Введение
Постановка задачи
В 1887 году знаменитый химик Д. И . Менделеев в своей книге «Исследование водных
растворов по удельному весу» [6] поставил следующую математическую задачу: для
многочлена f второй степени, |f (x)| ≤ M , x ∈ [a, b], оценить |f ′(x)|. Этот вопрос
привел к появлению большого количества работ по различным типам дифференциальных
неравенств для многочленов.
Целью исследования является модификация теорем Бернштейна и Смирнова ([5],
[7]). В классических исследованиях предполагалось, что все нули мажорирующего
многочлена лежат в одной области (например, в единичном круге, правой полуплоскости
и т. д .). Мы снимаем это требование, допуская, что один нуль находится в левой
полуплоскости.

История исследований
Первой работой по дифференциальным неравенствам стала работа А. А . Маркова,
который в 1889 году ответил на вопрос Менделеева для многочлена произвольной
степени.
Обозначим Pn — множество многочленов, степени не превосходящей n ∈ N.
Теорема 1. [1],[2] Пусть f ∈ Pn и |f(x)|≤M для x ∈ [a,b].Тогда
|f ′(x)| ≤ 2n2M
b−a
для x ∈ [a,b].
Равенство выполняется только для
f(x) = ±MTn (
2x−a
−b
b−a
),
где Tn = cos(n arccos x) - многочлены Чебышёва.
В 1892 году В. А . Марков обобщил теорему 1 для производных произвольного порядка
[3]. Вопрос, поднятый Менделеевым, был сформулирован в книге Смирнова и Лебедева
[5] и назван задачей Менделеева:
пусть B ⊂C-компактное множество, f(z) многочлен, degf = n ≥ 1,|f(z)| ≤ M,z ∈
B. Нужно оценить |f ′(z)| для z ∈ B. Напомним, в первоначальной задаче компактом
являлся отрезок [a, b].
В. И. Смирнов рассмотрел случай комплексных многочленов и компактного
мнржества B=∂D,гдеD={z∈C:|z|<1}—единичныйкруг.
Теорема2.Пустьf∈Pnи|f(z)|≤Mна ∂D.Тогдана ∂D
|f ′(z)| ≤ Mn.
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда f(z) = Me
iγ
z
n
,γ∈R.
Теорему 2 можно переформулировать.
Теорема 3. Пусть f∈Pn и|f (z)| ≤|Mzn|нана ∂D.Тогдана ∂D
|f ′(z)| ≤ |(Mz^n)′|.
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда f(z) = Me
iγ
z
n
,γ∈R..
В 1930 году С. Н . Бернштейн получил обобщение теоремы 3, заменив многочлен Mzn
на
произвольный многочлен F степени n.

Теорема 4. [6] Пусть f и F — многочлены, удовлетворяющие следующим условиям (*):
{1)degf≤degF=n;
2)|f(z)| ≤|F(z)|на∂D
3) все нули многочлена F лежат в D.
Тогда, для z ∈ C\D
|f ′(z)| ≤ |F ′(z)|.
Для z ∈ C\D равенство выполняется тогда и только тогда, когда f (z) = Meiγ
zn,γ∈R.
В. И . Смирнов получил обобщение теоремы 4. Для R ≥ 1 через ΩR (рис. 1) обозначим
образ круга {t ∈ C ∶ |t| ≤ R} под действием отображения φ(t) =
t
1+t
Дляf ∈Pn, α∈C, обозначим
Sα [f ](z) = zf ′(z) − nαf (z) − оператор Смирнова.
Теорема 5. [5] Пусть R ≥ 1, f и F многочлены, удовлетворяющие условиям (∗). Тогда,
для|z|=Rиα∈ΩR(рис.1),
|Sα [f](z)| ≤ |Sα[F](z)|.
Для Для α ∈ int ΩR и z ∈ C\D, равенство выполняется тогда и только тогда, когда f = e iγ F,
γ∈R.
Заметим, что при α = 0 получается теорема 4.
Рис. 1: ΩR.

Пусть задана область Gu0
= {z∈C:│z−
k
2u0
|>
n
2u0
},u0>0.
Рис. 2: область Gu0 , u0 > 0.
Дляu0=0: Gu0
= {z∈C:Re(z)<0}.
Рис. 3: область Gu0
,u0=0.
Теорема 6. Пусть f и F — многочлены, удовлетворяющие следующим условиям:
1. degf≤degF=n;
2. |f(z)| ≤ |F(z)| на прямой Re(z) = 0;
3. все нули многочлена F лежат в полуплоскости Re(z) > 0.
Пусть u0 ≥ 0 — фиксированное число.
Тогда для любого z, удовлетворяющего условию Re(z) ≤ −u0 выполняется
неравенство
|f′(z) + αf(z)| ≤|F′(z) + αF(z)|,
(1)
гдеα ∈Gu0.

