небольших пределах в процессе работы.
ORIGIN:» 1	а:-1.9

l + itj-a-xj
ORIGIN:» 0 X:=fifixed(x,0,100,5001, F) th:=X W U:=X V:=X ® S:-X
Рис. 9.10. Программа расчета колебаний в модели Спротта
Программа решения уравнений (9.3) приведена на рис. 9.10, а результаты расчета по ней в виде графиков зависимости x(t) = U(t) и фазовых траекторий х(у) = V(U) для двух случаев при а = 2,5 и 1,9 построены на рис. 9.11. Из полученных результатов следует, что изменение параметра а всего на 20 % (например, это может быть температура среды, окружающей си-
стему) приводит к резкому изменению характера колебаний: из си-
нусоидальных они становятся релаксационными, а период колебаний увеличивается примерно в три раза. Подобные явления, проиходя-щие в колебательной системе, открывают прямой путь к хаосу.
Рассмотрим, как изменение одного из параметров системы влияет не только по аттрактор, но и па спектр колебания. Пусть система описывается тремя дифференциальными уравнениями, назы-
Хаотические колебания
201
-20
М0 10 2)0 30 40 50 60 70 ВО 90 100
и
10 20 30 40 50 60 70 SO 90 100
л
Рис. 9.11. Результаты расчета по программе рис. 9.10
ваемыми уравнениями Реслера [51]:
Idx .	.
а=-(в + 2)
=х + 0,2#
«I
ds	,	.
— = 0,2 + z(x - д)
(9-4)
Программа решения уравнений (9.4) приведена на рис. 9.12, а результаты расчета по ней в виде графиков зависимости x(t) = U(t) и фазовых траекторий х(у) = V(U) для трех случаев при д = 50, 5 и 2 построены на рис. 9.13, а спектров для отрезков функций при t = 0...50 — на рис. 9.14.
f го >
ю

ORIGIN'1	p:-2
A * %) iq + 0.2*! 0.2+^ (jq-p) ORIGINS 0
X := rlrfixed(x, 0,50,10001, F) th:»X W U:«X W VsX® S»X® DF:=0.01	N:=1000
Фр) > inlapCW.th.U.t) f, :=n DF
ТК:=25
W := csplinc(th,U) n^O. N
Рис. 9.12. Программа расчета колебаний в модели Реслера
202
Глава 9
Рис. 9.13. Результаты расчета по программе рис. 9.12
Для случая ц = 2 па рис. 9.13 показана только часть фазового портрета, занимающего площадь до значения V ~ — 5 • 104. Следовательно, и в данном случае хаотических колебаний их фазовый портрет занимает пусть и большое, но ограниченное фазовое пространство.
Рис. 9.14. Результаты расчета по программе рис. 9.12
мо-
Хаотические колебания
203
Из полученных результатов следует, что при д = 50 автоколебания в системе являются периодическими, а спектр линейчатым с четко выраженной спектральной составляющей соответствующей основному периоду колебаний с Т = 7. С уменьшением параметра д периодичность в колебаниях сходит на нет, а спектр все более становится расплывчатым. И, наконец, при д = 2 получаем колебания с непрерывно возрастающей частотой, близкой к линейному закону, а спектр становится сплошным. Как и в предыдущем случае, такое колебание, судя по полученному фазовому портрету и спектру, можно назвать квазихаотическим.
Таким образом, на конкретных примерах удалось показать, как изменение параметров системы приводит к бифуркациям, т.е. смене вида колебаний, что может повлечь за собой переход периодических колебаний к квазихаотическим.
Контрольные вопросы
9.1.	В чем состоит отличие странного аттрактора от обычного аттрактора?
9.2.	С помощью программы рис. 9.6 найдите такие параметры в системе 3-го порядка, при которых хаос не наступает. Определите влияние начальных условий на возникновение хаоса.
9.3.	По аналогии с рис. 9.9 постройте фазовые портреты колебания, представляющего собой сумму трех гармонических колебаний с некратными значениями частот.
9.4.	Определите влияние параметра а и начальных условий на вид колебаний в системе, рассчитываемой по программе рис. 9.10.
9.5.	Определите влияние параметра д и начальных условий на вид колебаний в системе, рассчитываемой по программе рис. 9.12.
Глава 10
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ
КОЛЕБАНИЙ
10.1. Особенности Фурье-преобразования
Важное достоинство данного преобразования (см. разд. 1.4) состоит в возможности единообразного представления разнообразных по форме колебаний в виде ряда, составленного из синусоид с разными частотами. Однако более глубокий подход к данной проблеме позволяет выявить и определенные ограничения при таком описании колебаний. Одно из них состоит в необходимости удержания большого числа членов ряда (1.22) для точного описания исходного колебания $(t), другое — связано с невозможностью отразить некоторые локальные особенности функции, вызванные кратковременными резкими изменениями амплитуды или частоты и фазы колебания. Рассмотрим в этой связи следующий пример.
Пример 10.1. Сравним спектры двух колебаний. Первый представляет собой радиоимпульс x(t) прямоугольной формы, второй y(t) — тот же радиоимпульс, но с разрывом посредине, т.е. по существу это два радиоимпульса с одной и той же частотой заполнения. Программа определения Фурье-спектров этих сигналов приведена на рис. 10.1, а результаты примера расчета по ней — на рис. 10.2.
Несмотря па различие сигналов x(t) и y(t) (рис. 10.2,а), их амплитудные спектры практически идентичны (рис. 10.2,6). Небольшое различие наблюдается только в области высших частот. Таким образом, в рассмотренном примере, несмотря на существенное различие сигналов, идентифицировать их по частотным спектрам, построенным согласно Фурье-преобразованию, весьма затруднительно. Данный вывод подтверждается и другими примерами.
Именно в этом и состоит «слабая сторона» Фурье-преобразования, состоящая в отсутствии реакции на локальные изменения в колебаниях, в невозможности их идентификации по частотному спектру. Поиск способа, свободного от данного недостатка, и привели к
Вейвлет-анализ колебаний
205
АМ:=1	Ю:=100
х:«0.1	т1:- 0.048
№800
<t):- АМ яп(2 я ГО l) if OStSt
О if i>t
Df:«0.25 U:-0.052
AMlinf) « fl) t) if OStStl
0 if tl S t S t2
AM iin(2 x fl) t) if tfStit
0 if t>T
У(‘) >
0 if t < О
SIO:=|R1J
Рис. 10.1. Программа расчета Фурье-спектра сигналов
0 if t<0 f.^nDf
S2.>|R4|
Рис. 10.2. Результаты расчета по программе рис. 10.1
созданию принципиального нового — частотно-временного вейвлет-преобразования, способного отражать локальные изменения в колебаниях и пригодного для анализа сложных нестационарных процессов [20, 28, 87, 91].
10.2. Основные черты непрерывного вейвлет-преобразования
Прежде всего дадим определение вейвлету и рассмотрим его основные признаки и свойства. Слово wavelet переводится как «короткая или небольшая волна». Встречаются также и такие определения, как всплеск и маловолповая функция. В качестве так называемых «материнских» вейвлетов используется несколько десятков хорошо локализованных функций, порождающих путем растяжения и сдвига во времени целое семейство «дочерних» вейвлетов. Будем называть далее «материнскую» функцию также исходным вейвлетом, а
206
Глава 10
порождаемые им «дочерние» вейвлеты базисными. Рассмотрим два типа исходных вейвлетов. Первый V(x) является второй производной гауссова импульса у(х) = ехр(—0,5т2), второй Х(х) называется функцией Хаара. Данные исходные вейвлеты имеют вид:
V(x) = (х2 — 1)ехр(—0,5х2),
Х(х) = -
-1
0
при 0 С х С 0,5, при 0,5 С х < 1, при х < 0 и х > 1.
(Ю.1)
(Ю-2)
Путем подстановки х = (t — b)/a и введения множителя 1/^/а от исходного вейвлета переходят к базисному. Для вейвлетов (10.1) и (10.2) соответственно имеем:
VA(a,b,t) = A=V(x),	(10.3)
va
XA(a,b,t) = Д=Х(х),	(10.4)
ya
где x = (t — b)/a.
Графики функции (10.3) представлены на рис. 10.3,а, а функции (10.4) — па рис. 10.3,б. При а = 1, Ъ = 0 функция является «материнской». Из анализа приведенных графиков можно сделать следующие выводы. С увеличением параметра а импульс расширяется, а с изменением параметра Ь перемещается по оси времени t. Рассмотрение графиков позволяет определить основные признаки вейвлета: он имеет вид короткой, ограниченной по времени волны, расширяющейся или сжимающейся в зависимости от параметра а и перемещающейся по оси времени в зависимости от параметра Ь.
Кроме того, вейвлетам свойственны следующие свойства:
Вейвлет-анализ колебаний
207
• интеграл от квадрата модуля функции
ОО
•	интеграл от самой функции, определяющий площадь, ограниченную графиком,
ОО
•	график материнской функции осциллирует вокруг нуля по оси времени;
•	все базисные вейвлеты имеют то же число осцилляций, что и материнский.
Изменяя посредством параметра а ширину вейвлета, т.е. его длительность г, можно тем самым влиять на ширину частотного спектра, а с помощью параметра b перемещать импульс по времени, проходя в том числе и локальные области колебания (рис. 10.3). Следовательно, при совместном изменении параметров b и а вейвлет движется по оси времени t и одновременно при этом расширяется. В силу данных свойств вейвлетов, используя их в качестве базисной функции, можно осуществлять частотно-временной анализ сложных сигналов, а не только частотный согласно Фурье-преобразованию. В результате вейвлет-преобразование, т.е. процедура, в основе которой лежит использование в качестве базисных функций вейвлетов, позволяет отслеживать локальные кратковременные изменения в колебаниях и преодолевать недочеты, свойственные Фурье-преобразованию.
Прямое и обратное вейвлет-преобразования сигнала x(t) по аналогии с (1.26) и (1.25) имеют вид:
1 r°°	ft — bX
C(a,b) = 4= / x(t)V I — <Й,	(10.5)
Va J-oo	\ а /
*(«) = 7Г Г £га Г C{a'b}V for) (10 6) «С Jo a Va J-oo \ ° /
где V(a,b,t) — функция, описывающая вейвлет, например (10.3) или (10.4), Кс — нормирующий коэффициент.
Сравнивая Фурье-преобразование (1.26)—(1.25) с вейвлет-преоб-разованием (10.5)-(10.6), устанавливаем различия между ними:
•	базисные функции в виде sin(wt) и cos(wt), зависящие от одного параметра — частоты ш, заменяются на вейвлет V(a, b, t) — функцию, зависящую от двух параметров — а, 6;
208
Глава 10
•	спектр S(w), зависящий от одного параметра — частоты w, заменяется спектрограммой, определяемой двухпараметрической функцией С(а, Ь), один из параметров которой (а) определяет частоту о/, другой (t>) — время t.
Различие между базисными функциями наглядно видно из рис. 10.4, на котором построены графики базисной функции (синусоиды) при Фурье-преобразовании и одного из видов вейвлетов, называемого «марлет» (см. далее), — базисной функции при вейвлет-преобразовании, который может перемещаться по оси времени t.
Таким образом, частотный анализ при Фурье-преобразовании в виде функции S(w) заменяется при вейвлет-преобразовании на частотно-временной анализ с помощью зависимости С (а, Ь), которую можно преобразовать к виду W(cu, t).
Рис. 10.4. Базисный сигнал при Фурье-преобразовании (синусоида) и вейвлет-преобраэовании
АМ1-1	Л :«0.02 AM2:-k	f2:-0 06
0:»1	Ь0>1 J^JO	N>201	K:-N-l
< t) > AMI  сое (1 ж • П • t) ♦ ЛМ2  со» ' Q • О
«ч(-0Л t1)
q»,b)^£* VA(».b.t) <t)dt j>l_l	j ksO.I	bk:»bO k
Рис. 10.5. Первая программа вейвлет-преобраэования
АМ1.-=1	П:=0.02	АМ2:=1	С:=0.06	Т0:=1<Ю
•0-1	ЬО1	J:-30	N:=201	K»N-1
yft) з- 1(ЛМ1 • co«(2 -ж П • t)) if t4 TO |(AM2 си(2 | О t)) tft>TO
Vlt)- 1) expCo.5 «’)
VA(».b,t):-^).^-^j	Q»,b)»J VA(a,b,t)  y(t)dt
j»l„J ij:-»Oj	k>0.,K	bk:=bO k
*М*С(Ч.Ьк)
Рис. 10.6. Вторая программа вейвлет-преобразования
Вейвлет-анализ колебаний
209
Рис. 10.7. Результаты расчета по программе рис. 10.5
Вейвлет-преобразование в силу зависимости спектра от двух параметров является более сложной вычислительной процедурой, чем Фурье-преобразование. Поэтому пользоваться вейвлет-преобразова-нием следует в тех случаях, когда колебание имеет сложную форму с локальными «вкраплениями». К последним относятся, например, колебания, связанные с землетрясениями или с анализом осциллограмм геологических радаров (см. ниже). Таким образом, вейвлет-преобразование не отменяет более простое в вычислительном отношении Фурье-преобразование, а только дополняет его.
14- 8000
210
Глава 10
Рис. 10.8. Результаты расчета по программе рис. 10.6
Важным обстоятельством при вейвлет-преобразовании является выбор типа базисного вейвлета (всего их насчитывается около 20) и алгоритма изменения параметров а, Ь.
Возможны, в частности, такие варианты:
•	линейный закон изменения параметров а, Ь с определенным шагом;
•	изменение по закону а = aj, Ь = Ъок, где ao > 1, Ьо > 0, j, к — целые числа;
•	изменение по закону а = 2-’, Ъ = к  2’, где j, к — целые числа, при этом х = (t — b)/a = 2~Jt — к.
Вейвлет-анализ колебаний
211
Возможны и другие, более сложные алгоритмы изменения параметров а, Ь.
Пример 10.2. Рассмотрим два колебания, первое из которых представляет собой сумму двух гармонических колебаний с разными частотами:
x(t) = Ui coe(2irfa t) + U2 cos(27r/2i),	(10.7)
второй — сумму тех же колебаний, разнесенных во времени:
_ J cos(27r/it) при t С t0,	,	.
У( ) ~ ( U2 соз(2яМ) при t * t0.
Программы их вейвлет-преобразования приведены на рис. 10.5 и 10.6, а результаты примера расчета по ним — па рис. 10.7 и 10.8 соответственно. В качестве вейвлета в программе используется функция (10.1). Поскольку частотно-временной спектр С(а,Ь) при вейвлет-преобразовании зависит от двух параметров, то график соответствующей ему дискретной функции Rj,k — C(a.j,bk) построен в трехмерном пространстве и в виде изоклин на плоскости а-b. Кроме того, на рис. 10.7 и 10.8 приведены зависимости на плоскости функции Rj,k(k) и для одной из ее реализаций. Смене осей соответствует оператор R* (транспонированная матрица).
В рассматриваемом примере видны существенные различия в спектрограммах колебаний, связанное с резким изменением частоты колебаний.
10.3.	Непрерывное вейвлет-преобразование с вейвлетом «марлет»
Рассмотрим, как тип вейвлета влияет на вид спектрограммы при непрерывном вейвлет-преобразовании. Остановимся на вейвлете «марлет», названном так по Имени его автора Marlet и часто применяемом при преобразовании колебаний с локальными изменениями частоты.
Исходная, «материнская» комплексная функция вейвлет-мар-лета имеет вид
M{t) = gexp(J27T/ot)exp(-t2/2),	(10.9)
где д = 7г_0,25 = 0,751 — множитель, /о — частота.
Образованная из (10.9) базисная функция вейлет-марлета, зависящая от трех параметров a, b, fo, преобразуется к виду
MA(a,b,f0,t) =	(fo,—) •	(Ю.Ю)
212
Глава 10
р-0.751
М(ГОл)»и  СхрО• 2 • « ГО О Оф(-0.5 t2))	МА(»,Ь.ГОД) >	• М^ГО.| —
МП(«.Ь.ГОл) Ко(МА(«.Ь.ГОл))	ММ(»,Ь,ГОЛ) := ММА(»,Ь,ГОЛ))
S1,:=J МА(1,Ь,ГО1Д) еч>(ч-2 *S2,:=J МА(2,Ь,ГО2,1) oqi(-i-2->• f.-t)dt
Рис. 10.9. Программа расчета вейвлета «марлет»
Спектральная плотность такого импульса согласно преобразованию Фурье (1.26) определяется интегралом
S(f) = / Мд(а, b, f0, t) exp(-j2irft) dt. J—oo
(10.11)
Бесконечные пределы интегрирования в (10.11) при расчетах заменяются величиной Т, при которой функция M\(t) практически спадает к нулю.
Программа расчета действительной и мнимой частей комплексной функции базисного вейвлет-марлета (10.10) и модуля его Фурье-
Вейвлет-анализ колебаний
213
спектра (10.11) представлены на рис. 10.9 (утолщенная линия есть график действительной части комплексной функции, тонкая — мнимой). Из анализа представленных графиков следует, что частота /о определяет число осцилляций внутри гауссова импульса, параметр а влияет на ширину импульса (с увеличением значения а импульс расползается), центральная частота Фурье-спектра fc = fo/a-
Как и ранее, для двухчастотного колебания составим программу вейвлет-преобразования с использованием вейвлет-марлета (10.10).
Пример 10.3. Двухчастотный сигнал описывается функцией (10.7). Программа его вейвлет-преобразования с рассчитанными графиками спектограмм приведены на рис. 10.10.
AMI 1 П 1 АМ2 := 1
•0:=0.2 Ы) := I 1.-=20
П:-3
Nr=41
у (t) := AMI  cm (2 • я - fl • t) * AM2  cm (?-« Q t) M(t) J- exp(i- 2-«• ID-t)-exp(-0.5-11) MK(a.b.t)
ГО:-3 i K:=N-1

jr-l-J
C(a.b) > MK(a.b,t) • y(t)dt •'-M
k>0..K bk.-bOk
Рис. 10.10. Программа расчета вейвлета «марлет» и графики спектрограмм
214
Глава 10
На спектограммах четко прослеживаются участки, соответствующие частоте сигнала (переменная j) с привязкой их ко времени (переменная к). При этом частота сигнала fj =
Полученные новые спектограммы на рис. 10.10 существенно отличаются от приведенных на рис. 10.7 при одинаковом виде исходной функции колебания y(t). Следовательно, вид выбранного вейвлета в значительной степени определяет спектрограмму колебания.
Рассмотрим два примера применения вейвлет-преобразования для анализа колебаний совершенно различной физической природы.
10.4.	Анализ колебаний, излученных геологическим радаром
Проведем на основе вейвлет-преобразования анализ спектрограммы, получаемой в результате зондирования среды с помощью геологического радара. Сначала кратко рассмотрим принцип его работы [84].
Георадар представляет собой прибор, предназначенный для определения геологической структуры поверхностного слоя Земли на глубину до 30 м и обнаружения различных находящихся там предметов путем излучения импульсного радиосигнала. В отличие от обычного радиолокатора георадар излучает радиосигнал пе в пространство, а в глубь Земли, двигаясь по поверхности исследуемого района (рис. 10.11).
Исследование верхнего слоя Земли, имеющей большое затухание для радиоволн СВЧ диапазона, возможно только с помощью широкополосных сигналов, формирование которых возможно на основе коротких импульсов. Излученный георадаром короткий импульс отражается от границ раздела сред с разными электрофизическими свойствами. Принятые георадаром отраженные сигналы обрабатываются микропроцессором и выводятся па экран дисплея в виде послойного отображения разреза облученной среды. Длительность излучаемого георадаром импульса столь мала — всего 1...5 наносекунды, что он
Рис. 10.11. Принцип действия георадара
Вейвлет-анализ колебаний
215
Рис. 10.12. Сигналы, принятые георадаром, и их вейвлет-образы
представляет собой колебание из одного-двух периодов сигнала частотой 100... 1000 МГц. Такой импульс может быть, например, представлен в виде, показанном на рис. 1.10.
Затруднение в расшифровке принятого отраженного сигнала возникают при необходимости обнаружения в облученной среде относительно небольших по размеру предметов или кабелей и труб малого диаметра. В этом случае для идентификации принятого отраженного от среды сигнала можно воспользоваться вейвлет-анализом, позволяющим выявить незначительные локальные изменения в колебании.
Рассмотрим в этой связи конкретный пример. Осциллограмма принятого отраженного сигнала при отсутствии в грунте постороннего предмета приведена на рис. 10.12,а, а при его наличии — на рис. 10.12,6. Обнаружить на осциллограмме по маленькому «пичку» наличие предмета практически невозможно (на рис. 10.12,6 такой «пичок» располагается при t = 80). Вместе с тем анализ колебания с помощью вейвлет-преобразования предоставляет такую возможность, что наглядно видно из спектрограмм, приведенных па
216
Глава 10
VA(»,b,t):=CA
j’
k:=0. К
Qi.b)f VA(i,b.t) g(t)* bk.-=bO k
VA(»,b,t):=CA
VA(a,b,t) • Xt)dt о
1..J
k:=O.K
bk:=bOk


Рис. 10.13. Программа расчета вейвлет-преобразования сигналов георадара
рис. 10.12,в, г, первая из которых соответствует отсутствию постороннего предмета, вторая — его наличию. Спектрограммы, на второй из которых четко прослеживается локальное изменение в отраженном от грунта колебании в форме острого импульса большой амплитуды, рассчитаны с помощью программы, приведенной на рис. 10.13, где задаваемые в табличной форме g(t) — функция, описывающая отраженное от среды колебание при отсутствии постороннего предмета, z(i) — при наличии такого предмета. Функции g(t) соответствует спектрограмма Si,*, функции x(t) — спектрограмма R\,k, В качестве вейвлета в программе используется функция (10.3).
Таким образом, вейвлет-преобразование позволяет выявить локальные изменения в колебании, что недоступно другим методам анализа.
10.5.	Анализ электрокардиограммы
Электрокардиограмма (ЭКГ) отражает биоэлектрическую активность сердца путем регистрации периодически меняющихся электрических потенциалов в различных участках сердца [8]. На снятой электрокардиограмме — периодической функции — различают один высокий зубец R, четыре невысоких зубца Р, Q, S, Т и горизонтальный участок U (рис. 10.14).
Нормально работающему сердцу соответствует электрокардиограмма с зубцами строго определенной формы. Отклонения от такой электрокардиограммы свидетельствуют о нарушении нормальной работы сердца и определенном заболевании. По электрокардиограмме врач выносит заключение о здоровье обследуемого пациента.
Вейвлет-анализ колебаний
217
Рис. 10.14. Электрокардиограмма биоэлектрической активности сердца
Рис. 10.15. Программа расчета спектрограмм с вейвлет-преобразованием
Однако в некоторых случаях отклонения от нормальной электрокардиограммы столь незначительны, что по ним трудно составить заключение о начинающемся заболевании. На помощь здесь может придти вейвлет-анализ периодического непрерывного колебания, позволяющий по спектрограмме выявить даже незначительные отклонения в работе сердца.
Пусть нормально работающему сердцу соответствует электрокардиограмма, один период которой представлен на рис. 10.15,а, а с нарушенной активностью работы сердца — на рис. 10.15,6. Незна-
218
Глава 10
читальное отличие в электрокардиограммах заключается только в том, что во второй из них несколько увеличен по высоте зубец Q, что идентифицировать затруднительно.
Вместе с тем анализ данных электрокардиограмм с помощью вейвлет-преобразования предоставляет такую возможность, что наглядно видно из графиков спектрограмм, приведенных на рис. 10.15,в, на которой толстая линия 1 соответствует графику на рис. 10.15,а, тонкая — на рис. 10.15,6. Спектрограммы на участке, соответствующему зубцу Q, существенно отличаются друг от друга по амплитуде импульсов, несмотря на малое различие в электрокардиограммах.
Приведенные на рис. 10.15,6 спектрограммы рассчитаны по программе приведенной на том же рис. 10.15, где i(t), g(t) — функции, задаваемые в табличной форме. В качестве вейвлета в программе используется функция (10.3).
Таким образом, и во втором примере показано, как с помощью вейвлет-преобразования удается идентифицировать локальные изменения в колебании, что недоступно другим методам анализа.
Контрольные вопросы
10.1.	В чем состоят отличия Фурье-анализа колебаний от вейвлет-анализа?
10.2.	По аналогии с программой рис. 10.5 проведите вейвлет-анализ колебания, представляющего собой сумму трех гармонических колебаний.
10.3.	С помощью программы рис. 10.13 проведите вейвлет-анализ колебания, принятого георадаром, при иной записи функций j(t) и z(t).
10.4.	С помощью программы рис. 10.15 проведите вейвлет-анализ колебания электрокардиограммы при иной записи функций j(t) и z(t).
Глава 11
АНАЛИЗ ВОЛНОВЫХ
ПРОЦЕССОВ
11.1. Математические модели волновых процессов
Математические модели обширного класса физических явлений в природе и технике описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. К их числу относятся модели волновых процессов в акустике, оптике, гидро- и аэродинамике, электродинамике и других областях физики. Так, например, дифференциальные уравнения с частными производными являются основой математических моделей таких явлений, как распространение звука в жидкости и газе, колебания натянутой струны, распространение электромагнитных волн в различных средах, колебания земной коры при землетрясениях, океанские волны огромной разрушительной силы — цунами.
Анализ математических моделей сводится к решению составленных дифференциальных уравнений и получению необходимых количественных параметров и характеристик физических процессов, протекающих во времени и пространстве в системах распределенного типа. Полученные результаты сравниваются по точности с реальными процессами, что позволяет судить о правомерности выбранной математической модели.
Математические модели отражают основные, а в некоторых случаях и второстепенные закономерности того или иного реального процесса. При этом важно учесть по меньшей мере четыре фактора: нелинейные свойства системы; возможные потери в пей энергии (так называемую диссипацию), переходящей в конечном итоге в тепло; дисперсию при переносе волн; форму волны в начале движения.
Понятие дисперсии непосредственно связано с зависимостью скорости переноса волн от частоты. Различают фазовую скорость
220
Глава 11
ь'ф —uj/k (где к = 2тг/А — волновое число), которая определяет движение поверхности постоянной фазы, и групповую скорость игр = = dw/dk, характеризующую скорость переноса энергии пакетом волн. Зависимость г>ф и игр от частоты ш называется дисперсией. В без-дисперсионной среде иф = ггр, в дисперсионной Гф / игр (см. подробнее разд. 12.2).
Выше обсуждался вопрос деления систем на объекты сосредоточенного и распределенного типа (см. гл. 1). К последним относятся системы, в которых период колебаний сравним с временем их распространения по объекту, а фазы колебаний в различных точках объекта в один и тот же момент времени заметно отличаются друг от друга. Тогда от колебаний следует переходить к волнам, а от обыкновенных дифференциальных уравнений — к уравнениям с частными производными, позволяющим описывать процессы во времени и пространстве.
Волновые процессы могут представлять собой колебания в пространстве и времени как частиц вещества — твердого, жидкого, газообразного, так и поля — электромагнитного или гравитационного. Характер волнового процесса и соответствующая ему математическая модель во многом определяется средой распространения волны. Поэтому кратко рассмотрим основные типы волн, распространяющиеся в различных средах.
