Пилипенко В.В. Кавитационные автоколебания

Теги: транспортирование, распределение и хранение жидкостей и газов установки, оборудование и аппаратура

Похожие

Теория лопаточных насосов жидкостных ракетных двигателей. Курс лекций

Теория автоматического управления ракетными двигателями

Динамика ракет

Теория и расчет агрегатов питания жидкостных ракетных двигателей

Текст

В. В. ПИЛИПЕНКО, В. А. ЗАДОНЦЕВ,
М. С. НАТАНЗОН
КАВИТАЦИОННЫЕ
АВТОКОЛЕБАНИЯ
И ДИНАМИКА
ГИДРОСИСТЕМ
Под редакцией академика АН УССР
В. С. Буднака
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1977
8йштвё by Ш

УДК 621.65.532.528.001.2@2)
Рецензент д-р техн. наук В. В. Соловьев
Пилипенко В. В., Задонцев В. А., Натанзон М. С. Кавитаци-
онные автоколебания и динамика гидросистем. М., «Машино-
«Машиностроение», 1977, 352 с.
Книга посвящена теоретическому и экспериментальному
исследованию низкочастотных (в диапазоне 5 — 50 Гц) авто-
автоколебаний давления и расхода в гидравлических системах,
включающих высокооборотные шнеко-центробежные насосы
с высокими антикавитационными свойствами. Рассмотрено
влияние кавитации в насосах на устойчивость и динамические
характеристики системы, описаны некоторые задачи динамики
систем с распределенными параметрами.
Книга предназначена для инженеров и научных работников,
специализирующихся в области динамики насосных систем
энергетических установок, и может быть полезна преподава-
преподавателям, аспирантам и студентам вузов соответствующего про-
профиля.
Табл. 8, ил. 233, список лит. 134 назв.
п 31808-822
038@1 )-77 3227 © Издательство «Машиностроение»

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время довольно широкое распространение полу-
получили гидравлические системы, включающие высокооборотные шне-
ко-центробежные насосы с высокими антикавитационными свой-
свойствами, которые даже на режимах, близких к оптимальному, рабо-
работают в условиях скрытой кавитации. Скрытая кавитация, несмо-
несмотря на существование в проточной части кавитационных каверн
определенных размеров, не оказывает заметного влияния на ста-
статические выходные параметры насоса (напор, мощность, КПД), но
приводит к изменению динамических характеристик системы,
понижению собственных частот колебаний жидкости в питающем
трубопроводе и, наконец, при определенных условиях вызывает
самовозбуждение колебаний давления и расхода в системе.
Поскольку природа этих колебаний обусловлена кавитационными
явлениями в насосах, они и получили название кавитацион-
н ы х.
В большинстве случаев амплитуда этих колебаний постоянна,
т. е. приходится иметь дело с кавитационными автоколебаниями.
Характерной особенностью кавитационных автоколебаний яв-
является зависимость параметров предельного цикла от давления на
входе в насос и режима его работы. Кавитационные автоколебания
затрудняют, а иногда делают невозможным нормальное функцио-
функционирование насосной системы. Но вместе с тем, испытания насосов
специально в режиме развитых кавитационных автоколебаний поз-
позволяют получить ценную информацию о зависимости напоров осе-
осевого шнекового преднасоса и насоса в целом от объема кавитацион-
ной полости. Последний, в свою очередь, зависит от давления и
расхода на входе в насос. Указанные зависимости, характеризую-
характеризующие работу насоса в кавитационных условиях, оказываются весьма
полезными, особенно при исследовании динамических характери-
характеристик и переходных процессов системы, не говоря уже об автоколеба-
автоколебательных режимах.
При написании книги авторы в первую очередь ориентирова-
ориентировались на читателей, специализирующихся в области динамики си-
систем. Некоторые положения в книге можно считать дискуссион-
дискуссионными.
1* 3

Книга состоит из десяти глав и приложения, в котором, в част-
частности, рассмотрен импедансный метод. Поэтому читателям, не
знакомым с этим методом, рекомендуется до или после чтения пер-
первой главы ознакомиться с приложением.
Разд. 1.4, 1.5 гл. 1; гл. 2, за исключением разд. 2.5; гл. 3, за
исключением разд. 3.6; гл. 4, за исключением разд. 4.6—4.8; гл. 6
и 7; разд. 8.3 и 8.7; Приложение, разд. П.6 написаны В. В. Пили-
пенко.
Предисловие, гл. 1, за исключением разд. 1.4, 1.5; разд. 3.6,
5.1, 8.1, 8.2 и 8.4. Приложение, за исключением разд. П.6, напи-
написаны В. А. Задонцевым.
Разд. 1.6, 4.6—4.8, гл. 5, разд. 8.6, 8.8, 8.9, гл. 10 написаны
совместно В. В. Пилипенко и В. А. Задонцевым.
Разд. 2.5, 8.5 и гл. 9 написаны М. С. Натанзоном.
Авторы выражают благодарность д-ру техн. наук И. И. Ива-
Иванову за содействие в проведении экспериментальных исследований,
чл.-корр. АН СССР А. П. Ваничеву за просмотр отдельных разде-
разделов и сделанные замечания; своим сотрудникам — В. А. Дрозду,
Е. А. Каракулину, Я- Н. Иванову, В. Е. Ходурскому, Н. И. Дов-
готько, Т. А. Грабовской, Т. Н. Сайковой, которые принимали
участие в получении данных, использованных в отдельных разде-
разделах книги, а также Г. А. Чумаку, П. П. Чалому, В. М. Ткаченко,
А. А. Федотовой, Н. И. Ярлыковой за помощь при подготовке
рукописи к печати.
Замечания просим присылать по адресу: 107885, Москва, Б-78,
1-й Басманный пер. 3, издательство «Машиностроение».

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Рб — давление в баке;
Pi» P2 — давление на входе и вы-
выходе из насоса;
рш — напор шнека;
ри—напор насоса;
рк — напор центробежного ко-
колеса;
Ргш — давление между шнеком
и центробежным колесом;
рп — давление насыщенных па-
паров жидкости;
Qv Q2 — секундный объемный рас-
расход жидкости на входе
и выходе из насоса;
q — коэффициент режима;
р — плотность;
п — частота вращения вала
насоса;
т — тангенс угла наклона ка-
касательной к кавитацион-
кавитационной характеристике на-
насоса;
s — тангенс угла наклона ка-
касательной к напорной ха-
характеристике насоса;
а — угол атаки;
Р — угол установки лопасти;
DH — наружный диаметр шнека;
DK — диаметр центробежного
колеса на входе;
dB — диаметр втулки шнека;
г — радиус;
5 — шаг винтовой линии шне-
шнека;
F — площадь;
z — число лопастей;
t — шаг решетки, время;
и — окружная скорость шне-
шнека;
w1 — относительная скорость
жидкости при входе
в межлопастные каргалы
шнека;
с1т — меридиональная составля-
составляющая скорости жидкости
при входе в меж лопаст-
лопастные каналы шнека;
Bi — упругость кавитационных
каверн;
В2 — кавитационное сопротив-
сопротивление при входе жидкости
в межлопастные каналы
шнека;
k — число кавитации;
/к — длина кавитационной ка-
каверны;
hK — высота кавитационной ка-
каверны;
VK — объем кавитационных ка-
каверн;
ai> а2 — коэффициенты характе-
характеристики питающего и на-
напорного трубопроводов;
1Ъ /2 — коэффициенты инерцион-
инерционного сопротивления пи-
питающего и напорного тру-
трубопроводов;
#1» #2 — коэффициенты линеари-
линеаризованного гидравлическо-
гидравлического сопротивления пита-
питающего и напорного тру-
трубопроводов;

ll9 /2 — длины питающего и на-
напорного трубопроводов;
Fv F2 — площади питающего и на-
напорного трубопроводов;
х — координата;
R — радиус трубопровода;
Zlt Z2 — импедансы гидравличе-
гидравлических систем, расположен-
расположенных до и после насоса;
с — скорость звука;
ZB (s) — волновое сопротивление;
a, (s) — комплексный гиперболи-
гиперболический угол нагрузки;
7 (s) — комплексная «постоян-
«постоянная» распространения
волн на единицу длины
трубопровода;
s — оператор Лапласа;
Т — период колебаний;
о — круговая частота колеба-
колебаний;
/ — частота колебаний;
i = V—1 — мнимая единица;
| | — модуль комплексного
числа;
arg — аргумент
I х = е**.

Глава 1
ОСОБЕННОСТИ КАВИТАЦИИ
В ВЫСОКООБОРОТНЫХ
ШНЕКО-ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСАХ
1.1. Типы гидродинамической кавитации
в потоке жидкости
и их характерные особенности
В литературе, посвященной кавитации, в том числе кавитации
в насосах, еще не установилась единая общепринятая терминоло-
терминология, в частности, по типам и стадиям развития кавитации.
В настоящей главе в основном будем следовать классификации
кавитационных течений, предложенной в работе [53], по которой
гидродинамическая кавитация, т. е. кавитация, возникающая при
течении жидкости, разделяется на перемещающуюся, присоеди-
присоединенную и вихревую.
Перемещающаяся кавитация представляет собой
тип кавитации, при которой в жидкости образуются отдельные
нестационарные каверны или пузырьки, движущиеся вместе с ней,
одновременно расширяясь, сокращаясь и затем схлопываясь. Та-
Такие перемещающиеся нестационарные пузырьки могут возникать
в точках низкого давления на твердой границе и в объеме жидко-
жидкости либо в ядре движущихся вихрей, либо в области вязкого тече-
течения с высоким уровнем турбулентности. Перемещение этих каверн
при такой кавитации является их отличительной особенностью по
сравнению с другими типами нестационарных каверн. При визу-
визуальном наблюдении невооруженным глазом перемещающаяся ка-
кавитация может показаться сплошной квазистационарной кавита-
ционной зоной. Каверны непрерывно уносятся со скоростью, рав-
равной местной скорости потока, увеличиваются в зоне пониженного
давления и начинают сразу же схлопываться, как только попадают
в зону с давлением, превышающим давление насыщенного пара.
Схлопывание часто сопровождается рядом повторных расширений
и схлопываний, вызывающих пульсации давления [53].
Присоединенной кавитацией называется кави-
кавитация с отрывом потока жидкости от твердой границы обтекаемого
тела или стенки канала с образованием полости или каверны на
твердой границе [53]. В отличие от отрывной такую кавитацию
называют также поверхностной, имея в виду расположение каверн
относительно стенки [50]. Это название представляется менее
Удачным. Неподвижная («оседлая») или присоединенная каверна

устойчива только в квазистационарном смысле. Ее граница иногда
имеет вид поверхности интенсивно кипящей турбулизованной
жидкости. В других случаях поверхность раздела между жид-
жидкостью и большой каверной может быть гладкой и прозрачной (ре-
(режим струйного обтекания). В жидкости около поверхности при-
присоединенной каверны достаточно больших размеров наблюдается
большое количество мелких перемещающихся нестационарных
каверн. Эти мелкие каверны быстро растут почти до максимального
размера у начала основной каверны и практически не изменяются
до ее конца, где они исчезают.
Иногда наблюдаются колебания, при которых присоединенная
каверна сначала растет, а затем схлопывается вследствие захвата
жидкостью и последующего заполнения каверны с конца зоны
кавитации. Максимальная длина присоединенной каверны зависит
от поля давления. Каверна может заканчиваться в точке присоеди-
присоединения основного потока жидкости к поверхности тела на некото-
некотором расстоянии от передней кромки каверны (линии отрыва) —
частичная каверна или может простираться далеко за пределы тела
до смыкания основного потока с образованием полости, охваты-
охватывающей тело. В последнем случае кавитацию называют суперка-
суперкавитацией, а каверну — суперкаверной. Принципиальное отли-
отличие суперкавитационного течения состоит в том, что его харак-
характеристики остаются стабильными, но потери энергии увеличи-
увеличиваются.
Основные особенности присоединенной кавитации можно до-
довольно отчетливо наблюдать визуально.
Вихревая кавитация — кавитация, при которой
каверны наблюдаются в центре вихрей, образующихся в зонах, где
имеются большие касательные напряжения (в этом случае каверны
могут быть перемещающимися или присоединенными). Возмож-
Возможность возникновения кавитации внутри вихря определяется осо-
особенностью движения жидкости в нем, заключающейся в том, что
скорость жидкости обратно пропорциональна расстоянию от центра
вихря. Отсюда следует, что скорость стремится к бесконечности
при приближении к центру вихря. Однако на практике этого не"
случается из-за кавитации, которая начинается при местном стати-
статическом давлении ниже критического. Вихревая кавитация была
обнаружена раньше других типов кавитации, так как она часто
возникает на концах лопастей гребных винтов. Этот тип кавитации
часто называют «концевой» кавитацией.
«Концевая» кавитация возникает не только на гребных винтах
при обтекании внешним потоком, она также встречается в каналах,
например, в зазоре между корпусом и концами лопастей осевого
насоса (иногда такую кавитацию называют «щелевой»).
Скорость схлопывания вихревых каверн и механизм этого
явления изучены недостаточно, но их характерные особенности
свидетельствуют о низких скоростях и соответственно низких дав-
давлениях схлопывания.
8

Все три типа гидродинамической кавитации — перемещаю-
перемещающаяся, присоединенная и вихревая могут развиваться почти в лю-
любом гидравлическом оборудовании и в большей степени характерны
для установившегося течения жидкости.
В настоящее время неизвестны факторы, определяющие тип
кавитации (присоединенной или перемещающейся) в данной крити-
критической области. Эти два типа кавитации часто имеются на со-
соседних участках одной и той же лопасти. Единственное очевидное
различие в условиях их возникновения связано с диапазоном
изменения углов атаки, который для перемещающейся кавитации
меньше.
1.2. Число кавитации
Независимо от типа кавитации ее можно разделить на стадии
в зависимости от степени развития. Принято различать начальную,
частичную и полностью развившуюся кавитацию.
Деление кавитации на начальную, частичную и полностью раз-
развитую дает представление только о качественной стороне явления
и не позволяет установить какой-либо количественной зависимости
между стадиями развития кавитации и внешними характеристи-
характеристиками системы. Для этой цели желательно иметь какие-то числовые
показатели, позволяющие количественно оценивать течения жид-
жидкости.
Рассмотрим обтекание тела плоским установившимся потоком
невязкой и несжимаемой жидкости с постоянными физическими
свойствами и выведем основной кавитационный параметр.
Запишем уравнение Бернулли для сечений О—О (невозмущен-
(невозмущенный поток) и 1—/ (сечение, в котором статическое давление дости-
достигает минимального значения):
Ро + ~y~ = Pi + -у* >
откуда следует Pl~J2p0 = 1 — ~|- = ср.
~2~
Определенная таким образом величина ср в аэродинамике назы-
называется коэффициентом давления, коэффициент давления равен
единице в застойных зонах с vx = 0 и имеет минимальное значе-
значение в области потока с максимальной скоростью ср min = Pm{nQV2 Po •
Выражение р0"""Pl = (—) — 1 = &, также следующее
из уравнения Бернулли, называется числом кавитации.
При уменьшении давления рл до давления насыщенных паров
жидкости при данной температуре на поверхности тела начнется
кавитация. Этому режиму соответствует число кавитации ko =

__ _Ро—_Pn_e ^g общем случае вместо давления рп следует исполь-
зовать рк — давление в кавитационной каверне).
Таким образом, условие возникновения кавитации можно за-
записать в виде
ЧиСЛО кавитации используется для количественной оценки сте-
степени ее развития и дает достаточно полное представление об осред-
ненных характеристиках потока при различных стадиях кавита-
кавитации.
Число кавитации является весьма важным параметром, харак-
характеризующим, в частности, сопротивление гидромашины кавитации.
Чем меньше значение k%, тем большее падение давления допустимо
до начала кавитации.
При определении k$, соответствующего моменту возникнове-
возникновения кавитации, необходимо четко представлять совокупность яв-
явлений, которую следует принимать за начало кавитации.
Определение действительных характеристик потока, как не-
невозмущенного, так и в критической области возможного возникно-
возникновения кавитации, значительно усложняется по мере усложнения
проточной части гидромашины. Поскольку гидромашины и, в част-
частности, шнеко-центробежные насосы имеют вращающийся ротор,
кроме абсолютной скорости течения на входе в насос сх имеется
еще и относительная скорость wu которая определяется из тре-
треугольника скоростей с учетом окружной скорости ротора (скорости
переносного движения). Эти скорости, как известно, связаны соот-
соотношением w\ = с\ + и2.
Число кавитации, как уже указывалось, представляет отноше-
отношение разности давлений рвх — ркр (или рвх — рп, т. е. практически
принимается, что ркр = рп) к скоростному напору. В зависимости
от того, по какой скорости определяется скоростной напор, для
насоса можно оперировать соответствующими числами кавитации:
Ъ — Рвх — Рп . у _ Рвх — Рп . и, Рвх —Р
причем kc > ku > kw. Для высокооборотных шнеко-центробежных
насосов и2 ^> с\, а числа кавитации ku и kw отличаются друг от
друга весьма незначительно. В дальнейшем будем пользоваться
числом кавитации, определенным по относительной скорости по-
потока на входе в насос.
Заметим, что иногда вместо статического давления на входе
ос2
удобнее использовать полное давление рзх + о"»
10

В насосостроении для сравнения кавитационных качеств насосов и коли-
количественной оценки степени развития кавитации кроме числа кавитации исполь-
используют следующие параметры: кавитационный запас, коэффициент кавитации
Тома, кавитационный коэффициент быстроходности Руднева [50, 73, 96, 111].
Указанные параметры, за исключением кавитационного запаса, также являются
критериальными.
1.3. Кавитация в осевых шнековых преднасосах
Шнеко-центробежные насосы представляют собой комбинацию
осевого колеса и центробежного. Имеется целый ряд работ по ви-
визуальному исследованию кавитации в осевых и центробежных насо-
насосах, анализ которых позволяет выяснить места локализации кави-
кавитационных зон, типы кавитации и влияние режима работы насоса
[12, 30, 35, 41, 50, 52, 54, 73, 75, 98, 109—111, 121, 127,
130, 133].
Поскольку предметом исследования являются высокооборотные
шнеко-центробежные насосы, остановимся кратко на визуальных
исследованиях кавитации в осевых шнековых преднасосах.
Уже ранние экспериментальные исследования с фотографиро-
фотографированием потока в шнековых преднасосах показали, что шнек может
развивать расчетный напор при начавшейся кавитации [98, 121,
130].
В работе [98] выделены следующие стадии кавитации в шнеке
в процессе понижения давления на входе в шнек (при постоянном
расходе и постоянной скорости вращения вала насоса).
1. Зарождение кавитации, когда прл высоких давлениях на
входе кавитация возникает на периферии входных кромок лопа-
лопастей.
2. Блуждающая по всей входной кромке кавитация, появляю-
появляющаяся при дальнейшем понижении давления, которая распростра-
распространяется по лопасти и наблюдается в большинстве случаев только на
отдельных лопастях.
3. Режим неустановившейся кавитации, когда дальнейшее по-
понижение входного давления вызывает периодическое волновое
движение потока с периодически то увеличивающимися, то умень-
уменьшающимися размерами каверны.
4. Режим кавитационного срыва, когда напор резко падает при
понижении давления на входе (кавитируют все лопасти и кавита-
Дия распространяется по всей поверхности каждой лопасти).
Заметим, что между двумя последними режимами имеет место
квазистационарный режим с частичными «оседлыми» кавернами.
Результаты исследования развития кавитации в осевых шнеко-
шнековых преднасосах методом скоростной фотосъемки приведены в ра-
работах [35, 41, 52, 54, 73, 98, 130].
Приведем некоторые данные, необходимые для дальнейшего
изложения.
Из опыта известно, что при работе шнеко-центробежных насо-
насосов на пониженных расходах, а в ряде случаев и на расчетном pe-
pell

жиме возникают обратные токи на входе в насос. Обратные токи
обладают значительной окружной составляющей скорости, и, рас-
распространяясь по периферии входного патрубка навстречу основ-
основному потоку, закручивают его в сторону вращения колеса.
Для характеристики режима работы насоса, в том числе и с об-
обратными токами, удобно использовать коэффициент режима q, рав-
равный отношению текущего расхода к расходу, при котором поток
Q
входит на лопасти колеса с нулевым углом атаки — q = -^-.
Для осевых шнековых преднасосов постоянного шага s коэффи-
коэффициент режима определяется по формуле [111]:
4 Q
Для высокооборотных шнеко-цеитробежных насосов с высокими
антикавитационными свойствами коэффициент режима q можно
определять по приближенной формуле ?^ 1 ^-.
Рл
В работе [111] приводятся экспериментальные данные, пока-
показывающие, что вихревая зона (обратные токи) возникает скачко-
скачкообразно при q && 0,5 и занимает при этом около половины площади
сечения питающего трубопровода. С дальнейшим уменьшением
q размеры вихревой зоны увеличиваются.
На рис. 1.1 приведены фотографии кавитирующего осевого
шнекового преднасоса экспериментального насоса для двух режи-
режимов — без обратных (q > 0,5) и с обратными токами (q = 0,3) для
одного и того же входного давления, при котором еще не происхо-
происходит падение напора насоса по соответствующим срывным кавита-
ционным характеристикам (рис. 1.2).
О наличии интенсивных обратных токов при визуальных ис-
исследованиях можно судить по положению гибких нитей, прикреп-
прикрепленных к внутренней стенке прозрачного входного трубопровода.
При отсутствии обратных токов нити изогнуты но потоку парал-
параллельно оси трубопровода (см. рис. 1.1, а), при наличии интенсив-
интенсивного закрученного вихревого обратного потока окружная состав-
составляющая скорости ориентирует нити в направлении, нормальном
оси трубопровода (см. рис. 1.1, б).
Из рассмотрения фотографий следует, что на режиме без обрат- -
ных токов реализуется так называемая профильная каверна, т. е.
частичная присоединенная каверна (см. рис. 1.1, а), а на режиме
с интенсивными обратными токами каверна образуется не только
в межлопастных каналах, но и перед шнеком (вихревая кавитация,
рис. 1.1, б)*.
Развитие кавитации в осевых шнековых преднасосах по ре-
результатам визуальных исследований, в том числе проведенных
*
шовым.
12
Данные, приведенные на рис. 1.1 и 1.2, любезно предоставлены Н. С. Ер-

Рис. LL Фотографии кавшпационных зон в шнеке:
%?5?SL зона у входной кромку¦лопасти У^-иег» JJ
мере уменьшения входного давления в виЛе сравнитель^у
пелены, присоединенной к передней кРо^^^™а2^Тевой
кания каверны с профилем становится ™*™b™^™
кавитации/который увеличивается по длине лопасти,
"^о^ЖАЖ-в»»--» в «опасных ка„а-
лах шнека выделены две характерные зоны: пппасти (При
1) кавитационная каверна на нерабочей стороне лопасти (пр
положительных углах атаки), замыкающаяся на ней до выхода
шнека; j3

16
п
12
1П
--
I
/
1
1
.6
а
J i 1
I
._
!
1
1
" 1
—
—
—
Нн,м Рис. 1.2. Срывные кавитационные ха-
характеристики насоса:
а — q > 0,5; б — q — 0,3
2) поток жидкости без кави-
тационных пузырьков между
каверной и рабочей стороной
лопасти.
Другими словами, на нерабо-
0 2 ** 6 8 10 ^ нрм чей стороне лопасти имеется
частично присоединенная ка-
каверна.
Подобное течение потока в межлопастных каналах шнека, как
отмечается в работе [111], ближе всего соответствует модели ча-
частичной кавитации, предложенной в работе [98]. Последнее об-
обстоятельство является весьма важным, так как модель струйного
кавитационного обтекания решетки профилей шнека, как будет
показано далее, может служить приемлемой основой (особенно
после введения одного полуэмпирического коэффициента) для ко-
количественного описания частичной кавитации в осевых шнековых
преднасосах (работа [98] будет проанализирована в конце настоя-
настоящей главы).
При дальнейшем понижении входного давления наблюдается
переход от частичного отрывного обтекания лопастей шнека к пол-
полному отрывному обтеканию с замыканием каверн за шнеком, т. е.
переход к суперкавитации. По мере уменьшения входного давле-
давления суперкаверны удлиняются и их смыкание происходит все
дальше от решетки шнека. После перехода на режим суперкавита-
суперкавитации шум и вибрации в насосе резко уменьшаются.
Развитие кавитационных явлений в шнеко-центробежном на-
насосе на режимах с пониженным расходом имеет свои особенности
[111].
При уменьшении давления на входе в насос первые кавитацион-
кавитационные пузырьки образуются на втулке между шнеком и центробеж-
центробежным колесом, в остальных местах, в том числе и на входе в лопасти
шнека, кавитация не наблюдается.
При небольшом дополнительном снижении входного давления
пузырьки распространяются назад против направления потока, но
втулке шнека, а затем и в область перед шнеком на оси потока.
При дальнейшем понижении давления (ниже давления насыщения
в случае газонасыщенной жидкости) процесс газовыделения может
происходить в трубопроводе, количество пузырьков возрастает, они
соединяются, занимая все большее пространство как по диаметру,
так и в осевом направлении против потока. При давлениях, близ-
близких к срывному, протяженность каверны (жгута) перед шнеком
составляла более восьми калибров. При дальнейшем снижении
давления на входе в насос происходил кавитационный срыв на-
насоса.
14

Некоторые дополнительные сведения по более детальным ви-
визуальным исследованиям кавитации в предвключенных шнековых
преднасосах приводятся в работах [52, 54].
Как отмечалось в работе [111], для насосов с малыми ресур-
ресурсами за допустимое рабочее давление на входе в насос часто прини-
принимают давление, близкое к срывному, поэтому можно полагать, что
при работе таких насосов в межлопастных каналах шнека всегда
существует довольно развитая кавитация. Например, если при-
принять q = 0,3 -т- 0,5; с1т = 5 м/с; иш = 60 м/с; р = 1000 кг/м3, то
первые зоны кавитации в межлопастных каналах шнека при ра-
работе его на обыкновенной холодной воде могут возникнуть при
статическом давлении на входе примерно 1,7—2,5 МПа, тогда как
допустимое рабочее давление на входе в насос может находиться
в пределах 0,1—0,2 МПа [111].
Как уже указывалось, для шнекового осевого преднасоса на ре-
режимах частичной кавитации без обратных токов (т. е. на расходах,
близких к оптимальному) характерной формой кавитации является
так называемая профильная или лопастная кавитация. Объем та-
таких частичных каиерн может быть определен на основании работ по
струйному кавитационному обтеканию решетки плоских пластин.
Для определения объемов кавитационных полостей на режимах
с интенсивными обратными токами, когда процесс развития кави-
кавитации значительно усложняется и каверны образуются не только
в межлопастных каналах шнека, но и перед шнеком, в настоящей
книге в гл. 4 предлагается экспериментально-расчетный способ
определения суммарного объема кавитационных полостей (на осно-
основании изучения колебательных режимов работы гидросистемы,
включающей шнеко-центробежный насос).
1.4. Решение задачи об обтекании
решетки плоских пластин
в режиме частичной кавитации
Учитывая сложность явлений, сопровождающих кавитацион-
ное течение жидкости в шнеко-центробежном насосе, для выявления
возможных механизмов неустойчивости необходимо определить
физическую модель, которая будет положена в основу теоретиче-
теоретического исследования.
Модели явления неустойчивости в системах, включающих
шнеко-центробежный насос, основываются на экспериментальном
факте существования в межлопастных каналах осевого шнекового
преднасоса кавитационных каверн, которые не оказывают замет-
заметного влияния на снижение напора насоса (см. гл. 2). В основу
струйной модели кавитационных колебаний [77, 95] положена
модель кавитации, включающая кавитационную каверну, длина
которой существенно меньше длины лопасти шнека, а высота равна
определенной высоте следа. Эта модель наиболее точно описывает
15

реальное течение жидкости в осевом шнековом преднасосе на режи-
режимах без обратных токов 127, 98, 99].
Одной из основных характеристик, определяющих режим ча-
частичной кавитации, является зависимость размеров кавитацион-
ных каверн от давления на входе в насос и режима работы насоса,
в частности, зависимость суммарного объема кавитационных ка-
каверн от входного давления и расхода через насос VK = f (ply Q).
Известно, что развертка сечения шнека постоянного шага ци-
цилиндрической поверхностью представляет собой решетку плоских
пластин (рис. 1.3).
В дальнейшем будет показано, что результаты решения задачи
по струйному отрывному обтеканию решетки плоских пластин
в режиме частичной кавитации можно использовать при определе-
определении интересующих нас зависимостей размеров кавитационных
каверн от входного давления и расхода через насос (или от числа
кавитации и параметра режима q) для режимов без обратных токов.
Кавитационное течение в решетке плоских пластин с каверной
бесконечной длины было рассмотрено в работе Бетца и Петерсона
[123] с использованием классического метода годографа.
Первой опубликованной работой по линеаризованному кавита-
ционному течению в решетке плоских пластин была статья Коэна
и Садерленда [126], однако в этой работе рассматривались ка-
каверны определенной длины, большей чем длина хорды.
Впоследствии Акоста и Холландер рассмотрели частично кави-
тирующую решетку полубесконечных плоских пластин [122].
Наибольший интерес для дальнейшего исследования представляют
работы Стриплинга и Акосты [98, 99], в которых при решении
задачи о частичном кавитационном обтекании бесконечной решетки
плоских пластин методом годографа использовалась схема кавита-
ционного течения со свободными линиями тока, сходящими с перед-
передней кромки каждой пластины, предусматривающая замыкание ка-
каверны на некотором переменном расстоянии от лопасти, равном
определенной высоте следа (рис. 1.4).
Рис. 1.3. Развертка шнека с постоянным шагом
16

Рис, 1.4. Схема кавитацион-
ного обтекания решетки пло-
плоских пластин [98]
Направление
вращения
Скошенную решетку
плоских пластин обтекает
плоский потенциальный
поток, скорость которого
на большом расстоянии
перед решеткой равна хюг.
Свободная линия тока схо-
сходит с передней кромки
каждой пластины и за-
заканчивается на плоскости,
параллельной обтекаемой
пластине. Длина кавита-
ционной каверны /к и вы-
высота hK определяются как
функции угла установки лопасти р, угла атаки а и числа кави-
кавитации k. Для решения задачи сделаны следующие допущения [98]:
а) достаточно отчетливая каверна начинается на входной
кромке всех лопастей;
б) поток плоский, потенциальный и установившийся;
в) давление внутри каверны постоянно и равно давлению насы-
насыщенных паров жидкости при температуре окружающей жидкости;
г) поскольку хорда профиля предвключенного шнека обычно
значительно длиннее периферийного шага решетки (в 2—3 раза),
вводится упрощение — хорда принимается бесконечно длинной.
В действительности предвключенный шнек работает с кавита-
ционными кавернами внутри межлопастного канала (частичная
кавитация), таким образом, длина каверны короче хорды профиля.
Длина каверны измеряется от входной кромки, высота — по нор-
нормали к поверхности лопасти.
Скорость по поверхности каверны wn, где давление постоянно,
определяется из уравнения Бернулли
I, A.1)
A.1а)
где k — число кавитации, равное
и __ Pi —/
гС -¦— о
В работе [98], как обычно принято в задачах со струйным
течением, введена в рассмотрение плоскость годографа, в которой
смачиваемые поверхности, а также поверхности постоянного давле-
давления изображаются в функции комплексной переменной !¦ = и — iv,
гДе и и v — проекции скорости на оси х и у соответственно в пло-
^ В. В. Пилипенко *'

скости течения, a z = х -\- iy — комплексная переменная в этой
плоскости.
Комплексный потенциал потока F = ф + ^ как функции g
определен методом конформных отображений (<р — потенциал ско-
скорости, гЬ — функция тока), а координаты в плоскости течения —
t dF
интегрированием уравнения | = -^- = w — *и, при этом полу-
получено следующее выражение
z = е-Ъ In (g - о*!*-**) + б1'7In (g -
[2 / 2 \ T
In (|-ш2) + ^1гф-^-)]+ const, A.2)
где у — угол скоса решетки, равный 90° — |3.
Скорость w2 находится из следующего соотношения между ско-
скоростями:
w2 ' wn \ Wi l wn ) ^ \ wx wn ) ь\х г j \ )
Это уравнение можно получить из уравнения количества дви-
движения.
В работе [98] указывается, что для получения требуемой ветви
функции A.2) аргумент g должен изменяться от —я до 0, в то
время как g изменяется от —wn вдоль окружности |g| = wn.
В соответствии с уравнением A.2) определим координаты кон-
контура кавитационной каверны (координата х отсчитывается от вход-
входной кромки лопасти, а у — по нормали к поверхности лопасти).
В решении A.2) шаг решетки лопастей принят равным 2я.
Учитывая, что шаг решетки может быть изменен простым введением
масштабного множителя, получим координаты контура кавита-
кавитационной каверны в размерном виде
+
— wn — Wie ia — wn —

wi
W2 wne
— wn —
¦„.2 \ И
ln^^
— а;п-
до.
'2 / -J
, A4)
где угол ф изменяется от —л до 0.
Скорость wn определяется из уравнения A.1), отношение скоро-
скоростей -^- = R — из выражения A.3), а скорость w2 = -%-.
w2 л
Отделяя в уравнении A.4) действительную и мнимую части,
с учетом приведенных соотношений между скоростями после неко-
некоторых преобразований можно получить уравнения для расчета
координат контура кавитационной каверны. (Последние в виду
громоздкости здесь не приводятся).
Длина и высота кавитационной каверны определяются из ука-
указанных уравнений при ф = 0:
- [sin р + ' sin (Р - 2иI In
+ cos al+ sin2
+ &-—cosa) + sin2 a
A.5)
A.6)
Связь между величиной Ry геометрическими характеристиками
решетки и числом кавитации определяется из соотношения между
скоростями A.3) с учетом A.1):
-д- + R ) — 2 cos a
Л ~~ cos a —• R — sin actg (P — a)' ^ '
Результаты расчетов зависимости относительной длины ка-
каверны /k/2jt (здесь 2я — шаг решетки) от числа кавитации для раз-
различных углов атаки а и угла установки лопасти р = 15° представ-
представлены на рис. 1.5 (по данным [98]).
Из рассмотрения представленных результатов следует, что
с увеличением угла атаки и уменьшением числа кавитации относи-
относительная длина кавитационной каверны увеличивается.
19

Pf-Pn
'pwfjl
10
1.0
I к 12*
Рис. 1.5. Зависимость относительной длины кавитационной каверны от числа
кавитации для различных углов атаки при р = 15° [98]:
? — а = 2°; О — а = 3°; л — а = 4°; О — а = 5°; X — а = 7,5°; v — а = 10°
Для различных углов атаки и установки лопасти при мини-
минимальном числе кавитации, соответствующем кавитационному срыву,
относительная длина каверны равна приблизительно 1,0.
Зависимость относительной высоты кавитационной каверны от
числа кавитации для различных углов атаки (рис. 1.6) показывает,
что с увеличением угла атаки и уменьшением числа кавитации
относительная высота кавитационной каверны увеличивается.
Из результатов расчета- контура кавитационной каверны сле-
следует, что с уменьшением числа кавитации контур кавитационной
каверны приближается к прямой, расположенной под углом атаки
а к оси абсцисс (рис. 1.7).
Напомним, что для шнеко-
центробежных насосов выби-
выбираются положительные углы
атаки, причем изменение угла
атаки связано с изменением
Рис. 1.6. Зависимость относительной
высоты кавитационной каверны от чис-
числа кавитации для различных^глов ата-
атаки при р= 8° 09':
1 — а = 4° 12'; 2 — а = 3° 56'; 3 — а =
= 3° 40'
20

1 2
3
— —^
7
i
У 10, м
0,6
о/*
0.2
0,2м
'. 1.7. Результаты расчета контура кавитационной каверны для различных
чисел кавитации при р = 8° 09':
1 — k = 0,138; 2 — k — 0,055; 3 — k = 0,0275
расхода на входе в насос Qx (для потока с нулевым углом за-
закрутки) следующей зависимостью:
а-E — arctg-^p-,
A.8)
где
Из зависимости A.8) следует, что с увеличением расхода на
входе в насос угол атаки уменьшается, а это, в свою очередь,
вызывает уменьшение размеров кавитационных каверн, располо-
расположенных на лопастях шнека. Эта закономерность является весьма
существенной для дальнейшего изучения неустойчивости работы
шнеко-центробежного насоса [77].
1.5. Теоретическое определение зависимости
объема кавитационных каверн
от давления и расхода на входе в насос
По известным координатам контура кавитационной каверны
ее площадь можно определить как
A.9)
K = \ ydx.
Интеграл A.9) можно вычислить одним из приближенных мето-
методов. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой трапе-
трапеции:
1
Fk = "Y .S (Hi + Ум) (*м — Xi),
гДе Уп Ум> хп хм — координаты контура кавитационной ка-
каверны, соответствующие углам ср, и ср/+1.
21

Суммарный объем кавитационных каверн, расположенных на
лопастях шнека, определим интегрированием уравнения A.9):
= z\ FKdr.
A.10)
Последний интеграл можно вычислить с помощью формулы па-
парабол:
Ук = —о— (^ко + 4FKi + 2FK2 + 4FK3 + . . . + 2FK („_2) +
+ 4FK(n_i) + FKn). A.10a)
где Д7? = /?H — rB; n — четное число.
Учитывая связь числа кавитации с давлением на входе в насос
A.1а) и угла атаки с расходом жидкости A.8), рассчитываем по
уравнению A.10) зависимости объема кавитационных каверн от
давления на входе для различных расходов применительно к осе-
осевым шнековым преднасосам, конструктивные параметры которых
приведены в табл. 1.1.
На рис. 1.8 и 1.9 представлены зависимости объема кавитацион-
кавитационных каверн от давления на входе в насос для различных расходов.
На режимах частичной кавитации с уменьшением расхода через на-
насос из-за увеличения угла атаки объем кавитационных каверн
в межлопастных каналах увеличивается.
На основании представленных зависимостей можно установить
квазистационарную связь между отклонением объема кавитацион-
кавитационных каверн и отклонениями давления и расхода на входе в насос
(l.ii)
^
dPl
dQ
dVK dVK
ГДе-_jl и —Ji — тангенсы углов наклона касательных к зависи-
dPl__ dQ y
мости VK =_/ (рь Q).
Параметр -^- характеризует податливость кавитационных ка-
дрх
верн и показывает, насколько изменяется объем кавитационных
Таблица 1.1
Шнек
№ 1
№ 2
Параметры
?>н, м
0,120
0,056
0,063
0,026
S, М
0,0540
0,0252
г
to to
(с1/п/мн)ном
0,0635
0,0736
22

50
20
10
\
1
0.1
>
\К
0/1
0,3
44 45 Pj, МПа
0J
0,2
0,3
0,5Р}уМПа
Рис. 1.8. Зависимость объема кавитационных каверн от давления на входе в на-
насос и режима работы (параметр а) для насоса № 1:
1 — q = 0,354; 2 — g = 0,44; 3 — q = 0,53
Рис, 1.9. Зависимость объема кавитационных каверн от давления на входе в насос
и режима работы (параметр q) для насоса М 2:
/ _ q = 0,427; 2 - q = 0,534; 3 — q = 0,641
каверн при изменении входного давления на единицу. Как следует
из зависимости VK (ply q) (см. рис. 1.8, 1.9), величина —-^- < О,
так как с увеличением входного давления объем кавитационных
каверн уменьшается.
Параметр —J1- характеризует изменение объема кавитацион-
dQ
ных каверн при изменении расхода через насос и показывает, на-
насколько уменьшается объем кавитационных каверн при увеличении
расхода на единицу, т. е. —^- < 0. При этом изменение объема
dQ
кавитационных каверн, вызванное изменением угла атаки, в ос-
основном определяется отклонением расхода на входе в насос 6QX.
Решим уравнение A.11) относительно отклонения давления
на входе в насос
др1 = B±&VK + ?2SQi- A.12)
Параметр Вг =—=— характеризует упругость кавитацион-
.dpi
ных каверн; условно его можно назвать кавитационной
Упругостью.
23

ВГЮ~ МПа/м3
-5
В,- Ю~5МПа[м3
-0,75
-0,50
-0,25
О 0,1 0,2 0,3 0,h 0,5РиМПп Q -q] jg ?3 -ЩГ
Рис. 1.10. Зависимость кавитационной упругости от давления на входе в насос
и режима работы (параметр q) для насоса № 1:
1 — я = 0,354; 2 ~ q = 0,44; 3 — q = 0,53
Рис. 1.11. Зависимость кавитационной упругости от давления на входе в насос
и режима работы (параметр о) для насоса М 2:
J — q = 0,427; 2 — q = 0,534; 3 — q = 0,641
Параметр В2 —
дрх
по размерности соответствует
линеаризованному гидравлическому сопротивлению, его величина
отрицательна и определяется тангенсами углов наклона касатель-
dV dV
ных —=г- и —=?-. Поэтому В2 назовем отрицательным
dQ дрх
линеаризованным кавитационным сопро-
'0,3
-0,75
0,2
3
-0,50
-О,25п
0,2 0,3 0,4 0,5ррМПа О
*
0,/ G,2 0,3 0,4 0,5риМПа
Рис. 1.12. Зависимость кавитационного сопротивления от давления на входе
в насос и режима работы (параметр q) для насоса М 1:
1 — q = 0,354; 2 — q = 0,44; 3 — q = 0,53
Рис. 1.13. Зависимость кавитационного сопротивления от давления на входе
в насос и режима работы (параметр q) для насоса М 2:
1 — q = 0,427; 2 — q = 0,534; 3 — q = 0,641
24

тивлением при в х о д е]"ж и д к о с т и в меж ло-
лопастные каналы шнека. Заметим, что такое название
этого параметра и способ его определения относятся к режиму
частичной кавитации без обратных токов перед осевым шнековым
преднасосом.
На режимах с интенсивными обратными токами этот параметр
включает и сопротивление, обусловленное обратными токами. По-
Поэтому он будет называться просто кавитационным сопротивлением.
На рис. 1.10—1.13 представлены зависимости кавитационной
упругости Вх и кавитационного сопротивления В2 от давления
на входе в насос и режима работы, определенные численным диф-
дифференцированием зависимости A.10) для насосов № 1 и № 2.
Из анализа представленных результатов следует, что, как ука-
указывалось выше, параметры Вх и В2 отрицательны. Наличие отри-
отрицательного сопротивления и упругости играет важную роль в ме-
механизме самовозбуждения кавитационных автоколебаний и послу-
послужило основой для разработки квазистационарной струйной модели
кавитационных колебаний (см. гл. 2 и 3) и других гидродинамиче-
гидродинамических моделей (см. гл. 5, 6, 7, 10).
Результаты расчетов параметров Вх и В2 для различных режи-
режимов работы насосов показали, что с уменьшением расхода через
насос модули упругости кавитационных каверн \В1\ и кавита-
кавитационного сопротивления при входе жидкости в межлопастные ка-
каналы шнека |б2| уменьшаются.
1.6. О других методах расчета
размеров кавитационных каверн
В работах Уэйда [132, 133], в отличие от работ Стриплинга и Акосты [98,
99], задача решена применительно к частично кавитирующей решетке плоских
пластин конечной длины, т. е. отсутствует допущение о бесконечной длине
хорды. Но при этом, согласно линеаризованной теории, принимается, что высота
каверны пренебрежимо мала по сравнению с шагом решетки, т. е. полагается
hK — 0. В результате решения задачи получены уравнения, устанавливающие
связь между числом кавитации, углом атаки, геометрическими параметрами
решетки и длиной каЪитационной каверны. (Ввиду громоздкости решение Уэйда
не приводится).
Для сравнения с данными, приведенными на рис. 1.5, на рис. 1.14 представ-
представлены зависимости длины кавитационной каверны, отнесенной к длине хорды
(длине лопасти) /к//л» от числа кавитации, отнесенного к двойному углу атаки,
для различных углов установки лопасти при о= -^- = 1 [132].
Так, например, для k = 0,2; а = 5°; Р = 15° относительная длина каверны
по Акосте и Стриплингу составляет -^- я^ 0,34 (см. рис. 1.5). Из графиков
k
рис. 1.14 можно найти, что для —— = 1,14, угла скоса 75° (или р = 15°) и а = 1
(т. е. при тех же геометрических характеристиках) относительная длина ка-
каверны по Уэйду составляет -?- я^ 0,86. Так как а = -^Ц то при а = 1 отноше-
25

Рис. 1.14. Зависимость длины кавита-
ционной каверны, отнесенной к длине
хорды, от числа кавитации, отнесенно-
отнесенного к двойному углу атаки, для различных
углов установки лопасти [132] при
а = lfl:
-f-p, p; — • изо-
изолированный профиль
ние -р- = —^-. Таким образом, в рас-
сматриваемом случае отношение длин
каверн, рассчитанных по решениям
Уэйда, Акосты и Стриплинга, состав-
составляет 2,53. Нетрудно видеть, что, на-
например, при k = 0,14 это же отноше-
отношение составляет 2,1.
На рис. 1.15 представлены зави-
зависимости длины кавитационной каверны
от числа кавитации для шнека № 2.
Представленные результаты показы-
показывают, что расчет по решению Уэйда
дает существенно большую длину ка-
кавитационной каверны по сравнению с
длиной, рассчитанной по решению Ако-
Акосты и Стриплинга.
В работе [31] предприняты попыт-
попытки учесть влияние вязкости и трехмер-
трехмерность течения в осевых шнековых
преднасосах на размеры кавитацион-
кавитационной каверны. Для решения задачи
использован конечно-разностный метод
расчета пространственного течения с
кавитацией, который позволяет учесть
реальные свойства жидкости. Влия-
Влияние вязкости сказывается на росте каверны из-за загромождения межлопастного
канала пограничным слоем и действия силы сопротивления.
Из сравнения размеров кавитационной каверны — высоты hK и длины /к,
определенных по решению [98] и конечно-разностным методом [31 ], следует,
что без учета вязкости жидкости заметных расхождений в размерах каверны не
наблюдается; учет вязкости приводит к некоторому уменьшению длины и высоты
кавитационной каверны (рис. 1.16).
В дальнейшем в основу теоретического определения зависимости объема
кавитационных каверн от давления на входе в насос и режима работы насоса
будет положено решение Акосты и Стриплинга.
Это связано с тем, что решение Уэйда не позволяет рассчитать контур кави-
кавитационной каверны, а следовательно, и определить ее объем, а расчет каверны
конечно-разностным методом, с одной стороны, не вносит существенных отличий,
а с другой — является достаточно громоздким [31 ].
Для всех решений остается достаточно сложным вопрос замыкания каверны
на поверхности лопасти. Известно, что единственного решения задачи о кавита-
ционном обтекании пластинки при постоянном давлении во всем объеме каЕерны
и конечной длине каверны не существует [4].
В связи с этим имеется несколько схем замыкания каверны.
Решение задачи с использованием различных схем замыкания каверны при-
приводит к мало отличающимся численным результатам, особенно при малых числах
кавитации, соответствующих развитой кавитации.
26

5,0
' О
по Уэйду
по Стриплингу
/ и Акосте
\
0J
0,2
Втулка
60
Высота лопасти
80 100
Наружный
радиус
Рис. 1.15. Результаты расчетов зависимости длины кавитационной каверны
от числа кавитации по решениям Уэйда, Стриплинга и Акосты
Рис. 1.16. Сравнение размеров кавитационной каверны, рассчитанных по двум
моделям:
— модель, предложенная в работе [98];
боте [31 J с учетом вязкости; —•
— модель, предложенная в ра-
— без учета вязкости
В решении Акосты и Стриплинга предполагалось, что каверна замыкается
в сечении, где высота достигает максимального значения, а поток становится
параллельным решетке пластин. Как показано в работе [77], это приводит к за-
заметному рассогласованию расчетных и экспериментальных, значений длины
кавитационной каверны перед кавитационным срывом шнеко-центробежного
насоса (для двух- и трехзаходных шнеков постоянного шага экспериментальные
значения длины каверны в 1,5—2,5 раза превышают расчетные).
В работе [31 ] предложена такая схема замыкания кавитационной каверны,
когда высота каверны, начиная с максимального значения, уменьшается линейно
вдоль лопасти, при этом угол между контуром кавитационной каверны и поверх-
поверхностью лопасти составляет 2,8° (рис. 1.17).
В работе [95] предложен способ описания контура каверны по дуге окруж-
окружности, угол наклона касательной к дуге окружности на входной кромке лопасти
шнека равен углу атаки, а максимальная высота каверны рассчитывается по реше-
решению A.6) (рис. 1.18).
Рис. 1.17. Схема замыкания кавитационной каверны согласно работе [31]
27

Рис. 1.18. Схема замыкания кавитационной каверны согласно работе [95]
Последние два способа замыкания каверны на режимах частичной кавитации
для реальных значений углов атаки приводят к тому, что длина кавитационной
каверны может быть существенно больше длины лопасти шнека.
Так, для углов атаки на наружном диаметре шнека 3—5° и втулочных отно-
отношений -j2- = 0,25-f-0,5, угол атаки по радиусу шнека от гв до RH может изме-
няться в пределах F—15)—C—5)°. Высота кавитационной каверны перед срывом
согласно решению A.6) определяется как hK?& t-tga.
Следовательно, при использовании схемы замыкания каверны из работы [31 ]
длина кавитационной каверны перед кавитационным срывом должна составлять
1к = и 1-f o QO ), а отношение длины кавитационной каверны к шагу ре-
\ tgz,o /
шетки будет изменяться по радиусу шнека от гв до RH в пределах C—6)—B—2,8).
В то же время для осевых шнековых преднасосов отношение длины лопасти к шагу
решетки составляет A,5—2,5).
При описании контура кавитационной каверны по дуге окружности отно-
отношение длины кавитационной каверны перед срывом к шагу решетки не зави-
зависит от угла атаки и равно приблизительно 4, в то время как по эксперименталь-
экспериментальным данным работы [111] отношение -j- перед срывом для двух- и трехзаход-
ных шнеков составляет 1,5—2,3.
Поэтому в дальнейшем будет использоваться модель кавитационных ка-
каверн, предложенная в работе [77], со схемой замыкания, основанной на ис-
использовании экспериментальной длины каверны непосредственно перед ка-
кавитационным срывом насоса.

Глава 2
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О НЕУСТОЙЧИВЫХ РЕЖИМАХ РАБОТЫ
ШНЕКО-ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСОВ
2.1. Помпаж-механизм,
характерные особенности
Устойчивость шнеко-центробежных насосов относится к одному
из наиболее сложных и мало разработанных разделов теории ло-
лопастных машин. Как известно, к наиболее изученным формам по-
потери устойчивости относятся помпаж и вращающийся срыв [34,
48]. Помпаж — это вид неустойчивости, характерный для пневма-
пневматических систем, содержащих вентиляторы и компрессоры. Режим
так называемого мягкого самовозбуждения помпажных колебаний
(устойчивость в малом) возможен только при работе нагнетающей
машины на левой ветви напорной характеристики на пониженных
расходах (рис. 2.1).
Рассмотрим гидравлическую систему, включающую центро-
центробежный насос и сосредоточенную ynpyrocfb в напорном трубо-
трубопроводе (рис. 2.2).
В простейшем случае для анализа помпажных колебаний исход-
исходную систему уравнений можно записать без учета сжимаемости
жидкости и податливости стенок трубопроводов (емкостные свой-
свойства системы учитываются сосредоточенной упругостью, распо-
расположенной в напорном трубопроводе).
Уравнение неустановившегося движения жидкости в питающем
трубопроводе
r BЛ)
Уравнение напорной характеристики насоса
Рн (Qi) = Р. - Рь B.2)
гДе Рн (Qi) — напорная характеристика насоса при постоянной
частоте вращения вала насоса (п = const).
Уравнение неустановившегося движения жидкости в напорном
трубопроводе (до сосредоточенной упругости).
? + /2-^-, B.3)
29

р II
tf(Q)
X 4—
/
L
У
рМ
/
/
к
\
Рис. 2.1. Характеристики насоса и сети [48]
Рис. 2.2. Схема гидравлической системы:
1 — питающий трубопровод; 2 — шнеко-центробежный насос; 3 — трубопровод; 4 —
сосредоточенная упругость; 5 — дроссель
где р3 — давление в месте расположения сосредоточенной упру-
упругости.
Уравнение сохранения массы для сосредоточенной упругости
C^^Q^Q,, B.4)
где С — податливость сосредоточенной упругости.
Характеристика сети (нагрузка расположена после сосредото-
сосредоточенной упругости) задана зависимостью
РЗ — Рб == &2>0.2 B-5)
или в общем виде р3 — рб = ф (Q2)> гДе as — коэффициент харак-
характеристики сети.
Линеаризуя уравнения B.1)—B.5) (при рб = const), запишем
систему уравнений возмущенного движения (в отклонениях) *:
орх -f- AiOQi + /x ., = U, (J.b)
= 6рх +s6Qi,
B.7)
B.8)
it
= 6Q1-8Q2,
B.9)
* Здесь и далее принята следующая система обозначений: ^параметр х,
соответствующий установившемуся режиму, обозначен черточкой — х> отклонение
параметра от установившегося режима —6л:, амплитуда колебаний —блг.
30

B.10)
l , i?, ;
тангенс угла наклона касательной к характеристике сети
7?
Исключая из системы уравнений B.6)—B.10) отклонения давле-
давлений брх, бр2, бр3, получим:
(Л + /i) ^ + № + #2 - s) 6QX = - #38Q2; B.П)
Определяя 6Q2 из уравнения B.11) и подставляя в B.12), находим:
+-j^-(«1+ «. + «.-») «ft-0. B.13)
Согласно уравнению B.13), динамические свойства рассматри-
рассматриваемой системы описываются дифференциальным уравнением вто-
второго порядка. Это уравнение является основным в теории пом-
пажа [48]. Из него следуют условия самовозбуждения колебаний,
формула для определения частот колебаний и условие статической
устойчивости.
Условие статической устойчивости, т. е.
установившийся режим устойчив, когда
flx +R2 +R3 >s. B.14)
Полагая /?д = /?2 = 0, приходим к известной формулировке
статической устойчивости [48]: статический режим устойчив, если
угол наклона касательной к характеристике сети больше угла
наклона касательной к характеристике насоса.
Для центробежных насосов это условие, как правило, выпол-
выполняется, так как
BЛ5)
Динамическая устойчивость определяется коэффициентом при
. Если
dt
s>#i + #2 + ^ii, B.16)
то коэффициент при Jf1 отрицателен, при этом происходит на-
накопление колебательной энергии в системе и нарастание амплитуды
помпажных колебаний.
31

Таким образом, согласно этому условию потеря устойчивости
в форме помпажа (режим мягкого возбуждения) возможна только
при работе насоса на левой ветви характеристики [48], достаточно
больших значениях податливости сосредоточенной упругости и
малых значениях коэффициентов гидравлических сопротивлений
питающего и напорного трубопроводов R± и R2.
Интересно отметить, что при Rs —> оо (например, за счет уста-
установки быстродействующего регулятора расхода, который в про-
процессе колебаний поддерживает расход Q2 постоянным) условие ста-
статической устойчивости выполняется, а динамическая устойчивость
B.16) существенно снижается. В этом случае условие динамической
устойчивости приобретет вид:
s >Ri +R*- B.17)
Частота колебаний (вблизи границы об-
области устойчивости определяется выражением
<218>
о
или, учитывая выражение B.15), соо = т^тт—гт\> т- е- частота коле-
С (li -f- J2)
баний определяется коэффициентами инерционного сопротивле-
сопротивления питающего и напорного трубопроводов и податливостью сосре-
сосредоточенной упругости в напорном трубопроводе.
Отметим, что в гидравлических системах, включающих высоко-
высокооборотные центробежные насосы, податливость С, обусловленная
сжимаемостью жидкости и податливостью стенок напорного тру-
трубопровода, незначительна, поэтому условие динамической устой-
устойчивости выполняется, т. е. помпажные колебания не возникают.
Однако, при работе шнеко-центробежного насоса на газожидкост-
газожидкостной смеси может возникнуть потеря устойчивости в форме пом-
помпажа [10.].
При определенном газосодержании на напорной характери-
характеристике шнека в области малых расходов появляется восходящий уча-
участок (на рис. 2.1 левая ветвь), а роль податливости сосредоточен-
сосредоточенной упругости играет сепарационная каверна, представляющая
скопление газа между шнеком и колесом.
Известен еще один вид неустойчивости, возможный при работе шнеко-цен-
шнеко-центробежного насоса на левой ветви напорной характеристики, — вращающийся
срыв.
В отличие от неустойчивости в форме помпажа, для которого определяющую
роль играют параметры пневмогидросистемы, неустойчивость в форме вращаю-
вращающего срыва связывают лишь с условиями обтекания отдельной решетки про-
профилей [34].
Механизм возникновения неустойчивости вида вращающегося срыва обус-
обусловлен тем, что при обтекании прямой решетки профилей на режимах, близких
к критическим углам натекания, случайные возмущения отрывают пограничный
слой с одного или нескольких рядом расположенных профилей (рис. 2.3) [34].
Из-за срыва потока поперечное сечение канала уменьшается, а гидравлическое
32

Рис. 2.3. Зона срыва при обте-
обтекании решетки профилей [34]
сопротивление увеличивается,
что, в конечном счете, при не-
неизменном перепаде давления по
обе стороны решетки приводит
к уменьшению расхода через у/] / )jjj / у. )
такой канал. Набегающий поток -* /// ' /// jj
перед решеткой растекается в "
обе стороны от указанного ка-
канала, при этом углы натекания потока на соседние профили, располо-
расположенные в направлении проекции скорости набегающего потока на ось ре-
решетки wlu, увеличиваются, а углы натекания потока на профили, располо-
расположенные по другую сторону от области срыва, уменьшаются. С увеличением угла
натекания пограничный слой отрывается и на соседних профилях, что приводит
к распространению зоны срыва в направлении проекции скорости набегающего
потока на ось решетки wlu. При этом по другую сторону зоны срыва уменьшение
углов натекания восстанавливает безотрывное обтекание профилей. В результате
зона срыва распространяется вдоль оси решетки, сохраняя свои размеры и ско-
скорость перемещения. Образование вращающегося срыва обусловлено нарушением
устойчивости осесимметричного течения, в результате которого устанавли-
устанавливается новая форма течения с одной или несколькими зонами срыва, распро-
распространяющимися с установившейся скоростью вдоль оси решетки.
2.2. Кавитационные автоколебания —
основные экспериментальные факты
и- характерные особенности
Кавитационные явления в шнеко-центробежном насосе суще-
существуют в определенном диапазоне входного давления (режим ча-
частичной кавитации) и не оказывают заметного влияния на основные
параметры насоса (напор, расход, КПД).
При исследовании влияния кавитационных явлений в шнеко-
центробежном насосе на понижение собственных частот колебаний
в гидравлических системах М. С. Натанзоном в 1962 г. было ука-
указано на возможность самовозбуждения автоколебаний в системе
питающий трубопровод — насос, обусловленных кавитационными
явлениями в насосе. Этот новый вид неустойчивости получил
название кавитационных колебаний [16, 67].
Характерные особенности потери устойчивости работы шнеко-
центробежного насоса по отношению к кавитационным колебаниям
позволяют отличать данный вид потери устойчивости от других
возможных видов (помпаж, вращающийся срыв).
Прежде всего следует отметить, что появление кавитационных
колебаний не связано с работой шнеко-центробежного насоса на
левой ветви напорной характеристики. Основные характерные
особенности этих колебаний были установлены экспериментально.
Главная из них состоит в том, что частота и амплитуда автоколеба-
автоколебаний существенно зависят от давления на входе в насос, а следова-
3 В. В. Пилипенко 33

ш
°)
XAAA/vVVWVVV4
i. 11; i- L__i 11 i.t j 111 >
и i i i i i i 11 ц.г;
в)
Рис. 2.4. Осциллограммы с записью колебаний давления на входе
а — рг = 13 МПа, pt = 0,4 МПа; б — р2 = 13 МПа, pj =0,3 ± 0,122 МПа, / = 20 Гц;
34

^YV^
I fcj I I I I I I I I I Ы I I I
0,1c
Pi и выходе p2 из насоса при час/поте вращения вала 350 с1:
в — Pi = 13 МПа, /?! = 0,2 ± 0,18 МПа, /== 13,3 Гц; г — р2 =13 МПа, рх = 0,104 МПа
35

р2ч МП а
13,0
IOJI
9,6
7,2
6,8
5,2
к n J ~
' 1
1,
V
А
О
6" а
7
б'
2а
J
/7 0,1 0,2 0,3 0,4 р, Mf?u
Р«с. 2.5. Кавитационные характеристики насоса:
1 — частота вращения вала насоса п = 350 с; расход Q = 6 л/с; 2 — /г = 300 с,
Q = 6 л/с; 2а — п = 300 с, Q = 12,6 л/с; 3 — п = 256,7 с, Q = 12,6 л/с; 4 — п =
= 216,7 с, Q = 12,6 л/с
тельно, от размеров кавитационных каверн. На рис. 2.4 представ-
представлена серия осциллограмм с записью колебаний давления на входе
(рх) и выходе (р2) из насоса [67].
Сопоставление этих осциллограмм с кавитационной характери-
характеристикой насоса, представленной на рис. 2.5, наглядно показывает,
что автоколебания не возникают как в области режимов, соответ-
соответствующих большим кавитационным запасам (малые размеры кави-
кавитационных каверн), так и на режимах, близких к кавитационному
срыву. Из рис. 2.5 следует также, что автоколебаниям соответ-
соответствуют такие режимы работы насосов, при которых отсутствует
заметное падение напора по кавитационной характеристике насоса.
Вблизи границы устойчивости автоколебания имеют синусоидаль-
синусоидальный характер (см. рис. 2.4, б), в области сильно развитых колеба-
колебаний их форма меняется и они приобретают разрывной характер
(см. рис. 2.4, в).
По результатам осциллографических записей колебаний вход-
входного давления (рис. 2.6, 2.7) при снятии кавитационных харак-
характеристик установлены зависимости частот колебаний от давления
на входе в насос, причем для различных шнеко-центробежных на-
насосов частота кавитационных колебаний практически линейно за-
зависит от среднего значения давления на входе и увеличивается
с повышением входного давления [67, 78]. Частота колебаний
уменьшается с увеличением длины питающего трубопровода, ча-
частоты вращения вала насоса, а также при снижении расхода через
насос. Полученные результаты можно интерпретировать следую-
36

щим образом: изменение любого параметра насоса в направлении
увеличения интенсивности кавитации приводит к снижению ча-
частоты колебаний *. Линейный характер зависимости частоты коле-
колебаний от входного давления можно считать отличительной особен-
особенностью кавитационных колебаний.
На рис. 2.8 представлены зависимости амплитуды кавитацион-
кавитационных колебаний от давления на входе в насос для различных значе-
значений частоты вращения вала насоса (см. разд. 4.8). Эти зависимости
имеют четко выраженный нелинейный характер с максимумом при
давлении, существенно превышающем давление кавитационного
срыва.
Давление на входе в насос, при котором амплитуда колебаний
достигает максимального значения, и ее величина зависят от ча-
частоты вращения вала насоса. С уменьшением частоты вращения
наблюдается существеннее уменьшение максимальных амплитуд
автоколебаний (либо полное прекращение колебаний).
Такой характер зависимости ампли-
амплитуды колебаний от давления р1 являет-
является еще одной отличительной особен-
особенностью кавитационных колебаний.
В работе [94] изложены результаты изме-
измерений пульсаций давления во всасывающем и
отводном каналах центробежных насосов. Из
этих результатов следует, что в гидравличе-
0,2
0,3
ДО р1гМПа
0,3 р„МПа
Рис. 2.6. Зависимость частоты автоколебаний от давления на входе при Q =
= 6 лЬ и различной частоте вращения вала насоса:
1 — п = 216,7 с; 2 ~ п = 256,7 с; 3 — п = 300 с
Рис. 2.7. Зависимость частоты автоколебаний от давления на входе при Q= QH0M
и различных длинах питающего трубопровода:
= 1,2 м
0,08 м; 2 - 1± = 1,2 м; 3 - 1± = 3,15 м; 4 - при Q = 0,5Q
HQM
Отметим, что в типичных случаях увеличение частоты вращения вала
насоса и уменьшение расхода на режимах частичной кавитации приводит к уве-
увеличению объема кавитационных каверн (см. разд. 1.9).
4 * 37

/t МПа
0,8
0,6
1?Е
Ц1 0,2
*Y
0,3
05
Рг,МПа
Рис, 2.8. Зависимость амплитуды кавитационных колебаний от давления на
входе в насос при различных значениях частоты вращения вала насоса:
/ — п
2 — п = /ги
3 — п = 0,82/гном; 4 — п = 0,7«н
ской системе, включающей центробежный насос, кроме кавитационных коле-
колебаний, могут возникать достаточно регулярные вынужденные колебания с
роторной частотой и частотой следования лопастей рабочего колеса. Частота
и амплитуда этих колебаний зависят от режима работы насоса и изменяются в
достаточно широких пределах.
В процессе изучения кавитационных автоколебаний различ-
различными авторами был предложен ряд математических моделей этого
сложного и своеобразного явления. Перейдем к изложению этих
моделей.
2.3. Кинетическая модель
кавитационных колебаний
2.3.1. Кинетическое уравнение
Первой теоретической моделью кавитационных колебаний в си-
системе шнеко-центробежный насос — трубопроводы явилась так
называемая кинетическая модель, предложенная в 1962 г. М. С. На-
танзоном [68, 69] *. Эта модель основывалась на уравнении дина-
динамики кавитационной полости, которое описывает неравновесный
термодинамический процесс в ней с учетом уноса парогазовой фазы.
Настоящий раздел посвящен изложению этой модели.
Кавитация, возникающая при обтекании тел потоком жидкости,
сопровождается явлением уноса парогазовой фазы вниз по потоку
с последующим ее растворением и конденсацией в области повы-
Здесь эти работы дополнены замечанием, позволяющим качественно
проследить взаимную связь кинетической и струйной моделей.
38

ШённоГо давления. (Под парогазовой фазой здесь и в дальнейшем
понимается содержимое кавитационных каверн, которое в случае
чистых жидкостей представляет собой пар, а для жидкостей, содер-
содержащих растворенные газы, — смесь пара и газа).
На стационарном режиме расход парогазовой фазы, обуслов-
обусловленный уносом, компенсируется^процессами испарения и дегазации
жидкости, в результате которых в область, охваченную кавитацией,
поступают новые порции пара и газа.
В основу кинетической модели положено уравнение материаль-
материального баланса парогазовой фазы на нестационарном режиме.
Чрезвычайная сложность явлений, сопровождающих кавита-
кавитацию, приводит к тому, что формулировка модели требует идеали-
идеализации процесса, в результате чего полученная на ее основе теория
имеет качественный характер.
Скорость изменения количества пара в каверне равна разности
секундных расходов, обусловленных испарением (или дегазацией)
жидкости и уносом парогазовой фазы:
МкпЬ-щ, B.19)
где Мк — общая масса пара и газа в кавитационной полости;
тх — массовый секундный приход парогазовой фазы в кавитацион-
ную полость вследствии испарения и дегазации жидкости; т2 —
массовый секундный расход парогазовой фазы из кавитационной
полости вследствии уноса.
Примем, что скорость испарения жидкости (или ее дегазации)
пропорциональна разности масс парогазовой фазы, соответст-
соответствующей термодинамическому равновесию, и той парогазовой
фазы, которая в действительности содержится в кавитационной
полости:
пн= Мп~М" , B.20)
где Мп — масса пара и газа, требуемая термодинамическим равно-
равновесием; т — характерное время установления термодинамического
равновесия (время релаксации).
Физическое содержание B.20) очевидно: скорость приближения
системы к состоянию равновесия пропорциональна отклонению
системы от равновесного состояния.
Пренебрегая изменением температуры парогазовой фазы, обус-
обусловленной теплотой испарения жидкости и работой сил давления,
можно записать следующие выражения для Мк и Мп:
Мк =•?&-; Мп = ¦$*-, B.21)
г&е РК — давление в кавитационной полости; рп—давление,
соответствующее термодинамическому равновесию между содержи-
содержимым каверны и жидкостью; RK — газовая постоянная.
39

На стационарном режиме
т1==т2 = т. B.22)
Подставляя в B.22) соотношения B.20) и B.21) после неслож-
несложных преобразований получим:
РК = РП-^ККТК. B.23)
Из B.23) следует, что повышению давления в каверне на стацио-
стационарном режиме способствует: повышение давления парогазовой
фазы, соответствующее термодинамическому равновесию *, а также
уменьшение интенсивности уноса и времени релаксации.
Для того чтобы оценить время релаксации т, воспользуемся
результатами скоростной киносъемки кавитационных течений, опи-
описанными в работах [112, ИЗ, 114, 115], и измерениями давле-
давления в присоединенной каверне [56].
Из этих работ следует, что частота отрыва сносимых вниз по
потоку каверн, отрывающихся от присоединенной каверны, состав-
составляет величину порядка 102 Гц, давление в присоединенной каверне
остается при этом заметно ниже своего равновесного значения.
Последнее означает, что в интервале времени между двумя после-
последовательными отрывами каверн, в течении которого присоединен-
присоединенная каверна представляет замкнутый объем, термодинамическое
равновесие между парогазовой смесью и жидкостью не устанавли-
устанавливается. Из этого следует, что, по крайней мере, в условиях этих
опытов характерное время установления термодинамического рав-
равновесия превышало значения порядка 10~2—10~3 с. Изменения
рода жидкости и в несколько раз (не на порядок) характерного
размера обтекаемого тела не должны, по всей вероятности, менять
порядок этой величины.
Рассмотрим теперь член т2, характеризующий унос пара и
газа из каверны. Поскольку количественное описание зависимости
этой составляющей от параметров течения в интересующей нас
области чисел кавитации в настоящее время отсутствует, ограни-
ограничимся качественным анализом. Опыт показывает, что интенсив-
интенсивность уноса парогазовой фазы растет по мере возрастания скорости
потока и уменьшения числа кавитации [116, 117].
Это обстоятельство, в частности, согласуется с результатами
измерений давления на задней стенке цилиндра при его кавита-
ционном обтекании, приведенными в работе [56]. Опыты сопро-
* Для жидкостей, содержащих растворенный газ, рп близко к давлению,
при котором происходило насыщение жидкости газом, а для чистых жидкостей —
давлению насыщенных паров, которое при температурах, близких к кипению
(например для горячей воды и криогенных жидкостей), может достигать сравни-
сравнительно больших величин.
40

вождались фотографированием потока, что позволяло определить
размеры области, охваченной кавитацией, и структуру кавитацион-
ного течения.
Результаты измерений давления на задней стенке цилиндра и
размер области, охваченной кавитацией, полученные в работе
[56], представлены на рис. 2.9. Буквами Л, Б и С на этом рисунке
отмечены области, отличающиеся друг от друга структурой кави-
тационного течения. В области А за цилиндром периодически воз-
возникают и полностью отрываются кавитационные каверны, а в об-
области В после срыва каверны конденсация ее остатков происходит
далеко^ полностью, в результате чего возникает присоединенная
каверна; в области С кавитационное течение имеет струйный ха-
характер. Давление в области, охваченной кавитацией, заметно пре-
превышает сумму парциальных давлений паров воды и растворенных
в ней газов — p*/pg. Однако эта величина вследствие уноса ниже
того давления, при котором происходило насыщение воды возду-
воздухом, ^ 15 м. На границе между областями В и С, где осущест-
осуществляется переход к струйному обтеканию, давление в каверне
практически скачком падает до значения, близкого к давлению
насыщенных паров, что указывает на резкое возрастание уноса.
Интенсивность уноса в этой области столь велика, что даже зна-
значительный принудительный вдув газа не вызывает повышения
давления в ней [116, 117, 33, 93].
Из всего сказанного следует, что давление в области, охвачен-
охваченной кавитаиией, кроме всего прочего, существенно зависит от
структуры кавитационного течения.
Экспериментальные данные по структуре кавитационных тече-
течений в насосах существенно менее обширны, чем по обтеканию тел
в гидродинамических тру-
трубах, р
Исследование течения Jg[M
жидкости в колесах цен-
центробежных насосов, про-
проведенное при помощи ско-
скоростной киносъемки [30],
показало, что для изучав-
изучавшейся серии колес и ре-
режимов работы кавитация
в межлопастных каналах
колеса центробежных на-
насосов представляет не от-
0,8
Рис. 2.9. Зависимость давления
в области, охваченной кавита-
кавитацией, от числа кавитации при
обтекании круглого цилиндра
[56]
С
-О
Рп
Р9
В
V
Р9
/
/
/
А
1,0
1,1
1,6
А\

рывное струйное течение с определенной границей раздела фаз, а
поток — с множеством движущихся каверн. Иными словами,
структура кавитационного течения соответствует области А на
рис. 2.9.
В работе [12] отмечается нестационарный характер кавитации
в проточной части колес диагональных насосов, конструкция кото-
которых занимает промежуточное место между центробежным насосом
и шнеком. Эта нестационарность указывает на то, что и в этом слу-
случае реализовались стадии кавитации, предшествующие струйной
форме.
Из экспериментальных данных следует, что и для шнековых
преднасосов, наряду со струйными течениями, на ранних стадиях
кавитации должны реализоваться режимы течения с умеренной
интенсивностью уноса.
Важно также отметить, что малая интенсивность уноса харак-
характерна не только для структур кавитационного течения, соответ-
соответствующих областям Л и б, но и для кавитации, наблюдаемой в виде
жгута, распространяющегося вверх по потоку на режимах малых
расходов [111].
Поскольку частота, с которой отрываются каверны, сносимые
вниз по потоку, имеет значение порядка 102 Гц и практически ли-
линейно растет с возрастанием скорости потока, унос парогазовой
фазы при изучении частот колебаний порядка 10 Гц можно считать
непрерывным процессом, а расход парогаза — пропорциональным
скорости потока. Если колебания расхода жидкости отсутствуют,
то можно в равной мере пользоваться значением скорости как до,
так и после каверны, так как они пропорциональны. При колеба-
колебаниях эта жесткая связь теряется вследствие появления дополни-
дополнительного расхода жидкости за каверной, обусловленного измене-
изменением объема последней. Так как унос парогазовой фазы происходит
из участков каверны, расположенных вниз по потоку, то естест-
естественно предположить, что определяющей является скорость после
каверны. Последняя при работе насоса пропорциональна расходу
на его напорной стороне. Выше уже отмечалось существенное влия-
влияние на интенсивность уноса структуры кавитации. В качестве пара-
параметра, характеризующего интенсивность уноса, удобно выбрать
объем области, охваченной кавитацией, которая монотонно растет
по мере снижения числа кавитации. При течении жидкости в меж-
межлопастных каналах шнеков или центробежных колес насосов воз-
возрастание объема кавитационной каверны приводит к уменьшению
проходного сечения для жидкости в межлопастном канале. Послед-
Последнее приводит к увеличению скорости жидкости, обтекающей ка-
каверну, и тем самым к усилению зависимости уноса от объема кави-
кавитационной каверны.
Поскольку плотность парогазовой фазы, заполняющей каверну,
пропорциональна давлению в ней, в качестве еще одного фактора,
возрастание которого приводит к росту массового расхода парога-
42 .

