/2	В. И.ЕВТЕЕВ
А.Я.ЗМЕТНЫЙ
И.В.НОВИКОВ
ОСТРОЕНИЕ
ПЕРСПЕКТИВНОГО
\ РИСУНКА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ЛЕНИНГРАД -1963
Scan A AW
Scan AAW
ПРЕДИСЛОВИЕ
Прогрессивное развитие науки и техники, культуры и искусства, всех от-
раслей народного хозяйства нашей страны немыслимо без дальнейшего подъ-
ема на новую, более высокую студень общеобразовательной и специальной под-
готовки трудящихся. Необходимость коренной перестройки системы образова-
ния в средней школе вызвала к жизни закон «Об укреплении связи школы
с жизнью и о дальнейшем развитии народного образования в СССР».
Успешное разрешение новых задач, поставленных перед советской школой,
зависит как от улучшения пЬдготовки учителей в педагогических вузах, так и
от повышения квалификации учителей, в частности учителей рисования и чер-
чения, путем самоусовершенствования в области специальных дисциплин. ,
Углубление знаний по теории перспективы необходимо учителю рисования
и черчения не только для его практической деятельности в школе, но и для
самостоятельной творческой работы в изобразительном и прикладном искус-
ствах. Совершенствование в вопросах теории перспективных проекций поможет
правильнее, в научном отношении, строить методику обучения учащихся зако-
нам и навыкам создания реалистического рисунка, глубже и обобщеннее понять
метод проекций, основы которого излагаются на уроках черчения. В творческой
работе это знание позволит? грамотно изображать сложные объекты, свободнее
и смелее разрабатывать композиции задуманных произведений.
В связи с этим, представляется целесообразным дать достаточно полное
освещение как теоретических основ, так и практических приемов применения
одного из основных методов построения изображений на плоскости — перспек-
тивных проекций. Данная книга и посвящена решению этой задачи.
Книга состоит из введения, трех разделов и приложения.
Во введении, написадном И. В. Новиковым, приводятся сведения
о различных вида£ перспективы и истории, их развития.
В первом и втором разделах, написанных В. И. Евтеевым, преимуще-
ственно излагаются основные вопросы теории линейной перспективы на верти-,
калькой плоскости, а также теории теней и отражений в зеркальных поверхно-
стях. Наряду с вопросами использования ортогональных проекций для построе-
ния перспективных изображений, здесь рассмотрены отдельные способы пост-
роения перспективы непосредственно на картине по заданным ее основным эле-
ментам и размерам изображаемых предметов, что более всего отвечает специфике
!♦
3
работы учителя рисования и черчения. Уделяется внимание изложению
правил наблюдательной перспективы, а также некоторым вопросам техники и
методики построения перспективного рисунка.
Третий раздел» написанный А. Я. Зметным, дает основные сведения
теоретического и практического характера о способах построения перспективы
на наклонной картинной плоскости.
Учитывая, что работа учителя в школе связана с разработкой и изготовле-
нием различных наглядных пособий: плакатов, чертежей, схем, карт и т. п.,
в книге даны в виде приложения, написанного И. В. Новиковым, методиче-
ские указания по отмывке графических работ тушью и акварелью.
Книга предназначается для учителей общеобразовательной школы. Она
может быть полезной и для студентов художественно-графических факультетов
педагогических институтов, желающих повысить свои знания по курсу «пер-
спективы».
ВВЕДЕНИЕ
Перспектива — это грамматика изобразительного искусства.
Поэтому повышение знаний по теории перспективных проекций
для педагогов эстетического и политехнического профилей имеет
существенное значение.
Перспективные проекции, получающиеся путем центрального
проектирования, являются научной базой реалистического рисунка,
так как дают возможность получать изображения предметов, близ-
кие к их зрительному образу. Вместе с тем этот вид проекций ис-
пользуется и для построения наглядных изображений различных
технических объектов. Такие изображения, как и метод их построе-
ния, называют перспективой.
Перспектива может быть построена различными способами и
на различных поверхностях: на вертикальной и наклонной пло-
скостях, на поверхностях цилиндра, шара и т. д.
Принято различать следующие основные виды перспектив.
Линейная перспектива —изучает способы построения
перспективных изображений на плоскости как вертикальной, так и
наклонной. Это один из самых простых и наиболее распространен-
ных видов перспективных изображений.
Наблюдательная перспектива — дает свод правил
для рисования с натуры с учетом законов перспективы.
Воздушная перспектива — учитывает изменение осве-
щенности и окраски предметов при зрительном восприятии их с
различных расстояний через толщу воздуха. Эффект воздушной
перспективы объясняется тем, что в естественных условиях воздух
загрязнен посторонними примесями и, следовательно, не может
быть абсолютно прозрачным.
Механическая перспектива — дает возможность стро-
ить перспективные изображения с помощью приборов, минуя слож-
ные геометрические построения. Часть этих приборов применяется
при рисовании предметов с натуры, остальные — для построения
перспективы по заданному плану предмета.
К простейшим приборам, облегчающим рисование с натуры,
относится матовое стдо, называемое итальянским или стеклом
5
Леонардо да Винчи. Поставленное между натурой и глазом ху-
дожника такое стекло позволяет обвести контур изображаемого
предмета.
Второе приспособление для этой цели изобретено выдающимся
немецким художником Альбрехтом Дюрером. В нем изображае-
мый предмет рассматривается в отверстие сквозь проволочную
сетку. При этом взаимное положение отверстия и сетки должно
быть неизменным. Отмеченные глазом точки пересечения контура
предмета с линиями сетки переносятся на картину, где нанесена
подобная сетка.
Среди приборов для построения перспективы по заданному
плану предмета известны перспектографы Арригунага, Фиорини,
Прикса, Риттера и другие. Используя геометрические свойства
перспективных проекций и их взаимосвязь с ортогональными, пер-
спектографы существенно упрощают построение перспективы пла-
на, сводя всю работу к ряду несложных механических операций.
Измерительная перспектива — позволяет на основа-
нии перспективного изображения определить форму, положение и
размеры предметов.
Методу измерительной перспективы дают возможность после-
довательно восстановить положение линии горизонта, найти крат-
чайшее расстояние от точки зрения до картины, измеряемое глав-
ным лучом зрения,- и точку пересечения этого луча с картиной,
носящую название главной точки.
По полученным данным строятся ортогональные проекции
предмета, то есть его фасад и план в размерах, кратных их нату-
ральной величине.
Особенно широкое распространение измерительная перспектива
имеет в военном деле и при реставрационных работах, где нередко
появляется необходимость по фотоснимкам одних и тех же объек-
тов, сделанным с различных точек зрения, определить их истинные
размеры. Методы измерительной перспективы позволяют также
найти благоприятную точку, с которой зритель должен смотреть
на картину.
Рельефная перспектива — содержит комплекс правил
для построения перспективно-пространственных изображений. Она
основана на некоторых свойствах центрального проектирования,
которые дают возможность получить не только плоскостные пер-
спективные изображения,* но и объемные. При этом, на перспектив-
ном изображении относительные размеры предмета меняются.
Рельефной перспективой особенно часто пользуются скульпторы.
Барельефы могут служить одним из примеров этого вида перс-
пективы, где основное сокращение размеров производится в глу-
бину.
Театральная перспектива — основана на тех же прин-
ципах, что и рельефная. Она является частным случаем рельефной
перспективы и теоретической основой построения декораций.
Основное отличие театральной перспективы от рельефной со-
6
стоит в том, что объемное изображение заменяется здесь много-
плоскостным. Иными словами перспектива строится на нескольких
взаимно-параллельных плоскостях, или кулисах, благодаря чему
создается иллюзия большого пространства. Кулисы, чередующиеся
в плане через определенные интервалы и расположенные по бокам
сцены, завершаются замыкающей декорацией, которую иногда на-
зывают задником. Кулисы могут располагаться как параллельно
этой декорации, так и под углом к ней. В первом случае они назы-
ваются фронтальными, во втором — наклонными.
Обычно художник строит театральную перспективу, считая,
что точка зрения находится в центре зрительного зала, приблизи-
тельно на расстоянии 2/3 его длины от сцены, а линия горизонта
на 1,5 м выше пола сцены.
Вначале разрабатывается в малом масштабе макет сцены, а
изображаемые предметы проектируются на плоскости кулис по
законам рельефной перспективы. При этом определяются границы
отдельных частей изображения на соответствующих кулисах.
Макет служит основой для построения декораций в натураль-
ную величину.
Панорамная перспектива — включает комплекс правил
для построения панорам, то есть перспективных изображений на
внутренней поверхности цилиндров. При этом точка зрения дол-
жна располагаться на оси цилиндра. Это нетрудно сделать, если,
например, роспись выполняется на .стенах здания с круглым пла-
ном. Если же расписывается сводчатый плафон, точка зрения
обычно опускается значительно ниже оси цилиндрической поверх-
ности.
Центральное проектирование предмета на кривую поверхность,
расположенную между предметом и глазом наблюдателя, практи-
чески осуществляется различными способами. Наиболее точным
является способ разверток, связанный с построением перспективы
на развертке цилиндра с помощью ортогональных проекций пред-
метов. Однако чаще всего применяется способ сеток или способ
касательных поверхностей. Вначале предмет проектируется на го-
ризонтальную плоскость, проходящую через пяту свода. Эта плос-
кость разбивается сеткой на квадраты. Затем на кривой поверх-
ности строится перспектива сетки, а по сетке прорисовывается пер-
спектива предмета.
Второй способ состоит в замене цилиндрической поверхности
многогранной и проектировании на каждую грань определенной ча-
сти предмета по правилам линейной перспективы.
Если панорамную перспективу, на одной из граней призмы со-
четать с объемными предметами, расположенными, например, в
виде макетов между зрителем и этой гранью, то получится так
называемая диорама, что в переводе означает картина, кото-
рую можно видеть насквозь.
Купольная перспектива — учит строить перспективу
на вогнутой поверхности купола. Любая точка пространства
7
может быть спроектирована на поверхность купола, как точка пере-
сечения луча зрения с этой поверхностью.
Существенной разницы между практическим построением ку-
польной и панорамной перспектив нет.
При построении картины способом сетки перспектива вначале
строится на горизонтальной плоскости, проходящей на уровне
основания купола, а затем при помощи сетки переносится на вогну-
тую поверхность купола.
При построении перспективы способом разверток рассекают
поверхность купола горизонтальными плоскостями, перпендикуляр-
ными оси купола, и вертикальными, проходящими через ось, на
ряд сферических элементов. Затем сферический элемент разверты-
вается в плоскость путем последовательной замены сферического
элемента цилиндрическим, а цилиндрического — плоскостным, после
чего все построения выполняются по правилам линейной пер-
спективы.
Стереоперспектива — изучает вопросы, связанные с по-
строением и восприятием двух изображений одного и того же объ-
екта, выполняемых раздельно для правого и левого глаза. В част-
ном случае такие изображения выполняются цветными и совмещен-
ными друг с другом по определенному закону. Рассматриваются
они через особые цветные очки и называются анаглифами.
Аналитическая перспектива — определяет положение
отдельных точек изображения вычислением. Сама перспектива
строится смешанным графоаналитическим методом, включающим
как графические, так и аналитические приемы построения.
Перечисленные здесь основные виды перспектив разрабатыва-
лись и получали практическое применение в определенной исто-
рической последовательности.
Время возникновения первых перспективных изображений точ-
но не установлено. С тех пор как люди стали изображать окружаю-
щий их видимый мир, они путем наблюдения натуры постепенно
постигали геометрические свойства перспективных проекций. Про-
цесс этот был длительным и не мог проходить одновременно и оди-
наково во всех уголках земного шара. Поэтому сроки возникнове-
ния первых перспективных изображений, определенные археологи-
ческими исследованиями, могут подвергнуться пересмотру в свете
новых данных позднейших раскопок.
Известно, что египтяне, вавилоняне и ассирийцы задолго до
нашей эры высекали на камнях различные композиции на охотни-
чьи, бытовые и военные темы. При раскопках ассирийского города
Ниневии были обнаружены каменные барельефы, украшавшие
стены царского дворца и относящиеся к VII веку до нашей эры.
Эти барельефы были выполнены на глаз, без знания законов рель-
ефной перспективы.
Строительство грандиозных египетских храмов, дворцов и пи-
рамид, как и величайших сооружений древней Греции и древнего
Рима, потребовало от специалистов теоретической разработки ос-
8
новных правил начертательной геометрии для выполнения проект-
ных чертежей.
Одной из первых известных научных работ по перспективе был
труд Эвклида, написанный за 300 лет до нашей эры. В нем содер-
жится 61 теорема и 12 аксиом. Из трактата архитектора Витрувия,
жившего в конце I века до нашей эры, мы узнаем, что римляне
пользовались перспективой при составлении архитектурно-строи-
тельных чертежей.
Приблизительно к концу XIV века в Италии начали устраи-
вать декорации, используя известные в то время законы рельеф-
ной перспективы.
В эпоху Возрождения в связи с невиданным до тех пор раз-
витием инженерного искусства, живописи, скульптуры появилась
необходимость в дальнейшем развитии теории перспективы. Вид-
нейшие архитекторы и художники того времени оставили немало
выдающихся трудов с изложением геометрических и механических
способов построения перспективы.
Итальянский ученый Леон Баттиста Альберти (1404—1472)
в трактатах «О живописи» и «О зодчестве» сообщает о некоторых
правилах построения перспективы, в том числе о способе построе-
ния перспективы с помощью сетки. Гениальный итальянский ху-
дожник Леонардо да Винчи (1452—1519) в своем сочинении
«Трактат о перспективен систематизировал и изложил основные
законы перспективных построений. Леонардо да Винчи описал
также метод проектирования высоких фигур на цилиндрический
потолок, что относится к области панорамной перспективы. Вопро-
сами линейной, панорамной и купольной перспективы занимались
Микеланджело (1475—1561), Рафаэль (1483—1520), Браманте
(1444—1514) и другие деятели эпохи Возрождения.
Известный немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471—1528) в
сочинении «Руководство для измерения циркулем и правилом»
изложил правила построения перспектив на плоскости и впервые
дал рекомендации по построению перспективы с использова-
нием метода ортогональных проекций, впоследствии детально
разработанного французским математиком Г. Монжем (1746—
1818).
Итальянский ученый Гвидо Убальди в своей книге «Перспек-
тива», изданной в 1600 году, изложил 23 правила построения
перспективных проекций и способы определения по ним истинной
формы предмета. Гвидо Убальди положил начало научному обос-
нованию рельефной перспективы.
Виднейший французский геометр и архитектор Дезарг (1593—
1662) в книге «Общий метод изображения предметов в перспек-
тиве» разработал способ построения перспективных масштабов
с помощью координат.
Уровень теоретических знаний по перспективе к концу XVIII
века позволил Роберту Баркеру создать в 1787 году первые пано-
рамы: «Остров Уайт», «Битва при Абукире» и др.
9
Спустя 36 лет во Франции была устроена первая диорама.
Большой популярностью пользовались военные диорамы на Ант-
верпенской выставке 1874 года.
Бурное развитие техники в XIX и начале XX века поставило
перед начертательной геометрией целый ряд новых сложных задач,
которые требовали быстрейшего решения.
Дальнейшее развитие получили многие разделы начертательной
геометрии, в частности измерительная перспектива, которая стала
необходимой для обработки данных аэрофотосъемки. Были соз-
даны многие новые разделы перспективы, такие, как «Киноперспек-
тива», «Стереоперспектива» и другие.
Таков в общих чертах ход исторического разбития перспективы
как науки за рубежом.
В силу специфики исторических условий, в которых складыва-
лась жизнь нашей страны, отечественная начертательная геометрия
прошла несколько иной путь развития, чем на Западе.
Изучение фресок и мозаик древней Руси приводит к выводу,
что уже в X—XII веках русские художники-иконописцы были
знакомы с наблюдательной перспективой. Однако трактовка зако-
нов перспективных проекций в произведениях иконописи носила
условный характер. Эта условность выражалась в применении так
называемой «обратной перспективы», где уходящие от зрителя па-
раллельные линии изображались расходящимися.
Длительный период накопления знаний шел рука об руку с по-
степенным совершенствованием графики. Уже в допетровское время
в России стали достаточно грамотно выполнять изображения ме-
тодами центрального и параллельного проектирования.
В XVIII веке русские специалисты выполняли сложнейшие
чертежи по судостроению, гидротехнике и .архитектуре с примене-
нием различных проекционных методов. Проекты изобретателей
Кулибина и Ползунова, архитекторов Баженова, Казакова и Ста-
рова свидетельствуют о том, что в России второй половины XVIII
века инженеры и архитекторы свободно владели методом аксоно-
метрических и ортогональных проекций.
В 1810 г. в только что созданном Институте корпуса инженеров
путей сообщения было введено преподавание начертательной гео-
метрии как самостоятельной дисциплины.
Появление первых отечественных сочинений по начертательной
геометрии связано с именем профессора Я. А. Севастьянова, окон-
чившего Путейский институт в 1814 г. Не ограничиваясь перево-
дами с иностранной литературы, Я. А. Севастьянов издал первый
в России оригинальный труд, посвященный методу ортогональных
проекций, «Основание начертательной геометрии» (1821). В пе-
риод 1830—1831 гг. он же написал ряд работ, относящихся к обла-
сти линейной, воздушной перспективы, теории теней и пр. Своими
трудами профессор Я. А. Севастьянов поднял научный престиж
нашей Родины и подготовил почву для участия русских уче-
ных в дальнейшем развитии начертательной геометрии как на-
W
уки на равных правах и в равных условиях с учеными Других
стран.
В первой половине XIX века преподавание начертательной
геометрии было введено почти во всех высших технических учебных
заведениях России и даже в средней школе.
Появилось много трудов, которые продолжили полезное дело,
начатое профессором Я. А. Севастьяновым.
Выдающиеся русские ученые и педагоги Н. И. Макаров (1824—
1904) и В. И. Курдюмов (1853—1904) помимо общих теоретиче-
ских курсов издали в конце прошлого столетия ряд работ, где
подробно излагалась теория аксонометрических проекций, или так
называемая «параллельная перспектива». Труды Макарова и Кур-
дюмова являются классическими с точки зрения теории и методики
изложения начертательной геометрии.
Дальнейшие работы по этой дисциплине в предреволюционные
годы и после Великой Октябрьской социалистической революции
связаны с расширением ее теоретической основы на базе крупных
научных исследований. Имена профессоров Е. С. Федорова (1853—
1919), Н. А. Рынина (1877—1942), Д. И. Каргина (1880—1949)
и А. И. Добрякова (1895—1947) получили всеобщее признание
как имена крупнейших теоретиков в области начертательной гео-
метрии.
Большинство работ Е. С. Федорова посвящено проективной
геометрии. Высказанные им идеи открыли новые пути развития
начертательной геометрии.
Н. А. Рынин исследовал вопросы практического приложения
методов проекций в различных областях науки и искусства. Им
изданы книги: «Перспектива» (1918) с подробным анализом раз-
личных ее видов, «Измерительная перспектива и ее приложение»,
«Киноперспектива и ее приложение в авиации» и другие. «Кино-
перспектива» (1936)—большой труд, являющийся новым разде-
лом начертательной геометрии.
Д. И. Каргин работал в области методов изображений, написал
ряд выдающихся работ по теории аксонометрии и перспективы.
Особо следует отметить его книгу «Методы изображений» (1931—
1932).
А. И. Добряков является автором капитального «Курса начер-
тательной геометрии» (1942), в котором уделено много внимания
вопросам построения аксонометрии, перспективы и теней.
Профессора Н. А. Глаголев, А. К. Власов, Н. Ф. Четверухин
создали новые разделы начертательной геометрии на проективной
основе.
Труды советских ученых укрепили научный авторитет нашей
страны и создали благоприятные условия для дальнейшего разви*
тия этой науки.
Раздел I
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ
ПЕРСПЕКТИВЫ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Знание законов и правил перспективы в преподавании рисо-
вания в школе имеет первостепенное значение. Построение изобра-
жений предметов на основе этих правил предусматривается уже
в III классе. Однако более углубленное изучение общих правил
построения перспективных изображений с привлечением понятии
об основных элементах перспективных проекций: картинной плос-
кости, линии горизонта, главной точке картины, точках схода
и др.— проводится в V и VI классах. Здесь необходимы сведения
о построении изображений не только отдельных предметов пря-
моугольных форм, но и групп предметов, имеющих сложные очер-
тания. Кроме того, от самих учащихся требуется знание основных
законов перспективы и определенные навыки при исполнении реа-
листических рисунков с натуры, по памяти и по представлению.
Перспектива — это наука об изображении предметов в том виде,
в каком они представляются зрителю в натуре. Таким образом,
перспектива призвана устанавливать законы и правила изображе-
ния предметов с учетом кажущихся изменений формы, размеров
и цвето-тоновых отношений окружающих тел, освещения, воздуш-
ной среды и т. п.
Подобно тому как различают тоновой и контурный рисунки,
так и в перспективе выделяют два основных вида: воздушную
и линейную.
Задачей воздушной перспективы является решение вопросов,
связанных с изображением видимых цветовых и тоновых изме-
нений предметов при их различном освещении и местоположении
относительно зрителя. Для решения этих вопросов необходимо
знание многих законов физики, раскрывающих сущность оптиче-
ских явлений, а также психологии и физиологии зрительного вос-
приятия человеком окружающего пространства.
Задача линейной перспективы — построение очертаний или кон-
туров изображений различных тел так, чтобы впечатления об
12
очерке предметов при наблюдении их в природе и на рисунке были
бы тождественны.
В зависимости от способа установления одних и тех же
законов и правил построения перспективных изображений,
линейная перспектива подразделяется на две части:
1) собственно линейная, или геометрическая, перспек-
тива, для выведения законов которой привлекаются физика и
геометрия. Для построения изображений в линейной перспективе,
как правило, применяются чертежные инструменты, а иногда спе-
циальные приборы, вычерчивающие изображения по исходным
данным;
2) наблюдательная перспектива. В отличие от линейной
правила наблюдательной перспективы устанавливаются не на
основе точных геометрических построений, а путем анализа наблю-
дений предметов и явлений природы. Поскольку основой всякого
изображения является рисунок, контур, то правила наблюдатель-
ной перспективы служат тем фундаментом, на котором зиждется
практика создания реалистических изображений. Не случайно, по-
видимому, выдающийся художник и педагог П. П. Чистяков
(1832—1919), воспитавший целую плеяду таких замечательных
художников, как Поленов, Суриков,* Репин, Серов, Врубель и дру-
гих, называл наблюдательную перспективу еще и практической.
Однако построение изображений сложных, например, техниче-
ских объектов только на основе правил наблюдательной перспек-
тивы, во-первых, весьма затруднительно, а во-вторых, может при-
вести к неточностям в передаче видимой формы и размеров
предметов; построение же рисунков по известным размерам таких
объектов вообще невозможно. Подобные задачи с успехом реша-
ются путем использования научно обоснованных законов и правил
линейной, или геометрической, перспективы и применения чертеж-
ных инструментов.*
В основе построения перспективных изображений лежит метод
центрального проектирования, наиболее полно отвечающий свой-
ствам зрения человека. Сущность этого метода заключается
в том, что совокупность точек изображения или проекций пред-
мета на какой-либо плоскости или поверхности получается в ре-
зультате пересечения с этой плоскостью или поверхностью проек-
тирующих лучей (прямых линий), проведенных через точки пред-
мета из некоторой точки пространства, называемой центром
проекций.
Примерами центрального проектирования могут служить схемы
получения изображений на экране с помощью проекционного фо-
наря, киноаппарата, на пленке фотоаппарата и т. п.
Геометрическая схема процесса зрительного восприятия пред-
метов также представляет собой пример центрального проектиро-
вания (рис, 1,6), Лучи света, отражаясь от предмета, пересе-
каются в фокусе хрусталика и дают на сетчатой оболочке глаза
перевернутое криволинейное изображение. Однако, как это уста-
13
новлено, благодаря работе мозга такое изображение восприни-
мается как прямое и соответствующее действительному очерку
наблюдаемого предмета. Таким образом получается, что предметы
представляются как бы изображенными на плоскости, располо-
женной между глазом и предметом.
Исходя из этого, процесс перспективного рисования с натуры
можно понимать как передачу на плоскости рисунка Ki того изо-
бражения, которое представляется на воображаемой вертикальной
плоскости К, находящейся между глазом и предметом (рис. 1,а).
Эта плоскость К должна, очевидно, находиться на таком расстоя-
нии от глаза, чтобы размеры как бы получающегося на ней изо-
бражения в точности совпадали с размерами рисунка на плоско-
сти Ki. Разница заключается в том, что на плоскости рисунка
необходимо не просто «копировать» представляющееся на вообра-
жаемой плоскости изображение, а строить его, используя правила
перспективы. Если же на место воображаемой плоскости поставить
действительную, но прозрачную, например стеклянную, плоскость,
то на ней можно было бы обвести видимый контур предмета и
получить желаемый рисунок. Понятно, что такой способ рисования
практически сложен, однако в прошлом (начало XVI века) худож-
14
ники именно с помощью прозрачной плоскости получали изо-
бражения в перспективе. Об этом красноречиво свидетельствуют
многочисленные рисунки А. Дюрера в его книге, изданной
в 1525 г. Один из них воспроизведен на рис. 2. Обращает на
себя внимание специальное устройство, которое обеспечивало не-
подвижность точки зрения.
Поскольку художнику приходилось смотреть на натуру через
стекло, указанный метод построения изображений получил наиме-
Рис. 2.
нование «перспектива», что в переводе с латинского слова «perspi-
cio» означает «видеть насквозь» или «ясно вижу», а с француз-
ского — «1а perspective» — «вид вдаль».
Несмотря на относительную сложность, этот способ наиболее
полно отображает геометрическую схему процесса рисования с на-
туры, поэтому он лег в основу современной теории перспективных
проекций.
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ПРОЕКЦИЙ
ПЕРСПЕКТИВА ТОЧКИ
Общий закон линейной перспективы, пожалуй, даже сущность
ее, можно было бы выразить только одним словом — уменьше-
ние, точнее кажущееся уменьшение расстояний между л<ю-
15
быми точками наблюдаемых предметов по мере их удаления от
зрителя.
Понятно, что одним таким общим положением трудно руко-
водствоваться при работе над перспективным рисунком. Необхо-
димы более конкретные законы и правила, которые мы будем фор-
мулировать не только на основе выводов из наблюдений в природе,
но, главным образом, путем геометрического анализа построений,
имеющих место в процессе проектирования предметов.
Рис. 3
При построении перспективных изображений на плоскости поль-
зуются вспомогательной системой плоскостей, линий и точек, назы-
ваемой иногда системой перспективных координат. Рассмотрим ос-
новные элементы этой системы (рис. 3,а).
1.	Горизонтальная предметная плоскость Н, на кото-
рой располагается изображаемый предмет, зритель и картинная
плоскость.
2.	Картинная плоскость, или просто картина К. Она рас-
полагается перпендикулярно к предметной плоскости Н.
Линия ох пересечения картины с предметной плоскостью на-
зывается линией основания картины и определяет по-
ложение последней на предметной плоскости.
16
3.	Центр проекций, или точка зрения Z. Эта точка опре-
деляет положение глаз зрителя относительно картины и предмет-
ной плоскости.
Ортогональная проекция z точки зрения на предметную плос-
кость называется точкой стояния, а длина перпендикуляра
Zz— высотой точки зрения.
4.	Главная точка картины Р является прямоугольной про-
екцией точки зрения на картинную плоскость.
Рис. 4
Отрезок перпендикуляра ZP определяет расстояние цт зри-
теля до картины и называется главным расстоянием 6,
а сам перпендикуляр — главным лучом зрения.
5.	Линия h\h пересечения с картиной горизонтальной плоско-
сти, проходящей через точку зрения, называется линией гори-
зонта или просто горизонтом. Линия горизонта всегда проходит
через главную точку кдртины параллельно линии основания кар-
тины. Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки линии
горизонта на основание картины,например Рр, определяет на са-
мой картине высоту точки зрения, или, как часто говорят, высоту
горизонта.
6.	Дистанционные точки или точки дальности Di и Ог
получаются в результате откладывания по линии горизонта глав-
ного расстояния 6 влево и вправо от главной точки картины.
2
В И Евтеев и др.
17
7.	Плоскость Nt проходящая через точку зрения параллельно
картине, называется нейтральной плоскостью.
Пространство, в котором обычно располагаются предметы и ко-
торое находится перед зрителем за картиной, называют пред-
метным; пространство, заключенное между картиной и нейтраль-
ной плоскостью, — нейтральным, а пространство за нейтраль-
ной плоскостью позади зрителя — мнимым.
Помимо предметного, изображаемые объекты располагаются
иногда и в нейтральном пространстве. В мнимом пространстве рас-
сматривают, как правило, только некоторые бесконечно удаленные
точки (см. раздел II).
Перспектива точки. Центральная проекция, или перспектива А
точки Л], расположенной в предметном пространстве, получается
как точка пересечения с картиной проектирующего луча, или луча
зрения ZA1, проведенного из точки зрения в данную точку A i
(рис. 4, а).
Однако одна проекция точки не определяет ее положения в про-
странстве. Решение обратной задачи проектирования, то есц> опре-
деление формы, размеров и местоположения предметов по их про-
екциям в наиболее распространенных видах проекций — ортого-
нальных и аксонометрических,— осуществляется с помощью двух
проекций каждой точки предметов.
Точно так же, с помощью двух проекций одной и той же точки,
решается обратная задача проектирования и в перспективных про-
екциях. Второй проекцией точки Ai на картине является пер-
спектива основания а, полученная путем центрального
проектирования на предметную плоскость основания щ данной
точки А1.
Точки пересечения лучей зрения с картиной, то есть перспек-
тива точки и перспектива ее основания, отыскиваются следующим
образом. Из точки стояния z проводим прямую через основание
ai точки Ai. Прямая za\ является ортогональной проекцией лу-
чей зрения ZA\ и Za\, проектирующих на картину данную точку
и ее основание. Из точки ах пересечения линии za\ с основанием
картины ох восстанавливаем к последней перпендикуляр до пере-
сечения с лучами зрения ZAi и Zai в искомых точках Лиа.
Перпендикуляр ахА появляется в результате пересечения с кар-
тиной лучевой плоскости ZAaz, проходящей через точку зрения и
данную точку пространства. Нетрудно понять, что такие лучевые
плоскости всегда будут перпендикулярными к предметной плоско-
сти и будут пересекать картину по прямым, перпендикулярным как
к линии основания картины, так и к линии горизонта.
Следовательно: перспектива точки и перспектива ее основания
располагаются на одном перпендикуляре к линии горизонта,
а также к линии основания картины.
Основание ei точки Bi, лежащей в предметной плоскости, совпа-
дает с самой точкой; также совпадают на картине перспектива В
этой точки и перспектива в ее основания (рис. 4, а).
18
Перспективы А, В... и перспективы а, в... оснований <ц, вь..
любых точек Ai, В\... предметного пространства всегда распола-
гаются на картине выше линии ее основания ох (рис. 4,6). Ниже
линии ох могут получаться только перспективы точек, находящихся
в нейтральном и мнимом пространствах.
Отметим, что для лучшего понимания учащимися метода проек-
ций вообще рассмотренную схему решения обратной задачи цент-
рального проектирования (рис. 4, а) полезно увязывать с изложе-
нием основ ортогональных и аксонометрических проекций в курсе
черчения.
ПЕРСПЕКТИВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ
Перспектива прямой. Изображение в перспективе прямой ли-
нии, расположенной в пространстве, будет также в виде прямой,
как результат пересечения двух плоскостей: -Картины и лучевой
плоскости, которая образована совокупностью лучей зрения,
проектирующих отдельные точки заданной прямой. Поэтому по-
строение перспективы прямой может быть выполнено путем опре-
деления перспектив каких-либо двух ее точек.
Поскольку положение любой точки пространства определяется
в перспективе с помощью двух ее изображений, то и положение
прямой определяется также с помощью перспективы АВ этой пря-
мой AiBi и перспективы ab ее основания и\Ъ\ (рис. 5, б).
Для построения изображения бесконечно удаленной точки пря-
мой МьА1 необходимо провести луч зрения в эту точку1 (рис. 5, б).
Но тогда луч зрения ZF станет параллельным самой прямой,
а точка F его пересечения с картиной будет служить центральной
проекцией бесконечно удаленной точки этой прямой. Точка F опре-
деляется с помощью горизонтальной проекции zf луча зрения ZF,
проведенной параллельно основанию mai прямой NiAi из точки
стояния z. Вертикаль из точки f пересечения линии zf с основа-
нием картины ох засекает на луче зрения ZF искомую точку F.
Другой характерной точкой прямой является точка ее пересе-
чения с картиной или след прямой. След прямой N\, совпадающий
со своей перспективой N, определяется как точка пересечения пря-
мой с вертикалью, проведенной из точки п пересечения основания
пин прямой с линией основания картины ох.
Перспектива отрезков прямых. Представим, что прямая NiCi
наклонена к картине под углом а (рис. 5,6). При ортогональном
1 В высшей геометрии параллельные прямые рассматриваются как пере-
секающиеся в бесконечности, то есть как имеющие одну бесконечно удаленную
точку.
2*
19
проектировании на картину мы получили бы проекцию, например,
отрезка NiA\ этой прямой, равную N\A\ cos а, то есть меньше
самого отрезка. Но в перспективе, кроме того, и луч зрения ZAi,
проектирующий точку А\, тоже наклонен к картине под некоторым
углом ф. Поэтому перспектива NA отрезка NiAi будет заве-
домо меньше самого отрезка.
Значит, перспектива отрезков прямых в общем случае всегда
меньше самих отрезков.
Этот закон перспективы справедлив для любых положений от-
резка прямой, кроме двух: 1) когда отрезок лежит в самой картин-
ной плоскости и 2) когда он находится или в нейтральном или же
в мнимом пространстве.
Совершенно ясно, что если отрезок Е\Тi лежит в картинной
плоскости, то его перспектива ЕТ будет совпадать с ним и будет
ему равна (рис. 5, б). Перспектива et основания e\t\ этого отрезка
будет всегда располагаться на линии основания картины (рис. 5, в).
Отметим, что если отрезок прямой будет находиться в ней-
тральном пространстве, что встречается довольно редко, то его
перспектива окажется больше самого отрезка.
Если отрезки прямых проектируются с уменьшением, то и раз-
личные предметы будут также проектироваться уменьшающимися.
Причем уменьшение будет тем большим, чем далее они будут нахо-
диться от зрителя.
Если, например, смотреть вдоль дороги на движущиеся автома-
шины, то по мере их удаления, они будут казаться все меньше и
меньше, пока где-то на горизонте не превратятся в едва замет-
ные точки. В нашей повседневной жизни мы всегда сталкиваемся
с этим правилом перспективы. Наблюдая фигуры людей на улице,
стадионе, в поле, обращая внимание на одинаковые дома, столбики
оград, линии телеграфных столбов и т. д.,— всюду можно «видеть»
уменьшение предметов по мере их удаления от наблюдателя.
Именно это правило, одно из основных в линейной перспек-
тиве, позволяет объяснить тот факт, что фигуры людей на заднем
плане картины И. Е. Репина «Крестный ход в Курской губернии»
изображены значительно меньшими по размерам, чем на перед-
нем плане, а изображение стоящего вдалеке домика на картине
«С колхозных полей» советского художника Ю. С. Подляского
(рис. 6) в несколько раз меньше, чем, например, очерк колеса ав-
томашины на переднем плане картины.
На основе вышеизложенного можно сделать предположение,
что перспективные проекции равных отрезков прямой линии буду г
различными по своей величине.
Действительно, если отрезки N\Ai, А\В\ и BiCi прямой
N\C\ равны между собой, то по рис. 5,6 легко установить, что их
изображения NA, АВ и ВС не равны между собой, а уменьшаются
по мере удаления отрезков от картины. Это происходит за счет
уменьшения угла зрения между лучами, проектирующими крайние
точки каждого из отрезков.
20
6
Рис. 5
Отметим попутцо, что плоский угол между крайними лучами,
охватывающими наблюдаемый предмет, называется углом зрения
данного предмета.
По рис. 5, а легко видеть, что при удалении от точки зрения Z
отрезка QiSi в положение Q2S2 угол зрения уменьшается.
Исходя из сказанного, можно заключить: равные отрезки пря-
мой, по мере их удаления от зрителя, изображаются в перспек-
тиве уменьшающимися.
Это относится не только к равным отрезкам прямых линий, но
и к равным расстояниям между отдельными предметами.
Рис. 6
Следовательно, одинаковые расстояния между предметами пред-
ставляются уменьшающимися по мере удаления предметов от зри-
теля.
Ярким примером этого явления может служить наблюдение
уходящей вдаль линии телеграфных столбов. Известно, что про-
межутки между столбами делаются одинаковыми, однако расстоя-
ния между дальними столбами будут казаться значительно мень-
шими, чем между ближними.
Размеры простенков и оконных проемов на боковой стене кори-
дора (рис. 7) тоже кажутся уменьшающимися, хотя в действитель-
ности эти размеры одинаковы.
Перспектива параллельных прямых. Представим, что в про-
странстве имеются две параллельные прямые М\А\ и N\B\ (рис.
8, а). Для проектирования бесконечно удаленной точки какой-либо
прямой данной системы параллельных прямых, например прямой
Л11Л1, проведем луч зрения ZF параллельно этой прямой. В ре-
22
зультате построений, которые были подробно рассмотрены на
рис. 5, получим точку F, являющуюся изображением бесконечно
удаленной точки прямой М\А\. Но поскольку прямая М\А\ парал-
лельна другой прямой N\Bi, то луч зрения ZF будет параллельным
и этой второй прямой N\B\t то есть он будет единственным лучом
Рис. 7
для данной системы параллельных прямых, проектирующим беско-
нечно удаленные точки каждой из прямых в отдельности. По-
этому и точка F будет общей для перспективных изображений
данных прямых.
Таким образом, проекции параллельных прямых на картине
получаются пересекающимися прямыми, или, как чаще говорят,
сходящимися в одной точке. Такую точку принято называть точ-
кой схода перспектив данной системы параллельных прямых
(рис. 8, б).
Наблюдение различных предметов в натуре, а в особенности
зданий и сооружений большой протяженности, показывает, что
^параллельные между собой прямые представляются зрителю схо-
дящимися в одной точке. Особенно ярко это выявляется при на-
блюдении полотна железной дороги: параллельные между собой
рельсы кажутся сходящимися на горизонте в одну точку. Такое
23
же впечатление возникает при наблюдении ленты шоссе, улицы
города* или поселка, линии телеграфных столбов и т. п. Если же
приходится рассматривать сравнительно небольшие отрезки парал-
лельных прямых, такие, например, как линии цоколя, карнизов и
Рис. 8
окон отдельно стоящих зданий, линии пола и потолка комнаты,
коридора, ребра стола, шкафа и т. д., то представление о точках
схода таких прямых получается при мысленном продолжении от-
резков до их взаимного пересечения (рис. 7).