В случае вещества волновые процессы непосредственно связаны с колебаниями частиц самой среды их распространения. При этом важно отметить, что частицы среды, размеры которых малы по сравнению со всей средой, не движутся вместе с волной, а только колеблются с определенной амплитудой около своих равновесных положений. В веществе колебательные движения с определенной скоростью передаются от одной частицы к другой, что и обусловливает распространение волны, переносящей энергию, но не само вещество. Такие волны, связанные с механическими колебаниями частиц среды около своих равновесных положений, называются упругими.
Упругие волны, распространяющиеся в сплошных средах, могут быть продольными и поперечными. В случае продольной упругой волны частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В случае поперечной упругой волны частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. В жидкостях и газах, обладающих свойствами текучести и сжимаемости, могут распространяться только продольные упругие волны, в твердом теле — оба типа волн.
На свободной поверхности жидкости могут распространяться волны, называемые поверхностными. В их распространении опре
Анализ волновых процессов
221
деляющую роль играют текучесть жидкости и силы тяжести и поверхностного натяжения, стремящиеся вернуть жидкость в равновесное положение. На границе раздела несмешивающихся между собой сплошных сред разной плотности могут распространяться волны, называемые внутренними.
В сплошных средах благодаря свойству сжимаемости могут распространяться волны, как с относительно малой, так и со значительной амплитудой колебаний частиц среды. К продольным упругим волнам с относительно малой амплитудой относятся акустические или звуковые волны, занимающие диапазон частот 16...20000 Гц. К волнам с повышенным значением амплитуды колебаний частиц относятся ударные волны, возникающие при резком, скачкообразном изменении давления, например, при взрыве.
Исследование процессов распространения волн в жидкостях и газах опирается на законы гидродинамики, а в твердых телах — на законы теории упругости.
Совсем иное физическое содержание свойственно волновым процессам, относящимся к полю. В этом случае распространение волн обусловлено не колебаниями частиц самой среды, а изменением параметров поля. Так, в случае электромагнитных волн таковыми являются изменяющиеся во времени и пространстве величины напряженности электрического и магнитного полей. Теория электромагнитного поля является базой исследования распространения электромагнитных волн в различных средах и свободном пространстве.
Следует отметить, что помимо названных существуют волны, физическая природа которых носит более сложный характер. Так, например, поверхностные упругие акустические волны, распространяющиеся в пьезоэлектриках, описываются системой уравнений, вытекающих из теорий и упругости, и электромагнитного поля. Устройства, в которых применяются поверхностные акустические волны, называются акустоэлектропными, что подчеркивает двойственный характер таких волн.
Еще раз обратим внимание на то, что теория волн тесно взаимодействует с физическими теориями упругости, гидродинамики и электромагнитного поля [9, 48, 49].
Рассматриваемые ниже математические модели волновых процессов ограничиваются двумя независимыми переменными (одной переменной является время t, второй — координата х). При этом исследуются как линейные, так и некоторые нелинейные системы не выше третьего порядка, с разными законами дисперсии и диссипации. В соответствии со сказанным приведем краткие сведения по дифференциальным уравнениям с частными производными, отвечающим данным признакам.
222
Глава 11
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
ох* охсп т‘ ox at
оде непрерывная функция Ф задана, а все производные непрерывны.
Характер решения уравнения (11.1) в значительной степени определяется знаком дискриминанта Д = АС — В2. Различают три случая:
1.	При Д < О уравнение (11.1), описывающее в этом случае два различных семейства характеристик, называется гиперболическим.
2.	При Д = 0 уравнение (11.1), описывающее в этом случае одно семейство характеристик, называется параболическим.
3.	При Д > 0 уравнение (11.1) называется эллиптическим, при этом действительных характеристик не существует.
Рассмотрим несколько частных случаев уравнения (11.1) [38, 57, 75].
Параболическое уравнение вида
(11.2)
ду _ сРу dt -7fo2’ оде 7 — постоянный коэффициент.
Уравнение (11.2) описывает, например, распространение тепла вдоль тонкого стержня, являясь одномерным уравнением теплопроводности.
Уравнение, называемое волновым и относящееся к классу гиперболических:
dt2 dx2'
(11.3)
описывающее распространение плоских волн в линейных, бездиспер-сионных средах со скоростью с вдоль координаты х.
Уравнение (11.3), впервые составленное Ж.Д’Аламбером для описания свободных колебаний натянутой струны, стало затем использоваться в качестве математической модели волновых процессов электродинамики, гидродинамики, акустики и других направлений физики.
Волновое дисперсионное уравнение, относящееся к классу гиперболических, называемое уравнением Клейна-Гордона:
&у dt2
о52у 2
= с^ + ту’
(11.4)
описывающее распространение волн в линейных дисперсионных средах вдоль координаты х.
Анализ волновых процессов
223
Для волн, описываемых уравнением (11.4), справедливо следующее дисперсионное уравнение:
со2 = с2 к2 + т2.
Приведем часто встречающиеся в теории колебаний нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными.
Уравнение Синус-Гордона, учитывающее дисперсионные свойства системы и используемое в нелинейной теории электромагнитного поля:
= с2|-| — Wgsiny.	(11.5)
ОХ
д2у dt2
Уравнение Бюргерса, учитывающее нелинейные свойства системы с диссипацией:
(11.6)
9у ,, А _ &у _ п dt+ydx дх2 °’
где а — коэффициент диссипации.
Уравнение, учитывающее нелинейные и дисперсионные свойства среды:
dt +qdx + F(y)dx °’
• (В.7)
где F(y) — нелинейная функция.
Нелинейное уравнение, описывающее распределенную структуру с отрицательной активной проводимостью g < 0. Такая структура называется системой активного типа, поскольку распространяющаяся в пей волна не теряет, как в остальных, а наоборот, при g < О многократно увеличивает свою энергию:
Й-»(»)£•	(И.8)
Уравнение (11.8) может являться математической моделью первого приближения СВЧ усилителей распределенного типа, в которых поток зарядов относительно долго взаимодействует с пространственной электромагнитной волной, передавая ей свою энергию.
Уравнение Кортевега-де Фриса (сокращенно КдФ), описывающее распространение уединенных волн (солитонов) в нелинейной дисперсионной среде:
ду „ ду д^у
(11.9)
где 0 — постоянный коэффициент.
224
Глава 11
Функция у = $(t,x), удовлетворяющая уравнениям (11.1)—(11.9), называется решением или интегралом этих уравнений. Для нахождения этого решения необходимо выполнить два условия. Следует, во-первых, задать начальные условия, т.е. описать состояние системы в фиксированный, начальный момент времени t = 0, с которого начинается процесс. Во-вторых, необходимо определить граничные условия, т.е. описать состояние объекта па границе рассматриваемой области пространства, в которой протекает исследуемый процесс.
Таким образом, функция у = должна также удовлетворять как самому составленному уравнению, так и начальным и граничным условиям
Линейные системы помимо прямого решения описывающего их дифференциального уравнения можно исследовать также другим методом — с помощью интеграла наложения, или интеграла Дюамеля, что обсуждается в разд. 12.2.
11.2. Конечно-разностный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными
Сущность численного метода решения дифференциального уравнения. Аналитические способы решения не только нелинейных, но и линейных дифференциальных уравнений с частными производными весьма сложны, причем точные решения удается получить только в отдельных случаях [57]. Поэтому более часто применяется численный метод, в том числе конечно-разностный, реализуемый с помощью компьютерных программ. Поскольку именно этот метод используется в составленных ниже программах решения уравнений (11.2)—(11.9), то остановимся на нем более подробно [25, 29, 57, 64, 67, 72].
В основе численного метода решения дифференциального уравнения первого порядка лежит формула
У, = $ = ^(х.У)> ах
которую при малых приращениях Дт, Ду можно представить в виде Ду = F(x, у)Дх.
С учетом последней записи получим следующую рекуррентную формулу, позволяющую вычислить значение функции на (i 4- 1)-м шаге при известном значении функции па предыдущем i-м шаге:
У,+1 = У. + F(xi, у,) Дт,	(11.10)
где Дх — шаг изменения аргумента.
Анализ волновых процессов
225
Начальное значение функции гд должно быть задано. Затем перейдя от первого ко второму, от второго к третьему шагу и т.д., МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ функцию pi при любом числе шагов п, т.е. при сколь угодно большом значении аргумента ц = (Дх)п. Заметим, что ошибка приближенного решения по данному методу зависит от размера шага Дх, который должен быть достаточно мал.
Для первой производной функции у(х) в
точке х,, отступив на один шаг ниже и выше данной точки (рис. 11.1), можно записать
Рис. 11.1. График функции y(z)
„'(*) = F(z„#i) =	(п.п)
•Ti-4-l ”” «Её—1
т.е. по двум значениям функции можно вычислить ее производную.
По аналогии с (11.11) для 2-й производной функции получим
y"(Xi) = Vi) = y/(Z--+1)27y,(3;<~1).	(11-12)
где /(«<„) =	№-.) =	тт
которые в (11.12), получим для второй производной функции у(х)
<Py(xi) _ х _ y&i+i') - ^y(xi) + y(*i-2)	/11 1
т.е. по трем значениям функции можно вычислить ее вторую производную.
Разделив каждый интервал пополам, т.е. заменив 2Дх на Дх, преобразуем выражения (11.9) и (11.13) для 1-й и 2-й производных к виду
= У'Ы = »(»«)-»(»<), („ ,)4) ах	Ах
^уМ _ х _ l/(x»+i) - 2j/(ii) + y(Xi-i)
- V М---------------------------•	(415)
По аналогии с (11.15) для 3-й производной функции получим
^У(^) _ х _ !/(®«+з) - Зу(х1+1) + 3j/(x<_1) - 1/(х<_3)
-^3-"S'	----------------д^з---------------• (11-16)
Формулы (11.14)—(11.16), используемые в представленных ниже программах, относятся к прямому конечно-разностному методу вычисления производных функций с разделением переменных. Такое 13— 8000
226	Глава 11
Рис. 11.2. «Сетка» при конечно-разностном методе
название метода связано с тем, что производная функции в точке х, вычисляется по разности между ее значениями в окрестности, примыкающей к данной точке.
Функция y(t,x) зависит от двух аргументов. Поэтому при ее нахождении требуется совершать шаги по двум координатам: времени t с шагом At и координате х с шагом Ах (рис. 11.2,а), а всю возможную область вычисления функции y(t, х) на плоскости (t, х) покрыть сеткой, состоящей из двух групп перпендикулярных прямых, отстоящих друг от друга по вертикали па расстояние At, а по горизонтали на Ах (рис. 11.2,6). При этом искомая непрерывная функция y(t,x) заменяется дискретной функцией с двойной индексацией —	. Далее
исходное дифференциальное уравнение заменяется с помощью выражений (11.14)-(11.16) системой линейных алгебраических уравнением (разностной схемой), связывающих значения искомой функции в точках сетки, общее число которых К = N • М, где N — число линий по вертикали, М — горизонтали. Для получения таким методом приближенного решения с приемлемой точностью шаг сетки должен быть достаточно малым, а следовательно, значение К, равное числу составляемых алгебраических уравнений, велико и может равняться тысячам и даже десяткам и сотням тысяч. Поэтому практическая реализация такого конечно-разностного метода решения дифференциального уравнения с частными производными, связанная с решением огромного множества алгебраических уравнений, возможна только с помощью компьютера по специально составленной программе, согласно которой решение находится переходом от одной точки сетки к другой, от одного слоя к следующему (рис. 11.2).
Раскроем на конкретном примере решения одномерного уравнения теплопроводности методику составления такой программы в среде MathCAD.
Численный метод решения одномерного уравнения теплопроводности. Возьмем металлическую пластинку и начнем ее подогревать в центре с помощью газовой горелки. В результате в таком однородном теле появится определенное температурное поле, завися-
Анализ волновых процессов
227
щее как от координат х, у, z, так и от времени t. Очевидно, что чем дальше отстоит данная точка от места нагрева, тем ниже окажется ее температура Т, изменяющаяся со временем. Характеризует температурное поле функция Т = Ф(х,у, z,t), которая должна удовлетворять уравнению теплопроводности, называемому неоднородным уравнением Лапласа или уравнением Пуассона:
ЭТ
д2Т д2Т д2Т\
дх^ + ду2 + ~д^) ’
(П-17)
где 7 — коэффициент теплопроводности, м2/с.
При dT/dt = О, т.е. при стационарном процессе, когда температура тела Т не зависит от времени t, уравнение (11-17) приводится к однородному уравнению Лапласа.
При распространении тепла вдоль тонкого стержня, т.е. допустимости учета распределения температуры Т только вдоль координаты х, уравнение (11.17) примет одномерный вид:
9Т &Т
dt “ 7 Эх2 ’
(11.18)
Умножив левую и правую части уравнения (11.18) на постоянный коэффициент L2 /7, где L — длина стержня, приведем это уравнение к нормированному виду:
дТ _ &Т_ дт ~ dx*'
(11.19)
где т = ~ft/L2 — нормированное время; X = x/L — нормированная координата (0 < X С 1).
Примем в качестве начального условия при т = 0 следующее распределение температуры вдоль стержня, подогретого в середине (рис. 11.3):
ж/ _ I 2Х?Ь
- |2ТЬ(1 -X)
при 0 С X С 0,5, при 0,5 С X С 1.
В качестве граничного условия примем поддержание постоянной температуры на концах стержня. После прекращения нагрева стержень начинает остывать. Определим, как при этом со временем уменьшается температура вдоль стержня, применив численный, конечно-разностный метод решения уравнения теплопроводности (11.19). is*
Рис. 11.3. Нагрев длинного стержня
228
Глава 11
Обозначим номер шага по линейной координате X через i, а по времени т — через j, и заменим левую часть уравнения (11.19) (первая производная) согласно (11.14), а правую (вторая производная) согласно (11.15). В результате получим
7)+i,> ~ Tj'j_— 27),; 4~ Tj'i+i
Дт “ ДХ2
которое путем разделения переменных преобразуем к виду
7)+i,i = Tjti + R(Tjtj-i — 27),< + Tj,i+i),	(11.20)
где R — кт/ЬХ2 — «шаговый» параметр.
Таким образом исходное дифференциальное уравнение (11.18) заменяется разностным уравнением (11.20), решение которого, как показывает анализ, получается устойчивым при R 0,5, причем точность улучшается с уменьшением значения R. Данное обстоятельство следует учитывать при выборе шагов Дт, ДХ, которые должны быть достаточно малы.
Разбив весь интервал по нормированной координате X на М частей (напомним, что 0 С X 1), а по нормированному времени т — на N частей, получим для «шагового» параметра:
где — конечное значение нормированного времени при расчете.
Составим программу на языке MathCAD численного решения уравнения теплопроводности (11.19) конечно-разностным методом с учетом перечисленных условий. Такая программа приведена на рис. 11.4, где приняты следующие обозначения: М — число точек отсчета по X координате; N — число точек отсчета по времени т;
Численный метод
М:=100	М1>1 + М А:- — А = 0.01
N := 1000	ТК:=100 М
R := 0.5 tv := (RN) tv = 0.05 М2
i.-=0..MI
T0J:- |(2 TX A i) if 05iS0! M |[2 TK (1—A-iJ) if 0.5 M< is MI
j»0..N i»l_M Tjt.:-0
* Ti.i + R (Tj.i-i - 2 Tjtl + Tjikl) TjlM :=0
Метод Фурье
U0:=100	t:=005
x-VQl if0SxS0.5
| [2 UO-(l-x)] ifO.5<xSI
n:=l..2O bB:=2-f Ф(х)  xin(n • x i^dx -о
Рис. 11.4. Программа расчета нагрева стержня
Анализ волновых процессов
229
Рис. 11.5. Результаты расчета по программе рис. 11.4
ТК — значение температуры То при т = 0; R — обобщенный параметр (11.21), tv — конечное значение времени tn при расчете.
Расчет проводится по рекуррентной формуле (11.20) в рамках двух циклов: по времени с шагом Дт от 0 до N (индекс j) и по координате X с шагом ДХ от 1 до М (индекс i) (рис. И.2,а). При этом для получения устойчивого решения необходимо иметь R 0,5.
Результаты расчета по программе в виде графиков изменения температуры вдоль стержня при четырех значениях времени tv приведены на рис. 11.5,а. По ним можно проследить, как со временем при постоянной температуре на концах стержня меняется температура во всех точках вдоль него.
Сравним полученные численным путем результаты с аналитическим способом решения уравнения (11.19), основанным на рядах
230
Глава 11
Фурье. Расчет проведем по формуле [75]
U(x,т) = 57 &пехр(—п2?г2т) sin(nTrx), 0 < х < 1,	(11.22)
т=1
где Ьп = 2 Jq Ф(х) sin(mrr) dx.
Расчеты по формуле (11.22) проводятся согласно второму разделу программы, приведенной на рис. 11.4 (метод Фурье), а результаты в виде графиков приведены на рис. 11.5,5. Сравнение результатов расчета по двум методам — численному и аналитическому (рис. 11.5) — показывает их совпадение с высокой точностью.
Следует особо остановиться на вопросе сходимости и устойчивости конечно-разностного метода решения дифференциального уравнения. Для каждого вида уравнения следует определять максимально допустимую величину шага Дтах, приводящую к сходимости решения. Следует выбирать шаг Д < Дтах. В противном случае ввиду накопления ошибки при счете устойчивость решения будет нарушена и получение достоверного результата станет невозможным [72]. Так, в рассмотренном выше примере для обеспечения устойчивости следует иметь обобщенный «шаговый» параметр R С 0,5.
На основе математических моделей, представляемых в виде разностных уравнений, рассмотрим распространение волн в форме гармонического колебания и импульса в следующих средах: линейной бездисперсионной, линейной дисперсионной, активной и нелинейной. Кроме того, при анализе линейных моделей воспользуемся методом на основе интеграла Дюамеля.
Контрольные вопросы
11.1.	В чем состоит отличие распространения электромагнитных воли от акустических?
11.2.	С какими физическими теориями взаимодействует теория волн?
11.3.	В чем состоит сущность численного решения дифференциальных уравнений с частными производными?
Глава 12
ВОЛНЫ В СТРУКТУРАХ
РАСПРЕДЕЛЕННОГО ТИПА
12.1.	Волны в линейной бездиперсионной среде
Рассмотрим распространение волн в линейной бездисперсион-ной среде на примере колебания натянутой струны — источнике звука. Первым к решению данной задачи привлек математиков англичанин Б. Тейлор в 1713 г. Еще через 15 лет появилась работа Я. Бернулли «О колеблющихся струнах». Но современное понимание данной проблемы впервые было сформулировано французским ученым Д’Аламбером, опубликовавшим в 1747 г. работу «Исследование по вопросам о кривой, которую образует натянутая струна, приведенная в колебание», положившую начало новому направлению в науке под названием «математическая физика». Уравнение в частных производных, описывающее колебание струны, ученый составил, опираясь на разработанный им метод, вошедший в физику под названием «принцип Д’Аламбера». Для решения составленного уравнения ученый использовал так называемый способ множителей, обратившись к работам Эйлера по дифференциальным уравнениям. Вскоре и сам Эйлер активно подключился к проблеме колеблющейся струны, осознав всю глубину работы Д’Аламбера, выходящей за рамки частной задачи, и предложив свои методы решения и свое видение природы полученных результатов. В плодотворном соперничестве двух ученых и протекало становление новой научной дисциплины, связанное с изучением методов решения дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих самые разнообразные физические процессы. Спор между великими математиками носил принципиальный характер, дискуссия была острой, и не всегда ее участники были довольны друг другом. Так, например, в одном из писем Эйлер писал: «Господин Д'Аламбер сделал мне множество возражений по этому вопросу. Но,
232
Глава 12
признаюсь, я не нахожу их достаточно сильными, чтобы опровергнуть ваше решение. Этот высокий гений, как мне кажется, слишком склонен уничтожать все то, что сделано не им самим... Господин Д’Аламбер повсюду проявляет великое стремление сделать сомнительным все то, что утверждали другие, но он никогда не потерпит, чтобы такие же возражения были сделаны против его исследования».
В целом дискуссия по проблеме колеблющейся струны с участием многих выдающихся математиков (Лагранжа, Фурье и других) затянулась лет на пятьдесят и была завершена только к 1790 г.
А теперь перейдем к существу дела — уравнению Д’Аламбера, составленному с учетом следующих предпосылок:
•	струна есть топкая нить длиной L, закрепленная с обоих концов и способная колебаться;
•	струна находится под действием силы натяжения F;
•	в состоянии равновесия, без действия внешних сил, струна вытянута вдоль оси х;
•	при выводе струны внешней силой из состояния равновесия она начинает колебаться, причем силами, препятствующими этому движению, пренебрегаем;
•	все движения струны происходят в одной плоскости, все точки струны движутся перпендикулярно оси х, т.е. рассматриваются только поперечные движения струны.
В результате собственные поперечные колебания струны, вызванные временно действующей внешней силой (скажем, оттянули струну и отпустили ее), описываются следующим дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка, совпадающим с волновым уравнением (11.3):
д2у _ 2д2у dt2~a дх2'
где х — абсцисса точки струны; у — ордината той же точки, т.е. ее отклонение от состояния равновесия; t — время; а — постоянный коэффициент (размерность — м/с), определяемый как
а = 7?7(р5),
где F — сила натяжения струны, Н; р — плотность материала струны, кг/м3; S — площадь поперечного сечения струны, м2.
Решать уравнение (12.1) следует с учетом граничного и начального условий. Поскольку концы струны длиной L закреплены, то следует принять следующее граничное условие: у(0) = 0, у(£) = 0.
(12.1)
Волны в структурах распределенного типа
233
Рис. 12.1. График натянутой струны
Начальное условие, связанное с положением струны при t = О, должно быть определено с помощью двух уравнений:
v|t=o = *(x) И	= ф(х),	(12.2)
(=0
где О С х С L.
Примем следующее начальное условие при 4 = 0: струне в точке х = Ь С L (где L — длина струны) сообщено смещение, равное h. Остальные точки струны образуют ломаную, состоящую из двух отрезков прямых линий (рис. 12.1,а).
Умножив левую и правую части уравнения (12.1) на коэффициент (L/ая)2, приведем это уравнение к нормированному виду:
д2у дт2 дХ2 ’ где т = (ira/L)t — нормированное время; X = (x/L)n — нормированная координата (0 С X С «•).
Перейдем от дифференциального уравнения (12.3) к разностному. Обозначим номер шага по линейной координате X через х, а по времени т — через j, и заменим левую и правую части уравнения (12.3) (вторые производные) согласно (11.15). В результате получим
~ 2У),« + Уя-М _ УУ.<-1 ~ Ън,< + Vi.i+1 Дт2	ДХ2
которое преобразуем к виду
Vj+i.i =	~	+ y,,i+i),	(12.4)
где R = Дт2/ДХ2 — шаговый параметр.
Решение согласно рекуррентному соотношению (12.4) получается устойчивым при R С 1, причем точность улучшается с уменьшением значения Я, что следует учитывать при выборе шагов Дт, ДХ, которые должны быть достаточно малыми.
Разбив весь интервал по нормированной координате X на М частей (OCX С ”), а по нормированному времени т — на N частей,
234
Глава 12
М:-200
NvlOOO
R:»O.i6
Ml1 ♦ М Л:- — A-SxlOT* м
YK:«1O q:-O.«
**(£)*v’2
? tfosiSq-M q
YK [1-	ifq-M<iSMl
L (1-q) J
YKA'i
if OSiSq (M-!) 4
YK
if q (M - 1) < i S Ml
j:=I..N is-l_M
Ун.1 >2 ъ.1 -Ъ-1.1 ♦ R (Xi.i-i - 2‘ yj.l * n>l)
L:=200
В150
hr-10
y(x,t):>
(2h)
,y-B (ж-у-В)
w
Y:‘I
• sin(д-у-В)- sin (n y - X)- cos(n  t)
Рис. 12.2. Программа расчета колебаний струны
получим для «шагового» параметра:
(-гуутг/ЛГ)2 2
(к/ЛГ)2	Tn
Я =
(12.5)
где tn — конечное значение нормированного времени при расчете.
Составим программу па языке MathCAD численного решения уравнения колеблющейся струны (12.1) конечно-разностным методом (см. разд. 11.2) с учетом введенных условий. Такая программа приведена на рис. 12.2, в которой приняты следующие обозначения: М, N — число точек отсчета по координате X и времени т соответственно; YK = h, q = b/L — параметры, определяющие положение струны при т = 0 (рис. 12.1,a), R — обобщенный параметр (12.5), tv — конечное значение времени tn при расчете.
В начале программы задается положение струны с помощью параметров YK, q при т = 0 (j = 0) согласно рис. 12.1,а и на первом шаге (j = 1). В дальнейшем проводится автоматический расчет по рекуррентной формуле (12.4) в рамках двух циклов: по времени с шагом Дт от 0 до N (индекс J) и по координате X с шагом ДХ от 1 до М (индекс i) (рис. 12.2).
Результаты расчета по программе в виде графиков изменения положения колеблющейся струны при шести значениях времени при-
Волны в структурах распределенного типа
235
Рис. 12.3. Результаты расчета по программе рис. 12.2
ведены на рис. 12.3,а. По ним можно проследить, как меняется положение струны при колебаниях. Функцию, характеризующую данный процесс, можно представить в виде суммы ряда гармоник с убывающими амплитудами:
ОО
у(г,Х) = J2Ancos(Wnt),	(12.6)
где шп = n^i = кап/L — угловая частота n-й гармоники.
Основная частота колебаний струны, Гц,
Л = Ш1/2тг = O./2L = y/F/pS/IL.	(12.7)
Согласно (12.6)—(12.7) вдоль струны укладывается целое число стоячих волн с кратными частотами fn = nfi. Картина их распределения вдоль струпы может быть самая разнообразная — все зависит от места приложения внешней силы (например, посредине струны или у ее конца) и ее характера (резкий удар или щипок). Пример распределения таких волн приведен па рис. 12.1,6. Звук, издаваемый струной, складывается из этих гармоник, или тонов. Причем высота
236
Глава 12
звука определяется основной гармоникой, а тембр, характерный для каждого инструмента, — высшими гармониками.
В заключение отметим, что полученные численным путем результаты по программе рис. 12.2 с удовлетворительной точностью совпадают с расчетами по формуле, относящейся к аналитическому способу решения уравнения (12.1), основанному на рядах Фурье [75]. Данная формула Y(X,t) приведена в конце программы па рис. 12.2. Проведенные по ней расчеты в виде двух графиков, построенных на рис. 12.3,5, позволяют сравнить аналитический метод решения уравнения (12.1) с численным.
12.2.	Волны в линейной дисперсионной среде
Большая группа разнородных по физической природе волновых процессов анализируется в рамках линейной модели с помощью одномерного линейного уравнения (11.3), называемого волновым. При учете потерь и дисперсии среды, в которой распространяется волна, математическая модель системы усложняется и принимает вид
О-'?В+ай+и1''=°’	<12-8>
от2 ах* at
где с — скорость распространения волны; а — коэффициент, определяющий потери (диссипацию); m — параметр, определяющий дисперсионные свойства среды.
Остановимся более подробно на дисперсионных свойствах линейной среды, существенно влияющих на форму распространяющейся в ней волны, и связанных с дисперсией понятиях фазовой и групповой скорости и времени распространения колебания.
Пусть в среде распространяется гармоническая волна по прямолинейному лучу:
u(t,x) = Ucosfivt — кх),	(12.9)
где к — 2тг/А — постоянная распространения или волновое число, А — длина волны; ш — частота.
