В.Л. Благонадежны
Ю. А. Окопный
В.П.Чнрков
МАТЕРИАЛОВ
И КОНСТРУКЦИЙ
Рекомендовано Комитетом по высшей школе
Миннауки России в качестве учебника
для студентов высших технических
учебных заведений
Москва
Издательство МЭИ
1994

ББК' 22.21я73 «Федеральная целевая программа.
книгоиздания России»
Б 581
УДК: 621.01 (075.8)
Рецензенты д-р техн. наук, проф. Н. Н. Леонтьев,
д-р техн. наук, проф. В. А. Светлицкий
Редактор канд. техн. наук, доц. Ю. А. Окопный.
Благонадежин В. Л., Окопный Ю. А., Чирков В. П.
Б681 Механика материалов и конструкций.— М.:
Издательство МЭИ, 1994.—312 с. ил.
15ВЫ 5-7046-0008-5
Изложены современные методы расчета, обеспечивающие
механическую надежность, долговечность и безопасность
напряженных конструкций, узлов и элементов оборудования; сведения о
механических свойствах конструкционных материалов, выборе
расчетных конструктивно-силовых схем, расчете элементов машин и
установок на конструкционную надежность и безопасность при
статических, динамических и температурных воздействиях.
Рассмотрены задачи прочности, устойчивости и колебаний стержней,
элементы теории пластин и оболочек, циклической прочности, трещино-
стойкости.
Для студентов специальностей машиностроительного профиля
и инженерно-технических работников, занимающихся вопросами
прочности в различных областях техники.
Табл. 15. Ил. 217. Библиогр.: 9 назв.
Б 20°™1 КБ-8-725-93 ББК:22.21я73
15ВЫ 5-7046-0008-5 © Благонадежин В. Л., Окопный Ю. А.,
Чирков В. П., 1994

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие подытоживает опыт
преподавания студентам различных специальностей МЭИ одной из
основных общеинженерных дисциплин — механики
материалов и конструкций. Эта дисциплина возникла жа-к преемник
сопротивления материалов, в значительной мере сохранив
содержательную часть этой традиционной дисциплины, а
также ее стиль, терминологию и методику изложения.
Вместе с тем, новая дисциплина отражает изменения, которые
инженерная деятельность получила в последние
десятилетия, в частности, из-за появления новых конструкционных
материалов, новых конструктивных форм и повышенного
внимания « надежности и безопасности технических объектов.
В известной мере, насколько это возможно на младших
'курсах, учебное пособие дает представление о современных
численных методах расчета конструкций.
Механика материалов и конструкций — комплексная
дисциплина, включающая элементы механики деформируемого
твердого тела, строительной механики, прикладной теории
упругости, механики разрушения, динамики конструкций.
Видное место в этой дисциплине принадлежит механическим
свойствам конструкционных материалов и вопросам
конструкционной надежности.
Книга состоит из 16 глав. Первые две главы носят
вводный характер. В них дано представление об основных
моделях механики материалов и конструкций, излагаются начала
теории напряжений и деформаций. Глава 3 целиком
посвящена механическим свойствам конструкционных материалов.
Наряду с традиционными материалами рассмотрены
высокоэффективные композиционные материалы, получающие все
большее распространение в различных областях техники.
В главе 4 изложены основы теории надежности конструкций.
Здесь дано современное представление о выборе
коэффициентов запаса из вероятностно-статистических соображений.
Главы 5—8 в основной своей части следуют
традиционному изложению, принятому в курсах сопротивления
материалов. Здесь последовательно рассмотрены методы расчета
3

стержней на растяжение, сжатие, изгиб, кручение, а также
на сочетание различных воздействий.
Глава 9 посвящена вариационным методам расчета
напряжений, деформаций и перемещений в конструкциях
сложной формы и (или) структуры. Повышенное внимание к
вариационным методам обусловлено тем, что эти методы лежат
в основе большинства современных численных методов
расчета конструкций. Представление о наиболее употребляемом
методе — методе конечных элементов дано в 'конце главы.
В главе 10 изложены методы расчета статически
неопределимых стержневых систем.
Вопросы конструкционной прочности, впервые
затронутые в главе 4, более подробно освещены в главах 11 и 12.
В первой из них изложены инженерные методы расчета на
долговечность при циклическом нагружении, во второй
приведены начальные сведения из механики разрушения. Этих
сведений достаточно, чтобы выработать у студента
правильное представление о требованиях к трещиностойкости
конструкционных материалов.
Главы 13 и 14 содержат сведения из прикладной теории
упругости, необходимые для инженеров,
специализирующихся в области тепло- и электроэнергетики, не говоря о
будущих инженерах-механиках. Одна из глав посвящена расчету
пластин и оболочек, другая— расчету толстостенных
цилиндров давления и вращающихся дисков. Учебное пособие
завершается главами 15 и 16, которые дают начальные
сведения о методах расчета элементов конструкций на
устойчивость и вибрацию.
В связи с ограниченным объемом пособие содержит лишь
минимальное количество примеров. Авторы предполагают,
что кроме данного пособия, студенты будут работать с
задачником, содержащим развернутые решения типовых
задач, а также со специализированными учебными
пособиями (например, по методу конечных элементов, по
механике разрушения и т. п.). Кроме того, авторы пособия
рассчитывали, что студенты, которые специализируются в
энергомашиностроении, электромеханике, атомной
энергетике и других областях, требующих усиленной подготовки по
механике материалов и конструкций, «позднее вернутся к
изучению этих вопросов на более углубленном и
специализированном уровне в рамках специальных курсов.
Академик В. В. Болотин.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. ПРЕДМЕТ КУРСА «МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ
И КОНСТРУКЦИЙ»
Механика материалов и конструкций (ММК) — наука о
расчетах машин, конструкций и их элементов на прочность,
жесткость, устойчивость при гарантированной их
долговечности.
В сущности весь изложенный в книге курс механики
материалов и конструкций посвящен раскрытию важнейших
понятий: прочность, жесткость, устойчивость, а также
связанного с ними понятия механической надежности машин,
конструкций и их элементов. Ограничимся некоторыми
приближенными представлениями, вытекающими из практики.
Под прочностью будем понимать способность конструкций
сопротивляться действию внешних нагрузок и других
воздействий (например, температуры, смещения опорных
устройств и т. п.), не разрушаясь. Если в процессе указанных
внешних воздействий изменение формы и размеров
элементов конструкции настолько незначительно, что не приводит
к нарушению эксплуатационных функций 'конструкции,
считается, что конструкция обладает необходимой жесткостью.
Если малые внешние воздействия приводят к малым и
исчезающим при снятии воздействий отклонениям от
первоначально заданного положения равновесия конструкции или ее
элемента, тач<ое состояние равновесия называется
устойчивым: Срок, в течение которого конструкция сохраняет
заданные эксплуатационные функции, называют ее долговечностью.
Расчет на прочность, жесткость и устойчивость
преследует цель обеспечения механической надежности
проектируемой конструкции, т. е. сохранения заданных функций в
течение определенного срока эксплуатации. В результате этих
5

Таблица 1.1
Механика
оБш,ая
механика
Механика жидкосгг?и\
газа и плазмы
Механика де<рормирц&-\
мого твердого тела. I
Механика сплошной, среды
Механика материалов и конструкции.
расчетов определяются размеры (объем) конструкции, ее
материалоемкость и, в конечном счете, стоимость. Таким
образом, важнейшей задачей механики материалов и
конструкций, имеющей большое народно-хозяйственное значение,
является обеспечение в сочетании с рациональным
проектированием необходимой механической надежности и
долговечности конструкции и максимальной ее экономичности.
6

Механика материалов и конструкций является
втузовским курсом и принадлежит к механике, которая в свою
очередь вместе с математикой, физикой и астрономией
относится к физико-математическим наукам. Но, (как видно из
табл. 1.1, где приводится достаточно подробная
классификация важнейших разделов механики, ММК не нашлось места.
Однако видно, что ММК, являясь прикладным инженерным
курсом, включает в себя элементы различных разделов
механики деформируемого твердого тела — МДТТ (степень
представления ее разделов в ММК, очевидно, зависит от
программы курса).
Таким образом, в отличие от изучаемого ранее курса
теоретической механики, имеющей дело с моделью абсолютно
твердого тела, ММК, как и МДТТ, рассматривают поведение
под действием внешних сил конструкций, материал которых
описывается моделью деформируемого твердого' тела, т. е.
тела, форма и размеры которого изменяются под действием
приложенных внешних сил (нагрузок). Указанное
изменение формы и размеров тела получило название деформации.
Если после снятия нагрузки первоначальная форма и
размеры тела полиостью восстанавливаются, деформация
называется упругой. В противном случае имеем дело с
пластической или остаточной деформацией.
1.2. ПОНЯТИЕ О МОДЕЛЯХ И РАСЧЕТНЫХ СХЕМАХ
КОНСТРУКЦИЙ
Как следует из предыдущего параграфа, в механике
рассматривают н-е реальный материал, а его схематизированное
и идеализированное представление — модели.
То же относится к самим конструкциям,
схематизированные и идеализированные изображения которых получили
названия расчетных схем.
Рассматривая твердые тела как элементы расчетных схем
конструкции, дадим их классификацию по геометрическим
признакам (рис. 1.1).
1. Стержень (рис. 1.1, а)—тело, один из размеров
которого^ (длина /) значительно превышает (как правило, на
порядок и более) два других габаритных размера (например,
какого-либо поперечного сечения). Стержень можно
образовать движением в пространстве плоской фигуры, центр
тяжести которой скользит вдоль некоторой кривой (оси
стержня), а сама фигура остается перпендикулярной к этой кривой
7

Среоиннаа
поверхность
5)
')
Срединная
плоскость
и, таким образом, различные ее положения образуют
совокупность поперечных сечений стержня. При этом плоская
фигура может изменять в процессе движения свои размеры
(образуется стержень переменного поперечного сечения) и
даже вращаться в процессе движения вокруг оси
(образуется так называемый естественно закрученный стержень).
Например, расчетной схемой лопатки турбины или компрессора
будет естественно закрученный стержень переменного
поперечного сечения.
2. Оболочка (рис. 1.1,6)—тело, один из размеров
которого (толщина Н) мал по сравнению с двумя другими
габаритными размерами. Геометрическое место точек,
равноудаленных от образующих оболочку поверхностей, называется
ее срединной поверхностью. Срединная поверхность в теории
оболочек играет примерно такую же роль, что и ось
стержня в теории стержней. Толщина оболочки измеряется вдоль
нормали к срединной поверхности. Если срединная
поверхность является плоскостью, такую оболочку называют
пластиной (рис. 1.1, в).
8

Iя
V//////////// ' /7777777777777777
а) 5)
Рис. 1.3
3. Тело, у которого все три габаритных размера имеют
один порядок, называется массивным (рис. 1.1,г).
Методы расчета стержней изучают главным образом в
ММК. Стержневые системы (расчетные схемы конструкций,
составленные из стержней, соединенных в узлах)
рассматриваются в курсах строительной механики, элементы
которой входят и в программы курсов ММК. Пластинки и
оболочки являются предметом теории пластин и оболочек, но
элементы этой теории также включаются в программы
курсов ММК, как и элементы теории упругости и теории
пластичности, изучающие деформирование массивных тел.
Особый интерес для ММК представляют стержневые
системы, то есть расчетные схемы стержневых конструкций,
получаемые путем:
идеализации очертания стержней (идеально прямые
стержни; стержни, оси которых очерчены по идеальным
.кривым: окружности, квадратической параболе, катеноиду и др.);
идеализации соединений стержней (идеальные шарниры;
абсолютно жесткие узлы — соединение стержней под углом,
•величина которого при деформировании не меняется); на
рис. 1:2 шоказаны шарнирный узел А и жесткий узел В\
схематизации и идеализации опорных закреплений
(абсолютно жесткая заделка (на рис. 1.2—С); шарнирно-под-
вижная и шарнирно-неподвижная (на рис. 1.2 — /)) опоры,
содержащие идеальные шарниры и др.);
схематизации нагрузок (сосредоточенная, т. е.
приложенная в точке сила, нагрузка, распределенная вдоль некоторой
линии и др.).
В качестве примера показано, как рельс,
воспринимающий нагрузку Р от колеса через площадку контакта в окре-
9

стностй точки А (рис. 1.3,а), схематизируется стержнем,
лежащим на распределенном основании и нагруженным
сосредоточенной силой Р (рис. 1.3,6).
1.3. ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ МЕХАНИКИ МАТЕРИАЛОВ
И КОНСТРУКЦИЙ
Первые три гипотезы описывают свойства принимаемой
модели материала.
1. Гипотеза о сплошности материала гласит: отвлекаясь
от атомно-молекулярной, кристаллической и т. п. структуры,
считаем материал сплошной средой. Эта, пожалуй, самая
универсальная из гипотез о материале, принимаемая не
только во всех разделах механики деформируемого твердого
тела, но и в механике сплошной среды (механике жидкости
и газа, например), )к которым обычно относят и
деформируемые твердые тела.
Из этой гипотезы вытекают весьма важные для
методологии курса ММК (как и для других разделов механики
сплошных сред) следствия. Если материал — сплошная
среда, то это означает, что интересующие нас внутренние силы
(возникающие как следствие действия внешних сил) и
связанные с ними деформации и перемещения являются
непрерывными функциями координат. А это значит, что для
анализа и описания этих функций применим аппарат
математического анализа (дифференциальное и интегральное
исчисления).
И <как первое следствие из этой гипотезы — понятие о
напряжении. Одной из задач ММК является определение
внутренних сил, возникающих в результате приложения \к
деформируемому телу внешних сил (нагрузок). Внутренние силы,
действующие в некотором сечении (рис. 1.4, а) и являющие-
Ар- ч&З- ;^Л
* Ф 5) 6)
Рис. 1.4
10

ся результатом взаимодействия частей тела, расположенных
по разные стороны от сечения, непрерывно распределены
(как следствие гипотезы о сплошности материала) по
сечению. Выделим в этом сечении элементарную площадку АР,
равнодействующую сил, приходящихся на эту площадку,
обозначим через"АР (рис. 1.4,6). Тогда за меру внутренних
сил, действующих в данной точке сечения, следует принять
предел отношения
др-+о АР 6Р
представляющий собой внутреннюю силу, приходящуюся на
единицу площади (или интенсивность внутренних сил з
данной точке) и называемую полным напряжением. Обычно
полное напряжение принято разлагать на две составляющие —
по нормали к площадке и по касательной к ней ('как
показано на рис. 1.4,в). Эти составляющие называют
нормальным напряжением а и касательным напряжением т. Полное,
нормальное и касательное напряжения связывает
очевидное соотношение
а размерность напряжения определяется каж отношение
силы к площади
сНт р=[сила/площадь].
Более строгие представления о напряжениях и
деформациях даются в следующей главе.
2. Гипотеза об однородности и изотропности материала
утверждает, что свойства материала во всех точках
одинаковы (однородность), а для каждой точки одинаковы и для
всех направлений (изотропность). Неоднородные и
анизотропные материалы в данном (курсе не рассматриваются.
3. Гипотеза о связи между напряжениями и
деформациями. В данном курсе ограничимся рассмотрением линейно-
упругого материала, то есть материала, для которого связь
деформации и напряжения (диаграмма деформирования)
является линейной (рис. 1.5), а линии нагружения и
разгрузки совпадают. Данная зависимость между напряжением и
деформацией известна также как закон Гужа (подробно об
этом законе см. в следующей главе).
Таким образом, гипотезы 1—3 описывают модель
сплошного однородного изотропного и линейно-упругого материа-
11

Рис. 1.5 Рис. 1.6
ла, которая используется не только в ММК, но и в ряде
других разделов механики деформируемого твердого тела.
Следующая гипотеза, накладывающая ограничения на
величину деформаций и связанных с ними перемещений,
также получила широкое распространение во многих разделах
механики деформируемого твердого тела.
4. Гипотеза о малости деформаций и перемещений
предполагает, что упругие деформации и связанные с ними
перемещения элементов конструкций малы по сравнению с их
первоначальными размерами. Например, упругое удлинение
при растяжении стержня из конструкционной
малоуглеродистой стали не превышает 0,1% его первоначальной длины,
т. е. метровый стержень удлиняется не более, чем на
миллиметр. Из этой гипотезы вытекает широко распространенный
в практике инженерных расчетов так называемый принцип
неизменяемости первоначальных размеров при
деформировании конструкций, «который иллюстрируется примером,
приведенным на рис. 1.6. Из этого принципа следует, что при
составлении уравнений равновесия, мы, как и раньше в
курсе теоретической механики, используем модель абсолютно
твердого тела.
Обзор гипотез закончим изложением двух специфических
гипотез, относящихся к механике деформируемых стержней
и стержневых систем.
5. Гипотеза плоских сечений (гипотеза Д. Бернулли)
гласит: поперечные сечения, плоские и перпендикулярные коси
стержня до деформирования, остаются плоскими и
перпендикулярными к искривленной оси стержня и после
деформирования (рис. 1.7).
12

Рис. 1.7 Рис. 1.8
6. Гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия
продольных волокон принимает, что мысленно выделенные
в стержне параллельно его оси продольные волокна между
собой не взаимодействуют (или, как принято говорить, «не
давят друг на друга»), а эту гипотезу иногда называют
гипотезой о ненадавливании продольных волокон. Это означает,
что напряжения взаимодействия этих волокон
пренебрежимо малы по сравнению с рабочими напряжениями: а*<Саг,
оУ<вг (рис. 1.8).
Отметим, что гипотезы 5—6 выполняются тем точнее, чем
больше длина стержня превышает размеры его поперечного
сечения.
1.4. МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ
Одна из основных задач ММК состоит в определении
внутренних сил, возникающих в стержне под действием сил
внешних. Метод, позволяющий переводить
равнодействующие внутренних сил в разряд внешних сил и определять их
из условия равновесия отсеченной части стержня, получил
название метода сечений.
Поясним существо этого метода на примере стержня,
представленного на рис. 1.9. Внутренние силы, действующие
в заданном поперечном сечении, являются результатом
взаимодействия частей стержня, разделяемых этим сечением.
Мысленно отсекая и отбрасывая одну из частей, заменяем
действием отброшенной части на оставленную силами,
распределенными по сечению, которые по отношений к
оставленной части стержня становятся силами внешними, а их
равнодействующие, следовательно, могут быть определены
13

Рис. 1.9
из условий равновесия этой части стержня. Заменяя эти
силы их равнодействующими — главным вектором К и
главным моментом М (за точку приведения здесь принят центр
тяжести поперечного сечения — точка О), шесть их
скалярных составляющих определим из шести уравнений
равновесия указанной части стержня
2л:=0, 2тя=0,
2#=0, 2т„=0,
2г=0, 2т2=0.
Задача принципиально решена. Однако технически
удобнее систему координат, относительно которой составляются
уравнения равновесия, связать с поперечным сечением, в
котором эти силы определяются (рис. 1.10). Начало указанной
системы координат поместим в центре тяжести поперечного
сечения, ось Ог .направим по касательной «к оси стержня в
сторону от сечения, оси Ох и Оу поместим в плоскости
сечения, оставляя в выборе их положения некоторый
произвол, который устраним в дальнейшем.
Разложим главный вектор К и главный момент М в
каждом поперечном сечении по осям этой системы координат на
шесть скалярных составляющих (рис. 1.11) и назовем эти
14

Рис. 1.10 Рис. 1.11
составляющие внутренними силовыми факторами,
действующими в данном поперечном сечении. Несмотря, казалось бы,
на то, что этот прием разложения Р и М выполнен чисто
формально, как мы покажем ниже, внутренние силовые
факторы имеют вполне определенный физический смысл и
связаны также с вполне определенными видами деформации
стержня. Поэтому они получили следующие наименования:
\ЫХ — продольная сила, представляющая со'бой сумму
проекций внутренних сил, действующих в данном поперечном
сечении, на ось Ог\
<2* и С}у — поперечные силы (суммы проекций тех же сил
на оси Ох и Оу);
М2 — крутящий момент, представляющий собой сумму
моментов внутренних сил, действующих в данном
поперечном сечении, относительно оси Ог\
Мх и Му — изгибающие моменты (суммы моментов тех же
сил относительно осей Ох и Оу). Данные формулировки
являются также и определениями внутренних силовых
факторов.
Покажем, что каждый внутренний силовой фактор
связан с одним из основных видов деформации стержня.
Опираясь на гипотезу плоских сечений, по существу трактующей
поперечное сечение как абсолютно жесткую пластинку
(рис. 1.12), лишь перемещающуюся в пространстве при
деформировании стержня, уясним, что деформации стержня
полностью определяются разностью ее положений до и
после деформирования, а следовательно могут быть
выраженными через параметры перемещений этой пластинки. Таких
15

Рис. 1.12
параметров перемещений абсолютно твердого тела в
пространстве, как известно; шесть. Это — три линейных
перемещения ка'кой-либо точки тела (центр тяжести сечения —
точка О) вдоль каких-либо трех осей координат (шеремеще-
Т а блица 1.2
Характер
перемещения
поперечного сечения
Ось
Вид
деформации

Силовой

фактор
Характер деформации
Относительное по
ступаггельное
перемещение вдоль
оси
Ог
Растяжение
(сжатие)
Ох
Сдвиг
Оу
Л',
<2х
Относительное
вращательное
перемещение вокруг
оси
Ог
Ох
Оу
Кручение
Изгиб
мх
Му
^^
1 ~Г1 --^1
16

Рис. 1.13
ния и, V, хю вдоль осей Ог, Ох, Оу соответственно) и три
угла поворота тела относительно указанных осей (угловые
перемещения фг, фж, фу). Каждый такой параметр связан с
одним из основных видов деформации и соответствующим
этому виду деформации внутреннему силовому фактору
(табл. 1.2).
Поскольку внутренние силы возникают в стержне в
результате действия внешних сил (нагрузок), внутренние
силовые факторы однозначно выражаются через внешние силы.
Определим их для стержня (рис. 1.13), воспользовавшись
методом сечений. Отбрасывая левую часть стержня,
внутренние силовые факторы определим из равновесия правой его
части.
Если спроектировать все силы, действующие на правую
часть стержня, на ось Ог, то из шести силовых факторов в
это уравнение статики войдет лишь один — продольная
сила Ыг\
внеш
прав прав
2-1741 17

Отсюда
ЛГ2
•2г-
прав
(1.1)
Тот же результат, лишь с другим знаком получим,
рассматривая равновесие левой части стержня. Покажем это. Из
условия равновесия стержня в целом вытекает, что
внеш внеш
2* = о,- 22+22=0' 22=-2г'
прав лев прав лев
и тогда с учетом (1.1) получаем
внеш внеш
#г = -22= 22:
прав
внеш
2*
отс
(1.2)
Рассуждая аналогично, получаем соотношения для
выражения остальных силовых факторов через внешние силы и с
учетом (1.2) имеем:
ЛГЯ
М2 =
внеш
22
отс
1 внеш 1
2"Ч
о
тс. 1
, <э<=
мх =
1
внеш
2*
отс
, 0у =
внеш
2т*
отс
, Мг:
внеш
2,у
отс
>
внеш
2ОТ-
отс
(1.3)
Соотношения (1.3) дают правило вычисления силовых
факторов. Согласно этому правилу, например, продольная сила
Ы2 численно равна сумме проекций на ось Ог внешних сил,
действующих на отсеченную (левую или правую) часть
стержня, а крутящий момент Мг численно равен сумме
моментов относительно оси Ог тех же внешних сил. Аналогично
вычисляются и оставшиеся силовые факторы.
Отметим, что выражение «численно равен» здесь имеет
двоякий смысл. Во-первых, оно означает, что значения этих
силовых факторов вычисляются по модулю, а правила
знаков для них будут даны ниже. Во-вторых, оно подчеркивает,
что формулировки, вытекающие из соотношений (1.3), не
являются определениями силовых факторов, а дают лишь
способ их вычисления.
18

ГЛАВА 2
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ МАТЕРИАЛОВ
2.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ И ДЕФОРМАЦИЯХ
Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в
некотором сечении со стороны отброшенной части тела,
можно привести к главному вектору и главному моменту.
Зафиксируем точку М в рассматриваемом сечении с
единичным вектором нормали п. В окрестности этой точки
выделим малую площадку АР. Главный вектор внутренних сил,
действующих на этой площадке, обозначим через ДР (рис.
2.1). При уменьшении размеров площадки соответственно
Рис. 2.1 Рис. 2.2
уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних
сил, причем главный момент уменьшается в большей
степени. В пределе при &Р-+-0 получим
утЛ^=Рп. (2.1)
Аналогичный предел для главного 'момента равен «нулю.
Введенный таким образом вектор р„ называется вектором
напряжений в точке. Этот вектор зависит не только от
действующих на тело внешних сил и координат
рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки Д/7,
характеризуемой вектором п. Совокупность всех векторов
напряжений в точке М для всевозможных направлений
вектора п определяет напряженное состояние в этой точке.
В общем случае направление вектора напряжений рп не
совпадает с направлением вектора нормали п. Проекция
вектора рп на направление вектора п называется нормаль-
2*
19

Рис. 2.3
ным напряжением оп> а проекция на плоскость, проходящую
через точку М и ортогональную вектору п, — касательным
напряжением хп (рис. 2.2).
Размерность напряжений, как видно из формулы (2.1),
равна отношению размерности силы к размерности площади.
В международной системе единиц СИ напряжения
измеряются в паскалях: 1 Па = 1 Н/м2.
При действии внешних сил наряду с возникновением
напряжений происходит изменение объема тела и его формы,
т. е. тело деформируется. При этом различают начальное
(недеформированное) и конечное (деформированное)
состояния тела.
Отнесем недеформированное тело к декартовой системе
координат Охуг (рис. 2.3). Положение некоторой точки М
в этой системе координат определяется радиус-вектором
г (л:, у, г). В деформированном состоянии точка М займет
новое положение М\ характеризуемое радиус-вектором
г'(х, у, г). Вектор и=г'—г называется вектором
перемещений точки М. Проекции вектора и на координатные оси
определяют компоненты вектора перемещений и(х, у, г), V(x^
у, г), хю(х, у, г), равные разности декартовых координат
точки тела после и до деформации.
Перемещение, при котором взаимное расположение
точек тела не меняется, не сопровождается деформациями.
В этом случае говорят, что тело перемещается как жесткое
целое (линейное перемещение в пространстве или поворот
20

Рис. 2.4
Рис. 2.5
относительно некоторой точки). С другой стороны,
деформация, связанная с изменением формы тела и его объема,
невозможна без перемещения его точек.
Деформации тела характеризуются изменением
взаимного расположения точек тела до и после деформации.
Рассмотрим, например, точку М и близкую к ней точку Ы,
расстояние между которыми в недеформированном состоянии
вдоль направления вектора 8 обозначим через Дя (рис. 2.4).
В деформированном состоянии точки М и N переместятся
в новое положение (точки М' и ЛГ), расстояние между
которыми обозначим через Дз'. Предел отношения
Д5'— А5
г8 = Пт
Д5-*0 А5
(2.2)
называется относительной линейной деформацией в точке М
в направлении вектора 8. Рассматривая три взаимно
перпендикулярных направления, например, вдоль координатных
осей. Ох, Оу и Ог, получим три компоненты относительных
линейных деформаций е*, еу, е2, характеризующих изменение
объема тела в процессе деформации.
Для описания деформаций, связанных с изменением
формы тела, рассмотрим точку М и две близкие к ней точки N
и Р, расположенные в недеформированном состоянии в
направлении двух взаимно ортогональных векторов 81 и 82.
Расстояния между точками обозначим через Д$! и Аз2 (рис. 2.5).
В деформированном состоянии положение точек обозначим
через М'у И' и Р'. Угол между отрезками М'М' и ШРГ в
общем случае будет отличным от прямого. При Д$1 ->-0, Д$2-^0
изменение угла 412 между двумя ортогональными до
деформации направлениями называется угловой деформацией. Как
видно из рис. 2.5, угловая деформация складывается из двух
21

углов а\ и аз, связанных с поворотами отрезков М'Ы' и
М'Р' в -плоскости, образованной векторами «1 и з2,
относительно этих векторов. Если заданы три взаимно
ортогональных вектора, направленных вдоль координатных осей, то
имеются три угловые деформации у^, ухг и чуг, которые
вместе с тремя линейными деформациями ех, гу и е2 полностью
определяют деформированное состояние в точке.
2.2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ.
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
Вектор напряжений рп является физическим объектом,
имеющим длину, направление и точку приложения. В этом
смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому
объекту присущи некоторые свойства, не характерные для
векторов. В частности, величина и направление вектора
напряжений зависят от ориентации вектора п нормали
бесконечно малого элемента поверхности йР. Совокупность всех
возможных пар векторов п, рл в точке определяет
напряженное состояние в данной точке. Однако для полного
описания напряженного состояния в точке нет необходимости
задавать бесконечное множество направлений вектора п,
достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно
перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения
на произвольно ориентированных площадках могут быть
выражены через эти три вектора напряжений.
Рис. 2.6 Рис. 2.7
22

Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных
плоскости с векторами нормалей, направления которых
совпадают с направлениями 'координатных осей. Элементарные
площадки образуем дополнительными сечениями,
параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на
бесконечно малые расстояния их, йу> &г. В результате в
окрестности точки М получим бесконечно малый параллелепипед,
поверхность которого образована элементарными
площадками &Рх=&у&г, йРу=Ахйг} йР2=Ахйу. Векторы напряжений
Р*, РУу р2, действующие на элементарных площадках,
показаны на рис. 2.6.
Разложим каждый вектор напряжений на составляющие
вдоль координатных осей (рис. 2.7). На каждой площадке
действует одно нормальное напряжение ох, ау, а2, где индекс
обозначает направление вектора нормали к площадке и два
касательных напряжения % с двумя индексами, из которых
первый указывает направление действия компоненты
напряжения, второй — направление вектора нормали к площадке.
Совокупность девяти компонент напряжений (по три на
каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок)
представляет собой некоторый физический объект, называемый
тензором напряжений в точке. Тензор можно представить
в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив
девять компонент:
°=К, аи хю\. (2.3)
Ох
Ъух
Ъх
^ХУ
°У
хгу
^кг
хуг
Ог
Для компонент тензора напряжений общепринятым
является следующее правило знаков: компонента считается
положительной, если на площадке с положительной внешней
нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных
осей) эта компонента направлена в сторону положительного
направления соответствующей оси. На рис. 2.7 все
компоненты тензора напряжений изображены положительными.
На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани
параллелепипеда, не видимые на рис. 2.6 и 2.7)
положительная компонента направлена в противоположном
направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных
площадках с отрицательными направлениями нормалей также
характеризуют напряженное состояние в точке. Эти
напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений (2.3),
определяются аналогично напряжениям на площадках с по-
23

ложительной нормалью. Они обозначаются теми же
символами и имеют положительное направление, обратное
изображенному на рис. 2.7.
2.3. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ.
ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для
доказательства этого свойства рассмотрим элементарный
параллелепипед с действующими на его площадках
компонентами тензора напряжений (рис. 2.7). Так как тело
находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии
любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем
одно из шести уравнений равновесия этого объема, а
именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все
силы, кроме двух, либо не создают момента относительно оси
Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля
моменты создают компоненты %уг (верхняя грань) и хгу (правая
грань):
— (хуАх йу) йг+ (хгуйхйг) йу=0.
После сокращения на элемент объема йУ—>йхдуйг получим
Хуг:==1Хгу (^-V
Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил
относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения
Тэсг=='Т2Л;, %Ху'=\Хух. \^"^)
Условия симметрии (2.4) и (2.5) тензора напряжений
называются та.кже условиями парности касательных
напряжений: касательные напряжения, действующие по двум
взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях,
ортогональных ребру, образованному пересечением этих
площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти
компонент тензора напряжений независимыми оказываются
шесть 'компонент.
Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений,
определенные для трех взаимно перпендикулярных
площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в
точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора
напряжений на площадках, произвольно ориентированных
относительно выбранной системы (координат. Для этого
рассмотрим элементарный объем, образованный сечением
параллелепипеда, изображенного на рис. 2.7, плоскостью, пересекаю-
24

Рис. 2.8
щей координатные оси и имеющей единичный вектор
нормали п с компонентами пху пуу пг. На гранях полученного
таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют
напряжения, показанные на рис. 2.8. При этом вектор напряжений
рп на наклонной площадке разложен -на составляющие /?*,
ру, Рг вдоль координатных осей. Площади граней,
ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим
соответственно АРХ, АРУ, АРг, АР. Эти площади связаны
между собой соотношениями
АРх=АРпх, АРу=АРпу, АРг=АРпг, (2.6)
вытекающими из того, что грани, ортогональные
координатным осям, есть проекции наклонной площадки на
соответствующую координатную плоскость.
Проектируя силы, действующие на гранях элементарного
тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения
равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции
всех поверхностных сил на ось Ох дают
рхАР—охАРх—ххуАРу—ххгАРг=0.
С учетом соотношений (2.6) после сокращения на АР
получим уравнение, связывающее проекцию рх вектора напряже-
25

ний с соответствующими компонентами тензора напряжений.
Объединяя это уравнение с двумя аналогичными
уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оу и Ог,
приходим к следующим соотношениям
рх=ахпх-\-ххупу-\-хХ2пг,
ру=ХуХпх+ОуПу+ху2п2у (2.7)
Рг=Х2хПх+Х2уПу + 02П21
носящим название формул Коши. Эти формулы определяют
вектор напряжений на дроизвольно выбранной площадке с
вектором п через компоненты тензора напряжений.
Формулы (2.7) позволяют вычислить через компоненты
тензора напряжений полное напряжение
Рп=1/р2х+рУ2+Рг2, (2.8)
нормальное напряжение
Оп=рхпх+руПу+ргп2 (2.9)
и касательное напряжение (рис. 2.2):
тп=)Т/рп2-ап2. (2.10)
Среди всех возможных направлений вектора нормали п
существуют такие направления, для 'которых вектор
напряжений рп параллелен вектору п. На соответствующих
площадках действуют только нормальные напряжения, а
касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки
называются главными, а нормальные напряжения на этих
площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка
с единичным вектором нормали является главной. Условия
коллинеарности векторов рп и п есть условия
пропорциональности их компонент:
рх=опх, ру=опуу рг=опг.
С учетом формул Коши (2.7) получим систему линейных
однородных уравнений относительно неизвестных компонент
пх, пу, пг вектора нормали к главной площадке
(Ох—а) пх+ххуПу+хХ2п^=10у
хухпх+ {Оу—о)пу+хугп2=01 (2.11)
х2Хпх+х2упу+ (а2—о)пг=0.
Эта система уравнений имеет ненулевое решение, если
определитель, составленный из коэффициентов уравнений,
обращается в нуль:
26

1ух
"-ху
**У
^уг
=о.
(2.12)
Раскрывая определитель, приходим к кубическому
уравнению относительно главного напряжения о
б3-/,о2+/2о-/3=0. (2.13)
Здесь введены обозначения
**
*ху
Ух
+
°х
*Х2
+
0\,Т
У "-Уг
= ах(Уу+вхОг-\гву<Уг-№у+'*1г-\"*1г),
Л =
"-ху
"уг
= ах <*у °г + %*хи ххг хуг —
(2.14)
Уравнение (2.13) называется характеристическим
уравнением, для тензора напряжений. Коэффициенты (2.14) этого
уравнения называются инвариантами тензора напряжений.
Решение кубического уравнения (2.13) имеет три
вещественных корня аь 02, о3, которые обычно упорядочиваются о^
Каждому значению а*(/=»1,2, 3) соответствует вектор п\
характеризующий положение /-й главной площадки, с
компонентами п'ж, п\, п\. Для нахождения этих компонент
достаточно в уравнения (2.11) подставить найденное значение
в] и решить любые два *из этих ура'в'н-ший совместно с
условием нормировки
ОЮ'+ОФ'+ОЮ'-Ь (2.15)
Главные напряжения обладают важным свойством: по
сравнению со всеми другими площадками нормальные
напряжения на главных площадках принимают экстремальные
значения. Для доказательства этого свойства достаточно
исследовать на экстремум нормальное напряжение (2.9) как
функцию пху пу> пг при дополнительном ограничении (2.15).
Можно показать, что три главные площадки, соответствую-
27

щие главным напряжениям оь о2, о3, взаимно
перпендикулярны 'или, что- то же самое, векторы п* и пк, соответствующие
различным значениям / и к — ортогональны. Условие
ортогональности имеет вид
- п}хпкх+п}упку+п}гп\=Оу ЦФк). (2.16)
Кубическое уравнение (2.12) можно переписать в виде
(ст1—о) {в2—о) (а3—о) =0.
Приводя это уравнение /к виду (2.13), получим следующие
выражения для инвариантов (2.14) через главные
напряжения:
Л=01+а2+аз, /2=а1а2+^1^з+ст2аз, /з=01а2а3. (2.17)
Термин «инвариантность» обозначает независимость
некоторой величины от выбора системы координат.
Введем среднее (гидростатическое) напряжение по
формуле
Оо= (ая+ау+аж)/3 = (01+о2+о3)/3. (2.18)
Тензор напряжений (2.3) можно представить в виде суммы
двух тензоров о—8+Зу где
^ /Ч 0 0\ _ [ох — о0 1ХУ ххг \
5= 0 а0 0 \Л = [ %х °»-°о *уг \ (2Л9)
\0 0 а0/ \ хгх хгу аг—о0/
Первый тензор называется шаровым, он характеризует
изменение объема тела без изменения его формы. Второй
тензор, называемый девиатором, характеризует изменение
формы. Особенностью девиатора напряжений является
равенство нулю его первого инварианта:
1\ ((?) =ох+Оу+(5—3 а0 = 0.
Найдем положение площадок, на которых касательные
напряжения принимают экстремальные значения. Для этого
нужно отыскать экстремумы касательного напряжения (2.10)
при ограничении (2.15). Экстремальные касательные
напряжения действуют на площадках, параллельных одной из
главных осей и образующих с двумя другими осями угол
я/4. По величине эти напряжения равны
Т12=0,5(с1--о2), Т1з=0,5(а1—о3), Т2з=0,5(а2—о3). (2.20)
При этом на площадках с экстремальными касательными
28

Рис. 2.9
напряжениями присутствуют нормальные напряжения,
которые равны
012=0,5(01+02), О13 = 0,5(С1 + О3)> о23 = 0,5 (о2 + о3).
Фигура, которую образуют площадки с экстремальными
касательными напряжениями, изображена на рис. 2.9. Она
принадлежит к классу параллелоэдров и представляет собой
12-гранник с гранями в виде ромбов, отношение диагоналей
которых равно ~|/2.
2.4. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Рассмотрим важный для приложений случай плоского
напряженного состояния, реализуемого, например, в
плоскости Оуг. Тензор напряжений в этом случае имеет вид
~ /0 0 0\
а = (О оу чЛ
Геометрическая иллюстрация представлена на рис. 2.10. При
этом площадки л:=сопз1 являются главными с
соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты
(2.14) тензора напряжений равны /1=а1/+о2, /2==оуо2—т2„х>
29

Рис. 2.10
Рис. 2.11
/з='0, а характеристическое уравнение (2.13) принимает вид
О [О2— {Оу+Ог) О + ОуОг—х2Ух]= 0.
Корни этого уравнения равны
Оу+Ог
СГ2 = 0, 01,з
±1/(^1
+'"
уг.
(2.21)
Нумерация корней произведена для случая <71>0, о3<0.
Произвольная площадка характеризуется углом а на
рис. 2.10, при этом вектор п имеет компоненты: пу=соза,
/г2=51па, пх=0. Нормальное и (касательное напряжения
(2.9) и (2.10) на наклонной площадке выражаются через
угол а следующим образом:
аа = ^±^+ ^=12 со5 2а+ Ъг з1п2а,
02—Оу
31п2а+т.,гс05 2а.
(2.22)
(2.23)
Так как на главных площадках касательное напряжение
отсутствует, то, приравнивая нулю выражение (2.23),
получим уравнение для определения угла а между нормалью п
и осью Оу
1ё2а=-^. (2.24)
Наименьший положительный корень уравнения (2.24)
обозначим через «ь Так как !&(*)—периодическая функция с
периодом л, то имеем два взаимно ортогональных
направления, составляющие углы а\ и а2=а1+,я/2 с осью Оу. Эти
30

направления соответствуют
взаимно 'пер'пендикул я р н ы м
главным «площадкам (рис. 2.11).
Если продифференцировать
соотношение (2.22) по а и
приравнять производную нулю, то
придем к уравнению (2.24),что
доказывает экстремальность
главных напряжений.
Для нахождения
ориентации площадок с
экстремальными касательными
напряжениями приравняем нулю
производную от выражения (2.23)
(Ог—Оу) соз 2ат—2 ту251П 2ат=0,
откуда получим
1§2ат = !
Рис. 2.12
(2.25)
2иуг
Сравнивая соотношения (2.24) и (2.25), находим, что
*в2а*8 2ат=—1.
Это равенство возможно, если углы 2а
угол я/2. Следовательно, направления
малвными касательными напряжениями отличаются от
направлений главных (площадок на угол я/4 »(рис. 2:12).
Величины экстремальных касательных напряжений
получим после подстановки (2.25) в соотношение (2.23)
пользованием формул
1 _?._ « 18 2а
и 2а* отличаются на
площадок с экстре-
сис-
С05 2а =
31П 2а =
/1+*222а 1/1 + 1б22а
После некоторых преобразований получим
Т1з=У((а2-а!/)/2)2+т21/2. (2.26)
Сравнивая это выражение с полученными ранее
значениями главных напряжений (2.21), выразим
экстремальные касательные напряжения через главные напряжения
Т13=11/2(а1-Оз). (2.27)
Аналогичная подстановка в (2.22) приводит к выражению
для нормальных напряжений на площадках с ах
а1з=)1/2(а1+а3). (2.28)
31

2.5. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис.
2.13). Пусть плоский элемент ММРС} перемещается в
пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и
размеры). Координаты точек элемента до и после деформации
отмечены на рисунке.
По определению (2.2) относительная линейная
деформация в точке М в направлении оси Ох равна
Из рис. 2.13 следует
(2.29)
*'=/(
Учитывая, что МЫ—Ах, получим
В случае малых деформаций, когда (ди/дх)<^:1, (ду/дл;)<1,
можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом
приближенного соотношения
^^+x~^+x/2,
справедливого при х<^\, окончательно для малой
деформации получим
Рис. 2.13
32

&х"" а* '
Угловая деформация «у*у определяется как сумма углов
^ и сх2 (см. рис. 2.5 и 2.13). В случае малых деформаций
«1 «1б«1
а2^ ^§а2:
дх до
4x4- —-— (Зле
а*
-^
а*/ * ди
°У
Для -угловой деформации у^ имеем
а# дх
Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной
деформации, имеем девять соотношений
_ ди ___ дУ _ ди>
&х~ дх' &У~Ц' **~ дг' (2.30)
-. _ ди , ди ди , дни
ду дх дг дх
до , дш
связывающих линейные и угловые деформации с
перемещениями. Эти соотношения носят название соотношений Коши.
Три линейных и шесть угловых деформаций (2.30)
образуют тензор малых деформаций'
~ / ех 1ъ[ху /2^хг\
е=гКт« *, ЧшъЛ (2<31)
\ 1%[гх 1ъ\гу ег /
Этот тензор полностью определяет деформированное
состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и
тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно
следует из определения угловых деформаций. Главные
значения и главные направления, а также экстремальные зна-
3—11741 33

чения угловых деформаций и соответствующие им
направления находятся теми же методами, что и для тензора
напряжений. а ^
Инварианты тензора деформаций определяются
формулами, аналогичными (2.14) и (2.17), причем первый инвариант
тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл.
Для его выяснения рассмотрим элементарный объем,
изображенный на рис. 2.6. До деформации его объем равен йУ0=
= йхйуАг. Если пренебречь деформациями сдвига, которые
изменяют форму, а не объем, то после деформации ребра
будут иметь размеры (к-| (к, Ау-\ ду, Аг-\ йг (см.
дх ду дг
рис. 2.13), а его объем будет равен йУ= (1+е*) (1+е„) (1 +
-{-гг)АхАуйг. Относительное изменение объема
в пределах малых деформаций составит
6=1ех+еИ-82, (2.32)
что совпадает с определением первого инварианта.
Очевидно, что изменение объема есть физическая величина, не
зависящая от выбора системы координат.
Так же, как и тензор напряжений, тензор деформаций
можно разложить на шаровой тензор и девиатор по
формулам типа (2.19). При этом первый инвариант девиатора
равен нулю, т. е. девиатор характеризует деформацию тела без
изменения его объема.
2.6. УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ. ЗАКОН ГУКА
Действие внешних сил на твердое тело приводит к
возникновению в точках его объема напряжений и деформаций.
При этом напряженное состояние в точке, связь между
напряжениями на различных площадках, проходящих через
эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят
от физических свойств материала. Деформированное
состояние, связь между перемещениями и деформациями
устанавливаются с привлечением геометрических или
кинематических соображений и также не зависят от свойств материала.
Для того чтобы установить связь между напряжениями и
деформациями, необходимо учитывать реальные свойства
материала и условия нагружения. Математические модели, опи-
34

сывающие соотношения между напряжениями и
деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных
данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности
отражать реальные свойства материалов и условия
нагружения.
Наиболее распространенными для конструкционных
материале© являются модели упругости и 'пластичности.
Упругость— это свойство тела изменять форму и размеры под
действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную
конфигурацию при снятии нагрузок. Математически
свойство упругости выражается в установлении взаимно
однозначной функциональной зависимости между -компонентами
тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости
отражает не только свойства материалов, но и условия
нагружения. Для большинства конструкционных материалов
свойство упругости проявляется при умеренных значениях
внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при
малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет
температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал
называется линейно-упругим, если компоненты тензора
напряжений и тензора деформаций связаны линейными
соотношениями.
При высоких уровнях нагружения, когда в теле
возникают значительные деформации, материал частично теряет
упругие свойства: при разгрузке его первоначальные
размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном
снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные
деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и
деформациями перестает быть однозначной. Это свойство
материала называется пластичностью. Накапливаемые в
процессе пластического деформирования остаточные деформации
называются пластическими.
Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение,
т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные
из различных материалов, разрушаются при разной
величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при
малых деформациях и происходит, как правило, без замет-
пых пластических деформаций. Такое разрушение
характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла,
керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для
малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс
характерен пластический тип разрушения при наличии
значительных остаточных деформаций. Однако подразделение ма-
3*
35

териалов по характеру
разрушения на хрупкие и
пластичные весьма условно, оно
обычно относится к
некоторым стандартным условиям
эксплуатации. Один и тот
же материал может вести
себя в зависимости от
условий (температура, характер
нагружен'ия, технология
изготовления и др.) как
хрупкий или как пластичный.
Например, пластичные при
нормальной температуре материалы разрушаются как
хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить
не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или
пластическом состоянии материала.
Пусть .материал является линейно-упругим .и изотропным.
Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях
одноосного напряженного состояния (рис. 2.14), так что
тензор напряжений имеет вид
Рис. 2.14
При таком нагружении происходит увеличение размеров в
направлении оси О*, характеризуемое линейной деформацией
еж(0*)» -которая пропорциональна величине напряжения
гх(ох)=ах/Е. (2.33)
Соотношение (2.33) является математической записью
закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость
между напряжением и соответствующей линейной
деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент
пропорциональности Е называется модулем продольной
упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность
напряжений.
Наряду с увеличением размеров в направлении действия
напряжения ох происходит уменьшение размеров в двух
ортогональных направлениях (рис. 2.14). Соответствующие
деформации обозначим через еу(аж) и ег(ох), причем эти
деформации отрицательны при положительных сх и
пропорциональны гх:
36

Ъу{0х)=-—\1йх(0х), г2(ах) = —\хгх{ах). (2.34)
Коэффициент пропорциональности \х называется
коэффициентом Пуассона, который в силу изотропности материала
одинаков для обоих ортогональных направлений.
Соотношения, аналогичные (2.33) и (2.34), в случае
одноосного нагружения в направлении осей Оу, Ог
напряжением ау, а2 соответственно имеют вид
еу (су) =ау/Е, е* (оу) = — \хгу (оу), е2 (ау) = — \хеу (ау), (2.35)
гг(о2)=о2/Еу ех(ог)= — |ые2(а2), еу(а2) = — [хе2(а2). (2.36)
При одновременном действии напряжений по трем
ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения,
для линейно-упругого материала справедлив принцип
суперпозиции (наложения решений):
гх=\&х(ах) +гх{оу) +гх(ог) у
еу=ъу (ах) +еу (оу) +еу (а х),
бг=182 (оя) +е2 (оу) +е2 (о2).
С учетом формул (2.33) ... (2.36) получим
Е
е* = -^ К-|Ф*+ <*)]. (2^37)
Е
Касательные напряжения вызывают угловые деформации,
причем при малых деформациях они не влияют на изменение
линейных размеров, и следовательно, на линейные
деформации. Поэтому (2.37) справедливы также в случае
произвольного напряженного состояния и выражают так называемый
обобщенный закон Тука.
Угловая деформация уху обусловлена касательным
напряжением Хху, а деформации ухг и «уух — соответственно
напряжениями ххг и ту2. Между соответствующими касательными
напряжениями и угловыми деформациями для
линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные
зависимости
ТхУ ="7Г *ху* Тхг =: ~ тхг> Чуг — "ТГ т1/г» (2.3о)
37

Рис. 2.15
которые выражают закон
Тука при сдвиге.
Коэффициент пропорциональности О
называется модулем сдвига.
Существенно, что
нормальное напряжение не влияет
на угловые деформации, так
как при этом изменяются
только линейные размеры
отрезков, а не углы между
ними (рис. 2.14).
Линейная зависимость
существует также
между средним напряжением
(2.18), пропорциональным
первому инварианту тензора напряжений, и объемной
деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора
деформаций:
е=о0//С. (2.39)
Соответствующий коэффициент пропорциональности К
называется объемным модулем упругости.
В формулы (2.33).. .(2.39) входят упругие характеристики
материала Еу \х, О и /С, определяющие его упругие свойства.
Однако эти характеристики не являются независимыми. Для
изотропного материала независимыми упругими
характеристиками являются две, в качестве которых обычно
выбираются модуль упругости Е и .коэффициент Пуассона \х.
Чтобы выразить модуль сдвига О через Е и [х, рассмотрим
плоскую деформацию сдвига под действием касательных
напряжений т (рис. 2.15). Для упрощения вьикладок используем
квадратный элемент со стороной а. По формулам (2.21)
вычислим главные напряжения о\ = х> аз=—т. Эти
напряжения, как следует из (2.24), действуют на площадках,
расположенных под углом я/4 к исходным площадкам. Из рис.
2.15 найдем связь между линейной деформацией 81 в
направлении действия напряжения 01 и угловой деформацией
•у. Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию
еь равна
Для малых деформаций {% *у
С учетом этих соотношений
А'В'=Ца+а{%ч)2+а2.
1+7/2.
38

Л,В,=а-|/2(1+т/2).
До деформации 1эта диагональ -имела размер АВ = а^2.
Тогда будем иметь
_ А'ВГ-АВ = а/2(1-Ьу/2)—а/2" = у
81" ЛВ а/2 2*
Из обобщенного закона Гука (2.37) получим
1 * ч т(1 + ц)
в!= —(а1—[ха3)= 1^г/,
откуда
т=.2т(1+|х)/Я.
Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при
сдвиге (2.38) дает
0=Е/[2(Л+11)]. (2.40)
Сложим три соотношения упругости (2.37)
е=е,+ ^+з2=^К+(Т,+ аг). (2.41)
Е
С учетом обозначения (2.18) получим
Е °
Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (2.39),
приходим к результату
К=Е/[Ц1-21х)]. (2.42)
Механические характеристики Е, \ху О и К находятся
после обработки экспериментальных данных испытаний
образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла
все эти характеристики не могут быть отрицательными.
Кроме того, из (2.42) следует, что коэффициент Пуассона для
изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким
образом, получаем следующие ограничения для упругих
постоянных изотропного материала:
5>0, О>0, /С>0, 0^ц<1/2. (2.43)
Предельное значение |х-^1/2, как следует из (2.42),
приводит к предельному значению Д-м», что, согласно (2.39),
соответствует несжимаемому материалу (0-Я) при оо=^=0).
В заключение выразим из соотношений упругости (2.37)
39

напряжения через деформации. Запишем первое из
соотношений (2.37) в виде
Е
С использованием равенства (2.41) будем иметь
1 +и<
с — !_ п
откуда
■«,+
1 - 2 \1 8,
цЕ
0.
1+1* (1+М(1-2|1)
Аналогичные соотношения можно вывести для а„ и аг. В
результате получим
а*=2 Ое*+Л,9,
ау=2Сеу+Л0, (2.44)
а2=2 0е2+Я6.
Здесь использовано соотношение (2.40) для модуля сдвига.
Кроме того, введено обозначение
X = ^ = К — 20/3. (2.45)
(1+Ц)(1-2Ю * '
В справедливости последнего равенства можно убедиться
непосредственной подстановкой О и К из (2.40) и (2.42).
2.7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале элементарный объем АУ=йхйуАг
в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 2.14).
Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 2.16). На противо-
4Х
г1х(1.-Ех)
| бг^усСъ
Рис. 2.16
40

положную площадку действует сила охйуйг. Эта сила
совершает работу на перемещении гхйх. При увеличении
напряжения от нулевого уровня до значения ох соответствующая
деформация в силу закона Гука (2.33) также увеличивается
от нуля до значения е*, а работа пропорциональна
заштрихованной «а рис. 2Л7 'площади: АА =0,5с&х&У. Если
пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с
тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в
силу закона сохранения энергии совершаемая работа
перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе
деформирования: йА = &1!=0,5охехАУ. Величина Ф = -—
называется удельной потенциальной энергией деформации,
имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице
объема тела. В случае одноосного напряженного состояния
Ф=-720Л. (2.46)
При одновременном действии напряжений оху су и о2 на
главных площадках (т. е. при отсутствии касательных
напряжений) потенциальная энергия равна сумме работ,
совершаемых силами ахАуйг, вуАхАг, а2АхАу на
соответствующих перемещениях гхАх, гуАу, г2Аг. Удельная потенциальная
энергия равна
Ф = У2 (аА+ауе„+о,е,). (2.47)
В частном случае чистого сдвига в плоскости Оху,
изображенном на «рис. 2.18, сила ххуАхАг «совершает -работу на «пе-
УхусСу
Рис. 2.18
41

