А. Г. ШКОЛЬНИК
ЗАДАЧА
ДЕЛЕНИЯ
КРУГА
*
А. Г. ШКОЛЬНИК
ЗАДАЧА
ДЕЛЕНИЯ КРУГА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА* 1961
Книга А. Г. Школьника, посвящённая вопросу о двучленных
уравнениях и делении круга циркулем и линейкой, представляет
собой написанную очень доступно и вместе с тем на безукориз-
ненном научном уровне монографию по одному из вопросов, наи-
более интересных и поучительных во всей истории математики.
Издание этой монографии имеет поэтому значительную ценность
прежде всего для библиотеки учителя, а затем и для студенчества
и всех интересующихся математикой и развитием её идей.
Действительный член АПН проф. А. Хинчин.
9/Х-1947 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Вопрос о возможности деления окружности циркулем и линей-
кой на равные части (или о возможности построения правильных
многоугольников), с которым мы встречаемся в курсе элементарной
геометрии, не получает там своего разрешения, так как требует
более глубоких средств исследования. Полное решение этой задачи
давалось до сих пор на основе теории Галуа и потому оставалось
в значительной мере недоступным преподавателям средней школы,
не владеющим этой теорией. Настоящая работа ставит своей целью
дать вполне строгое изложение названного выше вопроса более
элементарными средствами, без применения теории групп,
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
1. Решение уравнений вида хп — а = 0, называемых
двучленными, находится в тесной связи с геометрической
задачей построения правильных многоугольников, или,
что то же, с задачей деления окружности на равные части.
Из элементарной геометрии известно, как, пользуясь цир-
кулем и линейкой, построить вписанные в окружность
квадрат и правильные шестиугольник, треугольник, де-
сятиугольник, пятиугольник и пятнадцатиугольник. Из-
вестно, далее, как удвоить число сторон правильного
многоугольника, пользуясь теми же средствами построения.
Таким образом, оказывается возможным делить окружность
на 2^, 3-2^, 5 -2^, 15 • 2k частей. Возникает вопрос,
на сколько же равных частей вообще возможно разделить
окружность при помощи циркуля и линейки. Можно ли,
например, разделить окружность на 7, 9 и т. д. частей?
Задача деления окружности, известная ещё в древно-
сти, получила своё полное разрешение, однако, лишь
в новое время. Решение её выпало на долю юного Гаусса,
выяснившего условия, от которых зависит возможность
построения правильных многоугольников циркулем и ли-
нейкой, доказавшего (1796 г.) возможность построения
правильного семнадцатиугольника и давшего общий метод
и почти исчерпывающее решение всей проблемы.
2. Решение двучленного уравнения хп— а = 0 (а=А0)
равносильно извлечению корня n-й степени из числа а:
х ~ а. Последняя задача допускает, как известно,
следующее решение.
Пусть
а = r(cos ср + i sin <р),
где г — модуль и q> — аргумент комплексного числа а. Кор-
3
нем n-й степени из а называется такое число b = Уа,
что Ьп — а.
Пусть b — p(cos 6 4* i sin 6). Тогда, возводя b в п-ю
степень по формуле Муавра, получаем:
p”(cos nb + i sin п 6) = г (cos <р + i sin ср)
и, следовательно,
р" = г, пЬ — <р 4- 2Ал (k = 0, 1, 2,...),
откуда
6 — уТ2^~
Р = /г>	п
и, следовательно,
b = y-(cos^±^ +i sin^^j (А = 0,1,2,...). (1)
Л г-
Под V г мы здесь понимаем положительное число —
арифметический корень из положительного числа1.
Давая k последовательно значения 0, 1, 2,..., мы полу-
чим для Ь п различных значений при k = 0, 1, 2,..., п—1:
t । n/~ I ® । • • 9 \
т 1' I cos + 1 SIn~ »
\ и	п /
,	п/—!	. • 9-1-27Г \
Ьг — у г cos -------------1- I sin ,
\ П	т: )
1	пг—I	®4-4гс I . .	1-4т: \
62 ~ V г I COS -----------L_ t sln —,
\ п	п /
(2)
пг~ /	с-4-2(п—1)к . . . сс-|-2(п—1)ти\
Ьп^\ = у г cos ——--------* sin	.
\	п	п / j
При дальнейшем увеличении k корни будут повто-
ряться. Например, при k — п у+2”|1: — -i-4-2n и так как2п
п п
есть период для синуса и косинуса, то Ьп — Ьо. Таким об-
разом, корень n-й степени имеет п различных значений.
В частности, при а — 1 (г = 1; <р = 0) мы получаем
особенно важный случай корней п-й степени из единицы*.
е = cos-^- 4- i sin-^- (k = 0, 1, 2,..., n — 1). (3)
n	n
1 В теории иррациональных чисел доказывается, что для вся-
кого положительного действительного числа а всегда существует
П г —
единственный положительный корень n-й степени а.
4
Или подробно:
%= 1.
2я . . .	2т:
Е! = COS-----h I SID --
п	п
4к . . . 4tz
Е2 = COS-------Н zsin -----,
п	п
2(п—1)я . . . 2(п— 1)тг
6.-! = COS -----— 4-1 sin ----— .
п	п J
Так как
л —Г / Ф 1 2k л \ . . . ( Ф 1 2£я\]
bk = yr cos Р-Н------4- I Sin ( “ Н---=
[\п п /	\ п п )
п /— / <р । . . ф \	I	2йтс . . . 2Ьг \
= J/ г COS —“Н S1D — . COS------|-z sin- ,
\n	n 1	\	n	n )
TO
Ьк=Ь-гк.	(5)
Таким образом, зная bo — значение одного корня и-й
степени из числа а, мы можем получить все остальные
корни умножением на все значения корня п-й степени из.
единицы.
Формулы (1) и (3) могут быть записаны в более ком-
пактной форме, если прибегнуть к показательной форме
комплексного числа
а — г • е‘?
(такую форму для комплексного числа мы получим, ис-
пользовав известную формулу Эйлера1, связывающую по-
казательную функцию с тригонометрическими: cos <р +
+ i sin (р =	).
Тогда
_	Ф + 2Ьс.
Ь = г . е п 1 ’	(6)
е = е~ .	(7)
1 Выводится из рассмотрения рядов:
2	Z2,	Z3	2^
= 1 -4—	-4~	4- — -4- , . . ,
1!	2!	3!	4!
z1 2 z4
г»
5
Если воспользоваться геометрическим изображением
комплексных чисел как точек плоскости, то сразу становится
ясной тесная зависимость, существующая между извлече-
нием корня n-й степени и, следовательно, решением дву-
членного уравнения, с одной стороны, и делением окруж-
ности на п частей, или построением правильного много-
угольника, — с другой.
В самом деле, формулы (2) показывают, что все п кор-
ней имеют одинаковый модуль р = yf г и, следовательно,
располагаются на окружности с центром в начале коорди-
нат и радиусом, равным р.
п — 6; а — J = cos 0 —|- г sin 0;
блу- 2fot . . . 2kr.
ей = у 1 =cos —• -р jsin— =
6	6
им
— e 6
^ = 0, 1, 2, 3, 4, 5)
Из рассмотрения же аргументов видно, что каждый из
них отличается от следующего на — ; это и показывает,
п
что точки, изображающие корни n-й степени, делят окруж-
ность на п равных частей, что они располагаются в вер-
шинах правильного п-угольника (см. черт. 1 и 2).
6
3. Итак, извлечение корня, или решение двучленного
уравнения, эквивалентно геометрической задаче деления
окружности, или построения правильного многоугольника.
Нашей целью является исследование условий, при кото-,
рых эта задача на построение разрешима с помощью цир-
куля и линейки. Иными словами, нужно установить, в
каких случаях корни двучленного уравнения могут быть
построены при помощи циркуля и линейки. Но как реша-
ется вопрос о возможности построения циркулем и линей-
кой корней любого уравнения вообще?
Из элементарной геометрии известно, как (с помощью
циркуля’ и линейки) строить сумму или разность данных
отрезков а + b или а — Ь, произведение отрезка на целое
.	ob
число т • а, четвертую пропорциональную --------и сред-
। с
нее геометрическое Следовательно (полагая в вы-
ab	г---
ражении ~ 6 = 1 и с-6, а в выражении у ab b = 1),
мы видим, что можем построить отрезки:
ab,	У а.	(8)
Отсюда вытекает, что при помощи циркуля и линейки
можно построить любую функцию данных величин (отрез-
ков), если для её получения приходится совершать конечное
число раз следующие пять операций', сложение, вычитание,
умножение, деление и извлечение квадратного корня.
В частности, следовательно, можно построить корни
квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0:
__ — Ь 4ц/ Ь2 — 4 ас
Х1’2	 2И	’
так как для получения их из данных величин а, Ь, с над
ними не приходится производить никаких иных действий,
кроме указанных выше операций: уравнение ах2 + Ьх +
+ с = 0 разрешимо в квадратных радикалах.
Предположим обратно, что некоторая величина (отре-
зок) — пусть это будет корень какого-либо уравнения —
может быть построена с помощью циркуля и линейки. Вся-
кое построение циркулем и линейкой разбивается на ряд
элементарных построений, которые заключаются в нахож-
дении точек пересечения либо двух прямых, либо прямой
и окружности, либо двух окружностей. Аналитически.для
нахождения координат искомых точек приходится решать си-
7
стему двух уравнений: в случае двух прямых—это два урав-
нения I степени; в случае прямой и окружности — одно
уравнение I степени и одно уравнение II степени; в слу-
чае двух окружностей — два уравнения II степени. Во всех
случаях системы разрешимы в квадратных радикалах (или
даже без их помощи). Это очевидно в первом и во втором
случаях. В последнем случае приходится решать систему
уравнений:
j (х~ а)1 2 + (у — Ь)2 = г2,
j (% —	2 + (у — bi)2 = гЛ
Открывая скобки и вычитая одно уравнение из друго-
го, мы получим уравнение I степени:
2(а1~а)х 4- 2(&х— Ь) у + (а2+Ь2 — г2 — а^—b^^r^) = 0г
Определяем из него х или у, подставляем в одно из ис-
ходных уравнений, и дальнейшее сводится к решению
квадратного уравнения. Итак, координаты искомых точек
будут выражаться при помощи квадратных радикалов.
Искомая величина (отрезок) найдётся как расстояние меж-
ду этими точками. Но формула аналитической геометрии
d = 1^(х2 — х^2 + (у2 — yi)2t дающая расстояние между
двумя точками по их координатам, не содержит никаких
других иррациональностей, кроме квадратного радикала;
поэтому не будет их содержать и искомое выражение для
данной величины. Таким образом, если некоторая величи-
на может быть построена циркулем и линейкой, то она
выражается (через данные величины) в квадратных ради-
калах. Итак, окончательно мы можем сделать следующее
заключение:
Для того чтобы корни уравнения f(x) = 0 могли быть
построены с помощью циркуля и линейки, необходимо и до-
статочно, чтобы уравнение это разрешалось в квадратных
радикалах Ч
Мы видим, таким образом, что поставленная нами за-
дача деления окружности, или построения правильного
многоугольника, циркулем и линейкой сводится к вопросу
о разрешении двучленного уравнения в квадратных ради-
калах.
4. Возможность разрешения двучленного уравнения в
квадратных радикалах будет зависеть, как мы увидим,
1 Подробнее о разрешимости уравнений в радикалах
см. ниже (§ 3)»
8
от свойств целого числа п — степени двучленного уравне-
ния. При установлении этой зависимости нам придётся
опираться как на некоторые свойства целых чисел, так и
на некоторые свойства целых рациональных функций
(многочленов, или полиномов). Простейшие из них, чтобы
к этому в дальнейшем не возвращаться, мы здесь напом-
ним. Причём, так как многочлены (целые рациональные
функции) ведут себя во многих отношениях как целые
числа, то мы, чтобы проследить эту аналогию, изложим
свойства тех и других параллельно. На доказательстве в
большинстве случаев останавливаться не будем.
Для двух (целых и по-
ложительных) чисел а и b
(а Ь) всегда можно най-
ти два числа q (частное)
и г (остаток) таких, что:
а = bq + г (0 < г < Ь)
(«делимое равно делителю,
умноженному на частное,
плюс остаток»). Если
г = 0 и, следовательно,
a=bq, то а делится на 6,
или кратно b\ b является
белителем а.
Для двух многочленов
Дх) и g(x) всегда- можно
найти два многочлена q(x)
(частное) и г(х) (остаток)
таких, что (тождественно):
/(*) = g(x) • q(x) 4- r(x),
причём степень г (х) мень-
ше степени g(x).
Если г(х) = 0 и, следо-
вательно, /(х) = g(x) • q(x),
то f(x) делится на g(x);
g(x) есть делитель фун-
кции f(x).
I. Имеют место следующие простые предложения
(теоремы о делимости):
1.	Если а делится на Ь,
а Ь делится на с, то и а
делится на с.
2.	Если а и b делятся
на с, то и их сумма или
разность а ± b разделится
на с Ч
3.	Если а делится на с,
то и ab делится на с.
1.	Если f(x) делится на
g(x), a g(x) делится на
/г(х), то и f(x) делится, на
/г(х).
2.	Если Дх) и g(x) де-
лятся на /г(х), то и их
сумма или разность Дх)±
± g(x) разделится на й(х).
3.	Если Дх) делится на
/г(х), то и Дх) g(x) делит-
ся на /г(х).
1 Если же а делится на с, а b не делится на с, то и сумма
а 4- b не разделится на с (то же относится и к функциям),
9
II. Наибольший общий делитель
Число с, являющееся
одновременно делителем
двух (или более) данных чи-
сел а и Ь, есть их общий
делитель. Наибольший из
этих делителей, который
делится на все остальные
общие делители чисел а и
Ь, есть их наибольший об-
щий делитель. В символах:
(а, Ь) — d.
Числа, не имеющие общих
делителей (кроме единицы,
являющейся делителем вся-
кого числа), называются
взаимно простыми. Для них
наибольшим общим дели-
телем служит единица:
(a, b) = 1.
Если d = (а, Ь), то
а = d . Л1, b : d • bi,
где аг и bi — взаимно про-
стые числа.
Нахождение наибольше-
го общего делителя произ-
водится методом последо-
вательного деления с по-
мощью алгорифма Евклида:
а делится на Ь, затем b
делится на первый оста-
ток гъ далее первый оста-
ток/!—на второй остаток г2
и т. д. Так как остатки
убывают, то неизбежно
придём к остатку rm+i =0.
а = bqi + ri
b = i\q2 + rz
ri = r2qs + r3
Гт—З ~ An—2<7m—iH- f'm—l
fm—2 = fm—iqm fm
f m—l = An * <?/n-|-i
10
Если многочлены f(x) и
g(x) делятся на h(x), то
h(x) есть их общий де-
литель. Делитель наи-
высшей степени (опреде-
ляемый с точностью до по-
стоянного множителя), ко-
торый делится на всякий
другой общий делитель
функций f(x) и g(x), есть
их наибольший общий дели-
тель. Обозначаем его так:
(№), g(x))=D(x).
Многочлены, не имею-
щие общих делителей
(кроме постоянного, на
которое делится всякий
многочлен), называются
взаимно простыми. За их
наибольший общий дели-
тель можно принять еди-
ницу
(ZW. g(x)) = 1.
Если £>(х) — (Дх). g(x)), то
f(x) = D(x) . fi(x)
g(x) = D(x) • g!(x),
причём многочлены h(x) и
gi(x) взаимно простые.
Нахождение наиболь-
шего общего делителя
многочленов производится,
как и для чисел, с по-
мощью алгорифма Евклида:
f(x) делится на g(x), g(x)
делится на первый оста-
ток Г1(х), затем первый
остаток ri (х) — на второй
остаток г2 (х) и т. д. Так
как степени остатков убы-
вают, то некоторый оста-
ток должен стать равным
нулю; пусть /"„^.Дх) — 0.
Последний, не равный
нулю, остаток гт и есть
наибольший общий дели-
тель. Докажем это. В
том, что гт есть общий де-
литель чисел а и Ь, убеж-
даемся, рассматривая на-
писанные равенства снизу:
из последнего следует, что
rm_i делится на гт, из пред-
последнего, — что на гт де-
лится Г т-2 и т. д., пока
не дойдём до b и а. Чтобы
убедиться, что гт делится
на всякий общий делитель
а и Ь, поступим так.
Из предпоследнего ра-
венства:
гт = Гт—2 — Гт-1  qm, (*)
из предшествующих ра-
венств:
I = Gn—3	Гт—2 • Qm—Ъ
Гт—2 “ //7—4	/я—3 • Qm—2,
Г1 = а — bqu
Подставл я я последова-
тельно значения rw_b
г/п-2» -•» ri в (*), выразим
гт через а и Ь:
гт= аа + Ь$,
где а и р — целые (но не
обязательно положитель-
ные) числа. Это равенст-
во и показывает, что гт
делится на всякий общий
делитель а и Ь, т. е. что
rm = d. Это можно фор-
мулировать так: если d
есть наибольший общий
делитель натуральных чи-
сел а и Ь, то всегда мож-
Тогда
Кх) = gW • q^x) + rjx),
gW = r^x) • qz(x) 4- nW.
nW = nW- q3(x) + r8W,
гт—з{х) — rm_2(x)qm—100 4" ’
+ rm-lW,
гm—2OO “ Пг—+
+ rm(x),
rm-i(x) = rm(x) qm+ifx).