Согласно (12.9) из равенства, определяющего точку нулевой фазы kx — wt = 0, для фазовой скорости получим
УФ = x/t = w/k.	. (12.10)
Теперь рассмотрим распространение в той же среде бигармони-ческого сигнала, выражение для которого
u(t, х) = U соз(оМ — kix) + U cos(w2t — к2х)
Волны в структурах распределенного типа
237
Рис. 12.4. Бигармоническое колебание
преобразуем к виду
u(t,x) = 2Дсов —-—t---------------—
cos	(Д u>t — Д/сх)
(12.11)
где Д/с = к2 — кЛ, Дш = ш2 —	— разность частот.
График функции (12.11) приведен на рис. 12.4, где 1 — несущие колебания, 2 — их огибающая.
По аналогии с предыдущим случаем для фазовой скорости несущих колебаний из (12.11) получим
X _ W1 + Ш2 _ 2wi + Да? t ki + к2 2к\ + ДА:
(12.12)
Для фазовой скорости огибающей, называемой групповой, имеем
v _ 1 _
Vrp ~ 1 ~ ~Ьк ~ dk'
(12.13)
Найдем зависимость, связывающую групповую скорость с фазовой, приняв во внимание следующие соотношения:
k=*L
X
к + ДА: =
2тг ~ 2тг А + ДА ~ Т
ДА\
А )'
1
и поэтому
Ьк _ ДА А:	А ’
Для групповой скорости с учетом последнего соотношения получим
_ dw _ d(wo + Ди) _ Л"ф _ dV* ----------а-------v*+k~dk ~Vi~x~ax' <1214)
Среда называется дисперсионной при зависимости фазовой скорости от частоты колебания Уф — F(f) и бездиперсионной при отсутствии такой зависимости, т.е. при Уф(/) = const.
Согласно (12.14) для бездисперсиопной среды, т.е. при dV^/dx = = 0 или dV^/dX = 0, фазовая скорость равна групповой: Уф = Угр. В дисперсионной среде dV^/dX / 0 и поэтому согласно (12.14) те же скорости не равны между собой: Уф Угр.
238
Глава 12
Дисперсия называется нормальной при dV^/du < 0 или </Уф/</А > 0 и Уф > Кр.
Дисперсия называется аномальной при dV^/du > 0 или dV^/dX < 0 и Уф < У^.
Периодическое колебание, отличное от гармонической формы, согласно преобразованию Фурье можно представить как сумму определенного числа гармонических составляющих (см. разд. 1.4). Поскольку каждая из таких гармонических составляющих в дисперсионной среде будет двигаться с разной скоростью, то по мере продвижения волны неизбежны ее искажения, причем в некоторых случаях весьма существенные. В бездисперсионной среде подобные искажения отсутствуют.
Непосредственно с понятием групповая скорость Угр связано другое понятие — время распространения колебаний до нужной точки, называемое также временем задержки Т3. При фиксированной длине L трассы распространения волны Т3(/) = Л/Угр(/). Поскольку время задержки можно выразить также как
2тг а}
то для набега фазы в дисперсионной среде получим

В бездисперсионной среде Т3(/) = Tq — const и фаза колебания </> = — 2irfTo-
Для линейной зависимости времени задержки Т3(/) получим согласно последнему интегралу квадратичную зависимость для фазовой характеристики:
То+^7/) ^ = -2яТ0/-^/2,
(12.15)
где 0 = ЬТ/Щ.
При экспоненциальном характере зависимости Т3(/) имеем
(12.16)
= -2яТ0 2/ + ^ехр(-7/) .
Графики зависимости Т3(/) для бездисперсионной среды Т3(У) = = То = const, а также линейной и экспоненциальной зависимости Т3(/) для дисперсионной среды приведены на рис. 12.5,а.
Волны в структурах распределенного типа
239
Рис. 12.5. Характеристики линии задержки
Другое свойство среды связано с потерями энергии (диссипацией) распространяющейся волны, зависящими от частоты колебаний. Обозначим эту зависимость как Л(/), примеры графиков которой приведены на рис. 12.5,6. В целом частотные свойства линейной одномерной среды — дисперсию и диссипацию — по отношению к распространяющейся в ней волне можно выразить с помощью комплексной функции
Х(/) = Л(/)ехр^(/)].	(12.17)
где — фаза, определяемая, например, согласно (12.15) или (12.16).
Примерами одномерных линейных сред, описываемых функцией (12.17), могут служить фидерные линии передачи электромагнитных волп (двухпроводные, коаксиальные, полосковые и другие) и волноводы (рис. 12.6). С определенными допущениями к ним можно отнести и прямолинейный узкий, но глубокий канал, заполненный жидкостью, и длинные нервные волокна. Гармоническое колебание, распространяющееся в такой линейной среде в одном направлении при отсутствии отраженной волны, может быть описано функцией
u(t,x) — Uoe~ax cos (art - kx),	(12.18)
где fTo — амплитуда колебания в начале линии; а — постоянная затухания.
Рис. 12.6. Фидерные линии и волновод
240
Глава 12
Выражение (12.17) в иной записи примет вид u(t,x) = RefUoe^'e-^e-j*'*) = Не(Щт)е>**"),
где U(x) — UqG~',z — комплексная амплитуда, 7 = а + jk — постоянная распространения.
Проблема анализа распространения волны в линейной дисперсионной среде с потерями значительно усложняется при более сложном колебании. В этом случае необходимо или найти решение дифференциального уравнения вида (12.8) математической модели системы, или рассматривать среду распространения волны как линию задержки, описываемую выражением (12.17) и провести необходимые расчеты с помощью интеграла наложения, называемого также интегралом Дюамеля [38]. Кратко осветим данный вопрос.
В основе метода, основанного на интеграле наложения, лежит представление входного колебания в виде суммы «топких» импульсов бесконечно малой длительности (рис. 12.7) и определение свойств объекта с помощью импульсной характеристики. Воздействие на линейный объект одного такого импульса позволяет определить импульсную характеристику, представляемую интегралом [28],
h(t) = ±- Г ^ = ъГ° |А’(/)| cos(2w/t + М) df, J-OO	Jo
(12.19)
Г°°
где / |К(jw)| du; < 00.
Jo
При колебании, представляемом суммой импульсов (рис. 12.7), следует определить отклик системы не на один, а па сумму таких импульсов. Причем в каждый момент t следует просуммировать воздействие всех импульсов на объект до данного момента, т.е. в промежутке от 0 до t, и учитывая, что каждый последующий импульс сдвинут относительно предыдущего па бесконечно малое время Дт. Заменив операцию суммирования бесконечно малых величин интегрированием, получим выражение, позволяющее рассчитать отклик
Рис. 12.7. Колебание как сумма импульсов
системы на сумму импульсов и называемое интегралом Дюамеля, являющегося сверткой входного колебания и импульсной характеристики [28]:
/•t
y(t) = / x(r)h(t — т) dr, (12.20) Jo
где h(t — т) — импульсная характеристика, определяемая согласно (12.19); х(т) — входное колебание.
Волны в структурах распределенного типа
241
а . = 0 005
Af:-20
.АО
А(П-----
1 + а
0=0.05
а.-=50	А0:= 1
ТО := 1	ЛТ:=1
T3(f):-TO+₽f
„ лт Af
e(f):=-2 * TO f-ж 0 f2
fO
Нк = 2- A(f) а»(2 «-f-»k+e<f))df
U :=c*plioe(t,H) Z(0i) :=inletp(U,t,H.th)
T:=20	m:=2	TC.-0.5 AM>1 f10	t0:=0 2
x(t):= I AM • sin (2 « f -x) ciq(-(T- h-t0|)m] if -TC S r 4 TC
10 if |т| > TC
Yk>f x(r)z(tk-r)dt 'o
Рис. 12.8. Программа расчета распространения волны
На основании формул (12.15)-(12.20) составим программу расчета распространения волны в линейной дисперсионной среде с потерями при любом виде входного колебания. В 1-й части составленной программы (рис. 12.8) записываются характеристики, определяющие затухание Л(/) и время задержки Т3(/) среды распространения волны. Вид этих характеристик может быть практически любым, их графики приводятся в программе. Далее рассчитывается импульсная характеристика объекта Hk согласно формуле (12.19), преобразуемая с помощью интерполяции в непрерывную функцию Z(th). Во 2-й части программы описывается входное колебание Х(т), воздействующее на среду, и рассчитывается согласно (12.20) волна Yk, распространившаяся в объекте. Далее строятся графики импульсной характеристики объекта Z(th), входное колебание Х(т) и волна Yk в линейной дисперсионной среде.
Результаты расчета по программе для двух примеров приведены на рис. 12.9 и 12.10. В 1-м примере показано воздействие колебания на бездисперсионную среду (ДТ = 0) с потерями и с верхней частотой пропускания /j. Рассмотрено три вида входного колебания: экспоненциального импульса, однопериодного колебания и импульсно-гармонического колебания. Во всех трех случаях форма колебания не искажается, а волна, смещенная на время ТО, только затухает. Во
16- 8000
242
Глава 12
Рис. 12.9. 1-й пример расчета по программе рис. 12.8
Волны в структурах распределенного типа	243
2-м примере показано воздействие тех же трех видов колебания на дисперсионную среду (ДТ = 1) с потерями. В этом случае волна, смещенная на время ТО, не только затухает, но и существенно искажается. Причем форма волны зависит пе только от величины дисперсии, по и вида входного колебания. Таким образом, дисперсия среды может внести значительные изменения в форму, распространяющейся по ней волны — растянуть ее, изменить амплитуду и период. Импульсная характеристика Z(th) объекта в 1-м примере имеет форму, близкую к 5-функции, во втором — она сильно растянута.
Помимо рассмотренных случаев по программе рис. 12.8 можно также рассчитать прохождение волны при воздействии на одномерную линейную среду с другими законами потерь А(/), дисперсии T3(f) и форм входного колебания Х(т). Необходимо только внести соответствующие коррективы в программу, записав по-новому выражения для трех данных функций.
12.3.	Волны в активной среде
Активными называется среды, в эквивалентной схеме которых имеется отрицательная активная проводимость, приводящая к возможности генерации и усиления высокочастотных колебаний. Рассмотрим в этой связи два прибора, в которых для усиления сверхвысокочастотных (СВЧ) колебаний используется такая активная среда распределенного типа. Первым является усилитель бегущей волны (УБВ) с полупроводниковой структурой, обладающей эффектом Ганна, вторым — лампы бегущей волны (ЛЕВ) типа «О» [30, 74].
Принцип устройства УБВ с эффектом Ганна становится ясным из рассмотрения рис. 12.11,а. Входной электрод с барьером Шоттки возбуждает СВЧ колебания в рабочем теле усилителя — эпитаксиальном слое арсенида галлия толщиной в несколько микрон, с вмонтированным в полупроводниковую структуру катодом и коллектором. Инжектированный СВЧ сигнал, преобразованный в бегущую волну пространственного заряда, распространяется вдоль тела прибора с отрицательной активной проводимостью, вследствие чего амплитуда СВЧ колебания возрастает. С помощью выходного электрода с барьером Шоттки происходит обратное преобразование волны пространственного заряда в СВЧ электромагнитные колебания.
Эквивалентная схема полупроводникового усилителя бегущей волны (рис. 12.11,а) может быть представлена в виде, показанном на рис. 12.11,6. Согласно эквивалентной схеме работа УБВ описывается
и*
244
Глава 12
Рис. 12.11. Принцип устройства усилителя бегущей волны
двумя дифференциальными уравнениями [30]:
ди . т di dx~R" + Lldt'
"S = Gltt + C1^ + G»(u)u’
(12.21)
где Ri, Gi, Li, Ci — погонные, т.е. на единицу длины, параметры распределенной структуры, представляемой в виде микрополосковой линии; Gn(u) = Gao + p$i(u) — погонная активная проводимость полупроводниковой структуры, зависящая от амплитуды сигнала и имеющая отрицательную составляющую Сдо < 0; Ф(и) — некоторая нелинейная функция; д — постоянный параметр.
Устройство ЛБВ, в которой узкий пучок электронов, двигающийся с высокой скоростью от катода к коллектору, взаимодействует с пространственной электромагнитной волной, распространяющейся вдоль замедляющей структуры — специальной металлической спирали, приведено на рис. 12.12,0.
Эквивалентную схему такого прибора можно представить в виде, показанном на рис. 12.12,6, согласно которой работа ЛБВ в рамках модели первого приближения описывается двумя дифференциаль-
Магнитное поле
в)
Рис. 12.12. Принцип устройства лампы бегущей волны
Волны в структурах распределенного типа
245
ними уравнениями [30]:
di дх
=G,U+C1^-^ at at
(12.22)
где Я1, Gi, Li, Ci — погонные параметры длинной линии; гком — конвекционный ток пучка, возбуждающий электромагнитную волну в замедляющей структуре.
Из сравнения дифференциальных уравнений (12.21) и (12.22) следует, что разный физический механизм усиления СВЧ колебания в двух приборах, приводит однако в математической модели к общему результату — введению в уравнения нелинейного отрицательного члена. Поэтому дальше анализируем только уравнения (12.21).
Продифференцировав первое уравнение (12.21), получим
г £
дх2 1 дх 1 dt
(12.23)
' di \
Подставив второе уравнение (12.21) в (12.23), имеем
= — RiGqu + (RiCi + GoLi)-^- + Ь1С1-^-^+ ox*	at at*
+д7?1Ф1(и)и + М£1^^1,	(12.24)
at
где Go = Gi + GKo — постоянная составляющая погонной активной проводимости.
Пприняв сопротивление потерь R\ = 0, преобразуем уравнение
(12.24)	к виду
= V2— - С— - м д[Ф1(ц)ц] dt2 дх2 dt Ci dt
(12.25)
где V = \/\/LiCi — параметр, определяющий скорость распространения волны; G = (Gi + Сдо)/С1 — параметр, определяющий активные свойства среды.
Перейдем от дифференциального уравнения к разностному. Обозначим номер шага по линейной координате х через i, а по времени t — через j, и заменим левую и правую части уравнения согласно (11.14) (первая производная) и (11.15) (вторая производная). В результате при д = 0 получим
Vj-i.i ~	4- yi+i,i _ 2 i/j.j-i - 2yjti + yjii+i ^yj+i,i -Vj.j
4?	- V --------At2----------G A?--------’
246
Глава 12
М := 250 mi > 1 + м
N:-1200	YK:=1
Xr-3 G>-06
д 2-R2
° 1 + R2
L:=250
V := 100
R1 - 0.028
A - 1
0-2-
1 + R2
B:=------
1 + R2
i>0. Ml
0 if i>LB
У»,! *
if 0 SiSLB
j:-l..N i>l..M
y>l.iA ’ yj.i ” 8  yj-l.i * C‘ frj.i-l ~ 2  Ум * yj.H-l)
Рис. 12.13. Программа расчета распространения волны в активной среде
которое путем разделения переменных преобразуем к виду
У1+1Л =	+ C(yjti-i - 2yjti + yj,i+i), (12.26)
2 + R2	1	R1	- 2	,
где A = -——; В = -——; С = -——; R1 = У2Дг/Даг,
1 + R2 1 + R2 1 + R2	'
R2 = GAt — шаговые параметры.
Решение разностного уравнения (12.26) получается устойчивым при Rl < 1 и R2 < 1, причем точность улучшается с уменьшением их значений, что следует учитывать при выборе шагов Д(, Дт, которые должны быть достаточно малыми.
Составим программу на языке MathCAD численного решения уравнения (12.26) прямым конечно-разностным методом (см. разд. 11.2). Такая программа приведена на рис. 12.13, в которой приняты следующие обозначения: М, N — число точек отсчета по координате х и времени t соответственно; L — нормированная длина усилителя; остальные обозначения соответствуют уравнению (12.27) и принятым в программе рис. 12.2. Усиление колебаний может иметь место только при отрицательном значении активной проводимости G < 0.
Результаты расчета по программе рис. 12.13 в виде графиков движения волны по линии при разных значениях времени tvi = ТК • i/N представлены на рис. 12.14. По ним можно проследить, как меняется амплитуда и форма волны по мере ее продвижения по линии. При отрицательной активной проводимости (G < 0) амплитуда колебания
Волны в структурах распределенного типа
247
Рис. 12.14. Результаты расчета по программе рис. 12.13
непрерывно возрастает. Так, в рассмотренном примере коэффициент усиления амплитуды бегущей волны Кус = 20. Следует отметить, что чем больше абсолютное значение |G|, тем быстрее растет амплитуда. Ее рост можно ограничить только в рамках нелинейной модели при д > 0 в уравнении (12.25). Такая задача при малом значении д <С 1 может быть решена аналитически с помощью метода медленно меняющихся амплитуд [30].
При G > 0 волна по мере движения по линии затухает, что также можно проследить с помощью графиков, рассчитанных по программе.
12.4.	Волны в нелинейной среде
Рассмотрим, какими особенностями располагает нелинейная среда, как она влияет на распространяющуюся по ней волну. Пусть математическая модель нелинейной среды описывается уравнением (11.7), в котором функция F(y) = а^/у, вследствие чего запишем:
^ + оу^ = 0.	(12.27)
от ох
Перейдем от дифференциального уравнения к разностному. Как и ранее, обозначим номер шага по линейной координате х через i, а по времени t — через j, и заменим левую и правую части урав-
248
Глава 12
М:=200	М1:=1 + М
N:-4000	YK-15
т > 10	h : 5
L:=200	Дз.—
М
а:»8	ТК:-2
Д  I
R = 2x 1(Г3
i:=0.. Ml
y0J:- I(YK+ h) if OSiSt I h if i > t
j:=O..N is=l..M
УН.1 = yj.i  R  (l*i.i| T3 	 n.i-1)
Рис. 12.15. 1-я программа расчета распространения волны в нелинейной среде
пения согласно (11.14) (первая производная). В результате получим уравнение
At "	2Дх ’
которое путем разделения переменных преобразуем к виду
Уз+Ы = УзЛ ~	“ Vj.i-i).	(12.28)
„ п с At п с TK/N
где R = 0,5а—— = 0,5а _  -;-шаговый параметр.
Ax L/M
Составим программу па языке MathCAD численного решения уравнения (12.28) прямым конечно-разностным методом (см. разд. 11.2). Такая программа приведена на рис. 12.15, в которой приняты следующие обозначения: М, N — число точек отсчета по координате х и времени t соответственно; L — нормированная длина среды распространения волны; h — начальный уровень среды; остальные обозначения соответствуют уравнению (12.28) и принятым в программе рис. 12.13. Решение разностного уравнения (12.28) получается устойчивым при R С 1.
Результаты расчета по программе рис. 12.15 в виде графиков движения одиночной волны (импульса) при четырех значениях времени tvi = TKi/N приведены на рис. 12.16. По ним можно проследить, как существенно меняется форма волны по мере ее продвижения по линии — она дробится на три импульса разной амплитуды.
Результаты расчета по аналогичной программе рис. 12.17 в виде графиков движения волны в форме высокочастотного импульса при четырех значениях времени tvi = TK i/N приведены на рис. 12.18. И в этом случае волна претерпевает значительные изменения.
Рассмотрим вторую математическую модель нелинейной среды,
Волны в структурах распределенного типа
249
j-О, *1*0	Н1000, *2*0.5
|*3000. *3*1.5	I-4000. *4*2
Рис. 12.16. Результаты расчета по программе рис. 12.15
		L
М:=200	Ml:» 1 + М	Lr-200* Д> —
		M
N:-4000	УК:-5	а:=32	ТК:=2
LB .-20	b:-10	1:-5	Д-1
R:-0.5a	/тк'|	R = 8x 10’’
	\ L )	
i:-0..Ml
h if i>LB
П*Ы * Xj.i " R' (ln.il T*  (Xj.i.i - yj.i-l)
Рис. 12.17. 2-я программа расчета распространения волны в нелинейной среде
описываемую следующим уравнением:
ду dt
ду ду
-aydi+,1di
(12.29)
Перейдем от дифференциального уравнения к разностному. Как и ранее, обозначим номер шага по линейной координате х через i, а по времени t — через j, и заменим левую и правую части уравнения согласно (11.14) (первая производная). В результате получим
- й,
которое путем разделения переменных преобразуем к виду
l/j+i,t — Vj,i — R(Vj,i+l ~ yj,i-i)(yj,i ~ ^)’
(12.30)
250
Глава 12
A = 1
j=O, tv1 =0
J-1000. N3»0.S
Рис. 12.18. Результаты расчета по программе рис. 12.17
М:-200 МП-1 + М L:-200	Д:-1.
М N:=1000 ТК>2 »:-3	Ь:.|
т10	h := 5	YK - 10
i^O.Ml y<i,i“|(YK+h) ifO£i£r
h if i>T
j*O..N is-l-M
7>i.i * Уj.»- R  O').M ~ У1.н)- frj.i" b)
Рис. 12.19. 3-я программа расчета распространения волны в нелинейной среде
где b = q/a; R = 0,5аД^/Дх = 0,5a(TK/N)/(L/M) — шаговый параметр.
Составим программу на языке MathCAD численного решения уравнения (12.30) прямым конечно-разностным методом. Такая программа приведена па рис. 12.19, в которой приняты следующие обозначения: М, N — число Точек отсчета по координате х и времени t соответственно; L — нормированная длина среды распространения волНы; остальные обозначения соответствуют уравнению (12.30) и принятым в программе рис. 12.13. Решение разностного уравнения (12.30) получается устойчивым при R <С 1.
Результаты расчета по программе рис. 12.19 в виде графиков движения одиночной волны (импульса) прямоугольной формы при четырех значениях времени tvi = TK i/N приведены на рис. 12.20. По ним можно проследить, как существенно меняется форма волны
Волны в структурах распределенного типа
251
Рис. 12.20. Результаты расчета по программе рис. 12.19
по мере ее продвижения по линии — она дробится на три импульса разной амплитуды.
Таким образом, из проведенного анализа следует, что нелинейность среды существенно влияет на форму и параметры распространяющейся по ней волны. Причем заранее предсказать, каковы будут эти изменения практически невозможно, поскольку они в значительной степени зависят не только от параметров самой среды, но и от вида возбуждающей систему волны и времени ее распространения. При каждом новом виде волны следует проводить самостоятельный анализ по программе, аналогичной рис. 12.15, 12.17 или 12.19.
12.5.	Волна-импульс в нелинейной среде
Рассмотрим распространение волн-импульсов в нелинейной среде на примере импульсов, передаваемых по нервным волокнам. В 1791 г. итальянский физиолог Луиджи Гальвани опубликовал научный труд «Трактат о силах электричества при мышечном движении», положив тем самым начало изучению электрических явлений в живых организмах. Одно из явлений, изучаемых в рамках нового направления в физиологии, состояло в распространении электрического импульса вдоль нервного волокна.
В целом нервная система живого организма представляет собой сложную, разветвленную сеть сцепленных между собой нервных клеток (невронов или нейронов) со всеми отходящими от нее отростками. В этой сети происходит передача нервных импульсов от рецепторов, т.е. клеток органов чувств и нервных окончаний, на эффекторы, т.е.
252
Глава 12
Рис. 12.21. Условная схема нервного волокна
мышечные и железистые клетки. Фрагмент такой сети, включающий тело клетки и нервное волокно (аксон), закрытое специальной миелиновой оболочкой [8, 74], приведен на рис. 12.21,0.
Обратимся к рассмотрению математической модели процесса распространения по аксону электрического импульса, передающего в закодированном виде информацию от рецепторов к эффекторам.
Аксон вместе с закрывающее его оболочкой цилиндрической формы можно представить в виде длинной линии, эквивалентная схема которой приведена на рис. 12.21,6. Эта схема подобна эквивалентной схеме фидерной линии (см. рис. 12.11,6) с одним существенным различием: в случае аксона в состав схемы входит нелинейная проводимость Сд(и) = дФ1(ц).
В целом эквивалентная схема рис. 12.21,6 описывается двумя дифференциальными уравнениями (12.21), которые в рассматриваемом случае приводятся к виду
= (7?! Ci +G1M)^ +	+дЛ1цф1(ц),	(12.31)
ах*	at at
где Ri, Gi, Li, Ci — погонные параметры длинной линии, заменяющей аксон; Ф1(и) — функция, описывающая нелинейные свойства аксона.
Преобразовав уравнение (12.31), получим
92U	..o&U ди	.
аё = v	<12й>
где V = 1/x/LiCi — параметр, определяющий скорость распространения волны; д = fii/Li + Gi/Ci — параметр, определяющий потери постоянной величины; q = p-ftiV2— параметр, относящийся к нелинейной функции Ф1(и).
Волны в структурах распределенного типа
253
Нелинейная функция Ф1(и) зависит от многих факторов и может принимать разные записи. Для упрощенной Модели аксона примем Ф1(и) = ри2.
Перейдем от дифференциального уравнения к разностному. Обозначим номер шага по линейной координате х через i, а по времени t — через j, и заменим левую и правую части уравнения согласно (11.14) (первая производная) и (11.15) (вторая производная). В результате с учетом принятой зависимости для нелинейной функции из уравнения (12.32) получим
Уу-1,<-2уь« + УгМ.< _
At2
= + _ >;+.,.-1?.. _
L1X
которое путем разделения переменных преобразуем к виду
Ун-I.i =	- Byj-lti + C(yj,i_i - 2у^ + yj.4+1) - D(yj,i)3, (12.33)
2 + G —	1	_	_	J?2
™c X “ iVg; B ’ Г+с’c = Г+G; D = F7c; G "’д<; R‘ “ = У^Д^/Дх2, R? = q&t2 — шаговые параметры.
Решение разностного уравнения (12.33) получается устойчивым при Я1 1 и Rz 1, что следует учитывать при выборе шагов At, Дх, которые должны быть достаточно малыми.
Составим программу на языке MathCAD численного решения уравнения (12.33) прямым конечно-разностным методом (см. разд. 11.2). Такая программа приведена на рис. 12.22, в которой приняты следующие обозначения: М, N — число точек отсчета по координате х и времени t соответственно; L — нормированная д лина аксона; остальные обозначения соответствуют уравнению (12.33) и принятым в программе рис. 12.13.
м := 400	Ml := 1 + М N:=2000	YK:= 10	L:=200	A:=i.	A = O.S M V:=500	TK:-2	
Q^20	S:=0.01	G.-0.01 i:-0..Ml		Q]’]
y0>1:=YK exp[-S U i-Q)2] -*(?Ш 1 + G	1 + G	yw >YK-«p[-e-[A •(«-!)- Rl-1	R2:= 0.0001 „ R1	„ R2 	 D-	 1 + G	1 + G i:»-l_M fo.l-l-2 yj,l + yjj+l)-D tai)*	
Рис. 12.22. Программа расчета распространения импульса по аксону
254
Глава 12
Рис. 12.23. Результаты расчета по программе рис. 12.22
Чтобы убедиться в правильности составленной программы, сначала рассчитаем прохождение импульса экспоненциальной формы по линии без потерь, т.е. при G = 0 и R2 = 0 (см. рис. 12.22). Результаты такого расчета в виде графиков движения импульса экспоненциальной формы по линии при разных значениях времени tvi = ТК • i/N представлены на рис. 12.23,а. По ним можно проследить, как движется импульс по линии, не меняя свою форму, что и следовало ожидать при отсутствии потерь.