ремещении чхуйу. Соответствующая этому случаю удельная
потенциальная энергия деформации равна
Ф.= 72X^7-». (2.48)
Подобные соотношения будут иметь место при сдвиге в
других плоскостях.
В общем случае напряженно-деформированного
состояния будем иметь
Ф = 72 (Охгх+ОуЕу+ОгВ^ + ТхуУху+ЧхгЧхг + ТугЧуг) . (2.49)
Если деформации выразить через напряжения с помощью
соотношений упругости (2.37) и (2.38), то получим
эквивалентную (2.49) форму записи через компоненты тензора
напряжений
Фо = —[о1+о1+о1—2\ь(охОу + охог+оуоД] +
+ -^(4/+т|2 + т*2). (2.50)
Выразив напряжения через деформации с использованием
соотношений (2.38) и (2.44), получим еще одну форму
записи для Ф — через компоненты тензора деформаций
Фв-е[е» + е^е»+^в«+1/1(тЬ+Т« + Тга)} (2-51)
Еще одну форму записи для удельной потенциальной
энергии деформации получим, разложив тензоры
напряжений и деформаций на шаровые тензоры и девиаторы по
формулам типа (2.19). В результате (2.49) можно привести к
одной из форм
ф= V, (<т,е + тТ) = V* (Ке2+От2)= 1/,(-^-+-^-)- (2-52)
где использованы обозначения (2.18), (2.32), (2.40) и (2.42).
Кроме того, введены обозначения для т — интенсивности
касательных напряжений и «у — интенсивности деформаций
сдвига, которые выражаются через вторые инварианты
-М^а) и /з(^е) девиаторов тензора напряжений и тензора
деформаций следующим образом:
Т2= -]2 Щ, Т2= _4/2 Щ. (2.53)
Первые слагаемые в (2.52) соответствуют произведению
шаровых составляющих тензоров напряжений и деформа-
42

ций, а вторые — произведению девиаторных составляющих.
Так ка'к шаровой тензор характеризует изменение объема,
а девиатор — изменение формы, то соотношения (2.52)
можно интерпретировать «как разложение удельной
потенциальной энергии на две составляющие: Ф = Ф0+Фф> где Ф0
соответствует изменению объема без изменения формы, а Фф —
изменению формы без изменения объема. Первая
составляющая с учетом (2.18) и (2.42) будет вычисляться через
компоненты тензора напряжений следующим образом:
Ф0-^К+^ + а2)2. (2.54)
Удельную потенциальную энергию изменения формы проще
найти не через интенсивность касательных напряжений, а
как разность Ф—Ф0. Вычитая (2.54) из (2.50), после
преобразований получим
Фф = -1^[о1 + о1+а1-(ахау+ахаг+ауаг)} +
+ -±г(*1у+*%х* + *1*)- (2.55)
2.8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
Под прочностью элементов конструкций понимается
свойство сопротивляться разрушению (разделению на части) или
необратимому изменению формы (пластическому
деформированию) под действием внешних нагрузок. Нарушение
прочности соответствует переходу .конструкции или ее элементов
•в предельное состояние. Согласно ГОСТ 27.002—89
«Надежность в технике. Термины и определения» предельным
состоянием называется такое состояние конструкций, при «котором
ее дальнейшее применение по назначению недопустимо или
нецелесообразно. В зависимости от характера разрушения
материала различаются два типа предельных состояний:
хрупкое разрушение и появление пластических деформаций
(текучести).
В простейшем случае одноосного напряженного
состояния, когда на одной »из площадок действует нормальное
напряжение а, условие перехода в предельное состояние
записывается в виде
о=с*, (2.56)
43

где с* — предельное значение напряжения, соответствующее
переходу в предельное состояние. Так как напряжения
определены в точке тела, то условие (2.56) характеризует
предельное состояние в определенной точке конструкции, а не
предельное состояние конструкции. Предельное состояние
конструкции характеризуется выполнением условия (2.56)
для наиболее нагруженной точки в случае хрупкого
состояния материала. Для пластического состояния материала
предельное состояние конструкции означает выполнение
условия (2.56) для некоторой конечной области.
При сложном напряженном состоянии основная задача
теории прочности — найти такое соотношение между
компонентами тензора напряжений, когда в данной точке
нагруженной конструкции наступит предельное состояние. Это
соотношение можно представить в виде уравнения
ф(о*, оУ, а2, тХ1/, т*2, туг)=0, (2.57)
которое в шестимерном пространстве (с учетом парности
касательных напряжений) представляет некоторую поверхность.
Для более наглядной иллюстрации перейдем к главным
напряжениям, которые также характеризуют напряженное
состояние в точке. Уравнение (2.57), записанное через главные
напряжения
*(01, о2, Оз)=0, (2.58)
есть уравнение предельной поверхности Г, соответствующей
переходу в предельное состояние (рис. 2.19). Эта
поверхность является границей области Й, называемой областью
допустимых состояний. Точка М(о\, 02, аз) в пространстве
главных напряжений соответствует заданному
напряженному состоянию. Если эта точка находится в области
допустимых состояний
М©0, (2.59)
то прочность обеспечена.
Условие (2.59) есть условие
прочности. Выход точки М из области
й через поверхность Г означает
переход в предельное состояние.
Предельное состояние есть
*■ состояние материала, из которого
^ изготовлена конструкция. Это
состояние определяется
свойствами материала и
регистрируется опытным путем, испы-
44

танием образцов или деталей, выполненных из данного
материала при различных типах нагружения. В принципе
можно провести большое число испытаний образцов при
различных видах напряженного состояния, зафиксировать в
•каждом опыте факт наступления предельного состояния за
счет постепенного пропорционального увеличения компонент
тензора напряжений и экспериментально построить
предельную поверхность. Однако осуществление подобной серии
экспериментов весьма сложно технически и экономически
нецелесообразно. Можно зафиксировать наступление
предельного состояния в сравнительно простых и доступных
опытах, например, при испытаниях призматических образцов на
растяжение или кручение. С точки зрения наступления
предельного состояния эти эксперименты будут эквивалентны
экспериментам, реализующим сложные виды напряженного
состояния. Наиболее просто осуществить испытания при
одноосном напряженном состоянии, для которого уравнение
предельной поверхности (2.58) принимает вид (2.56). С
математической точки зрения переход от уравнения (2.58) к
эквивалентной форме записи (2.56) следующий. Запишем
уравнение (2.58) в виде
/(01, 02, аз) =о*.
Если обозначить
Сэкв=/(аь о2, а3), (2.60)
то уравнение (2.58) можно 'привести к виду (2.56)
аЭКв=а*. (2.61)
При этом величина а* в правой части уравнения (2.61)
имеет смысл предельного напряжения при одноосном
напряжений.
Рис. 2.20
45

_„ ——О у" ~ ~^
ч_ г ^^^^ _/ бш
я °*
Рис. 2.21
ном состоянии, а аЭкв(оь стг, аз)—некоторое напряжение,
соответствующее одноосному напряженному состоянию,
эквивалентному заданному сложному напряженному
состоянию с точки зрения наступления предельного состояния
(рис. 2.20).
Переход от уравнения (2.58) /к уравнению (2.61)
эквивалентен отображению области Й в трехмерном пространстве
главных напряжений в аналогичную область в одномерном
пространстве (рис. 2.21). При таком отображении область й
становится отрезком прямой, а предельная поверхность
стягивается в точку. Условие прочности (2.59) принимает вид
аЭКв<а*. (2.62)
В силу отмеченных выше принципиальных трудностей,
связанных с нахождением предельной поверхности на основе
опытных данных, основной задачей теории прочности
становится теоретическая аппроксимация этой поверхности путем
принятия некоторых гипотез о причине и характере
наступления предельного состояния. Осуществляется это
следующим образом. Из физических соображений, основанных на
имеющихся опытных данных, выделяется определяющий
фактор, имеющий ясный механический смысл, количественно
выражаемый через 'компоненты тензора напряжений и
ответственный за наступление предельного состояния. Так как
наступление предельного состояния есть свойство материала,
не зависящее от вида напряженного состояния, то
предельное значение выбранного фактора будет одинаковым для
сложного напряженного состояния и для эквивалентного ему
одноосного напряженного состояния. Таким образом
устанавливается теоретическим путем зависимость (2.60) между
эквивалентным напряжением и компонентами тензора
напряжений при сложном напряженном состоянии.
Выбор определяющего фактора, характеризующего
наступление предельного состояния, определяет критерий
прочности. В зависимости от выбора того или иного критерия
прочности можно получить различные аппроксимации
предельной поверхности, отличающиеся между собой и имею-
46

щие разные степени точности. Для проверки выбранного
критерия прочности и оценки связанной с этим выбором
точности проводятся доступные опыты в условиях сложного
напряженного состояния. Выбор критерия прочности
определяется многими факторами, главными из .которых являются
свойства материала, в частности, прочностные свойства,
определяющие характер предельного состояния — хрупкое
разрушение или появление текучести.
2.9. КРИТЕРИИ ТЕКУЧЕСТИ И ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Критерий текучести Треска—\Сен-Венана (критерий
наибольших касательных напряжений). Многочисленные
эксперименты над образцами из пластического материала
показывают, 'что причиной «перехода из упругого состояния в
пластическое является сдвиг частиц материала друг
относительно друга по площадкам, на 'которых действуют наибольшие
•касательные напряжения. Поэтому в ^качестве критерия
перехода в критическое состояние естественно выбрать величину
этих напряжений. Согласно этому критерию предельное
состояние наступит тогда, ".когда наибольшее касательное
напряжение достигает предельного значения т*, не зависящего
от вида напряженного состояния, а зависящего только от
свойств материала.
Таким образом, условием наступления текучести
является выполнение условия
Ттах = Т* (2.63)
независимо от вида напряженного состояния. При
выполнении условия 01>02>аз наибольшее из экстремальных
касательных напряжений (2.20) равно
Ттах=(01—а3)/2. (2.64)
Для эквивалентного одноосного напряженного состояния
имеем
Ттах = аЭкв/2. (2.65)
Сравнивая предельные соотношения (2.61) и (2.63), с
использованием (2.65) получим связь предельного значения т*
с предельным значением о*, т. е.
т* = а*/2.
Приравнивая выражения (2.64) и (2.65), получим
функциональную зависимость (2.60) по данному критерию
47

Рис. 2.22
аэкв=(П—о3. (2.66)
Предельная поверхность (2.61) в трехмерном
пространстве главных напряжений представляет собой боковую
поверхность правильной шестигранной призмы, ось 'которой
образует одинаковые углы с координатными осями. Такая
призма называется призмой Кулона. Более наглядно
представление о предельной поверхности в случае плоского
напряженного состояния, задаваемого главными
напряжениями Ох и оу (а2=0). Тогда сечение предельной поверхности —
есть предельная линия, которая строится следующим
образом. В первом квадранте (аж>0, ау>0) при выполнении
условия ох>ву будем иметь о\ = оху 02=оу, а3=а2=<0, оЭКв=<Тх.
Условие (2.61) дает уравнение ох=о* отрезка АВ
предельной (кривой на рис. 2.22. В этом же квадранте при ох<Ссу
получим о\=<оу, 02=0*, Сз=Сг=0, что соответствует
уравнению ау=1о* предельной кривой (отрезок ВС). Во втором
квадранте (ах<0, ау>0) имеем 0\=<5У, а2=а2=0, оз=оху
Оэкв=1оу—ох, а условие (2.61) приводит к уравнению ау—ох=
=а* отрезка СО. Аналогичным образом строятся остальные
отрезки предельной кривой, представляющей собой
шестиугольник Треска, изображенный на рис. 2.22. Перемещая
центр этого шестиугольника вдоль прямой, равнонаклонен-
ной к координатным осям Оох, 0\оу, Осг 'получим предельную
поверхность.
Критерий текучести Губера—Мизеса. Недостатком
критерия Треска—Сен-Венана является то, что он -не учитывает
48

среднее по величине главное напряжение ог. Было бы
желательно выбрать в качестве определяющего фактор,
зависящий от всех компонент тензора напряжений. Одним из
таких факторов является удельная потенциальная энергия
деформации (2.50). Эксперименты показывают, однако, что
нагружение образцов из пластичного материала, при
котором меняется только объем без изменения формы, не
приводит к достижению предельного состояния — текучести.
Причиной наступления текучести является искажение
формы. Соответствующий критерий формулируется следующим
образом: текучесть наступит при достижении удельной
потенциальной энергией изменения формы предельного
значения Ф*, не зависящего от вида напряженного состояния, а
зависящего только от свойств материала.
Согласно этому критерию условие наступления текучести
записывается в виде
ФФ=.Ф*. (2.67)
Удельная потенциальная энергия изменения формы (2.55),
выраженная через главные напряжения, равна
Фф = -^[01+°22+<УЪ--(0102+в103+0203)}. (2.68)
ОС
Это выражение путем элементарных преобразований может
быть приведено к виду
ФФ=^1((Т1-(Т2)2+(а1-аз)2+((Т2-(Тз)2],
оЕ
или с учетом (2.20) для экстремальных касательных
напряжений
ЗЕ
Последняя формула подтверждает экспериментальные
данные о механизме наступления текучести за счет действия
касательных напряжений.
Для эквивалентного одноосного напряженного состояния
ФФ = -^о?кв. (2.69)
Предельное значение Ф* равно
<■>. = -!
Сравнивая (2.68) и (2.69), получим
ЗЕ *
4-1741
49

аЭкв=Т/а^+022+аз2— (а^+с^з+Огаз). (2.70)
В пространстве главных напряжений предельная
поверхность представляет собой бошвую «поверхность цилиндра,
описанную по отношению к призме Кулона в критерии
Треска—СеннВенана. В случае плоского напряженного состояния
с главными напряжениями ах, ау, аг=0 по формулам (2.70)
и (2.61) получим
о жъ=(]/ох2+Оу2—охОу=10*. (2.71)
Это есть уравнение линии текучести, полученное сечением
предельной поверхности плоскостью а2=0, в виде эллипса,
описанного около шестиугольника Треска (рис. 2.22). При
этом максимальное расхождение двух критериев составляет
13,4%.
Рассмотрим частный случай плоского напряженного
состояния, для которого тензор напряжений имеет вид
^ /а т 0\
<* = х 0 0 •
\0 0 0/
Для этого случая (2.21) дают
а1 = 0,5с+Ус2/4+'т2, о2=0, а3=0,5а—Уа2/4+т2.
По критерию Треска—Сен-Венана (2.66) получим
аЭкв=-|/с2+4т2. (2.72)
Критерий Губера—Мизеса (2.70) дает
аэкв=1уа^+3т2. (2.73)
Уравнение предельной поверхности (2.61) по этим
критериям принимает вид
уа2+4т2=0*, -|/о2+Зт2=^. (2.74)
Возводя в квадрат и разделив левую и правую части на а*2,
уравнения (2.74) можно привести к виду
а2/а2+т2/62=1
Это есть уравнение эллипса с полуосями о*, 0,5 а* для
.критерия Треска—Оен-Венана и а*, С*/У3~— для критерия
Губера—Мизеса. Соответствующие кривые текучести
изображены на рис. 2.23. Наибольшее расхождение при а=0
составляет 13,4%. Эксперименты, проведенные для данного вида
50

Рис. 2.23
напряженного состояния,
показывают лучшее
согласование с критерием Губера—
Мизеса.
Критерий максимальных
нормальных напряжений.
Для хрупкого состояния
материала разрушение
происходит путем отрыва
частиц материала. Другой
особенностью хрупкого
материала является его различная
сопротивляемостыпри действии растягивающих и сжимающих
напряжений, т. е. хрупкие материалы лучше работают на
сжатие, чем на растяжение. Простейший -критерии хрупкого
разрушения формулируется следующим образом: разрушение
наступит при достижении максимальным нормальным
напряжением предельного значения а*, характеризующего
свойства материала и не зависящего от вида напряженного
состояния. В силу экстремальных свойств главных напряжении в
качестве максимального нормального напряжения выступает
главное напряжение 01 (при выполнении условия (71 >а2>а3).
По этому -критерию
азкв=с, (2-75)
Рис. 2.24
61

Для плоского напряженного состояния а*, ау, а2=<0
соответствующая предельная линия показана на рис. 2.24
штриховой линией.
Родственным предыдущему критерию является критерий
максимальных линейных деформаций: разрушение наступит
при достижении максимальной линейной деформацией
предельного значения е*, характеризующего только свойства
материала и не зависящего от вида напряженного
состояния. Линейные деформации находятся из закона Гука (2.37).
Экстремальные значения эти деформации принимают вдоль
главных направлений, среди .которых максимальное
значение равно
61 = [01 — \л(02+Оз)]/Е.
Приравнивая это значение соответствующей деформации при
эквивалентном одноосном напряженном состоянии
е1 = аЭкв/^,
получим
аэкв=<С1—[х(а2+0з). (2.76)
Сечение предельной поверхности для плоского
напряженного состояния показано на рис. 2.24 штрихпунктирной линией,
построенной при (ы = 0,3.
Приведенные критерии хрупкого разрушения
экспериментально подтверждаются для весьма хрупких материалов
типа керамики, кирпича, некоторых марок чугуна. Основным
недостатком этих критериев является то, что они не
описывают разрушение при действии сжимающих напряжений,
при которых разрушение происходит не за счет отрыва, аза
счет сдвига. Свободным от этого недостатка является крите-
^^и~
2
1
О
1 N
1
_|
2.
\г
13
Ъ
Рис. 2.25
52

рий Мора, согласно которому разрушение происходит по
площадкам с экстремальными касательными напряжениями
за счет действия нормальных и касательных напряжений на
этих площадках. На площадке с максимальным
касательным напряжением действуют напряжения (2.27) и (2.28)
Т1з=(01-а3)/2, 01з = (01+03)/2. (2.77)
Критерий Мора устанавливает связь между этими
напряжениями в предельном состоянии. На рис. 2.25 на плоскости
параметров о^, Т13 показана предельная кривая,
построенная теоретически и подтвержденная данными экспериментов.
Точ1ка А на этой кривой соответствует опытам на одноосное
растяжение с предельным значением разрушающего
напряжения с*, точка С — сжатию с предельным значением
разрушающего напряжения а**, точка В — чистому сдвигу.
Если предельную кривую аппроксимировать прямой,
проходящей через точ-ки Л и С, то получим уравнение
Т1з=а+&013. (2.78)
Константы а и Ь находятся из рассмотрения напряженного
состояния в точках Л и С с использованием формул (2.77)
и (2.78):
720* =0+72*0*, 720** = Я—1/2Ь0**.
Решая эти уравнения относительно а и Ь, находим
а=|а*а**/(а*+а**),
6= (а*—а**)/(а*+а**).
Подставляя полученные константы в уравнение (2.78), с
учетом формул (2.77) запишем уравнение предельной 'кривой
через главные напряжения
0[—о*Ог/а** = о*. (2.79)
Сравнивая уравнение (2.79) с соответствующим уравнением
для эквивалентного одноосного растяжения, имеем
выражение для эквивалентного напряжения «по критерию Мора
Ожв—0\—тез, (2.80)
где введено обозначение
/п=1а*/а**. (2.81)
Для случая плоского напряженного состояния о*, а„, сг=<
= 0 предельная кривая (2.79) (прямая АС на рис. 2.25) на
плоскости параметров сх, оу, имеет вид, показанный на
рис. 2.24 сплошными линиями (т=«1/3).
53

Следует отметить, что критерий Мора хорошо
согласуется с экспериментальными данными как для хрупких, так и
для пластичных материалов. Для большинства пластичных
материалов можно принять о*=ю**. В этом случае
результаты по критерию Мора и критерию Треска—Сен-Венана
совпадают (см. формулы (2.66) и (2.80) при т=1, а также
рис. 2.22 и 2.24).
ГЛАВА 3
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Механические характеристики определяются следующими
факторами:
веществом, его структурой и свойствами;
конструктивными особенностями элемента, т. е.
размерами, формой, наличием (концентраторов, состоянием
поверхности;
условиями при нагружении: температурой, скоростью,
повторяемостью нагрузки и др.
Конструкционные материалы в процессе деформирования
вплоть до разрушения ведут себя по разному. Пластичное
поведение характеризуется существенным изменением
формы и размеров, при этом к моменту разрушения
развиваются значительные деформации, не исчезающие после снятия
нагрузки. Такие материалы называют пластичными. При
хрупком поведении разрушение наступает при весьма малых
деформациях, и материалы с такими свойствами называют
хрупкими. Однако одни и те же конструкционные
материалы, находящиеся в различных условиях деформирования,
ведут себя по разному: при одних условиях проявляют себя
как пластичные материалы, при других — как хрупкие.
В связи с этим, основные макромеханические
характеристики материалов — упругость, пластичность, вязкость и др.
правильнее относить не к их свойствам, а к состояниям
материала.
3.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
В упругом состоянии деформации обратимы, и вся
энергия, затраченная на деформирование, при разгрузке возвра-
54

щается (диссипация энергии отсутствует). Для любого
твердого тела процесс деформирования начинается с упругой
деформации. Изотропное тело имеет две константы
упругости— модуль упругости Е и коэффициент Пуассона |х. Для
анизотропных тел число упругих констант в общем случае
равно 21. Из основных констант упругости можно получить
их производные — модуль сдвига О (2.40), модуль объемной
деформации К (2.42) и постоянную Ламе Я (2.45).
Вязкое сопротивление — в некотором смысле
противоположно упругому — работа внешних сил, уравновешенных
силами вяз/кого сопротивления, полностью рассеивается в виде
тепла. Вязкое сопротивление определяется величиной
касательной силы, необходимой для поддержания ламинарного
скольжения слоев, или течения с определенной скоростью.
Таким образом вязкость можно определить 'как
сопротивление течению.
Представление о вязкоупругой деформации дает
поведение моделей, сочетающих свойства вязкости и упругости в
такой последовательности: при нагружении тела в нем
возникает мгновенная упругая деформация, подчиняющаяся
закону Гука; далее при том же максимальном напряжении
наблюдается вяз»кая деформация, подчиняющаяся закону
Ньютона.
Наиболее распространенными в теории линейной вязко-
упругости являются реологические модели Максвелла и
Фойгта, дающие связь между напряжениями и
деформациями и скоростями их изменения:
дг 1 до . о АЯ
— = модель Максвелла,
д1 Е д1 т]
сг=е/?е + 71—- модель Фойгта,
д1
где г] — коэффициент вязкости.
Пластическое состояние — характеризуется наличием
остаточных деформаций, фиксируемых после снятия внешних
нагрузок. Объем тела при пластической деформации не
изменяется; условие постоянства объема записывается в виде
6 = ех+е1/+'ег=0, (эксперименты показывают, что изменение
объема не превышает 0,5%).
В случае, когда все напряжения изменяются
пропорционально одной из составляющих, в процессе пластической
деформации направления главных деформаций совпадают с
направлениями главных нормальных напряжений, направле-
55

ния максимальных сдвигов — с направлениями
максимальных касательных напряжений, а главные направления де-
виатора напряжений — с главными направлениями девиато-
ра деформаций.
Одной из распространенных моделей поведения
материала при упруго-пластических деформациях является модель
пластичности, основанная на деформационной теории
Генки—Ильюшина, описываемая уравнениями:
Е
ег-е=ф-±±^(аг-а),
Е
Здесь
е==7з(еа+81/+б2) —средняя деформация,
о = ,/з(аЯс+ау+а,) —среднее напряжение,
-ф — безразмерный коэффициент, называемый параметром
пластичности (с точностью до множителя он совпадает с
интенсивностью касательных напряжений). При \|)=1 эта
модель описывает поведение упругого материала.
Высокоэластическое состояние— наиболее характерно для
полимеров; особенностями этого состояния являются
большая изменяемость формы и деформирование без изменения
объема. Для материалов, находящихся в
высокоэластическом состоянии, наблюдается существенная зависимость их
свойств от длительности и скорости нагружения,
температуры и т. д.
Состояние разрушения — состояние, при котором за счет
интенсивного развития трещин в материале тела начинается
нарушение его сплошности и непрерывности. Физический
процесс разрушения материала представляется в виде двух
основных стадий — стадии рассеянных разрушений
(зарождение и развитие микроскопических трещин) и стадии
развития магистральной трещины. Очаги зарождения
микротрещин распределены по всему объему материала,
находящегося в однородном напряженном состоянии, достаточно рав-
56