зовой фазы вследствие уноса, можно принять давление в кавйТа-
ционной полости. Из приведенных соображений следует, что
т2 - т2 (Q2, pK, 1/к), B.24)
где частные производные функции т2 по всем аргументам положи-
положительны.
В режиме малых колебаний вблизи положения равновесия
(стационарного режима) уравнение B.19) допускает линеаризацию.
Введем систему безразмерных отклонений от стационарного ре-
режима в виде следующих соотношений:
Рк = РкО+fy?K)'» Q2 = Q2(l I-8Q2); У к =:^кA +6КК), B.25)
где 6Q,., 6/?к и 6VK — соответственно безразмерные отклонения
расхода за насосом, давления в каверне и ее объема.
Подставляя B.25) в B.19), B.20), B.21), B.24), после линеари-
линеаризации и преобразований получим:
fa8Q2), B.26)
где использована следующая система обозначений:
e = _01nm, д\пт2 ainm^
d\nVK r d\np2 t2 d\nQ2
Динамические свойства кавитационной каверны при малых
отклонениях от положения равновесия зависят в рассматриваемой
модели от трех постоянных: эффективного времени релаксации т0
и двух параметров уноса —е0 и а.
В целях конкретности изложения и оценок значения т скорость
испарения при выводе B.26) задавалась в виде соотношения B.20),
обоснованного соображениями качественного характера.
Уравнение B.26) сохранило ту же форму, если бы скорость
испарения была задана в виде некоторой произвольной функции
Давления в каверне и ее объема. Уравнение B.26) основывается
всего лишь на следующих допущениях* масса парогазовой фазы
пропорциональна объему кавитационной полости и давлению в ней;
увеличение давления в каверне приводит к уменьшению скорости
испарения и увеличению скорости уноса; увеличение объема при-
приводит к возрастанию скорости испарения и уноса (если превали-
превалирует рост первой величины, то е0 < 0, если второй, то е0 > 0),
43

и, наконец, увеличение скорости потока приводит к возрастанию
уноса.
Перечисленные допущения представляются естественными не
только для кавитации с присоединенной каЕерной, но и в тех слу-
случаях, когда присоединенная каверна отсутствует. В дальнейшем
при построении качественной теории не будем делать различия
между этими двумя типами кавитации. Под объемом кавитацион-
ной полости следует понимать суммарный объем всех кавитацион-
ных каверн, расположенных в области, охваченной кавитацией.
2.3.2. Механизм положительной обратной связи
Из дальнейшего будет видно, что если положить а0 = 0, то это
не приведет к отключению положительной обратной связи (более
того, для высоконапорных насосов члены, содержащие а0, малы и
приводят к несущественным для качественной теории поправкам).
Это позволяет при качественном анализе механизма обратной
связи положить а0 = О (В последующих разделах члены, содер-
содержащие сг0, будут восстановлены).
Следуя приему, описанному в работе [43], введем систему коор-
координат 8VK — 8рк и рассмотрим рабочий цикл, состоящий из про-
процессов сжатия и расширения, совершаемых с различными скоро-
скоростями. Начнем с рассмотрения случая, когда е0 < 1 (рис. 2.10, а).
Пусть исходному равновесному состоянию системы соответствует
точка О на рис. 2.10. При очень медленном увеличении или умень-
уменьшении объема каверны (характерное время, определяющее скорость
изменения объема, много больше времени релаксации т) процесс
расширения или сжатия будет происходить практически равно-
равновесно.
Рис. 2.10. Рабочие циклы, образованные двумя неравновесными процессами и про-
процессами установления равновесия:
а — 80 < 1; б — 80 > 1
44

Члены, содержащие производные в уравнении B.26), могут
быть в связи с этим отброшены, после чего уравнение приобретает
вид
брк = - ео6Ук. B.30)
Прямая линия, соответствующая этому процессу, обозначена на
рис. 2.10 буквой П (равновесный процесс).
Если изменение объема, напротив, будет происходить очень
быстро (характерное время изменения объема много меньше
времени релаксации т0), то члены, содержащие производные, будут
много больше других. Отбрасывая в уравнении B.26) члены, не
содержащие производных, после интегрирования находим:
6рк=-6Кк. B.31)
Прямая линия, соответствующая этому процессу, обозначена
на рис. 2.10 буквой Я. Этой прямой линии соответствует полностью
неравновесный процесс. Если е0 < 1, то при 61/к > 0 линия,
описывающая равновесный процесс, лежит выше линии неравно-
неравновесного процесса.
Пусть система, находившаяся в состоянии равновесия, в ре-
результате быстрого сжатия перешла в состояние, которому соответ-
соответствует точка /. Состояние системы в процессе сжатия будет при
этом описываться точками, лежащими на прямой Я. Если после бы-
быстрого сжатия зафиксировать объем, то система будет самопроиз-
самопроизвольно стремиться к состоянию равновесия, которое описывается
точкой 2.
После того, как система достигнет состояния равновесия, про-
произведем быстрое расширение системы до состояния, соответствую-
соответствующего точке 3. Так как расширение системы по условию происходит
неравновесно, то состояния, через которые проходит система
в процессе расширения, будут характеризоваться точками, лежа-
лежащими на прямой линии, параллельной линии Я. После того, как
система придет в состояние, соответствующее точке 3, вновь зафик-
зафиксируем объем, в результате чего она самопроизвольно будет ме-
менять свое состояние, стремясь прийти в положение, соответствую-
соответствующее точке 4. После достижения нового положения равновесия
вновь произведем быстрое сжатие до состояния, обозначенного точ-
точкой 5, а затем выждем, пока система вернется в состояние, соот-
соответствующее точке 2. Далее рабочий цикл 2—3—4—5—2 может
быть повторен.
Отмеченное на рис. 2.10, а направление обхода цикла показы-
показывает, что над системой совершается работа. Иными словами, ему
сопутствует рассеивание (диссипация) энергии колебаний. Видно,
что описанный механизм рассеивания энергии, вообще говоря, не
связан с целым рядом конкретных свойств системы, а обуславли-
обуславливается всего лишь одной ее особенностью: зависимостью конечных
состояний от скорости изменения внешних условий.
45

Впервые возможность появления подобного механизма рассеи-
рассеивания энергии была показана А. Эйнштейном на примере системы,
в которой могут происходить обратимые химические реакции, иду-
идущие с изменением объема или выделением тепла [43]. Существует
большое число подобного рода систем. В частности, наличие до-
дополнительного рассеивания энергии, связанное с конечной ско-
скоростью установления состояния равновесия, обуславливает появ-
появление в уравнении Навье-Стокса дополнительного диссипативного
члена, пропорционального дивергенции скорости*). Коэффициент
пропорциональности, стоящий перед div, носит название ко эф-'
фициента второй вязкости.
Рассмотрим теперь поведение системы при е0 > 1.
Рассмотрим тот же рабочий цикл, состоящий из двух пол-
полностью неравновесных изменений объемов и процессов установле-
установления равновесия (см. рис. 2.10, б). Взаимное расположение линий
равновесного и неравновесного процессов при переходе от е0 < 1
к е0 > 1 изменяется. В соответствии с этим направление об-
обхода цикла изменится на противоположное, как это видно из
рис. 2.10, б. Это значит, что работа, совершенная системой за цикл,
меняет знак. Иными словами, система генерирует энергию коле-
колебаний.
Переход от системы с е0 < 1 к системе с е0 > 1 можно, таким
образом, интерпретировать как появление отрицательной второй
вязкости.
Выясним теперь условия, при которых эффекты, связанные
с рассеиванием или выделением энергии (в зависимости от знака
е0 — 1), будут проявляться в наиболее ярком виде.
Рассмотрим с этой целью режим гармонических колебаний
объема:
6Кк = б7/ш/, B.32)
где 61/к — безразмерная амплитуда колебаний объема.
(Для удобства записи в обозначениях безразмерных амплитуд
в этом разделе знак «тильда» в дальнейшем опускается).
Подставляя B.32) в B.26) (напомним, что временно а = 0),
после несложных преобразований получим
б1/к - 6УК cos со/; 6р = - bVK (|ij cos со* - ^ sin со/); B.33)
(80— 1)СОТО (9 044
Исключая из B.33) sin со/ и cos со/, получим
^B^35)
1
*) Этот член в силу уравнения сохранения массы пропорционален скорости
изменения плотности.
46

При т0 = 0 (или при со = 0), что соответствует полностью равно-
равновесному процессу, из уравнения B.35) следует B.30) (\i = —,
\i2 = 0). При т0 —» оо или при со —¦ оо (полностью неравновесный
процесс) уравнение B.35) переходит в B.31) (^х = 0, \х2 = 0).
В обоих случаях рабочий цикл вырождается в прямые линии, отме-
отмеченные на рис. 2.11 буквами Я и Я. Так же, как и на рис. 2.10,
левый график рис. 2.11 соответствует е0 < 1, а правый — е0 > 1.
При значениях т0 и со, отличных от 0 или со, рабочие циклы
имеют форму эллипсов, изображенных на рис. 2.11. Направление
обхода эллипсов зависит от знака разности е0 — 1, а площади рав-
равны рассеиваемой или генерируемой энергии колебаний.
Так как в обоих предельных случаях работа, совершаемая
циклом, равна нулю, то должна существовать некоторая харак-
характерная частота, при которой работа, совершаемая системой, имеет
максимальную величину.
Определим значение этой частоты. Вычислим предварительно
площадь эллипса. Воспользовавшись выражением B.35), нетрудно
получить следующее выражение для работы, совершаемой системой
за рабочий цикл:
-н
B.36)
Из B.36) и B.34) следует, что знак работы определяется знаком
разности 80— 1, а ее максимум совпадает с максимумом fx. Диф-
Дифференцируя |^2 по со и приравнивая производную нулю, находим:
(а)т0J - 1 = 0, B.37)
0,5 к 1,0 5V -1.0 ~0,5
\
П \Н
Pup. 2.11. Рабочие циклы при гармоническом законе изменения объема:
а — 8Q < 1; б — е0 > 1
47

PS
. — _
2
1 , ' /
Pi L P
3
/
Рис. 2.12. Расчетная схема системы на-
насос—трубопроводы
откуда значение частоты, кото-
которой соответствует максимальная
работа, будет равно:
© = ©* = —. B.38)
При т0 порядка 10—10~2 с значения характерных частот лежат
в диапазоне от нескольких единиц до нескольких десятков герп.
Из приведенных рассуждений и выкладок следует, что эффекты,
связанные с рассеиванием или выделением энергии, будут наибо-
наиболее выражены в некоторой области частот, лежащей вблизи значе-
значения, определяемого формулой B.38). Поскольку при е0 > 1 звено,
описываемое уравнением B.26), совершает за период колебаний
положительную работу, то вблизи этих значений частот оно может
играть роль звена положительной обратной связи, вызывающего
потерю устойчивости системы.
2.3.3. Уравнения возмущенного движения системы
Рассмотрим систему, состоящую из бака У, в котором поддер-
поддерживается постоянное давление, питающего трубопровода 2, на-
насоса 3 и гидравлической нагрузки 4 (рис. 2.12).
Поскольку нас будет интересовать область сравнительно низ-
низких частот, сжимаемостью жидкости и упругостью стенок трубо-
трубопровода можно пренебречь, а все гидравлические сопротивления
участка от бака до входа в насос можно сосредоточить в одном
сечении, например, на входе в трубопровод:
Рб — Р\ — ciQi, B.39)
где рх — давление в начале трубопровода; а — коэффициент, учи-
учитывающий гидравлическое сопротивление на участке течения от
бака до каверны.
После линеаризации этого уравнения вблизи положения равно-
равновесия и перехода к безразмерным переменным получим:
—8р1 = kT8Qx; B.40)
л 2 (рб — Pi) . &~ _ Pi Pi . zf\ Qi — Q /о л\
A = = , OPi — = , Oyi = = . \Z. 4:1)
Pk Pk Q
Уравнение движения несжимаемой жидкости в питающем тру-
трубопроводе имеет следующий вид:
- р) = р/ -j±-, B.42)
где р — давление на входе в насос без учета гидравлических потерь
на участке от входа в насос до каверны, поскольку последние были
условно отнесены к баку.
48

После перехода к безразмерным отклонениям от стационарного
значения уравнение B.42) может быть записано в следующей
форме:
Уравнение, связывающее давление на входе в насос с давле-
давлением в кавитационной полости:
p-pK = kp^-, B.44)
где w — скорость на границе кавитационного объема. Число кави-
кавитации k в общем случае является функцией Q, и объема VK.
Линеаризируя уравнение B.44), после перехода к безразмер-
безразмерным переменным получим:
8р - 8рк = К (a^Q, - uVk6Vk), B.45)
X - Р-Р" - п - dlnkw2 • аи - dlnkw* (9 46}
Лк~ рк ' aQ ~~ d\nQ ' пук - ~ d\nVK * (Zq0)
В уравнении B.44) потеря давления выражена через скорость
жидкости на границы каверны*.
Механизм потери устойчивости в кинетической модели не связан
с отрицательным активным сопротивлением. Для того, чтобы пока-
показать работу этого механизма в чистом виде, будем полагать в даль-
дальнейшем aQ = 0 (или, иными словами, рассматривать такого рода
ситуации, когда отрицательное активное сопротивление много
меньше гидравлического сопротивления на участке течения жидко-
жидкости от бака до каверны).
При медленном изменении объема давление в каверне меняется
согласно уравнению B.30). Исключая из выражения B.45) б/?к,
получим следующее соотношение, справедливое при медленном из-
изменении входного давления:
8р = -(ео^Каук)8УКу B.47)
Уравнение B.47) показывает, что при медленном изменении вход-
входного давления упругость кавитационной полости складывается из
двух составляющих, равных %кау и е0. Первая из них обуслов-
обусловлена влиянием объема кавитационной полости на потерю статиче-
статического давления на участке «вход в насос — кавитационная по-
полость». Вторая составляющая связана с изменением давления
* Для струйной модели (см. разд. 2.5 и 3.1) кавитационных колебаний это
обстоятельство имеет принципиальное значение. Коэффициент k в струйной мо-
модели имеет смысл числа кавитации, а коэффициент при bQl характеризует линеа-
линеаризованное отрицательное активное сопротивление, которое является основной
причиной потери устойчивости в_ этой модели.
^ В В Пилипенко 49

в кавитационной полости. В предыдущем разделе было показано,
что для рассматриваемого механизма потери устойчивости опреде-
определяющим является характер колебаний давления в кавитационной
полости. Из B.47) видно, что роль колебаний давления в кавита-
кавитационной полости растет с увеличением е0 и % ау . Значение t0, как
к
уже отмечалось, тем больше, чем сильней зависимость уноса от
давления. Что же касается слагаемого Хкау , то оно, согласно'
B.46), уменьшается по мере увеличения давления в каверне. Роль
рассматриваемого механизма, таким образом, тем больше, чем
ближе давление на входе в насос к давлению в кавитационной по-
полости. Физическая интерпретация этого факта очевидна: для того,
чтобы изменение давления в каверне могло оказать заметное влия-
влияние на входное давление насоса, оно должно быть соизмеримо
с ним.
Подобного рода ситуация имеет место в следующих случаях:
при работе насосов на криогенных жидкостях, при втулочной ка-
кавитации шнеко-центробежных насосов, когда они работают на га-
зосодержащих жидкостях, а также на начальных стадиях присоеди-
присоединенной кавитации, предшествующих возникновению суперкави-
тационных течений.
Уравнение сохранения массы жидкости, если в качестве кон-
контрольных сечений выбрать вход и выход из насоса, в отклонениях
имеет следующий вид:
-^к. = 6Q2 - 6QX. B.48)
После перехода в B.48) к безразмерным отклонениям получим:
= 6Q6Q; Tv= B49)
Напор, развиваемый насосом при постоянной частоте вращения
вала насоса, зависит от расхода за насосом и объема кавитацион-
кавитационной полости:
Р - Рз = / (Q2, VK). B.50
Линеаризуя B.50) и переходя к безразмерным переменным,
получим
бр - бр2 = OQ2 + P6VV, х; = ^1; р = ^. B.51)
Если давление после нагрузочной шайбы постоянно, то уравне-
уравнение, связывающее малые колебания давления за насосом с колеба-
колебаниями расхода, будет аналогично B.50) и имеет* следующий вид:
бр2 = K8Q2; К = 2(Р2-~Рз) , B.52)
Рк
где /?;, — давление за нагрузочной шайбой,
60

Исключая из B.51) и B.52) 6р2, получим
бр = XH6Q2 + |WK; ^н - ^н -f К. B.53)
Система уравнений B.40), B.43), B.45), B.47), B.49), B.53)
описывает режим малых колебаний исследуемой системы вблизи
положения равновесия.
При т -> 0 приведенная выше система уравнений, если в ней сохранить
коэффициент ciq> описывает простейший вариант струйной модели [77[.
Представляется весьма вероятным, что при анализе работы насосов на крио-
криогенных жидкостях и горячей воде в ряде случаев окажется целесообразным
совместное рассмотрение струйной и кинетической моделей.
2.3.4. Границы области устойчивости
и некоторые экспериментальные данные
Для построения границ области устойчивости воспользуемся
методом D-разбиения. На границе устойчивости все переменные
совершают гармонические колебания* 8р = 6pei(dt, Ьрг = б/^е140*,
6QX = 8Qxei(dt и т. д. Подставляя эти значения в систему уравне-
уравнений B.40), B.43), B.45), B.47), B.49), B 53), после сокращения на
еш получим следующую систему характеристических уравнений:
6^ = -bT6Qi; B.54)
Ьрг — бр - iaTJbQi, B.55)
6р-брк==-хбРк; B.56)
ш - Tv бРк - 6Q2 - 6Qi; B.57)
к
6p = -MQ, + PfiVV. B.58)
A + fcoTo) брк + (е0 + tcoT0) 6VK + go6Q2 = 0; B.59)
x ---- XKavK. B.60)
Исключая из этих уравнений все амплитуды, а затем разделяя
действительные и мнимые части, получим следующие соотноше-
соотношения, связывающие параметры системы и частоту колебаний на
границе устойчивости:
*Ё- + ;18* _ оJ [кТукх0 + (/27>к - 1 +^+ Р т0) Тт] = 0; B.61)
X = O; B.62)
h ** 1; к = 1 + -^; е* = е0 + -?- К; B.63)
A.-V. Х-Лт-|-^. B.64)
4* " 51

Из уравнений B.63) и B.64) видно, что члены, содержащие tf0,
пропорциональны —. Из этого следует, что для высоконапорных
насосов ими можно пренебречь.
Исключая из B.61) и B.62) частоту колебаний, получим сле-
следующее уравнение границы области устойчивости системы *:
аТ2т-ЬТт + с^0; B.65)
а = JL (в* + /2р) [/27>к + ± A + Ь + Р) то] ; B.66)
—^-) в* — /ЛA + Ь) - црк -
^A + Р + Ъ) [к A + Ь) + А- р] %1 B.67)
ТУ +[/1A + Ь) + ^Р1т0). B.68)
Для высоконапорных насосов и, в частности, для шнеко-центро-
бежных насосов, у которых наиболее часто наблюдаются кавита-
ционные колебания, -=¦— <^ 1 (величина-г— имеет тот же порядок,
что и отношение напора, развиваемого насосом, к сопротивлению
питающей магистрали). Пренебрегая в B.66) — B.68) всеми чле-
членами, пропорциональными -^-, по сравнению с членами порядка
единицы, получим существенно более простые выражения:
а = J- (е0 + Ь + Р) Tv ; B.69)
b = (eo_lOV то-Я.71/ ; B.70)
К К
с = Хт0Тук [A + Ь) то + X7VJ. B.71)
При ^— ~ 10~2 и меньше использование выражений B.69)—B.71)
вместо B.65)—B.68) не оказывает заметного влияния на числен-
численные результаты расчетов. Тем более подобная замена несущест-
несущественна для качественной теории.
* Строго говоря, уравнение, полученное в результате описанной проце-
процедуры, является всего лишь необходимым условием, которым должны удовлетво-
удовлетворять параметры системы на границе устойчивости. В рассматриваемом случае,
однако, как это будет видно из дальнейшего, уравнение B.65) описывает также
и достаточные условия.
52

Разрешая B.65) относительно Тт9 получим:
2$
Для определения частоты колебаний на границе области устой-
устойчивости можно воспользоваться уравнением B.68) или B.62),
подставив в него значение Тт, найденное из B.72). Поскольку
полученные таким образом соотношения имеют весьма сложную
структуру, оценку ожидаемых значений частот осуществим следу-
следующим образом. Обычно члены уравнения, вызывающие рассеива-
рассеивание энергии, оказывают малое влияние на собственную частоту
колебаний системы. В рассматриваемом случае к и к характеризуют
гидравлические потери до каверны. Полагая к и к равными нулю
и пренебрегая членами уравнения, пропорциональными -у-, из
B.61) получим:
(°2^~й^г' B-73)
а из B.62) *
-л2~- 1+Х B.74)
к
Нетрудно показать, что частота
B-75)
является собственной частотой колебаний системы, состоящей из
массы жидкости, заполняющей трубопровод, и газовой емкости
объема VK, сжатие в которой происходит изотермически. Что же
касается формул B.73) и B.74), то первая из них соответствует
предположению о полностью равновесном, а вторая — полностью
неравновесном сжатии.
Частота колебаний системы на границе области устойчивости,
таким образом, близка к собственной частоте колебаний в трубо-
трубопроводе, в конце которого расположена сосредоточенная упругость,
образованная кавитационной полостью.
Это предполагаемое свойство системы в настоящее время под-
подтверждено многочисленными экспериментальными данными. В ка-
качестве примера на рис. 2.6 представлена зависимость частоты кави-
тационных колебаний от давления на входе и частоты вращения
вала насоса по данным работы [67].
Уменьшение давления на входе в насос и увеличение частоты
вращения вала пр.иводит, как известно, к уменьшению кавитацион-
* Более точная оценка, получаемая из громоздких выкладок, показывает,
что со лежит между значениями, определяемыми формулами B.73) и B.74).
53

175
025
Рис. 2.13. Границы устойчивости в координатах Ту —Тт при различных зна-
значениях 80:
— границы устойчивости; -—— — — линии постоянной частоты
ных запасов. Снижение кавитационных запасов влечет, в свою
очередь, увеличение кавитационного объема и пропорциональной
ему величины Ту . Рост последней, согласно B.75), сопровож-
сопровождается снижением собственной частоты колебаний системы. Из
рис. 2.6 видно, что подобный характер зависимости соответствует
экспериментальным данным.
Перейдем теперь к анализу границ области устойчивости.
Так как постоянная времени трубопровода Тт по определению
больше нуля, то, как видно из B.72), граница устойчивости имеет
физический смысл только при b > 0. Из B.70) следует, что для
выполнения этого условия необходимо, чтобы е0 было больше еди-
единицы. Этот результат является следствием установленной
в разд. 2.3.3 зависимости знака работы, совершаемой каверной
за период колебаний, от знака величины е0 — 1.
На рис. 2.13 представлена серия границ областей устойчивости
в координатах Ту — Тт при различных значениях е0. Граница
области устойчивости при фиксированном е0 представляет замкну-
замкнутую кривую. На этом же рисунке пунктиром нанесены кривые,
вдоль которых частота колебаний на границе области устойчиво-
устойчивости имеет постоянное значение. Площадь, охватываемая кривой,
уменьшается по мере уменьшения е0. При некотором значении е0,
превосходящем единицу, граница устойчивости вырождается
в точку, а при дальнейшем уменьшении е0 она исчезает. Нетрудно
показать, что при Ту = Тт = 0 система устойчива. Неустойчи-
Неустойчивые режимы лежат внутри области, ограниченной кривой, а воз-
возрастание е0 уменьшает устойчивость системы. Влияние постоянной
54

7VK> зависящей от объема кавитационной полости и, следовательно,
от кавитационных запасов, на устойчивость системы неоднозначно:
существует некоторый интервал особенно неблагоприятных значе-
значений 7Yk, ниже и выше которого система устойчива. Возрастание
устойчивости при достаточно малых или больших значениях 7>
объясняется следующим. Частота колебаний, как уже отмечалось?
определяется в основном произведением TmTv . С другой стороны,
для эффективной работы механизма положительной обратной
связи, как это было показано в разд. 2.3.3, необходимо, чтобы
частота колебаний была близка к значению со* = —, соответ-
ствующему максимальной площади рабочего цикла в координатах
8VK — 8рк. Область особенно неблагоприятных значений Ту
определяется в связи с этим совпадением собственной частоты коле-
колебаний системы трубопровод — кавитационная полость с часто-
частотой (О*.
Характер влияния величины Тт на устойчивость аналогичен
влиянию Ту^ и имеет ту же природу. Для стабилизации системы,
однако, как это видно из рис. 2.13, требуются очень малые зна-
значения Тт.
На рис. 2.14 представлена серия границ области устойчивости
в координатах X — Тт при различных значениях А,н. Неустойчи-
Неустойчивым режимам соответствуют области, охватываемые кривыми.
Из рисунка видно, что увеличение параметра X, характеризую-
характеризующего гидравлическое сопротивление системы до кавитационной
полости, оказывает стабилизирующее влияние. Это обусловлено
возрастанием рассеивания колебательной энергии (при X —> оо
О 2,0 . 4,0 $0 8,0 10,0 Я
Рмс. 2./4. Границы устойчивости в координатах X—Тт при различных Ан:
г= 2- 10-;

колебания расхода вообще становятся невозможными). Увеличе-
Увеличение устойчивости системы при росте гидравлического сопротивле-
сопротивления питающей магистрали неоднократно наблюдалось в экспери-
эксперименте. В частности, в работе [67] приведен пример, когда увеличе-
увеличение сопротивления всасывающей магистрали с 0,34 до 0,40 МПа
вывело систему из неустойчивого режима работы в устойчивый.
Направление влияния постоянной Хн, характеризующей гидрав-
гидравлические потери за каверной (включая проточную часть насоса и
гидравлическую нагрузку), противоположно влиянию X: возрас-
возрастание Хн уменьшает устойчивость системы. Подобное направление
влияния связано с тем, что возрастание Хн при фиксированной ам-
амплитуде колебаний давления уменьшает амплитуду колебаний рас-
расхода на выходе из насоса и, следовательно, рассеивание энергии,
обусловленное гидравлическими потерями за каверной. При.
Хн —> оо колебания расхода в питающей магистрали (до каверны)
не сопровождаются рассеиванием энергии на напорной стороне
насоса.
Влияние коэффициента р, характеризующего наклон кавита-
ционной характеристики, такое же, что и постоянной Хн. Из этого,
в частности, следует, что вблизи кавитационного срыва появляется
дополнительное стабилизирующее влияние из-за увеличения пара-
параметра р.
Рассмотрим теперь, как будут изменяться динамические свой-
свойства системы трубопровод — насос по мере уменьшения кавита-
ционных запасов насоса (уменьшения входного давления или уве-
увеличения частоты вращения вала насоса). Рассмотрим процесс мо-
монотонного и достаточно медленного понижения давления на входе
в насос. Так как уменьшение кавитационных запасов приводит
к возрастанию VK и, следовательно, Ту , этому процессу будет со-
соответствовать движение слева направо вдоль некоторой горизон-
горизонтальной прямой (см. рис. 2.13). Одновременно будут, естественно,
меняться и значения коэффициентов е0 и т0, однако для последую-
последующего качественного анализа последнее обстоятельство несущест-
несущественно. При достаточно больших кавитационных запасах, когда
кавитационные явления в насосах отсутствуют, система устойчива,
а собственная частота колебаний жидкости в трубопроводе опре-
определяется сжимаемостью жидкости и имеет достаточно большое зна-
значение *. Начиная с некоторого достаточно низкого значения вход-
входного давления, но заметно превышающего значение, при котором
начинается падение напора по кавитационной характеристике
насоса, в районе шнека возникнут кавитационные явления. Соб-
Собственная частота колебаний жидкости в трубопроводе, начиная
с этого давления, будет монотонно падать по мере уменьшения
входного давления. Это падение частоты колебаний обусловлено
* В приближении несжимаемой жидкости, которое использовалось в пред-
предшествующих выкладках, вычисление значения этой частоты вообще не представ-
представляется возможным,
56

увеличением объема кавитационных каверн, и, следовательно,
ростом Ту .
По мере понижения собственной частоты колебаний жидкости
в трубопроводе происходит ее сближение с частотой со*. При е0 > 1
это сближение частот приводит к возрастанию генерации энергии
колебаний. Если величина е0 при этом будет достаточно велика,
а рассеивание энергии в системе, зависящее от коэффициентов А,
и Хн мало, то достаточно близкое совпадение частот должно при-
привести к потере устойчивости. Горизонтальная линия на рис. 2.13
пересечет соответствующую границу устойчивости. В системе воз-
возникнут автоколебания. Продолжающееся понижение давления
будет по-прежнему приводить к уменьшению собственной частоты
колебаний. До тех пор, пока соо > со*, снижение давления будет
сопровождаться дальнейшим сближением частот и возрастанием
генерации энергии колебаний. После того, как соо станет меньше
со*, генерация колебаний энергии по мере снижения давления (и,
следовательно, частоты соо) будет падать.
Начиная с некоторого достаточно малого значения входного
давления, расстройка частот станет столь значительной, что гене-
генерируемая колебательная энергия будет уже недостаточна для
восполнения потерь, в результате чего система перейдет в устой-
устойчивое состояние. Помимо расстройки частот, повышению устой-
устойчивости системы в этой области может иногда способствовать
также и рост коэффициента р (следует, однако, отметить, что вос-
восстановление устойчивости часто наступает еще до того, как появ-
появляется падение напора по кавитационной характеристике насоса,
когда влияние коэффициента |3 отсутствует, поскольку он постоя-
постоянен и равен нулю).
Система, таким образом, в процессе уменьшения давления на
входе в насос как бы пересекает область неустойчивой работы.
Где-то внутри этой области существует такое входное давление,
которому соответствует максимальное значение генерируемой ко-
колебательной энергии и, как следствие, наиболее благоприятные
условия для потери устойчивости.
Описанная картина явления соответствует экспериментальным
данным работы [67], из которой, в частности, следует, что стабили-
стабилизация системы может наступать при C — 0.
2.4. Энергетический подход
к исследованию автоколебаний
При дальнейшем изучении кавитационных автоколебаний в си-
системе высокооборотный шнеко-центробежный насос — трубопро-
трубопроводы был предложен ряд новых механизмов обратной связи, объяс-
объясняющих самовозбуждение колебаний, и разработаны, в той или
иной степени, соЪтветствующие теоретические модели.
57

Как известно, при анализе автоколебательных систем весьма важно устано-
установить следующие два элемента: собственно колебательную систему и звено обрат-
обратной связи, управляющее источником энергии. Реальная колебательная система
в изолированном виде совершает затухающие колебания из-за рассеивания коле-
колебательной энергии на сопротивлениях. Источник энергии обычно не колебатель-
колебательный, т. е. сообщает системе постоянное во времени количество энергии. Однако
колебания в системе так воздействуют на источник энергии, что подвод энергии
к собственно колебательной системе приобретает колебательный характер..
Выяснение физической сущности явления, играющего роль обратной связи в под-
подводе энергии к колебательной системе, является основной задачей при выяснении
механизма возникновения автоколебаний.
Анализ различных моделей автоколебаний, в том числе и кави-
тационных, целесообразно проводить с единых позиций. С этой
точки зрения весьма эффективным оказывается энергетический
подход, который ниже интерпретируется применительно к рас-
рассматриваемой системе шнеко-центробежный насос—трубопроводы.
Плотность потока энергии, протекающего в единицу времени
через единицу поверхности, перпендикулярной к направлению
скорости, может быть представлена в виде [91 ]
B.76)
где v — вектор скорости; е — внутренняя энергия единицы массы
жидкости; р — давление.
Согласно уравнению B.76) поток массы pv переносит кинети-
кинетическую и внутреннюю энергию, а слагаемое pv описывает пере-
передачу энергии давлением и представляет основной интерес при
анализе возбуждения колебаний.
Поток энергии через поверхность F выражается как
- BJ7)
где df по абсолютной величине равен площади элемента поверх-
поверхности и направлен по нормали к ней. Условимся направлять
->
вектор df по внешней нормали.
Поскольку возбуждение колебаний связано с передачей импуль-
импульсов давления, следуя Б. В. Раушенбаху [91 ], рассмотрим подроб-
нее слагаемое потока энергии J pvdf. При постоянном давлении по
F
F
поверхности j pv df = pQ, где Q — расход жидкости через по-
F
верхность F.
Допустим, что в рассматриваемой системе установились гар-
гармонические колебания. Для возмущенного движения давление и
расход можно представить в виде р = р + 6/?, бр = | 8р | sin a>f,
Q = Q + 8Q, 6Q = | 8Q | sin (co? + cp), где <p — фазовый сдвиг
между колебаниями давления и расхода»
58

рис. 2.15. Схема замкну-
замкнутой гидравлической систе-
системы, включающая шнеко-
центробежный насос:
1 — питающий бак; 2 —
питающий трубопровод; 3 —
шнеко-центробежный насос;
4 — напорный трубопровод
Среднеинтегральное значение рассматриваемой составляющей
потока энергии за период колебаний равно
= PQ + y
B-78)
где pQ — поток энергии, соответствующий установившемуся те-
течению, и не связанный с колебаниями. Поток энергии, который
определяется колебательными составляющими 6/7, 6Q, в работе [91]
назван потоком акустической энергии. В отличие от этой работы
второе слагаемое в уравнении B.78) будем называть потоком
колебательной энергии А
A=-±r\bpbQdt.
о
Для установившихся гармонических колебаний
B.79)
os ф. B.80)
Величина А в зависимости от угла ф может быть как положи-
положительной, так и отрицательной. Это зависит от направления дви-
движения потока колебательной энергии. Если направление движе-
движения потока колебательной энергии совпадает с направлением
движения установившегося потока, то А > 0, а если противопо-
противоположно, то А < 0.
Рассмотрим гидравлическую систему, включающую шнеко-
центробежный насос, питающий и напорный трубопроводы
(рис. 2.15). Выделим объем, включающий шнеко-центробежный
насос и ограниченный контрольными поверхностями, проходящими
по нормали к осям питающего и напорного трубопроводов.
Суммарное количество колебательной энергии, генерируемой
шнеко-центробежным насосом, определяется потоками колеба-
колебательной энергии через сечения 1—1 и 2—2
т
Аъ = y \ Fp2SQ2 - Sft6Qi) dt = A2 — Аъ B.81)
~ о
59

где А1 и А 2 — составляющие среднеинтегрального значения по-
потока колебательной энергии за период колебаний, первая из кото-
которых характеризует поступление колебательной энергии в выде-
выделенный контрольный объем через сечение /—/, а вторая — ее
уход через сечение 2—2.
В соответствии с принятым правилом знаков будем считать,,
что поток колебательной энергии движется из контрольного объема
(из шнеко-центробежного насоса в трубопроводы), если Л2 > О,
и в контрольный объем (в шнеко-центробежный насос), если
Л2 < 0. В первом случае шнеко-центробежный насос генерирует
колебательную энергию, а во втором — поглощает ее. При Л2 =
= 0 шнеко-центробежный насос ни генерирует, ни поглощает
колебательную энергию. При Л2 > 0 поток колебательной энер-
энергии движется от шнеко-центробежного насоса и теряется (рас-
(рассеивается) на гидравлических сопротивлениях питающего и
напорного трубопроводов. Если потери колебательной энергии
в питающем трубопроводе равны Л1р, а в напорном — Л2р, то из
энергетических соображений следует, что при установившихся
колебаниях
Л2 = Л2р —i4ip = /?s, B.82)
где /?2 — поток колебательной энергии, рассеиваемой на сопро-
сопротивлениях питающего и напорного трубопроводов.
Если ЛЕ > Rz, то происходит нарастание амплитуды коле-
колебаний, при ЛЕ < /?2 — затухание колебаний.
В линейной постановке задачи устойчивости равенство Л2 =
= R% может служить условием устойчивости (при автоколеба-
автоколебаниях характеризует величину амплитуды автоколебаний), при
котором подвод колебательной энергии компенсирует потери
энергии на сопротивлениях.
При анализе устойчивости динамических систем в большинстве
случаев обычно не представляет труда выделить элемент, который
может генерировать колебательную энергию в системе. Основная
трудность состоит в отыскании механизма, обеспечивающего под-
подвод энергии к колебательной системе.
Исходя из вышеизложенных энергетических соображений, в ка-
качественном плане можно судить о влиянии параметров системы
до и после генератора колебательной энергии на устойчивость
системы в целом независимо от механизма возбуждения колебаний.
Для выяснения возможных механизмов возбуждения колеба-
колебаний необходимо математическое описание процессов, происходя-
происходящих внутри контрольного объема (шнеко-центробежного насоса и
области перед насосом, где могут наблюдаться на определенных
режимах интенсивные обратные токи).
Остановимся на анализе потоков колебательной энергии, рас-
рассеиваемой на гидравлических сопротивлениях питающего и напор-
напорного трубопроводов,
60

Как следует из выражения B.82), потери колебательной энер-
энергии определяются потоками этой энергии из гидравлической си-
т т
стемы Л1р — у J б/^бС?! dt, А2р = — J 6p26Q2 dt.
о о
При установившихся гармонических колебаниях
4 ^1 cos фь Л2Р = ~ I бр2| 16Q21cos <p2,
где Фх, ф2 — фазовые сдвиги между колебаниями давления и
расхода на входе и выходе из насоса.
Введем в рассмотрение отношения комплексных амплитуд
колебаний давления и расхода на входе и выходе из насоса
—=~~ = -W> =~ -— ^2»
где Zx и Z2 — импедансы гидравлических систем, расположенных
до и после насоса *.
Выразим потоки колебательной энергии, поглощаемые гидра-
гидравлическими системами до входа и после выхода из насоса через
импедансы этих систем.
Учитывая, что отношение амплитуд колебаний давления и
расхода равно модулю импеданса, выражение для потока коле-
колебательной энергии B.80) можно представить в виде
Л — ^- 16Q |21Z | cos ф B.83)
или
А = -у-18р |2 с.0^ J . B.84)
Далее можно использовать следующие формы записи для импе-
импеданса: Z = Re Z + ilmZ и —Z = | Z | cos ф + i | Z | sin ф, при
этом Re Z = | Z | cos ф, a Im Z = | Z | sin <p.
Тогда
Л = -g-|6Q|aReZ B.85)
или
B.86)
* В настоящей книге используется импедансный метод исследования дина-
динамических систем. Этот'метод является весьма эффективным для решения задач
линейной динамики (устойчивость, частотные характеристики, резонансные
частоты колебаний) и изложен в Приложении.
61

Нетрудно видеть, что потери колебательной энергии определя-
определяются действительной частью импеданса. Если действительная
часть импеданса системы равна нулю, то система не поглощает
колебательную энергию.
Используем формулу B.86) для определения суммарных потерь
потока колебательной энергии в питающем и напорном трубопро-
трубопроводах
Л* = 4" [|вл1аЦ^--Ы6л|2^-]- B-87)(
Рассмотрим простейший частный случай.
Импеданс питающего трубопровода без учета сжимаемости
жидкости и податливости стенок трубопровода можно предста-
представить в виде Zx = /?! + ш/х, а импеданс напорного трубопровода
запишем без учета инерционного сопротивления —Z2 = R2.
Связь между амплитудами колебаний давлений на входе и
выходе из насоса, допустим, определяется только статическими
характеристиками насоса (частота вращения вала насоса п =
= const)
В этом случае поток колебательной энергии, поглощаемой пи-
питающим и напорным трубопроводами, будет равен
На основании уравнения B.88) для потока колебательной энер-
энергии, рассеиваемой в питающем и напорном трубопроводах, полу-
полученном с использованием статических (кавитационной и напорной)
характеристик насоса, можно сделать следующие выводы.
Устойчивость работы системы повышается при увеличении
гидравлического сопротивления питающего трубопровода, тан-
тангенса угла наклона кавитационной характеристики, уменьшении
гидравлического сопротивления R2—s на выходе из насоса и с уве-
увеличением частоты колебаний и коэффициента инерционного сопро-
сопротивления питающего трубопровода.
Частота колебаний на границе области устойчивости опреде-
определяется динамическими свойствами колебательной системы, и
в рассматриваемом простейшем случае определяется коэффициен-
коэффициентом инерционного сопротивления питающего трубопровода и упру-
упругостью кавитационных каверн. Собственная частота колебаний
жидкости в такой системе равна (см. разд. 3.1)
62

учи1ывая, 4fo
в Ш „ * < 1, ©о = l^ — ¦
где Bx — упругость кавитационных каверн, равная -~^-; VK —
ovK
суммарный объем кавитационных каверн, расположенных в вы-
выделенном контрольном объеме.
Подставляя полученное выражение для частоты^колебаний
в уравнение B.88), получим
Из уравнения B.89) видно, что поток энергии, рассеиваемой
на гидравлическом сопротивлении напорного трубопровода, уве-
увеличивается с увеличением коэффициента инерционного сопроти-
сопротивления питающего трубопровода. Из этого следует, что если звено
положительной обратной связи квазистационарно (не зависит
от частоты колебаний), то увеличение коэффициента инерцион-
инерционного сопротивления питающего трубопровода приводит к повыше-
повышению устойчивости системы.
Параметр упругости кавитационных каверн Вх в соответствии
с изменением давления на входе может изменяться в широких
пределах от —оо до нуля.
Если суммарный объем кавитационных каверн стремится к нулю
(при достаточно высоких значениях входного давления), то | Вх \ —>
—> оо, а при давлении на входе, соответствующем давлению кави-
тационного срыва насоса, I^I^O. При изменении входного
давления поток энергии Rz увеличивается как при давлениях,
близких к давлению кавитационного срыва из-за увеличения т,
так и при достаточно высоких значениях входного давления из-за
увеличения \BX\. Следовательно, на основании анализа уравне-
уравнения для потока рассеиваемой колебательной энергии можно счи-
считать, что кавитационные колебания должны прекращаться как
при существенном увеличении, так и при существенном уменьш :-
нии давления на входе (как при существенном увеличении, так
и при существенном уменьшении кавитационного запаса насоса).
Собственная частота колебаний жидкости в системе увеличивается
с повышением входного давления в соответствии с изменением Вг.
Полученные результаты находятся в качественном согласовании
с характерными особенностями кавитационных колебаний, уста-
установленными экспериментально (см. разд. 2.3), и не зависят от ме-
механизма возбуждения этих колебаний. Это обстоятельство необ-
необходимо иметь в виду, поскольку в настоящее время предложено
несколько механизмов обратной связи, объясняющих самовозбуж-
самовозбуждение кавитационных колебаний. В то же время в работе [91 ]
справедливо указывается, что только ясное представление о фи-

зической сущности явления, играющего роль обратной связи
в том или ином случае, позволяет «разорвать» возникшую обрат-
обратную связь и тем самым погасить колебания, если они нежелательны,
или, наоборот, стимулировать возбуждение колебаний.
При рассмотрении в следующем разделе настоящей главы
различных моделей кавитационных колебаний этот вопрос счи-
считается одним из основных.
2.5. Краткий обзор основных механизмов
возбуждения и теоретических моделей
кавитационных колебаний
Разнообразие типов гидродинамической кавитации в шнеко-
центробежных насосах, сложность и недостаточная изученность
кавитационных явлений привели к появлению нескольких моде-
моделей кавитационных колебаний в системе шнеко-центробежный
насос—трубопроводы [10, 57, 68, 77, 95]. Степень завершенно-
завершенности различных моделей в настоящее время не одинакова. Некото-
Некоторые из них носят чисто качественный характер и их выводы допу-
допускают в связи с этим ограниченную экспериментальную проверку,
другие — допускают более широкий круг экспериментальных про-
проверок и, наконец, — третьи, в явном виде содержащие конструк-
конструктивные и режимные параметры насосов, представляют наиболее
полно разработанные модели, допускающие проведение широкого
и целенаправленного эксперимента. К числу последних относится
группа моделей, которые могут быть названы гидродинамическими
(квазистационарная струйная модель, уточненная квазистацио-
квазистационарная модель, нестационарная модель и модель развитых кави-
кавитационных колебаний).
Ниже будет приведен краткий анализ известных моделей кави-
кавитационных колебаний с использованием энергетического метода,
за исключением тех гидродинамических моделей, которые состав-
составляют основной предмет изложения 6, 7 и 10 глав.
Для высокооборотных шнеко-центробежных насосов поток
колебательной энергии на выходе из насоса А 2 существенно меньше
потока колебательной энергии на входе в насос А/>. Это связано
с тем, что амплитуда колебаний расхода на входе существенно
больше амплитуды колебаний расхода на выходе из насоса. По-
Поэтому для более четкого определения звена, играющего роль поло-
положительной обратной связи и вызывающего потерю устойчивости
системы в кинетической модели и других моделях, положим
6Q2 = 0.
В этом случае выражение для потока колебательной энергии
т
B.81) упрощается: Л2 = у J (— бр^) dt - - Ах.
о
*) Для кавитационных колебаний, форма которых близка к гармонической.
64

Учитывая выражения для потока колебательной энергии через
импеданс B.85), B.86), получим:
i B.90)
где Z^/co) — импеданс насоса (отношение комплексных ампли-
амплитуд колебаний давления Ьрг и расхода 6QX на входе в насос).
Из уравнений B.90), B.91) следует, что система может терять
устойчивость (Л2 > 0), если действительная часть импеданса
Re гг(ш) < 0.
Рассматривая отдельные модели кавитационных колебаний,
проанализируем, при каких условиях действительная часть вход-
входного импеданса становится отрицательной.
Кинетическая модель. В кинетической модели
кавитационных колебаний все гидравлическое сопротивление
питающего трубопровода, включая и сопротивления в начале про-
проточной части насоса, сосредотачивается на выходе из бака [68]»
Поэтому в этой модели условно принимается, что отклонение да-
давления в кавитационной полости б/?к равно отклонению давления
на входе в насос 8рх.
Как указывалось в разд. 2.3, динамические свойства кавита-
кавитационных каверн во входном участке шнеко-центробежного на-
насоса в кинетической модели М. С. Натанзона описываются урав-
уравнениями B.26) и B.49). Используя эти уравнения, но в размерном
виде, и представляя переменные в виде произведения комплекс-
комплексных амплитуд колебаний на гармоническую функцию времени
еш, например,
«Рк = врке<»<, B.92)
после исключения амплитуды колебаний 6КК, получим импеданс
насоса (при 6Q2 = 0):
Р* сото A — 80) — г (е0 +
откуда
B-95)
Из выражения для действительной части импеданса насоса
следует, что при -s0 > 1 шнеко-центробежный насос генерирует
колебательную энергию, а при е0 < 1 — поглощает ее. Следо-
В. В. Пилипенко 65

вательно, самовозбуждение колебаний возможно только при
е0 > 1.
Интересно отметить, что кавитационные колебания невозможны
как при т0 = 0 (полностью равновесный процесс в кавитацион-
кавитационной полости), так и при т0 —¦ оо (полностью неравновесный про-
процесс). В этих случаях действительная часть импеданса насоса
равна нулю и шнеко-центробежный насос ни генерирует, ни погло-
поглощает колебательную энергию. При частоте колебаний со -> оо
действительная часть импеданса Re Z^'co) —-> 0. Установим, при >
каком соотношении периода колебаний и времени релаксации т0'
действительная часть импеданса имеет максимум, т. е. при каком
условии эффекты, связанные с генерированием (е0 > 1) или по-
поглощением (е0 < 1) колебательной энергии насосом проявляются
в наибольшей степени. Дифференцируя B.94) по т0 и приравнивая
производную нулю, находим Т* = 2ят0, или о* = 1/т0, что сов-
совпадает с B.38).
Таким образом, как было показано в разд. 2.3, в кинетической
модели положительная обратная связь формируется неравновес-
неравновесными кинетическими процессами в кавитационной полости (пара-
(параметр т0) и зависимостью уноса паровой фазы от объема кавитацион-
кавитационной полости (параметр е0).
Кинетическая модель, как и другие модели, кроме основных уравнений,
описывающих динамические свойства кавитационной полости, включает урав-
уравнения, описывающие динамические свойства остальных элементов замкнутого
автоколебательного контура шнеко-центробежный насос — трубопроводы.
Квазистационарные струйные модели
кавитационных колебаний основаны на теории струйного отрыв-
отрывного обтекания решетки профилей.
Первой опубликованной работой, в которой для анализа колебаний, вы-
вызванных кавитацией на шнековом насосе, используется решение задачи о струй-
струйном обтекании решетки плоских пластин, явилась, по-видимому, работа Сака
и Нотейджа [95]. Однако, в этой работе авторы не установили механизм положи-
положительной обратной связи, вызывающий потерю устойчивости системы, а приня-
принятая ими схема замыкания кавитационной каверны приводит к существенным
рассогласованиям расчетных и экспериментальных значений длины кавитацион-
кавитационной каверны (более подробно об этой работе см. разд. 1.6 и 3.1).
Механизм положительной обратной связи в струйной модели кавитаци-
кавитационных автоколебаний был установлен в 1965—1966 гг. В. В. Пилипенко и опубли-
опубликован в работе [77]. В этой же работе предложена модель кавитационной ка-
каверны, схема замыкания которой в турбулентном следе основана на использо-
использовании экспериментального значения длины кавитационной каверны перед
кавитационным срывом.
Как и для кинетической модели, подставляя в уравнения A.12),
B.48) переменные в виде B.92) и исключая амплитуду колебаний
6КК, получим импеданс насоса (при 6Q2 = 0)
Zx (ко) = В2+ i^-, B.96)
66

откуда
ReZ!(t(D) = B8; B.97)
ImZx^o)^^. B.98)
Из представленных результатов расчетов следует, что для
шнеко-центробежных насосов параметры В± и В2 отрицательны.
Как уже указывалось, отрицательное активное сопротивление
при входе жидкости в межлопастные каналы шнека обусловлено
тем, что с увеличением угла атаки (уменьшением расхода через
насос) объем кавитационной каверны увеличивается ( —=- < 0).
В соответствии с уравнением B.97) самовозбуждение колебаний
обусловлено этим отрицательным сопротивлением.
Мнимая часть импеданса представляет собой емкостное сопро-
сопротивление, обусловленное упругостью кавитационных каверн.
На основании теоретического определения параметров Вг и В2 представ-
представляется возможным рассчитать границы области устойчивости системы «шнеко-
центробежный насос—трубопроводы» и предсказать влияние конструктивных
параметров осевого шнекового преднасоса на устойчивость системы (см. гл. 3).
Дальнейшее развитие этой модели кавитационных колебаний производи-
производилось в следующих направлениях:
— учитывались потери энергии на удар при входе жидкости в межлопастные
каналы шнека (см. гл. 6) [83];
— применительно к режимам с интенсивными обратными токами, когда
гидродинамическая картина течения существенно усложняется и могут возник-
возникнуть кавитационные каверны перед шнеком, разрабатывался экспериментально-
расчетный способ определения параметров Вх и В2 (см. гл. 4) (модель струйного
обтекания здесь уже неприменима) [87, 88]\
— решалась задача о неустановившемся обтекании лопастей шнека, инте-
интегральные характеристики которого, как оказалось, оказывают существенное
влияние на устойчивость системы (см. гл. 7) [84].
Модели с чистым запаздыванием. В 1965 г.
В. В. Пилипенко была предложена следующая модель кавитацион-
ного течения в шнеко-центробежном насосе.
Объем проточной части насоса, где наблюдаются кавитацион-
кавитационные явления, условно разделен на два объема V\ и V2 (рис. 2.16).
Жидкость постоянной плотности рж поступает в объем Уг и,
обтекая оседлую каверну, частично испаряется. Жидкость, выте-
вытекающая из объема Vlf рассматривалась как гомогенная, состоя-
состоящая из пара в виде пузырьков и жидкости. Плотность газожидко-
газожидкостной смеси на выходе из объе-
ма Pi < Рж- { * 5
Дальнейшее движение газо-
газожидкостной смеси (унос паро- ^_j - \_^р
Рис. 2.16. Расчетная схема кавитаци-
онного течения в шне'ко-центробежном
насосе
*
5*
67

вой фазы) по участку проточной части насоса (объем V2) проис-
происходит без изменения паросодержания в газожидкостной смеси.
Плотность газожидкостной смеси в сечении 3—3 (см. рис. 2.16)
в момент времени / равна плотности газожидкостной смеси в сече-
сечении 2—2 в момент времени t—x, где т — время запаздывания,
равное времени движения частицы жидкости по участку проточ-
проточной части насоса (объем V2) *. Далее принимается, что пузырьки
пара, сносимые вниз по потоку, мгновенно конденсируются после
попадания в область повышенного давления в сечении 3-—3.
Поскольку сносимые вниз по потоку пузырьки пара существуют
в проточной части осевого шнекового преднасоса и центробежного
колеса, то в дальнейшем анализе предполагалось, что V± < V2,
т. е. отрыв кавитационных пузырьков от оседлой каверны и их
рост происходит на незначительном входном участке проточной
части насоса, а затем происходит унос паровой фазы и движение'
ее со скоростью потока по участку V2.
Физическая картина возникновения колебания для частного
случая отсутствия сосредоточенной каверны VK=0 представлялась
следующей.
Если на выходе из объема V2 появляется порция жидкости
с повышенной плотностью, то это вызывает увеличение давления
на выходе из насоса, которое, распространяясь против потока со
скоростью звука, вызывает повышение давления на входе, что
в свою очередь, приводит к уменьшению расхода в сечении
1—/, а, следовательно, и плотности на выходе из объема Уг.
Порция жидкости с уменьшенной плотностью перемещается по
объему V2 и через время т вызывает уменьшение давления на вы-
выходе из насоса и на входе в насос (поскольку это возмущение рас-
распространяется на вход в насос со скоростью звука). Уменьшение
давления на входе вызывает увеличение расхода в сечении 1—/
и плотности на выходе из участка VY Через время т произойдет
снова увеличение давления на выходе из насоса и периодическое
повторение описанного выше процесса.
Из вышеизложенного механизма возникновения неустойчиво-
неустойчивости работы насоса следует, что в простейшем случае (при малых
длинах питающего и напорного трубопроводов, при V2 > Vх и
скорости звука существенно большей скорости потока) частота
колебаний определяется величиной времени запаздывания и со-
составляет
f = -h- B-")
Для количественной оценки времени запаздывания объем
проточной части насоса, где находится газожидкостная смесь
(практически это объем V2, поскольку V± < V2)> определен из
* Подобный вид запаздывания принято называть транспортным.
08

следующего предположения: при давлении на входе в насос, рав-
равном давлению кавитационного срыва, объем V2 равен объему про-
проточной части насоса 1/11<н, а при рх > /?1
ср
V, -
/ _Pl?P_
п. н —
B.100)
Время запаздывания в этом случае равно:
т^^. B.101)
Q pi
Соотношение между объемом пара и жидкости В = VJVm
и скорость звука в газожидкостной смеси зависят от давления на
входе.
Для определения этих параметров принято, что
В
PlCp
Pi
B.102)
а критическое значение В* при срыве напора насоса и скорость
звука в газожидкостной смеси определялись по формулам [26]
я* — р"Сп •
*-* л .,„.2 '
в* Bi
4- В* PlcP Sr\ (\ +в* PlcP Рд
Pi РЖА Pi Рж
B.103)
где ш — скорость потока в межлопастных каналах при отсутствии
кавитационных каверн; списж — скорость звука в парогазовой
смеси и жидкости соответственно; рп и рж — плотность паровой
смеси и жидкости соответственно.
Дальнейшее развитие модель кавитационных колебаний с чи-
чистым запаздыванием получила в работах К. С. Колесникова и
В. Г. Кинелева [57]. В предложенной ими физической модели
кавитационных явлений введен дополнительный объем У2
(рис. 2.17), который занят капельной жидкостью, т. е. два объема
в рассмотренной выше модели
V\ и V2 разделены. Учитывая,
что этот разделительный объем
достаточно мал, введение его не
должно оказывать заметного
влияния на динамику кавити-
Рис. 2.17, Расчетная схема кавитаци-
кавитационного течения в шнеко-центробежном
насосе [57]
69
Су
1
i
Р2\
г
г
3
3

рующего шнеко-центробежного насоса. В то же время в отличие
от выше описанной модели при математическом описании кавита-
ционных явлений в насосе учтено дополнительно время запазды-
запаздывания передачи возмущений от выхода из насоса на вход. По:
мнению авторов работы [57], в диапазоне низких частот @—
20 Гц) можно пренебречь изменениями расхода, связанными с на-
наличием в проточной части шнеко-центробежного насоса паровой
фазы, а также считать, как и в работе [5], центробежное колесо,
«алгебраическим» звеном. С учетом этого авторы работы [57}
рекомендуют следующее выражение для определения импеданса»
насоса, которое записано в принятых нами обозначениях:
Zx (ко) - [Z2 (ш) - 5Ш - sK] еШх, B.104)
где т* — время передачи возмущений давления и расхода с вы-
выхода из шнека на вход в насос, которое определяется по формуле;.
« Уп.шРюр B.105)
гДе У п. ш — объем проточной части шнека; F — площадь межло-
межлопастного канала шнека в сечении, перпендикулярном лопасти
шнека.
Согласно этой формуле кавитационные явления в шнеке не
влияют на модуль импеданса, т. е. на амплитудно-частотную ха-
характеристику, а влияют только на фазовый сдвиг между колеба-
колебаниями давления и расхода.
Чисто феноменологическая модель с запаздыванием предложена в работе
Лиу и Ворлунда [128], где физическая модель не рассматривалась, а постули-
постулировалась некоторая система дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Надлежащим подбором коэффициентов уравнений по опытным данным предпо-
предполагается получить описание динамических свойств системы.
Гомогенная модель. В соответствии с физической
моделью кавитационного течения, положенной в основу модели
с транспортным запаздыванием, была рассмотрена возможность,
самовозбуждения кавитационных колебаний при наличии интен-
интенсивного уноса парогазовой фазы без учета объема сосредоточен-
сосредоточенной кавитационной полости (VK = 0) в объеме Vx (см. рис. 2.16).
При обтекании лопастей осевого шнекового преднасоса может
возникнуть сила сопротивления, направленная параллельно хорде
[98]. Это связано с тем, что при определенных числах кавитации
и углах атаки форма входной кромки лопасти шнека оказывается
более притуплённой, чем форма свободной линии тока.
В настоящее время имеется достаточно большое количество
теоретических и экспериментальных работ, которые показывают,
что с увеличением угла атаки и числа кавитации коэффициент
лобового сопротивления увеличивается [13, 103].
На режимах с интенсивными обратными токами возникают
потери энергии активного потока перед шнеком [111], с умень-
уменьшением расхода на входе в насос потери энергии активного потока
увеличиваются. Уменьшение коэффициента лобового сопротив-
70

лёния и потерь энергии активного потока перед шнеком (на ре-
режимах с интенсивными обратными токами) с увеличением рас-
расхода является основной причиной самовозбуждения колебаний
в гомогенной модели кавитационных колебаний.
Математическая формулировка этой модели, предложенная
В. В. Пилипенко в 1967 г., включала следующие уравнения, опи-
описывающие динамические свойства шнеко-центробежного насоса
при кавитационном течении без четкой границы раздела фаз (при-
(приводится система уравнений в отклонениях).
Связь между отклонениями давлений на входе и в объеме Vx
(см. рис. 2.16) была представлена в виде
6pI = 6p; + i416QI. B.106)
Коэффициент Аг учитывает лобовое сопротивление при обте-
обтекании лопастей шнека и потери давления перед шнеком, обусло-
обусловленные наличием обратных токов из области повышенного давле-
давления в область всасывания. Из приведенного выше анализа сле-
следует, что Аг < 0, т. е'. с увеличением расхода (8QX > 0) потери
давления уменьшаются.
Учет инерционных и емкостных свойств проточной части на-
насоса, где наблюдаются кавитационные явления, был произведен
путем замены системы с распределенными параметрами системой
с сосредоточенными параметрами. Допустимость такой замены
подтверждается тем, что первая собственная частота колебаний
газожидкостной смеси в проточной части насоса больше частоты
кавитационных колебаний. В этом случае уравнения, учитываю-
учитывающие емкостные свойства (уравнения сохранения массы для объ-
объемов Ух и У2), были записаны в виде
^i|L = 6Ql_6Q2, B.107)
X*- *WL = 6Q2 — SQ3, B.108)
а уравнение, учитывающее инерционные свойства, как
6р; = 6р; + /н^, B.109)
где Ьр{ и брг — отклонения давлений соответственно в объемах
V1 и У2; d и с2 — скорость звука в газожидкостной смеси, соот-
соответственно для объемов V± и W, 6QX, 6Q2, SQ3 — отклонение
расходов на входе в насос, на выходе из объема V\ и на выходе
из насоса; /н — коэффициент инерционного сопротивления про-
проточной части насоса, где наблюдаются кавитационные явления.
Как и для ранее рассмотренных моделей, полагая 6Q3 = 0 й
переходя к установившимся колебаниям, получим импеданс насоса
а +
^. B.110)
71

Из уравнения B.110) следует, что действительная часть им-
импеданса насоса Re Z^ico) = Ах < 0 и, следовательно, шнеко-
центробежный насос генерирует колебательную энергию. 1
В этой модели впервые было обращено внимание на то, что
обратные токи могут играть роль зиена положительной обратной
связи, вызывающего потерю устойчивости системы.
Емкостные и инерционные свойства кавитирующего шнеко-
центробежного насоса определяются мнимой частью импеданса,
при этом учитывая, что V1 <^ V2-
Т 17 / * \ Т Р^2 /С% 1114
1ш Zi (ш) = 0)/н ту-. B.111)
Мнимая часть импеданса оказывает определяющее влияние
на собственные частоты колебаний жидкости в системе «питающий
трубопровод—насос», которая в соответствии с формулами B.100),
B.103) зависит от давления на входе в насос.
Помпажная модель для шнеко-центро-
бежного насоса, работающего на газожид-
газожидкостной смеси
В работе [10] впервые было показано, что при подаче свободного газа на вход
в насос могут самовозбуждаться колебания, природа которых аналогична пом-
пажным колебаниям. В этом случае на напорной характеристике шнека в области
малых расходов появляется восходящий участок 19], а между шнеком и центро-
центробежным колесом (рис. 2.18) наблюдается скопление газа — сепарационная ка-
каверна VK2.
В этой модели, предложенной В. П. Водяницким, введены в рассмотрение
два газовых объема, первый из которых образован объединением газовых вклю-
включений в питающей магистрали, а второй — объединением газовых включений
в проточной части шнека и за шнеком. Первый объем расположен в зоне входных
кромок шнека, а второй — между шнеком и центробежным колесом. Процессы
расширения и сжатия газа в этих объемах происходят при постоянной темпера-
температуре (изотермический процесс).
Напорная характеристика шнека в области малых расходов имеет восхо-
восходящий участок, кроме того, учитываются потери энергии активного потока
на поворот обратных токов. Отмечается, что при работе насоса на газожидко-
газожидкостной смеси автоколебания возникали на режимах с положительным значением
5Ш > 0, на других режимах система была устойчивой.
На основании анализа уравнений
динамики показано, что при работе
шнекоцентробежного насоса на газо-
газожидкостной смеси могут самовозбуж-
самовозбуждаться колебания, механизм возник-
возникновения которых аналогичен пом-
пажным колебаниям. Трудности рас-
расчета таких колебаний связаны с
определением объемов газовых каверн.
Рис. 2.18. Расчетная схема кавитаци-
онного течения в шнеко-центробежном
насосе, работающем на газожидкостной
смеси [10]

Глава 3
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
КАВИТАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
3 1 Квазистационарные струйные модели
кавитационных колебаний
В работе [95] впервые для анализа колебаний, вызванных кави-
кавитацией на шнековом насосе, было использовано решение задачи
о струйном обтекании решетки пластин. Определим давление на
входе в насос по [951:
где число кавитации k является функцией высоты кавнтационной
каверны и коэффициента расхода на входе в шнек сш/и.
Для анализа колебаний на аналоговом устройстве была соста-
составлена исходная система нелинейных уравнений, описывающая
динамические свойства гидравлической системы, включающей
шнековый насос. Результаты решения этой системы уравнений
позволили установить влияние инерции жидкости в питающем и
напорном трубопроводах, распределенной инерции и емкости во
всасывающем трубопроводе, основных параметров шнека, коэф-
коэффициента расхода и давления на входе в насос на устойчивость
системы с осевым шнековым насосом. Авторы работы [95] пришли
к выводу, что при работе кавитирующих шнеков существуют по
крайней мере две основные причины неустойчивости:
а) нелинейная зависимость относительного напора шнека от
числа кавитации; !
б) динамическая природа каверн, образующихся на шнеке.
Нелинейная зависимость относительного напора шнека от
числа кавитации (рассматриваются зависимости с положитель-
положительными тангенсами угла наклона касательных) сама по себе не мо-
может быть причиной самовозбуждения колебаний. Что касается
формулировки второй причины, то она дана в самом общем виде
и не позволила выяснить механизм самовозбуждения колебаний,
природу положительной обратной связи. Кроме того, как указы-
указывалось в разд. 1.6, принятый способ описания контура каверны
по дуге окружности приводит к существенным рассогласованиям
расчетных и экспериментальных значений длины кавитационной
73

каверны перед срывом насоса, а следовательно, и на режимах
частичной кавитации. Следует также отметить, что в этой работе
не ставилась задача получить основные соотношения для реаль-
реального расчета шнекового насоса, а был лишь намечен путь такого
решения [95].
В работе [77] основное внимание уделено выяснению механизма
самовозбуждения кавитационных автоколебаний в системе шне-
ко-центробежный насос—трубопроводы и выбору схемы замыка-
замыкания кавитационной каверны в турбулентном следе. Основные
результаты этой работы изложены ниже.
Получим уравнения границы области устойчивости системы
шнеко-центробежный насос—трубопроводы. Для получения на-
наглядных результатов при составлении исходных уравнений были
приняты следующие допущения:
— давление в каверне постоянно и равно рп (т. е. считается,
что время установления термодинамического равновесия суще-
существенно меньше периода колебаний), а унос паровой фазы из
каверны отсутствует;
— изменение объема кавитаиионных каверн происходит безы-
безынерционно в соответствии с изменениями давления и расхода
(угла атаки) на входе в насос (т. е. используется квазистационар-
квазистационарная модель обтекания лопастей шнека);
— жидкость несжимаема, а стенки трубопроводов абсолютно
жесткие.
С учетом принятых допущений в простейшем случае исходные
уравнения в отклонениях запишем в следующем виде.
Уравнение неустановившегося движения несжимаемой жидко-
жидкости в питающем трубопроводе (при постоянном давлении в баке):
+ K^+fy^O. C.1)
Уравнение материального баланса для проточной части насоса:
-^- = bQ2 - 6Qt. C.2)
Уравнение A.11) для определения зависимости отклонения
объема кавитационных канерн от отклонений давления и расхода
на входе в насос представим в виде
6VK§
dVK dVK
dpi opx
X = BX6VK j- B26QX. C.3)
Уравнение для определения отклонения давления на выходе
из насоса бр2 (при постоянной частоте вращения вала насоса):
бр2 = О + т) брх + s6Q2. C.4)
74

Уравнение движений несжимаемой жидкости в напорном тру-
трубопроводе (без учета инерционных потерь давления):
бр2 = 7?2SQ2. C.5)
После исключения переменных 6QX, 6Q2, 8VK, бр2 из системы
уравнений C.1)—C.5) получим следующее дифференциальное
уравнение для 8рг:
Собственная частота колебаний жидкости в системе шнеко-
центробежный насос—трубопроводы определяется коэффициентом
при брх:
Устойчивость системы зависит от знака коэффициента при
. Если
dt
R1 + В2 * ^ _s— < 0, C.8)
то амплитуда колебаний неограниченно возрастает (теория малых
возмущений здесь уже неприменима). Демпфирование колебаний
отсутствует, если коэффициент при —-^- равен нулю, что соот-
соответствует границе области устойчивости, при этом
r± _[- в2 — /l8AA_^ m) = 0- C.8а)
Рассмотрим подробнее полученное выше условие самовозбу-
самовозбуждения колебаний.
Неравенство показывает, что устойчивость работы системы
повышается при увеличении гидравлического и инерционного
сопротивлений питающей магистрали, тангенса угла наклона
касательной к кавитационной характеристике, уменьшении гид-
гидравлического сопротивления (R2—s) на выходе из насоса.
На рис. 3.1 представлены результаты расчетов по уравнению
C.8а) границ областей устойчивости системы в плоскости пара-
параметров В2 и Вь штриховые линии показывают траекторию пере-
перемещения рабочей точки- при изменении давления на входе в насос.
Положение рабочих точек относительно границы области
устойчивости показывает, что при определенном значении давле-
75

В, Ю~ЬMflaJM3
-5
-J -
—
'7
/
1у/
-2
P«c. 5.У. Граница области устойчивости системы в плоскости параметров
В 2—?].•
/ — граница области устойчивости; 2—5 — траектории перемещения рабочих точек
с использованием решений [98, 77 ]
Рис. 3.2. Зависимость упругости кавитационных каверн от давления на входе
в насос:
1 — рассчитана на основе модели каверны, предложенной в работе [98]; 2 — рассчитана
на основе модели каверны, предложенной в работе [77]
ния на входе в насос возникают наиболее неблагоприятные усло-
условия с точки зрения обеспечения устойчивости, а при отклонении рг
от указанного значения устойчивость системы повышается. Коле-
Колебания полностью прекращаются как при существенном увеличе-
увеличении, так и при существенном уменьшгнии входного давления.
Частота колебаний на границе области устойчивости опреде-
определяется собственной частотой колебаний жидкости в системе питаю-
питающий трубопровод — насос и прямо пропорциональна V—Вг.
С увеличением давления на входе в насос (рис. 3.2) параметр
| Вг\ увеличивается.
На рис. 3.3 представлены расчетные зависимости частот коле-
колебаний от входного давления, из которых следует, что наблюдается
линейная_ зависимость частоты колебаний от давления на входе
в насос рг.
Полученные результаты объясняют некоторые характерные осо-
особенности кавитационных колебаний, установленные эксперимен-
экспериментально и описанные в разд. 2.3.
Сопоставим полученные результаты с экспериментальными
данными, полученными при снятии кавитационной характеристики
шнеко-центробежного насоса с осевым шнековым преднасосом,
параметры которого приведены в табл. 1.1.
76

Из сопоставления расчетных (кривая /) и экспериментальных
(кривая 3) зависимостей частот колебаний (см. рис. 3.3) следует,
что наблюдается только качественное согласование результатов,
расчетные значения частот колебаний в 2ч-3 раза превышают экс-
экспериментальные. При испытаниях кавитационные автоколебания
наблюдались в диапазоне изменения входного давления от 0,1
до 0,3 МПа. Согласно теоретической границе области устойчиво-
устойчивости кавитационные автоколебания должны наблюдаться в диапа-
диапазоне по/?! от 0,1 до 1,25 МПа (рис. 3.1, кривая 2). Столь существен-
существенное расхождение теоретических и экспериментальных результа-
результатов характерно не только для рассмотренного примера. Для раз-
различных шнеко-центробежных насосов эти расхождения носят
систематический характер и указывают на необходимость даль-
дальнейшего совершенствования теоретической модели.
Прежде всего было обращено внимание на существенное рас-
рассогласование расчетных и экспериментальных значений длины
кавитационной каверны перед срывом (см. разд. 1.6).
В работе [111] экспериментально установлено, что как только
длина каверны вдоль лопасти достигает иеличины —?- = 2,3,
каверна скачкообразно отрывается от поверхности лопасти и рас-
распространяется вдоль нее, замыкаясь за решеткой шнека. Следо-
Следовательно, согласно экспериментальным данным, отношение к"д
2,3z
перед кавитационным срывом составляет —¦—, а теоретическое
/к.т
значение
как указывалось выше, равно 1.
На основании этих данных можно принять следующую схему
(рис. 3.4) замыкания кавитационной каверны в турбулентном
/,/ц
125
100
75
50
25)
А
У
°J 0,2 0,3 '0^phMPa
Рис. 3.3. Зависимость частоты кавитацион-
ных колебаний от давления на входе в насос:
1 — рассчитана на основе модели каверны, пред-
предложенной в работе [98]; 2 — рассчитана на ос-
основе модели, предложенной в работе [77]; 3 —
экспериментальная зависимость
Рис. ЗА. Схема замыкания кавитационной
каверны
77

следе: после того, как высота каверны достигла максимального
значения, а контур ее стал параллельным лопасти, замыкание
кавитационной каверны происходит на расстоянии, равном /к. д —
Полуэмпирический поправочный коэффициент
к. д 2,3z
/к. т Я '
соответствующий режиму течения перед кавитационным срывом,
в дальнейшем будет использоваться и для определения размеров
кавитационной каверны в широком диапазоне изменения входного
давления. Приведенных данных достаточно для определения пло-
площади кавитационной каверны с учетом расхождений расчетных
и экспериментальных значений длины кавитационной каверны
перед срывом насоса.
'к.т
FK = J ydx-\-hK(lK^-lK.T) или
'к.т
FK= J у<1х + кХ.ч(Цг-\). C.9)
Суммарный объем кавитационных каверн, расположенных
на лопастях шнека, определим, интегрируя уравнение C.9)
У к = г \
'к.т
dr, C.10)
где длина и высота кавитационной каверны определяются из реше-
решений A.5), A.6), а координаты контура кавитационной каверны
от входной кромки и до сечения, где высота каверны достигает
максимального значения — из решения A.4).
На рис. 3.5, 3.2, 3.6 представлены зависимости суммарного
объема кавитационных каверн, упругости и кавитационного со-
сопротивления от давления ри рассчитанные по уравнению C.10).
Из сопоставления указанных зависимостей с учетом и без
учета поправочного коэффициента на длину каверны (—'-—)
следует, что предложенный способ замыкания кавитационной
каверны приводит к существенному увеличению объема и умень-
уменьшению упругости |5i| кавитационных каверн в межлопастных
каналах шнека, при этом влияние на кавитационное сопротивле-
сопротивление В2 незначительное (см. рис. 3.6).
Из сопоставления теоретических и экспериментальных зависи-
зависимостей частот колебаний следует, что принятая схема замыкания
частичной кавитационной каверны на лопасти шнека обеспечи-
78

2 —
\
\
\
""
2
1
0/1 0,2
0,4 0у5рьМПа
в2 W~2Nila c/mx
00
-0,75
-0,50
ппк
> 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5р,,МПа
^2
Рис. 3.5. Зависимость объема кавитационных каверн от давления на входе
в насос:
1 —рассчитана на основе модели каверны, предложенной в работе [77]; 2 — рассчи-
рассчитана на основе модели каверны, предложенной в работе [98]
Рис. 3.6. Зависимость кавитациоиного сопротивления от давления на входе
в насос:
1 — рассчитана на основе модели, предложенной в работе [98]; 2 — рассчитана на основе
модели каверны, предложенной в работе [77]
вает удовлетворительную сходимость расчетных и эксперимен-
экспериментальных частот колебаний (см. рис. 3.3). Отметим, что аналогич-
аналогичная сходимость частот колебаний наблюдается для различных
шнеко-центробежных насосов на режимах без обратных токов.
В то же время уточнение модели каверны не улучшило согласо-
согласование расчетных и экспериментальных значений диапазона суще-
существования кавитационных автоколебаний по входному давлению
(см. рис. 3.1). Согласование расчетных и экспериментальных гра-
границ области устойчивости системы шнеко-центробежный насос—
трубопроводы по отношению к кавитационным колебаниям явля-
является весьма сложной задачей, решение которой оказалось возмож-
возможным только после определения интегральных характеристик не-
неустановившегося кавитационного обтекания решетки плоских
пластин на режимах частичной кавитации (см. гл. 7).
В заключение отметим, что предложенная здесь модель кави-
тационной каверны и формула C.10) для расчета объема VK отно-
относятся к режимам работы шнеко-центробежных насосов без обрат-
обратных токов. В то же время условие самовозбуждения колебаний
C.8) и формула для определения частоты колебаний C.7) оста-
остаются в рамках рассмотренной квазистационарной струйной модели
кавитационных колебаний без изменений применительно и к режи-
режимам с обратными токами. В этом случае параметры Вг и В2 дол-
должны определяться с учетом влияния обратных токов на зависимость
объема кавитационных, каЕерн от входного давления (давления
перед зоной обратных токов) и расхода через насос.
7?

3.2. Уравнение границы области
устойчивости системы
Получим уравнение границы области устойчивости гидравли-
гидравлической системы, включающей высокооборотный шнеко-центробеж-
ный насос (см. рис. 2.9), в общем виде.
Пусть заданы импедансы гидравлических систем, расположен-
расположенных до и после насоса, т. е. отношения комплексных амплитуд
колебаний давления и расхода на входе и выходе из насоса (мето->
дика определения этих импедансов изложена в Приложении)
i = — Z^O, to), C.11)
i = Za(Of to). C.12)
Знак минус в выражении C.11) обусловлен тем, что за положи-
положительное направление отсчета координаты х принято направление
движения жидкости по трубопроводам.
Выражения C.11), C.12) совместно с уравнениями C.2)—C.4)
применительно к установившимся гармоническим колебаниям на
границе области устойчивости представляют собой замкнутую
систему уравнений для определения границы области устойчи-
устойчивости.
Указанная система уравнений имеет вид
8рх = — Z@, toNQb C.13)
to8KK = 8Q2 — 8Qb C.14)
fipx = BX8VK + Ba6Qi» C.15)
6p2 = A + m) bpx -f- s8Q2, C.16)
8p2 = Z2@, to)8Q2. C.17)
Исключая из уравнений C.14)—C.17) комплексные амплитуды
колебаний 8р2, 6Q2 и 6УК, находим импеданс системы шнеко-
центробежный насос—сеть
"Т'тГ" ~ ^1н (i@) = r п I ™\ ' (o.lo)
/со [Z2 @, ш) — s]
Этот импеданс в дальнейшем будем называть входным импе-
импедансом насоса или просто импедансом насоса.
Из выражения C.18), как частный случай, следует уже рас-
рассмотренное в разд. 2.4 выражение для импеданса насоса при
§0

6Q2 — 0. Действительно, при 6Q2 = 0 согласно C.12) Z2@,
ш) ->оои ZlH = 52 ^-.
Исключая из уравнений C.13), C.18) амплитуды колебаний
давления и расхода на входе в насос 8р1к 6QX, находим характери-
характеристическое уравнение системы на границе области устойчивости:
• * @ М + lA + OT) = 0, C.19)
to[Za@, ico) — s]
Уравнения границы области устойчивости найдем с помощью
метода D-разбиения. Согласно этому методу, разделяя действитель-
действительную и мнимую части характеристического уравнения и приравни-
приравнивая их нулю, получим:
Re Zx @, ш) + В2 - -J- Im Ф (ко) = 0, C.20)
Im Zl @, ш) -Ь -J- Re Ф (I©) - 0, C.21)
^(-) = 1 + -^^^). C.22)
Уравнения C.20), C.21) представляют собой уравнения гра-
границы области устойчивости в параметрическом виде. Параметром
служит частота колебаний на границе области устойчивости. Раз-
Разрешая эти уравнения относительно параметров Ви В2> находим
границу области устойчивости в плоскости этих параметров:
В2 = — Re Zi @, /со) + A im ф (fo), C.23)
о _ со Im Zt @, tco)
^ ^ ReO(ico) •
Анализ полученных уравнений C.23), C.24) начнем с простей-
простейшего случая, который рассматривался в разд 3.1.
Без учета сжимаемости жидкости и податливости стенок питаю-
питающего трубопровода импеданс Zx@, ш) = Ri -\- ш/1в
Импеданс напорного трубопровода Z2@, ш) с учетом только
гидравлического сопротивления равен Z2 @, ш) = /?2.
В этом простейшем случае уравнения границы области устой-
устойчивости C.23) и C.24) будут иметь вид
Д2--^1+^A+т)^ C.25)
У- Л1^)^ • C26)
В. В. Пилипенко 81

Из уравнения C.26) определим частоту колебаний на границе
области устойчивости
<3-27>
Из сопоставления уравнений C.7) и C.27) следует, что частота
колебаний на границе области устойчивости равна собственной
частоте колебаний жидкости в рассматриваемой системе, иден-
идентичны также условие C.8а) и уравнение C.25).
3.2.1. Влияние режимных параметров
на устойчивость системы
В отличие от других моделей, рассмотренных в гл. 2, квази-
квазистационарная струйная модель кавитационных колебаний в яв-.
ном виде учитывает влияние конструктивных параметров шнека
и режимных параметров шнеко-центробежного насоса на устой-
устойчивость системы. В частности, кавитационное сопротивление В2
и кавитационная упругость Вг определяются по зависимости объ-
объема кавитационных каверн от давления на входе и расхода через
насос. Объем кавитационных каверн согласно формуле C.10)
зависит не только от давления и расхода, но и от частоты вращения
вала насоса, углов атаки и установки лопасти, внутреннего и на-
наружного диаметров шнека, числа лопастей шнека. Следовательно,
теоретическая модель позволяет предсказать влияние всех этих
параметров на частоту колебаний и устойчивость системы.
Это целесообразно сделать применительно к простейшей гидра-
гидравлической системе, в составе которой работает шнеко-центробеж-
ный насос, т. е. на основании уравнений C.25), C.27) и модели
кавитационной каверны с принятой схемой замыкания C.10).
В этом случае влияние перечисленных параметров на устойчи-
устойчивость системы должно проявляться в наиболее ярком виде.
Теоретический анализ выполнен применительно к шнеко-
центробежному насосу № 2 с осевым шнековым преднасосом, пара-
параметры которого приведены в табл. 1.1.
На рис. 3.7—3.10 представлены зависимости параметров Вх
и В2 от давления на входе в насос, определенные численным диф-
дифференцированием выражения C.10), для различных значений ко-
коэффициента режима (углов атаки) и частоты вращения вала на-
насоса. Эти зависимости показывают, что при постоянном входном
давлении кавитационная упругость | ^х | увеличивается с умень-
уменьшением частоты вращения вала насоса и увеличением коэффи-
коэффициента режима q (с уменьшением угла атаки).
Такое изменение упругости определяется зависимостью объема
кавитационной каверны от режима работы насоса.
Из представленных на рис. 3.11, 3.12 результатов следует:
— частота колебаний линейно зависит от давления на входе
в насос и увеличивается с ростом давления ру\
82

В,
-2,0
-15
-0,5
0,1
т
А
0,2 0,3 0,4 0,5р1лМПа
В2 10~? МПа с/м3
-1,5
«5 ^
О
0,1 0,2
0J
ол
Ог5р,,МПа
Рис. 3.7. Зависимость упругости кавитационных каверн от давления на входе
в насос для различных значений коэффициента режима:
1 _ q = 0,641; 2 — q = 0,534; 3 — q = 0,427
Рис. 3.8. Зависимость кавитационного сопротивления от давления на входе
в насос для различных значений коэффициента режима:
1 — q = 0,641; 2 — q = 0,534; 3 — q = 0,427
В, 10~5 МПп/м3
Г
'/
B2-1oJМПа с/м3
-1J5
2
U 0,1 0,2 0,5 ' 0/, 0,5р„МПа о 0,1 42 0,3 O,h 0,5р},МПа
Рис. 3.9. Зависимость упругости кавитационных каверн от давления на входе
в насос для различных значений частоты вращения вала насоса при q= 0,52:
1 - я = 0,82пном; 2 - п = пном; 3 - п = \,\1пнои
Рис. ЗЛО. Зависимость кавитационного сопротивления от давления на входе
в насос для различных, значений частоты вращения вала насоса при q = 0,52:
1 - п= 0,82/гном; 2 - п = пном; 3 - п= 1,ПяНом
6*
83

100
75
50
.
-
о-
/-
mo
75
50
' 0,1
0,3 П/i 0,5рпМПа
25
J
- —
rn ..
0 0,1 0,2 0,0 ОМ 0,5 р,,МПа
Рис. 3.11. Зависимость частоты кавитационных колебаний от давления на
входе в насос для различных значений коэффициента режима:
/ —0 = 0,641; 2-0 = 0,534; 3 — q == 0,427
Рис. 3.12, Зависимость частоты кавитационных колебаний от давления на входе
в насос для различных значений частоты вращения вала насоса при q = 0,52:
1 - л = 0,82лном; 2 - п = «ном; 3 - п = \Мпипшж
в<-Ю~5МПа/м3
~6П
-50
-/,0 -
-30
-20
-10 -
1
/
02,0
МПа Л
//
/
/
O27h
/
/
-60
-50
-30 -
-20
-10
да
/
2УЗМ1
/
/,
/
/
/
1
/
vr-
1
Bj-10, * МПа/м3
-60
-50
- -10
О -1 -2 -3 -4 О -1 -2 -J -4 О -1 -2 -J
В2'Ю~2МПас/м3 В2'10~2МПас/м* В2Ю~2МПа с/м3
а) б) б)
Рис. 3.13. Результаты расчета границ областей устойчивости системы в пло-
плоскости параметров В2—Вг для различных значений коэффициента режима:
а — q = 0,427; б — о — q = 0,534; в — q — 0,641
84

В,Ю~5МПа/м3
-70
-СО
-50
-00
-30
-20
-10
/
/
JMHl
Л
1
Э/,/
1 J
f
-/ -2 -J -4 0
~2 МПа с/м5
-1 -2 -3 -4 О -1 -2 -3 -4
В2Ю~2 МПа-с/м3 В2 Ю~2МПа с/м3
Рис. 3.14. Результаты расчета границ областей устойчивости системы в пло-
плоскости параметров В2—Вг для различных значений частоты вращения вала на-
насоса при q = 0,52:
а — п = 0,82«н
б — п = пи
— п = 1,И/1Н
— тангенс угла наклона зависимости частоты колебаний от
входного давления увеличивается с уменьшением частоты враще-
вращения вала насоса я и с увеличением коэффициента режима q (с умень-
уменьшением угла атаки).
На рис. 3.13, 3.14 представлены результаты расчетов (по урав-
уравнению C.16) границ областей устойчивости системы в плоскости
параметров В2—Ви штриховые линии показывают траекторию
перемещения рабочей точки при изменении входного давления для
различных значений коэффициента режима и частоты вращения
вала насоса. С увеличением коэффициента режима q (с уменьше-
уменьшением угла атаки) устойчивость системы повышается; уменьшается
диапазон существования кавитационных автоколебаний по вход-
входному давлению. С уменьшением частоты вращения вала насоса
устойчивость также повышается.
Эти результаты объясняют некоторые характерные особенности
кавитационных колебаний, установленные в работе [67] экспери-
экспериментально.
85

3.3. Влияние конструктивных параметров шнека
на частоту кавитационных колебаний
и устойчивость системы
Для анализа влияния конструктивных параметров шнека на
частоту кавитационных колебаний и устойчивость системы в ка-
качестве исходного принят осевой шнековый преднасос № 2, пара-
параметры которого приведены в табл. 1.1.
Частота кавитационных колебаний рассчитывалась по формуле
C.27), а граница области устойчивости — по формуле C.25).
Кавитационная упругость Вх и кавитационное сопротивление
В2 для различных конструктивных параметров шнека рассчиты-
рассчитывались численным дифференцированием зависимости объема кави-
кавитационных каверн от давления на входе в насос и расхода через
насос C.10).
Влияние угла установки лопасти шнека.
С увеличением угла установки лопасти наблюдается заметное уве-
увеличение объема кавитационных каверн (рис. 3.15), уменьшение
упругости Вг (рис. 3.16) и снижение частот колебаний
(рис. 3.18), при этом получена характерная для кавитационных
колебаний линейная зависимость частоты колебаний от давления
на входе в насос.
На основании сопоставления границы области устойчивости
в плоскости параметров В2—Вх и траектории перемещения рабо-
рабочей точки (координаты рабочих точек определялись по зависимо-
зависимостям рис. 3.16, 3.17) определен диапазон существования кавита-
кавитационных колебаний по давлению на входе Ар* = р*—р**,
где р* и р* * давления на входе, при которых зарождаются и пре-
прекращаются кавитационные колебания.
Результаты расчетов показали (рис. 3.19), что с увеличением
угла установки лопасти шнека с 0,09 до 0,25 рад диапазон суще-
существования колебаний Ар? увеличивается. Следовательно, увели-
увеличение угла установки лопасти шнека оказывает дестабилизирую-
дестабилизирующее влияние на устойчивость системы.
Влияние наружного диаметра осевого
шнекового преднасос а. С увеличением наружного
диаметра шнека объем кавитационных каверн увеличивается,
а параметры \Вг\ и |В2| уменьшаются (рис. 3.20—3.22).
Это приводит к уменьшению частоты кавитационных колеба-
колебаний и увеличению диапазона Ар* существования колебаний
(рис. 3.23, 3.24).
Влияние числа заходов шнека. При увеличе-
увеличении числа заходов шнека уменьшается объем кавитационных ка-
каверн (рис. 3.25) и увеличивается | В^ (рис. 3.26), а кавитационное
сопротивление остается постоянным (рис. 3.27). В соответствии
с формулой для расчета частоты колебаний и уравнением границы
области устойчивости, при таком влиянии числа заходов на пара-
86