Далее проведем расчеты по программе рис. 12.22 при наличии потерь, в том числе и нелинейных. Все исходные данные приведены в тексте программы рис. 12.22. Результаты такого расчета в виде графиков движения импульса экспоненциальной формы по линии при разных значениях времени tvi приведены на рис. 12.23,6 По ним можно проследить, как меняется форма нервного импульса по мере продвижения по аксону.
Следует учитывать упрощенный характер приведенной здесь математической модели аксона. В действительности законы, описывающие прохождение нервных импульсов, носят более сложный характер. Однако принципиальную сторону явления — изменение формы нервного импульса при его распространении по аксону — с помощью программы рис. 12.22 все же проследить удается.
Волны в структурах распределенного типа 255
Контрольные вопросы
12.1.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 12.2 графики колебаний струны при q = 0,1 и 0,5.
12.2.	В чем состоит отличие фазовой скорости от групповой?
12.3.	Как с помощью интеграла Дюамеля можно рассчитать распространение волны в линейной одномерной среде?
12.4.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 12.8 графики распространения гармонической волны в линейной одномерной дисперсионной среде при линейной характеристике для времени запаздывания и экспоненциальном законе для амплитудной характеристики.
12.5.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 12.13 графики распространения экспоненциального импульса в активной одномерной среде.
12.6.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 12.15 графики распространения экспоненциального импульса в нелинейной одномерной среде.
Глава 13
ВОЛНЫ в сплошных
СРЕДАХ
13.1.	Характеристика сплошной среды
Важным разделом гидродинамики является исследование распространения волн в сплошных средах — жидкостях и газах. Практическое использование результатов теории по данной проблеме исключительно широко и связано с процессами волнового характера, происходящими на земле, в атмосфере и океане, с распространением в них акустических, сейсмических, гравитационных, магнитогидродинамических и других типов волн. Такие разрушительные по своей силе явления природы, как землетрясения, цунами, тропические циклоны, имеют прямое отношение к волновым процессам глобального характера в сплошных средах.
Особенностью сплошных сред является их непрерывное однородное распределение в пространстве, текучесть, обусловленная малой сопротивляемостью деформации сдвига, и вязкость. Изучение движения жидкости и газа под действием внешних сил и сопутствующих им волновых процессов составляет предмет гидродинамику [9, 37, 45, 49]. В ее основе лежит следующий постулат: жидкость и газ состоят из частиц, объем которых велик по сравнению с межмолекулярными расстояниями, но бесконечно мал по сравнению со всей средой. Такой подход позволяет изучать физико-механические параметры движущихся жидкости и газа и сопутствующие им волновые процессы, как функции координат в пространстве х, у, z и времени t. Сами процессы описывается с помощью системы дифференциальных уравнений движения и неразрывности (непрерывности) 1-го порядка, связывающих скалярные величины — давление р, плотность р и векторное поле скорости v частиц жидкости или газа, движущихся под действием заданных внешних сил. Решение данных уравнений позволяет найти следующие зависимости для давления, плотности и трех составляю-
Волны в сплошных средах
257
щих вектора скорости от времени и трех декартовых координат:
р= Fi(x,y,z,t), р= F2(x,y,z,t),
vs = F3(x, у, z, t), vv = Ft{x, y, z, t), vt = F5(z, y, z, t).
В сплошных средах могут распространяться упругие волны, связанные с механическими колебаниями частиц этой среды относительно их равновесного состояния. Упругие волны могут быть продольными при колебаниях частиц среды в направлении распространения волны и поперечными при колебаниях частиц перпендикулярно направлению распространения волны.
В случае волны, распространяющейся в одном направлении, например вдоль координаты х, и потому называемой плоской, параметры, характеризующие колебательное движение частиц сплошной среды, зависят только от этой координаты х и времени t. В результате математическая модель процесса распространения плоской продольной волны описывается волновым уравнением относительно потенциала скорости следующего вида:
=	(13.1)
где с — скорость распространения волны.
В общем случае скалярная функция потенциала скорости tp(x, у, z, t) связана со скоростью v следующим соотношением: v = = grad (</5), которое может быть представлено в виде
д2у> dt2
v дх' Vv
д<р ду'
др
dz ’
означающим, что векторное поле v скорости является градиентом скалярной функции <p(x,y,z,t).
Благодаря свойству текучести жидкость принимает форму бассейна, сосуда или любой иной емкости, внутри которой она находится. При этом свободная поверхность жидкости при отсутствии внешнего воздействия является плоской при однородном поле тяжести.
Различают несжимаемую и сжимаемую сплошную среду. К несжимаемой среде относится жидкость, плотность которой практически не зависит от давления, а к сжимаемой — газ, в котором эта зависимость заметна.
Еще одним параметром, характеризующим жидкость, является ее вязкость, связанная с сопротивляемостью сдвиговым напряжениям. Жидкость, в которой вязкость минимальна и потому ею можно пренебречь, называется идеальной. При вязкости равной нулю сдвиговые напряжения не возникают.
17-«000
258
Глава 13
С учетом свойств сплошной среды в ней возможно распространение следующих видов волн: поверхностных и внутренних, с малой и повышенной амплитудой колебаний, в форме пакета и одиночного колебания.
Поверхностные волны распространяются на свободной поверхности жидкости, внутренние — на поверхности раздела несмешиваю-щихся между собой сплошных сред разной плотности. В распространении поверхностных и внутренних волн важную роль играют силы тяжести и поверхностного натяжения.
К продольным волнам с относительно малой амплитудой колебаний частиц среды относятся акустические или звуковые волны. Сжимаемость среды является определяющим фактором при их распространении.
К продольным волнам с повышенной амплитудой колебаний частиц среды относятся ударные волны, возникающие при резком, скачкообразном изменении давления, например, при взрыве. В случае ударных волн необходимо учитывать нелинейные свойства среды.
Особый случай представляет собой анализ распространения в сплошной среде, в частности по поверхности жидкости, уединенной волны, называемой солитоном, который в каждый момент локализован в некоторой области пространства. Анализ распространения уединенной волны проводится в рамках нелинейной дисперсионной модели среды.
Ниже проводится анализ распространения всех перечисленных видов волн.
13.2.	Поверхностные волны в жидкости
Три типа волн. Под воздействием силы тяжести свободная поверхность жидкости, находящейся в каком-либо бассейне, в силу свойства текучести является плоской и неподвижной. Движение в жидкости в виде распространяющейся по ее поверхности волны наступает при внешнем воздействии в каком-либо ее месте. Таким воздействием может служить, например, ветер или брошенный в жидкость предмет. Поверхностные волны представляют собой отклоне-
ная волна в жидкости
ния поверхности жидкости от равновесного состояния, распространяющиеся под действием сил тяжести и поверхностного натяжения, стремящихся восстановить нарушенное равновесие (рис. 13.1).
Распространение поверхностной волны в идеальной жидкости (т.е. без
Волны в сплошных средах
259
учета вязкости) зависит от длины волны А, глубины бассейна Л, сил тяжести и поверхностного натяжения.
Пусть по поверхности воды вдоль оси х под действием ветра или иных внешних сил распространяется плоская волна, описываемая гармонической функцией для потенциала скорости:
р = A(z) sin(wt — /сх),	(13.2)
где A(z) — функция, определяющая зависимость амплитуды от вертикальной координаты z; к = 2тг/А — волновое число; w = 2тг/, / — частота колебаний; Т = 1/f — период колебаний.
Амплитудная функция A(z) в (13.2) при учете силы тяжести и поверхностного натяжения должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению [9, 37, 45]:
Я2 Д
j^-k2A = 0,	(13.3)
которое позволяет получить следующее дисперсионное уравнение:
ш2 = (дк + 7&3) th(kh),	(13.4)
где д — ускорение силы тяжести; 7 = а/р — коэффициент, учитывающий действие поверхностного натяжения; а — коэффициент поверхностного натяжения; р — плотность жидкости.
Для морской воды а = 0,073 Н/м, р = 1020 кг/м3, 7 = а/р — = 72 • 10"® м3/с2.
В (13.4) член дк определяет действие силы тяжести — гравитационную составляющую; член 7Л3 — силу поверхностного натяжения — капилярную составляющую. Введем коэффициент для отношения этих величин:
S(A) = (13’5)
график которой для морской воды при 7 = 72 • 10“® построен на рис. 13.2, где длина волны А в м.
Рис. 13.2. График зависимости S(A)
260
Глава 13
Согласно данному графику можно различать три зоны и соответственно три типа волн:
1)	при 5(A) < 0,1 и соответственно А < 5 мм, когда можно учитывать только влияние поверхностного натяжения, такие волны называются капилярпыми;
2)	при 0,1 < 5(A) < 10 и соответственно 5 мм < А < 50 мм, когда следует учитывать влияние •обеих сил: поверхностного натяжения и тяжести; такие волны называются капилярпо-гравитационпыми;
3)	при S(A) > 10 и соответственно А > 50 мм, когда можно учитывать влияние только силы тяжести; такие волны называются гравитационными.
Рассмотрим в отдельности три названных типа поверхностных волн.
Гравитационная волна. При учете только силы тяжести (зона 3 на рис. 13.2) дисперсионное уравнение (13.4) примет вид
ш2 = pfcth(fcft),	(13.6)
а фазовая скорость согласно (12.10) и (13.6):
(13-7)
Выражение для групповой скорости ггр = dw/dk приведено в программе на рис. 13.3, на котором также построены графики зависимости фазовой VFG(A) (сплошная линия) и групповой скорости VGG(A) (пунктирная линия) при двух значениях глубины бассейна h = 10 и 1000 м для морской воды при 7 = 72 • 10-в. (Графики построены в простом и логарифмическом масштабе.)
Анализ формулы (13.7) и графиков на рис. 13.3 позволяет выделить два наиболее типичных случая: вариант так называемой «глубокой воды» при й/А » 1 (в этом случае th(Afc) « 1) и «мелкой воды» при й/А <К 1 (в этом случае П1(йй) яг hk).
Для гравитационной волны в случае глубокой воды при й/А » 1 из приведенных выше соотношений получим
(13.8)
(13.9)
Пф =
а)2 = дк, 9 дТ к	2тг 7 ’
v'’ = ^4^=S7 = iv'5’’Mt'*- (13л0)
По причине разной скорости движения волны при глубокой воде более длинные волны пробегают один и тот же путь быстрее, чем короткие. Поэтому при одном и том же очаге возникновения волн
Волны в сплошных средах
261
Рис. 13.3. Графики зависимости скорости гравитационной волны от ее длины
разной длины в океане более длинные волны достигнут берега быстрее, чем короткие. Так, например, согласно рис. 13.3 при h = 1000 м волна длиной 1000 м достигнет берега в 10 раз быстрее, чем длиной 10 м, поскольку их скорости разнятся в 10 раз.
Для гравитационной волны в случае мелкой воды при Л/А <£ 1 согласно (13.6) получим
а>2 = ghk2; 1/ф = urp = y/ffh = const,	(13.11)
т.е. независимость фазовой и групповой скоростей от частоты колебаний и, следовательно, отсутствие дисперсии, что наглядно прослеживается па графиках рис. 13.3.
Движение частиц жидкости при z = 0 на поверхности в случае гравитационной волны характеризует следующее выражение для потенциала скорости:
ф(т, z,t) — Aekz coe(cvt — кх),	(13.12)
где z < 0, согласно которому амплитуда потенциала скорости убывает с глубиной по экспоненциальному закону. При этом траектория частиц в волне при глубокой воде определяется выражениями:
к
х = то - A—ekz° cos(u)t — кхо),	(13.13)
к l.
z = zo — А-sin(wt - kxg),	(13.14)
где то, 2d — координаты частицы при их равновесном положении.
Исключая из двух последних выражений время, получим урав-
262
Глава 13
непие для траектории частиц
(х -®0)а + (г - го)2 =	е2*1,	(13.15)
где z < 0, представляющему собой уравнение окружности.
Следовательно, траектория частиц, совершающих волновое движение, есть окружность, радиус которой убывает с глубиной по экспоненциальному закону. На рис. 13.4 показан пример такого движения с мгновенным положением частицы на ее круговой орбите при амплитуде волны А = 0,02А (45). Чем ближе к поверхности находится частица, тем больше радиус окружности, по которой она вращается. Так в рассматриваемом примере этот радиус для верхней частицы составляет 0,015А, а находящейся на глубине 0,2А он уменьшается до 0,012А.
Определим энергию поверхностной волны. Потенциальная энергия элемента такой волны длиной dx и высотой а от невозмущенного слоя составит /•а
dwn = pgdx zdz = 0,5/xja2 dx,	(13.16)
Jo
где p — плотность жидкости.
Для всей волны амплитудой А и шириной S в фиксированный момент времени ti с учетом (13.16) получим
ГА	Гх
W„ = 0,5pgS / a2 dx = 0,5pgS / 4[cos(fcz - wti)]2 dx = 0,25pgSA2X.
Jo	Jo
(13.17)
Потенциальная энергия волны, как и кинетическая, неизменны во времени и равны между собой. Поэтому для полной энергии волны получим
W = 0,5pgSA2X.	(13.18)
Согласно (13.18) при A, S, А в м для морской воды имеем
W = 5000SA2A [Дж].
Так, например, при А = 10 м, S = 100 м, А = 100 м энергия W = 5  109 Дж.
Волны в сплошных средах
263
Капилярная и гравитационно-капилярная волны. Поскольку длина этих волн весьма мала (А < 50 мм, зоны 1 и 2 на рис. 13.2), то можно принять h/X » 1 или th(hfc) » 1 и из (13.4) получить следующее дисперсионное соотношение и выражение для фазовой скорости:
(13.19)
(13.20)
Выражение для групповой скорости = du/dk приведено в программе па рис. 13.5, на котором также построены графики зависимости фазовой и групповой скоростей для морской воды при 7 = 72 • 10“* и h/X » 1.
Из анализа построенных графиков следует, что при А < 15 мм фазовая скорость (сплошная линия) меньше групповой (пунктирная линия) и, следовательно, дисперсия является аномальной (см. разд. 12.2). При А > 15 мм картина меняется: фазовая скорость начинает опережать групповую и дисперсия становится нормальной. На речной и морской воде капилярная и гравитационно-капилярная волны ориентировочно с длиной волны 5... 50 мм под действием ветра проявляются в виде ряби.
Приведенные выражения и построенные на их основании графики позволяют определить основные параметры трех типов поверхностных волн: гравитационных, капилярных и гравитационно-капи-лярных.
Рис. 13.6. Графики зависимости скорости капилярной волны от ее длины
264
Глава 13
Бигармоническая волна. Рассмотрим, как дисперсионные свойства жидкости влияют на распространение в ней бигармониче-ской волны
u(t) = Ui sin(wi t) + U2 sin(u>2t).
(13.21)
Для анализа воспользуемся методикой, основанной на интеграле Дюамеля, изложенной в разд. 12.2. Примем для дисперсионной зависимости — времени задержки сигнала от частоты — следующую функцию:
T3(f) = To + 0f.	(13.22)
По аналогии с программой рис. 12.8 па основании формул (12.15)-(12.20) составим программу расчета распространения бигар-монической волны в дисперсионной среде с потерями. Такая программа представлена на рис. 13.6, обозначения в которой совпадают с обозначениями, принятыми в программе на рис. 12.8.
Результаты расчета по программе рис. 13.6 представлены на рис. 13.7, на котором Z(th)— импульсная характеристика системы, Х(т) — бигармоническая волна на входе системы, Y* — та же волна на ее выходе.
Й:-10	А0:-1	а:-0.05
ТО:-15	ДТ:-10	Af:-5	Р* —	Р=2
АО Af
TXO>TO*p.f A(f) 1 + а • f’
NT?-500 TH —0.1 ksO.NT tt:=k TH
Hk—2-J A(f)c«(2«.ftt*e(f))df
U.—ctplme((,H) Z(<h) :=interj>(U,t,H.th)
XI—40	И:-4 Ul»l U2:=l	TC:=5	v:=l5
1	2'* *	«Д--—-*	el-2.356 аД-23 562
M	U
X(r) — lui - яв(ш!  т)+ U2 iin(a2  t) if OS t S ТС
|o if |i| >TC
Yt:-| зф) z(t»-r)<h
Рис. 13.6. Программа расчета распространения бигармонической волны
Волны в сплошных средах
265
Из графика следует, что вследствие дисперсионных свойств системы происходит расслоение бигармонической волны на две гармонические с частотами и uj. Причем волна с более низкой частотой wi, т.е. с большей длиной волны Ai, опережает волну с более короткой длиной Aj. При большой протяженности трассы распространения волны в океане такая разница во времени прихода к материку двух волн из одного и того же очага может составлять несколько десятков часов.
13.3.	Уединенная волна
Первым особый вид распространения волн — в виде бегущего импульса — обнаружил в 1834 г. английский ученый Скотт Рассел. Вот какую запись он оставил по свежему впечатлению от увиденной им движущейся уединенной волны: «Я наблюдал за движением баржи, которую быстро тащила вдоль узкого канала пара лошадей, когда внезапно баржа остановилась — вся масса воды в канале пришла в движение, вода собралась у носа корабля в состоянии бурного волнения, затем вдруг оторвалась от него и покатилась с большой скоростью, приняв вид большого уединенного возвышения; округлый, гладкий, четко выраженный холм воды продолжал свое движение по каналу без видимого изменения формы или уменьшения скорости. Я бросился за этой волной верхом: на лошади и догнал ее, когда она все еще двигалась со скоростью около восьми или девяти миль в час,
266
Глава 13
Рис. 13.8. Бегущая и уединенная волна
сохраняя первоначальную форму, и имела около тридцати футов в длину и от фута до полтора футов в высоту. Ее высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял ее в изгибах канала. Так в августе 1834 г. произошла моя первая случайная встреча с этим необыкновенным и прекрасным явлением, которое я назвал «волной переноса» [19, 27, 63, 76].
Добавим, что описанное явление Рассел наблюдал в Шотландии — стране долин, рек и озер — во время верховой прогулки в окрестностях Эдинбурга. Современники не оценили всю глубину и значимость сделанного Расселом открытия. Боле того, многие приняли его за плод богатого воображения. Действительно, ведь все привыкли к тому, что по воде обычно распространяется бегущая волна, например, из-за брошенного камня (рис. 13.8,а). А Рассел открыл новый тип волны — уединенную, особенностью которой являлось то, что она полностью располагалась над поверхностью воды, что после ее прохождения на воде не оставалось никакой ряби и что скорость ее движения отличалась от скорости движения обычной волны (рис. 13.8,6).
В течение многих лет Скотт Рассел занимался проектированием барж для компании, управлявшей каналами вблизи Эдинбурга, и поэтому он много времени проводил на реках, испытывая построенные им баржи. Занимался он также измерением приливных волн в заливах Шотландии. Так что мысли ученого постоянно были заняты проблемой движения судов и их взаимодействия с водой. Он искал ответы на следующие вопросы: как импульс энергии передается от судна жидкости; как та, в свою очередь, влияет на ход корабля; что такое вообще «горб» жидкости; от чего зависит его форма и скорость передвижения.
Поскольку в естественных условиях наблюдать «волну переноса» удавалось редко, то Рассел свои исследования перенес в бассейн, искусственно создавая условия для возникновения такой необычной волны. Приведем один из рисунков Рассела (рис. 13.8,в), из которого становится ясным смысл проводимых им экспериментов. С помощью перегородки в одном из концов длинного и узкого бассейна-канала глубиной h уровень воды поднимался на величину Ь. Затем перегородка резко убиралась, вследствие чего возникала
Волны в сплошных средах
267
колоколообразная волна, двигавшаяся вдоль бассейна и похожая на «волну переноса». Меняя значения h и Ь, экспериментатору удавалось создавать не только одногорбую, но и двугорбую волну.
Сразу после прохождения такой уединенной волны вода в бассейне возвращалась в исходное, спокойное состояние. Из данного экспериментально установленного факта следовал такой вывод относительно «волны переноса»: импульс энергии, передаваемый жидкости, не рассеивается, не «размазывается» по всей поверхности, поскольку рябь отсутствует, а концентрируется в устойчиво распространяющейся уединенной волне. «Поймав» такую волну в конце ее движения в канале с помощью второй, резко опускаемой перегородки (см. рис. 13.8,е), Рассел установил, что первоначально пущенное в канал дополнительное количество жидкости полностью достигает его конца. Следовательно, заключил Рассел, импульс в процессе переноса локализуется. Ему удалось вывести такую эмпирическую зависимость для скорости «волны переноса», распространяющейся в канале без изменения формы:
V = y/g(h + b),	(13.23)
где g — ускорение силы тяжести; Л, Ь соответствуют рис. 13.8,в.
В дальнейшем «волна переноса» стала стержнем научной жизни Рассела, буквально его наваждением. Многие явления в природе — атмосфере и космосе — он стал трактовать в рамках развитой им теории уединенной волны. Книга Скотта Рассела «Волна переноса» была опубликована в 1885 г. спустя три года после его смерти.
Теоретическое объяснение открытия Рассела состоялось только спустя 60 лет. Авторами теории, объяснявшей условия возникновения и существования уединенной волны, явились голландские ученые Кортевега и де Фрис. Составленное и решенное ими нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными дало точный и ясный ответ: да, при определенных условиях на мелкой воде возможно существование устойчиво уединенной волны. Уравнению присвоили имя, составленное из первых букв фамилий его авторов: КдФ. Само уравнение КдФ
^+^+»&=0-	(13.24)
т их 0Xa
Одно из решений уравнения (13.24) у(£,ж) называется солитоном, который в каждый момент локализован в некоторой области пространства. Для определения солитона необходимо знать его форму в начальный момент движения, т.е. при t — 0.
Перейдем от дифференциального уравнения к разностному. Обозначим номер шага по линейной координате х через :, а по времени
268
Глава 13
t — через j, и заменим левую и правую части уравнения согласно (11.14) (первая производная) и (11.16) (третья производная). В результате получим
Vj+i,i ~ Vj,i _ М
_ a Vj,i+1 ~	_ п yj.i+3 -	4-	- Vj,i-3
~ P 2Дх	Дт3
которое путем разделения переменных преобразуем к виду
(13.25)
„^TK/N „ГЯТКМ Д« TKM3 где R1 = 0,5/3— = 0,5/3 / = 0,5/3——; R2 = а—т = a—v — Дх L/M L N Дх3 L3 N — шаговые параметры.
Решение разностного уравнения (13.25) получается устойчивым при Rl < 1 и R2 < 1, что следует учитывать при выборе исходных параметров системы.
Составим программу на языке MathCAD численного решения уравнения (13.25) прямым конечно-разностным методом (см. разд. 11.2). Такая программа приведена на рис. 13.9, в которой приняты следующие обозначения: М, N — число точек отсчета по координате х и времени t соответственно; L — нормированная длина среды распространения волны; остальные обозначения соответствуют уравнению (13.25) и принятым в программе рис. 12.2.
Результаты расчета по программе рис. 13.9 в виде графиков уединенной волны в форме экспоненциального импульса при четырех значениях времени tj приведены на рис. 13.10. По ним можно проследить, как уединенная волна продвигается по одномерной среде, какие опа при этом претерпевает изменения, как из одногорбой становится двугорбой.
М>200
N:=4000
В:-10
Ml >3 + м YK:= 15	L:-200 Р >0.25	Л:- — М ТК:=8
С:-0.1	h>5	a >005
Rl = 2.5x 10Г4	R2;-al|	ткЧ (м’ 7 IV
is-O.. Ml
Л-1
R2 - 1 х Ю4
ye lYK схр[-С • (а  i - В/] + h j>O..N i>3..M
у>1,1 * yj.1 - R1 (X)>i - yj.i-i)' yj.i - K2 bi.M - з • yj.Rl ♦ 3 • yj.i-1 - yj.t-э)
Рис. 13.9. Программа расчета уравнения КдФ
Волны в сплошных средах
269
Рис. 13.10. Результаты расчета по программе рис. 13.9
Аналитическое решение уравнения (13.24) при а = 1, 3 = 1 приведено в Приложении 4.
Различие между результатами анализа по двум методам — численном (рис. 13.10) и аналитическом (см. Приложение 4) — состоит в том, что в первом случае уединенная волна по мере продвижения раздваивается, а во втором остается неизменной формы. Данное различие в результатах объясняется разной формой исходной волны. Следовательно, каждый новый тип исходный волны рождает новый тип солитона.
Таким образом, из проведенного анализа следует, как нелинейность и дисперсионность среды влияют на форму и параметры распространяющейся по ней уединенной волны. При каждом новом виде волны следует проводить самостоятельный анализ по программе, аналогичной рис. 13.9.
13.4.	Акустические волны
Определение. Акустическими, или звуковыми, волнами называются распространяющиеся в упругой среде продольные механические колебания частиц с относительно малыми амплитудами в диапазоне частот 16... 20 000 Гц [22, 39,40, 50, 53, 58, 62, 92]. В каждом месте упругой среды в акустической волне происходят периодические сжатия и разрежения. Поскольку эффект сжатия—разрежения является определяющим для существования акустических волн, то они могут распространяться в твердом теле, жидкости и газе, но не могут, естественно, распространяться в вакууме. При частоте меньше 16 Гц продольная волна в упругой среде называется инфразвуковой, больше 20 кГц — ультразвуковой.
270
Глава 13
Метод возмущений. «Малые колебания» частиц среды означают, что при распространении акустических волн происходят малые отклонения давления p(i) и плотности p(t) относительно их равновесного состояния:
5р = p(t) - ро, <5р = p(t) - ро,
где ро, Ро — равновесные состояния давления и плотности невозмущенной среды.
Данное весьма существенное обстоятельство позволяет воспользоваться методом возмущений, предполагающим составление уравнений, описывающих процессы с относительно малыми колебаниями параметров. Такие уравнения являются линейными, что значительно упрощает решение разнообразных задач.
Согласно методу возмущений из общих уравнений гидродинамики вытекают следующие уравнения для малых колебаний потенциала скорости, давления и плотности (50, 89]:
А 1 д2<р	А_ 1 &6р	Af 1 д'Чр
“ е2 dt2 ’	Л<5р	“ с2 dt2 ’	^Sp ~ & dt2 ’	(13,26)
где с — скорость распространения волны, Д — оператор Лапласа.
В случае потенциала скорости оператор Лапласа ду=^+^ + ^. дх2 ду2 dz1
Аналогичным образом оператор Лапласа записывается для плотности и давления.
Продольная плоская акустическая волна. Таковой называется волна, распространяющаяся в одном направлении, например вдоль оси Ох. Пусть в начале трубы круглого сечения, заполненной газом, располагается источник звуковой волны (рис. 13.11,а). Тогда за счет действия сил упругости колебания газа начнут передаваться от одного участка другому и вдоль трубы побежит упругая акустическая волна, представляющая собой периодически меняющиеся области сжатия и разрежения. Условная картина распространения такой продольной акустической волны, зафиксированная в определенный момент времени, приведена на рис. 13.11,а, на котором зоны с повышенной плотностью газа (сгущения) имеют темный цвет, с пониженной плотностью (разрежения) —светлый, промежуточной между ними — серый. Через полпериода картина поменяется. Расстояние между двумя соседними зонами сгущения или разрежения определяет длину волны А.