номерно. Относительная длительность первой и второй
стадии разрушения зависит от свойств материала, характера
напряженного состояния и условий нагружения.
3.2. ДИАГРАММЫ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Основным опытом для определения механических
характеристик конструкционных материалов является опыт на
растяжение призматического образца центрально
приложенной силой, направленной по продольной оси; при этом в
средней части образца реализуется однородное напряженное
состояние. Форма, размеры образца и методика проведения
испытаний определяются соответствующими стандартами,
например, ГОСТ 34643-81, ГОСТ 1497-73. По результатам
испытаний строится зависимость о=\Цг) между
напряжениями о=Р/Р и деформациями г=А>1/1, которая называется
диаграммой деформирования. Опыты на растяжение
образцов выявляют некоторые общие свойства конструкционных
материалов — свойства упругости и пластичности. На рис. 3.1
показаны типичные кривые деформирования при растяжении
образцов из материала сталь 30 и сталь 40Х.
Если напряжения не превышают апц — предела
пропорциональности (точка 1 на диаграмме), и зависимость между
гмПаГ
о 00 V
400 \
200 \
1
О [
Г \
к*
V
4
'
' е(г)
~~~~~1
V?
А
,1
1
в\
°,1
^ ""П
<1
^
е(
■С!
Г -
' I
8-
^4ох
Сталь 30
/
V?
\
\ ~^
'I I
0,2 0,25
^5|
I
I;
/
Г
Рис. 3.1
57

напряжениями и деформациями линейна, то она описывается
законом Гука о=Ег, где Е — модуль продольной упругости
материала. Размерность модуля упругости—Н/м2 (Паскаль).
Значение модуля упругости Е на кривой деформирования
о=|/(е) численно равно тангенсу угла наклона линейного
участка: Е=^ р. Таким образом, величину Е можно
рассматривать как характеристику упругого сопротивления или
как характеристику интенсивности нарастания напряжения
с увеличением деформации. Физический смысл
коэффициента Е определяется как напряжение, необходимое для
увеличения длины образца в два раза. Такое толкование
довольно искусственно, поскольку величина упругого удлинения у
большинства твердых тел редко достигает даже 1%.
Напряжения, являющиеся верхней границей проявления
чисто упругих деформаций, соответствуют точке 2
диаграммы и называются пределом упругости оупр.
Точка 3 диаграммы характерна тем, что при достижении
напряжениями величины о=от (от — предел текучести),
дальнейшее удлинение образца (для малоуглеродистых
сталей) происходит практически без увеличения нагрузки. Это
явление носит название текучести, а участок диаграммы,
расположенный непосредственно правее точки 3, называется
площадкой текучести. При этом полированная поверхность
образца мутнеет, локрывается ортогональной сеткой линий
(линии Чернова—Людерса), расположенных под углом 45°
к продольной оси образца — по направлению плоскостей
действия максимальных касательных напряжений.
У многих конструкционных материалов площадка
текучести не выражена столь явно, как у малоуглеродистых
сталей. Для таких материалов вводится понятие условного
предела текучести с5; это напряжение, которому соответствует
остаточная (пластическая) деформация, равная 5 %.
Обычно принимается 5=0,2%.
После площадки текучести для дальнейшего увеличения
деформации необходимо увеличение растягивающей силы.
Материал снова проявляет способность сопротивляться
деформации; участок за площадкой текучести (до точки 4)
называется участком упрочнения. Точка 4 соответствует
максимальной нагрузке, выдерживаемой образцом.
Соответствующее напряжение называется временным сопротивлением
св (или пределом прочности аПч). Дальнейшая деформация
образца происходит без увеличения или даже с
уменьшением нагрузки вплоть до разрушения (точка 5). Точке 4 на
68

У М V №
02 04
03 ё-1п
Рис. 3.2
диаграмме соответствует начало локального уменьшения
размеров поперечного сечения образца, где, в основном,
сосредоточивается вся последующая пластическая деформация.
Диаграмма, приведенная на рис. 3.1, является
диаграммой условных напряжений, условность состоит в том, что все
силы относились к ^о — первоначальной площади
поперечного сечения образца; в действительности же при
растяжении площадь поперечного сечения образца уменьшается.
Если учитывать текущее значение площади поперечного
сечения при определении напряжений, то получим диаграмму
истинных напряжений (рис. 3.2).
Если в некоторый момент нагружения (точка А на рис.
3.1) прекратить нагружение и снять нагрузку, то разгрузка
образца пойдет по линии АВ, параллельной линейному
участку диаграммы 0—1. При этом полная деформация в точке Л
равна:
е=,8(')+е<*>), (3.1)
где е<е)=о/Е — упругая деформация, е(р> — пластическая
(остаточная деформация). Уравнение (3.1) справедливо для
любой точки диаграммы.
После того как материал испытал воздействие осевого
усилия одного знака (например, растяжение) в области
пластических деформаций (о>от) сопротивляемость этого ма-
59

Таблица 3.1
Материал
Сталь Ст. 3
Сталь 15
Сталь 45
Сталь ЗОХГСА
Чугун СЧ15—32
Медь прутковая
Дюралюмин Д16
Дельта-древесина
Текстолит
Е, ГПа
200
200
200
200
150
110
75
20
30
Характеристика
ат, МПа
240/240
210/210
340/340
950/950
—
250/250
240/240
—
75/115
ав, МПа
450/—
350/-
610/—
1200/—
150/640
320/—
420/—
250/160
127/168
б, %
26
28
24
13
0,6
15
18
—
1,5
*. %
50
55
45
50
—
45
-
—
—
Примечание. В знаменателе указана соответствующая
характеристика при сжатии-.
териала пластической деформации при действии сил другого
знака (сжатие) понижается. Это явление носит название
эффекта Баушингера.
При растяжении образца происходит не только
увеличение его длины, но и уменьшение размеров поперечного
сечения, т. е. в упругой области деформация в поперечном
направлении е'= —(18, где е — деформация в продольном
направлении, \1 — коэффициент Пуассона. Для изотропных
материалов значения коэффициента Пуассона находятся в
пределах (Хц^ОД
Для сталей различных марок 5=195—206 ГПа, 0 =
=*79—89 ГПа, (х=0,23—0,31, для сплавов алюминия /?=
=69—71 ГПа, 0=26—27 ГПа, (1=0,30—0,33. Упругие
свойства некоторых материалов даны в табл. 3.1.
Характеристиками пластичности материала являются
относительное удлинение и относительное сужение при
разрыве:
8 = ^М00%, (3.2)
ф = Зс±Ч00%, (3.3)
где /о, Ро — длина рабочей части образца и площадь попе-
60

речного сечения до деформации, /к — длина рабочей части
образца после разрыва, Рк — конечная площадь поперечного
сечения в шейке образца после разрыва.
По величине относительного удлинения при разрыве
проводится разделение состояния материалов на пластичное и
хрупкое. Материалы, имеющие к моменту разрушения
достаточно большие значения б (6>10%), относят к
пластическим материалам; к хрупким относят материалы с
относительным удлинением б<3%.
Оценка пластических свойств материала может быть
проведена по такой характеристике, 1ка<к ударная вязкость —
КС=А/Р, (3.4)
где А — работа, затрачиваемая на ударное разрушение
образца, Дж (или Н-м), Р— площадь -поперечного сечения
образца в месте концентратора, м2 (шги см2).
Работа Л деформации'при разрушении образца может быть
определена по диаграмме растяжения 0=1/(8). Так, если
первоначальная длина образца /0, то работа деформации,
совершаемая силой Р на перемещении и:
ик
А=$Р(и)ди9 (3.5)
о
где ик — перемещение в момент, предшествующий
разрушению. Тогда по зависимости а= (Р/Ро) =/(е) и е = а//0,
находим
"к/'о
А=Р01оЦ(г)йг = Ро1оАи (3.6)
о
где Л1'=1/|/(е)с!е — площадь диаграммы деформирования
о
(работа деформации на единицу объема материала). Для
сталей КС=50—100 Н м/см2. Материалы с ударной
вязкостью /СС<30 Н м/см2 относят к числу хрупких.
Диаграммы растяжения а=|/(е) других
распространенных материалов приведены на рис. 3.3. Некоторые
пластичные материалы в районе площадки текучести обнаруживают
особенность (например титан), называемую «зубом
текучести») для таких материалов вводится понятие верхнего и
нижнего предела текучести (атв, атн).
Экспериментальное изучение свойств материалов при
сжатии проводится на коротких образцах с тем, чтобы исклю-
61

4пщ
всо\\-
ьооц-
200
Дюралюмин
Г'ядъ
005
0,10 0,13 0}гО 025
030
Рис. 3.3
чить возможность искривления образца. Для пластичных
материалов характер диаграммы а=|/(е) при сжатии
примерно до возникновения текучести такой же, как и при
растяжении. На рис. 3.4 показаны диаграммы растяжения и сжатия
}МПа
600
600
400
200
Г
I
уУ^Чугии серый V
уг (сжатие) 7*
у^ Сталь Ю
Уугук серый
(растяжение)
I -^ I
005
О10
015
020
?
Рис. 3.4
62

для хрупкого материала (серый чугун) и сжатия для
пластичного (сталь 30). В процессе деформации образец
укорачивается; при этом размеры поперечного сечения
увеличиваются. Из-за трения между опорными плитами
нагружающего устройства и торцевыми поверхностями образца он
принимает бочкообразную форму. Для ряда пластичных
материалов обнаружить напряжение, аналогичное временному
сопротивлению при растяжении, не удается, так .как
образец сплющивается.
Хрупкие материалы проявляют значительно лучшую
способность сопротивляться деформациям сжатия, чем
деформациям растяжения; для них разрушающее напряжение при
сжатии превышает предел прочности при растяжении в
несколько раз. Разрушение хрупких материалов при сжатии
происходит за счет образования трещин.
3.3. ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ НА МЕХАНИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Зависимость механических характеристик
конструкционных материалов от их химического состава, внешних
условий и условий нагружения весьма многообразна; отметим
наиболее существенные, характерные для типичных условий
эксплуатации конструкций.
Влияние содержания углерода. Введение различных
легирующих добавок в металлы позволяет значительно повы-
50
40
30
го
10
о о о г ор о в ов 10 с,%
Рис. 3.5
т<>
600
600
чоо
200
-
I
Х^
I I
ъ
ч?
I I
1
^
I I
63

сить прочностные характеристики сплавов. На рис. 3.5
показано влияние процентного содержания углерода на
механические свойства конструкционной стали. Как видно, с
увеличением содержания углерода временное сопротивление
повышается в несколько раз; однако при этом значительно
ухудшаются пластические свойства: относительное удлинение 6
и относительное сужение я|) при разрыве уменьшаются.
Влияние температуры окружающей среды. Повышенные
температуры оказывают существенное влияние на такие
механические характеристики конструкционных материалов,
как ползучесть и длительная прочность. Ползучестью
называют медленное непрерывное возрастание пластической
(остаточной) деформации «под воздействием постоянных
.нагрузок. Длительной прочностью называется зависимость
разрушающих напряжений (временного сопротивления) от
длительности эксплуатации. Свойства ползучести и длительной
прочности проявляются у углеродистых сталей при Т>
>300°С, для легированных сталей при Г>350°С, для
алюминиевых сплавов при Г>100°С. Некоторые материалы
проявляют эти свойства и при обычных температурах.
Мерой оценки ползучести материала является предел
ползучести— напряжение, при котором пластическая
деформация за определенный промежуток времени достигает
заданной величины. В некоторых случаях сопротивление
ползучести оценивается величиной скорости деформации по
прошествии заданного времени. При обозначении предела
ползучести указывается величина деформации, время и
температура испытаний. Например, для жаропрочного сплава
ХН77ТЮР при температуре 700°С за время 100 часов и
деформации ползучести 0,2% предел ползучести составляет
400 МПа: а0,2/юо(700) =400 МПа.
Ползучесть сопровождается релаксацией напряжений —
самопроизвольным уменьшением напряжений с течением
времени при неизменной деформации. Скорость релаксации
напряжений возрастает при повышении температуры. Мерой
скорости релаксации служит время релаксации —
промежуток времени, в течение которого напряжение уменьшается по
сравнению с начальным значением в е=2,718 раза.
Прочность материала при повышенных температурах
оценивается пределом длительной прочности — напряжением,
при (котором материал разрушается не ранее заданного
времени. При обозначении предела длительной прочности
указывается продолжительность нагружения и температура ис-
64

«Ли
МПа.
800
5О0
«00
100
2.00 \-
1О0 \-
- ~ Л
о
Рис.
3.6
пытания. Так, для сплава ХН77ТЮР при температуре 700°С
и времени 1000 часов предел длительной прочности
составляет сдл юоо(700) =330 МПа. При кратковременных
испытаниях для этого же сплава при температуре 700°С пределы
прочности и текучести соответственно равны: ав=|830 МПа,
а0)2=560 МПа.
Влияние повышенных температур на характеристики
прочности и пластичности можно проследить на рис. 3.6 и 3.7,
где представлены осредненные результаты экспериментов
для / — углеродистой стали, содержащей 0,15% углерода;
2 — 0,40% углерода, 3 — хромистой стали. Прочность
углеродистых сталей с повышением температуры до 650—700°С
снижается почти в десять раз. Наиболее резкое снижение ав
наблюдается для алюминиевых сплавов. Наибольшими
значениями ов при высоких температурах обладают литые
жаропрочные сплавы, содержащие 70—80% никеля. Снижение
пределов текучести от с повышением температуры происхо-
5— 1741
65

Рис. 3.7
дит примерно так же, как и снижение ав. Для углеродистых
сталей характерным является ухудшение пластических
свойств (охрупчивание) при температурах около 300°С
(кривая 2 на рис. 3.7).
Влияние температур на упругие свойства. Температурный
коэффициент линейного расширения <х = и
температурный коэффициент модуля упругости г\= связаны
между собой соотношением
г)+'ат=0, или (ц/а) =•— /п=сопз1,
где \г и т — постоянные, характеризующие параметры
кристаллической решетки. На рис. 3.8 приведена зависимость
безразмерного модуля упругости Е/Е0 некоторых
конструкционных материалов от температуры (Е0— модуль упругости
материала при обычной температуре): / — нержавеющая
сталь; 2 — алюминиевые сплавы, 3 — углеродистые стали,
4 — титановые сплавы.
Для сталей с повышением температуры испытаний с 25
до 450°С модули упругости Е и О уменьшаются на 20—40%,
при этом, начиная с 300—400°С наблюдается расхождение
между значениями модулей, определенными при статических
и динамических испытаниях.
66

со
о
я
ей
*/
/ **
^__1 !._._
*!/
_1
/*
1
_,-.
—
-
1
^
1
!
1
«5»
Чи? $.
*
^
Гч
^
со
0-
5*
67

Изменение модулей упругости при малых колебаниях
температуры (от —50 до +50°С) незначительно и им
обычно пренебрегают.
Влияние низких температур. При охлаждении степень
изменения механических свойств 'конструкционных материалов
зависит от их природы и структурного состояния, режима
нагружеиия и уровня рабочих температур. При этом
основными факторами, определяющими характер изменения их
механических свойств, являются низкотемпературное
упрочнение и охрупчивание. В общем случае увеличение
прочности материалов за счет низкотемпературного упрочнения
нейтрализуется их охрупчиванием, вызывающим
существенное снижение разрушающих напряжений. При выборе
материалов для криогенной техники нужно находить
компромиссный вариант с учетом их упрочнения и способностью
сохранять необходимую пластичность. К материалам,
удовлетворяющим этим требованиям, относятся высоконикелевые и
алюминиевые сплавы, титан и сплавы на его основе.
Алюминиевые и медные сплавы, стали с высоким содержанием
никеля характеризуются достаточно высокой вязкостью
разрушения. При пониженных температурах их прочность
увеличивается, изменяется характер деформационного
упрочнения и может возрастать пластичность. На рис. 3.9 для
сплава АМг5 представлены типичные зависимости характеристик
•прочности (ав, ао.г), пластичности »(-б, г|э) и трещиностойкости
(Лс Км) при криогенных температурах; здесь /ю—
параметр, характеризующий критическую удельную энергию
роста трещин, равный при упругопластической деформации
производной от потенциальной энергии по длине трещины, Км—
критический коэффициент интенсивности напряжений,
характеризующий поле напряжений у вершины трещины. Модуль
упругости при понижении температуры для этого сплава
меняется следующим образом: при Г=293 К модуль Е=*
=66,4 ГПа, при Т = 173 К—67,4 МПа и при Т =.77 К—
—70,3 ГПа. Для некоторых других конструкционных
материалов зависимости механических характеристик от низких
температур представлены в табл. 3.2.
Влияние скорости нагружения и деформирования. Как
правило, с ростом скорости нагружения возрастает
неравномерность деформированного состояния, т. е. зона
деформирования (деформированный объем) при больших скоростях,
когда инерционные силы одного порядка со статической
составляющей нагрузки, уменьшается. Упругие хардатеристи-
68

Таблица 3.2
Материал
Сталь €т, 3
Сталь 20
Сталь
12Х18Н10Т
Медный сплав
БрХ08
Титановый сплав
ВТ5—1
т, К
293
193
133
293
193
133
293
77
4,2
293
77
4,2
293
77
4,2
ав, МПа
425
530
680
478
580
705
609
1539
1774
231
380
468
780
1300
1415
о0,2, МПа
258
470
640
315
480
670
288
387
515
148
156
178
720
1260
1395
6, %
26,7
25,0
17,5
28,7
27,0
21,0
60,1
48,6
37,6
34,0
44,0
55,0
13,2
14,3
3,4
Ф, %
48,5
50,5
43,0
50,0
50,5
47,5
64,7
46,9
34,9
87,5
81,0
75,1
31,2
20,6
17,3
ки (модуль продольной упругости и коэффициент Пуассона)
для большинства металлов и сплавов от скорости
нагружения практически не зависят. При больших скоростях
нагружения разрушение материалов может сопровождаться
такими локализованными в малых объемах материала явлениями
как плавление, испарение, и т. п.
Кривые деформирования о=,/(е) располагаются по
отношению к случаю статического нагружения тем выше, чем
больше скорость деформирования. Влияние скорости
деформирования 1е на временное сопротивление ов для
алюминиевых сплавов и малоуглеродистых сталей показано
соответственно на рис. З.'Ю, а, б. Увеличение скорости деформирования
ухудшает пластические характеристики материала.
69

Ьд6й1б0
з(Щ)
Рис. ЗЛО
Влияние высоких давлений. Высокие гидростатические
давления, накладываемые на поля напряжений, оказывают
влияние на некоторые характеристики конструкционных
материалов. Так, для сталей, предел текучести ат (ао.г) и
временное сопротивление ав до давлений 3-Ю3 МПа
возрастают пропорционально действующему давлению. При этом
наибольшая линейная деформация остается неизменной, а
локальная деформация в зоне разрыва растягиваемого
образца существенно возрастает с увеличением давления. Модуль
сдвига материалов с увеличением давления возрастает;
однако это возрастание не превышает нескольких процентов.
Улучшение пластических свойств материалов с увеличением
давления объясняется «самозалечиванием» разрывов,
микротрещин за счет сжимающих напряжений.
Влияние радиационных эффектов (облучения). При
взаимодействии ионизирующего излучения с 'конструкционными
материалами происходят существенные изменения их
механических характеристик, вызываемые радиационными
повреждениями. Степень радиационных повреждений
определяется количеством поглощенной материалом энергии, а также
акоростью ее передачи. Наиболее существенное воздействие
70

на конструкционные материалы оказывает нейтронное
излучение. Мерой измерения энергии излучения служит флюенс
нейтронов Р (нейтрон/см2). Основным результатом
воздействия быстрых нейтронов на металлы является образование
точечных дефектов решетки — вакансий и внедренных или
промежуточных атомов; это основной механизм образования
радиационных повреждений в сплавах и металлах.
Влияние облучения на механические характеристики
материалов определяется как режимами самого облучения, так
и температурой испытаний, скоростью нагружения,
химическим составом сплава и др. В режимах облучения различают
величину флюенса, энергетический спектр, температуру
облучения и среду, в которой проводится облучение.
При облучении повышается предел прочности св и
условный предел текучести оо,2- Данное явление называется
радиационным упрочнением. Радиационному упрочнению
подвержены все металлы и сплавы, применяемые в реакторострое-
нии; на рис. 3.11 приведены зависимости условного предела
текучести оо,2 от флюенса быстрых нейтронов для:
1—никеля, 2 — нержавеющей стали 304, 3 — нержавеющей стали
316, 4 — меди, 5 — сплавов алюминия.
Диаграммы растяжения для облученных образцов всегда
располагаются выше диаграмм для образцов, не
подвергавшихся облучению. Площадь диаграммы, характеризующая
работу деформирования, для облученных образцов
значительно меньше; это объясняется, несмотря на повышение пре-
1015 1017 ю1* Р} и/щ* | ^ | ! |
О 200 ЬОО 600 ^сп/С
Рис. 3.11 Рис. 3.12
71

делов текучести и временного сопротивления, существенным
сокращением способности материала к пластическому
деформированию.
Характеристики кратковременной прочности зависят от
температуры, при которой проводятся испытания
облученных образцов. На рис. 3.12 иллюстрируется влияние
температуры испытаний !на ав и ат облученной (/) и необлу-
ченной (2) стали. С увеличением температуры различие
между характеристиками прочцости облученных и необлученных
образцов уменьшается вплоть до полного исчезновения.
Другим опасным результатом нейтронного воздействия
является радиационное распухание, под которым
понимается увеличение объема и уменьшение плотности неделящихся
материалов в результате «их облучения 'большими флюенса-
ми нейтронов Р=(А—8)-1022 н/см2 при температурах
облучения 270—560°С. Радиационное распухание было
обнаружено в экспериментах по облучению нержавеющих сталей,
никеля и его сплавов, алюминия, молибдена, ванадия и других
металлов. Данное явление объясняется процессами
зарождения и роста скоплений радиационных повреждений. Эффект
радиационного ра-шухаиия, обнаруженный сравнительно
недавно, во многом определяет ресурс работы деталей и узлов
активных зон и экономичность реакторов на быстрых
нейтронах. Очевидно, что развитие пористости при распухании
заметно ухудшает механические свойства конструкционных
материалов.
300 ЬОО 50О БОО Т°С
Рис, 3.13
72

Основными параметрами, определяющими степень
распухания, являются температура, флюенс нейтронов,
химический состав материала и характер его обработки. Распухание
происходит в интервале температур (0,22—0,55) Гпл, т. е. в
температурном диапазоне, характерном для рабочих
режимов реакторов на быстрых нейтронах. В частности для
сталей (рис. 3.13) распухание наблюдается при температурах
300—670°С. Зависимость изменения объема от температуры
имеет колоколообразный характер; максимум изменения
объема наблюдается при температуре около 510°С. Кривые/—4
на рис. 3.13 построены для флюенса нейтронов /г=7 -1022,
5-1022, 3-1022, и МО22 н/см2 соответственно.
Одним из путей подавления радиационного распухания,
например, для хромоникелевых сталей служит их
предварительное холодное деформирование.
3.4. КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Основные понятия. Классификация композиционных
материалов (КМ). Композиционными называются материалы,
обладающие совокупностью следующих признаков:
не встречаются в природе, поскольку целенаправленно
созданы человеком;
состоят из двух или более компонентов, различающихся
по своему химическому составу;
имеют свойства, отличающиеся от свойств компонентов;
неоднородны в микромасштабе и однородны в
макромасштабе;
состав, форма, распределение отдельных компонентов
«спроектированы» заранее.
Компонент, распределенный непрерывно во всем объеме
КМ, называется матрицей; прерывистый, разъединенный в
объеме композиции — арматурой или армирующим
элементом. Роль матрицы заключается в придании изделию
требуемой формы и созданию монолитного материала, в
обеспечении несущей способности композиции перераспределением
усилий на армирующие элементы — волокна. К волокнам,
используемым в качестве арматуры КМ, предъявляются
достаточно жесткие требования: небольшая плотность, высокая
прочность в интервале рабочих температур,
технологичность, высокая химическая стойкость, нетоксичность при
изготовлении и эксплуатации и другие. Для армирования
применяют «усы» (нитевидные монокристаллы), имеющие диа-
73

метр от долей микрометра до нескольких микрометров и
длину от долей миллиметра до нескольких сантиметров,
металлическую проволоку (сталь, вольфрам, молибден),
органические и неорганические волокна (углеродные, борные,
стеклянные, ка!р!бидо'Крем1ни'ёвые, кварщевые).
В зависимости от геометрии армирующих элементов, их
взаимного расположения КМ бывают изотропными или
анизотропными. К макроскопически изотропным КМ относятся
дисперсно-упрочненные сплавы и хаотично армированные
КМ; >к анизотропным КМ — материалы, в которых волокна
ориентированы в определенных направлениях. Хаотично
армированные КМ упрочняются короткими элементами
игольчатой формы (отрезками волокон или «усами»),
ориентированными в объеме случайным образом. В этом случае КМ
является квазиизотропным, т. е. анизотропным в
микрообъемах и изотропным в объеме всей композиции.
Классификация КМ может быть проведена по
следующим основным признакам:
материалу матрицы и армирующих элементов;
геометрии компонентов;
структуре и расположению компонентов;
методу получения.
Название КМ производится, как правило, по названию
материала матрицы: с металлической матрицей —
называются металлическими КМ, с полимерной — ПКМ, с
неорганической — неорганическими КМ. Название полимерных КМ
состоит из двух частей: в первой указывается материал
волокна, второй — «пластик» или «волокнит». В соответствии
с геометрией армирующих элементов (порошки, гранулы,
волокна, пластины) КМ подразделяются на порошковые
(гранулированные), волокнистые и пластинчатые. По
структуре и расположению компонентов КМ разделяются на
группы с каркасной, матричной, сложной и комбинированной
структурой. В соответствии с классификацией по методам
получения подразделяются на КМ, получаемые жидко- и
твердофазными методами, методами осаждения — напыления
и комбинированными методами.
Определение механических характеристик анизотропных
КМ требует получения большего числа упругих и
прочностных характеристик, чем традиционные конструкционные
материалы. Например, для определения девяти упругих
постоянных ортотропного КМ необходимо испытать на
растяжение (сжатие) шесть типов образцов. Для анизотропных КМ
74

величины механических характеристик должны быть
указаны в соответствии с направлением.
Армирующие элементы композиционных материалов.
Металлические волокна. Для армирования КМ применяют
проволоку из сталей (У8А, 12Х18Н10Т, 09Х13Н13М2),
вольфрама (ВА, ВР-20), молибдена (ВМ-2, ВМ-3), бериллия, титана
(ВТ1-0, ОТ-4), ниобия и др. Наиболее распространенной
является проволока диаметром 20—1500 м»км из нержавеющих
сталей, имеющих большую теплостойкость и пассивную
поверхность, слабо взаимодействующую с материалом
матрицы. Применяется в виде тканных сеток различного типа
плетения.
Волокна бора, карбида кремния, «борсика». Благодаря
высокой прочности, жесткости, малой плотности волокна
бора, карбида кремния и «борсика» (В|51С) широко
применяются для упрочнения матриц на основе легких металлов
(алюминий, магний, титан и их сплавы). Волакна бора и
карбида кремния получают осаждением из газовой среды на
нагретую до высоких температур поверхность вольфрамовой
проволоки; диаметр волокон 90—200 мкм. Волокна из бора
имеют предел прочности при растяжении порядка 2—4ГПа,
модуль упругости Е = 370—430 ГПа, плотность 2500—
2700 кг/м3; хорошо совмещаются как с полимерной, так и
с металлической матрицей.
Углеродные волокна. Углеродные волокна обладают по
ряду показателей уникальными механическими и
физико-химическими свойствами и 1по удельным показателям
превосходят все жаростойкие волокна (&с=(9—20)-104м, кЕ =
= (4—32)-106м). Удельная прочность ка=<5в/у, ав —
временное сопротивление, *у — удельный вес. Удельная прочность
измеряется в единицах длины и имеет простой физический
смысл — равна длине волокна, разрушающегося под дейст-
Та блица 3.3
Марка
волокна
ВМН-3
ВЭН-210
Кулон
Е, ГПа
250
343
400—600
ов-102,МПа
14,3
14,7
20,0
Марка
волокна
Е, ГПа
250
150—200
150
ов-102,МПа
30,1—35,0
17—20
20,0
ЛУ-4
Урал-24
|Элур
75

вием собственного веса. Аналогично вводится удельный
модуль упругости (удельная жесткость) кЕ=\Е/у. Механические
характеристики некоторых высокомодульных углеродных
волокон приведены в табл. 3.3.
Углеродные волокнистые материалы имеют также и
высокие характеристики теплостойкости; в инертной среде
основные механические характеристики практически не
изменяются до температуры 1500°С. Волокна из углерода имеют
отрицательный температурный -коэффициент линейного
расширения, что в совокупности с соответствующим
положительным коэффициентом материала матрицы позволяет
создавать материалы для конструкций, сохраняющих свои
размеры при температурных воздействиях.
Стеклянные волокна сочетают сравнительно малую
плотность с высокими теплостойкостью, химической стойкостью
и прочностью. Предел прочности полученных вытягиванием
стеклянных волокон составляет 2—6 ГПа, модуль упругости
50—130 ГПа, плотность 2500—2600 кг/м3. Стеклянные
волокна с неповрежденной поверхностью имеют предел
прочности 5—6 ГПа. Для промышленных волокон (алюмоборо-
силикатные диаметром 6 • 10~6 м) предел прочности
составляет 2—2,5 ГПа, модуль упругости — 73 ГПа.
Теоретическая прочность стекла, по оценкам А. Гриффит-
са, составляет ~14 ГПа, а для образцов диаметром Ы0~3м
прочность почти в 100 раз меньше. Это объясняется
наличием поверхностных дефектов — поверхностных трещин.
Значительное повышение предела прочности (почти на порядок)
происходит при травлении образцов кислотой, при котором
происходит сглаживание поверхности. При уменьшении
диаметра волокна предел прочности резко увеличивается;
экстраполяция экспериментальных данных дает для предела
прочности величину ~11 ГПа, что близко к теоретическому
пределу.
Стеклянные волокна имеют низкую стойкость к
многократному изгибу и истиранию, которая может быть
существенно повышена пропиткой смолами, лаками. Склеивание
волокон в нить увеличивает ее прочность на 20—25%, а
пропитка лаками — на 80—100%. Волокна используются в
качестве армирующего элемента КМ в виде отдельных волокон
разного диаметра, нитей и жгутов различной толщины, лент
и тканей разнообразного плетения (рис. 3.14).
Стекловолокнистые наполнители характеризуются
плотностью упаковки волокон и их взаимным расположением.
76

«)
-®
*1
*)
Рис. 3.14
Линейная плотность нитей оценивается в тексах (текс
представляет собой массу (в граммах) нити длиной 1000 м).
Еще одна важная характеристика нитей и жгутов —
разрывная нагрузжа, определяющая среднюю прочность и
допускаемые усилия. При этом средняя прочность волокон не может
быть использована для оценки прочности армированных
стеклопластиков, так как благодаря полимерной матрице
коэффициент использования прочности волокон повышается.
Для однонаправленных материалов отмеченное повышение
прочности волокна в композиции составляет 170—900%.
77

Промышленностью производятся стеклянные нити с
числом сложений от 2 до 48 и линейной плотностью от 12,5 до
286 текс. Наиболее часто при намотке используются нити
линейной плотностью 100 и 50 такс. Этот вид наполнителя
технологически удобен для изготовления крупногабаритных
деталей сложной конфигурации.
Прочность композитов существенно зависит от
объемного содержания наполнителя. На рис. 3.15 приведена
зависимость разрушающего напряжения оР при растяжении
стеклопластика от объемного содержания Ун волокнистого
наполнителя: 1 — напыление, 2, 3, 5 — пропитка под
давлением; 2 — растяжение в поперечном направлении, 3 — транс-
версально-изотропный материал, 5 — растяжение в
продольном направлении, 4, 6 — прессование; 4 — растяжение в
Поперечном направлении, 6 — растяжение в продольном
направлении, 7 — спиральная намотка, 8 — протяжка, 9 —
стекложгут.
Предоставленные зависимости (рис. ЗЛ'5) иллюстрируют
•взаимосвязь свойств «исходных компонентов со свойствами
КОМШ'З'ИЦШ.
о го ьо во тгн1°/0(аЬ)
Рис. 3.15
78

Высокомодульные органические волокна получают
формированием через фильеры из 'концентрированных
растворов полимеров. В зависимости от состава полимера и
метода формирования получают органичеакие волокна, имеющие
плотность 1410—1450 1кг/м3, предел прочности при
растяжении 1,8—3,0 ГПа, модуль упругости 70—130 ГПа. Волокна
сохраняют первоначальные характеристики до температуры
180°С. Криогенные температуры охрупчивания волокна не
вызывают.
Матрицы композиционных материалов. Армирующие
элементы композиции соединяются изотропной полимерной или
металлической матрицей, которая обеспечивает монолитность
материала, фиксирует форму изделия, способствует
совместной работе волокон, перераспределяет нагрузку при
разрушении части волокон. Материал матрицы определяет
уровень рабочих температур композита, характеризует
устойчивость материала к воздействию внешней среды,
химическую стойкость. Некоторые физико-механические
характеристики полимерных термореактивных матриц приведены в
табл. 3.4.
Таблица 3.4
Материалы
матриц
Предел прочности,
МПа», растяжение
сжатие
Модуль упругости,
ГПа
Плотность
р-10"3, кг/м3 ,
Теплостойкость,
Относительное
удлинение б, %
Объемная усадка,
%


эфирные
30—70
80—150
2,8—3,8
1,2—1,35
50—80
1,0-5,0
5-10
Фенол-
формаль-
дегидные
40—70
100—125
7-11
1,2-1,3
140—180
0,4-0,5
15-25

Эпоксидные
35—100
90-160
2,4—4,2
1,2—1,3
130—150
2-9
1-5
Кремний-

органические
25-50
60-100
6,8—10
1,35—1,40
250-280
0,3-0,5
15—20

Полиамидные
90-95
250—280
3,2-5,0
1,41—1,43
250—320
1-2,5
3-20
79

Таблица 3.5
Материал
матрицы
Предел прочности при
растяжении, МПа
Модуль упругости, ГПа
Плотность р-Ю-3, кг/м3
Теплостойкость, °С
Относительное
удлинение, б %
Нейлон-
6,6
83
2,8
1,14
65
1 10
Полифе-
нилен-
сульфид
77
4,2
1,34
135
3—4

Сополимер
этилена
45
1,4
1,7
74
150
Поли-
сульфон
72
2,7
1,24
174
50—100
Поли-
эфиртер-
моплас-
тичный
56
2,5
1,32
68
10
Термореактивные полимерные матрицы (связующие)
образуются из смолы, отвердителя, катализатора или
инициатора отверждения и растворителя, .который вводится дляпо-
Таблица 3.6
Материал
Металлы
Полимеры
Керамика
Стеклопластики
Углепластики
Боропластики
Органопластики
Характеристики
Разрушающее напряжение, МПа
при растяжении
127,4—2058
0,98—343
137,2—372,4
343—1764
117,6—735
784—1666
882—1372
784—1470
при сдвиге
98-686
1,96—58,8
29,4—294
5,88—58,8
58,8—289
9,8—44,1
79,4—137,2
13,7—24,5
78,4—109,76
10,8—24,5
96,3—170,5
80

нижения вязкости и улучшения пропитки системы
армирующих элементов.
Термопластичные полимерные матрицы при нагревании
расплавляются, а при последующем охлаждении —
затвердевают, не теряя своих первоначальных свойств. Их
недостатком, как конструкционного материала, является яр/ко
проявляемая зависимость механических свойств от температуры.
Физико-механические характеристики полимерных
термопластичных матриц приведены в табл. 3.5.
Металлические матрицы. Металлические КМ создаются
из высокомодульных углеродных или борных волокон и
пластичной металлической матрицы. Так как механические
характеристики металлической матрицы выше, чем у
полимерной, то композиты с металлической матрицей имеют более
высокую прочность и жесткость при нагружении поперек
волокон и при сдвиге, чем композиты с полимерной матрицей.
В качестве материала для металлических матриц чаще
всего используются сплавы алюминия, имеющие плотность
2700 кг/м3, модуль упругости 70 ГПа, температуру плавления
780°С.
Ориентированные композиционные материалы. В наиболь-
материала
Модуль
упругости при
растяжении, ГПа
Относительное
удлинение при
разрыве, %
Удельная
прочность, км
Удельная
жесткость,
км
39,2—343
0,5—17,6
89,2—490
12,7—68,6
5,9—56,8
117,6—196
176,4-264,6
58,8-76,4
0,5—40
0,2-800
1-14
1,5—2,8
0,5—1,5
0,4—1,0
0,3—0,7
2-7
4—53.
0,1—30
2—100
30—100
33—82
74-84
.66-110
2200-3600
100-1000
4700-13500
1100—3340
10800—12000
12500-14200
5000-5800
6-1741
81

М
120
гоа
во
60
ьо
го
о г Ь € В кг?0-?м
Рис. 3.16
шей степени достоинства и высокие механические
характеристики КМ реализуются в ориентированных материалах,
армированных параллельными волокнами; в
однонаправленных слоях или монослоях, из которых укладкой в различных
направлениях образуются слоистые композиты. Свойства
этих материалов определяются свойствами монослоев.
Графическая иллюстрация этих свойств представлена на рис.
3.16 линиями, соответствующими стеклопластику (Сп),
органопластику (Оп), боропластику (Бп), углепластику (Уп)
и бороалюминию (Ба). Верхние точки соответствуют
удельной прочности ка и удельной жесткости кЕ при растяжении
вдоль волокон, а нижние — поперек волокон. Заштрихована
область, соответствующая традиционным конструкционным
материалам — металлическим сплавам.
Для ориентированных композитов диаграммы
растяжения (сжатия) вдоль волокон являются практически
линейными вплоть до разрушения материала. При сдвиге в
плоскости армирования наблюдается нелинейное поведение
материала; однако в слоистом пакете проявление такой
нелинейности незначительно.
Исчерпание несущей способности однонаправленного
композита при продольном растяжении происходит из-за разры-
82

ва волокон, а при сжатии — из-за потери устойчивости или
образования трещины, параллельной волокнам. Разрушение
композитов при растяжении поперек волокон и при сдвиге
вызывается разрушением матрицы (нарушением когезион-
ной прочности) или отслоением матрицы от волокон
(нарушением адгезионной прочности); при сжатии поперек
волокон—сколом материала 'под некоторым углом к
направлению нагружения.
Сравнение основных механических характеристик для
конструкционных материалов (металлов и -композитов) дано в
табл. 3.6. Над чертой приведены характеристики вдоль, под
чертой — поперек направления армирования.
ГЛАВА 4
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
КОНСТРУКЦИЙ
4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Согласно ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике.
Термины и определения» надежность конструкции есть свойство
сохранять во времени способность к выполнению требуемых
функций в заданных режимах. Одним из основных понятий
теории надежности конструкций является понятие
предельного состояния (гл. 2). Условие прочности (2.59),
иллюстрируемое рис. 2.19, по существу есть условие обеспечения
прочностной надежности.
Основной особенностью реальных условий эксплуатации
машин и конструкций является случайный характер
взаимодействия с окружающей средой. Это проявляется в том, что
мы не можем достоверно предвидеть все типы внешних
нагрузок и их величины, которые могут встретиться в
процессе эксплуатации. Кроме того, источником неопределенности
могут быть случайные свойства материалов. Например,
предельное напряжение с*, входящее в условие прочности (2.62),
по своей природе является случайным. Его величина
зависит от многих факторов: марки материала, технологии
изготовления, размеров детали или конструкции, условий
эксплуатации и др. Случайный характер механических свойств
материалов наглядно проявляется при испытаниях, обнару-
6*
83

живающих значительный разброс экспериментальных
данных. Источник неопределенности связан также с разбросом
размеров при изготовлении конструкций: в принципе
невозможно выдержать абсолютно точно геометрические
параметры конструкции, при их изготовлении допускаются
некоторые отклонения.
В силу указанных причин условие прочности (2.59) или
эквивалентное ему условие (2.62) как абсолютное
требование лишено смысла. Например, в случае одномерного
напряженного состояния
о<о* (4.1)
напряжение а, зависящее от внешних нагрузок, при
определенных условиях может принять довольно большое
значение, а предельное значение а* может оказаться малым, так
что неравенство (4.1) нарушится. Если стечение
обстоятельств, приводящее к нарушению условия прочности,
редкое событие, то приходим к вероятностной трактовке
условия прочности с позиций теории надежности. Вероятностью
называется числовая характеристика степени возможности
наступления некоторого события в определенных
многократно воспроизводимых условиях. Вероятность события А
можно оценить на основе опытных данных. Если проводится
достаточно большое число опытов УУ, в которых событие А
появилось \МА раз, то можно считать, что вероятность
появления этого события равна
Р(А)=N^N. (4.2)
Вероятность как мера возможности наступления события
удовлетворяет условиям 0^Р(Л)^1, причем значение Р = 0
соответствует невозможному событию, а значение Р=А —
достоверному событию.
Вероятность события, заключающегося в выполнении
условия (4.1) Р(о<Са*) в теории надежности называется
вероятностью безотказной работы. Вместо условия прочности
(4.1) записывается условие
Р(о<о*)=Р*, (4.3)
где Р* —заданное достаточно высокое значение вероятности,
которое называется нормативной вероятностью безотказной
работы. В этом случае говорят, что условие прочности
обеспечено с вероятностью Р*.
84

4.2. РАСЧЕТНЫЕ НАГРУЗКИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА
Условие прочности (4.1) записано через напряжения,
которые вычисляются через внешние нагрузки, приложенные
•к конструкции. Пусть внешние нагрузки определены с
точностью до одного параметра 5, а напряжение о связано с
этим параметром зависимостью
а=|/(5). (4.4)
Тогда условие прочности (4.1) можно записать через
внешние нагрузки
5<#. (4.5)
Здесь через ./? обозначено предельное значение нагрузки, т. е.
такое ее значение, которое приводит к предельному
состоянию
о*=/(Л). (4.6)
Величина Л, зависящая от свойств материала и условий на-
гружения, называется несущей способностью или
сопротивлением.
При заданном значении 5 отношение
п=\К/5 (4.7)
называется коэффициентом запаса. Он обозначает, (во
сколько рае нужно увеличить нагрузку, чтобы достичь
предельного :состоя/ния. Вместо уатовия прочности (4.5) можно
зависать эквивалентное условие
п>1. (4.8)
Если нагрузка и свойства материала являются
случайными, то условия .прочности |(4.5) и (4.8) теряют -смысл, их
нужно заменить вероятностными условиями типа (4.3):
Р(3<ИУ=*Р., (4.9)
или
Р(п>1)=Р*. (4.10)
При этом коэффициент запаса п также будет случайным.
Практически расчет на прочность с учетом случайного
характера внешних нагрузок и случайных свойств
материала проводится следующим образом. Вводится некоторое
характерное значение нагрузки {5]. Это значение, называемое
допускаемым или нормативным значением, можно найти из
условия
85

/»(5<И)=(Р8], (4.11)
где [РБ] — некоторое значение вероятности, называемое
обеспеченностью. Аналогично вводится нормативное значение
[«/?] несущей способности
Р («К >[Л]) =[Рп1 (4.12)
Отношение
И=Ш5] (4.13)
называется нормативным коэффициентом запаса. Этот
коэффициент зависит от условий нагружения, от свойств
материалов, условий работы конструкции, степени ее
ответственности и ряда других факторов. Такой коэффициент
назначается, исходя из многолетнего опыта эксплуатации
конструкций, и для каждого типа конструкций задается нормативно-
технической документацией.
В качестве нормативных значений [5] и {[/?] можно выбрать
средние значения соответствующих случайных величин
<5>=-г25" <*>=т2*" (4Л4)
где 5;- и $5 экспериментально полученные значения
случайных величин в серии из N опытов. Однако в действующих
нормах, в частности, строительных, нормативные значения
не совпадают со средними значениями, а сдвинуты в
сторону более опасных значений, что связано со значительным
разбросом опытных данных около средних значений. Для
нагрузки принимается несколько большее значение, а для
несущей способности — меньшее
[5]=к8<5>, {(/?]=хл</?>, (4.15)
где коэффициенты к8>1 и хл<1 находятся из уравнений
(4.11) и (4.12). Таким образом, нормативный коэффициент
запаса (4.13) вычисляется через средние значения
следующим образом:
[Я]—<§>-."8..
С учетом случайного характера внешних нагрузок и
сопротивлений условие прочности (4.5) заменяется следующим
условием
5р<#р. (4.16)
86

Здесь 5Р — достаточно редко встречающееся в реальных
условиях эксплуатации высокое значение нагрузки, |/?Р —
также достаточно редко встречающееся низкое значение
несущей способности. Эти значения называются расчетными. Они
находятся из уравнений
Р(5<5р)=<Р., (4.17)
Р(Я>#Р)=Р*. (4.18)
В правой части уравнений содержатся нормативные
значения вероятности безотказной работы, 'которые близки к
единице (0,95; 0,99; 0,999; ...).
Расчетные значения нагрузок и несущей способности
можно выразить через средние значения этих величин
следующим образом:
5Р=Ав<5>, ДР=кп<#>, (4.19)
где коэффициенты к8>1 и кн<.1 находятся из решения
уравнений (4.17) и (4.18). Расчетные значения связаны с
соответствующими нормативными значениями соотношениями
5Р=ад, Кр=к<№1 (4.20)
Коэффициент
кп=квЫв (4.21)
называется коэффициентом однородности (меньше единицы).
Другой коэффициент, учитывающий случайный хара/ктер
несущей способности,
к0=\кпЫп, (4.22)
называется коэффициентом однородности (меньше единицы).
Условие (4.16) можно заменить равенством
Зр=#Р/т, (4.23)
где коэффициент т>\ учитывает условия работы
конструкции, степень ее ответственности. С учетом обозначения (4.13)
после подстановки (4.20) в (4.23) для нормативного
коэффициента запаса получим формулу, учитывающую случайные
свойства нагрузки и несущей способности, а также степень
ответственности (конструкции
[п]=ткп/к0. (4.24)
87

4.3. РАСЧЕТЫ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАГРУЗКАМ
И ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ
Если пренебречь случайным разбросом прочностных
свойств материала конструкции, то расчетное и нормативное
значения, а также среднее значение несущей способности /?
совпадают
а уравнение (4.13) позволяет получить выражение
нормативной или допускаемой нагрузки через нормативный
коэффициент запаса
{5]=ед. (4.25)
При этом параметр несущей способности Я связан с
предельным значением с* напряжения функциональной зависимостью
(4.6).
Если на заданную конструкцию действует
фиксированная неслучайная нагрузка 5, то отношение (4.7)
п8=Я/3 (4.26)
определяет коэффициент запаса по нагрузке. При этом
условие прочности (4.5) можно переписать следующим образом
5<[5]. (4.27)
С учетом формул (4.25), (4.26) условие прочности (4.27)
примет вид
пв>[п]. (4.28)
Переход от нагрузок к вызываемым этими нагрузками
напряжениям производится по формулам типа (4.4).
Отношение
па=о*/о (4.29)
называется коэффициентом запаса по напряжениям. С
учетом (4.4), (4.6) и (4.26) можно получить связь между
коэффициентами запаса по нагрузкам и по напряжениям
Па = -^— (4.30)
В общем случае коэффициенты запаса (4.26) и (4.29) не
совпадают, что видно из рис. 4.1. Равенство этих
коэффициентов возможно только в том случае, когда зависимость (4.4)
между напряжениями и нагрузкой линейна. При нелинейной
88

зависимости коэффициент
(4.29) теряет ясный
физический смысл как число, на
которое нужно умножить значение
параметра внешней нагрузки,
чтобы достичь предельного
состояния.
По аналогии с (4.25)
можно (ввести допускаемое
напряжение
[о]=о./{л]. (4.31) 0 а ^ в
Расчет по допускаемым
напряжениям Рис. 4.1
с<[с] (4.32)
в общем случае дает результаты, отличные от расчетов по
допускаемым нагрузкам (4.27). Эти результаты совпадают
только в случае линейных зависимостей между
напряжениями и нагрузкой.
Следует отметить, что приведенные рассуждения
относятся 1к понятию предельного состояния в точке, которое
нужно отличать от предельного состояния конструкции.
Предельное состояние в точке еще не означает потерю несущей
способности конструкции. Пусть предельное состояние
-конструкции будет достигнуто при достижении параметром
нагрузки 5 предельного значения Я*. Тогда локальное условие
прочности (4.5) нужно заменить условием
5<Я*. (4.33)
Расчеты с использованием условия (4.33) носят название
расчетов по предельному состоянию для конструкции. При
этом говорят о конструкционной прочности в отличие от
прочности материала, характеризуемой локальным пределом
прочности а* или ./?. Конструкционная прочность зависит не
только от прочностных свойств материала, но и от
масштабного фактора, конструктивной формы, типа напряженного
состояния, условий взаимодействия с окружающей средой
и ряда других факторов.
89

ГЛАВА 5
РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) ПРИЗМАТИЧЕСКИХ
СТЕРЖНЕЙ
5.1. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Переходя к изучению введенных в главе 1 основных
видов деформации стержней, ограничимся рассмотрением
стержней постоянного поперечного сечения с прямолинейной
осью, т. -е. призматических стержней. Начнем с деформации
растяжения (сжатия).
Напомним, что под растяжением (сжатием) понимают
такой вид деформации стержня, при котором в его
поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой
фактор — продольная сила М2. Поскольку продольная сила
численно равна сумме проекций, -приложенных к одной из
отсеченных частей внешних сил на ось стержня (для
прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью
Ог), то растяжение (сжатие) имеет место, если все
внешние силы, действующие по одну сторону от данного
поперечного сечения, сводятся к равнодействующей, направленной
вдоль оси стержня (рис. 5.1). Одна и та же продольная
сила Мх при действии на различные части стержня (левую или
правую) имеет противоположные направления. Знак Л^2
зависит от характера вызываемой ею деформации.
Продольная сила считается положительной, если вызывает
растяжение элемента (рис. 5.2,а), и она отрицательна, если
-вызывает сжатие (рис. 5.2,6).
Для того, чтобы сформулировать предпосылки теории
растяжения (сжатия) призматического стержня, обратимся
^-э
а)
-НЕЕ
г2'
«^
Рис. 5.1 . Рис. 5.2
90

9\ &
__■ 1
1
1
1 1
1 а) "
5)
Рис. 5.3
Рис. 5.4
к эксперименту. Представим себе стержень, изготовленный
из какого-либо податливого материала (например, резины),
на боковую поверхность которого нанесена система
продольных и поперечных рисок (рис. 5.3,а). Эта ортогональная
система рисок остается таковой и после приложения
растягивающей нагрузки (рис. 5.3,6). Поскольку поперечные риски
являются следами поперечных сечений на поверхности
стержня и остаются прямыми и перпендикулярными к оси
стержня, то это свидетельствует о выполнении гипотезы плоских
сечений (Бернулли). С учетом гипотезы об отсутствии
поперечного взаимодействия продольных волокон (гл. 1)
приходим к выводу, что деформация растяжения стержня
сводится к одноосному растяжению его продольных волокон, и в
поперечном сечении стержня возникают лишь нормальные
напряжения о (рис. 5.4), индекс г у которых опускаем.
Ортогональность продольных и поперечных рисок
свидетельствует также об отсутствии сдвигов, а, следовательно, и
связанных с ними .касательных напряжений т в поперечных и
продольных сечениях стержня.
Тогда продольная сила Ы„ равная сумме проекции
внутренних сил, действующих в данном поперечном сечении
площадью Р (рис. 5.4) очевидно будет равна
#2=/ {ойР. (5.1)
р
Соотношение (5.1) является уравнением равновесия статики,
связывающим продольную силу Ыг и нормальное
напряжение а, которое в общем случае является функцией координат
х к у к поэтому не может быть найдено из одного лишь
уравнения статики (5.1). Таким образом, задача определе-
91

ния напряжений даже в самом простом случае
деформирования стержня (растяжении или сжатии) оказывается
статически неопределимой.
Необходимое для решения этой задачи дополнительное
уравнение вытекает из гипотезы плоских сечений. Поскольку
поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и
перпендикулярными ж оси стержня, в процессе деформирования
лишь поступательно перемещаются вдоль оси стержня (что
приводит к одинаковому удлинению всех продольных
волокон), то приходим к уравнению г=сопз1, из которого ввиду
однозначности связи а и © (для линейно-упругого материала
это — закон Гука: а=3г) вытекает, что
а=сопз1. (5.2)
Решая совместно уравнения (5.1) и (5.2), получим, что
Мг=\оР или
о=Яя/Р. (5.3)
Таким образом, при растяжении (сжатии) призматического
стержня нормальные напряжения равномерно распределены
по поперечному сечению, а касательные напряжения в
сечениях отсутствуют, что является следствием гипотезы плоских
сечений. Указанное, несмотря на, казалось бы, очевидность
и простоту (5.3), является фундаментальным результатом,
справедливым, строго говоря, лишь для призматического
стержня. Однако в инженерной практике (5.3) используют
и для приближенной оценки нормальных напряжений в
стержнях переменного сечения. При этом, чтобы погрешность
формулы была невелика, необходимо, чтобы площадь
поперечного сечения стержня изменялась достаточно плавно вдоль
его оси.
Условие прочности при растяжении (сжатии)
призматического стержня, вытекающее из (5.3), для стержня из
пластического материала (т. е. материала, одинаково
работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:
о=\М2/Р^[о]у (5.4)
где [о] — допускаемое напряжение. Напряжение о в условии
(5.4) подставляется по модулю, так как знак о в этом
случае роли не играет. Для стержней из хрупких материалов,
неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак
напряжения имеет принципиальное значение, и условие
прочности приходится формулировать отдельно для растяжения
и сжатия
92

ор=^,/77<[ор],
(5.5)
|ос| = |АГ,|/^<.[ос],
где ор и ас —напряжения растяжения и сжатия, а [аР] и [ас]—
соответствующие им допускаемые напряжения.
В практике инженерных расчетов, исходя из условия
прочности, решаются три основные задачи механики материалов
и конструкций. В применении к случаю растяжения
(сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются
следующим образом.
Проверка прочности (поверочный расчет). Этот расчет
проводится, если нагрузжа (в нашем случае ее представляет
Л^2), сечение стержня Р и его материал [о] заданы.
Необходимо убедиться, что выполняется условие
прочности
о=Мг/Р<^[о].
Поверочный расчет заключается в том, что определяется
фактический /коэффициент запаса прочности п и сравнивается
с нормативным коэффициентом запаса [п]\
о Ы2
где а* — предельное (или опасное) напряжение, т. е.
напряжение, вызывающее отказ элемента конструкции
(напомним, что, например, для стержня из пластичного материала
это — предел текучести ст или условный предел текучести
а0,2) •
Подбор сечения (проектный расчет). В этом расчете по
заданной нагрузке (М2) определяются размеры поперечного
сечения стержня (Р) из заданного материала ([а] дано).
Минимальное значение Р получим, если в условии
прочности (5.4) принять знак равенства:
Определение допускаемой нагрузки, то есть
максимального значения нагрузки, которое допуакает данный элемент
•конструкции (Р и [о] даны) при выполнении условия
прочности (5.4):
№=[о]Р.
93

5.2. ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ.
ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
Даже для призматического стержня равномерное
распределение напряжений по поперечному сечению не всегда
имеет место. Так, отклонения от равномерного распределения
напряжений наблюдаются в окрестности сечений,
содержащих вырезы, выточки, отверстия, трещины, в местах
резкого изменения поперечного сечения, а также в местах
приложения сосредоточенных сил и т. п. Неравномерное
распределение напряжений в указанных местах является
следствием искажения плоскостей поперечных сечений или их деп-
ланации.
Поясним это явление на примере подверженной
растяжению полосы из податливого материала с круговым
отверстием, на поверхности которой нанесены продольные и
поперечные риоки (рис. 5.5,а). В зоне отверстия имеет место депла-
нация поперечных сечений, вызванная неравномерным
растяжением продольных волокон (рис. 5.5,6). При этом
наибольшие удлинения и соответственно напряжения шаха
получают волокна возле отверстия. Такое местное увеличение
напряжений возле вырезов, выточек, отверстий и т. п., а так-
Рис. 5.5
94

же в местах приложения сосредоточенных сил, называется
концентрацией напряжений, а источники концентрации
напряжений (вырезы, выточки, отверстия и т. п.) получили
название концентраторов напряжений.
Методами ММК, опирающимися на гипотезу плоских
сечений, задачи о распределении напряжений в зонах
концентрации напряжений не решаются. Такие задачи решаются
методами теории упругости или исследуются
экспериментально. При этом для практических расчетов вводится
так называемый теоретический коэффициент концентрации