Bf-Ю, 5МПа/м3
VK 10? м3
25
20
15 —
\
\
\
5
1
4
\
- —
^—..
¦—^.
— —,
'/1
01 0,1 0,3 OA 0,5р„МПа
0,5р,,МПа
Рис. 3.15. Зависимость объема кавитационных каверн от давления на входе
в насос для различных значений угла установки лопасти шнека:
/ _ Р = 0,0974 рад; 2 — Р = 0,12 рад; 3 — 3 = 0,142 рад; 4 — 0 = 0,1644 рад; 5 —
Р = 0,1865 рад
Рис. 3.16. Зависимость упругости кавитационных каверн от давления на входе
в насос для различных значений угла установки лопасти шнека:
1 — р = 0,0974 рад; 2 — 3 = 0,12 рад; 3 — E = 0,142 рад; 4 — р = 0,1644 рад; 5 —
Р = 0,1865 рад
В2-Ю~2 МП a CJM3
-2,5
-2,0
-10
-Д5
о
/
У
/
2 .
/25
/Ш —
50
)
у
/ J
/у
1
7
5
_
0,1
о,?
0 Л
0// 0,5/j, МЛя
Я#с. 5.77. Зависимость кавитациоиного сопротивления от давления на входе
в насос для различных значений угла установки лопасти шнека:
1 — р = 0,0974 рад; 2 — fl = 0,12 рад; 3 — р = 0,142 рад; 4 — р = 0,1644 рад; 5 —
Р = 0,1865 рад
Рис. 3.18. Зависимость частоты кавитационных колебаний от давления на входе
в насос для различных значений угла установки лопасти шнека:
/ — Р = 0,0974 рад; 2 — Р = 0,12 рад; 3 — р = 0,142 рад; 4 — р = 0,1644 рад; 5 —
Р == 0,1805 рад

Лр,г, МПа
5
J r
м
/
/
0
0,08 ОД 0,16 0,20 п,2Ь&рч(*
30
20
\
\
^-—.
4
' 1~-
' ¦
—
0,2 0,3
Ofifju Ml la
Рис. 3.19. Зависимость диапазона существования кавитационных колебаний
по давлению на входе от угла установки лопасти шнека
Рис. 3.20. Зависимость объема кавитационных каверн от давления на входе
в насос для различных значений наружного диаметра шнека:
0-2^м; 2 — DH = 6,6» 10~2 м; 3 — Da = 7.6» 10~2 м
Bf-10~ МПа/м3
-1,5
-1.0
-0,5
———
— —
. ¦—
1
/
/
—-—'
В2-10~2МПас/м3
-1,0
-0,5
—-
—
—•
— ¦
>^
-—
0J 0,2 0,3 0,1* 0,5р„МПа
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5р,,МПа
Рис. 3.21. Зависимость упругости кавитационных каверн от давления на входе
в насос для различных значений наружного диаметра шнека:
1 — DH
5,6- Ю-2 м; 2 — DH = 6,6» 10 м; 3 — DH = 7,6» 10~2 м
Рис. 3.22. Зависимость кавитационного сопротивления от давления на входе
в насос для различных значений наружного диаметра шнека:
/ — Du = 5,6- Ю-2 м; 2 — DH = 6,6- 10 м; 3 — ?>н = 7,6- 10~2 м

/ц
50
75
~~-—-
2
—
Ар,г, МПа
В
0,1
0,2 0,3 ' U4 0,5риМПа
/
7
/
/
7Пн102ум
Рис. 3.23. Зависимость частоты кавитационных колебаний от давления на
входе в насос для различных значений наружного диаметра шнека:
1 — ?>н = 5,6» 10~2 м; 2 — DH = 6,6» 10~2 м; 3 — DH = 7,6» 10 м
Рис. 3.24. Зависимость диапазона существования кавитационных колебаний
по давлению на входе от наружного диаметра шнека
25
20
Вг-Ю~5МПа/м3
О
Рис.
Рис.
\
ч
\
ч
X
J
——.
^—
¦—¦—
—
т Ч-
0,1 0,2 0,3 •
0,5р„МПа
-0,5
0
-—-
/
Г/
У
у
0.1 0,2 0,3 04 0.
/
5риМПа
3.25. Зависимость объема кавитационных каверн от давления на входе в на-
насос для различных значений числа заходов шнека:
/—2=1; 2 — 2=2; 3 — 2=3
3.26. Зависимость упругости кавитационных каверн от давления на входе
в насос для различных значений числа заходов шнека:
1 —2=1; 2 — 2=2; 3 — 2 = 3
89

В2-Ю, МПа-с/м3
-/
a 75
0,50
0,25
юо
75
50
25
0J 0,2
0,5р„МПа
У
2yS
/
/
о<2
р,, МПа
Рис. 3.27. Зависимость кавитационного сопротивления от давления на входе
в насос для различных значений числа заходов шнека:
1 — z = 1; 2^2 = 2; 5 — 2=3
Рис. 3.28. Зависимость частоты кавитационных колебаний от давления на
входе в насос для различных значений числа заходов шнека:
1 — z = 1; 2 — 2=2; 5 — 2=3
МПа
\
Рис. 3.29. Зависимость диапазона существования кавитационных колебаний по
давлению на входе от числа заходов шнека
Рис. 3.30. Расчетная схема системы шнеко-центробежный насос—трубопро-
насос—трубопроводы:
1 — питающий бак; 2 — питающий трубопровод; 3 — сосредоточенная упругость перед
насосом; 4 — шнеко-центробежный насос; 5 •=- напорный трубопровод; 6 — сосредото-
сосредоточенная упругость за насоссгм

метры В2 и Вг наблюдается увеличение частоты кавитационных
колебаний (рис. 3.28) и уменьшение диапазона существования
автоколебаний Ар* (рис. 3.29).
Для проверки этих результатов проводились испытания шнеко-
центробежных насосов с различными осевыми шнековыми пред-
насосами (см. тл. 4).
Опытные данные в основном подтвердили предсказанные тео-
теорией результаты, при этом по частотам кавитационных колебаний
наблюдалось удовлетворительное количественное согласование,
а по границам областей устойчивости — только качественное.
3.4. Анализ устойчивости системы
с учетом сосредоточенных упругостей
На основании уравнений границы области устойчивости C.23)
и C.24), полученных в общем виде, выясним влияние сосредото-
сосредоточенных упругостей Тна входе и выходе из насоса на устойчивость
системы. Расчетная схема рассматриваемой гидравлической си-
системы представлена на рис. 3.30. Емкостные свойства системы
учитывают следующие параметры: упругость кавитационных ка-
каверн, податливость сосредоточенной упругости перед насосом
Сг и податливость сосредоточенной упругости на выходе из на-
насоса С2.
Значения податливостей CL и С2 рассчитываются с учетом
сжимаемости жидкости и податливости стенок питающего и напор-
напорного трубопроводов.
Инерционные свойства системы учитывают коэффициенты инер-
инерционного сопротивления: питающего и напорного трубопроводов
/х и /2, участков гидравлических трактов между сосредоточенными
упругостями /1н, /2Н.
Гидравлические сопротивления учитывают коэффициенты ли-
линеаризованного гидравлического сопротивления: питающего и
напорного трубопроводов 7?! и R2 и на участках между сосредото-
сосредоточенными упругостями i?lH, R2li.
Для анализа устойчивости необходимо определить импедансы
гидравлических систем, расположенных на входе и выходе
из насоса.
На основании уравнений неустановившегося движения несжи-
несжимаемой жидкости, и уравнений сохранения массы жидкости для
сосредоточенных • уоругостей исходную систему уравнений для
нахождения указанных импедансов в частотной области можно
записать в виде:
. 8р{ + (Ri + mli) 6Qi = 0, C.28)
i = 6Qi - 8Qi, C.29)
lH + *WlH) 6Qb C.30)
91

бр2 - бР2 + (R2H + /о)/2н) 6Q2, C.31)
иоСя6/Й - 6Q2 - 6Q2, C.32)
?2 - (/?2 + м>/2) 6Q2, C.33)
где 6pi, 6p2 — амплитуды колебаний давления в месте располо-
расположения сосредоточенных упругостей; 8Qi, 8Q2 — амплитуды коле-
колебаний расходов жидкости в питающем и напорном трубопроводах.
Исключая из первых трех уравнений амплитуды колебаний
Ьр{ и 8QI, находим импеданс системы до шнеко-центробежного
насоса:
Zx (О, ко) = /?lH + to/lH + р^ . C.34)
Импеданс системы после насоса определим из уравнений C.31)—
C.33):
Z2 @, ico) = /?2н + »W2h -] j—' . C.35)
Отделяя в уравнениях C.34) и C.35) действительную и мни-
мнимую части, находим
Re Zx @, too) = RlH -f /?2 + (D2[c1(^2 + C021/2)_/i]2 , C.36)
Im-
J/
_co|/lH
Re Z2 @, tco) - i?2H + /?2 + С02[с2(^2 + (й22/2)_/2]2 э C.38)
Tm7/0 /^_,,J/ [c2 (/?
Im Z2 @, ко) - со |/ -
2H - /jj + ш« [Ca (i?i
Действительная и мнимая части функции Ф (ш) C.22), которые
входят в уравнения границы области устойчивости C.23) и C.24),
выражаются через действительную и мнимую части импедансов
систем Zi@, ш), Z2@, ш).
(l+m)[ReZ!@f to>)(ReZ2(O, to) —s) +
+ Im Zx @, t(o) Im Za @, to)] n 4f^
(Re Za @> .ш) _ gI + (Im ^ @ Ш))Ш , C.40)
A + m) [Im Zx @, ico) (Re Z2 @, to) — s) —
Im Ф //n^ - - ReZl @> tQ)) ImZ2 @> f(QI П4П
Im Ф (ico) - (Re ^ @> .^ __sJ + (Im Za @ to)I . C.41)
Для дальнейшего анализа воспользуемся общей формой за-
записи уравнений границы области устойчивости C.23) и C.24).
92

Полученные выражения для импедансов систем и функции
Ф (ш) достаточно сложны и не позволяют получить наглядные
аналитические результаты по влиянию податливостей сосредото-
сосредоточенных упругостей на устойчивость системы. Поэтому рассмотрим
несколько частных случаев.
Влияние сосредоточенной упругости на
входе в насос. Предположим, что податливость сосредо-
сосредоточенной упругости на выходе из насоса С2 = 0. В этом случае
амплитуда колебаний 6Q2 <^ 6Qi, поэтому положим 6Q2 — 0
и, следовательно, Z2@, ш) = оо. Кроме того, будем считать, что
упругость на входе расположена непосредственно перед лопастями
шнека, т. е. /1н = 0, RlH = 0. С учетом этих допущений уравне-
уравнения границы области устойчивости можно записать так:
R\ + со2 [Сг (Rl + со2/?)
Поскольку коэффициент сопротивления питающего трубопро-
трубопровода не оказывает заметного влияния на частоту колебаний на
границе области устойчивости, разрешая уравнение C.43) отно-
относительно частоты и полагая Rt = 0, получим:
*2o=/l(l-W C'44)
Из анализа этого выражения следует, что с увеличением подат-
податливости сосредоточенной упругости на входе в насос частота коле-
колебаний снижается. Если податливость сосредоточенной упругости
существенно больше податливости кавитационных каверн С\ ^>
> — -^-, то частота колебаний равна:
& C-45)
а если Сх <С — ¦»-, то
со§ = ?i-. C.46)
п
Если податливость d = 0, то уравнение границы области
устойчивости C.42) принимает вид:
52 = -/?!. C.47)
При d =f 0 сосредоточенная упругость на входе в насос ока-
оказывает неоднозначное влияние на устойчивость системы. Согласно
93

уравнению C.42), стабилизирующее влияние коэффициента сопро-
сопротивления Rx уменьшается, если
l-1>1, C.48)
или, с учетом формулы C.44), условие C.48) можно записать в виде
Это условие при малых значениях Rx выполняется при доста-
достаточно больших значениях податливости сосредоточенной упруго-
упругости d » - -щ-.
Физический смысл полученного условия C.49) состоит в сле-
следующем. Подвод энергии к колебательной системе определяется
отрицательным кавитационным сопротивлением В2 и амплитудой
колебаний расхода 8QX, а рассеивание колебательной энергии —
гидравлическим сопротивлением питающего трубопровода и ам-
амплитудой колебаний расхода 8QI.
Если Сх = 0, то 8Qi = 8Qi и уравнение границы области устой-
устойчивости, как указывалось выше C.47), принимает вид В2 = —Rt.
При Сх =h 0 отношение амплитуд колебаний —~- можно опреде-
определить из уравнений C.28), C.29): -Щ- = 1 + iaC^Rx + ш/х),
при этом отношение действительных амплитуд
C.50)
Подставляя в уравнение C.50) выражение C.44) для частоты
колебаний на границе области устойчивости, получим
«Q,
SQi
\f i с1в1
= У (\-Сфг)* \-ClBl
h
C.51)
Если
пели
то отношение амплитуд колебаний,
^ - x_CiBi
определяемое выражением C.51), равно единице, а если выполня-
выполняется условие C.49), то —1
> 1.
При этом поток колебательной энергии, генерируемой насосом,
превышает поток энергии, рассеиваемой на гидравлическом сопро-
сопротивлении (по сравнению со случаем Сх = 0). Этим объясняется
дестабилизирующее влияние податливости сосредоточенной упру-
упругости на входе в насос для условия C.49).
При малых значениях податливости сосредоточенной упругости
и сопротивления Rx условие C.49) не выполняется, при этом
94

отношение амплитуд колебаний
< 1, т. е. амплитуда коле-
баний расхода в питающем трубопроводе больше амплитуды коле-
колебаний расхода на входе в насос. В этом случае генерируемая энер-
энергия меньше рассеиваемой и поэтому сосредоточенная упругость
оказывает стабилизирующее влияние на устойчивость системы.
Таким образом, с увеличением податливости сосредоточенной
упругости на входе в насос до значения, при котором условие
C.49) начинает выполняться, сосредоточенная упругость оказы-
оказывает стабилизирующее влияние на устойчивость системы, а при
дальнейшем увеличении Сг ее влияние оказывается дестабилизи-
дестабилизирующим.
Неоднозначное влияние упругости на входе в насос на устой-
устойчивость системы было обнаружено и экспериментально при испы-
испытании шнеко-центробежного насоса с подачей свободного газа
(воздуха) в питающий трубопровод на входе в насос.
С увеличением расхода воздуха (т. е. с увеличением Сх) частота
колебаний монотонно уменьшалась, а амплитуда колебаний сни-
снижалась по мере увеличения расхода воздуха и увеличения Сх
до определенного значения, а при дальнейшем увеличении рас-
расхода воздуха амплитуда колебаний увеличивалась.
Влияние сосредоточенной упругости на
выходе из насоса. Предположим, что податливость со-
сосредоточенной упругости на входе в насос Сх = 0 и коэффициент
инерционного сопротивления /2н = 0. Кроме того, будем считать,
что гидравлическое сопротивление напорного трубопровода в ос-
основном расположено после сосредоточенной упругости на выходе
из насоса R2 > R2ii. В этом случае амплитуда колебаний 8Q2<C
< 8Q2, поэтому положим 8Q2 = 0 и, следовательно, R2 —> 00.
С учетом этих допущений уравнения границы области устойчи-
устойчивости будут иметь вид
В2 = _ R1 + ^ , ш J , C.52)
C.53)
CO2/!
где Rt = Rx + #ih, /1 - /1 + /ih.
Поскольку основное гидравлическое сопротивление напорного
трубопровода расположено после сосредоточенной упругости, раз-
разрешая уравнение C.53) относительно частоты колебаний, будем
95

считать, что сопротивление #2н — s не оказывает заметного влия-
влияния на частоту колебаний на границе области устойчивости (т. е.
положим R2H — s = 0):
cog __ Hi . C.54)
/Г[1-САA+т)]
Из этого уравнения следует, что податливость сосредоточен-
сосредоточенной упругости в напорном трубопроводе (как и в питающем)
уменьшает частоту колебаний.
Если податливость сосредоточенной упругости существенно*
1 9
меньше податливости кавитационных каверн С2 <С ^—, то щ =
В последнем случае частоты колебаний не зависят от упругости
кавитационных каверн.
Установим влияние податливости С2 на устойчивость системы.
Подставляя выражение для частоты колебаний C.54) в уравне-
уравнение C.52), получим
Если C2 = 0, то уравнение границы области устойчивости
C.55) принимает вид В2 = —R*.
Если податливость упругости С2 <^ — -^-, то уравнение C.55)
упрощается:
В2 = _/?; + C2/?iBi (I + m) C.56)
и показывает, что податливость сосредоточенной упругости на вы-
выходе из насоса оказывает стабилизирующее влияние на устойчи-
устойчивость системы.
При достаточно больших значениях податливости С2 ^>—-~-
уравнение C.55) можно записать так:
* (\ + т) Bxl\ [С2 (#2н "~s) + ^2^1 A + т)\
^ I у> / г» »\2 I /1 I \/* • \ ' /
Из этого уравнения следует, что при работе насоса на падаю-
падающей ветви напорной характеристики s < 0 и в этом случае подат-
податливость сосредоточенной упругости на выходе из насоса оказы-
оказывает стабилизирующее влияние на устойчивость системы. Однако,
поскольку основное сопротивление напорного трубопровода рас-
расположено после сосредоточенной упругости, при работе насоса
на^восходящей ветви характеристики (т. е. при s > 0) второе сла-
слагаемое в уравнении C.57) при s > R2H может изменить знак.
В этом случае самовозбуждение системы возможно и без отрица-
96

тельного кавитационного сопротивления, и соответствует меха-
механизму возникновения помпажных колебаний.
В заключение отметим, что, в отличие от податливости сосре-
сосредоточенной упругости на входе в насос, податливость сосредото-
сосредоточенной упругости на выходе из насоса при работе последнего на
падающей ветви характеристики оказывает однозначное стабили-
стабилизирующее влияние на устойчивость системы.
3.5. Влияние распределенности
параметров питающего трубопровода
на устойчивость системы
При длине питающего трубопровода, соизмеримой с длиной
волны колебаний, возникает необходимость в учете распределен-
распределенности параметров трубопровода. Методика определения импедан-
сов гидравлических систем с распределенными параметрами при-
приведена в Приложении.
Рассмотрим общий случай, когда в питающем трубопроводе,
кроме гидравлического сопротивления, равномерно распределен-
распределенного по длине, имеются и сосредоточенные гидравлические сопро-
сопротивления. Общее гидравлическое сопротивление трубопровода
сосредоточим на выходе из бака Ro и на входе в насос Rlt В этом
случае импеданс питающего трубопровода равен:
Zl (О, to) = Ъ + S°L *' 2 , C.58)
-J- + iRo tg —
где сг — скорость звука в жидкости, текущей в трубопроводе
с упругими стенками.
Из выражения C.58) находим действительную и мнимую части
импеданса питающего трубопровода
ReZ,@, to) = Rl + % *V */ , C.59)
ТГ) +*tg —
C.60)
Как и при анализе влияния сосредоточенной упругости на входе
в насос, принимая во внимание, что 8Q2 С SQi» положим 8Q2 = 0
и, следовательно, Z2 @, to) = оо.
В этом случае уравдения границы области устойчивости C.23),
C.24) принимают вид
' В. В. Пилипенко 97

C-61)
cotg
61 I (Р^-Г I
C.62)
,
('*)•
Сосредоточенное гидравлическое сопротивление на выходе
из бака, как правило, значительно меньше волнового сопротивле-
сопротивления трубопровода Ro<^ ^~- и не оказывает заметного влияния на
частоту колебаний. Поэтому при нахождении частоты колебаний
из уравнения C.62) положим ^ = 0 и получим:
Упругость кавитационных каверн Вг зависит от давления на
входе и изменяется в широких пределах. При этом первая соб-
собственная частота колебаний жидкости в системе сох согласно
уравнению C.63) изменяется в пределах от .Cl до нуля.
Из анализа уравнения C.61) следует, что в диапазоне измене-
изменения первой собственной частоты колебаний от 0 до -|р распреде-
ленность параметров питающего трубопровода оказывает стаби-
стабилизирующее влияние на устойчивость системы. Это объясняется
тем, что в диапазоне изменения первой собственной частоты коле-
колебаний жидкости амплитуда колебаний расхода на выходе из бака
8Q0 превышает амплитуду колебаний расхода на входе в насос 8QX.
Действительно, отношение указанных амплитуд колебаний равно
(см. Приложение):
t-^, C.64)
После некоторых преобразований из выражения C.64) находим
отношение действительных амплитуд колебаний
6Qx
У
98

В диапазоне изменения первой собственной частоты колебаний
жидкости от нуля до -~
6Q1
Такое отношение между указанными амплитудами колебаний при-
приводит к усилению влияния сопротивления на выходе из бака на
рассеивание энергии, что и приводит к дополнительной стабили-
стабилизации системы по сравнению со случаем для несжимаемой жидко-
жидкости, когда амплитуды колебаний расходов на выходе из бака и
на входе в насос равны.
3.6. Границы области устойчивости
в плоскости параметров
питающего трубопровода
В простейшем случае уравнение границы области устойчиво-
устойчивости в плоскости параметров Rxn 1г можно получить из выражения
C.25)
/A(l+)
-1 -2 1 ?2_s •
Из последнего уравнения следует, что искомая граница устой-
устойчивости представляет собой прямую линию, отсекающую на осях
/х и /?! соответственно отрезки
При построении границы области устойчивости в плоскости
параметров Rx и 1г можно воспользоваться ее уравнением в пара-
параметрической форме (параметром служит частота колебаний на гра-
границе области устойчивости). Для этого разрешим уравнения C.20),
C.21) применительно к рассматриваемому простейшему случаю
C'66)
В соответствии с методом Д-разбиения, при движении вдоль
границы области устойчивости в направлении увеличения частоты
колебаний от 0 до оо, так как при этом знак определителя [знаме-
[знаменатель формул C.66), C.67)] положителен, необходимо штрихо-
вать^ее с левой стороны. При движении вдоль границы области
Устойчивости в пределах от —оо до 0 получаем двойную штриховку.
Как следует из характеристического уравнения C.19), особая
прямая, соответствующая» со = 0, проходит параллельно оси /х
7* 99

на расстоянии R± -= — ( 2 ^Л^ 2, особая прямая, соответ-
соответствующая со = it сю, совпадает с осью jR1(/1 = 0).
Итак, область устойчивости уже сформировалась.
Поскольку физический смысл имеет только положительные
значения /х и Rx, область устойчивости будет ограничиваться
полученной прямой и положительными направлениями осей 1г >
> /i и Ri > R{ (см. также рис. 8.6).
В общем случае уравнение границы области устойчивости в пло-
плоскости параметров ReZi@, ш), 1^O> lrri) в параметрическом
виде можно записать так [см. уравнения C.20), C.21)]:
ReZx @, wo) = — В2 + ^ Im Ф (/со), C.68)
ImZ^O, ш) = — -^ Red)(ко), C.69)
Изложенные теоретические результаты наглядно показывают,
что устойчивость системы в существенной мере определяется пара-
параметрами питающего трубопровода. Влияние параметров Rx и
1Х настолько сильное, что один и тот же шнеко-центробежный на-
насос в зависимости от значений этих параметров может работать
либо устойчиво (Ru Л), либо неустойчиво (Ru /i).
Экспериментальные исследования влияния параметров R1
и /х на устойчивость системы подтвердили этот вывод. Изменение
этих параметров достигалось путем установки в питающую маги-
магистраль ресивера на различных расстояниях от входа в насос.
Объем газовой «подушки» ресивера выбирался из условия обеспе-
обеспечения постоянного давления в питающем трубопроводе в месте
установки ресивера. В этом случае трубопровод от основного бака
до ресивера не оказывает влияния на устойчивость системы, а уста-
установка ресивера на небольших расстояниях от входа в насос обес-
обеспечивает самовозбуждение кавитационных колебаний в широком
диапазоне изменения входного давления. Опытные данные по ча-
частотам кавитационных автоколебаний можно использовать для
определения упругости кавитационных каверн.
Однако, в этом случае возникает определенное затруднение:
частота кавитационных автоколебаний соответствует нелинейной
системе, а формула для частоты колебаний C.7) получена для
линейной системы. Возникает вопрос, какое влияние нелинейные
эффекты могут оказать на частоту автоколебаний. Естественно,
что это влияние будет тем меньше, чем ближе система находится
к границе области устойчивости. В этом случае форма колебаний
близка к гармонической и, возможно, что нелинейные эффекты
не будут оказывать существенного влияния на частоту колебаний,
т. е. не будет наблюдаться заметного расхождения частот, соот-
соответствующих границе области устойчивости, и частот автоколе-
автоколебаний.

Глава 4
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
КАВИТАЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ
Экспериментальное исследование устойчивости работы гидра-
гидравлической системы, включающей шнеко-центробежный насос,
целесообразно выполнять путем определения границ областей
устойчивости в плоскости параметров рх—п (давление на входе —
частота вращения вала) [67], S рх (относительный расход —
Qh
давление на входе) [81]. Указанные границы областей устойчи-
устойчивости позволяют:
— дать оценку эффективности различных средств расширения
области устойчивой работы насоса и выяснить влияние конструк-
конструктивных параметров шнека и гидравлической системы на устой-
устойчивость ее работы;
— установить влияние давления на входе, частоты вращения
вала насоса, режима работы и конструктивных параметров си-
системы на частоту и амплитуду автоколебаний.
В качестве объектов экспериментальных исследований исполь-
использовались два шнеко-центробежных насоса с двухзаходными вин-
винтовыми шнеками постоянного шага, существенно отличающиеся
по геометрическим и режимным параметрам, приведенным
в табл. 4.1 [47].
Таблица 4.1
Объект испытаний
насос № 1.
насос № 2
Параметры
DH, м
0,120
0,056
dB, м
0,063
0,026
S, М
0,054
0,0252
^ном
0,43
0,54
аном
4°ЗГ
3°56'
Известно, что при проектировании высокооборотных шнеко-
Дентробежных насосов даже с высокими антикавитационными
свойствами соотношения геометрических параметров шнека на
101

дн/и}
0,8
0,6
•
t
I
1
г
< >
2
0,1
Рис. 4.1. Срывные характеристики
шнеко-центробежных насосов:
1 — насос № 1 (я = >%ом' <7 = 0,431);
2 — насос № 2 (м = «ном« Я ~ °»54)
выходе и центробежного колеса
на входе могут изменяться в
широком диапазоне [80]. В ча-
частности, углы атаки на входе в
; ^/? центробежное колесо могут
быть до 15° [73]. Согласно
экспериментальным данным, полученным японскими исследо-
исследователями [127], большие углы атаки на входе в центробежное
колесо обуславливают относительно большие потребные кавита-
ционные запасы.
Для исследуемых высокооборотных шнеко-центробежных на-
насосов были выполнены расчеты потребных и располагаемых ка-
витационных запасов [46], которые показали, что центробежное
колесо насоса № 1 работает в бескавитационном режиме, а для
центробежного колеса насоса № 2 потребный кавитационный за-
запас превышает располагаемый даже для условий зарождения ка-
кавитации и, следовательно, центробежное колесо насоса № 2
в области входа работает в режиме частичной кавитации.
Срывные характеристики исследуемых шнеко-центробежных
насосов представлены на рис. 4.1.
Для выяснения влияния режимных и основных конструктив-
конструктивных параметров шнека на возникновение и параметры кавита-
ционных автоколебаний проводились испытания насосов № 1
и № 2 с различными шнеками, которые отличались углами уста-
установки лопасти, значениями наружного диаметра шнека и числом
заходов шнека. Ниже приводятся результаты этих испытаний.
4.1. Влияние режимных параметров
на частоту кавитационных автоколебаний
Давление на входе в насос является одним из определяющих
параметров, оказывающих влияние на частоту, амплитуду и
форму колебаний. Это связано с тем, что от установившегося зна-
значения давления на входе в насос зависят значения объема кави-
тационной полости и тангенсов углов наклона касательных к за-
зависимости VK =J_{Pv Qi).
В процессе испытаний по определению кавитационных (при
различных расходах) характеристик насоса замерялись, в част-
частности, давления на входе и выходе из насоса датчиками давления,
показания которых осциллографировались.
102

На основании результатов этих испытаний определены экс-
экспериментальные зависимости частот автоколебаний от давления
на входе.
На рис. 4.2, 4.3 представлены зависимости частот автоколеба-
автоколебаний от давления рг, полученные при испытаниях насосов № 1 и
jjo 2. Основной характерной особенностью представленных ре-
результатов можно считать линейную зависимость частоты колеба-
колебаний от давления на входе в насос, с увеличением давления рг
частота колебаний увеличивается.
Для насоса № 2, центробежное колесо которого (со шнеком
с углом установки лопасти, равным 8° 9') работает в режиме ча-
частичной кавитации, зависимость / = ср (рх) при определенном зна-
значении /?! имеет излом с уменьшением почти до нулевого значения
тангенса угла наклона. Частота колебаний при давлении рх >
> 0,25 МПа (см. рис. 4.3) существенно ниже первой собственной
частоты колебаний жидкости в трубопроводе с одним закрытым
концом / <^ сгШг и определяется упругостью кавитационных
каверн в центробежном колесе.
Здесь интересно отметить, что при испытании насоса № 2
со шнеком, угол установки лопасти которого был уменьшен с 8° 9'
до 6°, получены зависимости частоты колебаний от входного да-
давления с существенно меньшим тангенсом угла наклона (рис. 4.4).
Уменьшение угла установки лопасти, а следовательно, и напора
шнека, способствовало дальнейшему развитию кавитационного
течения в центробежном колесе. Кавитационная характеристика
насоса со шнеком р ^ 6° показана на рис. 4.5. Из этой характе-
характеристики следует, что уменьшение угла установки лопасти практи-
практически не ухудшило антикавитационные качества насоса. В то же
время уменьшение тангенса угла наклона зависимости / — ср (рг)9
когда частота колебаний в основном определяется упругостью
кавитационных каверн в центробежном колесе, связано со значи-
значительно меньшим влиянием входного давления на упругость кави-
кавитационных каверн в центробежном колесе по сравнению с его влия-
влиянием на упругость кавитационных каверн в осевом шнековом
преднасосе.
Таким образом, если центробежное колесо работает в режиме
частичной кавитации, могут наблюдаться либо отклонения зави-
зависимости / = ф (рг) от линейной, либо весьма слабая зависимость
частоты колебаний от входного давления.
Частота вращения вала насоса оказывает влияние на частоту
Кавитационных колебаний. При постоянном входном давлении
с уменьшением частоты вращения вала насоса частота колебаний
увеличивается (рис. 4.6). Увеличение частоты колебаний связано
с увеличением числа кавитации и уменьшением объема кавита-
ВДонных каверн.
На режимах с обратными токами (q < 0,5) в основном наблю-
наблюдается линейная зависимость частоты колебаний от входного да-
103

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25р1}МПа
0,1 0,2 0,3 0,4 0y5phMfJa ,
Рис. 4.2. Экспериментальная зависимость частоты кавитационных автоколе-
автоколебаний от давления на входе в насос и режима работы (параметр q) для насоса
М 1 При П = Яном-'
/ — q == 0,431; 2 — q = 0,345; 3 — q = 0,215
Рис. 4.3. Экспериментальная зависимость частоты кавитационных автоколеба-
автоколебаний от давления на входе в насос и режима работы (параметр q) для насоса
№ 2 При П = Ином-'
/ — q = 0,65; 2 — q = 0,54; 3 — q = 0,27
300,1 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0fi0phMna
Рис. 4.4. Экспериментальная зависимость частоты кавитационных автоколеба-
автоколебаний от давления на входе в насос и частоты вращения вала насоса для насоса М 2
с углом установки лопасти шнека р = 6°:
1 - п = 0,7rtHOM; 2 - п = 0,82мном; 3 - п = лном
3
2 '
94
0,7 25
0,700
0,675
0650
7 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25pf1Mna
Рис. 4.5. Срывная характеристика шнеко-центробежного насоса № 2 с углом
установки лопасти шнека Р ^* 6° при п = лНОм
104
mrw1
S о—--1
А

вления. Однако в некоторых случаях при определенном значении
'рх наблюдается значительное увеличение тангенса угла наклона
зависимости f = ф (рг) с последующим уменьшением при повы-
повышении входного давления (рис. 4.7). Возможно, что такой вид
зависимости является характерным для режимов работы насосов
с интенсивными обратными токами. Действительно, сильно закру-
закрученные обратные токи приводят к снижению статического давле-
давления в активном потоке и при определенном значении входного
давления перед шнеком могут возникнуть кавитационные каверны,
которые приведут к уменьшению суммарной упругости кавита-
кавитационных каверн.
Резкое уменьшение частоты кавитационных колебаний с пони-
понижением входного давления возможно и связано с образованием
кавитационных каверн перед шнеком.
Податливость кавитационных каверн, которая характеризует
величину изменения объема кавитационных каверн при изменении
входного давления на единицу, в существенной мере зависит от
места расположения кавитационных каверн: перед шнеком, в про-
проточной части шнека и колеса. Очевидно, что степень влияния из-
изменения входного давления на изменение объема кавитационных
каверн при прочих равных условиях больше для кавитационных
каверн, расположенных перед шнеком.
Важно установить зависимость давления на входе в насос
(числа кавитации), при котором наблюдается резкое изменение
частоты кавитационных автоколебаний, обусловленное существен-
существенным изменением податливости кавитационных каверн, от коэф-
коэффициента режима q.
1
it
ь
у'
1
/
1
1
л
0,2 0,3 ОМ 0,5р,,МПа
Рис. 4.6. Экспериментальная зависимость частоты кавитационных автоколеба-
автоколебаний от давления на входе в насос и частоты вращения вала насоса для насоса № 2
с углом установки лопасти шнека р = 8° 09':
1 - п= 0,82«НОМ; 2 - п = пноы; 3 - п = 1.ПпН0М
Рис. 4.7. Экспериментальная зависимость частоты кавитационных автоколеба-
автоколебаний от давления на входе в насос для насоса М 2:
1 — шнек с переменным шагом; sBX = 0,0252 м; sBbIX = 0,04 м; q — 0,27; 2 —двухряд-
—двухрядный шнек; Sl = sz = 0,0252 * м; q = 0,27
105

Рис. 4.8. Экспериментальная зависи-
зависимость падения статического давления
от режима работы насоса (параме-
(параметра q) [111]
Используя эксперименталь-
экспериментальные данные, приведенные на
рис. 4.7, и зависимость падения
статического давления (разно-
(разности давления на входе в насос рг '
и статического давления на оси
потока перед шнеком рг==о), от-
отнесенного к скоростному на-
напору р^щ/2, от режима работы
насоса (коэффициента режима
q) для двух насосов с различ-
различными параметрами из работы
[111 J (рис. 4.8), можно опре-
определить давление на оси потока
перед шнеком, соответствующее
резкому изменению частоты
автоколебаний. Как показали
расчеты, это давление близко
к давлению в кавитационной полости, которое можно принять
равным сумме парциальных давлений пара и выделившегося газа.
Поэтому были определены значения чисел кавитации, соот-
соответствующие резкому изменению частоты автоколебаний для
трех значений коэффициента режима q. На рис. 4.8 эти значения
обозначены звездочками.
Тот факт, что определенные таким образом точки согласуются
с зависимостью 1 2 г==0 = f (q), позволяет использовать эту
PUui/
зависимость в первом приближении для определения чисел кави-
кавитации ko, п. ш» соответствующих резкому изменению податливости
кавитационных каверн и частоты автоколебаний на режимах с об-
обратными токами. В дальнейшем будем считать, что при числах
кавитации k > kt. п. ш, перед шнеком отсутствуют кавитацион-
ные каверны, влияние которых следовало бы учитывать при рас-
расчетах частот кавитационных колебаний и динамических характе-
характеристик насосов. Если на режимах с обратными токами с повыше-
повышением входного давления не наблюдается резкого увеличения ча-
частоты колебаний, то это может быть связано с прекращением кави-
кавитационных колебаний при давлении на входе, меньшем того, при
котором исчезают кавитационные каверны перед шнеком, либо
с малой интенсивностью обратных токов, а следовательно, и сла-
слабым влиянием упругости кавитационных каверн перед шнеком
на суммарную упругость кавитациоцных каверн,
106

Режим работы насоса (параметр q) оказывает существенное
влияние на частоту кавитационных колебаний. С увеличением
расхода через насос частота колебаний повышается (см.
рис. 4.2, 4.3).
4.2. Влияние конструктивных
параметров шнека на частоту
кавитационных автоколебаний
С увеличением угла установки лопасти шнека наблюдается
уменьшение частоты автоколебаний (рис. 4.9, 4.10). В соответ-
соответствии с теоретической моделью кавитационных колебаний (см.
гл. 3) это объясняется тем, что с увеличением угла р увеличивается
объем кавитационных каверн в межлопастных каналах шнека и
снижается упругость кавитационных каверн, т. е. параметр \В1\
уменьшается. Кроме того, с увеличением угла C уменьшается пара-
параметр режима q, а при q < 0,5 возникает закрученный обратный
поток перед лопастями шнека, ко-
который, в свою очередь, при опре-
деленных значениях входного дав-
20
15
10
}
/
/
0,2
0,3 рьМПп
0,2
0,3
0,4 р,, МПа
Рис. 4.9. Экспериментальная зависимость частоты кавитационных автоколе-
автоколебаний от давления на входе в насос и режима (расхода Q) для насоса М 1 с уг-
углом установки лопасти шнека Р = 8° 10' (сплошные линии) и Р = 6° 52' (штрихо-
(штриховые линии):
*, А - Q = 0,8QHOM; ¦, • -~Q = 0,5QHOM
Рис. 4.10. Экспериментальная зависимость частоты кавитационных автоколе-
автоколебаний от давления на входе в насос и угла установки лопасти шнека для насоса
M2npuQ= QH0M:
1 — р = 8° 09'; 2 — р = 10°; 3 — р = 14°; 4 — р = 18°
107

•20
15
10
/j
ifrf?
0
0.1
0,1
0,3phMna
0,3 р„МПа
Рис. 4.11. Экспериментальные зависимости частоты кавитационных автоко-
автоколебаний от давления на входе в насос и режима работы (расхода Q) для насоса
М 1 с наружным диаметром шнека DH = 0,12 м (сплошные линии) и DH= 0,11 м
(штриховые линии):
• - 0 = QH0M; A -Q = 0,8QHOM; ¦ - Q = 0,5QHOM
Рис. 4.12. Экспериментальные зависимости частоты кавитационных автоколе-
автоколебаний от давления на входе в насос и режима работы (расхода Q) для насоса М 2
с наружным диаметром шнека DH = 0,056 м (сплошные линии) и Dn— 0,061 м
(штриховые линии):
• - Q = Qhom; A - Q = 0,8QHOM; ¦ - Q = 0,5QHOM
ления приводит к образованию кавитационных каверн перед
лопастями шнека.
С увеличением наружного диаметра шнека и уменьшением числа
заходов шнека частота колебаний понижается (рис. 4.11—4.12).
Таким образом, конструктивные параметры шнека оказывают
существенное влияние на частоту кавитационных колебаний.
В связи с этим теоретические модели кавитационных колебаний,
которые в явном виде не учитывают конструктивных параметров
шнека, не могут быть использованы для расчетов параметров кави-
кавитационных колебаний и динамических характеристик шнеко-цен-
тробежных насосов.
4.3. Влияние параметров
питающего трубопровода
на частоту колебаний
В разд. 3.1 было показано, что частота кавитационных колеба-
колебаний на границе области устойчивости равна собственной частоте
колебаний жидкости в системе питающий трубопровод—насос.
108

рис. 4. IS. Экспериментальная зависи-
зависимость частоты кавитационных автоко-
автоколебаний от давления на входе в насос
для различных длин питающего трубо-
трубопровода :
t-h
0,08 м; 2 — 1Х = 1,2 м; 3 —
= 3,15 м
С целью экспериментальной
проверки пределов применимости
формулы для определения частоты
колебаний
i—^ h +
60
50
30
20
1
J
/
1
/
V
были проведены испытания на-
насоса № 2 на стенде при различ-
различных длинах питающего трубопро-
трубопровода: 0,08, 1,2 и 3,15 м.
По результатам осциллографи-
ческих записей колебаний вход- ~oj ол ' аз ргмпа
ного давления при снятии кави-
кавитационных характеристик насоса
определена зависимость частоты колебаний от давления на входе
в насос (рис. 4.13) для различных длин питающего трубопровода.
На основании анализа экспериментальных результатов устано-
установлено, что частота кавитационных колебаний уменьшается с уве-
увеличением длины питающего трубопровода.
Согласно приведенной выше теоретической зависимости отно-
отношение частот колебаний для различных значений I\ (при прочих
равных условиях) должно быть равно:
«02 У hi '
D.1)
где со0], о)О2 — частоты колебаний, соответствующие питающим
трубопроводам 1 и 2; /11э /12 — коэффициенты инерционного со-
сопротивления питающих трубопроводов 1 и 2.
В то же время по результатам испытаний установлено, что на
режимах без обратных токов при малых длинах питающего трубо-
трубопровода отношение частот колебаний D.1) зависит от давления на
входе в насос. В табл. 4.2, 4.3 представлены расчетные и экспе-
экспериментальные значения отношений -^- для различных значений
давления на входе в насос (при q я^ 0,54).
Длины питающих трубопроводов составили:
/ц = 0,08 м, 112 — 1,2 м (см. табл. 4.2);
1Х1 = 1,2 м, /12 = 3,15 м (см. табл. 4.3).
109

plt МПа
/ «01 \
\ «02 /Э
CL)
\ «02 /P
0,11
1,28
2,34
0,15
1,42
2,34
0,20
1,44
2,34
Та
0,25
1,46
2,34
блица 4.2
0,30
1,48
2,34
Таблица 4.3
Pi, МПа
\ «02 /Э
(urn,)
\ «02 /P
0,20
1,48
1,62
0,25
1,51
1,62
0,30
1,56
1,62
0,40
1,63
1,62
Значения коэффициента /lf определенные для этих длин и
диаметров питающего трубопровода с учетом инерционности жид-
жидкости во входном патрубке насоса, равны:
11г = 0,8-105 кг/м4, /Хо = 4,4-105 кг/м4 (см. табл. 4.2);
/и = 4,4.105 кг/м4, /1а= 11,6.105 кг/м4 (см. табл. 4.3).
Экспериментально установленная зависимость отношения ча-
частот колебаний от давления на входе в насос не объясняется ни
кинетической моделью кавитационных колебаний в насосах [68],
ни струйной моделью [77]. Струйная модель не объясняет эту
зависимость, вероятно, потому, что при ее разработке было при-
принято предположение о квазистационарности обтекания лопастей
осевого шнекового преднасоса, т. е. предполагалось, что измене-
изменение размеров кавитационной каверны происходит безынерционно
в соответствии с изменениями давления и расхода на входе в на-
насос, а именно, Ьр± = B1bVK + B2SQi-
Уточним теоретическую модель кавитационных колебаний за
счет учета инерционных потерь давления в межлопастных каналах
шнека на участке увеличения высоты кавитационной каверны по
длине лопасти, т. е. последнее уравнение запишем в виде
B2bQi
D-2)
где слагаемое /к
dt
учитывает указанные инерционные по-
тери давления, а коэффициент инерционных потерь давления рас-
рассчитывается по формуле
110

где /к — длина кавитационной каверны на участке монотонного
увеличения высоты кавитационной каверны; F>K — площадь про-
проходного сечения проточной части шнека, занятого жидкостью
Рж^г(—н^~ в )(ал — 0,5/iK); ал — ширина межлопастного ка-
канала.
С учетом уравнения D.2) формулу для определения частоты
колебаний можно записать в виде
СОо
= Вг Г, , Ri(l+m)l
/1 + /к.ш L "* #2-S J
D.3)
В этом случае отношение частот колебаний для различных зна-
значений /х рассчитывается по следующей формуле:
ft>oi _ "I f
Ю02 У
D.4)
В табл. 4..4, 4.5 представлены расчетные с учетом /к ш и экспе-
экспериментальные значения отношений -^.
На основании этих результатов можно сделать вывод, что учет
инерционных потерь давления в межлопастных каналах шнека
позволил не только дать качественное теоретическое объяснение
зависимости отношения частот колебаний -^ от входного
0>02
давления, но и получить удовлетворительное количественное
согласование. Изложенные результаты были получены В. В. Пи-
липенко в 1967 г. [78].
Pi, МПа
\ «02 /Э
\ ©02 /р
0,11
1,28
1,47
0,15
1,42
1,51
0,20
1,44
1,56
Та
0,25
1,46
1,60
блица 4.4
0,30
1,48
1,65
Таблица 4.5
Pi, МПа
(«аЛ
\ «02 /Э
^0,20
1,48
1,42
0,25
1,51
1,43
0,30
1,56
1,45
0,40
1,63
1,47
111

Интересно отметить, что на основании уравнения D.2) можно
показать, что отношение амплитуд колебаний объема кавитацион-
ной полости и давления на входе в насос при определенной ча-
частоте колебаний достигает максимального значения, существенно
* „ dVK
большего податливости кавитационнои каверны —=^9 соответст-
вующей установившемуся режиму. Кроме того, можно показать,
что кавитационные колебания могут возникать даже при нулевой
длине питающего трубопровода (режим неустановившейся кави-,
тации в межлопастных каналах). Действительно, дополним урав-
уравнение D.2) уравнением материального баланса жидкости для про-
точной части насоса —т^- = 6Q2 — 8Q1.
Далее положим 8Q2=0, поскольку для высокооборотных насо:
сов амплитуда колебаний расхода на выходе из насоса 8Q2 суще-
существенно меньше амплитуды колебаний расхода на входе в насос 8Q1.
Исключая из уравнения D.2) и уравнения материального
баланса отклонение расхода на входе в насос, получим
'к ш *к ш
где (оо = 1/ — у—1 собственная частота колебаний, Определяе-
Определяете 'к- ш
мая упругостью кавитационных каверн и инерционностью жид-
жидкости в межлопастных каналах.
С учетом /к ш динамические свойства осевого шнекового пред-
насоса, работающего в режиме частичной кавитации, описываются
дифференциальным уравнением второго порядка.
Отношение амплитуд колебаний объема кавитационнои полости
и давления на входе в насос достигает максимального значения,
существенно большего податливости кавитационнои каверны
dVK
—zA-, соответствующей установившемуся режиму, при частоте
dpi
колебаний, близкой к со0.
Таким образом, уточненная модель кавитационных колебаний
позволяет объяснить отличие в динамических и статических зна-
значениях коэффициентов усиления насоса по давлению [67].
Кроме того, при нулевой длине питающего трубопровода связь
между отклонениями давления и расхода на входе в осевой шнеко-
вый преднасос можно представить в виде
6pi R[bQu D.6)
где R{ — коэффициент линеаризованного гидравлического со-
сопротивления входного патрубка насоса»
112

Подставляя выражение D.6) в уравнение D.5) и учитывая
уравнение материального баланса жидкости для насоса, при 6Qa =
= 0 получим:
dt*
к__^_б1/к = 0.
Поскольку параметр В2 < 0, то в шнеко-центробежном на-
насосе могут возникнуть колебания (режим неустановившейся
кавитации в межлопастных каналах) даже при нулевой длине
питающего трубопровода.
Отметим, что кинетическая модель кавитационных колебаний
не объясняет этой характерной особенности кавитационных ко-
колебаний, обнаруженной экспериментально при испытаниях на-
насоса практически при нулевой длине питающего трубопровода
Aг = 0,08 м) [68].
Определим влияние инерционности жидкости в межлопастных
каналах шнека на отношение частот колебаний ^- на режиме
с интенсивными обратными токами (насос № 2, q — 0,27).
В табл. 4.6 представлены расчетные (без учета /к ш) и экспе-
экспериментальные отношения частот колебаний для различных дав-
давлений на входе в насос для трубопроводов 11г = 0,08 м и /12=
= 1,2 м.
Представленные результаты подтверждают ожидаемое умень-
уменьшение влияния параметра /к ш на отношение частот колебаний
с понижением входного давления.
Действительно, при наличии кавитационной полости перед
лопастями шнека отношение частот колебаний должно увеличи-
увеличиваться с понижением рг из-за увеличения объема кавитационных
каверн перед шнеком, упругость которых уменьшает (либо пол-
полностью устраняет) влияние /к ш на частоты колебаний.
Так, экспериментальное значение отношения частот колебаний
при рг = 0,16 МПа и расчетное значение без учета /кш состав-
составляют соответственно 2,32 и 2,34. Такая сходимость результатов
позволяет утверждать, что при развитой кавитационной полости
перед шнеком параметр /к ш не оказывает влияния на частоту
колебаний.
Таблица 4.6
ръ МПа
(°VwO2b
Kl/<*>02)P
0,16
2,32
2,34
0,26
1,94
2,34
0,36
1,80
2,34
0,46
1,67
2,34
0 В- В Пи^ипенкр
из

4.4. Сравнение теоретических
и экспериментальных зависимостей
частоты кавитационных колебаний
от давления на входе в насос
Из сопоставления теоретических и экспериментальных зави-
зависимостей частот кавитационных колебаний от давления на входе
в насос (рис. 4.14—4.16) следует, что:
—как по результатам испытаний, так и по расчетам получена
практически линейная зависимость частоты колебаний от давле-
давления на входе в насос; тангенс угла наклона зависимости частоты
колебаний от давления на входе в насос уменьшается с увеличе-
увеличением длины питающего трубопровода, частоты вращения вала
насоса, угла установки лопасти шнека, а также с уменьшением,
расхода через насос;
-—расчетные зависимости частот колебаний от давления на
входе в насос удовлетворительно согласуются с соответствующими
экспериментальными данными для коэффициентов режима q >
> 0,4 и длин питающего трубопровода 1Х > 1 м;
— с уменьшением длины питающего трубопровода до 0,08 м
наблюдается значительное рассогласование расчетных и экспери-
экспериментальных частот колебаний;
— расхождение между расчетными и экспериментальными
частотами колебаний существенно увеличивается для коэффици-
коэффициента режима q < 0,4, когда перед шнеком может наблюдаться
интенсивный обратный поток с образованием кавитационной по-
полости.
На тех же рисунках представлены
теоретические зависимости частот коле-
колебаний для режимов без обратных токов
с учетом /КшШ, определенные по фор-
формуле D.3). На основании сопоставления
этих результатов с экспериментальными
данными можно сделать вывод, что
учет инерционности жидкости в меж-
межлопастных каналах шнека позволяет
получить удовлетворительное согласо-
220
200
180
100
80
60
20
/
1 и
—
/'
А
/
У
у
— —
J
0,1 ОУ2
0,3 0Л
р1чМПа
Рис. 4.14. Расчетные и экспериментальные зави-
зависимости частоты кавитационных колебаний от
давления на входе в насос для различных длин
питающего трубопровода для насоса № 2 при
$ = 8° 09', п= л„ом, q=0,54
—"-—— расчет без учета /к. ш; с учетом
/к. ш; •» А, ¦ — эксперимент; ф, / —/t —0,079 м;
4, 2 — /t = 1,2 м; Ш, 3 — lt = 3,15 м
114

fSu,
60
50
40
30
20
10
/
I
/
/
a ¦
1
¦
1
/
/ /
Ж
V
^2
1
7G
?G
4G
30
10
//,
"A
У
/<'
%
/
/
/
V/
у-
/
1
/
//
/
/
0 0J 0,2 0,3 0,Щ,МПа
0J 0,2 0,3
G,4 G,5
ph МПп
Рис. 4.15. Расчетные и экспериментальные зависимости частоты гравитацион-
гравитационных колебаний от давления на входе в насос и режима работы (параметра q)
для различных углов установки лопасти шнека Р для насоса № 2 при п = пном:
» расчет без учета /к ш; с учетом /к ш;
А, / — Р = 8° 09', q = 0,54; *, 2 — р = 10° 10'; q = 0,42;
3 — р
— эксперимент;
8° 09', q = 0,27
Рис. 4.16. Расчетные и экспериментальные зависимости частоты кавитацион-
ных колебаний от давления на входе в насос для различных значений частоты вра-
вращения вала насоса для насоса № 2 при $ — 8° 09':
-"-—- — расчет без учета /к ш; с учетом /к ш; #, А — эксперимент; ф,
/ - л"= 0,82/tHOM; А, 2 - п = Ь11пНом
вание расчетных и экспериментальных частот колебаний для
малых длин питающего трубопровода.
Значительное расхождение между расчетными и эксперимен-
экспериментальными частотами колебаний на режимах с интенсивными об-
обратными токами в основном наблюдается при давлениях на входе
в насос ниже давления, при котором возникают кавитационные
каверны перед шнеком. Устранить это рассогласование без учета
упругости кавитационных каверн перед шнеком не представ-
представляется возможным.
Сложная гидродинамическая картина течения во входном пат-
патрубке шнеко-центробежного насоса, обусловленная обратными
токами из насоса -в питающий трубопровод, в настоящее время
не позволяет теоретическим путем определить суммарную упру-
упругость кавитационных каверн при наличии обратных токов. Поэтому
была предпринята попытка использовать экспериментальные за-
зависимости частот кавитационных колебаний от входного давления
и режима работы насоса для определения упругости и объема
кавитационных каверн [87 J. Результаты этой работы изложены
в следующем разделе. •
8* 115

4.5. Определение упругости и объема
кавитационной полости
Частота кавитационных автоколебаний *, форма которых бли-
близка к гармонической, незначительно отличается от собственной
(резонансной) частоты колебаний жидкости в системе шнеко-цен-
тробежный насос — трубопроводы.
Поэтому экспериментальные зависимости частот кавитацион-
кавитационных колебаний от входного давления и режима работы насоса
использованы для определения упругости и объема кавитацион-
кавитационных каверн [87], а затем установлено влияние режимных парамет-
параметров насоса и некоторых конструктивных параметров осевого
шнекового преднасоса на упругость кавитационных каверн.
Уравнение для определения собственных
частот колебаний жидкости в системе. Урав-
Уравнение для собственных частот колебаний жидкости в рассматрива-
рассматриваемой системе получим, воспользовавшись импедансным методом,
приведенным в Приложении. Учитывая, что при установившихся
автоколебаниях энергия, сообщаемая системе за счет положитель-
положительной обратной связи, равна энергии, рассеиваемой демпфирующими
сопротивлениями, частоту колебаний определим из условия равен-
равенства нулю мнимой части импеданса системы. Для определения
импеданса шнеко-центробежного насоса ** запишем исходные урав-
уравнения в отклонениях.
В связи с тем, что кавитационное сопротивление (параметр В2)
не оказывает заметного влияния на частоту кавитационных коле-
колебаний, связь между отклонениями объема 8VK и входного давле-
давления 6р± представим в виде bVK=^-z=!L8p1 или
dpi
^к. D.7)
к v
dVK
dpi
Уравнение для определения отклонения давления на выходе
из насоса
б/?2 = б/?! A + т) + s6Q2. D.8)
Уравнение движения несжимаемой жидкости в напорном
трубопроводе (без учета инерционных потерь давления ) ***
б/?2 = /?26Q2. D.9)
* Рассматриваются автоколебания вблизи границы области устойчивости.
** Более подробно вопрос определения импеданса шнеко-центробежного
насоса рассмотрен в гл. 8.
*** Для высоконапорных ш не ко-центробежных насосов влияние инерционных
потерь давления в напорном трубопроводе на частоту колебаний незначительно
из-за больших значений R2>
116

Решая совместно уравнения D.7)—D.9), а также C.2), приме-
применительно к установившимся колебаниям, получим входной импе-
импеданс насоса в виде
Z (/, ио) =-&- = -г- ! :— . D.10)
Согласно уравнению (П.20) импеданс системы (отношение комп-
комплексных амплитуд колебаний давления и расхода на выходе из
питающего бака) равен:
1 + m /со сх ,. ,
Учитывая, что амплитуда колебаний давления на выходе из
бака равна нулю, и полагая коэффициент затухания колебаний
для питающего трубопровода ах = 0 *, из уравнения D.11) по-
получим
ф J±_ tg i^L + __J _ ¦= 0. D.12)
Отделим в уравнении D.12) действительную и мнимую части
и приравняем их нулю:
СО
1 +m
-0. D.14)
Действительная часть импеданса системы характеризует рас-
рассеивание колебательной энергии демпфирующим сопротивлением
напорного трубопровода и при автоколебаниях вблизи границы
области устойчивости должна быть равна нулю. Кроме того, учи-
учитывая, что для высокооборотных насосов п < -б- , получим
А 2 S В\
следующее уравнение для определения собственных частот коле-
колебаний:
D.15)
* Коэффициент а1 не оказывает заметного влияния на частоту собственных
колебаний.
117

откуда параметр упругости кавитационных каверн будет равен
Б _^t «л_ D16
Используя экспериментальные зависимости частот кавитаци-
кавитационных колебаний от входного давления для различных режимов
работы насоса, можно в соответствии с уравнением D.16) устано-
установить зависимость упругости кавитационных каверн от входного
давления и режима работы насоса.
Для частот кавитационных колебаний, при которых —- <
< -^-, параметр упругости Вг будет равен
Bi^-coo/i. D.17)
Следует отметить, что условие -^ < -~ выполнялось для
всех частот кавитационных колебаний, зарегистрированных при
испытаниях различных шнеко-центробежных насосов.
Используя формулу для определения упругости кавитацион-
кавитационных каверн, при малых длинах питающего трубопровода получим:
(Формула D.18) записана с учетом того, что слагаемое ^ ' <
В то же время на режимах с обратными токами из-за возник-
возникновения кавитационной полости перед шнеком влияние /к#ш
й
на отношение частот колебаний — существенно уменьшается
(отношение частот — слабо зависит от входного давления).
\ со2 /
Поэтому на режимах с обратными токами при расчетах упругости
кавитационных каверн коэффициент /к ш принимался равным
нулю.
Экспериментальные зависимости частоты кавитационных ко-
колебаний и упругости кавитационных каверн от входного давле-
давления были определены для семи осевых шнековых преднасосов.
Значения шага винтовой линии s, наружного DH и внутреннего dB
диаметров шнека находились в пределах s = 0,025-^0,054 м,
DH = 0,056ч-0,12 м, dB - 0,026--0,063 м.
С целью обобщения упомянутых зависимостей (упругости ка-
кавитационных каверн от входного давления) для различных шнеков
и режимов работы введем безразмерную относительную упругость
кавитационных каверн.
Для этого воспользуемся числом кавитации в виде A.1а) и
предположим, что суммарный объем кавитационных каверн про-
пропорционален объему проточной части шнека Vm, где располагаются
каверны перед кавитационным срывом.
118

По результатам экспериментов отношение длины каверны перед
/ о 3
срывом к шагу решетки t составляет -f-
объем Vm равен
Уш ~ 2,3**5 (#н - rl) sin p
или
шаг винтовой линии.
[HI], тогда
D.19)
D.20)
где s
Относительный объем кавитационных каверн VK> который за-
зависит от числа кавитации и параметра режима q, определим из
следующего выражения:
2,3s (tf2-г2) '
D.21)
как
В этом случае упругость кавитационных каверн определится
w\
2,3s (*2-r2)
D.22)
dk
п аи
где В1 = -?у относительная упругость кавитационных ка-
каверн.
На рис. 4.17 представлены зависимости относительной упру-
упругости кавитационных каверн от числа кавитации k* для различ-
различных режимов работы шнеко-центробежных насосов. Число кави-
кавитации k* определялось с уче-
учетом экспериментальных значе-
значений входных давлений, соот-
соответствующих кавитационному
срыву насоса по второму кри-
критическому режиму:
Pi — Pi ср.
D-23) _й
Для режимов с обратными
токами полученные зависимости
Рис. 4.17. Зависимость относительной
Упругости кавитационных каверн от
числа кавитации для различных режи-
режимов работы насоса (параметра q):
I — Я = 0,52; 2 — q = 0,44; 3 — q = 0,35-
4 023
f
/ \
h
/
/
Е
0,05
П,Ш А*
119

соответствуют значениям чисел кавитации k*, меньшим числа
кавитации kl. п. ш, при котором исчезают (или возникают) кави-
тационные каверны перед шнеком.
Интересно отметить, что результаты многочисленных испыта-
испытаний различных по абсолютным размерам осевых шнековых пред-
насосов неожиданно обобщаются для подобных режимов одной
зависимостью. Полученные результаты позволяют установить
влияние режима работы насоса, угла установки лопастей шнека,
входного давления и частоты вращения вала насоса на упругость
кавитационных каверн.
Влияние режима работы. Из анализа результа-
результатов, представленных на рис. 4.17, следует, что с уменьшением
параметра q (увеличением угла атаки) параметр \Вг\ существенно
уменьшается, что объясняется увеличением суммарного объема
кавитационных каверн. Следует отметить, что влияние режима
работы насоса на упругость кавитационных каверн увеличивается
с понижением параметра q\ это объясняется, по-видимому, усили-
усиливающимся влиянием обратных токов на упругость кавитационных
каверн, расположенных перед лопастями осевого шнекового пред-
насоса.
Влияние входного давления и частоты
вращения вала насоса. С повышением входного дав-
давления и понижением частоты вращения вала насоса число кави-
кавитации увеличивается, а суммарный объем кавитационных каверн
уменьшается, при этом параметр \ВХ\ увеличивается.
Представленные на рис. 4.17 зависимости Вг = f (k*> q) можно
аппроксимировать следующей формулой:
а =
, D.24)
где
1 при q > 0,35;
1 + 30 (q — 0,35) при 0,35 < q < 0,45;
4 при q > 0,45.
Зависимость D.24) определена по результатам испытаний раз-
различных по абсолютным размерам осевых шнековых преднасосов
на режимах с обратными и без обратных токов в широком диапазоне
изменения параметра q, равном 0,2 — 0,6, при числах кавитации
&*, меньших числах кавитации kt. п. ш, при котором исчезают ка-
витационные каверны перед шнеком (для q < 0,5).
Интересно отметить, что с учетом инерционности жидкости в меж-
межлопастных каналах шнека наблюдается существенное отличие
статической и динамической упругости (или податливости) кави-
кавитационных каверн.
Действительно, без учета /к> ш отношение амплитуд колебаний
объема кавитационной полости и входного давления согласно
120

уравнению D.7) равно —~ = -g-. В этом случае статическая
1 8?к
и динамическая —=?- податливости кавитационных каверн
равны.
Получим уравнение для определения динамической податли-
податливости кавитационных каверн с учетом /к ш.
Принимая во внимание, что для высоконапорных шнеко-центро-
бежных насосов амплитуда колебаний расхода на выходе из
насоса существенно меньше амплитуды колебаний расхода на
входе в насос 6Q2 < 8Qb уравнение материального баланса
можно записать в виде
^ «'-«&• D-25)
Из решения уравнений D.2), D.25) применительно к установив-
установившимся вынужденным колебаниям (при В2 = 0) определим ди-
динамическую податливость кавитационных каверн
D.26)
Учитывая, что частота кавитационных колебаний равна
1 f ~ВЛ §VK 1 /« , /к ш \
Щ= V 1—Г7 у ПОЛуЧИМ —=г^ = "Я- 1 + -}Т^ .
" *1 "Г ук. ш орх Dl \ ll /
При малых длинах питающего трубопровода коэффициент /к ш
может быть соизмерим или превышать коэффициент инерционного
сопротивления питающего трубопровода. В этом случае на частоте
кавитационных колебаний динамическая податливость кавитаци-
кавитационных каверн будет значительно превышать статическую.
Таким образом, с учетом /к ш динамическая податливость
кавитационных каверн D.26) зависит от частоты колебаний и до-
достигает максимального значения на частоте вынужденных коле-
колебаний, равной о) = 1/ г^—.
Определение объема кавитационных ка-
каверн. Интегрируя уравнение D.24), получим
Если предположить, что при /г* —¦ оо объем VK —¦ 0 (как это
следует из решения задачи о кавитационном обтекании решетки
плоских пластин [98]), то постоянная интегрирования С будет
Равна нулю.
В действительности, объем кавитационной каверны VK —> 0
при конечных значениях &*, поэтому зависимость D.27) опреде-
121

как бы максимальное значение объема кавигГационной каве-
каверны при данном значении k*. Некоторая неточность определения
объема Ук, связанная с неточностью определения k*, при кото-
котором VK —-> 0, не оказывает влияния на определение частот кави-
тационных колебаний, значения которых зависят от упругости В1у
а влияет только на точность определения постоянной интегри-
интегрирования С.
4.6. Определение границ областей устойчивости
в плоскости параметров п — рх и п — ~к
В разд 3.2 приведено уравнение границы области устойчивости
системы шнеко-центробежный насос — трубопроводы в плоскости
параметров: кавитационное сопротивление при входе жидкости
в межлопастные каналы шнека В2 — кавитационная упругость Вг
#2 = *<1 Н
5 : •
Значения параметров Вх и В2 можно рассчитать по зависи-
зависимости объема кавитационных каверн от давления на входе и рас-
расхода через насос (см. также разд. 6.3).
D.28)
+ V(k + 2q cos2 a) - 4?2 (A + 1)] , D.29)
где G и a — коэффициент режима и угол атаки.
Непосредственное экспериментальное определение параме-
параметров Вг и В% связано с большими трудностями измерения объема
кавитационных каверн на режимах частичной кавитации. Поэтому
в плоскости этих параметров не представляется возможным сопо-
сопоставлять расчетные границы области устойчивости с эксперимен-
экспериментальными.
Экспериментальные границы областей устойчивости, как уже
указывалось, определяются в плоскости режимных параметров
насоса [67, 81], например, частота вращения вала насоса п —.
давление на входе в насос р19 частота вращения вала насоса
п — число кавитации k, относительный расход -^г давление
Чном
на входе в насос рх и др.
122

Уравнение границы области устойчивости позволяет опреде-
определить значения режимных параметров насоса, соответствующих
границам области устойчивости системы. Для этого необходимо
установить зависимость коэффициентов этого уравнения от ре-
режимных параметров.
Воспользовавшись выражениями D.28), D.29), определим за-
зависимость параметров Вг и В% от числа кавитации (входного дав*
ления), расхода и частоты вращения вала насоса:
[¦
,3z ~ -\ Г 2hK dhK dk
я ' / J tg a dk dpi
hi
daL
2hK dhK dk
tg a dk dp±
где
dk
dpi
da
dQ
[1+ nu{R*-r>) Г
Далее, принимая во внимание, что отношение скоростей
-~- < 1, слагаемым (—~-) > по сравнению с единицей, можно
пренебречь; с учетом и = nDn, получим:
Q а ~ п Л D.30)
где
4-, рн, z, RH, гв),
«к
' (
Ак
tga
tga У
dhK
dk
\ dR
' R
dR
R*
D.31)
_1
123

kH — число кавитации, рассчитанное по окружной скорости на
наружном диаметре шнека.
Число кавитации, углы атаки и установки лопасти шнека,
соответствующие текущему радиусу шнека, определяются следу-
следующими формулами:
или p=
Используя статическую напорную характеристику насоса вида
рн = an2 + bnQ + cQ\
получим выражения для тангенсов угла наклона s
s = Щ ™ Ъп + 2cQ = Q [b (-| + 2с)] D.32)
и коэффициента линеаризованного гидравлического сопротивления
напорной магистрали R2
=2[a Ш+ь (т)+{с ~ а±)\ ^ D>33)
где ах = рб_2 р1 коэффициент характеристики питающего
трубопровода.
Коэффициент линеаризованного гидравлического сопротив-
сопротивления питающей магистрали равен R1 = 2a1Q.
При снижении входного давления кавитационные колебания,
как правило, существуют в диапазоне изменения р1у когда нет
заметного изменения напора насоса, при этом тангенс угла на-
наклона касательной к кавитационной характеристике насоса т = 0.
В некоторых случаях кавитационные колебания могут наблю-
наблюдаться при давлениях рг < ри, где ри—давление на входе,
соответствующее первому критическому режиму. В этом случае
тангенс угла наклона т можно определить с помощью универ-
универсальной кавитационной характеристики насоса [111], используя
Ш Д
зависимости 4*-=/Ш, ^-/Д), бк = /Я), где
AAIf ААП — кавитационный запас насоса, соответствующий
первому и второму критическому режимам; бн = т~ п -100% —
относительное падение напора насоса при переходе с первого
на второй критический режим.
П I
124

С учетом полученных выражений D.30)—D.34) условие на
границе области устойчивости можно записать в виде
nf2 (к -5- > Рн> г, Дн, гв) - — 2ax
, 4.
/i (*.,•§-. Р.. г. R,, г.) - - 2% 4 +
\ п I п
Q
Экспериментальные границы областей устойчивости в пло-
плоскости режимных параметров частота вращения вала насоса —
давление на входе в насос рг и частота вращения вала насоса_—
, О
число кавитации k определяются при постоянных значениях -тг-.
п
Согласно выражению D.35) теоретическая граница области
устойчивости в плоскости параметров частота вращения вала
насоса — число кавитации не зависит от частоты вращения вала
насоса *.
Из решения уравнения D.35) можно определить значения чисел
кавитации, соответствующие границе области устойчивости. Рас-
Расчеты зависимостей параметров Вг и В% от числа кавитации пока-
показали, что могут быть два значения числа кавитации, при которых
выполняется условие на границе устойчивости D.35). Большее
значение соответствует достаточно высокому входному давлению,
при котором зарождается неустойчивость, меньшее — входному
давлению, при котором автоколебания прекращаются и которое
в большинстве случаев близко к давлению кавитационного срыва
насоса.
На рис. 4.18, 4.20 представлены экспериментальные границы
областей устойчивости (точнее — областей существования авто-
автоколебаний) центробежного насоса № 2 с осевым шнековым пред-
насосом постоянного 'шага в плоскости параметров — р1
Для двух режимов по расходу: q = 0,54 и ^=0,27. На рис. 4.19 и
4.21 эти границы представлены в плоскости параметров — k.
Ином
Этот важный вывод был лолучен в 1970 г. и опубликован в работе [80].
125

Светлые кружки означают устойчивый, темные — автоколебатель-
автоколебательный режим работы насоса. Кружки, затемненные наполовину,
соответствуют режимам, на которых имеются отдельные участки
с колебаниями неустановившейся амплитуды. Цифры на границах
областей устойчивости представляют частоты кавитационных авто-
автоколебаний.
Из приведенных экспериментальных данных (см. рис. 4.19 и
4.21) следует, что границы области устойчивости в плоскости пара-
— Ъ не зависят от частоты вращения вала насоса,
метров
Яном
т. е. при изменении параметра п число кавитации на границе об-
области устойчивости сохраняется постоянным. С уменьшением
расхода область существования автоколебаний расширяется и
при q = 0,27 колебаний наблюдаются до кавитационного срыва
насоса
На рис. .4.19 и 4.21 штриховыми линиями нанесены также рас-
расчетные границы области устойчивости (в плоскости параметров
Яном
— k). Верхние расчетные границы областей устойчивости
лежат намного выше экспериментальных
:8,5 и 11 при
q = 0,54 и 0,27, соответственно).
Столь большие расхождения в положении верхних границ
областей устойчивости системы, определенных теоретически и
pft МП а
0,3
ОЛ
0,1
0
о
о
о /
о
Q
0
0 у
•
^—
с
с
50
f i
{
i
V
1
-—t—
Q
о
0 /
/
/
—•
•
—•—,—
•
-—-
о
К
0,65
0.10
0,05
0
0,6
LULU MU
-^"^-
О
•
rrr ттг
о,
tUJJJJ LU LU.
о
Щ5
•
•
77/77/77
8
UJLL
1
§50
4
4
4
/77
ими
о
•
•
•
ГТТ ГГТ Г77
0
П/ПИОМ
0,8
п/пном
Рис. 4.18. Экспериментальные границы области устойчивости системы шнеко-
центробежный насос—трубопроводы в плоскости параметров п/ппом—Pi для
насоса М 2 при q = 0,54
Рис. 4.19. Расчетные (штриховые линии) и экспериментальные (сплошные
линии границы областей устойчивости системы в плоскости параметров п/пном—k
для насоса № 2 при q = 0,54
126

0,5
0,2
Ц/
О
о
У
w
20
0,6
Фно.
/,/G
ILL ILL JJ.
О
•
ULL U1JJJ.LL
° j
• :
о <
LULULU ILL
j> О
125 оЗО
> С
( <
i
0,6
0,8
1,0 п/пн
Рис. 4.20. Экспериментальная граница области устойчивости системы в плос-
плоскости параметров п//гном —Pi для насоса № 2 при q = 0,27
Рис. 4.21. Расчетная (штриховая линия) и экспериментальная (сплошная
линия) границы областей устойчивости системы в плоскости параметров
п/Пном—k для насоса № 2 при q = 0,27
экспериментально, указывают на несовершенство теоретической
модели кавитационных автоколебаний. Это обстоятельство сти-
стимулировало разработку уточненной квазистационарной модели
(гл. 6) и нестационарной модели кавитационных автоколебаний
(гл. 7).
В плоскости параметров -~ — рг должна наблюдаться следу-
следующая зависимость входного давления, соответствующего границе
области устойчивости /?fr, от частоты вращения вала насоса:
D.36)
Согласно уравнению D.36) граница области устойчивости рас-
рассматриваемой системы в плоскости параметров — р± пред-
представляет собой параболу. "H0M
Возможно, что наблюдаемый по результатам экспериментов
близкий к линейному , характер зависимости р\г = f ( п ) на
границе области устойчивости связан, с одной стороны, ссГсрав-
ссГсравнительно узким диапазоном изменения параметра я, ас другой —
с малой кривизной зависимости р*г = / (—- ).
127

На границе области устойчивости в плоскости параметров
— k должна иметь место линейная зависимость частоты коле-
колебаний от частоты вращения вала насоса.
Действительно, учитывая, что на границе области устойчи-
устойчивости k* = const из приближенной формулы для частоты колеба-
ний на границе области устойчивости со2 я^ -^- следует, что
<* = т&У--^i^' D-37)
т. е. частота колебаний на границе области устойчивости линейно
зависит от частоты вращения вала.
Определив отношение из D.36) и подставив его в D.37),
Яном
получим
-1Г~!" > ' D-38)
откуда следует, что на границе области устойчивости при kl =
const частота колебаний пропорциональна корню квадратному из
разности давления на входе, соответствующего границе, и давления
насыщенных паров (со* ~ у р\г — рп J.
На рис. 4.22 представлены зависимости отношения частот коле-
колебаний —— от отношения (сплошная линия) и отношения
"ном %ом
Р\ — р
-, определенные по формулам D.37), D.38), там же нане-
Рнм Рп
сены и экспериментальные точки. Сходимость теоретических и
экспериментальных результатов удовлетворительная.
Решая уравнение D.35) для различных значений отношения
4i-, можно определить границу устойчивости в плоскости пара-
п
при n = const — в плоскости параметров
о
Отметим, что поскольку теоретические и экспериментальные
границы областей устойчивости при 4i- = const не зависят от
п
параметра п, при экспериментальном исследовании устойчивости
системы шнеко-центробежный насос — трубопроводы испытания
целесообразно проводить не при различных п для -~ = const,
п
а при различных Q.
128

ph МПа
4.8
3,2
2h
1,6
0,8
0,25
/0,50 0,75 1,0Q
Фном> Pi 'Рп/Pihom ~Pn
X
X
Д2 0,4
0,6
0,8
Рис. 4,22. Зависимости относительной частоты колебаний на границе области
устойчивости со /соном от параметра п/пяом (о —эксперимент;
расчет) и параметра -^-
Р
(А — эксперимент; расчет)
Pluou~~Pn
Рис. 4.23. Расчетные границы области устойчивости системы шнеко-центро-
бежный насос—трубопроводы в плоскости режимных параметров Q/QUOM—Pi
для насоса М 2 при п = пном
Расчетная граница области устойчивости в плоскости параме-
параметров относительный расход -—¦ давление на входе в насос рг
<Люм
для рассматриваемого насоса показана на рис. 4.23. Количествен-
Количественного согласования расчетных границ с экспериментальными
в свете сказанного выше ожидать не приходится, но в качествен-
качественном плане следует отметить, что с уменьшением расхода через
насос область неустойчивой работы системы расширяется.
Уравнение D.35) в качественном плане позволяет выяснить
влияние параметров осевого шнекового преднасоса Ra,rB, p,z на
устойчивость работы шнеко-центробежного насоса по отношению
к кавитационным колебаниям в заданном диапазоне изменения
режимных параметров.
4.7. Исследование границ
области устойчивости
при постоянной частоте вращения
вала насоса
На основании результатов испытаний по определению кавита-
Ционных (при различных расходах) и внешних (при различных
входных давлениях) характеристик определялись границы устой-
9 В. В. Пилипенко
129

чивой работы насоса при постоянной частоте вращения вала
насоса п = const в координатах относительный расход -^
_ чном
входное давление pL.
На рис. 4.24, 4.25 показаны экспериментальные границы устой-
устойчивой работы насосов № 1 и № 2 с исходными шнеками (углы
установки лопастей равны 8°9') в координатах -=Я /^.Темные
точки обозначают режимы с кавитационными автоколебаниями,
светлые — устойчивые режимы.
Для насоса № 1 область существования кавитационных авто-
автоколебаний в плоскости указанных параметров имеет треугольную
форму: с увеличением расхода область сужается. Именно такой
форме области существования автоколебаний соответствует прямо
пропорциональная зависимость частоты кавитационных автоко-
автоколебаний от среднего значения входного давления рх.
Описанная форма области неустойчивости работы шнеко-
центробежного насоса соответствует теоретическим представле-
представлениям, изложенным в разд. 4.6, которые исходят из того, что центро-
центробежное колесо насоса работает в бескавитационных условиях.
Для насоса № 2, центробежное колесо которого при номиналь-
номинальном расходе работает в режиме частичной кавитации, выявлено
/?/, МПа
0,2
0,1
)
О
О
и
•
•
•
:
•
\ 1
<
i i
/ ,.
Г ::
> /о
'/1
/ |
W QIQhom
/7,4
0,5
0.8
Q/QHl
Рис. 4.24. Экспериментальные границы области устойчивости системы в пло-
плоскости параметров Q/Qhom—Pi для насоса М 1 с углом установки лопасти шнека
р = 8° 09'
Рис. 4.25. Экспериментальные границы области устойчивости системы в пло-
плоскости параметров Q/QHom—Pi для насоса № 2 с углом установки лопасти шнека
р = 8°09'
130

Рис. 4.26. Экспериментальные границы Ри
области устойчивости системы в пло- 0,5
скости параметров Q/QHOm~Pi для на-
насоса № 2 со шнеком переменного шага
отличие формы области неустой-
неустойчивости от описанной выше.
В частности, область неустой-
неустойчивости системы с увеличением
расхода сужается, а затем рас-
расширяется и смещается в сто-
сторону больших входных давле-
давлений. Расширение области не-
неустойчивости при Q > 0,8QHOM
объясняется влиянием кавита-
ционных каверн в центробеж-
центробежном колесе на устойчивость си-
системы. Это подтверждается следующими данными.
Во-первых, как показали расчеты, центробежное колесо насоса
№ 2 при Q > 0,8QHOM из-за уменьшения напора шнека с увеличе-
увеличением расхода работает в режиме частичной кавитации.
Во-вторых, именно для насоса № 2 при Q = QH0M зависимость
частоты колебаний от входного давления имеет излом при опре-
определенном рг с уменьшением почти до нулевого значения тангенса
угла наклона — рис. 4.3, а на режиме Q = 1,2QHOM частота кави-
тационных колебаний практически не зависит от рг.
Далее испытания насоса № 2 со шнеком с переменным шагом
(шаг на входе оставался таким же, как и у исходного шнека, а на
выходе для увеличения напора был увеличен до 0,04 м) позволили
устранить указанные выше отличия формы границы области устой-
устойчивости (рис. 4.26).
При испытании насоса № 2 со шнеком постоянного шага, но
с увеличенным углом установки лопасти для повышения напора
до 10°10/, также не обнаружено описанных выше отличий.
Наконец, уменьшение угла установки лопасти до 6°, в отличие
от насоса № 1, для которого аналогичное уменьшение привело
к стабилизации системы, для насоса № 2 из-за недостаточного
напора шнека для обеспечения бескавитационных условий работы
Центробежного колеса привело к существенному расширению
области неустойчивой работы. Эти результаты по определению
границ^областей устойчивости представлены в плоскости параме-
Tp0Bi -i»i (рис- 4-27)-
Для выяснения влияния основных конструктивных параметров
шнека на возникновение кавитационных автоколебаний прово-
проводились испытания насоса № 1 с различными шнеками, которые
личались углами установки лопасти, значениями наружного
А аметра шнека и числом заходов шнека.
131

Влияние угла установки лопасти. Из срав-
сравнения границ (рис. 4.28) следует, что уменьшение р с 8° 10' до
6°52' оказало значительное стабилизирующее влияние на устой-
устойчивость системы: область существования автоколебаний значи-
значительно уменьшилась и по входному давлению и по расходу, авто-
автоколебания наблюдаются только на расходах Q < 0,8QHOM.
Стабилизирующее влияние уменьшения угла установки ло-
лопасти проявляется для шнеко-центробежных насосов, центро-
центробежные колеса которых работают в бескавитационных условиях.
Как указывалось выше, если центробежное колесо работает в ре-
режиме частичной кавитации, то уменьшение угла может привести
к дестабилизации системы.
Увеличение угла установки лопасти от значений, обеспечива-
обеспечивающих бескавитационные условия работы центробежного колеса,
приводит к расширению области неустойчивой работы системы
и это согласуется в качественном отношении с теоретическими ре-
результатами (см. гл. 3).
Влияние наружного диаметра шнека.
Уменьшение наружного диаметра шнека с 0,12 до 0,11 м (при со-
сохранении величины зазора между наружным диаметром шнека и
корпусом насоса) также оказало существенное стабилизирующее
влияние на устойчивость системы: область неустойчивой работы
Р,, МПа
0,6
0,5
0,3
0,2
0,1
1
J/
/
V
1
У
•
•
Л
•
•
•
о
),, МПа
0,5
0,3
0,2
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 V
д
•\
N
j
\
\
\
\
А
ч
0.6
f,0 Q/Qhom
Рис. 4.27. Экспериментальные границы области устойчивости системы в пло-
плоскости параметров п/пНОм—Pi для насоса № 2 с углом установки лопасти шнека
р== 6°
Рис. 4.28. Экспериментальные границы областей устойчивости системы в пло-
плоскости параметров Q/QHom—Pi при углах установки лопасти шнека насоса № 1
Р = 8° 10' {сплошные линии) и $ = 6° 52' (штриховые линии)
132