Волны в сплошных средах
271
Звук'
б)
Рис. 13.11. Акустическая волна: а— продольная; б— сферическая
(13.28)
Для плоской волны уравнения (13.26) примут вид:
di2 с2 dt2' dx2 с2 dt2 ' дх2 (? dt2 ’ V ’
С помощью волновых уравнений (13.26) и (13.27) можно рассчитать распространение акустической волны в упругой среде.
Плоская продольная акустическая волна является гармонической при колебаниях частиц среды по синусоидальному закону. Потенциал скорости такой волны:
— A cos (cot — — х + а) = A cos(u>t — кх + а), \ С /
где со = 2irf — частота колебаний; а — начальная фаза; со/с = = 2тг//с = 2тг/А = к — волновое число.
Аналогичным образом выглядят выражения для малых колебаний плотности и давления среды в случае плоской гармонической волны.
При периодической волновой функции плоской волны, отличной от гармонической формы, ее можно разложить в ряд Фурье, представив в виде суммы гармонических составляющих (см. разд. 1.4).
Сферическая волна. Сферической называется продольная волна, у которой потенциал скорости, давление и плотность (см. разд. 13.1) зависят только от времени t и расстояния г. Волновое уравнение для потенциала скорости сферической волны, равномерно распространяющейся во все направления:
_ 1 d2<p '	~ ? dt2'
1 д
(13.29)
Общее решение уравнения (13.29) в случае расходящейся волны имеет вид
ф = —Ф(с£ — г),
(13.30)
где Ф — произвольная функция, Ло — начальная амплитуда.
272
Глава 13
Согласно (13.30) потенциал скорости сферической волны уменьшается обратно пропорционально расстоянию г.
Рассмотрим, как распространяется сферическая волна в изотропной и однородной газовой среде при источнике звука в виде небольших размеров шара, каждая точка поверхности которого колеблется вдоль радиуса по синусоидальному закону (рис. 13.11,6). Поскольку шар, помещенный в газовую среду, ритмично расширяется и сжимается, то вокруг него образуется ближняя сферическая зона, частицы которой также начинают совершать колебательные движения по радиусу к центру шара, то приближаясь к нему (при сжатии шара), то удаляясь от пего (при расширении шара). Соответственно давление и плотность газа в ближней зоне также начинают колебаться с малой амплитудой относительно равновесного состояния. Колебательные движения частиц ближней зоны со скоростью с начинают передаваться следующим слоям сферы, окружающим шар, что и обусловливает распространение вокруг шара сферической волны в виде ритмично чередующихся зон повышенного и пониженного давления и плотности газа или, иначе говоря, зон сгущения и разрежения частиц газовой среды.
Таким образом, волновые поверхности сферической продольной синусоидальной волны представляют собой систему концентрических сфер, окружающих источник возбуждения — пульсирующий шар. Уравнение потенциала скорости расходящейся синусоидальной сферической волны
д
<р — — sin(wt — кт).	(13.31)
г
Условная картина распространения сферической волны, зафиксированная в определенный момент времени на плоскости, приведена на рис. 13.11,5, на котором зоны с повышенной плотностью газа (сгущения) имеют темный цвет, с пониженной плотностью (разрежения) — светлый. Расстояние между двумя соседними зонами сгущения или разрежения определяет длину волны А.
Скорость распространения акустической волны. Приведем формулы для скорости распространения акустической волны в разных средах. В тонком длинном стержне (типичный случай твердого тела) имеем
с = у/Ё/Р,	(13.32)
где Е — модуль упругости (размерность Н/м2 = кг/с2м); р — плотность (размерность кг/м3).
Например, согласно (13.32) для стали при Е = 20,6  Ю10 Н/м2 и р = 8000 кг/м3 получим с = 5100 м/с.
Волны в сплошных средах
273
Рис. 13.12. Зависимость для скорости звука в атмосфере
Скорость распространения акустической волны в жидкости
С = уЛ/Гр,	(13.33)
где х — коэффициент сжимаемости (размерность с2м/кг).
Например, согласно (13.33) для морской воды при х = 0,47 х хЮ-9 с^м/кг и р = 1020 кг/м3 получим с = 1450 м/с. В океане акустическая волна может распространяться на тысячи километров.
Скорость распространения акустической волны в газовой среде
с = х/ур/р = xJ^RT = у/у/ЦТо + ST) =	+ ST/То) =
= со%/1 + <5Т/7,о,	(13-34)
где 7 — показатель адиабаты, Т — абсолютная температура в градусах Кельвина (К), То = 273 К, ST — отклонение температуры от То, R = р/рТ — газовая постоянная (размерность Дж/кг-К = м2/с2К); со — скорость при температуре То.
Для воздуха согласно (13.34) при 7 = 1,4, R = 287 Дж/кг-К, 7Ь = 273 К получим со = 331 м/с, что позволяет привести формулу (13.34) при небольших колебаниях температуры St к виду
с « 331 + 0,606(<И)°С [м/с].	(13.35)
Из приведенных примеров видно, как разнятся скорости распространения акустической волны в разных средах.
Рассмотрим, как меняется скорость распространения акустической волны в атмосфере с высотой. При известной зависимости температуры в земной атмосфере T(h), график которой приведен на рис. 3.12,а [89], по формуле (13.34) легко определить искомую зависимость, график которой c(h) построен на рис. 13.12,6.
Интенсивность акустической волны. Силой акустической волны или ее интенсивностью I называется количество энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, нормальной к направлению распространения волны [50]. it -«000
274
Глава 13
—*и«,	—
г^Г *
Рис. 13.13. К определению падающей и отраженной волны
Размерность интенсивности Вт/м2 = кг/с3. Для плоской и сферической синусоидальных волн интенсивность
I = 0,5<?k2pY2 = 0,5сш2рУ£,	(13.36)
где Ym— амплитуда колебаний частиц.
Стоячие волны. Пусть в одном направлении распространяется продольная плоская акустическая волна, которую назовем падающей. Отразившись от некоторого препятствия, та же волна, которую назовем отраженной, начнет распространяться в той же среде в прямо противоположном направлении. В случае гармонического колебания для названных волн, имеющих одну и ту же частоту, запишем:
Нпад(<, х) = Ui cos(wt - кх), Uorp^t, х) = [72 cos(wt + кх + 0О).
Взаимодействие падающей и отраженной волн порождает стоячую волну, комплексная амплитуда которой:
U(x) = ипад(х) + U0Tf>(x) = Ui exp(-jkx) + С72 exp[j(kx + 0O)]- (13.37)
Переместим начало координат к месту отражения (рис. 13.13) и введем понятие коэффициента отражения как отношение комплексной амплитуды отраженной волны к падающей:
Г = 1Л>тр(х)/^пад(а')-	(13.38)
В результате выражение (13.37) для комплексной суммарной амплитуды примет вид
U(x) — Ui exp(jkx) + ГС71 exp(-jfcx).	(13.39)
Значение коэффициента отражения Г определяется конфигурацией препятствия. Так, при распространении акустической волны в наглухо закрытой полой трубе величина Г = — 1, а при открытой трубе Г < 1, так как часть энергии волны покидает трубу.
По программе, приведенной на рис. 13.14, можно рассчитать графики изменения модуля амплитуды стоячей волны вдоль линии при любом значении коэффициента отражения. Для трех случаев: Г = = —1, Г = 0,5exp(jTr/2), Г = 1 такие графики построены на рис. 13.15.
В столбе воздуха, заключенного в трубе, также возникают стоячие волны. В закрытой наглухо трубе (рис. 13.16,а) в первом приближении частота колебаний F = (2n — l)c/4L, где с — фазовая
Волны в сплошных средах
275
GO:-0.5 0:=О5я U0.= l Х:=2
G:=GO expG ®) кх^
U(x):=U0 «pG -к х> + О НО exp(-j k x) UM(x)|U(x)|
Рис. 13.14. Программа расчета модуля амплитуды стоячей волны
Рис. 13.1S. Результаты расчета по программе рис. 13.14
Рис. 13.16. Труба: а — закрытая; б — открытая
скорость волны, L — длина трубы, п = 1,2,3,..в открытой трубе (рис. 13.16,6) та же частота F = nc/2L.
физический принцип работы духовых музыкальных инструментов (органа, флейты, трубы и других) основан на использовании резонансных свойств открытой и закрытой трубы (рис. 13.16), в которых формируются стоячие волны разной частоты. Так, например, орган имеет до нескольких тысяч труб разного диаметра длиной от 5 см до 6 м, в которые нагнетается воздух. Трубы разбиты на регистры, число которых может достигать 150. Каждая труба издает звук определенной частоты, силы и тембра, в целом создавая мощное звучание необычайной красоты.
Эффект Допплера. Данное явление состоит в изменении частоты звука, воспринимаемого приемником, в зависимости от скорости движения объекта относительно наблюдателя. Согласно эффекту Допплера частота звука, воспринимаемая приемником от движущегося объекта в неподвижной среде [92],
пало)
1 + (щ/с) COS 01
II*
276
Глава 13
Рис. 13.17. К определению эффекта Допплера
Рис. 13.18. Программа расчета частоты звука с учетом эффекта Допплера
где Fo — частота сигнала, излучаемая объектом; 01, 9^ — углы, между векторами скорости и линией, соединяющей источник и приемник (рис. 13.17); Vi — скорость источника звука, иг — скорость приемника звука, скорости Vi, щ < с — скорости звука.
Программа расчета зависимости согласно (13.40) приведена на рис. 13.18. В программе частоты (F0, F) в Гц, скорости (с, vl, v2) в м/с, углы 01, #г — в градусах. Пример расчета приведен в программе.
Согласно (13.40) при сближении объектов частота звука, воспринимаемая приемником, увеличивается, при удалении объектов — уменьшается.
Акустические волны в нелинейной среде. Распространение плоских акустических волн в некоторых нелинейных диссипативных средах, например плазме, с удовлетворительной точностью описываются уравнением Бюргерса [62] (см. разд. 11.1):
ду dt
ду _ д2у
+ аудх Чдх2'
(13.41)
где у — нормированная величина изменения давления среды, по которой распространяется продольная акустическая волна; а — коэффициент при члене, определяющим нелинейные свойства среды; q — коэффициент при члене, определяющим диссипацию.
Перейдем от дифференциального уравнения к разностному (см. разд. 11.2). Обозначим номер шага по линейной координате х через », а по времени t — через j, и заменим левую и правую части уравнения согласно (11.14) (первая производная) и (11.15) (вторая
Волны в сплошных средах
277
М:-200
N^IOOO t>10
Ml 1 ♦ М
ТК-2
Y0>15
L:-IOO Д> —	Д-0.5
М
»:-0.1 q:-O.I
YK:- 10
Rl:-0.5 «	М-ЗхИГ*
R2^q-f—Y|—|	R2-8xl0~*
uj lN J
ivO-MJ
y, l> |(YK «ш(д i) + Yfl) ifO4iS18
|y0 if i> 18
j:=O_N
УМ.!>j.i+ (R1 ’ >i.i ♦ “)• >j.M - J' R2' Yj.i ♦ (R2- R1 • yj.i)- Yj.UI
Рис. 13.19. Программа расчета распространения акустической волны в нелинейной среде
производная). В результате получим
Vj+l.i ~ Vj.i _ Vi,i+1 ~	, Vj.i+l ~ 2Vj.i + Vj.i-l
At	Ю,< 2Дт 9 Дт2
которое путем разделения переменных преобразуем к виду
!/j+i,i — Vj.i + (Rlj/j.i + R2)j/j,j_i -2R2j/jii + (R2-Rlyj t)j/j>i+i> (13.42)
о, nc Д* ne ТКМ -on д* ТКМ2
где R1 = 0,5а— = 0,5а——; R2 = q—- — q^T~Z,--------------шаго-
Д.г L N	Дх2 L2 N
вые параметры.
Решение разностного уравнения (13.42) получается устойчивым при Rl < 1 и R2 <£ 1, что следует учитывать при выборе исходных параметров системы.
Составим программу на языке MathCAD численного решения уравнения (13.42) прямым конечно-разностным методом (см. разд. 11.2). Сначала определим, как меняется давление по мере распространения гармонического колебания в нелинейной среде. Такая программа приведена на рис. 13.19, в которой приняты следующие обозначения: М, N — число точек отсчета по координате х и времени t соответственно; L — нормированная д лина среды распространения волны; yj j — текущее значения давления, YK — амплитуда
278
Глава 13
внешнего гармонического воздействия на давление среды; Y0 — давление при невозмущенном состоянии среды; остальные обозначения соответствуют уравнению (13.42) и принятым в программе рис. 12.2.
На том же рис. 13.19 построены графики изменения давления по мере продвижения волны в среде: график 1 при t = 0, график 2 при t = 0,5, график 3 при t = 1 (единицы измерения времени t условны). Из графиков видно, как изменяется давление нелинейной среды по мере распространения по ней акустической волны.
С помощью того же уравнения (13.42) определим воздействие на нелинейную среду двух коротких синусоидальных акустических плоских колебаний частотой F и 3F. Сама программа, аналогичная программе на рис. 13.19, и результаты расчета по ней в виде графиков изменения давления среды при четырех значениях времени tj приведены на рис. 13.20. С помощью данных графиков можно проследить результат взаимодействия в нелинейной среде двух синусоидальных колебаний: как продольная волна продвигается по одномерной среде, какие она претерпевает изменения, преобразуясь из суммы двух синусоид в импульсы.
Таким образом, проведенный анализ позволяет определить влияние нелинейности и диссипации среды на свойства волны, насколько сильно продольная волна, характеризуемая давлением нелинейной среды, по которой она распространяется, отличается от входного воздействия. По программе рис. 13.19 и 13.20 можно рассчитать воздействие на нелинейную среду, описываемую уравнением Бюргерса (13.41), и других видов акустических колебаний и их взаимодействие между собой.
Поскольку при постоянной температуре давление в газовой среде и ее плотность связаны линейным соотношением, то полученные результаты при изменешюм масштабе можно распространить и на изменение плотности среды, по которой распространяется продольная акустическая волна.
13.5.	Внутренние волны
Жидкости и газы могут представлять собой не только сплошные однородные среды, но и состоять из нескольких слоев с разной плотностью. Такие неоднородные расслоенные среды, движущиеся в полях тяжести и силы Кориолиса, существуют как в атмосфере Земли, так и в морях и океанах [42].
Предположим, что на границе раздела двух сред с разной плотностью, возникло возмущение, нарушившее состояние равновесия. Тогда под действием силы тяжести и натяжения частицы среды, выведенные из состояния равновесия, начнут совершать колебания, ко-
Волны в сплошных средах
279
L:=100
 > 1
YK-10
q>0.01
Д =0.3
М>200	М1.-1 + М
N>1000 ТК>2 г >10	Y0>	15
R1-2« 1<Г’
R2 = 8x 1СГ3
yoi:= |(YK un(A i) + O.5 YKun(3-A i)+YO) if 0SiS24 |y0 if i>24
j>O_N i>l..M
У>|.| ’“J'j.i * (R1 ’	* R2)' Xj.i-1 -2- R2- yw ♦ 0U- RJ • yj.i) • yj>i
Рис. 13.20. Программа расчета распространения бигармонической акустической волны в нелинейной среде
торые и представляют собой внутренние волны. Такие волны могут возникать не только в слоистых структурах, но и в средах с непрерывным изменением плотности по их толще. Для устойчивого существования внутренних волн необходимо, чтобы плотность жидкости или газа с глубиной увеличивалась, т.е. чтобы более легкие частицы располагались над более тяжелыми.
Внутренние волны отсутствуют на поверхности водного бассейна, что исключает их визуальное наблюдение. О существовании внутренних волн в морях и океанах судят по скорости их распространения и колебаниям температуры, плотности и солености воды. Такая регистрация параметров внутренних волн осуществляется с помощью специальных гидрологических приборов, опускаемых в толщу водной массы.
Экспериментальные исследования по проблеме внутренних волн показали, что они являются стоячими и отличными от синусоидальной формы, что в океане их период может составлять от нескольких минут до нескольких суток, амплитуда достигать ста метров, а длина
280
Глава IS
Рис. 13.21. Внутренние волям
волны до ста километров. Результаты одного из таких экспериментальных наблюдений внутренних волн приведены на рис. 13.21, где Н — глубина, м, t — время, мин [42].
Теоретическое исследование внутренних волн, осо
бенно в рамках нелинейной модели, является весьма сложной и до конца нерешенной задачей. Приведем только результаты анализа для частного случая бесконечно глубокой жидкости, состоящей из двух слоев: легкого верхнего плотностью pi и нижнего, более тяжелого, плотностью р2 > pi [57]. В этом случае частота колебаний внутренних волн под действием силы тяжести определяется следующим дисперсионным уравнением:
ш2 = дк---———--------,	(13.43)
9 Pl +P2Cth(kh)'	1	’
где д — ускорение силы тяжести; А —глубина; к = 2я/Л — волновое число; А — длина волны.
Отношение амплитуды колебаний внутренней волны к амплитуде колебаний волны на открытой поверхности
в =	= Р1 ехр(АА).	(13.44)
-Апв Р2 - Р1
При малом различии плотности соприкасающихся сред согласно (13.43) частота колебаний внутренних волн весьма мала, а амплитуда этих колебаний в соответствии с (13.44), наоборот, относительно велика.
Внутренние волны играют важную роль в разнообразных обменных процессах, протекающих в морях и океанах.
13.6.	Ударные волны
Жидкости и газы могут находиться в сжимаемом и несжимаемом состоянии. Для ощутимого сжатия жидкости необходимо приложить давление, превышающее сотни тысяч атмосфер [26]. Поэтому -в обычном состоянии жидкость является несжимаемой средой. Совсем иная картина наблюдается в газовой среде. Здесь при относительно небольшом значении давления газ переходит в сжимаемое состояние. Сжимаемость газа является одним из его отличительных свойств по сравнению с жидкостью.
Волны в сплошных средах
281
Запишем для давления в газовой среде р = ро + Др, где Ро — давление, соответствующее несжимаемому состоянию газа, Др — дополнительное давление. Тогда при Др <С ро и до звуковой скорости газа анализ распространения волны можно проводить с помощью метода возмущения (см. разд. 13.4).
При несоблюдении условия малости дополнительного давления следует учитывать повышенную сжимаемость газа. При этом в случае резкого повышения давления возникает особого вида волна, называемая ударной, — поверхность, распространяющаяся в газовой среде, сопровождающаяся изменением плотности и скорости движения частиц и температуры среды. В результате в зависимостях давления, скорости, плотности и температуры от времени и трех декартовых координат: р =	(t, х, у, z), v = $2(t,x,y, z), p = $3(t,s,l/,z),
T = ^t(t,x,y, z), характеризующих состояние газовой среды, появляется резкий скачок. Заметим, что при повышенном значении давления ударные волны могут распространяться так же в жидкостях и твердых телах.
Рассмотрим сначала качественную картину образования плоской ударной волны в круглой длинной трубе с поршнем, разбив анализируемый процесс на несколько малых по времени шагов Д( (15]. В момент to (рис. 13.22,а) поршень начинается двигаться вправо с постепенно наращиваемой скоростью от 0 до V, сравнимой со скоростью звука с. При начальном приращении скорости на величину ДУ за малое время Дt в трубе образуется слабая волна сжатия, которая распространяется в газе со скоростью звука с (рис. 13.22,6). На этой стадии газ, находящийся между поршнем и фронтом ударной волны и сжатый однородно и адиабатически, т.е. без теплообмена с окружающей средой, движется со скоростью ДУ. С другой стороны фронта волны газ находится в невозмущенном и неподвижном состоянии.
На следующем шаге скорость движения поршня возрастает до 2ДУ, вследствие чего вторая волна сжатия, двигаясь с большей скоростью, начинает догонять первую (рис. 13.22,в). После нескольких таких приращений скорости и образования ряда волн с возрастающей интенсивностью (рис. 13.22,г) скорость движения поршня достигает максимальной величины У. Следующие друг за другом волны в конце концов объединяются и образуют единый крутой фронт волны, двигающийся с высокой скоростью с большими градиентами давления, плотности и температуры (рис. 13.22,д). Фронт волны является плоским и нормальным к стенкам трубы, скорость его движения относительно стенок трубы Уф, которая превосходит скорость звука в невозмущенной среде. Длина столба газа, заключенного между этим фронтом и сжимающим газ поршнем, постепенно возрастает.
282
Глава 13
Рис. 13.22. Модель образования ударной волны в длинной трубе
Изменения давления, плотности, температуры и скорости газа во фронте ударной волны происходят с резким возрастанием их значений. Такова в общих чертах качественная картина образования ударной волны в длинной трубе, заполненной газом.
Согласно законам сохранения массы, импульса и энергии можно получить следующие зависимости при постоянном значении показателя адиабаты 7 для отношений давления, плотности и температуры газа по разные стороны фронта ударной волны — поверхности разрыва [15] (см. Приложение 3):
Р2 2уМ2 + 1 — 7
Pi ~	1 + 7
Р2 _ (7 + 1)А^2
Pi (7 -1)№ + 2 ’
Т2 _ [7М2 - 0,5(7 - 1)][0,5(7 - 1)ЛР + 1)
7\ ~	0,25(7 + 1)2ЛР
(13.45)
(13.46)
(13.47)
где индекс 1 относится к первоначальному состоянию газа, т.е. до скачка уплотнения; индекс 2 — к узкой области газа, примыкающей к фронту ударной волны (рис. 13.23); 7 = const — показа-
Волны в сплошных средах
283
Рг< Рг- ^2 Pt- Pt- Л-*t —*
*г — ♦ 
Фронт ударной волны
Рис. 13.23. Параметры газовой среды при ударной волне
тель адиабаты, равный отношению удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме; М = Уф/с — число Маха, равное отношению скорости распространения ударной волны к скорости звука при vj = 0.
Графики функций (13.45)-(13.47) в зависимости от величины М для идеального газа с 7 = 5/3 построены на рис. 13.24, где х = М, Р(х) = (Р2/Р1), Р(х) = (Р2/Р1), Пх) = (Т2/Тг).
Графики, построенные на рис. 13.24, показывают, как резко меняются показатели газовой среды при распространении в ней ударной волны, как во много раз увеличиваются давление и температура газа в области, примыкающей к фронту ударной волны, по сравнению с теми же параметрами невозмущенной среды.
Повторно обратим внимание на то, что формулы (13.45)-(13.47) и построенные согласно им графики па рис. 13.24, относятся к идеальному газу, т.е. имеющему постоянные удельные теплоемкости и показатель адиабаты 7 = const. С помощью графиков рис. 13.24 можно с удовлетворительной точностью определить основные показатели газа при распространении ударной волны в длинной трубе вплоть до температуры 8000 К. При более высоких температурах следует учитывать такие дополнительные факторы, как влияние элек-тронпого возбуждения, ионизацию и зависимость коэффициента 7 от температуры, влияющие на формирование ударной волны в газовой среде [15].
Рис. 13.24. Графики давления, плотности и температуры при ударной волне
284
Глава 13
Рис. 13.25. Цилиндр с диафрагмой (о) и графики
распределения давления (6) и температуры (в)
Рассмотрим второй случай формирования ударной волны [15]. Пусть в длинном цилиндре, разделенном перегородкой (диафрагмой 3) имеются две камеры — низкого 1 и высокого 2 давления (рис. 13.25,а). После резкого разрыва диафрагмы в камере низкого давления формируется с высокой крутизной волна сжатия, образующая фронт ударной волны. Одновременно в камере высокого давления образуется волна разрежения (расширения) с относительно плавным изменением давления, фронт которой движется со скоростью звука. Распределение давления и температуры газа в цилиндре через некоторое малое время At после разрыва диафрагмы, по-
казано на рис. 13.25,6, в, на котором индекс 1 относится к невозмущенному газу
в камере низкого давления, 2 — к газу, близко примыкающему к фронту удар
ной волны, 3 — к газу в промежуточной области, 4 — невозмущен-
ному газу в камере высокого давления.
Возрастание температуры до большой величины в зоне 2 (см. рис. 13.25,в) происходит практически мгновенно и сохраняется обычно в течение нескольких сотен микросекунд, после чего происходит быстрое охлаждение. После перемешивания и взаимной диффузии газов температура в цилиндре возвращается к начальному значению, а давление устанавливается равным некоторой усредненной величине.
Рассмотрим основные стадии формирования ударной волны при ядерном взрыве, связанном с почти мгновенным высвобождением огромной энергии и образованием в воздухе раскаленного газообразного огненного шара с температурой до нескольких миллионов градусов и сверхвысоким давлением [4, 18]. Расширение горячих газов в огненном шаре сжимает окружающую среду, придавая ей поступательное движение и рождая ударную волну (рис. 13.26,а).
Стадии развития огненного шара в виде графиков зависимости градиентов давления и температуры при взрыве мощностью в 20 килотонн и расстоянии от центра до границы огненного шара п = 50 м в фиксированные моменты показали на рис. 13.27 [18].
Фронт ударной волны вначале отстает от фронта излучения, т.е. поверхности огненного шара, так как ввиду высокой скорости сред-
Волны в сплошных средах
285
Рис. 13.26. Схема ядерного взрыва: а — в начальный момент, б— спустя 0,2 с
Рис. 13.27. Стадии развития огненного шара
него свободного пробега фотонов в раскаленном газе передача энергии посредством излучения намного превосходит передачу энергии за счет движения массы газа. По мере расширения огненного шара и поглощения энергии излучения в увеличивающемся объеме воздуха температура падает, величина среднего пробега фотонов уменьшается и передача энергии путем излучения замедляется. В результате фронт ударной волны начинает догонять, а затем и обгонять фронт излучения. Время отрыва ударной волны от фронта излучения не превышает 0,2 с.
Скорость ударной волны в момент зарождения намного превышает скорость звука и определяется выражением
v = с./14-	(13.48)
V 27 ро’
286
Глава 13
мости скорости ударной волны от избыточного давления
где 7=const — показатель адиабаты (см. выше), ро — давление окружающей среды, т.е. перед фронтом ударной волны, Др — избыточное давление во фронте ударной волны, с — скорость звука в воздухе.
График функции (13.48) при 7 = = 1,4; ро = 1 атм, с = 331 м/с построен па рис. 13.28, где v — скорость ударной волны, м/с; Др — избыточное давление, атм.
При дальнейшем распространении скорость ударной волны быстро снижается, приближаясь к ско
рости звука.
Распространяясь во все стороны, прямая воздушная ударная
волны падает и на поверхность земли, в результате чего возникает отраженная ударная волна (рис. 13.26,6). На определенном расстоянии от эпицентра взрыва фронты прямой и отраженной ударных волн сливаются, образуя общую головную ударную волну, распространяющуюся по поверхности земли. С момента ядерного взрыва мощностью в 20 килотонн на образование головной волны требуется время 1,25 с, а мощностью в 1 мегатонну — 4,6 с.
Ввиду сильного сжатия воздуха в начальный момент взрыва, задняя часть ударной волны движется вперед через зону, которая уже подверглась сильному давлению и нагреванию передней частью волны. Благодаря этому задняя часть волны движется с увеличенной скоростью, догоняя переднюю, что приводит к возрастанию крутизны прямой ударной волны вплоть до вертикальной. Такое изменение избыточного давления Др ударной волны в зависимости от расстояния до центра взрыва в фиксированные моменты времени показано на рис. 13.29 и 13.30.
