Текст
                    Том II. Замеченные опечатки
Страница, строил, формгла	Напечатано	lk}	.< с Следует ininaiM
15. ЗОЛ си.	m<n	n<m
16. ф-.и (43)	/лиг = иЛ	»>our = i/fi
17. 15 о.	с4	e .
З8.ф-л(4 54)	dUr	
5Э.ф-л(4П)	р		 —— — /С 1 N 1	to ii <1" II II
73, Сем.	ё"	e‘“
77. ф-л (4.163)	к, +Л* + к{ =	
79.14 см	JF, = (x) =	и;(х)=
80. 1Со	jw, *(')=« л	e *
СО.21 СВ.	Х(х)-о-уъ	V(.v.()~e*v
92. ф-л (4.239)	«1ч(* + |)рМ	
101. ф-л (4 266)	So-HJ -Wj	Ao = Hi.-Wj
123. Иса.	h	AJ
I4L 2 см.	1 1	1 . 11/2 1
		
176. ф-л (4.360)		t.
181. ф-л (4 366)	S	Tw
195. ф-л (4.313)	p	p
199. ф-л (4 391)	S<o = 2eU	fab^leU
237. ф-л (4.437)	°oT	Xv
243, 1 сж	ovo	X
244.90	*vw =»;. -W;	
248 м 249	Все величины Л заменить на h	
302. 15 о.	<Ди>-Д)-Д5	< и > Д/ AS
305. Со.		
307. ф-л» (5-39)	e"	Mt у. e"i<
316. Зсм.	u,p	u-"-
КУРС ФИЗИКИ
Под редакцией профессора
В. Н. ЛОЗОВСКОГО
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальностям и направлениям
Санкт-Петербург
2000
ББК 22.3я73
К 93
УДК 530.1 (075.8)
К 93 Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т. 2./Под. ред.
В. Н. Лозовского. — СПб.: Издательство «Лань», 2000 — 592 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
ISBN 5-8114-0288-0
ISBN 5-8114-0287-2 (Т. 2)
Учебник составлен с учетом требований государственных образовательных стандартов для технических специальностей высших учебных заведений. Его содержательная основа соответствует базовой программе по дисциплине «Физика* для технических вузов, одобренной Президиумом научно-технического совета Российской Федерации по высшему образованию.
Настоящий учебник признан одним из победителен конкурса на создание новых учебников по общим естественнонаучным дисциплинам для высших учебвых заведений (приказ Министерства общего и профессионального образования РФ № 709 от 22.03.9fri^=	—————
Учебннь преднгЙЩа'геЙ*5Л?ГТ:Ттаентов технических специальностей. Он| состоит
ВБК 22.3я73
___________ Авторетеий коллекийв.
I В. В, Арсентьев, | В. Я. Кнрпнченков, С. Ю. Князев,
Л. Я. Малибашева, В. Н. Лозовский, С. В. Лозовский, Л. С. Лунин, А. Н. Овчаренко, В. П. Попов,  В. Д. Хулла
Оформление обложки:
С. Л. ШАПИРО, А.Н.ЯСКЕВИЧ
Охраняется законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут ' преследоваться в судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2000
© Под ред. В. Н. Лозовского, 2000
© Издательство «Лань», художественное оформление, 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ
РАЗДЕЛ 4. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Введение................................................. 12
Глава 4.1. Экспериментальное обоснование основных идей квантовой механики........................................... 15
4.2.	Линейвые спектры атомов..............'........... 15
4.3.	Опыты Франка и	Терца	.1....................... 20
4.4.	Опыты Штерна и	Герлаха. .	  21
Вопросы для - самоконтроля...........................  22
Глава 4.2. Квантовые представления окпрнроде света......	23
4.5.	Фотоны..........................,................ 23
4.6.	Фотоэффект....................................... 24
4.7.	Эффект -Комптона................................. 26
4.8.	Тепловое равновесное	излучение................... 29
4.9.	Формула Рэлея-Джинса.	Ультрафиолетовая катастрофа 34
4.10.	Гипотеза и формула Планка....................... 39
Вопросы для самоконтроля.............................. 42
Глава 4.3. Корпускулярно-волновой дуализм................ 43
4.11.	Гипотеза де Вройля............................   43
4.12.	Микрочастица в двухщелевом интерферометре......	44
4.13.	Влияние наблюдения (измерения) на опыт с электронами ................................................. 51
4.14.	Прохождение света через прозрачную пластинку ...	52
Вопросы для самоконтроля............................   55
Глава 4.4. Квантовые состояния........................... 56
4.15.	Задание микросостояния частиц................... 56
4.16.	Волновая функция и ее статистический смысл. Суперпозиция состояния.................................. 57
4.17.	Соотношение неопределенностей. Наборы одновременно измеримых величин..................................... 59
4.18.	Оценка энергии основного состояния атома водорода и энергии нулевых колебаний осциллятора..............	63
4.19.	Волновые свойства микрочастиц и соотношения неопределенностей. Вероятность в квантовой теории. ...	66
Вопросы для самоконтроля............................   68
6
Оглавление
Глава 4.5. Уравнение Шредингера.............................. 69
4.20.	Нестационарное уравнение Шредингера................. 69
4.21.	Стационарное уравнение Шредингера. Стационарные состояния.............................................. 71
4.22.	Микрочастица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины....................................... 73
4.23.	Частица в трехмерной потенциальной яме бесконечной глубины................................................ 76
4.24.	Прохождение частицы под потенциальным барьером (туннельный эффект).................................... 78
4.25.	Надбарьерное прохождение......................... 83
4.26.	Гармонический осциллятор......................... 85
Вопросы для самоконтроля...............................  87
Глава 4.6. Атом..........................................   89
4.27.	Уравнение Шредингера для водородоподобного атома 89
4.28.	Сферически симметричные решения.................. 91
4.29	Общее решение уравнения Шредингера для атома водорода.................................................. 96
4.30.	Спектр атома водорода............................ 99
4.31.	Конфигурация электронных состояний атома водорода 102
4.32.	Мезоатомы.......................................... 107
Вопросы для самоконтроля................................. 108
Глава 4.7. Многоэлектронные атомы и молекулы................ 110
4.33.	Одноэлектронное приближение........................ 110
4.34.	Неразличимость одинаковых микрочастиц и принцип Паули.............'..................................... 111
4.35.	Периодическая система химических	элементов ....	113
4.36.	Структура энергетических уровней многоэлектронных атомов.................................................. 121
4.37.	Правила отбора при излучении и поглощении света 123
4.38.	Оптические спектры................................. 125
4.39.	Рентгеновские спектры............................ 128
4.40.	Молекулярная связь . . ..........................  .130
4.41.	Молекулярные энергетические уровни и спектры . . 135
Вопросы для самоконтроля................................. 136
Глава 4.8. Электроны в кристаллах........................... 138
4.42.	Приближение сильной и слабой	связи............. 138
4.43.	Модель свободных электронов в	металле............ 139
4.44.	Функции Блоха.................................... 147
4.45.	Зонная структура электронного энергетического спектра в кристаллах....................................... 149
4.46.	Заполнение электронами зон в металлах, диэлектриках и проводниках...................................... 153
4.47.	Эффективная масса электрона в кристалле...... 156
4.48.	Полупроводники....................................  160
4.49.	Собственные полупроводники................... 161
4.50.	Электропроводность собственных полупроводников	.	.	163
4.51.	Примесные полупроводники..................... 166
4.52.	Электропроводность примесных полупроводников	. .	.	169
4.53.	Неравновесная электропроводность проводников....	174
4.54.	Понятие о р-п-переходе....................... 177
4,55.	Понятие о биполярном транзисторе............. 184
Оглавление
7
4.56.	Явление сверхпроводимости. Основные экспериментальные факты............................................. 186
4.57.	Основные идеи микроскопической теории сверхпроводимости .............................................. 189
4.58.	Куперовское	спаривание	электронов.............. 196
4.59.	Туннельный контакт. Эффект Джозефсона н его применение .............................................. 198
4.60.	Понятие о высокотемпературной сверхпроводимости. 200
Вопросы для самоконтроля.............................. 202
Глава 4.9. Элементы квантовой электроники............... 204
4.61.	Теория возмущевий	для	уравнения Шредингера . . . 204
4.62.	Вероятность перехода........................... 207
4.63.	Элементы квантовой теории излучения ........... 208
4.64.	Свойство спонтанного н вынужденного излучения . . 211
4.65.	Принцип работы квантового генератора........... 215
4.66.	Применения квантовой электроники............... 220
Вопросы для самоконтроля.............................. 220
Глава 4.10. Атомное ядро...............................  222
4.67.	Состав и характеристики атомного ядра.........'. 222
4.68.	Модели атомного ядра............................ 225
4.69.	Ядерные силы.................................... 228
4.70.	Дефект массы. Энергия связи ядра................ 231
4.71.	Радиоактивные превращения ядер.................. 234
4.72.	Закономерности а-распада........................ 238
4.73.	Бета-распад..................................... 240
4.74.	Гамма-излучение и его свойства.................. 243
4.75.	Основные дозиметрические величины............... 246
4.76.	Резонансное поглощение g-излучений.............. 247
4.77.	Ядерные реакции................................. 252
4.78.	Законы сохранения при ядерных реакциях.......... 253
4.79.	Эффективное сечение ядерной реакции............. 255
4.80.	Ядерные реакции на нейтронах.................... 257
4.81.	Реакция деления................................. 260
4.82.	Цепная ядерная реакция.......................... 262
'4.83.	Ядерные реакторы............................... 266
4.84.	Типы ядерных реакторов.......................... 269
4.85.	Термоядерный синтез............................. 272
4.86.	Управляемые термоядерный синтез................. 274
Вопросы для самоконтроля.............................  276
РАЗДЕЛ 5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Введение. Термодинамический и статистический методы .... 280
Глава 5.1. Элементы молекулярно-кинетической теории .... 283
5.2.	Термодинамическая система; макросостояния; макропроцесс...........................................   283
5.3.	Модель идеального	газа.....................   285
5.4.	Уравнение состояния	идеального газа.......... 288
5.5.	Температура.................................  291
8
Оглавление
5.6.	Явления переноса . . . ......................... 295
5.7.	Элементы молекулярно-кинетической теории явлений переноса.............................................. 300
5.8.	Особенности диффузии и теплопроводности в конденсированных средах..................................... 305
5.9.	Электрический ток в вакууме..................... 311
5.10.	Вольтамперная характеристика вакуумного диода . . 313
5.11.	Электронная эмиссия............................ 317
5.12.	Термоэлектронная эмиссия. Основное уравнение термоэлектронной эмиссии................................. 321
5.13.	Электрический ток в газах...................... 324
5.14.	Понятие о плазме............................... 328
Вопросы для самоконтроля............................. 334
Глава 5.2. Элементы термодинамики....................... 336
5.15.	Неравномерность и релаксация. Квазиравномерные н квазиобратимые процессы............................... 336
5.16.	Работа и теплота как обобщенные формы обмена энергии в термодинамике............................... 340
5.17.	Первый принцип термодинамики................... 343
5.18.	Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона..... 345
5.19.	Работа идеального газа при изопроцессах и при адиабатическом процессе................................... 347
5.20.	Замкнутые процессы. Цикл Карно. КПД тепловых машин................................................. 349
5.21.	Эмпирические формулировки второго принципа термодинамики ............................................. 353
5.22.	Теорема Карно	н	теорема Клаузиуса........... 357
5.23.	Энтропия....................................... 360
5.24.	Энтропия идеального	газа....................... 363
5.25.	Закон возрастания энтропии..................... 364
5.26.	Полный дифференциал функции двух переменных. (Математическая справка).............................. 368
5.27.	Термодинамические функции...................... 369
5.28.	Получение информации о свойствах тел с помощью термодинамических функций............................. 374
5.29.	Соотношения Максвелла н уравнения Гиббса-Гельмгольца................................................ 377
5.30.	Вариационные принципы термодинамики............ 378
5.31.	Уравнение состояния, внутренняя энергия и энтропия тел с межмолекулярными взаимодействиями............... 381
5.32.	Зависимость термодинамических функций от числа частиц. Химический потенциал.......................... 383
5.33.	Фазовые переходы первого и второго рода........ 386
5.34.	Условия фазового равновесия. Уравнение Клайперона-Клаузнуса............................................. 387
5.35.	Теорема Нернста................................ 390
5.36.	Термодинамика поверхности раздела фаз.......... 394
5.37.	Критическая точка. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Ме-тастабильные состояния................................ 396
5.38.	Химические реакции. Условие химического равновесия 402
5.39.	Элементы линейной неравновесной термодинамики . 403
5.40.	Термодинамические системы вдали от равновесия . . 406
5.41.	О синергетике.................................. 411
Вопросы для самоконтроля............................. 413
Оглавление
9
Глава 5.3. Статистическая физика......................... 416
5.42.	Вероятность, среднее значение и среднеквадратичная флуктуация............................................ 416
5.43.	Предмет статистической физики; статистические закономерности ........................................... 418
5.44.	Макро- и микросостояння; статистический ансамбль; средние значения макроскопических характеристик. 421
5.45.	Эргодическая гипотеза; микроканоническое распределение; энтропия в статистической физике............... 424
5.46.	Статистическое равновесие....................... 427
5.47.	Физический смысл и статистический характер второго принципа термодинамики................................ 429
5.48.	Температура и химический потенциал в статнетической физике...............................................  431
5.49.	Каноническое распределение	Гиббса............... 434
5.50.	Квантовая статистика Ферми-Дирака н Бозе-Эйнш- 439
тейна............................................
5.51.	Квазиклассическая форма распределения Гиббса. Фазовое пространство...................................  445
5.52.	Распределение Максвелла......................... 449
5.53.	Распределение Больцмана для идеального газа во внешнем потенциальном поле. Барометрическая формула ...............................................   455
5.54.	Критерий вырождения и температура вырождения . 460
5.55.	Выражение термодинамических функций через статистическую сумму системы................................ 462
5.56.	Статистическая сумма и свободная энергия идеального газа.................................................. 464
Вопросы для самоконтроля.............................. 467
Глава 5.4. Кристаллы..................................... 470
5.57.	Строение кристаллов............................. 470
5.58.	Обозначение плоскостей, направлений и узлов в кристалле ................................................ 473
5.59.	Методы определения кристаллической структуры... 474
5.60.	Дефекты в кристаллах...........................	477
5.61.	Тепловые колебания атомов	в кристаллах.......... 480
5.62.	Теплоемкость кристалла.......................... 481
5.63.	Теплопроводность кристаллов..................... 484
5.64.	Жидкие кристаллы................................ 487
5.65.	Влияние магнитного и электрического полей на жидкие кристаллы............................................. 491
Вопросы для самоконтроля.............................. 496
Глава 5.5. Диэлектрики н магнетики....................... 497
5.66.	Диэлектрическая поляризация..................... 497
5.67.	Механизмы диэлектрической поляризации........... 499
5.68.	Электрическое поле в диэлектрике................ 505
5.69.	Связь между макро- н микрохарактеристнками диэлектриков............................................ 508
5.70.	Элементы термодинамики диэлектриков............. 512
5.71.	Магнетики....................................... 518
5.72.	Диамагнетизм.................................... 519
5.73.	Парамагнетизм................................... 524
5.74.	Ферромагнетизм.................................. 526
Оглавление
5.75.	Магнитострикция ферромагнетиков............. 532
5.76.	Антиферромагнетизм.......................... 534
5.77.	Элементы термодинамики	магнетиков........... 536
Вопросы для самоконтроля.......................... 539
РАЗДЕЛ 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. СОВРЕМЕННАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА МИРА
6.1.	Иерархия структурных	форм материи............ 542
6.2.	Физический	вакуум............................ 543
6.3.	Частицы и	античастицы.......................  545
6.4.	Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия .............................................. 547
6.5.	Кварки, лептоны и кванты фундаментальных полей как основа классификации злементарных частиц . . 552 6.6. Физические аспекты современной космологии.... 558
6.7.	Вещество в условиях высоких плотностей, высоких температур и в сильных электромагнитных полях . 566 /6.8. Незавершенность современной физики........... 569
L6.9. Основные этапы эволюции физики и становление новых форм рационального мышления........................ 572
Использованная литература............................ 583
Предметный указатель................................. 584
РАЗДЕЛ 4
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
4.1. ВВЕДЕНИЕ
Материальная основа неживой природы едина. Этот факт, однако, не проявился пока в построении единой физической теории, описывающей с общих принципиальных и формально-математических позиций все экспериментально изученные явления природы. Построение такой теории — задача чрезвычайной сложности, что связано с качественным различием законов, управляющих природой на ее различных структурных уровнях и в различных диапазонах переменных, характеризующих физические процессы. Поэтому развитие физики сопровождалось построением сравнительно большого числа частных теорий, каждая из которых наиболее эффективно описывает законы неживой природы в области своей применимости. Мы уже столкнулись с тремя такими теориями — с классической и релятивистской механиками и с классической электродинамикой. В этих теориях мы не касались явлений атомного масштаба. Это объясняется тем, что указанные теории не могут быть использованы для описания законов движения микрочастиц, механизмов их взаимодействия, строения и свойств систем таких частиц (например, молекул). Законы, описывающие процессы в микромире, изучаются в квантовой физике. Квантовая физика (нерелятивистская и релятивистская квантовая механика, квантовая теория поля) возникла в результате разрешения противоречий между новыми экспериментальными результатами, полученными в начале XX века, и существовавшими в то время классическими физическими теориями.
В начале XX века были обнаружены две группы явлений, свидетельствующие о неприменимости классической механики Ньютона, а также классической
Квантовая физика
13
электродинамики и термодинамики, к описанию процессов взаимодействия света с веществом и процессов, происходящих в атоме.
Теория теплового излучения абсолютно черного тела, построенная Дж. У. Рэлеем и Дж. Джинсом в 1900-1909 гг. на базе классических представлений, приводила, в частности, к бессмысленному выводу о невозможности термодинамического равновесия между тепловым излучением и веществом, так как вся внутренняя энергия вещества должна, согласно этой теории, мгновенно перейти в излучение, а вещество, соответственно, охладиться до Т = О К.
Экспериментальные исследования фотоэффекта, выполненные А. Е. Столетовым в 1888-1889 гг., в частности, показали, что максимальная скорость фотоэлектронов не зависит от интенсивности света, падающего на фотокатод, а зависит только от его частоты — увеличение частоты приводит к возрастанию скорости. Этот результат противоречит классическим представлениям, согласно которым скорость фотоэлектронов должна возрастать с интенсивностью световой волны.
Экспериментальные исследования Э. Резерфорда привели его к созданию планетарной модели атома (1911 г.), в соответствии с которой в центре атома находится положительно заряженное ядро, где сосредоточена почти вся масса атома, а вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны. Однако, согласно классической электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку заряд, движущийся с ускорением, должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию, в результате чего радиус электронной орбиты должен непрерывно уменьшаться, и за время -10 11 с электрон должен упасть на ядро. Следовательно, атом оказывается нестабильным. Этот парадоксальный результат означает, что законы классической физики неприменимы к движению электронов в атоме, так как атомы не только существуют, но и весьма устойчивы.
Установление связи между этими явлениями и попытки их объяснения привели, в конечном счете, к открытию законов квантовой механики. Впервые квантовые представления были введены в 1900 г. М. Планком в работе, посвященной теории теплового излучения тел, где он предположил, что свет испускается не
14
Раздел 4
непрерывно (как это следовало из классической теории излучения), а определенными дискретными порциями энергии — квантами. Величина такого кванта энергии W = hv = йю, где v — частота света (to — циклическая частота), h = 6,62  10“34 Дж-с, (Й = й/2л = 1,054   10 34 Дж-с) — введенная Планком постоянная (постоянная Планка, называемая также квантом действия). Постоянная Планка — универсальная мировая постоянная. Она определяет соотношение между классической и квантовой механиками: если в условиях данной задачи физические величины, имеющие размерность действия S (Дж - с), значительно больше Й, так что й/s можно считать малой величиной (й/s«1), то применима классическая механика, в противоположном случае — квантовая механика.
Развитие квантовых представлений, введенных Планком, привело в 1927 г. к формулировке основных принципов квантовой механики. Квантовая механика чрезвычайно важна для инженерного образования, так как все жизнеобеспечивающие среды организованы по законам квантовой механики. Квантовые представления и законы лежат в основе многих других практически важных наук (химии, металлургии, твердотельной электроники и т. д.).
Глава 4.1
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
4.2. ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ АТОМОВ
Классическая электродинамика Максвелла, прояснившая связь между волновой оптикой и электромагнетизмом, оказалась неспособной объяснить закономерности, наблюдаемые в спектрах испускания атомов. Это относится, в частности, к экспериментально установленной формуле, описывающей линейчатые спектры водородоподобных атомов:
-!- = KZ2f-4-А
Кт I п т
(4.1)
где Хти — длина волны, наблюдаемая в спектре; т < < п — целые, положительные, не равные нулю и друг другу числа; R — постоянная Ридберга; Z — зарядовое число ядра атома.
Как уже упоминалось во введении, классическая электродинамика не смогла объяснить и устойчивость атома в планетарной модели, предложенной Резерфордом.
В 1913 г. Н. Бор сформулировал полуклассическую теорию, в рамках которой были объяснены и закономерности, описываемые формулой (4.1), и устойчивость атомов. Эта теория базировалась на следующих постулатах, отражающих наиболее общие из экспериментально установленных к тому времени закономерностей, наблюдаемых в атомных спектрах:
1) существуют стационарные состояния атома с соответствующими дискретными значениями энергии W\, W2, ..., Wn, ... , причем в этих состояниях атом не излучает и не поглощает энергию;
2) поглощение и испускание излучения атомом происходит скачкообразно при его переходах из одного
16
Раздел 4
mvr = пй,
стационарного состояния в другое. Частота испускаемого или поглощаемого атомом света при переходах' (0„т определяется формулой:
I	(4.2)
пт h
(правило частот Бора), где Wm, W„ — энергии атома в т и n-состояниях, Й— постоянная Планка.
Применяя эти постулаты к водородоподобному атому (атом с одним электроном) и вводя дополнительное условие, выделяющее стационарные состояния атома — условие квантования, Бор теоретически получил формулу (4.1).
Если считать, что электроны в атоме движутся по окружностям, то условие квантования, предложенное Бором, выглядит следующим образом:
(4.3)
где mvr — момент импульса электрона относительно ядра атома; т0 — масса; v — скорость, г — радиус орбиты электрона, п = 1, 2, 3 ... — квантовое число.'
Исходя из постулатов Бора и условия квантования (4.3), получим формулу (4.1).
Полная механическая энергия электрона в поле неподвижного ядра в водородоподобном атоме равна:
W = -	.	(4.4)
4пеоГ л
Здесь первый член — потенциальная энергия взаимодействия электрона с зарядом — ей ядра с зарядом Ze, второй член — кинетическая энергия вращающегося по орбите электрона.
Согласно второму закону Ньютона
~	(4.5)
г 4пеог2
где v2/r — центростремительное ускорение электрона; Ze2/4KEor2 — кулоновская сила его притяжения к ядру.
Из (4.5) следует:
= гег .	(4.6)
2 вкЕдГ ’
Используя условие квантования (4.3) и подставляя (4.6) в (4.4) и находим:
Квантовая физика
17
. 4леХ 2	m^Z* 1
" т^ ’ ’	"	32я2ф2 ’ п2
(4.7)
где rn, W„ — радиус орбиты электрона и энергия п-го стационарного состояния. Поскольку квантовое число п = 1, 2, 3, ... , то есть пробегает ряд дискретных значений, то и энергия W„ и радиус орбиты г„ в (4.7) также дискретны — или, иначе говоря, квантованы.
Используя теперь (4.7), (4.2) и формулу, связывающую длину волны излучения X с его циклической частотой со и скоростью распространения с:
1 _ со
X 2лс’
(4-8)
1____1J
2	2
п т
получаем формулу (4.1):
— = (А -
где R = тос'*/64л3ЕоСЙ3 = 1,097  107 м-1 — постоянная Ридберга. Значение R, вычисленное по этой формуле, хорошо совпадает с ее значением, найденным экспериментально.
Отметим, что частота обращения электрона по n-й орбите не совпадает ни с одной из частот излучения со,„, „, задаваемых формулой (4.2). Действительно, выразив скорость v из условия квантования (4.3) и разделив ее на радиус орбиты г„ (4.7), находим циклическую частоту вращения электрона по орбите:

_ ~2 ( т</ 1 1
Г„	ns ’
(4.9)
а частоты излучения „, вычисленные на основании (4.2) и (4.7), равны
(йт „ = Z2 (	1 ГА - -V) •	(4.10)
I okiTl ЕдЙ J I H ffl j
Таким образом, как видно из сравнения (4.9) и (4.10), частоты излучения (от, „ не совпадают с частотами вращения электрона юл, что противоречит выводам классической электродинамики, согласно которой хотя бы одна из частот излучения (основная гармоника) должна совпадать с частотой вращения электрона.
18
Раздел 4
Рассмотрим теперь частоту излучения, возникающего при переходе электрона между двумя соседними орбитами с квантовыми числами n + 1 и п. Получим из (4.10)
A f + 1 32nseo^J ^n2 (n + 1)2J
(4.11)
Рассмотрим формулу (4.11) при больших значениях квантового числа п» 1, когда, как это видно из (4.3), tilmovr« 1, т. е. постоянная Планка мала по сравнению с действием S = топг:
®п + 1,п«г2[-£^и = юп. (4.12) I 1071 Е0Й I П
Подставляя n3h3 = т8и3г® (4.3) в (4.12), получим
Wn + l,nfe^2
е
1071 GqITIqV Г
(4.13)
Формула (4.13) уже не содержит постоянной Планка Й, что является формальным признаком классической (неквантовой) формулы.
Таким образом, в случае больших значений п » 1, т. е. когда мал параметр п 1 = hlm^vr « 1, атом при переходе электрона между соседними энергетическими уровнями ведет себя как классическая система. На качественном уровне это обстоятельство легко объяснимо. Основным отличием квантовой теории Бора от классической является дискретность энергетического спектра W„ (4.7), проистекающая из условия квантования (4.3). В противоположность этому энергетический спектр атома в классической теории непрерывен — не квантован. Дискретность спектра проявляется ярко, если разность энергий соседних уровней (1Г„ +, - W„) не является малой по сравнению с величиной энергии уровня W„. Если разность энергий (W„ +, — W„) мала по сравнению с Wn, то квантованность спектра не существенна и мы имеем практически классическую ситуацию. Исходя из (4.7), введем параметр 8, характеризующий относительную разность энергий соседних уровней
W„ + J-W„ _ 2п + 1 _ Z + n
(п + 1)й п + 2 + — п
(4.14)
Квантовая физика
19
Видно, что при n » 1 параметр 5 » 2/n « 1, и дискретность спектра несущественна, следовательно, условие n » 1 (или эквивалентное условие tlhnovr « 1) соответствует классическому пределу квантовой теории Бора. Это обстоятельство есть проявление принципа соответствия, согласно которому новая, более общая, теория (в данном случае теория Бора) должна включать предыдущую как предельный случай.
Таким образом, Бор, используя введенную Планком квантовую постоянную Й, отражающую корпускулярноволновой дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электрона в атоме, законы которого существенно отличаются от ^законов классической механики.
Постулат Бора о наличии дискретных энергетических уровней у атомов подтверждается многими экспериментами, в частности, опытами Франка и Герца. Впоследствии эксперименты показали, что не только энергия, но и другие физические величины, характеризующие микрочастицы, принимают дискретные значения. Например, опыт Штерна и Герлаха установил дискретность проекций механического и магнитного моментов атома на некоторые направления.
Теория Бора, являясь «переходной» теорией между классической и квантовой механикой, сыграла большую роль в развитии последней. Однако она не лишена недостатков. Основным недостатком теории Бора является ее внутренняя противоречивость: с одной стороны, использовалась механика Ньютона, с другой — привлекались чуждые ей искусственные правила квантования. «Полу-классическая» (или «полуквантовая») теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одного уровня энергии на другой, не позволяла описывать атомы с числом электронов больше единицы.
Дальнейшее развитие теории микрочастиц привело к убеждению, что движение электрона в атоме нельзя описывать с помощью законов классической механики и что необходима новая теория. Такая последовательно квантовая теория была создана к 1927 г. усилиями многих ученых, среди которых выдающуюся роль сыграли В. Гейзенберг, Э. Шредингер, М. Борн, П. Дирак.
20
Раздел 4
4.3. ОПЫТ ФРАНКА И ГЕРЦА
Опыт впервые был поставлен немецкими физиками Дж. Франком и Г. Герцем в 1913 г. и показал существование дискретных уровней энергии в атомах. Схема опыта приведена на рис. 4.1.
В трубке, заполненной парами ртути, имеется три электрода: катод К, сетка С, анод А. Электроны, вылетающие из катода вследствие термоэлектронной эмиссии, ускоряются разностью потенциалов U между катодом и сеткой. Величина U плавно регулируется с помощью потенциометра П. Между сеткой и анодом создается слабое электрическое поле (разность потенциалов порядка Us = 0,5 В), тормозящее движение электронов между сеткой и анодом.
Исследовалась зависимость силы тока I в цепи анода, измеряемая гальванометром Г, от напряжения U между катодом и сеткой, измеряемого вольтметром В. Результаты представлены на рис. 4.2.
Ход кривой на рис. 4.2 может быть объяснен, только если допустить дискретность энергетических уровней атомов ртути. Причем разность энергий между основным энергетическим состоянием атома ртути (состояние с наименьшей энергией) и первым возбужденным состоянием должна составлять W} — Wo = 4,9 эВ, как это следует из рис. 4.2.
Действительно, если ускоряющее напряжение U находится в интервале 0,5 В < U < 4,9 В, то электроны набирают кинетическую энергию WK, меньшую, чем 4,9 эВ, которой недостаточно для того, чтобы при
столкновении электрона с атомом ртути, перевести последний в возбужденное состояние, то есть невозможен переход кинетической энергии сталкивающихся частиц во внутреннюю энергию атомов ртути. Следовательно,
при WK < 4,9 эВ столкновения электронов с атомами ртути упругие, и поскольку масса электрона много меньше массы атома ртути, кинетическая энергия электрона (а значит и величина скорости) практически не изменятся при столкнове-
Рис. 4.1
Квантовая физика
21
нии. Поэтому при увеличении ускоряющего напряжения U вплоть до 4,9 В сила тока I возрастает монотонно. При U S 4,9 В кинетическая энергия электронов WK S 4,9 эВ, и столкновения электронов с атомами ртути с большой вероятностью становятся неупругими. При
таких столкновениях кинетическая энергия электронов резко уменьшается, поскольку большая ее часть переходит во внуреннюю энергию атомов ртути, а, следовательно, резко уменьшается и величина скорости электронов и пропорциональный ей ток, что и приводит к резкому спаду тока при U > 4,9 В. При значениях U кратных 4,9 В, электроны могут несколько раз испытать неупругие столкновения, отдавая каждый раз по 4,9 эВ атому ртути. Это приводит к резкому спаду тока при напряжениях, кратных 4,9 В (см. рис. 4.2).
Таким образом, опыт Франка—Герца показал, что 4,9 эВ — наименьшая возможная порция энергии (наименьший квант энергии), которая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии, что и является проявлением дискретности уровней энергии в атоме.
4.4. ОПЫТ ШТЕРНА—ГЕРЛАХА
Опыт был поставлен в 1922 г. немецкими физиками О. Штерном и В. Герлахом и показал, что проекция
магнитного момента атома на направление магнитного
поля принимает дискретные значения (квантована). Схема опыта приведена на рис. 4.3.
Атомы Ag испускаются источником А, проходят через щель К и в виде узкого пучка попадают в сильно неодно
родное (вдоль оси z) магнитное поле между полюсами магнита N и S, а затем регистрируются на экране В.
Результат опыта состоял в том, что атомный пучок расщеплялся на две компоненты 2, 2', симметрично расположенные относительно первоначального направления 1. Это означает, что атомы Ag
Рис. 4.3
22
Раздел 4
обладают магнитным моментом, проекция которого на направление магнитного поля принимает два дискретных значения. Этот результат с точки зрения классической физики необъясним.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Сформулируйте постулаты Бора.
2.	Исходя из постулатов Бора, получите формулу, описывающую линейчатый спектр водородоподобного атома.
3.	Запишите условие перехода к классическому пределу в квантовой теории Бора.
4.	В чем состоит принцип соответствия?
5.	Каков главный результат опыта Франка-Герца?
6.	В чем суть опыта Штерна—Герлаха и каков его результат?
Глава 4.2
КВАНТОВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ПРИРОДЕ СВЕТА
4.5.	ФОТОНЫ
Развивая идею Планка, согласно которой свет испускается и поглощается квантами, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, то есть, что дискретность присуща самому свету — он состоит из отдельных частиц — фотонов. Энергия фотона W (квант света) согласно гипотезе Эйнштейна равна:
W^fuo,
(4.15)
где со — циклическая частота световой волны.
Известно (см. п. 3.38), что световая волна (как любая электромагнитная волна) обладает импульсом:
Л.	(4-16)
Р с ‘
Учитывая соотношение (4.15) можно записать:
р = Й^=ЙЛ,	<4-17)
г с
где k = со/с = 2тг/Х — модуль волнового вектора k, направленного вдоль вектора скорости распространения света. В векторной записи формула (4.17) имеет вид: p = tik. |	(4.18)
Из формулы (4.16), следует связь между энергией и импульсом фотона:
W^cp.	(4.19)
Пользуясь выражениями (4.18) и (4.17), можно записать законы сохранения энергии и импульса в применении
24
Раздел 4
к процессам взаимодействия фотонов с частицами вещества (электронами, атомами и т. д.) в виде:
Йш + W — /ко’ + W', йй + р = /ik' + р',
(4.20)
где /ко, /ко' — начальная и конечная энергия фотона; йй, йй' — его начальный и конечный импульсы; W, W’ — начальная и конечная энергия микрочастицы, р, р' — ее начальный и конечный импульсы.
С помощью законов сохранения (4.20) легко объясняются эксперименты по фотоэффекту и эффекту Комптона (описанные ниже), что косвенно подтверждает правильность гипотезы Эйнштейна.
4.6.	ФОТОЭФФЕКТ
Фотоэффект был открыт Г. Герцем в 1887 г., и систематически исследован А. Г. Столетовым в 1888-1889 гг.
Принципиальная схема установки для исследования фотоэффекта приведена на рис. 4.4.
Свет освещает катод К, изготовленный из исследуемого материала. Электроны, испущенные катодом, перемещаются под действием электрического поля к аноду А. В результате в цепи фотоэлемента течет фототок, измеряемый гальванометром Г. Напряжение между анодом и катодом можно изменять потенциометром П.
На рис. 4.5 приведено семейство вольт-амперных характеристик фотоэлемента, снятых при одной и той же частоте света о = const, но при различных потоках (интенсивностях) света Фг < Фг < Ф3. Характер этих кривых объясняется следующим образом.
z Электроны вылетают из катода с раз-личными по величине скоростями. / s / При U = 0 лишь часть испущенных / iK	Д|П J электронов, обладающих достаточно
VJ_______U большими	скоростями, достигает
-----(g)---- анода. При не очень большом поло-——* П (р жительном напряжении (U > 0) фото-E—Z4| .ZJ---ток достигает насыщения — все элек-
троны, испущенные катодом, попада-Рис. 4.4 ют на анод. Естественно, что чем
Квантовая физика
25
больше световой поток Ф, тем больше выбивается электронов в единицу времени и, следовательно, тем больше ток насыщения 1„. Если приложить достаточное по величине отрицательное напряжение U3 — задерживающее напряжение, то фототок обращается в нуль. Это
означает, что при таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему при вылете из катода максимальной скоростью vm, не удается преодолевать задерживающее поле и достичь анода. Поэтому можно
написать, что
2 mOVrn
7П0
2
(4.21)
По классической электродинамике электрон, взаимодействуя со световой (электромагнитной) волной, набирает от нее энергию, пропорциональную интенсивности света, которая пропорциональна квадрату напряженности электрического поля световой волны и не зависит от ее частоты. Это означает, что при фиксированной частоте света о = const с увеличением светового потока Ф, попадающего на катод, должна бы расти максимальная кинетическая энергия испускаемых им электронов, то есть должно расти в соответствии с формулой 4.21 задерживающее напряжение U3, чего на эксперименте не наблюдается (см. рис. 4.5, где разным световым потокам Фу < Ф2 < Ф3 соответствует одно и то же задерживающее напряжение 173).
Если же освещать катод светом различной частоты, то эксперимент показывает, что большей частоте соответствует большее задерживающее напряжение U3, то есть большая кинетическая энергия испущенных электронов (см. рис. 4.6). Этот факт также необъясним с точки зрения классической физики.
Если же принять гипотезу Эйнштейна, в соответствии с которой свет есть совокупность фотонов, и воспользоваться законом сохранения энергии (первое из уравнений 4.20) для взаимодействия электрона катода с фотоном, полагая йш' = 0 (поскольку в конечном состоянии
26
Раздел 4
I ____	_ фотон отсутствует — он полнос-
П	тью поглощен катодом), то
S/и>\
// о^хо,	hv + W = W.
\ rS--------------тт* Если А — работа выхода элек-
*-"з2 *-*з1	U
трона из металла, то энергия
Рис. 4.6	электрона внутри металла равна
W = -A, a W' = movh/2. Мы рассматриваем нерелятивистский случай, предполагая, что энергия кванта Йо достаточно мала, а, следовательно, и мала скорость испущенного катодом электрона v « с.
Таким образом, формула Эйнштейна для фотоэффекта принимает вид:
йю = А + —
(4.22)
Эта формула правильно описывает особенности фотоэффекта, не находящие объяснения в рамках классической физики: 1) с ростом- частоты света о растет максимальная скорость vm электронов, испускаемых катодом; 2) максимальная скорость не зависит от интенсивности света (последняя вообще не входит в формулу (4.22)).
Таким образом, гипотеза в том, что свет представляет собой совокупность фотонов (квантов света) позволяет объяснить закономерности фотоэффекта, противоречащие классическим представлениям о свете.
4.7.	ЭФФЕКТ КОМПТОНА
Дальнейшее доказательство корпускулярного характера света было получено в 1922 г. А. Комптоном, показавшим экспериментально, что при рассеянии рентгеновских лучей свободными электронами происходит изменение их частоты в соответствии с законами упругого столкновения двух частиц — фотона и электрона. Принципиальная схема опыта Комптона приведена на рис. 4.7.
Выделяемый диафрагмой Д узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, испускаемого рентгеновской трубкой РТ, направляется на рассеивающее вещество РВ. Спектральный состав рассеянного
Квантовая физика
27
излучения исследуется с помощью рентгеновского спектрографа PC.
Результат опыта состоит в том, что разность длины волны рассеянного излучения и длины волны пада
ющего излучения зависит от
угла рассеяния 0 и не зависит от длины волны X. падающего излучения и от природы рассеивающего вещества:
ДА = А' (0) — А = kc (1 - cos 0),
(4.23)
где Аг — некоторая постоянная (комптоновская длина волны электрона).
Эффект Комптона можно объяснить на основе представления о том, что рентгеновское излучение состоит из частиц—фотонов, обладающих энергией W = Йю и импульсом р = tik, где о — частота излучения, к — волновой вектор.
Рассмотрим упругое столкновение рентгеновского фотона с покоящимся квазисвободным электроном внешней электронной оболочки атома. Приближение квазисвободного электрона хорошо выполняется, если энергия связи электрона в атоме (энергия ионизации) много меньше энергии, которую фотон может передать электрону при 'столкновении.
Запишем законы сохранения энергии и импульса (4.20) в рассматриваемом упругом столкновении, считая электрон абсолютно свободным:
йю + тас2 = ha>’ + сЧр2 + т%с2,
кк = р+ hk',	(4.24)
где й<о, йо' — энергия рентгеновского фотона до и после столкновения соответственно; тос2 — энергия электрона до столкновения (в состоянии покоя), т0 — масса электрона; щ/р2 + т&с2 — энергия электрона после столкновения; р — импульс электрона после столкновения (до столкновения его импульс равен нулю); Йй, йй' — импульс фотона до и после столкновения соответственно (рис. 4.8).	z
28
Раздел 4
Разделим первое равенство в (4.24) на с и запишем его в виде:
Vp2 + mgc2 =
= й (k - k') + moc, ft = “ . полученного выражения дает
p2 = й2 (ft2 + Л’2 - 2йй') + 2йтос (й - й').	(4.25)
Из второго уравнения (4.24) следует
р2 = й2 (й - й')2 = й2 (й2 + й'2 - 2йй' cos 6), (4.26)
где 0 — угол между векторами й и й' (см. рис. 4.7).
Из сравнения (4.25) и (4.26) получаем
тпос (й - й') = ййй' (1 - cos 0).
Умножение этого равенства на 2тг (ШоСЙй'У1, дает
Наконец, учитывая, что 2л/й = X, приходим к формуле (4.23):
ЛХ = X' - к = К (1 - cos 0),	(4.27)
где величина кс - 2nh/moc = 2,426 • 10 12 м.
Заметим, что при рассеянии фотонов на электронах, энергия связи которых с атомом велика, обмен энергией и импульсом происходит с атомом как целым. В этом случае вид формулы (4.27) не изменяется, но под Хг нужно понимать комптоновскую длину волны атома кс = 2nh/Mc, где М — масса атома, которая много больше т0 — массы покоя электрона. Поэтому комптоновское смещение ДХ в этом случае в М/т0 раз меньше, чем при рассеянии на свободных электронах.
Формула (4.27) была экспериментально подтверждена при исследованиях рассеяния рентгеновских лучей на парафине, графите и других веществах. Классическая же электродинамика не смогла объяснить Комптон-эф
Квантовая физика
29
фект, так как согласно ей частоты рассеянного и падающего света должны быть одинаковыми (если игнорировать их слабое различие из-за эффекта Доплера), то есть ЛА. = О. Этот классический результат следует из квантовой формулы (4.27) в пределе h/moc « 1 (строгое равенство ЛА. = О получается, если формально положить h = О). Этот факт есть проявление уже упоминавшегося принципа соответствия.
Таким образом, гипотеза о квантованности света позволяет объяснить и эффект Комптона, не находящий своего объяснения в классической электродинамике.
4.8.	ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Рассмотрим некоторые аспекты теории теплового равновесного излучения, ибо именно анализ закономерностей, которым оно подчиняется, привел Планка к необходимости введения кванта действия и квантовых представлений в современную физику.
Тепловым излучением называется электромагнитное излучение, испускаемое веществом и возникающее за счет изменения его внутренней энергии, в отличие от люминесценции, которая возбуждается внешними источниками энергии. Тепловое излучение имеет сплошной спектр, с максимумом интенсивности при некоторой длине волны. С повышением температуры Т возрастает общая энергия испускаемого теплового излучения, а максимум перемещается в область более малых длин волн. Тепловое излучение испускают все тела в любом агрегатном состоянии. Оно имеет место при любой температуре, однако, при невысоких температурах практически вся энергия излучения сосредоточена в длинноволновой части спектра.
Окружим излучающее тело оболочкой с идеально отражающей внутренней поверхностью (рис. 4.9). Отраженное оболочкой излучение, попав на тело, поглощается им (частично или полностью). Будет происходить непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излучением. Если распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны, то состояние системы «тело+излучение» будет термодинамически равновесным. Опыт показывает, что единственным
30
Раздел 4
видом излучения, которое \	^v\ может находиться в равнове-
уу \	сии с излучающими телами,
ЛУ z	является тепловое излуче-
г! X	/ N ние. К равновесным состоя-
/	J I] ниям применимы законы
Y\ \	/ /У термодинамики, поэтому теп-
\/	ловое излучение должно под-
чиняться некоторым общим закономерностям, вытекаю-
Рис. 4.9	щим из принципов термоди-
намики. Одной из таких закономерностей является закон Кирхгофа для равновесного теплового излучения.
Прежде чем мы рассмотрим законы теплового излучения, введем необходимые определения:
Энергетической светимостью (Rf) называется количество энергии, испускаемое наружу единицей поверхности тела во всем диапазоне длин волн за единицу времени по всем направлениям, т. е. в пределах телесного угла 2эт (понятие телесного угла определено в п. 2.12);
Обозначим чайть потока энергии, испускаемой в единицу времени единицей поверхности тела в интервале частот da вблизи частоты о, через dRaT. Поток dRa T пропорционален da
dRm< т = гШ1 ydo.	(4.28)
Величина гш т называется испускательной способностью тела (спектральной плотностью энергетической светимости), эта величина есть функция частоты <о и температуры Т. Энергетическая светимость связана с испускательной способностью формулой:
ос
Rr = S rw, о
(4.29)
Пусть на площадку dS поверхности тела падает поток лучистой энергии d&u т, обусловленный электромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале do вблизи частоты со. Пусть часть этого потока d<PJ т поглощается телом, а часть d<l>J'T — отражается. По закону сохранения энергии:
Квантовая физика
31
<*Ф., Т = </Фш'_ т + <1Ф^Т .	(4.30)
Безразмерная величина
_ = м>:.т	(4.31)
о“-г ФФаТ
называется поглощательной способностью тела, а ь _ аф".т	(4.32)
отражательной способностью. Как следует из (4.30), (4.31), (4.32),
аш,т + Ьш,г= 1-	(4.33)
Тело называется абсолютно черным, если оно полностью поглощает падающее на него излучение^ всех частот: аш г = 1, Ьш т= 0;
Объемной плотностью энергии С7Г излучения называется количество энергии этого излучения в единице объема. Для равновесного теплового излучения плотность его энергии Ur равномерно распределена по объему и зависит от температуры Т.
Спектральное распределение плотности энергии характеризуется функцией иа< т, называемой спектральной плотностью энергии и определяемой условием:
у = uo. rdco,	(4.34)
где т — доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот do вблизи частоты о. Плотность энергии Ur связана со своей спектральной плотностью ию у формулой, получающейся интегрированием (4.34) по частотам:
«	(4.35)
Пу = 5 ПШ1 ydco.
о
Между испускательной гм т и поглощательной аю- у способностями любого тела имеется универсальная связь. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий эксперимент (рис. 4.10).
Пусть внутри замкнутой оболочки заключены несколько тел разной природы, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия с излучением при
32
Раздел 4
Рис. 4.10
некоторой постоянной температуре Т. Поскольку в состоянии термодинамического равновесия температура, а, следовательно, и внутренняя энергия тел не меняется, то, очевидно, что тело, испускающее больше энергии, должно и больше ее поглощать, то есть, чем больше испускатель-ная способность гшГ, тем больше
и его поглощательная способность аи> т. Отсюда вытекает
соотношение
(4.36)
где индексы 1, 2, 3 — нумеруют тела.
Соотношения (4.36) выражают установленный Кирхгофом (1869 г.) закон, который формулируется следующим образом.
Отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела и является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры:
= f (о, Т).
<Хы, Т
(4.37)
Для абсолютно черного тела по определению аш-Т = 1. Следовательно, как видно из (4.37), для такого тела гш т = f (со, Т), то есть универсальная функция Кирхгофа есть не что иное, как испускательная способность аб
солютно черного тела.
Наилучшей моделью абсолют
Рис. 4.11
но черного тела является малое отверстие в стенке большой замкнутой полости при условии, что эта стенка непрозрачна и имеет во всех точках одинаковую температуру. Если отношение площади отверстия So к площади поверхности полости SN много
меньше единицы, то практически
все излучение, проникающее
Квантовая физика
33
через отверстие, остается внутри полости (рис. 4.11). Следовательно, коэффициент поглощения отверстия в рассматриваемой полости на всех частотах близок к единице (аш> Т « 1).
Между излучением в объеме полости и его стен
ками устанавливается тепловое равновесие, соответствующее температуре стенок полости. Это тепловое излучение частично излучается из отверстия наружу. Согласно закону Кирхгофа испускателышя способность описанной модели абсолютно черного тела близка к f (со, Т), где Т — температура стенок полости. Таким образом, если стенки полости поддерживать при некоторой температуре Т, то из отверстия будет выходить излучение весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Измеряя испус-кательную способность гиТ такого устройства, можно экспериментально определить вид универсальной функции Кирхгофа / (со, Т). Характер этой зависимости для трех различных температур Т3 > Тг > Tt приведен на рис. 4.12. Как следует из формулы (4.29), площадь, охватываемая кривой f (со, Т) = гш> т, дает энергетическую светимость RT абсолютно черного тела при соответствующей температуре.
Из рис. 4.12 видно, что энергетическая светимость RT абсолютно черного тела, которая равна площади под кривой f (со, Т), увеличивается с температурой, а максимум испускательной способности с увеличением температуры смещается в сторону более высоких частот (более коротких волн): сога] < сога2 < итз- Экспериментально установлено, что
Rr = аТ\
а
<от = ЪТ,
(4.38)
(4.39)
2 Зак. № 845
34
Раздел • 4
где с — постоянная Стефана—Больцмана, а b — постоянная Вина. Соотношение (4.38) называется законом Стефана—Больцмана, соотношение (4.39) — законом Вина. Эти два закона весьма важны в практическом отношении и сыграли важную роль в развитии теории теплового равновесного излучения.
4.9.	ФОРМУЛА РЭЛЕЯ-ДЖИНСА. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ КАТАСТРОФА
Рэлеем и Джинсом была предпринята попытка теоретически определить спектральную плотность энергии иа.т равновесного теплового излучения, исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. При этом рассматривалось равновесное тепловое излучение в полости в рамках следующей модели. Считалось, что:
— равновесное тепловое излучение в полости представляет собой систему стоячих электромагнитных
волн — классических осцилляторов электромагнитного
поля;
— на каждое электромагнитное колебание (осциллятор) приходится в среднем энергия, равная kT : kT/2 — на электрическую плюс kT/2 — на магнитную степени свободы осциллятора (в соответствии с теоремой классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы).
Проведем, вывод формулы Рэлея-Джинса. Рассмотрим полость в форме прямоугольного ящика со сторонами Lx, Ly, Ьг (рис. 4.13). Она заполнена тепловым излучением, находящимся в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т с атомами вещества, образующего стенки полости. Стенки полости абсолютно непроницаемы, то есть излучение не выходит из полости наружу. Происходит лишь непрерывный обмен энергией между излучением, заполняющим полость, и атомами стенок. При этом в состоянии
термодинамического равновесия количество энергии, отдава-
емой в единицу времени излучением атомам стенки, равно количеству энергии, отдаваемой атомами стенки за зто же время излучению.
Нашей задачей является вывод формулы для ии — спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения в полости. Излучение внутри такой полости представляет собой сово-
Квантовая физика
35
купность стоячих электромагнитных волн (см. часть I, п. 3.29). В первую очередь найдем число типов электромагнитных волн, которые могут существовать внутри полости.
Начнем с того, что вычис-
—р~1- >х
0^" '^________________п = 2 >х
°WWW*
Рис. 4.14
лим число типов волн, кото-
рые могут существовать в простейшем одномерном механическом аналоге изучаемой системы — струне, длиной Lx, натянутой между двумя точками. Каждый тип колебаний —
это синусоидальная кривая, обращающаяся на концах струны в нуль (рис. 4.14). Иначе говоря, на всей длине струны Lx
должно укладываться целое число полуволн:
-Ь- = п, п = 1, 2, 3...	(4-4°)
Z/2
Тогда возможные значения волнового числа k k=^=n± , п = 1, 2, 3...	<4-41)
1 L’
Промежуток между последовательными значениями волнового числа равен
ДА = k (п + 1) - k (л) = ~ .
(4.42)
Тогда число типов стоячих колебаний в интервале волновых чисел dk равно
ДА п
(4.43)
В формуле (4.43) волновое число k принимает только положительные значения. Введем волновой вектор Л, проекции которого на ось х могут быть как положительными, так и отрицательными: kx = +k. Введение условия kx = ±Л соответствует переходу от описания колебаний на языке стоячих волн к описанию на языке бегущих волн, поскольку каждая стоячая волна с данным k > 0 может быть представлена как наложение двух бегущих навстречу друг другу волн одинаковой амплитуды: волна, идущая в положительном направлении оси х, имеет kr = k > 0, волна, идущая в отрицательном направлении оси х, имеет kx - - k < 0. Число типов колебаний в интервале dkx при таком описании будет вдвое меньше
dN (М =
(4.44)
поскольку необходимо, чтобы полное число типов колебаний, которое подсчитывается теперь интегрированием выражения
36
Раздел 4
(4.44) по kx в пределах от kx = -<ю до kx = +оо, должно остаться тем же, что получается интегрированием выражения (4.43) по k в пределах от k = О до k = оо. Результат (4.44) не зависит от физической природы стоячих волн и в равной мере относится как к упругим волнам на струне, так и к стоячим электромагнитным волнам в одном измерении. .
Обобщим полученные результаты на три измерения (рис. 4.13). Стоячая волна в прямоугольном ящике должна обладать целым числом полуволн вдоль каждой оси: х, у, г. Теперь бегущие волны, из которых «конструируются» стоячие волны, описываются волновым вектором fc, имеющим три проекции: kx, ku, kz. Каждая из этих проекций должна удовлетворять условиям, аналогичным (4.41)
kx = пх у- , ky= пу у-, kz = nz у-, п„ пу, nz = 1, 2, 3, ...(4.45) ^у	^х
Тогда число типов колебаний, у которых компоненты волнового вектора к попадают в интервалы от kx до kx + dkx, от ky до ky + dky, от k2 до kz + dkz соответственно для х, у и г компонент, вычисляется аналогично (4.44):
dN (fc) =	(4-46)
Учитывая, что LXL^Z = V — объем ящика (рис. 4.13), а dk^dkydk., = d3k — бесконечно малый «объем» в fc-простран-стве (fc — пространство или пространство волнового вектора — пространство, координатными осями которого являются kx, ky, kz), результат (4.46) перепишем в виде:
dN(-k) = ^'	(4.47)
Этот результат, хотя мы этого и не доказали, не зависит от формы ящика.
Итак, получен важный результат: число мод (типов колебаний) в полости пропорционально ее объему V и «объему» в fc-пространстве, а на одну моду приходится «объем» (2л)3 в фазовом пространстве (для рассматриваемой системы фазовое пространство есть объединение конфигурационного Ъс, у, z] пространства и пространства волнового вектора jfcx, ky_ кг1, так что фазовое пространство имеет 6 измерений: (х, у, z, kx, ky, fcj) (см. п. 1.6).
Применим теперь результат (4.47) для того, чтобы подсчитать число колебательных мод, имеющих частоты в интервале от о до о + do. Для этого- сначала вычислим число мод, для которых модуль волнового вектора |fc| (то есть его величина) меняется в интервале k < |fc| < k + dk независимо от направления самого вектора fe. Соответствующий этому «объем» fe-пространства есть объем сферического слоя между k и k + dk (рис. 4.15), который равен
Квантовая физике
37
dak = 4nk2dk. (4.48)
Тогда, подставляя (4.48) в (4.47), получим:
dN(k)=V4^k- . (4.49) (2л)3
Учитывая,	что
k = ш/с, dk = dco/c, из (4.49) находим:
dN(o) = ^^. (4.50) '	(2п)8с8
Здесь необходимо произвести
одно уточнение, связанное с
тем, что если мы говорим о собственных колебаниях электромагнитной волны, то каждому данному волновому вектору к
соответствуют два колебания со взаимно перпендикулярными поляризациями. Поскольку эти собственные колебания независимы, то результат (4.50) нужно удвоить. Таким образом, число независимых электромагнитных мод (осцилляторов электромагнитного поля), заключенных в объеме полости V
и имеющих частоты в интервале do вблизи частоты о, вычисляется следующим образом:
. х Vta2dta
(4.51)
Число таких независимых колебаний, приходящихся на единицу объема, получается делением выражения (4.51) на объем полости V:
dN (со) co8dco dn (и)	г .
(4.52)
Учитывая, что каждое колебание (мода, осциллятор) в соответствии с теоремой классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы имеет среднюю энергию < W > = kT, найдем энергию Л7Ш> Т, которой обладают собственные колебания, имеющие частоты в интервале do вблизи частоты о, в единице объема. Для этого умножим число колебаний dn (о) (4.52) на среднюю энергию одного колебания < W > = kT
.Тт и>гЬТ . т - dto.
(4.53)
Отсюда находим спектральную плотность энергии электромагнитных колебаний (теплового излучения), которая согласно (4.34) и (4.53) равна '•<’
38
Раздел 4
dUT й2
0(0 ПС
(4.54)
Это и есть формула для спектральной плотности энергии теплового излучения, полученная на основе классических представлений, — формула Рэлея—Джинса.
Сравнивая график функции (4.54) с экспериментом (см. рис. 4.16), замечаем, что совпадение теории с экспериментом наблюдается лишь в области малых частот (количественный критерий малости будет получен в более общей теории), а в области больших частот наблюдается принципиальное отличие: согласно теории Рэлея-Джинса при со —> оо, цш г —> оо, в соответствии же с экспериментом, при СО —> оо, T —> О.
Абсурдный результат получается, если, используя (4.54), вычислить плотность Ur энергии теплового излучения при температуре Т по формуле (4.35):
ОС	00
UT = 5 нш = S	°0-
о	О 71 С
(4.55)
Бесконечность плотности энергии теплового излучения, в частности, означала бы, что масса единицы объема этого излучения, которая согласно формуле Эйнштейна есть р = U.r/c2, тоже была бы бесконечной, что физически бессмысленно.
Энергетическая светимость RT абсолютно черного тела в теории Рэлея—Джинса также оказывается бесконечной. Это означало бы, что в неравновесных условиях такое тело должно бы мгновенно остывать до абсолютного
нуля температуры, что никак не соответствует реальности.
Совокупность этих фактов показала, что классическая физика неправильно описывает тепловое излучение
в области высоких частот. Сложившаяся ситуация в теории излучения абсолютно черного тела, известная в истории физики как «ультрафиолетовая катастрофа», привела к необходимости пересмотра основ физики.
Рис. 4.16
Квантовая физика
39
4.10. ГИПОТЕЗА И ФОРМУЛА ПЛАНКА
С точки зрения классической физики вывод формулы Рэлея—Джинса (4.64) безупречен, но она оказалась неверна в области высоких частот.
В 1900 г. Планк получил формулу для ипТ, совпадающую с экспериментом на всех частотах, но для этого ему пришлось выдвинуть гипотезу, совершенно чуждую представлениям классической физики. Он предположил, что электромагнитное излучение испускается и поглощается дискретными порциями энергии — квантами электромагнитного поля (фотонами).
Энергия такого кванта пропорциональна частоте излучения о:
(4.56)
Если теперь, как и в предыдущем параграфе, рассмотреть тепловое излучение в полости как совокупность осцилляторов электромагнитного поля с различными собственными частотами со, то в соответствии с гипотезой Планка энергия такого осциллятора частоты со может увеличиваться или уменьшаться только на величину кратную Йго. Это означает, что сама энергия осциллятора должна быть кратна этой величине, то есть квантована (см. рис. 4.17).
Wn = пйсо, п = 0, 1, 2, 3, ...	(4.57)
Такой осциллятор мы будем называть квантовым в отличие от классического, энергия которого может меняться непрерывным образом. Состояние осциллятора с энергией nhw интерпретируется как наличие в составе излучения п фотонов с частотой W. Случай п = 0 означает отсутствие фотонов.
Средняя энергия < W > квантового осциллятора в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т теперь уже не должна равняться kT, как это было для классического осциллятора, и ее нужно вычислить, учитывая дискретность энергетического спектра (4.57) квантового осциллятора.
IVn = пЛш, рп = Се
1Л/3 = Зй<цр3 = Се“зл">Л7' =	р2 = Се~г1,^т
р^Се-^7
Wo=O, р0 = С
Рис. 4.17
40
Раздел 4
Проведем это вычисление. В состоянии термодинамического равновесия вероятность рп того, что осциллятор будет иметь энергию W„, определяется формулой Больцмана (5.231):
(4.58)
К
р„ = Се w , п = 1, 2, ...
где С — пока неопределенная константа, которая должна быть найдена из условия равенства единице суммы всех возможных вероятностей рп, т. е. из условия нормировки для вероятности р„:
Подставляя в константу С:	Е₽п= !• п ~ 0 условие (4.59) формулу для р„ (4.58)	(4.59) , находим
» w ' п =0 Тогда вероятность рп принимает вид (с учетом W„ = nha>) - п/to е kT		(4.60) равенства (4.61)
i'll	ос	ь ' *г п = 0 Зная вероятность различных значений энергии W„ квантового осциллятора, можно найти среднее значение < W > энергии квантового осциллятора:		
Подставляя в Wn, получим:	ОС <w> = Yp»wn. п-0 (4.62) выражения (4.61) и (4.57) "‘°	(4.62) для рп и (4.63)
	ЛЙ<П Ее "г л =0	
Обозначим tw>/kT = х и будем формально считать х непрерывным параметром. Тогда (4.63) можно переписать в виде:
Квантовая физика
41
= - йсо In У е ах 1
” «fa У пе kT <W> = ha —---------
“ пйш *г
n = 0
В верности второго равенства (4.64) можно убедиться, продифференцировав логарифм в правой части. Под знаком логарифма стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии, равным е~х. Так как при любом положительном х знаменатель е~х < 1, то прогрессия убывающая, и по известной из алгебры формуле ее сумма равна: ®
(4.64)
V g™ = 1-е п - О
Подставив это значение суммы в (4.64), выполнив дифференцирование и сделав обратную замену х = tias/kT, получаем для средней энергии квантового осциллятора собственной частоты о следующую формулу
< w > =	.	(4.66)
её? - 1
Формула для < W > является существенно квантовой, поскольку содержит постоянную Планка h. Найдем классический предел для < W >, исходя из следующих соображений. Главным отличием квантового осциллятора от классического является дискретность его энергетического спектра. Это отличие несущественно, если разность энергий соседних энергетических уровней W„ + л - Wn = Йсо мала по сравнению с его средней энергией, вычисленной в классическом пределе < W > - kT. Таким образом, в классическом пределе величина tim/kT « 1. Тогда, раскладывая экспоненту в знаменателе формулы (4.66) в ряд по величине tua/kT « 1 и учитывая первые два члена этого разложения, получим классическое значение для величины
(4.65)
Й<а hf
(4.67)
< W > «--------= НТ.
, Лео .
Таким образом, мы убедились в выполнении принципа соответствия для квантовой формулы (4.66), что является одним из подтверждений ее правильности.
42
Раздел 4
Спектральная плотность энергии теплового излучения, рассматриваемого теперь как совокупность квантовых осцилляторов электромагнитного поля, получается заменой в формуле (4.54) среднего значения энергии классического осциллятора < W > = kT на среднее значение энергии квантового осциллятора, вычисленное по формуле (4.66). В итоге получаем:
(4.68)
2 _______ Ш Ц», Т 2 3 п С
Лео
Лю ект - 1
Это и есть формула Планка для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения. Она правильно описывает экспериментальную кривую (рис. 4.16), на ее основе были объяснены все экспериментально открытые законы теплового излучения, не находившие своего объяснения в рамках классической физики. Сюда относятся, в частности, закон Стефана-Больцмана (4.38) и закон смещения Вина (4.39). Кроме того, формула Планка удовлетворяет принципу соответствия — в области малых частот, таких, что tus/kT « 1 (со « kT/h), она переходит в формулу Рэлея-Джинса.
Вся совокупность этих фактов дает основания утверждать, что гипотеза Планка о корпускулярном, характере электромагнитного излучения верна. Именно эта идея Планка и явилась первым толчком для развития квантовой физики.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Что такое фотоны?
2.	Запишите законы сохранения энергии и импульса для процессов взаимодействия фотонов с частицами вещества.
3.	Какие закономерности фотоэффекта необъяснимы в рамках классической физики?
4.	Получите формулу Эйнштейна для фотоэффекта.
5.	В чем сущность эффекта Комптона?
6.	Дайте определение основных характеристик равновесного теплового излучения.
7.	Что такое абсолютно черное тело?
8.	В чем сущность ультрафиолетовой катастрофы? 9. В чем состоит гипотеза Планка?
10. Получите формулу Планка для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения.
Глава 4,3
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
4.11.	ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ
В 1924 г. Л. де Бройль высказал гипотезу о том, что установленный ранее для квантов света — фотонов корпускулярно-волновой дуализм присущ и всем частицам вещества — электронам, протонам, атомам и т. д., причем количественные соотношения между волновыми и корпускулярными характеристиками свободных частиц те же, что и для фотонов. Таким образом, если частица имеет корпускулярные характеристики: энергию W и импульс, модуль которого равен р, то соответствующие волновые характеристики частицы — частота о и длина волны X связаны с корпускулярными соотношениями:
• W , 2лй
<а = — , л = — . h	Р
Волны, ассоциированные со свободно движущимися частицами, получили название волн де Бройля. Для частиц не очень высокой энергии (v « с) р = mv и 1 = 2nh/mv, где тио — масса и скорость частицы. Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше масса частицы и ее скорость. Например, частице с массой в 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с X = 10 30 м, что лежит за пределами области, доступной наблюдению. Поэтому волновые свойства несущественны и никак не проявляются в механике макроскопических тел.
Для электронов же с энергиями от 10 эВ до 101 эВ длины волн де Бройля лежат в интервале » (0,1 -- 10) • 1О“10 м, что соответствует диапазону длин волн рентгеновского излучения. Поэтому волновые свойства таких электронов, если они имеют место, должны
44
Раздел 4
проявиться, например, при их рассеянии на тех же кристаллах, на которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей.
Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера. Пучок электронов ускорялся до энергии 100 — 150 эВ (что соответствует X » 1О10 м) и падал на кристалл никеля, играющий роль пространственной дифракционной решетки. Было установлено, что электроны дифрагируют на кристалле, причем именно так, как должно быть для волн, длина которых определяется соотношением де Бройля (4.69).
Волновые свойства электронов, нейтронов и других частиц уже широко используются, например, в электронных микроскопах и установках для изучения структуры конденсированных тел.
Законы квантовой механики не обладают той степенью наглядности, которая свойственна законам классической физики. Поэтому целесообразно рассмотреть развитие важнейших идей, составляющих фундамент квантовой механики и только после этого сформулировать ее основные положения. С этой целью мы обсудим два основополагающих эксперимента: 1) о прохождении микрочастиц через двухщелевой интерферометр; 2) о прохождении света через прозрачную пластинку.
4.12.	МИКРОЧАСТИЦА
В ДВУХЩЕЛЕВОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ
Своеобразное поведение микрочастиц проще обсудить не в рамках реального эксперимента типа эксперимента Дэвиссона и Джермера, а в рамках идеализированного — «мысленного эксперимента», предельно упрощенного по сравнению с реальным, чтобы отбросить несущественные детали, но вместе с тем сохраняющего главные его черты. Таковым является «мысленный эксперимент» о прохождении электронов через двухщелевой интерферометр (рис. 4.18), описанный Р. Фейнманом в своих лекциях по физике, которым мы здесь и следуем.
Пытаясь понять поведение электрона в таком эксперименте, мы будем сопоставлять его с привычными нам движениями обычных (классических) частиц, похожих на пулю и обычных волн, похожих на волны
Квантовая физика
45
Рис. 4.18
на воде. Поэтому сперва рассмотрим результаты такого мысленного эксперимента с обычными частицами — опыт с пулеметной стрельбой (рис. 4.18) и эксперимента с обычными волнами (рис. 4.19).
Будем считать, что при стрельбе из пулемета пули рассеиваются на довольно широкий угол, как это изображено на рис. 4.18. Перед пулеметом стоит броневая плита, в которой имеются два отверстия 1 и 2, через которые пули свободно проходят. За плитой находится земляной вал, «поглощающий» попавшие в него пули. Перед валом стоит устройство, которое мы назовем «детектором». Им может служить, например, ящик с песком. Любая пуля, попавшая в детектор, застревает в нем. Детектор можно передвигать вдоль вала в направлении х. Подсчитывая отношение числа пуль, попавших в детектор к полному числу пуль, попавших в вал N, можно найти вероятность попадания пули в вал на
Рис. 4.19
46
Раздел 4
расстоянии х от середины р (х) = N (x)/N. Передвигая детектор вдоль оси х, и при каждом значении х производя такой опыт, можно построить кривую Р12 (х), дающую вероятность попадания пули в вал как функцию координаты х, когда оба отверстия открыты. Нижние индексы 1, 2 в обозначении этой вероятности подчеркивают, что пули попадают в детектор при одновременно открытых отверстиях 1 и 2. Закрывая одно из отверстий, аналогичным образом можно построить кривые р, (х) и р2 (х), дающие вероятность попадания пули в вал, когда открыто только отверстие 1 или только отверстие 2.
Проделав такой эксперимент, построим кривые рг W, р2 (х) и р12 (х) (см. рис. 4.18). Анализируя эти кривые, мы находим, что
Pi2 W=Pi W+ftW, то есть вероятности складываются: вероятность попадания пули в точку х при обоих открытых отверстиях 1 и 2 равна сумме вероятностей попадания в эту же точку при одном открытом отверстии. Это проявление закона, известного в теории вероятностей как закон сложения вероятностей, утверждающего, что вероятности альтернативных (взаимоисключающих) событий складываются. В нашем опыте такими альтернативными событиями являются: прохождение пули или через отверстие 1, или через отверстие 2. Действительно, поскольку одна и та же пуля не может одновременно проходить и через отверстие 1 и через отверстие 2, то прохождение ее через отверстие 1 исключает возможность прохождения ее же через отверстие 2 и наоборот.
Таким образом, результат этого опыта состоит в следующем:
1) пули приходят в детектор дискретными порциями (одна порция — одна пуля);
2) вероятности попадания их складываются (без интерференции) — как вероятности альтернативных событий.
Теперь рассмотрим опыт с волнами на воде. Прибор схематически показан на рис. 4.19. Это мелкое корытце, полное воды. Источник волн, колеблясь вверх и вниз, вызывает круговые волны на поверхности воды. Справа от источника опять стоит перегородка с двумя отверстиями, за которой стоит поглотитель волн, им может служить, например, песчаная отмель, не отражающая
Квантовая физика
47
волны. Перед поглотителем расположен детектор, измеряющий интенсивность приходящей волны, пропорциональную квадрату ее амплитуды. Основным элементом такого детектора является обычный поплавок.-
Первое, в чем можно убедиться при помощи такого аппарата — это что интенсивность может быть любой величины. Когда источник движется еле-еле, то и детектор показывает чуть заметное движение, если же движение источника усиливается, то и в детекторе интенсивность волны увеличивается. Интенсивность волны может быть какой угодно. Мы уже не скажем, что в интенсивности есть какая-то дискретность, «порционность», как это было в эксперименте с пулями.
Производя опыт, можно построить кривые: It (х) — интенсивность волн от щели 1 (при закрытой щели 2), 12 (х) — интенсивность волн от щели 2 (при закрытой щели 1), /12 (х) — интенсивность волн при одновременно открытых щелях 1 и 2. Мы видим, что интенсивность /12 не равна сумме интенсивностей Ц и 12. Поэтому мы говорим, что здесь происходит интерференция, наложение двух когерентных волн.
В некоторых точках (где на кривой 112 (х) наблюдается максимум) волны оказываются в одинаковой фазе — амплитуды складываются, давая большую амплитуду и тем самым большую интенсивность. В этих точках говорят о «конструктивной интерференции». Она наблюдается в тех точках, расстояние от которых до одной из щелей отличается на четное число полуволн от расстояния до другой (3.313). А в тех точках, куда волны приходят в «противофазе», результирующая амплитуда представляет разность амплитуд, волны интерферируют «деструктивно», интенсивность получается маленькой (минимумы на кривой /|2 (г)). Это бывает в тех точках, расстояние от которых до одной из щелей отличается на нечетное число полуволн от расстояния до другой (3.314).
Из раздела «Физика колебаний и волн» известно, что количественную связь между 1\, 12 и 112 можно представить следующим образом.
Мгновенная высота волны (t) в детекторе от щели 1
У1 (0 = th cos (<oi + ai) = the'a‘ ’	- Re (4.70)
где til, <o, a, — амплитуда, частота, начальная фаза колебания, вызванного волной 1 в точке, где находится детектор, = ti^’0-! — комплексная амплитуда этого колебания, символ
48
Раздел 4
Re означает вычисление действительной части стоящего за ним комплексного числа, j = V-L — мнимая единица. Интенсивность I] пропорциональна среднему (по времени) квадрату высоты волны, или, пользуясь комплексной амплитудой, квадрату модуля комплексной амплитуды /ы . Аналогично, интенсивность 12 пропорциональна |й2 , где Й2 = ti2e’a^. Когда обе щели открыты, мгновенные высоты волн р, (t) и уг (t) складываются, давая результирующую высоту у12 (t):
У1г (О = У1 (О + Уг (О = Й1 с°в + ®i) + cos + «г) =
= Re (Й1 + й2) eiat = Re | Й12| е*»‘,	(4.71)
где Й12 =	+ й2 — комплексная амплитуда результирующего
колебания.
Интенсивность 112 пропорциональна Й12 = IЙ, + й2 .Множитель пропорциональности нас сейчас не интересует, так что, опуская его, мы имеем:
Л = |Л1|г. 12= |^|2. 112= |Й12|2= |й1 + й2|2. (4,72) . -	- .2
Раскрывая |й1 + й21 , получаем:
|й1 + й2|2=|й1|2+|й2|2 + 2|й1| |й2|совЗ, (4-73) где~ 6 = «j - а2 — разность фаз комплексных амплитуд f>i и К- «
Вводя интенсивности, получаем из (4.72), (4.73)
112 = Ц + 12 + cos 8.	(4.74)
Последний член в (4.74) и есть интерференционный член (см. п. 3.33).
Таким образом, результаты этого опыта состоят в следующем:
1) интенсивность волн может быть любой (то есть отсутствует дискретность);
2) при сложении волн возникает интерференция — это означает, что прохождения волны через отверстия 1 и 2 не являются альтернативными событиями (как это было в опыте с пулями) — волна может одновременно проходить через оба отверстия сразу, что приводит к необходимости сложения комплексных амплитуд, а не интенсивностей.
Представим себе такой же опыт с электронами. Его принципиальная схема изображена на рис. 4.20.
Квантовая физика
49
Электронная пушка испускает электроны с одинаковой энергией, перед ней расположена тонкая металлическая. пластинка с двумя дырочками, за ней имеется еще одна пластина — поглотитель. Перед нею помещен подвижный детектор, например, счетчик Гейгера, подсоединенный через усилитель к динамику.
Первое, что мы замечаем в опыте с электронами, это резкие щелчки, доносящиеся из динамика, при этом все щелчки одинаковы по громкости, никаких полущелчков, третьщелчков и т. д. нет. Когда мы передвигаем детектор вдоль х, число щелчков в единицу времени то растет, то падает, но громкость каждого щелчка всегда остается одной и той же. Если мы охладим катод в электронной пушке, число щелчков в единицу времени уменьшается, но их громкость не меняется. Если у поглотителя поставить два отдельных детектора, то мы заметим, что щелкает то один из них, то другой, но никогда — оба вместе. Мы заключаем поэтому, что все, что попадает в детектор, приходит туда одинаковыми «порциями», каждую из которых естественно отождествить с электроном. И в этом отношении электроны ведут себя подобно пулям (классическим частицам) в опыте с пулеметной стрельбой.
Передвигая детектор вдоль оси х и подсчитывая при каждом значении х среднюю частоту щелчков (среднее их количество в единицу времени), можно построить кривые: р12 (х) — вероятность попадания электрона в поглотитель как функцию координаты х, когда оба отверстия открыты, pi (х) — когда открыто только отверстие 1, р2 (х) — когда открыто только отверстие 2. В результате мы получаем интереснейший результат (см. рис. 4.20) — кривая Р12 (х) совсем не похожа на кривую р12 (х) в опыте с пулеметной стрельбой (рис. 4.18) и удивительно похожа на кривую /]2 (х) в опыте с волнами (рис. 4.19).
Таким образом, кривая р12 (х), полученная, когда оба отверстия открыты, не совпадает с суммой р} + рг (суммой вероятностей при только одном открытом отверстии), то есть
Р12*Р1+Р2.	(4-75)
По аналогии с нашим опытом с волнами мы заключаем, что здесь есть интерференция. Следовательно, математика, связывающая р,2 с pt и р2 в опыте с электронами должна быть такая же, как и математика, связывающая
50
Раздел 4
, л ,,	₽12 = 1Ч>1 +<P2l
Рг= I ФгГ
Рис. 4.20
112 с 1г и 12 в опыте с волнами. То есть, то, что движется к поглотителю от отверстий 1 и 2 может быть ^формально описано двумя комплексными числами <Р1 и <р2 (это функции координаты х), которые являются аналогами комплексных амплитуд Й, и tiz в опыте с волнами, а аналогами интенсивностей It, 12, 7|2 являются вероятности ри р2, р12. Тогда, как и для волн (см. формулы (4.72)—(4.74)) можно записать:
Г I2 Г I2	Г I2 г
Р1 = Ф1 .	= Фг . Р12=|Ф12| =|Ф1+Фг
Р12 = Р1 + Рг + 2л/р!Р2 COS 6,	(4.76)
где 8 — разность фаз комплексных чисел <р, и ф2.
В конце концов мы приходим к следующему заключению:
1) электроны приходят в детектор порциями, подобно классическим частицам в опыте с пулями;
2) вероятность прибытия этих порций распределена так же, как и интенсивность волн в опыте с волнами, то есть имеет место интерференция.
Именно в этом смысле следует понижать утверждение, что электронам (вообще всем микрочастицам) присущ корпускулярно-волновой дуализм, поскольку они обнаруживают такое двойственное поведение.
Подчеркнем, в особенности то обстоятельство, что интерференционная картина для вероятности р12 (х) (рис. 4.20) никак не совместима с представлением о движении электрона по классической траектории, подобной траектории пули, поскольку в последнем случае интерференция полностью отсутствует.
Квантовая физика
51
4.13. ВЛИЯНИЕ НАБЛЮДЕНИЯ (ИЗМЕРЕНИЯ) НА ОПЫТ С ЭЛЕКТРОНАМИ
Попытаемся проследить за электронами, чтобы узнать, через какое отверстие прошел тот электрон, который в данный момент регистрируется детектором. Для этого сразу за пластиной между двумя отверстиями поместим источник света (рис. 4.21). Известно, что электрические заряды рассеивают свет. Поэтому, если электрон пройдет через отверстие 1, как показано на рисунке, то мы увидим как у отверстия 1 что-то блеснуло, если он пройдет через отверстие 2, то блеснет около этого отверстия, а если бы свет блеснул одновременно в двух местах, около отверстия 1 и около отверстия 2, то это означало бы, что электрон, разделившись, проходит через оба отверстия сразу.
Приступив к опыту, мы увидим, что всякий раз, когда мы слышим из детектора щелчок, мы также видим вспышку света или у отверстия 1, или у отверстия 2, но никогда у обоих отверстий сразу. Так происходит при любом положении детектора. Отсюда мы делаем вывод, что, когда мы наблюдаем электрон, то обнаруживаем, что он проходит или через одно отверстие, или через другое, но никогда через оба сразу, т. е. электрон не разделяется.
Регистрируя теперь с помощью вспышек отверстие, через которое проходит электрон перед попаданием его в детектор, построим кривые р/ (х) и р2' (х), описывающие вероятность попадания электрона в точку х на экране через отверстие 1 или 2 соответственно, а также кривую для полной вероятности р[2 (х). При этом оказывается, что р{2 = р{ + р2, то есть никакой интерференции нет!
Рис. 4.21
52
Раздел 4
А если выключить свет, то снова возникает интерференционная картина, описанная в предыдущем опыте (рис. 4.20).
Таким образом, мы заключаем, что процесс наблюдения электрона, обязательно сопровождающийся взаимодействием электрона с фотоном, так сильно возмущает движение электрона, что интерференция исчезает. Оказывается невозможным приспособить свет для того, чтобы узнавать, через какое отверстие прошел электрон, и в то же время не исказить картины его движения.
В. Гейзенберг установил, что законы природы, «управляющие» поведением микрочастиц, оказываются совместимыми друг с другом, если допустить существование некоторых фундаментальных ограничений на наши экспериментальные возможности, ограничений, которых прежде не замечали. Он предложил в качестве общего принципа свой принцип неопределенности. В терминах описанного здесь эксперимента он звучит следующим образом: «Невозможно придумать аппарат для определения того, через какое отверстие проходит электрон, не возмущая электрон до такой степени, что интерференционная картина пропадает». Таким образом, природа установила своеобразную «вилку»: если аппарат способен определять, через какую щель проходит электрон, он не способен оказаться столь деликатным, чтобы не искажать картину самым существенным образом, если же аппарат достаточно деликатен и не искажает существенным образом интерференционную картину, то его разрешающая способность оказывается столь невелика, что невозможно различить, через какое отверстие прошел электрон.
Пока все известные явления в микромире находятся в соответствии с этим принципом, что укрепляет нашу веру в него.
4.14. ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ПРОЗРАЧНУЮ ПЛАСТИНКУ
Рассмотрим теперь опыт по прохождению света через прозрачную пластинку И (рис. 4.22).
Часть света проходит через пластинку, часть отражается. В соответствии с гипотезой Эйнштейна свет состоит из частиц-фотонов. Что же происходит с отдельным фотоном при попадании его на пластину? Если поставить опыт с пучком света малой интенсивности, в котором можно проследить за судьбой каждого отдельного фотона, то оказывается, что при
Квантовая физика
53
встрече с пластиной фотон не расщепляется на два (проходящий и отраженный), то есть его индивидуальность как частицы сохраняется, в противном случае согласно закону сохранения энергии отраженный и проходящий свет имели бы частоту
меньшую, чем частота падающего	рИс. 4.22
света. Оказывается, что некоторые
фотоны проходят сквозь пластинку, а некоторые отражаются от нее. Следовательно, одинаковые частицы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному, то есть поведение фотона при встрече его с пластиной однозначно непредсказуемо. Детерминизма (причинности) в том смысле, как это понимается в классической механике, при движении фотонов не существует.
Волновая оптика легко объясняет отражение света от прозрачной пластинки и прохождение через нее (см. п. 3.45), однозначно предсказывая отношение интенсивности h прошедшего света к интенсивности I падающего на пластинку (коэффициент прохождения S = /1//) и отношение интенсивностей Iz/I отраженного и падающего света (коэффициент от
ражения R = 1г/Г). С корпускулярной точки зрения интенсивность света I пропорциональна числу фотонов JV, следователь-
но, волновая оптика позволяет определять отношения числа прошедших (ЛГ1), отраженных (Уг) и падающих (N) фотонов:
R = ^, S = %-, N^+N2-N, R+S=l. <4-77) N ’ N 1	2
Поведение же отдельного фотона, естественно, волновой оптикой напрямую не описывается, поскольку отражение фотона от пластинки или прохождение через нее — случайные события. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью теории вероятностей. Фотон может с вероятностью pt пройти через пластину, а с вероятностью р2 отразиться от нее. Если число N падающих на пластину фотонов очень велико (теоретически X -> со), то эти вероятности равны:
„ -	- £l -	Р П	-	- I*	~ Р „ . п	1 (4.78)
Pl	j	Р2 pj j	Pi P‘2
Соотношения волновой оптики, таким образом, могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей, и тогда они будут относиться к случайному поведению одного фотона.
Усложним теперь опыт следующим образом. Пусть отраженный от пластинки II пучок света при помощи зеркала 3 меняет направление и попадает на тот же экран, что и прошедший пучок (рис. 4.23). На экране возникнет типичная интерференционная картина распределения интенсивности света 112 (х), которая легко объясняется на основе волновой
54
Раздел 4
Рис. 4.23
оптики: волновое поле в области наложения двух световых волн (на экране) определяется с помощью принципа суперпозиции, в соответствии с которым комплексная амплитуда суммарной волны <р12 (х) в некоторой точке х на экране равна сумме комплексных амплитуд <Pj (х) и ф2(х) складываемых волн. Представим комплексные амплитуды <р2 и <р2 следующим образом (аргумент х для краткости опущен):
(р( = А1е’а‘, <р2=А2е’а2,	(4.79)
где А,, А2, eq, а2 — амплитуды и фазы складываемых волн в точке х на экране. Тогда комплексная амплитуда суммарной волны есть
Ф12 ” Ф1 + Фг = -41^“' + Л2е^а2,	(4.80)
а ее интенсивность (с точностью до несущественного множителя) равна квадрату модуля комплексной амплитуды
Лг = | Ф1г|2 = |Ф1 + Фгр = |Ае'“‘ +	(4>81)
Проделав вычисления в правой части (4.81), получаем (3.311):
112 = А? + А% + 2А1А2 cos («j - а2)-	(4.82)
Учитывая, что интенсивности складываемых волн есть
Il = Pj|2 =	=< Л = |ф2|2 = |А2с^|2 = Af,<4-83)
перепишем формулу (4.82) в следующем виде:
Лг - 7( + 12 + 2л/11/2 cos («! - а2).	(4.84)
Последний член в формулах (4.82), (4.84) как раз и описывает интерференцию когерентных световых волн. Таково описание рассмотренного опыта на языке волновой оптики.
Квантовая физика
V
55
Если же мы теперь хотим описать рассмотренный интерференционный опыт на корпускулярном языке, то мы должны перейти от интенсивностей световых волн к вероятностям, описывающим случайное поведение одного фотона, подобно тому, как это было сделано в (4.78). Для этого разделим интенсивность /12, определяемую формулой (4.81), на интенсивность I падающего на пластинку П света:
(4.85)
Учитывая, что Тц/Т = Рц — есть результирующая вероятность Л попадания _ фотона ид экран и вводя обозначения Ф12 = ф|2/^-	=	1р2 = 4>2/>/F, перепишем формулу (4.85)
в следующем виде:
1 I2 ।	I2
Pi2 = jФ1г| = jФ1 + ф2| ;
Р1=|ф1|2> Р2=|фг|2-
У12>	4^2 естественно назвать комплексными
вероятности, потому что они связаны с соот-
(4.86)
Величины амплитудами ветствующими вероятностями так же, как и комплексные амплитуды волн с их интенсивностями (сравним формулы (4.86) с (4.81), (4.83) ). Для вероятности р12 получаем интерференционную формулу, аналогичную (4.84):
Pi г = Р\ + Рг + ^Р1Рг cos (а, - а2),	(4.87)
где последний член описывает интерференцию амплитуд вероятности и ф2. Именно он и определяет существенное отличие в описании поведения фотона (вообще любой квантовой микрочастицы) от классической частицы, для которой интерференционный член отсутствует: >W!
Р12 = Pi + Рг-	(4.88)
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	В чем сущность гипотезы де Бройля?
2.	В чем состоит принципиальное отличие результатов опыта по прохождению классических и квантовых частиц через двухщелевой интерферометр?
3.	Каково влияние наблюдения на результаты опыта по прохождению электронов через двухщелевой интерферометр.
4.	Проделайте переход от описания эксперимента по прохождению света через пластинку в терминах волновой оптики к описанию в терминах, описывающих случайное поведение одного фотона.
5.	Как связана амплитуда вероятности с вероятностью?
Глава 4.4
КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
4.15.	ЗАДАНИЕ СОСТОЯНИЯ МИКРОЧАСТИЦ
Результаты интерференционных опытов с микрочастицами, описанных в предыдущих параграфах, сводятся к следующему:
1.	Микрочастицы при своем движении обнаруживают случайное поведение и, следовательно, их состояние должно описываться вероятностным образом.
2.	Описание состояния микрочастицы с помощью обычной теории вероятностей, основными объектами которой являются действительные величины, невозможно, поскольку с их помощью нельзя описать наблюдающееся на опыте явление интерференции (действительные вероятности не интерферируют).
3.	Учет интерференции осуществляется путем введения комплексной амплитуды вероятности, иначе называемой волновой функцией у (г. t). Эта- комплексная функция и описывает состояние микрочастицы, а квадрат ее модуля дает «обычную» вероятность. Как было показано в предыдущем параграфе, понятие амплитуды вероятности естественным образом возникает, если, например, при описании интерференции света переходить с «волнового языка» на корпускулярный.
4.	Квантовомеханическое описание движения микрочастиц — с помощью амплитуды вероятности — допускает предельный переход к описанию движения классических частиц.
.t. Рассмотрим такой переход в интерференционном опыте, описываемом формулой (4.87), в которой «1 - <х-2 = 2лД//Х = pUd/tr.
Pis = Pi + Pt + 2-VptPz cos ,	(4.89)
где p = 2лй/Х — импульс микрочастицы (фотона), AZ — разность хода.
Квантовая физика
57
ДхД
Д
Рис. 4.24
При изменении разности хода Д/ косинус в правой части (4.89) осциллирует вдоль оси х на экране с периодом »2т1Й/р — порядка дебройлевской длины волны частицы X. Для классических частиц эта величина столь мала (см. рис. 4.24, а), что никакой детектор разумных размеров не может разделить
тину на отдельные максимумы и минимумы, поскольку на размере детектора Дх укладывается очень большое число осцилляций. Это означает, что среднее в пределах детектора значение косинуса равно нулю:
интерференционную кар-
< cos >Ах = О	(4.90)
и интерференционный член в (4.89) исчезает, то есть мы приходим к классическому результату сложения вероятностей (рис. 4.24, б).
Таким образом, переход к классической механике осуществляется в случае, когда дебройлевская длина волны частицы оказывается много меньше всех остальных характерных размеров в задаче. В рассмотренном случае 1 « Дх. В этом смысле переход от квантовой к классической механике аналогичен переходу от волновой к геометрической оптике. -
5.	Процесс наблюдения микрочастицы, или более общо — процесс взаимодействия микрочастицы с измерительным прибором связан с некоторым воздействием на микрочастицу, которым нельзя пренебречь. В процессе измерения состояние микрочастицы в общем случае изменяется случайным, неконтролируемым образом.
4.16.	ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.
СУПЕРПОЗИЦИЯ СОСТОЯНИИ
Таким образом, рассмотренные выше интерференционные опыты, приводят к необходимости введения волновой функции (амплитуды вероятности) у (г, t), описывающей состояние микрочастицы (в более общем случае — физической системы) в квантовой механике.
Статистическая (вероятностная) интерпретация волновой функции была впервые дана М. Борном и состоит в следующем. Если рассмотреть бесконечно малый объем dV вблизи точки г, то вероятность dp нахождения
58
Раздел 4
микрочастицы в момент времени t внутри этого объема дается следующим выражением:
dp = I (г, t)| dV.	(4.91)
Выражая отсюда
I v (г> 012 =	55 Р₽ О', О» <4-92>
находим, что |y(r, t)| есть вероятность нахождения микрочастицы в момент времени t в единичном объеме около точки г (dp/dV) или, иными словами, есть плотность вероятности обнаружить микрочастицу в точке г в момент времени t (рр (г, <))• Поскольку в соответствии со своим математическим смыслом плотность вероятности рр (г, f) должна быть нормирована на единицу:
$ pp(r, t) dV = 1,	(4.93)
V
то отсюда следует условие нормировки для волновой функции:
$ |y(r, t)|2dV= 1,	(4.94)
где интегрирование осуществляется по всему объему V, доступному для движения микрочастицы.
Волновые функции, или амплитуды вероятностей, в квантовой механике, как и оптические амплитуды, удовлетворяют принципу суперпозиции. В рассмотренном выше опыте с двухщелевым интерферометром принцип суперпозиции выглядит следующим образом:
у = Vi + Ч>2>	(4.95)
где уи хр2 — амплитуды вероятности прохождения частицы соответственно первым и вторым путем, а у — результирующая амплитуда, когда одновременно возможны оба пути, то есть открыты оба отверстия.
Только использование принципа суперпозиции позволяет описать наблюдаемую в этом опыте интерференцию микрочастиц.
В общем случае принцип суперпозиции утверждает, что, если в данных условиях физическая система может пребывать в различных квантовых состояниях, которым соответствуют волновые функции уп у2, ..., yfc, то
Квантовая физика
59
в этих же условиях возможны и квантовые состояния с волновой функцией, являющейся суперпозицией, перечисленных выше:
V = Z C*V*»	(4.96)
к
где С* — комплексные числа.
Если 44 описывает альтернативные (взаимоисключающие) состояния, то |С*| дает вероятность того, что физическая система находится в состояний с волновой функцией Ц/*., и тогда сумма таких вероятностей равна единице:
SlC*l2=1-	(4.97)
k
Предположение о справедливости принципа суперпозиции является одним из «краеугольных камней» квантовой механики.
4.17.	СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. НАБОРЫ ОДНОВРЕМЕННО ИЗМЕРИМЫХ ВЕЛИЧИН
Поскольку, как мы уже установили, движение микрочастиц в квантовой механике описывается вероятностным образом, естественно ожидать, что в заданном квантовом состоянии по крайней мере некоторые физические величины, характеризующие микрочастицу, являются случайными — то есть не имеют строго определенных значений. При этом оказывается, что неопределенности некоторых из таких физических величин не являются независимыми, а связаны между собой некоторыми соотношениями.
В качестве примера рассмотрим свободно движущуюся вдоль оси х микрочастицу, имеющую постоянный и строго определенный импульс р. Согласно де Бройлю, со свободной частицей, имеющей импульс р, связана волна (вероятности) с длиной X = 2nh/p, а волновая функция свободной частицы (волна де Бройля) имеет вид:
Ф (х) = ОТ,	(4.98)
где С — постоянное комплексное число.
60
Раздел 4
Квадрат модуля волновой функции |ц/| = |С| —не зависит от х, то есть вероятность нахождения частицы, описываемой такой функцией в любой точке пространства, одинакова, т. е. мы просто не знаем, где она находится.
Таким образом, микрочастица со строго определенным импульсом р, совершенно не локализована в пространстве. Конечно, такая частица — идеализация. Точнее нужно сказать так — чем более определенным является импульс частицы, тем менее определенна ее координата, и наоборот. Этот результат можно получить из следующих качественных соображений.
Действительно, если положение частицы более или менее известно, скажем, она локализована в некоторой области пространства длиной Ах, то это означает, что вероятность ее местоположения отлична от нуля в этой области, а вне этой области она равна нулю или чрезвычайно мала. Вероятность равна квадрату абсолютной величины амплитуды вероятности, поэтому амплитуда вероятности также равна нулю вне области Дх. Такая амплитуда описывает цуг дебройлевских волн (вероятности) — волновой пакет протяженностью Дх (см. рис. 4.25), состоящий из волн с близкими значениями волнового числа k, заключенными в малом интервале Д/г.
Так как на концах цуга амплитуда волны уменьшается до нуля (рис. 4.25), то количество длин волн на отрезке Дх известно с точностью порядка ±1
AN»1.	(4.99)
Число волн N на длине волнового пакета Дх по порядку величины равно
N =	,	(4.100)
где k -— волновое число, связанное с длиной волны А
Ах
соотношением А = 2л/Л.
Из (4.100) следует соотношение между неопределенностью числа волн в цуге ДЛ; и неопределенностью волнового числа в волновом пакете.
Рис. 4.25
Квантовая физика
61
ДА »	.	(4.101)
2л
Подставляя (4.101) в (4.99), получаем
ДА • Дх » 2л.	(4.102)
Поскольку импульс микрочастицы рх связан с волновым числом k соотношением рх = tik, то
Дрх = ЙДА.
(4.103)
Выражая из (4.103) ДА и подставляя его в (4.102), получаем соотношение:
Дрх • Дх к 2лй,	(4.104)
связывающее между собой неопределенности координаты и импульса микрочастицы.
Заметим, что соотношение вида (4.102), связывающее неопределенность волнового числа ДА в волновом пакете и характерную пространственную длину Дх этого волнового пакета, хорошо известно в физике волн и непосредственно не связано с квантовой механикой (и. 3.16).
Строгий вывод дает соотношение неопределенностей в виде неравенств:
Дрх  Дх > й/2,
Дру • Ду > й/2,
Дрг •Аг > А/2,	(4.105)
где под неопределенностями Дрг, Ару, &рг, и Дх, Ду, Дг понимаются среднеквадратичные отклонения проекций импульса и проекций координат от их средних значений, то есть дисперсии этих случайных величин.
Соотношения (4.105) и представляют собой соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат и проекций импульса микрочастицы. Физическое содержание этих соотношений состоит в том, что в противоположность классической механике в квантовой механике не существует такого состояния, в котором координата и соответствующая проекция импульса частицы имеют одновременно точные значения. Этот вывод квантовой механики подтверждается экспериментально.
62
Раздел 4
Если, например, мы стремимся поточнее измерить координату микрочастицы х, то есть уменьшать неопределенность Дх, то поскольку процесс измерения обязательно сопровождается неконтролируемым воздействием на микрочастицу со стороны «измерительного прибора», это воздействие увеличивает неопределенность проекции импульса: Дрх > Й/(2Дх) — как это следует из (4.105).
Соотношения вида (4.105) имеют место не только для проекций импульса и координат, но также и для ряда других пар физических величин, которые одновременно не имеют точных значений. В частности, неопределенность полной энергии AW микрочастицы в некотором квантовом состоянии связана с временем At ее пребывания в этом состоянии соотношением, аналогичным (4.105)
AW  At > й/2.
(4.106)
В связи с соотношениями неопределенностей важно отметить, что некоторые физические величины могут быть одновременно точно определены. Например, как видно из (4.105), неопределенность координаты Ах и неопределенность проекции импульса Дру входят в разные соотношения неопределенностей и потому являются независимыми. Следовательно, можно одновременно выполнить условия: Ах —> 0 (полагая Арх —> оо) и Ару -> 0 (полагая Д<у -> оо), то есть можно одновременно и точно измерить х и Дру. Это связано с тем, что процесс измерения координаты х «не возмущает» проекцию импульса ру и наоборот.
Совокупность всех" физических величин, которые могут быть одновременно и точно определены в рассматриваемой квантовомеханической системе, называют полным набором одновременно измеримых величин. Такие полные наборы играют важную роль в квантовой механике — с их помощью (точнее говоря с помощью соответствующих им наборов квантовых чисел) классифицируются стационарные состояния квантовомеханических систем.
Принцип неопределенности — фундаментальный принцип квантовой механики, устанавливающий физи- . ческое содержание и структуру ее математического аппарата.
Квантовая физика
63
4.18.	ОЦЕНКА ЭНЕРГИИ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ АТОМА ВОДОРОДА И ЭНЕРГИИ НУЛЕВЫХ КОЛЕБАНИЙ ОСЦИЛЛЯТОРА
Принцип неопределенности играет большую эвристическую роль, так как многие задачи квантовой механики могут быть на качественном уровне поняты и решены на основе комбинации законов классической механики с соотношениями неопределенностей. К таким задачам относятся, например, задачи об энергии основного состояния атома водорода и энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора.
Рассмотрим первую из этих задач.
Основным состоянием любой квантовомеханической системы (в рассматриваемом здесь случае — атома водорода) называется состояние с наименьшей возможной механической энергией.
Полная механическая энергия W атома водорода (покоящегося как целое) состоит из суммы кинетической энергии вращающегося электрона р'/'Ат и потенциальной энергии его взаимодействия с ядром — - е2/(4ле0;-)
2	^2
W = -------
2т 4тог
(4.107)
где г — радиус электронной орбиты.
Если допустить неопределенность положения электрона в пределах радиуса его орбиты Дг » г, а неопределенность импульса в пределах самого импульса Др ® р, то из соотношения неопределенностей:
Др  Аг > |
по порядку величины следует р • г - й.
Откуда
(4.108)
(4.109)
(4.110)
Если в (4.110) записать строгое равенство р = h/r и это значение импульса подставить в (4.107), то получаем:
64
Раздел 4
ь2 »2
W =	.
2тг	4леог
(4.111)
Поскольку мы ищем состояние с наименьшей энергией, запишем необходимое условие минимума этого выражения как функции г:
dW _ _ h2 + е2 dr m№ 4яе0Г2
(4.112)
Корень этого уравнения, соответствующий минимуму полной энергии W, равен
= 4л^	1о. е см
те
(4.113)
и называется радиусом первой боровской орбиты, наиболее близкой из всех возможных к ядру. Подставляя (4.113) в (4.111), получаем энергию основного состояния атома водорода
Wo = -	« - 13,6 эВ. (4.114)
8тге„г„ 32тг2е>2
В качестве второго примера рассмотрим задачу о вычислении энергии нулевых колебаний одномерного гармонического осциллятора.
Одномерный гармонический осциллятор представляет собой частицу массы т, движущуюся в одномерном потенциальном поле Wp (х) - kx2/2, где Wp (х) — потенциальная энергия частицы в этом поле, k — эффективная «жесткость», х — пространственная координата частицы. Простейший пример такой системы — частица на пружинке, совершающая гармонические колебания под действием упругой силы Fx = -kx, которой как раз и соответствует потенциальная энергия Wp (х) = kx2/2, представляющая собой параболическую потенциальную яму (рис. 4.26).
Гармонический осциллятор — одна из наиболее часто используемых в различных разделах физики моделей (см. п. 3.7). Ею описываются, например, малые колебания атомов вблизи своих положений равновесия в кристаллах, стоячие электромагнитные волны в полости и т. д., так что важность ее рассмотрения несомненна.
Квантовал физика
65
Наша задача состоит в том, чтобы с помощью соотношения неопределенностей, оценить минимально возможную полную энергию осциллятора:
W = A +	(4.115)
2т 2
где p2J2m. — кинетическая	Рис. 4 2б
энергия осциллятора.
Прежде чем рассматривать квантовый случай, заметим, что в классической механике минимум полной энергии W = О достигается при рх = О, х = О,что соответствует неподвижной частице в точке х = О — на дне потенциальной ямы (рис. 4.26).
В квантовой механике ситуация совершенно иная, поскольку одновременно точные значения рх и х не могут быть заданы. Их неопределенности связаны соотношением:
Дх.Дрх>А	(4.116)
Если для оценки принять Дх » х и Арх »рх, то по порядку величины из (4.116) следует:
х • рх» Й	(4.117)
откуда
р -	(4.118)
х.
Если в (4.118) записать строгое равенство рх = й/х и подставить это значение импульса в (4.115), то получаем
+ <4Л19>
Запишем необходимое условие минимума этого выражения как функции х:
^ = --^ + йх = О.	(4.120)
ах тх
Корень этого уравнения, соответствующий минимуму полной энергии W равен:
3 Зак. №845
66
Раздел 4
Й1/г
(тй),/4 '
(4.121)
Подставляя теперь это выражение в (4.119), находим оценку минимального значения полной энергии квантового гармонического осциллятора
Wo » йш
(4.122)
где со = ^k/m — собственная частота осциллятора.
Эта оценка отличается от точного значения минимальной энергии осциллятора лишь численным множителем 1/2 (см. формулу 4.219). Величина Wo называется энергией нулевых колебаний гармонического осциллятора.
Соотношение неопределенностей также позволяет понять устойчивость атомов и молекул, оценить их размеры и минимальную энергию, объясняет свойства гедия, который при нормальном давлении ни при каких температурах не переходит в твердое состояние (из-за существования энергии нулевых колебаний), дает качественное представление о структуре и размерах ядра И т. д.
4.19.	ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ И СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Когда мы пытаемся интерпретировать интерференционные эксперименты с микрочастицами с точки зрения корпускулярных представлений, то с необходимостью приходим к вероятностному описанию движения микрочастиц. Такое описание принципиально отличается от описания движения частицы в классической механике, где считается, что частица движется по вполне определенной и, в принципе, заранее предсказуемой (с вероятностью единица) траектории (АВ на рис. 4.27). В каждой точке траектории считаются одновременно и точно из-
вестными импульс р и координаты г классической частицы, которые и определяют ее механическое состояние (см. рис. 4.27).
При вероятностном описании движения микрочастицы мы уже не можем считать, что с вероятное-
Рис. 4.27
Квантовая физика
67
тью единица реализуется единст- X X венная траектория, по которой / микрочастица движется из точки А	!//У'-----
в В. Мы должны теперь считать,	///
что микрочастица из точки А в точку В может перемещаться по любой из бесконечного множества	Рис 4 28
траекторий, соединяющих эти
точки (рис. 4.28). Естественно, что вероятность реализации каждой из таких траекторий меньше единицы. На рис. 4.28 жирной линией выделена траектория, реализующаяся с наибольшей вероятностью, которая и соответствует классическому случаю.
Поскольку с различными вероятностями теперь могут реализовываться различные траектории, то естественно, что и координаты, и импульс микрочастицы становятся случайными величинами. Их характерные разбросы (дисперсии) связаны между собой соотношениями неопределенностей (4.105). Очень важным обстоятельством является то, что вероятностное описание обязательно должно отражать наблюдаемую на опыте интерференцию микрочастиц. Следствием этого, как мы установили, является необходимость введения комплексной амплитуды вероятности (волновой функции), которая и характеризует состояние микрочастицы.
Теория вероятностей, описывающая поведение микрочастиц не похожа на классическую теорию вероятностей, где фигурируют лишь действительные вероятности, не позволяющие описывать наблюдаемые на опыте интерференционные явления с микрочастицами. Как отметил Р. Фейнман «... обычная теория вероятности вполне подходит для анализа поведения колеса рулетки, но не для рассмотрения отдельного электрона или фотона».
Масштаб неопределенностей случайных физических величин задается постоянной Планка h (см. (4.105)). Поэтому квантовомеханические законы физического мира переходят в законы классической физики по мере того, как отношение неопределенностей физических величин к их средним значениям становится все меньше и меньше (то есть, с формальной точки зрения при h -> 0).
Отметим, что вероятностное описание используется и для описания системы многих классических частиц
68
Раздел 4
в статистической физике. Однако там вероятностное описание связано с неиспользованием полной информации (существованием «скрытых» параметров) о системе, которую, однако, в принципе можно использовать и получить более детальное описание. В квантовой же механике, как сейчас считается, вероятностное описание с помощью волновой функции наиболее подробное из всех возможных, то есть случайность не способ описания, а естественный способ поведения, присущий микрочастицам. Об этом говорят еще как об отсутствии «скрытых» параметров в квантовомеханическом описании движения микрочастиц.
Современная наука не может со всей определенностью ответить на вопрос — почему движение микрочастицы является случайным, поскольку еще не разработана более глубокая механика. Однако современная наука может отвечать на вопрос — как происходит это случайное движение. Оно происходит в соответствии с уравнением, открытым Э. Шредингером, которое описывает распространение волн вероятности.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1.	Почему движение квантовых микрочастиц не может быть описано обычной теорией вероятностей?
2.	Каким образом осуществляется предельный переход от квантовой к классической механике?
3.	В чем состоит статистическая интерпретация волновой функции, предложенная М. Борном?
4.	Сформулируйте принцип суперпозиции для амплитуд вероятности.
5.	Сформулируйте соотношения неопределенностей (для координат и проекций импульса) В. Гейзенберга и дайте им физическую интерпретацию.
6.	Оцените, исходя из соотношений неопределенностей, энергию основного состояния атома водорода и энергию нулевых колебаний одномерного квантового осциллятора.
Глава 4.5
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
4.20. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
В предыдущих параграфах мы установили, что состояние микрочастицы задается в квантовой механике волновой функцией (амплитудой вероятности), которая является функцией пространственных координат и времени — у (г, #). Эволюция этого состояния во времени, то есть динамика микрочастицы, в нерелятивистском случае описывается нестационарным уравнением Шредингера, которое является одним из первых принципов (основных законов) физики. Оно играет в квантовой механике такую же роль как и уравнение второго закона Ньютона в классической механике.
Нестационарное уравнение Шредингера имеет вид:
(4-123)
где у = ц/ (г, Z) — волновая функция микрочастицы,
= Wp (г, t) — силовая функция (в случае, когда Wp не
зависит от t, Wp = Wp (г) — потенциальная энергия мик-
рочастицы), г, — пространственная
(г = (х, у, z)) и t время, А =	+ /3
ох оу OZ
координата — оператор Лап
ласа (записан в декартовых координатах), т — масса микрочастицы, ti — постоянная Планка, j - лГТ мни
мая единица.
Часто уравнение (4.123) записывают в символической форме:

(4.124)
70
Раздел 4
*	^2
где Н - — — Д + Wp — оператор, называемый оператором Гамильтона или гамильтонианом (см. п. 1.20).
Уравнение (4.123) является уравнением в частных производных и для его решения должны быть заданы: V (г, 0) — начальное (при t = 0) значение волновой функции во всех точках пространства и граничные условия в любой момент времени t на границах той области пространства, в которой ищется решение ц/ (г, t).
Волновая функция у (г, f), описывающая физически реализуемые состояния микрочастицы, должна удовлетворять некоторым общим условиям:
1)	в соответствии с вероятностной интерпретацией V (г, t) (см. (4.91)-(4.94)), она должна удовлетворять условию нормировки (а значит быть квадратично ий-тегрируемой):
§ |v(r, t)|2dV=l,	(4.125)
2)	поскольку плотность вероятности рр (г, t) = = lv (Г, t)l в любой момент времени t должна быть однозначной функцией пространственных координат г = (х, у, г) *, то и функция \|/ (r,t) также должна быть однозначной функцией пространственных координат в любой момент времени t;
3)	для того, чтобы все члены в нестационарном уравнении Шредингера (4.123) были конечными, то есть имеющими физический смысл, необходимо, чтобы волновая функция у (г, t) была конечной функцией своих аргументов и не обращалась в бесконечность. Для того, чтобы не обращались в бесконечность частные производные, входящие в (4.123), необходимо, чтобы V (г, t) была непрерывной функцией всех своих аргументов, а также должны быть непрерывными функциями пространственных координат все ее первые частные пространственные производные.
* Многозначность функции рр (г, I) означала бы, что в один и тот ясе момент времени t в одной и той же пространственной точке г (точнее говоря — в объеме dV около этой точки) частица находится с различными, не равными друг другу, вероятностями, что совершенно бессмысленно.
Квантовая фи.. 71
4.21.	СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Если микрочастицы находятся в стационарном внешнем поле, то есть силовая функция есть потенциальная энергия микрочастицы Wp (г) и не зависит явно от времени t, то решение уравнения (4.123) может быть найдено методом разделения переменных:
V (Г, t) = v (г) • х (0-	(4.126)
Подставляя эту функцию в нестационарное уравнение Шредингера (4.128), получаем:
7Й4/ (г)	= - ^ х (О AW (г) + Wp (г) х (О V W- (4.127)
Разделив левую и правую части этого уравнения на V W X приходим к уравнению
—	(4.128)
Поскольку левая часть этого уравнения зависит только от t, а правая часть — только от г, равенство (4.128) может иметь место (при любых г и Z) только в том случае, когда и левая, и правая части равны одной и той же константе, которую обозначим W. Тогда из (4.128) получаем два уравнения:'
(4.129)
-	1 Аш (г) + WD (г) = W. (4.130)
2т v т ' 7 р ' '
Частное решение первого из них имеет вид:
Х(О = е^‘,	(4.131)
а второе уравнение перепишем следующим образом:
1,2 - Ду +	= W	(4.132)
72
Раздел 4
Это уравнение называется стационарным уравнением Шредингера. Параметр w имеет смысл полной энергии микрочастицы, а решение этого уравнения у (г) является функцией пространственных координат.
Волновая функция у (г, 0 (4.124), таким образом, равна
Ч> (г, 0 = у (г) -е
(4.133)
Она обладает тем важным свойством, что описываемое ею распределение вероятностей не зависит от времени, так как
।	I2 I	। I2
IV (г, 01 =|v(r)e я‘J = 1у(г)|.	(4.134)
Состояния, описываемые волновыми функциями вида (4.188), называются стационарными. В стационарных состояниях полная энергия микрочастицы имеет определенное значение и не изменяется с течением времени: W = const.
Волновые функции, отвечающие стационарным состояниям, играют важную роль в квантовой механике. Именно стационарные задачи встречаются в приложениях квантовой механики наиболее часто. Кроме того, общее решение нестационарного уравнения Шредингера у (г, 0, в том случае, когда потенциальная энергия Wp (г, 0 явно зависит от времени, а полная энергия W микрочастицы не имеет определенного значения, может быть представлено в виде суперпозиции волновых функций стационарных состояний v|/| (г> О с различными энергиями W, (см. (4.96)):
V (г, 0 = Z С‘ <0 (г, 0.
(4.135)
Величины С, (0 дают вероятность того, что в момент времени t микрочастица имеет энергию
В следующих параграфах этого раздела рассматриваются некоторые простейшие стационарные задачи квантовой механики, связанные с решением стационарного уравнения Шредингера (4.132) в разных потенциальных полях.
Квантовая физика
73
4.22.	МИКРОЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
Найдем стационарные состояния микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 4.29).
Для этого необходимо решить одномерное уравнение Шредингера
ь2
(4.136)
в стационарном поле потенциальной ямы:
(4.137)
<ю, х < О, 1УР= О, 0^x5 1, оо, х > I.
Решение уравнения (4.186) будет заключаться в нахождении возможных значений полной энергии W микрочастицы (энергетического спектра) и соответствующих этим значениям энергии волновых функций ф (х).
Рассмотрим три области на оси х.
1)	Для первой области х < 0.
В этой области уравнение (4.136) с учетом (4.137) запишем в виде
<4138> где
а2 =	- W) = оо.	(4.139)
Общее решение уравнения (4.138) имеет вид:
ip (х) = А^^ + BAfax,	(4.140)
где A}, В, — произвольные константы.
Учитывая, что а = «, замечаем, что в рассматривав-	.
мой области (х < 0) е"** =0,	Т Wp W
и, таким образом, второе ела-	'	1 w°=oo
гаемое в (4.140) равно нулю.	14/®=“*	1 ₽
Однако первое слагаемое содержит множитель е™ = ®.
Поскольку волновая функ- -----------J---------;——-----—\
ция должна быть конечной	°	1
при любом значении х, мы	„„
Рис. 4.29
74
Раздел 4
можем удовлетворить это требование лишь единственным способом — выбрав константу А, = О.
Таким образом,
у (х) = О, х < 0.	(4.141)
2)	Для второй области 0 < х < I.
В этой области уравнение (4.136) с учетом (4.137) принимает вид:
^ + й^ = о,	(4142>
ах
Общее решение этого уравнения удобно представить в виде: V (х) = a sin (kx + 8),	(4.143)
где а, 8 — произвольные константы.
3)	Для третьей области I < х.
В этой области решение у (х) ищется точно так же, как и в области х < 0, и результат оказывается таким же:
ц/ (х) = 0, х > I.	(4.144)
Теперь необходимо выполнить условия непрерывности волновой функции в точках х = 0 и х = 1‘.
V (- 0) = v (+ 0),
V (I - 0) = ip (I + 0).	(4.145)
Учитывая (4.141), (4.143), (4.144), получаем из (4.145)
a sin 8 = 0,	(4.146)
a sin (А/ + 8) = 0.	(4.147)
Из (4.146) находим, что 8=0. Подставляя это значение в (4.147), приходим к уравнению
a sin (AZ) = 0.	(4.148)
Так как 1 а # 0, то условию (4.148) можно удовлетворить, положив
k = ± " n, п = 1, 2, 3........... (4.149)
Поскольку А2 = 2™^- (4.142), то учитывая (4.149), найдем возможные значения энергии 1¥„ микрочастицы:
1 Если а = 0» то ig (х) = 0 во всей области — со < х < со, что
соответствует полному отсутствию микрочастицы в яме.
Квантовая физика
75

(4.150)
Таким образом, мы получили весьма важный результат, Энергия микрочаспТцы W не является непрерывным параметром, как в случае классической частицы в такой потен
циальной яме , а может принимать лишь ряд дискретных значений Wn, соответствующих целым значениям квантового числа п (4.150). Иначе говоря — энергия микрочастицы в яме квантована, то есть ее энергетический спектр дискретен (см. рис. 4.30).
Неизвестная пока амплитуда а волновой функции (4.143) может быть найдена из условия нормировки:
Рис. 4.30
5 Iv (х)| dx = 1.
(4.151)
Учитывая, что k = ± пп/l (см. (4.149)), а 6 = 0, запишем (4.151) в виде:
/	I
§ 1ч» (х)| dx = IФ (х)| dx = а2 § sin2 xl dx = 1. (4-152)
и	О	О	1	)
Вычисляя интеграл в (4.152), получаем:
а2 |=1,	(4.153)
откуда
Итак, поставленная задача полностью решена — найден энергетический спектр микрочастицы в потенциальной яме и соответствующие стационарные волновые функции:
(х) = "Vj  sin ™ - х^ , 0 < х < I, (4.154)
W„ = ^-n2, п = 1,2,3.......
" 2ml2
1 Для классической частицы в потенциальной яме вида (4.137) полная энергия W = рг/2т; где р — импульс частицы. Она может принимать любые значения W > 0.
76
Раздел 4
На рис. 4.30 изображен характер энергетического спектра и вид первых трех волновых функций. Заметим, что мы рассмотрели здесь случай W > 0. Если теперь рассмотреть случай W < 0, то в этой задаче нет физически приемлемого — конечного решения для (х), кроме хр (х) = 0 при всех — оо < х < а>. Это означает отсутствие стационарных состояний микрочастицы с W < 0.
4.23. ЧАСТИЦА
В ТРЕХМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
Q Рассмотрим в качестве примера решения квантово-меха-нических задач задачу о стационарных состояниях микрочастицы в трехмерной прямоугольной потенциальной яме (потенциальном ящике) со сторонами llt 12, 13.
Для этого необходимо решить трехмерное уравнение Шредингера:
- Ач> + Wpip (г) = W\p,	(4.155)
в стационарном поле
W (г) = I * У' г) - вне ямы’ р ' 7 | 0 г внутри ямы.
Уравнение Шредингера (4.155) вне ямы принимает вид:
S+f^ + ?!-a2V = 0.	(4.156)
8х2 Вуг 5г2
где а2 = ~ (W. ~W) = oo.
Единственным решением, удовлетворяющим условию конечности вне ямы, является, как и в одномерном случае,
V (г) = 0 — вне ямы.	(4.157)’
Внутри ямы уравнение (4.155) запишем следующим образом
S + ?^ + ?^ + *2v = 0>	(4.158)
дх2 ду2 Вгг
На гранях ящика ц/ (х, у. г) должна обращаться в нуль в соответствии с условием непрерывности н равенством (4.157). Поэтому внутри ямы волновую функцию удобно искать в виде
V (х, у, z) = a sin (fe,x) sin (fay) sin (*3z).	(4.159)
На гранях x=0, p = 0, z = 0 условие непрерывности выполняется автоматически:
Квантовая физика
77
V (0, у, z) = ф (х, О, z) = v (х, у, 0) = 0.	(4.160)
Возможные значения fej, Л2« находятся из условия обращения V (х, у, z) в нуль на противоположных сторонах ямы:
V С1» У, Z) = V (х, Is, Z) = Ф (х, у, Z3) = 0.	(4.161)
Отсюда следует:
ki = ± ~ п19 щ = 1, 2, 3, ... ,
= ± ~Г~ ^2» ^2 = 1» 2» 3,	,
t2
*3 = ± Т п»’ n« = 1. 2» 8» 	(4.162)
Подстановка волновой функции (4.159) в уравнение Шредингера (4.158) приводит к соотношению
fc? + fc? + fc? = *2 = ^,	(4.163)
л
откуда
Неизвестную константу в (4.159) находим из условия нормировки волновой функции
z .	, х z (4.165)
$ I vl dV = а2 $ $ $ sin2	х| sin2 sin2 z| = 1.
V	000	\ 1 J \ 2 J \ 3 )
Вычисляя интеграл в (4.165), получаем:
__ -	(4.166)
8	’
откуда
Таким образом, внутри потенциальной ямы
Vn,, ns, (х, У, Z) =
2-2 . Л. ял. ] . пп9 } , ( п/ц 1	ллггч
= тг^г 8Ш * “Г1 х sin ± —— у sin ± -р- г .	(4.167)
«1У» I Z’ J I Zs J I Zs )
Как и в одномерном случае, энергетический спектр (4.164) дискретный, только определяется теперь не одним, а тремя квантовыми числами П1, п2>Лз. О
78
Раздел 4
4.24.	ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ПОД ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ БАРЬЕРОМ (ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ)
Туннельный эффект — это прохождение микрочастиц через области пространства, запрещенные законами классической физики.
Как известно, классическая частица может двигаться только в той области пространства, где ее полная механическая энергия W превышает ее потенциальную энергию Wp (г) во внешнем поле.
Действительно, в классической механике

(4.168)
Выразив отсюда кинетическую энергию pz/2m, запишем условие ее неотрицательности:
jL = W-Wp(r)>0	(4.169)
или
W>Wp(r).	(4.170)
Это неравенство как раз и определяет те области пространства, в которых возможно движение классической частицы с полной энергией W. На рис. 4.31 неравенство (4.170) проиллюстрировано в одномерном случае. Область Ху < х < х2, где W < Wp (х) — классически запрещенная область, а области х < xt и х > х2, где
W > Wp (х) — классически разрешенные при данной энергии области. Точки х, и х2, где выполняется равенство W = Wp (х), называются классическими точками поворота. Действительно, если частица с полной энергией W, меньшей, чем высота потенциального барьера (рис. 4.31), налетает на этот барьер слева — из области х < xlt то в точке х, она отразится — повернет в обратную сторону. Аналогично, если частица налетает на
Рис. 4.31
барьер справа — из области х > х2, она отразится в точке х2. Таким образом, классическая частица не может преодолеть потенциальный барьер, если ее полная энергия W меньше высоты этого барьера.
Квантовая физика
79
Иная ситуация в квантовой механике — имеется ненулевая вероятность прохождения микрочастицей классически запрещенной области. Такое со-
tWpW
А1е’“	-----
_____
В^ег&ф ©
О
вершенно «неклассичес-	Рис 4 32
кое» поведение вытекает
непосредственно из уравнения Шредингера. Указанная вероятность характеризуется коэффициентом прохождения (£>) и коэффициентом отражения (2?) соответст
венно.
Q Рассмотрим в качестве еще одного примера решения квантово-механических задач прохождение микрочастицы через прямоугольный потенциальный барьер высоты IV® и длины I (см. рис. 4.32). Постановка задачи такова: микрочастица с полной энергией О < W < W® налетает на барьер слева. Найти вероятность ее прохождения через барьер и вероятность ее отражения от барьера.
Запишем одномерное уравнение Шредингера в стационарном поле барьера:
+	=	(4.171)
	0, х < 0,	— область	1
1У, = (X) =	WJ, 0 < х < 1,	- область	2
	0, х > 1.	- область	3.
В областях 1, 3 это уравнение представим в виде:			
	+ fc2ip = 0, dx		(4.172)
где			
	fe2=2^W>0.		
Характеристическое уравнение для (4.172)
X2 + *2 = 0	(4.173)
имеет два чисто мнимых корня
1	! -и I. il 2mW
X = ±jfe, =	(4.174)
Поэтому общее решение уравнения Шредингера (4.171) в областях 1 и 3 имеет вид:
кр (х) = А1е’кх + Bte >кх — область 1,
vp (х) = A3e>kx + В3е 'кх — область 3.
(4.175)
В области 2 уравнение (4.171) представим в виде:
80
Раздел 4
Й-«2Ф = о,	<4Л76)
dx£
где
ct2=^(W«_ ^>0.
Характеристическое уравнение для (4.176)
12-аг=0	(4.177)
имеет два действительных корня:	у
1 = ± а,	(4.178)
a = ^^(W»-W) •
Поэтому в области 2 общее решение уравнения (4.171) имеет вид:
V (х) = А^ + В^ш — область 2.	(4.179)
Заметим, что в областях 1 и 3 общее решение (4.175) представляет собой суперпозицию волн (вероятности), распространяющихся как в положительном направлении оси — члены, пропорциональные е^*х, так и в отрицательном направлении — члены, пропорциональные е~>кх. Чтобы это понять, вспомним, что зависящее от времени ц/ (х, t) решение уравнения Шрёдингера в стационарном поле получается умножением ц/ (х) на множитель 4/ (*) = е л -(4.133). Тогда, если 4/ (х, t) ~ то
V (х, I) ~ «/<*«-•»>,	(4.180)
у х ~jkX а, если х (х) ~ е , то
V (х, t) - е~> ^kx +	(4.181)
Зафиксировав фазу волны, например, положив ее равной нулю в (4.180):
kx - mt = О,	(4.182)
находим уравнение движения постоянной фазы (см. также п. 3.15):
x = ft = vt,	<4Л83>
к
где v = <»/fc — фазовая скорость волны.
Если сделать то же самое в (4.181), то получим
x = -%t = -vt.	<4184>
к
Видно, что (4.183) соответствует движению постоянной фазы в положительном направлении оси х, а (4.184) —в отрицательном направлении оси х. Таким образам, члены соответствуют волнам, движущимся в положительном, а члены ~е~>кх — в отрицательном направлении оси х.
В соответствии с этим в области 1 общее решение у (х) (4.175) представляет собой сумму падающей на барьер волны — член Aieikx
Квантовая физика
81
(распространяющейся в положительном направлении оси х) и отраженной — член В je'** (распространяющейся в отрицательном направлении оси х). В области 3 — за барьером, есть только проходящая волна — член .Age7**, поэтому коэффициент В3 в (4.175) следует положить равным нулю.
Для нахождения остальных неизвестных коэффициентов используем условия непрерывности волновой функции и ее первой пространственной производной на границах барьера — в точках х = О и х = I:
Ф (-0) = ф (+0),
Ф' (-0) = Ф' (+0), Ф (I - 0) = ф (Z + 0), Ф' (I - 0) = ф' (I + 0),
(4.185)
где «—0» и «+0» означает, что рассматриваются точки соответственно левее и правее точки х = 0 непосредственно вблизи неё. Из этих условий при учете (4.175), (4.179) вытекают следующие соотношения:
Л.1 + Ву — Аг + В2, jkAi - jkBl = аАг - аВ2, А2еа> + В2е^ = Age*1, aAgt^1 - аВгв-®' = jkAse’M.
(4.186)
Разделим все уравнения на Aj и введем обозначения:
Тогда система (4.186) примет вид:
1 +	— а2 + Ь2,
jk - jkb1 = аа2 - ab2,
+ Ь2е^' = 036»*', aa2eal - ab2e~al = jka3e>M.
(4.187)
Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны:
(4.188)
определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и называется коэффициентом отражения.
Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны
(4.189)
определяет вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер и называется коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности).
82
Раздел 4
Для нахождения коэффициента прозрачности D необходимо из системы уравнений (4.187) найти коэффициент а3. Эта система представляет собой систему четырех линейных алгебраических уравнений для четырех неизвестных а2, Ь2, а3 и может быть решена любым известным из алгебры способом. В пределе e2ot/»1 для коэффициента а3 получаем
ая * - }
4ake 'ы (а-/*)2
(4.190)
е
Тогда, в соответствии с (4.189), имеем
D » 7^X2 • e’2“'-	(4-191)
(а2 + fe2)2
Предэкспоненциальный множитель 16а2й2/(а2 + fc2)2 в (4.191) имеет величину порядка единицы. О
Таким образом, для величины коэффициента прохождения D имеем следующее выражение:
D ~ е 2“',	(4.192)
где
а = | ^2т (V02 - W) . п	р
(4.193)
Из формул (4.192), (4.193) видно, что коэффициент прохождения D сильно зависит от ширины барьера I, от разности (И7^1 - W) и массы частицы т.
Сумма вероятностей двух альтернативных событий — прохождения и отражения должна равняться единице
R + D = 1.	(4.194)
Тогда коэффициент отражения R может быть найден по-известному коэффициенту прохождения:
R=l-D.	(4.195)
Соответствующий расчет показывает, что в случае гладкого барьера произвольной формы (рис. 4.31) формула (4.192) заменяется более общей:
где	D ~ ехр -2 $ а (х) dx ,	(4.196) 1 *’	> а (х) = 1 \2т (Wp (х) - W),	(4.197)
х,, х2 — классические точки поворота.
Подбарьерное прохождение (туннельный эффект) является специфически квантовым явлением, не имеющим
Квантовал физика
83
аналога в классической механике. Как мы видели в начале этого параграфа, невозможность подбарьерного прохождения в классической механике обусловлена тем, что в подбарьерной области кинетическая энергия Wh = W — Wp должна бы быть отрицательной, что в классической механике невозможно.
В квантовой же механике, вследствие того, что в силу соотношения неопределенностей координата х и импульс частицы Рх не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены кинетическая энергия Wk (рх), являющаяся функцией рх, и потенциальная энергия Wp (х), являющаяся функцией х. Поэтому, хотя в рассмотренной задаче полная энергия частицы W имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы 1 точно определенных значений Wk (рг) и Wp (х). Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности в области барьера становится беспочвенным.
В пределе Й —> 0 мы приходим к результатам классической механики: коэффициент прохождения D = О, коэффициент отражения Д = 1 (см. формулу (4.197), в которой а = (1 /Й) ^2т (Wp - W)—> <х> при Й -> О).
4.25.	НАДБАРЬЕРНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ
Надбарьерное прохождение осуществляется в ситуации, когда полная энергия частицы W больше высоты потенциального барьера (рис. 4.33).
В классической механике такая частица, налетая на барьер, всегда (то есть с вероятностью единица) проходит его, никогда не отражаясь. В квантовой же механике появляется качественно новый эффект — частица с некоторой вероятностью, может отразиться от потенциального барьера (Д < 1) и когда W больше высоты барьера.
Q Рассмотрим квантовомеханическую задачу о надбарьерном прохождении для случая полубесконечного прямоугольного потенциального барьера, изображенного на рис. 4.34. Постановка
Вследствие вероятностного характера квантовой механики в стационарной ситуации имеет место лишь равенство W = < Wp > + + < Wp >, где < Wk >, < Wp > — квантовомеханические средние значения кинетической и потенциальной энергии.
84
Раздел 4
Рис. 4.33
Азе’"'
Рис. 4.34