Итак, параллельные прямые изображаются в перспективе схо-
дящимися в одной точке схода.
Претворение этого закона перспективы можно видеть на много-
численных полотнах художников. Так, на известной фреске Лео-
24
нардо да Винчи «Тайная вечеря» линии потолка, стен и боковые
ребра стола написаны так, что если их продолжить, то они сой-
дутся в одной точке. Линии цоколя, стены и карниза здания на
картине И. И. Левитана «Март» при продолжении также пересе-
кутся в одной точке. По мере удаления в глубь картины умень-
шается расстояние между обочинами причудливо извивающегося
шоссе на картине Ю. С. Подляского (рис. 6).
Поскольку параллельные линии могут занимать различное по-
ложение по отношению к картине и к предметной плоскости, точки
схода изображений таких линий будут различно располагаться
относительно основных элементов перспективных проекций. Уста-
новим расположение на картине точек схода перспектив наиболее
характерных направлений параллельных прямых.
Перспектива прямых, перпендикулярных картине. На рис. 9, а
даны две прямые М\А\ и N\B\, перпендикулярные картине и пе-
ресекающие ее в точках М\ и Ль
Из предыдущего известно, что для построения перспектив
параллельных прямых необходимо отыскать только их точку схода,
поскольку следы заданных прямых уже имеются. Следуя этому
правилу, из точки зрения проводим луч ZP, параллельный задан-
ным прямым. Точку пересечения этого луча с картиной определяем
с помощью его горизонтальной проекции. Из точки стояния z про-
водим прямую zp параллельно основаниям т\а\ и п\Ъ\ данных
прямых до пересечения в точке р с линией основания картины ох.
Из точки р проводим в плоскости картины перпендикуляр к ли-
нии ох до пересечения его в искомой точке Р с лучом зрения ZP.
Луч зрения ZP перпендикулярен картине. Следовательно, в
качестве точки схода перспектив прямых, перпендикулярных кар-
тине, мы получили главную точку картины.
Если встать, например, лицом к торцовой стене коридора, то
при мысленном продолжении линий пола и потолка мы «увидим»,
что эти линии пересекаются точно на уровне наших глаз (рис. 7).
Эта точка пересечения и будет являться главной точкой картины,
которая в данном случае параллельна фронтальной стене.
Следовательно, точкой схода перспектив прямых, перпендику-
лярных картине, служит главная точка картины.
Применение этого закона перспективы можно легко установить
на знакомых всем произведениях И. Е. Репина «Не ждали»,
П. А. Федотова «Сватовство майора» и мнргих других. Линии
боковых стен комнат на этих картинах при их продолжении пере-
секаются в главных точках картин,
Интересно отметить, что линии той или иной картины, направ-
ленные в ее главную точку, всегда представляются «идущими» на
зрителя, с какой бы стороны он не рассматривал картину.
Это свойство перспективы использовал художник Д. С. Моор
при разработке лаконичного, но очень выразительного плаката
«Ты записался добровольцем?» (рис. 10). Рука красноармейца
25
Рис. 9
указывает прямо на прохожего, откуда бы он ни посмотрел на
плакат.
Немаловажное значение при построении перспектив имеет опре-
деление точек схода перспектив оснований заданных параллельных
прямых.
Рис. 10
В данном случае (рис. 9) основания (горизонтальные проек-
ции) т\а\ и Л1Ь1 прямых М\А\ и N\Bi также перпендикулярны
картине, как и сами прямые. Поэтому точкой схода их изображе-
ний будет тоже главная точка картины Р.
Для того чтобы представлять себе Пространственное расположе-
ние предметов по их перспективным проекциям, то есть «читать»
изображения, необходимо принимать во внимание не только пер-
спективы этих предметов, но и перспективы их оснований, обозна-
чения которых в дальнейшем мы будем указывать в скобках. Так,
27
например, если на картине (рис. 9, б) прямые МА (та) и NB (nb)
изображены сходящимися в главной точке картины, то в натуре
им будут соответствовать прямые, перпендикулярные картине.
Перспектива горизонтальных прямых, наклонных к картине.
При построении перспектив самых разнообразных объектов почти
всегда приходится сталкиваться с изображением прямых, лежащих
в горизонтальных плоскостях и наклоненных к картине под раз-
личными углами. Из всего многообразия таких прямых мы уже
рассмотрели прямые, перпендикулярные картине. Теперь устано-
вим свойства проекций другого частного положения горизонталь-
ных прямых, имеющих важное значение в практике построения
перспективных изображений, а именно прямых, составляющих с
картиной угол 45°.
Допустим, что в пространстве заданы прямые MiAi и NiBi,
параллельные предметной плоскости, но наклоненные к картине
под углом 45° (рис. 77, а).
Для определения перспектив заданных прямых достаточно най-
ти их точки схода, так как следы Mi и Ni прямых уже имеются.
Из точки зрения Z проводим лучи ZDi и ZD2, соответственно
параллельные заданным прямым М\А\ и NiBi. Построение точек
пересечения этих лучей с картиной производим в том же порядке
и так, как это было сделано в предыдущем примере.
Полученные точки схода Di и D2 оказываются расположенными
на линии горизонта, потому что лучи зрения ZDi и ZD2, как
параллельные горизонтальным прямым, лежат в плоскости гори-
зонта. Рассмотрим теперь два треугольника, образованных лучами
ZDi и ZD2, главным лучом зрения ZP и линией горизонта. Они
равнобедренные прямоугольные, равные между собой. Их катеты
равны главному расстоянию: ZP = PDi =PD2 = б. Значит полу-
ченные точки схода совпали с точками дальности.
Отсюда вывод: точкой схода перспектив горизонтальных пря-
мых, составляющих с картиной угол 45°, является одна из точек
дальности Di или D2.
Если горизонтальные прямые будут наклонены к картине под
любыми другими углами, отличными от прямого и 45°, то естест-
венно, что лучи зрения, проектирующие бесконечно удаленные
точки таких прямых, тоже будут находиться в плоскости горизонта
и пересекать картину в точках, расположенных на линии горизонта.
Ввиду того, что горизонтальные прямые параллельны предмет-
ной Плоскости, они будут параллельны своим основаниям. Поэтому
перспективы оснований та, nb . . . таких прямых будут направ-
ляться в точки схода D\, D2 их перспектив МА, NB ... (рис.
77, б).
Если смотреть на отдельно стоящее здание так, чтобы видеть
сразу два его фасада, то линии цоколя и карнизов при их мыслен-
ном продолжении представятся сходящимися на линии горизонта
по разные стороны от основного направления взгляда (рис. 12).
Такое же впечатление о направлении линий пола, стен и потолвд
28
Рис. 11
можно получить, если встать в угол большой комнаты и смотреть
в ее противоположный угол.
Заключение: точки схода перспектив горизонтальных прямых
всегда располагаются на линии горизонта.
Указанный случай положения точек схода изображения гори-
зонтальных прямых является наиболее распространенным и назы-
Рис. 12
вается угловой перспективой. Угловая перспектива использована
при построении композиции большинства произведений художни-
ков. Достаточно вспомйить, например, картины Н. Н. Ге «Царь
Петр I допрашивает царевича Алексея в Петергофе», И. Е. Ре-
пина «Иван Грозный и сын его Иван», его же «Крестный ход
в Курской губернии», В. А. Серова «Девушка с персиками»,
К. А. Савицкого «Ремонтные работы на железной дороге»,
В. И. Сурикова «Боярыня Морозова» и многие другие.
Перспектива прямых, параллельных картине. Все прямые, па-
раллельные картине, можно подразделить на три вида: 1) верти-
кальные, 2) параллельные предметной плоскости (такие прямые
30
будут, очевидно, параллельны и линии горизонта и линии основа-
ния картины), 3) наклонные к предметной плоскости.
Нетрудно представить, что рассматриваемые прямые не будут
иметь следов, то есть точек пересечения с картиной. Поэтому для
построения изображения какой-либо из таких прямых, например,
вертикальной Е\Т \ (рис. 13, а) определим сначала проекцию од-
ной из ее точек, допустим, точки Т ь Из точки стояния z проводим
горизонтальную проекцию луча зрения в точку /ь Эта прямая пе-
ресечен линию основания картины ох в точке Перпендикуляр
к линии ох, проведенный из точки G, пересечет луч зрения ZT ]
в искомой перспективе Т данной точки Ti.
Для определения проекции бесконечно удаленной точки верти-
кальной прямой параллельно ей проводим луч зрения. Он будет
также параллельным картине. Следовательно, перспектива ЕТ
вертикальной прямой EiTi будет тоже вертикальной, то есть па-
раллельной самой прямой.
Отсюда вывод: вертикальные прямые изображаются на кар-
тине вертикальными.
Если провести точно такие же исследования других прямых,
параллельных картине, то получим, что перспектива EL прямой
E\L\, наклонной к предметной плоскости, будет параллельна са-
мой прямой и перспектива LT прямой, параллельной предметной
плоскости, будет также параллельна самой прямой L\T 1 и, кроме
того, будет параллельна линии горизонта.
Общее правило: перспективы прямых, параллельных картине,
параллельны самим прямым.
Перспективы el, It . . . оснований ei/i, Zih, . . . прямых E\L\,
L\T\ . . . параллельных предметной плоскости, а также наклон-
ных к ней, всегда параллельны линии горизонта и, следовательно,
линии основания картины. Перспектива et основания eih верти-
кальной прямой Е\Т 1 представляет собой точку, как и основание
любой вертикальной прямой.
Для построения перспективы какой-либо из прямых, параллель-
ных картине, достаточно найти проекцию одной ее точки, через
которую и провести линию, параллельную данной, а для определе-
ния перспектив отрезков таких прямых можно использовать пер-
спективы любых горизонтальных прямых.
Пусть, например, в перспективе дана точка М(тп) (рис. 13, б).
Необходимо провести проекцию MN отрезка прямой MiNi, парал-
лельного и равного (в пространстве) отрезку E\L\, перспектива EL
которого имеется. Через точку М проводим прямую MN парал-
лельно отрезку EL. Соединяем точки М и L прямой линией, кото-
рая пересечет линию горизонта в некоторой точке IV. Эту точку
и принимаем за точку схода перспектив взаимно-параллельных в
натуре горизонтальных прямых. Проведя теперь прямую из точки
Е в точку схода IV, находим на линии MN точку N, которая и
ограничит искомый отрезок М№.
Согласно закону центрального проектирования проекция плос-
31
в оо
6
Рис.-13
кой фигуры, параллельной плоскости проекций (картине), подобна
самой фигуре. По рис. 13 легко понять, что перспектива ELT тре-
угольника E\LiTi, параллельного картине, подобна самому тре-
угольнику в пространстве.
Очерк окна на торцовой стене, параллельной картине, не изме-
нил своей действительной формы: прямые углы спроектировались
прямыми, а полуциркульная кривая осталась также в виде полу-
окружности (рис. 7).
Все это приводит к следующему выводу: величины отрезков
прямых, параллельных картине, изменяются в перспективе про-
порционально.
Иначе говоря, равные отрезки таких прямых в натуре будут
изображаться равными отрезками на картине.
Перспектива прямых общего положения. К прямым общего по-
ложения относятся прямые, наклоненные и к картине и к предмет-
ной плоскости. Такие прямые встречаются при построении пер-
спектив крыш зданий, лестниц, наклонных улиц и т. п. Но обычно
сталкиваться с ними приходится сравнительно редко, в особен-
ности при изображении простых геометрических тел.
По отношению к зрителю прямые общего положения можно
подразделить на два вида: 1) прямые, поднимающиеся, или вос-
ходящие от зрителя и 2) прямые, нисходящие.
Как уже говорилось ранее, необходимым условием построения
перспектив прямых линий является наличие их точек схода. Более
того, расположение точек схода на картине характеризует и поло-
жение самих прямых в пространстве.
Если точки схода перспектив горизонтальных прямых распола-
гаются на линии горизонта, то для изображений прямых общего
положения существует следующее правило: точки схода перспектив
восходящих прямых располагаются выше линии горизонта, а нисхо-
дящих — ниже горизонта.
При рисовании с такой точки зрения, с которой будут видны
один или оба ската крыши какого-либо здания, параллельные ре-
бра переднего ската представятся сходящимися выше линии
горизонта, а заднего — ниже линии горизонта (рис. 12). По рис. 6
можно легко установить, что параллельные в действительности сто-
роны шоссе, взбегающего на холм, изображены художником сходя-
щимися выше линии горизонта.
Представим, что в пространстве имеются параллельные восхо-
дящие прямые М\А\ и NiBi, пересекающие картину в точках Mi
и Ni (рис. 14, а). Если из точки зрения параллельно данным пря-
мым провести луч ZFb для проектирования их бесконечно удален-
ной точки, то этот луч окажется выше плоскости горизонта и
пересечет картину выше линии горизонта в точке схода Еь. Такую
точку схода принято называть воздушной.
Луч зрения ZF3, проведенный параллельно нисходящим пря-
мым L\R\ и ТiSi, пересечет картину ниже линии горизонта в точке
схода F3, которую часто называют земной (рис. 15, а).
3	В. И. Евтеев и др»
33
б
Рис. 14
Рис. 15
3»
Точки схода fb и f3 перспектив оснований та, пЬ, Zr, is...
как восходящих, так и нисходящих прямых всегда будут распола-
гаться на линии горизонта, а точки схода Fb и F3 самих перспек-
тив МА, NB, LR, TS ... данных прямых — на перпендикулярах
к линии горизонта, проведенных соответственно из точек схода fb и
f3 перспектив оснований этих прямых (рис. 14, б и 15, б).
При построении перспектив нисходящих прямых на картине
обнаруживаются проекции точек их пересечения (следов) с пред-
метной плоскостью. Проекции таких точек определяются как точки
I, II ... пересечения перспектив LR, TS ... прямых с пер-
спективами их оснований lr, is... хотя отрезки нисходящих
прямых после пересечения с предметной плоскостью становятся
невидимыми, их перспективные проекции могут быть необходимы
для построения изображений видимых частей предметов.
ПЕРСПЕКТИВА ПЛОСКОСТИ
И ЕЕ ПРЯМЫХ
Плоскость в перспективе может быть задана с помощью проек-
ций тех же геометрических элементов, которыми ее определяют в
пространстве: тремя точками, не лежащими на одной прямой, пря-
мой и точкой вне этой прямой, двумя пересекающимися или парал-
лельными прямыми. Характер элементов, которыми заданы плос-
кости, почти не имеет практического значения при рисовании
с натуры, по памяти и даже по представлению. Чаще всего плос-
кость определяется какой-либо плоской фигурой, ограниченной от-
резками прямых линий, построение перспектив которых может
осуществляться на основе правил, установленных ранее. Однако
при построении контуров изображений, теней и отражений в зер-
кальных поверхностях в перспективе бывает выгодно использовать
проекции следов плоскости и ее линию схода.
Следами плоскости называются линии ее пересечения
с плоскостями перспективных координат. Прямая пересечения дан-
ной плоскости Р с картиной называется картинным следом
Рю а с предметной плоскостью Н — предметным следом РН1
(рис. 16, а).
Известно, что плоскость не имеет границ и простирается бес-
конечно далеко. Для построения изображения бесконечно удален-
ной прямой плоскости Р через точку зрения Z проводим лучевую
плоскость Ру параллельную заданной плоскости Р. Прямая Р/
пересечения лучевой плоскости Pj и картины является перспекти-
вой бесконечно удаленной прямой плоскости Р и называется
36
б
Рис.
линией схода не только плоскости Р, но и всех плоскостей,
ей параллельных.
Не случайно, что линия схода Pf и картинный след Рк взаимно*
параллельны — эти прямые появляются в результате пересечения
двух параллельных плоскостей третьей плоскостью (картинной).
Если изображение картинного следа будет совпадать с самим
следом, то перспектива предметного следа определяется с помощью
соответствующих построений.
Следы Р к и Р К1 плоскости общего положения, то есть плоско-
сти, наклоненной к предметной и картинной плоскостям, пересе-
каются на линии основания картины ох в точке схода следов Рх.
Следовательно, для построения перспективы Рн предметного следа
Рwi плоскости Р достаточно найти еще одну точку.
Проведем луч зрения ZF параллельно следу Pwi. Этот луч пе-
ресечет картину в точке F на линии горизонта. В эту точку и будет
направлена перспектива Рн\ предметного следа плоскости.
Заметим, что луч зрения ZF параллелен и горизонталям Mi,
Ni . . . плоскости Р. Значит, точка F будет точкой схода пер-
спектив М, N . . . всех горизонталей, в том числе и предметного
следа, данной плоскости.
Линию схода Р/ плоскости Р проводим на картине параллельно
картинному следу Рк через точку схода F перспектив горизонталей
этой плоскости (рис. 16, б). Линия схода Ру проходит через точку
F потому, что луч ZF, проектирующий бесконечно удаленные точки
горизонталей М\, N\, Рн\ . . . плоскости Р, лежит в лучевой
плоскости Pi, проектирующей бесконечно удаленную прямую этой
же плоскости Р (рис. 16, а).
Вообще лучевая плоскость является совокупностью лучей зре-
ния, проектирующих бесконечно удаленные точки всех прямых
заданной плоскости, а линия схода последней будет совокупностью
точек схода перспектив этих прямых.
Значит, точки схода перспектив прямых плоскости распола-
гаются на линии схода этой плоскости.
Однако перспективу какой-либо плоскости чаще всего задают
с помощью перспектив ее прямых, а линию схода проводят через
точки схода этих прямых. Поэтому установленное выше правило
лучше записать в обратном порядке: линия схода плоскости про-
ходит через точки схода перспектив ее прямых.
На основе этого правила и осуществляется, чаще всего, постро-
ение линий схода различных плоскостей.
Представим, что на картине (рис. 17) трапецией ABCD (abed)
задана плоскость Р. Для определения линий схода этой плоскости
найдем точки схода перспектив сторон заданной фигуры.
Продолжим перспективы оснований ab и cd сторон трапеции
до пересечения с линией горизонта в точке fb. На перпендикуляре
к линии горизонта, проведенном из точки fb, засекаем точку схода
Fb перспектив АВ и CD сторон фигуры путем продолжения задан-
ных отрезков. Понятно, что поскольку обнаружилась только одна
38
Рис. 17
точка схода (данные прямые в действительности взаимно-парал-
лельны), то необходимо найти еще одну точку для проведения
линии схода плоскости. Но перспективы оснований ас и bd других
сторон фигуры пересекают линию горизонта далеко за пределами
рамок картины. Тогда определим сначала картинный след Рк пло-
скости Р.
Продолженные перспективы оснований ab и cd пересекают ли-
нию оснований картины ох в точках тип. Из этих точек проводим
вертикали тМ и nN до встречи с продолженными перспективами
прямых АВ и CD. Полученные таким образом точки М и N явля-
ются картинными следами данных прямых. Через эти точки и про-
водим картинный след Рк плоскости Р на том основании, что следы
прямых плоскости лежат на соответствующих следах этой пло|-
скости.
Теперь через точку схода Fb параллельно картинному следу Рк
проводим искомую линию схода Р/ плоскости Р.
Положение перспективы Рн предметного следа плоскости опре-
деляется, как видно по рисунку, точками I и II пересечения про-
долженных перспектив АВ и CD заданных прямых с пер-
спективами оснований аЬ и cd. Отметим, что изображения I и II
точек /1 и Hi оказались ниже линии основания картины ох потому,
что сами точки Ii и Hi находятся на предметной плоскости ней-
трального пространства, то есть между картиной и нейтральной
плоскостью, проходящей через точку зрения параллельно картине.
В некоторых частных положениях плоскостей их следы не
будут иметь точек схода на линии основания картины ох: пло-
скость Q, параллельная картине, будет иметь один предметный
след Q параллельный линии основания картины; плоскость Т,
параллельная предметной плоскости,— картинный след Тк, парал-
лельный линии горизонта; плоскость R, параллельная линии осно-
вания картины,— следы RK и RHi, параллельные этой линии
(рис. 18, а). Изображения следов указанных плоскостей на
картине будут в виде прямых, параллельных линии горизонта
(рис. 18, б).
Положение перспектив QK и RH предметных следов QHi и RHi
плоскостей Q и R может быть найдено путем построения перспек-
тивы одной какой-либо точки каждого из следов. Так, на рис. 18, а
показано построение перспективы М точки Mi, лежащей на пред-
метном следе RHi плоскости R.
Построение линии схода Rf плоскости R представлено на рис. 19.
Ранее было доказано, что линия схода плоскости параллельна
картинному следу этой плоскости. Картинный след RK плоскости
R уже имеется. Для определения линии схода Rf достаточно найти
только одну точку. Такой точкой может служить точка схода
любой системы параллельных прямых данной плоскости.
Найдем точку схода изображений прямых, перпендикулярных
следам RK и RHi плоскости R. Пусть прямая MiNi — одна из
этих прямых. Точкой схода перспектив оснований тп . . . таких
40
прямых будет главная точка картины, так как основания mini, . . .
этих прямых будут перпендикулярными картине. Из главной точки
картины Р опустаем вертикаль Рр до пересечения с продолженной
Рис. 18
перспективой MN прямой M\N\ в искомой точке схода FB> Через
эту точку и проводим линию схода Rf заданной плоскости.
Изложение правил наблюдательной перспективы необходимо
иллюстрировать различными примерами перспективных явлений,
41
Рис. 19
наблюдаемых в природе, и, прежде всего, такими, которые имеются
на местности, окружающей школу. Но наряду с этим, следует
использовать фотографии, репродукции с картин, плакаты, схема-
тические рисунки на классной доске и т. п.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
ПРИ НЕДОСТУПНЫХ ТОЧКАХ СХОДА
Практика построения перспективных изображений показывает,
что по крайней мере одна из точек схода перспектив параллельных
прямых изображаемого объекта оказывается далеко за пределами
рамок картины. Такие точки получили наименование недоступ-
ных точек схода. Использование их при построениях весьма
затруднительно, а порой и невозможно. Поэтому возникает задача
построения изображений параллельных прямых при недоступных
точках схода.
Существует много способов решения поставленной задачи, но
все они основаны на той теореме планиметрии, которая гласит,
что стороны плоского угла делятся параллельными прямыми в про-
порциональном отношении. Поэтому применение большинства спо-
собов требует наличия на картине хотя бы двух прямых (сторон
плоского угла), направленных в недоступную точку схода. Само
собой разумеется, что качество перспективного изображения при
этом будет особенно зависеть от точности графических построений.
Рассмотрим некоторые, наиболее простые и употребительные,
способы проведения прямых в недоступные точки схода.
Первый способ. Пусть в перспективе задан отрезок АВ некото-
рой горизонтальной прямой (рис. 20, а). Поскольку точка схода
такой прямой лежит на линии горизонта, то эту линию и примем
в качестве второй стороны плоского угла. Если теперь обе прямые
рассечем вертикальными линиями Ао и Во', то из подобия полу-
чившихся треугольников AFo и BFo' будет следовать, что линии,
идущие в вершину F (точку схода), разделят параллельные сто-
роны треугольников на пропорциональные части.
Разделим отрезки Ао и Во' каждой из вертикалей на п равных
частей (на рисунке п = 3) и пронумеруем точки деления, начиная
от линии горизонта. Через точки с одинаковыми номерами прове-
дем прямые, которые и будут представлять собой перспективы пря-
мых, параллельных в натуре заданной прямой. Такую систему
прямых можно продолжить и выше линии горизонта, отложив по
вертикалям отрезки о/о, 7о2о ... и о'1'q, 1'q2'q . . . равные
полученным ранее отрезкам о1 и oz1z и соединив соответствующие
43
Рис. 20
точки прямыми линиями. Руководствуясь полученными направле-
ниями, можно с достаточной точностью проводить прямые и через
любые промежуточные точки, например Е,
Этот способ можно использовать не только для горизонтальных
прямых, но и в любых других случаях. Так, например, на скате
крыши, ребра АС и BD которой являются восходящими прямыми,
с помощью этого способа легко определяются линии фальцев же-
лезной кровли, параллельных ребрам. По рисунку 20, б видно, что
перспективы ребер крыши, идущие в недоступную точку схода,
рассечены двумя параллельными прямыми, за одну из которых
принята линия горизонта. Отрезки АВ и CD этих прямых между
проекциями ребер разделены на равные части и через точки деле-
ния проведены искомые прямые.
Интересно отметить, что этот способ применяется при рисовании
театральных декораций и называется способом регуляторов.
Второй способ. Если необходимо провести в перспективе одну
или две прямые в недоступную точку схода, то выгоднее не строить
системы прямых, как это было показано в первом способе, а сразу
определить положение конца отрезка искомой прямой.
В перспективе задана горизонтальная прямая АВ и точка С,
через которую требуется провести прямую, параллельную данной
(рис, 20, в). Из пропорции о'А : o'D = оВ : оС вычисляем, что
расстояние от линии горизонта до точки D — второго конца от-
/ °'А*оС
резка CD искомой прямой — будет равно о D —	, Можно,
конечно, воспользоваться и графическим определением отрезка o'D
(рис, 20, г). Для этого вычертим подобные треугольники BiOiFi
и CiOiFi в уменьшенном масштабе по сравнению с заданной пер-
спективой на рис. 20, з. Искомое расстояние выражается здесь
отрезком O'iDi в масштабе уменьшения. Таким построением удобно
пользоваться в тех случаях, когда требуется провести не одну, а
несколько прямых, направленных в недоступную точку схода.
Если же необходимо проводить значительное количество таких
прямых, то для графического определения пропорций практически
удобнее использовать кальку.
Представим, что в перспективе построен угол здания и опреде-
лена линия АВ основания стены главного фасада, точка схода
перспектив горизонтальных прямых которого является недоступ-
ной (рис, 21, а).
На чертеже фасада здания, выполненного в ортогональных
проекциях, прочерчиваем линию горизонта, учитывая масштаб
этого чертежа и высоту точки зрения Н, которая была принята
при построении перспективы здания (рис, 21, б). Затем в произ-
вольном месте проекции фасада проводим вертикальную прямую
Вобо, на которой отмечаем точки /о, 2о, Зо , , , всех его горизонта-
лей. После этого на чертеж накладываем кальку, размеры которой
должны быть примерно равны габаритам изображения здания
45
в перспективе. Прежде всего переносим на нее линию горизонта и
намечаем на этой линии некоторую точку IV на расстоянии от
Рис. 21
вертикали Вобо, равном или несколько большем половины отрезка
Вобо. Из точки IV проводим на кальке лучи IV/о, IV2o9 IV Зо . . .
через каждую точку /о, 2о, Зо . . . вертикали Вобо.
46
Теперь снова обратимся к перспективе (рис. 27, а). Из точки В,
обозначающей в перспективе основание угла цоколя, или побли-
зости от нее, проводим вертикаль В6. Кальку накладываем на чер-
теж таким образом, чтобы линия горизонта, проведенная на кальке,
точно совместилась с линией горизонта, имеющейся на чертеже.
Перемещая кальку вдоль линии горизонта, добиваемся такого ее
положения, чтобы точка В вертикали В6 попала на луч IVBq
в соответствующей точке. Затем отмечаем на вертикали В6
точки ее пересечения с лучами, проведенными ранее на кальке из
точки IV. Полученные таким образом точки на чертеже определяют
перспективы соответствующих горизонтальных прямых 717, 212,
313 . . . направленных в недоступную точку схода.
Применение указанного способа имеет практическое значение
только при построении перспективы либо по известным размерам
объекта, либо по его ортогональным проекциям.
Третий способ. Дана перспектива АВ отрезка некоторой гори-
зонтальной прямой (рис. 22, а). Требуется из имеющихся точек I,
II ... VI провести прямые в недоступную точку схода заданной
прямой. Для выполнения поставленной задачи используем ту же
теорему, о которой говорилось ранее: стороны плоского угла де-
лятся параллельными прямыми в пропорциональном отно-
шении.
Из заданных точек А и В проводим вертикали AVI и В6 .
К вертикали AVI, на которой оказались и заданные точки /,
II ... VI, прикладываем полоску бумаги с ровным обрезом,
переносим на нее все заданные точки и, кроме того, отмечаем точку
Ло пересечения вертикали AVI с линией горизонта. Укладываем
эту полоску под произвольным углом к вертикали В6', но так,
чтобы ее точка а, соответствующая точке А, совпала с точкой В.
Переносим на чертеж все точки данной полоски, прочертив пред-
варительно по ее краю, как по линейке, тонкую линию. Затем
соединяем прямой линией точку Ло с точкой Л'о пересечения верти-
кали В6Г с линией горизонта. Теперь из точек 7, 2 ... 6 прово-
дим прямые, параллельные этой линии ЛоЛ'о, до пересечения с вер-
тикалью В6Г в искомых точках V, 2Г . . . 6'. Прямые IV,
II2' ... VI6', проведенные через соответствующие точки, будут
направлены в общую точку схода, расположенную на линии го-
ризонта.
Данный способ, по существу, без особых изменений может быть
использован и для проведения перспектив восходящих или нисхо-
дящих прямых (рис. 229 б). Особенностью здесь является только
то, что предварительно должны быть построены перспективы не
одной прямой, а по меньшей мере двух, одна из которых и будет
играть роль линии горизонта, как это показано на примере в
рис. 22, а. Направление вспомогательных параллельных прямых
AIII и СЗ' определяется заданными точками I, II, III, через ко-
торые необходимо провести перспективы прямых, параллельных
в пространстве заданным прямым.
47
рис. 22
Подчеркнем, что способами построения перспектив параллель-
ных прямых при недоступных точках схода следует пользоваться
только тогда, когда это крайне необходимо. Как правило, следует
стремиться к использованию самих точек схода. В этом может
помочь метод большой и малой картины, который будет изложен
далее.
ДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
ПРЯМЫХ В ПЕРСПЕКТИВЕ
При построении перспектив часто возникает необходимость
в определении местоположения и габаритов изображений различ-
ных деталей объекта. Это определение, как показывает практика,
выгоднее всего производить непосредственно на самой перспек-
тиве путем соответствующего деления и измерения отрезков
прямых.
Деление отрезков прямых на равные или пропорциональные
части в перспективе так же, как и способы проведения прямых
в недоступные точки схода, основано на теореме о свойствах сто-
рон плоского угла, рассеченных параллельными прямыми.
При измерении отрезков прямых, заданных в перспективе, или,
наоборот, при построении проекций отрезков заданной длины
используют свойства перспективных проекций различных систем
параллельных прямых для так называемого выноса на картину из-
меряемых отрезков прямых, так как любые плоские фигуры, ле-
жащие в картинной плоскости, изображаются в натуральную ве-
личину.
Для деления в перспективе отрезков прямых, различно рас-
положенных в пространстве, самое широкое применение нашел
способ делительного масштаба. Сущность его сводится
к рассечению сторон плоского угла параллельными прямыми.
Одной стороной этого угла будет являться заданный в пер-
спективе отрезок АВ, который требуется разделить в пропорцио-
нальном отношении так, как разделен в натуре сам отрезок А\В\
точками /1 и II \ (рис. 23, а).
На второй стороне плоского угла, которую еще следует прове-
сти, необходимо откладывать либо натуральные отрезки прямой,
либо их пропорциональные части. Эта сторона, которую
будем называть основанием делительного масштаба,
должна быть некоторой прямой, параллельной картине, так как
отрезки только таких прямых изменяются в перспективе пропор-
ционально, а перспективы самих прямых им параллельны.
Исходя из этого, параллельно линии горизонта проводим пря-
мую А Во, на которой и следует отложить натуральные отрезки
4	ВИ Евтеев и др.
49
Рис. 23
заданной прямой AiBi. Однако, для большей точности построе-
ний, на рис. 23, а натуральные отрезки увеличены в два раза,
A1=2-Aih, 12=2-ЛЯ1 И 2Во=2• ZZ1B1.
Теперь точки Bq и В соединяем прямой линией, которая и опре-
делит направление перспектив параллельных прямых, рассекаю-
щих стороны угла в заданном отношении. Эти прямые будут, есте-
ственно, лежать в плоскости, определяемой сторонами угла. По-
этому точка схода перспективных проекций таких прямых должна
располагаться на линии схода именно той плоскости, в которой
лежат стороны угла. В рассматриваемом случае эти стороны нахо-
дятся в горизонтальной (конкретно в предметной) плоскости, ли-
нией схода которой является линия горизонта. Продолжим прямую
BqB до линии горизонта, где и определится точка IV, которую бу-
дем называть точкой схода делительного масштаба.
В эту точку из точек 7 и 2 проводим прямые 1IV и 2IV,
которые и засекут на заданном цтрезке АВ искомые точ-
ки Z и II.
На основании рассмотренного примера можно сформулировать
правило построения делительного масштаба.
Делительный масштаб представляет собой перспективу плоского
угла, рассеченного параллельными прямыми. Одной стороной угла
служит заданный отрезок прямой, а другой — прямая, параллель-
ная картине. Эта линия является основанием масштаба. Точка
схода перспектив параллельных прямых, рассекающих стороны
угла, всегда располагается на линии схода плоскости, определяемой
сторонами угла.
Надо сказать, что при построении перспективных проекций
прямые, которые требуется делить в перспективе на известные от-
резки, обычно уже задаются лежащими в какой-либо плоскости.
Поэтому основание делительного масштаба выгоднее назначать ле-
жащим в этой плоскости.
Рассмотрим теперь наиболее характерные случаи применения
делительного масштаба.
Задана перспектива отрезка АВ (ав) горизонтальной прямой,
наклонной к картине (рис. 23,6). Требуется разделить отрезок на
три равные части. .Через один из концов отрезка, например
точку В, проводим прямую, параллельную линии горизонта, и от
точки В откладываем на ней три равных между собой произволь-
ных отрезка В1 = 12 = 23. Проведя через точку отложения1 3
и точку А заданного отрезка прямую линию до линии горизонта,
отмечаем на ней точку схода IV делительного масштаба. Прямые
11V и 21V, проведенные из точек 7 и 2 основания масштаба в точку
схода IV, определят на отрезке АВ точки Е и L, которые и ограни-
чат перспективы равных отрезков заданной прямой. Перпендику-
ляры, проведенные из точек Е и L до пересечения с перспективой
1 Под точкой отложения следует понимать точку, полученную в результате
отложения известного отрезка от данной точки на заданной линии.
4*	51
основания ab отрезка АВ в точках ей/, разделят это основание
аЬ в том же отношении, в каком разделен и сам отрезок АВ.
Иногда делительный масштаб применяется и для решения об-
ратной задачи, когда требуется определить действительные про-
порции заданных в перспективе отрезков прямой. Так, например,
при рисовании с натуры на картине были намечены ребра А, В и С
столбов каменного забора (рис. 23, в). Для большей точности раз-
бивки изображений других столбов ограды лучше всего восполь-
зоваться делительным масштабом. Через точку А проводим осно-
вание масштаба А 5, а его точку схода IV назначаем произвольно
на линии горизонта. Через точки В и С уже намеченных на ри-
сунке оснований ребер проводим прямые линии из точки схода IV
до пересечения с линией основания делительного масштаба А 5
в точках Bq и Со.
Для дальнейшего деления прямой АС основания передних ре-
бер столбов в тех же пропорциях, в каких это уже было наме-
чено точками А, В и С, по линии основания масштаба АЗ от
точки Со откладываем отрезок Со/, равный отрезку ABq; от
точки 1—отрезок 12, равный отрезку BqCq, и т. д. Из полученных
точек отложения 7, 2, 3... проводим прямые в точку схода IV де-
лительного масштаба, которые и отмечают на линии АС искомые
точки оснований ребер столбов ограды.
Требуется построить перспективу точек Ei, L\ и К\ отрезка
А\В\ прямой общего положения, если задана его перспектива АВ
(рис. 24, а). Если параллельные прямые разделят в пространстве
прямую общего положения и ее основание как стороны плоского
угла на пропорциональные отрезки, то и на картине параллельные
прямые будут делить изображения этих прямых в пропорциональ-
ном отношении. Поэтому получим сначала перспективы оснований
е, I, к заданных точек Е\, L\, К\, а затем с помощью перпендику-
ляров получим их перспективы Е, L, К на перспективе отрезка Л В.
Порядок построения точек е, I, к на отрезке ab как перспективе
основания прямой совершенно такой же, какой был показан на
рис. 23, а. Только в отличие от примера, представленного на
рис. 23, а, здесь на линии основания делительного масштаба (1Bq
отложены отрезки AqEq, EqLq ... соответственно равные отрезкам
А\Е\, E\L\ ... самой прямой Л1В1.
Если на картине имеется линия схода Р/ некоторой плоско-
сти Р, в которой расположен отрезок А\В\ прямой общего положе-
ния, то делительный масштаб выгодно строить в этой же плоскости
(рис. 24,6). В этом случае в заданных пропорциях (на рис. 24,6
отрезок АВ разделен пополам) делится непосредственно сама пер-
спектива АВ отрезка прямой, а не перспектива ее основания ab,
как это было сделано на рис. 24, а. Через точку В заданного от-
резка проводим линию В2 основания делительного масштаба парал-
лельно линии схода Р/ плоскости Р и откладываем на ней два рав-
ных произвольных отрезка В1 = 12. Линия В2 основания масштаба
лежит в заданной плоскости Р, так как она имеет с этой плоскостью
52
Рис. 24
одну общую точку В и параллельна линии схода Р/ или картин-
ному следу Рк, заведомо лежащему в плоскости Р. Кроме того,
линия В2 будет параллельна картине, поскольку она параллельна
прямой Р/, лежащей в картинной плоскости. Таким образом, вы-
полнены все условия, необходимые для использования прямой В2
в качестве линии основания делительного масштаба. Точка схода IV
дсмюыънъго масштаба должна лежать на линии схода Ру; опреде-
лить ее можно пересечением этой линии прямой А2, со-
единяющей точку А с крайней точкой 2 линии основания
масштаба.
В некоторых случаях оказывается выгодным строить делитель-
ный масштаб в вертикальных плоскостях. Так, для деления на
4 равные части перспективы АВ отрезка нисходящей прямой
(рис. 24, в) линия А4 основания делительного масштаба проведена
вертикальной, чем определено положение горизонтально проекти-
рующей плоскости Q. Перспектива Qh ее горизонтального следа
совпадает с перспективой ab основания прямой, а линия схода Q/
проходит через точку F схода горизонтального следа и является
вертикальной. На этой линии располагаются точка схода F 3
нисходящей прямой и точка схода w делительного масштаба. Тем
самым доказано, что делительный масштаб находится в вертикаль-
ной плоскости Q.