За фронтом ударной волны с резким скачком давления начинается постепенное падение давления, переходящее в фазу разрежения, которая менее интенсивна, но более длительна, чем фаза сжатия. Пример графика изменения избыточного давления воздушной ударной волны с фазами сжатия и разрежения показан па рис. 13.30.
Рис. 13.29. Графики давления ударной волны
Волны в сплошных средах
287
Рис. 13.30. Фазы сжатия и разрежения ударной волны
Помимо рассмотренных примеров ударкые волны являются неотъемлемой частью многих процессов, протекающих в технических системах и окружающем нас мире. Назовем некоторые из них. Преодоление звукового барьера летательными аппаратами неизбежно рождает ударные волны, работа гидравлического молота является причиной распространения ударной волны в металле. Ударные волны сопровождают такие явления в природе, как грозовые электрические разряды (молнии) и землетрясения. В лабораторных условиях ударные волны возникают при сжатии и нагреве плазмы быстро нарастающим магнитным полем.
Как показали новейшие исследования в астрономии, многие процессы, протекающие в Галактике, сопровождаются образованием ударных волн. Так, например, взаимодействие звездного веграс магнитосферами пульсаров и солнечного ветра с магнитосферами планет сопровождается образованием ударных космических волн.
Ударные волны составляют сложное, самостоятельное направление в общей теории колебаний и волн [26].
Контрольные вопросы
13.1.	В чем состоят отличия трех типов поверхностных волн?
13.2.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 13.6 графики распространение волны, состоящей из трех гармонических колебаний разной частоты.
13.3.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 13.9 графики распространения более узкой и более широкой уединенной волны по сравнению со случаем, представленным на рис. 13.10.
288
Глава IS
13.4.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 13.14 графики стоячей волны при модуле коэффициента отражения, равным 0,3 и 0,8, и разных значениях фазы этого коэффициента.
13.5.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 13.20 графики распространения гармонической акустической волны в нелинейной одномерной среде.
Глава 14
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
14.1.	Уравнения электромагнитной волны
Параметры, характеризующие электромагнитное поле. В каждый момент времени в любой точке пространства электромагнитное поле описывается четырьмя векторами, которыми являются:
Е — напряженность электрического поля, размерность В/м;
D — электрическое смещение (или электрическая индукция), Кл/ма;
Н — напряженность магнитного поля, А/м;
В — магнитная индукция, Тл.
В трехмерной декартовой системе координат каждый из четырех векторов описывается тремя проекциями на оси От, Оу, Ог (рис. 14.1):
А(х, у, z) = Ах + Ay + Az = a*i + avj + агк, (14.1)
где i,j,k — единичные векторы (орты) вдоль осей; ах, av, аг — скаляры, прямоугольные декартовые координаты вектора А, являющиеся проекциями этого вектора на координатные оси Ох, Оу, Oz.
Совокупность векторов образует векторное поле, которое графически изображается с помощью силовых линий — пространственных кривых, в каждой точке которых вектор направлен вдоль касательной. Скалярное поле, определенное только для точек некоторой плоскости, называется плоским.
Параметры электрического поля в среде с неизменными свойствами связаны между собой соотношением
D = еие0Е = еЕ, (14.2)
Рис. 14.1. Вектор в трехмерном пространстве
19 — 8000
290
Глава 14
где £о = 8,85  10-12 Кл/(В • м) — электрическая постоянная; £м — относительная диэлектрическая проницаемость среды, в вакууме е„ = 1; £ = £м£о — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.
Параметры магнитного поля среде с неизменными свойствами связаны между собой соотношением
В = дмдоН = дЯ,	(14.3)
где до = 1,257 • 10-6 В с/(А м) = Гн/м — магнитная постоянная; дм — относительная магнитная проницаемость среды, в вакууме дм = 1; д = доДы — абсолютная магнитная проницаемость среды.
Каждый из четырех векторов в произвольной точке поля М(х,у, z) определяется тремя координатами (рис. 14.1) и временем tk- Результаты опытов позволили установить закономерности, связанные с электромагнитными явлениями и описать электрические и магнитные поля. В этих полях линии вектора Е называются электрическими силовыми линиями, а линии вектора Н — магнитными.
Уравнения электромагнитной волны. В 1873 г. английский ученый Джеймс Кларк Максвелл опубликовал работу «Трактат об электричестве и магнетизме», заложившую основы теории электромагнитного поля. Теория Максвелла, во многом основанная на идеях и экспериментах Фарадея, объяснила взаимодействие между электрическими и магнитными явлениями и установила связь оптики с электродинамикой.
Из теории электромагнитного поля Максвелла вытекают следующие уравнения для электромагнитной волны, распространяющейся в изотропной среде без потерь, свободной от зарядов (пустом пространстве) [10, 12, 16, 55, 61, 70, 73]:
{дЕ
rot Н = £-5- div Н = 0;
дН	(144)
rot Е = —д-3-, div Е = 0.
от
Для комплексных амплитуд электромагнитной волны при гармоническом законе изменения поля из уравнений (14.4) следует
rot Н = jueE\ rot Е =
(14.5)
(14-6)
Согласно теории векторного анализа в декартовых координатах ротор вектора
rot А =
дАг _	. / дАх
ду dz )1	\ дг
dAz\ дх )
дАу дАх\ дх ду )
J +
к =
Электромагнитные волны
291
дх
Ах
ду
Av
к д
dz Аг
(14.8)
и (14.8)
(4.7)
Рис. 14.2. Вектора электрического (а) и магнитного (б) полей
а дивергенция вектора
дАх дАу 9AZ
<ЬуЛж_ + _ + _
С учетом выражений (14.7)
для электромагнитной волны уравнения (14.4)—(14.6) можно представить в развернутом виде для каждой из составляющих вектора Ен Н.
Уравнения (14.4) отражают принцип симметрии во взаимодействии переменных электрического и магнитного полей в вакууме. Из этих уравнений следует, что линии магнитного поля охватывают вектор, характеризующий изменение электрического поля, а линии вихревого электрического поля - вектор, определяющий изменение магнитного ноля (рис. 14.2).
Теория Максвелла позволила установить тесную, неразрывную взаимосвязь электрического и магнитного полей с замкнутыми и взаимно переплетенными силовыми линиями. Условное представление о характере такого электромагнитного поля дает рис. 14.3, на котором оно изображено в виде цепочки колец из замкнутых электрических и магнитных силовых линий. Из рис. 14.3 следует, что изменяющийся магнитный кольцевой поток создает вокруг себя электрический кольцевой поток вихревого типа, который, в свою очередь, образует магнитный кольцевой поток и т.д.
Таким образом, изменяющееся электрическое поле вызывает образование магнитного поля, а изменение магнитного поля — формирование электрического. Результатом такого взаимодействия двух типов полей является образование электромагнитной волны, уже не связанной со своим источником и распространяющейся в вакууме
со скоростью света
1 ________________1___________
7^ ~ \/1,257 - IO"8-8,85 - 10"12
= 299820087 м/с «
(14-9)
« 300000 км/с.
Рис. 14.3. Кольцевые электрический и магнитный потоки
292
Глава 14
Сам Максвелл подвел такой итог своим теоретическим исследованиям в статье «Динамическая теория»: «Теория, которую я предлагаю, может быть названа теорией электромагнитного поля, потому что она имеет дело с пространством, окружающим электрические и магнитные тела, и она может быть названа также динамической теорией, поскольку она допускает, что в этом пространстве имеется материя, находящаяся в движении, посредством которой и производятся наблюдаемые электромагнитные явления» [55]. Таким образом, в описание материального мира, воплощаемого в фундаментальные категории «вещество» и «поле гравитации», было прибавлено новое понятие — электромагнитное поле.
Шли годы и теория электромагнитного поля прочно утвердилась в физике. Все крупные ученые окончательно признали ее справедливость и выдающуюся роль в описании материального мира. Вот что, например, сказал по этому поводу в 1931 г. на торжествах по случаю 100 лет со дня рождения основателя теории один из выдающихся английских физиков, открывший электрон и определивший его заряд, Джозеф Джон Томсон: «Максвелл, используя свою модель, обнаружил, что модель свидетельствует о следующем — изменения в электрической силе будут вызывать магнитную силу. Введение и развитие этой идеи было величайшим вкладом Максвелла в физику. Важность шага, сделанного Максвеллом, обнаруживается тем фактом, что в электромагнитной теории, принятой до него, электрические волны не существовали, в то время как в его теории любые изменения электрической и магнитной силы посылали волны, распространяющиеся в пространстве...».
Опыты Герца. Первым в 1888 г. экспериментальным путем главный вывод теории Максвелла о возможности распространения электромагнитных волн в свободном пространстве со скоростью света подтвердил Генрих Герц.
Сущность опытов Герца состояла в следующем. К двум латунным стержням, на концах которых были закреплены шары, накапливающие электрические заряды, подключалась индукционная катушка, создающая высокое напряжение в несколько десятков киловольт (рис. 14.4). С другого конца стержней были закреплены полированные шарики, зазор между которыми составлял несколько миллиметров. Когда напряжение между шариками превышало напряжение пробоя, в зазоре проскакивала искра и происходило возбуждение электромагнитных колебаний с длиной волны А, примерно равной 2L. В целом данное устройство — прототип радиопередатчика — получило название осциллятор Герца, а два стержня с шариками — вибратор. В современном представлении этот полуволновый вибратор —
Электромагнитные волны
293
Индикатор
Рис. 14.4. Схема опыта Герца
прототип простейшей антенны — есть открытый колебательный контур, в котором при возбуждении его искровым способом возникают затухающие колебания, излучаемые в пространство.
Излученные колебания регистрировались на расстоянии около десяти метров с помощью индикатора, представлявшего собой разрезанное кольцо с закрепленными на концах маленькими полированными шариками с зазором между ними менее миллиметра (рис. 14.4). Длина окружности кольца подбиралась близкой длине излученной осциллятором
волны А. Таким образом, индикатор — прототип контура на входе радиоприемника — был настроен в резонанс с частотой сигнала, излучаемого осциллятором. Для направленного излучения электромагнитных волн использовалось параболическое зеркало, в фокусе которого располагался вибратор осциллятора. В результате при возникновении искры в осцилляторе (передатчике) в зазоре индикатора (приемника) проскакивала искра, что неопровержимо доказывало распространение электромагнитных волн. Во время экспериментов Герцем была получена минимальная длина волны X = 60 см или частотой f = 500 МГц при £ = 26 см.
От опытов Г. Герца, воспроизведенных в лабораториях многих университетов, отталкивались изобретатели радио А.С. Попов и Г. Маркони.
14.2.	Плоская электромагнитная волна
Волновое уравнение. При зависимости векторов Е и Н от времени t и только от одной координаты, например х. электромагнитная волна называется плоской. Векторы ЕиН такой волны перпендикулярны друг другу и направлению распространения, вследствие чего волна является поперечной (рис. 14.5).
Для плоской электромагнитной волны уравнения (14.6) принимают вид:
а2 Ду _ 1 а2 Ду at2 де ах2 а2яг = 1 д2нг dt2 дх2
(14.10)
294
Глава Ц
Рис. 14.5. Плоская электромагнитная волна в трехмерном пространстве
Рис. 14.6. Распространение плоской электромагнитной волны
Оба уравнения (14.10) являются волновым (11.3). Из (14.10) с учетом (14.2), (14.3), (14.5) следует, что скорость распространения электромагнитной волны
1 се
С = —7= = ~7= •
УД? УМм£м
(Н.П)
где /1м — относительная магнитная постоянная среды (в вакууме = 1); ем — относительная электрическая постоянная среды (в
вакууме еи = 1).
Для электромагнитной волны, изменяющейся по гармоническому закону, решения уравнения (14.10) примут вид:
E(t, х) = Ео cos(<vt - кх), H(t, х) = Hq cos (cut - кх).
где к = 2тг/А — волновое число; А — длина волны.
Взяв вторые производные функций (14.12) по t и х и подставив их в исходные уравнения (14.10), легко убедиться в справедливости решений (14.12).
Внешний вид плоской волны в зависимости от времени t показан на рис. 14.6.
При распространении плоской волны в линейной среде с потерями выражения (14.12) примут вид
E(t, х) = Еое~ах cos(ut — кх),
H(t,x) = Ное~ах cos(urt — кх), где а — коэффициент затухания.
Некоторые нелинейные явления, связанные с распространение волн, рассмотрены в гл. 12. Их можно отнести и к плоским электромагнитным волнам.
Электромагнитные волны	295
14.3.	Излучение электромагнитных волн
Диаграмма направленности вибратора. Излучение и прием электромагнитных волн осуществляется с помощью антенны, излучающие свойства которой характеризуются ее диаграммой направленности — функции, описывающей напряженность поля Е в пространстве, окружающем антенну. Пространственная диаграмма направленности может быть изображена в виде поверхности в сферической системе координат Е(<р, в), где <р — азимутальный угол, 0 — меридиональный, при одном и том же значении расстоянии R от антенны, или декартовой системе координат. Измерение напряженности поля осуществляется обычно в сравнительно дальней зоне, так что значение R должно значительно превосходить размеры антенны.
Рассмотрим диаграмму направленности простейшего излучателя — элементарного электрического диполя, представляющего собой короткий по сравнению с длиной волны отрезок провода, что позволяет сделать следующее допущение: ток по всей длине диполя имеет постоянную амплитуду и фазу [12]. Пространственная диаграмма направленности такого диполя представляет собой тороидальную поверхность.
Диаграммы направленности, построенные в полярной системе координат, имеют вид восьмерки из двух окружностей в меридиональной плоскости (рис. 14.7,а) и вид окружности в экваториальной плоскости (0 = тг/2) (рис. 14.7,6). Те же диаграммы направленности, построенные в декартовых координатах, имеют вид, показанный на рис. 14.7,в, г.
Рассмотрим диаграмму направленности еще одного типа простого излучателя — симметричного вибратора, состоящего из двух
Рис. 14.7. Диаграммы направленности электрического диполя в полярной (а, б) и декартовой (в, г) системах координат
29G
Глава 14
Рис. 14.8. Симметричный вибратор: 4 — внешний вид; б — диаграммы направленности для различных значений х = L/X
металлических стержней равной длины L (рис. 14.8,а). В полярной системе координат в меридиональной плоскости диаграмма направленности такого вибратора при £/а » 1 описывается выражением
Е(в) =
sin в
где /3 = lirL/X] L — половина длины вибратора.
Диаграммы направленности, рассчитанные согласно (14.14) при четырех значениях отношения (L/А) приведены на рис. 14.8,б.
Направленные свойства антенны оцениваются по ширине диаграммы направленности, определяемой углом 0, коэффициентом направленного действия Ка, коэффициентом усиления К& и эффективной площадью Sa. Внутри угла 0 сосредоточена большая часть энергии, излучаемая антенной. Под К„ понимают отношение плотности потока мощности излучения в главном лепестке антенны к плотности потока мощности излучения изотропного источника, равномерно излучающего сигнал по всем направлениям, при одинаковой полной излучающей мощности. При отсутствии потерь в антенне ее коэффициент усиления Кл = К„. В этом случае параметры, определяющие направленные свойства антенны, связаны между собой следу-
Электромагнитные волны
297
Рис. 14.9. Антенны с параболическим отражателем: а — однозеркальная; б — двухзеркальная
ющими соотношениями:
Кл = 4тг$а/А2,	(14.15)
К& = 36ООО/02,	(14.16)
где Sa — в м2; 0 — в град; А — длина волны в м.
Коэффициент усиления антенны = 101g Кл дБ.
Известно большое количество различного вида антенн. Две из них — одно- и двухзеркального типа с параболическим отражателем (рис. 14.9) — широко используются в системах космической радиосвязи и радиоастрономии.
В однозеркальной антенне (рис. 14.9,а) излучатель располагается в фокусе параболы, благодаря чему образуется плоский волновой фронт, отражаемый параболическим зеркалом диаметром D. В двухзеркальной антенне осуществляется последовательное переот-ражение от двух зеркал — вспомогательного и основного с соответствующими профилями, благодаря чему так же формируется плоский фронт волны (рис. 14.9,6). Прообразом такой антенны служит оптический телескоп, созданный еще в XVII веке. Фотография двухзеркальной антенны приведена па рис. 14.10.
Эффективная площадь зеркальной антенны ориентировочно равна геометрической площади круга Sn = kD2 /4, где D — диаметр основного зеркала. Из (14.15) и (14.16) следует, что чем больше площадь антенны, тем можно получить более узкий луч диаграммы направленности и больший коэффициент усиления. Так, например, при длине волны А — 10 см для зеркальной антенны с параболическим отражателем диаметром 10 м получим Sa » 80 м2 и согласно (14.15) коэффициент усиления антенны Кл — 105 или 50 дБ, а согласно (14.16) ширина луча 0 = 0,6°.
Определим мощность электромагнитной волны при расположении передающей и приемной антенн на расстоянии R и связи между
298
Глава Ц
Рис. 14.10. Двухзеркальная антенна с параболическим отражателем
ними прямым лучом. Предположим, что точечный источник равномерно излучает сигнал мощностью РИзл по всей сфере. Тогда на расстоянии R на площадке размером Snp мощность сигнала составит
Рс = Рнал5Пр/4тгЯ2.	(14.17)
С учетом направленного действия передающей антенны Риэл следует заменить на произведение Рп«РКа, где Кл — коэффициент усиления (14.15) передающей антенны, Рпер— мощность радиопередатчика. В результате окончательно имеем
Pc = PnepA'aSnp/4TrP2.	(14.18)
Например, при Рпер = 10 Вт, Кл = 105, Snp = 10 м2 и R = 40000 км получим Рс = 5 • 1О-10 Вт.
В системах радиосвязи возможен прием еще более слабых сигналов, вплоть до мощности IO’17 Вт и даже меньшего значения.
14.4.	Распространение радиоволн
Свойства среды оказывают сильное влияние на распространение электромагнитных волн. При изотропной линейной среде два
Электромагнитные волны
299
ее параметра — диэлектрическая и магнитная постоянные — полностью определяют это влияние, которое сводится к изменению скорости распространения электромагнитной волны согласно (14.11). Картина значительно усложняется при распространении электромагнитной волны в нелинейной и дисперсионной среде. К такой среде, в частности, относится плазма, т.е. частично или полностью ионизированный газ. При плазме различают такие случаи, как распространение электромагнитных волн в ионосфере Земли, в межзвездном и межпланетном пространстве и в технических установках с разогретой плазмой [16].
При плазме, представляемой в виде изотропной среды, решение задачи о распространении электромагнитной волны решается сравнительно просто в рамках линейной теории электромагнитного поля. При более сложной структуре плазмы задача значительно усложняется и здесь прибегают даже к феноменологическим моделям [16].
Остановимся только на качественном описании распространения радиоволн. На данный процесс в зависимости от диапазона частот сильное влияние оказывают ионосфера, поверхность Земли и состояние тропосферы.
Ионосферой называются ионизированные слои атмосферы, возникновение которых обусловлено солнечной радиацией, под действием которой в разреженном газе появляются свободные электроны. В результате вокруг Земли на расстоянии 50...500 км появляется несколько сильно ионизированных слоев. Радиоволны в зависимости от их частоты могут пронизывать ионосферу, отражаться от нее или поглощаться (рис. 14.11).
Для радиоволн с частотой выше 30.. .40 МГц ионосфера практически «прозрачна»: радиоволны пронизывают ее и проникают в космическое пространство.
Для радиоволн с ориентировочными границами 3... 30 МГц (диапазон коротких волн) ионосфера является своеобразным экраном, отражающим радиоизлучения. Причем уровень этого отражения носит неустойчивый, переменчивый характер, меняющийся с течением одиннадцатилетнего цикла солнечной активности, сезона года, времени суток и зависящий от частоты и угла прихода радиоволн. Для количественной оценки данного явления вводится понятие предельной, критической частоты /кр радиосигнала, излученного вертикально вверх (а = 90°), отраженного ионосферой и возвращающегося на Землю (рис. 14.12). При частоте сигнала f С /кр радиоволна отражается от ионосферы, при f > /кр пронизывает ее.
В зависимости от года в цикле солнечной активности значение /кр = 7... 13 МГц в дневное время и /кр = 3...6 МГц — в ночное,
300
Г л а в а Ц
Рис. 14.11. Условная схема распространения
радиоволн
Рис. 14.12. Условная схема
отражения радиоволн
причем более высокой солнечной активности соответствует большее
значение частоты.
С уменьшением по отношению к поверхности Земли угла излученного сигнала о (рис. 14.12) максимальная частота отраженного сигнала увеличивается согласно следующему примерному со
отношению:
f -f /	1)1 .
/max-/KPJ 01+sin2Q
(14.19)
Согласно (14.19), чем меньше угол а, тем выше частота /гаах. Так, при а = 10° значение /тах = 3/хр и, следовательно, в зависимости от года солнечной активности максимально применяемая частота (МЧП) в диапазоне коротких волн составит: в дневное время /тах = 21...39 МГц, в ночное время /тах = 9...18 МГц.
Радиоволны с частотой менее 3 МГц поглощаются ионосферой, что приводит к заметному затуханию и ослаблению мощности сигнала. Причем, чем ниже частота радиосигнала, тем больше поглощение. Поэтому радиоволны диапазона средних и длинных волн практически от ионосферы не отражаются, а затухают в ней.
Поверхность Земли также оказывает существенное влияние на распространение радиоволн. Величина затухания радиоволны, распространяющейся вдоль поверхности Земли, зависит от свойств суши и воды и рельефа местности. Причем, чем ниже частота радиосигнала, тем меньше затухание поверхностной волны.
Дальность распространения поверхностной радиоволны определяется также такими факторами, как состояние тропосферы Земли (в дождь и снег затухание увеличивается); дифракция, обуславливающая огибание препятствий; рефракция, приводящая к искривлению луча, и тропосферное рассеяние.
В результате перечисленных явлений имеет место следующий характер распространения радиоволн в зависимости от их частоты.
Диапазон сверхдлинных ноля (А = 10... 100 км). Волны в этом диапазоне распространяются в пространстве между поверхностью Земли и ионосферой, внутри которого радиоволна может даже
Электромагнитные волны
301
в)	 г)
Рис. 14.13. Распространения радиоволн: а— сверхдлинных; б— длинных; в — коротких; г — сверхвысокочастотных
обогнуть Землю (рис. 14.13,а). Кроме того, сверхдлинные волны проникают в толщу воды и могут использоваться для радиосвязи с погруженными в океан объектами.
Диапазон длинных волн (А = 1...10 км). Из-за возрастающего затухания поверхности Земли с повышением частоты дальность распространения поверхностной волны в этом диапазоне по сравнению со сверхдлинпыми уменьшается, достигая все же в зависимости от мощности радиопередатчика 3000.. .5000 км (рис. 14.13,6).
Диапазон средних волн (А = 100... 1000 м). В этом диапазоне радиосвязь также осуществляется только поверхностной волной, но ее затухание из-за влияния поверхности Земли еще более возрастает. В зависимости от характера распространения электромагнитной волны здесь различают земной луч, обычно в пределах не более 200 км, и пространственный при расстоянии в 1000 и более км.
Диапазон коротких волн (А = 10... 100 м). В этом диапазоне определяющее влияние на дальность радиоприема оказывает ионосфера, являющаяся для радиоволн своеобразным экраном. Причем даже при относительно небольшой мощности радиопередатчика в пределах 1 кВт за счет двукратного отражения дальность радиоприема может достигать 10000 км и более (рис. 14.13,в). Характерной особенностью работы в данном диапазоне частот является так называемое замирание сигнала, связанное с изменением условий отраже
302
Глава Ц
ния сигнала от ионосферы в зависимости от времени суток, сезона года, солнечной активности и других факторов (см. выше). Поэтому радиосвязь в этом диапазоне может носить неустойчивый характер.
Диапазон метровых волн (А = 1... 10 м). В этом диапазоне возможна только радиосвязь прямым лучом, т.е. когда между приемной и передающей антеннами можно провести прямую линию (рис. 14.13,г). Для идеальной модели Земли — шара радиусом 6370 км — протяженность линии радиосвязи
R = З,57(у/Л? + лАг) [км],	(14.20)
где h\, hi — высота поднятия антенн в пунктах приема и передачи сигнала, м. Например, при h\ = 100 м и fcj = 10 м согласно (14.20) получим R = 47 км.
Однако в нижней части метрового диапазона (частота 30... ...60 МГц) за счет явлений дифракции и рефракции, приводящих к искривлению луча и распространению поверхностной волны огибающей Землю, возможна радиосвязь и за пределами прямой видимости. За счет дальнего тропосферного распространения радиоволн удается даже удлинить трассу радиоприема до 3000... 4000 км. Такая радиосвязь называется загоризонтной.
Диапазон сверхвысоких частот (СВЧ), объединяющий все диапазоны выше 300 МГц или X < 1 м. Здесь радиосвязь возможна только прямым лучом (рис. 14.13,г). Как было сказано выше, ионосфера практически пе оказывает заметного влияния па радиоволны в этом диапазоне. Все космические линии радиосвязи за пределами атмосферы Земли (рис. 14.13,г) используют только диапазон СВЧ.
14.5.	Дифракция
Определение дифракции. Дифракция объединяет явления, наблюдаемые при распространении волн на границе сред с разными свойствами [10, 12, 66, 86]. Дифракция проявляется в волновых процессах разной физической природы, в том числе относящихся к гидродинамике, электродинамике, акустике, оптике, сейсмологии. Дифракционное поле возникает там, где на пути распространения волны встречается неоднородность, т.е. объект со свойствами, отличными от основной среды. В случае электромагнитной волны такой неоднородностью могут являться отверстия и щели, неровности поверхности раздела сред и разнообразные препятствия. В электродинамике проявлением дифракции является огибание электромагнитными волнами на пути их распространения тел разной формы, их проникновение сквозь отверстия и решетки и излучение отверстиями разной конфигурации, например, открытом концом волновода [10].
Электромагнитные волны
303
Строгое математическое решение дифракционных задач основывается на волновом уравнении (см. разд. 14.1, 14.2) с учетом граничных условий, определяемых видом неоднородности, в сочетании с принципом Гюйгенса. Наряду со строгими методами расчета дифракционного поля, сложными в вычислительном плане, применяются и приближенные. Одним из них является метод волновой оптики, основанный на принципе Гюйгенса-Френеля, весьма важного для физического толкования волновых процессов и расчета дифракционных полей. В основе данного принципа лежат два основных постулата: излучение элементарными, виртуальными источниками вторичных когерентных волн и их суперпозиция с учетом фазовых соотношений.
Рис. 14.14.
К пояснению принципа Гюйгенса-Френеля
Для понимания принципа Гюйгенса-Френеля обратимся к
рис. 14.14, на котором буквой S обозначен первичный источник излучения сферической волны, а буквами А А — фронт волны в момент to-Предполагается, что каждая точка сферической поверхности А А является вторичным источником излучения малой сферической волны радиусом г. Огибающая ВВ этих малых сфер является новой большой сферой, формируемой со скоростью света с в момент Ц = to + Дt. При этом радиус малых полусфер г = Д<с.
Суммирование или суперпозиция волн, излучаемых вторичными источниками, производится с учетом фазовых соотношений элементарных волн, которые при наложении либо усиливаются в зависимости от разности хода лучей, либо ослабляются. Таким образом, задача распространения первичной волны сводится по существу к суперпозиции вторичных волн, к замене одной большой волны суммой малых волн.