7,, МПа
0,5
0,1
д
о
к
ч
i
,
>
0,0 0,8 1,0 1,2 QlQ,im
Рис. 4.29. Экспериментальные границы областей устойчивости системы в пло-
плоскости параметров Q/QHOm—Pi при наружном диаметре шнека насоса М 1 DR =
= 0,12 м (сплошные линии) и Dn= 0,11 м (штриховые линии)
Рис. 4.30. Экспериментальные границы областей устойчивости системы в пло-
плоскости параметров Q/QKOM = j)t при числе заходов шнека насоса № 1 г— 2 (сплош-
(сплошные' линии) и г— 1 (штриховые линии)
уменьшилась по р1э но не столь сильно, как при уменьшении |3
до 6°52' (рис. 4.29).
Здесь также необходимо иметь в виду, что этот результат по-
получен для насоса, центробежное колесо которого работает в бе-
скавитационных условиях. Для насоса № 2 аналогичное умень-
уменьшение наружного диаметра, возможно, привело бы к дестабили-
дестабилизации системы. Указанное выше стабилизирующее влияние умень-
уменьшения наружного диаметра шнека предсказывает и теоретическая
модель (см. гл. 3).
Влияние числа заходов шнека. Уменьшение
числа заходов шнека до одного оказало незначительное и неодно-
неоднозначное влияние на границы устойчивости:
при Q < 0,9QHOM область устойчивости несколько уменьшилась,
а при Q> 0,9QHOM — несколько увеличилась (рис. 4.30).
Существенного влияния указанных изменений конструктивных
параметров шнека на антикавитационные качества насоса не об-
обнаружено.
4.8. О возможности повышения
устойчивости системы по отношению
к кавитационным колебаниям
Согласно условию устойчивости C.8а) для стабилизации си-
системы необходимы такие конструктивные изменения осевого
шнекового преднасоса, которые обеспечивали бы уменьшение
133

линеаризованного отрицательного кавитационного сопротивления
\В2\ и увеличение упругости кавитационных каверн \В1\. При
этом в большинстве случаев определяющую роль должны играть
такие конструктивные изменения, которые уменьшают значение
| В21- Эти теоретические результаты были подтверждены экспери-
экспериментальными исследованиями влияния конструктивных пара-
параметров шнека на устойчивость системы (см. разд. 4.7). В частности,
уменьшение наружного диаметра шнека (при сохранении величины
радиального зазора) и угла установки лопасти приводит к умень-
уменьшению |В2| и увеличению |Bi|, при этом устойчивость системы
повышается. Увеличение числа заходов шнека вызывает увели-
увеличение | Вг | и не оказывает влияния на | В21. В этом случае наблю-
наблюдается слабое стабилизирующее влияние увеличения числа за-
заходов на устойчивость системы.
Конструктивные параметры шнека выбираются из условия
обеспечения высоких антикавитационных качеств высокооборот-
высокооборотного шнеко-центробежного насоса. В то же время установленное
направление изменения конструктивных параметров шнека для
стабилизации системы в конечном счете приводит к снижению
напора шнека *. Это может оказаться недопустимым с точки зре-
зрения обеспечения бескавитационных условий работы центробеж-
центробежного колеса. Заметим, что при возникновении кавитационного
режима работы центробежного колеса дальнейшие изменения
конструктивных параметров шнека с целью стабилизации системы,
как правило, не приводят к желаемому результату, так как в этом
случае существенное дестабилизирующее влияние на устойчивость
системы могут оказывать кавитационные явления в центробежном
колесе (см. разд. 4.7). В подобных случаях задача обеспечения
устойчивости значительно усложняется и возникает необходимость
в разработке специальных средств подавления кавитационных
колебаний. Как следует из теории, возможные направления повы-
повышения устойчивости системы связаны с изменением конструктив-
конструктивных параметров входной части шнека, которые оказывают опреде-
определяющее влияние на параметры В2 и Вг, и с увеличением коэффи-
коэффициентов гидравлического и инерционного сопротивлений питаю-
питающего трубопровода.
Представленные результаты позволяют сделать важный вывод
о том, что к выбору конструктивных параме-
параметров шнека необходимо подходить нетолько
с точки зрения обеспечения высоких анти-
антикавитационных качеств шнеко-центробеж-
шнеко-центробежного насоса, но и с точки зрения обес-
обеспечения устойчивости системы по отноше-
отношению к кавитационным колебаниям.
* Число заходов выбирается оптимальным и его увеличение может привести
к существенному увеличению потерь напора,
134

Глава 5
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ
РАЗВИТЫХ КАВИТАЦИОННЫХ
АВТОКОЛЕБАНИЙ
5.1. О методике обработки
результатов испытаний
С целью экспериментального изучения развитых кавитацион-
ных автоколебаний в системе шнеко-центробежный насос — трубо-
трубопроводы проводились лабораторные испытания насоса № 2 при
расходах, существенно меньших номинального (т. е. на режимах
недогрузки).
Испытания проводились по обычным программам снятия внеш
них (в широком диапазоне изменения расхода с охватом области
нерасчетных режимов Q < QH0M) и кавитационных характеристик
насоса (на режиме Q я^ 0,5QHOM), но с дополнительными замерами.
Индуктивными датчиками давления ДД-10 на «бобышках» про-
производились замеры давления на входе в насос, между шнеком и
колесом (в точке на периферии шнека вблизи выхода, рис. 5.1)
и на выходе из насоса, причем последний замер осуществлялся
с частичной компенсацией сигнала, как это обычно делается при
регистрации малых отклонений величин, когда их абсолютные
значения достаточно велики. Сигналы датчиков давления, преоб-
преобразованные блоком питания и усилителем, записывались осцилло-
осциллографом.
Кроме того, дополнительно измерялся секундный объемный
расход воды на входе в насос, причем по способу замера этого
расхода испытания можно разделить на две группы:
а) с замером расхода Q1 датчиком турбинного типа («вертуш-
(«вертушкой»);
б) с замером расхода Qx быстродействующим датчиком (основ-
(основная часть испытаний).
Следует отметить, что датчик расхода турбинного типа служит
Для измерения установившегося значения расхода и не предназ-
предназначен для измерения мгновенных значений расходов и, в частности,
Колебаний расхода, даже низкочастотных, но значительной амп-
ЛИтУДы и негармонической формы. И все же использование дат-
датчика турбинного типа с постоянной времени Тр < 0,003 с, кото-
135

Рис. 5.1. Схема замера давления ме-
между шнеком и колесом:
1 — шнек; 2 — центробежное колесо;
3 — корпус насоса; 4 — канал для за-
замера давления
рая оценивалась по экспе-
экспериментальным данным * поз-
. , волило, как будет показано
ниже, получить первоначаль-
первоначальные данные об изменении объема кавитационной полости в на-
насосе в процессе автоколебаний с приемлемой точностью.
С учетом постоянной времени «вертушки» можно ввести по-
поправку на ее инерционность, представляя связь между действи-
действительным <31д и замеренным Ql3 значениями расхода в виде QlA =
= Гр
^1
+ Ql3. Пример записи расхода этими датчиками пока-
показан на рис. 5.2.
0В-500Ги,
Рис. 5.2. Осциллограмма с развитыми кавитационными автоколебаниями:
рб = 0,14 МПа; Q/QHQM = 0,5; f = 9,26 Гц
* Постоянная времени расходомера Тр как инерционного звена первого
порядка в режиме развитых кавитационных автоколебаний оценивалась по
продолжительности переходного процесса — резкого уменьшения расхода Qt
(в некоторых случаях — до нуля) непосредственно после резкого возрастания
входного давления и составляла ^0,01 с.
136

Статическая характеристика быстродействующего датчика не-
нелинейна и может быть аппроксимирована зависимостью вида
Qi@ == у —-^~> где Qx (t)—мгновенное значение расхода; h(t)—
ордината осциллографической записи расхода; а — коэффициент
пропорциональности.
Точность датчика в установившемся режиме не хуже, чем
у электроиндукционных расходомеров, а чувствительность к га-
газовым включениям меньше, чем у турбинного расходомера. Диа-
Диапазон измерения QmaJQm[n = 5. В диапазоне частот до 150 Гц
датчик фактически не искажает синусоидальный сигнал. Поэтому
для расшифровки осциллографической записи колебаний входного
расхода использовалась статическая характеристика датчика.
Для построения ее на осциллограммах выбирались эксперименталь-
экспериментальные точки, соответствующие участкам устойчивой работы насоса
на различных расходах, значения которых определялись с помо-
помощью расходомерного сопла в напорной магистрали. Полученная
таким образом характеристика соответствовала условиям работы
датчика при испытаниях насоса.
В режиме автоколебаний изменение во времени объема кави-
тационной полости в проточной части насоса определяется инте-
интегрированием уравнения материального баланса жидкости
t
VK (t) = \ [Q2 (t) - Q± (t)} dt + VK @). E.1)
Начальное значение объема кавитапионной полости VK @)
определяется по расчетной зависимости VK = f (k, Q) или по
аналогичной экспериментально-расчетной зависимости (на режи-
режимах с обратными точками). За нуль времени целесообразно при-
принять момент, соответствующий максимальному значению («пику»)
входного давления: в этом случае объем VK @) будет минималь-
минимальным и неточность его определения меньше скажется на зависи-
зависимости VK(t).
Как показывает опыт, при расчетах изменения во времени
объема кавитационной полости по уравнению E.1) требуется вы-
высокая точность определения расходов Qx (t), Q2 (t) на входе и
выходе из насоса.
Расход на выходе Q2 при коротком напорном трубопроводе
можно рассчитать по формуле
Р2—Р6
где р2 — среднеинтегральное значение давления на выходе из
насоса на участке расшифровки, так как инерционность короткого
входного трубопровода не оказывает заметного влияния на вели-
величину расхода Q2(t).
. ' 137

Расчеты показали, что при испытаниях на стенде насоса № 2
среднеинтегральное значение расхода на выходе из насоса с точ-
точностью до сотых долей соцпадает со значением установившегося
расхода через насос, измеренным с помощью нормального сопла.
Основная трудность заключается в достаточно точной рас-
расшифровке расхода Qb так как погрешность в его определении
приводит к тому, что при расчете зависимости объема кавитацион-
кавитационной полости, отнесенного к объему проточной части шнека, VK (t)
в автоколебательном режиме уровни минимальных и максимальных
значений объема кавитационной полости располагаются не на
горизонтальных, а на наклонных прямых (рис. 5.3, кривая /).
Поэтому при расшифровке текущих значений расхода следует
вводить поправку, требуя равенства среднеинтегральных значе-
значений (за период колебаний) расходов на входе и выходе из насоса:
« кТ kT
О О
где Т — период колебания; k — число полных периодов коле-
колебаний.
Расшифровка записи расхода на входе в насос Qx (t) произ-
производится, как уже указывалось, по статической тарировочной
характеристике датчика расхода, которую можно аппроксимиро-
ровать формулой Q1^y-^-9 где h — ордината записи рас-
расхода на осциллограмме в мм, Qx — расход на входе в насос в м3/с.
На рис. 5.3 (кривая 2) показана зависимость VK (t) после ком-
компенсации погрешности замеренного расхода Q± [19].
В результате расшифровки осциллографических записей ка-
витационных автоколебаний строились графики изменения во
времени следующих параметров насоса: давлений на входе р19
между шнеком и колесом р2ш, на выходе из насоса р2, расходов
на входе Qx и выходе из насоса Q2, объема кавитационной поло-
полости VK, напоров шнека рш, центробежного колеса рК и насоса
в целом рн, причем последние определялись по очевидным соот-
соотношениям рш (t) = р2ш (t) — рл (*), рк (t) = р2 (t) — р2ш (О,
Следует отметить, что экс-
экспериментально определялись
условные напоры шнека (см.
Рис. 5.3. Изменение во времени отно-
относительного объема кавитационной
полости VK:
1 — до компенсации погрешности в
расшифровке расхода; 2— после ком-
компенсации погрешности в расшиф-
расшифровке
138
/
N
/
/
J
к
\
J
^\
\
0,06 0,12 0,18 0,74 0,30 0,36 t^O

рис. 5.1., поз. 4) и центробежного колеса, несколько отличаю-
отличающиеся от действительных [111]. Однако при дальнейшем ана-
анализе это обстоятельство существенной роли не играет.
Программа математической обработки цифрового материала, которая исполь-
использовалась для расшифровки записей автоколебательных режимов работы насоса,
позволяет произвести гармонический анализ любого параметра, значения кото-
которого снимаются с осциллограммы. С помощью анализа сглаживались эксперимен-
экспериментальные кривые, содержащие высокочастотные помехи (как правило, гармони-
гармоническому анализу подвергались записи колебаний давления на выходе из насоса
и реже — давления между шнеком и колесом).
5.2. Характерные особенности
развитых кавитационных автоколебаний
При снятии внешних и кавитационных характеристик насосов
на нерасчетных режимах (при пониженных входных давлениях
и расходах) могут наблюдаться автоколебания, форма которых
значительно отличается от гармонической. При этом для автоко-
автоколебаний входного давления характерно чередование пиков дав-
давления и близких к горизонтальным участков минимального дав-
давления. Такие кавитационные автоколебания будем называть
развитыми.
С целью изучения развитых кавитационных автоколебаний
были проведены испытания насоса № 2 (с замером расхода на
входе в насос датчиком турбинного типа)
На рис. 5.4 и 5.5 приведены характерные осциллограммы раз-
развитых кавитационных автоколебаний, полученных на нерасчетных
режимах работы насоса (рб = 0,15 МПа, Q/QliOU = 0,53 и р6 ¦=
= 0,2 МПа, Q/Qhom = 0,326, при этом частота автоколебаний
составляла, соответственно, 8,46 и 13 Гц.
На рис. 5.6—5.8 показаны полученные при ручной расшифро-
расшифровке указанных осциллограмм (без применения гармонического
анализа) кривые изменения во времени параметров Pip2m> P2»
Phi Рк» Ршу Qi> Q2 и ^к» отнесенные к их максимальным значениям
в автоколебательном режиме.
Представленные экспериментальные данные позволяют выя-
выявить следующие характерные особенности развитых кавитацион-
кавитационных автоколебаний.
Амплитуда колебаний (см. рис. 57) расхода на входе в насос
значительно превышает амплитуду колебаний расхода на выходе
из насоса —=- > ]
Имеется существенное отличие в форме колебаний давления
на входе и выходе из насоса (см. рис. 5.4 и 5.7): характер
изменения давления на выходе из насоса ближе к гармоническому,
на входе в насос чередуются почти горизонтальные участки мини-
минимального давления и острые (напоминающие гидроударные) пики
Давления.
139

lillllllUIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIillllllllll
Рис. 5.4. Осциллограмма с развитыми кавитационными автоколебаниями
рб = 0,15 МПа; Q/QH0M = 0,53; / = 8,46 Гц
0В-500Гц
Рис. 5.5. Осциллограмма с развитыми кавитационными автоколебаниями
рб = 0,2 МПа; ~Q/QHOU = 0,326; f = 13 Гц
140

р*
О 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 t,c
Рис. 5.6. Развитые кавитационные автоколебания (расшифровка осциллограммы
рис. 5.4):
¦-Рш; -О-О-О Рн; -А-л-Д рк; -//-// VK;
относитель-
относительный размах колебаний указанных параметров • l max 1 тт составляет: ^0,98; ^0,15;
xl max
^0,14; ^0,94
На участках минимального входного давления, значение ко-
которого примерно равно давлению кавитационного срыва насоса
при данном значении Q, происходит не срыв напора насоса, а сни-
снижение давления на выходе из насоса до ^0,85 р2ном> затем восста-
восстановление его да прежней величины.
Таким образом, на участке минимального входного давления
в течение периода колебаний давление на выходе из насоса (напор
насоса) не зависит от давления на входе в насос.
Рг
Ргш
О 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Ь,с
Рис. 5.7. Развитые кавитационные автоколебания (расшифровка осциллограммы
рис. 5.4):
-V-V-V 5»; ^-А-А-А Q2; -¦-¦-¦ рх\ -х-Х-Х
Р2ш» —• — • — • р2; относительный размах колебаний указанных параметров
составляет: ^0,70; ^0,09; ^0,90; ^1,0; ^0,16
141

0,05 0,10 0,15 0,20
Рис. 5.8. Развитые кави-
тационные автоколебания
(расшифровка осцилло-
осциллограммы рис. 5.5)
О—о—о—о рн;
—//—// V ; относитель-
относительный размах колебаний ука-
указанных параметров состав-
составляет ^0,14; ^1,0
Напор насоса в целом, как и осевого шнекового преднасоса,
на участках минимального входного давления определяется
объемом кавитационной полости (см. рис. 5.6). Действительно,
максимальному объему кавитационной полости соответствует
минимальный, близкий к нулевому, напор шнека и минимальный
напор насоса (колеса). Минимальному объему кавитационной по-
полости соответствует максимальный напор шнека, но напоры
насоса и колеса достигают максимального значения несколько
раньше.
Таким образом, колебания напора шнека и объема кавитаци-
кавитационной полости происходят в противофазе; колебания давлений
Рь Р'2ш» р2 происходят в фазе, максимум напора насоса (колеса)
опережает минимум объема кавитационной полости.
В режиме развитых кавитационных автоколебаний периодиче-
периодически происходит полный срыв напора шнека, а напор насоса при
этом уменьшается максимум на 15%. Кавитационные автоколеба-
автоколебания, в процессе которых периодически происходит полный срыв
напора шнека, в дальнейшем будем называть полностью
развитыми кавитац ионными автоколеба-
автоколебаниями.
Началу восстановления напора шнека и его полному срыву
соответствуют различные значения объема кавитационной полости:
напор шнека начинает восстанавливаться при объеме Ук, меньшем
того значения, которое соответствует полному срыву рш. Таким
образом, хотя напор шнека и определяется объемом VK, однако
в течение одного периода колебаний существует неоднозначная
зависимость напора шнека от объема кавитационной полости.
Указанная неоднозначная зависимость требует отдельного рас-
рассмотрения.
После полного срыва напора шнека наблюдается дальнейшее
снижение напора насоса, которое может быть объяснено последу-
последующим увеличением кавитационных каверн в проточной части
центробежного колеса. Это подтверждается согласованием во
142

времени максимума объема кавитационной полости с минимумом
напора насоса.
В работе [54] при исследовании переходных процессов в гид-
гидравлической системе с центробежным насосом, сопровождающихся
развитой кавитацией в центробежном колесе, обнаружено, что
напор насоса однозначно (при -е- = const определяется объемом
V п I
кавитационной полости в центробежном колесе.
Экспериментальные данные, подобные представленным на
рис. 5.6, также позволяют получить зависимости относительных
напоров как шнеко-центробежного насоса, так и отдельно осевого
шнекового преднасоса от абсолютного либо относительного объема
кавитационной полости.
Для построения зависимости рн'к— = f (VK) использовались
Рп. max
кривых VK (t) и рн (/), соответствующие уменьшению
увеличению ри (t) до начала восстановления напора
нтах—максимальный напор насоса в автоколебательном
Полученная зависимость представлена на рис. 5.9, где
относительный объем кавитационной полости. Экс-
Эксучастки
VK (t) и
шнека (
режиме)
~ у
V
' к I/
к Vh
периментальные точки соответствуют давлению в баке ^0,15
и 0,1 МПа. Представление искомой зависимости в относитель-
относительном виде позволит сравнивать между собой данные, полученные
при испытании различных насосов.
Аналогичная зависимость для шнека, но с использованием уча-
участков снижения и восстановления напора шнека, показана на
рис. 5.10. Экспериментальные точки соответствуют давлению
в баке ^0,15 МПа.
Фактически последняя зависимость .
представляет предельный цикл авто-
автоколебаний в плоскости параметров
^к— Рш> имеющий форму петли гистере-
гистерезиса, физическая природа которого
требует объяснения.
0,8
Ри к/Рн
0,6
Т
\
\
\
Л
V
Л
<
О
?~
• 1
> *
о
\
ti
i <
о
9
•>
ф
\
—
\
0,2 0,4 Ofi 0,8
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ,к
Рис. 5.9. Экспериментальная зависимость относительного напора насоса от от-
относительного объема кавитационной полости Q//z = const; рб~ 0,1 и 0,15 МПа
Рис. 5.10. Экспериментальный предельный цикл в плоскости параметров относи-
относительный объем кавитационной полости — относительный напор шнека Q/n =
= const; рь ^ 0,15 МПа
ИЗ

Кроме описанных характерных особенностей развитых кави-
тационных автоколебаний обращают на себя внимание экспе-
экспериментальные факты, для объяснения которых недостаточно
зависимостей напоров осевого шнекового преднасоса и насоса
в целом от объема кавитационной полости. В процессе кавитаци-
онного срыва напора осевого шнекового преднасоса напор колеса,
а в некоторых случаях и насоса в целом, может несколько увели-
увеличиваться (участок / — /на рис. 5.6, 5.8), либо может замедляться
темп его снижения, несмотря на увеличение объема кавитационной
полости.
Далее, восстановление напора шнека не только не оказывает
заметного влияния на увеличение напора насоса, а в большинстве
случаев (из числа полученных в рассматриваемой серии испыта-
испытаний) приводит к снижению напора насоса (рис. 5.6 участок //—//).
Кроме того, как уже указывалось, между максимальным значе-
значением напора насоса и минимальным значением объема кавитаци-
кавитационной полости наблюдается фазовый сдвиг. Падение напора цен-
центробежного колеса и напора насоса в целом происходит, когда
напор шнека уже начал восстанавливаться.
Описанные выше характерные особенности развитых кавита-
ционных автоколебаний были изучены в 1969 г. и изложены в ра-
работе [39].
Последующие экспериментальные исследования развитых ка-
витационных автоколебаний проводились с более точным замером
колебаний расхода на входе в насос быстродействующим датчи-
датчиком. С применением ЭЦВМ была значительно повышена точ-
точность расшифровки осциллографических записей за счет пере-
перехода на полуавтоматическую расшифровку.
В частности, были проведены испытания насоса № 2 на режиме
Q = 0,5QHOM и п = /гном при различных давлениях в баке в ди-
диапазоне от 0,3 до 0,1 МПа.
На рис. 5.11 приведены графики изменения относительных дав-
давления и расхода на входе в насос № 2 в автоколебательном режиме
(текущие значения параметров отнесены к максимальным) для
трех значений давления в баке: 0,2; 0,14 и 0,1 МПа.
Как показал анализ результатов испытаний, частота развитых
кавитационных автоколебаний прямопропорциональна давлению
в баке, а, следовательно, и среднему значению давления на входе
в насос (рис. 5.12). При снижении давления в баке с 0,3 до
0,1 МПа частота уменьшилась с 18,7 до 6,9 Гц.
Зависимость двойной амплитуды колебаний входного давления,
под которой из-за негармонической формы колебаний, как и ранее,
будет понимать величину Лрх = plmax — Pimm» 0T Рв приведена
на рис. 5.13. В исследованном диапазоне давлений в баке эта за-
зависимость нелинейна и имеет максимум при р6 = 0,17 МПа.
С понижением давления в баке максимальные значения объема
кавитационной полости в проточной части насоса монотонно
144

О 0,02 0,06
Ofi
0,6
О,'*
0,2
О 0,02 0,06
0,10 0,14 0,18ttc0 0,02 0,06 0,10
a) 6)
0,18 t,c
\
v
/
¦»—.
/
Pi
-
J
v
I
\
v
к
X
/
о, ю
6)
0,18 tt
Рис. 5.11. Развитые кавита-
ционные автоколебания (рас-
(расшифровка осциллограмм)
а — Рб = 0,2 МПа; б — рб =
= 0,14 МПа; в — р6 = 0,1 МПа
увеличиваются, а минимальные значения давления на выходе из
насоса — уменьшаются. Уже при давлении в баке 0,2 МПа напор
шнека периодически срывается практически до нуля, поэтому
в диапазоне значений давления в баке 0,2—0,1 МПа имеют место
полностью развитые кавитационные автоколебания. Данные,
приведенные на рис. 5.4 [рб = 0,15 МПа,
рб = 0,14 МПа,
0,53 и 5.2
0,5 , отличаются тем, что в первом слу-
слу/
чае колебания расхода измеря-
измерялись турбинным датчиком (и рас-
расшифровывались вручную), а во
ь, МПа
ч
15
W
;
Л
0,10 0.15 0,20 0,25 рд,МПа
1,00
0,75 -
0,50
1
1
1
1
о/ о
1
/
/
А
/
$
\
\
\
\
\
\
ч
ч
0,10
0,15
0,20
0,25 ps, МПа
Рис. 5.12. Экспериментальная зависимость частоты кавитационных автоколеба-
автоколебаний от давления в баке Q/n = const; Q/QIIOm =0,5
Рис. 5.13. Экспериментальная зависимость «двойной амплитуды-» колебаний
входного давления кавитационных автоколебаний от давления в баке Q/h~:= const;
Q/Qhom = 0,5
В. В. Пилипенко
145

втором — быстродействующим датчиком расхода (и расшифро-
расшифровывались полуавтоматически)..
Сравнивая расшифровки записей расхода для этих двух слу-
случаев (т. е. при примерно равных прочих условиях), можно отметить
некоторые различия в форме колебаний в районах экстремальных
значений расхода и в значениях минимального расхода (см.
рис. 5.7 и 5.11, б).
Фазовые соотношения между колебаниями напоров шнека и
насоса и объема кавитационной полости не претерпели изменений,
за исключением того, что, как показали испытания с замером рас-
расхода быстродействующим датчиком, минимумы объема кавитаци-
кавитационной полости незначительно опережают максимумы напора
шнека (рис. 5.14).
В работе [55] приводятся некоторые результаты исследований
кавитациониых автоколебаний, и в частности, развитых автоко-
автоколебаний в гидравлической системе со шнеко-центробежным насо-
насосом, который существенно отличается от насоса № 2 по конструк-
конструктивным и режимным параметрам.
Колебания давления на входе и выходе из насоса замерялись
индуктивными датчиками, а расходы на входе и выходе из насо-
насоса — турбинными расходомерами; показания датчиков записы-
записывались шлейфовым осциллографом.
На рис. 5.15 приведены графики изменения некоторых пара-
параметров насоса (рх, р2, Qly Q2) в режиме кавитационных автоколе-
автоколебаний (из работы [55]), которые в качественном плане не отли-
отличаются от полученных при испытаниях насоса № 2.
Результаты, изложенные в работе [55], подтверждают исследо-
исследованные ранее и описанные выше такие характерные особенности
развитых автоколебаний,
как близкую к линейной
зависимость частоты авто-
Рг
0,80 0,85 0,90 0,95
Рис. 5.14. Развитые кавитационные автоколебания (расшифровка осциллограммы
рис. 5.2)
Рис. 5.15. Изменение во времени параметров насоса при развитых кавитационных
автоколебаниях [55]
1, 2,w3t 4 — соответственно Qt = •—-^—; Q2 = ^2—; pt =
146
Pi
; р2 =

колебаний от давления в баке, значительные отличия в ампли-
амплитудах колебаний расходов на входе и выходе из насоса FQX >
> bQ2)^ a также синфазность колебаний параметров pL,p2, Qa-
При экспериментальном исследовании развитых кавитацион-
ных автоколебаний в гидравлической системе со шнеко-центро-
бежным насосом № 2 в достаточно редких случаях, например,
при снятии кавитационных характеристик на пониженных обо-
оборотах и расходах (п « 0,81яном, Q < 0,5QHOM), [на отдельных
участках были обнаружены кавитационные автоколебания, ка-
качественно отличающиеся от ранее рассмотренных. Осциллограммы
с новым видом автоколебаний приведены на рис. 5.16, а, б, в.
Как видно, автоколебания наблюдаются при практически постоян-
постоянных значениях давления и расхода на входе в насос (см.
рис. 5.16, а). Это обстоятельство весьма важное и указывает на то,
что в данном случае питающий трубопровод не оказывает влияния
на частоту, амплитуду и форму автоколебаний.
Характерной особенностью данного вида автоколебаний явля-
являются фазовые соотношения между колебаниями давлений за шне-
шнеком и на выходе из насоса: эти колебания происходят практически
а) б)
„О'рг,р/Ш>и „О"Pi
в)
Рис. 5.16. Осциллограммы с кавитационными автоколебаниями:
= 0,12МПа; Q = 28,7 л/с; /= 27,8 Гц; б — рб = 0,1 МПа; д=3,11л/с;/ =
= 27,8 Гц; в — рб = 0,0624 МПа; ~Q = 4,43 л/с; f = 27,8 Гц
147

в противофазе. Частота автоколебаний значительно выше частот
развитых кавитационных автоколебаний на смежных участках
осциллограммы и не зависит от давления в баке и расхода (при
п = const). Так, например, частота автоколебаний 27,8 Гц фикси-
фиксировалась при рб = 0,0624 МПа и Q = 4,43 л/с; рб=0,12 МПа и
Q= 2,87 л/с; рб = 0,1 МПа и Q — 3,11 л/с; рб = 0,075 МПа и
Q = 2,9 л/с.
Заметим, что рассматриваемые кавитационные автоколебания
наблюдаются при достаточно низких значениях давления в баке
(входного давления) и могут существовать одновременно с «обыч-
«обычными» кавитационными автоколебаниями (см. рис. 5.16, в); частота
этих колебаний для каждого режима значительно выше и не за-
зависит от входного давления.
Когда давление и расход на входе не постоянны, для описы-
описываемого вида кавитационных автоколебаний характерен значи-
значительный фазовый сдвиг между колебанием давления на входе
в насос и за шнеком, величина которого составляет примерно
—1,34я или +0,66я (в зависимости от того, считать ли колебания
давления за шнеком запаздывающими или опережающими по
отношению к колебаниям входного давления), а также существен-
существенный фазовый сдвиг между колебаниями давления на входе и вы-
выходе из насоса (М),33я).
Относительно физической природы этих кавитационных авто-
автоколебаний можно высказать следующие соображения.
При практически постоянных значениях давления и расхода
на входе в насос эти колебания присущи системе осевой шнековый
преднасос — центробежное колесо, поэтому эти колебания можно
назвать «внутринасосными». В этой упруго-массовой системе
упругостью служат кавитационные каверны в межлопастных
каналах шнека и центробежного колеса, а массой — масса жид-
жидкости, заключенная в проточной части насоса между кавитацион-
кавитационными кавернами.
Механизм возникновения этих колебаний, возможно, связан
с появлением (при пониженных значениях входного давления)
восходящей ветви на напорной характеристике шнека.
«Внутринасосные» кавитационные автоколебания как вид,
отличный от кавитационных автоколебаний в системе питающий
трубопровод — шнеко-центробежный насос — нагрузка, требуют
специальных теоретических и экспериментальных исследований.
В заключение приведем некоторые результаты эксперименталь-
экспериментального исследования развитых кавитационных автоколебаний в ги-
гидравлической системе, включающей центробежный насос без
предвключенного шнека (эти экспериментальные данные получены
на насосе № 2).
На рис. 5.17 в качестве примера приведены осциллограммы
развитых автоколебаний, на рис. 5.18 — зависимости частот авто-
автоколебаний и максимальных значений параметра Арх = /?lmax —
148

— Pimm 0T среднего значения давления на входе в насос (рг)
для двух режимов работы насоса A,0 и 0,5QHOM), полученных
при снятии кавитационных характеристик. На рис. 5.18 нанесены
также соответствующие зависимости, полученные при испытаниях
насоса № 2 с предвключенным шнеком.
Сравнивая приведенные результаты, можно сделать следующие
выводы:
— область существования автоколебаний в системе с центро-
центробежным насосом смещается в сторону больших значений входного
давления. Линейный характер зависимости частоты и нелинейный
зависимости параметра Арх от входного давления сохраняются;
— на номинальном режиме частоты автоколебаний в системе
с центробежным насосом ниже, а амплитуды — значительно
выше, причем определена только часть области существования
автоколебаний;
— на режиме Q = 0,5QHOM тангенс угла наклона зависимости
f — f (Pi) Для насоса без шнека существенно меньше. Максималь-
Максимальное значение размаха колебаний входного давления при испыта-
испытаниях насоса без предвключенного шнека увеличивается, примерно,
в 2,6 раза_ и максимум смещается в сторону больших значений
давления р, а именно, с 0,2 до 0,4 МПа.
На рис. 5.19 приведены совмещенные зависимости частоты
автоколебаний и параметра Арг от относительного расхода-^—,
Чиом
ОВ—500Гц
Рис. 5.17. Осциллограмма с развитыми кавитационными автоколебаниями:
р6 = 0,34 МПа; Q/Qnou = 0,5; f = 14 Гц
149

fju, Ap
35r 35
W, МПа
25
20
15
10
30
25
20
15
¦ 10
У
/
./
/
,/ /
1 /
/
s \
\
A
1
/
/
42
0,5рьМПа
МПа
0,8
/
/
/
/
/
/
I
\
•
\
I
\
\
\
V
\
\
\
\
1—o—<
>—-_.
UO,2
0,G
0,8
Pwc. 5./5. Экспериментальная зависимость частоты и «двойной амплитуды»
колебаний входного давления от среднего значения давления на входе в насос:
— насос без шнека; насос со шнекощ ААА — Api, OOO — f
для Q = QHOM; ААА — Арг ••• — f для Q = 0,5QHOM
Рис. 5.19. Экспериментальная зависимость частоты и «двойной амплитуды»
автоколебаний от относительного расхода через насос:
— насос без шнека; насос со шнеком; А А. •• — fl А А, ОО — Api
полученные по результатам испытаний насоса № 2 без шнека и
с иредвключенным шнеком (при снятии внешних характеристик).
Приведенные экспериментальные данные убедительно показы-
показывают, что установка предвключенного шнека перед центробежным
колесом насоса оказывает существенное стабилизирующее воз-
воздействие на устойчивость системы по отношению к кавитационным
автоколебаниям и сдвигает область существования автоколебаний
в сторону меньших значений входного давления.
Последнее связано с уменьшением кавитационных запасов
центробежного насоса без предвключенного шнека (так, например,
давление кавитационного срыва для центробежного и шнеко-
центробежного насосов составляет при Q = QHOM 0,22 и 0,06 МПа,
при Q = 0,5QHOM 0,08 и 0,047 МПа, соответственно).
5.3. Определение потоков
генерируемой колебательной энергии
Имея экспериментальные зависимости изменения во времени
двух параметров х и у в режиме автоколебаний, путем исключе-
исключения времени можно построить предельный цикл автоколебаний
(т. е. фазовый портрет) в плоскости параметров х — у.
150

Таким образом были построены экспериментальные предельные
циклы развитых кавитационных автоколебаний в плоскости пара-
параметров VK — Pi, VK — pmf VK — pH и VK — Qlf где VK% pl9 ~рш,
pH, Qi — относительные параметры, представляющие отношения
соответствующих текущих значений к максимальным в режиме
автоколебаний.
В качестве примера на рис. 5.20 представлены указанные пре-
предельные циклы для насоса № 2, соответствующие режимам Q =
= 0,5QHOM> и = ^ном и давлению в баке р6 = 0,16 МПа.
На кривые предельных циклов в плоскости параметров объем
кавитационных каверн — давление наносились соответствующие
значения относительного расхода на входе в насос.
С изменением давления в баке происходит изменение формы
и площади предельных циклов. На рис. 5.21 представлены пре-
предельные циклы в плоскости параметров VK — рш для значений
давления в баке 0,1, 0,2 и 0,3 МПа.
Направление обхода предельных циклов в координатах
VK — Р\ почасовой стрелке указывает, что за период колебаний
цикл совершает положительную работу, т. е. происходит гене-
генерация колебательной энергии в систему.
Представляет интерес произвести количественную оценку гене-
генерируемой колебательной энергии.
Из энергетических соображений следует, что при автоколеба-
автоколебаниях подвод колебательной энергии компенсирует потери энергии
на сопротивлениях. Рассеивание колебательной энергии проис-
происходит на гидравлических сопротивлениях питающего и напорного
трубопроводов.
Воспользуемся выражением B.77) для определения текущего
значения полного потока энергии, направленного из замкнутого
объема. Под замкнутым объемом в данном случае будем понимать
объем, ограниченный контрольными поверхностями, проходящими
по нормали к осям питающего (плоскость 1—1) и напорного (пло-
(плоскость 2—2) трубопроводов.
Используя уравнение материального баланса для проточной
части насоса, выражение для потока колебательной энергии, пере-
пересекающего плоскость 1—У, представим в виде
т
J_ f ( n _l_ ^i \@ — n\dt — A —
T J \ Pi T^ 9p2 ) VV2 Vlj «* — ^11 —
0
151

О 0,1 0,4 0.6
0,80 7,00 по/ п)
Рис. 5.20. Экспериментальные пре-
предельные циклы развитых кавитаци-
онных автоколебаний насоса № 2:
а — в плоскости параметров V — р.;
к 1
б — в плоскости параметров V,— р •
в — в плоскости параметров V —р \
г — в плоскости параметров V — ОЛ
к 1
Г
\
V
)
/
/
02
0,6 Ц8
0,8
0,6
\\
\
ч
\|
\
\
\
\
\
2'
3
А'
0,2
О 0,2 0,4 0,6 0,8 VH
152
Рис. 5.21. Экспериментальные пре-
предельные циклы развитых кавитаци-
онных автоколебаний в плоскости
параметров VK — рш-
Г — рб = 0,1 МПа; 2 — рб = 0,2 МПа;
3 — р6 = 0,3 МПа

Рассмотрим структуру полученных выражений для составляющих Аг л
й А\ 2- Слагаемое Ах г в выражении для Ах характеризует поток колебательной
энергии, выносимой в напорный трубопровод. Величина этого потока в существен-
существенной мере зависит от амплитуды колебаний расхода на выходе из насоса 6Q2.
G увеличением 6Q2 вынос энергии увеличивается, что приводит к стабилиза-
стабилизации системы. _
Амплитуду колебаний 6Q2 можно определить, используя линеаризованные
уравнения для давления на выходе из насоса и напорного трубопровода без учета
его инерционных и емкостных свойств:
Следовательно, к стабилизации системы приводит увеличение тангенса
угла наклона т касательной к кавитационной характеристике насоса и умень-
уменьшение линеаризованного суммарного гидравлического сопротивления на выходе
из насоса R2—s, где s — тангенс угла наклона касательной к напорной характе-
характеристике насоса. Составляющая Ах 2 определяет подвод колебательной энергии
к системе за счет работы цикла в координатах VK—plt отнесенной к периоду ко-
колебаний.
Выражение для потока колебательной энергии, пересекающего
плоскость 2—2, представим в виде
Принимая во внимание, что р2 + ~^- = рА + ~§7^г + Рю можно
записать выражение для составляющей Л2 в следующем виде:
т
\ п П At п Г) Л I л
О
С учетом полученных выражений среднеинтегральное значение
полного потока колебательной энергии за период колебаний
выразится так:
(т \ т
1 г "~/Т1 1 f / qQx\
Т }Рш 2 Р„ J т J [Pi щ)
= ^21Т ^1 2-
Результаты расчетов составляющей А2 х = — [ pnQ2 dt — pnQ
о
по экспериментальным предельным циклам кавитационных ко-
колебаний показали, что А21 > 0. Следовательно, шнеко-центро-
Оежный насос генерирует колебательную энергию не только
153

за счет работы цикла в плоскости VK — рг в направлении, питаю-
питающего трубопровода, но и в направлении напорного трубопровода.
Если механизм генерирования потока энергии Л12 достаточно
ясен [77] и обусловлен зависимостью объема кавитационных каверн
от давления и расхода на входе в насос, то механизм образования
потока генерируемой колебательной энергии на выходе из насоса
(составляющая А21) требует детального изучения.
В табл. 5.1 представлены результаты расчетов на ЭЦВМ
применительно к насосу № 1 составляющих потоков генерируемой
колебательной энергии для выделенных восьми участков осцилло-
осциллограммы, соответствующих различным значениям давления в пи-
питающем баке (на каждом участке осреднение производилось
по целому числу периодов колебаний).
Прежде всего обращают на себя внимание различные знаки
составляющих А г и А 2 на входе и выходе из насоса: составляющая
А1 < 0, что указывает на вынос потока колебательной энергии
в питающий трубопровод и рассеивание ее на сопротивлениях
питающего трубопровода; составляющая А 2 > 0 — поток коле-
колебательной энергии направлен в напорный трубопровод и рассеи-
рассеивается, соответственно, на сопротивлениях напорного трубо-
трубопровода.
Суммарный поток колебательной энергии положительный
(Л2 > 0): шнеко-центробежный насос генерирует колебательную
энергию.
При достаточно высоком давлении в баке поток колебательной
энергии, выносимой в питающий трубопровод, по модулю прево-
превосходит поток колебательной энергии, выносимой в напорный тру-
трубопровод; начиная с определенного давления в баке при после-
последующем его понижении картина меняется на противоположную,
при этом А 2 > | A j |.
На рис. 5.22 представлена зависимость отношения составляю-
составляющих Л21 и Л12 от давления в баке для насосов № 1 и № 2.
Таблица 5.1
рб, МПа
0,30
0,25
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
А1Г Дж/с
1,1
4,4
15,3
17,4
23,9
13,2
18,9
8,0
А12, Дж/с
16,5
52,5
177,2
222,3
238 7
125,5
140,9
55,8
Аг Дж/с
— 15,4
—48,1
—161,9
—204,8
—214,8
—112,3
—121,9
—47,8
А21, Дж/с
1,3
4,5
24,8
74,8
190,7
108,4
398,4
70,3
А2, Дж/с
2,4
8,9
40,1
90,2
214,6
121,7
417,4
78,3
Л2 , Дж/с
17,8
57,0
202,0
295,1
429,4
233,9
539,3
126,1
154

рис. 5.22. Экспериментальные зависимости
отношения составляющих потоков колебатель-
ной энергии от давления в баке:
_ насос № 1; насос № 2
2,0
.Насос N'1
°*г
Обращает на себя внимание, что
с понижением давления на входе в
насос на участках с большими
амплитудами колебаний напора на-
насоса составляющая потока энергии
А 21, генерируемой насосом за
счет изменения напора, может пре-
превышать составляющую Л12(-т^>
\ ^1 2
Весьма важно установить, какие
именно физические явления в шнеко-
центробежном насосе обусловливают
появление составляющей Л21. Эта составляющая вносит суще-
существенный вклад в полный поток колебательной энергии Л2 при
достаточно низких значениях входного давления, поэтому можно
предположить, что она связана с зависимостью напора насоса от
объема кавитационных каверн. Кавитационный гистерезис напора
насоса, вызывающий существенное увеличение Л2 (особенно при
достаточно больших значениях УЕ), при определенных условиях,
по-видимому, может явиться причиной жесткого возбуждения
кавитационных автоколебаний, однако этот вопрос требует от-
отдельного рассмотрения.
Заметим, что при достаточно высоких значениях входного
Давления вклад составляющей AYX в суммарный поток энергии
Для насоса № 1 значительно больший, чем для насоса № 2.
Это указывает на влияние колебаний напора шнека на измене-
изменение напора насоса в целом.
Наличие потока энергии, генерируемой за счет изменения
напора насоса, указывает на возможность самовозбуждения ка-
кавитационных колебаний в системе при незначительных колебаниях
Давления и расхода на входе в насос.
Такие кавитационные автоколебания были обнаружены экспе-
экспериментально при испытании насоса № 2 с увеличенным гидравли-
гидравлическим сопротивлением питающего трубопровода.
На рис. 5.23 показана осциллограмма с записью этого нового
Вида кавитационных автоколебаний, заслуживающего специаль-
специально изучения.
155

5.4. Анализ зависимостей
напоров шнека и насоса в целом
от объема кавитационной полости
В настоящем разделе приводятся уточненные зависимости
и объясняется физическая природа кавитацион-
ных гистерезисов напоров шнека и насоса в целом,
характерных для развитых кавитационных колебаний.
На рис. 5.24 представлены зависимости относительного напора
насоса ри = ——— и относительного напора шнека рш = ———
Рп max Pin max
от относительного объема кавитационной полости VK = -^—-— ,
у п. ч. ш
где Vn.4. ш — объем проточной части шнека.
Из представленных результатов следует, что не только напор
шнека, но и напор насоса в целом неоднозначно зависят от объема
кавитационной полости.
Характерной особенностью зависимостей напора шнека и на-
насоса от объема кавитационной полости является то, что снижению
напора шнека (насоса) при увеличении объема кавитационной
полости соответствуют коэффициенты режима q, приблизительно
в 2 раза меньшие установившегося значения q, а восстановлению —
приблизительно в 2 раза большие q.
Относительно физической природы неоднозначной зависи-
зависимости напоров осевого шнекового преднасоса и насоса в целом
в режиме автоколебаний можно предположить, что она связана
с последовательностью развития и смыкания кавитационных ка-
каверн, расположенных перед шнеком, в межлопастных каналах
шнека и в центробежном колесе.
Максимальному напору шнека при минимальном значении
объема кавитационной полости, расположенной в межлопастных
каналах шнека (точка Л), соответствует значение коэффициента
режима q, равное 0,11, при котором существует интенсивный
обратный поток.
Интенсивный закрученный обратный поток вызывает появле-
появление кавитационной полости перед лопастями шнека. Поэтому
значительному увеличению объема кавитационной полости, ко-
которое, по-видимому, происходит в основном за счет кавитационной
каверны перед лопастями шнека, соответствует незначительное
снижение напора шнека (участок А В).
Дальнейшее увеличение объема кавитационной полости на
участке ВСД происходит в значительной мере за счет увеличения
объемов кавитационных каверн, расположенных в межлопастных
каналах шнека, что приводит к значительному уменьшению напора
шнека. Кроме того, в конце участка СД происходит уменьшение
интенсивности обратного потока из-за существенного снижения
напора шнека.
156

0,05
0,2
t,C
Рис. 5.23. Осциллограмма испытания насоса М 2 с увеличенным гидравлическим
сопротивлением питающего трубопровода:
1 — давление на входе в насос; 2 — давление между шнеком и центробежным колесом;
3 — давление на выходе из насоса; 4 — расход на входе в насос р^ ^ 0,23 МПа; Q ==
КАК
tt<?- 5.24. Экспериментальные предельные циклы развитых кавитационных авто-
автоколебаний:
плоскости параметров VK~рн; 2 — в плоскости параметров Ук—рш
157

Снижение напора насоса в целом на участке А'В'С'Д' проис-
происходит за счет снижения напора шнека на участке А ВС Д.
После снижения напора шнека до величины, близкой к нулю
(участок ДЕ), кавитационная каверна начинает распространяться
в межлопастные каналы колеса. При этом видно значительное
снижение напора насоса при относительном малом дополнитель-
дополнительном увеличении суммарного объема кавитационной полости (уча-
(участок Д'Е').
Далее на участке EFK происходит уменьшение кавитационной
полости при практически постоянном, близком к нулевому зна-
значению, напоре шнека, что указывает на уменьшение кавитационной
каверны перед лопастями шнека (до величины, близкой к нулю),
в центробежном колесе и, возможно, в межлопастных каналах
шнека (на участке F'C'K' напор колеса практически восстанавли-
восстанавливается).
На участке Е'К' незначительному уменьшению суммарного
объема кавитационной полости соответствует значительное падение
напора насоса. Можно считать, что на участке E'F" уменьшение
суммарного объема кавитационной полости происходит за счет
уменьшения объема каверны перед лопастями шнека при росте
объема каверны в межлопастных каналах центробежного колеса.
Для уменьшения объема кавитационной полости перед лопа-
лопастями шнека на участке EFK имеются благоприятные условия,
так как интенсивность обратного потока близка к минимальной,
более того, возможно, что обратный поток исчезает полностью.
Далее на участке KLA происходит восстановление напора
шнека из-за уменьшения размера кавитационных каверн в межло-
межлопастных каналах шнека. Рост суммарного объема кавитационной
полости на участке LA можно объяснить возникновением кави-
кавитационной каверны перед лопастями шнека, так как интенсивность
обратных токов на этом участке (и в конце участка KL) возрастает,
достигая максимального значения в районе точки А.
Изложенная последовательность развития и смыкания кави-
кавитационных каверн перед шнеком, в межлопастных каналах шнека
и колеса может служить объяснением неоднозначной зависимости
напора осевого шнекового преднасоса и насоса в целом от суммар-
суммарного объема кавитационной полости *.
Более поздние визуальные исследования кавитационного те-
течения при развитых кавитационных колебаниях подтвердили
описанную выше последовательность развития и смыкания кави-
кавитационных каверн перед шнеком, в проточной части шнека и
центробежного колеса в течение периода колебаний. В частно-
частности, в работе [55] указывается, что в момент максимального
развития кавитации в шнеке (точка Е) вихревая кавитационная
зона перед шнеком распространяется на всю длину прозрачного
* Физическая природа кавитационных гистерезисов напора шнека и насоса
в целом была установлена в 1971 г. и изложена в работе [82].
158

участка перед шнеком, затем она начинает постепенно уменьшаться
и только по истечении некоторого времени уменьшается кавита-
ционная каверна, расположенная в шнеке. Это соответствует
описанному выше участку E'F'. Затем некоторый период времени
процесс уменьшения общего размера кавитационных зон идет
одновременно путем уменьшения кавитационной зоны перед шне-
шнеком и в шнеке (участки EFK и F'C'K'). После того, как суммарный
объем кавитационных каверн достигает минимального значения,
кавитационная зона перед шнеком начинает быстро увеличиваться,
распространяясь против потока, а кавитационная зона в шнеке
некоторое время продолжает сокращаться и достигает своего
минимального размера.
Этот процесс соответствует описанному выше участку LA.
К моменту достижения объемом кавитационной полости в шнеке
минимального значения, объем кавитационной полости перед шне-
шнеком достигает значительных размеров (этим определяется положение
точки Л). Дальнейший процесс характеризуется постепенным ростом
кавитационных зон в шнеке и перед шнеком (участок АВСД).
Таким образом, визуальные исследования динамики кавита-
кавитационных зон за период колебаний полностью подтвердили уста-
установленную ранее на основании анализа предельных циклов физи-
физическую картину развития и смыкания кавитационных каверн и
тем самым подтвердили механизм возникновения кавитационных
гистерезисов напоров шнека и насоса в целом [82]. Влияние уста-
установившегося давления на входе в насос на форму предельных цик-
циклов показано на рис. 5.21. Таким образом, неоднозначная зави-
зависимость напоров шнека и насоса в целом от суммарного объема
кавитационных каверн в основном объясняется возникновением и
изменением размеров кавитационной полости перед шнеком.
Напор шнека и насоса в целом, по-видимому, однозначно
зависит от размеров кавитационных каверн в проточной части
насоса. Действительно, если выделить участки предельных цик-
циклов колебаний в плоскости параметров VK — рш, соответствующие
восстановлению напора шнека при уменьшении каверн, располо-
расположенных в межлопастных каналах шнека, то экспериментальные
Данные, полученные при различных значениях ръ можно обоб-
обобщить в виде одной зависимости рш = / (VJ. Таким участкам
соответствовали, с одной стороны, резкие увеличения входного
Давления (что указывает на существенное уменьшение объема
кавитационной полости перед лопастями шнека), а с другой —
¦коэффициент режима q, близкий к максимальному (на данном
участке). Такие экспериментальные точки удовлетворительно
обобщаются зависимостью
1 при VK < 0,0788;
1,2184 — 2,808\/к при 0,0788 <VK < 0,433; E.2)
0 при VK> 0,433.
159

На рис. 5.25 представлены экспериментальные точки, выбран-
выбранные по указанному выше способу и зависимость E.2). На этом
же рисунке представлена полученная в работе [39] зависимость
относительного напора шнека от VK, соответствующая участку
восстановления напора шнека (кривая 2).
На рис. 5.26 представлены зависимости относительного напора
насоса /?н от относительного объема каверны VK. Кривая 1 заим-
заимствована из работы [39], кривая 2— уточненная зависимость
относительного напора насоса от относительного объема кавита-
ционной полости.
Для уточнения представленной в [39] зависимости исполь-
использовались участки кривых изменения объема VK и напора рн (уча-
(участок E'F'K' на рис. 5.24, где рш я^ 0, и начало участка KL).
Полученные экспериментальные точки обобщаются одной зави-
зависимостью
. __ ( 1,0091 - 0,07968Ук - 0,4593У2к при VK > 0,0777;
Рн [ 1 при VK < 0,0777, E'3)
~ V
где VK = -7г- (VH — суммарный объем проточной части шнека
и центробежного колеса).
К числу первых работ, в которых была экспериментально
установлена зависимость напора центробежного колеса от объема
кавитационной полости, относятся работы В. П. Козелкова и
А. Ф. Ефимочкина [54]*. В этих работах при исследовании
переходных процессов в гидравлической системе с центробежным
насосом, сопровождающихся развитой кавитацией в центробеж-
центробежном колесе, обнаружено, что напор насоса однозначно определя-
определяется объемом кавитационной полости в центробежном колесе.
Объем VKy в свою очередь, определяется из уравнения материаль-
материального баланса. Наблюдаемый довольно сложный характер измене-
изменения давления на выходе из насоса невозможно было объяснить
изменением входного давления (с использованием обычных срыв-
ных кавитационных характеристик насоса): каждой точке на
срывной ветви кавитационной характеристики насоса соответ-
соответствует строго определенная величина кавитационной полости.
В работе [49] приведены результаты систематического иссле-
исследования кавитационных срывов напоров насосов при импульсных
возмущениях. Механизм кавитационных срывов напоров насосов
на неустановившихся режимах назван в этой работе объемным.
На основании результатов испытаний шести насосов с привле-
привлечением ранее полученных результатов для других насосов [54,
39] была получена обобщенная характеристика объемного меха-
* Однако в этих работах нет даже упоминания о том, что напор насоса
неоднозначно зависит от объема кавитационных каверн.
160

0,75
050
0,25
о
у
%
&
\ 2
к
\ v
0.1
0,2
0,3
05
0%6
Рис. 5.25. Экспериментальная зависимость относительного напора шнеко от
относительного объема каверны:
1 — замер расхода быстродействующим датчиком; 2 — замер расхода «вертушкой»
0,80
0,125
0,375
0,500
Рис. 5,26. Экспериментальная зависимость относительного напора насоса от
относительного объема каверны:
/—замер расхода вертушкой; 2 — замер расхода быстродействующим датчиком
Рис. 5.27. Экспериментальные зависи-
зависимости относительного напора насоса
Ofn относительного объема каверны:
1 — по выражению E.3); 2 — по выраже-
выражению E.4); 3 — по выражению E.5)
0,95
0,90
0,85
0,80
N
\
\Ч
\
\
0,125 0,250 0,375 0,5
11
В. В. Пилипенко
161

низма кавитационных срывов напора насоса в целом в виде за-
зависимости относительного напора от относительного объема
кавитационной полости
Рн= 1 + 0,05291 VK —0,87665^, E.4)
р„ = 1 - 0,2168Ук - 0,5446У2к. E.5)
Формула E.4) найдена по 74 экспериментальным точкам, вклю-
включая первые результаты наших экспериментальных исследований
по развитым кавитационным автоколебаниям (см. разд. 5.2.) Фор-
Формула E.5) получена без учета экспериментальных данных по
развитым кавитационным автоколебаниям.
На рис. 5.27 представлены результаты расчетов рн = f (VK)
по трем зависимостям E.3), E.4) и E.5). В области развитой ка-
кавитации (VK ^ 0,5) расхождение в напоре между соседними кри-
кривыми не превышает 10%. В связи с этим, как указывается в ра-
работе [49], полученные зависимости можно рассматривать как
обобщенные кавитационные характеристики широкого класса высо-
высоконапорных шнеко-центробежных насосов, пригодные для анализа
переходных режимов и развитых кавитационных автоколебаний.
В то же время формула E.3), полученная из анализа предельных
циклов развитых кавитационных колебаний, дает заметно больший
напор при одном и том же объеме кавитационных каверн (особенно
при VK < 0,25). Это объясняется влиянием кавитационных ка-
каверн перед шнеком на рассматриваемую зависимость. Поэтому
весьма важно установить, как распределяется суммарный объем
кавитационных каверн на объемы каверн, расположенные перед
шнеком и в проточной части насоса, так как объем кавитационных
каверн перед шнеком вызывает появление кавитационных гистере-
гистерезисов напоров рш и рн.
Первая попытка решения этой задачи была предпринята в ра-
работе [18]. В этой работе предложено осуществлять разделение
суммарного объема кавитационных каверн на основании следую-
следующего предположения. На режимах с интенсивными обратными
токами объем кавитационных каверн перед шнеком пропорциона-
пропорционален отношению расходов обратных токов и прямотоков.
Как показано в работе [111 ], часть сечения на периферии вход-
входного участка насоса (рис. 5.28) заполнена противотоками, движу-
движущимися от лопастей шнека ко входу в насос, которые характери-
характеризуются расходом Qo. Остальная часть входного участка запол-
заполнена прямотоками, расход которых равен Qnp. В соответствии
с указанным выше предположением объем кавитационных каверн
перед шнеком будет равен Vk2 = Vk^-^-9 т. е. принимается,
что отношение объема кавитационных каверн перед шнеком к сум-
суммарному объему Ук2 равно отношению -тр-. На режимах без
обратных токов Qo = 0 и Vk2 = 0.
162

Рис. 5.28. Схема течения
потока на входе в шнек при
q<0,5:
/ — шнек; 2 — вихревая
зона; 3 — обратные потоки
(противотоки); 4 — прямо-
прямотоки; 5 — условная граница
вихревой зоны и активного
потока; 6 — активный поток
Объем кавитационных каверн в проточной части насоса
Экспериментальная зависимость отношения расходов
- от
—р
коэффициента режима q представлена на рис. 5.29. Эта зависи-
зависимость получена в работе [111] для бескавитационного режима
работы шнеко-центробежного насоса. (В дальнейшем предпола-
предполагается, что она сохраняется и для кавитационных режимов работы
насоса).
Предложенная схема разделения суммарного объема кавита-
кавитационных каверн является весьма приближенной, так как на ре-
режимах развитого кавитационного течения, когда наблюдается
л»
существенное снижение напора шнека, отношение
Qnp
должно
зависеть от объема кавитационных каверн в проточной части
насоса. Кроме того, необходимо иметь в виду, что при достаточно
высоких значениях входного давления объем кавитационных
каверн перед шнеком Кк2 = 0.
Несмотря на весьма приближенный характер схемы разделения
суммарного объема кавитационных каверн, использование ее для
анализа кавитационных гистерезисов напоров шнека позволил
получить практически однозначные зависимости напора шнека
от объема кавитационных каверн в проточной части насоса.
На рис. 5.30 представлены экспериментальные зависимости
относительного напора шнека рт = ——— от относительного
Рш max
суммарного объема кавитационной полости Ук2 (кривая 1) за
период автоколебаний (т.е. предельный цикл в плоскости пара-
параметров VKl> — рш) и того же напора от относительного объема
каверн, расположенных в проточной части насоса (кривая 2).
Участки кривых ABC и авс соответствуют спаду напора при росте
объема каверн, кривые CDA и cda — восстановлению напора
при уменьшении объема каверн. Из сопоставления кривых, пред-
представленных на рис. 5.30, видно, что приближенная схема разделе-
разделения кавитационных каверн позволяет получить практически одно-
П* 163

QolOnp
0,8
0,6
OS
42
О
\
I
v
ч
4
cP
—o
¦o
0 0,1 0,2 0,3 0^ 0,5 0,6 0,7 q
\
\
\
i
\
\
С
\
\
0,2
0,6
1.0
Puc. 5.29, Зависимость относительного расхода жидкости, соответствующего
обратным токам на входе в шнек, от параметра q
Рис. 5.30. Экспериментальный предельный цикл в плоскости параметров VK — рш:
I — предельный цикл в плоскости параметров Ук^—Рш', 2 — предельный цикл в пло-
плоскости параметров Ук1—Рш
значную зависимость напора шнека от объема кавитационных ка-
каверн в проточной части насоса. Интересно рассмотреть фазовые
соотношения между колебаниями объемов кавитационных каверн.
На рис. 5.31 приведены экспериментальные зависимости от
времени относительного суммарного объема кавитационной поло-
у
сти .. kZ (кривая 1) и относительного расхода на входе в насос
У п. ч. ш
-^- (кривая 4)> а также теоретические зависимости относительных
объемов каверн перед шнеком Vk2 =--• -гт-^— и в проточной части
•'п. ч. ш
насоса VKl. = -rj-^— (кривые 2
УП.Ч.Ш
и 3 соответственно), определен-
определенные в соответствии с принятой
схемой разделения каверн.
Представленные результаты
характеризуют динамику изме-
изменения объемов каверн, распо-
расположенных перед шнеком, в про-
Рис. 5.31. Изменение во времени от-
относительных объемов кавитационных
каверн и расхода на входе в насос:
I - ?к2 = УкЛ/Vn. ч. пр 2 - ^к2 =
= ^к2/^п. ч. up * - Vk1
0,08 t%C

точной части насоса, суммарного объема кавитационной полости и
расхода на входе в насос за период колебаний и позволяют оценить
вклад отдельных составляющих суммарного объема каверн (кри-
(кривые 2 и 3) в динамику роста и уменьшения суммарного объема
кавитационной полости (кривая /), а также фазовые соотношения
между колебаниями указанных параметров. В частности, колеба-
колебания расхода на входе и объема кавитационных каверн перед
цшеком происходят практически в противофазе. После достижения
максимального значения суммарного объема наблюдается более
интенсивное уменьшение объема каверн перед шнеком по сравне»
нию с уменьшением объема каверн в проточной части насоса,
Когда объем каверн перед шнеком приближается к минимальному
значению, объем VK% продолжает уменьшаться,
Таким образом, изменение объема каверн перед шнеком опе-
опережает, по фазе изменение объема каверн в проточной части на-
насоса. Эти результаты подтверждаются визуальными исследова-
исследованиями характера изменения размеров кавитационных зон перед
шнеком и в проточной части насоса в процессе развитых кави-
кавитационных автоколебаний [55].
5.5. Определение зависимости объема
кавитационных каверн
от давления и расхода на входе в насос
Как уже отмечалось, при исследовании динамических процес-
процессов в системе шнеко-центробежный насос — трубопроводы важно
знать зависимости объема кавитационных каверн от давления и
расхода на входе в насос в широком диапазоне их изменения,
включая режимы работы с развитыми обратными течениями перед
осевыми шнековым преднасосом.
В гл. 4 изложен экспериментально-расчетный способ определения
упругости и объема кавитационных каверн, основанный на исполь-
использовании экспериментальных зависимостей частот кавитационных
колебаний от входного давления и режима работы насоса. В на-
настоящем разделе предлагается способ определения зависимости
суммарного объема кавитационных каверн от давления и расхода
на входе в насос, основанный на использовании эксперименталь-
экспериментальных данных по развитым кавитационным автоколебаниям в системе
шнеко-цёнтробежный насос — трубопроводы [40].
При этом суммарный объем кавитационных каверн VK опреде-
определяется интегрированием уравнения материального баланса жид-
жидкости -¦ к = Q2 — Q1# Расход на входе измерялся быстродей-
быстродействующим датчиком с незначительной динамической погрешностью
(не более 2%). Колебания расхода на выходе 6Q2 < 6QX определя-
определялись по замеренным колебаниям давления на выходе из насоса.
При развитых кавитационных колебаниях максимальным значе-
значениям входного давления соответствует объем кавитационных ка-
165

верн VK ^ 0 (т. е. происходит практически полное смыкание ка-
витационных каверн).
Таким образом, этот способ определения объема кавитационных
каверн обладает несомненными преимуществами (в смысле досто-
достоверности результатов) по сравнению с косвенными способами (на-
(например, по экспериментальным частотам колебаний). Однако
он довольно трудоемкий и требует проведения достаточно большого
количества испытаний на различных режимах, при этом могут
возникнуть трудности обеспечения режима развитых автоколе-
автоколебаний при расходах, близких к номинальному.
Для исключения влияния скорости изменения объема каверн
-—- на изменение входного давления при определении зави-
зависимости VK = / (рх) использовались значения давления рг
и объема 1/к, соответствующие моменту времени, когда расход QL
становится равным Q2, т. е. только экстремальные значение VK.
Имея расшифровки указанных выше параметров кавитационных
автоколебаний при различных средних значениях давления на
входе в насос, но постоянном среднем расходе, а следовательно,
при различных амплитудах колебаний р, и VK, можно построить
зависимость VK (рг) для установившегося расхода через насос*.
На основании анализа предельных циклов кавитационных
колебаний в плоскости параметров рг — VK, полученных при
испытании насоса № 2 на режиме с интенсивными обратными
токами (q = 0,27) (см. разд. 5.3) при различных значениях дав-
давления в питающем баке, была определена зависимость VK = / (pj.
Экспериментальные точки, соответствующие -^- = 0, пока-
показаны на рис. 5.32.
На этом же рисунке представлена теоретическая (без учета
обратных токов) и экспериментально-расчетная (с учетом обратных
токов) зависимости объема кави-
кавитационных каверн от входного
давления. Обращает на себя вни-
внимание высокая сходимость ре-
результатов определения зависи-
зависимости VK = f (рх) с помощью
экспериментально - расчетных
Рис. 5.32. Зависимость относитель-
относительного объема кавитационной полости
от среднего давления на входе в насос:
1 — теоретическая зависимость; 2 —
расчетно-экспериментальная — VK ==
0,6 0y8ph МПа
K
= vJVm> Vm = 2,3s {r% - rf)
При малых амплитудах колебаний расхода Q2 равенство Q1 —
выполняется при расходе
166
Q>

способов, основанных ни принципиально различных подходах к
решению этой весьма сложной задачи.
Действительно, один подход основан на использовании экспе-
экспериментальных зависимостей частот кавитационных колебаний
квазигармонической формы от средней величины входного дав-
давления, тогда как другой — на использовании экспериментальных
предельных циклов развитых кавитационных автоколебаний в пло-
плоскости параметров рх — VK. Результаты, полученные с помощью
экспериментально-расчетных способов, позволяют также опреде-
определить область применимости теоретической зависимости VK =
= / (Pi) Для режимов с интенсивными обратными токами, или,
с другой стороны, выявить, какую долю в суммарном объеме
кавитационных каверн занимает объем каверн перед шнеком.
В частности, теоретические и экспериментальные зависимости
ук = f (р^) практически совпадают для рг > 0,6МПа. Для р1 <
< 0,6 МПа экспериментальные значения объема каверн превы-
превышают расчетные, а для рг = 0,2 МПа — суммарный объем кави-
кавитационных каверн больше объема проточной части шнека Vm.
Следовательно, на режимах с интенсивными обратными токами
при давлениях на входе, меньших давления возникновения кави-
кавитационных каверн перед шнеком, объем кавитационных каверн
перед шнеком может существенно превышать объем кавитацион-
кавитационных каверн в межлопастных каналах шнека.

Глава 6
УТОЧНЕНИЕ
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ
КАВИТАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
В настоящей главе предпринята попытка уменьшить рассогла-
рассогласование расчетных и экспериментальных границ областей устой-
устойчивости за счет учета потерь энергии при выходе жидкости в меж-
межлопастные каналы шнека, упругости кавитационных каверн,
расположенных в межлопастных каналах центробежного колеса,
и зависимостей напоров шнека и насоса в целом от объема кави-
кавитационных каверн.
6.1. К решению задачи о кавитационном
обтекании решетки плоских пластин
При отсутствии обратных течений на входе в шнек основными
потерями являются потери на удар [111], которые обусловлены
натеканием жидкости на лопасти шнека с некоторым положи-
положительным углом атаки.
Уравнение для определения гидравлических потерь при входе
жидкости в межлопастные каналы осевого колеса имеет вид
и2 A_<7)A+32)
Д# = \f> -~ ^ -, где г|) — коэффициент потерь на удар;
dl = ~7г втулочное отношение.
Это уравнение справедливо при нулевой высоте кавитационной
каверны.
Для определения зависимости высоты кавитационной каверны
от числа кавитации, углов атаки и установки лопасти с учетом
указанных потерь, запишем уравнения неразрывности, количества
движения и энергии применительно к объему, ограниченному
контрольной поверхностью [83 ].
Уравнение неразрывности
Wx/sin (р — а) = w2 (/sin p — /iK). F.1)
Уравнение количества движения
pxt sin p + pw1w1 cos at sin (p —• a) = p2 (t sin P — hK) -f
+ PA + РЩЩ (t sin P - hK). F.2)
168

Уравнение Бернулли
Pi + p-^-^ft + P^ + Ap, F.3)
где Др — потери давления на удар, которые пропорциональны
потерям на внезапное расширение потока:
Разрешим уравнения F.2), F.3) относительно высоты кавита-
кавитационной каверны
( Р —к- + Р —ту Др ) / sin Р — pw\ cos at sin (P — a)
К = " " " 2 i F-4)
Pi — Pn + P "Y + P ~2 " ~" Др
и разделим числитель и знаменатель выражения F.4) на р -у-
[1 / 1 \2 1
1 + -^2 У ( ^ 5" ) И sin р — 2 cos a^ sin (P — a)
пк = 5 V ^/ J , ™ , F.5)
(/? — отношение относительных скоростей ш3 и ш2, определяется
из условия неразрывности).
Решая совместно уравнения F.5) и F.6), определим зависимость
относительной высоты кавитационной каверны (отношение hK
к ширине межлопастного канала t sin C) от числа кавитации,
углов атаки и установки лопасти [83]:
hK k+2qcosa—2qyp+ \f(k+2qco$ a—2q^f—4q* A—
1 4
fsinp-1 4 2[q(k+\)-qM
F.7)
_ sin(P-a)
4 ~~ sin p
Согласно уравнению F.7) высота кавитационной каверны, а сле-
следовательно, и ее объем зависят от потерь энергии при входе жид-
жидкости в межлопастные каналы шнека.
В частности, при г|) = 1, когда потери энергии равны потерям
на внезапное расширение потока, уравнение F.7) значительно
упрощается и принимает вид
4G sin2-^-
= j-S-. F.8)
В этом случае высота кавитационной каверны обратно пропор-
пропорциональна числу кавитации.
169

6.2. Анализ зависимостей
высоты кавитационной каверны
от числа кавитации и угла атаки
С целью выяснения влияния потерь энергии при входе жид-
жидкости в межлопастные каналы шнека на зависимость высоты
кавитационной каверны от числа кавитации и угла атаки эти зави-
зависимости были определены для наружного диаметра шнека с уче-
учетом (я|) ф 0) и без учета (гр = 0) указанных потерь энергии. Ре-
Результаты расчетов представлены на рис. 6.1. *
Из анализа зависимостей hK = / (?,а), полученных без учета
потерь энергии, следует:
— при достаточно больших значениях чисел кавитации 0,4—0,5
относительная высота кавитационной каверны (при q = 0,52)
составляет 0,22—0,20;
— уменьшение числа кавитации (в диапазоне значений 0,5
0,01) оказывает сравнительно слабое влияние на увеличение вы-
высоты кавитационной каверны;
— высота кавитационной каверны при прочих равных усло-
условиях существенно увеличивается с увеличением угла атаки (умень-
(уменьшением параметра q).
Анализ зависимостей hK = f (fe, а), рассчитанных с учетом
потерь энергии при входе жидкости в межлопастные каналы шнека
для различных значений \|> (см. рис. 6.1), показывает, что с уве-
увеличением \f>:
— наблюдается более сильное влияние уменьшения числа
кавитации на увеличение высоты кавитационной каверны;
— заметно снижается влияние угла атаки на высоту кави-
кавитационной каверны;
hjtsinfi
0,5
— относительная высота ка-
кавитационной каверны при боль-
ших*значениях чисел кавитации
0,4—0,5 (при q = 0,52) суще-
существенно уменьшается и стано-
становится соизмеримой с толщиной
лопасти шнека и толщиной по-
пограничного слоя, отнесенных
Рис. 6.1. Зависимость относительной
высоты кавитационной каверны от
числа кавитации k и угла атаки а (па-
(параметра режима q):
i|) = 0; ф = 0,6;
_. —. — ф == 0,85;
/ _ а = 4° 12' (q = 0,49); 2 — а = 3° 56Г
(^г = 0,523); 3 — а = 3° 40' (^ == 0,555)
* Расчеты выполнены Н. И. Довготько применительно к шнеко-центробеж-
ному насосу № 2.
170

к ширине межлопастного канала. Это указывает на необходимость
получения расчетных соотношений для определения зависимо-
зависимости К = / (&, ос) с учетом толщины лопасти шнека и загромож-
загромождения проходного сечения шнека пограничным слоем. Учет ука-
указанных факторов, вероятно, позволит получить расчетное зна-
значение высоты кавитационной каверны, равное нулю, при конеч-
конечных значениях чисел кавитации. Приведенные результаты
относятся к режиму частичной кавитации.
При уменьшении давления на входе в насос до давления кави-
тационного срыва, когда напор насоса резко падает, потери
энергии на удар стремятся к нулю, а высота кавитационной
каверны согласно уравнению F.6) будет равна:
Зависимость Лк = / (k, а) с учетом толщины лопасти опре-
определим, используя исходную систему уравнений для расчетной
схемы, представленную на рис. 6.2:
wxt sin (р - а) = w2 (t sin р - hK - бл), F.10)
рг t sin P + P^i^i cos at sin ф — a) = p2 (t sin p — hK — 6Л) +
+ pw2w2 (t sin p - hK - 6Л) + рА, F.11)
2 + Р-^ +ДР, F.12)
где бл — толщина лопасти, соответствующая рассматриваемому
радиусу шнека и длине лопасти, где высота кавитационной ка-
каверны достигает максимального значения.
Разрешая приведенную выше систему уравнений относи-
относительно /iK, получим
[ ^(
F.13)
ИЛИ
/lK =
F.15)
171
б
1 +

Рис. 6.2. Схема кавитационного обтекания скошенной решетки плоских пластин
Учитывая, что для малых значений рП
рп/(р4)
/v 2' «1.
уравнение F.15) запишем в виде
[ 1 + -?Г - * ( 1 - -?Г У ] * sin P - 2 cos a/ sin (P - а)
^ + б ^ j ~ р
F.16)
Из уравнений F.14) и F.16) определим зависимость Ак = f(k,a)
учетом толщины лопасти [83]:
^К + ^Л
sin
1
cos а — 2^г|? + V(k + 2q cos а — 2<р|?)« — у A —
2 (k + 1 — i|))
F.17)
Из сравнения решений F.17) и F.7) следует, что для опреде-
определения зависимости hK = f (k, а) с учетом толщины лопасти необ-
необходимо уменьшить расчетные значения hK без учета толщины
лопасти на величину бл, значение которой должно соответство-
соответствовать рассматриваемому радиусу шнека и длине лопасти, где /iK
достигает максимального значения.
Отношение t g.* ^ для осевых шнековых преднасосов может
составлять @,05^-0,15) и, следовательно, оказывает заметное
влияние на уменьшение hK при высоких значениях чисел кави-
кавитации.
172

6.3. Форма линии тоКа
при кавитационном обтекании
решетки плоских пластин
и площадь кавитационной каверны
В разд. 1.4 согласно работе Стриплинга и Акосты [98] при-
приведено комплексное выражение A.4) для координат контура
кавитационной каверны.
Приведем это выражение к конечному виду с учетом соотно-
соотношений между скоростями wly wn, w2.
Если входная кромка обработана так, что она не касается
границы свободной струи (обтекание без потерь энергии), то
в соответствии с уравнением Бернулли для относительного дви-
движения получим wn = wx У\ + k .
Отношение- скоростей -^- = R определяется из решения
задачи о кавитационном обтекании решетки плоских пластин
с учетом потерь энергии при входе жидкости в межлопастные
каналы шнека с учетом или без учета толщины лопасти [см.
уравнения F.14) и F.15)], а скорость доа =-^т-.
С учетом приведенных соотношений между скоростями, разде-
разделяя действительную и мнимую части выражения A.4), после
некоторых преобразований получим следующие уравнения для
определения координат контура кавитационной каверны:
sin р + sin 1+~/а) ] + (&i - *»)cos
F.18)
где
а — 1 |п (^ ! + & cos Ф — cos aJ +(V\+k sin ф + sin aJ
2 A^1 +k +cosaJ+ sin2 a
, sin a
— arctg ¦
V 1 + k cos ф — cos a — V 1 + & — cos а
a:==J__j {VT+T cos ф — cos aJ + (V 1 + k sin ф — sin aJ
2 {V 1 + ^ + cos aJ + sin2 a
173

l i V 1 + k sin ф — sin a , — sin tt
b2 = arctg — ^ —" arctg ;
К 1 + k cos ф — cos a — V 1 -f- k — cos a
(/? /T+T cos ф—
sin2
b3 = arctg -
H±
Л К 1 + Л cos ф — 1
1 lri [/T+
Ui :— —77- 111
2
j. V \ +k sin ф
= arctg — i л;
^ 1 +* СО5ф /?A +^)
a = J_ jn [t^T+T cos ф — A + &) cos a]2 + [/T+fe sin ф + j\+k) sin a]2.
5~ 2 [^T+X + (i +/?)cosa]2 + (l +kf sin2 a
&5 = arctg ^l+k sin
V \ -{- k cos ф — A + /г) cos a
_ arctg O+*)sln«
— Kl +Л — (l+jfe)cosa
__ J_ j [V \ +k С05ф —(l+/e)cosa]2 + [l/' 1 +k siri
6 ~" 2
_ j
2 []/""Г=И" + A +/fe)cosa]2 + (l I k)* sin2 a
6 ¦= arctg ^^M siny-(l+fe)sina
- arctg
V 1 + k cos ф — A + k) cos a
— (\+k) sin ф
— V l+k — A + k) cos a
Зная координаты контура и учитывая принятый способ замы-
замыкания каверны (см. гл. 3 и рис. 3.4), определим площадь кави-
тационной каверны:
'к.т
^к= 1 ydx-t-hALz-Lr) F.20)
или
к
Fk= \ ydx±hJK.T(*^-- l), F.21)
о
где hK определяется по уравнению F.7), а 1К т — длина кави-
тационной каверны — по уравнению F.18) при ф = 0.
174

Интеграл J у dx можно вычислить одним из приближенных
методов. В данном случае, поскольку решение для координат
контура кавитационной каверны получено в параметрическом
виде (параметром служит угол ср поворота вектора скорости wn)
1к. т
для вычисления интеграла J у dx целесообразно воспользо-
воспользоваться формулой трапеций, при этом площадь FK будет равна
(У,
KL
- 1) . F-22)
1 = 1
где t/i и yi+1, 'Xt и xi+1 — координаты контура кавитационной
каверны, соответствующие углам ф?. и <рг+1.
На рис. 6.3 представлены результаты расчетов контура кави-
кавитационной каверны с учетом и без учета потерь энергии при
входе жидкости в межлопастные каналы шнека для различных
давлений на входе в насос, которые показывают, что:
— без учета потерь энергии контур кавитационной каверны
с понижением входного давления приближается к прямой, рас-
расположенной под углом атаки к поверхности лопасти (эта прямая
показана штриховой линией);
у
0,6
/ 2
3
== 'Г
i-^i . —-
г —
а 1
7 л т\ м
7 х- !0;м
6.3. Результаты расчета контура кавитационной каверны для различных
значений входного давления при i|) = 0 и г|)= 0,6:
/ - р% = 0,5 МПа; 2 — рх = 0,2 МПа; д - Рх = 0,1 МПа
175

— с учетом потерь энергии (\|? = 0,6) контур кавитационной
каверны в широком диапазоне входного давления близок к пря-
прямой, расположенной под углом атаки а к лопасти шнека.
В связи с этим можно заметно упростить расчет площади
кавитационной каверны между сечениями /—1 и 2—2, поскольку
'к- т
интеграл J у dx приближенно будет равен -^ hKlK (где /к =
— . ), а площадь кавитационной каверны между сечениями
/—/ и 2—2 приближенно равна у^—» т- е. для приближен-
приближенных расчетов вместо F.22) можно воспользоваться следующей
формулой для площади FK:
6.4. Зависимость объема кавитационной полости
от давления на входе в насос
и режима работы насоса
Объем кавитационной полости, рассчитываемый по фор-
формуле A.10а), при прочих равных условиях увеличивается с уве-
увеличением угла атаки, т. е. уменьшением расхода через насос.
Однако, с увеличением указанных потерь энергии (с увеличе-
увеличением \f>) заметно снижается влияние угла атаки на объем кави-
кавитационной полости, т. е. уменьшается модуль тангенса угла
наклона зависимости объема каверны от расхода —
(рис. 6.4).
С уменьшением давления на входе в насос объем кавитацион-
ных каверн увеличивается. С увеличением коэффициента потерь
объем кавитационной полости уменьшается и стремится прак-
практически к нулю (составляет меньше 1-10 м3) для гр = 0,85
при давлении на входе, равном 0,9 МПа (при этом число кави-
кавитации равно 0,25).
Результаты расчетов зависимости площади FK от радиуса
шнека для различных значений входного давления показывают
(рис. 6.5), что объем кавитационной полости можно вычислить
по следующей приближенной формуле [83]:
VK = zFKmCp(RR-rB)9 F.24)
где FK cp — площадь кавитационной каверны, соответствующая
среднему радиусу шнека Rcp = — ^ Гв .
Используя уравнения F.23), F.24), приближенную формулу
для объема VK представим в следующем виде:
V« = ^ ( * - it) ЙР Sln2 ^Р 2(fgH~;B) «• F-25)
176