Последний, не равный
тождественно нулю, оста-
ток гт(х) и есть наиболь-
ший общий делитель.
В том, что гт(х) есть дели-
тель /W и gW> Убеж-
даемся так же, как и для
целых чисел, рассматри-
вая равенства снизу вверх.
Далее из предпоследнего
равенства находим гт(х):
Гт(х) = Г„,_2(х) —
— r,n-i(x)qm(x). (*)
Затем, идя снизу вверх,
определяем из остальных
равенств остатки гт_} (х),
/•„,_2(х) и т. д.:
6n-lW = г ,„_3(х) —
— r,„_2W <7m-lW>
rm-2(x) = rm_4(x)—
— rm-3W^»«-2W.
nW = /W — g W • 9iW-
Подставляя последо-
вательно найденные зна-
чения rm-iW, /'m-zW,---,
П W B (*). выразим rm (x)
через f (x) и g (x):
/"mW =fW • <F W +gW • 4W.
11
но подобрать два целых
числа аир так, что:
а • а + b • р = d.
В частности, если а и b
взаимно простые, то мож-
но подобрать аир так,
чтобы
а  а + Ь  р = 1.
где ф(х) и ф(х) —• неко-
торые многочлены. Это ра-
венство и показывает, что
г,„(х) делится на всякий
общий делитель функций
/(х) и g(x), т. е.,что
rm(x) = D(x).
Полученное соотноше-
ние можно выразить так:
если D (х) есть наиболь-
ший общий делитель мно-
гочленов /(х) и g (х), то
всегда можно найти два
многочлена <р (х) и ф (х)
таких, что
/(х) • ф(х) + g(x) • Ф(х) =
= D (х).
В частности, если функ-
ции f (х) и g (х) взаимно
простые, то можно подо-
брать <р (х) и ф (х) так,
чтобы
/(х) ф(х) + Жх) |(х) = 1.
III. Для взаимно простых чисел (многочленов) имеют
место следующие теоремы:
1.	Если произведение
а-b делится на с, а а
взаимно просто с с, то b
делится на с.
2.	Если а взаимно про-
стое с с и b взаимно про-
стое с с, то и их произве-
дение а • Ь взаимно про-
стое с с.
3.	Если а делится на
каждое из двух взаимно
простых чисел бис, то
оно делится и на их про-
изведение b . с.
1.	Если произведение
многочленов /(х) • g(x)
делится на А(х), а /(х) и
й(х) взаимно простые,
то g(x) делится на б(х).
2.	Если Дх) взаимно
простое с Л(х) и g(x) вза-
имно простое с Л(х), то
их произведение Дх) g'(x)
взаимно простое с h (х).
3.	Если f (х) делится
на каждый из двух взаим-
но простых многочленов
g (х) и h (х), то он де-
лится и на их произведе-
ние g(x) • А(х).
12
Доказательство этих предложений без труда прово-
дится, если воспользоваться соотношениями аа +	= 1
И /(%) ф(х) + g(x)’b(x) = 1.
Число, которое делится только на 1 и на самого себя,
называется простым. Простому числу в теории многочле-
нов соответствует понятие неприводимого, не разлагаю-
щегося на множители многочлена. На понятии неприводи-
мости мы остановимся ниже (§ 3, 1).
Если р — простое число, то всякое число или делится
на р или взаимно простое с р.
Если произведение а • b делится на простое число р,
то по крайней мере один из сомножителей делится на р.
Всякое (натуральное) число п может быть единственным
образом разложено на произведение простых чисел. Если
при этом делитель рг встречается ад раз, делитель р?—раз
и т. д., то разложение числа п на простые множители
имеет следующий вид:
а, а,	ам
П - р; . р;... р .
В теории чисел вообще, и в частности в нашем вопросе,
важную роль играет число чисел взаимно простых спи не пре-
вышающих п\ эта величина носит название числовой функ-
ции Эйлера и обозначается символом ср (я). Если р—простое
число, то, очевидно, <р(р) = р—1. В общем же случае
выражение для функции <р(п) более сложное; оно может
быть получено элементарными методами теории чисел. Мы
выведем выражение для <р(п) ниже (§ 2, 3), попутно с рас-
смотрением свойств двучленных уравнений.
§ 2, ДВУЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Решение уравнения хп — а = 0 сводится, как мы
видели выше, к извлечению корня n-й степени из числа а.
Задача эта была решена нами в предшествующем параграфе
(§ 1, 2) с помощью тригонометрических или показатель-
ных функций. Это трансцендентное решение является,
однако, недостаточным для наших дальнейших целей, ибо
нас интересует возможность разрешения двучленного урав-
нения в квадратных радикалах; полученное же решение
ответа на этот вопрос не даёт. Поэтому мы займёмся вы-
яснением возможности решения двучленного уравнения
алгебраическими средствами.
13
Как мы видели выше, все п корней уравнения хп — а —
— О (а=#0) различны. В том, что это уравнение не имеет
кратных корней, можно было бы убедиться ещё и так.
Каждый кратный корень функции является, как извест-
но, корнем её производной. Производная же f (х)=пхп~1
не имеет других корней, кроме х — 0, не являющегося
корнем функции f(x) — хп — а.
Покажем, что решение уравнения ха — а = 0 можно
свести к нахождению одного какого-нибудь корня этого
уравнения и решению уравнения хп — 1 =0.
Пусть а—какой-нибудь корень уравнения хп — а —О,
а е — любой корень уравнения хп — 1 — 0, т. е.
какой-нибудь корень п-й степени из единицы. Тогда а • е
является также корнем уравнения хп — а = 0. В самом
деле:
(а • е)" = ап • е" = а • 1 — а.
Пусть а и Р — два каких-нибудь корня уравнения
хп — а — 0.
/ р \П	р«	а	.
Тогда	I — I =	— =	— —	I,
\ а /	ап	а
/ R -	В
но соотношение —) =1 указывает, что — есть корень из
\ а /	а
единицы:
— = е: р = ае.
а
Если, следовательно, а есть корень двучленного урав-
нения хп — а = 0, то любой другой его корень (J мы по-
лучим умножением а на корень n-й степени из единицы;
мы получим, таким образом, все корни уравнения
хп — а = 0 умножением одного его корня на все корни п-й
степени из единицы, т. е. на все корни уравнения хп — 1 —
= 0. Таким образом, решение уравнения хп — а = 0 сво-
дится к нахождению одного какого-нибудь корня этого урав-
нения и к решению уравнения хп — 1 = О1. Этим уравне-
нием мы в дальнейшем и будем заниматься.
2. Обратимся теперь к рассмотрению свойств корней
уравнения
хп — 1 = 0,	(1)
1 Это предложение может быть доказано ещё так. Пола-
гаем х=а»у и подставляем в данное уравнение;
«”^-а=0; aytl- а = 0; а(уп — 1) = 0; уп — 1 — 0,
14
или, что то же, свойств корней n-й степени из единицы.
Для наглядности будем иллюстрировать получаемые соот-
ношения, прибегая к геометрическому истолкованию кор-
ней n-й степени из единицы как вершин правильного п-
угольника, вписанного в круг единичного радиуса.
Как мы видели выше, все п корней уравнения (1)е0,
8д, ба,..., получаются по формуле:
2 я ik
ек — cos^—|- i sin?^-= е п (k — 0, 1, 2,..., п—1). (2)
п	п
Отсюда легко видеть, что
при любом k
Ч =(61?.	(3)
Таким образом,	все
корни n-й степени из еди-
ни цы могут быть полу-
чены как последователь-
ные степени первого кор*
2тЛ
ня Bi = е п (корень =
== 1, общий для всех
уравнений хп — 1 = О,
представляет тривиаль-
ное решение):
61, е?, 61»,..e,tn = 1,
причём, заметим, в этом
случае сохраняется расположение корней в порядке воз-
растания их аргументов; это расположение будем называть
натуральным.
2ти
В геометрическом истолковании умножение на е п есть
2п
поворот 1 на угол — .Соотношение (3) допускает, таким
п
образом, следующую совершенно очевидную геометриче-
скую интерпретацию: все вершины правильного «-уголь-
ника могут быть получены из первой его вершины (Лг)
путём последовательных поворотов на угол — (черт. 3;
п
п = 8).
1 Умножение на комплексное число z ~ p(cos 7 i sin у)
равносильно, как известно, растяжению модуля в о раз и повороту
на угол
15
Покажем следующее свойство корней уравнения (1).
Если б и е'—корни n-й степени из единицы, то их произве-
дение е • е', частное — , а также любая целая степень е*
представляют собой тоже корни n-й степени из единицы.
В самом деле, по условию бл = 1 и б'л = 1; тогда:
(е . е')л = ел • б'л = 1 -1 = 1
/ е	1
(. Е J	е'« ~ 1 ~ 1
(е*)л = Zkn = (ел)А = 1* = 1.
Таким образом, предложение доказано. Геометрически
оно иллюстрируется так: при повороте какой-нибудь вер-
шины правильного n-угольника (в положительном или
отрицательном направлении) на угол, соответствующий
другой (или той же самой) вершине этого n-угольника, мы
получим опять некоторую вершину этого же многоуголь-
ника.
Пусть б — какой-нибудь корень n-й степени из едини-
цы. По доказанному, в бесконечной последовательности
б, е2, б3,..., ба...
каждый член является корнем n-й степени из единицы.
В этой последовательности содержится, в частности, и
член, равный 1. Таким будет во всяком случае бл, но мо-
жет оказаться равным единице и какой-нибудь из предше-
ствующих членов. Пусть т — наименьший показатель,
при котором
= 1.
Мы скажем тогда, что корень б принадлежит показа-
телю т.
Показатель т> к которому принадлежит какой-нибудь
корень n-й степени из единицы, должен быть делителем
числа п.
Докажем это. Пусть в — принадлежащий показателю
т корень n-й степени из единицы.
Допустим, что п = ту + (0 < г < т).
Тогда	ел = Em<i+r ~ (еот)^ег — бг,
т. е. бг = 1. И так как г < пг, то, если бы г было отлично
от нуля, это противоречило бы тому условию, что е при-
надлежит показателю т. Итак, г = 0 и, следовательно,
п = т • q, т. е. т есть делитель п.
Если корень б уравнения хл — 1 *= 0 принадлежит
показателю п, т. е. является корнем данного уравнения,
но не удовлетворяет никакому уравнению хт — I — О,
16
степени, меньшей, чем п, то такой корень называется пер-
вообразным корнем уравнения хп —- 1I = 0, или, просто,
первообразным корнем п-й степени. Таким корнем навер-
но является первый корень
2гл
= е п ’
2-ik
так как е? = 1, но sf = е п ^=1 (при k < п). Но,
кроме еъ существуют ещё другие первообразные корни.
Вершину /i-угольника, соответствующую первообраз-
ному корню, мы назовём собственной вершиной. Собствен-
ная вершина n-угольника не принадлежит никакому мно-
гоугольнику с меньшим, чем п, числом вершин. Такой
вершиной наверно является первая (после начальной)
вершина п-уголышка.
Основным свойством первообразных корней является
следующее:
если г есть какой-либо первообразный корень уравнения
х” — 1 = 0, то ряд из и последовательных его степеней
г, г2,..., г" = 1	(4)
представляет все п корней п-й степени из единицы (в отлич-
ном, вообще говоря, от натурального расположения порядке).
Мы видели, что этим свойством обладал первый корень
2 я/
п. Покажем справедливость этого для всякого
первообразного корня. В самом деле, каждый член написан-
ного ряда есть корень данного уравнения, и все они между
собой различны. Действительно, если предположить, что при
£ >/ г* = rz, то rk~l= 1, а так как k — I < п, то г не
был бы первообразным корнем, что противоречит условию.
Отмеченное свойство первообразных корней показы-
вает, что для решения двучленного уравнения хп — 1 =
= 0 достаточно найти только один его первообразный
корень; все остальные корни будут получены из найденно-
го первообразного корня путём последовательного воз-
вышения его в степень.
Если корень не является первообразным для уравне-
ния хп — 1 = 0, то он принадлежит к некоторому пока-
зателю т (т — делитель и) и, следовательно, будет пер-
вообразным для уравнения хт — 1 =0 низшей степени.
Как узнать, является ли данный корень первообраз-
ным и если нет, то к какому показателю он принадлежит
(первообразным корнем какой степени он является).
2 Заказ 2146
17
Ответ даёт следующая теорема.
Пусть г — какой-либо первообразный корень уравне-
ния хп — 1 — 0; тогда, как мы видели, ряд (4) представ-
ляет все корни этого уравнения. Теорема утверждает, что
корень rk принадлежит к показателю у , где d — есть
наибольший общий делитель чисел kun. Докажем это.
Пусть rk принадлежит показателю т. Это значит,
что
= rkm = 1,
причём т должно быть наименьшим числом, при котором
это соотношение имеет место.
Так как г есть первообразный корень n-й степени, то
из равенства rkm = 1 следует, что km должно быть крат-
но п:
km = nq.
Если d есть наибольший общий делитель k и п, то
k — kid и п = nid,
где ki и п1 взаимно простые. Подставляя k и п в напи-
санное соотношение и сокращая на d, получим:
крп —п^.
Отсюда следует, что ^т должно делиться на П1 и так
как ki и nt взаимно простые, то т должно делиться на п^
Наименьшее возможное для этого значение т есть т = пг.
Покажем, что {гк)п> действительно равно единице. В са-
мом деле:
[rk)n* = rkril = rkl d"1 = rkl n = (гл )Л« = 1.
И так как, по доказанному, есть наименьшее значе*
ние для т, то принадлежит показателю nl9 но
Таким образом, теорема доказана.
Отсюда вытекает такое следствие.
Для того чтобы г* было первообразным корнем n-й сте-
пени, необходимо и достаточно, чтобы k было взаимно
простым с п.
Действительно, если (А, и) = 1, то d = 1 и г* принад-
лежит показателю п, т. е. является первообразным кор-
нем. Если же (k, п) « d^-1, то ^-<п и г* принадлежит
1
показателю, меньшему, чем п, и первообразным корнем
уже не является.
Замечание. Доказанная теорема и следствие из
неё не зависят от того, какой первообразный корень при-
нят за основание ряда (4); данный корень может принадле-
жать только к одному какому-нибудь показателю, не-
зависимо от того первообразного корня, при помощи ко-
торого он выражен. Показать это можно так. Пусть р —
какой-нибудь другой первообразный корень данного урав-
ния; тогда
р, р2... р" —\ р"
также представляют собой все корни нашего уравнения.
Как выразится в этом ряду корень г*?
Так как г есть первообразный корень, г = ps, где s
взаимно простое с п. Отсюда
гк = (р’)* = р^.
По доказанной теореме корень р1* должен принадле-
жать показателю — , где = (sk, п). Но наибольший
общий делитель чисел sk и п и k и п один и тот же, так
как s взаимно простое с п. Поэтому dx — d. Получаем,
следовательно, тот же самый показатель.
В частности, если за первообразный корень принят
„	о	П
«первый» корень n-и степени = е и все корни
<	I л п )
е0 = 1, еъ	Ел-1 \	= е /
расположены, следовательно, в натуральном порядке, то
можно сказать, что k-й по порядку корень принадле-
жит к показателю —, где d = (п, k)\ &k является перво-
d
образным в том случае, если индекс k взаимно простой с п.
Из сказанного следует, что первообразных корней
уравнения х“ — I =0 существует столько, сколько есть
чисел взаимно простых с п (и не превосходящих п). И в
частности, если п — простое, то первообразных корней
будет п— 1.
Пример, х12 — 1 = 0. Из 12 корней этого уравне-
ния 80 = 1, 8ц, е2, 83, 84, 85, 86, 8;, 8g, 8e, 81Q, 8ц
первообразными будут корни, индексы которых взаимно
простые с 12:
81, 8g, 8, , 8ц.
2*
19
Делители 12 следующие: 6, 4, 3, 2, 1.
Показателю 6 будут принадлежать (т. е. будут перво-
образными для уравнения х6 — 1 = 0) корни с индекса-
ми, имеющими с 12 наибольший общий делитель, ойреде-
12
ляемый из соотношения — = б, т. е. имеющими с 12 наи-
больший общий делитель
d = 2; таковы корни
®2>
Далее так же устанав-
ливаем, что показателю 4
принадлежат корни 83 и
е9, показателю 3 — корни
6 4 и е8 и показателю 2 —
корень 8в. Корень е0 = 1,
общий для всех уравне-
ний Xя — 1=0, можно
считать первообразным для
уравнения х — 1=0 и,
следовательно, принадле-
жащим показателю 1.
Геометрически разобранный пример интерпретируется
так. В правильном двенадцатиугольнике (см. чертеж 4)
вершины:
Ai, А6, А„ Аи — собственные для двенадцатиугольника;
Л2,	—	принадлежат шестиугольнику;
Л3, Ая — принадлежат четырёхугольнику;
Л4, Л8 — принадлежат треугольнику;
А в—есть точка деления окружности пополам и
Ло — начальная точка всех рассматриваемых
многоугольников.
3. Мы видели, что число первообразных корней л-й сте-
пени равно числу чисел, меньших л и взаимно простых
с л. Величина эта, как мы указывали выше (§ 1, 4), носит
название функции Эйлера и обозначается символом <р (и).