Деление отрезков любых прямых, параллельных картине, на
равные или пропорциональные части можно производить непосред-
ственно на перспективе этих Отрезков (рис. 24, д), так как отрезки
прямых, параллельных картине, изменяются в перспективе про-
порционально.
При построении делительных масштабов следует избегать та-
ких положений, при которых линии, идущие в точку схода IV,
будут пересекать заданную прямую под слишком острыми углами,
так как в этом случае значительно снижается точность графиче-
ских построений.
Определение по перспективе натуральных величин отрезков
прямых основано, главным образом, на теореме планиметрии, гла-
сящей о том, что отрезки параллельных между параллельными
равны. Кроме того, используются и другие теоремы, связанные со
свойствами плоских фигур и, в особенности, треугольников.
Рассмотрим способы построения на картине истинных величин
отрезков прямых в зависимости от их расположения в про-
странстве.
Измерение отрезков прямых, параллельных картине. По задан-
ной перспективе ЕТ (et) отрезка прямой видно, что данная прямая
лежит в предметной плоскости и параллельна картине (рис. 25, а).
Если через концы отрезка провести какие-либо параллельные пря-
мые до пересечения с линией основания картины, то отрезок этой
линии, ограниченный точками пересечения, будет равен заданному
отрезку прямой.
54
За точку схода параллельных прямых принимаем произвольную
точку К (ламбда) линии горизонта. Через концы Е(е) и Т (t)
измеряемого отрезка проводим прямые из точки схода % до пересе-
чения с линией основания картины ох в точках Ео и То. Отрезок
EqTq будет представлять собой истинную величину (в масштабе
перспективы) заданного отрезка в пространстве.
Для построения истинной длины отрезка АВ прямой, накло-
ненной к предметной плоскости, используем перспективу его осно-
вания аЬ (рис. 25,6). Так же как на рис. 25, а определяем истин-
ную длину aobo горизонтальной проекции (основания) отрезка. Из
полученных точек ао и Ьо восстанавливаем перпендикуляры к ли-
нии основания картины ох и продолжаем их до пересечения в точ-
ках А и Во с прямыми КА и КВ, проведенными из точки
схода К через концы А и В заданного в перспективе отрезка АВ.
Отрезок АоВо прямой будет равен натуральной длине отрезка,
имеющегося в пространстве, но заданного на картине перспекти-
вой АВ и перспективой основания аЬ. Отметим, что расстояния от
точек ао и Во до точек До и Во представляют собой истинные вели-
чины превышения концов заданного отрезка над предметной пло-
скостью в пространстве.
На перспективе вертикальной прямой АВ требуется определить
отрезок АЕ, равный 10 метрам (рис. 25, в). С помощью параллель-
ных прямых «выносим» данную прямую на картину, где и откла-
дываем требуемый отрезок, учитывая масштаб изображения. Из
произвольной точки К линии горизонта — точки схода параллель-
ных прямых — проводим прямую через перспективу аЬ основания
заданной прямой до встречи с линией основания картины ох
в точке ао. Из этой точки проводим вертикальную прямую, на ко-
торой с помощью прямой КА получаем точку Ао. Затем, в мас-
штабе изображения, по вертикали аоАо откладываем отрезок АоЕо,
равный 10 м. Для построения перспективы этого отрезка из
точки Ео проводим прямую в точку схода К, которая и определит
на прямой АВ искомую точку Е.
Измерение отрезков прямых, перпендикулярных картине. Пря-
мые, перпендикулярные картине, параллельны своим проекциям на
предметную плоскость, то есть своим основаниям, а их отрезки
равны соответствующим отрезкам этих оснований. Поэтому, исходя
из удобства построений, истинные величины отрезков рассматри-
ваемых прямых определяют обычно путем построения натуральных
величин отрезков их оснований. Таким образом, все построения
в натуре при решении поставленной задачи производятся только
в предметной плоскости, а построенйя на картине являются, есте-
ственно, их центральной проекцией.
Для определения истинных величин или, наоборот, построения
отрезков прямых, перпендикулярных картине, используются свой-
ства равнобедренных прямоугольных треугольников. Известно, что
гипотенуза таких треугольников составляет с равными между собой
катетами угол 45°. Если за один катет треугольника принять
55
заданный отрезок прямой, перпендикулярной картине, то другой
катет будет параллельным картине, а гипотенуза будет составлять
с ней угол 45°. Истинную величину катета, параллельного картине,
можно определить с помощью любой системы параллельных пря-
мых, но обычно используются прямые, параллельные гипотенузе
треугольника, то есть наклоненные к картине под углом 45 .
Представим, что требуется определить натуральную величину
отрезка прямой, перпендикулярной картине, по его перспективе АВ
56
(рис. 26, а). Поскольку данный отрезок в пространстве равен своей
горизонтальной проекции на предметной плоскости, будем опреде-
лять истинную величину последней. Прежде всего отметим точку
дальности Di как точку схода прямых, наклоненных к картине под
углом 45°. Для этого по линии горизонта от главной точки кар-
тины Р отложим главное расстояние б. Из полученной таким обра-
зом точки D\ проводим прямые через точки а и b до встречи с ли-
нией основания картины ох в точках ао и Ьо. Отрезок аоЬо будет
искомым.
Если, например, из точки а отрезка ab провести прямую па-
раллельно линии горизонта до пересечения с линией Dibo в точке с,
то станет ясным, что проведенные на картине построения привели,
собственно, к определению истинной величины не заданного от-
резка, а равного ему в натуре катета равнобедренного прямоуголь-
ного треугольника, перспективой которого является треуголь-
ник abc. Однако в дальнейшем, для большей простоты изложения,
мы будем говорить, что с помощью указанных построений непосред-
ственно определяется натуральная величина заданных отрезков.
Ввиду того, что точка дальности зачастую оказывается далеко
за пределами картины, для построений используют дробные
точки дальности. Такие точки получаются путем отложения
по линии горизонта от главной точки картины Р не всего главного
расстояния б, а лишь определенных его частей. Так, для получе-
ния дробной точки дальности D/2 от точки Р откладывают поло-
вину главного расстояния 6/2; для точки D/4— одну четвертую
часть главного расстояния 6/4 и т. д. (рис. 26, б).
Само собой разумеется, что в результате построений с исполь-
зованием дробных точек дальности получаются и дробные истин-
ные величины измеряемых отрезков. Если, например, отрезок ab
«вынесен» на картину с помощью дробной точки дальности D/2,
то на линии основания картины определяется отрезок abv', равный
половине действительной длины L заданного отрезка, а при ис-
пользовании точки DI4 — отрезок abo", равный V4L (рис. 26, б).
Следовательно, во сколько раз уменьшено главное расстояние, во
столько же раз уменьшается и получаемый отрезок.
Если же требуется перенести в перспективу некоторый отре-
зок L на заданную прямую аР (рис. 26, в), то при использовании,
например, дробной точки дальности D/2 по линии ох следует отло-
жить половину V2L данного дтрезка L, а не весь отрезок. В про-
тивном случае, в перспективе получится не требуемый отрезок ab,
а увеличенный в 2 раза отрезок ас.
Перспективный масштаб. Рассмотренные примеры
измерения отрезков прямых линий позволяют построить перспек-
тивный масштаб, пользуясь которым можно строить изображения
различных предметов по их известным размерам.
Перспективный масштаб составляется из масштабов трех
взаимно-перпендикулярных направлений: ширины, глубины и вы-
соты (рис. 27).
57
Рис. 26
Масштабам ширины называется масштаб, построенный на пря-
мой, параллельной картине.
Для построения на перспективе аЬ прямой, параллельной кар-
тине, масштаба ширины с основанием, например, 2 м используем
свойство отрезков этих прямых изменяться в перспективе пропор-
ционально (рис. 27, а). На линии основания картины ох от неко-
торой нулевой точки О откладываем в масштабе картины отрезки,
равные 2 м. Точку О соединяем прямой с точкой а и на линии го-
ризонта отмечаем точку схода делительного масштаба IV. Прямые,
проведенные в точку IV из точке 1,2... натурального масштаба
на линии ох, засекут на прямой аЬ точки 1', 2' .. . которые и ог-
раничат ее отрезки, равные в перспективе 2 м.
Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной картине,
называется масштабом глубины.
На линии основания картины отмечаем точки 1, 2 . . . нату-
рального масштаба с заданным основанием 1,5 м (рис. 28, а). Для
получения масштаба глубин через начальную точку О проводим
прямую ОР в главную точку картины Р, которая является пер-
спективой прямой, перпендикулярной картине. Измерение таких
прямых производится с помощью прямых, наклоненных к картине
под углом 45°. Отложив по линии горизонта от точки Р главное
расстояние б, получим точку схода этих прямых — точку дально-
сти D\. Проводя прямые из точек 1,2... натурального масшта-
ба в точку дальности D\, получив на прямой ОР точки /о, 2о . . .
глубинного масштаба.
Масштабом высоты называется масштаб, построенный на вер-
тикальной прямой.
Отрезки вертикальных прямых изменяются в перспективе про-
порционально. Поэтому для построения масштаба высот можно
использовать систему горизонтальных прямых, расположенных в
любой вертикальной плоскости. Следовательно, точку схода этих
прямых можно назначить на линии горизонта произвольно. Нату-
ральный масштаб может быть назначен на любой вертикальной
прямой, лежащей в картинной плоскости и пересекающей ее ос-
нование ох в начальной точке О этого масштаба (рис. 27, б).
При построении изображений предметов по их известным раз-
мерам указанные масштабы в большинстве случаев не приме-
няются раздельно, а соединяются в один перспективный масштаб
(рис. 27, б). Масштабы широт и глубин на рисунке представляют
собой изображение квадратной сетки, расположенной в предметной
плоскости. Для построения такой сетки в перспективе из точек О,
1,2... натурального масштаба, начерченного на линии основания
картины, проводим прямые в главную точку картины Р. Эти пря-
мые пересекаем прямой линией, идущей из начальной точки О на-
турального масштаба в точку дальности D2 и представляющей со-
бой изображение диагонали наибольшего квадрата. В точках
пересечения указанных прямых ОР,1Р . . . OD2 проводим прямые,
параллельные линиям горизонта. При необходимости можно допол-
59
Рис. 27
нить полученную сетку квадратов, как это видно по рисунку, с по-
мощью точно таких же построений.
Порядок построения масштаба высот ничем, по существу, не
отличается от указанного выше, но только в качестве точки схода
горизонтальных прямых, идущих из точек О, а, Ь... натураль-
ного масштаба, удобнее в этом случае использовать главную точку
картины Р. На рис. 27, б показано определение высоты изображе-
ния фигуры человека, находящегося на различных расстояниях от
зрителя.
В тех случаях, когда точка дальности оказывается недоступ-
ной, перспективу квадратной сетки можно с успехом построить
путем использования той или иной дробной точки дальности.
Если, например, имеется дробная точка дальности D/2, то прямая
ODI2, проведенная в эту точку из начальной точки О натураль-
ного масштаба, определит по глубине не один, а два квадрата
(рис. 28, б). Деление пополам получившихся фигур выполняется
с помощью их диагоналей, проведение которых может быть понято
из рисунка.
Измерение отрезков горизонтальных прямых, наклоненных к
картине, и прямых общего положения. Для определения истинных
величин отрезков указанных прямых в отдельных случаях можно
воспользоваться способом прямоугольного треуголь-
ника. Сущность его заключается в том, что искомые отрезки
определяются как гипотенузы прямоугольных треугольников, ка-
тетами которых служат отрезки прямых, параллельных картине и
перпендикулярных к ней. Рассмотрим этот способ на примере,
представленном на рис. 29.
Задана перспектива АВ отрезка восходящей прямой и перспек-
тива ab его основания (рис. 29, а).
Сначала найдем истинную длину отрезка ab как горизонтальной
прямой, наклоненной к картине. Проведем из точки а прямую ас
параллельно линии горизонта, а из главной точки картины Р—
прямую через другой конец отрезка ab. Пересечение этих прямых
определяет вершину с треугольника abc, который является пер-
спективной проекцией прямоугольного треугольника, лежащего в
предметной плоскости. Один катет этого треугольника параллелен
картине, другой — перпендикулярен к ней. Определив натуральные
величины ЛоСо и Ьосо этих катетов с помощью указанных выше
построений (рис. 25, а и 26, а), вычерчиваем на плоскости картины
истинную величину АоВоСо прямоугольного треугольника. Его ги-
потенуза АоВо и будет представлять истинную длину заданного
отрезка ab горизонтальной прямой.
Теперь построим истинную длину заданного отрезка АВ вос-
ходящей прямой (рис. 29, б). Проведем прямую из точки А от-
резка в точку схода F. Эта линия засечет на вертикали ВЬ точку N.
Получившийся треугольник ABN служит перспективным изобра-
жением прямоугольного треугольника, гипотенузой которого явля-
ется заданный отрезок; один катет лежит на горизонтальней
61
Рис. 28
прямой, а другой — на вертикальной. Известно, что отрезки AN и
ab расположены в пространстве на параллельных горизонтальных
прямых и равны между собой. Поскольку истинная длина AqBq от-
резка ab уже найдена (рис. 29, а), то для построения натуральной
величины треугольника ABN необходимо определить истинную
длину второго катета BN. Для этого воспользуемся «выносом»
отрезка BN на картину так, как это было указано на рис. 25, в.
Имея истинные длины AqBq и B'N' катетов прямоугольного тре-
угольника, строим на картине его натуральную величину AqBqNq.
Гипотенуза NqBq треугольника будет равной заданному отрезку
АВ прямой общего положения.
Как видно по рис. 29, графические построения при решении
поставленной задачи способом прямоугольного треугольника полу-
чаются довольно громоздкими, поэтому такой способ находит при-
менение лишь в единичных случаях.
Более общим и простым решением задачи на определение истин-
ных величин отрезков рассматриваемых прямых или, наоборот, на
построение их известных отрезков в перспективе является исполь-
зование так называемых точек измерения.
Точками измерения называются точки схода перспектив парал-
лельных прямых, одинаково наклоненных как к измеряемой пря-
мой, так и к картинной плоскости.
Для выяснения закономерностей построения точек измерения
на картине представим процесс центрального проектирования пря-
мых в пространстве (рис. 30, а). Допустим, что на предметной
плоскости задан отрезок AiBi прямой, наклоненной к картине.
Причем точка А\ отрезка находится на линии основания кар-
тины ох (перспектива А точки Ai совпадает с самой точкой).
По линии основания картины от точки Ai отложим отрезок Л1Во,
равный заданному отрезку AiBi. Соединив точки Во и В\ прямой
линией, получим равнобедренный треугольник AiBqBi, основание
BoBi которого будет одинаково наклоненным или, как говорят,
равнонаклонным как к заданной прямой, так и к картине.
Если теперь проведем лучи зрения ZF и ZM, соответственно
параллельные прямым А\В\ и BoBi, для получения точек схода
перспектив этих прямых, то в плоскости горизонта получим* тре-
угольник ZFM. Этот треугольник будет равнобедренным и подоб-
ным треугольнику Л1В0В1. Его сторона ZF оказывается равной
стороне MF и наклоненной к картине под тем же углом а, что и
сама прямая AiBi. Сторона ZM треугольника будет равнонаклон-
ной как к стороне ZF, так и к линии горизонта, то есть к картине.
Теперь с помощью метода совмещения получим на картине оба
указанных треугольника.
Метод совмещения заключается в том, что плоскость горизонта,
то есть плоскость, проходящую через точку зрения параллельно
предметной плоскости, вместе с точкой зрения и лучами зрения
совмещают с картиной путем вращения вокруг линии горизонта,
а предметную плоскость вместе с расположенными в ней точками и
63
Рис. 29
прямыми — вокруг линии основания картины. Вращение обеих
плоскостей производится в одном и том же направлении и на один
и тот же угол. Если посмотреть вдоль картины К, то схема совме-
щения представится так, как это показано на рис. 30, б.
Само собой разумеётся, что такое совмещение фактически не
осуществляют, но пользуясь установленными закономерностями,
производят необходимые построения непосредственно на картине.
Для осуществления этих построений на картине должны быть за-
даны основные элементы перспективы (линии' горизонта и основа-
ния картины, главная точка картины и одна из точек дальности),
а также перспектива АВ прямой с ее точкой схода F (-рис. 30, в).
Прежде всего определяем совмещенное с картиной положение
Zo точки зрения. Для этого вверх по вертикали от главной точки
картины Р откладываем главное расстояние б, которое выражено
на картине отрезком PD\.
Затем засечкой на линии горизонта дугой окружности с цент-
ром в точке схода F и радиусом EZ0, равным расстоянию от этой
точки F до совмещенного положения Zo точки зрения, получаем
точку измерения М.
Проведя теперь линию ZoM, получим равнобедренный тре-
угольник FZqM. Стороны FZo л ZqM этого треугольника представ-
ляют собой совмещенное с картиной положение лучей зрения ZF
и ZM (см. рис, 30, а), проектирующих на картину бесконечно уда-
ленные точки заданной прямой AiB\ и равнонаклонной ВоВь От-
сюда следует, что если будет известен угол а наклона прямой AiBi
к картине, то при наличии точки схода F этой прямой можно полу-
чить совмещенное с картиной положение Zo точки зрения. Для
этого достаточно провести прямую FZo под углом а к линии гори-
зонта до пересечения с вертикалью PZq (рис. 30, в).
Теперь перейдем к построениям на совмещенной предметной
плоскости. Под известным углом а к линии основания картины ох
проводим отрезок А\В\, который и будет являться»совмещенным
положением заданной прямой. На линии основания картины ох от
точки А\ откладываем отрезок А\Во, равный отрезку AiBi. Это
можно выполнить либо.путем засечки из точки А\ радиусом А\В\,
либо проведением равнонаклонной прямой BiBo, или, наконец,
просто отложением отрезка А\Во = А\В\ с помощью измерителя.
Из полученной точки Во проводим прямую в точку измере-
ния М. Прямая ВоМ засечет на перспективе AF прямой AiBi иско-
мую перспективу В точки Вь Характерно, что найденная точка В
окажется на прямой ZqBi, проходящей из совмещенной точки зре-
ния Zo в совмещенную точку Bi заданной прямой AiBi. Иначе го-
воря, при указанном совмещении между точками предметной плос-
кости и точками картины устанавливается так называемое пер-
спективное соответствие, центром которого будет совме-
щенная точка зрения Zo. Поэтому, если необходимо получить, на-
пример, перспективу Е некоторой точки Е\ заданной прямой -А \В\
(рис. 30, в), достаточно провести прямую EiZq из этой точки Е\
5	ВИ. Евтеев и др
65
в
Рис. 30
в совмещенную точку зрения Zo, которая в пересечении с ли-
нией AF и определит точку Е.
Использование точек измерения позволяет строить перспектив-
ные масштабы не только на перспективах прямых, перпендикуляр-
ных картине, но и на перспективах прямых любых других направ-
лений.
На рис. 31, а представлено построение перспективного масштаба
на перспективе NF некоторой прямой, наклоненной к картине.
В том же порядке, как это было показано выше, определяем точку
измерения М. Линию основания натурального масштаба N5 про-
водим параллельно линии горизонта из точки N пересечения за-
данной прямой с картиной. То^ки 1, 2 ... натурального масштаба
соединяем прямыми линиями с точкой измерения М и в их пере-
сечении с линией NF получаем точки /о, 2q ... перспективного мас-
штаба глубины по направлению заданной прямой. Масштабы ши-
рины и высоты в таких случаях определяются как обычно, то есть
на прямых, параллельных линии горизонта, и на вертикалях.
Для того чтобы отложить на перспективе АВ прямой общего
положения от точки А некоторое число равных отрезков, заклю-
чаем эту прямую в плоскость Т, перпендикулярную к картине
(рис. 31,6). Перспектива Тн горизонтального следа плоскости Т
пройдет через точку А (перспективу точки пересечения прямой
с предметной плоскостью) и главную точку картины Р как изобра-
жение прямой, перпендикулярной картине.
Линия схода Tf этой плоскости определяется точкой схода Fb
заданной прямой и главной точкой Р. Картинный след Тк парал-
лелен линии схода Т/ и выходит из точки схода следов плос-
кости.
Совмещенное с картиной положение точки зрения Zq получаем
путем ее вращения вокруг линии схода Tf плоскости Т. Поэтому
из главной точки картины Р проводим перпендикуляр к линии
схода Tf и откладываем на нем отрезок PZq, равный главному рас-
стоянию PDi.
Точку измерения М отмечаем на линии схода Tf плоскости Т
путем засечки дугой окружности радиусом F^Zq и с центром
в точке схода Fb.
Из точки измерения М проводим прямук) через точку А задан-
ной прямой АВ и на картинном следе Тк плоскости Т получаем
начальную точку О натурального масштаба. Дальнейшие действия
по решению поставленной задачи сходны с показанными на
рис. 30, а и могут быть поняты без дополнительного объяснения.
В тех случаях, когда точка схода и совмещенная с картиной
точка зрения выходят за рамки картины, для получения точки из-
мерения можно использовать дробную точку измерения. При на-
личии, например, дробной точки схода FI2 и совмещенной точки
зрения Z$I2 мы получим треугольник PZ0/2M/2, подобный треуголь-
нику PZqM, с отношением соответственных сторон 1 : 2 (рис. 31, а).
Следовательно, если получена дробная точка измерения М/2, то
5*	67
a
6
6
Рис. 31
для получения самой точки измерения М нужно удвоить расстоя-
ние от главной точки картины Р до дробной точки измерения М)2,
а если получена дробная точка измерения М{3, то — утроить и т. д
Однако в некоторых случаях при заданной перспективе прямой
точку измерения М можно найти с помощью перспективы прямой,
перпендикулярной картине и проходящей через какую-либо точку
Bi заданной прямой (рис. 31, в). Действительно, если из точки В\
прямой А\В\, лежащей в предметной плоскости и заданной
в совмещенном с картиной положении, провести перпенди-
куляр на линию основания картины ох в точку Ei, то перспек-
тиву ЕР этой прямой, перпендикулярной картине, легко провести
в имеющуюся главную точку картины Р. Прямая ЕР пересечет
заданную перспективу прямой А\В\ в точке В, которая будет яв-
ляться перспективой точки Вь Отложив теперь на линии основания
картины отрезок А Во, равный самому отрезку А\В\, и проведя из
полученной точки Во прямую через точку В до линии горизонта,
получим на ней искомую точку измерения М.
Подчеркнем, что полученные указанными способами точки из-
мерения будут пригодны для измерения перспектив отрезков не
только одной прямой, но и любых прямых, параллельных данной.
Анализируя результаты построений после совмещения геомет-
рических элементов с картиной, нетрудно убедиться в том, что,
кроме определения точек измерения, метод совмещения позволяет
определять на картине и действительные углы между двумя пря-
мыми.
Обратимся снова к рис. 30, а. Если в пространстве прямые А\В\
и BoBi при своем пересечении образуют угол ф, то точно такой же
угол ф образуется и между лучами зрения ZE и ZM, проведенными
соответственно параллельно данным прямым. После совмещения
с картиной треугольник ZMF (рис.^30, в) изобразится на ней без
искажения и угол MZoF между линиями ZqM и ZqF окажется
равным углу ф между прямыми А\В[ и ВоВ\.
Отсюда: истинная величина угла между двумя прямыми опре-
деляется на картине углом между прямыми, проведенными из то-
чек схода перспектив заданных прямых в совмещенную с картиной
точку зрениял
Истинная величина угла между прямыми общего положения,
заданными перспективами АВ(аЬ) и ОМ, 1М... (рис. 31, б), рав-
няется углу между прямыми ZoFb и ZqM, проведенными из совме-
щенной точки зрения Zo в точки схода Fb и М перспектив этих
прямых.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВ
КРИВЫХ ЛИНИЙ
Кривые линии подразделяются на плоские, все точки кото-
рых расположены в одной плоскости, и пространственные,
точки которых не лежат в одной плоскости. Кроме того, кривые
69
линии делятся на закономерные, то есть образованные дви-
жением точки по определенному закону, и незакономерные —
образованные произвольно-криволинейным перемещением точки
либо по плоскости, либо в пространстве.
Построение перспективы кривой линии сводится к определению
перспективы ряда ее точек. Для закономерных линий это будут
точки, по которым можно определить любые другие точки кривой.
Для эллипса, например, такими точками будут концы сопряженных
диаметров, а для незакономерных — точки наивысшие и наиниз-
шие, перегиба, возврата и т. д.
Из всего многообразия кривых линий при построении перспек-
тивных изображений чаще всего встречается окружность в ее раз-
личных положениях в пространстве. Поэтому вопросу о построении
перспективы окружности следует уделить особое внимание.
Построение перспективы окружности. В линейной перспективе
изображение окружности может быть различным, в зависимости от
ее расположения относительно точки зрения и картины.
Если лучи, идущие из точки зрения через точки окружности,
оказываются лежащими в одной плоскости, то перспективой окруж-
ности будет отрезок прямой линии. Это наблюдается тогда, когда
окружность находится в плоскости горизонта. Таких положений
точки зрения относительно объекта следует избегать, так как на-
глядность изображения снижается.
Перспективой окружности может быть тоже окружность, если,
например, ее плоскость будет параллельной картине. Такие случаи
имеют место при построении фронтальных перспектив. Нетруд-
но представить, что в этих случаях для изображения окруж-
ности достаточно определить перспективу ее центра и величину
радиуса.
Во всех остальных случаях окружность будет проектироваться
в виде эллипса, параболы или гиперболы. Известно, что указанные
плоские кривые линии относятся к семейству кривых кониче-
ских сечений. В данном случае действительно такие кривые
получаются в результате пересечения с картинной плоскостью ко-
нической поверхности, которая образуется совокупностью лучей
зрения, проектирующих отдельные точки окружности.
Эллипс, как перспектива окружности, получается тогда, когда
все образующие (лучи зрения) проектирующей конической поверх-
ности пересекаются с картиной. Из рис. 32, а легко видеть, что на
картине будет всегда образовываться эллипс, как проекция окруж-
ности, если сама окружность не касается нейтральной пло-
скости N.
Перспективой окружности будет парабола, если эта окруж-
ность будет касаться нейтральной плоскости (рис. 32,6). Луч зре-
ния Zz (образующая конуса), проведенный в точку касания, всегда
будет параллельным картине и поэтому не пересечет ее. Установ-
лено, что в том случае, когда секущая плоскость параллельна одной
70
Рис. 32
какой-либо образующей кругового конуса, в сечении всегда полу-
чается парабола.
Если окружность расположена в пространстве так, что пересе-
кает нейтральную плоскость N, то изображением этой окружности
окажется гипербола (рис. 32, в). Здесь два луча зрения ZI
и ZII (образующие конуса) оказываются параллельными картине
(секущей плоскости), а в этом случае, как доказано, в сечении по-
лучается гипербола.
Все эти кривые при построении перспективы одновременно
встречаются довольно редко: в частности, при изображении цир-
ковой арены и сидений для зрителей, если толчка зрения будет на-
ходиться в одном из рядов.
Наиболее часто приходится встречаться с построением эллипса
как перспективы окружности.
Эллипс представляет собой плавную замкнутую кривую, под-
чиняющуюся закону, по которому сумма расстояний от любой
точки кривой до двух постоянных точек, лежащих в плоскости кри-
вой, есть величина постоянная. Эта кривая симметрична относи-
тельно двух взаимнб-перпендикулярных осей*—большой и малой.
Любой отрезок прямой, проходящий через центр эллипса и за-
ключенный между двумя его точками, называется диаметром эл*
липса. Каждый диаметр в центре эллипса делится пополам. Два
диаметра эллипса, каждый из которых делит пополам хорды, парал-
лельные другому диаметру, называются сопряженными. Взаимно-
перпендикулярные оси .эллипса являются частным случаем сопря-
женных диаметров.
Сопряженные диаметры так же, как и оси эллипса^ вполне его
определяют, то есть позволяют построить любую точку этой
кривой.
Наблюдение одинаковых кругов, нанизанных на одну ось, пока-
зывает, что по мере* удаления от зрителя-окружности представ-
ляются все более расширяющимися эллипсами, большие оси кото-
рых уменьшаются, а малые — увеличиваются (рис. 33, а). Направ-
ление осей у всех Эллипсов можно считать практически одинако-
вым, а именно: их большие оси — перпендикулярными общей оси
кругов, а малые — совпадающими с этой осью (рис. 33, б).
Здесь мы рассмотрим наиболее употребительные приемы отыс-
кания сопряженных диаметров и осей эллипса, а также некоторые
графические способы построения его различных точек.
Допустим, что на картине задана перспектива О центра окруж-
ности, лежащей в предметной плоскости и имеющей. радиус R
(рис. 34, а). С помощью прямой РО, проведенной из главной точки
картины, «выносим» точку О на линию основания картины ох и
от полученной точки откладываем на этой линии радиус окружно-
сти R. Из концов отрезков проводим прямые в главную точку кар-
тины, которые определят точки А и В на прямой, проходящей че-
рез точку О параллельно линии горизонта. Отрезок АВ является
перспективой диаметра окружности, параллельного картине.
72
Для определения перспективы CS другого диаметра окружно-
сти, перпендикулярного первому, используем имеющуюся на кар-
б
Рис. 33
тине дробную точку дальности DI2. Проводим прямую OD/2 из
точки О в точку DI*. Эта линия засечет на прямой АР точку Е.
Так как отрезок АЕ будет равен в перспективе диаметру, окруж-
ности, его необходимо разделить пополам. Для этого соединим
73
a
Рис. 34
прямой линией точку Е с точкой В и отметим на прямой ОР
точку С, которая будет перспективой конца диаметра окружности,
перпендикулярного картине. Затем из точки С проводим прямую
СК, параллельную линии горизонта, и на линии АР отмечаем
точку К — перспективу вершины квадрата, описанного вокруг ок-
ружности. Проведя перспективу KL диагонали этого квадрата,
получим на прямой ВР перспективу L еще одной вершины описан-
ного квадрата. Теперь прямая LD, проведенная параллельно ли-
нии горизонта из точки L, определит на прямой ОР точку D—
перспективу другого конца диаметра окружности, перпендикуляр-
ного картине.
Таким образом, получены отрезки АВ и CD сопряженных диа-
метров эллипса. Следует иметь в виду, что эти отрезки прини-
маются за сопряженные диаметры условно, так как диаметр АВ
не делит пополам отрезок CD. Иначе говоря, перспектива О центра
окружности не совпадает с действительным центром эллипса.
Однако в тех случаях, когда размеры изображения незначительны
и центр эллипса оказывается на небольшом расстоянии от най-
денной ранее перспективы центра окружности, этим несовпадением
точек пренебрегают и принимают перспективу центра окружности
за центр эллипса.
Для определения отдельных точек эллипса используем свой-
ства высот треугольника AiBih, построенного на диаметре окруж-
ности (выноска слева на рис. 34, а). Проведем хорду B\Di и на ее
продолжении назначим некоторую точку 1\, которую и примем за
вершину треугольника А\В\1\. Проведем в этом треугольнике вы-
соты A\D\, I\III\ и BiNu Учитывая свойство высот треугольника
(они пересекаются в одной точке), а также свойство вписанных
в окружность углов, опирающихся на ее диаметр, можно утвер-
ждать, что концы Di и ЛГ1 двух высот A\Di и BiNi треугольника
Л1В1Л всегда будут находиться на окружности независимо от поло-
жения его вершины Л. Здесь следует заметить, что вершину Zi
можно назначать только в пределах отрезка D\IV 1 прямой B\D\,
ограниченного точкой D\, лежащей на окружности и точкой IVi,
являющейся точкой пересечения прямой B\D\ и касательной к ок-
ружности, проведенной из другого конца А\ диаметра А\В\ окруж-
ности.
Построим теперь перспективу треугольника А\В\Ц на картине
(рис. 34, а). Проведем прямые BD и AD. На продолжении отрезка
BD назначим точку I, из которой проведем прямую в главную
точку картины Р до пересечения в точке II с линией AD. Через
точку II проведем прямую из точки В до встречи с линией AI
в точке N. Точка N будет принадлежать очерку эллипса. Назначая
точки IV, V . . . на прямых AD, BD, АС и ВС и повторяя
указанные построения, находим необходимое число точек, которое
позволит с достаточной точностью прорисовать плавную
кривую.
75
Одним из наиболее простых и распространенных способов
построения эллипса является способ описанного квадрата или, как
его иногда называют, способ восьми точек. Сущность способа
сводится к определению четырех точек эллипса на диагоналях
описанной трапеции, являющейся перспективой квадрата, описан-
ного вокруг окружности. Определение этих точек основано на том,
что отношение отрезков диагоналей квадрата, получившихся от
пересечения их вписанной окружностью, сохраняется и на перспек-
тиве этих фигур.
Рассмотрим использование этого способа на конкретном при-
мере. В перспективе заданы контуры стены помещения, на которой
имеются два оконных проема с полуциркульным верхом (рис. 34,6).
С помощью делительного масштаба и масштаба высот по извест-
ным размерам оконных проемов и простенков определяем габа-
риты их изображений на картине. На линии основания масштаба
высот (линия пересечения плоскости стены с картиной) от верха В'
оконных проемов откладываем натуральную величину В'О' радиу-
са полуокружностей. Проведя прямую O'F из точки отложения О'
в точку схода F, получаем перспективы О ... центров полуокруж-
ностей, а также концы D, С... одного из сопряженных диаметров
эллипса. Конец А ... другого диаметра был получен ранее при
определении габаритов изображения оконных проемов. В получив-
шихся трапециях BCDE . . . проводим прямые OB, ОЕ . . . ,
представляющие собой перспективу полудиагоналей описанных
полуквадратов. Для определения на этих прямых точек N, L . . . ,
принадлежащих эллипсам, разделим их отрезки OB, ОЕ ... в
том же отношении, в каком окружность делит пдлудиагонали опи-
санного квадрата.
Чтобы не загромождать основного изображения, графические
построения по делению отрезков выполняют обычно на каком-либо
свободном месте картины. На вертикали О'В', параллельной сто-
ронам ВС, DE... трапеций, строим равнобедренный прямо-
угольный треугольник О'АГВ', гипотенузой которого служит за-
данный радиус О'В'. Радиусом, равным катету О А', из точки О'
как из центра делаем засечку на гипотенузе О'В'.
Полученная точка N' разделит отрезок О'В' в необходимом
отношении. В этом нетрудно убедиться, если обратить внимание
на выноску справа. Здесь в описанном квадрате с его диагоналями
заштрихован треугольник OiA 1В1, гипотенуза 01В1 которого (полу-
диагональ квадрата) пересечена окружностью в точке Ni.
Построенный нами треугольник О'А'В' с дугой A'N' окруж-
ности, по существу, полностью повторяет указанный треуголь-
ник OiAiBi.
На том основании, что стороны плоского угла делятся парал-
лельными прямыми в пропорциональном отношении, проводим из
точки N' прямую N'F в точку схода F, которая и засечет на ли-
ниях О В, ОЕ . . . искомые точки N, L . . . Теперь в каждой
из ^трапеций BCDE ... по имеющимся пяти точкам прорисовы-
76
б
Рис. 35
ваем плавные кривые и тем самым заканчиваем очертание изобра-
жений оконных проемов.
В тех случаях, когда необходимо строить эллипс значительных
размеров, для более правильной прорисовки кривой рекомендуется
определять действительные сопряженные диаметры и на их основе
большую и малую оси.
Решение такой задачи дано на рис. 35. Представим, что
на картине определено положение перспективы О центра ок-
ружности, находящейся в некоторой вертикальной плоскости, пер-
пендикулярной картине (рис. 35, а). Построения проводим в сле-
дующем порядке.
Определение перспективы вертикального диаметра окружности.
Из главной точки картины Р через точку о (перспективу основа-
ния центра окружности) проводим прямую оР и в точке ее пере-
сечения с линией основания картины ох восстанавливаем перпен-
дикуляр к последней. На этот перпендикуляр, лежащий в плоскости
картины, с помощью прямой ОР выносим точку О (перспективу
центра окружности) и от полученной точки вверх и вниз по верти-
кали откладываем заданный радиус окружности R. Из точек отло-
жения проводим прямые в точку схода Р, которые, пересекая
вертикаль, проведенную через перспективу О центра окружности,
определяют концы А и В перспективы вертикального диаметра
окружности.
Определение перспективы горизонтального диаметра окруж-
ности. Через перспективу О центра окружности проводим перспек-
тиву восходящей диагонали описанного квадрата. Эта прямая,
находясь в пространстве в вертикальной плоскости, наклонена к
картине под углом 45°. Следовательно, точкой схода ее перспективы
будет совмещенная точка зрения Zq. Прямая OZq определит пер-
спективы I и II двух вершин описанного квадрата на перспективах
АР и ВР его горизонтальных сторон. Проведя из точек I и II вер-
тикали до прямой ОР, получаем концы С и D перспективы гори-
зонтального диаметра окружности.
Построение точек эллипса. Делим пополам отрезок СО, явля-
ющийся одним из сопряженных диаметров эллипса. Приняв точку
деления О' за центр, вычерчиваем окружность так, чтобы она
прошла через точки С и О диаметра СО. Через перспективу О
центра окружности проводим прямую, перпендикулярную к диа-
метру СО, до пересечения с только что вычерченной окружностью
в точках 1 и 2. Эти точки соединяем прямыми линиями с точками
А и В. Из* середины О' диаметра СО проводим прямую, перпен-
дикулярную к линии СО, до пересечения с окружностью в точках
3 и 4. Из этих точек проводим прямые ЗЕ и 4F, параллельные
прямым 1А и 2В, до пересечения с вертикалью, проведенной из
точки О . Точки пересечения Е и F являются концами другого
сопряженного диаметра эллипса. С помощью построений, подобных
тем, при которых были получены точки Е и F, можно теперь опре-
78
делить любые другие точки кривой. Для этого на диаметре CD
назначаем произвольные точки О", О'" ... и, строя треуголь-
ники О"К6, O"L5 . . , подобные треугольникам О'ЕЗ и O'F4,
получаем точки К, L . . , принадлежащие эллипсу.
Надо сказать, что прорисовку эллипса значительно легче осу-
ществлять при наличии его большой и малой осей, так как относи-
тельно них кривая симметрична. Поэтому в случае необходимости
особенно тщательной прорисовки эллипса «рекомендуется опреде-
лять его большую и малую оси с помощью несложных графических
построений.
Определение большой и малой осей эллипса. Из центра эл-
липса О' проводим к меньшему сопряженному диаметру, EF пер-
пендикуляр О'Е', на котором откладываем отрезок О'Е', равный
половине О'Е этого диаметра (рис. 35, б). Через точку обложения
Е и конец D другого сопряженного диаметра проводим прямую.