0,2 0.3 0,4 05 0.6 Ц7 0,8 риМПп ^25 Щ
1,75
2,00 2,25 2,50 г Ю*м
Рис. 6.4. Зависимости объема кавитационной каверны в межлопастных каналах
шнека от входного давления и режима работы насоса (параметра а):
. ф = 0; — — г|) = 0,6; -ф = 0,85; 1 — q= 0,49; 2 — q = 0,523;
3 — q = 0,555
Рш\ 5.5. Зависимости площади кавитационной каверны от радиуса шнека для
различных значений входного давления:
/ — ~Рх = 0,1 МПа; 2 —~р1 = 0,2 МПа; 3 —~рх = 0,3 МПа; 4 —~рх = 0,5 МПа
Нетрудно видеть, что суммарный объем кавитационных ка-
каверн, расположенных на лопастях шнека, пропорционален объему
проточной части шнека Vm> где располагаются каверны перед
кавитационным срывом. Действительно, объем Vm согласно D.19)
равен
а относительный объем кавитационных каверн —
Для малых углов sin х *& tg л: ^ х, поэтому
V»~{ l 4,6г ;Т^Г'
F.27)
6.5. Зависимости упругости кавитационной
каверны и кавитационного сопротивления
от числа кавитации и режима работы насоса
Полученные зависимости суммарного относительного объема
кавитационных каверн VK от числа кавитации и режима работы
насоса (от параметра q) позволяют записать зависимость между
отклонениями объема bVK и отклонениями давления и расхода
12 В. В. Пилипенко 177

на входе в насос в таком же виде, как это было сделано в гл. i
[(см. 1.11I: 8i/K = -^_6?-f Д*-8</ или 8fe = Вх bVK + Вфо,
dk dq
где В1 = — относительная упругость кавитационных ка-
дУ
dk
верн; В2 = z- относительное кавитационное сопротив-
dk
ление при входе жидкости в межлопастные каналы шнека.
При постоянной частоте вращения вала насоса отклонения бk
и bq определяются отклонениями давления и расхода на входе
в насос:
?*. 1 ? 2k sin (В — а) «^ /о лоч
6k = —=г 6Pl - -= -г+f 27 6QX, F.28)
8Qlt F.29)
sm
F.30)
Определим зависимость между отклонением объема 6УК и
отклонениями давления и расхода на входе в насос с учетом
полученных соотношений F.28—6.30):
fiVr _ Vu. dVK . ,Гу dVK
sin
S - rl)
sin
или б/?! = Вх 6КК + В2 8Qi,
В^-^А-К, F.32)
— ^a sin2
Результаты расчетов параметров Вх и В2 в виде зависимостей
от числа кавитации и режима работы насоса при г|) = 0 и \J) = 0,6
представлены на рис. 6.6, 6,7,
178

-t>5
-to
-0,5
%
'У''
•у//
/ /
t
/ У
/ /
/
0,05
0,10
0.15
'0,75
'0,50
-0,25
j/
0,05
0,10
0,15
Рис. 6.6. Зависимости относительной кавитационной упругости Вх от числа
кавитации k при if> = 0 (сплошные линии) и if) = Ofi (штриховые линии) для
различных значений параметра режима q:
1 — q = 0,62; 2 — q = 0,46
Рис. 6.7. Зависимости относительного кавитационного сопротивления В2 от
числа кавитации k при г|) = 0 (сплошные линии) и ty = 0,6 (штриховые линии)
для различных значений параметра режима:
I — q = 0,62; 2 — q = 0,46
0,5
0,3
0,2
o,t
\
\
\
\
2
1
1
1
A025
ПО 50
0,W0
0,025 0,050 0,075 0,100
Рис. 6.8. Теоретические (штриховые линии) и экспериментально-расчетные
(сплошные линии) зависимости упругости кавитационных каверн от числа ка-
кавитации и режима работы насоса:
1 — q = 0,538; 2 - q = 0,43
Рис. 6.9. Теоретические (штриховые линии) и экспериментально-расчетные
(сплошные линии) зависимости объема кавитационных каверн от числа кавитации
и режима работы насоса:
1 — q = 0,538; 2 — q = 0,43
12*
179

Потери Давления при входе жидкости в межлопастные каналы
оказывают заметное влияние на упругость кавитационных каверн
и кавитационное сопротивление. В частности, с увеличением
коэффициента потерь г|) при прочих равных условиях параметр | Вг |
увеличивается, а |В2| — уменьшается.
На рис. 6.8, 6.9 представлены результаты теоретического и
экспериментально-расчетного [см. гл. 4, формулы D.24) и D.27)]*)
способов определения зависимостей упругости и объема кави-
кавитационных каверн от числа кавитации k* и режима работы на-
насоса, из сопоставления которых следует, что на режимах без
обратных токов наблюдается достаточно удовлетворительная схо-
сходимость значений важных, но трудно определимых параметров,
характеризующих режим частичной кавитации высокооборот-
высокооборотных шнеко-центробежных насосов.
В статье [125] предпринята попытка теоретического определения податли-
податливости кавитационных каверн на лопастях осевого шнекового преднасоса с по-
помощью теории установившегося потенциального течения через решетку плоских
пластин (т. е. в квазистационарной постановке и без учета обратных токов).
Из сравнительного анализа теоретических и экспериментальных результатов
установлено существенное расхождение расчетных и экспериментальных значе-
значений податливости кавитационных каверн. Аналогичное рассогласование в часто-
частотах кавитационных колебаний, а следовательно, и в податливостях кавитацион-
кавитационных каверн при использовании принятой авторами работы [125] схемы замыка-
замыкания кавитационной каверны было описано в разд. 3.1. Это рассогласование на
режимах бзз обратных токов в настоящей работе было устранено за счет уточне-
уточнения схемы замыкания кавитационной каверны (см. разд. 3.1). Этим и объясняется
полученная выше удовлетворительная сходимость теоретического и эксперимен-
экспериментально-расчетного способов определения зависимости упругости кавитационных
каверн от числа кавитации.
6.6. Влияние обратных токов
на кавитационные каверны
В настоящем разделе предпринята попытка на основании
сопоставления теоретических (без учета обратных токов) [см.
формулу F.27)] и расчетно-экспериментальных зависимостей
объема кавитационных каверн от числа кавитации и режима
работы насоса D.27) установить влияние обратных токов на
упругость кавитационных каверн и кавитационное сопротивле-
сопротивление во входной части шнеко-центробежных насосов.
Влияние обратных токов на объем ка-
кавитационных каверн. Постоянная интегрирования С
в формуле D.27) зависит от параметра q и может быть опреде-
определена из условия VK = 0, если число кавитации k* = k*0, где k*0—
число кавитации, соответствующее зарождению кавитации. Число
кавитации k*0 зависит от режима работы насоса k*0 — k*Q (q)-
*) Постоянная интегрирования С в выражении D.27) определялась из усло-
условия VK= 0 при k* = 0,5 [111].
180

В этом случае зависимость D.27) можно представить в виде
1+0,167-|?
VK = ^тЦ- In —. F.34)
Число кавитации &* определяется с учетом расхождения
теоретических и экспериментальных значений входного давления,
соответствующих второму критическому режиму (начало резкого
падения напора насоса).
В частности, fe* = (Pi ~ Pi ср. э) ^ а число кавитации в теоре-
теоретической зависимости VK = VK (k, q) F.27) равно k =
где
тальное и теоретическое значения входного давления, соответ-
соответствующие кавитационному срыву насоса по второму критическому
режиму.
Сравнение теоретических и расчетно-экспериментальных зави-
зависимостей объема кавитационных каверн от числа кавитации
необходимо производить при равных значениях fe* = Pl~~Pl2cp<3 =
_ Jh—Pi ср. т ^ т е отсчет начинать от числа кавитации, соот-
р-т
ветствующего второму критическому режиму. В этом случае
связь между k и /г* можно представить в виде k = fe* + fecp>T.
Теоретическое значение /гср>т рассчитывается по формуле [98]:
и 2 sin a sin F — а) ^
«Ср. т = гт—^ • Если на режимах с интенсивными
1 ~у~ COS р
обратными токами при давлениях на входе, соответствующих
исчезновению кавитационных каверн перед лопастями шнека,
наблюдается резкое возрастание частоты колебаний с увели-
увеличением входного давления, а следовательно, и упругости кави-
кавитационных каверн, то интегрировать зависимость D.24) для
объема кавитационных каверн можно только в пределах изме-
изменения k* от нуля до ko. п. ш- Это связано с тем, что зависи-
зависимость D.24) получена для режимов с обратными токами, при
Которых указанного резкого возрастания частоты колебаний
не наблюдалось. С учетом резкого возрастания частоты колебаний
постоянная интегрирования С в уравнении D.27) должна опре-
определяться из условия:
Vk=^VK.m ПрИ k*-=ko.n.ui,
181

r^e У к. ш — объем каврггациойных каверн в межлопастных кана-
каналах шнека при числе кавитации fc* = ko.n.m. При этом зависи-
зависимость D.27) будет иметь вид
V = '
к 7,5ш?2
In
1+0,167-22.
1 +0,167
aq
F.35)
Число кавитации kl.u.m(q) зависит от параметра див первом
приближении может быть определено по зависимости падения
статического давления перед лопастями шнека от режима работы
насоса [111] (см. рис. 4.8) *>.
Для определения объема кавитационных каверн в межло-
межлопастных каналах шнека при числах кавитации k* > К.и.ш можно
воспользоваться теоретической зависимостью F.27). Более досто-
достоверные данные по определению объема кавитационных каверн
при числах кавитации &* > kQ>п ш и q < 0,5 можно получить
путем экспериментального определения собственных частот коле-
колебаний жидкости в системе шнеко-центробежный насос — трубо-
трубопроводы.
На рис. 6.10 представлены зависимости отношения объемов
кавитационных каверн, определенных теоретически F.27) и
экспериментально-расчетным путем F.34) и F.35), соответ-
соответственно, от параметра q для различных значений чисел кавита-
аг
\
\ ¦*, ГУ
S TV4 ¦
0,2
0.3
0,5
Рис. 6.10. Зависимости отношения объемов кавитационных каверн от параметра
режима q для различных значений k*:
1 — k* = 0,02; 2 — k* = 0,04; 3 — k* = 0,06; 4 — k* =-- 0,1; a — расчет по формулам
F.27) и F.34); б — расчет по формулам F.27) и F.35)
*) Зависимость получена А. С. Шапиро.
182

рис. б.П- Зависимости отношения по-
податливости кавитационных каверн от
параметра q для различных значений
1/в1з h/BfT
5
- k*
0,02; 2 — k* = 0,06; 3 — k*
= 0,1
\
1
0.3
0,5
ции k*. При определении объе-
объема VK по зависимости^ F.34)
число кавитации /г* принима-
принималось равным 0,5 [111].
Из анализа этих зависимо-
зависимостей следует, что удовлетвори-
удовлетворительное согласование теорети-
теоретических и расчетно-эксперимен-
тальных зависимостей объема
кавитационных каверн от па-
параметра q наблюдается на ре-
режимах без обратных токов и
режимах, при которых интенсивность обратных токов сравни-
сравнительно невелика (до значений параметра q > 0,40 -т-0,45).
На режимах с интенсивными обратными токами при обычных
кавитационных запасах объем кавитационных каверн перед
лопастями шнека может в несколько раз превышать объем кави-
кавитационных каверн, расположенных в межлопастных каналах.
Например, при расчетах по зависимости F.34) (см. рис. 6.10, а)
при q = 0,2 и &* = 0,02 объем VKt эр с учетом обратных токов
более чем в 5 раз превышает объем VK# T, определенный без учета
кавитационных каверн перед лопаст'ями шнека.
^На режимах с обратными токами, где влияние их на суммар-
суммарный объем кавитационных каверн существенно (q < 0,4), с уве-
увеличением числа кавитации расхождение VKt9P и VKmT умень-
уменьшается, т. е. с повышением входного давления влияние обратных
токов на суммарный объем кавитационных каверн снижается,
особенно это заметно при расчетах по зависимости F.35) (см.
Рис 6.10, б).
Из анализа представленных результатов следует, что на режи-
режимах с интенсивными обратными токами (q < 0,4) и при /г* < ко. п. ш
°оъем кавитационных каверн следует определять по расчетно-
экспериментальной зависимости F.35).
Влияние обратных токов на упругость
а в и т а ц и о н н ы х каверн. Зависимости отношения
одатливостей кавитационных каверн, определенных по фор-
^Уле D.24) и численным дифференцированием решения F.27)
режима работы насоса для различных чисел кавитации k*
"Редставлены на рис. 6.11.
163

Из анализа представленных зависимостей следует, что на
режимах без обратных токов и режимах, при которых влияние
обратных токов на податливость кавитационных каверн сравни-
сравнительно невелико (q > 0,45), наблюдается удовлетворительное
согласование теоретических и расчетно-экспериментальных зна-
значений податливости кавитационных каверн.
На режимах с интенсивными обратными токами (q < 0,4)
и при fe* < k0 п ш податливость кавитационных каверн должна
определяться по расчетно-экспериментальной зависимости D.24),
поскольку в этом случае из-за возникновения кавитационных
каверн перед лопастями шнека существенно увеличивается сум-
суммарная податливость кавитационных каверн. Так, при q = 0,2
и /г* = 0,02 расчетно-экспериментальное значение податливости ка-
кавитационных каверн примерно в 15 раз превышает теоретическое
значение. С увеличением числа кавитации уменьшается степень
влияния обратных токов на суммарную податливость кавита-
кавитационных каверн, расположенных перед шнеком и в межлопастных
каналах.
Влияние обратных токов на кавитаци-
онное сопротивление во входной части
шнеко-центробежного насоса. Параметр, ха-
характеризующий относительное кавитационное сопротивление во
входной части шнеко-центробежного насоса, представляет собой
отношение тангенсов углов наклона касательных к зависимо-
зависимостям относительного объема кавитационных каверн от числа
кавитации и режима работы насоса (разд. 6.5): В2 = =^1 —=- •
dq I dk
Определяя тангенс угла наклона касательной к зависимости
относительного объема кавитационной каверны от параметра q
из формул F.34), F.35) и учитывая D.24), получим следующие
полуэмпирические зависимости кавитационного сопротивления
от числа кавитации и режима работы насоса (с учетом и без учета
резкого возрастания частоты колебаний):
10,167
к* + 0,1
*; +0,167а?
F.36)
0,167a I 1 ^ °
— ( b* 4- ^— V 0>167а \ fa. п. ш Д9 / l
, F.37)
184

При расчетах параметра В2 по зависимости F.36) предпола-
предполагалось, что ko — const = 0,5. Как показали расчеты, это не ока-
оказывает заметного влияния на значения В2 при fe* < 0,1.
На рис. 6.12 представлены зависимости отношения кавита-
ционных сопротивлений, определенных по формулам F.36),
F.37) и численным дифференцированием решения F.27), от
режима работы насоса для различных чисел кавитации /г*. Из
представленных результатов следует, что значительных отличий
в значениях кавитационных сопротивлений во входной части
шнеко-центробежных насосов, работающих на режимах с обрат-
обратными и без обратных токов, не наблюдается. В то же время сле-
следует, что на режимах с интенсивными обратными токами (q <
< 0,25) при использовании зависимости F.36) наблюдается
некоторое увеличение кавитационного сопротивления (см.
рис. 6.12, а), обусловленное влиянием обратных токов (при
q = 0,2 и fe* = 0,1 отношение
В9
1,5 . Максимальное
расхождение кавитационных сопротивлений для режимов с обрат-
обратными и без обратных токов не превышает 50%. При использова-
использовании зависимости F.37) максимальное расхождение уменьшается
до 15% (см. рис. 6.12, б). Следовательно, влияние обратных токов
на кавитационное сопротивление значительно меньше по сравне-
сравнению с их влиянием на объем и упругость кавитационных каверн.
Важно подчеркнуть, что при анализе устойчивости системы
питающий трубопровод — насос на режимах с обратными и без
обратных токов условие устойчивости системы и уравнение для
определения частоты колебаний на границе области устойчивости,
полученные в гл. 2, 3, остаются без изменений, но на режимах
с интенсивными обратными токами для определения упругости
кавитационных каверн (параметр Вх) следует использовать урав-
уравнение D.27), а для определения кавитационного сопротивления
. Зависимости отношения кавитационных сопротивлений от параметра q
для различных значений k*:
а — расчет по формулам F.37) и F.51); б — расчет по формулам F.37) и F.52);
/— /г* = 0,02; 2 — k* =0,06; 3— k* = Q,l
185

(параметр В2) — уравнения F.36), F.37) или, учиТыбая сраЁнй-
тельно слабое влияние обратных токов на параметр 52, можно
использовать решение F.27).
6.7. Оценка упругости кавитационных каверн
в центробежном колесе
Кавитационное течение в межлопастных каналах центробеж-
центробежного колеса, в отличие от осевого шнекового преднасоса, на режи-
режимах частичной кавитации в некоторых случаях может представ-
представлять не отрывное струйное течение с определенной границей
раздела фаз, а поток со множеством движущихся каверн [30].
Для оценки интенсивности кавитации в [96] вводится пара-
параметр В, который определяется отношением объемов пара Vn
и жидкости 1/ж, приходящихся на 1 кг газожидкостной смеси, т. е.
В = у2-. F.38)
Параметр В называется термодинамическим критерием кавитации.
Для оценки параметра В попытаемся воспользоваться резуль-
результатами экспериментальных исследований периодически-срывной
кавитации в трубке Вентури, из которых следует, что периоди-
периодически срывная кавитация характеризуется модифицированным чис-
числом Струхаля, а именно [90]:
ShM=^-, F.39)
Где / — частота отрыва кавитационных каверн; /к — длина ка-
витационной каверны; vc — скорость струи жидкости в крити-
критическом сечении трубки Вентури.
Установлено также что до определенной степени развития
кавитации модифицированное число Струхаля остается постоян-
постоянным [90]. Применительно к центробежному колесу на режимах
частичной кавитации модифицированное число Струхаля можно
принять равным 0,21, а в качестве скорости vc следует принять
относительную скорость на входе в центробежное колесо. Как
показали расчеты, частота отрыва кавитационных каверн может
составить величину порядка 103—104 Гц. Поэтому кавитацион-
кавитационное течение и представляет собой поток со множеством движу-
движущихся каверн.
Входная часть центробежного колеса с лопастями двоякой
кривизны в первом приближении может быть представлена в виде
решетки плоских пластин. Предполагая, что кавитационная
каверна отрывается после достижения максимальной высоты»
определяемой из решения задачи о струйном обтекании решетки
18.6

плоских пластин, находим площадь кавитационной каверны перед
отрывом [98]
FK = i/iK/K, F.40)
где hK — высота кавитационной каверны.
Применительно к плоско-параллельному обтеканию решетки
пластин определим объемные расходы жидкости и парогазовой
фазы:
?ж = ^1к^к5ШРш, F.41)
qn = fFKzK9 F.42)
где wlK — относительная скорость на входе в центробежное
колесо; tK — шаг решетки, равный ——; DK — диаметр центро-
бежного колеса на входе; zK — число лопаток центробежного
колеса; рш — угол установки лопасти шнека на выходе.
Используя выражения F.39)—F.42), определим соотношение
расходов парогазовой фазы и жидкости, а следовательно, и пара-
параметр В:
D </ж 2к sin рш * Vм*
Для определения параметра упругости кавитационных каверн
в межлопастных каналах центробежного колеса необходимо
установить величину объема проточной части центробежного
колеса, где могут существовать парогазовые каверны, движущиеся
в газожидкостном потоке, и рассчитать скорость звука в газо-
газожидкостной смеси. Область существенного повышения давления
в межлопастных каналах центробежного колеса с лопастями двоя-
двоякой кривизны начинается примерно с длины лопасти, равной
шагу решетки. Поэтому под объемом проточной части центро-
центробежного колеса, где могут существовать кавитационные каверны,
будем понимать объем, равный Кп<ч<к ^ ?к#ср sin pK сря (Rl.K —
— fa. к), где Rh.k, Л*, к — наружный и внутренний радиусы цен-
центробежного колеса на входе.
Скорость звука в газожидкостной смеси можно определить
по формуле [25]
1 4- В2
с1 =
f2
\ Рж / \ ^ Рж Cl
F.44)
где В — параметр, определяемый по выражению F.43); сЖУ
сп —¦ скорости звука в жидкости и парогазовой фазе; рж, рп —
плотности жидкости и парогазовой фазы.
Эта формула предложена В» В. Пилипенко и приведена в работе [85].
187

Связь между изменением плотности и давления газожидкост-
газожидкостной смеси представим в виде
-|г = с2- <6-45)
Запишем уравнение баланса массы в объеме Кп, ч. к проточной
части центробежного колеса
Vu
(
или, учитывая F,44), F.45),
Ж^ "V
где Q2, Q3 — объемные расходы жидкости на входе и выходе из
объема Kn#4fK.
Упругость кавитационных каверн в центробежном колесе
согласно уравнению F.46) равна
filK = -j7 . F.47)
п.ч, к
Отметим, что в отличие от параметра В1ш, параметр Вы поло-
положителен. Запишем уравнение F.46) в отклонениях:
i|i = рж?!_FB 6Q). F48)
«* •'п. ч.к
Связь между отклонениями давлений после шнека и газожидкост-
газожидкостной смеси в объеме 1/п ч к можно представить в виде
блш=вРк+Дкв<г«. F-49)
где i?K — коэффициент линеаризованного гидравлического сопро-
сопротивления при входе жидкости в межлопастные каналы центро-
центробежного колеса.
Уравнение границы области устойчивости
системы шнекоцентробежный насос — трубопро-
трубопроводы с учетом упругости кавитационных ка-
каверн в центробежном колесе и зависимости на-
напора шнека от объема кавитационных каверн.
Для выяснения влияния упругости кавитационных каверн в цент-
центробежном колесе, тангенса угла наклона касательной к зави-
зависимости напора шнека от объема кавитационных каверн и
учета потерь энергии при входе жидкости в межлопастные ка-
каналы шнека на устойчивость системы получим уравнение гра-
границы области устойчивости. Для этого уравнения F.48), F.49)
дополним следующими уравнениями в отклонениях, описываю-
описывающими динамику исследуемой системы:
— уравнением неустановившегося движения несжимаемой
жидкости в питающем трубопроводе
вРв-вл + Я^ + Л-^: F.50)
188

— уравнением, устанавливающим связь между отклонением
объема кавитационной полости и отклонениями давления и расхода
ца входе в насос:
fyi == BxbVK + B26Ql9 F,51)
где параметры В1 и В2 определяются с учетом потерь энергии
при входе жидкости в межлопастные каналы шнека:
— уравнением материального баланса для проточной части
шнека
8Q3 — 6QX; F.52)
—^ —^ V42 — ^Ч1,
— уравнением для определения отклонения давления на
выходе из шнека 6/?2ш (при постоянной частоте вращения вала
насоса)
бргш = бЛ + sm 6Q2 + еш 6VK. ш, F.53)
где sm, еш — тангенсы углов наклона касательных к зависимо-
зависимостям напора шнека от расхода и объема кавитационных каверн;
— уравнением для определения отклонения давления на
выходе из насоса 6/72 (при п = const)
б/?2 = бр2ш -f sK 6Q3, F.54)
где sK — параметр, аналогичный параметру sUI, но для центро-
центробежного колеса;
— уравнением неустановившегося движения несжимаемой
жидкости в напорном трубопроводе
1 С Г\
F.55)
При анализе устойчивости исследуемой системы отклонение
Давления в баке полагаем равным нулю. Уравнение границы
области устойчивости получим с помощью метода D-разбиения,
согласно которому решение системы уравнений F.48)—F.55)
будем искать в виде 8рх = Ьргеш, bQx = Ь^хеш и т. д.
Подставляя эти выражения в F.48)—F.55) и исключая ком-
комплексные амплитуды колебаний, получим следующее характери-
характеристическое уравнение системы, справедливое на границе области
Устойчивости:
= 0, F.56)
189

где
z2 (o, to) = -^—^2 . F.56)
Разделяя действительную и мнимую части характеристи-
характеристического уравнения и приравнивая их нулю, получим
tfi + #2 ~ -§- Im Ф (to) = 0, F.57)
/i 4- -|- Re Ф (ш) = 0, F.58)
где
Z2 @, /со) — sm — -2Н-
Разрешая F.57), F.58) относительно Blt В2> получим урав-
уравнение границы области устойчивости в плоскости указанных
параметров:
^fe F'59)
F.60)
Из уравнения F.59) можно определить выражение для частоты
колебаний на границе области устойчивости. Учитывая, что
такие параметры как еш, sm, RK и /2, не оказывают существенного
влияния на частоту колебаний, положим их равными нулю.
В этом случае уравнение F.59) упрощается и частота колебаний
будет равна:
! 1 *i
со2 = — ^ R2~$K . F.61)
7 B
Далее, принимая во внимание, что -=—^—< 1, выражение для
^2 SK
частоты колебаний на границе области устойчивости можно
записать в следующем виде:
% Lj-. F.62)
I /¦? I
Как следует из выражения F.62), если д С 1, то частота
колебаний на границе области устойчивости будет определяться,
190

как и без учета упругости кавитационных каверн во входной
части центробежного колеса, упругостью кавитационных каверн,
расположенных на лопастях шнека, и коэффициентом инерцион-
инерционных потерь давления питающего трубопровода 1г:
I R I
Отношение -^ъ^-< 1 соответствует сравнительно низким
#1К
значениям "входного давления (но существенно превышающим
давление кавитационного срыва).
С увеличением входного давления от значения, близкого
к давлению кавитационного срыва, до значения, при котором
отношение ^-^ все еще меньше единицы, частота колебаний
#1к
пропорционально увеличивается (наблюдается практически ли-
линейная зависимость частоты колебаний от давления на входе
в насос), так как согласно расчетной зависимости Вх = f (/?х),
Вг ~ (p.i — /?icpJ.
С дальнейшим повышением входного давления отношение -^J-^-
увеличивается и при этом в соответствии с уравнением для ча-
частоты колебаний F.62) постепенно будет уменьшаться тангенс
угла наклона зависимости частоты колебаний от давления на
входе в насос.
В диапазоне изменения входного давления, которому соот-
соответствует отношение -Lii ^> ], тангенс угла наклона зависи-
мости частоты колебаний от входного давления будет опреде-
определяться зависимостью В1к = / (/?2).
6.8. Влияние потерь энергии
при входе жидкости в межлопастные каналы
осевого шнекового преднасоса
на устойчивость системы
Результаты расчета границ областей устойчивости системы
питающий трубопровод — насос (для насоса № 2) в плоскости
параметров кавитационное сопротивление В2 — кавитационная
упругость Въ проведенного по уравнениям F.59), F.60) без
учета кавитационной упругости колеса в— = 0, представлены
1к
на рис. 6.13—6.15. На этих же рисунках показано перемещение
рабочих точек при изменении давления на входе в насос р1У полу-
полученных в результате решения задачи о кавитационном обтекании
решетки плоских пластин как без учета (г|э = 0), так и с учетом
потерь энергии при входе жидкости в межлопастные каналы
щнека (\|) = 0,6 и \f> = 0,85). Видно, что с увеличением ф давле-
ние на входе ръ выше которого система становится устойчивой,
понижается. JaK, при п = 0,82дном для ф_= 0 рг > 1,4 МПа,
Для ф = о,6 рх > 1,0 МПа и для i|> = 0,85 рг > 0,7 МПа.
191

-1
-2 -3
В2 Ю.МПас/м3
Рис. 6.13. Граница области устойчивости си*
стемы при п— 0,82 /гНОм- Штриховой линией
показана траектория перемещения рабочей
точки при изменении входного давления рг для
различных значений коэффициента потерь на
удар ty
Кроме того, из рис. 6.13—6.15
следует, что при определенных зна«
чениях \|э с повышением частоты
вращения вала насоса п давление
/?!, выше которого система стано-
становится устойчивой, увеличивается.
Например, при \|? = 0 для п =
= 0,8_2яном рг > 1,4 МПа, для п =
ЛноМ Pi > 2,0 МПа и для п =
= 1,11лном рх > 2,45 МПа.
Точки пересечения границы области устойчивости с траекто-
траекторией перемещения рабочих точек дают значение р*Г1 соответ-
соответствующее границе области устойчивости, т. е. позволяют полу-
получить таким образом при различных частотах вращения вала насоса
и фиксированных значениях $ теоретическую границу области
Вг10~5МПа/м3
-1
-2 -3
В210'2 МПас/м3
Рис. 6.15. Граница области устойчив
вости системы при п = 1,11 пНОм
-2 -3 -4
В Ю~2 мпа-с1м3 Рис- 6-14. Граница области устойчи*
2 ' вости системы при п == Пц0М
192

Pf.мпа
0,5
0,5
OJ
0,2
0,1
0,9
0,8
1111111111
M 1111LL ill MLLttL
mmrrrt rrrrrrrrn rrrrrrrrir
ТШГЛШЫ
0,9
iff =0,6
V
n/nH
П1пном
Рас. 6.16. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (штриховые линии)
границы областей устойчивости в плоскости режимных параметров относитель-
относительная частота вращения вала насоса п/птм — давление на входе в насос р±
Рис. 6.17. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (штриховые линии)
границы областей устойчивости в плоскости параметров относительная частота
вращения вала насоса л/пНом — число кавитации k
,»-5
0,50
МПа/м3
~5МПа/м3
0,40
0,35
0,30
n,5 0,7
0,9
V
1,Зр2лМПа
Рис- 6.18. Зависимости параметра упругости кавитационных каверн в центро-
°ежном колесе от давления за шнеком при различных значениях частоты вращения
вала насоса:
_п = 0,82лн
2 -
ном ном н0М
6.19. Граница области устойчивости системы при 1/В1к =/= 0 для п =
= 0,82пном
13
В. Пилипенко
193

устойчивости в плоскости рабочих параметров п — рх (рис. 6.16).
В данном диапазоне изменения п граница области устойчивости
является практически прямой. При известном давлении на входе
в насос, соответствующем границе области устойчивости в пло-
плоскости п—/?!, можно рассчитать значения чисел кавитации по
формуле k* = ——|^- и получить, в свою очередь, теоретиче-
р-т-
скую границу области устойчивости в плоскости параметров
п—k — (рис. 6.17), которая практически не зависит от частоты
вращения вала.
Как следует из рис. 6.16 и 6.17, область неустойчивой работы
шнеко-центробежного насоса и число кавитации, соответствующее
границе области устойчивости, существенно уменьшаются при
увеличении г|). Так, для п = /гном при г|) = 0 /г* = 0,57, а при \|),
равных 0,6 и 0,85, значения числа кавитации /г* составляют
соответственно 0,42 и 0,28.
6.9. Влияние упругости кавитационных каверн
во входной части центробежного колеса
на устойчивость системы
Расчет границ областей устойчивости в плоскости параметров
В2—Вх с учетом упругости кавитационной каверны в колесе
(-д—=f= 0 ) проводился по уравнениям F.59), F.60).
Параметр упругости кавитационных каверн в центробежном
колесе определялся по уравнению F.47); при этом предполага-
предполагалось, что во входной части центробежного колеса реализовался
периодически-срывной режим газовой кавитации с выделением
воздуха при давлении, близком к давлению насыщения — 0,1 МПа.
Исходные данные для расчета упругости: св = 340 м/с, рв =
= 1,21 кг/м3 (при Т = 293 К). Зависимость параметра В1к =
= / (р2> п) представлена на рис. 6.18. Значение параметра В1к
определялось при давлениях р2> соответствующих номинальным
значениям р±. Результаты расчетов границ областей устойчиво-
устойчивости, а также траектории рабочих точек при различных значе-
значениях i|) для трех значений п представлены на рис. 6.19—6.21.
Сопоставление границ области устойчивости в плоскости пара-
параметров В2—Вг без учета (-^—= 0 J и с учетом упругости кави-
кавитационных каверн в колесе (*-^— Ф 0j показывает, что во вто-
втором случае область неустойчивости уменьшилась. В частности,
при 7г = 0,82яном давление на входе, соответствующее границе
области устойчивости с учетом Б1к, уменьшилось с 1,4 до 0,65- МПа
при г|) = 0, а при гр = 0,6 — с 1,0 до 0,47 МПа.
194

Я/ /0, МПп/м3
В, 10~ МПа/м3
_«
-1,0 -l/j
В2Ю~2МПа с/м3
-1
-05
-1,0
В2 Ю~2МПас/м3
Рис. 6.20. Граница области устойчивости системы при 1/В1К =f= 0 для п = пном
Рис. 6.21. Граница области устойчивости системы при 1/В1к=1=0 для п = 1,11 пЕОм
Были построены границы областей устойчивости в плоскости
параметров — р и —— k (рис. 6.22, 6.23), для которых
%о %ом г
справедливы те же характерные особенности, которые описаны
. 6.8 (при ^
в разд.
ph МП а
1,00
при
0,75
0,50
Q25
^^
~п?Ш^
&&
цН-
тгпт
^^%=о
пМ
lM
lU^
7ГГП ГП
UJ
ui^1
aJ
^ Цг = 0,6
к
0,20
0,15
0,10
0,05
A
HJJ.LU
77ГТ777Т,
ШМММА
ГП7Т7ТТ7Т
ULUJJ.LUL
ГГГТ77ТТТТ
-^т//=0,6
т?,Цг=О
V П1ПН0М no nn уп ¦ 77 JfiZ
4° U>* W V nlnHOM
Рис. 6.22. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (штриховые линии)
границы области устойчивости в плоскости параметров п/пном—р1
Рис. 6.23. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (штриховые линии)
границы области устойчивости в плоскости параметров nlnm4—k
13* 195

Из рисунков видно, что область неустойчивой работы шнеко-
центробежного насоса с учетом упругости кавитационной полости
в центробежном колесе заметно уменьшается. Так, при \|? =- О
и -^— =f= 0 число кавитации, соответствующее границе области
устойчивости в плоскости параметров п—k, равно k* = 0,212,
а при ~д— —0 — к* - 0,57.
6.10. Сравнение теоретических
и экспериментальных данных
На рис. 6.16, 6.17, 6.22, 6.23 представлены экспериментальные
и теоретические *> границы областей устойчивости в плоскости
параметров — рх и — k. Последние определены для
Яном ^ном
о
различных значений \Ь как без учета (-в— =0), так и с учетом
\ #1к /
упругости кавитационных каверн во входной части центробеж-
центробежного колеса (-в—=^0). Как следует из приведенных данных,
при - — =0 и \Ь = 0 наблюдается заметное рассогласование
расчетных и экспериментальных границ областей устойчивости.
С увеличением \f> указанное рассогласование уменьшается. Так,
для ф = 0 расчетные значения &?, соответствующие границам
областей устойчивости, более чем в 6 раз превышают экспери-
экспериментальные, а для \р = 0,85 — в —3 раза.
Учет упругости кавитационной каверны в центробежном
колесе, как указывалось в разд. 6.9, несколько уменьшает
расчетную область неустойчивости и тем самым дополнительно
уменьшает рассогласование расчетных и экспериментальных гра-
границ областей устойчивости.
Кроме того, необходимо отметить качественное согласование
теоретических и экспериментальных результатов, а именно:
линейный характер расчетных и экспериментальных границ
областей устойчивости в плоскости параметров Pi в ис-
Лном
следованном диапазоне изменения частоты вращения вала насоса
и, кроме того, расчетные и экспериментальные границы областей
устойчивости в плоскости параметров — k не зависят от
Яном
частоты вращения вала насоса.
Таким образом, несмотря на определенное рассогласование
теоретических и экспериментальных границ областей устой-
*) Теоретически определялась только верхняя граница области устойчи-
устойчивости, а нижняя соответствует давлению кавитационного срыва и на рисунках
не показана.
196

60
50
,0
30
?0
/ 1/
/ /
/
/
рис. 6.24. Расчетная (сплошные
линии) и экспериментальная
(штриховые линии) зависимости
цастоты колебаний от входного дав-
давления при Q = Qhom
чивости в плоскости парамет-
п - п т
ров — Pi и — k ,
"ном "ном
следует отметить, что потери
энергии при входе жидкости
в межлопастные каналы
шнека и упругость кавита-
кавитационных каверн в центробеж-
центробежном колесе оказывают за-
заметное стабилизирующее
влияние на устойчивость си- 0 01 02 о,з
стемы и уменьшают рассог-
рассогласование расчетных и экспериментальных границ областей
устойчивости. Однако учет этих факторов оказался недостаточным
для получения приемлемого согласования теоретических и экспе-
экспериментальных границ областей устойчивости.
На рис. 6.24 представлены расчетные и экспериментальные
зависимости частоты кавитационных колебаний от входного
давления. Без учета упругости кавитационных каверн в центро-
центробежном колесе (-5—= (Л наблюдается прямопропорциональ-
ная зависимость частоты колебаний от давления на входе в насос.
С учетом упругости кавитационных каверн в центробежном
колесе тангенс угла наклона теоретической зависимости частоты
колебаний от давления на входе существенно уменьшается при
давлении на входе рг ^ 0,26 МПа, при этом наблюдается удов-
удовлетворительное согласование расчетных и экспериментальных
частот колебаний.
Учет упругости кавитационных каверн в центробежном колесе
приводит к некоторому снижению частот колебаний при доста-
достаточно развитом кавитационном течении в осевом шнековом пред-
насосе (|В1ш| С Вы) и позволяет объяснить существенное умень-
уменьшение тангенса угла наклона зависимости / = / (pj) при опре-
определенном значении входного давления В1к < | В1ш \ (при этом
частота кавитационных колебаний остается существенно меньше
собственной частоты колебаний жидкости в питающем трубопро-
трубопроводе без учета упругости кавитационных каверн).
Удовлетворительное согласование расчетных и эксперимен-
экспериментальных частот колебаний (см. рис. 6.24) указывает на возмож-
возможность использования принятой оценки упругости кавитационных
Каверн во входной части центробежного колеса при теоретическом
исследовании ее влияния на устойчивость системы.

Глава 7
НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ
КАВИТАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
В гл. 6 установлено заметное влияние потерь энергии при
входе жидкости в межлопастные каналы шнека и упругости
кавитационных каверн во входной части центробежного колеса
на устойчивость системы питающий трубопровод — насос. Од-
Однако учет этих факторов оказался недостаточным для согласо-
согласования расчетных и экспериментальных границ областей устой-
устойчивости.
Одним из допущений, принятых при разработке теоретиче-
теоретической модели кавитационных колебаний (см. гл. 3 и 6), является
предположение о квазистационарности обтекания лопастей осе-
осевого шнекового преднасоса, т. е. предположение, что изменение
размеров кавитационной каверны происходит безынерционно
в соответствии с изменениями давления и расхода (угла атаки)
на входе в насос. Это предложение было принято в связи с тем,
что время пребывания жидкости в зоне расположения кавита-
кавитационной каверны составляет величину порядка 10~3 с и суще-
существенно меньше периода кавитационных колебаний. Малые зна-
значения указанного времени объясняются тем, что длина кавита-
кавитационной каверны на режимах частичной кавитации существенно
меньше длины лопасти шнека, а относительная скорость при входе
жидкости в межлопастные каналы шнека достигает —150 м/с.
Однако, как показали наши дальнейшие исследования, реальные
значения времени пребывания жидкости в зоне расположения
кавитационной каверны, на порядок меньшие по сравнению
с периодом колебаний, оказывают существенное влияние на
устойчивость системы шнеко-центробежный насос — трубопро-
трубопроводы. Поэтому возникла необходимость установить связь между
объемом кавитационной каверны, давлением и расходом на входе
в насос с учетом неустановившегося обтекания лопастей шнека.
Модель кавитационных колебаний, основанную на решении
задачи о неустановившемся кавитационном обтекании решетки
плоских пластин, будем в дальнейшем для краткости условно
называть нестационарной [84].
198

7.1. Неустановившееся кавитационное
обтекание решетки плоских пластин
и нестационарная модель кавитационных колебаний
Рассмотрим кавитационное обтекание скошенной решетки
плоских полубесконечных пластин плоским неустановившимся
потенциальным потоком (см. рис. 1.4). Для определения связи
параметров в сечениях /—/ и //—// с учетом неустановившегося
движения жидкости запишем уравнения, выражающие законы
сохранения массы, количества движения и энергии в интеграль-
интегральной форме. Эти уравнения имеют вид [14]:
vndS = 0, G.1)
G.2)
x(nv)dS + I (Tn)dS+ I p(Fv)dV +
V
G.3)
где V — объем, занимаемый рассматриваемой массой жидкости
в данный момент времени t\ S — поверхность, ограничивающая
этот объем; р — плотность жидкости; р — давление в данной
точка жидкости; vn — нормальная составляющая скорости; v—
->
вектор скорости; п — внешняя нормаль к элементу поверхно-
-> ->
сти dS\ F — массовая сила, отнесенная к единице массы; хп —
напряжение трения; U — внутренняя энергия единицы массы
у2
Жидкости; ~2 кинетическая энергия единицы массы жидко-
сти» Яп — нормальная составляющая вектора теплового потока;
8 — количество тепла, выделяемое единицей массы жидкости
За единицу времени.
199

Запишем приведенные выше интегральные уравнения G.1)—~
G.3) применительно к массе жидкости, заключенной между сече-
сечениями /—/ и //—//. Рассматриваемая скошенная решетка пла-
пластин представляет собой развертку цилиндрической поверхности
шнека постоянного шага, соответствующей произвольному ра-
радиусу г. Для плоского потока единичной толщины объем, зани-
занимаемый жидкостью, V = F-1, а поверхность S = L-1.
Контур L, ограничивающий поверхность жидкости F,
состоит из отрезков /—/, //—//, равных шагу решетки / = -^
и t :—jj-, участка лопасти шнека длиной 1К и контура кави-
тационной каверны LK.
Будем рассматривать неустановившееся движение идеальной
несжимаемой жидкости без учета массовых сил (в данном случае
силы тяжести) при отсутствии подвода и выделения тепла. В этом
случае F = О, т„ = 0, qn = 0, 8 = 0, р = const, U = const.
Уравнение сохранения массы жидкости G.1) можно предста-
представить в виде
(^) §dL = O, G.4)
где clm> с2т — нормальные составляющие скоростей к поверхно-
поверхностям /—/ и //—//.
Интеграл J vn dL представляет скорость изменения площади
кавитационной каверны. Если скорость vn совпадает с направле-
направлением внешней нормали, то
°bbJL G.5)
dt
Согласно треугольникам скоростей на входе и выходе из рас-
рассматриваемого объема
с1т = wx sin (P —а), G.6)
с2т = v»2 sin р, G.7)
где wlt w2 — относительные скорости на входе и выходе из рас-
рассматриваемого объема; а — угол атаки.
С учетом полученных выражений G.5)—^G,7) запишем урав-
уравнение сохранения массы жидкости
р—д^' = pw2(t sin P — hK) — pw±t sin (P — a). G.8)
200

Уравнение сохранения количества движения G.2) в проекции
на ось х
-^г- dFm + р2 (t sin P — 1гк) -{- pw2w2 (t sin p — hK) — pxt sin p —
— pwxwxt cos a sin (P — a) -{- J/yz^dL + ^n [p^cos6dL-= 0, G.9)
где /?x и p2 — давления жидкости в сечениях /—/ и //—//;
wx — проекция относительной скорости на ось х\ wn — отно-
относительная скорость на границе кавитационной каверны; б — угол
между касательной к контуру кавитационной каверны и осью х.
Интеграл
г
\xnx&L-=-pnhw, G.10)
г dF (r t)
а pwn J vn cos bdL = — pwn cos 6cp —^—, G.11)
где 6ср — средний угол между касательной к контуру кавита-
кавитационной каверны и осью х на входе и выходе из рассматриваемого
объема принят равным - 1 2 B или, учитывая, что бх -- а, б2 -^ 0,
получим бср = -х-.
С учетом выражений G.10), G.11) уравнение сохранения
количества движения в проекции на ось х G.9) можно представить
в виде
J
+ P^i w^cos a sin (P — a) — р2 (t sin p — /iK) —
- p^2^2(<sinp - hK) -pn/tK. G.12)
Уравнение сохранения энергии G.3)
- агж + {р2 + Р "J ^2 (' sin р — hK) — I Pi + p-y J
ш^ sin (Р - a) -f J L + р ^-) ^ ^^ -= 0.
X
Интеграл
G . ^п \ ,. ( , wh \ dFK(r, t)
In -4- П 7/ W/ — Г) -4- П — '
f-к
201

тогда получим
^к (П t)
- Р2 + Р -тг w2(t sin$- /гк). G.13)
рр рр д —
При вычислении интегралов I I -^- dFm и \ I—^— d^ сред-
ж
нюю скорость в рассматриваемом объеме можно приближенно
считать равной wx.
В этом случае
а/ ж а/ ж*
а —
2 in dwl
dt
K
/7
Для дальнейшего анализа устойчивости системы необходимо
установить связь между отклонением объема кавитационной
каверны и отклонениями давления и расхода на входе в насос.
С целью установления этой связи произведем линеаризацию
уравнений G.8), G.12), G.13)
" I / sin p ) 0W* t sin p °n ~
L_
t sin p di
— wxbq< G.14)
яа Г sin (p — a)
sin p dt + t sin p
pw'j cos a 6^ -f- pw\q б cos a + 2pw\q cos a 6^i — 6/>2 X
202

t sin (p — a)
- sin (P — a)
Я = —iiHli—
G.16)
l
При линеаризации указанных уравнений использовалось урав-
уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жид-
жидкости
Pi + 9~y~ = Рг + P-j- = Pn + P -y = const.
Кроме того, предполагалось, что давление в кавитационной
каверне /?„ = const, что справедливо, если время релаксации,
характеризующее скорость испарения и конденсации пара в ка-
каверне, существенно меньше периода колебаний.
Исключая из полученных уравнений G.14)—G.16) отклонения
скорости и давления в сечении //—//, получим
r sin p dt ' pW2t sin
р к
UK
sin P
! — шх (R cos a — 1) Sq — сг»^ q' б cos a —
=f-Bq cos a —Rq) — q\6w1-j--=-\-? . ft —л.
/sin (P — a) ^ J"
G 17)
В разд. 6.3 было показано, что контур кавитационной ка-
каверны между сечениями /—/ и //—// близок к прямой, распо-
расположенной под углом атаки а. Поэтому площадь кавитационной
каверны /^ = 1-^-,
, л , *¦¦«,¦• G-18)
Выразим отклонения параметров б</, 6wu б cos а, б tg а через
отклонения скорости clm и окружной скорости w:
bq = COS1(P ~ a) [Ьш - tg (р - а) 6и], G.19)
w sin р
с sin a cos2 (В — a) r? , /o —ч с , .- л/чч
б cos a = =-^ L[&?lm-tg(P-a)eu], G.20)
203

atg ос = - cos-(P _a) [6clm - tg (p - a) 6»], G.21)
и cos2 a
*! = sin (p — a) 6clm -f cos (P — a) 6a.
G.22)
Подставив полученные соотношения G.18)—G.22) в уравне-
уравнение G.17), после некоторых преобразований получим:
'° + б/^к (г, 0 = Л 6Pl @ -f Л &clm (/) f
г, t) +
Аъ
G.23)
где
т, — ~
1 + k — -±r-
/?2
pwfl+S--:
п i+k- -L-
/?8
Г2 cos L _ l
- / - - i \
2?slnptg(P-a)Bcosa-/?--j^-
sin a
/к I H- A + fT
_ /K^cos(p —a) sin (P —
; : :
^з =
2 cos (P — a) (R — cos a) |- 2q sin p X
Xsina —
2/ cos2 a
1
-4 , cos2(p — a)
a)+ ^ ;
- R) cos (P - a) -
sin
204

В соответствии с принятой схемой замыкания навигационной
каверны (см. разд. 3.1) связь между отклонением площади кави-
тационной каверны, расположенной между сечениями /—/ и
//—//, и отклонением общей площади jFkS можно представить
в виде б/7^ = х 8Fк, где к = -~^ 1.
Умножая уравнение G.23) на кг dr и интегрируя в пределах
от внутреннего до наружного радиуса шнека (от гв до /?н), получим:
dpi dQ On
, G.24)
где
~ dbvK
к. cp dl -J jk dt
_ / dbFK(r,t) ,
bVK = f 6FK(r, t) kz dr, -^- = xz [ Лх dr,
-Ж =
R»
D ^ яхг\ А-/ dr, T\ -= —r-^—^- \ Л4 dr;
бя, 6Qj — отклонения частоты вращения вала насоса и расхода
жидкости на входе в насос.
Если в процессе колебаний частота вращения вала насоса
остается постоянной, то б/г = 0 и уравнение G.24) упрощается:
-. G.25)
Согласно уравнению G.25) учет неустановившегося движения
жидкости при обтекании лопастей шнека в режиме частичной
кавитации (при п = const) приводит к появлению двух новых
членов в уравнении для определения зависимости отклонения
объема кавитационной каверны от отклонений давления и расхода
на входе в насос. Первый из них характеризуется временем Тк ср
и скоростью изменения 6УК.
205

Результаты расчетов показывают, что время Тк ср ^ -=?-,
поскольку множитель —-^-^ = =^ — в широком диапазоне
изменения входного давления незначительно отличается от еди-
единицы, т. е. постоянная времени кавитационных каверн Тк ср
близка к времени пребывания жидкости на входном участке
шнека между сечениями /—/ и //—//. Второй член т\—-~
характеризует инерционные потери давления на указанном вход-
ном участке шнека, а отношение =-^=— ^= 1К ... можно назвать
dVK/dPl
коэффициентом инерционных потерь давления.
Покажем, что динамические свойства осевого шнекового пред-
насоса в простейшем случае описываются дифференциальным
уравнением второго порядка. Для этого предположим, что ампли-
амплитуда колебаний расхода на выходе из насоса существенно меньше
амплитуды колебаний расхода на входе в насос (это, как правило,
выполняется для высоконапорных насосов). В этом случае, пола-
полагая отклонение расхода на выходе из насоса 6Q2 = 0, уравнение
сохранения массы жидкости G.14) после умножения его на кг dr
и интегрирования в пределах от гв до Rl{ можно представить
в виде
^ = - 6QX. G.26)
Подставляя в уравнение G.25) отклонение расхода SQX из
уравнения G.26), получим
^)^-ЬбКк=^-бР1. G.27)
Таким образом, динамические свойства осевого шнекового
преднасоса, работающего в режиме частичной кавитации, опи-
описываются дифференциальным уравнением второго порядка
(см. разд. 4.3).
Теоретическая модель кавитационных колебаний, основанная
на решении задачи о неустановившемся обтекании решетки пло-
плоских пластин, в простейшем случае, кроме уравнения динамики
кавитационных каверн в межлопастные каналы шнека G.25),
включает уравнения сохранения массы жидкости в проточной
части насоса, неустановившегося движения жидкости в питающем
и напорном трубопроводах и уравнение, устанавливающее связь
между отклонениями давлений на входе и выходе из насоса и
напора насоса.
206.

7.2. Уравнения границы
области устойчивости системы
в простейшем случае
С целью выяснения влияния параметров, характеризующих
неустановившееся обтекание лопастей осевого шнекового пред-
насоса, на устойчивость системы питающий трубопровод—насос,
получим уравнения границы области устойчивости в простейшем
случае.
Для этого запишем исходную систему уравнений в отклоне-
отклонениях, включающую уравнения динамики кавитационных каверн
в межлопастных каналах шнека G.25) (причем необходимо, чтобы
в интересующем нас диапазоне частот выполнялось условие
со <^-у— У, уравнения сохранения массы жидкости; неустано-
неустановившегося движения несжимаемой жидкости в питающем и напор-
напорном трубопроводах (без учета инерционных потерь в напорном
трубопроводе); уравнения, определяющие связь между откло-
отклонением давления на входе и выходе из насоса и напором насоса
при п = const (последнее уравнение не учитывает зависимости
напора насоса от объема кавитационных каверн, что допустимо
для достаточно высоких значений входного давления, когда нет
заметного изменения напоров шнека и насоса в целом по стати-
статическим кавитационным характеристикам):
at
G.28)
бр2 = 8рг -j- s SQ2 (при п .= const).
Для определения границ области устойчивости системы вос-
воспользуемся методом D-разбиения. Согласно этому методу решение
системы уравнений G.28) будем искать в виде 8рг = Ьрхе1ш,
SQi = Щгеш и т. д.
Подставляя указанные выражения в G.28) и исключая все
комплексные амплитуды колебаний, получим следующее харак-
характеристическое уравнение системы, справедливое на границе
области устойчивости:
1121кср + ^
х + i<*h + -f—б б — - 0. G.29)
1 к срД] От
?2 — s)
207

Разделяя действительную и мнимую части характеристиче-
характеристического уравнения G.29) и приравнивая их нулю, получим
R, + В2 - В, ( Гк. ср + 7l \lKlcf" ) --= 0, G.30)
Частоту колебаний на границе области устойчивости опре-
определим из уравнения G.31)
Rl
J _ _ А
/ R Т2 R Т
7l I °U 1 Di* к. ср
Т
Разрешая уравнение G.30) относительно параметра В2У опре-
определим границу области устойчивости в плоскости параметров
Вг—В2:
[( ^) ^] G-33)
7.3. К расчету границ областей
устойчивости системы
в плоскости режимных параметров
Уравнение границы области устойчивости G.33) с учетом не-
неустановившегося обтекания лопастей осевого шнекового пред-
насоса, как и уравнение C.8а), соответствующее квазистацио-
квазистационарной модели кавитационных колебаний, позволяет рассчитать
границу области устойчивости не только в плоскости параметров
кавитационное сопротивление при входе жидкости в межлопаст-
межлопастные каналы шнека В2 — кавитационная упругость Въ но и
в плоскости режимных параметров. Для этого необходимо уста-
установить зависимость коэффициентов уравнения G.33) от режим-
режимных параметров.
Зависимости параметров Вх иВ2°т числа кавитации (входного
давления), расхода и частоты вращения вала насоса с учетом
(\f> =h 0) и без учета (ф = 0) потерь энергии при входе жидкости
в межлопастные каналы шнека позволяет определить уравне-
уравнение F.27).
Постоянная времени кавитационной каверны Т*к#ср зависит
от числа кавитации, расхода и частоты вращения вала насоса.
Параметры R и /к, соответствующие установившемуся режиму,
определяются по уравнениям F.6) и F.18).
На рис. 7.1 представлены результаты расчетов границ обла-
областей устойчивости в плоскости параметров В2—Вх. Штриховой
линией показана траектория перемещения рабочих точек при
206

Рис. 7.1. Границы обла-
областей устойчивости систе-
системы в плоскости параме-
параметров кавитационное со-
сопротивление В 2 — кави-
тационная упругость Вх
с учетом постоянной вре-
времени Гк.гО
0075
-0t050
-0,025
изменении давления на входе в насос р1у получаемых, как выше
отмечалось, в результате решения задачи о кавитационном обте-
обтекании решетки плоских пластин с учетом потерь энергии при
входе жидкости в межлопастные каналы шнека.
Расчетная граница в плоскости указанных параметров пред-
представляет собой прямую, тангенс угла наклона которой зависит
от постоянной времени кавитационной каверны Тк#ср. Сопо-
Сопоставляя положения рабочей точки и расчетной границы при фик-
фиксированном значении давления рг, определяем состояние системы:
рабочая точка располагается выше границы — система устой-
устойчива, ниже — неустойчива. В конечном итоге получаем значе-
значение давления /?*, при котором система находится на границе
устойчивости. В частности, как следует из рис. 7.1, система
находится на границе устойчивости при двух значениях давле-
давления /?*, равных 0,06 и 0,23 МПа (в диапазоне давления 0,06—
0,23 МПа система неустойчива). Проводя аналогичные расчеты
для ряда значений частоты вращения вала насоса п и расхода
Q, определяем теоретические границы области устойчивости в пло-
- - - -г Q *
скости режимных параметров п—ръ n—k, -^ А и др.
VHOM
7.4. Анализ уравнений границы области устойчивости
и сравнение теоретических
и экспериментальных результатов [84]
Из анализа уравнения G.33) следует, что:
— граница области устойчивости представляет прямую, тан-
тангенс угла наклона которой определяется в основном постоянной
И В- В. Пилипенко 209

времени кавитационной каверны и отношением коэффициентов
инерционного сопротивления питающего и гидравлического со-
отношение р х—< 1 );
/<2 — S /
— при малых длинах питающего трубопровода (малые зна-
значения /х) и больших гидравлических сопротивлениях на выходе
из насоса R2, как показывают расчеты, положение границы об-
области устойчивости в плоскости параметров В2—Вг определяется
в основном коэффициентом гидравлического сопротивления пита-
питающего трубопровода R1 и постоянной времени кавитационной
каверны Тк ср, т. е. в этих условиях проявляется определяющее
стабилизирующее влияние постоянной времени Тк ср на устой-
устойчивость системы;
— при больших длинах питающего трубопровода и сравни-
сравнительно малых гидравлических сопротивлениях на выходе из
насоса слагаемое р *— может превышать Тк ср, в этом случае
А 2 S
заметно снижается влияние постоянной времени кавитационной
каверны на устойчивость системы и, по-видимому, удовлетво-
удовлетворительное согласование расчетных и экспериментальных границ
областей устойчивости можно получить на базе квазистационар-
квазистационарной модели обтекания лопастей шнека (см. гл. 6).
Из уравнения G.32) следует, что частота колебаний на гра-
границе области устойчивости не зависит от параметра В2.
Оценка величин слагаемых в уравнении G.32) для частоты
колебаний на границе области устойчивости для исследуемой
системы показывает, что —^—-— <^ 1, р к'сР <^ 1.
А2 ^ А2 — S
Поэтому частота колебаний на границе области устойчивости
<->2~--Т- !гт5-- G-34)
Следовательно, постоянная времени кавитационной каверны
не оказывает заметного влияния на частоту кавитационных коле-
колебаний. Влияние коэффициента инерционных потерь давления на
входном участке шнека —В\Т\ = /к. ш на частоту колебаний
проявляется при малых длинах питающей магистрали.
На основании простейшего уравнения границы области устой-
устойчивости G.33) были проведены расчеты границ областей устой-
устойчивости в плоскости параметров В%—Вг для различных частот
вращения вала насоса с учетом и без учета постоянной вре-
времени Ткср.
Расчеты были выполнены для шнеко-центробежного насоса № 2.
Рассмотрим результаты расчетов границ областей устойчи-
устойчивости без учета постоянной времени Гк ср для различной частоты
вращения вала насоса, представленные на рис. 7.2. На этом же
рисунке показано перемещение рабочих точек (штриховые линии)
210

при изменении давления на входе в насос рг. Из этих результа-
результатов следует, что с повышением частоты вращения вала насоса п
давление р1у выше которого система становится устойчивой,
увеличивается. Точки пересечения границы области устойчи-
устойчивости с траекторией перемещения рабочих точек дают значе-
значение /?*г, соответствующее границе области устойчивости, и по-
позволяют получить границу области устойчивости в плоскости
параметров п—рг.
На рис. 7.3, а эта граница обозначена цифрой 1. При извест-
известном давлении на входе в насос, соответствующем границе области
устойчивости в плоскости параметров п—р1у можно рассчитать
значения чисел кавитации и получить теоретическую границу
области устойчивости в плоскости параметров п—k (рис. 7.3, б
цифра 1). Экспериментальные границы устойчивости исследуемой
системы также представлены на рис. 7.3 и обозначены штрихо-
штриховыми линиями. Из сопоставления расчетных и эксперименталь-
экспериментальных результатов следует, что без учета времени Тк ср наблю-
наблюдается значительное рассогласование расчетных и эксперимен-
экспериментальных границ областей устойчивости. В частности, для верх-
—*
ней границы отношение -=?- достигает —8,5.
Сопоставление расчетных (с учетом постоянной времени Тк ср)
и экспериментальных границ областей устойчивости в плоскости
параметров п—рг и п—k (на рис. 7.3, а, б, границы с учетом Тк ср
В, 10~5МПа/м3
-70
-50
-50
-40
-30
-20
-10
В, 10\5МИа1м3
Рн
/.
—
. >
/
I л
-1 -2 -J
0~?
В 2 10~?МПас1м3
а)
МПа /mj
-3,2 Ml
У
2,0
1 -2 -3 -4 0 -1 ~2 -3
В2 Ю,2 МПа с/м3
Рис. 7.2. Границы областей устойчивости системы без учета постоянной вре-
времени Тк. ср для различных значений частоты вращения вала насоса:
а — п = 0,82/гном; б — п = пн
— п = 1,11пн
14*
211

СЗ^Ч
—-
ч
^ч
Чц,
1
к\
1
гтп гтт jm
3
3
3
3
3
3
им ил. ил
11111111111,
X
11
212

обозначены цифрой 2) подтверждает вывод о том, что при малых
длинах питающей магистрали и больших гидравлических сопро-
сопротивлениях на выходе из насоса определяющее стабилизирующее
влияние на устойчивость системы оказывает постоянная времени
кавитационной каверны. Учет неустановившегося обтекания лопа-
лопастей шнека даже в рассматриваемом здесь простейшем случае
позволил получить сравнительно удовлетворительное согласо-
согласование расчетных и экспериментальных границ областей устой-
устойчивости. Для малых значений 1г без учета /к ш наблюдается зна-
значительное расхождение расчетных и экспериментальных частот
колебаний (рис. 7.4). Нестационарная модель кавитационных
колебаний позволяет устранить рассогласование расчетных и
экспериментальных частот колебаний для малых длин питающих
магистралей (см. рис. 7.4,6, расчет с учетом /кш).
7.5. Влияние конструктивных параметров
осевого шнекового преднасоса
на устойчивость системы
На базе теоретического определения границ областей устой-
устойчивости в плоскости режимных параметров -^ р\ приводятся
VHOM
результаты расчетов влияния основных конструктивных пара-
параметров осевого шнекового преднасоса — угла установки лопасти,
наружного диаметра и числа заходов — на устойчивость системы.
Эти результаты изложены в работе [28].
Расчеты выполнялись применительно к шнеко-центробежному
насосу № 1.
Влияние угла установки лопасти. Прежде
всего следует отметить, что расчетная область неустойчивости
для каждого угла |3 имеет характерную остроугольную форму,
причем с уменьшением относительного расхода область неустой-
неустойчивости расширяется. Результаты расчетов позволили выявить
неоднозначное влияние угла р на устойчивость системы. С уве-
увеличением угла установки лопасти шнека р с 4° 28' до 5° 40'
и далее до 6° 52' область неустойчивой работы шнеко-центро-
бежного насоса расширяется. При дальнейшем увеличении угла |3
до 8° 10' область неустойчивости практически не изменяется и,
наконец, при значении угла |3 = 11° 58' область неустойчивости
заметно уменьшается (рис. 7.5).
Заметное уменьшение области неустойчивости с увеличением
угла установки лопасти наблюдается при значении р, которому
соответствует параметр ражима q (при Q = QmM)y равный 0,3.
При таком значении q наблюдаются интенсивные обратные токи.
Напомним, что нестационарная модель кавитационных коле-
колебаний разработана без учета обратных токов и ее использование
213

А Гц
50
30
20
0,1
W
0,6
0,8
J
/
•
/1
7
У
/
А
/
/
0,2 0,3 р^МПа
Рис. 7.5. Расчетные границы областей устойчивости системы в плоскости режим-
режимных параметров относительный расход Q/QHOM — входное давление ~рг для раз-
различных значений угла установки лопасти шнека:
Л — Р = 4° 28'; О — Р = 5° 40'; D — Р = 6° 52'; т~3 — 6 = 8° 10'*
* - 0 = 11° 58'
Рис. 7.6. Расчетные зависимости частоты кавитационных колебаний от входного
давления для различных значений угла установки лопасти шнека р:
1 — Р = 4° 28'; 2 — 5° 40'; 5 — 6° 52'; 4 — 8° 10'; 5—11° 58'
для режимов с интенсивными обратными токами (</"= 0,3) может
привести к неверным результатам относительно влияния кон-
конструктивных параметров шнека, в частности, угла р на устой-
устойчивость системы. При использовании этой модели для режимов
с интенсивными обратными токами, по крайней мере, параметры
В± и Б2 должны определяться по расчетно-экспериментальным
зависимостям D.24), F.36).
Частоту колебаний / = -|^- можно определить по фор-
формуле G.32).
Расчетные зависимости частоты колебаний / от входного дав-
давления /?! для различных значений угла р на режиме Q = QHOM,
полученные на основании выражения G.32), представлены на
рис. 7.6. Наблюдается характерная для кавитационных автоко-
автоколебаний прямопропорциональная зависимость частоты колебаний
от давления на входе _в насос, причем с увеличением угла р ча-
частота колебаний при рг = const понижается. Это связано с тем,
что с увеличением угла р растет объем кавитационных каверн,
расположенных в межлопастных каналах шнека, и, следовательно,
уменьшается параметр 15x1, оказывающий определяющее влия-
влияние на частоту колебаний на границе области устойчивости.
214

30
20
10
I
/
/
/
/
/
г
>
0,2
o,3ph мпа
Рис. 7.7. Расчетные границы областей устойчивости системы для различных
значений наружного диаметра шнека:
1 — DH= 0,11 м; 2 — DH = 0,12 м; 3 — Z>H = 0,14 м
Рис. 7.8. Расчетные зависимости частоты кавитационных колебаний от входного
давления для различных значений наружного диаметра шнека:
1 - DH = 0,11 м; 2 — DH = 0,12 м; 3 - DH = 0,14 м
20
10
Ofi
/
J
0,6
0,8
0.1
0.2
0,3ph МПа
Рис. 7.9. Расчетные границы областей устойчивости системы для различных
значений числа заходов шнека:
У — z=l; 2 — z = 2; <? — г = 3
Рис. 7./0. Расчетные зависимости частоты кавитационных колебаний от вход-
входного давления для различных значений числа заходов шнека:
/— 2=1; 2 — 2=2; # — 2=3
215

Влияние наружного диаметра. Как следует
из результатов расчетов, с увеличением наружного диаметра
шнека область неустойчивости расширяется (рис. 7.7), а частота
колебаний при рх = const и Q = QHOM (рис. 7.8) уменьшается.
Влияние числа заходов. Как видно из рис. 7.9,
с увеличением числа заходов шнека с одного до двух происходит
некоторая дестабилизация системы на режимах л < 0,75
_ чном
и стабилизация — при -=^— > 0,75. При дальнейшем увеличе-
увеличенном
нии числа заходов шнека до z = 3 наблюдается стабилизация
системы во всем исследуемом диапазоне по расходу.
С уменьшением числа заходов шнека с z = 3 до 2 и далее
до 1 частота колебаний при рг = const и Q = QH0M также умень-
уменьшается (рис. 7.10).
7.6. Сопоставление теоретических
и экспериментальных результатов
Для дальнейшего анализа полученных теоретических резуль-
результатов использованы приведенные в разд. 4.7 экспериментальные
данные по влиянию основных конструктивных параметров осе-
осевого шнекового преднасоса на кавитационные автоколебания
в виде границ областей устойчивости работы насоса при постоян-
постоянной частоте вращения вала насоса п — const в координатах отно-
относительный расход -~ входное давление р± и зависимостей
Чном
частот автоколебаний от входного давления и относительного
расхода.
На рис. 7.11 и 7.12 представлены расчетные и эксперимен-
экспериментальные данные для шнеко-центробежного насоса № 1.
На рис. 7.11 и на рис. 7.13, 7.15, 7.17 теоретические границы
изображены сплошными линиями, а экспериментальные — штри-
штриховыми. Экспериментальная область неустойчивости, также как
и теоретическая, имеет характерную остроугольную форму и
с уменьшением относительного расхода расширяется. Наблю-
Наблюдается удовлетворительное согласование расчетных и экспери-
экспериментальных границ областей устойчивости в плоскости режимных
параметров -^ р\ во всем исследованном диапазоне отно-
чном
сительного расхода.
При этом следует отметить неожиданный результат — удов-
удовлетворительное согласование теоретических и экспериментальных
границ областей устойчивости при малых значениях расхода —
на режимах с обратными токами (например, при Q = 0,4QHOM,
что соответствует коэффициенту режима q ^ 0,18). Возможно,
что удовлетворительное согласование расчетных и эксперимен-
216

ph МПа
0,3
О?
птттттгт
30
10
0,6
0,8
1,0
У
0,3 ph мпа
Рис. 7.11. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (штриховые линии)
границы областей устойчивости системы. Насос № 1 с углом установки лопасти
шнека Р = 5° 10е
Рис. 7.12. Расчетные зависимости частоты кавитационных колебаний от вход-
входного давления и экспериментальные значения частоты колебаний для различных
значений расхода в системе (насос Ml, P = 8° 10'):
/, А - Q = QHOM; 2, Ш - 0"= 0,8QHOM; 3, ф - Q = 0,5QHOM
0,4
1 Ц
30
го
10
•
/
<
У
К/
0,2
0,3 ph МПа
Рис. 7.13. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (штриховые линии)
границы областей устойчивости системы. Насос № 1 с углом установки лопасти
шнека р = 6° 52'
Рис. 7.14. Расчетные зависимости частоты кавитационных колебаний от входного
давления и экспериментальные значения частоты колебаний для различных зна-
значений расхода в системе (насос № /, Р = 6° 52'):
2, Ш - -Q - 0,8QHOM; 3, % - Q = 0,5QHOM
217

0,4
0,6
'Ч
30
20
10
У
*
0,2 0,Зр^МПп
Рис. 7.15. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (штриховые ли-
линии) границы областей устойчивости системы. Насос № 1 с наружным диаметром
шнека DH =OJ1 м
Рис. 7.16. Расчетные зависимости частоты кавитационных колебаний от вход-
входного давления и экспериментальные значения частоты колебаний для различных
значений расхода (насос № 1, DH= 0J1 м):
2, Ш - Q = 0,8QHOM; 3, • - Q = 0,5QHOM
ph МПа
о,в
0,8
0,2
0,3 р„ МПа
Рис. 7.17. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (штриховые линии)
границы области устойчивости системы. Насос Ml, z= 1
Рис. 7.18. Расчетные зависимости частоты кавитационных колебаний от входного
давления и экспериментальные значения частоты колебаний для различных зна-
значений расхода в системе (насос М 1, z= 1):
Л А - <f= Qhom; 2,m-Q=* 0,8QHOM
218

тальных границ областей устойчивости на режимах с интенсив-
интенсивными обратными токами обусловлено следующими причинами.
Во первых, как указывалось в разд. 6.6, обратные токи не
оказывают существенного влияния на кавитационное сопротив-
сопротивление при входе жидкости в межлопастные каналы шнека.
Во-вторых, верхняя граница области устойчивости соответ-
соответствует числам кавитации, при которых кавитационные каверны
перед шнеком не возникают.
В-третьих, нижняя граница области устойчивости соответ-
соответствует давлениям на входе, близким к давлениям кавитационного
срыва, при которых интенсивность обратных токов резко сни-
снижается.
На рис. 7.12 представлены теоретические зависимости частоты
кавитационных колебаний / от давления на входе в насос рг
для различных расходов в системе. На рис. 7.14, 7.16 и 7.18
теоретические зависимости / = / (рх)__при Q = QHOM обозначены
цифрой Д при Q ==_0,8 QHOM — 2, при Q = 0,5 QH0M — 3. С умень-
уменьшением расхода от Q = QhomjxoQ = 0,8QHOJf идалее до Q = 0,5QHOM
наблюдается снижение колебаний при рг = const.
Экспериментальные значения частоты колебаний, приведен-
приведенные на рис. 7.12, определялись именно на тех режимах, на которых
форма колебаний была близка к гармонической. Как и следовало
ожидать, частоты колебаний, полученные по линейной модели,
располагаются несколько выше экспериментальных. Однако на
всех режимах работы насоса наблюдается удовлетворительное
согласование расчетных и экспериментальных значений частоты
колебаний.
Удовлетворительное согласование расчетных и эксперимен-
экспериментальных частот колебаний вблизи границы области устойчивости
на режимах с обратными токами объясняется либо отсутствием
кавитационных каверн перед лопастями шнека (верхняя граница),
либо слабой интенсивностью обратных токов (нижняя гра-
граница).
С уменьшением угла установки лопасти шнека р до 6° 52',
как следует из сопоставления данных на рис. 7.11 и 7.13, наблю-
наблюдается заметное уменьшение области неустойчивости, полученной
при экспериментальном исследовании. Теоретическая же область
неустойчивости, как отмечалось в разд. 7.5, при таком изменении
угла р остается практически постоянной, хотя при дальнейшем
уменьшении р устойчивость системы повышается. Но количе-
количественно это проявляется не в такой степени, как выявлено при
экспериментальном исследовании. В то же время расчетные и
экспериментальные значения частоты колебаний удовлетвори-
удовлетворительно согласуются как на режиме Q = 0,8QHOM, так и на режиме
Q = 0,5 QH0M (см. рис. 7.14). С уменьшением угла f5 расчетные
и экспериментальные значения частот колебаний увеличиваются.
219

При уменьшении наружного диаметра шнека с 0,12 до 0,11 м
(см. рис. 7.15) расчетная и экспериментальная области неустой-
неустойчивости уменьшаются. Так, диапазон входного давления, в кото-
котором система неустойчива, на режиме Q = 0,8QHOM при экспери-
экспериментальном исследовании для DH = 0,12 м составляет — 0,085-^-
ч-0,28 МПа, а для DH = 0,H м —0,08^-0,17 МПа. Расчетные
данные соответственно следующие: 0,03—0,28 и 0,03—0,22 МПа.
Из представленных на рис. 7.15 и 7.16 данных видно удовлет-
удовлетворительное согласование расчетных и экспериментальных гра-
границ областей устойчивости и частот колебаний. Кроме того, рас-
расчетные и экспериментальные частоты колебаний с уменьшением
наружного диаметра увеличиваются.
Далее, из сопоставления данных рис. 7.11 и 7.17 следует, что
с уменьшением числа заходов шнека с двух до одного в экспери-
экспериментальном и расчетном исследовании область неустойчивости до
расхода Q ^ 0,75QHOM сужается, а свыше этого значения — рас-
расширяется. Наблюдается удовлетворительное согласование расчет-
расчетных и экспериментальных границ областей устойчивости
(рис. 7.17) и частот колебаний (рис. 7.18).
Таким образом, теоретические и экспериментальные резуль-
результаты исследования влияния конструктивных параметров осевого
шнекового преднасоса на устойчивость системы не только выяв-
выявляют одни и те же тенденции, но и количественно удовлетвори-
удовлетворительно согласуются, что указывает на правильность предло-
предложенной теоретической нестационарной модели кавитационных
колебаний.