Итак, число первообразных корней уравнения х" — 1 =
= 0 равно <р(л). Мы ставим сейчас своей задачей вывести
выражение для этой числовой функции.
Заметим прежде всего следующее: если г и s—числа
взаимно простые, то уравнения хг — 1 — 0 и Xs — 1 =0
не имеют общих корней, кроме х — 1. В самом деле, пусть
а — общий корень этих уравнений, тогда
ar = 1 и u1 = 1.
20
Так как (г, s) = 1, то можно подобрать т^акие целые
числа р и о, чтобы
г • р -J- s • о — 1,
а тогда а =	• ₽ + »• » = (ar)p . (а*)3 = 1,
т. е. а необходимо равно единице.
Возвращаясь к функции <р (п), мы в первую очередь по-
кажем следующее её свойство: если г и s взаимно простые,
Г°	Ф(г • s) = фМ • 4>(s).	(5)
Чтобы вывести это соотношение, рассмотрим соответ-
ствующие двучленные уравнения:
xrs — 1 — 0, хг — 1 = 0, Xs — 1 — 0.
Последние два из них, как мы видели, не имеют общих
корней (кроме х ~ 1).
Пусть а — первообразный корень уравнения хг — 1 =
= о, а Р— первообразный корень уравнения Xs— 1 =
= 0. Покажем, что их произведение а • ₽ является пер-
вообразным для уравнения х" — 1=0. Прежде всего
убеждаемся, что ар есть корень этого уравнения:
(сф)" = а" • р" = (a')s • (₽*)' = 1.
Пусть ар принадлежит показателю т:
(ap)'” = 1.
Отсюда
ат = р-тф
ат есть корень уравнения хг — 1=0, Р~т — корень урав-
нения Xs — 1 = 0, и так как эти уравнения не имеют об-
щих корней, кроме единицы, то
а”‘ =	= 1.
Так как а есть первообразный корень уравнения
хг— 1=0, то из ат = 1 следует, что т должно быть крат-
но г, точно так же из равенства р_,”= 1 следует, что т дол-
жно делиться на s, и так как г и s взаимно простые, то т
должно делиться на их произведение г  s. Поэтому на-
именьшее значение для т есть г . s. Корень ар принадле-
жит, таким образом, показателю rs, он есть первообраз-
ный корень уравнения xrs— 1 = 0. Так как уравнение
хГ — 1 =0 имеет <р(г) первообразных корней, а уравне-
ние Xs — 1 =0 ф($) первообразных корней и все эти кор-
ни между собой различны, то отсюда следует, что все
21
ф О') • <p(s) произведений вида ар являются первообразными
корнями уравнения xri — 1=0. Покажем, что никаких
других первообразных ксрней это уравнение не имеет.
Пусть т — первообразный корень уравнения xrs —
— 1=0. Так как (г, s) = 1, то можно подобрать два та-
ких целых числа р и о, что
г  р + s • а = 1
(заметим при этом, что рис, а также г и а должны быть то-
же взаимно простыми; в противном случае единица должна
была бы делиться-на их общий делитель, что невозможно).
Тогда
-у = -угр+ла — уГр ,
есть корень уравнения хг — 1 = 0, так как =
= v3' = (V')3 = 1; покажем, что есть первообраз-
ный корень этого уравнения. Пусть 7ЛЗ принадлежит
показателю т\
Так как у принадлежит показателю rs, то scm должно
быть кратно rs, а, следовательно, от должно быть крат-
но г; а так как а и г взаимно простые, то т должно делить-
ся на г. Наименьшее значение для т при этом условии tn —
= г; таким образом, есть первообразный корень урав-
нения хг — 1=0. Совершенно аналогично доказывается,
что 7^ есть первообразный корень уравнения х* — 1 =0.
Итак, всякий первообразный корень уравнения х™ — 1 =
= 0 есть произведение первообразных корней уравнений
хг — 1 = 0 и Xs — 1=0.
Так как, с одной стороны, число первообразных кор-
ней уравнения xrs — 1 =0 равно числу чисел взаимно
простых с rs и не превосходящих rs, т. е. равно <p(rs), и так
как, с другой стороны, все первообразные корни этого
уравнения представятся в виде <р(г) • <p(s) произведений
вида а • р (где аир — первообразные корни \равнений
(xf — 1 = 0 и Xs — 1=0), то отсюда и вытекает, что
<р(г • $) = <р(г) • <р($).
Теорема эта индуктивно распространяется на любое
число сомножителей. Пусть теорема верна для п — 1 по-
парно взаимно простых сомножителей:
ф(<71 • <7г- ?«-1) = Ф(<71) • Ф(?а) -ф(<7„-1).
22
Докажем, что в таком случае она имеет место и для п
сомножителей. Так как qt • q2...qn~i и qn взаимно про-
стые, то
••••	~	••• ?и-|) • Ф (?«)>
откуда, принимая во внимание допущение, получаем:
ф(<71<72-<7я) = <P(<7i) • ф(<?г) -ф(<7«).	(б)
Теорема доказана.
Для р простого ф(р) = р — 1. Найдём функцию Эйлера
для того случая, когда п есть степень простого числа:
n = Р* •
В ряду чисел от 1 до р’:
1, 2, 3,..., р’
общие делители с р’ имеют числа, кратные р:
р, 2р, Зр.. р’-1 • р;
таких чисел имеется р’-1. Остальные же числа взаимно
простые с р’. Их будет р’ — р’-1. Таким образом,
ф(р*) = Р*-'(Р — 1).	(7)
А теперь нетрудно получить выражение для функции
ф(п) в общем случае. Пусть п = р^<, р21-.... pft“*.
Так как все сомножители pf', pf‘  р/* — числа
попарно взаимно простые, то, применяя доказанную выше
теорему, получаем:
ф(«) = Ф(Р1’1 • Ра*;- • -Р/*) = ф(Р1а1) • Ф(р2,г) • • • ф(рй«*) =
= Pi*1"1 Oh — О • Р^~' (Pi — 1)... Р*’* ~ ’(рА — 1).
Итак, функция Эйлера ф(п), дающая число чисел, взаим-
но простых с п и не превосходящих п, или число первооб-
разных корней уравнения хп — 1 =0, выражается сле-
дующим образом:
Ф(п) = р^р.^-1... pk> -'(Р1 - 1) (р2-1)... (pft—1).	(8)
Например: 1) п = 12 = 22 • 3; ф(12) = 2 • (2 —1) (3—1) = 4
2) п == 54 = 2 • З8; <р(54) = З2 • (2—1) (3—1) = 18.
Заметим ещё следующее свойство функции ?(л). Если взять,
все делители числа п (включая само п и единицу):
1, rfi d^ ... ,dkt п
и принять ср (1)= 1, то сумма
?(1)+?№) + т№) + ... + <f(4) + r(n) = n.
Это следует из того, что
1)	каждый из л корней уравнения хп — 1 = 0 является перво-
28
образным для одного (и только одного) из уравнений xd — 1 = О
(где 1,	d?, . . .,d^, n);
2)	что каждый корень уравнения — 1=0 есть также корень
уравнения х1 — 1 = 0 и что
3)	число первообразные корней уравнения xd—1 — 0 равно 'f(d).
Так, например, для п= 12 имеет место соотношение:
Ф (1) + Ф (2) + ф (3) + Ф (4) + ф (6) + Ф (12) = 12,
в чем мы убедились непосредственно, разбивая в рассмотренном
выше примере уравнения xi2 — 1 — 0 12 его корней на группы по
их «первообразною принадлежности.
§ 3. О РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ В КВАДРАТНЫХ
РАДИКАЛАХ
1.	Поставленная нами задача о возможности построе-
ния циркулем и линейкой правильных многоугольников
равносильна, как мы видели (§ 1, 3), вопросу о разреши-
мости двучленного уравнения в квадратных радикалах.
Оставляя на время двучленные уравнения в стороне, мы
поставим вопрос в более общей форме — о возможности
решения в квадратных радикалах любого алгебраического
уравнения. При исследовании этого вопроса (и более об-
щего — о разрешимости уравнения в радикалах вообще,
не только в квадратных) существенную роль играют поня-
тия числового поля и неприводимого многочлена.
Полем в алгебре называется множество чисел, обладаю-
щих тем свойством, что результат рациональной операции
(за исключением деления на нуль) над числами (элемента-
ми) этого множества есть опять элемент того же множества.
Таким образом, действия сложения, вычитания, умноже-
ния и деления (за исключением деления на нуль) над
элементами поля, как говорят, не выводят за пределы
этого поля. Множество всех рациональных чисел есть
поле. Полем будет также, например, множество всех чисел
вида а-]-Ь}/2, где aub—рациональные числа, так как
результат сложения, вычитания, умножения и деления над
числами этого вида есть число того же вида:
{а + &И2 ) ± (fli + fei/2) = (а ± at) + (b ± Ь^УЯ-
(с И- ЬУ2) • (й1	bi У 2 ) = (oflj -|~ 2bbi) ~l~ (obi -|~ fyfi)y 2
a -f- &У~2  (a -}- fe У2~) (at — b, ]/~2 )  aat — 2bbj .
Ъ+ЬУг (а1 + 1'1У2)(а1-1>1У2) a*-2lf
.	—afe, —
a2L-2b'tV
24
Нуль сам по себе образует поле. Всякое иное числовое
поле Р содержит в себе поле R как часть, так как, содер-
жа какой-нибудь элемент а (=#()), оно должно содержать
и — = 1, 1 + 1 — 2 и т. д.
а
Если наряду с полем Р мы рассматриваем новое поле
Ръ такое, что все элементы Р принадлежат полю Рх, но
которое, кроме них, содержит еще и другие элементы, то
поле Pi называется расширением поля Р.
Если к полю Р присоединён новый элемент а, то для
того чтобы новая область продолжала оставаться полем,
необходимо наряду с числом а присоединить и все те чис-
ла, которые получаются в результате рациональных дей-
ствий над элементами Р и числом а. При этих обстоятель-
ствах мы скажем, что новое поле (расширение) Pi получе-
но путём приобщения элемента а к полю Р, что запи-
сывается так:	г, п/ \
Pi =
Так, например, если к полю К рациональных чисел
приобщить иррациональное число |/ 2, то расширение
R []/21 будет состоять из всех чисел вида а + b 1^2,
где а и b — рациональные числа.
При изучении свойств целых рациональных функций
(многочленов) существенное значение имеет, вопрос о той
числовой области, к которой принадлежат коэффициенты
данных функций. Если коэффициенты многочлена принад-
лежат полю Р, то говорят, что многочлен принадлежит
полю Р, или дан над полем Р.
Нетрудно видеть, что наибольший общий делитель D(x)
многочленов f(x) и g(x), принадлежащих полю Р, сам тоже
принадлежит полю Р, ибо коэффициенты его находятся пу-
тём рациональных действий над коэффициентами f(x) и g(x).
Выше (§ 1, 4) мы проследили аналогию, существующую
между многочленами и целыми числами, и тогда же отме-
тили, что понятию простого, не разлагающегося на сомно-
жители числа соответствует понятие неприводимой функции.
Если целая рациональная функция f(x) может быть
представлена в виде произведения двух каких-либо много-
членов g(x) и h(x):
f(x} = g(x) • h(x),
из которых ни один не сводится к постоянному, то мы гово-
рим, что f(x) разлагается на множители, или что она при-
водима; в противном случае функция называется неприво-
25
димой. Но при этом понятие приводимости или неприво-
димости не будет иметь определённого содержания, если
не указать той числовой области, к которой должны при-
надлежать коэффициенты функций g(x) и h(x). Так, функ-
ция f(x) = х2 — 2 неприводима во множестве рациональ-
ных чисел, но разлагается' на множители (%2 — 2 =
— (х —1^2) (х + J/2)] в поле действительных чисел и
даже в поле /? [ |/2 ].
Если целая рациональная функция f(x) может быть
разложена на множители (не сводящиеся к постоянному),
коэффициенты которых принадлежат полю Р, то функция
называется приводимой в поле Р; в противном случае —
неприводимой в поле Р.
Неприводимые (в поле Р) функции обладают рядом
важных свойств. Пусть f(x) и <р(х) — целые рациональные
функции (многочлены) в поле Р.
1)	Если /(х) — неприводима, а ф(х) — любая функ-
ция, то либо <р(х) делится на f(x), либо <р(х) и Дх) взаимно
простые.
Это следует из того, что f (х) и <р (х) не могут иметь наи-
большего общего делителя, отличного от постоянной или
от Дх) (так как Дх) неприводима).
2)	Если уравнение <р(х) = 0 имеет общий корень с не-
приводимым уравнением f(x) — О1, то все корни уравне-
ния f(x) — 0 удовлетворяют уравнению <р(х) — 0 и <р(х)
делится на Д(х).
В самом деле, общий корень функций f(x) и <р(х) являет-,
ся корнем их наибольшего общего делителя, который
поэтому наверно отличен от постоянной, а потому функ-
ции Дх) и <р(х) не могут быть взаимно простыми, и, следо-
вательно, по 1) <р(х) делится на Дх); откуда и следует, что все
корни уравнения Дх).=0 удовлетворяют уравнению <р(х)=0.
Поэтому, если какой-либо корень а неприводимого
уравнения Дх) = 0 не является корнем уравнения <р(х)= О,
то функции Дх) и <р(х) взаимно простые.
3)	Неприводимое уравнение Дх) = 0 не может иметь
общих корней с уравнением <р(х) = 0 низшей степени 2. 1 2
1 Речь идёт, конечно, о корне, не принадлежащем полю Р,
ибо неприводимая в поле Р функция не может иметь в нем корней.
2 Отсюда вытекает, что неприводимое уравнение не может
иметь кратных корней, так как каждый кратный корень функ-
ции /(*) является вместе с тем корнем её производной [' (х){
уравнение же /' (х) = 0 — низшей степени, чем f (х) = 0.
26
Это вытекает из 1), так как в рассматриваемом случае <р(х)
не может делиться на f(x).
4)	Два различных неприводимых уравнения f(x) ® О
и ф(х) = 0 не могут иметь общих корней.
В самом деле, если бы f(x) и ф(х) имели общий корень,
то f(x) должна была бы делиться на <р(х) [или, наоборот,
<р(х) на Цх) 1, но это невозможно, так как f(x) неприводима.
2. Нас будет интересовать вопрос о разрешимости ал-
гебраического уравнения f(x) = 0 в радикалах и, в част-
ности, радикалах квадратных. Решить уравнение в ради-
калах — это значит выразить при помощи элементарных
алгебраических действий (сложения, вычитания, умноже-
ния, деления, возведения в степень и извлечения корня)
корни данного уравнения через его коэффициенты. Однако
эта задача далеко не всегда разрешима (уравнения выше
4-й степени в общем виде не решаются в радикалах). Поэто-
му при исследовании алгебраического решения уравнений
мы становимся на несколько иную, более общую точку
зрения: мы рассматриваем решение уравнения как расшире-
ние первоначального поля Р (к которому принадлежат коэф-
фициенты данного уравнения) путём приобщения к нему
новых элементов — корней этого уравнения (или же дру-
гих величин, через которые корни данного уравнения выра-
жаются рационально).
С этой точки зрения решение, например, квадратного
уравнения х2 рх + q = 0 с рациональными коэффици-
ентами есть расширение поля рациональных чисел /? путем
р
приобщения к R одного из корней х1Л = —±
± "j/"— q данного уравнения, что равносильно построе-
нию поля /? |^|/ —q •
Указанная точка зрения на решение алгебраических
уравнений имеет следующее преимущество. Хотя построить
новое поле (расширение) в явном виде, подобно тому как
это мы только что сделали для квадратного уравнения,
вообще говоря, нельзя (в случае уравнений 5-й и высших
степеней), тем не менее оказывается возможным установить
свойства, которые должно иметь расширение, и отсюда
уже сделать те или иные заключения о характере корней
уравнения. К рассмотрению расширений поля мы сейчас
и переходим.
27
Мы будем исходить из поля 7? рациональных чисел
Пусть а—корень неприводимого в 7? алгебраического
уравнения n-й степени:
f (х) = aQxn + а^-1 + ... + ап_\Х + аа = 0	(1)
с рациональными коэффициентами: f (с) = 0. Число (эле-
мент) а называется в этом случае алгебраическим l; п —
есть степень а относительно поля R. Неприводимое урав-
нение, которому удовлетворяет данный алгебраический
элемент, определяется однозначно, так как не может в
данном поле существовать двух неприводимых в кем функ-
ций, имеющих общий ксрень.
Построим поле 7?i — расширение поля R путём приоб-
щения к нему алгебраического элемента а:
Я1 = Я1а].	(2)
Элемент а назовём образующим или примитивным
элементом поля RL.
Поле 7?! наряду с рациональными числами содержит
также все те числа, которые получаются путём примене-
ния рациональных операций к элементам поля R и числу
а; таким образом, элементы поля 7?! представляют собой
всевозможные рациональные функции (с рациональными
коэффициентами) от а. Общий вид любого элемента 7 поля
7?! следующий:
7 ~ ФСО’
где Ф (х) и Ф (х) — целые рациональные функции в поле
R (т. е. многочлены с рациональными коэффициентами).
Итак, мы видели, что любой элемент 7 алгебраического
расширения Rr (расширение поля при помощи алгебраи-
ческого элемента мы называем алгебраическим расшире-
нием) есть рациональная функция его примитивного эле-
мента 7. Мы докажем следующее свойство этого расшире-
ния.