напряжений ак, представляющий собой отношение
максимальных тахо и 'Н01М1иналыньгх оНОм напряжений: ак=
='тах а/оном, где номинальные напряжения
определяются (без учета концентрации ".наотржжений. В
приведенном примере растяжения полосы с отверстием оНом=\Мг/Рп1,
а Рп1 — площадь поперечного сечения полосы, уменьшенная
за счет отверстия («нетто»). Таким образом, ак играют роль
поправочных коэффициентов.
Однако, как показали эксперименты и точные решения
задач теории упругости, местные отклонения от
равномерного распределения напряжений, вызванные концентрацией
напряжений, быстро затухают по мере удаления от сечения
с концентратором, и на расстояниях порядка ширины
сечения распределение напряжений можно считать практически
равномерным (рис. 5.5, в). Отмеченное свойство является
частным случаем широко используемого практически во всех
разделах механики деформируемого твердого тела (в том
числе и теории упругости) принципа Сен-Венана.
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Определим упругие деформации стержня, показанного на
рис. 5.6, предполагая, что изменение его длины при
растяжении Д/, называемое абсолютной продольной деформацией или
удлинением, мало по сравнению с его первоначальной
длиной / (Д./<С/). Тогда относительная продольная деформация
будет равна
е= А///. (5.6)
Учитывая, что согласно закону Гука для одноосного
растяжения (сжатия)
в=«/5, (5.7)
где Е — модуль продольной упругости материала стержня
95

А
у
'/
к*/ *
-|ь-
1
V-
1 Л
—5и-
Р
1 >»
61
~№
(см. главу 2), а нормальные
Ь+ДЬ Ь напряжения определяются
по формуле (5.3) — а=Ы2/Р
(в нашем случае Мг=Р),
для абсолютной
деформации получаем
А1^гЦЕР. (5.8)
Рис. 5.6 Произведение ЕР
принято называть жесткостью
поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии), так
как удлинение обратно пропорционально ЕР.
Как показывают эксперименты, при растяжении стержня
размеры его поперечного сечения уменьшаются (см. рис. 5.6),
а при сжатии — увеличиваются. Это явление получило
название эффекта Пуассона.
По аналогии с продольной деформацией изменение
размеров поперечного сечения АЬ (на рис. 5.6 АЬ<0) будем
называть абсолютной поперечной деформацией, а г/=АЬ/Ь—
относительной поперечной деформацией. Относительные
продольная и поперечная деформации, имеющие
противоположные знаки, связаны между собой коэффициентом ц,
являющимся константой материала и называемым коэффициентом
поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:
в'=—це. (5.9)
Как известно (см. главу 2), для изотропного материала 0<
Формула (5.8) для удлинения стержня Д/ применима
только в случае, (когда по длине стержня ни жесткость
поперечного -сечения, н<и продольная шла 'не изменяются
Рис. 5.7
96

(ЕР =соп$1, Л^=сопз1).
Удлинение стержня со ступенчатым
изменением ЕР и Ы2 (рис. 5.7)
может быть определено как сумма
удлинений ступеней, у которых
ЕР и Ы2 постоянны:
Мгк^к
М ЕРъ **
6=1
6=1
Ек
(5.10)
(индекс к у модуля продольной Рис. 5.8
упругости означает, что участки
стержня могут быть изготовлены из различных
материалов). В случае, когда N2 и ЕР меняются по длине стержня
/ непрерывно и их можно считать постоянными лишь в
пределах ступеней длиной йг, обобщая формулу (5.10),
получаем
А/
I
I
ЕР
(5.11)
С упругими продольными деформациями стержня при
растяжении (сжатии) связаны продольные перемещения его
сечений. На рис. 5.8 приведены три случая определения
таких перемещений, откуда видно, что перемещения
поперечных сечений численно равны удлинениям заштрихованных
частей стержня:
перемещение свободного торцевого сечения У—/ при
неподвижном другом торцевом сечении (рис. 5.8, а) численно
равно удлинению стержня;
перемещение промежуточного сечения 2—2 (рис. 5.8, б)
численно равно удлинению части стержня, заключенной
между данным сечением и сечением неподвижным;
взаимное перемещение сечений 3—3 и 4—4 (рис. 5.8, в)
численно равно удлинению части стержня, заключенной
между этими сечениями.
5.4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
Напряженное состояние при растяжении стержня
является одноосным (рис. 5.9, а). Поскольку на поперечных и
продольных площадках касательные напряжения не возникают,
то эти площадки являются главными. Причем в случае рас-
7—1741
97

*1
а)
Ыт
Рис. 5.9
тяжения а1=а>0, а2=оз'=0, а в случае сжатия а1 = а2=0,
а аз,='а<0.
Напряжения на площадках, наклоненных *,к оси стержня
под углом а, определяются по формулам для упрощенного
плоского напряженного состояния (2.22) и (2.23)
аа'=,о со52а, та=0,5 а зш 2а.
Площадки с экстремальными касательными напряжениями
Пз (рис. 5.9,6), как известно, наклонены тю отношению к
исходным под углами р = ±45° (следует и из формулы для та)
и равны Т1з,=='а/2.
Именно с действием экстремальных т связывается
появление на боковой поверхности образца из малоуглеродистой
стали, испытываемого на растяжение, линий скольжения,
ориентированных под углом р=<±45° к оси образца. На
площадках с экстремальными т действуют и нормальные
напряжения, равные (Пз—'а/2.
5.5. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМАХ
Фермой называется шарнирно-стержневая система,
составленная из прямолинейных стержней, соединенных в узлах
полными идеальными шарнирами, т. е. шарнирами, возле
Узел А
Рис. 5.10
98

которых обращаются в нуль изгибающие моменты во всех
соединяемых стержнях (рис. 5.10,а). Иными словами,
каждый стержень фермы начинается и заканчивается шарниром.
Ферма — это расчетная схема стержневой конструкции,
получаемая схематизацией и идеализацией элементов
конструкции. В качестве примера на рис. 5.10,6 приведена
конструкция сварного узла А, схематизируемого в расчетной
схеме идеальным шарниром.
В конструкциях ферменного типа стержневые элементы
работают толыко на растяжение (сжатие), это объясняется
тем, что фермы нагружаются сосредоточенными силами,
приложенными в узлах. Поясним принятую терминологию. На
рис. 5.10, а показана ферма балочного типа (она имеет
опоры как у статически определимой однопролетной балки и
выполняет примерно те же фуикции, что и балка,
перекрывающая пролет длиной /) с параллельными поясами,
соединенными стержнями решетки в виде раскосов.
Для определения усилий в стержнях ферм используется
метод сечений (см. гл. 1), применительно к стержневым
системам получивший также название статического метода. Он
состоит в том, что от системы отсекается некоторая часть,
а попадающие в сечение усилия определяются условиями
равновесия отсеченной части. Статический метод для расчета
ферм реализируется следующими способами:
Способ вырезания узлов заключается в последовательном
вырезании и рассмотрении равновесия узлов фермы (рис.
5.11). Рекомендуется начинать эту операцию с узла, где
сходится не более двух стержней (например, узел А).
Поскольку имеем систему сил, сходящихся в одной точке, то для
каждого узла можно составить два независимых уравнения
равновесия в виде суммы проекций всех сил на какие-либо
две оси, в качестве которых целесообразно выбирать норма-
Рис. 5.11
7*
99

ли к осям стержней (оси щ и п2). Обратим внимание на то,
что если двухстержиевой узел не загружен (например, узел
Б), то усилия в нем равны нулю (на рис. 5.11 нулевые
стержни зачеркнуты).
Следующим вырезается узел, в котором могут сходиться
и более двух стержней (например, узел С), но неизвестных
(ранее неопределенных) усилий в нем должно быть не более
двух (в узле С это Л^3 и N4, а ранее определенное усилие Ы2
заключено в кружок). Усилия Л^3 и N4 определяются из двух
уравнений равновесия для узла С.
Обратим внимание на случай, когда в узле фермы
сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой
(узлы Ей Ь); усилия в этих двух стержнях при отсутствии
в узле внешней нагрузки равны по величине и по зна'ку,
а усилие в третьем стержне равно нулю (узел Е).
Способ вырезания узлов является универсальным,
позволяющим определять усилия во всех стержнях статически
определимой фермы. Недостаток этого способа заключается
в том, что последующие усилия выражаются через ранее
определенные; это приводит к накоплению вычислительной
погрешности. Кроме того, если необходимо знать усилия лишь^
в отдельных стержнях фермы, то приходится определять
усилия и в других стержнях, через которые выражаются
искомые усилия.
Способ моментной точки позволяет выражать усилия в
стержнях через внешнюю нагрузку без промежуточных
операций. Он применим для тех случаев, когда, отсекая часть
фермы, удается провести сечение, в которое попадает не
более трех стержней. Тогда усилие в одном из этих стержней
определяется из суммы моментов сил, приложенных к
отсеченной части, относительно точки, где пересекаются оси двух
других стержней. Такая точка кп получила название
моментной точки для определения усилия Ып.
Рис. 5.12
100

Рис. 5.13
Например, усилие Ы\ в ферме (рис. 5.12), определяется
из уравнения
2т»1=°. М^+ 2/77/г1=:0, ^1'
Ътк
На рис. 5.12 показаны моментные точки к2 и къ (а также г2
и ^з)> необходимые для определения усилий N2 и Ы3.
Однако в случае, если два стержня из трех, попадающих
в сечение, параллельны, то моментная точка для третьего
стержня находится в бесконечности (рис. 5.13). Способ мо-
ментной точки в этом случае неприменим и приходится
обращаться ж способу проекций.
Способ проекций заключается в том, что для отсеченной
части составляется уравнение равновесия в виде суммы про-
Рис. 5.14

екций всех сил на ось, перпендикулярную параллельным
стержням. Например, для консольной фермы с
параллельными поясами (рис. 5.13) усилие Ы[ определим из
уравнения 2 1/=0:
лев
—МС05ф—Р = 0, Ы\=* — Р/С05ф.
Способ совместных сечений применяется в случае, когда
для выделения части фермы не удается провести сечение,
проходящее через три стержня. Например, для определения
усилия ,Л^1 в башенной ферме (рис. 5.14) удается отделить
правую часть фермы сечением /—/, проходящим через
четыре стержня. Тогда в уравнение
внеш
2 У,= 0, #, созф—N2+ 2 У=0
прав прав
войдет второе неизвестное усилие Ы2, которое находим,
отделяя сечением 2—2 верхнюю часть фермы, из уравнения
равновесия:
внешн
2 гг\кг = 0, #2 г2 + 2 пгкя = 0.
верхн верхи
ГЛАВА 6
ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ
Устраним неопределенность выбора положения осей Ох
и Оу системы координат, введенной в первой главе и
связанной с поперечным сечением стержня. Будем считать, что
оси Ох и Оу — главные центральные оси инерции
поперечного сечения стержня. Плоскости, проведенные через ось
стержня Ог и главные центральные оси инерции сечения Ох
или Оу называются главными плоскостями инерции
стержня. На рис. 6.1, а, б такие плоскости выделены штриховкой.
Как следует из главы 1, изгиб — это вид деформации
стержня, при котором в поперечном сечении стержня
возникают изгибающие моменты Мх или Му, или оба одновремен-.
но. Очевидно, что изгиб стержня вызывается внешними
силами, проходящими через ось стержня и перпендикулярны-
102

Рис. 6.1
ми ей. Стержень, работающий на изгиб, обычно называют
балкой.
Если все внешние силы, вызывающие изгиб балки, лежат
в одной из главных плоскостей инерции, например, как в
случаях, представленных на рис. 6.1, а, б, изгиб называется
прямым. В случае когда это условие не выполняется, изгиб
называется косым (рис. 6.1,в).
Кроме изгибающих моментов в поперечных сечениях
балки при изгибе могут возникать и поперечные силы Ох и (или)
<2У. Так, при прямом изгибе балки, показанном на рис. 6.1, а,
в поперечных сечениях возникают изгибающий момент Мх
и поперечная сила С}у, а в случае, показанном на рис. 6.1,6—
Му и фЛ. В поперечных сечениях балки, работающей на
косой изгиб (рис. 6.1,в), возникают Мх, Му, (3У и ($х.
Если поперечные силы (2* и (или) <2У в сечениях балки
не возникают, изгиб называется чистым. В противном
случае (при ()хф0 и (или) ()уфО) изгиб называется
поперечным.
6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ
ВНУТРЕННИМИ СИЛОВЫМИ ФАКТОРАМИ И ВНЕШНЕЙ
НАГРУЗКОЙ ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Введем правило знаков для изгибающего момента и
поперечной силы (рис. 6.2). Изгибающий момент считается
103

Мх<0 МхсО
V
Рис. 6.2
Чу<о
Ю
V
ЛЩ&7
-■■ 1 4
~йг
а)
Мх
Ру
йг
9
Яу+Щу
Рис. 6.3
положительным, если вызывает сжатие верхних волокон
балки; поперечная сила положительна, если стремится
повернуть элемент балки по часовой стрелке.
Исследуем связь изгибающего момента Мху поперечной
силы (2„ и распределенной нагрузки интенсивностью д на
примере балки, .показанной на рис. 6.3, а, для чего -составим
уравнения равновесия элемента балки (рис. 6.3,6). При
этом будем считать, что интенсивность распределенной
нагрузки д(г) на бесконечно малом отрезке йг • может быть
аппроксимирована линейной функцией. Тогда, записывая
уравнения равновесия элемента
2тЛ=0, Мх^уйг+д&г{йг/2)+Ч2АдАгУъАг-(Мх+йМх) = 0;
и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков,
получаем, что
6г
= <7>
6МХ
дг
<2у
(6.1)
Как следствие дифференциальных зависимостей (6.1)
получаем, что
^ =<?• (6.2)
аг2
104

6.3. ПРЯМОЙ ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
При прямом чистом изгибе в поперечном сечении
стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий
момент Мх (рис. 6.4). Так как (}у=йМх/<1г=0, то Мх=сопэ[ и
чистый прямой изгиб может быть реализован при загруже-
нии стержня парами сил, приложенными в торцевых
сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Мх по
определению равен сумме моментов внутренних сил
относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает
вытекающее из этого определения уравнение статики
А**= / !оуйР. (6.3)
р
Сформулируем предпосылки теории чистого прямого
изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем
деформации модели стержня из. низкомодульного материала,
на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных
и поперечных рисок (рис. 6.5). Поскольку поперечные риски
при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых
сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к
искривленным продольным рискам, это позволяет сделать
вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как
показывает решение этой задачи методами теории
упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом —
законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний
между продольными рисками, приходим к выводу о
справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон
(а*=<7у=0).
Ортогональность продольных и поперечных рисок до и
Рис. 6.4 Рис. 6.5
105

после деформирования (как отражение действия закона
плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов,
касательных напряжений в поперечных и продольных
сечениях стержня,
Таким образом, чистый прямой изгиб призматического
стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию
продольных волокон напряжениями с (индекс г в
дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне
растяжения (на рис. 6.5 это —нижние волокна), а другая
часть — в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны
разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей
длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая
сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал
стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае
имеет вид: о=Еъ, выведем формулы для кривизны
нейтрального слоя 1/р (р — радиус кривизны) и нормальных
напряжений с. Предварительно отметим, что постоянство
поперечного сечения призматического стержня и изгибающего
момента (Мх=соп${), обеспечивает постоянство радиуса
кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис.6.6,а),
нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.
Рассмотрим призматический стержень в условиях
прямого чистого изгиба (рис. 6.6, а) с поперечным сечением,
симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие
не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб
был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной
осью инерции поперечного сечения, которая и является осью
Рис. 6.6
106

симметрии). Ось Ох поместим на нейтральном слое,
положение которого заранее неизвестно.
Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной йг,
который в масштабе с искаженными в интересах
наглядности пропорциями изображен на рис. 6.6,6. Поскольку
интерес представляют деформации элемента, определяемые
относительным смещением его точек, одно из торцевых
сечений элемента (на рис. 6.6,6 — это левое сечение) можно
считать неподвижным. Ввиду малости йф считаем, что
точки поперечного сечения при повороте на этот угол
перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.
Вычислим относительную деформацию продольного
волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:
г=ВВ1/АВ=ВВ1/001.
Из подобия треугольников СОО{ и 0\ВВ{ следует, что
ВВ1/ООх = 01В/СО=у1р.
Продольная деформация е оказалась линейной функцией
расстояния от нейтрального слоя, что является прямым
следствием закона плоских сечений
е = *//р. (6.4)
Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ,
на основании закона Гука будет равно
о = ДХ. (6.5)
Р
Формула (6.5) не пригодна для практического
использования, так как содержит две неизвестные: кривизну
нейтрального слоя 1/р и положение нейтральной оси Ох, от
которой отсчитывается координата у. Для определения этих
неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия
статики. Первое выражает требование равенства нулю
продольной силы
Л^=(|/0(^=0. (6.6)
р
Подставляя в это уравнение выражение (6.5)
±^уйР=0
Р р
и учитывая, что (Е/р)Ф0, получаем, что
//^=0. (6.7)
р
107

Интеграл в левой части уравнения (6.7) представляет
собой статический момент поперечного сечения стержня
относительно нейтральной оси Ох, который может быть
равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому
нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести
поперечного сечения.
Вторым уравнением равновесия статики является (6.3),
связывающее нормальные напряжения с изгибающим
моментом (который легко может быть выражен через внешние
силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя
в уравнение (6.3) выражение для напряжений (6.5)
4Я'
у*йР = Мх (6.8)
Р У
и учитывая, что / \у2&Р=]х, где ]х—главный центральный
р
момент инерции относительно оси Ох, для кривизны
нейтрального слоя получаем формулу
1/р=Мх/Е1х. (6.9)
Кривизна нейтрального слоя 1/р является мерой
деформации стержня при прямом чистом изгибе. Согласно (6.9)
1/р тем меньше, чем больше величина Е1Х, называемая
жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии
с жесткостью поперечного сечения при растяжении ЕР).
Подставляя (6.9) в (6.5), получаем формулу для
нормальных напряжений в виде
<т=—7=-0. (6.10)
которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году.
Для согласования знаков изгибающего момента Мх и
нормальных напряжений а в правой части формулы (6.10)
ставится знак минус, так как при ЛГзс>0 нормальные
напряжения с при */>0 оказываются сжимающими. Однако в
практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального
правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак
ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом
изгибе призматического стержня являются линейной функцией
координаты у и достигают наибольших значений в волокнах,
наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 6.7), т. е.
тах|о|-^уив—2^-^..
108

тахб
Рис. 6.7
Здесь введена
геометрическая характеристика
№х=/*/*/таХ, имеющая
размерность м3 и
получившая название момента
сопротивления при
изгибе. Поскольку при
заданном Мх напряжения
тахсг тем меньше, чем
больше №Ху момент сопротивления является
геометрической характеристикой прочности поперечного сечения
при изгибе. Приведем -примеры вычисления моментов
со-противления для простейших форм поперечных
сечений, показанных на рис. 6.8. Для «прямоугольного по-
леретаото -сечения '(/рис. 6.8,а) «имеем 1х=Ь№/№, утах =
= Л/2 и У7Х = 1х/утах = Ыг2/6. Аналогично для круга
(рис. -6.8,6 /*='яс?4/64, утах=(Ц2) получаем №х=цнР/32,
а для кругового кольцевого сечения (рис. 6.8,в), у которого
Л =
64
получаем
(1-Р4), Р=Й/Д Г/шах = Г>/2,
^ = -^-(1-Р4).
Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении
с изгибающим моментом Мх определяются по формуле
тах \о\=Мх/№х. (6.11)
Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок
из пластичного материала в упругой области, одинаково
работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напря-
109

тах(5с
тахбр
Рис. 6.9
жения в этом случае не имеет значения, напряжения
вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки
в форме призматического стержня получает вид
тах | о | = тах Л1я/№а<|[а],
(6.12)
где тахМ*—максимальное значение изгибающего момента
(легко определяемое по его эпюре), [о] — допускаемое
напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что
чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее
волокон (неравномерному в отличие от деформации
растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором
а=сопз1).
При расчете балок из хрупких материалов следует
различать наибольшие растягивающие тахар и наибольшие
сжимающие тах|ос| напряжения (рис. 6.9), которые также
определяются по модулю непосредственно по (6.10) и
сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение |оР|
и сжатие [ас]. Условие прочности в этом случае будет иметь
вид:
М
тах ар = —*- */^х < [ар|,
(6.13)
тах|ас|—^.^<[ас].
(6.14)
6.4. ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО
СТЕРЖНЯ
При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня
возникает изгибающий момент Мх и поперечная сила <?у
ПО

Рис. 6.10
Рис. 6.11
(рис. 6Л0), которые связаны с нормальными а и
касательными ту2 напряжениями
Мх=\\ \ (Я/с!/7,
Р
Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула (6.10)
для прямого поперечного изгиба, вообще говоря,
неприменима поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными
напряжениями т„, происходит депланация поперечных сечении
(отклонение от закона плоских сечений). Однако для балок
с высотой поперечного сечения Л<//4 (см. рис. 6.11)
погрешность (6 10) невелика и ее применяют для определения
нормальных напряжений поперечного изгиба как приближен,
ную При выводе (6.10) использовалась гипотеза об
отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При
поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипо-
а) в местах приложения сосредоточенных сил (см. нап-
пимер 6 11,а). Под сосредоточенной силой напряжения
поперечного взаимодействия могут быть достаточно велики и
во много раз превышать продольные напряжения о„ убывая
при этом, в соответствии с принципом Сен-Венана, по мере
удаления от точки приложения силы;
б) в местах приложения распределенных нагрузок. 1ак,
в случае, приведенном на рис. 6.11,6, напряжения от давле-
111

Рис. 6.12 Рис. 6.13
иия на верхние волокна балки оу= —ц\Ь. Сравнивая их с
продольными напряжениями а2, имеющими порядок
6/12/6 4 Ь \ к ) Ь \Н )
приходим к выводу, что напряжения оу<Са2 при условии, что
Я2</2, так как оу/о2~ (й//)2<1.
Получим формулу для «касательных напряжений ту2.
Примем, что нормальные напряжения вычисляются по (6.10),
а касательные напряжения равномерно распределены по
ширине поперечного сечения (рис. 6.12). Эта предпосылка
выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение стержня.
Точное решение задачи для прямаугольного поперечного
сечения показывает, что отклонение от равномерного распреде-
Рис. 6.14
112
Рис. 6.15

ления хуг зависит от отношения сторон Ь/Н. При (Ь/к) =1,0
оно составляет 12,6%, при {Ь/Н) =0,5 — только 3,3%.
Непосредственное определение напряжений хуг
затруднительно, поэтому находим равные им (вследствие закона
парности) касательные напряжения т*у, возникающие на
продольной площадке с координатой у элемента длиной йг,
вырезанного из балки, (рис. 6.13). Сам элемент показан на
рис. 6.14. От этого элемента продольным сечением,
отстоящим от нейтрального слоя на у, отсекаем верхнюю часть,
заменяя действие отброшенной нижней части касательными
напряжениями т (индекс гу в дальнейшем опускаем),
равнодействующая которых йТ=чЬ&г показана на рис. 6.15.
Здесь, согласно второй предпосылке т=сопз1 по ширине
элемента Ь. Нормальные напряжения а и о+йо,
действующие на торцевых площадках элемента, также заменим их
равнодействующими
О) со
'со х
Согласно первой предпосылке нормальные напряжения
определяются по (6.10); Зхы=\{ уйР, где 5/ — статический мо-
/?
мент отсеченной части площади поперечного сечения ю от-
носительо оси Ох.
Рассмотрим условие равновесия элемента (рис. 6.15),
составив для него уравнение статики 2г=0:
откуда после несложных преобразований, учитывая, что
получаем формулу для касательных напряжений при
нормальном поперечном изгибе призматического стержня
*хЬУ
(6.15)
которая называется формулой Журавского. В этой формуле
Ьу — ширина сечения в том месте, где определяются каса-
8—1741
113

тельные напряжения, а
статический момент,
подставляемый в (6.15), может
быть вычислен как для
верхней, так и для нижней
части (статические
моменты этих частей сечения
относительно его центральной
оси Ох отличаются только
знаком, так как статический
момент всего сечения равен
нулю).
В качестве примера
применения формулы Журав-
ского построим эпюру касательных напряжений для случая
прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.16).
Учитывая, что для этого сечения
*-Кт^)[т(т+')]--!г(,-4-&}'«=»"*•
получаем
Рис. 6.16
1тЬ
''•^('-^>
где Р=ЬН — площадь прямоугольника.
Как видно из формулы, касательные напряжения по
высоте сечения меняются по закону квадратичеакой параболы,
достигая максимума на нейтральной оси
тах % == 3/2
<1у
Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на
прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от
простых видов деформации, когда в поперечных сечениях
стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым
относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый
изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к
сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня
при поперечном изгибе возникают два силовых фактора:
изгибающий момент Мх и поперечная сила <2У (рис. 6.17),
напряженное состояние является упрощенным плоским, при
котором в окрестности произвольно выбранных точек
поперечного сечения действуют нормальные о и касательные т
114

тах 6
Рис. 6.17
Р1
~Ш1
||)11ЩЩ1111ШШШЩ^
Рис. 6.18
напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек
должно быть сформулировано на основе какого-либо
критерия прочности (см. главу 2).
Однако учитывая, что наибольшие нормальные
напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные
напряжения отсутствуют (рис. 6Л7), а наибольшие касательные
напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном
слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия
прочности в этих случаях формулируются раздельно по
нормальным и касательным напряжениям
тах 0<1а], тах т^[т]-
Покажем, что доминирующая роль в расчетах на
прочность 'балки, подвергнутой (поперечному изгибу, будет
принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого
оценим порядок тах а и тах х на примере консольной
балки, показанной на рис. 6.18:
тах а = — — , тах т ~ -^ — »
\7Х /г3 Р Ь2
так как тах МЛ~Р/, <2У~Р, Р~Н2, Шх~к3. Тогда
тах т
тах а
Р/Н*
Р///13
= ^//«1,
откуда тахт<таха, а поскольку [т]/[о]~0,5, то
доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным
напряжениям и условие прочности, например, для балки из
пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в
случае чистого изгиба будет-иметь вид (6.12)
тах Мх ^ г 1
тах о = — < [а].
8*
115

6.5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
ПРИ ИЗГИБЕ
Наиболее рациональным следует признать сечение,
обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке
(изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход
материала на изготовление балки, будет минимальным. Для
получения балки минимальной материалоемкости нужно
стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем
материала работал при напряжениях, равных допускаемым
или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение
балки при изгибе должно удовлетворять условию равнопрочно-
сти растянутой и сжатой зон балки. Иными словами
необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (тахсР)
и наибольшие напряжения сжатия (тахсс) одновременно
достигали допускаемых напряжений \[ар] и [ас].
Поэтому для балки из пластичного материала
(одинаково работающего на растяжение и сжатие: [а^]={{тс]==[с]),
условие равнопрочности выполняется для сечений,
симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям
относится, например, прямоугольное сечение (рис. 6.19,а), при
котором обеспечено условие равенства тахаР = шах |ас|.
Однако в этом случае материал, равномерно распределенный
по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной
оси. Чтобы получить более рациональное сечение,
необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны,
максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом,
приходим ж рациональному для пластичного материала
сечению в форме симметричного двутавра (рис. 6.19,6), у
которого возможно большая часть материала сосредоточена на
полках (горизонтальных массивных листах), соединенных
стенкой (вертикальным листом), то-чщира которой (.6) наз-
а) V в)
Рис. 6.19
116

#1 . тах<эс
Рис. 6.20
тахбр
чш*
а)
Рис. 6.21
тр*
7777л
УЪТГ*.
В)
в)
У?УЫГ"\
У
начается из условий прочности стенки по касательным
напряжениям, а также из соображений ее устойчивости (см.
гл. 15). К двутаврому сечению близко по критерию
рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 6.19,в).
Рассуждая аналогично, приходим \к выводу, что для
балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет
сечение в форме несимметричного двутавра,
удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис.
6.20) :
Утах
„(О
^тах
ш
[схс1
которое вытекает из" требования
тах ар _
[стР]\
тах ас
Идея рациональности поперечного сечения стержней при
изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях,
получаемых методами горячего прессования или прокатки
из рядовых и легированных конструкционных
высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов,
получивших широкое
распространение в строительстве,
машиностроении, авиационном машиностроении.
Широко распространены
показанные на рис. 6.21: а —двутавр, б —
швеллер, в — неравнобокий уголок,
г — равнобокий уголок. Реже
встречаются тавр, таврошвеллер,
зетовый профиль и др. Употребляются Рис. 6.22
/Р2
^ШШУ
117

также холодногнутые замкнутые сварные профили (рйС
6.22).
Поскольку по соображениям технологии сортамент
стандартных профилей по размерам ограничен (например,
наибольший прокатный двутавр согласно ГОСТ 8239-72 имеет
высоту 550 мм), то для больших пролетов приходится
применять составные (сварные или клепаные) балки.
6.6. ПОНЯТИЕ О СОСТАВНЫХ БАЛКАХ
Работу составных балок проиллюстрируем на простом
примере трехслойной балки прямоугольного поперечного
сечения (рис. 6.23). Если слои между собой не связаны и
силы трения между ними отсутствуют, то каждый из них
деформируется как отдельная балка, имеющая свой
нейтральный слой (рис. 6.23, а). Нагрузка между этими балками
распределяется пропорционально их жесткостям при изгибе
(в данном примере поровну). Это означает, что моменты
инерции и моменты сопротивления трех независимо друг от
друга деформирующихся балок должны быть
просуммированы
12 4 6 2
Если скрепить балки сваркой, болтами или другим
способом, то с точностью до пренебрежения податливостью
наложенных связей сечение балки будет работать как моно-
Рис. 6.23
118

литное с моментом инерции и моментом сопротивления,
равными
х 12 * 6
Как видно, при переходе к монолитному сечению жесткость
балки возрастает в девять раз, а прочность — в три раза.
В инженерной практике наиболее распространены
сварные двутавровые балки.
6.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО ИЗГИБА
ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Определено, что мерой деформации призматического
стержня при прямом чистом изгибе является кривизна
нейтрального слоя, определяемая по (6.9). Можно показать, что
с достаточной для инженерных расчетов точностью этой
формулой можно пользоваться и в случае прямого
поперечного изгиба стержня. Однако для практических целей кроме
кривизны 1/р необходимо определить вертикальные
перемещения центров тяжести отдельных поперечных сечений —
прогибов балки V, а иногда и углы поворота этих сечений ф
(рис. 6.24). Вследствие гипотезы плоских сечений угол
поворота сечения ф оказывается равным углу наклона
касательной к изогнутой оси балки, который в силу малости
дг
Тогда возникает геометрическая задача: составить
уравнение для функции прогиба V=ю{г)у зная закон изменения ее
кривизны.
Рис. 6.24
119

Воспользуемся известным из дифференциальной
геометрии выражением для кривизны в прямоугольных
декартовых координатах:
1 дг* (6.16)
Г / № \2]3/2
Однако, учитывая, что в инженерной практике применяются
достаточно жесткие балки, для которых наибольший прогиб
/ (рис. 6.24) мал по сравнению с длиной (///<1), а первая
производная от прогиба имеет порядок
и, следовательно, величиной (сЬ/с1г)2<с1, стоящей в
знаменателе ('6.16), можно пренебречь, выражение для кривизны
упрощается
1/р«с12у/с1г2. (6.17)
Тогда, подставив выражение (6.17) в (6.9), условившись что
ось Оу направлена вверх и согласовав знаки 1/р и Мх,
приходим к дифференциальному уравнению прямого изгиба
балки
А%" МХ\Е1К (6.18)
с!г2
известному также как дифференциальное уравнение упругой
кривой.
Если учесть точное выражение для кривизны по
формуле (6.16), то точное уравнение упругой кривой
й2 у
6г2 Мх
■з/2 ~" Е1Х
[1+Ы]
(6.19)
является нелинейным дифференциальным уравнением.
Поэтому линейное дифференциальное уравнение (6.18),
описывающее малые прогибы балки, иногда называют
линеаризованным уравнением упругой кривой.
120

Решение уравнения получаем путем двукратного
почленного интегрирования. При первом интегрировании получаем
выражение
■г-^+С. (6.20,
которое с учетом ц)^1§у = №/Аг, дает также закон
изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки.
Повторным интегрированием получаем функцию прогиба
•«-М#
Аг+Сг+й.
(6.21)
Постоянные интегрирования С и И должны быть найдены из
граничных условий.
Во всех приведенных выше уравнениях функция
изгибающего момента Мх(г) предполагалась известной, что
возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие
варианты статически определимых однопролетных балок и
соответствующие граничные условия показаны на рис. 6.25.
Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения,
получили название кинематических граничных условий. Как
видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы
прогиб на опорах ^(0) =^ (/) =0, а для консольной балки
прогиб и угол поворота сечения в заделке
(10(2)
V(0):
6г
= 0.
2 = 0
Дифференциальное уравнение в форме (6.18) неприменимо
для расчета статически неопределимых балок, так как
содержит неизвестный изгибающий момент Мху появившийся
в результате двукратного интегрирования уравнения
четвертого порядка
6;ЕМ МП ггт
М)=0
I
У(1) = 0
«)
ог
±±и^итт±^г
^
ыоио
5)
Рис. 6.25
121

4^—-*- (6.22)
В уравнении (6.22) нагрузка ц известна, поэтому его можно
получить из (6.18), учитывая, что
№
= д.
При интегрировании (6.22) необходимо задать четыре
граничных условия (по два на каждом конце балки) в том
числе так называемые силовые граничные условия — условия,
накладываемые на силовые величины (изгибающий момент
и поперечную силу), которые выражаются через
производные от прогиба. Из (6.18) следует, что
МХ = Е^-^, (6.23)
а с учетом дифференциального соотношения С1У = &Мх1&г
получаем
Ъи = Е1х^.. (6.24)
Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка.
Если имеется несколько участков, для которых правая часть
уравнения (6.18) }(г)=Мх/Е1х содержит разные
аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 6.26
приведена эпюра Мх, содержащая п участков. Для каждого
участка независимое интегрирование дает по две константы,
а при п участках требуется определить 2 п постоянных.
Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(п—1) ус-
Т ? \р1 т
Л ГГТТ1 1 Г"
*Ф*га1 I I Ч
Н—-**\ я? \ '
р I I У I I
Г I ап-1
\рг
"т г
—^1
\Мг
Рис. 6.26
122

ловйя непрерывности и гладкости упругой кривой на границе
смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов V
и углов поворота сечений сЬ/сЬг на этих границах
6у
получим 2п граничных условий, необходимых для иахожде
ния постоянных интегрирования.
6.8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ УПРУГОЙ КРИВОЙ
В предыдущем параграфе установлено, что трудности при
определении функции прогиба V (г) для нескольких участков
интегрирования связаны с определением констант
интегрирования. Это в значительной степени преодолимо при
условии, что решение дифференциального уравнения (6.18)
удается представить в виде, когда постоянные интегрирования
имели бы ясный физический смысл. Такую возможность
представляет метод начальных параметров Коши.
Разложим функцию прогиба V (г) на первом участке
интегрирования в степенной ряд Маклорена
V (г) =а0+а1г+а222+а3г3+ ....
Отметим, что ряд сходится, если функция и все ее
производные на заданном интервале непрерывны, что в нашем
случае выполняется. Дифференцируя ряд почленно
-^Ф- = ах + 2а2 г+ За3г2+ ...
аг
и полагая 2=0, получаем, что
а =—I •
Аналогично для остальных коэффициентов ряда получаем
1 й2о
До =
2 аг2
2! с!** ' " п\ &гп
Тогда выражение для функции прогиба получает вид
123

V^.г) = V(0) + ^-
—+
10 »
421/
(1г2
сИ
1
1о
+
22 1
2! '
....
4г3 |о 3! 4г4 |0 4! '
Как видно, коэффициентами ряда являются значения
функции 1/(г) и ее производных, определенные при г=0.
Физический смысл этих коэффициентов очевиден: V(0)—прогиб
сечения в начале координат, (сЬ/с!,г) |0~ф(0)—угол
поворота этого сечения.
Из формулы (6.23) следует, что
д*у I _ Мх{0)
с!г2 |0~~ Е]х '
а из (6.24)
с!3а I в <М0)
с!*8 |о Я/*
Из уравнения (6.22) получаем
<*4» 1 = 9(0)
С учетом приведенных соотношений выражение для
прогиба V (г) принимает окончательный вид
ф)^щ+%^+^^^+^о_^^+^^^^+^_ (627)
4 ' 1! Е1х 2! Я/* 3! ' Я/х 4! Ч '
Здесь величины, для упрощения отмеченные индексом 0 и
вычисленные в начале координат, называются начальными
параметрами задачи. Выражение (6.27) записано для
случая <7=9о=соп51. Если интенсивность распределенной
нагрузки ц изменяется по линейному закону <7=(7о+<7о/2, то в
(6.27) добавляется слагаемое
% г5
ЕЗХ 5!
Функцию углов поворота сечений <р(г) получаем,
дифференцируя зависимость (6.27)
ф(2)=ф0+^^+__^_51_+_^^.
ЕЗХ 1! ЕЗХ 2! ЕЗХ 3!
Ряд Маклорена справедлив, если разлагаемая функция
и все ее производные непрерывны на всем участке интегри-
124

Рис. 6.27
рования. Поэтому (6.27) справедливо только для первого
участка О^г^а! и становится неприемлемым при переходе
ко второму участку, так как сама функция V (г) или ее
производные на границе участков могут иметь скачки (см. рис.
6.27).
Решение на втором участке (а1<г<аг) будем искать
в виде
ю2{г)=юх{г)+№{г—ах)у
где Да = 1;2—*>1 (рис. 6.27)—линейная комбинация
(разность) решений дифференциального уравнения (6.18),
поэтому ее следует искать также по методу начальных
параметров
(г-аг) ,ДЛ1Х(«1) (*-«Ла ,
Ду (г — а{) — Да (а\) + Дф^)
Е1Х
2!
+
А<?1/(Д1) (г-01)3 . А<7(Д1) (г—Д1)4
Е1Х 3! Е]х 4!
принимая за начальные параметры окачки Да, Дер, ДМ*, Д(?у,
Д?.
Рассуждая аналогично, построим решения для третьего,
четвертого и всех последующих участков. Например, для
/г-го участка получаем
Vп(г) = Vо + Фо —4
М0
Оо
Яо
11
ЕЗХ 21
п-\
л-1
Е1Х г\
п—1
Е/* 4!
+
125

л— 1
+2
/=1
А<ЫЦ) (г-а;)3
Я/,
3!
л-1
■2-
/=1
А9 (<*Л (г-а,)4
Я/* 4!
(6.28)
Отметим, что нередки случаи, когда часть начальных
параметров^ неизвестна и определяется из граничных условий
на правой или промежуточных опорах балки. Например, для
балки, показанной на рис. 6.25, а известны все начальные
параметры (00=0, АГ0=0, Оо=<7//2, ?о='-<7) кроме одного
1<Ро), «оторыи определим, используя граничное условие на
правой опоре у (./)= 0.
6.9. РАСЧЕТ БАЛОК, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Рассмотрим балки, лежащие на линейно-упругом
основании так называемого винклерова типа. Такая модель была
предложена немецким инженером Э. Винклером в 1867 г и
применена к расчету железнодорожного пути. Модель
обладает следующими свойствами.
1. Реакция основания пропорциональна перемещению V
совпадающему с прогибом связанной с основанием балки
и имеет противоположное направление (рис. 6.28)
г (г)=.—со (г), (6.29)
где с— коэффициент упругости основания, называемый
также коэффициентом отпора. Его размерность
сИгп с=[сила/площадь].
Реакция основания является погонной нагрузкой (как и д),
У\
О
л.
Е0
тНттГ-
77777777777777777777Г77777777777/
рнпгш
А А А I 4
-г(г)
Рис. 6.28
126
Рис. 6.29

Рис. 6.30 Рис. 6.31
распределенной вдоль оси балки. Введенный „указанным
образом коэффициент отпора с учитывает не только свойства
основания, но и ширину балки Ь (рис. 6.29). Поэтому часто
вводят коэффициент отпора со, представляющий собой
давление, необходимое для погружения в основание на единицу
длины и связанный с коэффициентом с соотношением с=
=СоЬ.
2. Связь между балкой и основанием является
двухсторонней (рис. 6.30), т. е. не наблюдается отлипания балки от
основания, что свойственно не всем реальным основаниям.
Так, односторонность реакции основания из-за отлипания
характерна основаниям в виде жидкости, грунта и т. п.
Модель винклерова основания можно представить как
бесконечный набор не связанных между собой пружин.
Примером идеального винклерова основания является жидкость.
У ряда оснований из бетона, уплотненного грунта, резины
и других материалов прогибы в различных точках
основания оказывают взаимное влияние (рис. 6.31), хотя в ряде
случаев (рыхлый грунт, песок) оно пренебрежимо мало.
Схема винклерова основания широко используется для расчета
фундаментов и оснований, взаимодействия судов и других
плавсредств с водой, расчета балок, лежащих на большом
числе упругих опор (например, рельсов, лежащих на
шпалах).
Ограничимся рассмотрением малых прогибов балки с
постоянной жесткостью поперечного сечения при изгибе Е} =
=сопз{, лежащей на упругом основании с постоянным
коэффициентом отпора с=сопз1 и загруженной распределенной
нагрузкой с интенсивностью 9(2) (рис. 6.28). Для описания
малых прогибов такой балки используем линеаризованное
дифференциальное уравнение упругой кривой в форме (6.22),
в которое внешняя нагрузка должна быть- подставлена с
учетом реакции основания
127

Е1 =0 — с.
Перенося су в левую часть, вводя обозначение 4к*=с/Е1,
после несложных преобразований приходим к диффереци-
альному уравнению изгиба балки на упругом основании вин-
клерова типа
*-!^+Ак*V = ^|Е^. (б.зо)
Решение этого уравнения будет складываться из общего
интеграла у0 однородного уравнения
4^ + 4^0 = 0, (6.31)
и частного интеграла у* неоднородного уравнения (6.30).
Общий интеграл уравнения (6.31) получим, осуществляя
подстановку у=Леа2, приводящую к характеристическому
уравнению
а4+4й4=0,
из которого определяются характеристические показатели а
как четыре корня этого уравнения
а1)2)3>4=±у±21к = ±{1±г)к.
Тогда решение (6.30) примет вид
^;(2)=^41е<1+'>*^+Л2е-<,+^+Лзе<1-^)^^-Л4е-<1-^),кж+^;*(2)> (6.32)
где А\, Л2, Аг и Л4 — -константы интегрирования,
подлежащие определению из граничных условий.
Частный интеграл неоднородного уравнения (6.30)
определяется характером правой части этого уравнения.
Например, если <7(г) —полином не старше третьей степени, тогда
йг*
= 0
V, =ц (г) /4 к4Е/=ц (г) /с. (6.33)
Если <7=соп81, то у* = д/с дает величину погружения в
основание балки как жесткого целого.
Преобразуем решение (6.32), делая подстановку по
формуле Эйлера е-кг=со$кг±15ткг. После преобразований
получаем
128

V (г) = С1е_Лг51п &2+С2е-йгсо5 кг-\-
+С3е*2зт кг+С&к2со$кг-\-ь* (г). (6.34)
Другую форму решения получим, переходя посредством
подстановки в (6.34) е±А2 = сЬ кг±:$\\ кг к гиперболическим
функциям
V (г) =\0\зЬ кг зт /гг+^гзЬ кг соз кг-\-
+^3сЬ кг зт ^г+[04сЬ кг соз кг+у* (г). (6.35)
Решение в форме (6.35) удобно при расчете
сравнительно .коротких балок. Для расчета длинных балок
предпочтительнее решение в форме (6.34). Поясним это на примере
бесконечно длинной балки. Устремляя аргумент г к
бесконечности, обратим внимание, что
Нт е-*2=0, Пт ей2 = оо.
Это показывает, что наличие в выражении (6.34) третьего
и четвертого слагаемых противоречит требованию
ограниченности прогибов балки на бесконечности. Такое
противоречие устраняется при условии, что С3 = С4 = 0, и тогда для
бесконечно длинной балки выражение (6.34) принимает вид
и(г) = е-к*(С{ зт кг+С2 соз кг) +у* {г). (6.36)
Выясним, какая балка может считаться достаточно
длинной для того, чтобы при ее расчете можно было
использовать выражение (6.36). Преобразуем аргумент кг, введя
длину -полуволны синусоиды Л, к виду
кг=хя/Х, (6.37)
где
Я=дг/й=яУ4Ш/с. (6.38)
Из (6.37) видно, что при Аг=\к аргумент кг изменяется на
я (поэтому Я и названа длиной полуволны синусоиды). При
этом прогиб уменьшается в ея~23 раза. Таким
образом,балка длиной .'/>& считается достаточно длинной, чтобы ее
прогибы описывались выражением (6.36).
9—(1741 129

ГЛАВА 7
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
7.1. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО
СЕЧЕНИЯ
Кручением называется такой вид деформации, при
.котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один
силовой фактор — крутящий момент М2. Крутящий момент по
определению равен сумме моментов внутренних сил
относительно продольной оси стержня Ог. Нормальные силы,
параллельные оси Ог, вклада в крутящий момент не вносят.
С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения
стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения ххг
и Туг) Мг связывает вытекающее из его определения
уравнение равновесия статики (рис. 7.1)
М2= / / (ту2х—хХ2у)АР. (7.1)
р
Условимся считать Мг положительным, если со стороны
отброшенной части стержня видим его направленным против
часовой стрелки1 (см. рис. 7.2). Это правило проиллюстрировано
на рис. 7.1 и в зависимости (7.1), где крутящий момент М2
принят положительным. Численно крутящий момент равен
сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной
части стержня, относительно оси Ог.
Рассмотрим кручение призматических стержней
кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого
стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сет-
Рис. 7.1 Рис. 7.2
130

Рис. 7.3 Рис. 7.4
кой рисок (рис. 7.3) позволяет сформулировать следующие
предпосылки теории кручения этого стержня:
1) поперечные сечения остаются плоскими (выполняется
гипотеза Бер/гулли);
2) расстояния между поперечными сечениями не
изменяются, следовательно е2 = 0;
3) контуры поперечных сечений и их радиусы не
деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя
как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при
деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда
следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны
нулю, в том числе и гх=>еу=0]
4) материал стержня подчиняется закону Гука.
Учитывая, что ех=щ=\&г=0, из обобщенного закона Гука в
форме (2.44) получаем ах=ау=о2==0. Это означает, что в
поперечных сечениях стержня возникают лишь касательные
напряжения т, а вследствие закона парности касательных
напряжений, равные им напряжения действуют и в
сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное
состояние стержня — чистый сдвиг.
Выведем формулу для касательных напряжений при
кручении призматического стержня кругового поперечного
сечения. Как видно из рис. 7.4, поворот правого торцевого
сечения относительно неподвижного левого на угол ф (назовем
его углом закручивания стержня) вызывает поворот
продольных волокон на угол «у (угол сдвига, поскольку на величину
7 искажаются углы ортогональной сетки продольных и
поперечных рисок модели, представленной на рис. 7.3).
Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня
(рис. 7.4) длиной Аг и, поскольку нас интересуют
деформации элемента, левое сечение его будем считать
неподвижным (рис. 7.5). При повороте правого сечения на угол с1ф
в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов,
правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на
9*
131

Рис. 7.5
величину полярного радиуса р) будет перемещаться по дуге
ВВи вызывая поворот воло-кна на угол сдвига
рс1ф
Т = ВВХ1АВ =
дг
(7.2)
Обратим внимание на то, что ь соответствии с рис. 7.5
и рис. 7.6, а сдвиг 7 и связанное с 'ним касательное
(Напряжение т перпендикулярны радиусу р. Определим т,
воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига и учитывая (7.2)
т = С| = Ор——
(7.3)
Здесь Ац/йг — погонный угол закручивания стержня,
который остается пока неизвестным. Для его нахождения
обратимся к условию статики (7.1), записав его в более удобной
для данного случая форме (рис. 7.6, а)
Мг=^^х9йР. (7.4)
р
Подставляя (7.3) в (7.4) и учитывая, что
уР^=/Р,
где /р— полярный момент инерции поперечного сечения (для
круга с диаметром й /р=я^4/32), получаем
с!ф
М*
(12 (Нр
(7.5)
Подставляя выражение (7.5) в (7.3), получаем формулу
для касательных напряжений при кручении призматического
стержня кругового поперечного сечения
132

Как «видно «из (7.2) ш (7.6), «сдвиши и касательные
напряжения пропорциональны расстоянию от оси стержня. Обратим
внимание на структурную аналогию формулы (7.6) с (6.10)
для нормальных напряжений чистого изгиба.
Мерой деформации стержня при кручении является
погонный угол закручивания стержня, определяемый йо (7.5).
Поскольку величина 01Р стоит .в знаменателе формулы .и .пр;и
заданной нагрузке (Мг через нее выражается) йу/йг тем
меньше, чем больше С/Р, последнюю называют жесткостью
поперечного сечения при кручении.
Пользуясь (7.5) для определения угла закручивания
элемента длиной йг
А Мг А
найдем «полный угол закручивания стержня длиной /
-Мг6г
н
01 р
о
(7.7)
В случае, если по длине стержня М2 и С/р постоянны,
получаем
Ф = -^ (7.8)
когда эти величины кусочно-постоянны, то:
Мгик
Ф=2
А=1 <0/">*
(7.9)
Отметим, что формулы (7.7), (7.8) и (7.9) по структуре
аналогичны формулам I('5.8), I('5.110) и (бЛЧ) для деформаций
при растяжении стержня.
Как видно из (7.6) и рис. 7.6, наибольшие касательные
напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т.е.
При ртах = ^/2
тах^ —Ртах = _ = —, (7.10)
где №р — момент сопротивления при .кручении или
полярный момент сопротивления
№р=ш/3/16. (7.Ц)
133

Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе
формулы (7.10) для максимальных касательных
напряжений, очевидно является геометрической характеристикой
сечения, а условие прочности стержня при кручении
принимает вид
тах Мг
тахт =
№Р
<М.
(7.12)
где [т] — допускаемое напряжение на кручение.
Как показали эксперименты и точное решение этой зада*
чи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные
ранее .для стержня со сплошным круговым сечением, остаются
справедливыми и для стержня кольцевого поперечного
сечения (рис. 7.7). Поэтому все выведенные ранее формулы
пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той
лишь разницей, что полярный момент инерции определяется
как разность моментов инерции кругов с диаметрами Вий
1р = и04/32 — ий4/32 = — (1 — Р4), (7.13)
где р = й/Д а момент сопротивления определяется по
формуле
Фр = -УРтах = ^Р/0^5^ = ^- (1 - п (7.14)
Учитывая линейный характер изменения касательных
напряжений по радиусу (рис. 7.7) и связанное с этим лучшее
использование материала, кольцевое сечение следует признать
наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффици-
тах г
Рис. 7.7
:=з@'-
а)
Рис. 7.8
а
С12Я1
134

ент использования материала тем выше, чем меньше
относительная толщина трубы.
Как отмечено ранее, напряженное состояние при
кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем
плоского напряженного состояния (см. гл. 2). На
площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на
парных им площадках продольных сечений возникают
экстремальные касательные напряжения т*п ^> а главные
напряжения 01,3=±т действуют на площадках, наклоненных коси
стержня под углами ±45°; главное напряжение 02=0.
Особенности напряженного состояния при .кручении
нашли отражение в характере разрушения стержней. Так,
разрушение стержня из дерева, плохо работающего на
скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин
(рис. 7.8,а). Разрушение стержня из хрупкого металла
(например, чугуна) происходит по винтовой линии,
наклоненной к образующим под углом 45°, т. е. по траектории
главного напряжения оз (рис. 7.8,6).
7.2. РАСЧЕТ ВАЛОВ
Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть
известна мощность № (кВт), передаваемая вращающимся
с заданным числом оборотов в минуту (п) валом от
источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю
(например, станку), а момент т, передаваемый валом,
требуется найти, так как численно равный этому моменту
крутящий момент необходим для расчета вала.
Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая
угловая скорость со (с-1) постоянны, а Ф — угол поворота
вала в данный момент времени •/, то работа вращательного
движения А = тФ. Тогда передаваемая валом мощность
будет равна
Т1Г/ АА тс1Ф ,п - гх
№ = = = тсо. (7.15)
Отсюда
т=№/со=30/я(№/п) кНм, (7.16)
где учтено, что со=яд/30.
Если мощность подается на вал через ведущий шкив,
а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов,
то по формуле (7.16) определяются моменты на шкивах, а
135

затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на
прочность и жесткость ведется, очевидно, по тахЛ12.
Определение диаметра вала из условия
прочности. Условие прочности при кручении вала имеет
вид (7.12), где допускаемые напряжения [т] принимаются
пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями
обычного статического расчета в связи с необходимостью
учета наличия концентраторов напряжений (например,
шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и
наличия наряду с кручением и изгиба вала.
Требуемое значение №р='лй3/16 получаем из условия
(7.12), принимая в нем знак равенства
№р=тахМ2/.[т], (7.17)
откуда получаем формулу для диаметра вала кругового
сечения
^=[16тахМ2/4т]]1/3. (7.18)
Определение диаметра вала из условия
жесткости. Условие жесткости состоит в наложении
ограничения на погонный угол закручивания вала 0 = (1ф/(1г,
так (как недостаточно жесткие валы не обеспечивают
устойчивой передачи мощности и подвержены сильным
колебаниям:
тахб^ тахМг <[8]. (7.19)
Тогда, учитывая, что /р = я^4/32, для диаметра вала из
условия жесткости имеем
4
У лот у '
Для вала кольцевого поперечного сечения /р и №р
вычисляются по (7.13) и (7.14).
7.3. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН
С МАЛЫМ УГЛОМ ПОДЪЕМА ВИТКОВ
Еще одной областью применения теории кручения
стержней является расчет пружин, навитых из проволоки
кругового поперечного сечения. Теория призматического стержня
к расчету пружин применима лишь приближенно, так как
последние являются стержнями с криволинейной осью.
136

м2--{рп
Рис. 7.9
Рис. 7.10
Будем рассматривать пружины, навитые на
цилиндрические оправки с малым шагом витков (рис. 7.9), т. е. угол
наклона витков а считаем настолько малым, чтобы можно было
принять зтсс — 0, со$а~1, а поперечные сечения пружин
лежащими в диаметральных плоскостях. Так, нижняя часть
пружины, показанной на рис. 7.9, отсечена диаметральной
плоскостью й, совпадающей с плоскостью чертежа. В
поперечных сечениях витков такой пружины возникают лишь
поперечная сила 0,У=Р и крутящий момент Мг=РО/2 и,
следовательно, витки пружины работают на срез и кручение.
Как видно из рис. 7.10, опасной точкой является внутренняя
точка (к) контура сечения витка, в которой складываются
напряжения кручения, приближенно определяемые по (7.10)
Мг __ 8РР у
ИРр ■ пй3
и наибольшие напряжения среза, которые определим по
приближенной формуле, считая, что тср по сечению
распределены равномерно