Отрезок ED этой прямой линии делим пополам. Приняв получен-
ную точку а за центр, радиусом аО', равным расстоянию от этой
точки до центра эллипса О', вычерчиваем дугу окружности так,
чтобы она пересекла ранее проведенную прямую E'D в точках у и (3.
Проведя из этих точек прямые через центр эллипса О', определяем
направления его малой и большой осей. Размер малых полуосей
О'Т и O'Q равняется отрезку Е'у прямой E'D, а размер больших
полуосей О'М и O'N — отрезку Е'$ этой же прямой.
Построение эллипса как перспективной проекции окружности
имеет большое значение не только для прорисовки очерков изо-
бражений соответствующих предметов или их деталей, но и при
определении размеров изображений, главным образом, перемещаю-
щихся в пространстве объектов в их различных положениях по
отношению к картине. Так, например, при изображении развора-
чивающихся автомашин, стрел подъемных кранов, загорающих на
пляже людей, открытых дверей, окон, шкафов, крышек чемоданов
и т. п. рекомендуется строить так называемый масштабный эллипс.
Масштабный эллипс представляет собой перспективу ок-
ружности, диаметр или радиус которой равны наибольшему раз-
меру изображаемого предмета в плоскости его поворота. Так, при
определении размеров изображения людей, лежащих в разных
поворотах по отношению к картине, берется диаметр окружности,
равный среднему росту человека, а при построении перспективы
открытых дверей, окон и т. п. — радиус окружности будет равен
действительной ширине изображаемых предметов.
В качестве примера приведем построение перспективы откры-
тых ворот склада (рис. 36). Допустим, что очертания склада в це-
лом в перспективе уже построены. Зная натуральные размеры ча-
стей здания (окон, ворот и др.), с помощью делительного масштаба
и масштаба высот намечаем габариты их перспективных изобра-
жений. Таким образом определяются отрезки прямой /2 и 13,
представляющие собой ширину створок ворот в перспективе. Вер-
79
тикали, проходящие через точки 2 и 3, примем за изображение
осей вращения створок.
Имея дробную точку дальности D/2 на вертикали, проведанной
из главной точки картины Р, отмечаем совмещенное с картиной
положение Zd2 точки зрения. Дугой окружности с центром в дроб-
ной точке схода Fi/2 и радиусом F\l2Zd2 засекаем на линии
горизонта дробную точку измерения М/2. Отложив по линии гори-
зонта влево от этой точки отрезок MI2M, равный отрезку М/2Р,
получаем точку измерения М для перспектив всех горизонтальных
линий, точкой схода которых служит точка Pi.
Теперь для решения поставленной задачи в плоскости пола
склада, для простоты изображения принятом совпадающим с пред-
метной плоскостью, построим масштабные эллипсы, центрами ко-
торых будут точки 2 и 3. Проводим через эти точки прямые, па-
раллельные линии горизонта и, пересекая их прямой МА, идущей
80
из точки измерения М через точку /, получаем точки Е и А. О г
центра эллипса 2 по ранее проведенной прямой откладываем влево
отрезок 2В, равный отрезку 2Л, а от центра эллипса 3— вправо
отрезок 3L, равный отрезку ЗЕ. Отрезки АВ й EL прямых, па-
раллельных линии горизонта и проходящих через центры эллип-
сов 2 и 3, будут служить одним из сопряженных диаметров этих
эллипсов.
Другие сопряженные диаметры эллипсов будут, очевидно, яв-
ляться перспективой диаметров окружностей,' перпендикулярных
картине. Поэтому через центры эллипсов 2 и 3 проводим прямые
из главной точки картины Р. Разделим пополам одну из половин
установленных ранее сопряженных диаметров АВ и EL. Через
точки деления В/2 и Е/2 из дробной точки дальности DI2 прово-
дим прямые до пересечения с линиями Р2 и РЗ в точках С и Т.
Эти точки и определяют отрезки 2С и ЗТ других сопряженных
диаметров эллипсов.
Теперь, используя один из способов определения точек эллипса,
прорисовываем плавные кривые, которые явятся перспективой
траекторий движения нижних крайних точек створок.
Намечаем на ближнем эллипсе некоторую точку /о и проводим
через нее и точку 2 прямую до встречи с линией горизонта в точке
Fs — точке схода перспектив горизонтальных сторон левой створки
ворот. На другом эллипсе назначим точку /'о, из которой проводим
прямую 1'оЗ до линии горизонта, где и получаем точку схода Fi
изображений горизонтальных линий правой створки. Проведя, на-
конец, соответствующие прямые, закончим очерки изображений
створок ворот.
В рисовании, тел вращения (цилиндр, конус и др.) у начинаю-
щих рисовальщиков г нередко наблюдается характерная ошибка,
заключающаяся в том, что в местах сопряжения очерков поверхно-
сти и оснований тел изображаются острые углы, тогда как пере-
ходы должны быть плавными. Этот недостаток чаще всего воз-
никает потому, что рисующий не строит перспективу полной
окружности, как это необходимо делать, а пытается срисовывать
только ее видимую часть. Надо сказать, что учащиеся часто допу-
скают и другие ошибки в рисунке, стремясь побыстрее нарисовать
видимую часть предмета и пренебрегая строгим построением всей
его формы. Следует- всегда требовать от учащихся сначала изучить
геометрическое строение модели, а затем строить изображе-
ние, предполагая ее выполненной как бы из прозрачного мате-
риала.
Построение перспективы незакономерных плоских кривых ли-
ний. Такие кривые прорисовываются обычно либо на основе пер-
спектив их характерных точек, либо с помощью перспективы квад-
ратной сетки. И в том и в другом случае необходим геометральный
рисунок кривой линии, то есть рисунок, выполненный без иска-
жения. На этом геометрале отмечаются характерные точки кривой
или разбивается натуральная сетка квадратов.
б В, И Езтеер и др.
81
2
Рис. 37
Для построения в перспективе некоторой кривой линии отме-
чаем на ее геометрале (рис. 37, а) характерные точки: наивысшие
Bi, Ci, наинизшие D\, Ei, возврата L\ и начала кривой Т i.
Проектируем все эти точки на горизонтальную линию в точки 1i,
2i, 31 . . . и на вертикальную — в точку По известным законо-
мерностям определяем перспективу OVIII горизонтальной линии
ОД и из точки О проводим вертикаль оа (рис. 37ъб). Для пере-
несения на перспективу 0VII1 горизонтальной линии Oi8i ее
точек 71, 21, 31 . . . используем делительный масштаб, а для
установления положения перспектив точек Bi, Ci, Li по высоте —
масштаб высот на вертикали оа. По найденным точкам R, В, Е...
прорисовываем перспективу заданной кривой линии.
Если возникает необходимость в построении перспективы плос-
кой кривой линии более сложной конфигурации, например рисунка
стилизованного листа аканта (рис. 37, в), то выгодно использо-
вать сетку квадратов. Описанный вокруг изображения листа пря-
моугольник разбиваем на некоторое число равных квадратов.
Перспективу получившейся квадратной сетки, при заданной
перспективе описанного прямоугольника, легко построить с по-
мощью делительного масштаба. Это построение показано на
рис. 37, г и на основании предыдущих примеров может быть по-
нято без дополнительных объяснений.
Построение перспективы пространственных кривых линий. Сле-
дует сразу же сказать, что с изображением пространственных, кри-
вых линий при построении перспектив приходится сталкиваться
сравнительно редко, разве что только при рисовании различных
технических объектов.
Поэтому приведем лишь один пример построения перспективы
закономерной пространственной кривой линии, а именно цилин-
дрической -винтовой линии. Эта линия может быть представлена
как образованная вращательным движением точки с одновремен-
ным ее поступательным движением. Следовательно, для определе-
ния закона образования такой линии достаточно задать радиус
вращения точки и шаг винтовой линии, то есть расстояние между
двумя положениями перемещающейся точки на одной и той же
прямой. По этим данным можно построить перспективу цилиндри-
ческой винтовой линии. Однако более удобным будет использова-
ние ее ортогональных проекций (рис. 37, д). Напомним порядок
построения этих проекций, если задан радиус R винтовой линии
и ее шаг Н. Разбиваем горизонтальную проекцию линии (окруж-
ность) на некоторое число п равных частей. На это же число п
делим шаг Н на фронтальной плоскости проекций. Обозначив
полученные точки деления в одном и том же порядке, проводим из
них соответствующие прямые линии (вертикали и горизонтали)
до взаимного пересечения в точках 2', 3' . . . фронтальной
проекции цилиндрической винтовой линии.
Построение перспективы этой линии по ее ортогональным про-
екциям выполняем в следующем порядке (рис. 38). По установ-
6*
83
ленным ранее правилам строим эллипс /, 2, 3 . . . как перспек-
тиву окружности заданного радиуса
Деление эллипса на п равных частей выполняем таким образом.
На большой оси 04 как на диаметре описываем полуокружность,
которую делим на п/2 равных частей. Полученные точки деления
/о, По . . . параллельно малой .оси IIq2q переносим на большую
ось в точки /о, 2о . . . и через последние проводим прямые в
точку схода F2 перспектив горизонтальных линий, расположенных
Рис. 38
в плоскости заданной окружности. Эти прямые пересекут очерк-
эллипса в искомых точках /, 2, 3 . .• .
Из полученных точек 7, 2, 3 . . . на очерке эллипса проводим
прямые в точку схода Fi, которые будут служить перспективами
горизонтальных прямых, перпендикулярных плоскости окружности.
Теперь на этих прямых 7Z, 211 . . . отыскиваем точки Z, II,
III . . . перспективы винтовой линии. Определение данных точек
может быть легко выполнено с помощью делительного масштаба,
натуральный масштаб для которого берется с фронтальной проек-
ции цилиндрической винтовой линии (рис. 37, д). На рис. 38 пока-
зан делительный масштаб для определения только двух точек II
и VI. Очевидно, любые другие точки перспективы кривой могут
быть определены аналогично указанным. Само собой разумеется,
что перед этим были определены перспективы отрезков OVIII,
28' . . . горизонтальных прямых, равных шагу Н цилиндриче-
84
ской винтовой линии. Концы VIII, 8' . . . этих отрезков распо-
лагаются на эллипсе, представляющем перспективу той же окруж-
ности с радиусом R, равным радиусу вращения точки при образо-
вании винтовой линии.
ВЫБОР ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
И РАЗМЕРОВ КАРТИНЫ
Перспективные проекции, в отличие от других видов проекций
(аксонометрических, ортогональных, проекций с числовыми отмет-
ками), позволяют получать наиболее наглядные изображения.
Под наглядностью изображения следует, понимать его правди-
вость, достоверность в передаче впечатления, получающегося при
наблюдении изображаемых предметов в натуре с той точки зрения,
с какой было получено это изображение. f
Назначение положения точки зрения при построении перспек-
тивы, а следовательно, и при создании реалистических рисунков,
картин и других художественных произведений имеет немаловаж-
йое значение. При этом прежде всего руководствуются компози-
ционными соображениями, желанием наиболее полно раскрыть
идею произведения, его замысел. Конечно, эта задача решается не
отдельно, а в едином творческом процессе разработки задуманной
темы и зависит от характера сюжета, местоположения изображае-
мых предметов и от многих других факторов. Но наряду с этим,
в любых случаях, положение точки зрения определяется возмож-
ностями зрения человека и законами перспективы.
Теория линейной перспективы, как уже известно из предыду-
щего, предусматривает построение изображений с одной непод-
вижной точки зрения. Конечно, следует помнить, что это положе-
ние является теоретическим; практически и рисуют, и рассматри-
вают произведения художников, как правило, бинокулярно, то есть
двумя глазами. Однако, как указывают многие исследователи, на-
блюдение рисунка или картины одним глазом и с той точки зре-
ния, с какой они были выполнены, производит лучшее впечатле-
ние. Следовательно, расположение точки зрения относительно
предметов при построении их перспективы не может быть случай-
ным, а должно подчиняться следующему условию: предметы дол-
жны быть видны отчетливо при их наблюдении одним глазом
в его неподвижном положении.
Удовлетворение указанного требования достигается тем, что
расстояние от точки зрения до изображаемого предмета устанав-
ливается на основе определенных значений угла зрения.
Путем специальных исследований установлено, что наилучший
угол зрения лежит в пределах от 18' до 53°.
85
Для построения изображений отдельных предметов и для ком-
позиций на открытом воздухе обычно рекомендуется назначать
угол зрения в пределах от 27 до 30°, а для построения перспектив
интерьеров — до 50°.
Решая прямоугольные треугольники Ьри заданных углах зре-
ния (рис. 39, а), нетрудно вычислить расстояния от точки зрения
до предмета. Оказывается, что для предельных значений углов
зрения (18—53°) это расстояние -колеблется от 3 до 1 наиболь-
шего измерения предмета. На рис. 39, а показано положение точек
зрения для углов 28, 37 и 53°. Так, для угла, равного 28°, рас-
стояние от предмета АВ до точки зрения Z равно удвоенному рас-
стоянию d между крайними точками А и В предмета, а для угла,
равного 53°, равно этому расстоянию d.
Правда, зачастую художники рекомендуют располагаться от
модели на расстоянии, равном наибольшему размеру модели,
увеличенному в 3 раза. Интересно, что еще великий художник,
инженер и ученый эпохи Возрождения Леонардо да Винчи
(1452—1519) советовал ученикам становиться на отдалении трех-
кратной величины изображаемого предмета.
Совокупность лучей зрения, идущих под определенным углом,
образует поверхность прямого кругового конуса, линией пересече-
ния которого с картиной является окружность, ограничивающая
так называемое поле ясного зрения (рис. 39, б).
Надо сказать, что в действительности границы поля ясного
зрения несколько отличаются от окружности, но для простоты
рассуждений этим несоответствием можно пренебречь. Если исхо-
дить из полного использования поля ясного зрения, то изображе-
ние предмета и рамка картины должны быть вписаны в окружно-
сти. Однако во многих случаях этого не наблюдается. Тогда,
очевидно, поле ясного зрения используется не полностью, а ча-
стично.
Как известно, помимо изображения самого предмета, на рисун-
ке или картине показываются или второстепенные детали, окру-
жающие данный предмет, или делается какой-то фон. Забегая
несколько вперед, скажем, что при построении перспективы с по-
мощью того или иного метода картину обычно назначают в непо-
средственной близости к предмету, а чаще всего совпадающей с ка-
ким-либо его элементом (точкой, прямой). Поэтому можно говорить
об одинаковом расстоянии от точки зрения как до предмета,
так и до картины. Ясно, что при указанных условиях, угол зрения
картины р, то есть угол, под которым она рассматривается, будет
всегда больше угла зрения предмета а (рис. 39, б). Образующиеся
при таких углах поля зрения будут также различными. Но это
различие должно иметь, очевидно, свои пределы.
Практикой установлено, что отношение наибольшего размера
картины EL к наибольшему размеру изображения предмета АВ
должно быть примерно равным 1,2—1,25. Если теперь, учитывая
указанное ранее значение наилучшего угла зрения (28—30°), при-
86
a
рис. 39
нять отношение главного расстояния б к наибольшему размеру
изображения предмета АВ равным 2,5, то наибольший размер кар-
тины EL окажется равным половине главного расстояния б. По-
скольку рисунки и картины имеют обычно форму прямоугольника,
за наибольший размер картины следует брать ее диагональ.
Рекомендацию о размере рисунка или картины можно сформу-
лировать следующим образом: диагональ картины должна быть
равна половине главного расстояния.
Понятно, что если размер картины уже установлен, то главное
расстояние следует цазначать равным двум диагоналям картины.
Угол зрения картины при этом окажется равным Р = 28°, а угол
зрения изображения предмета — а = 23°.
Расстояние до модели обычно оценивается на глаз, но в на-
чальной стадии обучения рисованию лучше всего пользоваться так
называемым видоискателем, который может представлять собой
кусок плотной бумаги или картона с вырезанным прямоугольным
отверстием с размерами сторон 3X5 см. Такой лист следует дер-
жать в левой руке, смотреть сквозь отверстие одним глазом и, пе-
ремещаясь во всех направлениях, найти наиболее удачное положе-
ние модели4 в этом отверстии. Для того чтобы удовлетворить ука-
занным выше рекомендациям, видоискатель можно удалять от
глаза в пределах от 7 до 15 см по направлению главного луча зре-
ния. Одновременно с этим, для закрепления впечатлений, правой
рукой можно делать небольшие наброски. Такое приспособление
поможет не только установить местоположение точки зрения, но и
найти лучшее композиционное решение рисунка.
Наилучшим положением точки зрения будет такое, при кото-
ром главная точка картины оказывается в центре последней. Од-
нако подобное положение далеко не всегда получается из-за осо-
бенностей задуманной композиции. В таких случаях, учитывая
ограниченность поля наилучшего зрения, следует так назначать
положение точки зрения, чтобы главная точка не выходила из
средней трети ширины картины. Положение этой точки по высоте
картины зависит, очевидно, от высоты горизонта.
Линия горизонта, как один из основных элементов перспек-
тивы, имеет очень большое значение, так как на н$й располагается
главная точка картины и точки схода изображений всех горизон-
тальных линий. Кроме того, линия горизонта позволяет точнее
строить изображения предметов, видимых сверху или снизу. Поэ-
тому определение горизонта и проведение соответствующей прямой
на рисунке является первостепенной задачей.
Положение горизонта можно определить с помощью различных
предметов: тетради, небольшого листа плотной бумаги или кар-
тона, стакана с водой, карандаша и т. п.
Любой плоский предмет нужно поднять на вытянутой руке
в горизонтальном положении до такой высоты, когда будет видна
только его толщина. Карандаш следует поднимать в горизонталь-
ном положении так, чтобы был виден только его поперечный
88
срез. Указанные положения предметов и определят уровень
горизонта.
Обычно в самом начале построения изображения эскизно, лег-
кими штрихами намечают общие габариты модели, чтобы сразу же
определить композицию листа, и тем самым облегчают нанесение
линии горизонта на рисунке.
Обозначив плоскость горизонта так, как это было указано
выше, замечают, в каком отношении она делит по высоте данную
модель. В этом же отношении делят высоту эскизного изображения
модели и через соответствующую точку проводят горизонтальную
прямую по всему листу и даже, если можно, по подрамнику. Эта
прямая и будет искомой линией горизонта.
Напомним, что линию горизонта в процессе построения изо-
бражения переносить не рекомендуется. В противном случае, это
приведет к большим неувязкам в построении перспективы. Если же
возникла такая необходимость, то лучше начать все построение
заново.
Высота точки зрения бывает весьма различной и назначается
в зависимости от поставленной задачи на построение перспективы,
реальной возможности видеть предмет в натуре именно с данной
точки зрения и многих других факторов.
По высоте горизонта перспективу принято разделять на сле-
дующие виды: а) перспектива с нормальным горизонтом, когда вы-
сота точки зрения равняется росту человека; б) перспектива с по-
вышенным горизонтом,— точка зрения размещается значительно
выше роста человека; в) перспектива с высокой точки зрения, или
так называемая перспектива с птичьего полета и г) перспектива
с пониженным горизонтом, когда точка зрения располагается ниже
или в самой предметной плоскости.
Ответим, что иногда точки зрения бывают условными, то есть
такими, при которых зрители не могут увидеть изображаемые
предметы в натуре. Так, при построении перспектив интерьеров,
точки зрения зачастую берутся повышенными и расположенными
не в данном, а в соседнем помещении, то есть за стеной изображае-
мой комнаты.
Следует сказать, что указанные выше пределы углов зрения
сковывают, в известной мере, возможности построения перспектив-
ных изображений, в особенности таких объектов, как, например,
здания или сооружения большой протяженности.
В исследованиях, посвященных этому вопросу, имеется опре-
деленная тенденция к изысканию возможностей увеличения
углов зрения. Д. И. Каргин в своей работе1 показал, что если
рассматривать картину одним глазом и с той точки зрения, с ко-
торой она построена, то угол зрения при построении перспективы
может быть даже более 100 . Но такой способ рассматривания
1 К а р г и н Д. И. О размерах угла зрения при практическом построе-
нии перспективы. СбЬрник Ленинградского института инженеров ж -д. транс-
порта, вып. 132, 1938.
89
картин представляет известные трудности. Именно по этой при-
чине, по-видимому, рекомендованное увеличение угла зрения при
построении изображений обычными методами линейной перспек-
тивы не получило в практике широкого распространения.
М. В. Федоров на основе анализа натурных рисунков различ-
ных художников и учета пЪихо-физиологических особенностей зре-
ния человека предложил м^тод построения перспективы, позволя-
ющий иёпользовать углы зрения до 60—80°, а при построении
перспективы интерьеров — до 80° для вертикальных и до 100° для
горизонтальных направлений. Изложение этого метода выходит за
рамки данного пособия; интересующиеся после усвоения основных
положений линейной перспективы- могут обратиться к книге
М. В. Федорова «Рисунок и перспектива»
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВЫ
При изучении свойств перспективных проекций и способов оп-
ределения отдельных элементов (отрезков прямых линий, окруж-
ностей и т. п.) изображений различных предметов мы исходим из
уже заданных на картине отправных параметров линейной перс-
пективы и этих изображений. Теперь* рассмотрим некоторые наи-
более распространенные методы построения перспективных изобра-
жений предметов по заданным размерам или по их ортогональным
проекциям. В качестве объектов будем использовать простейшие
геометрические тела и отдельные архитектурные сооружения.
Этот выбор диктуется тем, что, как уже говорилось ранее, при
построении изображений предметов сложных форм используют
большей частью описанные вокруг этих предметов простейшие
геометрические тела; построение же перспективы архитектурных
сооружений наиболее полно отвечает задаче изучения линейной
перспективы вообще и ее различных методов в частности. Худож-
ник, освоивший методику построения перспективы произведений
архитектуры, сможет строить изображения и других объектов.
Выражения «строить рисунок» или «строить перспективу» не
являются случайными. С момента определения точки зрения до
окончания работы художник сталкивается с геометрическими по-
нятиями и построениями.
Один из известных русских художников Н. Н. Ге говорил:
«Рисовать — значит видеть пропорции...» Понятно, что художник
рекомендует не только осознать соотношения элементов предмета
в натуре, но и умело передать их в своем рисунке.
1 Федоров М В. Рисунок и перспектива М, «Искусство», 1960.
90
Определение соотношения отдельных частей модели между со-
бой и к целому, а также прорисовка контуров сложных форм про-
изводятся на основе геометрического анализа предмета. Этот ана-
лиз выражается на рисунке едва заметными линиями и точками,
которые зачастую не являются отображением видимых контуров
модели.
В течение всей работы над рисунком и, в особенности, в про-
цессе «вскрытия» геометрической структуры предмета произво-
дится непрерывное сравнение пропорций натуры и её изображения.
Использование основных элементов перспективы, точек схода,
установление перспективных сокращений размеров наблюдаемых
предметов — все это относится к области построения рисунка,
то есть точного графического обоснования намечаемых контуров
изображения. Иногда можно видеть, как тот или иной художник
быстро и точно намечает контуры изображения без каких-либо до-
полнительных построений. В этом случае художник мысленно про-
изводит необходимые построения, опираясь при'Проведении окон-
чательных штрихов на фиксируемые в уме характерные точки и
линии. Ясно, что это возможно лишь при наличии большого опыта
и хорошо развитого пространственного представления. Начинаю-
щему рисовальщику полезнее производить все построения непог
средственно на листе.
Для того чтобы избежать искажений в построениях, необхо-
димо располагать рисунок перпендикулярно центральному лучу
зрения и на таком удалении от глаз, на каком он будет охваты-
ваться одним взглядом (рис. 40 а). Если рисунок большой, то
его нужно время от времени отодвигать на необходимое рассто-
яние.
Карандаш при построении рисунка надо держать легко, чтобы
иметь возможность свободно двигать кистью руки (рис. 40, б).
Сравнение изображения с натурой, необходимое для более
точного построения перспективного рисунка, производится, как
правило, с помощью карандаша.
Положение точек схода перспектив параллельных линий реко-
мендуется уточнять путем сравнения углов кажущихся наклонов
этих линий к вертикалям или горизонталям в натуре с такими же
углами на рисунке. Если наклон той или иной прямой представ-
ляется небольшим и точка схода получается значительно уда-
ленной от главной точки картины, то карандаш лучше держать
горизонтально в вытянутой или полусогнутой руке (рис. 40, в).
Если же наклон прямой виден значительным и точка схода при-
ближается к главной трчке картины, то карандаш лучше держать
в вертикальном положении (рис. 40, г).
Для уточнения рисунка отдельных линий можно пользоваться
другим приемом. Он заключается в том, что карандаш перспек-
тивно совмещают с линией в натуре и, запомнив направление, про-
водят на рисунке линию, параллельную этому направлению. Этот
прием особенно эффективен в тех случаях, когда ребра или линии
91
Рис. 40
на предмете нет. Тогда для более точного построения характерных
точек модели через эти точки мысленно проводят прямую линию,
визируют ее с помощью карандаша и затем наносят на рисунок.
При определении пропорций видимых частей модели карандаш
держат под прямым углом к направлению полностью вытянутой
руки (рис. 40, д\. Требуемый отрезок прямой перспективно сов-
мещают с концом карандаша и ногтем большого пальца руки. Для
измерения этим отрезком других частей модели руку поворачи-
вают только в локтевом или плечевом суставах* карандаш и кисть
руки должны быть жестко закреплены.
МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
За перспективную проекцию взаимно-перпендикулярных ко-
ординатных осей принимаются масштабы ширины, глубины и вы-
соты с основаниями, равными натуральному масштабу. Пользуясь
этими масштабами, построение которых было подробно изложено
на стр. 57—61, можно определить перспективу любой точки прост-
ранства по известным ее прямоугольным координатам или пост-
роить изображение какого-либо предмета по его размерам. Само
собой разумеется, что в последнем случае построение изображения
какого-либо предмета осуществляется в массах, а изображения его
различных деталей прорисовываются впоследствии по представ-
лению.
Допустим, что необходимо построить по описанию и заданным
размерам фронтальную перспективу комнаты с некоторой ее об-
становкой (рис. 41). Глубина комнаты от картины — 2,5 м; вы-
сота— 3 м. Оконный проем расположен на левой стороне в
1,0 м от фронтальной стены и на 0,8 м от пола; высота окна —
2 м, ширина—1,1 м. Дверь’ находится на фронтальной стене
в 1,5 м от левой стены, высота ее — 2,2 м и ширина—ОД м. В ле-
вом углу стоит шАаф, высота которого—1,9 м, ширина — 0,95 М
и глубина — 0,5 Mt На расстоянии 1,5 м от фронтальной стены и
в 2 м от левой стены стоит круглый стол, его диаметр равен
1 м, а высота — 0,75 м.
На расстоянии 1,7 М (средний рост человека) от линии осно-
вания картины проводим линию горизонта; намечаем главную
точку картины Р и на удалении от нее немногим более диагонали
картины — точку дальности D. Построение масштабов, ширины,
глубины и высоты выполняем так, как это было показано на рис.
27, но только здесь за единицу основания натурального мас-
штаба принимаем 0,5 м. Теперь по заданным размерам, откладывая
их на линиях оснований соответствующих масштабов, определяем
габариты изображений комнаты и обстановки. При построении
перспективы круглого стола, определяем сначала перспективу
С(с) центра его крышки, а затем проекции АВ(аЬ) и ЕМ(ет)
взаимно-перпендикулярных диаметров окружности, являющейся
93
очерком крышки стола. Эллипс прорисовываем с помощью одного
из способов, указанных в главе «Построение перспектив кривых
линий». Для получения более мелких делений масштаба глубины
используем диагонали квадратов.
0.5	0,95 1,0	1.5	2.0	2,3 2,5
Рис. 41
МЕТОД СЕТКИ
Для построения перспективы больших площадей, например по-
селка, городского парка и т. п., выгодно использовать перспектив-
ную сетку квадратов, расположенную в предметной плоскости.
На ортогональном плане объекта вычерчивается квадратная
94
сетка, причем сторона каждого квадрата берется равной какой-
либо единице измерения (рис. 42, а). Если теперь поставить
картинную плоскость параллельно одной из сторон АВ квадрата
АВСЕ, То построение его перспективы не представит затруднений.
Действительно, стороны квадрата, параллельные линии основания
картины, останутся параллельными этой линии; изображения же
сторон, перпендикулярных картине, будут направлены в главную
точку картины Р, а перспектива ВС одной из диагоналей квадрата
АВСЕ — в точку дальности D (рис. 42, б). В' том случае, когда
точка дальности выходит за пределы чертежа, для построения
перспективы основного квадрата можно использовать какую-либо
дробную точку дальности, например DI2. Линия, засекающая вер-
шину С трапеции, являющейся перспективой квадрата, проводится
из точки К— середины стороны АВ. Когда вершина С опреде-
лена, нетрудно вычертить перспективу мелких квадратов, про-
ведя диагональ получившейся трапеции.
Если необходимо к основному квадрату прибавить еще не-
сколько таких же квадратов или его частей, то это легко выпол-
няется с помощью дробной точки дальности и диагоналей полу-
чающихся трапеций.
Все элементы перспективы, а именно: высоту горизонта, по-
ложение главной точки картины, главное расстояние и др.— оп-
ределяют, исходя из поставленной задачи, но руководствуясь
основными положениями о выборе точки зрения и определении
размеров картины.
Перспектива квадрата при некоторых условиях может быть
построена еще более просто. Если зритель будет находиться про-
тив середины стороны квадрата (рис. 42, в), параллельной кар-
тине, то изображением квадрата будет всегда равнобочная трапе-
ция (рис. 42, г). При минимально возможном главном расстоянии
высота этой трапеции будет равна приблизительно !/з ее нижнего
основания Ь, а верхнее основание трапеции будет составлять около
2/з Ь. Пфльзуясь этими соотношениями, можно вычертить перспек-
тиву квадрата в форме равнобочной трапеции без наличия глав-
ной точки картины и точки дальности.
Конфигурация ортогонального плана (рис. 42, а и в) обычно
прорисовывается в перспективе (рис. 42, б и г) по вычерченным
клеткам на глаз. Для точного переноса точек, лежащих внутри
клеток, можно использовать меТод засечек с двух направлений
(рис. 42, виг). Линии засечек проводятся так, чтобы они прохо-
дили через какие-нибудь вершины сетки квадратов. Однако этим
пользуются только в исключительных случаях, например для оп-
ределения в перспективе особо важных точек плана.
Для определения высотного положения точек можно использо-
вать соответствующие стороны перспективной сетки квадратов
в качестве единиц измерения в данном месте изображения.
Отметим, что все предметы изображаются в такой перспективе,
как правило, в массах, то есть без деталей и особых подробностей.
95
Рис. 42
МЕТОД СЛЕДА ЛУЧА
Сущность данного метода, разработанного Дюрером (1471—
1528) и видоизмененного проф. А. И. Добряковым (1895—1947),
заключается в том, что за картинную плоскость принимается либо
фронтальная плоскость ортогональных проекций, либо профильная,
а перспектива какой-либо точки пространства определяется как
след луча зрения, проходящего через эту точку.
Рис. 43
Фронтальную плоскость проекций выгодно использовать в ка-
честве картины тогда, когда необходимо построить фронтальную
перспективу коридора, длинной комнаты, улицы, двора или других
подобных объектов.
Если в качестве картины используется профильная плоскость
проекций, то ортогональные проекции предмета вычерчиваются
в таком положении относительно этой плоскости, чтобы его пер-
спектива соответствовала задуманной композиции. Так, для пост-
роения перспективы монумента его план вычерчен под углом 30°
к оси проекций ОУ, с тем чтобы главный фасад в перспективе был
более развернут к зрителю (рис. 43).
7 В. И. Евтеев и др*	97
После назначений ортогональных Проекций z и Z1 точки зре-
ния Z, в соответствии с изложенными ранее условиями, перспек-
тиву любой точки объекта определяем путем нахождения точки
пересечения луча зрения, проведенного через данную точку, с про-
фильной плоскостью проекций, которая затем поворачивается
вокруг оси OZ до совмещения с плоскостью чертежа. По существу,
построение перспективы А любой точки объекта представляет со-
бой знакомое всем по ортогональным проекциям определение
третьей (профильной) проекции точки по двум заданным. Только
здесь из соответствующих проекций а и а точки проводятся не
перпендикуляры к осям проекций ОУ и OZ, а прямые Za и z'a,
идущие из проекций z и z' точки зрения.
Особенностью метода является то, что он позволяет строить
перспективу без отыскания точек схода. Однако большое количе-
ство определяемых точек и неизбежная при этом некоторая неточ-
ность построений приводят к несколько искаженному изображе-
нию. Поэтому рекомендуется находить и использовать точки схода
перспектив параллельных прямых. /Для этого необходимо пост-
роить перспективу одного из отрезков параллельных прямык и
продолжить его до пересечения с линией горизонта в искомой
точке схода Л Для построения перспектив других прямых, парал-
лельных данной, достаточно определить методом следа луча перс-
пективу только одной какой-либо их точки.
МЕТОД АРХИТЕКТОРОВ
Построение перспективы данным методом основано на исполь-
зовании ортогональных проекций предмета и может осуществ-
ляться непосредственно на отдельном листе. Сущность метода
сводится к построению перспективы основания (плана) предмета
и к последующему определению положения отдельных точек изо-
бражения по высоте.
Рассмотрим характер использования метода на примере пост-
роения перспективы отдельно стоящего сооружения, план и фасад
которого заданы в ортогональных проекциях (рис. 44, а).
Построение проводим в следующем порядке.
1.	Руководствуясь вышеизложенными правилами назначения
точки зрения и картины, через угол 1 плана сооружения проводим
след 01X1 картинной плоскости, намечаем точку стояния z и опу-
скаем из нее перпендикуляр на линию основания картины oixi.
Эта линия будет основанием или горизонтальной проекцией глав-
ного луча зрения ZP, а, точка р — основанием главной точки кар-
тины. Таким образом, горизонтальная плоскость проекций Н яв-
ляется здесь предметной плоскостью.
2.	Из точки стояния z проводим основания лучей зрения через
все характерные точки плана сдрруя$ения. Отмечаем точки пересе-
яв
чения этих прямых со следом картины oixi. Проверяем еще раз
угол зрения между крайними проекциями лучей Zz и £з, а также
положение точки р, которая не должна выходить из средней трети
отрезка 23.
3.	Из точки z проводим прямые, параллельные основным на-
правлениям сторон плана предмета, до пересечения с линией oixi
в точках fi и fz, являющихся основаниями точек схода перспектив
прямых, параллельных линиям zfi и zfz.
4,	На фронтальной проекции (фасаде) сооружения намечаем
высоту L точки зрения, а тем самым и положение линии горизонта.
Все указанные построения являются предварительными. Поль-
зуясь ими, перспективу предмета можно построить в любом мас-
штабе по отношению к размерам ортогонального чертежа сооруже-
ния. В данном случае построим перспективу увеличенной в 2 раза.
5.	В месте, предназначенном для изображения, проводим ли-
нию основания картины ох и переносим на нее все полученные
точки 7, 2 ... р, fi и fz на следе oixi, с увеличением в 2 раза
расстояний между ними (рис. 44, б).
6.	Проводим линию горизонта на расстоянии 2L от линии ос-
нования картины, равном удвоенной высоте L точки зрения.
7.	Проведя перпендикуляры из точек f\, р и fz к линии гори-
7*	99
зонта, получаем на ней соответственно точки схода Fi и F2 и глав-
ную точку картины Р.
8.	Строим перспективу основания (плана) сооружения. Для
этого, как видно на рис. 44, б, из точки I проводим прямые
в точки схода Fi и /*2, которые пересекаем в точках II, III ...
вертикалями, проведенными из точек 2, 3 ... Из полученных точек
II, III ... в свою очередь проводим прямые в точки схода F\ и F2
и получаем таким образом искомую фигуру.
9.	Определяем перспективы точек по высоте и весь очерк
изображения. Из характерных точек I, II, III ... перспективы
плана или из точек 1, 2, 3 ... на линии ох проводим вертикаль-
ные прямые. На переднем ребре сооружения (вертикали /), нахо-
дящемся в плоскости картины, откладываем отрезки IA, IB ...
равные удвоенным отрезкам 1'а , 1' в' ... (координатам точек по
оси OZ), взятым с фронтальной проекции (фасада) сооружения.
Из точек отложения А, В ... проводим прямые в точки схода
Fi и F2, пересечение которых с ранее проведенными вертикалями
ограничивает перспективы ребер сооружения, то есть очерки изо-
бражения.
10.	Определяем и прорисовываем перспективы деталей соо-
ружения. В данном случае необходимо построить эллипсы как
перспективы двух полуокружностей — ребер арки. Это построе-
ние выполнено здесь с помощью способа описанных квадратов,
который был изложен ранее (см. стр. 76). Вообще же для опре-
деления изображений деталей широко используется способ дели-
тельного масштаба (см. стр. 49—54).
При построении перспективы методом архитекторов во многих
случаях не удается использовать по крайней мере одну из точек
схода, так как она оказывается за пределами чертежа. Кроме
того, при низком горизонте перспектива основания (плана) пред-
мета получается, как говорят, «смятой» и поэтому построение
изображения и в особенности теней становится весьма затрудни-
тельным.
Рассмотрим некоторые приемы решения указанных задач на
примере построения перспективы здания.
Для установления наилучшей точки зрения при построении
перспективы рекомендуется выполнять предварительные эскизные
рисунки объекта с различных точек зрения. На основе заданных
ортогональных проекций (плана и фасада) здания (рис. 45, а)
выполняем такие эскизы (рис. 46, а, б ив) и после их сравнения
останавливаемся на рисунке, выполненном с пониженной точки
зрения (рис. 46, б).
Руководствуясь принятым решением, назначаем на плане след
картины 01X1, точку стояния z и линию горизонта hih на фасаде
(рис. 45, а).
Дальнейшие построения выполняются в той же последователь-
ности, какая была указана на рис. 44, но с некоторыми особен-
ностями,
100
Учитывая, что план здания в перспективе будет значительно
сокращенным, или «смятым», так как линия горизонта принята
близко расположенной к линии основания картины, строим так
называемый опущенный план (рис. 45, б). На произвольном
расстоянии от действительной линии основания картины ох, про-
водим новую, опущенную, линию основания oixi. На эту линию
и переносим все точки, которые были получены на следе картины
в ортогональных проекциях (рис. 45, а). После этого строим перс-
пективу опущенного плана с помощью проведения из соответ-
ствующих точек вертикалей и прямых в точки схода.