Если образующий элемент а расширения R[а] — и-й
степени (относительно 7?), то всякий элемент этого поля
представляет собой целую рациональную функцию от а
(с рациональными коэффициентами) и притом не выше
(п - 1)-й степени.
1 Число, не являющееся корнем никакого алгебраического
уравнения вида (1), называется трансцендентным. Таковчми, как
доказывается, являются числа е и л. Число i есть алгебраическое,
так как служит корнем уравнения х2 + 1 = 0.
28
Прежде всего заметим, что в равенстве (3) знаменатель
0(a) =#0. С другой стороны, по условию f (а) — 0. Так
как корень а неприводимой функции f(x) не является кор-
нем функции ф(х), то эти функции взаимно простые. А по-
тому в поле R можно найти два многочлена F(x) и 4е (х)
таких, что
f(x)  F(x) + ф(х) - ¥(х) = 1.	(4)
Полагая в этом равенстве х = а, найдём, что
ф(а) • У (а) — 1.
Умножая в (3) числитель и знаменатель на Т(а),
получим:
7 = 777 =	= Ф(а) • Т(а) = g(a).	(5)
Итак, показано, что у — целая рациональная функция
от а (в поле R). Если бы степень g(x) оказалась выше
(п — 1)-й, то, деля g(x) на /(х), мы получили бы:
g(x) = f(x) - q(x) + r(x)	(6)
и, полагая здесь х = а, имели бы
g(a) = г(а),
где степень г(х) не выше (п — 1)-й.
Предложение, таким образом, доказано полностью.
Всякий элемент поля R [а ] может быть, следовательно,
представлен в виде целой рациональной функции
(п— 1)-й степени образующего элемента а:
7 =	+ &2а«-2 + ... + &rt_iCt + Ьп 9	(7)
где Ь; принадлежат полю R1. Этому факту, характери-
зующему строение расширения R(a), мы дадим несколько
иную формулировку.
Если некоторое множество элементов Z обладает тем
свойством, что в нём можно указать т линейно-независимых
(относительно поля Р) элементов1 2:
•>*»
1 Нетрудно показать, что такое представление является
единственным.
2 т элементов zv z2t...9zm называются линейно-независимыми
(относительно Р), если (в Р) нельзя подобрать tn чисел из кото-
рых не все равны нулю и таких, чтобы выполнялось соотношение
-h +••• + knzn — 0.
В противном случае эти элементы называются линейно-зависи-
мыми.
29.
таких, что любой элемент z из Z может быть представлен
в виде их линейной однородной функции (с коэффициен-
тами из Р):
z = С121 + саг2 + ... + с^т,
то такое множество элементов называется линейным много-
образием порядка т (относительно Р); числа z; образуют
базис этого линейного многообразия.
Возвращаясь к алгебраическому расширению R [а ],
мы видим из (7), что элементы
а"-1, а"~2, ..., а, а° = 1	(8)
играют в нём роль базиса: каждый элемент 7 поля R 1а)
представляет линейную однородную функцию (с рацио-
нальными коэффициентами) элементов (8). Кроме того,
элементы (8) — линейно-независимы в R, так как в случае
существования между ними линейной зависимости
Cid" ~1-|-C2an ~2 + ... + Cn_,a + C„ = 0
а удовлетворяло бы уравнению (п — 1)-й степени, чего
быть не может, так как а есть корень неприводимого в /?
уравнения п-й степени.
Таким образом, алгебраическое расширение =7?[a]
полученное путём приобщения к полю R алгебраического
элемента п-й степени, представляет собой {относительно R)
линейное многообразие п-го порядка1.
1 Не следует думать, что примитивный элемент а, при помощи
которого построено поле /?, = |а|, является в нм исключительным
элементом. Можно показать, что такую же роль может играть люСой
элемент р из этого поля, если только он степени п относительно
поля /?, т. е. если он удовлетворяет неприводимому в R уравнению
п-й степени (иначе: если 1, р, р2,..., рп линейно-зависимы, а
1, Р, р2,.. .,	1 линейно-независимы в /?). Построенное путем приоб-
щения элемента р поле R [р] будет совпадать с R [а]. Поясним
это на примере.
Пусть а=1^2 — корень ^приводимого в R уравнения 3-й сте-
пени х3—2=0. Поле	] представляет собой линейное мно-
гообразие 3-го порядка, базисом которого служат элементы i, |/2”,
( '|Л2)а> и, следовательно, есть совокупность чисел вида:
р + чГ* +г3/Т,
где р, q и г-— рациональные числа. Возьмем в поле /?[}/"?] элемент
Р= 1	, Степень этого элемента о.носительно R равна 3, так
как он служит корнем неприводимого в R > равнения (х — 1/ — 4 = 0.
30
Мы скажем, что степень построенного нами расшире-
ния относительно R есть и, и запишем это так:
{Ri : R] = п.	(9)
Процесс алгебраического расширения поля можно про-
должать далее. Рассматриваем в поле R\ = R la I непри-
водимую в нём целую рациональную функцию g(x) сте-
пени, положим, т. Пусть 0 есть корень этой функции]
£ф) = 0.
Элемент 0 приобщаем к полю Rj. Строим, следовательно,
новое поле	, г „,
R2 = Ril₽l = Rk ₽L
элементы которого будут всевозможные рациональные
функции от 0 (с коэффициентами из R(). По доказанному
выше, расширение R2 — Ri l₽ 1 представляет собой линей-
ное многообразие m-го порядка относительно Ri, его
базисом являются т чисел:
0'n-i, 0"1-2...0,	1.
Степень расширения R2 относительно Ri есть, следова-
тельно, т:
{R-г: Ri) = т.
Основная теорема, которую мы хотим доказать, заклю-
чается в том, что поле R3 = Rr 10 ] = R let, 0 J является
линейным многообразием также относительно R и что по-
рядок его относительно R равен произведению т-п;
нужно доказать, следовательно, что
{R2: R} = т • п.
Возьмём произвольный элемент S поля R2. Он выра-
зится, по доказанному выше, в виде целой рациональной
функции (т — 1)-й степени от образующего элемента 0:
б = d^m-1 + rf20«-2 + _ +	.$ + dm (Ю)
с коэффициентами принадлежащими полю R1(
Поле	будет представлять собой совокупность чисел
вида:
. Л+_£i 0 + Ул) + г«п + V~4)8= Pl + ft + 91	+
4-2Г1/4 + 2гг у' 2 = (Pl + Pt 4-Tj) +2Mf 2 + (ft +	=
= s 4*	2 4~ uV 4 ,
где s, t и u — рациональные числа. Таким образом,
V].
31
Так как все cl. принадлежат 7?ь то все они представ-
ляют собой целые рациональные функции от а (п — 1)-й
степени (или ниже):
= G1 .а"-1	а2;«п~2 4-а „-I,/а -г ам
(1= 1,2,	(11)
где все aki принадлежат /?.
Подставляя в (10) вместо dz их значения из (II), полу-
чаем:
S = (аца"-1 + о21а ,1-2 + ... +	1,1 а + tZniiP'”"1 |-
+ (а^а"-1 + а2га"-2 + ... Ч- апг)Рт~2 + ... +
+ («im""-1 + W1"”2 + ... + апт) =- а11ап-1р'”-1 -Ь
+ агг«п-2рт-’ +... -|-а^р—1 +
4-а12а«-’р"'-24-... + йля1.	(12)
Из (12) мы видим, что любой элемент б поля R пред-
ставляет (относительно 7?) линейную однородную функцию
от п - т элементов:
а"-1 ф™-1, а"-2 •р'"-1, . . . , р™-1, а"”1 • |>~2, . . ., 1, (13)
каждый из которых есть, как нетрудно видеть, элемент Т?2-
Остаётся только доказать, что элементы (13) линейно-неза-
висимы. Допустим, что между ними существует линейная
зависимость:
C11u"'-1P"z-1 -F	. + С^р'”-1 +
+ С^а"-^-2 + С22а'г-|>-2 + . .. + Слор^“2 +...+
+ С1т^ + С2т а'-2 + ... + Стп = 0,	(14)
где С,к принадлежит R.
Тогда, собирая все члены, содержащие одинаковую
степень р, и, вынося её за скобки, имеем:
(Спап—1 + С21а«-2 + .. . + СП1)р'"-' +
+ (С12ап—1 + С22а"-2 + . .. + Сп2)р'”-2 + ... -г
+ (С1ота"-> + С2та'’-2 -г ... + Стп) = 0.	(15)
Но так как р есть корень неприводимого в уравнения
m-й степени, то этот элемент не может удовлетворять ни-
какому уравнению низшей степени. Поэтому все т коэф-
фициентов (15), представляющие собой числа из Ri, должны
обратиться в нуль:
Clka^ + С2к^ + ... + С11к = 0,(Л =1,2, ..m).(IG)
32
А так как элемент а» со своей стороны, есть корень не-
приводимого в R уравнения п-й степени, то он не может
служить корнем никакого уравнения (п — 1)-й степени с
рациональными коэффициентами. Поэтому во всех tn
равенствах (16) все коэффициенты С/Л должны быть
равны нулю.
Этим доказана линейная независимость в /? т -п эле-
ментов (13), которые, таким образом, образуют базйСс
многообразия /?2 относительно R. Следовательно, степень
расширения R2 относительно R есть тп:
{Rz: R} = пт.	(ГТ)
Теорема доказана. Путем повторного применения ре-
зультаты её распространяются на любое число последо-
вательных расширений.
Если, следовательно, мы берём поле рациональных
чисел R и к нему последовательно приобщаем алгебраиче-
ские числа <хъ а2,	, причём:
«1 есть корень неприводимой в R функции степени
а2 — корень неприводимой в /?А ~ J функции сте-
пени п2»
ah—корень неприводимой в Rh-i — /?(аъ
функции степени nh , то полученное алгебраическое расши-
рение
/?л =	а2, • <*л1
является относительно R линейным многообразием
п/г-го порядка. Иными словами, степень расширения Rh
относительно R есть произведение лАм3...п^:
{Rh : R} = пг • и2...пЛ.	(18)
3. Применим полученные результаты к исследованию
вопроса о разрешимости уравнения в радикалах. Так как
всякий радикал т/а есть корень двучленного уравнения
хт — а = 0, то решить уравнение в радикалах — это зна-
чит выразить рационально его корни через корни дву-
членных уравнений.
Пусть дано уравнение гг-й степени с рациональными
коэффициентами
/W - 0.	(19)
Если уравнение (19) разрешимо в радикалах, то это
значит, что решение его сводится к решению цепи
двучленных уравнений:
з Заказ 2146	33
— а. - О,
xrt-' — а2 = О,
ля> —	= О,
(20)
xnh — ah = О,
где av — рациональное число, а2 — рациональная функ-
ция от корней первого уравнения, «3--рациональная
функция от корней первого и второго уравнений и т. д.
Если ах, а2> • ал—корни уравнений (20), то некоторый
корень данного уравнения (19) будет, в случае разреши-
мости этого уравнения в радикалах, рациональной в
R функцией от корней двучленных уравнений1
%! = Е(аь а2, «Д
Построим поле, к которому принадлежали бы все ирра-
циональности az. Для этого будем расширять поле /?,
приобщая к нему последовательно аъ а2, аЛ . Полу-
чим:
«2. • ••, «Л1.	(21)
Какова степень этого расширения? есть корень урав-
нения хп< — Ai = 0, но это уравнение может оказаться
приводимым в поле R. Пусть /^(х) — та неприводимая в R
функция, корнем которой служит ап и пусть степень её
Точно так же двучленное уравнение х'1-* —«2 ~ 0,
доставляющее корень а2> может оказаться приводимым
в поле 7?j = Ria* J; пусть К2(*) будет неприводимая в Rj 1 * * * * 6
1 Так, например, сели уравнение разрешимо в радикалах и
корень его А'х выражается следующим образом:
то этот корень является рациональной функцией or корней следу-
ющей цепи двучленных уравнений:
ха —а,'-=0, где бц — 3; а, := V 3?	____
хл — а2 = 0,	где	= 2 ах:	а2 = \	Г + У
У5 _	—	0.	где	д3 — 4;	= У 4
х* — а* - 0,	где	а4 5 — За,;	а4 ™ {/5 __
Через корни alt а,, #«,, а4 lthx \равнений л 1 выразится так:
^2
А'. =---------.
6 + а4
34
функция степени А2, корнем которой служит а2, и т. д.,
пусть, наконец, а/2 будет корнем неприводимой в поле
/?Л_, функции 7(Л (х) степени kh.
Ряд функций
K1W,	Kh(x)	(22)
образует разрешающую цепочку функций для уравнения (19).
Согласно доказанной выше теореме, степень расшире-
ния Rk относительно R равна произведению степеней
функций (22), т. е.
{Rh : 2?) = k, • k2, .... kh.	(23)
Мы будем предполагать далее, что уравнение (19)
является неприводимым в поле R.
Пусть хх есть корень этого уравнения; следовательно,
/(хх)	0. Приобщая его к полю R, мы получим алгебра-
ическое расширение R [хх J, степень которого есть
/?)- п.	(24)
С другой стороны, корень = F(ax,	) как
рациональная функция от а, является элементом поля /?Л;
к этому же полю принадлежит и всякая рациональная
функция от Xj, т. е. принадлежат все элементы поля R lxx 1,
которое, таким образом, представляет собой часть поля/? Л-;
следовательно, Rh есть расширение поля 7?1х1]. Пусть q
есть степень этого расширения1:
{/?ft : R lx, ]) = q.
Итак, поле Rh можно рассматривать как полученное
из R путём двух последовательных расширений от R до
R 1хх ] — степени п и от 7? 1хх ] до Rh — степени q. По
доказанной выше теореме степень расширения /?Л отно-
сительно R есть произведение этих степеней:
: Я} = {/?*:№!) • №1:Я),	(25)
1 Поле Rs, являющееся алгебраическим расширением поля R
и представляющее линейное многообразие некоторого порядка s
относительно R, является также линейным многообразием (низшего
порядка) относительно всякого поля /?*, заключенного между Rs и R
Rs С/?* С/?.
В самом зеле, все элементы Rs выражаются линейно через элементы
некоторого базиса зх ,<т2,..., и коэффициентами из R. Но так как
каждый коэффициент из R принадлежит также 7?*, то представляет
собой линейное многообразие относительно R*. Число линейно-не-
зависимых среди	относительно пеля /?* и есть степень
расширения R& относительно
4 Заказ 2146
35
или
= q * п.	(26)
Таким образом, степень неприводимой функции f(x)
должна быть делителем произведения степеней разрешаю-
щей цепочки функций.
Пусть теперь неприводимое уравнение f(x) = 0 разре-
шимо в квадратных радикалах. Тогда разрешающая це-
почка состоит из функций второй степени
= k2 = ... = kh = 2.	(27)
Из (26) мы видим, что в этом случае число п, являясь
делителем числа 2А, само должно быть степенью двойки:
п - 2т .	(28)
Итак, для того чтобы неприводимое в R уравнение f(x) = О
было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо, что-
бы степень его была степенью двойки1.
Выведенное нами условие разрешимости является необ-
ходимым, но, вообще говоря, ещё недостаточным.
§ 4. ПОЛИНОМЫ ДЕЛЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РАЗРЕШИМОСТИ
В КВАДРАТНЫХ РАДИКАЛАХ УРАВНЕНИЯ л;"—1 = 0
1. Установленное выше необходимое условие разреши-
мости неприводимого алгебраического уравнения в квад-
ратных радикалах применить непосредственно к интересую-
щему нас случаю двучленных уравнений не представляется
возможным, потому что двучленные уравнения хп —1=0,
имея корнем к — 1, всегда являются приводимыми.
Мы видели выше (§ 2, 2), что для решения двучленного
уравнения л-й степени — 1=0 достаточно найти хотя
Он один из его <р(и) первообразных корней, все остальные
корни получатся путём последовательного возвышения в
степень этого корня г:
г, г2, ..., гп~1 , гя = 1.
Ввиду этого вопрос о решении двучленного уравнения
можно свести к решению такого уравнения Фл(х) == 0
1 Отсюда, между прочим, вытекает, что известные задачи
об удвоении куба и о трисекции угла невыполнимы с помощью
циркуля и линейки, так как степень соответствующих уравнений,
«которым приводятся эти задачи: х3— 2 = 0 и х3 — Зх — /> = 0
(неприводимость их в R доказывается без труда), не является
степенью двойки.
36
(уже не двучленного), которое своими корнями имело бы
первообразные корни данного двучленного уравнения <и
только эти корни; тогда любой корень уравнения ФЛ(х) =_10
давал бы решение двучленного уравнения.
Такое уравнение Фл(х) = 0, ввиду связи двучленных
уравнений с задачей деления окружности, называется
уравнением деления окружности. Левую часть этого урав-
нения будем называть полиномом деления окружности
(на п частей). Итак, полиномом деления окружности назы-
вается такой многочлен ФП(Д корнями которого служат
все первообразные корни /?-й степени из единицы (и толь-
ко они). Очевидно, степень такого полинома должна быть
(((и). Мы покажем, что для всякого-значения п (для вся-
кого уравнения х11 — 1 = 0) такой многочлен с рациональ-
ными (и даже целыми) коэффициентами всегда сущест-
вует.