ТсР~<Э/Р=4/7яЛ2.
Тогда
8Рй
тахткр =
тахт = тахткр+т
*ср
лЛ3
(1+^)'
(7.21)
Иногда наибольшие напряжения среза определяют по более
точной формуле Журавского (6.15). Опуская выкладки, по
этой формуле получаем
137

Шах ъ = 4*<МР—±г
Однако учитывая, что для пружин, применяемых в технике
й<^Б (обычно {(11В) = 1/5—1/12), вторым слагаемым в
(7.21), учитывающим влияние поперечной силы,
пренебрегают, считая, что витки пружины работают лишь на кручение.
Тогда условие прочности для пружины запишем в виде
тахт«-®^-<Ы. (7.22)
Пружины изготавливаются из специальных сортов стали с
высоким пределом пропорциональности, для которых {о]=
= 400—600 МПа.
Определим перемещение точки приложения силы Р,
называемое осадкой пружины X, для чего приравниваем
работу силы Р при квазистатическом нагружении пружины А =
= 0,5 РХ потенциальной энергии упругой деформации
пружины V. Учитывая только энергию деформации кручения,
получим
[/=0,5М2<р.
С использованием (7.8), в которой 1=пОп — длина
проволоки пружины, п — число витков, а также учитывая, что М2 =
=РЛ/2, /р = яа!4/32, будем иметь
1!=4Р20*п/аа4.
Тогда из условия А=\11
— РХ = 4Р*О3п/0с1*,
получаем формулу для осадки пружины
%=вРО*п/0(1\ (7.23)
Для практических расчетов эту формулу удобнее
представить в виде Я=Р/с, где с — жесткость пружины, равная
силе, -которую нужно приложить к пружине, чтобы вызвать
осадку, равную единице:
с=оау8й^п.
7.4. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ НЕКРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
Как следует из опыта с моделью стержня из
податливого материала с нанесенной на его поверхность ортогональ-
138

Рис. 7.11 Рис. 7.12
ной 'сеткой ри-сок (рис. 7:Ш), отри кручении стержней
.некругов снго сотения (в /нашем -случае — прямоугольного) имеет
место депланация сечений, и теория кручения стержня
Кулона, основанная на гипотезе плоских сечений, становится
неприменимой.
Решение таких задач получено в теории упругости; на
рис. 7.12 приведены эпюры касательных напряжений для
стержня прямоугольного сечения. Как видно, максимальные
напряжения возникают в точках, лежащих посредине
длинной стороны прямоугольника, то есть в наиболее близких к
центру кручения точках контура, а не в наиболее
удаленных — угловых точках, /как это следует из теории Кулона
(в угловых точках т=0).
Решение этой задачи дается в удобной для практических
расчетов форме:
тахт = —-, фг^,—*— тахт' = ттахх,
где №к=ыЬс2 — момент сопротивления при кручении этого
сечения, 1к=$Ьс3 — его крутильная характеристика, число-
Таблица 7.1
Ь/с
а
Р
Т
1
0,21
0,14
1,00
1,5
0,23
0,20
0,86
2
0,25
0,23
0,79
3
0,27
0,26
0,75
6
0,30
0,30
0,74
10
0,31
0,31
0,74
оо
1/3
1/3
0,74
139

вые .коэффициенты а, (*, уУ зависящие от отношения сторон
прямоугольника Ь/с. В табл. 7.1 приведены выборочные
значения этих коэффициентов.
Как видно, для вытянутых прямоугольников значение
коэффициентов аир приближается к 1/3.
ГЛАВА 8
СЛОЖНЫЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
8.1. ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ
И ГРАНИЦЫ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Вид деформации является сложным, когда в поперечном
сечении стержня возникают два и более силовых факторов.
Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму
простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб,
кручение), если применим принцип независимости действия сил
(частный случай принципа суперпозиции или наложения,
применяемый в механике деформируемого твердого тела).
Напомним формулировку принципа независимости
действия сил: напряжение (деформация) от группы сил равно
сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в
отдельности. Он справедлив, если функция и аргумент связаны
линейной зависимостью. В задачах 'механики .материалов и
.конструкций становится неприменимым, если:
напряжения в какой-либо части конструкции от одной из
сил или группы сил превышают
предел пропорциональности аПц;
деформации или перемещения
становятся настолько большими,
что нарушается линейная
зависимость между ними и нагрузкой.
Например, дифференциальное
уравнение изгиба стержня (6.19)
является нелинейным (см. гл. 6)
и вытекающая из него
зависимость прогиба / от нагрузки Р для
консольной балки, изображенной
Рис. 8.1 на рис. 8.1, а, также является не-
140

линейной (рис. 8.1,6). Однако, если прогибы балки невелики
(/</) настолько, что (с1я/с1г)2<С1 (так как с№/(12~///), то
дифференциальное уравнение изгиба становится линейным
(как видно из рис. 8.1,6, начальный участок зависимости Р
от /, описываемый этим уравнением, также является
линейным).
8.2. КОСОЙ ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Известно, что косой изгиб имеет место, когда силы, его
вызывающие, не лежат в одной из главных плоскостей
инерции. Однако, если разложить внешние силы по главным осям
инерции Ох и Оу, то получим две системы сил Р\х, Р2*, ••• >
Рпх и Р\у, Р2У, ..., Рпуу каждая из которых вызывает прямой
изгиб с изгибающими моментами соответственно Му и Мх
(рис. 8.2). Применяя принцип независимости действия сил,
нормальные напряжения а (рис. 8.3) определим ка»к
алгебраическую сумму напряжений от Мх и Му:
о = омх+ом=±^у±-^х. (8.1)
Чтобы не связывать себя формальными правилами знаков,
слагаемые в (8.1) будем определять по модулю, а знаки
ставить по смыслу.
Прогибы балки определим как геометрическую сумму
прогибов от прямых изгибов (рис. 8.>2)
!=№+!?.
Рис. 8.2 Рис. 8.3
141

н
т
V
шЛ
Щщ
И
Таким образом, расчет на косой изгиб с применением
принципа независимости действия сил сводится к расчету на
два прямых изгиба с последующим алгебраическим
суммированием напряжений и геометрическим суммированием
прогибов.
В случае поперечных сечений, имеющих две оси
симметрии и выступающие угловые точки (рис. 8.4) с равными по
модулю и максимальными одноименными координатами
\хА\=хв=хс=]хп\=ятах и уА=ув=\ус\ = \ув\=утаХу
напряжения в этих точках будут равны
<*а,в,с,о = ± ~т~" Утах ± "Т~ Хтах = ± ~^Г~ ± ~^Г' \У"*)
*х *У угх XV у
Слагаемые в формуле (8.2) рекомендуется определять по
модулю, а знаки ставить по смыслу. Например, на рис. 8.5
верхний ряд знаков «+» и «—» соответствует напряжениям
от Мх, а нижний ряд — от Муу и напряжения в этих точках
будут равны
оА
мх
Му
Ух
У? у
ов =
Мх
Ух
Ми
а = Мх Му
°~ Ух У у'
° Ух У у
Условие прочности для балок из пластичного материала
с указанным типом сечений запишется в виде
Мх , Ми
таха= —*—] ^ <[а]
У
Уу
(8.3)
142

В остальных случаях для определения тах о (или тах ар
и тах | ас | для хрупкого материала) необходимо по общей
формуле (8.1) проверить напряжения во всех
подозрительных точках.
Есть и другой путь: положив в (8.1) с=0, получим
уравнение нейтральной линии. Так как напряжения в точках
поперечного сечения будут пропорциональными расстояниям
от нейтральной линии, то таха будут возникать в наиболее
удаленных от нее точках.
8.3. СОЧЕТАНИЕ КОСОГО ИЗГИБА И РАСТЯЖЕНИЯ (СЖАТИЯ)
ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Этот случай отличается от предыдущего тем, что
добавляется продольная сила Ыг. Поэтому нормальные
напряжения будут равны
о=вмг+Омх+<Уму=-^- ± ^-У±^-х, (8.4)
а напряжения в угловых точках сечении, показанных на
рис. 8.4, будут определяться что (формуле
вА>В,С,0
Му
(8.5)
В частном случае внецентренного воздействия продольной
нагрузки Р (рис. 8.6) Ы1='Р, Мх= —РуР, Му= —РхР, а
формулы (8.4) и (8.5) принимают вид:
РуР
а = ^- + —^у +
РХс
■х.
Р 4- РУР
+
Рхр
(8.6)
(8.7)
Рис. 8.6
143

8.4. СОЧЕТАНИЕ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ
ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Исследуем этот вид деформации стержня на примере
расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения
на совместное действие изгиба и кручения (рис. 8.7).
Примем следующий порядок расчета.
1. Разлагаем все внешние силы на составляющие
Р\х, Рън .. , Рпх И Р\уу Р2У, ... , Рпу
2. Строим эпюры изгибающих моментов Му и Мх от этих
групп сил.
У кругового и кольцевого поперечного сечений все
центральные оси главные, поэтому .косого изгиба у вала вообще
не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении
иметь два изгибающих момента Мх и Му, а целесообразно их
заменить результирующим (суммарным) изгибающим
моментом (рис. 8.8)
Ук
Рис. 8.7 Рис. 8.9
144

мнзг=умх*+Му\
который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия
относительно нейтральной оси п—п, перпендикулярной
вектору Мизг. Эпюра суммарного момента имеет
пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и
анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения
прочности равноценны, то обычно эпюру МцЗГ спрямляют,
помещая все ординаты в одну (например, вертикальную)
плоскость. Обратим внимание на то, что центральный участок
этой эпюры является нелинейным.
3. Строится эпюра крутящего момента Мх.
Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках к и
к', наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 8.9),
а = МИзг/1й^изг.
где №Изг — момент сопротивления при изгибе.
В этих же точках имеют место и наибольшие
касательные напряжения кручения
т=М,/И7„
где И?Р — момент сопротивления при кручении.
Как следует из рис. 8.9, напряженное состояние является
упрощенным плоским (сочетание одноосного растяжения и
чистого сдвига). Если вал выполнен из пластичного
материала, оценка его прочности должна быть произведена по
одному из критериев текучести. Например, по критерию
Треска—'Сен-'Венана (2.72) имеем
аэкв=,уо2+4т2=У(М„зг/^изг)2+4(М2/И7р)2.
Учитывая, что НРр=2И7ИЗг, для эквивалентных напряжений
получаем
аэкв=УМ2и3г+МУГнзг='МЭКв/^изг,
где Мэкв==(УЛ42изг+М22 — эквивалентный момент, с
введением которого задача расчета вала на совместное действие
изгиба и кручения, сводится к расчету на эквивалентный
изгиб.
Аналогично для МЭКВ по критерию Губера—Мизеса (2.73)
получаем
м9КЪ=ум*нзг+*ш2*.
Тогда условие прочности для вала из пластичного
материала будет иметь вид
10-17411
145

'V,
<м.
(8.8)
изг
Рис. 8.10
Для стержня «из хрупкого
материала условие прочности следует
записать ев виде
Оэкв=1Л1экв/^изг={ар], (8.9)
где Мэкв должен быть записан
-применительно к одному из критериев
хрупкого разрушения. Например, по
критерию Мора (2>80)
Мэ
1— т
мизг+±^ум*зг+м$,
где т==(срМас].
Обратим внимание на особенности расчета при сочетании
изгиба, растяжения и кручения стержня прямоугольного
поперечного сечения (рис. 8.10). Для выявления опасной точки
здесь должны быть сравнены напряжения косого изгиба с
растяжением в точке Л, с эквивалентными напряжениями в
точках В и С.
ГЛАВА 9
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
9.1. ВИРТУАЛЬНАЯ РАБОТА, ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ
И ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Рассмотрим упругое тело, находящееся под действием
внешних сил Рь Р2, ..., Рп и закрепленное в отдельных
точках путем наложения связей — ограничений на перемещения
(рис. 9.1). В процессе деформации приложенные силы Р,
вызывают перемещение точек тела. Так, точка М
приложения силы Р, перемещается в точку М' (рис. 9.2).
Соответствующий вектор перемещений обозначим через и,. В
деформированном состоянии тело находится в равновесии. Будем
называть это состояние истинным состоянием.
Рассмотрим ташке смежное состояние, которое
отличается от истинного малыми перемещениями, совместимыми с
146

Рис. 9.1 Рис. 9.2
наложенными связями. Такие перемещения называются
возможными или виртуальными перемещениями. На рис. 9.2
показан вектор 6и, виртуального перемещения точки
приложения силы Р; из истинного состояния М' в смежное
состояние М".
По определению работа силы Р5 на перемещении 8и,-
точки ее приложения равна скалярному произведению вектора
этой силы на вектор соответствующего перемещения
бЛ,=.Р,би5, (9.1)
или произведению величины (модуля) Р$ этой силы на
проекцию 8иР. вектора перемещения 6а,- на направление
действия силы
ЪА^?}ЪиРг (9.2)
Введенная та.ким образом работа силы на виртуальном
перемещении называется виртуальной работой.
Суммарная работа всех внешних сил на соответствующих
виртуальных перемещениях
/=1
есть виртуальная работа внешних сил.
Положение точек тела в деформированном состоянии
можно определить не только векторами перемещений и^этих
точек, но и некоторыми параметрами ^ь <72, ••• > <7™,
функционально связанными с перемещениями
и*=|М?ь 42, .... <7«) (/=1, 2, ..., п). (9.4)
Введенные таким образом параметры <7ь называются
обобщенными перемещениями. Ими могут быть перемещения,
10* 147

углы поворота, а также некоторые величины, не имеющие
ясного физического смысла.
Виртуальные перемещения бо, или их проекции &иР.
вычисляются через вариации обобщенных перемещений б^Л по
правилам, аналогичным правилам дифференцирования
сложных функций (9.4):
т диР
Если, подставить выражения (9.5) в (9.3) для виртуальной
работы
п т диР
1±\ А дЯк
и привести полученную формулу к форме, по структуре
схожей с (9.3), путем обозначения
п диР
(?* = 2/?/Т^' (*=1'2 т), (9.6)
/=1 д"к
то получим
6Л= 2 (2^. (9.7)
к=\
Величины, вводимые по формулам (9.6), называются
обобщенными силами. Выражение (9.7) позволяет дать
следующее определение обобщенных сил: обобщенными силами
называются коэффициенты при вариациях обобщенных
перемещений в выражении для виртуальной работы внешних сил.
Размерность обобщенной силы равна размерности работы,
деленной на размерность соответствующего обобщенного
перемещения.
В механике конструкций обобщенные силы обычно
задаются как некоторые сосредоточенные силы, моменты,
распределенные нагрузки и т. д., а обобщенные перемещения
выбираются в соответствии с (9.7). Поясним сказанное на
примере консольной балки, загруженной системой внешних
сил, приводящихся к равномерно распределенной нагрузке,
сосредоточенной силе и моменту (рис. 9.3). Функция V (г)
полностью определяет положение изогнутой оси балки. На
рис. 9.3 показано также виртуальное перемещение б^(г),
близкое к истинному и не противоречащее наложенным свя-
148

Рис. 9.3
зям- перемещение и угол поворота в заделке равны нулю.
Сила Р совершает работу на .перемещении у^=юЩ,
момент М — на угловом перемещении цм=дь{г)1бг при 2=/.
Сила ц&г совершает работу на перемещении у (г), а
распределенная нагрузка совершает работу
яК{г)&г. (9.8)
Составляя выражение для виртуальной работы обобщенных
сил 0^'Р, <2г=М и С±г=й
бЛ=РбУр+^бфм+'7бУ„ (9.9)
определим обобщенные перемещения Ц\ = ъР, щ=*$ы, <7з=
==у?== (у{г)Аг жак перемещение точки приложения силы
Р угол°поворота сечения, в котором приложен
сосредоточенный момент М и площадь, заключенная между недеформи-
рованной осью балки и ее изогнутой осью на участке
приложения распределенной нагрузки.
9.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Для линейных упругих систем обобщенные силы и
обобщенные перемещения пропорциональны внешним нагрузкам
и перемещениям. Кроме того, внешние нагрузки и
вызванные этими нагрузками перемещения связаны линейными
соотношениями, следовательно обобщенные силы и обобщен-
149

Рис. 9.4
ные перемещения также связаны между собой линейными
соотношениями
<2Й= 2 ск&.
/=1
(9.10)
При возрастании величины обобщенной силы от нуля до
конечного значения фь соответствующее этой силе обобщенное
перемещение пропорционально возрастает от нуля до
конечного значения дк (рис. 9.4). Элементарная работа,
совершаемая обобщенной силой С} в промежуточном состоянии на
перемещении (%, равна &Ак—(С}-\-(1(3)с[дк или после
отбрасывания беаконечно малых второго порядка ААк=ф<1дк. После
интегрирования по заштрихованной на рис. 9.4 области
получим
Ак=1Шкдк.
Суммарная работа обобщенных сил равна
(9.11)
Если пренебречь потерями, связанными с тепловыми и
другими эффектами, кинетической энергией при медленном
(•квазистатическом) нагружении, то работа внешних сил
целиком затрачивается на сообщение системе потенциальной
энергии упругой деформации
150

А = Ц. (9.12)
Таким образом, для потенциальной энергии упругой
деформации получим формулу
т
[/=1/2 2 <*&ь (9.13)
являющейся содержанием теоремы Клапейрона:
потенциальная энергия упругой деформации линейной системы равна
полусумме произведений значений обобщенных сил на
значения обобщенных перемещений.
Во второй главе потенциальная энергия упругой
деформации была определена через компоненты тензоров
напряжений и деформаций
Ц= Г ( Гфак, (9.14)
V
где удельная потенциальная энергия упругой деформации
находится по формулам (2.49) ... (2.52). Выразим
потенциальную энергию через внутренние силовые факторы,
возникающие в стержневых системах при различных видах
деформации. Рассмотрим вначале сочетание чистого изгиба с
растяжением, когда в поперечных сечениях действуют
внутренние силовые факторы Ыг> Мх, Му и реализуется одноосное
напряженное состояние, причем напряжение о=сг
вычисляется по формуле (8.4)
а=,^-^у-^х. (9.15)
Удельная потенциальная энергия деформации в соответствии
с (2.50) равна ф = 1/2о2/Е, а потенциальная энергия (9.14)
после подстановки (9.15) вычисляется следующим образом:
>,Е .Ш \Р % 12и *'х
_2^х_2*Ы*Уху\йУ. • (9.16)
РЗу ^х Зу )
Внутренние силовые факторы Л^2(г), Мх(г), Му(г)
являются функциями продольной координаты г. В общем случае
151

геометрические характеристики стержня переменного
сечения Р(г)у 1х(г)у ]у{г) также являются функциями от г.
Поэтому интегрирование по объему в (9.16) можно свести к
последовательному интегрированию по площади поперечного
сечения и по длине. Например, первый интеграл в (9.16)
вычисляется как
Ч.Е )}) я 2Е Л ^(г) )) \ 2Е } Р(г)
При вычислении последующих интегралов используем
обозначения
]х=\\уЧР, /„=,/ 1хЧР, 5«=|/ [уйР,
Р Р Г
Зу>=)1 \хАР, /зд=/ / \ху&Р.
р р
Так как координаты л: и у в (9.15) отсчитываются
относительно главных центральных осей, то в этих осях 5* = О,
Зу=0, 1^=0 и последние три интеграла в (9.16) исчезают.
В результате получим
п Ы2 п М2 п М2
0 0 0
Если ввести обозначения сЬ (г) =Мг<1г/ЕР, 6ух(г)=МхАг/Е1х,
Ац)у(г)=МуАг/Е/уу имеющие смысл обобщенных
перемещений, на которых внутренние силовые факторы совершают
элементарную работу, то (9.17) можно представить в виде
о о
+1/2/М1,(2)с1ф1,(2), (9.18)
о
откуда следует, что потенциальная энергия упругой
деформации равна работе внутренних силовых факторов на
соответствующих обобщенных перемещениях.
Оценим слагаемые в (9.17). При сочетании изгиба с
растяжением, когда продольная сила и моменты имеют
порядок Ы2~Р, МХ~МУ~Р1, энергия растяжения I)Р и энергия
изгиба Им имеют порядок
ЦР ~ РЧ/Ек2, им ~ РЧ*/Ек\
152

Здесь учтено, что Р~к2у 1х~1у~к4, где к— характерный
размер поперечного сечения. При этом отношение иР/0м~
~Л2//2<С1, и первым слагаемым в (9.17) можно пренебречь.
При внецентренном растяжении, когда кг~Р, Мх~Му~Рк,
слагаемые >[/Р и {7М имеют одинаковый порядок и энергией
растяжения пренебрегать нельзя.
При поперечном изгибе в плоскости Оуг возникают
касательные напряжения т=«тУ2, -вычисляемые тю формуле Жу-
равского (6.15)
т_ 0у(г)3х(у)
Энергию, идущую на деформацию сдвига, вычислим с
использованием (9.14) и (2.50)
V
С помощью формулы Журавского получим
Воспользовавшись обозначением
ку{2) = И±\\81ИИдРг (9.20)
формулу (9.19) можно привести к виду
г <22 (г)
^ = 1/2рЛ2)^йг, (9.21)
о
где безразмерный коэффициент ку(г) учитывает
неравномерность распределения касательных напряжений по сечению.
В соответствии с (9.20) этот коэффициент зависит от формы
поперечного сечения и является его геометрической
характеристикой. Например, для стержня прямоугольного
поперечного сечения с размерами сторон & и А, для которого
Р=ЬН, 1х=Ьк*/12, Зх(у) = Ч2Ь(кЧ4-у2),
после вычисления интеграла в (9.20) получим ку=1,2.
153

При изгибе в плоскости Охг аналогично формуле (9.21)
получим
1/з-1/2Гм*)^<Ь
ОР (г)
(9.22)
Оценим порядок величин (9.21) и (9.22). При поперечном
изгибе <Э~Р, М-Р/, Р~№, ]~к\ 0~Е и величины (9.21)
и (9.22) имеют порядок 11я~РЧ1Ек2. Отношение 11(111/м~
~/г2//2<С1, следовательно, вкладом энергии деформации
сдвига можно пренебречь по сравнению с энергией деформации
изгиба.
При кручении стержня в поперечных сечениях возникает
крутящий момент Мг(г), который совершает элементарную
работу на обобщенном перемещении
О/* (2)
где О]к (г) — жёсткость поперечного сечения при кручении.
По аналогии с (9.17) получим
I
(Ум =1/2 Г
Щ (г)
.) 0]к (2)
6г.
(9.23)
При Мг~Мх~Му эта величина имеет тот же порядок, что и
энергия деформации изгиба.
Объединяя (9.17), (9.21), (9.22) и (9.23), в общем случае
деформации стержня при наличии всех внутренних силовых
факторов получим
(/ = 1/2
п уугаг г*
М1 йг А М1 Аг
е;х
о
ОР
+1
о
I
Е1и
I
}*йг
ОР
I
МЦг
ОЗи
(9.24)
Если пренебречь вкладом деформаций сдвига от действия
поперечных сил, то (9.24) примет вид:
(7=1/2
Иг+Г
М2хйг
~Ё17
№п
с К
01„ ]*
(9.25)
154

9.3. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА
Принцип виртуальных перемещений является одним из
общих принципов механики. Применительно к упругим
системам этот принцип формулируется следующим образом: для
того, чтобы данная упругая система находилась в
равновесии, необходимо и достаточно, чтобы виртуальная работа
внешних сил была равна вариации потенциальной энергии
упругой деформации, т. е.
6Л = 8С/. (9.26)
Виртуальная работа внешних обобщенных сил имеет вид
(9.7), потенциальная- энергия деформации вычисляется по
формуле (9.14), или применительно к стержневым
системам— по формуле (9.24). Следует отметить, что в
выражении (9.7) для виртуальной работы внешние силы и
соответствующие им обобщенные силы заданы и не варьируются, а
варьируются только обобщенные перемещения.
Если внешние силы потенциальные, то существует
некоторая функция П (потенциал внешних сил), такая, что
обобщенные силы определяются через эту функцию следующим
образом
<11=—~- (9-27)
В этом случае
т т ЯП
*=1 /г=1 С1к
и принцип виртуальных перемещений (9.26) можно записать
в виде
6((/+П)=0. (9.28)
Величина
Э=Ц+П (9.29)
называется полной потенциальной энергией системы.
Вариационный принцип
6Э=0 (9.30)
носит наименование вариационного принципа Лагранжа. Он
формулируется следующим образом: в состоянии равновесия
полная потенциальная энергия системы принимает стацио-
155

|Н
Рис. 9.5
нарное значение по сравнению со всеми возможными
состояниями. Можно показать, что полная потенциальная энергия
принимает минимальное значение.
Потенциал внешних сил выражается через обобщенные
силы и обобщенные перемещения следующим образом:
П=—2(3*?*.
(9.31)
2Л, что видно из срав-
Для линейной упругой системы П=
нения формул (9.11) и (9.31).
Покажем эквивалентность вариационного принципа Ла-
гранжа уравнениям равновесия на примере изгиба балки.
Рассмотрим участок балки длиной / при действии
распределенной нагрузки ^(г). Пусть в сечении г=0 задана внешняя
поперечная сила Р и момент М, а в сечении г=/
зафиксированы перемещение и угол поворота: у(1)=Ьи ф(/)=<р/
(рис. 9.5). Штриховой линией показано смежное состояние,
которое характеризуется виртуальными перемещениями
№(г) и 6ф(2), причем бг>(/) =бф(/) =0, так как в этом
сечении наложены ограничения (связи) на перемещение и угол
поворота.
Потенциальную энергию деформации (9.24), пренебрегая
вкладом энергии деформации сдвига, представим в виде
и-ш1в1.[±$ъ.
Здесь учтено, что
= 5Л
6г2
(9.32)
156

Потенциал внешних сил равен
П=— I ^(г)V(г)йг—РV(0)—Мч(0).
о
Полная потенциальная энергия системы определяется
выражением
/ I
Э = 1/2 ^Е^x№^6г— и(г)V(г)(^г—РV(0) — М<Р(0). (9.33)
о о
При вычислении вариации функционала (9.33) будем
учитывать, что смежное состояние определяется только
варьированием перемещений, в данном примере — прогиба V (г) и
угла поворота ф(;г) =с1а/с!2. Внешние силы и вызванные
этими силами внутренние силовые факторы Мх и (}у при этом
не варьируются. С учетом сказанного вариация функционала
полной потенциальной энергии системы равна
I I
бЭ=Гл1,(г)8 —&— Г д{г)Ьу(г)6г—Р^{0)—МЬ^(0). (9.34)
о о
Здесь использовано правило вычисления вариации,
аналогичное вычислению производной от сложной функции
\ дг ) дг \ дг )
и соотношение (9.32).
Операции варьирования б и дифференцирования <1/<\г
переставимы, -поэтому
б -^- = адф (г) - (9.35)
дг дг
С учетом известной формулы
дV _ с! (иь) ди
дг дг дг
первое слагаемое в (9.34) можно преобразовать к виду
|'Л!Я(2) «5^.4*= ^М(^6ф) _^5фЬг =
О о
157

О
Проводя аналогичные преобразования, получаем
I 1
Г 6МХ 6&у А„_ рг & ( &МХ я-.\ &МХ
} дг с1г
о
I
= [<2* (2) 6г> (2)] |*_ С ^^18с (г) Аг.
О
Здесь использована дифференциальная зависимость между
поперечной силой и изгибающим моментом (2У=АМх/йг.
В итоге для вариации полной энергии (9.34) приходим к
выражению
ЬЭ = \\^Г1-Ч(г)]^(г)<1г+Мх(1)^(1)-
О
- Чу (О & (0 -[Мх(0)+М\й* (0) + №„ (0) -Р] & (0). (9.36)
По определению виртуальных перемещений 6а(/)=0, бф(/) =
= 0. Полученное выражение согласно вариационному
принципу Лагранжа (9.30) должно быть равно нулю. Так как
вариации бу(г), 6а(0) и бф(0) —произвольные, то выполнение
условия (9.30) возможно, когда «коэффициенты при этих
вариациях обращаются в нуль. Этот результат
является содержанием основной леммы вариационного исчисления.
На основании этой леммы получим
*^-*Ю. (9.37)
(}У(0)=Р, Мх(0)=-М. (9.38)
Уравнение (9.37) справедливо при любых значениях г
на отрезке [0,/]. Это есть уравнение равновесия, полученное
в гл. 6 из условия равновесия элементарного объема Рйг.
Коэффициенты при виртуальных перемещениях во внеин-
тегральных слагаемых вариации 63 дают статические
граничные условия (9.38). Эти условия, полученные из
вариационного принципа, называются естественными граничными
условиями. Кинематические граничные условия V(^)=V^, ф(/)=;
158

=ф/ выполняются автоматически, они следуют из
определения виртуальных перемещений.
Учитывая зависимость
МЛг) = ЫЛг)^-
уравнение (9.37) можно переписать в виде
дг2
.[яУя(г)-^-]==9(г). (9.39)
9.4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
Теорема Лагранжа. Потенциальную энергию упругой
деформации для линейной системы можно вычислить через
обобщенные силы и обобщенные перемещения по формуле
Клапейрона (9ЛЗ). Учитывая связь между обобщенными
силами и обобщенными перемещениями (9.10), потенциальную
энергию можно представить в виде некоторого функционала
от обобщенных перемещений ^/(^ь^г, ••• ><7ш). Вариация этого
функционала вычисляется через виртуальные перемещения
по формуле
в*/=2-?^*. (9'40)
На основании принципа виртуальных перемещений (9.26) с
использованием (9.7) получим
^ дЦ
*Г, д*
ЪЧн= 2<?ь%.
или
К-*--*)**-*
к = 1
откуда в силу основной леммы вариационного исчисления
Ъь = ~ (9-41)
дяк
Формула (9.41) является содержанием теоремы Лагранжа,
т. е. обобщенная сила равна частной производной от
потенциальной энергии деформации по соответствующему этой
силе обобщенному перемещению.
159

Для линейной упругой системы обобщенные силы и
обобщенные перемещения связаны линейными соотношениями
(9.10), а потенциальная энергия V является квадратичным
функционалом от обобщенных перемещений
т т
1/ = '/22 2%«^ (9-42)
Л= 1 /= 1
Вычислим частную производную от этого функционала
Частные (производные дд^/ддц=1 при } = ь\ <3^/^г = 0 при
\ф'ь, поэтому
дЦ
д°'1 *=1 /==1
= 72 2 смдк+1и 2^/9/-
С использованием (9.10) и (9.41) будем иметь
откуда
т
<21=х12ЪсыЯк+х120.и
к=\
Сравнивая полученную формулу с (9.10), записанной в виде
т
($1= 2 Сник,
к=\
получим, что коэффициенты, связывающие обобщенные силы
и обобщенные перемещения, удовлетворяют условию
сы=сзк. (9.43)
Теорема Кастильяно. Если рассматривать соотношения
(9.10) как систему линейных уравнений относительно
обобщенных перемещений, то решение этой системы уравнений
имеет вид
т
дк= ц ькЛь (9.44)
причем коэффициенты Ъ^ являются элементами матрицы
[&«], обратной по отношению к матрице [я*/], составленной
160

из коэффициентов с^. Так как квадратная матрица [с^] —
симметричная (ее элементы удовлетворяют условиям (9.43)),
то обратная матрица также симметрична, т. е. выполняются
условия Ьк!=Ь^.
С учетам соотношений (9.44) и формулы Клапейрона
(9.13) потенциальную энергию упругой деформации можно
представить в виде квадратичного функционала от
обобщенных сил
т т
Частная производная от этого функционала равна
т т
к=\ 1=1
Рис. 9.6
Ш—1174*1.
161

Учитывая (9.44) и свойства симметрии Ъ^=Ь^,
окончательно получим
Полученный результат формулируется в виде теоремы
Кастильяно: обобщенное перемещение равно частной
производной от потенциальной энергии деформации по
соответствующей обобщенной силе.
Теорема Бетти о взаимности работ. Рассмотрим упругую
систему — балку на двух опорах, загруженную двумя
силами С?1 и |(32 (рис. 9.6, а). В 'процессе деформирования точки
приложения сил получают перемещения Ц\ и #2> которые
связаны с силами линейными соотношениями (9.44).
Представим эти соотношения в виде
91 = ^1^1+^1202 = ^114-^12,
?2=&21<21 + &22Р2 = <721+<722.
Перемещение ц1к имеет следующий смысл: это есть
перемещение в направлении силы (^ от действия силы (?л.
Напряженно-деформированное состояние, изображенное на рис.
9.6, а можно представить как наложение двух состояний,
показанных на рис. 9.6, б 'и 9.6, в.
Рассмотрим два способа перехода в конечное состояние.
В -первом случае (рис. 9.6, г) 'приложим в'начале силу фи
которая на перемещении #ц совершает работу О^п^. Затем,
оставляя постоянной силу ($и приложим силу (22, которая на
перемещении ^22 совершает работу (?2<722/2, при этом
постоянная сила (21 совершает на перемещении ^12 дополнительную
работу С1\д\2- Суммарная работа, равная потенциальной
энергии упругой деформации, в данном случае находится по
формуле
^1 = 72 <г1<711 + <г1<712+72 <22<722. (9.45)
Во втором случае, 'показанном на рис. 9.6,(3, сначала
прикладывается сила (22, а здтем — ($1. Суммируя работу от
действия каждой силы, аналогично предыдущему случаю
получим
У2=Ч2(Э2д22 + <Э2д21 + Ч2Я1Чп. (9.46)
В линейной системе потенциальная энергия не зависит от
последовательности приложения нагрузок, а определяется
лишь конечным состоянием. Поэтому потенциальная энергия,
накопленная при первом и втором вариантах нагружения,
162

Рис. 9.7
одинакова и равна потенциальной энергии при
одновременном приложении сил. Из сравнения выражений (9.45) и
(9.46) имеем:
01^12 = 02^21. (9.47)
Полученная зависимость является содержанием теоремы
Бетти о взаимности работ, т. е. работа сил первого состояния на
соответствующих им перемещениях второго состояния равна
работе сил второго состояния на соответствующих им
перемещениях первого состояния.
Теорема Бетти остается в силе, если размерности (^ и 02
различны, т. е. (^ и (32 имеют смысл обобщенных сил
(рис. 9.7).
Запишем соотношение (9.47) в виде
^712/02 = ^21/01. (9.48)
Величина 612=^12/02 имеет смысл обобщенного перемещения
в направлении обобщенной силы 01 от действия единичной
силы (?2=1. Аналогичный смысл имеет величина 621=^21/01.
Из (9.48) как следствие теоремы Бетти формулируется
теорема о взаимности перемещений Максвелла: обобщенное
перемещение точки приложения первой обобщенной силы по ее
направлению от действия второй единичной силы равно
обобщенному перемещению точки приложения второй
обобщенной силы по ее направлению от действия первой единичной
силы. Математически эта теорема записывается в виде
612=621. (9.49)
11*
163

Рис. 9.8
В частном случае, когда обобщенные силы имеют
одинаковую размерность и равны между собой, из (9.47) следует,
что ?12=?2ь В этом случае можно дать другую
формулировку теоремы о взаимности перемещений, а именно:
перемещение точки / под действием силы (2, приложенной в точке 2,
равно перемещению точки 2 под действием той же силы,
приложенной в точке /. Иллюстрация этой теоремы приведена
на рис. 9.8.
9.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА—МОРА
Рассмотрим упругое тело под действием внешних
нагрузок, которые сводятся к системе обобщенных сил (2\,Я2,-.
..., (2т. Напряженно-деформированное состояние тела будем
называть исходным и обозначать символом /. Пусть в этом
состоянии в некоторой точке М нужно определить
обобщенное перемещение ^01 в некотором направлении. На рис. 9.9, а
показано линейное перемещение, хотя это может быть угол
поворота, взаимное сближение двух точек и др. Первый
индекс обобщенного перемещения ^01 обозначает направление,
второй — причину, вызвавшую это перемещение, в данном
случае — состояние 1.
Наряду с исходным состоянием 1 рассмотрим
вспомогательное состояние 0, вызванное действием дополнительной
обобщенной силы (2о, которая приложена в точке М в на-
правлении искомого перемещения д0\ (рис. 9.9,6).
164

Рис. 9.9
На основании теоремы Бетти работа силы (20 на
перемещении #01 равна сумме работ обобщенных сил (3* первого
состояния на соответствующих им обобщенных перемещениях
*7&о во вспомогательном состоянии (перемещения в
направлении действия сил 0,к от силы (?о):
т
<Эо<7о1=2<Мло. (9.50)
к=\
Формула (9.50) является обобщением (9.47), записанной для
случая, когда в каждом состоянии действует по одной силе.
Если ввести обозначение 8ко=Чко/С}о, так что ?ао=6/юРо, то
после сокращения на (?о из (9.50) получим
т
<7о.= 2 <Э*8й0. (9.51)
& = 1
Коэффициенты 6&о имеют смысл обобщенных перемещений з
направлении действия обобщенных сил, вызванных единичной
силой (?о=1.
Применительно к стержневым системам роль обобщенных
сил играют внутренние силовые факторы, совершающие
работу на соответствующих обобщенных перемещениях. По
аналогии с (9.18) будем иметь
?01 = [ ЛГ (г) йщ (г)+ | Мх (г) с!ф,0 (г) +
6 о
1 _ 1
+ \МУ (г) йфу0 (г) +1 Мг (г) №г0 (г). (9.52)
6 о
Здесь, как и в (9.25), отброшены слагаемые, учитывающие
работу поперечных_сил. В формуле (9.52) через А^о{г)9
с1фхо(2), йфуоС?) и йфгоОг) обозначены обобщенные перёмеще-
165

ния, соответствующие внутренним силовым факторам,
которые вызваны действием единичной силы (2о=И. Эти
'перемещения можно представить следующим образом:
№0=М2о<1г/Е\Р, &(рхо=Мх0<1г/Е1х,
&\цуо=Муъ&г1Е]у, (1(рго=М2ойг/0^1и.
Функции Мго^г), Мхо^г), Муд{г), М20(г) имеют смысл
внутренних силовых факторов, вычисленных_во вспомогательном
состоянии от действия единичной силы (?о=Л. В итоге
формула (9.02) 'примет вид
= СЫгМг,6г . Г МхМх0йг С МуМУ0<1г .
) ер ^ е]х ^ е]у
0 0 о
Л МгМ"6г . (9.53)
^ <н к
о
Полученнля формула для определения перемещений в
упругих стержневых системах называется формулой Максвелла—
Мора.
Последовательность определения перемещений по (9.53)
складывается из следующих этапов. Сначала находятся
внутренние силовые факторы от действия заданных внешних
сил. Затем ,к системе, о-авобожденной от внешних нагрузок,
прикладывается единичная безразмерная обобщенная сила
@о='1 в том сечении, в котором нужно найти перемещение, в
направлении искомого перемещения, и определяются
внутренние силовые факторы от действия этой единичной силы.
На по'следнем этапе вычисляются интегралы в (9.'53),
которые называются интегралами Маквелла—Мора.
При использовании формул Максвелла—Мора нужно
иметь в виду, что перемещения и силы здесь понимаются в
обобщенном смысле. Если требуется найти линейное
перемещение, то прикладывается единичная сила(рис. 9.10, б). Для
нахождения угла поворота некоторого сечения в этом
сечении в направлении искомого угла прикладывается
единичный момент (рйс. 9.10,в), для нахождения взаимного
смещения двух сечений в этих сечениях прикладываются две
единичные силы (рис. 9Л0, г) и т. д. При (этом внутренние
силовые факторы от действия единичной обобщенной силы
также понимаются в обобщенном смысле.
166

Рис. 9.10
Основная трудность практического использования
формулы (9.53) состоит в вычислении интегралов
Максвелла—Мора. Для упрощения вычислений можно воспользоваться
способом Верещагина, который состоит в следующем.
Рассмотрим один из интегралов, например,
Мх (г) Мхо (г) дг
(9.54)
Разобьем отрезок [0, /] на п отрезков, в пределах_которых
жёсткость Е1Х постоянна, а изгибающий момент Мхо (г) от
действия единичной обобщенной силы — линейная функция г:
Мхо^г) =\к2-\-т. На одном из отрезков \[а, Ь] вычисления
сводятся к нахождению интеграла
ь ь
\Мх(г)Мхъ(Ябг= [Мх(г)(кг+т)Аг =
а а
Ъ Ь
к= ^гМх{г)Аг + т[ Мх(г)&г.
167

м,
о
**о
О а Ъ 1
Рис. 9.11
Ь
Интеграл ©='/Мх(г)6г равен заштрихованной на рис. 9.11
а
Ь
площади, а интеграл \ гМх(г)&г=8{й есть статический мо-
а
мент площади со относительно оси О—О на рис. 9.11.
Известно, что статический момент площади относительно заданной
оси равен произведению площади на расстояние от ее центра
тяжести до этой оси, т. е. 5^=^(0. Тогда
ъ __
/ Мх(г)Мх0(г)Аг=кгс(й+ т© =
а
=10) (*2с+т) =ют)> (9.55)
где 1|=!&2с+^=^*о1(<гс) (рис. 9.11). Формула (9.55)
представляет способ Верещагина — способ перемножения эпюр на
отрезке [а, Ь]: интеграл от произведения двух функций, одна
из которых линейна, равен произведению площади под
произвольной функцией Мх(г) на ординату линейной функции
под центром тяжести Мх(г). Интеграл (9.54) равен сумме
интегралов, каждый из которых вычисляется по правилу (9.55):
$
168

1 — п
|» Мх (г) Мхо (г) дг _ ъ щГ\к (9 56)
} ЕЗХ +* (Ых)к *
о «=1
где сол, т)л и (5/я) к — значения площадей, ординат и жёст-
костей на к-и участке разбиения отрезка [0,2]. Таким
образом, вычисление интеграла Максвелла—Мора по правилу
Верещагина сводится к вычислению площадей и ординат
геометрических фигур.
Правило Верещагина справедливо при ограничениях,
следующих из его вывода:
в пределах участка жёсткость постоянна;
одна из эпюр — линейна;
произвольная функция Мх(г) в пределах участка не
должна менять знак.
Аналогичным образом правило Верещагина применяется
для вычислений остальных интегралов в формуле (9.53).
9.6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕЛЕЯ-РИТЦА
И БУБНОВА—ГАЛЕРКИНА
Эти методы основаны на вариационных принципах и
относятся к классу так называемых прямых методов. Рассмотрим
сущность этих методов на примере задачи об изгибе балок.
Будем исходить из вариационного принципа Лагранжа (9.30).
Полную потенциальную энергию деформации (9.33) запишем
в следующем виде:
I
Э = чЛЕ^^^^-^А2+ЩV(г)], (9.57)
о
где потенциал внешних сил П[а(г)] является линейным
функционалом от V (г). Будем искать приближенное решение в
виде ряда
ь(г)=!кскхюк{г), (9.58)
где тк(г) —некоторая система заранее выбранных функций,
удовлетворяющих кинематическим граничным условиям
(ограничениям на перемещения и углы поворота в соответствии
с наложенными связями), ск — неопределенные коэффициен-
ты, подлежащие определению. Если подставить ряд (9.58) в
функционал (9.57), то после вычисления интегралов получим,
169

что пол'ная потенциальная энергия будет зависеть от
неизвестных коэффициентов:
Э=Э(сис2,..., сп), |(9.59)
причем эта зависимость .будет следующего вида
3 = ^2 а» с, ск + 2 Ькск. (9.60)
/=1/г = 1 к=\
Пр.и вычислении вариации 6Э неопределенные
коэффициенты Ск выступают в качестве варьируемых параметров и
вариационное уравнение (9.30) «принимает вид
п
83 = 2-^-6^ = 0,
откуда в силу произвольности вариаций бсъ. приходим к
системе уравнений
дЭ
дск
0, (6 = 1, 2,..., п) (9.61)
для нахождения неизвестных коэффициентов ряда (9.58).
Учитывая (9.60), получим, что система уравнений (9.61)
представляет собой систему линейных уравнений
2а^+Фл=0 (&=.1,2,...,л). (9.62)
Изложенный .метод называется методом Релея—Ритца.
Для иллюстрации метода Бубнова—Галеркина
рассмотрим вариацию полной потенциальной энергии в форме'(9.36).
В первом слагаемом по-динтегральное выражение при
вариации (>ы(2) есть не что иное, «как уравнение равновесия, а вне-
интегральные члены определяют .статические и
кинематические граничные условия. Перепишем формулу (9.36) в виде
6Э = \ь [V (г)] 6а (г) йг + Ц [хЩ Щг) \ Г. (9.63)
о
Оператор 1[^(г)], соответствующий уравнению равновесия,
согласно (9.39) имеет вид
Второе слагаемое в (9.63) в операторной форме описывает
170

в неинтегральные слагаемые в (9.Э6), соответствующие
статическим и кинематическим граничным условиям.
6 методе Бубнова—Галеркина приближенное решение
-ищется в виде ряда, аналогичного (9.58). Отличие отстоит в
выборе базисных функций шк(г). В 1методе Бубнова—Галер-
кина эти функции долж-ны удовлетворять всем .граничным
условиям — «е только кинематическим, но и статическим.
После подстановки ряда (9.58) в функционал (9.63)
убеждаемся, что вщеинтегральные -слагаемые исчезают, так как
функции шн{г) удовлетворяют воем граничным условиям.
Учитывая, что
п
$и(г) = 2 бедад(г),
из вариационного уравнения 63=0 в силу произвольности
8сь приходим к системе уравнений для определения
неизвестных коэффициентов С&:
11[п{г)\1юк(г)4г=®. (9.65)
о
Эти уравнения после подстановки ряда (9.58) и
интегрирования приводятся к системе уравнений, по виду
совпадающей с (9.62), естественно, с другими коэффициентами а^ и
Ьь. 'Уравнения (9.65) называются условиями
ортогональности базисных функций Ши(г) к оператору Ь[у{г)].
9.7. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов — один из прямых .методов на
базе вариационных принципов. Метод основан на
дискретизации системы с последующим решением на ЭВМ.
Существует большое количество модификаций метода, различающихся
способом разбиения на конечные элементы и использованием
различных вариационных принципов. Основные соотношения
•метода конечных элементов записываются в -матричной
форме.
■Рассмотрим основные этапы решения задач механики
конструкций методом конечных элементов. На первом этапе
конструкция разбивается на конечные элементы простой формы,
производится нумерация элементов и узлов — точек, в
которых конечные элементы взаимодействуют между собой. В
качестве неизвестных выбираются перемещения узлов.
171

На втором эт&пе перемещения в каждом конечном
элементе аппроксимируются простыми функциями (чаще всего
полиномами) и выражаются через неизвестные перемещения
узлов. Через узловые перемещения выражаются также
деформации и напряжения. Рассмотрим Л-й конечный элемент,
имеющий т узлов, каждый из которых содержит г
неизвестных перемещений. Тогда конечный элемент будет иметь 5=
= тХ«/" узловых перемещений, компоненты 'которого
образуют 5-мерный вектор узловых перемещений 1д
(матрица-столбец). Вектор перемещений в конечном элементе обозначим
через и&. Связь векторов и& и I* в матричной форме
имеет вид
идх=Н*!ь, (9.66)
где матрица Н/г, называемая матрицей формы, составлена из
элементов, являющихся функциями от координат точек
внутри конечного элемента. Матрица Н& является аналогом
базисных функций ха>ц(г) в методе Релея—Ритца, а вектор I* —
аналог неизвестных коэффициентов с*, с той разницей, что
ряд типа (9.58) аппроксимирует перемещение во всей
конструкции, а соотношение (9.66) — в конечном элементе.
Деформации в конечном элементе представляются в виде
вектора е*, составленного из компонент тензора деформаций.
Связь деформаций с перемещениями дается соотношениями
Коши (2.30). В матричной форме эта связь имеет вид
е*=Рщ, (9.67)
где матрица Р составлена из операторов дифференцирования
д/дх, д/ду, д/дг. Подставляя (9.66) в (9.67), получим связь
вектора деформаций с вектором узловых перемещений
8А=РНд!ь=Вь!*. (9.68)
Матрица Вь=РНд в случае аппроксимации перемещений
линейными функциями координат имеет элементы в виде
констант.
Напряжения связаны с деформациями законом Гука,
который в трехмерном случае имеет вид (2.37), (2.38).
Представляя компоненты тензора напряжений в виде вектора о&,
получим закон Гука в матричной форме
вк=Ъек, (9.69)
где матрица О составлена из элементов, зависящих от
упругих постоянных Е, \х, О. Вектор а& связан с вектором узловых
перемещений матричным соотношением
172

ок=ЪЪкП, (9.70)
следующим из (9.68) и (9.69).
Третий этап состоит в применении одного из
вариационных принципов, например, принципа Лагранжа (9.30).
Потенциальная энергия упругой деформации V складывается из
потенциальных энергий деформации элементов. Выражение
для потенциальной энергии (9.14) в к-и конечном элементе в
матричной форме записывается в виде
С/А==1/2; г 1ы?окМ, (9.71)
у*
где индекс т обозначает операцию транспонирования
матрицы (замена строк на столбцы). Для вектора гк операция
гкт переводит матрицу-столбец в матрицу-строку.
Интегрирование в (9.71) производится по объему, занимаемому й-м
элементом. Учитывая, что
г^=(вкиу=итвк\
формулу (9.71) можно переписать в виде
ик=Ч2\ /7»атВатОВа!Л(1К
ук
Так как вектор !& составлен из неизвестных коэффициентов,
то этот вектор можно вынести за знак интегрирования:
1/л=у21л*[/ /./В^ОВлйУ]!*. '
ук
Матрица
К,=/,/ 1ЪкЮВкАУ (9.72)
ук
называется матрицей жёсткости конечного элемента. Если
перемещения и/г — линейные функции координат, то Кл=
= В/1тОВ/1У/г, где Ук — объем к-то элемента. С учетом
обозначения (9.72) потенциальная энергия деформации конечного
элемента выражается через вектор узловых перемещений ^
следующим образом:
1/л=72 1ктКЛ. (9.73)
Суммируя потенциальную энергию по всем 6=1,2,... ,#
конечным элементам, получим
[/=Е1/*=У2 21*'КЛ.
к=\ к=\
Это выражение можно привести к форме
173

[/=72Ма, (9.74)
где I — вектор узловых перемещений для всей системы.
Матрица К, элементы которой составлены из элементов матрицы
Кк с учетом суммирования по общим узлам, принадлежащих
соседним конечным элементам, называется матрицей
жёсткости конструкции или глобальной матрицей жёсткости.
Аналогичным образом определяется потенциал внешних
сил. Этот потенциал выражается через узловые перемещения
следующим образом:
П=-^0, (9.75)
где О — вектор внешних нагрузок, приведенных к узлам
конечных элементов. Так как внешние нагрузки могут
действовать не во всем объеме, то вектор II в (9.75) есть
укороченный вектор I, составленный из перемещений только тех узлов,
которые принадлежат загруженным внешними силами
конечным элементам.
Полная потенциальная энергия системы имеет вид
3 = — РШ—1*0, (9.76)
т. е. является функцией неизвестных коэффициентов /ь/г....
... ,/м, из которых составлен вектор узловых перемещений.
Вычисляя вариацию функционала (9.76)
м
ьэ = у — б/,
и приравнивая её к нулю, на основании основной леммы
вариационного исчисления приходим к системе уравнений
относительно неизвестных коэффициентов — узловых
перемещений. В матричной форме эти уравнения имеют вид
К!=0. (9.77)
На заключительном этапе проводится решение полученной
системы уравнений с использованием ЭВМ, находятся
перемещения, напряжения и деформации по формулам (9.66),
(9.68) и (9.70).
174

ГЛАВА 10
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
10.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Статически неопределимой стержневой системой
называется система, усилия в стержнях которой не могут быть
найдены из одних лишь уравнений статики. Такая система
образуется, когда число связей, наложенных «а систему,
превышает .м.и-нимальное их ч-исло, необходимое для образования
статически определимой геометрически неизменяемой
системы. Связи, наложенные на систему сверх указанного
минимального числа, принято 'называть лишними связями, а
соответствующие этим связям неизвестные усилия — лишними
неизвестными. Разность между 'числом .неизвестных усилий в
системе и числом независимых уравнений статики, «которые
можно составить для их определения, называется степенью
статической неопределимости системы п. Очевидно, что она
равна числу лишних связей или лишних 'неизвестных.
Известны два основных метода расчета статически
неопределимых систем: метод сил, .в (котором за неизвестные
принимаются усилия в стержнях системы (а 'после их
определения могут быть 'найдены любые деформация и перемещения),
.и метод перемещений, где за неизвестные -принимаются
перемещения (а после их определения *могут быть найдены
любые усилия).
10.2. СТЕПЕНЬ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим наиболее распространенный 'метод
определения степени статической неопределимости (п) — .метод
отбрасывания лишних связей. Согласно этому методу степень
статической (неопределимости системы п равна числу связей,
которые необходимо отбросить, чтобы получить статически
определимую геометрическую неизменяемую систему.
Напомним, что отбрасываемые связи получили название лишних
связей, а соответствующие этим связям неизвестные реак-
175

гТТу уТТ1 у И у уТ^
л- * гН
л_____1.
1х,
Рис. 10.1
Т
/7 = *
^Т
V/)///.
V/, Ъ&%<
ГТТТТт у
ции — лишних неизвестных Ль Х2,... >^п. Статически
определимая геометрически неизменяемая система, получаемая
из заданной отбрасыванием лишних связей, называется
основной системой.
На рис. 10.1 и 10.2 приведены примеры применения
метода отбрасывания лишних связей. На каждом рисунке
показана заданная система и основная с приложенными к ней
взамен отброшенных лишних связей лишними неизвестными.
Там же приведены значения степени статической
неопределимости для этих систем.
10.3. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ
Основная идея метода сил заключается в следующем.
Отбрасывая лишние связи, превращаем заданную систему в
статически определимую геометрически неизменяемую систе-
176

му, называемую основной. Вместо отброшенных связей
прикладываем к основной системе обобщенные силы,
называемые лишними неизвестными Хи Х2,..., Хп. Очевидно, что
число лишних неизвестных равно степени статической
неопределимости системы п. Все рассуждения проиллюстрируем на
примере три раза статически неопределимой системы,
показанной *на рис. 10.3, а. Основная система с приложенными к
ней лишними неизвестными приведена на рис. 10.3,6.
Значения лишних неизвестных Хи Х2,...,Хп подбираются
такими, чтобы под действием внешних нагрузок и лишних
неизвестных основная система деформировалась как
заданная статически неопределимая система. Это означает, что
12-174Ш
177

в'се 'перемещения основной системы, в том числе и
перемещения в направлении лишних неизвестных, должны быть рав-
1ны соответствующ'им перемещениям заданной системы (рис.
10.3,в). В направлении лишних неизвестных, ©виду наличия
связей, перемещения в заданной системе отсутствуют.
Отсюда вытекают условия для определения лишних неизвестных:
обобщенные перемещения в направлении этих неизвестных
должны быть равны нулю
Л1=А2=... =ДЛ=0. (110.1)
Таким образом, «получаем п условий для определения
лишних неизвестных Х\, Х2, ..., Хп. Эти условия, накладывающие
ограничения на перем-ещения основной системы, получили
назБ-ания уравнений совместности деформаций .или уравнений
метода сил. Приведем эти уравнения к удобному в
практическом использовании виду. Применяя 'принцип
независимости действия сил, справедливый для линейно-упругих систем,
■представим обобщенные -перемещения в направлении лишних
неизвестных в виде сум!мы перемещений от каждой
неизвестной и внешней -нагрузки
А' = 2 д/'* + V (/ = 1. 2,... , л). (10.2)
(Здесь первый индекс указывает направление
перемещения, второй —обобщенную силу, его вызвавшую. Так, А^,
Д2Х1 — перемещения в основной системе от неизвестной Х\
соответственно в направлении первой и второй неизвестных,
А1р, А2р—перемещения в направлении тех же неизвестных
от внешней нагрузки (рис. 10.3,д,г).
Запись перемещений в форме *(II0.2) неудобна тем, что
содержит неизвестные Хи Х2>... ,Хп в неявном виде. Для того,
чтобы выделить неизвестные, подсчитаем перемещения в
основной системе от Х\=А, Х2=\, ..., Хп=Л. Эти перемещения
от безразмерных единичных сил называются единичными
перемещениями и обозначаются через <6ц, 612, ..., 6т; бгь '622, ...
..., 'бпп (рис. 10.3, е). Здесь, как и ранее, первый индекс
указывает направление единичного перемещения, второй —
номер силы, его вывеявший. В этом случае перемещения от
лишних неизвестных «могут быть цредставлены в виде
Д*хА=адА. (10.3)
Окончательно уравнения метода сил ('10.1) с учетом
выражений «(|10.2) и (10.3) будут иметь вид
178

2 Айб;Ь+Д;Р =
*=1
= 0
(/=1,2 п).
(10.4)
Система неоднородных линейных алгебраических уравнений
в форме (10.4) получила название канонических уравнений
метода сил. Вид этих уравнений не зависит от особенностей
системы, а зависит только от числа неизвестных. Единичные
и грузовые перемещения в основной системе удобно
определять по формуле Максвелла—Мора (9.53). Например,
применяя одночленную формулу Максвелла—Мора, имеем:
т
\^6г, А/Р=(№бг, (10.5)
где М] и Ми — изгибающие моменты в основной системе от
неизвестных Х$=\ и Хь=1, Мр — изгибающий момент от
внешней нагрузки. Таким образом, для определения
единичных и грузовых перемещений для основной системы должны
быть составлены аналитические выражения или построены
эпюры (в случае вычисления интегралов Максвелла—Мора
графоаналитическим способом Верещагина) для силовых
факторов, входящих в формулу Максвелла—Мора, от внешней
нагрузки и от лишних неизвестных ^=1, Х2=1,... ,Хп=1.
Канонические уравнения метода сил характеризуются
матрицей коэффициентов при неизвестных — матрицей
единичных перемещений
[6/*
Оц 012 ... 0 1«
б21 $22 ... 82«
ул1
ал2
(10.6)
Перемещения 8/^, расположенные на главной диагонали
матрицы, представляющие собой единичные перемещения от
неизвестных в направлении самих неизвестных, получили
название главных перемещений. Как видно из формулы
Максвелла—Мора, главные перемещения всегда положительны
йг-
>0.
(Ю.7)
Единичные перемещения 8/* (]фк) называются побочными
перемещениями. Они, очевидны, могут иметь любой знак
12*
179

Отметим, что матрица [6/ь] является симметричной в
силу принципа взаимности перемещений Максвелла (9.49).
Отметим, также, (что квадратичная форма,
соответствующая матрице [в#], положительно определенна, .поскольку она
с точностью до 1/2 совпадает с потенциальной энергией
упругой деформации основной системы, нагруженной лишними
неизвестными
Из положительной определенности квадратичной формы
(10.8) на основании признака Сильвестра вытекает другое
важное свойство матрицы [6/л]. Ее определитель с1е1[б^], а
также все главные миноры положительны.
10.4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ СИЛ
При расчете статически неопределимых стержневых
систем применяется следующая последовательность расчета.
1. Выбирается основная система. Требования к основной
системе метода сил:
а) основная система должна быть статически
определимой и геометрически неизменяемой. Необходимо следить,
чтобы число отброшенных связей не превышало п. Однако
недопустимо использование в качестве основной мгновенно
изменяемой системы, то есть системы, обладающей бесконечно
малой подвижностью. На рис. 10.4 приведены примеры
мгновенно изменяемых систем, допускающих бесконечно малые
'г-~р~~-С^-Ч
а)
я&я "■'
Рис. 10.4
180

.перемещения, совместные со связями. Так, шарнирно-стерж-
невая система (рис. 10.4,а), у кото-рой тр.и шар-вира
-находятся на одной прямой, допускает -бесконечно -малое
перемещение узла В по вертикали и связанный «с ним поворот
стержней на бесконечно .малый угол Ар. Если три опорных
стержня, необходимые для жесткого геометрически неизменяемого
/дрисоединения «плоского диска <к «земле», (пересекаются в
одной точке О, получившей название мгновенного центра
вращения, то такое присоединение допускает поворот диска
относительно точки на бесконечно малый угол Лр (рис.'10.4, о).
В случае, показанном на рис. 10.4, в, мгновенный .центр
вращения диска находится в бесконечности;
(б) основная система должна по возможности допускать
простое построение эпюр силовых факторов и сами эти элю-
^ & х X X X X X
^ и к и * ? к^7
X, х,
^гГТТТШк,
^пТМ^
^иИИМк.
"Л/,
-/V*
4
Рис. 10.5
181

ры должны быть простыми. Кроме того, желательно, чтобы
протяженность этих эпюр была как можно меньшей (как
можно больше было нулевых участков). Все это упрощает
вычисление .коэффициентов канонических уравнений;
в) при выборе основной системы необходимо стремиться
к тому, чтобы возможно большее число побочных единичных
'перемещений ^ {']ф\к) обращалось в нуль.
В качестве примера выбора рациональной основной
системы, учитывающей требования б) и в), (выберем
многопролетную статически неопределимую балку, известную также
под названием неразрезной балки (рис. 10.5). Сравним две
основные системы. Для первой единичные эпюры не имеют
нулевых участков, и все единичные перемещения отличны от
нуля. Вторая система получена врезанием шарниров в над-
опорные сечения балки. За неизвестные здесь принимаются
изгибающие моменты в надопорных сечениях. Как видно,