задачи такая же, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что теперь W > W°, а барьер занимает, промежуток О < х < те.
Таким образом, мы должны найти решение одномерного стационарного уравнения Шредингера

(4.198)
О, xi О,
0<х<оо,
соответствующее постановке задачи о надбарьерном прохождении.
В области х<0 уравнение (4.197) может быть записано в виде:
§+Л^| = 0,	(4.199)
где
.2 2mW к =
Общее решение этого уравнения имеет вид:
у (х) =	+ Bxe 'kl, xSO,	(4.200)
где, как и в предыдущем параграфе, первый член интерпретируется как падающая, а второй — как отраженная от барьера волны (вероятности).
В области х > 0 уравнение (4.198) принимает вид:
§ + *?Ф = 0,	(4.201)
где
2 2m(W-Wfi
1 W
Общее решение уравнения (4.201) имеет вид:
ip (х) = A2e'lr,x +
(4.202)
Квантовая физика
85
В соответствии с постановкой задачи в области х > О может быть только проходящая слева направо волна, поэтому коэффициент В2 нужно положить равным нулю. Тогда
ip (х) = А2е'1‘^, х > 0.
(4.203)
Записывая условия непрерывности у (х) и i/ (х) в точке х = 0: V (-0) = ip (+0) и хр' (-0) = ц/' (+0), получим:
А, + Вх = Аг,	(4.204)
jkAt — jkB1 - jkA^.
И разделив уравнения (4.204) на Aj, найдем отношение Bj/Ai, которое и определяет коэффициент отражения:
R =
Bi 2 (fe - Л,)2 At ~ (k + fej2 '
(4.205)
Коэффициент прохождения соответственно равен: О
с-1-вта-
(4.206)
4.26.	ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Как уже отмечалось, в ряде областей физики фундаментальную роль играет задача о гармоническом осцилляторе (см. гл. 3.3 и п. 4.18). Одномерным гармоническим осциллятором называют частицу массой т, совершающую одномерное движение под действием упругой силы F — —kx. Потенциальная энергия такой частицы имеет вид:
¥Ир (х) = ^ .	(4.207)
Собственная частота классического гармонического осциллятора равна со = ^k/m. Выразив отсюда k через т и со, получ'аем
Wp (х) =	.	(4.208)
Следовательно, стационарное уравнение Шредингера для осциллятора записывается следующим образом:
*2 л2	2 3
(4.209)
Q Решение уравнения (4.209) рассмотрим в качестве примера квантово-механической задачи.
86
Раздел 4
Введем обозначения:
к _ г г _ 2К	(4.210)
"	Й V * * * * Х' Е " йш •
В этих обозначениях уравнение (4.209) принимает вид: ‘
^^ + (Е-^)Ч/(У = О.	<4211>
Будем искать его решение в виде:
<4212>
Подставляя (4.212) в (4.211), приходим к уравнению для функции v (£):
^©_2^g + (e-l)uft) = 0.	(4213)
at,	“S
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням^:
(4.214)
» & = Е аЛ‘-л = о
Подстановка этого ряда в (4.213) дает рекуррентную формулу для коэффициентов ак:
(4.215)
2k + 1 - е
Ob 4-9 —	Gb«
* + (k + 1) (k + 2) k
Отсюда видно, что существуют два независимых решения, соответствующие четным и нечетным к. Действительно, если в правой части (4.215) положить к — 0, то это рекуррентное соотношение позволяет последовательно выразить все а* с четными k через Од, а если там же положить к = 1, то можно выразить все с нечетными к через Oj. Однако при £ -> оо функция v (Q, даваемая бесконечным рядом (4.214), ведет себя как ехр (£2), а тогда у (£) (4.212) при -> оо ведет себя как ехр (£2/2):
V G) “ е2 при £ —> 00.
Случай такой асимптотики недопустим с физической точки
зрения, поскольку подобная функция не является конечной при х -> оо (£ —» со) и не поддается нормировке, поскольку нормировочный интеграл оказывается бесконечным.
Для того, чтобы получить для ц/ (£) решение, имеющее физический смысл, необходимо, чтобы ряд (4.214) содержал конечное число членов. Это возможно в том случае, когда все коэффициенты аА,
начиная с некоторого, обратятся в нуль. Как видно из (4.215), такая
ситуация реализуется только в том случае, когда при некотором k= = п, где п — любое неотрицательное целое число, числитель дроби обращается в нуль
(4.216)
Квантовая физика
87
2л + 1 - е = О.	(4.217)
Тогда все коэффициенты л*, начиная с ап + g, обращаются в нуль.
Подставляя в (4.217) выражение для s из (4.210), получаем возможные значения энергии W (энергетический спектр) одномерного гармонического осциллятора. О
Возможные значения полной энергии W в уравнении (4.209) оказываются равными:
Wn = fn + 1} /ко, п =* 0, 1, 2, 3. (4.218)
Из (4.218) видно, что энергетический спектр квантового гармонического осциллятора является дискретным, а уровни энергии W„ эквидистантны, то есть соседние уровни при любом п отстоят друг от друга на одну и ту же величину /ко. Весьма важное следствие из (4.218) состоит в том, что энергия квантового гармонического осциллятора в принципе не может обращаться в нуль, причем минимальная энергия (энергия основного состояния) равна:
Wo =	.	(4-219)
Как мы уже знаем, отличие от нуля минимальной энергии квантового гармонического осциллятора есть проявление фундаментального физического принципа — соотношения неопределенностей Гейзенберга (см. п. 4.18).
Возбуждение добавляет к энергии основного состояния величину, составляющую целое кратное величины /ко. Этот результат (квантование энергии осциллятора), получающийся естественным образом в квантовой механике, был предугадан Планком при вычислении испускательной способности абсолютно черного тела. Единственное, чего он не предполагал — существование энергии нулевых колебаний ТУ0 = й(о/2, что, впрочем, не сказалось на правильности его результатов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Запишите нестационарное уравнение Шредингера и сформулируйте условия, которым должна удовлетворять волновая функция.
,2. В каком случае возможен переход от нестационарного уравнения Шредингера к стационарному?
88
Раздел 4
3.	Рассмотрите задачу о движении микрочастицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме.
4.	В чем суть туннельного эффекта и почему он невозможен в рамках классической механики?
5.	Запишите формулу для энергетического спектра одномерного квантового гармонического осциллятора. Поясните, почему его минимальная энергия не равна нулю.
Глава 4.6
ATOM
4.27. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
Одним из самых впечатляющих успехов квантовой механики явилось объяснение всех деталей в спектрах простейших атомов, а также периодичностей, обнаруженных в таблице химических элементов.
Простейшим атомом является атом водорода, состоящий из одного протона и одного электрона. Для полного описания такого атома следовало бы учесть движение обеих частиц — как протона, так и электрона. Однако, учитывая, что масса протона много больше массы электрона, мы используем приближение, в котором протон считается закрепленным в центре атома и может рассматриваться как неподвижный силовой центр, являющийся источником электростатического поля, притягивающего электрон к протону. В системе координат, начало которой совмещено с протоном, это поле является сферически симметричным. Это означает, что потенциальная энергия электрона Wp в электростатическом поле протона зависит только от расстояния г между ними:
W, (г) = -	,	(4.220)
4яеог
где (- е) — заряд электрона, Ze — заряд ядра (для атома водорода, ядро которого состоит из одного протона Z = = 1, для водородоподобных атомов Z > 1); Eq — электрическая постоянная. Водородоподобным атомом называют атом (ион) с одним электроном и с ядром, содержащим несколько протонов (Z > 1). Примерами таких атомов (ионов) являются ионы гелия Не', лития Li'* и т. д.
График функции Wp (г) — кулоновская потенциальная яма — изображен на рис. 4.35. При г -> 0 функция Wp (г) -> - оо, при г -> оо функция Wp (г) —> 0.
90
Раздел 4
Описание движения электрона в таком потенциальном поле в рамках классической механики приводит к следующим основным результатам (см. рис. 4.35). Если полная энергия частицы W < 0, то движение электрона является связанным (финитным) — оно ограничено в пространстве значением г = rmax, при котором W = Wp (rmax). Область пространства, где г > rmax, является классически запрещенной при данной энергии W. При W > О движение электрона является свободным (инфинитным) — он может уйти на бесконечное расстояние от ядра и, таким образом, при W > 0 атом водорода становится положительным ионом Н+, то есть атом ионизуется. Энергетический спектр электрона при всех значениях энергии непрерывен. На рис. 4.35 непрерывный энергетический спектр символизируется сплошной штриховкой.
В рамках квантовой механики задача состоит в нахождении стационарных волновых функций и энергетического спектра электрона в потенциальном поле ядра (4.220). Для этого необходимо решить стационарное уравнение Шредингера:
- А- Лу + Wp (г) V
(4.221)
где т — масса электрона, a Wp (г) определяется формулой (4.220).
Поскольку потенциальная энергия зависит только от г, то это уравнение лучше решать в сферической системе координат с центром на ядре (рис. 4.36).
Раньше мы записывали ординатах:
Рис. 4.36
лапласиан в декартовых ко-
б2 (4.222) ax2 +	+ az2 ’
Вместо них мы теперь хотим воспользоваться сферическими координатами г, 9, <р, которые связаны с декартовыми формулами (см. рис. 4.36):
Квантовая физика
91
х = г sin 0 cos ф, У = г sin 0 sin ф,
z = г cos 0.	(4.223)
С помощью этих формул оператор Лапласа (4.223) может быть записан в сферической системе координат:
д=14(г)+
Г dr2 v '
1 5<sin0AK
30 I
sin в 30
i а2 sin2 0 3<р2
(4.224)
Таким образом, в сферических координатах уравнение Шредингера (4.221) принимает вид:
1 S2 . 1 Г 1 б п ЗиЛ ,	1 aV
— 71 vV) ~2 —п зет I sin и + 5-----------р =
г ar Y г2 sin е 00 I Зв 1 sin2 е а<р2
+	(4-225)
Й2 I 4пе0гI
Волновая функция электрона в этом уравнении в общем случае зависит от всех трех координат г, 0, <р: V = V (г, 0, Ф)-
4.28. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Попытаемся найти наиболее простое — сферически симметричное решение ф (г) уравнения (4.225). Сферически симметричное решение не зависит от угловых переменных 0, ф, а зависит только от г. В этом случае все частные производные по 0 и ф в левой части (4.225) «зануляются», и это уравнение принимает вид:
- -^7 (гф) = -	(w + ——1 ф.	(4.226)
Г dr	Й2 I 4ле„г I v
Мы будем рассматривать случай W < О, который отвечает связанным состояниям в кулоновской потенциальной яме (4.220).
Q Для упрощения выкладок сделаем подстановки:
4ле0Й2	(4.227)
Г =---— Р>
те
иг =Е	(4.228)
32л2е2Й2
92
Раздел 4
После этого уравнение (4.226) приводится к виду: d2 (pvp) (	24	(4.229)
= Е + - pv-dp	pj
Обозначив f = pip,	(4.230)
получаем уравнение для функции Л
^Г=_(е + 2Ъ	(4-231)
dp2 Pj
Решение этого дифференциального уравнения будем искать в форме:
f (р) = е-«рд (р),	(4.232)
где а — пока неопределенная постоянная. Подставляя (4.232) в (4.231), получим следующее уравнение для функции q (р):
^-2a^ + f- + e+a2K=0.	(4.233)
dp2 dp Ip	I
Поскольку константа a не определена, мы можем ее выбрать таким образом, чтобы уравнение (4.233) немного упростилось. Выберем а2 = - е > О.	(4.234)
Тогда (4.233) принимает вид: ^l_2a^ + -o = 0.	(4.235)
dp2 dp р
Теперь функцию q (р) можно искать в виде степенного ряда: ф
Я (р) = £	(4.236)
* = i где afr — постоянные коэффициенты, которые должны быть найдены подстановкой решения (4.236) в уравнение (4.235).
Вычислим первую производную функции q (р): ос
^2= £ a*-ftp* 1,	(4.237)
dp н-1
и вторую: ОС
ft = Е а** (* " 1) Р* -г.	(4.238)
Р А- 1
В сумме (4.238) первый член (с k = 1) равен нулю. Поэтому индекс суммирования можно * сдвинуть» на единицу, то есть заменить на k + и, таким образом, ос
^=S«* + i(ft+1)P*’1.	(4.239)
Квантовая физика
93
Подставляя теперь (4.236), (4.237) и (4.239) в (4.235), получаем:
[Л (Л + 1) • ак +! - 2а  Ла* + 2а*] р* -1 = О. (4.240)
Этот степенной ряд должен обращаться в нуль при произвольных значениях р, что возможно лишь тогда, когда коэффициенты при каждой степени р порознь равны нулю:
k (k + 1) • a*+! - 2 (aft - 1) a* = 0.	(4.241)
Отсюда получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов а*:
_ 2 (а* - 1)	(4.242)
e‘+1" Л(*+1) “*•
Соотношение позволяет, задав а*, найти все остальные коэффициенты а* и в конечном счете найти у (г). Эта функция будет содержать один неизвестный параметр alt который может быть в принципе найден, например, из условия нормировки. Отметим также, что решение ш (г) зависит от энергии W через параметр а в (4.242).
Выясним теперь, отвечает ли бесконечный ряд (4.236) физически осмысленным решениям для у (г), в частности, требованию конечности волновой функции. Для этого посмотрим, как ведет себя этот ряд на больших расстояниях г (д значит и больших р) от ядра. При больших р основные значения приобретают члены с наивысшими степенями р, то есть нам нужно посмотреть как ведут себя члены ряда с большими номерами k » 1. При таких k рекуррентное соотношение (4.242) приближенно совпадает с соотношением:
2a ak +1 -	а*.
А это означает, что если выбрать аг = 1, то
го(2а/	(4.244)
Но это как раз коэффициенты разложения в ряд функции е2а₽. Таким образом, функция q (р), представляемая бесконечным рядом (4.236), оказывается быстро растущей экспонентой, а функция ц» (р) при больших р ведет себя как (см. (4.232), (4.230))
V (Р) =1 f (Р) = - ₽ 645 9 (Р) ‘ - е“₽,	(4.245)
Р	Р	Р
что совершенно неудовлетворительно с физической точки зрения, поскольку эта функция при р -> » сама стремится к » и является ненормируемой. Кроме того, физически очевидно, что если мы ищем волновую функцию связанного электрона, то плотность вероятности, а, значит, и волновая функция такого электрона на больших расстояниях от ядра должна стремиться к нулю.
94
Раздел 4
Таким образом, бесконечный ряд (4.236) приводит к физически неудовлетворительному решению ц» (г).
Выход состоит в том, чтобы найти условия, при которых бесконечный ряд (4.236) превращался бы в конечный многочлен. Любой такой многочлен при больших р растет медленнее, чем еар, поэтому множитель е ар наверняка «забьет» его при больших р и функция ц» (р) при больших р будет стремиться к нулю (см. (4.245)). Такая ситуация возникает, если в рекуррентном соотношении-(4.242) а = 1/п, где = 1, 2, 3, ... — положительное целое число. В этом случае, как видно из (4.232) ап + j = О.и все высшие члены также обратились бы в нуль, а бесконечный ряд (4.236) превратился бы в конечный многочлен степени п:
9„,(p) = £afcp*,	(4.246)
* = 1
2 (- - i'I
гдеа* + 1=мГЛГ*-
Таким образом, мы видим, что физически приемлемые решения для связанных состояний имеют место при
а = 1, п = 1,2,3,...,	<4-247)
п
или, принимая во внимание (4.234), при
е = - -4 , п = 1, 2, 3. О	(4.248)
Учитывая связь между W и е (4.228), получаем энергетический спектр связанных электронных состояний:
W„ = -W„ • -4 , n = 1, 2, 3, ... ,	(4.249)
п
где WR= — энергия, равная одному ридбергу, а 32л
число п, определяющее энергию связанного состояния, называется главным квантовым числом.
Соответствующие этим значениям W„ решения уравнения Шредингера ц/и (волновые функции связанных электронных состояний) имеют вид:
V» (Р) = — Qn (Р). Р
где
(4.250)
Квантовая физика
95
Яп (р) = 2} akpk,	(4.251)
/г!
а* + 1
k (k + 1)
(4.252)
Р = 7~
4ле0л	„ _
rB = —-----так называемый боровскии радиус
те
(0,528 • 10 8 см).
Итак, сферически симметричное решение уравнения Шредингера (4.225) в форме (4.226) можно представить в виде (4.250). Каждое из таких решений соответствует одному из значений квантового числа п (и = 1, 2, 3...), с которым связана энергия W„, выраженная соотношением (4.249).
Решение уравнения Шредингера при W > 0 при показывает, что в этой области энергий возможны состояния с любой энергией (см. рис. 4.37), то есть энергетический спектр электрона непрерывен при W > 0, а волновые функции соответствуют делокализованным состояниям, близким к состояниям свободных электронов. Эта ситуация соответствует ионизации атома водорода, когда электрон «оторван» от ядра. Область непрерывного спектра на рис. 4.37 заштрихована.
Таким образом, при W < 0 результаты квантовомеха
нического описания атома водорода радикально отличаются от классического — энергия электрона квантуется, то есть энергетический спектр (4.249) представляет собой дискретную последовательность энергетических уровней Wn, соответствующих целым положительным значениям главного квантового числа п=1, 2, 3... .С ростом числа п
уровни сгущаются, предельному значению п = оо соответствует энергия = 0, отделяющая дискретный спектр от непрерывного (см. рис. 4.37).
Рассмотрим теперь характер поведения волновых функций электрона, соответствующих связанным состояниям с n = 1, 2.
В низшем (основном) энергетическом состоянии п =1, и, как следует из (4.250), (4.251):
96
Раздел 4
Рис. 4.38
Из (4.253) видно, что, если
Ф, (р) = а1ер,
р = —.	(4.253)
гв
Как мы уже говорили, коэффициент а, может быть найден из условия нормировки, но его значение для нас сейчас несущественно, электрон в атоме водорода
находится в основном состоянии, то амплитуда вероятности того, что он будет обнаружен на расстоянии г от ядра, экспоненциально падает с расстоянием. Характерное расстояние г, на котором он встречается, составляет около одного воровского радиуса гв.
Волновая функция первого возбужденного состояния получается, если в (4.250) положить п = 2:
<4254>
На рис. 4.38 приведены графики ф) (р), ф2 (Р). Уз (Р)-
Отметим, что общим характерным свойством волновых функций любых связанных (локализованных) со-
стояний является их быстрое затухание при р —> оо.
4.29.	ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА
Общее решение уравнения Шредингера (4.225), зависящее от всех трех сферических координат г, 0, <р, может быть найдено методом разделения переменных, в соответствии с которым ф (г, 0, ф) представляется в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит только от г, а другой — только от углов 0 и <р. При этом оказывается, что имеющие физический смысл решения уравнения Шредингера при W < 0 содержат уже не одно квантовое число п, как это было в случае сферически симметричных решений ф„ (г), рассмотренных в предыдущем параграфе, а три квантовых числа п, I, т. Таким образом, волновые функции связанных состояний (VK < 0) в общем случае имеют вид:
Квантовая физика
97
V„, i. т (г, 9, <Р) = R„. i (г) Ylt т (0, <р),	(4.255)
где Лн>, (г) называют радиальными функциями (подчеркивая этим названием, что они зависят только от радиуса г), а У(, т (0, <р) называют сферическими функциями.
Согласно квантовомеханическим представлениям состояние электрона в атоме водорода полностью определяется значениями четырех физических величин: энергии W, орбитального момента импульса L, проекции Ьг этого орбитального момента импульса на некоторое произвольно выбранное направление г, проекции Ьаг спинового момента на г. Напомним, что спиновой момент — собственный механический момент импульса электрона, не связанный с его орбитальным движением вокруг ядра. Возможные значения перечисленных выше величин оказываются квантованными (как это было показано в предыдущем параграфе для полной энергии ТУ) и определяются соответствующими квантовыми числами п, I, т, ms. Квантовые числа п, I, т появляются при решении нерелятивистского уравнения Шредингера (4.221), квантовое же число та, характеризующее проекцию спина Ь„г, появляется лишь при решении уравнения Дирака, являющегося релятивистским обобщением нерелятивистского уравнения Шредингера. Это связано с тем, что спин является релятивистской характеристикой и потому не входит в уравнение Шредингера.
Главное квантовое число п определяет энергию электрона W (4.249):
те4 1 32л2е^2 п2 ’
и = 1, 2, 3...........
(4.256)
Орбитальное (или азимутальное) квантовое число определяет орбитальный момент импульса L:
| L = л/Z (Z + 1) • й.
(4.257)
Квантовое число Z при заданном квантовом числе п может принимать значения:
4 Зак. № 845	Z = 0, 1, 2, ... , (п - 1).	(4.258)
98
Раздел 4
Магнитное орбитальное квантовое число т определяет проекцию орбитального момента импульса L2:
Lz - inti.
(4.259)
Квантовое число т при заданном квантовом числе I может принимать значения:
т = 0, ±1, ±2, ... , ±1.
(4.260)
Магнитное спиновое нового момента Lsz:
число определяет проекцию спи-
= m,h.
(4.261)
Квантовое число т, может принимать два значения:
ms = ± |.
(4.262)
Значения квантовых чисел п, I, т, ms полностью определяют квантовомеханическое состояние связанного электрона в атоме водорода.
Энергия электрона W„ (4.256) зависит только от главного квантового числа п, и поэтому одному энергетическому уровню с заданным п соответствует несколько различных электронных состояний (несколько различных волновых функций _ ( m т {г, 0, <р)), отличающихся значениями I, т, ms. Энергетический уровень, которому соответствует лишь одно квантовое состояние, называется невырожденным, а если уровню соответствует несколько различных квантовых состояний, то он называется вырожденным. Число различных состояний g > 2, соответствующих данному энергетическому уровню, называется кратностью вырождения этого уровня.
Вычислим кратность вырождения g уровня атома водорода W„ с заданным значением п. При заданных значениях п и I число различных состояний равно числу различных комбинаций чисел т и ms. Поскольку число т при заданном I может принимать (21 + 1) значений (см. (4.260)), a ms принимает 2 значения, то число таких комбинаций равно:
2 (21 + 1).
(4.263)
Квантовая физика
99
При заданном и число I может принимать значения от О до (и — 1), поэтому общее число различных состояний с заданным п получается суммированием (4.263) по возможным значениям Z:
и -1
g = 2 £ (21 + 1) = 2пг.
Таким образом, число различных квантовых состояний, соответствующих одному значению гланого квантового числа п, равно g = 2п2.
4.30.	СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА
Спектр излучения электромагнитных волн атома водорода является простейшим. Его простота физически связана с наличием в атоме только одного электрона, а математически с тем, что положения энергетических уровней зависят лишь от единственного квантового числа п. Аналогичная ситуация имеет место для всех водородоподобных атомов (ионов) — Не+, Li2+ и т. д. Переход к многоэлектронным атомам сильно усложняет атомные спектры (см. гл. 4.7).
Спектр атома водорода состоит из отдельных тонких спектральных линий (линейчатый спектр), положение которых на шкале частот однозначно связано с положением соответствующих энергетических уровней в энергетическом спектре атома (см. рис. 4.37). Рассмотрим указанную связь подробнее с помощью рис. 4.39. С этой целью перепишем формулу для энергии квантовых состояний атома водорода (4.256) в виде:
W nipi - 13’6 ^Р	(4.265)
"	32п2е&2п2	п2
Правая часть формулы записана так, чтобы энергия W„ была выражена в электронвольтах. С помощью формулы (4.265) построены энергетические уровни атома водорода на рис. 4.39.
Состояние атома водорода, в котором электрон находится на наинизшем энергетическом уровне VK, = = -13,6 эВ называется основным или нормальным и является стационарным. Атом, не подверженный внешнему воздействию, может находиться в основном состоянии неопределенно долго. Энергетический уровень
100
Раздел 4
Рис. 4.39
VP, является бесконечно тонким. Это непосредственно вытекает из соотношения неопределенностей (4.106) AW, • Ат, « й, где AW, — неопределенность значения W,, а Ат, — неопределенность времени пребывания атома в этом состоянии. Так как Ат, —> оо, то ДЖ, —> 0.
Все остальные энергетические состояния атома W3, W3, ... называются возбужденными, так как возникают под внешним воздействием и могут существовать ограниченное время Ат. Поэтому возбужденный энергетический уровень несколько «размыт», т. е. имеет ширину ДЖ ~ Й/Ат.
Квантовая физика
101
Возбужденный атом в среднем через время Аг самопроизвольно (спонтанно) переходит в нормальное (или в другое, энергетически более низкое, чем исходное) состояние. Высвобождающаяся при этом энергия испускается атомом в виде кванта электромагнитного излучения:
$<о = Wk - W„	(4.266)
где Wk — энергия возбужденного состояния, Wt — энергия возбужденного или нормального состояния, причем Wt < Wk. Подставляя (4.265) в (4.266) и учтя, что ® = 2лу, получим:
те4 (1	1А
»,_3 2x3 I „2	„2 ’
где nt = 1, 2, 8, ...; nk = nt + 1, nt + 2, nt+3, ... .
Выражение (4.267) позволяет объяснить особенности спектра атома водорода.
Основной особенностью спектра атома водорода является тот факт, что этот спектр состоит из серий закономерно группирующихся линий, что и отражено в формуле (4.267). Указанные серии были открыты экспериментально в видимой (Бальмер И. — 1885 г.), в ультрафиолетовой (Лайман Т. — 1906 г.) и в инфракрасной (Пашен Ф. — 1909 г.) областях спектра (см. рис. 4.39). Из формулы (4.267) следует, что серия Лаймана возникает при переходах' электронов в атоме водорода с любого возбужденного уровня (пк = 2, 3, 4, ...) на основной (n; = 1); для серии Бальмера П; = 2, пк = 3, 4, 5, ...; для серии Пашена nt = 3, пк = 4, 5, 6, ... и т. д. (рис. 4.39). Результаты расчетов очень хорошо совпадают с данными экспериментов.
Следует отметить, что величина те’/32л2Е2) Й2 в формуле (4.265) является энергией ионизации атома водорода и равна 13,6 эВ. Сообщение атому водорода такой энергии способно оторвать от ядра электрон и перевести его в свободное состояние (заштрихованная область на рис. 4.39). Для водородоподобных ионов с зарядом Z (Не*, Li2+, ...) энергия ионизации равна 13,6 - Z2 эВ. Для таких ионов энергии всех квантовых состояний изменяются в Z2 раза.
102
Раздел 4
4.31.	КОНФИГУРАЦИИ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМА ВОДОРОДА
Квантовая теория демонстрирует несостоятельность классической (планетарной) модели атома. Основные черты квантовой модели атома водорода отражены в результатах его математического описания, приведенных в параграфах 4.28, 4.29, 4.30. Эта модель не наглядна и не представима с помощью моделей классической физики. Однако основные особенности квантовой модели атома водорода можно уяснить, сопоставляя его характеристики, выраженные через квантовые числа п, I, т и т„ (см. п. 4.30) с пространственным распределением вероятности обнаружить электрон вблизи ядра, выраженным через волновую функцию (4.255) V„. I, т (г, 0, ф) = t (г) m (0, ф).
Для дальнейшего удобно использовать следующую символику. Величинам главного квантового числа и сопоставлять «слои» электронных состояний, которые обозначаются К, L, М, N и т. д. При этом К — слой соответствует состоянию, для которого п = 1, для L — слоя п = 2 и т.д. В электронных слоях различаются состояния электронов с различными значениями орбитального квантового числа I — 0, 1, 2, ..., П — 1. Эти состояния обозначаются буквами s, р, d, f и т. д., соответственно. Все волновые функции, соответствующие s-состояниям, которые обозначим ф,, ф2в, ..., сферически симметричны. Это означает, что вероятность обнаружить электрон на некотором расстоянии г вблизи ядра зависит только от этого расстояния. Например, на рис. 4.38 показано как выглядит зависимость волновой функции электрона ф1л, ф2, и ф8, от относительного расстояния р - г/гв (4.253) от ядра. Зависимость квадрата модуля волновой функции от г для ls-состояния, т. е. Vis изображена пунктирной линией на рис. 4.40, а.
Более выразительным и физически содержательным является распределение вероятности встретить электрон в сферическом слое единичной толщины (dp/dr) радиусом г, представленное на рис. 4.40, а сплошной кривой. Видно, что с наибольшей вероятностью электрон атома
Квантовая физика
103
Рис. 4.40
водорода в 1s состоянии «посещает» сферический слой с радиусом 0,58 - 1О'В см, что соответствует Боровской орбите электрона в невозбужденном атоме водорода (гв). Остальные слои пространства вокруг ядра электрон посещает реже. Следовательно, атом водорода в нормальном состоянии можно образно представить в виде положительного заряда (ядра), локализованного в центре атома, окруженного сферически распределенным отрицательным зарядом. На достаточно большом расстоянии плотность отрицательного заряда стремиться к нулю; в слоях с радиусом вблизи 0,53 - 10~® см слоевая плотность распределения заряда максимальна, а слои вблизи ядра электрон «посещает» редко. Описанная модель «в разрезе» изображена на рис. 4.40, б. Состояние 1s двукратно вырождено, так как g = 2п2 — 2 (см. п. 4.30). Это проявляется в том, что в многоэлектронных атомах все s-состояния могут быть заняты только двумя электронами.
В следующих (L, М, N, ...) слоях также имеются s-co-стояния (2s, 3s, 4s и т. д.) Все s-состояния сферически симметричны и имеют п — 1 узловых поверхностей. Так называются сферические поверхности в пределах электронного «облака», во всех точках которых вероятность встретить электрон равна нулю. Для ls-состояния п = 1, и число узловых поверхностей равно п - 1 = 0, что и отражено на рисунках 4.38 и 4.40. Если п = 2, то имеется одна узловая поверхность, которой соответствует точка «р'» на кривой для ф2 на рис, 4.38, а также точка R на сплошной кривой рис. 4.41, и пунктирная окружность на рис. 4.41, б. При п = 3, число узловых поверхностей равно двум (точки pj и р2 на рис. 4.38) и т. д.
На рисунке 4.41, а представлены радиальная зависимость плотности вероятности li|/2J обнаружить вблизи
10-1
Раздел 4
ядра электрон в 28-состоянии (пунктирная кривая) и аналогичная зависимость вероятности встретить элек-.2
трон в сферическом слое (dp/dr) = 4ЛГ2 ppzJ . Видно, что электрон может находиться в двух сферических слоях 1 и 2, разделенных поверхностью радиусом R, в точках которой вероятность встретить электрон равна нулю (узловая поверхность). Слой 1 перекрывается с областью распределения ls-состояния. Однако 2з-электрон проводит основное время в слое 2, который находится на значительно большем расстоянии от ядра. Таким образом, размер атома водорода в состоянии 2s больше, чем в состоянии 1s. На «сечении» атома водорода (рис. 4.41, б) области 1 и 2 представлены более зачерненными частями рисунка. Если атом водорода возбуждается внешним воздействием с энергией не меньшей W2 — Wj (рис. 4.39), то атом может перейти с нормального энергетического уровня ТУ; (состояние 1s) на возбужденный W2 (состояние 2s). Это означает, что его пространственная конфигурация преобразуется от изображенной на рис. 4.40, б к изображенной на рис. 4.41, б. При излучении линии L2 серии Лаймана (см. рис. 4.39) происходит обратное преобразование атома и его переход из конфигурации (б) рис. 4.41 в конфигурацию (б) рис. 4.40.
Состояния 3s, 4s и т. д. также сферически симметричны, но имеют по 2, 3 и т. д. узловых поверхностей и простираются на большие расстояния от ядра.
Пространственное распределение вероятности ветре тить электрон вблизи ядра в каждом из р-, d-, f и т. д. состояний не является сферически симметрия ним. Поэтому форма электронного облака для указан ных состояний оказывается более сложной, чем длз s-состояний.
Квантовая физика
105
Если разложить функцию распределения плотности вероятности в p-состоянии на радиальную и полярную составляющие (см. 4.255), то строение электронного облака для этого состояния можно представить с помощью диаграмм, изображенных на рис. 4.42, а, б, в, г.
Радиальное распределение вероятности обнаружить электрон в слое радиусом г и толщиной dr для 2р-со-стояний, подобно радиальному распределению для ls-co-стояния и равно dp = 4кг2 | Л2 р | dr. Получение этого выражения основано на формуле (4.255), из которой использован только радиальный множитель Rn t (г). Зависимость 4лг2 jR^pC от г представлена на рис. 4.42, а. Радиальные распределения для Зр, 4р и т. д. состояний характеризуются наличием п - 2 узловыми точками (вне центра атома). В пространственном распределении электрона в Зр, 4р и т. д. состояниях узловым точкам соответствуют п—2 сферические узловые поверхности, на которых вероятность встретить электрон равна нулю. Переход от 2р- к Зр- к 4р- и т. д. состояниям сопровождается увеличением размера области, в которой электрон обнаруживается с заметной вероятностью.
В отличие от s-состояния в p-состояниях вероятность пребывания электрона в каждой точке пространства зависит не только от расстояния до центра атома г, но также от угла 0 между радиус-вектором г и соответствующей осью координат, что учтено в формуле
Рис. 4.42
106
Раздел 4
(4.255) множителем Y) m(0, ф). Указанная зависимость отражена на рис. 4.42, б, в, г векторными диаграммами. Например, 2р-состояние с т = 0 характеризуется векторной диаграммой, которая напоминает гантель, располагающуюся вдоль оси z. На рисунке 4.42, б представлено сечение такой гантели плоскостью zOx. Расстояние от начала координат до точки пересечения с поверхностью векторной диаграммы, отсчитанное вдоль некоторого направления, пропорционально вероятности обнаружить электрон в этом направлении. На рис. 4.42, б для примера приведены 2 направления, зафиксированные углами 0!, 02 и соответствующие этим направлениям отрезки 0-1 и 0-2. Видно, что вероятность обнаружить электрон в состоянии 2р в направлении 0] больше, чем в направлении 02. В 2р-состоянии нет узловых поверхностей. В Зр-состоянии имеется одна узловая поверхность (п — 2 = 3 — 2 = 1). Следовательно, в Зр-состоянии имеются точки, вероятность нахождения электронов в которых независимо от угла 0 равна нулю. В 4р-состоянии имеется 2 узловые поверхности и т. д.
Векторные диаграммы, изображенные на рис. 4.42, б, в, г, дают схематическое представление о форме возбужденного атома водорода, электрон которого переведен В одно из 2р-состояний. Следует лишь резкие границы «гантели» представить размытыми.
Как видно из векторных диаграмм, изображенных на рисунке 4.42, б, в, г, максимальная протяженность любого из p-состояний соответствует направлению, в котором протяженность двух других p-состояний минимальна. Важно, что суммарная функция распределения, описывающая вероятность обнаружить электрон в любом из 2р-состояний оказывается сферически симметричной. Поэтому, например, атом азота, в котором имеется три электрона в 2р-состоянии (с т = -1, т = 0 и т = +1) сферически симметричен. Действительно, распределение электронов по квантовым состояниям в невозбужденном атоме азота определяется символическим выражением ls22s22p8 (см. подробнее в п. 4.35). Состояния 1s2 и 2s2, содержащие по два электрона, сферически симметричны. Если сферически симметрично 2р3 состояния, то сферически симметричен и атом азота в целом. Аналогичная ситуация имеет место и для атома неона, в котором 2р-состояние содержит 6 электронов (ls22s22pe).
Квантовал физика
107
Рис. 4.43
Радиальная составляющая вероятности обнаружить в какой-либо точке пространства электрон, находящийся в d-состоянии, имеет п — 3 узловых поверхностей и в общих чертах подобна радиальным составляющим для p-состояний. Векторные диаграммы для d-состояний имеют вид розеток; их пять по числу значений т при I = 2 (см. рис. 4.43).
Квантовое состояние, являющееся наложением всех пяти d-состояний, сферически симметрично. Если в d-состоянии находится меньше пяти электронов, то атом не является сферически симметричным, так как в каких-то направлениях более вытянут, Чем в других. Однако, если в каждом из пяти d-состояний находится по одному или по два электрона (с т= ±2, т = ±1, т = = 0), то электронное облако, соответствующее d-состо-янию, сферически симметрично.
Аналогичным образом используя радиальную Rn l и сферическую У(> „-составляющие волновой функции
I, m (4.255) электрона, можно представить распределение плотности вероятности для электрона в атоме водорода и водородоподобных ионах в g- и других состояниях.
4.32.	МЕЗОАТОМЫ
Атом водорода представляет собой квантово-механическую систему, состоящую из положительной частицы (ядра) и отрицательной (электрона). В принципе и любые другие пары положительных и отрицательных микрочастиц могут образовывать систему, подобную атому. В настоящее время открыто множество положительных и отрицательных элементарных частиц. Однако все они нестабильны и самопроизвольно распадаются
108
Раздел 4
на другие частицы за время 10 в-10728 с. Системы, подобные атомам, образовавшиеся из нестабильных частиц, сами нестабильны, что затрудняет их накопление, изучение и использование.
Наиболее подробно изучены так называемые мезоатомы. Мезоатом — это атом, в электронной оболочке которого по крайней мере один электрон заменен на отрицательный мезон, наприМер, ц -мезон (мюон). Время жизни р-мезона т » 2 - 10 е с; такова же в среднем и продолжительность жизни водородоподобного мезоатома.
Мезоатомы можно получить, пропуская пучок отрицательных мюонов через водород. Отрицательный мюон, притягиваясь кулоновским полем протона, образует систему, аналогичную атому водорода. Однако в нормальном состоянии (И7',) мезон движется в 207 раз ближе к ядру, чем электрон, так как его масса = 207m,. Заряд мезона экранирует поле ядра, и собственный электрон покидает атом. Спектр излучения мезоатома подобен спектру водорода, однако энергия всех квантов в излучении мезоатома в 207 раз больше. Именно по изменившемуся излучению водорода, облучаемого мюонами, устанавливают факт появления мезоатомов.
Если мюон захватывается многоэлектронным атомом, то и в этом случае он располагается много ближе к ядру, чем другие электроны (атом при этом теряет один из электронов). Его расстояние до центра ядра уменьшается по сравнению с расстоянием электрона в том же состоянии в mvZ/mc раза, где Z — зарядовое число ядра атома. При Z > 30 мюон приближается к центру ядра настолько, что ядро уже нельзя в квантовой теории атома считать точечным. В результате порядок расположения энергетических уровней мезоатома становится существенно иным, чем в обычном атоме. Спектры излучения таких мезоатомов отражают особенности строения ядер и используются для изучения строения и размеров ядер тяжелых элементов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Чему равна потенциальная энергия электрона в поле протона в атоме водорода? Представьте графически зависимость этой энергии от расстояния до ядра.
Квантовал физика
109
2.	В каком случае движение электрона в атоме водорода является финитным; в каком — инфинитным?
3.	Что такое водородоподобный ион? Запишите уравнение Шредингера в декартовых и сферических координатах для электрона в атоме водорода.
4.	Представьте графически и обсудите энергетический спектр атома водорода.
5.	Представьте графически волновые функции для невозбужденного, первого и второго возбужденных состояний атомов водорода.
6.	Представьте и обсудите общее решение уравнения Шредингера для атома водорода.
7.	Какими квантовыми числами описываются состояния электрона в атоме водорода? Укажите возможные значения квантовых чисел и что каждое из них определяет?
8.	Опишите спектр атома водорода; происхождение серий и отдельных линий в этом спектре.
9.	Опишите пространственную конфигурацию s-co-стояний атома водорода.
10.	Опишите пространственную конфигурацию p-состояний атома водорода.
11.	Что такое мезоатом; основные свойства мезоато
мов.
Глава 4.7
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ
АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
4.33.	ОДНОЭЛЕКТРОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Точное решение уравнения Шредингера для многоэлектронного атома представляет чрезвычайно сложную задачу. Даже в классической механике динамика многих тел (например, динамика Солнечной системы) столь сложна, что для ее решения необходимо прибегать к численным методам.
Тем не менее, в задаче о многоэлектронном атоме можно сделать ряд упрощений, позволяющих получить физически правильные выводы. Ядро атома обладает в тысячи раз большей массой по сравнению с массой электрона и поэтому является естественным центром атома. Движением ядра можно пренебречь и считать, что электроны движутся вокруг неподвижного ядра.
Будем также пренебрегать деталями взаимодействия электронов и считать, что каждый электрон движется в некотором усредненном стационарном центральном поле, образуемом зарядом ядра и всех остальных электронов. Влияние этих электронов сводится к экранированию поля ядра, так как они снижают действие заряда ядра на больших расстояниях. Таким образом, рассматривается движение одного электрона в некотором эффективном или, как его называют, самосогласованном поле, создаваемом ядром и другими электронами. Такой подход к задаче о многоэлектронном атоме позволяет в значительной степени сохранить описание свойств электрона в водородоподобном атоме для описания поведения электрона сложного атома. Состояние каждого электрона будет характеризоваться теми же квантовыми числами п, I, т, ms, что и у водорода. Однако в случае атома, состоящего из нескольких электронов, взаимодействие электронов снимает вырождение, и уровни с разными 11 т будут обладать разными энергиями.
Квантовая физика
111
Уравнение Шредингера позволяет найти разрешенные уровни энергии, но ничего не говорит о том, как электроны будут распределены по этим уровням. С классической точки зрения можно предполагать, что все электроны атома займут самый низший энергетический уровень (состояние с наименьшей энергией). Однако опыт показывает, что это не так. Распределением электронов в атоме по энергетическим уровням управляет принцип Паули, являющийся следствием важнейшего положения квантовой механики о тождественности одинаковых микрочастиц. Рассмотрим эти вопросы подробнее в следующем параграфе.
4.34.	НЕРАЗЛИЧИМОСТЬ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ И ПРИНЦИП ПАУЛИ
В классической механике считается, что частицы, обладающие одинаковыми свойствами, принципиально различимы или индивидуализированы по местонахождению в пространстве. Это связано с тем, что их движение происходит по определенным траекториям, что дает принципиальную возможность проследить за движением каждой частицы. Например, при столкновении двух электронов (рассеяние электрона на электроне) с этой точки зрения можно указать траекторию каждого электрона и, следовательно, различить их: определить, куда полетит электрон-снаряд после столкновения и куда полетит электрон-мишень.
Совсем иначе обстоит дело в квантовой механике, доказавшей неприменимость для микрочастиц классических представлений о движении частиц по траекториям. Состояние системы частиц описывается волновой функцией, которая имеет вероятностный смысл. Обнаружив один из электронов в рассматриваемом примере о рассеянии электронов в какой-то момент времени в некоторой точке пространства, принципиально невозможно решить, какой именно это электрон: снаряд или мишень. Если две одинаковые микрочастицы поменять местами, то результат такого обмена никак нельзя обнаружить экспериментально. Одинаковые частицы в квантовой механике принципиально неразличимы. Определено лишь состояние системы взаимодействующих частиц в целом, а не состояние каждой частицы в
112
Раздел 4
отдельности. Перестановка любых одинаковых частиц местами не дает нового состояния. Это положение квантовой механики носит название принципа тождественности (неразличимости) частиц.
йа Выясним, какие волновые функции удовлетворяют ' принципу тождественности частиц. Для этого рассмотрим двухэлектронную систему в стационарном состоянии в одноэлектронном приближении. Пусть а означает набор квантовых чисел (n, I, тт, т,) одного электрона, а 0 — соответствующие квантовые числа другого. Волновую функцию первого из этих электронов обозначим через ц/а (<71)> а волновую функцию другого — через (g2). Здесь qt означает совокупность пространственных и спиновых координат первой частицы, a q2 — второй. В случае электрона проекция спина может принимать, как известно, два значения +1/2 и —1/2. Эти значения в рассматриваемом примере и являются спиновыми координатами, входящими в qt и q2.
Двухчастичная волновая функция (q^, q2) соответствует тому, что частица 1 (с координатами qj находится в состоянии а, а частица 2 (с координатами д2) — в состоянии 0. Так как эти две частицы неразличимы, то при перестановке частиц местами не должно происходить никаких изменений. Следовательно, плотность вероятности 4/(91, 92 равна плотности вероятности с переставленными местами частицами | V (9g, 9i) | • Это выполняется, очевидно, при условии:
V («2. 91) = ±У (91, 9г)-	(4.268)
Знак «+» в (4.268) означает, что волновая функция при перестановке частиц не изменяется; она называется симметричной и снабжается индексом з: Ц/г (qlt q2) = % (92, 9i)- В случае, если в (4.268) имеет место знак «-», то волновая функция называется антисимметричной и снабжается индексом а: Ус (91, 9г) = “Ус (9г> 91)- Изложенное справедливо и для систем, состоящих из любого числа одинаковых частиц.
Частицы, состояние которых описывается симметричными волновыми функциями, называются бозонами. Частицы же, описываемые антисимметричными волновыми функциями, называются фермионами. Эти названия обусловлены тем, что системы, состоящие из бозонов, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, а системы, состоящие из фермионов — статистике Ферми-Дирака (см. гл. 5.3). К бозонам относятся фотоны, п- и К’-мезоны и вообще, все частицы с нулевым или целым спином. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны и другие элементарные частицы с полуцелым спином. Отмеченная связь между спином и статистикой сохраняется и для сложных частиц, состоящих из элементарных, т. е. для атомных ядер, атомов и молекул.
Квантовая физика
113
Например, атом водорода состоит из двух фермионов: протона и электрона, спин каждой из которых равен 1/2. Суммарный механический момент, т. е. спин атома водорода в нормальном состоянии, может быть равен либо 0 (спины протона и электрона антипараллельны), либо 1 (спины параллельны). В обоих случаях атом водорода будет бозоном.
Вернемся к уравнению (4.268). В квантовой механике доказывается, что линейная комбинация одночастичных волновых функций вида ч»« (91) ' Фр (9а) + Фа (9г) ’ Фр (91) удовлетворяет уравнению (4.268) со знаком плюс. Разность этих комбинаций удовлетворяет уравнению (4.268) со знаком минус. Таким образом, двухэлектронная волновая функция в одноэлектронном приближении равна
Фа (9i, 9г) = Ф« (91) ’ фр (9г) - Фа (9г) ‘ Wp (9i)-	(4.269)
Из выражения (4.269) легко определить вероятность нахождения обоих электронов в одном и том же квантовом состоянии при а = 0:
Фа (91, 9г) = Фа (91)  Фа (9г) - Фа (91) ' фа (9г) = О. ?
Отсюда следует, что вероятность существования двух электронов в одном и том же состоянии равна нулю. Этот вывод можно обобщить на систему из любого числа частиц с полуцелым спином: в системе одинаковых фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. В этом состоит принцип запрета Паули: в атоме два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (определяемом набором четырех квантовых чисел — п, I, mt, ms). Принцип Паули возникает как фундаментальное следствие неразличимости микрочастиц. Заметим, что на бозоны аналогичный принцип запрета не распространяется.
4.35.	ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Периодическую систему элементов разработал в 1869-1871 гг. Д. И. Менделеев. Было установлено, что, если элементы расположить в порядке возрастания атомных номеров, то через определенные интервалы элементы со схожими химическими и физическими свойствами повторяются. Эта повторяемость отражена в представленной на рис. 4.44 периодической таблице элементов. Элементы со сходными свойствами образуют группы элементов, приведенных в столбцах таблицы. Например, первая группа включает водород и щелочные
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА ЭЛЕМЕНТОВ
Группы								III							Группы				
Период		1	II													IV	V	VI	VII	VIII
1		1 н 1,00																	2 He 4,00
2		3 Li 4,94	4 Ba 9,01											5 • В 10,81	6 c 12,01	7 N 14,01	8 О 16,00	9 F 19,00	10 Ne 20,18
3		11 Na 22,99	12 Mg 24,31											13 Al 26,98	14 Si 28,09	15 P 30,98	16 S 32,07	17 Cl 35,46	18 Ar 39,94
4		19 К 39,10	20 Co 40,08	21 Se 44,96	22 Ti 47,90	23 V 50,94	24 Cr 52,00	25 Mn 54,94	26 . Fe 55,85	27 Co 58,93	28 Ni 58,71	29 Си 63,54	30 Zn 65,37	31 Go 69,72	32 Ge 72,59	33 As 74,92	34 Se 78,96	35 Br 79,91	36 Kr 83,8
5		37 Rb	38 Sr 87,66	39 Y 88,91	40 Zr 91,22	41 Nb 92,91	42 Mo 95,94	43 Tc 199)	44 Ru 101,1	45 Rh 102,91	46 Pd 106,4	47 107%7	48 Cd 112,40	49 In 114,82	50 Sn 118,89	51 Sb 121,75	52 Те 127,60	53 1 126,90	54 Xe 131,30
6		55 Cs 132,91	56 Ba 178,49	56-71 *	72 HF 178,49	73 Ta 180,95	74 W 183,85	75 Re 186,62	76 Os 190,2	77 Ir 192,22	78 Pt 195,01	79 Au 197,0	80 H9 200,59	81 TI 204,37	82 Pb 207,19	83 Bi 208,98	84 Po (210)	85 At 1210)	86 Rn (222)
7		87 Fr {223)	88 Ra 226,05	89-103 ♦ *															
*	редкоземельные элементы			57 La 138,91	58 Ce 140,22	59 Pr 140,91	60 Nd 144,24	61 Pm 145	62 Sm 150,35	63 Eu 152,2	64 Gd 157,25	65 Tb 158,92	66 Dy 162,50	67 Ho 164,92	68 Er 167,26	69 Tm 168,26	70 Yb 173,04	71 Lu 174,97	
*« актиноиды				89 Ac 227	90 Th 232,04	91 Pa 231	92 U 238,03	93 Np {237)	94 Pu (242)	95 Am 1243)	96 Cm 1247)	97 Bk (249)	98 Ct 1251)	99 Es (254)	100 Fm 1253)	101 Md 1256)	102 No (254)	103 Lw (257)	
114	____________ Раздел
Квантовая физика
115
металлы (Li, Na, ...). Все они обладают валентностью + 1 и весьма активны в химическом отношении. Седьмая группа состоит из активных неметаллов (галогенов) с валентностью -1. Группа VIII включает химически неактивные элементы (инертные газы).
Горизонтальные ряды таблицы называются периодами. В пределах каждого периода наблюдается переход от активных металлов через менее активные металлы и слабоактивные неметаллы к очень активным неметаллам. Период завершается инертным газом. Внутри периодов, начиная с четвертого, между II и III группами находятся так называемые переходные элементы. Переходные элементы — металлы с очень схожими химическими свойствами. Пятнадцать переходных элементов шестого периода (с 57 по 71) практически неразличимы по своим химическим свойствам. Они называются лантаноидами (или редкоземельными). Аналогичная группа сходных металлов в седьмом периоде (с 89 по 103) называется актиноидами.
Периодическая повторяемость свойств химических элементов обусловлена определенной периодичностью структуры электронных оболочек атомов. Что касается химических свойств элемента, то они определяются структурой внешнего электронного слоя атомов.
Состояние каждого электрона, как уже отмечалось, задается четырьмя квантовыми числами (n, I, тт, ms). Распределение электронов в многоэлектронных атомах по энергетическим состояниям подчиняется двум принципам: минимуму энергии системы и запрету Паули. Напомним (п. 4.2), что совокупность электронов атома с заданным значением главного квантового числа п образует электронные слои К, L, М, N, О ... для п, равных 1, 2, 3, 4, 5 ... соответственно. Совокупность электронов с заданными значениями п и I образует электронную оболочку. Различные состояния в оболочке отличаются значениями магнитного и спинового квантовых чисел (тт и т,). Поскольку т, может принимать два значения, а тт принимает значения -I, ~ (I ~ 1), .... 0, + 1, ..., (Z - 1), + I, то в оболочке с квантовым числом I может находиться не более 2 (21 + 1) электронов. Оболочки обозначаются в порядке возрастания I строчными буквами латинского алфавита з, р, d, f, g ... (п. 4.31). В табл. 4.1 указывается максимальное количество электронов в слоях и оболочках для пяти слоев.
116
Раздел 4
Таблица 4.1 Максимальное число электронов в слоях и оболочках							
Главное квантовое число		Максимальное число электронов					
	ный слой	s (/=0)	р (М)	d (/=2)		g (/’4)	2п-
п = 1	к	2					2
| п = 2	L	2	6				8
п = 3	М	2	6	10			18
| п = 4	N	2	6	10	14		32	|
Максимальное число электронов в слое с определенным значением п получается суммированием числа электронов во всех оболочках с допустимыми значениями п - 1
I: £ 2 (21 + 1) = 2п2 и отмечено в последнем столбце 1-0
таблицы 4.1.
Вся совокупность символов, указывающих слои, оболочки и число электронов в каждой оболочке, описывает электронную конфигурацию атома. Например, ls22sz2pe3s* (электронная конфигурация натрия) означает, что в состоянии в = 1 I = О (т. е. в s-состоянии) находятся два электрона, в состоянии в = 2 I = О — также два электрона, в состоянии в = 2 I = 1 — шесть электронов, а в состоянии п = 3 1 = 0 — один электрон (последнее означает, что в атоме Na Зе-состояние заполнено частично).
а При возрастании порядкового номера атома (зарядового
? числа ядра) Z на единицу к электронной оболочке атома добавляется один электрон. Энергия состояния электронов в атоме, в основном, определяется потенциальной энергией рассматриваемого электрона в электрическом поле ядра и окружающих его электронов и задается значениями главного квантового числа п. Однако эта энергия в многоэлектронных атомах зависит также и от орбитального квантового числа I. Зависимость энергии состояния от п и I имеет сложный характер. Электроны в невозбужденных атомах химических элементов таблицы Менделеева распределяются по следующим электронным состояниям:
Is* 2s22pa
К-слой L-слой М-слой N-слой	О-слой
УаСШТЕЛП (4.270)
Р-слой	Q-слой
Квантовая физика
117
Здесь пустыми сплошными квадратами обозначены состояния, остающиеся в невозбужденных атомах таблицы Менделеева свободными, а пунктирными обозначены состояния, заполнение которых происходит с «перебоями». «Перебои» заключаются в том, что, например, после завершения заполнения электронами Зр-состояния М-слоя (аргон) заполняется в следующем по порядку атоме калия не Зс(-состояние того же слоя, а 4з-состояние N-слоя. Только после завершения заполнения 43-состояния (кальций) начинает заполняться пропущенное 3<7-состояние (скандий). Описанные «перебои» в последовательности заполнения электронных состояний связаны с тем, что в многоэлектронных атомах энергия электрона увеличивается в следующем порядке:
W ь < WZa < W2p < W3s < W3„ < W4, < W3lt < W4p < W5a <
< W4d < WSp < We, < W4f < Wu < W6p <	< W7,.
Видно, что электроны, подчиняясь принципу Паули и стремясь занять свободные состояния с меньшей энергией, сначала должны заполнять 4з-состояние, а лишь затем Sd-состояние (эти состояния подчеркнуты). Все элементы, у которых заполняется Sd-состояние при наличии электронов во внешнем валентном 48-состоянии, обладают очень близкими химическими свойствами (переходные металлы четвертого периода — рис. 4.44). Порядок заполнения всех слоев и оболочек атомов, а также первые ионизационные потенциалы указаны в табл. 4.2. В ней приведены электронные конфигурации для каждого элемента. Все элементы разбиты на две части. Первая часть напечатана слева, а вторая смещена относительно нее вправо. Так же поступают с символами тех же элементов при изображении периодической системы, с целью расположить друг под другом элементы со сходными химическими свойствами. *
Каждый период таблицы Менделеева (кроме первого, состоящего из водорода и гелия) начинается со щелочного металла, в электронной конфигурации которого имеется только один наружный (валентный) s-электрон (см. рис. 4.44 и табл. 4.2). Из всех элементов атомы щелочных металлов обладают наименьшими ионизационными потенциалами. Поэтому эти атомы легко могут отдавать s-электроны и присоединять их к атомам других элементов. Этим объясняется высокая химическая активность щелочных металлов.
Каждый период заканчивается атомом благородных газов Не, Ne, Ar, Кг, Хе, Rn. У этих атомов (за исключением Не) наружная sp-оболочка состоит из восьми электронов, образующих особенно компактную и прочно связанную систему. Об этом свидетельствуют, например, максимальные значения ионизационных потенциалов
118
Раздел 4
Таблица 4.
Порядок заполнения электронами квантовых состояний атомов
Период	Элемент	Электронная конфигурация	Ионизационный! потен-	| циал, В I
1	1 Н водород 2 Не гелий	1s1 1S2	13,54 24,45	|
2	3	Li литий 4	Be берилий 5	В бор 6	С углерод 7	N азот 8	О кислород 9	F фтор 10	Ne неон	конфигурация гелия + 2s1 2s2 2s22p* 2s22pi 2s22p3 2s22p4 2s22p5 2s22p6	5,37 9,48 8,40 11,22 14,47 13.56 18,60 21,48
3	11	Na натрий 12	Mg магний 13	А1 алюминий 14	Si кремний 15	Р фосфор 16	S сера 17	С1 хлор 18	Аг аргон	конфигурация неона + 3s1 3s2 3s23p1 3s23p2 3s23p3 3s23p4 3s23p5 3s23pe	5,14 7,61 5,96 7,39 10,30 10,31 12,96 15,69
4	19	К калий 20	Са кальций 21	Sc скандий 22	Ti титан 23	V ванадий 24	Сг хром 25	Мп марганец 26	Fe железо 27	Со кобальт 28	Ni никель 29	Си медь 30	Zu цннк 31	Ga галлий 32	Ge германий 33	Аз мышьяк 34	Se селен	конфигурация аргона + 4s1 4s2 4s23d1 4s23d2 4s23d3 IsW 4s23d6 4s23d® 4s23d7 4s23d8 4s13d10 4s23d10 4s24pl3d'° 4s24p23d'° 4s24p33d’° 4s24p43din	4,32 6,09 6,57 6,80 6,76 6,74 7,40 7,83 7,81 7,61 7,62 9,35 5,27 7,85 9,40 9,75
Квантовая физика
119
Таблица 4.2 {продолжение)			
Период .	Элемент	Электронная к онфигу рация	Ионизационный потенциал, В
	35 Вг бром 36 Кг криптон	4s24p53d10 4s24p®3d10	11,80 13,94
5	37 Rb рубидий 38 Sr стронций 39 Y иттрий 40 Zr цирконий 41 Nb ниобий 42Мо молибден 43 Тс технеций 44 Ru рутений 45 Rh родий 46 Pd палладий 47 Ag серебро 48 Cd кадмий 49 In индий 50 Sn олово 51 Sb сурьма 52 Те теллур 53 I иод 54 Хе ксенон	5s1 5s2 5s24d1 5s24d2 5s44d4 bsW 5s24d5 5s14d7 5s24d® 4d10 5?4d10 5s24d10 5s25p14d10 5s25p24d10 5s25p34d10 5s25p44d10 5s25p64d10 5s25p®4d10	4,16 5,67 6,50 6,83 6,88 7,65 7,23 7,70 7,70 8,50 7,54 8,95 5,76 7,37 8,50 9,01 10,44 12,08
6	55 Cs цезий 56 Ва барий 57 La лантан 58 Се церий 59 Рг празеодим 60 Nd неодим 61 Pm Прометей 62 sm самарий - 63 Ей европий 64 Gd гадолиний 65 ТЬ тербий 66 Dy диспрозий 67 Но гольмий 68 Ег эрбий 69 Тт тулий 70 Yb иттербий 71 'Lu лютеций 72 Hf гафний 73 Та тантал 74 W вольфрам 75 Re рений 76 Os осмий	конфигурация ксенона + Ss1 Ss2 5s25d1 6s24/2 6s24/3 6s24f4 5s24f5 esz4f7 6з2Ы14Г1 6s25d14/8 6s24/10 6s24/” 6s24/12 6s24/13 6s24/14 6s25d14f14 6s25d24/'11 6s25d®4f14 6.s25d4f" 6s2 5dft4/14 6s,5d74/',‘*	3,88 5,19 5,61 6,54 5,48 5,51 5,60 5,67 6,16 6,74 6,82 6,22 6,15 7,0 7,88 7,98 7,87 8,70
120
Раздел 4
Таблица 4.2 (продолжение!			
Период	Элемент	Электронная конфигурация	Ионизационный потенциал, В |
	77 1г иридий 78 Pt платина 79 Au золото 80 Yg ртуть	6s25d74f14 Bs15d®4f14 toW4 3s25dI04/'14	9,20 8,88 9,22 10,43
	81 Т1 таллий 82 РЬсвинец 83 Bi висмут 84 Ро полоний 85 At астат 86 радон Rn	вв26р^104/14 5s26p25d104/14 5s26p35d104f14 3s26p45d104/14 5s26p65d104/14 3s26pe5d104f14	10,60 7,39 8,0 8,43 10,69
7	87 Fr франций 88 Барадий 89 Ас актиний 90 Th торий 91 Ра протактиний 92 U уран 93 Np нептуний 94 Ри плутоний 95 Ат америций 96 Ст кюрий 97 Вк берклий 98 Cf калифорний 99 Es эйнштейний 100 Fm фермий 101 Md менделевий 102 No нобелий 103 Lr лоуренсий 104 Ku курчатовий 105 Ns нильсборий 106 107	конфигурация радона 1 7s1 7s2 7s26d* 7s26d2 7s26d15/2 7s26d15/3 7s26d15f4 7s25f6 7s25/7 7s26d15f7 ZsWe/8 7s25f10 7s25fn 7s25f12 7s25/13 7s25f14 7s26d15f14 7s26d25f14 7s26d35/14 7s26d45/14 7s26ds5f14	
(см. табл. 4.2). Этим и объясняется их химическая инертность. Наоборот, элементы соседней седьмой группы периодической системы — фтор, хлор, бром, иод — химически очень активны. Наружная а-р-оболочка этих атомов состоит из семи электронов и может быть легко дополнена до замкнутой оболочки присоединением недостающего восьмого электрона. Это активные неметаллы.
Квантовая физика
121
В лантаноидах (под номерами от 58 до 71, называемых w также редкоземельными) происходит заполнение внутренней 47-оболочки. Поскольку при этом наружные оболочки практически остаются без изменения, все элементы редких земель обладают весьма близкими химическими свойствами. Подобно лантаноидам ведут себя актиниды (под номерами от 90 до 103). В них происходит заполнение электронами 5/-оболочки, в то время как наружные оболочки практически остаются незатронутыми. Поэтому актиниды обладают также весьма близкими химическими свойствами.
4.36.	СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ АТОМОВ
Электронная конфигурация атомов, задаваемая квантовыми числами пи/, позволяет понять периодическую систему элементов и установить основные закономерности оптических спектров. Тонкая структура спектров зависит от магнитных эффектов, связанных с моментом импульса электрона. Прежде чем рассматривать эти эффекты, отметим, как определяется полный момент импульса электрона.
Орбитальный момент импульса L и спиновой момент Я складываются по правилу сложения векторов в полный момент импульса электрона: J = L + S. Проекция полного момента на избранное направление может принимать дискретное значение mfi, где т, = те + т,= mt± 1/2. Полный момент импульса электрона квантуется обычным образом J = Mj (j + 1), где квантовое число j (его иногда называют внутренним квантовым числом) равняется максимальному значению rrij. Поскольку I есть максимальное значение т(, то j — I ± 1/2. При заданном j возможно 2; + 1 квантовых состояний, отличающихся значением квантового числа (т,- = ±/, ± (j - 1),...). Например, в случае I — 0 возможно только одно значение j = 1/2. При I = - 1 имеем j — 1/2, 3/2, для I = 2 имеем j = 3/2, 5/2 и т. д. Значение j в определенном состоянии характеризуется индексом у буквенного обозначения орбитального момента, записываемого так же, как и для отдельных электронов, но заглавными буквами: S, Р, D, F, G и Н. Так, состояние с I =• 1 и j = 3/2 обозначается как Р3/2, а состояние с I = 1 и j = 1/2 — как Р1/2.
Сложение спинового и орбитального моментов импульса электрона приводит к суммированию магнитных моментов. Однако этот вопрос не рассматривается в нашем курсе.
Спин электрона существенно влияет на характер атомных спектров, поскольку связанный с ним магнитный момент вызывает зависимость энергии электрона в данном состоянии от ориентации S относительно L. Орбитальный механический момент импульса обусловливает магнитный момент и, следовательно, некоторое магнитное поле. Проекция спина электрона на направление напряженности этого поля, как известно, может принимать два значения, так как т„ = ±1/2. Для электрона с I * О возможны два близких состояния с
122
Раздел 4
jt = I + 1/2 и j2 = I - 1/2. Энергии этих двух состояний различны. Такое спин-орбитальное взаимодействие приводит к своеобразному «внутреннему эффекту Зеемана» (см. и. 3.47), даже при отсутствии внешнего магнитного поля. На рис. 4.45 показано P-состояние (Z=l), которое в результате взаимодействия магнитных моментов расщеплется на два подсостояния Р3/2 и Р\/2. Поэтому вместо одной спектральной линии, соответствующей переходу Р —» S, в действительности наблюдаются две близкие линии, соответствующие переходам Рз/г	1/2 и Р1/2 —> S1/2. Именно этим объясняется, например,
дублет желтых линий 589,0 и 589,6 нм в спектре натрия.
Расщепление уровней с данным I из-за спин-орбитального взаимодействия носит название тонкой структуры. «Тонкой» она называется потому, что расщепление уровней мало по сравнению с расстоянием между уровнями с различными п и I. Релятивистская квантовая теория атома показывает, что энергия спин-орбитальиого взаимодействия с увеличением атомного номера растет как Z4, поэтому в тяжелых атомах спин-орбитальное взаимодействие оказывает существенное влияние на положение уровней и частоты спектральных линий. ®
Q Кроме тонкой структуры в спектрах многих атомов на-блюдается также сверхтонкая структура, которая объясняется взаимодействием магнитного момента электрона со слабым магнитным полем атомного ядра.
Для многоэлектронных атомов каждый электрон электронной оболочки атома можно характеризовать орбитальным Д и спиновым Sj векторами момента импульса. Однако при рассмотрении основных вопросов спектроскопии можно ограничиться менее подробной характеристикой, объединяя определенным образом по правилу векторного сложения орбитальные и спиновые моменты отдельных электронов. Опыт показывает, что в легких и средних атомах, где спин-орбитальное взаимодействие сравнительно с электростатическим отталкиванием электронов невелико, орби-
Рис. 4.45
Квантовая физика
123
тальные моменты отдельных электронов складываются в суммарный орбитальный момент атома L, а спиновые моменты — в суммарный спиновой момент S:
L — 1ц +	+ ... , S — Si + S2 +..♦ •
Полный момент J является суммой L и S: J = L + S.
Описанный способ нахождения полного момента импульса соответствует так называемой нормальной связи электронов в атоме, или связи Рассела-Саундерса. Векторам J, L, S отвечают квантовые числа J, L, S, определяющие квадраты длин этих векторов:
J2 = J (J + 1) Й; L2 = L (L + 1) Й; S2 = S (S + 1) Й.
При четном числе электронов в атоме квантовые числа S и J целые, а при нечетном — полуцелые. Как всегда квантовые числа J, L, S задают проекции векторов J, L, S на избранное направление.
Для определения векторов J, L, S достаточно ограничиться только наружными, валентными электронами, если внутренние оболочки атома полностью заполнены электронами. В этом случае моменты импульса внутренних электронов, как орбитальные, так и спиновые, полностью скомпенсированы, т. е. полные моменты внутренних оболочек равны нулю.
В центральном электрическом поле ядра вектор J сохраняет величину и направление. ВекторыLuS направления не сохраняют из-за спин-орбйтального взаимодействия. Вместе с тем, длина векторов L и S не меняется. Практически сохраняются также проекции векторов L и S на направление вектора J. Эта картина соответствует вращению с общей угловой скоростью векторов Ln S вокруг суммарного вектора J.
Нормальная связь не является единственно возможной. В тех случаях, когда магнитное спин-орбитальное взаимодействие велико по сравнению с электростатическим взаимодействием электронов между собой, проявляется (J J) — связь, характерная для тяжелых атомов. В общем случае осуществляются промежуточные виды связи. В (JJ) — связи орбитальный и спиновой моменты каждого электрона складываются в один полный момент J,- =	Этими моментами и соответствующими им квантовы-
ми числами и характеризуется состояние электронной оболочки атома. Полный момент всего атома J не зависит от расположения слагаемых £( и S; и может быть получен векторным сложением:
J = £ J,. О
4.37.	ПРАВИЛА ОТБОРА ПРИ ИЗЛУЧЕНИИ И ПОГЛОЩЕНИИ СВЕТА
• При переходе электрона сложного атома из одного энергетического состояния в другое может возникать излучение или поглощение кванта электромагнитной энергии в оптическом (при переходах внешних электронов) или рентгеновском (при переходах внутренних электронов) диапазонах длин волн. Однако не все принципиально возможные переходы
124
Раздел 4
электронов между энергетическими уровнями могут осуществляться в действительности. Разрешенные переходы, сопровождающиеся излучением или поглощением фотона, подчиняются так называемым правилам отбора, неразрешенные — правилам запрета. Эти правила следуют из законов сохранения и в первую очередь, из закона сохранения момента импульса.
Будем рассматривать только однофотонные процессы. Двух- и многофотонные процессы излучения крайне маловероятны. Закон сохранения момента импульса при испускании атомом одного фотона запишется в виде: JH = JK + 8Ф,, где JH — момент импульса атома до излучения фотона (в единицах tl) JK — после излучения, а 8Ф — вектор спина фотона.
Так как спин фотона равен единице, то атом из начального состояния без момента импульса (JH = 0) после излучения должен приобрести момент импульса: JK=1. Аналогичным образом, в конечное состояние с JK = 0 атом может перейти только из состояния JH - 1. Следовательно, если в начальном или конечном состоянии J = 0, переход с излучением или поглощением возможен лишь при изменении J на единицу: А7 = ±1. Переходы из квантового состояния с J — 0 в другое состояние также с J = 0 запрещены.
Если J * 0, то как видно из рис. 4.46, при сложении единичного вектора (8Ф = 1) с вектором J длина последнего может измениться на единицу или не измениться совсем.
Таким образом, возникает следующее правило отбора при излучении:
AJ = ±1; 0 (при Jfl*0 и JK*0),
AJ = ±1 (при JH = 0 и JK = 0),
(4.271)
Аналогичным образом, для квантового числа mj найдем:
Am, = 1; 0.
(4.272)
Излучение света связано с электромагнитными свойствами электрона. С электромагнитной волной взаимодействует как
Рис. 4.46
Квантовая физика
125
заряд, так и магнитный момент атома. Испускание света возможно либо в результате изменения движения заряда (изменение L), либо в результате поворота собственного магнитного момента (изменение S), либо цр обеим причинам сразу. Расчеты и опыт показывают, что для электромагнитного излучения оптического диапазона взаимодействие фотона с зарядом электрона оказывается значительно сильнее взаимодействия с магнитным моментом. Поэтому вектор спина при испускании фотонов не должен претерпевать изменений: AS = 0. ®
Приведенные правила отбора (4.271) и (4.272) с учетом последнего замечания могут быть переписаны следующим образом:
AL = 0, ±1 (при LH * 0 и LK* 0),
AL = ±1 (при LH = 0 и LK = 0),
Ат = 0, ±1.	(4.273)
Если переход атома с уровня на уровень происходит не с помощью электромагнитного излучения, то правила отбора оказываются другими.
4.38.	ОПТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ
Для возбуждения оптических линейчатых спектров атомы должны принадлежать среде в газообразном состоянии. Схема энергетических уровней внешней электронной оболочки многоэлектронных атомов гораздо сложней, чем у водородоподобных атомов. Поэтому оптические спектры атомов чрезвычайно сложны. Так, в спектрах тяжелых атомов присутствуют десятки тысяч спектральных линий. Тем не менее, квантовая механика объясняет распределение частот и яркость наблюдаемых линий, хотя практические вычисления весьма громоздки и требуют привлечения численных методов расчета с помощью ЭВМ.
v В качестве примера рассмотрим оптический спектр атома гелия или гелиоподобного атома иона, имеющего всего два электрона. Основным состоянием атома гелия является Я0-состояние (рис. 4.47): оба электрона находятся на уровне Is (n = 1, I = 0), а их спины согласно принципу Паули направлены в противоположные стороны. Состояние электронов будем обозначать так, как это принято в спектроскопии: заглавные латинские буквы S, Р, D, F, G соответствуют полному моменту импульса L = 1, 2, 3, 4, а индексы справа внизу и слева вверху от каждой буквы означают полный момент импульса J и мультиплетность уровня 2S+1 соответственно. Мультиплетность показывает число различных значений
126	Раздел 4
--тжгтИгг.	.... '
Проекций полного импульса на заданное направление. При возбуждении атомов наиболее вероятный случай, когда один из электронов остается на уровне 1s, а другой электрон переходит в одно из возможных состояний. В таких случаях перед обозначением состояния атома часто пишут значение главного квантового числа возбужденного электрона.
Если один из электронов атома гелия находится не на уровне 1s, то его спин может бы?ь ориентирован как антипараллельно, так и параллельно спину другого электрона. Энергия уровней при этом оказывается различной. Рассмотрим сначала уровни, соответствующие антипараллельной ориентации спинов электронов. Для этих уровней S = 0 и мультиплетность 2S + 1 = 1, т. е. уровни являются одиночными (синглетными). Схема этих уровней изображена на рис. 4.47, а.
При излучении (высвечивании) атомов выполняются правила отбора (4.273). Переходы, соответствующие этим правилам, изображены на рис. 4.47, а стрелками, а экспериментальные значения наблюдаемых длин волн спектральных линий выписаны вдоль стрелок в нм. Переход из состояния 2’S0 в основное 1‘80 маловероятен (показан пунктирной стрелкой) и возможен только путем испускания двух фотонов одновременно или при столкновении двух атомов. Состояние 2*S0' оказывается долгоживущим или метастабильным. Возбуждение этого состояния требует затраты энергии 20,55 эВ.
Кроме состояний, в которых спиновый момент атома гелия равен нулю, возможны состояния со спиновым моментом, равным единице (ортогелий). Эти состояния возникают при параллельной ориентации спинов обоих электронов. Переход из основного в эти возбужденные состояния путем поглощения кванта электромагнитного излучения, конечно, невозможен, так как при этом AS * 0. Но под воздействием, например, электронных ударов спин одного из электронов атома может «перевернуться» , и атом может оказаться в одном из состояний с параллельной ориентацией спинов. Уровни энергии, соответствующие этим состояниям, изображены на рис. 4.47, б. Среди этих состояний наименьшей энергией обладает состояние 23Sj состояние же 13S\ запрещено принципом Паули. Уровень 23S1 является одиночным, как и все S-уровни. Расположен этот уровень несколько глубже, чем уровень 2*S0. Следующее состояние атома с S = 1, когда первый электрон находится на ls-уров-не, а второй — на 2р-уровне, является триплетным, так как при S = 1 и £ = 1 J может принимать три значения: 0, 1,2. Соответствующие уровни обозначаются 23Р0, 23Pt и 23Рг. С каждого из 23Р-уровней возможны переходы на уровень 2sS}, так что при высвечивании атомов, находящихся в 23Р-состоянии, наблюдаются три близкие линии. Видно (рис. 4.47, б), что и при больших значениях п все уровни с S — 1 и L > 1 являются триплетными. Для всех оптических переходов электронов соблюдаются правила отбора.
Переходы между синглетными и триплетными уровнями запрещены правилом отбора по спиновому моменту. И действительно, такие переходы никогда не наблюдались на опыте.
Квантовая физика
127
Рис. 4.47
Поэтому гелий в синглетных состояниях принято называть парагелием, а гелий в триплетных состояниях — ортогелием. Нижнее триплетное состояние 23S] расположено значительно выше основного состояния l'S0, однако переход с испусканием одного или нескольких фотонов запрещен. Переход из этого состояния в основное возможен только путем непосредственной передачи энергии возбуждения другому атому при столкновении. Для возбуждения 23Sj-состояния требуется энергия 19,77 эВ (рис. 4.47, б). *
На спектры атомов влияют внешние поля. Ряд спектральных линий атомов излучающего вещества, находящегося в электрическом или магнитном поле, смещается и расщепляется на несколько компонент (эффекты Штарка и Зеемана — см. п. 3.47). Энергия магнитного диполя, как известно, определяется скалярным произведением вектора его магнитного момента на вектор магнитной индукции магнитного поля (см. п. 2.208). Состояния с одними и теми же квантовыми числами могут отличаться друг от друга проекцией магнитного момента на направление магнитного поля. Поэтому наложение магнитного поля снимает вырождение энергетических уровней, атомные электроны с различными магнитными квантовыми числами будут обладать уже различной энергией, что и приведет к возможному расщеплению спектральных линий.
Изучение оптических спектров атомов оказалось весьма полезным для развития квантовой механики и понимания строения атомов. Оптические спектры атомов используются также в двух широко известных методах
128
Раздел 4
исследования вещества — качественного и количественного спектральных анализов.
Качественный спектральный анализ позволяет идентифицировать атомы неизвестного вещества. Метод основан на строгой индивидуальности оптических спектров атомов химических элементов и отличается высокой чувствительностью. В некоторых случаях достаточно 1О-10 г неизвестного вещества ввести в электрическую дугу или газовый разряд для определения его химического состава.
Количественный спектральный анализ основан на зависимости яркости спектральных линий атомов от их концентрации в исследуемом веществе. Несмотря на сложный характер такой зависимости, метод уверенно позволяет определять концентрацию примеси в веществе до 10”® ат.%.
4.39.	РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ
В многоэлектронных атомах энергия связи электронов внутренних оболочек на два-четыре порядка выше энергии связи внешних электронов. Возбуждение внутренних электронов атомов поэтому может привести к коротковолновому (к = 102—10 нм) электромагнитному излучению (рентгеновские лучи).
Рентгеновские лучи обычно получают бомбардировкой твердых тел потоком электронов в вакуумной рентгеновской трубке. Электроны, соударяясь с анодом такой трубки, резко тормозятся, и это дает сплошной спектр рентгеновских лучей. Первоначальная энергия бомбардирующих электронов W± в результате их торможения уменьшается до W2. Разность энергий Wt — W2 = hv и выделяется в виде излучения. Величина W2 может принимать любые значения от до нуля, так что частоты возникающих лучей лежат в пределах от нуля до vIT = WA/h. Интенсивность тормозного рентгеновского излучения в зависимости от частоты описывается кривой с максимумом, которая обрывается при vrp = Wj/Л. Тормозное рентгеновское излучение не зависит от материала мишени.
С увеличением энергии бомбардирующих электронов на фоне сплошного спектра тормозного излучения возникают резкие интенсивные линии, характерные для каждого вида атомов материала мишени (анода рентгеновской трубки). Рентгеновский характеристический спектр возникает благодаря вырыванию внутренних
Квантовая физика
129
О N
L
К
W=0
Р
Рис. 4.48
электронов К, L и т. д. оболочек и переходам верхних электронов на освободившиеся нижние уровни. Совокупность спектральных линий, возникших благодаря переходам электронов на К-уровни, называют К-серией, на L-уровни — L-серией и т. д. Схема возникновения характеристических рентгеновских спектров дана на рис. 4.48. Наиболее высокочастотная К-серия всегда сопровождается остальными сериями, так как при испускании ее линий освобождаются уровни в L, М ... оболочках, которые в свою очередь заполняются электронами из более высоких оболочек.
Так как разности энергий (энергии фотонов) велики в области рентгеновских лучей, то малые магнитные эффекты, характерные для оптических спектров, являются для рентгеновских спектров относительно несущественными. Поэтому рентгеновские характеристические спектры отличаются простотой. Кроме того, картины рентгеновских спектров различных элементов очень похожи друг на друга. Это объясняется одинаковым строением нижних заполненных уровней атомов различных элементов. Зависимость частоты какой-либо линии в определенной серии рентгеновского излучения атома от его порядкового номера Z устанавливается законом Мозли (1913 г.):
Vv = с (Z - о).
Здесь с и о некоторые константы. Видно, что квадратный корень из частоты характеристического
5 Зак. № 845
130
Раздел 4
рентгеновского излучения атома пропорционален его порядковому номеру.
Этот закон лежит в основе рентгеноспектрального метода анализа вещества. Достоинством такого метода является возможность качественной и количественной идентификации атомов исследуемого вещества независимо от состояния вещества и химических связей между атомами, а также возможность локального анализа путем использования тонких электронных пучков для возбуждения излучения. Характеристическое рентгеновское излучение также широко применяется в рентгеноструктурном анализе, с помощью которого определяется строение веществ в твердом и жидком состояниях.
4.40.	МОЛЕКУЛЯРНАЯ СВЯЗЬ
Молекула представляет устойчивое образование, состоящее из нескольких атомов. Энергии связи большинства электронов атома (за исключением легчайших атомов) имеют порядок тысяч электрон-вольт, в то время как энергии связи в молекулах и твердых телах имеют порядок лишь нескольких электрон-вольт. Поэтому при сближении атомов и образовании молекулы большинство электронов можно считать прочно связанными с одним (собственным) единичным ядром и только у внешних, наиболее слабо связанных электронов, волновые функции сильно изменяются. Эти изменения таковы, что приводят к уменьшению общей энергии сближающихся атомов и, следовательно, к возникновению между ними химической связи. Существуют четыре вида химических связей атомов и молекул: ван-дер-ваальсова, ионная, ковалентная и металлическая.
Связь Ван-дер-Ваальса наиболее универсальна и характерна для электрически нейтральных атомов, не обладающих дипольным электрическим моментом. При взаимодействии инертных газов она является единственной, объясняющей существование жидкого и твердого состояния этих веществ. Один из механизмов возникновения такой связи рассмотрим на примере двух ядер водорода, настолько удаленных друг от друга (>0,2 нм), чтобы их электронные облака не перекрывались. В основном состоянии (Is) эти облака сферически симметричны,, вследствие чего электрический мо
Квантовая физика
131
мент атома в среднем равен нулю. В каждый же момент времени ядро и электрон, располагаясь на определенном расстоянии друг от друга, образуют диполь, величина и направление которого с течением времени непрерывно меняются. При достаточном сближении такие диполи либо притягиваются, если в данный момент сближены их противоположные полюса, либо отталкиваются. Для возникновения постоянно действующей силы притяжения необходимо, чтобы электроны взаимодействующих атомов двигались согласованно, постоянно обеспечивая преобладание силы притяжения. Такая сила называется дисперсионной, носит квантовую природу и объясняется уменьшением энергии взаимодействующих осцилляторов.
Для полярных систем характерен ориентационный механизм связи Ван-дер-Ваальса. Например, если молекулы обладают постоянным дипольным моментом, то между ними возникает электростатическое взаимодействие, стремящееся расположить молекулы в строгом порядке (рис. 4.49), так как при таком расположении энергия системы уменьшается.
Наконец, у молекул, обладающих высокой поляризуемостью, может возникать индуцированный электрический момент, если молекулы сближены на достаточно малое расстояние. Такие молекулы притягиваются друг К другу. Возникающее при этом взаимодействие называется индукционным.
В общем случае возникают все три указанных механизма, и энергия взаимодействия складывается из энергий дисперсионного, ориентационного и индукционного взаимодействий. В заключение отметим, что связь Ван-дер-Ваальса на два-три порядка слабее остальных трех видов химической связи и ее необходимо учитывать, если не реализуются остальные.
Ионная (другое название — гетерополярная) связь образуется, если один атом способен передать другому один или несколько электронов. При этом между образовавшимися ионами возникает электрическое притяжение, которое уравновесится отталкиванием электронных оболочек атомов на некотором характерном для этой
пары ионов межатомном рассто- CEZZB5	•$>
янии. Зависимость энергии вза-
имодействия ионов от расстояния	Рис. 4.49
132
Раздел 4
для молекул с ионной связью имеет вид «потенциальной ямы» (рис. 4.50). Такая связь характерна для атомов с резко отличающимися свойствами, например, для щелочных металлов и галоидов. Так, отрыв электрона от нейтрального атома Na для образования иона Na+ требует энергии (см. табл. 4.2) 5,14 эВ. Если
к атому С1 добавить электрон, то выделится энергия 3,82 эВ. Таким образом, суммарная энергия, требуемая для образования пары ионов, в данном случае равна 5,14 - 3,82 = 1,32 эВ. При сближении этих ионов на расстояние 0,25 нм (характерном для молекулы NaCl)
возникает энергия электростатического взаимодействия
5,1 эВ. Следовательно, образование молекулы NaCl
энергетически выгодно и при этом выделится энергия 5,1 - 1,32 = 3,8 эВ. В большинстве случаев ионная связь возникает при такой передаче электронов, которая ведет к созданию у образовавшихся ионов заполненных электронных оболочек, типичных для атомов благородных газов.
Идентичные атомы или атомы с близкими свойствами взаимодействуют между собой посредством атомной связи. Ее называют также ковалентной или гоме-ополярной.
Рассмотрим природу этой связи на примере молекулы водорода. При сближении атомов водорода на расстояния, меньшие 0,2 нм, как показывает расчет, наступает заметное перекрытие электронных облаков и возникает новое состояние, не свойственное системе, состоящей из двух изолированных атомов. Электроны в этом состоянии принадлежат одновременно обоим ядрам, т. е. обобществлены. На рис. 4.51 пунктирными линиями 1 показана плотность электронных облаков изолированных атомов, комбинированной линией 2 — суммарная плотность, которая получилась бы при простом наложении электронных облаков изолированных атомов и, наконец, сплошной линией 3 — распределение плотности вдоль оси, соединяющей ядра а и Ь, фактически
Квантовая физика
133
устанавливающиеся при обобществлении электронов. Видно, что при обобществлении электронов происходит втягивание электронных облаков в пространство между ядрами: на небольшом расстоянии от ядра вне этого пространства плотность облаков уменьшается по сравнению с плотностью в изолированных атомах, в то время как в пространстве между ядрами повышается по сравнению с плотностью, получающейся сложением в этом пространстве электронных облаков изолированных атомов. Появление состояния с повышенной плотностью электронного облака, заполняющего межъядерное пространство вызывает появление так называемой обменной энергии, уменьшающей общую энергию системы. В квантовой механике показывается, что обменная энергия является следствием тождественности близкорасположенных частиц.
Энергетическая выгода обобществления электронов может быть понята на основе полученных ранее результатов о микрочастице в потенциальной яме (см. п. 4.22). В грубом приближении можно считать, что электрон, связанный с атомом, находится в потенциальной яме шириной I, равной диаметру атома. Энергия такого электрона обратно пропорциональна I2. Если происходит образование молекулы из атомов за счет обобществления электронов, то для каждого из электронов, участвующих в связи, расширяется пространство, в котором он может двигаться, а его энергия при этом уменьшается, что и объясняет образование потенциальной ямы и некоторое равновесное расстояние между атомами. Третий-электрон, приближающийся к молекуле водорода, уже не
Рис. 4.51
134
Раздел 4
может объединять свою область существования с областью движения электронов в молекуле, это запрещает принцип Паули, — в молекуле водорода оба свободных состояния заняты двумя электронами с противополож-нымиспинами.
Характерной особенностью атомной связи является ее насыщаемость и направленность. Насыщаемость обусловлена тем, что каждый атом способен образовать ограниченное число таких связей, при этом в создании каждой связи участвует пара электронов с противоположными спинами. Атомная связь образуется в том направлении, в котором расположена наибольшая плотность электронного облака (см. рис. 4.42 и 4.43), соответствующего обобщенным валентным электронам. Значит линии связи атомов могут образовывать определенные углы между собой, которые рассчитываются в квантовой механике. Эти углы определяют геометрию молекул и строение кристаллов.
Образование металлического состояния невозможно объяснить ни с точки зрения ионной, ни с точки зрения атомной связи. Внешние валентные электроны в атомах металлов связаны с ядром относительно слабо. При образовании жидкого и твердого состояний атомы располагаются настолько близко друг от друга, что валентные электроны приобретают способность покидать свои атомы и свободно перемещаться внутри по всему объему вещества, образуя своеобразный электронный газ. Весь объем металла при этом можно рассматривать как одну гигантскую молекулу. Связь между атомами металла возникает вследствие взаимодействия положительных ионов с электронным газом. Металлическая связь имеет сходство с атомной связью, поскольку в их основе лежит обобществление внешних валентных электронов. Однако в случае атомной связи обобществлению подвергаются только пары электронов; эти электроны все время находятся вблизи связанных атомов. В металлической же связи участвуют все атомы кристалла (или сложной молекулы) и обобществленные электроны не локализуются уже у своих атомов, а свободно перемещаются внутри всей решетки (или молекулы).
Все рассмотренные схемы связи атомов до известной степени идеализированы. В реальных молекулах или кристаллах практически всегда происходит наложение двух и более типов связей.
Квантовая физика
135
4.41.	МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И СПЕКТРЫ
Подобно атому энергия молекулы изменяется при переходе электрона из одного квантового состояния в другое. Кроме того, для молекулы имеются и другие причины изменения энергии. Колебания атомов молекулы обусловливают колебательную составляющую энергии. Эта энергия также может принимать только дискретные значения. Молекула может вращаться как целое, что характерно для газообразного состояния вещества. Энергия вращения молекулы также квантуется и изменения состояния молекулы могут заключаться в изменении энергии вращения. Таким образом, общее энергетическое состояние молекулы характеризуется состоянием ее электронной оболочки (электронный уровень), состояния колебательного движения (колебательный уровень) и состояния вращения (вращательный уровень).
Полная энергия молекулы может быть представлена в виде:
W = W + W + W .
ЭЛ ' гг кол т rF вр*
Схема уровней молекулы изображена на рис. 4.52. Показаны два электронных уровня а и Ъ, колебательные
уровни с квантовыми числами п' и п" и вращательные уровни с квантовыми числами V и Г. Частота излученного или поглощенного электромагнитного кванта всегда соответствует разности энергий двух уровней:
v = - (AW + ДЖ	+ AW	.
*	1“ГГ ЭЛ т L-ЛУУ кол ~Г t-лУУ Вр I ,
если только данный переход не запрещен правилами отбора. Ввиду сложности энергетических уровней молекулярные спектры оказываются весьма сложными и состоят из систем полос, в которых удается различать отдельные
Рис. 4.52
136
Раздел 4
О'
О'
Рис. 4.53
4
3
5
4
3
одного из переходов
линии лишь при помощи спектральных приборов, обладающих очень большой разрешающей способностью.
де Только вращательные спектры w можно наблюдать в чистом виде. Длины волн вращательного спектра порядка 0,1-1 мм. Поэтому изучаются вращательные уровни методом микроволновой радиоспектроскопии: измеряется интенсивность радиоволн, проходящих через газообразное исследуемое вещество. Если частота генератора совпадает с частотой между вращательными уровнями, то
приемник излучения регистрирует резкое уменьшение интенсивности.
Колебательные спектры лежат в инфракрасной области в диапазоне длин волн 1-50 мкм. При этом наблюдаются не чисто колебательные, а колебательно-вращательные спектры. Схема возникновения колебательно-вращательного спектра изображена на рис. 4.53. Видно, что вместо одной линии, соответствующей переходу между двумя колебательными уровнями, возникает серия переходов с близкими частотами, образующая колебательно-вращательную полосу. Переход п' —> п" запрещен правилами отбора (пунктирная стрелка на рис. 4.53).
В видимой и ультрафиолетовой частях молекулярных спектров наблюдаются электронно-колебательно-вращательные спектры, в которых при недостаточном разрешении вращательные линии в колебательно-вращательных полосах сливаются, и весь спектр кажется состоящим из электронно-колебательных полос. * .
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	В чем сущность одноэлектронного приближения?
2.	В чем заключается принцип тождественности микрочастиц и принцип Паули?
3.	Что такое бозоны и фермионы?
4.	Поясните периодический закон Менделеева с точки зрения строения атомов.
5.	Чем обусловлено спин-орбитальное взаимодействие и к чему оно приводит?
6.	Как определяется полный момент импульса атома при нормальной связи и при JJ-связи?
7.	Укажите основные правила отбора при излучении и поглощении света.
Квантовая физика	137
8.	Почему оптические спектры парагелия и ортогелия существенно отличаются?
9.	В чем идея качественного и количественного спектральных анализов?
10.	Каковы особенности тормозного рентгеновского излучения?
11.	Что такое характеристическое рентгеновское излучение и как оно объясняется?
12.	Чем обусловлена химическая связь?
13.	Объясните сущность ван-дер-ваальсовой, ионной, атомной и металлической связей.
14.	Чем обусловлено возникновение обменной энергии взаимодействия между атомами?
15.	Укажите особенности структуры энергетических уровней молекулы.
16.	В чем отличие молекулярных спектров от атомных?
Глава 4.8
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ
4.42. ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНОЙ И СЛАБОЙ СВЯЗИ
Все многообразие свойств твердых тел обусловлено существованием в них двух взаимодействующих подсистем: электронов и ядер атомов, образующих твердое тело. Если твердое тело является идеальным кристаллом, то ядра атомов образуют в пространстве некоторую периодическую структуру, называемую кристаллической решеткой. Положительно заряженные ядра, образующие кристаллическую решетку, создают периодическое потенциальное поле, в котором движутся отрицательно заряженные электроны. Это периодическое потенциальное поле решетки представляет собой совокупность периодически расположенных потенциальных ям, разделенных потенциальными барьерами (см. рис. 4.54). Электрон движется по кристаллу, проникая за счет туннельного эффекта через потенциальные барьеры, разделяющие потенциальные ямы. Если полная энергия W электрона достаточно велика (VBj на рис. 4.54), то ему приходится преодолевать «невысокий» потенциальный барьер. В таком случае коэффициент туннельной прозрачности D барьера (4.196), разделяющего соседние ямы, достаточно велик, и электрон относительно свободно перемещается по всему кристаллу. Если же энергия W электрона мала, так что ему приходится преодолевать «высокий» потенциальный барьер (W2 на рис. 4.54), то коэффициент туннельной прозрачности барьера очень мал и электрон оказывается практически связанным внутри потенциальной ямы — его движение по кристаллу сильно затруднено.
Этим двум случаям соответствуют два приближенных метода расчета электронных состояний в кристаллах — приближения слабой и сильной связи.
Квантовая физика
139
В приближении слабой связи в качестве нулевого приближения берутся волновые функции свободного электрона, а периодическое поле кристалла рассматривается как малое возмущение. Это приближение хорошо описывает, например, электроны проводимости в металлах.
В приближении сильной связи в качестве нулевого приближения выбираются волновые функции электрона в изолированной потенциальной яме (изолированном атоме), а туннельная прозрачность барьера, разделяющего соседние ямы, рассматривается как малое возмущение.
4.43. МОДЕЛЬ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ
Рассмотрим квантовую теорию для модели свободных электронов, которая является нулевым (и тем не менее достаточно хорошим) приближением в случае слабой связи. Как уже отмечалось, эта модель хорошо описывает валентные электроны атомов металла, которые могут почти свободно перемещаться в пределах образца. Именно эти электроны обеспечивают электропроводность металла и поэтому их называют электронами проводимости. Электроны, как частицы с полуцелым спином, подчиняются принципу Паули (см. п. 4.34), то есть являются фермионами — частицами, описывающимися статистикой Ферми—Дирака (см. п. I 5.50). Кроме того, в рассматриваемой здесь модели, считается, что электроны не взаимодействуют между собой посредством кулоновских сил, то есть считается, что они
140
Раздел 4
образуют идеальный ферми-газ (газ не взаимодействующих тождественных частиц, подчиняющихся статистике Ферми—Дирака).
Рассмотрим макроскопический образец металла, который для простоты будем считать имеющим форму куба со стороной L (в макроскопическом пределе теоретически L —> оо). Уравнение Шредингера для свободного (W;1 = 0) электрона внутри куба имеет следующий вид (4.158):
+	+	=	(4.274)
2m (а*2 а^ a22J v
Если электроны заключены внутри этого куба, то решение уравнения (4.274) могло бы быть представлено в форме стоячих волн с нулевыми граничными условиями на гранях куба, подобно тому, как это было сделано для частицы в трехмерной потенциальной яме (см. 4.23).
Другой, более удобный для физической интерпретации способ состоит в представлении решения в форме бегущей плоской волны:
V* (г) = сс%	(4.275)
где k = (kx, ky, Лг) — волновой вектор электрона, г = (х, у, г) — радиус-ветор. Напомним, что зависящая от времени волновая функция в стационарном случае содержит множитель е“*”, где <о =W/fi. Тогда V (г, 0 = се*^ а() — бегущая плоская волна.
Подставляя (4.275) в (4.274), находим связь между энергией W и волновым вектором k (или импульсом р = fik) свободного электрона:
w=W = j>L	(4.276)
2т 2т
Константа с в (4.275) находится из условия нормировки этой волновой функции:
SMzdK=i,	<4-277>
v
где интегрирование производится по объему образца V = L8* Из (4.277) находим:
с = 1 .	(4.278)
Квантовая физика
141
Если решение ищется в форме бегущих волн (4.275), то удобно ввести так называемые периодические граничные условия, состоящие в том, что волновая функция должна быть периодической функцией по х, у, г с периодом L, то есть
(х + L, у, а) = у (х, у, z),	(4.279)
и аналогичные условия по координатам у и г.
Легко установить, что функция (4.275) будет удовлетворять этим граничным условиям при . значениях компонент волнового вектора, равных:
*.=£*.. <4280>
где пх пу, пг — целые числа, независимо друг от друга принимающие значения О, ±1, ±2, ±3, ... .
Таким образом, компоненты волнового вектора квантуются и они являются квантовыми числами, характеризующими состояние электрона в рассматриваемой задаче. Подставляя fe2 = fex + fe2 + Лх в (4.276) и учитывая при этом (4.280), получаем собственные значения энергии W (к)-состояний с волновым вектором k:
&	Г?^2	(4.281)
W(k') = ^^ + ky + k^ = ^\T) (п‘ + пУ + п^ Квантовые состояния электрона в этой задаче определяются четырьмя квантовыми числами (nx> nF, н2, т,), где тг — квантовое число, задающее проекцию спина и принимающее значения ±1/2 (рис. 4.55).
Пх	nv	Пг	
1	0	0	± 1/2 j
0	1	0	± 1/2	|
0	0	1	± 1/2 j
-1	0	0	± 1/2
0	-1	0	
0	0	-1	±1/2
Рис. 4.55
142
Раздел 4
Из формулы (4.281) видно, что энергия электрона зависит от суммы п2 + п2 + п%. Минимальной энергии электрона (основному уровню) соответствуют значения пх = пу = пг - 0. На этом уровне можно разместить два электрона с противоположными проекциями спина т, = 1/2 и т, = -1/2. Третий электрон, введенный в систему, должен быть помещен уже на следующий — более высокий энергетический уровень, так как согласно принципу Паули он не может находиться на уже двукратно занятом основном уровне. Энергетическому уровню, следующему за основным, соответствует п2 + п2 + + nl = 1, и он может быть занят уже двенадцатью способами (см. рис. 4.55). Значит, кратность вырождения первого возбужденного уровня равна 12 и в соответствии с принципом Паули он может быть занят не более, чем двенадцатью электронами. Таким образом, основной и первый возбужденный уровни содержат 2 + 12 = 14 различных квантовых состояний, каждое из которых в соответствии с принципом Паули может быть занято только одним электроном. Пятнадцатый электрон должен быть помещен на следующий, еще более высокий уровень энергии, которому соответствует п2 + п2 + п2 - 2. Нетрудно убедиться, что этот уровень содержит 24 различных квантовых состояния и на нем, следовательно, можно разместить максимум 24 электрона. Поступая подобным образом и дальше, мы постепенно будем перемещаться все выше по энергетическим уровням системы до тех пор, пока не «израсходуем» все свободные электроны, имеющиеся в рассматриваемом кристалле. Следовательно, при абсолютном нуле температуры 7 = 0 все уровни ниже некоторого, будут заполнены электронами, а все более высокие уровни вообще не будут содержать электронов. Энергетический уровень, отделяющий заполненные уровни от пустых при абсолютном нуле температуры, называется уровнем Ферми при Г = 0 и обозначается WF.
Для регулярного подсчета числа квантовых состояний введем пространство «волнового вектора, по осям которого будем откладывать проекции kx, ky, hz (fe-простран-ство). Поскольку в квантовой механике импульс р и волновой вектор k связаны соотношением р = tik, то пространство волнового вектора фактически совпадает с р-пространством, по осям которого откладываются проекции рх, Ру, рг. В этом пространстве каждой паре
Квантовая физика
143
квантовых состояний электрона (отличающихся только, значениями т„) соответствует точка. Поскольку значения kx, ky, kz квантованы в соответствии с (4.280), то «расстояние» между такими соседними точками в fe-npo-странстве равно 2л/Ь, а «объем», приходящийся на одну точку, равен (2л/L)3. Поверхность равных значений энергии в этом пространстве (изоэнергетическая поверхность) описывается уравнением:
И' = ^ (^ + fe2 + fcf) = const (4.282)
и имеет форму сферы радиуса
k =	+ й2 + й2 =	• W1/2.	(4.283)
Следовательно, число квантовых состояний N (Ж), энергия которых не превышает значения W, равно удвоенному (с учетом двух возможных значений ms) количеству точек, содержащихся внутри сферы с радиусом k (4.283). Поскольку на одну точку приходится объем (2л/£)3, то
4
N (W) = 2 -5—у .	(4.284)
(2тЛ
Подставляя в (4.284) радиус k (4.283), получаем
N (W) = j nV' W3'2.	(4.285)
а (2лЙ)
где V = L3 — объем образца.
Из (4.285) следует формула для числа состояний dN (W) с энергией, заключенной в интервале от W до W+dW:
d N (W) = 4лV	(4.286)
Следовательно, плотность состояний v (W), то есть число состояний, приходящееся на единичный интервал энергии, равна:
v (ТУ) =	= 4лУ^^  И71'2.	(4.287)
V ’ dW	(2лй)3
Как мы уже говорили, при Т — 0 все электронные состояния с энергией W < WF заняты электронами, а
144
Раздел 4
состояния с энергией W > WF свободны. Изоэнергети-ческая поверхность в ^-пространстве, соответствующая значению энергии, равному WF, называется поверхностью Ферми. Как мы уже видели (см. (4.282), (4.283)), в рассматриваемой здесь модели свободных электронов эта поверхность есть сфера (Ферми-сфера) с радиусом
к, =	. WFf2.
п
(4.288)
Отметим, что для других моделей электронов в твердых телах поверхность Ферми может сильно отличаться от сферической. При Т = 0 Ферми-сфера отделяет в fe-npo-странстве заполненные электронные состояния от незаполненных (см. рис. 4.56).
Выразим энергию WF через плотность свободных электронов (то есть их число в единице объема), равную п. Во всем образце содержится nV электронов, которые при Т = 0 занимают все электронные состояния вплоть до энергии WF. Полагая в формуле (4.285) W = = WF, a N (WF) = nV, получаем:
nV = | nV  W?/2;	(4.289)
откуда находим WF как функцию плотности электронов п:
WF = f- (Зл2п)2/3.	(4.290)
При характерных для металлов плотностях электронов п - 1023 см'3, получаем WF - 10 эВ.
Вычислим среднюю энергию, приходящуюся на один электрон при Т = 0. Суммарная энергия электронов, заполняющих состояния с энергиями от W до W + dW, равна:
W dN (W) = W v (W) dW.
Тогда энергия всех электронов проводимости, занимающих состояния от W = 0 до W - WF, равна:
$ W v (W) dW. (4.291) О
Рис. 4.56
Квантовая физика
145
Разделив эту энергию на полное число электронов, равное:
W (WF) = § v (W) dW,	(4.292)
о
получим среднюю энергию одного электрона при Т = = 0:
5 W v (W) dW
<w> = ч---------	(4.293)
$ v (W) dW о
Подставляя в (4.293) выражение для v (Ж) (4.287) и выполнив интегрирование, получаем:
(W) - I Wp.	(4.294)
Поскольку мы до сих пор рассматривали идеальный ферми-газ, образованный невзаимодействующими электронами, то средняя энергия электрона (4.294) есть фактически его средняя кинетическая энергия (потенциальная энергия межэлектронного взаимодействия в идеальном газе равна нулю). Однако, строго говоря, электроны взаимодействуют между собой посредством кулоновских сил и по порядку величины средняя потенциальная энергия взаимодействия, приходящаяся на один электрон, может быть оценена как
<^а> ~	’	(4.295)
4яе0(г)
где (г) — среднее, расстояние между электронами.
По порядку величины
(г) ~ п 1/3,	(4.296)
где п — плотность электронов.
Рассмотрим теперь, учитывая (4.289) и (4.296), отношение средней потенциальной энергии взаимодействия (4.295) к средней кинетической энергии электрона (4.294). По порядку величины
п-и\	(4.297)
146
Раздел 4
Это отношение есть параметр, характеризующий степень неидеальности электронного газа — чем он меньше, тем ближе электронный газ к идеальному. Для идеального газа это отношение равно нулю. Из формулы (4.297) следует весьма нетривиальный факт — чем больше плотность электронов п, тем электронный газ ближе к идеальному, в противоположность тому, что имеет место для «классических» газов, в которых газ тем ближе к идеальному, чем меньше его плотность. Такое радикальное отличие является проявлением принципа Паули, которому подчиняются электроны.
Проявлением принципа Паули является также существенное отличие теплоемкости идеального электронного газа от теплоемкости классического идеального газа той же плотности при комнатных температурах. Характерная для металлов энергия Ферми WF - 10 эВ, а средняя тепловая энергия, приходящаяся на один электрон, по порядку величины равная kT (где k — постоянная Больцмана, Т — температура), составляет при комнатной температуре - 0,03 эВ. Такая энергия может возбудить лишь электроны на самых верхних уровнях, примыкающих к уровню Ферми. Именно эти электроны смогут поглощать энергию при нагревании металла. Основная же масса электронов, находящихся на более глубоких энергетических уровнях, поглощать энергию при нагревании не сможет, так как процесс поглощения энергии должен сопровождаться переходом электронов на более высокие энергетические уровни, которые заняты другими электронами и, следовательно, принцип Паули запрещает такие переходы. Таким образом, в процессе нагревания металла при kT « WF участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимости, чем и объясняется малая теплоемкость электронного газа в металлах.
Эти рассуждения проиллюстрированы на рис. 4.57, где изображен график функции v (W) — плотности состояний (см. (4.287)). Заштрихованная площадь есть число состояний, занятых электронами при Т = 0. Нагревание металла сопровождается переходами электронов с уровней, примыкающих к уровню Ферми WF снизу (на рис. 4.57 — левее), на уровни, лежащие выше WF. В результате резкий край заштрихованной фигуры на рис. 4.57 будет размыт. Кривая заполнения уровней электронами в этой области энергий примет вид, пока-
Квантовая физика
147
занный пунктирной линией. Площадь под этой кривой останется такой же, какой она была при Т = О (эта площадь равна полному числу электронов nV). Область размытия имеет ширину порядка kT, следовательно, в процессе нагревания сможет
участвовать доля электронов, равная приблизительно kT/WF, в то время как в классическом газе в процессе нагревания участвуют все частицы. В результате теплоемкость электронного газа оказывается равной:
Рис. 4.57
kT wr ’
^ЭЛ ^КЛ
(4.298)
где скл — классическое значение теплоемкости. При Т » » 800 К и WF - 10 эВ сэл примерно в 100 раз меньше с^.
4.44.	ФУНКЦИИ БЛОХА
«а Модель свободных электронов, изложенная в предыду-щем параграфе, хорошо объясняет ряд физических свойств металлов. Вместе с тем, имеются и такие свойства кристаллов, которые не находят своего объяснения в рамках столь простой модели. Например, модель свободных электронов не может объяснить деления кристаллов на металлы, полупроводники и изоляторы, различие удельных сопротивлений которых исключительно велико. Так, у чистых металлов при низких температурах удельное сопротивление -КУ10 Ом-м, а у хороших изоляторов ~1О20 Ом-м.
Более адекватное реальности описание электронов в кристаллах получается, если дополнить рассмотренную выше теорию свободных электронов учетом их взаимодействия с периодическим потенциальным полем, создаваемым решеткой кристалла. Это означает, что необходимо найти волновые функции и энергетический спектр электрона из уравнения Шредингера, в котором учтено периодическое потенциальное поле решетки:
й2 л «г мл	(4.299)
— —— Дш + W \и =	'
где Wp — потенциальная энергия электрона в поле решетки, которая обладает свойством периодичности:
Wp (х + а, у, г) = Wp (х, у, г), Wp (х, у + t>, z) = Wp (х, у, z),
148
Раздел 4
Wp (х> {/, z + с) = Wp (x, у, z),	(4.300)
где a, b, с — периоды решетки вдоль осей х, у, г. Ф. Блохом было- показано, что решение уравнения Шредингера (4.299) с периодическим потенциалом вида (4.300) имеет вид:
Ф* (г) = ик (г) е*-,	(4.301)
где ик (г) — функция, имеющая периодичность потенциала, то есть периодичность решетки, k — волновой вектор. Точнее говоря, k является эффективным волновым вектором (квази-волновым вектором) электрона, движущегося в периодическом потенциальном поле решетки.
В сущности, решение (4.301) весьма похоже на решение уравнения Шредингера для свободного электрона (4.275) — плоскую волну (г) = Ce>kr. Отличие состоит в том, что вместо константы С перед экспонентой в (4.301) стоит периодическая функция ик (г). Следовательно, функции вида (4.301), называемые функциями Блоха, представляют собой модулированные с периодом решетки плоские волны с переменной в пространстве амплитудой ик (г). Утверждение о возможности представить волновую функцию электрона, находящегося в поле с периодическим потенциалом Wp в виде (4.301), является фундаментальным положением квантовой теории твердого тела и называется теоремой Блоха. *
Q Рассмотрим доказательство теоремы Блоха для простейшей модели кристалла — одномерной решетки, содержащей N атомов (узлов решетки), расположенных вдоль кольца длиной Na, в предположении, что решетка имеет период а, а значит и потенциальная энергия электрона периодична с тем же периодом
Wp (х) = Wp (х + па),	(4.302)
где п — целое число.
Поскольку все физические условия в точках х и х + а совершенно одинаковы, то очевидно, что плотность вероятности нахождения электрона в этих точках одинакова:
|ф(х + п)|2=|ф(х)|2.	<4303>
Отсюда следует, что
V (х + а) = Сф (х),	(4.304)
где С — комплексная константа, по модулю равная единице. Тогда из (4.304) следует:
Ф (х + па) = Сп ф (х),	(4.305)
где п — целое число.
Если мы полностью обойдем кольцо, то есть к величине х добавим длину кольца Na, то мы окажемся в той же пространственной точке, и поскольку волновая функция должна быть однозначной, ее значения в точках х и х + Na должны совпадать:
ф (х + Na) = ф (х).	(4.306)
Учитывая теперь, что из (4.305) следует:
Квантовая физика
149
V (х + Уа) = CNy (х), получаем из (4.306), (4.307) следующее равенство:
С"ф (х) = ф (х), то есть
(4.307)
(4.308)
СЛ = 1 = е'2™.	(4.309)
Таким образом, С есть один из N корней уравнения (4.309):
С = e>2™/N, п = 0, 1, 2, ... ЛГ - 1.	(4.310)
Тогда непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что требованию (4.305) удовлетворяет функция вида:
(х) = e'2’t'“-Wo . Ыи (х),	(4.311)
где функция и„ (х) имеет период а. Полагая
k = 2яп	(4.312)
Na ’ получаем из (4.311)
V* (х) = е'*ж • ик (х),	(4.313)
то есть результат Блоха. О
4.45.	ЗОННАЯ СТРУКТУРА ЭЛЕКТРОННОГО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА В КРИСТАЛЛАХ
Рассмотрим теперь характер электронного энергетического спектра в периодическом поле кристаллической решетки. Проследим на качественном уровне, как изменяется электронный спектр при изменении расстояния а между соседними атомами в кристалле, рассматривая для простоты кристалл с простой кубической решеткой, где все расстояния между соседними атомами равны между собой.
Рассмотрим следующий мысленный сценарий образования кристалла из N одинаковых атомов. Пусть сначала атомы находятся на бесконечно большом (а = = ®) расстоянии друг от друга. Каждый атом представляет собой для электрона потенциальную яму (см. рис; 4.54), и, поскольку, при a = оо эти ямы отделены друг от друга бесконечно широкими (а значит, имеющими нулевой коэффициент туннельной прозрачности: D = 0) барьерами, то электрон с энергией W < 0, помещенный в любую такую яму, будет, оставаться в ней неограниченно долго, не имея возможности протунне-лировать в соседние ямы. В этом случае возможные значения энергии электрона такие же, как и в отдельном изолированном атоме, то есть энергетический спектр
150
Раздел 4
электрона в рассматриваемом кристалле при W < 0 и а = со является чисто дискретным и совпадает с энергетическим спектром электрона в изолированном атоме. При сближении атомов величина параметра D становится конечной и электрон получает возможность туннелировать из одной ямы в другую. Образуется общая квантовомеханическая система, в которой по принципу Паули каждый электрон должен находиться на отдельном энергетическом уровне. Это приводит к тому, что вместо одного, одинакового для всех N атомов уровня энергии, возникает N очень близких, но не совпадающих уровней. Таким образом, каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N близко расположенных уровней, образующих энергетическую полосу или энергетическую зону разрешеных энергий (см. рис. 4.58). Величина расщепления для разных уровней различна. Сильнее расщепляются более высокие по энергии уровни, которые заполняются внешними — валентными электронами. Более низкие уровни, заполненные внутренними электронами расщепляются гораздо меньше. При этом энергетические зоны разрешенных энергий могут быть разделены энергетическими интервалами, в которых вообще нет энергетических уровней. Такие интервалы называются запрещенными зонами. Зонную структуру электронного энергетического спектра в кристаллах принято изображать как это представлено на рис. 4.59. На этом рисунке ширина каждой зоны
Рис. 4.58
Квантовая физика
151
соответствует такому сближению N атомов, которое соответствует расстоянию между ними в кристалле («а0» на рис. 4.58).
® Волновые функции электронов, соответствующие энер-готическим уровням в разрешенных зонах, имеют вид функций Блоха (4.301). Эти функции распространены на весь кристалл, а не локализованы в окрестности какого-либо одного атома, поэтому электроны в разрешенных зонах могут, в принципе, перемещаться (туннельным образом) по всему кристаллу. В широких — верхних энергетических эонах это перемещение в достаточно сильной степени похоже на перемещение свободных частиц, а в низких — узких зонах скорость перемещения электрона по кристаллу столь мала, что ею можно пренебречь и считать электроны в этих эонах практически связанными.
Как мы уже видели, в приближении свободных электронов зависимость энергии электрона от модуля волнового вектора имеет вид (4.27, 6):
=	*2 = *х+*» + *?•	(4.314)
Поскольку проекции волнового вектора kx, ky, k2 квантованы, так что интервал между соседними их значениями равны (см. (4.280)):
Ых = ^, Ыг=^,	=	(4.315)
то и энергия (4.314) также оказывается квантованной. Однако если линейный размер L кристалла достаточно велик (теоретически L -> <ю), что можно считать выполненным для любого макроскопического образца, то интервалы ДАХ, Дй„, ДАг становятся очень малыми (теоретически Д/гх, Ыгу,- Д/г_, —> 0) и тогда модуль волнового вектора k и энергию W (Л) можно считать почти непрерывными — квазинепрерывными величи-чами. Следовательно, соответствующий график хотя и состоит
152
Раздел 4
Рис. 4.60
из дискретных точек, но они расположены так густо, что на рис. 4.60 этот график изображен как сплошная кривая.
Учет периодического* поля решетки приводит к зависимости W (Л), схематический вид которой изображен на рис. 4.61 сплошной линией. Внутри разрешенных энергетических зон зависимость W (й) является квазинепрерывной (как и в приближении свободных электронов), а запрещенные энергетические
зоны являются разрывами этой
функции. Области ^-пространства, внутри которых энергия
электрона изменяется квазинепрерывно, называются зонами Бриллюэна. На границах этих зон энергия терпит разрыв. На рис. 4.61 изображены первая и вторая зоны Бриллюэна
для модели одномерного кристалла. В точках k = -п/а, k = п/а, которые являются границами первой зоны Бриллюэна, зависимость W (Л) терпит разрыв. Для трехмерных кристаллов границами зон Бриллюэна являются замкнутые многогранные поверхности в fe-пространстве, вложенные одна в другую. «
Отметим, что зависимость W (fe) вблизи середин верхних разрешенных энергетических зон достаточно близка к зависимости W (fe) для свободных электронов. Это обстоятельство поясняет причину того, что модель свобод-
ных электронов достаточно хорошо описывает некоторые
2-я зона Бриллюэна 2-я зона
Рис. 4.61
Квантовая физика
153
свойства простых металлов, например, их электропроводность, которая определяется электронами, занимающими уровни вблизи уровня Ферми, расположенного в простых металлах вблизи середины валентной зоны.
Таким образом, спектр возможных значений энергии электронов в кристалле представляет собой совокупность чередующихся разрешенных и запрещенных энергетических зон. Ширины зон не зависят от размера кристалла, они определяются межатомным расстоянием а и глубиной залегания исходного энергетического уровня в изолированном атоме (см. рис. 4.58). Следовательно, чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются энергетические уровни в разрешенной зоне. Ширины верхних энергетических зон имеют величину порядка нескольких электронвольт. Таким образом, если кристалл содержит -102Э атомов, то расстояние между соседними уровнями в разрешенной зоне составляет -10 23 эВ. Каждый энергетический уровень в разрешенной зоне отвечает определенному значению квазиволно-вого вектора к. Поскольку квантовое число т„ характеризующее проекцию спина электрона, может принимать только два значения тя = ±1/2, то на любом энергетическом уровне в разрешающей зоне в соответствии с принципом Паули могут находиться лишь два электрона, обладающие противоположными проекциями спина. Следовательно, в каждой разрешенной энергетической зоне (если только они не перекрываются между собой) имеется всего 2N электронных состояний (W уровней и на каждом уровне по 2 состояния, отличающихся проекциями спина). Здесь имеются ввиду зоны, возникшие из «-состояний атомов, образующих кристалл.
4.46.	ЗАПОЛНЕНИЕ ЭЛЕКТРОНАМИ ЗОН В МЕТАЛЛАХ, ДИЭЛЕКТРИКАХ
И ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Существование энергетических зон в кристаллах позволяет объяснить с единых позиций существование металлов, полупроводников и диэлектриков.
Разрешенную зону, возникшую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в изолированием атоме, называют валентной зоной. При абсолютном нуле температуры все разрешенные зоны, расположенные ниже (по энергии) валентной, полностью заполнены электронами, а все разрешенные зоны выше валентной
154
Раздел 4
полностью свободны от электронов. В самой валентной зоне электроны попарно заполняют энергетические уровни, начиная с самых нижних. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины расположенной над ней запрещенной зоны возможны три случая, изображенные на рис. 4.62, а, б.
В случае, отображенном на рис. 4.62, а, электроны заполняют валентную зону не полностью. При наложении даже слабого электрического поля на кристалл электроны валентной зоны могут ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную скорость, потому что этот процесс набора скорости, а значит, и кинетической энергии, означает переходы электронов на более высокие энергетические уровни в валентной зоне. В соответствии с принципом Паули такие переходы возможны, если более высокие энергетические уровни, примыкающие сверху к уровню Ферми, свободны..Именно такая ситуация реализуется в частично заполненной валентной зоне, изображенной на рис. 4.62, а. Следовательно, электроны этой валентной зоны могут переносить электрический ток даже при абсолютном нуле температур, а кристалл с подобной схемой заполнения энергетических уровней является металлом. К металлам (проводникам) относятся также вещества, у которых валентная зона перекрывается с зоной проводимости, т. е. ширина запрещенной зоны равна нулю.
Рис. 4.62
Квантовая физика
155
Во втором случае (рис. 4.62, б) все уровни валентной зоны при абсолютном нуле температуры заняты электронами. В этом случае для того, чтобы увеличивать энергию электрона, ему необходимо на расстоянии порядка межатомного сообщать энергию, не меньшую, чем ширина запрещенной зоны AWg. Величина АИ^ может составлять единицы эВ. Электрическое поле (при котором еще не происходит электрический пробой кристалла) сообщить такую энергию электрону не в состоянии. В этом случае при Т = О кристалл не проводит электрический ток, то есть является диэлектриком или полупроводником. Деление на диэлектрики и полупроводники условно. Обычно считают, что если AVKg < 3 эВ, то кристалл является полупроводником.
При Т * 0 электрические свойства кристаллов в случае б) (рис. 4.62) определяются шириной запрещенной зоны AWg. Средняя кинетическая энергия составляет kT, что при комнатной температуре обычно значительно меньше АИЛЯ. Однако всегда имеются электроны, у которых энергия движения значительно больше средней, часть таких электронов оказывается способной «перескочить» из валентной зоны (через запрещенную) в зону проводимости. Этот процесс называется тепловой генерацией «зона-зона». Процесс тепловой генерации идет тем интенсивнее, чем выше температура. В итоге в зоне проводимости появляются электроны способные создавать электрический ток. Их концентрация в диэлектриках весьма мала (из-за большой ширины запрещенной зоны). Поэтому диэлектрики являются изоляторами. У полупроводников ширина запрещенной зоны меньше, концентрация генерируемых в зону проводимости электронов больше. Поэтому проводимость полупроводников при одинаковых температурах значительно больше, чем у диэлектриков. Следует отметить, что каждый акт тепловой генерации «зона-зона» приводит к образованию’ пары «электрон в зоне проводимости и свободный уровень («дырка») в валентной зоне». В параграфе 4.50 будет показано, что свободный электрон в зоне проводимости и свободный уровень в валентной зоне приводят к качественно одинаковому вкладу в электронную электропроводность кристаллов.
Отметим также, что существует и обратный процесс: переход электрона из зоны проводимости в валентную
156
Раздел 4
зону на свободный уровень. Этот процесс называется рекомбинацией. Равновесная концентрация свободных электронов в зоне проводимости устанавливается в результате динамического равновесия между процессами генерации и рекомбинации.
4.47.	ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ
Волновая функция электрона, движущегося в периодическом потенциальном поле кристалла, может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн — волнового пакета, составленного из состояний с близкими значениями волнового числа k. Этот волновой пакет распространяется по кристаллу с некоторой групповой скоростью vg, которая отождествляется со скоростью движения электрона в кристалле.
По определению групповой скорости имеем (3.235):
v =
« dk ’
(4.316)
где <о (Л) — частота волны, как функция k. Воспользовавшись корпускулярно-волновым соотношением W = й<а, заменим в (4.316) частоту «а через энергию W:
v =1^ й h dk
(4.317)
Продифференцировав (4.317) по t, получим ускорение электрона в кристалле:
d Vg _ 1 d_ (dW\ = 1. d2W dk dt ft dt {dk J ft dk2 dt
(4.318)
Учитывая еще одно корпускулярно-волновое соотношение р = tik, находим из него после дифференцирования:
dfe _ 1 dp dt ft dt
(4.319)
Если на электрон действует внешняя по отношению к кристаллу сила F (например, со стороны электрического поля, наложенного на кристалл), то
= р dt
(4.320)
Квантовал физика
157
Принимая теперь во внимание (4.319) и (4.320), получаем из (4.318):
f Й2 A	(4.321)
\d2W/dk2) dt
Сравнивая полученное уравнение с уравнением второго закона Ньютона
dt
(4.322)
й2 нетрудно заметить, что величина -j---? играет роль
dW/dk
массы по отношению к внешней силе, в связи с чем эту величину называют эффективной массой электрона в кристалле:
d2W/dk2
(4.323)
Эффективная масса электрона в кристалле ш* может сильно отличаться от массы свободного электрона т. Это различие обусловлено взаимодействием электрона с решеткой. Дело в том, что электрон в кристалле подвергается как действию сил со стороны внешних по отношению к кристаллу полей, так и внутренних сил, действующих на него стороны кристаллической решетки. В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
т = F +
(4.324)
где т — масса свободного электрона, F — внешняя сила, FKp — сила, действующая на электрон со стороны кристаллической решетки.
Оказывается, что мы можем описывать движение электрона в кристалле так, как если бы на него действовали только внешние силы. Мы можем действие силы на электрон эквивалентным образом учесть, переопределив массу электрона, то есть заменив ее эффективной массой (4.323), а саму силу FKP убрать из правой части (4.324), оставив там только внешнюю силу F. Тогда уравнение движения электрона в кристалле примет вид:
d v _
(4.325)
158
Раздел 4
Именно такое описание удобно для электронов в разрешенных энергетических зонах кристалла, поскольку приписав электрону массу т*, мы можем рассматривать его как свободный электрон, движущийся только под действием внешних по отношению к кристаллу сил. Взаимодействие электрона с решеткой FKp учитывается использованием величины т* вместо обычной массы т.
Таким образом, соотношения, полученные в модели свободных электронов, оказываются справедливыми для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, если в них заменить массу электрона т на эффективную массу т*.
В зависимости от энергии электрона внутри разрешенной энергетической зоны эффективная масса электрона т* может быть как положительной, так и отрицательной.
Вблизи дна зоны (точка А на рис. 4.63) d2W/dk2 > 0 и т* >0 — эффективная масса положительна.
В точке перегиба (точка В на рис. 4.63) d2W/dk2 = 0, и, следовательно, в соответствии с (4.323) т* = со. Это означает, что на движение электрона, находящегося в состоянии с энергией WB, внешнее поле не может оказать никакого воздействия, так как ускорение электрона а = F/m = 0. Физически это объясняется. тем, что действие внешней силы F полностью компенсируется силой FKP.
Вблизи потолка зоны (точка С на рис. 4.63) d2W/dk2 < 0 и т* < 0. Это означает, что ускорение электрона а = F/m* направлено противоположно внешней силе F. Физически это означает, что
И/ wc А  J, 0	л	к a Рис. 4.63	при совместном действии сил F и FKp электрон в состоянии с энергией Wc получает ускорение, противоположное силе F. При описании движения электронов в верхней части разрешенной энергетической зоны, там, где их эффективная ’ масса отрицательна т* < 0, целесообразно перейти к более привычной картине движения частиц с положительной эффектив-
Квантовая физика
159
ной массой. Рассмотрим движение электрона с т* < О под действием внешнего электрического поля с напряженностью Е. Учитывая, что электрический заряд электрона отрицателен и равен — е, запишем уравнение движения электрона:
т*^ = (-е)Е.	(4-326)
dt v '
В этом уравнении и эффективная масса электрона и его электрический заряд отрицательны: т * < О, е < О. Перенеся знак минус из правой части (4.326) в левую, перепишем это уравнение эквивалентным образом
(--т*)	- (+е) Е.	(4-327)
Это уравнение можно трактовать как уравнение движения частицы с положительной эффективной массой (— т*) > О и положительным электрическим зарядом е > 0. Такую частицу принято называть дыркой. Естественно, что описание движения в терминах отрицательно заряженного электрона с отрицательной эффективной массой (4.326), полностью эквивалентно описанию движения в терминах положительно заряженной дырки с положительной эффективной массой (4.327).
Описание с помощью дырок удобно, когда разрешенная зона заполнена больше, чем наполовину, то есть в верхней части этой зоны имеются вакантные состояния, не занятые электронами. Эти вакантные состояния и отождествляются с дырками, поскольку отсутствие на вакантных уровнях электрона с отрицательным зарядом (—е) < 0 и отрицательной эффективной массой т* < 0, эквивалентно наличию на этих же уровнях положительно заряженной частицы (дырки) с положительным зарядом е > 0 и положительной эффективной массой (-/л*) > 0. По своим электрическим свойствам почти заполненная электронами разрешенная зона с небольшим числом вакантных электронных состояний вблизи потолка, эквивалентна почти пустой зоне, заполненной небольшим количеством дырок.
Подчеркнем, что движение дырки не есть перемещение какой-то реальной положительно заряженной частипы. Реально по кристаллу движется электрон, переходя от одного атома кристалла на «свободное» место в соседнем атоме и так далее по всему кристаллу.
160
Раздел 4
Само же это свободное место (дырка), очевидно, перемещается в направлении, противоположном направлению движения электрона. Перенос заряда, связанный с перемещением дырки под действием внешнего электрического поля, лежит в основе так называемой дырочной электропроводности.
4.48.	ПОЛУПРОВОДНИКИ
Полупроводниками являются кристаллы, у которых при абсолютном нуле температуры Т = 0 валентная зона полностью заполнена электронами, зона проводимости пуста, а ширина запрещенной зоны между ними невелика < 3 эВ. Название «полупроводники» связано с тем обстоятельством, что их удельная электропроводность при комнатных температурах имеет промежуточные значения между удельной электропроводностью металлов у ~ 10в-108 Ом-1-м-1 и диэлектриков у ~ ~ 10'°10я Ом ‘-м ’.
Характерной особенностью полупроводников, качественным образом отличающей их от металлов, является возрастание электропроводности с ростом температуры (напомним, что у металлов она уменьшается), причем, как правило, в широком интервале температур она имеет активационный характер, то есть ее возрастание происходит экспоненциально:
у = yoe-^/w,	(4.328)
где WA — так называемая энергия активации проводимости, у0 — коэффициент, слабо (значительно слабее, чем следующий за ним экспоненциальный множитель) зависящий от температуры Т, k — постоянная Больцмана.
Формула (4.328) означает, что электроны, обеспечивающие электропроводность полупроводников, связаны с атомами энергией связи порядка WA. С повышением температуры тепловое движение начинает разрывать эти связи, и часть электронов, Пропорциональная exp (—WA/kT), становится свободными носителями. В дальнейшем будет показано, что WA = ДЛ¥й/2.
Различие же между полупроводниками и диэлектриками является количественным, и связано оно только с различиями в ширине запрещенной зоны, отделяющей
Квантовая физика
161
валентную зону от зоны проводимости. Например, в ряду однотипных по структуре кристаллов (с решеткой типа алмаза): германий (AlVg»0,67 эВ), кремний (AWe » 1,1 эВ) и алмаз (ДИ^ w 5,2 эВ), первые два являются типичными полупроводниками, а алмаз — диэлектриком. Формула (4.328) в равной мере описывает и электронную проводность диэлектриков, только для них значение энергии активации WA существенно больше, чем для полупроводников. С другой стороны, при Т = 0 полупроводники не проводят электрический ток, то есть являются диэлектриками, поскольку все валентные электроны связаны со «своими» атомами.
Различают собственные и примесные полупроводники.
4.49.	СОБСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
К числу собственных относятся чистые полупроводники. Для конкретности будем рассматривать чистый Si, являющийся элементом IV группы периодической системы Менделеева. Именно с этим полупроводником связаны многие успехи современной полупроводниковой электроники. Кремний имеет пространственную решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными (парно-электронными) связями с четырьмя равноотстоящими от него ближайшими соседними атомами (рис. 4.64 качественно воспроизводит эту ситуацию на плоскости). На этом рисунке Ф — положительно заряженные атомные остатки (ионы), образующие решетку, G — валентные электроны, ES — дырки, 1 — процесс тепловой генерации электрон-дырочной пары, 2 — процесс движения дырки, 3 — процесс рекомбинации электрона и дырки.
При достаточно высокой температуре тепловое движение может разорвать отдельные связи (процесс 1 на рис. 4.64). В результате разрыва каждой связи освобождается один электрон, а покинутое им место перестает быть
6 Зак. № 845
162
Раздел 4
нейтральным — в его окрестности возникает неском-пенсированный положительный заряд (+е) — дырка. На это освободившееся место может перескочить электрон одной из соседних пар, а дырка теперь оказывается в том месте, откуда ушел этот электрон (процесс 2 на рис. 4.64). В результате дырка начинает странствовать по кристаллу, как и освободившийся электрон.
При встрече свободного электрона с дыркой они рекомбинируют (соединяются) (процесс 3 на рис. 4.64), при этом электрон нейтрализует положительный заряд дырки и «встраивается» в ковалентную связь, теряя свободу перемещения до тех пор, пока снова не получит от кристаллической решетки энергию, необходимую для своего освобождения.
На энергетическом «зонном» языке эта же картина описывается следующим образом (см. рис. 4.65). На этом рисунке жирная точка означает электрон, а кружок — дырку.
При тепловом возбуждении (Т * 0) валентный электрон, находившийся в валентной зоне полупроводника, освобождает состояние в валентной зоне, т. е. образует там свободное квантовое состояние (дырку) и переходит в зону проводимости, образуя там заполненное состояние, т. е. свободный электрон (электрон проводимости). Этот процесс термической генерации электрон-дыроч-ных пар на рис. 4.65 обозначен цифрой 1, как и на рис. 4.64. Ближайший к дырке электрон валентной зоны, попадая в нее, оставляет при этом новую дырку, которую заполнит следующий соседний электрон ва-
Рис. 4.65
Квантовая физика
163
лентной зоны и - т. д. Дырка валентной зоны будет перемещаться по кристаллу в направлении, противоположном направлению движения электронов валентной зоны. Таким образом, дырка ведет себя во всех отношениях как свободный носитель положительного заряда в валентной зоне.
Процесс рекомбинации свободного электрона проводимости и дырки валентной зоны означает переход электрона из зоны проводимости на вакантный (не занятый электроном) уровень в валентной зоне. На рис. 4.65 этот процесс обозначен цифрой 3, как и на рис. 4.64.
Отметим, что в собственном полупроводнике уровень Ферми располагается в середине запрещенной зоны, как это обозначено пунктирной линией на рис. 4.65.
4.50.	ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
При наложении внешнего электрического поля на собственный полупроводник при Т * 0 в нем возникает электрический ток, обусловленный направленным движением электронов зоны проводимости и дырок валентной зоны, в соответствии с тем, что, как мы уже выяснили в предыдущем параграфе, в собственном полупроводнике при Т * 0 имеется два типа свободных носителей электрического заряда — электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне.
Таким образом, плотность электрического тока может быть записана в виде суммы:
j-j„ + jP,	(4.329)
где j — общая плотность тока, j„ — электронная составляющая тока (п — negativ), jp — плотность тока, обусловленная движением дырок (р — positive).
Каждое из слагаемых в (4.329) может быть представлено в форме (2.139)
in = п„ (-<?) <и„>,	(4.330)
jp = пр е (vp),	(4.331)
где: п„, пр — объемные плотности электронов зоны проводимости и дырок валентной зоны соответственно; (—е), е — электрические заряды электронов и дырок; (н„),
164
Раздел 4
{vp) — средние скорости направленного движения электронов и дырок в электрическом поле.
g* Эти средние скорости можно записать следующим об-
* разом:
<”«> = Ас п«п. <«₽) =
(4.332)
где Дтп, Дтр — характерные времена свободного пробега электронов и дырок между последовательными столкновениями их с ионами в узлах кристаллической решетки; ап, ар — ускорения электронов и дырок под действием электрического поля напряженности Е.
В соответствии со вторым законом Ньютона:
т„	".
т„	nt,,
(4.333)
где F„ = (-е) Е, Fp= еЕ — силы, действующие со стороны электрического поля на электроны и дырки; т’„, тр — эффективные массы электронов и дырок.
Возвращаясь назад, по формулам (4.333)-(4.329) получаем:
(4.334)
Сравнивая (4.334) с законом Ома в дифференциальной форме (2.152)
i = уЕ,
получаем следующее выражение для удельной электропроводности собственного полупроводника: «
I т'п тР ,
(4.335)
Поскольку электрон в зоне проводимости и дырки в валентной зоне рождаются при генерации типа «зона-зона» парами, то их объемные концентрации одинаковы, т. е.
~ ftp'
(4.336)
Величину у можно представить через подвижности электронов (к„ = (v^/E) и дырок (кр = (vp)/E) (2.150) и записать (с учетом 4.336):
у = еп„ (к„ + к,,).	(4.337)
Сравнение (4.335) и (4.337) показывает, что к„ и кр зависят от эффективных масс электрона и дырки. Обыч-
Квантовая физика
165
но т'„ * т'р, поэтому In у к„ * кр. Например, в крио-	N.
таллах кремния при	X.
Т = 300 °К к„ = 1300 см2/	\
Вс; кр = 470 см2/Вс.	'
Объемные концентра-ции носителей тока в полупроводниках пп и пр	Рис. 4.66
весьма сильно зависят от температуры. Для выяснения характера этой зависимости используем следующие соображения. В стационарном состоянии полупроводника концентрации пп и пр также должны быть стационарны, то есть не зависеть от времени. Это означает, что вероятность генерации Р, электрон-дырочной пары должна равняться вероятности рекомбинации Р2 такой пары, так как в противном случае состояние будет нестационарным, т. е.
Рх = Р2.	(4.338)
Вероятность генерации, то есть вероятность перехода электрона в результате теплового возбуждения с «потолка» валентной зоны на «дно» зоны проводимости, пропорциональна ехр (-АИ^/йТ):
о _	(4-339)
где AWg — ширина запрещенной зоны Т — температура.
Вероятность рекомбинации пропорциональна вероятности встречи электрона с дыркой и поэтому тем больше, чем больше концентрации тех и других, то есть:
Р2 - пппр.	(4.340)
Подставляя (4.339), (4.340) в (4.338), получаем:
~AW-	(4.341)
п„пр ~ е *т
Поскольку в соответствии с (4.336) и„ = пр, то из (4.341) следует:
(4.342) n„ = пр - е zkt .
Учитывая (4.342), приведем (4.335) к виду (4.328):
-AW, у = уое 2»т,
(4.343)
166
Раздел 4
где у0 - е2 (Дтп/т* +	— множитель, слабо завися-
щий от температуры за счет температурной зависимости характерных времен Дт„ и Дтр, а энергия активации проводимости, как видно из сравнения (4.343) и (4.328), в собственном полупроводнике оказывается равной половине ширины запрещенной зоны WA = AWg/2.
Прологарифмировав (4.343), получаем:
1пу = 1пу0-^.	<4-344)
Из формулы (4.344) следует, что для собственных полупроводников In у можно приближенно (пренебрегая слабой температурной зависимостью In у0) считать линейной функцией от 1/Т (рис. 4.66). Эксперименты подтверждают эту зависимость.
4.51.	ПРИМЕСНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
Если некоторые атомы собственного полупроводника заменить в узлах кристаллической решетки атомами, валентность которых отличается от валентности основных атомов, то мы получим примесный полупроводник. Примесные полупроводники бывают двух типов: электронные (n-типа) и дырочные (р-типа) — в зависимости от того, какими носителями преимущественно переносится электрический заряд в полупроводнике.
Так, если в кристаллическую решетку кремния, атомы которого 4-валентны, внедрить небольшое количество 5-валентных атомов примеси, например, фосфора (Р), то четыре из пяти валентных электронов фосфора образуют четыре необходимые ковалентные связи с ближайшими соседями (Si), а пятый валентный электрон фосфора оказывается «лишним» и легко отделяется от атома фосфора  за счет энергии теплового движения уже при достаточно низких температурах, образуя свободный электрон (рио. 4.67). При этом возникает положительно заряженный ион Р*. Положительный заряд локализован на этом ионе и перемещаться по решетке не может (локализованная дырка на ионе Рь). При температуре Т » 300 К практически все атомы фосфора ионизированы, то есть в полупроводнике появляются электроны проводимости с концентрацией п, практически равной концентрации NP примесных атомов Р
Квантовая физика
167
Рис. 4.67
(и = NP). Именно эти электроны и обеспечивают электронную проводимость (n-типа) в таком примесном полупроводнике.
Атомы примесей, валентность которых на единицу больше валентности основных атомов, и которые, вследствие этого, при небольшой термической активации отдают избыточные электроны в объем полупроводника, называются донорами. Типичные примеры донорных примесей в Si — это элементы V группы: Р, As, Sb.
Если же в кристаллическую решетку 4-валентного Si внедрить небольшое количество 3-валентных атомов примеси, например, бора (В), то трех валентных электронов атома бора недостаточно для образования ковалентных связей с четырьмя ближайшими соседями — атомами Si. Захватывая один из валентных электронов у следующих за ближайшими соседями атомов Si, атом В. «укомплектовывает» все 4 ковалентные связи с ближайшими атомами Si, превращаясь при этом в отрицательно заряженный ион В". Отрицательный заряд локализован на этом ионе и свободно перемещаться по решетке не может (локализованный электрон на ионе В”). В том месте, где был захвачен электрон на атоме Si остается положительно заряженная дырка, которая посредством кулоновского притяжения связана , с ионом В . Однако энергия этой связи-достаточно мала, поэтому уже при температурах Т « 300 К практически все дырки за счет энергии тепловоз?© движения,разрывают эти кулоновские связи с ионами В н становятся свободными носителями заряда (рис. 4.68), то есть в полупроводнике появляются свободные дырки с концентрацией р, практически равной концентрации примесных атомов бора NB. Именно эти дырки и обесценивают дырочную проводимость (p-типа) в таком примесном полупроводнике.
168
Раздел 4
Атомы примесей, валент-x/z	ноСТЬ которых на единицу мень-
'ли ше валентности основных ато-мов, и которые, вследствие это-jsi'	го. при небольшой термической
/Л\Х	/7\\	активации обеспечивают воз-
Рис	4 68	никновение свободных дырок в
объеме полупроводника, называются акцепторами. Типичные примеры акцепторных примесей в Si — это элементы III группы В, Al, In.
Обсудим теперь изложенный выше сценарий образования примесных полупроводников в терминах зонной энергетической схемы. Кристалл, содержащий примеси, хаотически распределенные по его кристаллической решетке, уже не является идеальным и представляет собой неупорядоченную систему. Из теории неупорядоченных систем следует, что в кристаллах при малых концентрациях примесей имеются кроме запрещенных и разрешенных энергетических зон локальные примесные уровни, расположенные в запрещенной зоне кристалла между валентной зоной и зоной проводимости (рис. 4.69). Эти уровни называются примесными, потому что они образованы атомами примеси, а локальными — потому что электроны (или дырки), находящиеся на этих уровнях, локализованы в пространстве каждый около «своего» атома примеси, и в отличие от свободных электронов (дырок) в разрешенных энергетических зонах, не могут перемещаться по кристаллу и перено-
запрещенная зона
валентная зона Т=0
зона проводимости
Рис. 4.69
Квантовая физика	169
сить электрический заряд, то есть не дают вклада в проводимость, не перейдя в разрешенную зону. Такая локализация электронных (дырочных) состояний на примесных уровнях обусловлена, главным образом, тем, что атомы примеси хаотически распределены по решетке кристалла и при малых концентрациях они расположены весьма далеко друг от друга. Эти обстоятельства делают практически невозможным туннелирование электронов (дырок) между примесными атомами, приводя к локализации этих электронов (дырок) в окрестности примесных атомов. Следует отметить, что при достаточно большой концентрации примесей могу возникнуть новые разрешенные зоны, называемые примесными.
В случае полупроводников n-типа локальные примесные уровни называются донорными, они расположены вблизи дна зоны проводимости, будучи отделены от нее небольшим энергетическим «зазором» AWj (рис. 4.69), а в случае проводников р-типа — акцепторными, они расположены вблизи потолка валентной зоны (рис. 4.69, б), будучи отделены от нее небольшим зазором AWa. Величина AWa обычно много меньше ширины запрещенной зоны AWg. Например, для кремния AWd = 1,1 эВ, AWa для акцепторных примесных атомов В, Al, In лежит в пределах 0,03—0,06 эВ. Аналогично AWd « AWg.
Отметим, что уровень Ферми в примесном электронном полупроводнике лежит (при не слишком высокой температуре) между нижним краем зоны проводимости и донорным уровнем (рис. 4.69, а); в дырочном полупроводнике — между верхним краем валентной зоны и акцепторным уровнем (рис. 4.69, б). При некоторой достаточно высокой температуре Т’ (рис. 4.71) уровень Ферми переходит к середине запрещенной зоны, и примесный полупроводник превращается в собственный.
4.52.	ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПРИМЕСНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
При Т = 0 в полупроводнике n-типа валентная зона полностью заполнена электронами, донорные уровни также заполнены электронами, а зона проводимости пуста (рис. 4.69, а). В полупроводнике p-типа при Т = 0 валентная зона полностью заполнена электронами, а акцепторные уровни и зона проводимости пусты (рис. 4.69, б).
170
Раздел 4
При Т * 0 в полупроводнике n-типа идут, стимулированные тепловым движением, переходы электронов с донорных уровней в зону проводимости — тепловая генерация «примесь-зона», а также переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости — генерация «зона — зона» (1 и 2 на рис. 4.70). Однако вероятности этих двух процессов тепловой генерации электронов в зону проводимости существенно различны. Для того, чтобы «забросить» электрон с локального донорного уровня в зону проводимости, нужно сообщить ему дополнительную энергию, равную ширине энергетического зазора AWd; для того, чтобы «забросить» электрон с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости, электрону необходимо сообщить гораздо большую энергию, равную ширине запрещенной зоны ДТГв (стрелки 1 и 2 соответственно на рис. 4.70). По порядку величины характерные значения AVFd -0,01 эВ Л1У8 - 1 эВ, поэтому при комнатных температурах (kT = 0,026 эВ) вероятность генерации Pj с донорных уровней:
<4’345>
на много порядков превышает вероятноять Pg генерации из валентной зоны:
„	(4.346)
Pg - е ,
то есть
Рис. 4.70
Квантовая физика
171
Естественно, что идут и обратные переходы — процессы рекомбинации электронов проводимости с локализованными на донорных уровнях дырками и дырками, делокализованными в валентной зоне. В состоянии теплового равновесия средние скорости прямых процессов — генерации и обратных процессов — рекомбинации равны друг другу, в результате чего и устанавливается некоторое стационарное распределение электронов по энергиям.
Так при температурах, когда Wd a kT « (комнатные температуры), стационарная ситуация в полупроводнике n-типа такова. В зоне проводимости имеются свободные электроны, подавляющая часть которых в силу неравенства (4.347) заброшена туда с донорных уровней и лишь незначительная их часть из валентной зоны. На донорных уровнях и в валентной зоне имеются дырки, суммарное количество которых равно количеству свободных электронов в зоне проводимости (потому что электроны в зоне проводимости и дырки «рождаются» и «уничтожаются» парами):
n=Pd+P,	(4.348)
здесь п — концентрация электронов проводимости, pd — концентрация дырок на донорных уровнях (равная концентрации ионизованных доноров), р — концентрация дырок валентной зоны.
При этом подавляющая часть дырок, в силу того же неравенства (4.347), находится на донорных уровнях, то есть:
pd»p.	(4.349)
Однако дырки на донорных уровнях, как мы уже установили ранее, локализованы, и, следовательно, не могут переносить электрический заряд в пространстве, а значит, и участвовать в создании электрического тока. Дырки же валентной зоны являются свободными носителями электрического заряда и участвуют в создании электрического тока. Но, как следует из (4.348), (4.349), концентрация п свободных электронов зоны проводимости много больше концентрации р свободных дырок валентной зоны:
п » р	(4.350)
и наличие свободных дырок можно в значительной степени игнорировать. Следовательно, электропроводность
172
Раздел 4
полупроводника с донорными примесями в рассматриваемой области температур Wd » kT « AVKg определяется лишь электронами проводимости (проводимость n-типа). При этом, как видно из (4.348), (4.349), концентрация свободных электронов зоны проводимости практически равна при 300 К концентрации pd дырок, локализованных на донорных уровнях:
n -pd.	(4.351)
В области же высоких температур, таких что < kT стационарная ситуация такова. Как и при комнатных температурах равновесная концентрация свободных электронов зоны проводимости устанавливается в результате конкуренции процессов термической генерации электронов проводимости с донорных уровней и из валентной зоны и обратных им процессов рекомбинации. Однако в области высоких температур происходит «истощение» донорных уровней, заключающееся в том, что все донорные примеси уже ионизованы и не могут при увеличении температуры дополнительно поставлять электроны в зону проводимости. При этом, основным механизмом поставки электронов в зону проводимости становится их генерация из валентной зоны по той причине, что концентрация донорных примесей много меньше концентрации основных атомов, хотя вероятность генерации с донорных уровней PJS по-прежнему больше вероятности генерации из зоны проводимости Pg. Таким образом, как и в (4.348), имеем n = pd + р, но теперь:
Р » P<i,	(4.352)
а, значит:
п^р,	(4.353)
то есть концентрация свободных электронов зоны проводимости практически равна концентрации свободных дырок валентной зоны, и мы имеем практически такую же ситуацию, как и в собственном полупроводнике (в полупроводнике без примесей).
Итак, в примесном полупроводнике п-типа концентрация электронов зоны проводимости определяется двумя отмеченными выше типами тепловой генерации: генерацией «донорные уровни — зона проводимости» и
Квантовая физика
173
генерацией «валентная зона — зона проводимости». Поэтому его удельная электропроводность может быть представлена в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых имеет активационный характер с энергией активации AWd/2, AWe/2:
bWg	AW,
7 (T) = YoX	+ Y„e~ йй7,
(4.354)
где коэффициенты yod и y0 слабо зависят от температуры. Для кремния в области комнатных температур определяющим в (4.354) является первое слагаемое, а в области более высоких температур, когда наступает примесное истощение, — второе. Поэтому, если по оси абсцисс откладывать обратную температуру 1/71, а по оси ординат In у, то график температурной зависимости удельной электропроводности примесного полупроводника в этих координатах будет иметь вид ломаной линии, в
соответствии с преимущественным вкладом первого или
второго слагаемого в данной области температур (рис. 4.71).
В области высоких температур угловой коэффициент
прямолинейного участка 1 tg = AWg/2k определяется шириной запрещенной зоны AWg, как и в собственном полупроводнике, и поэтому эта область называется об-
ластью собственной проводимости. В области достаточно низких температур (участок 2 на рис. 4.71) угловой коэффициент tg а2 = АИ^/Зй определяется шириной энергетического зазора АИ^ между донорными уровнями и зоной проводимости, и эта область называется областью примесной проводимости. Отметим еще раз, что при по
вышении температуры до Ферми смещается из положения вблизи края зоны проводимости в середину запрещенной зоны. Отметим также, что положение точки Т' зависит от ширины запрещенной зоны AVKg и концентрации примесей (Nd). Если, например, Nd увеличивается, то температура перехода от
точки 7' и выше уровень
174
Раздел 4
примесной проводимости к собственной для данного полупроводника увеличивается (пунктирная прямая на рис. 4.71), т. е. точка Т смещается влево.
Для примесных полупроводников p-типа все рассуждения проводятся аналогично, если вместо электронов рассматривать дырки. Естественно, что и результаты, полученные таким способом, будут аналогичными тем, которые получены для полупроводников п-типа.
Приведенные выше рассуждения справедливы, если в полупроводнике имеет место подавляющее преобладание концентрации примесей одного типа — донорных (Nd » Na) или акцепторных (Na » Nd). Если концентрации акцепторов и доноров близки (Nd » Na), то проявляется так называемый эффект компенсации примесных уровней — донор отдает свой лишний электрон не в зону проводимости, а акцепторному уровню, и пара таких (компенсированных) уровней теряет способность участвовать в создании примесной проводимости. При точной компенсации (Nd - Na) примесная проводимость не проявляется вовсе; полупроводник, содержащий примеси, оказывается «собственным». Эффект компенсации имеет место во многих полупроводниковых приборах.
4.53.	НЕРАВНОВЕСНАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Рассмотренные в п. 4.50 и 4.52 собственная и примесная электропроводности являются равновесными. Равновесная электропроводность свойственна полупроводниковым кристаллам самим по себе, то есть не связана с каким-либо внешним воздействием. Внешним воздействием на полупроводник можно увеличить концентрацию носителей тока и электропроводность кристалла. Избыточные носители тока называются неравновесными, а соответствующая им электропроводность — Неравновесной электропроводностью. Она может быть собственной и примесной, электронной и дырочной.
Неравновесными носителями являются, например, фотоносители — дополнительные свободные электроны и дырки, порожденные воздействием на кристалл света. Если квант света Йю удовлетворяет условию йю > ДИ^, то он способен вызвать генерацию «зона—зона», в ре
Квантовая физика
175
зультате которой электрон из валентной зоны будет переброшен в зону проводимости. Возникнет пара свободных носителей тока — электрон и дырка. Эти носители тока, называемые фотоносителями, являются неравновесными.
Фотогенерация происходит до тех пор, пока действует свет. Одновременно растет и скорость противоположного процесса — скорость рекомбинации неравновесных электронов и дырок. В конечном итоге устанавливается динамическое равновесие между указанными двумя встречными процессами. При этом концентрация неравновесных носителей Дп = п — п0 достигает своего максимально возможного (при данной освещенности) стационарного значения Дпст = пст - п0, где пст и п — стационарное и текущее значения общей концентрации свободных носителей в освещенном кристалле, п0 — равновесная («темновая») концентрация носителей тока.
Очевидно, что скорость изменения концентрации неравновесных носителей d (Ari)/dt равна разности между скоростью их генерации g (число ежесекундно возникающих фотоносителей) и скоростью рекомбинации Дп/т, где х — время жизни неравновесных носителей тока. Величина х есть среднее время между моментом генерации носителя и моментом его рекомбинации. Поэтому можно записать:
d (Ад) _ _ (Ал)	(4.355)
dt 8 т ‘
Это дифференциальное уравнение описывает процесс увеличения концентрации неравновесных фотоносителей от значения Дп = О в момент включения света (обозначим его tj) до Дпст при t -> оо. Если в некоторый момент t2 свет выключается, то g = 0 и уравнение (4.355) преобразуется к виду:
d (Ал) _ _ Ал	(4.356)
dt	1 ‘
Решение этого уравнения In (Дп) = -t/x + In С можно представить в форме Дп = С ехр (—t/x). Так как при t = t2 Дп = Дпст, то С = Дпст ехр (t2/x) и, следовательно,
* л	(4.357)
Дп = Дпст • е т .
176
Раздел 4
Аналогично решением уравнения (4.355) будет:
Ап = Апег
(4.358)
Полагая, что фотопроводимость определяется неравновесными носителями одного типа, например, электронами, можно на основе (4.358) и (4.357) записать:
(4.359)
— для процесса роста фотопроводимости после включения света в момент t и
Ау = Ауст • е~ г
(4.360)
— для процесса спада фотопроводимости после выключения света в момент t2. Здесь Ауст = уст - у0 — стационарное значение фотопроводимости, уст — стационарное значение общей проводимости, у0 — темновая ее часть; Ау = У — Уо и у — текущие значения фотопроводимости и общей проводимости соответственно.
Изложенное представлено графически на рис. 4.72. Участок I приведенной на рис. 4.72 кривой описывается уравнением (4.359); участок II — соответствует уравнению (4.360). Участок II отражает переход системы в равновесное состояние, в котором кристалл обладает равновесной электропроводностью у0. Скорость этого перехода определяется временем жизни неравновесных
Рис. 4.72
Квантовая физика
177
носителей тока т. За время т неравновесная электропроводность Аует убывает в е раз, т. е. до величины АТст/е> что непосредственно получается из выражения (4.360) при подстановке в него равенства t - t2 = т (см. рис. 4.72).
За время жизни х неравновесный носитель тока в процессе теплового хаотического движения успевает сместиться на некоторое расстояние L, которое называется диффузионной длиной неравновесного носителя. Диффузионная длина L и время. жизни х решающим образом влияют на параметры многих полупроводниковых приборов. Например, они определяют быстродействие полупроводниковых транзисторов и величину коэффициента полезного действия полупроводниковых преобразователей световой энергии в электрическую.
Увеличение концентрации носителей тока в кристалле и увеличение его электропроводности под действием света называется внутренним фотоэффектом. Внутренний фотоэффект лежит в основе принципа действия полупроводниковых фотопреобразователей, широко используемых на практике.
Изложенное в настоящем параграфе и в п. 4.50 — 4.52 показывает, что электропроводность полупроводников делится на равновесную и неравновесную, собственную и примесную, электронную и дырочную.
4.54.	ПОНЯТИЕ О р-п-ПЕРЕХОДЕ
Известно, что полупроводниковые кристаллы играют важную роль в современной электронике. Однако широко используются не сами однородные полупроводниковые кристаллы, а специальные Неоднородные структуры, выполненные с использованием полупроводников. К ним относятся, например, структуры, содержащие границы раздела «полупроводник—металл», «полупроводник-диэлектрик—металл», а также границы раздела между полупроводниками с различным типом проводимости. Последняя структура называется электронно-дырочным переходом или кратко р-п-переходом. Электронно-дырочный переход — наиболее типичный и наиболее широко используемый представитель полупроводниковых структур. Он применяется для изготовления дискретных полупроводниковых приборов (диодов, транзисторов и т. п.) и интегральных микросхем (ИМС).
178
Раздел 4
В полупроводниковой ИМС на одном кристалле формируется множество микроминиатюрных схемных элементов: резисторов, конденсаторов, диодов, транзисторов. Все они могут выполняться на основе р-п-перехода. Это объясняется тем, что электронно-дырочный переход обладает одновременно резистивными, емкостными, выпрямительными и некоторыми другими полезными схемными свойствами. Таким образом, р—n-переход является универсальным схемным элементом современной полупроводниковой микроэлектроники.
Электронно-дырочный переход представляет собой границу раздела между электронной и дырочной областями внутри полупроводникового кристалла (см. рис. 4.73). Буквой i обозначен р—n-переход. Левее расположена p-область, полученная введением в эту часть кристалла акцепторных примесных элементов. В этой области дырки являются основными носителями тока, а электроны — неосновными. Правее располагается п-об-ласть с примесной электронной электропроводностью. В i-слое имеет место полная компенсация донорных и акцепторных уровней. Для i-слоя характерна весьма малая собственная электропроводность (высокое сопротивление). Это одна из причин того, что р—n-переход обладает резистивными свойствами.
Через р—n-переход происходит диффузия дырок из p-области, где их концентрация велика, в п-область, где их концентрация много меньше. Указанная диффузия создает диффузионный дырочный ток, плотность которого обозначим Индекс «О» означает, что внешняя разность потенциалов отсутствует (I/ = О). Диффузионный ток направлен из p-области в п-область. В итоге электронная область заряжается положительно, а дырочная — отрицательно (область d на рис. 4.73). Таким образом, р—n-переход становится подобным заряженному конденсатору. Этот эффект лежит в основе емкостных свойств р-п-перехода.
Наличие указанных зарядов создает в области р-п-перехода некоторую разность потенциалов ср, и соответствующий скачок потенциальной энергии для дырки, равный сф<;, называемый потенциальным барьером. На рис. 4.73 видно (сплошная кривая), что возникающий в области р-п-перехода потенциальный барьер несимметричен (в отличие от потенциальных барьеров в однородном кристалле, связанных с периодичностью крис-
Квантовая физика
179
таллического поля — рис. 4.54). Несимметричность потенциального барьера лежит в основе способности р—п-перехода выпрямлять переменный электрический ток.
Наличие потенциального барьера превращает переход дырки из дырочной области в электронную в активационный процесс. Вероятность такого перехода пропорциональна множителю exp (~Wp/kT) = exp (-etpc/kT) (см. формулу (4.339)). Поэтому число дырок, ежесекундно преодолевающих барьер, равно р = рр exp (~eq>c/kT), где рр — концентрация дырок в дырочной области. Следовательно, плотность диффузионного тока через р—п-переход в отсутствие внешней разности потенциалов равна:
-«р
& = evp  р = а • ekT.
Из выражения (4.361) видно, что диффузионный дырочный ток зависит от высоты барьера е<рс и, следовательно, может изменяться внешним полем.
Одновременно через р -п-переход протекает дырочный ток и в обратном направлении, т. е. из п- в р-область.
.361)
180
Раздел 4
Этот ток называется генерационным и связан с тепловой генерацией дырок в слое n-области, прилегающей к р—п-переходу, и имеющей толщину, равную диффузионной длине дырок (Lp). На рис. 4.73 этот слой заштрихован (справа от р—n-перехода). Все дырки, возникающие за счет тепловой генерации в указанном слое, успевают за время жизни т сместиться в область объемного заряда, где переносятся внутренним электрическим полем в р-область («скатываются» к основанию потенциального барьера). Такой переход дырок из п- в p-область не является активационным, не требует добавочной энергии и создает дырочный ток, плотность которого равна:
fPd = ev,pn = е~?рп.	(4.362)
V
Здесь рп — концентрация дырок в п-области; vp = Lp/ip — средняя скорость их смещения к р-п-пере-ходу.
Из выражения (4.362) видно, что величина fpg не зависит от высоты барьера e<pc и поэтому не может изменяться под действием факторов, влияющих на его высоту, например, под действием внешнего электрического поля.
Если внешнее электрическое поле отсутствует, то через р-п-переход дырочный ток не течет, т. е. fPd “ fPg = 0 или:
L ае kT - е  рп.
Если бы это было не так, то был бы нарушен закон сохранения энергии. Равенство fpg = fptj отражено на рис. 4.73 одинаковыми и противоположными стрелками. Соотношение fpg = fpd (4.363) и аналогичное равенство для электронных диффузионного и генерационного токов через р-п-переход отвечают состоянию равновесия кристалла, содержащего р-п-переход. Потенциальный барьер для электронов в области р-п-перехода представлен на рис. 4.74 штрихпунктирной кривой. Значение (pc для состояния равновесия называется контактной разностью потенциалов.
Для уяснения механизма выпрямления р-n-переходом переменного тока достаточно рассмотреть поведение зарядов одного знака, например, дырок. Электроны
Квантовая физика
181
дают аналогичный (хотя и не равный) вклад в общую величину тока через р—п-переход.
Если на р-п-переход подано внешнее напряжение U, то высота диффузионного потенциального барьера изменится от е<рс до е(рс - Ue, где U считается положительным (U > 0), если на p-область подан «+», а на п-область «—» и отрицательным в противоположном случае. Ток, возникающий в первом случае, называется прямым, а во втором — обратным. При любой полярности приложенного напряжения выражение (4.361) примет вид:
«Рс еУ
jpd = аее i41'"= ае *г • е*т.
Учитывая (4.363), можно это выражение переписать в виде:
jpd @Рр
еУ ем.
(4.364)
Генерационный ток не зависит от приложенной раз-
ности потенциалов и сохраняет свое значение, т. е. jpg = i°g ~ ePnLp/ip (4.362). Поэтому результирующий дырочный ток через р-п-переход равен:
£
]р ~ ]pd ]рк'~ е Рп т₽
, еУ
е*т - 1
(4.365)
Все изложенное справедливо и по отношению к результирующему электронному току, т. е.
in = enp±(e%-i),	(4-366>
где пр — концентрация электронов в дырочной области, L„ и тл — их диффузионная длина и время жизни соответственно. Следовательно, общий ток через р-п-переход (j = jn + jp) равен:
(4-367)
ь, J к )
Так как величины пр, L„, тр, Р,„ тр постоянны для данного кристалла с р—n-переходом при Т = const (в отсутствие освещенности), то последнее выражение можно записать в виде:
, eU .
I = Io CefT - 1^ , где I = y’S; S — площадь p—п-перехода;
(4.368)
182
Раздел 4
Io = eS(^+P^\,	(4.369)
I Т” Xp J
Соотношение (4.368) называется диодным уравнением. Оно описывает вольтамперную характеристику полупроводникового диода (рис. 4.74). Если к p-области приложен «—», а к п-области «+» (т. е. U < О), то говорят, что р-п-переход включен в обратном направлении, через него течет обратный ток (I < 0). Из выражения (4.368) видно, что при достаточно больших (отрицательных) значениях U первым слагаемым в правой части (4.368) можно пренебречь и I = -10 (см. рис. 4.74). Величина 10 называется током насыщения. Ток насыщения крайне мал, так как определяется неосновными носителями тока пр и р„, концентрация которых мала.
Если U > 0, то через р—n-переход течет прямой ток. При достаточно больших U величина exp (eU/kT) » 1 и прямой ток быстро (экспоненциально) увеличивается с напряжением (рис. 4.74). В итоге при равных по величине напряжениях U прямой ток оказывается больше обратного на много порядков. Это и отражает факт выпрямления р-п-переходом переменного тока. Выпрямители переменного тока, основанные на использовании ргn-перехода, называются полупроводниковыми диодами.
При увеличении температуры увеличиваются концентрации неосновных носителей тока пр и рп и возрастает ток насыщения (пунктирная кривая на рис. 4.74). При температуре Т' (рис. 4.71) р- и n-примесные части кристалла становятся собственными, р—n-переход и эффект выпрямления исчезают.
Рис. 4.74
Квантовая физика
183
Формула (4.368) описывает обратную ветвь вольтам-перной характеристики при напряжениях, меньших пробивного (Unp). Если U достаточно велико (U > Unp), то наступает пробой. При некоторых условиях, легко достижимых на практике, р—n-переход, работающий в режиме пробоя, может выполнять роль стабилизатора напряжения в цепи. Это еще одна полезная схемная функция р-п-перехода.
При прямом напряжении на р—n-переходе, т. е. при прямом токе, в n-область из p-области вводятся избыточные дырки, которые в p-области проявляют себя как неосновые носители тока. Они находятся в валентной зоне и являются неравновесными. Эффект введения в n-область через р—n-переход, включенный в прямом направлении, неосновных носителей (дырок) называется инжекцией. Одновременно происходит инжекция неосновных носителей (электронов) из n-области в р-область. Эффект инжекции позволяет из двух р-п-переходов получить в кристалле такую структуру, которая обладает усилительными свойствами — полупроводниковый биполярный транзистор (см. п. 4.55). Кроме того, инжектированные неравновесные носители тока (например, дырки) в течение времени жизни т рекомбинируют в n-области с собственными носителями (электронами). В процессе рекомбинации электрон из зоны проводимости переходит в валентную зону, выделяя энергию >ДЖГ Эта энергия частично преобразуется в энергию квантов электромагнитного излучения й® > AWg. Такой эффект лежит в основе действия полупроводниковых приборов, называемых светодиодами. При определенных условиях свечение прямо включенных р-п-пере-ходов может переходить в узконаправленное и когерентное. В таком качестве р—n-переход является полупроводниковым квантовым генератором. Итак, р-п-переход способен преобразовывать электрическую энергию в световую.
Существует и обратный эффект — преобразование р-n-переходом световой энергии в электрическую. Квант света с энергией й® > АИ^, попавший в кристалл с р-п-переходом, создает в нем пару свободных носителей тока «электрон-дырка». В результате в однородном кристалле увеличивается концентрация носителей тока и увеличивается электропроводность (см. п. 4.52). Если
184
Раздел 4
же в полупроводнике имеется р-п-переход, то между р- и n-областями освещенного кристалла возникает разность потенциалов, называемая фотоэлектродвижущей силой. Механизм ее возникновения следующий. Фотоэлектрон и фотодырка, возникающие на расстоянии не более Ln и Lp и от р-п-перехода (см. рис. 4.73 — заштрихованные области), успевают за время жизни (?„, tp) сместиться в область потенциального барьера. Поле, связанное с этим барьером, увлекает дырку в p-область, а электрон — в n-область. В итоге р-область заряжается положительно, а n-область отрицательно; возникает дополнительная разность потенциалов между ними, связанная с действием света на полупроводник. Эта разность потенциалов и проявляется как фотоЭДС. Фотопреобразователи, использующие описанный эффект, лежат в основе действия фотодиодов и полупроводниковых солнечных батарей..
4.55.	ПОНЯТИЕ О БИПОЛЯРНОМ ТРАНЗИСТОРЕ
Существует несколько типов транзисторов, выполненных с использованием полупроводниковых кристаллов. Биполярный транзистор представляет собой кристалл с двумя р-п-переходами, расстояние между которыми d много меньше диффузионной длины L неравновесных носителей тока. Условие d « L обеспечивает взаимодействие между р-п-переходами транзистора и его работу как усилителя электрического сигнала. Два р—n-перехода разделяют в кристалле три области с чередующимся типом проводимости р—n-р или п—р—п. В обоих- случаях принцип действия биполярного транзистора одинаков. Рассмотрим транзистор р—п—р-типа, схематически изображенный на рис. 4.75. Роль транзистора в электрической схеме зависит от того, как он в эту схему включен. На рис. 4.75 представлено включение с общей базой (точка А). При таком включении транзистор обеспечивает усиление сигнала, поданного на входное сопротивление _RBX, по напряжению и мощности.
Левая p-область транзистора называется эмиттером (Э — на рис. 4.75), а примыкающий к ней р-п-переход — эмиттерным переходом 1. Правая p-область называется коллектором К; к ней примыкает коллекторный переход 2. Между эмиттером и коллектором рас-
Квантовая физика
185
Рис. 4.75
полагается база транзистора Б. Ее толщина обозначена d. Только при d « L возникает такое взаимодействие между включенными в цепь эмиттерным и коллекторным переходами, которое и лежит в основе усилительных свойств транзистора.
Если в цепь включен только коллектор, то в его цепи будет течь слабый обратный ток, обусловленный неосновными носителями. В соответствии со вторым правилом Кирхгофа ЭДС источника &2 распределится в виде некоторых падений напряжения (AL7 = I R) на сопротивлении нагрузки At7H = I и сопроотвлении коллекторного р—n-перехода. Величина AU„ будет относительно малой, так как сопротивление нагрузки R„ обычно значительно меньше сопротивления коллекторного перехода, включенного в обратном направлении. Величину выходного напряжения можно увеличить, если при заданном RH уменьшить сопротивление коллекторного перехода, т. е. увеличить ток I, создаваемый источником, в цепи коллектора. Именно это и обеспечивается близко расположенным эмиттерным р—п-переходом при его включении в прямом направлении.
При включении эмиттерного перехода в прямом направлении возникает эффект инжекции дырок в базу (см. п. 4.54). Так как d < L, то значительная часть инжектированных носителей, не успев рекомбинировать, достигает коллектора и увлекается полем коллекторного р-п-перехода, снижая его сопротивление и усиливая ток в коллекторной цепи. Это приводит к увеличению
186
Раздел 4
напряжения на сопротивлении нагрузки Д17в. В итоге малые изменения напряжения, поданного на вход транзистора, приводят к значительным изменениям напряжения на его выходе. Одновременно происходит и усиление сигнала по мощности. Это усиление связано с отбором дополнительной энергии от источника питания коллекторной цепи ^2.
В биполярном транзисторе оба р—n-перехода в процессе работы взаимосвязаны и выполняют общую схемную функцию, например, функцию усиления напряжения. Однако каждый из р—n-переходов транзистора сохраняет и остальные свои схемные свойства (резистивные, емкостные). Это обстоятельство широко используется в технологии полупроводниковых интегральных микросхем. Используя кристалл, на котором сформировано множество транзисторов (однородная транзисторная структура), можно с помощью системы межэлементной разводки придавать транзисторам различные схемные функции и создавать в итоге сложную электронную схему на одном полупроводниковом кристалле.
4.56.	ЯВЛЕНИЕ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ.
ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
В 1911 г. голландский физик Камерлинг-Оннес, изучая температурную зависимость сопротивления ртути, обнаружил, что оно внезапно исчезает при температуре Т < Тк — 4,15 К. Вскоре после этого такие же свойства были обнаружены и у некоторых других металлов и сплавов. Это свойство проводников, состоящее в том, что их электрическое сопротивление R скачком падает до нуля при охлаждении ниже определенной критической температуры Тк, характерной для данного материала, было названо сверхпроводимостью. На рис. 4.76
показан характер температурной зависимости сопротивления R (Т) проводника вблизи критической температуры Тк сверхпроводящего перехода.
Кроме отсутствия электрического сопротивления при Т < Тк, для сверхпроводящего состояния характерно то, что магнитное поле не проникает в
Рис. 4.76
Квантовая физика
187
толщу сверхпроводника, если величина индукции В этого магнитного поля не превышает некоторого критического значения Вк (Т), зависящего от температуры Т и характерного для данного материала. На рис. 4.77 схематически показана зависимость Вк (Т).
Если поместить металл j магнитное поле В, меньшее
Рис. 4.77 нормальном состоянии в критического Вк, и затем
понижать температуру металла, то в момент перехода
металла в сверхпроводящее состояние магнитное поле «выталкивается» из образца и магнитная индукция в образце обращается в нуль. Поведение магнитного поля (В < Вк) вблизи образца в нормальном состоянии и в сверхпроводящем состоянии представлено на рис. 4.78. На рис. 4.78 изображен цилиндрический сверхпроводник, ось которого перпендикулярна плоскости рисунка.
Эффект «выталкивания» магнитного поля из объема сверхпроводника был экспериментально открыт В. Мейсснером и Р. Оксенфельдом в 1933 г. и носит название — эффект Мейсснера.
Более детальные исследования показали, что магнитное поле равно нулю лишь в толще массивного образца. В тонком поверхностном слое оно постепенно уменьшается от заданного значения на поверхности до нуля.
Сверхпроводящее состояние
Рис. 4.78
188
Раздел 4
Толщина этого слоя, называемого глубиной проникновения, обычно имеет порядок величины б - 10 5-10 ® см.
Эффект Мейсснера связан с тем, что при переходе в сверхпроводящее состояние, например, цилиндрического образца в магнитном поле В <ВК в поверхностном слое (толщиной б - 10 5-10 8 см) сверхпроводящего цилиндра появляется незатухающий круговой ток 1„ сила которого как раз такова, что собственное магнитное поле В этого тока компенсирует внешнее магнитное поле в толще сверхпроводника (рис. 4.79, а, б). На рисунке 4.79, а представлены сверхпроводящий цилиндр, незатухающий круговой ток в нем и взаимное положение векторов магнитной индукции внешнего поля В и поля тока В’. На рис. 4.79, б дана зависимость величины вектора магнитной индукции в присутствии сверхпроводящего цилиндра от расстояния г до его оси.
Другое, связанное с рассмотренным выше, явление состоит в следующем. Если сначала образец металла перевести в сверхпроводящее состояние, а затем включить магнитное поле В < Вк (в эффекте Мейсснера последовательность операций обратная), то оно не сможет проникнуть в толщу образца, потому что, если бы в момент включения магнитного поля оно изменилось на какую-либо конечную величину внутри металла, то есть появилась бы скорость изменения магнитного потока внутри металла, то в соответствии с законом электромагнитной индукции возникла бы индукционная ЭДС & = -dO/df, которая в свою очередь немедленно вызвала бы электрический ток I = &/В, который по закону Ленца, был бы направлен так, что его собственное магнитное поле уменьшало приращение внешнего маг-
Квантовая физика
186
Рис. 4.80
нитного потока. А раз у сверхпроводника сопротивление R .= О, то даже бесконечно малая индукционная ЭДС	—> О, уже
вызовет ток I = /R, достаточный, чтобы полностью скомпенсировать внешнее магнитное поле внутри образца. Значит, если маг
нитное поле (В < Вк) включается, после того как охладили металл до сверхпроводящего состояния, внутрь металла оно проникнуть не может.
Так как в сверхпроводящем состоянии внутри образца В = О, то формально можно считать, что магнитная проницаемость сверхпроводника р = О. Действительно, только при при р. = О В = рорН = О при Н * О. Вещества с О < р < 1 называются диамагнетиками. Таким образом, сверхпроводники являются идеальными (р = = О) диамагнетиками.
Если увеличить ток, текущий через сверхпроводник, включенный в некоторую цепь, то при некотором критическом значении силы тока 1К сверхпроводящее состояние разрушается. Значение критического тока зависит от температуры 1К (Т), качественный вид этой зависимости изображен на рис. 4.80.
4.57.	ОСНОВНЫЕ ИДЕИ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
Явление сверхпроводимости очень похоже на явление сверхтекучести жидкого гелия, открытое П. Л. Капицей в 1938 г. Теория сверхтекучести была построена Л. Д. Ландау в 1941 г. Одним из наиболее ярких проявлений сверхтекучести является течение гелия по капиллярам с нулевой вязкостью, то есть без трения о стенки капилляра. Естественно было интерпретировать сверхпроводимость как сверхтекучесть электронной жидкости сквозь кристаллическую решетку металлов. Основанная на этой идее микроскопическая теория сверхпроводимости была построена Бардином, Купером и Шриффером — теория БКШ, и независимо от них Н. Н. Боголюбовым в
190
Раздел4
1957 г., спустя 46 лет с момента экспериментального открытия сверхпроводимости, что свидетельствует о чрезвычайной сложности этой проблемы.
Q Выясним условия, при которых осуществляется сверхтекучесть (квантовой) жидкости, подобной жидкому гелию. Поведение такой системы может быть понято на основе общей концепции Ландау о структуре энергетического спектра конденсированных квантовых систем вблизи энергии основного состояния (состояние с наименьшей энергией) такой квантовой системы. Именно этот участок энергетического спектра (вблизи основного состояния) и играет главную роль при низких температурах, когда характерная энергия теплового возбуждения системы достаточно мала, так что квантовая система с подавляющей вероятностью находится в низколежащих возбужденных состояниях, близких (по энергии) к основному состоянию, а вероятность нахождения квантовой системы в квантовых состояниях, далеких (по энергии) от основного состояния, исчезающе мала.
Согласно идее Ландау, энергия каждого низколежащего возбужденного состояния любой конденсированной однородной квантовой системы, состоящей из большого числа взаимодействующих между собой частиц, может быть формально представлена в виде суммы энергий некоторого количества невзаимодействующих между собой фиктивных частиц, называемых «квазичастицами» (или элементарными возбуждениями). Поэтому свойства любой конденсированной системы в области низких температур, могут быть описаны с помощью модели невзаимодействующих квазичастиц. Квазичастицы могут иметь целый или полуцелый спин, то есть могут быть бозе-частицами или ферми-частицами, причем спин квазичастиц не обязательно совпадает со спином реальных •частиц, составляющих систему, то есть статистика квазичастиц не связана однозначно со статистикой частиц, составляющих систему1. Энергия квазичастиц W является функцией их импульса р, и эта зависимость W (р) является главной характеристикой низколежащих возбужденных состояний конденсированной системы.
В основном состоянии конденсированной квантовой системы элементарные возбуждения (квазичастицы) отсутствуют (по определению). Первому возбужденному состоянию соответствует наличие одного элементарного возбуждения. Если отсчитывать энергию от энергии основного состояния рассматриваемой конденсированной системы, то энергия первого возбужденного состояния этой системы равна минимальному значению энергии элементарного  возбуждения W (р)т\п, рассматриваемой как функция импульса р.
Энергию Основного состояния конденсированной системы примем равной нулю: W = 0. Энергия возбужденного состояния с одной квазичастицей (элементарным возбуждением) есть W (р).
Если минимальное значение энергии элементарного возбуждения W (р) = 0, то основное состояние не отделено конечной энергети
1 В зависимости от того, является ли спин частиц (или квази-частиц) целым (п/1) или нолуцелым ((и + 1/2) Й) ови описываются различными статистиками: статистикой Ферми-Дирака или статистикой Бозе-Эйнштейна. Подробнее об этом см. гл. 5.
Квантовая физика
191
ческой щелью от возбужденных состояний» В этом случае говорят, что спектр элементарных возбуждений имеет бесщелевой характер (рис. 4.81, смысл Wp и добудет ясен из последующего). Таким спектром элементарных возбуждений, в частности, обладает система невзаимодействующих между собой ферми-частиц, например, электронов — идеальный ферми-газ.
Если минимальное значение
энергии элементарного возбужде-
ния (которое мы обозначим Д) есть положительная конечная
величина
W(p)lr„n = Д>0,
(4.370)
то первое возбужденное состояние системы отделено по энергии от основного конечной «энергетической щелью» Д. В этом случае говорят, что спектр элементарных возбуждений имеет щелевой характер. Пример спектра щелевого характера представлен на рис. 4.82. Таким спектром элементарных возбуждений, в частности, обладает система ферми-частиц (например, электронов), между которыми действуют силы притяжения.
Концепцию квазичастиц легче всего проиллюстрировать на примере колеблющейся кристаллической решетки, состоящей из взаимодействующих между собой частиц-атомов, образующих кристалл. Как известно, пока амплитуда колебаний атомов в узлах решетки мала по сравнению с периодом решетки, энергию колеблющейся решетки можно представить в виде суммы энергий невзаимодействующих между собой квантов колебаний решетки — «фоно-нов». Происхождение этого термина связано с тем, что фононы являются квантами упругих (звуковых) волн, распространяющихся в решетке, аналогично тому, как фотоны являются квантами электромагнитных^ световых) волн.
Таким образом, в этом примере частицами, образующими рассматриваемую конденсированную квантовую систему — кристаллическую решетку, являются взаимодействующие между собой атомы.
а квазичастицами, с помощью которых описываются пизколежащие возбужденные состояния кристаллической решетки, являются невзаимодействующие между собой фононы. Отметим, что фононы всегда подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна, независимо от спина атомов, составляющих решетку. Энергия фонона может быть
записана по аналогии с энергией фотона (см. п. 3.28):
W (₽) = ср, (4.371)
где с — скорость звука в кристалле, р — импульс фонона. Как видно из (4.371), спектр элементарных возбуждений кристаллической решетки бесщелевой, так как W (p)miu = 0 (рис. 4.83).
Рис. 4.82
192
Раздел 4
Получим теперь критерий сверхтекучести, сводящийся, как будет показано ниже, к некоторому условию, которому должен удовлетворять спектр) элементарных возбуждений (квантовой) жидкости.
Представим себе жидкость (например, гелий), текущую по капилляру со скоростью v, в лабораторной системе отсчета (система Д'). Если перейти в систему и движущуюся со скоростью v
Рис. 4.83 отсчета, связаную с жидкостью (система К'}, то жидкость в этой системе отсчета будет находиться в покое, а стенки трубки будут двигаться со скоростью — v (рис. 4.84).
Если возникает трение жидкости о стенки капилляра, то движущаяся трубка начнет увлекать за собой покоящуюся жидкость, а это означает, что у жидкости начнет изменяться кинетическая энергия и импульс. Как мы уже знаем, в соответствии с концепцией Ландау, у однородной квантовой системы изменение энергии и импульса происходит путем появления квазичастиц (элементарных возбуждений). Пусть в результате трения о стенку в жидкости появилась одна квазичастица с импульсом р и кинетической энергией W (р) в системе отсчета К' (рис. 4.84, б). Эти величины р и W (р) есть одновременно импульс и кинетическая энергия всей жидкости (в состоянии с одним элементарным возбуждением) в системе К'.
Перейдем обратно в лабораторную систему отсчета К, связанную с трубкой, используя преобразования Галилея. При этом импульс и энергия всей жидкости, как известно, преобразуются следующим образом:
р = р’ + М V,
w = W' + (р', V) + М ~ ,
(4.372)
где р, W — импульс и энергия всей жидкости в системе К', р', W' — импульс и энергия всей жидкости в системе К'; М — масса всей жидкости.
•--- к	--р—о W (р)
шшш гж/жж а)	б)
Рис. 4.84
Квантовая . физика
193
В рассматриваемом состоянии жидкости (с одним элементарным возбуждением) импульс и энергия всей жидкости в системе К' есть просто импульс и энергия элементарного возбуждения:
(4.373)
Подставляя (4.373) в (4.372), получаем:
р- р + Mv, W=W(p) + (p, v) + ^.
а
(4.374)
Как видно из второго уравнения (4.374) изменение кинетической энергии жидкости AW (в системе К), происходящее в результате рождения квазичастицы, есть:
AW = W -	= W (р) + (р, п).
(4.375)
Следовательно, чтобы рождение квазичастицы при движении жидкости было энергетически выгодно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
W (р) + (р, v) < 0.	(4.376)
Наименьшее значение левой части в (4.376) достигается при противоположной ориентации р и v (см. рис. 4.84). Следовательно, для рождения квазичастиц необходимо, чтобы, по крайней мере
W (р) - (р, V) < 0
или
Р
(4.377)
Следовательно, W (р)/р есть наименьшая скорость жидкости, при которой могут появиться квазичастицы с импульсом р и энергией W (р). Но нас интересует вопрос о том, при какой скорости вообще могут появиться квазичастицы. Очевидно, что для этого веобходимо выполнение условия:
<4‘378> [ р
Величина ve = min [и (Р)/Р1 называется критической скоростью жидкости.
При v > vc появление элементарных возбуждений в жидкости энергетически выгодно и, значит, при таких скоростях течения у жидкости появляется вязкость. При v < vc появление элементарных возбуждений в жидкости энергетически невыгодно (они и не появляются) и, значит, при скоростях течения меньших критической скорости у жидкости отсутствует вязкость.
Для величины критической скорости имеются две возможности:
1) Критическая скорость ис = min [W (р)/р] = 0. В этом случае при любой скорости v течения жидкости в ней рождаются
7 Зак. M-84S
194
Раздел 4
Рис. 4.85
элементарные возбуждения и, следовательно, при любых скоростях течения жидкость обладает вязкостью.
2) Критическая скорость vc = = min [IV (р)/р] >0 — конечная положительная величина. В этом случае при v < vc — осуществляется сверхтекучее течение жидкости (без вязкости), а при о > vc появляется вязкость.
Таким образом, критерий сверхтекучести имеет вид:
(4.379)
Спектры элементарных возбуждений большинства конденсированных систем (по крайней мере, в «обычных» условиях) не удовлетворяют критерию сверхтекучести (4.379), однако, после
открытия сверхтекучести и сверхпроводимости стало ясно, что при
определенных условиях в некоторых конденсированных системах спектры элементарных возбуждений удовлетворяют критерию
сверхтекучести.
Выясним, можно ли объяснить явление сверхпроводимости как
сверхтекучесть электронов в металле, если электроны металла рассматривать как идеальный ферми-газ, то есть как газ не взаимодействующих между собой частиц, подчиняющихся принципу Паули. Для этого необходимо выяснить, удовлетворяет ли энергетический спектр элементарных возбуждений в идеальном ферми-газе критерию сверхтекучести (4.379).
Основное состояние идеального ферми-газа, если рассматривать
его в импульсном пространстве, представляет собой заполненную ферми-сферу (рис. 4.85). Все электронныеуюстояния с импульсами,
меньшими фермиевского импульса pF: |р| < pF, заполнены и попадают на рис. 4.85 в заштрихованную часть (сфера), а состояния с
импульсом |р| > рг — пусты, или, что то же самое — все электронные состояния с энергией, меньшей энергии Ферми (W <	= pj/2zn), за-
полнены, а все состояния с энергией, большей энергии Ферми (IV > WF), — пусты.
Возбужденное состояние идеального ферми-газа возникает в результате перехода электрона из состояния с импульсом р внутри ферми-сферы, в состояние с импульсом р' снаружи от нее (рис, 4.86). При этом внутри ферми-сферы возникает не-
Рис. 4.86
Квантовая физика
195
заполненное электронное состояние — дырка с импульсом р, а снаружи ферми-сферы возникает заполненное состояние — электрон с импульсом р'. Энергия, необходимая для возбуждения такой электрон-дырочной пары, равна:
<4-380>
На рис. 4.86 изображено возбужденное состояние идеального ферми-газа: дырка внутри ферми-сферы, электрон снаружи ферми-сферы. Если в правой части (4.380) прибавить и вычесть энергию Ферми WF - рр/2т, то энергию возбуждения можно записать в виде суммы энергий двух элементарных возбуждений:
w р,)=К - "Я+Гw* - й • (4381)
В (4.381) величина
w	°’ Ip'I -	(4‘382)
есть энергия электрона снаружи Ферми-сферы, отсчитанная от энергии Ферми, а величина
W(pr) = wF_^>o, \^Ре <4-383)
есть энергия дырки, отсчитанная от энергии Ферми.
Изобразим теперь энергетический спектр W (р) элементарных возбуждений в идеальном ферми-газе (рис. 4.87), учитывая, что при |р| S рр энергия элементарного возбуждения есть энергия дырки (4.383), апри|р| > Рр — энергия электрона (4.382).
Как видно из рис. 4.87, минимальное значение отношения
vc = (W (p)/p)lnill = 0,	(4.384)
и достигается при р = pF. Таким образом, критическая скорость равна нулю, и критерий сверхтекучести (4.379) не выполняется.
Следовательно, если для электронов проводимости в металлах или сплавах принять модель идеального ферми-газа, то объяснение явления сверхпроводимости в рамках такой модели невозможно.
Рис. 4.87
196
Раздел 4
4.58.	КУПЕРОВСКОЕ СПАРИВАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
Из п. 4.57 следует, что для объяснения явления сверхпроводимости необходимо выйти за рамки модели идеального ферми-газа и, например, следует попытаться учесть взаимодействие между электронами проводимости в металлах.
Поскольку электроны — одноименно заряженные частицы, то по закону Кулона они должны отталкиваться друг от друга. Однако, если учесть только это отталкивание, то ситуация не улучшается — спектр элементарных возбуждений в системе ферми-частиц с отталкиванием по-прежнему не удовлетворяет критерию сверхтекучести (4.379).
Если же между ферми-частицами (электронами) по каким-либо причинам возникает притяжение, то энергетический спектр элементарных возбуждений в такой системе принимает вид:
W (р) = jw2 (р) + Д2 ,	(4.385)
где W (р) — спектр элементарных возбуждений в системе электронов с притяжением, W (р) — спектр элементарных возбуждений в идеальном ферми-газе электронов, Д — «энергетическая щель» в спектре элементарных возбуждений^ обусловленная притяжением. На рис. 4.88 приведен график W (р).
Как видно из рис. 4.88 минимальное значение энергии элементарного возбуждения в системе ферми-частиц с притяжением не равно нулю:
W (p)milI = W (pF) = Д, Д>0	(4.386)
и это значение Д называется энергетической щелью. Величина 2Д есть энергия связи двух ферми-частиц, обусловленная их притяжением друг к другу. Чтобы «разорвать* такую пару притягивающихся частиц, требуется энергия, не меныпая чем 2Д.
Спектр элементарных возбуждений (4.385) уже удовлетворяет критерию сверхтекучести:
v = feeTl =А>0. о <4-387)
Таким образом, объяснение сверхпроводимости метал-~ лов и сплавов возможно в рамках модели, в которой предполагается, что электроны проводимости притягиваются друг к другу.
Теперь осталось объяснить хотя бы на качественном уровне, каким образом между электронами проводимости могут появ-
ляться силы притяжения, в результате чего и возникает связанные пары электронов. Подобные пары в определенных условиях действительно возникают и называются ку-перовскими парами.
Механизм возникновения такого притяжения качественно состоит в следующем. Электроны проводимости
Квантовая физика
197
движутся не в пустом пространстве, а в кристаллической решетке металла, образованной положительно заряженными ионами, причем ионы не закреплены жестко в узлах решетки, а могут совершать колебания около своих положений равновесия. Поскольку ионы взаимодействуют между собой, то эти колебания распространяются по решетке в виде упругих (звуковых) волн, квантами которых являются фононы. Так как ионы имеют электрический заряд, то их смещение из положений равновесия в этой упругой волне сопровождается поляризацией кристалла, распространяющейся вместе с упругой волной. Такая поляризационная волна своим электрическим полем действует на электрические заряды, в том числе на электроны. В рамках этих представлений взаимодействие электронов с решеткой, приводящее к образованию куперовских пар, описывается следующей схемой. Первый электрон, взаимодействуя с решеткой, переводит ее в возбужденное состояние — порождает в кристалле волну поляризации (испускает фонон), передавая ей при этом некоторую энергию н импульс. Второй электрон, взаимодействуя с электрическим полем волны поляризации, принимает на себя ее энергию и импульс, переданные волне первым электроном, и переводит решетку обратно в исходное состояние (поглощает фонон). В результате такого процесса состояние решетки не изменяется, а между электронами, обменявшимися фононом, при определенных условиях возникает сила взаимного притяжения. Этот механизм фононного притяжения электронов, находящихся в кристаллической решетке, был открыт в 1950 г. независимо друг от друга Фрелихом и Бардиным.
Таким образом, у пары электронов решетки имеется энергия связи, обусловленная фононным притяжением, которую мы обозначим 2Д. Величина Д, найденная Купером в 1956 г., при решении квантовомеханической задачи о фононном притяжении электронов, по порядку величины оказывается равной
2
Д » Й<о„ ехр----—— ,
gvfWJ
(4.388)
тде (Од — характерная частота колебаний решетки (дебаевская частота фононов), v ()Vf) — плотность электронных состояний на уровне Ферми, g — константа, характеризующая силу элек-трон-фононного взаимодействия.
Характерные значение энергии связи 2Д для большинства металлов и сплавов оказываются весьма малыми: 2Д - КГ4 Wf - (ICH-IO-8) эВ. Эта малость, означающая слабость силы взаимного притяжения электронов в куперовской паре, приводит к тому, что среднее расстояние между электронами в паре оказывается равным нескольким тысячам межатомных расстояний в металле. Электроны каждой пары движутся в области пространства, содержащей в то же время множество других пар. Все эти «перекрывающиеся» между собой пары не могут изменять свои состояния независимо друг от друга — их движение оказывается сильно коррелированным, согласованным, что является проявлением принципа Паули.
198
Раздел 4
Q. такой согласованности, упорядоченности движения электронов на больших (теоретически бесконечных) расстояниях, говорят как о наличии сверхпроводящего дальнего порядка в электронной подсистеме металла. Благодаря указанной согласованности движения внешнему воздействию весьма трудно «выбить» пару (как целое) из коррелированного движения. Это приводит к своеобразной «жесткости» электронной подсистемы металла по отношению к внешним возмущениям, проявляющейся в сверхтекучести куперовских электронных пар, то есть в сверхпроводимости.
Таким образом, сверхтекучая электронная жидкость в металлах состоит из электронных пар, образованных электронами, связанными между собой силами ноляризации решетки. Эти пары сильно перекрываются в пространстве, что приводит, вследствие принципа Паули, к сильной корреляции в движении пар. Именно эта сильная корреляция между парами в дополнение к притяжению электронов внутри одной пары приводит к упомянутой «жесткости» электронной подсистемы металла по отношению к внешним возмущениям и в конечном счете к существованию в спектре элементарных возбуждений электронной подсистемы энергетической щели.
Критическая температура сверхпроводящего перехода Тк, то есть температура, при которой сверхпроводимость разрушается хаотическим тепловым движением, может быть оценена из следующих соображений. Поскольку энергия связи электронов в куперовской паре есть 2Д, то для «разрыва» такой связи достаточна энергия теплового движения электронов, равная
W ~ kTK ~ 2Д,	(4.389)
Откуда, опуская численные множители, получаем оценку для Тс: «
2 ]	(4.390)
gvfWf)
4.59.	ТУННЕЛЬНЫЙ КОНТАКТ.
ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Если два металла разделены тонким (-10 А = 10"® м) слоем изолятора, через который могут туннелировать электроны проводимости из одного металла в другой, то такой контакт между металлами называется туннельным контактом (рис. 4.89). Туннельный контакт может быть также образован между металлом и полупроводником или между двумя полупроводниками. Электроны проводимости проходят через изолятор благодаря туннельному эффекту (см. п. 4.24).
Если металлы находятся в нормальном (несверхпроводящем состоянии), то ток через контакт осуществляется посредством туннелирования «индивидуальных»
Тк - f • ехр
Квантовая физика
199
(неспаренных) электронов — нормальный ток. Если же металлы находятся в сверхпроводящем состоянии, то через контакт, помимо нормального тока^ может течь еще и сверхпроводящий ток, обусловленный туннелированием куперовских пар из одного сверхпроводника в другой через слой изолятора.
Рис. 4.89
Эффект протекания сверхпроводящего туннельного
тока через слой изолятора, разделяющий два сверхпроводника (так называемый джозефсоновский контакт) был теоретически предсказан Джозефсоном в 1962 г. Если сверхпроводящий ток через джозефсоновский кон
такт не превышает определенного значения, называемого критическим током контакта, то падение напряжения на контакте отсутствует U = О. Этот эффект называется стационарным эффектом Джозефсона.
Если же через контакт пропускать ток, больший критического, то на контакте возникает падение напряжения U * О и контакт испускает монохроматическое электромагнитное излучение. Поскольку излучать электромагнитные волны может только переменный ток, то в этом случае через контакт Джозефсона течет переменный ток при постоянном напряжении U. Циклическая частота возникшего переменного тока равна час
тоте о) порожденного им электромагнитного излучения. Частота о определяется соотношением:
$ш = 2eU.	(4.391)
где U — напряжение на контакте.
Это соотношение может быть истолковано следующим образом (см. рис. 4.90). На рис. 4.90, а представлен переход куперовской пары слева направо с испусканием кванта йш, на рис. 4.90, б — обратный переход с поглощением кванта йю. Стрелки внизу рисунков показывают направление перехода куперовской пары.
Разность энергий основного состояния куперовской пары в левом и правом металлах равна:
- W2 = (2е) U,	(4.392)
где 2е — заряд куперовской пары, U — напряжение на контакте. Поэтому переходы куперовской пары из
200
Раздел 4
одного металла в другой сопровождаются излучением или поглощением фотонов, а соотношение (4.392) выражает просто закон сохранения энергии для этих процессов.
На основе стационарного эффекта Джозефсона созданы сверхпроводящие квантовые интерферометры (скви-ды: SQUID — superconducting quantum interference device — сверхпроводящее квантовое интерференционное устройство), используемые для чрезвычайно точного измерения магнитных полей (до 10~’8 Тл), малых токов (до 10” А) и напряжений (до 1СГ16 В).
В последнее время сквиды стали использоваться в биологии и медицине для измерения магнитных полей, создаваемых весьма слабыми токами, текущими в организмах. Таким образом удается получать магнитокардиограммы и магнитоэнцефалограммы — картины изменения со временем магнитных полей, связанных с деятельностью сердца и мозга. Благодаря сквидам медицина и биология приобретают уникальные методы исследования и диагностики.
На основе джозефсоновских контактов созданы быстродействующие (время переключения меньше 10 10 с) элементы ЭВМ.
4.60.	ПОНЯТИЕ О ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
Проблема высокотемпературной сверхпроводимости в качестве некоторой «голубой мечты» физиков и инженеров возникла достаточно давно. Суть этой проблемы состоит в том, что те преимущества, которые дает сверхпроводимость для техники — линии электропере
Квантовая физика
201
дач без джоулевых потерь, быстродействующие элементы ЭВМ, электромагниты со сверхпроводящими обмотками для создания сверхсильных магнитных полей и многое другое — оказываются экономически невыгодными и технически трудно реализуемыми, если температура сверхпроводящего перехода Тк > 25 К. При таких температурах охлаждение сверхпроводника осуществляется с помощью жидкого гелия, производство которого достаточно дорого.
Если сверхпроводники имеют Тк > 25 К, то для их охлаждения можно использовать жидкий водород («среднетемпературная» сверхпроводимость), а если Тк > 90 К охлаждение может осуществляться жидким азотом («высокотемпературная» сверхпроводимость — ВТСП). Производство жидкого азота дешевле (примерно в 1000 раз), чем производство жидкого гелия. Если же Тк > 300 К, — то охлаждение может производится водой.
Обсуждение проблемы ВТСП, как реальной физической проблемы, было начато в 1964 г. в работах В. А. Литтла и В. Л. Гинзбурга. В рамках теории БКШ (см. п. 4.57) проблема повышения критической температуры сверхпроводящего перехода Тк (4.390), грубо говоря, сводится к увеличению дебаевской частоты фононов (Од или частоты других коллективных возбуждений, и к увеличению произведения gv (WF) в показателе экспоненты формулы (4.390). Усилия материаловедов, занимавшихся проблемой ВТСП, сводились к целенаправленному поиску и синтезу материалов с высокими значениями этих параметров. На этом пути максимальная критическая температура, достигнутая до 1986 г., была равной Тк = 23,9 К (для соединения Nb3Ge).
В 1986 г. состояние проблемы ВТСП резко и коренным образом изменилось, благодаря экспериментальному открытию Беднорцем и Мюллером сверхпроводимости с Тк = 30 К в системе Ва—La—Си—О. Эта работа вызвала настоящий «бум» как экспериментальных, так и теоретических исследований по проблеме ВТСП. К 1990 г. были уже синтезированы, например, такие сверхпроводящие соединения как: La1S5Cr01fiCuO (Тк = = 40 К), LaB2Ca2Cu3Oe7 (Тк » 70 К), YBa2CusO7_y (у < < 0,4, Тк = 93 К), Т1В2Са2Си3О10 (Тк «125 К).
202
Раздел 4
г«»<В' настоящее время усилия экспериментаторов и теоретиков, занимающихся проблемой ВТСП, направлены, в основном, на выяснение механизмов, ответственных за сверхпроводимость в таких материалах, на стабилизацию свойств сверхпроводников, на разработку методов изготовления из них необходимых для практики изделий. Параллельно разрабатываются методы применения ВТСП в энергетике (системы генерирования, хранение и передачи энергии на расстоянии), на транспорте (поезда на магнитной подвеске), в 'электронике и вычислительной технике (сверхпроводящие квантовые интерферометры и элементы памяти), в физике элементарных частиц (сверхпроводящие ускорители), в горнодобывающей промышленности (высокоэффективные магнитные сепараторы), в медицине (сверхпроводящие томографы) и в других областях.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Опишите особенности потенциального поля кристаллической решетки.
2.	Чем отличаются приближения сильной и слабой связи при описании электронных состояний в кристалле?
3.	В чем заключается модель свободных электронов в металле?
4.	Положение уровня Ферми в модели свободных электронов.
5.	Что такое поверхность Ферми?
6.	Чем объясняется малость вклада электронов проводимости в теплоемкость металла?
7.	Что такое плотность квантовых состояний, как она зависит от энергии?
8.	Как преобразуется энергетический спектр атома при их объединении в кристалл?
9.	Что такое валентная зона, зона проводимости, запрещенная зона?
10.	Что такое зона Бриллюэна?
11.	В чем различие между проводниками, диэлектриками и полупроводниками с точки зрения зонной теории?
12.	Что такое тепловаая генерация электронов «зона-зона»?
Квантовая физика
203
13.	Что такое процесс рекомбинации электронов «зона-зона»?
14.	Что учитывает и какие значения может принимать эффективная масса электрона в кристалле?
15.	Что такое дырка?
16.	Какие полупроводники называются собственными?
17.	Какая электропроводность называется собственной равновесной электропроводностью?
18.	Какие проводники называются примесными?
19.	Какая электропроводность называется примесной?
20.	Как зависит от температуры электропроводность полупроводников ?
21.	Какая электропроводность называется неравновесной? Приведите примеры.
22.	Как зависит фотопроводимость от времени после включения и выключения света?
23.	Что такое время жизни неравновесных носителей тока и их диффузионная длина?
24.	Что такое электронно-дырочный переход?
25.	Почему р—n-переход обладает резистивными, емкостными и выпрямительными свойствами?
26.	Приведите и поясните график вольт-амперной характеристики р-п-перехода.
27.	Что такое инжекция неосновных носитлей тока?
28.	Объясните усилительный эффект в биполярном транзисторе.
29.	Какие явления называются сверхпроводимостью и сверхтекучестью?
30.	Назовите и поясните основные эффекты, сопровождающие явление сверхпроводимости.
31.	Что такое куперовское спаривание электронов? Каким образом с ним связано сверхпроводящее состояние вещества?
32.	Что такое стационарный эффект Джозефсона? Его объяснение и применение.
33.	Какая сверхпроводимость относится к высокотемпературной? Укажите области применения сверхпроводимости .
Глава 4.9
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ
4.61.	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Квантовой электроникой называется область физики, в которой изучаются методы генерации и преобразования электромагнитных волн (задача электроники), основанные на использовании свойств квантовых переходов атомов и молекул из одних состояний в другие (задача квантовой физики).
При исследовании задач квантовой электроники необходимо иметь возможность производить расчеты изменения квантовых состояний атомов и молекул, сопровождающиеся излучением или поглощением квантов электромагнитного излучения. Решение таких задач в квантовой физике производится с помощью уравнения Шредингера. Однако точное решение этого уравнения, определяющее энергии и волновые функции стационарных состояний системы, возможно, только для некоторых простейших задач, соответствующих идеализированным системам. При исследовании реальных задач приходится прибегать к приближенным методам решения уравнения Шредингера. Наиболее часто при этом применяется теория возмущений.
Предположим, что в условиях задачи используются малые параметры, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что делается возможным ее точное решение. Такая упрощенная задача называется невозмущенной, а малые параметры, малые факторы, действующие в условиях реальной задачи, называют возмущениями.
S.	Запишем уравнение Шредингера для невозмущенной : задачи в операторном виде (4.124), как это делалось в п. 4.20:
Квантовая физика
205
где Но — гамильтониан упрощенной, невозмущенной задачи. Найдя на первом шаге точное решение упрощенной, невозмущенной задачи (4.393), на втором шаге вычисляют поправки, обусловленные малыми параметрами (возмущениями), не учитываемые в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений.
Запишем гамильтониан данной физической задачи в виде
h = hq + v,
(4.394)
где V представляет собой малую поправку (возмущение) к невозмущенному оператору Но . Пусть собственные функции Ф„ и собственные значения Wn дискретного спектра невозмущенного стационарного уравнения Шредингера (4.393) известны. Задачей теории возмущения является нахождение приближенных решений уравнения Шредингера типа:
/Й^=(Но + Р)Ч' = И^.
(4.395)
Предположим, что на невозмущенную систему, описываемую не зависящим от времени гамильтонианом Но , действует в течение некоторого времени т слабое возмущение, оператор которого имеет вид:
V(t) =
V (t), 0 S t < т, 0, t < О, t > т.
(4.396)
Оператор V (t) может, например, характеризовать взаимодействие данной системы с другими телами, взаимодействие частицы с внешним полем и т. д.
Решение уравнения Шредингера (4.395) можно разложить по собственным функциям <р„ невозмущенного стационарного уравнения Шредингера, т. е. представить в виде (4.133):
iw.f
* = Z * •
(4.397)
Если в начальный. момент, до включения возмущения, система находилась в стационарном состоянии с энергией Wm (в zn-том состоянии), то в сумме (4.397) отлично от нуля только одно слагаемое, и волновая функция начального состояния равна:
Следовательно, при (<0а„=1иа„ = 0 для всех п * т.
Для того чтобы указать, что система первоначально находилась в состоянии т, введем второй индекс у коэффициентов а„, написав* волновую функцию (4.397) в виде:
206
Раздел 4
iwJ
* = £ “mr. (0 Ф»е A •
(4.399)
При t < 0 amm = 1 и amn = 0 для всех n * m.
По истечении действия возмущения, т. е. при t > т, коэффициенты атп снова принимают постоянные значения, равные атп (т). Таким образом, при t > 1 система будет находиться в состоянии с волновой функцией
iw.f
'J'koh = Z W V* л •
(4.400)
При этом, в соответствии с принципом суперпозиции квантовой механики, вероятность того, что система будет находиться в некотором стационарном состоянии с энергией Wn (в n-м стационарном состоянии) будет определяться квадратом модуля коэффициента ат„ (т). Следовательно, вероятность перехода за время т системы из состояния т в состояние п равна
рип(г)=|атп(г)|2.	<4401>
Найдем коэффициенты атл. Для этого подставим волновую функцию (4.399) в уравнение Шредингера (4.395). Затем умножим правую и левую часть полученного уравнения на <р* — комплексносопряженную к <р„ функцию и проинтегрируем по всему объему пространства, в котором определена волновая функция. При этом учтем условие нормировки собственных функций:
С .	. fl, при п = т;	(4.402)
I О, при п * т.
В результате получаются соотношения:
jh ± атп (0 = % Vn^amlt (t),	(4403)
h
где
Vnk = S ф!У (О Ф^,
= 0^я - Wk) /h.
В первом приближении в правых частях уравнений (4.403) полагаем атк — 1 при k = т и атк = 0 при k * т. В результате получаются уравнения:
- V	(4.404)
Квантовая физика
207
Решая эти уравнения, найдем коэффициенты атп и, следовательно, вероятности переходов под действием возмущения. Вероятность перехода из первоначального состояния т в состояние п оказывается равной
Ртп ~~ .2
S Vmne^dt о
(4.405)
4.62.	ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА
Действующее в течение некоторого времени внешнее возмущение может перевести систему из одного стационарного состояния в другое.
Пусть атом в начальный момент времени t = 0 подвергается действию поля плоской монохроматической световой волны. В таком случае на электрон, кроме кулоновской силы со стороны ядра и других электронов атома, будет действовать периодическая сила (возмущение) со стороны электромагнитного поля волны. Предположим, что волна строго монохроматическая с циклической частотой (о и длиной волны к, линейно поляризованная по оси г и распространяется вдоль оси х. Электрическое поле этой волны действует на электрон атома с силой:
F = -dV/dz = еЕю cos (tot - 2лх/1),	(4.406)
где Ет — амплитуда напряженности электрического поля световой волны.
Действием магнитного поля в рассматриваемом (нерелятивистском) случае можно пренебречь.
Выберем начало координат в центре атома. Так как размер атома порядка 10~10 м, а длина волны в оптической части спектра — порядка 10 е м, то дробью г/Х в выражении фазы можно пренебречь. Тогда возмущение, создаваемое световой волной, можно записать в виде:
V (<) = -ег£ю cos tot.
(4.407)
Подставив (4.407) в формулу (4.405), найдем вероятность перехода электрона под действием электромагнитного излучения с m-го стационарного энергетического уровня на л-й уровень:
2
Рт‘ *
(4.408)
где величина
ег„,„ = е $ <р’2(рлДи
(4.409)
называется средним дипольным моментом перехода т —> п.
208
Раздел 4
..Из-.полученной формулы (4.408) видно, что вероятность перехода пропорциональна квадрату напряженности электрического поля волны и, следовательно, пропорциональна ию — плотности энергии электромагнитного поля с частотой ш. Наибольшая вероятность перехода наблюдается при со = <овт, и зависимость ртп (со) носит резонансный характер. Таким образом, падающая волна вызывает переход электрона с уровня т на уровень п, если ее частота совпадает с conm = |1Гт - ГГ„| /Й или очень близка к ней. Из формулы (4.408) видно, что вероятность перехода из состояния п в состояние т равна вероятности обратного перехода из состояния т в состояние п. Этот важный вывод используется в теории квантовых генераторов. *
4.63.	ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Воздействие световой волны на атом сказывается двояким образом. Атом либо поглощает энергию из поля, переходя в более высокое энергетическое состояние (если Wn > Wm), либо, наоборот, отдает энергию полю, переходя в более низкое энергетическое состояние (если W„ < Wm). Такие переходы, совершаемые электроном под действием поля падающей световой волны, называют вынужденными, индуцированными.
Переход электрона с более высокого на более низкий энергетический уровень может происходить также и самопроизвольно (спонтанно). В квантовой механике показывается, что спонтанные переходы также обусловлены действием поля. Это так называемое вакуумное или нулевое электромагнитное поле. О нем будет рассказано в последнем разделе курса. Спонтанные переходы сопровождаются излучением квантов света с частотой (0= (1U = |Wm - ТУ„| /Й.
Таким образом, возможны переходы электрона из одного энергетического состояния в другое, сопровождающиеся излучением (излучающие переходы), а также переходы с поглощением энергии поля.
Излучающие переходы существуют двух видов: спонтанные, т. е. самопроизвольные переходы, происходящие без какого-либо взаимодействия с внешним полем излучения (кроме вакуумного, нулевого поля) и индуцированные, вынужденные переходы, происходящие под влиянием внешнего излучения с частотой, близкой к ю = юни.
Квантовая физика
209
Переходы с поглощением происходят только под действием внешнего поля. Это индуцированные, вынужденные переходы с поглощением энергии.
Найдем соотношения между вероятностями различных переходов электронов из одного энергетического состояния в другое. Предположим для определенности, что Wn < Wm.
Пусть в некотором объеме имеется большое число атомов, образующих разряженный газ, взаимодействием между атомами которого можно пренебречь. Газ имеет температуру Т и находится в термодинамическом равновесии с тепловым излучением. Число атомов на уровне т равно ДГт. За небольшой промежуток времени dt часть атомов спонтанно перейдет в состояние п. Число таких атомов dZmn, т. е. число спонтанных переходов типа т—» п можно найти, зная вероятность рассматриваемых переходов (отнесенную к единице времени) Атп. Очевидно, что
dZmn=AmnNmdt.	(4.416)
Атомы, находящиеся на более низком n-ном стационарном уровне, под влиянием электромагнитного поля могут переходить на более высокий энергетический уровень. Очевидно, что, в соответствии с результатами предыдущего параграфа, число таких переходов пропорционально числу атомов в состоянии	плот-
ности энергии электромагнитного поля теплового излучения, соответствующего температуре Т и частоте ш, то есть ит т (см. п. 4.8), и вероятности индуцированного перехода типа п -> т (отнесенной к единице времени) — Впт. Таким образом, число переходов п —> тп, индуцированных излучением за время dt, равно N„ua TBnmdt. Кванты энергии электромагнитного излучения при этих переходах поглощаются и расходуются на перевод электронов из состояния п в состояние т.
Аналогичным образом, излучение индуцирует переходы электронов типа т -> п, причем число таких переходов за время dt равно Nmum TBm„dt, где Втп определяет вероятность перехода электрона под действием электромагнитного поля с уровня т на уровень п.
Величины А„1п, Втп и Впт называют коэффициентами Эйнштейна для спонтанного излучения, индуцированного излучения и поглощения. Они определяют вероятности
210
Раздел 4 .
совершения электроном в единицу времени спонтанных переходов с излучением (Атв), индуцированных переходов с излучением (Втп) и индуцированных переходов с поглощением (Ввт). Эйнштейн предположил, что вероятность вынужденных переходов с поглощением равняется вероятности вынужденных переходов с излучением света, т. е. что выполняется соотношение:
= В„„.	(4.411)
Это соотношение находится в соответствие с результатом предыдущего параграфа.
gs Покажем справедливость соотношения (4.411) из термо-w динамических соображений, как это сделал Эйнштейн.
В состоянии теплового равновесия между газом и излучением число переходов типа т —> п должно равняться числу переходов типа п —> т, т. е. должно выполняться условие:
AmnNm + BmnNmu^ Т = B,lmNnua_ т.	(4.412)
Отсюда следует, что плотность равновесного теплового излучения равняется:
А„п 1	(4.412)
В статистической физике будет показано (см. гл. 5.3), что если система может находиться в состояниях с энергиями Wt, W2, W3, .... то в соответствии с распределением Гиббса (см. п. 5.49) вероятность нахождения в состоянии с энергией Wm равна:

(4.414)
где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, С — постоянная. Так как число атомов в данном состоянии пропорционально вероятности этого состояния, то отношение числа атомов в состоянии п к числу атомов в состоянии m равно:
N„ _	(4.415)
е *
Учитывая, что (Wm - W„) - Йсо, найдем из 4.412 и 4.415, что плотность теплового излучения равна
1	(4.416)
Для определения коэффициентов Эйнштейна используем следующие предельные условия. Во-первых, очевидно, что с ростом температуры плотность излучения ию> т должна бес
Квантовая физика	211
предельно возрастать, а, следовательно, при kT » Йш знаменатель в формуле (4.416) должен обращаться в нуль. Это возможно только при В„т = Втп, что доказывает справедливость условия Эйнштейна.
Во-вторых, при том же условии йш « kT должна быть справедлива формула Рэлея-Джинса, полученная средствами классической физики и справедливая для малых частот теплового излучения. Согласно этой формуле (4.54):
и r = -^-kT	(4 417)
Т я2сз "
Сравнивая (4.416) с (4.417) в этом предельном случае, получим соотношение между коэффициентами Эйнштейна:
A™ W	(4.418)
втп и2с3 '
1одставив это значение в (4.416), получим формулу Планка 4.68) для теплового равновесного излучения:
W 1	(4.419)
“•Т п2ся elu,tT 1 ‘
4.64.	СВОЙСТВА СПОНТАННОГО И ВЫНУЖДЕННОГО ИЗЛУЧЕНИЙ
Рассмотрим два возможных состояния атома: состо-ние 1 и состояние 2. Для определенности состояние 1 с более низкой энергией будем считать нормальным, а состояние 2 — возбужденным состоянием атома. Атом в возбужденном состоянии 2 через некоторое, обычно весьма непродолжительное, время самопроизвольно переходит на более низкий энергетический уровень, излучая при этом квант энергии частотой co2i = = (Wg - Wi)/й (рис. 4.91, а). Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии обычно составляет
индуцированным спонтанное	переход излучение	с поглощением 2	-я-	 2	г	 /	йш12 \ 1	\		1	Z	 а)	б)	индуцированный переход с излучением 2	Я-	 йюг1 \wv~- 1 —		 в)
Рис. 4.91
212
Раздел 4
примерно l(Tsc-10flc. Так как спонтанные переходы происходят независимо от внешнего электромагнитного поля, то фазы спонтанного излучения отдельных атомов, если их взаимодействие друг с другом отсутствует, оказываются не связанными между собой. Поэтому спонтанное излучение системы слабо взаимодействующих атомов является некогерентным. Некогерентность спонтанного излучения связана с тем, что оно происходит от различных пространственно разделенных атомов в различные моменты времени, а между фазами волн, излучаемых различными атомами, нет никакой закономерной связи (см. п. 3.33).
Переходы, индуцированные световым квантом частотой Ю12 = <£>21, как отмечалось выше, бывают с поглощением и излучением. Если атом находится в состоянии 1, то, поглотив квант света частотой <о12, атом переходит в возбужденное состояние 2 (рис. 4.91, б). Это индуцированный (вынужденный) поглощательный переход. Он происходит с поглощением кванта первичной электромагнитной волны. Если атом находится в возбужденном состоянии, то квант света частотой о>12 также индуцирует переход атома в другое состояние, в данном случае в состояние 1. При этом происходит излучение атомом дополнительного кванта света частотой a>i2 (рис. 4.91, в). Это индуцированные переходы с излучением. Вторичные фотоны, излучаемые при таких переходах, неотличимы от первичных, являясь их точно? копией.
В противоположность спонтанному излучению индуцированное излучение оказывается когерентным с вызвавшим индуцированный переход внешним электромагнитным полем. Действительно, из равенства коэффициентов Эйнштейна следует взаимная обратимость индуцированных поглощательных и излучательных переходов. Между этими процессами есть определенная симметрия. Поглощательные переходы обуславливают ослабление падающего излучения. Следовательно, излучательные переходы должны обуславливать усиление падающего излучения. При поглощении света условие когерентности для падающего излучения сохраняется. Следовательно, при усилении света когерентность излучения также должна сохраняться. А это возможно, только если кванты света, испускаемые при излуча
Квантовая физика
213
тельных переходах, в точности тождественны по направлению движения, частоте, фазе и поляризации квантам света, возбуждающим такой переход.
Пусть параллельный монохроматический поток электромагнитного излучения частотой to = со12 проходит через вещество. Интенсивность излучения (х) при этом меняется. Плотность энергии электромагнитного излучения частотой со обозначим как иа (в отличие от плотности энергии теплового излучения здесь отсутствует индекс Т, указывающий на температуру). Найдем изменение интенсивности света с глубиной х проникновения излучения в вещество.
Число атомов на уровне 1 (рис. 4.91, б) в слое вещества единичной площади и толщиной dx равно Ntdx. Каждый атом в слое под действием электромагнитного излучения переходит на более высокий уровень 2 с вероятностью, равной В12и„, поглощая при этом квант энергии йсо. Следовательно, пройдя слой вещества толщиной dx, интенсивность излучения вследствие индуцированных переходов 1 -> 2 (рис. 4.91, в) уменьшается на
NydxB^uJito.
На основании аналогичных рассуждений найдем, что вследствие индуцированных переходов 2 —> 1 (рис. 4.91, в) интенсивность излучения увеличивается на
NzdxBz^uJito.
Влиянием спонтанных переходов 2 —> 1 при этом обычно можно пренебречь. Поэтому, учитывая, что в параллельном пучке, распространяющемся со скоростью с, интенсивность излучения равна:
4 = иас,
найдем изменение интенсивности:
dla = -kjadx = -ho (NiB^ - NZB21) Iadx/c. (4.420)
Следовательно, коэффициент поглощения излучения веществом выражается через коэффициенты Эйнштейна следующим образом:
214
Раздел 4
kK — tuo — NZB21) /С.
Так как B12 = BZ1, то
= йшМВ12 (1 - N2/NJ /с.	(4.421)
В равновесном состоянии вещества распределение электронов по атомным уровням, как отмечалось выше, происходит в соответствии с распределением Гиббса (см. п. 5.49). Поэтому выполняется соотношение (4.415):
Nz/Ny = е w, - /*г = «>-*»>/«’ < 1,	(4.422)
а, следовательно, коэффициент поглощения
fe„>0.
Таким образом, в равновесном состоянии число атомов в нормальном (более низком) энергетическом состоянии больше числа возбужденных атомов, поэтому в веществе в этом случае число актов поглощения превышает число актов излучения, и падающая электромагнитная волна при прохождении через вещество ослабляется.
Однако возможно создание такого состояния, при котором число возбужденных атомов N2 будет больше числа атомов, находящихся в нормальном состоянии Nx. Такое состояние называют инверсным (т. е. обращенным). Оно является неравновесным. Процесс перевода вещества в состояние с инверсной заселенностью называется накачкой. Имеется ряд способов накачки — оптические, тепловые, химические, электроионизаци-онные и др. Вещество в инверсном состоянии, с инверсной заселенностью атомных уровней, обладает отрицательным коэффициентом поглощения km < 0. Среда, заполненная веществом с инверсной заселенностью, называется активной средой.
Интегрируя соотношения (4.420) и считая ka постоянным, найдем изменение интенсивности света при прохождении через вещество (3.355) (закон Бугера-Ламберта—Бера) :
4 (х) = 10е~кг,	(4.423)
Здесь 10 — интенсивность падающей электромагнитной волны (при х = 0).
Квантовая физика
215
В поглощающей среде интенсивность света убывает. В веществе с инверсной заселенностью энергетических уровней индуцированное излучение превышает поглощение, вследствие чего свет, проходящий через вещество, будет усиливаться.
Из формулы (4.423) видно, что при ka < О интенсивность света экспоненциально возрастает с ростом х. Таким образом, среда с инверсной заселенностью энергетических уровней обладает отрицательным коэффициентом поглощения и способна усиливать свет частотой <о =	- WJ /Й.
4.65.	ПРИНЦИП РАБОТЫ КВАНТОВОГО ГЕНЕРАТОРА
Усиление света активной средой с инверсной заселенностью энергетических уровней используется в оптических квантовых генераторах — лазерах. Название лазер происходит от первых букв фразы на английском языке Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — усиление света с помощью вынужденного излучения. Другой тип квантовых генераторов, дающих микроволновое излучение, называется мазерами. Первые квантовые генераторы были созданы в 1954 г. отечественными учеными Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым и, независимо от них, американским физиком Таунсом.
Лазер должен иметь три основных компонента: 1) активную среду, в которой создается состояние с инверсной заселенностью уровней; 2) систему накачки, для создания инверсии в активной среде; 3) оптический резонатор, формирующий световой пучок.
Активная среда сама по себе не генерирует излучение, она лишь усиливает световую волну определенной частоты, проходящую через нее. Для того чтобы лазер генерировал строго направленное излучение, необходим оптический резонатор. В качестве оптического резонатора обычно используется система из пары обращенных друг к другу плоскопараллельных (или вогнутых) зеркал на общей оптической оси на расстоянии L друг от друга, между которыми помещается активная среда. Такую систему называют открытым резонатором. Для вывода излучения лазера одно из зеркал делается частично прозрачным (рис. 4.92).
216
Раздел 4
— L — Накачка
Зеркало	среда	Полупрозрачное
зеркало
Рис. 4.92
В результате спонтанного перехода между уровнями с инверсной заселенностью атом излучает световую волну, которая, проходя через активную среду, усиливается. Чем больше путь, проходимый волной в активной среде, тем больше усиление световой волны. Наибольшее усиление наблюдается для фотонов, движущихся вдоль оптической оси резонатора (А на рис. 4.92). Фотоны, движущиеся под углом к оптической оси резонатора, выходят из активной среды через ее боковую поверхность, индуцируя лишь небольшое число переходов между уровнями с инверсной заселенностью (В и С на рис. 4.92). Те же из фотонов, которые движутся вдоль оптической оси, многократно отражаются от зеркал резонатора, каждый раз вызывая вынужденное излучение вторичных фотонов, которые, в свою очередь, вызывают вынужденное излучение и т. д. Число фотонов, движущихся вдоль оптической оси резонатора, при этом лавинообразно нарастает.
Достигнув полупрозрачного зеркала, излучение час? тично выйдет наружу, а частично отразится и будет нарастать в активной среде, т. е. часть фотонов используется снова для генерации лазерного излучения. Таким образом, с помощью зеркал в лазерах реализуется положительная обратная связь, необходимая во всяком генераторе для обеспечения режима генерации. Многократно усиленный и вышедший сквозь полупрозрачное зеркало поток фотонов создает строго направленный световой пучок огромной яркости.
Квантовая физика
217
Зеркальный резонатор обеспечивает многократное распространение и усиление светового потока в активной среде. Это необходимо и для самовозбуждения генерации, и для ее поддержания. Но для того, чтобы обратная связь, создаваемая резонатором, была положительной, необходима строгая синфазность колебаний, уже существующих в системе и приходящих по каналу обратной связи. Для этого необходимо, чтобы волна, возвратившаяся в некоторую точку активной среды после отражения от зеркала, имела в этой точке фазу, совпадающую с фазой первичной волны. Поэтому длина пути, проходимого волной между двумя отражениями 2L, должна быть кратной длине волны, т. е.
2L = kK
где k — целое число.
Следовательно, оптический резонатор генерирует излучение (моды) с частотами:
<ok = nkc/(Ln),
где п — показатель преломления активной среды.
Наибольшую интенсивность имеют те моды оптического резонатора, частоты которых близки к частоте спектральной линии, соответствующей переходу между инверсированными уровнями. Для достижения наивысшей когерентности излучения стремятся к одномодовому режиму генерации. При этом в пределах спектральной линии активной среды оказывается лишь одна из мод резонатора. В результате монохроматическое излучение лазера имеет спектральную ширину, значительно меньшую естественной ширины спектральной линии. То есть излучение лазера обладает чрезвычайно высокой степенью монохроматичности. Например, гелий-неоновый лазер при несущей частоте 105 МГц обладает спектральной шириной менее одного килогерца.
Рассмотрим принцип работы квантового генератора на примере рубинового лазера. Активной средой в нем является кристалл рубина в виде стержня длиной около 5 см. Торцы рубинового стержня делают тщательно отполированными. Один торец покрывают непрозрачным слоем серебра, другой — тонким слоем, пропускающим
218
Раздел 4
возбужденный уровень
Рис. 4.93
около 8% падающего на него излучения. Посеребренные торцы рубинового стержня образуют открытый оптический резонатор.
Кристалл рубина представляет собой окись алюминия (А12О3), в кристаллической решетке которого некоторые атомы А1 (несколько сотых процента) замещаются трехвалентными- ионами хрома Сг4++. При поглощении света во время накачки ионы хрома переходят с нормального (основного) уровня 1 на возбужденный уровень 2 (рис. 4.93). Последний представляет собой не один, а множество очень близко расположенных уровней, образующих относительно широкую энергетическую зону. Вследствие этого накачка рубинового лазера может производиться источником света с широкой полосой частот. Для оптической накачки рубинового лазера обычно используется импульсная ксеноновая лампа.
Время жизни иона в возбужденном состоянии составляет около 10 7 с. С возбужденного уровня 2 наиболее вероятен безизлучательный переход на уровень 3. При таком переходе избыток энергии передается кристаллической решетке. Переход с уровня 3 в основное состояние 1 запрещен правилами отбора. Поэтому среднее время жизни иона на уровне 3 на 4-5 порядков величины больше времени жизни на уровне 2, т. е. уровень 3 является метастабильным. Благодаря этому на метастабильном уровне 3 накапливается значительное число ионов в возбужденном состоянии. Если интенсивность накачки светом с частотой со = (W2 - Wj) /Й
Квантовая физика
219
(соответствующей зеленому свету) достаточно велика, то в кристалле создается инверсия заселенности уровней 1 и 3 (на уровне 3 окажется больше ионов, чем на уровне 1). Фотон, спонтанно излучаемый в направлении оптической оси лазера, лавинообразно индуцирует излучение других фотонов и лазер излучает мощный импульс света частотой со81 = (W8 - Wj) /Й.
Рубиновые лазеры работают в импульсном режиме. Широкое распространение получили лазеры, в которых активная среда представляет собой газ или смесь газов. Газовые лазеры обычно работают в непрерывном режиме. Так как газы обладают узкими линиями поглощения, то применение для них оптического метода накачки неэффективно. Действительно, в этом случае, при использовании оптического метода накачки только небольшая часть излучения лампы приходится на частоты, соответствующие переходам между инверсными уровнями. Поэтому использоваться будет лишь ничтожная часть мощности лампы. Инверсная заселенность уровней в газовых лазерах обычно осуществляется газовым разрядом, возбуждаемым в газе. Примером газового лазера является гелий-неоновый лазер. В полупроводниковых инжекционных лазерах накачка может производиться непосредственно постоянным током, проходящим через р-п-переход в прямом направлении. Существуют также лазеры с перестраиваемыми частотами. Активной средой в таких лазерах является раствор высокомолекулярных красителей.
В рубиновых и гелий-неоновых лазерах используется трехуровневая схема: основной уровень, уровень возбуждения, метастабильный уровень (рис. 4.93). Значи-
тельно легче генерация достигается в активных средах работающих по четырехуровневой схеме (рис. 4.94)
Четвертый (рабочий) уровень располагается между метастабильным и основным уровнями. Если рабочий уровень отстоит достаточно далеко от основного, то в состоянии термодинамического равновесия он заселен достаточно слабо. В этом случае в четырехуровневой
Возбужденный уровень
V Метастабильный
]уровень
J Излучение
,	Рабочий
у	уровень
Основной уровень
Рис. 4.94
2gO
Раздел 4
системе можно достичь инверсной заселенности метас-табильного и рабочего уровней даже тогда, когда на основном уровне остается более 50% атомов. Это существенно снижает требования к источнику накачки. По четырехуровневой схеме работают многие мощные газовые лазеры.
4.66.	ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ
Применения лазеров весьма многообразны. С помощью лазера можно осуществлять мощное воздействие светового луча на вещество. При этом легко достигается точная локализация и дозированность подводимой энергии. Эти свойства лазерного излучения используются в лазерной технологии для различных способов обработки материалов и изделий (сварка, резка и плавление металлов, сверление отверстий и т. д.). Для этого используются главным образом газовые лазеры, обладающие высокой средней мощностью. В медицине лазеры применяют как бескровные скальпели при лечении глазных, кожных и других заболеваний.
Лазерное излучение оказывает селективное воздействие на атомы, ионы и молекулы. Это свойство используется в лазерной химии для осуществления химических превращений, в лазерном разделении изотопов. Лазеры с перестраиваемой частотой применяют в лазерной спектроскопии. Лазерная спектроскопия обладает чрезвычайной чувствительностью, позволяющей наблюдать спектры отдельных атомов и молекул.
Высокая когерентность и монохроматичность лазерного излучения используется в измерительной технике. Газовые лазеры применяют при юстировочных и нивелировочных работах. Сверхстабильные лазеры являются основой оптических стандартов частоты, лазерных сейсмографов и других точных приборов. Весьма перспективным является применение лазеров для развития средств связи.
Сверхкороткие импульсы лазеров применяют для изучения быстропротекающих процессов, сверхскоростной фотографии. Благодаря использованию лазеров оказалось возможным широкое применение голографии.
Лазеры находят применение и в быту, например, для воспроизводства аудио- и видеоинформации с оптических носителей (компакт-дисков).
Квантовая физика
221
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Что такое теория возмущения, какие задачи решают с ее помощью?
2.	От чего зависит вероятность переходов, которые совершают электроны под действием электромагнитного излучения?
3.	Что такое коэффициенты Эйнштейна? Укажите их свойства.
4.	Получите соотношение между коэффициентами Эйнштейна для спонтанного и вынужденного излучения.
5.	Что такое активная среда? Какими свойствами она обладает?
6.	В каких случаях среда усиливает электромагнитное излучение, проходящее через нее?
7.	Почему одним из обязательных компонентов лазера является оптический резонатор?
8.	В чем преимущество лазеров, работающих по четырехуровневой схеме в сравнении с лазерами, работающими по трехуровневой схеме?
9.	Какими свойствами обладает излучение лазеров?
10.	В каких областях человеческой деятельности используются лазеры?
Глава 4.10
АТОМНОЕ ЯДРО
4.67.	СОСТАВ И ХАРАКТЕРИСТИКИ АТОМНОГО ЯДРА
Общепризнанной моделью атомного ядра служит нейтроно-протонная, предложенная В. Гейзенбергом и Д. Д. Иваненко (1932 г.). Согласно этой модели, ядра атомов всех химических элементов состоят из протонов (р) и нейтронов (п), которые являются двумя различными зарядовыми состояниями одной частицы, называемой нуклоном (от латинского nucleus — ядро). Исключение составляет ядро простейшего изотопа атома водорода, которое состоит только из одного протона. В табл. 4.3 приведены основные характеристики нуклонов.
Величина ця в таблице 4.3 называется ядерным магнетоном и используется в качестве единицы магнитного момента: ця = eti/2mp = 5,05 • 10-27 Дж/Тл (тр — масса протона). Из сравнения ядерного магнетона ря с магнетоном Бора Цв = ей/2тпе = 0,927  10“23 Дж/Тл (те — масса электрона) следует, что ця в 1836 раз меньше цв. Таким образом, собственный магнитный момент протона в 660 раз меньше, чем магнитный момент электрона. Кроме того, если орбитальный и собственный магнитные моменты электрона принимают значения, кратные то у ядер такая кратность не наблюдается (см. табл. 4.3).
Из табл. 4.3 следует также, что массы протона тр, и нейтрона тп близки по значению, а их магнитные моменты различны как по значению, так и по направлению. Знак «минус» у собственного магнитного момента нейтрона указывает на то, что направления его собственного механического и магнитного моментов противоположны.
Протон представляет собой ядро простейшего атома — атома водорода, является стабильной частицей, время его жизни более 1081 лет.
Квантовая физика
223
Таблица 4.3
Характеристики протона и нейтрона
Частица Физическая величина	Прогой	Нейтрон
Масса, кг Масса, МэВ	1,672648  10 27 938,28	1,674954  10 27 939,57
Электрический заряд	+е	0
Магнитный момент	2*79 р,я	-1,913 ця
Спин	1/2	1/2
Нейтрон в свободном состоянии нестабилен — самопроизвольно распадается, превращаясь в протон, испуская электрон (е~) и еще одну частицу — антинейтрино (v) с периодом полураспада 12-15 минут. Распад происходит по схеме п -> р + е~ + V. Масса антинейтрино равна нулю (см. п. 6.8). Масса нейтрона больше массы протона на 2,5m, (me = 0,511 МэВ). Следовательно, масса нейтрона превосходит сумму масс частиц, записанных в правой части приведенной схемы распада на 1,5m, или 0,77 МэВ. Эта энергия при распаде нейтрона выделяется в виде кинетической энергии образующихся частиц.
Нуклоны имеют полуцелый спин (см. табл. 4.3), несмотря на это, спин ядра может быть как целым, так и полуцелым. Целый спин имеют ядра с четным числом нуклонов в ядре, полуцелый — с нечетным числом. Таким образом, хотя ядро состоит из фермионов, сами ядра могут быть как фермионами, так и бозонами.
Число нуклонов в ядре называется массовым числом А. По определению
A-Z + N,
где Z — число протонов, N — число нейтронов в ядре. Число протонов определяет общий заряд ядра (Ze). Атом электрически нейтрален. Из этого следует, что число протонов в ядре должно быть равно числу электронов,
224
Раздел 4
т. е. порядковому номеру элемента в периодической таблице Д. И. Менделеева. Поэтому Z называют атомным номером ядра. Число нейтронов находится из соотношения
\n=a-z.
Для обозначения различных ядер используют условную запись где X — символ химического элемента. Сверху символа данного элемента указывается массовое число А, внизу — атомный номер Z, N — число нейтронов, часто опускают. Иногда массовое число пишут не слева, а справа от символа химического элемента ZXA или Xz. Примеры обозначения ядер:	или 1Н®,
или Hf. Часто опускаются в обозначениях не только число нейтронов, но и зарядовое число и просто используют обозначение АХ, например, 238U и т. д. В дальнейшем в тексте будем, как правило, опускать указание зарядового числа Z, т. е. записывать АХ вместо ZX. В формулах будут сохраняться оба индекса (А и Z).
Ядра с одинаковым числом протонов Z и различным числом нуклонов А называются изотопами. Изотопный состав различных химических элементов различен. У химических элементов от водорода до азота, за исключением бериллия, имеется по два изотопа.
Начиная с кислорода, изотопный состав резко меняется: элементы с нечетным Z содержат только один изотоп, а с четным — по три. Например, ядра кислорода 1вО, 17О, ‘«О, а элементы Na, Al, Р, Se, — одноизотопны 23Na, 27А1, 31Р, 45Se.
Особенностью в изотопном составе является связь между атомным номером Z и массовым числом А: с ростом числа нуклонов А растет и его заряд Z. Величина А — 2Z называется избытком нейтронов. С повышением атомного номера А химического элемента избыток нейтронов в ядре возрастает. Например, в ядре 238С7 содержится 92 протона, избыток нейтронов составляет 238 - 2 • 92 = 54, а у 127J (йод) — 21.
Большинство изотопов обладает очень близкими физико-химическими свойствами. Например, le0, 18О; 235U, 238U, 23eU. Лишь в отдельных случаях свойства атомов различных изотопов отличаются резко. К таким изотопам относятся:
Квантовая физика
225
*Н — обычный водород (протий) (Z = 1; N = 0);
2Н — тяжелый водород (дейтерий) (Z = 1; N - 1);
3Н — тритий (Z — 1, N = 2).
Ядро £Н называют дейтроном и обозначают d (£>), а ядро 3Н — тритоном, обозначается как t (7). Протий и дейтерий — стабильны, тритий — радиоактивен.
Ядра с одинаковыми массовыми числами А, но разными Z', называются изобрами. Например, 10Ве, 10В, 10С; 40Аг, 40Са и т. д. -
Среди легких ядер существуют такие пары, .у которых число нейтронов одного равно числу протонов другого, а массовые числа одинаковые. Такие ядра называются зеркальными. Примеры зеркальных ядер: 3Н (Ip + 2п); 8Не (In + 2р), 13С (6р + 7n), 13N (6п + 7р).
Известно около 2300 ядер, из которых 300 устойчивых, остальные радиоактивные. В природе встречаются элементы с атомным номером Z от 1 до 92 (кроме технеция 48Те и прометен 8iPm). Элементы с Z от 93 до 109 называются трансурановыми. Они получены искусственным путем посредством различных ядерных превращений.
На основании данных по рассеянию быстрых частиц на ядрах установлено, что в первом приближении ядро можно считать шаром, радиус которого зависит от числа нуклонов в ядре и довольно точно описывается эмпирической формулой
7?Я = ВОА1/3,
где До = (1,3 — 1,7) • 1016 м, А — массовое число.
Согласно приведенной формуле, объем ядра V = (4/3) ttlQ - (4/3) л/ф1 пропорционален числу нуклонов в ядре, т. е. массовому числу А. Плотность ядерного вещества очень велика и имеет одно и то лее, примерно одинаковое для всех ядер, значение: р » 1017 кг/м3. Для сравнения напомним, что плотность воды 103 кг/м3.
4.68.	МОДЕЛИ АТОМНОГО ЯДРА
До настоящего времени не создано единой теории, которая описывала бы все свойства атомных ядер на основе одной модели. Поэтому в ядерной физике используют несколько моделей, объясняющих отдельные характерные особенности ядра.
8 Зок. № 845
226
Раздел 4
Наиболее простой является модель жидкой капли. В этой модели ядро рассматривается как заряженная капля несжимаемой жидкости. Сходство атомного ядра с капелькой жидкости заключается в том, что силы, действующие между молекулами жидкости, имеют ограниченную сферу действия (короткодействующие), как и ядерные силы. Кроме того, плотность вещества в жидком состоянии (при постоянной температуре и давлении) постоянна и не зависит от числа молекул, находящихся в жидкости. Ядерное вещество также имеет примерно постоянную плотность, которая не зависит от числа нуклонов в ядре. Наконец, нуклоны ядра удерживаются обменными силами, действующими между соседними нуклонами, поэтому внутри ядра нуклон притягивается равномерно во всех направлениях, тогда как на поверхности ядра он испытывает притяжение к центру, т. е. существует поверхностный эффект, стремящийся придать ядру сферическую форму. Подобное же происходит и с каплей жидкости, например, с каплей воды, которая состоит из множества молекул и имеет сферическую форму из-за поверхностного натяжения. Следует отметить также, что как и молекулы жидкости, нуклон обладает достаточной подвижностью, а при возбуждении ядра — сообщении ему достаточной энергии — эта энергия распределяется между всеми нуклонами статистическим образом, аналогично тому, как распределяется между молекулами жидкости энергия, подводимая к ней в процессе нагревания.
Капельная модель ядра, предложенная Френкелем (1939 г.), развитая Бором, достаточно хорошо объясняет многие свойства ядра: зависимость удельной энергии связи от массового числа, механизм ядерных реакций и процесс деления ядер. Кроме того, она позволила рассчитать радиусы ядер и наглядно объяснить некоторые их свойства. Главным недостатком капельной модели является отсутствие близкого сходства ядерного вещества и жидкой капли. Если в самой маленькой капельке обычной жидкости находятся миллиарды атомов, то в ядре не может быть более 300 нуклонов. Более того, капля заряженной несжимаемой жидкости с плотностью, равной ядерному веществу, подчиняется законам квантовой механики, а поведение молекул в капле жидкости описывается законами классической механики.
Квантовая физика
221
Более распространенной считается оболочечная модель атомного ядра (М. Гепперт-Майер и И. X. Иенсон, 1949-1950 гг.). В основе этой модели лежит экспериментальный факт периодического изменения свойств многих ядер подобно периодическому изменению свойств атомов в таблице химических элементов Д. И. Менделеева.
Согласно оболочечной модели, протоны и нейтроны в ядре образуют заполненные оболочки, причем протоны заполняют свои (а нейтроны свои), энергетические уровни парами. На каждый уровень попадает Два протона (два нейтрона) с противоположными спинами (нуклоны в ядре подчиняются принципу Паули). На s-оболочке ядра (Z = 0) может находиться по 2 нейтрона и по 2 протона. Полностью заполненная оболочка у 4Не. Следующая, р-оболочка (I = 1) може*г иметь 6 нейтронов и 6 протонов. Когда все s- и р-оболочки оказываются полностью заполненными, то получается ядро 1вО. Следующая орбитальная оболочка (1 = 2) вмещает 10 протонов и 10 нейтронов. Когда все з, р- и d-оболочки заполнены, то получается ядро 86Аг.
Самые стабильные ядра имеют число протонов Z или число нейтронов N, равное одному из целых чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, которые называются магическими числами.
Ядра, у которых магическими являются как число протонов Z, так и число нейтронов N, называются дважды магическими. Известно пять дважды магических ядер: 4Не (Z = 2; N - 2); 1вО (Z =8; N = 8); *°Са (Z - 20; А - 20); Sn (Z - 50; А - 82); 208Pb (Z = 82; А = = 126).
Эти ядра особенно устойчивые.
Повышенная прочность магических ядер напоминает химическую инертность атомов инертных газов (гелия, неона), у которых внешняя оболочка заполнена.
Оболочечная модель ядра позволила объяснить спины и магнитные моменты ядер, различную устойчивость атомных ядер, а также периодичность изменений их свойств. Она особенно хорошо описывает состояние легких и средних ядер, а также тяжелых ядер, находящихся в основном (невозбужденном) состоянии.
Достоинства капельной и оболочечной моделей нашли свое отражение в обобщенной модели. По этой модели считается, что у ядра имеется достаточно устойчивый
228
Раздел 4
остов, состоящий из заполненных оболочек. Оставшиеся внешние нуклоны, не вошедшие в остов, движутся в поле остова. Под действием внешних нуклонов остов может деформироваться, двигаться.
Обобщенная модель позволила разделить ядерные уровни на одночастичные, обусловленные возбуждениями внешних нуклонов, и коллективные, связанные с движением остова; определить спин и четность каждого уровня. Кроме того, она объясняет не сферическую форму некоторых (невозбужденных) ядер, ряд деталей механизма распада и деления ядер.
Ядра, как и атомы, имеют много возбужденных состояний. При сильном возбуждении, в отличие от атома, где энергию возбуждения несет один электрон, в ядре энергия возбуждения распределяется между всеми нуклонами. Поэтому' для ядер, имеющих большое число нуклонов, возбуждения могут быть описаны статистическими методами — статистической моделью — моделью ферми-газа (Я. И. Френкель, Л. Д. Ландау, 1936-1937 гг.). Эта модель удовлетворительно объясняет распределение уровней сильно возбужденных ядер и соотношение между вероятностями испускания у — квантов при переходе между этими уровнями.
Рассмотренные модели ядер дополняют друг друга, каждая из них описывает те свойства атомных ядер, которые плохо или совсем не объясняются другой.
4.69.	ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ
Напомним, что существует 4 вида фундаментальных взаимодействий между материальными объектами: гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное (ядерные силы). Взаимодействие нуклонов описывается с помощью ядерных сил.
Ядерные силы являются короткодействующими. При увеличении расстояния действие ядерных сил быстро уменьшается и на расстоянии более 2,2 • 10 15 м становится практически равным нулю. На расстояниях, меньших 1,5 • 10 15 м, притяжение протонов сменяется отталкиванием. Длина (1,5 — 2) - 10 18 м называется радиусом действия ядерных сил.
Ядерные силы обладают свойством зарядовой'независимости; они одинаково действуют между двумя про
Квантовая физика
229
тонами, двумя нейтронами, протоном и нейтроном. Отсюда следует, что ядерные силы имеют неэлектрическую природу.
Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. Подтверждением этому служит тот факт, что ядро тяжелого водорода (дейтрона 2Н) образуется из нейтрона и протона только в том случае, если их спины параллельны друг другу.
Ядерные силы не являются центральными; их потенциал не обладает сферической симметрией.
Ядерные силы обладают свойством насыщения, которое проявляется в том, что нуклоны в ядре взаимодействуют только с ограниченным числом ближайших к ним соседних нуклонов. Свойством насыщения объясняется линейная зависимость энергии связи ядра от массового числа.
Ядерное взаимодействие является самым сильным в микромире.
Например, энергия связи дейтрона равна 2,23 МэВ, что на 5 порядков превосходит энергию связи электрона в атоме водорода (13,6 эВ), имеющего электромагнитное происхождение.
jg В 1935 г. японский физик X. Юкава высказал гипотезу о том, что переносчиком ядерного взаимодействия являются частицы, которые по величине массы занимают среднее положение между электронами и нуклонами, названные мезонами. В 1947 г. Оккиалини и Поуэлл открыли в космическом излучении этот тип мезонов, (л — мезоны или пионы), которые и являются носителями ядерных сил.
Существует три вида пионов, различающихся зарядом, массой и временем жизни. Заряженные пионы п+ и п~ (л1 — мезоны) имеют массу т* = 273те, заряд, равный заряду электрона е, время жизни т = 2,6 • 10 8 с. У нейтрального пиона (л° — мезона) масса т0 = 264те, а время жизни т = 0,8  10-16 с. Спины пионов всех трех видов равны нулю, т. е. пионы относятся к бозонам.
Рассмотрим механизм обменного взаимодействия между нуклонами. Если вблизи нуклонов нет других частиц, то все испускаемые нуклоном пионы поглощаются им же по следующим возможным схемам:
р <-> п + л+,
п «-> р + л",
р <•» р + л°, п <-> п + л°.	(4.424)
230
Раздел 4
Стрелка <-> указывает возможность протекания процесса как в прямом (слева направо), так и в обратном (справа налево) направлении. В этих случаях начальное и конечное состояния меняются местами.
Одиночный нуклон всегда окружен «мезонной шубой», представляющей собой облако непрерывно испускаемых и поглощаемых так называемых виртуальных мезонов, образующих поле ядерных сил. Виртуальными считаются частицы, излучение и поглощение которых происходит с кажущимся нарушением закона сохранения энергии и для которых не выполняется обычная справедливая для реальных частиц связь между энергией и импульсом W = р2с2 + тп§с4. Виртуальные частицы существуют только в промежуточном состоянии (т - 10'24 с) и поэтому не могут быть зарегистрированы экспериментально.
При сближении нуклонов до расстояний, когда их мезонные шубы соприкасаются, нуклоны начинают обмениваться пионами: пионы, испущенные одним нуклоном, поглощаются другим, что приводит к сильному взаимодействию между нуклонами.
Два протона, два нейтрона и протон и нейтрон обмениваются нейтральными пионами: р+р«->р + я°+р«->р+р, п + + п<-»п + я° + п«->п + п, р + п «-> р + я0 + п <-> р + п,.
В этом случае не происходит превращений нуклонов.
Взаимодействие нейтрона с протоном .осуществляется также обменом отрицательным пионом: п+р<г>р + п~+р<-> р + п. Нейтрон, испуская отрицательный пион, превращается в протон. После поглощения протоном отрицательного пиона, положительный заряд нейтрализуется и протон превращается в нейтрон.
Протон с нейтроном взаимодействует и посредством положительного пиона: р + п «-> п + wt + п «-> п + р. Протон испускает виртуальный л+-мезон, превращаясь в нейтрон. Мезон поглощается нейтроном, превращая его в протон. Согласно приведенным схемам, каждый из взаимодействующих нуклонов часть времени проводит в заряженном состоянии, а часть — в нейтральном.
Обменный характер природы ядерных сил позволил объяснить наличие магнитного момента у нейтрона и аномальную величину магнитного момента протона (см. п. 4.67). Из-за того, что часть времени протон находится в виртуальном состоянии п + я+ (см. первую формулу соотношения (4.424)), его магнитный момент отличается от ядерного магнетона (цр = = 2,79ця). Наличие превращении, описанных вторым уравнением соотношения (4.424), позволяет нейтронам часть времени проводить в состоянии р + я", что объясняет существование у нейтрона магнитного момента, обусловленного орбитальным движением л“-мезона.
С характером проявления ядерных сил связана стабильность ядер. Если построить зависимость числа ней
Квантам физика
231
тронов от протонов (нейтронно-протонную диаграмму), то стабильные ядра занимают довольно узкую полосу. Легкие стабильные ядра лежат вблизи линии N = Z. С увеличением числа, протонов Z ядерные силы ослабляются за счет кулоновского отталкивания между протонами. Для компенсации этого ослабления ядро должно содержать больше нейтронов, чем протонов. Поэтому, начиная с элемента с Z = 20, отношение N/Z становится больше единицы и у самого последнего стабильного ядра z09Bi (верхняя граница стабильности) принимает значение 1,52. В ядрах с Z > 83 ядерные силы не в состоянии полностью компенсировать кулоновское отталкивание, поэтому эти ядра радиоактивны.
4.70.	ДЕФЕКТ МАССЫ. ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДРА
Масса ядра определяется массой входящих в его состав протонов и нейтронов. Однако, масса ядра тв всегда меньше суммы масс, входящих в него частиц: тя < Zmp + (A- Z) тп. Это связано с тем, что при объединении нуклонов в ядро выделяется энергия связи нуклонов друг с другом. Величина
(4.425)
Ат = Zmp + (А - Z) тп - т„
называется дефектом массы. Дефект массы характеризует энергию связи ядра. Энергией связи ядра называется работа, которую надо затратить, чтобы разделить данное ядро на составляющие части — протоны н нейтроны и удалить их друг от друга на такое расстояние, при котором они практически не взаимодействовали бы.
Поскольку энергия покоя частиц VF0 определяется соотношением Wo = тс2, то для энергии связи имеем: WCB = = Ате2 или, учитывая соотношение (4.425), получим:
WCB =	Zmp + (A-Z)mn- тя	с2.	(4.426)
Коэффициенты пропорциональности между массой и энергией с2 в системе СИ равен: с2 = (3 - 108)2= 9 • 101® м2/с2 или 9 - 101® Дж/кг.
В ядерной физике массу принято выражать в атомных единицах массы (а.е.м.). Атомная единица массы
232
Раздел 4
(а.е.м.) равна 1/12 массы изотопа углерода. В системе СИ 1 а.е.м. = 1,667 • 10 27 кг и соответствующая ей энергия W = тс2 = 931,5 МэВ.
Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с2 = 931, 5 МэВ/а.е.м.
Массу ядра тя (4.426) можно представить как тя = — та - Zm„ где та — масса атома, Zme — полная масса электронов, составляющих электронную оболочку атома. Энергией связи электронов с ядром можно пренебречь, так как она мала по сравнению с энергией связи нуклонов в ядре. Массу протона можно найти как тр = ти -— те. Энергией связи электрона массой те в атоме водорода также пренебрегаем и считаем тр — ти, где т„ — масса атома водорода.
Следовательно, формула (4.426) для расчета энергии связи примет вид:
+ (A - Z) тп- с2.	(4.427)
Если WCB > 0, то ядро стабильно, для расщепления ядра ему необходимо сообщить извне энергию. Если W™ < 0, то ядро нестабильно, оно спонтанно (само по себе) распадается.
Важной характеристикой атомного ядра служит удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон:
Чем больше удельная энергия связи, тем сильнее связаны между собой нуклоны и тем прочнее ядро. Из графика зависимости удельной энергии связи от массового числа (см. рис. 4.95) можно сделать несколько важных выводов.
1.	Для большинства ядер величина лежит вблизи 8 МэВ на нуклон и уменьшается для очень легких и очень тяжелых ядер.
2.	Более прочно нуклоны связаны в ядрах, массовые числа которых заключены в диапазоне 50-60 (энергия связи максимальна и составляет 8,75 МэВ/нуклон). Наиболее устойчивы ядра Fe и Ni.
3.	Ядра в конце периодической таблицы Менделеева менее устойчивы, их удельная энергия связи меньше, чем в средней части и составляет примерно 7,5 МэВ/нуклон. Поэтому тяжелые ядра нестабильны.
Квантовая физика
233
4.	У легких ядер, содержащих малое число нуклонов, удельная энергия связи уменьшается по мере уменьшения числа нуклонов. Характерной особенностью этой области зависимости (А) является наличие острых пиков и впадин. Минимальные значения удельной энергии связи приходятся на такие ядра как |Li, ‘(JB и т. д., ядра которых состоят из нечетного числа нейтронов и протонов. Максимальное значение удельной энергии связи имеют ядра ^Не, *62С, *®0 и т. д., содержащие четное число нейтронов и протонов. Это указывает на то, что удельная энергия связи ядра зависит не только от общего числа нуклонов, но и от того, находится ли в ядре четное или нечетное их число.
5.	Возможны два пути получения ядерной энергии: синтез легких ядер и деление тяжелых ядер. Если соединить легкие ядра в более тяжелые, например, ядро дейтерия и трития (см. первую реакцию (4.457)) в ядро гелия gHe, то выделится энергия, равная 17,6 МэВ (на один нуклон приходится энергия, равная -3,5 МэВ).
В ядре урана удельная энергия связи составляет 7,5 МэВ/нуклон, а в ядре устойчивых ядер Fe, Ni — 8,75 МэВ/нуклон. Если осуществить деление ядра урана на два ядра, близких по массовому числу к Fe, то при каждом таком делении выделится энергия, равная 8,75 - 7,5 = 1,25 (МэВ/нуклон) или 200 МэВ на каждое разделившееся ядро урана. Таким образом, при обоих процессах (делении тяжелых ядер на легкие и синтезе легких ядер) выделяется огромное количество энергии. Эти процессы осуществлены в настоящее время в реакциях деления ядер (см. п. 4.81) и термоядерных реакциях синтеза (см. п. 4.85).
234
Раздел 4
4.71.	РАДИОАКТИВНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЯДЕР
Радиоактивность — это самопроизвольное превращение ядер неустойчивого изотопа одного химического элемента в ядра другого элемента, сопровождающееся испусканием некоторых частиц. Ядра, подверженные такому распаду, называются радиоактивными.
Радиоактивность, наблюдаемая у неустойчивых изотопов, существующих в природе, называется естественной (открыта в 1896 г. А. Беккерелем). Естественная радиоактивность присуща ядрам атомов химических элементов, расположенных за свинцом в периодической таблице элементов Д. И. Менделеева, а также некоторым легким и средним ядрам 40К, 87Rb, П51п, 138La, U7Sn, 17®Lu, 187Re.
Радиоактивность изотопов, полученных в результате ядерных реакций, называется искусственной (обнаружена в 1936 г. Ф. Жолио-Кюри и И. Жолио-Кюри). Принципиального различия между этими типами радиоактивности нет. Они подчиняются одинаковым закономерностям.
Необходимым, но недостаточным условием радиоактивного распада является его энергетическая выгодность: масса исходного ядра должна быть больше суммы масс продуктов распада. Поэтому каждый радиоактивный распад сопровождается, выделением энергии.
Радиоактивное излучение имеет сложный состав. В магнитном поле оно расщепляется на три компоненты: слабо отклоняющийся пучок положительно заряженных частиц (a-излучение); сильно отклоняющийся пучок отрицательно заряженных частиц (Р-излучение) и не отклоняющийся пучок (у-из л учение). Основные закономерности и особенности каждой компоненты радиоактивного излучения описаны в п. 4.72—4.74.
Атомное ядро, испытывающее распад, называется материнским, а ядро, возникшее в результате превращения, — дочерним.
Теория радиоактивного распада строится на предположении, что самопроизвольный распад атомных ядер подчиняется статистическим1 законам. Обозначим через N — число ядер данного типа в момент времени t. Ввиду самопроизвольного радиоактивного распада убыль числа ядер dN за время dt должна быть пропорциональна начальному числу ядер N и времени dt'.
Квантовая физика
235
-dN = -kNdt.
(4.429)
Коэффициент пропорциональности X называется постоянной радиоактивного распада. Постоянная распада характеризует вероятность распада ядра за единицу времени. Соотношение (4.429) представляет собой основной закон радиоактивного распада в дифференциальной форме. Знак «минус» в формуле (4.429) указывает на уменьшение числа радиоактивных ядер со временем.
Интегрирование (4.429) дает:
N (О = Noe	(4.430)
где N (t) — число ядер, нераспавшихся к моменту времени t, No — начальное число ядер. Выражение (4.430) представляет собой основной закон радиоактивного распада в интегральной форме. Его формулировка: число нераспавшихся ядер данного сорта убывает со временем по экспоненциальному закону. График зависимости N (f) представлен на рис. 4.96.
Активностью «Q» радиоактивного изотопа называется физическая величина, характеризующая скорость радиоактивного распада, то есть:
Q =	dN dt	= XN.
(4.431)
За единицу активности в системе СИ принимается беккерель (Бк): 1 Бк — активность ядер, при которой за 1 с происходит один распад, т. е. 1 Бк — 1 расп/с; 10е Бк называется 1 резерфордом (1 Рз). Внесистемная единица активности — Кюри (Ки): 1 Ки = 3,7 • 1О10 расп/с или 1 Ки — 3,7  1О10 Бк (1 г чистого урана имеет активность ~1 Ки).
Подставим выражение (4.430) в (4.431), получим
Q = 2V0Xe = Qoe~\ (4.432)
где Qo - N(,X — активность изотопов в начальный момент времени. Согласно (4.432), получается, что
Рис. 4.96
Квантовая физика
237
(4.435)
Таким образом, среднее время жизни радиоактивных ядер обратно пропорционально постоянной радиоактивного распада. Подстановка (4.433) в (4.435) дает Т1/2 = In 2 • т. *
При радиоактивных превращениях атомных ядер выполняется ряд законов сохранения, включая закон сохранения электрического заряда, массовых чисел и спина; выполняются и так называемые правила смещения.
Правила смещения устанавливают, какие изменения претерпевают радиоактивные изотопы при превращениях и какое ядро возникает в результате распада данного материнского ядра. Эти правила являются следствием закона сохранения электрического заряда и массового числа.
При записи радиоактивных превращений используются следующие обозначения: %Х — материнское ядро; У, У* — символы дочернего ядра в основном и возбужденном состоянии соответственно. Так как а-частица является ядром атома гелия, то обозначим ее |Не. Введем также символические обозначения для электрона (заряд равен — 1, массовое число О), для позитрона — для нейтрино и антинейтрино — gv и gv.
При а-распаде:
*X-^ZlY + |He	(4.436)
образуется изотоп химического элемента z~%Y, смещенный в таблице Менделеева на 2 клетки до элемента %Х, претерпевающего распад.
При электронном или р~-распаде:
£ + 1У+ _fc+ gx	(4.437)
образуется изотоп другого химического элемента z+iX, расположенного в таблице Менделеева в следующей клетке за элементом gX, подверженным распаду, т. е. смещается вправо на одну клеточку.
При позитронном или р+-распаде:
*Х -> Z*Y + i°e + gv	(4.438)
получается изотоп химического элемента zjY, расположенного перед радиоактивным изотопом gX,
238
Раздел 4
претерпевающим распад, т. е. смещается влево на одну клеточку.
Если дочерний продукт является стабильным изотопом, то процесс превращения материнских ядер будет сопровождаться накапливанием дочерних. Процесс накопления ядер будет происходить до тех пор, пока материнское ядро не исчезнет полностью. Но если дочерний изотоп будет радиоактивным, то его количество будет меняться. Происходит цепочка радиоактивных распадов (ряда радиоактивных превращений). Совокупность элементов, образующих такую цепочку, называется радиоактивным семейством.
В настоящее время известны три естественно радиоактивных семейства: семейство урана 288U, семейство тория Z32Th и семейство актиния 285U, названные по наиболее долгоживущему «родоначальнику» семейства. Все радиоактивные семейства расположены в конце периодической системе Д. И. Менделеева и заканчиваются стабильными ядрами свинца 207РЬ.
4.72.	ЗАКОНОМЕРНОСТИ «-РАСПАДА
Радиоактивное превращение с испусканием «-частицы описывается уравнением (4.436). Вследствие испускания а-частицы заряд ядра уменьшается на 2 единицы, а массовое число — на 4 единицы. Примером может служить а-распад изотопа 288U:
2в828<7 -> 42Не + 2^Th.
Обычно а-распад сопровождается испусканием дочерним ядром гамма лучей. Материнское ядро превращается в дочернее, которое находится не в основном, а в возбужденном состоянии. Через некоторое время избыточную энергию уносит у — квант, и ядро становится устойчивым. В качестве примера рассмотрим превращение 212Bi в 2087Z:
2^Bi *Не + ™Tl *.
Возбужденное ядро таллия 2“Т1 * на следующем этапе превращений переходит в нормальное состояние:
208гр у л   208гр/ , 81 / 4 54 -> 811 4 + У-
Энергия а-частиц различных радиоактивных источников лежит в пределах от 4 до 9 МэВ. Проходя через
Квантовая физика
23»
вещество, а-частицы теряют свою энергию вследствие ионизации молекул вещества и, в конце донцов, останавливаются. Расстояние, которое проходит а-частица в веществе до полной остановки, называется пробегом а-частиц. Большинство а-частиц останавливает слой воздуха толщиной в несколько сантиметров. Например, длина пробега а-частиц, испускаемых ураном, составляет 2,7 см, радием — 3,3 см.
«р. Явление а-распада невозможно понять в рамках клас-w сических представлений. Подобно тому, как фотоны не существуют в атоме в готовом виде, а возникают лишь в момент излучения, так и а-частицы возникают в момент радиоактивного распада из нуклонов ядра.
Внутри ядра а-частицы связаны мощными ядерными силами. Вне ядра между а-частицами и дочерним ядром проявляются кулоновские силы отталкивания. Потенциальная энергия этого взаимодействия пропорциональна 1/г и при уменьшении г возрастает. Такое возрастание происходит до тех пор, пока расстояние, г не станет равно расстоянию Йя, на котором начинают действовать ядерные силы притяжения г = R„. Начиная с этого расстояния, потенциальная энергия резко падает, причем поскольку потенциальная энергия сил притяжения отрицательна, то*и суммарная энергия кулоновских сил отталкивания и ядерных сил притяжения будет отрицательна. График изменения потенциальной энергии показан на рис. 4.97 (для урана Wo = 28 МэВ). Известно, что а-частица, покидающая ядро урана, при распаде имеет энергию
Рис. 4.97
240
Раздел 4
-4 МэВ. Из сказанного следует, что внутри ядра а-частицы движутся в потенциальной яме с вертикальными стенками и выходу а-частиц препятствует потенциальный барьер высотой W"o, образованный кулоновскими силами отталкивания, задерживающими вылет а-частицы из ядра. Однако, согласно квантовой механике, имеется отличная от нуля вероятность преодолеть этот барьер а-частицей за счет туннельного эффекта, С ростом энергии а-частицы Wa уменьшается ширина г6 потенциального барьера (см. рис. 4.97) и увеличивается вероятность, туннельного эффекта. Теория а-распада, основанная на представлении о туннельном эффекте, приводит к результатам, хорошо согласующимся с опытом. *
4.73.	БЕТА-РАСПАД
Различают электронный или 0~-распад, позитронный или Р+-распад и электронный е или ft-захват. При электронном распаде материнское ядро ZX испускает электрон ре и антинейтрино £v превращается в дочернее ядро Z+*Y по схеме, представленной формулой (4.437). Как следует из соотношения (4.437), массовое число дочернего ядра такое же, как и у материнского, а порядковый номер на единицу больше. Примером Р~-распада служит превращение тория 284Tft в протактиний 284Ра с испусканием электрона и антинейтрино:
M&Th +	+ •&.
Электронный распад может сопровождаться гамма-излучением. Это происходит в том случае, если в процессе распада дочернее ядро оказывается в возбужденном состоянии. Примером такого распада является распад кобальта:
£Со->8“М* + _?е + &,
Поскольку при Р“-распаде массовое число остается неизменным, то не меняется и общее число нуклонов в ядре. Увеличение же у дочернего ядра зарядового числа на единицу означает, что в результате прошедших в ядре процессов число протонов увеличилось на единицу. Так как массовое число осталось без изменений, то число нейтронов N — А - Z должно уменьшиться на единицу. Следовательно, [Г-распад можно описать как превращение одного нейтрона, находящегося в ядре, в протон. Превращение идет по схеме:
Квантовая физика
241
Jn -> + _fc + Я- (4-439)	.
Таким образом, 0-распад —	/ \
это такой распад, при ко-	/	\
тором ядро испускает две частицы (электрон и анти- —t________________>
нейтрино), которые в ядре 0	W’max
не присутствуют, а рожда-	Рис 4 08
ются в самом акте распада
в результате превращения нейтрона в протон. Поэтому особенностью 0“-распада является его внутринуклонное, а не внутриядерное происхождение.
В отличие от а-распада, обладающего в пределах каждой группы распада строго определенной энергией, энергетический спектр 0~-распада оказывается непрерывным. ~На рис'. 4.98 изображен энергетический спектр электронов, испускаемых ядрами при 0-распаде.
Здесь dN — число электронов, энергия которых заключена в интервале dW. Площадь под кривой дает общее число электронов, испускаемых в единицу времени. Энергетический спектр ограничен энергией W = = W'max» которая определяется разностью масс материнского ядра и массами электрона и дочернего ядра. Тогда распады, при которых W < 1Утах, протекают как бы с кажущимся нарушением закона сохранения энергии (на величину 1Ут1Ц1 - ТУ). Чтобы объяснить кажущееся нарушение закона сохранения энергии, В. Паули (1932 г.) высказал гипотезу, которая позволила Э. Ферми (1934 г.) создать теорию 0-распада. Гипотеза сводилась к тому, что при 0 -распаде вместе с электроном испускается еще одна частица — нейтрино1, которая уносит с собой энергию (ТУтих - ТУ). Нейтрино имеет нулевой заряд, полуцелый спин 1/2 и массу, равную нулю. Экспериментально существование нейтрино было подтверждено лишь в 1956. Это связано с трудностями поиска «нейтрино», обусловленными отсутствием у него электрического заряда и массы. Кроме того, нейтрино — это частица, единственным взаимодействием которой является слабое, поэтому она также
1 Впоследствии частицу, испускаемую при р -распаде, переименовали в антинейтрино, а частица, сопутствующая [J1 -распаду, получила название нейтрино.
242
Раздел 4
обладает большой проникающей способностью, и прямое наблюдение нейтрино затруднено.
Сплошной спектр обязан перераспределению энергии между электроном и нейтрино, причем сумма энергий обеих частиц равна WmaK. В одних актах распада большую энергию получает электрон, а в других — нейтрино. В граничной точке, где W = VKmax, вся энергия уносится электроном, а энергия антинейтрино равна нулю. Нулевое значение энергии на кривой рисунка 4.98 соответствует случаю, когда вся энергия уносится антинейтрино.
Теоретически существование нейтрино подтверждается еще одним обстоятельством. Все частицы — нейтрон, протон и электрон обладают одинаковыми по величине спиновыми моментами, равными й/2. При превращении нейтрона со спином й/2 в две частицы — протон, электрон (см. формулу 4.439), суммарный момент импульса должен быть равным нулю, если спины антипараллельны и h, если параллельны. Чтобы выполнился закон сохранения момента импульса, должна иметься еще одна частица со спином, равным й/2.
При позитронном распаде материнское ядро %Х превращается в дочернее ядро ZJ{X с испусканием позитрона +°е и нейтрино ®ve. Распад идет по схеме (см. формулу (4.438)).
Как следует из соотношения (4.438), массовое число дочернего ядра такое же, как и у материнского, а зарядовое число на единицу меньше.
Процесс Р+распада происходит таким образом, как если бы один из протонов исходного ядра превратился в нейтрон с испусканием позитрона и нейтрино:
}р ->	+ gve.
Для свободного протона такой процесс энергетически невозможен, поскольку масса протона меньше массб нейтрона (см. п. 4.67). Но в ядре протон может взять недостающую энергию от других нуклонов, входящих в состав ядра и совершить превращение.
Позитронные превращения были получены впервые Фредериком и Ирен Жолио-Кюри (1938-1939 гг.) с легкими элементами, находящимися в начале таблицы Менделеева. Примером р+-распада является превращение азота 13№ в углерод 13С по схеме:
Квантовая физика
243
\3N -► ™С + fc + °v0.
EcSta дочернее ядро оказывается в возбужденном состоянии, то позитронный распад может сопровождаться гамма-излучением подобно тому, как это наблюдается при р~ и а-распадах.
Еще один тип Р-распада связан с захватом ядром электрона из ближайшей к нему К-оболочки. После захвата электрона, как и в позитронном распаде, один протон в ядре превращается в нейтрон:
р + е -» п + v.
Схема электронного захвата может быть записана в общем виде следующим образом:
gX + .fc -» Z^Y + Sve.
Если ядро дочернего атома оказывается в возбужденном состоянии, то, возвращаясь в основное состояние, оно испускает у-квант. Следовательно, К-захват может сопровождаться как рентгеновским, так и гамма-излучением.
Как и а-частицы, р-частицы, проходя через вещество, постоянно теряют свою энергию и на определенном расстоянии полностью поглощаются. Расстояние, на котором все Р-частицы поглощаются средой, называется максимальным пробегом Р-частиц. Максимальный пробег Р-частиц возрастает с уменьшением плотности вещества, через которое они проходят. Пробег Р-частиц в воздухе может достигать 1—3 метров. Р-частицы, обладающие большой энергией, могут проникать через тонкие слои легких металлов. Свинец толщиной в несколько миллиметров полностью поглотит все Р-частицы большой энергии.
4.74.	ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА
Гамма-излучение (у-излучение) представляет собой коротковолновое излучение с длиной волны, не превышающей Ю11’ м. Существует несколько источников у-излучения. В настоящем параграфе рассматривается у-излучение, порожденное процессами в дочерних ядрах, образовавшихся при а и р-распадах.
244
Раздел 4
Такие ядра могут находиться в различных состояниях с энергиями Wlf W2, ... Wn. Значение W изменяется в широких пределах от нескольких кВ до 10 МэВ. При переходе ядра из одного возбужденного состояния (с энергией Wk) в другое возбужденное или в основное состояние (с энергией W() излучается у-квант, энергия которого, согласно правилу частот Бора, определится соотношением:
Avw = W„ - W„
где vw — частота у-излучения, возникшего при указанном переходе. Возбуждение ядра может сниматься путем излучения одного или нескольких у-квантов, испущенных каскадно. Поскольку ядро имеет дискретный спектр энергии, то и спектр излучения этим ядром должен быть линейчатым.
Так как у-излучение производит сравнительно слабую ионизацию вещества на своем пути, то оно обладает гораздо большей проникающей способностью, чем а- и р-частицы. Прохождение у-излучения через вещество сопровождается тремя основными процессами: а) фотоэлектрическим поглощением; б) классическим и комптоновским рассеянием; в) образованием пар.
Фотоэлектрическое поглощение (внутренний фотоэффект) возникает при взаимодействии у-кванта с электроном одной из внутренних оболочек атома. При этом может быть удален электрон из любой внутренней оболочки (К, L, М и т. д.) атома. Освободившееся место занимает электрон с вышерасположенных энергетических уровней, поэтому фотоэлектрическое поглощение сопровождается испусканием характеристического рентгеновского излучения.
Комптоновское рассеяние у-квантов на электронах начинает проявляться, если у-излучение обладает энергией порядка 2 МэВ. Сущность эффекта Комптона изложена в п. 4.7. Поскольку при комптон-эффекте часть энергии у-кванта передается электрону, то в результате многократного рассеяния у-излучение постепенно теряет свою энергию и в конечном итоге поглощается веществом полностью.
Если энергия у-квантов превышает удвоенную энергию покоя электрона 2тос2 « 1,1022 МэВ, то процесс
Квантовая физика
245
поглощения у-излучения сопровождается образованием электронно-позитронных нар. При этом энергия у-кван-та тратится как на создание электрона и позитрона, так и на сообщение им кинетической энергии. Впервые образование электронно-позитронной пары было открыто Ф. Жолио-Кюри (1934-1935 гг.).
Для соблюдения закона сохранения импульса в процессе рождения пары должна участвовать еще одна частица, электрон или ядро, в поле которого образовалась пара. Эта третья частица воспринимает избыток импульса у-кванта над суммарным импульсом электрона и позитрона. Однако вероятность образования пары в поле электрона мала. Поэтому из двух различных схем рождения пары:
у + е -> е + е~ + е*,
у + X -> X + е + е+,
где X — ядро, в поле которого происходит рождение пары, предпочтение дается второй реакции.
Общее действие описанных выше процессов (фотоэлектрическое поглощение, комптоновское рассеяние, образование электронно-позитронной пары), приводит к ослаблению у-излучения. Практически важным параметром, характеризующим излучение, является толщина слоя половинного ослабления. Под слоем половинного ослабления do f> понимается толщина такого слоя, при прохождении через который интенсивность излучения уменьшается в 2 раза.
Убыль интенсивности излучения при прохождении слоя вещества толщиной dx описывается законом di — = -pldx. Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя его, получим:
1 = 1^,	(4.440)
где /0, I — интенсивность радиоактивного излучения соответственно до и после прохождения через слой толщиной х; ц — линейный коэффициент ослабления излучения. При х =» dO6 имеем I = 10/2. При этих условиях выражение (4.440) можно записать в виде: 0,51о = IveПосле логарифмирования этого соотношения имеем:
246
Раздел 4
d - ln 2 “0,6 --- •
и
Из уравнения di = -pldx следует, что
и-If.	(4.441)
то есть ц — есть относительное ослабление излучения, приходящееся на один метр толщины поглощающего вещества.
В случае у-излучения р. представляет собой сумму трех коэффициентов:
М = Рф + Мк + Мп.
где цф, цк, — коэффициенты ослабления вследствие фотоэффекта, комптоновского рассеяния и образования пар соответственно.
Гамма-излучение оказывает сильное воздействие на вещество и, в частности, на биологические объекты.
4.75.	ОСНОВНЫЕ ДОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
ж. Воздействие излучения на вещество, в том числе и на живые организмы, характеризуется дозой поглощенного излучения.
Поглощенной дозой излучения D„ называется физическая величина, равная отношению поглощенной энергии AWnora к массе т облучаемого вещества: D„ = Д1Упогл/т.
В системе СИ за единицу поглощенной дозы принят грей (Гр): 1 Гр = 1 Дж/кг. Один грей равен дозе излучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия ионизирующего излучения 1 Дж. Ранее широко применялась единица рад: 1 рад = 10~2 Дж/кг.
Проходя через вещество, заряженные частицы сталкиваются с электронами атомов и оставляют за собой цепочку ионов. Поэтому существующие дозиметрические приборы позволяют измерить не поглощенную дозу, а лишь дозу излучения по ионизирующему эффекту, производимому данным излучением в воздушной среде. Экспозиционной дозой излучения D3 называется физическая величина, равная отношению суммы электрических зарядов q всех ионов одного знака, созданных электронами, освобожденными в облученном воздухе, к массе т этого воздуха: D3 = q/m. Единица экспозиционной дозы излучения в СИ — кулон на килограмм (1 Кл/ кг). Внесистемной единицей является рентген (Р): 1Р = = 2,58  10 4 Кл/кг. Экспозиционная доза в 1Р — это такое количество излучения, под действием которого в 1 см3 воздуха
Квантовая физика
247
при нормальных условиях образуются вторичные электроны, создающие 2,08  10® пар ионов.
Поглощенная доза излучения производит разный эффект в зависимости от типа излучения и природы облучаемого объекта. Для сравнения биологического действия различных , видов излучения используется коэффициент относительной биологической активности (КОБА). Он показывает, во сколько раз биологическое действие данного излучения сильнее биологического действия у-излучения при равных величинах поглощенной энергии. Для рентгеновских лучей и Р-частиц КОБА равен единице; для а-частиц 10—20 в зависимости от энергии а-частиц и типа облучаемой ткани, для нейтронов КОБА изменяется от 1 до 10.
Доза, получаемая объектом с учетом КОБА, называется эквивалентной. Единицей измерения служит биологический эквивалент рентгена (бэр). 1 бэр — доза любого ионизирующего излучения, производящая такое же биологическое действие, как и доза рентгеновского или у-излучения в 1Р (1 бэр = 10~2 Дж/кг).
Мощность дозы излучения — это доза, получаемая объектом в единицу времени. Различают: 1) мощность поглощенной дозы: Рп = D^/Ы', единицей измерения служит грей на секунду (Гр/с), 2) мощность экспозиционной дозы Р3 = DJ&P, единицей измерения является ампер на килограмм (А/кг). Здесь Д£ — длительность облучения. »
4.76.	РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ у-ИЗЛУЧЕНИЙ. ЭФФЕКТ МЕССБАУЭРА
Как уже отмечалось (см. п. 4.74), энергетический спектр у-излучения дискретен. Эта дискретность обусловлена дискретностью энергетических уровней ядер атома. Но согласно соотношению неопределенностей, значения энергии W могут быть определены только с точностью до AW « й/т, где т — время пребывания ядра в состоянии с энергией W. Из приведенного соотношения следует, что чем меньше т, тем больше неопределенность энергии АГИ. Поскольку для основного состояния стабильного ядра т = со, то АГИ = 0, т. е. невозбужденное ядро имеет значение энергии, в точности равное W. Все возбужденные состояния с различными временами жизни, имеют отличные от нуля неопределенности в энергии АЖ. Например, при времени жизни возбужденного состояния т = 10 12 с, АГИ = 10 3 эВ. Неопределенность энергии дискретного энергетического состояния возбужденного ядра называется естественной шириной Г
248
Раздел 4
энергетического уровня ядра. Если отложить по оси абсцисс энергию ядра, а по оси ординат р — вероятность нахождения ядра в состоянии с данной энергией Wo, то ширина кривой, измеренная на половине высоты, дает естественную ширину Г (рис. 4.99, а).
Неопределенность энергии возбужденного состояния приводит к немонохроматичности у-излучения, испускаемого при переходе ядра из возбужденного состояния в основное. Эта немонохроматичность называется естественной шириной линии у-излучения.
При прохождении у-излучения через вещество, кроме фотоэффекта, комптоновского эффекта и образования электронно-позитронных пар, необходимо учитывать также резонансный эффект, который может проявиться в том случае, если ядро облучать у-квантами с энергией, равной разности энергии возбужденного и основного состояний. Однако резонансное возбуждение наблюдается не всегда. Дело в том, что энергия, уносимая у-квантом, оказывается меньше энергии Wo перехода между уровнями, поскольку часть энергии (W„) уносится ядром. Вследствие эффекта отдачи ядро начинает двигаться в сторону, противоположную направлению вылета у-кванта, обладая энергией движения W„.
Поэтому в актах излучения — при переходе ядра из возбужденного состояния с энергией в основное, энергия которого здесь принята за нуль, у-фотон приобретает энергию:
	- w„ < w0.
Квантовая физика
249
При возбуждении ядра и переходе его из основного состояния в состояние с энергией Wo у-фотон должен обладать энергией:
ftvnorjI = w; = w0 + w„ > vr0.
Частоты, соответствующие максимуму поглощения и излучения, сдвинуты друг относительно друга на величину:
^погл ^изл
VF0 + VF,	^0 -	2W,
й	й й ’
т. е. ЙДуг = 21УЯ.
Этот сдвиг показан на рис. 4.99, б.
Энергию отдачи ядра W„ определим, исходя из того, что ядро, испускающее у-квант, приобретает импульс отдачи, равный по величине и противоположный по направлению импульсу у-кванта, т. е. ря = рг Если ядро свободно и первоначально покоилось, то энергия отдачи (в нерелятивистском приближении) равна:
WB
2т„
ч2
ЙУ]	1 = W*
с I 2т, ~ 2т,<? ’
(4.442)
где тя — масса ядра.
Для резонансного поглощения у-излучения важную роль играет не величина а соотношение между W„ и шириной Г, соответствующей резонансной линии. Резонансное поглощение возможно только в том случае, если спектры испускания и поглощения перекрываются (см. рис. 4.99, в), т. е. при условии:
2И\ Г.	(4.443)
Оценим значения Г и WB для ядра 119Sn, у которого расстояние между основным и первым возбужденным уровнем равно Wo = 23,8 кэВ, а время жизни возбужденного уровня порядка 10”7 с.
Величины Wo, Wr и W„ связаны законом сохранения энергии Wo = Wr + W„. Поскольку W„ « W7, то в формуле (4.442) Wr можно заменить на энергию возбужденного состояния Wo. Тогда энергия отдачи ядра в рассматриваемом случае составляет:
250
4	---------
W2	с
WB*	» 2,5  10 s эВ.
2тяе2
Для рассматриваемого ядра ширина Г = 3 • 10 8 эВ, т. е. на пять порядков меньше величины W„. Следовательно, резонансное поглощение в таких условиях невозможно. Условие (4.443) почти никогда не реализуется для у-переходов в свободных ядрах.
В принципе, можно компенсировать энергетический сдвиг с помощью эффекта Доплера. Для этого излучающие и поглощающие ядра должны двигаться друг относительно друга со скоростью v = с • 2W„/Wr Для ядер llBSn нужна скорость порядка v ~ 60 м/с. В результате доплеровского эффекта линии испускания и поглощения расширяются и могут перекрывать друг друга, как это показано на рис. 4.99, в. Перекрытие линий позволяет некоторой доли у-квантов, для которых энергия отдачи скомпенсирована, в принципе, испытать резонансное поглощение.
Таким образом, в действительности ширина линии испускания (поглощения) складывается из естественной ширины Av и доплеровской (включая звуковые колебания), причем основную роль играет доплеровская ширина уровней, связанная с тепловым движением атомов (если ядра атомов считать свободными).
В 1958 г. немецкий физик Р. Мессбауэр обнаружил, что резонансное поглощение у-квантов ядрами будет ярко выражено, если выполняются два требования: 1) потери энергии на отдачу ядра компенсированы; 2) доплеровское уширение отсутствует, причем для некоторых ядер, например, 1811г, резонансное поглощение наблюдается только при низкой температуре источника и поглотителя, а для других, например, 57Fe, этот эффект имеет место и при высокой температуре до 1000 "С.
Первое требование может выполняться, если излучающие и поглощающие ядра связаны с кристаллической решеткой твердого тела. В этом случае импульсы и энергия отдачи передаются не одному ядру, а всей кристаллической решетке в целом. Поэтому в формуле (4.442), определяющей энергию отдачи, вместо массы ядра следует подставить массу всего кристалла. Вследствие этого потери энергии на отдачу становятся исчезающе малыми, т. е. можно считать, что процессы
Квантовая физика
251
излучения и поглощения у-квантов происходят без потери энергии (идеально упруго).
Второе требование сводится к тому, чтобы при испускании и поглощении у-фотона колебательное состояние решетки не изменялось. Квантовомеханические расчеты показывают, что вероятность переходов, не сопровождающихся изменением колебательного состояния решетки, равна exp (—3VK„/2fe0), где fe — постоянная Больцмана, 6 — температура Дебая, т. е. температура, ниже которой становится существенным квантование энергии колебаний.
При W„ «fe0 даже при комнатной температуре большая часть переходов происходит без отдачи. Такое условие имеет место для ядер 1в1/г.
Если №я га fe0, то для получения резонансного поглощения требуется понижение температуры кристалла (охлаждение), чтобы уменьшить вероятность возбуждения колебаний решетки. Такая ситуация как раз и имеет место у 67Ге.
Явление упругого испускания (поглощения) у-квантов атомными' ядрами, связанными в твердом теле, не сопровождающееся изменением внутренней энергии тела, называется эффектом Мессбауэра. При рассмотренных условиях линии испускания и поглощения у-квантов совпадают друг с другом и имеют малую ширину, равную естественной ширине Г.
Чрезвычайно важной особенностью эффекта Мессбауэра является его высокая разрешающая способность, которая определяется отношением ширины возбужденного энергетического уровня Г к энергии перехода ядра из возбужденного состояния в основное. Например, для 119Sn эта величина равна 1,5  1(Г10, для 67Fe - 3  10‘13. Такая чувствительность на несколько порядков выше чем других, весьма точных методов, известных в атомной физике (оптический генератор). Поэтому с открытием эффекта Мессбауэра наука и техника приобрела новый высокоточный «инструмент» для различного рода измерений. Эффект Мессбауэра используют для измерения малых (~0,1 м/с) относительных скоростей макротел, что необходимо, например, при стыковке космических кораблей, для тонких исследований в физике твердого тела, в ядерной физике, химии, биологии, в геологии (экспресс-анализ руд), в археологии (установление составов древних изделий), в медицине и т. д.
252
Раздел 4
4.77.	ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
Ядерными реакциями 'называются процессы превращения атомных ядер, вызванные их взаимодействием друг с другом или с элементарными частицами.
Первую ядерную реакцию осуществил Э. Резерфорд (1919 г.). Он бомбардировал а-частицами ядро атома азота 14N. Продуктами реакции были ядро кислорода 17О и один протон \Н. Реакция идет по схеме:
14N + ?Не -+{Н + 17О.	(4.444)
Реакцию подобного типа можно записать в общем виде:
X + х -> Y + у,	(4.445)
где X, Y — исходное и конечное ядра, X называется ядром-мишенью, Y — ядро отдачи (продукт реакции), х, у — исходная и конечная частица соответственно, х — частица-снаряд, у — частица-продукт.
Используется также сокращенная запись ядерной реакции: X (х, у) Y, где перед скобкой и после скобки стоят ядро-мишени и ядро-отдачи соответственно, а в скобках на первом месте указывается частица-снаряд, а затем частица (или частицы), полученные в результате реакции. В таких обозначениях ядерная реакция типа (4.444) записывается в виде: i4N (а, р)17 О.
Обычно ядерная реакция протекает в две стадии. Первая стадия состоит в поглощении ядром-мишенью частицы снаряда х с образованием промежуточного составного ядра, называемого компаунд-ядром. Энергия частицы-снаряда перераспределяется между нуклонами составного ядра и оно оказывается в возбужденном состоянии. Время жизни составного ядра 10 14—10“12 с. Вторая стадия заключается в распаде составного ядра на ядро-отдачи с испусканием частицы у.
Промежуток времени, за который нуклон с энергией порядка 1 МэВ (что соответствует скорости нуклона 107 м/с) проходит расстояние, равное диаметру ядра (-10 |'1 см), называется ядерным временем или ядерным временем пролета. Оно по порядку величины равно 10 1‘*/107 = 10 21 с. Поскольку среднее время жизни составного ядра (10 14-10 12 с) значительно превосходит ядерное время пролета, то распад составного ядра не зависит от первого этапа ядерной реакции: захвата
Квантовая физика
253
частицы-снаряда. При наличии составного ядра уравнение ядерной реакции записывается в виде:
"*Х + х->П*->^ + У.
где П* — символ составного ядра; звездочкой указывается его возбужденное состояние.
Одно и то же ядро может распадаться различными путями, причем характер этих распадов не зависит от способа образования составного ядра. Возможные схемы протекания ядерной реакции называются ее каналами, начальный этап реакции — входной канал, конечный этап — выходной канал.
Если в ядерной реакции х=^у, то происходит рассеяние частицы ядром, причем если энергия частицы х равна энергии частицы у, т. е. Wx = Wy, то рассеяние считается упругим; при Wx * Wyпеупругое. Если частицы х и у не тождественные, то идет ядерная реакция.
Составное ядро может выйти из возбужденного состояния различными способами. Чаще всего при этом может происходить вылет из ядра нейтронов, излучение у-кванта, испускание протонов, а-частиц и т. д.
4.78.	ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ПРИ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ
Наиболее важными для анализа ядерных реакций являются законы сохранения заряда, массового числа, энергии и импульса.
Закон сохранения электрического заряда: электрический заряд при ядерной реакции сохраняется, т. е. сумма зарядов частиц и ядра, вступающих в реакцию
равна сумме зарядов частиц и ядра, образующихся после реакции VZ*:
(4-446)
Закон сохранения массового числа сводится к утверждению: сумма массовых чисел частиц и ядер до и после реакции равны друг другу:
-	(4-447)
254
Раздел 4
Закон сохранения энергии: полная энергия всех ядер и частиц, вступающих в реакцию, равна полной энергии ядер и частиц, получающихся при реакции. Поскольку полная энергия равна сумме кинетической энергии Wk и энергии покоя Wo, то, например, для реакции (4.444) закон сохранения энергии примет вид:
Wox + Wkx + WOx + Wkx = W0Y + WkY + Wo, + Wk, (4.448) где Wox, 1V0Y — энергия покоя ядра-мишени и ядра-от-' дачи соответственно, Wx, W* — их кинетические энергии, WOx, WOy — энергия покоя частицы-снаряда и частицы-продукта соответственно, Wx, Wk — их кинетические энергии. Если считать, что Wx = О, то, учитывая последнее равенство, перегруппируем члены соотношения (4.448) следующим образом:
Wk+Wk- Wx = Wox +wox- W0Y - wov. (4.449)
Левая часть соотношения (4.449) представляет собой разность между кинетической энергией ядра и частицы, получившихся в результате реакции и кинетической энергии частицы, инициирующей ядерную реакцию.
Правую часть соотношения (4.449) выразим через массы покоя соответствующих ядер и частиц:
+ Wox) - (W0Y + WOy) =
= с2 ^(Мох + тОх) - (M0Y + m^)] .
Величина
Q = Г(А^ох + тОх) - (Моу + т0/| с2 (4.450)
называется энергией ядерной реакции.
Из соотношения (4.449) следует, что
Q = W^+Wk-Wkx.
Следовательно, энергия ядерной реакции показывает, насколько суммарная кинетическая энергия получившихся в результате реакции ядра У и частицы у отличается от кинетической энергии частицы х, вызывающей реакцию. Из выражения (4.450) видно, что энергия ядерной реакции может быть положительной или отрицательной величиной. Если (Мох + тОх) > (Mw + mOj/), то
Квантовая физика
255
Q > О. В таком случае реакция называется экзоэнергети-ческой или экзотермической (энергия выделяется). Если (Мох + игОх) < (Моу + тОу), то Q < 0 и реакция называется эндоэнергетической или эндотермической. Экзотермическая реакция может происходить спонтанно (самопроизвольно). Эндотермическая реакция оказывается возможной только за счет энергии извне.
Минимальная энергия, необходимая для инициирования эндотермической реакции, называется пороговой энергией или порогом ядерной реакции. Пороговая энергия может быть найдена по формуле:
Из этой формулы следует, что > |Q|.
Закон сохранения импульса: полный импульс частиц до реакции равен полному импульсу частиц-продуктов реакции. Если обозначить через рх, рх — импульсы ядра-мишени и частицы-снаряда соответственно, а через рг, Ру — импульсы ядра-отдачи и частицы-продукта реакции, то по закону сохранения импульса, имеем:
Рх + Рх = Ру + Ру
(4.451)
Если ядро-мишень покоится, т. е. рх = 0, то
Рх = Ру + Ру
Импульсы рх, Py и Ру можно найти, если известны кинетические энергии частиц, используя соотношения:
2	___________
Wk = -g- и W* = сЧр2 + т20с2
для классического и релятивистского случая соответственно.
4.79.	ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ ЯДЕРНОЙ РЕАКЦИИ
Даже в случае, когда ядерная реакция является экзотермической (см. п. 4.78), она не всегда происходит. Вероятность того, что данная реакция произойдет, определяется эффективным сечением о. Смысл этой величины заключается в следующем.
256
Р аздел 4
Пусть на тонкую плоскую мишень толщиной 5 падает перпендикулярно ее поверхности поток частиц No, например, нейтронов (рис. 4.100). Толщина мишени 8 считается столь малой, что ядра атомов не перекрывают друг друга в направлении потока частиц.
Предполагается, что ядра мишени подобны твердым шарикам с поперечным сечением о, а падающие частицы — шарикам с исчезающе малым сечением. Найдем вероятность рв того, что падающая частица про-взаимодействует с одним из ядер мишени: рв = паб, где п — концентрация ядер (число ядер в единице объема мишени). Из общего числа падающих на мишень в единицу времени частиц No с ядрами мишени провза-имодействует /W = NepB = Non&8.
Относительное число частиц, испытывающих столкновения, равно &N/N0 = пай. Следовательно:
„ „ 1
о =----= Р. • —.
NonS г* пЬ
Таким образом, эффективное сечение пропорционально вероятности взаимодействия частиц данной кинетической энергии с ядром.
Величина о имеет размерность площади. Поэтому под эффективным сечением ядерной реакции понимают величину площадки с центром в ядре мишени, попадая в которую бомбардирующая частица-снаряд вызовет реакцию. Эффективное сечение ядерной реакции принято выражать в единицах, получивших название барн (б): 16 = 10 28 ма.
Следует заметить, что сечение ядерной реакции не совпадает с геометрическим сечением ядра, поскольку
Квантовая физика
257
при взаимодействии частиц с ядрами проявляются волновые свойства частиц. Однако по порядку величины они сопоставимы., Эффективное сечение зависит от энергии падающих частиц, причем в каждом конкретном случае по-своему.
4.80.	ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ НА НЕЙТРОНАХ
Ядерные реакции классифицируются по различным признакам.
1.	По роду участвующих в реакции частиц выделяются:
—	реакции под действием нейтронов; например, реакция 238<У (п, у) 239С7;
—	реакции под действием заряженных частиц — протонов; например, реакция 7Li (р, у) 8Ве, служащая источником у-лучей с энергией Wy =17 МэВ;
—	реакция под действием дейтронов (d). Например, реакция №Mg (d, р) 27Mg, изученная при создании атомной бомбы;
—	реакции под действием а-частиц; например, реакция 8Be (а, п) 12С, позволившая открыть нейтрон;
—	реакции под действием у-кванта, так называемые фотоядерные реакции; например, реакция 2Н (у, п) 1Н;
—	реакции с участием л-мезонов; например, р (л*, л°) п, в результате которой протон преобразуется в нейтрон.
2.	По роду ядер, участвующих в ядерных реакциях, различают:
—	реакции на легких ядрах (А < 50);
—	реакции на средних ядрах (50 < А < 100);
—	реакции на тяжелых ядрах (А > 100).
3.	По энергии частиц, вызывающих реакцию, выделяют:
—	реакции при малых энергиях (порядка 1 эВ), происходящие, как правило, с участием нейтронов;
—	реакции при средних энергиях (от нескольких МэВ), происходящие с участием у-кванта и заряженных частиц типа протонов, а-частиц, дейтронов;
—	реакции при высоких энергиях (сотни и тысячи МэВ), с помощью которых получают элементарные 9 Зак. №845
258
Раздел 4
частицы, не существующие в свободном состоянии, например, мезоны, гипероны и т. д.
4.	По характеру ядерных превращений различают реакции:
	-— с испусканием нейтронов; *
—	с испусканием заряженных частиц;
—	реакции радиационного захвата, когда составное ядро не испускает никаких частиц, а переходит в основное состояние, излучая один или несколько у-квантов;
—	реакции рассеяния (упругое или неупругое);
—	реакции деления;
—	реакции синтеза.
Для промышленных целей особое значение имеют ядерные реакции взаимодействия нейтронов с ядрами атома. В отличие от заряженных частиц (d, р, а), нейтроны не испытывают кулоновского отталкивания, а поэтому, обладая даже самой малой энергией, легко проникают в атомное ядро и наиболее эффективно вызывают ядерные реакции. Характер взаимодействия нейтронов с ядрами различен для быстрых й медленных нейтронов.
Нейтроны считаются быстрыми, если они обладают такой скоростью V, что соответствующая длина волны де Бройля Л — меньше радиуса ядра Яя, т. е.
v > h/mRK. Энергия быстрых нейтронов изменяется в пределах 0,1-50 МэВ. Если Л>Яя, то нейтроны считаются медленными. Их энергия не превышает 100 кэВ. Нейтроны с энергией от 0,005 до 0,5 эВ называются тепловыми, так как в этом случае энергия нейтронов соизмерима с энергией теплового движения атомов среды (порядка kT). Область энергий для холодных нейтронов составляет 10 4-10 3 эВ, а для ультрахолодных — 10 710 4 эВ.
При столкновении быстрого нейтрона с ядром происходит реакция типа рассеивания (и, п) или реакция с образованием заряженных частиц (и, а). Последнее объясняется тем, что быстрые нейтроны обладают энергией, достаточной для преодоления потенциального барьера, препятствующего вылету протонов или а-частицы из ядра. Для быстрых нейтронов характерны также неупругие рассеяния типа (п, п'), где п' — нейтрон, вылетающий из ядра. Ядро отдачи, как правило, находится в возбужденном состоянии и его переход в основное состояние сопровождается у-излучением.
Квантовая физика
259
Если энергия нейтронов достигает значений 10 МэВ, то возможны реакции удвоения нейтронов типа (п, 2п), например (п, 2п)^С.
Медленные нейтроны ввиду возможности относительно долгого пребывания вблизи ядра являются наиболее эффективными для возбуждения ядерных реакций (вероятность захвата его ядром велика). Но в силу их малой энергии медленные нейтроны могут вызывать либо упругие рассеяния типа (п, п): С (п, п) либо радиационный захват типа (п, у), приводящий к образованию нового изотопа исходного вещества, например, 23SU (п, у) 23eU. Реакции захвата часто сопровождаются Р -превращением с образованием стабильных ядер, например,
«Р + 'оп -+ 32Р + у, 32Р ->	+ v.
Можно также наблюдать реакции захвата с испусканием заряженных частиц (протонов, а-частиц и т. д.) под действием тепловых нейтронов. Этот процесс проявляется при использовании в качестве мишени легких ядер, например, (n, а)73Ы.
Для осуществления ядерной реакции необходимы медленные нейтроны. Замедлить быстрые нейтроны можно, например, пропуская их через вещество — замедлитель, в качестве которого может быть парафин, вода, водород, соединения бериллия. За счет рассеяния на ядрах вещества замедлителя энергия быстрых нейтронов уменьшается, переходя в энергию теплового движения атомов вещества замедлителя. Процесс рассеяния продолжается до тех пор, пока энергия нейтронов не станет равна энергии теплового движения атомов вещества замедлителя, т. е. тепловой энергии. При комнатной температуре это составляет 0,026 эВ. При совпадении энергии нейтронов и составного ядра замедлителя наступает резонансное поглощение (резонансный захват) нейтронов.
Описанный процесс лежит в основе получения трансурановых элементов, например, нептуния из наиболее распространенного изотопа 238Е/:
233Е7 +	-> 238Е7,	238tZ -> °,е + ™Ne + v.
Но нептуний в результате Р~-распада превращается в плутоний:
260
Раздел 4
2%Ne -> _fc + ^Pu + v.
В свою очередь плутоний является а-радиоактивным и превращается в устойчивый изотоп 23Ь17 по схеме:
^Ри -+*Не + ^U.
4.81.	РЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯ
Для получения в промышленном масштабе ядерной энергии применяют реакции деления тяжелых ядер Под действием нейтронов. Реакция идет по схеме
%Х + Jn -> £;Х* -> %Х + ^У + knn + йту, где %Х — ядро, подвергающееся делению, Jn — медленные нейтроны, %Х* — нестабильный изотоп ядра;
X, ^У — ядра-осколки (ядра-фрагменты), образующиеся в результате реакции деления, kn — число нейтронов, освободившихся в результате реакции, — количество у-квантов, испускаемых осколками деления.
Типичной реакцией деления является реакция деления ядер урана, облучаемых нейтронами (О. Ган и Ф. Штрасман, 1939 г.):
~	+ Jn -> 2^U * -> '£Хе + “Sr + 2jn + Q, (4.452)
где Q — энергия, выделившаяся при реакции.
Образовавшиеся в результате деления ядра-осколки 140Хе и B4Sr, как правило, оказываются радиоактивными и претерпевают цепочку Р’-превращений с испусканием у-квантов:
₽‘ ₽’
№ ^’Cs ™Ва -> ™La -> 148°Сс,
₽	₽	(4.453)
94 ч 94x7" ч 94
38°' —* 39J	40“' •
Конечные продукты реакции — ядро циркония В4Уг и церия ,40Се являются стабильными. Они завершают цепочку деления ядер 23517.
Процесс деления ядер описывается капельной моделью.
Тяжелое ядро поглощает нейтрон. Энергия захваченного нейтрона распределяется между нуклонами ядра,
Квантовая физика
261
так, что приводит к образованию возбужденного составного деформированного ядра. Спустя 10“13 с, наступает распад составного ядра. При этом возможны два случая.
1. Избыточная энергия выделяется в виде у-кванта и ядро переходит в основное состояние, т. е. происходит обычная реакция радиационного захвата нейтрона ядром.
2. Избыточная энергия вызывает сильную деформацию ядра с образованием узкой перемычки. Части ядра приходят в колебательное движение, усиливая деформацию ядра. Деформация продолжается до тех пор, пока кулоновские силы не разорвут ядро по перемычке на два новых ядра-осколка (фрагменты). Деление ядра происходит в основном на два осколка неравных масс. Относительное количество нейтронов в тяжелых ядрах больше, чем в средних. Поэтому осколки ядра пересыщены нейтронами и являются нестабильными. Возбужденные ядра-осколки, спустя 10"13 с, испускают нейтроны. Нейтроны, образованные непосредственно при делении ядра, называются вторичными. Количество их в разных актах деления различно. Среднее число вторичных нейтронов, приходящихся на одно деление для 2№U, составляет 2,5-3.
Оценим порядок величины энергии, выделяемой при реакции деления, представленной уравнением (4.452). В этой реакции нестабильное ядро 2S5U разделяется таким образом, что конечными продуктами являются ядра церия 140Се и циркония MZr, 6 0 -частиц и 2 нейтрона (см. формулы 4.452 и 4.453). Энергетический эффект Q, рассчитанный по формуле (4.450), равен Q — = 208 МэВ. Для сравнения, при а-распаде одного ядра 23SU выделяется энергия 5 МэВ, а при химических реакциях горения — 4 эВ.
Следует отметить, что процесс деления ядер не происходит по строго определенной схеме. Имеется около 30 различных каналов деления, реализуемых статистически. На рис. 4.101 приведена кривая относительного выхода (в %) осколков деления ядер 2351/ тепловыми ' нейтронами (масштаб по оси ординат логарифмический). Из этой зависимости следует, что осколки деления образуются в диапазоне массовых чисел А = 72 - 161 а.е.м. На кривой выхода выделены две группы осколков: легкие — А = 80 - 120 а.е.м. и тяжелые — А = 125 -- 155 а.е.м. Наиболее вероятный выход имеют осколки,
262
Раздел 4
Число процессов деления, %
10 1
10-1
102
103 10“4
10 60 80 1Й0 1^0140 1&
массы которых относятся как 2 : 3. С меньшими вероятностями могут образовываться осколки с любыми массовыми числами, лежащими в интервале от 70 до 160 и со значениями Z от 30 до 65. Таким образом, среди осколков можно встретить предста-цинка до тербия включи-
Рис. 4.101
вителей всех элементов от тельно. С увеличением энергии нейтронов, а также с ростом массы осколков глубина ямы на кривой (см. рис. 4.101) уменьшается, т. е. деление становится более симметричным.
Кроме ядер 286t7 под действием тепловых нейтронов делятся также ядра 23®17 и 232ТЛ (последние изотопы в природе не существуют, а получаются искусственным путем).
Реакцию деления атомных ядер могут вызвать не только нейтроны, но и другие частицы, например, а — частицы, протоны, у — кванты. Типичным примером таких реакций служит реакция деления ядра меди протонами, обладающими энергией -60 МэВ:
%Си + ]р -> $С1 + llAl + In.
Ядро осколка оказывается сильно перегруженным нейтронами и, следовательно, нестабильным, стремящимся избавиться от этой перегрузки путем серии последовательных Р-распадов. Вещества, в состав которых входит делящиеся нуклиды, называют ядерным топливом.
4.82.	ЦЕПНАЯ ЯДЕРНАЯ РЕАКЦИЯ
Как уже отмечалось, процесс деления ядер сопровождается, во-первых, выделением громадной энергии порядка 200 МэВ на каждое разделившееся ядро, а, во-вторых, вылетом значительного числа (2,5-3) вторичных нейтронов. Испускаемые вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что позволяет осуществить цепную реакцию деления.
Под цепной реакцией деления понимается самопод-держивающаяся цепочка ядерных реакций, вызванных
Квантовая физика
263
последовательным делением ядер под действием нейтронов, испущенных в предыдущих актах деления.
Процесс развития реакции осуществляется следующим образом. В идеализированном случае каждый нейтрон обязательно попадает в какое-то ядро делящегося вещества, например, урана, и вызывает его деление. В результате деления образуются два новых нейтрона, которые в свою очередь захватываются ядрами урана. Процесс деления этих ядер приводит к образованию уже 4-х новых нейтронов. В следующем акте деления нейтронов будет 8, затем 16 и т. д. Таким образом, количество нейтронов, образуемых в каждом акте деления, нарастает в геометрической прогрессии.
Однако в действительности не все вторичные нейтроны попадают в ядра делящегося вещества, поскольку в устройствах, где происходит реакция деления, всегда кроме делящегося вещества имеются атомы неделящих-ся конструкционных материалов, теплоносителя, замедлителя и т. д., ядра которых также подвержены действию вторичных нейтронов. Кроме того, из-за конечных размеров активной зоны и большой проникающей способности нейтронов некоторые из них покидают активную зону раньше, чрм будут захвачены каким-то ядром. Следовательно, только часть вторичных нейтронов участвует в цепной реакции деления.
. Важно также, что не все нейтроны, попавшие в ядро делящегося вещества, способны вызвать деление, так как составное ядро может испытывать процессы радиационного захвата с излучением у-кванта, а испустившее у-квант составное ядро не может делиться.
Таким образом, развитие цепной реакции деления определяется не только числом вторичных нейтронов, но и их вкладом в последующий процесс деления.
Важной характеристикой цепной реакции деления служит коэффициент размножения нейтронов К. Он равен отношению количества нейтронов в данном поколении (акте) деления к их количеству в предыдущем и определяет быстроту развития цепной реакции деления.
Найдем скорость развития, цепной реакции деления. Если в данном поколении было N нейтронов, а в последующем их стало KN, то прирост нейтронов за одно поколение dN = KN - N — N (К -1). Тогда скорость
264
Раздел 4
нарастания цепной реакции деления (изменение числа нейтронов в единицу времени):
dN _ N (К - 1) dt х *
где т — среднее время жизни одного поколения нейтронов. Интегрируя последнее выражение, получим:
N = N(ye г ,	(4.454)
где N — число нейтронов, возникающих в процессе деления ядер в момент времени t, No — их число в начальный момент времени.
Из соотношения (4.454) следует, что характер зависимости N от времени определяется знаком выражения (К - 1).
Если (К - 1) > 0, т. е. К > 1, то N >N0 и число нейтронов возрастает со временем. Такую реакцию называют развивающейся. Она может стать взрывной. Режим реакции называется надкритическим.
Если (К - 1) < 0, т. е. К < 1, то N < No и число нейтронов со временем затухает. Такая реакция называется затухающей, а режим реакции подкритическим.
Если (К - 1) = О, т. е. К = 1, то N = No — число нейтронов со временем не меняется. Реакция называется самоподдерживающейся. Режим реакции называется критическим.
Коэффициент К зависит от геометрии и размеров активной зоны, расположения материалов в ней, а также от природы делящегося вещества, а для данного изотопа — от его количества.
Минимальные размеры активной зоны, при которой возможно протекание реакции деления, называются критическими. При критическом размере активной зоны выполняется условие критического режима реакции К = 1. Максимальная масса вещества, находящегося в активной зоне критического размера, необходимая для осуществления цецной реакции деления, называется критической. Она зависит от вида делящегося изотопа и от внешних условий. Так, для изотопа 236П критическая масса составляет 50 кг, а для среды из этого изотопа, снабженной тонкими полиэтиленовыми прокладками и помещенной в отражающую оболочку
Квантовая физика
265
из бериллия, она составляет 242 г. В зависимости от конструкции и целей ядерных реакторов критическая масса в них изменяется от 50 кг до 50 т.
Цепные реакции делятся на управляемые и неуправляемые. Примером неуправляемой ядерной реакции служит реакция, осуществляемая в атомной бомбе. Чтобы атомная бомба не взрывалась при хранении, объём, занимаемый в ней 28617 (или 28вРи) делят на части с массами, ниже критических и удаляют друг от друга. Для взрыва бомбы эти куски необходимо очень быстро и достаточно плотно соединить в один, например, с помощью обычного взрывчатого вещества. При этом общая масса делящегося вещества станет больше критической и начинается взрывная цепная реакция деления. Необходимые для начала деления нейтроны берутся либо за счет спонтанного деления ядер урана, либо благодаря действию космического излучения.
Ядерный взрыв сопровождается испусканием нейтронов, у-излучения, резким повышением давления и температуры. Основными поражающими факторами являются ударная волна, распространяющаяся от центра взрыва во всё стороны со сверхзвуковой скоростью, и обильное радиоактивное излучение, заражающее окружающую местность.
Управляемые цепные реакции деления осуществляются в ядерных реакторах (котлах) и используются для промышленных целей (атомные станции, атомные двигатели и т. д.). Необходимым условием осуществления такой реакции является постоянство коэффициента размножения, т. е. скорость деления ядер должна быть отрегулированной и контролируемой.
В качестве делящего.ся вещества в реакторах применяется природный уран. Он содержит три изотопа 2361/, 2Я8С7 и 282ТЛ, причем содержание 235Е7 составляет -0,7%, а главная масса урана -99,3% приходится на изотопы 288U и 282ТЛ. Но ядра изотопа 288Е7, хотя и легко поглощают нейтроны, сами при этом не делятся, а образуют новый искусственный радиоактивный изотоп И91Л Реакция идет по схеме:
23 мни	2, 3 дня
2“17 + lon ->	-> 2SW -> 289Рп.
₽’ ₽'
(4.455)
266
Раздел 4
Ядро плутония 2e8®Pu является а-радиоактивным с периодом полураспада 24 400 лет и превращается в
устойчивый изотоп Z36U-. 28ЯРи -> 286СЛ Уран 235Е7 делится как быстрыми, так и медленными нейтронами^ Поэтому, чтобы использовать природный уран для реакции деления, его необходимо сначала обогатить изотопом 28617.
Торий 282ТЛ, как и ‘"U, служит исходным продуктом для получения искусственного ядерного топлива 28317:
₽- р	(4.456)
2™Th + ™Th -> 2^Ра -> 9228817.
Таким образом, захват нейтронов изотопами 28817 и 232ТЛ позволяет осуществить воспроизводство ядерного горючего 28ЯРи и 288U в процессе цепной реакции деления.
4.83.	ЯДЕРНЫЕ РЕАКТОРЫ
Ядерным реактором (атомным котлом) называют устройство, в котором осуществляется самоподдержи-вающаяся реакция деления тяжелых ядер. На рис. 4.102 показана принципиальная схема ядерного реактора. Его основными частями являются: активная зона, замедлители, отражатели, система охлаждения, система управления и защиты, пульт дистанционного управления.
Центральной частью реактора является активная зона. Она представляет собой набор тепловыделяющих элементов (твэлов) (1), каждый из которых окружен замедлителем (2) (рис. 4.102). В качестве замедлителя используются графит, тяжелая вода Z>2O, бериллий или
Рис. 4.102
окись бериллия. В замедлителе нейтроны теряют свою энергию и их скорость уменьшается до значения, соответствующего температуре окружающей среды. Тяжелая вода является наилучшим, но дорогим замедлителем (в обычной воде на 6000 молекул Н2О содержится лишь одна молеку-
Квантовая физика
267
ла D2O). Поэтому наиболее часто в качестве замедлителя используют графит.
В тепловыделяющих элементах (твэлах) размещается ядерное топливо. Здесь непосредственно происходит реакция деления с выделением теплоты. Отвод теплоты из твэлов осуществляется омыванием их поверхности теплоносителем (3), движущимся в специальном циркуляционном контуре. Проходя через активную зону, теплоноситель нагревается и передает тепло через специальное устройство рабочему телу, например, воде.
Активная зона реактора окружена отражателем нейтронов (4), снижающим утечку нейтронов и выравнивающим тепловыделения по ее объему. В качестве материала для отражателя иногда используют те же вещества, что и для замедлителя. В отражателе происходит не только замедление и поглощение нейтронов, но и поглощение у-квантов. Поэтому он нагревается. Охлаждается отражатель циркулирующим через него теплоносителем.
Управление реактором осуществляется с помощью специальных подвижных стержней (5) и (6) из кадмия и бора, способных сильно поглощать нейтроны. Движением стержня управляет специальная автоматическая электронно-механическая аппаратура. Если необходимо снизить интенсивность ядерной реакции и мощность реактора, то стержни (5) вдвигают глубже в активную зону реактора. При полностью вставленных стержнях (5) ядерная реакция не идет.
Массивные подвижные кадмиевые стержни (6) служат для аварийной остановки реактора. При внезапном увеличении интенсивности реакции, выходе из строя твэла, отключении электропитания, изменении расхода воды в теплоносителе, эти стержни вводят (иногда вручную) внутрь реактора, что приводит к резкому увеличению поглощения нейтронов и к быстрому затуханию ядерной реакции.
Процесс деления ядер всегда сопровождается возникновением ядер-осколков, которые радиоактивны и испускают а, р и у-излучение. Кроме того, при каждом акте деления ядра появляются нейтроны. Следовательно, реактор является источником разнообразного вида излучений, из которых наибольшей проникающей способностью обладают нейтроны и у-излучение. Поэтому
268
Раздел 4
Рис. 4.103 все реакторы имеют биологическую защиту, роль которой выполняет слой воды, толщиной порядка 1 м; толстостенный бетонный корпус (7), система специальных экранов, располагающихся за отражателем. Биологическая защита предохраняет от излучения, в частности, пульт дистанционного управления реактором.
Передача тепла от реактора к паросиловой установке осуществляется двумя замкнутыми контурами циркуляции воды, схематически показанными на рис. 4.103.
Урановые блоки (1) погружены в воду (2), которая является одновременно и замедлителем и теплоносителем. Теплоноситель (2), соединительный трубопровод (3) и змеевик (4) теплообменника (5) парогенератора образуют первый контур циркуляции. В нем вода циркулирует под давлением порядка 100 атм. При входе в нижнюю часть активной зоны реактора вода имеет более низкую температуру, например 190“С, а при выходе из верхней части активной зоны более высокую, например 300°С. В теплообменнике тепло воды, циркулирующей в первом контуре, передается воде, циркулирующей во втором контуре, превращая ее в пар, который под высоким давлением (-12 атм) по трубопроводу (6) поступает в паровую турбину (7), соединенную с генератором (8), вырабатывающим электрический ток.
Отработанный пар поступает в конденсатор (9), превращается в воду, которая насосом (10) нагнетается в теплообменник.
Квантовая физика	269
4.84.	ТИПЫ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ
Существует несколько подходов к классификации ядерных реакторов.
1.	По основному целевому назначению различают энергетические, промышленные, исследовательские, экспериментальные и многоцелевые реакторы. Особо выделяют импульсные реакторы, в которых цепная реакция протекает не непрерывно, а лишь в течение относительно коротких интервалов времени.
2.	По уровню энергии нейтронов, участвующих в реакции, различают реакторы на тепловых, быстрых и промежуточных нейтронах.
Если размножающая среда ядерного реактора является композицией материала и замедлителя, то в таком случае подавляющее число актов деления будет вызываться тепловыми нейтронами (реактор на тепловых нейтронах).
Если в реакторе применен чистый или сильно обогащенный делящийся нуклид 23517, 23йРи или 23317 без замедлителя, то реакция протекает с использованием нейтронов (реактор на быстрых нейтронах).
Если в реакторе используется не очень сильно обогащенное горючее с небольшим количеством замедлителя, то реактор называется промежуточным.
3.	По виду вещества, применяемого в качестве замедлителя, выделяют реакторы водяные, тяжеловодяные, графитовые и органические.
4.	По виду теплоносителя различают реакторы водяные, тяжеловодяные, газовые (гелий, углекислый газ), жидкометаллические (натрий, сплавы свинец-висмут, натрий—калий), органические (газойль, дифенил, дифенильная смесь).
5.	По структуре активной зоны реакторы классифицируются на гомогенные и гетерогенные.
В гомогенном реакторе активная зона представляет собой однородную смесь делящегося вещества (топлива) и замедлителя в виде суспензии или жидкого раствора, который одновременно выполняет и функции теплоносителя. Примерами гомогенных реакторов могут служить реакторы в виде сфер из чистого 236Е7 или 239Ри или тепловые реакторы, активная зона которых состоит из раствора солей U или Ри в воде.
Циркуляция высокорадиоактивного топливного раствора вызывает повышение коррозии стенок активной зоны,
270
Раздел 4
теплообменника, усложняет биологическую защиту, что относится к числу недостатков реакторов такого типа.
В гетерогенных реакторах ядерное топливо применяется в виде стержней, трубок, блоков или других структурных элементов, распределенных в реакторе наряду с деталями из других веществ. Контакта ядерного топлива с замедлителем и теплоносителем нет. Это существенно уменьшает радиационную опасность, упрощает биологическую защиту и улучшает условия эксплуатации. Подавляющее большинство ядерных реакторов являются гетерогенными.
6.	По составу активной зоны — типу делящегося нуклида, а также типу замедлителя и теплоносителя (если они есть) различают уран-графитовые реакторы, в которых в качестве замедлителя используется графит; водо-водяные реакторы, в которых вода служит и замедлителем нейтронов и теплоносителем, тяжеловодяные реакторы, в которых для замедления нейтронов используется тяжелая вода DSO.
7.	По конструктивным особенностям выделяются канальные, корпусные, бассейновые реакторы.
Реакторы, охлаждаемые водой, в активной зоне которых не происходит кипения, называются реакторами с водой без кипения, если кипение имеет место, то кипящие реакторы.
Рассмотрим подробнее реакторы на быстрых нейтронах. Основной особенностью реактора этого типа является его способность к расширенному воспроизводству (размножению) ядерного горючего. Поэтому такие реакторы называются размножителями (бридерами).
Реактор на быстрых нейтронах (типа БН-350, БН-600) по своему назначению относится к энергетическим, поэтому из его активной зоны должно отводиться как можно больше тепла. Эффективный теплоотвод требует развитой поверхности твэлов и значительной доли объема, занятой теплоносителем, причем теплоноситель не должен замедлять нейтроны. К таким теплоносителям относится жидкий натрий. Недостатком Na является его химическая активность при взаимодействии с водой и кислородом воздуха, что опасно в аварийных ситуациях.
Все это в совокупности с особенностями конструкции системы отвода тепла приводит к затратам, превышающим в 2—5 раз затраты на киловатт установленной мощности, чем у реакторов на тепловых нейтронах.
Квантовая физика
271
Однако эти реакторы имеют преимущество по сравнению с реакторами на тепловых нейтронах в том, что позволяют воспроизводить ядерное топливо. Для этого используются специальные отражатели из материала, подлежащего переработке, например, природного или отвального урана. Такой отражатель (экран) возвращает часть рассеянных нейтронов в активную зону, а остальные нейтроны поглощает с образованием плутония (4.455). Эта часть реактора называется зоной воспроизводства. В зоне воспроизводства со временем накапливается большое количество плутония, причем, если первичным делящимся материалом является тоже , плутоний, то коэффициент воспроизводства (отношение числа вновь образовавшихся делящихся атомов к числу выгоревших делящихся атомов) может составить 1,5 и выше. Аналогичным образом в реакторах на быстрых нейтронах может быть переработан природный торий 232ТЛ в эффективное ядерное топливо 23317 (по схеме (4.456)). Как показывают оценки, 1 т гранита содержит -3 г №SU и 12 г 2SZTh, который, как правило, является сырьем в реакторах-размножителях. При потреблении энергии 5 • 108 МВт, что на два порядка выше энергии, потребляемой на Земле сейчас, запасов урана и тория в граните хватит на 10е лет. Это показывает, что использование реакторов-размножителей значительно расширяет сырьевую базу ядерного топлива.
Первая промышленная станция типа бридера построена в г. Шевченко (1973 г.) на берегу Каспийского моря (тепловая мощность 1000 МВт) и предназначалась как для производства электроэнергии (150 МВт), так и опреснения морской воды (200 МВт) (опресняет 1,2  105 м3 воды в сутки). Таким образом, АЭС с реактором типа БН-350 имеет трехцелевое назначение: производство электроэнергии, выработку пресной воды и получение вторичного ядерного топлива 23йРп.
На пути освоения реакторов типа БН имеется ряд технологических сложностей, обусловленных высокой энергонапряженностью активной зоны, необходимостью глубокого выгорания топлива, обеспечения стойкости твэлов при длительной работе реактора, сложностью и дорогостоящей технологией работы с натриевым теплоносителем. Однако, накопленный опыт работы показывает, что все перечисленные выше проблемы разрешимы.
272
Раздел 4
4.85. ТЕРМОЯДЕРНЫЙ СИНТЕЗ
Вторым способом получения внутриядерной энергии, кроме деления тяжелых ядер, является синтез (слияние) легких ядер. Возможность такого способа получения энергии связана с малой энергией связи, приходящейся на один нуклон у легких ядер типа 2Н, 3Н, bLi, еЫ, 7 Li до сравнению с ядром атома 4Не и другими более тяжелыми ядрами (см. рис. 4.95). Примером реакции синтеза'являются следующие реакции:
+ «Я -> 4Не + *п, tH + lH-* fHe + In,
Q = 17,6 МэВ,
Q = 3,3 МэВ, (4.457)
7aLi + 1Н-+ 24Не + Jn,
Q=15,l МэВ,
iLi + lH^> 42He + 4He,
Q = 22,4 МэВ,
Синтез легких ядер в тяжелые должен сопровождаться выделением большого количества энергии Q, причем, энергия, приходящаяся на один нуклон, в этом случае значительно больше, чем при реакции деления. Например, при делении ядра 238С7 выделяется энергия примерно 200 МэВ, что в расчете на один нуклон составляет 0,84 МэВ. При синтезе ядер эта величина равна 17,6/5 ® 3,5 МэВ.
Основным препятствием в получении энергии путем синтеза является необходимость преодоления электростатических (кулоновских) сил отталкивания, действующих между объединившимися ядрами. Оценим температуру протекания реакции синтеза двух ядер дейтерия 2Н. Чтобы два ядра дейтерия соединить вместе, их необходимо сблизить до расстояния »2 • 10 15 м, равного радиусу действия ядерных сил, преодолевая потенциальную энергию отталкивания Wp = е2/4ле0г » 0,7 МэВ. Средняя температура, соответствующая средней кинетической энергии в 0,35 МэВ (на каждый дейтрон приходится энергия, равная 1/2 от 0,7 МэВ), составляет 2,6 • 108 К. Поэтому ядерные реакции синтеза легких ядер в тяжелые называются термоядерными и в обычных. условиях не протекают.
Однако синтез атомных ядер может проходить и при значительно меньших температурах (порядка 107 К).
Квантовая физика
273
Этому способствует два фактора. Во первых, некоторая доля частиц обладает энергией, значительно большей, чем средняя, и, во-вторых, может проявиться туннельный эффект, в результате которого низкоэнергетическая частица преодолевает потенциальный барьер.
Первая искусственная термоядерная реакция была осуществлена в СССР в 1953 г., позже (через полгода) в США в виде взрыва водородной бомбы. Как показали расчеты, легче всего идет реакция синтеза трития. В водородной бомбе использовалась смесь дейтерия и трития (см. первую реакцию соотношения (4.457)), либо синтез трития:
+ 1Н -> \Не + |р.	(4.458)
Необходимая для таких реакций высокая температура возникает при взрыве атомной бомбы, которая служит детонатором водородной бомбы.
Термоядерные реакции являются, по-видимому, одним из источников энергии звезд и Солнца. Считается, что термоядерные реакции на Солнце протекают в виде двух термоядерных циклов, выделение энергии в которых происходит за счет превращения ядер водорода в ядра гелия.
Первый цикл — протои-протонный или водородный, характерный для температур -107 К, начинается из соединения протонов в дейтерий с испусканием позитрона и электронного нейтрино:
Ip +	->	+ ?е + °ve.	(4.459)
Дальнейшее продолжение цикла идет по схеме:
\Н + [р -> 3гНе + у,
3гНе + 2Не $Не + 2}р.	(4.460)
Второй — углеродно-азотный или углеродный цикл протекает путем соединения ядер водорода в ядро гелия; ядра углерода в цикле служат «катализаторами* (с катализатора начинается и им заканчивается цикл):
1аС + }р \SN + у, \3N -> l3C + + gv,,
13С + ]р-+ ”N + y, VN + }P -> VО + y,
274
Раздел 4
->	+ ?е + °ve, \5N + ]р->	+ *Не.
Результатом приведенного цикла является превращение четырех протонов в ядфо гелия с появлением двух позитронов и у-излучения:
4]р -> [Не. + 2?е + у.
Реакция сопровождается выделением энергии -6,7 МэВ на одну частицу. В пересчете на грамм-атом гелия это составляет 0,7 • 10е кВт  ч энергии, что достаточно для компенсации излучения Солнца.
Водородный цикл играет основную роль при более низких температурах, а углеродный — при более высоких.
Не исключено, что многие звезды образовались из первичного водородного газообразного облака под действием гравитационного сжатия случайного уплотнения, возникшего в газовом облаке. В процессе сжатия звезда разогревалась, что способствовало началу целой цепочки реакций, представленных уравнениями (4.459 и 4.460).
Реакция (4.459) на Земле не наблюдается ввиду ее чрезвычайно малой вероятности, но за время эволюции Звезды такая реакция проявляется достаточно часто.
4.86. УПРАВЛЯЕМЫЙ ТЕРМОЯДЕРНЫЙ СИНТЕЗ
Для осуществления управляемых термоядерных реакций необходимо получить (не в условиях взрыва) температуру в несколько миллионов градусов, создать и удержать в стационарном состоянии высокотемпературную плазму, в которую превращается вещество при такой температуре. Соприкосновение плазмы со стенками сосуда приводит к ее остыванию. Кроме того, стенки из любого вещества при столь высокой температуре будут испаряться. Следовательно, на пути осуществления управляемой термоядерной реакции стоят огромные трудности.
Термоядерную реакцию целесообразно осуществлять лишь в том случае, если будет выигрыш в энергии, т. е. если произведенная энергия будет больше энергии, затраченной на возбуждение, нагревание и удержание плазмы. Условия, необходимые для начала самопод-
Квантовая физика
275
держивающейся термоядерной реакции, называются критерием Лоусона. Он включает параметр удержания плазмы пт, равный произведению концентрации частиц в плазме п на время их удержания т, и температуру плазмы Т. Для первой реакции (4.457) пт > 1014 с/см3 (Г = 10® К); для реакции (4.458) пт > 1016 с/см3 (Т = = 10» К).
Нижняя граница Tmin обусловлена временем разлета плазмы при отсутствии удерживающих ее устройств. Если объем плазмы, например 1 м3, то для пт = 1014 с/ см-3 при п = 10го см'3, получим Tmin= 10-6 с, что практически соответствует взрыву. Для преодоления взрывного характера размеры объема следует уменьшить, например, до 1-2 мм. Тогда Tmin = 10^ с, а п > 1023 см'3. Эта концентрация сравнима с концентрацией атомов твердого тела. Последнее позволяет построить реактор (устройство, в котором поддерживается термоядерная реакция) на ядерном горючем в виде мелких крупинок, разогрев которых до нескольких миллионов градусов осуществлять импульсами от одного или группы мощных (порядка 50 ГВт) лазеров.
Для получения высоких температур -108 К, кроме лазерного излучения, можно использовадъ и другие способы: 1) разогрев плазмы электрическим током (джо-улева теплота); 2) сжатие плазмы электродинамическими силами (пинч-эффект); 3) нагрев высокочастотным электромагнитным полем; 4) бомбардировка ядер пуч-. ками быстрых частиц или атомов; 5) разогрев интенсивными электронными пучками.
Первая попытка лабораторного термоядерного синтеза легких ядер была предпринята Арцимовичем и группой его сотрудников. Идея изоляции плазмы была выдвинута Таммом И. Е. и Сахаровым А. Д. Сущность ее сводилась к отодвиганию горячей плазмы от стенок камеры с помощью магнитного поля.
Практическое воплощение идеи получения высокотемпературной плазмы с целью создания условий для ядерной управляемой реакции синтеза было проведено в термоядерном реакторе «Токамак-10». Название реактора образовано от слов: тороид, катушка, магнит. Плазма в этом реакторе создается внутри тороидальной катушки, температура плазмы достигает 3 • 107 К, плотность электронов в плазме составляет -1014 см'3, время удержания плазмы т = 0,06 с. Термоядерный реактор
276
Раздел 4
с внешним стабилизирующим магнитным полем называют стелларатором. Плазма в нем также удерживается в объеме тороидальной камеры, а магнитное поле создается двумя обмотками с током: одна создает тороидальное поле для отрыва плазмы от стенок, другая обмотка (винтовая) стабилизирует плазменный шнур.
На токомаках и стеллараторах получены обнадеживающие результаты по удержанию плазмы и достижению в ней высоких концентраций и температур. Создание электростанций, использующих энергию термоядерных реакций, прогнозируется на начало XXI века. Решение проблемы термоядерного управляемого синтеза откроет новый, практически неисчерпаемый источник энергии для человеческого общества.
В настоящее время особое место занимают поиски, разработка и создание новых источников энергии. К ним можно отнести топливные кислородно-водородные элементы, термогенераторы, солнечные батареи, МГД-гене-раторы. Все перечисленные источники сравнительно маломощны, дороги и не могут пока конкурировать с традиционными эксплуатируемыми в настоящее время источникам^. Они могут быть использованы как вспомогательные источники энергии, например, в космосе.
Теоретически учеными предсказана возможность создания еще одного источника энергии — аннигиляционного генератора, работа которого основана на аннигиляции атомов вещества и антивещества, например, водорода и антиводорода. Подобный источник будет вырабатывать колоссальный поток световой энергии, которая с помощью, например, специальных фотопреобразователей может быть превращена в электрическую энергию.
Однако в ближайшем будущем решение энергетической проблемы будет, по-видимому, принадлежать термоядерным электростанциям.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Из каких элементарных частиц состоят атомные ядра?
2.	Как определяется число протонов и нейтронов, входящих в состав атомного ядра?
3.	Какие ядра называются изотопами и изобарами?
Квантовая физика
277
4.	Что понимают под размером атомного ядра? Какова плотность ядерного вещества?
5.	Какие модели атомного ядра Вы знаете? Поясните каждую из них.
6.	Какова природа ядерных сил?
7.	Какими свойствами обладают ядерные силы?
8.	Что такое дефект массы?
9.	Дайте определение энергии связи, удельной энергии связи.
10.	Поясните, как из зависимости удельной энергии связи от массового числа вытекает энергетическая выгодность деления тяжелых ядер и синтеза легких?
11.	Что называется радиоактивностью? Какие виды радиоактивности Вы знаете?
12.	Сформулируйте и запишите закон радиоактивного распада.
13.	Что называется периодом полураспада, временем жизни атомного ядра?
14.	Что такое постоянная радиоактивного распада?
15.	Какие законы сохранения выполняются при радиоактивных превращениях?
16.	Что понимают под радиоактивным семейством?
17.	Сформулируйте основные закономерности а-рас-пада. Приведите примеры радиоактивных превращений с испусканием а-частиц.
18.	Сформулируйте основные закономерности Р-рас-пада.
19.	Что представляет собой у-излучение и каковы его свойства?
20.	В чем заключается эффект Мессбауэра?
21.	Что такое ядерная реакция?
22.	Какие законы сохранения выполняются при ядерных реакциях?
23.	Приведите классификацию ядерных реакций.
24.	Что такое эффективное сечение ядерной реакции?
25.	В чем сущность реакции деления? Какая реакция называется цепной?
26.	Поясните устройство ядерных реакторов и принцип работы атомных электростанций.
27.	В чем отличие реакторов на быстрых нейтронах от реакторов на тепловых нейтронах?
278 Раздел 4
28.	Поясните физическую сущность термоядерной реакции синтеза.
29.	Приведите примеры применения термоядерных управляемых и неуправляемых реакций.
30.	Почему для протекания ядерной реакции синтеза требуются высокие температуры?
РАЗДЕЛ 5
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА и ТЕРМОДИНАМИКА
5.1.	ВВЕДЕНИЕ.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ
Термодинамика и статистическая физика — это два тесно взаимосвязанных раздела физики, изучающих наиболее общие свойства макроскопических физических систем, включая и такие системы, которые непосредственно связаны с нашим жизнеобеспечением. Как известно, основы нашего жизнеобеспечения в конечном итоге опираются на получение, переработку и использование вещества в виде макроскопических объектов. Чем глубже и полнее познаются свойства вещества, тем выше материальная, энергетическая, информационная обеспеченность жизни человека, тем эффективнее любой вид его практической деятельности. Поэтому настоящий раздел курса физики чрезвычайно важен для инженерного образования.
В статистической физике и термодинамике широко используются понятия и законы, рассмотренные в разделах: «Физические основы механики», «Электричество и магнетизм», «Физика колебаний и волн», «Квантовая физика». Поэтому (и в соответствии с действующей учебной программой) раздел «Статистическая физика и термодинамика» расположен в конце нашего курса.
В настоящее время убедительно доказано, что макротела состоят из большого числа движущихся и взаимодействующих между собой частиц (атомов и молекул). Движение отдельных частиц подчиняется законам классической, релятивистской или квантовой механики. Например, движение единственной частицы в виде бесструктурного упругого шарика в сосуде с идеально отражающими стенками может быть описано с помощью законов классической динамики. Это означает, что если в некоторый момент времени точно заданы начальные координаты и импульс частицы, то законы динамики
Статистическая физика и термодинамика
281
позволяют вычислить координаты и скорости частицы в любые последующие моменты времени. С первого взгляда представляется, что аналогичная задача может быть решена и для любого числа частиц. Однако для реальных макросистем это не так. Во-первых, чрезвычайно большое число частиц в реальных системах не позволяет в обозримые сроки даже только составить необходимое число уравнений движения. Во-вторых, в принципе невозможно иметь абсолютно точные начальные значения координат и скоростей частиц. Это связано помимо технических причин с соотношением неопределенности (4.105), согласно которому не существуют состояния, в которых координата и скорость частицы имеют одновременно точные значения. Выяснено, что результаты столкновений частиц весьма чувствительны к неточностям начальных условий. В итоге полностью теряется возможность предсказать состояние последующего движения частиц макросистемы по неабсолютно точно определенным начальным условиям.
Поэтому для описания свойств макросистем, т. е. систем большого числа движущихся и взаимодействующих частиц, оказались необходимы методы, отличные от тех, которые используются в механике. Разработано два таких метода. На основе одного из них построена термодинамика, а на основе второго — статистическая физика.
В термодинамике вовсе не интересуются микрохарактеристиками, состоянием и движением частиц, составляющих тело, и ограничиваются установлением связей между непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах величинами (объемом V, температурой Т, давлением Р и т. д.). Значения макрохарактеристик и их изменения находятся в термодинамике дедуктивным методом с помощью 2-х весьма общих абсолютно верных основополагающих принципов (начал).
При этом не привлекаются никакие модельные представления о строении вещества. Сила термодинамики в том, что ее выводы верны в такой же степени, в какой верны начала термодинамики. Взгляды на строение вещества и микропроцессы могут претерпевать изменения. Начала термодинамики и выводы из них остаются при этом неизменными. Следует отметить также, что термодинамический метод дает простейшие варианты решения многих практически важных задач
282
Раздел 5
и поэтому положен в основу ряда прикладных наук (например, теплотехники).
Основным недостатком термодинамического метода является то, что этот метод не вскрывает атомно-молекулярный механизм и, следовательно, первопричину рассматриваемых процессов.
Метод статистической физики основан на модельных атомно-молекулярных представлениях о строении макротел и математической статистике. Трудности, связанные с описанием механического движения всех частиц системы преодолеваются тем, что рассматриваются в конечном итоге лишь средние значения величин, характеризующих это движение. Так, при вычислении давления газа суммируются не фактические индвиду-альныё импульсные воздействия каждой молекулы на стенки сосуда, а их усредненные по всем молекулам значения. Статистическая физика дает способы вычисления подобных средних и с их помощью определяет макрохарактеристики систем.
Статистический метод позволяет вскрывать атомномолекулярный механизм процессов в макросистемах, строго обосновывать выводы термодинамики, устанавливать границы их применимости, решать задачи неразрешимые методами термодинамики (например, вывод уравнения состояния макросистем).
Недостатком статистической физики является зависимость ее выводов от особенностей положенной в ее основу конкретной атомно-молекулярной модели вещества. Кроме того, методы статистической физики более сложны, чем методы термодинамики. Поэтому в случаях, когда не требуется вскрывать механизм процесса, а необходимо вычислить только его конечный результат, предпочитают пользоваться методами термодинамики. Наиболее полный и надежный результат получают на пути согласованного решения задачи, полученного термодинамическим и статистическим методами.
Глава 5.1
ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
5.2.	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА;
' МАКРОСОСТОЯНИЕ; МАКРОПРОЦЕСС
. Основными понятиями термодинамики и статистической физики являются понятия: термодинамическая система, термодинамическое состояние, термодинамический процесс. Под термодинамической системой понимается совокупность макроскопических тел любой физико-химической природы, между которыми возможен теплообмен. Тела, не входящие в систему, называются внешними. Термодинамическая система считается изолированной, если она не взаимодействует с внешними телами, и неизолированной — в противоположном случае. Понятие «изолированная» система — одна из важнейших абстракций термодинамики. Реальные макросистемы можно считать изолированными лишь в некотором приближении.
Свойства макроскопической системы в целом описываются совокупностью макроскопических физических величин, называемых термодинамическими параметрами. Различают внешние параметры, определяемые положением и свойствами внешних тел и полей (объем системы V, напряженность электрического поля Е и т. д.), и внутренние параметры, определяемые свойствами и поведением частиц самой системы (давление внутри системы Р, поляризация среды и т. д.).
Каждой совокупности термодинамических параметров соответствует определенное макроскопическое состояние системы. Обычно вводят минимальное число термодинамических параметров, полностью описывающих состояние системы. Это число аналогично числу степеней свободы в механике. Так для идеального газа массой т достаточно ввести два макропараметра — давление и объем. Другие параметры (температура, плотность и т. д.) будут функциями выбранных двух. Параметры, не зависящие от способа перевода системы в
284
Раздел 5
рассматриваемое состояние, называются функциями состояния. К таким функциям относится, например, внутренняя энергия системы. Функции состояния имеют для термодинамики особо важное значение.
Состояние системы называется стационарным, если параметры системы с течением времени не изменяются, и нестационарным — в противоположном случае. Стационарное состояние может быть неравновесным, если неизменность параметров поддерживается какими-либо внешними воздействиями и равновесным, если все параметры системы неизменны и эта неизменность поддерживается в системе самопроизвольно. В термодинамике постулируется, что изолированные системы с течением времени неизбежно и самопроизвольно переходят в равновесное состояние (состояние теплового равновесия) и никогда из него самопроизвольно выйти не могут.
• Макроскопические параметры, характеризующие равновесное состояние системы, не являются независимыми. Закон, выражающий зависимость между параметрами термодинамической системы в условиях равновесия, называется уравнением состояния.
Всякое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из ее макропараметров, называется термодинамическим процессом. В результате термодинамического процесса система переходит из одного макросостояния в другое. Подходящим воздействием систему можно вернуть обратно в исходное состояние. Второй процесс по отношению к первому (прямому) называют обратным. Вместе прямой и обратный процесс называют круговым или циклическим. В результате циклического процесса система возвращается в исходное состояние. Процесс называется равновесным или статическим, если любое промежуточное состояние системы является равновесным. Следовательно, равновесный термодинамический процесс состоит из бесконечно близких равновесных состояний, последовательно сменяющих друг друга. Понятие «равновесный процесс»— одна из важнейших абстракций термодинамики. Реальные процессы в макросистемах можно приближенно считать равновесными лишь при выполнении некоторых условий (см. гл. 5.2).
Макросистемы состоят из большого числа движущихся и взаимодействующих атомов или молекул. Особенности и свойства макротел непосредственно связаны
Статистическая физика и термодинамика
285
со свойствами и особенностями движения и взаимодействия частиц, составляющих эти тела. Наиболее наглядна и проста эта связь для системы, включающей ограниченный объем достаточно разреженного газа. Простейшая модель такой системы, называемая идеальным газом, рассматривается в параграфе 5.3. Более строгий анализ взаимосвязи макро- и микрохарактеристик вещества дан в главе 5.3 «Статистическая физика*.
5.3.	МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Газ как макроскопический объект (в отличие от жидкого и твердого тела) не имеет собственного объема. Если некоторая масса газа занимает объем V, то при заданной температуре Т в этом объеме установится определенное давление Р. Величины т, P,V,Tn являются макроскопическими параметрами газа. Эти параметры связаны уравнением состояния газа. Уравнение состояния газа было получено на основе анализа частных эмпирических газовых законов. В простейшей форме оно выглядит следующим образом:
PV= — RT,	(5.1)
__
где р — молярная масса газа.
Величина R называется универсальной (молярной) газовой постоянной. Ее численное значение находится из уравнения состояния (5.1) для моля газа т = р при нормальных условиях (Р = 1,013  105 Па, Т = 273,15 К, V = = 22,41  10 ’ м3/моль); в системе СИ R = 8,31 Дж/ (моль-К).
Уравнение состояния (5.1) называется уравнением Менделеева-Клапейрона.
В изотермическом процессе (Т = const) уравнение состояния (5.1) преобразуется к виду:
PV = const.	(5.2)
, Это закон Бойля-Мариотта. В изобарическом процессе (Р = const) можно записать:
у = const.	(5.3)
=' Это закон Гей-Люссака. В изохорическом процессе (V = = const) из (5.1) имеем:
286
Раздел 5
у - const,	(5.4)
т. е. закон Шарля.
Строго говоря, в каждом из приведенных газовых законов (5.2)-(5.4) постоянные зависят при заданном значении m/р от природы газа и давления. Например, представим с помощью (5.1) закон Бойля-Мариотта для одного моля газа (т = ц) при Т = То в форме PV = RT0 и преобразуем к виду:
^=1.	(5-5)
График зависимости левой части выражения (5.5) от давления — прямая линия, параллельная оси Р (пунктирная прямая на рис. 5.1). Это отражает суть закона Бойля-Мариотта: произведение PV одинаково для всех газов и должно иметь одно и то же значение при различных давлениях. На рис. 5.1 видно, что приведенное утверждение расходится с экспериментом, так как для различных газов отношения PV/RT0 различны и зависят от давления (сплошные кривые). Однако это расхождение уменьшается с уменьшением давления. Уже при давлении в 1 атм оно для простых газов (Н2, О2) значительно меньше одного процента и становится пренебрежимо малым, если Р < 0,1 атм. Таким образом, при достаточно малых давлениях свойства всех газов практически одинаковы и подчиняются уравнению Менделеева—Клапейрона (5.1). Газ, свойства которого описываются уравнением состояния в виде (5.1), называется идеальным. Идеальным газом можно считать любой газ при достаточно низких давлениях. Следует пояснить, что на рисунке 5.1 для большей выразительности зависимости произведения PV от давления использован вдоль оси давлений логарифмический масштаб (1g Р).
Молекулярно-кинетическая теория позволяет описать свойства и вывести уравнение состояния идеального газа. При этом используется атомно-молекулярная модель идеального газа. В этой модели идеальный газ представляется совокупностью хаотически движущихся исчезающе малых по размерам абсолютно упругих шариков конечной массы, взаимодействие между которыми происходит лишь в момент соударений. Характерным движением частиц газа является свободное поступательное движение с постоянной скоростью. Каждая частица
Статистическая физика и термодинамика
287
имеет свою скорость о,. Составляющие этой скорости по осям прямоугольной системы координат обо
значим vix, viy л vl2. Очевидно, что все макроскопические эффекты в газе, связанные со скоростью движения молекул, будут определяться не индивидуальной скоростью одной молекулы, а средней ско
Рис. 5.1
ростью всех молекул газа. Так как рассматривается покоящийся в целом объем газа, находящегося в равнове
сии, то средняя скорость всех молекул (vt) равна нулю.
Отлично от нуля среднее значение модуля скорости (|»|), а также квадрата скорости (о2). Величина л/(и2) называется средней квадратичной скоростью частиц
газа, обозначается (окв) и определяется соотношением:
(5.6)
Аналогичную величину можно вычислить и для составляющих скорости vx, vy и vx. Из условия полной хаотичности движения частиц неподвижного (в целом) газа, на-
ходящегося в термическом равновесии, следует, что
(5.7)
<^х> = <^> = <^> = | (i>2>-
Свободное движение частицы длится некоторое время т(; затем она соударяется с другой частицей и изменяет направление и скорость своего движения. Среднее значение тг, вычисленное для всех частиц газа, называется средним временем свободного пробега т. За время т( частица проходит путь lj. Среднее значение Zf для всех частиц газа I называется средней длиной свободного пробега. По истечении времени, в среднем равного т, частица претерпевает соударение с другой частицей^ Длительность соударения обозначим Ат. Для идеального газа : (Лт/т) « 1. Таким образом, частицы идеального газа ос-Г новное время проводят в состоянии свободного движе-ииия, не взаимодействуя друг с другом. '
288
Раздел 5
5.4.	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Молекулярно-кинетическая теория позволяет теоретически обосновать эмпирическое уравнение состояния идеального газа (5.1). Для этого необходимо выразить зависимость макрохарактеристик газа, например, давления от микрохарактеристик молекул.
Давление газа Р есть сила, с которой газ действует на единицу поверхности, соприкасающейся с газом: Р = dF/dS. С позиций молекулярно-кинетической теории сила давления dF на элемент поверхности dS является результатом суммарного воздействия частиц газа при их столкновениях с элементом. Вклад в это суммарное воздействие одной частицы массой т0, движущейся со скоростью v„ определяется соотношением (1.58): Ftdt = d где Ft и dt — сила и время ее действия, a d (movt~) — изменение импульса частицы в процессе соударения. Если угол падения частицы равен углу отражения (абсолютно гладкая, упругая поверхность), то изменится лишь нормальная составляющая скорости , что вызовет появление только нормальной составляющей силы F/-, и можно записать:
F±dt = d (тоа-).	(5.8)
Выражение (5.8) определяет кратковременное силовое воздействие отдельной частицы на стенку сосуда. Суммарное воздействие всех молекул газа на единицу поверхности сосуда и определяет давление газа Р.
Пусть имеется п молекул в единице объема газа. Разделим эти молекулы на группы с близкими по величине скоростями. В' каждой группе содержится некоторое число молекул п (о), движущихся со скоростями, близкими к v. Очевидно, что У п (а) = п, где
V
суммирование производится по всем группам. В принятых обозначениях формула для средней квадратичной скорости (5.6) перепишется в виде:
(Ц») = J Z п у2 	(5,9)
Статистическая физика и термодинамика
289
Рассмотрим силовое действие одной выделенной группы частиц п (и) на элемент поверхности dS, расположенный, как это показано на рис. 5.2. Число частиц этой группы An (и), соударяющихся в течение одной секунды с поверхностью dS, равно произведению числа таких частиц в единице объема газа п (у) на объем параллелепипеда с ребром и и площадью основания dS, т. е. An (v) = п (у) •  vxdS. Сечение этого параллелепипеда плоскостью рисунка 5.2 за-
Рис. 5.2
штриховано. Так как при соударении v'y = vy, a vx = -vx (см. рис. 5.2), то общее изменение импульса всех рас-
сматриваемых частиц Лп (у) равно 2mopx - п (у) v„dS, и в соответствии с выражением (5.8) можно записать dF = 2п (о) movxdS. Здесь dF — импульс силы, с которой действуют в течение секунды на поверхность dS все частицы газа, движущиеся со скоростями, близкими к V. Следовательно, вклад этой группы частиц в общее давление газа равен: АР (и) = dF/dS = 2п (г)  vxm0. Суммируя
величины АР (») для всех подобных групп частиц газа, получим общее давление:
Р = £ АР (у) = 2mc £ п (») v*x. V	V
(5.10)
... Представим выражение n (и) vx в формуле (5.10) через
V
квадрат среднего квадратичного значения vx. Это можно сделать с помощью формулы (5.9). Будучи примененной к (vx) эта формула запишется в виде:
V
Множитель 1/2 в знаменателе формулы (5.11) учитывает тот факт, что только частицы, движущиеся слева направо (для которых vx > 0), соударяются с элементом поверхности dS (см. рис. 5.2).
10 Зак. № 845
290
Раздел 5
Из выражения (5.11) имеем: п (v) V2 = п (v£). Так
V
как (и2) = i (о2) (5.7), то можно записать V п (и) о2 = rf	А—‘у
= ^n(v2). Подстановка этого выражения в (5.10) дает:
P = ^nmQ(v2).	(5.12)
о
Это выражение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Оно показывает, что давлейие идеального газа пропорционально числу молекул в единице объема п, массе молекулы т0 и квадрату средней квадратичной скорости (о2). Иными словами, уравнение (5.12) связывает макрохарактеристику газа Р с микрохарактеристиками (т0 и (и2))- Следует отметить, что основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа хорошо выполняется и для реальных достаточно разреженных газов несмотря на то, что молекулы последних не являются исчезающе малыми абсолютно упругими шариками, а их отражение от стенок сосуда в общем случае не подчиняется закону зеркального отражения и существенно зависит от свойств поверхности сосуда. Однако в равновесных условиях тангенциальные составляющие импульсов отдельных молекул во всех случаях не дают вклада в конечный результат, а нормальные составляющие (по закону сохранения импульса замкнутой системы) определяют давление газа, в соответствии с формулой (5.12).
Покажем теперь, что основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа (5.12) совпадает с эмпирическим уравнением состояния (5.1), если предположить, что средняя кинетическая энергия молекул газа = т"^ пропорциональна абсолютной температуре Т и не зависит от давления. Для этого выражения (5.1) и (5.12) запишем для моля газа (т-р):
PV •= RT = NAkT,	(5.13)
piz_2v '”<> <р2>	(5.14)
Г Q 1 А 9
Статистическая физика и термодинамика
291
ИЛИ
PV= Ina{w°k),
(5.15)
где V — объем одного моля газа, NA — число Авогадро (Na = 6,022  1023 моль"1), k — постоянная Больцмана (k = 1,38 - 1(Г23 Дж/К). При переходе от уравнения (5.12) к (5.14) и (5.15) использовано очевидное соотношение n = NA/V. Видно, что (5.15) совпадает с (5.13),
если:
<Ю =	= I kT.
(5.16)
Из выражения (5.16) можно получить соотношение между средней квадратичной скоростью молекул и температурой газа:
<VKB> =	\ т0	
(5.17)
где R = kNA.
5.5.	ТЕМПЕРАТУРА
Понятие «температура» занимает центральное место в учении о тепловых процессах. Это понятие является довольно сложным и длительно уточнялось по мере развития термодинамики и статистической физики (см. главы 5.2 и 5.3).
Понятие температуры имеет ярко выраженный субъективный аспект, фундаментальную термодинамическую основу, непосредственную связь с молекулярно-кинетическими процессами и экспериментально-методическую обеспеченность для эмпирического определения и измерений.
Впервые понятие температуры возникло из субъективных ощущений в области восприятия «степени нагре-тости» тела. Объективная возможность введения понятия температуры связана с важным постулатом термодинамики: «Если две термодинамические системы находятся в тепловом равновесии с третьей, то они должны быть в равновесии и между собой». Указанное равновесие не зависит от объема, давления, плотности и других (помимо температуры) величин, определяющих
292
Раздел 5
состояние систем. Для характеристики теплового равновесия тел и потребовалось ввести специальную величину, названную температурой. Температура — единственная величина, которая обязательно одинакова во всех частях системы, находящейся в термодинамическом равновесии. Так, в системе надутых воздушных шариков в условиях равновесия могут различаться объемы шариков, давления в них, плотность газа и т. д.; только температура обязательно должна быть одинакова во всех точках системы.
Если температура частей системы не одинакова, то система не находится в термодинамическом равновесии. Чем больше разнятся температуры частей, тем значительнее отступление от равновесия, тем интенсивнее процесс теплообмена между ними. При этом энергия всегда переходит от более нагретых частей к более холодным.
Температура — макроскопическая характеристика термодинамических систем и для отдельной молекулы смысла не имеет. С точки зрения молекулярно-кинетической теории абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения частиц тела. В случае идеального газа это следует из формулы (5.16):
Г=2<И^>	(5.18)
3 Дг
Из выражения (5.18) видно, что в качестве абсолютной температуры можно использовать величину 0, выраженную через энергию непосредственным образом, положив, например, О = — (Иф. При таком определении О
температуры многие формулы молекулярной физики и термодинамики упрощаются. Например, уравнение Менделеева-Клапейрона (5.13) становится предельно простым: PV — Na®. В теоретических работах по термодинамике и статистической физике часто так и поступают. Однако для практических целей измерение температуры указанным способом неудобно. Например, нормальная температура человеческого тела в единицах энергии равна 4 • 10-21 Дж, вместо 36,6 градусов Цельсия. Поэтому сохранена привычная хорошо отработанная система измерения температуры в градусах. Разработка и развитие методов измерения температуры привели к
Статистическая физика и термодинамика
293
созданию специального раздела физики, который называется термометрией.
В отличие от давления, объема и многих других физических величин, температура не может быть измерена непосредственно. Измерение температуры производится косвенными методами, основанными на использовании таких свойств тел, которые могут быть измерены непосредственно. Тело, выбираемое для измерения температуры, называется термометрическим, а величина, используемая для измерения температуры — термометрической величиной. В простейших и наиболее распространенных термометрах в качестве термометрического тела используется газ или жидкость, а в качестве термометрической величины объем. Увеличение объема термического тела при нагревании и дает косвенную информацию об изменении температуры. Если зависимость объема от температуры линейна, то достаточно выбрать две реперные точки, приписать этим точкам определенные значения температуры ti и /2 и разделить полученный интервал на некоторое число промежутков (делений температурной шкалы). Наличие такой шкалы и позволяет измерять значение температуры в интервале между реперными точками. Очевидно, что подобные единицы измерения температур и температурные шкалы являются эмпирическими и условными. Наиболее известны три эмпирические шкалы температур: Цельсия, Реомюра и Фаренгейта, отличающиеся значениями температур реперных точек. В качестве реперных точек Цельсий выбрал температуру таяния льда (t± = 0°С) и кипения воды (/2 — 100°С) при нормальном давлении и разделил промежуток t2-t] на 100 интервалов — градусов. (Приведен современный вариант шкалы Цельсия). Для построения шкал Реомюра и Фаренгейта реперные точки и единицы делений (градусы) выбраны так, что пересчет между соответствующими температурами производится по формулам:
tR = 0,8t °C, t¥ = 32 + 1,8/ °C,
где /R — температура по Реомюру, tv — по Фаренгейту.
Эмпирическая температура известна точно лишь для реперных точек. Промежуточные температуры зависят от того, каким образом изменяется с изменением температуры термометрическая величина (например, высота ртутного или спиртового столбика). Еще в начале
294
Раздел 5
XIX века было установлено, что термометры, в которых используются различные жидкости, показывают в интервале от О до 100°С различные температуры нагретого тела. Поэтому выбор термометрического тела крайне важен. Необходимо, чтобы температурная зависимость термометрической величины была близка к линейной, воспроизводимой и обеспечивала желаемую точность измерения.
Этим требованиям удовлетворяет идеальный газ. Воспроизводимость его свойств абсолютна, зависимость давления или объема газа от температуры линейна и достаточно велика для точных измерений. На практике приходится использовать реальный газ, например, водород, что вносит некоторую погрешность в измерение температуры. Например, для газового термометра на водороде относительная погрешность измерения температуры кипящей воды составляет 0,00012, т. е. сотую процента.
Газовый термометр (рис. 5.3) включает баллон (1), объем газа в котором поддерживается в процессе измерения температуры тела (2) неизменным. Это осуществляется перемещением резиновой трубки (3) так, чтобы уровень ртути в ее левом колене оставался в одном положении (4). Тогда давление газа в баллоне, определяемое высотой столба ртути в правом колене й, позволяет вычислить температуру тела (2) по формуле Т=АР. Величина А задается выбором реперных точек и единицами измерения температуры.
В системе СИ введены две температурные шкалы: термодинамическая и международная практическая. При построении термодинамической температурной шкалы используется единственная реперная точка — так называемая тройная точка воды (см. п. 5.34). Эта
Рис. 5.3
точка соответствует термодинамическому равновесию системы, состоящей из льда, воды и водяного пара. Температура тройной точки воды измеряется е большей точностью, чем температура таяния льда. Единица измерения температуры (1 Кельвин) выбирается так, чтобы температура тройной точки воды
Статистическая физика и термодинамика
295
оказалась точно на 273,16 К выше абсолютного нуля температуры. В таком случае коэффициент А в формуле Т = АР равен 273,16/РО, где Ро — давление пара в тройной точке воды (Ро = 611 Па). Следовательно, для газового термометра:
т . 273,16 р Рв
При Р = 611 Па имеем Т = 273,16; при Р = О Т = О.
Строгое определение термодинамической температуры дается в термодинамике. Основной особенностью термодинамической шкалы температур является ее абсолютный характер, т. е. ее независимость от рода термометрического вещества. Термодинамическая температура хорошо воспроизводится газовыми термометрами с использованием газов, близких по свойствам идеальному газу. Однако такие термометры непрактичны, так как не обеспечивают, в частности, измерения во всем диапазоне температур, используемых в науке и технике. Поэтому в системе СИ введена также международная шкала, построенная помимо тройной точки воды, еще на 10 реперных точках. Каждая пара этих точек позволяет с высокой точностью воспроизводить деления термодинамической температурной шкалы в соответствующем диапазоне температур.
Напомним, что в термодинамической шкале температур температура замерзания воды равна Т = 273,15 К. Поэтому переход к температурам Цельсия (#) дается формулой:
t = Т - 273,15.
При этом 1°С = 1 К.
Термодинамическая температура — одна из семи основных величин системы СИ; ее размерность и единица измерения выбраны произвольно, что и показано в настоящем параграфе.
5.6.	ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Рассмотрим макроскопическую однородную систему в термодинамическом равновесии. Во всех частях такой системы интенсивные параметры (температура, давление и т. д.) одинаковы. В этих условиях самопроизвольное возникновение каких-либо макропроцессов в системе невозможно.
296
Раздел 5
При нарушении равновесия система становится физически неоднородной. Температура Т, концентрация компонентов С, скорость смещений макроэлементов V, величина электрического потенциала и т. д. могут оказаться различными в различных частях системы. Возникнут градиенты макропараметров: градиент температуры (grad Т # О), градиент концентрации (grad С * О), градиент скорости (grad о * О), градиент потенциала (grad <р * О) и т. д. Если такую систему предоставить самой себе, то она неизбежно снова самопроизвольно возвратится в равновесие, при котором все перечисленные градиенты обратятся в нуль. Это возможно лишь при возникновении процессов, приводящих к выравниванию температуры, концентрации компонентов, макроскоростей, электрического потенциала. Процессы пространственного выравнивания значений перечисленных величин обеспечиваются переносом от точки к точке внутри системы энергии (теплоты), массы, импульса и заряда. Подобные процессы называются явлениями переноса.
Движущей силой для любого процесса переноса служит градиент соответствующей величины. Основных физических характеристик явления переноса две: векторная (локальная) — плотность потока j и скалярная (интегральная) — поток J. Между этими характеристиками имеется известная связь (2.138):
j = $ a, dS) = $ jnds, s	s
где S — поверхность, через которую определяется поток.
В простейшем случае в изотропной линейной среде все явления переноса подчиняются линейному закону: вектор плотности потока любой физической природы пропорционален градиенту величины связанной с рассматриваемым потоком j:
j = -К grad £	(5.19)
где К — коэффициент пропорциональности, численно равный потоку при единичном значении градиента. Градиент — движущая сила, вызывающая поток. Напомним, что градиент скалярной функции £ (х, у, г) есть вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания рассматриваемой функции и равный ско
Статистическая физика и термодинамика
297
рости ее изменения в этом направлении. Знак «минус» в формуле (5.19) означает, что поток j данного физического признака направлен против градиента т. е. в сторону наибыстрейшего убывания
Явления переноса могут быть связаны не только с процессами, возвращающими систему в состояние равновесия, но и с действием внешних причин. Например, между двумя телами, температуры которых 1\ и Т2 * Тг поддерживаются неизменными, непрерывно протекает процесс передачи тепла от более нагретого тела к менее нагретому.
Рассмотрим подробнее некоторые явления переноса. С одним из них мы уже познакомились ранее. Это электрический ток (см. гл. 2.2). Ток связан с переносом заряда под действием напряженности электрического поля Е или градиента потенциала (grad ф = —Е). При отсутствии сторонних ЭДС перемещение зарядов в теле завершается таким их распределением, при котором grad ф - О. Зависимость вектора плотности потока зарядов (т. е. плотности тока /) от движущей силы (grad ф) описывается законом Ома в локальной форме (2.152) j=уЕ или
j = -у grad ф,	(5.20)
где у — удельная проводимость среды.
Если в системе имеется неоднородное распределение концентрации С какого-либо компонента и, следовательно, grad С * 0, то возникает поток этого компонента, вектор плотности которого равен:
jD = -D grad С.	(5.21)
Коэффициент D называется коэффициентом диффузии данного компонента в рассматриваемой среде. Процесс переноса вещества из областей среды, где его концентрация выше, в области, где она ниже, в результате теплового хаотического движения частиц вещества, называется диффузией. Аналогичный процесс переноса вещества не за счет теплового хаотического движения атомов диффузией не является. В жидкостях и газах возможен массоперенос, который происходит в результате механического перемешивания макроэлементов среды. Этот процесс называется конвекцией.
298
Раздел 5
Концентрация диффундирующего вещества (диффу-занта) во всех точках замкнутой системы изменяется и при достижении равновесия (grad С = О) становится постоянной. Если внешними источником и стоком непрерывно поддерживается не изменяющийся градиент концентрации диффузанта (grad С = const), то и зоне диффузии устанавливается стационарный диффузионный поток вещества.
Выражение (5.21), описывающее в макроскопической форме диффузионный поток вещества, называется пер-вым законом Фика. Запишем его в развернутом виде:
— + «j, — +	—	.
дх ду dz I
Если диффузионный поток направлен только вдоль оси
*х тч дС m
х, то jD- ~Dex — - Теперь знак вектора можно опустить дх
и записать:
jxD (х, О = D 80	.	(5.22)
Это одномерная форма записи первого закона Фика (5.21).
Размерности плотности потока вещества jD и коэффициента D зависят от выбора единиц измерения концентрации С. Если, например, С измеряется числом частиц в единице объема, то jD измеряется в -4— , а м -с 2
D — в . Такой выбор удобен при рассмотрении механизма диффузии с позиций молекулярно-кинетической теории (см. п. 5.7).
Если в системе имеется неоднородное распределение температуры Т, то возникает поток тепла jT в сторону ее убывания, т. е. против направления градиента температуры:
jT = —к grad Т,	(5.23)
где к — коэффициент теплопроводности среды. В СИ плотность потока тепла jT измеряется в Дж-лГ^-с1, а к — в Bm-м 1 -град '. Соотношение (5.23) называется законом Фурье. Закон Фурье описывает теплопередачу в среде за счет теплового хаотического движения ее частиц — теплопроводность. Помимо этого теплопереда*
Статистическая физика и термодинамика
299
ча может осуществляться за счет конвекции и лучистого теплообмена.
Если поток тепла одномерен и направлен вдоль оси х, то выражение (5.23) упрощается:
Л (X, t) = -к
(5.24)
При теплопроводности от слоя к слою среды передается энергия, при диффузии — масса. Очевидно, что если в жидкой или газообразной среде не одинаковы скорости соседних слоев v, то от слоя к слою в направлении, противоположном grad v, будет передаваться импульс Р. Вектор плотности импульса пропорционален градиенту скорости:
iP = -П grad v.
В одномерном случае:
7;(х,О = -Л^^
(5.25)
Коэффициент пропорциональности (ц) называется динамической вязкостью среды. Динамическая вязкость ц
дает скорость переноса импульса при единичном значении градиента скорости и определяется свойствами среды. Выражение (5.25) называется законом Ньютона.
Изложенное представлено на рис. 5.4. На этом рисунке жидкая или газообразная среда распределена в полупространстве от х = 0 до х -> оо. Слева эта среда ограничена плоской поверхностью, которая перпендикулярна плоскости vOx и пересекает ее по линии Оо. Слева от этой линии располагается плоское тело, движущееся вверх (заштриховано на рис. 5.4) со скоростью и0, сообщая прилегающим слоям среды
такую же скорость. Эта скорость передается потоком импульса jp слева направо под действием градиента скорости, направленного справа налево (см. рис. 5.4).
Законы Фика, Фурье и Ньютона являются эмпирическими. Их теоретическое обоснование дает
300
Раздел 5
молекулярная физика. Отметим, что в случае одномерной однородной диффузии, теплопроводности или переноса импульса (вязкости) интегральный поток (2.138) за время At вычисляется по формулам:
AJJ =-D — ASAZ; AJJ = -k —ASA£; D дх	т дх
AJ* = -ц ASAt;
F дх
(5.25)
где AS — площадь поверхности, перпендикулярной потоку, через которую переносится вещество, энергия, импульс соответственно.
5.7.	ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЯВЛЕНИИ ПЕРЕНОСА
Молекулярно-кинетическая теория связывает явления переноса с тепловым хаотическим движением частиц среды. Обратимся к рисунку (5.4). В слое 2 скорость направленного движения частиц среды v2 больше аналогичной скорости в слое 3 — t>3, но меньше чем в слое 1 — i?i. Средняя скорость теплового хаотического движения частиц среды во всех слоях одинакова. За счет хаотического движения одинаковое число молекул переходит из 2-го слоя в 3-й и в обратном направлении. Однако молекулы, переходящие из 2-го слоя в 3-й переносят с собой большую скорость направленного движения v2, чем молекулы 3-го слоя переносят в обратном направлении (v3 < v2). В итоге слой 3 ускоряется (за счет подпитки молекулами с большей скоростью v2), а слой 2 замедляется (пополняясь молекулами со скоростями v3 < v2). Описанный эффект макроскопически проявляется в своеобразном трении между соседними слоями жидкости или газа, движущимися с неодинаковыми скоростями (внутреннее трение).
Аналогичным образом передается масса (диффузия) и энергия (теплопроводность). Эти процессы также можно связать с кривой, изображенной на рис. 5.4. Предположим, что эта кривая отражает распределение температуры Т (х) от некоторого максимального значения 7о(О) на границе с источником (заштрихован) до Т —> О при х —> сс. Молекулы, переходящие из слоя 2 в слой 3, переносят с собой в соответствии с формулой
Статистическая физика и термодинамика
301
(5.16) большую энергию своего теплового движения, чем молекулы, переходящие в обратном направлении из менее нагретого слоя 3.
Для объяснения диффузии предположим, что заштрихованная область на рисунке 5.4 обозначает источник атомов диффундирующего вещества (диффузанта). На границе с источником (х — 0) концентрация примесных атомов равна Со. В результате диффузии в среде возникает распределение С (х), представленное на рис. 5.4.
В слое 2 концентрация примесного элемента больше, чем в слое 3. Поэтому в результате теплового хаотического движения число примесных атомов, переходящих из слоя 2 в слой 3, оказывается большим, чем в обратном направлении. В итоге образуется диффузионный поток примесного вещества, распространяющийся слева направо.
Рассмотрим основные детали процесса переноса вещества (закон Фика), энергии (закон Фурье), импульса (закон Ньютона) с единых позиций, обозначая переносимое свойство среды общим символом что уже использовалось в обобщенном выражении для плотности потока (5.19). Величина § в случае переноса вещества (диффузия) равна = С, в случае переноса энергии (теплопроводность) £ = (W£), в случае переноса импульса (вязкость) — Е, = р = mov.
Рассмотрим, каким образом свойство среды £ переносится в идеальном газе с точки зрения молекулярно-кинетической теории.
Очевидно, что любое свойство среды переносят его первичные носители — атомы и молекулы. В основе процесса переноса лежит тепловое хаотическое движение этих частиц. Рассмотрим в объеме идеального газа произвольно ориентированную плоскую, проходящую через точку х0 площадку AS. Проведем ось х через точку х0 перпендикулярно площадке (см. рис. 5.5). Для простоты предположим, что рассматриваемое свойство газа зависит только от х, т. е. изменяется только в направлении х. В точке х = х0,	(х0); в любой другой
точке х можно, воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, записать:
Ux) = (ХО) + (х - х0)	+ ... . (5.26)
302
Раздел Б
Обозначим число молекул в единице объема п, а среднее значение модуля их скорости — (и). Будем считать, что в положительном направлении оси х движется в среднем и; такое же число молекул движется и в противоположном направлении. Общее число молекул, пересекающих площадку AS слева направо за время At, равно их числа в параллелепипеде объемом (Д0  At  AS, т. е. п • (и)  AS • At (см. рис. 5.5). Связанный^ этим поток свойства слева направо через площадку AS за время At равен п (0 ASAt. Аналогичным образом определится и поток через AS в противоположном направлении — п (v)ASAt. Если grad Е, = 0, то
- ^2 и п (0 ASAt - п <и) ASAt - 0, т. е. величина итогового потока через AS равна нулю (J? = 0).
Если величина Е, изменяется вдоль оси х (grad £ * 0), то общий поток свойства через площадку AS за время At равен:
Л = | п <и) ASAt (^ - £2).	(5.27)
Посчитаем, что величина переносимая через AS, формируется у частицы при последнем ее соударении, т. е. на расстоянии, равном средней длине свободного пробега I от AS.
Статистическая физика и термодинамика
303
На рисунке 5.5 это расстояние обозначено х0 — х, = = I. Значение = £ (xj можно определить через £ (х0) с помощью выражения (5.26). Длина свободного пробега обычно мала, например, при давлениях, близких к нормальному, I - 10 7 м. На такой длине изменения концентрации, температуры или скорости направленного движения невелики. Поэтому в разложении функции (х) в ряд Тейлора (5.26) можно ограничиться учетом только первых двух слагаемых и записать:
S (*о) - (*0 - Хд) g = 5 (Хо) - I § .	<5-28>
Аналогичным образом получаем выражение для свойства в точке х2, т. е. ^2 = £ (х2):
Ъ = § (Хо) + (Х2 - х0) g = I (Хо) + I g .	<5-29)
Подставляя (5.28) и (5.29) в (5.27), получим:
J. = - | п (о) I ASAt-	(5.30)
4 о	дх
Для диффузии = С. Представим концентрацию в виде С = ио/и, где по — число частиц диффундирующего элемента в единичном объеме, получим:
JD = - I п (о) I ASAT = -±l(v)^ ASM. "	3	' дх	о дх
Следовательно, в этом случае:
D = 11 <о> . О
(5.31)
Для теплопроводности Е = (Wjj) = 1 kT. После подстанов-ки этого выражения в (5.30) имеем:
JT = - | kn <и) I ~ ASAt.
1	2	дх
Следовательно:
X = | knl (v) = | cvl <v>, Zi	О__________
(5.32)
304
Раздел 5
О
где cv = — kn — удельная теплоемкость газа при посто-янном объеме.
Для вязкости (переноса импульса) = р = mov. Подстановка этого выражения в (5.80) даёт:
| пт01 (и) ASAt.
Следовательно:
т) = 4 пт01 (о).	(5.33)
о
Выражения (5.31)—(5.33) связывают макроскопические характеристики идеального газа с микрохарактеристиками. Из выражения (5.31) ясно, что диффузия в газе идет тем быстрее, чем больше длина свободного пробега молекул и чем с большей скоростью эта длина преодолевается молекулами при их тепловом хаотическом движении. Теплопроводность (5.32) возрастает, кроме того, с увеличением числа «переносчиков тепла» в единице объема, т. е. величины и. Вязкость (5.33), помимо того, увеличивается с увеличением массы молекул (так как импульс пропорционален массе молекулы т0).
Общность молекулярно-кинетического механизма явлений переноса различной физической природы проявляется еще в том, что любой из коэффициентов переноса (5.31)-(5.33) можно выразить через другие. Например, из сравнения (5.31) и (5.33) следует, что
ц = nm-oD = pD,	(5.34)
где р = п • т0 — плотность вещества.
Приведенное молекулярно-кинетическое рассмотрение является весьма приближенным и позволяет получить лишь общее представление о процессах переноса в газе. Расчет величин D, к и ц по формулам (5.31)— (5.33) с использованием известных микрохарактеристик газа не дает удовлетворительного согласия с экспериментальными значениями D, к и г) для различных реальных газов в достаточно широком диапазоне давлений. Для получения более точного согласия необходимо более строгое рассмотрение явлений переноса в рамках молекулярно-кинетической теории.
Статистическая физика и термодинамика
305
Отметим, что существенные качественные и количественные отступления результатов простой молекулярно-кинетической теории от экспериментальных данных наблюдаются при больших плотностях газов (при давлениях, значительно больших атмосферного) и в сильно разреженных газах, где длина свободного пробега I становится сравнимой или больше размеров сосуда L {I > D). В последнем случае говорят о техническом вакууме.
5.8.	ОСОБЕННОСТИ ДИФФУЗИИ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
При повышении давления и снижении температуры газовое состояние вещества переходит в конденсированное состояние (жидкость, твердое), плотность которого на три порядка выше. В жидких и твердых телах атомам настолько «тесно», что их свободное движение, типичное для молекул в газах, невозможно. Из-за малого взаимного расстояния и сильного взаимодействия атом конденсированного вещества основное время т, локализован в некотором энергетически выгодном для него месте х1 (рис. 5.6). Допустим, на энергетической диаграмме этому месту соответствует «потенциальная яма» 1 (см. п. 1.16). Выход частицы из потенциальной ямы 1 ограничен потенциальными барьерами а и б (см. рис. 5.6). Если в данный момент атом обладает полной энергией W, меньшей чем высота потенциального- барьера W™* (Ж < W™ах), то он совершает только колебательное движение между
Рис. 5.6
306
Раздел 5
точками х[ и х". Подобное движение совершают и его соседи справа и слева в точках xi + 1 (2) и xf_i (3), а также все остальные атомы конденсированной среды.
Если при взаимодействии с соседями рассматриваемый атом получит энергию, равную или большую высоты потенциального барьера, то он окажется способным перескочить через барьер и перейти в соседнее положение с минимумом энергии. В этот момент атом
совершает одноразовое кратковременное поступательное перемещение на некоторое ограниченное (обычно межатомное) расстояние d. В новом положении он также совершает колебательное движение в течение некоторого
времени т/. Среднее значение (т,) для всех атомов мак-
рообъема конденсированной среды называется временем
оседлой жизни атома т. Это время обратно пропорци-
онально вероятности перескока атома через барьер в
одну секунду р = р0 ехр
. Следовательно:
х = — = тое , Р 0
(5.35)
где т0 = 1 /р0, р0 — частота собственных колебаний атома в точке закрепления (р0 - 1013 • с1).
Описанные процессы ярко выражены в твердых телах. В простейшей форме они проявляются в совершенных кристаллах. Изложенное показывет, что элементарным актом диффузии в твердых телах является перескок диффундирующего атома из одного положения устойчивого равновесия в соседнее, т. е. на межатомное расстояние d. Отсюда средняя скорость диффузионного перемещения атомов равна:
<иа> = - • т
(5.36)
Поэтому диффузия будет тем более быстрой, чем чаще происходят перескоки атомов через барьер, т. е. чем меньше время их оседлой жизни т. Из выражения (5.35) видно, что т резко (экспоненциально) зависит от 1/Т и высоты потенциального барьера ДИ7,,. Например, в кристалле германия перемещение атомов германия (самодиф-фузия) ограничено барьером ДИ7, я 1 эВ (1,6 • 10 Дж). В таком случае при температуре 300 К т ~ 2 • 104 с я
Статистическая физика и термодинамика
307
« 5,3 часа. Иными словами, каждый атом германия смещается на межатомное расстояние d (0,5 • 1О10 м) в среднем лишь 1 раз за 5 часов, что дает среднюю скорость диффузионного перемещения атомов (uD) ® 1014 м/с. Если увеличить температуру до 900 К, то величина т уменьшится до 3  10 8 с. Таким образом, при этой температуре атом германия успевает за 1 с совершить примерно 3 • 107 перескоков через барьер на расстояние d и приобретет скорость диффузионного перемещения, равную (уо) ® 0,001 м/с, т. е. много большую скорости при 300 К.
Закон Фика jD = -D (5.22) справедлив и для диф-
фузии в твердом теле. Предположим, что коэффициент диффузии D атомов в твердом теле описывается той же формулой, что и в газе (5.31), но вместо I и (и) необходимо использовать (ио) и d. Тогда:
D=A{vD}d.	(5.37)
Для газа А = 1/3, для кристаллов постоянная А зависит от их структуры. Подставляя в (5.37) соотношение (5.36), получим для коэффициента диффузии так называемую формулу Эйнштейна:
_т2
D =А— .
1
(5.38)
Подстановка в (5.38) выражения для времени оседлой жизни атомов (5.35) дает окончательное выражение для коэффициента диффузии атомов в твердом теле:
D = Doe ,
(5.39)
где предэкспоненциальный множитель равен Do = Ad2/t0. Выражение (5.39) называется законом Аррениуса.
Согласно изложенному, диффузия в твердом теле носит активационный характер. Только те частицы, которые получили в данный момент в процессе тепловых колебаний энергию активации, не меньшую ДИ^, участвуют в процессе диффузии. В газе все частицы постоянно
308
Раздел Б
свободны и непрерывно участвуют в процессе диффузии, т. е. диффузия является неактивационной.
Если взять натуральный логарифм от левой и правой частей выражения (5.39), то получим уравнение прямой в координатах In D, 1/Т:
In D = In Do -	|
Угловой коэффициент этой прямой равен (-ДИ^/Л), что позволяет определять энергию активации диффузии, по экспериментальной зависимости D (7), если последняя линейна (в логарифмическом масштабе).
На рис. 5.7 изложенное представлено графически. На этом рисунке прямая (1) соответствует большему значению энергии активации, чем прямая (2) (AWp' > AWp").
Конкретные молекулярные механизмы диффузии атомов в твердом теле весьма разнообразны и зависят от структуры и состава твердого тела, от типа, состояния и размеров диффундирующих атомов, от характера и концентрации дефектов в кристалле. Диффундирующие атомы могут перемещаться по узлам кристаллической решетки, обмениваясь местами с соседними атомами, по межузлиям, по дефектам и т. д. Строго говоря, все механизмы диффузии работают одновременно. Однако в конкретных условиях преобладает, как правило, какой-либо один из механизмов. При достаточно низких температурах ярче проявляется диффузия с участием дефектов, а при высоких — диффузия по межузлиям или узлам. В таком случае температурная зависимость D (7) в координатах In D, 1/Т имеет два прямолинейных участка, подобно аналогичной зависимости для электропроводности кристаллов (см. рис. 4.71).
Наиболее сложен механизм диффузии в жидкостях.
В этом механизме комби-
нируются элементы механизмов диффузии в твердых телах и газовых средах. Механизм твердотельной диффузии четче прослеживается вблизи температуры плавления, когда в Жидкости сохраняются элементы упорядо
Статистическая физика и термодинамика
309
ченной структуры. При дальнейшем нагревании возрастает вклад неактивационных смещений атомов на расстояния, большие межатомных (d), механизм диффузии усложняется и, строго говоря, перестает подчиняться закону Аррениуса. Однако этот закон часто используется и для обработки экспериментальных исследований диффузии в жидкостях. В таком случае энергия активации AWp процесса диффузии становится условной величиной. Это связано, в частности, с тем, что в жидкой среде величина AWp изменяется в широких пределах от точки к точке, а в каждой точке — от времени.
Так же, как и в газах, основным макроскопическим законом теплопроводности в твердых телах является закон Фурье (5.24). Микропроцессы, обеспечивающие теплопроводность в твердых телах, значительно более разнообразны и сложны, чем в газах. В этих процессах принимают участие не только тепловые колебательные движения атомов в узлах кристаллической решетки, но и свободные электроны. Поэтому теплопроводность твердых тел разделяют на электронную й решеточную или фононную. В общем случае можно записать:
К = Кд + Кф,
где к — коэффициент теплопроводности твердого тела, к, и Кф — соответственно коэффициент электронной и фононной теплопроводности. Для диэлектриков Кф » к, и к « кф; для проводников — кэ » Кф и к » кэ.
Электронная теплопроводность обусловлена переносом электронами избыточной энергии из более нагретых частей кристалла в менее нагретую. Простейшая кинетическая теория газов, примененная к электронному газу в металлах, опирается на формулу (5.32), представленную в виде:
кэ = | 1эяизл,	(5.40)
где Су‘ — теплоемкость электронного газа, 1ЭЛ — средняя длина свободного пробега электронов, — средняя скорость теплового движения электронов. Величины кф", /эл и иэл для электронного газа могут быть вычислены
310
Раздел 5
строго только с использованием законов квантовой физики, что будет обсуждено в п. 5.63.
В диэлектриках теплопроводность обеспечивается колебаниями решетки, которые распространяются по кристаллу со скоростью звука. При интерференции таких волн образуются волновые пакеты (п. 3.16, рис. 3.36), переносящие в пространстве, подобно частицам, энергию и импульс. Поэтому волны в кристаллах, связанные с тепловыми колебаниями атомов в узлах решетки, можно представить в‘ виде совокупности квазичастиц, которые называются фононами (см. п. 4.57).
При описании теплопроводности кристалл можно рассматривать как некий объем, заполненный фононным газом. Применив к этому газу формулу для коэффициента теплопроводности идеального газа (5.32), можно записать
к - 1 с I v	(5-41)
где /ф — средняя длина свободного пробега фононов, иф — скорость распространения фононов, cv — теплоемкость вещества при постоянном объеме. Для идеального 9
газа cv = — kn; это выражение использовано при преобразовании соотношения (5.32) в (5.40) и (5.41).
Фононы проявляют себя как переносчики энергии по кристаллу из более нагретых его частей. Этот процесс и обеспечивает теплопроводность диэлектриков. Реальный механизм переноса энергии фононами значительно более сложен, чем механизм переноса энергии частицами идеального газа (см. п. 5.63). Тем не менее формула (5.41) позволяет качественно правильно объяснить некоторые важные для практики зависимости теплопроводности твердых тел. Действительно, длина свободного пробега фононов убывает при переходе от совершенного кристалла к более дефектному, далее к керамике из данного вещества и наконец к аморфному (стеклообразному) состоянию. Согласно формуле (5.41), в этой же последовательности должна уменьшаться и теплопроводность веществ. Например, при переходе от кристаллического кварца к кварцевому стеклу теплопроводность соединения SiO2 существенно уменьшается. Длина свободного пробега фононов уменьшается также с увеличением различия атомных весов частиц, входящих в соединение. Поэтому, например, теплопровод
Статистическая физика и термодинамика
311
ность керамики из соединения ВеО, в которой отношение атомных весов элементов равно (16/9) ® 1,8, больше, чем теплопроводность керамики из соединения TiO2, для которого аналогичное отношение равно (48/16) = = 3. Все изложенное выше характерно для высоких температур. Анализ температурной зависимости теплопроводности возможен лйшь при детальном рассмотрении температурных зависимостей всех величин, входящих в формулы (5.40) и (5.41), что кратко описано в п. 5.63.
В заключение отметим, что явления переноса играют решающую роль практически во всех технологических процессах. В технологии металлов, керамики, стекла, органических веществ, полупроводников и т.д. явления массопереноса оптимизируются так, чтобы конечный продукт обладал заданными свойствами, а производство было бы экономически эффективным. Существуют технологии, в самом названии которых отмечается используемое явление переноса. Например, одна из массовых технологий полупроводниковых интегральных микросхем называется диффузионной. В основе этой технологии лежит процесс диффузии донорных и акцепторных примесей в полупроводниковом кристалле (см. п. 4.51 и 4.55).
5.9.	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ВАКУУМЕ
Поскольку вакуум не содержит носителей тока, он не является электропроводной средой. Между тем, в различных отраслях современной науки и техники широко применяются электровакуумные приборы — электронно- лучевые трубки (кинескопы), рентгеновские трубки, электронные лампы и др. В этих приборах электрический ток поддерживается за счет введения в вакуум носителей тока — электронов или ионов.
Рассмотрение закономерностей движения заряженных частиц в вакууме проведем на примере движения электронов. Предположим, что электронный пучок движется от плоского эмиттера — катода (К) к плоскому аноду (А). Устройство, в котором происходит движение электронов в вакууме от катода к аноду, носит название вакуумный диод.
Направим ось х перпендикулярно к плоскостям катода и анода, как это показано на рис. 5.8, а оси у и
312
Раздел 5
Рис. S.8
г параллельно им и поместим начало координат в плоскости катода. Расстояние между катодом и анодом обозначим через d. Считаем, что протяженность электродов в направлении осей у и z много больше, чеь£ d. В этом случае задача становится одномерной. Поэтому
во всех последующих математических операциях напряженность электрического поля считаем скаляром.
Будем отсчитывать потенциалы в любой точке от потенциала катода. Тогда потенциал анода 17а будет равен приложенной к электродам (внешней) UK разности потенциалов UB = Ua.
Отрицательный объемный заряд электронного пучка индуцирует на катоде и аноде положительные поверхностные заряды, на которых начинаются силовые линии электрического поля, создаваемого в межэлектродном пространстве объемным зарядом электронов (рис. 5.9). Поскольку эти силовые линии кончаются на отрицательных зарядах в разных точках объема, густота силовых линий, а следовательно, абсолютная величина напряженности электрического поля объемных зарядов Ео будет наибольшей у катода и анода. Причем на катоде напряженность поля Ео (О) > 0 (совпадает по направлению с осью х), а на аноде Ео (d) < 0. Распределение напряженности в межэлектродном пространстве Ео (х) непрерывно, следовательно, в некоторой точке х = хт между катодом и анодом напряженность Еа (хт) = 0. Так как напряженность связана с потенциалом соотношением Е = - grad U, то равенство нулю напряженности в некоторой точке хт говорит о том, что в этой точке имеется минимум потенциала U (хт) = Um. Заряд электрона отри-
цателен, поэтому
потенциальная энергия электронов в этой точке eU (xm) проходит через максимум. Распределения в межэлектродном пространстве напряженности, потенциала и потенциальной энергии электрона представлены на рис. 5.10, где £ обозначает Ео (х), U (х) или eU (х) соответственно.
Потенциальный барьер, создаваемый объемным зарядом электронов
Рис. 5.9
Статистическая физика и термодинамика
313
в межэлектродном пространстве, оказывает существенное влияние на характер движения электронов между катодом и анодом. Наличие потенциального барьера в промежутке катод-анод является характерным свойством объемного заряда, оно сохраняется и при при-
ложении внешней разности потенциалов. Если у эмит-тируемого из катода электрона энергия меньше eUm — величины потенциального барьера, то электрон не сможет преодолеть этот барьер. Туннельный переход таких электронов сквозь барьер (см. п. 4.24) практически исключен, так как ширина барьера намного превышает длину волны де-Бройля для электрона. В результате
лишь те электроны, энергии которых превышают eUm,
достигают анода и создают ток в его цепи.
5.10.	ВОЛЬТАМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВАКУУМНОГО ДИОДА
Согласно электронной теории, скорости эмиттируе-мых электронов подчиняются закону распределения Максвелла, то есть электронный газ всегда содержит некоторое количество электронов, обладающих достаточно большой кинетической энергией. Даже при равной нулю внешней ускоряющей разности потенциалов, электроны, имеющие достаточную для преодоления потенциального барьера энергию, могут достигнуть анода и в его цепи возникнет ток, который обозначим 10. Увеличивая энергию эмиттируемых из катода электронов (увеличением внешней ускоряющей разности потенциалов между катодом и анодом), можно создать условия, при которых все электроны преодолеют потенциальный барьер, создаваемый объемным зарядом, и достигнут анода. Наступит так называемое явление насыщения, которое выражается в том, что при дальнейшем увеличении внешней ускоряющей разности потенциалов между катодом и анодом ток возрастать не будет. Соответствующий участок на вольтамперной характеристике будет представлен прямой, параллельной оси тока. Значение тока насыщения обозначим 1„.
Если между катодом и анодом приложена некоторая разность потенциалов UB # 0, то результирующие
314
Раздел 5
напряженность Е (х) и потенциал U (х) электрического поля в межэлектродном пространстве будут складываться из напряженности Ео (х) и потенциала Uo (х) поля объемных зарядов и напряженности Ее (х) — E!Jd и потенциала С7В (х) = (C7B/d)  х поля, создаваемого внешней разностью потенциалов:
Е (х) = Ео (х) + Ев (х), U (х) = Uo (х) + U„ (х). (5.42)
Для каждого значения внешней разности потенциалов UB установится свое поле объемных зарядов. Если Е„ < 0, то знаки Ео и Е„ у катода будут противоположны, а у анода одинаковы (см. рис 5.9). Поэтому даже в случае, когда внешняя разность потенциалов создает поле Е„, ускоряющее электроны, движущиеся к аноду, напряженность результирующего поля у катода может быть отрицательной, положительной, или равной нулю. Рассмотрим качественно режимы работы диода во всех этих трех случаях.
1.	Е (0) < 0. В этом случае из формул (5.42) следует, что |£0 (0)| < |£в|. Поскольку напряженность поля, создаваемого объемным зарядом Ео (х), достигает наибольшего значения у катода, то во всем межэлектродном пространстве результирующая напряженность Е (х) < 0 и, следовательно, всюду между катодом и анодом на электроны действует только ускоряющее поле. Потенциальная энергия электрона eU (х) в этом случае не имеет максимума в межэлектродном пространстве (потенциальный барьер отсутствует). Схематически зависимости Е (х) и eU (х) для этого случая представлены на рис. 5.11, а к б.
Очевидно, что в этом случае все электроны, эмит-тируемые катодом, достигают анода, и через диод про-
Рис. 5.11
Статистическая физика и термодинамика
315
Рис. 5.12
текает ток, равный току насыщения 1К. Рассмотренный режим носит название режим тока насыщения.
2.	Е (0) > 0. Это означает, что напряженность поля, создаваемого объемным зарядом у катода |Е0 (0)| > |^7В|. Поскольку по мере удаления от катода Е (х) уменьшается и проходит через нуль, кривая Е (х) также будет проходить через нуль, а зависимость eU (х) — иметь максимум eUm (рис 5.12, а и <У).
В этом случае анода достигнут только те электроны, энергии которых достаточны для преодоления потенциального барьера. Следовательно, анода достигнут не все электроны и ток I, протекающий через диод, будет меньше тока насыщения 1„. Такой режим называется режимом ограничения тока объемным зарядом.
3.	Е (0) = 0. Это означает, что напряженность поля объемного заряда у катода Ео (0) = — Ев. Тогда при всех положительных значениях напряженность поля Е (х) < < 0 (рис. 5.13, а). Зависимость eU (х) в этом случае имеет максимум лишь при х = 0 (рис 5.13, б). Ток через диод при этом будет равен току насыщения. Однако, в этом случае с уменьшением внешней разности
Рис. 5.13
316
Раздел 5
потенциалов UB ток I будет уменьшаться по сравнению с 1В. Этот режим работы диода разделяет режимы, рассмотренные в п. 1 и 2. Поэтому он называется переходной режим.
Из приведенных рас-суждений следует, что вольт-амперная характеристика вакуумного диода
/ (С7В) должна иметь вид, схематически показанный на рис. 5.14. На этом рисунке 1„ — ток насыщения, 10 — ток, происхождение которого пояснено в начале параграфа.
Расчет зависимости плотности тока вакуумного диода от напряжения на аноде j ([/„) в режиме ограничения тока объемным зарядом требует учета электрических полей, создаваемых как объемным зарядом, так и внешней разностью потенциалов UB.
Для решения этой задачи воспользуемся уравнением Пуассона (2.52), которое в рассматриваемом одномерном случае будет иметь вид:
d?U = _ £	(5.43)
dx2 е0 ’
где р — плотность объемного заряда.
Плотность тока j—nev (2.139), где п — плотность электронов, v — их скорость, которая может быть определена на основе закона сохранения энергии:
mu2 Гт
Плотность объемного заряда р = -пе (минус т. к. заряд электрона отрицателен). Используя выражения для j и р, уравнение (5.43) можно записать следующим образом:
d2U	»е	7	/	т _ i .	. и 1/2.	(5.44)
dx2	t0	ve0	е0	2eV е0	2е
Умножим левую и правую части уравнения (5.44) на dU/dx. Получим:
dU d2U = 2	Tri/г dU
dx dx2 е0 2e dx '
Преобразуем полученное выражение: dU dx
A = JL.	.2 • — u1/2
\ Eg 2e dx
2 dx Г
Статистическая физика и термодинамика
317
I dx I
Интегрирование этого уравнения дает:
бо 2е
где Cj — константа интегрирования, значение которой найдем из граничного условия dU/dx = О при U = О. Получим С, = = 0.
Подставив С], извлечем корень квадратный из обеих частей (5.45) и преобразуем его к виду:
L7l^ = 2.p-. V^V2.
dx	2e J
Интегрируя это уравнение, получаем:
<*•«>
Поскольку при x = 0 UB = (0) = (потенциал отсчитывается от катода), то константа С2 = 0. Возводя соотношение (5.46) в квадрат, имеем:
4
9
j
 и3/2. ®
х2 т
Подстановка в это уравнение U = (7„ при х = d дает искомую зависимость:
j=A-Ua'2,
(5.47)
где константа А определяется соотношением:
л _ 4 е0 J~2e 9 ' d2 т •
Из формулы (5.47) следует, что зависимость электронного тока в вакууме от напряжения в режиме ограничения тока объемным зарядом является нелинейной и не подчиняется закону Ома. Формула (5.47) восит название закона Богуславского—Ленгмюра (или «закона трех вторых»).
5.11. ЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ
Электронной эмиссией называется явление испускания электронов твердыми (или жидкими) телами. Электронную эмиссию подразделяют на электронную эмиссию с предварительным возбуждением и туннельную электронную эмиссию.
Если в вакууме, окружающем эмиттер, нет силовых полей, то полная энергия электрона вне эмиттера
318
Раздел 5
(WK = mv2/2) либо равна нулю, если электрон покоится, либо положительна, если он движется. Внутри тела возможны состояния электронов как с отрицательными энергиями, если электрон связан, так и с положительными энергиями, если он свободен (см. рис. 5.15). В основном (невозбужденном) состоянии (при Т = 0) электроны занимают наиболее низкие энергетические уровни с энергиями меньшими или равными энергии Ферми WF. Для того, чтобы часть электронов могла выйти за пределы тела и, следовательно, участвовать в электронной эмиссии, электроны необходимо предварительно возбудить, т. е. сообщить им такую дополнительную энергию, чтобы их энергия стала положительной (см. рис. 5.15, переход 1).
Подобная эмиссия называется эмиссией с предварительным возбуждением электронов. Существуют различные виды эмиссии с предварительным возбуждением. Они различаются природой источника энергии возбуждения электронов.
1.	Термоэлектронная эмиссия — испускание электронов нагретыми телами. Источником энергии возбуждения электронов является тепловая энергия. При Т < 0 часть электронов в результате взаимодействия с тепловыми колебаниями решетки переходит на более высокие энергетические уровни, в том числе и на уровни, на которых их энергия положительна. С этих уровней электроны могут быть эмиттированы телом.
2.	Фотоэлектронная эмиссия (фотоэффект) — испускание телом электронов при облучении его поверхности светом. Энергия возбуждения сообщается электронам электромагнитной волной (фотонами).
3.	Вторичная электронная эмиссия — испускание телом так называемых вторичных электронов при ударах о его поверхность первичных электронов. Источником энергии возбуждения электронов эмиттера в этом случае является кинетическая энергия первичных электронов. Воз-
Рис.
5.15
Статистическая физика и термодинамика
319
буждение происходит за счет кулоновского взаимодействия первичных электронов и электронов эмиттера.
Однако, эмиттер могут покидать не только те электроны, которые получили дополнительную энергию. Если вне эмиттера, вблизи поверхности имеется силовое поле (например электрическое), тянущее электроны от границы эмиттера, то энергия электрона вне эмиттера в этом поле будет убывать с увеличением расстояния до эмиттера.
Полная энергия электрона может быть записана следующим образом:
W=Wk + Wp (х),
где IV k (х) — кинетическая энергия электрона, Wp —-потенциальная энергия электрона во внешнем силовом поле в точке с координатой х (см. рис. 5.15). Если вблизи эмиттера существует однородное электрическое поле Е, то потенциальная энергия электрона в этом поле равна Wp (х) = -еЕ • х.
Тогда выражение для полной энергии электрона принимает вид:
W =	- еЕ • х.
2 mv
Отсюда следует, что при х > энергия электроду
нов вне эмиттера отрицательна, а при х > - она мень
ше, чем энергия Ферми (или равна ей). В этой области пространства, электрон может существовать с такой же полной энергией, какую он имеет, находясь в связанном состоянии в объеме эмиттера. Хотя эти области и разделены потенциальным барьером с Wp > W, однако, в соответствии с представлениями квантовой механики, электроны могут покидать эмиттер за счет туннельного эффекта (переход 2 на рис. 5.15). Такая разновидность электронной эмиссии называется туннельной эмиссией. Туннельная эмиссия обусловлена волновыми свойствами
электронов.
Типичным примером туннельной эмиссии является автоэлектронная эмиссия — испускание электронов поверхностью тела при наличии у поверхности сильного внешнего электрического поля (более 108 В/м). При автоэлектронной эмиссии невозбужденные электроны
320
Раздел 5
эмитера выходят в окружающее пространство путем туннелирования.
Для объяснения существования электронного газа внутри металла необходимо допустить наличие у границ металла некоторого силового поля, силы которого f (х) направлены внутрь металла и препятствуют выходу свободных электронов во внешнее пространство. Для того, чтобы выйти из металла, электрон должен совер-
шить работу против этих сил Ав = J f (х) • <1х. Эта работа о
называется работой выхода.
Иными словами, работа выхода равна скачку потенциальной энергии электрона на границе металла. Таким образом, электрон в металле находится внутри макроскопической потенциальной ямы (рис. 5.16). Находясь в этой яме, электроны обладают дискретным набором энергетических состояний. При температуре электронного газа Т — 0 все электроны занимают уровни энергии, не превышающие WF. Под работой выхода понимается наименьшая энергия, которую надо сообщить электрону для того, чтобы удалить его из металла, поэтому можно записать, что Ав = 0 — WF vljtsl Ав = -WF.
Такое определение работы выхода является достаточно приближенным, так как в квантовой теории металл не может быть представлен потенциальной ямой с гладким дном. Внутри металла потенциал поля, в котором находится электрон, является периодической функцией координат, определяемой структурой кристаллической решетки (см. рис. 4.54).
Физическая природа работы выхода определяется рядом факторов, важнейшими из которых являются следующие:
а)	при удалении одного из электронов из металла
оставшиеся в нем электроны окажутся в иных условиях, чем до удаления; это вызовет изменение их состояний и соответствующее изменение энергий, которое и произойдет за счет части работы выхода;
б)	эмиттированные электроны образуют вблизи поверхности металла отрицательно заряженный электри-
Рис. 5.16
Статистическая физика и термодинамика
321
ческий слой, который вместе с избыточным положительным зарядом ионов под поверхностью металла образует двойной электрический слой, поле которого тормозит проходящие сквозь него электроны. На преодоление этого поля также расходуется часть работы выхода;
в)	электрон, вышедший в вакуум, индуцирует на поверхности металла положительный заряд, работа по преодолению притяжения которого также является составляющей работы выхода.
Работа выхода для металлов имеет порядок нескольких эВ. Энергия же теплового движения сравнима с kT и при комнатной температуре составляет сотые доли эВ. Поэтому при комнатной температуре большинство электронов не в состоянии покинуть металл и электронная эмиссия весьма мала.
5.12.	ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
ТЕРМОЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ
Источником энергии возбуждения электронов при термоэлектронной эмиссии является сообщенная телу тепловая энергия. В результате возбуждения часть электронов переходит на более высокие энергетические уровни. Если энергия электронов на этих уровнях положительна и достаточна для совершения работы выхода, такие электроны могут покинуть тело и уйти в окружающее пространство.
Основной характеристикой термоэлектронной эмиссии является плотность тока насыщения эмиттера. Она пропорциональна максимальному количеству электронов, которое может быть эмиттировано с единицы площади эмиттера в единицу времени. Плотность тока насыщения зависит от природы эмиттера, состояния его поверхности и его температуры.
Найдем зависимость плотности тока насыщения от температуры эмиттера, считая, что эмиттируемые электроны в режиме тока насыщения представляют собой насыщенный пар. Электронный газ, так же как насыщенный пар атомов вещества, можно охарактеризовать концентрацией или давлением Р, которые зависят от температуры. В насыщенном паре существует динамическое равновесие между испаряющимися и конденсирующимися атомами. Электронный газ тоже может
11 Зак. >6 846
322
Раздел 5
находиться в равновесном состоянии с внешней поверхностью эмиттера. Равновесие возникает вследствйе того, что уход электронов приводит к возникновению положительного заряда на эмиттере. Силы притяжения электронов к положительно заряженному эмиттеру и обуславливают динамическое равновесие электронной атмосферы над поверхностью эмиттера.
В приближении электронной теории насыщенный электронный газ является идеальным одноатомным газом с максвелловским распределением скоростей. Электроны, проходящие за 1 секунду через единицу площади границы эмиттер-вакуум будут сосредоточены в объеме цилиндра с единичным основанием и длиной образующей, равной проекции средней скорости электронов на направление, перпендикулярное поверхности эмиттера. Поэтому их число будет равно
N = | • п  <и>,	(5-48)
где п — концентрация электронного газа, (и) — средняя скорость движения электронов. Коэффициент 1/6 учитывает полную хаотичность движения электронов, что в отношении частиц газа упоминалось в п. 5.7.
С учетом соотношения (5.48), а также выражения для средней . скорости молекул идеального газа (и) = ^8kT/nm0, суммарный заряд электронов, прошедших в единицу времени через единицу площади границы эмиттер-вакуум, т. е. плотность тока насыщения эмиттера = eN, определится' следующим соотношением:
Для определения концентрации электронов п в формуле (5.49) воспользуемся соотношением (5.13) из молекулярно-кинетической теории идеального газа:
»'£ = £•	(5.50)
где Р — давление электронного газа.
Q Давление электронного газа найдем, анализируя работу идеальной тепловой машины Карно (см. гл. 5.2). Считаем, что электронный газ в машине Карно образуется за счет эмиссии электронов из стенок цилиндра. Температура электронного газа
Статистическая физика и термодинамика
323
в цилиндре определяется количеством подведенной к нему теплоты. Образование газа в цилиндре возможно только тогда, когда тепловая энергия Q, подводимая от нагревателя, превышает общую работу выхода электронов из стенок цилиндра NA - Ав. Количество теплоты в расчете на один моль электронного газа:
где Qe (7) — количество теплоты, подводимое к образовавшемуся молю электронного газа.
Зависимость Qe(7) определяется теплоемкостью электронного газа при постоянном давлении ср:
Отсюда:
Qe(T) = ^RT
и, следовательно,
С}х = NA  Ав + RT.	(5.51)
По теореме Карно
dA dT
Qx Т '
Графически цикл рассматриваемой тепловой машины представлен на рис. 5.17. Работа, совершаемая за цикл, определяется его площадью dA = V  dP. Отсюда:
VdP/Qi = dT/T
или
dP _ Qi
dT VT ‘
Для моля идеального газа:
PV = RT.
Подставив это уравнение в (5.52), получим:
(5.52)
W=®±-dT
Р RT2 ‘
(5.53)
Подстановка (5.51) в (5.53) дает:
dP NaA, dT 5 dT
Р R	Т2 2 Т •
P-dP T-dT
Решая дифференциальное уравнение (5.54), найдем давление электронного газа:
Рис. 5.17
324
Раздел 5
Рис. 5.18
Р = С- Т*'г exp f-A-L (5.55) l Л1 j
где С — константа интегрирования.
Используя соотношения (5.49), (5.50) и (5.55), найдем искомую плотность электронного тока насыщения:
(5.56)
Здесь А — некоторая константа.
Полученная зависимость (5.56) показывает, что ток насыщения при термоэлектронной эмиссии сильно зависит от температуры катода. Поэтому, с изменением температуры катода вольт-амперная характеристика вакуумного диода изменяется, как это показано на рис. 5.18, где Т\ < Т2 < Т3.
5.13.	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ
Прохождение электрического тока через газ называется газовым разрядом.
Газы при нормальных условиях и при небольшой напряженности электрического поля почти не проводят электрический ток. Объясняется это тем, что при этом концентрация носителей тока — электронов и ионов — в газе чрезвычайно мала.
Электропроводным газ становится в том случае, если он ионизован. Ионизацией называется процесс приобретения электрического заряда нейтральными молекулами или атомами. Ионизация происходит в результате отрыва (или присоединения) от атома или молекулы газа одного или нескольких электронов. Для ионизации газу необходимо сообщить некоторую энергию. Эта энергия расходуется на разрыв внутриатомных связей между электронами и ядром атома.
Энергия, необходимая для отрыва электрона от атома, называется энергией ионизации. Эта энергия может быть сообщена непосредственно электрону атома фотоном ультрафиолетового, рентгеновского или радио
Статистическая физика и термодинамика
325
активного излучения. Источник излучения в этом случае носит название ионизатор, а процесс ионизации — фотоионизация.
Энергия, достаточная для ионизации, может быть сообщена наружным оболочкам атомов газа через посредство межмолекулярных или межатомных соударений, либо при соударениях с электронами и другими микрочастицами. Ионизация газа, происходящая при соударениях, называется ударной.
Соударения между молекулами газа происходят при любой температуре. При нормальных условиях в отсутствие сильных электрических полей соударения являются в основном упругими. В результате внутренняя энергия молекулы или атома остается неизменной. Это объясняется тем, что атом или молекула воспринимают энергию порциями, кратными энергии ионизации. Соударения являются упругими потому, что энергия сталкивающихся атомов в таких условиях меньше энергии ионизации. Лишь небольшое число «горячих» молекул, скорости которых значительно больше средней скорости, способны при нормальных условиях создать незначительное число ионов в газе. Эти ионы и определяют ту слабую электропроводность, которую газы обнаруживают при нормальных условиях и при невысоких напряженностях электрических полей.
Увеличить энергию межатомных соударений и тем самым активизировать ударную ионизацию в газе можно несколькими способами.
Во-первых, можно разогреть газ до высокой температуры, например, при помощи открытого пламени. Энергия хаотического теплового движения молекул возрастет, следовательно возрастет и энергия соударений. В результате число ионов в газе увеличится. Следовательно, источник высокой температуры также является ионизатором газа. Процесс ионизации газа под действием высокой температуры называется термической ионизацией.
Под действием различных ионизаторов газ становится электропроводным. Приложение к такому газу внешней разности потенциалов сопровождается возникновением газового разряда. Разряд, происходящий в газе под действием внешних ионизаторов, называется несамостоятельным. Прекращение действия ионизатора на газ приводит к исчезновению несамостоятельного газового разряда.
326
Раздел 5
Энергию межатомных соударений в газе можно увеличить, если разогнать электроны и ионы до достаточно высоких скоростей при помощи электрического поля. В результате станет возможной ударная ионизация при столкновении разогнанных полем электронов и ионов с нейтральными атомами или молекулами. При ударной ионизации газа электрическим полем становится возможным лавинообразное увеличение числа ионов — возникновение ионных лавин. Незначительное число ионов, существующих в газе при нормальных условиях, ускоряясь электрическим полем, сталкивается с нейтральными молекулами и создает на своем пути дополнительное число ионов. В результате суммарное число ионов растет, они вновь ускоряются электрическим полем и ионизируют нейтральные атомы на своем пути и т. д. Число ионов лавинообразно нарастает, что ведет к резкому возрастанию тока через газ и появлению так называемого самостоятельного газового разряда.
Если разряд в газе поддерживается самим электрическим полем, то его существование не зависит от воздействия на газ внешних ионизаторов. Разряд, существующий независимо от действия внешних ионизаторов, называется самостоятельным.
Одновременно с ионизацией в газе происходит и обратный процесс — объединение электронов и положительных ионов в нейтральные атомы или молекулы за счет кулоновского притяжения. Этот процесс называется рекомбинацией. При неизменном действии на газ внешнего ионизатора, процессы ионизации и рекомбинации находятся в динамическом равновесии — число ионизатщй равно числу рекомбинаций. Поэтому при несамостоятельном газовом разряде число ионов в газе постоянно и определяется только количеством энергии, поступающей от ионизатора.
Вольтамперная характеристика газового разряда приведена на рис. 5.19 При достаточно малой напряженности электрического поля, зависимость I (L7) подчиняется закону Ома. Далее, при достижении на разрядном промежутке напряжения Un ток разряда перестает зависеть от напряжения и наступает явление насыщения. Это явление объясняется тем, что все ионы, созданные ионизатором, достигают электродов и дальнейшее увеличение напряжения не увеличивает ток.
Статистическая физика и термодинамика
327
При напряжениях U 2: U„p напряженность поля в газе становится достаточной для образования ионных лавин. При этом ток в газе уже не зависит от действия внешнего ионизатора, разряд становится самостоятельным и ток резко возрастает. Напряжение начала самостоятель-
ного разряда называется напря-жением пробоя газа.	с*
Большую роль в газовом разряде играют процессы,
происходящие на электродах. Поверхности электродов во время разряда подвергаются непрерывной бомбардировке электронами и ионами. Удар положительного
иона о поверхность катода может привести к выбиванию одного или нескольких электронов. Число выбитых
электронов растет с увеличением энергии иона, ударяющегося о катод, и тем больше, чем меньше работа выхода электронов. Освобожденные электроны, ускоренные электрическим полем, способны вызвать на пути к аноду дополнительную ионизацию газа. Кроме того, эти электроны могут достигнуть анода. Достигнув анода, они к ионному току добавляют электронную составляющую тока, которая может составить значительную долю всего тока через газ. И наконец, при больших токах удары положительных ионов о катод приводят к сильному разогреву катода. В результате становится возможной термоэлектронная эмиссия, что также увеличивает количество электронов в газе, а следовательно дополнительно увеличивает ток разряда.
Возбужденные при ионизации атомы газа, возвращаясь в основное энергетическое состояние, излучают кванты света. Этим объясняется свечение газа при газовых разрядах. Спектральный состав (цвет) свечения обусловлен химической природой газа, через который проходит ток.
В зависимости от давления газа, конфигурации электродов и некоторых других параметров различают следующие типы газовых разрядов.
Тлеющий разряд — это ток через разряженный газ при высоких напряжениях. Ток обусловлен, главным образом, движением электронов и положительных ионов, i выбивающих электроны из катода. Разряд сопровожда-• ется свечением, причем светящийся столб газа разделен
328
Раздел 5
темвымя промежутками, в которых электроны разгоняются электрическим полем до скоростей, необходимых для ионизации. Свет излучают только те области разряда, в которых происходит ионизация. При ионизации электроны теряют свои скорости и далее вновь разгоняются до скоростей, достаточных для ионизации атомов газа, с которыми они сталкиваются, и т. д.
Дуговой разряд — возникает при атмосферном давлении. Характеризуется очень большими плотностями тока (-10® А/мм2). Напряжение на разрядном промежутке составляет 10—100 В. Температура газа достигает нескольких тысяч кельвинов, в связи с чем разряд характеризуется очень ярким свечением. Ток в дуговом разряде поддерживается за счет термоэлектронной эмиссии из катода и за счет термической ионизации газа.
Искровой разряд возникает при напряжении пробоя, характерном для данного газа. Разряд неустойчив. При искре в газе образуются электронные лавины, приводящие к образованию каналов с повышенной проводимостью — стримеров. В возникновении и поддержании искрового разряда заметную роль играет внутренняя фотоионизация. Возбужденные электронными лавинами атомы испускают фотоны, которые, двигаясь со скоростью света, обгоняют лавину и ионизируют атомы газа на пути распространения лавины.
Коронный разряд образуется при напряжениях, меньших напряжения пробоя, преимущественно в неоднородном электрическом поле. Представляет собой электронно-лавинные импульсы, повторяющиеся с частотой примерно 1О10 Гц. При напряжениях, близких к пробивному, коронный разряд состоит из стримеров, обрывающихся в местах, где напряженность электрического поля мала. Характеризуется слабым свечением.
5.14.	ПОНЯТИЕ О ПЛАЗМЕ
Плазмой называется в целом нейтральная система заряженных микрочастиц, в которой имеет место взаимное экранирование создаваемых частицами электрических полей на расстояниях, малых по сравнению с размерами системы. В зависимости от температуры плазма подразделяется на низкотемпературную и высокотемпературную. Низкотемпературная плазма имеет температуры порядка тысяч и десятков тысяч кельвинов,
Статистическая физика и термодинамика 329
а высокотемпературная — порядка миллионов кельвинов и более. Свойства плазмы существенно отличны от свойств обычных атомно-молекулярных газов, жидкостей и твердых тел. Поэтому плазма иногда рассматривается в физике как четвертое состояние вещества.
Плазма бывает равновесной и неравновесной. В равновесной плазме температуры ее электронной, ионной и нейтральной компонент одинаковы, а в неравновесной плазме температура электронов превышает температуры ионов и нейтральных частиц.
Плазма чрезвычайно широко представлена в космосе. Основная масса вещества во Вселенной находится в плазменном состоянии. Из плазмы образованы звезды во всех галактиках, из нее же, в основном, состоят межзвездные и межгалактические газы. Плазменное состояние звезд обусловлено протеканием в их недрах термоядерных реакций, инициированных гравитационным сжатием. Ионизация космического газа обусловлена воздействием излучения звезд.
Верхние слои земной атмосферы, образующие так называемую ионосферу, обеспечивающую на Земле возможность дальней радиосвязи, также представляют собой разновидность плазмы, создаваемой действием ультрафиолетовой части солнечного излучения. В результате сжатия плазмы в недрах Солнца возникают выбросы плазменных потоков в межпланетное пространство. Магнитные поля в этом пространстве захватывают выброшенную плазму в своеобразные магнитные ловушки и удерживают ее в этих ловушках. Такие наполненные плазмой ловушки находятся и около Земли, образуя так называемые радиационные пояса Земли. В результате возмущающего действия извергаемых из Солнца плазменных потоков на околоземную плазму, на Земле возникают магнитные бури, нарушения радиосвязи и северные сияния. Предполагается также, что ядро Земли находится в состоянии плазмы чрезвычайно высокой плотности и давления.
Плазма находит весьма широкое применение в современной науке и технике. Так, с высокотемпературной плазмой связана перспектива осуществления управляемых термоядерных реакций (см. п. 4.86). Решение этой проблемы позволит создать новую форму энергетики, отличающуюся от нынешних форм экологической приемлемостью.
330
Раздел 5
Низкотемпературная плазма широко применяется в ряде технологий. Например, резка и плавка металлов, нанесение жаростойких покрытий, обработка диэлектрических материалов и многие другие применения. Получила' развитие также новая отрасль химических производств — плазмохимия органических и неорганических веществ. Для получения плазмы с температурами от 5000 К до 50 000 К, используемой в технологических процессах, применяются так называемые плазмотроны. В них плазма создается посредством разных видов электрических разрядов.
В космических летательных аппаратах применяются плазменные электрореактивные двигатели, в которых действием бортовых источников электроэнергии образуется и ускоряется плазма, истечение которой из сопла двигателя создает реактивную тягу. При этом достигаются скорости истечения, значительно большие, чем в обычных реактивных двигателях.
Известно, что для увеличения КПД тепловых машин надо осваивать температурный интервал от 3 • 103 К до 5  103 К. При таких температурах становится невозможным применение машин с механически движущимися твердотельными элементами. Поэтому создан новый тип тепловых машин, называемых магнитогидродинамическими (МГД) генераторами. В них посредством нагревания создается плазменная струя, направляемая в магнитное поле. При прохождении струи через это поле электроны и ионы отклоняются в противоположные стороны и воспринимаются электронным и ионным коллекторами. В результате между этими коллекторами возникает и поддерживается разность потенциалов, создающая электрический ток в подсоединенной к генератору внешней цепи.
В некоторых технологиях применяются высоковольтные импульсные разряды большой мощности в жидких средах. При таких разрядах образуется плотная плазма высокого давления, создающая в окружающей среде ударные волны, характеристиками которых можно управлять путем изменения параметров разрядного контура. Эти ударные волны используются в технологических целях. Например, с их помощью производится очистка металлического литья от формообразующего грунта, развальцовка труб в теплообменных аппаратах, штамповка изделий сложной формы, дробление твердых
Статистическая физика и термодинамика
331
тел и так далее. Такие технологические применения называются электрогидравликой.
Рассмотрим некоторые свойства плазмы. Допустим, что в некотором элементе объема плазмы произошло локальное разделение положительных и отрицательных зарядов. Тогда в этом элементе и в его окрестности возникло электрическое поле, создающее электрический ток. Плотность этого тока / связана с изменением плотности заряда р известным законом сохранения заряда, выражающим тот факт, что изменение заряда в объеме проводящей среды равно заряду, перемещенному через границу этого объема проходящим током:
& + divj = O.	<5-57)
dt 1
Допустим, что разделение зарядов и электрический ток обусловлены перемещением только электронов, а ионы вследствие их намного большей массы, а следовательно меньшей подвижности, в этих процессах участия не принимают.
Запишем второй закон Ньютона для движения электрона в электрическом поле, возникшем вследствие разделения зарядов:
т %- = -еЕ.	(5.58)
at
Учитывая связь между плотностью электронного тока и зарядом электрона j = —nev, продифференцируем (5.57) по времени и затем подставим в него (5.58). Получим:
4 = -^'div£.	<5-59)
dt2 m
Используя дифференциальную форму теоремы Гаусса-Остроградского div Е = p/e0, приведем (5.59) к виду:
. р = о.	(5.60)
dt2 тев
Как известно, уравнение (5.60) представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой:
Следовательно, разделение зарядов в плазме, то есть локальное нарушение квазинейтральности плазмы,
332
Раздел 5
приводит к колебаниям плотности заряда. Эти колебания плотности заряда обусловлены колебательными движениями электронов под действием полей, создаваемых разделенными зарядами и изменяющихся при перемещении электронов. Частота (5.61) таких колебаний называется плазменной или ленгмюровской частотой. При усреднении свойств плазмы за времена т » 2я/<опл эти колебания можно не учитывать и считать плазму квази-нейтральной.
В плазме существует много различных типов колебаний, особенно если она находится в магнитном поле. Рассмотренные выше плазменные колебания являются простейшими из них.
Заряженная частица в плазме создает поляризацию окружающего ее слоя плазмы. В результате в этом слое превалируют частицы с противоположным знаком заряда, которые экранируют поле поляризующей частицы. Так, вокруг положительного иона возникает избыток экранирующего электронного заряда. Результирующий потенциал <р (г) в области экранирования определяется дифференциальным уравнением Дебая Д<р -	• ф = О,
где ге — заряд экранируемого иона, k — постоянная Больцмана. Решение этого уравнения имеет вид:
Ф(г) = -^ехр(-^|, 4ле0г I rD I
где г0 — радиус иона. Величина rD называется радиусом Дебая, дебаевской длиной, длиной электростатического экранирования и выражается как:
(5.62)
являясь мерой расстояния, на котором экранируются поля заряженных частиц в плазме. Дебаевская длина также определяет глубину проникновения в плазму внешних электрических полей и толщину переходного слоя на границе плазмы, падение потенциала в котором препятствует уходу электронов из плазмы.
Электроны в плазме, как и в металлических кристаллах, совершают беспорядочное хаотическое движе
Статистическая физика и термодинамика
333
ние, на которое при включении внешнего электрического поля накладывается направленный электронный дрейф. Этот дрейф и представляет собой ток в плазме, ибо вклад ионов в ток весьма мал вследствие того, что их массы намного больше масс электронов.
Формула для удельной проводимости плазмы при полной однократной ионизации имеет такой же вид, как и для проводимости металлов:
пе2 т0
(5.63)
где те1 — время между последовательными рассеиваниями электрона на ионах. Это время для плазмы выражается значительно сложнее, чем для металлов, по двум следующим причинам. Во-первых, электронный газ в металлах является вырожденным и описывается статистикой Ферми-Дирака (см. п. 5.50). В не очень плотной плазме электронный газ не вырожден и описывается статистикой Максвелла—Больцмана (см. п. 5.52 и 5.53). Поэтому в металлах беспорядочное движение электронов не является тепловым и от температуры почти не зависит. В плазме же такое движение является тепловым и существенно зависит от температуры. Во-вторых, на движение электронов в плазме оказывает влияние электростатическое экранирование ионных полей. В результате для тЛ получается следующее выражение:
32У2тГ  Sqm1'2 (kT)3'2 пе* • In Л
(5.64)
где
Л =	= 12nnd>
чп е
Величина In Л называется кулоновским логарифмом, она характеризует влияние электростатического экранирования ионных зарядой на рассеяние электронов. Подставив (5.64) в (5.63), получаем формулу для удельной проводимости электронно-ионной плазмы при однократной ионизации:
_ 32^2?  е„ (kT)3'2 тУгег-1пЛ '
(5.65)
334
Раздел 5
Отметим две особенности этой формулы. Проводимость плазмы не зависит от концентрации электронов и ионов. Увеличение концентрации, с одной стороны, увеличивает число носителей тока, но, с другой стороны, увеличивает частоту их рассеяния. Проводимость плазмы сильно зависит от температуры электронной компоненты, что обусловлено убыванием эффективного сечения рассеяния электронов на ионах при возрастании энергии электронов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Что такое термодинамическая система?
2.	Чем разнятся термодинамический и статистический методы изучения свойств макросистем?
3.	Какие системы называются изолированными?
4.	Какие термодинамические параметры являются функциями состояния?
5.	Какие состояния называются стационарными (равновесными)?
6.	Какие процессы называются равновесными?
7.	Что такое уравнение состояния? Запишите и поясните уравнение состояния идеального газа.
8.	Какие процессы являются изотермическими, изобарическими, изохорическими? Приведите и поясните законы, которым подчиняются приведенные изопроцессы.
9.	Какой газ называется идеальным? Опишите атомно-молекулярную модель идеального газа.
10.	Что такое средняя квадратичная скорость молекул?
11.	Приведите и поясните основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.
12.	В чем смысл абсолютной температуры с точки зрения молекулярно-кинетической теории?
13.	Какие явления называются явлениями переноса? Какие явления переноса вы знаете?
14.	Что такое диффузия? Запишите и поясните первый закон Фика.
15.	Опишите процесс диффузии в газе.
16.	Опишите процесс диффузии в твердых телах.
17.	Что такое теплопроводность? Запишите и поясните закон Фурье.
18.	Опишите процесс теплопроводности в газе.
Статистическая физика и термодинамика
335
19.	Опишите процесс теплопроводности в твердых телах.
20.	Что такое вязкость? Запишите и поясните закон Ньютона для вязкости.
21.	Каков механизм вязкости с точки зрения молекулярно-кинетической теории?
22.	Опишите температурную зависимость коэффициента диффузии в твердых телах
23.	Каковы условия возникновения тока в вакууме?
24.	Опишите, какими образом в межэлектродном пространстве вакуумного диода возникает потенциальный барьер.
25.	Чем объясняется явление насыщения тока в вакуумном диоде?
26.	Как распределена напряженность электрического поля в межэлектродном пространстве вакуумного диода:
а)	в режиме тока насыщения;
б)	в режиме ограничения тока объемным зарядом;
в)	в переходном режиме?
27.	Каким законом описывается зависимость плотности тока вакуумного диода от напряжения?
28.	Что такое электронная эмиссия? Виды электронной эмиссии.
29.	Физическая природа работы выхода.
30.	Что такое термоэлектронная эмиссия? Какова зависимость электронного тока насыщения от температуры катода?
31.	Что такое газовый разряд?
32.	Что такое ионизация; рекомбинация; энергия ионизации?
33.	Каковы механизмы и типы ионизации молекул в газовом разряде?
34.	Опишите несамостоятельный и самостоятельный газовые разряды. Что называется напряжением пробоя?
35.	Опишите типы самостоятельных газовых разрядов.
36.	Что такое плазма?
37.	Что такое дебаевская длина?
38.	От чего зависит проводимость плазмы?
39.	Какими свойствами обладает плазма? Где плазма встречается в природе и каковы её технические применения?
Глава 5.2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
5.15. НЕРАВНОВЕСНОСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ. КВАЗИРАВНОВЕСНЫЕ
И КВАЗИОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ
Уже отмечалось (см. п. 5.2), что термодинамический процесс, все промежуточные состояния которого равновесны, является равновесным. Строго равновесные процессы в макроскопических системах принципиально невозможны. Причина этого в следующем. Всякий термодинамический процесс — это изменение состояния системы. Любые изменения состояний во всех макроскопических системах распространяются с конечными скоростями и потому не могут мгновенно охватывать всю систему. В результате возникает ситуация, при которой одна часть системы уже изменила свое состояние, а до другой волна изменения состояния еще не дошла. Естественно, что между такими частями в принципе не может быть равновесия. В качестве примера рассмотрим процесс сжатия газа движущимся в цилиндре поршнем (рис. 5.20, а).
В начальный момент движения сжатию подвергнут лишь тонкий слой газа, непосредственно прилегающий к поршню (на рис. 5.20 оттенен значками +). Образовавшийся при этом перепад плотности и давления создает волну сжатия, распространяющуюся по газу со звуковой или сверхзвуковой скоростью «ся». Перед фронтом этой волны газ находится еще в старом, несжатом состоянии, а за фронтом — в новом, сжатом состоянии. Пока поршень движется, он своим воздействием на прилегающий к нему газ поддерживает волну сжатия. Достигнув дна цилиндра, эта волна отражается от него, и отраженная волна, распространяясь навстречу поршню, создает добавочное уплотнение газа. Аналогичная ситуация возникает и при отражении этой волны от поршня. Таким образом, процесс сжатия газа движущимся поршнем сопровождается непрерывным образованием неравновесностей в форме перепадов плотности и давления на фронтах
Статистическая физика и термодинамика
337
волн сжатия. Очевидно, что если рассматривать процесс расширения газа при выдвигании поршня из цилиндра, то, в принципе, картина будет аналогичной, только вместо избыточного уплотнения газа у поршня будет избыточное разрежение и вместо волн сжатия по газу будут распространяться волны разрежения. Аналогичная ситуация имеет место и в системе с электрическими зарядами. Рассмотрим, например, тело с зарядом q, создающим в окружающем пространстве электрическое поле. Допустим, что этот заряд увеличен на dq. Новой величине заряда соответствует новое поле с большей напряженностью. Перестройка поля происходит не мгновенно и осуществляется следующим образом. От заряженного тела по окружающему его электрическому полю распространяется со скоростью света «с» электромагнитная волна, несущая электромагнитный импульс перестройки поля. Перед фронтом этой волны поле еще в старом состоянии, соответствующем заряду q. За фронтом поле в новом состоянии, соответствующем новому заряду q + dq.
Рассмотренная в приведенных примерах ситуация является общей закономерностью материального мира, не имеющей исключений. Протекание любого термодинамического процесса в любой макроскопической системе обязательно сопровождается возникновением неравновесностей и причина этого — в конечной скорости распространения изменений состояния.
А теперь рассмотрим еще одну общую закономерность материального мира. Если в какой-либо системе возникла неравновесность, то в этой системе самопроизвольно инициируются внутренние процессы, направленные на устранение возникшей неравновесности. Такие процессы называются релаксационными, а устранение неравновесностей
Рис. 5.20
338
Раздел 5
их действием называется релаксацией. В примерах со сжатием и расширением газа при движениях поршня релаксационные процессы представлены волнами сжатия и разрежения, а в примере с изменением величины заряда — электромагнитным импульсом перестройки поля. В большинстве случаев в роли релаксационных процессов выступают: волны сжатия и разрежения, электромагнитные волны, тепловые и диффузионные потоки, волны химических реакций и фазовых превращений, вязкий перенос импульса между слоями газа или жидкости при наличии градиента скорости и некоторые другие физические процессы.
Таким образом, протекание всякого термодинамического процесса сопровождается взаимодействием двух противоположных тенденций. С одной стороны, сам термодинамический процесс создает неравновесности, с другой стороны, релаксационные процессы направлены на их устранение. В таких условиях степень развития неравновесностей определяется соотношением скоростей их образования и устранения. Термодинамические процессы, в ходе которых возникающие неравновесности ие получают заметного развития за счет действия релаксационных процессов и потому пренебрежимо малы, называются квазиравновесными или квазиста-тическими процессами. Очевидно, что такими будут достаточно медленно протекающие процессы.
Далее введем весьма важное в термодинамике понятие обратимого процесса. Существуют два эквивалентных определения этого понятия. Обратимым называется процесс, который может быть проведен в прямом и обратном направлении без остаточных изменений в окружающей среде. Или, что то же самое — обратимым называется процесс, который может быть проведен в прямом и обратном направлении через одну и ту же совокупность промежуточных состояний. В этом случае не будет остаточных изменений в окружающей среде.
Условием обратимости является равновесность процесса. Действительно, в каждом промежуточном состоянии равновесного процесса система находится не только во внутреннем равновесии, но и в равновесии с внешними условиями. Например, при равновесном сжатии газа поршнем в любой момент времени давление и температура газа должны быть равны давлению и температуре ч поршня и стенок цилиндра. Поэтому путем изменения
Статистическая физика и термодинамика
339
внешних условий в обратном порядке можно, проведя систему через те же промежуточные состояния, вернуть ее в исходное состояние. Наоборот, если в прямом процессе было хотя бы одно неравновесное состояние, при обратном процессе оно, в принципе, не может быть реализовано в том же виде, и потому процесс будет необратимым. Причина этого в том, что характер неравновес-ности определяется направлением процесса и при обратном процессе характер неравновесности противоположен по сравнению с прямым процессом. Например, если при сжатии газа неравновесности представлены избыточным уплотнением газа вблизи поршня, то при расширении газа они представлены, наоборот, разрежением газа.
Итак, полностью обратимыми могут быть только строго равновесные процессы. Но, как уже отмечалось, строго равновесные процессы в макроскопических системах принципиально невозможны. Следовательно, полностью обратимые процессы в макроскопических системах также принципиально невозможны. В реальных условиях оказываются возможными лишь близкие к равновесным, т. е. квазиравновесные процессы. Естественно, что они близки и к обратимым процессам и потому называются квазиобратимыми процессами.
Подчеркнем, что все результаты, получаемые в обычной термодинамике и выражаемые соотношениями со знаками равенства, относятся только к равновесным обратимым процессам. Результаты, получаемые в обычной термодинамике для неравновесных необратимых процессов, выражаются только соотношениями со знаками неравенства. Поэтому обычную термодинамику называют термодинамикой равновесных процессов или термодинамикой обратимых процессов. Очевидно, что в практическом аспекте эта термодинамика применима только к квазиравновесным и, соответственно, квазиобратимым процессам. Поэтому, прежде чем применять уравнения обычной термодинамики, надо путем анализа изучаемых процессов убедиться в их принадлежности к этому классу.
За последние десятилетия создана и получила широкое развитие так называемая термодинамика необратимых процессов. Ее математическая сторона значительно сложнее, чем у обычной термодинамики. Но она позволяет получать уравнения и количественные результаты для процессов с любой степенью неравновесности и необратимости.
340
Раздел 5
5.16. РАБОТА И ТЕПЛОТА КАК ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМЫ ОБМЕНА ЭНЕРГИЕЙ В ТЕРМОДИНАМИКЕ
В большинстве случаев рассматриваемые в термодинамике системы не являются изолированными и взаимодействуют с окружающей средой. Обычно такое взаимодействие сопровождается обменом энергией. Существует множество различных конкретных способов такого обмена. В термодинамике все эти способы подразделяются на две обобщенные формы — работу и теплоту. В основе этого подразделения лежит понятие о внешних параметрах системы. Внешними параметрами системы называются величины, определяющие положение и состояние внешних тел, с которыми взаимодействует система. Если на систему действуют внешние макроскопические поля, то в состав внешних параметров входят характеристики этих полей. Наряду с внешними параметрами вводится также понятие о внутренних параметрах системы. Внутренними параметрами называются величины, являющиеся функциями координат и импульсов молекул, образующих систему. Внешние параметры влияют на состояние системы и, следовательно, на значения ее внутренних параметров. Приведем несколько простых примеров.
Газ, заключенный в сосуд и подверженный действию силы тяжести. Здесь внешними параметрами являются величины, характеризующие положения стенок сосуда и, стало быть, определяющие объем газа, а также напряженность поля тяготения. Внутренними параметрами газа будут давление и плотность, которые в условиях действия силы тяжести являются функциями координат.
Твердое тело, подвергнутое упругой деформации. К числу внешних параметров добавляются величины, характеризующие деформации (удлинение, сдвиг, угол закручивания и т. д.), а к числу внутренних параметров — внутренние напряжения, обусловленные деформациями.
Диэлектрик в электрическом поле. Соответствующий внешний параметр — напряженность поля, внутренний параметр — электрический момент диэлектрика. Для магнетика в магнитном поле, соответственно, напряженность магнитного поля и магнитный момент магнетика.
Подчеркнем, что внешние параметры являются макроскопическими характеристиками и потому их изменение всегда обусловлено изменением макроскопической обстановки, в которой находится изучаемая система.
Статистическая физика и термодинамика
341
Теперь перейдем к термодинамическому определению понятия работы и к примерам ее математического выражения.
Работой называется обобщенная форма обмена энергией между системой и окружающей средой, в основе которой лежит изменение внешних параметров системы. При этом принято считать работу положительной, если она совершается самой системой над ее окружением, и отрицательной, если она совершается внешней средой над системой. Из приведенного определения следует, что работа является макроскопической формой обмена энергией, поскольку она совершается при макроскопических изменениях обстановки.
Универсальным выражением работы является:
dA = Ydy.	(5.66)
Величины типа У называются обобщенными силами, а величины типа у — обобщенными координатами, соответствующими этим силам. Обобщенные силы иногда называют интенсивными величинами, а обобщенные координаты — экстенсивными величинами. Такая терминология обусловлена тем, что интенсивные величины характеризуют воздействующие факторы, действием которых и совершается работа, а экстенсивные величины характеризуют изменения, создаваемые этими факторами. Заметим, что интенсивные величины не зависят от массы системы, а экстенсивные от нее зависят.
Как известно, элементарная работа расширения любого тела выражается в виде:
dA = PdV,
где Р — давление тела на окружающую среду, dV — изменение объема тела. В этом случае в качестве обобщенной силы выступает давление газа Р, в качестве обобщенной координаты — объем V.
Приведем два примера получения выражений вида (5.66). При внесении диэлектрика в электрическое поле он поляризуется и при этом совершается работа поляризации, элемент которой нам и надо выразить, используя известные формулы электростатики. Плотность энергии электрического поля в диэлектрике выражается для линейного изотропного диэлектрика следующим образом:
_	(Д, Д)	(5.67)
342
Раздел 5
Откуда с учетом формулы D = еое£ получим:
ctae=*£0€(E, dE) = (E, dD).	(5.68)
Так как для изотропного вещества D = EqE + Pe (2.89), то:
бК = £о£(Е. dE) + (Е, dPE),	(5.69)
где РЕ — вектор поляризации, определяемый как вектор плотности электрического момента диэлектрика. Произведение (Е, dD) выражает энергию, затраченную источниками поля на поляризацию единицы объема диэлектрика и на возбуждение поля Е в диэлектрике. Величины (Е, dPe) и е0 (£, dE) — составляющие указанной энергии. Первая из них — это энергия поляризации, вторая — энергия возбуждения поля Е (см. п. 5.70). Таким образом, общая работа, связанная с поляризацией диэлектрика и с возбуждением поля в диэлектрике, отнесенная к единичному объему, равна:
dAi = (E, dD).	(5.70)
Работа, связанная только с поляризацией, равна:
dAj = (E, dPE).	(5.71)
При однородной поляризации PEV - РЕ, где V — объем диэлектрика, Ре — его электрический момент. Поэтому для диэлектрика в целом работа поляризации выражается как
<2А = (£, dPE).	(5.72)
В этом примере в качестве обобщенной силы выступает напряженность электрического поля Е, а в качестве обобщенной координаты электрический момент диэлектрика !Ре.
В качестве второго примера выразим работу намагничивания ферромагнетика при его внесении в магнитное поле. Плотность энергии магнитного поля в магнетике выражается как:
_ МоцН2 _ (Я, В)	(5.73)
2	2
Откуда с учетом формулы В = цоцН получим (для линейного изотропного магнетика):
d<om = pop(H, dH) = (H, dB).
Поскольку В — ЦдН + Цо^т» то
Статистическая физика и термодинамика
343
d(0m = n0(H,' dH) + ixv(H, dPm), (5.74) где Рт — величина вектора намагничивания, имеющая смысл плотности магнитного момента магнетика. Члены в правой части полученного выражения имеют такой же смысл, как и в случае электрической поляризации. Поэтому второй член выражает работу намагничивания единицы объема магнетика:
dAy = [i0(H, dPm).	(5.75)
Поскольку при однородном намагничивании PmV = !Рт, где Рт — магнитный момент магнетика, то работа намагничивания магнетика в целом выражается в виде
dA = Цо (Н, d!Pm).	(5.76)
В этом примере в качестве обобщенной силы выступает напряженность магнитного поля Н, а в качестве обобщенной координаты магнитный момент магнетика Рт.
Теперь дадим определение понятия теплоты. Теплотой называется форма обмена энергией между системой и окружающей средой, в основе которого лежит прямое взаимодействие между молекулами системы и молекулами среды и который не сопровождается изменением внешних параметров. Из этого определения Следует, что теплота является микроскопической формой обмена энергией, ибо при этом отсутствуют изменения макроскопической обстановки.
Заканчивая, обратим внимание на известный весьма важный факт: работа и теплота — не виды энергии, а формы ее обмена.
5.17.	ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
Первый принцип термодинамики отражает специфическую форму закона сохранения энергии. Приводим общую формулировку закона сохранения и превращения энергии в естествознании: энергия не создается из ничего и не исчезает бесследно, а только превращается из одного вида в другой.
Кратко коснемся философских аспектов этого закона. Напомним, что все изменения, превращения и процессы в философии называются движениями материи. О разных видах процессов, например, о механических движениях, тепловых процессах, электромагнитных явлениях, ядерных превращениях и так далее, говорят как о качественно различных формах материального движения.
344
Раздел 5
Энергия в философии определяется как общая мера различных форм материального движения. В соответствии с этими понятиями закон сохранения и превращения энергии формулируется в философии следующим образом: при взаимных превращениях качественно различных форм материального движения количественная мера этого движения — энергия остается неизменной.
Закон сохранения и превращения энергии, сформулированный с учетом того, что в термодинамике все способы обмена энергией между системой и окружающей средой подразделены на работу и теплоту, называется первым принципом термодинамики. Приводим формулировку этого принципа, состоящую из двух частей.
1.	Теплота, переданная системе, и работа, совершенная над системой, направлены на изменение внутренней энергии системы.
2.	При переходе системы между двумя состояниями изменение внутренней энергии не зависит от вида процесса, посредством которого произведен этот переход.
Первая часть формулировки выражается соотношением
dQ = dWв + dA.	(5.77)
Это соотношение имеет следующий смысл: теплота dQ переданная системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии dWB и на совершение системой работы dA над окружающей средой.
Внутренняя энергия системы представляет собой разность между ее общей энергией, связанной с движением и взаимодействием, и энергией системы как макрообъекта. Внутренняя энергия включает энергию, связанную со всеми движениями и взаимодействиями частиц системы, а если эти частицы являются сложными, то и их частей. Для идеального газа внутренняя энергия системы равна сумме кинетических энергий ее частиц, так как они не взаимодействуют между собой и бес-структурны. Согласно выражению (5.16), внутренняя энергия идеального газа равна
WB = n<W$> = j nkT,
где п — число частиц газа. В более общем представлении
WB = i nkT,	(5.78)
Статистическая физика и термодинамика
345
где i — число степеней свободы частиц газа. Для моля газа (n = NA):
WD = ^NAkT.
Видно, что если газ не совершает работу, т. е. если объем газа не изменяется, то для нагревания одного моля газа на 1 градус Кельвина должна быть затрачена энергия, равная (i/2) NAk = (i/2) R. Эта энергия определяет молярную теплоемкость идеального газа cv ~ (i/2) R. Напомним, что молярная теплоемкость газа при постоянном давлении равна сР = cv + R = ((i + 2)/2) R.
В связи со второй частью формулировки введем важное в термодинамике понятие функций состояния. Функциями состояния называются величины, изменение которых при переходе системы между состояниями не зависит от способов этих переходов, то есть от вида переходных процессов. Тогда вторую часть формулировки можно изложить так: внутренняя энергия является функцией состояния системы. Что касается работы и теплоты, то они существенно зависят от способов перехода между состояниями и потому не относятся к функциям состояния.
В п. 5.26 будет показано, что бесконечно малые изменения функций состояния представляют собой полные дифференциалы, а изменения величин, не являющихся функциями состояния, полными дифференциалами не являются. Следовательно, в записи первого принципа термодинамики (5.77) dWB — полный дифференциал, а dQ и dA — просто бесконечно малые значения теплоты и работы, не являющиеся полными дифференциалами.
5.18.	АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС.
УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
Адиабатическим называется процесс без теплообмена между системой и окружающей средой.
Существуют два способа проведения таких процессов. Первый способ состоит в том, что система помещается в теплоизолирующую оболочку. Второй способ — быстрое проведение процесса. В большинстве случаев теплообмен протекает сравнительно медленно, и если термодинамический процесс осуществляется достаточно быстро, то за время его протекания теплообмен оказывается незначительным и им можно пренебречь. Например, сжатия и растяжения элементов среды в поле акустической волны
346
Раздел 5
происходят довольно быстро и заметный теплообмен между элементами не успевает произойти. Поэтому при выводе уравнений акустики принимается адиабатичность изменения состояния среды в поле волны (см. п. 3.18). Еще один пример: разлет продуктов детонации взрывчатых веществ происходит с весьма большой скоростью, и теплообмен между ними и внешней средой оказывается очень незначительным. Поэтому в числе уравнений газовой динамики, описывающих разлет этих продуктов, содержится уравнение адиабатического процесса.
Поскольку при адиабатическом процессе dQ = 0, то первый принцип термодинамики принимает вид:
dWB + dA = G, dA = -dWB.	(5.79)
Последнее соотношение означает, что при адиабатическом процессе работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы. Поэтому, если адиабатическую работу совершает система над внешней средой, то внутренняя энергия системы убывает на величину совершенной работы, и ее температура, соответственно, уменьшается. Таким путем могут быть достигнуты очень низкие температуры. Например, последним этапом в получении сверхнизких температур в непосредственной близости к абсолютному нулю является этап адиабатического размагничивания (п. 5.77).
Если адиабатическая работа совершается внешней средой над системой, то внутренняя энергия системы возрастает на величину совершенной работы и, соответственно, увеличивается температура системы. Увеличение температуры может быть очень большим, и потому этот метод используется для исследований свойств газов при очень высоких температурах и очень больших плотностях. Для этого применяются установки типа, изображенного на рис. 5.21.
В цилиндре пушечного ствола помещается снаряд-поршень (заштрихован), с одной стороны которого находится исследуемый газ, а с другой стороны — недетонирующее взрывчатое вещество (В. В.), например, порох. После взры
ва этого вещества снаряд-поршень приходит в движение с очень большой скоростью и адиабатически сжимает
Исследуемый газ		в.в.
Рис. 5.21
исследуемый газ. В результате достигаются температуры до сотен тысяч кель
винов.
Статистическая физика и термодинамика
347
Выведем уравнение для адиабатического процесса с идельным газом. Запишем соотношение (5.79) с учетом того, что для идеального газа dA = PdV, = — cvT, И dWB = CydT'. p
- cvdT + PdV = 0,	(5-8°)
P
где cv — молярная теплоемкость при постоянном объеме.
Выразив из уравнения состояния идеального газа (5.1) PV = — RT произведение — dT, подставив это р	Р
выражение в (5.80) и используя формулу Майера Су + R = сР, получим:
сР  PdV + cv  VdP= 0.
Разделив это соотношение на cvPV и введя обозначение с₽ — = у, получим:
что после интегрирования дает так называемое уравнение Пуассона:
РУ = const.	(5.81)
Величина у называется адиабатической постоянной, ее значение зависит от числа степеней свободы молекул i: T = £f = i±2>l.
' cv I
Комбинируя уравнение Пуассона, записанное в форме (5.81), и уравнения состояния идеального газа, получим еще две формы уравнения Пуассона:
TV 1 = const, —= const.	(5.82)
Р*Т
5.19.	РАБОТА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПРИ ИЗОПРОЦЕССАХ И ПРИ АДИАБАТИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ
В этом параграфе рассматриваются примеры на вычисление работы в изопроцессах с помощью первого начала термодинамики (5.77).
Рассмотрим идеальный газ, способный производить работу расширения dA = PdV.
348
Раздел 5
При изохорическом процессе V = const и, следовательно, работа dA = 0. Первый принцип термодинамики (5.77) принимает вид: dQ = dWB = — CydT, то есть вво-р димая при изохорическом процессе теплота полностью идет на увеличение внутренней энергии.
При изобарическом процессе Р = const работа выражается в виде:
А = $ PdV = Р $ dV = Р (К2 - Vj). (5.83)
Введенная теплота dQ и изменение внутренней энергии dWB при этом выражаются в виде:
dQ = — CfdT, dWB = CydT. р	Р
При изотермическом процессе Т = const изменение внутренней энергии идеального газа dWB = — CydT = 0, и первый принцип термодинамики принимает вид dQ = dA. Это значит, что вся вводимая в газ теплота полностью превращается в работу. Следовательно, идеальный газ при изотермическом расширении выступает как идеальный преобразователь теплоты в работу. Выведем формулу для изотермической работы газа. При этом используем уравнение состояния и уравнение Бойля-Мариотта PV = const. В итоге получим:
*2	*2
А = 5 PdV = -RT^^- = у,	Р Vlv
= - RT • In = — RT  In .	(5.84)
Ц	р
Далее рассмотрим работу при адиабатическом процессе. Напомним, что из соотношения (5.79) следует, что адиабатическая работа совершается за счет внутренней энергии. Интегрируя это соотношение и подставляя затем выражение для внутренней энергии идеального газа, получим:
А = WBi - W,i2 = ^cv (Л - Т2).	(5-85)
р
С помощью уравнения Пуассона (5.82) преобразуем (5.85) к виду:
Статистическая физика и термодинамика
349