В случае, когда степень двучленного уравнения есть
простое число р, то все корни такого уравнения» кроме
х — 1, первообразные. Поэтому полином деления окруж-
ности в этом случае мы получим просто делением л? — 1
на х — 1 :
Хр _ 1
Ф/Д) = хР~' +	1.	(1)
Рассмотрим теперь случай, когда степень двучленного
уравнения есть степень простого числа: п — ра.
Так как ра-1 есть делитель числа ра, то всякий корень
уравнения хР*~1—• 1 — 0, очевидно, будет являться KOpi-
пем уравнения хРа — 1=0. С другой стороны, мы по-
кажем, что всякий непервообразный корень уравнения
х₽’ — 1 = 0 должен быть корнем уравнения хра'~1 — 1 =0.
Все делители ра суть числа
1, р, р2, ...,
Если 8—непервообразный корень уравнения х^—1=0,
то он принадлежит как к показателю к одному из
написанного выше ряда чисел. Пусть в принадлежит
к показателю р? ф а — 1) и, следовательно, является
корнем (первообразным) уравнения х^— 1 = ft Но так
как р- есть делитель числа ра~', то в будет являться
также корнем уравнения л₽“~* — 1=0. Таким образом,
корнями уравнения хра~1 — 1=0 служат все неперво-
образные корни уравнения х>>* — 1 = 0. Поэтому полином
деления окружности на ра частей мы найдём, разделив
xf — 1 на х^-1 — 1. Выполняя это деление, получаем:
Ф_«(*)= 1г* 1- =	4- хРа~'<₽-2) +
+ ... + хР“-’+1.	(2)
В общем случае, при произвольном п, выражение для
Ф„(х) будет более сложным. Именно мы покажем, что если
п = ра • <?’ • Л • S® ....
то полином деления окружности найдётся по следующей
формуле:
п	и	п	_п_
(Хп — 1) (ХР^ — 1) (ХРГ — 1) (Х«' — 1)    (хР«" — 1)  . . _
(хР-— 1) (хГ— 1) (х^— 1) . . . (ХР^-— I) (х^ — 1) . . .
П -1)
В этом выражении числитель состоит из произведения
двучленов вида х<^ — 1, рде dr принимает значения, рав-
ные п и всем делителям числа п, получающимся от деле-
ния п на чётное число простых чисел, входящих в состав п.
Знаменатель же есть произведение всевозможных дву-
членов ха* — 1, где d2 принимает значения, получающиеся
от деления п на нечётное число его простых делителей1.
Покажем справедливость формулы (3).
Так как каждый двучлен xdi — 1 или xd2 — 1 имеет
своими корнями корни п-й степени из единицы (каждый
п
корень уравнения xp(tr'" — 1=0 является также
корнем уравнения хп — 1=0), то и числитель и зна-
менатель дроби (3) представляют собой произведения дву-
членов вида х — е, где в — различные значения корня
п-й степени из единицы. Пусть 8 — какой-нибудь из этих
корней п-й степени и притом непервообразный. Он явля-
ется тогда первообразным для уравнения xd — 1 = 0,
где d есть некоторый делитель числа п. Если d есть дели-
тель и, то некоторые из простых сомножителей числа п
входят в состав d в степени меньшей, чем они входят в п.
Пусть все такие сомножители суть:
	Ръ р2г ...» Рт-	(4)
1 При п = ра формула (3) переходит б (2).
38
Среди показателей степеней двучленов, входящих в
состав числителя выражения (3), на d делятся: во-первых,
п
само л, затем показатели вида ---, где р-, pk—числа
2 т(т —1)
ряда (4), таких показателей будет Ст = ------—; далее,
п
на d делятся показатели вида	где pif pk, рр pt —
числа ряда (4), этих показателей и т. д.
Всего в числителе дроби выражения (3) двучленов с
показателями степени, делящимися на d, будет:
а - 1 + С2т + С4т + ... .	(5)
Так как на х—е (где е— первообразный корень d-й
степени) будут делиться только такие двучлены xdi — 1,
в которых показатели dt делятся на d, и так как ни один
из этих двучленов кратных корней иметь не может, то
отсюда можно заключить, что х — 8 войдёт в состав
числителя выражения (3) ровно а раз.
Рассуждая подобным же образом, мы убедимся, что
в состав знаменателя (3) тот же множитель х — е войдёт
₽ раз, где
V =	+	4-+ ... .	(6)
Но, как известно, в разложении бинома Ньютона
сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чёт-
ных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на не-
чётных местах1. Поэтому р = а.
Таким образом, множитель х — е войдёт в состав числи-
теля и знаменателя выражения (3) одинаковое число раз
и, следовательно, сократится. То же будет с каждым не-
первообразным корнем. В составе выражения (3) остаются
только двучлены вида х — 8, в которых 8 — первообраз-
ные корни n-й степени. Таких двучленов имеется <р(п);
они находятся только в числителе в разложении двучлена
хп — 1, и каждый из них войдёт один раз. Поэтому опре-
деляемое по формуле (3) выражение для ФЛ (х) и есть
1* Полагая по формуле
(х _ у)" =	+ сд^-v - C3m*m-W+ C4mx^-iy* ...
получаем
0= 1 -сд + С2„- с3т + с4т~ Сът +....
“,чш !+«+<+...-<4. + ci+<4 + -
39
многочлен степени <р(п), имеющий своими корнями перво-
образные корни n-й степени, т. е. это и есть полином деле-
ния окружности.
Примеры: 1) Найдём Ф30(х)-
п = зо = 2 -3-5
dt
d2
30	30	30	30
’ 2-3’ 2-5’ 3-5
30	30	30	30
2 ’ 3 ’ 5 ’ 2-3-5
ф	(х*"-1)(У>-1)(х*-1)(х»-1)	(xw+l)(x+l) _
:’0' ’	(X15_ 1) (Xw_ 1) (хо— 1) (л- — 1)	(№>+ 1) (х3 |- 1)
___ х’“—_ ^8 |_ „7 v5 v4 . _L v i 1
--- -------------Л -j- x ----- Л ---- x ' Л	Л —1 .
Z2— X + 1
2) Составим таблицу ФДх)
Ф2(х) = х -h 1,
Ф3(х) = х2 4- х + 1,
Ф4(х) = X2 + 1,
Ф5(х) = х4 4- х3 4- х2 4- -V 4- 1,
Фс(х) — х2 — х 4- 1,
Ф,(х) — х8 4- х5 4- х4 4- х3 4-
4* х2 4- х + 1,
Ф8(х) = х4 4- 1,
от п = 2 до п — 12.
Ф,(х) = Xе 4- Xs + 1,
Фю(х) = х4 — xs -ь
4* х2 — х4- 1,
Фп(х) = х10 4- х«+ х8 4-
4- х7 4~ х° + х54~ х4 4-
4- х3 4- х2 -I- х 4- 1.
Ф12(х) - х4 - х2 4- 1-
Полиномы Ф2, Ф3, Ф5, Ф7, Фц найдены по формуле (1),
Ф4, Ф8, Ф9 » по формуле (2) и
Фе, Фю, Ф12 » по общей формуле (3).
2; Весьма важным свойством полиномов деления окруж-
ности является их неприводимость в области рациональ-
ных чисел (в дальнейшем под неприводимостью мы будем
понимать неприводимость в R).
При доказательстве неприводимости полинома Фп(х)
нам понадобятся следующие ниже вспомогательные пред-
ложения, принадлежащие Гауссу.
Пусть /(х) — многочлен с целыми коэффициентами и
пусть 6 — общий наибольший делитель всех коэффициен-
тов fix).
Тогда:
f(x) = 6 • <р(х),
где коэффициенты многочлена <р(х) уже не имеют общего
делителя; такой многочлен назовём первообразным, До-
40
кажем, что произведение двух первообразных многочленов
есть тоже первообразный многочлен.
Пусть
f(x) = a0.v" + ар,-*-1 + ... + о„-1Х + ап
И
g(x) = bQxm + b^-1 + .. . + bm-i X + bm
— два первообразных многочлена и
F(x) = f(x) • g(x) = с^хп+,п + c2xn+m~~' + ...
+ 1X "T Cft-i m
— их произведение. Возьмём любое простое число р.
11усть ak — первый из коэффициентов /(х), который не
делится на р, так что а0, а1г ...» ak-\ делятся на р (все ai
на р делиться не могут, так как f(x) — первообразный
многочлен). Точно так же пусть — первый из коэффици-
ентов g(x), не делящийся на р. Рассмотрим коэффициент
с индексом k + I функции F(x):
“ ukbt + ak+ibi-i +	+ ...
+ ^-1^2+1 + CLk-^bl J-2 + ... .	(7)
В правой части равенства (7) все слагаемые, кроме пер-
вого, делятся на р, поэтому не может делиться на р.
Следовательно, р не может быть общим делителем всех
коэффициентов функции F(x), и так как р взято произ-
вольно, то отсюда следует, что F (х)— первообразный мно-
гочлен.
Теперь докажем следующую теорему:
Если многочлен с целыми коэффициентами приводим, то
его можно разложить на произведение многочленов с целы-
ми коэффициентами.
Пусть
/(Л-) ={р(л'И(х),	(8)
где ф(х) и 6(х) имеют рациональные коэффициенты.
В многочлене <р(х) приведём коэффициенты к общему
знаменателю* s и затем вынесем за скобки наибольший об-
щий делитель d числителей коэффициентов; то же сделаем
и с многочленом <J,(x). Тогда
d
фМ = v • Ф1(х)>
б
?{Л) - — • -И(х).	(9)
где <р1(х) и ФДх) — первообразные многочлены.
41
Подставляя значения <р(х) и ф(х) в (8), получаем:
d • о
/(*) = ТТ ‘ 'bW-	<1 °);
d . Ъ	d-l_____Р_'
Покажем, что ~~ есть целое число. Пусть--------~ —
р
(pnq—взаимно простые). Так как многочлен— • <р1(х) • ^(х)
должен иметь целые коэффициенты [ибо таков много-
член /(х)] и так как р и q взаимно простые, то все
коэффициенты многочлена ф1(х) Ф1(х) должны делиться на
q. Но Ф1(х)-ф1(х), как произведение первообразный много-
членов, само должно быть первообразным; поэтому q— 1.
Итак,	/(х) = р. Ф1(х) • фДх).	(11)
Таким образом, /(х) разложен на произведение двух много-
членов с целыми коэффициентами—р<рх(х) и О^х). Теоре-
ма доказана.
Отсюда вытекает, что для того чтобы доказать неприво-
димость многочлена с целыми коэффициентами, достаточно
показать, что он не может быть представлен в виде произве-
дения многочленов с целыми коэффициентами.
Далее заметим ещё следующее. Пусть многочлен с це-
лыми коэффициентами f(x) имеет коэффициент при старшем
члене, равный единице (такой многочлен назовём приведён-
ным). Тогда, если
f(x) = g(x) . h(x)	(12)
есть разложение f(x) на многочлены с целыми коэффициен-
тами, то очевидно, что старшие коэффициенты функций
g{x) и Л(х) тоже равны единице. Но верно и обратное йред-
ложение: если в разложении (12) приведённого много-
члена f(x) с целыми коэффициентами на множители g(x)
и h(x) с рациональными коэффициентами старший коэф-
фициент функции g(x) (а следовательно, и функции h(x))
равен единице, то разложение (12) есть разложение на
множители с целыми коэффициентами.
В самом деле, если бы один из множителей, например
g(x), имел бы дробные коэффициенты, jo, приводя их к
общему наименьшему знаменателю р, мы имели бы
= +	(13)
где gAx) = рхт +	+- ... 4- Pm — первообразный
многочлен (все Р, не могут иметь общего делителя с р,
42
так как р — наименьший знаменатель) Точно так же мы
поступим с многочленом й(л), если он имеет дробные коэф-
фициенты (если же у h(x) коэффициенты целые, то он
сам первообразный, так как его старший коэффициент
равен единице):
Ш) = 7 • hi(x),	(14)
где ft,(x) — первообразный многочлен.
Подставляя значение g(x) и h(x) в (12), получаем:
f(x) =	 gi(x)  hL(x).	(15)
Так как f(x) — многочлен с целыми коэффициентами, то
коэффициенты произведения gifajh^x) должны все делиться
на pq; но gi(x) • hi(x) есть первообразный многочлен,
следовательно, pq — \ и р — q = 1.
Этим доказано, что коэффициенты g(x) и Л(х) целые.
Отсюда можно сделать ещё такой вывод. Определяя
Л(х) из равенства (12)
*(*) =	(16)
мы можем сформулировать следующее предложение: если
приведенный многочлен с целыми коэффициентами f(x)
делится на другой приведённый многочлен, то частное
есть приведённый многочлен с целыми коэффициентами.
Отсюда, в частности, вытекает, что полином деления круга
Фй(х), определяемый по формуле (3) [§ 4, 11, должен иметь
целые коэффициенты.
Переходим к доказательству неприводимости поли-
номов деления окружности. Дадим доказательство для
п = ра. В этом случае, как мы видели,
Ф(Х) = х*	+ хр a~,(p-2) +... + Z + 1.
Допустим, что Ф(х) разлагается на произведение много-
членов с целыми коэффициентами:
Ф(Х) = Л*' • g(x).	(17)
Так как старший коэффициент многочлена Ф(х) равен
единице, то таковыми же должны быть старшие коэффи-
циенты функций f(x) и g(x).
Полагая в равенстве (17) х = 1 и замечая, что Ф(1) = р,
получаем:
Р - /(1) g‘M-	08)
43
Так как р — простое, то один из сомножителей /(1)
или g(l) ранен ± 1, а другой ± р. Не нарушая общности,
положим, что
KD == ± 1.	(19)
Пусть г есть тот корень уравнения Ф(х) — 0, который
является корнем f(x), так что f(r) — 0.
Пусть в — любой корень уравнения Ф(х) = 0, т. е.
любой первообразный корень ра -й степени из единицы;
тогда ряд
8, 8® , .... 8₽’ = 1
представляет собой все ра корней уравнения хр* — 1=0.
Из них:
где a, b,..., И не делятся на р (и, следовательно, взаимно
простые с ра), являются первообразными корнями уравне-
ния xfi* — 1 =0. Рассмотрим произведение
f(8) • «8“) • /(8%.f(8^).	(20)
Нетрудно видеть, что выражение это равно нулю, так
как среди чисел е, еа, ..., еа, представляющих все корни
уравнения Ф(х) — 0, найдётся равное г, a f(r) = 0.
Отсюда следует, что функция
F(x) = f(x) • f(xa) • f(x*)...f(x*)	(21)
имеет своим корнем х = 8, где е — любой корень уравне-
ния Ф(х) = 0. Таким образом, функция F(x) имеет своими
корнями все корни функции Ф(х), а потому F(x) делится
на Ф(х):
F(x) — Ф(х) • ф(х),	(22)
причём функция ф(х) должна иметь целые коэффициенты,
так как старшие коэффициенты функций F(x) и Ф(х) равны
единице (что старший коэффициент F(x) равен 1, это видно
из формулы (21), так как старший коэффициент /(х) ра-
вен 1).
Полагая в равенстве (21) х = 1 и замечая, имея в виду
(19), что F(l) — /(!)/(!).../(1) = ± 1, а Ф(1) = р, получаем,
что
± 1 = Р • Ф(1)-	(23)
Но произведение двух целых чисел р и ф(1) не может
равняться -t 1. Это противоречие и доказывает непра-
вильность допущения о том, что Ф(х) разлагается на произ-
44
ведение функций с целыми коэффициентами. А отсюда
вытекает неприводимость Ф(л).
Вопросом о неприводимости полиномов деления окружности
занимались многие математики, начиная с середины прошлого сто*
летия и вплоть до настоящего времени. Приведённое выше дока-
зательство (для случая л — р* ), использующее свойства перво-
образных корней, принадлежит Кронекеру. Существуют (для
этого же случая) и другие доказательства, из которых наиболее
просто доказательство Эйзенштейна, использующее свойства коэф-
фициентов уравнения Фр« (х) = 0 и опирающееся на критерий
неприводимости Эйзенштейна.
Доказательство неприводимости полинома Фл(х) в общем слу-
чае, для любого л, более сложно. Для него предложено было не-
сколько методов. Мы изложим одно из последних доказательств
(идея которого принадлежит И. Шуру) примерно в том виде, как
оно даётся Н. Г. Чеботарёвым (см. монографию Чеботарёва «Тео-
рия Галуа», М., 1936, гл. I; там же приведена и литература по
этому вопросу1).
Для доказательства нам понадобится вспомогательное предло-
жение, известное под названием формулы Шенемана. Возьмём
многочлен f(x) с целыми коэффициентами:
f(x) = а^х* + aixn—i + ... + ап^\х + ал	(24)
и возведём его в р-ю степень, где р — простое число.
p-я степень этого многочлена содержит, кроме р-х степеней от-
дельных членов, только такие члены, коэффициенты которых
делятся на р. Действительно, коэффициенты всех членов, не являю-
щихся р-ми степенями, будут вида1 2:
Л------г/*0 + &+••• + = Р)-	(25)
И так как все ki При членах, не являющихся р-ми степенями,
меньше, чем простое число р, то р сохранится в выражении (25)
и» следовательйо, все указанные коэффициенты разделятся на р.