для этой основной системы отличными от нуля оказываются,
кроме элементов главной диагонали, элементы,
расположенные на двух соседних побочных диагоналях. Такая матрица
называется трехдиагональной или якобиевой. В каждое
каноническое уравнение входит не более трех неизвестных,
имеющих смысл изгибающих моментов в надопорных сечениях
балки. Поэтому система канонических уравнений в этом
случае получила название уравнений трех моментов;
г) если заданная статически неопределимая система
симметрична, то основную систему также рекомендуется
выбирать симметричной, поскольку это приводит к упрощению
матрицы [6/ь]. Подробнее этот вопрос будет обсуждаться в
следующем параграфе.
2. Для основной системы строятся единичные и грузовые
эпюры или составляются аналитические выражения тех
силовых факторов, по которым определяются перемещения.
3. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений
метода сил. Эта система имеет единственное определенное
решение Хи Х2,••• ,Хп, поскольку определитель системы
отличен от нуля (как показано выше, (1е1'[6/л]>0). Подстановкой
найденных неизвестных в систему канонических уравнений
проверяется правильность решения системы, а если
вычисления проводились приближенно, определяется погрешность
в определении неизвестных.
4. После определения лишних неизвестных Х\, Хч,..., Хп
для основной системы строятся эпюры всех силовых
факторов. Для этого основная система, кроме внешних нагрузок,
182

должна быть загружена найденными лишним.и неизвестными.
Правильность построения этих эпюр осуществляет
статическая проверка, которая состоит в проверке условий
равновесия отсеченных частей основной системы; значения
внутренних силовых факторов, попадающих в сечения, берутся
непосредственно с эпюр. Удобнее сначала строить только
итоговую эпюру Мх\ остальные эпюры (включая их статическую
проверку) стро-ить после проведения деформационной
проверки.
5. Деформационная проверка состоит в правильности
определения лишних неизвестных. Предварительно рассмотрим
определение перемещений в статически неопределимых
системах.
Перемещения стержневых систем, как известно, удобно
определять по формуле Максвелла—Мора (9.53). Например,
для плоской системы, работающей преимущественно на
изгиб, обобщенное перемещение равно
Н:
Е]х
1йг.
(10.9)
Если система статически неопределима, построению эпюр
изгибающих моментов от внешней нагрузки (Мх) и от
прикладываемой к данной системе в направлении искомого
перемещения единичной обобщенной силы Рь^ЦИь) каждый
раз должно предшествовать раскрытие статической
неопределимости системы.
Однако задачу можно значительно упростить, если
определять перемещение Дд не в заданной статически
неопределимой системе (рис. 10.6,а), а в ее основной системе, так как
последняя под действием внешней нагрузки и найденных
лишних неизвестных (рис. 10.6,6) деформируется как задан-
Рйс. 10.6
183

ная система. Тогда входящий в формулу (10.9) Мх — это
окончательный изгибающий момент от внешней нагрузки и
лишних неизвестных, а Мь — изгибающий момент от
единичной обобщенной силы, прикладываемой к статически
определимой основной системе в направлении искомого
обобщенного 'перемещения Ак (рис. 10.6,в).
Таким способом можно определять любые перемещения в
основной системе, в том числе и перемещения в направлений
лишних неизвестных, которые, если расчет произведен
правильно, должны быть равными нулю,
А1 = А2=Л3= ... =Ап = 0. (10.10)
В определении этих перемещений и проверке условий (10.10)
и состоит деформационная проверка. Итак, деформационная
проверка заключается в проверке равенств
А;~ [^Г^0 (/-Ь2,...,п). (10.11)
Здесь Д;- — перемещения в основной системе по направлению
неизвестных Ху М$ — единичные изгибающие моменты от
этих неизвестных, полученные для основной системы при
определении коэффициентов канонических уравнений.
Деформационная проверка при графоаналитическом
вычислении интегралов (10.11) сводится к умножению
окончательной эпюры _изгибающего момента Мх на единичные
эпюры Ми М2,...,Мп. Если в процессе расчета системы
вычисления велись приближенно, равенства (10.11), будут
выполняться также приближенно.
Отметим, что деформационная проверка контролирует
правильность расчета статически неопределимой системы от
определения единичных и Грузовых перемещений до
построения окончательной эпюры изгибающего момента Мх (в общем
случае, тех силовых факторов, по которым с помощью
формулы Максвелла—Мора определялись перемещения).
Деформационная проверка включает, например, проверку
правильности решения системы канонических уравнений, но не
проверяет правильности выбора основной системы и построения
для этой системы единичных и грузовых эпюр.
10.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ РАСЧЕТЕ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ.
ГРУППИРОВКА НЕИЗВЕСТНЫХ
Одним из средств упрощения матрицы коэффициентов
канонических уравнений является использование симметрии
184

4*—
5) т#Г
Х2=*
г)
777
^г
при выборе основной системы. Рассмотрим систему,
обладающую как геометрической, так и упругой симметрией, т. е.
систему, у которой не только геометрия, но и распределение
жесткостей ее элементов подчинены условию симметрии.
Основную систему выберем также симметричной. На рис.40.7, а
приведен пример четырежды статически неопределимой
рамы. Симметричная основная система показана на рис. 10.7, б.
Здесь Хх .и Х2 — «симметричные «неизвестные, Х$ :и Х4 —
антисимметричные или кососимметричные неизвестные.
Симметричным неизвестным Хх и Х2 соответствуют ^симметричные
эпюры единичных изгибающих моментов М\ иМ2 (рис. 10.7, в,
г), а антисимметричным неизвестным Хъ и Х4 —
антисимметричные эпюры Мъ и М4 (рис. 10.7,д,е).
Обратим внимание, что единичные перемещения от
симметричных неизвестных в направлении кососимметричных и,
наоборот, перемещения от кососимметричных в направлении
симметричных неизвестных равны нулю. В нашем
примере это
б1з='бз1 = 614=641=623=632=б24=б42=0.
185

Матрица системы канонических уравнений (10.4) становится
квазидиагональной, состоящей из двух блоков, а система
уравнений распадается на две подсистемы, содержащие
только симметричные и только кососимметричные неизвестные
2ВД*+Д^=0 (/=1,2,...,/*.),
к— 1
2 ВДЛ+Д^=0 (/=М-1,...,л).
Здесь я5 — число симметричных неизвестных.
Если внешняя нагрузка симметрична или
кососимметрична, получаем дальнейшие упрощения. Так, в случае
симметричной нагрузки, эпюры грузовых изгибающих моментов
будут также симметричными. Это значит, что грузовые
перемещения по направлению кососимметричных неизвестных
обратятся в нуль (Д;р=0, ] = п8-\-\,... ,п), и подсистема,
содержащая кососимметричные неизвестные, становится
однородной системой линейных алгебраических уравнений, т. е.
п
А=л8+1
Определитель этой системы отличен от нуля как один из
главных миноров исходной матрицы. Поэтому
кососимметричные неизвестные равны нулю (Х/ = 0, /=л84-1,... ,/г).
Итак, для симметричной основной системы и симметричной
внешней нагрузки все кососимметричные неизвестные равны
нулю. И наоборот, если внешняя нагрузка кососимметрична,
симметричные неизвестные равны нулю.
В тех случаях, когда при симметричной основной системе
(рис. 10.8) естественные лишние неизвестные, т. е.
приложенные взамен отброшенных связей (на рис. 10.8 — это
реакции .крайних шарнирно-подвижных опор), оказывается
несимметричными, в целях симметризации основной системы
прибегают к так называемой группировке неизвестных, смысл
которой заключается в следующем.
Учитывая, что в симметричной основной системе каждой
неизвестной соответствует парная ей однотипная
неизвестная, каждая такая пара неизвестных может быть представ-
186

4
Х/ = /
я
Рис. 10.8
лена в виде двух парных (групповых) неизвестных. При этом
одна пара является симметричной (Х\), другая кососиммет-
ричной {Х2), поскольку они дают соответственно
симметричную и антисимметричную эпюры единичных моментов.
Записывая для балки, представленной на рис. 10.8, два
канонических уравнения, требуем, чтобы сумма прогибов крайних
сечений основной системы и их разность были равны нулю,
что эквивалентно требованию равенства нулю этих прогибов
по отдельности. Группировка неизвестных аналогична
известному из математики разложению непрерывной функции,
заданной на симметричном интервале, на четную и нечетную
составляющие.
10.6. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Метод перемещений является методом диаметрально
противоположным методу сил. Если в методе сил основная
система образуется отбрасыванием лишних связей, а за
неизвестные принимаются усилия в этих связях, то в методе
перемещений основная система образуется наложением на
заданную систему дополнительных связей, перемещения
которых и принимаются за неизвестные. Уравнения, из которых
определяются эти неизвестные, являются уравнениями
равновесия (напомним, что неизвестные метода сил определяются
из уравнений совместности деформаций системы). Основной
проверкой правильности расчета по методу перемещений
является статическая проверка, а не деформационная, как в
методе сил.
Таким образом, если в методе сил сначала определяются
усилия в стержнях системы, а затем любые перемещения
187

системы, то в методе перемещений сначала определяются
перемещения, а затем соответствующее им распределение
усилий.
Идея метода перемещений была впервые предложена
немецким исследователем Мором в 1892 году. Однако
окончательное оформление метода в его современной канонической
форме и внедрение метода в инженерную практику связаны
с именем советского ученого профессора А. А. Гвоздева
(1927 г.).
Здесь излагается каноническая форма метода
перемещений для плоских систем, составленных из прямолинейных
стержней. Метод проиллюстрирован на примере системы,
показанной на рис. 10.9, а. Степень статической
неопределимости этой системы /2 = 5. Основная система метода
перемещений образуется наложением на заданную систему двух типов
связей: угловых (рис. 10.(10,а), в отличие от обычных
заделок, ограничивающих лишь угловые перемещения, и
линейных (рис. 10.10,6). Число и расположение связей выбирается
так, чтобы основная система представляла собой
совокупность изолированных простых балок с двумя вариантами
опорных закреплений: защемленной и защемленно-опертой
по-концам<(рис. 10.М,а,б).Предполагается, что нашряженно-
деформированное состояние этих балок при всех видах на-
777777,
у | ^ | | | у~~1
а)
Т&7-
I
ф ♦ фгптШ1г
77777/
Ю
7Я7,
Рис. 10.9
а) б)
Рис. 10.10
1 —1
4
Рис. 10.11
I \
-77777,
о)
188

гружения известно. Тогда основная система для
рассматриваемого 'Примера (рис. 10.9, а) будет иметь вид, показанный
на рис. 10.9,6. Как видно, она образована наложением на
заданную систему трех угловых и одной линейной связи.
Число накладываемых на систему угловых и линейных
связей т называется степенью кинематической
неопределимости системы. Степень кинематической неопределимости
зависит от того, на какие подсистемы разбивается данная
система. Однако в рассматриваемом здесь каноническом методе
она неизменна для заданной системы (например, для
системы, показанной на рис. 10.9, т=4).
Перемещения введенных связей 1и %2>... , 2т находятся из
условия, что основная система работает как заданная, т. е.
когда реакции введенных связей Я] (/=1,2,..., т) от
внешней нагрузки и от искомых перемещений этих связей равны
нулю
/?,=0 (/=1,2,3,...,/и), (10.12)
поскольку у заданной системы эти связи отсутствуют.
Используя принцип независимости действия сил и
определяя реакцию в каждой связи как сумму реакций от внешней
нагрузки и всех неизвестных, представим (10.12) в виде
неоднородной системы линейных алгебраических уравнений,
получивших название канонических уравнений метода
перемещений:
^1^11+^2^12+... +^т^1т+^?1Р = 0,
21Г21+22Г22+ ... +2тГ2т+#2Р = 0, (Ю.13)
%\гт\ +^2^т2+ ••• +2тГтт+/?шр = 0.
Систему уравнений (10.13) можно представить в компактной
форме
2 2лг/л+Я,-р=0 (/=1,2,...,т), (10.14)
где />— реакция в /-й связи от 2^=1, 'получившая
название единичной реакции; Л]Р — реакция в /-й связи от
внешней нагрузки.
Канонические уравнения метода перемещений являются
уравнениями равновесия. Они характеризуются матрицей ко-
189

эффициентов при неизвестных — матрицей единичных ре-
акций:
[0*1 =
12
Гц Г.
Г2п
1__'т1
гт2 <
(10.15)
Реакции гц> расположенные на главной диагонали
матрицы, представляющие собой единичные реакции в введенных
связях от смещения этих связей на единицу, получили
название главных реакций. Остальные единичные реакции г]к
Цфк) называются побочными реакциями.
Покажем, что матрица [/>] является симметричной, т. е.
Г1к=гщ. Допустим, что основной системе сообщены
перемещения 2Ь 22,... ,2т. Тогда в ее связях возникают реакции:
(/=1,2,...,т).
(10.16)
Рассматривая выражения (10.16) как систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных 2& (к=1,
2,... ,т), определим эти неизвестные:
2/= 2 /?/?/>
Л=1
(/=1,2,... ,/п).
(10.17)
Здесь /^ — перемещение /-й связи от Л?ь=Ч. Очевидно, что
матрица линейных соотношений (10.17) [/>], являющаяся
матрицей единичных перемещений, будет равна обратной
матрице единичных реакций
[Ы='[Ы"
(10.18)
поскольку соотношения (10.17) являются обратными для
соотношений (10.16). Матрица [//*] согласно принципу
взаимности перемещений Максвелла — матрица симметричная.
Поэтому будет симметричной и обратная ей матрица [/>], или
Г]к = Гк].
(10.19)
Выражение (10.19) представляет собой математическую
запись теоремы взаимности реакций Релея.
190

Отметим также, что квадратичная форма,
соответствующая матрице [г,*], положительно определенна, поскольку с
точностью до 1/2 совпадает с потенциальной энергией
упругой деформации основной системы, нагруженной лишними
неизвестными 1\, ^2,... , 2т.
т т
и=1и 2 ^г!2кг1к. (Ю.20)
/==1 &=1
Из положительной определенности квадратичной формы
(10.20) на основании признака Сильвестра вытекает другое
важное свойство матрицы [г}к\. Ее определитель <1е1[г^], а
также все главные миноры положительны, и в том числе
положительны все главные реакции г,-/>0 (/=1,2,..., т).
10.7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
При расчете статически неопределимых систем по методу
перемещений принимается следующая последовательность.
1. Выбирается основная система.
2. Для основной системы строятся единичные и грузовые
эпюры изгибающих моментов.
3. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений
метода перемещений: единичные /> (/, &=1,2,... , т) и
грузовые К}р (/=1,2,..., пг) реакции.
4. Решается система канонических уравнений метода
перемещений. Эта система имеет единственное определенное
решение 2Ь22,..., 2т, поскольку определитель системы
отличен от нуля (выше показано, что с1е![гд]>0). Подстановкой
найденных неизвестных в систему канонических уравнений
проверяется правильность решения системы, а если
вычисления проводились приближенно, определяется погрешность в
определении неизвестных.
5. Для основной системы строится окончательная эпюра
изгибающего момента и осуществляется статическая
проверка.
6. Строятся эпюры остальных силовых факторов.
Так как основная система метода перемещений образуется
из заданной наложением на нее угловых и линейных связей, то
количество и расположение этих связей должно быть таким,
чтобы основная система представляла собой совокупность
простых балок. Для этого необходимо в каждом жестком узле
наложить одну угловую и две линейные связи, а в каждом
191

Рис. 10.12
шарнирном узле — две линейные связи. Так, для стержневой
системы (рис.'10.12, а) основная система дана на рис. 10.12,6.
Она образована наложением на заданную систему пяти
угловых и двенадцати линейных связей. Таким образом, степень
кинематической неопределимости этой системы т=17.
Для стержневых систем типа рам, как правило, можно
пренебречь деформацией растяжения (сжатия) стержней;
при этом степень кинематической неопределимости
уменьшается за счет уменьшения числа линейных связей, которое
может быть определено из следующих соображений.
Если заданную систему превратить в шарнирно-стержне-
вую, поставив в каждый узел шарнир, то степень
геометрической изменяемости такой шарнирно-стержневой системы
совпадает со степенью линейной подвижности узлов
заданной системы. Поэтому число и расположение линейных
связей должно быть таким, чтобы соответствующая шарнирно-
стержневая система была статически определимой и
геометрически неизменяемой.
Например, степень геометрической изменяемости
шарнирно-стержневой системы, соответствующей стержневой
системе, показанной на рис. '10.Г2, а, как следует из рис. 10.13, а,
равна трем. Для того, чтобы эта шарнирно-стержне-
вая система стала геометрически неизменяемой, необходимо
наложить на нее три линейные связи и расположить их,
например, как это показано на рис. 10.13, а. Тогда степень
кинематической неопределимости системы, представленной на
рис. 10.12, а, с учетом несжимаемости -ее стержней будет
равна восьми (т=8). Соответствующая основная система
показана на рис. ЮЛ 3,6.
192

Рис. 10.13
|В отличие от метода сил в методе перемещений почти нет
вариантов в выборе основной системы. Различные, хотя и
.мало отличающиеся друг от друга, варианты основной
системы молено получить лишь за счет размещения линейных
связей.
10.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕДИНИЧНЫХ И ГРУЗОВЫХ РЕАКЦИЙ
Выше отмечалось, что основная .система метода
перемещений представляет собой совокупность простых балок с
двумя вариантами опорных закреплений. Предполагается, что
напряженное состояние этих Фалок при различных
напружениях известно. Схемы пр,и различных нагружениях,
необходимые для определен.ия единичных реакций, приведены в
табл. ТОЛ. Там же даны эпюры изгибающего момента и
величины огор'ных реакций для случаев углового и линейного
смещения опорных сечений на единицу.
Схемы дл'Я некоторых вариантов заагружения указанных
балок, необходимые для определения грузовых реакций,
приведены в табл. 10.2.
Единичные и грузовые реакции можно найти из
уравнений равновесия отсеченных частей основной системы.
Покажем это на примере статически неопределимой рамы (рис.
10Л4,а). Здесь рама три раза кинематически неопределима.
Основная система показ-ана на рис. ЮЛ^, б, ее
деформированные состояния от 2\]=\1У 22='1,_2з=з[1 несоответствующие им
этюры единичных -моментов Ми Мъ, Мъ, построенные 'по
данным та'бл.'ЮЛ — соответственно на рие.ТОЛб, 10Л6, 'ЮЛ?.
13—1741
193

Таблица 10.1
Схема /Тапки и бид
воздействия
Ш
АЛ
л/^
ЕЗ
&
1 х^- Ь
А %
>ЕЗ
#"~У
Ед
Эпюра изгибающего момента}
опорные реакции
I у^Мг^^^^
6Е0 Ш
Дру
6Л ^ -а пн *^
12 кА-Кв=-^-
3
^йгтттттт^'
^ХПБХПх^
гг Ка~мв гз
}кв
Деформированное состояние основной -системы под
действием внешней нагрузки и соответствующая ей шпора грузового
(момента, построенная ото данным табл. НО/2, «приведена на
рис. Ю.,18.
Для определения главной реакции гп необходимо
вырезать узел к\ при приложении *к основной системе неизвестной
21==И |(т. е. пр.и единичном повороте первой связи сечениями
стержней, бесконечно 'близкими «к узлу к\ (рис. 10.19, а, где
кроме реакции гп показаны иэтшбающие моменты, взятые с
мюры М\ (рис. 10Л!5, б)). Реакция гп показана на рис.
10.19, а положительной, как и все последующие реакции
(реакция считается положительной, если она направлена так же,
■как и неизвестная, приложенная к данной связи). Тогда
реакцию Гц определим из уравнения равновесия узла к\ (сумма
моментов относительно точки к\ должна быть равна нулю)
Ъткх =0, Гп=ЪЕ]Ц+АЕ]Ц+4Е11Ь=Л\\Е]Ц.
Реакции угловых связей определятся из уравнений
равновесия соответствующих этим связям узлов; так, реакция г2\
194

Таблица 10.2
определяется из уравнения 2тЙ2=0, составленного для
случая равновесия узла к2, вырезанного из основной системы,
нагруженной единичным перемещением 21 = 1 (рис. 10.19, б)
г21=2Е]Ц.
Равная ей согласно теореме Релея единичная реакция г12
может быть определена из условия равновесия узла кх при
нагружении основной системы неизвестной 22=1 (рис. 10.16).
Тогда из рис. 10.19, в следует:
2тА1=0, г12=2Е1/1.
195

у I
-тя&г,
V ?
1 ^^=сол5^
1/2
2> — л
1/2
««—»>
х—^—^
Рис. 10.14
2, = /
0
\
\
\
а)
Рис. 10.15
х—/
Рис. 10.16
х:хпГГ-^Гхп
/
у
О)
б) я,
Рис. 10.17
196

а)
Рис. 10.18
а)
Ю
Р1
8
. мр
В)
г
0
X ^ Л*^: ^ ^**
[ ^ г2 г^ г*
о и г) д)
Рис. 10.19
^Г\
'•о
г*
8' в
Рис. 10.20
б)
&
а)
Рис. 10.21
'1 \
к-/ к \л.ЬГМ
»
197

Аналогично определяется реакция г^ из условия равном-
оия узла к\ при нагружении основной системы неизвестной
23'=11 (т. е. омещен.ии линейной связи «а единицу (рис.
•10.17)). Тогда из рис. 10.20, а, следует:
Е|/п/11=0, Лз='—65///2.
Равная ей реакция \гЪ\ (реакция лилейной связи «П|р.и повороте
первой связи на 21=11) определяется из уравнения
равновесия. На р1И'с.|10.19,г показана отсеченная часть основной
системы пр.и натр ужении ее 1\=А (рис. 10.15). В сечениях
стержней на р.ис. 10Л9,г, как и рис. '10.19,5, .показаны лишь
те силовые факторы, которые проектируются на горизонталь.
Тогда из рис. '10.19, г, следует:
2Я=0, гз1=«—16Я///2.
Анало'гачно определяется главная реакция г3з (реакция
линейной связи от ее собственного смещения на 23=|1 (рис.
'10.17)) из условия равновесия отсеченной части основной
системы, 'приведенной на рис. 10.19,5:'
<2#=0, г33>=\12Е1/Р+вЕ1Ц*=\15ЕЛ1\
Таким образом, реакции угловых связей определяются из
уравнений типа 2т&=0, а реакции линейных связей — из
уравнений типа 2#=0. Однако в некоторых случаях (рис.
10.21) реа.кции линейных связей удобнее определять из
уравнений типа 2/Па'=0. При определении линейной реакции г„
(рис. 10.21,6) из уравнений 2#=0, кроме поперечных сил,
(попадающих в сечения стержней, необходимо учитывать и
продольные силы.
Грузовые реакции определяются аналогичным образом,
для обсуждаемого примера они равны
1#1Р'=— Р//8, Д2Р=М/8У 1/?3Р=0.
10.9. СТАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА В МЕТОДЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
И ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ
•В методе перемещений, как и в методе -сил, должна быть
проведена проверка правильности определения лишних
неизвестных, -являющаяся основной. Поскольку уравнения метода
перемещений являются уравнениями равновесия, то основной
проверкой в этом методе служит статическая проверка,
которая заключается в оценке равенств
#у=0 |(/=Ч, 2, ..., /п), <('10.21)
где ^ — реакции в наложенных на систему линейных и
угловых связях.
198

^
Т%
Г
г
-$г
ш~
с у ш
(У (У
'21
-22
/^11*
49
-19
лго
Лък207
<№4
Рис. 10.22
Например, для ,рамы, основная система кото-рой
образовала (Наложением 20 угловых и четырех линейных связей
(рис. 10'22), должно быть составлено 20 уравнений типа
2»т^.=0 для узлов системы -и четыре уравнения равновесия
Типа 2#=0 для поясов ра-мы.
Статическая проверка оценивает правильность расчета
статически неопределимой системы, начиная с единичных и
грузовых реакций, до эпюр внутренних -силовых факторов.
Однако ова не оценивает правильность выбора основной
-системы и _тюстроения единичных и грузовых Фпюр Ми Мч, ...
..., Мп, Мр.
Перед проведением статической проверки должны быть
построены окончательные эпюры силовых факторов:
изгибающего момента МХ9 поперечной силы ^2/, продольной силы
Nг. Эти силовые фа-кто-ры могут быть определены по
формулам:
т
Мх=Я21Мз+Мр,
/в!
т ___
/=1
1(10.22)
где Мз, (?], ТУ^ —единичные изгибающий момент, поперечная
199

•и .-продольная силы соответственно; МР, С}р, ЫР — грузовые
изгибающий «момент, поперечная и -продольная силы.
ГЛАВА И
ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ,
ПЕРЕМЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ
И.1. МЕХАНИЗМ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ
Элементы конструкций .и деталей машин, .подвергающиеся
действию усилий, переменных во времени 'И повторяющихся
большое -число- раз, разрушаются внезапно, ^без заметных
остаточных деформаций при амплитудных значениях
напряжений, меньших ав (или даже ат). При этом разрушение
происходит <не «сразу. На основании этого существовала
гипотеза, что металл «устает», изменяет свою структуру, из
пластического состояния 'переходит в хрупкое; отсюда появился
термин — «усталостное» разрушение.
В действительности при .переменных напряжениях
принципиальных 'изменений .в структуре материала не
наблюдается, происходит процесс постепенного накопления
повреждений, который приводит к образованию микроскопических
трещин. Длина трещин увеличивается, они объединяются,
образуя первую мдаротрещину »('протяженностью порядка 0,-1 ...
...0/5 мм). Трещина, являясь концентратором напряжений,
разбивается и ослабляет сечение, что приводит к внезапному
разрушению. Процесс постепенного накопления повреждений
•под действием переменных во времени напряжений,
приводящий к образованию трещин, их развитию и разрушению
материала, называется усталостным разрушением
(усталостью).
Усталостные изломы имеют -следующие характерные
участки (рис. 1)1 Л): 1 — фокус излома и очаг разрушения;
2 — вторичные ступени и рубцы; 3 — усталостные линии;
4 — 'зона ускоренного развития излома; 5 — зона излома.
Фокус излома — малая локальная зона, близкая к точке, в
которой формируется начальная макроскопическая трещина
усталости и откуда начинается ее развитие; фокус излома
располагается е достаточно тонком поверхностном слое материа-
200

ла в .местах концентрац.и,и
напряжений или сосредоточенных дефектов.
Очаг разрушения — малая зона,
прилегающая к фокусу излома; со- У
ответствует 'начальной
макроскопической трещине усталости. В зо>не
развившейся трещины усталости
наблюдаются характерные
усталостные линии, волнообразно
расходящиеся от очага разрушения.
Фор.ма усталостных линий зави- Рис*
оит от конфигурации детали и характера ее нагруже-
|ния. Если происходит зарождение нескольких трещин из
•разных фо.кусов, то при их последующем слиянии на
поверхности излома образуются ступеньки и рубцы. Участок
ускоренного развития излома является переходной зоной между
участком собственно усталостного развития -магистральной
трещины и зоны долома; образуется непосредственно перед
разрушением. В зоне долома наблюдаются характерные
признаки макро>хрупкого разрушения .материала.
После образования зародыша трещины ее развитие
определяется характером распределения напряжений. Если
возникновение трещины вызывается главным образом
'касательными напряжениями, то ее развитие происходит под
действием нормальных напряжений.
11.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОПРОТИВЛЕНИЯ УСТАЛОСТИ
Рассмотрим регулярное нагружение — натружение,
характеризующееся периодическим законом изменения нагрузок
или напряжений с одним максимумом и одним минимумом в
течение одного периода при постоянстве параметров цикла
напряжений за все время испытаний или эксплуатации.
Циклом напряжений называется совокупность последовательных
значений переменных напряжений за один период процесса
их изменения. Цикл напряжений характеризуется
следующими величинами:
максимальным (наибольшим по алгебраической
величине) напряжением цикла 0та*(Тта*);
минимальным (наименьшим по алгебраической величине)
напряжением цикла аты(тт1п).
Среднее напряжение цикла ат и амплитуда цикла оа
определяются по формулам:
201

Рис. 11.2
Ст = '(0|па»+ЙГт1п)/2, 1(Та=|(|(Гтах:—(Хт1п)/2.
Коэффициентом асимметрии цикла г называют отношение
минимального напряжения -цикла к максимальному: г=
=,(Тт1п/отах. Для постоянной нагрузки г=1, для
симметричного цикла г=«—'1. Цикл называется симметричным, когда
напряжения отах и ат{п равны по величине и
противоположны но -знаку. Ти'пы 'циклов приведены на рис. 1*1.2, где:
а — асимметричный цикл со средним растягивающим
напряжением (от>0);
б — пульсационный (отнулевой) со средним
растягивающим напряжением |(л=0, ат>'0);
в — симметричный цикл (\г——11,от,=0);
г —пульсационный цикл со средним сжимающим
напряжением ;(от<0);
д — асимметричный цикл со средним сжимающим
напряжением (ат<0).
Усталостное разрушение может наступать при
напряжениях, значительно меньших предела текучести и даже
предела пропорциональности. В этом случае необходимо
проводить испытания на усталость, в ,которых определяются такие
характеристики, ка-к предел выносливости и циклическая
долговечность (ГОСТ '2:5.502-79).
Предел выносливости — значение максимального по
абсолютной величине напряжения щгкла, вызывающего
усталостное разрушение при числе ци.кло'в, равном базе испытания УУ0.
Для металлов и сплавов ба'за испытаний при определении
202

®тпа:
Рис. 11.3
предела -выносливости принимается равной 107 циклов. Под
долговечностью N понимают 'число циклов до образования
трещины определенных размеров или до разрушения
образца. Предел выносливости обозначается через аг, где г —
коэффициент асимметрии цикла. Например: см — предел
выносливости при «симметричном цикле, о0 — при пульсацион-
ном (отнул-евом).
Усталостная микротрещина ('10""в ...10"-7 мм) возникает в
малом субм'икроско-пическом объеме материала и ее
возникновение зависит от распределения микроскопических и
субмикроскопических дефектов. Их распределение по объему
материала (следует законам распределения случайных
величин. Существенное влияние оказывает и технологический
фактор — таким образом можно говорить о статистической
/природе явления усталости, что объясняет большой разброс
экспериментальных результатов.
Кривая усталости (кривая Вёлера) в координатах (отах,
•Ыр), полученная из опытов при симметричном цикле
напряжений, приведена на рис. 11.3, где атах — максимальное
напряжение цикла, Ыр—число циклов нагружения до
разрушения. У черных металлов (сталь, чугун) при нормальных
температурах кривая усталости имеет горизонтальную
асимптоту (кривая У), соответствующую физическому пределу
выносливости о_ь Для ответных металлов и сталей при
повышенных температурах и в .коррозионных средах
достигнуть физического предела выносливости не удается
(кривая 2). Здесь показаны некоторые характеристики усталости:
203

условный предел усталости Оаи, Ограничиваемый заданным
(числом циклов нагружения Ы\ долговечность Ыа при
заданном значении напряжения.
^Три высоких уровнях напряжения, когда разрушение
сопровождается заметными пластическими деформациями,
'имеет место так называемая малоцикловая усталость (102<|Л^<
<И06); три более низких уровнях 'Циклических напряжений
(Л/г>,106) усталость называется многоцикловой.
Зависимость аа=^('сгт) для предельных циклов
(приводящих к усталостному разрушению при данной базе
испытаний), называется диаграммой предельных амплитуд
напряжений (рис. 'Г1.4). Луч, выходящий из начала координат
этой диаграммы, является геометрическим местом точек,
характеризующих циклы с одинаковой асимметрией ((при
-постоянном р постоянным остается коэффициент асимметрии г);
такие циклы называются подобными. В пределах о'бшасти,
ограниченной .кривой ЛВС, не наблюдается усталостного
разрушения при заданном числе циклов Л^Мо. Предел
выносливости любого асимметричного цикла может принимать
значения в интервале а-1<1сгг<1ав. Если мредел выносливости по
величине близок к временному сопротивлению ав, то он
может быть выше предела текучести материала сгт. 'В этом
случае уже во время первого цикла изменения напряжений
появляются пластические деформации. Для исключения
возможности их появления необходимо поставить условие
сгтах^'сгт. В дополнение .к кривой предельных амплитуд на
рис. М.4 проведена вспомогательная прямая Е\Р, отсекающая
Рис. 11.4
204

на 'координатных осях отрез.ки, равные пределу текучести.
•Рассмотрим характерные области /—4. В первой области не
•наблюдается 'пластических деформаций и устало'стного
разрушения. Во второй — -имеет "место усталостное разрушение
при М<1/У0, происходящее в пределах упругих деформаций.
В третьей — уже во время первого цикла нагружени.я
появляются пластические деформации, однако усталостного
разрушения при М<О#0 не происходит. Б (четвертой области
усталостное разрушение сопровождается пластическими
деформациями.
Существуют различные схематизации зависимости оа =
=,/('(Тт) области безопасных значений напряжений аа и ат
(область 1).
Приведем наиболее распространенные из них.
Формул а Серен сен а-Кин а с ош вил и:
•аа=сг_1—а|х7т, яр =' (2а_1—а0) /а0, (ИЛ)
где а0—предел выносливости для пульсационного цикла;
г|) — коэффициент влияния асимметрии цикла на предельную
амплитуду. Для углеродистых сталей а|>=.'0Л ... 0,2, для
легированных сталей и сплавов <ф=|0,1,5...0,3'2. При кручении
обычно принимается г|)1: = 0,'5,фа;
'Форм ул а Хейв-уд а:
*а=<и(1 -от/ов) [ф+1 ^ (2 + ст/ав) (1 -ф)|, ф =а^1/(тв,
(11.2)
где ав — временное сопротивление.
Формула Биргера:
аа=<т-1(1-(Тт/ов)1/2. (ЧИ.З)
Для материалов с высоким относительно ов пределом
выносливости о_1 и отношением атАтв^0,8 предпочтительнее
использовать ('11.2) и (ЛИ.З). При (Т77гАхв>0,3 уравнение
(И1Л) дает завышенные значения предельных амплитуд
(в расчетах это идет в запас прочности).
11.3. ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ УСТАЛОСТИ
В расчетах на прочность при напряжениях, переменных
во времени, используют характеристики 'сопротивления
усталости материала, полученные из эксперимента при еимметрич-
205

«ом цикле изменения /напряжений на стандартных образцах
с круговым или прямоугольным поперечным сечением. Для
деталей значение 'предела (выносливости а_1Д, -как правило, в
2—6 раз меньше предела выносливости а-\ гладких
полированных лабораторных образцов из такого же материала. Эта
разница количественно оценивается коэффициентом сниоюв'
ния предела выносливости /С, который учитывает влияние
основых факторов на 'сопротивление усталости:
К=«х-1/(Т-1д; (111.4)
по ГОСТу 2б.>504-|82 определен для:
растяжения-'сжатия и штаба
\ ^о Кр<* ) ^и К А '
вручения
Здесь основными факторами, влияющими на сопротивление
усталости являются:
концентрация напряжений (/С0, Кх)\
масшта'бный фактор, т. е. влияние абсолютных размеров
детали «(/Сл,, Ках)',
качество обработки поверхности (Кра, Крх)\
технолоти(чесюие методы поверхностного упрочнения
деталей (Ку);
технологическая анизотропия материала (Ка)\
эксплуатационные факторы (температура, коррозия,
частота напружения, облучение и др.).
Влияние концентрации напряжений. Концентрацией
напряжений называют увеличение напряжений в местах резкого
изменения очертания и размеров детали по 'Сравнению с
номинальными. Уровень .концентрации напряжений определяет -
ся теоретическим коэффициентом концентрации а0=о,тах/'Оном,
где Оном — номинальное напряжение. Как правило Ка<Саа и
/СТ<|аг, что отражает явление так называемой неполной
чувствительности материала к .концентрации напряжений.
Коэффициенты /Са, Кх и а0, и* связаны между собой
эмпирическими зависимостями:1
Ка=Ч+у(аа-41), Кх=И +'?(а-1), .(И.7)
206

Рис. 11.5
где ц — коэффициент чувствительности материала к
концентрации напряжений, зависящий от 'свойств материала и типа
•концентратора. На рис. 1.5 приведена зависимость
коэффициента ц ДЛ1Я растягиваемой стальной пластинки с двумя
выточками © зависимости от радиуса выточки р и от
отношения 'предела текучести от к пределу прочности ов.
Для -цветных металлов и аустенитньгх сталей <9<С1 (они
■малочувствительны к концентраторам напряжений). Чугун
практически нечувствителен .к внешним концентраторам:
9~0. Чувствительность сталей к надрезу увеличивается с
увеличением их прочности. Величина 9 не является
константой материала, она уменьшается с увеличением уровня
напряжений ив-за возрастающего влияния пластических дефор-
1ма:ций. В приближенных расчетах принимают: для литых
материалов 9=0,11 ... 0,2; малоуглеродистых и жаропрочных
сплавов ^=0,'2 ... 0,4; алюминиевых сплавов 9=0,3 ...0,5;
легированных сталей 9=0,6 ... 0,8; титановых сплавов 9=0,8... 0,9.
Влияние абсолютных размеров детали. С увеличением
диаметра гладких о'бразцов их пределы выносливости
снижаются. Это объясняется влиянием металлургического,
технологического и статистического факторов. Выносливость
материалов с увеличением размеров образцов или деталей
существенно уменьшается при испытании гладких образцов на изгиб
и кручение и м>ало зависит от размеров при растяжении и
207

сжатии. Выносливость надрезанных образцов падает с
увеличением размеров при любом виде деформации.
Эффективный коэффициент концентрации К<*{Кх) зависит
не только от ц и ав{ах), но и от 'градиента напряжений по
сечению, т. е. изменение диаметра образца существенно
влияет на предел выносливости, если при этом меняется
градиент напряжений. Влияние .размеров на Кв{Кх) при
неравномерном распределении напряжений по сечению является
следствием локализации зон максимальных напряжении по
оечению образца.
(Влияние металлургического фактора заключается в
ухудшении механических свойств металла «с ростом размеров
заготовки, оно учитывается 'коэффициентом Као=К\. Для
легированных сталей:1
#1:=11—0,210(^0), */<11'50 мм;
^=,0,74, </>Ч50 мм, '(11.1.8)
где ^0=,7,5 мм — диаметр гладкого лабораторного образца;
й — диаметр рассчитываемой детали. Для углеродистых
'сталей принимается /("г=11.
Технологический фактор обусловлен упрочнением
материала и остаточными напряжениями, появляющимися в
результате его механической обработки. Разработаны специальные
приемы, позволяющие существенно снизить влияние этого
фактора.
^Статистический масштабный фактор характеризуется
коэффициентами Као и Ка%\ в ГОСТе 25.504-82 рекомендуется
принимать Ка*=^Кс1т = К2, где
1 а!5/<т_1 й>150 мм.
Здесь величина о!^—«предел выносливости при растяжении
(сжатии). При отсутствии экспериментальных данных
рекомендуется принимать 1а!_^)/^-1=(0,8. Статистический
(масштабный фактор обусловлен наличием микротрещин, неоднород-
ностей, имеющих случайный характер возникновения и
распределения (по объему материала.
-В шестах напрессовки деталей на валы или оси
возникает концентрация напряжения и коррозия трения, так
называемая фреттинг-кор ровня, которая приводит к резкому
снижению предела выно'сливости в 3—6 раз и оценивается
коэффициентом Ко> зависящим от типа соединения (.посадки),раз-
208

меров вала и предела прочности ав, материала. Причинами
столь резкого снижения пределов выносливости деталей в
зонах контакта являются «концентрадая напряжений у края
•контакта и физико-химические процессы (фреттинт-процес-
сы), протекающие на стыке двух сопрягаемых деталей при
малых взаимных циклических .смещениях. Механические
процессы износа при фреттинте сопровождаются химическими
процессами взаимодействия поверхностных слоев и
отделившихся частиц износа с окружающей средой. Кроме того, в
.местах лгонта'кта происходят процессы электро'эрО'Зионного
разрушения.
Влияние качества обработки поверхности. Механическая
обработка оставляет на поверхности детали неровности,
являющиеся концентраторами напряжений, что заметно
снижает сопротивление усталости. Кроме того, при обработке
резанием поверхность упрочняется и возникают остаточные
напряжения. Суммарное влияние этих факторов на .величину
пределов 'выносливости оценивается .коэффициентами Кр<, и
Крх в зависимости от предела прочности ов и показателя
шероховатости 7?2:1
К,в = 1_0,2218/Ц1в^-1) (НЛО)
^т = 0,575/^о+0,425. (Ш.11)
При низком .качестве обработки поверхности предел
выносливости деталей из легированных сталей «может снижаться
на 50% и 'более.
Влияние технологических методов поверхностного
упрочнения. К методам поверхностного упрочнения относятся:
по верх но стное п л аетиче ское дефо рми ров ан и е (о б дув к а
дробью, обкатка роликами, алмазное выглаживание);
химико-термические (методы («цементация, азотирование,
цианирование);
поверхностная закалка с нагревом токами высокой
частоты;1
лучевые -методы (лазерная обработка, ионная
имплантация, обработка электронным лучом).
Перечисленные методы позволяют повышать предел
выносливости в 2—'3 раза; эффективность этих методов
оценивается коэффициентом К^ Причинами увеличения предела
выносливости (методами поверхностного упрочнения являются
остаточные сжимающие напряжения в поверхностном слое -и
14-1741
209

Таблица 11.1 повышение прочности мате-
риала при его поверхност-
Предел прочности
материала ав,
МПа
коэффициента ной обработке.
анизотропии
ав<600
600 ^ав^ 900
900 ^ав^ 1200
ав>1200
0,90
0,86
0,83
0,80
Влияние технологической
/Са анизотропии материала.
Коэффициент анизотропии Ка,
приведенный в табл. 'МЛ,
учитывают, если первое
главное -напряжение 0[ при
изшбе и растяжении
('сжатии) направлено
перпендикулярно направлению
прокатки материала. При деформациях кручения анизотропия
материала не учитывается..
11.4. ПРОЧНОСТЬ ПРИ РЕГУЛЯРНОМ МНОГОЦИКЛОВОМ
НАГРУЖЕНИИ
Линейное напряженное состояние. При определении
запасов прочности элементов конструкций и деталей машин,
находящихся под действием переменных во времени
напряжений, используя коэффициенты запа'са прочности по
напряжениям и долговечности. Коэффициент запаса прочности по
напряжениям п^=1о*/аа, где а* — предельное
разрушающее напряжение; аа — амплитуда цикла. Коэффициент
запаса по долговечности (числу циклов) ллг=|ДО*/#,
где .#*^Ч05 — число циклов до разрушения (циклическая
долговечность); N — эксплуатационное число циклов. Для
линейно'го напряженного -со-стояния при симметричном цикле
напряжений из предельной диаграммы усталости (рис. Ч'1.4)
•следует, что а*=(а_1Д. Предел выносливости детали смд
определяется с учетом всех факторов, снижающих его, по
сравнению с пределом выносливости лабораторных образцов:
о_1д=.о-,//(, (И ,12)
где К вычисляется по (14.5) или (II 1.6). Так как
коэффициент К определяется в зависимости от размеров детали и
заранее неизвестен, то расчет на прочность носит поверочный
•характер; «сначала 'задают размеры поперечного сечения
детали или приближенно их оценивают, затем вычисляют
'коэффициент запаса прочности п0 и проверяют выполнение
условия прочности:
210

па =
К<5а
■>[П].
(11.13)
Здесь [п] —'нормативный .коэффициент запаса прочности.
'При асимметричном 'цикле нагружения коэффициент
запаса прочности вычисляют по формуле
п0 = *=* (11.14)
.где г|? определяется по (II1 Л). Запас прочности, оцениваемый
•соотношением (»111.'14), называется запасом усталостной
прочности по подобному циклу.
При асимметричных циклах нагружен и я наступление
'предельного оостояния «может быть связано с появлением
пластических деформаций (области 3 .и 4 на рис. 1'1.4). В этом
елуча'е, кроме коэффициента па, необходимо определить
коэффициент запаса (Прочности -по текучести:
З/и+Зд
(11.15)
из коэффициентов па и пх выбирается наименьший.
При расчетах на .кручение (чистый сдвиг) -проверочный
расчет на прочность '(-вычисление коэффициентов запаса пх)
проводится аналогично-.
Сложное напряженное состояние. Рассмотрим упрощенное
плоское напряженное состояние (рис. Т1.6), возникающее,
например, в стержне при совместном действии изгиба и
кручения или растяжения '(сжатия) и кручения. Предположим,
что напряжения о и т меняются по симметричному циклу
синхронно и синфазно (т. е. с одинаковой частотой и фазой),
>ка.к показано на рисунке. Условие наступления предельного
Рис. 11.6
14*
211

'состояния записываем, как и для -статачесиопо нагружения,
используя один из критериев -прочности. Например, по
критерию 'максимальных касательных напряжений для
эквивалентной амплитуды нормальных напряжений при
разрушении «имеем:
аэкв'='Уо2ар+4т2ар=1а-1д, (И. 16)
где аар и Тар — предельные значения амплитуд -нормальных и
касательных напряжений по устало'стному разрушению.
Л(учшее приближение к опытным данным дает
уточненный критерий максимальных 'касательных напряжений:
,Сэкв=^а2ар+7*2ар==Юг-1д,
?=1сг-1д/т_1д. (11.'17)
В случае пропорционального нагружения, когда оар=лоа,
Тар—|Ята, «коэффициент 'запаса прочности при одно-временном
действии нормальных и касательных напряжений находится
по формуле:
п=—ЁЕ=- (И.18)
Если ввести коэффициенты запаса прочности отдельно по
нор-мальным Па=\0-1Л/аа и касательным ят=|т-1Д/та
напряжениям, то общий коэффициент запаса прочности
определяется формулой Гифа—Лолларда:
-V (И.19)
_1_
или
пппт
В общем (случае (объемное напряженное состояние) при
синхронном и синфазном изменении- напряжений для
вычисления амплитуды эквивалентного симметричного цикла
используют критерий Губера—Миэеса. Коэффициент запаса
прочности вычисляется по формуле
л =— а"1д (11.20)
УГ1/2[(01а-вм)«+(а1в-вЛ1)»+(в1в-авв)«]
где 01а,а2а,|стза — амплитудные 'значения напряжений на глав-
212

нкх площадках. Формулы 1('1И.16)...'(»1,1.2б) обобщаются
также на случай асимметричных циклов и несинхронного и не-
оинфазшго .изменения напряжений.
ГЛАВА 12
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
12.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ
И МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ
Любая .конструкция или элементы конструкции при
определенных условиях могут разрушаться, т. е. разделяться на
части. В зависимости от свойств материала конструкции,
условий нагружения, температурных и других условий
окружающей среды разрушение .может иметь хрупкий или
пластический характер (гл. 2). Хрупкое разрушение происходит за
счет возникновения и распространения трещин, которые
развиваются из незначительных дефектов и 'микроскопических
трещин до (магистральных трещин критического размера, что
■является причиной разрушения; кроме того, усталостное
разрушение также происходит по механизму хрупкого
разрушения (1гл. 1'1). Рассмотренные ранее .критерии прочности носят
локальный характер, т. е. определяют условия наступления
предельного состояния в точке. Для оценки конструкционной
прочности нужно знать поведение конструкции или ее
ответственных элементов до разрушения. Механика разрушения
является одним из разделов науки о прочности конструкций,
она занимается исследованием напряжений в о-крестности
трещин, изучением условий развития трещин и их влиянием
на прочность конструкции.
12.2. НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
В ОКРЕСТНОСТИ ТРЕЩИН
Основным понятием -механики разрушения является
трещина, которая определяется как разрыв сплошности
.материала. Рассмотрим узкую трещину длиной 2/ в тонкой
пластине, которая растягивается в направлении, ортогональном
трещине «(рис. 12Л). Решение этой задачи возможно с
помощью методов теории упругости по формулам:
213

У
штш_
б
Рис. 12.1
тЖ ♦" И ♦ ♦ ♦ ♦ И ♦ Ж И п
х
. е . зе
— 81П 51П
2 2
Ои = -?Ь С08-^1 + 5111 -5-5111-^-1 И2'1)
у уьГг 2 \ т 2 2 ; '
/(г е . е зе
—-1- С05 51П С05
2 2 2
/2яг
2/С1(1+И !/21С05±/±1!1
Е V 2я 2 V 1+Ц
К =
2/С!(1+Ц)
V 2я 2 \
е / 2
-51П | С03'
2я 2 V 1+Ц
2-~)> (12.2)
1>
Формулы (1Г2.1) .и (12:2) для напряжений и перемещений
записаны © 'полярных координатах г, 8 с полюсом в вершине
трещины "(рис. 12.1). Величина
К1=ъук1
(12.3)
называется коэффициентом интенсивности напряжений. '.Этот
.коэффициент, имеющий размерность Ннм~3/2, 'связан с
напряжением оу (Предельным соотношением
г-О
е-*о
откуда вытекает его физический смысл.
214
(12.4)

Аналогичные формулы получены также дл>я других
характерных случаев деформации. Например, если вместо
напряжения а на рис. Г2.1 действуют касательные напряжения
т в -плоскости пластины, то .коэффициент интенсивности
напряжений равен
К2='ф1. (12.5)
При действии карательных напряжений из плоскости
пластины (анти'плоская деформация) соответствующий
.коэффициент интенсивности напряжений Кг 'совпадает по виду «с (1112.5).
'Как видно из (Ч12Л), напряжения .вблизи вершины
трещины «весьма велики и при г->0 -стремятся к бесконечности как
величина г~1/2.
12.3. КРИТЕРИИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
ГРИФФИТСА-ИРВИНА
Хрупкое разрушение конструкции три наличии начальных
трещин происходит за счет интенсивного развития трещин.
Приложенная внешняя нагрузка к конструкции с трещиной,
имеющей начальную длину 21, .приводит к увеличению
размеров трещин. При умеренных напряжениях трещина
увеличивается медленно. Достигнув некоторого -критического
значения 2/* (происходит быстрое неустойчивое развитие),
трещина может привести ,к разрушению конструкции.
Потенциальная энергия упругой деформации в пластине
с трещиной и без трещины различна, причем она больше в
системе без трещины, так 'как на образование трещины
затрачивается определенная работа. Эта работа как разность
потенциальные энергий системы без трещины и е трещиной
для случая натр ужения, показанного на рис. »12.1, равна
где Н — толщина пластины.
'Кроме того, для образования трещины нужно затратить
определенную работу на преодоление сил взаимодействия
•слоев. Обозначим через у работу, .которую необходимо
затратить на образование единицы новой .поверхности.
Величина у, .являющаяся характеристикой трещиностойко1сти
материала, называется плотностью поверхностной энергии
разрушения. Суммарная площадь берегов трещины равна 4/Л,
поэтому работа на ее образование равна
Г^ЛуШ. (42.6)
215

При росте трещины на величину Ы высвобождается энергий
6Ц7 = -^6/ = 2тЧН Ы. (12.7)
д1 Е к '
Если эта энергия больше или равна дополнительной работе,
затраченной на продвижение трещины
8Г=-^-8/ = 4ТШ> (12.8)
61
то рост трещины будет неустойчивым. Условие предельного
равновесия трещины имеет вид
•6№=-бЛ (12.9)
Критерий .предельного равновесия ((112.9) есть критерий Гриф-
фитса, согласно которому -после подстановки (112.7) и (12.8)
получим критическое значение нагрузки при заданной
начальной длине трещины, т. е.
с*=^2Еу1п1. (И2.10)
При заданной нагрузке (>1'2.10) дает критический начальный
размер трещины
1* = ^ (12.11)
.который .может .привести к неустойчивому роету трещины.
Запишем 'соотношение >(112.'Ю) через коэффициент
интенсивности напряжений
Величина
К1С=^Щ («12.12)
есть критический коэффициент интенсивности напряжений, а
равенство
К1 = Кю (12.13)
определяет критерий предельного равновесия Ирвина.
Коэффициент К\с является одной из основных характеристик
механических «свойств конструкционных материалов. Эта
характеристика, определяемая экспериментально, называется
также трещиностойкостью материала.
Критерий Гриффитса и критерий Ирвина эквивалентны
между собой; они отличаются лишь формой записи, хотя
первоначально критерий Ирвина в форме (12.13) был сформу-
216

Лйро&ан независимо от 'Энергетических соображений.
Критерии (1112.9) и (Ч2ЛЗ) есть две эквивалентные формулировки
критерия разрушения — энергетическая и силовая.
Аналогичные .критерии можно сформулировать и при других видах
дефор'миров а ния.
Еще одну формулировку критериев Гриффитса—Ирвина
можно дать в терминах обобщенных оил. Если
рассматривать площадь, занимаемую трещиной 8—Шк, как
обобщенную координату, то 'Производная
у=!г (12Л4>
по формуле Лагранжа (9.41) имеет смыел обобщенной силы,
затраченной на .продвижение трещины. По (12.7) находим,
что
или с учетом обозначения ('12.3)
1=<К12/Е. (12.15)
В предельном состоянии условие '('12ЛЗ) /принимает вид
/.=|/1с, (12.16)
где критическое значение обобщенной аилы ]\с, называемое
вязкостью разрушения, равно:
11с=К21с/Е=2у. (1-2.17)
12.4. ПОНЯТИЕ О НАКОПЛЕНИИ ПОВРЕЖДЕНИЙ.
ЛИНЕЙНОЕ ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
(Критерии Гриффитса—Ирвина устанавливают условия
предельного равновесия при постоянной нагрузке. Если
нагрузка меняется во времени циклически, то в .пределах
каждого цикла трещина подрастает и лри некотором числе
циклов может достичь .критического размера, при котором ее
дальнейший рост становится неустойчивым. Циклически
подрастающая трещина называется усталостной трещиной.
Начальные трещины при циклическом нагружении
подрастают, .приводя к дополнительным повреждениям. В этом
случае говорят о накоплении повреждений. Повреждения
могут быть вызваны не только ростом усталостных трещин, но
также износом, коррозией, пластическими деформациями и
другими причинами. 'Разрушение (конструкций связано с
необратимым накоплением повреждений в их элементах.
217

биА
Рис. 12.2
Рассмотрим -процесс накопления .повреждений на
«примере усталостного разрушения при нестационарном нагруже-
иии, когда амплитуда на^руж-ения изменяется во врем-ени.
Пусть процесс нагружения задан напряжением а(1) в виде
последовательности блоков (циклов) нагружения (рис. 12.12).
В к-ы блоке, содержащем Мь циклов с периодом 7^,
амплитудное значение напряжений обозначим через »щ. С каждым
циклом или блоком нагружения в системе происходит
накопление повреждений.
©ведем меру повреждений 'ф(Л^) в зависимости от числа
циклов нагружения ка<к неубывающую функцию,
принимающую значение 1^(0)1=10 в начале нагружения, 1|)(.Л^*)=|1 при
предельном значении 1#* числа циклов, соответствующем
усталостному разрушению (рис. '.12.3). Введем также меру
повреждений ф^ вносимых к-и 'блоком -нагружения.
Рис. 12.3

йггу меру можно определить следующим образов.'
**=«№. (|аА). (12:18)
Йдесь >М*(\ок)—число циклов до разрушения три
напряжении Ок-
В «простейшем случае процесс накопления повреждений
можно описать на основе линейного правила суммирования
повреждений, т. е. «повреждения, вызванные циклами
напряжений с амплитудой о,, не зависят от состояния конструкций
и последовательности загружения, а суммируются с
повреждениями от предыдущих циклов
♦(")-|*'=|-7См" (12-'9>
Тогда условие усталостного разрушения принимает вид
ь.
N1
Ф(^)
= У_^_ = 1,
(12.20)
где <&* — номер блока нагружения, на котором произошло
разрушение. Из условия ('Г2.20) находится критическое число
циклов
Линейное правило суммирования повреждений (1'2.19)
применимо также к общему случаю нагружения, реализация
которого изображена на рис. 42.4. В этом случае процесс
нагружения разбивается на интервалы с амплитудными
напряжениями оь а2,..., оп. Роль блоков нагружения в
формуле ('Г2.'20) играет число циклов Л^- к моменту разрушения,
для которых амплитуда попадает в интервал о,\
б(Щ
Рис. 12.4
219

Й заключение рассмотрим 'Применение (ЛЗ.ГЭ) «к
случайному процессу нагружения. Процесс нагружения на рис. 12.4
•можно считать одной из возможных реализаций -случайного
процесса а(>/). Подобная ситуация характерна для реальных
условий эксплуатации конструкций. Число циклов
нагружения N достаточно велико, оно исчисляется -сотнями тысяч.
При -больших N отношение числа циклов Л^ с амплитудой б^
к общему числу циклов определяет вероятность попадания
амплитудного значения напряжений !в .интервал ф:
Мера повреждения (112.19) для -случайного процесса
нагружения принимает вид
к
а условие разрушения (12.20) определяет .предельное число
циклов
\п *.^>)
ГЛАВА 13
ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
13.1. ПРЕДПОСЫЛКИ ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Напомним, что оболочкой называется тело, ограниченное
двумя поверхностями, расстояние -между 'которыми
(толщина Н) мало по сравнению с остальными размерами.
Геометрическое место точек, равноотстоящих от ограничивающих
о1болоч<ку поверхностей, называется срединной поверхностью.
Пластина — частный случай оболочки-, у .которой срединная
(поверхность есть плоскость. Отрезок прямой единичной
длины, перпендиклуярный к срединной поверхности, называется
нормальным элементом или «просто нормалью.
'Классическая теория пластин и оболочек построена на
системе «гипотез, аналогичных гипотезам в теории изгиба
стержней, а именно:
220

материал считается сплошным, однородным и
изотропным;
материал является линейно упругим;1
перемещения малы по -сравнению с характерными
размерами, а деформации малы по сравнению с единицей.
Такую же роль, как гипотеза Бернулли в теории
стержней, в теории пластан и оболочек «играет гипотеза
Кирхгофа—Лява, (гласящая:
нормаль остается нормалью и после деформации, т. е.
нормальный элемент остается прямолинейным и
перпендикулярным к срединной поверхно'сти, а также не меняет своей
длины.
Аналтично гипотезе о ненадавли'вании волокон вводится
гипотеза ю ненада'вливании 'слоев:
слои, параллельные ерединной поверхности, не давят
друг на друга.
Выберем систему координат, связанную со срединной
поверхностью оболочки, т. е. начало координат расположим на
'срединной поверхности, оси Ох и Оу направим по
.касательной, а ось Ог — по нормали к срединной поверхности. Тогда