В заключение получим третью формулу для адиабатической работы путем видоизменения формулы для внутренней энергии идеального газа с помощью уравнения состояния:
WB = — cvT = PV =	 PV = -^К.
в и v Я cP-cv у-1
Откуда:
a = wb1-wB2^-^
(Р^ - Р2У2).
В связи с этой формулой обратим внимание на один физический момент. Чем ближе адиабатическая постоянная у к единице, тем больше совершаемая газом работа. Известно, что у тем ближе к единице, чем больше число степеней свободы у молекул газа. Такая ситуация обусловлена тем, что энергия для адиабатической работы отбирается от молекулярных степеней свободы и чем больше этих степеней, тем больше энергии направляется на совершение работы.
5.20.	ЗАМКНУТЫЕ ПРОЦЕССЫ. ЦИКЛ КАРНО.
КПД ТЕПЛОВЫХ МАШИН
В термодинамике и теплотехнике большую роль играют замкнутые циклические процессы, после завершения которых система возвращается в исходное состояние. Эта роль обусловлена тем, что машинами непрерывного действия могут быть только циклично работающие машины.
Тепловые машины подразделяются на тепловые двигатели и холодильные установки. В принципиальном отношении работа тепловой машины может быть сведена к взаимодействию трех элементов: нагревателя, холодильника и рабочего тела. Тепловые двигатели предназначены для преобразования теплоты в работу. При выполнении цикла рабочее тело получает от нагревателя теплоту Qi, отдает холодильнику теплоту Q2 и разность этих теп-лот преобразуют в полезную работу А = Q, - Q2. (см. рис. 5.22).
350
Раздел 5
О,
Qi — Q2 /^~\А
А
А — О, — С?2
Рис. 5.22
Рис. 5.23
Эффективность двигателя характеризуется его коэффициентом полезного действия, определяемым как отношение полезной работы к полученной теплоте:
_ -А _ Qi Q2
1 Qi Qi *
(5.86)
Холодильные установки предназначены для производства холода. При выполнении цикла рабочее тело забирает от холодильника теплоту Qz, получает из внешней среды работу А и передает нагревателю теплоту <?! А + А (рис. 5.23). В большей части случаев роль холодильника для двигателей и роль нагревателя для холодильных установок играет окружающая среда.
При наличии одного нагревателя и одного холодильника может быть выполнено множество различных циклов. В этом множестве находится один цикл, играющий особую роль. Это — цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат (см. рис. 5.24).
В двигателе этот цикл проходится по часовой стрелке, в холодильной установке — в противоположном направлении. Рассмотрим выполнение цикла двигателем. В точке 1 рабочее тело приводится в контакт с нагревателем и, находясь в этом контакте, изотермически расширяется при температуре до состояния 2. При этом от
нагревателя забирается теплота и совершается положительная работа расширения. В точке 2 прекращается контакт с нагревателем и рабочее тело адиабатически расширяется до состояния 3. При этом совершается положительная работа, убывает внутренняя энергия и уменьшается температура тела. В точке 3 рабочее тело приводится в контакт с
Рис. 5.24
Статистическая физика и термодинамика
351
холодильником и, находясь в этом контакте, изотермически сжимается действием внешних сил при температуре Т2. При этом совершается отрицательная работа сжатия и холодильнику передается часть полученной от нагревателя теплоты. В точке 4 прекращается контакт с холодильником и рабочее тело адиабатически сжимается действием внешних сил до исходного состояния 1. При этом совершается отрицательная работа сжатия и увеличивается внутренняя энергия и температура тела.
Выдающаяся роль цикла Карно состоит в том, что это единственный цикл, который при наличии одного нагревателя и одного холодильника в принципе может быть выполнен обратимым образом. Действительно, обратимый теплообмен между телами может быть осуществлен только при изотермическом процессе с одинаковыми температурами тел. Наличие конечной разности температур между телами делает передачу тепла необратимой из-за невозможности самопроизвольного перехода тепла от холодного тела к нагретому. Но именно в цикле Карно и представлены две изотермы, на которых происходит обратимый теплообмен рабочего тела с нагревателем и холодильником. Переходы между этими изотермами при отсутствии тел с промежуточными температурами между 7\ и Т2 могут быть произведены только адиабатическим путем, исключающим необходимость теплообмена. Именно эти переходные адиабаты и представлены в цикле Карно. Таким'образом, при одном нагревателе и одном холодильнике обратимым образом, может быть выполнен, в принципе, только цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, т. е. цикл Карно. Это и лежит в основе выдающихся свойств этого цикла.
Допустим, что рабочим телом, выполняющим цикл Карно, является идальный газ. Выполним расчет КПД цикла. Поскольку полезная работа цикла равна алгебраической сумме работ на всех его ветвях, то для КПД получим:
_ А А|г + Д23 -t-A,4 +Atl	/g gYj
1	<?Х	<?!
Работы на изотермических (5.84) и адиабатических (5.85) ветвях цикла выражаются в виде:
=	А23 = ^с„(Т1-Т2),	(5.88)
352
Раздел 5
(5.90)
А34 = - — 7?Г2 In , A4t = -^cuV\-T2). Р	V*	М
Для идеального газа изотермическая работа равна поглощенной теплоте. Поэтому
«1=А12 = ^ЯТ11п^.	(5.89)
Подставляя (5.88) и (5.89) в (5.87), получим:
п =----2—у—-
T.lnpJ
Параметры состояния при изотермических и адиабатических переходах связаны, соответственно, уравнениями Бойля-Мариотта и Пуассона:
= РгУ2; РЖ = РУ2,
P3V3 = P4V4; P^Pfl.
V V
Из этих соотношений следует, что рг =	. Тогда (5.90)
принимает окончательный вид:
(5.91)