Соединяя все эти члены вместе и вынося р за скобки, получим:
\f(x)]P = а№ + ai/>(«-i)P + ... + an_fxP + apn + p . 6(x), (26)
где ф(х) — некоторая функция с целыми коэффициентами.
Замечаем далее, что по теореме Ферма3 * 5 аР — а делится на р
и, следовательно:
аоР = а0 + р . <7о, 1
aiP =	+ р . уи
аРп = ап + р . qn.
(27)
1 Последнее по времени (1937 г.) доказательство принадлежит
Ван дер Вардену.
2 Это есть обобщение на многочлен обычной формулы для
степени бинома, где коэффициенты
ck	— &) Р\
р	1-2...Л	k\(p — k)\'
8 аР ~ a (mod р). Это доказывается нами ниже в § 5, 1.
5 Заказ 2146
Подставляя значения ai^ ... из (27) в (26) и вновь соединяя
вместе члены, содержащие р, имеем
[f(x)p = а^Рп +	ап^хР+ ап + р • ф(х),
где ф(х) — функция с целыми коэффициентами. Но первые п + 1
слагаемых в правой части — это результат подстановки в функцию
f(x) вместо ххР. Поэтому окончательно получаем:
[fWl* - КхР) + р • ф(х).	(28)
Это и есть формула Шенемана.
Далее нам придётся воспользоваться некоторыми свойствами
результантов и дискриминантов. Если заданы два приведённых
многочлена /(х) и g(x)t имеющие корни оц, «а, ..., ап и^,	. 0т
соответственно, то результантом их, как известно, будут выраже-
ния:
п	1
R(f, g) = g(«i)g(«s) ••• е(«л) = П иди
i-i
tn
R(g, f) = f(Wf(W - /(?m) = П KM.
k-l
(29)
могущие отличаться только знаками:
R(g. l)m+nR(f. g).
Равенство нулю результанта есть условие, необходимое и до-
статочное для того, чтобы многочлены имели общий корень. Резуль-,
тант есть симметрическая функция от корней каждого из много-
членов, а симметрическая функция от корней многочлена, согласно
основной теореме теории симметрических функций, рационально
выражается через коэффициенты многочлена; в случае же если эта
симметрическая функция имеет целочисленные коэффициенты, то
её рациональное выражение через коэффициенты многочленов имеет
также целые коэффициенты. Если сверх того окажется, что и дан-
ный многочлен имеет целые коэффициенты, то результант явля-
ется целым числом. С этим случаем нам и придётся иметь дело.
Дискриминантом называется (взятый с определённым зна-
ком) результант многочлена и его производной:
п
D(f)=R(f,n = ±	= ± П /'(«/)• (ЗОУ
Составим выражение для дискриминанта произведения двух
многочленов:
± D(fg) = Rtf-gJ’-g+ f-g') = П l/'Wgfr) + K*)g'(x)] =
x~ai •
n	™
=ILlf'(«i)g(«2) +	g'(a/)]-II[r(?x)g(?«) + f(?Jg'(8J],
/=1	k=\
HO	/(«/) = 0 и g(?J = 0.
46
Поэтому
п	tn
±Dtf-g) = И/' (a,)g(az) - П /(Wg'(M=
i=l
n	m	n	m
= IIr(a«)-IIg'(WП g(a/)-П/(М =
i = !	k=l	i=l
=	(3i)
Окончательно имеем: D(f • g) = ± D(f) • D(g) • 7?2(Д g).
Эта формула может быть обобщена на случай произведения
нескольких многочленов. Так, для произведения трёх многочленов
/, gt h выводится:
D(f >g • h) = ± D(f) • D(g) • D(h) • R*(f,g)  fl2(f, h) • R*(gt h). (32)
Из этого мы сделаем следующее заключение. Пусть некото-
рый многочлен F(x) с целыми коэффициентами делится на произ-
ведение двух других многочленов f(x) и g(x), т. е. F(x) =
Д*) • g(*) .<р(*); коэффициенты всех функций f, g и ср мы можем
считать целыми; в этом случае дискриминанты и результанты явля-
ются целыми числами; формула (32)' показывает, в частности, что
дискриминант функции F(x) разделится нацело на результант
R(f, g) функций f(x) и g(x).
Переходим к доказательству неприводимости Фп(х). Пусть
е — какой-нибудь корень полинома Фп(х), т. е. какой-нибудь
первообразный корень n-й степени из единицы. Допустим, что
полином Фя(лг) приводим. Тогда он разлагается на произведение
неприводимых сомножителей, коэффициенты которых мы,| не на-
рушая общности, будем считать целыми числами Пусть f(x) —
тот неприводимый сомножитель, который имеет корнем в, так
что Де) — 0. Возьмём простое число р, меньшее, чем я, и вза-
имно простое с я. Тогда гР является также первообразным корнем
n-й степени и, следовательно, корнем полинома ФЛ(х). Мы пока-
жем, что ей должно быть корнем функции f(x). Если бы это было не
так, то гР должно было бы быть корнем какого-нибудь другого не-
приводимого полинома g(x), коэффициенты которого можно счи-
тать целыми. Многочлен F(*) = хп — 1, имея с неприводимыми
функциями f(x) и g(x) общие корни, должен делиться на каждую
из них, а так как они взаимно простые [по свойству неприводимых
функций — потому что корень ей, будучи корнем g(x)t не явля-
ется, по предположению, корнем Дх)], то он должен делиться и на
их произведение. А тогда, согласно вышесказанному, дискрими-
нант D(xn — 1) должен разделиться на результант R(f, g). Найдём
сначала D(xn — 1), взяв корни многочлена хп — 1 в виде е, е8,
е" = 1:
D(xn — 1) “ R(xn — 1, пхп~ 1) — 4z	пе2(«—О	=
п(п+1) (п — 1)
= ± Ппе 2	— ± Пп,	(33)
п(п + 1) (н - 1)
так как 8	2	—	1 как (п — 1) -я степень произведе-
ния всех корней уравнения ха — 1 = 0.
Вычислим теперь R(ft g):
Я (Л g) = ± f(yi) .
где yi,	У к—корни полинома g(x); среди них должен быть рав-
ный гР. Не нарушая общности, можем считать, что у\ *= &р.
Полагая в выведенной выше формуле Шенемана (28) х = е
и захмечая, что /(е) = 0, получаем
/(8р) = _ р . ф(е).	(34)
Так как у\ = есть тоже первообразный корень, то е можно
выразить как некоторую степень gi:
е = yLs.
Подставляя в (34), получаем
f(yi) = РЦУ1У	(35)
где ф(х/1) — некоторая функция с целыми коэффициентами. Функ-
ция f(x) — ptL(x), имеющая корнем pi, должна иметь своими кор-
нями и все остальные корни у %, ...» ук неприводимой функции g(x).
Поэтому соотношение (35) имеет место для всех корней pf.
f(yi) = РШ V = Ь 2,	Л),	(36)
а потому
Я(Л g) = ± Р* №0 • №2) - Ф (У«У	(37)
Произведение ф(рх) . 6(р2) ... ^(ук) есть симметрическая функ-
ция с целочисленными коэффициентами от корней полинома g(x),
имеющего целые коэффициенты, и потому должно быть целым
числом. Соотношение (37), таким образом, показывает, что резуль-
тант R(f, g) делится на pk. С другой стороны, дискриминант D(xn —
— 1) должен делиться на R(f, g). Следовательно, как показывает (34),
пп должно делиться на рЛ. Но этого быть не может, так как р
взаимно простое с п.
Это противоречие и доказывает, что гР не может быть корнем
никакого другого полинома g(x), а должно быть корнем функции
/(л), т. е.
НгР) = 0.	(38)
Теперь нетрудно показать, что любой корень полинома Фл (х)
является корнем f(x). В самом деле, такой корень всегда имеет вид
ем, где и взаимно простое с и. Пусть.
и = р . р' . р" ... .
Тогда еР-Р' = (е/7)^'. И так как f(sP) — 0, а р'— простое число,
меньшее л, и взаимно простое с п, то по доказанному /[(е^)^']=
=* f(zPP') = 0. Точно так же покажем, что ерр'Р" есть корень,
так как еРР'Р" = (еРР')Р", а р" — простое число, меньшее п,
и взаимно простое с п и т. д. Следовательно,
/(е«) = 0.
48
Итак показано, что любой корень полинома Фп(х) является
корнем его неприводимого сомножителя f(x). Поэтому
Этим и доказана неприводимость1 Фл(х).
3. Как мы уже указывали, решение двучленного урав-
нения хп — 1=0 можно свести к решению соответствую-
щего уравнения деления окружности Ф„(х) = 0, корни
которого являются первообразными корнями двучлен-
ного уравнения. И если уравнение деления окружности
окажется разрешимым в квадратных радикалах, то то же
можно будет сказать и о двучленном уравнении. Наоборот,
если уравнение деления окружности в квадратных ради-
калах не разрешается, то не решается в квадратных ради-
калах и двучленное уравнение (так как его первообраз-
ные корни не будут выражаться в квадратных радикалах).
Но уравнение деления окружности, как только что
было установлено, неприводимо. А поэтому к нему можно
применить установленный выше (§ 3,3) критерий разреши-
мости. А именно, мы видели, что для того, чтобы неприво-
димое уравнение было разрешимо в квадратных радика-
лах, необходимо, чтобы степень его была степенью двойки.
Но степень уравнения ФЛ(х) = 0 равна <р(п). Когда же
<р(п) будет степенью двойки?
Пусть п = 2а • pf* •	... pk*k есть разложение п на
простые множители, так что plt р2, ..., pk — различные
нечётные простые числа.
Тогда, как известно (§ 2, 3):
<₽(«) =
= 2“-1 •	~ *(Р1—1) (р2— 1).••(?*— 1). (39)
Для того чтобы <jp(n) было степенью двойки, необходимо,
во-первых, чтобы все множители P;ai-' были равны
единице, т. е. чтобы
а, = а2 — ... =	= 1
и чтобы, во-вторых, множители pL — 1 были степенями
двойки, т. е. чтобы каждое простое число pt имело вид
1 А так как, кроме того, все корни уравнения ФЛ(х) = О
являются степенями одного из них, то уравнение деления окруж-
ности нормально в области R. (Нормальным называется непри-
водимое уравнение, обладающее тем свойством, что все его корни
рационально выражаются через один из них.)
49
2т + 1. Простые числа этого вида называются гауссо-
выми простыми числами или простыми числами Ферма1.
Таково необходимое условие разрешимости в квадрат-
ных радикалах уравнения деления окружности, а следо-
вательно, и двучленного уравнения.
Итак, для того чтобы двучленное уравнение хп — 1 =0
было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо,
чтобы число п имело следующий вид'.
п = 2“ - pt ' pt... pk ,	(40)
где а—целое положительное число или нуль, a pt—раз-
личные простые числа вида 2т + 1.
Установленное нами необходимое условие оказывается,
в чём мы убедимся в дальнейшем, вместе с тем и достаточ-
ным.
Из доказанного, в частности, следует, что, например,
уравнения х7 — 1 = 0 и х9 — 1 = 0 неразрешимы в квад-
ратных радикалах, так как числа 7 и 9 не удовлетворяют
условию (39). Таким образом, оказывается невозможным
разделить циркулем и линейкой окружность на 7 и на 9
частей, или, что то же, построить правильный семиуголь-
ник или девятиугольник1 2 * * * *.
§ 5. УСЛОВИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ
ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА ЦИРКУЛЕМ
И ЛИНЕЙКОЙ
1. Выше нами было установлено необходимое условие
разрешимости двучленного уравнения в квадратных ради-
калах. Имея в виду доказать и достаточность этого усло-
вия, мы первоначально покажем возможность разреше-
ния в квадратных радикалах уравнения хР — 1 =0,
где р — простое число вида 2т 4-1. Метод, при помощи
которого мы проведём решение в квадратных радикалах
указанного двучленного уравнения, требует некоторых
дополнительных сведений из теории чисел, а именно —
знакомства со свойствами так называемых «первообразных
1 Об этих числах см. ниже, § 5, 3.
2 Следует подчеркнуть, что невозможность построения отно-
сится к употребляемым здесь средствам построения — циркулю и
линейке. С помощью других средств та же задача может быть ре-
шена. Например, правильный семиугольник может быть построен
с помощью двух прямых углов (см. Адлер, Теория геометрических
построений, гл. Vlll).
50
корней числа р», или иначе — первообразных корней
сравнения хР-1 — 1 = О (mod р).
Если два (целых) числа а и b при делении на целое
положительное число т дают одинаковые остатки:
а — тр + г
b = mq 4- Л
то такие числа называются равноостаточными или сравни-
мыми по модулю т, что записывается в таком виде:
а = fc(mod т).	(1)
Очевидно, что для того чтобы а было сравнимо с Ь,
необходимо и достаточно, чтобы разность а — b дели-
лась на т.
Числа, дающие при делении на т один и тот же оста-
ток, или, как говорят, вычет, т. е. сравнимые между собой
(mod т), мы отнесём к одному и тому же классу. Так как
различных вычетов по модулю т всего есть т : 0, 1, 2F
т— 1, то все числа разобьются на т классов сравнений,
каждый из которых характеризуется своим вычетом.
Совокупность т чисел, из которых каждое принадлежит
к разному классу, образует так называемую полную систему
вычетов.
Сравнения обладают многими свойствами обыкновенных
равенств. Сравнения можно почленно складывать, вычи-
тать, умножать, возводить в целую положительную сте-
пень. Доказательство этих предложений не представляет
труда. Пусть
а = 6(mod т),
с = d(mod т).	(2)
Следовательно, а— b — тр и с— mq. Отсюда вы-
водим:
(а — b) ± (с — d) = т(р ± q),
(a ±c) — (b ±d) = т(р ± q),
а ± с s= b ± d(mod tri).
Путём умножения получаем
ас = bd + (dp 4- bq 4- mpq)m, или
ас == W(mod т).
Это свойство распространяется на любое число сравне-
ний, и отсюда вытекает возможность возвышения обеих
частей сравнения в степень. Так как каждое число срав-
нимо с самим собой, то из этого следует, что к обеим частям
61
сравнения можно прибавить (или отнять) одно и то же
число, что обе части сравнения можно умножить на одно
и то же число.
Что же касается деления, то соответствующая теорема
формулируется так:
Обе части сравнения, имеющие общий делитель q,
взаимно простой с модулем, можно разделить на q.
Покажем это. Пусть а 6(mod m), а = q * b =
= q • br и q и tn взаимно простые. Тогда, по условию,
qat = qb± (mod m); т. e. q(at — bx) делится на m, а так
как q и m взаимно простые, то — Ьг должно разделиться
на т, т. е.
= fe1(mod т).
Отсюда можно вывести следующую теорему о почлен-
ном делении сравнений. Если а == b (mod т) и с = d(mod /и),
а делится па с, а b делится на d и с (а следовательно, и
d) взаимно простое с т, то сравнения можно почленно
разделить одно на другое.
Пусть а ~ саг и b — dblt Умножая. сравнение са± ==
== dbi (mod m) почленно на сравнение d = с (mod /и),
получаем cda± = cdbt (mod tn). Так как cud взаимно прос-
тые с /п, то и их произведение с • d взаимно простое с т.
Сокращая последнее сравнение на с • dt получаем а± =
== bt (mod т), что и требовалось доказать.
Докажем теперь следующее предложение. Пусть р —
простое число. Покажем, что при любом а
аР — а === 0 (mod р).	(3)
Доказательство проведём методом индукции. Сравне-
ние, очевидно, верно при а = 1. Допустим, что оно имеет
место при а = т:
тР — т = О (mod р),
и покажем, что тогда оно будет справедливо и при
а = т + 1.
В самом деле,
(т + I)/* — (m + 1) = тР — т + тР -1 +
+ ... + рт,
1 • 2
Так как каждый из биномиальных коэффициентов де-
лится на р (потому что р — простое, а в знаменателях
52
числа, меньшие р) и так как, по предположению, то же
можно сказать и о тр—т, то и всё выражение в правой
части разделится на р, т. е.
(т + 1)р — (m + 1) s 0 (mod р).
Теорема доказана.
Положим теперь, что а не делится на р (взаимно про-
стое с р), тогда обе части сравнения (3) можно разделить на а.
Получаем:
ар~1 — 1=0 (mod р).	(4)
Этим доказана так называемая малая теорема Ферма.
От тождественных сравнений переходим к сравнениям-
уравнениям.
Если f(x) — многочлен с целыми коэффициентами:
f(x) = сХ + йх"-» + ... + Сп-1 х + сп
и если а есть корень сравнения
f(x) s= 0 (mod р),	(5)
т. е. если Да) s 0 (mod р), то всякое число 6 sc (mod р)
является тоже корнем сравнения (5).
В самом деле, из а = 6 (mod р) вытекает, что
а" = bn, а"—1 = /А \ ... а = (mod p).
Умножая эти сравнения на с0, сп	и почленно
складывая, получаем:
соа" s cobn, с^1 = cjbn-1, ..., с^а = Ь,
сп -- сп (mod р),
Сой" + Cja"-1 + ... + сл_ха + сп = cobn + Cib"-1 4- ... +
+ с„_х b 4- с„ (mod р),
т. е.	Да) = f(b) (mod р)
и, следовательно,
f(b) == 0 (mod р).	(6)
Два корня, принадлежащие к одному классу сравне-
ний, мы не будем считать существенно отличными и скажем,
что сравнение имеет корень:
х s a (mod р).