напряжения а2 в соответствии «с гипотезой о ненадашшвании
слоев равны нулю. Кроме того, из гипотезы 'Кирхгофа—Лява
следует, что деформации уХ2 и уу2 отсутствуют, так как при
наличии сдвигов относительно срединной поверхности нор-
«мальный до деформации элемент не остался бы нормальным
к срединной поверхности и получил бы искривление.
Отсюда, 'следует, что напряжения %хг=ъУг=0. Следовательно,
напряженное состояние в точках пластины или оболочки
является плоским, а обобщенный закон Гука (2.37), (2.38)
примет вид
е* = — (°* — Р0*). е* = — К —■ Р^*)» Т** = т**/0- 03.1)
П с,
Разрешая эти соотношения относительно деформаций,
получим
р р
°х = ' -(е* + Р^), ау=- г(еу + 1хех), %ху^0уху. (13.2)
13.2. ИЗГИБ ПЛАСТИН
(Рассмотрим пластину, имеющую постоянную толщину Л,
под действием распределенной нагрузки р(х,у), нормальной
к срединной плоскости. В рамках 'гипотезы о малости пере-
221

о
Рис. 13.1
мещений .пренебрежем растяжением срединной плоскости,
сдвигами и 'кручением в этой .плоскости, т. е. внутренними
силовыми факторами Ых, Nу^ <Ыху и Ыух, М2. Для определения
остальных силовых факторов воспользуемся методом сечений.
Проведем два сечения вертикальными плоскостями,
ортогональными к оеям Ох и Оу на расстоянии х и у от начала
.координат (рис. 1'3.1). В еечении л;=1соп5{ вдоль оси Оу
действуют распределенные '(т. е. отнесенные к единице длины)
внутренние силовые факторы: С}х— поперечная сила, Мх —
изгибающий момент, Мух — крутящий момент. Аналогично в
•сечении г/=«сО'Пз1 действуют .внутренние силовые факторы:
<3У1 Му .и Мху. Размерность поперечных 'оил — Н/,м,
размерность моментов — Н'-м/м. На рис. 13Л показаны
положительные направления для всех внутренних -силовых факторов.
Если .какой-либо силовой фактор действует в другом
направлении, он 'считается отрицательным.
Двумя плоскостями, параллельными указанным выше и
отстоящими от них на расстоянии Ах и Ау, выделим элемент
пластины -(рис. 113.2). Внутренние силовые факторы в
-сечениях х-{-с1л;=1соп51; и у+Ау=сопз1 по сравнению с 'силовыми
факторами в исходных 'сечениях получат бесконечно (малые
шриращения, показанные на рисунке.
Учитывая, что внутренние силовые факторы распределены
вдоль оси Ох и Оу, а внешняя нагрузка р — по площади эле-
222

Мц +
Рис. 13.2
мента йхйу, запишем уравнение равновесия <в виде суммы
проекций всех аил, действующих на элемент, на ось Ог:
С?х<1у-(с1х + -?^-йхуу+С1х6х-
- (С» + -у*- 6У) Лх + РШУ = °»
откуда, после .преобразований и сокращения на йхйу,
получаем первое уравнение равновесия:
д<2х , дС}у
дх
ду
= Р-
(13.3)
Оум,ма мом-ентов всех сил относительно оси О'у',
параллельной оои 0>у, приводит к уравнению
Мхйу-(мх + 2&- ах) йу + МхуДх-(мхУ + ^АУух +
+ ^х+^йхууйх + ^у + ^йуух^-
^удх-^-рйхйу-^=0.
В этом уравнении бесконечно 'малые лер-вого порядка
уничтожаются.
Пренебрегая бесконечно «малыми «высших порядков,
получаем:
223

дх
(13.4)
Анаяошчно, записав сумму 'моментов всех сил относительно
оси 0'х\ получим уравнение
дМУх , дМи
11.—
дх
ду
Яу
(13.5)
Уравнения равновесия (13.3)...(Ч'3.5) содержат шесть
неизвестных— внутренние силовые факторы фх, С}у, Мх, Муу
Мху, Мух. Таким о'бра-зом, задача о'б -изгибе -пластин
является статически неопределимой, .и уравнения равновесия нужно
дополнить «соотношениями, получаемыми из анализа
деформированного состояния элемента.
•Деформации е*, еу, уху связаны с перемещениями
соотношениями Коши ('2.30)1
е, =
ди
дх
до
до
ди
оо оу ои /л 0 ~ч
ду дх ду
Так как >е2='0, что следует из условия нераетяжимо'сти
нормали по гипотезе Кирхгофа—Лява, то из соотношения Коши
г2=\дгю/дг—0 — нормальное перемещение не зависит от
координаты г и совпадает в любой точке с нормальным
перемещением хи>{хуу) (прогибом) срединной плоскости.
(Рассмотрим -сечение пластины вертикальной плоскостью
г/=1соп51 в недеформированном и деформированном
состояниях (рис. 13.3). Точки на срединной плоскости в про-цессе
•деформиров а ния по луч ил и вер тик а л ь но е п ерем ещ е н и е
Ш(х,у). Точка Л, отстоящая от срединной плоскости на
расстоянии я, переместится вверх на туже величину, а нормаль,
атрододящая через точку Л, повернется на некоторый угол фх.
В соответствии с гипотезой Кирхгофа—Лява нормаль оста-
Ух
Рис. 13.3
224

нется лерктенди кул-яр ной к деформированной срединной
поверхности, т. е. касательная к срединной -поверхности также
будет равна ц>х. Так ,как {%ух—дх1)/дх, а деформации и
.перемещения малы, то §хж{%ц>х=дш1дх. Точка А получит
(перемещение в направлении оси Ох, .равное
дни
и = —г<?х = —г—-
дх
Объединив полученный результат с анализом деформаций в
(плоскости лз=1сопз1, имеем
дда дда /4 о «ч
и = —г — , 0 = -г—-• (13.7)
дх ду
Подстановка (13.7) в соотношения 1Ко-ши (43.6) приводит к
зависимостям компонент тензора деформаций от 'прогиба
ш{х,у), т. е.:
д2 да ' д2 да 0 д2 да /10 0\
Соотношения '(13.'8) дополняют уравнения равновесия до
полной системы уравнений. Эти соотношения путем введения
обозначений
д2 да д2 да д2 да /1*эо\
*х~1х^' %У~~д^* *ХУ~~дхП (М'У)
можно привести к виду:
•6^=1—гхх, %=—гку, уХу — —2гкХу- ('13.10)
Под величинами пх и %у в 'случае малых деформаций
понимают кривизну сечений #=соп51 «и я=соп51
деформированной срединной -поверхности; кху=щх=дуу/дх=д<рх/ду
характеризуют закручивание поверхности.
Подставив выражения (ИЗ.в) для деформаций в
соотношения упругости |(|ГЗ.|2), с учетом зависимости 0=|/:/[2(11-}-
-Цх) ] (2.40), получим :■
Ег /а2 да . д2да\
" 1—|*а [дх2 +[Х ду2 ]
Ег /а2 да , а2 да
аг = ■
Ъ(*±+Г**\ (13.11)
\л2 \ ду2 г • дх2 ) У '
1
*х"- {+11 дхду '
15-1741 225

Рис. 13.4
'В сечении л;=О0'П51 напряжение ох, действующее в точке
А на расстоянии г от срединной плоскости, создает момент
(рис. Ч'3.4)
АМхйу=—<зхАуАг-г.
Знак минус введен для согласования травил знаков
моментов и напряжений. Сократив на Ау и проинтегрировав .по
толщине пластины, имеем
А/2
Мх = — Г охгйг.
Аналогично получим 'формулы для моментов Му, Мху и Мух,
окончательно выражения для внутренних «силовых факторов
через напряжения имеют вед
Л/2 __ Л/2
Мх= — Г охгдх, Му = — Г аугйг,
—Л/2 -Л/2
Л/2
Мху =МУХ = - | хху г&г. (13.12)
-Л/2
Равенство Мху=Мух следует из закона агарности
касательных напряжений %ху=чух.
Подставляя )('13Л11) в (ИЗ.'Ш) и учитывая, что тротиб
ш(ху у) не зависит от я, .после интегрирования по толщине
пластины получаем выражения для моментов через .прогиб:
226

ал гл/д2и> I д2т)\
Мх = В ( Ь ^ — '
V а** ^г ^ ;
Здесь
.Я==Я^/|}12(11--ч|г2)] (.^14)
— числовая характеристика, называемая цилиндрической
жесткостью. В обозначениях (43.9) выражения (13.43)
-имеют -вид
Мху=В(\1^1х)кХу. (13.15)
-Уравнения равновесия (13.4) и 1(Т3.5) позволяют с
-использованием (ФЗЛЗ) выразить через (прогиб поперечные
силы. После элементарных преобразований лол-учим:
(}х=0-?-{Щ; (?,=0-^(Да>). (13.16)
дх ду
В формулах (/13.116) использовано обозначение
ж д2 ДО , в2 1Ю , /1о1т
Аш = = и х + ку (13.17)
дх2 ^ ду* *^ у ^ /
для оператора Лапласа от функции ш'(<л;, у).
Подстановка (ЧЗ.Ч'б) в оставшееся уравнение равновесия
(•13.'3) 'приводит к разрешающему уравнению изгиба пластин
«постоянной толщины.
ЙДДш=р. (113..18)
Это уравнение называется уравнением Жермен—Лагранжа.
Повторенный дважды оператор Лапласа ДА называется би-
гармоническим оператором, его развернутая запись
имеет вид:
дд = ^+-^1_+-*!_. (13.19)
дх* дх*ду* ду* ч '
Решение уравнения в частных производных четвертого
порядка должно удовлетворять граничным (краевым)
условиям, причем в .каждой точке .контура, ограничивающего юре-
15* 227

Рис. 13.5
динную плоскость пластины, должно быть задано по два
краевых условия. Рассмотрим типичные краевые условия для
.кромки х=\0 прямоугольной -пластины. В ел/учае жесткого
защемления (заделки) (рис. 13.5, а) должны быть наложены
ояраничения на прогиб .и угол поворота:
»(0.у)-0;*^Й.
дх
= 0.
*=0
(13.20)
При шарнирном опирании, схематически изображенном на
рис. 13.5,6, краевые условия имеют вид:
ш(0,у)=0; Мх(0,у)\=0.
(13.21)
Используя первую формулу (13.13) с учетом того, что
ш(0, #)='0 и не меняется вдоль координаты у, откуда
д2и)1&у2=10 три я»=0, условия (13.21) можно переписать в
виде
д2 ш)(х9 у)
оЧ0,у) = 0;
дх2
= 0.
* = 0
(13.22)
На свободной кромке д;=0 (рис. 13.5, в) должны
обращаться в нуль три силовых фактора
АМР,у)=0, ^(0,У)!='0, Муж'(0,у)=0.
Однако, как показал Кирхгоф, два последних условия не
являются независимыми, они объединяются в одно
Я1 = Ях
дМ
Ух
ду
= 0.
(13.23)
Действительно, если момент Мух .представить в виде пары
сил, то на границе двух 'близких отрезков длиной (к/,
показанных на ри'с. 13.6, 'будет действовать неуравновешенная
сила дМуХ/дуу которая вместе с поперечной -силой <?* образу-
228

бМуХ
Рис. 13.6
ет силу (?**, называемую обобщенной кирхгофовой силой.
Таким о»бразом, краевые условия на свободной 'кромке л?=0
имеют вад:
"л*-°№+>Ш-.-0- ,13-24)
«*0.й=^[^ + (2-,)^]Ц,=0.
Комбинации краевых условий типа ((13.20), ('13.22), (1>3.24)
на всем контуре вместе е уравнением ('13.18) определяют
краевую задачу об изгибе пластин.
'Сравнение (11'3.1М) и (110.13) дает -следующие зависимости
напряжений через моменты:
12МХ
Л3
-г, аи = •
\2МУ
Л3
2» хху —
\т
хУ
н3
г.
(13.25)
Из этих формул видно, что наибольших по величине
значений напряжения достигают в -слоях у поверхностей пла'стины
(21=.±А/2):
— , пша| и^| — -
1 1 6 | Мху 1
тах\хху\= 1 Н2хУ* -
>
Л2
(13.26)
229

(Вычислим потенциальную энергию упругой деформаций.
Формула (2.49) для случая плоского
напряженно-деформированного состояния принимает вид
V
Подстав-ив сюда выражения (13'8) и (13.111) для деформаций
и напряжений, по-сле интегрирования по координате г
получим
ЧЪ+^ТГ + ^-йШ™" (1327)
где интегрирование проводится по площади й срединной
плоскости пластины. С учетом (43ЛЗ) и ('13.9) выражение
('13.'27) можно 'Привести к виду:
V = V, $$(МХ кх + Му ку + 2МХУ кху) АхАу, (13.28)
п
аналогичному (9.18) в теории изгиба стержней. Запишем
еще две эквивалентные формы записи выражения (Г3.27)1
и = */• И в №*+*">2 + 2 ^ -«*) «-** *») I йхйУ- (13-3°)
"п
13.3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН
1Р.а,ссмотрим прямоугольную в плане .пла'стину постоянной
толщины € размерами -срединной .плоскости а — вдоль
координаты х, Ь — вдоль /координаты у. Точное решение
гю'(Хуу) дифференциального уравнения в частных
производных ('13.48) с заданными .краевыми условиями в общем
случае получить невозможно. Оно известно только для двух
частных случаев:!) пластина шарнирно-оперта по всем .кром-
230

Ук
т
У///////////////////////////А
5)
Рис. 13.7
кам (рис. ЯЗ.7,а); 2) шарнирно-оперта по двум
-противоположным кромкам, а две другие кромки имеют «произвольные
условия (на рис. 13.7,6 для определенности приведен случай,
когда кромки у=0 и у=Ь защемлены).
Решение Навье дифференциального уравнения ('13.18)
для первого случая (рис. 13.7, а) представляется в виде
двойного тригонометрического ряда (ряда Фурье):
и*(х> У) = 2 2! 1тпЫп(ткх/а)вт(т:у1Ь), (13.31)
т=»1л=1
где 1тп — неизвестные коэффициенты, а «базисные фунвдии
ха)тп'{х, уУ=$'т(\тпх/а) зЩппу/Ь) (13.32)
лодо1браны, так, (чтобы каждая удовлетворяла краевым
(условиям, которые в соответствии с ('13*22) имеют вид: «;=
^д*1ю/дх*={) <(*=0,а), *)=д*<и>1ду*<=0 (у=0,Ь).
В виде аналогичного рада представляется и заданная
внешняя нагрузка1
Р (*. У) - 2 2 р™ ъ{п (т™1а)з1п (пку/ь)-
(13.33)
231

Коэффициенты Фурье этого ряда находятся то известным
формулам:
а ь
Ртп = —{ [р(*> У) 51П {ткх/а) 51П (пку/Ь) Шу.
о о
Подставляя ряды (43.31) и (113.33) в уравнение ('13Л8) «и
приравнивая .коэффициенты три базисных функциях,
получаем .выражения для '/тп:
\тп
Ртп
Ш4(т2/а2 + л2/62)2
Решение Навье имеет вид:
V » У) А А Яя4(т2+а2л2)2 " * " '
где через а=*а/Ь обозначено отношение сторон.
Для решения второй задачи (рис. :13.7,б) воспользуемся
решением Леей в виде одинарного тригонометрического ряда
Щх,у) = %}гн{у)ып(тлх/а), '(13.35)
в которое базисные функции удовлетворяют 'краевым
условиям
10 = —--О (Х = 0,а),
I дх2
а коэффициенты /т'(у) —есть функции от у. Внешнюю
нагрузку представим в виде аналогичного ряда
оо
Р (*1 У) = 2 рт{у) 31П {тпх/а) (13.36)
с коэффициентами Фурье
а
Рт(у) = — \Р (х> У) 51п (ткх/а) Ах, (13.37)
о
Подстановка рядов (13.35) и (>13.36) в уравнение (ГЗЛ8)
дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений
для функций Му), т. е.
^ч^_2гпч^^!^ +п!м^р^!м^^2)^ (13в38)
с!*/4 а2 с!*/2 а4 /т Я Ч '
232

Решение /т'(*/) уравнений равно сумме общего реШ-ёни.я
Соответствующею однородного уравнения и частного решен.ия
}*т(у) неоднородного уравнения. Это решение имеет вид:
а
тпу
+ (С3т + С4ту) зН -2^. +^т(у). (13.39)
а
14ро/(/и*
I О,
Постоянные интегрирования С\т, С2т> С3т, С4т находятся из
граничных условий при у=0 и у=Ь, а частное решение
определяется 'правой частью уравнения ('13.38).
В .качестве примера рассмотрим пластину, защемленную
•по кромкам #=0, Ь (рис. 13.7,6), под действием равномерно
распределенной нагрузки р(хуу)=р0. Коэффициенты (13.37)
при этом равны
__ {4р0/(тк), т = 1, 3, 5, ...
т = 2, 4, ...
а частное решение, удовлетворяющее уравнению (3.38), равно
'!*т[(у) =4а4р0/т5я5Ю, /ш=И,3,5,...
При постоянной нагрузке прогиб т^х^у) есть симметричная
функция относительно оси О'х' (рис. 13.7,6). В системе
«координат х', у'=у—Ь/2 в решении ('13.39) нужно от|бросить
антисимметричные члены у{сЬ(тпу/а) и 5\\{тлу/а):
и (У') = Сш сЬ ^ + Сшу' зЬ ™И1 + -^-. (13.40)
Для нахождения постоянных интегрирования С\т и С4т
используем граничные условия
ш==Нг^ = 0 (у' = ±ь>2)>
откуда после подстанов-ки ряда (13.35) с учетом (13.40)
получим систему уравнений
п и тпЬ \ п Ь и тлЬ 4а4/70
С1псй — 1- Сш — зП —
2а ' 2 2а /пбябО
Сш — $Ь — + С4т зп — + - сП —-■ = 0.
а 2а \ 2а 2 а 2а /
Окончательное выражение для лроги'ба а>'(я, г/) имеет вид:
233

1В*' »Д,... "»5
1 +
тя тп(у—Ь/2) I Ь\ тп(у—Ь/2) •
тп , л , тк(у—Ь/2) I Ь \ л тп(у-
— зЬ рт зЬ —^ * / */- — 1-(зЬ Рт+ Рт сЬ М сЬ —^
Рт Ч- сЬ рт зЬ рт ^
Здесь .введено обозначение $т=тлЬ/'2а и (Произведен
переход 1к исходной системе координат.
При произвольных краевых условиях точное решение
'получить невозможно. В этом -случае применяют
приближенные методы, наиболее эффективные из которых основаны на
вариационных принципах (ом. гл. 9).
Метод Релея—Ритца применительно к задаче об изгибе
пластин заключается в следующем. Решение для ш(\х, у)
представляется в виде ряда
п
ю{х,у)= %скхик(х,у), (13.41)
к— 1
в (котором базисные функции №к{х, у) удовлетворяют
кинематическим граничным условиям, а ск— неопределенные
коэффициенты. Подстановка ряда ('13.41) в выражения для
потенциальной энергии деформации (1Г3.29) и для потенциала
внешних сил
П=— /' / р (х, у) ш(х, у) Ахйу
я
после вычисления интегралов дает зависимость полной
энергии системы Э=М-\-И от коэффициентов Съ типа (9.60).
Уравнения
-^. = 0, (*=1,2,...,л)
дск
приводят к системе линейных уравнений типа (9.62)
относительно ИСК01МЫ.Х ;К0ЭффИ'Ц!ИеНТОВ.
В методе Бубнова—Галеркина решение ищется в виде
ряда .('13.41), но здесь базисные функции шк(хуу)
удовлетворяют веем кинематическим и статическим краевым
условиям. Введем оператор
'Ь\ш(ху у) \—ЮА&№—р,
соответствующий уравнению равновесия ((13Л8). Из условия
ортогональности базисных функций №и.(х,у) к оператору
Ь\тй(х, у)] типа (9.65)1
, / / [ДДДш(*, у)—р{х, у)\шк{х, */)с!хск/=0
234

.после подстановки в него ряда ('13.41), приходим к системе
линейных уравнений относительно неизвестных
коэффициентов Ск.
13.4. ОСЕСИММЕТРИЧНЫИ ИЗГИБ КРУГОВЫХ
И КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН
Для круговых 'Или (кольцевых 'пластин от декартовых
координат х> у на срединной плоскости целесообразно 'перейти
к полярной «системе координат т, 8 (рис. 13.8). Этот переход
осуществляется .при помощи взаимнооднозначного
преобразования координат
л?=|/Х0'5б, г/='Г31п8, г=.у*2+«/2, 8 = ат'с1§(у/х).
В полярной системе координат справедливы все
соотношения, выведенные в декартовых координатам. В частности,
уравнение равновесия '((13Л8) «инвариантно относительно
(преобразования координат, т. е. его вид остается неизменным.
Оператор Лалласа *в 'полярной системе координат имеет ©ид
А*=д2/д.г*+\1/п(д/дг) +Л/г2\{д2/дв2), (113.42)
где первое 'слагаемое определяет кривизну хг
деформированной срединной поверхности в направлении г, а два
последующих— кривизну %в в окружном направлении:
Рис. 13.8
Рис. 13.9

Ыг^ ± ду(г,Ь) ± с*»(г.Ц (13в43)
Применяя дважды оператор Лапласа (-13.42) к функции
ал(т,6), запишем уравнения равновесия ('13.18) в полярной
системе координат
(13.44)
При этом внешняя нагрузка р (г, 0) также задается в
(полярной системе .координат.
Осесиммеъричный изгиб имеет место в том случае, .когда
внешняя нагрузка р Ог, 0) и граничные условия не зависят
от окружной (координаты 0. В этом случае прогиб также
является функцией только координаты г, а соотношения
('13.42)../(113.44) не содержат производных по окружной
координате
л = 7Т+ — 4. О3-45)
с1л2 г <1г
_*»(')_. ,^1^ (13<46)
йг* г йг
Щ^Ш'+тЪ)-** <13-47)
Чтобы показать силовые факторы, возникающие при осе-
оимметричной деформации, проведем через точку А на
срединной плоскости два сечения: плоскостью 9=сопз1и
цилиндрической поверхностью г=еопз1;. Еще два сечения: Э+'(1в =
=1Сопз1 и г+йг=1СОП51 определяют элементарный объем,
показанный на рис. 43.9. В сечении /*=сопз1 действует
поперечная сила <)г и изгибающий момент Мг. В сечении 9 = сопз1
действует изгибающий момент Мв. Аналогичные силовые
факторы действуют в двух других, не видимых на рисунке,
сечениях. Остальные силовые факторы (20, Мгв и Мдг в
'случае осеоимметричной деформации отсутствуют. Размерность
силовых факторов такая же, как и в декартовых
координатах.
Формулы (113.15), (1ГЗ.И6) в полярных координатах при
осеоимметричной деформации записываются так:
Мг - Я(х,+ ,*.) = С (^ + ,-^),
236

М9 = й(щ + »*,) = д(± ^ +,. *^\ (13.48)
\ г дг дг2 }
Напряжения суг и ае определяются через -изгибающие
-моменты Мг и М0 по ('13.125) и ('13.26) с точностью до
обозначений.
Уравнение (13.47) лепко проинтегрировать. Для этого
предс'тавим оператор Лапласа ('13.45) в виде:
Тогда ('13.47) записывается в форме
±±1гА\±±1г±)]\и,= Ш. (,3.50)
Пусть р(1г)=р0. Умножая левую и «правую части (43.50)
на г и интегрируя, получим
Г±\1А(г^)]=:1^-+А,.
йг[г 6г\ йг)\ 20
После деления на г и интегрирования приходим <к
уравнению:
±±(г-*".) = ЛИ +А11пг + Аш.
Еще раз умножаем на г и интегрируем; с учетом
Г г 1п гдг = — 1п г——
^ 2 4
■получаем уравнение первого порядка, т. е.:
&г 160 Ч 2 4 / 2 2 ^
Бго решение находим в результате деления на г и
интегрирования
^) = ^Г + ^(^Г-Г^)+А2^ + А31пг + А,.
640 4 4
Переобозначив «константы интегрирования А4 = Си А2~А\ =
— 4С2, Лз = С3, А\1А = Са> окончательно получим
ш(,г)|=|С1+'С2Г2+Сз1пг+С4г21п.г+/7оГ4/64/). (13.51)
237

ж
Решение 1Юо,(г),==С\+С2г2+Сз\пг+Саг2\пг есть общее
решение однородного уравнения, а
Шл1(,г)=р0г4/641О (43.52)
имеет омысл частного решения 013.50), оно получено для
случая равномерно распределенной нагрузки р0'=соп51. В
общем случае .произвольной функции частное решение
находится -путем 'четырехкратного последовательного интегрирования
■«-■И-НИМ^И*)*- <13Я)
Постоянные интегрирования в решении '(113.51)
определяются из граничных «условий при г=г\ и г=г2у причем на
каждой кромке должны удовлетворяться два условия.
Особенностью круговых пластин, для которых г 1 = 0, является
неограниченное возрастание решения ('13.51) при г-Ц),
связанное е особенностью функции 1пг при- г->0. В окрестности
точки г=0 функция 1п>г ведет себя как г*1. Следовательно,
из условия ограниченности перемещения при г->0 следует
положить С3*=0. Дополнительное условие получим из
анализа поведения поперечной силы -в окрестности точки г=0.
Подставив (113.51) в третью формулу ('13.48), получим*
<2+(гу=4ЯСл1г+рог12.
(13.54)
Расомотрим сечение пластины цилиндрической поверхностью
г='соп51 (рис. ТЗЛО,а). Из усло'вия равновесия элемента
получим
р0яг2-Ч>г2яг=0. (13.55)
Сравнивая |((Г3.54) и (113.Й5), получаем, что С4 = 0. Если в
центре пластины приложена сосредоточенная сила Р (рис.
13.10,6), то уравнение равновесия (|13.>55) примет вид:
р0ты2-\1Р—;(&2кг = 0.
^рппдк
а)
Ю
Рис. 13.10
238

Подставляя выражение (13.54), имеем С4 = Р/8я/). Таким
образом, для круговой пластины решение имеет вид:
(13.56)
Рг2
и>(г) = Сг+С2г* + ^-1пг + щ(г).
Для кольцевых пластин решение удобнее искать в форме
т (р).=.С1+€2р2+'Сз 1п р+С4р21п.р+1Ш* (р) (-13.57)
функции от безразмерного радиуса р=г/ги или р=\г/г2. При
этом упрощается процедура нахождения постоянных
интегрирования из граничных условий.
Е'сли на 'кольцевую или круговую пластину действуют
различные нагрузки, или она имеет различную жесткость на
отдельных уча'стках, то решение ищется раздельно на
каждом из участков. Постоянные интегрирования находятся из
граничных условий и дополнительных условий, т. е. условий
стыковки решений на границах участков. Например, для
кольцевой пластины, шарнирно опертой то радиусу г2,
нагруженной во внутренней области распределенной нагрузкой р0,
а .по внешнему .контуру нагрузкой ц (рис. 13.11), решение
ищется в виде:
т(г) = сг + с2 (-^)2 + а3\п^ +
\ Г2 I Г2
+С-Ш
Го.
АГ
640
{г$\г19г%]\
щ
(г)=^1 + Д2^)2+Оз1п- + 04(-)21п-(г6[г2,г31).
\Г2 ) Го \г2) г2
Восемь постоянных интегрирования находятся из граничных
условий
2*
У////////////Л
1
Г-1
ж
У////////////
г2
®
Рис. 13.11
239

АГгО)(г,)=0, (2^(^=0,
А*г<2>(г8)=0, С)гЩъ)=д
•и условий стыковки решений при г=1Г2
^1|('/'2)| = 0, •йУ2|(|/'2)=0,
дщ (г)
6г
&Щ (г)\
6г
\г=г2
МгЩг2)=Мг^Цг2).
13.5. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ТОНКОСТЕННЫХ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим оболочки, срединная поверхность которых
является поверхностью вращения, т. е. поверхностью,
полученной )путем ©ращения некоторой плоской кривой ©округ
неподвижной оси. Примем, что нагрузка, действующая на обо-
лотеу, является осеоимметричной. Для тонкостенных
оболочек при выполнении гипотез, 'сформулированных $в раод. 13.1,
задача определения напряжений 'становится одномерной.
Теория оболочек, построенная на предположении, что
напряжения равномерно распределены по ее толщине и,
следовательно, -изгибающие моменты в ее
сечениях равны нулю, называется
безмоментной.
Двумя (парами
меридиональных сечений плоскостями,
проходящими через ось вращения, и
нормальных конических сечений,
составляющих с меридианом в
данной точке прямой угол,
выделим из оболочки толщиной к
элемент с размерами с!5т и с15е
(рис. «ГЗЛ2). Здесь Сш — центр
кривизны меридиана в данной
точке; рт=>РСт — радиус
кривизны меридиана срединной
поверхности; ре = ЕСВ — радиус
кривизны нормального сечения;
р — давление, вызываемое
внешней нагрузкой. Выделенный
элемент не испытывает сдвигов и,
следовательно,, площадки, по ко-
Рис. 13.12
240

Рис. 13.13
торым действуют меридиональные <зт окружные >ае
на/пряжения, являются главными.
Рассмотрим равновесие элемента оболочки; для
наглядности покажем две проекции (рис. 13.13). Проектируя все
силы на направление нормали к срединной поверхности
оболочки, получаем:
2а?п/к15в51П (йат/2) +2сгвАс1'5т31П (с1ав/2) —
—/?с!5т(15в = 0. (13.58)
Разделив каждое слагаемое на Й5тй5е ('площадь элемента),
и учитывая, что углы йат и с1ае малы
51П
6ап
6ат . <*ае <*ае
2 ' 2 2
получаем
Так как
Н\о„
дссп
68п
+ о9-
9т
*8а
Л—Р=0,
16—'1741
241

то окончательно уравнение
равновесия записывается в виде
<3т
Рт
(13.59)
Рис. 13.14
которое называется уравнением
Лапласа.
Уравнение (13.59) содержит
две неизвестные величины: ат
и ае. Таким образом, для
нахождения напряжений
необходимо составить дополнительно
еще одно уравнение равновесия.
Для этого, используя метод
сечений, рассмотрим равновесие
части оболочки (22=0), выделенной коническим сечением
(рис. 13.14):
сг?п2яг/1-со5а—Р = 0.
Здесь Р — равнодействующая внешних сил, приложенных к
рассматриваемой части оболочки (включая опорные
реакции); а — угол между направлением действия
меридиональных напряжений ат и осью Ог\ г — текущее значение
радиуса срединной поверхности оболочки. Из уравнения
равновесия для меридиональных напряжений ат получаем:
от=Р/2лгксо$а.
(13.60)
В частном случае сферической оболочки, нагруженной
газовым да-влением, у которой рт=.ре = /?, где Я — радиус
срединной поверхности, в силу центральной симметрии
напряжения ат и сте равны и тогда непосредственно из (13.59)
получаем:
ат=ае=рЯ/2Н. (-13.61)
Вычисление равнодействующей внешних сил при:
а) газовом давлении. Для этого 'проводим
нормальное коническое сечение и используем «принцип отвердения»
(газ остается в отсеченной части оболочки); из уравнения
равновесия статики (2г = 0) для равнодействующей Р
имеем: Р=Р1-\-р0лг2. Здесь р0 — давление газа, Р{ —
собственный вес отсеченной части оболочки. Величиной Р\ для
тонкостенных оболочек обычно пренебрегают;
242-

б) гидростатическом давлении. Если оболочка
заполнена жидкостью с -плотностью р, то для
равнодействующей имеем: Р=Р{-{-р§Нпг2+р§У, где Я —уровень
жидкости, V — объем отсеченной части оболочки;
в) совместном действии гидростатического
и газового давлений. В этом случае равнодействующая
внешних сил определяется как комбинация предыдущих
результатов:
Р=Р1+(р0+1ргг11)пг>+рёУ. (13.62)
Особенности применения критериев прочности к расчету
тонкостенных оболочек вращения. Для безмоментных
оболочек напряженное состояние можно рассматривать как
плоское. Действительно, минимальное главное напряжение Оз=
= —р, а из уравнения Лапласа следует, что напряжения ат
и Ов имеют порядок рК/к. Учитывая, что к/Я<€.1
(тонкостенные оболочки), имеем: стт>р, Ов^р и величиной Ог=— р по
сравнению с главными напряжениями в\ и а2 можно
пренебречь.
Тогда, например, по критерию текучести Треска—Сен-Ве-
нана для оЭКв имеем:
аэкв = <*1 — <*3 ~ а1 — {
1 а9, при (У9 > ат.
13.6. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КРУГОВОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку
толщиной к и радиусом срединной поверхности К (рис. 13.15).
Положение точек оболочки на срединной поверхности будем
определять координатой х вдоль образующей и криволинейной
Рис. 13.15

координатой у=Кд в окружном направлении; координата
г направлена по 'нормали к срединной поверхности.
Пусть оболочка находится в условиях осесимметричного
налружения нормальным давлением р(х) в стационарном
температурном июле Т<(х, г). Кроме того, в /Продольном
(направлении на оболочку действует растягивающее усилие
Л^=соп51;.
В случае осесимметричного закрепления оболочки при
указанном (выше малружении ©ое 'внутренние силовые
факторы, напряжения и деформации зависят только от
координаты х. Напряженное состояние оболочки описывается
тензором напряжений
/Ч о ххг\
а= 0 а, О
\ъ о о/
и задача определения напряженно-деформированного
состояния является осесимметричной и одномерной.
Вывод уравнений равновесия. Рассмотрим равновесие
элемента оболочки размерами Ах, Ау=ЯАв, выделенного в
окрестности некоторой точки (рис. 13.16). На рисунке показано
положительное направление внутренних силовых факторов,
где Ых — продольное усилие, Ыу — окружное усилие, Мх —
изгибающий момент в направлении координаты х, Му —
изгибающий момент в /направлении у, ф — поперечная сила.
Все внутренние силовые факторы являются погонными, т. е.
отнесенными к единице длины.
Рис. 13.16
244

Запишем уравнение равновесия для элемента (2л:=0):
откуда получаем
а#*=о, (1з.бз)
т. е. при действии только нормальной нагрузки продольное
усилие Л^=сопз1; не меняется по длине и определяется
условиями закрепления оболочки или нагружением на ее
краях. Проектируя все силы на направление нормали к
срединной поверхности (22=0), получаем:
рШу^Ау—№+&<}) йу—2Ы„йх&\п{дв/-2)=0.
Учитывая, что зт ((10/2)« ((19/2)= йу/2Я, приходим к
уравнению
6х
Ыу _
(13.64)
Третье уравнение равновесия получаем, используя условие
2т*-Л'=0:
Мх Ау - (Мх + АМХ) йу + Ц&удх +
+ рйхйу ^ - 2Л^бх зт -^- -^- = 0.
Отбрасывая слагаемые более высокого порядка малости,
получаем
их
= С1.
(13.65)
Рис. 13.17
245

Рис. 13.18 Рис. 13.19
Остальные уравнения равновесия статики обращаются в
тождества. Поскольку уравнения (13.63)... (13.65) содержат
неизвестные силовые факторы Ых, Му, (2, Мх, Му, их
определение является задачей статически неопределимой, поэтому для
ее решения необходимо рассмотреть деформации оболочки.
Обозначим через т (х) — перемещения точек срединной
поверхности оболочки по оси г (нормальный прогиб
оболочки); и(х) —перемещения точек срединной поверхности
оболочки по оси х\ ф(х)=с1г0/с1х — улол поворота нормали к
срединной поверхности (рис. 13.17). Тогда
с!а—гс1ф йи с1ср &и (I2 т по аа\
гх = 3- = г —— = г (13.66)
6х (1а: Ах дх (к2
деформация в продольном направлении (рис. 13.18), а
(д+ш)ае-и8 _ш__ (1367)
у /гае /г к '
в окружном направлении (рис. 13.19).
Связь между внутренними силовыми факторами и
нормальным прогибом. Залишем обобщенный закон Гука с
учетом температурного поля Т(х, г) (соотношения Дюамеля—
Неймана):
*х = ±.(ах-фу)+*Т, е^-^К-^ + аГ. (13,68)
Здесь учтено, что а2=0, т. е. используется гипотеза о нена-
давливании слоев (см. 13.1); а — коэффициент
температурного расширения материала оболочки. Обратные (13.68)
соотношения имеют вид:
246

Рис. 13.20
1-ц.2
■[в, + |1е, —(1+|»)аТ] =
—^г^_г^+^_(1+|1)а:г-1 (13.69)
»» = : г1е* + |*вх —(1 +^)аЛ =
1—Ц
Е \т .
Аи с12 т
их
ск2
(1+(х)аГ].
Рассмотрим интегральное представление внутренних
силовых факторов (рис. 13.20):
Л/2 Л/2
—Л/2
Л/2
—Л/2
(13.70)
Л/2
Мх = — Г а* гёг, М^ = — Г а^ гйг.
-Л/2 -Л/2
Подставляя в (13.70) напряжения <ах .и ст^ в виде (13.69),
после интегрирования получаем:
"-■^[■г-+'т-<,+»4
^-Т^[т+"17-(,+'"4 (,3'71)
247

где И — цилиндрическая жёсткость (13.14), ет, хт —
обобщенные температурные деформации — деформация срединной
поверхности и кривизна образующей соответственно:
Л/2 Л/2
ет= — Г а7Мг, хт=— Г аТгбг. (13.72)
н ^ лз ^
-Л/2 -Л/2
В выражения для Ых и #у входит величина = е0 (дефор-
мация срединной поверхности), обусловленная условиям-и
закрепления на краях оболочки. Исключим величину ео из этих
выражений, выразив Ыу через Ых:
*у
-Р»х=^[^1-\*)-{1 +\>)(1-*)ч]=Ен(±-гту,
тогда
Ыу = Ек(^--г^ + рЫх. (13.73)
Поперечная -сила (2 также может быть выражена через
нормальный прогиб, если в (13.65) .подставить Мх из (13.71):
«-^[-гг+о+й-^-]- <13-™>
Уравнения равновесия цилиндрической оболочки в
перемещениях. Подставим выражения для Ыу к С} из (13.73) и
(13.44) в уравнение равновесия (13.64) 1—-=/?, тогда
в[^+<«+^]+^(т-5+"^
Вводя обозначение
4кА=ЕН/ОЯ2=12{1—1,12)/Н2Н21 (13.75)
получаем
^ + 4»» = ±(р-^) + 4»1Ъ-(1+*)^- (13.76)
Уравнение (13.76) является уравнением равновесия круговой
цилиндрической оболочки, находящейся под действием осе-
248

симметричной внешней нагрузки и осесимметрнчмого
температурного поля.
Интегрирование дифференциального уравнения осесиммет-
ричной деформации круговой цилиндрической оболочки.
Решение (13.76) имеет вид:
о;(^)=о;о(^)+^+ = Шо(^)+а;*р+ш*в+ш*х, (13.77)
где щ(х) —общее решение соответствующего (13.76)
однородного уравнения, ау*р — частное решение неоднородного
уравнения, определяемое внешними нагрузками; так если
р(х) —полином не старше третьей степени, то
т
*р
%{>->*} ^
ти*г — частное решение, соответствующее температурным
деформациям 8Т срединной 'поверхности:
я>*е=Яет, (13.79)
до**— частное решение, соответствующее изгибным
температурным деформациям:
4к* дх2
В случае, если хт не зависит от координаты х или зависит
от нее линейно, частное решен-ие до*н=0. Общее решение
щ(х) однородного уравнения запишем в виде:
щ(х) = С1е-кхсо$кх+С2е-кх$\пкх-\-
+Сгекхсозкх+С^кхз\пкх, (13.81)
где к определяется из (13.75):
к =^3(1— р2)/УШ. (13.82)
Выясним физический смысл частного решения до*р+ДО*е.
Для этого определ-им напряжения в оболочке, используя без-
моментную теорию: вт=Мх1к, ав=рК/Н; для деформации ее
в окружном направлении имеем
4 = -тг(^в —Н-^ + ет-
Е
Найдем ттрогиб го оболочки:
5=*-=-К^->*)+*-1Н^)+'*
249

сравнивая выражение для тс (13.78) и (13.79), видим, что
частное решение ау*р+до*8 есть прогиб оболочки,
определяемый по безмо'ментной теории.
Окончательно для решения уравнения осеоимметричной
деформации круговой цилиндрической о'болочки получаем:
ш (х)—Схъ-кчо,о$кх+С2Ъ-кх$\пкх+С&кхсо$кх+
+С4ел*81пА*+а>*р+а;.в+«;**. (13.83)
Постоянные интегрирования Си С2, С3> С4, входящие в
решение (13.83), определяются из граничных условий, когда край
оболочки:
шарнир но оперт
ю = 0, ^ = _(1+^)хт; (13.84)
жестко закреплен
ш = 0, -^=0; (13.85)
дх
не закреплен и загружен моментом т и «поперечной
нагрузкой цч распределенными по торцу оболочки
б2 и) /1 . \ | /и с!3ш /л , \ сЫт , я по оа\
1?- = -<1+й*г+-5-. 1?-—0+^)^+Т1 03.86)
свободен
(I2 ПУ /1 . \ <*3^ /1 I \ С^Т /Ю 07\
— = -(1 + ,)хТ1 _ = -(!+,)_. (13.87)
Выразим напряжения через внутренние силовые факторы.
В формуле для напряжений о* (13.69) выделим слагаемые,
определяемые продольным усилием Ых и изгибающим
моментом Мх:
0| = 1А[А + 11^(1+|1)вт] + ^(1+йвг-
* н 1-^л2 [их ^ К V ] 1-Й-2
12 ЕЛ3 Гс12иу . м . ч 1 ,
газ 12(1-Ц2)[с1;с2 ^Ч ^Г/ Т.Г
' ^ (1+^)^-7-^(1+^)^.
1-ц2 У ' ' ' 1— ц2
Учитывая выражения для Ых и Мх. через перемещения,
для напряжений ах получаем:
250

а, =
Ы*
ХШ*.г + .
/з-1 -(вт + гхт-аТ). (13.88)
к к3 1— \л
Аналогично может быть получена формула для
напряжений ау:
у к*
\2Ми
Аз
г Л
1-|1
(ет + гхт--а7). (13.89)
Если оболочка находится под действием только
нормального давления р(х)у то из (13.88) и (13.89) для
напряжений Ох и оу имеем
N.
\2МК
_ Л^ 12Му
А3
2,
(13.90)
откуда следует, что напряжения ох и ау меняются по
толщине оболочки по линейному закону и достигают максимальных
значений у ее поверхности при 2=±Л/<2:
(13.91)
шах __ Ых , бЛ^
к к2
тах __ Ыу , 6Мц
т\п^у'
13.7. КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В КРУГОВОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ
В ряде случаев напряженное состояние в оболочке
может быть разделено на основное напряженное состояние .и
краевой эффект, возникающий в'близи 'краев оболочки или в
местах резкого изменения ее геометрии и нагрузок.
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку,
защемленную -по краям, нагруженную внутренним нормальным
давлением р(х) и находящуюся в стационарном осесимметрич-
ном температурном поле Т(х, г). Осесимметричная
деформация оболочки описывается уравнением (13.76). Вблизи краев
Рис. 13.21
251

л;=0, х=1 оболочка работает преимущественно йа изгиб
(рис. 13.21); влияние краев оболочки на напряженное
состояние в средней ее части, которое близко к безмоментному,
мало.
Местный .изгиб, возникающий в результате закрепления
краев оболочки, резкого изменения ее размеров »и формы, а
также в областях приложения сосредоточенных нагрузок,
называется краевым эффектом.
Определение постоянных интегрирования С\ ... С4 в
решении (13.83) при использовании концепции краевого эффекта
упрощается. Для тонкостенных оболочек с Н1Я<С\ в связи с
быстрым изменением функции е±кх «изгибные» члены в
решении (13.83) (С1)3е±/1Л:со5&х, С2Ае±кх5\пкх) дают существенный
вклад в т(х) только ,в зоне краевого эффекта,
протяженность которой оценивается величиной Х—п/к, где К — длина
полуволны краевого эффекта; при изменении х от 0 до X
функция е~кх уменьшается в ел^23 раза.
Оценим длину полуволны краевого эффекта, определяя к
формулой (13.82) и принимая |ц=0,3:
X = к/к = 1с/ЛА/|/"3(1—11»)« 2,45 УШ. (13.92)
Например, для оболочки толщиной /1 = 0,1 /? формула (13.92)
дает Я»0,8/?. Таким образом, если длина цилиндрической
части оболочки удовлетворяет условию /^Я, то оболочку
можно рассматривать как бесконечную, а в решении т(х)
положить С3=0, С4=0 из требования ограниченности
решения при л:->оо (х>0). Тогда вблизи края х=0 для х>0
решение, основанное на затухании краевого эффекта,
имеет вид:
т (х) =С1е-кхсо$кх+С2е-кхзткх+т^р+хй)ке+х0^ (13.93)
ГЛАВА 14
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ
И ВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ
14.1. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ
ЦИЛИНДРОВ. ЗАДАЧА ЛАМЕ
Рассмотрим тела вращения, нагруженные силами,
симметричными относительно оси тела. Такие расчетные схемы
262

Рис. 14.1
характерны для трубопроводов, цилиндрических сосудов
высокого давления, дисков турбин, валов и втулок при
наличии прессовых посадок и др. Будем использовать
цилиндрическую систему координат г, 0, г. При совмещении оси Ог с
осью тела вращения 'напряжения, деформации «и перемещения
тела (в силу геометрической симметрии и симметрии
нагрузки) от угла в зависеть не будут.
Осесимметри-чная задача, в которой напряжения и
деформации не зависят от координаты г и 0 и, следовательно,
являются только функциями координаты г, называется
плоской осесимметричной задачей теории упругости. При решен.ии
этой задачи применяем обычные гипотезы механики
материалов и конструкций (материал сплошной, однородный,
изотропный и линейно-упругий; деформации малы).
Специальных гипотез о характере распределения напряжений и
деформаций принимать не будем.
Рассмотрим открытый толстостенный цилиндр (рис. 14.1, а),
находящийся под действием внутреннего давления р{ и
внешнего давления р2. Выделим элементарный участок Аг в этом
цилиндре (рис. 14.1,6). Поверхности диска, ограниченные
сечениями пг—пг и п—п свободны от напряжений, т. е. ог=0,
Тг2=0, тег=0. Так ка-к толщина диска мала, а напряжения
меняются непрерывно, то можно считать, что и во всех
точках поперечных сечений диска напряжения <аг, хгг и те2
пренебрежимо малы. Таким образом в точках диска имеет
место плоское напряженное состояние. Давления рх и р2
приводят к возникновению в каждой точке диска окружных
(кольцевых) напряжений а& и радиальных напряжений аг. Напря-
250

Рис. 14.2
жения Ог и ае, действующие на элемент АВСО,
расположенный на расстоянии г от центра диска, показаны на рис. 14.1 б
и рис. 14.2. Элемент АВСО .получен двумя концентрическими
цилиндрическими поверхностями, находящимися друг от
друга на расстоянии Аг и двумя радиальными сечениями,
образующими между собой угол (18. В силу осевой симметрии
деформированного состояния диска на площадках, по
которым действуют напряжения аг и ае, касательные
напряжения отсутствуют, поэто'му эти напряжения являются
главными.
Составим уравнение равновесия для элемента АВСО.
Суммирование всех сил, действующих на элемент в радиальном
направлении, приводит к уравнению:
(аг+йаг) (г+йг)Шг—оггШг—2ое(1г(1г&т(д1д/2) = 0. (14.1)
Принимая для малых углов зт (сЮ/й) «(10/2, и пренебрегая
бесконечно малыми более высокого порядка, получаем
уравнение равновесия в напряжениях
Л^ + Ч^а^О. (14.2)
дг г
Остальные уравнения равновесия для элемента обращаются
в тождества. Уравнение (14.2) содержит две неизвестные
функции вг{г) и Св(г), следовательно, задача является стати-
254

чески неопределимой и для ее решения необходимо
обратиться к рассмотрению деформаций.
Деформации в радиальном и окружном направлениях.
Обозначим перемещение точек диска в радиальном
направлении через и (рис. 14.2). Примем, что и -положительно, если
перемещение направлено от центра диска. Относительная
линейная деформация в радиальном направлении:
А' В'—АВ &и ,АЛ оч
*= ав =!Г (14-3)
а в окружном направлении —
ее= (Л'Я'—АВ)АВ = и\г. (14.4)
Если исключить из (14.3) и (14.4) радиальное перемещение
и (г), то получим уравнение совместности деформаций
-А(евг)-е,=0. (14.5)
аг
Уравнение равновесия в перемещениях. Исключим из
уравнения (14.2) напряжения. Для этого в формулы
обобщенного закона Гука для плоского напряженного состояния
р р
аг = —г(бг + 1хе9), ав = —^-(ев + ре,) (14.6)
вместо деформаций ег, ее подставим их выражения через
перемещения (14.3) и (14.4), тогда
Е Г ди . и 1 Е Г и , 6и 1 71 . ~ч
в' = 1=^|1Г + ,1т} а> = 7^|т + ,11г} (14'7)
Подставляя напряжения аг, (Те в виде (14.7) в (14.2),
получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка
относительно перемещений и (г) (уравнение равновесия в
перемещениях)
аг2 г 6г г2
которое можно записать в виде, удобном для
интегрирования, следующим образом:
■^[-г-гН-0- <|4-9)
Решение уравнения (14.9)
и(г)=С{г+С2/г (14.10)
содержит дв'е постоянные интегрирования Сх и С2,
определяемые из граничных условий:
255

Ог(гг)=—р, ог(г2)=—р2, (14.11)
представляющих собой уравнения равновесия для
элементарных объемов у внутренней и внешней (Поверхностей диска
соответственно.
После подстановки найденных из граничных условий ш:
стоянных С\ и С2 в решение (14.10) и (14.7) для
радиального перемещения и(г) и для напряжений аг и (Те получаем:
и(г)== 1-Е Ргг1-Р*г1 1+|1 (Р1-р2)г1г\^
К } Е г\-+1 ^ Е г\-г\ г К }
_ РгЛ-РгЛ -р (Р1—Ръ)г\т\ 1
г2 г2 ' г2_
'2""#1 '2
г» га
(14.13)
Формулы (14.12) и (14.13) называются формулами Ламе
(1795—1871).
Расчет открытого цилиндра. В этом случае (продольные
напряжения аг равны нулю; для деформаций е2 имеем:
С ^ ^2 ^1
т. е. все сечения цилиндра после деформации остаются
плоскими. Радиальные и окружные напряжения вычисляются по
второй формуле Ла'ме (14.13).
Расчет закрытого цилиндра. Предположим, что
напряжения аг одинаковы для всех сечений, достаточно удаленных
от краев цилиндра. Уравнение равновесия для отсеченной
части цилиндра
ТС (Г22—Г{2)Ог+ПГ22р2—ПГ12р1 = 0
приводит к формуле
аг = К'1-р*г1 = сопз*. (14.14)
Таким образом, для закрытого цилиндра вгф0 и
напряженное состояние является объемным.
Вычисляя деформацию е2 в продольном направлении,
ч = ■!■ [а, - 1л (а, 4- а,)] = 1=31.* ']-* '* = сопз*.
убеждаемся, что сечения остаются плоскими, но цилиндр в
осевом направлении получает удлинение (укорочение).
Напряжения аг и ое вычисляются по формуле (14.13) и наличие
напряжения <у2 не оказывает влияния на их величину.
256

Рис. 14.3
Следует отметить, что сумма радиальных и окружных
напряжений для всех точек как открытого, так и закрытого
цилиндров — величина постоянная: аг+1СГе = соп51.
Цилиндр под действием внутреннего давления. В этом
случае р\=р, /?2=0 и по формулам (14.13), (14.14) для
напряжений аг, (То и о2 имеем:
Г Н т\-т\ \ г* У г\-г\ V г» У
(14.15)
Распределение напряжений по радиусу цилиндра приведено
на рис. 14.3. Опасные точки находятся на внутренней
поверхности цилиндра, где
А =0,.
Г О. ?а ?о Г-
В этих точках эквивалентные напряжения, вычисляемые по
различным критериям прочности, достигают своих
максимальных значений. Так, по критерию Треска—Сен-Венана
тахаЭкв=а1—а3=2рг12/(г22—Г!2),
по критерию Губера—Мизеса
шах аэкв=]/о|+а!-[-о| —(а1а2+а2а3 + а1а3) =
(14.16)
17—1:741
257

Рис. 14.4
• Кз
(\-г\1г\)
(14.17)
Примечание. Из условия прочности тах 0экв^ [о] по критерию
(14.17) получаем
2
2 __
2
1
1
1-р/3/[а]
откуда следует, что при /?=[а]/уЗ отношение г2//*1 обращается в
бесконечность, а при р>[а]/УЗ эквивалентное напряжение во внутренних
точках цилиндра будет больше допускаемого напряжения при сколь угод-^
но большой толщине стенки. Если давление превысит величину рт=сгт/КЗ,
то во внутренних точках возникает пластическая деформация. Этот факт
не означает, однако, что при больших давлениях обеспечить прочность
цилиндра вообще невозможно. Предельное состояние для всего цилиндра
наступит тогда, когда пластические деформации распространяются на всю
толщину.
Цилиндр под действием внешнего давления. В этом
случае /?1 = 0, р2=Р и для напряжений аг, ое и сг2 имеем:
.= —/>■
П—г
%{\~г\1г\ (те =
•0 + /1/Г2),
(14.18)
соответствующие эпюры приведены на р.ис. 14.4.
Опасными, как и в предыдущем случае, являются внутренние точки
•цилиндра. При уменьшении диаметра внутреннего отверстия
цилиндра (г!-^0) окружные напряжения на наружной по-
258

верхности стремятся к величине —р, на внутренней
поверхности — к величине —2р.
Примечание. Для сплошного цилиндра, нагруженного внешним
давлением, окружные напряжения одинаковы и равны —/?. Таким образом
вблизи малого центрального отверстия окружные напряжения
возрастают вдвое, что является следствием концентрации напряжений.
Если внешнее и внутреннее давления в цилиндре одинаковы (Р1=р,
Р2=р), то о> = —/?, о0=—р, Ог = —р, т. е. все напряжения равны между
собой и не зависят ни от текущего радиуса г, ни от отношения
радиусов п/г2.
Частный случай. Тонкостенный цилиндрический сосуд под
внутренним давлением. Пусть толщина б стенки цилиндра
мала, так что 6<^гь тогда из (14.13), (14.14) для
напряжений аг, а8 и о2 следует:
*9 = /?-^, ^=/>-^г> °г(г1) = -Р, аг(г,) = 0. (14.19)
Формулы (14.19) называются формулами Мариотта, из
которых следует, что окружные напряжения а0 вдвое больше а2,
а радиальные <зг малы ж> сравнению с ое, т. «к. \ог/о&~8/г.
Формулами Мариотта можно пользоваться при 6/г^0,1;
погрешность при вычислении эквивалентного 'напряжения не
превышает 5%.
Приведем без вывода формулы для напряжений ог и ое в
толстостенном сферическом сосуде, нагруженном внутренним
Р\ и внешним давлением р2:
= Р1Г1-РШГ* _ } _Г\Г1_ _^ ^^ 2())
Г2 Г1 Г2 Г1 Г
0е = Рг'1~Р*г1 + {р } А±А-. (14.21)
Г| —Л? /2~~/1 2г
14.2. СОСТАВНЫЕ ЦИЛИНДРЫ
Как отмечалось выше, увеличение толщины стенки
цилиндра не может во всех случаях обеспечить необходимую
прочность конструкции. В условиях высоких давлений
применяются составные цилиндры, соединяемые прессовой или
горячей посадкой.
Найдем напряжения, возникающие при посадке одного
цилиндра на другой с натягом Д (рис. 14.5), где гх и г2+
+А/2 — радиусы внутреннего цилиндра, г2 и г3 радиусы
наружного цилиндра, / — длина цилиндров. Пусть цилиндры
изготовлены из различных материалов (^ь \х\ 'И Е2, \ь2— моду-
17*
259

Рис. 14.5
ли упругости и коэффициенты Пуассона внутреннего и
наружного цилиндров соответственно).
Бели длины соединяемых цилиндров одинаковы, то
контактное давление ри равномерно распределено по
посадочной поверхности и его определяют из уравнения
совместимости деформаций. Сумма абсолютных значений перемещений
обоих цилиндров в радиальном направлении, вызванных
контактным давлением, равна разности радиусов посадочных
поверхностей до их соединения:
|и1| + |и2|=Д/2. (14.22)
Воспользовавшись (14.15), подставив в них, р=рк, Г\-+*ъ
гт+гъ и г-и-2, найдем для наружного цилиндра напряжения
на посадочной поверхности:
°г = — Рк> ао=^~±~, а2 = 0.
Величину а2=62^*2 вычисляем с использованием обобщенного
закона Гука:
Щ —КаЬ—Наг)= —~ ("Г 2 + х2 •
Е2 Е2 Чг| — г! )
Аналогично, обозначив р = рк и г=г2, в (14.18), для
внутреннего цилиндра найдем напряжения
и радиальное перемещение
260

Подставляя выражения для Ы\ й и2 в уравнение совместности
деформаций (14.22), для контактного давления рк получаем:
Для частного случая, когда внутренний и внешний цилиндры
изготовлены из одинакового материала [ЕХ=Е^=Е, \\,х =
=1|х2=|ы), формула (14.23) принимает ©ид:
Л^ \г\+г1 г1+гП-1
Таким образом, в результате посадки одного цилиндра
на другой внутренний цилиндр оказался нагружен внешним
давлением рь, а наружный — таким же по величине
внутренним давлением /?&. Если такой составной цилиндр нагрузить
внутренним рабочим давлением, то он будет
деформироваться ка« единое целое и напряжения в нем определяются по
(14.15). Эти напряжения должны быть алгебраически
просуммированы с напряжениями, вызванными контактными
давлениями ри. Во внутренних, наиболее напряженных
точках цилиндров напряжения а0 от рабочего давления и
давления рк имеют разные знаки, поэтому суммарные
напряжения снижаются и составной цилиндр может выдержать
большие давления, чем сплошной.
Из условия .равнопрочное™ цилиндров, «которое
заключается в равенстве эквивалентных напряжений в опасных
точках, может быть найдена соответствующая величина
натяга А:
Д =^ '»'ва(г§-1) (14.25)
в г\ (г1-г\)+г1 (г\-г1)
Эквивалентные напряжения минимальны при
г2=у77з; (14.26)
условие (14.26) называется условием Гадолина.
14.3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРАХ
При наличии неравномерного по толщине температурного
поля в цилиндре возникают температурные напряжения.
Предположим, что температурное поле Т(г) является осе-
симметричным и стационарным (температура во времени
постоянна) .
261

Формулы обобщенного закона Гука с учетом
температурного расширения имеют вид:
ег= {{<Тг—11 (<Те+а2) ]/Е) +аТ (г),
ге={[ов—р(ог+о*)]/Е}+аЩг)% (14.27)
б2={[а2—|х(сгг+ав)]/5}+а7,(г)=сопз1.
Деформация гг в продольном направлении постоянна для
открытого и закрытого цилиндров. Радиальные аг и окружные
Се напряжения удовлетворяют уравнению равновесия (14.2),
а деформации гг и ее выражаются через радиальные
перемещения— формулы (14.3), (14.4) соответственно. Используя
(14.2) ...(14.4) и выражения для напряжений через
деформации, обратные (14.27), получим уравнение равновесия в
перемещениях с учетом температурного поля Т(г):
^ + ±^_^вН^ат. (14.28)
(1г2 г Аг г* 1-11 6г '
Решение этого уравнения имеет вид:
г
и(г)==С1г + С,^ + ±-|±^аГг(р)раР| (14.29)
г г 1—р, ^
где постоянные интегрирования С\ и С2 находятся из
граничных условий на внутренней и наружной поверхности
цилиндра:
<уг(г\)=0, аг(г2)=0,
т. е. предполагается, что поверхности цилиндра свободны от
напряжений. Кроме того, для определения неизвестной
деформации е2 в продольном направлении будем считать, что
расширение цилиндра в продольно-м направлении не
стеснено. Тогда для любого сечения продольное усилие Ыг равно
нулю
2тсг8
л/г = | ^ вжатие = о,
о >»
откуда после подстановки а2, определяемого формулой
(14.27), находится деформация е2. Вычисления, аналогичные
проведенным в разд. 14.1, дают для напряжений аг, ае и ог2
следующие формулы:
262

а^^\^\т^^+^^]Т{г)гйг-аТ{г)] (14-30)
I- г* -■
<**=*
Рассмотрим «екоторые частные случай.
Линейный закон изменения температуры по толщине
стенки цилиндра. В этом случае
Г(г) = Г,-7'о(г-г1)/(га-г,),
(14.31)
где Т$=Т\—Г2, Т\ и Т2 — температура на внутренней и
наружной поверхности цилиндра соответственно. Выражения
(14.30) для напряжений ог, ае, с»2 дают следующие
формулы:
л _ &хГ0
а9 =
3(1—[X) (/-2 — ^1)
ЕаТ0
ЗО-Ю^-Г!)
['-4-М)83)]-
ЯаГ0
ЗО-Й^-Гх)
I г\-г\\
Логарифмический закон изменения температуры по
толщине стенки цилиндра. Изменение температуры Т(г) по
толщине стенки цилиндра -в форме
ГМ-Гх-То
1п (г/г,)
1п (Г2/Г1>
(14.33)
представляет со'бой точное решение задачи теплопроводности
при стационарном тепловом .режиме. В этом «случае
напряжения вычисляются по формулам:
263

з,= -
ЕаТ0
.Г,пД+_±_/1_Л.\1„Л.1.
I г ^ г\-т\ \ г*) гА
2(1-ц)1п(г2/л1)
^о Г1-ЩА-
2(1-Ю1п(г2/гг) |. г
— [1— 21П-&-— 2-^-1п-^-1-
ЕаТп
При положительном перепаде температур (Г^Гг)
опасными являются точки на внутренней поверхности цилиндра.
Примечание. Формулы (14.32), (14.34) справедливы для сечений,
удаленных от краев цилиндра на расстояние порядка наружного радиуса
и более.
В случае тонкого диска аг = С\, а для о> и о*е (14.34) остаются
справедливыми.
При одновременном нагружении цилиндра внутренним и внешним
давлением (задача Ламе) и неравномерном нагреве для вычисления
суммарных напряжений используется принцип суперпозиции.
При высоких температурах 7\ и Т2 (но при небольшом перепаде), в
(14.32) и (14.34) нужно подставить значения Е и \1, соответствующие
средней температуре стенки цилиндра.
14.4. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ
Рассмотрим тонкий, вращающийся с угловой скоростью
©=сопз1 диск, имеющий плоскость симметрии.
Центробежные силы, действующие на диск, симметричны относительно
оси вращения, а напряженное состояние в точках диска
двухосное; радиальные и окружные напряжения постоянны по
толщине диска. Осевое напряжение ввиду малости толщины
диска а2«0.
Для получения уравнения равновесия элемента диска в
(14.1) необходимо учесть инерционную центробежную силу
(1Р=р02г2с12с1гс19, где р — плотность материала, рс1ггс1гс18 =
=йлъ — масса элемента, со2г=ап — нормальное ускорение.
Тогда уравнение равновесия в напряжениях для
вращающегося диска примет вид:
6<зг
<3Г—(Зй
6г
= — рс«2г. (14.35)
264

После использования обобщенного закона Гука (14.6) й
соотношений для деформаций (14.3) и (14.4), оно приводится
к дифференциальному уравнению второго порядка
относительно радиального перемещения и (г), т. е.:
рш2г. (14.36)
(I/-2 г с1г г2 Я
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
и(г) = С1г + С2±-^9**г\ (14.37)
ад-е ^постоянные интегрирования определяются -из граничных
условий. Например, для свободного диска (не нагруженного
давлениями рх 1И /?2) граничные условия имеют вид:
ог(г,)=0, аг(г2)=0. (14.38)
Определяя постоянные интегрирования С\ и С2, для
перемещений &, вызванных инерционными силами, получаем:
(14.39)
для радиальных а,- и окружных а9 напряжении
соответственно:
;=-Ег.(з+й(п+„-.*1-,.} (]440)
Если вращающийся диск «агружен в точках г=Г\ и г=/*2
давлениями /?1 и /?2, то к инерционным напряжениям (14.40)
необходимо добавить напряжения от давлений р\ и р2,
вычисляемые ото формулам Ламе (14.13).
Практический интерес представляет определение
напряжений во вращающемся диске с внутренним радиусом гх и
наружным г2, посаженйым с натягом До на полный вал,
имеющий внутренний радиус г0; натяг обеспечивает передачу
©ращения от вала к диску (рис. 14.6).
265

«г1
*!*•■
Рис. 14.6
Уравнение совместности деформаций для радиальных
перемещений от контактного давления записывается в виде
где
иАк(г1)—ивк(г1)=Аа/2,
А»—Д0+2ггв (Г1) — 2йА (гг),
(14.41)
(14.42)
Аш — натяг при «вращении вала с угловой скоростью о, ггв и
ггд — инерцион.ные радиальные перемещения для вала и
диска соответственно. Контактное давление между валом и
диском вычисляются по формуле (14.23), которая в
обозначениях данной /задачи имеет вид:
л_ К\ 1 (г\+г1 \ 1 1г\+г\ X]-1
где
2( ЕА
Л
РдО— М-д) Рв(1~М
1г1- Рв(3+^> гй (14.43)
Для сплошного вала г0=0.
266

ГЛАВА 16
УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
15.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПРУГОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ
Выше рассматривались случаи статического внешнего
воздействия на деформируемые системы в линейной
постановке. При этом обнаруживалось единственное положение
равновесия и соответствующее ему распределение
внутренних силовых факторов. Реализуемость положения
равновесия не рассматривалась. Однако три определенных условиях
положение равновесия механической системы может быть не
единственным, необходимо определить, является ли это
положение устойчивым или неустойчивым.
Потеря устойчивости первоначальной формы равновесия
элементов конструкций «может оказаться причиной
исчерпания их несущей способности и в процессе эксплуатации
недопустима. Положение равновесия может быть устойчивым,
безразличным (нейтральным) и неустойчивым.
Проиллюстрируем характер положения равновесия на примере тяжелого
шарика, находящегося на криволинейной поверхности в
потенциальном иоле сил тяжести (рис. 15.1).
Различаем следующие положения равновесия: II, V —
малые возмущающие воздействия вызывают малые отклонения
от положения равновесия; такое положение равновесия
является устойчивым (физически осуществимым); I, IV
—малые возмущения приводят к большим отклонениям от
положения равновесия; такое положение является неустойчивым-,
III — безразличное {нейтральное) положение равновесия.
267

Рис. 15.2
На основании этого примера можно нестрого определить
условие устойчивости форм равновесия системы как свойство
системы мало отклоняться от положения равновесия под
действием малых возмущений. Другое определение условия
устойчивости дается теоремой Лагранжа—Дирихле:
необходимым и достаточным условием устойчивости форм
равновесия систем, -находящихся под действием потенциальных сил,
является достижение потенциальной энергией в этом
положении изолированного минимума.
Частным случаем этой теоремы является принцип
Торичелли, установленный эмпирически. Система, находящаяся в
однородном поле сил тяготения, стремится принять такую
конфигурацию, при которой ее центр масс (точ'ка С) будет
занимать наинизшее лоложение (рис. 15.2). В данном примере
устойчивым является положение, которому соответствует
минимальное значение потенциальной энергии (рис. 15.2,а),
Рис. 15.3
268

неустойчивым — положение, в котором потенциальная
энергия принимает максимальное значение (рис. 15.2,6).
Равновесное состояние деформируемой системы также