Но здесь мы встречаемся с другой особенностью^ построений,
заключающейся в том, что прямые приходится проводить при
наличии только одной точки схода Fi. Вторая точка схода оказа-
лась за пределами чертежа. Как уже известно, в этом случае
можно воспользоваться каким-либо из способов проведения перс-
пектив прямых в недоступную точку схода (см. стр. 43—49). Но
для этого необходимы хотя бы две линии, направленные в недо-
ступную точку схода. Одной из них может служить линия гори-
зонта, а вторую определяем следующим образом.
Продолжим ближайшую к картине горизонтальную сторону
Я1 Илана здания до пересечения со следом картины. Также до пе-
ресечения со следом в точке т продолжим сторону плана, перпен-
дикулярную к первой и проходящую через угол плана аь Полу-
ченные точки переносим ра линию основания картины 02x2
(рис. 45, б). Перспективу а точки ai засекаем двумя прямыми:
вертикалью, проведенной из намеченной ранее на 02x2 точки 2 и
прямой mFi, идущей из точки т в точку схрда F\. Соединив точку
а с отмеченной ранее точкой пересечения продолженной стороны ai
плана со следом картины, получим искомую прямую.
Второй прием определения перспектив точек плана заклю-
чается в использовании перспектив прямых, перпендикулярных
картине. Из точки Ь\ плана (рис. 45, а) опускаем перпендикуляр
на след картины, который пересекает ее в точке п. Эту точку
переносим на линию основания картины 02X2 (рис. 45, б) и про-
водим из нее прямую в главную точку картины Р. Прямая пР
засекает на вертикали, проведенной из точки 3 на линии 02X2,
искомую точку Ь.
Для определения перспектив точек по высоте удобнее всего
воспользоваться масштабом высот, или так называемой боковой
масштабной стеной.
Из произвольной точки I опущенной линии основания картины
02X2 проводим вертикаль, на которой от точки Ьх ее пересечения
с действительной линией основания картины ох откладываем
высоты точек, взятые с фасада в ортогональных проекциях. Наз-
начаем на линии горизонта произвольную точку IV, в которую
ведем прямые из точек t, Ьо . . . на вертикали tbn. Теперь для
определения перспективы В какой-либо точки Bi проводим из
точки b перспективы опущенного плана горизонтальную прямую
101
a
Рис. 45
до пересечения с линией ilV*, из полученной точки ведем верти-
кальную линию до встречи с прямой bolV и, наконец, из этой
точки проводим снова горизонтальную прямую до пересечения
в искомой точке В с вертикалью, проведенной из точки Ь.
Полученные таким образом точки соединяем между собой со-
ответствующими линиями и получаем очерк изображения здания
в перспективе. Изображения деталей (окон, дверей, лестниц и др.)
определяем с помощью делительного масштаба на увеличенной
в 2 раза перспективе здания (рис. 46, г).
Увеличение полученного изображения предмета основано на
законе подобия двух фигур и может быть выполнено путем пост-
роения нового изображения при соответствующем увеличении рас-
стояний между каждыми точками первого изображения. Однако
этот путь сложен и может привести к большим неточностям в оп-
ределении очерка увеличенного изображения. Более правильным
и удобным будет переход от меньшего изображения к большему,
или, как принято говорить, от малой картины к большой, путем
определения положения отдельных точек с помощью графических
построений и проведения всех линий большой картины параллель-
но соответственным линиям малой картины.
Допустим, что тем или иным методом построена перспектива
здания на малой картине. В данном случае, как это видно по
рис. 47, при построениях можно использовать точки схода для
перспектив ^юбых систем параллельных прямых, что значительно
упрощает эти построения.
Допустим также, что требуется увеличить полученное изобра-
жение и всю картину в целом в 6 раз.
Из главной точки картины Р проводим прямые линии через
углы картины и все точки изображения. На одном из лучей, ска-
жем на луче Ро, проходящем через правый нижний угол о ма-
лой картины, от точки Р откладываем шесть отрезков, равных
отрезку Ро луча от главной точки до угла картины. Через послед-
нюю точку отложения oi проводим новую линию основания кар-
тины 01X1 до пересечения с лучом Рх в точке хь Из этих точек
проводим вертикали до пересечения с прямыми, идущими из
точки Р через верхние углы малой картины. Соединяем получен-
ные точки горизонтальной прямой и замыкаем тем самым границы
большой картины.
Любую точку изображения на большой картине можно полу-
чить так же, как была получена точка оь Но этот путь громоздок
и может привести к неточностям в определении очерка изображе-
ния. Лучше воспользоваться другими построениями. Продолжим
прямую aFi до линии ох. Через образовавшуюся точку пересече-
ния 1 проводим луч Р1 из главной точки Р до пересечения в точке
71 с линией основания большой картины oixi. Из точки 1\ прово-
дим прямую, параллельную линии 1F\. Пересечение ее с лучами
Ра и Ре определяет точки а\ и ei увеличенного изображения. Для
получения точки В\ на вертикали а\В\ воспользуемся масштабом
1Q4
г
Рис. 46
высот, построение которого ясно из чертежа. Таким образом
можно определить положение каждой точки изображения на
большой картине.
Подчеркнем, что все линии увеличенного изображения прово-
дятся параллельно соответственным линиям изображения на малой
картине, чем обеспечивается точность построений на большой кар-
тине.
Рис. 47
С помощью указанных построений можно осуществлять не
только переход от малой к большой картине, но и, наоборот, ©т
большой к малой. Это особенно полезно делать, когда точки схода
на большой картине оказываются недоступными.
Установленные свойства перспективных проекций геометриче-
ских элементов, правила выбора точки зрения, методы измерения
и построения изображений позволяют не только строить перспек-
тиву различных предметов, но и, наоборот, проверять и уточнять
уже выполненные изображения.
Рассмотрим один такой пример. Допустим, что для какой-то
композиции выполнен эскиз интерьера при условии, что главная
106
точка Р расположена посередине картины, угол зрения равен 50°,
а высота помещения — 3 м (рис. 48, а).
Продолжаем линии стен до взаимного пересечения в точках
схода Fi и F2, через которые проводим линию горизонта, и, раз-
делив пополам отрезок F1F2, вычерчиваем на нем, как на диа-
метре, полуокружность.
Из найденной согласно условию главной точки картины Р про-
водим вертикаль до пересечения с полуокружностью в точке Zo,
которая будет являться совмещенным с картиной положением
точки зрения. Из этой точки проводим прямые в точки / и 2
пересечения рамки картины с линией горизонта. Измерив угол
между прямыми Z0Z и Z02, убеждаемся, что эскиз выполнен при
угле зрения 66° по горизонтали.
Продолжим левую стену до пересечения с картиной по вер-
тикали АВ. Отрезок АВ разделим на 3 равные части и получим
линейный масштаб изображения. Заметим, что линия горизонта
была принята на расстоянии 1, 2 м от пола помещения.
107
Рис. 48(A)
Определив точки измерения М\ и Mi и проведя соответст-
вующие линии, устанавливаем на линии основания картины дей-
ствительные размеры ширины проемов на обоих стенах. Оказы-
вается, что ширина проемов на правой стене намечена неодинако-
вой, тогда как в действительности они должны быть одинаковой
ширины.
Таким образом, можно сделать вывод, что эскиз выполнен не
в полном соответствии с заданными условиями и требует уточ-
нения.
Размеры картины оставляем прежними (рис. 48 (А), б), а ли-
нию горизонта назначаем несколько выше с тем, чтобы пол поме-
щения видеть так же, как на эскизе. Пользуясь точками 1 и 2
пересечения линии горизонта с рамкой картины, назначаем угрл
зрения равным 50°, определяем новое положение Zo совмещенной
с картиной точки зрения.
Определяем точку схода Fi как точку пересечения црвой линии
горизонта с прямой Ае. Проведя из точки Zq прямую ZQp2 под
углом 90° к прямой FzZq, получаем вторую точку схода F\. Теперь
с помощью соответствующих линий определяем линии очерка по-
мещения, то есть линии пересечения стен с полом и потолком.
Для уточнения изображений проемов воспользуемся совмеще-
нием с картиной предметной плоскости, на которой строим план
помещения. Угол ei плана определяем путем пересечения полуок-
ружности, построенной на отрезке AN как на диаметре, с прямой
Zoe, проведенной из точки Zq через точку е — изображение угла
помещения. На прямых Aei и ejAZ разбиваем проемы и простенки
между ними и пользуясь прямыми, идущими в точку Zo, перено-
сим намеченные отрезки на картину. Отметим, что с помощью та-
ких построений можно определить перспективу любых предметов,
находящихся в данном помещении.
Программы по рисованию для средней школы предусматри-
вают, что в своей работе учитель рисования должен проводить бе-
седы об изобразительном искусстве, показывать и пояснять выда-
ющиеся произведения художников. Наряду с рассказом о содер-
жании той или цной картины,' небесполезно сказать несколько
слов и о характере ее построения, о влиянии перспективных явле-
ний на композицию и на восприятие картины зрителем.
Для этого, естественно, нужно предварительно произвести
перспективный анализ картины, под которым следует понимать
установление основных элементов перспективы (главной точки
картины, линии горизонта, главного расстояния и др.). Эта за-
дача решается с помощью тех же закономерностей, правил и мето-
дов, на основе которых строится само изображение предмета в
перспективе. В данном пособии нет возможности подробнее оста-
навливаться на этом специальном вопросе; интересующиеся могут
найти довольно обширный материал в главе пятой книги А. П. Ба-
рышникова «Перспектива».
Раздел II
ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ И ОТРАЖЕНИЙ
В ПЕРСПЕКТИВНЫХ РИСУНКАХ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
О ПОСТРОЕНИИ ТЕНЕЙ
Построение теней и передача освещенности предметов на ри-
сунках и чертежах является одним из основных средств создания
реалистического изображения.
Правильно построенный перспективный рисунок после умелого
выявления светотеней приобретает еще большую наглядность, соз-
дает впечатление рельефности, помогает установить форму, раз-
меры и положение предметов в окружающем их пространстве.
Знание правил построения теней при различных источниках
света имеет особое значение не только в рисовании по памяти
или по представлению, но также и в рисовании с натуры. Если
знание анатомии позволяет сознательно строить .изображение че-
ловека или животного, то знание законов перспективы и распреде-
ления светотеней позволяет грамотно изображать натуру, пра-
вильно выбирать те места изображения, которые послужат более
четкому выявлению главного в рисунке.
При рисовании с натуры какого-либо предмета обычно обнару-
живается различная освещенность поверхностей как самого пред-
мета, так и предметов, его окружающих. Так, например, на по-
верхности цилиндра, освещенногд лучами солнца, образуется по-
степенный переход от яркой светлой полосы до темной, после ко-
торой снова наблюдается плавный переход от темного к светлому
(рис. 49). На поверхности стола за цилиндром образуется темное,
но также с переходом к светлому пятно, имеющее вполне опреде-
ленную форму и размеры.
Самая светлая полоса или пятно на освещенной части поверх-
ности называется бликом. Блик чаще всего наблюдается в тех
местах гладкой кривой поверхности, на которые лучи света падают
по нормали 1 к поверхности.
1 Нормалью к поверхности называют прямую, проходящую через данную
точку поверхности перпендикулярно прямой, касательной к поверхности в этой
же точке.
110
Собственной тенью предмета называется тень, обра-
зующаяся на неосвещенной части его поверхности. Собственная
тень всегда находится на стороне предмета, противоположной
к направлению лучей света. Совокупность точек касания лучей
света к поверхности предмета определяет контур собственной
тени. Этот контур отделяет освещенную часть предмета от неос-
вещенной. Отметим, что на криволинейных поверхностях ярка
выраженного контура собственной тени не наблюдается ввиду
Рис. 49
плавности перехода от освещенной части поверхности к неосвещен-»
ной.
Падающей тенью предмета называется тень, отбрасы-
ваемая этим предметом на освещенную часть поверхности другого
предмета. При освещении предмета одним источником света па-
дающая тень, как правило, имеет четко выраженную границу. Эту
границу или линию принято называть контуром падающей
тени.
Частичное усветление собственных и падающих теней назы-
вается рефлексом. Рефлексы получаются вследствие отраже-
ния лучей света от освещенной части поверхности как данного
предмета, так и окружающих его. Надо сказать, что явление реф-
лексов обогащает светотени, создает неповторимое разнообразие
оттенков цвета и света, придает наблюдаемым предметам живо-
писность. Поэтому при решении вопроса об освещении объектов
рисования (натюрморты, гипсы и т. п.) следует учитывать не
111
только выразительность собственных и падающих теней, но и по-
лучающуюся при данном освещении игру рефлексов.
Явление светотеней, с точки зрения их изображения, можно
подразделить на две стороны: физическую (насыщенность теней,
блики, рефлексы и т. п.) и геометрическую (форма, размеры и
контуры теней). Выявлению физической картины освещенности
и теней должно предшествовать определение контуров последних.
Этому правилу рекомендуется следовать в любых случаях, в осо-
бенности при рисовании геометрических тел или их сочетаний.
Рис. 50
Между контурами теней какого-либо предмета существует оп-
ределенная зависимость, выражающаяся в том, что контур па-
дающей тени является тенью от контура собст-
венной тени. Эту зависимость легко установить по рис. 50.
Контур собственной тени шара ABCDE образуется совокупностью
точек касания к его поверхности световых лучей, параллельных
данному направлению S.
В этом случае контуром собственной тени шара является ок-
ружность касания лучевого цилиндра к его поверхности. Контур
падающей тени АуВуСу... образуется совокупностью точек встре-
чи с некоторой плоскостью V этих же световых лучей, или пересе-
чением с этой плоскостью касательного к шару лучевого цилиндра.
Таким образом, контур падающей тени какого-либо предмета
является линией пересечения лучевой поверхности, касательной
к поверхности этого предмета, с поверхностью другого предмета.
112
Отсюда следует, что для построения контуров падающих теней
необходимо сначала определить контуры собственных теней. За-
метим, что при рисовании простых объектов, в частности, геоме-
трических тел, контуры собственных теней чаще всего определя-
ются без особых затруднений. Поэтому задача на построение теней
сводится, в основном, к определению контуров падающих теней.
Условия действительного распределения световых лучей и осве-
щения (явление рефракции, рассеяние световых лучей и т. д.)
настолько сложны, что учитывать их при изображении теней
практически не представляется возможным. В этом нет особой
необходимости, так как указанные явления весьма незначительно
изменяют характер освещенности, а также форму и размеры те-
ней. Поэтому для целей повседневной практики рисования распро-
странение световых лучей принимается прямолинейным и равно-
мерным от источника света. При таких условиях форма и размеры
теней будут зависеть от расположения источника света относи-
тельно данных предметов.
Для простоты построений контуров теней любой источник
света, как правило, рассматривают состоящим либо из одной све-
тящейся точки, либо из нескольких, если источник имеет зна-
чительные размеры и находится вблизи наблюдаемых предметов.
Отметим, что в случае освещения предмета несколькими, раз-
лично расположенными источниками света или целой светящейся
поверхностью собственные и падающие тени не имеют ярко вы-
раженных контуров и в большинстве своем заканчиваются полу-
тенями, едва заметными по краям. Построение теней от таких
источников производится раздельно от каждой светящейся точки,
а для светящейся поверхности назначают наиболее характерные
точки.
Если, источник света находится на небольшом расстоянии от
предмета, то совокупность световых лучей, касательных к нему,
образует пирамидальную или коническую поверхность, то есть
пучок лучей будет расходящимся. Источник света в этом случае
называется точечным, или факельным.
Факел так же, как и любую точку пространства, определяют
на картине с помощью перспективной проекции L и перспективы
основания I (рис. 51, а). При построении теней на различных пло-
скостях предмета часто возникает необходимость в определении
перспектив ортогональных проекций факела на эти плоскости. Та-
кая задача легко решается с помощью секущих плоскостей, прове-
денных через источник света. Так, для определения перспективы
ортогональных проекций /1 и I' факела L на отдельные взаимно-
перпендикулярные плоскости параллелепипеда через источник света
проведена плоскость L, след которой LH проходит через точку / и
точку схода F. Поскольку эта плоскость является горизонтально-
проектирующей, то есть перпендикулярной горизонтальной плоско-
сти, то линия ее пересечения 12 с вертикальной плоскостью пред-
мета будет также вертикальной. Следовательно, и прямые£/л и /|2,
В. И. Евтеев
и др.
113
И эи6
проведенные через точку схода F, будут в натуре перпендикуляр-
ными прямой / 2. Пересечение этих прямых с линиями LI и 1 2
определяет искомые точки 1\ и Г.
По отношению к зрителю и освещаемым предметам факел мо-
жет занимать 'различные положения. Чаще всего такой источник
света используют для построения теней Внутри помещений (в ин-
терьере).
Если источник света будет находиться в бесконечности, то
совокупность лучей, касательных к предмету, образует цилиндри-
ческую или призматическую поверхность. Лучи в этом случае бу-
дут параллельны между собой. Источником света таких лучей
принято считать солнце или луну, так как по отношению к земным
предметам практически их можно рассматривать как бесконечно
удаленные светящиеся точки.
Рассмотрим построение перспективы солнца при его различном,
положении относительно зрителя, (рис. 5/, б). Здесь представлен
вид сбоку на взаимно-перпендикулярные картину К и .предметную
плоскость Н.
Проектируя солнце на картину по известным правилам построе-
ния проекций любой точки пространства, получаем следующие ос-
новные положения: 1) перспектива S солнца Si°o, находящегося
сзади зрителя Z, будет располагаться на картине ниже линии
горизонта; 2) перспектива So солнца 5г находящегося перед
зрителем в" предметном пространстве, будет располагаться на кар-
тине выше линии горизонта и 3)' перспективы $ и so Оснований
солнца Si оо и S2 00 оказываются всегда расположенными на линии
горизонта.
Следовательно, задание на картине положения солнца осуще-
ствляется путем назначения его перспективы S или So и перспек-
тивы основания s или «о. Эти точки должны, располагаться на
одном перпендикуляре к линии горизонта (рис. 51, в).
Перспективу солнца S или So можно назначить в любом месте
картины или даже за ее пределами. Это зависит прежде всего от
объекта рисования, поставленной задачи и других причин, о кото-
рых будет сказано ниже. Следует только помнить, что чем дальше
от линии горизонта, будет находиться точка S или So, тем падаю-
щие на землю тени будут короче.
Кроме указанных положений солнца рассмотрим еще располо-
жение его проекций и падающих теней, когда оно находится слева
или справа от зрителя.
На рис. 5£, а представлено положение солнца сзади и слева
от зрителя. Проекции солнца S и s в этом случае располагаются
слева от главной точки картины Р; падающие тени получаются
уходящими вправо.
Если солнце находится сзади и справа от зрителя, то его проек-
ции, точки S и s, находятся слева от главной точки картины Р, а
падающие тени представляются уходящими влево (рис. 52, б).
На рис. 52, в показано расположение солнца перед зрителем,
8*
115
Рис. 52
слева от него. Такому положению солнца соответствуют точки So
и «о, намеченные слева от главной точки картины, причем точка So
должна быть выше линии горизонта. Падающие на горизонтальную
плоскость тени изображаются приходящими слева.
Когда солнце или луна находятся спереди и справа от рисую-
щего, то точкд So и so следует назначать справа от главной точки
картины Р. Падающие тени в этом случае рисуются приходящими
справа (рис. 52, г).
Приходящие тени рекомендуется строить при изображении
интерьеров или зданий со сквозными проемами. Освещение через
проемы создает эффектную, запоминающуюся игру светотени, кар-
тина или рисунок приобретают оригинальный характер (вспомним,
например, картину А. И. Лактионова «Письмо с фронта»).
На рис. 52, дне показан особый случай расположения солнца,
когда оно, находясь слева (рис. 52, д) или справа (рис. 52, е) от
зрителя, посылает лучи параллельно картинной плоскости. В этом
случае угол а наклона лучей MN к горизонту проектируется на
картину без искажения, а горизонтальные проекции лучей тп . . .
получаются параллельными линии основания картины. Поэтому
падающие тени от вертикальных прямых на любую горизонталь-
ную плоскость изображаются параллельными линии горизонта.
Построение теней при лучах солнца, параллельных картине,
значительно упрощается. Этот случай выгоднее всего использо-
вать при рисовании по представлению или даже с натуры участков
местности с высокой точки зрения, когда изображения отдельных
предметов (зданий, деревьев и т. п.) на картине получаются срав-
нительно небольших размеров.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЕЙ
Задача на построение контуров теней относится к позиционным
и сводится, в общем случае, как это было показано ранее, к опре-
делению линии касания лучевой поверхности, обертывающей дан-
ный предмет, и пересечения ее с поверхностью того предмета, на
который тень падает. Обычно такая задача решается не с помощью
одного какого-либо метода, а с привлечением различных методов
и приемов начертательной геометрии. Поэтому при рассмотрении
какого-либо достаточно сложного примера бывает трудно сказать,
с помощью какого из многих методов и приемов выгоднее всего
выполнить его решение.
Кроме того, поскольку в основе построения любого изображе-
ния в любых видах проекций, в том числе и теней в перспективе,
лежит, в конечном счете, построение проекций отдельной точки,
то становится трудным проводить четкую грань между различ-
ит
ными методами и приемами. Однако будет более правильным,
с целью облегчения усвоения материала, выделить хотя бы основ-
ные методы, а затем уже рассматривать их применение на отдель-
ных примерах.
МЕТОД СЛЕДА ЛУЧА
Сущность метода следа луча заключается в том, что контур
падающей от какого-либо предмета тени определяется как совокуп-
ность точек пересечения с поверхностью другого предмета отдель-
ных световых лучей, касающихся контура собственной тени дан-
ного предмета. Отсюда следует, что отыскание контура падающей
тени данным методом сводится к многократному решению одной
и той же задачи — построению точки встречи прямой линии (свето-
вого луча) с плоскостью или поверхностью. Эта задача решается
на основе известного положения стереометрии: точка пересечения
прямой с плоскостью есть точка пересечения прямой, с ее проек-
цией на данную плоскость.
Исходя из этого, метод следа Луча в его общем виде можно
представить следующим образом (рис. 53, а). Пусть дана точка А\
и направление световых лучей Si. Построим тень от точки на неко-
торую плоскость Т. Опуская перпендикуляры на плоскость Т из
точки А\ и произвольных точек М\ и N\ луча Si, определяем их
проекции ai, mi и тц (Si) на эту плоскость. Затем проводим про-
екцию светового луча через проекцию точки di параллельно про-
екции лу4а mini (Si), а через точку А\—прямую, параллельную
направлению лучей Si. Пересечение этих линий и определяет
тень At точки Л1 на плоскости Т.
Дай построения теней от шеста В (Ъ) и пластинки CD (cd),
стоящих на предметной плоскости (рис. 53, б), поступаем в соот-
ветствии с общим случаем. Лучи света принимаем параллельными
картине; их направление определяем проекциями MN (S) и тп ($).
Через основание шеста Ь проводим прямую ЪВН параллельно осно-
ванию луча тп до пересечения в точке Вн с прямой ВВН, про-
веденной через точку В параллельно лучу MN{.
Совокупность лучей, проходящих через ^гочки вертикальной
прямой ВЪ составит, очевидно, лучевую плоскость, пересекающую
предметную плоскость по прямой линии. Отрезок ЬВН этой линии
и будет искомой тенью от шеста, так как тень точки Ь совпадет
с самой точкой Ь.
Точно так же найдены падающие тени сСми dDH от вертикаль-
ных сторон Сс и Dd пластинки CD. Падающая тень CHDH на
1 Для большей краткости изложения из полного определения точек и линий
на картине мы будем в некоторых случаях опускать слово «перспектива». На-
пример: вместо—«Через перспективу в основания шеста ei ...» будем
писать — «Через/основание шеста в»...; или вместо — «...через перспективу В
точки Bi .. .» просто — «... через точку В... » и т. п.
118
предметную плоскость от горизонтальной стороны пластинки CD
в пространстве будет параллельна самой прямой CD, а в перспек-
тиве будет направлена в точку схода этой прямой.
Рис. 53
Это представляется вполне естественным потому, что тень от
прямой на плоскость при любом источнике света начнется в точке
пересечения этой прямой с данной плоскостью. Но прямые, парал-
Рис. 54
лельные плоскости, пересекают ее в бесконечно удаленной точке,
а точка схода F является перспективной проекцией такой точки.
На рис. 54 представлено построение теней от шеста и паралле-
лепипеда с нависающей плитой, когда солнце находится сзади и
слева от зрителя. В этом случае, в отличие от предыдущего при-
119
мера, перспектива лучей света AS и BS, а также перспектива их
оснований as и bs, проходя через соответствующие точки А, В, а
и Ь, направляются в свои точки схода 5 и s.
Как видно по рисунку, тень Ан точки А на предметной пло-
скости оказывается недействительной или, как говорят, мнимой.
Мнимые тени зачастую используются для упрощения построений.
Действительная тень Aq точки А определяется на вертикальной
грани параллелепипеда как точка пересечения перспективы луча ЛЗ
и тени шеста /Ло на этой грани; отрезок 1Aq пойдет от точки
перелома / параллельно прямой Аа, поскольку сама прямая па-
раллельна грани.
Падающую на эту же грань тень Со от точки С можно постро-
ить двумя способами.
1. Точка С находится на нижней горизонтальной плоскости
плиты. Поэтому проходящая через точку С проекция Cs луча CS
на эту плоскость будет направлена в уже имеющуюся точку схода
s на линии горизонта — линии схода горизонтальных плоскостей.
Из точки пересечения 2 проекции Cs луча с вертикальной гранью
проводим вертикальную прямую 2Со, как линию пересечения с
этой гранью лучевой плоскости, проходящей через точку С. Иско-
мая тень Со является точкой пересечения прямой 2Со с перспек-
тивой луча CS.
2. Линия тени С'С0 от ребра плиты СС\ перпендикулярного
грани, должна совпадать с проекцией светового луча на эту плос-
кость. Для нахождения точки схода проекции лучей спроектируем
солнце ортогонально на плоскость левой грани заданного парал-
лелепипеда. В перспективных проёкциях такое проектирование
легко выполняется при наличии точки схода прямых, перпендику-
лярных данной плоскости. _В данном случае точка Рг как раз и
является такой точкой. Поэтому прямая, проведенная из точки F2
через перспективу солнца S, будет в пространстве перпендикуляр-
ной левой грани. Продолжим эту прямую до пересечения в искомой
точке Si с прямой F1S1, проведенной из точки схода Fi перпен-
дикулярно линии горизонта и являющейся линией схода плоскости
левой грани. Теперь проводим прямую C'Si и пересекаем ее пря-
мой CS в точке Со. Отрезок С'Со совпадает с проекцией луча на
плоскость грани и является тенью от горизонтального ребра СС'
на эту плоскость. Рассуждая подобным же образом и проводя
прямые FiS и F2S2 до взаимного пересечения, нетрудно получить
точку схода S2 и для проекций световых лучей на плоскость пра-
вой грани параллелепипеда. Дальнейшее построение контуров па-
дающей тени от выступающей плиты на левую освещенную грань
параллелепипеда и от него самого на предметную плоскость выпол-
няется на основе уже рассмотренных примеров и легко может быть
установлено из рисунка.
Построение теней методом следа луча при факельном источнике
света, как правило, следует начинать с определения проекций
источника на ту плоскость, на которую падает тень.
120
На рис. 55 задана фронтальная перспектива комнаты. Источ-
ником света служит лампа L, подвешенная к потолку в точке /о.
Для построения тени от вертикального шеста Аа, стоящего на
полу комнаты, необходимо найти проекцию источника света на
плоскость пола, а построение падающей тени от горизонтальной
полки на боковую стену требует определения проекции лампы на
эту стену. Проводим через точку L лучевую плоскость, перпенди-
кулярную стенам; она рассечет комнату по прямоугольнику, па-
раллельному и поЖ>бному фигуре обреза картины (на рисунке
Рис. 55
этот прямоугольник представлен незамкнутой ломаной I' 3 1 2 I,
проходящей через точку /о). Опустив из точки L перпендикуляры
на стороны прямоугольника, получим искомые проекции I и I' све-
товой точки L.
Падающие тени точек определяются как обычно, то есть путем
прбведения через проекции точек соответствующих проекций све-
тового луча* до их взаимного пересечения.. Так найдены тени Ан,
Bq . . . точек А, В . . „
Тени от прямых, перпендикулярных -отдельным плоскостям,
как видно, совпадают с проекциями луча на эти плоскости.
Тень от ребра полки, параллельного стене, получается в про-
странстве параллельной самому ребру, а в перспективе направля-
ется в точку схода этой же прямой.
Характерным для факельного источника является то, что тени
от нескольких прямых, перпендикулярных одной и той же плоско-
121
сти, получаются расходящимися (смотри, например, тени от двух
ребер горизонтальной полки).
Анализируя рассмотренные примеры построения теней от
прямой на плоскость, можно установить два основных правила
проведения этих теней при любых источниках света:
1) если прямая перпендикулярна плоскости, то тень от нее
будет совпадать по направлению с проекцией светового луча на
данную плоскость;
2) если прямая параллельна плоскости, т& тень от нее будет
направлена в точку схода перспективы прямой.
Использование указанных правил в значительной степени об-
легчает необходимые построения. Однако следует помнить, что
основой определения контуров теней в подавляющем большинстве
случаев является построение теней методом следа луча.
МЕТОД.СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ
Совокупность световых лучей, проходящих через точки прямой
линии, составляет лучевую плоскость, определенная часть линии
пересечения которой с поверхностью какого-либо предмета будет
являться падающей тенью от прямой на данную поверхность.
Представим, что прямая AiBi и светящаяся точка Д1 опреде-
ляют лучевую плоскость S (рис. 56), которая рассекает поверх-
ность некоторого тела по линии 1'А\В\ . . . Проведя через
концы Л1 и Bi отрезка прямой световые лучи до пересечения
с этой линией, получим границы и В'i fofi части линии пере-
сечения лучевой плоскости с предметом, на которую бросает тень
отрезок прямой AiBi. Если провести касательные световые лучи
к линии пересечения ГА\В\ . . , то определяются точки типа / ,
принадлежащие контуру собственной тени данного предмета. От-
сюда следует, что для построения контура собственной тени пред-
мета необходимо рассечь его лучевыми плоскостями и провести
касательные лучи к соответствующим линиям пересечения.
Надо сказать, что секущие лучевые плоскости применяются для
рассечения двух предметов и позволяют тем самым определять
как контур падающей тени от одного предмета на другой, так и
контуры собственных теней обоих тел. Однако в обычной практике
построения теней т^кие случаи встречаются довольйо редко и
поэтому в данном пособии они не рассматриваются1.
Решение задач с помощью секущих плоскостей состоит, в об-
щем случае, из четырех основных этапов: 1) проведение секущих
лучевых плоскостей; 2) определение линий пересечения лучевых
плоскостей с поверхностями ^данных предметов; 3) установление
1 Интересующиеся могут обратиться к труду проф. А. И. Добрякова
«Курс начертательной геометрии». М., Госстройиздат, 1952, § 30.
122
контуров падающих теней и 4) прорисовка контуров собственных
теней предметов.
Пусть теперь требуется построить падающую тень от верти-
кального шеста Аа на цилиндрическую поверхность при лучах
солнца, параллельных картине; направление лучей S задано пря-
мой MN (рис. 57).
Поставленная задача проще всего решается методом секущих
плоскостей, хотя для этого с успехом может быть использован
и метод обратных лучей (см. далее).
1-й этап. Через заданную плоскость проводи^ лучевую пло-
скость.’ Поскольку прямая вертикальна, то лучевая плоскость бу-
Рис. 56
дет перпендикулярной предметной плоскости, то есть будет гори-
зонтально проектирующей. Поэтому след лучевой плоскости
совпадает с ортогональной проекцией луча, проходящего через
любую точку прямой.
Через перспективу основания а точки А проводим перспективу
ортогональной проекции s светового луча параллельно заданному
направлению тп; эту же линию обозначим S« как след лучевой
плоскости S (рис. 57, а). Для того чтобы определить пределы
проведения следа SK плоскости, отмечаем точки 7 и 2 его пересе-
чения с перспективой основания поверхности, ограничивающие тот
отрезок следа, который необходим для дальнейших построений.
Проведя перпендикуляр к линии горизонта из точки 2 до пересе-
чения с изображением очерка поверхности, получаем перспективу
точки II. Точки / и II будут крайними точками линии пересечения,
проходящей по заданной цилиндрической поверхности.
2-й этап. Для определения отдельных точек линии пересечения
используются образующие заданной поверхности и их проекции
123
a
б
в
Рис. 57
на ту плоскость, на которой проведен след лучевой плоскости.
Число образующих зависит от вида поверхности и от желаемой
точности в определении линии пересечения. Понятно, что чем слож-
нее поверхность и чем точнее необходимо прорисовать кривую ли-
нии пересечения, тем большее число образующих следует проводить.
Из точки схода Fi проводим перспективы образующих поверх-
ности FiIII, F\IV . . . (рис. 57, б). На перпендикулярах к линии
горизонта, проведенных из перспектив точек III, IV ... и на
перспективе линии основания поверхности получаем перспективы
основания 3, 4 . . . точек III, IV . . . Затем из точек 3, 4 . . .
проводим перспективы оснований 3F\, 4F\ . . . образующих в точку
схода Fi. Отмечаем перспективы оснований 5, 6 . . . точек V,
VI .. . на пересечении перспектив оснований образующих и
следа лучевой плоскости. Из точек 5, 6 . . . проводим вертикаль-
ные прямые до пересечения с перспективами соответствующих
образующих IIIF\, IVFi . . . Полученные таким образом точки
V, VI . . . будут искомыми.
Имея теперь ряд точек I, V, VI ... II, прорисовываем плав-
ную кривую перспективы линии пересечения лучевой плоскостью.
Заметим, что необязательно проводить сначала перспективы
IIIF\, IVFi . . . образующих, а затем уже перспективы их осно-
ваний 3Fi, 4Fi . . . Можно эти действия осуществлять и в обрат-
ном порядке.
3-й этап. Границы падающих теней легко устанавливаются
с помощью отдельных световых лучей, проведенных через харак-
терные точки первого предмета до точек встречи с линиями пере-
сечения соответствующих лучевых плоскостей с поверхностью
второго предмета.
Через перспективу точки А проводим перспективу S светового
луча параллельно заданному направлению MN (рис. 57, в). Точка
встречи Ло этой прямой S с перспективой линии пересечения I,
V, IV ...Ни будет представлять собою изображение тени от
точки А на цилиндрической поверхности. Как видно, тень от ше-
ста Аа получилась довольно интересной: от основания шеста а она
идет по предметной плоскости (земле) по направлению проекции
луча s до точки перелома 1, а затем по линии пересечения подни-
мается по поверхности и доходит до крайней точки А о.
4-й этап. Контур собственной тени заданной цилиндрической
поверхности определяется, в данном случае, по представлению.
Контур падающей тени от этой поверхности на предметную
плоскость намечается с помощью метода следа луча. Необходимые
построения показаны на рис. 57, в.
Характер использования метода секущих плоскостей при фа-
кельном источнике света будет точно таким же, что и при днев-
ном освещении;, вообще применение данного метода не зависит
от вида источника света.
Пусть, например, задана угловая перспектива комнаты, осве-
щенной бра — лампой L, укрепленной на стене, в точке I' (рис. 58).
125
Поскольку требуется построить тень от вертикального отрезка
прямой А а, стоящего на полу, прежде всего определяем перспек-
тиву горизонтальной проекции I «факела» L. Для этого исполь-
зуем секущую плоскость, проходящую через источник света L и
перпендикулярную к стене и к полу. Такая плоскость пересечет
левую стену по вертикальной прямой 1'1, а пол (предметную пло-
скость) — по горизонтальной прямой 7F, идущей в точку схода F
горизонтальных прямых правой стены, так как эта стена перпен-
дикулярна левой. Перпендикуляр к линии горизонта, опущенный
из точки L на прямую 1F, отметит необходимую точку /.
Рис. 58
Дальнейшие построения ничем, по существу, не отличаются от
тех, которые были подробно рассмотрены при решении задачи,
представленной на рис. 57. Единственное, на ^то следует обратить
внимание, это то, что перспектива следа секущей лучевой плос-
кости, проходящей через прямую Аа, обязательно должна пройти
через перспективу горизонтальной проекции I лампы L, то есть
должна совпадать с перспективой горизонтальной проекции 1а све-
тового луча LA, проходящего через вершину А заданного отрезка
прямой.
МЕТОД ОБРАТНЫХ ЛУЧЕЙ
Метод обратных лучей заключается в том, что собственные тени
предметов и тень, падающая от одного предмета на другой, опреде-
ляются с помощью обратных световых лучей, которые проводятся
126
из точек пересечения контуров теней, а также теней от образую-
щих обоих предметов, падающих на поверхность какого-либо
третьего предмета. Обычно для этого используют такую плоскость
или поверхность, на которой падающие тени могут быть легко по-
строены. Иногда специально подбирают плоскость, которая будет
удовлетворять поставленному условию. Такую плоскость называют
экраном.
Из данного определения метода вытекает, что порядок построе-
ний в целом четко разделяемся на два основных этапа: 1) построе-
ние любым методом падающих теней от обоих предметов на по-
Рис. 59
верхность третьего предмета или рационально поставленный экран
и 2) построение контуров искомых теней с помощью обратных све-
товых лучей.
Сущность метода обратных лучей в графическом выражении
представлена на рис. 59. Здесь построена тень, падающая от пря-
мой АВ на некоторую цилиндрическую поверхность по данному
направлению MN световых лучей S. Это построение выполнено
в порядке, указанном выше.
Из предыдущего можно понять, что к собственно методу об-
ратных лучей относится лишь второй этап построения. Поэтому
для большей простоты рисунка и его объяснения допустим, что
первый этап — построение падающих теней рт прямой и поверхно-
сти на некоторый экран — уже выполнен.
127
По рисунку видно, что тень AtBt от прямой АВ пересекает
или, как говорят, накладывается на тень от цилиндрической по-
верхности. Следовательно, прямая АВ бросает тень на эту по-
верхность.
Вообще, если падающие тени от двух предметов на третий на-
кладываются одна на другую, то первый предмет, ближний к ис-
точнику света, частично или полностью бросает тень на второй
предмет.
Переходя ко второму этапу построений, прежде всего опреде-
ляем контур собственной тени заданной поверхности. На том
основании, что ^онтуры собственной и падающей теней взаимо-
связаны, из точки 7 касания контуров падающей тени: прямой 1 Dt,
от теневой образующей I Do и кривой 1 2 Ct, от направляющей
I II Со, проводим обратный световой луч 11. Этот луч и определит
на направляющей или кривой основания цилиндрической поверх-
ности точку I, крторая будет началом теневой образующей IDo, то
есть контура собственной тени заданной поверхности.