Глава 8
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ
ШНЕКО-ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ
НАСОС-ТРУБОПРОВОДЫ
8.1. Теоретическое определение входного импеданса
шнеко-центробежного насоса
Для теоретического определения входного импеданса шнеко-
центробежного насоса в режиме частичной кавитации без обрат-
обратных токов [38] используем уравнения C.14)—C.17) квазиста-
квазистационарной струйной модели кавитационных колебаний и запишем
их для режима вынужденных гармонических колебаний, пред-
представляя переменные системы в виде произведения соответству-
соответствующих комплексных амплитуд на еш, например, 8р = 8ре1Ш
и т. д.
Ьрг^В^ + ВМ, (8.1)
«o6VK = 6Qa-6Qlf (8.2)
6p2-(l+mNft + s6Q2, (8.3)
бр2 = (R2 -f- №>/я) 8Q2.
Для общности последнее уравнение перепишем в виде
(8.4)
Исключая из системы уравнений (8.1)—(8.4) комплексные
амплитуды 6р~2 (ш), 6Q2 (ш) и 8VK (ш), получим выражение
для импеданса на входе в насос в виде:
fo(to)
I CO
{[ReZ2
в А.
Bx A + №
¦ (*»)-«] +
0
• ( Im
.(to)}
Строго говоря, это импеданс системы в сечении, соответству-
соответствующем входу в насос, который учитывает и характеристики си-
системы за насосом, т. е. нагрузки насоса. Для краткости в даль-
дальнейшем будем пользоваться термином входной импе-
импеданс насоса, имея однако в виду сделанное замечание.
.221

Рассмотрим некоторые частные случаи.
Если инерционными потерями в напорном трубопроводе можно
пренебречь (короткий трубопровод, Im Z2 = 0), формула (8.5)
упрощается:
где г = р т (дополнительное упрощение получим при т = 0).
Без учета частичной кавитации в осевом шнековом предна-
сосе (Вг —» оо) входной импеданс равен
или, при /п = 0 и Z2 (ш) = /?а + *ю/а, ^i (t©) = (#2 — s) +
+ ш/2, т. е. входной импеданс в этом случае представляет собой
последовательное соединение активного и индуктивного сопро-
сопротивления и его модуль увеличивается с ростом частоты.
Если амплитуда колебаний расхода на выходе из насоса мала
{стремится к нулю), то
Zl (ш) = В2 - -§- = - | В21 + Igi-, (8.5в)
т. е. входной импеданс представляет собой соединение отрица-
отрицательного активного и емкостного сопротивлений.
Рассматриваемые частные случаи показывают, что учет ча-
частичной кавитации приводит к качественному изменению входного
импеданса насоса (и, следовательно, к качественному изменению
типа нагрузки питающего трубопровода).
На основании формулы (8.5а) можем записать:
(8-6)
arctg-^, (8.7)
ReZx(to)- '$?%%, (8.8)
ImZl(to)- ^'.-У • (8-9)
Проанализируем полученные выражения (8.8) и (8.9) для дей-
действительной и мнимой частей входного импеданса. При со = 0
Re Zx (со) = — = -jq-—. Из условия Re Zx (ш) = 0 найдем,
jq
что оно выполняется на частоте coRez1=o = у ^-; при
222

частотах со > coRez^o действительная часть импеданса отри-
отрицательна. Как известно, наличие отрицательного активного
сопротивления в системе означает физически, что в системе имеется
источник энергии; на таком сопротивлении происходит не рассеи-
рассеивание, а генерирование колебательной энергии. При определен-
определенных условиях такая система может потерять устойчивость.
Исследуя функцию ImZ1(co) на экстремум, найдем, что на
частоте со =—гВ1 она имеет минимум [Im Zx (co)]min = —^
или, при m = О, [ImZx (co)]min = *»-(*»-*> . При со = О,
Im Zi (со) = 0, при со Ф 0 Im Zx (со) < 0.
При расчетах входного импеданса конкретного шнеко-центро-
бежного насоса основная трудность заключается в определении
численных значений параметров Вх и В2. Для режимов без об-
обратных токов численные значения этих параметров могут быть
рассчитаны по зависимостям VK = / (ри Qx) (см. разд. 3.1), для
режимов с обратными токами в диапазоне q = 0,2-=- 0,6 и k <
< 0,1 — по формулам D.24), F.36), F.37).
Все численные расчеты, результаты которых приведены в на-
настоящей главе, выполнялись для шнеко-центробежного насоса № 2.
Из рис. 8.1 следует, что модуль импеданса монотонно умень-
уменьшается с увеличением частоты, что объясняется преобладающим
влиянием емкостных свойств кавитационных каверн, располо-
расположенных на лопастях шнека; фазовый угол отрицателен и моно-
монотонно увеличивается с ростом частоты. С понижением числа
кавитации модуль импеданса существенно уменьшается, а аргу-
аргумент несколько увеличивается.
Как следует из рис. 8.2 действительная часть входного импе-
импеданса (сплошные линии) уменьшается с ростом частоты и далее
уходит в отрицательную область; мнимая часть отрицательная и
имеет четко выраженный минимум (или максимум модуля мни-
мнимой части). С понижением числа кавитации положительная дей-
действительная часть уменьшается, переходит через нулевое значе-
значение при меньшей частоте, отрицательное активное сопротивление
уменьшается (на частотах свыше 80 Гц); модуль мнимой части
уменьшается и его максимум смещается в сторону более низких
частот *.
Как показали расчеты, изменение расхода через насос (в диа-
диапазоне отсутствия обратных токов) оказывает слабое влияние
на входной импеданс насоса.
На рис. 8.3—8.4 представлены зависимости mod Z1 (/),
arg %i (/), Re Zx (/) и Im Zx (/) для двух значений коэффициента
R2) Rz ^ Р,25/?2нОм и R2 *& 0,1R2hom при прочих равных усло-
условиях (в эксперименте это можно осуществить, например, за счет
изменения давления в проточном ресивере, установленном в на-
напорном трубопроводе).
* Эти выводы были сделаны в 1968 г.
223

2j Ш,' - im ?, in, mii,i с/мJ - in-, l^ /0, Л/Го cJm
2
О
О
-0,5
-1,0
\
\
\
s^/r» 0,050
к=0,03
—¦ ^
10
, pad
20 30 kQ ЛГц
V
X
k=0,f13
k= 0,058
Г5"
к=о,оз
10
20
30
АГЦ
Рис. 8.1. Зависимость модуля и аргумента входного импеданса насоса от частоты
при различных числах кавитации (q = 0,54)
Рис. 8.2. Зависимость действительной и мнимой частей входного импеданса
насоса от частоты при различных числах кавитации (q = 0,54)
Обращает на себя внимание качественное изменение характе-
характеристик импеданса при малом R2 (Rz = 0,1#2ном): на кривых
Re Z± (f) и \ZX (/) | появляется максимум, Im Zx (/) на определен-
определенной частоте пересекает ось абсцисс. Далее этот случай будет
проанализирован подробнее.
Ясно, что уменьшение коэффициента R2 действует на импе-
импеданс аналогично увеличению параметров т и s (если s > 0, или
уменьшению |s|, если s < 0).
Собственная частота колебаний жид-
жидкости и условие устойчивости системы.
Собственные частоты колебаний жидкости в системе питающий
трубопровод — насос можно найти из условия равенства нулю
мнимой части импеданса системы.
Представляя питающий трубопровод как звено с сосредото-
сосредоточенными параметрами без учета его упругих свойств, указанное
условие запишем в виде:
co/i + ImZx (со) = 0, (8.10)
224

или, с учетом (8.9)
откуда
0O1 +
-J- @^
0,
(8.10а)
(8.11)
Уравнение (8.10) удобно решать графически, особенно когда
выражение для Zx (ш) усложняется, например, при усложне-
усложнении Z2 (ico).
Согласно приведенному в разд. П.6 Приложения критерию
устойчивости системы по импедансу, на границе области устой-
устойчивости действительная часть
|z,| w;2мпи с/м3 импеданса системы равна нулю
на собственных частотах (ча-
(частоте) колебаний.
ю
/\
1
1
1
1
X 2 '
\
\
L \
\ \
R?=0,?5R
2Н0М ^^V
20
30
argZ,, рав
о
¦0,5
•1,0
А ГЦ
\\
\
V
Р0
?Гц
ReZ, /0, - 1т 21 ¦ 1П~ МПа-с/м3
/6г
///
12
10
8
6
4
2
0
-2
\az'
Л
R2 = 0JR
\
\""
из
/ /
I /
/
V
Щ^гном
?5R2HOM^
•—^^^
1
10
20
30
40 f, Гц
Рис. 8.3, Зависимость модуля и аргумента входного импеданса насоса от частоты
при различных R2 (g = 0,54, k = 0,058)
Рис. 8.4. Зависимость действительной и мнимой частей входного импеданса
насоса от частоты при различных R2 (q = 0t54, k = 0,058)
15 В. В. Пилипенко 225

Приравнивая действительную часть импеданса системы нулю
R±.+ ReZ^co) - 0 (8.12)
или, с учетом (8.8)
^+4п5^=° <8Л2а>
и подставляя в (8.12а) значение квадрата собственной частоты
колебаний жидкости (8.11), после несложных преобразований
можно получить условие на границе области устойчивости си-
системы в виде
R, + В, = Вх1гг9 (8.13)
или, с учетом того, что г =
что, как и следовало ожидать, совпадает с условием на границе
области устойчивости C.8а), ранее полученным в гл. 3 другим
способом.
Аналогичным образом, исходя из условия неустойчивости
системы по импедансу — действительная часть импеданса системы
отрицательная на частотах, определяемых из условия равенства
нулю мнимой части импеданса системы — можно получить усло-
условие самовозбуждения колебаний в виде C.8).
Графическое решение уравнений (8.10а), (8.12а) (см. рис. 8,5,
корни уравнений обозначены соответственно как <оцт, (причем
сои™ = 0), co2im и coiRe) позволяет наглядно судить об устой-
устойчивости системы и, в частности, о влиянии параметров R± и /х
(и, следовательно, длины питающего трубопровода) на устой-
устойчивость системы: система устойчива, если соще > oJim и не~
-ImZ
уСТОЙЧИВа, еСЛИ 0JIm R
Из рис. 8.5 следует, что,
например, значения ^1ои Л
соответствуют устойчивой си-
системе, a Ri и /i — неустойчи-
неустойчивой.
На границе области устой-
устойчивости ЧаСТОТЫ СОще И 0JIm
равны. Исходя из этого усло-
условия, можно определить значе-
значения параметров Rx и /х, соот-
соответствующих границе области
устойчивости, вид которой по-
показан на рис. 8.6 [и совпадает
с приведенным в гл. 3].
Рис. 8.5. Определение резонансной ча-
частоты колебаний жидкости в системе
питающий трубопровод—насос. Влия-
Влияние параметров питающего трубопро-
трубопровода R±u 1хна устойчивость системы
226

Рис. 8.6. Вид границы области устойчивости системы шнеко-центробежный
насос — трубопровод в плоскости параметров Rx—Ix
Рис. 8.7. Типичный вид срывных кавитационных характеристик шнеко-центробеж-
шнеко-центробежного насоса в целом и осевого шнекового преднасоса
В выражение для входного импеданса (8.5), полученное из
системы уравнений (8.1)—(8.4), входит тангенс угла наклона
касательной к кавитационной характеристике насоса тИ = ^н .
Отметим одну важную для дальнейшего изложения характерную
особенность срывных кавитационных характеристик высокообо-
высокооборотных шнеко-центробежных насосов. На режимах частичной
кавитации (особенно чисто паровой) тангенс угла наклона каса-
касательной к кавитационной характеристике насоса, как правило,
равен нулю **" = ти = О, в то время как аналогичный тангенс
угла наклона для осевого шнекового преднасоса отличен от нуля
&j±- = тш Ф 0 (рис. 8.7).
Как было показано в гл. 5, напор шнека (при постоянной
частоте вращения вала насоса п = const) однозначно зависит от
объема кавитационных каверн, расположенных в межлопастных
каналах шнека, кроме того, напор шнека зависит от расхода.
Поскольку шнек создает напор только при наличии угла атаки,
который определяется входным расходом, будем полагать, в отли-
отличие от [38], что напор шнека есть функция объема кавитационных
каверн и расхода на входе в насос рш = f (VKf Qi).
Вопрос о том, от какого расхода—Qa или Q2 зависит напор
шнека в колебательных режимах (в динамике), не является столь
простым, как может показаться на первый взгляд.
Обоснование зависимости напора шнека именно такого вида
будет проведено при сравнении теоретически и эксперименталь-
экспериментальных данных по развитым кавитационным автоколебаниям (см.
гл. 10).
15*
227

Зависимость рш --= f (VIO Qx) в отклонениях имеет вид б/?ш —
~W~^K ~^ ~?т~ б(^1 = 8ш ^к + Sm ^v Заметим, что коэффици -
еш dPm/dVu
ент тш можно представить как тт = -^- = я Д1/ ; по этой
l Pi/k
формуле численное значение тш определять удобнее, чем непо-
непосредственно по кавитационной характеристике.
Напор центробежного колеса для бескавитационных условий
можно представить в виде функции рк = / (р2]Ю Q2) или в от-
отклонениях: брк - -^- бр2ш + -^ 6Q2 - (хк бр2ш + sK 6Q2,
где б/?2ш — отклонение давления на выходе из шнека.
Заметим, что коэффициент и, = рк не характеризует
кавитационные свойства центробежного колеса и его отличие от
нуля может быть связано с изменением гидравлических потерь
в межлопастных каналах колеса при изменении напора шнека
и закрутки потока на входе в колесо.
С учетом изложенного вместо системы уравнений (8.1)—(8.4)
используем следующую:
бр~ =BL6VK+-B26Q19 (8.14)
i, (8.15)
sm 6Qi, (8.16)
K6Q2, (8.17)
(8.18)
На основании системы уравнений (8.14)—(8.18) выражение
для входного импеданса насоса можно записать в виде:
(8.19)
или, вводя коэффициент тш,
г, (») - -Чщ+ШН^^ ' <8'20)
Z2 — sK
При |ик = О, Z2 = Rz получим
228

8.2. Определение резонансных частот
колебаний жидкости в системе
Резонансную частоту колебаний жидкости в системе можно
определить, исходя из условия равенства нулю мнимой части вход-
входного импеданса системы с сосредоточенными параметрами.
Резонансную частоту колебаний жидкости в системе без учета
упругих свойств трубопровода можно получить, решая уравнение
(8.116) аналитически либо графически (см. рис. 8.5). Если гранич-
граничное условие на конце трубопровода — входной импеданс насоса —
можно использовать в виде (8.5а) (при /2 = 0), то резонансная
частота колебаний определяется из решения уравнения (8.Иг).
Заметим, что при малом значении R2 и /2 ф 0 графическое ре-
решение уравнения (8.Иг) дает два значения частоты.
Проанализируем этот случай аналитически. При /2 ф 0 на
основании системы уравнений (8.1)—(8.4) выражения для дей-
действительной и мнимой частей входного импеданса насоса можно
представить в виде:
(8.22а)
(@2_(й2J+ «
j—i 's-L, (8.226)
где Тг — D 2 постоянная времени напорного трубопровода;
А 2 — S
h
С учетом выражения (8.226) уравнение (8.116) можно записать
в виде:
/t + ВХТ\ - 2©ir22/,) + Вх + В2Т& -
— В{Г\а>\ + ©*/,7| = 0 (8.23)
или при T\h Ф 0
,]=0. (8.23а)
Рассмотрим частные случаи:
а) ^2,= 0. ^г — s =f= 0, откуда следует Тч = 0, юг —> сю. Из
(8.23) получим оJ = gl(rg/2~') — (rBxy, что совпадает с
(8.126); 1
229

б) R2 — s -» оо, /2 =?= О, откуда следует Т2 —> О, W2T2 —» 0.
Тогда из (8.23а) со2 + -^- = 0, (о2 = — -%;
'1 '1
в) /х = 0, из (8.23а) следует to2 = o>2 f 1 А_)_ '
ТУ ^ Х 2 ' 2
Ь общем случае уравнение (8.23а) имеет следующее решение:
(8.24)
определяющее две действительных частоты колебаний.
Из физических соображений ясно, что не учитывать упругие
свойства питающего трубопровода можно в случае малой упру-
упругости кавитационных каверн и достаточно малой длины питаю-
питающего трубопровода. ~
В общем случае собственные частоты колебаний жидкости в рас-
рассматриваемой системе зависят от упругости кавитационных ка-
каверн и от упругости столба жидкости и стенок трубопровода.
Выясним, в каких случаях какая из упругостей является опре-
определяющей при расчете собственных частот колебаний жидкости
в рассматриваемой системе.
Для этого используем полученную в гл. 3 формулу для опре-
определения собственной частоты колебаний жидкости в питающем
трубопроводе с учетом упругости кавитационных каверн, которая
при ЯгОи-н+П с j имеет вид ц> _ А_ = JAL и формулу
А2 S * 1 *1
для первой собственной частоты колебаний жидкости в трубо-
трубопроводе, закрытом с одного конца, в простейшем случае имею-
имеющую вид сох = п-^г~. Отношение указанных частот —- выра-
зится как —— = '"Х1 'х или, учитывая, что 1Х = -^Л-
15Г = - К ТвйТГ' (8*25)
где Vx = FJi.
Нетрудно видеть, что член -у2- учитывает упругие свойства
питающего трубопровода как звена с сосредоточенными пара-
параметрами, а \В1\ — упругость кавитационных каверн.
Если отношение частот значительно (в несколько раз) превы-
превышает единицу, т. е. -yL->|51|, это означает, что упругость пи-
питающего трубопровода с жидкостью существенно превышает упру-
@1
гость кавитационных каверн. Поэтому чем больше отношение —
230

По сравнению с единицей„тем большую роль в понижении частоты
по сравнению с акустической играет упругость кавитационных
каверн. Этот случай характерен для (акустически) короткого пи-
питающего трубопровода (с уменьшением длины питающего трубо-
трубопровода параметр -у1- увеличивается) и низкого входного дав-
давления (с понижением входного давления \В1\ уменьшается).
Если отношение частот существенно меньше единицы, т. е.
ос2
|^il> v~> T0 упругость кавитационных каверн превышает
упругость питающего трубопровода с жидкостью и собственная
частота колебаний жидкости в основном определяется упругими
свойствами питающего трубопровода (акустически длинного) как
звена с распределенными параметрами.
Наконец, если отношение частот мало отличается от единицы,
в частности, несколько превышает единицу, при определении ре-
резонансных (собственных) частот колебаний жидкости в системе
необходимо учитывать и упругие свойства питающего трубопро-
трубопровода с распределенными параметрами и упругость кавитацион-
кавитационных каверн в шнеко-центробежном насосе. Этот более сложный
в теоретическом отношении случай характерен для достаточно
длинного питающего трубопровода и относительно невысокого
входного давления, т. е. с точки зрения величин этих параметров
он занимает промежуточное положение по сравнению с выше рас-
рассмотренными.
Покажем, как в общем случае решается задача об определении
резонансных частот колебаний жидкости в питающем трубопро-
трубопроводе кавитирующего шнеко-центробежного насоса импедансным
методом.
Граничное условие в начале трубопровода при х = 0 можно
принять соответствующим открытому концу трубопровода, гра-
граничное условие на конце трубопровода задано в виде комплекс-
комплексного импеданса. Тогда расчет резонансных частот можно вести
с помощью уравнения (см. Приложение)
где
Zm 1АЩ lZ^— = Т (f) |t (/);
Wen \l/\KIn
I Hi = — — = — —
[Ul ZB(/co) Zb(ko)
Imfl/ = f arctg Y-r^J) •
Уравнение Imaz(/) = nn —- 2п/— удобно решать графически,
определяя основную частоту как абсциссу точки пересечения кри-
231

вой 1гш/ = ф (/) с прямой tf(f) = п — 2я/— (основной частоте
колебаний соответствует п = 1, для второй собственной частоты
у (/) = 2я - 2я/ -i- и т. д.
В качестве примера проведем расчет основной частоты колеба-
колебаний жидкости в системе питающий трубопровод — кавитирующий
шнеко-центробежный насос + нагрузка при различных длинах
питающего трубопровода 1Л для k = 0,03 и q = 0,54 (при этом
В, - -0,27.10»-^-, В2 = -0,36-10*-^i^, т=--0, s^
= — 3,92-102
МПа-с
= 50,78 -102
МПа-с
/, =
Для трубопровода с малыми потерями волновое сопротивле-
сопротивление ZB ==
9е
F
Результаты расчета зависимости Ima/(/) для этого случая
помещены в табл. 8.1.
Вместо расчета Ima/(/) по формуле удобно использовать номо-
номограмму, приведенную на рис. П.2. (Напомним: чтобы пользоваться
номограммой, надо т выразить в квадрантах т'- = -г^тг, тогда и
Im at получим в квадрантах, поэтому окончательно Imfl/ =
= 1,671m ah).
Зависимость Imat(f) для рассматриваемого случая приведена
на рис. 8.8. Там же нанесена серия прямых линий yt = я — 2я/ —-
Таблица 8.1
f, Гц
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
mod Zj.102,
МПа-с
м8
46,860
8,461
4,294
2,882
2,176
1,755
1,476
1,279
1 133
1,020
0,932
argZ,, рад
0
—
—
—
—
—
—
—
1,43
1,56
1,63
1,69
1,74
,78
,83
-1,87
—1,91
—1,94
F __ mod Zi
12,990
2,346
1,191
0,799
0,603
0,487
0,409
0,355
0,314
0,283
0,258
x, рад
0
—
—
—
—
—
—
1,43
1,56
1,63
1,69
1,74
1,78
1,83
1,87
1,91
1,94
Irna/
1,570
1,971
2,269
2,440
2,600
2,700
2,760
2,810
2,850
2,880
2,910
232

для различных длин питающего трубопровода 1Х\ скорость звука
в воде, текущей в питающем трубопроводе, принималась равной
1000 м/с.
Из рис. 8.8 следует также, что кавитация в шнеко-центробеж-
ном насосе приводит к понижению основной частоты колебаний.
Для того, чтобы проиллюстрировать влияние условий работы
шнеко-центробежного насоса, т. е. степени развития лопастной и
вихревой кавитации при работе насоса на пониженных режимах
на основную частоту колебаний жидкости в системе, на рис. 8.8
приведены также зависимости Ima^f) для двух вариантов рас-
расчета: k = 0,03 и q — 0,35 (режим с обратными токами); k =
= 0,058 и q = 0,54.
Анализ результатов расчетов показывает, что с повышением
числа кавитации (т. е. давления на входе в насос) частота увели-
увеличивается, а с понижением коэффициента режима, когда обра-
образуются обратные токи и каверна перед шнеком — уменьшается.
На рис. 8.9 представлены сов-
совмещенные зависимости первой
акустической частоты трубопро-
трубопровода с закрытым концом (f=-^)
и основной частоты колебаний в
системе для различных условий
работы насоса от длины питаю-
/malt pad
3,5
W bb f/u о
V
¦
^~—
¦ ——,
—¦
— —
10
10
Рис. 8.8. Определение основной частоты колебаний для различных режимов ра-
работы насоса и длин питающего трубопровода:
1 — п = 0,35; k = 0,03 (В х = —0,05- 10е МПа/м3; В2 = —0,33» 102 МПа-с/м3, R2 =
= 78,43-Ю2 МПа-с/м3; s=—1,24-102 МПа-с/м3);
2 — а = 0,54; k = 0,03 (Вt = —0,27- 105 МПа/м3; В2 = —0,36- 102 МПа«с/м3; R2 =
= 50,8.10* МПа-с/м3; s= —3,92.10» МПа-с/м3);
3 — а = 0,54; k = 0,058 (Вх = — 0,44- 105 МПа/м3; Вг = 0,5» 102 МПа»с/м3; R2 =
= 50,8-102 МПа-с/м3; s= -3,92- 102 МПа-с/м3)
Рис. 8.9. Зависимость основной частоты колебаний жидкости в системе пита-
питающий трубопровод — насос от длины питающего трубопровода при различных
режимах работы насоса:
1 — q = 0,35; /е = 0,03; 2 — q = 0,54; k = 0,03; 3 — q = 0,54; k —= 0,058
233

щего трубопровода, которые наглядно показывают влияние усло-
условий работы шнеко-центробежного насоса на основную частоту
колебаний жидкости в питающем трубопроводе в зависимости от
его длины.
Получая выражения для входного импеданса насоса с учетом
каких-либо дополнительных факторов, с помощью изложенного
метода можно выяснить влияние этих факторов на собственные
частоты колебаний. Особенно ценным является то, что для расчета
собственных частот описанным методом можно использовать экс-
экспериментальный импеданс насоса в виде зависимостей модуля и
аргумента импеданса от частоты.
8.3. Влияние учета неустановившегося
обтекания лопастей шнека на режимах
без обратных токов на входной импеданс
Из предыдущей главы, посвященной разработке нестационар-
нестационарной модели кавитационных колебаний, следует, что неустановив-
неустановившееся обтекание жидкостью лопастей шнека в режимах частичной
кавитации без обратных токов (при п = const) характеризуется
двумя параметрами: постоянной времени кавитационной ка-
каверны Тк, которая практически равна времени пребывания жид-
жидкости на участке роста высоты кавитационной каверны по длине
лопасти шнека, и коэффициентом инерционного сопротивления
на указанном выше участке шнека /к ш.
Выясним влияние этих параметров на входной импеданс шнеко-
центробежного насоса, используя некоторые результаты работы
[84], но с учетом зависимости рш = f A/K, Qi). Параметры Тк
и /к ш входят в уравнение динамики кавитационных каверн
в межлопастных каналах шнека G.25), которое, если его разре-
разрешить относительно отклонения давления на входе в насос, можно
представить в виде
= В, bVK + Вг 6Л -(- BJK -^f- + /к. ш -^i-. (8.26)
Для режима вынужденных гармонических колебаний уравне-
уравнение (8.26) запишется в виде
бл = Вг A + шТк) WK + (В2 + tWK. ш) 6QX. (8.27)
Для расчета входного импеданса насоса в режиме частичной
кавитации последнее уравнение следует использовать вместо урав-
уравнения (8.14), оставляя остальные уравнения системы (8.15)—
(8.18) без изменения.
* Под Тк здесь и далее следует понимать Тк. ср (см. гл. 7).
234

Исключая комплексные амплитуды колебаний 8КК, 8Q2, 6/?2ш,
6/72, можно получить следующее выражение для расчета вход-
входного импеданса насоса
1+ L В1A+шгк) 1 _
I ^2 — SK )
Bt (I + ie>TK) (I + \iK)
1 +
8щ
В1{1+ШТК) 1
Z2 — sK
(8.28)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Учитывая, что амплитуда колебаний расхода на выходе из
насоса значительно меньше амплитуды колебаний расхода на
входе в насос 8Q2 < 6QX и полагая 6Q2 = 0 и Z2 = /?2, получим
(при |iK = 0):
(8.29)
т. е. в этом случае входной импеданс насоса представляет собой
сумму отрицательного активного В2 — ВХТК (в большинстве слу-
чаев \В2\ >|В171К|), емкостного Д- и инерционного ш/к ш
сопротивлений. С учетом неустановившегося обтекания лопастей
осевого шнекового преднасоса мнимая часть импеданса при частоте
D
со^ = у-±- обращается в нуль, а модуль отрицательного актив-
ного сопротивления уменьшается.
На режимах частичной кавитации, когда нет заметного сни-
снижения напора шнека по кавитационной характеристике пгш = 0
и, следовательно еш = 0, без учета инерционного сопротивления
напорного трубопровода входной импеданс насоса равен
Вг A Н- ш>Гк) A п8ш Q ) - И^2 + «©/к. ш)
С целью выяснения влияния параметров Тк и /к ш были про-
проведены расчеты входного импеданса с учетом и без учета этих
параметров, результаты которых представлены на рис. 8.10—8.11.
В отличие от результатов расчетов по квазистационарной мо-
модели, когда мнимая часть импеданса отрицательна, а модуль им-
импеданса монотонно уменьшается, с учетом параметров Тк и /к ш
мнимая часть импеданса при определенной частоте колебаний обра-
обращается в нуль (эта частота, как указывалось выше, определяется
упругостью кавитационных каверн и коэффициентом инерцион-
235

ReZf W~Z-lmZ,-10, МПас/м3
16
0,8
\
ReZi
fmZ,
70
30
50 JJu,
40 fju,
\
^*ч
3 Ц
\
10
20
30
/,Гц
Рис. 8.10.
1 ~ Тк *
Влияние параметров Тк и /К. ш на действительную и мнимую части
входного импеданса насоса:
ш + 0; 3 - Тк + 0; 1кШ Ф 0; 4 - Тк = 0;
' 'к.ш * 0; 2 - Гк ^ 0;
1к
- 0
Влияние параметров Тк и /к. ш wa модуль и аргумент входного импе-
импеданса насоса:
/к т,т = О
ного сопротивления жидкости в межлопастных каналах шнека
на участке роста высоты кавитационных каверн cog == j^— ),
а при частотах колебаний со > со0 мнимая часть импеданса ста-
становится положительной, что указывает на преобладающее влия-
влияние коэффициента /КфШ на мнимую часть импеданса (рис. 8.10,
кривая 1).
Расчеты, проведенные при Тк = 0 и /к> ш Ф 0, показали, что
постоянная времени кавитационной каверны Тк не оказывает
заметного влияния на мнимую часть импеданса (кривая 2), а сле-
следовательно, и на собственные частоты колебаний жидкости в си-
системе «питающий трубопровод — насос».
236

В характере изменения действительной части импеданса с уче-
учетом (кривая 1) и без учета параметров Тк и /к ш (кривая 4) при
увеличении частоты колебаний качественных отличий не наблю-
наблюдается. Однако, указанные параметры увеличивают частоту коле-
колебаний, при которых ReZx (ш) обращается в нуль и уменьшают
величину отрицательного сопротивления при дальнейшем уве-
увеличении частоты колебаний. Проведенные расчеты при /к ш = О,
Тк Ф 0 показали, что параметр инерционности /к ш не оказывает
заметного влияния на ReZx (ш) (кривая 3). Следовательно, ука-
указанное выше влияние Тк и /к ш на ReZt (ш) обусловлено постоян-
постоянной времени кавитационной каверны. Уменьшение отрицатель-
отрицательного сопротивления действительной части входного импеданса
насоса оказывает стабилизирующее влияние на устойчивость си-
системы. На рис. 8.11 показано влияние параметров /к ш и Тк на
модуль и аргумент входного импеданса. Отметим, что с учетом
параметров /к ш и Тк модуль входного импеданса при частоте
колебаний (*>2 = j-±— достигает минимального значения (кри-
'к. ш
вая /).
8.4. Влияние учета частичной кавитации
на частотные характеристики
Рассмотрим влияние учета частичной кавитации на частотные
характеристики системы, состоящей из бака, питающего трубопро-
трубопровода, насоса и напорного трубопровода при задании возмущений
по давлению в баке. В качестве выходного параметра будем ис-
использовать давление на входе в насос. Рассматривая питающий
трубопровод как звено с сосредоточенными параметрами без учета
его упругих свойств, исходную систему уравнений в частотной
области в рамках квазистационарной модели кавитационных коле-
колебаний можем записать в виде:
i ! вл, )
(8.А)
6р2 = A -}- m) Ьрх -f- s 8Q2 (n = const),
Исключая из системы уравнений комплексные амплитуды 8/?2,
8Q2, 8l/K, получим выражение искомой амплитудно-фазовой ха-
характеристики:
Л« 1
(8.31)
в2
237

откуда следуют выражения для амплитудно-частотной и фазо-
частотной характеристик:
1+-§Н
arg
6/?i (/со) . В2 1 \ х /?2 —
«- . = a^ctg со -=i- — arctg—^ *—
(8.32а)
(8.326)
Амплитудно-фазовую частотную характеристику f1 ^ можно
выразить и через входной импеданс насоса. Из первого уравнения
системы (8.А) следует, что
откуда
1 4- * iWIl
^ Z, (/со)
(8.33)
(«со)
Без учета кавитации (т. е. при | Вх \ —*оо) имеем соответственно:
(8.34a)
(8.346)
arg —-—— = — arctg
брб («©)
R2 — s
1 +m
Из последних выражений, полученных без учета частичной
кавитации в шнеке, следует, что коэффициент усиления системы
монотонно уменьшается с увеличением частоты, а его максималь-
ное значение имеет место при со = 0 (т. е. в статике -——- =
238

\. Фазовый угол отрицателен и его модуль увели-
чивается с увеличением частоты.
С учетом кавитации максимальное значение амплитудно-ча-
амплитудно-частотной характеристики (т. е. коэффициента усиления системы)
соответствует собственной частоте колебаний жидкости в питаю-
питающем трубопроводе, которая в рассматриваемом случае определяется
по формуле об = — 1 н ^——-1 -г-.
L А 2 S J '1
Если (о = оH, то первый член знаменателя в выражении для
амплитудно-частотной характеристики обращается в нуль
A -\-Ri о Ч-^-р1- =oW выражение для максимума ампли-
тудно-частотной характеристики (максимального коэффициента
усиления) можно записать в виде:
(8.35)
Напомним, что условие устойчивости рассматриваемой си-
системы, полученное в разд. 3.1, имеет вид Rx + В2 — 11В1 X
Поэтому рассматриваемая система устойчива при отрицательном
знаменателе выражения (8.35) и неустойчива — при положитель-
положительном. Для устойчивой системы изменение параметров в направле-
направлении повышения ее устойчивости (т. е. увеличение Il9 Rly Вг и
уменьшение |В2| и R2) приводит к понижению максимального
коэффициента усиления системы. На границе устойчивости, когда
Ri + В2 р г_^ = 0, максимум амплитудно-частотной ха-
характеристики —-1 ^ стремится к бесконечности.
Рб()
Из формулы (8.326) для фазо-частотной характеристики с уче-
учетом кавитации следует, что с приближением частоты колебаний
к собственной направление (положительное или отрицательное)
резкого изменения фазового угла зависит от выполнения условия
устойчивости рассматриваемой системы. Левая часть неравенства
(8.32а) входит в числитель второго члена в выражении для фазо-
частотной характеристики, а знаменатель этого члена, если его
приравнять нулю, представляет собой уравнение для определения
резонансной частоты колебаний в системе.
Поведение фазо-частотной характеристики вблизи резонанс-
резонансной частоты зависит от того, выполняется или нет условие устой-
устойчивости системы.
На рис. 8.12 в качестве примера приведены расчетные частот-
частотные характеристики для устойчивой и неустойчивой систем при
239

p
20
10
M
У
/ j/L
-x x—
1
—*?=*x-
Sj
Рис. 8.12. Зависимости модуля и аргу-
аргумента компчексного коэффициента уси-
усиления питающего трубопровода насоса
от частоты:
— X — X— — без учета кавитации;
— •—•—• — система устойчива;
система неустойчива
20
arg 6р,(ш}/бр6(ш),рад
-2
-J
различных входных давлениях,
а также частотные характери-
характеристики, рассчитанные без учета
кавитации. Видно, что для
зо w f,ru устойчивой системы фазовый
угол отрицателен и характерно
скачкообразное увеличение его
модуля с приближением ча-
частоты к резонансной: для не-
неустойчивой системы в области
отрицательных значений фазо-
фазового угла его модуль с приб-
приближением к резонансной час-
частоте скачкообразно уменьшает-
уменьшается, фазовый угол может перейти
через нулевое значение с по-
последующим резким возраста-
возрастанием в положительной области.
Поскольку направление рез-
резкого изменения фазового угла
определяется, в основном, усло-
/Гц вием устойчивости, по поведе-
поведению фазо-частотной характери-
характеристики, а следовательно, и амплитудно-фазовой характеристики
можно судить об устойчивости системы.
Как следует из рис. 8.12 и проведенного анализа, учет работы
шнека в режиме частичной кавитации приводит к качественному
изменению вида частотных характеристик системы по давлению
($Pi(i(u)\ д
L- ( 1- Амплитудно-частотная характеристика имеет вид четко
выраженной резонансной кривой, максимум которой соответствует
резонансной частоте системы; резонансная частота практически
линейно увеличивается с повышением входного давления. Коэф-
Коэффициент усиления на резонансной частоте превышает единицу.
Фазовый угол вблизи резонансной частоты изменяется скачкооб-
скачкообразно.
На основании выражения для искомой амплитудно-фазовой
частотной характеристики через входной импеданс насоса, можно
получить эту характеристику с учетом зависимости напора шнека
от объема каверн и входного расхода, а также с учетом неуста-
240
\
50

повившегося обтекания лопастей шнека (т. е. с учетом параметров
Тк и /к. ш), подставляя в выражение (8.33) соответствующие фор-
формулы для входного импеданса насоса Z1(io)) — (8.19), (8.28).
Однако, полученные таким образом выражения будут доста-
достаточно сложным и приводить их нет особой необходимости.
Поскольку известно, в каком направлении эти параметры
(вш, Тк, /к ш и т. д.) влияют на устойчивость системы, можно
в качественном плане легко судить об их влиянии, например, на
максимум амплитудно-частотной характеристики ?} .
Ьр6 (/со)
Частотная характеристика -1 (t@) с учетом распределенности
6рб(ко)
параметров питающего трубопровода может быть определена по
формулам (П. 18) или (П.22), в которых следует положить х = /,
Ро == Рву Pi = Ръ zi = zi-
8.5. О коэффициенте усиления насоса
в рамках кинетической модели
кавитационных колебаний1
Под коэффициентом усиления насоса будем понимать отноше-
отношение амплитуд колебаний давления на выходе и на входе в насос.
Экспериментальные значения коэффициента усиления насоса
при кавитационных автоколебаниях могут превосходить вычислен-
вычисленные по статической кавитационной характеристике насоса в не-
несколько раз [67]. Следует особо отметить, что большие значения
коэффициентов усиления, названные аномальными [70], наблю-
наблюдались при умеренных значениях амплитуд колебаний входного
давления и столь больших значениях кавитационных запасов, что
давление на входе в насос в процессе колебаний не опускалось
ниже уровня, после которого начинается падение напора по ка-
кавитационной характеристике насоса.
В качестве примера подобного рода явления рассмотрим ре-
результат эксперимента, представленный на рис. 2.4, б. Отклады-
Откладывая на кавитационной характеристике насоса (см. рис. 2.5) от
точки б, соответствующей среднему значению, амплитуду колеба-
колебаний входного давления, равную 0,122 МПа, получим точки б'
и б", соответствующие максимальному и минимальному значению
давлений, достигаемых на входе в насос в процессе колебания.
Из рис. 2.5 видно, что минимальная величина входного давле-
давления (точка б") примерно на 0,1 МПа превосходит значение, при
котором начинается заметное падение напора по кавитационной
характеристике насоса. Статический коэффициент усиления на-
насоса, вычисленный по кавитационной характеристике, составляет
* Этот раздел написан по материалам работ, выполненных М. С. Натанзо-
ном в 1962 г.
16 В. В. Пилипенко 241

Pz'Pt
P2-P1
Амплитуда колебаний
объема в статике
d2
/
Амплитуда
колебаний
объема
в динамике
Plmin Pi
a) 6)
Puc. 8.13. Кавитационные характеристики насоса
величину, не превосходящую единицу, а наблюдаемое динамиче-
динамическое значение, как это видно из рис. 2.4, б, равно трем.
Ниже будет рассмотрена физическая картина явления возник-
возникновения аномально больших значений коэффициентов усиления
насосов.
Колебания напора насоса, вызываемые колебаниями входного
давления, обусловливаются в конечном итоге колебаниями объема
кавитационных каверн. Поскольку в динамике и статике связь
между амплитудами колебаний давления на входе в насос и ампли-
амплитудой колебания объема каверны различны, то и коэффициенты
усиления насоса в статике и динамике должны иметь различные
значения.
Пусть кавитационная характеристика насоса имеет вид, пред-
представленный на рис. 8.13, а, а стационарный режим насоса соответ-
соответствует точке А на этом же рисунке. Амплитуда колебаний вход-
входного давления А/?х такова, что даже при минимальном входном
давлении рх min падение напора по кавитационной характеристике
насоса не отмечается.
Перестроим кавитационную характеристику насоса в коорди-
координатах: напор насоса — объем кавитационной полости (рис. 8.13, б).
Давлению /?1ср, которому по кавитационной характеристике на-
насоса соответствует начало падения напора (точка В на рис. 8.13, а),
на рис. 8.13, б будет соответствовать некоторый объем VK?.
При квазистационарных (достаточно медленных) колебаниях
входного давления максимальный объем кавитационной каверны
(точка dt на рис. 8.13, б) будет по условию меньше критического
значения. Если частотная характеристика, связывающая колеба-
колебания давления на входе в насос с колебаниями объема кавитацион-
кавитационной полости, будет в некоторой области частот такова, что ампли-
амплитуда колебаний объема станет достаточно большой, то максималь-
максимальные значения кавитационного объема, достигаемые в процессе коле-
колебаний, превысят критическое значение (точка do на рис. 8.13, б).
242

Коэффициент усиления насоса при этом возрастает. Из ска-
сказанного следует, что даже в том случае, когда амплитуда колеба-
колебаний давления А/?! удовлетворяет условию р1 — Ар± > /?1ср, воз-
возможно возрастание динамических коэффициентов усиления на-
насоса. Условия бескавитационной работы насоса, определенные
по кавитационной характеристике, не исключают, таким образом,
существование зависимости коэффициента усиления насоса от
частоты.
Для возрастания коэффициентов усиления необходимо, чтобы
существовала некоторая область частот, в которой отношение
амплитуд колебаний кавитационного объема к амплитудам коле-
колебаний входного давления значительно превосходило свое стати-
статическое значение. Покажем, что кинетическая модель кавитацион-
ных колебаний в качественном отношении объясняет эту особен-
особенность.
В режиме кавитационных колебаний амплитуды колебаний
расхода за насосом существенно меньше, чем перед ним. Это поз-
позволяет при качественном анализе пренебречь колебаниями рас-
расхода за насосом. Уравнения, описывающие колебания объема ка-
кавитационной каверны и давления в ней [уравнения B.26) и B.49)]
приобретают после этого следующий вид:
( dbpK , dbVK
Г
1Г~) = "~0Л<— 8оО1/к- @.67)
(Напомним, что в разд. 2.5 использовалась система безразмерных
переменных).
Связь между колебаниями скорости и разностью давления в ка-
каверне и на входе в насос запишем в виде:
fipi-6pK = ^6Qlf (8.38)
где Хк — коэффициент, учитывающий гидравлические потери ста-
статического давления на участке течения от входа в насос до ка-
каверны.
Из (8.36) -=-(8.37) нетрудно найти следующую частотную ха-
характеристику:
i7
^ = 2 . и"^ _ . (8.39)
Из (8.39) следует, что отношение амплитуды колебаний объема
к амплитуде колебаний входного давления равно:
Ьр.
У (eo-aw§J
2 -f- со2 < 1 +аJ
со = сото, а =
(8.40)
(8.41)
То
16* 243

S0\6VK/dp,
5
Рис. 8.14. Зависимость
ky
от ча-
A
A\
1
спюты со для различных значений е0
На рис. 8.14 представлена зави-
зависимость отношения коэффи-
коэффициента kv к его стационарному
значению, равному е0 — 1, от
частоты со при различных зна-
значениях 80.
Из рисунка видно, что при
определенных условиях суще-
существует довольно широкий диа-
диапазон частот, в котором ампли-
амплитуды колебаний кавитационного
объема 8VK существенно превы-
превышают статическое значение 6УК.
Из анализа уравнения (8.40)
следует, что необходимым (но не достаточным) условием суще-
существования подобной области частот является неравенство е0 > 1
(напомним, что необходимое условие возникновения кавитацион-
ных колебаний в кинетической модели имеет тот же вид).
Кинетическая модель, таким образом, позволяет без привле-
привлечения каких-либо дополнительных соображений получить ка-
качественное объяснение возникновения аномально больших зна-
значений динамических коэффициентов усиления насосов.
8.6. Теоретическое определение
частотных характеристик насоса
по давлению в режиме частичной кавитации
Под комплексным коэффициентом усиления будем понимать
отношение —=
2 (/со)
(/СО)
где 6/;j (ш), Ьр.у (id)) — комплексные ампли-
/! (
туды колебаний давления на входе и выходе из насоса.
При определении коэффициента усиления на-
насоса воспользуемся уточненной теоретической моделью кави-
тационных колебаний, которая учитывает экспериментально уста-
установленную зависимость отношения частот кавитационных коле-
колебаний для различных длин питающего трубопровода от давления
на входе в насос. В разд. 4.3 эта зависимость была теоретически
объяснена влиянием коэффициента инерционных потерь давле-
давления в межлопастных каналах шнека на участке увеличения
высоты кавитационной каверны по длине лопасти и уравнение,
связывающее отклонение объема кавитационных каверн и откло-
отклонения давления и расхода на входе в насос, было записано
в виде ЬРг = Вг6Кк + B?QX + /к<ш -^ , где /K>
244

/к т> ^ш — длина кавитационной каверны и площадь проходного
сечения проточной части шнека, занятого жидкостью.
Запишем это уравнение применительно к установившимся
гармоническим колебаниям:
bPl = Bx bVK + (B2 + /со/кш) 6Qx. (8.42)
Из системы уравнений (8.15)—(8.18) и (8.42) следует, что ча-
частотная характеристика насоса по давлению (комплексный коэф-
коэффициент усиления насоса по давлению) имеет вид:
A+Ик)[Н = ?ш 1Шт 1
5рх Z2 (ко) — sK A ~1~ Н'к) 8ш (^2 + 1<й1_к. ш)_
Z2 (ш) Z2 ((ю) [?х — /о E2 + *а>/к. шI
• го"' * •—/р I—:—? гг • (8.43)
Z2 (/@) [i?i — КО (d2 -J- tCO/K# ш)|
Начнем анализ частотной характеристики насоса (8.43) с про-
простейших частных случаев.
Принимая во внимание, что на режимах частичной кавитации
при достаточно высоких кавитационных запасах еш = 0, и по-
полагая Z2 = R2J sm = 0, |iK = 0, найдем, что -i2- = —,
а так как чаще sK < 0, то -^- = у2—г, т. е. коэффи-
коэффициент усиления насоса несколько менее единицы и не зависит от
частоты колебаний ( ^ ' < 1 \ .
В то же время, как указывалось ранее в разд. 8.5, экспери-
экспериментальные данные, полученные в режиме кавитационных авто-
автоколебаний в условиях, когда не происходит изменения напора по
кавитационной характеристике насоса (р^ > /?1ср) показывают,
что коэффициент усиления существенно (в несколько раз) превы-
превышает единицу.
Из анализа автоколебательных режимов работы насосов сле-
следует, что с уменьшением длины питающей магистрали коэффи-
коэффициент усиления насоса увеличивается.
Покажем, каким образом наличие таких значений коэффи-
коэффициента усиления можно объяснить на основании частотной ха-
характеристики насоса (8.43), характерной особенностью которой
является учет зависимости напора осевого шнекового преднасоса
от суммарного объема кавитационных каверн, расположенных на
лопастях шнека, и расхода на входе в насос, а также коэффициента
инерционных потерь давления в межлопастных каналах шнека.
Выясним влияние зависимости напора шнека от расхода на
в*оде в насос. Учитывая, что -i|-p- С 1, положим sK = 0. Как и
245

в предыдущем случае, положим \iK — 0, еш = О и, кроме того,
В2 = 0. Поскольку 6Q2 < 6QX, примем, что 6Q2 = 0 (или R2 -+
—> оо).
Из выражения (8.43) следует, что при сделанных допущениях
комплексный коэффициент усиления насоса равен
_§L = 1 _ i@ ^ (8.44)
6pi ^1 "Г w2/k ш V ^'
и не связан с влиянием колебаний объема кавитационной каверны
на напор насоса.
В то же время динамический коэффициент усиления насоса по
давлению, представляющий собой модуль выражения (8.44),
Л/
= V
1 ¦+-. ^ (8.45)
полностью определяется напорной характеристикой и упруго-
инерционными свойствами входного участка шнека (Вх и /КаШ).
Из анализа этой формулы следует, что динамический коэффициент
усиления насоса увеличивается с повышением частоты колебаний
и достигнет максимального значения при частоте колебаний, рав-
равной собственной частоте колебаний жидкости в проточной части
шнека соо = г^~» ПРИ этом динамический коэффициент усиле-
ния может существенно превысить свое статическое значение.
Фазовый сдвиг между колебаниями давлений на входе и вы-
выходе из насоса зависит от частоты колебаний и согласно (8.44)
равен
arg Ik = _ arctg ™ш щ (8 46)
. ш
В диапазоне частот от нуля до со < ш0 знак фазы зависит от зна-
знака sm. В большинстве случаев sm < 0, и следовательно,
arg —^- < 0. В указанном диапазоне частот максимальный фазо-
ОРх
вый сдвиг составляет —90°. Описанный характер изменения фазо-
частотной характеристики шнека установлен по результатам ана-
анализа частотных испытаний насоса (см. разд. 8.9). Таким образом,
в отличие от изложенного в разд. 8.5, возрастание динамических
коэффициентов усиления насоса в рассматриваемом случае не
связано с влиянием колебаний объема кавитационных каверн на
напор насоса. Поскольку частота кавитационных колебаний умень-
уменьшается с увеличением длины питающего трубопровода (пара-
(параметра /х), то при этом и динамический коэффициент усиления на-
насоса также уменьшается.
Для выяснения влияния тангенса угла наклона касательной
к зависимости напора шнека от объема кавитационных каверн на
коэффициент усиления насоса, положим R2 —> оо, sK = 0, sm ^ 0>
Яа = 0, у, = 0.
246

В этом случае комплексный коэффициент усиления насоса
(см. выражение 8.43)
~^;-1^жт^7^ (8-47)
представляет собой действительное число, т. е. фазовый сдвиг
между колебаниями давлений на входе и выходе из насоса может
быть равен либо нулю, либо 180°. Динамический коэффициент
усиления насоса в этом случае также зависит от частоты колеба-
колебаний и может существенно превышать статическое значение 1 +
+ ~г- = 1 + tnm, где пгш — тангенс угла наклона касательной
к кавитационной характеристике шнека.
Из формул (8.47), D.5) легко получить выражение для коэф-
коэффициента усиления насоса на границе области устойчивости, под-
подставив вместо частоты ее выражение на границе области устой-
устойчивости.
Используя приближенное выражение для частоты на границе
D
области устойчивости в виде cog = -г—г4 , получим для рас-
'1 "Г *к. ш
сматриваемого случая коэффициент усиления насоса на границе
области устойчивости
5(^) (8.48)
Коэффициент усиления насоса по давлению на границе области
устойчивости можно рассматривать еще как коэффициент усиле-
усиления насоса в режиме кавитационных автоколебаний, форма ко-
которых не отличается от гармонической. В этом случае на основа-
основании формулы (8.48) можно утверждать, коэффициент усиления на-
насоса (шнека) может превышать единицу за счет влияния колеба-
колебаний объема кавитационной каверны на напор шнека (см. [38, 70,
78]). Коэффициент усиления насоса повышается с понижением
входного давления (за счет уменьшения | Sx | и увеличения /к.ш)
и уменьшением длины питающего трубопровода /х.
Рассмотренные часные случаи позволили установить влия-
влияние sm, еш, ри /к ш на коэффициент усиления насоса. В общем
случае при использовании этой модели кавитационных колебаний
расчет комплексных коэффициентов усиления насоса должен про-
производиться по выражению (8.43).
8.7. Теоретическое определение
частотных характеристик насоса
по давлению на базе нестационарной
модели кавитационных колебаний
Для расчета частотных характеристик шнеко-центробежного на-
^а можно использовать систему уравнений (8.15)—(8.18) и
(8.27), которая уже использовалась для расчета входного импе-
247

данса насоса в рамках нестационарной модели кавитационных
колебаний.
Эта система уравнений имеет вид:
г = В,
шТк)
fco 6KK == 6"Qa — 6Q!.
= Spi + еш 6VK -f sm 6Q2,
= б/?2ш A + цк) + sK 6Q2,
(8Б)
В рамках нестационарной модели кавитационных колебаний
рассмотрим несколько подробней влияние зависимости напора
шнека от объема кавитационных каверн на комплексный коэффи-
коэффициент усиления насоса.
Полагая 6Q2 = 0, (лк = 0 и sK = 0, из системы уравнений (8Б)
получим комплексный коэффициент усиления шнеко-центробеж-
ного насоса.
В этом случае Ьрг = 6/72ш, т. е. комплексный коэффициент
усиления центробежного колеса равен единице и комплексный
коэффициент усиления насоса в целом равен комплексному коэф-
коэффициенту усиления шнека.
Последний с учетом принятых допущений запишется в виде
(/@)
(tco)
Частотную характеристику
бр!
вые два уравнения системы (8Б)
—г11-^—-
(to)
получим, используя пер-
1 dVK
или, учитывая, что —Б- =—=А;
¦ = Dli 1, -д- = —=-
к (to)
dpi
248

Соответствующие амплитудно-частотная и фазо-частотная харак-
характеристики имеют вид:
(/со)
dpi
у И-
+ со* [тк + -^
. = — arctg-
dQ
j
При (о = 0 статический коэффициент усиления рассматриваемого
колебательного звена равен —^
dpi
При заданной амплитуде колебаний входного давления ампли-
амплитуда колебаний объема кавитационных каверн зависит от частоты
колебаний и достигает максимального значения, равного
«ft (to)
dpi
-/¦-4'
на резонансной частоте колебаний
0),
1 l/i «I
^1\ V l ^'
dQ
параметр, характеризующий затухание колебаний.
Отношение максимального значения коэффициента усиления
к его статическому значению будет равно:
dVK
dpi
а для малых
«
В гл. 2 было показано, что —=^<0, поэтому параметраи харак-
характеризующий затухание колебаний, может быть существенно выше
единицы, а при определенных значениях входного давления при-
249

йймать й отрицательные значения; в этом случае в системе Mofyt
самовозбуждаться кавитационные колебания. Таким образом,
максимальное значение коэффициента усиления —=Л- может
во много раз превышать статическое значение.
Следовательно, амплитуда колебаний объема кавитационной
каверны при определенной частоте достигает максимального зна-
значения, существенно большего соответствующего статического из-
изменения 61/к ст.
Напор насоса определяется объемом кавитационных каверн,
расположенных в межлопастных каналах [96]. Поскольку ампли-
амплитуда колебаний объема кавитационной каверны при определенной
частоте существенно больше соответствующего статического от-
отклонения, это может вызвать колебания напора насоса, ампли-
амплитуда которых будет существенно превышать соответствующее ста-
статическое изменение напора. Этим и объясняется отличие статиче-
статических и динамических коэффициентов усиления насоса.
В рассматриваемом случае комплексный коэффициент усиле-
усиления насоса (шнека) можно записать в виде
бр2ш (to) 1 j Щп
р
Используя формулы для aL и сор, последнюю частотную характе-
характеристику запишем в виде:
6р2 (to) fy?2iii (to) i . тш /q ддч
Ьрх (ш) 6pi (too) j ( l — ?±- \ (°2 4- /©а Т
p
Максимальное значение коэффициента усиления на резонансной
частоте равно
6^_2Ш 1 = 1 -| тш (8.50)
или при малых а
На частотах со <^ ор влиянием затухания на амплитуду коле-
колебаний можно пренебречь, тогда, полагая аг = 0, из выраже-
выражения (8.49) получим
250

где резонансная частота колебаний о)р = -у-= 1/ |-^-, от-
откуда следует, что на частотах со <^ сор коэффициент усиления на-
насоса равен 1 -f тш и определяется тангенсом угла наклона ка-
касательной к кавитационной характеристике шнека.
Этим, вероятно, и объясняются противоречивые данные от-
относительно возможности использования статических (кавита-
(кавитационной и напорной) характеристик насоса. В частности, в разд. 8.5
отмечалось, что значения коэффициентов усиления, определенных
по статическим характеристикам, существенно меньше экспери-
экспериментальных значений, зафиксированных при кавитационных авто-
автоколебаниях. Такой же вывод сделан в работе [131 ]. В то же время
в работе [1041 указывается, что динамический коэффициент уси-
усиления насоса определяется в основном статическими характери-
характеристиками насоса. Однако использование указанных характеристик
не позволило авторам этой работы объяснить экспериментально
полученный резонанс на амплитудно-частотной характеристике.
Частотная характеристика (8.49) дает теоретическое объяснение
указанным выше противоречивым данным (при частотах колеба-
колебаний со <^ сор коэффициент усиления в основном определяется ста-
статическими характеристиками, а при частотах колебаний, соиз-
соизмеримых с сор, может наблюдаться существенное рассогласование
статических и динамических коэффициентов усиления насоса).
Таким образом, появление аномально больших коэффициентов
усиления насосов вследствие возрастания на определенных часто-
частотах амплитуды колебаний объема кавитационных каверн, каче-
качественно объясненное в разд. 8.6 на базе кинетической модели ка-
кавитационных колебаний, в рамках уточненной квазистационарной
модели (разд. 8.6) и нестационарной модели кавитационных коле-
колебаний, получает убедительное подтверждение и, что более важно,
такой подход, как будет показано ниже, позволяет дать количе-
количественную оценку коэффициентов усиления насоса.
Приведенная система уравнений (8Б) позволяет определить
комплексные коэффициенты усиления шнека —^-, центробеж-
ного колеса —=-=—, насоса в целом —ь^ и частотную характери-
От г
стику —=^, которую можно назвать динамической податливостью
6pi
Кавитационных каверн:
0Р2Ш 1 25
Z2(ico)
251

1 + И к
Ьрг
1 +
к Г 1 j ещ / . В2 +
Z2 (ко)
¦ sluZ1(ico)J ,
Г I __ В2 + /(о/к. ш I
Т^ГХ L Zx (ко) J
(8.53)
(8.54)
Результаты расчетов этих частотных характеристик насоса № 2
для трех значений входного давления рх = 0,48; 0,28 и 0,18 МПа
представлены на рис. 8.15—8.18 в виде соответствующих ампли-
амплитудно-частотных характеристик.
К характерным особенностям амплитудно-частотных характе-
характеристик шнеко-центробежного насоса на режимах частичной ка-
кавитации можно отнести су-
0, м3/мпа
¦•-
j
/
/
\
\
\
\
\
\
\
\
1
1
1
р}=0,26М
у
Р,-0,481
1
1
1
1
1
\
\
\
\
\ I
\
1Па \ /
у
ЧПа
_
arg dvK/dprpad
2
20
30
А ГЦ
\
\
\
20
30
/.Гц
щественное увеличение коэф-
коэффициентов усиления шнека и
насоса в целом с пониже-
р,=0,18МПа
н
= 0,28 МПа
\
~0,48МПа
20
30
40
и
-'
-1
-з
¦—
N
\
\
\
\
\
\
———
\
20
Рис. 8.15. Теоретическая зависимость Рис. 8.16. Теоретическая зависимость^
динамической податливости кавитаци- коэффициента усиления осевого шн№°'
онных каверн от частоты при различ- вого преднасоса от частоты при разли4"
ных входных давлениях (q = 0,54) пых входных давлениях (q = 0,54)
252

ОА
р}-0,28 МПа
),=0,18 МПа
if) ———
Ю —
О Ю 20
огд 6р21др2щ, рад
30
40
. —
-
ч
в МПа
; \
1
W 70
unj дрр/дрп pad
fJU
Рис. 8.17. Теоретическая зависимость
коэффициента усиления центробежно-
центробежного колеса от частоты при различных
входных давлениях (q — 0,54)
Рис. 8.18. Теоретическая зависимость
коэффициента усиления шнеко-центро-
бежного насоса от частоты при различ-
различных входных давлениях (q — 0t54)
-j
-—-^
\
\
\
\
\
N
20
А Га
нием входного давления и увеличением частоты колебаний (до
резонансной частоты сор).
При пониженном давлении на входе в насос рг = 0,18 МПа за-
зависимость коэффициентов усиления шнека и насоса в целом от ча-
частоты амплитудно-частотных характеристик имеет четко выражен-
выраженный резонансный характер, максимальный коэффициент усиления
на резонансной частоте превышает статический примерно в 6 раз,
коэффициент усиления центробежного колеса при рг = 0,18 МПа,
как и при рг = 0,28 и 0,48 МПа, близок к единице и практически
не зависит от частоты.
При достаточно высоком значении р± (рг = 0,48 МПа) указан-
указанные коэффициенты усиления близки к единице и не зависят от
частоты колебаний.
8.8. Экспериментальное определение
динамических характеристик
на режимах частичной кавитации
Трудности экспериментального определения динамических
характеристик шнеко-центробежного насоса, в первую очередь
Коэффициентов усиления и входного импеданса насоса, связаны,
главным образом, с заданием вынужденных колебаний давления
и расхода гармонической формы на входе в насос и с измерением
Колебаний расхода в интересующем диапазоне частот,
253

Рис. 8.19. Схема эксперимен-
экспериментальной установки для частот-
них испытаний насоса:
1 — пульсатор дроссельного типа;
2 — датчик замера частоты враще-
вращения «стакана» пульсатора; 3 — при-
привод пульсатора; 4 — «стакан» пуль-
пульсатора; 5 — датчик мгновенных зна-
значений расхода
Принципиальная схема
экспериментальной уста-
установки показана на рис.8.19.
Для создания возмущаю-
возмущающего воздействия исполь-
использовался пульсатор дрос-
дроссельного типа У, обеспе-
обеспечивающий в диапазоне ча-
частот 5-^45Гц вынужден-
вынужденные колебания давления и
расхода жидкости на входе
в насос, близкие по форме
к гармоническим. Пуль-
гидравлическим сопротивле-
его в питающем трубопро-
сатор обладал достаточно малым
нием, что позволило установить
воде. Электропривод 3 пульсатора обеспечивал регулировку
возмущающего сигнала в исследуемом диапазоне за счет перио-
периодического перекрытия части площади проходного сечения пуль-
пульсатора «стаканом» 4. При частотных испытаниях насоса исполь-
использовались те же средства измерения и регистрации, что и при экс-
экспериментальном исследовании развитых кавитационных колеба-
колебаний (см. разд. 5.1).
В процессе испытаний замерялись колебания давления на
входе в насос рх, на выходе из шнека р2ш и насоса р2 датчиками
давления, частота вращения «стакана» пульсатора 4 замерялась
индуктивным датчиком 2. Для регистрации колебаний расхода на
входе в насос использовался датчик мгновенных значений рас-
расхода 5. Средние значения давлений контролировались по образ-
образцовым манометрам. Показания датчиков регистрировались шлей-
фовым осциллографом.
Конструкция «стакана» пульсатора (рис. 8.20) обеспечивала
в процессе испытаний изменение площади проходного сечения по
гармоническому закону. Амплитуда колебаний площади проход-
проходного сечения пульсатора 8Fn выбиралась путем проведения рас-
расчетов вынужденных колебаний в системе «питающий трубопро;
вод — насос», исходя из условия обеспечения формы колебании
входного давления, близкой к синусоидальной. Как показали
расчеты, в широком диапазоне изменения входного давления и
режима работы насоса выполнение указанного условия возможно
при различных амплитудах колебаний 8Fn. Кроме того, для полу
254

?птах I Fnmin \ i
Fnmin
XZ5
Рис. 8.20. Схема работы «стакана» пульсатора
чения достоверных результатов (для сопоставления с теоретиче-
теоретическими частотными характеристиками) важно, чтобы отношение
амплитуды колебаний входного давления к среднему не превы-
превышало определенного значения *. Это значение зависит от не-
линейностей системы. В частности, для данного объекта
испытаний, насоса № 2, при отношении -——— = 0,3
Pl—Picp
частота кавитационных автоколебаний отличается от частоты
колебаний на границе области устойчивости на величину,
ОА
0,3
0,2
0,1
—о—о-
0,68 0,61
п
Д
а
10
"У
<&
2С
Ljl
0
о
д
лоо
д
д
1
J
1—1
д
о
о°
А Д ,
3 D
и
1 1Гц
О,5Г
0,3
0,2
О
о
д
о
DO
и
Д L
о
г
10
и о
п
DD
Ц
°а
о
20
:
Д->
"D
О
D
30 Ь1
8
7
Д
8
Рис. 8.21. Зависимость относительной амплитуды колебаний давления на входе
с _
— от частоты при различных входных давлениях (Q = Qhom) '
Pi — Picp
О — Pi = 0,18 МПа; ? —
в насос —
= 0,28 МПа; д — pt = 0,48 МПа
Рис. 8.22. Зависимость относительной амплитуды колебаний давления на входе
dpi _
• от частоты при различных входных давлениях (Q = ^,PQHOm) •*
насос -
Pi —
О — Pi = 0,26 МПа; ? - рх = 0,34 МПа; Д — pt = 0,47 МПа
* Контролировалось отношение —^-, так как только амплитуда колебаний
входного давления из числа измеряемых параметров была соизмерима с его уста-
установившимся значением.
255

/=25,5Гц,
Рис. 8.23. Пример осциллографических записей частотных испытаний (Q =
= 0,9Qmu, Pi = 04 МПа, / - 25,5 Гц)
не превышающую 4%. Следовательно, с точностью до ^10% для
данного объекта испытаний можно допустить значения отноше-
отношения ————^0,3; при этом колебания еще сохраняют форму,
Pi — Pi ср
близкую к гармонической. На рис. 8.21—8.22 приведены зависи-
зависимости отношения ——^ от частоты колебаний для двух рас-
_ Pi — Pi ср
ходов, Q = QH0M и Q -^ 0,9QI1OM, при различных значениях вход-
входного давления, а на рис. 8.23 в качестве примера — осциллограмма
частотных испытаний насоса № 2 с записью колебаний давления р\
и расхода Qx на входе в насос, давлений на выходе из шнека р2ш
и насоса р2 и частоты вращения «стакана» пульсатора. Из анализа
представленных результатов следует, что отношение -=
P
в ис-
Pi — Рср
следуемом диапазоне частот превышало значение 0,3, а форма
колебаний в диапазоне частот от нуля до 6 Гц заметно отличалась
от гармонической. Поэтому для дальнейшего анализа были ис-
использованы только те опытные данные, которые удовлетворяли
указанному выше требованию.
Методика обработки результатов частотных испытаний не от-
отличается от описанной ранее в разд. 5.1 методики обработки ре-
результатов испытаний по развитым кавитационным автоколеба-
автоколебаниям. При этом для выделения первой гармоники колебаний по
входу и выходу также применялся гармонический анализ.
256

Таким образом, экспериментальные частотные характеристики,
строго говоря, следует рассматривать как эквивалентные частот-
частотные характеристики нелинейной системы. Это следует иметь в виду
при сопоставлении экспериментальных данных с расчетными ча-
частотными характеристиками, полученными из решения линеари-
линеаризованной системы уравнений.
8.9, Анализ экспериментальных данных
по коэффициентам усиления
и входному импедансу насоса*
Коэффициенты усиления насоса. Резуль-
Результаты частотных испытаний насоса на режиме Q = QH0M при раз-
различных давлениях на входе в насос в виде зависимостей дина-
6V
мической податливости кавитационных каверн —=^ и коэффи-
циентов усиления шнека . , насоса в целом — _— и центро-
% 6/?!
бежного колеса бр2|бр2ш представлены на рис. 8.24, 8.27—8.29.
Этот режим работы насоса соответствует значению коэффициента q,
равному 0,54, при котором интенсивные обратные токи на входе
в насос отсутствуют.
Измерения мгновенных расходов на входе в насос позволили
впервые установить экспериментальные зависимости динамиче-
динамической податливости кавитационных каверн от частоты колеба-
колебаний [105]. Динамическая податливость кавитационных каверн,
как показано теоретически в разд. 8.7, оказывает существенное
влияние на коэффициенты усиления насоса. Кроме того, она ока-
оказывает определяющее влияние на собственные частоты колебаний
жидкости в системе «питающий трубопровод — насос».
Как показали опытные данные, на режимах без обратных то-
токов динамическая податливость кавитационных каверн увеличи-
увеличивается с повышением частоты колебаний, достигая максимального
значения на определенной частоте (при q = 0,54 и рх = 0,18МПа
эта частота колебаний равна я^38 Гц) (см. рис. 8.24).
С повышением входного давления статическая (со = 0) подат-
податливость кавитационных каверн уменьшается, а характер зави-
зависимости динамической податливости от частоты колебаний сохра-
сохраняется (при давлениях рх = 0,28 и 0,48МПа частота колебаний,
соответствующая максимуму
, больше предельной частоты,
которую обеспечивал пульсатор при данных испытаниях). Макси-
Максимальное значение динамической податливости кавитационных ка-
каверн более чем в 8 раз превышает свое статическое аначение. Та-
* Эксперименты проводились под руководством инж. В. А. Дрозда, В. Е. Хо-
Дурского, Ю. Н. Букреева.
17 в. В. Пилипенко 257

к
25
го
15
10
5
Ю?мУмПа
5"
~
D и--
о
с
О (J
:
о I
/о
/
у
и п
1
\ 1
у
D
О 10 W 30 UO fju, 0 10 20 30
Рис. 8.24. Зависимость динамической податливости кавитационных каверн от
частоты при различных давлениях на входе в насос (Q = Qhcm)'
эксперимент расчет
О О О Pi = 0,18 МПа;
D D D Pt — 0,28 МПа;
Л Л Л Рх = 0,48 МПа
Рис. 8.25. Зависимость динамической податливости кавитационных каверн от
частоты при различных давлениях на входе в насос (Q = 0,9QHOM) :
эксперимент расчет
ООО -• — Р~х = 0,26 МПа;
D Q D Pi = 0,34 МПа;
Д Д Л Pi — 0,47 МПа
ким образом, на режимах без обратных токов амплитудно-частот-
ная характеристика
имеет четко выраженный резонанс-
ный характер, а резонансная частота колебаний зависит от дав-
давления на входе в насос.
Эти результаты были предсказаны теорией в рамках нестацио-
нестационарной модели кавитационных колебаний (разд. 8.7) и находят
убедительное экспериментальное подтверждение не только в ка-
качественном, но и в количественном отношении. Действительно,
теоретические зависимости
удовлетворительно согласуются
рх
с опытными данными (см. рис. 8.24, 8.25).
В простейшем случае теоретическая
характеристика имеет вид (8.45)
^ /————7—
амплитудно-частотная
у
7
258

1
у
\В
а резонансная частота колебаний (приа1 = 0) wps I/ т
Нетрудно видеть, что с понижением входного давления |В1(
уменьшается, а коэффициент инерционных потерь давления /к<ш
увеличивается. Следовательно, резонансная частота колебаний сор,
при которой динамическая податливость достигает максималь-
максимального значения, увеличивается с повышением входного давления.
Приведенные результаты относятся к режиму работы насоса
без обратных токов (см. рис. 8.24, 8.27, 8.29). На режимах с интен-
интенсивными обратными токами из-за существенного изменения гидро-
гидродинамической картины кавитационного течения и возникновения
кавитационных каверн перед лопастями шнека частотная харак-
характеристика —¦=?- может качественно иметь другой вид (см. рис. 8.26)
В простейшем случае коэффициент усиления шнека равен
1 +еш-т^-> (8.55)
6ft
а коэффициент усиления центробежного колеса должен быть близ-
близким к единице.
Экспериментальные данные подтвердили формулу (8.55). На-
Наблюдается идентичный характер зависимостей динамической по-
податливости кавитационных каверн и динамического коэффициента
усиления шнека и насоса в целом от частоты колебаний (см.
рис. 8.24; 8.27; 8.29). При этом расчетные и экспериментальные
значения динамических коэффициентов усиления шнека и насоса
в целом согласуются удовлетворительно. Основные результаты
анализа представленных зависимостей изложены в работе [102]
и сводятся к следующему.
При достаточно высоком значении входного давления (рх =
= 0,48МПа) коэффициенты усиления не зависят от частоты коле-
колебаний, незначительно отличаются от единицы и в основном опре-
определяются статическими характеристиками насоса. С умень-
уменьшением давления на входе в
насос до значений 0,28 и
0,18 МПа, существенно боль-
больших давления кавитационного
срыва насоса, наблюдается су-
существенное увеличение коэффи-
коэффициентов усиления шнека и на-
насоса в целом (до значений 7ч-12
и 4-V-7).
Рис. 8.26. Зависимость динамической
податливости кавитационных каверн
от частоты (Q = 0,5QHom> Pi =
= 0,46 МПа)
17* • ~
ЛЬ
Ю? м3/мПа
7,5
5,0
2,5
О
О
о
о
оо
о о
о
О
о
о
20
К ГU
259

<:
*~~~—
К-
о
о D
\
<1
f
|{
g (О СЭ $ -
1 1
'1
о
'<]
<
о J|d
¦ <
<
0
DO О
D
о
П
0
I
\
\
о
\ 1 о
\1
\lTcir
1
о
о
о
1
I?
о
"
о
о
У
a\\
о \ I
1
1
с
с
с
о
о
Ьг
f
1
D,l Q.I «5.1
3! on <
о. Op <
g о а1 <
|§з|| gee
•j ^) ** ^L <u oo °o oo

Коэффициент усиления центробежного колеса в исследованном
диапазоне изменения входного давления и частоты колебаний не
превышает единицы (рис. 8.28). Установлено, что с уменьшением
входного давления коэффициент усиления f2 снижается до зна-
6р2ш
чения ^0,4.
Можно предположить, что экспериментальные значения коэф-
коэффициента усиления центробежного колеса занижены, а осевого
преднасоса — завышены. Это связано с тем, что амплитуда коле-
колебаний давления за шнеком 6р2ш измеряется на периферии шнека,
где она максимальна, так как амплитуда колебаний 6р2ш склады-
складывается из амплитуды колебаний входного давления и амплитуды
колебаний напора шкека. Последняя максимальна на периферии
и уменьшается по радиусу шнека. Действительно, при достаточно
высоких значениях входного давления, когда амплитуда колеба-
колебаний напора шнека практически равна нулю, коэффициент усиле-
усиления центробежного колеса равен ^1,0, а с увеличением ампли-
амплитуды колебаний напора шнека коэффициент ?2 уменьшается.
Фазовый сдвиг между колебаниями давлений брх и бр2ш, как
показали расчеты, определяется тангенсом угла наклона каса-
касательной к зависимости напора шнека от расхода через насос.
С уменьшением входного давления |зш| уменьшается и при доста-
достаточно больших амплитудах колебаний объема кавитационных ка-
каверн среднеинтегральное значение sm может изменить знак. Этим
и объясняется уменьшение фазового сдвига между колебаниями 8р L
и 6р2ш с понижением входного давления (см. рис. 8.27).
На основании экспериментального определения частотных ха-
характеристик насоса при различных режимах работы (q = 0,47
и 0,58) установлено (рис. 8.30), что с уменьшением расхода коэф-
коэффициент усиления шнека, а, следовательно, и насоса в целом су-
существенно увеличивается — примерно в 2—3 раза. Кроме того, ча-
частотные испытания насоса на режиме q = 0,47 (рис. 8.31—8.33),
подтвердили изложенные выше результаты для q = 0,54.
Импеданс шнеко-центробежного насоса.
В работе [7], насколько известно авторам, впервые эксперимен-
экспериментально определен импеданс шнеко-центробежного насоса на ре-
режимах частичной кавитации в широком диапазоне изменения ча-
частоты колебаний и входного давления.
Ниже кратко изложены результаты этой работы, которые до-
дополнены опытными данными по влиянию режима работы на вход-
входной импеданс насоса.
На рис. 8.34 представлены экспериментальные зависимости
модуля входного импеданса насоса № 2 от частоты колебаний для
трех значений входного давления @,18; 0,28; 0,48 МПа). Эти за-
зависимости получены при постоянном значении коэффициента ре-
режима q = 0,54. Заметим, что согласно кавитационной характери-
261

стике насоса, давление 0,48 МПа примерно в 8 раз превышает
давление кавитационного срыва насоса.
Из анализа опытных данных следует, что в исследованном диа-
диапазоне изменения давления на входе в насос рг = 0,18^-0,48 МПа
модуль импеданса насоса резко уменьшается с увеличением частоты
колебаний от 3 до 10 Гц. При дальнейшем уЕеличении частоты ко-
колебаний наблюдается дальнейшее монотонное уменьшение модуля
импеданса насоса. Такой характер зависимости
указывает на существенное влияние емкостных свойств кавитаци-
онных каиерн (даже при дав-
давлении рх примерно в 8 раз
большем давления кавитаци-
кавитационного срыва насоса) на мо-
модуль входного импеданса
5,0
%¦
о
¦¦
2-о—оЯт
¦
в
а
¦ ¦ ^.
¦ ¦
—. —
о
4,0
3,0
2,0
О
О— —
:<?.?—
^ Д ^ДЧ2
° >
гчТм
О
/
у?
Гппп ^
/
... /
о/
/
/
п п
/
^ ^
fju,
агд
0,5
10
mfiPi Pa(}
30
/, Гц
-0,5
п
д
о
ои° °
Д
/,Гц
20
30
60
Г, Гц
Рис. 8.30. Влияние режима работы насоса на коэффициент усиления осевого
шнекового преднасоса:
эксперимент _ расчет
¦ ¦ ¦ Л = 0,342 МПа; Q= 0,9QHOM;
ооо
. Pl = 0,342 МПа; Q = 1,1QH
Рис. 8.31. Зависимости модуля и аргумента комплексного коэффициента усиления
осевого шнекового преднасоса от частоты при различных давлениях на входе в насос
(Q=0,9Qn<M):
эксперимент расчет
ООО ¦ Pi — °»26 МПа;
ПОП Pi = °>34 МПа;
А А А • Pi = °»4?
26Z

А Д
Дд
д
д
л
О
D
?
А
Д
А
О '-'" о*
д Д
8
д *"^
о
0,8
ОА
О
-0,4
-0,8
10 20
агд 6р2/6р2ш,рад
L
д zP~^
О
—Ь ?&
arm
л Дд
О
о
©-?>
0
20
50
g
п
—*~D _-
о
""А
0
А
А
/
/
/
л
/^ 0 w 20
йгд
К Ги
/.Ги.
-0,0
-0,8
о
А
А
D
П
д
ДА
п 0
^Ь D
?
0
^
й
30
/,/п
Рис. 8.32. Зависимости модуля и аргумента комплексного коэффициента усиления
центробежного колеса от частоты при различных давлениях на входе в насос
эксперимент
О О О
d a a
л л л
расчет
рх =
P~i =
n"t =
0,26
0,34
0,47
МПа;
МПа;
МПа
Рис. 8.33. Зависимости модуля и аргумента комплексного коэффициента усиле-
усиления шнеко-центробежного насоса от частоты при различных давлениях на входе
в насос (Q= 0,9QHOM):
эксперимент расчет
О О О Pi = 0,26 МПа;
DDD /Tt = 0,34 МПа;
АЛЛ ~i = 0,47 МПа
насоса. Действительно, модуль импеданса напорного трубопро-
трубопровода при частоте колебаний / = 0 равен 50,8- 10б МПа с/м3 и мо-
монотонно увеличивается с увеличением частоты колебаний. В то же
время модуль импеданса насоса при частоте колебаний / = 10 Гц
и достаточно высоком значении входного давления составляет
7,5' 105 МПа с/м3 и монотонно уменьшается с увеличением частоты
колебаний. При снижении входного давления модуль импеданса
насоса существенно уменьшается.
Таким образом, можно считать установленным, что емкостные
свойства кавитационных каверн в насосе даже при высоких ка-
263

ВйтационныХ запасах оказывают определяющее влияние на им-
импеданс насоса. Фазовый сдвиг между колебаниями давления
и расхода на входе в насос в диапазоне частот 5 ч- 45 Гц не
превышает я рад и достигает максимального значения, рав-
равного *^1,9 рад (см. рис. 8.34).
Результаты экспериментального определения входного им-
импеданса насоса на режиме q = 0,47 (рис. 8.35) подтвердили изло-
изложенные выше основные характерные особенности зависимости
\#р,/бп,\-10~2МПас/м3
1?
W, МПа с/м3
\\
\ V
1 1
\
\ и
\-
\
\
о п
\
\
\ "
\
¦
SP
ч>
о
\
Л
д
д
\
¦
о о
\
д
Л
д'
щ
\
д
д ^^
^^
—¦-
о
Ю 20
f pad
30
/,Гц
\
у \
ш \
\ш
\
¦ \
A L
О
О п
\
v\
¦%ЛЧ
° -лй
_ ш-^
о о
\
^ д
20
30
-0,8
-1,6
Vs
¦
д
¦
д
д
г
дско^ oi
О
д Дд
J
о
""¦ ^^
arg 6p,/dQhpad
О
-0,8
-12
/,Гц
20
50
/л
1
\ т
X
\
V4
"^
¦ й
д
Аи
Д
О
о
д
эо в
¦
д
о
Q
д
Е
10
20
30
У, Гц
Рис. 8.34. Зависимости модуля и аргумента входного импеданса насоса от ча-
частоты при различных давлениях на входе в насос (Q = QU0M):
эксперимент расчет
Д Л Д ¦ Pi = 0,48 МПа;
¦ ¦ ¦ ~pt = 0,28 МПа;
О ОО Pi =« 0,18 МПа
Рис. 8.35. Зависимости модуля и аргумента входного импеданса насоса от частоты
при различных давлениях на входе в насос (Q = 0,9QHom) •'
эксперимент расчет
д Д Д Pj = 0,44 МПа;
¦ ¦ ¦ —-р7 = 0,34 МПа;
О О О Р~1 = 0,24 МПа
264

модуля импеданса и фазового сдвига между колебаниями давле-
давления и расхода на входе в насос от частоты колебаний.
Интересно сопоставить теоретические зависимости модуля вход-
входного импеданса и фазового сдвига farg—^) с опытными данными.
V Qi I
На рис. 8.34, 8.35 приведены результаты расчетов входного
импеданса насоса на базе нестационарной модели кавитационных
колебаний [система уравнений (8.62)—(8.66)]. Из анализа пред-
представленных результатов следует, что на режимах без обратных
токов (q = 0,47 и 0,54) разработанная теория не только объясняет
основные характерные особенности рассматриваемой динамической
характеристики насоса, но и позволяет получить удовлетворитель-
удовлетворительное количественное согласование. В частности, наблюдается удо-
удовлетворительное согласование модуля входного импеданса насоса
в диапазоне частот 3^-45 Гц. Заметим, что определяющее влияние
на входной импеданс насоса оказывают кавитационные каверны,
расположенные в проточной части шнека. При достаточно высо-
ских значениях входного давления рг = 0,48 МПа (см. рис. 8.34)
и 0,44 МПа (см. рис. 8.35) наблюдается несколько большее рассо-
рассогласование расчетных и экспериментальных зависимостей
pl = f (со). При указанных значениях входного давления
(при малых размерах кавитационных каверн в проточной части
шнека) на входной импеданс могут оказывать влияние кавита-
ционные каверны, расположенные в проточной части центробеж-
центробежного колеса.
Как указывалось в гл. 4, центробежное колесо насоса № 2
работает в режиме частичной кавитации. Этим и объясняется не-
несколько большее рассогласование теоретических и эксперимен-
экспериментальных зависимостей -^- = / (со) для сравнительно высоких
значений входного давления. С понижением давления на входе
в насос податливость кавитационных каБерн в проточной части
шнека существенно превышает податливость кавитационных ка-
каверн в проточной части центробежного колеса и поэтому влияние
последних на входной импеданс насоса заметно снижается, а сходи-
сходимость теоретических и экспериментальных результатов улучшается.
Далее, учитывая, что в диапазоне частот 10—45 Гц фазовый
сдвиг между колебаниями давления и расхода близок к 90°, за-
зависимость модуля импеданса от частоты колебаний в основном
определяется зависимостью модуля мнимой части импеданса от
частоты колебаний. Мнимая часть импеданса оказывает опреде-
определяющее влияние на частоты собственных колебаний жидкости
в системе питающий трубопровод — насос и, как показали теоре-
теоретические и экспериментальные исследования, в диапазоне частот
5-^-45 Гц мнимая часть импеданса насоса определяется в основном
емкостными свойствами кавитационных каверн.