Новый результат
В теореме 6 предполагалось, что все нули многочлена лежат в правой полуплоскости
Re(z) > 0. Но что будет, если ослабить ограничение на нули, допуская что один нуль
лежит в левой полуплоскости Re(z) < 0?
Теорема 7. Пусть f и F — многочлены, удовлетворяющие следующим условиям:
1. degf≤degF=n;
2. |f(z)| ≤ |F(z)| на прямой Re(z) = 0;
3. z0 < 0 — единственный нуль k-го порядка многочлена F, лежащий в полуплоскости Re(z) ≤
0, 1 ≤ k ≤ n − 1; остальные нули многочлена F лежат в полуплоскости Re(z) > 0.
Пусть u0 ≥ 0 — фиксированное число.
Тогда для любого z, удовлетворяющего условию Re(z) ≤ −u0 выполняется
неравенство
|f′(z) +βf(z)| ≤|F′(z) +βF(z)|,
(2)
дляβ ∈Eu0
, где Eu0 - одно из следующих множеств:
1) полуплоскость
{β∈ C:Re(β) ≤
k
z0
},
вслучае, когдаz ∈ Re(z) = 0,u0 = 0;
2) дополнение к полосе
{β∈C:0<Re(β)≤
n
2u0
},
вслучае,когдаz,z0 ∈ Re(z) = −u0,u0 > 0;
3-1) дополнение до кольца
{β∈C∶r<|β−
1
2
(
n
u0
+
k
u0+z0
)|<ρ},
гдеr =
1
2
(|k
u0+z0
|−
n
u0
),ρ =
1
2
(|k
u0+z0
|+
n
u0
),
вслучае,когдаz,z0 ∈Re(z)= −u0,u0 >0,r≥0;

3-2) внешность круга
{β∈C∶|β−
1
2
(
n
u0
+
k
u0+z0
)|<ρ},
еслиz∈Re(z)= −u0,u0>0,,z0∉Re(z)= −u0,r<0.
Стоит отметить, что похожее исследование уже проводилось Е. Г. Компанеец и В. В .
Старковым в 2021 году [7]. Тогда рассматривался случай, когда все нули мажорирующего
многочлена лежат в единичном круге D, допуская при этом один нуль вне круга.
Доказательство. Обозначим Du0
= {z ∈C∶Re(z)≤−u0}.По условиям 2,3
теоремы 7 многочлены f и F можно записать в следующем виде:
f(z) =(z − z0)kf1(z) иF(z) =(z − z0)kF1(z), где F1(z0)≠ 0.
(3)
Заметим, что многочлены f1 и F1(z) удовлетворяют условиям 1,2,3 теоремы 6.
Распишем для f и F неравенство (2):
|f′(z) + βf(z)| ≤ |F′(z) + βF(z)|,
(4)
z∈Du0
.
Подставим многочлены (3) в неравенство (4):
|β(z − z0)kf1(z) + k(z − z0)k−1
f1(z) + (z − z0)kf1′(z)| ≤
≤ |β(z − z0)kF1(z) + k(z − z0)k−1
F1(z) + (z − z0)kF1′(z)|,
z∈Du0
.
Получаем
|f1(z)[β(z − z0)k + k(z − z0)k−1] + f1′(z)(z − z0)k| ≤ |F1(z)[β(z − z0)k + k(z − z0)k−1] +
F1′(z)(z − z0)k|, (5)
z∈Du0
.
Заметим, что при z = z0 неравенство (5) верно для любого β ∈ C. Далее будем считать,
что z ≠ z0 . Перепишем (5) в виде
|f1(z)(z − z0 )k [β +
k
z −z0
]+f1′(z)(z − z0)k| ≤|F1(z)(z − z0)k[β +
k
z −z0
]+ F1′(z)(z − z0)k|, (6)
z∈Du0.
Разделим (6) на (z − z0 )k ≠ 0 и получим:

|f1(z) (β +
k
z −z0
)+ f1′(z)| ≤|F1(z)(β +
k
z−z0
) + F1′(z)|, (7)
z∈Du0
.
Обозначим
α=β+
k
z −z0
.
(8)
Тогда неравенство (7) принимает вид (1).
Найдем множество изменения параметра β в неравенстве (2).
1. Рассмотрим случай, когда z лежит на прямой Re(z) = 0. Выразим из (8) параметр
β:
β=α−
k
z−z0
.
(9)
По теореме 6 параметр α лежит в множестве Gu0 (рис. 3), для которого θ = 0. Значит, для
фиксированного z, Re(z) = 0, множество Bz изменения параметра β получается сдвигом Gu0 на
−
k
z−z0
:
Bz ={z∈C:Re(z)≤c}. (10)
Образ прямой Re(z) = 0 под действием отображения −
k
z −z0
—
это окружность с центром
k
2z0
и
радиусом
k
2z0
(рис. 4), поэтому для всех z, таких что Re(z) = 0, параметр c из (10) лежит в отрезке
[k
z0
, 0].
Рис. 4: окружность Cu0
.
Тогда искомое множество
Eu0
=
⋂
Re(z)=0
Bz = {β∈C:Re(β)≤
k
z0
}. (11)