Рассмотрим двучленное сравнение
хР~1 — 1 == 0 (mod р).	(7)
53
По теореме Ферма все числа, взаимно простые с р,
являются корнями этого сравнения. Следовательно, так
как р — простое число, это сравнение имеет р — 1 сущест-
венно различных корней:
х ?= 1, х = 2...х = р — 1 (med р).	(8)
Других корней, очевидно, быть не может [х е 0(mod р)
корнем не является].
Корни двучленного сравнения (7) обладают свойствами,
аналогичными свойствам корней двучленного уравнения
хР — 1 = 0. Пусть т — какой-либо коре сравнения (7),
тогда числа
т, т*, та, ...
являются также корнями этого сравнения; это следует из
того, что обе части сравнения тР-1 == 1 (mod р) можно
возвести в любую степень. Среди них есть сравнимые с
1 (mod р); таким во всяком случае будет тР—1.
Если d наименьший показатель, при котором
md ss 1 (mod р),
то говорят, что число т принадлежит (по модулю р) к
показателю d. Те числа, которые принадлежат к показа-
телю р— 1, т. е. те, которые удовлетворяют сравнению (7),
но не удовлетворяют никакому двучленному сравнению
(mod р) низшей степени, назовём первообразными корнями
сравнения (7) или просто первообразными корнями числа р.
Докажем следующее основное свойство первообразных
корней. Пусть g — какой-либо первообразный корень чис-
ла р. Тогда ряд чисел
g, g2. —» gp~*, gp~l 1^11 (mod p) (9)
представляет собой все корни сравнения (7). В самом деле,
каждое из чисел (9) есть корень этого сравнения, и все
они между собой не сравнимы, так как если допустить,
что
gk == gz(mod р) (k,l <р — 1, и пусть k > /)>
то, деля обе части на gl (взаимно простое с р), мы имели бы
gk~l == 1 (mod р),
и так как k — I <_р— 1, то g не было бы первообразным
корнем.
54
Таким образом, числа (9) представляют собой все кор-
ни (8) уравнения (7), а потому они сравнимы с числами 1,
2, .... р—1 (взятыми, вообще говоря, в ином порядке)
и составляют, следовательно, полную систему вычетов.
Примеры: 1) Для р = 5 одним из первообразных
корней будет g = 2, так как 2 является корнем сравнения
х4 — 1 = О (mod 5), но не удовлетворяет сравнениям низ-
шей степени х — 1=0, х2 — 1 = 0, х3 — 1 = 0 (mod 5).
Поэтому ряд чисел: 2, 22, 23, 24 должен представлять все
корни сравнения х4 — 1=0 (mod 5). Нетрудно видеть,
что эти числа сравнимы (mod 5) с 2, 4, 3, 1.
|2) Для р = 17 за первообразный корень g можно
взять 3. Тогда числа ряда
ё> ё2> ё3' ё*> g6» ё3' ёч> ё3) ё9’ ё10> ёг1> ё™< ё13< я14> ёи ёи — 1
будут сравнимы (mod 17) с числами от 1 до 16 (взятыми
в следующем порядке):
3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, 1.
Выведем, наконец, ещё одно соотношение. Пусть g —
первообразный корень простого числа р(>2).
Следовательно,
gP-1 — 1=0 (mod р).	(10)
Разлагая левую часть на множители, имеем
/ Р—1 А / Р—1	\
\Я2 — 1 / \ £	2 +2 / 5 ° (mod р),
Р— 1
2	1
g — 1 не может делиться на р, так как тогда g
принадлежало бы показателю ?-- и не было
бы первообразным корнем. Следовательно, на р должно
Р—1
2	, 1
делиться g + 1, а потому
Р—1
ё 2 +1 = 0(mod р),	(П)
или
Р-1
ё 2	= — 1 (mod р).
Выведенными соотношениями мы впоследствии вос-
пользуемся.
55
При этом заметим, что сравнение gk 4-1=0 (mod р),
имеющее место, как показывает (11), при k = -~-1 , не
удовлетворяется ни при каком другом значении k в преде-
лах от 1 до р. В самом деле, из сравнений gk = — 1
р— 1
(mod р) и g 2	= — 1 (mod р), деля почленно одно
на другое (делить можно, так как все корни сравнения (7),
а следовательно, g и его любая степень взаимно простые с
Р), получаем. 2 == 1 (mod р)—велучае, когда >
S	, z
p~l
либо g2 = 1 (mod p) — в случае, когда k< 2 . Но
ни первое сравнение при ft<p, ни второе сравнение не
могут иметь места, так как g есть первообразный корень
числа р.
2. Перейдём теперь к доказательству разрешимости в
квадратных радикалах уравнения хр —1=0 в случае,
когда р — простое число вида 2т + 1.
Когда р — простое число, то, как мы знаем, кроме
х = 1, все остальные р— 1 корней двучленного уравнения
хр — 1 =0 являются первообразными и совпадают с кор-
нями полинома
Фр(х) = хр-1 4- хр~2 + ... + *+ 1 = 0.	(12)
Если в один из корней уравнения Ф;,(х) = 0, то все
корни могут быть представлены в виде
е, еа, 83,...,е₽—1.	(13)
Отсюда, между прочим, ясно, что если один из корней
выражается в квадратных радикалах, то то же будет
иметь место и в отношении всех остальных корней.
Метод Гаусса, которым мы воспользуемся, основывает-
ся на своеобразном порядке расположения корней (13).
Пусть g — первообразный корень числа р. Тогда, как бы-
ло выяснено, числа 1, g, g2,...,gP~2 образуют полную си-
стему вычетов по модулю р, т. е. сравнимы с числами 1 ,
2, 3,...,р—1 (взятыми, вообще говоря, в другом порядке).
С другой стороны, если два числа k и I сравнимы (mod р),
р) следует, что
так как &?= 1.
то е* = в1; в самом деле, из k = I (mod
k=l -|- pt, а потому 8* =ez +pt== в1(еР)( = в1,
Поэтому числа	_
8, 8^, ее2,
представляют собой те же корни (13), но
04)
расположенные
в ином порядке, именно в таком, что каждый последующий
56
корень представляет собой g-ю степень предшествующего
(первый—ei представляет собой g-ю степень последнего:
(tfp~z)s = egp~1 = е).
Из р—1 чисел (14) составим две следующие суммы
по — -	---число целое, так как р = 2ffl4 11
2	\ 2	/
слагаемых в каждой—два !~—=членных периода (по тер-
минологии Гаусса):
^0 = 6+е^' 4” •••+ег₽~3	/1С\
Г)1 = g.g_j-	4-...+8«'₽-2.	' °'
В этих суммах каждый член представляет g^-ю сте-
пень от предшествующего.
Докажем следующее свойство этих периодов. Если в
них произвести подстановку, взяв вместо 8 какой-нибудь
корень, входящий в состав т]0, то от такой подстановки
оба периода т)0 и ти не изменятся; если же вместо е под-
ставить корень, входящий в период т]ь то г]0 превратится
в т)1, а т]1 в т|0. Убедимся в этом. Подставим в т)0, а за-
тем в т]1 вместо е, например, eg3 . Тогда
е^ 4- (gf X 4-(eg“ )£* +... 4- (eg2 К”-3 = eg2 4.
4- eg* 4 8«° 4-... + 8®'₽-1( = е) = ц0,
(eg2 )* 4 И5 К 4 ... 4 № )gp~2 =
= 8^ 4	4	4 egp( = е?) — 41-
Оба периода остались без изменения; изменился только
порядок слагаемых. То же будет, если подставить любой
другой корень egfc , принадлежащий т;0.
Подставим теперь вместо 8 какой-нибудь корень, вхо-
дящий в г)ь например eg®. Получим:
eg3 4 (eg3 )gs 4 ... 4 (fig3 )gp“3=8gs 4- eg5 + ... 4 8^=1]
(eg3 )g 4 (eg3 )g“ 4 ... 4 (eg3 )gp~8 =
= eg* 4 eg” 4 ... +? 8 +	= Яо-
Мы видим, что t]o перешло в a t)i- в q0. То же
произойдёт при всякой подстановке е -» eg2s + 1
Заметим, что периоды т]0 и т;, различны по своей вели-
чине. Если предположить, что т|0 = т)1( т. е. что
8 4 eg2 4 ••• 4- egp_>3 = eg 4 е*3 4 ... + egp—2,
67
то, заменяя в этом равенстве степени g их вычетами и со-
кратив на а, мы получим уравнение (р — 2) -й степени,
которому удовлетворяет е; этого, однако, быть не может,
так как е является корнем неприводимого уравнения (12)
(р — 1)-й степени. Следовательно, т|0 =# т)р
Мы постараемся теперь показать, что периоды т)о и гц
являются корнями квадратного уравнения с целыми коэф-
фициентами.
Прежде всего замечаем, что
Ло + П1 = —1.	(16)
так как сумма т)о + % есть сумма всех корней полинома (12),
у которого коэффициент при хР -1 равен единице1.
Далее составим произведение г)0 • ти:
т|о • 4х = (е + е«2 + ея"4 + ... + ев*- 3) X
X (eg +	+ ... + eS'₽~2).
Умножение будем выполнять следующим образом: все
члены первой строки сначала умножим на находящиеся
непосредственно под ними члены второй строки, затем
на находящиеся на один член правее, на два члена правее
и т. д., дополняя недостающие с противоположного конца
(пользуясь при этом соотношениями: е? = е£р ,	= е£₽+2
и т. д.).
Получим следующее выражение:
т|0.т)1=в1 + £+ e(1 + 6>fi2+	1>+еП + е;5Р-з+
ei + g-‘ + e(> + s3te2 + e(i +«У4 + ... 4-е(* + «Х-3 +
_|_ 8i + fi5 e(i +ё5)«2 -|_ ... _|_ е(1 + ^Р"3 +
4- 6i + в"“2 _|_ е(1 + вр-2)й'‘	e(H-g₽-2)/~3. (17)
В каждой из -------- горизонтальных строк находится
сумма, представляющая собой результат подстановки в
р — 1
период т]0 вместо е одного из ----чисел:
1 Или так: корни (14) это те же корни (13): но е есть корень
полинома (12), а потому
еР 1 -J— еР—2	... g 1 = О,
ИЛИ	£Р~1	ЕР—2 Ц- . . . + £ — —1.
58
81+e', e1+g3 , еЧ'**’8 ,	81+fi:₽ 2	(18)
Каждое из чисел (18), представляя собой степень е,
является корнем полинома (12); исключение могло бы пред-
ставиться лишь в том случае, если бы некоторые числа
обратились в 1. Это могло бы иметь место при условии
1 4- g2z+1 ss 0 (mod р).
Но это сравнение не может иметь места, потому что,
как мы видели, сравнение 1+^=0 (mod р) может иметь
р —1
место лишь при k = —т~ но 2/ + 1 не может рав-
р~1	р-1	п
няться ——, так как есть число четное. Поэтому
ни одно из чисел (18) не равно единице и, следовательно,
все они являются корнями полинома (12), а потому вхо-
дят либо в состав периода г)0, либо г]х. В первом случае
результат подстановки даёт т)0 и, следовательно, соответ-
ствующая строка в (17) равна т]0, во втором случае она
будет равна Если то чисел из ряда (18) принадлежат
т]0, а остальные /пх периоду т]1( то наше произведение
т]0 • гц примет следующий вид:
По • Hi = "Vlo + "Vh.	(19)
р—1
причём т0 + тг —	. Произведение г]0 на гр пред-
ставляет, таким образом, их линейную однородную функ-
цию с целыми коэффициентами. Мы покажем, более того,
что т0 = mt.
Для этого составим то же произведение периодов т]0 и
т)1( но будем множить на Tjo (умножение будем произво-
дить тем же методом, что и выше, но только при получении
первой горизонтальной строки вместо чисел е, е^2.......
~2 возьмём равные им &sp~1, е£Р +е#2р~ У
Hi -.По = (е4' + Efi3 +	••• + ®gP~2)X
Х(е + е«2 + е^4 + ... + е£р~3) =
= g(i + gP-2x-|- e(i+ £₽ —2)^3+ ... + е(1 + *р“2)£р-2 -|-
_|_ е (1+в)*’ + е (1+^ +... 4- 8 (1+£)йр-2 +
+ + e(I + gP-V+
Полученное произведение представляет собой резуль-
тат подстановки тех же чисел (18), но уже в период
59
Так как по предположению т0 из чисел (18) принадлежат
периоду г]0, а т1 — периоду т]х, то
41 • 40 = то -41 + ^1 • По- (20)
Сравнивая (19) и (20), находим
"Wo + ^141 = /«<>41 + /«14о>
или
(т0 —	(т]0 — тн) = 0.	(21)
И так как т|0 =/= т^, то т0 — тг — 0, т. е. тй = /щ.
.	р—1
И так как сумма их т0 + tr^ = ——> то т о~ mi —
_ р~1
~	4	'
Следовательно,
40 • 4i = /«о(4о + 41) =	(— 1) =—	.
Итак,
40 • 41 = —•	(22)
Отсюда и из (16) следует, что г]0 и гц служат корнями
квадратного уравнения
zz + z — ~^-=0.	(23)
Откуда
z- “’±^
2
и, следовательно1,
Таким образом, мы не только показали, что т]0 и т]!
являются корнями квадратного уравнения с целыми коэф-
фициентами, но и вычислили их значения.
Теперь возьмём -членные периоды т)о и 41 и
каждый из них разобьём на два периода с вдвое меньшим
числом членов:
т|' = е + es1 -|- ef -|- ... + еяр~5.
ц' =	+ eg« 4-	+ ... + eSp~3,
if —	+ е^5 + es9 -г ... + &р~4>
г)1- = в?» + £g7 8gn + . . 4- egP-2. (25)
1 От нас зависит, какой корень уравнения (23) принять за т;0
и какой за Это связано лишь с выбором первообразного корня е,
который был взят произвольно. Мы примем тю > 0 и Г[Г < 0.
60
Все корни данного уравнения, таким образом, распре-
р — 1
делены между четырьмя -н 4 - -членньши периодами,
причём
Т)'о + п'* = и rf! + п'з == П1-	(26)
В каждом из периодов (25) последующий член пред-
ставляет g4 -ю степень предшествующего. Периоды (25)
аналогично р~ * -членным периодам обладают свойст-
вом: при подстановке в них вместо е какого-нибудь корня,
входящего в состав периода t]'o, все 4 периода не изме-
няются; при подстановке вместо е корня, принадлежащего
периоду t/i, Л'о переходит в ц'ъ rj'x в г]\, т]'г в т}'3 и т)'8
в »i'o; при подстановке корня, принадлежащего периоду
т]'2| т|'о переходит в t]'s, ti'j — в т|'з и т. д. в циклическом
порядке. В правильности этого можно убедиться непо-
средственной подстановкой. Докажем теперь следующее
свойство этих периодов: каждая пара периодов т]'о и л'а
и л'ь т)'з удовлетворяет квадратному уравнению, коэффи-
циентами которого служат рациональные функции от
периодов т]0 и i)x.
Возьмём, положим, пару г]'о и Л'г- Относительно них
нам известно (26), что сумма их равна Г|о- Составим теперь
произведение т)'о  т/г. Умножение будем производить
указанным выше способом.
Л'оЛ'г = (е + е®4 + е®8 + • • • + е® ) X
X (es2 + e* + 8Й‘О + ... -Нй₽~3) =
j+£2 I о	|_„(1+б2)«8 !	। c(i+fi2)ep-6_i_
+ е!+«6 _|_ gO+e6»*4 _|_... + е<‘+*6)в ₽-5+ _ +
+ ei+g₽-3	E(i+gp-3)S< + _ + eo+fi₽-3)^	(27)
В полученном выражении каждая из горизон-
тальных строк представляет собой результат подстановки
в период 1]'о вместо 8 одного из чисел
ei + g2, E1 + ge, ..., e1+sp~3,	(28)
являющихся, как степени е, корнями уравнения (12) и
потому входящих в состав того или другого периодов (14).
[Ни одно из чисел (27) не обращается в 1, так как для
этого было бы необходимо, чтобы 1 + g2(2Z + О = 0 (mod р),
6 Заказ 2146	61
а это сравнение удовлетворяется лишь при показателе
р — 1	р — 1
степени, равном —но —-— делится на 4, а 2(2/ + 1)
ни при каком t на 4 не делится. ] Поэтому каждая из гори-
зонтальных строк в равенстве (27) оказывается равной не-
которому Т)'.
Если предположить, что среди Р 4 - чисел (28) /п'о
принадлежат периоду т)'о, m't— периоду »]'!, т’г—пе-
риоду г]'2 и т’э — периоду т/3, то равенство (27) примет
вид
П'о-П'а= «'о П'0 + «'1 • n'l + zn'z- il'a+т'з -Ti'g. (29)
Покажем, что т’о = т’2 и — т'3.