Дифракция плоской волны на цилиндре. Рассмотрим падение плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на круглый цилиндр неограниченной длины перпендикулярно его оси (рис. 14.15,а). Цилиндр является идеальным проводником. Воспользуемся цилиндрической системой координат г, z, <р с осью Z, совпадающей с вертикальной осью цилиндра диаметром D (рис. 14.15,6). Вектор Е параллелен оси Z.
Напряженность электрического поля падающей на цилиндр волны имеет только составляющую вдоль оси z и поэтому в цилиндрической системе координат может быть представлена в виде
Е°(г, у>) = zoF°(r, <р) = zo Eoexp(j kr cos <р).	(14.21)
304
Глава Ц
Рис. 14.15. Падение плоской волны на цилиндр
Точно такую же составляющую имеет и напряженность вторичного электрического поля
E(r,<p)= zcE(r,<p).
Уравнение электромагнитной волны в рассматриваемом случае, составленное на основе метода криволинейных координат (12), примет вид
1£ г дт
дЕ\ гдт)
1 д2Е
+ г2
+ к2Е = 0,
(14.22)
где г > 0,5£>, 0 С 2т.
Решение уравнения (14.22), определяющее напряженность дифракционного электрического поля при падении плоской электромагнитной волны на цилиндр идеальной проводимости диаметром D, полученное в [12, 66], имеет вид
,Пт„ хН(п}(кт) 1
=-£Ь < Jo(ka)—; + 2]Г j Jn(ka) ( f coswp k I Hq '(**)	„=i	Н\'(ка) J J
(14.23) где Jo(ka), Jn(ka) — функции Бесселя 1-го рода нулевого и n-го порядка; Н'02\кг), Н^2\ка) — функции Ганкеля (Ханкеля) 2-го рода нулевого порядка; Н„\кг), Нп‘(ка) — функции Ганкеля (Ханкеля) 2-го рода n-го порядка, а = 0,50 — радиус цилиндра; к = 2тг/А — волновое число. (О функциях Бесселя и Ганкеля (Ханкеля) см. Приложение 2.)
Программа расчета напряженности вторичного электрического поля согласно (14.23) представлена на рис. 14.16.
В программе приняты следующие обозначения:
ЕМ(0) — модуль вектора напряженности дифракционного электрического поля в полярных координатах па расстоянии г (см. рис. 14.15,6);
Электромагнитные волны
305
Х:-5	D:-15	г:-80 A>r- R>—-г ₽> —
XXX
Е0> 1	N:«20	А-9.425 R = 100.531	р-3
Ю := J0(A)	Н02А := 30(A) - j УДА)	H02R := JO(R) - j  УДК)
CO:-10.	CO- 0.056 - 6.632ix 10’4
H“A n-1 N n := 1.. n
IA,:=3n(n,A) HA2B.= Jn(n, A)-j-Y<n,A) HR2, :=Jn(n,R) -J YXn.R)
180
EM(e):- |E(e)| Еф^ЕМ^М) Ф(х)^
90
arg
Л- X
180
Рис. 14.16. Программа расчета дифракционного поля в случае цилиндра
EG(x), Ф(х) — модуль и фаза (в градусах) вектора напряженности того же поля в декартовых координатах на расстоянии г;
х — угол 0 в градусах;
0 = D/X — отношение диаметра цилиндра к длине волны;
N — число членов ряда, учитываемых при расчете.
Остальные обозначения в программе совпадают с принятыми в формуле (14.23).
Результаты расчета по программе при г = 80 и D/X = 3 приведены в самой программе на рис. 14.16, а диаграммы модуля напряженности электрического поля при г = 80 и 0 = D/X = 0,5; 1; 2 и 3 — на рис. 14.17.
По программе рис. 14.16 рассчитывается также фаза напряженности электрического поля, которая меняется в пределах ±180°. При
20— 8000
306
Глава Ц
Рис. 14.17. Результаты расчета дифракционного поля по программе рис. 14.16
этом следует учитывать, что поскольку компьютер рассчитывает главные значения круговых функций, то для получения истинной картины изменения фазы напряженности поля необходимо произвести «сшивание» полученных результатов в точках, соответствующих значениям фазы +180° и —180°.
Согласно представленным графикам можно сделать следующие выводы. Вид дифракционного поля определяется значением г и отношением диаметра цилиндра к длине волны D/Х. При D/Х 0,2 диаграмма поля близка к окружности, т.е. не зависит от угла р. С уменьшением длины волны А, т.е. увеличением отношения D/Х, препятствие — цилиндр — начинает влиять на дифракционное поле, диаграмма которого вытягивается в направлении, противоположному приходу волны. Так, при D/X = 3 диаграмма вытягивается в 4 раза по сравнению со случаем D/X = 0,5.
Дифракция на узкой длинной щели. Плоская линейно поляризованная волна падает на щель нормально к ее поверхности (рис. 14.18).
Рис. 14.18. Падение плоской волны на щель
Электромагнитные волны
307
Рис. 14.19. Графики интенсивности волны в случае дифракции на щели
Амплитуда волны в дифракционном поле за щелью определяется в первом приближении функцией [86]
/ 1гЬ .	\
sin I — sin ip I
ЭД = Eo	(14.24)
— sin <p
где <p — угол дифракции, т.е. угол между нормалью к плоскости щели и направлением по линии: точка наблюдения А — плоскость (рис. 14.8); Eq — амплитуда в центре дифракционного поля при <р = 0; Ъ — ширина щели, А — длина волны.
Интенсивность волны равна квадрату напряженности поля. Поэтому для интенсивности волны из (14.24) получим
- т sin2(*te/A)
/(1) = /о (Л/Х)’ '	(14М)
где х = sin р.
Графики функции I(x)/Iq при трех значениях отношения b/Х = = 0,2; 0,4; 1 построены на рис. 14.19.
Из графиков рис. 14.9 следует, что чем уже щель и меньше отношение b/Х, тем относительно более расплывчатой является дифракционная картина на длинной щели.
Контрольные вопросы
14.1.	В чем состояла сущность опытов Герца по распространению электромагнитных волн?
14.2.	Рассчитайте и постройте диаграммы направленности симметричного вибратора при L/X = 4 и 8.
14.3.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 14.16 графики напряженности дифракционного электрического поля при D/X = 0,1; 1,5; 4 и 5. Сравните между собой результаты расчета.
20*
Глава 15
ВОЛНЫ, НЕСУЩИЕ РАЗРУШЕНИЯ
15.1.	Волны в природе
Волновые процессы сопровождают такие глобальные явления в природе, как землетрясения на суше и на дне океанов и циркуляцию огромных воздушных масс в атмосфере. Высвобождающаяся при данных процессах энергия, соизмеряемая с энергией одной или даже нескольких водородных бомб, приносит во многих случаях громадные разрушения на Земле.
Тектоническая деятельность в толще Земли, связанная с перемещением с гигантских платформ твердой породы по мантии и их разломом, приводит к колебаниям земной поверхности и генерации сейсмических волн. Разломы земной коры, происходящие на дне океанов, приводят к резкому изменению их глубины, что порождает мощные волны — цунами, распространяющиеся на тысячи километров и выплескивающиеся на берег.
Не менее грозные по своей разрушительной силе процессы протекают и в атмосфере Земли. В системе океан — атмосфера, которую можно рассматривать как громадную тепловую машину, происходят преобразования солнечной радиации в кинетическую энергию перемещающихся воздушных и водных масс, в том числе порождающие ураганы, циклоны, тайфуны — вихревые воздушные образования, вращающиеся с повышенной скоростью, которые можно трактовать как волновые процессы.
Процессы волнового характера, протекающие в системе материк - океан - атмосфера и сопровождаемые распространением акустических, сейсмических, гравитационных, магнитогидродинамических и других типов волн, является предметом изучения гидродинамики, теории упругости и метеорологии. Однако сложный характер и зависимость этих волновых процессов от многих факторов со
Волны, несущие разрушения
309
здает громадные трудности по составлению соответствующих математических моделей.
Справедливость многих таких моделей весьма условна и неточна. Поэтому для математического описания сложных процессов иногда прибегают к феноменологическому способу, согласно которому подбирается такая математическая модель, которая с удовлетворительной точностью характеризует анализируемое явление. Модель, подчеркнем данное обстоятельство, именно подбирается, а не является результатом анализа исследуемого процесса, исходя из его физической сущности. Данный прием будет использован при анализе рассматриваемых ниже волновых процессов.
15.2.	Сейсмические волны при землетрясениях
Верхнюю часть земной коры образуют платформы огромных размеров — перемещающиеся тектонические плиты. В результате разлома и сдвига этих плит возникают упругие волны, называемые сейсмическими. Две модели такого разлома плит приведены на рис. 15.1. Разлом тектонических плит сопровождается высвобождением огромной энергии и генерацией сейсмических волн. Очаг или гипоцентр землетрясения располагается обычно на глубине не более 70 км, но иногда достигает и величины до 700 км. Протяженность очага оставляет от 10 до 100 км, а при особо сильных землетрясениях до 1000км. От очага во все стороны распространяются упругие сейсмические волны. Достигнув земной поверхности, сейсмические волны вызывают землетрясения — толчки и колебания земной поверхности. Место, где эти колебания максимальны, называется эпицентром. Ежегодно на Земле фиксируется примерно 100 тыс. землетрясений, около 100 из которых приносят ощутимые разрушения [80].
Различают объемные и поверхностные сейсмические волны. Объемные волны, возникнув в недрах Земли, достигнув ее поверхности порождают поверхностные волны огромной энергии, приносящие разрушения. Сами объемные волны, распространяющиеся в толще Земли, подразделяются на продольные (сокращенно называемые P-волной) и поперечные (S-волна).
Рис. 15.1. Две модели разлома тектонических плит
310
Глава 15
Рис. 15.2. Сейсмические волны: продольная (а), поперечная (б), Лява (в), Релея (г)
Продольная объемная сейсмическая волна (P-волна) является волной сжатия-растяжения, при которой частицы породы смещаются по направлению распространения волны: часть из них сжимается, а другая, напротив, расползается. Модель такого процесса сжатия-растяжения отдельных сегментов внутри длинного бруска приведена на рис. 15.2,о. Продольная волна может распространяться в жидкости, газе и твердой породе.
Поперечная объемная сейсмическая волна (S-волна) является волной сдвига. При такой волне частицы породы колеблются поперечно направлению распространения волны. Модель такого процесса поперечного смещения отдельных участков — одних вверх, а других вниз — длинного бруска приведена на рис. 15.2,6. Волны сдвига могут распространяться только в твердой породе.
Примеры возможных путей прохождения объемных сейсмических волн в толще Земли показаны па рис. 15.3.
Рис. 15.3. Распространение объемных сейсмических волн
Волны, несущие разрушения
311
Рис. 15.4. Скорость распространения двух видов объемных волн
Скорость распространения таких волн зависит от их вида (Р или S); слоя, в котором они распространяются (земной коре глубиной 5...60 км, мантии или ядре); плотности и упругости пород. Так, P-волна распространяется в граните со скоростью около 5,5 км/с, в воде — 1,5 км/с. S-волна в граните распространяется со скоростью 3 км/с, т.е. в 0,6 раза медленнее Р-волпы. Через жидкость S-волна не проходит. Примерные графики скорости сейсмических волн в зависимости от глубины, отсчитываемой от поверхности Земли, согласно модели Джеффриса-Гутенберга приведены на рис. 15.4, где Vp — скорость Р-волны, км/с, Vs — скорость S-волны, км/с, R — глубина от поверхности Земли, км (80).
Достигнув поверхности, объемная сейсмическая волна порождает поверхностную, называемую L-волной, которая при сильных землетрясениях может даже обогнуть Землю. Различают два вида поверхностных волн: Лява и Релея, названных так по имени открывших их ученых. Волна Лява является волной сдвига, при которой движение частиц возможно только в горизонтальной плоскости поперечно направлению распространения волны (рис. 15.2,в). Волна Релея характеризуется гем, что в ней частицы породы совершают возвратное движение по эллиптической траектории в вертикальной плоскости вдоль направления распространения (рис. 15.2,г). Скорость распространения волны Релея составляет 0,92 от волны Лява. Скорость поверхностной волны немного меньше скорости поперечной объемной волны.
15.3.	Океанические волны цунами
Цунами называются волны, возникающие на поверхности океана в результате сильных подводных землетрясений или вулканической деятельности. При глубине океана в 5 км и более скорость распространения цунами в месте зарождения может достигать 1000 км/ч, длина волны 160 км и более, высота до 1 м. По мере уменьшения глубины океана и приближения к берегу скорость и длина волны цунами уменьшаются, а высота наоборот возрастает, достигая 30 и
312
Главе 15
Рис. 15.5. Условная схема волны цунами
более метров. Преодолев урез воды, цунами продолжает двигаться по береговой полосе.
Типичная картина изменения формы волны цунами по мере приближения к берегу приведена на рис. 15.5.
Приведем эмпирические формулы Эри-Грина, позволяющие в первом приближении определить основные параметры волн цунами [80].
Изменение высоты гармонической волны в зависимости от глубины океана
где Ло — первоначальная высота волны; Но — глубина океана в месте зарождения волны, H(R) > 5...10 м — изменяющаяся глубина океана, R — расстояние от волны до берега, 7 = 0,25.
Скорость распространения волны
с(Я) = ^Р(Л(Я) + Н(Я)),	(15.2)
где д — ускорение силы тяжести.
Считая период волны цунами неизменным, получим зависимость длины волны от ее расстояния до берега
А(Я) = с(Я)Г = с(Я)Ао/со,	(15.3)
где Ao, со — длина волны и скорость в месте зарождения волны.
Программа расчета параметров волны цунами согласно (15.1)— (15.3) приведена на рис. 15.6. В программе: h — высота волны, м; Ь0 — высота волны в очаге землетрясения, м; Н — глубина океана, км; с — скорость распространения волны, км/ч; Ао — длина волны, км; х — расстояние R от распространяющейся волны до берега, км; НО, R0 — глубина океана и расстояние от очага землетрясения до берега, км.
В качестве примера результаты расчета по программе графиков функций (15.1)-(15.3) при линейной функции изменения глубины океана приведены на том же рис. 15.6.
Волны, несущие разрушения
313
Рис. 16.6. Программа расчета параметров ВОЛНЫ цунами
Энергию волны цунами можно оценить по формуле (13.18).
Рассмотрим еще один способ описания распространения плоской волны цунами с помощью следующего нелинейного дифференциального уравнения (см. разд. 11.1):
^t+ayte~°'
СП ох
Перейдем от дифференциального уравнения к разностному (см. разд. 11.2). Обозначим номер шага по линейной координате х через i, а по времени t — через j, и заменим в уравнении (15.4) первые производные согласно (11.14). В результате получим
УЖ.»	. /Vj,i+i ~
At "	У1-'\ 2Дх
которое путем разделения переменных преобразуем к виду
(15.5)
Уз+i.i = Vj,i - R(vj,i+i -n л At n TKM где Я = 0,5a-— = 0,5 a-—- — — шаговый параметр. Дх L N
Решение разностного уравнения <(15.5) получается устойчивым при R С 1, что следует учитывать при выборе исходных параметров системы.
314
Глава 15
М:-200	М1:-1 + .М
N:=1000	ТК:-2
т?-10	h 15
i:=O.Ml
L:=100	Д:= —
М а := 1
YK:= 10
R-2x КГ3
A = 0.3
yoi:« |(УК-ип(д • i)+h) if 0SIS12 h if i> 12
Рис. 15.7. Программа решения уравнения (15.5)
j:=O..N	i:-I..M
Xj*l.l *yj.i" R <XJ,ut - У|,ы)- Yj.i
Рис. 15.8. Результаты расчета по программе рис. 15.7
Программа на языке MathCAD численного решения уравнения (15.5) прямым конечно-разностным методом (см. разд. 11.2) приведена на рис. 15.7. В ней приняты следующие обозначения: М, N — число точек отсчета по координате х и времени t соответственно; L — нормированная длина среды распространения волны; остальные обозначения соответствуют уравнению (15.5) и принятым в программе рис. 12.2.
Результаты расчета по программе рис. 15.7 в виде графиков при четырех значениях времени tj приведены на рис. 15.8.
Анализ графиков, приведенных на рис. 15.8 подтверждает важную закономерность волны цунами — уменьшение ее длительности и увеличение высоты по мере приближения к берегу.
15.4.	Тропический циклон как глобальная колебательная система
Циркуляция в атмосфере. Совокупность перемещения воздушных масс над земной поверхностью называется циркуляцией ат-
Волны, несущие разрушения
315
Рис. 15.9. Условная схема циркуляции в атмосфере
мосферы, определяемой в основном следующими причинами: нагревом воздуха за счет солнечного излучения, преобразованием солнечной радиации в кинетическую энергию воздушных масс, неравномерным распределением давления и действием отклоняющей силы вращения Земли, т.е. силы Кориолиса.
Исключим вначале из рассмотрения действие последней причины. Тогда циркуляция земной атмосферы происходила бы следующим образом [90]. Воздух, сильнее всего
прогретый вблизи экватора и потому становящийся менее плотным и более легким, поднимался бы вверх. Поскольку воздух, как и любой газ, стремится течь из области повышенного в зону пониженного давления, то к экватору устремился бы более холодный и плотный воздух из полярных областей. Поднимающийся вверх теплый воздух стал бы течь в верхней части атмосферы от экватора по направлению к полюсам. В результате циркуляция земной атмосферы приняла бы вид, показанный на рис. 15.9.
Однако действие четвертой из названных выше причин — отклоняющей силы вращения Земли, т.е. силы Кориолиса, — коренным образом меняет описанную гипотетическую картину циркуляции воздушных масс. В действительности по мере движения теплого воздуха в верхних слоях атмосферы и его удаления от экватора воздушные массы под действием силы Кориолиса начинают отклоняться к востоку. Достигнув приблизительно 30-й параллели, воздушные массы вместо движения к полюсам начинают двигаться почти строго на восток. Происходящее на этих широтах накопление воздуха приводит к образованию зон повышенного давления, окружающих Землю к югу и северу от экватора.
Такая неравномерная картина давления, плотности и температуры атмосферы приводит к нарушению ее равновесного состояния и перемещению воздушных масс, в том числе и вихревого характера с высокой скоростью. Одним из таких вихревых образований являются циклоны.
Оценка энергии тропического циклона. Согласно метеорологической науке тропический циклон представляет собой атмосферную систему с низким давлением и с воздушными потоками, закрученными в спираль со скоростью ветра более 17 м/с [34, 52, 65). Теплое ядро циклона формируется над тропической акваторией океана температурой 26... 27 °C. Прогретый воздух, насыщенный вла-
316
Глава 15
Восходящие потоки теплого воздуха
200 160 120 ВО 40 0 40 вО 120 160 200км
Рис. 15.10. К формированию циклона
гой, поднимаясь с поверхности океана на большую высоту, охлаждается, вследствие чего водяные пары конденсируются, выделяя тепло, питающее энергией зарождающийся циклон (рис. 15.10).
При возникновении подобного лавинообразного процесса на широте 5... 20° в Северном полушарии под воздействием
земной силы Кориолиса образуется крупномасштабный циклониче-
ский вихрь, вращающийся вокруг квазивертикалыюй оси против часовой стрелки и окруженный массой относительно холодного и неподвижного воздуха (рис. 15.11). (Отметим, что в Южном полушарии вихрь вращается по часовой стрелке.) Развитие циклона продолжается до момента равновесия между тепловой энергией испарения и
охлаждением океана в силу перемешивания его вод.
Оценим кинетическую энергию циклона как вращающегося столба воздушного потока высотой L и радиусом R при средней плотности воздуха р = 0,8 кг/м3. Воспользовавшись известной из физики формулой, получим
Wu = 0,25яр£Я2У2 « 0,6LR2V2 [Дж], R [м], L [м], V [м/с]. (15.6)
Согласно (15.6) при V = 17 нетическая энергия циклона R = 150 км — Wa = 1017 Дж.
м/с, L = 10 км и R = 7 км ки-яа 10й Дж; при V = 27 м/с и
Рис. 15.11. Фотографии циклона из космоса
Волны, несущие разрушения
317
Для сравнения укажем, что энергия, выделяемая при взрыве атомной бомбы в тротиловом эквиваленте 20 кт, составляет 1014 Дж, а водородной в 20 Мт — 1017 Дж. Из приведенных цифр видно, что на этапе зарождения тропического циклона его энергия сравнима с энергией атомной бомбы, а на конечном — водородной. Отсюда ясно, какой разрушительной силой обладает тропический циклон за счет его высокой скорости вращения.
Грубая модель тропического циклона. С позиции теории колебаний циклон — спиральное образование вокруг вертикальной оси — можно трактовать как объемный автоколебательный процесс, стремящийся к предельному циклу: состоянию равновесия между энергией, питающей циклон (тепловая энергия испарения), и суммарной энергией всех потерь (охлаждение за счет океана, трение с поверхностью, преодоление препятствий и т.д.). Такой процесс па плоскости Ох-Оу формально можно описать с помощью двух модифицированных нелинейных дифференциальных уравнений Ван-дерПоля (1.17), определяющих работу автогенератора (см. разд. 5.2):
4^ -ai(l-a2x2)exp(-at)^ + nx = O,
-a3(l-a4j/2)exp(-/3t)-^+i/ = 0.
l dt-	dt
В соответствии с принятыми в гидроаэродинамике допущениями уравнения (15.7) отражают динамический процесс для каждой из частиц исследуемой среды. Программа решения системы уравнений (15.7) численным способом приведена на рис. 15.12.
Графики, полученные в результате расчета по программе рис. 15.12 при отсутствии внешнего воздействия на систему (коэффициенты а = 0, д = 0) и значениях коэффициентов = 0,2, а2 = 0,02, а3 = 0,2, а4 = 0,02, П = 1,08 приведены рис. 15.13,а.
а .•= 0 р := 0
Я:-1.08
N :-1001 ТК:-4О
У>
У»
F<‘’у)	 [ 1 - »1  (у./] • у, • «Х-а • 0 - Я  у,
, ъ [1-*4-(у»У] у4 ®ф(-₽ «)-У1
Z := Riadaptfy.O.TK, N.F) X^Z® YsZ S:=X+Y l:-ZW VX-Z W VY:«ZW VA> VX’ + V^
Рис. 15.12. Программа расчета феноменологической модели циклона
318
Глава 15
Рис. 15.13. Результаты расчета по программе рис. 15.12
На плоскости X-Y моделью, отражающей работу объемного автогенератора — модели циклона — служат спирали, «наматывающиеся» на общую окружность — устойчивый предельный цикл, соответствующий состоянию динамического равновесия в системе, когда дополнительная энергия, вбрасываемая в систему, равна энергии потерь. Спиралеобразный характер развития процесса на рис. 15.13 напоминает по форме тропический циклон (рис. 15.11). Движение каждой из точек спирали во времени t определяется зависимостями X(t) и K(t), близкими к синусоиде, в результате чего траектория движения точки на плоскости X-Y оказывается спиралью.
Анализ уравнений (15.7) показывает, что остановить или уменьшить развитие автоколебательного процесса в системе, чему соответствует уменьшенный радиус предельного цикла фазового портрета (рис. 15.13,а), можно путем постепенного внесения в нее дополнительных потерь. Данной операции соответствуют значения коэффициентов а > 0 и 0 > 0. Графики для такого случая, полученные в результате расчета по программе рис. 15.12 при коэффициентах а = 0,3 и Р = 0,1, приведены рис. 15.13,б.
Волны, несущие разрушения
319
Ветроэнергетический способ внесения затухания в исследуемый процесс [31]. Уравнения (15.7) дают общий рецепт по ограничению развития автоколебательного процесса в системе путем внесения в нее потерь, но, естественно, не отвечают на вопрос, как практически это можно осуществить. Рассмотрим в этой связи работу ветроэнергетической установки. При анализе работы ветрового электрогенератора следует рассматривать три вида энергии в про-
Рис. 15.14. Условная схема размещения ветровых генераторов-вентиляторов в зоне действия циклона
цессе ее преобразования и соответственно три вида мощности: ки-
нетическую энергию в единицу времени воздушного потока, прогоняемого через площадь S = тгг2, где г — радиус пропеллера, со скоростью V; механическую энергию вращающегося пропеллера и электрическую энергию ветрового электрогенератора, что позволяет получить следующую формулу для мощности последнего [31]:
Рв я 0,78т2V3 [Вт], т [м], V [м/с].
(15.8)
Запитаем полученной электрической энергией электродвигатель, на оси которого закрепим пропеллер. Работа, совершаемая таким вентилятором, с учетом КПД электродвигателя за время Тв составит
W. » 0,5т2У3Тв [Дж], г [м], V [м/с], Г. [с].	(15.9)
При г = 32 м, V = 30 м/с из (15.9) имеем W, м 107Т, Дж.
Разместим группу подобных ветровых генераторов-вентиляторов в зоне действия циклопа (рис. 15.14).
Направление вращения пропеллеров вентиляторов установим по часовой стрелке, т.е. противоположным направлению вращения вихревого воздушного потока (циклоны в Северном полушарии всегда вращаются против часовой стрелки), что должно способствовать торможению развития циклона. Таким образом, в рассматриваемой модели часть кинетической энергии циклона сначала преобразуется в электрическую энергию группы ветровых электрогенераторов, которая затем превращаются в энергию, «впрыскиваемую» с помощью вентиляторов в форме локальных направленных воздушных потоков в основной, «материнский» поток в противоположном от него направлении и потому тормозящие развитие последнего. Такая энергетическая система с отрицательной обратной связью по энергии мо-
320
Глава 15
Рис. 15.15. Структурная схема энергетической системы с отрицательной обратной связью
жег быть представлена в виде структурной схемы, приведенной на рис. 15.15.
В первую очередь два параметра оценивают работу данной системы: отношение «организованной» энергии WB, вбрасываемой в основной воздушный поток вентиляторами, к кинетической энергии «материнского» потока Назовем данное отношение энергетическим коэффициентом обратной связи 7 = WB/WU. Второй параметр характеризует инерционные свойства системы, связанные с временем поднятия прогретого воздуха насыщенного влагой с поверхности океана до момента конденсации водяных паров и выделения ими тепла, питающего энергией циклон. При вертикальной скорости поднятия воздуха V <0,1 м/с [65] и высоте, на которой происходит конденсация паров, в 10 км, получим для данного времени Т„ > 10000 с. За время Та вентиляторы должны «впрыснуть» в циклон такое количество «организованной» энергии, которое должно начать тормозить его развитие. Параметры 7 и Тп определяют значения коэффициентов а>0и/?>0в уравнении (15.7).
Таков в общих чертах физический механизм возможного предотвращения развития тропического циклона на начальном этапе, когда его разрастание можно остановить с помощью группы ветровых генераторов-вентиляторов. Последние можно разместить на специальных высокоскоростных кораблях, управляемых по радио и направляемых в зону зарождения циклонического образования после его обнаружения с помощью метеорологических спутников.
Сравнивая предложенную схему торможения развития циклопа (рис. 15.14) со схемой обычного автогенератора (см. рис. 5.3), следует отметить такое важное различие между ними. В обычной схеме обратная связь является положительной, с помощью которой автоколебания «разгоняются» по мощности. В случае циклона она должна быть отрицательной, гася автоколебания.