В дальнейшем будет показано, что полученное значение КПД является предельным в том смысле, что в реальных условиях к нему можно приближаться, но невозможно его достигнуть.
Из (5.91) следует, что для увеличения КПД тепловых машин надо расширять температурный интервал, в котором работают машины. Вследствие экономической нецелесообразности использования холодильников с температурой ниже температуры окружающей среды, расширять этот интервал следует путем'увеличения температуры нагревателей Tt. В современных паротурбинных и газотурбинных установках 7\ не превышает 1500 К. Однако, из вида кривой, выражающей зависимость т] от температуры Т\ (рис.5.25) следует, что целесообразно осваивать интервал температур от 3000 К до 5000 К, поскольку в нем максимальный КПД (ц) достигает 90%. При Ti > 5000 К величина ц слабо меняется, приближаясь к 1, и дальнейшее увеличение неэффективно.
Статистическая физика и термодинамика
353
Существует, однако, одна серьезная трудность в освоении указанного интервала. При столь больших температурах и сопутствующих им высоких давлениях оказывается невозможным использование устройств с механическим движением твердых тел, поскольку они подвергаются разрушению. Поэтому возни
кает проблема создания совершенно нового типа тепловых машин. Такими на сегодняшний день являются маг-
нитогидродинамические генераторы — сокращенно МГД-генераторы. В высокотемпературной камере сгорания та
кого генератора сжигается топливо с легкоионизирую-щими присадками — цезием и литием. Возникающая при этом плазма под действием высокого давления выводится из камеры сгорания в виде высокоскоростной струи и направляется в поперечное магнитное поле. Под действием этого поля электроны отклоняются из струи в одну сторону и поступают на электронный коллектор, а положительные ионы — в противоположные стороны и поступают на ионный коллектор. В результате между коллекторами возникает и поддерживается разность потенциалов, создающая электрический ток и обеспечивающая электроснабжение внешних потребителей. После прохождения через магнитное поле температура струи остается еще довольно высокой и потому струя направляется в регенератор обычной паротурбинной установки, в блоке с которыми обычно и устанавливаются МГД-генераторы. Применяемые в настоящее время МГД-генераторы имеют мощность 20—30 мегаватт, в камерах сгорания достигаются температуры около 3000 К, скорости плазменных струй 800-900 м/с, КПД блоков превышают 50%.
5.21.	ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛИРОВКИ ВТОРОГО ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
Второй принцип термодинамики имеет две характерных особенности. Первая из них состоит в большом многообразии его проявлений, вследствие чего существует много внешне разнообразных его формулировок. Вторая особенность заключена в том, что иногда его 12 Зак. № 845
354
Раздел 5
проявления представляются завуалированными и лишь при углубленном 'изучении явлений могут быть уяснены.
Формулировки второго принципа можно разделить • на три группы. К первой группе относятся так называемые эмпирические формулировки. Ко второй группе относятся частично обобщенные формулировки в виде теоремы Карно и теоремы Клаузиуса. Третья группа содержит только одну самую общую формулировку второго принципа — закон возрастания энтропии (п. 5.25).
Эмпирические формулировки имеют ограниченный характер в том смысле, что каждая из них выражает результаты определенной группы опытов и утрачивает смысл за пределами этих опытов. Эти формулировки не выражаются в математической форме.
Будучи внешне весьма разнообразными, эти формулировки имеют внутреннее единство, поскольку все они, в конечном счете, выражают одну и ту же закономерность материального мира. Поэтому путем логических рассуждений можно переходить от одних формулировок к другим.
Рассмотрим так называемую формулировку Томсона, из которой наиболее простым образом можно получить другие формулировки.
Допустим, что имеется нагретое тело с температурой и ставится задача: отобрать от тела часть его внутренней энергии в форме теплоты и преобразовать ее в работу. При этом, конечно, произойдет охлаждение теплоотдающего тела. Опыты, однако, показывают, что помимо этого охлаждения обязательно должно произойти еще какое-то изменение состояния. Это дополнительное к охлаждению изменение может произойти либо с самим теплоотдающим телом, либо с другими телами, принимающими участие в процессе. В качестве примера рассмотрим два способа преобразования внутренней энергии нагретого тела в работу. Способ первый: в контакт с телом приводится газ, заключенный в цилиндре под поршнем и имеющий более низкую температуру. Тогда за счет получаемой от тела теплоты газ расширяется и совершает работу по поднятию поршня с грузом. Здесь дополнительное к охлаждению тела изменение состояния представлено уменьшением плотности газа. В качестве другого способа решения этой задачи рассмотрим ; подключение электротермопары одним спаем к нагрето- ,
Статистическая физика и термодинамика
355
му телу, а вторым спаем к телу с более низкой температурой. В этом случае через термопару протекает электрический ток, при наличии которого всегда можно совершить работу, например, пропуская его через электродвигатель. При протекании тока по термопаре электроны на обоих стыках проходят через потенциальные барьеры, в результате чего на горячем стыке теплота поглощается, а на холодном, наоборот, выделяется, что ведет к нагреванию холодного тела. Здесь дополнительное к охлаждению теплоотдающего тела изменение состояния представлено нагреванием тела на холодном стыке термопары. Рассмотренная закономерность является общей и не имеет исключений. Томсон эту закономерность сформулировал следующим образом: невозможно полностью преобразовать в работу теплоту какого-либо тела, не совершая никакого другого действия, кроме охлаждения этого тела. В этой формулировке тепловые формы внутренней энергии условно названы теплотой.
Из формулировки Томсона следует невозможность тепловой машины, состоящей только из .нагревателя и рабочего тела. Поскольку рабочее тело после завершения цикла возвращается в исходное состояние, то единственным результатом цикла такой машины будет получение теплоты от нагревателя и преобразование ее в соответствующее количество работы, что противоречит формулировке Томсона. Поэтому в тепловой машине помимо нагревателя и рабочего тела должно быть минимум еще одно тело, состояние которого изменяется при выполнении цикла. Нетрудно показать, что такое изменение обусловлено необходимостью передачи этому телу части теплоты, полученной от нагревателя. Действительно, после совершения положительной работы расширения для возврата рабочего тела в исходное состояние его надо сжимать действием внешних сил. Если сжатие производить в тех же температурных условиях, в которых происходило расширение, то на сжатие в лучшем случае будет затрачено столько работы, сколько получено при расширении. Полезная работа и КПД такой машины будут равны нулю. Единственный выход из этой ситуации состоит в том, чтобы производить сжатие рабочего тела в более низких температурных условиях по сравнению с его расширением. Тогда на сжатие будет затрачено меньше работы, чем получено при расширении, и КПД будет отличен от нуля. Для создания низкотемпературных условий сжатия рабочее
356
Раздел 5
тело надо привести в контакт с более холодным телом, которому и будет передана часть внутренней энергии в форме теплоты. Отсюда следуют выводы об обязательном наличии в тепловых машинах холодильников, обязательной передаче им части получаемой от нагревателей теплоты и, следовательно, о невозможности в тепловых машинах полного преобразования теплоты в работу. Эти выводы, как и вытекающее из них утверждение о том, что КПД тепловых машин принципиально меньше единицы, также могут рассматриваться как эмпирические формулировки второго принципа.
Подчеркнем, что отмеченная невозможность полного преобразования теплоты в работу имеет место только для замкнутых процессов и обусловлена необходимостью замыкания цикла в условиях положительного баланса работы. Для незамкнутых процессов полное преобразование теплоты в работу, в принципе, возможно. В качестве примера напомним, что при изотермическом расширении идеального газа вводимая в газ внешняя теплота преобразуется в равное количество работы.
Тепловая машина, которая могла бы работать без холодильника и потому полностью преобразовывала бы теплоту в работу, получила название вечного двигателя второго рода. Такая машина разрешила бы энергетическую проблему человечества. Действительно, в окружающем нас мире содержится практически неисчерпаемая внутренняя энергия в форме теплового движения атомов, молекул, ионов и других частиц. Например, вечный двигатель второго рода мог бы в качестве нагревателя использовать воду океанов и морей и, забирая из нее внутреннюю энергию в форме теплоты, непрерывно преобразовывать ее в работу. Если таким путем обеспечивать все энергетические потребности человечества с учетом развития производства, то за тысячу лет температура воды в океанах понизилась бы на сотые доли градуса. Но второй принцип исключает такую возможность. Машина, использующая в качестве нагревателя океан, должна иметь холодильник с более низкой температурой, чем воды океана. За счет непрерывной передачи ему части забираемой от океана теплоты, температура холодильника будет возрастать и сравняется с температурой океанской воды, после чего дальнейшая работа машины станет невозможной. Для поддержания температуры холодильника на низком
Статистическая физика и термодинамика
357
уровне потребовалась бы холодильная установка, забирающая всю производимую работу.
Изложенная ситуация выражена лаконичной формулировкой второго принципа, принадлежащей Оствальду: вечный двигатель второго рода невозможен.
5.22.	ТЕОРЕМА КАРНО И ТЕОРЕМА КЛАУЗИУСА
В развитии термодинамики и теплотехники значительную роль сыграла теорема Карно. Ее формулировка состоит из двух частей.
1.	КПД всех обратимых машин, работающих между одними и теми же нагревателем и холодильником, равны между собой.
2.	КПД необратимых машин меньше, чем КПД обратимых машин.
Поскольку при одном нагревателе и одном холодильнике обратимым образом может быть выполнен только цикл Карно, то физический смысл первой части формулировки состоит в том, что КПД обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и от устройства системы, выполняющей этот цикл. Поэтому формула (5.91) для КПД цикла, выведенная в предположении, что рабочим телом является идеальный газ, имеет универсальный характер.
Физический смысл второй части формулировки связан с так называемым принципом Ле Шателье—Брауна, имеющим место для всех макроскопических систем. Формулировка принципа: если посредством внешнего воздействия система выводится из равновесного состояния, то в системе возникают процессы, направленные на ослабление этого воздействия. Одним из проявлений этого принципа является известное правило Ленца, согласно которому индукционные токи, возбужденные действием внешних магнитных полей, направлены так, что их собственные магнитные поля направлены против тех изменений внешних полей, которые индуцировали эти токи.
Рассмотрим, как проявляет себя принцип Ле Шате-лье—Брауна при расширении и сжатии рабочего тела, выполняющего цикл. Допустим, что таким телом является газ в цилиндре под поршнем. Рассмотрим два способа расширения газа со совершением положительной работы. Первый способ — медленное обратимое расширение,
358
Раздел 5
при котором в идеале равновесие не нарушается; второй способ — быстрое необратимое расширение, сопровождаемое резким нарушением равновесия. В этом случае в слое газа около поршня возникает локальное разрежение, вследствие чего давление на поршень меньше, чем при медленном расширении. В образовании такого разрежения и состоит проявление принципа Ле Шателье— Брауна. При одном и том же перемещении поршня во втором случае меньшая сила давления совершит меньшую работу, чем в первом случае. Этот результат имеет общий характер: всегда работа при необратимом расширении тела меньше, чем работа при обратимом расширении. Далее рассмотрим обратимое и необратимое сжатие газа действием внешних сил с совершением отрицательной работы. Здесь принцип Ле Шателье-Брауна проявляется в том, что при быстром необратимом сжатии в слое газа около поршня возникает локальное переуплотнение, в результате чего давление на поршень будет больше, чем при медленном сжатии. Для преодоления большего противодавления газа в этом случае требуется большая величина сжимающих сил, которые при одном и том же перемещении поршня совершат большую работу, чем при медленном сжатии. Поэтому абсолютная величина работы при необратимом сжатии тела больше, чем при обратимом сжатии. Следовательно, полезная работа цикла, равная алгебраической сумме положительной работы расширения и отрицательной работы сжатия, для необратимого цикла меньше, чем для обратимого. Соответственно, меньше и КПД, что и отражено во второй части формулировки теоремы Карно.
А теперь вспомним, что строго обратимые процессы в макроскопических системах невозможны. Поэтому машина, выполняющая обратимый цикл Карно, является идеализацией, а ее КПД ц = (Т1 - Т2) /Тг носит асимптотический характер в том смысле, что к нему можно приближаться, но точного его значения нельзя достичь.
В основу логического доказательства теоремы Карно заложена формулировка Томсона. Поэтому теорема Карно должна рассматриваться как формулировка второго принципа термодинамики, применимая к замкнутым процессам, в которых используется один нагреватель и один холодильник. Эта теорема может быть-выражена в математической форме в виде следующего соотношения
Статистическая физика и термодинамика
359
«?! - «?г Л - Т2
Qi ~ т,
Здесь знак равенства имеет место для обратимых циклов, а знак неравенства — для необратимых. В левой части соотношения стоит величина
Рис. 5.26
КПД тепловых машин (5.86).
Далее мы введем величину, играющую важную роль в термодинамике. Рассмотрим термодинамический процесс, которому в плоскости PV соответствует некоторая кривая 1г (см. рис. 5.26). Малый элемент dl этой кривой характеризует бесконечно малое изменение состояния системы, в пределах которого температуру можно считать постоянной, ибо ее изменение мало по сравнению с ее значением: dT « Т. В общем случае на отрезке dl имеет место теплообмен, система получает (отдает) теплоту dQ. Введем для этого отрезка отношение и проинтегрируем его по всей кривой 1Х от начального до конечного состояния (рис 5.26):
Если кривая L замкнута, т. е. система выполняет циклический процесс, то этот интеграл записывается следующим образом:
где L — обозначение кривой цикла.
В заключение приведем (без обоснования) формулировку теоремы Клаузиуса, являющейся обобщением теоремы Карно на случай произвольных циклов, в которых может быть использовано произвольное число нагревателей и холодильников. Формулировка теоремы: для произвольного цикла
(5.93)
причем знак равенства имеет место для обратимых циклов, а знак неравенства — для необратимых. Эту теорему также следует рассматривать как формулировку второго принципа термодинамики применительно к произвольным замкнутым процессам.
360
Раздел 5
5.23.	ЭНТРОПИЯ
Допустим, что некоторая система переводится из состояния 1 в состояние 2 с помощью обратимого процесса, изображаемого в плоскости PV кривой llt а затем возвращается в исходное состояние с помощью также обратимого процесса 12. В совокупности оба процесса образуют обратимый цикл L = 1г + 12 (рис. 5.26). Вследствие обратимости цикла теорема Клаузиуса в применении к нему запишется со знаком равенства:
2	1
+	= 0.	(5.94)
L 1	1 1	2 ‘
(«,> (',>
Как известно, изменение направления интегрирования меняет знак криволинейного интеграла. Поэтому:
1	2
С = А 2 Т 1,Т ’ («„>	(«„>
И тогда (5.94) перепишется в виде:
2	2
'5-95>
Поскольку от процессов Ц и 12 требовалась только обратимость, а в остальном они были произвольны, то 2
из (5.95) следует, что интеграл § имеет одно и то же значение для всех кривых, характеризующих обратимые переходы между состояниями 1 и 2. Напомним, что величины, изменения которых не зависят от способов перехода между состояниями, называются функциями состояния. Из полученного сейчас результата 2
следует, что § представляет собой изменение некоторой функции состояния, получившей название энтропии и обозначаемой буквой S. Тогда для изменения энтропии можно записать
Статистическая физика и термодинамика
361
2
52-^ = ^.; dS = ^.
(5.96)
В первом из этих соотношений интеграл берется по любой кривой, соединяющей точки 1 и 2 и соответствующей обратимому процессу. Второе соотношение описывает бесконечно малое изменение состояния, в пределах которого температура может считаться постоянной.
Формулы (5.96) являются определением понятия энтропии в термодинамике. Из них следует, что-энтропией называется функция состояния, изменение которой при обратимом переходе между состояниями выражается 2
как интеграл § 4^, взятый по любой кривой, характеризующей обратимый переход между этими состояниями.
Выступая в рамках термодинамики как формальная функция, энтропия при этом играет весьма большую роль, поскольку она широко используется в теоретических выводах и практических расчетах. Глубокий физический смысл энтропии раскрывается не в термодинамике, а в статистической физике.
Приведем несколько комментариев к термодинамическому определению энтропии. Еще раз подчеркнем, что определяющие формулы (5.96) имеют смысл только для обратимых переходов, ибо в основе их вывода лежит теорема Клаузиуса, записанная в форме для обратимых циклов.
Для обратимых процессов имеет место лишь один фактор изменения энтропии — теплообмен. При dQ > О также и dS > 0, т. е. энтропия возрастает при поглощении внешней теплоты. При dQ < 0 и dS < 0, т. е. энтропия убывает при передаче теплоты в окружающую среду.
В общем случае' первый принцип термодинамики записывается в виде (5.77). Подставляя в него dQ = = TdS (см. (5.96)) имеем:
TdS = dWt! + dA.	(5.97)
В такой форме первый принцип термодинамики применим только к обратимым процессам.
Поскольку формулы (5.96) определяют энтропию через ее изменение, она оказывается определенной с
362
Раздел 5
точностью до произвольной аддитивной постоянной. Действительно, прибавление к S произвольной постоянной не изменяет исходную определяющую формулу:
d (S + const) = dS =	.
Для определения указанной аддитивной постоянной надо ввести начало отсчета энтропии, что делается на основе теоремы Нернста (см. п. 5.35).
Введение внешней теплоты в систему всегда увеличивает неупорядоченность внутренней структуры системы и беспорядочность движения образующих ее частиц. Например, при нагревании кристалла возрастают амплитуды тепловых колебаний атомов и, в конце концов, разрушается кристаллическая структура. Теперь колебания атомов около случайных точек сопровождаются также беспорядочными поступательными движениями в виде перескоков атомов между этими точками. При этом за счет ввода теплоты растет энтропия. Отсюда следует, что энтропия характеризует степень беспорядочности во внутренней структуре системы и в движении образующих систему частиц. Следовательно, можно утверждать, что энтропия — это мера беспорядка.
Поскольку энтропия играет важную роль в термодинамике, возникает необходимость обобщения этого понятия на неравновесные состояния и необратимые процессы. Покажем, как это делается на одном простом примере. Допустим, что имеется тело с неоднородным распределением температуры. Естественно, что такое состояние неравновесно, происходящий с телом процесс необратим и потому к телу в целом формулы (5.96) не могут быть применены. Представим, что тело разбито на малые, но макроскопические элементы. Степень малости элементов определяется требованием, чтобы их размеры были малы по сравнению с расстоянием, на котором заметно изменяется температура. Тогда внутри каждого элемента распределение температуры можно считать однородным и потому состояние элемента можно считать равновесным. Таким образом, равновесия между элементами нет, но внутри элементов оно есть. Такой подход называется моделью ЛТР — локального термодинамического равновесия. Эта модель находит широкое применение в термодинамике. Вследствие малости элементов время их температурной релаксации оказывается малым
Статистическая физика и термодинамика
363
по сравнению с характерным временем изменения температуры, что позволяет считать процессы в элементах обратимыми. Тогда к каждому элементу можно применять формулы (5.96). Принимается также аддитивность энтропии, т. е. считается, что энтропия тела в целом равна сумме энтропий его элементов. Таким путем понятие энтропия обобщается на необратимые процессы.
5.24. ЭНТРОПИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Рассмотрим простые примеры расчета энтропии.
Из (5.96) с использованием первого принципа термодинамики получим
_ dQ _ dWB + dA	(5.98)
Т т ’
Отсюда следует, что для расчета энтропии системы надо получить выражения для ее внутренней энергии и для совершаемых ею видов работы. Рассмотрим в качестве простейшей системы идеальный газ. Для него:
WB = - cvT, dWв = CydT.	(5")
и	и
Газ совершает только один вид работы — работу расширения, универсальным выражением элемента которой является:
dA = PdV.
Подставив это выражение, а также (5.99) в (5.97), получим:
JH TU _ dT Р ^1ТГ аЬ----cv — + — dv.
р т т
Отношение Р/Т выразим из уравнения состояния (5.1) — Р/Т - (тЯ)/(цГ) и подставим в последнее соотношение. Тогда
dS=™(cM + R^\.	(5.100)
и I Т	V)
Проинтегрировав (5.100), получим формулу энтропии идеального газа:
(5.101)
S = — (cr In Т + J? In V) + const. _____Н____________________________
В правой части (5.101) содержится та постоянная, с точностью до которой определяется энтропия в термодинамике. Если рассчитывается не сама энтропия, а ее изменение при переходе между состояниями, то:
364
Раздел 5
Я2-Я1=^^г1п^ + Я1п^.
Запишем формулы для изменения энтропии при изопроцессах с идеальным газом. Изотермический процесс Т - const, PjVj = Р2У2:
(5.102)
S2 -	= — Я In — Я In .
ц vt ц Рг
Р Р
Изохорический процесс V = const, *1	•* 2
S2 - Sj = cv In £ = cv In £ .
И 11 И Pl
Изобарический процесс Р = const, ~ •'1 Т2
S2 - Sj = сР In £ = ™ Ср In £ . М	1 1 м	V4
Здесь использована формула Майера cv + Я =
Адиабатический процесс dQ — 0:
S2 - S, = 0; Я = const.
(5.103)
(5.104)
сР.
(5.105)
Поскольку определяющая формула для энтропии (5.96) имеет место только для обратимых процессов, то и соотношения (5.105) относятся к обратимым адиабатическим процессам. Вследствие постоянства энтропии такие процессы называются изоэнтропийными.
5.25.	ЗАКОН ВОЗРАСТАНИЯ ЭНТРОПИИ
Допустим, что некоторая система совершает переход из состояния 1 в состояние 2 посредством произвольного процесса, изображенного в плоскости PV кривой (рис. 5.26). Произвольность процесса состоит в том, что он может быть как обратимым, так и необратимым. Напомним, что в случае необратимости кривая 1г имеет лишь условный смысл. В промежуточных состояниях необратимого процесса параметры состояния различны в разных точках системы, поэтому состояния системы в целом не могут быть изображены точками в координатных плоскостях. Пусть, далее, система возвращается в исходное состояние посредством обратимого процесса Z2, играющего в нашем выводе лишь вспомогательную роль. В совокупности оба процесса образуют произволь
Статистическая физика и термодинамика 365
ный цикл L = lt + Z2, для которого теорема Клаузиуса записывается в виде (5.93):
2	1
§^=S^ + S^O- (5.106)
L 1	1 1	2 1
Gi> а2)
Вследствие обратимости Z2:
1
№ = Si-S2.	(5-107)
2
<'г>
Далее допустим, что рассматриваемая система является теплоизолированной. Тогда
2
S = 0	(5.108)
и из (5.106), (5.107) и (5.108) следует:
S2 > Si. |	(5.109)
Здесь знак равенства относится к обратимым, а знак неравенства — к необратимым процессам. Полученное соотношение (5.109) выражает очень важный закон природы, значимость которого в макромире не уступает фундаментальным законам сохранения. Этот закон называется законом возрастания энтропии и имеет следующую формулировку: энтропия теплоизолированной системы возрастает, если в ней протекает необратимый процесс, и остается неизменной, если протекает обратимый процесс. Действительно, из (5.109) следует, что при необратимом процессе энтропия каждого последующего состояния больше, чем энтропия предыдущих состояний, а при обратимом процессе энтропии всех состояний равны.
Закон возрастания энтропии выражает самую общую формулировку второго принципа термодинамики.
Из закона возрастания энтропии следуют два весьма важных физических вывода. Первый из них состоит в том, что в теплоизолированных условиях исключаются процессы с уменьшением энтропии, даже если эти процессы удовлетворяют всем законам физики, включая фундаментальные законы сохранения. В качестве примера отметим, что в основе гидродинамики лежат уравнения, выражающие законы сохранения массы, импульса
366
Раздел 5
и энергии. Стало быть, решения гидродинамических уравнений определяют движения сплошной среды, удовлетворяющие этим законам. Но некоторые из этих движений не могут быть реально осуществлены, потому что они, удовлетворяя всем законам физики, не удовлетворяют закону возрастания энтропии. Например, из уравнений гидродинамики следует существование ударных волн сжатия и разрежения. Как известно, ударные волны сжатия существуют и широко используются в самых разных целях. Но ударных волн разрежения не существует и получить их невозможно. Причина в том, что при прохождении элементов среды через фронт такой волны их энтропия должна уменьшаться при отсутствии теплопередачи, что исключается законом возрастания энтропии.
В каждой эмпирической формулировке второго принципа что-то запрещается. Теперь можно отметить, что во всех формулировках запрещены ситуации, нарушающие закон возрастания энтропии. Например, есть формулировка, запрещающая самопроизвольную передачу теплоты от холодного тела к нагретому. Допустим, что вопреки этому теплота передана от холодного тела с температурой Т2 к нагретому телу с температурой Т] > Т2. В совокупности оба тела образуют теплоизолированную систему. Вследствие аддитивности изменение энтропии системы равно алгебраической сумме изменений энтропии обоих тел:
dS = dS, + dS2 =	.
Поскольку 7\ > Т2, то dS < 0, что противоречит закону возрастания энтропии.
Рассматриваемый закон требует особой осторожности при разработке новых технологий и создании новых машин. Действительно, если в новой технологии или в новой машине заложены процессы, нарушающие этот закон, то такая технология или машина не могут быть реализованы.
Теперь обратимся ко второму физическому выводу из закона возрастания энтропии. Из этого закона следует, что при необратимых процессах энтропия возрастает в условиях исключенного теплообмена. Следовательно, существует ещё какой-то фактор изменения энтропии помимо теплообмена. Чтобы установить этот фактор, рас
Статистическая физика и термодинамика
367
смотрим полностью изолированную систему. В такой системе исключаются обратимые процессы, поскольку промежуточные состояния в них равновесны, а вывести систему из равновесия можно лишь посредством внешнего воздействия, исключенного в условиях полной изоляции. Следовательно, в системе протекают только необратимые процессы и потому ее энтропия возрастает. Нетрудно понять, что такими процессами являются релаксационные процессы, направленные на устранение внутренних неравновесностей в системе. Действительно, протекание процессов в условиях полной изоляции возможно лишь в случае, если в начальный момент система была выведена из равновесия, а затем происходит ее эволюция к равновесию, после достижения которого протекание процессов прекращается. Следовательно, во-первых, в рассматриваемой системе протекают только релаксационные процессы, и, во-вторых, при этом возрастает энтропия. Отсюда становится ясно, что вторым фактором изменения энтропии является протекание релаксационных процессов. В этом и состоит второй физический вывод из закона возрастания энтропии.
Таким образом, при обратимых процессах действует только один теплообменный фактор изменения энтропии:
dS =	.
При необратимых процессах в общем случае действуют два фактора изменения энтропии: теплообменный и релаксационный:
dS^ + dS^.	(5.110)
Первый член в (5.110) может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от того, получает или отдает система теплоту. Второй же член всегда положителен: cfSpej] > 0, энтропия при релаксации всегда возрастает.
Заметим, что протекание химических реакций в изолированных условиях является релаксационным процессом, поскольку оно ведет к установлению химического равновесия. Поэтому энтропия при этом возрастает. Если же теплота, выделяемая при экзотермической реакции, отводится во внешнюю среду, то в (5;110) задействованы оба члена, имеющие в этом случае противоположные знаки.
368
Раздел б
5.26.	ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Рассмотрим дифференциальный бином вида:
Mdx + Ndy,	(5.111)
где М (х, у) и N (х, у) — произвольные функции от х и у. В связи с этим биномом возможны две различных ситуации. Первая из них состоит в том, что не существует функции двух переменных, для которой такой бином был бы ее дифференциалом. В этом случае бином выражает малые изменения некоторой величины, которая не может быть представлена в виде функции, но может быть задана таблицей или номограммой. Вторая возможная ситуация состоит в том, что существует функция f (х, у), для которой бином является ее дифференциалом:
Mdx + Ndy = df.
Тогда дифференциальный бином называется полным дифференциалом. Поскольку структура дифференциала функции двух переменных имеет вид:
= dx + (яА dy'
\	\ &УХ
то в этом втором случае выполняются следующие соотношения:
Дифференцируя первое из этих соотношений по у, а второе — по х и, учитывая, что в обоих случаях получается одна и та же смешанная производная
е2/
8хду’
не зависящая от порядка дифференцирования, получаем условие того, что данный бином (5.111) является полным дифференциалом:
Это соотношение называется условием Эйлера.
Рассмотрим в плоскости х. у две точки с координатами (х1» 4/1) и (х2> Уг)- Соединим эти точки кривой I, выражаемой уравнением у = (х). Рассмотрим криволинейный интеграл от дифференциального бинома, взятый вдоль кривой к
I [М (х, у) dx + N (х, у) dy].
(5.118)
Статистическая физика и термодинамика
369
Как известно, для взятия такого интеграла в подынтегральном выражении производятся замены:
у = V (*). dy =	- dx.
После чего подынтегральное выражение становится функцией только одной перемен-
Рис. 5.27
ной х и интеграл берется в пределах от xt до х2. Отсюда следует, что в случае произвольного бинома (5.111) интеграл
(5.113) существенно зависит от вида кривой, соединяющей
заданные точки, поскольку у и dy выражаются через уравнение этой кривой и поэтому для разных кривых подынтегральное выражение будет различным.
Положение кардинально изменяется, если бином является
полным дифференциалом, и интегрирование дает:
(Mdx + Ndy) = \df (х, у) = f (х, у) | £ % =
= f (х2, Уг) ~ f (Xi, У1).
Видно, что теперь интеграл (5.113) равен разности значений функции f в конечной и начальной точках кривой и потому зависит только от положения этих точек и не зависит от вида соединяющей их кривой.
Полученный результат может быть сформулирован следующим образом: если изменение некоторой величины при переходе между двумя точками не зависит от способа перехода, то соответствующий этой величине дифференциальный бином является полным дифференциалом.
Теперь вспомним, что важную роль в термодинамике игра-• ют величины, изменения которых при переходе между состояниями не зависят от вида процесса, посредством которого производится этот переход, т. е. не зависят от способа перехода. Такие величины называются функциями состояния. Из вышеуказанного следует, что дифференциальные биномы, соответствующие функциям состояния, являются полными дифференциалами (при правильном выборе независимых перемен-, ных). Это будет многократно использовано в следующем параграфе. '»
5.27.	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В термодинамике существует два основных метода получения термодинамической информации об изучаемых телах. Первый из них называется методом циклов и состоит в изучении замкнутых процессов, выполняемых исследуемым телом. Второй метод называется методом термодинамических функций; в его основе
370
Раздел 5
лежит использование специальных функций, характеризующих термодинамические свойства тел. Этот метод более информативен, чем метод циклов; получаемые с его помощью результаты носят более общий характер. Поэтому в тех случаях, когда это оказывается возможным, для выполнения расчетов используется именно метод термодинамических функций. В настоящем параграфе рассматриваются основы этого метода.
Для термодинамического описания изучаемого тела надо, прежде всего, выбрать некоторые величины в качестве независимых переменных, значения которых могут быть заданы произвольным образом. В наиболее простых случаях такими величинами являются Р, V, Т, S. Первые две из них называют механическими переменными, ибо их изменение непосредственно связано с механическим сжатием или растяжением тела. Вторую пару называют термическими переменными, поскольку они характеризуют внутреннее тепловое состояние тела. Между Р, V, Т и S, в принципе, имеют место два уравнения связи. Первое связывает значения P,V,T : f (Р, V, Т) = 0 и называется термическим уравнением состояния. Второе связывает значения V, Т и S и называется калорическим уравнением состояния. Для идеального газа, например, эти уравнения имеют вид:
PV = — RT,
и
S =	(с„ In Т + R In V) + const.
Благодаря наличию двух уравнений связи, из четырех переменных Р, V, Т и S фактически независимыми являются лишь две. Эти две независимые переменные должны быть выбраны так, чтобы одна из них была механической, а вторая — термической. В таких условиях, очевидно, возможны четыре сочетания и, следовательно, существуют четыре способа выбора независимых переменных, представленные в первой строке таблицы 5.1. Тогда вторая пара величин из четверки Р, V, Т и S будет выступать в качестве зависимых переменных (вторая строка таблицы 5.1). Например, при выборе в качестве независимых переменных V и S величины Р и Т становятся функциями от V и S. Они подлежат нахождению.
Следующий шаг после выбора независимых переменных состоит в нахождении дополняющей пары зависи-
Статистическая физика и термодинамика
371
Таблица 5.1 Независимые (первая строка) и зависимые переменные в методе термодинамических функций			
V, S	Р, S	V. т	Р. Т
Р, Т	V, т	Р. S	V. S
Wb (У, 5)	Н (Р. S)	F (V, Т)	G (? Т)
мых переменных, без чего термодинамическое описание тела невозможно. С этой целью вводятся специальные термодинамические функций, характеризующие изучаемое тело. Общий принцип введения этих функций состоит в следующем: каждая из них, являясь функцией одной пары независимых переменных, должна позволять получить посредством простейших математических операций вторую, дополняющую пару зависимых переменных. Поскольку имеют место четыре способа выбора незвисимых переменных, соответственно вводятся четыре термодинамические функции. Эти функции называются внутренней энергией WB (V, S), энтальпией Н (Р, S), свободной энергией F (V, Т) и термодинамическим потенциалом G (Р, Т). Энтальпию иногда называют теплосодержанием или изобарно-адиабатическим потенциалом; термодинамический потенциал — изобарно-изотермическим потенциалом или потенциалом Гиббса; внутреннюю энергию — изохорно-адиабатическим потенциалом; свободную энергию — энергией Гельмгольца или изохорно-изотермическим потенциалом.
Для введения внутренней энергии используется первый принцип термодинамики, записанный в применении к обратимым процессам:
dWB = TdS - PdV. |	(5.114)
Из (5.114) следует, что WB действительно выступает как функция независимых переменных V и S, ибо дифференциалы именно этих величин содержатся в правой части. Поскольку внутренняя энергия — функция состояния, то dWB является полным дифференциалом. Поэтому
Г = М Р = _Ю	(5.115)
l^Jr
Соотношения (5.115) решают вышепоставленную задачу определения дополняющей пары зависимых переменных
372
Раздел 5
Т (V, S) и Р (V, S) при выборе в качестве независимых переменных V и S.
Энтальпия определяется как:
H=WB + РУ.
(5.116)
В правой части (5.116) WB — функция состояния, а Р и V — параметры состояния. Поэтому энтальпия Н, в свою очередь, является функцией состояния. Дифференцируя (5.116) и учитывая (5.114), получим:
dH = TdS + VdP,
(5.117)
откуда следует, что Н выступает как функция Р и S. Поскольку Н — полный дифференциал, то
т = Гая) v _ Гая)
что определяет дополняющую пару переменных.
Определяющая формула для свободной энергии имеет вид
F = WB - TS.
(5.118)
Поскольку WB и S — функции состояния, а Т — параметр состояния, F также является функцией состояния. Из (5.118) с учетом (5.114) следует
\ dF =-SdT - PdV,
(5.119)
откуда дополнительная пара переменных определится соотношениями:
S = -(S1’ P = -Sb	(5.120)
|arJF’ |av)T	4	'
Термодинамический потенциал определяется соотношением:
G = WB - TS + PV.
(5.121)
Из (5.121) следует, что G — функция состояния. Дифференцируя (5.121) и учитывая (5.114), получим:
dG = -SdT + VdP, |	(5.122)
откуда:
Статистическая физика и термодинамика
373
сЮ) у = (дСЛ
М” И/
(5.123)
Напомним, что в условиях, когда энергия взаимодействия между частями тела мала по сравнению с энергиями этих частей, внутренняя энергия тела является аддитивной величиной. В этих же условиях, как известно (см. п. 5.23), аддитивна и энтропия. Очевидно, всегда аддитивен объем тела. С другой стороны, при равновесии Р и Г имеют одно и то же значение во всех точках тела. Поэтому аддитивны и произведения PV и TS. Например, если тело состоит из двух частей, то PV = Р (Vj + У2) = PV, + PV2. Но тогда из (5.116), (5.118) и (5.121) следует, что все четыре термодинамические функции WB, Н, F и G являются аддитивными функциями состояния. Это делает их гибким и удобным инструментом термодинамических исследований. В связи с этим напомним о выдающейся роли в механике аддитивных интегралов движения — импульса, момента импульса и энергии.
Отметим нередко используемые в термодинамической практике свойства энтальпии и свободной энергии. Из (5.117) с учетом TdS = dQ следует, что при Р = const:
dH = dQ \
j Р = const т. е. изменение энтальпии тела при изобарическом нагревании равно поглощенной теплоте (отсюда — упомянутое выше второе название энтальпии — теплосодержание). Из (5.119) с учетом PdV = dA при Т — const получим
dF = -dA I
| 7 - const
t. e. изменение свободной энергии тела равно совершенной над ним изотермической работе. Поэтому, например, работа при изотермическом растяжении мыльной пленки направлена на увеличение свободной энергии этой пленки. Свободная энергия связана с поверхностью, образованной в ходе растяжения.
Напомним, что работой в термодинамике называется обобщенная форма обмена энергией, в основе которой лежит изменение внешних параметров системы. Каждому параметру соответствует свой вид работы. В выражения для энтальпии (см. 5.116), свободной энергии
374
Раздел 5
(см. 5.118) и термодинамического потенциала (см. 5.121) входит внутренняя энергия WB. Поэтому в дифференциалы всех термодинамических функций входит дифференциал внутренней энергии, который в общем случае выражается в виде:
dWB = TdS - PdV - Ydy.
Здесь PdV — работа силы давления, a Ydy — работа сил любой другой природы (см. выражение 5.66).
Поэтому в дифференциалах всех функций в общем случае появляются добавочные члены вида — Ydy. Например, дифференциал свободной энергии в общем случае записывается так:
dF = -SdT - PdV - Ydy, причем F = F (V, T, у) и У = - W . т
Таким образом производится обобщение термодинамических функций на более сложные системы с набором внешних параметров.
5.28.	ПОЛУЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ О СВОЙСТВАХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим некоторые примеры на применение термодинамических функций для термодинамических рас-счетов.
Сущность метода термодинамических функций состоит в том, что если для изучаемого тела известна любая из четырех характеризующих его функций, то из нее может быть получен весь объем термодинамической информации об этом теле. Могут быть получены уравнения состояния; уравнения, описывающие различные термодинамические процессы; наборы коэффициентов, характеризующих свойства тела в различных условиях; скорость звука; теплоемкости и т. д.
В качестве примера покажем, как определяются некоторые термодинамические характеристики тела из его свободной энергии F(V, Т).
1.	Термическое уравнение состояния. Из (5.120) следует:
р = _ W = р (у, Г).	(5.124)
Wt
Статистическая физика и термодинамика
375
Представленная в (5.124) производная определяет не просто величину давления Р, а давление как функцию V и Т. Поэтому (5.124) является термическим уравнением состояния изучаемого тела.
2.	Калорическое уравнение состояния. Из (5.120) следует:
s =	=S{V,T).
(5.125)
С помощью (5.124) и (5.125) можно при необходимости сделать переход от одной пары независимых переменных из четверки Р, V, Т, S к другой паре величин, рассматриваемых как новые независимые переменные. Например, разрешив систему уравнений (5.124) и (5.125) относительно V и Т, найдем V = V (Р, S) и Т = Т (Р, S), что означает переход к независимым переменным Р и S.
3.	Уравнения изопроцессов получим, приравнивая в (5.124) Р, V или Т константе, а уравнение адиабатического процесса — приравнивая в (5.125) S (V, Т) = const.
4.	Коэффициент изотермической сжимаемости:
*-т	v fap'i
И
С учетом (5.120) имеем: V 1	1
Z’’ v (S2F\ '
5.	Коэффициент теплового расширения:
(5.126)
тт	с	-	-
Для нахождения изобарической производной — надо
в (5.124) положить
= -Р (У, Т) = const.
(5.127)
Рассматривая в (5.127) Т как аргумент, а V— как его функцию, дифференцируем (5.127) по 7:
А® =о	(5.128)
dT Н
376
Раздел 5
В левой части (5.128) содержится полная производная ~. Поскольку она определена из изобарического уравнения (5.127), то
dV _ dV I _ (эИ dT dT | P-const IstL'
Для определения а остается подставить эту производную в (5.126).
6.	Скорость звука. Общая формула для этой величины имеет вид (3.244):
с =	= _ Z fap) = Ж (5.129)
т [<vjg PWs IdpJJ
где т — масса тела, р — его плотность. Полагая в (5.125)
(эт) =-S(F' T) = const’
(5.130)
переходя в (5.130) с помощью (5.124) от переменных V, Т к переменным Р, V, и рассматривая Р как функцию V, дифференцируем (5.130) по V:
А (йЕ) =о	(5.131)
dV(8Tjv
Из (5.131) определяем производную dP _ dP |	_ Гер'
dV dV j s = const I 5V
которую подставляем в (5.129).
7.	Теплоемкость cv. С учетом того, что для обратимых процессов dQ=TdS, используя (5.120), получим:
__fdQ) _ Т ‘
Подчеркнем, что с помощью свободной энергии, как и с помощью любой из остальных трех термодинамических функций, могут быть получены не только рассмотренные величины, но и весь объем термодинамической информации об изучаемом теле.
Однако сами термодинамические функции в рамках термодинамики получены быть не могут. Действительно, эти функции содержат в себе сведения о всех макроскопических свойствах изучаемого тела, но макроскопические свойства тела определяются, в итоге, его внутренним
Статистическая физика и термодинамика
377
молекулярным строением и характером теплового движения образующих это тело частиц. Поэтому термодинамические функции могут быть найдены только на основе сведений о процессах, происходящих на атомно-молекулярном уровне тела. Но термодинамика, будучи феноменологической наукой, не углубляется во внутреннее строение изучаемых тел и не рассматривает процессы на этом уровне, а потому не может получить термодинамических функций. Термодинамические функции различных тел находятся в статистической физике, которая изучает макроскопические тела, исходя из их атомно-молекулярного строения. Поэтому полный цикл изучения тела методом термодинамических функций состоит в получении одной из этих функций на основе молекулярной статистики и в последующем использовании рассмотренного выше термодинамического аппарата.
5.29.	СООТНОШЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И УРАВНЕНИЯ ГИББСА-ГЕЛЬМГОЛЬЦА
лч В термодинамике широко используются различные виды соотношений между термодинамическими величинами. Ниже мы получим два вида таких соотношений.
Применяя к дифференциальным выражениям (5.114), (5.117), (5.119) и (5.122) условие полного дифференциала, получим:
(^1 = -	= f—1
IM IM’ IM IM’

(5.132)
Соотношения (5.132) называются соотношениями Максвелла и используются для замены одних производных другими при выполнении термодинамических выводов и расчетов.
Второй вид соотношений следует из формул (5.118) и (5.120).
Подставляя (5.120) в (5.118), найдем:
WB = F - Т ® .
(5.133)
С помощью (5.133) производится переход от свободной энергии к внутренней энергии тела. Объединяя (5.121) и (5.116) и учитывая (5.123), получим
Н = G - Т .
<оТ)р
(5.134)
С помощью (5.134) переходят от термодинамического потенциала к энтальпии. Соотношения (5.133) и (5.134) называются уравнениями Гиббса—Гельмгольца. О
378
Раздел 5
5.30.	ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Большую роль в термодинамике и в других разделах физики играют так называемые вариационные принципы, позволяющие определить равновесные значения характеристик физических систем.
Напомним, что при необратимых процессах имеют место два фактора изменения энтропии — теплообменный и релаксационный (5.110). Поскольку dS^ > О, из этого выражения следует соотношение, называемое основным неравенством для необратимых процессов:
dS>^.
(5.
Используя первый принцип термодинамики dQ = dWB + + PdV и добавив к обеим частям неравенства член —SdT, получим:
d\VB - TdS - SdT < -PdV - SdT.	(5.136)
Левая часть этого соотношения представляет собой дифференциал свободной энергии dF, поскольку она определяется как F = WB — TS.
Допустим, что в некоторой системе, находящейся в условиях постоянного объема и постоянной температуры, протекает необратимый процесс. Тогда (5.136) принимает вид:
dF < О,
(5.137) что означает убывание свободной энергии в ходе процесса. Процесс завершается приходом системы к равновесному состоянию, в котором, как это следует из (5.137),. свободная энергия будет иметь минимальное значение. Полученный результат формулируется в виде следующего утверждения, называемого принципом минимума свободной энергии: если в системе, находящейся в условиях постоянного объема и постоянной температуры, протекает самопроизвольный необратимый процесс, то свободная энергия системы убывает и при достижении равновесия принимает минимальное значение. Отсюда следует, что в математической форме условие равновесия имеет вид:
dF = 0.	(5.138)
Статистическая физика и термодинамика
379
Этот принцип применяется к системам, состояние которых, помимо объема и температуры, определяется дополнительными параметрами (i = 1, 2, 3, ...). Именно эти параметры изменяются в ходе процесса и принимают равновесные значения t,lp при достижении равновесия. Так, если процесс представлен протеканием химических реакций, то дополнительными параметрами являются концентрации химических компонент. Если процесс представлен фазовыми превращениями, параметрами являются относительные массы фаз. Для процесса ионизации плазмы параметром является степень ионизации.
Теперь приступим к выводу второго вариационного принципа. В неравенстве (5.135) вновь делаем подстановку dQ - dWB + PdV и прибавляем к обеим частям члены SdT и VdP. Тогда (5.135) примет вид:
dWB - TdS - SdT + PdV + VdP < SdT + VdP. (5.139) Поскольку термодинамический потенциал G определяется соотношением G =	- TS + PV, то левая часть
(5.139)	представлена дифференциалом этого потенциала. Допустим, что система, в которой протекает необратимый процесс, находится в условиях постоянного давления и постоянной температуры. Тогда (5.139) принимает вид:
dG < 0.	(5.140)
Соотношение (5.140) выражает принцип минимума термодинамического потенциала. Формулировка этого принципа: если в системе, находящейся в условиях постоянного давления и постоянной температуры, протекает самопроизвольный необратимый процесс, то термодинамический потенциал системы убывает и при достижении равновесия принимает минимальное значение. Следовательно, при равновесии
dG = 0. |	(5.141)
Подобно предыдущему, этот принцип применяется для систем, состояние которых помимо фиксированных значений давления и температуры, определяется дополнительными параметрами Принцип минимума термодинамического потенциала на практике употребляется гораздо чаще, чем принцип минимума свободной энергии в связи с тем, что в физике и химии часто используются открытые системы с атмосферным давлением.
380
Раздел 5
sg: Большая общефизическая роль рассмотренных прин-ципов определяется тем, что на их основе находятся равновесные значения параметров как функций V и Т или Р и Т. Действительно, соотношения (5.138) и (5.141) представляют собой уравнения, содержащие равновесные значения
dF (V, Т, ^) = 0; dG(P, Т, U = О.
Допустим, что параметр £ только один. Тогда
dG =	dP + [эт}-'dT + (f } ₽	= °-
Поскольку dP = 0 и dT = 0, получаем уравнение для определения 4,:
(5.142)
Если параметров больше, например, два, то вместо (5.142) получим:
—+ —• — = 0.	(5.143)
Ъ
Параметры и £2 всегда связаны между собой:
V(4i, ^) = 0.	(5.144)
Например, в случае химических реакций концентрации компонент связаны соотношением стехиометрических чисел в уравнении реакции. При фазовых превращениях массы фаз связаны условием: сумма масс всех фаз равняется полной ^2
массе системы. Поэтому производная — определяется из
уравнения связи (5.144).
Таким путем получены очень важные соотношения в физике и химии. Приведем три примера. С помощью принципа минимума термодинамического потенциала выводится лежащее в основе химии общее условие химического равновесия и частный случай этого условия, применимый к газовым реакциям и называемый законом действующих масс. С помощью этого же принципа выводится так называемая формула Саха, позволяющая рассчитывать степень ионизации плазмы в зависимости от ее температуры и давления. Таким же путем получаются условия равновесия фаз, позволяющие рассчитывать массы фаз в многофазных системах и лежащие в основе физики фазовых превращений.
Во избежание недоразумений отметим, что при заданных V и Т или Р и Т равновесные значения параметров не зависят от того, каким путем система пришла к равновесию. Вовсе необязательно, чтобы она приходила к равновесию в условиях постоянства V и Т или Р и Т.
Статистическая физика и термодинамика
381
Закон возрастания энтропии в несколько модифицированной форме также может рассматриваться как вариационный принцип. Формулировка этого принципа: если в системе, находящейся в условиях тепловой изоляции, протекает необратимый процесс, то энтропия системы возрастает и при достижении равновесия принимает максимальное значение. Поэтому при равновесии
(5.145)
и это соотношение также может использоваться для нахождения равновесных значений параметров термодинамических систем.
dS = О
5.31.	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ, ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ И ЭНТРОПИЯ ТЕЛ
С МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
В общем случае в материальных телах существуют две ' ’ формы давления — кинетическое и потенциальное давление. Кинетическое давление обусловлено тепловым движением молекул и определяется импульсом, передаваемым единице площади отражающей стенки за единицу времени при столкновении с ней молекул. Потенциальное давление обусловлено межмолекулярными взаимодействиями и определяется суммарной силой межмолекулярных взаимодействий, передаваемых через единичную площадку между молекулами, расположенными по разные стороны от этой площадки. Таким образом, полное давление Р в телах с межмолекулярными взаимодействиями выражается как сумма кинетического Pk и потенциального Рр давлений:
Р = Л + Рр-
В идеальном газе Рр = О и Р = Pk.
В термодинамике и в других разделах физики часто применяется уравнение состояния тел с межмолекулярными взаимодействиями, которое в общей форме записывается следующим образом:
P=<?(V) + Q(T)-f(V).	(5.146)
Первый член справа выражает потенциальное давление, а второй член — кинетическое давление. Это уравнение может быть применено к неидеальным газам, плазме, жидкостям и твердым телам. В широком диапазоне давлений и температур — До Ю9 см2 и до 10° К — с большой точностью Q (Т) = = Т, и (5.146) принимает вид:
Р = (р (V) + Т • / (V).-	(5.147)
382
Раздел 5
q Выведем формулу для внутренней энергии, соответствующую этому уравнению состояния. Рассматривая энергию как функцию объема и температуры WB (V, Т), получим:
dWB = Щ dV + f^| dT = CydT + dV. (5.148) ° ( dV JT VБТ Jv	V 0V Jt
Разделив уравнение (5.114) на dV, перепишем его в следующем виде:
(5.149) ( dv JT \dvjT
Используя соотношение Максвелла (5.132) fas') = fap) ТО (arj/
и, подставив (5.149) в (5.148), получим:
dWD = CydT + Т f—1 dV - PdV. (5.150)
Из (5.147) следует:
^=700, Tf (V) = P - <p (V).
поэтому (5.148) принимает вид:
dWB = CydT ^^(V)dv,	(5.151)
что после интегрирования дает:
WR = $ CydT - $ <p (V) dV.
Первый член в правой части выражает кинетическую энергию теплового движения молекул, а второй — энергию межмолекулярных взаимодействий. Если в рассматриваемых процессах температура тела изменяется в сравнительно небольшом интервале, то можно принять Су — const, и формула энергии принимает вид:
WB = cvT - $ q> (V) dV.	(5.152)
Далее выведем формулу для энтропии тела с уравнением состояния (5.146). Из (5.97), (5.151) и (5.152) получим:
dS = | dWB + | dV = cv| f 00 dv + J dv,
что с учетом (5.147) дает:
dS=cv^ + f (V) dV.
Проинтегировав это соотношение, получим:
S = cr In T + / (У) dV.	(5.153)
Выведем формулы для внутренней энергии и энтропии газа Ван-дер-Ваальса (см. п. 5.37) на основе уравнения состояния
Статистическая физика и термодинамика 383
(5.147).	Для этого сопоставим уравнение (5.147) с уравнением Ван-дер-Ваальса (5.173) для одного моля:
Р __	гр а
V b V2’
Из этого сопоставления следует:
Подставив ср (V) в (5.152) и взяв интеграл, получим:
WB = cvT - р + const
Для определения константы интегрирования примем, что энергия межмолекулярных взаимодействий при бесконечном объеме равна нулю. Тогда
WB
т - о = О,
const = О,
и внутренняя энергия выражается в виде:
WB = cvT - ± .	(5.154)
Для получения энтропии подставим в f (V) (5.153) и получим:
S = cr In 7 + В In (V - ft) + const. (5.155)
В правой части содержится постоянная, с точностью до которой определяется энтропия. О
5.32.	ЗАВИСИМОСТЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ ЧИСЛА ЧАСТИЦ.
ХИМИЧЕСКИЙ потенциал
При описании открытых систем, т. е. систем с переменным числом частиц, а также многокомпонентных систем возникает необходимость ввести еще одну функцию состояния, которая называется химическим потенциалом.
Из аддитивности основных термодинамических функций WB (V, S), Н (Р, S), F (V, Т) и G (Р, Т) следует, что они зависят от числа частиц. Поэтому, если в рассматриваемых процессах число частиц изменяется, во все эти функции в качестве третьего аргумента надо включить число частиц N.
Введем этот дополнительный аргумент во внутреннюю энергию: WB = WB (V, S, N). Тогда
dWB = TdS - PdV + [idN,	(5.156)
где величина
384
Раздел 5