Рис. 5: множествоEu0
,u0=0.
2. Рассмотрим случай, когда z лежит на прямой Re(z) = −u0, u0 > 0, z0 тоже лежит на этой
прямой. По (9):
β=α−
k
z−z0
.
По Теореме 6 параметр α лежит в множестве Gu0 (с θ = 0) (рис. 2):
Gu0
={z∈C:|z−
n
2u0
|≥
n
2u0
}.
Выполняя сдвиг Gu0 согласно (12) на −
k
z−z0
, мы получаем множество Bz изменения параметра β,
при фиксированном z:
Bz={z∈C:|z−(
n
2u0
−
k
z−z0
)|≥
n
2u0
}.
Образом прямой Re(z) = −u0, u0 > 0, под действием −
k
z−z0
, является прямая Re(z) = 0 (мнимая
ось). Тогда центры кругов Bz лежат на прямой Re(z) =
n
2u0
. Поэтому искомое множество Eu0 (рис.
6) является дополнением к полосе {z ∈ C: 0 < Re(z) <
n
u0
}:
Eu0
=
⋂
Re(z)=−u0
Bz = {β∈C:Re(β)≤0}∪{β∈C:Re(β)≥
n
u0
}.
(12)

Рис. 6: множество Eu0
;z,z0∈Re(z)= −u0.
3. Рассмотрим случай, когда z лежит на прямой Re(z) = −u0, u0 > 0, причем z0 не
лежит на этой прямой.. Возможно 2 ситуации:
z0>−u0 и z0<−u0
По (9):
β=α−
k
z −z0
.
По Теореме 6 параметр α лежит в множестве Gu0 (с θ = 0). Тогда, аналогично рассуждениям из
случая 2, приходим к множеству Bz изменения параметра β, при фиксированном z:
Bz={z∈C:|z−(
n
2u0
−
k
z−z0
)|≥
n
2u0
}, (13)
т.е . Bz — внешность круга радиуса
n
2u0
с центром cz =
n
2u0
−
k
z−z0
.

a) Пусть z0 > −u0. В этом случае, образом прямой Re(z) = −u0, под действием −
k
z −z0
, является
окружность Cu0
, проходящая через начало координат:
Cu0
= {z∈C:|z−
1
2
k
u0+z0
|=
1
2
k
u0+z0
}.
Заметим, что центры cz окружности ∂Bz получаются сдвигом точки
n
2u0
на точки, лежащие на
окружности Cu0
. Тогда cz лежат на окружности
C̃
u0
={z∈C:|z−
1
2
( nu0
+
k
u0+z0
)|=
1
2
k
u0+z0
}.
a1) Если
n
2u0
≤
1
2
k
u0+z0
, т.е. (n − k)u0 + nz0 ≤ 0, то искомое множество Eu0
=
⋂
Re(z)=−u0
Bz
является дополнением к кольцу Ku0 :
Ku0
= {z∈C:
1
2
(k
z0+u0
−
n
u0
)<|z −
1
2
(nu0
+
k
z0+u0
)|<
1
2
(k
z0+u0
+
n
u0
)}.
Обозначим ρ и r — радиусы окружностей, образующих кольцо Ku0 :
ρ=
1
2
(k
z0+u0
+
n
u0
) - радиус внешней окружности;
r=
1
2
(k
z0+u0
−
n
u0
) - радиус внутренней окружности.
Тогда искомое множество можно записать в виде (14):
Eu0
={z∈C:|z−
1
2
(nu0
+
k
u0+z0
)|≥ρ}∪{z∈C:|z−
1
2
( nu0
+
k
u0+z0
)| ≤ r}. (14)
Рис. 7: множествоEu0
.
a2) Если
n
2u0
>
1
2
k
u0 +z0
, т.е. (n − k)u0 + nz0 > 0, то то искомое множество Eu0
=
⋂
Re(z)=−u0
Bz
является дополнением до круга Su0
:

Su0
={z∈C:|z−
1
2
( nu0
+
k
z0+u0
)|< ρ}.
Тогда искомое множество можно записать в виде (15):
Eu0
={z∈C:|z−
1
2
( nu0
+
k
u0+z0
)| ≥ ρ}. (15)
Рис. 8: множество Eu0
.
b) Пусть z0 < −u0. В этом случае образом прямой Re(z) = −u0, под действием −
k
z −z0
, будет
окружность Lu0
:
Lu0
={z∈C:|z−
1
2
k
u0+z0
|=−
1
2
k
u0+z0
}.
В этом случае центры cz окружности ∂Bz получаются сдвигом точки
n
2u0
на точки, лежащие на
окружности Lu0
. Тогда центры кругов Bz в (13) лежат на окружности
L̃
u0
={z∈C:|z−
1
2
( nu0
+
k
u0+z0
)|= −
1
2
k
u0+z0
}.
b1) Пусть
n
2u0
+
1
2
k
u0+z0
≤ 0, т.е. u0(n + k) + nz0 ≤ 0. Тогда искомое множество
Eu0
=
⋂
Re(z)=−u0
Bz — дополнение к кольцу
Ku0
∗
= {z∈C:
1
2
(−
k
u0+z0
−
n
u0
)<|z −
1
2
( nu0
+
k
u0+z0
)|<
1
2
(−
k
u0+z0
+
n
u0
)}.

Рис. 9: множествоEu0
.
b2) Пусть
n
2u0
+
1
2
k
u0+z0
> 0, т.е. u0(n + k) + nz0 > 0. Тогда искомое множество
Eu0
=
⋂
Re(z)=−u0
Bz это внешность круга
Γu0
= {z∈C:|z−
1
2
(nu0
+
k
u0+z0
)|<
1
2
(−
k
u0+z0
+
n
u0
)}.
Рис. 10: множествоEu0
.
Объединив случаи a) и b) получим, что искомое Eu0 в случае, когда z лежит на прямой
Re(z)= −u0,u0>0,аz0нележитнаRe(z)= −u0имеетвид:

Eu0
=
{
{β∈C:|β−
1
2
( nu0
+
k
u0+z0
)|≥ρ}∪{β∈C:|β−
1
2
( nu0
+
k
u0+z0
)|≤r}, r≥0,
{β∈C:|β−
1
2
( nu0
+
k
u0+z0
)|≥ρ},
r<0,
где
R=
1
2
|k
u0+z0
|,
ρ=
1
2
(|k
u0+z0
|+
n
u0
),
r=
1
2
(|k
u0+z0
|−
n
u0
).
Рис. 11: множество Eu0
;z∈Re(z)= −u0;z0∉Re(z)= −u0.

Заключение
В ходе выполнения данной работы была подробно изучена история задачи оценки
производных многочленов, поставленной Д. И. Менделеевым в 1887 году. Были рассмотрены
классические результаты А. А. Маркова, В. А . Маркова, С. Н. Бернштейна и В. И. Смирнова, в
которых предполагалось, что все нули мажорирующего многочлена лежат в одной полуплоскости.
На основе современного результата, полученного Е. Г . Компанеец и В. В. Старковым, возник
вопрос: можно ли в теореме Смирнова сделать допущение о том, что один нуль лежит вне правой
полуплоскости?
Ответом на поставленный вопрос является сформулированная и доказанная в работе теорема
7. В ходе доказательства было получено обобщение (аналог) неравенства Смирнова для нового
случая. Существенным результатом является описание искомого множества Eu0 изменения
параметра. Установлено, что структура этого множества зависит от взаимного расположения z, z0
относительно прямой Re(z) = −u0, причём z0 < 0.
Таким образом, поставленная в начале работы цель достигнута, а именно, получен аналог
неравенства Смирнова и определено множество изменения параметра β, при котором новое
неравенство остается верным.

Литература
1. Марков А. А. Об одном вопросе Д. И. Менделеева // Известия Императорской
Академии наук. — 188 9.
—
Т.62,No4. — С.1—24.
2. Марков А. А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций,
наименее уклоняющихся от нуля. — Москва ; Ленинград : ОГИЗ, Гос. изд-во техн.-
теор. лит ., 1948. — 412 с.
3. Марков В. А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. —
Санкт-Петербург : Тип. Императорской академии наук, 1892. — 1 11 с.
4. Менделеев Д. И . Исследование водных растворов по удельному весу. — Санкт-Петербург :
Тип. В. Демакова, 1887. — 312 с.
5. Смирнов В. И ., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного
переменного. — Москва : Наука, 1964. — 55 5 с.
6. Bernstein S. Sur la limitation des d́er i v́ees des polynˆomes // Comptes Rendus de l’Acad́em ie
des Sciences. — 1930.
—
Т. 191. — С. 338—341.
7. Kompaneets E. G., Starkov V. V. On the Smirnov-Type Inequality for Polynomials //
Mathematical Notes. — 2021.
—
Т. 109, No 2. — С. 388—397.