Отвечаем далее точки Ct и Dt пересечения контуров падающих
теней на экран от прямой АВ и цилиндрической поверхности.
Из этих точек проводим обратные световые лучи до пересечения
с контуром Coll IDo собственной тени поверхности в точках Со
и Do, которые являются койцами падающей тени от прямой АВ на
цилиндрическую поверхность и называются точками соскаль-
зывания, или исчезновения. Действительно, если продол-
жить обратные лучи до пересечения с прямой АВ, то обнаружатся
точки С и D этой прямой, которые бросают тень в точки Со и Do
на контур собственной тени поверхности, соскальзывают или исче-
зают с этого контура и попадают уже на экран в точках Ct и Dt.
Для построения любых других точек падающей тени от прямой
на поверхность используются образующие этой поверхности и их
падающие на экран тени.
Так; для определения теневой точки £о проводим образую-
щую II, находим от нее тень 2 на экране, определяем точку Et
пересечения падающих теней AtBt и 2 от прямой АВ и образую-
щей II и обратным световым лучом EtEo отмечаем на образую-
щей II искомую точку Ео. Можно, конечно, проводить построения
и в обратном порядке, то есть сначала намечать тень от обра-
зующей, а затем находить эту образующую. Порядок построения
особого значения не имеет, но иногда выгодно использовать пер-
вый или второй для более простого обнаружения характерных то-
чек падающей тени (точки излома тени, перегиба и т. п.)
Представим, что требуется построить тени в комнате от тор-
шера L (рис. 60). В комнате имеется вертикальный шест Аа,
стоящий на полу и картина, повешенная наклонно на стену.
1-й этап. В качестве экрана для построения тени, падающей
от шеста на картину, выгодно использовать правую стену, на ко-
торой висит картина. На основе предыдущих примеров, рассмот-
ренных при изложении метода следа луча, построение падающих
128
Рис. 60
9 В. И Евтеев
И др.
теней от заданных предметов на правую стену не вызовет особых
затруднений (рис. 60, а). Следует только обратить внимание на
то, что для определения тени от картины используется не только
проекция Г факела L на стену, но и проекция Ь' угла картины В
на эту же стену. Подчеркнем еще то обстоятельство, что падающие
на экран тени от различных предметов всегда строятся незави-
симо друг от друга.
2-й этап. Отмечаем точки 2 и Do пересечения контуров па-
дающих теней на стену от прямой А а и картины (рис. 60, б).
Точка 2, как лежащая на нижнем обрезе картины, будет одновре-
менно являться и контуром его падающей тени, будет служить
точкой перелома тени прямой. Для определения другой точки D\
проводим из точки Do перспективу DqL светового луча до пересе-
чения в точке соскальзывания D\ с верхним краем картины ВС
потому, что именно эта прямая дает теневой контур BqCq, на кото-
ром оказалась точка Dq. Прямая DqL определяет и на вертикаль-
ном отрезке Аа точку D, которая бросает тень в точку соскальзы-
вания D\.
Метод обратных лучей, как видно, позволяет легко находить
любые взаимосвязанные точки предмета и его тени, что очень
важно при прорисовке собственных и падающих теней сложных
объектов.
Характер графических построений контуров падающих теней
методом обратных лучей при дневном освещении показан на
рис. 61.
1-ый эт$п. Падающие на землю (предметную плоскость) тени
от обеих вертикальных пластинок построены методом следа луча,
который был подробно рассмотрен ранее. Поэтому необходимые
построения должны быть ясны из рисунка (рис. 61, а). Следует
только отметить особенности нахождения тени DH от вершины D
пятиугольной пластинки.
Угол D пластинки задан на картине только своей перспекти-
вой D. Метод следа луча требует наличия на картине и перспек-
тивы основания этой точки. Хотя в заданных условиях определить
перспективу основания точки D и нетрудно, однако для второго
этапа построений выгоднее использовать прием продолжения сто-
рон плоской фигуры до взаимного пересечения. Продолжим сто-
роны CD и Ее до пересечения в точке М. Падающую на землю
тень Мн этой точки определяем обычным для метода следа луча
образом — на перспективе основания ms светового луча, проходя-
щего через точку М, засекаем точку Мн перспективой MS этого же
луча. Затем соединяем точку Мн с ранее полученной тенью Сн
вершины пластинки С. В пересечении с этой прямой СНМН пер-
спективы луча DS, проведенной из перспективы вершины D, по-
лучаем падающую на землю тень DH от угла D пятиугольной
пластинки.
2-й этап. Построение тени, падающей от первой по отноше-
нию к солнцу пластинки на вторую, показано на рис. 61, б.
130
a
б
Рис. 61
9*
Прежде всего отмечаем точки /w, Пн, IIIн и IV н пересечения
контуров теней, падающих на землю от обеих пластинок.
Ранее было установлено, что тень от вертикальной прямой на
вертикальную же плоскость параллельна самой прямой. Поэтому
из точки IVH проводим вертикальную линию до пересечения с
верхним краем АВ прямоугольной пластинки в точке ///о. Отрезок
IVhIIIq и будет тенью от вертикального ребра Ее на пластинку
АВаЬ. Точка III о является точкой соскальзывания и будет нахо-
диться на одном луче с точкой IIIн (на рисунке этот луч не по-
казан).
Теперь проводим обратный световой луч SIH через точку Iн до
встречи с вертикальным ребром А а прямоугольной пластинки
в точке соскальзывания /о. Подобные же образом определяем и
точку соскальзывания По.
При определении тени на прямоугольную пластинку от вер-
шины D первой пластинки поступаем следующим образом. Сначала
проводим обратный световой луч SDH через точку DH. Затем,
продолжая теневую линию IVн1По до пересечения с лучом MS,
определяем точку Мо—тень от точки М на прямоугольную пла-
стинку АВаЬ, полученную при условном продолжении плоскости
этой пластинки. Отрезок прямой Mol о будет представлять собой
тень на вторую пластинку от продолженной до точки М стороны CD
первой пластинки. Теперь точка пересечения этой линии Мо!о
с обратным лучом SDH и будет искомой тенью Do от вершины D.
Соединив точки Do и По прямой линией, получим замкнутый
контур IV н II1о По Do Io a IVя падающей тени на прямоугольник
АВаЬ от пятиугольной пластинки CDEce при солнце, находящемся
сзади и справа от зрителя.
На основании рассмотренных примеров моаНно установить об-
щее правило: контуры теней всегда должны быть замкнутыми.
При этом, в зависимости от взаимного расположения предметов,
можно различать два основных случая: 1) если предмет находится
на той плоскости или поверхности, на которую от него падает тень,
то контур собственной тени переходит в контур падающей тени
(см., например, рис. 49) и 2) если предмет располагается над
плоскостью или поверхностью, на которой от него образуется па-
дающая тень, то как контур собственной тени, так и падающей
замыкаются раздельно (см., например, рис. 50).
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЕЙ
РАЗЛИЧНЫХ ОБЪЕКТОВ
При построении теней на рисунках любых объектов и даже
на чертежах, выполняемых с помощью соответствующих инстру-
ментов, всегда стремятся с той или иной степенью точности опре-
132
делить только основные, характерные, точки и контурные линии
теней, которые более всего подчеркивают форму и объемность
изображаемых предметов, а также характер их освещения. При
этом руководствуются следующим основным правилом: сложные
по форме объекты, а также их крупные детали заключают в про-
стейшие геометрические тела, тени которых легко построить.
Это правило является основным и при построении самого пер-
спективного рисунка, поэтому его выполнение при построении
теней не вносит каких-дибо дополнительных Трудностей.
Тени мелких деталей изображаемых предметов обычно прори-
совываются «на глаз», так как полученный путем построений
основной контур собственных и падающих теней позволяет это
делать почти безошибочно. Кроме того, если основные тени опреде-
лены правильно, то тени мелких деталей, нанесенные даже с не-
большими ошибками, уже не могут существенно повлиять на общее
реалистическое впечатление от рисунка.
Определение контуров теней конкретных объектов, как правило,
связано с применением не одного, а нескольких методов построения
теней. Помимо этого используются различные приемы, облегчаю-
щие нахождение отдельных точек. Однако общим для всех приемов
является, если можно так выразиться, «вскрытие» геометрии
предмета.
Пример 1, На рис. 62 представлено построение теней от-
дельно стоящего небольшого здания при лучах солнца, параллель-
ных картине. Перспективная проекция S луча света и его проек-
ция s' на освещенный фасад здания заданы при построении тени,
падающей на стену от балкона.
Здание изображено в так называемых массах и представляет
собой, по существу, сочетание нескольких параллелепипедов,
призм и плоскостей. *
В данном простом случае почти все контуры падающих теней
определены с помощью метода следа луча. Все построения хорошо
видны на рисунке и не требуют дополнительных пояснений. Оста-
новимся только на некоторых деталях.
При построении тени АоВо от линии слива заднего ската крыши
на освещенную стену (см. выноску слева на рис. 62, а) использован
прием продолжения плоскости до пересечения с той прямой, от
которой падает тень на данную плоскость. Наклонное ребро стены,
то есть линия ее пересечения со скатом, продолжено до пересечения
в точке 7 с линией слива А. Из точки 1 проведена проекция s'
светового луча на стену до пересечения с перспективой луча S,
проведенной из точки А, Точка А о пересечения этих линий и яв-
ляется вершиной контура падающей тени от ската на стену.
Тень AqBq от линии слива А совпадает с проекцией s' луча
на стену, так как эта линия перпендикулярна стене. Тени от на-
клонных ребер скатов крыши пойдут в точки схода этих ребер по-
тому, что в пространстве они параллельны стене. Интересно обра-
133
a
б
Рис. 62
тить внимание на то, как замыкается контур падающей тени
с собственной тенью ската крыши. Это положение нарисовано на
другой выноске слева при виде с обратной стороны. Здесь же
виден участок тени, получающийся на освещенной стороне нижнего
переднего ската от теневой стены здания.
Отрезок CHDH падающей на землю тени от наклонного ребра
крыши CD определен методом следа луча (точка DH) и с помощью
приема продолжения ребра CD до пересечения в точке di с пред-
метной плоскостью. Точка Ск получается при пересечении перспек-
тивы луча ССН и прямой diDH.
Начало тени Eq на освещенной стене пристройки определено
с помощью обратного луча S, проведенного из точки Ен пересече-
ния контуров теней, падающих от теневого ребра стены пристройки
и горизонтального ребра С ската крыши CD. Далее из точки Ео,
поскольку ребро С перпендикулярно стене, тень по стене пойдет
параллельно проекции луча s', а по крыше пристройки — в точку
схода всех прямых, параллельных данному ребру.
Для построения тени, падающей от трубы на крышу, использо-
ван прием сечения плоскостью и метод секущих лучевых плоско-
стей (рис. 62, h). Основание тп\ вертикального теневого ребра MN
трубы на некоторой горизонтальной плоскости, проходящей через
ребро С ската крыши, найдено путем сечения ската и горизонталь-
ной плоскости продолженной плоскостью освещенной грани трубы.
Затем через это теневое ребро проведена лучевая плоскость, кото-
рая рассекла горизонтальную плоскость по линии пцЗ (проекция s
луча на землю), а скат крыши — по линии ЗМ. Пересечение пер-
спективы луча, проведенной/ через вершину N с этой линией ЗМ
дает точку Nq— конец тени от вертикального ребра MN. Направ-
ление тени от заднего (невидимого) горизонтального ребра, при-
надлежащего контуру собственной тени трубы, найдено с помощью
точки 4 пересечения этого ребра со скатом крыши.
Пример 2. Всегда очень интересной выглядит тень на лест-
нице при любом источнике света. На рис. 63 показана тень, обра-
зующаяся на ступеньках лестницы при освещении ее фонарем.
Путем сечения тумбы, на которую опирается стойка фонаря,
горизонтально проектирующей плоскостью найдена проекция h
светящейся точки L на предметную плоскость.
Проекция h фонаря на землю понадобилась только лишь для
построения методом следа луча тени Ан одной точки А. Все
дальнейшие построения основаны на использовании соответствую-
щих точек схода, точек пересечения прямых с плоскостями, на ко-
торых образуются тени.
Так, из точки Ан проведена прямая Ан 1 в точку схода гори-
зонтального ребра АВ-, для определения отрезка 7 3 найдена
точка 2 пересечения продолженного ребра АВ с плоскостью пер-
вого подступенка, на которую бросает тень это ребро. Из точки 3
прямая 3Bq снова идет в точку схода горизонтального ребра АВ
135
и в точке Во пересечения этой прямой е перспективой LB свето-
вого луча кончается тень от ребра АВ на проступи первой
ступеньки.
Тень на ступеньках от наклонного ребра боковой стенки лест-
ницы определяется, как видно по рисунку, только с помощью
определения точки пересечения прямой с той плоскостью, на ко-
торую падает тень от этой прямой.
Рис. 63
Пример 3. Тени в комнате, освещенной настольной лампой,
легко определяются методом следа луча, поскольку расположение
и простейшие геометрические формы обстановки не требуют при-
менения других, более сложных методов (рис. 64). Напомним, что
при построении теней на любой из стен, полу, потолке, подокон-
нике и других плоскостях необходимо находить на них основание
или проекцию светящейся точки. Это без труда выполняется при
использовании соответствующих точек схода Fi и Fz.
Пример 4. Представим, что в комнате, показанной на
рис. 64, вместо табуретки находится круглый вращающийся стул.
В обобщенных формах такой стул представляет собой сочетание
нескольких прямых круговых цилиндров (рис. 65).
136
Поэтому рассмотрим сначала построение теней одного цилин-
а, стоящего на предметной плоскости (рис. 65, а).
Одним из наиболее употребительных способов построения пер-
спективы окружности можно признать способ описанного квадрата
или, как его еще иногда называют, способ восьми точек. Из пре-
дыдущего известно, что эллипс, как перспективу окружности,
с равным результатом можно построить как с помощью перспек-
Рис. 64
тивы фронтального квадрата, так и с помощью перспективы лю-
бого другого квадрата, произвольно расположенного по отношению
к картине. Однако более удобным является построение перспек-
тивы фронтального квадрата.
Указанные положения использованы при построении эллип-
сов— перспектив окружностей оснований цилиндров, представлен-
ных на рис. 65.
Для определения контура собственной тени цилиндра (рис. 65, а)
из точки I, проекции факела L на плоскость основания цилиндра,
проводим проекции световых лучей касательно к очерку основания
137
Рис. 65
заданной поверхности. Через точки касания 7 и 2 проходят те-
невые образующие цилиндра 77 и 22 (образующая 22 на ри-
сунке не показана). Части окружностей оснований цилиндра, про-
тивоположных источнику света, от точек 7 и 2 наряду с указан-
ными теневыми образующими будут образовывать замкнутый кон-
тур собственной тени цилиндра.
Тень от окружности на какую-либо произвольную плоскость
получается в общем случае в виде эллипса,. а на плоскость, ей
параллельную — в виде окружности равного диаметра при дневном
освещении и большего — при* факельном.
Вообще, не требует особых доказательств следующее правило:
тени от любых плоских фигур, падающие на плоскость, им па-
раллельную, получаются равными самим фигурам при дневном
освещении и подобными — при факельном.
Эллипс тени от верхнего основания цилиндра можно построить
методом следа луча по отдельным точкам, но лучше воспользова-
ться способом описанного фронтального квадрата. Определяем тень
Он от центра О окружности основания. Затем через эту точку про-
водим тени ВНЛК и CHDH от взаимно-перпендикулярных в прост-
ранстве диаметров АВ и CD окружности. Концы Ан, Вн, Сн9 DH
диаметров эллипса определяются путем проведения перспектив
световых лучей LA, LB и LC, LD через крайние точки А, В и
С, D диаметров окружнрсти. Теперь уже легко построить пер-
спективу описанного фронтального квадрата, найти дополнитель-
ные четыре точки на его диагоналях и прорисовать плавную кри-
вую — эллипс.
Тени 11 «и 211 н от теневых образующих цилиндра 7 7 и 22
должны быть касательными к эллипсу тени от окружности его
верхнего основания в точках I н и II н (точка II н на рисунке не обо-
значена). Таким образом, контуры падающей и собственной теней
цилиндра получаются полностью замкнутыми.
Для определения контуров собственных теней различных ци-
линдров вращающегося стула (рис. 65, б) находим проекции Zi,
/2 . . . факела L на плоскости их оснований.
Падающие на предметную плоскость тени цилиндров строятся
в том же порядке, как это было показано на рис. 65, а.
Построение тени, падающей от сиденья на стойку, лучше всего
осуществляется методом обратных лучей. Для этого нужно прове-
сти несколько образующих стойки и их теней так, как проведена
образующая ЗЕо и ее ломаная тень ЗЕН. Из точек пересечения
теней образующих с контуром падающей тени от сиденья, типа Ен>
проводятся обратные световые лучи EHL . . . до пересечения
в искомых точках Ео . . . с перспективами самих образую-
щих ЗЕо . . .
Пример 5. Прорисовка плавных кривых контуров собствен-
ной и падающей теней тела вращения с криволинейной образующей
осуществляется по отдельным точкам. Для получения таких точек
139
Можно было бы использовать один из рассмотренных ранее мето-
дов или приемов. Однако практически более выгодным оказывается
сочетание различных методов и приемов.
Именно путем сочетания различных методов и приемов постро-
ены тени вазы, представленной на рис. 66, при солнечных лучах,
параллельных картине.
В выноске справа на рис. 66, а произведен геометрический ана-
лиз заданной поверхности. Венчающая часть горловины представ-
ляет собой прямой круговой цилиндр; горловина — усеченный
конус I с вершиной Т i; затем идет также усеченный конус II
с вершиной 7% и основанием с центром Сг. Самая нижняя часть
вазы является усеченным конусом III с вершиной Тз и основанием
с центром С3. Некоторую часть середины вазы представляется
целесообразным заменить описанным усеченным конусом IV (вер-
шина Т4 и центр основания С 4); оставшуюся4 часть V — тело вра-
щения с криволинейной образующей — оставим без изменения.
Тени любого конуса легко определяются путем нахождения
падающей тени от вершины конуса на плоскость его основания;
прямые, касательные к основанию, проведенные из полученной
точки, будут служить контуром падающей тени на плоскость осно-
вания, - а образующие конуса, проведенные из точек касания —
контуром его собственной тени.
Проведя обратный световой луч Т]Т/ через вершину Т7 ко-
нуса I до пересечения с горизонтальной проекцией С jT2 луча,
проходящего через центр С; его основания получаем условную
тень Тj от вершины этого конуса на плоскость его основания.
Касательные Т/1 и Т{2 к кривой основания определяют точки /
и 2 основания теневых образующих 1Т7 и 2Т 7 данного конуса. Для
определения контура падающей на землю тени от данного конуса
методом следа луча находим тени Т 1Н, С1Н, Ан ... от его вер-
шины Т1, центра основания С;и концов взаимно-перпендикуляр-
ных диаметров А . . . Касательные Т1Н1Н и Т]Н2Н к контуру
падающей тени от основания конуса замыкают контур тени от
всего конуса.
Заметим, что при наличии падающей на землю тени конуса
его теневые образующие могли быть определены методом обратных
лучей. Для этого нужно было бы из точек 1Н и 2Н провести об-
ратные лучи до пересечения с линией основания конуса. Однако
первый способ дает более точные результаты.
Собственные и падающие тени других конусов найдены точно
так же, как и для конуса /. Интересно, что конус II оказался
полностью освещенным. Об этом можно судить по тому, что тень
Т% от его вершины Т% упала внутрь основания данного конуса.
Часть V поверхности рассекаем рядом горизонтальных плоско-
стей типа Р (см. выноску справа на рис. 66, а). После построения
падающих на землю теней от этих сечений прорисовываем кри-
140
вую, касательную к контурам тенен от всех частей, и получаем
контур падающей тени заданного тела вращения.
Из точек касания типа 5Н контура падающей тени и теней от
сечений горизонтальными плоскостями проводим обратные лучи
Рис. 66
и на самих сечениях получаем точки типа 5, принадлежащие кон-
туру собственной тени вазы.
Отдельные точки падающей тени на самой вазе от ее горловины
определяются методом обратных лучей так, как, например, най-
дена точка 60.
Прорисовка падающей тени от цилиндрического кольца на гор-
ловину вазы выполнена по отдельным точкам, полученным с по-
мощью условных теней на экраны (рис. 66, б).
141
Для определения точки 7 контура падающей тени на образую-
щей 1Тj конуса I (см. выноску справа на рис. 66, а) проводим
через эту образующую и ось тела вращения плоскость Q — экран.
Затем на этот экран строим тень от половины окружности кон-
тура собственной тени цилиндра. Тень от конца D одного диаметра
окружности совпадает с самой точкой D, а тень Bg от точки В —
конца другого диаметра — оказывается на оси цилиндра. Проме-
жуточные точки Eg . . . получаются путем проведения секущих
лучевых плоскостей, выражающихся графически треугольниками
Рис. 67
EeoEg . . . Полученные точки соединяются плавной кривой, пере-
сечение которой с образующей 1Т7 определяет искомую точку 7,
так как тень от этой образующей на эране Q совпадает с ней са-
мой. Таким же образом определяется точка 8 на очерковой обра-
зующей конуса и любые другие точки данного контура падающей
тени, а также контура тени, получающейся на внутренней поверх-
ности конуса.
Пример 6. Иногда, в особенности при рисовании по пред-
ставлению, бывает выгодно задавать на картине не положение
источника света, а наоборот, местоположение тени от какой-либо
характерной точки объекта с тем, чтобы все тени получались
интересными и выразительными. Понятно, что проекции предпо-
лагаемого источника света при этом необходимо впоследствии
определить.
При построении тени полуцилиндрического свода назначаем
тень Ао от точки А—точки сопряжения прямолинейного ребра
арки с криволинейным, или так называемой пяты свода (рис. 67).
Проекции солнца отыскиваются следующим образом: находим
142
перспективы оснований а и at данных перспектив течек А и До;
проводим прямую аа7 до пересечения с линией горизонта в точке
* — перспективе основания солнца; из точки з опускаем перпен-
дикуляр до встречи с лучом ААо в искомой перспективе солнца S.
Для дальнейших построений точек падающей тени засекаем
точку схода si проекций лучей света на фасадную стену. Проведя
прямую касательную к кривой основания свода, получаем
основание К теневой образующей KF2 цилиндра.
Произвольная точка Во контура падающей тени проще всего
получается с помощью метода секущих лучевых плоскостей. Желая
получить точку Во на образующей цилиндра ЬоВг, проводим проек-
цию луча света з7Ьо на фасад — линию пересечения с плоскостью
фасада лучевой плоскости до точки В на кривой основания ци-
линдра; из точки В проводим луч BS, который пересечет образую-
щую ЬоВг в искомой точке Во. Можно, конечно, поступать и в об-
ратном порядке, то есть намечать те точки кривой основания, от
которых желательно определить падающие тени.
На основании рассмотренных примеров построения теней ци-
линдрических поверхностей можно установить следующее правило:
теневая образующая любого цилиндра проходит через точку каса-
ния к его основанию проекции луча света на плоскость этого
основания.
Пример 7. На рис. 68 показано построение приходящей
тени фронтальной полуцилиндрической арки при дневном осве-
щении.
Контур аАнВнСчп падающей тени арки на землю определяется
методом следа луча и состоит из отрезка аАн—тени от заднего
правого ребра А а, части эллипса АНВНСН —тени от полуциркуль-
ного ребра заднего просвета арки и, наконец, из, отрезка пСн —
тени от переднего левого ребра Соп.
Обратный луч CHS, проведенный из точки Сн пересечения те-
ней от полуциркульного ребра и переднего левого ребра арки, за-
секает на последнем точку соскальзывания Со.
Эллиптическая кривая CoBo^i тени на плоскости внутренней
поверхности арки от ее заднего кругового ребра определяется так
же, как и на рис. 67, то есть путем определения теневой образую-
щей КК\ и ряда произвольных точек Во... кривой с помощью ме-
тода секущих лучевых плоскостей. Здесь следует только иметь
в виду, что проекции лучей света s' на фасадную стену, параллель-
ную картине, параллельны прямой SP, соединяющей перспективу
солнца S и главную точку картины Р.
Для определения тени на профильной стене двора находим
точку схода s" профильных проекций лучей света. Эта точка бу-
дет находиться на пересечении прямой Ss", параллельной линии
горизонта, и вертикали Ps", выходящей из главной точки кар-
тины Р.
143
Рис. 68
Пример 8. Построение тени в цилиндрической нише с полу-
сферическим верхом представляет интерес с точки зрения харак-
тера использования метода обратных лучей (рис. 69). Положение
солнца на этом рисунке задано его перспективой S и перспективой
основания s.
Построение отдельных точек контура падающей тени в нише
можно провести по трем этапам.
1-й этап. Определение ломаной тени ааоАо от вертикального
ребра А а методом следа луча и точки К — начала тени на круго-
вом ребре ниши (рис. 69, а). Особая точка К является точкой ка-
сания к круговому ребру ниши проекции луча s' на фасадную
стену, которая проводится параллельно прямой PS, соединяющей
главную точку картины Р и перспективу солнца S.
2-й этап. Построение точки No контура падающей тени, нахо-
дящейся на полуокружности AN&B сопряжения цилиндрической
и сферической поверхностей ниши (рис. 69, Ь). Представим, что
полуокружность ANoB бросает обратную тень на плоскость кру-
гового ребра ниши. Это будет половина эллипса ANB. Прори-
совка этой кривой может быть легко выполнена по точкам парал-
лелограмма, являющегося обратной тенью на фасадную стену от
полуквадрата, описанного вокруг полуокружности ANoB. Все по-
строения обратной тени выполнены на рисунке тонкими штрихо-
выми линиями и, при условии подробного изучения предыдущих
примеров, легко могут быть поняты без дополнительных объяс-
нений.
Отмечаем точку N пересечения полу эллипса AN В с круговым
ребром ниши и в пересечении луча NS с полуокружностью ANoB
получаем искомую точку No.
3-й этап. Построение промежуточных точек контура падающей
тени (рис. 69, в). На рисунке показано построение одной из про-
межуточных точек контура тени.
Точка Мо получена с помощью сечения ниши фронтальной
плоскостью Т (горизонтальный след Тн ) и прямой тени круго-
вого ребра ниши на эту плоскость. Поскольку задайо фронтальное
положение арки и секущая плоскость Т параллельна картине (го-
ризонтальный след Тн параллелен линии горизонта), то линия
сечения полусферы этой плоскостью будет изображаться в виде
дуги окружности с центром в точке / и радиусом г. На том же
основании и прямая тень кругового ребра ниши на секущую пло-
скость будет также изображаться в виде дуги окружности, но уже
с центром в точке III и радиусом R. Определение центров и ра-
диусов указанных окружностей основано на методе следа луча и
без особых пояснений может быть понято при внимательном рас-
смотрении рисунка. Искомая точка Мо будет'точкой пересечения
этих окружностей, так как они лежат в одной плоскости Т.
Ю ВИ Евтеев и др
145
Рие. 69
Можно было бы найти точку Мо, отбрасывая условную тень от
сечения сферы плоскостью Т на плоскость кругового ребра нищи,
но эти построения несколько сложнее, чем указанные выше.
Достаточное число промежуточных точек позволяет прорисо-
вать плавную кривую контура падающей тени, которая представ-
ляет собою на рисунке, начиная от точки Л о, сочетание сопряжен-
ных дуг эллипсов.
ПОСТРОЕНИЕ ОТРАЖЕНИЙ
В ПЛОСКИХ ЗЕРКАЛЬНЫХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
При рисовании интерьеров, городских улиц и в особенности
пейзажей с водоемами зачастую возникает необходимость в по-
строении зеркально-симметричных плоских изображений объем-
ных предметов, получающихся в природе благодаря отражению
световых лучей от зеркальных поверхностей.
Отражения интересны сами по себе, но и являясь второстепен-
ными деталями рисунка или картины, они придают последним
большую привлекательность и живописность. Так, например, от-
ражение Александровской колонны в весеннем разливе на ас-
фальте Дворцовой площади Ленинграда оживляет строгий архи-
тектурный пейзаж (см. фото — рис. 70).
Построение таких изображений основано на известном законе
оптики, гласящем о том, что угол отражения Р светового луча
равен углу а его падения и что оба луча, падающий ААъ и отра-
женный AbZ, лежат в одной плоскости, перпендикулярной пло-
скости зеркала (рис. 71). Если теперь представить вертикальную
картину проходящей через изображаемую точку А, то проекция
А о ее зеркального отражения Аь на картину окажется на продол-
жении отраженного луча ZAb и ниже уровня зеркала на расстоя-
ние аоАо, равное расстоянию Аао самой точки А до этого уровня.
Это положение вытекает из равенства двух прямоугольных тре-
угольников А ао Аь и Ао ао Аь.
Установленное следствие закона отражения света используется
для непосредственного построения зеркально-симметричных изо-
бражений на картине.
Пусть, например, необходимо построить отражение в воде вер-
тикального шеста А а (рис. 72). Прежде всего находим основание
шеста на поверхности зеркала с помощью произвольной горизон-
тально проектирующей плоскости, проведенной через данную вер-
тикаль. Такая плоскость рассечет поверхности набережной и
воды по двум параллельным горизонтальным прямым, которые
в перспективе будут иметь точку схода на линии горизонта.
10*	147
Назначаем на линии горизонта какую-либо произвольную
точку $; из этой точки проводим прямую as через основание ше-
ста а до пересечения с ребром вертикальной стенки набережной
Рис. 70
в точке /, которую проектируем на уровень воды в точку 2. Сое-
диняя точку 2 с точкой схода s, получаем основание до шеста на
воде как точку пересечения этой прямой 2s с продолжением за-
данной вертикали А а.
148
Теперь от полученной точки ао откладываем по вертикали» от-
резок аоАь, равный отрезку Аао, и получаем, таким образом,
изображение Аь точки А, отраженной зеркальной поверхностью
воды.
Рисование отражений предметов в воде, имеющих основания
непосредственно на ее поверхности, как это видно на рис. 72,
не требует каких-либо дополнительных построений, кроме доста-
точно точного отложения отрезков по вертикалям. Помимо этого,
построения значительно облегчаются тем, что все отраженные пря-
мые линии идут в ту же точку схода, что и сами прямые. Поэтому
К
Рис. 71
нет необходимости в построении отражений каждой точки предме-
тов в отдельности. Прорисовка эллипсов на этом примере, как и
в любых других случаях, может быть выполнена с помощью спо-
соба описанных квадратов. Построение теней осуществляется
в обычном порядке.
На основании вышеизложенного можно сформулировать сле-
дующее правило: изображение на картине отражения какой-либо
точки пространства в плоском зеркале определяется как точка от-
ложения на перпендикуляре, опущенном из данной точки на отра-
жающую плоскость, от точки основания перпендикуляра на этой
плоскости; отрезка, равного отрезку самого перпендикулдра от его
основания до принятой точки пространства.
Иначе говоря, изображение любой точки в плоском зеркале
будет представляться расположенным за его поверхностью на та-
ком же расстоянии, на каком эта точка находится перед зеркалом.
Таким образом, задача на построение отражений в перспективе
сводится к определению точек пересечения с отражающей поверх-
149
Рис. 72
ностью перпендикуляров к этой поверхности и отложению на них
равных отрезков. Следовательно, задача разделяется на несколько
метрических и позиционных задач, к решению которых могут при-
влекаться любые способы. Однако в большинстве случаев удается
ограничиться наиболее простыми, например способом делитель-
ного масштаба.
Для построения отражения прилавка в вертикальных зеркалах
используем линию пересечения плоскости зеркал с полом и мет-
рическйе свойства фронтальной перспективы (рис. 73, а).
Из основания а точки А опускаем перпендикуляр на плоскость
зеркала, то есть проводим прямую а до, параллельную линии гори-
зонта. Отмечаем точку 1 пересечения этого перпендикуляра с ли-
нией 1Р основания зеркала на полу. Из точки 7 проводим верти-
каль до пересечения в точке 2 с перпендикуляром А Ао, проведен-
ным из самой точки А. Прямая 7 2 будет осью симметрии пря-
мого и зеркального изображений всей торцовой стенки АВ ab
прилавка. Теперь от точек 7 и 2 откладываем влево, то есть «за
зеркало», отрезки а\, Ъ\, А2 и В2 и получаем отражения до, Ьо, Aq
и Bq характерных точек торцовой стенки. Для построения отраже-
ния всего прилавка используем точку схода, прямые, параллель-
ные линии горизонта, и, безусловно, знание устройства и размеров
невидимой на изображении стороны предмета.
Отражение в зеркале, расположенном на фронтальной стене,
строится также с помощью линии основания зеркала на полу и
делительного масштаба. Отмечаем точку 3 пересечения, идущего
в точку схода Р продолженного нижнего ребра Ъс прилавка с ли-
нией основания зеркала на полу. Назначаем на линии горизонта
произвольную точку IV и используем ее как точку схода делитель-
ного масштаба. Из этой точки проводим прямую IV3 через точку
3 до пересечения в точках 4 и 6 с фронтальными прямыми, прове-
денными из точек с и Ь. От точки 4, вправо от нее, откладываем
отрезок 4 5, равный 4с, а от точки 6 — отрезок 6 7, равный 6Ь.
Из полученных точек отложения 5 и 7 проводим прямые в точку
схода IV делительного масштаба, которые отмечают точки CQ И b'Q
на прямой ЬР. Точки CQ и bQ являются зеркальным отражением
точек с и b предмета. Дальнейшее построение отражения прилавка
во фронтальном зеркале не представляет трудностей и может быть
понято из предыдущего.
Если задана угловая перспектива комнаты, то построение от-
ражения предметов в вертикальном зеркале, висящем на одной из
стен, выполняется на основе тех же положений, которые были
использованы ранее.
На рис. 73, б представлена угловая перспекти&а комнаты с вер-
тикальным зеркалом на левой стене. На правой стене имеется
оконный проем и висит картина под некоторым наклоном к стене.
Получаем проекцию сторон картины на стену с помощью
точки схода F2 горизонтальных прямых левой стены, перпендику-
151
a
DQOYQ^hOUJ Q
Рис. 73
лярной правой. Затем продолжаем вертикальные стороны окна и
проекции картины до пересечения в точках а, Ь, с и d с линией
основания стены. Через крайнюю точку d проводим прямую,
параллельную линии горизонта, которую и принимаем за основа-
ние делительного масштаба. На линии горизонта назначаем про-
извольную точку схода IV делительного масштаба и проводим из
нее прямые через все точки о, а, Ь, с и d на линии основания
правой стены до пересечения в соответственных точках 0, 1,2, 3
Рис. 74
и 4 с линией основания делительного масштаба. На этой же линии
влево от точки 0 откладываем отрезки, равные отрезкам, полу-
ченным справа от нулевой точки, то есть 0 1 о = 0 1, 1q2q «= 7 2 и т. д.
Из точек отложения /о, 2о ... проводим прямые в точку IV, ко-
торые пересекут продолженную линию основания правой стены
в точках ао, Ъо, со и do.
После этого, используя точку схода Fi горизонтальных прямых
правой стены и вертикали из точек ао, Ьо, со и do, строим изобра-
жение в зеркале окна и проекции картины на правой стбне. Отра-
женное изображение самой картины можно теперь построить пу-
тем проведения прямых в соответственные точки схода F\ и Рг.
Несколько сложнее определяются отраженные изображения
в наклонных зеркалах. Для этого, прежде всего, должен быть из-
вестен угол наклона зеркала к той стене, на которой оно висит.
Допустим, что зеркало, наклоненное к стене под углом а,
153
имеет основание непосредственно на полу по линии ВР (рис. 74).
Заметим, что поскольку стена задана перпендикулярной картине,
то угол а наклона зеркала будет проектироваться на картину без
искажения.
Для того чтобы получить отражение Л о в таком зеркале неко-
торой точки А пола, нужно, согласно общему правилу, опустить
из нее перпендикуляр АС на плоскость зеркала (на рисунке обо-
значен только край зеркала ВС), найти его основание С и отло-
жить от этой точки по направлению прямой АС отрезок САо, рав-
ный расстоянию АС самой точки А до зеркала. Все эти действия
в данном случае легко выполнимы, так как плоскость, которую
определяют прямые АС и ВС, параллельна картине, и поэтому
перпендикуляр из точки А проводится под заданным углом а
к горизонтали АВ. Интересно отметить, что отрезок ВАо, накло-
ненный к той же горизонтали уже под углом 2а, является отра-
жением в том же зеркале отрезка АВ, лежащего на полу и парал-
лельного линии основания картины.
Для построения отражения вертикального стержня Ее в зер-
кале, наклоненном под тем же углом а, но повешенном выше пола,
проводим через эту прямую Ее горизонтально-проектирующую
плоскость, перпендикулярную стене и зеркалу. Такая плоскость
рассечет пол, стену и зеркало по соответственным прямым: парал-
лельной линии горизонта — е/, вертикальной—7 2 и под углом а
к вертикали — 2 4.
Прямая 2 4 «будет, очевидно, осью симметрии прямого Ее и
зеркального Еоео изображений заданного стержня.
Пользуясь построенным изображением £о«о вертикали Ее, не-
трудно нарисовать отражение дверных проемов, имеющихся на
фронтальной стене.
Отражения линий паркета, параллельных картине, проводим
под углом 2а к горизонту, а перпендикулярных картине — в точку
схода Р.
В общем случае, когда имеется угловая, а не фронтальная
перспектива, определяют точку схода F3 перпендикуляров к пло-
скости наклонного зеркала с помощью совмещенного с картиной
луча зрения (рис. 75).
Из точки дальности D под заданным углом а наклона зеркала
проводим совмещенный с картиной луч зрения DF3 до пересече-
ния с перпендикуляром, восстановленным из точки схода F\.
В действительности луч DFe перпендикулярен к плоскости зер-
кала. Прямая F\F3 является линией схода всех плоскостей, пер-
пендикулярных как к плоскости зеркала, так и к стене, на которой
оно висит. Поэтому полученная таким образом точка F3 и служит
точкой схода прямых, перпендикулярных зеркалу.
Для проведения на рисунке наклонных сторон зеркала и линии
симметрии 34 арямого Аа и зеркального Аоао изображении верти-
кального стержня найдена их точка схода F3. Эта точка опреде-
ляется на линии схода F]Fg' с помощью совмещенного луча зре-
154
и
D
о
Рис 75
hi
ния DF3, проведенного из точки дальности D под прямым углом
к совмещенному лучу DF3', перпендикулярному в пространстве
плоскости зеркала.
Положение линии симметрии 3 4 на картине определяется точ-
кой 2, которая получена так же, как это указано на рис. 74.