М =
называется химическим потенциалом. Поскольку дифференциал внутренней энергии dWB входит как составная часть в дифференциалы остальных трех функций, то член [idN содержится во всех этих дифференциалах. Например, из (5.116) и (5.156) для дифференциала энтальпии получим:
dH = TdS + VdP + [idN,
откуда для химического потенциала следует еще одно выражение:
Аналогичным образом можно выразить химический потенциал через свободную энергию и термодинамический потенциал. В итоге можно записать:
u =	=	.	(5.157)
la/4.s H.s H.t H.t
Иэ выражений (5.157) видно, что химический потенциал есть мера изменения термодинамических функций с изменением числа частиц в системе и находится дифференцированием любой из этих функций по числу частиц при фиксации значений соответствующих переменных. При этом химический потенциал будет выражен через различные независмые переменные.
Напомним, что из четырех величин Р, V, Т и S, используемых в качестве независимых переменных в термодинамических функциях, две — V и S — аддитивны. На примере свободной энергии F (V, Т, N) покажем, как функции этих аргументов зависят от числа частиц. Из аддитивности свободной энергии следует, что свободная энергия системы может быть представлена как произведение числа чартиц на свободную энергию, формально отнесенную к одной частице. При таком отнесении объем системы ввиду его аддитивности должен быть разделен на число частиц. В результате получается следующая зависимость свободной энергии от числа частиц.
F (V, Т, N) = N • f , т).	(5.158)
Статистическая физика и термодинамика
385
Аналогичные ситуации имеют место для внутренней энергии WB (V, S, N) и энтальпии Н (Р, S, N). Иное положение имеет место для термодинамического потенциала G (Р, Т, N), аргументы которого Р и Т не являются аддитивными. Вместо (5.158) зависимость этого потенциала от числа частиц выражается в виде:
G (Р, Т, N) = N  f (Р, Т).
Тогда из (5.157) следует:
[i(P,T) = f(P,T) = G(-P’T’	.	(5.159)
Следовательно, если химический потенциал выражать как функцию давления и температуры, то он равен термодинамическому потенциалу, отнесенному к одной частице. Из выражения (5.159) видно также, что химический потенциал является функцией Р и Т и не зависит от числа частиц N.
Аддитивность термодинамических функций выполняется, если можно пренебречь взаимодействием частей системы. Это условие не выполняется для смеси нескольких веществ (например, для смеси Взаимодействующих жидкостей). В таких системах термодинамический потенциал системы не равен сумме термодинамических потенциалов отдельных компонентов смеси. Однако соотношение (5.159) может быть обобщено и на смесь веществ. Если система является многокомпонентной, то каждая компонента характеризуется своим химическим потенциалом, В результате можно записать:
ь
G = £	(5.160)
< = 1
где i — номер компонента смеси, k — число компонентов.
Непосредственный смысл химического потенциала состоит в том, что при наличии разности этих потенциалов происходит перемещение частиц из областей с большими потенциалами в области с меньшими потенциалами. Таковы, например, диффузионные потоки и переходы частиц из фаз с большими химическими потенциалами в фазы с меньшими потенциалами при фазовых превращениях. При химических реакциях исходные вещества с большими потенциалами превращаются в конечные продукты реакций с меньшими химическими потенциалами.
13 Зак. №845
386
Раздел 5
5.33.	ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
Q В термодинамике фаза определяется как равновесное состояние вещества, которое по своим физическим свойствам существенно отличается от других возможных равновесных состояний этого же вещества. Например, фазами воды являются лед, вода и водяной пар. Фазами углерода являются графит и алмаз. Переход вещества из одной фазы в другую называется фазовым переходом или фазовым превращением.
Фазовые превращения подразделяются на фазовые переходы первого и второго рода. К фазовым переходам первого рода относятся превращения, характеризуемые следующими основными свойствами.
а)	. Поглощение или выделение скрытой теплоты перехода.
б)	. Различие плотностей фаз.
в)	. Скачкообразный характер появления новой фазы.
г)	. Взаимное равновесие фаз в промежуточных состояниях фазового перехода.
д)	. Существование метастабильных состояний типа перегретой жидкости и переохлажденного пара.
К фазовыим переходам первого рода относятся: плавление, затвердевание расплавов, парообразование, конденсация, сублимация, кристаллизация из пара, аллотропные превращения кристаллов (превращения с изменением типа кристаллической решетки).
В основе фазовых переходов второго рода лежит изменение симметрии кристаллической решетки вещества без изменения типа этой решетки. Свойства таких переходов существенно отличны от свойств фазовых переходов первого рода. Укажем основные свойства фазовых переходов второго рода.
а)	. Отсутствует скрытая теплота перехода.
б)	. Плотности фаз одинаковы.
в)	. Перестройка старой фазы в новую происходит постепенно и потому появление новой фазы не носит скачкообразный характер.
г)	. При однородных распределениях температуры и давления исключены ситуации, когда одни части тела находятся в старой фазе, а другие — в новой.
д)	. Не существует состояний с равновесием фаз. При однородных распределениях температуры и давления фазовые состояния всех элементов тела при равновесии одинаковы и потому исключены ситуации, когда в разных элементах различны фазы.
е)	. Отсутствуют метастабильные состояния, в которых при температуре и давлении, соответствующим одной фазе, в течение некоторого времени существует другая фаза, нестабильная в этих условиях.
Рассмотрим несколько примеров фазовых переходов второго рода. В медпо-цинковом сплаве кристаллическая решетка представлена кубическими ячейками. При невысоких температурах атомы цинка с вероятностью, равной единице, располагаются в вершинах ячеек, а атомы меди — в их центрах и, стало быть, имеет место упорядоченность в расположении атомов. При повышении температуры появляется отличная от нуля вероятность перехода атомов цинка на места атомов меди и наоборот. Эта вероятность возрастает с увеличением температуры и при некоторой температуре вероятности нахождения в вершинах и центрах ячеек для атомов меди и
Статистическая физика и термодинамика
387
t	I	t	I	t
I	t	I	t	I
t	I	t	I	t
Рис. 5.28
перекрытии сопо-
цинка становятся равными. Это озна- |	|
чает, что произошел переход от упорядочения к разупорядочению располо- | у жения атомов, что и является приме- .
ром фазового перехода второго рода. Т ▼
В двух следующих примерах будут упоминаться обменные силы. Напомним, что обменными силами называются взаимные квантовые влияния частиц при
ставленных этим частицам волн де Бройля, способные изменять энергию кулоновских взаимодействий частиц, обладающих электрическими зарядами и энергию магнитных взаимодействий частиц, обладающих магнитными моментами.
Рассмотрим фазовый переход второго рода, представленный переходом вещества из парамагнитного в ферромагнитное состояние при температуре, называемой точкой Кюри. При температурах выше этой точки уровень обменных сил, имеющих тенденцию ориентировать магнитные моменты соседних атомов в одном направлении, недостаточен для противодействия хаотизируещему действию теплового движения и потому не существует направления преимущественной ориентации этих моментов. При понижении температуры ниже точки Кюри обменные силы превалируют над хаотизирующим действием теплового движения, и магнитные моменты соседних атомов ориентируются в одном направлении и удерживаются в этой ориентации.
Существуют вещества (хром, марганец, некоторые редкоземельные элементы), для которых фазовый переход второго рода представлен переходом из парамагнитного в антиферромагнитное состояние при температуре, называемой температурой Нееля. При температурах выше температуры Нееля направление магнитного момента каждого атома действием теплового движения непрерывно и беспорядочно изменяется, как и в прендыдущем примере при температурах выше точки Кюри. При температурах ниже температуры Нееля действием отрицательных обменных сил направления магнитных моментов стабилизируются так, что направления моментов ближайших соседей каждого атома противоположны направлению момента этого атома (рис. 5.28).
5.34.	УСЛОВИЯ ФАЗОВОГО РАВНОВЕСИЯ. УРАВНЕНИЕ КЛАПЕЙРОНА-КЛАУЗИУСА
Рассмотрим двухфазную систему в состоянии равновесия образующих ее фаз. Первые два условия такого равновесия очевидны — должны быть равны температуры и давления обеих фаз, т. е. Т] = Т 2, Р] = Рг- Для получения третьего условия фазового равновесия воспользуемся принципом минимума термодинамического потенциала, согласно которому при равновесии этот потенциал имеет минимальное значение, и потому его дифференциал равен нулю:
dG = 0.
(5.161)
388
Раздел 5
В данном случае термодинамический потенциал является функцией давления, температуры и числа частиц в фазах:
G = G(P, Т, JVj, N2).
Поскольку давление и температура фиксированы, то
dG = — dN. + dN2.
8N,	1 dNx 2
Дифференциалы dN1 и dNs связаны очевидным соотношением dNi =-dNs , поэтому условие (5.161) принимает вид:
(AJ C\J __ Q
dN,~ aVj “ 
С учетом этого и 5.157, соотношение, выражающее третье условие фазового равновесия, записывается в следующей окончательной форме:
щ = Р2,	(5.162)
то есть при фазовом равновесии должны быть равны химические потенциалы фаз.
Напомним, что будучи выражены как функции давления и температуры, химические потенциалы не зависят от числа частиц. Поэтому условие (5.162) является уравнением связи давления и температуры в равновесных состояниях фаз:
щ (Р, Т) = р2 (Р, Г).
(5.163)
Кривая, определяемая этим уравнением, называется кривой фазового равновесия (рис. 5.29). Каждая ее точка соответствует равновесию фаз. Точки, лежащие по обе стороны от этой кривой,
соответствуют таким состояниям системы, в которых она пред-
ставлена только одной фазой, В зависимости от того, с какой стороны расположена точка, это будет либо фаза 1, либо фаза 2. Например, если изображенная на рисунке кривая является кривой равновесия системы жидкость-пар, то фаза 1 — это жидкость, фаза 2 — пар.
На практике часто используются фазовые диаграммы в координатах температура-объем (рис. 5.30). На таких диаграммах равновесию фаз соответствует область между двумя кривыми и 12. Точки по сторонам от этой области соответствуют однофазным состояниям системы — фазе 1 и фазе 2. Кривая Д — это кривая начала перехода фазы 1 в фазу 2, а 12 — кривая завершения этого перехода. Если же рассматривать обратный переход фазы 2 в фазу 1,
то, очевидно, эти кривые меняются ролями. Такой вид фазовых
диаграмм в координатах TV обусловлен различием плотностей фаз. Вследствие этого различия объем системы непрерывно изменяется по мере перехода одной фазы в другую при неизменных температуре и давлении.
Далее рассмотрим трехфазную систему, например, систему: лед, вода и водяной пар. Условие равновесия (5.162) теперь имеет вид:
Статистическая физика и термодинамика
389
Hi (Р, Т) = ц2 (Р, Т) = р3 (Р, Т), что представляет собой систему двух уравнений с двумя неизвестными, имеющую определенное решение (Р, Т ). Точка, соответствующая этому решению, называется тройной точкой. В этой точке сходятся кривые Z]2, £13 и Z23 попарного равновесия фаз и имеет место взаимное равновесие всех трех фаз (рис. 5.31). Области 1, 2 и 3 между
однофазным состояниям системы, конкретно — газообразной 1, жидкой 2 и твердой 3 фазам.
В заключение получим для двухфазной системы уравнение, выражающее связь давления с температурой вдоль кривой фазового равновесия (рис. 5.29). Продифференцируем условие (5.163) по температуре, полагая давление функций температуры Р = Р (Т):
. Рис. 5.30
кривыми соответствуют
^8TJp + (зР)т ' dT [зтJp ^SPJT ' dT '
С учетом-(5.159) и (5.123), если ввести обозначения Я] = Sl/N1, Я® = S2/N2, V? =	= V2/N2, полученное соотношение при-
нимает вид:
dP S? ~ S° dT V® - V®’
(5.164)
где Я®, Я®, V?, V2 и — энтропия и объем, отнесенные к одной частице. Умножив числитель и знаменатель правой части на число частиц в единице массы, перейдем к удельной энтропии и удельному объему. Учитывая изотермичность фазовых переходов, разность удельных энтропий можно выразить через удельную скрытую теплоту перехода q:
s?-s§ = £.
При этом надо помнить, что q > 0, если Я? > Я§, т. е. если переход от первой фазы ко второй сопровождается выводом теплоты из системы и, соответственно, q < 0, если теплота вводится в систему.
В результате соотношение (5.164) принимает следующий окончательный вид:
dT т (У°- V®) ‘	(5165)
Полученное уравнение называется уравнением Клапейрона—Клаузиуса. Оно обычно применяется для определения температур фазовых превращений в зависимости от давления.
Пользуясь формулой Клапейрона-Клаузиуса, выведем формулу зависимости давления от температуры при фазовом
Рис. 5.31
390
Раздел 5
переходе жидкость пар в области давлений, малых по сравнению с критическим давлением.
В этой области можно принять три следующих допущения: пренебречь удельным объемом жидкости по сравнению с удельным объемом пара: V? « считать пар идеальным газом; считать скрытую теплоту преобразования не зависящей от температуры.
Применим к единице массы пара уравнение состояния PV = = ВТ, где В = В/ц — удельная газовая постоянная. Посчитаем теплоту парообразования положительной, что требует замены знака q на обратный в формуле Клапейрона- Клаузиуса (5.165):
dP = i
dT В Т2'
Выполнив интегрирование, получим:
In Р = -	+ const.	(5.166)
1
Для определения постоянной интегрирования выбираем произвольную точку на кривой фазового равновесия и обозначаем давление и температуру в этой точке Pq и То. Тогда
const = In Ро + ^ • у- .
Подставив это выражение в (5.166) и выполнив потенцирование, получим окончательный результат: О
Р -  exp	- —jj.
5.35.	ТЕОРЕМА НЕРНСТА
Начнем с формулировки этой важной для термодинамики теоремы.
При стремлении температуры тела к нулю, его энтропия также стремится к нулю независимо от значений внешних параметров:
S I -> 0.
I т -ю
Подчеркнем независимость результата от внешних параметров. Например, тело можно охлаждать в недефор-мированном состоянии, в сжатом или растянутом состоянии. Во всех этих случаях внешние параметры будут разные, но стремление энтропии тела к нулю при Т —> 0 сохранится.
Нернст пришел к этой теореме при исследовании химических реакций в условиях весьма низких температур. Поэтому в термодинамике теорема Нернста выступает как опытный факт, не вытекающий из первого и второго принципа. На этом основании, а также с учетом
Статистическая физика и термодинамика
391
большой практической значимости теорема Нернста рассматривается как третий принцип термодинамики.
Теорема Нернста применима только к телам, для которых состояния при абсолютном нуле температуры являются состояниями полного внутреннего равновесия. С квантовомеханической точки зрения такая ситуация возможна лишь в том случае, когда основное состояние тела (состояние с наименьшей энергией) невырождено. Практически применимость теоремы сводится к трем случаям.
1.	Кристаллы с полной упорядоченностью внутренней структуры.
2.	Жидкий гелий II — изотоп гелия
3.	Некоторые вырожденные газы элементарных частиц.
Аморфное состояние не является состоянием полного внутреннего равновесия твердых тел. Поэтому теорема Нернста неприменима к аморфным телам.
Рассмотрим наиболее важные следствия из этой теоремы.
Теорема Нернста привносит естественное начало отсчета энтропии. В общем случае внутренняя энергия тела и выражаемая через нее теплоемкость зависят от объема и температуры, и можно записать:
Известно, что при интегрировании функции двух переменных вместо произвольной константы интегрирования появляется произвольная функция переменной, по которой не производилось интегрирование:
S = о (V, Т) + v (V).
Здесь и (V, Т) — известная функция, результат взятия интегрирования, а у (V) — произвольная функция. Следовательно, в общем случае энтропия определяется с точностью до произвольной функции объема. Это делает невозможным определение не только самой энтропии, но и ее изменений при переходах между состояниями, поскольку ц/ (V) при этом не приводится к нулю:
S2 - S, = о (V2, Т2) - и (У„ ТО + v (V2) - Ф (Г,).
В результате блокируется, весь расчетный аппарат термодинамики. Выход из этой ситуации дает теорема Нернста.
392
Раздел 5
S | r = o = о (F,0) + у (V) = О,
У (V) = -о (V, О); S = о (V, Т) - о (V, 0), и энтропия становится определенной.
Из того факта, что стремление энтропии к нулю не зависит от внешних параметров, следует, что существует множество состояний с нулевой энтропией, различающихся значениями внешних параметров. Эти состояния лежат на нулевой адиабате — самой нижней из семейства адиабат тела (рис. 5.32). Поскольку <8 = 0 только при 7 = 0, нулевая адиабата одновременно является нулевой изотермой.
При движении вдоль нулевой адиабаты происходит сжатие или растяжение кристалла действием внешних сил. При этом совершается работа, но температура кристалла остается равной нулю. Отсюда следует, что совершаемая на нулевой адиабате работа направлена на изменение нетепловых форм внутренней энергии, т. е. форм, не зависящих от температуры и не исчезающих при абсолютном нуле. В кристалле такими формами являются энергия нулевых колебаний атомов и энергия межатомных взаимодействий, которая с макроскопической точки зрения предстает как упругая энергия кристалла.
Очень важный вывод из теоремы Нернста состоит в том, что теплоемкость кристаллов (с) стремится к нулю при стремлении к нулю абсолютной температуры. Покажем это. Известно, что
_ dQ _ гр dS dT dT '
Из теоремы Нернста следует, что вблизи абсолютного нуля производная конечна. Тогда, как видно из предыдущей формулы:
с I -» 0; с I =0, I Т О	I т - о
что и требовалось доказать.
Этот вывод находится в резком противоречии с классической физикой. В соответствии с классическим законом Дюлонга и Пти теплоемкость кристалла не зависит от температуры и равна
с = 3Nk,
Статистическая физика и 'термодинамика
393
где k — постоянная Больцмана, а N — число атомов в- кристалле. Было установлено, что в области низких температур классическая физика вообще неприменима и потому возникла задача создания квантовой теории кристаллов. Эта
задача оказалась весьма сложной
и была решена далеко не сразу.	Рис- 5-32
Кратко изложим современный
подход к решению этой задачи (подробнее см. п. 5.61
и п. 5.62). Кристалл рассматривается как система вза
имосвязанных квантовых осцилляторов, поскольку колебания каждого атома происходят в условиях взаимодействия с окружающими его соседними атомами. Было
установлено, что при малых амплитудах такие взаимосвязанные колебания можно представить в виде трехмерной системы независимых стоячих упругих волн в кристаллической решетке, а каждую стоячую волну можно представить как суперпозицию двух бегущих навстречу друг другу волн одинаковой амплитуды. Такие бегущие волны характеризуются определенным набором частот to = to (fe), где fe — квазиволновой вектор, причем наименьшая частота определяется размерами кристалла, а наибольшая — межатомными расстояниями. Эти волны квантованы, т. е. энергия каждой бегущей волны изменяется конечными порциями АТУв = ha, пропорциональными частоте волны.
С формальной точки зрения оказывается, что уравнения, описывающие упругие волны, можно путем замены переменных преобразовать к виду, в котором они описывают движение неких «эффективных» гипотетических, т. е. реально не существующих частиц, которые были названы фононами. Таким образом, эти преобразованные уравнения представляют низколежащие (близкие к основному состоянию) возбужденные состояния кристалла как газ фононов. Самое интересное здесь то, что свойства этого фононного газа отражают как в качественном, так и в количественном аспекте многие низкотемпературные свойства кристалла. Это обусловлено тем, что формально математические преобразования уравнений путем перехода к другим переменным не изменяют закономерностей, заложенных в основу этих уравнений. Заметим, что изложенный здесь метод
394
Раздел 5
широко используется при решении и ряда других задач физики. Он получил название «метода квазичастиц», поскольку описываемые преобразованными уравнениями «эффективные» гипотетические частицы названы «квазичастицами». Например, помимо фононов в физике вводятся еще и другие квазичастицы: эксистоны, плазмоны, магноны и т. д.
На основе изложенного теплоемкость фононного газа при низких температурах должна совпадать с решеточной частью теплоемкости кристалла. Теплоемкость такого газа рассчитывается просто, и в области низких температур расчет приводит к формуле:
с = const • Т3,
совпадающей с опытными данными и не противоречащей теореме Нернста.
Из теоремы Нернста следует еще один принципиально важный вывод. Он состоит в том, что к абсолютному нулю температуры можно подойти как угодно близко, но точно достигнуть абсолютного нуля невозможно. Другими словами, приближение к абсолютному нулю носит асимптотический характер. Формально это обусловлено тем, что стремящаяся к нулю теплоемкость вблизи абсолютного нуля становится исчезающе малой. Это означает, что в непосредственной близости к абсолютному нулю кристалл практически перестает отдавать внутреннюю энергию в форме теплоты. Физически это объясняется тем, что кристалл переходит в основное квантовое состояние, т. е. в состояние с наименьшей возможной энергией. Как известно, в таком состоянии квантовые объекты не вступают во внешние взаимодействия, в результате которых они должны были бы отдать часть своей энергии.
5.36.	ТЕРМОДИНАМИКА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ФАЗ
Свойства поверхности раздела фаз характеризуются величиной а, называемой коэффициентом поверхностного натяжения и определяемой изотермической работой, необходимой для увеличения поверхности раздела на единицу площади:
Статистическая физика и термодинамика
395
а =	.	(5.167)
da
Здесь do — элемент площади. Поскольку изотермическая работа над системой равна изменению свободной энергии:
dA
Т - const
= dF,
то соотношение (5.167) может быть
записано в, виде:
dF Ct = — аа
Напомним, что при равновесии фаз из равенства их химических потенциалов следует однозначная связь между давлением и температурой в состояниях равновесия, отображаемая кривой фазового равновесия в координатах PV. Поэтому коэффициент поверхностного натяжения является функцией не двух, а одной переменной 7 : a = a (Г).
Рассмотрим увеличение площади поверхности раздела фаз действием внешней силы /, уравновешивающей силу поверхностного натяжения на отрезке длиной «d* (рис. 5.33). Совершаемая при перемещении на dl работа выражается следующим образом:
dA = f-dl = ad-dl = a- du.
Отсюда следует:
то есть коэффициент поверхностного натяжения равен силе поверхностного натяжения, действующей на единицу длины линии на поверхности раздела. Эта сила представляет собой суммарную силу взаимного притяжения молекул, расположенных по разные стороны от этой линии.
. Получим формулу для энтропии участка поверхности раздела фаз площадью о с учетом того, что свободная энергия этого участка описывается соотношением F = ао:
= _djao)=s	da	(5.168)
dT	dT	>	'
Теперь, используя определяющую формулу свободной энергии F = Wu - TS и соотношение (5.168), получим выражение для энергии поверхности раздела фаз:
- Г—1
396
Раздел 5
WB = F + TS = ас - о T 	= о - T .
В заключение получим формулу для теплоты, поглощаемой при изотермическом увеличении площади поверхностного раздела фаз с щ до а2:
Q = Т (S2 - SJ = -Г •	• (о2 - О1).
С повышением температуры коэффициент поверхностного натяжения убывает и при критической температуре обращается в нуль. *
5.37.	КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА. МЕТАСТАБИЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Рассмотрим экспериментальные изотермы жидкости, пара, газа и перехода жидкость—пар (рис. 5.34). Кривая KL соответствует точкам начала кипения, кривая КМ — точкам конца кипения. Объединенная кривая LKM называется бинодалью. Точки под бинодалыо соответствуют равновесию жидкости и пара, то есть пар в этих точках является насыщенным. Соответствующие равновесию участки изотерм одновременно являются изобарами.
Из рис. 5.34 видно, что с ростом температуры точки начала и конца кипения сближаются и, в точке К, называемой критической точкой, они совпадают. В этой точке отсутствует расслоение вещества на жидкость и пар; вещество в ней, обладая свойствами и жидкости, и пара, не является ни жидкостью, ни паром. Молекулы объединены в конгломераты, которые распадаются и вновь образуются. Напомним, что полная энергия системы взаимодействующих частиц, не находящейся во внешнем поле, складывается из суммарной кинетической энергии и энергии взаимодействия:
WB = Z +	•
i
Поскольку в межмолекулярных взаимодействиях превалируют силы притяжения, энергия взаимодействия для молекулярных систем отрицательна. Если полная энергия системы частиц положительна, то система может расширяться до бесконечного объема. Такая ситуация имеет место для газов. Наоборот, если полная
Статистическая физика и термодинамика
397
энергия отрицательна, то существует конечный объем, за пределы которого система расшириться не может. Такая ситуация имеет место, например, для жидкостей. В критическом состоянии полная энергия близка к нулю, поэтому вещество в этом состоянии обладает как признаками жидкости, так и признаками пара.
На рис. 5.35 обозначены область жидкого состояния (Ж), области пара (П), область газа (Г) и область равновесия жидкости и пара (Ж + П). Как видно из рисунка, разграничения этих областей производятся бинодалью и критической изотермой Тк. Различие между паром и газом состоит в том, что при изотермическом сжатии пара происходит его конденсация в жидкость, а при изотермическом сжатии газа его переход в жидкое состояние невозможен. Для сжижения газа его сначала надо охладить до температуры ниже критической, то есть превратить в пар.
Выведем уравнение состояния реального газа, называемое уравнением Ван-дер-Ваальса. Напомним, что полное давление газа складывается из кинетического давления Рк, обусловленного тепловым движением молекул, и потенциального давления Рр, обусловленного межмолекулярными взаимодействиями:
Р = Pk + Р„-
Кинетическое давление для одного моля газа можно выразить из уравнения состояния идеального газа, поскольку в нем существует только эта форма давления:
Р-_К£_	(5.169)
* V - ь '
Здесь учтено, что вследствие конечности размеров молекул для молекулярного движения доступен не весь объем сосуда V, а его уменьшенная часть V — Ь, где b — собственный объем молекул, учитывающий
398
Раздел 5
их отталкивание на расстояниях, меньших диаметра молекулы. Потенциальное давление равно суммарной силе межмолекулярных взаимодействий, передаваемых через единичную площадку в веществе:
рР = ^-	(5-170)
На рис. 5.36 видно, что если с обеих сторон площадки dS находятся по две молекулы, то через площадку передаются четыре взаимодействия. Если концентрацию молекул в газе удвоить, то с обеих сторон будет по четыре молекулы и через площадку будут Передаваться шестнадцать взаимодействий. Следовательно, сила df пропорциональна квадрату концентрации молекул «п»:
df ~ nzdS; п = &, df~^.	(5.171)
Здесь Na — число Авогадро. Подставим (5.171) в (5.170) и перейдем от пропорциональности к равенству, введя коэффициент пропорциональности «-а». Знак минус обусловлен тем, что межмолекулярные силы на расстояниях, больших эффективного диаметра молекул, являются силами притяжения и потому их действие ослабляет давление газа на стенки сосуда. В итоге получим:
о = _А.	(5.172)
р у» •
После подстановки (5.169) и (5.172) в соотношение Р = Рк + Рр получим уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа:
(р + (V - b) = RT.	(5.173)
Величины «а» и «Ь* называются константами Ван-дер-Ваальса. Они различны для разных газов. Для перехода от моля к произвольной массе газа «т» надо, очевидно, в (5.173) заменить V на V, где ц — молярная масса.
Тогда получим:
Рис. 5.36
Изотермы, построенные по уравнению Ван-дер-Ваальса и
Статистическая физика и термодинамика
399
приведенные на рис. 5.37, отличаются от изотерм, полученных экспериментально, а также от изотерм идеального газа. Уравнение состояния идеального газа (5.1), является уравнением первой степени относительно объема V и графически представляется гиперболой: давление монотонно убывает с увеличением объема; связь между давлением и объемом однозначна.
Уравнение Ван-дер-Ваальса (5.173) — уравнение третьей степени относительно объема и имеет поэтому три корня (см. рис. 5.37). Например, давлению Р' соответствуют три значения объема V2> V4 и Ve, которые относятся к точкам 2, 4 и 6 на рис. 5.37. Только участки изотерм Ван-дер-Ваальса типа 1—2 и 6—7 подобны изотермам идеального газа, а также экспериментальным изотермам (рис. 5.34). Однако на участке 2—4—6 вид изотерм Ван-дер-Ваальса совершенно иной. Вместо экспериментальной прямой 2—4—6 теоретическая изотерма здесь зигзагообразна и имеет минимум (точка 3) и максимум (точка 5).
Сразу следует обратить внимание на то, что на восходящей части «зигзага» 3—4—5 изотермы Ван-дер-Ваальса производная dP/cV > О, то есть увеличение объема на этом участке должно сопровождаться увеличением давления. Такое состояние газа реализоваться не может, так как является абсолютно неустойчивым. Любые малые флуктуации объема газа в таком состоянии неизбежно переведут систему в устойчивое состояние (например, из точки 4 в точку 2 или точку 6).
Участки типа 2—3 и 5—б на изотермах Ван-дер-Ваальса также отвечают нестабильным состояниям
400
Раздел 5
вещества. Однако эта нестабильность неабсолютна (на указанных участках dP/dV < 0). Поэтому состояние вещества, соответствующее участкам 2—3 и 5—6 называется метастабильным. Экспериментально реализовать метастабильные состояния можно лишь в особых условиях и на ограниченное время.
Рассмотрим более подробно процесс расширения вещества по изотерме, которая соответствует температуре Т] (см. рис. 5.37). На участке 1—2 вещество остается в жидком состоянии. По мере увеличения объема давление Р, а также плотность вещества, уменьшаются. В точке 2 давление падает до значения, при котором температура оказывается равной температуре кипения жидкой фазы и в обычных условиях возникает двухфазная система «жидкость-пар» — изотерма переходит на прямолинейный участок 2— 4—6. Однако если жидкость не содержит растворенных газов и включений, то начало кипения может «задержаться» и дальнейшее увеличение объема переведет систему на участок метастабильных состояний 2—3, т. е. в область изотерм, соответствующих более низким, чем Ти температурам. Жидкость, состоянию которой соответствуют участки 2—3 рассматриваемой изотермы, называется перегретой. В метастабильном (перегретом) состоянии жидкость может находиться некоторое время т, а затем закипает, и стабильное состояние (точки на прямой 2—4—6) восстанавливается. Введение центров генерации пузырьков пара ускоряет закипание жидкости. Этот эффект положен в основу особого прибора (пузырьковой камеры) для регистрации треков заряженных частиц высоких энергий. В жидкости, заполняющей пузырьковую камеру, производят резкое уменьшение давления, и жидкость оказывается перегретой (переходит в состояние между точками 2 и 3 на рис. 5.37). Двигаясь в такой жидкости, быстрая микрочастица ионизирует расположенные на ее пути молекулы, что приводит к образованию пузырьков пара вдоль траектории микрочастицы. С помощью пузырьковой камеры были открыты и исследованы многие элементарные частицы.
Если вещество сжимать при температуре Т\, двигаясь по изотерме от точки 7 до точки 6 (рис. 5.37), то на этом участке оно будет оставаться в газообразном состоянии. По мере уменьшения объема давление и
Статистическая физика и термодинамика
401
плотность газа будут увеличиваться. В точке 6 давление возрастает до значения, при котором температура 7\ оказывается равной температуре конденсации газообразной фазы и в обычных условиях возникает двухфазная система «жидкость—пар» — изотерма переходит на прямолинейный участок 6—4—2. Однако если активные центры конденсации пара отсутствуют, то начало конденсации может «задержаться» и дальнейшее уменьшение объема переведет систему на участок метастабильных состояний 6—5, т. е. в область изотерм, соответствующих более высоким температурам. Поэтому пар, состоянию которого соответствуют участки 6—5 рассматриваемой изотермы, называется переохлажденным (или перенасыщенным). В метастабиль-ном пересыщенном состоянии пар может находиться в течение некоторого времени, а затем он частично конденсируется, и стабильное состояние (точки на прямой 6—4—2) восстанавливается. Введение активных центров конденсации пара ускоряет его переход в жидкость.
Пересыщенные пары используются в камерах Вильсона, предназначенных как и пузырьковые камеры, для регистрации движения микрочастиц. Образуемые вдоль пути микрочастицы ионы служат центрами конденсации, что приводит к образованию мелких капелек жидкости, которые в совокупности образуют трек микрочастицы.
На рис. 5.37 видно, что некоторые изотермы своими нижними частями заходят в область отрицательных давлений (участок 8—9—10). Отрицательное давление соответствует растянутому состоянию вещества, создаваемому действием растягивающих внешних сил. Например, если вода заключена в сосуд со стенками из материала, сила притяжения молекул которого к молекулам воды больше, чем сила притяжения между молекулами воды, то при не очень большом раздвигании стенок вода будет переведена в растянутое состояние с отрицательным давлением.
Тот факт, что на экспериментальных изотермах отсутствуют участки, соответствующие метастабильным состояниям и состояниям с отрицательным давлением, обусловлен тем, что в обычных экспериментах не создаются специальные условия для реализации этих состояний.
402
Раздел 5
5.38.	ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ. УСЛОВИЕ ХИМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
Q Химические реакции всегда протекают в двух противоположных направлениях. При отсутствии равновесия одно из этих направлений превалирует над другим. При химическом равновесии скорости реакций в обоих направлениях становятся одинаковыми.
Уравнения химических реакций записывается в виде:
X VjXi = О,
(5.174)
где — химические символы компонент реакции, vf — стехиометрические числа или стехиометрические коэффициенты. Например:
2Н2 + О2 - 2НгО = 0.
Здесь vH = 2 соответствует vo =1, и vHaO = -2.
В условиях химического равновесия при заданных давлении Р и температуре Т из принципа минимума термодинамического потенциала следует, что dG — 0. Поскольку
G = G (Р, Т, Nu Nz ... N„).
где Nj = Aj, N2, ..., Nk — числа частиц химических компонент, дифференциал dG выражается в виде:
k
dG = f—)	• dP +
Jt. n,
dN,. (5.175)
'P. Г. N/#l
Принцип минимума потенциала имеет место для изобарно-изотермических процессов, поэтому dP = 0 и dT = 0. Изменения в ходе реакции числа частиц химических компонент пропорциональны стехиометрическим числам этих компонент: Г SG
dNi~Vi. Производные 1^— = представляют химические по-
тенциалы компонент. Поэтому условие химического равновесия имеет вид:
Е ViHi = о.
(5.176)
Таким образом, для практического применения этого условия надо написать уравнение реакции в виде (5.174) и заменить химические символы х, на химические потенциалы ц,- соответствующих компонент.
Статистическая физика и термодинамика
403
5.39.	ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
Из закона возрастания энтропии следует, что энтропия изолированной системы при ее необратимой эволюции к равновесному состоянию возрастает за счет внутренних релаксационных процессов. О таком возрастании говорят как о производстве энтропии. Если система не изолирована, то ее энтропия может изменяться также за счет теплообмена и массообмена с внешней средой. Поскольку такие обмены осуществляются через поверхность, выделяющую систему из ее окружения, об этих изменениях говорят как о потоках энтропии. Поэтому общее уравнение баланса энтропии в необратимых процессах применительно к единичному объему имеет вид:
^S = -div Js + os.	(5.177)
at
Здесь S — энтропия единицы массы, ps — плотность вещества, Js — плотность потока энтропии, — производство энтропии в единице объема за единицу времени. Это уравнение по смыслу подобно уравнению неразрывности гидродинамики.
Производство энтропии выражается следующим обобщенным соотношением:
os = X Ji' Xb	(5.178)
где Jt — факторы необратимости, создающие энтропию. Эти факторы называются термодинамическими потоками, потому что в большинстве случаев они действительно являются потоками энергии и вещества. Величины X, характеризуют физические причины, действием которых создаются и поддерживаются термодинамические потоки. Эти величины называются термодинамическими силами, соответствующими потокам. Обычно такие силы представлены градиентами термодинамических параметров, создающими отклонения от равновесности.
При малых отклонениях от равновесности термодинамические потоки линейно зависят от термодинамических сил. Такие линейные взаимосвязи потоков и сил выражаются так называемыми феноменологическими уравнениями Онсагера:
J, = £ Lit  Xit	(5.179)
i
где Ljj — коэффициенты Онсагера или кинетические коэффициенты. Эти уравнения и выражаемая ими линейность составляют содержание теоремы Онсагера или принципа Онсагера.
Приведем несколько примеров факторов необратимости и обусловливающих их термодинамических сил Xt. Тепловой поток, обусловленный градиентом температуры; диффузионный поток, обусловленный градиентом концентрации; вязкий поток импульса, обусловленный градиентом скорости; электрический ток, обусловленный разностью потенциалов; скорость химической реакции, обусловленная химическим сродством реакции.
404
Раздел 5
Разные термодинамические силы Ху могут создавать одни и те же потоки Jt. Например, диффузионные потоки в разных видах диффузии обусловлены разными физическими причинами и, соответственно, разными силами Ху. Концентрационная диффузия обусловлена градиентом концентрации; электродиффузия заряженных частиц обусловлена разностью потенциалов; термодиффузия обусловлена градиентом температуры; бароди(]х])узия обусловлена давлением и силой тяготения.
Имеет место и обратная ситуация — одна и та же термодинамическая сила Ху может создавать разные потоки Jt. Например, градиент температуры создает тепловой поток, а в условиях термодиффуэии он создает диффузионный поток.
Возможна и такая ситуация, когда термодинамическая сила Хт создает поток Jn, которому соответствует сила Хп и наоборот, сила Хп создает поток Jm, которому соответствует сила Хт. Например, градиент температуры при термодиффузии создает диффузионный поток, а градиент концентрации при диффузионном термоэффекте, называемом также эффектом Дюфура, создает тепловой поток. Такие ситуации называются перекрестными эффектами.
В теореме Онзагера помимо линейности взаимосвязей между силами и потоками содержатся так называемые соотношения взаимности Онзагера. Они выражаются следующим образом. Если термодинамическая система не находится во внешнем магнитном поле и не подвержена вращению, то Lmn = L„m, то есть коэффициенты Онзагера для перекрестных эффектов в феноменологических уравнениях равны. Если система находится в магнитном поле, то Lmn (В) = Lnm (В), т. е. эти коэффициенты будут равны, если при переходе к перекрестному эффекту изменяется направление поля на 180“. Если система подвержена вращению, то Lmn (со) = Lnm (-со), то эти коэффициенты будут равны, если изменяется направление вращения; здесь со — вектор угловой скорости вращения.
В заключение заметим, что теорема Онзагера играет большую роль в термодинамике необратимых процессов.
Соотношение (5.179) в теории Онзагера является постулатом, обобщающим простейшие эмпирические законы переноса, выраженные в математической форме законом Ома (5.20), Фика (5.'21) и т. п. Как и в указанных законах, в формуле (5.179) поток «7, пропорционален движущей силе Ху. Обобщение состоит, в частности, во введении «перекрестных» потоков «Ду и перекрестных кинетических коэффициентов Ljj. Поясним это на примере диффузии в двухкомпонентой системе с концентрациями компонентов Су и С2. Равновесие в такой системе наступает при равенстве химических потенциалов Ц] и р2 компонентов системы во всех точках системы (5.162). Если химический потенциал какого-либо компонента в разных точках системы не будет одинаков, то возникнут потоки этого компонента, которые и приведут к выравниванию химического потенциала. Эти потоки являются диффузионными. Движущей силой для иих служит градиент химического потенциала, т. е. Ху = -grad цу. Роль коэффициента диффузии выполняют коэффициенты Онзагера £(/. Если воспользоваться первым законом Фика (5.21), то для диффузии в двухкомпонентой системе следовало бы записать:
«7ц = —Ъц grad Hi, J22 = ~^22 grad р2-
Статистическая физика и термодинамика
405
Однако выражение (5.179) предусматривает возможность возникновения еще двух диффузионных потоков: потока первого (второго) компонента, вызванного градиентом химического потенциала второго (первого) компонента «Г12 = -Ьщ grad p2, J21 = = -L2i gra<l Hl- В итоге выражения для диффузионных потоков первого и второго потоков включают по два слагаемых:
= J и + *^12 ~ ~•^‘11 grad Mi — -^12 grad ji2,
TD Г	Г	Т д г	'	(5.180)
^2 — ^22 +	«Ли--L22	grad ц2 — Ь21 grad	pj,
где L12 и L2i — перекрестные кинетические коэффициенты диффузионного массопереноса. В простейшем случае градиент химического потенциала при диффузии порождается только градиентом концентрации компонентов. В таком случае выражение (5.180) может быть преобразовано к виду:
= -Dn grad Cj - Dlz grad C2,
= ~D22 grad C2 - _D2i grad C1(	(5.181)
где Du и Z>22 — коэффициенты диффузии соответственно первого и второго компонентов. Величины Pj2 и Z>21 называются перекрестными коэффициентами диффузии. Величина Di2 определяет вклад градиента концентрации второго компонента в диффузию первого компонента; П2] — учитывает диффузию второго компонента, возникающую из-за наличия градиента первого компонента. Таким образом, для описания диффузии в двухкомпонентой системе необходимо вводить четыре коэффициента диффузии. Аналогичным образом при описании диффузии в п-компонентной системе вводится в общем случае п2 коэффициентов диффузии, из которых коэффициенты типа £>„ называются собственными, а остальные Dt/ — перекрестными. Поток каждого из и компонентов описывается формулой типа (5.179):
J? = - X DU Srad С/>	2.... ”)•	(5-182)
)
В действительности коэффициентов диффузии значительно меньше, чем п2. Во-первых, эти коэффициенты удовлетворяют соотношениям взаимности, т. е. = Dj,. Это позволяет уменьшить число независимых коэффициентов диффузии до 0,5 • л • (и + 1). Дальнейшее сокращение числа коэффициентов диффузии достигается использованием приближения независимой диффузии. В таком приближении предполагается, что £>|?- = 0, если i * j. Это предположение соответствует эксперименту в том смысле, что обычно перекрестные коэффициенты значительно меньше собственных (А/)- В итоге в соотношениях (5.182) остается п собственных коэффициентов диффузии, что соответствует прежней теории, в которой поток атомов любого сорта считался независящим от градиентов концентрации атомов другого сорта.
В заключение еще раз подчеркнем, что теория Онзагера лежит в основе линейной термодинамики необратимых процессов. Линейность уравнений (5.178) и (5.179) ограничивает применимость этой теории лишь для состояний и процессов, близких к равновесным. О
406
Раздел 5
5.40.	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВДАЛИ ОТ РАВНОВЕСИЯ
В начале настоящей главы (см. п. 5.15) отмечалось, что строго равновесных состояний макроскопических систем не существует. Нет и строго равновесных процессов. Попытки исследовать реальные системы и процессы постоянно вынуждали создателей термодинамики выходить за пределы идеализированных схем, положенных в ее основу. Так появились представления о квазиравновесном состоянии, квазиравновесном процессе, стационарном состоянии, слабых отклонениях от равновесия и т. д. Возникла линейная неравновесная термодинамика (см. п. 5.39), в которой исследованы и обобщены многие неравновесные процессы природы и в первую очередь — диффузия, теплопроводность и т. д. В этой теории отклонения от равновесности считаются малыми, а соответствующие уравнения являются линейными (5.179). Однако и это приближение значительно ограничивает возможности адекватного термодинамического анализа многих природных макропроцессов. Поэтому дальнейшее развитие термодинамики было направлено на построение теории необратимых процессов в условиях, далеких от равновесных, когда необходимо использовать нелинейные уравнения. Самым впечатляющим итогом нелинейной термодинамики явилось объяснение возникновения в сильнонеравновесных открытых системах эффекта их самоупорядочения с образованием характерных устойчивых макроскопических структур. До развития нелинейной неравновесной термодинамики оставалось не вполне ясно, как в природных системах может без внешнего организующего вмешательства образовываться макроскопическая упорядоченность. Этот вопрос важен еще и потому, что является одним из ключевых во многовековом споре между религией и естествознанием о происхождении жизни, и ответ на него является исключительно важным для построения единой естественнонаучной картины мира.
Строго говоря, даже в системах, описываемых в рамках линейной неравновесной термодинамики (т. е. не очень удаленных от равновесия) можно наблюдать ситуацию, когда неравновесные состояния систем сопровождаются возникновением упорядоченности в них. Например, одним из случаев применения неравновесной ли
Статистическая физика и термодинамика
407
нейной термодинамики является термодиффузия. Если в объеме, содержащем смесь двух газов, создать градиент температуры, то один из газов концентрируется вблизи горячей стенки, а другой — у холодной. В результате упорядоченность системы увеличивается, а энтропия уменьшается, по сравнению с энтропией исходного состояния однородной смеси. В подобных случаях нельзя говорить об образовании высокоорганизованной упорядоченности, возникновении новой структуры в системе, но вывод о том, что неравновесные состояния и необратимые процессы могут быть источником упорядоченности, оказался принципиальным и послужил отправной точкой для развития современной неравновесной нелинейной термодинамики систем, находящихся вдали от состояния равновесия.
Системы, сильно удаленные от состояния термодинамического равновесия, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, связывающими потоки и термодинамические силы. Такие уравнения имеют, вообще говоря, более одного решения. Физически это проявляется в возможности различного поведения системы при одних и тех же внешних (граничных) условиях. Математический аппарат нелинейной неравновесной термодинамики весьма сложен, поэтому ограничимся лишь качественным описанием некоторых ее важнейших понятий и выводов.
Оказалось, что при значительном удалении от равновесия системы проявляют совершенно новые свойства. Выше некоторого уровня неравновесности в системе не только не увеличивается беспорядок, но возникают новые устойчивые структуры. Наглядным экспериментальным подтверждением этого тезиса, высказанного И. Пригожиным, является образование так называемых ячеек Бенара, обнаруженных еще в 1901 году. Этот эффект легко наблюдается в однородно нагреваемом снизу плоском слое жидкости (обычно для эксперимента используют слой минерального масла, смешанного с мелкодисперсным алюминиевым порошком). При постепенном увеличении мощности нагрева растет и тепловой поток, перпендикулярный плоскости слоя. Увеличивается неравновесность системы. До некоторого момента, пока градиент температуры невелик, механизм переноса тепла от нижней границы жидкого слоя к верхней является молекулярным (обеспечивается тепловым хаотическим движением молекул) и описывается линейным уравнением Фурье (5.23) или более строго —
408
Раздел 5
линейными уравнениями Оизагера (5.179). При дальнейшем нагревании начинается беспорядочная конвекция: нагретая жидкость поднимается, охладившаяся — опускается. Однако, если вертикальный градиент температуры превысит некоторое критическое значение, то пространственное распределение этих двух встречных потоков самоорганизуется так, что возникнет отчетливо выраженная стабильная структура. На рис. 5.38 такая структура изображена в поперечном сечении слоя жидкости; в плане слой имеет вид структуры, составленной из шестиугольных ячеек — конвекционных ячеек Бе-,нара. В центре каждой ячейки (точки а на рисунке) жидкость поднимается вверх, а по краям (точки б) опускается. Таким образом, при увеличении градиента температуры на смену устойчивой слабонеравновесной системе приходит сложное неустойчивое конвективное движение жидкости, которое затем порождает регулярную пространственную организацию системы. Более, чем 1О20 молекул движутся согласованно (когерентно), образуя конвективные ячейки некоторого характерного для данных условий размера и формы. В изолированной системе такой процесс был бы невозможен, так как когерентное поведение многих миллиардов частиц представляет собой чрезвычайно маловероятную быстро исчезающую флуктуацию. В открытой сильнонеравновесной системе некоторые флуктуации не только не затухают, как в равновесной системе, но, разрастаясь, захватывают всю систему, устанавливая в ней определенную упорядоченность. Появляющиеся в подобных случаях структуры радикально отличаются от равновесных структур, например, кристаллов, образование которых описывается равновесной термодинамикой.
Рис. 5.38
Статистическая физика и термодинамика
409
II
а.
in ; iv \ grad^
Рис. 5.39
0
Самоорганизующиеся структуры в сильнонеравновесных системах, получившие название диссипативных структур, могут существовать лишь за счет достаточно больших потоков энергии и вещества.
На рис. 5.39 приведена условная схема, отображающая смену термодинамических ситуаций в системе по мере уве-
личения в ней движущей силы grad £ (см. формулу 5.19) для некоторого обобщенного потока J. В точке 0 система находится в равновесном состоянии и описывается законами равновесной термодинамики. При появлении и увеличении движущей силы и нарастании соответствующего потока система становится все более неравновесной. Вблизи grad £ = 0 (область I на схеме) система слабонеравновесна и линейна (уравнения (5.179), связывающие потоки и их движущие силы, линейны); ее поведение строго детерминировано и описывается с помощью линейной неравновесной термодинамики (см. п. 5.39). В области I, т. е. в слабонеравновесной системе, возникающие флуктуации затухают, (как и в равновесной). Но при достижении движущей силы достаточно больших значений система меняет свое поведение, становясь нелинейной (область II), однакд упорядоченные структуры в ней еще не возникают.
Образование упорядоченных структур в неравновесных системах происходит вдали от состояния равновесия (область III). С увеличением движущих сил и потоков система становится неустойчивой. При этом некоторые флуктуации не только не гасятся, как в равновесном или слабонеравновесном случаях, а усиливаются за счет возникших положительных обратных связей в системе и захватывают всю систему. Вместо одного устойчивого варианта поведения системы появляется несколько новых.
Точка в пространстве параметров системы, вблизи которой в сильнонеравновесной и неустойчивой системе происходит переход к качественно иному типу поведения, называется точкой бифуркации. В этой точке (точка а на рис. 5.39) у системы появляется возможность выбора из нескольких допустимых вариантов поведения (наличие нескольких математических решений для
410
Раздел 5
нелинейного уравнения, описывающего систему). Этот выбор принципиально непредсказуем. После осуществления случайного выбора поведение системы на каком-то отрезке ее эволюции детерминировано (область самоорганизации Ш), затем система выйдет на новую точку бифуркации и т. д.
Таким образом, в поведении открытой сильнонеравновесной системы сочетаются случайность и детерми
нированность.
При дальнейшем увеличении движущих сил (и не-равновесности системы) возникают новые ветвления (область IV). Система, в которой бифуркации множественны, эволюционируя, достигает такой степени запутанности, что сложность тут становится уже беспорядком —
детерминированным хаосом, как принято называть подобное состояние.
Известны различные проявления самоорганизации в открытых сильнонеравновесных термодинамических системах. К числу классических примеров относятся так называемые «химические часы» (при определенных условиях некоторые химические реакции сопровождаются периодическим во времени и в пространстве изменениями концентрации реагентов). На рис. 5.40 микрофотография иллюстрирует картину пространственной самоорганизации, наблюдавшейся авторами настоящей книги в тонком (доли микрометра) слое раствора в расплаве на поверхности сильно нагретого кристалла кремния. В данном случае большие величины температурного градиента и теплового потока обусловливают образование множества одинаковых упорядоченных микрокапель и их когерентное движение вдоль на
правления градиента температуры.
Часто встречаются случаи, когда возникающая в процессе самоорганизации структура является в той или иной степени самоподобной — фрактальной. Фракталом назы-
вается объект, состоящий из частей, подобных целому. Природе очень «нравятся» фрактальные формы: к ним относятся электрические разряды, пористые тела, береговые линии водоемов и многое другое. На рис. 5.41 воспроизведена фрактальная «снежинка», полученная как результат моде-
Рис. 5.40
Статистическая физика и термодинамика
411
лирования неравновесного процесса на компьютере.
Можно привести множество других примеров самоорганизации в самых разных ее проявлениях — автоколебательные химические реакции, кооперативное поведение насекомых, процессы самодостраивания (регенерации) живых тканей, интуиция в процессе мышления, да и сама жизнь на Земле.
С такого рода процесса
ми связана историческая дискуссия естествознания и религии о происхождении жизни, о происхождении разума. Эволюционная теория достаточно хорошо описывает развитие, но не зарождение жизни и разума. Неоправданное применение классической термодинамики к открытым сильнонеравновесным химическим и биологическим системам приводило к выводу о чрезвычайно малой вероятности таких «флуктуаций», как появление высокоорганизованного белкового вещества из неорганической среды, развитие клеточных организмов. Но, как теперь ясно, биосфера в целом и ее различные компоненты (живые или неживые) существуют в сильно неравновесных условиях. И неравновесная термодинамика привносит в дискуссию о зарождении жизни совершенно новый элемент — объяснение возникновения жизни как не только принципиально возможного, но и весьма вероятного процесса. В этой связи жизнь предстает перед нами как высшее проявление происходящих в природе процессов самоорганизации.
Наряду с законами классической термодинамики идеи и выводы неравновесной термодинамики играют важную методологическую роль в современном естествознании и приобрели большое мировоззренческое значение.
5.41.	О СИНЕРГЕТИКЕ
Для описания процессов возникновения упорядоченности помимо неравновесной термодинамики были использованы также новые идеи и результаты изучения гидродинамических неустойчивостей, плазмы, лазерного излучения, колебаний и некоторых других явлений.
412
Раздел S
Общим в явлениях самоорганизации оказываются следующие признаки-
Во всех случаях система состоит из большого количества подсистем (частиц, частей), то есть является сложной. Конкретными подсистемами, составляющими в совокупности сложную систему, могут быть электроны, фотоны, атомы, молекулы, живые клетки, нейроны мозга, части технических устройств или организмов, животные и даже люди.
Как показано выше на примере неравновесной термодинамики, процессы самоорганизации возникают в неравновесных и нелинейных системах и проявляются в когерентном, кооперативном поведении подсистем.
При изменении определенных условий (управляющих параметров) в системе могут образовываться качественно новые структуры в макроскопических масштабах. Система обладает способностью переходить из однородного состояния в неоднородное, но при этом хорошо упорядоченное состояние или даже в одно из нескольких упорядоченных состояний (это может быть какая-либо пространственная структура или временная упорядоченность).
На основе осмысления общности всех процессов самоорганизации возникло новое синтетическое направление в науке — синергетика. Эта наука изучает принципы, управляющие процессами всех явлений самоорганизации в физике, химии, биологии, в технике и теории вычислительных систем, в социологии и экономике. Таким образом, под синергетикой понимают теорию самоорганизации в сложных неравновесных и нелинейных системах любой природы. Можно также сказать, что синергетика есть новая наука, занимающаяся изучением возникновения, поддержания, устойчивости и распада самоорганизующихся структур, кооперативных эффектов в них. Сам термин «синергетика», предложенный немецким физиком Г. Хакеном, обозначает «коллективное действие» и акцентирует внимание на кооперативности взаимодействия частей при образовании структуры как единого целого.
Синергетика заметно отличается от традиционной научной дисциплины: она не сложилась пока как единая наука, а существует как бы в нескольких вариантах, отличающихся не только названиями, но также степенью общности и полноты результатов и непосредствен
Статистическая физика и термодинамика
413
ным предметом исследований. Важнейшим из таких вариантов синергетики можно считать описанную выше (п. 5.40) неравновесную термодинамику (теория диссипативных структур). Синергетическими по существу теориями являются математическая теория бифуркаций, теория хаоса, теория нелинейных колебаний и волн, нелинейная динамика, теория фазовых переходов и некоторые другие.
Можно сказать, что сейчас синергетика — это круг общих идей о принципах самоорганизации и вместе с тем сумма общих математических методов для ее описания. Предпринимаются все более активные попытки использования этих идей и методов в экологии, социологии и экономике.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	В чем особенности термодинамического метода?
2.	В чем причина невозможности строго равновесных процессов в макроскопических системах?
3.	Какие процессы называются обратимыми и в чем состоит условие обратимости?
4.	Что такое релаксационные процессы и какие физические процессы обычно выступают в этой роли?
5.	Какие процессы называются квазиравновесными и квазиобратимыми?
6.	Дайте термодинамические определения понятий работы и теплоты.
7.	Запишите и поясните общее выражение для элемента работы.
8.	Сформулируйте первый принцип термодинамики.
9.	Что такое функции состояния?
10.	Какие процессы называются адиабатическими и какие два способа их осуществляют?
11.	За счет чего совершается работа при адиабатическом процессе?
12.	Запишите и поясните уравнение Пуассона.
13.	Работа идеального газа при изобарическом, изотермическом процессах.
14.	Работа идеального газа при адиабатическом процессе с идеальным газом.
15.	Чем обусловлена важная роль цикла Карно?
16.	В чем состоит принципиальная и техническая стороны проблемы КПД тепловых машин?
414
Раздел 5
17.	Поясните принцип работы МГД-генератора.
18.	Приведите и поясните формулировку Томсона второго принципа термодинамики.
19.	На основе анализа цикла тепловой машины покажите, какую роль играет холодильник и почему без него невозможен отличный от нуля КПД.
20.	Что такое вечный двигатель второго рода?
21.	Сформулируйте теорему Карно и ее физический смысл. Сформулируйте принцип Ле Шателье-Брауна.
22.	Сформулируйте теорему Клаузиуса и укажите область ее применимости как одной из формулировок второго принципа термодинамики.
23.	Что такое энтропия; ее свойства?
24.	Запишите первый принцип термодинамики для обратимых процессов.
25.	Охарактеризуйте энтропию как меру беспорядка.
26.	Модель локального термодинамического равновесия.
27.	Приведите общую формулу для энтропии идеального газа.
28.	Сформулируйте и запишите закон возрастания энтропии.
29.	Какие процессы и в каких условиях запрещены законом возрастания энтропии?
30.	Приведите четыре основные термодинамические функции, принцип их введения, их математические выражения.
31.	Что такое энтальпия и свободная энергия?
32.	Поясните сущность метода термодинамических функций как расчетно-исследовательского метода.
33.	Почему термодинамические функции не могут быть получены в рамках термодинамики?
34.	Сформулируйте принцип минимума свободной энергии.
35.	В чем состоит принцип минимума термодинамического потенциала?
36.	Сформулируйте теорему Нернста.
37.	Поясните подход квантовой теории кристаллов к проблеме теплоемкости кристаллов в области низких температур.
38.	Что такое химический потенциал и как он выражается через основные термодинамические функции?
39.	Приведите и поясните уравнение Ван-дер-Вааль- * са; изотермы Ван-дер-Ваальса.	s
Статистическая физйка и термодинамика 415
40.	Опишите механизм возникновения упорядоченности в сильно неравновесных системах; приведите примеры самоорганизации в неравновесных системах.
41.	Что такое «точка бифуркации»?
42.	Что такое фрактальный объект?
43.	Дайте определение синергетике.
44.	Приведите и поясните соотношения Максвелла.
45.	Приведите и поясните уравнения Гиббса-Гельмгольца.
46.	Опишите основные свойства фазовых переходов второго рода.
47.	Какие фазовые превращения относятся к переходам первого рода?
48.	Опишите основные свойства фазовых переходов второго рода.
49.	Какие фазовые превращения относятся к переходам второго рода?
50.	Сформулируйте условия фазового равновесия.
51.	Приведите и поясните формулу Клапейрона-Клаузиуса.
52.	Что такое равновесие трехфазной системы; тройная точка?
53.	Условие химического равновесия.
54.	Опишите основные представления линейной неравновесной термодинамики. Уравнения Онзагера.
Глава 5.3
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
5.42. ВЕРОЯТНОСТЬ, СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ФЛУКТУАЦИЯ
Статистическая физика широко использует теорию вероятностей. Поэтому напомним некоторые понятия и положения этой теории. Допустим, что производится серия из N опытов и в п опытах этой серии появилось некоторое событие. Предел отношения
lim = со
называется вероятностью этого события. При практическом определении вероятности число опытов N является конечной величиной, но оно должно быть достаточно большим. Опыты повторяются, пока отношение перестанет испытывать заметные изменения. Определенная таким путем вероятность нормирована к единице, т. е. вероятность достоверного события, когда п = N, равна единице.
Весьма часто приходится рассматривать вероятность нескольких событий. При этом различают два предельных случая — независимые и взаимоисключающие (или альтернативные) события. Для независимых событий имеет место теорема умножения вероятностей, согласно которой вероятность совмещения таких событий равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности:
(О = Г7 (О; =.<*>] ’ Ы2 ' Ы3 •••
1 = 1
где — символ произведения. Пример: одновременно
I
бросаются два игральных шестигранных кубика и опре-
Статистическая физика и термодинамика 417
деляется вероятность того, что на одном кубике выпадет 2, а на втором — 4. Эта вероятность равна 1/6  1/6 = = 1/36,
Для альтернативных событий имеет место теорема сложения вероятностей, согласно которой вероятность объединения таких событий равна сумме вероятностей объединяемых событий:
I
о = (йг = £0] + (й2 + <в3 + ... <о(. i = i
Пример: бросается игральный кубик и определяется вероятность того, что выпадет 2 или 4. Эта вероятность равна 1/6 + 1/6 = 1/3.
Допустим, что регистрируется величина, которая может принимать несколько различных значений а1г а2, аЙ, ... , а„, причем каждому значению соответствует своя вероятность О], со2, ••• В теории вероятностей показывается, что среднее значение такой величины (а) выражается как
(а) =	 а,.	(5.183)
Сумма, стоящая здесь в правой части, называется математическим ожиданием регистрируемой величины. Если возможные значения этой величины образуют не дискретный ряд, а непрерывную последовательность, например, в интервале О < а < а*, то сумма в (5.183) переходит в интеграл:
а
(а) = 5 а • dw, i
где dto — вероятность того, что значения регистрируемой величины лежат в бесконечно малом интервале от а до а + da.
Знание только лишь среднего значения величины, ничего не говорит о разбросе возможных значений этой величины. Если такой разброс велик, то среднее значение обесценивается в том смысле, что в большинстве случаев регистрируемые значения будут далеки от среднего значения. Наоборот, если разброс мал, то ценность и значимость среднего значения резко возрастают, ибо
14 Зак. № 845
418
Раздел б
в большинстве случаев регистрируются значения, очень близкие к среднему. Отсюда следует, что для достаточно полной информации о величине, принимающей различные значения, помимо ее среднего значения, надо еще иметь величину, характеризующую отклонения от среднего значения.
Введем величину, называемую средним квадратом отклонения от среднего значения:
< (а - (а))2 >.	(5.184)
Здесь буквой «а» обозначены возможные значения регистрируемой величины и усреднение производится по всему набору этих значений. Квадратный корень из (5.184) называется среднеквадратичным отклонением от среднего значения:
>/< (а - (а))2) = Да.
Эта величина и является абсолютной мерой отклонения от среднего значения. Она обычно называется среднеквадратичной флуктуацией величины. Более информативным является отношение среднеквадратичной флуктуации к среднему значению величины, называемое относительной флуктуацией:
(а)	-е‘
Если в « 1, то разбросом возможных значений случайной величины можно пренебречь и можно принять среднее значение за истинное фиксированное значение.
5.43. ПРЕДМЕТ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
Статистическая физика изучает свойства макроскопических систем, исходя из их атомно-молекулярного строения и на основе законов, характеризующих движение и взаимодействие атомов и молекул, образующих эти системы.
В макроскопической системе в ходе теплового движения молекул складываются различные «молекулярные ситуации» в распределении молекул по элементам объема, по импульсам и энергиям, по внутренним состояниям и т. д.
Статистическая физика и термодинамика
419
В статистической физике используется особый тип закономерностей, называемых статистическими закономерностями.
Статистическая закономерность выражает наиболее вероятную молекулярную ситуацию, складывающуюся в ходе теплового движения молекул. При большом числе молекул вероятность этой ситуации весьма велика по сравнению с вероятностями других ситуаций того же рода.
Как наиболее вероятная именно эта ситуация и весьма близкие к ней имеют место в течение основной части времени.
Иногда возникают ситуации, заметно отличные от наиболее вероятной. Но будучи весьма маловероятными, такие ситуации возникают редко и, возникнув, существуют недолго — система вновь возвращается к наиболее вероятной ситуации.
Отклонения от наиболее вероятной ситуации, как и отклонения величин от нх среднего значения, называют флуктуациями. Поэтому третью черту статистических закономерностей можно сформулировать так: значительные флуктуации, будучи весьма маловероятными, происходят очень редко и относительно кратковременны.
Весьма малые флуктуации происходят очень часто, почти непрерывно. Но будучи малыми, они не оказывают заметного влияния на поведение и свойства системы.
Таким образом, статистические закономерности принципиально отличаются от других, так называемых динамических закономерностей физики. Динамический закон выражает одну единственно возможную в данных условиях ситуацию, полностью исключая при этом все другие ситуации. Например, закон сохранения импульса, выражая сохранение полного импульса изолированной системы, исключает возможность изменения этого импульса в изолированных условиях. Статистический же закон, выражая наиболее вероятную ситуацию, не только не исключает, но утверждает возможность появления других ситуаций, заметно отличных от наиболее вероятных. Хотя, будучи весьма маловероятными, они возникают редко и существуют недолго, но главное здесь в том, что они реально существуют.
Статистические закономерности имеют место только для молекулярных коллективов с весьма большим числом молекул. Дело в том, что при уменьшении числа
420
Раздел 5
частиц убывает вероятность наиболее вероятной молекулярной ситуации и возрастают вероятности, других возможных ситуаций. В результате при относительно малом числе частиц отсутствует особо выделенная ситуация, вероятность которой намного превышает вероятности других ситуаций того же рода. Статистическая физика, однако, изучает макроскопические тела, число частиц в которых чрезвычайно велико (напомним, например, число Авогадро NA = 6,02 • 1026 кмоль ’). Для таких молекулярных коллективов вероятности наиболее вероятных ситуаций подавляюще велики по сравнению с вероятностями других ситуаций.
В заключение подчеркнем принципиальное различие причин статистичности в квантовой механике и в статистической физике. Статистический характер описания квантовых систем посредством волновой функции обусловлен статистической природой самих квантовых систем, которая выражается в том, что в одних и тех же внешних условиях оказываются возможными разные способы поведения этих систем, каждый из которых характеризуется своей вероятностью.
Статистичность при описании макроскопических систем методами статистической физики обусловлена тем, что для такого описания используется намного меньше исходных данных, чем для точного описания. Действительно, для точного описания внутренней эволюции системы и определения точных значений ее характеристик надо иметь информацию о движении каждой молекулы в системе. Для этого при классическом подходе надо для каждой молекулы составить и проинтегрировать уравнение движения с учетом начальных условий, в качестве которых надо указать начальные координаты и скорости молекул. Получить такую информацию о всех молекулах макроскопической системы невозможно. Практически невозможно и проинтегрировать столь грандиозное число взаимосвязанных дифференциальных уравнений. Еще сложнее обстоит дело при квантовом подходе, когда надо составить и проинтегрировать уравнение Шредингера с учетом начальной волновой функции. Например, уравнение Шредингера, в координатном представлении, будучи дифференциальным уравнением в частных производных, содержит 3N + 1 независимых переменных (пространственные координаты N частиц и время), где N — число частиц в системе. Начальная волновая функ
Статистическая физика и термодинамика
421
ция зависит от 3N независимых переменных (начальные координаты N частиц) и содержит информацию о начальных состояниях всех молекул системы. Практическая невозможность получения такого обилия информации и интегрирования такого уравнения очевидны.
Для определения характеристик макроскопической системы методами статистической физики необходима лишь информация об энергетическом спектре системы и кратности вырождения ее уровней энергии. На основе этих данных определяются средние по времени значения характеристик, весьма мало отличающихся от их точных значений.
5.44. МАКРО- И МЦКРОСОСТОЯНИЯ; СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ;
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Макросостоянием тела называется состояние, заданное значениями макроскопических параметров, характеризующих тела. Примеры таких параметров: объем, давление, температура, вектор поляризации, вектор намагничивания, концентрации компонент и т. д.
Напомним, что в квантовых системах квантуется каждая степень свободы и для каждой степени вводится свое квантовое число. Набор этих чисел определяет состояние квантовой системы. Если в системе N бесструктурных частиц, то у нее 3N пространственных степеней свободы и 3N соответствующих им квантовых чисел в указанном наборе.
Отметим две особенности квантовых систем с большим числом степеней свободы. Первая особенность состоит в большой густоте уровней энергетического спектра системы. Вторая — в высокой кратности вырождения этих уровней.
Принципиальные основы статистической физики выглядят более естественно и просто при квантовомеханическом подходе к изучаемым системам. Поэтому мы будем рассматривать макроскопические тела как квантовые системы с очень большим числом степеней свободы. И лишь потом перейдем к так называемому квазиклассическому приближению статистики этих тел.
Рассмотрим изолированную макроскопическую систему. В реальных условиях исключить полностью взаимодействия системы с внешней средой невозможно. Всегда остаются малые остаточные взаимодействия,
422
Раздел 5
:	сопровождаемые малой вариа-
-----------	цией энергии системы 6W 32ZZZZZZZZZZ	около некоторого определенно-
—---------------|eiv го значения W. При этом
' ' 6W « W. Вследствие очень большой густоты уровней и ;	большой кратности их вырож-
•	дения вариационному интер-
Рис. 5.42	валу 5VF, несмотря на его
малость, соответствует чрезвычайно большое число квантовых состояний, энергии которых располагаются в этом интервале (рис. 5.42).
Эти квантовые состояния называются возможными или допустимыми микросостояниями системы. Число таких состояний очень велико — порядка ef, где f — число степеней свободы системы. При этом одному макросостоянию соответствует весьма большое число микросостояний, посредством которых это макросостояние осуществляется. Дело здесь в том, что при переходах между несильно отличающимися друг от друга микросостояниями макроскопические параметры системы прак
тически не изменяются.
Теперь введем одно очень важное в статистической физике понятие. Представим себе набор копий изучаемой системы, причем каждая копия представляет систему в одном из ее возможных микросостояний, соответствующих рассматриваемому макросостоянию. Такой набор копий называется статистическим ансамблем данной системы. Очевидно, в этом ансамбле столько членов, сколько возможных микросостояний существует у системы, находящейся в рассматриваемом макросостоянии.
Внутренняя эволюция макроскопической системы состоит в непрерывном и очень быстром переходе между ее возможными микросостояниями. Оценим скорость смены микросостояний. В качестве системы рассмотрим 1 см3 газа при нормальных условиях. Микросостояния в этой системе изменяются при каждом молекулярном столкновении. По порядку величины число таких столкновений за одну секунду vs равно v • п, где v — средняя частота столкновений одной молекулы, п — число молекул в 1 см3 газа. Подставим порядки этих величин для нормальных условий:
vs - 108с 1 - 1019 см 3 = 1027 см 3 • с *.
Статистическая физика и термодинамика
423
Следовательно, смена микросостояний происходит за время т = l/vs - 10 27 с. Нетрудно показать, что ни одна ЭВМ не в состоянии предсказать микроэволюцию макроскопического тела, ибо скорость счета ЭВМ в принципе меньше скорости смены микросостояний. Действительно, размеры (а) считающего элемента ЭВМ (например микропроцессора) не могут быть меньше размера атома, а скорость сигнала в этом элементе не может быть больше скорости света (с). Поэтому длительность одной счетной операции по порядку величины не может быть меньше следующего значения:
а ~	10 8 см _ iq-18
с 1О10 см с'1
с.
Но, как видим, эта величина на девять порядков больше, чем время смены микросостояний. Поэтому, если в ЭВМ в качестве исходных данных ввести сведения о начальном микросостоянии тела, ЭВМ будет не в состоянии «обогнать» микроэволюцию тела и выдать информацию о последующих микросостояниях, через которые будет проходить тело в ходе своей эволюции. ЭВМ сможет выдать информацию только об уже пройденных состояниях.
В практической деятельности, например, при разработке новых технологий и создании новых машин и аппаратов, нам обычно бывают нужны значения макроскопических характеристик тел и систем. Таких, например, характеристик, как модули упругости и сдвига, коэффициенты адиабатической и изотермической сжимаемости, диэлектрическая и магнитная проницаемости, показатель преломления и т. д. Точные значения этих характеристик в какой-либо момент времени определяются тем микросостоянием, в котором находилось тело в этот момент. Следовательно, для знания точных значений микрохарактеристик надо иметь информацию о микроэволюции тела, позволяющую для каждого момента времени установить микросостояние. Но, как мы видели, это невозможно даже с помощью ЭВМ будущего.
Есть только один выход из этой ситуации. Вместо точных значений надо пользоваться макрохарактеристиками, т. е. средними значениями микрохарактеристик, усредняя их по всем возможным микросостояниям тела. Поскольку все микросостояния представлены в статистическом ансамбле тела, то речь идет о средних
424
Раздел 5
по ансамблю. Напомним, что средние значения величин определяются как их математические ожидания (5.183). Поэтому макрохарактеристика как среднее по ансамблю значение макрохарактеристики £ выражается в виде:
ф = Z <»&.
Здесь (ot — вероятность i-ro микросостояния, — значение £ в этом микросостоянии; суммирование производится по всем возможным микросостояниям тела или, другими словами, по всем членам статистического ансамбля. Набор вероятностей называется статистическим распределением. Одна из важнейших задач статистической физики состоит в нахождении таких распределений.
Существует одно обстоятельство, которое делает описанный подход к определению макрохарактеристик весьма ценным. В статистической физике показывается, что относительная флуктуация определяемой характеристики при таком подходе обратно пропорциональна квадратному корню из числа частиц в изучаемом теле:
Ч ft - & >	1
ft> W ’
Поскольку для макроскопических тел N весьма велико, то относительная флуктуация макрохарактеристики оказывается очень малой и потому среднее значение (£) следует рассматривать как истинное значение.
5.45.	ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА.
МИКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
ЭНТРОПИЯ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ физике
Важную роль в квантовой статистической физике играет следующее утверждение, называемое эргодичес-койягипотезой. Все микросостояния, соответствующие одному и тому же значению энергии, равновероятны между собой в том смысле, что за достаточно большой промежуток времени изолированная система пройдет через все свои микросостояния и в каждом из них побывает одинаково часто. Строгое доказательство этого утверждения отсутствует, но все получаемые с его помощью результаты согласуются с опытными данными. Вообще отметим, что при разработке какой-либо ста
Статистическая физика и термодинамика
425
тистики в ее основу закладывается некоторая гипотеза. Например, в основу статистики бросания игрального кубика заложена гипотеза о равновероятности выпадения всех граней этого кубика.
Эргодическая гипотеза непосредственно применима к изолированным системам ввиду чрезвычайно малости вариаций их энергии по сравнению с самими значениями этой энергии. Очевидным следствием такого применения является утверждение о том, что вероятности макросостояний изолированной системы пропорциональны числу микросостояний, посредством которых эти макросостояния осуществляются. Это утверждение, называемое микроканоническим распределением, в математической форме выражается соотношением
.185)
= const • О,.
Здесь оj — вероятность /-го макросостояния, Q, — число соответствующих ему микросостояний.
Статистические ансамбли изолированных систем называются эргодическими ансамблями. Очевидно, что все члены такого ансамбля равновероятны.
При вычислении макрохарактеристик системы имеют место два вида средних значений. Первый вид — это средние по времени, получаемые путем регистрации значений микрохарактеристики через равные промежутки времени и нахождения среднего значения полученных результатов. Второй вид — это средние по ансамблю, получаемые путем усреднения значений микрохарактеристики по всем членам статистического ансамбля системы. Если ансамбль эргодический, то все его члены одинаково часто реализуются в ходе микроэволюции системы. Но тогда средние по времени совпадают со средними по ансамблю и это совпадение является прямым следствием эргодической гипотезы.
Австрийский физик Людвиг Больцман, изучая взаимосвязь между термодинамическим и статистическим описаниями макроскопических систем, установил очень важное соотношение между энтропией макросостояния и соответствующим ему числом микросостояний. Это соотношение выражается так называемой формулой Больцмана:
426
Раздел 5
S = fe - In П, I	(5.186)
где k — постоянная Больцмана. Чтобы подчеркнуть большую важность этой формулы, выполняющей роль своеобразного мостика между термодинамикой и статистической физикой, заметим, что эта формула золотыми буквами написана на памятнике Больцману на венском кладбище.
Формула (5.186) устанавливает физический смысл энтропии, который не мог быть установлен в термодинамике вследствие ее феноменологического характера. Поскольку, согласно (5.185), числа макросостояний определяют для изолированных' систем вероятности макросостояний, энтропия, будучи пропорциональной логарифму числа микросостояний, также является мерой вероятности макросостояний. В этом и состоит физический смысл энтропии.
Рассмотрим два взаимодействующих макроскопических тела или две взаимодействующие части одного тела. Взаимодействие считается слабым, если энергия взаимодействия тел или частей тела мала по сравнению с внутренними энергиями этих тел или частей. При слабом взаимодействии микросостояния тел независимы между собой в том смысле, что любому микросостоянию одного тела может соответствовать любое микросостояние другого тела. Отсюда с очевидностью следует мультипликативность чисел микросостояний при слабых взаимодействующих. Напомним, что мультипликативной называется величина, значение которой для системы в целом равно произведению этих величин для частей системы. Таким образом
Q =	(5.187)
i
Такие слабо взаимодействующие части системы называются квазинезависимыми подсистемами.
Поскольку энтропия пропорциональна логарифму числа микросостояний, то мультипликативность числа микросостояний предопределяет аддитивность энтропии, то есть энтропия системы равна сумме энтропий ее частей:
i
Статистическая физика и термодинамика
427
5.46.	СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
В статистическом ансамбле изолированной системы подавляюще большая часть микросостояний соответствует макросостоянию равновесия и очень близким к нему макросостояниям. В связи с этим в статистической физике принято следующее определение: макросостояние, которому соответствует максимум микросостояний, называется статистическим равновесием. В математической форме условие такого равновесия выражается в виде
d (Q) = О.	(5.188)
Выясним, почему статистическому равновесию соответствует наибольшая доля микросостояний.
Равновесное состояние характеризуется определенной однородностью, выражающейся в том, что давление, температура и концентрации компонент имеют одинаковые значения во всех точках тела. При равновесии имеет место уравновешенность в обмене всех видов энергии. Например, если некоторый элемент поглощает энергию в форме излучения, то ровно столько же энергии он испускает также в форме излучения в том же интервале частот. Наконец, при равновесии сбаланиро-ваны все физические процессы в том смысле; что каждому процессу соответствует обратный процесс равной интенсивности. Например, каждой химической реакции соответствует протекающая с такой же скоростью противоположная реакция. Ионизации соответствует рекомбинация и т. д.
Из комбинаторики известно, что однородные, уравновешенные и сбалансированные ситуации всегда осуществляются намного большим числом способов, чем ситуации неоднородные, неуравновешенные и несбалансированные. Приведем простой пример. Рассмотрим систему из десяти иголок и укажем число способов, посредством которых осуществляются ситуации с различными взаимными ориентациями иголок в системе. В первой колонке таблицы 5.2 указаны номера ситуаций, первая ситуация соответствует случаю,' когда все десять острий направлены вверх (что указано во второй колонке), т.е. ноль острий направлено вниз (это указано в третьей колонке). В четвертой колонке приведено число способов, при которых реализуется эта ситуация.
428
Раздел 5
Таблица 5.2 Распределение иголок по ориентации			
номер ситуации	t	1	N
1	10	0	1
2	9	1	10
3	8	2	45
4	7	3	120
5	6	4	210
6	5	5	252
7	4	6	210
8	3	7	120
9	2	8	45
10	1	9	10
11	0	10		1
В данном случае только одним способом. Видно, что ситуация под номером 2 реализуется 10-ю способами, ситуация 3 — 45-ю и т. д. Очевидно, что уравновешенная и сбалансированная ситуация в рассматриваемом примере — это ситуация, когда половина иголок направлена остриями вверх, и половина — остриями вниз.
Из таблицы следует, что именно эта ситуация осуществляется наибольшим числом способов. Обратим внимание, что чем больше какая-либо ситуация отличается от уравновешенной и сбалансированной, тем меньшим числом способов она может быть осуществлена. Эта диспропорция очень быстро возрастает с увеличением числа иголок в системе.
Переходя от примера с иголками к изолированным макроскопическим системам видим, что роль ориентационных ситуаций выполняют макросостояния системы, а роль числа способов осуществления ситуаций — числа микросостояний, посредством которых реализуются макросостояния.
Следовательно, в статистическом ансамбле изолированной системы подавляюще большая часть микросо-стояннй соответствует статистическому равновесию и очень близким к нему макросостояниям потому, что эти состояния характеризуются однородностью, внутренней уравновешенностью и сбалансированностью.
Статистическая физика и термодинамика
429
5.47.	ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ВТОРОГО ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
В статистической физике микросостояния часто называют конфигурациями. В последующем изложении мы будем употреблять этот термин.
Напомним три основных положения статистики изолированных систем.
1.	Все микросостояния равновероятны и в ходе эволюции системы появляются одинаково часто.
2.	Внутренняя эволюция системы состоит в непрерывной и быстрой смене допустимых микросостояний.
3.	Подавляющая часть микросостояний соответствует статистическому равновесию и очень близким к нему конфигурациям.
Допустим, что в начальный момент времени изолированная система находилась в неравновесной конфигурации. Тогда в ходе непрерывной смены микросостояний через некоторое время неизбежно появятся микросостояния, соответствующие равновесию системы, потому что их в ансамбле неизмеримо больше. Физически это означает, что существует определенное направление эволюции изолированных систем, и таким направлением является эволюция от конфигураций с меньшим числом микросостояний к конфигурациям с большим числом микросостояний. Другими словами, эволюция идет от менее вероятных к более вероятным макросостояниям. В существовании такого направления эволюции и состоит физический смысл второго принципа термодинамики. Этот смысл выражен в следующей статистической формулировке второго принципа, называемой формулировкой Больцмана: природа стремится к переходу от меиее вероятных к более вероятным состояниям. Такая эволюция с неизбежностью приводит систему к равновесию как наиболее вероятной конфигурации с наибольшим числом микросостояний. Выражением этой эволюции являются релаксационные процессы, сущность которых как раз и состоит в переходе от менее вероятных к более вероятным конфигурациям в ходе статистического перебора микросостояний. Очевидно, что эта эволюция отражена и в законе возрастания энтропии, поскольку энтропия имеет смысл меры вероятности макросостояний.
Еще раз подчеркнем, что отмеченное здесь направление эволюции и формулировка Больцмана относятся
430
Раздел 5
к изолированным системам или, что то же самое, к самопроизвольно протекающим процессам. Посредством внешних воздействий, т. е. для неизолированных систем, можно направить эволюцию в других направлениях, отличных от движения к равновесию.
После перехода в равновесие перебор системой своих микросостояний продолжается. При этом постоянно и подавляющим образом преобладает появление микросостояний, соответствующих равновесию, поскольку их большинство. Но ведь в ансамбле микросостояний, хотя и в относительно очень малом числе, содержатся и микросостояния, соответствующие неравновесным конфигурациям. Поэтому время от времени неизбежно должны проявляться и маловероятные микросостояния. Это значит, что изредка изолированная система будет самопроизвольно выходить из равновесия и на короткое время переходить в одну из неравновесных конфигураций.
Таким образом, статистическая физика не исключает, а утверждает существование наряду с прямой, также и обратной эволюции — от равновесия к неравновесию. Следовательно, переход от менее вероятных к более вероятным макросостояниям является наиболее вероятным, но не единственно возможным направлением эволюции.: Это значит, что второй принцип термодинамики в отличие от первого принципа является не абсолютным, а статистическим законом.
Промежутки времени, через которые в изолированных системах повторяются неравновесные конфигурации, называются временами возврата этих конфигураций. Вследствие относительной малости соответствующих чисел микросостояний времена возврата существенно неравновесных конфигураций очень велики и иногда даже превышают время существования Вселенной, равное по порядку величины 1018 секунд. Это значит, что за разумные промежутки времени наблюдать такие переходы не удастся. Но здесь важна принципиальная сторона дела — такие переходы возможны и даже обязательны, однако требуют весьма больших промежутков времени. Следовательно, необратимости процессов в изолированных макросистемах в принципе не существует. Процессы в таких системах обратимы, но сильно различаются вероятности прямых и обратных процессов. Этим выводом статистика разрешила серьезное противоречие в физике. Дело в том, что все процессы в микромире обратимы, ибо каж
Статистическая физика и термодинамика
431
дому микропроцессу соответствует обратный ему процесс. С другой стороны, простые наблюдения и опыты приводили к выводу о необратимости процессов в макромире. Например, рассмотрим ящик, разделенный перегородкой на две равные части, из которых одна заполнена газом, а во второй вакуум. После удаления перегородки расширившийся газ займет обе части ящика. Обратный процесс — самопроизвольное сжатие газа переход его только в одну половину ящика наблюдать не удается, что и расценивалось как необратимость процессов в макромире. Естественно, что в связи с этим возникает принципиальный вопрос: почему процессы в макросистемах необратимы, если лежащие в их основе микропроцессы обратимы? Статистическая физика разрешила это противоречие, показав, что, в принципе, процессы и в макросистемах тоже обратимы.
Второй принцип термодинамики, как и все статистические законы, утрачивает смысл для систем с относительно небольшим числом частиц. Для таких систем вероятность «равновесной» конфигурации (когда, например, молекулы равномерно распределены по объему) мало отличается от вероятностей любых других конфигураций. Поэтому при небольшом числе частиц система очень часто самопроизвольно выходит из равновесия и значительное время пребывает в «неравновесных» макросостояниях.
Термодинамика изучает макроскопические системы с весьма большим числом частиц и рассматривает поведение таких систем за разумные промежутки времени, малые по сравнению с временами возврата неравновесных конфигураций. Поэтому в рамках термодинамики и не возникает необходимости учитывать статистический характер второго принципа. Этим и оправдывается то, что в термодинамике второй принцип рассматривается как абсолютный закон природы.
5.48.	ТЕМПЕРАТУРА И ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Рассмотрим изолированную в целом систему, состоящую из двух тел, находящихся в тепловом и диффузионном контакте друг с другом. Тепловой контакт означает возможность обмена внутренней энергией, а диффузионный контакт — возможность обмена частицами.
432
Раздел 5
Обозначим число частиц в телах N, и N2, внутренние энергии тел WBj и WB2, число микросостояний тел fli и Q2. В силу изолированности системы как целого имеем:
Л1 + N2 = const,	(5.189)
WB1 + WB2 = const.	(5.190)
Примем также квазинезавиеимость тел, тогда число микросостояний системы в целом Q выразится как
Q = Qj • П2.	(5.191)
Внутренняя энергия и частицы могут распределяться между телами многими различными способами. Нас, однако, будет интересовать только состояние статистического равновесия системы.
0, Условием равновесия является соотношение (5.188), которое с учетом (5.191) можно представить в виде:
dQ = Q2 (W2. 1УВ2)  dQ, (N„ WB1) +
+ flj (N„ WB1)  dO2 (N2,	= 0.
Представив в этом выражении дифференциалы функций двух переменных в развернутом виде, получим
п,		. ЛАГ .		r an,	N1	 dwB1	+
	(злу	W'm					
+ П, •			• dN2 +			 &WB2	= 0.
	|алу			SWB2,			
Произведем в полученном уравнении замену на основе (5.189) и (5.190): dN2 = -dNlt dWB2 = -dWB,, а также разделим обе части уравнения на произведение flj • £12:
Х.М	,dN +J
+ f_L.	_ L .	1. dw = o.
N,	:	N, -
В общем случае дифференциалы dN, и dWм могут принимать независимые между собой значения. Но тогда равенство нулю
Статистическая физика и термодинамика
433
полученного выражения возможно лишь при условии равенства нулю коэффициентов перед этими дифференциалами:
1 pH,) _ 1 [6П21 n?’laNj -s£’ avJ ’
V V>rM *
1 ( SQj 'l _ 1 Г Sii-г 'l
Далее учтем очевидное равенство:
1. Эу _ 5 In у У дх дх
(5.192)
(5.193)
и перепишем (5.192) и (5.193) следующим образом:
Наконец, используя формулу Больцмана S = k  In 12, запишем эти соотношения в следующей окончательной форме:
fas,) _fas2')
awj	~ ISNA '	(5.194)
 \. vw	\ «Ду
( as, ")	Г as2 'j
aw„, I " aw„„ ’	(5.195)
V	\ ^Jn2
Поскольку (5.194) содержит производные по числу частиц при фиксированных внутренних энергиях тел, то это соотношение является условием равновесия по частицам. Соответственно (5.195) представляет собой условие равновесия по энергиям.
В статистической физике вводятся следующие два обозначения:
'as> = _ К
(5.196)
Величины Т и ц называются, соответственно, статистической температурой и химическим потенциалом. Отметим, что смысл этих величин подобен смыслу их аналогов в термодинамике (см. 5.115 и 5.157) и потому в последующем мы не будем делать различия между статистическим и термодинамическим определениями этих величин.
434
Раздел 5
Из (5.194), (5.195) и (5.196) следует, что условием равновесия по внутренним энергиям является равенство температур, а условием равновесия по частицам (5.189) — равенство химических потенциалов:
^1 = Mi = Мг*
При отсутствии, равновесия энергия передается в форме теплоты от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой, а частицы в форме диффузионных потоков перемещаются от тела с большим химическим потенциалом к телу с меньшим химическим потенциалом.
5.49. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
Напомним, что одна из основных задач статистической физики состоит в нахождении статистических распределений, определяющих вероятности микро- и макросостояний. В настоящем параграфе будет выведено такое распределение, играющее очень важную роль в статистической физике, потому что главные ее результаты получаются с помощью этого распределения, называемого каноническим распределением Гиббса.
Рассмотрим изолированную в целом систему, состоящую из изучаемого нами тела и термостата, с которым тело находится в тепловом и диффузионном контакте. Обычно роль термостата выполняет внешняя среда, окружающая тело. Полное число частиц в системе и ее энергию обозначим No и. И^о, а число частиц в изучаемом теле и его энергию — N и. WB. Термостат предполагается весьма большим по сравнению с телом в том смысле, что возможное число частиц и энергия тела весьма малы по сравнению с числом частиц и энергией термостата, а, следовательно, и системы в целом
N « No WB « WB0.	(5.197)
В последующем мы будем рассматривать изучаемое тело как квантовую систему, которая для каждого значения N обладает определенным набором энергетических уровней Wj. Каждый уровень характеризуется некоторой кратностью вырождения g (N, WJ, которая в статисти
Статистическая физика и термодинамика 435
ческой физике называется статистическим весом этого уровня.
Найдем вероятность to (N, W], No — N, WM — Wt) такой конфигурации системы в целом, когда тело содержит N частиц и находится на уровне с энергией Wir а термостат, соответственно, содержит No — N частиц и имеет энергию WB0 - Wf. Поскольку система в целом изолирована, к ней можно применить микроканоничес-кое распределение (5.185):
со (N, W„ No - N, WB0 - W') =
= const - Qo (N, W„ No -N,W„- W?). (5.198)
Здесь Qo — число микросостояний системы в рассматриваемой конфигурации. Принимая квазинезависимость тела и термостата (5.187), получим:
Qo (N, Wt; No - N, WB0 - Wt) =
= Q' (N, IV()  Q (No - N, WB0 - W,),	(5.199)
где Q' и Q — число квантовых микросостояний тела и термостата соответственно. Но число квантовых состояний тела при фиксированном уровне его энергии представляет собой статистический вес- этого уровня g (N, ТУ,). Поэтому (5.199) принимает вид:
Qo (N, W-, No - N, WB(S - И<) =
= g (N, Wt) • Q (No - N, - W().	(5.200)
В дальнейшем нас будет интересовать только изучаемое тело, а не термостат. Поэтому вероятность (5.198) мы будем интерпретировать только как вероятность того, что тело содержит N частиц и имеет энергию W\. Тогда (5.198) с учетом (5.200) перепишется в виде:
to (N, W\) =
= const - g (N, W,)  П (No - N, W№ - 1У,). (5.201)
Из формулы Больцмана (5.186), примененной к термостату, следует:
Q (No - N, - W,) =
486
Раздел 5
= exp ||  S (No - N, VVB0 -	(5.202)
где S — энтропия термостата. Далее используем условия малости тела по сравнению с термостатом (5.197) и разложим S (No - N, WB0 - Wt) в ряд по W и в окрестности точки No, Жво. Ограничившись в этом разложении членами первого порядка, получим:
S (No - N, WB0 - Wt) «
« S (No, Wo) - M	Wt. (5.203)
F4.
Из (5.196) следует:
Г—1 = - f = Л (5 204)
v	V JN0
Поскольку S — энтропия термостата, то T и ц — температура и химический потенциал именно термостата, а не тела. Первый член разложения в (5.203) является постоянной величиной. Подставив (5.204), (5.203) и (5.202) в (5.201) и включив постоянный множитель exp • S (No, W0)j в константу, получим:
to (N, W() = const • g (N, Wt)  exp	 (5.205)
Содержащаяся здесь const является нормировочной постоянной и ее значение определяется условием нормировки, то есть требованием, чтобы сумма вероятностей всех возможных конфигураций тела равнялась единице. Эту сумму получим, просуммировав вероятности (5.205) по возможным числам частиц и для каждого числа частиц — по возможным значениям энергии
2 £ ю (N, W) = const  £ £ g (N, W,)  exp	= 1-
N j	N j
Величина
(5.206)
называется большой статистической суммой или суммой Гиббса.
Статистическая физика и термодинамика
437
Подстановка const = 1/Z в (5.205) дает окончательное выражение для to (N, )У(), называемое большим каноническим распределением Гиббса
Ц.У-И', to (N, W,) = I • g (N, IV,) - e kT
(5.207)
Напомним, что (5.207) выражает вероятность того, что тело, находящееся в тепловом и диффузионном контакте с термостатом, содержит N частиц и имеет энергию Wt.
Весьма часто при взаимодействии изучаемого тела с термостатом обмен частицами не происходит и имеет место только обмен энергией. Тогда распределение (5.207) преобразуется в каноническое распределение Гиббса вида:
W,
to (WJ = | g (W,) - е ”, Zj_________________ __
(5.208)
где величина Z выражается как
„ suze W,
_____L____________________
(5.209)
и называется статистической суммой или суммой по состояниям. Суммирование в (5.209) производится по уровням энергии тела.
Рассмотрим несколько принципиальных моментов, связанных с каноническим распределением Гиббса.
Область применимости этого распределения значительно шире, чем микроканонического распределения, применимого лишь к изолированным системам. В реальных условиях тела обычно взаимодействуют со своим материальным окружением, обмениваясь с ним энергией и частицами, но чаще — только энергией. Тогда материальное окружение выполняет роль термостата и статистика тел описывается распределением (5.208).
Для более детального уяснения смысла распределения (5.208) перепишем его в виде произведения двух множителей:
и;
е ” to (VTi) = ^(W,) -¥-
(5.210)
438
Раздел 5
тл рассмотрим в отдельности эти множители. Статистический вес представляет число квантовых микросостояний, соответствующих уровню энергии Wl и является быстровозрастающей функцией энергии. Дело в том, что с увеличением энергии возрастает число возможных способов ее распределения между частицами тела и, следовательно, число возможных микросостояний. Для выяснения смысла второго множителя в (5.210) положим g (И7,) =1, то есть допустим, что из всей совокупности микросостояний с энергией W, рассматривается только одно фиксированное микросостояние:
ж,
Отсюда следует, что второй множитель в (5.210) имеет смысл вероятности микросостояния с энергией W,. Это — быстроубывающая функция энергии, поскольку у квантовых систем имеет место тенденция к уменьшению энергии путем передачи ее материальному окружению.
Известно, что функция, равная произведению возрастающей функции на убывающую, имеет максимум. Значит, существует такое значение энергии тела, которому соответствует максимум вероятности. Теперь напомним, что для систем с большим числом частиц из-за малости относительных флуктуаций макроскопических характеристик средние значения этих характеристик выступают как истинные значения. Это значит, что при многократных измерениях в подавляющем большинстве случаев будут зарегистрированы средние значения и очень близкие к ним. С учетом этого ясно, что энергия, соответствующая максимуму вероятности канонического распределения, представляет собой среднюю энергию тела, определяе-мую соотношением:
/Ь	W = Z W, • (0 (И7)-.
I ; 1	Ясно также, что этот макси-
I ; I	мум весьма высокий и острый
J \	(рис. 5.43) и что он соответ-
—'		ствует равновесию тела с
<И/е> W, термостатом, в котором тело пребывает весьма большую Рис. 5.43	часть времени.
Статистическая физика и термодинамика
439
В заключение еще раз отметим, что при выводе канонического распределения Гиббса были использованы три принципиальных допущения.
1.	Изолированность системы в целом, поскольку к ней применялось микроканоническое распределение.
2.	Квазинезависимость тела и термостата, обеспечивающая мультипликативность числа микросостояний.
3.	Микроскопичность термостата, поскольку для него были введены температура и химический потенциал, имеющие смысл только для макроскопических тел. Подчеркнем, что ни на одном этапе вывода не использовалась макроскопичность изучаемого тела. Поэтому каноническое распределение Гиббса может применяться и к микросистемам.
5.50. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКА И БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА
Напомним, что по коллективным свойствам микрочастицы подразделяются на бозоны и фермионы.
Рассмотрим газ из фермионов в состоянии, в котором можно пренебречь силовыми взаимодействиями между частицами и, следовательно, считать газ идеальным. В таких условиях можно применять одночастичное приближение квантовой механики и рассматривать распределение фермионов по одночастичным квантовым состояниям, называемым орбиталями. Помимо этого, к любой орбитали можно применить каноническое распределение Гиббса, поскольку частицы на этой орбитали квазинеза-висимы от совокупности частиц на всех остальных орбиталях; эта совокупность выполняет роль термостата.
Как известно, распределение фермионов по квантовым состояниям определяется принципом Паули, в соответствии с которым в одном квантовом состоянии, может находиться не более одного фермиона. Поэтому для квантового состояния с энергией W возможны только две ситуации. Первая ситуация — орбиталь пуста, т. е. число частиц на ней N = 0 и, соответственно, энергия на орбитали W( = 0. Вторая ситуация — орбиталь занята: N = 1, Wi = W.
Найдем среднее число частиц в квантовом состоянии с энергией W, называемое средней заселенностью орбитали. Напомним, что средние значения величин определяются как их математические ожидания:
440
Раздел 5
<N> = Z <° <**) ’ Kbit
Применительно к рассматриваемой орбитали это выражение принимает вид:
<N (W)> = о (0) - 0 + <о (1)  1 = to (1) = <о (1, W). (5.211)
В формулах (5.206) и (5.207) теперь надо принять g = (N, W) = g (1, W) = 1, поскольку рассматривается только одна орбиталь, т. е. только одно квантовое состояние. Тогда получим:
р- IV .	JJ_VV
0) (1, W) = | • е кТ , Z = 1 +е кТ ,
Подставив это в . (5.211) и введя обозначение {N (И7)) = f (И7), получим так называемое распределение Ферми-Дирака:
/(ИЭ = -^-----.	(5.212)
е +1
Квантовая статистика фермионных газов, описываемая распределением (5.212), называется статистикой Ферми-Дирака. Поскольку температура газа может быть сколь угодно близкой к нулю, а энергии орбиталей W могут быть как больше, так и меньше значений химического потенциала р, то функция распределения f (W), как это следует из (5.212), может изменяться в пределах О S f (W) 5 1, что полностью соответствует принципу Паули. Если f (И7) имеет дробное значение, то эта дробь показывает, какую часть времени в среднем орбиталь с энергией W будет занята частицами.
Химический потенциал таза зависит от температуры: р = р (Г). Одночастичный энергетический уровень газа, энергия которого равна химическому потенциалу при отличной от нуля температуре, называется уровнем Ферми'. WF = р (Т), Т * 0. Особенность этого уровня в том, что как это следует из (5.212), его средняя заселенность равна 1/2, т. е. он занят частицами лишь половину времени.
Из (5.212) следует, что при абсолютном нуле температуры все орбитали, энергии которых превышают энергию Ферми, не заполнены. Действительно, при 7’ = 0 и
Статистическая физика и термодинамика
441
1-----------------
1/2	Т=0
О	VJF W
Рис. 5.44
потому f (W)w<w_ = 1.
W > WF = ц| т о показатель экспоненты в знаменателе (5.212) равен +оо и потому f ОЮи > wr - 0. Наоборот, все орбитали с энергиями, меньшими энергии Ферми, заполнены, ибо при Т = 0 и W < WF = ц| у о показатель экспоненты равен -оо, и
Кривая распределения фермионов по энергиям при Т = О приведена на рис. 5.44.
В качестве очень важного и широко распространенного примера фермионного газа рассмотрим газ свободных электронов в металлическом кристалле (см. п. 4.43). Кристаллическая решетка в таком кристалле образована из положительных ионов, в междузлиях решетки двигаются квазисвободные электроны. Движение электронов так скорректировано с расположением ионов, что внутри кристалла электрическое поле ионов в среднем скомпенсировано полем электронов. В таких условиях совокупность квазисвободных электронов в металлическом кристалле можно рассматривать как идеальный газ, описываемый статистикой Ферми-Дирака и называемый вырожденным электронным газом. Подчеркнем, что здесь слово вырожденный означает, что свойства газа описываются квантовой, а не классической статистикой.
Рассмотрим некоторые важные свойства вырожденного электронного газа в металлическом кристалле, вытекающие из распределения (5.212). Энергия Ферми для этих газов весьма велика, в температурном выражении (которое определяется соотношением WF - kTF) она составляет десятки тысяч кельвинов. Например, для серебра TF = 64 000, для меди TF = 82 000 К. Средняя энергия электрона в газе при абсолютном нуле температуры равна ’/5VKF и, следовательно, эквивалентна десяткам тысяч кельвинов. Состояние вырожденного электронного газа в кристалле при абсолютном нуле является основным квантовым состоянием с наименьшей возможной энергией. Из приведенных оценок следует, что будучи минимальной, энергия газа при абсолютном нуле по своей величине весьма велика. Она представлена в форме кинетической энергии движения
442
Раздел 5
электронов по кристаллической решетке. Скорости этого движения имеют порядок 10е м/с и составляют сотые доли скорости света. Таковы же по порядку величины и скорости атомарных электронов.
При нагревании металли
ческого кристалла до температур, малых по сравнению с температурой, соответствующей энергии Ферми TF,
распределение электронов по энергиям изменяется весьма незначительно (рис. 5.45).
Лишь малая часть электронов, энергия которых близка к энергии Ферми, подвергается тепловому возбуждению и увеличивает свои энергии на величину порядка kT, малую по сравнению с энергией Ферми: kT « WF. Поскольку энергия Ферми в температурном выражении (TF) составляет для электронного газа несколько десятков тысяч кельвинов, то речь идет о нагревании до температур, близких к температурам плавления металлических кристаллов. Поэтому вывод о малом изменении функций распределения при нагревании может быть распространен на всю область температур, при которых мы имеем дело с металлами в твердом состоянии. Этот вывод, в частности, положен в основу квантовой теории проводимости металлов, в рамках которой средняя скорость беспорядочного движения свободных электронов считается не зависящей от температуры постоянной величиной.
Далее рассмотрим идеальный газ из бозонов. В таком газе каждая из орбиталей может быть занята произвольным числом частиц. Вновь применим каноническое распределение Гиббса к одной орбитали с энергией W, находящейся в тепловом и диффузионном контакте с остальной частью газа, рассматриваемой как термостат. Если на орбитали находится N частиц, то их совокупность имеет энергию NW. Тогда в большой статистической сумме (5.206) с учетом того, что для орбитали g (N, Wj) =1 и Wj = NW, выпадает суммирование по индексу j и остается сумма только по возможным числам частиц на орбитали N. Поскольку число частиц в макроскопическом объеме газа весьма велико, его формально можно принять бесконечным. Тогда возмож
Статистическая физика и термодинамика
443
ное число частиц на орбитали может принимать значения N = 1, 2, 3, .... оо и большая статистическая сумма (5.206) запишется в виде:
z - Ё ехр И . Ё [ехр fcSl" = Ё 5"-I ПЛ i	« пл j
. N = 0	4	7N = oL	4	<1
Здесь принято обозначение ехр	Большая ста-
тистическая сумма Z обязательно должна быть конечной, ибо, как это следует из (5.207), при Z = оо все вероятности to (N, ТУ,) = 0, что физически бессмысленно. Для конечности Z надо, чтобы £ < 1, а для этого, в свою очередь, надо, чтобы р < 0. Таким образом, химический потенциал бозонного газа может быть только отрицательным. В таких условиях:
ос
£ Г = snp N — 0
представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Как известно из алгебры, такая сумма определяется выражением
где aj — первый член, a q — знаменатель прогрессии. Отсюда получим
Для средней заселенности орбитали получим:
СС	ОС
(N (W)) = £ N  ® (N) = J - ехр	=
^ = 0	Л'-О	/
N = 0
= 1 . ₽ . А ( 1 ) = 1 . 5
Z ' ’ dt, [1 - z ’ (1 _ Q2 •
Подставив сюда выражения для Z и получим окончательный результат:
444
Раздел S
e *т - 1
(5.213)
Соотношение (5.213) называется распределением Бозе-Эйнштейна, а описываемая им статистика бозонных газов называется квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Анализ распределения, который мы опустим вследствие его громоздкости, приводит к следующим выводам о свойствах бозонных газов.
При абсолютном нуле температуры все бозоны находятся на основной (имеющей минимальную энергию) орбитали и потому энергия газа весьма мала. При температурах порядка комнатной наоборот, основная орбиталь и близкие к ней орбитали пусты, и бозоны распределены по орбиталям с достаточно большой энергией.
Бозонные газы обладают одним своеобразным и важным свойством. Для каждого газа существует определенная температура, при которой происходит массированный переход частиц газа на основную орбиталь, хотя эта температура, составляя несколько кельвинов, еще не находится в непосредственной близости к абсолютному нулю. Это явление называется бозе-конденсацией. Подчеркнем, что при бозе-конденсации не все частицы газа переходят на основную орбиталь, некоторая их часть остается на других орбиталях. Поэтому газ оказывается состоящим из двух компонент, одна из которых образована частицами на основной орбитали, а другая — частицами на других орбиталях. Свойства этих компонент различны.
В качестве примера рассмотрим газ из атомов 2Не\ являющихся бозонами. При температуре 4,2 К и давлении в 1 атмосферу происходит обычная конденсация газа, то есть его переход в жидкое состояние. Жидкий гелий характеризуется большим своеобразием, состоящим в том, что ряд его свойств подобны свойствам газа. Например, мольный объем жидкого гелия в три раза больше того, который должен был бы соответствовать жидкости с межатомными взаимодействиями, подобными взаимодействиям атомов гНе1. Значения коэффициентов переноса и соотношения между ними в жидком гелии такие же, как в газе. Поэтому свойства и поведение гелия после перехода в жидкое состояние по-прежнему описываются квантовой статистикой Бозе-
Статистическая физика и термодинамика
445
Эйнштейна, а жидкий гелий, и подобные ему жидкости называются квантовыми жидкостями.
При температуре 2,17 К в гелии происходит бозе-конденсация и гелий становится двухкомпонентной жидкостью. Компонента, частицы которой находятся на основной Орбитали, практически лишена вязкости и потому получила название сверхтекучей компоненты. При почти нулевой вязкости эта компонента обладает довольно высокой теплопроводностью. Свойства второй компоненты остаются таким же, каким они были до бозе-конденсации. Жидкий гелий при Т > 2,17 К назван гелием I, а при Т < 2,17 К — гелием II.
5.51. КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ФОРМА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА.
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
Каноническое распределение Гиббса было выведено на основе представления об изучаемом теле как о квантовой системе с дискретными уровнями энергии. В последующем в качестве изучаемых тел будут рассматриваться только макроскопические тела. Напомним, что уровни энергии таких тел расположены чрезвычайно густо и кратность их вырождения очень велика. Другими словами, разность энергий соседних уровней, исчезающе мала по сравнению со значениями энергии этих уровней. В таких условиях квантовые свойства оказываются выраженными чрезвычайно слабо, ими можно пренебречь и поведение системы может быть описано законами классической физики. Такой подход исключается только для состояний в непосредственной близости к основному квантовому состоянию, то есть при температурах в несколько кельвинов. В связи с изложенным возникает задача преобразования канонического распределения Гиббса к форме, позволяющей производить статистическое описание тел на основе классических, а не квантовых законов.
Для решения этой задачи введем понятие фазового пространства изучаемого макроскопического тела. Допустим, что в этом теле содержится N бесструктурных частиц и тело, рассматриваемое как система частиц, имеет f=3N пространственных степеней свободы. Введем для каждой степени свободы соответствующую ей координату qt и компоненту импульса р,, где индекс i принимает значения i = l, 2, 3, 4, ..., 3N. В последующем изложении совокупность всех координат будет
446
Раздел 5
обозначаться одной буквой q, а совокупность всех компонент импульсов буквой р.
Рассмотрим 6ЛГ-мерное пространство, на 32V осях которого откладываются координаты частиц тела, а на остальных 3^ осях — компоненты импульсов. Такое пространство называется фазовым пространством изучаемого тела (см. также п. 1.6). В этом пространстве каждая точка определяет набор координат и компонент импульсов всех частиц тела. При классическом подходе такой набор, выражающий распределение частиц по координатам и импульсам, должен определять микросостояние системы. Поэтому каждая точка фазового пространства должна соответствовать возможному микросостоянию тела. Однако такой подход приводит к невозможности построения какой-либо статистики. Дело здесь в следующем.
Рассмотрим малый элемент объема dp, dq фазового пространства в окрестности точки (р, q). Выясним, сколько микросостояний тела соответствует этому элементу. Напомним, что в каждом элементе непрерывного пространства, независимо от числа измерений этого пространства, содержится бесконечное число точек, образующих несчетное множество, то есть множество, члены которого в принципе невозможно перенумеровать. Это обусловлено тем, что между любыми двумя сколь угодно близкими друг к другу точками непрерывного пространства всегда содержится бесконечное число других точек.
В условиях, когда совокупность возможных микросостояний тела образует несчетное множество, построение статистики оказывается невозможным. Отсюда следует важный физический вывод, что при переходе к классической статистике полный отказ от квантовых представлений невозможен, какой-то элемент этих представлений должен быть сохранен в этой статистике. Этот элемент без труда может быть установлен. Действительно, каждая точка фазового пространства определяет набор одновременных точных значений координат и компонент импульсов всех частиц системы. Но это находится в противоречии с соотношением неопределенностей Гейзенберга, согласно которому исключаются состояния квантовых частиц, в которых координаты и соответствующие им компоненты импульсов одновременно имеют определенные значения. Эти величины в каждом состоянии характеризуются неопределенностями своих значений, произведение которых
Статистическая физика и термодинамика
447
не может быть меньше постоянной Планка. Именно эта квантовая закономерность и должна быть учтена в основах классической статистики. Следовательно, классическая статистика полностью классической не является, ибо в ее основах наряду с законами классической физики заложено квантовое соотношение неопределенностей. Поэтому такую статистику называют квазиклас-сической, а соответствующую ей форму распределения Гиббса, которую мы сейчас должны получить, называют квазиклассической формой.
д Приступим к ее выводу. Напишем для всех 3W степеней свободы изучаемого тела соотношения неопределенностей Гейзенберга с точностью до несущественного здесь множителя в правых частях неравенств:
8g, • 8р, i Й,
6дг - 8р2 £ Й,
&ЧЗМ  бРздг £ й.
Перемножив левые и правые части всех этих соотношений, получим
5р1  8рг ... 8p3N  871 • S?2 — &13N = 8р  8q Z = tf, (5.214)
3N	3N
где 6р = J ] Sp,, 8q = [ ] 8qit f = 3N. i= 1	i=1
Приняв наименьшие возможные значения неопределенностей, перепишем (5.214) в виде: 8р • 8q ~ hf. Точный расчет дает
6р8д = (2яй/.
Отсюда следует, что одному микросостоянию тела соответствует не точка в фазовом пространстве, как это было бы при чисто классическом подходе, а элементарная ячейка в фазовом пространстве объемом (2лЙ)£> Потому число возможных микросостояний в элементе dp  dq фазового пространства, взятого в окрестности точки (р, q), выражается как
и представляет собой конечную величину.
Напомним, что распределение Гиббса в условиях наличия только теплового контакта изучаемого тела с термостатом имеет вид:
448
Раздел 5
= (5,216)
причем энергия тела здесь выражается как функция набора квантовых чисел, определяющих состояние тела как квантовой системы. При переходе к квазиклассической форме надо учесть, что полная энергия тела складывается из кинетической энергии движения частиц тела WK, зависящей только от компонент импульсов, и из энергии взаимодействия между частицами WM, зависящей только от координат частиц. Если тело находится во внешнем потенциальном поле, то в состав полной энергии входит еще и потенциальная энергия частиц по отношению к этому полю Wp, также зависящая только от координат:
W = WK (р) + VFB3 (<?) + Wp (q) = W(p, q).	(5.217)
Для перехода к квазиклассической форме надо произвести в (5.208) следующую серию замен
о (^i) dto,
где d<a — вероятность того, что компоненты импульсов и координаты частиц тела заключены в интервалах:
/н-р + dp, q+q + dq,
или, что то же самое, вероятность того, что точка, изображающая состояние тела в фазовом пространстве, находится в элементе фазового объема dp - dq в окрестности точки р, q. Далее, как это следует из (5.215), должна быть произведена замена статистического веса g (Wj) на число микросостояний-в фазовом элементе dp  dq:

dp  dq (2лй)' '
Энергия в показателе экспоненты в (5.216) должна быть выражена, согласно (5.217), как функция координат и импульсов частиц тела. Наконец, статистическая сумма Z заменяется на статистический интеграл:
с
Z = ^g(Wt)-е кт	'
j	Г
'If J J w . др °?
(2пЙ/ '
Здесь Г (р, q) — область фазового пространства, содержащая все микросостояния, доступные изучаемому телу в силу тех конкретных условий, в которых оно находится. Например, если тело обладает фиксированной энергией Wo, то доступные телу микросостояния расположены на гиперповерхности фазового пространства, определяемой уравнением W (р, q) = = Wo, то есть гиперповерхности постоянной энергии.
Таким образом, квазиклассическая форма распределения Гиббса имеет вид:
Статистическая физика и термодинамика
449
пу.я)
d(o = А  е kT dp  dq,
(5.218)
где нормировочная постоянная А выражается как
А =--------1.	(5.219)
е *т . dp • dq Г <Р. 9)
5.52. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Запишем квазиклассическую форму распределения Гиббса (5.218) с учетом (5.217) в следующем виде:
dm = ае кт- dp  be кТ  dq. lO.zzV)
Правая часть (5.220) содержит произведение двух выражений, из которых одно зависит только от компонент импульсов, а второе — только от координат. Если теперь вспомнить смысл вероятности dco, то станет очевидным, что первое из этих выражений определяет вероятность того, что компоненты импульсов частиц заключены в интервалах р+р + dp, а второе — вероятность того, что координаты заключены в интервалах q+q + dq. Из теории вероятностей известно, что если вероятность двух событий выражается как произведение вероятностей этих событий в отдельности, то такие события независимы между собой. Поэтому из структуры правой части (5.220) следует, что распределения частиц тела по компонентам импульсов и по координатам независимы друг от друга и их можно рассматривать раздельно.
Рассмотрим распределение по компонентам импульсов:
-И' (р) d(op = ае кТ  dp.	(5.221)
В связи с этим распределением вводится так называемое импульсное пространство изучаемого тела, на 3N осях которого откладываются компоненты импульсов N частиц тела: рх1, ру1, рг1, ..., pxtf, рум, ргх-
Учитывая, что кинетическая энергия системы частиц равна сумме кинетических энергий этих частиц и что кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом
15 Зак. № 845
450
Раздел 5
соотношением WKl = распределение (5.221) можно переписать в виде:
N p\*p',+p*,	N
d<ap ~ П а‘е 2mJ,T dP*! ’ ^Ру, ’ dp2, da = P[ a*. (5.222) i=1	i= i
Вновь замечаем, что правая часть (5.221) представлена произведением N выражений, каждое из которых зависит от компонент импульса только одной частицы и определяет вероятности различных значений этих компонент. Как указывалось выше, такая структура означает, что распределения значений компонент импульса отдельных частиц тела независимы между собой и потому можно рассматривать такое распределение применительно к одной частице:
2	2	2
dco„ = а*е dpx . dPl/  dp,. (5-223)
В связи с распределением (5.223) вводится импульсное пространство одной частицы, на трех осях которого откладываются компоненты импульса рх, ру, р2. Поскольку квазиклассическая форма распределения Гиббса (5.223) является нерелятивистской, эти компоненты в теоретическом аспекте изменяются в пределах от —оо до +<ю.
Найдем значение нормировочной постоянной а*. Для этого проинтегрируем обе части (5.223) по всем значениям трех компонент импульса и учтем, что интеграл от левой части равен единице:
4-00	2	+СС	2	+00	2
Рх	Ру	Рх
а* - j е 2т,>1’т 	dpx 	j е	гт«кТ  dpy		je	2mo*r dp, = 1.	(5.224)
- -ОС	-ОС	-CO
Здесь имеет	место	произведение	трех	одинаковых	спе-
цинтегралов, каждый из которых выражается как:
-ос	и
Роль а в (5.224) выполняет величина a = V2 mokT. Таким образом, нормировочная постоянная равна
(2nm0*T)s'2
Статистическая физика и термодинамика
451
и (5.223) принимает вид:
р. + р„+р, dco„ = ----------з/2 ’ е Zm°hT ' dPx  dpu  dp,.
p (2nmofeT) 7 И
(5.225)
Это соотношение называется распределением Максвелла по компонентам импульса. Здесь do)p — это вероятность того, что у произвольно выбранной частицы компоненты импульса имеют значения, заключенные в интервалах Рх+Рх + dp„ ру+ру + dpy, р„+рг + dp„.
При выполнении исследований и расчетов чаще используется не распределение по компонентам импульса, а распределение по значениям импульса безотносительно к направлению вектора импульса. Для перехода к этому распределению надо, во-первых, в (5.225) сделать замену Рх + Ру + Рг = Р2- Во-вторых, надо перейти от элемента импульсного пространства в форме параллелепипеда с объемом dpx  dpy  dpz к элементу в форме тонкого шарового слоя с радиусом р и толщиной dp (рис. 5.46), объем которого равен 4np2dp.
Другими словами, надо произвести замену dpx  dpy  dpz —> 4np2dp. Тогда получим распределение
по значениям импульса: 2 dcoD = 4л-----—• e 2m«*r • p2dp.
p (2nmokTf'2 y p
(5.226)
Далее от распределений по компонентам импульса (5.225) и по значениям импульса (5.226) перейдем к распределениям Максвелла по компонентам скорости и по значениям скорости. Для этих переходов используем формулу р = mv:
( \я/2 _
dt0*’ =	е 2*Г	’ dv* ’ dv« ’ dv*’ (5-227)
s ✓	.3/2 mov
d(o„ = 4л -^2-1  e ZkT  v2dv.
v	(2nfe7J
Здесь dco„ — вероятность того, что значение скорости произвольно выбранной частицы лежит в интервале vs-v + dv. Эта же вероятность может быть выражена как:
452
Раздел 5
где dN — число частиц, скорости которых заключены в указанном интервале, a N — полное число частиц в изучаемом теле. Поэтому распределение Максвелла по скоростям может быть записано еще и в следующей, более часто применяемой форме:
.	.3/2
dN = 4nN	• е 2АГ • v2dv.
Рассмотрим основные свойства этого распределения. На рис. 5.47 приведена соответствующая ему кривая. Величина, откладываемая на оси ординат, имеет смысл относительного числа частиц, скорости которых лежат в единичном интервале скоростей в окрестности рассматриваемого значения. Примем во внимание, что площадь, ограниченная кривой и опирающаяся на любой интервал скорости (например, на интервал на рис. 5.47) равна относительному числу частиц, скорости которых лежат в этом интервале.
dS = dv 	; S = {dS = ±SdN =	.
N dv N J N J N
Для определенности дальнейших рассуждений допустим, что распределение Максвелла применяется к молекулярному газу. Рассмотрим основные свойства этого распределения.
Лишь малый процент молекул газа обладает очень малыми и очень большими скоростями. Это следует из того, что площади под кривой распределения в областях малых и больших скоростей весьма малы. Заметим, однако, что молекулы с большими скоростями и, со
Статистическая физика и термодинамика
453
ответственно, с большими энергиями, несмотря на относительную малость их числа, в некоторых явлениях играют большую роль. Например, именно эти молекулы хвостовой части максвелловского распределения ответственны за преждевременное начало ионизации и за преждевременное возбуждение колебательных степеней свободы молекул. Энергии ионизации большинства атомов и молекул в температурном выражении лежат в интервале от 80 000 К до 170 000 К, но под действием молекул, энергии которых много больше средних, ионизация в газах начинается при температурах в несколько тысяч кельвинов. Энергии колебательных квантов двухатомных молекул составляют несколько тысяч кельвинов, но возбуждение колебательных степеней начинается около одной тысячи кельвинов. Подчеркнем, что в некоторых исследованиях учет наличия малого процента высокоэнергетичных молекул оказывается существенным.
Из кривой распределения следует, что существует значение скорости, обладающее тем свойством, что значительная часть молекул газа имеет скорости, не сильно отличающиеся от этого значения. Это значение соответствует максимуму кривой и называется наиболее вероятной или вероятнейшей скоростью vB. Как видно на рис. 5.47, на интервал скоростей в окрестности этого значения приходится значительная часть всей площади, ограниченной кривой. Для нахождения наиболее вероятной скорости надо применить обычный прием исследования функции на экстремум, т. е. приравнять первую производную нулю и найти корни полученного таким путем уравнения:
Отсюда получим:
(5.228)
Из асимметрии кривой распределения относительно линии наиболее вероятной скорости следует, что процент молекул, скорости которых превышают Вероятное значение, всегда больше, чем процент молекул со скоростями, меньшими этого значения. Эта диспропорция возрастает с увеличением температуры.
454
Раздел 5
Найдем среднее по распределению (5.227) значение скорости, выразив его как математическое ожидание в условиях непрерывности возможных значений скорости:
0D
<0 = $ v • dW„ = 4я  О
со	г
<	\s/2 г _ m°v
.\v3 е ги- . dv.
2nkT i
Учитывая, что содержащийся здесь специальный интеграл выражается как:
5 ¥ 	• di,
Й	2а?
для среднего значения скорости получим:
(5.229)
В заключение рассмотрим эволюцию распределения Максвелла с ростом температуры газа. На рис. 5.48 приведены две кривые распределения для разных тем-
Рис. 5.48
ператур газа. Из сопоставления этих кривых следует, что с ростом температуры происходят следующие изменения.
1.	Распределение молекул газа по скоростям становится более равномерным, ибо кривая распределения становится более пологой.
2.	Максимум кривой смещается в сторону более высоких скоростей, что следует из формулы (5.228).
3.	Возрастает процент молекул, скорости которых
превышают вероятное значение.
Используя формулу — WK, можно перейти от распределения по скоростям к распределению Максвелла по кинетическим энергиям.
dN = 2N • 1/г *..- е	.
л1/2  (feT)3'2 к
Еще раз подчеркнем, что распределение Максвелла во всех его формах является статистической законо
Статистическая физика и термодинамика
455
мерностью и, в соответствии с этим, является наиболее вероятным распределением в условиях статистического равновесия. Для макроскопических тел его вероятность намного превышает вероятность всех других возможных распределений.
В заключение выведем формулу для среднеквадратичной скорости газовых молекул, определяемой как квадратный корень из среднего квадрата молекулярной скорости:
vKB =	, <и2> = $ v2dm.
о
Подставив сюда распределение Максвелла (5.227), получим
Г m \8/2 С
(v2> = 4я [-^-1	 \ V4 • е ZkT • dv.
I 2-tikT J g
Содержащийся здесь специнтеграл выражается в виде:
Учитывая,
что в рассматриваемом случае
а = -^
2kT
получим
<у2>=ЗЛТ
' ' т0 “
т0
В простой молекулярно-кинетической теории газа это выражение было получено другим путем (см. формулу
(5.17)).
5.53.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ВО ВНЕШНЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ. БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА
Напомним, что квазиклассическая форма распределения Гиббса в условиях, когда изучаемое тело находится во внешнем потенциальном поле, записывается в виде (5.220):
w.fr)	w,, (?) и; (?)
da> = а • е кТ  dp • b • е кТ  е кТ - dq.
456
Раздел 5
Здесь WB3 (g) — энергия взаимодействия между частицами тела, Wp (q) — потенциальная энергия частиц по отношению к внешнему полю, буквой q (х, у, г, .... xN, Ун, zn) условно обозначена совокупность координат всех частиц. Напомним также, что распределения по координатам и по компонентам импульсов независимы между собой и потому их можно рассматривать раздельно.
Рассмотрим идеальный газ во внешнем потенциальном поле и напишем для него распределение по координатам с учетом того, что в идеальном газе энергия межмолекулярных взаимодействий равна нулю:	(g) = О.
.	.	“ ,	(5.230)
da4 = b • е w • dq.	'
В связи с распределением (5.230) вводится координатное пространство газа, на 3N осях которого откладываются координаты всех молекул. Иногда это пространство называют конфигурационным пространством.
Поскольку
N
Wp (9) = X (*"
где Wp — потенциальная энергия одной i-й молекулы, правая часть (5.230) представлена произведением множителей, каждый из которых зависит от координат только одной молекулы. Как уже отмечалось, такая структура вероятностных выражений говорит о том, что распределения по координатам отдельных молекул независимы друг от друга и потому можно рассматривать распределение только для одной молекулы в ее трехмерном конфигурационном пространстве:
=	"	• dx • dy • dz. (5.231)
Здесь dor у. г — вероятность того, что произвольно выбранная молекула находится в элементе объема dV = dx • dy • dz в окрестности точки (х, у, г). Выразим эту вероятность как
а» *
где dN — число молекул газа в объеме dV, a N — полное число молекул в газе. Перепишем (5.231) в виде:
Статистическая физика и термодинамика
457
= п = b 'Ne av
kT
(5.232)
Здесь n — плотность или, что то же самое, концентрация молекул в окрестности точки (х, у, z), то есть число молекул в единичном объеме. Напомним, что в потенциальных полях выбирается нулевая точка, в которой потенциальная энергия частиц принимается равной нулю. В качестве такой точки выбираем точку с координатами (х0, у0, z0), так что Wp (х0, у0, я0) = 0. Написав (5.232) применительно к этой точке и обозначив плотность молекул в ее окрестности, находим значение константы b* = n0/N, подставив Ь* в (5.232) получим так называемое распределение Больцмана молекул идеального газа по потенциальным энергиям, а стало быть, и по координатам во внешнем потенциальном поле:
w
п = пое КТ.	(5.233)
Здесь п = п (х, у, г) — плотность молекул в окрестности точки поля, в которой их потенциальная энергия равна Wp = Wp (х, у, г), п0 = п (х0, у0, г0). Рассмотрим некоторые физические выводы, связанные с распределением Больцмана.
Как известно, в состоянии статистического равновесия при отсутствии внешнего поля молекулы газа в среднем равномерно распределены по элементам объема сосуда, в котором находится газ. Из распределения Больцмана следует, что эта равномерность нарушается при включении внешнего поля. Плотность молекул при этом возрастает в элементах, где их потенциальная энергия молекул меньше. Физическая причина такого перераспределения состоит в следующем. При включении поля в газе действуют две противоположные тенденции. Тепловое движение молекул в силу своего хаотического характера стремится распределить молекулы равномерно по объему газа. С другой стороны, включенное поле действует на молекулы с силой, выражаемой известным соотношением:
f = -grad Wp,
из которого следует, что сила поля всегда действует в направлении наиболее быстрого убывания потенциальной энергии. Поэтому поле стремится переместить молекулы
458
Раздел 5
газа в область с .наименьшим значением потенциальной энергии. Поскольку обе тенденции действуют одновременно, в ходе межмолекулярных столкновений устанавливается некоторое компромиссное состояние, которое и выражается распределением Больцмана (5.233).
’ Рассмотрим частный случай распределения Больцмана, когда внешним полем, в котором находится газ, является гравитационное поле Земли и когда потенциальная энергия молекулы выражается как Wp = mgh. Здесь h — высота над уровнем, на котором потенциальная энергия принята равной нулю. Распределение (5.233) принимает вид, называемый барометрической формулой:
„ _ п -~kf-	(5.234)
где n0 — плотность молекул на нулевом уровне h = О, ап — плотность на высоте h. Умножив обе части (5.234) на kT и учитывая, что nkT = Р — давление газа, барометрическую формулу можно записать еще в виде:
Р = Ppg ЛТ 
Барометрическая формула часто применяется для расчета зависимости плотности и давления атмосферы от высоты над поверхностью Земли. Но это можно делать лишь для не очень больших высот, не превышающих несколько километров. Дело в том, что барометрическая формула предполагает изотермичность газа Т = const, в то время, как температура земной атмосферы убывает с ростом высоты.
В связи с применением барометрической формулы к атмосфере вводится понятие о характеристической высоте. Характеристической высотой данного газа называется высота Н, на которой давление этого газа в е раз меньше, чем на поверхности Земли, где е « 2,7 — основание натуральных логарифмов. Очевидно
Н = — = — то& щ
Здесь R — газовая постоянная, р — молекулярная масса газа.
ь В заключение рассмотрим, как реализуется вес газа, заключенного в сосуд, установленный на весы. Молекулы газа не лежат на дне сосуда, а двигаются в его объеме, однако весы при этом регистрируют суммарный вес всех
Статистическая физика и термодинамика
459
молекул в сосуде. Из барометрической формулы следует, что за счет действия гравитационного поля сила давления газа F0 на дно сосуда больше, чем сила давления F (h) на крышку (см. рис. 5.49). Соответственно различны и силы давления. Изложенное можно представить в виде следующих соотношений:	•