Г л а в а 9
РАЗРЫВНЫЕ
КАВИТАЦИОННЫЕ
АВТОКОЛЕБАНИЯ
В НАСОСАХ
Если амплитуда кавитационных автоколебаний давления на
входе в насос сравнительно невелика, так что минимальные зна-
значения давления, возникающие в процессе колебаний, значительно
превосходят давления кавитационного срыва насосов, то колеба-
колебания носят гармонический характер. При достаточно больших
амплитудах колебаний давления, когда симметричной форме ко-
колебаний должны были бы соответствовать минимальные значения
давления, лежащие вблизи или ниже срывного давления, коле-
колебания теряют симметрию: отклонения давления вверх от среднего
значения начинают заметно превосходить соответствующие откло-
отклонения вниз: помимо этого, время существования высокого давле-
давления составляет малую долю периода колебаний.
Примеры осциллограмм давления, соответствующих обоим
типам автоколебаний, уже приводились во второй главе
(см. рис. 2.4).
При очень больших амплитудах форма колебаний входного
давления приобретает вид следующих друг за другом гидроударов,
что свидетельствует о том, что периодически происходит полное
схлопывание кавитационных каверн в насосе. Непосредственно
после гидроудара наблюдается сравнительно быстрое (по сравне-
сравнению с периодом колебаний) падение давления до значения, близ-
близкого к давлению кавитационного срыва. Возникшее таким образом
низксе давление примерно сохраняет постоянное значение вплоть
до следующего гидроудара. Автоколебания подобной формы, для
которых характерно периодическое схлопывание кавитационных
полостей, сопровождающееся гидроударом, будут в дальнейшем
называться разрывными кавитационными автоколебаниями. Раз-
Разрывные кавитационные автоколебания возникают лишь в тех слу-
случаях, когда амплитуды колебаний достаточно велики, в этом
смысле они соответствуют некоторому асимптотическому поведе-
поведению системы. В соответствии с этим и излагаемая в этой главе
модель разрывных кавитационных автоколебаний также носит
асимптотический характер. Из нее, в частности, следует, что сам
266

Рис. 9.1. Типичная осциллограмма давления на входе в насос при разрывных кави-
тационных автоколебаниях (по данным работы [67])
по себе факт периодического полного схлопывания каверн и воз-
возникновения гидроударов при автоколебаниях налагает достаточно
жесткие ограничения на поведение системы, которые позволяют
получить ряд содержательных выводов, не зависящих от кон-
конкретной формы механизма обратной связи. В соответствии с этим
в настоящей главе изучаются те стороны явления, которые в ос-
основном обусловлены упругостью жидкости. Что же касается ме-
механизма обратной связи, то он описывается в весьма грубой фено-
феноменологической форме. В следующей главе, напротив, основное
внимание будет уделено механизму обратной связи при таком
уровне амплитуд, когда сжимаемость жидкости еще не суще-
существенна, однако, колебания уже потеряли симметричную форму.
На рис. 9.1 приведена типичная осциллограмма давления на
входе в насос при разрывных кавитационных автоколебаниях,
а на рис. 9.2 — осциллограмма так называемых вынужденных
разрывных кавитационных колебаний давления.
Приведенная на рис. 9.2 осциллограмма была получена на
специальной установке, описанной в работе [72]. Установка со-
состояла из вертикально расположенного трубопровода, заполнен-
Рис. 9.2. Типичная осциллограмма вынужденных разрывных кавитационных
колебаний давления (по данным работы [72])
267

ного водой, в нижней части которого располагался поршень, со-
совершающий гармонические колебания. При достаточно большом
значении амплитуды колебаний поршня в жидкости возникал ре-
режим вынужденных разрывных кавитационных колебаний. При
этом около поршня периодически возникает кавитационный раз-
разрыв жидкости, в результате чего давление у поршня падает до
значения, равного давлению насыщенных паров.
Для того, чтобы описать характер движения жидкости, рас-
рассмотрим сначала некоторый момент времени /0, когда объем кави-
тационной полости у поршня имеет максимальное значение. С этого
момента времени столб жидкости начинает двигаться вниз под
действием силы тяжести и перепада давления между его верхним
и нижним концами. Это движение заканчивается гидроударом,
возникающим в момент смыкания кавитационного объема. Удар-
Ударное давление сжимает жидкость, в результате чего в ней запасается
потенциальная энергия. Последующее упругое расширение при-
приводит к появлению составляющей скорости, направленной верти-
вертикально вверх, которая отрывает столб жидкости от поршня. Столб
жидкости после этого сначала движется вверх, постепенно умень-
уменьшая скорость под действием силы тяжести и перепада давления,
а за тем начинает падать, после чего весь процесс повторяется
(описанная картина во многих чертах аналогична движению, воз-
возникающему после падения упругого шарика на жесткую плиту).
Предложенная в работах [65, 66] теоретическая модель вы-
вынужденных разрывных кавитационных колебаний позволила пред-
предсказать ряд особенностей этого явления, а при. использовании
всего одной эмпирической константы — получить вполне удовле-
удовлетворительное количественное описание довольно обширного экс-
экспериментального материала по влиянию различных факторов на
амплитуду, фазу и условия срыва колебаний.
Из сопоставления рис. 9.1 и 9.2 видно, что характер зависи-
зависимости давления от времени в обоих случаях аналогичен. Это поз-
позволяет предположить, что и физическая природа обоих явлений
имеет достаточно много общих черт. Это предположение было
положено в основу модели, которая будет рассмотрена ниже [71 ].
Следует сразу же оговорить, что излагаемая ниже теоретическая
модель носит в настоящее время качественный характер. Ее основ-
основное назначение сводится к описанию физической картины явления
и выявлению направления и характера влияния параметров си-
системы на режим автоколебаний.
9.1. Свободные колебания
при отсутствии рассеивания и подвода энергии
Описание модели разрывных кавитационных колебаний в на-
насосах целесообразно начать с вывода некоторых вспомогательных
соотношений.
268

Будем рассматривать свободные разрывные кавитационные ко-
колебания в питающем трубопроводе насоса, подобно тому, как это
делалось для разрывных кавитационных колебаний в трубопро-
трубопроводе с поршнем. Временно примем, что в системе расчетная схема
которой представлена на рис. 9.3 отсутствует рассеивание и под-
еод энергии, а сопротивление нагрузки 5 столь велико, что коле-
колебаниями расхода за насосом, обусловленными колебаниями дав-
давления на входе в насос, можно пренебречь.
В этом разделе задача ограничивается поиском и описанием
строго периодических решений движения жидкости, в последую-
последующих же разделах только что описанные упрощающие предположе-
предположения использоваться не будут.
Разобьем период колебаний давления на входе в насос на две
фазы, одну из которых назовем фазой свободного дви-
движения, а другую — фазой контакта.
Будем считать, что в фазе свободного движения в районе вход-
входного патрубка насоса и частично шнека расположена область, охва-
охваченная кавитацией. Давление в этой области в течение фазы сво-
свободного движения принимается постоянным и равным давлению
насыщенных паров —рп. В фазе контакта кавитация отсутствует,
а жидкость на входе в насос сжата давлением гидроудара рт.
Характер изменения давления на входе в насос в течение полного
периода колебаний имеет, таким образом, вид, представленный на
рис. 9.4 (сплошная линия).
Так как давление в области, охваченной кавитацией, согласно
расчетной модели, постоянно, то столбы жидкости до и после на-
насоса в фазе свободного движения движутся независимо. К левому
концу столба жидкости (см. рис. 9.3), расположенного до насоса,
приложено давление р0 (гидравлические потери здесь не учиты-
учитываются), а к правому — рп. В работе [65] было показано, что одна
из возможных форм движения упругого столба жидкости под дей-
Ро
V
/'
1
г
L л
3
1
1
к 5
/ т
\
Рис. 9.3. Расчетная схема к модели разрывных колебаний в насосе:
1 — бак; 2 — питающий трубопровод; 3 — насос; 4 — напорный трубопровод; 5 — на-
нагрузка
Рис. 9.4. Изменение давления на входе в насос:
Фк — фаза контакта; Фс — фаза свободного движения; без рассеивания
энергии; — с рассеиванием энергии
269

етвием перепада давления Ар = р0 — рп при отсутствии потерь
может быть представлена в виде суммы двух движений, одно из
которых можно получить, рассматривая несжимаемую жидкость,
а другое представляет собой волну слабого гидроудара с повыше-
повышением давления на величину Др. Волна слабого гидроудара в те-
течении фазы свободного движения многократно отражается от
концов столба жидкости. (Иными словами, столб жидкости в от-
относительном движении совершает продольные высокочастотные
колебания).
В моменты времени, соответствующие отражению волны гидро-
гидроудара от нижнего конца, давление вдоль всего столба жидкости
постоянно и равно р0, а скорость имеет такое же значение, какое
имел бы при тех же условиях столб несжимаемой жидкости. Далее
будем рассматривать именно такую форму движения.
Движение столба несжимаемой жидкости под действием пере-
перепада давлений Ар описывается уравнением:
dv
pL-^-^Po-Pn^ Ар, (9.1)
где v' — скорость жидкости.
Пусть скорость жидкости в начале фазы свободного движения
на я-ом периоде колебаний равна v'^n\ тогда, интегрируя (9.1),
получим
O'(») = ^(»)+J^^t (9.2)
pL
где индексом п отмечен номер периода колебаний.
Уравнение, описывающее изменение объема области, охвачен-
охваченной кавитацией, можно записать в виде:
= Q2-Fv'(n)9 (9.3)
где V<rt> — объем области, охваченной кавитацией; Q2 — объем-
объемный расход жидкости на выходе из насоса *.
Для того, чтобы придать уравнению (9.3) более удобную фо]рму,
разделим его левую и правую части на F, после чего оно приобре-
приобретет следующий вид:
(9.4)
где v — скорость жидкости на стационарном режиме; /<я> — не-
некоторая эффективная длина зоны кавитационного разрыва в те-
течение я-го периода колебаний.
* Поскольку по условию этот расход не колеблется (отказ от этого предполо-
предположения, как будет показано в следующем разделе, приводит к появлению рассеи-
рассеивания энергии), то значение Q2 можно отождествить со стационарным расходом.
270

Подставляя (9.2) в (9.4), после интегрирования получим:
2 pL * '
Рассмотрим теперь такие специальные режимы колебаний, при
которых момент смыкания кавитационной полости совпадает с мо-
моментом отражения волны гидроудара от нижнего конца *.
Продолжительность фазы свободного движения в рассматри-
рассматриваемом случае можно вычислить, положив в (9.5) Un) = 0. Про-
Проделав соответствующие выкладки, получим:
Т(п) _ 2pL(v--v0—) (9.6)
Ар v '
где Г*") — продолжительность фазы свободного движения на
я-ом периоде колебаний.
Подставив (9.6) в (9.2), найдем скорость жидкости в конце
фазы свободного движения на я-ом периоде колебаний:
v'cin) = — v'oin) +2v. (9.7)
Сразу после смыкания кавитационной полости скорость нижнего
конца столба жидкости падает от значения v'c{n) до v, в результате
чего возникает гидроудар и начинается фаза контакта.
Для вычисления ударного давления воспользуемся формулой
Н. Е. Жуковского [36], связывающей скачок скорости и давления
на фронте волны гидравлического удара:
Рпг = Р0 Т" Р^ \Рс — V)) W-°)
где рт — давление гидроудара на /г-ом периоде колебаний.
Образовавшаяся в начале фазы контакта волна гидроудара
движется со скоростью звука с по направлению к баку. Скорость
и давление в жидкости перед волной равны при этом соответ-
соответственно v и /?0, а за волной — v и р^К Через отрезок времени,
равный —, волна гидроудара отразится от верхнего конца, на
котором давление равно /?0, и по направлению к насосу пойдет
волна разрежения. Перед волной разрежения столб жидкости
имеет параметры р%) и и, а за волной давление падает до значе-
значения р0. Падение давления от значения р^ до р0 приводит, со-
согласно формуле Н. Е. Жуковского, к изменению скорости на ве-
величину — -. Скорость жидкости за волной разрежения будет
в соответствии с этим равна
S-Z-jWpL, (9.9)
* Для этого необходимо, чтобы волна гидроудара в течение фазы свобод-
свободного движения успела отразиться от концов столба жидкости целое число раз.
В последующих разделах это искусственное ограничение использоваться не
будет.
271

где v" — скорость жидкости за волной разрежения. Из (9.8) и
(9.9) следует
v=2v -vcin). (9.10)
Формула (9.10), в частности, показывает, что при достаточно боль-
больших значениях v'c(n) скорость жидкости за волной разрежения
направлена вверх.
2L
Волна разрежения достигнет насоса в момент времени / = —
с
(скорость вдоль всего столба жидкости будет в этот момент вре-
времени равна v"), после чего вновь произойдет отражение. Вычислим
сначала давление у насоса, предполагая, что это отражение не
сопровождается образованием кавитационного разрыва жидкости.
Вновь воспользовавшись формулой Н. Е. Жуковского, находим:
рЙ>п = Ро + 9с (v -v) = 2p0 - Р{т], (9.11)
где pmin — давление у насоса после отражения волны разреже-
разрежения, вычисленное в предположении сохранения сплошности столба
жидкости.
Если pmin < /?„, то в жидкости возникает кавитационный раз-
разрыв, что означает начало фазы свободного движения. Далее будет
рассмотрен именно этот случай.
Начало фазы свободного движения на п + 1-ом периоде будет,
таким образом характеризоваться постоянным и равным v" вдоль
всего столба жидкости значением скорости. Подставляя в (9.10)
значение v'c{n) из (9.7) и полагая v = v'o(n+l\ получим:
vc{n+l) = vcin). (9.12)
Это соотношение показывает, что выстроен строго периодический
режим разрывных кавитационных колебаний без потерь. Хотя
предположение о целом числе периодов высокочастотных колеба-
колебаний столба жидкости в фазе свободного движения в дальнейшем
использоваться не будет *, полезно отметить, что для таких пара-
параметров системы (без рассеивания энергии), когда это условие не
выполняется, на строго периодический режим накладываются не-
нерегулярные поправки в амплитуде давления в периоде колебаний,
которые примерно равны Ар и -у- соответственно.
Определим теперь зависимость амплитуды колебаний от ча-
частоты. Период колебаний складывается из продолжительности
* Это предположение будет заменено предположением о полном затухании
продольных высокочастотных колебаний в течение фазы свободного движения,
которое в большей мере соответствует истинному положению вещей [66].
272

фазы свободного движения То (индекс п здесь и в последующих
2L
формулах этого параграфа опускается) и фазы контакта, равной —:
с
т = то+^-: /=*—Чтг-
Г Л-
Полагая в (9.10) v" = Уо и исключая при помощи этого соот-
соотношения v'c из (9.8), получим:
pc(v— Vc) = pm — po. (9.14)
Из (9.6), (9.14) и (9.13) после несложных преобразований получим
искомую зависимость размаха колебаний \х от частоты:
v==iL, (9.15)
Hl + ^; р v
r ' 2v r Ро — Рп с
где ^ — безразмерный размах колебаний; v — безразмерная ча-
частота.
Найденная таким образом, связь между \i и v совпадает с по-
полученной в работе [65] для свободных разрывных кавитационных
колебаний в трубопроводе с одним закрытым и другим открытым
концом. Это совпадение не случайно, так как при отсутствии рас-
рассеивания энергии обе задачи эквиваленты в том смысле, что могут
быть получены одна из другой путем перехода от неподвижной
системы координат (задача, рассмотренная в [65]) к системе от-
отсчета, движущейся с постоянной скоростью v.
В последующих разделах данной книги будет учтен подвод и
рассеивание энергии, сопровождающие разрывные кавитационные
колебания в насосах. Подвод и рассеивание энергии при автоко-
автоколебаниях будем считать малыми величинами, в силу чего зависи-
зависимости давления и скорости от времени будут иметь тот же харак-
характер, что и при отсутствии рассеивания энергии.
9.2. Колебания расхода за насосом
в режиме разрывных автоколебаний
В предыдущем разделе при вычислении продолжительности
фазы свободного движения и параметров гидроудара значение
расхода жидкости за насосом в течение всего периода колебаний
принималось постоянным. В действительности в фазе контакта
этот расход несколько больше, а в фазе свободного движения не-
несколько меньше стационарного значения.
Поскольку учет этого явления приводит к рассеиванию энер-
энергии колебаний, возникает задача его описания.
В фазе контакта уравнения, связывающие давление и расход
перед насосом, в первом приближении могут быть записаны в виде
простых гидравлических связей
Р2 — pm = P (Qm), P2 ~ /?3 = Я<?щ, (9.16)
18 В. В. Пилиценко 273

где рт — давление на входе в насос в фазе контакта; /?2, Qm —
давление и расход за насосом; р3 — противодавление нагрузки;
Р (Qm) — напорная характеристика насоса; а — коэффициент, учи-
учитывающий гидравлическое сопротивление.
Поскольку амплитуда колебаний расхода на выходе из насоса
существенно меньше его установившегося значения, уравне-
уравнение (9.16) допускают линеаризацию относительно стационарного
режима. После линеаризации и исключения р2 получим:
т — F ' W-1'J
В фазе свободного движения, когда в результате существенного
возрастания объема области, охваченной кавитацией, напор на-
насоса падает, первое из уравнений (9.16) можно в первом прибли-
приближении записать в виде
P2~Pn = P(Qm, П (9Л8)
где V — объем кавитационной полости; рп — давление на входе
в насос в фазе свободного движения, равное давлению насыщен-
насыщенного пара.
Поскольку, как указывалось ранее, рассматриваемая модель
в силу целого ряда причин носит качественный характер, макси-
максимально упростим задачу, сведя к минимуму количество экспери-
экспериментально определяемых констант. (Подобный прием ранее ис-
использовался в [66]).
Падение напора, развиваемого насосом, складывается из двух
составляющих, одна из которых обусловлена гидравлическим со-
сопротивлением, а другая — падением напора, связанным с про-
продвижением области, охваченной кавитацией, вдоль проточной
части насоса. В целях упрощения переменное значение скорости
vr2 = -4т- в течение фазы свободного движения заменим некоторым
постоянным эффективным значением, за которым сохраним то же
обозначение.
Поскольку продвижение области, охваченной кавитацией,
вглубь проточной части насоса пропорционально продолжитель-
продолжительности фазы свободного движения, примем в первом приближении,
что падение эффективного значения скорости i^, обусловленное
этим явлением, пропорционально продолжительности фазы сво-
свободного движения
Av'2 = kTo, (9.19)
где Avr2 — потеря скорости i>2, обусловленная кавитацией; То —
продолжительность фазы свободного движения; k — коэффициент
пропорциональности.
Как будет видно в дальнейшем, рассматриваемое явление при-
приводит к рассеиванию энергии. Считая рассеивание энергии малой
274

величиной, будем проводить расчет с точностью до величин пер-
первого порядка малости по членам, учитывающим рассеивание
энергии. В качестве То в формуле (9.19) в силу этого можно ис-
использовать соотношение (9.6) (опустив предварительно индекс п).
Если в (9.19) перейти к безразмерной скорости, то с учетом (9.6)
получим:
— - ЛТ0> Т0 -
2A—
7, 1'о . ь
Ар
рис
(9.20)
(9.21)
Для того, чтобы получить еще одну составляющую падения
расхода за насосом в фазе свободного движения, обусловленную
уменьшением входного давления, достаточно в формуле (9.17)/?т
заменить на рп> после чего получим:
(9.22)
где Ai/2 < 0 — падение v2 в фазе свободного движения, обуслов-
обусловленное уменьшением входного давления.
Суммарное падение напора в фазе свободного движения будет,
таким образом, равно:
Pn—Pi
(9.23)
где Ду2 — падение скорости в фазе свободного движения.
Переходя к безразмерным скоростям, после несложных пре-
преобразований получим следующую идеализированную зависи-
зависимость и2 от времени:
г — фаза контакта;
h l-v <9-24)
, тр— 2k —т—-— фаза свободного движения,
0а =
где
Vm=l | ** hi ¦
Pm — Pn
pvc
pi»c
ЛГ =
(9.25)
18*
275

9.3. Фаза свободного движений
с учетом рассеивания энергии
Будем в дальнейшем предполагать, что рассеивание энергии
мало. Движение жидкости в фазе свободного движения будет от-
отличаться в этом случае от рассмотренного в разд. 9.2 некоторыми
малыми поправками, квадратами которых можно пренебречь. Все
последующие выкладки будут в связи с этим проводиться с точ-
точностью до величин первого порядка малости по членам, учитываю-
учитывающим рассеивание энергии.
При расчете движения несжимаемого столба жидкости примем,
по-прежнему, что давление в зоне, охваченной кавитацией, по-
постоянно и равно рп.
Уравнение движения несжимаемого столба жидкости в фазе
свободного движения с учетом сил гидравлического сопротивле-
сопротивления будет:
4^ ^'2signi/, (9.26)
где ? — коэффициент сопротивления питающего трубопровода.
Дополнительная работа вследствие отклонения действитель-
действительного значения давления от рп будет приближенно учтена нами
в конце этого раздела.
В целях упрощения последующих выкладок квадратичную за-
зависимость сопротивления в выражении (9.26) заменим прибли-
приближенной линейной:
PI-^- = Ap-|to', (9.27)
где значение коэффициента C определяется из условия энергети-
энергетического баланса, сводящегося к равенству работ сил сопротивле-
сопротивления, описываемых последними членами уравнений (9.27) и (9.26):
т0 т0
J Pi;'2 Л = J у ?ри'3 sign v' dt. (9.28)
о о
Поскольку расчет рассеивания энергии ведется с точностью до
величин, имеющих первый порядок малости, при вычислении зна-
значений р с этой точностью члены первого порядка малости в выра-
выражениях для v' и То могут быть отброшены. Последнее позволяет
воспользоваться для определения величин v' и То выражениями,
полученными при решении задачи без учета рассеивания энергии
[см. формулы (9.1) и (9.6)].
С учетом сказанного запишем:
То -00+20
4 iL
276

Правую часть (9.28) следует отдельно вычислить для слу^аеб
с v'q > 0 и v'o < 0. Если v'o > 0, то vf в процессе движения не
изменяет знак:
Ар
(9.30)
Если v'o < О, то v1 в течение фазы свободного движения меняет
знак, что необходимо учитывать при интегрировании:
Из (9.28)—(9.31) следует:
где
3 B-vo)*-vt
T B-.0K-,з
3 B — y0L + vf,
T B-^ + 08
v'3dv
при 0O
(9.31)
(9.32)
(9.33)
Если ввести величину
\ Po — Pi = Ap! = y
то формула (9.32) приобретает следующий вид
(9.34)
(9.35)
Если пренебречь различием между значениями ? в стацио-
стационарных и нестационарных условиях, то Apj будет равно разности
давлений между баком и входом в насос при стационарном течении
жидкости.
277

Перейдем теперь в (9.27) к безразмерным скоростям и времени:
-gij- = йо - hlWov, (9.36)
где
f= —; т = ^; Л,= РоТрп ; ft1 = ?<L=?L. (9.37)
С точностью до величин первого порядка малости по членам,
учитывающим рассеяние энергии (членам, пропорциональным /ц),
уравнение (9.36) будет иметь следующий вид
^ = /i0-Mo(t>o + M. (9.38)
Интегрируя (9.36), получим зависимость скорости жидкости
от времени в течение фазы контакта с учетом влияния рассеива-
рассеивания энергии:
у Л°т) т*
Разделив теперь (9.3) на F, а затем опустив индекс я, и восполь-
воспользовавшись (9.39) после перехода, согласно (9.25), к безразмерным
скоростям жидкости получим
(9.40)
Для того, чтобы найти продолжительность фазы свободного
движения с учетом рассеивания энергии, поступим так же как
в разд. 9.2. Проинтегрировав (9.40) с начальным условием / @) = 0
и положив / (хс) = 0, получим уравнение, решение которого опре-
определяет продолжительность фазы свободного движения — тс. Про-
Проделав перечисленные операции, находим:
т —\v v 2k l~~Vo
h0
где xc — безразмерная продолжительность фазы свободного дви-
движения.
278

Подставляя в (9.41) значения vm и ftm, приведенные в (9.25),
после несложных преобразований получим:
^ (9.42)
(9.43)
где т0 — безразмерная продолжительность фазы свободного дви-
движения при отсутствии рассеивания энергии.
Численные оценки показывают, что для обычных значений
параметров системы хс я^ т0. Это значит, что поправки к значению
продолжительности фазы свободного движения, обусловленные
учтенным видом потерь, малы.
Подставляя (9.42) в (9.39) и сохраняя только члены первого
порядка малости по величинам, учитывающим рассеивание энер-
энергии, получим:
-4?-Ц^-2-^, (9.44)
где vc — безразмерная скорость в конце фазы свободного движе-
движения, вычисленная в предположении отсутствия сжимаемости
жидкости.
Это соотношение позволяет связать значения безразмерных
скоростей несжимаемого столба жидкости в начале и в конце фазы
свободного движения. В идеализированной схеме, не учитываю-
учитывающей рассеивания энергии, рассмотренной в разд. 9.2, движение
сжимаемого столба жидкости в фазе свободного движения склады-
складывалось из переносной скорости столба несжимаемой жидкости и
продольных высокочастотных колебаний, сопровождавшихся ко-
колебанием скорости конца столба жидкости с размахом ——.
Для того, чтобы получить строго периодические решения, рас-
рассматривались только такие режимы колебаний, когда отражение
волны слабого гидроудара совпадало с концом фазы свободного
движения. Предположим, что высокочастотные колебания в те-
течение фазы свободного движения в результате работы сил трения
полностью затухают [66]. Из этого предположения следует, что
давление в конце столба жидкости в конце фазы свободного дви-
движения равно рп, а скорость совпадает с vc. Одновременно отпа-
отпадает необходимость в рассмотрении некоторых исключительных
форм движения, обеспечивающих реализацию строго периодиче-
периодических режимов колебаний,
279

9.4. Феноменологическое описание
подвода энергии к системе
Для поддержания режима автоколебаний необходимо, чтобы
к системе в течение периода колебаний подводилась работа, ком-
компенсирующая рассеивание энергии. Если рассеивание и подвод
энергии отсутствуют, то изменение давления у нижнего конца
столба жидкости имеет вид, представленный на рис. 9.4 (сплош-
(сплошная линия). Работа сил давления на пути, проходимом нижним
концом столба жидкости за период колебаний, будет в этом слу-
случае равна нулю. В тех же случаях, когда энергия подводится,
работа сил давления на пути, проходимом нижним концом столба
жидкости, независимо от конкретного вида механизма положи-
положительной обратной связи, должна быть больше нуля. Для этого не-
необходимо, чтобы среднее значение давления при расширении об-
области, охваченной кавитацией, было несколько больше, чем в про-
процессе ее смыкания. Схематично характер зависимости давления
от времени будет в этом случае иметь вид, представленный на
рис. 9.4 пунктиром. Работу, совершаемую над столбом жидкости
в течение периода колебаний, воспользовавшись обозначениями
рис. 9.4, можно записать в следующем виде:
Д? = \ pvr dt + l pvf dU (9.45)
о т;
где АЕ — работа, совершаемая кавитационным объемом над стол-
столбом жидкости; т! — время, в течение которого происходит хмы-
хмыкание кавитационного разрыва; Т2 — время, в течение которого
образуется кавитационный разрыв.
Поскольку по условию рассеивание и подвод энергии малы, то
т1 и Т2 тоже малы. Пренебрегая величинами второго порядка
малости в членах, учитывающих рассеивание и подвод энергии,
а также учитывая малость значений величин т{ и тг, можно запи-
записать уравнение (9.45) в виде:
]
= &1 pdt + v'c ]pdt,
где Vo и vc — соответственно скорость в начале и в конце фазы
свободного движения, вычисленная без учета рассеивания и под-
подвода энергии.
Поскольку, как это было показано в разд. 9.1,
= v'c, то
• = Щ\р<И-[рси), (9.47)
280

с использованием теоремы Лагранжа о среднем значении инте-
интеграл уравнения (9.47) можно представить в виде:
АЕ = (хх - т2) й (рт - Рп) = t'*v'o (Рт - Р„), (9.48)
где т'* = Ti — т2; 0 < %i < tJ, а т[ < т2 < тг.
Строго говоря, г'* не является константой и может зависеть
от vOy pm> рп и других параметров системы. В дальнейшем, од-
однако, т'* будет рассматриваться в качестве постоянного эмпи-
эмпирического коэффициента.
В случае вынужденных разрывных кавитационных колебаний
подобная идеализация привела к хорошему количественному
согласованию с экспериментальными данными [66, 72].
Поступление энергии в систему должно вызывать возрастание
абсолютной величины скорости жидкости в конце фазы контакта
(в начале фазы свободного движения). Свяжем это приращение
скорости с величиной АЕ. Запишем с этой целью скорость в начале
фазы свободного движения в виде:
ttf = U— Av', (9.49)
где Аи' — изменение скорости, обусловленное работой механизма
положительной обратной связи.
Для вычисления Av' воспользуемся энергетическими сообра-
соображениями:
j pL (v' - Avf - 1 pLW - АЕ. (9.50)
В левой части (9.50) — разность кинетических энергий столба
жидкости с учетом и без учета работы механизма положительной
обратной связи, а в правой — приращение энергии, определяе-
определяемое соотношением (9.48).
Подставляя (9.48) в (9.50) и пренебрегая (At;'J, после не-
несложных преобразований получим:
0* (9.51)
дя^т 2111.
Точно такое же выражение для Av' ранее использовалось в рабо-
работах [66, 72]. Единственное различие состоит в том, что при рас-
рассеивании энергии Av' уменьшает, а при подводе энергии — уве-
увеличивает скорость жидкости в начале фазы свободного движе-
движения.
9.5. Параметры автоколебаний
Фаза свободного движения заканчивается гидроударом. С уче-
учетом рассеивания энергии в фазе свободного движения и возраста-
возрастания расхода через насос, вследствие увеличения входного давле-
давления ударное давление на п-оы периоде колебаний будет:
PW^Pn + Polv'cM-vn (9.52)
281

где р{т — ударное давление; v{n) и v'mn) — скорость в конце фазы
свободного движения и в фазе контакта соответственно.
Формула (9.52) отличается от аналогичной ей формулы (9.8)
не только тем, что значения входящих в нее скоростей вычисля-
вычисляются с учетом подвода и рассеивания энергии, но и заменой р0
на рп, что связано, как это уже пояснялось в разд. 9.4, с предпо-
предположением о полном затухании свободных продольных колеба-
колебаний столба жидкости к концу фазы свободного движения.
Так же, как и в идеализированном случае, рассмотренном
в разд. 9.2, после отражения волны гидроудара от бака вниз по
потоку пройдет волна разрежения; скачок скорости на волне
разрежения будет при этом равен — (р^ — Ро). В соответствии
с этим скорость жидкости в начале фазы свободного движения
на (п + 1)-ом периоде колебаний (после окончания я-ой фазы
контакта) будет равна:
v <«+1> - v'm(n) - ^-=^> - Av'. (9.53)
Последний член в формуле (9.53) учитывает подвод энергии (знак
«минус» связан с тем, что в качестве положительного направле-
направления принято течение жидкости в сторону насоса).
Переходя в (9.52) и (9.53) к безразмерным переменным, после
использования (9.50) получим:
р(п) — р
(9.54)
(9.55)
Исключая из (9.54), (9.55) hm\ находим:
Vin+1) = 2t;(j0 - V(n) - (t,(«) _ VW) T* + h^ (9.56)
Поскольку расчет ведется с точностью до величин первого порядка
малости, в качестве множителя перед т* можно использовать
значения, полученные при решении задачи без учета рассеивания
энергии, после чего получим:
2i#} - v[n) + A - vo) т* + Ао. (9.57)
Подставляя в последнее выражение значение конечной скорости,
найденное из анализа фазы свободного движения [соотношение
(9.44)], найдем следующую связь между безразмерными скорос-
стями в начале фазы свободного движения на (п + 1) и я-ом
периодах колебаний:
„,„+!) = „<„) +1 Jh_ Wq A _ ^„)J> (9.58)
282

В режиме автоколебаний
vin+i)^v(n)^Vo (9.59)
формула (9.58) переходит в следующее соотношение, служащее
для определения параметров предельного цикла:
Разрешая (9.60) относительно Ло, получим:
х
X
Из сопоставления формул (9.60) и (9.44) следует, что скорость vc
может быть записана в виде:
vc^-v0 + 2vm-(l-v0)x* + h0. (9.62)
Подставляя (9.62) и (9.25) в (9.54), после преобразований полу-
получим: {
( ) 5^ (9.63)
Обычно—г- <С 1'» ограничиваясь в (9.63) членами первого порядка
По
малости по -?--, находим:
-Ло--^-. (9.64)
Переходя в (9.64) к безразмерному размаху колебаний, получим
окончательно:
hm Рт — Рп 1 : Vi
Полный период колебаний складывается из продолжительности
фазы свободного движения и фазы контакта, безразмерная час-
стота колебаний вследствие этого равна: ;
Уравнения (9.61), (9.41), (9.65) и (9.66) определяют в параметри-
параметрической форме (параметром является v0) зависимость \i и v от /i0
и других характеристик системы. Эти выражения могут быть
также использованы для нахождения зависимости \х от у.
283

75
50
25
т3
Г 2 W~J
г—¦ .
—
—-—
Рис. 9.5. Зависимость безразмерного
размаха колебаний от безразмерного
давления в баке при т* = 0,5, 1г2 = 5
0,05
0,15
0,20
На рис. 9.5 и 9.6 представ-
представлены зависимости безразмер-
безразмерного размаха колебаний jn и
частоты от безразмерного дав-
давления в баке /i0, при различ-
различных значениях безразмерных
потерь давления в трубопро-
трубопроводе hx. Из этих рисунков
видно, что благодаря присут-
присутствию двух знаков перед радикалом в формуле (9.61) за-
зависимости A и v от h0 носят двузначный характер. Это значит,
что одному и тому же значению h0 соответствуют два различных
режима стационарных колебаний.
Для того, чтобы решить вопрос об устойчивости полученных
таким образом стационарных режимов колебаний, обратимся
к уравнению (9.58), связывающему значения v0 на п и п -\- 1
периодах колебаний.
Пусть система находится в режиме стационарных колебаний,
характеризующихся некоторым значением v0. Рассмотрим, к чему
приведет малое возмущение v0 на n-ом периоде колебаний:
i>?n>. (9.67)
Подставляя (9.67) в (9.58), разлагая в ряд по 8v^n) и ограничи-
ограничиваясь членами первого порядка малости, получим следующую
связь между малыми возмущениями на n-ом и (п + 1)-ом периоде
колебаний:
(9.68)
где 8vW и 6i#l+1> — малые возмущения скорости v0 на п и п +
+ 1-ом периоде колебания.
Если би?л+^ <6и<я>, то малые возмущения стационарного ре-
режима колебаний будут от периода к периоду уменьшаться. Ста-
Стационарный режим в этом случае устойчив и в системе, следова-
следовательно, реализуется режим автоколебаний. Если же 81#г+1) >
> 8vln\ то стационарный режим неустойчив. Наличие неустой-
неустойчивого предельного цикла указывает, как известно, на возмож-
возможность существования жестких режимов возбуждения. Непосред-
Непосредственные расчеты показывают, что в координатах jn — h0 авто-
автоколебаниям соответствуют верхние ветви с большим значением
284

амплитуд. (Этим же параметрам системы в координатах v — h0
соответствуют нижние ветви).
Перейдем теперь к анализу влияния различных факторов на
режим разрывных автоколебаний. Из рис. 9.5 видно, что на основ-
основной части верхней ветви кривой \х = \i (h0) возрастание h0 при-
приводит к уменьшению [х. Исключение составляет область весьма
малых значений й0, в которой зависимость имеет обратный ха-
характер. При достаточно высоком значении h0 верхняя и нижняя
ветви кривых сливаются, после чего происходит срыв автоколе-
автоколебаний. Срыву колебаний, как и следовало ожидать, способствует
ослабление положительной обратной связи, которая характери-
характеризуется параметром т*, и увеличение сопротивления в питающем
трубопроводе. Поскольку параметр т*, согласно (9.55), обратно
пропорционален L, то возрастание длины трубопровода также
должно способствовать срыву разрывной формы кавитационных
колебаний. Из формулы (9.61) следует, что увеличение сопротив-
сопротивления напорной магистрали h2 препятствует срыву колебаний.
В этом же направлении действует уменьшение величины k, ха-
характеризующей степень зависимости колебаний напора от коле-
колебаний входного давления.
На рис. 9.6 представлены зависимости безразмерной частоты
колебаний v от Ло. Представленные зависимости (нижние ветви
кривых) показывают, что возрастание h0 приводит к росту час-
частоты автоколебаний. Обращает на себя внимание наличие довольно
широкого диапазона Ло> в котором зависимость практически ли-
линейна. Рассмотрим зависимость \х от v. Из рис. 9.7 следует, что
значение \х с уменьшением v растет. Следует отметить, что эта
зависимость близка к полученной для вынужденных разрывных
кавитационных колебаний.
Приведенная теоретическая модель носит асимптотический
характер; области ее применения должны быть ограничены доста-
0,0375
0,0250
0,0125
( /1-3
1 .
и
/
-с
2 10 J -
т3
=-—
0,05
0,10
0,15 0,20
\\
\
Ч
Г =0,90
^ Оо
7=0,95
OQ*
о
I
о
0,005 0,0075 0,0100 0,0125 0,0150
Рис. 9.6. Зависимость безразмерной частоты колебаний от безразмерного давле-
давления в баке при 1* = 0,5, h2— 5, k— О
Рис. 9.7. Зависимость безразмерного размаха колебаний от безразмерной частоты
при hx = 2-Ю'3, п2= 15, k=0
285

точно большими значениями амплитуд, когда колебания на входе
в насос имеют характер следующих друг за другом гидроударов.
В качестве другого критерия, позволяющего судить, в какой мере
конкретный вид кавитационных колебаний близок к разрывным,
можно принять следующие соотношения:
4^~1; -т-«1, (9.69)
где At — продолжительность существования «пика;> давления;
Т — период колебаний.
На рис. 9.7 представлено сопоставление расчетных зависимо-
зависимостей [д, от / с экспериментальными данными, полученными при ис-
испытаниях насоса № 2, на которых наблюдались разрывные кави-
тационные автоколебания. Режим ; кавитационных колебаний
в этих опытах изменялся путем изменения давления в баке.
' Расчеты были проведены при k = О, а т* подбиралось таким
образом, чтобы получить наилучшее количественное согласова-
согласование экспериментальных и теоретических зависимостей. Из рис. 9.7
видно также, что в координатах \х — / путем подбора всего одной
константы удается получить вполне удовлетворительное коли-
количественное согласование расчетных и экспериментальных данных.
В координатах \i — h0 и v — h0 при наличии качественного
соответствия столь же хорошего количественного согласования
не наблюдается (экспериментальные и расчетные значения ц и v
отличаются в 1,5 —2 раза). Если воспользоваться известным про-
произволом в выборе константы kf то, подбирая две постоянные
т* и* ky можно было бы добиться лучшего количественного совпа-
совпадения по всем трем зависимостям.
В заключение отметим, что все известные в настоящее время
экспериментальные факты по влиянию различных параметров
на режим разрывных кавитационных автоколебаний находятся
в качественном согласии с результатами приведенного теорети-
теоретического анализа.

Глава 10
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
РАЗВИТЫХ КАВИТАЦИОННЫХ
АВТОКОЛЕБАНИЙ
10.1. Простейшая модель развитых
кавитационных автоколебаний
На основании простейшей модели кавитационных автоколе-
автоколебаний, приведенной в [79 ], строится простейшая модель
развитых кавитационных автоколеба-
автоколебаний с использованием экспериментально определенной зависи-
зависимости напора насоса от объема кавитационной полости.
В таком виде модель должна объяснить ряд характерных осо-
особенностей развитых кавитационных автоколебаний (на режимах
недогрузки насоса по расходу), когда форма колебаний давления
и расхода на входе в насос существенно отличается от гармони-
гармонической, хотя в простейшем виде модель не учитывает обратных
потоков и вихревой кавитационной зоны перед шнеком, харак-
характерных для режимов недогрузки. (При дальнейшем изложении
в процессе уточнения модели эти факторы будут в определенной
степени учтены).
Экспериментальная зависимость относительного напора на-
насоса от объема кавитационной полости приведена в гл. 5
Рн
гДе Рн. к — напор насоса с учетом кавитации; рн — напор насоса,
соответствующий бессрывному участку кавитационной харак-
характеристики насоса (когда кавитационные каверны не оказывают
заметного влияния на энергетические характеристики насоса).
Эту экспериментальную кривую можно аппроксимировать за-
зависимостью вида рн1к = /н (VK) = 06i + ol2Vk + а3Кк, опреде-
Рп
лив коэффициенты аппроксимации аь а2, ая с помощью обработки
экспериментальных точек методом наименьших квадратов.
Напор насоса с учетом кавитации определим как ри к =
= pJH (VK)y где рн обычно дается в виде рн = анп2 + bHnQ +
+ chQ2> /h (Vk) — кавитационная функция насоса.
Коэффициенты напорной характеристики аю Ью сн чаще
определяются по результатам проливок насосов, но могут рассчи-
287

тываться по имеющимся в литературе формулам (см., напри-
например [73)].
Давление на выходе из насоса определится как р2 = Pi +
+ Рш.к-
Для определения давления на входе в насос рх с учетом ка-
кавитации, принимая во внимание тот факт, что при развитых кави-
тационных автоколебаниях частота вращения вала насоса со-
сохраняется практически постоянной (п ^ const), используем функ-
функциональную связь VK = VK (k, Qx) следующим образом: р1 =
Поскольку для высокооборотных шнеко-центробежных насо-
насосов и2 > с\9 при п = const можно принять, что -^y~ = const.
Последнее уравнение не учитывает потерь во входном патрубке
насоса (давление на входе в насос равно давлению перед шнеком)
и, что более важно, не учитывает инерционность кавитационных
каверн (т. е. используется гипотеза квазистационарности). В этом
смысле модель развитых кавитационных автоколебаний, вклю-
включающую указанное выше уравнение для определения входного
давления, будем называть квазистационарной.
В простейшей модели развитых кавитационных автоколеба-
автоколебаний используется теоретическая (точнее, с использованием одного
полуэмпирического коэффициента) зависимость VK= VK(k, Qx),
которая рассчитывается только для режимов без обратных то-
токов. (В дальнейшем она будет скорректирована для режимов с об-
обратными токами с использованием экспериментально-расчетного
способа, изложенного в разд. 4.5).
Остальные уравнения—неустановившегося движения несжи-
несжимаемой жидкости в жестких питающем и напорном трубопроводах
без учета их упругих свойств и материального баланса в проточ-
проточной части насоса — записываются в обычном виде
P6-Pi + tfiQilQil + 'i-^r, р2 = Рб + «2Q21Q21 + /2 -^-,
dv«-n -О
(Заметим, что в уравнениях движения член, учитывающий
гидравлические потери в трубопроводах, Ар = aQ2 записан с уче-
учетом направления движения потока жидкости как Ар = aQ \ Q |).
Уравнение движения жидкости в питающем трубопроводе
записано без учета обратных токов.
Систему дифференциальных уравнений для расчета развитых
кавитационных автоколебаний, преобразованную к виду, удоб-
удобному для численного интегрирования, запишем в виде
288

ЧГ = ~кlPl + ~pJ»(Ук)~Рб ~
(Ю.З)
Qi), (Ю.4)
здесь k (l/K, Qj) — зависимость, рассчитываемая по формулам
разд. 3.1,
Рн = а>У + MQ2 + cHQi. A0.5)
Дополнительно можно определять напор осевого шнекового
преднасоса с учетом кавитации по аналогии с напором насоса:
Рш.к = Ап/ш(Ук). (Ю.6)
Рш = ашп2 + bmnQ + cmQ2 A0.7)
напорная характеристика осевого шнекового преднасоса, соот-
соответствующая бессрывному участку кавитационной характеристики;
/ш (^к) — кавитационная функция шнека.
Как следует из приведенной системы уравнений A0.1) — A0.7),
в простейшей модели принимается, что объем кавитационной по-
полости, определяемый интегрированием уравнения материаль-
материального баланса, входит в кавитационную функцию насоса /н (VK)
и равен суммарному объему кавитационных каверн, определен-
определенному по теоретической зависимости VK (k) для различных зна-
значений Q1.
При работе насоса на режимах с интенсивными обратными
токами каверны образуются не только в межлопастных каналах
шнека (а в некоторых случаях и колеса), но и перед шнеком.
Давление на входе в насос в этом случае будет зависеть от суммар-
суммарного объема каверн, а напор насоса — от объема каверн в про-
проточной части насоса.
Чтобы учесть указанные обстоятельства в теоретической мо-
модели, необходимо уметь разделять суммарный объем кавитацион-
кавитационной полости на объем каверн перед шнеком — VKt п> ш и объем
каверн в проточной части насоса Кк#гь ч; иметь кавитационную
функцию насоса в зависимости от объема кавитационной полости
в проточной части насоса (для определения напора насоса), и,
наконец, располагать зависимостью VK (&, Qt) (для определения
входного давления) в широком диапазоне изменения расхода Ql9
включая режимы с обратными токами.
Напомним, что для получения зависимости рн (VK) исполь-
использовались участки кривых VK (t) и рн (t) в режиме развитых кави-
кавитационных автоколебаний, соответствующие уменьшению VK и
увеличению рн до начала восстановления напора шнека (с целью
19 в. В. Пилипенко 289

о
0,5
2,5 VK 10? м3
Рис. 10.1. Теоретическая зависимость объема кавитационной полости VK от
числа кавитации k для различных значений коэффициентов режима q для на-
насоса М 2:
1 — 1- условная граница существования кавитационной полости перед шнеком
^0 п. ш (Я)
уменьшить влияние обратных токов на эту зависимость) при этом
Qi, 2 ^: const. Как показал дальнейший теоретический анализ
(см. разд. 10.3), полностью это влияние не исключается.
Расчеты по системе уравнений A0.1) — A0.3) с учетом A0.4) —
A0.7) проводились на ЭЦВМ с помощью численного интегриро-
интегрирования по методу Рунге—Кутта*.
Приведем исходные данные для расчета развитых кавитацион-
ных автоколебаний применительно к насосу № 2.
Зависимость k (Vyy qx) для этого насоса приведена на рис. 10.1.
(q — коэффициент режима, однозначно связанный с расходом —
_ Q \
^ const / '
На основании экспериментальных данных, приведенных в гл. 5,
можно записать два выражения функции Д, (VK) для насоса № 2:
первое — на основании обработки экспериментальных данных
с замером расхода на входе в насос турбинным датчиком, второе,
более точное, — на основании аналогичных данных, но с замером
Расчеты выполняла инж. Т. Н. Сайкова.
290

расхода быстродействующим датчиком. Эти выражения имеют
вид
( 0,992 + 0,4- 10-3Кк - 8,4 • 10~6^ при VK > 40 см3;
L(VK)={ л лг лг. о A0.8а)
/HV к/ A при VK < 40 см3, v '
1,0091 - 0,265-10"% - 5,11 • 10v;i при VK > 23 см3;
U при Кк<23 см3.
A0.86)
Поскольку первые расчеты развитых кавитационных автоко-
автоколебаний, выполненные в 1969 г., производились с учетом A0.8а),
воспроизведем эти расчеты, также используя A0.8а).
Кавитационная функция осевого шнекового преднасоса для
насоса № 2 приведена в гл. 5 и имеет вид
A Vk<7cm3;
fa(VK) = I 1,2184 — 0,0312 7 см3^1/к<39 см3; (Ю.9)
1 0 VK> 39 см3
[заметим, что если для конкретного насоса функции /н (VK),
/ш (VK) не определены, в первом приближении следует использо-
использовать функции относительного объема кавитационной полости
/н (^к)» /ш(^кI- Расчеты напора шнекового преднасоса прово-
проводились в двух вариантах:
Рш. к = / (V^k. Ql) И Рш. к = f(VK9 Qa).
Приведем остальные исходные данные, необходимые для рас-
расчетов:
= 0,421.10-^^; /^0,593.10-^;
р = 1. Ю~3 ~ ; Рп == 0,0024 МПа, -^ - 3,68 МПа;
рн = 0,279- 10~5.д2 + 0,454- 10'enQ - 0,68- 10~7Q2;
рш^ 1,952- 10-V- 0,324-10-nQ
(п, рад/с, Q, см3/с, /?, МПа).
В качестве начальных условий принимаются значения пере-
переменных, соответствующие их средним значениям для данного ре-
режима, при этом в систему естественным образом вносится малое
возмущение. Если система неустойчива при мягком режиме воз-
возбуждения, то после переходного процесса в ней устанавливается
режим автоколебаний — система выходит на предельный цикл.
19* 291

Чтобы иметь возможность сравнить расчетные данные с экспе-
экспериментальными, приведенными в разд. 5.2, проведем расчет раз-
развитых кавитационных автоколебаний для режима рб = 0,16
МПА, п = /гном, Q ^ 0,5QHOM, при этом, согласно рис. 10.1, VK ^
« 17 см3.
Результаты расчета параметров предельного цикла развитых
кавитационных автоколебаний по простейшей модели в виде за-
зависимостей от времени относительных параметров насоса рг\ р2\
к.*, Qil Q2; V«\ k.AQi). а такжерш,к(Qt) = /ш"к (<??> , (теку-
Рш. к. max IVi)
щие значения параметров отнесены к их максимальным значениям)
приведены на рис. 10.2, предельные циклы автоколебаний в пло-
плоскости параметров VK — plf VK — рШшК — на рис. 10.3.
Анализ результатов расчета (в сравнении с эксперименталь-
экспериментальными данными разд. 5.2) позволяет сделать следующие выводы.
Расчетно-экспериментальная модель развитых кавитационных
автоколебаний в своем простейшем виде отражает следующие ха-
характерные особенности развитых автоколебаний:
— значительное различие в амплитудах колебаний расходов
на входе и выходе из насоса (отношение амплитуд > 10) (см.
рис. 10.2, а)\
— отличия в форме колебаний давления на входе и выходе
из насоса (рис. 10.2, б);
— соответствие минимальных напоров насоса и шнека мак-
максимальному объему кавитационной полости;
— периодический срыв напора шнека до нуля;
— соответствие максимального напора шнека минимальному
объему кавитационной полости;
— продолжающееся после полного срыва напора шнека сни-
снижение напора насоса до минимальной величины с последующим
его восстановлением (при рш,к = 0) (см. рис. 10.2, в).
Расчетное значение частоты автоколебаний A2,5 Гц) близко
к экспериментальному A0,3 Гц) и превышает последнее на ~20%.
Имеется удовлетворительное согласование расчетных и экспери-
экспериментальных значений «двойных амплитуд» колебаний параметров
^к» Р*у Ри.ю Q2» несколько большие отличия наблюдаются
по амплитудам колебаний параметров Qx (завышение на ^10?^).
Что же касается напора шнека, то лучший результат дает
использование в расчете зависимости напора шнека от расхода Qx
(в этом случае отношение максимальных значений напора шнека
по расчету и по эксперименту составляет я^0,93).
Расчеты по простейшей модели не позволяют получить близ-
близкую к экспериментальной форму колебаний входного давления
(резкий подъем и более плавный спад) и дают сильно завышенные
значения максимумов входного давления, соответствующих ми-
минимумам объема кавитационной полости.
292

Qt,Qz
0,8
0,4
О
-од
%,Рг
0,8
0,4
-
1
1/
/
/
/
7\
/
1/
*-*—
/
(
— .1 —
/
\/
и
-—
/
/
**
/
7Г
\/
V/
*»—
а2
/
4—
^1
1
1,
1
1
1
1
-
1
Pt
0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 Ь,с
)
Рис. 10.2. Результаты расчета параметров предельного цикла развитых кави-
тационных автоколебаний по простейшей модели для насоса № 2:
рб = 0,16 МПа; Q = 0,5QHOM; fp/fB = 1,21
~~ ~~ ~ ~ ~ ~ рш, к (Qx)
а — Qv Q2; б — р±, /?2; в — рШщ к, рн> к, VK, рш к (Qi)= — - •
Рш. к (Q2) = о
^щ. к щах
. к max
293

Й 0J2
0,6
ол
0,2
\\\
0,01
1 №w—<
0,51
Рш.н
0,8
0,6
0,03
0,2 ОЛ
0J V, 0 0,2
\
\
-0,05
\
V
ч
01
0Л9
1 —_-Л
6)
0,6 ^~ 0,8 VK
Рис. 10.3. Расчетные предельные циклы автоколебаний по простейшей модели:
а — в плоскости параметров VK —Pj» б — в плоскости параметров V"K—Рш к
Как указывалось ранее, из теории обтекания решеток про-
профилей в режиме частичной кавитации, на базе которой получена
расчетная зависимость k (VK, qj, следует, что VK—>0 при
VK -> 0 k — со.
В расчете pfa^x ==femax-^-, где kmax ограничивалось ве-
величиной 0,3.
Кроме того, простейшая модель не позволяет получить пре-
предельные циклы автоколебаний в плоскости параметров VK — р1у
VK — /?ш. к, по форме близкие к экспериментальным.
10.2. Влияние экспериментально-расчетной
зависимости k(vK, qx), охватывающей
режимы с обратными токами
Как уже указывалось, теоретическая зависимость k (VK, q±)
не учитывает обратных токов и объема кавитационных каверн
перед шнеком, образующихся на режимах с интенсивными обрат-
обратными токами.
В гл. 6 получена расчетно-экспериментальная зависимость
F.35) относительного объема кавитационной полости VK = /(&*, q)
(где fe* = Pl~~Pc?jnKCn —число кавитации, определенное с уче-
учетом экспериментального давления срыва насоса рср эксп), спра-
справедливая при k* < 0,1 в диапазоне значений q = 0,2-г-0,6, т. е.
и для режимов с интенсивными обратными токами.
294

Разрешив уравнениеF.35)относительной* и переходя от отно-
относительного объема кавитационной полости VK к абсолютному VK,
получим:
0,16700!
1 +
0,167^
A0.10)
— 1
где
1
1 + 30 (^ — 0,35)
4
при <7г<0,35;
при 0,45 > qx > 0,35;
при дг > 0,45;
&о. п. ш (<7i) — число кавитации, при котором зарождается ка-
кавитация перед шнеком; VI — объем каверн в межлопастных ка-
каналах шнека, определяемый значениями kl. п. ш и qv\ e — осно-
основание натурального логарифма.
С учетом полученного выражения для k* давление на входе
в насос определится как
f)+-P?L**f (io.li)
р,с И Па
выражение
где рср> эксп (q) для данного насоса определяется экспериментально.
На рис. 10.4 приведена зависимость /?ср# эксп (q) для насоса № 2.
Уравнение A0.11) следует использовать при k <kt, п.ш,
где k'o. п. ш — число кавитации, соответствующее возникновению
кавитационной полости перед шнеком.
Относительно возможности определения ko. п. ш можно выска-
высказать следующие соображения.
Аналитическое
экспериментальной зависимо-
зависимости изменения разности давле-
давления на входе в насос и стати-
статического давления на оси по-
потока перед шнеком, отнесен-
ной к скоростному напору ,
Рис. 10.4. Экспериментальная зависи-
зависимость давления срыва насоса от коэффи-
коэффициента режима q для насоса М 2
JyZU
0,16
0,12
0,Со
п
^
1
/
0,2
D3
0,5
0,6
Я
2°5

при изменении режима работы насоса (т. е. коэффициента <7i)
может быть записано в виде [111]:
2А/У=о_ 57,2-73? .р.» (Ш 12)
ри^ ~ 0,32 + д Ш • <llUJ>
Принимая во внимание, что для высокооборотных шнеко-
, Р«ш P^l
центробежных насосов —у- т —^— и минимальное статическое
давление на оси потока перед шнеком не может упасть ниже да-
2 &
вления насыщенных паров, будем считать, что «—=
Раш
™ / (Qi) — k (?i)- Если в первом приближении интерпретировать
зависимость k (q^) как границу возможности существования кави-
тационной каверны перед шнеком kt.n.m (<7i) ПРИ работе насоса
на недеаэрированной жидкости, то из этого следует, что каверна
перед шнеком образуется при k < &о*. п. ш (<7i), где kt. п. ш (<7i) оп-
определяется по формуле A0.12)*}. Граничная кривая kt. п. ш (#1)
нанесена пунктиром на расчетную зависимость k A/K, q) (см.
рис. 10.1) и разделяет сетку кривых k (VK, qx) на две области:
область отсутствия каверн перед шнеком, расположенную слева
от граничной кривой, и область, где такая каверна существует,
расположенную справа от граничной кривой.
Таким образом, при k > ko. п. ш давление на входе в насос
можно определять по уравнению A0.4), при k < ko. п. ш — по
уравнению A0.11), подставляя в него выражение для k* из A0.10).
Используя уравнения A0.4) при k > kl. п. ш Для q < 0,5, при-
приходится принять допущение, что в этом диапазоне значений
* (^к> Qi) обратные токи не оказывают влияния на зависимость
* (^к> Яг)-
Для проведения расчетов развитых кавитационных автоколе-
автоколебаний необходимо уравнение A0.10) распространить на область
значений q < 0,2. Напомним, что при построении зависимости
VK = VK (k*9 qx) использовались экспериментальные данные по
частотам автоколебаний, которые показывают, в частности, что
при низких значениях рб частота слабо зависит от расхода, в этом
случае давление на входе в насос определяется только суммарным
объемом кавитационной полости. Тогда для q < 0,2 и k <kl.n.m
в уравнении A0.10) положим q = 0,2.
Таким образом, квазистационарная модель развитых кавита-
кавитационных автоколебаний с использованием экспериментально-
расчетной зависимости k (]/K, ^х), охватывающей режимы с обрат-
обратными токами, включает дифференциальные уравнения A0.1)-*-
*} Это условие является достаточным, но не необходимым — каверна перед
шнеком может образоваться и тогда, когда давление на оси потока не достигнет рп.
Однако место расположения каверны (относительно оси потока) и ее конфигура-
конфигурация в рассматриваемой постановке задачи не имеют значения.
296

A0.3), но давление на входе в насос при этом определяется сле-
следующим образом:
(Ук> ^0 ПРИ &0^к> Я0 ^> ^о. п. ш (<Jl )'i
i)W2
—~-fe* при k(VKt q\)<Cko. п. ш (<7i),
— при 0,2 < ft <: 0,5;
?* =
у
2,3s (Rl-r
ko. n. mGi)J
0,0334
Г vK-v* I
е°'3 | 2.3,K-rl)J _
при <?! < 0,2;
[ 1 для 0,2 < ft < 0,35;
a-^l 1+30 (ft - 0,35) для 0,35 < ft < 0,45;
I 4 для 0,45 < ft < 0,60.
Выражения 10.5—10.9 остаются без изменений.
На рис. 10.5—10.6 представлены результаты расчета парамет-
параметров предельного цикла развитых кавитационных автоколебаний
(в том же виде, что и в разд. 10.1) для рб = 0,16 МПа, проведен-
проведенного с учетом сделанного уточнения.
Анализ результатов расчета показывает следующее. Частота
кавитационных автоколебаний существенно понизилась — до
8,1 Гц и стала меньше экспериментальной. Как и следовало
ожидать, амплитуды колебаний параметров Q2, VK9 а следова-
следовательно, и параметров Pz,pUmK увеличились (рис. 10.5), причем
максимальный объем кавитационной полости значительно возрос.
Форма колебаний входного давления существенно улучшилась
и расчет стал отражать такую характерную особенность раз-
развитых кавитационных автоколебаний, как различную скорость
изменения давления на участках роста и снижения входного
давления: спад давления по мере приближения к минималь-
минимальному значению происходит более плавно (см. рис. 10.5, б).
Максимальное значение входного давления, как и ранее, опре-
определяется искусственным ограничением по числу кавитации,
а минимальное — как и в эксперименте равно давлению срыва
по кавитационной характеристике при данном значении пара-
параметра q.
Введенное уточнение существенно улучшило форму предель-
предельного цикла автоколебаний в плоскости параметров VK — рг.
297

0,8
1
п 1 \
по\
/
^—
^
/
V
i
V.
/
ч.
/
/
'
у
А
4
\
1
К
V
\
4^
/
/
)
1
V
P2
0,8
1
1
/
/
s
\
\
V
i\
/
/
/
*
/
V
/
\
\
\
{
К
/
V
0,U8 0J2 0,10
в)
0,20
OJ't t,0
Рас. 10.5. Результаты расчета параметров предельного цикла развитых кавита-
ционных автоколебаний по квазистационарной модели с учетом экспериментально-
расчетной зависимости k (VK, qt) для режимов с обратными токами:
рб =j),16^ МПа; "^ =J>.5QH0M; f?/f9 = 0,79^
а - \, \, б - рх, р2; в - рш> к, рн. к'' ^к
298

Рис. 10.6. Расчетные предельные циклы авто- ^
колебаний. Влияние экспериментально-рас- Pi
четной зависимости k (VK, q^) для режимов
с обратными токами:
а — в плоскости параметров V —р'у б — в пло-
плоскости параметров VK~Pm K
Предельный цикл в плоскости пара-
параметров VK — рШш к, как и следовало
ожидать, не изменился и форма его
далека от формы эксперименталь-
экспериментального предельного цикла, приведен-
приведенного на рис. 5.20, б. Это связано с
тем, что весь суммарный объем ка-
кавитационной полости входит в кави-
тационные функции насоса и шнека
и оказывает влияние на снижение
напоров. В то же время в действи-
действительности объем кавитационной по-
полости перед шнеком, который являет-
является частью суммарного объема кави-
кавитационной полости, не влияет на на-
напоры шнека и насоса. В связи с
этим целесообразно попытаться ка-
каким-то образом условно разделить
суммарный объем кавитационной по-
полости на два объема — перед шнеком
части насоса V
разделе.
0,8
0,6
0,Ч\
0,2
\
V
\\
0.41
0,2 0,4 0,6 0,8
а. п. ш и в ПрОТОЧНОЙ
ч. Этот вопрос рассматривается в следующем
10.3. Влияние разделения суммарного
объема кавитационной полости
на объемы каверн перед шнеком
и в проточной части насоса
Как указывалось в разд. 5.4, попытка разделить суммарный
объем кавитационной полости предпринята в [18] на основании
предположения о том, что на режимах с обратными токами объем
кавитационных каверн перед шнеком пропорционален отношению
расходов обратных токов и прямотоков — Qo T/Qnp:
V —
V U. П. III
QnP '
299

Тогда объем кавитационных каверн в проточной части насоса
можно определить как
*к. п. ч === ^к2 *к. п. ш == *к2 \ * л ) *
\ Vnp /
В гл. 5 на рис. 5.29 приводилась экспериментальная зависимость от-
отношения расходов Qo. т/Qnp от коэффициента режима q, заимство-
заимствованная из работы .[111]. Эта зависимость получена для бескави-
тационных условий работы шнеко-центробежных насосов на
установившихся режимах. При работе насоса в кавитационных
условиях отношение Q0.T/Qnp должно зависеть от объема кавита-
кавитационных каверн в проточной части насоса, кроме того, при k >
> k'o. п. ш объем VK. п. ш = 0.
Однако, несмотря на весьма приближенный характер схемы
разделения, она позволила объяснить практически однозначную
зависимость напора шнека от объема кавитационных каверн, рас-
расположенных в межлопастных каналах шнека, и проанализиро-
проанализировать характер изменения объемов Vk2, VKmTl. ш, УКшПаЧ и расхода
Qx за период колебаний. В качестве первого приближения вве-
введем описанную схему разделения суммарного объема кавитацион-
ной полости в расчетно-экспериментальную модель развитых
кавитационных автоколебаний.
Замечая, что зависимость QO.T/Qnp = f (q), приведенная на
рис. 5.29, близка к линейной, аппроксимируем ее выражением
%^-~(l-2qi) A0.13)
(при (/ = 0 -§^ = 1, при q = 0,5 -^ = 0).
Чгпр Viip
С учетом A0.13) выразим объемы VKUm и VK.n. ч как
A0.14)
A0.15)
При таком разделении суммарного объема кавитационных каверн
давление на входе в насос будет зависеть от Ук2, а напоры
насоса и шнека — от VKmTlt4, т. е. напоры насоса и шнека в этом
случае определяются объемом кавитационной полости в проточ-
проточной части насоса.
При расчетах, результаты которых приведены в разд. 10.1
и 10.2, использовалась кавитационная функция насоса в виде
A0.8а), полученная на основании обработки экспериментальных
данных при работе насоса в режиме развитых автоколебаний, при-
причем в эту функцию входит суммарный объем кавитационных
каверн, а не объем каверн в проточной части насоса.
Вводя разделение объемов каверн, следует использовать ка-
витационную функцию насоса, определяемую объемом каверн
в проточной части насоса. Именно такая кавитационная функция
300

получена на основании обработки экспериментальных данных
по кавитационным срывам ряда насосов при импульсных воз-
возмущениях [49].
Указанная функция имеет вид
/н(^к)= 1-0,2168КК-0,5446V».
Для насоса № 2, переходя к абсолютным объемам кавитационной
полости (выраженным в см3), получим
/н (VK. п. ч) - 1 - 0,7227- 1(ГгУк. п. ч -0,6051.10~7П. п. ч. A0.16)
Таким образом, квазистационарная модель разви-
развитых кавитационных автоколебаний может более полно отразить
факт периодического образования кавитационной полости перед
шнековым преднасосом под воздействием интенсивных обратных
токов.
С этой целью запишем:
^ (PPflQ|Q|);
dt ~ 12 VF1 ' Ин1
dV
'z=~ 0:2 — *к\у
dt
где
Pn + ^ТТ" * (^к2» fl'l) ПРИ ^ (^kS»
pCp.3(9L--V-* при
** =
^cp. э W/ I 2
0,167^!
,0'167 1
>. n.mfai) J
2,3s (/?^-r*)
e
0,0334
при 0,2 < 9 <0,6;
0,3
{ 0,0334 1 _
при qr < 0,2,
ko. п. ш (Cj\) I
' 1 при 0,2 <q <0,35;
a = - 1 -f 30 (^ - 0,35) при 0,35<^ <0,45;
4 при 0,45<<7<0,6,
fH(^K.n.4)= 1 — 0,7227- 1(Г3Ук.п.ч —
301

Дополнительно можно определить напор шнекового предна-
соса и объем кавитационной полости перед шнеком:
Рш. к == Ршмт (У к. п. ч/>
VK.n.m =VKz{l — 2ql) (при /г<?*.п.ш).
(Выражения 10.5, 10.7 остаются без изменений).
0,8
0,4
-0,2
1
*-¦ шт.
/
/
/
у
/
/
У
/
РиРг
0,8
\
ч
y
*—*
\
)
\
p,
/
J
\
\
\
\
Рш. И, Рн. И r^HZ ^К П 4.7 У«. П.Ш..
0 0,0 f 0,08 0,12 0,16 0,20 0,2 f t,c
B)
Рас. 10.7. Результаты расчета параметров предельного цикла развитых кавита-
ционных автоколебаний по квазистационарной модели с учетом образования ка-
кавитационной полости перед шнековым преднасосом:
рб = 0,16 МПа; -Q = 0.5QIIO||; fp/f3Kcn = 0,76
а - Qv Q2; б ~\Гр2; в - Рш.к. PfI.K. PkS. Vk. п. ш = fe^ ^ V"U4
302

Рис. 10.8. Расчетные предельные циклы авто- Jj
колебаний с учетом образования кавитацион-
ной полости перед шнековым преднасосом:
а — в плоскости параметров VK%—р.; б — в пло-
плоскости параметров Vk2—рш к(Он Vk п ч — рш к
B)
Результаты расчета параметров
предельного цикла развитых кави-
тационных колебаний по приведен-
приведенной выше системе уравнений при
рб = 0,16 МПа представлены на
рис. 10.7, 10.8.
Анализ результатов расчетов по- ^
казывает, в частности, следующее.
Частота кавитационных автоколеба-
автоколебаний уменьшилась до 7,8 Гц. Мак-
Максимальное значение суммарного
объема кавитационной полости, как
и следовало ожидать, еще более уве-
увеличилось, но это не привело к уве-
увеличению амплитуд колебаний пара-
0,6
П1. \ Л_и'_г
о,ч
ю
0,6 0,8 1,0
УнтУи.п.ч
о Л
метров р2 и ри к, так как теперь
эти параметры зависят от объема #7=4
Ук.п.ч, а не от Ук2.
Совмещенные графики изменения
параметров Ук2, УК.П.Ш,КК.П.Ч, р„. к,
рш к приведены на рис. 10.7, в.
Обращает на себя внимание, что проведенное усовершенство-
усовершенствование модели позволило получить наблюдавшийся по экспери-
экспериментальным данным фазовый сдвиг между колебаниями давления
на выходе из насоса (а следовательно, и напора насоса) и суммар-
суммарного объема кавитационной полости: максимум VkIi несколько
опережает минимум р2 и ри ю который соответствует теперь мак-
максимуму объема каверн в проточной части насоса Vv п ч (рис. 10, в
и б).
Из результатов расчета следует, что на участках восстановле-
восстановления напора шнека объем кавитационной полости перед шнеком
равен нулю, а напор насоса начинает восстанавливаться при
Разделение суммарного объема кавитационной полости при-
приблизило к экспериментальному вид предельного цикла в плоскости
параметров УкЕ — рш к, но для экспериментального цикла харак-
характерен значительно больший диапазон изменения VkZ.
30?

10.4. Влияние неустановившегося обтекания
лопастей шнека
В предыдущих разделах настоящей главы развивалась ква-
квазистационарная модель развитых кавитационных авто-
автоколебаний.
Уточнения модели по сравнению с ее простейшим вариантом
позволили, в частности, улучшить форму колебаний входного
давления, получить фазовый сдвиг между колебаниями парамет-
параметров VKli и р2 и подобный экспериментальному предельный цикл
в плоскости параметров Ук2 — ршк. Но развитие модели от ее
простейшего варианта шло по пути учета дестабилизирующих
факторов (снижающих также расчетное значение частоты авто-
автоколебаний), что несколько ухудшило согласование расчетных и
экспериментальных значений амплитуд колебаний большинства
параметров. Для улучшения сходимости результатов необходимо
ввести в модель, описанную в разд. 10.3, какие-то стабилизирую-
стабилизирующие факторы, которые одновременно приводили бы к повыше-
повышению частоты автоколебаний. Это должно также улучшить форму
колебаний входного давления в районах его максимальных зна-
значений.
Как было показано в гл. 7, переход от квазистационарной к не-
нестационарной линейной модели кавитационных колебаний, учи-
учитывающей динамические свойства кавитационных каверн, позво-
позволил выявить стабилизирующее влияние постоянной времени кави-
кавитационных каверн на устойчивость системы.
Если разрешить уравнение динамики кавитационных каверн
относительно давления на входе в насос, в это уравнение войдет
дополнительное слагаемое, учитывающее влияние скорости изме-
изменения объема кавитационной полости на изменение давления на
входе насос — ВгТк —^- (второе дополнительное слагаемое, ха-
характеризующее влияние инерционности жидкости в межлопастных
каналах шнека на участке роста высоты кавитационных каверн,
для режимов с обратными токами равно нулю).
По аналогии с линейной моделью введем слагаемое, учитыва-
учитывающее влияние скорости изменения объема кавитационной
полости на входное давление, B1TK—^j- в нелинейную модель,
учитывая при этом зависимость коэффициентов Вх и Тк от числа
кавитации k и коэффициента режима qx. Уравнение для опре-
определения входного давления в этом случае можно записать следую-
следующим образом:
Рп + -^ k (VKx, ft) + ВХТК —^- при k (Vk2, ft) > К. п. ш (ft);
304
Pep. э + ^k* + Bi о. тГк -gp- при k A/к2:, qi)

где
l - rl)
2,3s(/?2-rl)
при q <. 0,2
(Выражение для В1О т приведено в гл. 4).
Зависимость ТК (&, G1)» рассчитанная для насоса № 2 по фор-
формулам гл. 7 без учета обратных токов, приведена на рис. 10.9.
Эту зависимость приходиться распространять и на режимы с об-
обратными токами.
Приведенные в настоящем разделе выражения для определе-
определения входного давления в сочетании с остальными уравнениями
и соотношениями, приведенными в разд. 10.3, образуют прибли-
приближенную модель развитых кавитационных автоколебаний для
25
0,05
0,10
0,25
Рис. 10.9. Зависимость параметра Тк от числа кавитации для различных зна-
значений коэффициента режима q
20 В. В. Пилипенко
305

0,8
Р',Рг_
0,8
1
/
/
/
/
Hb-—
- ....
J
/
/
... —*
/
/
ч"
\
/
Qz
V
I
V
"-
— —
у
X
—-—.
^*
Иг
1
V
*
.
X
\
А
/
у
У,
JffjLL
щ
\
\
\
\
t
1 \ 1
м\
V
' Vx.n.4
\
\
\ 1 1
ш
А
. мл/-*
0,0* 0,/2 0,/^ 0^0 0,24 t,c
в)
Рас. 10.10. Результаты расчета параметров предельного цикла развитых ка-
витационных автоколебаний по нестационарной модели с учетом образования
кавитационной полости перед шнековым преднасосом:
рб = 0,16 МПа; Q = 0,5QHOM; fp/f3Kcn = 0,86
2; б
306

0,8
0,6
ОМ
0,2
0,69
L—
|
1
W'87
ж
093
—
Рис. 10.11. Расчетные предельные циклы ав-
автоколебаний по нестационарной модели с уче-
учетом образования кавитационной полости пе-
перед шнековым преднасосом:
а — в плоскости параметров Ук-%—Р±, б — в пло-
плоскости параметров VK ^—/?ш# к (/)
и ^к. п. ч-Рш.к B)
режимов с обратными токами, кото-
которая условно названа нестацио-
нестационарной.*
Результаты расчета развитых ка-
кавитационных автоколебаний по не-
нестационарной модели (для рб —
= 0,16 МПа) приведены на рис.
10.10, 10.11. Частота автоколебаний
повысилась до 8,9 Гц и тем самым
приблизилась к экспериментальному
значению, получена близкая к экспе-
эксперименту форма колебаний входного
давления (см. рис. 10.10, б), умень-
уменьшились амплитуды колебаний пара-
параметров Qi> VK%.
В целом нестационарная модель
развитых кавитационных автоколе-
автоколебаний для режимов с обратными то-
токами вполне удовлетворительно опи-
описывает сложную форму колебаний,
позволяет с достаточной точностью определить частоту автоко-
автоколебаний и с приемлемой точностью — амплитуды колебаний,
учитывая сложность рассматриваемых процессов. Сходимость
расчетных и экспериментальных данных, особенно амплитуд
колебаний входного давления, можно в некоторых случаях не-
несколько улучшить за счет учета потерь энергии при входе жидко-
жидкости в межлопастные каналы шнека (см. гл. 6), которые оказыва-
оказывают стабилизирующее влияние на систему **.
10.5. Влияние давления в баке
на параметры предельного цикла
развитых кавитационных автоколебаний
Для определения влияния давления в баке на параметры пре-
предельного цикла развитых кавитационных автоколебаний прово-
* В это определение вкладывается тот же смысл, что и в гл. 7, а именно,—
в модели не используется гипотеза квазистационарности и учитывается неуста-
неустановившееся обтекание лопастей шнека жидкостью.
** Для насоса № 2, как показали расчеты, в диапазоне существования
полностью развитых автоколебаний это влияние незначительно.
О
^'к п ч
20*
307

дились расчеты по нестационарной модели развитых кавита-
ционных автоколебаний для режимов с обратными токами.
При расчетах давление рб изменялось в диапазоне существо-
существования полностью развитых колебаний @,1-^0,2 МПа). Результаты
численного интегрирования приведенной системы уравнений пред-
представлены в виде зависимостей частоты колебаний и «двойных
амплитуд» колебаний входного давления, напоров шнека и на-
насоса в целом, расхода на входе в насос и суммарного объема кави-
тационных каверн от давления в баке (рис. 10.12—10.15).
На этих же рисунках приведены соответствующие опытные
данные.Прежде всего обращает на себя внимание удовлетворитель-
удовлетворительная сходимость расчетных и экспериментальных значений частот
колебаний (см. рис. 10.12). Из анализа представленных результа-
результатов следует, что для развитых кавитационных автоколебаний на-
наблюдается (как и для колебаний вблизи границы области устой-
устойчивости) линейная зависимость частоты колебаний от давления
в баке.
Амплитуда колебаний напора насоса в исследованном диапа-
диапазоне изменения рб уменьшается с увеличением рб, при этом ам-
амплитуда^ колебаний напора шнека сохраняется практически по-
постоянной. Последнее объясняется тем, что в рассматриваемом диа-
диапазоне изменения давления в баке в процессе автоколебаний наблю-
наблюдался полный срыв напора шнека. Уменьшение амплитуды коле-
колебаний напора насоса Д/?н связано с уменьшением амплитуды коле-
колебаний объема кавитационных каверн при повышении давления
в баке (см. рис. 10.14).
Расчетные амплитуды колебаний по некоторым параметрам
заметно превышают соответствующие экспериментальные зна-
значения. Однако, учитывая достаточно сложную физическую при-
природу развитых кавитационных колебаний, можно считать полу-
полученные результаты удовлетворительными, тем более, что разра-
разработанная модель не включает констант, которые должны опреде-
МПа
1,0
0,5
0,100 0,125 0,150 0.175 ps, МПа
1,1
0,100 0,125 0,150 0,175рд, МПа
>
/
/
/
Q—
-о—.
Рис. 10.12. Теоретическая и экспериментальная зависимости частоты развитых
кавитационных автоколебаний от давления в баке:
—•—•—• теория; — О—О—О эксперимент
Рис. 10.13. Теоретическая и экспериментальная зависимости «двойной ампли-
амплитуды» колебаний входного давления от давления в баке:
— •—•—• теория; —Q—О—О эксперимент
308

Ар„, Арии
МПа
154
10
-ць
- 0
о
о
о
u
I
М3Г 15
- 10
%Ю0 4/25
0J50 0,175 р8> МПа
0,100 0,125 0,150 0,175 ps, МПа
Рис. 10.14. Теоретические и экспериментальные зависимости «двойной амплитуды»
колебаний напора насоса и шнековоео преднасоса от давления в баке:
теория; эксперимент; О • — ДРШ> ПИ — ДРН
Рис. 10.15. Теоретические и экспериментальные зависимости «двойной амплитуды»
колебаний расхода на входе в насос и суммарного объема кавитационной полости
от давления в баке:
теория; —эксперимент; О# —&Q*', D ¦ — A KKv
ляться из опытных данных из условия обеспечения минимального
расхождения результатов расчета и эксперимента и позволяет
не только объяснить характерные особенности рассматриваемых
колебаний, но и получить в общем удовлетворительные количест-
количественные результаты. Это в определенной степени оправдывает
сделанные при построении модели допущения, но ни в коей мере
не исключает необходимости дальнейшего совершенствования
теоретической модели, особенно с научной точки зрения.
В частности, представляет интерес объяснить следующую осо-
особенность развитых кавитационных автоколебаний — некоторое
увеличение напора центробежного колеса, а в некоторых случаях
и насоса в целом, либо замедление темпа его снижения, несмотря
на рост суммарного объема кавитационной полости (см. разд. 5.2)
и вообще объяснить влияние колебаний напора шнекового пред-
преднасоса на напор насоса в целом; выяснить степень влияния пара-
параметров, характеризующих динамические свойства зоны обратных
токов, и распределенности параметров питающего трубопровода на
развитые кавитационные автоколебания.
10.6. О расчете переходных процессов
в гидравлической системе
с кавитирующим шнеко-центробежным насосом
Уравнения нестационарной модели развитых кавитационных автоколебаний
для режимов с обратными токами можно использовать для расчета переходных
процессов в гидравлической системе, когда насос кратковременно работает в усло-
условиях развитой кавитации.
309

Для этого в первую очередь следует учесть переменность частоты вращения
вала насоса. Зависимости k (l/K, QT), используемые для определения входного
давления в режиме автоколебаний, получены для номинальной частоты вращения
вала насоса п = const. Использование указанных зависимостей при переменной
частоте вращения п требует приведения расхода к номинальной частоте вращения
Qn=const = Q«=^const —^" • Кроме того, напоры насоса и шнека также
должны определяться с учетом изменяющейся частоты вращения вала (послед-
(последняя входит в выражения напорных характеристик насоса и шнека для бес-
кавитационных условий).
Таким образом, при расчете переходных процессов (как и при расчете разви-
развитых кавитационных автоколебаний) будут использоваться статические напорные
характеристики. Выражения для статических напорных характеристик довольно
легко дополнить динамическими слагаемыми, зависящими от скорости изменения
частоты вращения вала насоса и расхода, однако целесообразность введения этих
слагаемых должна рассматриваться в каждом конкретном случае.
Изменение частоты вращения вала насоса во времени определяется интегри-
интегрированием известного дифференциального уравнения момента количества движе-
движения для вращающихся масс: / —— = Мир — УИН, где J — момент инер-
инерции вращающихся масс насоса; Мпр и Мп — крутящие моменты привода насоса
и собственно насоса (последний, как известно, зависит от частоты вращения
вала насоса и расхода).
Конкретный вид выражения для Мпр зависит от типа привода. Как из-
известно, насос может приводиться во вращение, например, от электродвигателя,
от турбины и т. д. По-видимому, крутящий момент насоса при работе его в усло-
условиях развитой кавитации должен снижаться.
В работе [54] указывается, что крутящий момент центробежного насоса
в условиях развитой кавитации зависит от объема кавитационной полости и ско-
скорости его изменения и приводится соответствующая приближенная формула.
В настоящее время известны, по крайней мере, две модели динамики кави-
кавитации насоса, предложенные В. П. Козелковым и А. Ф. Ефимочкиным [54],
В. И. Калниньш и В. А. Шерстянниковым [49]. Первая модель включает урав-
уравнение материального баланса жидкости в проточной части насоса и зависимость
напора центробежного насоса от объема кавитационной полости, которая полу-
получена экспериментально. В работе [54] предлагается также приближенная фор-
формула для определения указанной зависимости.
Модель, изложенная в работе [49], основана на использовании универсаль-
универсальной кавитационной характеристики насоса и переменного времени пребывания
жидкости в рабочем колесе. Эта модель при определенных условиях с точностью
до вида функции рн = рн (VK) переходит в первую.
При расчетах с использованием рассматриваемых двух моделей переход
от бескавитационных условий работы насоса к кавитационным осуществляется
при выполнении условия рх < рср, при р± > рср Qx = Q2. Таким образом, эти
модели не учитывают существования кавитационных каверн в насосе на режимах
частичной кавитации и в принципе не позволяют правильно определить изме-
изменение давления на входе в насос. Поскольку эти модели не учитывают объ-
объема кавитационных каверн на режимах частичной кавитации, они дают зани-
заниженное значение суммарного объема кавитационной полости, из которого не
выделяется объем каверн в проточной части насоса, а последний только и
оказывает влияние на напор насоса, т. е. завышается значение объема кави-
кавитационной полости, оказывающего влияние на напор.
Влияние этих факторов может частично компенсироваться. Описание ка-
витирующего шнеко-центробежного насоса, использованное в нестационарной
модели развитых кавитационных автоколебаний для режимов с обратными то-
токами, свободно от указанных недостатков и в силу этого обладает существенными
преимуществами и может быть рекомендовано для использования при расчетах
переходных процессов в гидравлической системе.