Лабораторный эксперимент [31]. На дне цилиндрического сосуда диаметром 25 см и высотой 25 см был размещен вентилятор, создающий вихревой воздушный поток против часовой стрелки (ими-
Волны, несущие разрушения
321
Малые вентиляторы
Большой вентилятор
- Вода
Рис. 15.16. Экспериментальная установка моделирования циклона
Подогрев
гация циклона) в 0,05 м3/с (рис. 15.16). Над этим вентилятором были размещены четыре маленьких вентилятора, вращающиеся по часовой стрелке, с суммарной мощностью ветровых потоков около 0,005 м3/с. Сосуд, на дне которого была налита вода, снизу подогревался до температуры кипения воды и образования пара. При включении только большого вентилятора в сосуде образовывался циклический поток ламинарного типа разогретого воздуха. При одновременном включении всех пяти вентиляторов ламинарный поток преобразовывался в квазитурбулентный.
Таким образом, проведенный лаборатор
ный эксперимент подтвердил идею возможного торможения мощного вихревого циклического процесса с помощью других специально организованных «малых» потоков, закрученных в противоположную сторону. Для лучшего наблюдения за процессом преобразования ламинарного потока воздуха в турбулентный в воде растворялся металлический йод, придающий парам розовую окраску. Согласно эксперименту значение коэффициента 7 = 0,1.
Следует заметить, что обычно стараются избавиться от турбулентного, т.е. вихревого движения газа и жидкости, создающего дополнительные потери, и сохранить ламинарный, т.е. упорядоченный процесс движения. Здесь же предлагается прямо противоположный рецепт: ламинарный поток преобразовать в хаотический, турбулентный, который и будет препятствовать развитию циклона.
Общие рекомендации по торможению развития циклона, вытекающие из проведенного анализа и лабораторного эксперимента:
•	энергия, разрушающая циклон, должна быть сопоставима с его кинетической энергией, ориентировочно 1:10, поэтому тормозить циклон следует на начальном этапе его зарождения;
•	энергия торможения в качестве своего источника должна использовать сам циклон путем прямого отбора из него части энергии с помощью воздушных вентиляторов;
•	следует применить принцип отрицательной обратной связи, «впрыскивая» в циклон дополнительную энергию в противоположном от основного движения направлении;
•	следует упорядоченные, вращающиеся по спирали воздушные потоки превратить в хаотические, турбулентные, которые не дадут беспрепятственно развиваться циклону.
Количественная оценка параметров рабочей системы. Из приведенных выше данных следует, что для рабочей ветроэнергети-21 - 8000
322
Глава 15
ческой системы разрушения циклона на начальном этапе его зарождения можно принять коэффициент 7 = 0,1, а для расчета энергии вентиляторов время Тв = 20000 с < Тп. В результате для энергии одного вентилятора при его мощности в Р = 5 МВт получим Wa = РТЯ = 10й Дж. Следовательно, при энергии циклона на начальном этапе кГц = 1013 Дж и коэффициенте 7 = 0,1 для его разрушения потребуется 10 генераторов-вентиляторов. В случае повышения энергии до Wu = 10й Дж их число следует увеличить до 100.
Контрольные вопросы
15.1.	В чем состоят отличия разных типов сейсмических волн?
15.2.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 15.6 графики параметров, характеризующих волну цунами, при исходных данных, отличных от приведенных в программе.
15.3.	Рассчитайте и постройте по программе рис. 15.12 графики параметров математической модели циклона, при исходных данных, отличных от приведенных в программе.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Метод Рунге-Кутта
При нахождении решения нелинейного дифференциального уравнения согласно методу Рунге-Кутта 4-го порядка значение функции на каждом последующем шаге j/n+i по отношению к предыдущему уп вычисляется по следующим формулам:
ki = fci + Ф(«п,Уп), к2 = Ф (tn +	,
кз = Ф (tn + ^,уп + ^кз^ , kt = Ф(гп + h,yn + hk3), 1/n+i = pn + h(ki + 2кз + 2кз + fc«)/6.
Погрешность метода на одном шаге не превышает Kh*, где К — постоянная величина.
Численный метод Рунге-Кутта решения нелинейных дифференциальных уравнений имеет следующие достоинства:
•	необходимость вычисления только самой функции Ф((,р) без определения ее производных;
•	одношаговость, т.е. возможность определения значения j/n+i только по значениям уп и tn, вычисленным на предыдущем шаге;
•	сопоставимость с методом Тейлора.
Математический пакет программ MathCAD предоставляет четыре встроенные функции rkfixed, rkadapt, Rkadapt, odesolve численного решения дифференциальных уравнений согласно методу Рунге-Кутта 4-го порядка.
Приложение 2. Функции Бесселя и Ганкеля
Бесселевыми или цилиндрическими функциями называют решения Zn(z), дифференциального уравнения Бесселя [57]
2<i2w	dw	, з j,
z2-j-j- + z— + (z2 - n2)w = О, dz2	dz	'
21«
324
Приложения
где z — комплексное переменное; п — в общем случае может быть произвольным комплексным числом, но в большинстве практических задач является действительным целым числом, определяющим порядок функции Бесселя.
Различают следующие бесселевые или цилиндрические функции:
•	функции Бесселя 1-го рода n-го порядка 7п(з), где п = О, 1, 2, 3, в математической среде MathCAD обозначаемые как Jn(n, z);
•	функции Бесселя 2-го рода n-го порядка, называемые также функциями Неймана, M,(z), где п = О, 1, 2, 3, в MathCAD обозначаемые как Yn(n, z);
•	функции Бесселя 3-го рода n-го порядка, называемые также функциями Ганкеля или Ханкеля, двух видов Н„ \z) и H„\z), где п = О, 1, 2, 3....
Функции Ганкеля можно определить через функции Бесселя 1-го и 2-го рода:
H^(z) = Jn(z) + jNn(z), H™(z) = J„(z) - jN„(z).
Данные зависимости при использовании математического пакета программ MathCAD записываются следующим образом:
Hl„(z) = Jn(n,z) + jYn(n,z), H2n(z) = Jn(n,z) — jYn(n,z).
Приложение 3. Параметры газовой среды
Определим параметры газовой среды, примыкающей к фронту ударной волны, распространяющейся в длинной круглой трубе (см. рис. 13.23, разд. 13.6). Приводимые ниже выкладки полностью основываются на работе [15].
Движение газа будем рассматривать относительно фронта ударной волны, считая его как бы неподвижным и введем две относительные скорости: U;, с которой газ подходит к фронту; uj, с которой газ покидает этот фронт. Для данных скоростей запишем
U! = Их> - Ui = V<z>-1>2,
где Vi, vj — скорости газа относительно стенок трубы; Рф — скорость ударной волны.
Рассматривая поток газа через единицу площади фронта, который считается покоящимся, получим три уравнения согласно законам сохранения массы, импульса и энергии:
Р1Ш = Р2«2,
Pl + РШ1 = Pi 4-P2U2, hi 4- 0,5u? = ht + 0,5uj,
(П3.1)
(П3.2)
(ПЗ.З)
где pi, pi — плотность газа; pi, Pi — давление; hi, hi — энтальпии единицы массы газа.
Приложения
325
При показателе адиабаты 7 = const, равным отношению удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме, энтальпия
(П3.4)
где R — газовая постоянная, отнесенная к единице массы газа.
Опуская промежуточные выкладки, с помощью выражений (ПЗ.З) и (П3.4) получим уравнения, известные как Ренкина-Гюгонио, для отношения параметров газа на фронте волны:
1 - ( 7-1 | р'
Р2 _	\ 7 + 1 / Р2
Pi Pi _ 7 ~ 1
Р2 7 + 1
7 - 1 + Р2
Р2 _	_	7 + 1 Р1
P1	1 . (7- 1^ P2
V + l/Pl
(П3.5)
(П3.6)
Совместно решая (П3.2) и (ПЗ.З), получим
21 = i+ P1U‘ Pl Pl
(П3.7)
Считая скорость невозмущенного газа щ = 0, получим для числа Маха, определяющего отношение скорости ударной волны к скорости звука в газе М = Уф/с, следующее выражение:
М = ui
(П3.8)
Подставив (П3.8) в (П3.7), получим
= 1 + 7М2 ( 1 - —
Pi	\ Р2
(П3.9)
С помощью выражений (П3.6), (П3.9) и других соотношений для идеального газа окончательно получим три уравнения, позволяющие определить отношение давления, плотности и температуры газа в области, примыкающей к ударной волне, к тем же параметрам иевозмущенной среды в зависимости от значения числа Маха:
Ра _ 2уЛ/2 + 1-7 pi “	1 + 7
р2 _ (7+ 1)М2 pi (7—l)Af2+2’
(П3.10)
(П3.11)
326
Приложения
Ъ = [уМ1 - 0,5(7 - 1)](О,5(7 - 1)Мг + 1)
71	0,25(7+ 1)2 Л/2
(П3.12)
Графики данных функций построены на рис. 13.24.
Приложение 4. Решение уравнения КдФ
При а = 1, 0 = 1 уравнение КдФ (13.24) принимает вид
dt^Vdx дх3
= 0.
Согласно [57] аналитическое решение уравнения (1)
3v
ch^O^v^Gc — vt — ®о)]’
(П4.1)
(П4.2)
где v — скорость движения солитона; Хо — положение максимума при t = 0.
Графики функции (П4.2) при скорости v = 5, Хо = 0 и трех относительных значениях времени 4 = 0, 1,2 построены на рис. П4.1, с помощью которого прослеживается движение солитона вдоль оси Ох.
Рис. П4.1. Графики движения солитона
Найдя производные
ду	ду	д3у
dt' дх' дх3
и подставив их в уравнение (П4.1), можно убедиться в правильности решения (П4.2).
Из (П4.2) следует, что амплитуда волны прямо пропорциональна скорости, которая, в свою очередь, зависит от первоначальной амплитуды запождаюшейся волны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Колебания и волны. Лекции. — М.: Изд-во МГУ, 2001.
2.	Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: ГИФМЛ, 1959.
3.	Андронов А.А. Собрание трудов. — М.: Изд. АН СССР, 1956.
4.	Атомное оружие: Пер. с англ. — М.:-Изд-во иностранной литературы, 1957.
5.	Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебн. для вузов. — М.: Высшая школа, 2000.
6.	Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике.— М.: Наука, 1981.
7.	Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: ГИФМЛ, 1958.
8.	Большая медицинская энциклопедия, т. 35. Гл. ред. А.Н. Бакулев. — М.: Советская энциклопедия, 1964.
9.	Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. — М.: Наука, 1982.
10.	Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.
11.	Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: ГИФМЛ, 1962.
12.	Вольман В.И., Пименов Ю-В. Техническая электродинамика. — М.: Связь, 1971.
13.	Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобра-зований. — СПб.: ВУС, 1999.
14.	Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Хаотическая динамика простых систем // Природа. 1981. X» 2.
15.	Гейдон А., Герл И. Ударная труба в химической физике высоких температур: Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.
16.	Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — М.: Наука, 1967.
17.	Горелик Г.С. Колебания и волны. — М.: ГИФМЛ, 1959.
18.	Действие ядерного оружия: Пер. с англ. — М.: Военное изд-во, 1965.
328
Список литературы
19.	Додд Р., Эйлбек Док.., Гиббон Дж. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
20.	Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: Солон-P. 2002.
21.	Жаботинский А.М. Концентрационные колебания. — М.: Наука, 1974.
22.	Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. — М.: Наука, 1966.
23.	Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. — М.-Ижевск: ИКИ, 2004.
24.	Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988.
25.	Зелъдовия Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. — М.: Наука, 1972.
26.	Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Наука, 1966.
27.	Инфельд Э., Роуланде Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос: Пер. с англ, под ред. Е.А. Кузнецова. — М.: Физматлит, 2005.
28.	Каганов В.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Компьютеризированный курс. — М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2005.
29.	Каганов В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и Math-cad. — М.; Горячая линия — Телеком, 2003.
30.	Каганов В.И. СВЧ полупроводниковые радиопередатчики. — М.: Радио и связь, 1981.
31.	Каганов В. И. Ветроэнергетический метод предотвращения развития тропического циклона // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32, вып. 6.
32.	Капранов М.В., Кулешов В.И., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. — М.: Наука, 1984.
33.	Кацман Ю.А. Приборы сверхвысоких частот. — М.: Высшая школа, 1973.
34.	Качурин Л.Г. Физические основы воздействия на атмосферные процессы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1978-
35.	Келдыш М.В. Избранные труды, т.2, Механика.— М.: Наука, 1985.
36.	Ковалевская С.В. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. — М.: Изд. АН СССР, 1940.
37.	Коненкова Г.Е., Показеев К.В. Динамика морских волн. — М.: Изд-во МГУ, 1985.
38.	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: Пер. с англ, под ред. И.Г. Арамановича. — М.: Наука, 1978.
39.	Красильников В.А. Звуковые волны в воздухе, воде и твердых телах. — М.: Физматгиз, 1960.
40.	Красильников В.А. Звуковые и ультразвуковые волны. — М.: Фиэ-матгиз, 1960.
41.	Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. — М.: Физматлит, 2005.
42.	Краусс В. Внутренние волны: Пер. с немец. — Л.: Гидрометеоиздат, 1968.
Список литературы
329
43.	Крылов А.Н. Собрание трудов. Т. 11. Качка корабля. — М.: Изд-во АН СССР, 1951.
44.	Крылов А.Н. Собрание трудов. Дополнение к т. 5-6. Эйлер. Новая теория движения Луны. — М.: Изд-во АН СССР, 1951.
45.	Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях: Пер. с англ, под ред. П.П. Ко-рявова, П.И. Чушкина. — М.: Мир, 1981.
46.	Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. — М.: Наука, Физ-матлит, 1977.
47.	Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. — М.: Наука, 1980.
48.	Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. — М.: Физматлит, 2003.
49.	Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988.
50.	Лепендин Л.Ф. Акустика. — М.: Высшая школа, 1978.
51.	Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика: Пер. с англ, под ред. Б.В. Чирикова. — М.: Мир, 1984.
52.	Лучков Б. Ураганы — вечная проблема? // Наука и жизнь. 2006. № 3.
53.	Лэмб Г. Динамическая теория звука: Пер. с англ. — М.: ГИФМЛ, 1960.
54.	Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодол А. Теория автоматического регулирования М.: ГИТТЛ, 1949.
55.	Максвелл Д.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1954.
56.	Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. — М.: Изд-во АН СССР, 1956.
57.	Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. Т. 1-5. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1984.
58.	Морз Ф. Колебания и звук: Пер. с англ, под ред. С.Н. Ржевкина. — М.: ГИТТЛ, 1949.
59.	Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука, 1987.
60.	Неймарк Ю.И. Динамика систем. — Нижн. Новг.: ННГУ, 1991.
61.	Никольский В.В., Никольская Т.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. — М.: Наука, 1989.
62.	Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. — М.: Судостроение, 1981.
63.	Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ. — М.: Мир, 1989.
64.	Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений: Пер. с англ.— М.: Наука, 1986.
65.	Погосян Х.П. Циклоны. — Л.: Гидрометеоиздат, 1976.
66.	Потехин А.Н. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн. — М.: Советское радио, 1948.
67.	Поттер Д. Вычислительные методы в физике: Пер. с англ. — М.: Мир, 1975.
330
Список литературы
68.	Пригожин И., Стенгере И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой: Пер. с англ. — М.: КомКнига, 2005.
69.	Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984.
70.	Рамо С., Уиннери Дж. Поля и волны в современной радиотехнике: Пер. с англ, под ред. Ю.Б. Козырева. — М.: ГИТТЛ, 1948.
71.	Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. — М.: Наука, Физматлит, 2000.
72.	Самарский А.А. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1997.
73.	Сарбах ер Р., Эдсон В. Техника сверхвысоких частот: Пер. с англ, под ред. Л.Д. Гольдштейна.— М.: Государственное изд. литературы по вопросам связи и радио, 1947.
74.	Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике: Пер. с англ, под ред. Л.А. Островского, М.И. Рабиновича. — М.: Советское радио, 1977.
75.	Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1-4. — М.: ГИТТЛ, 1957.
76.	Солитоны в действии / Под ред. К. Лонгрена и Э. Скотта: Пер. с англ. — М.: Мир, 1981.
77.	Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. — М.: ГИФМЛ, 1950.
78.	Странные аттракторы. Сб статей: Пер. с англ, под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Школьникова. — М.: Мир, 1981.
79.	Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. — М.: Физматлит, 2001.
80.	Трухин В.И., Показеев К.В., Куницын В.Е. Общая и экологическая геофизика. — М.: Физматлит, 2005.
81.	Уизем Д. Линейные и нелинейные волны: Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.
82.	Афраймович В.С., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. — Горький: Институт прикладной физики, 1989.
83.	Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана: Пер. с англ. — Л.: Гидрометеиздат, 1980.
84.	Финкилъштейн М.И., Кутев В.А., Золотарев В.П. Применение радиолокационного подповерхностного зондирования в инженерной геологии. — М.: Недра, 1986.
85.	Харкевич А.А. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике. — М.: ГИТТЛ, 1956.
86.	Хенл X., Mays А., Вестифалъ К. Теория дифракции: Пер. с нем. под ред. Г.Д. Малюжинца. — М.: Мир, 1964.
87.	Чуи Ч.К. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. — М.: Мир, 2001.
88.	Шахгилъдян В.В., Ляхов-кин А.А. Системы фаювой автоподстройки частоты. — М.: Связь, 1972.
89.	Эккарт К. Гидродинамика океана и атмосферы. — Москва— Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.
90.	Эллиот Л.П., Уилкос У.Ф. Физика: Пер. с англ, под ред- А.И. Китайгородского. — М.: Наука, 1975.
Список литературы	331
91.	Яковлев А.Н. Основы вейвлет-преобразования сигналов. — М.: Сайнс-Пресс, 2000.
92.	Яворский В.М., Пинский А.Л. Основы физики. Т. 2. Колебания и волны. — М.: Физматлит, 2000.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................... 3
Введение......................................... 5
Глава 1. Исходные положения	теории колебаний........... 13
1.1.	Примеры колебаний и волн	в природе	и	технике.... 13
1.2.	Классификация колебаний........................ 17
1.3.	Общий математический подход к колебательным процессам ............................................... 20
1.4.	Спектральный Фурье-анализ колебаний............ 27
1.5.	Устойчивость линейной системы.................. 40
1.6.	Фазовая плоскость.............................. 41
1.7.	Синхронизация колебаний....................     46
1.8.	Энергетический подход к исследованию колебаний.. 47
Контрольные вопросы............................. 52
Глава 2. Две базовые колебательные модели ............ 53
2.1.	Колебательная модель второго порядка........... 53
2.2.	Колебательный контур последовательного и параллельного типа......................................     54
2.3.	Вынужденные колебания в контуре................ 62
2.4.	Свободные колебания маятника................... 67
2.5.	Вынужденные колебания маятника................. 73
Контрольные вопросы............................. 75
Глава 3. Колебания при вращении твердых тел........... 77
3.1.	Модель с двумя видами движения................. 77
3.2.	Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. 80
3.3.	Взаимодействие двух тел в поле тяготения....... 87
3.4.	Взаимодействие трех тел в поле тяготения......  94
Контрольные вопросы............................ 100
Оглавление	333
Глава 4. Колебания в технических объектах.............. 101
4.1.	Колебания корабля под действием морских волн..... 101
4.2.	Колебания, разрушающие самолет.................. 107
4.3.	Колебания центробежного регулятора.............. 111
Контрольные вопросы.............................. 116
Глава 5. Колебания и автоколебания в электронных устройствах............................................ 117
5.1.	Определение автоколебаний....................... 117
5.2.	Электронный автогенератор высокочастотных колебаний 119
5.3.	Синхронизация автогенератора внешним сигналом.... 125
5.4.	Взаимная синхронизация автогенераторов.......... 128
5.5.	Фазовая синхронизация колебаний................. 131
5.6.	Колебания в контуре с нелинейной индуктивностью.. 135
5.7.	Колебания в контуре с нелинейной емкостью....... 140
5.8.	Генерация релаксационных колебаний.............. 143
5.9.	Движение электрона в электрическом и магнитном полях 144
Контрольные вопросы...................................... 146
Глава 6. Автоколебания в биологических и химических системах.............................................   148
6.1.	Механизм автоколебаний в биологических и химических системах............................................. 148
6.2.	Автоколебания в мире животных................... 150
6.3.	Автоколебательный химический процесс............ 153
6.4.	Автоколебательный процесс энергообеспечения живой клетки.........................................       158
6.5.	Автоколебательный процесс при кросскатализе...... 159
6.6.	Моделирование аритмии сердца.................... 161
Контрольные вопросы.............................. 165
Глава 7. Параметрические колебания..................... 166
7.1.	Уравнения системы с переменными параметрами...... 166
7.2.	Маятник с переменными параметрами............... 167
7.3.	Электрический контур с переменными параметрами... 169
7.4.	Параметрический делитель частоты ............... 174
Контрольные вопросы..................................... 176
Глава 8. Случайные колебания........................... 177
8.1.	Стационарный (гауссовский) случайный процесс..... 177
8.2.	Функция корреляции и энергетический спектр...... 180
8.3.	Воздействие случайного колебания на колебательную си-
стему .........................................   186
334
Оглавление
Контрольные вопросы.............................. 191
Глава 9. Хаотические колебания......................... 192
9.1.	Режим хаоса в колебательных системах..........   192
9.2.	Тепловая конвекция в слое жидкости.............. 195
9.3.	Хаос при размножении колебаний.................. 198
Контрольные вопросы............................   203
Глава 10. Вейвлет-анализ колебаний..................... 204
10.1.	Особенности Фурье-преобразования................ 204
10.2.	Основные черты вейвлет-преобразования..........  205
10.3.	Непрерывное вейвлет-преобразование с вейвлетом «мар-лет» ................................................ 211
10.4.	Анализ колебаний, излученных геологическим радаром . 214
10.5.	Анализ электрокардиограммы...................... 216
Контрольные вопросы............................   218
Глава 11. Анализ волновых процессов.................... 219
11.1. Математические модели волновых процессов....... 219
11.2. Конечно-разностный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными................ 224
Контрольные вопросы............................   230
Глава 12. Волны в структурах распределенного типа .... 231
12.1.	Волны в линейной бездисперсионной среде......... 231
12.2.	Волны в линейной дисперсионной среде............ 236
12.3.	Волны в активной среде.......................... 243
12.4.	Волны в нелинейной среде........................ 247
12.5.	Волна-импульс в нелинейной среде................ 251
Контрольные вопросы.............................  255
Глава 13. Волны в сплошных средах....................   256
13.1.	Характеристика сплошной среды................... 256
13.2.	Поверхностные волны в жидкости.................. 258
13.3.	Уединенная волна................................ 265
13.4.	Акустические волны ............................. 269
13.5.	Внутренние волны................................ 279
13.6.	Ударные волны .............................      280
Контрольные вопросы...........................    287
Глава 14. Электромагнитные волны....................... 289
14.1.	Уравнения электромагнитной волны................ 289
14.2.	Плоская электромагнитная волна.................. 293
14.3.	Излучение электромагнитных волн................. 295
14.4.	Распространение радиоволн....................... 298
Оглавление	335
14.5.	Дифракция................................... 302
Контрольные вопросы........................... 307
Глава 15. Волны, несущие разрушения................. 308
15.1.	Волны в природе............................. 308
15.2.	Сейсмические волны при землетрясениях....... 309
15.3.	Океанические волны цунами..................  311
15.4.	Тропический циклон как глобальная колебательная си-
стема ......................................   314
Контрольные вопросы........................... 322
Приложения.................................... 323
Список литературы............................. 327
ВЫШЛИ В СВЕТ И ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Каганов В. И Компьютерные вычисления в средах Excel и MathCad. - М.: Горячая лииня-Телеком, 2003. - 328 с.: ил.
Излагаются основы универсальных математических программ Excel и MathCad, работающих в среде операционной системы Windows. Рассмотрены решения с применением компьютера разнообразных задач, относящихся к математике и физике, небесной механике и космонавтике, радиотехнике н генетике, коммерции и медицине. В общей сложности приведено 30 программ, позволяющих выполнять компьютерные вычисления в рамках элементарной н высшей математики.
Для широкого круга читателей - пользовате* лей персональных компьютеров Будет полезна школьникам старших классов, учащимся колледжей, студентам техникумов и вузов, аспирантам а также инженерам-практикам смежных специальностей Каганов В. И. Радиотехника + компьютер + MathCad. - М.: Горячая лнния-Телеком, 2001.-416 с.
Излагаются теоретические основы радиотехники и ее взаимодействие с компьютерными вычислениями. Решение разнообразных задач по теории радиосигналов, линейным и нелинейным радиотехническим устройствам, по проблемам оптимизации, методам генерирования, усиления, формирования, приема и обработки радиосигналов проводится с помощью математического пакета программ MathCad, работающих в среде операционной системы Windows. В общей сложности приведено 50 программ. Рассмотрены принципы построения спутнико-космических и наземных систем радиосвязи и применение в них компьютеров
Для специалистов в области радиоэлектроники и студентов вузов радиотехнического профиля. КристалинскиЙ Р. Е , КристалннскиЙ В. Р. Преобразования Фурье и Лапласа в снеге* мах компьютерной математики: Учебное пособие для вузов. - М.: Горячая линия -Телеком» 2006. - 216 с.: ил.
Изложена теория преобразований Фурье и Лапласа, приводятся многочисленные примеры, реализованные в системах компьютерной математики MathemalKa. Maple, MathCAD Достаточно
много внимания уделено исследованию приближенных методов решения рассматриваемых задач.
Для студентов и аспирантов, может быть полезна научным работникам и инженерам, занимающимся исследованиями в области радиотехники. электротехники, теории автоматических систем управления, теории теплопроводности, теории упругости и строительной механики.
Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием пакт MathCad. Учебное пособие для вузов. - М.: Горячая линия-Телеком. 2002, -252 с.: ил.
Книга посвящена обучению основам компьютерного моделирования физических процессов Каждая глава книги содержит теоретический материал. описание математических методов, используемых при решении соответствующих задач, тексты программ н задачи для самостоятельного решения. В качестве базового программного продукта используется пакет MathCad
Для студентов вузов, обучающихся по специальнее» ям математика, информатика, физика, аспирантов. преподавателей соответствующих дисциплин, молодых специалистов.
Поршнев С. В Компьютерное моделирование физических систем с использованием пакета MathCad. Учебное пособие для вузов. - М.: Горячая линия-Телеком, 2004. -319 с.: ил.
Книга посвящена обучению основам компьютерного моделирования физических процессов и систем Она является продолжением книги «Компьютерное моделирование физических процессов с использованием пакета MathCADn Во второй книге рассмотрены модели систем с многими степенями свободы (линейные цепочки, волны, статистические системы и др.) и квантово-механические системы Каждая глава содержит теоретический материал, описание математических методов, используемых при решении соответствующих задач, и задачи для самостоятельного решения.
Для студентов вуюв, обучающихся по специальностям математика, информатика, физика, может быть полезна для преподавателей соответствующих дисциплин, специалистов.
Справки по телефону: (495) 737-39-27, e-mail: radio5_hl@mtu-net.ru WWW.TEC HBOOKRU
Заказать книги наложенным платежом можно, выслав почтовую открытку или письмо по адресу: 107113, Москва, а/я 10, «Dessy»; тел. (495) 304-72-31 или по электронной почте: post@dessy.ru
Колебания и волны н природе и технике
В.И.Кагзнов