что Р = nokT и Sh = V, результирующей силы, на чашу весов,
F = F0-J’(ft) = {P0-P(ft)]S = ^l-e и’рРо-& (5.235) Для реальных сосудов с разумными высотами h всегда выполняется неравенство rriogh « kT. В таких условиях экспоненту в (5.235) можно разложить в ряд и ограничится первыми двумя членами разложения:
moeh . m^gh * « 581
Подставив это в (5.235) и учитывая, где V — объем сосуда, получим для приложенной ко дну и передаваемой
F = mog  n0V.
Произведение n0V« N примерно равно числу частиц в газе, и потому F » m.ogN — примерно равнр весу газа в сосуде. Так реализуется вес при взвешивании газов.
Рассмотрим еще один частный случай применения распределения Больцмана. Пусть закрытая с одного конца трубка вращается с угловой скоростью <о вокруг оси, перпендикулярной к трубке и проходящей через ее открытый конец (рис. 5.50). Давление и температура окружающего трубку газа Ро и То, масса газовой молекулы т0. Найдем распределение плотности газа как функции радиальной координаты г, отсчитываемой вдоль оси трубки от ее открытого конца.
Из механики известно, что главным свойством неинерциальных систем отсчета является существование в них полей ускорения. В практическом аспекте удобно представить инерционные ускорения как результат действия некоторых гипотетических сил, называемых силами инерции. При этом поля ускорений преобразуются в поле сил. Если работа при перемещении частицы в таком поле может быть представлена в виде изменения скалярной функции координат, то поле можно считать потенциальным и для частицы ввести потенциальную энергию.
Именно такая ситуация имеет место в решаемой задаче. Вращающаяся трубка представляет собой неинерциальную систему отсчета, в которой имеет место поле центробежных ускорений аце = со2г, которому можно формально сопоставить
Рис. 5.49
460
Раздел 5
Г Р (Г)
Рис. 5.50
поле центробежных сил /ц0 = тоацб = = т0<огг. Под действием этих сил происходит продвижение молекул от открытого к закрытому концу трубки. Поэтому из окружающей атмосферы в трубку засасывается дополнительная масса газа, и плотность газа в трубке возрастает с увеличением расстояния от оси вращения.
Выразим работу центробежных сил при радиальном перемещении молекулы на расстояние dr:
dA=fB!Sdr- пготгг  dr = -d | m^r2 + const] = -dWp.
Таким образом, поле центробежных сил можно считать потенциальным полем, в котором потенциальная энергия молекулы газа выражается как:
Wp = - i m^r2 + const.
Значение const (константы) определяется выбором нулевой точки, которую в данном случае удобно выбрать на оси вращения. Тогда из условия:
W₽| ,_о
получаем const = 0, и потенциальная энергия принимает окончательный вид:
Wp = - | тпо^г2.
Следовательно, газ в трубке находится во внешнем потенциальном поле, создающем перераспределение плотности газа в соответствии с формулой (5.233). Учитывая, что топ = р и что Ро = nokTo, где р — массовая плотность газа, получаем из (5.233) формулу для распределения плотности вдоль оси трубки:
р (г) = т^° • е гкТ« = р (0) е №Т« . S
5.54.	КРИТЕРИЙ ВЫРОЖДЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРА ВЫРОЖДЕНИЯ
В основе квантовых статистик лежат взаимные квантовые влияния микрочастиц. Эти влияния совершенно не могут быть описаны методами силовых полей и не могут быть представлены в- наглядных образах. Квантовые влияния между частицами имеют место при перекрытии их волновых функций на расстояниях порядка длины волны де Бройля. Поэтому если средние
Статистическая физика и термодинамика 461
расстояния между частицами газа сравнимы с длиной волны де Бройля, то взаимные квантовые влияния между частицами эффективны и газ описывается квантовыми статистиками. Напомним, что такие газы называются вырожденными. Наоборот, если средние расстояния между частицами газа {г} значительно превышают длину волны де Бройля (Хв), то квантовые влияния неэффективны, ими можно пренебречь и газ будет описываться классической статистикой, то есть будет невырожденным.
Получим условие невырожденности газа в математической форме, исходя из соотношения:
<г) » Хв.	(5.236)
Среднее расстояние между частицами газа (г) выразим как
W-g) .	<6-237)
где V и N — объем газа и число частиц в нем. В квантовомеханическую формулу для длины волны де Бройля ~КЬ - 2nh/p в качестве импульса частицы р подставим его среднее значение (р):
/ \	/ \ (вЛтУ72 о (2т^гТ\/2
<р> = т0 <0 = т0--	= 2—2— .
I 71 J
Здесь использована формула (5.229). Теперь выразится в виде:
Я 
(5.238)
Подставив (5.237) и (5.238) в (5.236), введя плотность частиц газа п = (N/V) и возведя в квадрат обе части неравенства, придадим условию невырожденности следующий вид:
„2/3 Г? >> п • п
Величина
m„kT
определяет критерий вырождения газа. Соотношение г) » 1 рассматривается как условие вырождения. Определенная
462
Раздел 5
из этого условия температура Тв называется температурой вырождения
т »2/3*2 в ’
При температурах, равных температуре вырождения и меньших ее, газ вырожден. При температурах, заметно превышающих Т„, газ невырожден. Для обычных атомных и молекулярных идеальных газов температура вырождения очень низка и лежит в области жидких и твердых фаз. Поэтому такие газы всегда являются невырожденными и описываются классической статистикой. Это обусловлено тем, что, во-первых, массы атомов и молекул достаточно велики, а поэтому их дебройлевская длина волны достаточно мала и, во-вторых, плотности частиц в условиях, когда можно пренебречь межатомными и межмолекулярными взаимодействиями и считать газ идеальным, достаточно малы, а средние расстояния между молекулами, соответственно, достаточно велики. Наоборот, для электронного газа в металлических кристаллах температура вырождения очень велика и лежит в области температур металлического пара. Поэтому электронный газ в металлических кристаллах всегда вырожден. Это обусловлено малыми массами электронов и их высокой концентрацией.
5.55.	ВЫРАЖЕНИЕ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ СТАТИСТИЧЕСКУЮ СУММУ СИСТЕМЫ
q Напомним, что в основе расчетно-исследовательского метода термодинамики и статистической физики лежит использование основных термодинамических функций: внутренней энергии W& энтальпии Н, свободной энергии F и термодинамического потенциала G. Знание любой из этих функций, выраженной через соответствующие аргументы, позволяет получить полный объем информации о термодинамических свойствах тела. Однако в рамках термодинамики ни одна из перечисленных функций не может быть определена, ибо для этого требуются данные об атомно-молекулярном строении изучаемых тел, а термодинамика изучает макроскопические тела без углубления в их внутреннее строение. Поэтому конструирование термодинамических функций производится в статистической физике и в этом состоит одна из ее главных прикладных задач. В настоящем параграфе будет рассмотрен первый шаг в этом направлении.
Получим общее статистическое выражение внутренней энергии тела. Для этого учтем, что, как это следует из канонического распределения Гиббса (5.208), высокий и.острый пик вероятности приходится на энергию, равную среднему значению энергии тела по всем микросостояниям, возможным при взаимодействии тела с
Статистическая физика и термодинамика
463
термостатом, роль которого обычно выполняет окружающая среда (рис. 5.43). Это среднее значение, определяемое как математическое ожидание (5.183), и должно быть принято в качестве внутренней энергии тела, ибо из наличия указанного пика вероятности следует, что при многократных измерениях энергии в подавляющем большинстве случаев будет регистрироваться именно это значение и очень близкие к нему. Следовательно:
WB = (W) = £	(1VJ.
I
Подставив сюда распределение Гиббса (5.208), получим
и;
WB = I S wi • s W  е ”,	(5.239)
I
где Z — статистическая сумма или сумма по состояниям:
wf
Z = ^g(W,) -е ”.	(5.240)
j
Продифференцируем (5.240) по температуре
wf
% =	 S wi -g (W/)  * кТ- (5.241)
i
и обратим внимание на то, что в правой части появилась такая же сумма, как и в (5.239). Выразив эту сумму из (5.241) и подставив в (5.239), получим:
WB = kT2  I  — = kT2 - a(lnZJ .	(5.242)
B Z ST	ST
Такой вид имеет общее статистическое выражение внутренней энергии тела.
Получим еще аналогичное выражение для свободной энергии. Воспользуемся для этой цели соотношением Гиббса-Гельмгольца (5.133)
WD = F - Т f—I .	(5.243)
и выразим из него свободную энергию F через внутреннюю энергию WB. Умножим обе части (5.243) на dT/Т2 и проинтегрируем полученное выражение:
=	dT. (5.244)
Jv
Применим к третьему интегралу прием интегрирования по частям, учитывая при этом, что при интегрировании функции двух переменных вместо произвольной постоянной появляется произвольная функция той переменной, по которой не производилось интегрирование. В данном случае это функция объема:
= I + V (Ю] + + V (F)] FdT =
464
Раздел 5
+ |5-245>
Подставив (5.245) в (5.244), получим
P = ~T\^dT,
что после подстановки (5.242) дает окончательный результат:
F = -kT  In Z.	(5.246)
Таким образом, термодинамические функции могут быть выражены через статистическую сумму, определяемую свойствами изучаемого тела как квантовой системы.
Отметим, что поскольку уровни энергии квантовой системы при фиксированном числе частиц зависят от ее объема, то статистическая сумма, являясь явной функцией температуры, в то же время является неявной функцией объема. О
5.56.	СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА
И СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
В качестве примера рассмотрим, как в статистической * физике определяются термодинамические функции для идеального газа.
Напомним, что молекулы идеального газа квазинезависимы между собой и потому каноническое распределение Гиббса можно применять как к газу в целом, так и к единичным молекулам. Из определения статистической суммы (5.206) с учетом соотношения
1
е " Wt = е
следует, что статистическая сумма газа может быть выражена как произведение статистических сумм молекул, образующих этот газ. При этом, однако, надо учесть квантовомеханический принцип тождественности, согласно которому взаимная перестановка тождественных частиц, в данном случае газовых молекул, не изменяет состояние газа. Как известно из комбинаторики, в коллективе из N молекул имеют место NI перестановок. Поэтому статистическая сумма газа Z выражается через статистическую сумму одной молекулы Zo следующим .образом:
И =	(5.247)
Будем считать рассматриваемый идеальный газ невырожденным и потому применим к нему квазиклассическую форму описания. Тогда статистическую сумму молекулы
W
ZQ^g(W^-e~".
j
надо заменить на статистический интеграл
Статистическая физика и термодинамика
465
w
Z0=\e^.dg,	<5-248>
где dg — число микросостояний с энергией в интервале W+W + dW.
Рассмотрим шестимерное фазовое пространство одной молекулы с координатными осями х, у, г, рх, ру, рг. В этом пространстве рассмотрим элемент dr, соответствующий интервалу энергий W-tW + dW. Вспомним (5.215), что одному микросостоянию молекулы в фазовом пространстве соответствует элементарная ячейка с объемом (2лЙ3). Поэтому
dr
8 (2лй)3 ‘
Поскольку молекула с энергией в рассматриваемом интервале
может находиться в любой точке занимаемого газом объема V, то
dr = V  drp, где dTp — элемент объема импульсного пространства, соответствующий этому интервалу энергий. Выберем элемент drp в форме бесконечно тонкого сферического слоя с радиусом р и толщиной dp (рис. 5.51).
Объем этого элемента равен:
drp = 4xp2dp
и потому
d8=^(V4npZdp)-Поскольку рг = 2m0W, то
4np2dp = 4лото/2 ' ^2W dW,
Таким образом, (5.248) принимает вид:
Содержащийся в (5.249)
4xFm3/i!
(2лй)3
(5.249)
специнтеграл равен:
-
ос
w
§ е ** • >l2W dW =	,
о	2
поэтому
466
Раздел 5
,	чЗ/2
° [ (2яй)г J
Подставив это в (5.247), получим окончательное выражение для статистической суммы невырожденного идеального газа:
3/2 -Л
Z-M
г2лтой7Л k (2лй)2 J
В соответствии с (5.246) свободная энергия такого газа имеет
вид:
F = -kT  In Z = -NkT  In
3/2 ’2Ttm0fe7,'| (2пЙ)2 J
+ kT  In N\
V •
Для весьма больших (N » 1) может быть применена так называемая формула Стирлинга: )
In Nl ® N In — . е
Тогда свободная энергия выразится в следующем окончательном виде:
F = -NkT  In
3/2 , 2nmofe7’’l (2лй)2 J
(5.250)
где е — основание натуральных логарифмов.
В заключение еще раз подчеркнем, что из (5.250) могут быть получены все уравнения и величины, характеризующие невырожденные идеальные газы.
Пользуясь выражением для свободной энергии невырожденного идеального газа, получим термическое уравнение состояния, формулы для внутренней энергии, энтропии и теплоемкости невырожденного идеального газа.
Термическое уравнение состояния:
, ч	I- , хЗ/2 ,	.„чЗ/а,
Р = -®	= N ' (2лН «	... NkT
Wtn	J V '
PV = NkT,
Nk = Mk^ MkNA = MR
Здесь M — масса газа, ц — молярная масса, NA — число Аво-гадро. Окончательно имеем ’
ру _ М	(5.251)
И
Внутренняя энергия
= F - Т М ,
N
Статистическая физика и термодинамика 467
чЗ/2.
-|№
Q
WB = | NkT.
Внутренняя энергия, приходящаяся на одну молекулу w _ wb _ 3 „ Wbo -	- 2 kT.
Энтропия
S = Nk • In V + | Nk  In T +
3/2_
+ Nk Jin —  I A* |	+ M
+ ЛЛ|1п^ ^2яйг] J 2/
С учетом (5.251) окончательно получим:
M
S = — (cv In T + R In V) + const. P
Теплоемкость
,	3/2	,	, 4l/2
_ тт Га (2л/Н	eV £ fznffe7'i	mofe
' LeV	N 212**2 J	2nft2J ’
Для моля N — Na, kNa = R, и
3 о cF = 2 й.
Теплоемкость cp определяется по формуле Майера: ср = cv + R = | R.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Что и на какой основе изучает статистическая физика?
2.	Опишите ситуации, складывающиеся в процессе теплового молекулярного движения. Назовите четыре главные черты статистических закономерностей.
468
Раздел 5
3.	В каких условиях статистические закономерности имеют смысл, когда и почему они этот смысл утрачивают?
4.	В чем различие причин статистичности в квантовой механике и в классической статистической физике?
5.	Что такое макросостояние и микросостояние тела? Почему одному макросостоянию соответствует много микросостояний?
6.	Дать определение статистического ансамбля. В чем состоит и с какой скоростью происходит внутренняя эволюция макроскопического тела?
7.	Как выражаются средние по ансамблю значения макроскопических характеристик тел и почему эти значения можно рассматривать как истинные?
8.	В чем состоит эргодическая гипотеза и следующее из нее микроканоническое распределение?
9.	Формула Больцмана для энтропии и раскрываемый этой формулой физический смысл энтропии.
10.	Какое состояние называется статистическим равновесием и как выражается математическое условие этого равновесия?
11.	Каковы физические причины того, что в статистическом ансамбле изолированного тела основная доля микросостояний соответствует статистическому равновесию?
12.	Дать формулировку Больцмана второго принципа термодинамики. К каким системам и процессам применима эта формулировка?
13.	В чем состоит наиболее вероятное направление эволюции изолированных систем и почему оно не является единственно возможным? В чем выражается статистический характер термодинамики?
14.	Почему в рамках термодинамики второй принцип выступает не как статистический, а как абсолютный закон природы?
15.	Каковы условия равновесия для тел, находящихся в тепловом и диффузионном контакте между собой?
16.	Что такое квазинезависимость тел и какие из нее следуют выводы для чисел микросостояний и энтропии?
17.	Приведите и поясните большое каноническое распределение Гиббса и смысл входящих в него величин. Какие предположения использованы при выводе этого распределения?
Статистическая физика и термодинамика
469
18.	Приведите и поясните каноническое распределение Гиббса при отсутствии обмена частицами между изучаемым телом и термостатом. На какое значение энергии приходится пик вероятности в этом распределении?
19.	Какие физические объекты описываются статистикой Ферми-Дирака? Что такое энергия Ферми?
20.	Постройте и поясните кривую распределения фермионов по энергиям при абсолютном нуле температуры и при температурах, малых по сравнению с энергией Ферми в температурном выражении.
21.	Каков порядок энергии Ферми в температурном выражении для вырожденного электронного газа в металлических кристаллах? Почему в квантовой теории проводимости металлов в отличие от классической теории принята независимость скорости беспорядочного движения электронов от температуры?
22.	Какие физические объекты описываются статистикой Бозе—Эйнштейна?
23.	Что такое Бозе-конденсация?
24.	Дать определение фазового пространства изучаемого тела.
25.	Что такое критерий вырождения и температура вырождения?
26.	Чем объясняется очень низкая температура вырождения обычных атомных и молекулярных газов и очень высокая температура вырождения электронного газа в металлических кристаллах?
27.	Приведите и поясните распределения Максвелла по компонентам импульсов, по величине импульсов, по компонентам скоростей и по величине скоростей.
28.	Обоснуйте основйые свойства распределения Максвелла по скоростям. Охарактеризуйте роль молекул хвостовой части распределения. Опишите изменения кривой распределения с увеличением температуры.
29.	Посредством каких математических операций получаются из распределения Максвелла формулы для вероятной и средней скоростей?
30.	Какие две тенденции действуют в газе, находящемся во внешнем потенциальном поле?
31.	Приведите и поясните барометрическую формулу.
Глава 5.4
КРИСТАЛЛЫ
5.57. СТРОЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ
Основная особенность кристаллов заключается в пространственной периодичности расположения частиц (атомов, ионов или молекул) вещества. Эти частицы образуют геометрически закономерную кристаллическую структуру, характерную для каждого типа кристаллов. При описании кристаллической структуры пользуются понятием кристаллической решетки, в узлах которой обычно располагаются частицы, образующие кристалл.
Основным элементом кристаллической решетки является элементарная кристаллическая ячейка, представляющая собой параллелепипед с характерным для данной решетки расположением частиц. Перемещением (трансляцией) такого параллелепипеда вдоль определенных осей (например, х, у, z, рис. 5.52) можно воспроизвести строение идеального кристалла. Длина ребер параллелепипеда а, Ь, с и углы между ребрами а. ₽, У однозначно определяют этот параллелепипед и называются параметрами элементарной ячейки. Все многообразие существующих в природе кристаллических структур, как показал французский кристаллограф О. Браве в 1848 г., можно описать с помощью 14 типов кристаллических решеток в зависимости от соотношения величины и взаимной ориентации ребер элементарной кристаллической ячейки. Различают примитивные, базоцентрированные, объемно-центрированные и гранецентрированные решетки
г
Рис. 5.52
Статистическая физика и термодинамика
471
Браве. Если узлы кристаллической решетки расположены только в вершинах параллелепипеда элементарной ячейки, то такая решетка называется примитивной или простой. Если, кроме того, имеются узлы в центре оснований параллелепипеда, то решетка называется базоцентрированной. Если есть узел в месте пересечения пространственных диагоналей — решетка называется объемноцентрированной, а если имеются узлы в центре всех боковых граней — гранецентрированной.
Поскольку подробное рассмотрение геометрии кристаллической решетки не входит в нашу программу, опишем в качестве примера элементарные ячейки основных кристаллических систем: кубической, гексагональной, тетрагональной, ромбической, моноклинной и триклинной.
В кубической системе все углы элементарной ячейки прямые (а = р = у = 90°) и все ребра ее равны между собой (а = Ь = с). Элементарная ячейка гексагональной системы представляет собой прямую призму, в основании которой лежит ромб с углами 60 и 120°, а = с * * Ь; а = у — 90°, р = 120°. Высота элементарной призмы не равна длине стороны ромба, лежащего в основании. Три таких ячейки составляют гексагональную призму, которая имеет более тесную связь с элементами симметрии, чем примитивная ячейка. Для тетрагональной системы элементарная ячейка представляет собой прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат: а=с#&иа= Р = у = 90°. В тригональной системе элементарная ячейка представляет собой ромбоэдр. Углы а, р, у одинаковы, отличны от 90° и меньше 120°. Элементарная ячейка ромбической системы есть прямоугольный параллелепипед с различной длиной ребер: а*Ь*с, а = Р = у = 90°. В моноклинной системе элементарная ячейка представляет собой наклонный параллелепипед, две пары граней которого являются прямоугольниками, а одна пара — параллелограммами. Одно из ребер ячейки, например, с, перпендикулярно двум другим: а*Ь * с, а = р = 90°, у * # 90°. Решетка триклинной системы имеет элементарную ячейку в виде параллелепипеда, все ребра которого различны (а * Ь * с) и углы а, р и у не равны между собой и ни один из них не равен 90°.
Многие кристаллические твердые тела построены либо из нейтральных атомов (атомы благородных элементов),
472
Раздел 5
Na С(
Рис. S.53
либо из положительно и отрицательно заряженных ионов. Атомы и ионы большинства химических элементов обладают сферической симметрией, поэтому строение многих кристаллических структур можно понять, рассматривая их как плотную пространственную упаковку шаров. Среди большого числа исследованных кристаллических
структур количество таких упаковок оказалось весьма ограниченным. Чаще всего встречаются упаковки: плотнейшая гексагональная и плотнейшая кубическая.
Одной из важнейших характеристик любой структуры является координационное число, которое равно числу ближайших соседей, окружающих данную частицу. Так, в структуре поваренной соли NaCl координационное число k = 6: каждый ион С1 окружен шестью ионами Na, а каждый ион Na окружен шестью ионами С1 (рис. 5.53). Крупные по размеру атомы С1 образуют кубическую плотнейшую упаковку, в которой некоторые пустоты заселены катионами Na. Решетку NaCl можно рассматривать как совокупность двух гранецентрированных структур, каждая из которых содержит ионы лишь одного знака. Параметр ячейки — 0,282 нм.
В качестве другого конкретного примера приведем структуру алмаза (рис. 5.54). По типу структуры алмаза кристаллизуются полупроводники Si и Ge, а также ряд других более сложных полупроводниковых соединений. Структура алмаза представляет неплотно упакованную структуру с k = 4. Каждый атом углерода тетраэдрически окружен четырьмя другими атомами углерода. Хотя кристаллизация веществ по типу плотнейшей упаковки связана с некоторым выигрышем в энергии, тенденция атомов углерода (а также Si пли. Ge) к образованию направленных связей настолько велика, что в целом алмазоподобная структура оказывается более выгодной.
Силы, удерживающие частицы в кристалле, имеют ту же природу, что и межатомные силы, которые обусловливают образование молекул (см. п. 4.40). Эти силы, в основном, электростатического происхождения — притяжения между противоположно заряженными
Статистическая физика и термодинамика
473
частицами (электронами и ядрами) и — отталкивания между одноименно заряженными частицами (электронами и электронами, ядрами и ядрами). Напомним, что эти силы обусловлены изменениями, происходящими, главным образом, в электронной конфигурации валентных электронов взаимодействующих атомов.
Характер межатомных сил иногда кладут в основу классификации кристаллов. Согласно этой классификации все кристаллические вещества разделяют на четыре типа: металлические, ковалентные, ионные и молекулярные кристаллы (см. п. 4.40).
5.58. ОБОЗНАЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ, НАПРАВЛЕНИИ И УЗЛОВ В КРИСТАЛЛЕ
Для обозначения кристаллографических плоскостей, направлений и узлов в кристалле общепринятой является система индексов Миллера. Поясним ее сущность.
Выберем систему координат, оси которой совпадают с тремя ребрами элементарной кристаллической ячейки, начало координат находится в одном из узлов решетки (см. рис. 5.55), а осевые единицы соответствуют длине ребер кристаллической ячейки: а, Ъ, с.
Положение любой плоскости в пространстве определяется тремя точками. В качестве таких точек удобно взять точки пересечения заданной плоскости с выбранными осями координат.
Пусть определяемая плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С (рис. 5.55) и отсекает по осям отрезки т, п, р, выраженные в соответствующих единицах (т =	,
I а ов ос\
п =, р = -^-|. При этом т = 1, zi = 2, р = 2. Составим отношение обратных величин осевых отрезков Vm : Vn : % и выразим его через отношение трех наименьших чисел h, k.
I, которые и будут Миллеровскими индексами данной плос-
кости. Для нахождения индексов h, k, I нужно отношение Vm : Vn : % привести к общему знаменателю и отбросить его.
Для примера на рис. 5.55:
Vm :	: VP = И :	: 1/2 =
- = 2Л> : х/2 : V2 = 2 : 1 : 1.
Таким образом, для этого случая h =2, k = 1, / = 1. Миллеровские индексы плоскостей заключаются в круглые скобки (h, k, I).
Если плоскость параллельна какой-либо из осей, то индекс, соответствующий этой оси, будет
Рис. 5.55
474
Раздел 5
Рис. 5.56
равен нулю (0 — 1/оо). Если же отрезок, отсекаемый по оси, имеет отрицательное значение, то соответствующий индекс Миллера тоже будет иметь отрицательный знак, который ставится не впереди индекса, а над ним. Пусть, например, h = -1, k = О, 1 = 2. Такая плоскость обозначается (102),
Таким образом, по заданным осевым отрезкам легко определить Миллеровские индексы плоскости. Не со-
ставляет сложности и решение обратной задачи: определение осевых отрезков по известным индексам Миллера. Например, для некоторой плоскости в кристалле (123) : Ул : ^ : Vi = Vi : Vfc :	= % : % : 2/в. Поэтому
отсекаемые отрезки равны 6, 3 и 2, соответственно по осям х.
У. z.
Некоторые плоскости, различающиеся по индексам Миллера, являются эквивалентными в кристаллографическом и физическом смысле. Например, эквивалентными в кубической решетке являются грани куба (100), (010), (001), (100), (010), (001). Кристаллографическая эквивалентность их проявляется в том, что эти плоскости совмещаются друг с другом при повороте вокруг одной из осей координат на угол, кратный л/2. Физическая же эквивалентность в том, что все эти плоскости обладают одинаковой структурой в расположении узлов решетки, а, следовательно, и одинаковыми физическими свойствами. Семейство эквивалентных плоскостей обозначается фигурными скобками. Символом {100} обозначается все семейство шести граней куба (100), (010) и т. д. В семейство {110} входят плоскости с индексами (110), (101), (011), (110), (011) и (Q1). Очевидно, что плоскости (Л, к, Z) идентичны плоскостям (Л, к, I).
Для описания направления в кристалле выбирается прямая, проходящая через начало координат. Ее положение однозначно определяется индексами т, п, р первого узла, через который она проходит (см. рис. 5.56). Поэтому индексы узла т, п, р являются одновременно и индексами направления. Индексы направления обозначают [т, п, р].
Числа т, п, р определяют и положение любого узла в решетке относительно выбранного начала координат. Эти числа называют индексами узла и записывают так: [[т, п, pJJ. #
5.59.	МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
Для определения атомной кристаллической структуры твердых тел используют дифракционные методы. Эти методы различают по виду используемого излучения: рентгенографические, электронографические и нейтронографические. Периодическое расположение атомов
Статистическая физика и термодинамика
475
в кристаллах создает своеобразную дифракционную решетку с периодом, соответствующим по порядку величины среднему межатомному расстоянию (—10 10 м). Для получения дифракционной картины важно, чтобы длина волны используемого излучения была сравнима с межатомным расстоянием. В рентгенографии для исследования атомной структуры применяют рентгеновские лучи с длинами волн (0,7-3) • 1О"10 м, в электронографии электроны с длинами волн де Бройля — (3-6)  10-12 м, в нейтронографии тепловые нейтроны с длиной волны порядка 1О~10 м.
Дифракционную картину, получаемую при рассеянии излучения от кристалла, в случае рентгенографии и электронографии фиксируют на фотопленке (фотобумаге) или фотопластине, а в случае нейтронографии — счетчиком Гейгера.
Дифракционные методы исследования структуры являются расчетными, в основе которых лежит формула Вульфа-Брэгга, выведенная первоначально для дифракции рентгеновских лучей:
2d sin G = nl, где 0 — угол скольжения излучения относительно рассматриваемых атомных плоскостей, d — расстояние между этими плоскостями, п — целое число (порядок дифракции) и X — длина волны излучения. Расшифровка дифрактограмм в общем случае сложная задача и поэтому ей посвящена обширная специальная литература.
Однако по дифракционной картине можно сразу качественно судить о структурном состоянии твердого тела. Если дифракционная картина представляет собой набор точечных рефлексов, получающихся при рассеянии излучения от определенных систем кристаллографических плоскостей {hkl}, то твердое тело находится в монокристаллическом состоянии (рис. 5.57). Если дифракционная картина представляет собой набор концентрических колец (при съемке на плоскую фотопластинку), то твердое тело находится	
в поликристаллическом состоянии	• • • •
(рис. 5.58). Если же на дифракционной •*•*** картине наблюдается одно или два раз- «*,*.’.*«*. мытых кольца (в виде диффузных • • • • • гало), то тело находится в аморфном состоянии.	Рис. 5.57
476
Раздел 5
Отметим различия трех выше ука-"Х	”,	занных дифракционных методов. Они
(	Z'	X \ *,	обусловлены различной силой взаи-
•	(	(	О )	)	модействия рентгеновского, элек-
\	J		тронного и нейтронного излучений с
\	,•	веществом. Рентгеновское электро-
‘	'	магнитное излучение при прохожде-
нии через кристалл взаимодействует
Рис. S.58 с электронными оболочками атомов, и дифракционная картина связана с распределением электронной плотности. В электронографии используют электроны таких энергий, что они взаимодействуют, главным образом, не с электронными оболочками атомов, а с электростатическими потенциальными полями, создаваемыми ядрами исследуемого вещества. Взаимодействие между двумя заряженными частицами (электроном и ядром атома) значительно сильнее, чем между электромагнитным излучением и электронной оболочкой атома. Поэтому интенсивность дифракции электронного излучения в 10е раз сильнее, чем рентгеновского; получение рентгенограммы часто требует нескольких часов, а электронограммы — нескольких секунд.
В случае нейтронного излучения нейтроны взаимодействуют с дельтообразным потенциалом ядерных сил, и интенсивность дифракции По сравнению с рентгеновским излучением примерно в 100 раз слабее. Существенная особенность нейтронографии связана с наличием у нейтрона собственного магнитного момента, что позволяет использовать этот метод для определения «магнитной» структуры веществ, в состав которых входят атомы, обладающие постоянными магнитными моментами. Этим методом удается получать сведения об ориентации магнитных моментов атомов в элементарной ячейке. Поскольку рассеяние тепловых нейтронов вообще не зависит явно от атомного номера исследуемого вещества, то с помощью дифракции нейтронов выявляется различие атомов с близкими номерами в таблице Менделеева, что трудно сделать рентгенографически и электронографически. Так как легкие вещества рассеивают нейтроны так же эффективно, как и тяжелые, то с помощью нейтронографии проводят изучение кристаллической структуры веществ, в состав которых входят одновременно атомы легких и тяжелых элементов
Статистическая физика и термодинамика
477
(атомы водорода в гидриде циркония, углерода в стали), а также структур из легких элементов (льда, гидрида натрия, графита и др.). Такие структуры нельзя исследовать с помощью рентгеновских лучей и затруднительно — с помощью электронов из-за незначительного рассеяния их легкими элементами.
Конечным результатом при определении кристаллической структуры каждым из трех методов является установление пространственного распределения электронной плотности, электростатического потенциала ядер атомов или потенциала ядерных сил в элементарной ячейке. Максимумы указанных распределений соответствуют центрам равновесия атомов исследуемого вещества.
5.60.	ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
Реальные кристаллы имеют различные дефекты, к которым относятся любые отклонения от идеальной периодической структуры. Дефекты структуры оказывают существенное влияние на многие свойства твердых тел. Структурно-чувствительными свойствами являются электропроводность, люминесценция, прочность и пластичность, окраска кристаллов и т. д.
Дефекты в кристаллах подразделяют на нульмерные, одномерные, двумерные и трехмерные. Нульмерные (точечные) дефекты можно разделить на энергетические, электронные и атомные. Постоянно присутствуют в кристаллах такие энергетические дефекты, как фононы — временные искажения периодичности решетки, вызванные тепловым движением (подробнее о фононах см. следующий параграф и п. 4.57)).
Электронные дефекты проявляются в виде избыточных «свободных» электронов или их недостатка — «дырок» (см. п. 4.52), а также экситонов — связанных кулоновскими силами электрона и дырки.
К атомным дефектам относятся вакантные узлы, атомы в междоузлиях, или чужеродные атомы, внедренные в кристаллическую решетку.
Основным видом линейных (одномерных) дефектов являются дислокации, которые подразделяются на краевые и винтовые. В общем случае за дислокацию принимается линия, отделяющая в кристалле область, где сдвиг атомных плоскостей произошел, от области, где сдвига не произошло. На рис. 5.59 изображена краевая
478
Раздел 5
Рис. 5.59
дислокация ОСУ, возникшая в результате сдвига кристалла на одно межатомное расстояние, и показано расположение атомов в плоскости, перпендикулярной линии дислокации. Краевая дислокация перпендикулярна вектору сдвига. Краевая дислокация представляет со-
бой край ОО' незавершенной внутри кристалла плоскости MNO'O.
Винтовая дислокация возникает, если смещение (сдвиг) части кристалла происходит параллельно линии дислокации ОО' (см. рис. 5.60). Кристалл в этом случае можно представить состоящим из одной атомной плоскости, «закрученной» вокруг дислокации ОСУ как винтовая лестница (рис. 5.60). Если обходить по этой плоскости вокруг оси винтовой дислокации, то с каждым оборотом поднимаемся или опускаемся на один шаг винта, равный межплоскостному расстоянию.
К двумерным (плоскостным) дефектам относятся границы между зернами кристаллов, ряды линейных дислокаций. Поверхность кристалла тоже может рассматриваться как двумерный дефект.
Объемные (трехмерные) дефекты — это микропустоты и включения другой фазы. Они возникают обычно
при выращивании кристаллов или в результате некоторых воздействий на кристалл.
Точечные дефекты типа вакансий имеются в каждом кристалле, как бы тщательно он ни выращивался. В реальном кристалле вакансии постоянно зарождаются и
исчезают под действием
Рис. 5.60
тепловых флуктуаций. С повышением температуры концентрация вакансий возрастает, достигая нескольких процентов от общего числа атомов кристалла вблизи температуры плавления.
Дислокации возникают в кристаллах в процессе их получения. Наличием дис-
Статистическая физика и термодинамика
479
локаций в кристаллах объясняют так называемую блочную или мозаичную структуру реальных кристаллов: монокристалл не представляет единой решетки, а состоит из большого числа блоков, слегка разориентиро-ванных друг относительно друга. Линейные размеры блоков варьируют в пределах 10 6~10 4 см. Дислокации могут легко перемещаться в кристалле и взаимодействовать между собой и с любыми другими дефектами решетки.
Прочность реальных кристаллов на три-четыре порядка ниже расчетной идеальной прочности. Известно также, что в ряде случаев кристаллы с большим числом дефектов обладают более высокой прочностью, чем кристаллы с меньшим количеством дефектов. Это объясняет дислокационная теория пластической деформации. Согласно этой теории процесс скольжения атомных слоев кристалла при пластической деформации происходит не по всей плоскости сечения кристалла, а начинается на дислокациях. Уже при относительно небольших напряжениях дислокации начинают перемещаться и выходят на поверхность кристалла (если не встречают препятствий на пути). Выход краевой дислокации на поверхность кристалла эквивалентен сдвигу части кристалла на величину, равную периоду решетки. Если бы в кристалле было очень небольшое число дислокаций, то и в этом случае начальная прочность кристалла оказалась бы во много раз ниже его идеальной прочности. Зато после выхода дислокаций на поверхность кристалл стал бы идеально прочным.
В реальных кристаллах такая ситуация не наблюдается, так как плотность дислокаций и других дефектов достаточно велика, а мала вероятность беспрепятственного выхода дислокаций на поверхность кристалла. При этом дислокации размножаются на препятствиях, что ведет к дальнейшему снижению их прочности.
Уменьшение прочности кристалла при увеличении концентрации дефектов происходит до какого-то определенного предела. Дефекты решетки затрудняют движение дислокаций, а это уже является упрочняющим фактором. Введение контролируемых дефектов на практике достигается такими технологическими операциями как легирование (введение небольшого количества определенных примесей, которые сильно взаимодействуют с дислокациями и затрудняют их движение), закалка
480
Раздел 5
(создается мелкозернистая структура, границы зерен труднопроходимы для дислокаций), наклеп и т.п. Наибольшее упрочнение металла получается при плотности дислокаций порядка 1012 см 2. Дальнейшее повышение плотности дислокаций вызывает резкое уменьшение прочности кристалла.
5.61.	ТЕПЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В КРИСТАЛЛАХ
Атомы кристалла при любой температуре, даже при 0 К, непрерывно совершают колебания около своих средних положений. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в кристалле сильно связаны друг с другом, то возбуждение передается от атома к атому и распространяется в виде упругих (звуковых) волн. С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны многие'физические явления в твердых телах — теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение, электропроводность и др. Теория колебаний атомов трехмерного кристалла достаточно сложна. Основы этой теории разработаны М. Борном, Т. фон Карманом и П. Дебаем в 1912 г.
Всякое колебание можно разложить на два поперечных и одно продольное. Любое сложное (не синусоидальное) колебание можно представить в виде суммы синусоидальных колебаний разных периодов и амплитуд (метод Фурье, п. 32). Полное число независимых волн в кристалле равно утроенному числу узлов кристаллической решетки. Эти продольные и поперечные волны доходят до поверхности кристалла, отражаются от нее и, налагаясь на встречные волны, образуют сложную систему стоячих волн. Аналогично тому, как в струне, закрепленной на концах, могут возникать стоячие волны вполне определенных длин (в длине струны должно укладываться целое число полуволн), в кристалле также устанавливаются серии стоячих волн, дискретных частот (длин волн), определяемых размерами кристалла и его упругими свойствами.
Диапазон частот упругих волн очень широк — 102-10’3 Гц. Границы длин волн этого спектра колебаний можно оценить, исходя из того, что самая длинная и самая короткая волны определяются условиями XmFX = 21 и Xmi,, = 2d, где I — наибольший линейный размер кристалла, ad — параметр атомной решетки.
Статистическая физика и термодинамика 481
Скорость распространения упругих волн в кристалле зависит от длины волны или частоты. Это связано с дисперсией волн (см. п. 3.16). Короткие волны, которым соответствуют более высокая частота колебаний частиц, распространяются медленнее (вследствие инерции частиц), чем длинные волны. При наличии в кристалле разносортных атомов решение задачи о колебаниях атомов приводит в общем случае к Зг кривым зависимости v от А или го от fe, которые получили название ветвей закона дисперсии. Меньшие частоты колебаний соответствуют трем акустическим ветвям, а большие (Зг — 3) оптическим. Здесь г — число атомов в элементарной ячейке.
Поскольку каждой ветви соответствует N независимых значений волнового вектора А, где N — число элементарных ячеек в кристалле, то в общем случае движение атомов в кристалле может быть представлено как суперпозиция 3rN независимых гармонических колебаний.
Такие колебания можно представить как совокупность квазичастиц с импульсом ЙА и энергией /и», которые и называются фононами по аналогии с квантами электромагнитных волн — фотонами. Роль фононов в физике твердого тела отмечалась также в главах 4.8, 5.1.
В твердом теле возможны как акустические, так и оптические фононы. Поскольку частота колебаний оптических фононов всегда выше частоты колебаний акустических фононов, то энергия оптических фононов выше энергии акустических. Поэтому при очень низких температурах возбуждаются только акустические фононы.
В настоящее время для экспериментального изучения тепловых волн в кристаллах используют неупрутое рассеяние тепловых нейтронов на фононах. При неупругом столкновении нейтрон теряет (или приобретает) значительную долю своей энергии и меняет направление движения, в результате чего можно определить энергию и частоту фонона.
5.62.	ТЕПЛОЕМКОСТЬ КРИСТАЛЛА
Теплоемкость кристалла складывается из теплоемкости атомов (или ионов) и теплоемкости свободных электронов. В классической теории теплоемкости кристалл рассматривается как совокупность атомов, совершающих колебания с одной и той же частотой. Каждый атом обладает тремя поступательными степенями свободы. На
16 Зак. № 845
482
Раздел 5
каждую степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT и потенциальная хи
энергия, равная kT.
Поэтому средняя энергия колеблющегося атома равна 3feT, а средняя энергия одного моля вещества, содержащего NA атомов,
составит W - 3kTNA - 3RT. Дифференцируя это выражение по Т, получим атомную теплоемкость кристалла (в расчете на один моль) при постоянном объеме:
с™ = dW/dT = 37?.	(5.252)
Таким образом, согласно классическим представлениям, атомная теплоемкость твердых тел не зависит от температуры и для различных тел имеет одинаковое значение. Этот закон был установлен экспериментально Дюлонгом и Пти в 1819 г. для достаточно высоких температур. Однако с понижением температуры отступление от этого закона наблюдается у всех твердых тел и при стремлении к абсолютному нулю их теплоемкость стремится к нулю (рис. 5.61).
Усовершенствование теории атомной теплоемкости кристаллов было выполнено Эйнштейном, который считал частоту колебания всех атомов кристалла одинаковой, однако среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы, полагал равной не kT, а вычислял по формуле Планка для средней ’энергии квантового гармонического осциллятора:
Лу
(W) = hv /	- 1) .
Тогда энергия одного моля вещества равна:
W = 3NA <W) = 3NAk / (Л - 1) .	<5-253)
Величина 6 = hv/k получила название характеристической температуры тел. Учитывая это, формулу (5.253) можно представить в виде:
Статистическая физика и термодинамика 483
е
W
(5.254)
Дифференцируя (5.254) по температуре, получим:
I2	(5.255)
.2 е
= ЗЯ
Формула (5.255) описывает уменьшение теплоемкости в области низких температур. Действительно, при Т « 6, единицей в знаменателе формулы (5.255) можно пренебречь и записать ее в следующем виде cv = ЗЯ (6/T)ze0/r. При Т -» О 6/Т -» оо, а е*/т -> О. Так как еъ/т убывает значительно быстрее, чем растет (0/Т)2, то cv —> О при Т -» О.
В то же время, в области высоких температур, в которой выполняется закон Дюлонга и Пти, формула (5.255) преобразуется в формулу (5.252). Это свидетельствует о качественном согласии теории Эйнштейна с опытом. Количественно же эта теория расходится с опытом, особенно в области низких температур. Это расхождение обусловлено тем, что атомы в твердом теле не могут колебаться с одинаковыми частотами, поскольку они сильно связаны между собой.
Следующий шаг в развитие теории атомной теплоемкости кристаллов сделал Дебай. Он учел, что гармонические осцилляторы колеблются с различными частотами, а их энергия также квантуется по Планку. Им получено выражение, удовлетворительно описывающее теплоемкость реальных кристаллов. Оказалось, что при Т -> О Су = const • Т3.
Электронная теплоемкость кристаллов должна быть пренебрежимо малой по сравнению с атомной, поскольку выполняется закон Дюлонга и Пти. Это находится в противоречии с классическими представлениями: свободные электроны металлического кристалла подобно частицам идеального газа должны иметь среднюю энергию 3/2 kT и давать вклад в молярную теплоемкость кристалла с^л = 3/2 Я, соизмеримый с атомной решетчатой теплоемкостью (с£л = ЗЯ).
Однако с точки зрения квантовой механики электронный газ в металле описывается статистикой Ферми—Дирака. Поэтому при температуре абсолютного нуля свободные электроны металла занимают все энергетические
484
Раздел 5
уровни, вплоть до уровня Ферми. С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни (см. подробнее п. 4.43 и п. 5.50). Поскольку kT « WF — это возбуждение затрагивает лишь малую часть свободных электронов в полосе энергий шириной порядка kT, расположенной непосредственно у уровня Ферми (см. рис. 4.57). Оценка этой части электронов приведена в конце п. 4.43. Показано, что с®л/с^ составляет менее 10"2.
5.63.	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
В п. 5.8 отмечалось, что теплопроводность кристаллов к определяется двумя механизмами: фононным (кф) и электронным (км). В общем случае к = Кф + кэл. Для диэлектриков преобладает первое слагаемое, а для металлов — второе. Было показано также, что каждое из этих слагаемых формально может быть представлено соотношением, полученным из простых соображений, лежащих в основе классической молекулярно-кинетической теории идеального газа (см. формулы (5.32), (5.40), (5.41)). Роль частиц такого газа в кристалле выполняют либо фононы (для фононной теплопроводности), либо свободные электроны (для электронной теплопроводности). В итоге для фононной теплопроводности можно записать (5.41):
Кф = I CV -1ф - Оф,	(5.256)
где cv — теплоемкость единицы объема кристалла, связанная с колебаниями решетки, иф — средняя скорость фононов, приблизительно равная скорости звука в кристалле, которую можно считать слабо зависящей от температуры, /ф — средняя длина свободного пробега фоно-нов, равная среднему расстоянию, которое они проходят между двумя последовательными актами рассеяния.
В области относительно высоких температур (Т > 0О) длина свободного пробега фононов убывает примерно обратно пропорционально абсолютной температуре 1Ф ~ ~ 1/Т при неизменяющихся cv и иф. Поэтому в этой области температур кф возрастает с уменьшением температуры как Т'1 (рис. 5.62). Эта зависимость примерно соблюдается до характеристической температуры
Статистическая физика и термодинамика
485
кристалла (температуры Дебая) 6В = hvD/k, где hvD — максимальный квант энергии, способный возбуждать колебания решетки. Значение температуры Дебая для большинства кристаллов лежит в пределах 100-400 К, хотя имеют место существенно иные значения (для алмаза 0D - 2230 К).
В области достаточно низких
температур (Т« 0о) примерно постоянны 1Ф и иф, а cv ~ Т3. Поэтому в этой области температур Кф ~ Т3 (см. рис. 5.62). Следовательно, между областью очень
низких и достаточно высоких температур температурная зависимость теплопроводности диэлектриков должна проходить через максимум (см. рис. 5.62).
В области максимума температурная зависимость Кф объясняется сложными процессами рассеяния фононов на фононах и описывается методами квантовой физики. Обнаруживается, что в области правее максимума (но левее 6Д) температурная зависимость кф пропорциональна соотношению (Т/6Д) exp (6D/27T) (см. рис. 5.62). Следует отметить, что теплопроводность реальных диэлектрических кристаллов, содержащих различные дефекты и примеси, описывается теорией лишь качественно. Теория пока не дает возможность вычислять точные значения теплопроводности кф.
Электронную теплопроводность (кэл) рассмотрим на примере металлов, которые, как правило, являются хорошими проводниками тепла и электричества. Видеман и Франц (1853 г.) установили, что отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности для большинства металлов прямо пропорционально температуре:
кэл/У = LT.	(5.257)
Здесь L — некоторая конртанта (число Лоренца).
Первой теорией, объяснившей механизм тепло- и электропроводности в металлах, а также закон Видемана-Франца была классическая теория Друде (1900 г.). По этой теории металл представляют как ящик, заполненный свободными электронами, которые подчиняются модели идеального газа. В отсутствие внешнего электрического поля электроны совершают лишь хаотическое
486
Раздел 5
тепловое движение. При создании поля напряженностью Е на каждый электрон действует сила F = еЕ, приводящая к возникновению направленного движения электронов (против поля), т. е. электрического тока. Под действием силы F электрон, двигаясь с ускорением, ' в конце свободного пробега 1ЗЯ приобретает скорость направленного движения ин = еЕх/т0. После столкновения с узлом решетки ин обращается в нуль. Поэтому средняя скорость (ин) = ин/2 = еЕх/2т0. Так как х = ljv3, где v3 — средняя скорость теплового движения электронов (иэ » ин), то - eEl3/2m0v3. Плотность тока описывается выражением j = пе (vH) = n#El3/2m0v3. С другой стороны, плотность тока, согласно закону Ома, равна j = уЕ. Поэтому
у = n<?lJ2m0v3.	(5.258)
При расчете коэффициента теплопроводности предполагается, что и в присутствии градиента температуры электроны от столкновения до столкновения проходят то же самое расстояние, равное средней длине свободного пробега 13, прежде чем передадут свою избыточную тепловую энергию атомам. Применяя к электронному газу выражение (5.41), получим
кэ = 1/3 c°v3l3.	(5.259)
С помощью формул (5.258) и (5.259) можно найти отношение: кэ/у = 2с°лгор2/3пе2. Далее, воспользовавшись результатами кинетической теории, положив с® = (3/2) nk, movz/2 = 3/2 kT, получим выражение:
Это и есть закон Видемана—Франца, а множитель 3 (k/lf — число Лоренца. Видно, что L = 3 (k/l)2 ~ » 2  КГ3 Вт - Ом/К2 не зависит от сорта металла. Однако экспериментальное значение числа Лоренца L, усредненное по ряду металлов, существенно отличается от вычисленного с помощью приведенного соотношения. Устранение этого противоречия было достигнуто Зом-мерфельдом (1927 г.), который, сохранив основные исходные положения классической теории, перенес в нее приемы квантовой статистики Ферми—Дирака и для
Статистическая физика и термодинамика
487
числа Лоренца получил выражение L = л2й2/3е2, лучше совпадающее со.средним экспериментальным значением.
Сравним теперь величины кф и кэ для типичных диэлектриков (кф) и металлов (кэ). Для этого оценим с помощью формул (5.256) и (5.259) отношение (1с,/кф) = = {Cy/cv) (IJl^ (пэ/Уф). В этом выражении (сэ/сф) « 0,33, 1Э — Ю 6 см, 1ф = 3 • 10 6 см, уэ = 104 см/с, нф = 10е см/с (при комнатной температуре, для типичных металлов и диэлектриков). В итоге получаем (кэ/кф) » 100, т. е. теплопроводность, обусловленная электронами в типичных проводниках значительно превышает фононную теплопроводность в типичных диэлектриках. Следует отметить однако, что бывают и исключения. Например, алмаз при комнатной температуре проводит тепло лучше (к^ = 550 Вт/(м-К)), чем самый хороший металлический проводник тепла серебро (кэ = = 407 Вт/(м-К)). Это объясняется высокой, жесткостью межатомных связей в алмазе и малой массой частиц, составляющих кристалл (атомы углерода). Теория показывает, что, чем жестче связь и чем меньше масса частиц, тем выше коэффициент фононной теплопроводности кристалла.
5.64.	ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Термин «жидкий кристалл» относится к целому ряду различных состояний вещества, в которых их структурная упорядоченность является промежуточной между упорядоченностью обычных жидкостей и твердых кристаллических тел. Сохраняя основные черты жидкости, например, текучесть, жидкие кристаллы обладают характерной особенностью обычных кристаллов — анизотропией. В жидких кристаллах проявляется анизотропия диэлектрической проницаемости, магнитной восприимчивости, электропроводности й имеет место двойное лучепреломление.
Жидкокристаллическое состояние было открыто в 1888 г., но интенсивно стало исследоваться после обнаружения его прикладной значимости в электронике, медицине, биологии и т. д.
Жидкокристаллическое состояние вещества возникает при плавлении некоторых молекулярных кристаллов. Возникающие при этом жидкие кристаллы называются
Раздел 5
488
термотропными. Лиотропные жидкие кристаллы образуются при растворении ряда молекулярных кристаллов в некоторых растворителях.
Жидкокристаллическое состояние проявляется только у веществ с анизотропной формой молекул, например, в виде тонких длинных стержней (см. рис. 5.63). Таких веществ многие тысячи.
Для характеристики ориентационного порядка анизотропных молекул жидких кристаллов вводят особый единичный вектор L, называемый директором, направление которого совпадает с направлением усредненной ориентации длинных осей молекул.
Принято различать нематические, холестерические и смектические жидкие кристаллы (рис. 5.63). Простейшей является нематическая фаза (см. рис. 5.63, г).
(б)
(S)
00 008 BSfflg 0 6 0 0® Д| 0 08 8 № 8 8	8 8 0 0 0 8 Vil
1 00 0 08 8 8
00 8 888 0 8 Ср
Об

8 0 0 0 0
Смектик А с2н6-о-(ус^ 'N-(yCeHl2 л-бутокси-бензилиден л'-октила нилин
Смектик С
Смектик В
Холестерик
Нематик

П ~	О
Н~С °-С^п CJH„-CO"
Холестерилнонаноат
Две молекулы п- октилокси-л'-цианодифенила
Рис. 5.63
Статистическая физика и термодинамика
489
В этой фазе имеется порядок лишь в ориентации молекулярных осей. Сами молекулы вдоль этих осей сдвинуты друг относительно друга. Благодаря этому сдвигу плотность нематической жидкой фазы вдоль директора L (ось z на рис. 5.63, г) неизменна (р (2) = const). Нематическую фазу образуют, например, соединения п-бутокси-бензилиден-п'-октиланилин и п-октилокси-п'-цианоби-фенил, формулы которых также приведены на рис. 5.63. Все известные термотропные нематики имеют одну ось симметрий, совпадающую с направлением директора, оптически одноосны и обнаруживают сильное двулучепреломление. Определенная жидкокристаллическая упорядоченность обычно наблюдается в отдельных небольших (10 2—101 мм) областях, называемых доменами. Внешним воздействием, например, электрическим или магнитным полем, можно ориентировать домены однообразно и получить жидкокристаллический «монокристалл».
Переходы из кристаллического состояния при нагревании в жидкокристаллическое и затем в обычное аморфно-жидкое являются фазовыми переходами 1-го рода (см. п. 5.33). Эти переходы сопровождаются поглощением теплоты фазового перехода, однако в десятки раз меньшей, чем при плавлении обычных кристаллов, что свидетельствует о малости величины межмолекулярного ориентирующего взаимодействия. Малость такого взаимодействия определяет также легкость переориентации молекул жидких кристаллов под внешним воздействием, например, под воздействием магнитных и электрических полей. Описанные выше фазовые переходы происходят при нагревании по одной из двух схем: 1) твердокристаллическая фаза смектическая фаза нематическая фаза аморфно-жидкая фаза, 2) твердокристаллическая фаза смектическая фаза аморфно-жидкая фаза.
Свойства жидких кристаллов неодинаковы в различных направлениях относительно ориентации директора L. Анизотропия жидких кристаллов определяется анизотропией молекул, из которых кристалл состоит. Так проводимость вдоль директора yt в большинстве случаев больше, чем поперек yL. Аналогичным образом неодинаковы показатели преломления света nt и nL и диэлектрические проницаемости а, и а,. Наличие
490
Раздел 5
и величину анизотропии жидкого кристалла характеризуют величиной Де = Ен - Ej. Если Де < О, то анизотропию жидкого кристалла называют отрицательной.
Анизотропия свойств жидких кристаллов лежит в основе разнообразных электрических, магнитных, термических, акустических,, оптических и других физических эффектов, обнаруженных в этих веществах.
Переход из нематической фазы в изотропную аналогичен точке Кюри ферромагнетика и обнаруживает многие из известных особенностей, характерных для критической точки. Скрытая теплота перехода в пересчете на одну молекулу обычно меньше kT.
Холестерическая фаза является разновидностью нематической. В холестерических жидких кристаллах концы вектора L закручены по спирали. В этих кристаллах от слоя к слою по спирали изменяется преимущественная ориентация осей молекул (рис. 5.63, д), что связано с асимметрией взаимодействия молекул. Свое название эта фаза получила от эфиров холестерина, в которых она часто встречается. Из-за закрученности молекулярной структуры коэффициент преломления испытывает сильную пространственную модуляцию, вызывающую селективное рассеяние световых лучей разного цвета. Поэтому холестерическая фаза оказывается самой красивой из всех жидкокристаллических фаз. Большой интерес вызывает сейчас одна из разновидностей холестериков, так называемая «голубая» фаза. Только недавно было установлено, что она представляет собой стабильную решетку дефектов в однородной холестерической структуре. Холестерические жидкие кристаллы так же, как и нематики, являются термотропными.
Все остальные термотропные фазы — смектики. Они различаются по степени позиционного порядка, дополняющего ориентационный порядок молекулярных осей, и в некоторых случаях по наличию порядка в ' ориентации связей. Соединения л-бутокси-бензили-ден — n'-октиланилин и л-октилокси-л'-цианодифе-нил, молекулы которых изображены на риС. 5.63, обнаруживают смектические фазы; первое имеет две (смектические А и В фазы), а второе — одну (смектическую А).
Простейшей смектической фазой можно считать смектик А, показанный на рис. 5.64. Эту фазу ранее рассматривали как систему, являющуюся твердым
Статистическая физика и термодинамика
491
-₽ 8-ft₽-8 888 -8-888888 -888-8-8888--888888888--8ШШ88 88-8888888
Рис. 5.64
Р(г)
телом в направлении вдоль директора и жидкостью в перпендикулярном направлении, т. е. другими словами, как стопку двумерных жидкостей. Но правильнее представлять ее себе как одномерную волну плотности р (z) в трехмерной
жидкости, устанавливающуюся вдоль директора (направление z) нематической фазы. На упрощенных диаграммах типа показанной на рис. 5.64 смектик изображают с четко разделенными слоями. Штриховые линии, проходящие через молекулы на рис. 5.64, а следует рассматривать не как плоскости кристаллической решетки, а как плоскости практически синусоидальной волны плотности (рис. 5.64, б).
5.65.	ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЕЙ НА ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Большинство органических молекул диамагнитно, причем диамагнетизм особенно силен, если молекулы ароматические (см. п. 5.72). Например, в бензольном кольце, помещенном в магнитное поле Н, перпендикулярное его плоскости, возникает ток, стремящийся уменьшить поток сквозь кольцо. При этом силовые линии стремятся вытолкнуться, как показано на рис. 5.65, а, что увеличивает энергию системы. С другой стороны, если поле Н приложено параллельно кольцу, ток не возникает, силовые линии остаются почти не искаженными и энергия не увеличивается (см. рис. 5,65, б). Таким образом молекула бензола стремится ориентироваться так, чтобы вектор Н лежал в плоскости кольца.
У молекул типичных нематиков имеются два ароматических кольца (см. рис. 5.63). Если магнитное поле Н параллельно оптической оси нематика п, то вектор Н будет в плоскости кольца. Но если вектор Н будет перпендикулярен оптической оси, то для большей части молекул образца И будет составлять конечный угол с коль цами. Таким образом, наименьшей энергией обладает конфигурация, в которой оптическая ось параллельна
492
Раздел 5
I I !H1 l	полю. Следовательно, магнитное поле
/	\ \	может ориентировать молекулы нема-
/	\ \	тика. Например, если слой нематика
/	\	|а	зажат между плоскимц электродами, а
I	1	I	магнитное поле направлено перпенди-
\	/	/	кулярно им, то при определенных
\	/ /	условиях молекулы нематика, перво-
’	। I начально параллельные плоскости
электродов, могут расположиться в направлении, перпендикулярном электродам. Первая ориентация называется планарной, а вторая — гомеотроп-ной.
В 1927 г. Фредерикс обнаружил, Кй б что описанный процесс переориента-ции молекул нематика под действием \ /	магнитного поля является пороговым,
II	т. е. возникает	скачком при достижении некоторого	критического значения
Рис. 5.65	напряженности	магнитного поля Нс.
Этот эффект называется эффектом Фредерикса.. Обнаружено, что Нс обратно пропорционально толщине слоя нематика d, зажатого между
плоскими электродами, т. е. можно записать: Hcd = const.
Аналогичным образом для критической напряжен-
ности электрического поля Ес имеем: Ecd = const.
aft На рисунке 5.66 показано как эффект Фредерикса обнаруживается при измерениях зависимости эффективной диэлектрической проницаемости жидкого кристалла от величины напряженности магнитного поля Н. При Н < < Нс переориентация молекул не происходит и е = const. В точке Н = Нс величина е начинает резко изменяться, в результате процесса переориентации. В достаточно больших
полях практически
все молекулы переориентированы и в зависимости е = е (Н) наблюдается насыщение.
Взаимодействие внешнего электрического поля со средой нематика вызывает, по крайней мере, два различных процесса. Один связан с анизотропией диэлектрической проницаемости: она приводит к тому же эффекту, что и обсужденная выше диамагнитная анизотропия. Второй эффект гораздо менее тривиален: в деформированном
Статистическая физика и термодинамика
493
нематике во многих случаях может появиться диэлектрическая поляризация. И, наоборот, электрическое поле в некоторых случаях может вызвать искажение в объеме нематика. Электрооптические эффекты в жидких кристаллах подразделяются на токовые эффекты (динамическое рассеяние, эффект электрического управления двулучепреломлением, «твист-эффект») и полевые эффекты (фазовый переход, эффект «гость-хозяин»).
Если через слой нематика с отрицательной диэлектрической анизотропией пропустить постоянный или переменный ток (низкой частоты), то прозрачный слой нематика мутнеет: происходит рассеяние света. Если ячейка жидкого кристалла достаточно толстая (6 мкм), то разрушение ранее упорядоченной структуры и перевод слоя жидкости в состояние турбулентности, в котором осуществляется рассеяние света, требует приложения сильного электрического поля. При подмешивании холестерического жидкого кристалла нематик будет испытывать влияние со стороны «закрученной» структуры его молекул. Возникает динамическое рассеяние света, которое сохраняется даже после снятия электрического поля. Это состояние уст-
раняется приложением высокочастотного электрического
поля, в котором исчезает динамическое рассеяние.
На ориентацию молекул жидкого кристалла оказывает влияние также состояние поверхностей пластин жидко-кристаллической ячейки. Если пластины обработаны поверхностно-активным веществом, то, как показано на рис. 5.67, можно полу-
чить гомеотропную упаковку молекул, перпендикулярную пластинам (б) и гомогенную упаковку молекул, параллельную пластинам (а). На основе молекул с отрицательной диэлектрической анизотропией (Де < 0) создают жидкий кристалл с гоме-отропной упаковкой. Вне ячейки скрещенно размещают поляризатор и анализатор. Для индикации используется свойство двойного лучепреломления, которое возникает при приложении к электродам электрического поля, вызывающего ориентацию молекул в направлении, параллельном пластинам. Этот эффект называется также эффектом деформации вертикально ориентированной фазы. Свет, превратившийся в линейно-поляризованный после прохождения поляризатора, становится эллиптически поляризованным после прохождения ячейки жидкого кристалла, обладающего свойством двойного лучепреломления. Тем самым интенсивностью света, прошедшего через ячейку жидкого кристалла, можно управлять с помощью приложенного электрического поля. Так как интенсивность проходящего света зависит от длины волны, то, изменяя
напряжение, можно менять цветовой тон.
Еще один эффект, так называемый «твист-эффект» реализуется при помощи однонаправленного натирания поверхностей пластин во взаимно-перпендикулярных
Дисплеи и индикаторы
а)	б)
Рис. 5.67
494
Раздел 5
Рис. 5.68
направлёниях и введения нематического жидкого кристалла с положительной диэлектрической анизотропией. Так как молекулы жидкого кристалла между двумя пластинами оказываются скрученными на 90°, то происходит поворот плоскости поляризации линейно-поляризованного света, прошедшего через ячейку жидкого кристалла. Если к электродам приложить напряжение, то укладка молекул в жидком кристалле станет го-меотропной и ориентированной перпендикулярно пластинам и потому поляризация света, прошедшего через ячейку жидкого кристалла, будет сохраняться. Когда плоскости поляризации поляризатора и анализатора, установленных по обеим сторонам ячейки жидкого кристалла, параллельны, приложение напряжения приводит к прохождению света, а при отсутствии напряжения свет отсекается. В случае перпендикулярного ни-коля получается обратная характеристика: свет не проходит в случае отсутствия напряжения (рис. 5.68, а) и проходит, если приложить напряжение (< 1 В) (рис. 5.68, б).
Ячейка жидкого кристалла с примесью холестерического жидкого кристалла с положительной диэлектрической анизотропией рассеивает свет, образуя жидкокристаллическую непрозрачную ячейку молочного цвета. При увеличении электрического поля, прикладываемого к электродам, все молекулы жидкого кристалла, за исключением близлежащих к пластинам, ориентируются в направлении электрического поля, образуя нематический жидкий кристалл с гомеотропной упаковкой молекул, и ячейка жидкого кристалла становится прозрачной, т. е. под действием приложенного напряжения происходит фазовый переход.
Оптический эффект «гость-хозяин» возникает при добавлении в жидкий кристалл специального красителя, называемого плеохроическим. Такой краситель обладает свойством менять спектр проходящего света в зависимости от ориентации молекул жидкого кристалла! Если к жидкому кристаллу подмешать плеохроический краситель, тогда с помощью электрического поля оказывается возможным менять как ориентацию молекул жидкого кристалла, так и ориентацию молекул плеохроического красителя, т. е. можно изменять цвет ячейки жидкого кристалла. В такой ячейке жидкий кристалл называют «хозяином», а краситель — «гостем», а само явление
Статистическая физика и термодинамика
495
называют оптическим эффектом «гость-хозяин». На рис. 5.69 показано превращение жидкого кристалла с гомогенной упаковкой молекул в кристалл с гомеотропной упаковкой под действием электрического поля и изменение спектра поглощения в видимой области, что соответствует изменению окраски ячейки с жидким кристаллом в проходящем свете.
Опищем еще один эффект, называемый термооптическим. Если нагреть жидкий кристалл, то он превратится в обычную изотропную жидкость, однако если ее охладить до первоначальной температуры, то упаковка молекул в жидком кристалле будет отличаться от первоначальной. Например, прозрачная смесь холестерического и нематического жидкого кристалла после однократного нагревания и последующего охлаждения до первоначальной температуры окажется непрозрачной. Если полученную непрозрачную смесь поместить в высокочастотное электрическое поле, она вернется в исходное прозрачное состояние. О
Среди других эффектов на жидкокристаллических средах отметим эффект изменения дифракционно сформированного спектра при отражении света от периодических структур холестерических жидких кристаллов с изменением температуры. Этот эффект широко используется для визуализации распределения температуры по поверхности твердого тела.
Наиболее широко жидкие кристаллы используются в качестве индикаторов для визуализации воспроизведения информации, действие которых основано на электрических эффектах в жидких кристаллах (калькуляторы, портативные ЭВМ, жидкокристаллические экраны для телевизоров, электронные часы и т. д.).
Видимая Длина область волны
Видимая Длина область волны
Краситель молекулы ЖК
Падающий	Стекл. пластина	Поляризатор
свет	с прозрачными
электродами
Рис. 5.69
496
Раздел 5
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Какова основная особенность кристаллов?
2.	Что такое элементарная ячейка кристалла?
3.	Чем обусловлены силы взаимодействия между атомами в кристалле?
4.	Что представляют собой индексы Миллера для плоскости, направления, узла в кристалле?
5.	На какие виды подразделяются дефекты в кристаллах?
6.	Что такое дислокация?
7.	В чем идея дислокационной теории пластической деформации?
8.	Как зависит прочность реальных кристаллов от наличия дефектов?
9.	Что из себя представляют тепловые колебания атомов кристалла?
10.	Что такое фононы?
11.	В чем сущность теории теплоемкости Эйнштейна?
12.	Почему при низких температурах для объяснения теплоемкости кристаллов обязательны квантовомеханические представления, а при высоких температурах можно ограничиться классическим приближением?
13.	Почему электронная составляющая теплоемкости кристаллов значительно меньше решеточной?
14.	Чем определяется теплопроводность твердых тел?
15.	Что такое нематическая фаза жидкого кристалла?
16.	Чем характерен переход нематической фазы в изотропную?
17.	Какие жидкие кристаллы относятся к холестерическим?
18.	Что такое смектик?
19.	В чем заключается молекулярный диамагнетизм?
20.	В чем состоит эффект Фредерикса?
21.	Какие эффекты возникают в нематике под действием электрического поля?
22.	Когда реализуется «твист-эффект» в нематике?
23.	В чем заключаются особенности оптического эффекта «гость—хозяин»?
Глава 5.5
ДИЭЛЕКТРИКИ И МАГНЕТИКИ
5.66. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Микроскопически диэлектрическая поляризация состоит в смещении положительных и отрицательных частиц вещества в противоположных направлениях под действием различных причин. Наиболее характерной причиной поляризации является внешнее электрическое поле (см. п. 2.19). Макроскопически диэлектрическая поляризация проявляется в приобретении любым объемом вещества ДУ электрического дипольного момента ДР. Этот момент, отнесенный к единице объема, называется вектором поляризации РЕ. Приведенное определение относится к однородно поляризованному диэлектрику. Если поляризация не однородна, то элемент ДУ должен быть достаточно малым, чтобы в его пределах поляризованность диэлектрика не менялась заметным образом.
Важнейшей задачей физики диэлектриков является установление связи между микро- и макрохарактеристиками поляризации, налример, между дипольными моментами отдельных частиц вещества р и вектором поляризации РЕ. Ранее уже отмечалось (п. 2.19), что вектор поляризации представляет собой геометрическую сумму элементарных дипольных моментов р всех частиц, находящихся в единице объема поляризованной среды (2.69):
Р - V А	(5.260)
Е NV ’
Г
Формула (5.260) устанавливает прямую и наиболее наглядную связь между макро- и микрохарактеристиками (РЕ и р) диэлектрической поляризации. Однако величины РЕ и pi отражают непосредственно лишь результат
498
Раздел 5
поляризации, но не ее механизм. Формулы, вскрывающие механизмы поляризации, должны содержать напряженность электрического поля, а также величины, отражающие способность диэлектрика и его частиц поляризоваться. Такими величинами являются соответственно диэлектрическая восприимчивость вещества Хе и поляризуемость частиц а. Связь между этими величинами выражается соотношениями:
Ре = ZqX.eE, Pi = ьоа,£;„
(5.261)
где Е — напряженность среднего макроскопического поля, которое поляризует вещество; Е'л -— напряженность локального поля в точке расположения i-й частицы вещества, а, — ее поляризуемость. Величина Ел зависит от среднего макроскопического поля Е и от полей всех частиц среды.
Формулы (5.261) справедливы для линейных изотропных сред. Первая из них отражает пропорциональность между вектором поляризации диэлектрика и средним макроскопическим полем Е, а вторая — линейную связь между электрическим моментом каждой частицы среды и напряженностью локального поля Ел . Величина Еоа, равна электрическому моменту, который приобретает i-тая частица вещества в поле Ej, единичной напряженности. Если среда нелинейна, то Хе и ai зависят от напряженности электрического поля, и выражения (5.261) становятся нелинейными. Если среда анизотропна, то направления векторов Р и Е, а также Л и Е, могут не совпадать, и выражения (5.261) должны быть заменены на более общие.
Комбинируя (5.260) и (5.261) и учитывая сонаправ-ленность векторов Е и Е‘л для изотропных диэлектриков, получим:
Хе = S а- Т ’ Е = 1 + Хе = 1 + Е я1 ’ (5,262)
Из формул (5.262) следует, что конкретные выражения для связи между микро- и макрохарактеристиками можно получить, если известны щ, Е и Ел.
Статистическая физика и термодинамика
499
5.67. МЕХАНИЗМЫ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В состав вещества входят электроны, ионы, диполи и более сложные заряженные структурные единицы. Механизмы их смещения под действием электрического поля различны. Поэтому существует много механизмов диэлектрической поляризации. Четыре вида механизмов поляризации встречаются наиболее часто. Это упругая, релаксационная, ориентационная дипольная и спонтанная поляризация.
Упругие виды поляризации проявляются в любых средах и связаны со смещением заряженных частиц в пределах атомов, молекул или в пределах более сложных структурных образований вещества. При этом возникают возвращающие силы, пропорциональные величинам смещений частиц от их равновесных положений. Такие силы называются упругими или ввиду их немеханической природы — квазиупругими. Все смещенные заряженные частицы образуют диполи, направленные (в изотропном диэлектрике) по полю. Если структурный элемент вещества до поляризации имел дипольный момент, то в процессе поляризации он приобретает дополнительный дипольный момент, направленный по внешнему полю. Так ведет себя полярная молекула в молекулярном кристалле.
Упругие виды поляризации делятся на электронные, ионные и структурные. При упругой электронной поляризации электрическое поле деформирует электронную оболочку атомов, разводя центры отрицательных и положительных зарядов так, что атом превращается в диполь. При упругой структурной поляризации упруго деформируется заряженный структурный элемент кристаллической решетки, а при упругой ионной поляризации смещаются отдельные ионы. Последний вариант поляризации схематически показан на рис. 5.70, где представлена двумерная модель кубического ионного кристалла типа NaCl. В отсутствии внешнего поля (рис. 5.70, а) пары зарядов из цепочек ионов образуют одинаковые и противоположно направленные диполи так, что общим дипольным моментом кристалл не обладает (Риу — 0). Во внешнем поле (рис. 5.70, б) электрические моменты указанных пар уменьшаются для диполей, ориентированных против поля, и увеличиваются — для
500
Раздел 5
противоположно ориентированных пар диполей. Кристалл поляризуется. На его поверхностях возникают поверхностные поляризационные заряды -стсв и +осв (Риу * *0).
Отметим, что частица, участвующая в упругой поляризации, переходит под действием поля в новое положение и возвращается после снятия поля в исходное в результате затухающих колебаний. Эти колебания связаны с наличием упругой возвращающей силы и инертностью частицы. Процесс поляризации оказывается тем более быстрым, чем меньше масса соответствующей частицы. Самой быстрой является электронная упругая поляризация. Время ее установления составляет 10-15 с. Время установления ионной поляризации имеет порядок 10 13 с. Энергия затухающих колебаний переходит в тепловую. При поляризации диэлектрик нагревается.
Релаксационная поляризация возникает, если в диэлектрике имеются заряженные частицы (например, ионы) с несколькими положениями равновесия, разделенными потенциальными барьерами. За счет энергии теплового движения указанные частицы совершают перескоки через потенциальные барьеры, непрерывно и хаотически меняя положение своего временного закрепления так, что в отсутствие внешнего электрического поля диэлектрик оказывается неполяризованным (Рир = 0). Внешнее поле увеличивает вероятность перескоков этих частиц по полю (если они положительные)
Статистическая физика и термодинамика
501
и уменьшает вероятность обратных перескоков. В результате идеальная хаотичность в распределении таких частиц нарушается; диэлектрик поляризуется, т. е. возникает вектор поляризации Р„р * 0, связанный с ионной релаксационной поляризацией. После снятия внешнего электрического поля перескоки частиц через барьеры в различных направлениях становятся равновероятными и поляризация исчезает. При этом вектор поляризации Pyf убывает по закону:
Рур	(5.263)
где Р^р — установившееся значение Р„р в поляризованном состоянии;
т = тое кТ.
Здесь г0 — постоянная, WE — высота потенциального барьера, разделяющего равновесные положения заряженных частиц, участвующих в релаксационной поляризации. Величина т, называемая временем релаксации, представляет собой время, за которое величина вектора Рир убывает после выключения внешнего поля в е раз. Таким образом, т характеризует скорость срабатывания релаксационной поляризации. При комнатной температуре величина т обычно превышает 10’9 с, но с увеличением температуры резко уменьшается (5.264).
Релаксационная поляризация разделяется на электронную, ионную и дипольную. Релаксационные виды поляризации заметно выражены в твердых телах, содержащих слабосвязанные ионы, различные дефекты и полярные молекулы, имеющие в твердом теле несколько равновесных ориентаций.
К релаксационным видам поляризации приводят также любые пространственные ограничения перемещению носителей тока (электронов, ионов) в твердых телах. Эти виды поляризации называются миграционными или внутрислойными. Они характерны для гетерогенных твердых тел. В таких телах носители тока при своем движении под действием внешнего поля накапливаются на границах зерен или слоев диэлектрика, придавая ему отличный от нуля дипольный момент. Это наиболее медленные виды релаксационной поляризации.
Дипольная ориентационная поляризация характерна для газов, содержащих полярные молекулы. Обозначим
502
Раздел 5
собственный электрический момент одной такой молекулы р0. В отсутствие внешнего электрического поля дипольные моменты молекул ориентированы в пространстве в среднем по времени абсолютно хаотично. Это связано с тепловым хаотическим движением молекул газа. Внешнее электрическое поле вносит некоторую упорядоченность в усредненное значение ориентации полярных молекул — газ поляризуется. Расчеты, основанные на законах молекулярно-кинетической теории, впервые выполненные П. И. Дебаем (1912), показали, что поляризуемость, приходящаяся на одну полярную молекулу газа при дипольной ориентационной поляризации равна:
а =-^~
д ЗеойТ '
Следует отметить, что аналогичной формулой выражается поляризуемость и для дипольной релаксационной поляризации аа₽, а также для электронной и ионной релаксационной поляризации. Для этих видов поляризации р0 = ql, где q — заряд частицы (электрон, ион), I — расстояние между соседними положениями закрепления заряда, разделенными потенциальным барьером.
Наконец, охарактеризуем спонтанную поляризацию. Среди молекул имеются такие, центры положительных и отрицательных зарядов которых не совпадают. Они называются полярными. Аналогично среди кристаллов имеются полярные кристаллы. Полярные кристаллы обладают отличным от нуля дипольным моментом в отсутствие внешнего электрического поля. Для части таких кристаллов их собственные (спонтанные) дипольные моменты не поддаются переориентации внешним полем и не проявляются во вне через собственное поле, так как последнее компенсируется полем осевших (адсорбированных) на поверхности кристалла зарядов. При нагревании или охлаждении полярного кристалла его собственный дипольный момент изменяется, перестает на некоторое время компенсироваться адсорбированными зарядами и поэтому может быть обнаружен. Полярные кристаллы, самопроизвольный (спонтанный) дипольный момент которых обнаруживается при нагревании, называются пироэлектриками.
Типичным представителем пироэлектриков является турмалин. Турмалин всегда поляризован в определенном кристаллографическом направлении и внешнее элект-
Статистическая физика и термодинамика
503
рическое поле не может изменить направление его поляризации. Однако направление спонтанной поляризации некоторых других пироэлектриков может быть изменено внешним полем. Такие свойства впервые были обнаружены у кристаллов сегнетовой соли. Поэтому все диэлектрики, обладающие аналогичными свойствами, называются сегнетоэлектриками.
Сегнетоэлектрический кристалл до внесения в электрическое поле может иметь собственную (спонтанную) поляризацию. Однако такое состояние кристалла энергетически менее выгодно, чем то, при котором его общий электрический момент равен нулю. Поэтому кристалл сегнетоэлектрика самопроизвольно разбивается на небольшие области (домены) с такой ориентацией спонтанных дипольных моментов, при которой общий дипольный момент образца равен нулю.
Поляризация сегнетоэлектриков происходит за счет изменения величины поляризации доменов, за счет изменения направления их спонтанной поляризации, а также за счет поглощения доменами с благоприятной ориентацией (относительно внешнего поля) остальных доменов.
К особенностям сегнетоэлектриков относятся:
1.	Нелинейность и неоднозначность зависимости вектора поляризации РЕ от напряженности внешнего электрического поля (см. рис. 5.71, а).
2.	Резкая температурная зависимость диэлектрической поляризации в (см. рис. 5.71, б).
Рис. 5.71
504
Раздел 5
3.	Наличие температуры, выше которой сегнетоэлектрик превращается в обычный диэлектрик (температура Кюри Тк).
4.	Высокие значения диэлектрической проницаемости ниже температуры Кюри.
Неполяризованному значению диэлектрика соответствует на рис. 5.71 начало координат 0. Пунктирная прямая АА отражает линейную зависимость вектора поляризации от среднего макроскопического поля для обычного диэлектрика. Эта зависимость однозначна — одному значению Е = Е' соответствует единственное значение РЕ = РЕ, отмеченное точкой L'. При поляризации сегнетоэлектрика изменение РЕ от Е может описываться различными кривыми в зависимости от начального состояния спонтанной поляризации образца. Если первоначально образец в целом не поляризован, то при увеличении Е от 0 величина РЕ изменяется по кривой OLM. Если, начиная от Ет (точка М) уменьшать Е, то уменьшение РЕ будет происходить по новой кривой ML2PDi:mEKM'. В итоге при полном цикле изменения Е получим замкнутую кривую, называемую петлей гистерезиса. Точка Роап на этой петле соответствует поляризации образца, сохранившейся после снижения Е до нуля. Для того, чтобы уменьшить до нуля величину вектора поляризации РЕ, необходимо подать на образец обратное напряжение Ек, называемое коэрцитивной силой (коэрцитивным полем). На рис. 5.71, а видно, что для сегнетоэлектрика одному значению Е' соответствует несколько значений РЕ (точки L, L, и L2). Если размах циклических изменений Е (Ет, Е^) от цикла к циклу непрерывным образом уменьшать, то уменьшенные петли гистерезиса заполнят всю площадь внутри петли, изображенной на рисунке, что еще раз подчеркивает неоднозначность связи РЕ и Е.
Практическая значимость сегнетоэлектриков весьма велика. На основе сегнетоэлектриков выполняются малогабаритные конденсаторы большой емкости, диэлектрические усилители, запоминающие устройства, умножители частот, пьезоэлементы и т. д. Первым сегнетоэлектриком, получившим широкое практическое применение, был титанат бария (ВаТЮ3), открытый в 1945 г. Б. М. Вулом и И. М. Гольдманом.
В некоторых кристаллах поляризация возникает под действием механической деформации. При этом поля
Статистическая физика и термодинамика
505
ризация пропорциональна давлению. Такое явление называется пьезоэлектрическим эффектом, а соответствующий образец — пьезоэлементом. К типичным пьезоэлектрикам относятся сегнетова соль, титанат бария, кварц.
Механическая деформация кристалла смещает в пьезоэлектрике центры положительных и отрицательных зарядов таким образом, что возникает отличный от нуля дипольный момент кристалла. Существует и обратный пьезоэффект — возникновение деформации пьезокристалла под действием внешнего электрического поля, пропорциональная напряженности этого поля. Если к электродам пьезоэлемента приложить переменное напряжение, то пьезоэлемент начнет колебаться и излучать механические волны в окружающую среду. Чтобы усилить амплитуду этих вынужденных колебаний, следует работать на резонансной частоте основного тона или одной из ее гармоник. Для плоского элемента толщиной I резонансные частоты удовлетворяют условию v -= 0,5nv/l, где п = 1, 2, 3, ... — номера гармоник, v — скорость распространения излучаемых волн в веществе пьезоэлемента. Например, для кварца (X — срез) основная частота v = 2880/Z (кГц/мм). Если I ~ 0,05 мм, то v = 58 МГц. Пьезоэлементы находят широкое применение в качестве датчиков давления и малых перемещений.
5.68. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
Основная задача физики диэлектриков — установить зависимости макроскопических диэлектрических свойств вещества от его состава и структуры. Указанные зависимости могут быть установлены, если известны связи между макро- и микрохарактеристиками диэлектрической поляризации вещества, выраженные, например, соотношениями (5.260), (5.261) или (5.262). В этих соотношениях среднее макроскопическое поле Е задается экспериментатором, а действующее (локальное) Ел подлежит вычислению.
Величина напряженности поля Е„, действующего на рассматриваемую частицу, определяется внешним полем Ео, в которое помещен диэлектрик, а также полями всех заряженных частиц поляризующейся среды. Необходимость учета полей всех частиц среды делает расчет Ел весьма трудным.
506
Раздел 5
Ч:	Простейший метод решения указанной задачи предло-
*“ жил Лоренц. В методе Лоренца все заряды, составляющие диэлектрик, мысленно разделяются на 3 группы (см. рис. 5.72):
1.	Поверхностные поляризационные заряды ссв; их поле Еа направлено против внешнего Ео и поэтому называется деполяризующим.
2.	Все остальные заряды, кроме поверхностных поляризационных осв и кроме тех, которые заключены в сфере Лоренца. Сферой Лоренца называют сферу, описанную вокруг точки А, в которой располагается рассматриваемая частица диэлектрика. Сфера Лоренца — это физически малая сфера; ее радиус г мал по сравнению с размером образца «d», но велик по сравнению с межатомным расстоянием «а» (а « г « d). Поверхностная плотность указанных зарядов на рис. 5.72 обозначена ot. Поле этих зарядов EL называется полем Лоренца. Его направление совпадает с направлением первичного поля Ео.
3.	Заряды, располагающиеся внутри сферы Лоренца, т. е. в непосредственной близости от рассматриваемой частицы А. Поле этих зарядов определяется структурой вещества. В изотропном диэлектрике (газ, жидкость, стекло) это поле направлено вдоль первичного Ео, будучи параллельным или антипараллельным ему.
Таким образом, локальное поле, вызывающее поляризацию частицы А, равно:
Ел = Ео + Еосв+ El + Es.	(5.265)
Деполяризующее поле Еосв зависит от формы образца. Поэтому и Ел также зависит от формы образца. Вычислим величину Ел для практически наиболее важного частного случая, когда диэлектрик представляет собой тонкую плоскопараллельную пластинку, зажатую между обкладками заряженного конденсатора. Именно такой случай изображен на рис. 5.72. Принято вычислять не отдельно Ео и Еосв, а сразу сумму Е = Ео + Ео св. Величина Е и является средним макроскопи-
(с0 + ссв)
- (Со + Сев)
Рис. 5.72
Статистическая физика и термодинамика
507
ческим полем, напряженность которого использована в формулах (5.261) и (5.262). *
Q Вычислим Е для случая, когда обкладки конденсатора подключены к источнику ЭДС и между ними имеется постоянная разность потенциалов Д<р и d = = const. В этих условиях величина напряженности между обкладками конденсатора определится соотношением Е - Дф/d и не может измениться при заполнении конденсатора диэлектриком (Д<р = const; d — = const). Введенный диэлектрик при Д<р - const увеличивает лишь
поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора от
величины о0 до о0 + осв, чем полностью компенсируется влияние деполяризующего поля на среднее макроскопическое поле.
Как видно на рисунке 5.72, поле Лоренца Ед создается поверхностными зарядами оь. Каждый элемент dS поверхности сферы
Лоренца имеет заряд dq = csLdS. Для последующих вычислений удобно элемент dS считать кольцевым, как это показано на рис. 5.73. На рисунке кольцевой элемент заштрихован. Его ширина равна dh - rdO, длина L - 2nrh = 2лг sin 6, площадь dS = Ldh = — 2пгг sin 6d6, заряд кольца равен dq = tsL  2кг2  sin OdO. Согласно
(2.77)	= PK cos 0, где Рк величина вектора поляризации диэлект-
рика в рассматриваемой точке сферы Лоренца. Таким образом, dq = 2лг2РЕ sin 6 cos Gd6. Следовательно, составляющая поля кольца, направленная вдоль оси X, т. е. dELx, равна:
dq
uq	„ 2иг2Тк cos2 0 sin OdO
dELx = dE, cos0 = —--  cos 0 =-------------------
4ле0/'2
_ PL cos2 0 sin OdO 2e0
Поэтому такая же составляющая поля, созданного всеми зарядами на поверхности сферы Лоренца, равна:
E,=^S cos2 0 sin Od0 = —
2с0 %	2е0
cos3 О А
3 Jo
Зв0
Аналогично для составляющих поля кольца, перпендикулярных оси х, т. е. dEly = dEL sin 0 и dEL:, = dE, sin 6 можно записать;
Л
ELv = Е1г= — \ sin2 0 cos 0d0 = — f®-| - 0. "	2с0 J	20	3 )0
Таким образом, напряженность поля Лоренца EL равна:
508
Раздел 5
El = ELx +ELy + ELx = — .	(5.266)
Подставляя это выражение в (5.265) и учитывая, что £<> + £„ = £, получим:
F — F *	+ F	(5-267)
Лл - е + — + as.
Слагаемое Es в формуле (5.267) представляет собой напряженность электрического поля в точке А (рис. 5.72), которое создается всеми частицами в сфере Лоренца. В результате поляризации эти частицы превращаются в диполи с электрическими моментами pt. Поэтому в соответствии с формулой (2.43) можно записать:
N _	Т
v 3(pkrjrk р>
Es=^u^~'4'
Величины гк зависят от структуры вещества. В общем случае вычисление Es — весьма сложная задача. О
Для газов, аморфных веществ и простых кубических кристаллов можно считать, что
(5.268)
Ел = Е+-^~ Зео
т. е. Es — 0.
Формула (5.268) может быть использована в качестве хорошего приближения для неполярных газов, жидкостей, аморфных твердых тел, для разряженных полярных газов, слабых растворов полярных веществ в неполярных жидкостях, для двухатомных кубических кристаллов.
5.69. СВЯЗЬ МЕЖДУ МАКРО-И МИКРОХАРАКТЕРИСТИКАМИ ДИЭЛЕКТРИКОВ
;i: Для установления связи между макро- и микрохарак-теристиками диэлектриков воспользуемся выражениями (5.261), записанными для различных механизмов поляризации. Для вектора поляризации упругого электронного смещения Рэу можно записать:
Рэу ~ ' рСу	~ ^о^э^эуКд — &Х.эуЕ.	(5.269)
1 — 1
При записи (5.269) предположили, что в единице объема вещества содержится п3 частиц с одинаковой электронной поляризуемостью аэу и что именно с этими частицами связана диэлектрическая восприимчивость хэу и вектор поляризации
Статистическая физика и термодинамика
509
Рзу. Аналогичным образом можно представить векторы поляризации вещества, связанные с ионной упругой поляризацией, дипольной упругой поляризацией и всеми другими механизмами поляризации:
".
^*иу ~ У, -Рку ^иРиу “ ЕОлиаиу^*л — ^Хиу^»
1 = 1
".
РЛУ = Е Л- = "дйу = Ео«д«дА = ЕХЛЛ. (5.270)
^мр = У, Рир = ПирРир =	~ кХир^*»
1 = 1
где Р^,, Рву, Рир, ... —: векторы поляризации диэлектриков, связанные, соответственно, с поляризацией ионного упругого смещения, дипольного упругого поворота, ионной релаксационной поляризацией и т. д.; пн, пд, пир, ... — концентрации частиц, участвующих в рассматриваемых видах поляризации, адУ, <хир, ... Хду, Хду, Хир» ••• — соответствующие поляризуемости частиц и диэлектрические восприимчивости вещества. При записи выражений (5.269) и (5.270) для упрощения принято, что для всех рассмотренных частиц напряженность локального поля Ел одинакова и направлена вдоль напряженности среднего макроскопического поля (поляризация изотропна).
Используя (5.269) и (5.270), можно записать:
К, .	_	.
Хэу - ЛЭу<Хду & , Хну ^иу^иу £ »
.	Я,	(5.271)
Хду пдуаду £ » Хир ~ пираир £ •
Под действием среднего макроскопического поля все виды поляризации возникают совместно. Поэтому для общей диэлектрической восприимчивости среды можно записать:
’/.Е ~ Хэу + Хиу Хду + Хир + ... —
~ (^эу®зу “* ^иу^му + ^дуСХду + ГЦфЦкр + ...) у-5 •
Подставляя полученное выражение в соотношение е = 1 + Хя» получим:
_ f , Z	X
Е — А + (Лэу(ХЭу + ЛИу(ХИу + /1ду(ХДу + ^пр^ир + •••/	• ^5.272)
510
Разделб
Это выражение дает связь между основной макроскопической характеристикой поляризации диэлектрика (е) и микрохарактеристиками поляризующегося вещества (аау, аиу, аду, а1ф, пэу, лиу, лир, ...). Из выражения (5.272) видно, что диэлектрическая проницаемость вещества определяется как индивидуальными свойствами его частиц (ОзУ, аиу, ...), так и тем, насколько плотно эти частицы заполняют среду (пзу, лиу, ...), а также структурой вещества, от которой зависит напряженность локального поля Еп.
Обычно только некоторые характерные для данного диэлектрика механизмы поляризации проявляются достаточно ярко. Например, если среда неполярна, не содержит заметную концентрацию слабо связанных электронов и ионов, то диэлектрическая проницаемость е отражает лишь поляризации упругого электронного и ионного смещений. Если, кроме того, предположить, что число частиц, поляризующихся по двум упомянутым механизмам, одинаково (пэу = пиу = л), то из (5.272) находим:
е = 1 + п а -тг . Hi
Подставляя в (5.273) Е из соотношения (5.268) и учитывая, что РЕ = паБфЕл, получим:
Е - 1 П ,	х
е + 2 “ 3	+ “"у)’
(5.274)
Выражение (5.274) называется уравнением Клаузиуса-Мос-сотти. Оно справедливо для веществ, перечисленных прн обсуждении формулы (5.268), а также для всех веществ при частотах переменного электрического поля оптического диапазона (1013-1015 Гц). При столь высоких частотах все другие механизмы поляризации не успевают проявиться из-за сравнительно большой инерционности.
Если помимо упругих видов поляризации имеет место дипольная ориентационная, то из выражения (5.273) с учетом формулы а = Po/Se^kT находим:
-1 = лГа +а +	(5.275)
е + 2 3 р*
Уравнение (5.275) впервые получено Дебаем (1912 г.).
Используя формулы типа (5.274) и (5.275), связывающие макрохарактеристики поляризации диэлектриков с микрохарактеристиками, можно получать определенную информацию о свойствах частиц, входящих в состав диэлектрика. Например, если экспериментально обнаруживается, что отношение (е - 1)/(е + 2) для исследуемого вещества не зависит от температуры, то молекулы этого вещества неполярны. Если же указанное отношение линейно возрастает с увеличением обратной температуры (1/Т), то молекулы полярны, а их соб
Статистическая физика и термодинамика
511
ственный дипольный момент легко вычисляется по углу наклона Р полученной прямой. Из выражения (5.275) видно, что tg Р = пр§/(9е0Л). »
В постоянном электрическом поле успевают установиться все виды поляризации, включая миграционную. В переменном электрическом поле медленные виды поляризации могут не проявиться. На рис. 5.74 схематично представлена частотная зависимость в (v), которая включает только четыре вида поляризации: электронную упругую — наименее инертную и проявляющуюся в области ультрафиолетовых и видимых частот (1013—1015 Гц); более медленную упругую ионную поляризацию (10”—1013 Гц), ионную релаксационную поляризацию, проявляющуюся в области до 10” Гц и наиболее медленную миграционную поляризацию, связанную с накоплением переносчиков тока на макронеоднородностях в твердых диэлектриках (10° Гц). С увеличением частоты все меньшее число видов поляризации успевает срабатывать и диэлектрическая проницаемость вещества убывает.
Изложенное показывает, что изучение частотной зависимости диэлектрической проницаемости позволяет обнаруживать проявление того или иного механизма поляризации и оценивать его вклад в общую поляризуемость вещества. Например, измерение диэлектрической проницаемости на оптических частотах (1013— - 101В Гц) позволяет найти вклад поляризации упругого
Рис. 5.74
512
Раздел 5
Таблица 5.3
Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ
Вещество	8
Воздух (при нормальном давлении)	1,00057
Аргон	1,00099
Полиэтилен	2
Кварц (SiOz)	3,75
Поваренная соль (NaCl)	5,26
Спирт этиловый	26,8
Вода	81
Рутил (вдоль оптической оси)	170
Титанат бария (7К)	-1500
Сегнетова соль (Тк)	-6000
электронного смещения. Напомним, что в этом диапазоне частот показатель преломления оптических лучей п = т/ер, где р — магнитная проницаемость. На оптических частотах для всех веществ р« 1, поэтому п2 = е. Следовательно, измерив показатель преломления световой волны заданной частоты, можно по формуле (5.274) определить е и поляризуемость электронного смещения аэу (полагая аиу = 0).
На рис. 5.74 видно, что наибольшее значение диэлектрическая проницаемость имеет при достаточно низких частотах. Такая диэлектрическая проницаемость называется статической. В таблице 5.3 приведены значения низкочастотной диэлектрической проницаемости для некоторых веществ при 20 °C.
5.70. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ДИЭЛЕКТРИКОВ
При поляризации диэлектриков изменяется энергия системы, включающей диэлектрик; совершается работа, связанная с его поляризацией и выделяется теплота. Для анализа эффектов, сопровождающих поляризацию, могут быть, применены законы термодинамики. Наиболее плодотворен метод термодинамических функций (см. п. 5.27). При использовании этого метода ограничимся рассмотрением однородного электрического поля и однородного, изотропного, линейного диэлектрика.
Статистическая физика и термодинамика 513
- Напомним выражение для приращения внутренней энергии в квазиравновесном процессе, учитывающее, помимо давления Р, еще одну обобщенную силу- У:
dWB = TdS PdV - Ydy,
где у — обобщенная координата. Произведение Ydy равно работе, совершаемой системой против силы У. Напомним также, что элементарную работу, связанную с поляризацией единичного объема диэлектрика (5.70), (5.71), можно представить, в зависимости от характера решаемой задачи, либо в виде Ydy = -EdD, либо в виде Ydy = -EdPE. В первом случае независимой термодинамической переменной, учитывающей процесс поляризации, служит величина вектора смещения D, во втором — величина вектора поляризации РЕ. Знак «минус» указывает на то, что при dD > 0 и dPE > 0 работа совершается внешним полем над диэлектриком. Второе выражение (EdPE) представляет собой работу поляризации в узком смысле, так как учитывает энергию поля, затраченную только на поляризацию, а первое (EdD) учитывает также дополнительно энергию, затраченную на возбуждение электрического поля в поляризуемом диэлектрике (см. п. 5.16). Иногда используется выражение для элементарной работы, связанной с поляризацией, в форме Ydy = PEdE, которая учитывает работу поляризации плюс работу против внешнего поля. Такую формулу для элементарной работы мы рассматривать не будем.
Изложенное позволяет записать выражение для приращения внутренней энергии системы, включающей диэлектрик, в следующих двух формах:
dWB = TdS - PdV + EdD,	(5.276)
dWB = TdS - PdV + EdPE,
где WB - WB----— . Второе слагаемое в этом выражении пред-
23
ставляет собой плотность энергии электрического поля в поляризованном диэлектрике. В указанном слагаемом Е представляет собой напряженность поля, измененную присутствием диэлектрика и зависящую от его диэлектрических и геометрических параметров.
Дифференцируя уравнение для свободной энергии F = WB -- TS, получим dF = dWB - TdS — SdT. Подставляя в это соотношение dWB из (5.276), находим выражение для дифференциала свободной энергии диэлектрика через независимые переменные V, Т и D или V, Т и РЕ:
dF = -SdT - PdV + EdD,	.(5.277)
dF = -SdT - PdV + EdPf:.
Поступая аналогичным образом, находим выражения для дифференциалов энтальпии (Н3) и потенциала Гиббса (G):
17 Зак. №845
514
Раздел 5
dHa = TdS + VdP - DdE 1	(5.278)
dHl = TdS + VdP - PxdE, J
dG = -SdT + VdP - DdE 1	(5.279)
dG' = -SdT + VdP - PEdE. J
Величины WB, F, Ha, G отнесены здесь к единице объема диэлектрика.
Выражения (5.276)-(5.279) являются основными уравнениями термодинамики диэлектриков. Совместно с уравнениями состояния диэлектрика они позволяют описать свойства систем (включающих диэлектрики) в электрическом поле. В качестве уравнений состояния выступают соотношения D = еоеЕ или РЕ = еохеЕ. Величины диэлектрической проницаемости £ и восприимчивости Хе находятся экспериментально или определяются на основе теорий, описывающих атомномолекулярный механизм процесса поляризации.
Предположим для простоты, что объем диэлектрика при его поляризации не изменяется, т. е. пренебрежем электрострикцией и пьезоэлектрическим эффектом и посчитаем, что рассматриваемая система находится при постоянном давлении. В таком случае PdV = 0, VdP = 0, и основные уравнения термодинамики диэлектриков можно представить в виде:
dWB = TdS + EdD = dQ + EdD,	(5.280)
dF = -SdT + EdD,	(5.281)
dH„ = TdS - DdE,	(5.282)
dG = -SdT - DdE,
(5.283)
Используем эти уравнения для решения нескольких частных задач. Найдем, например, изменение энтропии, а затем и энтропию, связанную с процессом поляризации диэлектрика. Для этого воспользуемся уравнением состояния в виде D - Во&Е и запишем:
dD = £oedE + egEde = е0
r.dE + ^-dT
(5.284)
Выражение (5.284) отражает Тот факт, что изменение величины D связано как с изменением напряженности поляризующего поля dE, так и с изменением температуры диэлектрика dT при его поляризации. Вклад термического члена
исчезает лишь для веществ, диэлектрическая проницаемость которых не зависит от температуры. Таких веществ мало. Это неполярные газы и жидкости. Полярные газы и жидкости,
а также все твердые диэлектрики, строго говоря, к таким
веществам не относятся.
Для упрощения последующего анализа удобно выбрать в качестве независимых переменных Т и Е2. Тогда dW’a можно представить в виде:
Статистическая физика и термодинамика 515
dWB^d(Ei) + ^dT = в 3 (Е2) V ' дт
= dQ + ~ d (Е2) + EqE2 ~ dT.
4	01
(5.285)
Правая часть выражения (5.285) получена подстановкой (5.284) в (5.280) с учетом очевидного равенства d (Е2) = 2EdE. Подставляя в dS = dQ/T (см. выражение (5.96)) величину dQ, полученную из (5.285), находим:
яч - (3Wb _ ₽ гг ц. ( 8W* _	_
^ЗТ дТ) т (3 (Е2)	2 J dT
= — dT +	d (Е2).	(5.286)
вт а (Е2)	’
Так как dS является полным дифференциалом, то из (5.286) с помощью условий взаимности Эйлера (5.112) получаем:
a (dWB 2 de'H __3 (8WB Е0Е~\ 1
а (Е2) вт в°^ зт)т дт [а (£2) 2 J тJ *
Из этого соотношения после процедуры дифференцирования находим:
°ц,в =	( т _сН
а (£2) 2 вт]' Интегрирование полученного выражения по Е2 дает:
WB (Е, Т) = РИОв (7) + £i	Е+Т — 1	
(5.287)
где постоянная интегрирования WOB (7") представляет собой внутреннюю энергию диэлектрика в отсутствие электрического поля. Из выражения (5.287) видно, что внутренняя энергия, связанная с поляризацией AWB = WB — IVOB, зависит от температуры и эта зависимость учитывается множителем
е (Т) + Т .
к > ?т
Из выражения (5.286) следует, что
BS _ С dWB _ адЛ 2 а (Е2) ^а (Е2)	2 J т 
Подставляя в это выражение WB (5.287), получим дифференциальное уравнение
BS _ Ео 8е
В (Е2) ~ 2 ВТ ' интегрирование которого по Е2 дает:
S (Е, Т) - So (Т) + |	Е2,
(5.288)
516
Раздел . 5
где So (Г) — энтропия системы, в отсутствие электрического поля. Иэ выражения (5.288) видно, что энтропия диэлектрика возрастает с увеличением напряженности поля, если (cfe/dT’) > 0, и уменьшается, если (dz/dT) < 0. Энтропия £> является мерой неупорядоченности частиц диэлектрика, участвующих в поляризации. Следовательно, внешнее поле повышает степень упорядоченности в дипольных газах и жидкостях, а также в диэлектриках с релаксационными видами поляризации, для которых е уменьшается с ростом температуры (е - (1/Т), см. п. 1 в гл. 5.8).
Подстановка (5.287) и (5.288) в (5.118) позволяет получить выражение:
(5.289)
где Fo (7) — свободная энергия диэлектрика в отсутствие электрического поля. Сравнение формул (5.289) и (5.287) показывает, что плотность энергии поля в диэлектрике является не внутренней, а свободной энергией поляризованного полем диэлектрика, т. е.
Это объясняется тем, что в электродинамике под величиной 0,5eos£2 понимается энергия, которую необходимо затратить, чтобы возбудить поле напряженностью Е в диэлектрике при постоянной температуре (см. п. 5.16). Из выражения (5.287) следует, что внутренняя энергия, связанная с поляризацией диэлектрика, т. е. величина AWB = 1УВ - ТУов, равна 0,5еоеЕ2, только, если диэлектрическая проницаемость не зависит от температуры или процесс поляризации протекает в изотермических условиях. Если Т = const, то вся теплота AQ, выделяющаяся при поляризации, должна передаваться системой термостату при фиксированной температуре Т. Для равновесного изотермического процесса AQ = TAS = Т (S - So). Из выражения (5.288) находим AQ = 0,5еоЕ27’ (dz/dT), что равно разности AW - AF (см. 5.287 и 5.289). Для неполярных газов е не зависит от температуры и AQ = 0, AW = AF.
Изложенное показывает, что если процесс поляризации протекает адиабатически, то он сопровождается изменением температуры диэлектрика. Изменение температуры диэлектрика в процессе поляризации называется электрокалорическим эффектом. За счет электрокалорического эффекта изменение поляризующего поля dE приводит к изменению температуры диэлектрика dT. В равновесном адиабатическом процессе энтропия S остается постоянной, т. е. dS — 0, а величины dT и dE связаны соотношением:
оТ
Статистическая физика и теу^одинамцк^А
5И
Следовательно,
dT = _IW| /fas) }dE = _^.^dE: (5.290) Ise I ' lari	cE st
. T	E .
Величина CE в (5.290), является удельной теплоемкостью диэлектрика при постоянном Е.
 При получении правой части выражения (5.290) использованы:	'
равенство
(3S) _ 1 (Mg) _ 1 fSQ) _£е
|зт)£ Т f st )Е т fst)Е т
и соотношение
вытекающее иэ условия Эйлера (5.112), примененного к потенциалу Гиббса (5.283):
(as) = (w)	[afrosE/l	зе
|ат|г	I 37 L	8T'
Зная величину dT (5.290), можно получить интегральное выражение для электрокалорического эффекта:
(5.291)
JQ
где Е - Ео — диапазон изменения напряженности поля, поляризующего диэлектрик. Для неполярных газов и жидкостей с = const и Т - То = 0, т. е. электрокалорический эффект отсутствует.	_
Теперь воспользуемся выражением (5.279) для dG*, в котором сохранен член, содержащий давление и объем. Из (5.279) следует:
v Jt, е
(5.292)
Соотношение (5.292) выражает явление электрострикции. Электрострикция проявляется в изменении объема диэлектрика под действием поляризующего поля, что отражено левой частью уравнения (5.292). Правая часть (5.292) выражает зависимость поляризации от давления. Электрострикция отличается от обратного пьезоэффекта тем, что значительно слабее последнего, проявляется в любых диэлектриках (твердых, жидких, газообразных), пропорциональна квадрату, а не первой степени напряженности электрического поля. 
518
Раздел 5
5.71.	МАГНЕТИКИ
«Магнетики» — термин, применяемый ко доем веществам при описании их магнитных свойств. Разнообразие типов магнетиков обусловлено различием магнитных свойств микрочастиц, образующих вещество, а также характера взаимодействия между ними. Как. известно, источником магнитного поля является движущийся электрический заряд, т. е. электрический ток. В атомных масштабах два типа микроскопических токов связаны с электронами. Один обусловлен орбитальным движением электронов в атоме, а второй /спиновый) имеет внутриэлектронную природу. Подобно электрону и другие элементарные частицы, например, протоны и нейтроны, образуют вокруг себя магнитные поля.
Электроны в атомах обладают двумя слагаемыми магнитного момента; одно связано с орбитальным движением вокруг ядра, и это учитывается формулой (2.226); второе связано с собственным моментом электрона. Орбитальный и спиновый моменты импульса квантуются: (см. формулы (4.257) и (4.261)), оставаясь пропорциональными друг другу.
Поскольку все микроструктурные элементы веществ — электроны, протоны и нейтроны — обладают магнитными моментами, то и любые их комбинации — атомные ядра и электронные оболочки, а также и комбинации их комбинаций, т. е. атомы, молекулы и макроскопические тела, могут быть источниками магнетизма. Поэтому все вещества обладают магнитными свойствами.
Известны два основных эффекта воздействия внешнего магнитного поля на вещества. Во-первых, в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея внешнее магнитное поле всегда создает в веществе индукционный ток, магнитное поле которого направлено так, что ослабляет изменение начального поля (правило Ленца). Поэтому создаваемый внешним полем магнитный момент в веществе всегда направлен противоположно внешнему полю (диамагнетизм). Во-вторых, если атом обладает отличным от нуля магнитным моментом (спиновым, орбитальным или тем и другим), то внешнее поле будет стремиться ориентировать его вдоль своего направления. В результате возникает параллельный полю магнитный момент (парамагнетизм).
Существенное влияние на магнитные свойства вещества могут оказывать также внутренние взаимодействия
Статистическая, физика и термодинамика
519
между микрочастицами — носителями магнитного момента (атомами, молекулами и т. д.). В некоторых случаях благодаря этим взаимодействиям оказывается энергетически выгоднее, чтобы в веществе существовала самопроизвольная (не зависящая от внешнего поля) упорядоченность в ориентации магнитных моментов частиц (атомный магнитный порядок). Вещества, в которых атомные магнитные моменты самопроизвольно (спонтанно) ориентированы параллельно друг другу, называются ферромагнетиками. Антиферромагнетиками называют вещества, у которых соседние атомные моменты расположены антипараллельно. Кроме таких коллинеарных ферро- и антиферромагнетных атомных структур, наблюдаются и неколлинеарные (винтовые, треугольные и др.).
Микроскопический механизм магнетизма является квантовым. Квантовая физика позволяет строго обосновать соотношение между магнитным и механическим моментами отдельной микрочастицы. Это соотношение для атомов имеет вид:
= (5'292>
где рт — магнитный момент частицы, у которой механический момент равен L. Момент L — векторная сумма спиновых и орбитальных механических моментов электронов атома. Множитель «#» называется фактором Ланде. Для орбитального момента g = 1, что может быть получено и на основе классических представлений (см. п. 2.48). Для спина g = 2. Вычисление g для сложных систем — одна из важнейших задач квантовой физики.
5.72.	ДИАМАГНЕТИЗМ
Диамагнетизм — свойство вещества намагничиваться навстречу направлению действующего на него внешнего магнитного поля. Диамагнетизм свойственен всем веществам. При внесении тела в магнитное поле в электронной оболочке каждого его атома, в силу закона электромагнитной индукции, возникают индуцированные токи, связанные с добавочным круговым движением электронов. Эти токи создают в каждом атоме индуцированный магнитный момент, направленный, согласно правилу Ленца, противоположно внешнему магнитному полю (независимо от того, имелся ли у атома собственный магнитный момент или нет и как он был ориентирован).
520
Раздел 5
Рис. 5.75
Рассмотрим электрон, движущийся по орбите во внешнем магнитном поле. В этом случае электронная орбита подобна волчку, поэтому ей свойственны все особенности поведения гироскопов под действием внешних моментов сил (см. п. 1.35). В частности, во внешнем магнитном поле В возникает так называемая Ларморова прецессия электронной орбиты (рис. 5.75). На орбитальный магнитный момент рт действует механический вращательный момент М = [р.В], стремящийся установить магнитный момент рт по направлению поля (механический момент L — против поля). Под действием момента силы векторы L и рт совершают прецессионное движение вокруг направле
ния поля В с частотой <Bt.
За время dt вектор L получает приращение dL, равное dL = Mdt (1.193). Вектор dL, как и вектор М
перпендикулярен к плоскости, проходящей через В и
рт, и по модулю равен
dL - Mdt = ртВ sin adt.
За время dt плоскость, в которой лежит вектор L, повернется вокруг В на угол dB, причем, как видно из рис. 5.75,
de =	=	= Bdt
L sin a L sin a L
Разделив угол dB на время dt, найдем угловую скорость прецессии:
... __ дВ _ Рт д
dT L В'
Подставив в это выражение отношение pm/L, найденное из (5.292) в предположении, что g = 1, получим:
(5.293)
Статистическая физика и термодинамика
521
Величину <о£ называют частотой ларморовой прецессии или просто ларморовой частотой. Согласно (5.293), эта частота не зависит ни от угла наклона орбиты по отношению к направлению магнитного поля, ни от радиуса орбиты или скорости электрона и, следовательно, для всех электронов, входящих в состав атома, одинакова. Прецессия орбиты отражает дополнительное движение электрона, вызванное магнитным полем, вокруг направления вектора В. Если поле не изменяет расстояние электрона г от оси» проходящей через центр орбиты параллельно В, то дополнительное движение электрона происходит по окружности радиуса г (см. окружность а в нижней части рис. 5.75). Ему соответствует круговой ток i = ev = ею, /(2л), магнитный момент которого
^т'	2п	2	4m
направлен, как видно из рис. 5.75 в сторону, противоположную вектору В. Этот момент называется индуцированным (наведенным) магнитным моментом.
Таким образом, индуцированный магнитный момент Дрт;- /'го электрона атома диамагнитного вещества равен: 4₽„- ёв.	<5-294’
где г;- — среднее расстояние этого электрона до ядра. Для всех Z электронов суммарный индуцированный z
момент атома равен: pmj = £ &Pmj-
Если в единице объема вещества содержится N атомов, то величина вектора намагниченности диамагнетика рст равна:
& =n <рт]) = -N £ (г*)  В, (б-295) где (г2) — средний квадрат расстояния электронов в ато- ме от ядра. Согласно формуле (2.229), р?„ = (х"В)/ц0, где %ят — диамагнитная восприимчивость вещества. Сопоставляя последнее выражение с формулой (5.295), находим:
(5.296)
4m Ио’
Из выражения (5.296) видно, что диамагнитная восприимчивость вещества от температуры не зависит.
522 Раздел 5
Ларморова прецессия возникает практически у всех без исключения веществ. Однако в тех случаях, когда атомы обладают собственным магнитным моментом, магнитное поле не только индуцирует диамагнитный момент (5.294), но и оказывает на магнитные моменты атомов ориентирующее действие, устанавливая их по направлению поля. Возникающий при этом положительный (т. е. направленный вдоль поля) магнитный момент обычно значительно больше, чем противоположно направленный отрицательный индуцированный момент. Поэтому результирующий магнитный момент атомов оказывается положительным и вещество ведет себя как парамагнетик.
Диамагнетизм обнаруживают лишь те вещества, у которых атомы не обладают собственным магнитным моментом (векторная сумма орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов атома равна нулю). Магнитные моменты электронов в таких атомах в отсутствие внешнего магнитного поля взаимно компенсированы. В частности, это имеет место в атомах, ионах и молекулах с целиком заполненными электронными оболочками, например, в атомах инертных газов, в молекулах водорода, азота. К диамагнетикам относятся также многие металлы (висмут, цинк, золото, медь), некоторые органические соединения (бензол, нафталин). Для твердых и жидких диамагнетиков Хт имеет порядок 10 5; для газообразных еще меньше.
Удлиненный образец диамагнетика в однородном магнитном поле ориентируется перпендикулярно к силовым линиям поля. Из неоднородного магнитного поля он выталкивается в направлении уменьшения напряженности поля.
Если атомы не изолированы друг от друга и сильно взаимодействуют между собой, например, в молекулах или кристаллах, то электронные оболочки в таких атомах деформируются и наблюдаемый диамагнетизм оказывается меньше, чем у изолированных атомов.
Однако межатомная связь не всегда проявляется в уменьшении диамагнетизма. В некоторых случаях валентные электроны при образовании молекулы или кристалла приобретают возможность перемещаться от одного атома к другому. Этой особенностью обладают, например, молекулы ароматических веществ, в которых имеются замкнутые кольца из атомов (например, бензольное коль
Статистическая физика и термодинамика 523
цо). В этих молекулах под действием внешнего магнитного поля возникают замкнутые электрические токи по периферии колец. Поскольку магнитный момент индуцированного кольцевого тока направлен перпендикулярно плоскости кольца, то диамагнитная восприимчивость ароматической молекулы оказывается наибольшей, если внешнее поле направлено перпендикулярно к плоскости кольца, и наименьшей, если оно параллельно этой плоскости. Например, для нафталина в первом случае %" = -1,77 • 10 е, а во втором £ = -52  IO 6.
В металлах н полупроводниках под воздействием внешнего магнитного поля электроны проводимости начинают двигаться по спиральным квантовым орбитам, что также вызывает диамагнетизм (предсказан Л. Д. Ландау в 1930 году и называется диамагнетизмом Ландау). В некоторых веществах, где эти орбиты охватывают много атомов, диамагнетизм Ландау особенно велик, например, в висмуте и графите Хт достигает (200 — 300)  10 е.
Во всех рассмотренных случаях диамагнитная восприимчивость не зависит от напряженности магнитного поля. Однако при очень низких температурах в металлах и полупроводниках наблюдается периодическое изменение восприимчивости при монотонном увеличении напряженности поля.
Наибольшее по абсолютной величине значение диамагнитной восприимчивости имеют сверхпроводники, так как для них диамагнетизм обусловлен не внутриатомными, а макроскопическими поверхностными токами (см. п. 4.56).
Диамагнетизм плазмы — свойство, характеризующее ее магнитную восприимчивость, способность плазмы при перемещении ее в магнитное поле намагничиваться навстречу направлению внешнего поля. Этот эффект обусловлен движением электронов и ионов плазмы по винтовым (ларморовским) траекториям, что эквивалентно круговому току, создающему поле, противоположное внешнему. Следствием диамагнетизма плазмы является тенденция к выталкиванию сгустков плазмы из области сильного магнитного поля в области более слабого магнитного поля. Примерами этого можно считать плазменный «солнечный ветер» и так называемые гидро-магнитные плазменные неустойчивости в термоядерных магнитных ловушках.
524
Раздел 5
5.73.	ПАРАМАГНЕТИЗМ
Парамагнетизм — свойство веществ, помещенных во внешнее магнитное поле, намагничиваться в Направлении, совпадающем с направлением этого поля.
Парамагнитные свойства вещества объясняются наличием у атомов собственных магнитных моментов рт0. В отсутствие магнитного поля магнитные моменты атомов в парамагнетиках вследствие теплового движения ориентированы совершенно беспорядочно (рис. S.76, а). Поэтому магнитный момент тела, равный векторной сумме моментов отдельных атомов, равен нулю, а, следовательно, тело не намагничено. Во внешнем магнитном поле на каждый атом действует пара сил, стремящаяся установить магнитные . моменты атомов параллельно полю. В результате этого внутри парамагнетика возникает упорядоченное расположение магнитных моментов атомов и намагничивание становится не равным нулю (рис. 5.76, б}. При этом направление вектора Рт оказывается параллельным направлению поля В, что характерно для изотропных парамагнетиков.
Чем выше температура парамагнетика, тем сильнее тепловоз движение атомов и, следовательно, тем слабее их ориентировка в данном поле, т. е. тем слабее намагничивание. Этим и объясняется уменьшение магнитной восприимчивости парамагнетиков при нагревании. В 1895 году П. Кюри экспериментально установил закон, согласно которому восприимчивость парамагнитного вещества равна
где С — постоянная Кюри, зависящая от рода вещества; Т — абсолютная температура.
Отклонения от закона Кюри в основном связаны со взаимодействием ионов — носителей магнитного момента между собой и с немагнитными ионами кристаллической решетки. В таком случае магнитная восприимчивость парамагнитных веществ подчиняется закону Кюри—Вейса:
х,п = С'/(Т - Т0У|	(5.298)
где С и То-константы вещества. Этот закон, аналогичный закону Кюри, установил французский физик П. Вейс в 1907 году. Формула (5.298) достаточно хорошо
Статистическая физика и термодинамика
525
описывает эксперимент г В = О;Рт = О В / О Рт * О- < тальную зависимость Хт от <’4/ Т для широкого круга' парамагнетиков. Во - мио-	aj
гих случаях постоянная
С практически совпадает	Рис. 5.76
с постоянной С в законе
Кюри для свободных магнитных ионов данного вида. Постоянная Та характеризует взаимодействие магнитных ионов.
Теоретическое выражение для парамагнитной восприимчивости парамагнетиков было впервые получено в 1906 году П. Ланжевеном. Отметим, что исторически классическая теория парамагнетизма была развита Ланжевеном раньше, чем теория поляризации полярных диэлектриков (см. п. 5.67), и лишь затем представления этой теории были применены Дебаем к диэлектрикам. Обе теории приводят к аналогичным результатам. Для диэлектрической восприимчивости полярных диэлектриков: хд "• (п/3) аД = про (ЗвоАТ)» (см- формулу (5.275)), а для магнитной восприимчивости парамагнетиков
3kT Т ’
(5.299)
где п -— число парамагнитных атомов в единице объема вещества, С = р0пр30/(ЗА) — постоянная Кюри. При комнатной температуре xm ~ 10”3, т. е. на два порядка больше типичных значений Хт Для диамагнетиков. Поэтому диамагнетизмом парамагнитных веществ обычно можно пренебречь.
Отметим, что формула (5.299) была получена методами статистической физики для системы практически не взаимодействующих атомов, находящихся в слабом магнитном поле нри высокой температуре (когда pm0B « kT). В сильных магнитных полях или при низких температурах (когда р,„оВ » kT) наблюдаются отступления от пропорциональности между намагниченностью парамагнетика Рт и напряженностью поля Н. В частности, может наступить состояние магнитного насыщения, при котором все атомные моменты установятся по полю и дальнейшее увеличение Н не приводит к возрастанию Р,„.
526
Раздел 5
Существование у атомов (цонов) магнитных моментов, обусловливающих парамагнетизм веществ, может быть связано с движением электронов (орбитальный парамагнетизм), со спиновым моментом самих электронов (спиновый парамагнетизм) и с магнитными моментами ядер атомов (ядерный парамагнетизм). Магнитные моменты атомов, ионов, молекул создаются в основном их электронами, чьи моменты примерно в тысячу раз превосходят магнитные моменты атомных ядер.
Несколько иной характер имеет парамагнетизм металлов. В металлах, как мы знаем, существуют электроны проводимости, которые не принадлежат отдельным атомам и образуют своеобразный электронный газ. Благодаря наличию у электрона собственного магнитного момента, электронный газ обладает парамагнетизмом (парамагнетизм свободных электронов). Поскольку величина спинового магнитного момента всегда одинакова, то внешнее поле может повлиять только на его направление, так как магнитный диполь во внешнем магнитном поле испытывает вращающий момент.
Если спиновые моменты электрона могут свободно ориентироваться в веществе, то следует ожидать, что они расположатся в направлении приложенного поля В, т. е. примут ориентацию с наинизшей энергией.
5.74.	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Ферромагнетиками' называются вещества, обладающие самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля.
Магнитные свойства ферромагнетиков во многом подобны диэлектрическим свойствам сегнетоэлектриков (п. 5.67).
При некоторой температуре Тк (температура Кюри) ферромагнитные свойства исчезают. Выше температуры Кюри ферромагнетик превращается в парамагнетик.
Зависимость вектора намагниченности Рт ферромагнетика от напряженности магнитного поля нелинейна, неоднозначна и характеризуется гистерезисом. Дейст^ вие на ферромагнетик циклически изменяющегося магнитного поля сопровождается циклическим изменением значения вектора намагниченности Рт, что графически изображается замкнутой кривой, называемой петлей гистерезиса.
Статистическая физика и термодинамика
527
Величина вектора намагниченности типичного ферромагнетика в достаточно слабых полях. на много порядков больше аналогичной характеристики парамагнетика.
Обычно образец ферромагнитного вещества в отсутствии магнитного поля самопроизвольно разделен на небольшие (~10“5-10'вм) области (домены), намагниченность которых максимальна и ориентирована так, что у образца в целом общий магнитный момент равен нулю.
Для понимания механизма спонтанной намагниченности важно, что ферромагнетизм наблюдается только у твердых веществ. Этот факт указывает на то, что спонтанное намагничение является следствием специфического коллективного взаимодействия между достаточно близко расположенными атомами. Эта мысль была положена в основу объяснения ферромагнетизма, предложенного Вейсом еще в 1907 г. В теории Вейса указанные силы взаимодействия связывались с некоторым «эффективным» магнитным полем. В дальнейшем, однако, выяснилось, что это эффективное поле является не магнитным, а электрическим и имеет квантовомеханическую природу.
Специальные опыты (Эйнштейн и де Гааз) показали, что ферромагнетизм обусловлен спинами электронов. Выяснилось также, что ферромагнитные материалы обязательно включают атомы с неполностью заполненными d- или /электронными оболочками (см. табл. 4.2). Например, для типичных ферромагнетиков (железо (Тк = = 1043 К), кобальт (Г, = 1404 К), никель (Тк = - 631 К), гадолиний (Тк = 289 К)) имеем следующие варианты заполнения электронных состояний:
Видно, что у Fe, Со и Ni не полностью заполнены внутренние Зй-состояния, а у Gd — 4f и бсГсостояния (обведены кружками). Поэтому ферромагнетизм следует связывать именно со спинами электронов, находящихся в незавершенных квантовых состояниях атомов.
528
Раздел 5
Полностью заполненные квантовые состояния сферически симметричны и их суммарный магнитный момент равен нулю. Поэтому такие состояния вклада в ферромагнетизм давать не могут. В приведенных электронных структурах для Fe, Со, Nt и Gd заполненные квантовые состояния взяты в квадратные рамочки.
Важно отметить, что не любые не полностью заполненные квантовые состояния дают вклад в ферромагнетизм. Имеется много элементов с незавершенными d- или f- состояниями, которые ферромагнитными свойствами не обладают. Сюда относятся, например, Ti, Си, Zn, Mg и т. д. (см. табл. 4.2). Это означает, что в ферромагнитных элементах силы, ориентирующие некомпенсированные магнитные моменты d- и f- состояний, должны преодолевать действие причин, приводящих к разориентации этих моментов. Иными словами, при температурах ниже Тк спонтанная намагниченность должна быть энергетически выгодной. В современной теории ферромагнетизма показано, что энергетическую выгодность параллельной ориентации спинов для электронов атомов с незавершенными d- или f- состояниями обеспечивает особое квантово-механическое взаимодействие атомов, называемое обменным. Обменное взаимодействие весьма распространено в микромире и связано с перекрытием волновых функций взаимодействующих частиц, что рассматривалось в п. 4.40 на примере ковалентной связи атомов в молекуле водорода Н2.
Математически обменное взаимодействие описывается с помощью так называемого обменного интеграла. Обменный интеграл может принимать как положительное, так и отрицательное значение и приводить к увеличению или уменьшению энергии взаимодействия. Устойчивые состояния соответствуют минимуму энергии взаимодействия. Обычно в наиболее устойчивых состояниях электроны обладают попарно противоположными спинами. В этих случаях обменный интеграл имеет отрицательное значение. В некоторых специальных случаях обменный интеграл может принимать положительные значения и устойчивым оказывается состояние с одинаково направленными спинами, что и соответствует возникновению спонтанного магнитного момента в макрообъемах вещества, т. е. ферромагнетизму. Описанный эффект касается только тех электронов, которые находятся в незавершенных d- или /-состояниях. Например, в атомах железа
Статистическая физика и термодинамика
529
таких электронов в d-состоянии четыре. Эти четыре электрона с одинаково направленными спинами обведены квадратной рамкой под выражением для электронной структуры атома железа:
1? 2«22р4	3?3p43d4
tl