Точки ао и Ао зеркаль-
ного изображения полу-
чены, как обычно, с по-
мощью делительного мас-
штаба. Только здесь ли-
ния основания аб мас-
штаба принята вертикаль-
ной; поэтому его точка
схода IV располагается на
ЛИНИИ FjFs.
На этой же линии
схода FiF'3 располагается
и точка схода F3 зер-
кальных изображений всех
прямых, перпендикуляр-
ных предметной плоскости.
Если размеры бумаги
или подрамника не позво-
ляют получить точку схода
наклонных сторон зеркала,
то можно их нарисовать
с помощью проекции зер-
кала на предметную плос-
кость. На рис. 76, а задана
штриховыми линиями про-
екция зеркала на торцо-
вой стене во фронтальной
перспективе. От произ-
вольной точки В нижнего
обреза зеркала под задан-
ным углом а его наклона
проводим прямую ВС до
пересечения с продолжен-
ной проекцией верхнего
обреза зеркала. Точки В и
С проектируем на пол
в точки b и с; делим отре-
зок Ьс пополам и через
точку деления 9 проводим
прямую D)2 9 из имеющейся дробной точки дальности D/2 до пе-
ресечения в точке 10 с прямой ЫО, проходящей через точку в и
перпендикулярной к плоскости угла, то есть фронтальной по отно-
шению к стене. Через точку 10 проходит прямая, на которой распо-
155
a
б
Рис. 76
лагается горизонтальная проекция верхнего обреза зеркала. Про-
должая теперь проекции наклонных сторон зеркала на фронталь-
ной стене до линии основания этой стены, получаем точки 11 и 72,
через которые и проходят горизонтальные проекции Р11 и Р12
наклонных сторон зеркала. Дальнейшие действия понятны из ри-
сунка и не нуждаются в пояснениях.
Для получения точки схода Р3 прямых, перпендикулярных зер-
калу, из дробной точки дальности D/2 проводим прямую под уг-
лом а к горизонту hh\ до пересечения в точке Р3!2 с линией схода
РР3 и удваиваем на этой линии полученный отрезок РР3/2.
Построение отражения в наклонном зеркале, расположенном на
фронтальной стене (рис. 76, б), производится в том же порядке,
в каком это уже рассматривалось на предыдущих примерах. Здесь
следует только учесть, что точка схода IV делительного масштаба,
естественно, должна располагаться на дополнительном горизонте
h'hi', проходящем через точку схода Р/. Дробная точка дальности
DXI2, полученная на дополнительной линии горизонта h'hi' при по-
мощи засечки радиусом P'3DI2, с успехом может быть исполь-
зована для построения отражения квадратных шашек паркета.
Раздел III
ПЕРСПЕКТИВА НА НАКЛОННОЙ КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТИ
(краткие сведения)
ОСНОВНЫЕ понятия
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Как известно, при построении перспективы пространственной
формы немаловажную роль играет положений главного луча зре-
ния, исходящего из точки зрения и направленного на обозревае-
мый предмет. Если главный луч зрения горизонтален, то
картинная плоскость, перпендикулярная к этому лучу, будет вер-
тикальной, а получаемое на ней изображение представит обыч-
ную перспективу: вертикальные линии пространственного пред-
мета будут перпендикулярными к основанию картины; при этом
пропорциональность отдельных Частей этих линий, имеющая место
в натуре, останется неизменной и в перспективе (рис. 77, а). Однако
необходимость дать направление главного луча зрения, наклон-
ное к горизонтальной плоскости, в обыденных условиях обозре-
вания того или иного сооружения или его деталей выявляется до-
вольно часто — например, при взгляде на высокое здание снизу
вверх (при фотографировании здания с небольшого расстояния)
или сверху вниз (вид с самолета, с высокой горы или с верхних
этажей противоположного дома и т. п.). В таких случаях кар-
тинная плоскость, перпендикулярная к главному лучу зрения,
принимает наклонное (к горизонтальной плоскости) положение,
а изображение, полученное на этой плоскости, представит так на-
зываемую перспективу на наклонной плоскости.
Вертикальные линии пространственного объекта рисуются на такой
картине линиями, сходящимися или вверх (при взгляде снизу —
рис. 77, б) или вниз (при взгляде сверху — рис. 78), а упомяну-
тая пропорциональность (или равенство) отрезков вертикальных
линий в перспективе нарушается. Зрителю, обозревающему про-
странственную форму, открывается иногда причудливый и непри-
вычный для глаза, однако совершенно естественный вид.
Выявить эту естественность, правильно изобразить простран-
ственный объект при взгляде на него с любой точки и при лю-
бом направлении главного луча зрения с учетом неизбежных
158
при обозревании естественных перспективных сокращений отдель-
ных частей изображаемого объекта по высоте и далее внести,
в случае необходимости, некоторые поправки, связанные с опреде-
лением размеров и истинных форм проектируемого объекта, при
выбранном местоположении зрителя — все это можно выполнить,
зная теорию перспективы на наклонной плоскости. Базирующаяся
в основном на общеизвестных правилах и методах начертательной
геометрии, эта теория дает общие правила и приемы построения
Рис. 77
перспектив на любой плоскдсти, содействуя значительному
расширению области практического применения перспективы
в живописи, скульптуре, архитектуре, фотограмметрии, киноискус-
стве и др.
На рис. 79, а изображены: горизонтальная предметная
плоскость Н; наклонная картинная плоскость К, состав-
ляющая с плоскостью Н угол а; плоскость горизонта Н\,
параллельная предметной плоскости Н и проходящая через
точку зрения Z, z — основание точки зрения Z;
Zz— перпендикуляр к пл. Н, определяющий высоту точки зрения
над предметной плоскостью; линия горизонта hh\; основа-
ние картинной плоскости kk\ (след картинной плоскости на
плоскости Н); главное расстояние картины — ZZq
(причем ZZq перпендикулярно К); гл а в н а я, или централь-
159
ная точка картины — Zo; главная, или центральная
точка горизонта — Fo, полученная опусканием перпендику-
ляра ZFq из точки Z на линию горизонта hh\; ZFq— главное
расстояние горизонта; Fo/o и foz — центральные ли-
нии картинной и предметной плоскостей, полученные от пересе-
чения этих плоскостей центральной плоскостью, прохо-
дящей через точку зрения Z и перпендикулярной к плоскостям Н
и К, а следовательно, и к линиям kk\ и hh\ (причем Fofo перпендику-
лярна kki, и fez перпендикулярна kki, а точка /о является верши-
Рис. 78
ной линейного угла Fofof, характеризующего угол а наклона кар-
тинной плоскости к предметной). Условимся считать углом на-
клона картинной плоскости к предметной угол, находящийся над
предметной плоскостью и расположенный относительно картины
по другую ее сторону, чем точка зрения. Но так как картинная
плоскость К перпендикулярна к главному лучу
зрения ZZ0, то величина угла наклона ее к предметной пло-
скости зависит от направления главного луча, отражаясь на виде
получаемого изображения. Так, при угле а <90° верхняя часть
картины удаляется от зрителя (взгляд на предмет сверху —
рис. 78), а при угле а^>90° верхняя часть картинной плоскости
приближается к зрителю (взгляд снизу — рис, 77,6). Следует от-
метить, что при построении перспективы на наклонной плоскости
задача на определение истинной величины угла наклона
картинной плоскости к предметной является основной. Построение
160
l?2 11 ВИ. Евтеев и др»
же перспективы обычно выполняется по данным ортогональным
проекциям (плану, фасаду или профилю) предмета или сооруже-
ния и точки зрения (z, zx), определяющим направление Главного
луча зрения (zc, z'c') и положение картины; причем следы Kh и Kv
картинной плоскости на плоскостях проекций проводятся перпен-
дикулярно к одноименным проекциям главного луча зрения (Kh
перпендикулярен zc и Kv перпендикулярен z'c), а за предметную
плоскость принимается горизонтальная плоскость проекций Н
(рис. 79, бив). Если картинная плоскость К перпендикулярна
к вертикальной плоскости проекций V, то ее горизонтальный след
Kh перпендикулярен к оси проекций ох (рис. 79, б и в), а угол а,
составленный вертикальным следом Kv плоскости К и осью х-ов,
будет истинным углом наклона этой плоскости к горизонтальной
плоскости проекций Н (на рис. 79, б — угол а острый, ач на
рис. 79, в угол а — тупой). Если картинная плоскость К не пер-
пендикулярна ни к одной из плоскостей проекций, то есть зани-
мает общее (чаще встречающееся) положение в пространстве
(рис. 79, г и д), то решение задачи на определение угла наклона
плоскости К к предметной плоскости Н сводится к приведению
картинной плоскости в положение, перпендикулярное плоскости V
(рис. 80, а и б).
Действительно, повернем плоскость ,К до указанного положе-
ния вокруг оси (i ц, i' i’i), перпендикулярной к плоскости и взятой
в плоскости V. Тогда горизонтальный след Kh вращаемой плоско-
сти должен расположиться перпендикулярно к , оси х-ов, заняв
положение Kh\>& его точка (п, п), описав дугу радиуса in, вместе
с перпендикуляром in к следу Kh займет положение (п\, nJ) на
оси ох. Новый вертикальный след проходящий через точку
схода (ш, п \) и неподвижно оставшуюся на оси вращения точку
(т, т'), составит с осью ох искомый угол d наклона картинной
плоскости к предметной.
Линия горизонта (hh\ h' hx), находящаяся в плоскости картины К
и параллельная плоскости Н(рис. 79, гид), всегда проектируется
на эту плоскость Н в виде прямой hh\, параллельной горизонталь-
ному следу Kh плоскости К, а на плоскость V — в виде прямой
h' hlf параллельной оси ох и проходящей через вертикальную про-
екцию z' точки зрения. В частном случае положения картины
(рис. 79, бив) вертикальная проекция h h{ линии горизонта
представит точку, лежащую на следе Kv.
Взаимное расположение линии горизонта и основания" картины
на плоскости К (плоскости чертежа) зависит как от угла
наклона картинной плоскости к предметной, так и от положения
точки зрения перед картиной (а стало быть и от величины глав-
ного расстояния картины).
Опре деяние положения этих линий на самой картине
является начальной задачей при построении перспективы на на-
клонной плоскости.
162
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТОВ КАРТИНЫ
ернемся к рассмотрению рис. 79, а.
Продолжив перпендикуляр Zz к предметной плоскости Н и
центральную линию F0F3 картины до их взаимного пересечения
в точке F3, получим прямоугольный треугольник^Ро^Рз (лежащий
в центральной плоскости), в котором ZZq— главное расстояние
картины, ZFo — главное расстояние горизонта, zfo— расстояние
горизонтальной проекции z точки зрения Z до горизонтального
следа плоскости К (линии kk\ основания картины), отрезок Zz
равен высоте горизонта над предметной плоскостью, или, что все
равно,— расстоянию вертикальной проекции z' точки зрения до
оси ох (см. рис. 79, б), Fo/o— расстояние между линией горизонта
hh\ и основанием картины kk\, а угол ZF0F3 равен углу zf^Fz и ра-
вен а — углу наклона картинной плоскости к предметной.
Совместив треугольник F0ZF3 с плоскостью картины враще-
нием его вокруг гипотенузы F0F3 (центральной линии) и рассмат-
ривая чертеж в плоскости картины, получим рис. 80, в (в тех же
буквенных обозначениях), на котором будут определены основные
элементы картинной плоскости.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПЕРСПЕКТИВЫ
ТОЧКИ СХОДА ПЕРСПЕКТИВ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Построение перспектив на наклонной картинной плоскости про-
странственных прямых, различно расположенных относительно
картинной плоскости (и особенно параллельных прямых), с при-
менением точек схода их перспектив подчиняется общим и
известным из теории перспективы на вертикальной плоскости пра-
вилам с небольшим изменением, касающимся только построения
перспектив горизонтальных прямых, составляющих с плоскостью
картины угол в 45°, а также перспектив вертикальных прямых,
имеющих здесь свою точку схода. Что же касается получения то-
чек схода перспектив на наклонной картинной плоскости различ-
ных пространственных прямых, то оно аналогично получению та-
ковых на плоскости вертикальной и сводится к нахождению точки
пересечения с картинной плоскостью луча зрения, проведенного
через точку зрения Z, параллельно данной прямой. Получен-
ная точка схода, по существу, является перспективой бесконечно-
удаленной точки прямой (рис. 80, г).
11*	163
Для получения на плоскости К перспективы (как центральной
проекции) какой-либо точки А (рис, 79, а) достаточно соединить
эту точку с точкой зрения Z прямою AZ и найти точку А\ пере-
сечения этой прямой (луча) с картинной плоскостью К; получен-
ная точка Ai и будет искомой перспективой точки А. Таким обра-
зом, перспективой точки является точкк
Для определения точки пересечения Луча AZ с картинной пло-
скостью надо провести через луч AZ вспомогательную горизон-
тально-проектирующую плоскость, проходящую через вертикаль-
ную прямую ZF3, и, найдя линию Л1/*з пересечения обеих плоско-
стей, отметить точку А\ встречи ее с лучом AZ. Когда картинная
плоскость вертикальна, эта линия пересечения также вертикальна
(перпендикулярна к линии fefei); при наклонном же положении кар-
тинной плоскости линия A1F3 будет направлена в точку /*з, явля-
ющуюся по существу точкой схода перспектив всех вертикальных
прямых. Эта точка может быть получена и как точкЬ пересечения
с плоскостью К прямой ZF3, проведенной через точку Z парал-
лельно данным вертикальным прямым Аа... Но перспектива лю-
бой пространственной точки может быть получена и как точка
пересечения перспектив каких-либо двух прямых, проведенных че-
рез данную точку, если известны правила построения перспектив
этих прямых. Не останавливаясь на повторении выводов общих
правил построения перспектив различных прямых, приведем здесь
их формулировки.	-	\
Перспективой прямой (не совпадающей с лучом зре-
ния) будет прямая. Перспективами параллельных пря-
мых являются прямые, сходящиеся в одной точке схода, и если эти
прямые горизонтальные, то точка схода (F)* их перспек-
тив находится йа линии горизонта (hhi). Перспективы прямых,
перпендикулярных к картинной плоскости (К), сходятся
в главной точке картинной плоскости (Zq). Перспективы горизон-
тальных прямых, лежащих в плоскостях, перпендикулярных к ос-
нованию (kki) картинной плоскости или к линии горизонта (hh\),
сходятся в главной точке горизонта (Fo). Перспективами прямых,
параллельных между собою и параллельных картинной плоскости,
будут прямые, параллельные между собой и данными прямыми.
Перспективы горизонтальных прямых, образующих со следом кар-
тинной плоскости (на горизонтальной плоскости, в которой эти
прямые находятся) угол в 45°, сходятся в «точках расстояний»
(точках дальности — D и Di), лежащих на линии горизонта и от-
стоящих от главной точки горизонта на расстояниях, равных рас-
стоянию точки зрения (Z) до линии горизонта (главное расстоя-
ние горизонта). Перспективы прямых, перпендикулярных
к предметной плоскости (вертикальных прямых),
имеют общую точку схода F3, лежащую на центральной
линии (F0F3) картинной плоскости в пересечении ее с перпенди-
куляром (ZF3), опущенным из точки зрения (Z) на предметную
(горизонтальную) плоскость. Если картинная плоскость образует
164
Рис. 80
с предметной плоскостью острый угол (а), то точка схода Fq
перспектив вертикальных прямых находится на центральной ли-
нии картины ниже линии горизонта (рис. 80, д); если же кар-
тинная плоскость образует с предметной тупой угол (а), то
точка схода /*з лежит на центральной линии выше линии гори-
зонта (рис. 80, с).
Наличие на картинной плоскости точки /*з позволяет не только
упростить, но и графически уточнить проведение перспектив вер-
тикальных линий, найти перспективу любой пространственной
точки по перспективе ее основания (проекции на предметной пло-
скости) и известной высоте (рис. 80, в), произвести в перспективе
деление вертикального и наклонного отрезков на равные или про-
порциональные части, показав перспективы точек деления
(рис. 81,"а и б), определить непосредственно на картинной пло-
скости истинную длину (I) вертикального отрезка (рис. 80, в и
81, а и б), наконец, построить перспективу геометрического тела.
ПЕРСПЕКТИВНЫЙ
МАСШТАБ ВЫСОТ
На рис. 80, в (связанном с пояснительным рис. 79, а) пока-
зано построение перспективы Aiai перпендикуляра к предметной
плоскости данной длины Аа = 1 и обратно — определение истинной
длины I вертикального отрезка, по его перспективе Aiai.
Как видно из рисунка 79, а, линии aoFo и AqFq (сходящиеся
в точке Fq) являются перспективами горизонтальных прямых аао
и ААо, расположенных в вертикальной плоскости, перпендикуляр-
ной к основанию kki картины и пересекающей плоскости Н и К по
прямым аао и аоАо, перпендикулярным к линии kk\ и составляю-
щим угол а аоАо, равный углу а наклона картинной плоскости
к предметной. При совмещении плоскости этого угла с плоскостью
картины путем вращения вокруг линии Аоао (рис. 80, в) сторона
Аоао останется перпендикулярной к линии kk\, угол а сохранит
свою величину, а перпендикуляр А а к другой его стороне аоа
(и к линии AqA) представит возвышение точки А над предметной
плоскостью или истинную длину I вертикального отрезка, изобра-
женного на картинной плоскости перспективой Акц. На этом же
рисунке показано построение перспективы n\Ni перпендикуляра
к предметной плоскости (или перспективы /Vi пространственной
точки) по перспективе m основания и высоте I (при известных по-
ложениях точек Fq и Fq). Направление перспективы Nmi этого
перпендикуляра получим, если соединим точку m с точкой схода Fq
перспектив вертикальных линий. Для определения длины перспек-
166
тивы перпендикуляра воспользуемся уже построенным на картине
перспективным масштабом высот (причем перпенди-
куляр аоАо к линии kki может быть построен в любой точке
этой линии, однако прямая аоЕо обязательно должна соединить
намеченную на основании kki картины точку ао с главной
точкой Fq горизонта hhi); прямые пш2 и N2N1 парал-
лельны линии kki, а линия N2F3 проходит через точки П2 и F3;
перспектива Ni вершины перпендикуляра определяется как точка
пересечения прямых F3N1 и N2N1.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА
НА РАВНЫЕ ЧАСТИ
На рис. 81, а и б показано деление в перспективе на наклонной
картинной плоскости вертикальных отрезков на равные
или пропорциональные части. На рис. 81, а показана перспек-
тива АВ вертикального отрезка на плоскости картины, составляю-
щей с предметной плоскостью угол а<90° (вид сверху), а на
рис. 81, б в тех же буквенных обозначениях показана перспек-
тива^ АВ вертикального отрезка при угле наклона плоскости К
к предметной плоскости с£>90° (вид снизу). В обоих случаях за-
даются: угол а, линии kki и hhi, точки схода Fq и F3 (величины
главных расстояний ZZ0 и ZFo) и перспектива АВ отрезка, на-
правленная в точку схода F3.
Соединим перспективу В основания перпендикуляра с главной
точкой Fq горизонта и продолжим прямую FqB до пересечения ее
с линией kki в точке Во, восставим в этой точке перпендикуляр
AqBq к линии kki До пересечения его в точке А о с линией FqA.
Разделив отрезок AqBq на заданное число (4) Травных частей и
соединив точки деления /о, 2о и Зо с точкой схода Fq, получим пер-
спективы 1, 2 и 3 точек деления, причем равенство отдельных ча-
стей перспективы АВ будет нарушено: в первом случае (рис. 81, а)
эти части будут уменьшаться вниз, а во втором (рис. 81, б) —
вверх.
При желании определить истинные величины этих частей, как
и длину всего вертикального отрезка, по их перспективам, при-
шлось бы построить при линии AqBq угол а наклона картины
к предметной плоскости и, проводя пряйые Ло/li, 7оЛ, 2q2i и 3q3i,
параллельные стороне BqBi угла а, найти в пересечении их с пер-
пендикуляром AiBi к этой стороне точки Ai, 1i, 2i и 3i, опреде-
ляющие истинные длины всего отрезка AiBi и его отдельных
частей.
Если делимый на части горизонтальный отрезок прямой парал-
лелен картинной плоскости и, в частности, лежит в предметной
167
плоскости (параллелен основанию картины kki), то равенство
(или пропорциональность) отдельных частей его перспективы cei
не нарушится (рис. 81, в).
Если же отрезок не параллелен линии kki, то получить пер-
спективы его отдельных частей можно, проведя через один ко-
Рис. 81
нец С его перспективы СЕ прямую cei, параллельную основанию
kki картины, и разделив ее на (4) равные части, соединить точки
деления е любой точкой схода / линии горизонта hhi; в пересече-
нии прямых hf, 2if, 3if с перспективой СЕ и определятся перспек-
тивы 1, 2 и 3 точек деления.
Наконец, если прямолинейный отрезок, заданный перспективой
MN, тп (рис. 81, в справа), занимает произвольное поло-
жение в пространстве, до, разделив на 3 равные части епо горизон-
тальную проекцию и проведя через точки деления перпендику-
168
ляры к предметной плоскости до пересечения их с данным отрез-
ком, получим на нем искомые точки деления. Перспективы на
наклонной картинной плоскости таких перпендикуляров пройдут
через точку схода F3 и перспективы 1 и 2 точек деления горизон-
тальной проекции отрезка.
ПЕРСПЕКТИВЫ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Рассмотрим построение перспективы геометрического тела.
Если основание тела находится в предметной плоскости, то по-
строение перспективы такого тела обычно начинается с построе-
ния перспективы его основания. Затем строят перспективу высоты
тела или перспективы его ребер (образующих), пользуясь перспек-
тивным масштабом высот или (при параллельности оснований
тела) точками схода перспектив параллельных отрезков.
Для определения положения тела в пространстве удобнее всего
задавать тело, а также точку зрения ортогональными проекциями,
картинную же плоскость К ее следами Кь и Kv на плоскостях про-
екций (перпендикулярными к проекциям главного луча зрения).
На рис. 82, а показаны ортогональные проекции куба, стоя-
щего на плоскости Н, проекции z и zr точки зрения и следы Кк
и Kv картинной плоскости общего положения.
В первую очередь определяем угол а наклона картинной плос-
кости к плоскости Н, повернув плоскость К вокруг оси fii’i, i'ij)
до положения, перпендикулярного к плоскости V; угол между но-
вым вертикальным следом Kvi и осью проекций ох будет искомым.
Затем в плоскости картины (рис. 82, б) проводим основание
kki картины и в произвольной ее точке fo — центральную линию
F0F3, перпендикулярную к линии kki; при точке /о строим угол а,
на стороне foz которого от вершины fo откладываем отрезок foz,
равный расстоянию горизонтальной проекции z точки зрения
до горизонтального следа Kh картинной плоскости (взятому
с рис. 82, а). Через точку z проводим прямую zZ, перпендикуляр-
ную к стороне foz угла а, и продолжая в обе стороны, находим
в пересечении ее с центральной линией F0F3 точку F%; отложив от
точки z на линии F3Z в другом направлении отрезок zZ, равный
расстоянию z'zx вертикальной проекции z' точки зрения до оси
проекций ох (то есть высоте горизонта над предметной плоско-
стью Н), взятому с рис. 82, а, и проведя прямую ZFo параллельно
линии zfo, получим в пересечении линии zFo с центральной линией
F0F3 главную точку Fo горизонта, через которую пройдет линия hhi
горизонта (параллельная основанию kki картины). Перпендикуляр
ZZq, опущенный из точки Z на линию F0F3, определяет расстояние
точки зрения до картинной плоскости (главное расстояние кар-
тины) и положение главной (центральной) точки Zo картины.
12 В. И. Евтеев и др
169
Теперь перейдем к построению перспективы куба и в первую
очередь — перспективы ABCD его основания, лежащего в плос-
кости Н.
Рис. 82
Чтобы определить положение точек схода Fi и F2 перспектив
параллельных сторон оснований куба, проведем (на рис. 82, а)
через проекцию z точки зрения прямые zfi и zf2t соответственно
170
параллельные проекциям ad и ab сторон основания куба и, отло-
жив на, линии kki (рис. 81, б) от точки fo отрезки /о/i и /0/2, сое-
диним точки /1 и /а с точкой-схода F3; продолжив прямые F$f\ и
Fs^ до пересечения их с линией горизонта hhi, получим на ней
точки схода F\ и Fa.
Следует отметить, что при построении на наклонной картинной
плоскости перспективы какой-либо точки с помощью точек схода
перспектив двух прямых, проведенных через эту точку, из четырех
точек схода Fo, Fi, Fa и F3 необходимо и вполне достаточно иметь
только две точки; причем, для построения перспектив точек, ли-
ний или плоских фигур, находящихся в предметной плоскости, эти
точки схода могут быть взяты в любом сочетании; при построении
же геометрических тел или точек и линий, не лежащих в предмет-
ной плоскостиТ из двух выбранных точек схода одной должна
быть обязательно точка схода F3 перспектив вертикальных пря-
мых. Однако наличие на картине нескольких точек схода перспек-
тив линий доминирующих направлений облегчает и графически
уточняет построение таких линий.
Покажем это на примере построения перспективы ABCD ос-
нования куба. Продолжим горизонтальные проекции ad, be и ab,
cd сторон основания куба до пересечения их с горизонтальным
следом Kh картинной плоскости и полученные точки <ц, Ь\, az, dz
перенесем на линию kki (рис. 82, б), ориентйруясь на точку /о.
Соединив точки ai и bi с точкой схода Fi, а точки az и dz с точкой
схода Fz, получим в пересечении полученных линий (перспектив
линий доминирующих направлений) перспективы А, В, С и D
вершин углов основания куба, а соединяя их в отмеченной после-
довательности,— и перспективу ABCD нижнего основания куба.
Но перспективы А, В, С и D можно получить в пересечении
перспектив и других линий. Например, на рис. 82, б показано
получение перспективы D в пересечении перспективы aiFi (одного
доминирующего направления) с перспективой doFo перпендику-
ляра dod к следу Kh картинной плоскости (рис. 82, а), направлен-
ной в точку Fq.
Наконец, перспективы А, В, С и D можно построить, исполь-
зуя одну из точек схода Fi или Fz и точку схода F3, дающую на-
правления перспектив вертикальных ребер куба, являющихся,
в сущности, картинными следами горизонтально-проектирующих
плоскостей, проводимых через ребра куба и точку зрения
(см. рис. 82, а и б). Горизонтальные следы этих плоскостей
пройдут через горизонтальную проекцию z точки зрения и го-
ризонтальные следы вертикальных ребер куба (то есть через
горизонтальные проекции этих ребер), являясь в то же время
горизонтальными проекциями лучей, направленных из концов вер-
тикальных ребер в точку зрения.
Поэтому (на рис. 82, а) соединим проекции а, Ь, с и d вершин
углов нижнего основания куба с горизонтальной проекцией z
точки зрения и отметим на следе Kh картинной плоскости точки аз,
12*	171
Ьз, сз и dz пересечения прямых az, bz, cz и dz со следом Kh. Пере-
несем точки аз, Ьз, сз и dz на линию kki основания картины
(рис. 82, б), сохраняя их относительное положение (ориентируясь
на точку /о), и соединим их с точкой схода Fz. Прямые Fzaz, Fzbz,
Fzcz и Fzdz дадут направления перспектив AI, BII, CIII л Dili
ребер куба, проходящих через перспективы А, В, С и D вершин
углов его нижнего основания, которые получатся в пересечении
этих прямых с перспективами a\F\ и b\F\ (или агТ^г и Л^г).
Для получения перспективы I, II, III, IV верхнего основания
куба воспользуемся перспективным масштабом высот и углом а
(истинная величина его взята с рис. 82, а), одна сторона кото-
рого по/о перпендикулярна к линии kk\, к другой его стороне поп
в любой ее точке п восставлен перпендикуляр п1, равный истинной
длине ребра куба (взятой с рис. 82, а). Проведя через точку 1
прямую /о/, параллельную стороне поп угла а, до пересечения ее
с перпендикуляром по/о в точке /о и, соединив точки по и /о
с точкой схода Fq, отметим на линии noFo точку Ао, полу-
ченную в пересечении этой линии с прямой ААо, проведенной
через точку А параллельно линии kki. Далее, соединяя точки А о
и Fz и продолжая прямую FzAo до пересечения ее с линией Fo/o,
находим точку Iq. Наконец, проводим через точку 7о прямую IqI,
параллельную основанию kk\ картины, и в пересечении ее с пря-
мой Fzl получаем перспективу I одной из вершин верхнего осно-
вания куба, а вместе с нею — и. перспективу AI одного из верти-
кальных ребер куба. Перспективы остальных ребер куба можно
получить или аналогично получению перспективы AI (с использо-
ванием масштаба высот, 'как это и показано на рис. 82, б при по-
строении перспективы DIV), или с использованием точек схода
F\ и 7*2, в которые направлены перспективы параллельных сторон
верхнего основания куба.
На рис. 82, б показано получение перспективы IV с по-
мощью точки схода 7*о, в пересечении перспектив 4qFq и FzIV,
причем перпендикуляр do4o равен перпендикуляру not о, перспек-
тивы же 4qFq и doFo параллельных прямых, лежащих в плоскости,
перпендикулярной к линии kki, сходятся, как известно, в цент-
ральной точке Fq горизонта (применение этой точки становится
удобным, если точки схода Fi и 7*2 находятся далеко от централь-
ной точки горизонта).
Построение перспективы какого-либо геометрического тела на
наклонной картинной плоскости, образующей с горизонтальной
плоскостью 77 тупой угол а (вид снизу), по существу, ничем
не отличается от рассмотренного построения перспективы тела
(куба) при взгляде на него сверху. Однако точка схода Fz пер-
спектив вертикальных ребер (или образующих) этого тела будет
находиться над линией горизонта hh\ (рис. 83, а и б) и опреде-
лится в пересечении центральной линии FzFq картины со сторо-
ной zFz прямоугольного треугольника fozFz, построенного на ли-
нии F3f9.
172
Получение точек схода F\ и Fz перспектив параллельных сто-
рон оснований призмы (по точкам /1 и /2, взятым с рис. 83, а) и
перспектив ее вертикальных ребер (по точкам 7з, 2з, Зз и 4$ на
линии kki), а также перспективного масштаба высот (по углу а
наклона картинной плоскости К к плоскости Н, взятому с
рис. 83, а) для построения перспектив А, В, С и D вершин углов
верхнего основания призмы аналогично изложенному выше по-
строению перспективы куба и становится понятным при рассмот-
рении рис. 83, а и б.
173
На рис. 83, б показано также получение точки схода Fi по
точке F2, главному расстоянию ZFq горизонта и углу Р, состав-
ленному доминирующим направлением горизонтальных проекций
ab и cd сторон основания призмы с горизонтальным следом Kh
картинной плоскости.
На линии hhi горизонта построен прямоугольный треугольник
F2Z1F1 с углом Р и высотой ZiFo, равной ZFq*, точка схода F\
определяется в пересечении катета Z\F\ с линией hh\.
Не останавливаясь на описании других способов построения
перспективы на наклонной плоскости с применением других то-
чек схода (например, точек расстояний), сходных с известными
способами построения перспективы на вертикальной плоскости,
отметим, что вышеизложенный метод построения перспектив (куба,
призмы и других тел) по точкам схода перспектив линий основных
(часто взаимно-перпендикулярных) направлений является доста-
точно простым и удобным, например, при построении перспектив
архитектурных сооружений («метод архитекторов»). Объединение
же его с методом радиальной перспективы, основанном на опреде-
лении следов центрально-проектирующих лучей на картинной
плоскости (с применением точки схода F3), дает широкую возмож-
ность его применения при построении перспективы на наклонной
плоскости с использованием любых (удобных) точек схода из че-
тырех основные Fo, Fi, F2 и F3.
Однако следует отметить, что всецда необходимая при построе-
нии перспекТйв на наклонной картине пространственных форм
точка схода F3 обычно располагается на плоскости картины далеко
от точки Fo, создавая неудобства при построении; и хотя избе-
жать их можно, применив дробные точки схода, все же использо-
вание последних усложняет построение. Отсюда естественным
стремлением является создание такрго метода построения перспек-
тивы на наклонной плоскости, который позволил бы избежать
применения точки схода F3 (а мржет быть и других точек схода).
Перейдем теперь к изложению этого метода.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ
НА НАКЛОННОЙ КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТИ
МЕТОДОМ ОГРАНИЧЕНИЯ КАРТИНЫ
Сущность этого метода состоит в ограничении картинной пло-
скости К простейшими линиями, параллельными ее следам Кк и
Kv9 то есть горизонталью и фронталью, и отыскании точек пере-
сечения центрально-проектирующих лучей с ограниченной частью
плоскости К. В случае применения обеих линий создается пол-
174
ное ограничение картины (ограниченная этими линиями и сле-
дами Kh и Kv часть плоскости представит параллелограмм), и
тогда построение перспективы может быть выполнено без приме-
нения точек схода; при неполном же ограничении картины (об-
щего положения) одной только линией (чаще — горизонталью и,
конечно, горизонтальным следом Kh) наличие одной из точек
схода (Fo, Fi или F%) является необходимым. Остановимся здесь
только на примерах построения перспективы на наклонной пло-
скости в случаях полного ее ограничения1.
Рис. 84
На рис. 84, а положение точки зрения (зрителя) отмечено ор-
тогональными проекциями z и z', положение наклонной картинной
плоскости — ее следами — горизонтальным Kh на предметной пло-
скости и вертикальным Kv, положение точки, перспективу которой
на плоскости К мы хотим получить,— ортогональными проекциями
а и а.
Ограничим картинную плоскость горизонталью (3 4, 3'4') и
фронталью (14, 1'4')*, причем, как известно, горизонтальная про-
екция 3 4 горизонтали должна быть параллельна горизонтальному
следу Kh плоскости, в которой она находится, а ее вертикальная
проекция 3'4' — параллельна оси х-ов; горизонтальная же проек-
ция 1 4 фронтали плоскости будет параллельна оси х-ов, а ее вер-
тикальная проекция 1'4' — параллельна вертикальному следу Kv
плоскости.
1 Подробное изложение этого метода можно найти в статье А. Я. 3 м е т-
н о г о, помещенной в «Сборнике научных трудов кафедры начертательной гео-
метрии ЛИСИ», Л., 1962.
175
Найдем теперь пересечение плоскости полученного параллело-
грамма (1 2 3 4, 1'2'3'4') с лучом (az, a'z'), соединяющим данную
точку (а, а') с точкой зрения (z, z'). Для этого, как известно, надо
провести через указанный луч вспомогательную горизонтально*
проектирующую или вертикально-проектирующую плоскость и,
найдя линию пересечения ее с плоскостью параллелограмма, отме-
тить точку пересечения полученной линии с лучом; эта точка и
будет искомой.
Для решения такой задачи достаточно ограничиться проведе-
нием через луч любой проектирующей плоскости. Результат будет
один и тот же: искомая точка будет всегда находиться в пересече-
нии луча с полученной линией пересечения и, следовательно,
будет являться и точкой встречи самих линий, полученных от пере-
сечения проектирующих плоскостей с плоскостью картины К. По-
следнее обстоятельство можно использовать для построения пер-
спективы точки, которая на картиннбй плоскости будет находиться
в пересечении указанных линий.
Так, на рис. 84, а искомая точка (ао, а0) получена с одной сто-
роны проведением через луч (az, a'z') горизонтально-проектирую-
щей плоскости, которая в пересечении с площадью параллело-
грамма дает линию (тп, т'п), а с другой — проведением через
тот же луч вертикально-проектирующей плоскости, дающей в пе-
ресечении с площадью параллелограмма линию (Щ, 1'1 j)> обе эти
линии пересекутся в точке (а, а'), принадлежащей и лучу
(az, a'z'). Совмещая плоскость параллелограмма с находящимися
в ней линиями и точками с какой-либо плоскостью проекций
(найдя предварительно истинные размеры 1 2 и 2'3' его сторон и
местоположения отдельных их точек т, п, I' и Zj), получим в пере-
сечении совмещенных линий искомую перспективу точки. Такое
совмещение показано на рис. 84, б.
Здесь построена истинная форма параллелограмма I II III IV
по его сторонам I II, равной / 2, II III, равной 2'3' и углу I IIL\,
равному углу c2L\ и равному углу а, величина которого полу-
чена (рис. 84, а) предварительным совмещением точки с пло-
скостью Н (из l'i опущен перпендикуляр 1\1\ на ось ОХ; из точки/i
опущен перпендикуляр ZiLi на горизонтальный след Kh плоскости,
отмечена точка с, а из точки 2' описана дуга радиуса 2'1\, которая
в пересечении с линией cLi и даст совмещенную точку L\); СП
равно с2; CLi равно cLi; треугольник С II L\ равен треугольнику
c2Li; через точку L\ проведена сторона IIIII, равная 2'3'. Ко-
нечно, истинную форму и размеры параллелограмма (12 34,
1'2'3'4) можно получить и иным способом, например, проведением
в нем диагонали, делящей параллелограмм на два треугольника,
и построением каждого из них по трем сторонам (определив пред-
варительно истинную длину проведенной диагонали).
176
На сторонах построенного параллелограмма I II III IV отме-
чают точки L, Li, М и N (JL равно 1'V; IIL\ равно 2'1/;
IM равно 1т; IVN равно 4п) и в соответствии с рис. 84, а соеди-
няют их попарно прямыми MN и LL\, представляющими линии
пересечения плоскости параллелограмма с горизонтально-проекти-
рующей и вертикально-проектирующей плоскостями, проведенными
через луч зрения. В пересечении же прямых MN и LL\ получают
искомую перспективу А о данной точки (а, а).
Рис. 85
Как видно, построение перспективы А о выполнялось без приме-
нения каких-либо точек схода или линий, в цих направленных.
Последние были заменены указанными линиями MN и LL\, по-
ложение которых определялось точками, расположенными на сто-
ронах построенного параллелограмма/ Конечно, последний может
быть заменен любой плоской замкнутой фигурой, полученной в ре-
зультате ограничения картинной плоскости различными (и лучше
наиболее простыми) линиями, например, сторонами треугольника,
прямоугольника и др.
В разобранном примере было показано построение перспективы
на картинной плоскости, составляющей с предметной плоскостью Н
острый угол наклона (вид сверху).
На рис. 85, б выполнено построение перспективы куба, стоя-
щего на плоскости Н, при высоком горизонте (вид сверху); орто-
гональные проекции куба даны на рис. 85, а.
Здесь проекции главного луча зрения проведены через гори-
зонтальную z и вертикальную z' проекции точки зрения к центрам
177
квадратов, представляющих проекции куба, а следы Kh и Kv кар-
тинной плоскости перпендикулярны к соответствующим проекциям
главного луча. Проекции горизонтали, фронтали и получаемых при
пересечении картинной* плоскости проектирующими плоскостями
линий пересечения отмечены такими же буквами, как на рис. 84.