Приложения
ИМПЕДАНСНЫЙ МЕТОД
В ТЕОРИИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Как известно, переходные процессы в электрических и гидравлических
линиях с распределенными параметрами описываются аналогичными дифферен-
дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа, которые
получили название «телеграфных». В связи с этим, для определения частотных
характеристик гидравлических (пневматических) линий целесообразно исполь-
использовать хорошо разработанные в теоретической электротехнике методы исследова-
исследования стационарных процессов в длинных линиях электропередачи на переменном
токе [3, 25, 42, 44, 51, 92, 120] или теорию пассивного четырехполюсника.
В работах [21—23] Ю. Н. Гризодуб использовал теорию пассивного че-
четырехполюсника и метод импедансов при исследовании распространения вы-
вынужденных гармонических колебаний в сложных (последовательно-составных
и разветвленных) гидравлических системах. Ю. Н. Гризодуб убедительно по-
показал преимущества предложенного метода расчета по сравнению с методом
стоячих волн — лучшим и наиболее простым методом, применявшимся до этого
для расчета колебаний в идеальных разветвленных системах. Задание граничных
условий в виде импедансов позволяет сложную систему трубопроводов фор-
формально свести к простому трубопроводу и для системы данной геометрии полу-
получить формулы, общие относительно граничных условий на концах трубопро-
трубопроводов.
В настоящей работе с помощью импедансного метода решается задача опре-
определения спектров резонансных (и антирезонансных) частот колебаний в сложных
неконсервативных системах с распределенными параметрами, которые могут
включать элементы с сосредоточенными параметрами, с граничными условиями
общего вида, когда импеданс нагрузки комплексный, а его действительная и
мнимая части зависят от частоты, а также задача определения спектра собствен-
собственных частот колебаний в консервативных системах.
Показана возможность применения импедансного метода к анализу устой-
устойчивости гидравлических систем с распределенными параметрами и сформули-
сформулирован критерий устойчивости.
П.1. Передаточные функции и частотные
характеристики простого однородного
трубопровода с распределенными параметрами
*
Неустановившееся одномерное изотермическое движение реаль-
реальной сжимаемой жидкости в круглом однородном трубопроводе
обычно описывается системой уравнений, в которую входят [106—
1081:
* Разделы П.1—П.З и П.5 написаны на основании работ, выполненных
в 1962-1965 гг,
311

а) уравнение движения
+ '
(П.1)
где А, — коэффициент сопротивления, зависящий в установившемся
движении от режима течения (т. е. числа Рейнольдса) и шерохо-
шероховатости; t — время; х — координата оси трубопровода; р — плот-
плотность жидкости; /?, v — давление и скорость жидкости в сечении
в момент времени t (Для упрощения записи переменные х и t
подразумеваются):
б) уравнение неразрывности
до , до . dv л /г-г ~ч
в) уравнение состояния для жидкости, роль которого играет
выражение закона Гука (жидкость считается капельной, мало-
сжимаемой)
где с — скорость звука в жидкости, текущей в трубопроводе
с упругими стенками (индекс «О» означает стационарное течение).
Для большинства гидравлических систем, исключая особые
случаи, можно считать, что характерная скорость течения жид-
жидкости много меньше скорости звука v С с> поэтому конвектив-
конвективными членами в уравнениях движения и неразрывности можно
пренебречь и записать их в виде [с учетом (П.З)]:
±^_ + _|^_ + _^_t;2 = 0, (П.4)
_^. + pc2_jL==0. (П.5)
01 ОХ
При решении задач, связанных с турбулентным режимом те-
течения жидкости, нелинейный член -^- = —Jp у2 (А/?тр —
путевые потери на трение в установившемся режиме) можно ли-
линеаризовать. Уравнения (П.4)—(П.5), записанные в отклонениях,
принимают вид
v - О, (П.6)
Ж- + 1*'-ъ-
(Здесь черточка над параметром обозначает установившийся ре-
режим).
312

Переходя от скорости v к объемному расходу жидкости Q,
запишем линеаризованные уравнения для турбулентного режима
(а8)
-S
(здесь символ б опущен для простоты записи), р (л;, t) и Q (xy t) —
отклонения давления и объемного расхода от установившегося
u 2^F
значения, k = —= приведенный коэффици-
pQl
ент линейного трения на единицу длины
трубопровода.
Уравнения (П.8)—(П.9) аналогичны телеграфным уравнениям,
известным из теоретической электротехники, которые описывают
нестационарные процессы в линиях (цепях) с распределенными
параметрами (например, в длинных линиях электропередачи).
Поэтому методы исследования телеграфных уравнений могут быть
использованы применительно к линеаризованным уравнениям,
описывающим неустановившееся движение сжимаемой жидкости
в трубопроводе.
Для нахождения частотных характеристик трубопровода будем
поступать аналогично тому, как это принято при анализе стацио-
стационарного режима линии электропередачи переменного тока (вклю-
(включая метод пассивного четырехполюсника), используя соответствую-
соответствующие понятия и терминологию [3, 25, 42, 44, 51, 92, 120].
Применяя преобразование Лапласа по переменной / к урав-
уравнениям (П.8)—(П.9) при нулевых начальных условиях, получим:
s), (П. 10)
где
Zi(s) ==-?-(* + *), (П. 12)
представляют собой соответственно гидравлический
последовательный импеданс (или полное
комплексное сопротивление) и параллель-
параллельный адмиттанс (или комплексную проводи-
проводимость) единицы длины трубопровода.
313

Вид выражения для lx (s) зависит от принятой модели потока
жидкости в трубопроводе, т. е. от исходных дифференциальных
уравнений. Для линеаризованного турбулентного потока Zx (s)
определяется по формуле (П. 12).
Для ламинарного потока с учетом вязкости и профиля скорости
на базе исходных уравнений Навье — Стокса в [6] приводится
уточненное выражение для Zx (s):
ZA*)= sp
jl-i4(//? I/ -\\F
где
— з
R — внутренний радиус трубопровода; v — коэффициент ки-
кинематической вязкости жидкости; со — круговая частота коле-
колебаний; Jo и Jx — функции Бесселя первого рода.
Указанное уточнение позволяет получить при расчете частот-
частотных характеристик (например, длинных манометрических линий)
наблюдаемое в эксперименте увеличение коэффициента затуха-
затухания с ростом частоты.
Продифференцировав уравнения (П. 10) и (П. 11) по х и под-
подставив в первое (П. 11), а во второе (П. 10), получим два одина-
одинаковых по форме уравнения:
s\ (П. 14)
где у (s) = Vzx (s)Y1(s) — комплексная «постоян-
«постоянная» распространения волн на единицу
длины трубопровода, действительная часть которой
представляет собой коэффициент затухания, а
мнимая — коэффициент фазы на единицу
длины трубопровода.
Из уравнений (П. 14) и (П.15) получаем
р (ху s) = сг (s) ch у (s) x + с2 (s) sh у (s) x, (П. 16)
(П.17)
где сх (s) и ?2 (s) — комплексные «постоянные» интегрирования,
которые зависят от граничных условий,
314

ZB (s) = у -ггт\ характеристический импе-
дане или волновое сопротивление трубо-
трубопровода.
Следуя работам Ю. Н. Гризодуба [21 ^23], зададим граничные
условия в следующем виде:
а) при х = О известно изображение р (О, s) или Q (О, s), представ-
представляющее преобразование по Лапласу, соответственно, от р (О, t)
или Q (О, t)\
б) при х = I граничное условие представим в виде импе-
импеданса нагрузки Zy,s) = -щ~7Г'
Такой способ задания граничных условий позволяет доста-
достаточно просто определять частотные характеристики сложных
гидравлических систем на основании решений для простого тру-
трубопровода.
Рассмотрим случай, когда при х = 0 задано р @, s).
Тогда (П.16) и (П.17) запишутся в виде ~ -
^iI ^Lx, (П. 18)
Р @, s) ZB (s
chy(s)x shy(s)x
Q(x,s)^ !_ O11 ол
/%Г1 A1 / П \ AS О ГЛ ЛЧ / О \ -1Г
(П.19)
Z@, s) ZB(s
где
s) - p@'5) - Z (s) - (^s
s;— Q(Os) —z,B(s; 2B(s)
— входной импеданс трубопровода.
Вводя комплексный гиперболический угол
нагрузки at [25]
запишем (П. 18) — (П.19) в виде
iL — ch у (s) x — cth [у (s) I + я, (s)] sh 7 (s) * =
= sh[g/(s) + 7(s) (J^jcfl
sh[at(s) + y\s)l]
: Y~l~\ № У (S) X "~ C^1 G (S) ^ "f a/
n
ZB(s) sh [at (s) + Y (s) /] ' \ll"*°>
315

Если в начальном сечении трубопровода задан Q (О, s), то
получаем формулы (П.24) — (П.27), аналогичные (П. 18), (П. 19),
(П.22), (П.23):
0^j = Z @, s) ch y(s)x- ZB (s) sh у (s) x, (П.24)
/r-r ~гч
*, (П.25)
Q@, s)
— л:)]
Q@, s) - ch[a/(s) + Y(s)/] * { Z/)
Нетрудно видеть, что выражения (П.18) — (П.19), (П.22) —
(П.23), (П.24) — (П.27) представляют собой различные формы за-
записи передаточных функций или обобщенных частотных характе-
характеристик простого однородного трубопровода с распределенными
параметрами.
Обычные амплитудно-фазовые характеристики получаются из
вышеуказанных выражений простой заменой s = to (т. е. опера-
оператор Лапласа полагается чисто мнимым), где i = У—1, со =
= 2я/ — круговая частота колебаний.
В этом случае формулы для Zl9 Yly у и ZB (при турбулентном
режиме течения с линеаризованным трением) будут иметь
следующий вид:
Zx (fa>) = -f- As + /со -J-,
у (ко) =
с
Отделяя действительную и мнимую части в формулах для
Y {to) и ZB (ш), можем записать:
z, (и - f [ /4-
316

Для трубопровода без потерь полученные выражения для Zx,
Yъ у и ZB упрощаются:
= /со
г,
Для трубопровода с малыми потерями формулы для y и 2в
обычно записываются в виде
При численных расчетах предпочтительнее пользоваться пока-
показательной формой записи комплексных чисел, например Zx (ш) =
= |Z1|e'4rAe|Z1|= ]/(-^^J + оJ (^J-модуль, a ?Zl =
= arctg -т аргумент комплексного числа Z1 (tco).
В электротехнике применяется вариант записи комплексных
параметров линии в показательной форме, с использованием обо-
обозначения eix = \х (знак | читается cisx — «цис» х) [25, 119, 120],
так что можно записать
: (ш) ¦
/rn
2
1У | Zi 11 Y\ | -у (ф21 + фу,) = 1711 Г, где Г — аргумент,
/, /со)
тт р (#, tco) р (л:, (со)
Частотные характеристики, например, вида нк' ' ; ^v> '
I Рх I I S/ I
можно записать как . | ц>Рх — фРо = -^— | а/ — а/_д;,
где St — | sh at lSt_x = | sh [а/ + у (/ — x)] |,
a/, a/_^ — аргументы sha, и sh [az + у (I — x) ]
где С/ = |ch (az + yl) I % — аргумент ch (a, + vO-
317

П.2. Определение концевого импеданса
и комплексного гиперболического
угла нагрузки для различных видов
граничного условия
а) Чисто активная нагрузка
Пусть на конце трубопровода х — / задано сосредоточенное
гидравлическое сопротивление Ар = aQ2. После линеаризации
можем записать 8Ар = 2aQ6Q, откуда следует
#. (П.28)
Для трубопровода с малыми потерями Zu ~ -??-,
at = arth Щ- = arth а. (П.29)
Могут представиться 3 случая:
1) R<-*-jT9 #<1, тогда at — действительное число;
2) R = -??-, а == 1, тогда а/ = со;
3) R > -^-, а > 1 Im at = -^-, тогда а/ = arth —н- + «¦ -у-.
Легко видеть, что если трубопровод открыт на конце (или
присоединен к источнику постоянного давления), то
Z (/, ш) - 0, а, = 0; (П.ЗО)
если трубопровод закрыт (или присоединен к источнику постоян-
постоянного расхода), то
7 11 1 \ 1 I Т~Г О 1 \
б) Чисто реактивная нагрузка
1. Пусть на конце трубопровода сосредоточена чисто емкост-
емкостная нагрузка, тогда
Z(/, ш) == -:— (Е — параметр упругости), (П.32)
-j'-4r-V (п-33)
318

Если в концевом сечении к трубопроводу присоединен сосре-
сосредоточенный объем жидкости Vm или газа Vo> то, соответственно,
?ж = #> (П.32а)
(П.326)
где с0 — скорость звука в объеме; р0 и Vo — начальные давление
и объем газовой полости; п — средний показатель политропы
(принимается, что п = const).
2. Пусть на конце трубопровода сосредоточена чисто индуктив-
индуктивная (инерционная) нагрузка
Z (/, ш) - ш/, (П.34)
где / — инерционный параметр
^. (П.35)
Т
3. Реактивная нагрузка
Z (/, ко) = Ш + -|- = * *Ч~Е , (П.36)
(П.37)
соре
В качестве примера такой нагрузки можно привести упругий
элемент в концевом сечении трубопровода (тарель клапана, силь-
фон и т. д.), на который с одной стороны действует давление
жидкости р (L t), ас другой — упругость пружины (сильфона).
в) Комплексная нагрузка
Комплексная нагрузка является наиболее общей, и ранее рас-
рассмотренные типы нагрузки по отношению к комплексной яв-
являются частными случаями.
В общем виде комплексную нагрузку можно представить как
Z(/, ко) = ReZ,(co) + i ImZ/(<o) = \Zt\\ <pZ/. (П.38)
Как было показано в гл. 8, входной импеданс кавитирующего
шнеко-центробежного насоса представляет нагрузку именно та-
такого вида:
319

П.З. Передаточные функции
сложных систем трубопроводов
а) Последовательно-составной трубопровод
Рассмотрим многоступенчатый трубопровод, состоящий из сое-
соединенных последовательно простых однородных трубопроводов
(рис. П.1, а). В общем случае
Fi ф F2 + .. • ф Fny
сгфс2Ф -•• Фсп.
На стыках трубопроводов, очевидно, выполняются условия
равенства давления и неразрывности потока, кроме того, в се-
сечении стыка двух последовательно соединенных i — I и i трубо-
трубопроводов выполняется условие:
?,-1 (//-1, s) = Z, @, s) (П.40)
или
а*-1 (s) = arth
JBi
th [a, (s) + у> (s) lt\.
(П.41)
В концевом сечении последнего n-го трубопровода импеданс
известен (задается) и, следовательно, известен угол
ап (s) —
(П.42)
и
л
пг
и

—п
^7L_^^y
Рис. П.1. Схема трубопровода:
а — последовательно-составной; б — одноузловый разветвленный; в — параллельное
соединение; г — трубопровод, включающий элементы с сосредоточенными параметрами
(емкость и шайбу)
320

(В дальнейшем для простоты записи переменная s подразу-
подразумевается).
Переходя от сечения к сечению в направлении от конца трубо-
трубопровода к его началу и используя условие (П.41), запишем си-
систему уравнений для определения входного импеданса системы
Z (О, s)
ап_г = arth /"-' = arth J™ th (an + ynln), (П.43а)
ZB(/J-1) ZB(fl-l)
а = arth 7Zn~2 = arth ^^^ th (ап_г + Y^n-i), (П.436)
ZB(rt-2) Zb(«-2)
- arth-|*- - arth 4^ th(Os + УМ (П.43в)
^2 ^В2
О! = arth -|l = arth-p2- th (a2 + Y2/2), (П.43г)
^Bl ^-Bl
2@, s) = ZBlth(a1 + Yl/1). (П.43д)
Развернутое выражение входного импеданса n-ступенчатого
трубопровода можно представить в виде:
2@, s) = ZBth /arth -f^th/ arth -^-th...
\ ^Bl [ ZB2
... th [ arth -^_ th (fln - h ТЛ) -h Yn-i/n-i] + •' • + V2/
(П.44)
Этой формулой можно пользоваться при определении входного
импеданса трубопровода, площадь поперечного сечения которого
изменяется по длине (т. е. F (x) =h const), если такой трубопровод
разбить на п простых цилиндрических трубопроводов.
Передаточные функции для произвольного сечения xt t-ro
трубопровода последовательно-составной системы трубопроводов
можно представить в виде:
1—1
П sh aK sh [щ + у{ (It — xt)]
P(xi>s) _ ±=1 : (П 45)
P@, s) *
П sh (ok +
k=i
i-l
П
P(O,s) - i
П ZBksh(ak
k=i
(П.46)
21 В. В. Пилипенко 321

p(Xi, S)
Q @, s)
Q@,
, s)
s)
1-1
П
fe=l
t 1
П
k=l
i—1
П sh ak sh [a/ + у
i
П ch (ak + Yft/л
ch a^, ch \aL + Yi (//
i
П ch (аь + у bib
)
)
]
(П.48)
:h (ak + Yfc/fc)
л=1
б) Разветвленный трубопровод
Рассмотрим одноузловой разветвленный трубопровод (см.
рис. П.1, б); на концах ответвлений граничные условия заданы
в виде импедансов.
На основании закона, аналогичного закону Кирхгофа для
электрических цепей, «проводимость подводящего трубопро-
трубопровода равна сумме проводимостей ответвлений» [21 —23] можно
записать:
~ (П.49а)
(=2
Z(/l7 s) = — ! , (П.496)
S-J- cth (я,- + yili)
i=2
где k — число ответвлений в узле;
Z (lly s) = ZBl th ax — концевой импеданс подводя-
подводящего трубопровода; Zt @, s) = ,ZBi th (aL + -у,-/,-) — входной
импеданс f-го ответвления системы.
Из формулы (П.49) с учетом выражения для Z (/ь s) следует,
что
аА - arth -k ' , (П.50)
^-cth (at + у ill)
(П.51)
1=2
следовательно,
Z @, s) - ZB1 th Г arth г 1 + ¦
322

По аналогии с простым трубопроводом можно записать урав-
уравнение для изображения давления в произвольном сечении х под-
подводящего трубопровода:
1
sh
arth
к
cth
1=2
1
p@,s)
sh
arth
(П.52)
Используя выражение для р (lly s), которое получается из
(П.52) при х = /х, можно получить формулы для произвольного
сечения любого ответвления.
С использованием условия на стыке трубопроводов (П.40)
и условия в узле (П.49) не составляет принципиальных затруд-
затруднений получить формулы для многоузловой системы, отдельные
ответвления которой могут представлять собой последовательно-
составные трубопроводы.
в) Система, включающая параллельные трубопроводы (байпас)
Схема такой системы представлена на рис. П.1, в.
Задан импеданс Z (/4, s), требуется определить Z @, s). Фак-
Фактически, главную трудность представляет определение импеданса
Z AЪ s), после чего Z @, s) находится без труда.
Для решения поставленной задачи составим систему уравне-
уравнений, включающую три пары уравнений типа р0 = ср (ph Q7);
Qo = Ф (Ph Qi)> Два уравнения баланса расходов в узлах системы
[101]
р @4, s) =
s) ch 74/4
s) sh Y4
Q (O4, s) = p (/4, s) -^- + Q (U, s) ch Y4/4,
^B4
p@2, s)-=p(/2,
P @3, s) = p (/3, s) ch 73/3 + ZB3Q D, s) sh 73/3,
Q @2, s) = p{li's) sh v2/2 + Q (/2, s) ch 72/2,
Q @., s) = _?i^iL sh 73/3 + Q (/3, s) ch 73/3,
(П.А)
Кроме того,
s) = P @«, s) = p @,,s),
= p (/3, s) = p @4) s).
21й
323

Используя систему уравнений (П.А), найдем Q (lly s), исполь-
используя уравнение для р @3, s), найдем р (/1э s). Импеданс Z (/ь s) =
Р Aл* S) ^ о
= ^ после некоторых преобразовании можно представить
в виде: .......
у/; ,ч_ ^4 («) В («) + С (s) /П ,Q4
где
В (s) = ZB2 sh v2/2 ch 73/3 + ZB3 sh Y3/3
С (s) = ZB2 sh 72/2ZB3 sh 73/3,
, — ch Y2i2),
ax = arth-^-,
^Z @, s) = ZBl th (d + vid) = ZBl th ( arth ДИ- + Yi/i) • (П .54)
Все формулы настоящего раздела записаны для системы, со-
состоящих из однородных трубопроводов с распределенными пара-
параметрами (не считая граничных условий).
В реальных системах трубопроводы могут включать эле-
элементы с сосредоточенными параметрами (шайбы, фильтры, клапаны,
емкости и т. п.), учет которых не вызывает особых затруднений.
Пусть, например, в определенном сечении трубопровода име-
имеются сосредоточенная упругость с импедансом Z' (s) = — "и не-
непосредственно за ней элемент, обладающий активным и инерцион-
инерционным сопротивлением (типа шайбы) с импедансом Z" (s) = R + si.
Такой трубопровод схематически изображен на рис. П.1, г.
Используя условие в узле (П.49а), адмиттанс в сечении
1—1 можем записать в виде
1 _ 1 , 1
7 7' I 7"' I 7' '
откуда
324
a, = arth {ZB1 [-1-

П.4. О графоаналитическом методе
анализа линий
с распределенными параметрами
При расчетах входного импеданса и частотных характеристик систем с рас-
распределенными параметрами необходимо вычислять гиперболические функции
от комплексного аргумента. Если подобные расчеты выполняются не на ЭЦВМ,
они становятся слишком трудоемкими. При выполнении таких расчетов жела-
желательно иметь достаточно подробные таблицы гиперболических функций от ком-
комплексного аргумента, но, к сожалению, эти таблицы в настоящее время не полу-
получили широкого распространения.
Для приближенных расчетов удобнее вместо таблиц использовать номо-
номограммы гиперболических функций от комплексного аргумента.
Для приближенных расчетов длинных линий электропередач
весьма удобен графоаналитический метод, предложенный Ю. Т. Ве-
0,6
аз
0,7
0,2
0,8
-1,0
U
1,3
Рис. П. 2, Номограмма гиперболического тангенса от комплексного аргумента
th (a + ib) = ТЫ
325

0,6
0,2
0,8
1,9
1,8
7,7
1,6
Рис. П. 3. Номограмма гиперболического синуса от комплексного аргумента
sh (a + ib) = S/a
личко, с использованием дополненных им номограмм гиперболи-
гиперболических функций от комплексного аргумента [119]. Этот метод
описан в работе [120]. Следуя работе [120], покажем, как вос-
воспользоваться графоаналитическим методом применительно к гид-
гидравлическим системам с распределенными параметрами.
На рис. П.2 — П.4 приведены номограммы гиперболических
функций комплексного аргумента th (a + ib) = Т | т ; sh (a + ib) =
= S\a и ch (a + ib) = C\% , [119], где а > 0. (Теория построе-
построения этих номограмм здесь не рассматривается).
Номограммы дают возможность быстро находить значения
модуля и аргумента функции для данного комплексного аргу-
аргумента (а + ib) и наоборот, по заданным значениям модуля и ар-
аргумента функции находить комплексный аргумент (а + ib).

На номограммах, приведенных на рис. П. 2—П. 4, сплошными линиями
проведены линии модулей (Г, 5, С), штриховыми — линии аргументов (т, а, %)
соответствующих функций.
На номограммах аргументы гиперболических функций и мнимая часть ги-
гиперболического аргумента b выражены в долях прямого угла. Прямой угол на-
называют квадрантом и обозначают как l'—. Один квадрант эквивалентен -^-ра-
-^-радиан 1'— = —;— рад = 90°. Известно, что гиперболические функции имеют период,
равный /2я, следовательно, увеличение или уменьшение мнимой части аргумента
на —, зт или 2л будет изменять функцию по определенным правилам. Важно
А
иметь в виду это обстоятельство и учитывать при вычислении численных значе-
значений функций. Производить вычисления проще, если мнимая часть выражена
в квадрантах, так как изменения наступают при сумме, кратной одному ква.
0,6
0,2
0,8
-1,0
1,7
1,6
Рис. П. 4. Номограмма гиперболического косинуса от комплексного аргумента
ch (a + ib) = С|х
327

дранту. Если же мнимая часть выражается в радианах, необходимо суммиро-
суммировать величины, кратные я или 3,1416 радиан, что менее удобно.
Начнем с номограммы th (a-\-ib) — Т\х (рис. П. 2). В крайней левой точке
на номограмме модуль Т = 0, в крайней правой Т — оо. На вертикальном
диаметре Т = 1. Линии модулей слева от вертикального диаметра Т = 1 соот-
соответствуют диапазону 0<^ Г< 1, а справа — диапазону 1 < Т1^ оо. На оди-
одинаковых расстояниях от линии Т= 1, т. е. для симметричных линий
модулей, значения Т взаимно обратны. Например, симметричной по отно-
отношению к линии Т — 0,5 есть линия Т = -тге~ = 2 и т. д. Аргумент т на
горизонтальном диаметре имеет нулевое значение. Штриховые линии, располо-
расположенные выше горизонтального диаметра, соответствуют положительным значе-
значениям аргумента в диапазоне от 0 до +1, в нижнем полукруге они соответству-
соответствуют отрицательным значениям аргумента в диапазоне от 0 до —1.
На номограмме sh (a -f- ib) в крайней левой точке модуль S имеет нулевое
"значение. Далее линии модуля все больше выгибаются и при S = 1 линии обра
зуют контур, напоминающий лист, прикрепленный острым концом к крайней
правой точке номограммы. В середине этой фигуры идут линии, соответствую-
соответствующие 5> 1. В центре номограммы S = оо. На левом горизонтальном радиусе
аргумент о* имеет значение 0'—. Дальше линии идут вверх и вниз причем вверх —
для положительных, а вниз — для отрицательных значений аргумента, так что
на верхнем полукруге и на правом горизонтальном радиусе имеем значение
а= +11—, а на нижнем полукруге и на правом горизонтальном радиусе значе-
значение о= —I1—. Таким образом, на этом радиусе одновременно сг= =±= 1'—.
Линии модуля С номограммы ch (a -\- ib) можно рассматривать как зеркаль-
зеркальное отражение линий S номограммы синуса. Действительно, крайняя правая
точка на этой номограмме имеет значение С = 0. Линии модуля С, изгибаясь,
образуют тот же контур; в крайней левой точке номограммы С = 1. При С = оо
линии переходят в точку в центре номограммы. Линии аргумента % не явля-
являются зеркальным отражением линий а. На правом горизонтальном радиусе
значение %= — И—; от этого радиуса линии %, изгибаясь, идут вверх и
вниз: вверх для положительных значений %, вниз — для отрицательных. На
верхнем полукруге, как и на нижнем, а также на левом горизонтальном радиусе
х=о.
Для удобства пользования на каждой номограмме на левом горизонталь-
горизонтальном радиусе нанесена шкала значений а, а по внешнему контуру номог-
номограмм — шкала значений Ь.
Пользоваться номограммами довольно просто. Если нужно
найти функцию комплексного аргумента а гЬ ib, то используется
шкала значений а на левом горизонтальном радиусе и шкала
значений b на внешнем контуре соответствующей номограммы.
Из заданной точки b на внешней окружности проводится радиус,
а из заданной точки а на левом горизонтальном радиусе описы-
описывается дуга из центра номограммы до пересечения с радиусом.
Координаты точки пересечения дают модуль и аргумент гипер-
гиперболической функции заданного аргумента а + ib.
Аргумент а + ib данной гиперболической функции опреде-
определяется аналогично. На соответствующей номограмме находится точ-
точка с координатами модуля и аргумента функции. Через эту точку:
1) описывается из центра номограммы дуга до пересечения с го-
горизонтальным радиусом — определяется численное значение а\
2) проводится радиус и на внешней окружности номограммы
определяется численное значение Ь.
328

Например, если а + ib = 0,4 + Ю,7'-,
то Т\% = 1,58 10,44'-, S 1 а = 0,995 10,875'-
и С \%_= 0,62 |0,41'-; если Т |т_= 2 [—0,8'-, тоа + ^ = 0,125 +
+ П,9«- и т. д. [120].
Для уяснения сути графоаналитического метода в качестве
примера опишем схему расчета входного импеданса двухступен-
двухступенчатого трубопровода (т. е. зависимостей модуля и аргумента вход-
входного импеданса от частоты) с использованием номограммы th (a-\-
+ ib) = Т |т. В рассматриваемом случае расчет необходимо
вести по формулам
Z @, ш) --- ZBl th (аг + Vi/i),
th a2 = -j^-.
Порядок расчета следующий (для каждого значения частоты).
1. Рассчитывается значение модуля и аргумента гиперболического тангенса
2. По номограмме определяется аргумент а2 + i2.
3. Рассчитываются значения комбинированного коэффи-
коэффициента затухания линии и нагрузки а'2 = а2 -|- р2/2 и
комбинированного фазового коэффициента линии
и нагрузки 6o=^o-f-°) -?г- второго трубопровода.
ь2
4. По номограмме по найденному значению а'2 -)- ib'2 определяется модуль
и аргумент гиперболического тангенса Т'2 \т'2.
5.. Рассчитываются значения модуля 7\ и аргумента тх тангенса гиперболи-
гиперболического th ax по формуле
6. По номограмме определяется аргумент ax -f- t^j.
7. Рассчитываются комбинированный коэффициент затухания линии и
нагрузки а[ = а± -(- Pi^i и комбинированный фазовый коэффициент линии и
нагрузки Ь{ = Ьх -\- со —^— первого трубопровода.
8. По найденному значению аргумента а[ + Ь'г с помощью номограммы
определяется модуль и аргумент гиперболического тангенса Т[ \т{.
9. Рассчитываются значения модуля и аргумента входного импеданса си-
системы
| Zo 11 cpzo_ = | ZBl 11 qWH I tI = I ZBl 11 71! 11 cpzBi + Ti.
Повторяя операции по пп. 1—9 для каждого значения частоты, можно по-
получить искомые зависимости модуля и фазы входного импеданса системы от
частоты. Аналогично, но с использованием номограмм синуса и косинуса гипер-
гиперболического могут рассчитываться частотные характеристики гидравлических
систем с распределенными параметрами.
329

П.5. Импедансный метод определения
собственных (резонансных) частот
колебаний
Полученные уравнения амплитудно-фазовых характеристик
простого трубопровода, например, в форме (П. 18), (П. 19), (П.24),
(П.25) при s = ш и k — 0) позволяют определить значения ча-
частот колебаний, при которых амплитуды колебаний давления и
расхода стремятся к бесконечности — имеет место явление резо-
резонанса.
Как известно, в консервативной системе резонанс
наступает при точном совпадении частоты вынуждающего воздей-
воздействия с одной из собственных частот системы (т. е. резонансные
частоты равны собственным и являются действительными числами
или, другими словами, корни характеристического уравнения яв-
являются действительными числами).
Известно также [97], что резонансные колебания в линейной
системе определяются не только частотой внешнего воздействия,
но и способом воздействия на систему. Из уравнений (П. 18),
(П. 19), (П.24), (П.25) следуют условия, при которых амплитуды
колебаний давления и расхода стремятся к бесконечности:
Z @, ш) = 0, (П.55)
если в начальном сечении (при х = 0) трубопровода задан спектр
колебаний давления /; @, ш), и
Z @, ш) = оо (П.56)
или
1
Z @, ко)
= 0, (П.56а)
если в начальном сечении трубопровода задан спектр колебаний
расхода Q @, ш).
Для неконсервативной системы (системы с поте-
потерями и комплексной нагрузкой) уравнения (П.55) и (П.56) уже
не могут быть удовлетворены при действительных значениях
частот колебаний и говорить о собственных частотах, строго го-
говоря, нельзя, так как в системе с трением имеют место затухаю-
затухающие собственные колебания, которые, очевидно, не являются
гармоническими.
Уравнения (П.55), (П.56) удовлетворяются при комплексных
значениях частот колебаний и поэтому можно считать, что соб-
собственные частоты неконсервативной системы являются комплекс-
комплексными [64, 97]. При этом действительная часть комплексной jj.3.-
стоты равна частоте гармонического сомножителя затухающего
колебания, а мнимая чащь равна коэффициенту затухания.
Определение собственных частот неконсервативных систем или
отыскание комплексных корней характеристического уравнения
330

представляет достаточно сложную задачу, поэтому при решении
практических задач иногда указывают другие способы прибли-
приближенного определения резонансной частоты системы.
Так, резонансными частотами системы с сосредоточенными па-
параметрами называют такие частоты, при которых мнимая часть
импеданса системы обращается в нуль [74,97]. При небольшом
затухании резонансная частота, определенная таким образом,
вообще близка к собственной, хотя может и не совпадать с .ней
точно.
Применительно к системам с распределенными параметрами
последнее определение нуждается в уточнении и дополнении.
Резонансными частотами неконсервативной системы с распре-
распределенными параметрами, в зависимости от вида гармонического
воздействия на входе в систему (по давлению или по расходу)
будем называть такие частоты, на которых:
— мнимая часть входного импеданса системы, т. е. входной
реактанс системы обращается в нуль (и, соответственно,
равен нулю фазовый угол). Одновременно модуль входного импе-
импеданса системы достигает минимального значения, если при х = О
граничное условие эквивалентно открытому концу трубопровода,
что соответствует заданию спектра колебаний давления на входе
в систему, при этом антирезонансным частотам будут соответст-
соответствовать максимумы модуля входного импеданса системы;
— модуль входного импеданса системы достигает максимума
(т. н. резонанс сопротивления) и наблюдается скачкообразное
изменение фазового угла на величину, близкую к я, если при
х = О граничное условие эквивалентно закрытому концу трубо-
трубопровода, что соответствует заданию спектра колебаний расхода
на входе в систему, при этом антирезонансным частотам будут
соответствовать минимумы модуля входного импеданса.
П.5.1. Определение собственных (резонансных) частот
колебаний в консервативных системах
а) Собственные частоты колебаний жид-
жидкости в простом трубопроводе
Запишем условия консервативности:
k = О, Re at= О, (Re Z (/, ш) = 0), следовательно у = i -^-, Z =
F '
Входной импеданс простого трубопровода Z@, ш) = -Ц- tgco —
г с
зависит от частоты по закону тангенса, поэтому будут такие зна-
значения частоты, при которых входной импеданс трубопровода
обращается в нуль и при которых он стремится к бесконечности.
Если в начальном сечении трубопровода (при х = 0) гранич-
граничное условие эквивалентно открытому концу трубопровода, то
резонанс (бесконечные амплитуды) наступит, если частота коле-
331

баний давления на входе в трубопровод совпадет с одной из соб-
собственных частот трубопровода. Если же на входе в систему будет
задан спектр колебаний расхода, то резонанса в трубопроводе,
открытом в начальном сечении, не будет.
Спектр собственных частот колебаний жидкости в простом тру-
трубопроводе для рассматриваемого граничного условия при х = О
может быть найден из условия резонанса Z @, ш) = 0.
В простейшем случае трубопровод на конце (при х = I) может
быть либо открыт (at = 0), либо закрыт (al = i ~yj >
При at = 0
Z @, ко) ¦-= -у- th ш — = -*тг-1 tg — = 0,
откуда
со = -i = пп (п ¦= 1, 2, 3, . . .), (П.57а)
Для закрытого конца трубопровода ( при а/= i-|p-J имеем:
Z@, to) —^- th (/ -=- -i- to 1) = _ J?- i tg йД = 0,
со^ = -y Bn 4 1) (я = 0, 1, 2, .. .), (П.58а)
/ = ^-Bnf о, /, = 4-7-; /2 = 4t' f*--TT и т- д-(п-586)
Рассмотрим простой трубопровод с более сложным граничным
условием — с емкостью на конце (чисто емкостная нагрузка).
Из условия (П.55) с учетом (П.33), принимая, что стр = cv = с,
получим
[(-/^)+ *>!] = о,
К решению этой задачи можно подойти несколько по-другому.
Так, если в начальном сечении граничное условие не соответст-
соответствует открытому концу, а характеризуется в общем случае опре-
332

деленным импедансом, то условие резонанса можно записать
в виде
Z' @,ш) + Z @, /со) = О
или
—Z' @, ш) = Z @, ш).
Приравнивая импеданс емкости (формула (П.32) с учетом
(П.32а) с обратным знаком входному импедансу трубопровода
с открытым концом, получаем:
откуда
Отметим, что формулу для расчета собственных частот колебаний в системе
трубопровод—емкость получил Цеман в 1933 г. из решения волнового уравнения
(в форме Д' Аламбера). Позднее к этому вопросу возвращались и другие иссле-
исследователи. Идентичные формулы разными методами получили Шмидт и Хайлов
в 1935 г., Боднер в 1939 г. [65].
б) Определение собственных частот ко-
колебаний в сложных трубопроводах
В качестве примера еще раз рассмотрим задачу о собственных
частотах колебаний в системе трубопровод — емкость, но пред-
представим ее уже как сложную систему — двухступенчатый трубо-
трубопровод с открытым концом (емкость можно рассматривать как
трубопровод малой длины с большой площадью поперечного се-
сечения).
Собственные частоты колебаний в такой системе находятся
из условия резонанса сопротивления, т. е. из условия равенства
бесконечности входного импеданса двухступенчатого трубопровода
с открытым концом а2 = 0. Полагая сг = с2 = с, можем записать
Z@, i'co) - -^- thf" arth (Jj±- th ш-j-) -f ш -^-J = oo ,
или, после перехода к круговым функциям:
_^1 ire ,л ^2 _ i
откуда -=;Mgco—= —. Полагая, что tgoo —^со —,
2 с tgii ее
с
получим tg о) —— = —Tf- что, как и следовало ожидать, совпа-
совпадает с ранее приведенной формулой (изменились только индексы).
333

В качестве другого примера рассмотрим более сложную сис-
систему, характерную для поршневых компрессоров емкость — тру-
трубопровод — емкость. В отличие от предыдущего случая здесь
arctg{^Mg[arctg(
откуда с учетом того, что tgo—^со—, следует, что
с с
cFo , cF2
1-
что совпадает с формулой, приведенной в [15].
Рассмотрим определение собственных частот в многоступен-
многоступенчатом трубопроводе, состоящем из п соединенных последовательно
простых однородных трубопроводов. Для консервативной системы
уравнения (П.43а) — (П.43д) можно записать в виде
Z @, ко) = -^-tg (ах + со А.) , (П.бОа)
Г1 \ Сл }
(П.606)
(П.бОв)
Если граничное условие в начальном сечении я-ступенчатого
трубопровода эквивалентно открытому или закрытому концу
трубопровода, то первое уравнение системы запишется в виде:
пп (трубопровод открыт)
я (П.61а)
-o-Bai—• 1) (трубопровод закрыт).
л = 1,2,3,...
334

R
r-S9°J0'
-89
-87
'-86
-85
-80
-70
-60
-50
-Ц0
-30
-20
-10
-5
-4
-3
-г
-89
88
87
86
85
--80
70
60
50
30
го
-2
-1
-O°3Or
-0°20r
-0°1Qr
S mm
й
Дано I
b^Jjmoem
tga -mtg в
2-
1-
0,5-
0,2-
0,1-
Рис. П. 5. Номограмма для расчета собственных частот колебаний
Для остальных уравнений используем следующий вариант
записи:
(П.616)
(П.61в)
(П.61г)
335

tgan =
Учитывая, - что at + f2n — = Qt @,- — полный угол
i-ro трубопровода) и вводя обозначение mt_1% ь = % 1~1
*' ici-\
для коэффициента соединения i—1 и i-ro тру-
трубопровода, запишем уравнение (П.61г) в виде:
tgfl/=m/.liitge/. (П.62)
Для определения собственной частоты колебаний по системе
уравнений (П.61а) — (П.61д) систему .уравнений удобно решать
с помощью номограммы из выравненных точек (на параллельных
шкалах) для уравнения
tg a = m tg 0.
Номограмма представлена на рис. П.5 и построена для значений
переменных, лежащих в пределах
О < а < 89°30'; 0,1 < т < 10; 0 < 0 < 89°30',
т. е. требует приведения углов к острому углу.
П.5.2. Приближенное определение резонансных
частот в неконсервативных системах
с распределенными параметрами
Для неконсервативной системы в общем случае Z (/, ш) =
= Re Z (со) + nmZ(oo) и, следовательно, угол а, (ш) является
комплексным; ZB (ш) и у (ш) также являются комплексными,
так как k ф 0.
Определим резонансные частоты в простом трубопроводе с ма-
малыми потерями k <С со, ZB = -Щ-, у = Р -\- i' — с концевым
г с
импедансом Z (/, ш), которому соответствует комплексный гипер-
^ ,, Z (/, /со)
болическии угол нагрузки arth— .
Входной импеданс такого трубопровода записывается в виде:
Z@, to) = ^ th [ arth l^M- + Y (to)
= Ц- th[(p/ + Re a,) f i («4 + Ьп сЛ1 - -^ th [a' + ib'(w)],
. .- (П.63)
где a' — может быть определено как комбинированный
коэффициент- за-тухан и-я линии и нагрузки,
Ь' — комбинированный фазовый коэффици-
коэффициент линии и нагрузки,
336

Для трубопровода, открытого в начальном сечении, получим
формулу для спектра резонансных частот колебаний, приравни-
приравнивая нулю входной реактанс системы
т 7 <г\ - \ 9е tg ^' (со) A — th2 а') Л ,п сл\
ImZ@, ш) = -^ Vth2«'tg^(co) = °' (П-64)
Ц- =?0,1 — th2a'->0 при а'-> оо,
что лишено физического смысла.
Таким образом, входной реактанс обращается в нуль в двух
случаях:
tgb' - 0, (П.65а)
tgb' = cQ,( lim —= l = о\, (П.656)
причем, учитывая, что tha' С 1, условие (П.65а) определяет
резонансные, а (П.656) — антирезонансные ча-
частоты, если судить по изменению действительной части входного
импеданса Re Zo. Из условия (П.65а)
получаем приближенное выражение для спектра резонансных
частот трубопровода, открытого в начальном сечении, в виде:
j (П.66)
откуда для первой резонансной частоты имеем:
сох я^ — (я — Im at) (П.67а)
или
Аналогично, из условия tg Ъ' = оо получаем приближенное
выражение для спектра антирезонансных частот трубопровода,
открытого в начальном сечении
(О ,
-f [-^-B/г — 1) — Im a/] . (П.68)
Для трубопровода, закрытого в начальном сечении, уравнения
(П.68) и (П.66) определяют соответственно спектры резонансных
и антирезонансных частот трубопровода.
Приближенные уравнения для определения спектров резонан-
резонансных частот трубопровода (П.66), (П.68) можно записать также,
исходя из следующих соображений.
22 в. в. Пилипенко 337

Для трубопровода с заданными граничными условиями резо-
резонансные и антирезонансные частоты соответствуют экстремальным
значениям модуля входного импеданса системы. Экстремальные
значения \Z0\ прямо пропорциональны экстремальным зна-
значениям Т (/).
Если на номограмму th (a -\- ib) — Т |т для каждой частоты /
нанести точки с координатами Tfhf и затем соединить их плавной
кривой, получим годограф гидравлической линии с распреде-
распределенными параметрами. Для линии с потерями годограф будет пред-
представлять спираль, навивающуюся на центр номограммы. Из но-
номограммы th (a + ib) = Т \х видно, что минимальным значениям
Т (/), следовательно, и |Z0(/)| соответствуют точки, которые
лежат в левой полуплоскости номограммы, потому что там Т < 1,
причем располагаются эти точки несколько ниже горизонталь-
горизонтального диаметра. Максимальным значениям Т соответствуют точки
в правой полуплоскости номограммы, потому что там Т (/) > 1,
причем располагаются они несколько выше горизонтального
диаметра.
Поясним это подробнее. Прежде всего обратим внимание на то, что линии
модуля симметричны относительно центральной горизонтальной линии. Если бы
годограф линии был окружностью (линия без потерь) то, очевидно, точки, со-
соответствующие экстремальным значениям, лежали бы именно на горизонтальной
линии номограммы. Но в нашем случае, поскольку годограф представляет собой
спираль, точки, лежащие ниже горизонтальной линии в левой полуплоскости,
и точки, лежащие выше горизонтальной линии в правой полуплоскости, больше
удалены от центра по сравнению с точками, лежащими на горизонтальной линии.
Соответственно смещены и точки с минимальными и максимальными значениями
Т (/). Очевидно, смещение будет тем меньше, чем меньше годограф отличается
от круга. Очевидно также, что точность определения экстремальных значений
по номограмме зависит от толщины линий и точности построения годографа.
Модуль входного импеданса системы имеет минимальные зна-
значения вблизи левого горизонтального радиуса номограммы. Если
считать, что минимумы соответствуют точкам пересечения годо-
годографа с радиусом, где Ъ = п2'-, можем сразу записать Im: at +
+ со — «*n2|- = /iJt рад, что совпадает с (П.66). Модуль вход-
входного импеданса системы имеет максимальные значения вблизи
правого горизонтального радиуса номограммы, т. е. приближенно
можно записать
Im aL + со ^ ъ B/г - 1) I1- = Bп - 1) -J-,
что совпадает с (П.68).
Запишем уравнения (П.66), (П.68) в виде:
) = пп — 2nf— ,
= -f B/i - 1) - 2я/ ±. (П.68а)
338

уравнения удобно решать графически, определяя резо-
резонансные частоты колебаний как точки пересечения кривых
Im аь (/) с прямыми у (/) = я/г —'2я/— , у (/) = -^- Bлг — 1) —
— 2я/ —, причем основной частоте колебаний соответствует
с
п = 1, для второй резонансной частоты /г =¦ 2 и т. д. При расчете
зависимости Im al (/) можно использовать номограмму th (a +
+ ib) = Т |т, так как
[ Ф^Ф^ = Г(/)[^(/)
При численных расчетах величин Ima, необходимо учитывать
знаки \vaat и т: если Ima/> 0 (значение 2Ima/~ находится в диа-
диапазоне от —1 до +1), то при т > 0 к \mat следует прибавить
(О, 2, 4, • • •)'-; при т < 0 — A, 3, 5 • • •); если Im al < 0, то при
т > 0 к Im а/ следует прибавить A,3,5 • • •)'-, при т < 0 —
— B, 4, 6 • • •)'-. Необходимость такой операции суммирования
связана с тем, что, как уже указывалось, гиперболические функ-
функции имеют период 2ш. Величина дополнительного угла зависит
от того, какая резонансная частота будет интересовать — первая,
вторая и т. д.
П.5.3. Влияние типа нагрузки
на основную частоту колебаний жидкости
в простом трубопроводе с малыми потерями
Рассмотрим случай чисто активной нагрузки
Z (/, /со) = R, at = arth —-=r =¦ arth a.
Если активное сопротивление меньше волнового R < -—-, то
из формулы для ареа-тангенса от комплексного аргумента вида
. 1 +а , 1 — а
л — arctg j- arctg-
+ i °— (П.69)
при b = 0 и а < 1 следует, что Im ^ = 0, тогда по формуле
(П.676) /х = -|г-, т. е. трубопровод с малыми потерями, нагружен-
нагруженный на чисто активное сопротивление, меньшее волнового, имеет
первую резонансную частоту, равную первой собственной частоте
трубопровода, открытого на концах.
Если активное сопротивление больше волнового R > -^-, то
из формулы (П.69) при Ь = 0, а > 1 следует, что Im at -=^>
22* 339

тогда по формуле (П.69) /х = -^, т. е. трубопровод, нагружен-
нагруженный на чисто активное сопротивление, большее волнового, имеет
первую резонансную частоту, равную первой собственной частоте
трубопровода, закрытого на конце.
Трубопровод, нагруженный на волновое сопротивление R =<
= -^р- (al = arth 1 = со) можно назвать нерезонирующим, т. е. \
трубопроводом, который не имеет резонансных частот (при
Im at = 0,Re at—> сю), т. е. гиперболический тангенс стремится к
единице и не зависит от частоты колебаний. Трубопровод конеч-
конечной длины, нагруженный на активное сопротивление, равное вол-
волновому (т. н. согласованная нагрузка), в акустическом смысле
ведет себя как полубесконечный трубопровод, в котором отсут-
отсутствуют отраженные волны.
П.6. Применение импедансного метода
к анализу устойчивости систем
Если в гидравлической системе выделена какая-либо область а
(рис. П.6), то суммарное количество колебательной энергии, гене-
генерируемой этой областью, определяется потоками колебательной
энергии через сечения 1—/ и 2—2
т
= -jr J
О
= А
.2г
и.
Как указывается в работе [91J, отличие А1г и Л2г от нуля
свидетельствует о том, что от области а в системы, расположенные
до и после этой области, постоянно поступает колебательная энер-
энергия. Если колебательная энергия поступает от области в системы
Рис. П. 6. Расчетная схема для вычисления потоков колебательной энергии
340

(т. е. А 1г < О, А 2г > 0), то это означает, что в рассматриваемых
системах расположены поглотители этой энергии. Если колеба-
колебательная энергия передается из системы в область а (т. е. А 1г > 0,
А2Г < 0), то это свидетельствует, что в системах происходят
процессы непрерывной генерации колебательной энергии, кото-
которая поглощается областью а.
Если потери (рассеивание) колебательной энергии в системе
до области а равны А 1р, а за этой областью — А 2р, то из энерге-
энергетических соображений следует, что при установившихся колеба-
колебаниях
А*г = АР - АР = А:Р> (П.70)
где Л2р — поток колебательной энергии, рассеиваемой си-
системами до и после области а.
Расположим фиктивную область а на выходе из питающего
бака. Эта область не генерирует и не поглощает колебательную
энергию.
В этом случае А1г = 0, так как амплитуда колебаний давле-
давления 6/?! = 6/?б = 0.
Поскольку область о расположена на выходе из питающего
бака, предположим, что потери энергии Л1р — 0, при этом до-
достаточное условие устойчивости (П.70) примет вид
Если А 2Г > А 2р, то может происходить самовозбуждение коле-
колебаний, а при Л2г<Л2р — гашение колебаний.
В рассматриваемом случае область а фиктивная и не генери-
генерирует колебательную энергию, поэтому условие устойчивости
можно записать в виде А 2р > 0, а для установившихся колебаний
Л2р - 0.
В соответствии с уравнениями для определения потока энер-
энергии через импеданс системы B.85), B.86).
АР = -^- | 6Q |2 Re Z, Ар = ~y I &P Г2 -г^гк условие устойчивости
Л2р>0 выполняется, если действительная часть импеданса
системы, расположенной после питающего бака,
Re Z @, ш) > 0.
Если Re Z @, ш) = 0, то поток рассеиваемой колебательной
энергии также будет равен нулю, а поскольку на выходе из пита-
питающего бака нет источника, который бы генерировал колебатель-
колебательную энергию, то Re Z @, ш) = 0 соответствует установившимся
колебаниям, т. е. границе области устойчивости.
Если Re Z < 0, то А 2р < 0 и это означает, что в системе про-
происходят процессы непрерывной генерации энергии и так как нет
дополнительных поглотителей этой энергии, то часть колебатель-
колебательной энергии накапливается в системе, что должно вести к увели-
увеличению амплитуд колебаний.
341

Таким образом, на границе области устойчивости действитель-
действительная часть импеданса системы (отношение комплексных амплитуд
колебаний давления и расхода на выходе из питающего бака)
равна нулю Re Z @, /со) = 0.
В разд. 5П было показано, что собственные частоты колеба-
колебаний такой системы определяются из условия равенства нулю
мнимой части импеданса системы Im Z @, /со) = 0.
Импедансный метод, в отличие от энергетического [91], по-
позволяет не только судить об устойчивости системы, но и определить
частоты колебаний на границе области устойчивости.
На основании изложенного можно сформулировать следую-
следующий критерий устойчивости: система устойчива, если действи-
действительная часть импеданса системы положительна Re Z @, /со) > 0,
для потери устойчивости системы необходимо выполнение двух
условий — действительная часть импеданса системы отрицательна
Re Z @, /со) < 0, а мнимая часть равна нулю — Im Z @, /со) = 0.
При анализе устойчивости системы из условия ImZ @, /со) = 0
определяются собственные частоты колебаний системы, а затем
по знаку действительной части импеданса системы, вычисленной
при найденных частотах колебаний, можно судить об устойчи-
устойчивости системы.
В заключение отметим, что импедансный метод является весьма
эффективным средством при исследовании динамики линейных
систем с распределенными параметрами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айзерман М. А. Лекции по теории автоматического регулирования.
Изд. 2-е. М., Физматгиз, 1958, 520 с.
— (?) Велик Н. П. К расчету собственных частот колебаний жидкости в сложных
трубопроводах. — «Известия вузов. Сер. Авиационная техника», 1965, № 2,
с. 3—8.
(X) Бессоков Л. А. Теоретические основы электротехники. М., «Высшая
школа», 1964, 750 с.
4. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы, каверны. М., «Мир», 1964,
466 с.
5. Брамблетт, Ноулс, Сак. Исследование динамики кавитационных и на-
напорных характеристик системы подачи двигателя J = 2. — «Вопросы ракет-
ракетной техники», 1967, № 5, с. 29—45.
^^ Браун Ф. Т. Переходные процессы в линиях передачи жидкости и газа.—
«Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Д. Техническая
механика». М., ИЛ, 1962, № 4, с. 163—171.
7. Букреев Ю. Н., Пилипенко В. В., Задонцев В. А. и др. Эксперименталь-
Экспериментальное и теоретическое определение входного импеданса насоса. — В кн.: Кавита-
ционные автоколебания в насосных системах. Ч. II. Киев, «Наукова думка»,
1976, с. 68—73.
8. Букреев Ю. Н., Сайкова Т. Н., Ходурский В. Е. Теоретическое определе-
определение входного импеданса шнеко-центробежного насоса с учетом неустановившегося
обтекания лопаток осевого шнекового преднасоса на режимах без обратных
токов. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. II.
Киев, «Наукова думка», 1976, с. 63—68.
9. Бычкова Л. С, Лысов Е. Н., Петров Б. И. и др. Напорные характери-
характеристики шнековых насосов, перекачивающих газожидкостные смеси. — В кн.:
Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. I. Киев, «Наукова думка»,
1976, с. 95—100.
10. Водяницкий В. П. Возникновение автоколебаний в гидравлической
системе при подаче свободного газа на вход в насос. — В кн.: Кавитационные
автоколебания в насосных системах. Ч. I. Киев, «Наукова думка», 1976,
с. 86—95.
11. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. М.—Л.,
«Энергия», ч. I, 1965, 396 с; ч. II, 1966, 372 с.
12. Вуд Дж. Визуальные исследования кавитации в рабочих колесах диаго-
диагональных насосов. — «Труды американского общества инженеров-механиков.
Сер. Д. Теоретические основы инженерных расчетов». М., 1963, № 1, с. 22—23.
13. Ву-яо-цзу. Приближенная численная схема теории кавитационного
течения позади тела произвольного профиля. — «Труды американского общества
инженеров-механиков. Сер. Д. Теоретические основы инженерных расчетов».
М., «Мир», 1964, № 3, 160 с.
14. Гинзбург И. П. Прикладная гидрогазодинамика. Изд. ЛГУ, 1958, 338 с.
— С^Ч Гладких П. А., Хачатурян С. А. Вибрации в трубопроводах и методы их
устранения. М., Машгиз, 1959, 243 с.
16. Гликман Б. Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных
двигателей. М., «Машиностроение», 1974, 396 с.
17. Глушко В. П. Развитие советского ракетно-космического двигателе-
строения. — «Известия АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт», 1974, № 5,
С 3-29,
343

18. Грабовская Т. А. Определение объемов кавитационных каверн, располо-
расположенных перед лопатками шнека и в проточной части насоса, работающего в ре-
режиме автоколебаний, по результатам экспериментов. — В кн.: Кавитационные
автоколебания в насосных системах. Ч. II. Киев, «Наукова думка», 1976,
с. 12-15.
19. Грабовская Т. А., Жулай Ю. А. Об одном способе устранения погреш-
погрешности в определении объема кавитационной полости в проточной части насоса
в режиме кавитационных автоколебаний. В кн.: Кавитационные автоколеба-
автоколебания в насосных системах. Ч. I, Киев, «Наукова думка», 1976, с. 118—123.
20. Грабовская Т. А., Жулай Ю. А. Расшифровка осциллографических
записей автоколебательных процессов с применением модифицированного триго-
тригонометрического полинома. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных
системах. Ч. I. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 123—126.
21. Гризодуб Ю. Н. Применение теории пассивных четырехполюсников
к расчету распространения колебаний давления в разветвленных гидравличе-
гидравлических системах авиадвигателей. — «Автоматика и телемеханика», 1950, № 2,
с. 105—120.
22. Гризодуб Ю. Н. О расчете распространения гармонических возмущений
жидкости, наполняющей системы последовательно и параллельно соединенных
труб насосных агрегатов. —ЖТФ, 1951, т. 21, вып. 5, с. 564—572.
23. Гризодуб Ю. Н. К исследованию переменного движения жидкости в мно-
многоузловых гидравлических системах машин и автоматических устройств. —
«Автоматика и телемеханика», 1952, № 1, с. 55—60.
24. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. Физматгиз, 1961, 496 с.
25) Даль О. Дж. Электрические цепи, т. I. Расчет токов короткого замыка-
замыкания и теория установившегося режима, М.—Л., Госэнергоиздат, 1933, 406 с.
26. Джекобсон Д. О механизме срыва напора на входном участке кавити-
рующих насосов. — «Труды американского общества инженеров-механиков.
Сер. Д. Теоретические основы инженерных расчетов». М., «Мир», 1964, № 2,
с. 151—167.
27. Джекобсон Д. Исследование суперкавитационного обтекания решетки
профилей. — «Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Д.
Теоретические основы инженерных расчетов». М., «Мир», 1964, № 4, с. 205—212.
28. Довготько Н. И. Теоретическое исследование влияния конструктивных
параметров осевого шнекового преднасоса на устойчивость системы шнеко-цен-
тробежный насос — трубопроводы. — В кн.: Кавитационные автоколебания
в насосных системах. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 47—52.
29. Довготько Н. И. Анализ теоретических и экспериментальных результа-
результатов исследования влияния конструктивных параметров осевого шнекового пред-
преднасоса на устойчивость системы шнеко-центробежный насос—трубопроводы. —
В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. I. Киев, «Наукова
думка», 1976, с. 53—56.
30. Думов В. И., Пешкин М. А. Исследование кавитации в колесе центробеж-
центробежного насоса. — «Теплоэнергетика», 1959, № 12, с. 32—35.
31. Дэвис, Куне, Шир. Анализ течения в трубопреднасосах при кавитацион-
кавитационных и бескавитационных условиях работы. — «Вопросы ракетной техники»,
1972, № И, с. 25—39.
32. Егер. Приложение теории резонанса к системам выводов ГЭС. Рассмотре-
Рассмотрение причин аварий напорных трубопроводов. — «Труды американского общества
инженеров-механиков. Сер. Д. Техническая механика». М., «Мир», 1963, № 4,
с. 184—195.
V 33. Егоров И. Г., Садовников Ю. Н. и др. Искусственная кавитация. Л.,
«Судостроение», 1971, 284 с.
34. Ершов В. Н. Неустойчивые режимы турбомашин (вращающийся срыв).
М., «Машиностроение», 1966, 180 с.
35. Ершов Н. С, Овсянников Б. В., Рамодина В. В. Исследование развития
кавитации в шнековых осевых преднасосах методом скоростной фотосъемки. —
«Известия вузов. Сер. Авиационная техника», 1972, № 2, с. 173—175.
344

36. Жуковский Н. Е. О гидравлическом ударе в трубах. Полное собр. соч.
Т. VII. ОНТИ—НКТП, 1937, 410 с.
37. Жуковский Н. Е. Видоизменение метода Кирхгофа. Собр. соч. Т. II.
ГИТТЛ, 1949, 762 с.
38. Задонцев В. А. Теоретическое определение динамических характеристик
шнеко-центробежного насоса в режиме частичной кавитации. — В кн.: Кави-
тационные автоколебания в насосных системах. Ч. II. Киев, «Наукова думка»,
1976, с. 42—55.
39. Задонцев В. А., Пилипенко В. В. Характерные особенности развитых
кавитационных автоколебаний в системе шнеко-центробежный насос—трубо-
насос—трубопроводы. — В кн.: Космические исследования на Украине. Киев, «Наукова
думка», 1976, вып. 8, с. 60—64.
\/ 40. Задонцев В. А., Грабовская Т. А., Григорьев Ю. Е. и др. Определение
зависимости объема кавитационных каверн от давления и расхода на входе в на-
насос по экспериментальным данным. — В кн.: Кавитационные автоколебания
в насосных системах. Ч. I. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 126—130.
41. Захаров О. В. К вопросу о кавитации в центробежном насосе. — «Труды
ВНИИ. Гидромаша», 1967, вып. 36, с. 3—14.
42>/Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В. и др. Основы теории цепей.
М.—Л., «Энергия», 1965, 751 с.
43. Зельдович Я- Б. Теория ударных волн и введение в газовую динамику.
Изд-во АН СССР, 1946, 184 с.
44.; Зернов Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей. М.—Л.,
«Энергия», 1965, 892 с.
45. Зилке, Уайли, Келлер. Вынужденные и самовозбуждающиеся колебания
в линиях подачи топлива. — «Труды американского общества инженеров-меха-
инженеров-механиков. Сер. Д. Теоретические основы инженерных расчетов». М., «Мир», 1969,
№ 4, с. 112—118.
46. Иванов Я. Н., Дрозд В. А. К вопросу об аномальности формы области
неустойчивой работы шнеко-центробежного насоса по отношению к кавитацион-
ным колебаниям. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах.
Ч. I. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 60—63.
47. Иванов Я. Н., Дрозд В. А., Задонцев В. А. Об одной аномальности формы
области неустойчивой работы шнеко-центробежного насоса по отношению к ка-
витационным колебаниям. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных
системах. Ч. I, Киев, «Наукова думка», 1976, с. 57—59.
48. Казакевич В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах. Изд. 2-е.
М., «Машиностроение», 1974, 264 с.
49. Калнин В. М., Шерстянников В. А. Динамика кавитационных срывов
напора шнеко-центробежного насоса при импульсных возмущениях на входе. —
В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах. 4.1. Киев, «Наукова
думка», 1976, с. 135—143.
\j 50. Карелин В. Я» Кавитационные явления в центробежных и осевых на-
насосах.^ Изд. 2-е, М., «Машиностроение», 1975, 335 с.
С§Х2 Кинг Р., Мимно Г., Уинг А. Передающие линии, антенны и волноводы.
М—Л., Госэнергоиздат, 1948, 287 с.
52. Кинелев В. Г., Васильев Ю. Н., Курочкин С. Н. Физическая модель
кавитирующего шнеко-центробежного насоса, работающего в широком диапазоне
режимов по расходу. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных си-
системах. Ч. I. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 100—107.
\/ 53. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. М., «Мир», 1974, 687 с.
54. Козелков В. П., Ефимочкин А. Ф. Механизм кавитации центробежного
насоса на неустановившихся режимах.[Сборник статей].Под ред. В. П.Козелкова.
Изд. Воронежского политехнического института. Воронеж, 1972, вып. 1,
с. 17-30.
55. Козелков В. П., Ефимочкин А. Ф. Экспериментальное исследование
кавитационных автоколебаний в гидравлической системе. — В кн.: Кавитацион-
Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. I. Киев, «Наукова думка», 1976,
с. 71—80.
345

56. Козырев С. П. Кавитация в гидроабразивном потоке и кавитационное
абразивное изнашивание. — «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машино-
машиностроение», 1962, № 2, с. 65—74.
J 57. Колесников К» С, Кинелев В. Г. Математическая модель кавитационных
явлений в шнеко-центробежном насосе. — «Известия вузов. Сер. Авиационная
техника», 1973, № 4, с. 87—92.
58. Колесников К- С., Кинелев В. Г. Динамика топливной магистрали с уче-
учетом кавитационных явлений в шнеко-центробежном насосе. — «Известия вузов.
Сер. Авиационная техника», 1974, № 1, с. 82—86.
59. Колесников К. С, Кинелев В. Г. Колебания в топливной магистрали,
вызванные кавитацией в шнеко-центробежном насосе. — «Известия вузов. Сер.
Авиационная техника», 1974, № 2, 147—149.
60. Колесников К- С, Кинелев В. Г., Курочкин С. Н. Автоколебания в топлив-
топливной магистрали с кавитирующим шнеко-центробежным насосом. — В кн.: Ка-
витационные автоколебания в насосных системах. Ч. I. Киев, «Наукова думка»,
1976, с. 110—118.
61. Кремлевский П. П. Расходомеры, М., Машгиз, 1963, 656 с.
62. Кэмпбелл Д. П. Динамика процессов химической технологии. М., Хим-
издат, 1962, 351 с.
63. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред, М.э ГИТТЛ,
1954^796 с.
ПЯ^Морз Ф. Колебания и звук. М.—Л., ГИТТЛ, 1949, 496 с.
о5. Натанзон М. С. Вынужденные разрывные колебания жидкости в тру-
трубопроводах. — «Известия АН СССР. Сер. Механика жидкостей и газов», 1965,
№ 2, с. 33—42.
66. Натанзон М. С. Влияние рассеивания энергии на вынужденные разрыв-
разрывные колебания жидкости в трубопроводах. — «Известия АН СССР. Сер. Меха-
Механика жидкостей и газов», 1965, № 5, с. 14—21.
67. Натанзон М. С, Бальцев Н. И., Бажанов В. В. и др. Экспериментальные
исследования кавитационных колебаний шнеко-центробежного насоса. — «Из-
«Известия АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт», 1973, № 2, с. 151—157.
68. Натанзон М. С. Кинетическая модель кавитационных колебаний в насо-
насосах. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. I. Киев,
«Наукова думка», 1976, с. 12—20.
69. Натанзон М. С. О механизме обратной связи в кинетической модели
кавитационных колебаний в насосах. — В кн.: Кавитационные автоколебания
в насосных системах. Ч. I, Киев, «Наукова думка», 1976, с. 5—12.
70. Натанзон М. С. О природе аномально больших коэффициентов усиления
насосов. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. II.
Киев, «Наукова думка», 1976, с. 39—42.
71. Натанзон М. С. Разрывные кавитационные автоколебания в насосах. —
В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. II. Киев, «Наукова
думка», 1976, с. 3—12.
72. Натанзон М. С, Сухих В. В. Экспериментальные исследования выну-
вынужденных разрывных кавитационных колебаний жидкости в трубопроводах. —
«Известия АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа», 1969, № 1, с. 113—117.
73. Овсянников Б. В., Боровский Б. И. Теория и расчет агрегатов питания
жидкостных ракетных двигателей. М., «Машиностроение», 1971, 540 с.
^(^74~\)льсон Г. Динамические аналогии. М., ИЛ, 1947, 224 с.
/5Г Ошима М., Кавакучи К- Энергетические и кавитационные исследования
осевых и диагональных насосов одинаковых быстроходностей. М., «Энергия»
1968, 200 с.
</ 76. Перник А. Д. Проблемы кавитации. Л., «Судостроение», 1966, 439 с.
77. Пилипенко В. В. О механизме самовозбуждения кавитационных авто-
автоколебаний в системе шнеко-центробежный насос — трубопроводы на режимах
без обратных токов. — В кн.: Космические исследования на Украине. Киев,
«Наукова думка», 1975, вып. 7, с. 3—10.
78. Пилипенко В. В. Теоретическое и экспериментальное определение частот
кавитационных колебаний в системе питающий трубопровод—насос на режимах
"Т46

без обратных токов. — В кн.: Космические исследования на Украине. Киев,
«Наукова думка», вып. 9, 1976, с. 22—26.
79. Пилипенко В. В. Простейшая теоретическая модель кавитационных
автоколебаний в системе высокооборотный шнеко-центробежный насос—трубо-
насос—трубопроводы. — В кн.: Космические исследования на Украине. Киев, «Наукова
думка», вып. 8, 1976, с. 55—60.
80. Пилипенко В. В., Задонцев В. А. Теоретическое и экспериментальное
определение границ областей устойчивости системы шнеко-центробежный на-
насос—трубопроводы в плоскости режимных параметров насоса. — В кн.: Косми-
Космические исследования на Украине. Киев, «Наукова думка», вып. 9, 1976,
с 16—22.
81. Пилипенко В. В., Иванов Я. Н., Задонцев В. А. и др. Экспериментальное
исследование влияния конструктивных параметров высокооборотного шнеко-
центробежного насоса на кавитационные автоколебания. — В кн.: Космические
исследования на Украине, Киев, «Наукова думка», вып. 7, 1975, с. 13—17.
82. Пилипенко В. В., Задонцев В. А., Жулай Ю. А. и др. Анализ зависимости
напоров осевого шнекового преднасоса в целом от объема кавитационной по-
полости. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. I. Киев,
«Наукова думка», 1976, с. 131 — 135.
83. Пилипенко В. В. Влияние потерь энергии при входе жидкости в межло-
межлопаточные каналы осевого шнекового преднасоса на устойчивость системы пита-
питающий трубопровод—насос. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных
системах. Ч. I. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 25—29.
84. Пилипенко В. В. Нестационарная модель кавитационных колебаний
шнеко-центробежного насоса на режимах без обратных токов. — В кн.: Кави-
Кавитационные автоколебания в насосных системах. Киев, «Наукова думка», 1976,
с. 29—47.
85. Пилипенко В. В., Довготько Н. И. К определению влияния упругости
кавитационных каверн в центробежном колесе на устойчивость системы шнеко-
центробежный насос—трубопроводы. — В кн.: Кавитационные автоколебания
в насосных системах. Ч. I, Киев, «Наукова думка», 1976, с. 63—71.
86. Пилипенко В. В. Теоретическое определение упругости и объема кави-
кавитационных каверн в шнеко-центробежных насосах на режимах без обратных
токов. — «Известия АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт», 1976, № 5,
с. 129—138.
87. Пилипенко В. В. Экспериментально-расчетный способ определения упру-
упругости и объема кавитационных каверн в шнеко-центробежных насосах. — «Изве-
«Известия АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт», 1976, № 3, с. 131—139.
88. Пилипенко В. В. Влияние обратных токов на объем кавитационных
каверн, их упругость и кавитационное сопротивление во входной части шнеко-
центробежного насоса на режимах частичной кавитации. — «Известия АН СССР.
Сер. Энергетика и транспорт», 1977, № 3, с. 127—134.
89. Пилипенко В. В., Задонцев В. А. Об одном механизме автоколебаний
в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури. — В кн.: Кави-
Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. II. Киев, «Наукова думка»,
1976, с. 93—103.
90. Пилипенко В. В., Задонцев В. А., Мань ко И. К. и др. О высокочастотных
колебаниях в гидравлической системе за кавитирующей трубкой Вентури. —
В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных системах. Ч. II. Киев, «Наукова
думка», 1976, с. 104—113.
91. Раушенбах Б. В. Вибрационное горение. М., Физматгиз, 1961, 500 с.
CS2</ Реза Ф., Сили С. Современный анализ электрических цепей. М.—Л.,
«Энергия», 1964, 480 с.
93. Руднев С. С, Панайотти С. С. Влияние газосодержания жидкости на
кавитационные характеристики. — «Труды ВНИИ Гидромаш», вып. 38, 1968, 14 с.
94. Сазонов А. А. Исследование некоторых нестационарных явлений в цен-
центробежных насосах. — В кн.: Лопаточные машины и струйные аппараты. М.,
«Машиностроение», 1972, № 6, с. 151—162.
95. Сак Л., Нотейдж Г. Колебания в системе, вызванные кавитацией в шне-
347

ковом насосе. — «Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Д.
Теоретические основы инженерных расчетов». М., «Мир», 1965, № 4, с. 84—93.
96. Степанов А. И. Центробежные и осевые насосы. М., Машгиз, 1960,
*"¦"* QZJ Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М., «Наука», 1964,
с. 43л
98. Стриплинг Л. Б., Акоста А. Дж. Кавитация в лопастных насосах. —
«Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Д. Техническая
механика». Ч. I. M., ИЛ, 1962, № 3, с. 29—41.
99. Стриплинг Л. Б. Кавитация в лопастных насосах. — «Труды американ-
американского общества инженеров-механиков. Сер. Д. Техническая механика». Ч. II.
М., ИЛ, 1962, № 3, с. 42—55.
100. Теория автоматического регулирования. Под ред. В. В. Солодовни ков а.
М.. «Машиностроение». 1967, 679 с.
^1Ш. уайли. Резонанс в напорных трубопроводах. — «Труды американского
общИ^а инженеров-механиков. Сер. Д. Теоретические основы инженерных
расчетов». М., «Мир», 1965, № 4, с. 120—127.
102. Френкель Я- И. Кинетическая теория жидкости. Изд-во АН СССР, 1945,
466 с.
103. Фэбьюла. Обтекание с затуханием перфорированных или антикави-
тационных профилей. — «Труды американского общества инженеров-механиков.
Сер. Д. Теоретические основы инженерных расчетов». М., «Мир», 1964, № 3,
с. 165—174.
104. Фэшбог, Стритер. Резонанс в системах топливоподачи ракет с ЖРД- —
«Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Д. Теоретические
основы инженерных расчетов». М., «Мир», 1965, № 4, с. 181—188.
105. Ходурский В. Е., Пилипенко В. В., Букреев Ю. Н., Сайков а Т. Н. Экспе-
Экспериментальное и теоретическое определение коэффициентов усиления шнеко-
центробежного насоса. — В кн.: Кавитационные автоколебания в насосных
системах. Ч. II. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 56—63.
106. Чарный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в тру-
трубах. М., ГИТТЛ, 1951, 223 с.
107. Чарный И. А. Основы газовой динамики. М., Гостоптехиздат, 1961,
200 с.
108. Чарный И. А., Розенберг Г. Д. Приложение к книге Л. Бержерона
«От гидравлического удара в трубах до разряда в электрической сети (общий
графический метод исследования). (Пер. с франц.). М., Машгиз, 1962, с. 292—344.
109. Чебаевский В. Ф. К вопросу о механизме кавитации в центробежных
насосах.—«Теплоэнергетика», 1957, № 9, с. 12—16.
110. Чебаевский В. Ф. Способ расчета центробежных насосов на кавитацию.—
«Вестник машиностроения», 1959, № 8, с. 24—29.
111. Чебаевский В. Ф., Петров В. И. Кавитационные характеристики высо-
высокооборотных шнеко-центробежных насосов. М., «Машиностроение», 1973, 152 с.
112. Шальнев К- К- Структура области кавитации. — «Известия АН СССР.
ОТН». 1954, № 5, с. 119—146.
113. Шальнев К- К- Кинетическая структура срывной кавитации круглого
профиля. —ДАН СССР, 1954, т. XVII, вып. 5, с. 785—788.
114. Шальнев К- К- Давление и эрозия в области срывной кавитации круг-
круглого профиля. — «Известия АН СССР. ОТН», 1954, №6, с. 111—120.
115. Шальнев К- К- Формы области кавитации нормально-обтекаемой пла-
пластинки. — ДАН СССР, 1954, т. XVII, вып. 6, с. 111—119.
116. Эпштейн Л. А., Блюмин В. И. Исследование развитых кавитационных
течений во вращающемся бассейне. - «Труды ЦАГИ», 1965, вып. 950, с. 3—31.
117. Эпштейн Л. А. О влияник -шсла Фруда и погружения на размеры ка-
каверн и унос газа. — «Труды ЦАГИ», 1965, вып. 950, с. 32—57.
118. Эфрос Д. А. Гидродинамическая теория плоскопараллельного кави-
тационного течения. — ДАН СССР, 1946, вып. 4, с. 85—97.
119. Величко Ю. Т. Теоретические основы радиотехнических цепей. (На
украинском языке). Ч. I. Изд. Львовского университета, 1966, 340. с.
348

(20. /Грицкив Р. Д. Основы теории длинных линий (На украинском языке),
Кие5Т~~«Вища школа», 1974, 144 с.
121. A cost a A. J. Experimental Study of Cavitating Inducers. Second Sympo-
Symposium on Naval Hydrodynamics. Washington, D. C. 1958, August, pp. 533—557.
122. Acosta A. and Hollander A. Remarks on Cavitations in Turbomachines,
Report NE—793, Engineering Division. California Institute of Technology, 1959,
October.
123. Betz A. and Peterson E. Application of Theory of Free Jets, NACA TM
667, 1931.
124. Brenen C. The Dynamic Balances of Dissolved Air and heat in Natural
Cavity Flow. Journal of Fluid Mechanics, 1969, Vol. 37, June, pp. 115—127.
125. Brennen C, Acosta A. J. Theoretical Quasi—Static Analysis ofCavita-
tion Compliance in Turbopumps, Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 10, N 3,
1973, pp. 175—180.
1 126. Cohen H. and Sutherland С Finite Cavity Cascade Flow, Matn. Report
N 14, Rensselaer Polytechnic Institute, Fray, New York, 1958, April.
127. Kasai Т., Takamatsu Y. Study of Cavitation Aspect and Suction Per-
Performance of Centrifugal Pumps. Memoirs of Faculty of Engineering Kyushu Uni-
University, 1967, Vol. XXV, pp. 27—77.
128. Liu С. К-, Worlund A. L. A Semiempirical Study of Pressure Oscillations
in LOX Pump Inducers, Journal of Spacecraft and Rockets, 1970, Vol. 7, N 2,
February, pp. 207—209.
129. Minami S., Kawaguchi K-, Homma T. Experimental Study on Cavitation
in Centrifugal Pump Impellers. «Bull. JSME», 1960, Vol. 3, N 9, pp. 881—889.
130. Ross С. С and Banerian G. Some Aspects of High—Suction Specific—
Speed Pump Inducers. Trans. ASME, 1956, Vol. 78, pp. 1715—1721.
131. Rubin S. Longitudinal Instability of Liquid Rockets Due to Propulsion
Feedback (POGO), J. Spacecraft and Rockets, Vol. 3, No 8, 1966.
132. Wade R. Linearized Theory of Partially Cavitating Cascade of Flat Plate
Hydrofoils, Appl. Sci. Res., 1967, Vol. 17, No 3.
133. Wade R. Flow Past Partially Cavitating Cascade of Flat Plate Hydro-
Hydrofoils. Division of Engineering and Applied Science, California Institute of Techno-
Technology, Pasadena, California, Report NE—79—4, 1963, January.
134. Wood G. M., Murphy 'J. S. and Farquhar J. An Experimental Study
of Cavitation in a Mixed Flow Pump Impeller, Trans. ASME, Series D, Journal
of Basic Engineering, 1960, Vol. 82, pp. 929—940

ОВЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Основные условные обозначения 5
Глава 1. Особенности кавитации в высокооборотных шнеко-центро-
шнеко-центробежных насосах 7
1.1. Типы гидродинамической кавитации в потоке жидкости и их
характерные особенности 7
1.2. Число кавитации 9
1.3. Кавитация в осевых шнековых преднасосах 11
1.4. Решение задачи об обтекании решетки плоских пластин в ре-
режиме частичной кавитации 15
1.5. Теоретическое определение зависимости объема кавитацион-
ных каверн от давления и расхода на входе в насос 21
1.6. О других методах расчета размеров кавитационных каверн ... 25
Глава 2. Общие сведения о неустойчивых режимах работы шнеко-
центробежных насосов 29
2.1. Помпаж-механизм, характерные особенности 29
2.2. Кавитационные автоколебания — основные экспериментальные
факты и характерные особенности 33
2.3. Кинетическая модель кавитационных колебаний 38
2.4. Энергетический подход к исследованию автоколебаний ... 57
2.5. Краткий обзор основных механизмов возбуждения и теорети-
теоретических моделей кавитационных колебаний 64
Глава 3. Теоретическое исследование кавитационных колебаний ... 73
3.1. Квазистационарные струйные модели кавитационных колебаний 73
3.2. Уравнение границы области устойчивости системы 80
3.3. Влияние конструктивных параметров шнека на частоту кави-
кавитационных колебаний и устойчивость системы 86
3.4. Анализ устойчивости системы с учетом сосредоточенных упру-
гостей 91
3.5. Влияние распределенности параметров питающего трубопровода
на устойчивость системы 97
3.6. Границы области устойчивости в плоскости параметров пита-
питающего трубопровода 99
Глава 4. Экспериментальное исследование кавитационных автоко-
автоколебаний 101
4.1. Влияние режимных параметров на частоту кавитационных ав-
автоколебаний 102
4.2. Влияние конструктивных параметров шнека на частоту кави-
кавитационных автоколебаний 107
4.3. Влияние параметров питающего трубопровода на частоту ко-
колебаний 108
4.4. Сравнение теоретических и экспериментальных зависимостей
частоты кавитационных колебаний от давления на входе в насос 114
4.5. Определение упругости и объема кавитационной полости ... 116
4.6. Определение границ областей устойчивости в плоскости пара-
параметров n—pi и п—k 122
4.7. Исследование границ области устойчивости при постоянной
частоте вращения вала насоса 129
4.8. О возможности повышения устойчивости системы по отноше-
отношению к кавитационным колебаниям 133
Глава 5. Экспериментальное исследование развитых кавитационных
автоколебаний 135
5.1. О методике обработки результатов испытаний 135
5.2. Характерные особенности развитых кавитационных автоколе-
автоколебаний 139
5.3. Определение потоков генерируемой колебательной энергии . . 150
350

5.4. Анализ зависимостей напоров шнека и насоса в целом от объема
кавитационной полости 156
5.5. Определение зависимости объема кавитационных каверн от
давления и расхода на входе в насос 165
Глава 6. Уточнение квазистационарной модели кавитационных ко-
колебаний 168
6.1. К решению задачи о кавитационном обтекании решетки пло-
плоских пластин 168
6.2. Анализ зависимостей высоты кавитациоиной каверны от числа
кавитации и угла атаки 170
6.3. Форма линии тока при кавитационном обтекании решетки пло-
плоских пластин и площадь кавитационной каверны 173
6.4. Зависимость объема кавитационной полости от давления на
входе в насос и режима работы насоса 176
6.5. Зависимости упругости кавитационной каверны и кавитацион-
ного сопротивления от числа кавитации и режима работы на-
насоса 177
6.6. Влияние обратных токов на кавитационные каверны .... 180
6.7. Оценка упругости кавитационных каверн в центробежном
колесе 186
6.8. Влияние потерь энергии при входе жидкости в межлопастные
каналы осевого шнекового преднасоса на устойчивость системы 191
6.9. Влияние упругости кавитационных каверн во входной части
центробежного колеса на устойчивость системы 193
6.10. Сравнение теоретических и экспериментальных данных . . . 196
Глава 7. Нестационарная модель кавитационных колебаний и тео-
теоретическое исследование устойчивости системы 198
7.1. Неустановившееся кавитационное обтекание решетки плоских
пластин и нестационарная модель кавитационных колебаний 199
7.2. Уравнения границы области устойчивости системы в простей-
простейшем случае 207
7.3. К расчету границ областей устойчивости системы в плоскости
режимных параметров 208
7.4. Анализ уравнений границы области устойчивости и сравнение
теоретических и экспериментальных результатов 209
7.5. Влияние конструктивных параметров осевого шнекового пред-
преднасоса на устойчивость системы 213
7.6. Сопоставление теоретических и экспериментальных результатов 216
Глава 8. Теоретические и экспериментальные исследования динами-
динамических характеристик системы шнеко-центробежный на-
насос—трубопроводы 221
8.1. Теоретическое определение входного импеданса шнеко-центро-
бежного насоса 221
8.2. Определение резонансных частот колебаний жидкости в си-
системе 229
8.3. Влияние учета неустановившегося обтекания лопастей шнека
на режимах без обратных токов на входной импеданс .... 234
8.4. Влияние учета частичной кавитации на частотные характери-
характеристики 237
8.5. О коэффициенте усиления насоса в рамках кинетической мо-
модели кавитационных колебаний 241
8.6. Теоретическое определение частотных #характеристик насоса
по давлению в режиме частичной кавитации 244
8.7. Теоретическое определение частотных характеристик насоса по
давлению на базе нестационарной модели кавитационных ко-
колебаний 247
8.8. Экспериментальное определение динамических характеристик
на режимах частичной кавитации • . . . . 253
8.9. Анализ экспериментальных данных по коэффициентам усиле-
усиления и входному импедансу насоса 257
351

Глава 9. Разрывные кавитационные автоколебания в насосах . . . 266
.9.1. Свободные колебания при отсутствии рассеивания и подвода
энергии 268
9.2. Колебания расхода за насосом в режиме разрывных автоколе-
автоколебаний 273
9.3. Фаза свободного движения с учетом рассеивания энергии . . . 276
9.4. Феноменологическое описание подвода энергии к системе . . . 280
9.5. Параметры автоколебаний 281
Глава 10. Теоретическое исследование развитых кавитационных авто-
автоколебаний 287
10.1. Простейшая модель развитых кавитационных автоколебаний 287
10.2. Влияние экспериментально-расчетной зависимости k (fK,<7i), охва-
охватывающей режимы с обратными токами 294
10.3. Влияние разделения суммарного объема кавитационной по-
полости на объемы каверн перед шнеком и в проточной части
насоса 299
10.4. Влияние неустановившегося обтекания лопастей шнека . . . 304
10.5. Влияние давления в баке на параметры предельного цикла
развитых кавитационных автоколебаний 308
10.6. О расчете переходных процессов в гидравлической системе
с кавитирующим ишеко-центробежным насосом 309
Приложения. Импедансный метод в теории гидравлических систем
с распределенными параметрами 311
П. 1. Передаточные функции и частотные характеристики простого
однородного трубопровода с распределенными параметрами 311
П. 2. Определение концевого импеданса и комплексного гипербо-
гиперболического угла нагрузки для различных видов граничного ус-
условия 318
П. 3. Передаточные функции сложных систем трубопроводов . . . 320
П. 4. О графоаналитическом методе анализа линий с распределен-
распределенными параметрами 325
П. 5. Импедансный метод определения собственных (резонансных)
частот колебаний 330
П. 6. Применение импедансного метода к анализу устойчивости систем 340
Список литературы 343
ИБ№1150
Виктор Васильевич Пилипенко, Владимир Антонович Задонцев,
Мирон Семенович Натанзон
КАВИТАЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ
И ДИНАМИКА ГИДРОСИСТЕМ
Редактор издательства Л. И. Коваленко Художник Е. С. Пермяков
Технический редактор Г. С. Старых Корректор Л. И. Карамышкина
Сдано в набор 7/ХП 1976 г. Подписано к печати 18/1II 1977 г. Т-02363
Формат 60X90 Vie Бумага № 1 Печ. л. 22,0 Уч.-изд. л. 23,9
Цена 1 р. 67 к. Тираж 1410 Изд. зак. 411 Тип. зак. 1437
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3
Ленинградская типография № 6 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10