может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Так,
при центральном сжатии стерж-ня с прямолинейной осью
монотонно возрастающей силой с фиксированной линией
действия (рис. 15.3,а), характерны следующие ситуации: Я<Р*,
Р=Р* и Р>Р*, где Р* — критическое значение внешней
нагрузки.
Если Р<Р*, то при снятии малых поперечных
возмущений продольная ось стержня стремится вернуться к
исходному прямолинейному положению равновесия.
При Р=Р* возможно множество форм равновесия —
прямолинейная и близкие к ней мало деформированные, что
соответствует безразличному положению равновесия. При этом
исходная прямолинейная форма равновесия стержня
перестает быть устойчивой. Нагрузка Р = Р*, >при которой
прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой,
называется критической.
При Я>Р* прямолинейное -положение оси стержня
статически возможно, но неустойчиво. При малых поперечных
возмущениях продольная ось стержня получает
необратимые поперечные перемещения, устойчивой является
искривленная форма равновесия. Эти равновесные положения,
которые можно получить только при рассмотрении задачи в
нелинейной постановке, иллюстрируются на рис. 15.3,6.
Точка Р=Р*, в которой происходит разветвление форм
равновесия, называется точкой бифуркации. Рассмотренное на
этом примере явление наблюдается и при других видах
деформаций стержней, пластин и оболочек. Например, изгиб
тонкостенных стержней в плоскости наибольшей жесткости
при Я>Р* может
сопровождаться потерей устойчивости плоской
формы изгиба, т. е. изгибом в
плоскости наименьшей
жесткости и кручением стержня (рис.
15.4).
В приведенных примерах
характерным является
несоответствие формы, которую
принимает стержень после потери
устойчивости, 'приложенным силам.
Действительно, в первом приме- Рис. 15.4
269

р\
*
р**
р
/
'
1
1
^ \
\
ч^^
?
/
/'
г
а) и <?; *
Рис. 15.5
ре продольное усилие вызывает сжатие стержня, а его
продольная ось при потере устойчивости искривляется как
при изгибе. Нарушение устойчивости рассмотренного типа
получило название потери устойчивости первого рода.
Другим типом потери устойчивости первоначальной
формы равновесия является потеря устойчивости с переходом к
несмежной форме равновесия. Примером такого типа
потери устойчивости может служить поведение пологой
оболочки под действием силы Р (рис. 15.5,а). При достижении
силой Р критического значения Р* происходит мгновенное про-
щелкивание оболочки — выпуклость ее при этом будет
направлена в сторону, противоположную первоначальному
направлению. Состояние оболочки до .прощелкивания при Р=
=Р* является неустойчивым — малые возмущения приводят
к изменению форм равновесия. После прощелкивания
(штриховая линия на рис. 15.5, а) оболочка принимает устойчивую
форму равновесия. Такой тип потери устойчивости носит
название потери устойчивости второго рода: форма потери
устойчивости соответствует характеру приложенных сил. Если
после перехода системы в новое устойчивое положение
равновесия уменьшать силу Р, то при Р — Р** происходит про-
щелкивание в обратном направлении. Силы Р* и Р**
называются соответственно верхней и нижней критической
силами (рис. 15.5,6).
15.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СЖАТИИ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Найдем условия, при которых решение
дифференциального уравнения изгиба стержня под действием продольного
усилия Р не является единственно возможным, т. е. условия,
при которых наряду с прямолинейной формой равновесия
270

Рис. 15.6
возможно существование смежных искривленных форм
равновесия. Рассмотрим шарнирно-опертый стержень,
находящийся в состоянии безразличного равновесия в
отклоненном от первоначальной прямолинейной формы равновесия
положении (рис. 15.6).
За-ттишем дифференциальное уравнение равновесия в
предположении, что о<С/, (с№/с1;г)2<С1,
Данное уравнение является линеаризированным уравнением
изгиба (см. гл. 6). Кроме того, предположим, что ось нена-
груженного стержня прямолинейна, внешние нагрузки и
реакции опор вплоть до момента потери устойчивости
действуют вдоль этой оси. В этом случае изгибающий момент в
сечении с 'координатой г равен
и уравнение (15.1) принимает вид:
с12у , Р
дг* ЕЗХ
■о = 0.
Вводя обозначение
Ь*=Р/Е1Х9 (15.2)
для уравнения -(15.1) получаем
4^ + 62а = 0. (15.3)
Для шарнирно-опертого стержня при 2=0 и г=1 краевые
условия записываются в виде
о(0)=0, V(/)=0. (15.4)
•Вопрос об устойчивости прямолинейной формы
равновесия сжатого стержня сводится к отысканию наименьшего
собственного значения для дифференциального уравнения (15.3)
271

при линейных однородных краевых условиях (15.4).
Особенностью краевой задачи (15.3), (15.4) является возможность
получения нетривиального решения только при некоторых
определенных значениях параметра нагрузки, являющихся
собственными значениями краевой задачи и имеющих смысл
критических параметров, соответствующих разветвлению
форм равновесия.
Опектр собственных значений и соответствующих ему
собственных функций краевой задачи имеет следующие
свойства: все собственные значения положительны; собственным
значениям соответствуют ортогональные собственные
функции, каждая из которых представляет собой форму
равновесия (устойчивую или неустойчивую).
Тривиальное решение и(2)=0 краевой задачи
соответствует прямолинейной форме равновесия стержня. Нейдем
нетривиальные решения. Решение уравнения (15.3) имеет вид
V (г) =С151ПЙ2+СйС05Й2, (15.5)
где С{ и С2 — постоянные интегрирования, определяемые из
краевых условий (15.4):
так как С\ф$ (С{ — 0 соответствует тривиальному решению),
то получаем характеристическое уравнение
зт6/=0,
откуда следует, что
Ы=\пк (#=11, 2, ...)
и, учитывая обозначение к2=Р/Е1х, для силы Р получаем
/><») = «!^. („=1,2,...), (15.6)
Формула (15.6) носит название формулы Эйлера.
Корни уравнения $'тк1=0 дают те значения силы Р, при
которых существуют формы равновесия стержня с
искривленной осью. Если Р = Ркр(п>, то форма изогнутой оси
стержня с точностью до масштаба (постоянной С\), описывается
функцией
юп (г) =51п (пт/1) (л='1, 2,...); (15.7)
графическая иллюстрация (15.7) приведена на рис. 15.7.
Формула Эйлера (15.6) позволяет найте те значения силы
Р, для которых существуют нетривиальные решения уравне-
272

Рис. 15.7
ния (15.3); эти значения силы называются критическими.
Физический смысл (реальный) имеет первая критическая
сила Ркр(1) (п=1):
ркр<1) = рэ=п2Е1хЦ2ш (15>8)
Под 'критической силой понимают силу, при которой
прямолинейная форма равновесия стержня перестает быть
устойчивой, т. е. если Я = Ркр(»> (л=1,2,...), то возможны
смежные искривленные формы равновесия стержня.
Формулы, полученные выше, не позволяют получить
криволинейные формы равновесия для Р>Рщ>, так (как они
выведены из дифференциального уравнения (15.1), которое
является приближенным (линеаризованным). Точное уравнение
изгиба записывается в виде
&у
Ё!! = -Л-. (15.9)
Когда Р>Ркр, прогибы V {г) достигают таких значений, что
пренебрегать величиной {№/дг)2 по сравнению с единицей
нельзя. Оценивая решение нелинейной задачи, приведем
некоторые результаты. Если сила Р незначительно превышает
критическое значение, то максимальный прогиб ^=V(1/2)
можно определить по приближенной формуле
/ в *У* ^р/рэ—\. (15.10)
где Рэ = п2Е]хЦ2 — критическая сила, определяемая по
формуле Эйлера. Например, если Р=1,05РЭ, т. е. превышает
критическое значение силы .на 5%, то по формуле (15.10)
получаем /=0,2/ —прогибы составляют 20% длины стержня.
При Р=Ркр обнаруживается увеличение податливости
стержня в отношении поперечного изгиба — стержень как бы
теряет изгибную жёсткость. Это объясняется наличием близ-
18-174Г
273

Рис. 15.8
ких статически возможных форм
равновесия стержня. Если
рассмотреть зависимость потенциальной
энергии V упругой деформации
стержня от величины силы Р (рис.
15.8), можно сделать следующие
выводы:
Я<РКР — наблюдается
единственное состояние равновесия,
соответствующее прямолинейной форме
равновесия;
Р>Ркр — заданному значению
силы Р соответствует, по крайней
мере, два состояния равновесия (на
рис. 15.8-—состояние А и В).
В реальных системах
реализуется лишь одно из возможных состояний, а именно,
соответствующее меньшей потенциальной энергии системы
(состояние В).
Зависимость критической силы от условий закрепления
стержня. Обобщенная формула Эйлера.
Определяя критическую силу для сжатых стержней при
различных условиях закрепления (различных краевых
условиях)., приходим к другим вариантам формулы Эйлера,
которые можно обобщить, введя приведенную длину стержня
/о=|а/:
Ркр = к2Е1(1х1)2. (15.11)
Формула (15.11) называется обобщенной формулой Эйлера.
Здесь \1 — коэффициент приведения длины, показывающий,
как следует изменить дли-ну шарнирно опертого стержня,
чтобы критическая сила для него равнялась критической силе
стержня длиной / при рассматриваемых условиях
закрепления стержня. Коэффициент р, — есть число, показывающее,
во сколько раз дли-на 'полуволны синусоиды, которую можно
полностью или частично уложить па оси искривленного
стерж'ня, больше его фактической длины. Это объясняется
тем, что поведение участка стержня между точками
'перегиба изогнутой оси такое же, как и стержня, шарнирно
опертого по концам; поэтому вместо фактической длины
стержня в (15.11) подставляется величина /0=[а/. Значения
коэффициента приведения длины \х для различных случаев
закрепления концов стержня 'Приведено в табл. 15.1.
274

Таблица 15.11. Значения коэффициента приведения длины
1 •§
I.
*= 5 *
§ ^
э-
^
§
тпииина
1 м
(
1
1
\
\
4т
II
**>
Д^; ■
/
\
ч •*
1
\
1
1 у
1 2
Йп
/Ко
1 К 1
г
>о
я%&.—
0.7
/ ^
"4
V
\
1 У
0,5
крД%
\ 1 \
<
1
И*г—-*
/
№
1
1
и
с»!
шк
0,5
Границы применимости формулы Эйлера. Формула
Эйлера (15.8) или (15.11) применима, когда 'материал стержня
подчиняется закону Гука, так как была получена как
решение краевой задачи для дифференциального уравнения
изгиба стержня в форме (15.1). Однако возможна ситуация,
когда критическая сила, определяемая по формуле Эйлера,
вызывает -в стержне напряжения, превышающие предел
пропорциональности аПц.
Определим границы применимости формулы Эйлера
Ркр=Рэ,=я2^//(^)2;
критические напряжения акр, соответствующие силе Р=РКР,
равны:
акр=РкР1Р=^ЕЛ(1х1уР=п2Е/Х\ (15.12)
где Х=|х/Л" — гибкость стержня, 1= (ЛР)1/2 — радиус
инерции поперечного сеченая стержня. Предельным является
случай, когда акр=0пц. Отсюда следует, что формула Эйлера
справедлива для стержней, у которых А,>Я*, где К*
—предельная гибкость, являющаяся константой материала стержня
Я* = яУЯМГц. (15.13)
Например, для малоуглеродистых сталей, имеющих Е =
= 200 ГПа, апд=200 МПа, для предельной гибкости
получаем значение Х*«100.
Из (15.12) видно, что если коэффициент приведения
длины \х при .изгибе в разных плоскостях одинаков, то расчет
следует вести по минимальному моменту инерции попереч-

ного сечения. В других случаях расчет необходимо вести по
большей гибкости.
15.3. РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЗА ПРЕДЕЛАМИ
УПРУГОСТИ
Наиболее надежным способом определения критической
силы в упругопласти-ческой области деформирования
материала является эксперимент. Таким способом для разных
материалов получено большое число результатов, поз»воляю-
ющих определить зависимость сгкР=акрД) в области Л<А,*,
где формула Эйлера неприменима. Известны различные
аналитические аппроксимации экспериментальных результатов,
однако из-за большого разброса экспериментальных точек
при А,^А,* аппроксимация в виде прямой линии,
.предложенная Ф. С. Яси'нски'м, представляется наиболее простой и
целесообразной. Формула Ясинского имеет вид
Окр=а—ЬХ9 (15.14)
где а и Ь — константы, которые определяются из условий
стыковки линейного участка (15.14) с гиперболой Эйлера
при Х=Х*У где (Ткр = я25/Я2=аПц, и с прямой а=ат при Х=Хо.
Для малых значений гибкости Х(Х<Хо9 где Аю=40 —для
распространенных конструкционных сталей) расчет ;на
устойчивость не проводится; критические напряжения
определяются пределом текучести или пределом прочности на сжатие
для хрупких материалов. Из этих условий для а и Ь
получаем:
а=оПц+ЬХ*, Ь=(ат—втх)/(Х*—Х0). (15.15)
Полный график
зависимости критических
напряжений Окр от
гибкости Х=\х1/1 показан на
рис. 15.9.
Для того, чтобы
избежать резких переломов
на графике Окр=акр(Я),
в точках Х=Хо и Х=Х*>
используется
эмпирическая формула Джонсона,
описывающая изменение
акр в неупругой области
по параболическому за-
Рис. 15.9 КОНу
276

бкр = (То—СХХ2,
где константы ао и X подбираются из условия непрерывности
и гладкости в точках сопряжения.
Практические расчеты на устойчивость. В практических
расчетах на устойчивость часто пользуются тане называемым
коэффициентом снижения допускаемых напряжений.
Запишем условие устойчивости для сжатого стержня
о=Р//7^.[о]у, (15.16)
где [а]у='аКр/[л]у допускаемое напряжение при расчетах на
устойчивость, [п]у — нормативный коэффициент запаса
устойчивости. Напряжение [а]у всегда меньше
соответствующего допускаемого -напряжения в расчетах на «прочность при
сжатии:
[о]=ат/М или ,Мс=<Твс/[л].
Нормативный коэффициент запаса устойчивости должен
быть больше нормативного коэффициента запаса прочности;
для конструкционных сталей этот коэффициент назначается
в зависимости от гибкости в пределах 1,8 ...3,0; для
различных марок чугуна — в пределах 5,0 ... 5,5 (меньшим его
значениям соответствуют большие гибкости). Допускаемые
напряжения при расчетах на устойчивость свяжем с
допускаемыми напряжениями при расчетах на прочность:
[а] = а«Р Зт N ^_Дкр_ [п] бт ==ф[а]>
У [п]у ат [п] ат [л]у [п]
где
Ф = -^--^-Ф(Х)<1.
ат [п]у
Получили, что [.а]у —ф(А,) [о] и условие устойчивости
записывается в виде
о=Р//7<ф[о]. (15.17)
Коэффициент ф для данного материала зависит только от
величины гибкости X; этот коэффициент называется
коэффициентом снижения допускаемых напряжений или
коэффициентом продольного изгиба. Значения -коэффициента ф в
зависимости от гибкости % для различных материалов приведены
в табл. 15.2.
Проверочный расчет сжатых стержней.
Последовательность проверочного расчета сжатых стержней на
устойчивость заключается в следующем:
277

Таблица 15.2
Гибкость

материала, X
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
Коэффициент
сталь
Ст2,СтЗ
Ст4
1,00
0,99
0,96
0,94
0,92
0,89
0,86
0,81
0,75
0,69
0,60
0,52
0,45
Ст5
1,00
0,98
0,96
0,93
0,89
0,85
0,80
0,74
0,67
0,59
0,50
0,43
0,37
15ГФ,
10Г2С1,
15ХСНД
1,00
0,98
0,95
0,92
0,89
0,84
0,78
0,71
0,63
0,54
0,46
0,39
0,33
10ХСНД
1,00
0,98
0,95
0,92
0,88
0,82
0,7?
0,68
0,59
0,50
0,43
0,36
0,31
_Ф
чугун
СЧ15—32
СЧ12—28
СЧ21—40
1,00
0,97
0,91
0,81
0,69
0,57
0,44
0,34
0,26
0,20
0,16
—
—
СЧ24—44
СЧ28—48
1,00
0,95
0,87
1 0,75
0,60
0,43
0,32
0,23
0,18
0,14
0,12
—
—
дерево
1,00
0,99
0,97
0,93
0,87
0,80
0,71
0,61
0,48
0,38
0,31
0,26
0,22
•по заданным размерам поперечного сечения ,и условиям
закрепления стержня определяется величина гибкости А,таХ;
по найденной величине Хтах для материала стержня в
табл. 15.2 находится коэффициент снижения допускаемых
напряжений ф(Х);
.проверяется выполнение условия устойчивости (15.17).
Проектный расчет. В расчетные формулы о = Р/Р^.у(Х[с]
,и Р^Р/ср(Х) [о] входят две неизвестные величины: Р и ф(Х),
поэтому при подборе размеров поперечного сечения
используется метод последовательных приближений, в котором
варьируется величина ср. Обычно в качестве первого
приближения принимается значение ф1 = 0,5... 0,6 и по формуле
на 6-м -шаге определяют размеры .поперечного сечения. Для
«найденного значения Ри находят соответствующее ему Хь и
по табл. 15.2 значение .ерь'; следующее приближение будет
278

Фм-1=0,5(фЙ^а')- (1518)
При а^'[о]у или допускаемой малой перегрузке расчет
(прекращается.
Рациональные формы поперечных сечений сжатых
стержней. Рациональными являются те сечения, которые имеют
наибольший момент инерции поперечного сечения -при
заданной площади, будучи равноустойчивыми относительно обеих
главных осей инерции. Условие равноустойчивости: %Х = ХУ.
Если условия закрепления в обеих плоскостях одинаковы
([Лх=М'у)» то из условия равноустойчивости следует, что 1Х=
= 1У. Этому соответствует кольцевое .поперечное сечение с
минимальной толщиной стенки. На практике толщину
стенки назначают из условия локальной (местной)
устойчивости. Рациональными сечениями являются также коробчатые
сечения, которые могут быть составлены из стандартных
прокатных профилей.
Для стержней большой гибкости (%>%*), когда акр<апц,
•нецелесообразно применять конструкционные материалы с
повышенными прочностными характеристиками, так как
модуль упругости Е — единственная 'механическая
характеристика, определяющая сопротивление стержня .потере
устойчивости, для большинства конструкционных сталей
практически одинакова.
15.4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
УСТОЙЧИВОСТИ
Согласно вариационному принципу Лагранжа, состояние
равновесия консервативной механической системы
устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная
энергия минимальна. Необходимое условие минимума
полной энергии системы Э записывается в ваде вариационного
уравнения Лагранжа >(9.30)
бЗ=б(^+П)=б(^/—Л)=0, (15.19)
которое является условием стационарности (6Э = 0) полной
потенциальной энергии механической системы в состоянии
равновесия. В уравнении (15.19): I!—потенциальная
энергия упругой деформации, П — потенциал внешних сил, А —
работа внешних сил. Об устойчивости равновесного
положения мож'но судить по знаку второй вариации б23 от полной
энергии. Если исходное положение устойчиво, то вторая
вариация положительна
270

62Э>0> (15.20)
есл<и
б2Э<0, (15.21)
то рассматриваемая равновесная форма будет неустойчивой.
Безразличному равновесию (критическому состоянию)
соответствует
б2Э = 0. (15.22)
Энергетический метод служит основой для различных
приближенных методою решения задач устойчивости. Пусть
форма прогиба -при потере устойчивости приближенно может
быть представлена в виде ряда
...+№„{?)= 2 /*»*, (15.23)
где V}! (г) — функции, удовлетворяющие кинематическим
граничным условиям, т. е. условиям, «налагаемым на прогибы и
углы поворота, /*— некоторые параметры. В этом случае
вариацию полной энергии можно представить как сумму
вариаций, соответствующих возможным изменениям
параметров /*:
*Э=У. -§-*!* (15.24)
* = 1 д1к
и из условия стационарности 65 = 0 следует, что
2-|гв/*-0- (15,25)
Так как вариации б//е являются независимыми, то равенство
(15.25) будет иметь место, если каждый из множителей при
б/* будет раъен нулю:
-^- = 0, -^- = 0 -^.-0. (15.26)
д[х д[2 д{п
Равенства (15.26) представляют собой систему п линейных
однородных алгебраических уравнений относительно /п, в
коэффициенты при которых входит нагрузка Р. Из условия
существования нетривиального решен-ия этой системы
получаем характеристическое уравнение, наименьший корень
'которого приближенно соответствует первой критической силе.
Этот метод носит название метода Ритца.
280

В случае, если функция V (г) задается с точностью до
одного неопределенного параметра /\: у=1^и
представляющего собой масштаб V(г), получаем простейший вариант
метода Ритца — метод Релея.
Так для однопролетного стержня, сжатого силой Р,
выражения для V \\ А имеют вид:
«/-■/.(«(^Ч Л-±1(±у*. 05,7,
О о
и из условия (15.26) для критической силы Якр получаем:
о / о
Согласно теореме Релея, значение Якр, полученное по
формуле (15.28), всегда выше истинного значения критической
силы Якр, при условии, что функция V (г) удовлетворяет всем
кинематическим граничным условиям.
ГЛАВА 16
ДИНАМИКА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
16.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
При динамическом воздействии .нагрузок элементы
конструкций испытывают переменные по времени изменения на-
пряженно-деформирова'нного состояния, при этом их
отдельные точки совершают движение по некоторому закону:
Движение называется колебательным, если скорость движения
через определенные промежутки времени меняет знак. Коле-
бания называются периодическими, если движение
повторяется через определенный промежуток времени, который
называется периодом колебаний. Колебания называются
гармоническими, если движение описывается тригонометрическими
функциями.
Рассмотрим движение некоторой точки конструкции,
определяемое параметром */(/) (рис. 16.1). При гармонических
колебаниях функцию «(■/) зададим в виде:
281

Рис. 16.1
И(/)=Я81П(й)/+ф). " (16.1)
Здесь наибольшее значение а называется амплитудой; тара-
метр со — угловая частота колебаний, имеющая размер'ность
с-1; величина ф — начальная фаза колебаний,
характеризующая положение системы при /=0. Функция
(16.1)—периодическая -с .периодом 2я:
51П (со/+ф) =51П ((о/+ф+2л;) —
= 51П[со(/+12я/со)+ф]=51П[(0(/.+ 7,)-|-ф],
откуда находим связь угловой частоты ш с периодом
колебаний Т
©=2я/Г. (16.2)
В технике обычно пользуются другой характеристикой
частоты, измеряемой -в Герцах (Гц) и означающей число циклов
колебаний «в секунду, т. е.:
/=1/Г=со/(2я). (16.3)
Для гармонического колебания (16.1) скорость
й = й?«/^==соас05((й/+ф)
и ускорение
П = с12и/(И2=—ы2а$\п (со^+'ф)
также является гармоническими с той же частотой и
начальной фазой, с амплитудами ша и со2а.
При «изучении колебательных процессов в механических
системах вводится понятие числа степеней свободы п, под
которыми 'понимается число независимых параметров,
называемых обобщенными координатами, достаточных для описания
состояния системы в любой момент времени. Нахождение
282

числа •Степеней свободы связано с идеализацией системы и
выбором расчетной схемы.
Таким образом, для определения состояния механической
системы в соответствии с выбранной расчетной схемой
«конструкции требуется задать п обобщенных (координат. В этом
случае говорят, что система имеет п степеней свободы.
16.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ
ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Колебания, возникающие лри отсутствии внешнего
воздействия, называются собственными. Они совершаются за
счет лер'во.на'чалыно накопленной 1энер1ги'и 1под действием
перемещений и скоростей в начальный 'момент времени.
Рассмотрим механическую систему с п степенями свободы
на примере плоских изгибных колебаний балки, несущей п
сосредоточенных масс (рис. 16.2,а). Будем считать балку
безынерционной, точнее, 'пренебрегаем (массой 'балки то
сравнению с сосредоточенными массами. Вертикальные
перемещения масс и/(/) играют роль обобщенных координат.
Для вывода уравнений колебаний воспользуемся
принципом Даламбера: состояние движения механической систе-мы
можно рассматривать как состояние равновесия, если к
действующим внешним силам, внутренним силам и реакциям
связей добавить фиктивные (даламберовы) силы инерции.
»Л1) и2Н) ЩШ икИ) апЦ)
о)
>Ш^^
Я*=/
?1к °гк
°3к °кк
ипк
Рис. 16.2
283

При -собственных колебаниях внешние силы отсутствуют, &
силы инерции в рассматриваемом примере равны
и=—тг
6Р
Если в точке присоединения массы ти приложить
единичную силу в направлении обобщенной координаты и*(/), то
массы получат перемещения 6ц, бг*,..., 6пд (рис. 16.2,6),
.вычисляемые по формуле Маоосвелла—Мора
ч
Е1
о
через изгибающие моменты М/(г), Мь(г) от действия
единичных сил.
От действия силы инерции 1к в направлении обобщенных
координат получим перемещения
•»'.=(-«.-«?■)*.
Воспользовавшись принципом независимости действия сил,
согласно которому перемещение в какой-либо точке равно
сумме перемещений от действия всех сил, находим
п
6=1 Ч '
откуда получим систему линейных однородных
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка,
описывающих собственные колебания в упругой системе с п
степенями свободы
2т*-^3'* + ">==0 (/ = 1.2,...,*). (16.4)
&= 1
Систему уравнений (16.4) можно записать в матричной
форме
РАи+и = 0, (16.5)
где введен вектор и(/), составленный из обобщенных
координат и1у и2,...,ип. Матрица А, называемая инерционной,
есть диагональная матрица с элементами ти т2,... ,шп,
расположенными по глав-ной диагонали. Матрица Р с.
элементами б/А называется матрицей единичных перемещений или
234

матрицей податливости. Умможая слева на матрицу С=Р-1,
уравнению (16.5) можно придать в-ид
Аи+Си=0. (16.6)
Матрица С с элементами с\ь (называется матрицей упругих
коэффициентов или матрицей оюесткости. В развернутой
форме зашиси матричное уравнение (16.6) эквивалентно системе
уравнений
Ши
61*
/
1-2^^ = 0 №=Ь2,...,/г). (16.7)
Будем искать решение системы уравнений (16.4) или
(16.7) в классе тригонометрических функций типа (16.1)
щ (I) =а/5Ш (соН-ф) (16.8)
с амплитудами ау, частотой со и -начальной фазой ф.
Подставим решение (16.8) в уравнения-колебаний (16.4)
-со2 2 ткЬ1как + ау = 0 (/=1, 2,..., п). (16.9)
Полученная система линейных однородных уравнений
относительно амплитуд а\ имеет нетривиальное (ненулевое)
решение, если определитель, составленный из коэффициентов
уравнений, равен нулю, т. е.:
1 — со2 тг 8п — а)2 т2 б12 ... — ш2 тп Ь1п
—со2т1о21 1—а)2т2б22 ... —и>2пгп82п
= 0. (16.10)
— ш2т15л1 _(о2т26я2 ... 1— (й2тп8пп\
Уравнение (16.10) называется характеристическим или
частотным уравнением. Раскрывая определитель, получим
полином п-й степени относительно со2, имеющий п действительных
корней о)12, о)22,..., ссьг2. Положительные корни соь сог,... ,соп
называются собственными частотами системы.
Таким образом, механическая система с п степенями
свободы -имеет п собственных частот. Упорядоченная
совокупность собственных частот
0)1^0)2^ ... ^0)п (16.11)
называется спектром собственных частот. Все собственные
частоты .положительны и действительны, что следует
-математически из симметрии коэффициентов 6/а=6л/ и вытекает
из физического смысла частот.
285

Каждой собственной частоте сот соответствуют
амплитуды колебаний а\{т\ а2{т\... ,ап{т). Совокупность амплитуд,
соответствующих т-й собственной частоте, называется //1-й
собственной формой колебаний. Совокупность всех
собственных частот и соответствующих им собственных форм
образует спектр собственных колебаний системы.
Собственные формы колебаний определяют из системы
уравнений (16.9) после подстановки со = (От:
-со™2 2 тк6/ЛаЛ<™>+а/<™>=0 (/=1,2,..., л). (16.12)
Так как определитель системы равен нулю, то она является
линейно зависимой. В случае, если сот —простой (-не
кратный) корень уравнения (16.10), то после отбрасывания
одного из уравнений (16.12),-например, последнего, получим п—1
независимых уравнений. Эти уравнения можно решить с
точностью до какой-либо амплитуды, выразив, например, все
амплитуды 'через а^т\
Собственные формы обладают следующим свойством:
формы, соответствующие различным собственным частотам,
о'ртогональны. Условие ортогональности собственных форм
записывается следующим образом:
2 шка^ак^)=0 (1фш).
(16.13)
Физический смысл условия ортогональности заключается в
том, что суммарная работа сил инерции, соответствующих
одной форме колебаний, и а перемещениях, соответствующих
другой форме -колебаний, равна нулю.
Рассмотрим в качестве 'примера систему с одной
степенью свободы (рис. 16.3). Уравнение колебаний (16.4)
принимает вид
[Щ|ЩЩ
Рис. 16.3
286

т8 **Л- + и=:0,
11 №
(16.14)
где единичное перемещение равно
5-=1Т=
/а/ЗЯЛ
Введем обозначение
где
со02=1/т5и = с/т,
с=11/бп=3^///3
(16.15)
есть жёсткость системы (усилие, которое нужно приложить,
чтобы получить единичное перемещение).
Из частотного уравнения (16.10), которое принимает вид
1—о)2тбц = 0,
получим собственную частоту
©1=У1/тбц.
"г®
и
щщт^^^
Рис. 16.4
287

При сравнении этого соотношения с (16.15) видно, что
параметр соо имеет смысл собственной частоты.
Из уравнения
(1—о)12/пбц)а1 = 0
следует, что собственная форма а{ может принимать любое
значение; это значение определяется начальным смещением,
за счет 'которого осуществляются свободные колебания.
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы (рис.
16.4). Элементы матрицы единичных перемещений получим
по формулам Максвелла—Мора:
/з 8 /3 5 /3
б" = 1^7' б22==Т!7' б12 = б21::=Т!Г (16л6)
Уравнения (16.9) принимают вид
(1— (о2/7^бц)а1—а)2/7г2б12а2 = 0,
—со2т1б21а1+(1—ш2т2622)а2==0. (16.17)
Частотное уравнение
I 1— ш2т18п — со2т2612 I
I —о)2 тх б21 1 —со2 т2 б22 |
имеет решение, которое после некоторых преобразований
можно привести к виду
(16.18)
Формулу (16.18) можно записать следующим образом
°>1,2 = *1.2 '/ЕЦтх1ъ% (16.19)
где безразмерные коэффициенты ки к2 зависят от
соотношений между массами ти т2 и единичными перемещениями
б/л. В системе, показанной на рис. 16.4 при т1 = т2=т эти
коэффициенты равны кх = 0,584, &2=3,884.
Для определения /-й собственной формы подставном
значение со/ в (16.17). Отбросив второе уравнение, выразим
амплитуду а2{1) через амплитуду а^:
1-со;т1б„
СОI Ш2 012
2вв

Использовав обозначения (16.16) и (16.19), получим
1—Л9/3
мп= 11 М).
2 5/6 (тш1тг)к) х
При т1 = т2 формы колебаний определяются соотношениями
а2(1> = з,12 а^1), а2(2)=— 0,32 а,(2).
Подставляя эти соотношения в (16.13) при /=1, т=2
убеждаемся в ортогональности "собственных форм. Графическая
иллюстрация форм колебаний показана »на рис. 16.4.
16.3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Пусть .в системе с п степенями свободы, изображенной «а
рис. 16.2, в направлении обобщенных координат ик{1)
действуют переменные внешние силы Рк{1). Согласно принципу
Даламбера в точке присоединения массы тк действуют
активная внешняя сила Ри{1) и даламберо'ва сила инерции
—т^{А2ик1А12). Тогда -на основе принципа -независимости
действия -сил найдем перемещения
«/-2[^(0-^-^-]»;ь
/г=1
откуда приходим к системе уравнений
а2 ик
2тк^-ь* + и>=2 Рк (/) ^ (16-20)
описывающих вынужденные колебания в линейной системе
с п степенями свободы. В „матричной форме, аналогичной
(16.5), эта система уравнений принимает вид
РА0+и=РР(0. (16.21)
ний вынужденных колебаний запишем
(16.7):
А0+Си=Р(0, (16.22)
Другие формы уравнений вынужденных колебаний запишем
по аналогии с ('16.6) и (16.7):
тк^ + ^ск!щ = Рк(1)у (6 = 1,2,...,я). (16.23)
Пусть внешние силы Рл(/) изменяются по закону
р/г(г)=Р,.С058/ (16.24)
13-1741 289

с амплитудами Рь, и частотой 6. Решение уравнений (16.20)
будем искать в классе установившихся гармонических коле-,
баний с частотой вынуждающих сил
и/(0=а/со5в*. (16,25)
Для нахождения амплитуд а\ подставим (16.25) в (16.20).
В результате приходим к системе линейных уравнений
—92 2 тк8,как+а}= 2 РкЬ]к
к=1 к=\
'(/=■1,2, ...,«)• (16.26)
Решение этой системы уравнений можно получить по
формулам Кра'мера
*/=*), (в)/Я (8), (16.27)
где О (0) —определитель, составленный из коэффициентов
при ак в уравнениях (16.26):
Я (в):
1
-В*тгЪи
-62т2612
1 — е2 т2 б22
-9*тпЪг
— в»тя8.
(16.28)
— РщЬт —82т2бп2 .., \-№тпЪпп
В числителе (16.27) определитель /)/(9), получен из
определителя (16.28) заменой /-го столбца столбцом, образованным
правыми частями в уравнениях (16.26).
Из сравнения (16.28) с (16.10) видно, что при
совпадении частоты вынужденных колебаний 0 с одной из
собственных ча'стот (дт амплитуды (16.27) неограниченно возрастают.
Это явление называется резонансом, а частоты 9 = о)т —
резонансными или критическими частотами. Графики
зависимости а/(0) называются амплитудно-частотными
характеристиками системы.
Рассмотрим систему -с одной степенью свободы.
Уравнение (16.26) принимает вид
—е2т1бца1+а1 = Р1бц,
откуда
01 = ^611/(1— О^би). (16.29)
Учитывая, что т1бц = 1/о)12 (осм — собственная частота), и
вводя обозначение а0=Р[8п (а0 имеет смысл статического
перемещения от действия амплитудного значения силы),
запишем формулу (16.29) в следующем виде:
а0
а1==
1 —62/0)2
(16.30)
290

2 в/(*>1
Рис. 16.5
Отношение
к = \ах\ /а0 =
1
М-е^/соП
(16.31)
называется коэффициентом динамического усиления или
коэффициентом динамичности. Зависимость й(0) показана на
рис. 16.5.
Для вычисления амплитуды динамических «а-пряжений
будем учитывать действие внешней силы Р{(1) и
инерционной силы —тх(&2и\1&12). Амплитудное значение суммарной
силы РЛ=Р1+т$2а1 назовем динамической силой. С учетом
(16.29) получим
ргЬи ?1 - Р±_
РЛ = Р1 + т1В^
1_92т]бц 1—В^т^п 1-92/со?
(16.32)
Из сравнения формул (16.31) и (16.32) для системы с одной
степенью -свободы имеем
\РА=Рхк.
(16.33)
Рассмотрим важный для технических приложений случай,
когда сосредоточенная масса т присоединена с эксцентриси-
Р-твЧ
Рис. 16.6
19*
291

Рис. 16.7
тетом е к упругой балке и вращается с угловой скоростью 8
вокруг точки О (р'ис. 16.6). При этом возникает
центробежная сила Р=,82те. Проекция этой силы Р(1) =02т&со5Ш
вызывает изгибные колебания балки. Уравнение колебаний в
данном случае имеет вид
т11Л- би+ и = тб2е8исоз 9/, (16.34)
а его решение в классе функций и=асо$М
а=82/папв/('1— е2тбц)
с учетом /пбц='1/|0)12 можно представить в форме
еусо2
а =
I— е2до?
Коэффициент динам-ичности в этом случае вводится как
(16.35)
*е =
езда?.
1—62/Сй2 |
Соответствующая кг зависимость представлена «а рис. 16.7.
При 8 = о)1 система 'находится в резонансном режиме. При
8-^оо, как следует из (16.35), а=—е. Этому соответствует
•наблюдаемое на практике явление самоцентрирования, когда
абсолютное вертикальное перемещение массы (а+е)со5|8/
стремится 'к нулю.
В системе со многими степенями свободы наблюдаются
аналогичные явления. На рис. 16.8 показаны амплитудно-
частотные характеристики, построенные по формуле (16.27)
для системы с двумя степенями свободы. При 8=0)1 и 6 = о)2,
292

щ\
&01
0
*г
7ог
0
1
"1
)
У
"»
_)( -/
11
I
I I
1
7п
]*>2
Рис. 16.8
совпадающих с собственными частотами, наблюдается
явление резонанса. Частота возбуждения <0 = со*, при «которой
одна из амплитуд колебаний обращается в нуль, называется
антирезонансной. Для вычисления динамических напряжений
вводятся динамические усилия, равные суммарным
амплитудным значениям внешних и инерционных сил:
Рщ=Р1+Щ&Ъ. (16.36)
По формулам (16.27) .рассчитываются также прогибы
вращающихся валов, несущих сосредоточенные массы
(диски), центр масс которых не лежит на оси вращения.
При этом вместо сосредоточенных сил Р> берутся
центробежные силы т^62е/, где е;- — эксцентриситеты (расстояния от
центров масс до оси вращения), которые предполагаются
расположенными в одной плоскости. Угловая скорость
вращения, совпадающая с одной из собственных частот
системы и сопровождающая резонансные явления, называется
критической скоростью вращения. В технике скорость
вращения измеряют числом оборотов в минуту. Для вала,
несущего п сосредоточенных масс имеется п критических чисел
оборотов ЗОсоу/я (/=1,2,..., п). Динамические усилия (16.36)
293

Рис. 16.&
для вращающихся валов находятся по формуле Р^=
= т7в2(е/+^).
Таким о'бразом, при действии динамических .нагрузок
имеется опасность возникновения резонансных режимов, которые
в рассматриваемых примерах сопровождались
неограниченным возрастанием амплитуды колебаний, а следовательно и
напряжений. Однако в реальных конструкциях и машинах
наблюдаемые резонансные явления сопровождаются хотя и
значительными, но конечными амплитудами. Это связано с
тем, что в резонансных режимах происходит интенсивное
рассеяние (диссипация) энергии, вызывающее нагрев,
акустическое излучение и другие явления. В приведенных примерах
эти явления не учитывались.
Рассмотрим простейший вариант учета диссипации
энергии за счет сил вязкого трения, пропорциональных скорости
движения. Такие силы возникают, например, в
гидравлических амортизаторах. На рис. 16.9 показано схематическое
изображение такого амортизатора. В соответствии с принципом
Даламбера на массу т действует внешняя сила Я(/), дала-м-
берова сила инерции —т&2и/<Н2 и реактивная сила
сопротивления —Ьйи/<Н, пропорциональная скорости, и, как и
инерционная сила, направленная против движения. Коэффициент
пропорциональности Ь называется коэффициентом вязкого
трения. При действии единичной силы 'масса т получит
перемещение бц. При действии внешней, инерционной и
реактивной силы это перемещение будет равно
"<0 = [*<0-«^-*-^]вп.
откуда получим уравнение вынужденных колебаний системы
с одной степенью свободы
(п1^- + Ь^уп + и = Р({)8п. (16.37)
294

Разделим обе части этог.0 уравнения на /пбп и обозначим
2е=6/т, со02=1/^бц.
Тогда уравнение '(16.37) можно записать в виде
^+2г-^- + «Ъи=РЮ/т. ' (16.38)
Параметр соо совпадает с собственной частотой системы без
диссипации. Параметр е, имеющий .размерность частоты,
называется коэффициентом демпфирования.
При гармонической внешней силе Р(1)=Рсо$(Н
установившееся решение уравнения (16.38) будем искать в классе
тригонометрических функций с частотой возбуждающей силы
и(0=ясо5(е/—<р). (16.39)
Другая форма записи решения (16.39) имеет вид
и(/)=С1созв/+С231Пв^ (16.40)
где константы С\ и С2 связаны с амплитудой а и начальной
фазой ф соотношенияМ'И
С1 = асозф, С2=Я5тф;
а=1С?+С2\ Ф=агс1ё(С2/С1). (16.41)
Подставив (16.40) в (16.38) и приравняв коэффициенты при
созб/ и 51П0/, получим си-стему уравнений
(соо2—62)С1+2е8С2 = Р/т,
—2е8С1+!(<оо2—62)С2=0,
откуда находим константы С\ и С2:
__ со^еа Р __ 2е9 Р
(со2 _92)2 -|-4е282 щ (со2—е2)Ч-4е262 т
Переходя .к решению <в форме (16.39), с учетом -соотношений
(16.41) для ам-плитуды и начальной фазы получим формулы
-, ср = агс1б(2ве/(со§ —в2)).
Г(1-е2/02)2+(2ее/а)2)2
Здесь учтено, что отношен-ие
Р/тсо02=Р'бц = а0
равно статическому перемещению. Величина к=а/а0 имеет
смысл коэффициента динамичности
й=.(У(1_е2/соо2)2+(209/соо2)2)-1.
295

Рис. 16.10
Зависимости й(8) и ф(6) для различных значений е
показаны на рис. 16.10, 16.11. Штриховые лин-ии соответствуют сис-
Рис. 16.11
теме без диссипации. Рис. 16.10 показывает, что одним из
способов борьбы с резонансными явлениями является
введение демпферов.
16.4. ДИНАМИКА СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Системы с распределенной массой (например, стержни,
пластины, оболочки) обладают бесконечным числом
степеней свободы. Для получения уравнений колебаний в
соответствии с принципом Даламбера нуЖ.но рассмотреть
уравнения равновесия, добавив в них фиктивные силы инерции.
Например, при продольной деформации стержня на его эле-
296

ментарный объем
действуют внутренние и внешние
силы (ряс 16.12). Здесь
ц (г, I) —внешняя нагрузка,
приходящаяся на единицу
длины стержня. На
продольном перемещении и (г, I)
сила инерции равна /=
= — рРйг{д2и/д12)у где р —
плотность материала, Р —
площадь поперечного
сечения. Проектируя все силы на ось г, получим
ЯМ)
Рис. 16.12
дг дР
■о,
откуда
Из закона Гука
получим
дЫг , Г д2и п
—*- + Я— рР—— = 0.
дг дР
Мг/Р = Ее = Е —
дг
N = ЕР —•
дг
Тажим образом, уравнение продольных колебаний стержня
имеет вид:
д*и
дг \ дг ) г
а/2
= -?(М).
(16.42)
Аналогичным образом выводится уравнение крутильных
колебаний стержня
_1_^0Л *М_„,_*2_=.
дг
■(в'.-г-)-'''^—"«••*
где т(гу I)—распределенный вдоль оси г внешний
крутящий момент. Роль инерционной силы играет момент инерции
элементарного объема относительно оси г:
У = — р/р Аг
д2ц>
297

Уравнение равновесия изгибных деформаций стержня
имеет вид (9.39)
дг* V д* }
Добавляя к «распределенной по оси стержня «внешней
нагрузке ц{г, I) соответствующую силу инерции —рРд^/дР,
получим уравнение изгибных колебаний
^/яу*1Л + р* **..,. (1е.43)
В уравнение равновесия (13.18) при изгибе пластин нужно
добавить распределенную по поверхности пластины
инерционную нагрузку —рЛ (д2ш/д/2). Тогда уравнение изгибных
колебаний пластины постоянной толщины примет вид
ОДДю + рй—=/>. (16.44)
д/2
Рассмотрим собственные изгибные колебания стержня
постоянного сечения. Уравнение (16.43) в этом случае
принимает вид:
Е]Ш- + 9рЩ- = 0. (16.45)
дг* г д/2 V • /
Будем искать решение в классе гармонических колебаний с
частотой со
V(г, /) =ку(г)з1*п(со/+ф), (16.46)
причем амплитуда оу(г), определяющая форму колебаний,
является функцией продольной координаты г. Подстановка
(16.46) в (16.45) приводит .к уравнению для амплитуды
колебаний
ш (1*4,(2) ___ р/7а)2 т ф _ 0 (1 б 47)
с!г4
В отличие от алгебраических уравнений (16.9) для системы
с конечным числом степеней свободы, в системе с
распределенными параметрами получили дифференциальное
уравнение относительно амплитуд.
Введем обозначение
к*=<ь*рР1Е1. (16.48)
Решение однородного обыкновенного дифференциального
уравнения
т

Рис. 16.13
а4 го(г)
к*ы(г)-0
(16.49)
ищем в виде т (г) = Сехр (Кг), где С — произвольный
коэффициент, X — характеристический показатель; подстановка в
(16.49) приводит к характеристическому уравнению
корнями которого являются %1 = к, %2=—к, Хз=1к, Я4=—ьк.
Действительным корням соответствуют экспоненциальные
функции ехр(*г) и ехр(—кг), их полусумма и полураз»ность
образуют гиперболические функции сЬ&г и $\\кг. Мнимым
корням соответствуют тригонометрические функции соз&г и
зт&г. Таким образом, имеем четыре функции, которые
образуют общее решение урав-нения (16.49)
ш (г) = Сх соз кг+С2 зт кг-\-С3 сН кг-\-С± зЬ кг. (16.50)
Постоянные С\, С2, Сз, С4 находятся из граничных условий.
Например, для консольного стержня (рис. 16.13) граничные
условия для амплитуды ш(г) имеют вид
ш
(о) = о, *2М| =о, мх(0-^-^^| =о,
с1г |г = о с!г2
(2 = /
(!у(1) = Е1
— *?/ с!3ш(г)
с**3
0.
\г=1
Подста-новка в эти условия решения (16.50) приводит к
системе уравнений относительно неизвестных постоянных
С!+С3=0,
С2+С4=0,
—СхсоШ— С231П*/+СзсЬА/+С4зЬ*/=0,
С131П*/—С2СозА/+Сз8ЬА/+С4сЬА/=0.
299

Вводя обозначение
и=А/ (16.51)
й исключая постоянные С3 и С4 из первых двух уравнений,
получаем систему
С] (созх+сЬх) +С2(51ПХ+5Ьх) =0,
С, ($тх—зЬх) — С2 (созк+сНх) =0. (16.62)
Эта линейная система однородных уравнений, аналогичная
системе (16.9) для амплитуд колебаний в системе с
конечным числом степеней свободы* имеет нетривиальное решение
в том случае, когда определитель, составленный из
коэффициентов этого уравнения, равен нулю
СОЗХ+сНх 51ПХ-[-51ПХ
51ПХ — сЬх —(С05Х+сЬх)
Параметр х в соответствии с (16.15) и (16.48) содержит
частоту со. Тогда уравнение (16.53), аналогичное уравнению
(16.10) для системы с конечным числом степеней свободы,
имеет смысл частотного уравнения. Раскрывая определитель,
с учетом соотношений соз2х+5т2х=1, сЬ2х—зЬ2х=1 получим
трансцендентное частотное уравнение
созхсЬх= —1. (16.54)
Уравнение (16.54) имеет счетное бесконечное множество
корней хь х2,... (рис. 16.14). Первые два корня равны Х1 = 1,875,
х2=4,694. Последующие корни, как видно из рис. 16.14,
достаточно точно удовлетворяют уравнению со5х=0, т. е.
х/=(/-1/2)я, (/=3,4,...).
:0.
(16.53)
300

Из (16.48) и (16.51) найдем собственные частоты изгиб-
«ых колебаний стержня
*' = ~У ~рТ <16-55>
через безразмерные коэффициенты ху, зависящие от условий
закрепления стержня. Для.нахождения форм колебаний
.вернемся к решению (16.50). Для консольного стержня С,-
Гпр ко\ 2" °™Р°СИВ второе из однородных уравнений
в (16.52), из первого находим
г> созх+сЬх _
—°2 — ~":—гт—с1-
51П Х+зЬ X
Таким образом, форма колебаний определяется с точностью
до произвольного параметра С,. Полагая С, = 1, для /-Й
собственной частоты получим соответствующую ей собственную
а>,(г) = сози,-?- — спи,-—
/ ' I
~«п.*+йхДяпм'Т~'8ШХ'7У (16-56)
"я?^6, ТРИ С0Дс™енЛные Ф°РМЫ К(>нсольного стержня
показаны на рис. 16.15. Аналогично находятся собственные
частоты и формы при других типах граничных условий (табл
16.1). Собственные формы должны удовлетворять условиям
ортогональности. В системах с конечным числом степеней
своооды условия ортогональности имеют вид (16.13). Для
3-1
1»ъ
/-*
Рис. 16.15
301

8
й
Таблица 16.11
Услобия закрепления
стержня
и
М
0
1 у/
1 0
1
[ °
!
1
А
^7
^
*-
2
; 77^7
=*•!
^
—~-—: Г^
. 1~ 1
*;2
^]
2
I ^т^
-^1
Уравнение
частот
з1г,зе=0
съ5э?"сЬэе = -1
со5 э€спэе- 1
Цж-1Ъэе=о
Корни урабн1
Номер
1
2
*
*
1
1
2
1
2
7
2
•
•
?л^;7 частот
Значения
3, 42
5,253
9
О
1,875
±,691
<•
4,730
7, «55
3,327
7, Ш
*
Форма колебаний
51П/(/2
саз К^2-с\\-к^ъ -
ссз лу +сИ ^г/ 1
5сП ^/ + 5Й ^/
СС5/Г/2-СЙ/Г/2 +
т — И — *
5Ш 9€у -ЗЪЭС^
х (5СЛ Ауъ-зЪ КЗЪ)
С05 КуЪ~С\\ /Г/2 + 1
соз лг/ -сЪэс/
+ - - X
51П ЛГ/ +5ЪЭ€у
х(з1п ьцг-зЪк^х)

стержневых систем условие ортогональности собственных
форм изгибных колебаний записывается так:
I
§ рРщ (г) щ (г) йг = О (/ фк). (16.57)
о
Собственные изгибные колебания пластин описываются
уравнением (16.44) при р=0. Представив решение этого
уравнения в форме
о> (х, у^)=ьо (х, у) 51П (соН-<р),
получим
ДДау (х, у) — ^-ц?хю (х, у) = 0. (16.58)
Точное решение этого уравнения для произвольных краевых
условий получить не удается. Однако в случае
прямоугольной пластины, шарнирно опертой по всем кром-кам (рис.
13.7 а), форму колебаний можно представить >в виде
ш (х9 у) = 31П (тпх/а) зт (пцу1Ь), (16.59)
удовлетворяющем всем краевым условиям. Параметры тип
имеют смысл чисел полуволн, укладывающихся в
направлении оси Ох и Оу соответственно. Подстановка (16.59) в
(16.58) приводит к следующим значениям собственных частот
©тп=•(тV/а2+л2я762)УДр■. (16.60)
В случае, когда точное решение задачи о нахождении
собственных частот и форм колебаний не существует или
довольно затруднительно, целесообразно применять
приближенные методы, основанные на вариационных ■принципах.
Рассмотрим один из таких методов, основанный на законе
сохранения полной энергии системы. Для консервативной
системы, т. е. системы без диссипации энергии, полная энергия
при отсутствии внешних сил складывается из потенциальной
энергии упругой деформации V и кинетической энергии Т.
Применительно к стержневым системам потенциальная
энергия изги'бательных деформаций равна
ц = гф^&$1^**- (16.61)
303

Кинетическая энергия элементарного объема Р&г равна
После интегрирования по всей длине стержня маходим
Т = ^РР^Л^6г. (16.62)
О
В процессе колебаний полная энергия системы остается
постоянной
Э=Ц+Т=сопз1. (16.63)
Представляя движение <в виде
V (г, I) = ш (г) 51П (со^+ф),
получим
Чш$ы[1!^<Ь*Ю(Ы + ч) +
о
I
+ — Г рРю2 (г) Лг соз2 (Ы + ф) = сопз1. (16.64)
о
Из (16.64) видно, что в момент времени, когда
потенциальная энергия принимает максимальное значение,
кинетическая энергия раена нулю и наоборот. Приравнивая
максимальные значения потенциальной и кинетической энергии,
.получим
/ I
о о
откуда
й-^г*
со2 = -5— (16.65)
| рРм2 (г) дг
о
Формула (16.65) называется формулой Релел для
определения собственных частот. Если в эту формулу подставить
304

точное выражение для собственной формы ау/(г), то получим
точное значение собственной частоты со/. Обычно формулу
Релея применяют для приближенного нахождения
собственной частоты, чаще всего низшей, подставляя в нее
приближенное выражение для предполагаемой формы колебаний.
Например, если для консольного стержня взять функцию
хю\(г)=Аг2, удовлетворяющую кинематическим краевым
условиям, то вычисление интегралов в (16.65) приводит к
результату
отличающемуся на 27% от точного значения (16.55), в
котором Х12=3,52. Если взять аппроксимацию в виде полинома
четвертой степени ш(г)=А(гА—4г31-{-6г212), то погрешность
(16.65) составит 2,5%.
В случае, когда в -систему введена дополнительная
жесткость или (присоединена сосредоточенная масса, как
показано на рис. 16.16, в формуле Релея нужно учесть их вклад в
потенциальную и кинетическую энергию. В пружине
накапливается потенциальная энергия 72^(/, О» где с —
жесткость пружины, и кинетическая энергия {/2т[дю(а,()/д1]2.
Тогда формула Релея (16.65) -примет вид:
п2=°
С Г 43ш(г) 12
§рРш2(г)6г+т{0Ъ(а)
откуда В'идно, что введение дополнительной жесткости
повышает, а введение дополнительной массы понижает
собственную частоту.
т
Рис. 16.16
20—174,1
305

Применительно к изгибным колебаниям прямоугольных
пластин формула Релея записывается в виде
Я([д2ш д2аЛ2 [7д2аЛ2 д* ш д2 ш~Х\
«г= °
«2 — .
Яр/.
о
Для круговых или кольцевых пластин при осесимметричной
деформации «имеем
С \/й2и) , 1 Аю \2 Л/# 62ю 1 Л» 1 §
о)2^ _* :
г*
| ркш2(г)Ыг
$0<э

ЛИТЕРАТУРА
1. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. шк., 1980.
408 с.
2. Биргер И, А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Наука,
1986. 560 с.
3. Болотин В. В. Ресурс маш-ин и конструкций. М.: Машиностроение,
1990. 448 с.
4. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т, 1: Колебания линейных
систем. М.: Машиностроение, 1978. Зб»2 с.
5. Демидов С. П. Теория упругости. М.: Высш. шк., 1979. 432 с.
6. Работнов Ю. Н. Мех-аника деформируемого твердого тела. М.: Наука,
198а 712 с.
7. Сопротивление материалов/Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Вшца шк.,
1086. 775 с.
8. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука,, 1986. 5112 с.
9. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела:
В 3 томах. М.: Наука. Т. 1, 1976, 832 с. Т. 2, 1978, 6|16 с. Т. 3, 19&1,
480 с.
20*
Ъ*>

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Предмет курса «Механика материалов и конструкций» . . 5
Г.2. Понятие о моделях и расчетных схемах конструкций ... 7
1.3. Основные гипотезы механики материалов и конструкций . 10
К4. Метод сечений. Внутренние силовые факторы в поперечных
сечениях стержня 13
Глава 2. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ МАТЕРИАЛОВ
2.1. Понятие о напряжениях и деформациях 19
2.2. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений ... 22
2.3 Свойства тензора напряжений. Главные напряжения ... 24
2.4. Плоское напряженное состояние 29
2.5. Тензор деформаций 32
2.6. Упругость и пластичность. Закон Гуюа 34
2.7. Потенциальная энергия упругой деформации 40
2.8.. Основы теории прочности 43
2.9 Критерии текучести и хрупкого разрушения ..... 47
Глава 3. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
3 К Механические состояния деформируемых тел 54
3 2. Диаграммы упруго-пластического деформирова.ния
конструкционных материалов 57
3.3. Влияние различных факторов на механические характеристики
конструкционных материалов 63
3.4 Композиционные материалы 73
Глава 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ
4.1. Постановка задач теории надежности 83
4.2. Расчетные нагрузки, коэффициенты запаса 85
4 3|. Расчеты по допускаемым нагрузкам и по допускаемым
напряжениям 88
Глава 5. РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
5 I. Напряжения при растяжении (сжатии) призматических
стержней. Расчет на прочность 90
52. Понятие о концентрации напряжений. Принцип Сен-Венана 94
5.3. Определение деформаций и перемещений 95
308

5.4. Напряженное состояние при растяжении (сжатии) ♦ 97
5.5. Способы определения усилий в статически определимых фермах 98
Глава 6. ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
6.1. Классификация видов изгиба стержней 102
6.2. Дифференциальные зависимости между внутренними
силовыми факторами и внешней нагрузкой при прямом поперечном
■изгибе 103
6.3. Прямой чистый изгиб призматического стержня . . . . 105
6.4. Прямой поперечный изгиб призматического стержня . . . 110
6.5. Рациональные формы поперечных сечений при изгибе . . . 116
6.6. Понятие о составных балках 118
6.7. Дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического
стержня 119
6.8. Применение метода начальных параметров для интегрирования
дифференциального уравнения упругой кривой *. . . . 123
6 9. Расчет балок, лежащих на упругом основании .... 126
Глава 7. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
7.1. Напряжения и деформации при кручении призматических
стержней кругового поперечного сечения 130
7.2. Расчет валов 135
7.3. Расчет цилиндрических винтовых пружин с малым углом
подъема витков 136
7 4. Кручение стержней некругового сечения 1'38
Глава 8. СЛОЖНЫЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
8 I. Принцип независимости действия сил и границы его применения 140
8.2. Косой изгиб призматического стержня 141
8 3. Сочетание косого изгиба и растяжения (сжатия)
призматического стержня 143
8 4. Сочетание изгиба и кручения призматического стержня . . 144
Глава 9. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
КОНСТРУКЦИИ
9.1. Виртуальная работа, обобщенные силы и обобщенные
перемещения 146
9.2. Потенциальная энершя упругой деформации 149
9.3. Принцип виртуальных перемещений. Вариационный принцип
Лагранжа 1'55
9.4. Энергетические теоремы 1'59
9.5. Определение перемещений. Формула Максвелла—Мора . . 164
9.6. Вариационные методы Релея—Ритца и Бубнова—Галеркина 169
9.7. Метод конечных элементов 171
" Глава 10. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
10.1. Общие сведения о методах расчета статически неопределимых
стержневых систем 175
10.2. Степень статической неопределимости стержневых систем 175
ЮЗ. Канонические уравнения метода сил ...,.,. 176
309

10.4. Пос лед о-ва тел ьность расчета статически неопределимых систем
по методу сил 1в0
10.5. Использование симметрии при расчете статически
неопределимых систем. Группировка неизвестных 184
10.6. Канонические уравнения метода перемещений Ш7
10.7. Последовательность расчета статически неопределимых систем
по методу перемещений 4 191
10.8. Определение единичных .и грузовых реакций 193
10.9 Статическая проверка в методе перемещений и построение
эпюр внутренних силовых факторов 198
Глава 11. ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ,
ПЕРЕМЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ
МЛ. Механизм усталостного разрушения 200
М.2. Характеристики сопротивления усталости 201
11.3. Факторы, влияющие на сопротивление усталости .... 205
114. Прочность при регулярном многоцикловом нагружении . 210
Глава 12. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
12.1'. Общие сведения о прочности конструкций и механике
разрушения 213
12.2. Напряжения и перемещения в окрестности трещин . . . 2,10
12.3. Критерии хрупкого разрушения Гриффитса—Ирвина . . . 2,15
Ь2.4. Понятие о накоплении повреждений. Линейное правило
суммирования повреждений 217
Глава 13. ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
13.1». Предпосылки теории изгиба пластим и оболочек .... 220
1-3.2. Изгиб пластин 221
1&.3.. Методы расчета прямоугольных пластин 230
13.4. Осесимметричный изгиб круговых и кольцевых пластин . . 235
13.5. Безмоментная теория тонкостенных оболочек вращения . . 240
13.6. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической
оболочки I 243
13.7. Краевой эффект в круговой цилиндрической оболочке . . 251
Глава 14. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ
И ВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ
14.1. Осесим-метрич,на.я деформация толстостенных цилиндров.
Задача Ламе , 252
14.2. Составные цилиндры 269
14.3. Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах . . 261
14.4. Вращающиеся диски » ..... 264
Глава 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИИ
15.1. Основные понятия теории упругой устойчивости .... 267
15.2. Устойчивость прямолинейного стержня при продольном
сжатии, Формула Эйлера 270
310

15.3 Расчеты на устойчивость за пределами упругости .... 276
15.4. Энергетический метод решения задач устойчивости . . . 279
Глава 16. ДИНАМИКА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
16.1. Основные понятия теории колебаний 281
16.2. Собственные колебания систем с конечным числом степеней
свободы 283
16.3. Установившиеся вынужденные колебания 289
16.4. Динамика систем с распределенными параметрами . . . 2,96
Литература ....,,., 307

Учебное пособие
БЛАГОНАДЕЖНЫ Владислав Львович
ОКОПНЫЙ Юрий Афанасьевич
ЧИРКОВ Виктор Петрович
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
Редактор издательства Е. А. Улановская
Художественный редактор А. Ю. Землеруб
Технический редактор 3. Н. Ратникова
Корректор В. В. Сомова
ЛР № 020528 от 23.04.92 г.
ИБ № 8
Сдано в набор 18.12.92. Подписано в печать 29.03.93 Формат 60X84716
Бумага типографская № 2 Гарнитура литературная Печать высокая
Усл. печ. л. 17,44 Усл. кр.-отт. 17,69 Уч.-изд. л. 14,95
Тираж 1000 Зак. № 1741 С-001
Издательство МЭИ, 105835, Москва, ГСП, Е-250,
Красноказарменная ул., д. 14
Типография издательства МЭИ, 105835, Москва, ГСП, Е-250,
Красноказарменная ул., д. 13
В данном скане опечатки из списка замеченных опечаток исправлены.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Страница,
строка
91, Рис. 5.4
125, Рис. 6.27
195, Табл. 10.2
Напечатано
6
Да (г—ах)
Да (г—а2)
24 И
Должно быть
о
АV(а^)
Да (а2)
±р1