Следует отметить, что ферромагнетизм возникает лишь у тех металлов с незавершенными d- или /-состояниями, у которых расстояние между атомами лежит в некотором диапазоне значений. Если атомы располагаются далеко друг от друга, обменное взаимодействие между ними оказывается столь слабым, что устойчивый ферромагнитный эффект не возникает. Между близко расположенными атомами возникает сильное перекрытие волновых функций и получается нормальная ковалентная связь, при которой ориентации всех спинов попарно взаимно противоположны. Поэтому далеко не ' все элементы с незаполненными d- и /-электронными состояниями ферромагнитны.
Изложенное показывает, что одинаково направлен-, ные спины незавершенных d- или /-состояний атомов могут превратить ферромагнитный кристалл в макроскопический магнитный диполь, подобный изображенному на рис. 5.77, а.
Магнитное поле такого диполя простирается на все окружающее пространство, что энергетически невыгодно. Магнитная энергия кристалла существенно уменьшается, если в кристалле образуются области (домены), магнитные поля которых замкнуты внутри образца (рис. 5.77, б). На рисунке 5.77, б изображена идеальная ситуация, которая может возникать лишь в ферромагнитных монокристаллах. Реальный металлический (например, железный) образец является поликристаллом и магнитные домены возникают внутри его отдельных хаотически ориентированных кристаллических зерен. В каждом зерне может возникнуть один или несколько различным образом ориентированных доменов.
При образовании такого куска из расплава металл при охлаждении проходит температуру Кюри и из парамагнетика превращается в ферромагнетик. В процессе этого превращения и образуются домены. Минимальному
18 Зак. М 845
530
Раздел 5
Рис. 5.77 максимальной
намагниченности
значению магнитной энергии ферромагнетика в отсутствие магнитного поля отвечает полная хаотичность ориентаций возникших доменов (рис. 5.77, в). При этом ферромагнитный образец в целом оказывается ненамагниченным (при каждого из доменов).
Когда такой образец помещен во внешнее магнитное
поле, домены, магнитный момент которых направлен по полю, оказываются в состоянии с более низкой энергией,
чем домены с иной ориентацией. Границы между доменами начинают перемещаться так, что объем доменов с
ориентацией магнитных моментов по полю растет за счет других доменов. Такое превращение лежит в основе про-
цесса намагничивания ферромагнетика.
Следует отметить, что чем меньше размеры доменов, тем меньше их общая магнитная энергия. Однако одновременно увеличивается энергия, затраченная на образование поверхности раздела (границ) между доменами. При этом энергетически наиболее выгодным оказываются домены, размер которых имеет порядок 10 5—10 6 м.
Доменная структура определяет специфический ха-
рактер кривой намагничивания, т. е. зависимости вектора намагничивания Рт (или вектора В) от величины напряженности магнитного поля Н. Если первоначально образец в целом не был намагничен, то при увеличении Н от 0 величина Рт изменяется по кривой OLM (см.
рис. 5.78).
Рис. 5.78
Если, начиная с напряженности Нт (точка М), уменьшать Н, уменьшение Рт будет происходить по новой кривой ML2P°™. В итоге при полном цикле изменения Н получим замкнутую кривую, которая называется петлей гистерезиса. Точка на петле гистерезиса соответствует намагниченности образца, сохранившейся
Статистическая физика и термодинамика
531
после снижения Н до нуля. Величина Р^'г называется остаточной намагниченностью. Для уменьшения до нуля величины вектора намагниченности Рт необходимо подать на образец обратную по направлению напряженность магнитного поля Нк. Величина Нк называется коэрцитивной силой (коэрцитивным полем).
На рис. 5.78 видно, что для ферромагнетиков одному значению Н’ соответствует несколько значений Рт (точки Llt Ln L2). Если размах циклических изменений Н (Нт, Н£) постепенно уменьшать, то уменьшенные петли гистерезиса заполнят практически всю площадь внутри петли, изображенной на рисунке, что еще раз подчеркивает неоднозначность связи Рт и Н.
Кривая OLM (рис. 5.78) называется техничеекоЬ KpueoL намагничивани . Она вместе с петлей гистерезиса является важнейшей технической характеристикой магнитного материала. По виду технической кривой намагничивания и петли гистерезиса все используемые в технике магнитные материалы разделяют на магнитожесткие и магнитом гкие. Легко намагничивающиеся материалы, имеющие малые значения коэрцитивной силы и площади петли гистерезиса относятся к магнитомягким материалам. Они применяются в основном в технике переменных токов, так как обеспечивают малые потери энергии при перемагничивании. У магнитотвердых материалов коэрцитивное поле и площадь петли гистерезиса значительно больше. Эти материалы хорошо сохраняют магнитные свойства и служат для создания постоянных магнитов.
Представление о доменной структуре ферромагнетика позволяет объяснить особенности технической кривой намагничивания. В слабом поле (от 0 до точки А на рис. 5.78) происходят лишь упругие (обратимые) смещения стенок доменов. На этом участке кривая намагничивания полога и обратима. Если на этом участке изменять Н в обратном направлении, то петля гистерезиса практически не возникает. В области более сильных полей (А—В на рис. 5.78) происходит необратимое смещение доменных границ, их переориентация и поглощение доменами с благоприятной ориентацией относительно вектора Н тех доменов, ориентация которых менее благоприятна. Наконец, в достаточно сильных полях магнитные моменты доменов окончательно ориентируются по полю. Все возможности спонтанной намагниченности вносить
532
Раздел 5
вклад в намагниченность вещества исчерпываются и кривая намагничивания переходит в область так называемого технического насыщения (правее точки В). Область магнитного насыщения принято называть областью парапроцесса. Дальнейшее намагничивание в области парапроцесса связано с парамагнетизмом вещества, который в более слабых магаитных полях был «замаскирован* ферромагнетизмом.
5.75.	МАГНИТОСТРИКЦИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ
Магнитострикция — изменение формы и размеров тела при его намагничивании. Это явление открыто английским ученым Дж. Джоулем в 1842 году. В ферромагнетиках магнитострикция достигает значительной величины (относительное удлинение (AZ/Z - 10 6ч-10 2). В пара- и диамагнетиках магнитострикция в большинстве случаев очень мала (Ы/l - 10 *-=-1О7).
Магнитострикция — результат проявления основных типов взаимодействий в ферромагнитных телах: электрического обменного взаимодействия и магнитного взаимодействия. В соответствии с этим возможны два вида различных по природе магнитострикционных деформаций тел за счет изменения магнитных сил (диполь-ди-польных и спин-орбитальных) и за счет изменения обменных сил.
При намагничивании ферромагнетиков магнитные силы действуют в интервале от нулевого поля до напряженности Нт (рис. 5.78), при которой образец достигает магнитного насыщения. Как уже указывалось (п. 5.74), намагничивание в этом интервале полей обусловлено процессами смещения границ между доменами и поворота магнитных моментов доменов по полю. Оба эти процесса изменяют энергетическое состояние кристалла, что проявляется в деформации его решетки. Магнитострикция этого вида зависит от направления и величины намагниченности Рт (т. е. анизотропна) и проявляется в основном в изменении формы кристалла почти без изменения его объема (линейная магнитострикция).
Магнитострикция, обусловленная обменными силами, в ферромагнетиках наблюдается в области намагничивания выше технического насыщения, где магнитные моменты доменов полностью ориентированы в направлении поля и происходит только рост абсолютной величины
Статистическая физика и термодинамика
533
Рт (парапроцесс). Магнитострикция за счет обменных сил в кубических кристаллах изотропна и проявляется в изменении объема тела. В гексагональных кристаллах (например, в Gd, ТЬ и др. редкоземельных металлах) эта магнитострикция анизотропна. Магнитострикция за счет парапроцесса в большинстве ферромагнетиков при комнатной температуре мала, она мала и вблизи точки Кюри, где парапроцесс почти полностью определяет ферромагнитные свойства вещества. Однако в некоторых сплавах (например, инварных магнитных сплавах) магнитострикция велика (AZ/Z - 10 е).
Магнитострикция относится к так называемым четным магнитным эффектам, так как она не зависит от знака магнитного поля. Наиболее исследована магнитострикция в поликристаллических ферромагнетиках. Обычно измеряется относительное удлинение образца в направлении поля (продольная магнитострикция) или перпендикулярно направлению поля Н (поперечная магнитострикция). Для металлов и большинства сплавов продольная и поперечная магнитострикция в области полей технического намагничивания имеют разные знаки, причем величина поперечной магнитострикции меньше, чем продольной, а в области парапроцесса эти величины имеют одинаковый знак. Для большинства ферритов как продольная, так и поперечная магнитострикция отрицательны. У Fe продольная магнитострикция в слабом магнитном поле положительна (удлинение тела), а в более сильном поле отрицательна (укорочение тела). Для NI при всех значениях поля продольная магнитострикция отрицательна. Большинство сплавов Fe-Ni, Fe-Co, Fe-Pt и др. имеют положительную продольную магнитострикцию: относительное удлинение AZ/Z может достигать -10 4. Рекордно высока магнитострикция у некоторых редкоземельных металлов, их сплавов и соединений. Например, у Tb3FezOlz £J/l ~ 10~3 - 10~2 (в зависимости от величины приложенного поля, при низких температурах). Величина, знак и характер зависимости магнитострикции от напряженности поля и намагниченности зависят от структурных особенностей образца.
Явление магнитострикции широко используется на практике. На нем основано действие магнитострикционных излучателей и приемников ультразвуковых волн, стабилизаторов частоты, реле и т. д.
534
Раздел 5
5.76.	АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Антиферромагнетизм — магнитоупорядоченное со
стояние вещества, характеризующееся тем, что магнитные моменты соседних частиц вещества — носителей магнетизма ориентированы навстречу друг другу (антипараллельно), и поэтому намагниченность тела в целом в отсутствие магнитного поля равна нулю. Этим антиферромагнетизм отличается от ферромагнетизма, при
котором одинаковая ориентация всех атомных магнитных моментов приводит к высокой намагниченности тела.
Q До начала 30-х годов XX века все вещества делили по магнитным свойствам на три группы: диа-, пара- и ферромагнетики. У большинства парамагнетиков магнитная восприимчивость хт растет с уменьшением температуры (см. кривую а на рис. 5.79).
В 30-х годах были обнаружены соединения (окислы и хлориды Мн, Fe, Со, Ni), обладающие иным видом зависимости xm (Т). У этих
соединений на кривых xm (Т) наблюдались максимумы, что на рис. 5.79 соответствует точке Тн (точка Нееля). Кроме того, ниже температуры максимума была обнаружена сильная зависимость хт от ориентации кристалла в магнитном поле. Если поле направлено, например, вдоль главной кристаллографической оси, то значение Хт вдоль этого направления (х|) убывает, стремясь к нулю при Т -> ОК (кривая в на рис. 5.79). В направлениях, перпендикулярных указанной оси, значение х± левее точки Нееля (кривая г на рис. 5.79) не зависит от температуры. На кривых температурной зависимости удельной теплоемкости зтих веществ также были обнаружены острые максимумы в точке Нееля. Эти экспериментальные факты указывали на перестройку внутренней структуры вещества при определенной температуре.
В 1930 г. Л. Д. Ландау и Л. Неель объяснили указанные выше аномалии переходом парамагнетика в новое состояние, названное антиферромагнитным. У парамагнетиков при высоких температурах благодаря интенсивному тепловому движению направление магнитных моментов атомов ионов непрерывно и беспорядочно меняется. Поэтому среднее по времени значение магнитного момен-
та каждого иона в веществе в отсутствие внешнего поля оказывается
равным нулю. Ниже некоторой температуры Тн, которой соответствует максимум кривой хт (Т), силы обменного взаимодействия между соседними ионами преодолевают разупорядочи-вающее действие теплового движения. В результате средний магнитный момент каждого иона становится отличным от нуля и принимает определенное
Статистическая физика и термодинамика
535
значение и ориентацию в веществе; возникает магнитное упорядочение. Антиферромагнитное упорядочение характеризуется тем, что средние магнитные моменты всех ближайших соседей направлены навстречу друг другу. Для этого обменный интеграл должен, быть отрицательным; при ферромагнетизме обменный интеграл положителен, и все магнитные моменты направлены в одну сторону (см. п. 5.74). Пример магнитного упорядочения в антиферромагпетике пред
ставлен на рис. 5.80.
Видно, что антиферромагнитную структуру можно представить
как систему вставленных друг в друга пространственных подрешеток ионов, в узлах каждой из которых находятся параллельные друг другу магнитные моменты. В антиферромагиетике каждая подрешетка состоит из ионов одного сорта. Суммарные магнитные моменты обеих подрешеток взаимно компенсируются, поэтому антиферромагнетик в целом в отсутствие внешнего магнитного поля не имеет результирующего магнитного момента. Под действием внешнего магнитного поля антиферромагнетики подобно парамагнетикам приобретают слабую намагниченность. Для магнитной восприимчивости Хт антиферромагнетиков типичны значения 1(Г4-10"в.
За создание антиферромагнитного порядка и определенную ориентацию магнитных моментов ионов относительно кристаллографических осей ответственны два рода сил: за порядок — силы обменного взаимодействия (электрической природы); за ориентацию — силы магнитной анизотропии. В антиферромагнетике обменные силы стремятся установить каждую пару соседних магнитных моментов строго антипараллельно. Но они не могут предопределить направление магнитных моментов подрешеток относительно кристаллографических осей. Направление магнитных моментов в кристалле называется осью антиферромагнетика или осью легкого намагничивания и определяются силами магнитной анизотропии.
В соответствии с этими двумя типами сил при теоретическом описании антиферромагнетизма вводят два эффективных магнитных поля: обменное поле Нр и поле анизотропии Нд. Представление о том, что в антиферромагнетике действуют два эффективных поля, позволяет объяснить магнитные свойства антиферромагнетиков, в частности, поведение антиферромагнетика в переменных внешних магнитных полях (антиферромагнитный резонанс). Антиферромагнитный резонанс — избирательное поглощение энергии электромагнитных волн, проходящих через антиферромагнетик, при определенных (резонансных) значениях частоты (£> и напряженности Но приложенного магнитного поля. Антиферромагнитный резонанс — разновидность электронного магнитного резонанса. При антиферромагнитном резонансе возбуждаются колебания векторов намагниченности магнитных подрешеток антиферромагнетика как относительно друг друга, так и относительно направления Но. Частота этих колебаний определяется величиной эффективных магнитных
536
Раздел 5
полей, действующих на магнитные моменты подрешеток: НЕ, НА и Но. Вид зависимости <о от эффективных магнитных полей в антиферромагнетиках сложен и различается для кристаллов разной структуры. Как правило, одному значению НО соответствует две частоты антиферромагнитного резонанса, которые лежат в интервале 10-1000 ГГц. О
5.77.	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ МАГНЕТИКОВ
л Имеется глубокая формально-математическая аналогия между термодинамикой магнетиков и термодинамикой диэлектриков, изложенной в п. 5.70. Система основных уравнений термодинамики магнетиков может быть получена заменой в системе основных уравнений термодинамики для диэлектриков (5.276)-(5.279) Е на Н, D на В, РЕ иа Рт. В итоге получаем систему основных уравнений термодинамики для однородных, изотропных, линейных магнетиков:
<ПГВ = TdS - PdV + HdB,	(5.300)
—	для внутренней энергии WB;
dF = -SdT - PdV + HdB,	(5.301)
—	для свободной энергии F;
dHa = TdS + VdP - BdH,	(5.302)
—	для энтальпии Ня;
dG =-SdT + VdP-BdH,	(5.303)
—	для потенциала Гиббса.
Величины WB, F, Ня и G относятся к единице объема магнетика. Если пренебречь магнитострикцией (PdV = 0) и предположить, что давление постоянно (VdP = 0), то можно записать:
dWB = TdS + HdB,	(5.304)
dF = -SdT + HdB,	(5.305)
dH„ = TdS - BdH,	(5.306)
dG = -SdT- BdH,	(5.307)
Приведенная группа уравнений относится к случаю, когда обобщенная работа, связанная с полем в магнетике, принимается равной Ydy = -HdB.
Совместно с уравнением состояния основные уравнения термодинамики магнетиков (5.304)-(5.307) позволяют описывать магнитные свойства вещества. В качестве уравнения состояния для пара- и диамагнетиков можно воспользоваться соотношением В = ИорЯ.
Статистическая физика и термодинамика
537
Используя математическую процедуру, приведенную в п. 5.70, можно на основе уравнений (5.304)-(5.307) получить выражения для внутренней анергии, свободной энергии и энтропии вещества в магнитном поле:
WB(H, T)-W0B(T) + ^
(5.308)
F (H, T) = Fo (Т) + Нг,
(5.309)
S (И, Т) = So (Т) + £ & Н\
4 VI
(5.310)
где WOB, Fo и So — внутренняя энергия, свободная энергия и энтропия магнетика в отсутствие магнитного поля.
Из выражения (5.309) видно, что плотность энергии магнитного поля в веществе 0,5цорН2 = 0,5НВ - В2/(2цор) является свободной энергией системы &F = F - Fo. Это объясняется тем, что в электродинамике под величиной О.бцдцН2 понимается энергия, которую необходимо затратить, чтобы возбудить магнитное поле напряженностью Н в веществе при постоянной температуре (см. п. 5.70). Из выражения (5.308) следует, что внутренняя энергия, связанная с намагничиванием вещества, т. е. величина AVKB = WB - ИЛОВ равна О,5рорН2, только, если магнитная проницаемость р не зависит от температуры или процесс намагничивания протекает в изотермических условиях. Лишь для разреженных диамагнитных газов при постоянной плотности можно считать ц = const. Это объясняется тем, что тепловое движение практически не влияет на индуцированные магнитные моменты атомов таких газов. В конденсированных магнетиках с повышением температуры атомы и молекулы переходят в возбужденные состояния, в которых и постоянные магнитные моменты (парамагнетизм), и индуцированные магнитные моменты (диамагнетизм) могут стать иными, чем в нормальных состояниях. Поэтому р может как увеличиваться, так и убывать с ростом температуры.
Если Т = const, то вся теплота AQ, выделяющаяся при поляризации, должна передаваться системой термостату, который находится при фиксированной температуре Т. Для равновесного изотермического процесса AQ = TAS = Т (S - Яо). Из выражения (5.310) находим AQ = 0,5роТН2 (dp/ЗТ), что равно разности AWg - AF = ТЛЯ (5.32). Если р = const, то AVVK = AF = О.брорН2.
Изложенное показывает, что если процесс намагничивания протекает адиабатически, то он сопровождается изменением температуры магнетика. Изменение температуры магнетика в процессе намагничивания называется магнитокалорическим эффектом.
538
Раздел 5
Из-за магнитокалорического эффекта изменение магнитного поля на величину dH сопровождается изменением температуры магнетика на некоторую величину dT. Магнитокалорический эффект для магнетиков подобен электрокалори-ческому эффекту для диэлектриков (см. п. 5.70). Поэтому соотношение для определения величины dT может быть получено заменой в формуле (5.290) Е на Н, е0 на ц0, е на ц = 1 + и удельной теплоемкости вещества при постоянном Е (СЕ) на удельную теплоемкость при постоянном Н (Ся):
dT = _^L^dH = _^L^dH,	(5.311)
С„ дН	С, ВТ
Магнитная восприимчивость парамагнетиков хт согласно закону Кюри (5.297) обратно пропорциональна абсолютной температуре Хт = const/T. Следовательно, (&Х,т/8Т) = ~Хт/Т и (5.311) можно записать в виде:
dT = HdH	(5.312)
Таким образом, при равновесном адиабатическом размагничивании {dH < 0) парамагнетик охлаждается (dT < 0).
Если пренебречь зависимостью Са от Н, то о
Т - То = ДТ =	$ HdH = -	,	(5.313)
где ДТ изменение температуры парамагнетика при равновесном адиабатическом уменьшении напряженности магнитного поля от Н до 0, То — исходная температура, Т — температура охлажденного вещества. Метод адиабатического размагничивания становится особенно эффективным, если исходная температура То мала. Достаточно низкую исходную температуру получают охлаждением парамагнитного образца в магнитном поле жидким гелием. Поле намагничивает парамагнетик до насыщения; ориентация собственных магнитных моментов атомов упорядочивается. При этом его энтропия убывает на некоторую величину ДЗ, что соответствует выделению теплоты &Q - T&S (положительный магнитокалорический эффект). Жидкий гелий отбирает выделившееся тепло, охлаждая образец до То. После наступления равновесия образец теплоизолируется, что обеспечивает адиабатические условия при дальнейшем размагничивании. Последующее достаточно медленное квазиравновесное размагничивание приводит к возрастанию энтропии на величину Д5, что требует подвода тепла Д(?. В условиях теплоизоляции это возможно только за счет внутренней энергии системы и, следовательно, вызывает ее охлаждение до температуры Т в соответствии с формулой (5.313). Изложенное показывает, что понижение температуры при адиабатическом размагничивании парамагнетиков подобно понижению температуры при равновесном адиабатичес
Статистическая физика и термодинамика
539
ком расширении газа, когда внутренняя энергия затрачивается на работу расширения, т. е. против внешних сил.
В качестве примера приведем опыт, в котором для адиабатического размагничивания использовался образец хромо-калиевого сульфата (K2SO4Cr2(SO4)324H2O). Процесс размагничивания проводился от Н ® 2  106 А/м (25 000 эрстед) при температуре То я 1,174 К, полученной использованием жидкого гелия. В результате образец охлаждался до Т » 0,0044 К.
В соответствии с третьим началом термодинамики (теорема Нернста, п. 5.22) при температуре вблизи абсолютного нуля температур перестает зависеть от температуры и согласно выражению (5.311) магнитокалорический эффект исчезает. Предельно низкие температуры, которые можно, в принципе, получить методом адиабатического размагничивания парамагнетиков, определяются силами взаимодействия между электронными спинами. Как только температура вещества станет настолько низкой, что под действием указанных сил возникает упорядочение ориентации элементарных магнитных диполей парамагнетика, которое не снимается размагничиванием вещества, метод адиабатического охлаждения перестает действовать. Этот предел соответствует примерно 0,001 К.
Более слабое взаимодействие присуще ядерным магнитным моментам. Самопроизвольное упорядочение ядерных магнитных моментов начинает проявляться лишь при Т » IflVlO6 К. В настоящее время именно методом равновесного адиабатического размагничивания «ядерных» парамагнетиков получены наиболее низкие температуры (Т к 101’ К).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Что такое диэлектрическая поляризация?
2.	В чем макроскопически проявляется диэлектрическая поляризация?
3.	В чем состоит основная задача физики диэлектриков?
4.	Что такое вектор поляризации?
5.	Запишите и обсудите зависимость вектора поляризации от напряженности среднего макроскопического поля и индуцированного дипольного момента частицы от напряженности локального поля.
6.	Какие механизмы диэлектрической поляризации вы знаете?
7.	Опишите упругие виды поляризации.
8.	Опишите релаксационные виды поляризации.
9.	Опишите дипольную ориентационную поляризацию.
540
Раздел 5
10.	Какие диэлектрики называются пироэлектриками и сегнетоэлектриками?
11.	Какими специфическими свойствами обладают сегнетоэлектрики?
12.	Что такое петля гистерезиса, остаточная поляризация, коэрцитивное поле?
13.	Из каких полей складывается локальное электрическое поле, действующее на частицы при поляризации диэлектрика?
14.	Запишите и обсудите связь вектора поляризации с микрохарактеристиками поляризации.
15.	Запишите и обсудите связь диэлектрической восприимчивости с микрохарактеристиками поляризации.
16.	Запишите и обсудите формулу Дебая, связывающую диэлектрическую проницаемость с поляризуемостью частиц вещества.
17.	Как связана свободная энергия поляризации диэлектрика с плотностью энергии электрического поля в диэлектрике?
18.	Что такое электрокалорический эффект?
19.	Что такое электрострикция?
20.	Как зависит диэлектрическая проницаемость среды от частоты электрического поля?
21.	Типы магнетиков.
22.	Перечислите и поясните макроскопические характеристики магнетиков.
23.	Диамагнетики. Механизм диамагнетизма.
24.	Парамагнетики. Механизм парамагнетизма.
25.	Запишите и поясните законы Кюри и Кюри-Вейса.
26.	Что такое ларморова прецессия?
27.	Опишите особенности магнитных свойств ферромагнетиков.
28.	Что такое доменная структура ферромагнетиков?
29.	Опишите механизмы намагничивания ферромагнетиков.
30.	Опишите явление магнитного гистерезиса.
31.	Что такое коэрцитивная сила (коэрцитивное поле)?
32.	Как изменяются свойства ферромагнетиков с изменением температуры?
33.	Какие магнетики называются антиферромагнетиками?
34.	Что такое магнитострикция?
35.	Как связана свободная энергия намагничивания магнетика с плотностью энергии магнитного поля?
36.	Что такое магнитокалорический эффект?
37.	Каким образом получаются низкие температуры с использованием адиабатического размагничивания парамагнетиков?
РАЗДЕЛ 6
СОВРЕМЕННАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА МИРА
Глава 6.1
СОВРЕМЕННАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА МИРА
6.1.	ИЕРАРХИЯ СТРУКТУРНЫХ ФОРМ МАТЕРИИ
Материальность нашего мира означает, что он существует объективно, независимо от нашего сознания и что присущие ему закономерности проистекают из свойств материи. Материя в окружающем мире образует некоторую последовательности структурных форм, различающихся по степени сложности. При этом высшие по степени сложности структуры включают в себя низшие структуры со свойственными им формами материальных движений. Одна из главных особенностей материи состоит в появлении качественно совершенно новых свойств при переходах от низших к высшим формам. Эти свойства несводимы к свойствам тех низших структур, из которых образована данная высшая структура. Высшей структурной форме присущи новые виды материальных движений, не представленные у низших форм и определяющие главные свойства высшей формы.
В настоящее время низшей структурной формой материи можно считать кварки, способные только на парные и тройные объединения; они могут образовывать только адроны и ничего больше. Состоящие из трех кварков протоны и нейтроны совместно с электронами образуют новую материальную структуру — атомы, обладающие качественно новым свойством — способностью к взаимным объединениям с образованием разнообразных и многочисленных структур.
Из определенных наборов атомов образуется новая материальная структура — молекулы. При этом появляется новое качество — возможность существования множества веществ с различными химическими свойствами, и в их числе веществ, из которых образованы живые организмы.
Обладая способностью к устойчивому взаимному объединению, атомы и молекулы образуют новую матери
Современная физическая картина мира
543
альную структуру — макроскопические тела, свойства которых совершенно не присущи отдельным атомам и молекулам.
Во Вселенной проявляестя локальная неоднородность в распределении материи. Материя сконцентрирована, в основном, в виде звезд, галактик и галактических скоплений. Это — космические формы материальных структур. Им присущи новые свойства, обусловленные гравитацией, играющей в больших скоплениях материи определяющую роль. Например, под действием гравитационного сжатия возникают космические объекты с аномальными свойствами: сверхплотные белые карлики и нейтронные звезды, гравитационно замкнутые области, называемые черными дырами.
Из всех космических объектов для человечества выдающееся значение имеет Земля. Условия возникновения, уровень гравитации и положение Земли в космосе сделали возможным образование на ней очень большого многообразия различных веществ. Приток солнечной энергии, образование атмосферы, температурный режим поверхности, существование воды в жидком состоянии и ряд других благоприятных факторов привели на определенном этапе эволюции Земли к возникновению на ней жизни.
Высшей по отношению ко всем перечисленным структурной формой материи являются живые организмы. Им присущи совершенно новые качественные признаки, не имеющие аналогов в других структурных формах. Главными из них являются: избирательный обмен веществ с внешней средой, самовосстановление, размножение, внутренняя саморегуляция, эволюционное совершенствование и приспособление к окружающим условиям. У высшего представителя живых организмов — человека имеют место такие уникальные качественные признаки как высшая нервная деятельность и основанное на ней сознание.
6.2.	ФИЗИЧЕСКИЙ ВАКУУМ
Материя существует в виде вещества и поля. Вещество, согласно современным представлениям, состоит из элементарных частиц — кварков и лептонов. Поле является особой формой материи, существование которого проявляется в силовом воздействии на частицы вещества, помещенные в это поле. Поле не только обеспечивает
544
Раздел 6
взаимодействие между частицами вещества. Оно может существовать и проявляться независимо от создающих их тел. В качестве примера можно назвать электромагнитное поле, которое способно самостоятельно распространяться в вакууме в виде электромагнитных волн.
В классической физике вещество и поле противопоставляются друг другу. У вещества структура дискретная, у поля, напротив, непрерывная. Открытие в квантовой теории корпускулярно волнового дуализма в значительной степени нивелировало это различие. У частиц вещества обнаруживаются свойства волны, свойства поля. Поле, в свою очередь, квантуется. Квантом поля является частица. В отличие от частиц вещества, обладающих полуцелым спином, т. е. являющихся фермионами, кванты поля относятся к частицами с целым спином, т. е. бозонам.
Поле может находиться в различных состояниях, отличающихся энергией. Переход поля из одного состояния в другое сопровождается рождением или исчезновением частицы поля. Состояние, соответствующее минимальной энергии поля, называется вакуумом. Вакуум является состоянием, в котором отсутствуют какие-либо реальные частицы. Однако вакуум, по современным представлениям, не является пустым пространством, в котором ничего не происходит.
Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга ДИ7 • At > й в течение небольшого промежутка времени At допускается нарушение закона сохранения энергии на величину AW - ti/iat. Если промежуток времени достаточно мал, то энергия W может оказаться достаточной для образования двух частиц (частицы и античастицы) массой т »ft/(2c2At). Таким образом, появление на небольшой промежуток времени At двух частиц не противоречит закону сохранения энергии. Две частицы необходимы для выполнения других законов сохранения, например закона сохранения электрического заряда. Спустя время At эти частицы аннигилируют.
Итак, в вакууме случайным образом непрерывно рождаются и исчезают частицы. Эти частицы называются виртуальными. Виртуальные частицы образуются в результате флуктуаций вакуума. Время их жизни настолько мало, что они не могут быть зарегистрированы. Действительно, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга для регистрации частиц необхо-
Современная физическая картина мира
545
димо затратить время жизни частицы. Виртуальная частица успевает исчезнуть прежде, чем ее обнаружат. Этим виртуальные частицы отличаются от реальных.
При некоторых условиях вируальные частицы могут стать реальными. Это может произойти при наличии сильного внешнего поля. Взаимодействуя с внешним полем, виртуальная частица может успеть получить энергию, достаточную для того, чтобы стать реальной частицей. Например, в сильном электрическом поле на вируальные электрон и позитрон действуют силы, стремящиеся удалить одну частицу от другой. Электрическое поле, расходуя свою энергию на удаление виртуальных электрона и позитрона друг от друга, создает эффект рождения реальных частиц из вакуума. Закон сохранения энергии при этом, естественно, выполняется'. Как будет показано ниже, это явление приводит, например, к испарению черных дыр.
Несмотря на то, что виртуальные частицы непосредственно обнаружить нельзя, их существование приводит к наблюдаемым эффектам и, таким образом, экспериментально подтверждается. Например, рождение виртуальных пар заряженных частиц-античастиц приводит к частичной экранировке заряда, внесенного в вакуум. Этот эффект аналогичен поляризации диэлектрической среды и называется поляризацией вакуума. Поляризация и нулевые колебания вакуума приводят к небольшим отклонениям уровней энергии атомов, к их сдвигам. Соответствующий сдвиг в атомных уровнях водорода, обусловленный поляризацией вакуума, экспериментально обнаружен в 1947 г. Лэмбом и Ризерфордом и называется лэмбовским сдвигом.
Особая роль виртуальных частиц состоит в том, что они являются переносчиками взаимодействия. Например, взаимодействие заряженных частиц определяется путем испускания и поглощения виртуальных фотонов.
6.3.	ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ
Для большинства известных на сегодня элементарных частиц существуют античастицы. Античастица имеет одинаковые с соответствующей ей частицей массу, спин и время жизни. Античастица также имеет одинаковые по величине, но противоположные по знаку электрический, барионный и лептонный заряды, магнитный момент и некоторые другие величины, характеризующие
546
Раздел 6
взаимодействия, например, спиральность и странность. Спиральность определяется соотношением направлений импульса и спина. Если векторы импульса и спина направлены одинаково, то спиральность считается положительной, если же направлены противоположно, спиральность считается отрицательной.
При взаимодействии частицы с ее античастицей происходит аннигиляция этой пары, то есть ее уничтожение и превращение в гамма-фотоны. С другой стороны, при взаимодействии фотонов с атомами может произойти акт рождения пары частица—античастица. Например, часто происходит рождение электронно-позитронных пар из гамма-фотонов.
Основным механизмом возникновения пар частица-античастица в условиях Земли являются столкновения частиц высоких энергий. Такие столкновения происходят при входе космических лучей в атмосферу Земли. Пары частица—античастица создаются также на ускорителях. Например, именно так были открыты антипротоны и антинейтроны.
Частицы, у которых все характеристики, отличающие их от античастиц, равны нулю, называются истинно нейтральными. У них нет античастиц. Иногда говорят, что они сами себе античастицы. Примерами таких частиц являются фотон и л°-мезон.
В принципе, атомы и молекулы могут быть построены из античастиц и, следовательно, наряду с обычным веществом может существовать антивещество. Высказывалось предположение, что некоторые галактики во Вселенной образованы из антивещества. Но тогда на границах между областями из вещества и антивещества должна происходить эффективная аннигиляция, сопровождаемая очень интенсивным излучением. В астрономических наблюдениях такие излучения не обнаружены. Поэтому сейчас принята точка зрения, что Вселенная состоит из вещества, а антивещество во Вселенной в космических масштабах отсутствует.
Длительное время считалось, что закономерности физических процессов с частицами и античастицами одинаковы. В частности, полагалось, что для античастиц, как и для частиц, имеет место зеркальная симметрия, состоящая в том, что если возможен какой-либо процесс, то возможен и процесс, являющийся его зеркальным изображением. В конце пятидесятых—начале шестиде
Современная физическая картина мира
547
сятых годов было установлено, что в процессах со слабым фундаментальным взаимодействием зеркальная симметрия не выполняется, но характер ее нарушения неодинаков для частиц и античастиц.
В заключение укажем, как сейчас объясняется превалирование во Вселенной вещества над антивеществом. Непосредственно после большого взрыва, в результате которого возникла Вселенная, существовали частицы, называемые лептокварками и их античастицы. Все они под влиянием очень высокой начальной температуры Вселенной распадались на кварки и антикварки, лептоны и антилептоны. Вследствие вышеотмеченного различия в свойствах частиц и античастиц эти распады были несимметричны и в результате кварков и лептонов образовалось больше, чем антикварков и антилептонов. Это и определило будущий состав Вселенной.
6.4.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Элементарными частицами в современной физике называются микрочастицы, представляющие собой простейшие формы материальных структур до уровня атомных ядер за исключением ядра водорода, также являющегося элементарной частицей-протоном. Из этого определения следует, что понятие элементарности частиц не связывается с представлением об их бесструктурности и не исключает возможность того, что эти частицы состоят из совокупности других частиц.
В основе первичной классификации элементарных частиц лежит их участие в фундаментальных взаимодействиях. Как уже неоднократно упоминалось, в природе существует четыре вида таких взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Все виды взаимодействий сводятся к этим четырем видам. По этой причине их называют фундаментальными взаимодействиями. Интенсивность каждого вида взаимодействий характеризуется безразмерной величиной, называемой константой взаимодействия. Еще одной характеристикой является наибольшее расстояние, на котором осуществляется взаимодействие. Это расстояние называется радиусом действия соответствующих сил.
Сильное взаимодействие в виде эффективного взаимного притяжения протонов и нейтронов обеспечивает связь нуклонов в атомных ядрах и стабильность ядер.
548
Раздел 6
Вследствие очень высокой интенсивности сильных взаимодействий с ними связана большая энергия. Реакции термоядерного синтеза обусловлены именно этими взаимодействиями. Протекание таких реакций в недрах Солнца и звезд создает их свечение. Константа сильного взаимодействия по порядку величины равна 10, а радиус действия 1013 см.
Электромагнитное взаимодействие имеет место между частицами, обладающими электрическими зарядами и магнитными моментами. Это взаимодействие, обеспечивая связь атомарных электронов с ядром, обусловливает существование атомов. Электромагнитное взаимодействие между атомами обусловливает существование молекул и макроскопических тел. Электромагнитные взаимодействия между молекулами и ионами лежат в основе существования и деятельности клеток живых организмов. Константа электромагнитных взаимодействий имеет порядок 10-2. Это взаимодействие является дальнодействующим и его радиус следует считать бесконечным.
Слабое взаимодействие проявляется в распадах и взаимных превращениях элементарных частиц. Большинство известных частиц участвует в этом взаимодействии. Слабое взаимодействие сложнее электромагнитного. Если электромагнитное взаимодействие не изменяет природу частиц, то слабое взаимодействие превращает взаимодействующие частицы в частицы другого вида. Например, при слабом взаимодействии нейтрона и нейтрино возникают новые частицы — протон и электрон. Слабые взаимодействия иногда проявляются и в космических явлениях. При гравитационном коллапсе массивных звезд в их недрах за счет взаимных превращений частиц образуется чрезвычайно большое количество нейтрино. Извергаемые из недр звезды нейтринные потоки, несмотря на то, что нейтрино присущи только слабы’е взаимодействия, сбрасывают внешние слои звезды, превращая их в облака космического газа. При этом звезда в течение некоторого времени очень ярко светится. Такие явления называются взрывами сверхновых. Константа слабого взаимодействия имеет порядок 10”, радиус взаимодействия — 10 '6 см.
Гравитационные взаимодействия между элементарными частицами очень слабы по сравнению с другими видами взаимодействий и потому они в микроявлениях
Современная физическая картина мира
549
не играют заметной роли. Характерная особенность гравитации состоит в ее универсальности — она присуща всем частицам. Поэтому с увеличением числа частиц в теле пропорциональным образом возрастает уровень гравитационных взаимодействий этого тела с окружением. В результате гравитационные взаимодействия оказываются определяющими в космических системах, они определяют эволюцию этих систем. В современной физике в соответствии с общей теорией относительности Эйнштейна гравитация рассматривается не как силовое поле, а как искривление четырехмерного пространства—времени, чем и объясняется универсальность гравитации. Константа гравитационного взаимодействия имеет порядок 10-3®. Поскольку это взаимодействие является дальнодействующим, его радиус надо считать бесконечным.
Как было отмечено выше, в основе первичной классификации элементарных частиц лежит их участие в фундаментальных взаимодействиях. Частицы, которым присущи сильные взаимодействия, образуют класс адронов. Адроны обладают также слабым и гравитационным взаимодействиями. Адроны, у которых есть электрический заряд, участвуют и в электромагнитных взаимодействиях. С учетом нестабильных частиц в классе адронов содержится несколько сотен частиц.
Ко второму классу частиц, называемых лептонами, относятся частицы, которым присущи слабые взаимодействия и исключены сильные взаимодействия. Лептоны, имеющие электрический заряд, участвуют также в электромагнитных взаимодействиях. Класс лептонов сравнительно небольшой, с учетом античастиц он содержит двенадцать видов частиц.
Элементарные частицы характеризуются рядом параметров, имеющих дискретные значения и часто называемых квантовыми числами. Две характеристики — масса частицы и время ее жизни не квантуются. Полная энергия частицы и ее масса, связаны между собой релятивистским соотношением W - тос2/ *1 —  Существует с
частица, движущаяся со скоростью света с. Это фотон. Для
фотона '1 - но IF=/!D — конечная величина, следова-с~
тельно, т0 = О. Это означает, что понятие инертности для
550
Раздел 6
фотона лишено смысла. Его нельзя ускорить или замедлить внешней силой. Он рождается сразу со скоростью V = С. Тем не менее у фотона, как у любой частицы, импульс отличен от нуля. Это видно из релятивистской связи между энергией и импульсом W = у1сгрг + /ПдС4 = ср. К частицам с нулевой массой относятся также нейтрино и антинейтрино. Такие частицы существуют только в движении со скоростью света. Заметим, что имеются экспериментальные данные, не получившие пока окончательного подтверждения, о том, что нейтрино имеют хотя и очень малую, но отличную от нуля массу. В классе лептонов представлены частицы с малыми и нулевыми массами, за исключением таулептона, масса которого составляет около 3500 электронных масс. К классу адронов принадлежат частицы со сравнительно большими массами. Адроны подразделяются на барионы и мезоны, в свою очередь барионы подразделяются на нуклоны и гипероны. Что лежит в основе этих подразделений, будет указано ниже.
Большинство известных на сегодня элементарных частиц обладает электрическим зарядом. Их электрический заряд по величине кратен заряду электрона и изменяется у разных частиц в узких пределах.
Элементарные частицы характеризуются также величиной спина. Их спиновые числа имеют значения 0, 1/2, 1, 3/2 и 2. Напомним, что коллективные свойства частиц с полуцелыми спиновыми числами выражены квантовой статистикой Ферми-Дирака. Такие частицы называются фермионами и для них имеет место принцип Паули. Частицы с целочисленными спиновыми числами описываются квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна и называются бозонами. Спиновые числа лептонов и барионов равны 1/2, следовательно, они являются фермионами. Спиновые числа мезонов равны 0, поэтому они являются бозонами.
Важной характеристикой элементарных частиц является время жизни. В зависимости от времени жизни частицы подразделяются на стабильные, квазистабильные и нестабильные, называемые обычно резонансами. К стабильным относятся частицы, для которых пока не зарегистрированы спонтанные распады. Их теоретические времена жизни более 1О20 лет. Такими являются электрон, протон, фотон и нейтрино. К квазистабильным относятся частицы, распад которых происходит за счет
Современная физическая картина мира
551
слабых и электромагнитных взаимодействий. Их времена жизни заключены в интервале (10 20—10 ®) с. К этой категории относятся часть гиперонов и часть мезонов. Квазистабильным является также нейтрон в свободном состоянии; однако время его жизни около 1000 с, что значительно превышает времена жизни других метаста-бильных частиц. Времена жизни резонансов заключены в интервале (10“24—10 22) с. Их распады обусловлены сильными взаимодействиями. Часть резонансов входит в состав мезонов и часть в состав гиперонов.
Некоторые адроны могут быть объединены в небольшие группы, называемые изотопическими мультиплетами. Частицы, образующие такую группу, формально можно рассматривать как различные квантовые состояния одной частицы. Примером может служить пионный триплет, состоящий из нейтрального, положительного и отрицательного пи-мезонов. Мультиплет характеризуется квантовым числом J, которое может принимать целые и полуцелые значения и называется изотопическим спином. Заметим, что аналогия с действительным спином здесь чисто формальная. Число частиц в мультиплете равно 2J + 1. Характеристики этих частиц определяются значениями величины, которую формально можно интерпретировать как спиновую проекцию.
Для описания взаимных превращений элементарных частиц оказалось целесообразным ввести две величины, сохраняющиеся при этих превращениях. Эти величины получили названия барионного и лептонного зарядов. Они выражаются безразмерными числами: +1 для частиц и —1 для античастиц. Если во взаимных превращениях участвуют барионы и антибарионы, то при этом сохраняется алгебраическая сумма барионных зарядов. Это означает, что барионы могут превращаться в другие, небарионные частицы только при аннигиляциях с антибарионами. При всех превращениях одни барионы превращаются в другие при сохранении общего числа барионов. Аналогичная ситуация имеет место и с лептонными зарядами.
Путем экспериментальных исследований было установлено, что среди барионов и мезонов есть частицы, образование которых обусловлено сильными взаимодействиями и которые возникают только парами. Неожиданным оказалось то, что в отличие от образования, распад этих частиц происходит не за счет сильных, а за счет
552
Раздел 6
слабых взаимодействий, что делает распад значительно менее вероятным, чем образование. Такие частицы назвали странными и для теоретического описания их свойств было введено квантовое число S, названное странностью и принимающее значения О, ±1, ±2 и ±3. При взаимных превращениях с участием странных частиц сохраняется алгебраическая сумма этих чисел.
Аналогичным образом для некоторых адронов вводятся еще два аддитивных квантовых числа «с» и «Ъ», называемых очарованием и красотой. Алгебраические суммы этих чисел сохраняются в сильных и электромагнитных взаимодействиях. ,Частицы с этими числами называются очарованными и красивыми.
Таким образом, при взаимных превращениях элементарных частиц выполняются законы сохранения: энергии, массы, импульса, момента импульса, электрического заряда, барионного и лептонного зарядов, квантовых чисел странности, очарования и красоты.
6.5.	КВАРКИ, ЛЕПТОНЫ
И КВАНТЫ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ КАК ОСНОВА КЛАССИФИКАЦИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
До недавнего времени в физике существовали значительные затруднения в объяснении весьма большого многообразия элементарных частиц в классе адронов и их роли в микромире. Эти затруднения были устранены идеей о том, что все адроны образованы из наборов других элементарных частиц, получивших название кварков.
В.настоящее время для объяснения существования всех известных адронов введены шесть видов кварков. Для различия этих видов использовано название ароматов. Приводим обозначения и названия кварковых ароматов: (up — верхний), (down — нижний), (strange — странный), (charmed — очарованный), (beauty — прелестный), (true — истинный). Каждому аромату кварков соответствуют антикварки. В таблице 6.1 приведены значения квантовых чисел кварков и антикварков. Каждому из шести ароматов соответствуют три возможных цвета. Для кварков такими цветами являются красный, желтый и синий. Для антикварков цвета являются дополнительными к цветам соответствующих кварков, то есть совокупность цветов кварка и антикварка соответствует белому цвету. Такими дополнительными цветами
Современная физическая картина мира
553
являются зеленый, фиолетовый и оранжевый. Конечно, под цветностью кварков и антикварков понимается одно из квантовых чисел, характеризующих состояния этих частиц, а цветами называются возможные значения этого числа. Заметим, что в отличие от ранее существовавшего представления о неделимости и элементарности электронного заряда, кваркам потребовалось приписать электрические заряды, равные 1/3 и 2/3 величины заряда электрона (см. табл. 6.1). •
Кварки могут объединяться друг с другом только двумя способами: либо тройками, либо парами кварк— антикварк. При этом суммарный цвет объединения должен быть белым. Все барионы состоят их трех кварков, а все мезоны из пар кварк-антикварк. Кварки и антикварки адронов связаны между собой сильными взаимодействиями. Сильные взаимодействия между адронами представляют собой взаимодействия между кварками, образующими эти адроны. Кварки внутри адронов могут находиться в возбужденных состояниях с весьма большими энергиями возбуждения, что в соответствии с релятивистской формулой W = тс2 приводит к значительному увеличению массы адронов. До создания кварковой модели такие возбужденные адроны воспринимались как новые виды частиц и только на основе теории кварков было уяснено, что это разные состояния одних и тех же частиц.
Таблица 6.1						
Аромат	Элект- рический заряд	Барионный заряд	Спин	Странность	Очарование	Цвет
Кварки						
и	+2/3	+1/3	1/2	0	0	Красный, желтый, синий
d	-1/3	+1/3	1/2	0	0	
S	1/3	+1/3	1/2	-1	0	
1 с	2/3	+1/3’	1/2	0	+1	
ь	1/3	+1/3	1/2	0	0	
t	+2/3	+1/3	1/2	0	0	
Антикварки						
554
Раздел 6
Помимо сильных, кваркам присущи также слабые взаимодействия, за счет которых могут изменяться ароматы кварков, что обычно сопровождается распадом адронов. Например, кварковый состав нейтрона udd, а протона — uud. За счет слабого взаимодействия d-кварк в нейтроне превращается в u-кварк, при этом образуются и испускаются электрон и электронное антинейтрино, а нейтрон превращается в протон.
Эксперименты показали, что кварки могут существовать только внутри адронов и не наблюдаются в свободном состоянии. Такая ситуация получила название конфайнмента {confinement — заключение). Причиной конфайнмента является очень своеобразная зависимость сил взаимодействия между кварками от расстояния между ними. При очень малых расстояниях эти силы весьма малы и кварки оказываются почти свободными. Об этом говорят как об асимптотической свободе. При увеличении расстояния силы взаимодействия очень быстро возрастают, не позволяя кваркам разойтись с выходом из адрона. Эти силы подобны силе натяжения пружины, которая равна нулю в нерастянутом состоянии пружины и которая возрастает с увеличением ее растяжения.
На основе теории кварков не только произведена обоснованная классификация известных адронов, но и предсказано существование новых адронов. Например, было предсказано и затем экспериментально подтверждено существование О — гиперонов.
Имеются также экспериментальные данные, непосредственно подтверждающие кварковое строение адронов. Рассеяние электронов очень высоких энергий на протонах показало наличие внутри протонов трех рассеивающих центров с зарядами, равными 1/3 и 2/3 заряда электрона, что соответствует кварковой модели протона.
Как уже отмечалось, наряду с адронами существует второй класс элементарных частиц, называемых лептонами. Лептоны участвуют в слабых взаимодействиях и не участвуют в сильных. У лептонов пока не выявлено наличие внутренней структуры и потому лептоны считаются элементарными бесструктурными объектами точечного типа. Список лептонов приведен в таблице 6.2. Выдающуюся роль в существовании нашей планеты и жизни на ней играют электроны. Мюоны довольно широко представлены в природе,
Современная физическая картина мира
555
они составляют значительную часть космического излучения, регистрируемого на поверхности Земли. В конце 70-х годов был открыт т-лептон, оказавшийся частицей с весьма большой массой, необычной для лептонов, но по свойствам относящийся к лептонам. Как видно из таблицы, три перечисленных вида лептонов обладают электрическими зарядами, равными электронному заряду. Поэтому наряду со слабыми взаимодействиями они участвуют в электромагнитных взаимодействиях. Конечно, у всех приведенных в таблице лептонов есть соответствующие античастицы, которые в таблице не приведены. Поэтому всего известно 12 видов лептонов.
Каждому лептону из рассмотренной тройки соответствует нейтрино, рождающееся совместно с этим лептоном. Нейтрино, не имея электрического заряда, не участвуют ни в сильном, ни в электромагнитном взаимодействиях. В результате они обладают огромной проникающей способностью. Например, нейтрино с энергией около 1 МэВ имеет длину пробега в свинце порядка 1020 см, что составляет около 100 световых лет. Естественно, что нейтрино безвредны для живых организмов.
Весьма важная особенность нейтрино состоит в том, что они являются самыми распространенными частицами во Вселенной. Их число примерно в 10® раз превосходит число электронов и протонов. Группой советских физиков в 1980 г. была завершена серия экспериментальных исследований, результаты которых привели к предположению о том, что нейтрино имеют
	Лептоны	Таблица 6.2	
Название лептоиов	Обозначения	Масса	Заряд
Электрон	ё~	1	-1
Мюон	р	206,7	1
Тау-лептон	т	3536,0	1
Электронное нейтрино	Vf	0	0
Мюонное нейтрино	VM	0	0
Тау-нейтрино	VT	0	0
556
Раздел 6
Таблица 6.3|
Фундаментальные взаимодействия
Вид взаимодействия	Название частицы-переносчика	Заряд	Масса
Электромагнитное	Фотон	0	0
Гравитационное	Гравитон	0	0
Слабое	И^-частицы Z-частицы	±1 0	85 95
Сильное	Глюон	0	0
хотя и весьма малую, но отличную от нуля массу. Если это действительно так, то вследствие огромной распространенности нейтрино во Вселенной их общая масса превышает суммарную массу всех звезд и они вносят основной вклад в космическую гравитацию. Как будет ясно из параграфа «Физические аспекты современной космологии», это может привести в будущем к гравитационному сжатию (коллапсу) Вселенной. Нейтрино и антинейтрино различаются знаками спиральности. У нейтрино спиральность отрицательна, у антинейтрино положительна.
В параграфе «Физический вакуум» было сказано, что все виды взаимодействий между элементарными частицами осуществляются посредством виртуальных частиц-переносчиков взаимодействий. В таблице 6.3 приведен список частиц-переносчиков фундаментальных взаимодействий. Масса этих частиц выражена в единицах массы протона.
Переносчиками электромагнитных взаимодействий являются виртуальные фотоны. Они отличаются от легкорегистрируемых реальных фотонов очень малым временем существования. В физике создана высокосовершенная теория электромагнитных взаимодействий между частицами, осуществляемых посредством виртуальных фотонов. Эта теория, называемая квантовой электродинамикой, удовлетворяет принципам как квантовой физики, так и теории относительности. Оснащенная совершенным математическим аппаратом, квантовая электродинамика не только объяснила многие опытные факты, но и предсказала ряд новых явлений, полностью подтвержденных последующими эксперимен
Современная физическая картина мира
557
тами. Особую роль в этих предсказаниях сыграли смещение уровней атома водорода и поправка к собственному магнитному моменту электрона, обусловленные действием виртуальных фотонов.
Переносчиками гравитационных взаимодействий между частицами являются виртуальные гравитоны, имеющие нулевую массу и существующие только в движении со скоростью света. Как и фотоны, гравитоны могут быть виртуальными и реальными. Реальные гравитоны— это кванты гравитационных волн и они, в отличие от виртуальных гравитонов, в принципе, могут быть зарегистрированы. Но из-за чрезвычайной слабости гравитационных взаимодействий их пока уверенным образом зарегистрировать не удалось.
Соотношение неопределенностей Гейзенберга в применении к виртуальным переносчикам взаимодействий имеет вид Wz. > h, где W — энергия переносчика, at — время его существования. Радиус слабых взаимодействий весьма мал, следовательно, весьма малым является и время жизни переносчиков этих взаимодействий, но тогда должны быть значительными их энергии и массы, что и отражено в таблице 6.3. Переносчиками слабых взаимодействий являются так называемые промежуточные векторные бозоны — Ил+, W и Z частицы; Z — бозон по своим свойствам, за исключением наличия массы, подобен фотону.
Переносчиками сильных взаимодействий между кварками являются глюоны. Их особенность состоит в том, что они способны связывать в единую устойчивую систему не только два, но и три кварка.
Таким образом, на сегодня может быть принята следующая классификация частиц, рассматриваемых как действительно элементарные: кварки, лептоны и переносчики фундаментальных взаимодействий.
В заключение отметим, что совсем недавно группой американских физиков, работающих на самом мощном в мире ускорителе частиц в лаборатории имени Ферми под Чикаго, на основе проведенных ими экспериментальных исследований было высказано предположение, что кварки, по-видимому, имеют внутреннюю структуру и образованы из более мелких частиц. Но это пока предположение, еще не получившее достаточно убедительного подтверждения.
558
Раздел 6
6.6.	ФИЗИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ СОВРЕМЕННОЙ космологии
Целью настоящего параграфа является краткое изложение представлений о происхождении, эволюции и будущем Вселенной с точки зрения концепций современной физики.
В настоящее время общепринятой моделью происхождения Вселенной является так называемая «модель большого взрыва». Эта модель вытекает из уравнений общей теории относительности и находит ряд- серьезных подтверждений в наблюдательной астрономии и астрофизике. В соответствии с этой моделью, до взрыва вся материя Вселенной была сконцентрирована в одной исходной точке, в которой плотность материи и энергии и кривизна пространства—времени были бесконечны. Последнее означает, что пространство—время было свернуто в точку, т. е. до взрыва не существовало ни времени, ни пространства и потому лишен смысла вопрос о том, что было до большого взрыва. Такая точка называется космологической сингулярностью. В ней утрачивают силу все законы физики и разговоры о свойствах материи в этой точке оказываются за пределами рассматриваемой теории. Оценки, основанные на данных о движении галактик, приводят к выводу, что большой взрыв произошел от 10 до 20 миллиардов лет назад.
Распределение материи в наблюдаемой Вселенной в достаточно больших масштабах расстояний между скоплениями галактик близко к однородному. Наиболее просто и естественно такое распределение вписывается в рассматриваемую модель, если принять, что большой взрыв создал однородное первоначальное распределение материи. Следует отметить, что недавно предложена теория, позволяющая объяснить неоднородность Вселенной в «малых» масштабах. В этой теории принято, что на первых порах расширение Вселенной было чрезвычайно быстрым и не строго однородным. Эта теория, называемая теорией инфляции, удовлетворительно объясняет эволюцию Вселенной в период 10 43—10 86 с и обосновывает возможность того состояния Вселенной, которое принимается в теории большого взрыва в качестве начального.
Сразу после взрыва материя, представленная веществом и излучением, была в очень горячем состоянии с температурой порядка 1082 К. Затем началось расши-
Современная физическая картина мира
559
рение Вселенной с убывающей скоростью. Это расширение носит изотропный характер и проявляется в том, что галактики и галактические скопления удаляются друг от друга со скоростями, пропорциональными расстояниям между ними (закон Хаббла):
Постоянная Хаббла Н равна 75 км с^ Мпк1. Если R измеряется в Мпк, то v выражается в км/с (1 Мпк ® = 3,1-1019 км). В астрофизике скорости галактик относительно Земли определяются по красному смещению спектральных линий в их изучении в соответствии с эффектом Доплера.
Расширение Вселенной сопровождается ее охлаждением за счет работы против сил взаимного гравитационного притяжения ее частей. Охлаждению сопутствует изменение образующих Вселенную материальных частиц. Это изменение происходило особенно быстро в начальной стадии, когда скорость расширения была весьма велика. В условиях очень высоких начальных температур столкновения частиц сопровождались множественным рождением пар частица—античастица. Часть этих пар затем аннигилировала, но скорость рождения превышала скорость аннигиляции. По мере охлаждения это соотношение постепенно изменялось, и аннигиляция стала преобладать над рождением.
В первые микросекунды после большого взрыва, по-видимому, существовали свободные кварки в виде кварк-глюонной плазмы. Далее произошло объединение кварков в нуклоны. По прошествии 1 секунды температура Вселенной стала порядка 10 миллиардов К. Материя была представлена, в основном, фотонами, электронами, нейтрино и их античастицами. В относительно меныпих количествах присутствовали протоны и нейтроны. Преобладающую роль играла аннигиляция с образованием новых фотонов, быстро уменьшавшая число частиц. Аннигиляция, однако, не распространялась в заметной мере на нейтрино и антинейтрино из-за слабости их взаимодействия между собой и с другими частицами. Поэтому во Вселенной и в настоящее время существуют в больших количествах «реликтовые» нейтрино, оставшиеся от времен большого взрыва. К сожалению, та же слабость взаимодействий сильно ограничивает возможность получения информации об этих частицах.
560
Раздел 6
Через время около 100 секунд после взрыва температура Вселенной понизилась до 1 миллиарда К. При таких температурах сильные взаимодействия уже способны противостоять тепловому движению. Поэтому из протонов и нейтронов образуются дейтроны и ядра гелия.
Далее в течение длительного времени существенных изменений в расширяющейся Вселенной не происходило. Лишь через 10 миллионов лет, когда температура упала до нескольких тысяч К, электромагнитные взаимодействия между свободными электронами и легкими ядрами сделали возможным образование атомов водорода и гелия. Основным компонентом Вселенной становится нейтральный газ.
В ходе последующего расширения усилились первичные неоднородности в распределении материи и возникали местные отклонения плотности газа. В области с повышенной плотностью под действием гравитационного притяжения стекался газ из смежных областей. В результате, до этого сплошная, Вселенная распалась на обособленные, пространственно разделенные области — галактики. Некоторые из них под действием стекающихся газовых масс получили вращение и приняли дискообразную форму. Галактики без вращения обычно имеют овальную форму.
Состоящий из водорода и гелия газ внутри галактик за счет случайных неоднородностей и гравитационных сил со временем распался на отдельные газовые облака, называемые протозвездами. Массы таких протозвезд весьма велики, поэтому гравитационное поле внутри них и, особенно на поверхности, очень сильное. Под действием гравитационных сил происходит сжатие протозвезды. Гравитационное поле протозвезды быстро нарастает, поскольку ее радиуе уменьшается при неизменной массе. Работа сил гравитационного сжатия принимает форму кинетической энергии радиально сходящегося движения газа. За счет внутреннего трения между слоями сжимаемого газа эта энергия диссипирует в энергию теплового движения атомов, что ведет к быстрому разогреву протозвезды. Когда температура достигает десятков миллионов градусов, в ее недрах возбуждаются термоядерные реакции слияния ядер водорода с образованием гелия. С этого момента протозвезду называют звездой. Выделение внутри звезды термоядерной энергии приводит к
Современная физическая картина мира
561
возникновению весьма высокого теплового давления, которое противостоит гравитационному сжатию и останавливает коллапс на время около 10 млрд, лет — до полного выгорания водорода. Заметим, что наше Солнце находится где-то в середине такой стадии — синтез водорода в гелий длится на Солнце около 5 млрд. лет.
После выгорания водорода давление внутри звезды падает. Вновь происходит сжатие, сопровождаемое ростом температуры. Когда температура достигает сотен миллионов градусов, в недрах звезды зажигается реакция синтеза гелия с образованием углерода. В меньших количествах образуются также кислород и кремний. Давление внутри звезды снова возрастает, и дальнейшее сжатие прекращается. Эта стадия длится около 5 млрд, лет. Затем вновь звезда сжимается, и температура повышается до таких значений, при которых возникают реакции выгорания углерода с синтезированием ядер тяжелых элементов. В этот период, длящийся несколько сотен миллионов лет, звезды неустойчивы — они раздуваются, сжимаются, выбрасывают в космос мощные потоки газа. Звезды с большой массой обычно завершают эту стадию грандиозным взрывом, сбрасывая значительную часть своей массы. Яркость звезды на короткое время превосходит общую яркость всей галактики, членом которой она является. Такое явление называется «взрывом сверхновой», его механизм пока неизвестен. Из выброшенного при взрывах вещества формируются звезды второго поколения и межзвездная среда иного состава. Предполагается, что именно взрывы сверхновых являются источником поступления тяжелых элементов в космос.
После завершения термоядерных реакций остатки звезды вновь испытывают сжатие, в ходе которого разрушаются электронные оболочки атомов и образуется весьма плотная смесь голых ядер и свободных электронов. Электронная компонента образует вырожденный электронный газ с большим внутренним давлением. Если масса остатков звезды М < 1,25 Мс, где Мс — масса Солнца, это давление предотвращает дальнейшее сжатие. Возникает устойчивое образование, называемое белым карликом, с плотностью около 60 т/см3.
Если же масса звезды М < 1,25 Мс, то давление вырожденного электронного газа не в состоянии уравновесить силы гравитационного сжатия, и коллапс продолжается. 19 Зак. №845
562
Раздел 6
Достигается столь высокая плотность вещества, при которой свободные электроны вдавливаются в ядра и, объединяясь с протонами, превращают их в нейтроны. Совокупность таких нейтронов образует вырожденный нейтронный газ, обладающий чрезвычайно большим давлением. Это давление останавливает коллапс; возникает устойчивое образование с плотностью около 2 млрд.
называемое нейтронной звездой. Нейтронные звезды имеют малые размеры 15-20 км в поперечнике и обычно совершают быстрое вращение (со скоростью примерно около 1 оборота в секунду). Некоторые из них обладают сильными магнитными полями, взаимодействие которых с окружающим веществом сопровождается излучением радиоволн, регистрируемых на Земле в виде регулярных импульсов. Такие объекты получили название пульсаров.
Если М > ЗМС, то давление вырожденного нейтронного газа неспособно остановить дальнейшее сжатие. В таких условиях вообще не существует известных нам сил в природе, способных противостоять гравитационному сжатию. Наступает гравитационный коллапс. Звезда стягивается в точку с бесконечной плотностью вещества и бесконечной кривизной пространства-времени. То есть образуется так называемая сингулярность со свернутым пространством-временем. Вокруг сингулярности возникает гравитационно замкнутая область, ограниченная сферической поверхностью радиусом от нескольких километров до десятков километров, называемая горизонтом событий. Все материальные объекты, включая свет, попавшие внутрь этой поверхности, действием очень сильного гравитационного поля затягиваются в сингулярность и, как таковые, исчезают из Вселенной. Такие космические образования получили название черных дыр. Не следует рассматривать поглощение объектов в черной дыре как уничтожение материи. Такое поглощение сопровождается усилением гравитационного поля, создаваемого сингулярностью, т. е. поглощенные объекты не исчезают бесследно. По-видимому, в сингулярности материя существует в какой-то другой, неизвестной нам форме. Свернутость пространства-времени говорит о неприменимости известных нам законов физики к таким материальным формам.
Существует ряд фактов в наблюдательной астрономии, которые наиболее простым и естественным образом
Современная физическая картина мира
563
могут быть объяснены, если признать реальное существование черных дыр во Вселенной. В основе этих фактов лежит действие сильного гравитационного поля, создаваемого сингулярностью на движение окружающих космических тел. Кроме того, поле притягивает и ускоряет до очень больших скоростей потоки газа и космической пыли. Столкновения между частицами в таких потоках сопровождаются мощным рентгеновским излучением, регистрируемым с помощью искусственных спутников Земли.
Наряду с возникновением черных дыр во Вселенной имеет место и их исчезновение. Вблизи сингулярности, как и в любой области физического вакуума, имеют место квантовые флуктуации в виде виртуальных пар частица—античастица. В условиях очень сильного гравитационного поля эти частицы за счет поглощенной от поля энергии совершают переход из виртуального состояния в реальное. В соответствии с релятивистской взаимосвязью массы и энергии поглощению энергии от поля сопутствует получение определенной массы от источника этого поля — сингулярности. Таким образом, часть связанной с сингулярностью массы принимает форму массы элементарных частиц, перешедших в реальное состояние. Если бы эти частицы были классическими, то гравитационное поле внутри горизонта событий представляло бы для них заведомо непроходимый потенциальный барьер. Поскольку, однако, они квантовые, для них имеет место туннельный эффект. Частицы постепенно просачиваются через барьер и уходят в окружающий космос, что, в конце концов, приводит к полному испарению черной дыры.
Коллапсу могут подвергаться не только отдельные звезды, но и центральные области галактик. При этом образуются черные дыры с массами от сотен тысяч до сотен миллионов солнечных масс. По-видимому, такая черная дыра имеется и в центре нашей Галактики.
Далее перейдем от эволюции звезд к эволюции Вселенной как целого. Современные модели такой эволюции следуют из решения уравнений общей теории относительности, полученного советским математиком А. А. Фридманом. В условиях, когда распределение материи однородно и ее движение изотропно, оказываются возможными две различных модели эволюции, выбор между которыми определяется соотношением
564
Раздел 6
средней плотности материи во Вселенной и так называемой критической плотности.
Если средняя плотность больше критического значения, то начавшееся после большого взрыва расширение Вселенной сменится ее сжатием и последующим схлопыванием — так называемый большой хлопок. В этой модели Вселенная конечна, замкнута, пространство имеет положительную кривизну и описывается геометрией Римана. Будучи замкнутой, Вселенная не имеет границ и имеет конечный объем, за пределами которого пространство не существует. Двухмерным аналогом такого пространства может служить сфера. Подобная модель Вселенной называется закрытой.
Если средняя плотность материи меньше критической, то расширение Вселенной будет продолжаться вечно. Скорость расширения, убывая после большого взрыва, стремится к некоторому конечному пределу. В этой модели Вселенная бесконечна, пространство имеет отрицательную кривизну и описывается геометрией Лобачевского. Двухмерным аналогом такого пространства является гиперболический параболоид, имеющий форму седла. Эта модель Вселенной называется открытой.
Если средняя плотность равна критическому значению, то, как и в предыдущей модели, расширение Вселенной будет продолжаться вечно. Однако скорость расширения теперь будет асимптотически стремиться к нулю. Вселенная в этой модели бесконечна, пространство неискривлено, т. е. является плоским и описывается геометрией Евклида.
Естественно, что один из главных вопросов космологии состоит в том, какая из этих моделей реализуется во Вселенной. Как средняя, так и критическая плотности материи убывают в ходе расширения. Оценка критической плотности не представляет большого труда; в настоящее время ее значение около 8 • 1О 30 г/сл«3. Наоборот, оценка средней плотности сопряжена с большими трудностями и не дает надежных результатов. Наблюдения за движением звезд в галактиках показывают, что действительная масса галактик значительно больше, чем суммарная масса наблюдаемых светящихся объектов в этих галактиках. То есть часть галактических масс, иногда до 90%, представлена в темном, непосредственно ненаблюдаемом состоянии. Большие трудности возникают также при оценке массы межгалактического газа, диффузно
Современная физическая картина мира
565
рассеянного по Вселенной. Наконец, остается неясным вопрос о массе покоя нейтрино. До недавнего времени считалось, что нейтрино — безмассовая частица. В экспериментах 1980 года советскими физиками была обнаружена малая, но отличная от нуля, масса нейтрино (см. п. 6.5). Однако до сих пор этот результат не получил подтверждения. Напомним, что остаточных нейтрино во Вселенной весьма много, и наличие у них даже весьма малой массы покоя может существенно повлиять на среднюю плотность материи во Вселенной.
Выполненные на сегодняшний день оценки средней плотности приводят к значениям, лежащим в пределах от 2 • 10 31 до 5 • 10-31 г/см?, что ъолее чем на порядок меньше критического значения. Это соответствует модели бесконечной Вселенной с вечным расширением и отрицательной кривизной пространства. Следует, однако, иметь в виду недостаточную надежность этого результата.
Далее коротко остановимся на происхождении солнечной системы, Земли и жизни на ней. Как уже отмечалось, при взрывах сверхновых в космос выбрасываются большие массы вещества, из которого формируются звезды последующих поколений. Помимо водорода и гелия, в этом веществе представлены и тяжелые элементы. Наше Солнце, являясь звездой второго или третьего поколения, образовалось около пяти миллиардов лет назад из облака вращающегося газа, выброшенного при таких взрывах. По одной из существующих гипотез планетообразования, из небольшой части этого газа, состоящей, в основном из тяжелых элементов и обособившейся от остальной массы облака, сформировались планеты и в их числе — наша Земля. Сначала Земля была горячей и не имела атмосферы. При последующем остывании из образующих ее горных пород выделялись газы, образовав первичную атмосферу, лишенную кислорода. По-видимому, в этот период в водных акваториях возникли начальные примитивные формы жизни в виде макромолекул, обладавших способностью извлекать из окружающей среды необходимые атомы и создавать из них структуры, подобные самим себе. То есть такие макромолекулы были способны к самовоспроизведению и размножению. В ходе эволюции и естественного отбора на основе макромолекул создавались все более сложные структуры вплоть до простейших живых организмов.
566
Раздел 6
6.7.	ВЕЩЕСТВО В УСЛОВИЯХ ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЕЙ, ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
И В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Рассмотрим свойства вещества в разных интервалах его плотности. При р < 50 • 103 кг/ж3 электронные оболочки атомов еще не перекрываются, поэтому физико-химические свойства веществ находятся в соответствии с периодическим законом Менделеева. В интервале 50 - 103 кг/м3 < р < 500  103 кг/ж3 происходит взаимное внедрение электронных оболочек атомов, что существенно изменяет структуры этих оболочек и вещества утрачивают присущие им физико-химические свойства. В интервале 500 • 103 кг/ж3 < р < 1015 кг/м/ происходит разрушение электронных оболочек, электроны становятся свободными и коллективизированными и в совокупности образуют вырожденный электронный газ, описываемый квантовой статистикой Ферми—Дирака. При плотностях р > 2 • 10® кг/ж3 энергии большей части электронов превышают их энергии покоя, поэтому эта область плотностей называется областью релятивистского вырождения. При плотностях, превышающих в зависимости от состава ядер значения (IO10—1013) кг/м3, электроны высоких энергий становятся способными воздействовать на ядерные протоны, превращая их в нейтроны. Такие превращения сопровождаются распадом ядер и образованием свободных нейтронов, которые вблизи плотности 1015 гсг/ж3 образуют вырожденный нейтронный газ.
В интервале 1016 кг/м3 < р < 1017 кг/м? вещество состоит преимущественно из нейтронов, находящихся на близких расстояниях друг от друга и поэтому эффективно взаимодействующих между собой. В результате свойства вещества теперь определяются не свойствами нейтронов, взятых в отдельности; а коллективными свойствами их совокупности, образовавшей подобие гигантского ядра.
В интервале 1017 кг/м3 < р < 1019 кг/м3 наряду с нейтронами и малым количеством электронов и протонов появляются многие другие виды элементарных частиц. Они возникают при столкновениях и распадах исходных частиц высоких энергий.
Современная физическая картина мира
567
Особую чисто теоретическую роль играет значение плотности р? = 5 • 109в кг/м3. Это значение получается путем комбинации трех мировых, постоянных: постоянной Планка h, скорости света с и гравитационной постоянной G. Их комбинация, имеющая размерность плотности, дает:
р = -Ц = 5  109в ™
М?2	-и3
Была высказана идея, что при такой плотности гравитационные взаимодействия между частицами весьма сильны и потому выражен квантовый характер гравитации, представленный тем, что гравитационные взаимодействия осуществляются путем обмена гравитонами — квантами гравитационного поля. Но, как уже указывалось, в общей теории относительности гравитация выражена искривлением четырехмерного пространства-времени. Поэтому квантовый характер гравитации означает квантованность пространства-времени, то есть дискретность его структуры. Однако завершенной теории квантованности пространства-времени на сегодняшний день в физике пока не существует.
Напомним, что экстремальные плотности вещества имеют место в звездах типа белых карликов (р » 1О10 кг/м3) и в нейтронных звездах (р « 1018 кг/м3).
Теперь рассмотрим свойства вещества в разных интервалах температуры. При температурах около одной тысячи кельвинов возбуждаются и получают развитие колебательные степени свободы молекул. Увеличение интенсивности внутримолекулярных колебаний атомов при температурах в несколько тысяч кельвинов приводит к диссоциации молекул. При температурах около десяти тысяч кельвинов активизируется ионизация атомов. В области температур в несколько десятков тысяч кельвинов все атомы однократно ионизированы. При более высоких температурах начинается вторая и третья ионизации. При температурах. в несцолько сотен тысяч кельвинов имеет место полная ионизация атомов — вещество состоит из голых ядер и электронов.
Наиболее высокотемпературные формы вещества представлены, в основном, в звездах. В недрах большей части звезд температуры 107-108 К при плотностях 102-10'* кг/м3. Равновесие таких звезд обеспечивается
568
Раздел 6
тепловым давлением, уравновешивающим давление гравитации.
В области сверхвысоких температур 107 < Т < 1О10 К наиболее характерными являются процессы рождения частиц. Прежде всего рождаются фотоны. При Т > >6 - 10е К становится эффективным рождение электрон-позитронных пар. При более высоких температурах рождаются более тяжелые частицы вплоть до нуклон-анти-нуклонных пар. Помимо этого, при высоких температурах имеет место эффективное рождение пар нейтрино-антинейтрино. Поскольку эффективные сечения взаимодействия этих частиц со всеми другими частицами чрезвычайно малы, нейтрино и антинейтрино покидают высокотемпературную область своего рождения. Этим и обусловлены мощные нейтринные потоки из звездных недр.
На основе квантовой хромодинамики (то есть теории кварков) и теории физического вакуума сделан вывод о том, что если замкнутую область вакуума заполнить равновесным тепловым излучением с температурой свыше 2 • 1012 К, то вакуум перейдет в новое состояние, в котором область будет заполнена рожденной из- вакуума кварк-глюонной плазмой. Из теории происхождения и эволюции Вселенной следует, что в таком состоянии вакуума Вселенная находится в первые несколько микросекунд после большого взрыва. При последующем расширении Вселенной, сопровождавшимся охлаждением, кварк-глюонная плазма преобразовывалась в совокупность адронов.
Далее рассмотрим свойства вещества в сильных электромагнитных полях. Сильными принято считать поля с электрическими напряженностями, сопоставимыми с напряженностями внутриатомных полей, создаваемых атомными ядрами. Напряженность таких полей имеет порядок (108-10®) В/см.
При внесении вещества в сильное поле существенным образом изменяются величина и конфигурация внутриатомных полей. В результате у атомарных электронов возникает возможность путем туннельного эффекта уходить из атомов и становиться свободными. Это явление называется автоионизацией. Например, в атоме водорода автоионизация из основного квантового состояния возникает при напряженности Е ~ 108 В/см, а из возбужденных состояний при Е « 106 В!см. Отметим, что авто
Современная физическая картина мира
569
ионизация существенно препятствует созданию очень сильных электромагнитных полей, ибо она стимулирует электрические разряды. Даже если в межэлектродном промежутке создан вакуум, автоионизация атомов в приграничных слоях электродов приводит к электрическому пробою промежутка.
В параграфе «Нелинейная оптика» было указано, что в так называемых гигантских импульсах лазерного излучения напряженность электрических полей имеет порядок 107 В/см. В таких полях связь между поля-ризованностью Ре и напряженностью Е становится нелинейной:
Ре = Ео (ЪЕ + Хг£2 + - + Хп,Ет + ...).
Распространение электромагнитной волны в веществе в условиях нелинейной поляризации сопровождается генерацией гармоник. Если же в таких условиях в вещество вводятся две волны с разными частотами, то наряду с гармониками генерируются волны с суммарной и разностной частотами. Распространение гигантских лазерных импульсов в вещество сопровождается и рядом других явлений. Например, происходит самофокусировка излучения, обычно сопровождаемая электрическим пробоем и образованием плазмы в области фокусирования.
6.8.	НЕЗАВЕРШЕННОСТЬ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ
В соответствии с воззрениями современной философии развитие науки асимптотически приближает человечество к истинному познанию окружающего мира. Асимптотический характер этого приближения состоит в том, что к истинному познанию мира можно подойти сколь угодно близко, но такое познание невозможно осуществить полностью и до конца. В философии совокупность истинных закономерностей материального мира называется абсолютной истиной, а совокупность закономерностей, представленных в науке на данном этапе ее развития, называется относительной истиной. Рассмотренная ситуация выражена в философии следующим утверждением: относительная истина может быть сколь угодно приближена к абсолютной истине, но не может с ней полностью совпадать. Отсюда следует, что естественные науки, и в том числе физика, не могут оказаться в завершенном состоянии.
570
Раздел 6
Сейчас имеет место незавершенность решения ряда принципиальных проблем физики. Например, еще не удалось удовлетворительным образом совместить общую теорию относительности с принципами квантовой теории. В результате не получила успешного завершения квантовая теория гравитации, представляемой как искривление четырехмерного пространства-времени. В свою очередь, это не позволяет удовлетворительным образом описать гравитацию как одно из проявлений единого универсального взаимодействия, являющегося одним из фундаментальных свойств материального мира. Для такого представления гравитации были созданы теория супергравитации и теория суперструн. В этих теориях к трем пространственным измерениям пришлось добавить еще шесть измерений, названных компактифицированными и простирающихся только на расстояния порядка 10“33 см. Из-за чрезвычайной малости таких расстояний экспериментальная проверка этих теорий не представляется возможной.
Нельзя считать завершенной и теорию, названную «Великим объединением», в которой сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия рассматриваются как проявления единого супервзаимодействия.
Во-первых, эта теория не едина по своей математической основе, ибо существуют несколько ее разных вариантов с различными исходными уравнениями.
Во-вторых, из этой теории следуют два многозначительных вывода, не получивших экспериментальных подтверждений.
Первый вывод — нестабильность протона, его самораспад на пион и позитрон при средней продолжительности жизни 1031 лет. При столь большом среднем времени существуют хотя и небольшие, но экспериментально приемлемые, вероятности распада за достаточно короткие времена, позволяющие регистрировать распады при достаточно большой массе исследуемого вещества. Чтобы исключить распад протонов под действием космических лучей, эти эксперименты проводились в глубоких шахтах и в туннелях в подножиях гор. Пока самораспады не зарегистрированы. Заметим, что если протоны действительно нестабильны, то, поскольку они входят в состав всех атомных ядер, через некоторое весьма большое время во Вселенной исчезнут все атомно-молекулярные формы вещества.
Современная физическая картина мира
571
В качестве второго вывода теория Великого объединения предсказывает существование магнитных монополей, то есть зарядов северного и южного магнетизма, аналогов электрических зарядов. Идея о существовании таких монополей была выдвинута в физике еще задолго до теории великого объединения. Основанием для этой идеи явились, с одной стороны, наблюдаемая в природе тенденция к разным формам симметрии, а с другой стороны — резкая асимметрия электрических и магнитных явлений, обусловленная отсутствием магнитных зарядов. Поэтому была принята точка зрения, что такие заряды в природе есть, но по каким-то причинам они пока не зарегистрированы. Исходя из этой тонки зрения, английский физик Поль Дирак создал симметричную электродинамику, в которой фигурируют магнитные заряды, образуемые их движением магнитные токи и создаваемые этими токами электрические поля. Но пока выполненные исследования на дне океанов, в глубинах шахт, в космических лучах и в лунном грунте не обнаружили магнитных монополей, которые, кстати, сейчас называются монополями Дирака.
Одна из принципиальных задач физики элементарных частиц и космологии большого взрыва состоит в объяснении спектра масс известных частиц. Уравнения, описывающие фундаментальные свойства материи, должны определять и значения масс элементарных частиц. Анализ этих уравнений на основе физических принципов, математическим выражением которых они являются, должен дать ответ на вопрос, почему именно существующие значения масс реализованы в природе. Однако создать теорию, позволяющую получить такие уравнения, пока не удалось.
Далека от завершенности и принятая в современной физике и космологии концепция происхождения и эволюции Вселенной в виде модели большого взрыва. Хотя эта модель позволяет объяснить некоторые факты наблюдательной астрономии, она не может дать ответы на ряд принципиальных вопросов. Например, остается неясной до конца причина сверхвысокой температуры Вселенной непосредственно после взрыва, неизвестна начальная конфигурация Вселенной. Сейчас неизвестны формы существования материи в сингулярностях черных дыр и в начальной сингулярности Вселенной. Известно только, что плотность массы в этих
572
Раздел 6
формах теоретически бесконечна и что материя сохраняет свойство создавать гравитацию.
Не определена также с достаточной точностью средняя плотность материи во Вселенной. Как было указано в параграфе «Физические аспекты современной космологии», от этой плотности зависит направление будущей эволюции Вселенной. Поэтому пока нет возможности с достоверностью указать, в каком из направлений будет происходить ее развитие.
В настоящее время еще не имеет окончательного решения вопрос об элементарности кварков и лептонов. Как было отмечено в одном из предыдущих параграфов, в 1996 году были получены экспериментальные данные, на основе которых было высказано предположение о том, что кварки имеют внутреннюю структуру и состоят из более элементарных частиц. Пока это предположение не получило безусловного подтверждения.
6.9.	ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ЭВОЛЮЦИИ ФИЗИКИ И СТАНОВЛЕНИЕ НОВЫХ ФОРМ РАЦИОНАЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ
Зародившись в античный период человеческой истории, физика прошла несколько этапов своей эволюции. На каждом из них в естествознании доминируют определенные основополагающие идеи, совокупность которых составляет так называемую естественнонаучную парадигму.
Очень плодотворный период развития физики связан с созданием ньютоновской механики. В это время совершился отход от умозрительности в построении моделей природных явлений как методологического принципа, господствовавшего ранее, произошло становление физики как точной науки, опирающейся на эксперимент, и были заложены основы теоретической физики. Механика приобрела вид хорошо обоснованной экспериментально, облаченной в строгую математическую форму и логически завершенной теории. Для механики Ньютона естественной концептуальной основой была идея дискретности, корпускулярности материи. И не случайно становление механической картины мира совпало с возрождением корпускулярной концепции, зародившейся еще в античный период науки.
В течение XVII—XVIII столетий в естествознании формируется глубокое убеждение, в соответствии с которым
Современная физическая картина мщ.а
573
все явления природы следует рассматривать как проявление механических процессов. В решающей степени этому способствовали именно успехи механики Ньютона, которая становится основой научного мировоззрения того времени. В начале XIX века в трудах П. Лапласа картина мироздания была доведена до образа некой гигантской механической машины, подчиняющейся строгим законам механики и в работе которой, в принципе, все предопределено этими однозначными законами (в таком представлении заключена суть так называемого классического лапласовского детерминизма).
Сложившаяся на протяжении XVII-XIX веков механически картина мира явилась очень важной ступенью не только физики, но и в развитии наук о природе вообще. С этим этапом связаны несколько методологических принципов, определяющих особый тип научного мышления (тип научной рациональности) всей так называемой классической эпохи естествознания.
Во-первых, как уже было отмечено, механическая картина мира логически обусловила попытки свести все многообразие закономерностей природных явлений к законам механики. Во-вторых, неявным образом предполагалась пригодность законов ньютоновской механики для всех структурных уровней материального мира. Это оправдывало экстраполяцию понятий и законов механики как на уровень явлений и объектов космического масштаба (то есть, на уровень мегамира), так и на уровень явлений и объектов микромира. В-третьих, механическая картина мира характеризовалась только однозначными причинно-следственными связями; мир предопределен динамическим характером законов ньютоновской механики, в нем нет места объективной случайности. Любая случайность рассматривалась как проявление неполноты знаний о природе. В-четвертых, в механической картине мира отсутствует развитие; природа в ней предстает абсолютно неизменной. К важнейшим особенностям физики этого периода относится казавшееся естественным представление об объективности исследователя как его полной отстраненности от изучаемого явления. Наконец, характерным для научной рациональности классического типа был и неограниченный редукционизм — представление о безусловной допустимости познания сложного посредством изучения частей.
574
Раздел 6
Следующий важный этап эволюции физики начался в XIX веке с экспериментальных исследований переменных электрических и магнитных полей, выполненных Фарадеем и Эрстедом. Были установлены взаимосвязь и взаимопорождение этих полей. Теоретический анализ полученных результатов привел к становлению в физике понятия поля как непрерывного в пространстве образования, выполняющего роль переносчика взаимодействий на расстоянии. Была выдвинута идея (получившая опытное подтверждение) о том, что одно из взаимодействующих тел инициирует изменение состояния поля в примыкающей к телу области. Это изменение состояния поля распространяется в пространстве с конечной скоростью в форме волнового импульса, переносящего энергию и импульс. Достигнув второго взаимодействующего тела, волновое возмущение импульса изменяет его энергию и импульс. Именно так осуществляются взаимодействия на расстоянии в представлениях современной физики (так называемая концепция близкодействия).
На основе опытов Фарадея и Эрстеда было введено понятие электромагнитного поля, по отношению к которому переменные электрические и магнитные поля выступают как взаимосвязанные компоненты. Максвелл создал теорию этого поля и вывел систему структурных уравнений, выражающих законы взаимосвязи между электрической и магнитной компонентами поля. На этом этапе эволюции физики безраздельному господству в естествознании механистических представлений был положен конец. Стала формироваться электромагнитная картина мира, которая призвана была существенно дополнить и изменить механическую картину мира.
Естественно, что электромагнетизм концептуально связан с идеей непрерывности и континуальной традицией описания природы, с античных времен существовавшей в естествознании наряду с корпускулярной традицией. В представлении об электромагнитном поле континуальная модель нашла свое наиболее полное и последовательное воплощение.
На первых порах становления электродинамики была принята идея о том, что электромагнитное поле представлено изменениями состояния особой среды, названной эфиром. Считалось, что эфир непрерывным образом заполняет всю Вселенную, но не оказывает влияния на механические движения материальных тел. Принятие
Современная физическая картина мира
575
такого взгляда на природу электромагнитного поля означало отказ от принципа относительности, то есть от признания того, что законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Действительно, система отсчета, связанная с мировым эфиром, выделена своими свойствами по сравнению со всеми другими системами. В ней электромагнитные явления должны протекать наиболее простым образом.
Как известно, исследования, связанные с теорией электромагнетизма и с измерением скорости света привели к двум важных положениям. Во-первых, электромагнитное поле есть особый вид материи, не нуждающийся в существовании среды-носителя (эфира). Во-вторых, не существует абсолютной системы отсчета с выделенными свойствами, что означает переход на позицию относительности. Но теперь относительность распространялась не только на механические, но и на электромагнитные явления. Поскольку к тому времени механика и электродинамика совместно стали определять основу физики, то относительность была распространена на все физические явления. Эти положения были отражены в созданной Эйнштейном специальной теории относительности (СТО).
СТО несколько пошатнула классический идеал научной рациональности, внеся в научное мышление представление об относительности знания и о недопустимости безоговорочной применимости классической теории ко всем без исключения объектам природы. Открытие инвариантности скорости света позволило использовать эту величину в качестве эталона скорости и отделить область малых скоростей, для которых остается справедливой ньютоновская механика. Но в целом же СТО оставалась на позициях научной рациональности классического типа.
Очень существенным в этом отношении является то, что вместе с ньютоновской механикой, классической термодинамикой и классической электродинамикой СТО образует совокупность фундаментальных физических теорий, имеющих дело исключительно с закономерностями динамического типа. Последней фундаментальной физической теорией такого рода стала общая теория относительности Эйнштейна.
Специальный принцип относительности выражает относительность физических явлений только для инерциальных систем отсчета, что создает не имеющую
576
Раздел 6
обоснованности выделенность этих систем. Поэтому возникла проблема обобщения принципа относительности на произвольные системы отсчета и, соответственно, выяснения, каким требованиям должны удовлетворять математические формулировки законов физики, чтобы они выполнялись во всех системах отсчета.
Главное свойство неинерциальных систем отсчета состоит в том, что в этих системах имеют место поля ускорений, не обусловленных действием каких-либо реальных сил. В общей теории относительности (сокращенно ОТО), являющейся обобщением СТО на произвольные системы отсчета, поЛе ускорений в неинерциальных системах рассматривается как аналог гравитационного поля.
Анализ полей в неинерциальных системах с учетом их физического сходства с гравитационными полями тяготеющих масс привел к установлению фундаментального свойства природы, состоящего в том, что в гравитационных полях изменяются геометрические свойства пространства-времени, и его геометрия становится неэвклидовой. Переход к неэвклидовой геометрии обусловлен действием тяготеющих масс и неинерциаль-ностью систем отсчета. Следовательно, пространство-время остается плоским, а не искривленным, и его геометрия будет эвклидовой только для областей, удаленных от тяготеющих масс и для инерциальных систем отсчета. Напомним, что исходная цель ОТО состояла в обобщении принципа относительности на произвольные системы отсчета. В результате представления гравитации как искривления пространства-времени ОТО попутно стала и современной теорией гравитации.
Характерной чертой механической картины мира, а вместе с ней и научной рациональности классического периода, является, как отмечалось, понятие об объективности познания, опирающееся на описание явлений, не зависящее от «наблюдателя». Пришедшая на смену ньютоновской парадигме новая, неклассическая научная парадигма предполагает, что наблюдатель является частью наблюдаемого мира. Такое понимание вошло в физику со специальной теорией относительности. Теория относительности изменила классическое представление об объективности, но не затронула другую принципиально важную особенность классической физики, а именно — ее представление о принципиальной возможности полно-
Современная физическая картина мира
577
го описания изучаемых природных объектов, об однозначной детерминированности природных процессов.
Впервые классический детерминизм был преодолен в связи с развитием термодинамики и статистической физики. Но классическая традиция, считать вероятностное описание природных процессов следствием недостаточной полноты наших знаний о природе, продолжала доминировать.
Физической теорией, положившей конец этой традиции, явилась квантовая механика. Со становлением квантовой механики связывается окончание эпохи классической физики и утверждение научной рациональности неклассического типа. За годы, истекшие со времени зарождения квантовых идей, сложились несколько относительно самостоятельных областей квантовой физики. Это основа всей квантовой физики — квантовая механика, механика микрообъектов. Ее сфера — изучение законов поведения микрообъектов. Ее дополняет квантовая электродинамика, описывающая взаимодействие электронов и фотонов. Позже возникла квантовая хромодинамика, изучающая кварковую структуру элементарных частиц. В составе современной квантовой физики развиваются также квантовая теория твердого тела, квантовая электроника, квантовая химия и другие научные направления.
Первый шаг в развитии квантовой физики был сделан при исследовании свойств равновесного электромагнитного излучения. Исходная квантовая идея — гипотеза Планка о квантах, выражая дискретность обмена энергии электромагнитного поля с атомами вещества, не предусматривала структурную дискретность поля, которое рассматривалось как непрерывное в пространстве образование. Ситуация изменилась при исследованиях фотоэффекта. Объяснение законов фотоэффекта оказалось возможным только на основе представления о том, что свет состоит из пространственно обособленных частиц-квантов, получивших название фотонов. Затем была разработана теория электромагнитного поля как совокупности фотонов, получившая название квантовой электродинамики. В рамках этой теории получили объяснения все квантовые эффекты в оптике и электродинамике.
Следующий этап становления квантовой физики обусловлен глубоким кризисом классической физики в объяснении атомных и молекулярных явлений. Классическая
578
Раздел 6
физика не могла дать обоснование планетарной модели атома, вытекающей из опытов Резерфорда. Не могли получить классического объяснения также линейчатые спектры испускания и поглощения атомов и дискретность энергетических спектров атома.
Основные закономерности электронного строения атомов были выражены квантовыми постулатами Бора, определившими стационарные состояния атоМов и энергетику перехода между этими состояниями. Правильно выражая эти закономерности, постулаты Бора носили гипотетический характер, то есть они не следовали ни из каких физических положений.
Принципиально важную роль в дальнейшем развитии квантовой механики сыграли опыты, в которых была обнаружена дифракция электронов и других микрочастиц. Поскольку дифракция присуща волновым явлениям, из этих опытов следовало, что один и тот же квантовый объект в одних состояниях имеет признаки частицы, а в других состояниях признаки волны, то есть имеет место так называемый корпускулярно-волновой дуализм. Отсюда следует вывод о том, что для правильного описания поведения квантовой частицы надо ее движению сопоставить распространение некоторого волнового процесса, называемого волной де Бройля. Определив волновую функцию, описывающую распространение этой волны в тех конкретных условиях, в которых двигается излучаемая частица, можно с помощью этой функции получить правильную информацию о поведении частицы. Волна де Бройля отражает вероятностный характер этого поведения. Квадрат модуля соответсвующей волновой функции равен плотности вероятности нахождения частицы в окрестности данной точки. Такая форма квантовой механики иногда называется волновой механикой. Именно волновая функция определяет состояние квантовой системы. Поэтому принцип причинности в квантовой механике получил вероятностное толкование: при заданных внешних полях волновая функция квантовой системы в данный момент времени определяет волновые функции во все последующие моменты. Основополагающим уравнением волновой механики, реализующим этот принцип причинности, является уравнение Шредингера, интегрированием которого определяются волновые функции квантовых систем.
Современная физическая картина мира
579
Напомним, что квантовым системам присущи статистические свойства, состоящие в том, что в одних и тех же условиях оказываются возможными разные способы поведения системы. Но для каждого возможного способа поведения может быть определена его вероятность, характеризующая частоту реализации этого способа при многократном повторении опытов. Каждому способу соответствуют свои значения величин, характеризующих состояния системы. Поэтому в отличие от макромира, в котором для заданных условий могут быть предсказаны значения величин, в микромире могут быть предсказаны только вероятности различных возможных значений величин. Изменилась и роль наблюдателя по сравнению с классической ситуацией. Наблюдатель оказывается включенным в изучаемую систему. До проведения опыта принципиально невозможно предсказать, какой из способов поведения системы будет реализован в опыте. Таким образом, в связи с развитием квантовой физики формируется новое, неклассическое представление об объективности исследования, и оно составляет одно из важных отличий неклассической научной рациональности.
По сравнению с классической физикой квантовая физика рассматривает материю на более глубоком, фундаментальном уровне. Она показала, что вероятностное поведение характерно не только для совокупности частиц, но и для отдельного микрообъекта. Поэтому присущий микромиру вероятностный характер законов оказывается фундаментальным в отличие от динамических закономерностей макромира. Неклассическому научному мышлению присущ вероятностный подход к описанию природы.
Сложившиеся в эпоху классической физики картины мира отличались преувеличением роли либо законов механики, либо законов электромагнетизма. Это обстоятельство нашло отражение даже в названиях соответствующих картин мира (механистическая и электромагнитная). В квантовой физике описание объекта отличается цельностью, неразделимостью отдельных его свойств — корпускулярных и волновых. Вместе с ней в научное мышления вошло представление об ограниченности возможностей членения целостного образа явления на отдельные части. Н. Бор отмечал, что «...с открытием Планком элементарного кванта действия началась новая эпоха в физических науках. Это открытие
580
Раздел 6
обнаружило свойственную атомным процессам черту цельности, идущую гораздо дальше старой идеи об ограниченной делимости материи». В современной картине мира и вещество, и поле состоят из элементарных частиц. Исчезает разделение между веществом и полем, которые взаимопревращаются, а также между этими понятиями и понятием вакуума, представленного виртуальными частицами. Для современной картины природы характерно фундаментальное единство различных ее проявлений.
Необходимо указать на одну особенность нашего сознания, имеющую отношение к формированию представлений физики. Природа человеческого мозга такова, что наглядные представления и образы могут быть составлены только из элементов воспринимаемого нашими органами чувств макроскопического мира. Мы не можем наглядно представлять объекты, которые не образованы из элементов этого мира. Поэтому познание таких объектов и связанных с ними явлений может осуществляться только посредством логики с привлечением математики без создания наглядных образов. Такой метод познания, как известно, называется абстрактным. В неклассическом подходе к познанию природы математические абстракции заменили собой простые и наглядные модели классической физики. Способность к абстрактному мышлению и познанию является выдающимся качеством человека, отличающего его от всех других живых существ.
На современном этапе развития физики происходит становление нового типа научной рациональности. Этот тип научного мышления связан с возникновением эволюционного подхода к изучению разнообразных сложных природных систем, с синергетическим видением мира. Возникновение и развитие термодинамики неравновесных систем, нелинейной динамики, исследование всевозможных процессов образования упорядоченных структур из первоначально хаотического состояния среды — все это привело к развитию новой области теоретической физики (а точнее говоря, новой области науки вообще) — синергетики. Объектами исследований синергетики стали эволюционирующие системы, а одна из задач синергетики — поиск общих механизмов и закономерностей самоорганизации природных систем, образования «порядка из хаоса». Существенно новым представлением, привне
Современная физическая картина мира
581
сенным в естествознание синергетикой, стало представление о так называемой стреле времени, о направленности времени, связанной с единым глобальным эволюционным процессом, охватывающим эволюцию Вселенной и всех ее частей, включая человека и человеческое общество. Для научной рациональности так называемого постнеклассического типа, формирование которого стимулировано развитием в естествознании идей синергетики, характерен исторический взгляд на природу, представление об однонаправленности истинного времени, связанной с необратимой эволюцией любой природной системы. Рациональность постнеклассического типа связана с так называемым «нелинейным мышлением», улавливающим решающую роль, которую играют в процессах самоорганизации природных систем обратные связи.
Развитие синергетики возвращает науку к фундаментальной связи между неживой природой и миром человека, существовавшей в античные времена. «Материальный мир принято разделять на три «царства»: на неживую природу, живую природу и общество», пишет академик Н. Н. Моисеев. Но ведь «...и то, и другое, в конечном счете, суть произведения природы». Надо ли представлять пропасть между тем, что возникло в результате человеческой истории и тем, что создала природа? «Не следует ли нам принять иную точку зрения, состоящую в том, чтобы не противопоставлять одно другому, а изучать развитие искусственного и естественного с единых позиций». Такой подход типичен для синергетики. Он характерен для эволюционно-синергетической парадигмы, становление которой происходит в нашу эпоху, в частности, благодаря развитию новых физических идей.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.	Что такое физический вакуум? В чем проявляется поляризация вакуума?
2.	Что такое виртуальные частицы? Чем виртуальные частицы отличаются от реальных частиц? Какую функцию выполняют виртуальные частицы?
3.	Почему сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное взаимодействия называют фундаментальными взаимодействиями?
582
Раздел 6
4.	Что такое элементарные частицы? Как производится систематизация элементарных частиц?
5.	Назовите известные типы кварков. Что такое аромат и цвет кварка?
6.	Расскажите об эволюции Вселенной в первые минуты ее существования.
7.	При каких условиях наблюдается гравитационный коллапс?
8.	Расскажите о существующих моделях Вселенной.
9.	Расскажите, в каком состоянии находится вещество в нейтронных звездах.
10.	В чем состоит отличие неклассической научной парадигмы от парадигмы Ньютона?
11.	Укажите на некоторые проблемы физики, не решенные до настоящего времени.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Астахов А В.. Широков Б. М. Курс физики: Т. Ш. Квантовая физика. — М.: Наука, 1983. — 240 с.
2.	Базаров И. П. Термодинамика. — М.: Высш, шк., 1983. — 344 с.
3.	Васильев А М. Введение в статистическую физику. — М.: Высш, шк., 1980. — 270 с.
4.	Готфрид К., Вайскопф В. Концепция физики элементарных частиц. — М.: Мир., 1988. — 239 с.
5.	Детлаф А А, Яворский Б. М. Курс физики. — М.: Высш, шк., 1989. — 608 с.
6.	Епифанов Г. И. Физика твердого тела. — М.: Высш, шк., 1977. — 288 с.
7.	Калитевский И. И. Волновая оптика. — М.: Наука, 1971. — 376 с.
8.	Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — 791 с.
9.	Орир Д. Физика. Т. 1. — М.: Мир, 1981. — 366 с.
10.	Орир Д. Физика. Т. 2. — М.: Мир, 1981. — 288 с.
11.	Савельев И. В. Курс физики. Т. 3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра элементарных частиц. — М.: Наука, 1982. — 304 с.
12.	Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. П. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: Наука, 1990. — 591 с.
13.	Тарасов Л. В. Основы квантовой механики. — М.: Высш, шк., 1978. — 287 с.
14.	Тарасов Л. В. Введение в квантовую оптику. — М.: Высш, шк., 1987.. — 304 с.
15.	Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — М.: Высш, шк., 1977. — 288 с.
16.	Фейнман Р„ Лейтон Р„ Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты. 4. Кинетика. Теплота. Звук. — М.: Мир, 1977. — 496 с.
17.	Фейнман Р„ Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика (1). — М.: Мнр, 1966. — 272 с.
18.	Фейнман Р., Лейтон Р„ Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика (2). — М.: Мир, 1966. — 272 с.
19.	Суханов А Д. Фундаментальный курс физики. Т. И. — М.: «Агар», 1998. — 710 с.
20.	Суханов А Д. Фундаментальный курс физики. Т. Ш. — М.: «Агар», 1999. — 384 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адроны 553
Активность радиоактивного изотопа 235
—-----удельная 236
Акцепторы 168
Альфа-распад 237, 238
Анализ спектральный качественный 128 ----количественный 128
Аннигиляция электронно-позитронной пары 550
Ансамбль эргодический 427
Антикварк 556
Антинейтрино 223, 554
Античастица 549
Антиферромагнетики 552
Антиферромагнетизм 537
Атом водорода 89
— спектр 99, 101
----состояние основное 99
------возбужденное 10О
---- энергия ионизации 101
— — электронная конфигурация 116
----водородоподобный 89
База транзистора 185
Барионы 554
Барн 256
Барьер потенциальный 78,
Бета-распад 240
Бинодаль 398
Бином дифференциальный 369
----полный 396
Бифуркация 411
Бозе-конденсация 447
Бозоны 113, 554
Бомба водородная 273
Бэр 247
Вакуум 548
Вероятность перехода электрона 207
— события 418
----теорема сложения 419
— — альтернативных событий 419
------умножения 418
Вес статистический 440
Вещество в области сверхвысоких температур 571
-------сильных электромагнитных полей 572
Взаимодействие гравитационное 553
—	сильное 552
—	слабое 552
— электромагнитное 552
Волны де Бройля 43
Газ вырожденный 443, 463
— — критерий вырождения 463
— — температура вырождения 464
— идеальный 285, 286
----Ферми 145
— невырожденный 463
----условие невырожденности 463
—	электронный в металле 443
Галактики 564
Гамильтониан 69
Гамма_-излучение 243
Гелий жидкий сверхтекучесть 192
Генерация тепловая 155, 170
Гипотеза де Бройля 43
—	квантовая Планка 39
----Эйнштейна 26
—	эргодическая 426
Глюоны 561
Гравитоны виртуальные 561
—	реальные 561
Предметный указатель 585
Граница верхняя энергии бета-спектра 241 Грей 246	— радиоактивного .распада в дифференциальной форме 235 	интегральной 235
Давление кинетическое 383 — потенциальное 383 Дейтерий 225 Дейтрон 225 Деление тяжелых ядер 260 Дефект массы ядра атома 231 Дефекты в кристалле 480 		типы 480 Диамагнетики 525 Диамагнетизм 522 — Ландау 526 — плазмы 526 Диод вакуумный 311 	вольтамперная характе- ристика 313 — полупроводниковый 182 — — вольтамперная характе- ристика 182 Дислокации 480 — винтовые 481 — краевые 480 Диффузия 297 — энергия активации 308 — в жидкости 308 Длина волны де Бройля 43 — диффузионная 177 Доза излучения 246 — виды 246, 247 Домены магнитные 530 Доноры 167 Дырка 159, 163 Дыры черные 566	— Стефана-Больцмана 34 — трех вторых 317 — Фика первый 298, 307 — Фурье 298, 309 — Хаббла 563 Законы переноса эмпирические 296 Закономерности статистические 421 Заряд барионный-555 — лептонный 555 Зона энергетическая 150 	валентная 153 — запрещенная 150 	разрешенная 153 Зоны Бриллюэна 152 Излучение индуцированное (вынужденное) 208 -— равновесное 30 		спектральная плотность энергии 31 — рентгеновское 128 	тормозное 128 	характеристическое 128 Изобары 225 Изотермы газа Ван-дер-Вааль-са 400 — экспериментальные 401 Индексы Миллера 476 — плоскости 477 — направления 477 — узла 477
Единица массы атомная 231	Изотопы 224 Ионизация газа 324
Жидкости квантовая 446 — перегретая 402		ударная 325 	термическая 325
Закон Аррениуса 307 — Богуславского—Ленгмюра 317 — Бойля-Мариотта 285 — Видемана-Франца 489 —	Вина 34 -	— возрастания энтропии 366 —	Гей-Люссака 285 —	Дюлонга и Пти 485 —	Кирхгофа 32 —	Кюри 527 —	Кюри-Вейса 528 —	Мозли 129 —	Ньютона 299 — Ома в локальной форме 297 — переноса 296	Картина мира современная 546, 577 	электромагнитная 578 Катастрофа ультрафиолетовая 38 Катод 311 Кварки 546, 556 Кельвин 294 Конвекция 297 Контакт металл-металл (туннельный) 198 Конфайнмент 558 Конфигурация электронных состояний атома водорода 102 Коэффициент диффузии 297, 303
586
Предметный указатель
----формула Эйнштейна 307 — изотермической сжимаемости 376
— Онсагера для перекрестных эффектов 406
— прозрачности (прохождения) 81
— поверхностного натяжения 397
— теплопроводности 298, 303 — теплового расширения 376 — полезного действия 353 Кратность вырождения 98 Кремний 161
Кривая намагничивания 533 — фазового равновесия 390 Кристалл жидкий 490 ----директор 491 ----лиотропный 491 ----термотропный 491 ----фаза нематическая 492 ----смектики 493 ----холестерическая 493 Критерий Лоусона 275 — вырождения газа 463
Лазер 215
— рубиновый 217 — применение 220 Лептоны 553
Магнетики 521
Магнетон Бора 222 Магнитострикция 535 Макросостояние тела 423 Масса критическая 264 — эффективная 157 Машины тепловые 350 ----КПД 350 Мезоатом 108 Мезоны 229
Металлы 154
Метод термодинамических функций 370
— циклов 370
Методы определения кристаллической структуры 477 — — — — излучение нейтронное 479
—	рентгеновское 479
—	электронографией 479
—	микросостояния 424
Модель абсолютно черного тела 32
—	атома водорода квантовая 90
—	по Бору 16
—	Вселенной закрытой 568
— локального термодинамического равновесия 363
— свободных электронов в металле 139
—	ядра атомного 222
------— жидкой капли 226
------оболочечная 227
------обобщенная 228
------Ферми-газа 228
Нейтрино 241, 560
Нейтрон 223
Нейтроны быстрые 258
—	медленные 258
—	тепловые 258
—	холодные и ультрахолодные 258
Носители тока неосновные
178
---неравновесные 174
—-----время жизни 175 '
---основные 178
Ожидание математическое 419
Образование электронно-по-
зитронных пар 245
Оператор Гамильтона 69
Опыт Столетова 24
— Франка и Герца 20
— Штерна и Герлаха 21
Опыты Дэвиссона и Джермера 44
Осциллятор одномерный гармонический 64, 85
— —	•— энергетический
спектр 87
Пар переохлажденный (перенасыщенный) 403
Парадигма 576
— неклассическая научная 580
Парамагнетизм 527
Параметры системы термодинамические 283
------интенсивные 341
------экстенсивные 341
---внешние 340
---внутренние 340
— макроскопические газа 423
Пары куперовские 196
Переход электронно-дыроч-
ный (р-п)177, 178
— — — вольт-амперная характеристика 182
Переходы излучающие индуцированные 208
— — спонтанные 208
Период полураспада 236
Предметный указатель
587
Пионы (Пи-мезоны) 229
Плазма 328
— кулоновский логарифм 333
—	ленгмюровская частота 332
—	радиус Дебая 332
—	применение 329
Плотность энергии 31
Поглощение резонансное гамма-излучения 248
—	фотоэлектрическое 244
Позитрон 13*
Полупроводники 155, 160
— примесные дырочные (р-тип)167
---- — уровень Ферми 169
---- электронные (п-тип) 167
------Уровень Ферми 169
— собственные 161
---уровень Ферми 169
---электропроводность 163
---энергия активации 160
Поляризация диэлектрическая 500
---— вектор поляризации 500
---механизмы поляризации 502
---спонтанная 505
Постоянная адиабатическая
347
—	газовая универсальная 285
—	Планка 14
—	Ридберга 17
—	Хаббла 563
Постулаты Бора 15
Потенциал химический 386, 387
—	термодинамический 373
Правила отбора при излучении 124
—	смещения при ядерных превращениях 237
Правило частот Бора 16
Превращения фазовые 388
—	1-го рода 388
—	2-го 388
Прецессия Ларморова 523
—	частота 524
Приближение связи сильной
138,139
--- слабой 139
Принцип Паули 113, 441
—	вариационный 382
	— введения термодинамических функций 372
—	Ле Шателье-Брауна 358
—	минимума свободной энергии 380
	— соответствия 19
—34‘Ге^62ДИНаМИКИ первь111
— второй 354, 356
—	— статистический смысл 431
Принципы вариационные 379
Пробег а-частиц 239
—	р-частиц 243
Пространство фазовое 448
Протон 222
Протозвезды 564
Протий 225
Процесс адиабатический 346
—	изобарный 285
—	изотермический 285
—	изохорный 285
— термодинамический 284
---изоэнтропийный 365
---замкнутый 350
---квазиобратимый 339
---квазиравновесный 338
---круговой (цикл) 284
— — необратимый 379
---обратимый 338
---равновесный 284
--релаксационный 338
— обратный 284
— прямой 284
Работа выхода 320
— в термодинамике 341, 375
---при изопроцессах 348
Радиус боровский первый 64, 95
— Дебая 332
—	действия ядерных сил 228
—	ядра атома 225
Равновесие статическое 429
Разность потенциалов кон-
тактная р-п-перехода 180
Разряд газовый 325
—	дуговой 328
—	искровой 328
—	коронный 328
—	несамостоятельный 325
—	самостоятельный 326
— тлеющий 327
Распад^адиоактивный альфа
---бетта 240
------ — типы 240
---постоянная 235
Распределение Бозе-Эйнштейна 446
— Больцмана 459
— каноническое Гиббса 439
— — — квазиклассическая форма 450
588
Предметный указатель
— Максвелла по компонентам импульса 453
---------скорости 454
— — по кинетической энергии 456
— микроканоническое 427
— Ферми-Дирака 442
Реактор термоядерный 275
— ядерныи 266
Реакции ядерные 252
---законы сохранения 253
— — эффективное сечение 256
---на нейтронах 258
— классификация 257
Реакция деления ядер 260
-------осколки деления 260, 261
-------спонтанная 255
---цепная 262
-------коэффициент размножения 265
-------режимы реакции 264
Рекомбинация 156
Рентген 246
Решетка кристаллическая 138, 473
Сдвиг Лэмбовский 549
Сверхпроводимость 186
— концепция Ландау 190
— куперовские пары 196
— эффект Мейсснера 187
Светодиод 183
Сегнетоэлектрики 506
—	коэрцитивная сила 507
—	петля гистерезиса 507
Семейства радиоактивные 238
Светимость энергетическая 30
—	—- спектральная плотность 30
Связь атомная (ковалентная) 132
—	Ван-дер-Ваальса 130
—	ионная 131
—	металлическая 134
—	Россела-Саундерса 123
Синергетика 414
Сингулярность космологическая 562
Система термодинамическая 283
---изолированная 283
---неизолированная 283
— элементов Менделеева 113
Скорость звука 377
— молекул газа наиболее вероятная 455
-------средняя 456
---------квадратичная 291, 457
Соотношения Гиббса—Гельмгольца 379, 465
— неопределенностей Гейзенберга 61, 548
— Максвелла 379, 384
Состояние вещества растянутое 403
----метастабильное 402
— основное в атоме 63
— системы инверсное 214
-------накачка 214
----стационарное 284
— электронов в кристалле приближение связи сильной 139
---- слабой 139
Спектр атома водорода 101
----гелия 125
— молекулярный 135
----вращательный 136
----колебательный 136
— оптический 125
----тонкая структура 122
Спиральность 550
Способность тела испуска-тельная 30
----отражательная 31
----поглощательная 31
Среда активная 214
Статистика квантовая Бозе-
Эйнштейна 444
ирака 442
диссипативные
Сумма Гиббса 439
— статистическая 439
— — невырожденного газа 468
Сфера Лоренца 509
Тело абсолютно черное 31
	— термометрическое 293 ~
Температура абсолютная 292
—	по Реомюру 293
----Фаренгейту 293
----Цельсию 293, 295
—	критическая 186
•---сверхпроводника 186
— термодинамическая 295
Теплоемкость газа 378
----электронного 146
— кристаллов 484
----квантовая 485
----классическая 484
Теплопроводность кристаллов 487
— электронная 309
Теплота 343
---Ферми-, Ст^ктуры
Предметный указатель
589
Термодинамика 280
Термодиффузия 408
Термометр газовый 294
Теорема Блоха 148
—	Карно 357
—	Клаузиуса 360
—	Нернста 392
—	Онсагера 405
Теория Бора 16
— возмущений 205
— молекулярно-кинетическая явлении переноса 300
— сверхпроводимости (БКШ) 189
— теплоемкости Дебая 486
---Эйнштейна 485
Ток диффузионный через р-п-
переход 178
---генерационный 179
---обратный 181
---прямой 181
Толщина слоя половинного
ослабления 245
Точка критическая 398
— Нееля 357
— реперная 293
— тройная 294
Транзистор биполярный 184
Уравнение Ван дёр Ваальса 400
— — — — для одного моля 384, 400
— диодное 182
— Клапейрона-Клаузиуса 391
— Клайперона—Менделеева
285
— Клаузиуса-Моссотти 513
— основное молекулярно-кинетической теории 290
— Пуассона 347
— состояния идеального газа 285
---калорическое 376
---термическое 376, 468
— Шредингера нестационарное 69
---стационарное 71
— — — в сферических координатах 91
— — — для свободного электрона 140
Уравнения основные термодинамики диэлектриков 517
---магнетиков 539
—	Онсагера 405
—	химических реакций 404
Уровень Ферми 142, 442
—	— полупроводник дыроч-
ный 169
-------- собственный 169
------электронный 169
— энергетический вырожденный 98
Уровни энергетические акцепторные 169
---донорные 169
---примесные 168
Условие 369
— нормировки плотности вероятности 58
— обратимости процесса 338
—З^эавновесия фазового 389,
---химического 404
— Эйлера 369, 520
Условия равновесия по частицам
Установка холодильная 350
Фаза в термодинамике 388
Фермионы 554
— распределение 441
Ферромагнетики 522, 529
— петля гистерезиса 530
— — — коэрцитивная сила 534
Ферромагнетизм 529
Физика статистическая 282
Флуктуация 421
Фонон 310
Формула барометрическая
— Больцмана 428
—	Вульфа-Брэггов 478
—	Майера 469
—	Планка 42
—	Рэлея-Джинса 38
—	Стирлинга 468
—	Эйнштейна для фотоэффекта 26
------коэффициента диффузии 307
Фотон 23, 553
—	виртуальный 560
—	импульс 23
—	энергия 23
Фотоносители 175
—	время жизни 175
Фотодиод 184
Фотопроводимость 176
Фототок 24
—	насыщения 25
Фотоэффект внешний 24
— — задерживающее напряжение 25
— внутренний 177
Фрактал 412
590
Предметный указатель
Функция волновая частицы
----общие условия 70
----радиальная 97
----сферическая 97
—	Кирхгофа 32
Функции состояния в термодинамике 284
—	Блоха 148
—	термодинамические 372
Хаос детерминированный 412
Хромодинамика квантовая 572
Цикл в термодинамике прямой 284
— Карно 350
----КПД 353
— термоядерный 273
Частица в потенциальной яме одномерной 73
----------квантование энергии 75
-------— •— трехмерной 76
Частицы виртуальные 230
— кварки 556
— элементарные 551
----время жизни 554
----нестабильные 554
Частота ленгмюровская (плазменная) 323
Число квантовое главное 94, 97
----магнитное (орбитальное) 98
----орбитальное (азимутальное) 97
— спиновое 98
— координационное 475
Эквивалент рентгена биологический (Бэр)247
Электроника квантовая 204
Электроны атома внешние (валентные) 150
— •— распределение по энергетическим зонам 153
Электрострикция 520
Эмиссия электронная 317
----вторичная 318
----туннельная 319
— термоэлектронная 318
— фотоэлектронная 318
Энергия активации проводимости полупроводников 160
---диффузии 308
— внутренняя 344
---идеального газа 345
---для газа Ван-дер-Ваальса 385
— ионизации атома 324
—- свободная 372, 373
---изменение 374
— связи нуклонов в ядре атома 231
-------удельная 232
—	электрона в атоме 16
Энтальпия 372
—	изменение 374
Энтропия 361, 363
— идеального газа 364
— — — изменение при изопроцессах 365
— изменение при необрати-
мых процессах 368
— закон возрастания 366
Эффект Джозефсона 199
— в жидких кристаллах опти-
ческий «гость-хозяин» 497
---------«твист» 496
— — — — термооптический 498
—	Комптона 26
-	— магнитокалорический 541
—	Мессбауэра 251
—	пьезоэлектрический 508
—	электрокалорический 519
—	туннельный 78, 138
— Фредерикса 495
Эффекты перекрестные 406
Явления автоионизации 572
Явления переноса 296
— — молекулярно-кинетическая теория 300
Ядро атомное 222
---дефект массы 231
---дочернее 234
---магнитный момент 222
— •— материнское 234
---радиус 225
---спин 223
— — энергетические уровни 244,247
---энергия связи 572
Ячейка элементарная 473
---типы 473
Ячейки Бенера 409
КУРС ФИЗИКИ Том II
Генеральный директор А. Л. Кноп Директор издательства О. В. Смирнова Главный редактор Ю. А. Сандулов Художественный .редактор С. Л. Шапиро Подготовка оригинал-макета С. В. Павлова Выпускающие А. В. Яковлев, Н. К. Белякова
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.07.952.Т.11668.01.99 от 19.01.99 выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «Лань»
lan@lpbl.spb.ru www.lanpbl.spb.ru
193012, Санкт-Петербург, пр. Обуховской обороны, 277, издательство: тел (812)262-2495, 262-1178;
pbl@pbl.spb.ru (издательский отдел)
склад № 1: факс: (812)267-2792, 267-1368. trade@lanpbl.ru (торговый отдел)
193029, пр. Елизарова, 1, склад № 2: (812)265-0088, 567-5493, 567-1445. root@lanpbl.spb.ru
Филиал в Москве:
Москва, 7-я ул. Текстильщиков, д. 5, тел.: (095)919-96-00.
Филиал в Краснодаре:
350072, Краснодар, ул. Зиповская, д. 7, тел.: (8612)57-97-81.
Сдано в набор 09.08.99. Подписано в печать 03.10.2000 г. Бумага типографская. Формат 84х1081/з2-Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Печ. л. 18,5. Усл. п. л. 31,08. Тираж 5000 экз.
Заказ № 845.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГИПК «Лениздат» (типография им. Володарского) Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 59.