Все размеры рис. 85,6, взятые с рис. 85, а, увеличены вдвое. Так,
I II равно 2(12); II III равно 2(2'3'); IIILi равно 2(3'1^,
IVL равно 2(4'1'); IM равно 2(1т); IVN равно 2(4п). Анало-
гично построены перспективы и других вершин куба. Центральная
линия .RS картинной плоскости, перпендикулярная к основанию
I II картины, показана штрих-пунктирной. Главная точка Zo кар-
тины находится в пересечении линии с прямой PQ. Истинная
форма параллелограмма I II III IV получена по его сторонам, от-
резку II V и высоте III И,(*акже увеличенным вдвое). Последняя
получена совмещением точки 3, 3' с плоскостью Н путем враще-
ния ее вокруг горизонтального следа Кк плоскости параллело-
грамма (3'3 перпендикулярен ох; ЗШ\ перпендикулярен Кл; из
точки 2 описана дуга радиуса 2'3' до пересечения ее в точке IIIi
с линией ЗШ\; далее, II V равно 2(2 5) и III V равно 2(5 1П\).
Все дальнейшее построение ведется в следующей последователь-
ности.
1.	Соединяют горизонтальные проекции вершин куба с гори-
зонтальной проекцией z точки зрения и отмечают точки пересече-
ние проведенных линий с горизонтальными проекциями сторон
параллелограмма.
2.	Соединяют вертикальные проекции вершин куба с верти-
кальной проекцией z' точки зрения и отмечают точки пересечения
проведенных линий с вертикальными проекциями сторон парал-
лелограмма.
3,	Отмеченные точки переносят на соответствующие стороны
совмещенного параллелограмма, сохраняя их последовательность
и расстояния между ними (в случае увеличения .размеров всего
чертежа расстояния между точками должны быть увеличены во
столько раз, цо сколько были увеличены стороны совмещенного
параллёлограмма ).
4.	Полученные на сторонах параллелограмма точки (в соответ-
ствии с ортогональным чертежом) попарно соединяют между со-
бою прямыми линиями.
5.	В пересечении соответствующих линий отмечают точки, пред-
ставляющие перспективы вершин куба.
6.	Соединяя перспективы вершин куба между собою прямыми,
получают перспективу самого куба.
На рис. 86, б показано построение перспективы призмы, стоя-
щей на плоскости Н, при взгляде на нее снизу (на наклонной кар-
тйне, составляющей с предметной плоскостью тупой угол), при-
чем картинная плоскость взята перпендикулярно к плоскости V.
Ограничение картинной плоскости (рис. 86, а) сделано только од-
ной горизонталью (ab, a'V), которая в этом случае проектируется
I78
на плоскость V в виде точки ab', а па плоскость Н — в виде пря-
мой ab, параллельной горизонтальному следу Kh плоскости К.
Если бы для ограничения картины была взята и фронталь, кото-
рая в этом случае была бы перпендикулярна к горизонтальному
следу Kh плоскости, то ограниченная часть этой плоскости пред-
ставляла бы прямоугольник, поэтому проводить такую фронталь
нет необходимости. Достаточно к линии Kh (рис. 86,6) в любой
ее точке С провести перпендикуляр СВ, отложить на нем все
Рис. 86
точки, полученные в пересечении вертикального следа Kv картины
с вертикальными проекциями лучей зрения, направленными из
вертикальных проекций вершин углов призмы к вертикальной
проекции z' точки зрения (на рис. 86, б, увеличенном вдвое, в бук-
венных обозначениях показано построение перспектив /о и Но двух
точек (1, 1') и (2, 2') концов ребра (12, 1'2') призмы и перспек-
тивы loll о этого ребра), и через полученные точки I, И... провести
прямые, параллельные основанию Kh картины. Отметив на этом
основании, а также на горизонтали АВ (на удвоенных расстояниях
и в соответствующей последовательности) взятые с рис. 86, а
точки пересечения следа Kh картинной плоскости и горизонтальной
проекции ab горизонтали с проекциями на плоскости Н лучей
( зрения (соединяющими проекции вершин углов призмы с проек-
цией z точки зрения), соединим на совмещенной картине все точки
основания Kh с соответствующими точками горизонтали АВ пря-
мыми; тогда точки пересечения последних с соответствующими
179
прямыми, параллельными основанию Kh, и представят перспек-
тивы вершин углов призмы, которые при соединении дадут перс-
пективное изображение всей призмы.
Если бы встретилась необходимость (например, для проверки
графической точности построения или для Построения перспектив
теней) получить на картинной плоскости линию горизонта hh\,
параллельную основанию картины, и главные точки Fo и Zo го-
ризонта и картины, достаточно было бы провести через проекции z
Рис. 87
и z' точки зрения прямые z4 и z'fo', параллельные оси ох, и опу-
стить из точки z' перпендикуляр на вертикальный след Kv плос-
кости К, затем перенести точку 3 на линию АВ (рис. 86,6),
точку, 4 — на основание картины (ориентируясь на точки Л и 2\
с учетом увеличения), а точки fo' и zo—на линию ВС (hill
равно 2(113); IIiIV равно 2(2i4); CF равно 2(2', fo'); FZ\ равно
2(fo', zo'); тогда в пересечении центральной линии III IV, перпен-
дикулярной к основанию картины Kh, с линией горизонта hhi, про-
веденной через точку F параллельно основанию картины Kh, по-
лучилась бы главная точка горизонта /*о,_а с линией Zi Zo — глав-
ная точка картины Zo. Конечно, при точности чертежа перспек-
тивы параллельных сторон обоих оснований призмы должны схо-
диться в двух точках схода, расположенных на линии горизонта hhi,
а перспективы вертикальных ребер призмы будут направлены
180
к общей точке схода, как известно, расположенной на централь-
ной линии (в нашем примере — далеко за пределами чертежа).
В случае полного ограничения плоскости можно взять две го-
ризонтали и две фронтали, или горизонтальный след плоскости,
горизонталь и две фронтали. В обоих случаях ограниченной фи-
гурой явится параллелограмм. Такое ограничение картинной пло-
скости показано на рис. 87, а.
Здесь сторонами параллелограмма, ограничивающими плос-
кость К, являются: отрезок (12, 1'2') горизонтального следа Kh
плоскости, ее горизонталь (34, 3'4') и две параллельные верти-
кальному следу Kv плоскости фронтали (14, 1'4') и (2 3, 2'3');
точка зрения (z, z) взята в плоскости Н; картинная плоскость на-
клонена в сторону зрителя (вид на предмет снизу), причем глав-
ный луч зрения направлен приблизительно к середине предмета,
а следы Kh и Къ картинной плоскости расположены перпендику-
лярно к одноименным проекциям этого луча (последние показаны
штрих-пунктирными линиями). Перспектива (рис. 87, б) в срав-
нении с ортогональными проекциями увеличена в три раза. Парал-
лелограмм III III IV построен по сторонам и высоте CIII, равной
3(cIIh), а СП равно 3(с2), причем определение истинной длины
высоты по ее ортогональным проекциям сЗ и с'З' показано двумя
способами: методом вращения с' 3\ и построением прямоугольного
треугольника сЗЗо, в котором катет ЗоЗ равен 3'3Х, а гипотенуза
сЗо, равная сПЦ, определяет длину высоты. Построение перспек-
тивы группы призм, показанное на рис. 87, б, можно проследить
по получению перспективы А точки (а, а), оно становится понят-
ным при рассмотрении рисунка 87 без особых пояснений.
ПЕРСПЕКТИВЫ ТЕНЕЙ
Приемы построения на наклонной картинной плоскости пер-
спектив теней пространственных форм по их перспективным изо-
бражениям сходны с известными приемами построения перспектив
теней на вертикальной плоскости и в основном сводятся к построе-
нию перспектив теней отдельных точек этих форм. Для этого, как
известно, задавшись направлением обычно параллельных световых
лучей, намечают на линии горизонта hhi точку s схода перспектив
горизонтальных проекций этих лучей, а также точку S схода пер-
спектив самих лучей. Обе эти точки $ и S связаны между собою
прямой линией Ss, причем при построении перспектив теней на
вертикальной картине линия Ss проводится перпендикулярно к ли-
нии горизонта hhi; в случае же наклонного положения картинной
181
плоскости прямая Ss при ее продолжении должна пройти через
точку схода F3 перспектив вертикальных линий, так как прямая
sF$ является линией пересечения картинной плоскости с горизон-
тально-проектирующей плоскостью, проходящей через точку зре-
ния Z и прямую ZS, параллельную пространственным световым
лучам (то есть линией схода перспектив параллельных световых
плоскостей). Дальнейшее построение перспектив теней связано
с отысканием точек пересечения световых лучей, проводимых че-
рез отдельные точки предмета, с различными плоскрстями или по-
верхностями, встречающимися на пути этих лучей.
На рис. 88, а показано построение перспективы А о тени от
точки (А, а), падающей на предметную плоскость; картинная пло-
скость наклонена к предметной плоскости под углом а<90°. Пер-
спектива Ло на дающей тени находится в пересечении перспективы
as горизонтальной проекции светового луча с перспективой А 5
светового луча (направление последних определено положением
точек s и S); точка S взята на прямой sFs. Положение точек $ и 5
зависит от направления светового луча относительно плоскостей
Н и К и положения источника света перед картиной или за нею.
На рис. 88, б показано построение перспективы AqBq тени, падаю-
щей от вертикального отрезка (АВ, ab), сводящееся к построению
перспективы ?4о тени от вершины (А, а); картинная плоскость об-
разует с предметной угол с£>90°.
На рис. 88, в построена перспектива AqBq тени, падающей от
вертикального отрезка (АВ, ab) на предметную и вертикальную
плоскости, а на рис. 88, г — перспектива АоВо тени на предметной
и наклонной плоскостях; в обоих примерах угол а<90°; положе-
ния' точек Fq, F3, s и S, а также линий kki и hhi заданы (построе-
ние сводится
проведенного
скостью).
Наконец, на рис. 88, д дано построение перспектив падаю-
щей и собственной теней призмы, стоящей на предметной плоско-
сти. Здесь показана возможность использования точки схода f
при построении перспективы Iq IIq падающей на предметную
плоскость тени от горизонтальной стороны верхнего основания
призмы (перспективы I II и IqIIq этой стороны и тени от нее
сходятся в точке f).
В заключение следует отметить, что при отсутствии на чертеже
точки схода F3 (например, в случае построения перспективы мето-
дом ограничения картинной плоскости) получить направление
линии SF3, на которой берется точка S, все же можно, основываясь
на пропорциональности отрезков параллельных линий kki и hhi
(рис. 88, е). Действительно, при наличии на чертеже центральной
линии IqFq, перспективы. АВ какого-либо вертикального отрезка
и намеченной на линии горизонта hhi точки s можно установить
следующую пропорциональность:	“7^ • Неизвестной вели-
к нахождению точки пересечения светового луча,
через верхнюю точку отрезка, с данной пло-
182
к
вв0
Рис. 88
чиной в этой пропорции является отрезок /оп, который легко опре-
делить графически: пропорциональным делением стороны сп угла
ncSi (любой величины), построенного при линии kki; причем
с/1 равно CFq; fiSi равно Fqs, a Sin параллельно /i/о- На прямой sn,
направленной в точку F3, можно наметить точку схода S перспек-
тив световых лучей; а по точкам s и S можно построить, например,
перспективу AqBq тени от вертикального отрезка на предметной
плоскости.
ПРИЛОЖЕН ИЕ
ОТМЫВКА ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
Педагогическая работа в школе неизбежно свяэана с разработ-
кой и выполнением различных учебных пособий в виде плакатов,
чертежей, схем, таблиц и т. п. Естественно, что эти пособия
должны быть наглядными. Между тем, контурный рисунок или
чертеж какого-либо предмета, выполненный в полном соответствии
с законами перспективы, не всегда обладают достаточной нагляд-
ностью. В таком случае иллюзии объема, пространства добиваются
путем выявления светотеней изображаемых предметов.
Одним из наиболее эффективных способов выявлений светоте-
ней является отмывка изображений.
Под отмывкой подразумевается вполне определенный метод
оформления графических работ тушью, разведенной водой.-Иногда
тем же словом обозначают процесс последовательного тонирова-
ния чертежа тушью или акварелью и реже — выполненную спосо-
бом отмывки работу.
В настоящем приложении даны описание и методика отмывки
графических работ. Этот материал может быть использован учи-
телем при объяснении правил отмывки.
ПОДГОТОВКА ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПОД ОТМЫВКУ
Если какую-либо графическую работу предполагается отмыть,
то выполнить ее следует на плотной чертежной бумаге, наклеен-
ной на доску или подрамник. Соблюдение этих условий обяза-
тельно, так как недостаточно плотная бумага при высыхании мо-
жет порваться; бумага же, не наклеенная на доску, значительно
затрудняет отмывку, а высохнув, остается волнистой.
Наклеивать бумагу на доску (подрамник) можно с подклад-
ным листом и без него. Первый способ предпочтительнее. Благо-
даря эластичной подоснове, какой является подкладной лист, ра-
13 ВИ. Евтеев и др.
185
бочая поверхность бумаги делается исключительно ровной, лучше
сопротивляется проколам чертежными инструментами и жесткими
карандашами.
Перед наклейкой бумаги поверхность доски тщательно очи-
щается от остатков старой бумаги, грязи и клея.
Приготовляется клейстер из муки или казеина. Иногда для
той же цели служат фотоклей или столярный клей.
Края бумаги отгибают по всем четырем сторонам таким обра-
зом, чтобы образовался род ванночки или кювета с высотой боко-
вых стенок 1,5—2 см. Выполнение этой операции требует опреде-
ленной последовательности. Вначале отгибают края двух длинных
сторон, затем — коротких; придают отогнутым краям вертикаль-
ное положение и прижимают уголки к бортам кювета (рис. 1).
После этого рабочую поверхность бумаги смачивают водой
с помощью,ватного тампона, оставляя сухими отогнутые края. По
истечении 3—6 мину!* остаток не впитавшейся в бумагу воды сли-
вают, края листа смазывают клеем, лист кладут на доску и при-
клеивают его руками, отжимая лишний клей карандашом или рей-
кой, слегка растягивая бумагу с противоположных сторон. Указан-
ную работу удобнее всего выполнять вдвоем, особенно если лист
бумаги превышает стандартные размеры. Вдвоем легче растянуть
бумагу, прижать ее края к доске и следить за тем, чтобы эти края
не отставали от доски. От правильного, то есть равномерного и не
слишком сильного растягивания бумаги одновременно с четырех
сторон и от качества клея зависит успех всей работы. Если натя-
жение листа на доске окажется слишком сильным, бумага после
высыхания разорвется. При неравномерном растягивании бумагу
может «повести» во время сушки и тогда поверхность листа станет
волнистой. Начинающих следует особенно предостеречь от растя-
гивания бумаги по диагонали (с угла на угол). Это ведет к обра-
зованию складок по углам листа.
В зависимости от поставленной цели бумага может при-
клеиваться как к лицевой стороне доски, так и к ее торцам. Метод
наклейки в обоих случаях остается одинаковым.
Наклеенный на доску лист нуждается в просушке. Для этого
доску укладывают в закрытом помещении горизонтально. Выстав-
лять доску на солнце или ставить ее на батареи водяного отопле-
ния не следует. Это может привести к неравномерному высыханию
бумаги, опасному обезвоживанию клея, деформациям доски или
подрамника, а в конечном счете — к разрыву листа или его отста-
ванию от ДОСКИ.	'
Только после того, как бумага на доске совершенно высохнет
и разгладится, она становится пригодной для выполнений на ней
графических работ. Чертить или рисовать на влажной бумаге не-
допустимо, так как в этом случае ее поверхностный слой легко по-
вредить карандашом, резинкой или чертежными инструментами.
Вообще предохранение бумаги от всевозможных повреждений —
одно из важнейших условий хорошей отмывки без пятен и затеков.
186
Карандаши для работы следует выбирать средней твердости
(Т, ТМ, М). Карандаш надо вести легко, не продавливая им бу-
магу. Резинка должна быть мягкой, пользоваться ею следует "как
можно осторожнее и только в самых необходимых случаях. По-
верхности рейсшин и угольников, соприкасающихся с бумагой,
должны быть гладкими и чистыми, чтобы не загрязнять и не ца-
рапать лицевую сторону листа.
Законченная в карандаше работа обводится разведенной ту-
шью под тон карандаша. Толщина обводки должна соответство-
вать тонким карандашным линиям. Только линии разрезов обво-
дятся несколько толще.
Контуры теней тушью не обводятся. Поэтому
построение контуров теней логичнее выполнять после обводки изо-
бражения тушью. Так выполняются, например, архитектурные
чертежи.
Обводка тушью способствует прочному закреплению каран-
дашных линий на бумаге и более четкой проработке рисунка.
Кроме того, мало заметные невооруженным глазом бороздки, ос-
тавляемые на бумаге рейсфедером, препятствуют туши растекаться
по бумаге, что играет положительную роль при отмывке.
Обводка машиностроительных чертежей производится более
насыщенным тоном туши; толщина линий обводки при этом
должна соответствовать ГОСТу 3456—59.
Нередко при выполнении небольших учебных пособий и дру-
гих мелких графических работ исполнитель сознательно отказы-
вается от обводки. Это позволяет сохранить самые тонкие детали
рисунка, а последующую отмывку выполнить мягче, живописнее.
Обводка тушью учебных пособий (плакатов, карт и т. п.), рас-
считанных на зрительное восприятие с далеких расстояний, как
правило, производится уже после отмывки. Эта обводка выпол-
няется обычно плакатными перьями. Получающиеся при этом
широкие линии обводки позволяют скрыть те или иные неточ-
ности в отмывке контуров изображения.
Перед тем как приступить к отмывке, рекомендуется промыть
бумагу чистой водой с помощью ватного тампона ил*и большой
кисти (флейца). Если же она оказалась сильно загрязненной и
местами зажиренной и результату прикосновения рук, то лучше
промыть ее смесью воды с нашатырным спиртом (1 чайную ложку
спирта на Va стакана воды) или мыльным раствором с последую-
щим смыванием его чистой водой.
Если бумага, на которой выполнялся контурный рисунок, ока-
залась недостаточно плотной или ее поверхностный слой был на-
рушен в процессе выполнения графической работы, стал рыхлым,
ворсистым, то рабочую поверхность листа можно покрыть слабым
раствором квасцов С/г чайной ложки на стакан воды).
Соблюдение всех вышеуказанных правил обеспечит хорошую
подготовку графической работы подчэтмывку.
13*	187
МАТЕРИАЛЫ И ИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ ОТМЫВКИ
Для обводки и отмывки графических работ пользуются исклю-
чительно сухой тушью, известной под названием «китайской».
Спиртовая тушь и тем более чернила для этой цели абсолютно
непригодны. Обычно «китайская» черная тушь имеет нейтраль-
ный тон, но встречается также с теплым или холодным оттенком
и даже цветная.
Рис. 1
Чтобы приготовить разведенную тушь, надо палочку сухой
туши тереть в воде. Чаще всего тушь трут о дно блюдца, в ко-
торое налита вода комнатной температуры. При таких условиях
тушь не отстаивается и не распадается на крупинки. Однако раз-
водить тушь таким способом слишком долго. Чтобы натереть ее
быстрее, нередко используют сосуды с шероховатым дном или
трут палочку в теплой воде о кусочек матового стекла. Все эти
способы форсируют приготовление туши, но не без ущерба для ее
качества — появляется много крупинок и тушь перестает быть
тонкотертой. Поэтому разведенную до предельной черноты тушь
фильтруют через промокательную бумагу, вату или несколько
слоев марли. Готовая к употреблению тушь может сохраняться
длительное время в закрытом сосуде. Для отмывки густотертую
тушь разливают в чашки или блюдца и разбавляют чистой водой
до нужной насыщенности тона. При работе необходимо следить,
188
чтобы в раствор туши не попадала пыль, которая может оказаться
причиной появления темных точек и полос на отмывке.
Обычные акварельные
кисти, беличьи и колонковые,
вполне пригодны для работы
разведенной тушью. Наиболее
целесообразно использовать
кисти различных номеров, со-
ответственно размерам изобра-
жения и степени его детализа-
ции, но если отмывка ведется
одной кистью, то среднюю или
крупную кисть всегда следует
предпочесть мелкой. Кисть
должна хорошо впитывать во-
ду, приобретая при этом остро-
конечную форму, вбирать раст- А
вор туши в приподнятом по-
ложении и отдавать его — в
опущенном. При умении регули-
ровать запас разведенной туши
в кисти ее «острый» конец мо-
жет быть использован для	Рис* 2
выполнения самых тонких ра-
бот (рис. 2). Если кисть достаточно крупна, она позволяет* поло-
жить широкий мазок и сравнительно быстро перекрыть одним
тоном значительную площадь листа.
Таким образом, умение приготовить чистую тонкотертую тушь,
выбрать кисть и хорошо владеть ею является одним из обязатель-
ных условий высококачественного выполнения отмывки.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОТМЫВКИ
Общеизвестно, что в природных условиях по мере удаления от
зрителя видимый тон и цвет предметов заметно меняется. Явление
это нельзя объяснить ослаблением степени освещенности предме-
тов при увеличении расстояния от источника света, так как прак-
тически по отношению к солнцу все предметы находятся на оди-
наковом расстоянии от него. Действительная причина этого явле-
ния в том, что все предметы приходится рассматривать через
более или менее значительный слой воздуха, в котором находятся
частицы пыли, влаги, микроорганизмы и прочие посторонние при-
меси. Насыщенность воздуха этими элементами больше у поверх-
ности земли; с увеличением высоты воздух становится чище и
прозрачнее.
В зависимости от погоды, времени дня и времени года, от сте-
пени загрязнения воздуха посторонними примесями и от расстоя-
189
кия между предметом и зрителем будет меняться тон и цвет пред-
мета, рассматриваемого сквозь воздушную толщу.
В реальных условиях видения обычно наблюдают посинение
цветов вдали. Кроме того, по мере удаления от зрителя темные
предметы представляются более светлыми, а светлые — как бы
теряют яркость тона и цвета. Это явление получило название воз-
душной перспективы.
С явлениями воздушной перспективы не могут не считаться
художники и архитекторы при выполнении своих работ. Путем
учета законов воздушной перспективы декоратор создает
впечатление необъятных далей на сравнительно небольшой сцене.
Мастера садово-паркового искусства, размещая различные породы
деревьев на основе законов воздушной перспективы, добиваются
иллюзорного расширения пространства и большей глубины ланд-
шафтных картин в условиях ограниченных территориальных
участков.
При выполнении отмывки необходимо учитывать основные за-
коны воздушной перспективы. Кратко они могут быть сформули-
рованы в следующих пунктах:
1.	Чем ближе к зрителю освещенная поверхность, тем она свет-
лее и тем темнее йа ней собственные и падающие тени. По мере
удаления от глаза наблюдателя освещенные поверхности приобре-
тают тусклый оттенок, а тени «высветляются», так что* контраст
между светом и тенью становится менее заметным.
2.	Поверхность, освещенная прямыми лучами света, то есть
падающими Нормально к поверхности, всегда светлее освещенной
наклонными лучами. Таким образом, степень освещенности по-
верхности при скользящих лучах света будет наименьшей.
3.	Тени, падающие от предмета на соседние плоскости, обычно
темнее собственных теней предмета.
4.	Благодаря отраженному свету собственные тени «усвет-
ляются» к краю, а падающие — по направлению к той поверх-
ности, от которой чони падают. Это явление носит название реф-
лекса. На одной и той же поверхности рефлекс всегда будет отно-
сительно темнее освещенной ее части.
Приведенные здесь правила основаны на изучении законов
объективного мира и являются как бы результатом длительного
наблюдения явлений природы человеком. Однако эффекты воз-
душной перспективы так сложны и многообразны, что, конечно, не
могут быть исчерпаны основными правилами. Поэтому для полу-
чения отличной отмывки недостаточно запомнить перечисленные
выше пункты, надо еще внимательно наблюдать окружающую
природу, развивать пространственное воображение, присматри-
ваться к теням, рефлексам, изменениям света и цвета предметов
в естественных природных условиях. Результаты таких наблюде-
ний могут быть с успехом использованы в практической работе
для придания изображенным на чертеже предметам лживого об-
лика», свойственного предметам окружающей действительности.
190
ТЕХНИКА ОТМЫВКИ
Овладеть техникой отмыбки — значит практически освоить
комплекс навыков, позволяющих обеспечить высокое качество
оформления чертежей разведенной тушью. Чтобы справиться
с отмывкой сложных графических работ, надо уметь: равномерно
покрывать тушью большие поверхности, создавать постепенные
переходы от светлых тонов к темным, «разбирать» плоскости, вы-
являя путем последовательного тонирования, какие из них яв-
ляются ближними и какие — дальними, предотвращать появление
нежелательных полос- и пятен при наложении одного слоя на дру-
гой и пр.
При оформлении графических работ часто появляется необхо-
димость покрыть одним тоном значительную по размерам пло-
щадь: фон, крупную проекцию, большую тень и т. п. Если во
время выполнения этой работы подрамник расположить горизон-
тально или пользоваться излйшне густой Тушью, появятся пятна.
Если тушь наносить мазками сверху вниз параллельно боковым
кромкам подрамника, на бумаге Могут остаться полосы. Трудно
избежать полос и в том случае, когда вторично наносят тушь на
еще не высохший первый слой или когда работают сухой кистью
или'тушью, в которую попала пыль.
Поэтому одним из первых условий равномерного покрытия
большой плоскости следует считать придание доске (подрамнику)
соответствующего уклона в 15—20°, который обеспечил бы стека-
ние раствора туши сверху вниз. Тон разведенной туши должен
быть возможно более слабым, так Как чем насыщеннее раствор
туши, тем больше сноровки требуется от исполнителя.
Для достижения нужной насыщенности тона безопаснее покры-
вать большую плоскость изображения несколько раз, а не пы-
таться форсиро9ать работу однократным покрытием. Правда, на
повторные покрытия тратится больше времен^, так как каждое
последующее нанесение раствора туши требует полного просыха-
ния предыдущего слоя, но зато опасность появления нежелатель-
ных затеков или трудносмываемых пятен соответственно умень-
шается.
Перечисленные условия играют большую роль для равномер-
ного распределения разведенной туши на листе бумаги.
Однако самым важным условием равномерного покрытия сле-
дует считать Косую штриховку кистью, насыщенной раствором
(рис. 3). Вначале «обходят» кистью верхнюю границу площади,
предназначенной под заливку. Потом кистью наносят под углом
35—45° сверху вниз-ют намеченной границы косые частые мазки.
Стекая, тушь размывает границы между мазками, что препят-
ствует образованию полос. Вся операция должна выполняться
с начала до конца без перерывов, чтобы не дать стекающему
в виде валика раствору засохнуть. Когда вся необходимая пло-
щадь изображения залита тушью, лишний раствор, собравшийся
191
внизу, убирают кистью. Для этого с кисти предварительно стряхи-
вают избыток влаги и прикасаются ее острым концом к остатку
раствора, держа кисть в приподнятом положении.
При освоении техники отмывки труднее всего научиться де-
лать постепенные плавные переходы от светлого тона к темному и
наоборот. Существует два способа выполнения такой работы:
слоевой и размывной. Оба они часто употребляются при отмывке
Рис. 3
изображений наклонных плоскостей, кривых поверхностей ч
теней.
При слоевом способе предназначенную для отмывки по-
верхность разбивают на ряд полос, чаще одинаковой ширины. Чем
больше полос, чем уже полосы и светлее разведенная тушь, тем
естественнее и незаметнее получается переход из одного тона
в другой. Расположение полос должно быть таким, чтобы каждая
из них на всем своем протяжении условно находилась в одной
плоскости. Рассматривая полосы как ряд последовательно при-
ближающихся или удаляющихся плоскостей, отмывку ведут с уче-
том особенностей воздушной перспективы. Вначале одним тоном
покрывается вся поверхность. При последующем нанесении ра-
створа туши по предварительно просохшему первому слою пло-
щадь покрытия уменьшается на одну полосу, потом — на две, на
192
три и т. д., до тех пор пока не будет перекрыта последняя полоса.
Таким образом, первая полоса тонируется один раз, а послед-
няя — по числу полос, размещенных в пределах изображения
предмета (рис. 4).
Слоевой способ находит применение при «разборке» крупных
плоскостей, расположенных на различном расстоянии или глубине
Рис. 4
по отношению к зрителю. В этом случае цначале заливаются рас-
твором туши все плоскости; затем все, кроме ближайшей к зри-
телю, потом — все, кроме двух передних плоскостей, и т. д. В ре-
зультате наименее удаленные от зрителя поверхности останутся
самыми светлыми, а находящиеся на заднем плане — станут са-
мыми темными. Именно таким способом отмываются уходящие
в глубину плоскости фасадов зданий (рис. 5).
Для успеха работы слоевым способом нельзя изменять насы-
щенность тона используемой в работе туши. Несоблюдение этого
правила ведет к нарушению плавности перехода от темных тонов
к светлым. Поэтому тушь с самого начала отмывки слоевым спо-
собом должна быть заготовлена в достаточном количестве, чтобы
ее не разбавлять в процессе работы.
Метод слоевой отмывки требует аккуратности и большого тер-
пения, так как каждое повторное покрытие тушью может произво-
диться только после полного просыхания предыдущего слоя.
Размывной способ отмывки сложнее слоевого и требует от
исполнителя большого опыта и сноровки. Достоинство его в том,
что он позволяет отмыть изображение живописнее, сочнее, затра-
193
Рис. 5
Рис. 6

тив на оформление чертежа меньше времени, чем при первом спо-
собе отмывки.
Сущность размывного способа — в постепенном ослаблении
насыщенности тона путем прибавления к раствору туши водьь
Размывной способ позволяет веёти отмывку как от темного
тона к светлому, так и наоборот. В первом случае к раствору туши
добавляется вода, во втором — более насыщенная тертая тушь.
Отмывка ведется как обычно: сверху вниз. Вначале проклады-
вают пограничную полосу' и при необходимости, например, усвет-
лить тон книзу, размывают его все более разбавленной тушью,
которая наносится косыми штрихами (рис. 6). Как правило, после
первой прокладки тонов размывным способом дают бумаге про-
сохнуть и повторяют операцию еще два-три раза. Таким путем
легче достигается плавность переходов от одной тональности
к другой.
Следует предостеречь от смешения разведенной туши с водой
непосредственно на самом рисунке или чертеже. Это делается в за-
ранее приготовленной стеклянной посуде или в ванночках, сделан-
ных' из чертежной бумаги и способных сохранять раствор длитель-
ное время. Однако так поступают только в случае отмывки изо-
бражений, имеющих значительные размеры. Если же размеры не-
большие, то смешение туши с водой производят на палитре, сде-
ланной из небольшого листа чертежной бумаги.
Несмотря на известную сложность техники выполнения, раз-
мывной способ чаще употребляется на практике, чем слоевой. Это
объясняется тем, что он не «сушит» работу и при некоторой сно-
ровке позволяет быстрее кончить отмывку.
ПОДЦВЕТКА АКВАРЕЛЬЮ
Одним из способов усиления выразительности отмывки яв-
ляется подцвечивание ее водяными красками.
Подцветка может быть выполнена как в процессе самой от-
мывки, так и после ее окончания.
Техника подцветки состоит в многослойном покрытии бумаги
акварелью, смешанной с разведенной тушью.
Качество подцветки во многом зависит от уровня художествен-
ного вкуса и осмысленного подхода исполнителя к выбору основ-
ного цвета для оформления той или иной -работы. Так, холодный
тон будет вполне уместен на рисунке, где изображаются металли-
ческие детали, но он едва ли пригоден для подцветки проекций
деревянных узлов. В этом случае логичнее использовать теплые
тона, свойственные дереву. *
Обычно подцветку изображения начинают с нанесения пер-
вого светлого красочного слоя, который играет роль подосновы
или грунта и определяет общую цветовую характеристику чер-
195
тежа. Нередко для этого используют не акварель, а крепкий ра-
створ чая или кофе, чтобы придать фону и изображению мягкие
теплые оттенки.
По подготовленному грунту наносится второй слой, покрываю-
щий лишь ту часть чертежа, которая по замыслу исполнителя
должна иметь другой цвет и быть тоном темнее. В пределах пло-
щади второго покрытия наносится третий слой, который в необ-
ходимых местах должен утемнить и изменить цвет второго слоя
и т. д., до полного окончания работы.
Выполняя подцветку акварелью необходимо помнить сле-
дующее:
1.	Акварель, употребляемая для подцветки, должна быть свет-
лой и прозрачной. Это обычно достигается сильным разведением
в воде тонкотертых красок с малой кроющей способностью. Сла-
бый раствор акварели позволяет покрыть бумагу тонким красоч-
ным слоем. Последний почти не размывается при повторных по-
крытиях, и через него хорошо просвечивают нижележащие слои,
что придает всей отмывке необходимую глубину, свежесть и про-
зрачность.
Наконец, при использовании ненасыщенной ак&ар^ли легче
устранить допущенные ошибки, усиливая или даже изменяя не-
верно взятый тон и даже цвет.
2.	Акварельные краски не должны употребляться в чистом
виде, а лишь в смеси с разведенной туп!ью. Это особенно следует
помнить начинающим, так как при отсутствии достаточного опыта
и чувства цвета использование акварели в чистом виде может при-
вести к нежелательной пестроте оформления.
3.	Каждый последующий красочный слой надо наносить за
один прием и только после полного просыхания предыдущего слоя.
В противном случае будут размываться и смешиваться между со-
бой ранее нанесенные слои красок, что приведет к появлению не-
желательных подтеков и грязно-серых пятен.
4.	Красочный раствор должен наноситься на ту или иную
часть чертежа равномерно, без изменения интенсивности цвета
в пределах площади покрытия.
При выполнении геологических планов, географических карт,
учебных схем, диаграмм, разрезов и т. п. нередко пользуются про-
стой раскраской графических работ акварельными красками
в смеси с тушью. Такой метод работы называется иллюминовкой
и в отличие от подцветки, как правило, исключает многослойное
покрытие различными красками.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Н. А. Р ы н и н. Перспектива. Петербург, 1918.
2.	А. И. Добряков. Курс начертательной геометрии. М., Госстройиздат,
1952.
3.	А. П. Б ар ышнико в. Перспектива. М., «Искусство», 1955.
4.	Е. С. Т и м р о т. Построение архитектурных перспектив на Плоскости. М.,
Госстройиздат, 1957.
5.	Г. А. Владимирский. Перспектива. М., Учпедгиз, 1958.
6.	А. Я. 3 м е т н ы й. Линейная перспектива на наклонной плоскости. Строй-
издат Наркомстроя, 1941.
7.	А. М. Данилюк. Построение перспектив непосредственно по заданным
размерам. М., Госстройиздат, 1954.
8.	А. Н. Буйнов, Г. Б. Смирнов. Перспектива. Школа изобразительного
искусства, выпуск I, IL М., Издательство АХ СССР, 1961.
9.	И. И. Е в д о к и м о в. Рисование. М., Учпедгиз, 1949.
10.	М. Ф. Федоров. Рисунок и перспектива. М., «Искусство», 1960.
11.	А. Д. Г о р я ч е в, В. И. Е в т е е в, Ф. Г. П о п о в. Курс технического чер-
чения, часть II. Л., ЛКВВИА, 1953.
12.	В. А. Лапин. Основы рисования для строителей. М., Госстройиздат, 1953.
Содержание
Стр»
Предисловие •	. •................................................  3
Введение .............................................................5
Раздел I
Основные законы н методы линейной перспективы
Общие понятия........................................... . . , 12
Основные элементы перспективных проекций. Перспектива точки ... 15
Перспектива прямых линий  .........................................19
Перспектива плоскости и ее прямых..................................36
Построение перспектив параллельных прямых при недоступных точках
схода ...........................................................43
Деление и измерение отрезков прямых в перспективе..................49
Построение перспектив кривых линий . . ,t..........................69
Выбор точки зрения и размеров картины..............................85
Основные методы построения	перспективы.............................90
Метод прямоугольных	координат ..................................93
Метод сетки . . 4	............... ......................94
Метод следа . луча..............................................97
Метод архитекторов	.......................................98
Раздел II
Построение теней н отражений в перспективных рисунках
Общие понятия о построении теней...................................110
Основные методы построения теней...................................117
Метод следа луча................................................118
Метод секущих плоскостей......................................  122
Метод обратных лучей............................................126
Примеры построения теней различных объектов........................132
Построение отражений в плоских зеркальных поверхностях.............147
Раздел III
Перспектива на наклонной картинной плоскости
Основные понятия и определения.................................  .158
Определение элементов картины.....................................163
198
Основные правила перспективы. Точки схода перспектив параллельных
прямых .................................................   .......	163
Перспективный масштаб высот.......................................166
Деление отрезка на равные части...................................167
Перспективы геометрических тел....................................169
Построение перспективы на наклонной картинной плоскости методом
ограничения картины................................................174
Перспективы теней '...............................................181
Приложение
Отмывка графических работ...........................................185
Подготовка графической работы	под	отмывку .....................—
Материалы и инструменты для отмывки............................188
Физические основы отмывки......................................189
Техника отмывки ...............................................191
Подцветка акварелью..........................................195
Литература .......................................................197
Евтеев Виктор Иванович
Зметный Алексей Яковлевич
Новиков Игорь Владимирович
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВНОГО РИСУНКА
Редактор Г. В. Авдуевская
Обложка художника В. А. Ежова
Художественный редактор В. В. Михневич
Технический редактор Н. И. Аснина
Корректор С. Д. Петрикеева
Сдано в набор 26/VI 1963 г. Подписано к печати 19/IX 1963 г.
Формат бумаги 60X90’/ie. Печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 13,0. Тираж 40 000 экз.
Цена без переплета 35 коп. Переплет бумажный 8 коп.
Ленинградское отделение Учпедгиза. Ленинград, Невский пр., 28.
Заказ Хе 1148
Типография № 4 Ленсевнархоза.
Ленинград, Социалистическая, 14.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стра- ница	Строка	Напечатано	Следует читать	По чьей вине
41	3 сверху	РР	Pp	типографии
59	10 »	точке	точек	»
»	24 »	получив	получим	»
70	3 снизу	Zz	Zz	издательства
124	рис. 57, в	До	Ао	типографии
154	18 сверху	Ее	Ее	издательства
»	20	»		»	»
»	22 снизу	^оео	Е<Го	типографии
»	»	Ее	Ее	»
В. И. Евтеев в др.
Цена 43 коп.