Для этого составим произведение тех же периодов т]'о
,	,	,	Р—1
и 1) 2, умножая т) 2 на г) 0, при этом получим —— гори-
зонтальных строк, каждая из которых будет представлять
собой результат подстановки тех же чисел (28) в период
т)'2. Тогда, согласно отмеченному выше свойству этих пе-
риодов, от подстановки /п'о корней, принадлежащих пе-
риоду т]'о, мы получим /п'о строк, равных каждая rj's; от
подстановки корней, входящих в состав периода t)'i,
получим т\ строк, равных т]'8, и т. д. в циклическом по-
рядке. Окончательно получим:
т)'2 • t]'o = т’о • rf8 + т\ т]'3 + т'а • т]'о + т’3 • rfi- (30)
Сравнивая (29) и (30), получаем:
"г'оП'о +	+ «г'2т]'г + т'3х\’3 = m'on'a + т'^'з +
+ ю'гП'о + т'^\,
или
(/п'0 — т'2)п'о +	— т'^\ ~ (т'о — /п'2)т]'2 +
+ (m't — /п'з^'з,
откуда
(т'о — т'2) (г]'о — т]'2) + (т\ — т'3) fn'i — п'з) = 0. (31)
Если предположить, что какой-нибудь из коэффициен-
тов т'о — т'2 либо т\ — т'3 в равенстве (31) отличен от
нуля, то мы бы имели, подставляя вместо т)' их значения и
упрощая, соотношение (с рациональными коэффициентами)
не выше (р — 2)-й степени, которому удовлетворяло бы 8.
А этого быть не может в силу неприводимости много-
члена (12). Итак,
т'ь~ /п'2 = 0и/п'х — т'8 = 0,т.е. т'о — т'2 и tn'i =т'3.
62
Поэтому из (29) получаем
Л'оП'г = "I'ofa'o + П'з) + "ЛОЛ + П'з)
и, принимая во внимание (26), окончательно имеем
П>г' = т 'от| '0 + т'^.	(32)
А отсюда и из (26) следует, что т)'о и тЛ являются кор-
нями квадратного уравнения
г2 — т]ог + (m'er]0 + т\ »ц) = 0	(33)
с коэффициентами, рационально зависящими от t|0 и т)г.
Совершенно то же можно было бы показать и для дру-
гой пары периодов гЛ и т/з.
Процесс образования периодов со вдвое меньшим чис-
лом членов продолжаем дальше. Составляем -член-
ные периоды и так же, как выше, показываем, что они яв-
ляются корнями квадратного уравнения, коэффициенты
которого рациональным образом зависят от-------- -член-
4
ных периодов, и т. д. В результате, так как р — 1 = 2“,
после (т — 1)-го деления мы получим двучленные периоды,
каждый из которых будет являться корнем квадратного
уравнения с коэффициентами, рационально зависящими
от предшествующих (четырёхчленных) периодов. Таков
будет, в частности, первый из двучленных периодов:
т]0(т-1) = е +	(34)
р— <
Замечая, что g 2 = — 1 (mod р) и обозначая для
краткости	через %, получаем
в + е-1 = £
или, окончательно,
Е2 — ?8 + 1 = 0.	(35)
е, следовательно, определится как корень этого последнего
квадратного уравнения.
Таким образом, доказано, что г находится путём после-
довательного решения цепи квадратных уравнений.
Первообразный корень е двухчленного уравнения
хр — 1 = 0 (в случае, когда простое р — 2т + 1), а следова-
тельно, и все корни этого уравнения выражаются, как
6*
63
мы видим, в квадратных радикалах и могут поэтому быть
построены циркулем и линейкой.
3. Сделаем теперь несколько замечаний по поводу
простых чисел вида
р = 2m + 1.
Прежде всего заметим, что число 2т + 1 может быть
простым лишь в том случае, если показатель т сам есть
степень двойки. Если бы это было не так, то т делилось
бы на нечётное число q « 1):
т = q • s.
Но тогда
р = 2т + 1 = 2<>s + 1 = (2s)9 + 1,
и так как q — нечётное, то (сумма нечётных степеней
делится на сумму оснований):
р = (2*)«+ 1 = (2s + 1) (2^-° — 2i<9”2) + ... ± 1).
р, следовательно, не было бы простым числом.
Поэтому т = 2* и, следовательно,
р = 22* + 1.	(36)
Однако не всякое число вида (36) является простым.
Простые числа получим при k = 0, 1, 2, 3, 4:
3, 5, 17, 257, 65 537
Простые числа (36) для k > 4 неизвестны. Уже при
k = 5 формула (36) даёт, как показал Эйлер, составное
число;
р = 2Ф + 1 = 232 + 1 = 4 294 967 267
делится на 641. Число 22° 4- 1 = 264 + 1 тоже составное
(делится на 274 177).
Исследованиями, ведшимися до настоящего времени,
установлено, что составные числа получаются также при
k = 7, 8, 9, 11, 12, 15, 18, 23, 36, 38, 73. Для каждого
из них (кроме случаев k = 7,8) найден один делитель;
так, 22?s + 1 делится на простое число 5 • 27а + I1.
4. Рассмотрим теперь в качестве примера сначала урав-
нение хъ — 1 = 0.
р = 5 = 22 + 1; Ф5(х) = х4 + Xs + х2 + х + 1.
Один из первообразных корней 5 есть, как мы видели
выше, g — 2 и потому
g, g3, g3,
’См. Э. Трост, Простые числа, М., 1959, стр. 46—48.
64
сравнимы (mod 5) с
2, 4, 3, 1.
Поэтому
t]0 — 8 4* е4 и T)i = е2 + е8.
Периоды т]0 и т]1 найдутся сразу по формулам
-1+Г5~	_ - 1 - Г5~
Ло—	2	» Л1 2
Замечая, что е4 = е-1, пишем
е+е-.= ^±£Е.
1
или
2е2 + (1 — /5Г8 + 2 = 0.
Откуда (взяв, например, положительное значение кор-
ня)
_ - 1 +	+ I У ю + 2/Т
е---------------- •
Остальные корни уравнения х5 — 1=0 будут в2,
8s, е4, (s6 = 1).
Для деления окружности на 5 равных частей (построения
правильного пятиугольника) можно поступить так. Возь-
мём решение уравнения х6 — 1 = 0 в тригонометрической
форме:
/	ч	2к . , . . 2л
8(=	= COS —+ I SID ---,
4	7	5	5
о	4л	4л
8 = cos —+ / sin--,
о	□
6л	6л	4л	4л
е3 = cos — + i sin — = cos ~ — i sin —
о	о	□	о
л	8л ... 8л	2л . . 2л
е4 = cos — + i sin— = cos-----i sin —
5	5	5	5
Отсюда
t]0 = e + e4 =2 cos — ,	= e2 + 88 = 2 cos — .
5	5
И. следовательно, в частности,
Тогда
л	4лч	4л	5
cos — = cos (л-------) = — cos — —------------.
5	5	5	4
65
Из последнего равенства вытекает следующий способ
построения правильного пятиугольника (черт. 5).
Берём окружность и проводим два взаимно перпенди-
кулярных диаметра АВ и CD. Радиус ОВ делим в точке Е
пополам. Проводим дугу с центром в точке Е радиусом ЕС,
пересекающую диаметр в точке F. Затем радиусом, равным
BF, с центром в точке В делаем засечку на окружности.
Черт. 5.
Дуга AAj есть — часть
5
2к
окружности — — .
Действительно,
ОЕ — 1 •
2 ’____________
FF = FC-
BAt = BF =_BE + EF =
= 1 +]<5
2
Из треугольника ABAi
лол BA. 14- V5
соз^ЛВЛ1 = -^ =----—
2
4
= COS—
5
таким образом,
ABAi - -
1	5
а потому центральный
=-
5
Откладывая по окружности дугу AAlt строим искомый
пятиугольник ЛЛ1ЛаЛ3Л4.
Кроме изложенного, существуют, как известно, и дру-
гие способы построения правильного пятиугольника.
Рассмотрим в качестве второго примера уравнение
х17 — 1 = 0. Для р — 17 одним из первообразных корней
служит g = 3.
Числа:
1. ё>	g6, gG. g7. g8. g®> g10. gn> g12. gl3> g14. g16
66
сравнимы, как мы видели, с числами:
1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6-
Составляем два = 8-членных
периода.
т] = е + 8® + е13 + е15 + е10 + е8 4- 84 + е2,
к)! = g* е10 -f- 8б -|- е11 + е14 -|- s7 4- 8124-ев-.
т]0 и Чх могут быть определены по формуле (23) как корни
уравнения1:
х2 — х — 4 = 0.
Какой корень этого уравнения принять за г]0 и какой
за th? Это зависит от выбора е. Если за 8 принять первый
корень, т. е. е = er = cos — + tsin — , то нетрудно
видеть, что т]0 > 0, а т]! < 0. В самом деле, заменяя е17-^
через 8 — Л и замечая, что ел + А — 2 cos
видим, что т]1 = 2 cos — + 2 cos + 2 cos +
17	17	17
14 iz
+ 2 cos — < 0, так как здесь 3 слагаемых отрицательны
и лишь одно 2 cos — > 0, но уже 2 cos = — 2cos—
17	17	17
по своей абсолютной величине больше, чем 2 cos — .
17
Поэтому По = ------------- ,	7]! = ---.
Далее составляем четырёхчленные периоды:
у0 == 8 + е13 + 816 + е4,
уг — е9 + 815 + 88 + е2,
у2 = 83 + Е5 + £14 + 812,
Уз = 610 + 811 + 67 + 86.
При ЭТОМ
Уо + У1 = По, а й + & = П1.
1 Если готовой формулой не пользоваться, то сразу видим,
что	= — 1, и непосредственным вычислением убеждаемся,
что	— 4.
67
Составляем произведение //0 на
Уо • Ух — е104- е11 + в7 + ®в 4-
4- е’6 + е4 -|- е 4- 813 4-
4- 8® + в18 4- е8 4* 82 4-
4- е8 4- в8 + в14 4- в12 = у3 4- Уо 4- У1 + уг - — 1-
Поэтому у0 и yi — корни квадратного уравнения
У2 —ЛоУ —1 = 0.
Корни этого уравнения разных знаков. За у3 нужно
взять положительный корень, потому что у0 = г 4- в-1 4-
4- е4 4- в-4 = 2 cos 4- 2cos~ >0. Следовательно,
_ Чо4-/^+4
---------- .
Составляя произведение у2 на у3, убеждаемся, что и
Уг  Уз = — 1- А так как уг 4- у3 = tjx. то у3 п-у3 удовле-
творяют квадратному уравнению
У2 —П1У— 1 =0-
За у2 нужно принять положительный корень этого
уравнения, так как
у2 = в8 4- 8~8 4- в8 4 е-8 = 2 cos — 4- 2 cos— =
17	17
= 2 cos----2 cos — > 0.
17	17
Следовательно,	у2 =	.
Составляем, наконец, двучленные периоды:
г, = 8 4- е1®;	— 818 4-	= е® 4- fi8; z3 = в18 4-
z4 = 8* 4- 8м; z8 = в8 4- е12; ze = в10 4- е7; z7 =® 8п4-8?.
Нам достаточно взять дра первых периода z0 и zx.
Сумма их
г0 4-	= у0.
Составляем произведение z0 на zt:
z0 • Zj = в14 4- 8® 4- е12 4- 88 — у3.
68
Следовательно, z0 и zx — корни квадратного уравнения
2 У<ь% ”1" Уъ в 0.
Корни этого уравнения одного знака, но легко видеть, что
> 2Х,
так как
zo = 2cost?. а *1=2 cos-.
17	и •
Поэтому	________
0	2
И, наконец, чтобы найти 8, составляем уравнение
8 4- е -1 — г0,
« найдётся как корень этого уравнения: в =	;
перед корнем берём знак +,- потому что z0 = 2 cos и,
Переходим теперь к самому построению правильного
семнадцатиугольника. Нам, следовательно, придётся по-
строить следующие пять отрезков:
= cos—ру-; поэтому самое 8 для построения не потре-
буется).
Построение производим следующим образом (черт. 6).
Берём окружность радиуса, равного 1, и проводим два вза-
69
имно перпендикулярных диаметра Л В и CD. За положитель-
ное направление по горизонтальной оси примем от А к В,
так что вправо от О будем откладывать отрицательные
отрезки. Радиус ОА делим на четыре части -и строим
ОЕ - -4-;
тогда	_______ ____
£С=/ОСЧ-О£«=|/ l + ±-V"-
Из Е как из центра радиусом, равным ЕС, делаем на
горизонтальной прямой засечки F и F', так что
Затем из точек F и F' соответственно радиусам и FC
и F'C делаем засечки G и G'.
Тогда
OF = OE + EF = —4
/17 _ Ъ
4	— 2
OF' = ОЕ + EF' = — 4- +
4'4	2
OG = OF + FG = OF + FC = _|_ р/ ft^l =
OG' = OF' 4- F'G' = OF' 4- F'C = ft )+1 = У»-
Далее на AG как на диаметре строим полуокружность,
которая пересекает радиус ОС в точке //, и из точки Н
70
делаем засечку К радиусом НК =	. Затем из >гочкиК
радиусом НК делаем засечки L и L'.
Тогда
L0 + 0L' = LL' - 2КН = ОС = уа,
L0 • 0L' = ОН2 = АО • 0G ~ 0G = у2. .
Следовательно, L0 и 0L'— корни уравнения (24) и
потому совпадают с г0 и zlt и так как L0 > 01/, то
L0 = го.
Деля L0 пополам, получаем
МО = "2	~ COS 17- •
Восставляем в точке М перпендикуляр, который пере-
секает окружность в искомой точке At (и А1в). Дуга ААг =
17*
Откладывая эту дугу по окружности, строим правиль-
ный семнадцатиугольник.
5. Выше мы убедились в том, что при помощи циркуля
и линейки можно разделить окружность на р частей, где
р — гауссово простое число.
Мы покажем теперь, что задача деления окружности
на п частей выполнима для всякого п, имеющего вид
п = 2я • р#г. • -рк,
где р{ — различные простые числа вида 2"1 + 1.
Для этого докажем сначала следующее предложение.
Если окружность может быть разделена (циркулем
и линейкой) на а и на р частей и если аир — числа взаимно
простые, то окружность можно разделить и на а • Р
частей. В самом деле, так как (а, Р) = 1, то можно подо-
брать два таких целых числа а и Ъ, что
а • а 4- р • b = 1.
Деля на п = а • р, получаем
Чтобы построить—-ю часть окружности, нужно,
п
следовательно, а раз взять — -ю часть и b раз — -ю часть
3	о
71
и сложить (вычесть); всё это выполнимо циркулем и ли-
нейкой.
Например, чтобы разделить окружность на 15 равных
частей (п = 15 - 3 • 5), замечаем, что
(—3) -34-2 • 5 — 1
1	2	3
и	15 ~ 3 “ 5 '
Таким образом, мы получим часть окружности,
2	3
если из — вычтем — её части.
3	5
Точно так же для деления на 170 частей замечаем, что
170 = 17 • 10, где (17, 10) = 1.
Далее находим, что
3 . 17 — 5 • 10 = 1
и	=
170	10	17
1	3
часть окружности получим, вычитая из — её
5
— ее частей.
17
Установленная выше теорема индуктивно обобщается
на любое число т попарно взаимно простых чисел ап
а2,..., ат.
Допустим, что, умея разделить (циркулем и линейкой)
окружность на щ, на а2, ..., аот_1 частей, мы можем
делить окружность на d — a2 • a2, ..., am_ i частей.
Тогда, так как d и ат взаимно простые, а на d частей (по
допущению) и на ат частей (по условию) мы делить окруж-
ность умеем, то по доказанной выше теореме сумеем раз-
делить и на п — d • ат = ctj • a2...am_i . ат частей.
Этим теорема доказана.
Пусть
п = 2 ° • Pi • p2...pft .
Мы умеем делить циркулем и линейкой на 2, на 4 и во-
обще на любое число 2а частей. По доказанному ранее мы
умеем разделить окружность и на plt на рг, ...» pk частей,
ибо всё это гауссовы простые числа. И так как все эти
72
числа взаимно простые, то мы сумеем разделить окружность
и на число частей, равное произведению этих чисел, т. е.
на п частей. Этим и доказана достаточность условия, необ-
ходимость которого была установлена нами выше (§ 4, 3).
Итак, нами полностью доказано следующее предло-
жение.
Разделить окружность циркулем и линейкой на п рав-
ных частей {построить правильный п-угольник} возможно
в том и только в том случае, когда п число вида
п = 2а • pi • р2-..рА,
где а — произвольное целое положительное число или нуль,
a Pi, Р2,---> Pk — различные между собой простые числа
вида 2,Л + 1.
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 1.	Введение , . ..................... < . ...............3
§ 2.	Двучленные уравнения...............................  13
§ 3.	О разрешимости уравнений в квадратных радикалах . . 24
§ 4.	Полиномы деления окружности. Необходимое условие раз-
решимости в квадратных радикалах уравнения хп—1=0. . 36
§ 5.	Условие возможности построения правильного много-
угольника циркулем и линейкой . . а . * , < , , а 50
Адольф Григорьевич Школьник,
ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ КРУГА
Редактор Н, И. Лепешкина. Художник A Af. Гельфер*
Художественный редактор В. И, Бельский
Технический редактор В. Л. Коваленко
Корректор Я. И. Котельникова
Сдано в набор 26/1 1961 г. Подписано к печати 30/V 1961 г< 84X108Vas/
Печ. л. 4,75 (3*90). Уч.-изд. л< 3,49.	Тираж 34 тыс, экз»
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьино^ рощи, 4L
Полиграфкомбинат Саратовского совнархоза,
г. Саратов, ул» Чернышевского, 59, Заказ № 2146.
Цена 9 коп.